ПРЕДИСЛОВИЕ

Квантовая оптика, представляющая собой синтез квантовой теории поля и физической оптики, испытывает в настоящее время революционные изменения. От ранних исследований в области когерентных свойств излучения в 60-х гг., таких как квантовая статистическая теория лазера, квантовая оптика эволюционировала к современным вопросам, связанным, например, с исследованием роли сжатых состояний поля излучения и атомной когерентности в подавлении квантового шума в интерферометрии и оптических усилителях. С другой стороны, стали реальностью такие, ранее казавшиеся немыслимыми, концепции, как лазер без инверсии населенностей и одноатомные (микро) мазер и лазер. Многие из этих идей являются перспективными для создания новых устройств, обладающих чувствительностью, существенно превышающей стандартные квантовые пределы. Кроме того, квантовая оптика предоставляет новые мощные способы исследования таких фундаментальных проблем квантовой механики, как дополнительность, скрытые параметры и другие, являющиеся основными для квантовой физики и философии.

Целью данной книги является такое изложение этих и многих других захватывающих результатов в области квантовой оптики, которое уделяло бы особое внимание фундаментальным принципам и их приложениям, что позволило бы студентам проводить самостоятельные исследования в этой области. Эта книга (возникшая на основе наших лекций, прочитанных в различных университетах, исследовательских институтах и летних школах) может служить учебником для аспирантов, владеющих некоторыми базовыми знаниями по квантовой механике и электродинамике. Каждая глава сопровождается задачами и списком литературы. Некоторые задачи непосредственно связаны с содержанием цитируемых статей. При составлении списков литературы мы стремились указать первоисточники и обзорные статьи для более глубокого изучения, но не ставили перед собой задачу сделать эти списки исчерпывающими.

Формально книгу можно разделить на три части. В первых шести главах разрабатывается «инструментарий» квантовой оптики, а в последующих одиннадцати главах этот «инструментарий» применяется к различным квантовым оптическим системам. Последние четыре главы посвящены применению современной квантовой оптики к исследованию основ квантовой механики.

Книга начинается с представления квантования поля излучения, в котором каждой моде поля ставится в соответствие квантованный гармонический осциллятор. Стремление квантовать поле излучения во многих квантовых оптических системах обусловлено такими явлениями, как квантовые биения, двухфотонная интерферометрия и генерация неклассических состояний поля, например, фоковских состояний. Некоторые из этих явлений по-новому освещают непростую концепцию фотона. В первой части книги обсуждаются различные состояния радиационного поля, напри» мер когерентное и сжатое, и вводятся функции распределения, устанавливающие связь между квантовой и классической теориями излучения. Затем развивается квантовая теория когерентности в терминах корреляционных функций поля, составляющая основу для обсуждения результатов интерферометрических экспериментов. Далее в книге развивается полуклассическая и квантовая теории взаимодействия излучения с веществом. При этом основное внимание уделяется формированию теоретической базы, направленной на понимание многогранных проблем современной квантовой оптики.

Во второй части книги эта теоретическая база применяется для развития теорий атомного и полевого затухания, резонансной флуоресценции, функционирования лазера и микромазера, а также изучения свойств квантового шума в таких нелинейных оптических процессах, как параметрическое усиление и четырехволновое смешение. Подробно обсуждаются эффекты атомной когерентности в различных системах. Например, роль атомной когерентности в подавлении поглощения приводит к таким интересным эффектам, как лазерная генерация без инверсии населенностей и электромагнитно-индуцированная прозрачность. Атомная когерентность может играть роль в подавлении шума спонтанной эмиссии Шавлова^Таунса в лазерах, также как в корреляционных лазерах (КЛ). Такие КЛ-системы могут быть использованы, например, в лазерных гироскопах и «бесшумовых» усилителях.

Третья часть книги посвящена приложению современной квантовой оптики к рассмотрению фундаментальных вопросов, относящихся к основам квантовой механики, таких как теорема Белла, квантовые неразрушающие измерения, детекторы типа «какой путь» и двухфотонная интерферометрия.

Мы очень благодарны многочисленным коллегам, друзьям и студентам, с которыми пришлось сотрудничать в процессе подготовки этой книги. Не имея возможности отметить каждого индивидуально, позволим себе выразить благодарность лишь некоторым из них.

Особенно благодарим С. Харриса, В. Лэмба, Дж. Швингера и Г. Вальтера, которые сильно повлияли на нас своим вкладом в физику вообще и плодотворным сотрудничеством в частности. Их след в этой книге очевиден: без них не было бы целых глав. Благодарим П. Найта за поддержку при написании книги. Неоценимую помощь при рассмотрении различных тонких вопросов оказали его критические замечания и дискуссии с ним, а также с Г. Агарвалом, Р. Арновиттом, К. Беднаром, Дж. Берго, Л. Кохеном, Д. Доулингом, Д. Эберли, М. Флешхауером, Э. Фраем, Д. Геа~Банаклочи, Р. Глаубером, Трунг~Данг Хо, X. Ли, Л. Нардуччи, Р. 0'Коннелом) Н. Рамзеем, У. Расе, В. Шлейчем, К* Водкиевичем, Б. Урке и Ши-Яо Цу. Один из нас, М. Сушейл Зубайри, рад выразить благодарность комитету по атомной энергии Пакистана за финансовую поддержку в течение нескольких лет и, в частности, его председателю И. Ахмаду за его глубокий интерес и обязательность, сыгравшую важную роль при завершении проекта. Марл ан О. Скалли, со своей стороны, хотел бы поблагодарить за поддержку министерство военно-морских исследований и, в частности, X. Пиллоффа, чья мудрость и увлеченность проявились во многих успешных совместных проектах и конференциях, оказавших влияние на эту книгу. Благодарим за финансовую поддержку исследовательский центр Хьюстона (HARC)

и фонд Велша. Спасибо Д. Вильямс за набор в редакторе "ЩХ, а также Джиму и Андре Байлей за гостеприимство на их ранчо, где была завершена рукопись.

Наконец, выражаем благодарность членам наших семей, за их поддержку и понимание, особенно в периоды длительного отсутствия в последнее время, когда эта книга обдумывалась, планировалась и писалась.

Марл ан О. Скалли М. Сушейл Зубайри

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Мы рады были узнать, что наша книга переводится в России. Всегда приятно, когда чья-то работа выносится на широкое обсуждение. Надеемся, что наша книга оправдает надежды российских студентов и исследователей. С ее помощью мы с удовольствием разделим с читателями наш интерес к предмету квантовой оптики.

Квантовая оптика является быстро развивающейся областью науки. С момента первого издания книги в 1997 году произошло много интересных и волнующих событий. К ним относятся экспериментальная демонстрация новых эффектов атомной когерентности, таких как сверхмедленный свет, имеющий групповые скорости порядка 10 м/с, бозе-эйнштейновская конденсация в разбавленных лазерно охлажденных атомных системах и различные аспекты квантовой информатики, включающие квантовую когерентность и перепутанность. В данной книге изложены основы, позволяющие изучить эти и другие недавно полученные результаты.

Мы выражаем благодарность профессору В.В. Самарцеву за его инициативу и усилия, направленные на перевод «Квантовой оптики» на русский язык.

Марл ан О. Скалли

М. Сушейл Зубайри

4 августа 2002 года

Глава 1

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ

ИЗЛУЧЕНИЯ

Свет занимает особое место как в классическом, так и в квантово-механическом описании явлений природы. Вспомним, что Ньютон, который внес фундаментальный вклад в оптику, был сторонником корпускулярной и противником волновой теории света. Тем не менее, блестящее объединение электричества и магнетизма, осуществленное Максвеллом, ясно показало, что свет следует понимать как волновой процесс распространения в пространстве электрического и магнитного полей.

Ведущая роль света в определении границ познания в физике сохранилась и в двадцатом веке с его ультрафиолетовой катастрофой, связанной с излучением черного тела, с одной стороны и фотоэлектрическим эффектом с другой. Именно тогда, с введением Планком кванта действия, необходимого для объяснения спектра излучения черного тела, и началась эра квантовой механики. Дальнейшее развитие этих идей привело Эйнштейна к объяснению фотоэлектрического эффекта и введению понятия фотона.

Объединение волновых и корпускулярных свойств света удалось Дираку х) ), который в своей теории поля излучения, объяснил эффекты интерференции, а также возбуждение отдельного атома в результате поглощения фотона. В этой главе, следуя Дираку, каждой моде поля излучения мы ставим в соответствие квантованный гармонический осциллятор, что составляет суть квантовой теории излучения. Интересным следствием квантования излучения являются колебания, соответствующие нулевой энергии, или так называемые вакуумные флуктуации. Эти флуктуации не имеют классического аналога и лежат в основе многих интересных явлений квантовой оптики. В гл. 5 и 7 обсуждается полуклассическая теория взаимодействия поля с атомом, в которой квантуется только атом, а поле рассматривается классически. Такая теория может объяснить многие явления, наблюдаемые в современной оптике. Тем не менее, квантование поля излучения необходимо для объяснения таких эффектов, как спонтанное излучение, лэмбовский сдвиг, ширина линии излучения лазера, эффект Казимира и полная статистика фотонов лазера. В действительности, каждый из этих физических эффектов можно объяснить с точки зрения вакуумных флуктуаций, возмущающих атомы. Например, часто говорят, что спонтанное излучение возникает в результате «стимуляции» атома вакуумными флуктуациями. Однако, имеются и другие, более существенные причины и логические аргументы в пользу квантования поля излучения.

В частности, задача о квантовых биениях дает нам простой пример того, что результаты самосогласованных полностью квантовых вычислений качественно отличаются от результатов, полученных с помощью полуклассической теории с учетом или без учета вакуумных флуктуаций. Другим экспериментом, для правильной интерпретации результатов которого необходима квантовая теория излучения, является двух» фотонная интерферометрия и создание перепутанных состояний, соответствующих такой конфигурации. Подробно это явление обсуждается в гл. 21. Дополнительными аргументами в пользу квантования электромагнитного поля являются экспериментальные наблюдения неклассических состояний поля излучения, таких как сжатые состояния, субпуассоновская статистика фотонов и антигруппировка фотонов.

Представив это краткое обоснование квантовой теории излучения, приступим к квантованию свободного электромагнитного поля.

Квантование свободного электромагнитного поля

Рассмотрение квантования электромагнитного поля в свободном пространстве удобно начать с классического описания поля, основанного на уравнениях Максвелла. В единицах МКС эти уравнения выглядят следующим образом:

▽ хЕ =—力(LL16)

V-B = 0,(1Л.1в)

▽ "D = 0;(LLlr)

материальные уравнения имеют вид

В = д0Н,(1.1.2)

D = 6ОЕ.(LL3)

Здесь Ео и //о ——соответственно электрическая и магнитная постоянные, Цо^о = с™2, где с — скорость света в вакууме.

Применяя оператор ▽ к обеим частям уравнения (1.1.16) и пользуясь уравнениями (1.1.1а), (1.1.1г), (1.1.2) и (1.1.3), получаем, что E(r, t) удовлетворяет волновому уравнению

▼е—(1-1-4)

При выводе уравнения (1.1.4) использовалось тождество V х (V х Е) = V(V • Е)— -V2E.

Разложение по модам. Для начала рассмотрим электрическое поле в объемном резонаторе длиной £ (рис. 1.1). Предположим, что поле поляризовано линейно в направлении ж и осуществим разложение по нормальным модам резонатора:

Ex(z,t) = £4勿⑴ sin(k*),Ex(z,t) = £4勿⑴ sin(k*),(LL5)(LL5)где qj — амплитуда нормальной моды, имеющая размерность длины, kj = jn/L 0 = 1,2,3 …一)игде qj — амплитуда нормальной моды, имеющая размерность длины, kj = jn/L 0 = 1,2,3 …一)и& =& =…、1/2…、1/21生。1生。(LL6)(LL6)

Ex(z,t) = £4勿⑴ sin(k*),

Ex(z,t) = £4勿⑴ sin(k*),

(LL5)

(LL5)

где qj — амплитуда нормальной моды, имеющая размерность длины, kj = jn/L 0 = 1,2,3 …一)и

где qj — амплитуда нормальной моды, имеющая размерность длины, kj = jn/L 0 = 1,2,3 …一)и

& =

& =

…、1/2

…、1/2

1生。

1生。

(LL6)

(LL6)

Рис. 1.1. Электромагнитное поле частотой 〃 внутри резонатора. В поперечном электромагнитном поле электрическое поле поляризовано в направлении ж

где % = /7гс/£ ——собственная частота резонатора, V = LA (Л ——площадь поперечного сечения оптического резонатора)——объем резонатора и mj ——константа, имеющая размерность массы. Константа т^ введена исключительно для того, чтобы провести аналогию между единичной модой электромагнитного поля и гармоническим осциллятором. Эквивалентный механический осциллятор будет иметь массу ш《и декартову координату q§. Из (1.1.5) находим выражение для ненулевой составляющей магнитного поля Ну в резонаторе 】):

Hy = fAj)(LL7)

Классический гамильтониан поля имеет вид

/=! ]"T(00石^ + 仰"；)，(1-1.8)

V

где интегрирование проводится по объему резонатора. Подставляя в (1.1.8) выражения (1.1.5) и (1.1.7) для Ех и Ну)соответственно, получаем

"=£О产淹+叫刃=I £О产河+办九L)，(LL9)

где pj = mjdj — канонический импульс J-й моды. Выражение (1.1.9) представляет гамильтониан поля излучения в виде суммы энергий независимых осцилляторов. Следовательно каждая мода поля динамически эквивалентна механическому гармоническому осциллятору.

Квантование. Квантование в данной динамической задаче можно осуществить, полагая, что qj и pj представляют собой операторы, удовлетворяющие коммутационным соотношениям

[qj, Ру] = iMjj/,(1.1.10а)

k^q少]=[PnPjd = °-(i-i-Юб)

В настоящем рассмотрении квантования поля в вакууме мы оперируем векторами напряженности электрического и магнитного полей Е(г,力)и H(r, t). В материальной среде предпочтительнее работать с векторами D(r, t) и В(г/) (см. Bialynicki^Birula and Bialynicki^ Birula, 1976).

Удобно осуществить каноническое преобразование и перейти к операторам aj и 若:

_.1

出 =——(加产加 + ipj\(LLlla)

a； ^匕 =/5——皿勺力—iPjY(11116)

Тогда гамильтониан (1.1.9) приобретает вид

"=方工/(心出 +j м(Ы-12)

Коммутационные соотношения между операторами aj и а^ вытекают из соответствующих соотношений для qj и pj：

=(1.1.13)

[ttj,= [a：, a*〕= °"(1.1.14)

По причинам, которые станут очевидными из последующего раздела, операторы aj и a,t получили названия операторов уничтожения и рождения соответственно. Электрическое и магнитное поля, (1.1.5) и (1.1.7), выражаются через эти операторы следующим образом:

Ex(z,t) = £乡(勾^а^ e^^sin kjZ,(L1.15)

Hy(z,力)=一£eoc ^2 多(“力 一 a+ 6目小)cos kjZ^(1.1.16)

где величина

匀=(

имеет размерность напряженности электрического поля.

До сих пор мы рассматривали квантование поля излучения в конечном одномерном резонаторе. Теперь можно осуществить квантование поля в неограниченном свободном пространстве.

Рассмотрим поле, заключенное в достаточно большой, но ограниченной кубической полости со стороной L. Здесь под полостью подразумевается просто область пространства, свойства границ которой не уточняются. Вместо решения в виде стоячей волны, рассмотренного выше, рассмотрим решение в виде бегущей волны и наложим периодические граничные условия.

Классические электрическое и магнитное поля могут быть разложены по плоским волнам следующим образом:

Е(г,力)=£ ek<ak 6貝"点+也丁 +(LL18)

k

До 厶и Ук'

к

где суммирование проводится по бесконечному дискретному множеству значений волнового вектора к = (kx, kyi kz\ 或 ——единичный вектор поляризации, a^ ——

безразмерная амплитуда ибезразмерная амплитуда и窗e =窗e =(%以y/2(%以y/2(1.1.20)(1.1.20)

безразмерная амплитуда и

безразмерная амплитуда и

窗e =

窗e =

(%以y/2

(%以y/2

(1.1.20)

(1.1.20)

В выражениях (1.1.18) и (1.1.19) «к.с.» означает комплексное сопряжение предыдущего члена. Периодические граничные условия имеют вид

_ 2тгпж & = —_ 2тгпж & = —儿g 一 L 5儿g 一 L 527mz27mz(1.1.21)(1.1.21)

_ 2тгпж & = —

_ 2тгпж & = —

儿g 一 L 5

儿g 一 L 5

27mz

27mz

(1.1.21)

(1.1.21)

где 几富,ny, nz — целые числа (0, ±1, ±2, . . .). Совокупность чисел (пж, пу^ nz) опрв・ деляет моду электромагнитного поля. Из уравнения (1.1.1г) следует, что должно выполняться равенство

(1.1.22)(1.1.22)k-6k = 0,

(1.1.22)

(1.1.22)

е. поля являются чисто поперечными. Таким образом, существуют два независимых направления поляризации 或 для каждого к.

Переход от дискретного распределения по модам к непрерывному осуществляется путем замены суммирования интегрированием в выражениях (1.1.18) и (1.1.19) согласно правилу

(LL23)

где множитель 2 возникает вследствие учета двух возможных состояний поляризации.

Во многих задачах нас будет интересовать плотность мод в интервале частот 〃, у + du. Эту величину можно найти, осуществив переход от прямоугольных координат (к赏,ку, к?) к полярным координатам (к sin 少 cos 0, k sin 少 sin 0, k cos 少).Тогда элемент объема в к-пространстве имеет вид

2

d% = k2 dk sin d^ d(f> =冬 d〃 sin 少 d少 d0.(1.1.24)

c

Полное число мод в объеме L3 с частотами, лежащими в интервале 〃,勿 + d〃, определяется выражением

= 2 (占［ d^ sin 少 I(1.1.25)

c JJ7Г c'

о0

Таким образом, число мод с частотами, лежащими в интервале 〃，勿 + d叭 равно

г 3 2

О (勿)d勿=—工d，(1.1.26)

7Г С

где величина 0(勿)называется плотностью мод.

Как и ранее, квантование поля излучения осуществляем путем замены величин а^ и а* операторами гармонического осциллятора а^ и а：, соответственно, удовлетворяющими коммутационному соотношению ［〃匕心］=1. Квантованные и магнитное поля имеют вид

Е(г,力)=£ ek<ak 沐‘г + э.с.,(1.1.27)

k

H(r, У 上占线Ok(1.1.28)

Д041 以'

где «э.с.» означает эрмитово сопряжение предыдущего члена. Как правило, разделяют положительно- и отрицательно-частотные части этих полевых операторов. Например, оператор электрического поля Е(г,力)записывается в виде

Е（г,力）=Е（+）（口 力）+ Е（—）（- t）,（1.1.29）

где

e（+）（-方）=e或统例（1工30） k

E（一）d方）=e 或纵或…一卄（LL31）

Здесь оператор Е(+)(г,力)содержит только операторы уничтожения, а сопряженный ему оператор Е(-)(г,力)——только операторы рождения.

Коммутационные соотношения между электрическими и магнитными составляющими поля. Важным следствием применения квантовых условий (1.1.13) и (1.1.14) является то, что напряженности электрического и магнитного полей не могут быть измерены одновременно, поскольку соответствующие операторы не коммутируют друг с другом. Для того, чтобы это показать, перепишем разложения по модам (1.1.27) и (1.1.28) для E(r, t) и Н(г,力),соответственно, выразив в явном виде наличие двух состояний поляризации, обозначаемых символом А,

E(r, t) = ^ 讃)段例6 L^+*r +(1工32)

к,Л

H(r,У к x 讃)线Ok л+ 3c(LL33)

'До 厶1Ук，

к,Л

Соответствующие коммутационные соотношения между операторами «к, л и о[入 имеют вид

[ак,Л ? Ок、*] = [а]* &亡「*] =。， [а,к,Л ? &亡「*] = ^kkz ^AAZ •(1.1.34)

Отсюда следует, что равновременнбй коммутатор между составляющими поля определяется выражением

匹(一方),/(口)]=re*以次 产(1工35) к,Л

где eg) (i = x^y^z) является г-й составляющей £^\ Далее, с помощью операторного тождества из задачи 1.9, запишем

+ ^ =(LL36)

где 謂)謂), 讃)讃)и кк —— диадные произведения. Скалярно умножив выражение (1.1.36) на декартов единичный вектор 名 слева и на ej справа, можно показать, что

41M¥+差唱第.(1.1.37)

Теперь с помощью (1.1.37) можно осуществить суммирование по состояниям поляризации в выражении (1.1.35). Результирующее выражение для коммутатора имеет

вид

旧m一方)，4(m 力=^e包[产-「Mr，)],(1工38)

к

Перейдем от суммирования к интегрированию согласно правилу

У -(LL39)

Множитель 2, в отличие от (1.1.23), здесь отсутствует, так как в данном случае суммирование по двум состояниям поляризации проведено в явном виде. Получаем 旧式一方)，Я^(r\ 方)]=一访廿^ 8⑶(r 一 r9.(1.1.40)

В общем случае

咼(-力))％(“ t)] = 0 (j = ж, у,力(1.1.41)

旧jd 力)，"MM 力)]=—访廿^ b(3)a _ *),(LL42)

где j, k и I соответствуют циклической перестановке ж, у и z. Следовательно можно заключить, что параллельные составляющие Е и Н могут быть измерены одновременно, тогда как перпендикулярные друг другу составляющие ——нет.

1.2. Фоковские состояния или представление чисел заполнения

В этом разделе мы для начала ограничимся рассмотрением единичной моды поля с частотой 勿 и операторами рождения и уничтожения а+ и а, соответственно. Пусть \п)——собственное энергетическое состояние, относящееся к собственному значению энергии Еп, т.е.

=方勿(g+g 十 ^) \n) = En\n).(1.2.1)

Если подействовать оператором а слева, то с помощью коммутационного соотношения [а, а+] = 1 и после некоторой перестановки получаем

J^a\n) = (Еп — hi/)a\n).(1.2.2)

Это означает, что состояние

|"1〉=之⑺(123)

также является собственным энергетическим состоянием, но относящимся к меньшему собственному значению:

= Еп —加л(124)

В выражении (1.2.3) а几 ——константа, которая определяется из условия нормировки

(п — l|n _ 1〉= L(1.2.5)

Повторяя эту процедуру п раз, мы движемся в сторону уменьшения энергии каждый раз на величину 方勿,пока не придем к выражению

匿 а|0〉= (Eq —方勿)a|h(126)

Здесь 石о ——энергия основного состояния, так что величина (石о —方勿)должна соответствовать собственному значению энергии, меньшему, чем %. Поскольку значения

энергии меньшие, чем 石“ для осциллятора не допустимы, следует сделать вывод, что а|0) = 0.(127)

Состояние |0) известно как вакуумное состояние. Используя это соотношение, можно найти значение 咼 из уравнения для собственных значений:

/10)= ^方沙10)=石 o10)工(1.2.8)

Получаем

石 0 = ^方儿(L29)

Тогда из выражения (1.2.4) следует, что

Еп =(几 + g)力％(1.2.10)

Из выражения (1.2.1) получаем

а+а\п) = п|п),(1.2.11)

т. е. собственное состояние оператора энергии является также собственным состоянием оператора «числа частиц»:

п = а+а.(1.1.12)

Теперь можно вычислить нормировочную константу а几 в выражении (1.2.3):

仇一l|n _ 1〉= p^Oila+al# = 小== L(1213)

Если приравнять нулю фазу нормировочной константы а几，то ап = д/n. Уравнение (1.2.3) в этом случае принимает вид

а\п) = -убТ |n 1).(1.2.14)

Аналогичные рассуждения можно повторить для оператора а+. В результате получаем

а+\п) = Vn + 1 |n + 1).(1.2.15)

Многократное применение этого уравнения дает

|п) = Ф^|0).(1216)

V п!

Полезно интерпретировать собственные значения оператора энергии (1.2.10) как наличие п квантов или фотонов с энергией 方〃.Собственные состояния \п) называются состояниями Фока или состояниями с определенным числом частиц. Они образуют полную систему, т. е.

f＞〉5| = L(1217)

п=0

Собственные значения оператора энергии являются дискретными в отличие от классической электромагнитной теории, согласно которой энергия может иметь любое значение. Тем не менее, среднее значение энергии может принимать различные значения, поскольку вектор состояния, в общем случае, представляет собой произвольную суперпозицию энергетических собственных состояний, т. е.

叫=£с"办(1218)

En+i =(几 + 3/2)%"

En = (rz + 1/2)%〃

En-i =—

石2 = 5 / 2 %〃

石 1 = 3/2

Eq = I / 2 %〃

Рис. 1.2. Схема энергетических уровней системы квантовомеханических гармонических осцилляторов, соответствующей электромагнитному полю. Оператор рождения а+ добавляет квант энергии 方沙,а оператор уничтожения а отнимает аналогичное количество энергии

где сп ——комплексные коэффициенты. Остаточная энергия 方沙/2)соответствующая 石о, называется энергией нулевых колебаний. На рис. 1.2 показана схема энергетических уровней системы квантово-механических осцилляторов, соответствующей электромагнитному полю.

Важным свойством состояния с определенным числом частиц \п) является то, что соответствующее среднее значение оператора одномодового линейно поляризованного поля

石(-方)=£a 6一^+孤f + 3c(1219)

обращается в нуль, т. е.

(п\Е\п) = О*(1220)

Однако среднее значение оператора интенсивности Е2 определяется выражением

(п|^2|п) = 2К|2(п+|),(1221)

т. е. существуют флуктуации поля относительно его нулевого среднего по ансамблю. Интересно отметить, что ненулевые флуктуации существуют также и для вакуумного состояния |0). Как уже упоминалось ранее, эти вакуумные флуктуации лежат в основе многих интересных явлений в квантовой оптике. Например, можно считать, что они стимулируют спонтанное излучение возбужденного атома. Они же отвечают за лэмбовский сдвиг 2Р1^2 —> 2S]/2 уровней энергии атома водорода. В частности, в разд. 1.3 мы рассмотрим, каким образом вакуумные флуктуации электромагнитного поля приводят к лэмбовскому сдвигу.

Операторы а и а+ называют операторами уничтожения и рождения фотонов, поскольку, как видно из выражений (1.2.14) и (1.2.15), они переводят состояние с п фотонами в состояние с п — 1 или n + 1 фотонами, соответственно. Эти операторы сами по себе не являются эрмитовыми а * а+ и не соответствуют наблюдаемым физическим величинам таким, как амплитуды электрического и магнитного полей.

Однако, некоторые их комбинации, например, а】=(а, + а+)/2 и а,2 = (а — а,+ )/2г, являются эрмитовыми.

До сих пор мы рассматривали одномодовое поле и нашли, что в общем случае, волновая функция может быть представлена в виде линейной суперпозиции состояний числа фотонов \п). Теперь применим этот формализм к случаю многомодовых полей.

Гамильтониан J^ в выражении (1.1.12) можно переписать в виде

/ = £九(1.2.22)

к

где

督=方以(of Ok + ^) “(1.2.23)

Энергетическое собственное состояние \п^) оператора ^^ определяется по аналогии с одномодовым полем через уравнение для собственных значений энергии:

Ж|пк)=方以(就 + I) |пк).(1.2.24)

Общее собственное состояние оператора J^ может, следовательно, иметь nt1 фотонов в первой моде, Пк2 — во второй, п^ — в /-й и так далее, и может быть записано как |nki〉|几к?〉…"|几к) • - ■ или более компактно:

|^ki ?几 1c2几 к?I {几k}〉•(1225)

Операторы уничтожения и рождения а^1 и а； понижают или повышают значение только /-го элемента, т. е.

Ojk? I几 1c1 , ^k2几k? ? • • •)д/^к/ I几к],几к? ? • ■ • ?几к? ~' 1, ”,(1*2*26)

"к J 几& ,几 1c 2 , * * ",几 kg,"…〉―\J П*、+ 1 I ^ki ?几 1c2，几 1c匕+1)**"〉*(1.2.27)

Общий вектор состояния поля представляет собой линейную суперпозицию этих собственных состояний:

«■kx 几女2 n’k?

X I^ki 5 ^k*2，工• * ,几k?,-…〉=〉：C{n‘k}l{^k}〉"(1*2.28)

5k}

(1229)(1229)Это суперпозиция более общего вида, чем

(1229)

(1229)

I次=l^kjl^kj - • • |^kj

где I吵к) — векторы состояния отдельных мод. Выражение (1.2.28) содержит как векторы состояния типа (1.2.29), так и более общие состояния, имеющие корреляции между модами поля, которые могут возникать в результате взаимодействия различных мод поля с системой в целом.

Лэмбовский сдвиг

Точное определение лэмбовского сдвига между 2s1/2 и 2pl/2 уровнями атома водорода фактически дало толчок к развитию современной квантовой электродинамики (КЭД). Согласно теории Дирака уровни 2s1/2 и 2Pliz должны были бы

иметь одинаковые энергии. Однако излучательные поправки, возникающие благодаря взаимодействию между атомным электроном и вакуумом, приводят к увеличению энергии уровня 2s1/2 относительно уровня 2Рх/2 приблизительно на 1057 МГц.

Первоначальные попытки рассчитать эти излучательные поправки, вызванные вакуумом, не имели успеха, поскольку они приводили к бесконечным сдвигам уровней. Однако замечательные измерения Лэмба и Резерфорда послужили стимулом к созданию теории перенормировки, оказавшейся весьма успешной в устранении этих расходимостей.

По случаю шестидесятипятилетия Лэмба, Фриман Дайсон писал (Dyson, 1978):

«Ваша работа, посвященная тонкой структуре атома водорода, немедленно вызвала волну прогресса в квантовой электродинамике, которая и меня привела к славе и успеху. Вы проделали тяжелую, скучную, поисковую работу. Как только Вы положили начало этой волне, дорога для нас, теоретиков, стала легкой. И после того, как мы стремительно достигли берега с нашими изящными, прихотливыми теориями, Вы упорно продолжали заниматься своей экспериментальной работой. В течение многих последующих лет Вы напряженно трудились, добывая из атома водорода точные данные, чтобы дать прочную основу всем нашим гипотезам...

Годы, когда лэмбовский сдвиг являлся центральной темой в физике, стали золотым временем для всех физиков моего поколения. Вы первым увидели, что этот незначительный сдвиг, неуловимый и трудно измеримый, принципиальным образом прояснит наши представления о частицах и полях.»

Вскоре после того, как были доложены экспериментальные результаты, Бете, воспользовавшись идеей Крамерса, Швингера и Вайскопфа о «вычитании» бесконечностей, осуществил несложный нерелятивисткий расчет, который качественно согласовался с теорией. В дальнейшем на основе этого расчета возникла полностью реля- тивстская теория, количественно согласующаяся с экспериментами Кроля и Лэмба, Френча и Вайскопфа. Этот расчет также явился предшественником современной квантовой электродинамики КЭД в том виде, как она была развита Швингером, Фейнманом и Дайсоном.

Блестящее согласие между полностью квантовой теорией излучения и вещества и экспериментом, достигнутое на примере лэмбовского сдвига, обеспечило сильный довод в пользу квантования поля излучения. Однако подробный расчет лэмбовского сдвига увел бы нас далеко от главного направления квантовой оптики. Поэтому мы ограничимся тем, что приведем эвристический вывод сдвига электромагнитного уровня, следуя Велтону.

Влияние вакуумных флуктуаций электрического и магнитного полей приводит к отклонению электрона в атоме водорода от стандартных орбит, определяемых кулоновским потенциалом взаимодействия с протоном —е2/47ГЕ()г, т. е.厂一> 厂 + b『, где Jr — смещение положения электрона, вызванное флуктуирующими полями. Изменение потенциальной энергии, а, следовательно, и соответствующий сдвиг уровня, определяется выражением

AV = V(r + S)—卜⑴)=<5r • VV + |(br * V)2V(r) + (1.3.1)

Поскольку флуктуации изотропны, то (Jr)BaK = 0, и первым членом можно пренебречь. Кроме того,

((<5r-V)2)BaK= ^((<5r)2)BaKV2, (132)

опять же в силу изотропности флуктуаций. Таким образом, получаем

〈△卜〉=；〈（厶）2農К〈△卜〉=；〈（厶）2農К(1.3.3)(1.3.3)

〈△卜〉=；〈（厶）2農К

〈△卜〉=；〈（厶）2農К

(1.3.3)

(1.3.3)

где (. . .)ат ——квантовое среднее по атомным состояниям. Для 25-состояния атома водорода

(1.3.4)

где «о = 4тг€0%2/7n产(加—масса электрона) представляет собой радиус Бора. При

выводе предыдущего соотношения мы воспользовались выражениями

(1.3.5)(136)(1.3.5)(136)(7)= -4滴a),

(1.3.5)

(136)

(1.3.5)

(136)

Для F-состояний нерелятивистская волновая функция в начале координат обращается в нуль. Следовательно, и энергетический сдвиг в этом случае также равен нулю.

Теперь рассмотрим множитель ((Jr)2)BaK в выражении (1.3.3), обусловленный вакуумными флуктуациями. Классическое уравнение движения для смещения электрона (Jr)k, вызванного единичной модой поля с волновым вектором к и частотой 勿,имеет вид

к = —6 石к •к = —6 石к •(1.3.7)(1.3.7)

к = —6 石к •

к = —6 石к •

(1.3.7)

(1.3.7)

Это уравнение справедливо в том случае, если частота поля и больше, чем частота орбиты Бора z/q, т. е. если и > тгс/ао- Для поля, осциллирующего на частоте

“⑴仝 “(0)亡必 + к.с.(1.3.8)

Тогда

(")k仝馬启石匕(1-3.9)

где согласно выражению (1.1.27)

石к = <(ак 6一〃"付汉г + 3cx(1.3.10)

Суммируя по всем модам, получаем

= £ (^У ⑼(EJIS = £ (^『(礬)’

где была осуществлена подстановка 胤=(hck/2eqV)1^2. В случае непрерывного распределения по модам суммирование в (1.3.11) заменяется интегрированием (см. (1.1.23)). Тогда, интегрируя по углам, получаем

12ЕО7Г12ЕО7Г(1J42)(1J42)

1

2ЕО7Г

1

2ЕО7Г

(1J42)

(1J42)

Полученный результат расходится. Однако, как было отмечено ранее, данный метод справедлив только для 〃 > тгс/а。, т. е. для к > тг/。。. Он также справедлив только для длин волн, превышающих комптоновскую длину волны, т. е. для к < тс/瓦 поскольку при и/с = р/тс = hk/mc < 1 начинают сказываться магнитные эффекты. Этот метод не применим, если рассматривать электрон как релятивистскую частицу. Таким образом, мы можем выбрать нижний и верхний пределы интегрирования в выражении (1.3.12) равными тг/。。и тс/Л, соответственно. Тогда

〈(6г)2〉вак =〈(6г)2〉вак =(1.3.13)(1.3.13)4ео 方 с

〈(6г)2〉вак =

〈(6г)2〉вак =

(1.3.13)

(1.3.13)

2

е

Подставляя (1.3.4) и (1.3.13) в (1.3.3), получаем следующее выражение для величины лэмбовского сдвига

〈△丿〉=〈△丿〉=(1314)(1314)4 е2 е2 (方)2 1 ]п (4ео方с

〈△丿〉=

〈△丿〉=

(1314)

(1314)

3 4тг£о 47Г£0^с \тс) 8тгоо 卜 е2

который соответствует частотному сдвигу, равному приблизительно 1 ГГц. Учитывая, что в расчете нами были сделаны достаточно грубые приближения, можно считать, что этот результат хорошо согласуется с экспериментальным значением.

В заключение отметим замечательные достижения в физике лэмбовского сдвига, которые стали возможными благодаря методам современной квантовой оптики, а именно, определение радиационного сдвига 15-состояния с помощью точных измерений частоты двухфотонного перехода 1S — 25, впервые осуществленных Ханшем с сотрудниками.

Квантовые биения

За прошедшие десятилетия был предложен ряд теорий, альтернативных КЭД. Одна из таких теорий основана на стохастической электродинамике. В этом случае вещество рассматривается квантово-механически, тогда как излучение описывается уравнениями Максвелла, к которым добавлены вакуумные флуктуации. Казалось, что в этом представлении, почти все квантовые явления, такие как спонтанное излучение, лэмбовский сдвиг и ширина линии излучения лазера, можно описать с помощью полуклассической теории.

Однако, явление квантовых биений (Svanberg, 1991) представляет собой простой пример того, что результаты полностью самосогласованного квантового вычисления существенно отличаются от результатов, полученных с помощью полуклассической теории (ПКТ), даже дополненной понятием вакуумных флуктуаций. Это хороший пример задачи, которая в рамках полуклассической теории не может быть объяснена даже качественно, не говоря уже о проведении вычислений.

В последующих главах мы представим усовершенствованные теории взаимодействия атома с полем, основанные на полуклассическом и полностью квантовомеханическом подходах. Однако, в этом разделе с помощью квантовой электродинамики и полуклассической теории мы обсудим квантовые биения в трехуровневых атомных системах, исходя из простейших соображений. Рассмотрим два различных типа трехуровневых атомов с так называемыми V- и А-конфигурациями, являющимися когерентной суперпозицией всех трех состояний. Обе системы будут сначала рассмотрены полуклассически, а затем с помощью методов КЭД с целью сравнения результатов этих двух подходов.

lVv(±)〉= £ Q&0〉+ С1|с, 1^) + С2〔С, 1〃2〉lVv(±)〉= £ Q&0〉+ С1|с, 1^) + С2〔С, 1〃2〉I 吵А("〉= e e 事,0〉+ d匕1"1〉+ 必匕1〃2〉 г=а,Ь,сI 吵А("〉= e e 事,0〉+ d匕1"1〉+ 必匕1〃2〉 г=а,Ь,с

lVv(±)〉= £ Q&0〉+ С1|с, 1^) + С2〔С, 1〃2〉

lVv(±)〉= £ Q&0〉+ С1|с, 1^) + С2〔С, 1〃2〉

I 吵А("〉= e e 事,0〉+ d匕1"1〉+ 必匕1〃2〉 г=а,Ь,с

I 吵А("〉= e e 事,0〉+ d匕1"1〉+ 必匕1〃2〉 г=а,Ь,с

(。)(6)

Рис. 1.3. Трехуровневые атомные структуры для квантовых биений: (а)——V-типа; (б)——Л-типа

Как показано на рис. 1.3, ансамбль атомов, приготовленных в когерентной суперпозиции состояний, описывается вектором состояния

I中⑴)=са「必叫G +以「必円少+ Cc e-^1c),(141)

где co, сь и cc ——амплитуды вероятности того, что атом находится в состоянии |а), \Ь) и |с), соответственно. Кроме того, если не обращающиеся в нуль дипольные матричные элементы обозначить следующим образом:

夕ас = е(а\г\с},^bc = е{Ь\г\с} (атомы У^типа),)

^ас = е{а\г\с),夕 аб = е(а\г\Ь) (атомы Л-типа),

где обозначения V и Л пояснены на рис. 1.3, то состояние (1.4.1) подразумевает, что каждый атом содержит два микроскопических осциллирующих диполя, а именно,

Р(力)=^ас(с*сс) eWlt + 夕Ьс(е^Сс) 6‘"2“ + КС (атомы У-типа),《

Р⑴=^ас(с*сс) &2"1* + 夕&б(戏％)产2t + к.с. (атомы Л-типа),

где 〃1 =— ®с, 〃2 =— ®с ДЛЯ атомов 丿-ТИПа, И 〃1 = Cda —— ®с

для атомов Л-типа. В этом случае, с полуклассической точки зрения излучаемое поле представляет собой сумму двух членов:

Е(+)= Д亡 + ^ 厂力2匚(144)

Тогда очевидно, что функция отклика квадратичного детектора содержит интерференционный член или так называемый тон биений:

£ +)|2 =圖2 + 阎Е + {维况 /("1—"2)6 + к.с.}.(1.4.5)

Такой тон биений часто наблюдается в экспериментах по электронно-пучковой (beamfoil) спектроскопии.

В заключение в качестве основного вывода отметим, что согласно ПКТ такой интерференционный член имеет место для атомов как V-, так и Л-типа.

Рассмотрим теперь эту же задачу с точки зрения КЭД. Для атома V-типа вычислим тон биений:

⑴旧「⑴局+)⑴回⑴)，(146)

где Е^ и Е^ пропорциональны операторным выражениям a j exp (5%力) и。2 exp (―5〃2力))соответственно. С учетом выражения для |中卜⑴〉(см. рис. 1.3а)〉 выражение (1.4.6) приводится к виду

以 1"10"21a”a2|0"/"2〉/5-"2"(d0，(147)

(148)(148)где х ——константа. Следовательно, тон биений, вычисленный с помощью квантовой электродинамики, определяется выражением

(148)

(148)

=1

(149)(1410)(149)(1410)С другой стороны, для атомов Л-типа имеем ой⑴旧「⑴民+)⑴I個(方》

(149)

(1410)

(149)

(1410)

С учетом выражения для |以⑴〉(см. рис. 1.36) получаем

=о

Суммируя КЭД рассуждения, получаем, что

(1Л.11)(1Л.11)атомы у-типа:(⑦V⑴旧「⑴良+)⑴|中^⑴)二笈6"以一"2匕 атомы Л-типа:(⑦а⑴旧「)(力)后产)⑴|⑦A⑴)=0,

(1Л.11)

(1Л.11)

тогда как ПКТ вычисления дают ненулевое значение амплитуды тона биений для атомов как V-, так и Л-типа.

Следующие рассуждения, основанные на квантовой теории измерений^ дают нам некоторое понимание физики недостающих биений. Когерентно возбужденный атом V-типа релаксирует, испуская фотон частоты и^ или 〃2・ Поскольку оба перехода приводят к одному и тому же конечному атомному состоянию, нельзя определить, каким путем, 〃工 или 〃2, релаксировал атом. Аналогично задаче Юнга с двойной щелью, эта неопределенность в траектории атома приводит к интерференции между фотонами с частотами % и 〃2)вызывая квантовые биения. Дополняющий характер информации типа какой путь и возникновение квантовых биений будут подробно обсуждаться в гл. 19. Когерентно возбужденный атом Л-типа также релаксирует, испуская фотон частоты 〃工 или 〃2・ Однако теперь, спустя значительное время после испускания фотона, наблюдение за атомом могло бы дать нам информацию о том, какой путь релаксации (1 или 2) имел место (атом находится в состоянии |с) или |6)). Следовательно, в этом случае биений быть не должно.

Очевидным является вывод о том, что (в отличие от результатов ПКТ) результаты вычислений, полученные с помощью КЭД, согласуются с основными положениями квантовой теории.

Что есть свет? Понятие фотона

Квантовая теория излучения (с учетом определенных предположений о перенормировке) достаточно полно описывает взаимодействие излучения с веществом. Несмотря на это, заманчиво доказать, что концептуальные основы квантовой теории излучения и понятие фотона лучше всего рассматривать через классическое поле и флуктуации, связанные с вакуумом. Однако успехи квантовой оптики выдвинули новые аргументы в пользу квантования электромагнитного поля, и вместе с ними возникло более глубокое понимание сущности фотонов. При рассмотрении таких примеров, как квантовые биения, квантовое стирающее устройство, некоторые явления

двухфотонной интерференции, становится необходимым, как будет показано далее, рассматривать фотон как квантово-механический объект, физика которого гораздо глубже, чем та, что следует из полуклассической теории, дополненной логикой вакуумных флуктуаций. Заметим также, что существуют серьезные вопросы, касающиеся метрики в теории квантованного поля. В одной из своих последних статей Фейнман 】) делает интересные замечания о возможности более глубокого понимания теории перенормировки путем сочетания концепции отрицательной вероятности с физикой индефинитной метрики. Некоторые из этих идей и обобщений нашего понимания концепции фотона являются предметом обсуждения в заключительном разделе этой главы.

Вакуумные флуктуации и понятие фотона. Несмотря на то, что формальная квантовая теория излучения и квантовая электродинамика достигли поразительного успеха в объяснении взаимодействия электромагнитного излучения с веществом, существуют и определенные принципиальные проблемы. Например, различные расходимости, возникающие при вычислении таких величин, как лэмбовский сдвиг и аномальный магнитный момент. С другой стороны, как будет показано в последующих главах этой книги, существует много процессов, связанных с взаимодействием излучения и вещества, которые можно объяснить в рамках полуклассической теории, когда поле рассматривается классически, а вещество ——квантово-механически. К числу физических явлений, которые могут быть полностью или в значительной степени описаны полу классически, относится фотоэлектрический эффект, который впервые был объяснен подобным образом Вентцелем в 1927 году. Вынужденное излучение, резонансная флуоресценция и многие другие эффекты не требуют для своего объяснения полного аппарата квантовой теории излучения. В этих случаях предпочтительнее использовать полуклассический анализ.

Отметим далее, что два облачка, возникшие на горизонте физики в начале двадцатого столетия, были также связаны с электромагнитным излучением. Читатель, без сомнения, помнит, что единственными двумя вопросами, которые не были вполне поняты в физике в то время, являлись нулевой результат эксперимента Майкельсона- Морли и катастрофа Релея-Джинса (так называемая УФ-катастрофа), связанная с излучением черного тела. Эксперимент Майкельсона-Морли привел к возникновению специальной теории относительности, которая поставила неизбежный крест на классической механике и электродинамике, а разрешение Планком проблемы катастрофы Релея-Джинса положило начало квантовой механике.

Однако, интересно и важно то, что ни одно из этих явлений не повлекло за собой возникновения концепции фотона. В первом случае, Эйнштейн, в основном, размышлял о преобразованиях уравнений Максвелла. В свою очередь, Планк квантовал энергию осцилляторов в пределах полости, не прибегая к квантованию поля излучения. То есть в этот момент ни квантовая теория излучения, ни идеальная концепция фотона не были задуманы.

Впервые понятие фотона было введено Эйнштейном при объяснении фотоэлектрического эффекта. Отметим вновь, что это явление в значительной мере может быть описано полуклассически. Напомним читателю, что существуют три закономерности фотоэлектрического эффекта, которые должна объяснить любая теория. Во-первых, когда свет частоты у падает на фотоэмиссионную поверхность, энергия испускаемых электронов Те удовлетворяет уравнению

Пи = Ф + Те, (151)

В книге Negative Probabilities in Quantum Mechanics, ed. B. Hiley and F. Peat, Routledge, London (1978).

где Ф ——работа выхода, представляющая собой характеристику конкретного материала. Во-вторых, скорость эмиссии электронов пропорциональна интенсивности электрического поля падающего света. В третьих, отсутствует задержка во времени между моментом, когда свет достигает светочувствительной поверхности, и моментом фотоэлектронной эмиссии. Первые два свойства можно, в отличие от того, что написано в большинстве учебников, полностью объяснить с помощью простого квантования атомов фотодетектора. Однако, третий результат, а именно, полное отсутствие временной задержки, является более тонким. Можно резонно заметить, что квантовая механика учит нас, что скорость испускания конечна даже для малых времен, т. е. времен порядка нескольких оптических периодов поля излучения. Тем не менее, можно показать, что понятие фотона здесь действительно явно обозначено в том смысле, что под угрозой находится закон сохранения энергии. А именно, если бы только момент начала взаимодействия поля излучения с атомами и момент эмиссии фотоэлектрона разделял малый интервал времени т, то количество энергии, падающей на поверхность, определялось бы выражением е^Е2Ат^ где Д — сечение падающего пучка. Для достаточно коротких времен, энергия, падающая на фотодетектор, вероятно, не превышает Ф. Отсюда ясно видно, закон сохранения энергии не выполняется, если придерживаться полуклассической точки зрения. Однако, концепция фотона, согласно которой испускание фотоэлектрона предполагает уничтожение фотона, полностью устраняет эту проблему, что является одним из достижений квантовой теории поля.

В любом случае, надо отдать должное глубокому пониманию физики Эйнштейном, которое позволило ему ввести понятие фотона исходя из столь ограниченных и, в некоторых отношениях, противоречивых данных. Отметив ряд достоинств полуклассической теории, рассмотрим теперь, в каких случаях она несостоятельна.

Квантовая механика

Рис. 1.4. Уравнения самосогласованной полуклассической теории. Некоторое поле Е7(го, t) возмущает i-й атом согласно законам квантовой механики, индуцируя электрический дипольный момент. Значения дипольных моментов атомов, локализованных в точке го, складываются, образуя макроскопическую поляризацию Р(го,力).Эта поляризация действует как источник в уравнениях Максвелла для поля Е(го, t). В завершение цикла вычислений записывается условие самосогласованности, состоящее в том, что предполагаемое поле Е'(г(),力)приравнивается создаваемому полю Е(го, t)

В дискуссиях на эту тему часто слышится утверждение, что недостатком полу- классической теории является отсутствие обратного действия поля на атом. Это, разумеется, не так, поскольку обратное действие можно учесть, решая самосогласованную задачу (см. рис. 1.4). Мы видим, что поле входит в уравнение Шредингера, индуцируя дипольный момент у невозмущенного атома. Затем этот диполь излучает и является источником поглощения, вынужденного излучения, резонансной флуоресценции и т. д. Теперь учтем, что излучение, испускаемое диполем, само по себе является источником возмущения атомной волновой функции (т. е. обратного действия) в самосогласованной задаче, как показано на рис. 1.4. Однако успехи полуклассической теории на этом и заканчиваются. Обратимся теперь к задачам, которые ей не под силу. Покажем, как в этих случаях работает полуклассическая теория с учетом вакуумных флуктуаций.

Вакуумные флуктуации. Возможно наиболее важным примером ситуации, которую нельзя описать с помощью полуклассической теории (рис. 1.4), является спонтанное излучение света. Заметим, что атом, изначально находящийся в возбужденном состоянии, так и останется возбужденным, поскольку, находясь в чистом квантовом состоянии, он не имеет дипольного момента, и, следовательно, никогда не начнет излучать. Эта ситуация соответствует неустойчивому равновесию, и атом остается в возбужденном состоянии в течение долгого, потенциально бесконечного, времени, если не будет флуктуаций, запускающих процесс. Кроме того, хорошим примером физической задачи, объяснить которую возможно только учитывая влияние вакуума, является лэмбовский сдвиг. Как уже упоминалось, решение Дирака для атома водорода дает полное вырождение между 22sl/2 и 22 Pl父 уровнями атома водорода. Однако при учете вакуумных флуктуаций, как показано в разд. 1.3, лэмбовский сдвиг можно объяснить качественно. Другие явления, такие как распределение Планка для излучения черного тела и ширина линии излучения лазера, также можно описать в рамках такой полуклассической теории с учетом вакуумных флуктуаций. Таким образом в ранние 70-е годы сложилось общее мнение, что вакуумные флуктуации играют очень важную роль в нашем понимании концепции фотона и что, возможно, наилучшим подходом к решению такого рода задач является теория классического поля с учетом вакуумного шума или неопределенности. Рассмотрение сжатия как перераспределения этой неопределенности (см. гл. 2) и другие родственные физические темы подтверждают эту точку зрения. Однако мы вскоре поймем, что такая концепция фотона, будучи полезной, недостаточно полна. Далее мы обратимся к более глубокому и более значительному обоснованию квантования поля излучения.

Квантовые биения, квантовое стирающее устройство, теорема Белла и другие задачи. Как обсуждалось нами в разд. 1.4, существование квантовых биений в ансамбле атомов V-типа, в противоположность отсутствию таковых в ансамбле с атомной конфигурацией A-типа, создает основу для альтернативного довода в пользу квантования поля излучения, не связанного с обсуждавшимися ранее вакуумными флуктуациями. Квантовые биения являют собой пример несостоятельности полуклассической теории, дополненной учетом вакуумных флуктуаций, в объяснении физики этого явления. Отсюда позднее возникли понятия квантового стирающего устройства и явления двухфотонной корреляции при интерференции. В итоге было показано, что предыдущие доводы и утверждения о том, что «фотоны интерферируют только сами с собой» следует понимать только в рамках экспериментов типа экспериментов Юнга с двойной щелью и не следует распространять за эти пределы. Особую важность приобретают здесь перепутанные состояния фотонов. Подобные перепутанные состояния используются в оптических тестах неравенств

Белла, и можно было бы показать, что они дают более глубокое понимание концепции фотона и, фактически, всей квантовой механики. Как обсуждается в последней главе этой книги, результатом недавних исследований в области квантовой оптики явилось более глубокое понимание природы квантовой теории света.

«Волновая функция фотонов». Заголовок этого раздела помещен в кавычки по двум причинам. Во-первых, он совпадает с названием раздела в классической книге Пауэра (Power, 1964) по квантовой электродинамике. Во-вторых, кавычки служат читателю предупреждением о том, что, строго говоря, «волновой функции фотона» не существует. В частности, Пауэр, а также Крамере обращают особое внимание на то, что фотон не следует рассматривать 】)как нерелятивистскую частицу. С другой стороны, ряд физиков утверждают, что одиночный фотон в свободном пространстве аналогичен мезону, если предположить массу мезона стремящейся к нулю. Таким образом, интересно рассмотреть обоснованность аргументов в пользу и против понятия «волновой функции фотона».

Философский принцип корпускулярно-волнового дуализма света привел де Бройля к идее о том, что электроны ведут себя как волны. Однако, с точки зрения современной квантовой оптики, волновая механика Максвелла^Шредингера ясно различает световые волны и волны частиц вещества. Интерференция и дифракция волн материи составляют суть квантовой механики. В свою очередь, соответствующее поведение света описывается классическими уравнениями Максвелла.

Возникает естественный вопрос: можем ли мы рассматривать электрическое поле света как своего рода «волновую функцию фотона»? В своей книге по квантовой механике Крамере в разделе «Волновая функция фотона: обоснование и определение» спрашивает:

«В какой мере и с какой степенью точности можно уверенно говорить о соответствии между полем излучения и ансамблем независимых частиц?

Когда в 1924 году де Бройль предположил, что частицы вещества должны обладать волновыми свойствами . . ., тогда эта идея имела большое эвристическое значение. Теперь, когда волновая механика стала последовательной теорией, возникает вопрос, можно ли рассматривать уравнения Максвелла как вариант уравнения Шредингера для частиц света вместо того, чтобы рассматривать их, как мы это делали до сих пор, как классические уравнения движения, которые могут быть записаны в виде волнового уравнения и, в дальнейшем, квантованы. Или же оба подхода эквивалентны?»

В конце раздела Крамере отвечает на свой вопрос следующим образом:

«Ответ на вопрос заданный в начале этого раздела таков, что говоря о поле излучения, нельзя использовать понятие частиц в том же смысле, как это делается в (нерелятивистской) квантовой механике в отношении систем материальных точек.»

Доводы Крамерса в пользу этого заключения аналогичны доводам, ясно сформулированным Пауэром (в разд. 5.1 «Волновая функция фотонов»):

«Таким образом, естественно задаться вопросом, что представляют собой функции ф для фотонов? Строго говоря, таких волновых функций нет! Говоря о поле излучения, нельзя говорить о частицах в том же смысле, как о системах частиц в элементарной квантовой механике. Дело в том, что

В См. также работу (Bialynicki-Birula, 1994).

решения волнового уравнения в виде зависящей от времени волновой функции Шредингера, соответствующей энергии Е\)имеют круговую частоту шд 二 + 石入/瓦 тогда как монохроматические решения волнового уравнения содержат положительно- и отрицательно-частотные части ±5. Поля Е и В, удовлетворяющие уравнениям Максвелла в свободном пространстве, а, следовательно, удовлетворяющие и волновому уравнению, являются действительными и не являются собственными функциями оператора ihd/dt. Шредингеровская волна, соответствующая заданной энергии, должна быть комплексной.»

То есть, реальная электрическая волна (выражение (1.1.27)) содержит члены, пропорциональные как ехр (―勿以力),так и ехр (分以力),тогда как волна содержит только члены, пропорциональные ехр ^iupt). Мы вернемся к этому вопросу позднее, но сначала вспомним аргументы Бома, касающиеся данного вопроса, из его классической книги «Квантовая теория». Он пишет:

«Вероятность того, что электрон находится в пределах интервала от ж до ж + с/ж равна

Р(х) = ф*(х)ф(х) dx.^

Затем он проводит аналогию со светом и продолжает:

«Строго говоря, функция, отражающая вероятность найти световой квант в заданной точке, не существует. Если заданная область велика по сравнению с длиной волны, то приближенно получаем

< 丿 8тг/г〃(虞) '

Но в случае, когда область вполне определена, 〃(力)не имеет смысла».

Далее Бом утверждает, что для вещества

«имеет место ток вероятности

удовлетворяющий уравнению

дР о

+ div S = О»,

но отмечает, что

«соответствующей величины для света не существует».

Мы согласны с выводом Крамерса и Бома, а именно с тем, что понятие волновой функции фотона может вводить в заблуждение и его следует использовать с большой осторожностью. Однако, как мы увидим, все приведенные возражения можно преодолеть.

Начнем с того, что в полуклассической теории мы имеем дело с волновым описанием (классического) излучения и (квантовым) веществом. Только когда мы приступаем к квантованию поля излучения, уравнения для системы «излучение—— вещество» рассматриваются с единых позиций. В этой полностью квантовой теории полезно рассматривать вещество с выгодных позиций вторичного квантования. Вспомним процедуру квантования, изложенную в разд. 1.1, когда фурье-амплитуды поля заменяются операторами. Рассмотрим классическое комплексное поле Е(г)力)

поляризованного света. Поскольку свет поляризован, векторным характером поля можно пренебречь. При переходе от классического описания поля к квантовому, коэффициенты собственных функций поля 0k (г) заменяются операторами, т. е.

Е(+)(- t) = £胤也(1-5.2)

k

где &k ——амплитуды классического поля, заменяется выражением

Е(+)Е)(153)

к

где Ок — квантовые полевые операторы.

Теперь соответствующую процедуру квантования можно и нужно применить к веществу. Например, волновая функция системы, обладающей массой (атом, электрон, мезон и т. д.), описывается суперпозицией состояний

奴г, t) = ^2 Ср е"^^^р(г),(154)

р

где 翼目=Е]Тц с^ ——амплитуда вероятности частицы в состоянии <^р(г). Например, для частицы с импульсом р имеем

Процедура вторичного квантования заключается в том, чтобы заменить каждую амплитуду вероятности ср оператором уничтожения ср, который подчиняется коммутационным соотношениям Ферми-Дирака или Бозе-Эйнштейна, и т. д. В этом случае волновая функция становится оператором

炉(一力)=E0 6一"R0：p(r), (156) р

который уничтожает частицу в точке г, а состояние системы описывается вектором состояния \ф). На этом этапе как вещество, так и фотоны описываются квантованными полями, а состояние фотонного и/или мезонного поля описывается вектором состояния |力.Логика полуклассического подхода и логика полного вторичного квантования при рассмотрении системы «излучение-вещество» представлены на рис. 1.5.

Заметим, что термин «вторичное квантование» уместен только в отношении поля вещества, поскольку мы вводим операторы вторично. То есть мы сначала полагаем рх Т (Л/г)д/дх и т. д., а затем заменяем амплитуды вероятности операторами Ср ⑴ Т Зр ⑴.Однако, в случае фотона дело обстоит иначе, так как Л возникает только один раз. В этом смысле квантование поля излучения можно считать процедурой «первичного» квантования.

Теперь рассмотрим ситуацию с противоположной точки зрения. Представим себе, что мы сначала изучили фотоны, мезоны и т. п. с позиций полностью квантованного поля. Волновая функция частицы получается из вектора состояния путем взятия скалярного произведения собственного вектора оператора положения |г) и вектора состояния I 以£)〉:

=⑴中⑴). (157)

Напомним, что состояние |г) можно записать как

К)=而+(г)|。〉) (158)

Свет

Вещество

Полу классическая теория

Е(р)

□Е = — доР Максвелл

^(гД)

医(口力)=一兀力认!

Шредингер

Квантово-полевая теория

E(r/)=£ak«)Uk(r) k

Дирак

^(ГЛ) = £ 金P ⑴0P(г) р

Швингер

Рис. 1.5. В полуклассической теории излучения и вещества «поля» рассматриваются с помощью уравнений Максвелла и Шредингера. Оба поля обнаруживают волновой характер, но 方 появляется только в уравнении для вещества. Полностью квантовая теория, например, Дирака и Швингера, позволяет рассматривать излучение и вещество с единых позиций

то есть оператор рождения

©+(r) =e不/小练(r)，(159)

р

действуя на вакуум, создает частицу в точке г. Таким образом, из (1.5.7) и (1.5.8) мы получаем привычное выражение для волновой функции вещества,

屮①力)=〈0|©(r)|以力»(1510)

Возникает естественный вопрос, нельзя ли записать для фотона выражение типа (1.5.7)? Строго говоря, ответ должен быть отрицательным, поскольку состояния |г) для фотона не существует.

Имея это в виду, забежим вперед и зададим практический вопрос: какова вероятность того, что однофотонное состояние поля излучения, а именно

@)= e气吗⑴ |{叫，(1511)

где {п} обозначает множество состояний с одним (и только одним) фотоном в каждой моде к, приведет к испусканию фотоэлектрона детектором (атомом), помещенным в точку г?

В частности, состояние (1.5.11) может возникнуть в результате перехода возбужденного атома в основное состояние. К этому примеру мы вернемся позднее. В любом случае, имеется в виду волновой пакет, представляющий одиночный фотон, распространяющийся в пространстве, а амплитуды вероятности 气吗 содержат информацию, обычно соответствующую фурье™коэффициентам однофотонного импульса.

Как будет показано в разд. 4.2, вероятность возбуждения атома (детектирующего атома) в точке г определяется выражением

月山(-力)ос 3旧)(г/)Е(+)(г⑴I次，(1.5.12)

где оператор уничтожения Е^ (г,力)задается формулой

Е(+)(г") = J2<«k^^^k(r),(1513)

а оператор рождения 石(一)(г,力)——выражением, комплексно сопряженным выражению (1.5.13). Вставим в выражение (1.5.12) сумму по полному множеству состояний, Е |｛п，｝)(｛п/｝| = 17 и запишем

5'｝

(1514)(1514)4(г<) ос £〈V|E(—)(г")|｛几'｝〉(｛疗｝|Е(+)(г")М〉 ｛方｝

(1514)

(1514)

Поскольку в состоянии V находится только один фотон, и оператор Е^ (г, f) уничтожает его, только вакуумный член |0)(0| будет давать вклад в (1.5.14). Отсюда,

(1515)(1515)4(г/) ос〈V旧(—)(гМ)|0〉(0旧(+)(-%)№%

(1515)

(1515)

что приводит нас к следующему определению «электрического поля», связанного с однофотонным состоянием №%〉：

Ф<г(гЗ) = ｛0|^+)(гЛ)|^7).(1-5.16)

Для состояния IV?〉, возникшего в результате релаксации атома (выражение (6.3.24)), находим

w彦(口力)=В® (力 一；)江/2),(1517)

где 蜀 ——константа, г ——расстояние от атома до детектора, ®(①)——обычная ступенчатая функция, Г —— скорость релаксации атома. Заметим, что волновой пакет (1.5.17) имеет ярко выраженный максимум на частоте атомного перехода ш. Это верно для всех волновых пакетов, рассматриваемых в этом разделе.

Запишем (1.5.16) более подробно, используя положительно-частотную часть выражения (1.1.32) для оператора уничтожения электрического поля,

田彦m力)=(0£+)(Го也)=⑼e讃)^^(1518)

Как упоминалось в предыдущем разделе, поле имеет ярко выраженный максимум на частоте ш, что позволяет заменить медленно меняющуюся частоту 沙左 под знаком квадратного корня на s и записать

Сравнение (1.5.19) с волновой функцией (1.5.4) приводит к следующему выражению для амплитуды вероятности фотодетектирования:

^7(r3) = E以')(0m,/ 斤—IV)(L5"20)

Иначе говоря,

田彦(r,力)=%(r,力(1521)

Можно записать уравнение движения для ^7(r, t) с помощью уравнений Максвелла, связывающих электрическое (1.5.16) и магнитное поля:

(1522)(1522)田衫(г<) = (0|H(+)(r, t)|^7).

(1522)

(1522)

Здесь Н(+)(г,力)——положительно-частотная часть оператора магнитного поля (1.1.33), которую мы запишем в виде

g-^fei + ik-r vVg-^fei + ik-r vV(1523)(1523)

g-^fei + ik-r vV

g-^fei + ik-r vV

(1523)

(1523)

Используя выражения (1.5.22) и (1.5.23) и проводя те же операции, что и в случае Ф^(г, f), находим

出*(Е) = ^⑼х 讃底,"^^|以〉=，а(1524)

к,А

Теперь можно записать уравнения Максвелла (1.1.1) для q? (выражение (1.5.21)) и X? (выражение (1.5.24)) в виде

VV11VV1 0>%7"「к1 0>%7"「кV • Х7 = о,V • Х7 = о,V • % = 0.V • % = 0.(1525а)(15256)(1525в)(1525『)(1525а)(15256)(1525в)(1525『)

V

V

1

1

V

V

1 0>%7

"「к

1 0>%7

"「к

V • Х7 = о,

V • Х7 = о,

V • % = 0.

V • % = 0.

(1525а)

(15256)

(1525в)

(1525『)

(1525а)

(15256)

(1525в)

(1525『)

Перепишем систему уравнений (1.5.25а™1.5.25г) в более предпочтительной с эстетической точки зрения матричной форме, представив q и х в виде матриц^столбцов размером 1x3:

一0广% = Фу-Фг_一0广% = Фу-Фг_X)=X)=ХиХи(1.5.26)(1.5.26)

一0广

% = Фу

-Фг_

一0广

% = Фу

-Фг_

X)=

X)=

Хи

Хи

(1.5.26)

(1.5.26)

Тогда (см. задачу 1.7) уравнения Максвелла (1.5.25а™1.5.25г) приобретают вид

磋園= [cs°p尚円囱，(1527а)

▽.岗=3(15276)

где «ж, sy и sz ——матрицы размером 3x3, определенные в задаче 1.7, р ——обычный оператор импульса (%/£)▽*

Интересно сравнить уравнения Максвелла (1.5.27а,б) с уравнениями Дирака ) для нейтрино:

呜[窘Н/р 図，(1528)

где двухкомпонентные спиноры q^ и %^ формируют волновую функцию Дирака для нейтрино

齿=図”(1529)

Вооружившись уравнениями движения (1.5.27а,6), легко получить уравнение непрерывности

^里№ = -▽i(1530)

где

<7=[對，(1531)

а плотность тока j определяется формулой (см. задачу 1.8)

j =里^V史»(L5.32)

где оператор «скорости» имеет вид

V = “？ qS] •(1.5.33)

Сравнение Ф7 с Ф^ представлено на рис. 1.6.

Фотон

Нейтрино

Квантовая теория поля

«Волновая» механика

屯我・P]w，

3図

“n LC(7 • p0」"

Классический предел: эйконал

Лучевая оптика

j n ds = 0 Принцип Ферма

Классическая механика (5 j* L di = 0

Принцип Гамильтона

Рис. 1.6. Аналогия в описании фотона и нейтрино. В классическом пределе (последняя строка) свет описывается с помощью геометрической оптики, а вещество ——с помощью сходного принципа Гамильтона. Квантовое теоретическое описание фотона и нейтрино в первой строке также вполне симметрично. В строке, соответствующей «волновой» механике, представлены уравнения движения для Ф7(г, t) и 亚叮(г, t)

Несмотря на замечательное сходство в уравнениях движения фотона и нейтрино, необходимо отметить важные принципиальные различия. Например, если рассмотреть уравнения (1.5.28) для электрона в нерелятивистском пределе, то получим, в частности, соотношение для плоской волны вида

^ЭлеКтрон(г,力)=十 ei(k-z^kt\(L5.34)

где kz = pz /Ь и G/g = p^/2mh. Теперь, чтобы придать электрону импульс в направ™ лении ж достаточно применить операцию exp (ikxx\ где ж = д/дкх. Таким образом, новый импульс определяется выражением

к = еж/сж + ezkz.(1.5.35)

Теперь рассмотрим подобного рода операцию в отношении (1.5.20). Если изна™ чально записать g(r,力)для плоской волны, распространяющейся в направлении z

2 MQ* Скалли, М“С Зубайри

и поляризованной в направлении ж,

3(Г,力)=6「^—,(1.5.36)

а затем применить операцию exp(ikxx\ то, вероятно, можно было бы записать новую функцию

i(kz z-}-kxx — ujt)

0(Г,力)=3啰^.(1.5.37)

V У

Но в этом случае уравнение Максвелла (1.5.276) более не справедливо:

Я Г i(kzz + kxx~-u)t) ■

—齐—(1538)

Это лишь один пример того, насколько «волновая функция» фотона отличается от волновой функции нерелятивистской частицы, обладающей массой, и насколько неверным может быть представление «фотон как частица».

В качестве другого, еще более яркого примера, рассмотрим двухфотонные явления, а именно двухфотонное испускание и детектирование (рис. 1.7). Как подробно обсуждается в гл. 4, вероятность того, что два фотоэлектрона будут зафиксированы детекторами Di и D2, определяется двухфотонной корреляционной функцией. Вычислим двухфотонную корреляционную функцию

G⑵(口/1； r2,力2)=停1后(一)(口修)加一)(r2,方2)后(+)(r2,方2)后(+)(口，力1)1次(1-5.39)

для двух детекторов, расположенных в точках ri и Г2 в случае, когда взаимодействие с фотонным полем, описываемым |^), включается в моменты времени 力i и 力2,

Рис. 1.7. Трехуровневый атом, расположенный в точке г, релаксирует с уровня |а) на уровень \Ь) со скоростью)а и с уровня \Ь) на уровень |с)—— со скоростью)ь* Детекторы D* и Z)2, расположенные в точках ri и Г2, включаются в моменты времени 力i и 力2

Заметим, что в процесс излучения одиночного атома вовлечены только два фотона, так что

体阀一)足-)忌+)小+)1办=e(中间一)质.)|｛叫〉〈｛叫闻+5户1办=

=(V 咼一)员一)10〉(0| 以+)厶+)1 以(1.5.40) и, следовательно, имеется амплитуда двухфотонного детектирования

w(2)(口，厶产2,力2)=(01后(+)①2,方2)后(+)(口)刀)IV)，(1.5.41)

которую нам следует рассмотреть.

Для начала рассмотрим случай, когда скорости релаксации с уровня \а) на уровень |6), 7д, и с уровня |Ь〉на уровень |с),)仇 таковы, что 7a 》75, т. е. атом очень быстро релаксирует на уровень |6), а затем, спустя некоторое время,——на уровень |v). В этом случае (см. разд. 21.4.1)

Ф(2)(ГЬ Й；Г2,力2)= Фа(Г1,Й)Ф^(Г2,力2)+ 屮/3(口，％1)За(Г2,力2),(1542)

где

Ф«(гй^) = ^7®，分一苧)必(1543а)

Ф^(гй^) = £® (套一书)е^ь^Аг^с)е^ШЬс^Аг,/с)^(15436)

Здесь i = 1, 2,必&6 и зьс — атомные частоты переходов \а) т |Ь〉и |b〉f |с), △『〃—— расстояние от атома до г™го детектора,負 и 况 ——константы. Прямая аналогия между выражениями (1.5.43а) и (1.5.436) и амплитудой единичного фотодетектирования (1.5.17) очевидна. Мы, без сомнения, имеем здесь выражение Бозе-Эйнштейна в том виде, как его можно было бы записать для двух атомов гелия.

Однако ситуация совершенно меняется, если обратиться к случаю 75》7а, т. е. когда атомы в течение некоторого времени релаксируют на уровень |6), а затем быстро переходят на уровень |с〉* Тогда, согласно разд. 21.4.1, амплитуда двухфотонного детектирования имеет вид

w⑵(门 *1；Г2<2)= △^工2 exp [-(沁ac + 7a) (й - ^)] ® (й - ^1) X

X exp [_(沁6c + 7b) ｛，2 _¥)一，1 一竽)J] X e [,2 一手)一(力1 一苧)]+

+ (1 о 2). (1544)

Смысл очевиден. Когда )a》7ь, имеет место испускание фактически независим мых фотонов. Когда же 7a《7с, два события сильно коррелированы, а представление «фотон как частица» неверно.

В заключение можно сказать, что несмотря на то, что мы, пожалуй, преодолели основное возражение Крамерса (амплитуда вероятности (0\Е\ф) пропорциональна только 已―2a^) и частично справились с возражениями Бома (акты фотодектирова™ ния фактически локализованы 】) на расстояниях, не превышающих длину волны), буквальное представление о g(r,力),как о волновой функции частицы может ввести

в заблуждение. Физика фотона существенно отличается от физики шредингеровских частиц.

Приемлемая рабочая философия «фотона» удачно сформулирована Лэмбом:

«Что же делать далее? Мы можем и должны использовать квантовую теорию излучения. Ферми показал как делать это на примере полос Липп™ мана. Идея проста, но детали несколько неприятны. Правильные обозначе™ ния и большая практика облегчают задачу. Начнем с того, что определим в какой мере необходимо учесть влияние «вселенной». Определим, какие нормальные моды необходимы для адекватного описания. Решим, каким образом моделировать источники света и определим, как они управляют системой.»

Именно этим мы будем заниматься в последующих двадцати главах.

Приложение 1.А

Эквивалентность многочастичного бозе-газа и ансамбляквантованных гармонических осцилляторов

В разд. 1.1. мы квантовали поле излучения, сопоставляя каждой моде поля кван= тованный простой гармонический осциллятор. Эта процедура привела нас к введению состояний Фока (или состояний с определенным числом частиц) поля, содержащих, для каждого осциллятора, п фотонов, и связанных с ними операторов а и а+, которые уничтожают и рождают фотоны. В данном разделе мы покажем, что ансамбль гармонических осцилляторов динамически эквивалентен многочастичному бозе-газу.

Рассмотрим бозе-газ из N частиц, заключенный в объеме V. Ж^частичную волно™ вую функцию можно записать путем симметризации произведения одночастичных волновых функций Vs(г):

^np,nq,...,nk,... (rl ? r2 ? • • • 7] X

Vp(口)Vp(r2)Vp(r^)x

(LA」)(LA」)X l/；q(rnp_|_i)l/；q(rnp_|_2)■ • • V；q (rnp+nq ) X

(LA」)

(LA」)

X^k(ra+i)V%(ra+2). . .^k(ra+nk)X

где P обозначает перестановку среди N частиц. Целые числа ns (s = р, q, . . . , к,...) представляют собой числа заполнения одночастичных волновых функций ^s(rj), такие что

£^s = N, (1А2)

(1АЗ)(1АЗ)и ns может принимать значения 0, 1, 2, . . . , 7V. Одночастичная волновая функция свободной частицы задается выражением

(1АЗ)

(1АЗ)

Здесь 方s ——импульс частицы.

Пусть для N частиц, взаимодействующих друг с другом, потенциал равен

N

讶=£"г力(LA”4)

В результате взаимодействия частица из состояния 2P (г^) может перейти в состояние Мк(г^)“ Амплитуда перехода для этого процесса пропорциональна

2%p =]"门无(巧加(门)侮(巧)(1a5)

Например, если свободная частица с импульсом 方к, рассеиваясь на фононной волне с волновым вектором к

川门)=伙)"?(LA"6)

переходит в состояние с импульсом 方р, то

2%р = 2切 8(р + 匸 一 к).(1.А.7)

Теперь рассмотрим многочастичный вариант этой задачи.

Прежде чем обратиться к общему случаю бозе-газа из N частиц внутри объема V, рассмотрим простой случай трехбозонной системы. Волновая функция трехчастич™ ной системы, для которой изначально пр = 2, п^ = 1, задается выражением

V?ip=2,nk = l(Г1，Г2 , Г3)——

=^ [^Р(Г1)^Р(Г2)#(ГЗ)+ "р(гз)"р(门)"к(Г2)+ ”р(Г2)"р(гз)"кО1)]*(LA8)

В результате взаимодействия между частицами через потенциал (1.А.4) с N = 3 одна частица переходит из состояния р в состояние к, т. е.

^пр = 1,п^=2 (Г1 ? Г2 ? г3)一

=^ [^р(Г1)^к(г2)#(гз) + Мр(гз)Мк(门)Мк(Г2)+ Мр(Г2)Мк(гз)Мк(>1)]" (1-А.9)

Тогда трехчастичный матричный элемент этого процесса имеет вид

『『『

J必з =d口 “Г2 rfr3V4*=l,nk = 2(rbr2,r3) £ ^(^)^„р=2,пк = 1(ГЬГ2,ГЗ)- (LA」0)

J J Ji=l

3

Теперь учтем, что каждая частица в сумме £ ^^j) дает одинаковый вклад, так что

Если умножить и разделить каждое из выражений в квадратных скобках на \/^ и воспользоваться выражением (1.А.1) для 屮^口=1,九女=1(然2, г?), то получим

J勿3 = -/2-/2 dri<(ri)v(ri)^p(ri) 公2 加|叱р=1т「1(Г2, Гз)匕 (1А12)

Поскольку двухчастичная волновая функция нормирована, то

。必=-/2-/2^р,(1.А.13)

где 2%р определяется выражением (1.А.5).

Далее проведем аналогичный анализ для случая перехода одиночной частицы из начального состояния (1.А.1) в результате взаимодействия (1.А.4) в конечное состояние:

^пр ^l,nq,... ,«^ + 1,.(Г1，Г2 ? • • • ? rW)—^пр ^l,nq,... ,«^ + 1,.(Г1，Г2 ? • • • ? rW)——1)! Tlq!…(Tlk + 1)!...—1)! Tlq!…(Tlk + 1)!...N!N!1/21/2xx

^пр ^l,nq,... ,«^ + 1,.(Г1，Г2 ? • • • ? rW)—

^пр ^l,nq,... ,«^ + 1,.(Г1，Г2 ? • • • ? rW)—

—1)! Tlq!…(Tlk + 1)!...

—1)! Tlq!…(Tlk + 1)!...

N!

N!

1/2

1/2

x

x

如Vp(门)Vp(>2)…* VpOnp —i)X

(1.A.14)(1.A.14)X VqKnpjVqbnp + i) • • • V；q(rnp + nq-l) X

(1.A.14)

(1.A.14)

P x^k(ra)^k(ra+i) 一 " Vk^b+mJx

Вычисляем матричный элемент

^N =… d口…小喊f…(口心…心)x

(口"2,…”心)”(1.A.15)

По аналогии с трехчастичным случаем, устанавливаем, что все перестановки идеи- N

тичны, и заменяем £ v(rj) на Nv(Yi). Тогда (1.А.15) можно выразить через (N —

—1)-частичные волновые функции в виде

J力修 =…d口…小(^^煦(口)W^Xhq,…Гм)х

X N川口)■^保(口)……心)=

=dri\/^^ K(yi)n^(yi^p^(LA」6)

Таким образом, мы видим, что многочастичный характер задачи заключается в множителях у/п^ и Sik + 1, соответствующих удалению (уничтожению) частицы в состоянии Vp и добавлению (рождению) частицы в состоянии ^%.

Естественно (и значительно удобнее!) ввести многочастичный вектор состояния

I几Р，几⑴几匕” " *)(1"a*17)

и операторы, которые переводят векторы состояния из одного в другой, меняя число частиц в различных состояниях. С этой целью введем операторы уничтожения

(поглощения) для нашей бозонной системы,

Ор|几…• а) =，\/几р |^Р — 1，几⑴-…,几It ,-…^ ,^ . А. 18)

и соответствующие операторы рождения:

^р I^Р，^q,...,几匕 * “ 工〉二，\/几р + 1 I几р + 1，^q,...,几匕-%(1“А工 19)

Из определений следует, что имеют место коммутационные соотношения

[ар, dp,] = 8Pp(1.А.20)

[&p, ар/] = [а^а^,] = О,(1.А.21)

что очевидно, если рассматривать действие этих упорядоченных операций на векторы состояния. Для того чтобы восстановить результаты вычисления матричного элемента, необходимо ввести гамильтониан взаимодействия

% = £2 ^p+k^P^k(1.А.22)

k,p

и гамильтониан свободной частицы

2

"=52 2т аР "р '(1.А.23)

Резюме: физический смысл имеет заполнение состояний числа частиц, где информация содержится в состояниях |пр) и матричных элементах 2%р=

=J drV*(r)"r)Vp(r)* То есть, нет смысла беспокоиться о сложных комбинациях, обо всем этом самым замечательным образом позаботится операторный формализм.

Однако главным в этом разделе является не удобство операторного подхода, а скорее глубокая взаимосвязь между многобозонной квантовой механикой и механикой квантованных гармонических осцилляторов. Говоря словами Дирака:

«Динамическая система, состоящая из ансамбля одинаковых бозонов, эквивалентна динамической системе, состоящей из ансамбля осцилляторов. Они представляют собой совершенно одинаковые системы, рассматривав™ мые с различных точек зрения. Каждому независимому бозонному состоя™ нию соответствует осциллятор. Это один из наиболее фундаментальных результатов квантовой механики, дающий возможность объединить волновую и корпускулярную теории света.»

Однако же фундаментальные различия столь же сильны, как и аналогия 《бозон»——«ансамбль осцилляторов». Например, в задаче об осцилляторе мы, в итоге, получаем вклад вакуумных флуктуаций, отсутствующий в случае совокупности бозонов. В разд. 1.3 вакуумное состояние электромагнитного поля использовалось для вычисления лэмбовского сдвига.

Задачи

Поле излучения в пустом кубическом резонаторе со стороной £ удовлетворяет

волновому уравнениюволновому уравнениюJ崇J崇=о=о

волновому уравнению

волновому уравнению

J崇

J崇

=о

=о

и условию кулоновской калибровки V • А = 0. Покажите, что решение, удовлетворяющее граничным условиям, имеет следующие составляющие:

厶富(-力)=Ax(t) cos (源①)sin (куу) sin (Rz),Л2/(г,力)=厶g(力)sin (kxx) cos {куу) sin {kzz\4?(r,力)=4⑴ sin (&①)sin (%g) cos (Rz),

где A(力)не зависит от положения, а компоненты волнового вектора к определяются выражением (1.1.21). Покажите, что целые числа пж, n^, nz в выражении (1.1.21) таковы, что только одно из них может быть равным нулю в данный момент времени.

Пусть Л и В — два некоммутирующих оператора, удовлетворяющих условию Р,в]Л] = Р,в]Л] = о.

Покажите, что

匕一e/Q c 一匕/c 0^

Данное выражение представляет собой частный случай так называемой теоремы Бейкера-Хаусдорфа теории групп.

Пусть Л и В — два некоммутирующих оператора, а — параметр. Покажите, что

2

е^аАВ еаА = В^ М4 В] + ^[Л,[Л,础 + …

Пусть /(а, а+)——функция, разложимая в степенной ряд по а и а+* Покажите, что

[а,/(а,а+)] =

[а+,/(а,а+)]=幺

е^аа+а}[а,а+)еа^а = f (а еа, а+е^а),

где а — параметр.

Покажите, что

[a, ётаа%]=(已一_ 1)e一aJa]=(殴_1)已一

где а — параметр.

Покажите, что гамильтониан свободного поля

匿=方〃 (а+а + J

можно выразить через состояния с определенным числом частиц в виде

匿=£ Еп\п){п\,

и, следовательно,

=^2 eiEnt/h\n){n\.

Покажите, что уравнения Максвелла в свободном пространстве можно записать в виде выражений (1.5.27а) и (1.5.276). Для этого сначала покажите, что

1施 〜〜1〜〜

=UxE,

где Е = ^/^" Е и Н =，^1^ Н" Затем докажите, что

s-VV = V х V,

"0 00 "

"0 0 г

"0 —1 0"

sx =

0 0—1

,sy =

00 0

,sz =

100

0 10

— 10 0

000

где s и V в левой части выражения рассматриваются как вектор-столбцы 1 х х 3. Воспользуйтесь этим тождеством для того, чтобы получить выражения (1.5.27а) и (1.5.276).

Получите выражение (1.5.32) для плотности тока вероятности, записав уравнения движения для % и *? в виде

07 = CS"Ux『 2，= —CSM^q»• S+,= —cUq^"s +

и учитывая, что s+ = — s^

Докажите, что £GjGj = 1, вычислив скалярное произведение с произвольным

вектором V. Следовательно, если & =記1 ©2 =讃)и ёз = к/用,то получаем выражение (1.1.36). Можно также получить выражение (1.1.37), полагая, что 用,牝 ф — полярные координаты волнового вектора к, так что

к =倉(sin 少 cos 0)sin 少 sin 0, cos 少)*

Тогда два поперечных вектора поляризации могут быть записаны в виде

霓D = (sin 0, — cos。，0), 讃)=(cos 少 cos 0, cos 少 sin 0, — sin 少),

и можно показать, что

£(1)£(1)+£(2)£(2)—込

где z, j обозначают декартовы компоненты. Покажите это путем прямой подстановки.

Список литературы

Квантование поля излучения

Dirac, Р. А. М. Proc. Roy. Soc. А 114, 243 (1927).

Fermi, Е. Rev. Mod. Phys. 4, 87 (1932).

Некоторые полезные книги по квантовой теории излучения и квантовой оптике

Heitler, W. The Quantum Theory of Radiation, (Oxford University Press, New York 1954). [Гайтлер В. Квантовая теория излучения (ИЛ, Москва, 1956).]

Kramers, Н. A. Quantum Mechanics, (North-Holland, Amsterdam 1958).

Power, Е. A. Introductory Quantum Electro dynamics, (Longman, London 1964).

Klauder, J. R. and Sudarshan, E. C. G. Fundamentals of Quantum Optics, (W.A. Benjamin, New York 1970). [Клаудер Дж., Сударшан Э. Основы квантовой оптики (Мир, Москва, 1970).]

* Ахманов С.А., Чиркин А.С. Статистические явления в нелинейной оптике (МГУ, Москва, 1971).

Perina, J. Coherence of Light, (Van Nostrand, London 1972). [Перина Я. Когерентность света (Мир, Москва, 1974).]

Haake, F. Statistical Treatment of Open Systems by Generalised Master Equations, (Springer Tracts in Modern Physics, Vol. 66), (Springer-Verlag, Berlin 1973)

Loudon, R. The Quantum Theory of Light, (Oxford University Press, New York 1973). [Лоудон P.

Квантовая теория света (Мир, Москва, 1983).]

Louisell, W. Н. Quantum Statistical Properties of Radiation, (John Wiley, New York 1973)

Agarwal, G. S. Quantum Statistical Theories of Spontaneous Emission, (Springer Tracts in Modern Physics, Vol. 70), (Springer-Verlag, Berlin 1974).

Nussenzveig, H. M. Introduction to Quantum Optics, (Gordon and Breach, New York 1974).

Allen, L. and Eberly, J. H. Optical Resonance and Two-Level Atoms, (John Wiley, New York 1975). [Аллен Л., Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые атомы (Мир, Москва, 1978).]

Bialynicki-Birula, I. and Bialynicka-Birula, Z. Quantum Electro dynamics^ (Pergamon Press, Oxford 1976).

Sargent III, M., Scully, M. O. and Lamb, W. E., Jr. Laser Physics, (Addison-Wesley, Mass. 1974).

*Рытов C.M., Кравцов Ю.А., Татарский В.И. Введение в статистическую радиофизику (Наука, Москва, 1978).

*Клышко Д.Н. Фотоны и нелинейная оптика (Наука, Москва, 1980).

Itzykson, С. and Zuber, J. В. Quantum Field Theory^ (McGraw Hill, New York 1980).

Haken, H. Light, Vols. I and II, (North-Holland, Amsterdam 1981).

Ахманов C.A., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику м оптику (Наука, Москва, 1981).

Knight, Р. L. and Allen, L. Concepts of Quantum Optics, (Pergamon Press, Oxford 1983).

Perina, J. Quantum Statistics of Linear and Nonlinear Optical Phenomena^ (D. Reidel, Dordrecht 1984). [Перина Я. Квантовая статистика линейных и нелинейных оптических явлений (Мир, Москва, 1987).]

Cohen-Tannoudji, С., Dupont-Roc J. and Grynberg G. Photons and Atoms. Introduction to Quantum Electro dynamics(Wiley, New York 1989).

Meystre, P. and Sargent III, M. Elements of Quantum Optics^ (Springer-Verlag, Berlin 1990).

Shore, B. W. The Theory of Coherent Atomic Excitation, Vols. 1 and 2, (John Wiley, New York 1990).

Килин С.Я. Квантовая оптика: поля и их детектирование (Наука и техника, Минск, 1990).

Gardiner, С. W. Quantum Noise^ (Springer-Verlag, Berlin 1991).

Cohen-Tannoudji, C., Dupont-Roc, J. and Grynberg, G. Atom-Photon Interactions^ (Wiley, New York 1992).

Carmichael, H. An Open Systems Approach to Quantum Optics, (Springer-Verlag, Berlin 1993).

Milonni, P. W. The Quantum Vacuum: An Introduction to Quantum Electrodynamics, (Academic, New York 1994).

Vogel, W. and Welsch, D.-G. Lectures on Quantum Optics, (Akademie Verlag, Berlin 1994).

Perina, J., Hradil, Z. and Jurco, В. Quantum Optics and Fundamentals of Physics^ (Kluwer, Dordrecht 1994).

Walls, D. F. and Milburn, G. J. Quantum Optics^ (Springer-Verlag, Berlin 1994).

Mandel, L. and Wolf, E. Optical Coherence and Quantum Optics, (Cambridge, London 1995). [Мандель Л., Вольф Э. Оптическая когерентность и квантовая оптика (Физматлит, Москва, 2000).]

Weinberg, S. Theory of Quantum Fields, (Cambridge, London 1995).

Pike, E. R. and Sarkar, S. Quantum Theory of Radiation, (Cambridge, London 1995).

Leonhardt, U. Measuring the Quantum State о/ Lights (Cambridge, London 1997).

Лэмбовский сдвиг

Lamb, W. E., Jr. and Retherford, R. C. Phys. Rev. 72, 241 (1947).

Bethe, H. Phys. Rev. 72, 339 (1947).

Welton, T. A. Phys. Rev. 74, 1157 (1948). Вычисляя лэмбовский сдвиг, мы следовали простому, хотя и не строгому, подходу, изложенному в этой статье.

Kroll, N. Н. and Lamb, W. Е., Jr., Phys. Rev. 75, 388 (1949).

French, J. B. and Weisskopf, V. F. Phys. Rev. 75, 1240 (1949).

Dyson's, F. letter, in Lamb, Ж. K, Jr., A Festschrift on the Occasion of his 65th Birthday, ed. D. ter Haar and M. O. Scully (North-Holland, Amsterdam 1978), p. XXXVI.

Hildum, E. A., Boest, U., McIntyre, D. H., Beausoleil, R. G., and Hansch, T. W. Phys. Rev. Lett. 56, 576 (1986). В этой статье сообщается о первом точном измерении энергетического интервала 1S — 2s в атоме водорода.

Квантовые биения

Corney, A. and Series, G. W. Proc. Phys. Soc. 83, 207 (1964).

Chow, W. W., Scully, M. O. and Stoner, J. O., Jr., Phys. Rev. A 11, 1380 (1975).

Herman, R. M., Groth, H., Kornblith, R. and Eberly, J. H. Phys. Rev. A 11, 1389 (1975).

Khoo, I. C. and Eberly, J. H. Phys. Rev. A 14, 2174 (1976).

Jaynes, E. T. in Foundations of Radiation Theory and Quantum Electrodynamics^ ed. A. O. Barut (Plenum, New York 1980).

Scully, M. O. in Foundations of Radiation Theory and Quantum Electrodynamics^ ed. A. O. Barut (Plenum, New York 1980).

Svanberg, S. Atomic and Molecular Spectres copy, (Springer-Verlag, Berlin, 1991).

Александров Е.Б., Хвостенко Г.И., Чайка М.П. Интерференция атомных состояний (Наука, Москва, 1991).

Локализуемость фотонов и электронов. «Волновая функция фотона»

Newton, Т. D. and Wigner, Е. Р. Rev. Mod. Phys. 21, 400 (1949).

Mandel, L. Phys. Rev. 144, 1071 (1961).

Jauch, J. M. and Piron, C. Helv. Phys. Acta 40, 559 (1967).

Amrein, W. O. Helv. Phys. Acta 42, 149 (1969).

Cook, R. J» Phys. Деи 4 25, 2164 (1982); ibid 26, 2754 (1982).

Pike, E. R. and Sarkar, S. Phys. Rev. A 35, 926 (1987).

Deutsch, I. H. and Garrison, J. C. Phys. Rev. 43, 2498 (1991).

Bialynicki-Birula, I. Acta Phys. Polonica A 86, 97 (1994).

Lamb, W. E., Jr., Appl. Phys. В 60, 77 (1995).

Глава 2

КОГЕРЕНТНЫЕ И СЖАТЫЕ СОСТОЯНИЯ ПОЛЯ

По мере развития квантовой теории излучения и с появлением лазера были в значительной мере изучены состояния поля, наиболее близко описывающие классическое электромагнитное поле. Для того, чтобы представить себе такие «класси

ческие» состояния, мы рассмотрим поле, создаваемое классическим монохромати

ческим током, и обнаружим, что квантовое состояние, создаваемое таким образом,

обладает многими интересными свойствами и заслуживает названия когерентного состояния 1). Важным следствием квантова-

Рис. 2.1. Волновой пакет с минимальной неопределенностью в различные моменты времени в потенци-Рис. 2.1. Волновой пакет с минимальной неопределенностью в различные моменты времени в потенци-альном поле гармонического осцил-лятора (а); соответствующее элек-трическое поле (6)альном поле гармонического осцил-лятора (а); соответствующее элек-трическое поле (6)ния поля излучения является соответствующее соотношение неопределенностей для сопряженных полевых переменных. Разумно предположить, что волновая функция, наиболее точно соответствующая классическому полю, должна иметь минимальную неопределенность для всех моментов времени при соответствующем гармоническом потенциале.

Рис. 2.1. Волновой пакет с минимальной неопределенностью в различные моменты времени в потенци-

Рис. 2.1. Волновой пакет с минимальной неопределенностью в различные моменты времени в потенци-

альном поле гармонического осцил-лятора (а); соответствующее элек-трическое поле (6)

альном поле гармонического осцил-лятора (а); соответствующее элек-трическое поле (6)

В данной главе мы покажем, что этим свойством обладает волновая функция основного состояния смещенного простого гармонического осциллятора, представляющая собой волновой пакет, который совершает синусоидальные колебания в потенциальном поле, не изменяя формы (рис. 2.1). Когерентный волновой пакет всегда имеет минимальную неопределенность и схож с классическим полем, насколько это позволяет квантовая механика. Соответствующий вектор состояния представляет собой когерентное состояние |а), которое является собственным состоянием положительночастотной части оператора электрического поля или, что то же самое, собственным состояни-

ем оператора уничтожения поля.

С классической точки зрения электромагнитное поле состоит из волн с определенными значениями амплитуды и фазы. Но при

квантово-механическом описании поля это не так. В этом случае имеют место флуктуации как амплитуды, так и фазы поля. Электромагнитное поле в состоянии с опре-

1) Понятие когерентного состояния было введено Шредингером (Schrodinger, 1926). Этот вопрос прекрасно освящен в лекциях Глаубера (Glauber, 1965).

деленным числом частиц \п) имеет вполне определенную амплитуду, но полностью неопределенную фазу, тогда как поле в когерентном состоянии имеет одинаковые величины неопределенностей для этих двух переменных. Можно также описывать поле с помощью двух сопряженных квадратурных составляющих. Неопределенности двух сопряженных переменных удовлетворяют принципу неопределенности Гейзен™ берга, так что произведение неопределенностей двух переменных больше или равно одной второй модуля среднего значения коммутатора этих переменных (см. выражение (2.6.2) ниже). Поле в когерентном состоянии представляет собой состояние с минимальной неопределенностью, причем неопределенности двух квадратурных составляющих равны между собой.

Рассмотрев когерентные состояния поля излучения, мы обратимся к так называемым сжатым состояниям. В принципе, возможно создать состояния, для которых флуктуации одной квадратурной составляющей будут ниже квантового предела. Это происходит за счет усиления флуктуаций канонически сопряженной квадратуры, так что принцип неопределенности Гейзенберга не нарушается. Такие состояния поля излучения называются сжатыми состояниями. Квадратуру электромагнитного поля, флуктуации которой меньше стандартного квантового предела, перспективно использовать в оптической связи, фотодетектировании, детектировании гравитационных волн и усилении, свободном от шумов. В данной главе мы физически обоснуем и сформулируем определение и свойства сжатых состояний, обращая особое внимание на так называемые сжатые когерентные состояния, являющиеся результатом действия «оператора сжатия» на когерентное состояние.

Излучение классического тока

В данном разделе мы дадим определение когерентного состояния и покажем, что поле, создаваемое классическим распределением тока, находится в таком состоянии. Под классическим током мы подразумеваем ток, который можно описать заданным вектором J(r, t), который не является оператором. Рассмотрим взаимодействие этого тока и векторного потенциала, задаваемого оператором (ср. выражение (1.1.27) и разд. 5.1)

А(г,力)=Т £ 丄 €k<ak+ 9c(2Л.1)

k k

Гамильтониан, описывающий взаимодействие поля с током, имеет вид

У = J(r^) • A(r3)d3r,(2.1.2)

а вектор состояния |也⑴〉полной системы удовлетворяет уравнению Шредингера в картине взаимодействия:

歴⑴〉= 彼(方》(2.1.3)

Векторная функция J(r,力)коммутирует сама с собой в различные моменты времени, но для оператора А(г,力),а, следовательно, и для энергии взаимодействия %⑴,это не так. Таким образом, обычно нельзя просто проинтегрировать уравнение Шредингера и записать

彼⑴〉=exp_卜方小修)彼(0»(2丄4)

Однако различные коммутаторы, вводимые при проведении корректного интегрирования (2.1.4), приводят к появлению в нем общего фазового множителя, который мы опускаем. С учетом (2.1.1) и (2.1.2) экспонента в (2.1.4) принимает вид

exp — j d，％(力z) = 口 exp(QkO± — Q*Ok))(2.1.5)

где зависящая от времени комплексная амплитуда «к определяется выражением

Qk = ^< j 山]drek * J〃(r") ^以力 Jk、(2.1.6)

о

В (2.1.6) индекс 沙 в обозначении тока диполя J〃(f)t) означает наличие монохроматического диполя, осциллирующего на частоте и = ск. Если начальное состояние |^(0)) является вакуумным |0), то вектор состояния (2.1.4) принимает вид

I也⑴〉=]Д exp(aka+ 一 ак«к)|0)к-(2.1.7)

к

Это состояние поля излучения называется когерентным состоянием и обозначается как |{&к}〉" Очевидно, что многомодовое когерентное состояние (2.1.7) можно представить в виде произведения одномодовых когерентных состояний |ак):

]{аk}〉= n|狐〉，(2.1.8)

к

где

|&к〉= ехр(ака+ 一 ак«к)|0)к-(2丄9)

В оставшейся части этой главы мы, в основном, будем иметь дело с одномодовым когерентным состоянием. Поэтому опустим индекс к в определении (2.1.9) и запишем

[а〉= ехр(аа+ — а*а)|0).(2.1.10)

Далее мы представим альтернативные подходы к понятию когерентного состояния.

Когерентное состояние как собственное состояниеоператора уничтожения и как смещенное состояниегармонического осциллятора

Выражение (2.1.10) было получено нами для случая, когда под когерентным состоянием поля излучения |а) понималось состояние поля, создаваемого классически осциллирующим распределением тока. Аналогичное выражение для |а) можно получить, определив когерентное состояние поля, как собственное состояние оператора уничтожения а с собственным значением а, т. е.

а|а) = а|а).(2.2.1)

Состояние |а〉можно выразить через состояния с определенным числом частиц \п) следующим образом:

®*(222)

Учитывая, что |п〉= [(а+)п/г/пТ]|0), последнее выражение можно записать в виде |a)= "10)(223)

Отметим далее, что поскольку ехр(—а*о)|0〉= |0), выражение (2.2.3) можно пере™ писать как

|q〉= O(q)|0〉，(224)

где

О(а) = е^1«12/2 е^а十「匕(225)

Теперь учтем, что согласно формуле Бейкера-Хаусдорфа для двух произвольных операторов А и В, таких что

[[4,В]Л] = Р,В]В] = 0,(226)

верно тождество

еА+в = еТАВ]/2 产 ев_(227)

Если положить А = ао+)6 = —а*о, то

О(а) = &а 宀 а?(228)

что согласуется с выражением (2.1.10). В эквивалентном антинормально упорядо™

ченном виде оператор D(a) записывается как

O（Q）="『/2…*5叫

(229)

Оператор D(a) является унитарным оператором, т. е.

Q+(q) = О( — а) = [Л(а)]™1.

(2210)

Он действует как оператор смещения на амплитуды а и а+, т. е. D^1 (a)aD(a) = а + а,

(2211)

D(a) = а+ + а*”

(2.2.12)

Свойство смещения можно доказать, записав

OT(Q)oO(Q)=十oeaJ「а.

(2213)

где для。― 1(a) использовано выражение (2.2.9), а для О (а) — выражение (2.2.5). Для любых операторов А и В

2

= 6 — Q А В] + А В]] + . . . .(2.2.14)

Для А = а+, В = а, это выражение принимает вид

е^аа+«еаа+ = о + а”(2215)

Применяя полученный результат в (2.2.13), получаем свойство смещения (2.2.11) для D(a). Свойство смещения (2.2.12) можно доказать аналогичным образом.

Согласно выражению (2.2.4), когерентное состояние получается в результате применения оператора смещения к вакуумному состоянию. Следовательно, когерентное состояние представляет собой смещенное основное состояние гармонического осциллятора.

Что когерентно в когерентных состояниях?

Для ответа на этот вопрос полезно рассмотреть координатное представление состояния с определенным числом частиц |п) для осциллятора. Координатное представление \п) определяется выражением

(2.3.1)(2.3.1)%(q) = {q\n}.

(2.3.1)

(2.3.1)

Из (1.1.11) следует, что

(2.3.2)(2.3.2)

(2.3.2)

(2.3.2)

仇(q) = О-仇(q) = О-沙q +沙q +где нами было использовано соотношение р = —ihd/dq. Тогда (1.2.7) приводит к уравнению

仇(q) = О-

仇(q) = О-

沙q +

沙q +

(233)

Нормированное решение этого уравнения имеет вид

(234)(234)仇(9)=伍)/ exp (一煤

(234)

(234)

Собственные функции высшего порядка в координатном представлении можно получить из выражений (1.2.16), (2.3.1) и (2.3.2):

On(q) = ^Ц-Оо(д)=V n!On(q) = ^Ц-Оо(д)=V n!1111仇(q)=仇(q)=

On(q) = ^Ц-Оо(д)=V n!

On(q) = ^Ц-Оо(д)=V n!

11

11

仇(q)=

仇(q)=

= 加(力(235)

где Нп ——полиномы Эрмита. Они представляют собой хорошо известные собственные функции гармонического осциллятора. Можно показать, что эти волновые функции удовлетворяют условию ортонормированности

(2.3.6)(2.3.6)Фп (*7)^m(Q)dq = ^nm •

(2.3.6)

(2.3.6)

Из определения волновых функций гармонического осциллятора 0?2(q) следует,

что

⑷=⑷=C(Q)Q^n(Q)dq = 0.C(Q)Q^n(Q)dq = 0.(237)(237)

⑷=

⑷=

C(Q)Q^n(Q)dq = 0.

C(Q)Q^n(Q)dq = 0.

(237)

(237)

(238)(238)(2.3.9)(2.3.9)

(238)

(238)

(2.3.9)

(2.3.9)

Аналогично

5〉= o,例2)=方〃(几+1)，

Следовательно, неопределенности обобщенного импульса и координаты определяются выражениями

(△р)?=〈犷〉一〈р〉2 =方〃 (fl + J) ,(2.3.11)

(△q)2 = ^(n+j"(2.3.12)

Произведение неопределенностей равно

АрАд =(几 + J)加"(2.3.13)

Это произведение принимает минимальное возможное значение, равное 九/2, для волновой функции основного состояния 0о (q)*

Особый интерес представляет волновой пакет, сохраняющий одно и то же значе™ ние среднеквадратичного отклонения Aq, претерпевая простое гармоническое движение. Такая волновая функция наиболее близко соответствовала бы классическому полю. Предположим, что в момент времени 力=0 волновая функция 也(仇力)имеет вид волнового пакета с минимальной неопределенностью (2.3.4), смещенного в в положительном направлении q на величину q0. Тогда

以S °) =exp ^(q — Qo)2] •(2314)

Временная эволюция этого волнового пакета рассмотрена в задаче 2.3, где показано, что исходный волновой пакет вида (2.3.14) имеет следствием то, что в последующие моменты времени плотность вероятности задается выражением

|^(Q3)|2 =exp — Qo.(2.3.15)

Отметим, что волновой пакет (2.3.14) осциллирует в потенциальном поле гармонического осциллятора, не меняя формы, т. е. он не расплывается или когерирует. Сравним его с волновым пакетом, который при 力=0 имеет вид дельта-функции, при 〃力=тг/2 становится плоской волной и вновь приобретает вид дельта-функции при 沙力=тг (см. подробнее в разд. 2.5). Хотя дельтаобразный пакет возвращается к своей изначальной форме в конце периода, его среднеквадратичное отклонение сильно зависит от времени, т. е. он не когерирует.

Произведение неопределенностей волнового пакета ^ имеет минимальное разрешенное квантовой механикой значение, а именно АрАд =九/2. Следовательно, такие состояния являются наиболее близким квантово-механическим аналогом свободного классического одномодового поля.

Волновой пакет с минимальной неопределенностью (2.3.14), когерирующий в потенциальном поле гармонического осциллятора, задается выражением (задача 2.4)

以内0)=以内0)=。8 n。8 n(2316)(2316)

以内0)=

以内0)=

。8 n

。8 n

(2316)

(2316)

где а = (沙/2方)i/2q(j)и нами использовано соотношение 0(g) = (q\n). Состояние |а), соответствующее 以q, 0), следовательно, имеет разложение по состояниям числа частиц, идентичное разложению когерентного состояния (выражение (2.2.2)). Волновой пакет с минимальной неопределенностью 以仇 0), таким образом, является координатным представлением когерентного состояния.

Некоторые свойства когерентных состояний

В этом разделе мы перечислим некоторые важные свойства когерентных состояний поля излучения.

Среднее число фотонов в когерентном состоянии |а〉определяется выражением

〈а|о+о|а〉= |а|2.(2.4.1)

Вероятность того, что в состоянии |а) находится п фотонов, задается распределением Пуассона

р5) = (п|а)(а|п)==,(242)

где〈n〉= |a|2. Как будет показано в гл. 11, распределение фотонов лазера прибли™ жается к этому распределению при достаточно высоких степенях возбуждения. На рис. 2.2 представлена зависимость р(п) от п для различных значений |а|2. Видно,

Рис. 2.2. Распределение фотонов р(п) в когерентном состоянии: |а|2 = 0,1 (а); |а『 = 1 (6) и |а『=10 (в)

что для |а|2 W 1 функция р(п) максимальна при п = 0, тогда как для |а|2 > 1 функция р(п) достигает максимума при п = |а|2.

Как уже было показано ранее, когерентное состояние является состоянием с минимальной неопределенностью, так что

(243)

Множество всех когерентных состояний |а) является полным множеством. Чтобы показать это, рассмотрим сначала интегральное тождество (а = |а|е*“)

(а*)пат 厂同"d% = |a|n+m+1 d|a| j日 d少=тгп!(244) оо

где интегрирование осуществляется по всей комплексной плоскости. Из этого тождества с учетом разложения (2.2.2) для когерентных состояний следует, что

|q)(q| d2Q = тг J2lnKnl-(2.4.5)

Поскольку фоковские состояния \п) образуют полное ортонормированное множество, сумма по п представляет собой единичный оператор. Тогда

丄 |а)(а| d2a = 1.(2.4.6)

Полученное выражение представляет собой соотношение полноты для когерентных состояний.

Два когерентных состояния, соответствующих различным собственным значениям а и а' не являются ортогональными, т. е.

{a\af) = eхр (一；]a『+_；a『)(2.4.7)

и

|〈а|с/〉『=ехр(—(2.4.8)

Видно, что если а — а/ значительно больше единицы, то состояния |а〉и |а'〉почти ортогональны друг другу. Степень перекрытия этих волновых функций определяет величину скалярного произведения {а\аг\ Следствием отсутствия ортогональности (выражение (247)) является то, что любое когерентное состояние можно выразить через другие когерентные состояния:

d2a[с/〉ехр (—g|a『+ а1*а — Jg") “(2.4.9)d2a[с/〉ехр (—g|a『+ а1*а — Jg") “(2.4.9)|а) = J (^а^аг){аг\а) = J

d2a[с/〉ехр (—g|a『+ а1*а — Jg") “(2.4.9)

d2a[с/〉ехр (—g|a『+ а1*а — Jg") “(2.4.9)

Это означает, что когерентные состояния переполнены.

Физика сжатого состояния

Естествознание, представляющее собой синтез эксперимента и теории, изобилует замечательными примерами успешного взаимодействия экспериментальной и теоретической мысли. «Ультрафиолетовая катастрофа», связанная с излучением черного тела, послужила причиной введения Планком понятия кванта. Эти соображения привели Эйнштейна к понятию «спонтанного излучения», что позволило объяснить различия между распределениями излучения Планка и Вина. Понятие вынужденного излучения привело к развитию физики лазера, который стал символом современной эры квантовой оптики.

Сжатые состояния поля излучения станут в ближайшем будущем еще одним примером плодотворной связи эксперимента и теории. Сами по себе, сжатые состояния поля не представляют особого интереса. Например, состояния с определенным числом фотонов п безусловно существуют, но как их создать, и кому это нужно?

Ответ на вопрос «кому это нужно?», в частности, лежит в области поиска гравитационных волн. Как будет показано в дальнейшем, в гл. 4, ускорение удаленной материи, например, взрыв сверхновой, ведет к незначительному воздействию на лабораторные приборы. Например, осциллирующая гравитационная волна может возбудить механический осциллятор, который, в этом случае, будет детектором гравитационных волн.

Однако, амплитуды осцилляций, создаваемых многими источниками гравитационного излучения, предположительно, будут значительно меньше ширины волновой

функции основного состояния. Это побуждает нас задуматься о сжатии волновой функции основного состояния (нулевого шума) квантово^механических осциллято™ ров.

То, что такое «сжатие» в принципе возможно, становится ясным из рассмотрения элементарной квантовой механики простого гармонического осциллятора (ПГО). Как показано на рис. 2.3, волновой пакет, обладающий ярко выраженным максимумом

Рис. 2.3. Эволюция сжатого состояния простого гармонического осциллятора

(т. е. сжатый) в начальный момент времени, будет периодически растягиваться и вновь возвращаться в исходное состояние. Для того, чтобы пояснить ситуацию, вкратце рассмотрим временную эволюцию ПГО 9 . Напомним, что волновая функция в момент времени t связана с волновой функцией в начальный момент времени соотношением

以近,力)= dxG(x^ ж\ t^^, 0),(251)

где хорошо известная из учебников по квантовой механике функция распространения ПГО имеет вид

认力)=,27r麻expCOS 2xx^} •(2・5・2)

Здесь m и i/ — масса и частота осциллятора.

Теперь, если в начальный момент времени 力=0 мы имеем дельтаобразный волновой пакет 吵(力'，0) = 8{xf — жо), то в момент времени t = тг/2〃 волновая функция становится плоской волной. То есть, наше сжатое состояние эволюционирует во времени следующим образом:

以呼力=0)= “近一жо),(2.5.3а)

吵(步，t = тг/2〃) =exp р (^^^) ж] ,(2536)

ф(х, t = тг/i/) = 5(х + жо).(2.5.Зв)

См., например, книгу Sargent, Scully and Lamb (1974), приложение H.

Таким образом, из выражений (2.5.3) и рис. 2.3 видно, что если в начале имеется дельтаобразное или сжатое состояние, то мы будем возвращаться к нему каждые пол-периода. В этом смысле, возможно своего рода «стробоскопическое» измерение, когда наблюдение за осциллятором осуществляется в моменты времени t = = 0, тг/р, 2тг/р, . . ., не будучи ограничено шириной волновой функции основного

состояния.

Обосновав и проиллюстрировав сжатые состояния, перейдем к более глубокой их трактовке. С этой целью рассмотрим мысленный эксперимент, демонстрирующий

то, каким образом можно было бы при™ готовить такие состояния. Для начала вкратце обсудим, как можно приготовить когерентное состояние.

В классической механике ПГО можно привести в движение, растянув пружину таким образом, что осцилляции будут происходить относительно нового положения равновесия (рис. 2.4). В квантовой механике можно проделать то же самое, но следует уточнить, каким образом мы приготовим начальное состояние ПГО. Пусть ПГО представляет собой ча™ стицу массой пг, с зарядом е в поле Eq (рис. 2.4). Тогда гамильтониан имеет вид

2 [

匿=£^ + /d — еЕох. (254а)

Рис. 2.4. Потенциал, отмеченный пунктир™ ной линей, вызывает осцилляции частицы с массой m и зарядом е относительно положения ж = 0. Приложение постоянного электрического поля эквивалентно растяжению пружины до нового положения рав™ новесия жо, относительно которого будет совершать осцилляции точечный зарядРис. 2.4. Потенциал, отмеченный пунктир™ ной линей, вызывает осцилляции частицы с массой m и зарядом е относительно положения ж = 0. Приложение постоянного электрического поля эквивалентно растяжению пружины до нового положения рав™ новесия жо, относительно которого будет совершать осцилляции точечный зарядкоторый можно записать как

Рис. 2.4. Потенциал, отмеченный пунктир™ ной линей, вызывает осцилляции частицы с массой m и зарядом е относительно положения ж = 0. Приложение постоянного электрического поля эквивалентно растяжению пружины до нового положения рав™ новесия жо, относительно которого будет совершать осцилляции точечный заряд

Рис. 2.4. Потенциал, отмеченный пунктир™ ной линей, вызывает осцилляции частицы с массой m и зарядом е относительно положения ж = 0. Приложение постоянного электрического поля эквивалентно растяжению пружины до нового положения рав™ новесия жо, относительно которого будет совершать осцилляции точечный заряд

2 m2 \ к /2 m2 \ к /(2546)(2546)

2 m2 \ к /

2 m2 \ к /

(2546)

(2546)

В (2546) отражен хорошо известный

факт, что приложение линейного потен-

циала к ПГО приводит к смещению его положения равновесия. Очевидно, такими

же будут и решения. Таким образом, приготовлено смещенное основное состояние (рис. 2.4). При отключении постоянного электрического поля, т. е. при Eq = 0, будет иметь место когерентное состояние |а〉, осциллирующее без изменения формы.

Необходимо отметить, что приложение постоянного электрического поля к ПГО математически эквивалентно действию оператора смещения (2.2.8) на состояние |0) (рис. 2.4).

Рассмотрим далее, как приготовить сжатое состояние. Предположим, что мы вновь прилагаем постоянное электрическое поле, но на сей раз введем некий барьер, ограничивающий ПГО пределами конечной области, как показано на рис. 2.5а.

В этом случае, волновой пакет, вероятно, деформируется или «сожмется» при столкновении с барьером. Также следует ожидать, что квадратичный потенциал смещения, изображенный на рис. 2.55, создаст сжатый волновой пакет. Чтобы показать, что это действительно так, рассмотрим гамильтониан ПГО в присутствии

квадратичного потенциала:

(2.5.5а)(2.5.5а)匿=——h ^kx2 — еЕ0(ах — 5ж2),

(2.5.5а)

(2.5.5а)

|~gj^)|~gj^)т^ еjZLQ-CL 人т^ еjZLQ-CL 人БарьерБарьер«суженный» потенциал ПГО«суженный» потенциал ПГОРис. 2.5. Потенциал ПГО сначала смещается постоянным электрическим полем, а затем «искажается» барьерами, которые ограничивают осцилляции заряда в пределах конечной области (а); потенциал ПГО смещается и «сужается» квадратичным по™ тенциалом смещения (6)Рис. 2.5. Потенциал ПГО сначала смещается постоянным электрическим полем, а затем «искажается» барьерами, которые ограничивают осцилляции заряда в пределах конечной области (а); потенциал ПГО смещается и «сужается» квадратичным по™ тенциалом смещения (6)⑹⑹Исходное основное состояниеИсходное основное состояниеРис. 2.6. Сжатие волнового пакета смещенным «суженным» квадратичным потенциалом ПГОРис. 2.6. Сжатие волнового пакета смещенным «суженным» квадратичным потенциалом ПГО

|~gj^)

|~gj^)

т^ е

jZLQ-CL 人

т^ е

jZLQ-CL 人

Барьер

Барьер

«суженный» потенциал ПГО

«суженный» потенциал ПГО

Рис. 2.5. Потенциал ПГО сначала смещается постоянным электрическим полем, а затем «искажается» барьерами, которые ограничивают осцилляции заряда в пределах конечной области (а); потенциал ПГО смещается и «сужается» квадратичным по™ тенциалом смещения (6)

Рис. 2.5. Потенциал ПГО сначала смещается постоянным электрическим полем, а затем «искажается» барьерами, которые ограничивают осцилляции заряда в пределах конечной области (а); потенциал ПГО смещается и «сужается» квадратичным по™ тенциалом смещения (6)

⑹

⑹

Исходное основное состояние

Исходное основное состояние

Рис. 2.6. Сжатие волнового пакета смещенным «суженным» квадратичным потенциалом ПГО

Рис. 2.6. Сжатие волнового пакета смещенным «суженным» квадратичным потенциалом ПГО

где член ах приводит к смещению осциллятора, а член Ьх2 вводится в качестве барьера, «сжимающего волновой пакет». Перепишем (2.5.5а) в виде

(2.5.56)(2.5.56)2[

(2.5.56)

(2.5.56)

老=——卜-{k + 2еЬЕд)х2 — eaEQx.

Из (2556) видно, что вновь имеет место смещенное основное состояние, но на этот раз с большей эффективной жесткостью пружины, k' = к + 2еЬЕ^. Это, безусловно, означает, что имеется сжатый смещенный волновой пакет, показанный на рис. 2.6. Это и есть желаемый результат.

В заключение заметим, что для создания когерентного состояния важна именно та часть линейного потенциала смещения, которая содержит оператор рождения. В то же время при создании сжатого когерентного состояния оказываются важны двухфотонные а+" и а" вклады, содержащиеся в члене 5ж2 в выражении (2.5.5).

Сжатые состояния и соотношение неопределенности

Обосновав изучение и природу сжатых состояний, рассмотрим, какими еще свойствами они могут обладать. Рассмотрим два эрмитовых оператора Л и В, удовлетворяющих коммутационному соотношению

[Л, В] = iC.(2.6.1)

Согласно принципу неопределенности Гейзенберга произведение неопределенностей в определении средних значений двух переменных Л и В задается выражением

△4△石?；1〈。〉1工(262)

Состояние системы называется сжатым состоянием, если неопределенность одной из наблюдаемых (скажем Л) удовлетворяет неравенству

(△4)2e；1〈0〉1*(263)

Если, помимо условия (2.6.3), среднеквадратичные отклонения удовлетворяют также соотношению минимальной неопределенности

(264)(264)△ЛДВ = ||(С)|,

(264)

(264)

то такое состояние называется идеальным сжатым состоянием.

Таким образом, в сжатом состоянии величина квантовых флуктуаций одной из переменных становится меньше, чем в симметричном состоянии с минимальной неопределенностью [(ДЛ)2 = (ДВ)2 = |(С)|/2], за счет соответствующего увеличения флуктуаций сопряженной переменной. При этом соотношение неопределенностей не нарушается.

В качестве примера рассмотрим квантованное одномодовое электрическое поле частотой 沙：

e⑴=确а(265)

где а и а+ удовлетворяют коммутационному соотношению

[а, а+] = 1.(2.6.6)

Введем эрмитовые операторы амплитуды

К = ；(а + а+),(267)

X2=元(a一a+)*(2.6.8)

Очевидно, что X] и Х2, по существу, представляют собой операторы безразмерных координаты и импульса:

,2 方/

ж™™+ а十),

Из (2.6.6) следует, что X] и X? удовлетворяют коммутационному соотношению

Рис. 2.7. Области неопределенности и соответствующие им графики зависимости электри™ ческого поля от времени: когерентное состояние (а); сжатое состояние с уменьшенным шумом в Xi (6); сжатое состояние с уменьшенным шумом в X? (в)Рис. 2.7. Области неопределенности и соответствующие им графики зависимости электри™ ческого поля от времени: когерентное состояние (а); сжатое состояние с уменьшенным шумом в Xi (6); сжатое состояние с уменьшенным шумом в X? (в)

Рис. 2.7. Области неопределенности и соответствующие им графики зависимости электри™ ческого поля от времени: когерентное состояние (а); сжатое состояние с уменьшенным шумом в Xi (6); сжатое состояние с уменьшенным шумом в X? (в)

Рис. 2.7. Области неопределенности и соответствующие им графики зависимости электри™ ческого поля от времени: когерентное состояние (а); сжатое состояние с уменьшенным шумом в Xi (6); сжатое состояние с уменьшенным шумом в X? (в)

С помощью этих операторов выражение (2.6.5) можно записать как

Е⑴=266(X1 cos 1Д + Х2 sin 沙力)，(2610)

т. е. эрмитовые операторы X】и Х2 можно рассматривать как амплитуды двух квадратур поля, имеющих разность фаз, равную тг/2. Согласно (2.6.9), соотношение неопределенностей этих амплитуд имеет вид

△Х1АХ2》|.(2611)

Условием сжатого состояния является выполнение неравенства

(△X/ < I (6 = 1 или 2).(△X/ < I (6 = 1 или 2).(2612)(2612)

(△X/ < I (6 = 1 или 2).

(△X/ < I (6 = 1 или 2).

(2612)

(2612)

Если, наряду с (2.6.12), выполняется равенство

△Х1ДХ2 = ；,(2613)

то имеет место идеальное сжатое состояние.

В следующем разделе мы рассмотрим двухфотонное когерентное состояние, ко™ торое является примером идеального сжатого состояния. А пока отметим, что когерентное состояние \а) и фоковское состояние |п) не являются сжатыми состояниями. Из (2.6.7) следует, что в случае когерентного состояния

(△Xi)2 = g|xBa〉_(g|Xi|a〉)2 =

=:〈а|[а" + аа+ + а+а + (а+)2]|а) — ^[(а|(а + а+)|а)]2 = : (2.6.14)

и

(△Ха)? = :.(2615)

По аналогии, для фоковского состояния,

(△Х1)2 =⑴|Х：|小一((n|Xi|n))2 = ；(2?z + 1),(2616)

(△Ха)? = ；(2?z + D(2617)

На рис. 2.7 изображены области неопределенности для X] и X? и соответствующие им зависимости электрического поля от времени для когерентного состояния, сжатого состояния с уменьшенным шумом в Xi и сжатого состояния с уменьшенным шумом в X?. Каждая точка в области неопределенности для различных состояний соответствует волне с определенной амплитудой и определенной фазой. Следовательно, суммирование всех таких волн в пределах этой области дает неопределенности электрического поля, которые представлены на графике в виде заштрихованной области. Электрическое поле в когерентном состоянии (рис. 2.7а), для которого неопределенности величин X] и X? равны, имеет постоянное значение среднеквадратичного отклонения. Электрическое поле в сжатом состоянии с уменьшенным шумом в X] (рис. 2.76) обладает уменьшенной амплитудной неопределенностью за счет увеличения фазовой неопределенности, тогда как для электрического поля в сжатом состоянии с уменьшенным шумом в X? (рис. 2.7в) ситуация прямо противоположна.

Оператор сжатия и сжатые когерентные состояния

В разд. 2.5 упоминалось, что квадратичные по ж члены, т. е. члены вида (口 + 口十)", играют важную роль в создании сжатых состояний. Учитывая это, имеет смысл рассмотреть вырожденные параметрические процессы в связи с созданием таких состояний поля излучения. Действительно, как показано в гл. 16, физику сжатых состояний, в основном, можно подробно рассмотреть на примере вырожденного параметрического процесса. Соответствующий двухфотонный гамильтониан можно записать в виде

匿=访(ga+2 —g%2),(271)

где g ——константа взаимодействия. В результате создается состояние поля вида

что приводит нас к определению унитарного оператора сжатия

S® = ехр— ；.+2),(273)

где £ = г ехр (沁)一произвольное комплексное число. Легко видеть, что

s+(a = sT(a = s(—а*⑵小)

Непосредственное применение формулы

еАВ 已―厶=石 + [Л, В] + ^[А^А,石]]+ …(275)

приводит к следующим полезным свойствам преобразования с помощью унитарного оператора сжатия:

S+(£)aS(£) = a ch『一口十百'"sh г,(2.7.6)

S+(£)a+S(H = а+ ch『—а sh 冗(277)

Определив повернутую на угол 少/2 комплексную амплитуду как

К + £М = (Xi + 6X2)е—^/2,(278)

из (2.7.6) получим

S+(£)(W + MW® = %+ М е。(279)

Сжатое когерентное состояние |а, £〉получается в результате воздействия на вакуумное состояние оператора смещения О (а) и последующего воздействия на полученное состояние оператора сжатия S(£), т. е.

|a，6 = S(aO(a)|0〉，(2710)

где а = |а|ехр (成夕).Как уже упоминалось ранее, когерентное состояние создается членами, линейными по а и а+, под знаком экспоненты, тогда как для создания сжатого состояния необходимы квадратичные члены.

В дальнейшем мы обсудим некоторые свойства сжатого когерентного состояния поскольку оно является каноническим примером сжатого состояния.

Дисперсия квадратур. Средние значения операторов в состоянии |а, £〉 можно найти, воспользовавшись определением (2.7.10) и свойствами операторов смещения и сжатия (2.7.3). Тогда

〈а〉=〈а,£|а|а，а = {0\D+(a)S^ (C)^^^)D(a)\0)=

=(а|(а ch『—а+ 合"sh r)\a} = a ch『—а* 已載"sh г, (2.7.11)

(«2)=〈(/)》= (0\D^(a)S^^a2S(C)D(a)\0) =(Q15+(9a5(£)5+(£)a5(£)1q〉=

=a" ch"『+ (a*)? sh?『一2|а『已載"sh『chегд ch r sh г, (2.7.12)

〈а%〉= |a|2(ch2 г + sh2 г) — (а*)2 ег^ sh г ch г — а2 е^г^ sh г ch г + sh2 г. (2.7.13)

С помощью этих средних значений можно вычислить дисперсии повернутых ампли™ туд 吟 и 匕.Подставляя выражения для X】и X? из (2.6.7) и (2.6.8), получаем

匕 + 分匕=" 巳(2714)

так что

（△h）2 =（行）_（匕产=；ка е-6/2 + 小 /力2）2）_ ；（m e-W2 + a+ /力2炉=

=气演ё一出+小2 /6 + a小+ a%）- :（sё一通2+小/刀2〉『=| 宀 （2715）

（△匕）2 = ；”；（2716）

\（2717）

Следовательно сжатое когерентное состояние является идеальным сжатым состоянием. Как показано на рис. 2.8, в плоскости комплексной амплитуды область неопреде-

Рис. 2.8. Область ошибок сжатого когерентного состоянияРис. 2.8. Область ошибок сжатого когерентного состояния

Рис. 2.8. Область ошибок сжатого когерентного состояния

Рис. 2.8. Область ошибок сжатого когерентного состояния

ленности, имеющая форму круга для когерентного состояния, сжимается в эллипс той же площади. Главные оси эллипса направлены вдоль 匕 и 匕,повернутых на угол 少/2 относительно X] и X?, соответственно. Степень сжатия определяется величиной г = |^|, которая получила название параметра сжатия.

Многомодовое сжатие

Одномодовое двухфотонное когерентное состояние можно обобщить на случай многомодового сжатого состояния, используя генератор, который содержит произведения операторов уничтожения （и рождения） для пар коррелированных мод, расположенных симметрично относительно моды, с частотой, скажем, и. Для начала рассмотрим простейший случай двухмодового сжатия, а затем обобщим его на случай многомодового сжатия. Двухмодовое сжатое состояние получается в результате действия унитарного оператора

（2.8.1）（2.8.1）

（2.8.1）

（2.8.1）

на двухмодовый вакуум.

Чтобы показать, что операторы, связывающие две моды, обладают способностью

к сжатию, введем коллективные операторы рождения и уничтожения:

b+ = ± [4+^ + /%"”，]，(2.8.2)

b = ± …，+「"К ”(2&3)

Квадратурные компоненты задаются выражениями

bi = l(b^b^l(2"8"4)

匕2 =》—+)*(2&5)

Соответствующее соотношение неопределенностей имеет вид

△心匕2》；*(2.8.6)

Дисперсии двух составляющих в двухмодовом сжатом вакуумном состоянии равны

(△3)2 =:卜хр(—2『) cos2 (I - I) + exp(2r) sin2 £ — 0],⑵87)

(△匕2产=:[exp(2r) cos2 £ — ^) + exp(—2『)sin2 £ — ^)] .(2尽8)

В двух частных случаях при 6 —少=0 и тг, имеет место идеальное сжатое состояние с уменьшенными флуктуациями величин bi и 62, соответственно.

Аналогичным образом можно сжать многомодовое вакуумное состояние. Опера™ тор многомодового сжатия определяется выражением

$[£(〃)] = ] ^ exp [£*(J)a"+ja"" - £(力亡十”“二小 (2”8*9)

Здесь интегрирование осуществляется по положительной частотной области и 式〃)= =r(i^) exp [i^]. Многомодовое сжатое когерентное состояние можно получить, по аналогии с (2.7.10), первоначально смещая вакуумное состояние, а затем сжимая полученное состояние с помощью многомодовых операторов смещения и сжатия:

|а(〃),式沙)〉=S[£(〃)]O汝⑵]|»(2-8.10)

где |0)——многомодовое вакуумное состояние.

Задачи

Покажите, что

а+|а〉〈а| = (&* + ^) |«)(«| и \а){а\а = (а + 鼻网〉〈斗

Покажите, что среднее значение оператора смещения О (а) для поля теплового источника определяется выражением

〈。("=ехр [—|а『(⑺ + j)],

где (п) — среднее число фотонов поля.

Временная эволюция волнового пакета (2.3.14) определяется уравнением Шредингера для гармонического осциллятора:

Общее решение этого уравнения можно выразить через стационарные волновые функции следующим образом:

以S 力)=£ ^пфп(я) e^iEnt/h,

где Еп = (n + 1/2)方〃,an — произвольные коэффициенты. Используя условия ортонормированности волновых функций 0几(q), найдите ап, доказав тем самым (2.3.15).

Получите выражение (2.3.16).

Альтернативное определение для сжатого когерентного состояния имеет вид

К £〉= D(a)S^)\0),

где £ = г ехр (г^). Покажите, что дисперсии квадратурных составляющих 匕 и 匕，таких что

определяются выражениями

(△匕

Рассмотрите двухмодовое сжатое состояние, определяемое выражением

а2, 6 = Oi(ai)O2(a2)Si2(f)|0〉，

где

D»(m) = exp (ma^ — a；&) (i = 1, 2)

——оператор смещения для двух мод, описываемых операторами уничтожения и рождения aj и 疗)

Si2(f) = ехр (Ад 十 £片<4)

——оператор двухмодового сжатия, |0)——двухмодовое вакуумное состояние. Покажите, что каждая мода в отдельности не является сжатой. (Указание: см. Barnett and Knight, 1985.)

Говорят, что состояние сжато в TV-м порядке, если 〈(△X〃)7V〉(分= 1 или 2) меньше, чем соответствующее значение для когерентного состояния. Здесь

Xi 二 |(а + а+),

Х2 =小@ - а+).

Покажите, что условием сжатия TV-ro порядка является выполнение неравенства

<0,

гдегде/ 1、N —2

где

где

— Q) (N —1)!L

(Указание: см. Hong and Mandel, 1985.)

Рассмотрите эрмитовы операторы, соответствующие действительной и мнимой составляющим квадрата комплексной амплитуды поля:

К = |(片 + tt+2), Х2 = ±(『—

Покажите, что условие сжатия имеет вид

〈△X：〉＜〈q+q〉+ I (г 二 1 или 2).

Этот вид сжатия называется амплитудно-квадратичным сжатием. Покажите, что амплитудно-квадратичное сжатие является неклассическим эффектом. (Указание: см. Hillery, 1987).

Список литературы

Когерентные состояния поля излучения

Schrodinger, Е. Naturwissenschaften 14, 664 (1926).

Kennard, Е. Н. Z. Physik 44, 326 (1927).

Glauber, R. J. Phys. Rev. 130, 2529 (1963).

Glauber, R. J. in Quantum Optics and Electronics, Les Houches, ed. C. DeWitt, A. Blandin, and C. Cohen-Tannoudji (Gordon and Breach, New York 1965). [Глаубер P. В кн. Квантовая оптика и радиофизика (Мир, Москва, 1966), с. 91-279.]

Mandel, L. and Wolf, Е. Rev. Mod. Phys. 37, 231 (1965).

*Клышко Д.Н. Фотоны и нелинейная оптика (Наука, Москва, 1980).

Klauder, J. R. and Skagerstam, В. S. Coherent States, (World Scientific, Singapore 1985). Эта книга представляет собой превосходное собрание статей по когерентным состояниям.

* Килин С.Я. Квантовая оптика: поля и их детектирование (Наука и техника, Минск, 1990).

Обзоры по сжатым состояниям

Walls, D. F. Nature 306, 141 (1983).

Leuclis, G. in Non-equilibrium Quantum Statistical Physics, ed. G. T. Moore and M. O. Scully (Plenum, New York 1985), p. 329.

Loudon, R. and Knight, P. L. J. Mod. Opt. 34, 709 (1987).

Zaheer, K. and Zubairy, M. S. in Advances in Atomic, Molecular and Optical Physics Vol. 28, ed. D. R. Bates and B. Bederson (Academic Press, New York 1990), p. 143.

* Ахманов C.A., Белинский А.В., Чиркин А.С. В кн. Новые физические методы оптической обработки информации, ред. Ахманов С.А., Воронцов М.А. (Наука, Москва, 1990), с. 83.

Сжатое когерентное состояние

Stoler, D. Phys. Rev. D 1, 3217 (1970).

Lu, C. Y. E. Lett. Nuovo Cim. 2, 1241 (1971).

Sargent III, М., Scully, М. О. and Lamb, W. Е., Jr., Laser Physics, (Addison-Wesley, Mass. 1974).

Yuen, H. P. Phys. Rev. A 13, 2226 (1976).

Hollenliorst, J. N* Phys. Rev. D 19,1669 (1979).

Schleich, W. and Wheeler, J. A. Nature 326, 574 (1987); J. Opt. Soc. Am. В 4, 1715 (1987).

Применение сжатых состояний в интерферометрии

Caves, С. М. Phys. Rev. D 23, 1693 (1981).

Xiao, M., Wu, L. A., and Kimble, H. J. Phys. Rev. Lett. 59, 278 (1987).

Gea-Banacloclie, J* and Leuclis, G. J. Opt. Soc. Am. В 4, 1667 (1987).

Многомодовое сжатие

Caves, С. M. Phys. Rev. D 26, 1817 (1982).

Barnett, S. M. and Knight, P. L. J. Opt. Soc. Am. В 2, 467 (1985).

Caves, С. M. and Schumaker, B. L. Phys. Rev. A 31, 3068 (1985).

Schumaker, B. L. and Caves, С. M. Phys. Rev. A 31, 3093 (1985).

Сжатие высшего порядка

Fisher, R. A., Nieto, M. M. and Sandberg, V. D. Phys. Rev. D 29, 1107 (1984).

Hillery, M., Zubairy, M. S. and Wodkiewicz, K. Phys. Lett. 103A, 259 (1984).

D7Ariano, G., Rasetti, M. and Vadaccliino, N. Phys. Rev. D 32, 1034 (1985).

Hong, С. K. and Mandel, L. Phys. Rev. Lett. 54, 323 (1985).

Braunstein, S. L. and McLaclilam, R. I. Phys. Rev. A 35, 1659 (1987).

Hillery, M. Phys. Rev. A 36, 3796 (1987); Opt. Commun. 62, 135 (1987).

Глава 3

ТЕОРИЯ КВАНТОВЫХ

РАСПРЕДЕЛЕНИЙ

И ЧАСТИЧНО КОГЕРЕНТНОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ

В предыдущих главах было показано, что существуют квантовые флуктуации в состояниях, соответствующих классически вполне определенным электромагнитным полям. В общем случае, для описания флуктуаций необходим оператор плотности. Однако, существует альтернативное, но эквивалентное описание с помощью функций распределения. В данной главе мы продолжаем исследование квантовых статистических явлений, развивая сначала теорию квазиклассических распределений. Это интересно по нескольким причинам.

Во первых, необходимо расширить квантовую теорию излучения с тем, чтобы рассмотреть неквантовые стохастические эффекты, такие как тепловые флуктуации. Это является важной составляющей теории частичной когерентности. Кроме того, такие распределения делают понятной связь между классической и квантовой теориями. Ярчайшим примером является распределение Вигнера 】).

В данной главе вводятся различные функции распределения. Сюда входит представление когерентных состояний или P-распределение Глаубера-Сударшана. С его помощью вычисляются нормально упорядоченные корреляционные функции полевых операторов. Как будет показано в следующей главе, P-распределение устанавливает соответствие между квантовой и классической теориями когерентности. Для некоторых состояний поля эта функция распределения не обладает всеми свойствами классических функций распределения, например, она может быть отрицательной. Помимо представления когерентных состояний, мы обсудим так называемое Q-распределение, связанное с антинормально упорядоченными корреляционными функциями, а также приведем другие функции распределения и их свойства.

Представление когерентных состояний

Изучение связи квантовой и классической теорий представляет значительный интерес. Эта связь нигде не проявляется так ярко, как в квантовой оптике, где мы часто сталкиваемся с задачей описания полей, которые весьма близки к классическим,

В Первое квазиклассическое распределение (Wigner, 1932) было введено для волновой функции. В более поздней работе (Moyal, 1949) распределение Вигнера было получено с помощью характеристических функций. Обзоры данного вопроса даны в работах Hillery, О5Соппе1, Scully and Wigner (1984) и Reichl (1980). Рекомендуем также прочесть весьма хорошо написанные учебники (Louisell, 1974; Walls and Milburn, 1994 и Cohen, 1995), расширяющие концепцию квазиклассического распределения.

но обладают важными квантовыми свойствами. Когерентные состояния являются весьма подходящими для такого рода исследований. Чтобы показать, почему это так, напомним, что в случае флуктуирующего классического поля мы, как правило, имеем дело с распределением вероятности Р(^) для комплексной амплитуды поля 片=I例 £汹(рИС. 3.1).

Рис. 3.1. Флуктуирующее классическое поле как функция времени в случае сильно флуктуирующего поля (сплошная линия) и в случае стабилизированного поля (пунктирная линия) (а); соответствующие распределения вероятности (5)

В квантово-механических задачах в основе распределения вероятности системы лежит статистический оператор или оператор плотности, который определяется следующим образом. Предположим известно, что система находится в состоянии |“> Тогда, среднее значение оператора О равно

〈О〉км = @|О|">(3.1.1)

Однако, как правило, можно говорить лишь о вероятности % того, что система находится в состоянии 侬〉,и, следовательно, необходимо также провести усреднение по ансамблю:

〈〈。〉КМ〉ансамбль = e4@101办"(зД.2)

Далее, используя свойство полноты ^п |п)(п|=1, можно записать, что

〈〈0» = е£4@|0期)办=Ee401办01。⑺=J2(n\pО\n^ (з丄3) n -0П -0П

Таким образом, поле излучения, в общем случае, описывается оператором плотности

Р = E/1 办("小(3 丄 4)

где Р“ ——вероятность того, что система находится в состоянии \ф\ Тогда среднее значение любого оператора поля О определяется выражением

3 MQ* Скаллт, М“С Зубайри

где Тг означает след. Оператор плотности можно разложить по состояниям чисел заполнения фотонов:

p = е£|几〉〈词川6〉=eeрпт\п}(т\.(3.1.6)

п тn m

Также возможно осуществить разложение по когерентным состояниям:

O = J]S?a〉S№M(3 丄 7)

Следуя Глауберу, определим 足распределение как

к(а*/) = дм3〉£^(G『 +网2),(3丄8)

так что оператор плотности может быть записан в виде

p= WW1a)〈例A9*/)£斗(也"向。(3 丄 9)

Таким образом, для того чтобы точно определить оператор плотности, мы использовали два индекса п и т, или а и Д.

Далее мы установим связь с Р(^), разработав диагональное представление по когерентным состояниям. То есть, ниже мы выразим оператор плотности р через диагональные пары |а)(а|.

Определение представления когерентных состояний. Рассмотрим оператор Одг(а,а+), представляющий собой нормально упорядоченную функцию операторов а и а+ (все операторы рождения а+ стоят слева от операторов уничтожения а), т. е.

ON(a, а+)= ££спто(а+)пап\(ЗАЛО)

Заметим, что любой оператор, зависящий от а и а+, можно привести к нормально упорядоченному виду, используя коммутационное соотношение [а, а+] = 1. Например, q2q+ = q+M 十 2а. Тогда для среднего значения оператора О^(а^ q+) можно записать

(О^(а, а+)〉= Тг [рО^(а, ◎+)] = ££ cnmTr [“小广а叫(3.1.11)

Определим оператор (см. приложение З.А)

5(а* — @+) 5(а — а) = 4 ехр[—/3(а* — а+)] ехр[/3*(а — а)]储仇 (3.1.12a) 7Г J

или

5(а* — а+) 5(а — а)=」ехр[—分/3(а* — а+)] ехр[—分/3*(а — а)]储乱(3.1.126)

7Г J

Далее в тексте мы будем попеременно использовать эквивалентные друг другу выражения (3.1.12а) и (3.1.126). Тогда (3.1.11) можно переписать в виде

(ОN〈а〉а*)〉二储аЕЕсптТг 価 5(а* — а+) 5(а — а)](а*)папг =

где

Р(а, а*) = Тг 历 5(а* — @十)5(а — а)].(3.1.14)

Из (3.1.13) видно, что с помощью функции Р(а, а*) можно вычислить средние значения любой нормально упорядоченной функции операторов а и а+, используя методы классической статистической механики. В силу эрмитовости оператора плотности р, функция распределения Р(а, а*) является действительной. Кроме того, поскольку Тг (р) = 1, Р(а, а*) нормирована на единицу, т. е.

P(a,a*)d2a = L(31.15)

Функция F(q, q*) известна как P-представление или P-распределение по когерентным состояниям. Термин Р-представление состояния р возник благодаря тому, что существует диагональное разложение оператора плотности р по когерентным состояниям вида х)

0= F(q, q*)|q〉〈q| d2a.(3.1.16)

Равнозначность определений (3.1.14) и (3.1.16) для Р(а, а*) можно легко доказать, подставляя выражение (3.1.16) для р в (3.1.14). В следующей главе будет показано, что F(q, q*) устанавливает соответствие между классической и квантовой теориями когерентности. Прежде чем рассмотреть некоторые примеры Р-распределений, приведем простой алгоритм, позволяющий найти Р(а, а*), зная р. Пусть |Д) и ™|Д) являются когерентными состояниями с собственными значениями оператора а, равными Д и —乱 соответственно. Тогда, учитывая (2.4.7),

〈一/3m1/3)= р(а, a*)(-Д1aХa1Д)储a =

=[Р(а,^)е^]е^а^^а d2a. (3.1.17)

Заметим здесь, что если а 二①仪 + iy& и 户 二算万十 iyp, то d2a = dxa dya и Да* — —/3*а = 2i(y^xa —虞万gj a выражение (3.1.17) приобретает вид

(-Д|р|Д) /例 2 = [琮十必)]& 认 УВ 虞 а —虞 ВПа) dXa dya^(31.18)

Таким образом, (—f3\p\(3) “『представляет собой двумерное фурье-преобразование от Р(а, а*) £-闷 .Отсюда видна полезность матричного элемента (™Д|р|ДХ посколь™ ку обратное фурье-преобразование позволяет легко выразить Р(а, а*) через оператор плотности р. Осуществляя обратное преобразование Фурье (3.1.17), получаем

искомое выражение:

口a, a*) =—(_向0也)e^+,^)e?认…服0匈0=

Примеры распределений по когерентным состояниям. В качестве первого примера, вычислим F(a, а*) для теплового излучения. Поле, излучаемое источником в состоянии теплового равновесия при температуре Т, описывается каноническим

ансамблем:

(3.1.20)(3.1.20)—вхр(—%ДвТ)

(3.1.20)

(3.1.20)

Р = Tr [вхр(—JT/AtbT)『

где 加 ——постоянная Больцмана,発=方"(q+q + 1/2)——гамильтониан свободного поля. Для простоты ограничимся рассмотрением одной моды поля. Подставляя выражение для 発 в (3.1.20), получаем

0 =工[1 — ёхp (一名)]ёхp (一若)I小04(3121)

Соответственно,

⑴〉=Тг(а+ар) = [exp (^?) 一 1]•(3丄22)

Таким образом, выражение (3.1.21) можно переписать в виде

^ = £(Г^^(3 丄 23)

Отсюда следует хорошо известный результат, что распределение фотонов в тепловом поле описывается распределением Бозе-Эйнштейна, т. е.

Pnm = (п\р\п)=(]—工.(；.尸「(3.1.24)

Теперь подставим выражение (3.1.23) для р в (3.1.19). Заметим, что

(一例"0〉= e(一例几乂创用=

„ (i + 仇〉)

卜唄у

и,следовательно,

口a, a*) =j储g = 1G|2/3[ (3丄26)

7Г (1 +(П)) J7Г

т. e. P-распределение теплового излучения является гауссовым. В качестве другого примера, рассмотрим P-распределение когерентного состояния〔а。〉. В этом случае р = |«о)(aoh так что

〈一例"0〉= (-Д|аоХ«о|Д) = ехр(—|ао|2 -网2 - a()/3* + Д«о)-(3丄27)

Тогда из (3.1.19) следует, что

Р(а, а*) = Л е|а|2^|а°|2 [厂万(『У)+0*9-。。)必炉=5 ⑵(а — а0),(3128)

7ГJ

т. е. F-представление когерентного состояния представляет собой двумерную дельтафункцию.

Хотя F-распределение позволяет нам вычислять нормально упорядоченные корреляционные функции полевых операторов а и а+, оно не является неотрицательно определенным и, как таковое, не является функцией распределения для некоторых состояний поля. Это легко показать, вычисляя P-представление состояния с определенным числом частиц ⑺,для которого р = \п) (п|, и

(一向=(一向小S 3〉= eхр(一Ю『 丿-Z『 功(3丄29)

Соответствующее F-представление, таким образом, имеет вид

[ |Д|2п储g =

7Г J

|а|2 о2п г|а 产 o2n

=c2e I⑵(a). (31.30)

7г и! аа oa Joa oa \ ‘、‘

Для n > 0 это выражение, очевидно, не является неотрицательно определенной функцией, и, следовательно, состояние с определенным числом частиц не имеет хорошо определенного Р-представления.

В следующей главе будет показано, что как только распределение фотонов становится уже, чем распределение Пуассона, как это происходит в случае состояния с определенным числом частиц |п), функция Р(а, а*) становится нерегулярной. Это та цена, которую мы платим за вынужденное приведение квантовой теории в соответствие с классической, т. е. за то, что мы используем Р(а, а*) вместо, скажем,

Q-представление

Подобно P-распределению, связанному с вычислением нормально упорядоченных корреляционных функций полевых операторов а и а+, можно ввести другие функции распределения, соответствующие другим типам упорядочений. Функция распределения, позволяющая находить антинормально упорядоченные корреляционные функции, представляет собой так называемое Q-распределение. Оно определяется следующим образом:

Q(q, а*) = Тг[р 6(а — а) 5(а* - а+)].(3.2.1)

Отсюда, вставляя разложение единицы (2.4.6) между 5(а —а) и 5(а* —а+) и используя (2.2.1), получаем, что

Q(a, а*)=丄 tJ d2a7历 5(а — а)|с/〉〈с/1 5(а* — а+)]=

=丄 Tr d2af{р 6(а — af)\af){af\ 5[(а* — (с/)*]}=丄Тг (〃а〉〈а|) = ^{а\р\а),

(322)

то есть, функция Q(a,a*) пропорциональна диагональному элементу оператора плотности в представлении по когерентным состояниям. Из свойства полноты когерентных состояний \а) (выражение (2.4.6)) и условия Тг (р) = 1 следует, что Q(a)а*) нормирована на единицу, то есть

Q(a,a*)d2a = 1.(323)

Для того чтобы увидеть, как антинормально упорядоченные корреляционные функции операторов а и а+ вычисляются с помощью Q-распределения, определим сначала антинормально упорядоченную функцию 0幺(@, а+),

Ол(а,dnman(a^m\(324)

Отсюда следует, что

(04(a, a+))= тг [04(а, a+)P]=

=££dnmTr[an^)mp] = ЕЕ^nm.Tr [^an\a)(a\(a^mpd2^ = n mп т

= ^2^2%m,； ^n^^^m^i^i^^ ^2q = f Q^a^ а*)Ол(а, d2a, (325) n m JJ

где, в первой строке, вставили

—|а)(а| d2a = 1.(3.2.6)

В отличие от P-распределения, функция Q(a, а*) является неотрицательно определенной и ограниченной. В этом можно убедиться, подставляя р из (3.1.4) в (3.2.2). Получаем

Q(…*) = ：£%|3| ①匕(327)

Поскольку |(^|а)|2 W 1, имеем

Q(a,a*) W ；(328)

Q-распределение можно связать с F-распределением, вычислив диагональный элемент р по когерентным состояниям в (3.1.16). Результат имеет вид

Q(a, а*) = J 口区 а'*) с」"『d2a\(329)

Например, функция Q(a,a*) для состояния с определенным числом частиц \п) имеет вид

一 I а I * 2п

Q(q,q*) = ^|(п|а)|2 = —,(3.2.10)

7Г7ГП!

то есть является регулярной функцией. Q-распределение для сжатого состояния определяется в разд. 3.5.

Распределение Вигнера-Вейля

До сих пор мы рассматривали различные функции распределения, а именно Ри Q-распределения, отвечающие, соответственно, нормальному и антинормальному

упорядочениям операторов а и а+. Подобным образом можно вывести функции распределения, отвечающие другим упорядочениям.

Короче говоря, мы ввели функции

Р(а, а*) = Тг [Ь(а* — о+) 5(а — а)р],(3.3.1а)

Q@ а*) = Тг [Ь(а — а) Ь(а* — а+)р],(3.3.16)

которые можно записать через так называемые характеристические функции. Например, подставляя (3.1.126) в (3.3.1а), получаем

Р(а.a^) = -4 卜2/6T卽*一声a0(几)(仇0)(3.3.2)

7Г J'

где характеристическая функция О(п)(/,«*) определяется как

О⑺二 Тг (J例+ е^ар) .(3.3.3)

Аналогично можно записать (3.3.16) в виде

Q@a*) = -4/储户「加 *7%0(叫乱0)(3.3.4)

7Г J'

где характеристическая функция

О(а)(仪/*) =Тг(产*а 产小0)”(3.3.5)

Другое полезное распределение, введенное Вигнером и Вейлем, определяется как

Ж(а,а*) = -4 [⑶(/,/)(3.3.6)

где характеристическая функция。⑶(仇 /3*) задается выражением

C(s\f3. /*)二 Tr(e^a++i^ap) .(3.3.7)

Эта функция распределения Ж (а, а*) отвечает симметричному упорядочению. Ее можно использовать для вычисления средних значений произвольных симметрично упорядоченных функций а и а+ в классической манере. Например,

；〈аа+ + а+а〉= Ж (а, а*)аа* d2a.(3.3.8)

В приложении З.Б описывается процедура нахождения с-числовых функций 0§(а,а*)) соответствующих симметрично упорядоченной форме оператора О(а,

Исторически, распределение Ж (а, а*) было введено через операторы координаты q и импульса р в виде, эквивалентном следующему

Ж(р, д) = ^^ ] da dr /(『"*)!¥ 广"丁力+嗝力(339)

Чтобы привести это выражение к виду, введенному Вигнером, воспользуемся операторным тождеством

е^+В = еА еВ е^[А,В]/2

справедливом, когда коммутатор [Л, В] коммутирует с операторами Л и В, и запишем (3.3.9) в виде

Ж(р, g) = ^у ] da dr /(巾+bq)^(е^е^ 厂访吋分川.(3.3.10)

Используя циклическую перестановку под знаком следа, получаем

Ж(р,д) =[ dr ei(rp^ Tr(e^iT^2 e^pe^^2) е^т/2^(33ц)

(2тг) J J

Отсюда, записывая след в координатном представлении, получаем

W(p, д) = “ ] de ] dT/(巾+bq)х

x dg’WI 6一2//2 6一沁？…一盯//2|心 6-访ь/2.(3*3.12)

Отмечая, что ехр(—гтр/2)|^/) = \qf —加丁/2〉и т. д., находим

^(рл)=^(рл)=da dr 4~6沁g一'）（d +加丁/2历m，—加7/2）/「匕da dr 4~6沁g一'）（d +加丁/2历m，—加7/2）/「匕(3.3.13)(3.3.13)

^(рл)=

^(рл)=

da dr 4~6沁g一'）（d +加丁/2历m，—加7/2）/「匕

da dr 4~6沁g一'）（d +加丁/2历m，—加7/2）/「匕

(3.3.13)

(3.3.13)

Наконец, интегрирование по а дает функцию b(g — д'), что позволяет осуществить интегрирование по д'. В результате, обозначая у =—加丁/2, записываем Ж(р, д) в обычном виде

(3.3.14)(3.3.14)

(3.3.14)

(3.3.14)

Функция Вигнера вида (3.3.14) широко использовалась при решении множества задач. В следующем разделе мы установим связь этой функции с Р- и Q- распределениями.

Обобщенное представление оператора плотности и связь междуР-, Q- и W-распределениями

Ниже будет представлено обобщенное представление оператора плотности, первоначально введенное Кохеном, и примененное к квантовой оптике Агарвалом и Вольфом. Р-, Q- и Ж-распределения получаются из обобщенного распределения как частные случаи.

Обобщенное представление F^^a,a)оператора плотности имеет вид

р = 7г F^(a, q*)A^^(q а, а^ а+) d2a,(3.4.1)

где

△(◎)(& — о, а* — а+) = ^ ехр[П(Д, /*)] вхр[—/(а* — а+) + /*(а — о)]

Здесь функция ◎(/,/*) (такая, что П(0, 0) = 0) характеризует различные упорядо™ чения. Например, если ◎(/〉/*) = —1/『/2)то имеем E(n)(a,a*) = F(q, q*), а если О(д, Г) = |/『/2, ТО E(g)(q, а*) = Q9, а*).

Чтобы показать это явным образом, рассмотрим сначала функцию

a(仇—三•(343)

Из (2.2.6) и (227) следует, что

ехр (—"^——h /о+ - /%) = вхр(_/*о) вхр(/о+),(3.4.4)

и получаем

△(П)9 —— а+) = Л「产"а)广伙а十)川/ =

=g J 卜叫a1乂@1з2/片a1 = ||q)(qI. (3.4.5)

Подставляя это выражение для △(◎)(& — &, &* — &+) в формулу (3.4.1), вновь получаем определение Р-представления (3.1.16), где F^ (а, а*) = Р(а, а*).

С другой стороны, если выбрать П(/,0*) 二 |/『/2, то

△ ®)(а _ а, а* _ о+)=』j 厂力9*一а+) #*(а—а) *仪(ЗЛ.6)

Из (3.4.1) следует, что

^{а^р^) = F^(a, а*)д[А(п)(а — о, а* — а+)|а,) d%*(347)

Однако из (3.4.6) получаем

g‘|A(q)(a —— а+)|а'〉= Л [{^\е^^а^а+)陳*"叫樹〉d2(3 =

=4 f『) + /Г(а —蕾/ = 6(2)g —(3.4.8)

Выполняя интегрирование по а в (3.4.7), вновь получаем (3.2.2), где Q(a, а*)= =Е(п)(а, а*)*

Другое распределение, введенное Вигнером и Вейлем, получается при правильном выборе Q, а именно, при С(а, а*) = 0. Для этого обратим выражение (3.4.1), используя функцию

△(电(@ — о, — д+) = 3 вхр[—П(/, /*)] вхр[/(а* — а+) — /*(а — о)] d2^. (3.4.9)

Можно показать (см. задачу 3.3), что

Тг [△(◎)(& — о, а* — а+)Д^^(qz — а, а'* — а+)]=丄 6⑵(а — а')(3.4.10)

Тогда из (3.4.1) следует, что

F^\a^ а*) = Тг [рА^\а — о, а* — а+)].(3.4.11)

Из (3.4.9) и (3.4.11) получаем

Ж (а, а*) = ^2 Тг |/>вхр(—/а++/*а)] вхр(/а* —d?仪(3.4.12)

тг J'

Это выражение, как и ожидалось, совпадает с (3.3.6), в котором величина 0 заменяется величиной — £/, а /* ——величиной Е/К Выражения (3.1.14) для Р-распределения

и (3.2.2) для Q-распределения получаются из (3.4.11), при П(Д, /*) = —1/『/2 и ◎(/,/*) = |Д|2/2, соответственно.

Далее выведем явное выражение для распределения Вигнера-Вейля Ж (а, а*). Прежде всего отметим, что Ж (а, а*) является фурье-образом функции

Тг [рехр(—Да+ + Д*а)]/тг2.

Кроме того, ехр(—2|а|2) является фурье-образом функции вхр(—|/『/2)/2тг, то есть

вхр(—2|а『)二 g exp (一 J/『) вхр(/а* — /*а) d2f3.(3.4.13)

Тогда, согласно теореме о свертке,

Ж(а, а*) вхр(—2|а『)= 0(/, /*) вхр(/а* — /*а) *乱(3414)

где С(仇 /*) является сверткой:

0(仪 /*)=苴]Тг {”хрН/ —仇)J + (夕—国)句} exp (^||A|2)片九(3415)

Явное выражение для 0(/, /*) можно получить, используя тождество (2.2.7) и вставляя разложение единицы по когерентным состояниям (2.4.6), следующим образом:

。(仪/*) = ±]]]тг{ЖЫЗ|ехрН/Т1)о+]ехр[(/* —印句 I 仇〉〈仇卜

х exp (—/I/ — /if — g|/iI") d"/i 片小2 d2f3^ =

=^5(仇 101仇)(仇1仇)BXp [- (/ - /1)/； + (/* - /；)仇-g1G -仇12 - |IД112] X

X *仇 *仇 d2f3^. (3.4.16)

После интегрирования по 总 выражение (3.4.16) принимает вид

0(乱/*)= "]卜仇Ml仇)e/21仇〉浊I — //2)片仇片仇=业仍/2m1 - Д/2).

“(3417)

Наконец, подставляя С(Д, Д*) из (3.4.17) в (3.4.14) и меняя переменные интегриро™ вания Д, /3* на —2/, —2/*, получаем

Ж(а,а*) = ^-ехр(2|а|2) 〈一/価也〉вхр[—2(/а*—/*&)]片仪(3.4.18)

7rj-

Это выражение, очень похожее на соответствующее выражение для Р-распределения (3.1.19), можно использовать для вычисления распределения Вигнера-Вейля для заданного оператора плотности поля.

Q-представление сжатого когерентного состояния

В этом разделе мы выведем Q-распределение для сжатого когерентного состояния |Д, ^). Согласно (3.2.2)

Q(a, а*) = ：д|о|а〉= /〔〈а旧 6匕(351)

Теперь учтем, что

m 旧 6 = gis(ao(/)|o〉= gis(ai 办(3.5.2)

Следовательно, нам необходимо вычислить функцию〈a|S(g)|/〉.

Используя свойства когерентного состояния и свойство преобразования (2.7.7) оператора S(^), получаем

g|S(£)|/〉= -^(а\а+ S(C)\P)=

=；gis(as+(ads(ai/〉= 4м^(а(а+『〃％h『)向=

=:卜h『(К + j^*) — сT”/shr| g|S(£)|/〉M (353)

Таким образом, функция〈a|S(g)|/〉удовлетворяет следующему дифференциальному уравнению:

卜h『為-Дsh『+ (|/* ch『-a*)]〈a|S(g)|/〉= 0.(354)

Решение этого уравнения имеет вид

m|S(g)|/3〉= К exp ^i|^|2 + q*^ sechr + | 厂®"/? th『)*(3.5.5)

Вид множителя К, зависящего в общем случае от а, &*)/*,『и 也 можно найти, используя свойство унитарности оператора S(^). Из

〈a|S(£)l/〉* =〈/|S+(£)|a〉=〈/尸(一91&〉(356)

следует, что

K*(a,Н) exp 卜力/『+ ； 6^(/*)2 th г]=

=К(仇 /*, a*。犷十 тг) exp [—ja『一g 6一@"&2 th г] . (3.5.7)

Таким образом, К имеет вид

К*(a, a*, Д*, г, H) = (sechг)1/2 exp [-/@『-^К*(a, a*, Д*, г, H) = (sechг)1/2 exp [-/@『-^e^(a*)2thr] .(358)

К*(a, a*, Д*, г, H) = (sechг)1/2 exp [-/@『-^

К*(a, a*, Д*, г, H) = (sechг)1/2 exp [-/@『-^

Коэффициент (sech г)1/2 выбран таким, чтобы удовлетворялось условие нормировки

I im|S(9|/〉12 d2& = L(359)

Подставляя это выражение для К в (3.5.5), получаем

〈a|S(g)|/〉= (sBch『)i/"x

х exp { —■|(|a|2 + |Д|2) + a*/sechr — |[ег1?(а*)2 —已一”声]thr| . (3.5.10)

Следовательно, Q-распределение для состояния |/, 0 имеет вид

Q(q, а*) = $'；厂 exp { — (|@仔 + |/仔)+ (а*0 + /*а) sechr—

—'/Н(а*2 —/*2)+ 厂弋@2 —/2)]th“” (3511)

Ha рис. 3.2 величина Q(a, а*) = Q(X，X?) (Xi = (а + а*)/2)X? = (а — а*)/2£) изображена как функция амплитуд X] и X? двух квадратур. Ясно видно, что дисперсии квадратур X] и X? в состоянии |Д, 0 не равны между собой. Исполь

Рис. 3.2. Величина Q(a, а*) = Q(Xi, Х2) как функция амплитуд X] и Х2 в сжатом когерентном состоянии. (Из работы Yuen, HP Phys. Rev. % 13, 2226 (1976).)Рис. 3.2. Величина Q(a, а*) = Q(Xi, Х2) как функция амплитуд X] и Х2 в сжатом когерентном состоянии. (Из работы Yuen, HP Phys. Rev. % 13, 2226 (1976).)зуя выражение (3.5.10) для {a\S^)\(3} можно вычислить функцию распределения фотонов в сжатом когерентном состоянии.

Рис. 3.2. Величина Q(a, а*) = Q(Xi, Х2) как функция амплитуд X] и Х2 в сжатом когерентном состоянии. (Из работы Yuen, HP Phys. Rev. % 13, 2226 (1976).)

Рис. 3.2. Величина Q(a, а*) = Q(Xi, Х2) как функция амплитуд X] и Х2 в сжатом когерентном состоянии. (Из работы Yuen, HP Phys. Rev. % 13, 2226 (1976).)

Функция распределения фотонов р(п) для поля в состоянии |Д, 0 задается выражением

р(^) = К^|Д,€)|2- (3.5.12)

Величину (п|Д, 6 можно найти, записывая

n=0n=0(3513)

n=0

n=0

вхр(2%力一力")вхр(2%力一力")"n（N）尸"n（N）尸n=0n=0n!n!(3514)(3514)и разлагая правую часть выражения (3.5.10) в ряд по степеням а* с помощью производящей функции полиномов Эрмита Hn(z):

вхр(2%力一力")

вхр(2%力一力")

"n（N）尸

"n（N）尸

n=0

n=0

n!

n!

(3514)

(3514)

Сравнивая полученное разложение с разложением в формуле (3.5.13), получаем

m旧6 =m旧6 =t th『严2 2“5!ch/f/2 "MPt th『严2 2“5!ch/f/2 "MPV 2 ch r shV 2 ch r sh(3515)(3515)

m旧6 =

m旧6 =

t th『严2 2“5!ch/f/2 "MP

t th『严2 2“5!ch/f/2 "MP

V 2 ch r sh

V 2 ch r sh

(3515)

(3515)

Следовательно, функция распределения фотонов р(п) для идеального сжатого состояния имеет вид

"ХР{-|/|2 + 屮…声 + ^(/Nth,} (3^；)卜

(3516)

Как правило, источники сжатого света создают поле излучения в сжатом вакуумном состоянии |0, ^). Однако схемы детектирования добавляют к нему когерентную составляющую. Следовательно, детектируемое состояние описывается распределением (3.5.16). Флуктуации среднего числа фотонов можно найти либо из (3.5.16),

используя

Рис. 3.3. Сравнение функции распределения фотонов для когерентного состояния |а〉с |а『 = 60 (сплошная линия) и для сжатого состояния |/3,£〉(/3 = |/3| ехр(гс^), £ = г exp(ii?)) с |/3|2 = 60, г = 0.6 и 0 = "/2 (пунктирная линия)

Рис. 3.4. Функция распределения фотонов р(п) для двухфотонного когерентного состояния (3.5.16) при |/3|2 = 60 и г = 1.6. Сжатая составляющая больше, чем когерентная составляющая, и сжатие происходит вдоль когерентной амплитуды

п=0

(3517)

Рис. 3.5. Функция распределения фотонов р(п) для сжатого вакуумного состояния при 『=1.6

либо используя свойства (2.7.6) и (2.7.7) унитарного преобразования, осуществляемого оператором сжатия. В результате получаем

(An)2 = |/3|2[ch 4г — cos(犷一20) sh 4H + 2 sh2 r ch2 r.(3.5.18)

Далее рассмотрим три случая, представляющих для нас интерес. В первом случае, когда |/『》sh2 г, когерентная составляющая больше, чем сжатая составляющая. На рис. 3.3 приведены для сравнения распределения вероятности для сжатого и когерентного состояний. Если сжатие происходит вдоль когерентной амплитуды, то состояние имеет субпуассоновскую статистику фотонов. Во втором случае (рис. 3.4), когда сжатая составляющая больше, чем когерентная составляющая, сжатое состояние демонстрирует осцилляции. Главный максимум, также как и последующие, уже, чем соответствующее значение д/п. Однако полное распределение имеет суперпуассоновскую статистику. Наконец, в случае нулевого смещения, то есть в случае сжатого вакуумного состояния, функция распределения (3.5.16) сводится к

Р(2")=鳥 ^^ (，h『),p(2n + 1) = 0.(3519)

В этих выражениях ненулевое значение четных членов обусловлено сжатием вакуума и ясно показывает «двухфотонную» природу поля. На рис. 3.5 показано распределение вероятности (3.5.19). Распределение имеет острый пик при п = 0 и очень длинный хвост, аналогично тепловому распределению.

Приложение З.А

Проверка соотношений (3.1.12а, 3.1.126)

Можно проверить, что двумерная дельта-функция имеет вид (3.1.12а)

— о)=二 ехр[^/3(«* — а+)] ехр[Д*(а — a)](З.А.1)

вычисляя средние значения в когерентном состоянии 力 обеих частей выражения (З.А.1). В самом деле, поступая таким образом и используя то, что |)〉является собственным состоянием оператора уничтожения о с собственным значением 7, получаем

Ь(а —)) = 3 вхр[—/(а* —вхр[/*(а —(З.А.2)

Если записать а = 步& + ^Уа^ / = 步力 + iy^ и 7 = ж7 + Од?, то получим d2/3 = d步力 dg^, и правая часть выражения (З.А.2) принимает вид

А вхр[-/(а* — 7*)] вхр[-/Г (а — 7)]片仆=

=f e^p{2i[x^(ya — gj — ^(жа — ж7)]} dx^ d^ =

=(!)ехр{г[ж/3(?/а —旳)一у(з(ха — ж7)]} dx^ dy^ =

=bjm (a — 7)](5[Re (a — 7)] = b(a —)) b(a* — 7*), (3.A.3)

где во второй строке величины 2力万 и 2g万 заменены величинами 力万 и у^^ соответственно, и использовано следующее выражение для дельта-функции:

6⑺е1kx dk(ЗА4)

Выражение (3.1.126)

— о+) 5(q — о)=」 Bxp[—6/(a* — a+)] вхр[—6/*(а — a)] d2/3(3.A.5)

можно получить из (З.А.1) простой заменой переменных: 0 —> ip и/* —> ―分/*.

Другая формула для антинормально упорядоченной двумерной дельта-функции, а именно,

5(а — a) 5(q* - a+)=二 вхр[/*(а — a)] вхр[—/(а* — a+)]蕾仇 (3.A.6)

которая использовалась в определении Q-распределения (3.2.1), может быть проверена путем вставки

J IlKlI rf27 = 1(3*А7)

следующим образом:

3 вхр[/*(а —о)] вхр[—/(&*—&+)] d2/3 = 3 I I 6力*9一叫6-/39*—a+) J2/ 片)=

=360*9一丁)]))()] 6一69*一T*)个/ *)=1 jb(a _ 7)1)〉()1 b(a* _ 7*) d")=

乃 J J7r J

=b(a — a)(丄|)〉〈)| d")) 8(a* — a+) = b(a — a) b(a* — a+). (3.A.8)

Приложение З.Б

С-числовая функция, соответствующая распределению

Вигнера—Вейля

Для заданного оператора О(о, о+) и распределения Вигнера-Вейля Ж (а, а*) вычислим функцию 0§(а, а*), такую что

(О(а, а+)) = Tr (Ор) = d"aO§(a, a*)VF(a, а*)*(З.Б.1)

Напомним, что распределение Вигнера-Вейля определяется как (см. (3.3.6) и (3.3.7))

Ж(а,*/ Tr(£夕°+小+川毎『，(З.Б.2)

где характеристическая функция

O(s)(/,/*) = e^^^W^a.a^d^a =

=TГ(/6*。+煒。+川=Tr(”J 产*%7力产/2川* (З.Б.З)

В последней строке выражения (З.Б.З) использована формула Бэйкера-Хаусдорфа. Теперь для произвольного нормально упорядоченного оператора О(о,о+) можно записать

о+) = £ 14nlо+'%е(З.БЛ)

Нетрудно показать, чтоНетрудно показать, чтоТогдаТогда/3*=/3=О/3*=/3=О〈О(о, о+)〉=二…[^ + ^] 1ж<)〈О(о, о+)〉=二…[^ + ^] 1ж<)1т1тg* =g=0g* =g=0d~Q〉[ cn,md~Q〉[ cn,mЖ(а,а*)= /3* =/3=0Ж(а,а*)= /3* =/3=0

Нетрудно показать, что

Нетрудно показать, что

Тогда

Тогда

/3*=/3=О

/3*=/3=О

〈О(о, о+)〉=二…[^ + ^] 1ж<)

〈О(о, о+)〉=二…[^ + ^] 1ж<)

1т

1т

g* =g=0

g* =g=0

d~Q〉[ cn,m

d~Q〉[ cn,m

Ж(а,а*)= /3* =/3=0

Ж(а,а*)= /3* =/3=0

=d2aos(a, &*)勿(&, a) (3B5)

откуда

/3*=/3=0/3*=/3=0(З.Б.6)(З.Б.6)

/3*=/3=0

/3*=/3=0

(З.Б.6)

(З.Б.6)

Выражение (З.Б.6) и есть требуемый результат. Рассмотрим некоторые примеры: а) 0(а, о+) = о+о,

+引+引6〃/3* a+£/3a*6〃/3* a+£/3a*/3* =/3=0/3* =/3=0

+引

+引

6〃/3* a+£/3a*

6〃/3* a+£/3a*

/3* =/3=0

/3* =/3=0

=[/+尉(a+S)=[/+尉(a+S)6分/3* a+e/3a*6分/3* a+e/3a*

=[/+尉(a+S)

=[/+尉(a+S)

6分/3* a+e/3a*

6分/3* a+e/3a*

=a*a - ^; (З.Б.7)

力*=力=01

0(а, а+) = (а+)2〃,

0§(а, а*)=0§(а, а*)=+巾謠5+小…+巾謠5+小…3* =д=о3* =д=о^i^* a + i^a*^i^* a + i^a*+o*+o*g*=g=og*=g=oQ •Q •"(a* + 2?"(a* + 2?(3B8)(3B8)

0§(а, а*)=

0§(а, а*)=

+巾謠5+小…

+巾謠5+小…

3* =д=о

3* =д=о

^i^* a + i^a*

^i^* a + i^a*

+o*

+o*

g*=g=o

g*=g=o

Q •

Q •

"(a* + 2?

"(a* + 2?

(3B8)

(3B8)

Оператор, соответствующий функции распределения Вигнера в координатно-импульсном представлении, приводится в книге Cohen (1986).

Задачи

Покажите, что

^〈сш++ &+&〉= Ж (a, а*)|а|2 d2a,

где Ж (а, а*)——распределение Вигнера-Вейля.

32 Покажите, что

Tr[O(a)] = тг5(2)(а), Тг [Д(а)Д+(аЭ] = тг5(2)(а — a'), где О (a)——оператор смещения. Используя эти результаты, покажите, что

Тг А。)(а — а, а* — а+)№)(а‘ — а, а*' — а+)]=丄 8⑵(а — а')*

Операторы и △(°)определяются выражениями (3.4.2) и (3.4.9), соответственно.

Покажите, что распределение Вигнера-Вейля Ж (а, а*) можно выразить через P-распределение Р(а, а*), используя соотношение

9 Г

Ж(а, а*) = ^ 口仇 0*) ехр(—2|а — 0『)片仇

Определите Q(a, а*) и Ж (а, а*) для когерентного состояния и теплового состояния поля.

Список литературы

Р-представление

Glauber, R. J. Phys. Rev. 131, 2766 (1963).

Sudarshan, E. C. G. Phys. Rev. Lett. 10, 277 (1963).

Walls, D. F. and Milburn, G. J. Quantum Optics, (Springer-Verlag, Berlin 1994).

Q-, Вигнера—Вейля и другие распределения

Wigner, Е. Phys. Rev. 40, 749 (1932).

Moyal, J. Proc. Cambridge Phil. Soc. 45, 99 (1949).

Kano, Y. J. Math. Phys. 6, 1913 (1965).

Klauder, J. R., McKenna, J. and Currie, D. G. J. Math. Phys. 6, 734 (1965).

Mehta, C. L. and Sudarshan, E. C. G. Phys. Rev. 138, B274 (1965).

Cohen, L. J. Math. Phys. 7, 781 (1966).

Lax, M. 1968 Brandis Lectures on Fluctuation and Coherence Phenomena (Gordon and Breach,

New York 1968).

Cahill, К. E. and Glauber, R. J. Phys. Rev. 177, 1857 (1969).

Agarwal, G. S. and Wolf, E. Phys. Rev. D 2, 2161, 2187, 2206 (1970).

Louisell, W. Quantum Statistical Properties of Radiation^ (Wiley, New York 1974).

Carruthers, P. and Zachariaser, F. Phys. Rev. О 13, 950 (1976).

Reichl, L. A. / Modern Course in Statistical Physics^ (University of Texas Press 1980).

Hillery, M., O^onnell, R. F., Scully, M. O. and Wigner, E. P. Phys. Rep. 106, 123 (1984).

Cohen, L. in Frontiers of Nonequilibrium Statistical Physics〉ed. G. T. Moore and M. O. Scully (Plenum, New York 1986), p. 97.

Cohen, L. Time Frequency Analysis, (Prentice Hall, New York 1995). W. Vogel and D.-G. Welsch, Lectures on Quantum Optics, (Akademe Verlag, Berlin 1994).

Глава 4

ПОЛЕВАЯ И ①OTOHHA5I ИНТЕР ① ЕРОМЕТРШ!

Оптическая интерферометрия лежала в основе революции, приведшей к новой эре физики двадцатого столетия. Например, ключевой эксперимент в поддержку специальной теории относительности, показывающий, что не существует детектируемого движения относительно «эфира», был сделан с помощью интерферометра Майкельсона.

Замечательная заслуга Майкельсона состоит в том, что та же концепция интерферометра стала центральной для детекторов гравитационных волн, которые предвещают новое понимание общей теории относительности и астрофизики в двадцать первом веке. То же произошло и с интерферометрами Саньяка и Маха-Цендера, обсуждаемыми в этой главе. Отметим, кроме того, что звездный интерферометр Хэнбери-Брауна-Твисса D стал движущей силой в наступлении новой эры квантовой оптики.

Все это побуждает нас развивать теорию интерферометрии, основанной на корреляции поля (амплитуды) и фотонов (интенсивности). При этом мы обнаружим, что предмет рассмотрения предоставляет нам тонкий прибор для изучения микро- и макромира, то есть объектов квантовой механики и общей теории относительности.

Таким образом, в данной главе разрабатываются основы для изучения квантовых статистических корреляций света. Квантовые корреляционные функции поля обосновываются с точки зрения теории фотодетектирования. Многие экспериментально наблюдаемые величины, такие как статистика фотоэлектронов и спектральное распределение поля, могут быть связаны с соответствующими функциями корреляции поля. Эти функции корреляции необходимы для описания эксперимента Юнга с двумя щелями и понятия спектра мощности света. Функции корреляции интенсивности соответствуют, обычно, измерениям корреляций интенсивность——интенсивность, что требуется для описания знаменитого эффекта Хэнбери-Брауна-Твисса и других экспериментов по двухфотонной интерференции, обсуждаемых в этой главе.

Квантовая теория когерентности позволяет также исследовать состояния поля, демонстрирующие неклассические свойства, то есть состояния, которые нельзя описать классической статистической теорией. Такие состояния возникают тогда, когда явно проявляется квантовая природа света. Примерами являются состояния с определенным числом фотонов и сжатые состояния поля излучения.

В следующих двух разделах мы обсудим применение!п6ехОтносительности теория (общая) интерферометрии в астрофизике и общей теории относительности, а затем обратимся к общему рассмотрению оптики фотонов.

В См. пионерскую работу Hanbury-Brown and Twiss (1954; 1956). С педагогической точки зрения превосходное рассмотрение сделано в работах Fano (1961); Glauber (1965); Ваут (1969), см. также обзор Hanbury-Brown (1974).

Интерферометр как космический датчик

Основы физики неразрывно связаны с искривленным пространством-временем. Понятие «пространство-время» введено Минковским, показавшим, что физические события (например испускание фотона) лучше всего представлять происходящими в (плоском) четырехмерном пространстве, имеющем одну временную и три пространственных координаты. Прилагательное «искривленный» отображает ситуацию, когда в задаче учитывается гравитация. То есть, согласно общей теории относительности Эйнштейна, гравитация представляется нам как возникающая в результате (или описываемая посредством) искривления четырехмерного пространства. Это искривление, в свою очередь, возникает из-за присутствия в космосе массивных тел, таких как Земля, Солнце, крабовидная туманность и т. д.

Многие теоретики считают общую теорию относительности самой красивой из всех физических теорий. Однако из-за малости константы гравитационного взаимодействия, G = 6,67 • 10-8 см3 г-1 с-2, экспериментальные проверки этой теории были крайне редкими. Это было подчеркнуто Мизнером, Торном и Уилером, которые заметили:

«В первую половину века своей жизни, общая теория относительности была раем для теоретиков и адом для экспериментаторов».

Однако, благодаря достижениям современной лазерной оптики, были разработаны (и продолжают разрабатываться) новые тесты метрической теории гравитации (общей теории относительности). Оптический интерферометр стал главным инструментом этих астрофизических и общерелятивистских исследований.

Интерферометр Майкельсона и общая теория относительности. Как отмечалось выше, интерферометр Майкельсона использовался в эксперименте по обнаружению движения относительно эфира и стал одним из ключевых экспериментов для разработки специальной теории относительности и современной физики.

В настоящее время строится интерферометр типа Майкельсона, предназначенный для детектирования гравитационных волн. Действие гравитационного излучения,

Рис. 4.1. Внешний лазер освещает интерферометр Майкельсона, который находится под действием гравитационной волны, обозначаемой через h^ (а); увеличение эффективной оптической длины пути в плечах интерферометра Майкельсона за счет внесения в них резонаторов, многократно отражающих проходящий через них свет (5)

фактически, состоит в изменении длины пути, проходимого светом в одном из плеч интерферометра (см. рис. 4.1), и, следовательно, в формировании фазового сдвига. То, каким образом возникает этот фазовый сдвиг, можно представить двумя различными способами: (1) гравитационная волна изменяет расстояние между зеркалами, и (2) гравитационная волна изменяет или возмущает пространство-время, действуя подобно диэлектрику. Здесь мы примем первую точку зрения.

В стационарной (ньютоновской) теории гравитации скалярный потенциал Ф (в свободном пространстве) удовлетворяет уравнению Лапласа

V2Ф = 0,(4丄1)

тогда как в нестационарной (эйнштейновской) теории гравитации, тензорное поле D Фм^(г,力),где индексы 从 и 沙 пробегают значения от 1 до 4, удовлетворяет волновому уравнению движения

—(-力)= 0*(4 丄 2)

Следовательно, гравитационные эффекты распространяются со скоростью света с из своего источника (двойные звезды, взорвавшиеся галактики и т. д.) в нашу лабораторию на земле. Эта «гравитационная волна» заставляет точки лаборатории испытывать крошечные по амплитуде колебания.

Схема измерения гравитационных волн (g-волн) основана на интерферометре Майкельсона. Влияние гравитационного излучения состоит в растяжении или сжатии цилиндра длиной L, расположенного перпендикулярно направлению распространения. Например, гравитационная волна частотой vg будет изменять расстояние Lx между зеркалом М\ и светоделителем (рис. 4.1а) по закону

Lx = L[1 + ho cos(〃gt)],(4.1.3)

где L ——длина плеча интерферометра в отсутствии гравитационной волны и % ——амплитуда гравитационной волны, имеющая порядок величины ^ 10-21 для реальных источников.

Следовательно, между световыми пучками, прошедшим через два плеча интерферометра, возникает разность фаз

5 = k(Lx — Ly) = kLho cos(〃g力).(4.1.4)

Поэтому интенсивность, регистрируемая детектором на рис. 4.1а, будет определяться по формуле

/ = ；/o(l + cos 办(4 丄 5)

где /о — интенсивность падающего света.

В реальных экспериментах в двух плечах интерферометра Майкельсона используются резонаторы (рис. 4.16). Теперь сигнал, обусловленный гравитационной волной, преобразуется в зависящий от времени фазовый сдвиг, описываемый формулой (4.1.4), в которой Lx заменяется эффективной длиной пути 厶)равной, в сущности, числу отражений, умноженному на длину плеча 厶“ Следовательно, на временах t 《〃丁 фазовый сдвиг, индуцированный g-волной, равен △斤⑺ =uLh^/с, где 〃——частота лазерного излучения. Фундаментальным квантовым пределом в таком эксперименте является «дробовой шум фотонов». Обозначая среднее число лазерных

В Обсуждение общей теории относительности, ориентированное на студентов, изучающих современную квантовую оптику, имеется в работе Schleich and Scully (1984).

фотонов через п, мощность на детекторе через Р, и полагая, в данном разделе, квантовую эффективность детектора равной единице, получаем что неопределенность фазы, обусловленная дробовым шумом при измерении в течение времени tm, имеет

вид

(4.1.6)(4.1.6)

(4.1.6)

(4.1.6)

Приравнивая △斤⑺ и Д^п, находим минимальное значение амплитуды g-волны, регистрируемое в данной пассивной системе,

(4丄7)(4丄7)

(4丄7)

(4丄7)

где введена скорость затухания резонатора 穹=с/L.

Кольцевой интерферометр Саньяка. В 1913 году Саньяк рассмотрел использование кольцевого резонатора для поиска «течения эфира» относительно вращающейся системы координат. Однако, как часто бывает, его результаты оказались полезными в областях, о которых сам Саньяк и не мечтал. Как показано на рис. 4.2, физика эффекта Саньяка состоит просто в том, что короткому импульсу

4什=0)4什=0)Рис. 4.2. Схема кольцевого интерферометра СаньякаРис. 4.2. Схема кольцевого интерферометра Саньяка

4什=0)

4什=0)

Рис. 4.2. Схема кольцевого интерферометра Саньяка

Рис. 4.2. Схема кольцевого интерферометра Саньяка

света требуется больше времени для того, чтобы «вернуться» к источнику, если он распространяется по направлению вращения интерферометра, и меньше времени,

если он распространяется против направления вращения.

Для количественного описания рассмотрим рис. 4.2. На нем показано, что лазерный свет входит в интерферометр в точке Л и расщепляется светоделителем на пучки, распространяющиеся по часовой стрелке (Ч) и против часовой (ПЧ) стрелки. Если интерферометр не вращается, то Ч- и ПЧ-пучки вновь встретятся в точке Л

2тг62тг6спустя время

2тг6

2тг6

где 6 ——радиус кольца. Однако, если интерферометр вращается с угловой скоростью Ог вокруг оси, проходящей через его центр и перпендикулярной его плоскости, то пучки вновь встретятся со светоделителем в различные моменты времени, поскольку Ч-пучок (сонаправленный с Q) должен пройти путь немного больший, чем 2тг6, чтобы совершить один полный оборот, так как интерферометр за время обхода поворачивается на малый угол. Аналогично, ПЧ-пучок за один оборот должен пройти путь немного меньший, чем 27rb. Если обозначить время обхода Ч-пучка через 力+, а ПЧ-пучка через 力—,то величина 力+ дается выражением

戸戸сс2тг6 + 6Qrt+2тг6 + 6Qrt+(4 工 9а)(4 工 9а)

戸

戸

с

с

2тг6 + 6Qrt+

2тг6 + 6Qrt+

(4 工 9а)

(4 工 9а)

где в первой строчке Ш1rt+ ——длина дуги, на которую повернется интерферометр до момента возвращения Ч-пучка к светоделителю. Аналогично

(4.1.96)(4.1.10)(41.11)(4.1.96)(4.1.10)(41.11)力—2тг6 — bQ.rt~ 27rb А + 6Qr ) гсс \ с /'

(4.1.96)

(4.1.10)

(41.11)

(4.1.96)

(4.1.10)

(41.11)

Разность между 力+ и 力—равна

с2 -

Для разумных значений 6 и Ог величина (6Qr)2《с2, так что

4?r62Qr

=,

разность оптических путей обхода интерферометра △厶 определяется выражением

(4 工 12)(4 工 12)А .4?r62Qr

(4 工 12)

(4 工 12)

△厶=e△力=

Из (4.1.12) видно, что разность оптических путей обхода, согласно данному анализу, прямо пропорциональна скорости вращения интерферометра. Более общий подход, справедливый для интерферометра произвольной формы, приводит к результату

△厶(4.1.13)

где А ——площадь области, ограниченной траекторией света, и z ——единичный вектор, нормальный к поверхности интерферометра.

Эффективность интерферометра Саньяка ограничивается тем, что разность оптических путей обхода (4.1.12) существенно меньше длины волны света. (Например, если 6 = 1 и Ог = 10 град/час, то △厶 = 4.1 • 10-12 м.) На первый взгляд может показаться, что использование кольцевых лазерных гироскопов, в качестве чувствительных к вращению устройств, является практически нецелесообразным, поскольку желательна чувствительность 10-3 град/час и выше. Однако существуют две схемы, значительно повышающие чувствительность кольцевых лазерных гироскопов.

В первой схеме общая длина пути обхода увеличивается путем использования оптических волокон километровой длины в качестве резонатора интерферометра. Для того чтобы увидеть, как это увеличивает чувствительность гироскопа, преобразуем (4.1.12) к более общему виду. Из (4.1.12) следует, что разность фаз △斤 между противоположно распространяющимися пучками после одного обхода дается

выражениемвыражением△少=△少=2тгА£Л2тгА£Л8?r262Qr — 4ЛИГ сЛ сЛ8?r262Qr — 4ЛИГ сЛ сЛ(4 工 14)(4 工 14)

выражением

выражением

△少=

△少=

2тгА£Л

2тгА£Л

8?r262Qr — 4ЛИГ сЛ сЛ

8?r262Qr — 4ЛИГ сЛ сЛ

(4 工 14)

(4 工 14)

где Л = Л/2тг — приведенная длина волны лазерного излучения и Л = тгб2 — площадь области, ограниченной пучками света. Выражение (4.1.14) справедливо для одного витка кругового обхода. При использовании оптического волокна, свет, обычно, проходит по катушке с волокном радиуса 6 со множеством витков. В частности, если такая катушка содержит N витков, то формула (4.1.14) принимает вид

сА'/

или

(4.1.16)

где 厶=2^bN — общая длина оптического волокна. Выражение (4.1.16) представляет собой важный результат, состоящий в том, что фазовый сдвиг, создаваемый вращением кольцевого волоконного интерферометра Саньяка, возрастает линейно с увеличением общей длины оптического волокна.

Во второй схеме расчет делается на увеличение сигнала кольцевого лазерного гироскопа за счет введения активной лазерной среды в кольцевой резонатор. Эта схема показана на рис. 4.3. Для удобства, до конца этого раздела такую схему

Рис. 4.3. Схема активного кольцевого лазерного гироскопаРис. 4.3. Схема активного кольцевого лазерного гироскопа

Рис. 4.3. Схема активного кольцевого лазерного гироскопа

Рис. 4.3. Схема активного кольцевого лазерного гироскопа

будем называть активным кольцевым лазерным гироскопом. Тогда Ч- и ПЧ-моды кольцевого лазера имеют различные частоты вследствие разности эффективных длин оптических путей обхода, обусловленной вращением резонатора. Таким образом, имеются лишь колебания на частотах, удовлетворяющих условию резонанса, отвечающего эффективным значениям длины резонатора 厶土 для Ч- и ПЧ-пучков,

соответственно, а именно

〃土〃土Ш7ГСШ7ГС厶士厶士(4.1.17)(4.1.17)где т — целое число игде т — целое число и厶土 =厶（1 土学厶土 =厶（1 土学(41.18)(41.18)

〃土

〃土

Ш7ГС

Ш7ГС

厶士

厶士

(4.1.17)

(4.1.17)

где т — целое число и

где т — целое число и

厶土 =厶（1 土学

厶土 =厶（1 土学

(41.18)

(41.18)

С учетом (4.1.17) разность частот Ч- и ПЧ-пучков можно приближенно записать

в видев виде△ 〃 = 〃_ — 〃+△ 〃 = 〃_ — 〃+ТП7ГСТП7ГСL—L—Ш7ГС 〜штгсДЬ片= L2Ш7ГС 〜штгсДЬ片= L2ALAL(41.19)(41.19)

в виде

в виде

△ 〃 = 〃_ — 〃+

△ 〃 = 〃_ — 〃+

ТП7ГС

ТП7ГС

L—

L—

Ш7ГС 〜штгсДЬ

片= L2

Ш7ГС 〜штгсДЬ

片= L2

AL

AL

(41.19)

(41.19)

Приближение возникает потому, что полагаем 厶+厶—=L2.

Здесь необходимо сделать пару существенных замечаний. Первое состоит в том, что при использовании активного кольцевого лазерного гироскопа измеряется именно разность частот (а не разность длин оптических путей) противоположно распространяющихся пучков. Эта разность частот, как правило, измеряется гетеродинированием двух выходных пучков. Кроме того отметим, что разность частот (4.1.19) в 〃/厶 раз больше разности длин оптических путей (4.1.12). Такой большой масштабный множитель, а также относительная простота измерений малых разностей частот, делают активный кольцевой лазерный гироскоп наиболее распространенным и, в настоящее время, наиболее чувствительным интерферометрическим датчиком вращения.

Подстановка (4.1.12) в (4.1.19) дает (для обхода по круговой траектории)

△〃 =△〃 =2〃6Q「с2〃6Q「с2*Л2*Л(4 工 20)(4 工 20)

△〃 =

△〃 =

2〃6Q「

с

2〃6Q「

с

2*Л

2*Л

(4 工 20)

(4 工 20)

Отметим, что △〃 не зависит от общей длины резонатора, так что в активных лазерных кольцевых гироскопах использование длинных катушек с оптическим волокном не позволяет достичь большего масштабного множителя. В случае произвольной геометрии резонатора выражение (4.1.20) принимает вид

△ 〃 =△ 〃 =4ЛИГРА4ЛИГРА(4 工 21)(4 工 21)

△ 〃 =

△ 〃 =

4ЛИГРА

4ЛИГРА

(4 工 21)

(4 工 21)

где Л — площадь области, ограниченной траекторией света, и р — ее периметр. Коэффициент пропорциональности 4Л/Лр между △〃 и Ог часто называется масштабным множителем и в дальнейшем будет обозначаться через S.

Предполагаемая проверка метрических теорий гравитации с помощью кольцевого лазера. Недавний прогресс в исследованиях с помощью лазерных гироскопов показал, что в принципе можно измерить скорости вращения вплоть до ]0-1脸㊉)где П㊉ ——скорость вращения Земли. Учитывая это, можно теперь представить эксперименты, чувствительные к маховскому увлечению системы отсчета (эффект Лензе-Тирринга), к существованию выделенной системы отсчета во вселенной (космология выделенной системы отсчета) и к локальному искривлению пространства-времени.

С тех пор, как Эйнштейн сформулировал общую теорию относительности, появилось много других альтернативных теорий гравитации, например Бранса-Дике и Ни. Эти теории, мотивированные различными соображениями, приводят к различным предсказаниям для упомянутых выше эффектов. Для систематического сравнения различных теорий с экспериментом были разработаны теоретические основы параметризованного постньютоновского (ППН) формализма, предоставляющего способы изучения очень широкого класса метрических теорий гравитации в условиях слабого поля и медленного движения солнечной системы.

Для помещенного на поверхность Земли сверхчувствительного кольцевого лазерного резонатора, в зависимости от выбора метрической теории гравитации и пространства—времени, можно ожидать нескольких «эффективных вращений». Это вкратце отражено на рис. 4.4 и в табл. 4.1. Видно, что помимо вращения кольца со скоростью fl。и вращения Земли со скоростью П㊉,имеется три других вклада, соответствующих ОМах, Окосмос и 0кривизна, соответственно.

g

По Леба* 2m &отонна* mtmep 今 ерометрия

Эффективное вращение

Физическая причина

ППН форма

Порядок величины

Эйнштейн

Бранс-Дике

Ни

^Мах

Принцип Маха или магнитная гравитация

■^•а△T + /^间㊉

Величина Ci зависит от широты и т. д. и порядка 5,6 * 10一1°

5,6 • 108 Q㊉

△2 = 1

Ai = 1

△2 = 1

△ — 1° + 7公

1 ~ 14 + 7公

△2 = 1

公一число

порядка 27

△2 = 1

^Космос

Выделенная система отсчета, связанная с фоновым 3 К~ излучением черного тела

Величина (?2 зависит от скорости Земли относительно 3 К~фона и порядка 1,2 • ICT’

1,2 • 1СГ7aq㊉

«1 = 0

«2 = 0

ai = —8

^Кривизна

Искривление пространства

Величина Сз зависит от широты и т. д. и порядка 1,4 • 10一9

IIO- [1±1] Qe

7 = 1

1 + Cd

7丄

2 +з

7 = 1

T а б л и ц а 4Д. Теории пространства-времени и эффективные вращения

Первое из этих эффективных вращений, ^мах, рассматривается как «слабое» подтверждение принципа Маха. То есть, гироскоп испытывает эффективное вращение даже если он зафиксирован относительно неподвижных звезд (т. е., если движение Земли учтено, так что Qq и П㊉ непосредственно не влияют на кольцевой резонатор).

Кольцевой лазер СаньякаКольцевой лазер СаньякаРис. 4.4. Использование кольцевого лазерного интерферометра Саньяка для проверки метрических теорий гравитацииРис. 4.4. Использование кольцевого лазерного интерферометра Саньяка для проверки метрических теорий гравитации

Кольцевой лазер Саньяка

Кольцевой лазер Саньяка

Рис. 4.4. Использование кольцевого лазерного интерферометра Саньяка для проверки метрических теорий гравитации

Рис. 4.4. Использование кольцевого лазерного интерферометра Саньяка для проверки метрических теорий гравитации

Это эффективное вращение обусловлено исключительно тем, что мы находимся около другого массивного тела ——Земли. Другая интерпретация состоит в том, что это вращение рассматривается как вариант магнитной гравитации, аналогичной магнитному моменту вращающегося электрона.

Второй вклад, Пкосмос5 возникает из-за наличия выделенной (покоящейся) системы координат. Можно считать, что эта «выделенная система отсчета» связана с существованием фонового излучения черного тела, имеющего температуру 3 К. В общей теории относительности Эйнштейна отсутствуют выделенные системы отсчета, тогда как согласно теории Ни вселенная покоится в выделенной системе отсчета. Этот эффект особенно интересен, поскольку он один из наименее обоснованных в физике гравитации.

Последний член, ^кривизна, обусловлен тем, что используется искривленная пространственная метрика. Подобная физика «искривленного пространства» приводит к искривлению лучей света звезд, гравитационному красному смещению и т. д.

Приложение инструментов современной квантовой оптики к проблемам гравитационной физики требует героической и творческой работы. Однако ясно, что такая работа принесет богатые дивиденды как в фундаментальной, так и в прикладной науке.

Звездный интерферометр Майкельсона. Рассмотрим простую двойную (то есть с двойным источником) интерферометрическую установку, изображенную на рис. 4.5. На рис. 4.5а изображена двойная звезда, «посылающая» на Землю излучение с волновыми векторами к и к'. Требуется измерить угловое расстояние ф между ними.

Один из способов сделать это состоит в том, чтобы собрать свет с помощью зеркал Mi и "2 (рис. 4.56) и направить его на фотодетектор, расположенный в точке

к ，‘ х

Рис. 4.5. Волновые векторы к] и к?, характеризующие излучение, приходящее на Землю от двойной звезды (а); схема звездного интерферометра Майкельсона, предназначенного для измерения углового расстояния между двойными звездами (6); отфильтрованное излучение звезды S, падающее на зеркала Mi и М2, характеризуется фазовыми множителями вхр(—6沙д；力 + ikri) и exp(^iPfet + ikr2), соответственно, в то время как излучение звезды S' характеризуется множителями вхр(—6沙厶力 + гк7Г1) и вхр(—分沙左" + ikzr2)(в); иллюстрация того, что при малых углах (к — k')(ri —廿2)= |к — k^ro cos ф ^ фкго, ибо |к — к[ ~ кф и cos 0、1 (а)Рис. 4.5. Волновые векторы к] и к?, характеризующие излучение, приходящее на Землю от двойной звезды (а); схема звездного интерферометра Майкельсона, предназначенного для измерения углового расстояния между двойными звездами (6); отфильтрованное излучение звезды S, падающее на зеркала Mi и М2, характеризуется фазовыми множителями вхр(—6沙д；力 + ikri) и exp(^iPfet + ikr2), соответственно, в то время как излучение звезды S' характеризуется множителями вхр(—6沙厶力 + гк7Г1) и вхр(—分沙左" + ikzr2)(в); иллюстрация того, что при малых углах (к — k')(ri —廿2)= |к — k^ro cos ф ^ фкго, ибо |к — к[ ~ кф и cos 0、1 (а)

Рис. 4.5. Волновые векторы к] и к?, характеризующие излучение, приходящее на Землю от двойной звезды (а); схема звездного интерферометра Майкельсона, предназначенного для измерения углового расстояния между двойными звездами (6); отфильтрованное излучение звезды S, падающее на зеркала Mi и М2, характеризуется фазовыми множителями вхр(—6沙д；力 + ikri) и exp(^iPfet + ikr2), соответственно, в то время как излучение звезды S' характеризуется множителями вхр(—6沙厶力 + гк7Г1) и вхр(—分沙左" + ikzr2)(в); иллюстрация того, что при малых углах (к — k')(ri —廿2)= |к — k^ro cos ф ^ фкго, ибо |к — к[ ~ кф и cos 0、1 (а)

Рис. 4.5. Волновые векторы к] и к?, характеризующие излучение, приходящее на Землю от двойной звезды (а); схема звездного интерферометра Майкельсона, предназначенного для измерения углового расстояния между двойными звездами (6); отфильтрованное излучение звезды S, падающее на зеркала Mi и М2, характеризуется фазовыми множителями вхр(—6沙д；力 + ikri) и exp(^iPfet + ikr2), соответственно, в то время как излучение звезды S' характеризуется множителями вхр(—6沙厶力 + гк7Г1) и вхр(—分沙左" + ikzr2)(в); иллюстрация того, что при малых углах (к — k')(ri —廿2)= |к — k^ro cos ф ^ фкго, ибо |к — к[ ~ кф и cos 0、1 (а)

Р такой, что пути М±Р и М2Р равны между собой. Тогда фототок определяется выражением

/ = м{Е*Е) = м{\Ек(е^Г1 + 已汰4)+ 石片(已汰"+ ел，'Г2)|2)=

=以 2(|“『+ I石館2) + I石k|2 dkgT2)+кс] + 归館2[已汰"门72)+кс} (4122) где сделано упрощающее предположение, что свет, приходящий от звезд, отфильтрован, так что можно положить 人=〃k，и, следовательно, временные множители типа ехр5〃к力 и ехр 勿〃к" сокращаются в выражении (4.1.22). Кроме того, поскольку излучение звезды является тепловым,〈石к〉二〈石к" = 0 и〈石*石к"=(石*〉(石к"= =0. Наконец отметим, что х ——не представляющая интерес константа, зависящая от характеристик фотодетектора, расстояния до звезды и т. д.

Если (l^kl2)二〈归館2〉= /о, то

/ = 2м10{2 + cos[k "(Г1 — г2)] + cos[kJ (门一г2)]}=

=4м!0{1 + cos[(k + kz) • (ri 一 г2)/2] + cos[(k 一 k) •(门 一 г2)/2]}. (4.1.23)

Из рис. 4.5г видно, что (к — к') • (ri —『2)= фк^о, так что (4.1.23) можно записать в виде

/ = 4n/o{1 + cos[(k + к') • (ri 一 г2)/2] cos(7rr0^/A)},(4.1.24)

где учтено, что |к| = |к[ = 27r/Л. Таким образом, видно, что фототок будет содержать интерференционный член, который модулируется при изменении г。и может

использоваться для определения 0, путем изменения rg вплоть до того момента, когда ТГГоф/Л = 7Г и т. д.

Эта удобная схема применялась для исследования нескольких близкорасположенных двойных звезд. К сожалению, атмосферные и инструментальные флуктуации непосредственно входят в член cos[(k + к') • (г】一『2)/2] в выражении (4.1.24) и огра™ ничивают полезность такого подхода. Именно здесь на сцену выходят Хэнбери-Браун и Твисс.

Интерферометр Хэнбери-Брауна-Твисса.

Сущность звездного интерферометра Хэнбери-Брауна-Твисса (ХБ-Т) состоит в следующем. Рассмотрим два фотодетектора в точках 厶1 и /12 c радиус-векторами ri и〔2, соответственно, как показано на рис. 4.6. Тогда имеем следующие фототоки:

Si,t)=死{归k『+ 旧"+ 出k绢，已“”心宀 + кс]} (г = 1, 2),(4工25)

и фазовая информация содержится в членах ехр[г(к — к')г|.

Что если перемножить токи детекторов (расположенных в точках Л1 и 厶2 на рис. 4.6)? Из (4.1.25) тогда получим

(I(ri,t)I(r2,切=绪〈{|Ek『+ 旧館2 + 旧kE玄 /(k—+ кс]}х

х {归k『+ I石"+ [EkE^t /("『)4 + кс]}〉=

=x{((|^k|2 + I石館2)2〉+ (\Ek\2)(\Ekf\2)[e^^кс]}, (4 工 26)

где использован тот факт, что (| Е^ |2 Е^ Е\^г) = 0 и т. д. Видно, что имеется требуемый низкочастотный интерференционный член. Однако чувствительные к атмосфере члены типа cos[(k + k‘)"(门—Г2)/2] отсутствуют. В этом и состоит суть оригинальной идеи Хэнбери-Брауна и Твисса.

Рис. 4.6. Схема звездного интерферометра интенсивности Хэнбери-Брауна-Твисса: R н R — фотодетекторы, 4 и 人—зеркала, Bi и 月2 — усилители, т — время задержки, С —умножитель, М — интегратор

Справедливости ради отметим, что презентация эффекта Хэнбери-Брауна и Твис- са вызвала бурный интерес. Возникло много вопросов, например, каким образом, создавая биения фототоков, мы получаем информацию о фазе? Не нарушает ли это каким-нибудь образом квантовую механику? И как насчет утверждения Дирака, что фотоны интерферируют сами с собой? Проблемы снимаются, если рассмотреть квантовую теорию детектирования и корреляций фотонов, к чему мы сейчас и переходим.

Детектирование фотонов и квантовые функции когерентности

Более полное изложение теории фотодетектирования приводится в разд. 6.5. Здесь мы представим эвристический вывод вероятности фотодетектирования и функции корреляции, достаточный для целей данной главы.

Как показано в гл. 1, оператор поля Е（г,力）можно разделить на положительно- и отрицательно-частотные части:

Е（г,力）=Е（+）（-力）+ Е（—）（г,力），（4.2.1）

где

E（+）（r," = e或绿（422） k

E（一）（一方）=e 或统色/以（423） k

Далее будем полагать, для простоты, что поле является линейно поляризованным, так что будем иметь дело со скалярными величинами 石（+）（г/） =套• Е（+）（г"） й е（一）（一力）=a* e（一）（一力）"

В оптическом диапазоне, для локальных измерений поля обычно используются детекторы, основанные на фотоэлектрическом эффекте. Схематично можно представить себе, что атом в основном состоянии помещается в поле излучения в точку г. Затем наблюдаются фотоэлектроны, возникающие в результате фотоионизации. В таких поглощающих детекторах измерения являются разрушающими, поскольку фотоны, ответственные за возникновение фотоэлектронов, исчезают. Следовательно, в этом случае вклад дает лишь оператор уничтожения Е^. Вероятность перехода детектирующего атома в возбужденное состояние вследствие поглощения фотона из поля в точке г между моментами времени 力 и 力 + d力 пропорциональна Wi（r,力）dt, где wi（r,t） = |a|^+）（r3）|0|2,（424）

|〃〉——начальное состояние поля до процесса детектироавния и |/）——конечное состояние, в котором поле можно обнаружить по окончании процесса. Конечное состояние поля никогда не измеряется. Следовательно можно просуммировать по конечным состояниям:

5（Г," = e|〈/£十）（-"内『=

=£® 石（―）（『,力）⑺⑺石（+）（г,力2〉=〈2归（—）（『/）石（+）（『/）©, （425）

где в последней строке использовано соотношение полноты

£25 = 1.（426）

Таким образом, скорость счета фотонов wi пропорциональна среднему значению положительно определенного эрмитового оператора 石（一）（r, t）E^ （г,力）,вычисленного в начальном состоянии поля |г）. На практике, однако, состояние \i） почти никогда точно не известно. Поскольку точное знание поля обычно отсутствует, прибегают к статистическому описанию, усредняя по всем возможным реализациям начального поля:

^1（一方）=н0£-）（2）石（+）（r,力力（427）

г

Если ввести оператор плотности для поля

О =（428）

то можно переписать （4.2.7） в виде

Wi（r,t） = T"0石（一）（一力）石（+）（r,切工（429）

Определим функцию корреляции первого порядка поля

G⑴（门，1*2；小方2）= T『m加一）（门"1）石（+）（r2,力2）］=（加一）（口/1）石（+）（r2）方2）〉*

（4210）

В оптике, обычно, имеют дело со статистически стационарными полями, то есть корреляционные функции поля не изменяются при смещениях временной переменной.

В этом случае корреляционная функция G（D（『i,『2；力1〉力2）зависит от 力i и 力2 лишь через разность 丁 =力2 —力ь то есть

^（1）（гьг2;й, t2） = С（1）（г1,г2;т）.（4.2.11）

Скорость счета д, записанная через G⑴,имеет вид

Wi = G（1）（r,r;0）.（4212）

Рассмотрим теперь скорость совместного счета на двух фотодетекторах, расположенных в точках ri и 】2・ Совместная вероятность наблюдения одной фото- ионазации в точке〔2 в интервале между 力2 H 力2 + 〃力2 и другой фотоионизации в точке ri в интервале между 力i и 力i + d%i）где 力i 《 力2, пропорциональна величине w2（rb fi； r2,力2）山1 〃力2）где

W2（rb й;г2, t2） = К/归（+）（『2,力2）曲+）（门$）|〃〉|2”（4.2.13）

Отсюда, суммируя по всем конечным состояниям и усредняя, как и прежде, по всем возможным реализациям начального состояния поля, получаем

w2（rb fl； г2,力2）= Тг D石（―）（口/1）石（—）（『2）力2）石（+）（『2）t2）^（+）（ri, tl）］.（4.2.14）

Совместная вероятность фотодетектирования определяется, таким образом, квантово-механической функцией корреляции второго порядка

С（2）（Г1,Г2,ГЗ〉『4；力1〉力2〉力3〉力4）=

=TГm石）（口，力1）石（一）（r2,力2）石（+）（费，力3）加+）（г4,方4）］=

=h）E^（r^ h）E^（r4, t4））. （4215）

В общем случае можно определить функцию корреляции 冗-ro порядка

=Т『D 石(—)(门/1)石( —)(％,脑)石( +)(%+b 储+1).…^( + )(Г2пЛ2п)]=

=〈加一)(口，刀)一"石(—)(％, tn)E^\rn+utn+1y^ ^(+)(Г2п32п))- (4.2.16)

В этом определении функции корреляции п-го порядка содержится равное число операторов рождения и уничтожения, поскольку такие функции корреляции измеряются в типичных экспериментах по многофотонному счету.

Из предыдущего ясно, что функции корреляции полевых операторов, которые встречаются в любом эксперименте по детектированию фотонов, основанном на фотоэлектрическом эффекте, являются нормально упорядоченными (то есть, все операторы уничтожения находятся справа, а все операторы рождения ——слева). Например, средняя интенсивность света в точке г в момент времени t равна

(4217)(4217)〈/（『/）〉=〈石（ —）（『，力）石（+）（『/）〉,

(4217)

(4217)

а измеряемая функция корреляции интенсивности имеет вид

〈石)(г,力)石(—)(г,"石(+)(r, t)E^\r.力»

отличающийся от (1(г, ^)1(г, ^)).

Можно определить квантово-механические степени когерентности первого и второго порядков в точке г как

g⑴（一丁）=g⑴（一丁）=<Е（—）（г"）Е（+）（г,力+ т）〉<Е（—）（г"）Е（+）（г,力+ т）〉g(2)(r, 丁)=g(2)(r, 丁)=（E（-）（h 力）E（一）（h 力 + 7）后（+）（r,力 + 7）后（+）（匕 方））（E（-）（h 力）E（一）（h 力 + 7）后（+）（r,力 + 7）后（+）（匕 方））(4218)(4219)(4218)(4219)

g⑴（一丁）=

g⑴（一丁）=

<Е（—）（г"）Е（+）（г,力+ т）〉

<Е（—）（г"）Е（+）（г,力+ т）〉

g(2)(r, 丁)=

g(2)(r, 丁)=

（E（-）（h 力）E（一）（h 力 + 7）后（+）（r,力 + 7）后（+）（匕 方））

（E（-）（h 力）E（一）（h 力 + 7）后（+）（r,力 + 7）后（+）（匕 方））

(4218)

(4219)

(4218)

(4219)

где поле предполагается статистически стационарным. В определении g(?)(г, 丁) было выбрано не только нормальное упорядочение полевых операторов в числителе, но и определенное упорядочение по времени. Это временное упорядочение является следствием использованного выше способа вычисления скорости фотоэлектронного счета (отметим, что 力2》力1 в (4.2.14)). Значительно более простой вид этих величин получается в частном случае, когда поле излучения содержит лишь одну моду. Тогда, после подстановки разложений по модам величин石(+)и 石(—)((4.2.2) и (42.3)) в выражения (4.2.18) и (4.2.19), большая часть множителей сокращается, и остается g⑴(丁) = S*力+ 7» ,(4220)

⑺=(g+(力)g+(力 + 7)g(力 + 7)g(力))(4 2 21)

(a+a)2'

Поскольку процессы фотодетектирования подразумевают лишь нормально упорядоченные корреляционные функции, соответствие между классической и квантовой теориями когерентности задается P-распределением P(q, q*). Это получается потому, что квантово-механические средние значения нормально упорядоченных функций вычисляются с помощью P-распределения точно также, как вычислялись бы соответствующие классические функции когерентности с помощью классической функции распределения. Однако P-распределение не имеет всех свойств классической функции распределения. В частности, как обсуждалось в разд. 3.1,

P-распределение не является неотрицательно определенным. Световые поля, для которых P-распределение не является регулярной функцией, демонстрируют неклассические свойства. Некоторые из них будут рассматриваться в разд. 4.4.

Теперь, в рамках квантовой теории когерентности, найдем нормированную функцию корреляции g^ (丁) для тепловых и когерентных полей. P-распределение одномодового поля теплового источника задается распределением Гаусса (см. (3.1.26)):

夕(а, а*) = ^у ехр(—|а『/3»(4222)

Тогда

j Р(а, а*)®，На

旦⑵(0) == 2*(4223)

［尸(а, а*)|а|2

В случае же лазера, работающего выше порога, поле находится в когерентном состоянии |«о), для которого (см. (3.1.28))

P(q, а*) = <5(2)(а — а/(4224)

Тогда нормированная функция корреляции имеет вид

g(2)(0) = 1.(4225)

Когерентность первого порядка и эксперименты типа Юнгас двумя источниками

Эксперимент Юнга с двойной щелью. Одним из классических экспериментов, демонстрирующих свойства когерентности света первого порядка является эксперимент Юнга с двойной щелью (см. рис. 4.7). Сложное поле, создаваемое ква- зимонохроматическим источником света, расщепляется с помощью непрозрачного экрана Si, расположенного поперек пучка, с двумя точечными отверстиями R и &. Положительно-частотную часть оператора поля в точке Р на экране S2 в момент

Рис. 4.7. Схема идеализированного эксперимента Юнга с двойной щелью

4 М.О. Скалли, М.С. Зубайри

времени t можно аппроксимировать линейной комбинацией операторов, представляющих поле в точках В и 马 в более ранние моменты времени:

石( +)(-方)=K^^irut 一 й) + К2 加+)(r2, t -方 2),(431)

где ti = Si/с (г = 1, 2)——время распространения света из точечного отверстия Pi в точку Р, ri и Г2 ——радиус-векторы точечных отверстий В и Р2? соответственно. Коэффициенты К] и К? зависят от размера и геометрии точечных отверстий. Из теории дифракции следует, что К] и К? являются чисто мнимыми величинами.

Фотодетектор, помещенный в точку Р, измеряет интенсивность

〈/(г,力)〉=Т“0石-)(-力)石(+)(-力=

=|К1『Т1ф石(一)(门力i)]+

+ ]K2『T"0石(一)(r2,方-方2)石(+)(r2,力一力2)] +

+ 2R,e{^*^2Tr[pEJ^)(r13 — ^i)^(+)(r2, t — t2)]}. (432)

Это выражение можно переписать через функцию корреляции первого порядка G(D(ri)г2; й,力2)следующим образом:

〈/(一方)〉=|K11 2 G⑴(口)口；方一方1)力一方 1) + I k212G⑴(r2)1*2；方一方2,方一方 2)+

+ 2Re [К：К2G⑴(ri, Г2； t — ti, t —力2)L (4.3.3)

В случае статистически стационарных полей выражение (4.3.3) для средней интенсивности в точке Р принимает вид

〈/(г/))=]Ki『G⑴(门，门；0) + 1к212G⑴(『2/2；0) + 21^[К；抬66(门/2；7)],

(434)

где 丁 =厶一力2 a Следовательно средняя интенсивность〈/(г,力)〉не зависит от времени t.

Первые два члена в (4.3.4) представляют собой средние интенсивности света в точке Р, приходящего из точечных отверстий R и 夕2, соответственно. Однако последний член дает вклад, обусловленный светом, приходящим из обоих отверстий, и отвечает за интерференцию. Для того чтобы увидеть это явным образом, запишем

〈/⑴(г)〉= |K『G⑴(0宀;0) (г = 1,2)(435)

и определим нормированную функцию корреляции первого порядка

У G⑴(门，门;0) G⑴(r2, r2;0)

Выражение (4.3.4) переписывается через g(i)(『i)『2； 丁) следующим образом:

(I(r3)) = U(1Hr)) + a(2Hr)) + 2Kl(1)(r))a(2)(r))]We^(437)

Функцию корреляции представим в виде

g⑴(r…2⑺=]g⑴(门小⑺|已沁(门4")i",(438)

где Q(ri,『2； 丁) = 31乌[鼠1)(口)г2; 丁)] + 〃。丁 и 〃о — частота поля. Тогда

UN)〉=〈/(D(r)〉+〈/(2)(r)〉+

+ 2[(I(1)(r))(I(2)(r))]1/2|g(1)(ri, г2; r)| cos[Q(rb r2; 丁)一 〃0丁]* (4-3.9)

В случае квазимонохроматических источников света величины (1^ (г)), Ц(2)(г)), \g^ (ri,『2； 丁)| и a(『i)『2； 丁) изменяются медленно при перемещении точки на экране. Однако функция косинуса изменяется быстро, поскольку содержит величину 〃。丁 = = 〃o(si — $2)/с, что приводит к синусоидальному изменению интенсивности на экране.

Физический смысл величины g(D(ri)『2； 丁) можно понять, если рассмотреть вид™ ность интерференционных полос на экране. Видность, являющаяся мерой контрастности интерференционных полос, определяется как

(4.3.10)(4.3.10)г г — </(r)〉max — </(F)〉min(/(Г)) max + (/(r))min

(4.3.10)

(4.3.10)

где (I(r))max и (/(r)〉min — максимальное и минимальное значения средней интенсивности, соответственно, в окрестности точки Р. В хорошем приближении они соответствуют значениям +1 и —1 функции cos[«(ri,『2； 丁)— 〃о丁] в выражении (4.3.9). Тогдагде (I(r))max и (/(r)〉min — максимальное и минимальное значения средней интенсивности, соответственно, в окрестности точки Р. В хорошем приближении они соответствуют значениям +1 и —1 функции cos[«(ri,『2； 丁)— 〃о丁] в выражении (4.3.9). ТогдаU =U =2K/（1）（F）乂/（2）（f）注/2а⑴（『）〉+〈/⑶（Г）〉2K/（1）（F）乂/（2）（f）注/2а⑴（『）〉+〈/⑶（Г）〉1g⑴（口-2； 丁）1，1g⑴（口-2； 丁）1，(4.3.11)(4.3.11)

где (I(r))max и (/(r)〉min — максимальное и минимальное значения средней интенсивности, соответственно, в окрестности точки Р. В хорошем приближении они соответствуют значениям +1 и —1 функции cos[«(ri,『2； 丁)— 〃о丁] в выражении (4.3.9). Тогда

где (I(r))max и (/(r)〉min — максимальное и минимальное значения средней интенсивности, соответственно, в окрестности точки Р. В хорошем приближении они соответствуют значениям +1 и —1 функции cos[«(ri,『2； 丁)— 〃о丁] в выражении (4.3.9). Тогда

U =

U =

2K/（1）（F）乂/（2）（f）注/2а⑴（『）〉+〈/⑶（Г）〉

2K/（1）（F）乂/（2）（f）注/2а⑴（『）〉+〈/⑶（Г）〉

1g⑴（口-2； 丁）1，

1g⑴（口-2； 丁）1，

(4.3.11)

(4.3.11)

то есть, видность полос пропорциональна абсолютному значению величины g⑴(口，Г2； т), которая называется комплексной степенью когерентности. В частности, если средние значения интенсивностей двух пучков одинаковы, (/⑴(г)) = =(/(2)w),то видность U равна |g(D(r], 1*2； 丁)|* Таким образом, если g⑴(门户2； 丁)= = 0, то никаких полос в окрестности точки Р не образуется, так что можно предположить, что два пучка света, достигающие точки Р являются взаимно некогерентными. Максимальная видность полос в окрестности точки Р получается тогда, когда |g(D(r，1*2； 丁)| = 1, и два пучка света, достигающие точки Р, являются полностью взаимно когерентными. Это имеет место, если

+ 丁)〉= <Г (口，力)君(『2, t + 丁)• (4.3.12) Промежуточные случаи, когда 0 < |g(i)(i*i)『2； 丁)| < 1, описывают частичную когерентность.

Например, излучение источника света со спектром, имеющим доплеровское уширение типа теплового источника, описывается выражением

(4.3.13)(4.3.13)G⑴(口, 1*2； 7)=館 eхр(一5〃0丁 一 //2不),

(4.3.13)

(4.3.13)

где Тс — постоянная величина. Ясно, что если разность хода ст становится существенно больше, чем стс, то |g(i)(г】〉『2； 丁)| = ехр(—丁2/2丁^) устремляется к нулю, и интерференционные полосы исчезают. Константа тс, которая связана со спектральной шириной света (как показано ниже), является, таким образом, мерой времени когерентности света.

Важным свойством функции корреляции первого порядка

G⑴(г, г; т)=〈石㈠(г,力)石(+)(― t + т))

является то, что она связывается фурье-преобразованием со спектром мощности S(r,力)статистически стационарного поля в точке г, то есть

(4314)(4314)S(r, 〃)=丄辰 drG^^r^ г; т) ewr.

(4314)

(4314)

о

Следовательно, для вычисления спектра мощности необходима функция корреляции первого порядка при положительных значениях г.

Рассмотрим пример источника света с доплеровски уширенным спектром, для которого функция корреляции первого порядка задается выражением (4.3.13). Спектр мощности источника, вычисленный по формуле (4.3.14), равен

产2

S(- 〃) = 一 а)?不/2]工 (4.3.15)

Это гауссов спектр, центрированный на частоте 〃 = 〃о и имеющий полную ширину на половине высоты, равную 2у 2 In 2/тс. Таким образом, величина 1/то обратная времени когерентности светового поля, является мерой спектральной ширины света.

Эксперимент Юнга с двумя атомами 】)• Рассмотрим эксперимент Юнга, схема которого показана на рис. 4.8. Два атома расположены в точках S и S'. В момент времени 力=0 оба атома взаимодействуют с одиночным фотоном, обозначаемым

Рис. 4.8. Схема эксперимента типа Юнга, использующего излучение двух атомов

через |0〉，в результате чего какой-либо из атомов может перейти в возбужденное состояние. Таким образом мы имеем состояние

а^а.Ь^^^.а^^^Ь.Ь^ф),(4.3.16)

где |а), |Ь〉и \af)^ |b'〉—— возбужденное и основное состояния атомов в точках S и S] соответственно, а а и /3 ——амплитуды вероятности состояний с возбужденными и невозбужденными атомами, соответственно. Следовательно с вероятностью |а『 путем поглощения одного фотона получаем состояние

1以0))=^(加心+也心)m(4317)

С течением времени это состояние распадается в следующее:

1^(00)) = ^|ЬЛ，)(Ы + Ю),(4318)

где |7)и)'〉——состояния фотонов, соответствующие испусканию из точек S и S'. Для целей настоящего раздела достаточно считать, что 力 и)'〉являются состояниями

В Этот раздел основан на работе Scully and Driihl, Phys. Rev. A 25, 2208 (1982).

плоской волны |1к) и |1к", где k/k и V/kf — единичные векторы, направленные из точек S и S' в точку г детектора (рис. 4.8). Тем не менее, вопрос как выбрать состояния |т〉и |т) наиболее простыми, но в тоже время верно отражающими физическую ситуацию, является важным и тонким, и рассматривается в приложении 4.А.

Корреляционная функция G(D(r, г;力 t) принимает теперь вид

G⑴(г, г;力⑴=3(ос)|Е(—)(г)加+)(rj以ос)〉= G⑴(r,r;0),(4.3.19)

где отмечено, что зависящие от времени множители сокращаются, поскольку 〃靑= =沙左，"Используя условие полноты (как при выводе формулы (1.5.15)), можно записать

G ⑴(r,r;0) = W^(r)W#(r),(4320)

где

屮君⑺=(0|^(г)|^(сю))=餐(^kr +”(4321)

v 2

Таким образом, видно, что возникает интерференционная картина, задаваемая выражением

G⑴(г, г; 0) = <{1 + cos[(k — V) • г]},(4322)

которое, как показано в приложении 4.А, можно записать в обычном виде:

G⑴(г, г;0) = < [1 + cos (^d ” г)] = < [1 + cos(2kxd/D)] *(4323)

Когерентность второго порядка

В предыдущем разделе рассматривались корреляционные функции первого порядка и их свойства. Если поля обладают одинаковыми спектральными свойствами, то невозможно распознать их природу, исходя лишь из функции корреляции первого порядка. Например, излучение лазера и излучение обычного теплового источника имеют одинаковые свойства когерентности первого порядка. Однако это не так, если речь идет о свойствах когерентности второго и более высокого порядка. Поэтому далее мы рассмотрим применения корреляционных функций второго порядка.

Физика эффекта Хэнбери-Брауна-Твисса. Вооруженные теорией фотоэлектронных корреляций, вернемся к эффекту Хэнбери-Брауна-Твисса. Для начала рассмотрим состояние 卜少〉=|1卜 Jk> то есть случай двух независимых фотонов, один из которых имеет импульс к, а второй ——импульс к'” Ясно, что функцию корреляции второго порядка можно теперь записать в виде

G(2)(n, Г2； 3 力)=(lk, 1k，归㈠(口⑴石㈠(r2,力)加 +)(r2,力)加 +)(口⑴ h，1k〉

(441)

Используя соотношение £{^} |{n})({n}| = 1, получаем, что

G⑵(口户2；3力)=

= E(lkJk，£-)( 口")加一)(也力)]{"}〉({"}1加+)(f2,力)加+)(口/)h,1仆 (442) {n}

Поскольку |lk, lkz) является двухфотонным состоянием, которое уничтожается дей™ ствием оператора Е^ (r2, t)E^ (r17 f), остается лишь член |0)(0|.

С учетом вышесказанного видно, что в случае двух одиночных фотонов можно записать

G ⑵(门，r2；力力)=W ⑵ *(口f2/)3 ⑵(口/; r2,0,(4.4.3)

где

W ⑵(n,力；r2, t) =(0旧(+)(r2,力)加+)(门，方)11к(444)

Поскольку

后(+)(% t) = < (例+ 収，「"fk") (E = 1, 2),(445)

получаем

Ф(2)(гь t;r2,f)=

=<2，70]例产依例，宀公單kIk，〉+ < e-2f01例，产"例eibr2|lk,lv)=

=<「2^@k.ri+成kF + /1.口+浪门)，(446)

так что

G(2)(n, Г2；力 t) = 2<{1 + cos[(k — V) •(П — r2)]}.(447)

Интерференция интенсивности для двух атомов. Рассмотрим случай двух ато мов, расположенных в точках S и S' (рис. 4.9), когда каждый из них первоначально находится в возбужденном состоянии, то есть

|^(0)) = la,^)^).(4.4.8)

Спустя время, существенно большее времени затухания, это состояние примет вид

卜少(8)〉= |АУ〉|т”〉，(449)

где, как и в предыдущем разделе, можно считать, что |j) = |1卜〉,|)'〉 = |lk'〉* Тогда двухфотонная корреляционная функция совпадает с функцией, определяемой выражениями (4.4.1) и (4.4.7).

Рис. 4.9. Графическое представление членов в выражении (4.4.6)

Обратимся теперь к случаю некогерентного возбуждения атомов, с тем чтобы показать действительную мощь эффекта ХБ——Т. Предположим, что атомы, расположенные в точках S и S- возбуждаются электронным ударом. Тогда в некоторый момент времени, допустим 力=0, имеем состояние вида

1^(0)) = [|а| е/a,從〉+ I向®"也 g +。汕也從〉)+ 卜|也 У〉] ® |0),(4410)

которое (см. приложение 4.А) эволюционирует в состояние

М(СЮ)〉= [|a| e~|lk, h" + |Д|(^|М + e^|lk0) + Е|0〉] ® |仇 У〉，(4411)

где 0, " и "'——случайные фазы, обусловленные, например, случайным характером моментов времени, соответствующих возбуждению атомов.

В этом случае интерференционные члены, содержащиеся в функции корреляции первого порядка, умножаются на фазовый множитель, по которому необходимо

провести усреднение, то есть

[G( (Г, TJ ^)]перекрестные интерференционные члены^ 〈£ ')〉 £ *(-(4-4.12)

Эта величина обращается в нуль вследствие случайного характера “ и "'. Следовательно, можно было бы заключить, что атомы, описываемые состоянием (4.4.11), никогда не создадут интерференционной картины. Однако это не так. Если воспользоваться выражением (4.4.11) для вычисления。⑵(口, г?;九力),то найдем, что

G ⑵(口户2；九方)=|Q|2〈lkJk，£ —)( 口)后㈠(『2)加+)(『2)加+)( 口 )hJk"=

=2|q|2京{1 + cos[(k - k') •(Г1 - r2)]}. (4.4.13)

Здесь мы вновь видим, что случайные фазы, разрушающие когерентность первого порядка, не влияют на когерентности типа ХБ-Т второго порядка.

Эффект Хэнбери-Брауна-Твисса для теплового и лазерного излучений. Обратимся теперь к случаю многофотонных состояний, отвечающих тепловому и лазерному излучениям, и вычислим корреляции ХБ-Т для двух источников такого излучения, расположенных в точках S и S'.

Как и прежде, нам необходимо вычислить скорость совпадений фотоотсчетов в детекторах, расположенных в точках ri и Г2, причем скорость задается функцией корреляции второго порядка

С(2)(Г1,Г2；力 =〈后(―)(口，力)后(—)(Г2<)后( +)(Г2<)后( +)(Г1"»(4414)

Рассмотрим случай, когда основные члены в операторах электрического поля 后(『储 t) (i = 1, 2) имеют вид

石(+)(r為 t) = <(ak 汰』 + 例，e一汰(4415)

где кик'——волновые векторы излучения, приходящего из точек S и S'. Кроме того, как и прежде, 〃 = c|k| = c|kz|. Отмечая, что в случае излучения, создаваемого тепловым источником, лазером со случайной фазой, а также двумя атомами, остаются лишь «парные» упорядочения операторов (см. приложение 4.Б), получаем

G(2)(n, Г2； 3 力)=<((4 厂浪门 + а+「*%)(◎； °Тк4 + а+「к")х

х (w/k» eik，-r2)(akeibri +av £小门)〉=

WW + a+a+ak/av + <a+akak41 + 「"к一^(门f幻升

+ a+4ak/ak[l + £(k—X)•(…2)〉(4416)

Если предположить, что (п^) = (п^) = (п) и, аналогично,〈冗^〉=〈"^〉= (п2), то (4.4.16) можно записать в виде

G⑵(Г1, Г2；九 t) = 2京(仅2〉—⑺ + (n)2 {1 + cos[(k — k> (口 — r2)]}) .(4.4.17)

Далее вычислим (п2) для двух различных случаев: излучение звезд и излучение лазера со случайной фазой.

Звезды. Излучение звезд является тепловым, поэтому

(п2) = 2(п)2 + (п),(п) = [ехр(Пр/А：вТ) - 1「\

так что из (4.4.17) следует, что

G⑵(白, Г2；力力)=2< (2⑺尸 + 3尸{1 + ms[(k - V) • (口 一 r2)]}).(4418)

Последний член в (4.4.18) соответствует эффекту Хэнбери™Брауна-Твисса и позво™ ляет измерить угол между к и к' (см. обсуждение, следующее за формулой (4.1.24)).

Лазеры. В области, существенно превышающей порог, статистика фотонов лазера является пуассоновской, поэтому (п2) = (п)2 + (п), и

G⑵(口, г?; 3 力)=2£ ((п)2 + ⑺2 {1 + cos[(k 一 k) • (口 一 r2)]}) .(4.4.19)

Таким образом, в обоих случаях можно измерить угловое расстояние, устранив влияние возмущающих членов типа cos[(k + k/) • (ri — Г2)/2], которые мешают работе звездного интерферометра Майкельсона.

Эффект Хэнбери-Брауна-Твисса в случае пространственной интерференции нейтронов. Теперь уже ясно (вопреки тому, что часто можно услышать и проч и™ тать), что интерференционная картина ХБ-Т, или интерференционные перекрестные члены в выражении для G ⑵(口，Г2), не имеет никакого отношения к бозонному характеру фотонов. То есть, как показано в двух предыдущих разделах, перекрестные интерференционные члены ХБ-Т появляются для излучения, испущенного как двумя независимыми атомами, так и лазерами. В обоих этих случаях «группировка бозонов» отсутствует.

Кроме того, из выражения (4.4.4) и рис. 4.9 ясно, что эффект переносится также и на нейтроны. В этом случае операторы уничтожения фотонов, такие как (4.4.5), заменяются фермионными операторами вида

@(门+ Ck,「汰‘宀,(4420)

где операторы уничтожения фермионов Ck и с^ подчиняются антикоммутационным соотношениям

скск/ + ск"/ ск = 8kк,(4.4.21)

^点+ 心建=0,(4422)

СкСк/ + Ск^Ск = 0.(4.4.23)

Теперь выражение (4.4.4) заменяется двухфермионной волновой функцией

W⑵(Г1НГ2М)=(0/(f2,方)©(门，方升⑺=

=「2w(0|以。也4以，产"h，lv) + e^2^(0|Cv 。加心以。江『к Jk，〉， (4424) и поскольку

(0|ckcv|lk,lv) = (0|CkCvC+C+|0) = -(0|CkC+|0)(0|CvC+|0) = —1,(4425)

в то время как для второго члена из (4.4.24) та же операторная алгебра дает +1, то фермион^фермионная функция корреляции принимает вид

G⑵(口, Г2；3 力)=2{1 — cos[(k 一 V) •(Г1 一 r2)]} .(4-4.26)

Таким образом, эффект Хэнбери-Брауна-Твисса в случае двух точечных источников (S и 夕 на рис. 4.9), испускающих нейтроны или /3-частицы, работает также хорошо, как и в случае источников 7-излучения или а-частиц. Единственное различие заключается в знаке интерференционного члена.

Гомодинное детектирование сжатых состояний. Как показано выше, прямые эксперименты по счету фотонов, в которых свет, имеющий распределение фотонов р(п), падает непосредственно на фотодетектор, дают лишь информацию о среднем числе фотонов и моментах более высокого порядка. Такие измерения интенсивности, следовательно, не чувствительны к сжатию, а чувствительны к антигруппировке или к суб- и суперпуассоновской статистике, то есть к эффектам, которые наблюдаются и в случае несжатых полей. Детектирование сжатых состояний, с другой стороны, требует фазово-чувствительной схемы, при помощи которой измеряется дисперсия квадратуры поля. В этом разделе рассматривается задача детектирования сжатых состояний поля излучения с помощью гомодинирования.

Схема гомодинного детектирования показана на рис. 4.10. Входное поле складывается с полем гетеродина на свободном от потерь светоделителе, имеющем коэффициент пропускания Т и коэффициент отражения Я, так что Я + Т = 1.

Рис. 4.10. Схема гомодинного детектирования

Моды входного поля и поля гетеродина описываются операторами уничтожения а и 6, соответственно. Тогда, обозначая аналогичные операторы двух выходных мод, достигающих детекторов 1 и 2, через с и d, соответственно, получаем

с = Vr« +- 7 б,(4*427)

d = iVT^Ta^ VT6.(4428)

Возникающая разность фаз между отраженной и прошедшей волнами, равная тг/2 для симметричного светоделителя, учтена при помощи множителя i в выражениях (4.4.27) и (4.4.28). Сигналы, измеряемые двумя детекторами, определяются операторами

с+с = Та+а + (1 — Т)ь+ь + £，Т(1 — 7) (а+Ь — 6+а),(4429)

d+d = (1 — Т)а+а + Tb+b — 〃，丁(1 — 7) (a+b — 6+a).(4430)

Поскольку частота гетеродина совпадает с частотой входного поля, эти операторы не зависят от времени. Далее мы рассмотрим обычное и балансное гомодиннное детектирование.

Обычное гомодинное детектирование. В случае обычного гомодинного детектирования коэффициент пропускания светоделителя близок к единице, то есть

7》凡(4431)

и измеряется лишь фототок детектора 1. Мода гетеродина возбуждается в когерентное состояние I仇〉с большой амплитудой и фазой 仇” Из (4.4.29) следует, что сигнал, достигающий детектора 1, дается выражением

(с+с) = Tg* + (1 — Т)|Д|2 — 2,7(1 - Т) I仇|〈Х(伪 + 7Г/2)), (4432) где

Х(0)三 X。= |(а「汹 + а+ е渺)* (4433)

Видно, что сигнал содержит часть входных фотонов, прошедшую через светоделитель, отраженное поле гетеродина и, самое главное, член, описывающий интерференцию входящего поля и поля гетеродина. Именно этот интерференционный член содержит квадратуру входного поля, зависящую от фазы гетеродина. В этой схеме детектирования используется мощный гетеродин, так что

(1 —丁)| 仇 |2》『а+б (4.4.34)

Неравенства (4.4.31) и (4.4.34) вместе означают, что почти все поле на входе достигает фотодетектора, но часть поля гетеродина, достигающая детектора, все еще доминирует. Следовательно, первым членом в (4.4.32) можно пренебречь и среднее число фотонов в моде с равно

= (1 — Т)|Д|2 — 2"(1-Т) I仇|〈Х(02 + 7Г/2» (4435)

Первый член составляет известное постоянное значение, которое можно вычесть из сигнала, так что оставшийся сигнал будет содержать лишь квадратуру входного поля.

Моды входного поля и поля гетеродина являются независимыми, то есть (ab)= = (а){Ь). Флуктуации числа фотонов можно тогда легко вычислить, используя (4429)и (4.4.30),

(△人)2 = (1 — Т)|Д|2{(1 — 7) + 4Т[ДХ(^ + 7г/2)]2}в (4436)

При выводе (4.4.36) использовано неравенство (4.4.34) и оставлены члены второго порядка по I仇卜 Видно, что шум сигнала содержит отраженный шум гетеродина (первый член) и прошедший шум входной квадратуры (второй член). Если поле на входе является некогерентным (или вакуумным), то [ДХ(仇 + тг/2)]2 = 1/4, и оставшийся член представляет собой дробовой шум гетеродина. Условие сжатия на входе имеет вид

+ (4437)

для тех значений фазы ф〔 гетеродина, при которых сжата квадратура X] или Х2.

На практике сначала блокируют вход и определяют уровень дробового шума. Затем входное поле допускается на светоделитель и определяется уровень дисперсии по отношению к уровню дробового шума. Таким образом, сжатие проявляется при гомодинном детектировании как субпуассоновская статистика.

Отметим, однако, что измерения интенсивности при гомодинном детектировании существенно отличаются от измерений при прямом детектировании, то есть: а) флуктуации интенсивности в этом случае непосредственно определяют флуктуации квадратуры на входе, и б) сигнал и его дисперсия зависят от фазы гетеродина, являющейся внешним параметром.

Балансное гомодинное детектирование. Обсуждая выражение (4.4.35), мы пред™ положили, что поле гетеродина является идеально когерентным и пренебрегли избыточным шумом гетеродина. В схеме гомодинного детектирования нельзя подавить дробовой и избыточный шум гетеродина, проникающий за счет отражения от светоделителя, поскольку коэффициент пропускания Т, в принципе, не может быть равным 1. Следовательно, обычное гомодинное детектирование ограничивается шумом гетеродина. В частности, детектирование не является квантово ограниченным, если прошедший входной шум меньше, чем отраженный шум гетеродина, что может быть в том случае, когда входной шум слишком мал.

Альтернативная схема основана на двухканальном гомодинном детектировании, в которой сопоставляется выход двух каналов светоделителя. Тот факт, что неинтерференционные члены для двух каналов имеют одинаковый знак, а интерференционные члены ——разный знак (см. выражения (4.4.29) и (4.4.30)), можно использовать для полного исключения неинтерференционных членов. В этой схеме используется светоделитель 50/50 и определяется разность показаний двух детекторов. Выходной сигнал задается оператором

ncd = с+с — d+d = —"a+b — b+a). (4.4.38)

Тогда измеряемый сигнал равен

3cd〉= —2| 仇 |〈Х@ + 7Г/2)). (4439)

Видно, что вклад гетеродина исключен, и остался лишь результат интерференции между средним полем гетеродина и входной квадратурой. Дисперсия выходного сигнала получается равной

(△%d)2 = 4| 仇 |2[4Х(伪 + 7Г/2)]. (4440)

Здесь вновь предполагается, что гетеродин является мощным. Доминирующий член связан лишь с интерференцией между шумом входного сигнала и мощностью гетеродина, а шум последнего полностью исключен. Это делает требование сильного гетеродина в данном случае менее жестким.

Измерение фазовой неопределенности 丄). Использование балансного гомодинного детектирования в прецизионной интерферометрии приводит к нескольким интересным результатам. Здесь мы рассмотрим применение балансного гомодинного детектирования к измерению фазовой неопределенности оптических сигналов. Схема измерения показана на рис. 4.11, где изображен интерферометр Маха-Цендера, содержащий в верхнем плече фазово-чувствительный элемент и работающий в балансном режиме. Фазово-чувствительный элемент вносит фазовый сдвиг ф^ например, за счет эффекта Керра, рассмотренного в разд. 19.2.

Предположим, что Mi и М? на рис. 4.11 являются светоделителями 50/50 и допустим, что длины двух путей между ними одинаковы. Операторы уничтожения различных мод, изображенных на рис. 4.11, связываются друг с другом при помощи

(4441)

У =6),

(4442)

V

q(优 + 分y /毎)=；［(1 _ /每)a + "1 + /%)"

(4443)

!（勿优 + у /每）=；口（1 + /每）a — （1 _ /加）6l

(4444)

Рис. 4.11. Интерферометр Маха-Цендера, содержащий в верхнем плече фазово-чувствительный элемент и работающий в балансном режиме. Операторы а и 5 представляют собой операторы уничтожения фотонов в модах сигнального поля и поля гетеродинаРис. 4.11. Интерферометр Маха-Цендера, содержащий в верхнем плече фазово-чувствительный элемент и работающий в балансном режиме. Операторы а и 5 представляют собой операторы уничтожения фотонов в модах сигнального поля и поля гетеродинасоотношенийсоотношений

Рис. 4.11. Интерферометр Маха-Цендера, содержащий в верхнем плече фазово-чувствительный элемент и работающий в балансном режиме. Операторы а и 5 представляют собой операторы уничтожения фотонов в модах сигнального поля и поля гетеродина

Рис. 4.11. Интерферометр Маха-Цендера, содержащий в верхнем плече фазово-чувствительный элемент и работающий в балансном режиме. Операторы а и 5 представляют собой операторы уничтожения фотонов в модах сигнального поля и поля гетеродина

соотношений

соотношений

Здесь, как и прежде, предполагается фазовый сдвиг у отраженного поля, равный 7г/2.

Сигнал на выходе балансного гомодинного детектора задается оператором

ncd = с+с — d+d = (b+b — a%) cos фр — (a^b + b^a) sin фр.(4.4.45)

Если мода гетеродина находится в когерентном состоянии |仇〉с большой амплитудой, а сигнальная мода ——в вакуумном состоянии |0), то сигнал определяется выражением

(4446)(4446)〈"cd〉н 九С COS фр 7

(4446)

(4446)

где切=I仇『.

Интересно отметить, что для фр = тг/2

"cd = —(а% + 6%),(4.4.47)

то есть ncd не зависит от операторов числа фотонов, и система, изображенная на рис. 4.11, в сущности эквивалентна балансному гомодинному детектору, изображен™ ному на рис. 4.10.

Теперь учтем, что в случае сигнальной моды, находящейся в вакуумном состоянии, разностный оператор (4.4.47) имеет дисперсию

(△"cd)? = I仇『="%.(4.4.48)

Эту величину можно связать с погрешностью фазы, заметив, что из (4.4.46) следует

d(ncd)•,

(4449)

и в балансном режиме, когда фр = тг/2, имеем

1 6 фр 1

(4450)

Следовательно погрешность фазы задается выражением

\d{ncd}/дфр\п/

(4451)

Если теперь взять сигнал в сжатом вакуумном состоянии |0, §〉, где g = г exp(ii?), то

{ncd) = ("/ + sh2 г) cos фр = "/ cos фр.(4.4.52)

В балансном режиме (0戶=тг/2) \9{ncd)/дфр\ = п^, и

(△"cd)? = "с [ch 2г — cos(" — 2仇)sh 2r] + sh2 r,(4.4.53)

где использованы выражения (2.7.11)-(2.7.13). Если положить 少=2仇,то выражение (4.4.53) принимает вид

(△"cd)? = "2 £—2『+ sh2 г,(4.4.54)

и в случае "%》1 можно пренебречь членом sh2 г в (4.4.54) и получить следующее выражение для уменьшенного фазового шума:

7工j(4.4.55)

\д{пса)/дфр\/

Интерференция двух фотонов. Рассмотрим эксперимент, в котором измеряется зависимость совместной вероятности детектирования двух фотонов в двух точках от расстояния между точками. Этот эксперимент по двухфотонной интвр- ференции является примером эксперимента по корреляции интенсивности, в котором предсказания квантовой теории существенно отличаются от соответствующих предсказаний классической теории когерентности. Экспериментальные результаты согласуются с предсказаниями квантовой теории когерентности при таком выборе параметров, когда классическая и квантовая теории приводят к различным результатам. Существование неклассических эффектов в двухфотонной интерференции есть всего лишь один пример из огромного числа тех явлений, в которых явно проявляется квантовая природа света. Некоторые из этих явлений рассматриваются в этой книге, в частности, в гл. 21.

В двухфотонном интерферометре две волны света, имеющие случайные фазы и узкую спектральную ширину, падают одновременно на поверхность светоделителя.

Отраженные и прошедшие волны приходят вместе на детекторы Da и &, расположенные в точках га и гь, соответственно (рис. 4.12). Выходные сигналы, после усиления, посылаются на коррелятор. Измеренная скорость совпадений является

Рис. 4.12. Схема эксперимента по двухфотонной интерференции. (Из работы Ou and Mandel, 1989)

мерой совместной вероятности детектирования Р(жа, ж^) 6ха Зх^ при детектировании в точках ха и 虞科 задаваемых с точностью 8ха и Зх^. Здесь ха и хъ являются проекциями векторов га и г% на векторы к2 — ki и к2 — к1? соответственно (см. рис. 4.12), где к] и к2 — волновые векторы, соответствующие к】и к2 после отражения на светоделителе.

Как обсуждалось в разд. 4.2, совместная вероятность детектирования определяется величиной W2- Таким образом

= %%(加一)(富。)后㈠(/)加+)(g)加+)(富。»(4456)

где Ха к 女6 — множители, зависящие от характеристик детекторов. Вычислим теперь совместную вероятность детектирования для падающих коррелированных фотонов в рамках квантовой и классической теорий когерентности.

Если рассматривать светоделитель О (см. рис. 4.12) как источник, то положительно-частотные части Е^ + \ха) И Е^ + \хъ) можно записать в виде

石(+)(£。)= <f(£，^aie戒+，"口2 产(4.4.57)

E^\xb)=君(，"м /出鹏 + 6，^а2 е*2，гь),(4.4.58)

где R и Т ——коэффициенты отражения и пропускания светоделителя,团 и 口2 — операторы уничтожения полей на входе в светоделитель, и 咨=(hp/2e^V}1^. Если светоделитель является 50%-ным то R = Т = 1/2. Выражения (4.4.57) и (4.4.58)

тогда упрощаются и принимают вид

石(+)(са)=；(沁1 "「％ + о?(4459)

Е^\хь) = *(肉+ ,沁2 е^гь).(4460)

Начальным состоянием поля (при подаче двух одиночных фотонов) является двухфотонное фоковское состояние |li, I2). Такое состояние можно получить в про™ цессе вырожденного параметрического усиления в нелинейной среде (гл. 16). Следовательно, совместная плотность вероятности детектирования (4.4.56) определяется выражением

月(ta,= мамь(11,12|£,(^)(жа)Е(^)(жь)Е(+)(жь)Е(+)(жа)|11,12)=

=|"а々炉{1 一 cos[(k2 一 3) . ra 一 (k2 一 ki) •川卜(4.4.61)

где использованы выражения (4.4.59) и (4.4.60) для Е^ (жа), Е^ (ж^) и эрмитово сопряженных им величин. Если угол 斤 между к] и к? и между к? и к] очень мал, то соответствующая интерференционная картина имеет расстояние между полосами,

равное

L РиL Ри2тг2тгк —к2〔к —к2〔2тг27r也—к/к"2тг27r也—к/к"(4.4.62)(4.4.62)

L Ри

L Ри

2тг

2тг

к —к2〔

к —к2〔

2тг27r

也—к/к"

2тг27r

也—к/к"

(4.4.62)

(4.4.62)

где k = |ki I = |к2|, и мы получаем

月зa, =；"a々君4 {1 一 cos [27r(加7—加“]卜(4.4.63)

Таким образом, совместная вероятность детектирования является модулированной в отношении переменной ха — хь по закону косинуса, причем видность

U = 丁 - fin = l(4464)

Ртах "4" Pmin

Следовательно, имеется интерференция двух двухфотонных амплитуд, связанная с тем, что оба фотона отражаются и оба пропускаются светоделителем.

Видность, равная единице, означает, что если фотон регистрируется в точке жа, то существуют определенные положения д, где второй фотон невозможно обнаружить, и наоборот. Эта ситуация противоречит классической оптике (как будет показано ниже), которая предсказывает отличное от нуля поле в обоих положениях ха и д.

Теперь вычислим видность, рассматривая падающие поля классически. Операторы о】и а? в выражениях (4.4.59) и (4.4.60) можно заменить классическими с- числовыми амплитудами 因 и 色,соответственно. Предположим также, что поля имеют случайные фазы. Это разумное предположение, поскольку однофотонные состояния имеют произвольную фазу. Следовательно, классические средние по ансамблю зависящих от фазы величин, таких как 因 и |因『^, обращаются в нуль.

Совместная вероятность детектирования Р(жа, д) задается выражением (4.4.56), в котором теперь Е^ и Е^ являются классическими с-числовыми полями, и угловые скобки обозначают классическое среднее по ансамблю. Нетрудно показать, что

р(ха, д)=；"。"向〈(厶 + /2)2) - 2〈厶/2〉cos[27T(xa — жь)/2],(4.4.65)

где /1 =炉|qi『и А =炉|&2『"Видность U интерференционной картины задается выражением

U 二2〈厶 Л0

+(/办 + 2(/1

Поскольку〈/，〉+〈/办》2(Ii/2),

U W g(4467)

что задает классический предел. Отсюда видно, что видность не может превышать 50%, в противоположность предсказанию квантовой механики.

Таким образом, наблюдение видности, превышающей 50%, свидетельствует о неклассическом поведении света. В двухфотонных интерференционных экспериментах наблюдалась видность свыше 75%.

Антигруппировка фотонов, пуассоновский и субпуассоновский свет.

В разд. 4.2 было показано, что соответствие между квантовой и классической теориями когерентности устанавливается через F-распределение. Однако Р- распределение не имеет всех свойств классической функции распределения. Таким образом, возможно, что некоторые неравенства для корреляционных функций, которые явно предполагают регулярное распределение вероятности, могут не удовлетворяться. Нарушение этих неравенств для определенных полей излучения явилось бы явным доказательством квантовой природы света. В этом разделе мы рассмотрим некоторые примеры таких полей.

В классической теории когерентности операторы поля заменяются с-числовыми полями. Для таких полей из неравенства Шварца |(а*6)|2 < (1«|2К1^|2) (гдеа = /(г/) и b = /(г, t + т)) следует, что

1(/(一力)/(- t + 丁))『w (/2(r,力))UY- t + r)).(4468)

Соответствующее неравенство в квантовой теории когерентности получается заменой произведения интенсивностей в угловых скобках соответствующими нормально упорядоченными операторами, то есть

К： /(г,力)/(r, t + т) :)|2(: /2(t,力):)(: /2(t,力 + 丁):),(4.4.69)

где символ : : обозначает нормальное упорядочение, при котором операторы рождения расположены слева от операторов уничтожения. Это неравенство удовлетворяется для полей с регулярным F-распределением. Из определения 旦(？)(丁) (см. (4.2.21)) следует, что в случае статистически стационарных полей этому неравенству можно придать следующий простой вид:

g⑵(丁) Wg⑵(0)*(4470)

Это неравенство, как мы видели, удовлетворяется для теплового и когерентного полей. Напомним, что g^ (т), по определению, является мерой корреляций фотонов в моменты времени t at + т. Если поле удовлетворяет неравенству g^ (т) < g ⑵(0) при т < тс, то фотоны демонстрируют избыточную корреляцию на временах, меньших времени корреляции тс. Это называется группировкой фотонов, поскольку фотоны стремятся распределиться преимущественно по группам, а не случайным образом. Когда такой свет падает на фотодетектор, фотонные пары с меньшим интервалом регистрируются чаще, чем фотонные пары с большим интервалом (рис. 4.13а). Примером поля, демонстрирующего явление группировки фотонов, является поле теплового источника.

В некоторых квантовых оптических системах неравенство (4.4.70) может нарушаться, и мы получаем

旦⑵⑺ >g(2)(0)"(4471)

Этот результат соответствует явлению антигруппировки 60moное、что является противоположным эффектом, при котором фотонные пары с меньшим интервалом

Тс

ши I и II

(6)

III III I III I Illi III Illi

(6)

Рис. 4.13. Распределение фотоотсчетов во времени в случае: группировки фотонов (а),пуассоновского распределения фотонов (6) и антигруппировки фотонов (в) в световыхпучках

регистрируются реже, чем фотонные пары с большим интервалом (рис. 4.13в). Антигруппировка фотонов в процессе резонансной флуоресценции атома будет рассмотрена в разд. 10.6.

Еще одним неклассическим неравенством является неравенство

g⑵(0) < 1,(4472)

которое справедливо для полей, F-распределение которых не является неотрицательно определенным. Для того чтобы явно это показать, перепишем сначала это неравенство в виде (см. (4.2.21))

(〈а+о+оо〉—(о+о〉2) < 0,(4.4.73)

или в Р-представлении,

月(％ q*)(|q『一〈о+о〉)2 储q < 0.(4474)

Поскольку величина (|q『—〈о+о〉)？ является положительно определенной для всех значений а, единственный способ удовлетворить неравенству заключается в том, чтобы сделать величину Р(а, а*) отрицательной, хотя бы при некоторых значениях а. Неравенство (4.4.72) удовлетворяется для полей, функция распределения которых уже, чем распределение Пуассона. Такие поля называются субпуассоновскими. Подобным образом, поля, для которых g⑵(0) = 1 и g⑵(0) > 1, называются

пуассоновскими и суперпуассоновскими соответственно. Например, тепловое поле, для которого g⑵(0) = 2, является суперпуассоновским, поле в когерентном состоянии |«о), для которого g(2)(0) = 1, является пуассоновским, а поле в состоянии с определенным числом частиц |по), для которого g(2)(0) = 1 1/по, является субпуассоновским.

Из предыдущего рассуждения очевидно, что можно создать много других состояний, для которых F-распределение не будет регулярным. Одним из них является сжатое состояние поля излучения. Для того чтобы это показать, выразим (АХ；)2 (г = 1, 2) в виде среднего по Р-распределению:

(△К)? = ； + (： △% ：)2 =

=；{1 + 片&月(а, а*)[(а + а*) — ((а) + (а*))]2| . (4475)

Условие сжатия (АХ^)? < 1/4 (г = 1 или 2) требует, чтобы величина F(a, а*) была отрицательной, хотя бы при некоторых значениях а, то есть не была «неотрицательно определенной». Таким образом, сжатое состояние поля излучения является неклассическим состоянием.

Счет и статистика фотонов

В этом разделе мы определим статистику фотоэлектронного счета, которая создается полностью квантово-механическим полем. Задачу, состоящую в нахождении распределения фотоотсчетов исходя из статистики фотонов, можно решить полностью квантово-механически. Здесь приводится простой вывод соотношения между этими распределениями, основанный на простом вероятностном рассуждении.

Пусть вероятность испускания фотоэлектрона детектором, взаимодействующим в течение некоторого времени с полем, имеющим только один фотон |1), равна ту. Квантовая эффективность ту зависит от характеристик атомов детектора и времени взаимодействия. Тогда, если поле излучения находится в состоянии |п), то вероятность № обнаружения т фотоэлектронов пропорциональна величине ту? которую нужно умножить на вероятность того, что (п — т) квантов не поглотились, то есть на величину (1 — 〃严-伍.Таким образом,

Р^} ^Лт^^^т^(451)

Однако нам не известно, какие т фотонов поглотились из исходного числа фотонов п, поэтому необходимо добавить комбинаторный множитель

?學)=(几)〃側(1-，7广一(452)

Это есть распределение Бернулли для т удачных исходов (отсчетов) и п — m неудачных, когда каждый из исходов имеет вероятность ту. Поскольку распределение значений п задается функцией распределения фотонов рпп, необходимо умножить (4.5.2) на рпп и просуммировать по п,

рт = Е Р^Рпп,(453)

что приводит к следующему выражению для распределения фотоэлектронного счета:

(454)(454)

(454)

(454)

(455)(455)Это выражение справедливо при всех значениях ту (0，〃，1). Для того чтобы определить статистику фотонов по счету фотоэлектронов, необходимо, очевидно, чтобы ?] = 1. В этом случае из (4.5.4) следует, что

(455)

(455)

Рщ = Ртт •

Во всех остальных случаях, когда ту < 1, наблюдаемая статистика фотоэлектронов может существенно отличаться от статистики фотонов.

С другой стороны, величину Рт можно выразить через F-распределение Р(а, а*) поля, записывая

рпп = d2aP(a, Q*)*^ 已-旧\(456)

так что выражение (4.5.4) принимает вид

Рт = d2a У匕广(1—刀广—。(457)

n = m '‘

Поменяв n на / + m и просуммировав по Z, получаем

Рт = (fa月(Q,Q*丿叫：;广切aj(458)

Отметим, что это выражение можно обратить, то есть можно Р~распределение поля выразить через Fm, при условии, что р диагональна в п-представлении.

Приложение 4.А

Классическое и квантовое описания интерференции с двумяисточниками

При корректном классическом описании эксперимента Юнга, излучение от двух щелей представляется в виде сферических волн. Выражение для интенсивности на

Рис. 4.14. Схема, иллюстрирующая плоско-волновое рассмотрение эксперимента ЮнгаРис. 4.14. Схема, иллюстрирующая плоско-волновое рассмотрение эксперимента Юнга

Рис. 4.14. Схема, иллюстрирующая плоско-волновое рассмотрение эксперимента Юнга

Рис. 4.14. Схема, иллюстрирующая плоско-волновое рассмотрение эксперимента Юнга

экране в обозначениях рис. 4.14 имеет вид

/(г)=/(г)=『1『2『1『2(4А1)(4А1)

/(г)=

/(г)=

『1『2

『1『2

(4А1)

(4А1)

а интерференционный перекрестный член задается выражением

/12 = -+ ке（4.А.2）

Поскольку『1,2 = у D2 + （方干 d）2 = D*心］（2。）干cd/D^ где знак《一》соответствует источнику 1, а знак《+» соответствует источнику 2, имеем

/12二尸A^d/D + КС（4.А.З）

Однако некоторые авторы приводят плоско-волновое описание эксперимента Юнга, считая при этом, что излучение в точке детектора г состоит из двух плоских волн. В этом случае

/（9 =图产户+岗产2「2,（4a4）

и интерференционный перекрестный член имеет вид

/12（r）=婚蜀 /（%_3内 + kс（4a5）

Следовательно, если записать, в обозначениях рис. 4.14, что k〃 = к（2cos 必 + 金 sin 必）, то получим к^ • г = k^D cos di + с sin 必） = k（D 干 xd/D）, где знак 《一》и 《+» соответствуют источникам 1 и 2. В результате

/12（Г）仝蜀岗2泌富d/D + к*（4.А.6）

в соответствии со сферически-волновым описанием.

Квантово-полевое описание эксперимента Юнга хорошо поясняется наглядным примером, в котором две щели заменяются двумя атомами （см. разд. 4.3.2 и 21.1）. В этом случае вектор состояния фотона, испущенного г-м атомом, задается выражением

小1Q，（4a7）

где gk ——константа, зависящая от величины атомно-полевого взаимодействия, g ——частота перехода атома между состояниями \а） и |6）, Г ——скорость релаксации на переходе \а}\Ь） и d^ ——радиус-вектор г-го атома. Корреляционная функция

рассеянного поля записывается тогда в виде

G⑴kr;0） = ；1（0旧（+）（Г⑺|%〉+〈0旧（+）7）巾〉］ =+, （4a8）

где W — эффективное электрическое поле. Таким образом, получается тот же результат, что и при классическом сферически-волновом описании.

В заключение отметим, что однофотонные плоско-волновые состояния также можно использовать для иллюстрации интерференционных полос, создаваемых двумя источниками. Очевидно, что если поле излучения источника 1 описывается однофотонным состоянием 11^1）, а поле излучения источника 2 ——состоянием 11^2）, то И） = （|lkj + |lk2））/А и

G ⑴（г,г;0） = 2 旧㈠（一力）石（+）（i•⑴ |吵）=

=；1（0旧（+）（一力）|1%〉+〈0旧（+）（- t）|lk2）!2 =蜀蜀 I产3+ /2叶 " （4A9）

Здесь опять наблюдается интерференция как в классическом случае, что оправдывает использование обоих состояний |%〉и |1出〉для описания эксперимента Юнга.

Приложение 4.Б

Вычисление корреляционной функции второго порядка

Из выражений (4.4.14) и (4.4.15) имеем (обращаем внимание на то, что некоторые члены подчеркнуты)

G⑵(口m2；3方)=

=礎([0 亡⑴ + 吨⑴][0亡(2) + 加(2)][%(2) + ak, (2)][ak(l) + 双⑴])=

=婕((4(1)(4(2)佻(2)w(1) +

+ [或⑴砧⑵仇⑵仇，⑴+砧⑴或⑵仇《2)仇⑴+建⑴0t⑵仇，⑵仇，⑴]+

+(4⑴吋⑵仇⑵双⑴十(4⑴(4⑵双⑵%⑴+

+ [(4⑴(4(2)仇(2)仇⑴+宛⑴0亡(2)仇《2)仇，(1)] +

+(4⑴竝(2)仇(2)0h⑴十吨⑴(4(2)咏(2)%⑴+

+ [(4⑴(4⑵仇⑵仇⑴+ k ⑴(4⑵仇，⑵仇，⑴]+

+(4⑴(4⑵仇,⑵仇,⑴+

+ [(4 ⑴(4(2)仇(2)仇，⑴ +(4 ⑴(4(2)%，(2)仇⑴ +

+ a^^a^(2)ak^ak(l)]), (4Б.1)

砧⑴=(4「k? a+W = a+ e^^砧⑴=(4「k? a+W = a+ e^^(4B2)(4B2)

砧⑴=(4「k? a+W = a+ e^^

砧⑴=(4「k? a+W = a+ e^^

(4B2)

(4B2)

Все члены в последнем выражении, заключенные в квадратные скобки, обращаются в нуль, если рассматривается излучение звезд, лазеров со случайной фазой, тепловых источников и атомов. Таким образом, удерживая лишь подчеркнутые члены, получаем

G⑵(口)Г2； 3力)=鎔(0如亡仇仇 + 0匕吨ак，ам +

+ 0亡吋仇仇"1 +6t亿-k‘)gr2)]+a+a+avak[l+/位一心g一门)} (4B3)

Задачи

Покажите, что состояние поля излучения, являющееся суперпозицией вакуумного состояния и однофотонного состояния, то есть |г^) = 〃о|О〉+ ai|1), где о。 и О1 комплексные коэффициенты, является неклассическим состоянием.

Пусть тп =〈仪+九程九〉есть п~й момент интенсивности. Рассмотрим матрицу

° 17721 ТП2

=mi 62.

_m2 m3 加虱

Покажите, что для классического F-распределения det “〃 должен быть положительно определенным. (Указание: см. работу G.S. Agarwal and К. Tara, Phys. Rev. 4 46, 485 (1992) J

Рассмотрим состояние, описываемое оператором плотности р = Яа+те^ж^аат,

где 4 ——нормировочный множитель и м =方〃/к^Т*

Покажите, что это состояние переходит, в фоковское состояние, если м т Т оо, и в состояние теплового поля, если ” т О”

Найдите g⑵(0) и покажите, что статистика фотонов является субпуассоновской, если п < у т/(т + 1), где п = [ехр(м) — I]™1.

Найдите функцию распределения фотоэлектронов Рт для поля, находящегося в когерентном состоянии |а), в состоянии с определенным числом фотонов \п) и для одномодового поля теплового источника при температуре Т.

Список литературы

Обзорные статьи по теории оптической когерентности

Glauber, R. J. in Quantum Optics and Electronics^ Les Houches, ed. C. DeWitt, A. Blandin, and C. Cohen-Tannoudji (Gordon and Breach, New York 1965). [Глаубер P. В кн. Квантовая оптика и радиофизика (Мир, Москва, 1966), с. 91-279.]

Mandel, L. and Wolf, Е. Rev. Mod. Phys. 37, 231 (1965).

Mandel, L. and Wolf, E. editors, Selected Papers on Coherence and Fluctuations of Light, Vols.

1 and 2 (Dover, New York 1970). Этот двухтомник является превосходным собранием статей по теории оптической когерентности, вышедших до 1966 года.

Glauber, R. J. in Quantum Optics^ ed. S. Kay and A. Maitland (Academic, New York 1970).

Mandel, L. in Progress in Optics, Vol. 13, ed. E. Wolf (North-Holland, Amsterdam 1976).

Loudon, R. Rep. Prog. Phys. 43, 913 (1980).

Paul, H. Rev. Mod. Phys. 54, 1061 (1982).

Интерферометр Саньяка и кольцевой лазерный гироскоп

Sagnac, G. С. Я. Acad. Sci. 157, 708 (1913).

Aronowitz, F. in Laser Applications, ed. M. Ross (Academic, New York 1971), p. 113.

Chow, W. W., Gea-Banacloche, J., Pedrotti, L. M., Sanders, V. E., Schleich, W. and Scully, M.

O. Rev. Mod. Phys. 57, 61 (1985).

Применение кольцевых лазерных гироскопов в исследованиях по общей теории относительности

Scully, М. О., Zubairy, М. S. and Haugan, М. Р. Phys. Rev. / 24, 2009 (1981).

Schleich, W. and Scully, M. O. «General Relativity and Modern Optics» in Modern Trends in Atomic and Molecular Physics, Proceedings of Les Houches Summer School, Session XXXVIII, ed. R. Stora and G. Grynberg (North-Holland, Amsterdam 1984).

Эксперимент Хэнбери-Брауна—Твисса

Hanbury-Brown, H. and Twiss, R. Q. Phil. Mag. 45, 663 (1954); Nature 178, 1046 (1956); Proc. Roy. Soc. A242, 300 (1957).

Forrester, A., Gudmundsen, R. and Johnson, P. Phys. Rev. 99, 1691 (1955).

Purcell, E. M. Nature 178, 1449 (1956).

Fano, U. Am. J. Phys. 29, 539 (1961).

Ваут, G. Lectures on Quantum Mechanics, (Benjamin Pub., New York 1969), p. 431.

Hanbury-Brown, R. The Intensity Interferometer (Taylor and Frances, London 1974).

Эксперимент по двухфотонной корреляции

Mandel, L. Phys. Rev. A 28, 929 (1983).

Ghosh, R. and Mandel, L. Phys. Rev. Lett. 59, 1903 (1987).

Ou, Z. Y. and Mandel, L. Phys. Rev. Lett. 62, 2941 (1989).

Бурлаков А.В., Клышко Д.Н., Кулик С.П., Пенин А.Н., Чехова М.В. Письма ЖЭ ТФ 65, 20 (1997).

Бурлаков А.В., Клышко Д.Н., Кулик С.П., Чехова М.В. Письма ЖЭТФ 69, 788 (1999).

Burlakov A.V., Chekhova M.V., Karabutova О.A., Kulik S.P. Phys. Rev. / 63, 053801 (2001).

Счет и статистика фотонов

Mandel, L. Proc. Phys. Soc. 72, 1037 (1958).

Mandel, L. in Progress in Optics, Vol. 2, ed. E. Wolf (North-Holland, Amsterdam 1963), p. 181.

Kelley, P. L. and Kleiner, W. H. Phys. Rev. 136, A316 (1964).

Scully, M. O. and Lamb, W. E., Jr., Phys. Rev. 179, 368 (1969).

Горбачев B.H., Жилиба А.И., Трубил ко А.И. Изв. РАН, сер. физ. 66, 345 (2002).

Спектр мощности

Eberly, J. Н. and Wodkiewicz, К. J. Opt. Soc. Am. 67, 1252 (1977). В этой статье обсуждается спектр мощности нестационарных полей.

Eberly, J. Н., Kunasz, С. V. and Wodkiewicz, К. J. Phys. В 13, 217 (1980).

Cresser, J. D. Phys. Rep. 94, 47 (1983). В этой работе сделан исчерпывающий обзор по данной теме.

Балансное гомодинное детектирование

Yuen, Н. Р. and Chan, V. W. S. Opt. Lett. 8, 177 (1983).

Walker, N. G. and Carrol, J. E. Opt. Quantum Electron. 18, 355 (1986).

Глава 5

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМА С ПОЛЕМ —

ПОЛУКЛАССИЧЕСКАЯ

ТЕОРИЯ

Поведение двухуровневого атома в одномодовом электромагнитном поле является одной из простейших, но нетривиальных, задач в проблеме взаимодействия атома с полем. Двухуровневое описание атома справедливо, когда из всех уровней энергии только два находятся в резонансе с возбуждающим полем или незначительно отстроены от резонанса. Используя некоторые реалистические предположения, можно свести проблему к точно решаемой, что позволяет прояснить основные особенности взаимодействия атома с полем.

В этой главе представлена полуклассическая теория взаимодействия одиночного двухуровневого атома с одномодовым полем, в которой атом рассматривается как квантовая двухуровневая система, а поле описывается классически. Полная квантовомеханическая теория будет дана в гл. 6.

Существует формальная аналогия между двухуровневым атомом и спином 1/2, имеющим два возможных состояния. В дипольном приближении, когда длина волны излучения больше размера атома, взаимодействие атома с полем эквивалентно взаимодействию частицы, имеющей спин 1/2, с переменным магнитным полем. Точно также, как под действием переменного магнитного поля спин 1/2 совершает, так называемые, осцилляции Раби между состояниями спин-вверх и спин-вниз, двухуровневый атом испытывает оптические осцилляции Раби под действием электромагнитного поля. Эти осцилляции затухают, если атомные уровни имеют конечное время жизни. Понимание этой простой модели взаимодействия атома с полем позволяет рассмотреть более сложные проблемы, включающие взаимодействие ансамбля атомов с полем. Среди таких проблем в качестве наиболее значимого примера может быть назван лазер. Его мы обсудим позже в этой главе 】).

Гамильтониан взаимодействия атома с полем

Электрон, имеющий заряд е и массу т, взаимодействующий с внешним электромагнитным полем, описывается гамильтонианом минимального взаимодействия:

赞=^【Р - eA(r, i)]2 + eU(r,t) + У (г), (5.1.1)

В Полуклассическая теория лазера, развитая школами Лэмба и Хакена (см. Lamb, 1963; 1964 и Haken, 1964), является пионерским вкладом в эту проблему. Теория Лэмба берет начало от связанной системы уравнений Максвелла и Шредингера, в то время как Хакен с соавторами использует полуклассический (факторизованный) предел квантовых полей.

где р ——канонический оператор импульса, А(г,力)и U(г, t)——векторный и скалярный потенциалы внешнего поля, соответственно, и V(г)——электростатический потенциал, который обычно является потенциалом атомной связи. В этом разделе мы сначала выведем этот гамильтониан, используя калибровочную инвариантность, а затем приведем его к виду, пригодному для описания взаимодействия двухуровневого атома с полем излучения.

Локальная калибровочная (фазовая) инвариантность и гамильтониан минимального взаимодействия. Движение свободного электрона Движение свободного электрона описывается уравнением Шредингера описывается уравнением Шре“ин『 гера:

一 ^▽2吵=访*^ (5工2)

при этомпри этом口-力)=I^(r,t)|2口-力)=I^(r,t)|2(5.1.3)(5.1.3)

при этом

при этом

口-力)=I^(r,t)|2

口-力)=I^(r,t)|2

(5.1.3)

(5.1.3)

есть плотность вероятности нахождения электрона в положении г в момент времени t. Из уравнения (5.1.2) следует, что если 以―力)является решением, то 以―力)= =“(г,力)ехр(公х)——тоже решение, где % ——произвольная постоянная фаза. Произвольный выбор х не влияет на плотность вероятности F(r, t). Таким образом, выбор фазы волновой функции “(— t) абсолютно произволен и две функции, отличающиеся только фазовым множителем, представляют одно и то же физическое состояние.

Между тем, ситуация выглядит иначе, если фаза может локально изменяться, т. е., она является функцией от пространственных координат и времени, т. е.,

“(г,力)т “(г,力)鼠叫(5.1.4)

Вероятность F(r, t) не изменяется под действием такого преобразования, но урав™ нение Шредингера (5.1.2) уже не удовлетворяется. Чтобы сохранить локальную калибровочную (фазовую) инвариантность, мы должны модифицировать уравнение Шредингера, добавив новые члены к (5.1.2):

{-^ [▽—分沁厶"Г + eU(-力)卜=访界(5-1-5)

где A(r, t) и U(г,力)——функции, которые необходимо подставить в (5.1.2), для того чтобы осуществить преобразование (5.1.4). Они задаются следующим образом:

А(-力)т А(г,力)+ |v%(r, t),(5.1.6)

U(-力)力)一?*(『/)"(5工7)

Функции A(r, t) и U(r,力)отождествляются с векторным и скалярным потенциалами электромагнитного поля, соответственно. Они являются калибровочно зависимыми потенциалами. Калибровочно независимыми величинами являются электрическое и магнитное поля:

Е =(518)

В = V х А.(519)

Уравнение (5.1.5), являющееся логическим расширением (5.1.2), вследствие требова™ ния локальной (фазовой) инвариантности, имеет вид

=清分"/分方，(51.10)

где Ж ——гамильтониан минимального взаимодействия (напомним, что р = —〃％▽), определенный выражением (5.1.1). Уравнение Шредингера (5.1.5) описывает взаимодействие электрона с заданным электромагнитным полем. Электрон задается волновой функцией 以—％), тогда как поле описывается векторным и скалярным потенциалами А и U, соответственно.

Интересно отметить, что гамильтониан (5.1.1) был «выведен» из соображений калибровочной инвариантности, и он выражен с помощью калибровочно зависящих величин A(i% 力)и U(г, t). Поэтому векторный и скалярный потенциалы имеют большее физическое значение, чем им обычно приписывается. Они введены не просто для математического упрощения в задачах, связанных с «наблюдаемыми» электрическим и магнитным полями, а появляются естественным образом в любом калибровочно (фазово™) инвариантном рассмотрении.

Следует также отметить, что уравнение Шредингера плюс концепция локальной калибровочной инвариантности привели нас к необходимости введения электромагнитного поля. Таким образом, можно доказать, и мы доказываем, что «фотон» (в нашем случае ——его классический аналог) «появился» из уравнения Шредингера и соображений калибровочной инвариантности.

Здесь мы опробировали одну из наиболее фундаментальных концепций современной физики, а именно концепцию калибровочной теории поля. Калибровочная теория привела Стивена Вайнберга и Абдуса Салама к созданию единой теории слабых и электромагнитных взаимодействий.

Дипольное приближение и (г • Е)-гамильтониан. Теперь рассмотрим электрон, связанный потенциалом V(г) с центром сил (ядром), расположенным в точке г. Гамильтониан минимального взаимодействия (5.1.1), описывающий взаимодействие атома и поля излучения, можно упростить, используя дипольное приближение. Атом целиком помещается в плоскую электромагнитную волну, которая описывается векторным потенциалом А(го + г,力).Этот векторный потенциал можно записать в дипольном приближении, когда к • г « 1, следующим образом:

А(г0 + гЗ) = А⑴ ехр[гк • (г0 + г)]=

=А⑴ ехр(гк • г0)(1 + гк • г + . . ~ А⑴ ехр(гк • г0). (5.1.11)

Уравнение Шредингера для этой задачи (в дипольном приближении) задано выражением (5.1.5), в котором А(г,力)= A(rg,力)，т.е.,

[一上 [V ^^а(r0,方)广+ V(r)) 以-方)=/如(5112)

где добавлен потенциал связи V(г). Отметим, что в уравнении (5.1.12), и далее во всей книге, используется радиационная калибровка, в которой

U(M) = 0,(51.13)

▽ *A = S(5.1.14)

В гамильтониан добавлен член V(г), обусловленный электростатическим потенциалом, связывающим электрон с ядром.

Продолжая упрощать уравнение (5.1.12), определим новую волновую функцию 0(г,力)так, что

以一力)=еХр [^A(r0, t) • r| 0k t).(5.1.15)

Подставляя (5.1.15) в (5.1.12), находим

访[^a7°(一")+ ""/)] exp (；А • г)=

= exp(^A”r) ]£^ + V(r) 0(-扑(5.1.16)

Это уравнение, после сокращения экспоненциальных множителей и выполнения некоторых преобразований, принимает простой вид

访j(r,力)=[М - er • Е(г0,力)]0(г,力)，(5.1.17)

где использовано соотношение Е = —А и

2

北= ^ +『(『)，(5118)

——невозмущенный гамильтониан электрона. Отметим, что полный гамильтониан

* = * +欢(5119)

где

史I = ^ег-Е(гоЛ),(5.1.20)

выражен через калибровочно независимое поле Е. В дальнейшем этот гамильтониан будет использоваться для изучения взаимодействия атома с полем. Отметим, что этот гамильтониан был получен из радиационно калибровочного гамильтониана (5.1.12) с помощью применения калибровочного преобразования %(r, t) = ^eA(r0, t) • г/方*

(р • А)-гамильтониан. Во многих учебниках можно найти атомно-полевой гамильтониан, выраженный через канонический импульс р и векторный потенциал А, вместо простого калибровочно инвариантного выражения (5.1.17). Это приводит к большой путанице и ошибкам. Поэтому мы рассмотрим эту проблему более по дробно. Опять выберем радиационную калибровку, в которой U(г, t) = 0 и V • А = 0. В квантовой механике условие V • А = 0 подразумевает, что [р, А] = 0. Поэтому полный гамильтониан (5.1.1) можно записать как

*' = J^ +殄，(5.1.21)

где е^ задается выражением (5.1.18), и в дипольном приближении (5.1.11)

^^ =p • a(го,方)+ -厶2(r0,方).(5.1.22)

Тогда уравнение Шредингера приобретает вид

光4р ♦ А(г0,力)+ 5Л2(г0, t)吵(―力)=ih—^(r, t).(5.1.23)

В уравнении (5.1.23) член с А2 обычно мал, и им можно пренебречь. Тогда волновая функция 以г,力)удовлетворяет уравнению движения

访^"k 方)=[м - £p m а(f0,方)]以一方)，(5工24)

которое соответствует гамильтониану

=陷-£ф м А(г0, %),(5.1.25)

殄=—А(гоК).(5126)

Два разных гамильтониана ^1 и J^, заданные выражениями (5.1.20) и (5.1.26), соответственно, оказывается приводят к разным физическим результатам, так как их матричные элементы, вычисленные по собственным состояниям невозмущенного гамильтониана J^, определенного выражением (5.1.18), не одинаковы. Для того, чтобы это явно продемонстрировать, рассмотрим взаимодействие поля линейно поляризованной монохроматической плоской волны с атомом, помещенным в точку Го = 0. Тогда электрическое поле приобретает вид

Е(0,力)=6 cos(5.1.27)

и соответствующий векторный потенциал в радиационной калибровке имеет вид

А(0/) = —；6sin 〃九(5.1.28)

Теперь рассмотрим не зависящие от времени амплитуды соответствующих величин, связанных с %| и ^2,

Жх =(5 工 29а)

Ж2 =(51.296)

ти

Можно связать Ж1 и Ж2, заметив, что

р = mv = —?72(〃％)|г,陷］*(5.1.30)

Тогда для матричных элементов операторов Ж1 и W2, вычисленных между начальным собственным состоянием R〉 гамильтониана ^о (^Ь|° = ^i\i) и конечным собственным состоянием |/) (^S|/〉= hujf\f)\ находим отношение

где g = G/ — g — частота перехода. Следовательно матричные элементы двух гамильтонианов взаимодействия J^ и J^ отличаются, и относятся друг к другу как частота перехода к частоте поля. Как еще было отмечено Лэмбом, это приводит к отличию таких измеряемых величин, как скорости переходов. Решение этой проблемы представлено в приложении 5.А.

Взаимодействие двухуровневого атома с одномодовым полем

5.2.1. Метод амплитуд вероятности. Рассмотрим взаимодействие одномодового поля излучения частотой 〃 с двухуровневым атомом (рис. 5.1). Пусть |а) и \Ь) пред™

T旧

ставляют собой верхнее и нижнее состояния атома, т. е. они являются собственными состояниями невозмущенной части гамильтониана 史^ с собственными значениями 加⑺。и 加⑺匕,соответственно. Волновую

функцию двухуровневого атома можно записать в виде

I吵⑴)=以⑴1a〉+点⑴I》(521)

х\b}Рис. 5.1. Взаимодействие двух-уровневого атома с одномодо-вым полемх\b}Рис. 5.1. Взаимодействие двух-уровневого атома с одномодо-вым полемI 而⑴〉=-；*1"⑴)，(522)I 而⑴〉=-；*1"⑴)，(522)где Са и Съ — амплитуды вероятности нахождения атома в состояниях |а) и |Ь), соответственно. Эво™ люция атома описывается уравнением Шредингера

х\b}

Рис. 5.1. Взаимодействие двух-уровневого атома с одномодо-вым полем

х\b}

Рис. 5.1. Взаимодействие двух-уровневого атома с одномодо-вым полем

I 而⑴〉=-；*1"⑴)，(522)

I 而⑴〉=-；*1"⑴)，(522)

с гамильтонианом

* = М +菊，(523)

где J^o и J^i ——невозмущенная часть и взаимодействие, соответственно. Используя условие полноты |а)(а| + |Ь)(Ь| = 1, можно записать 陷)как

洛二(|а)(а| + |b)(b|)J^o(|a)(a| + |b〉〈")二 /zwa|a)(a| + Ьшь\Ь){Ь\, (524)

где учтено, что J^|a〉 = Нша\а) и J^|b〉 = Ьш^Ь). Аналогичным образом, часть гамильтониана ^1, которая описывает взаимодействие атома с полем излучения, можно записать в виде

彩=-ez石⑴=^е(|а)(а| + |Ь)(Ь|)ж(|а)(а| + \b){b\)E(z,力)=

二一(伊аб|а〉〈" + pba\b){a\)E(t), (5.2.5)

где ра5 =屛& = е(а|ж|Ь) — матричный элемент электрического дипольного момента и 石(力)——поле в точке нахождения атома. Здесь предполагается, что электрическое поле линейно поляризовано вдоль оси х. В дипольном приближении это поле можно записать в виде

石⑴ ^^cosut,(5.2.6)

где 6 ——амплитуда поля и 〃 = ск ——его частота. Уравнения движения для амплитуд Са иможно записать следующим образом:

Оа =—沁аСа +COS^Cb,(527)

Cb = —i3bCb + i^R 厂汹 cos(i^t)Ca,(528)

где частота Раби Од определена как

aR=胃，(529)

и ф — фаза дипольного матричного элемента: ра^ =〔伊。"ехр(分0)* Для того, чтобы найти Са и (7仇 сначала запишем уравнения движения для медленно меняющихся амплитуд:

Са = СС(5210)

〃=统….(5211)

Тогда из уравнений (5.2.7) и (5.2.8) следует, что

са =分宇 е^фсь £(з~£(5212)

泯=分等/九。「"(3-"工(5.2.13)

где ш = % —必6 — частота атомного перехода. При выводе уравнений (5.2.12) и (5.2.13) в приближении вращающейся волны мы пренебрегли в правой части членами с противоположным вращением поляризацией, пропорциональными ехр[±г(ш + + 〃)力]* В общем случае это хорошее приближение. Более того, в некоторых случаях (как будет показано ниже в разд. 5.2.3) члены с «противоположным вращением» никогда не проявляются, и уравнения (5.2.12)-(5.2.13) являются точными.

ca(t) = (。1 /3/2 十 tt2 厂/△『(5214)

%⑴=(bl /3/2 + ь2 「泡〃2)「必〃2,(5.2.15)

где △ = cv —

0 = Jc% 十(W —〃)2，(5216)

и di, &2, bi и 匕2 - условий:

—константы интегрирования, которые находятся из начальных

1.,

°】=殖［(口 — △)&(» + 口兄 &т%6(°)］，(5217)

1.,

。2 = ^［(П + △)*(0) — 口兄 е^сь(0)］,(5218)

1.,

bi =殖［(a + △)"(°)+ CR e%。(叽(5219)

1.,

匕2 =而［(◎ — △)〃(())一 «к е^сДО)］.(5220)

Решения для са и с^ можно записать следующим образом:

Затем находим

卜。 （0）卜。S得）-今山得）］+

с&⑴=с&⑴=5（方）=5（方）=(5221)(5221)+ ^e%a(0)sin 得)卜A/2.+ ^e%a(0)sin 得)卜A/2.(5222)(5222)+啓e-⑼Sin得）卜込"2, {Cfe（0） ［cos（T）+ ^sin（T）］ +

с&⑴=

с&⑴=

5（方）=

5（方）=

(5221)

(5221)

+ ^e%a(0)sin 得)卜A/2.

+ ^e%a(0)sin 得)卜A/2.

(5222)

(5222)

Нетрудно убедиться, что

区⑴⑴『=l(5223)

Это есть простой закон сохранения вероятности, поскольку атом находится в состоянии |а) или \Ь).

Если предположить, что атом первоначально находился в состоянии |а), то са(0) = 1, с^(0) = 0. В этом случае вероятности нахождения атома в состояниях |а) и |Ь〉 в момент времени t задаются величинами |ca(t)|2 и |с5(^)|2. Инверсия населенностей определяется выражением

方⑴=点⑴『—J 生⑴『方⑴=点⑴『—J 生⑴『(5224)(5224)

方⑴=点⑴『—J 生⑴『

方⑴=点⑴『—J 生⑴『

(5224)

(5224)

Под действием поля индуцируется дипольный момент между двумя атомными уровнями. Этот индуцированный момент выражается через наблюдаемую величину оператора дипольного момента

(5225)(5225)Р⑴=仪屮⑴|川屮⑴〉=C2Cbpab + к.с. = c^cbpab &23方 + к.с.

(5225)

(5225)

Подставляя выражения (5.2.21) и (5.2.22) в (5.2.25), получаем для атома, находивше™ гося в начальный момент времени в возбужденном состоянии,

尸⑴=2Re ｛警夕 140s 得)+ ^sin 得)]sin 得).(5226)

Таким образом, дипольный момент осциллирует на частоте падающей волны.

В частном случае, когда атом находится в резонансе с падающей волной (△ = 0), мы получаем О = Од и

“/⑴=cos^Rt^(5227)

Инверсия населенностей осциллирует между значениями —1 и 1 на частоте Од (рис. 5.2).

В 1937 году Раби исследовал прецессию магнитного дипольного момента со спином 1/2 в магнитном поле и получил выражение для вероятности того, что атом со спином 1/2, попадающий в прибор Штерна-Герлаха, перевернет свой спин

Рис. 5.2. Осцилляции инверсии населенности Ж(t) в зависимости от времени

из состояния (：) или (；) в состояние (；) или (：), соответственно, под действием радиочастотного магнитного поля. В нашей задаче, в полной аналогии с системой со спином 1/2, атом совершает Раби «перевороты» между верхним и нижним уровнями под действием электромагнитного поля.

Представление взаимодействия. Рассмотрим уравнение Шредингера

^|以⑵=一力"⑴〉"(5.2.28)

Это уравнение можно формально проинтегрировать и получить

|屮⑴〉= U«)| 以0»(5229)

где унитарный оператор эволюции во времени определяется выражением

U(t) = -*1/⑴，(5230)

и U(0) = 1.

В представлении взаимодействия существует удобный подход к решению задачи взаимодействия атома с полем, в котором предполагается, что зависимость от време™ ни вектора состояния возникает только благодаря энергии взаимодействия. При этом вектор состояния |“/ в представлении взаимодействия определяется выражением

I如⑴)=Uj⑴I以方»(5.2.31)

где

Uo⑴=exp (—j陷力)•(5232)

Тогда

I以方»(5233)

и следовательно, из уравнений (5.2.28), (5.2.31) и (5.2.32), получаем

^Kh ⑴〉(力2/(方»(5234)

Здесь

%(方)=U0b ⑴陷 Uo ⑴(5235)

——гамильтониан в представлении взаимодействия. Любой оператор О в представлении Шредингера преобразуется, соответственно, как

О/⑴=U^ ⑴ OUu(0(5236)

В этом можно убедиться из выражения для наблюдаемой величины:

〈。〉=3⑴ 101"⑴)=^dt)\U^OU0(t^i(t)) = W/⑴ 10/1 如(方»(5237)

Формальное решение уравнения (5.2.34) имеет вид

12/⑴)=力(力如(0)〉，(5238)

где

Ui(t) = exp —； У (r) dr(5.2.39)

_ о_

——оператор временной эволюции в представлении взаимодействия, и 夕 ——оператор временного упорядочения, который является формой сокращенной записи для вы™ ражения

=1 -近1%(方1)+(-^) jd厶о0=1 -近1%(方1)+(-^) jd厶о0夕 ехр — ； Т7(т) dr = „ о .

=1 -近1%(方1)+(-^) jd厶о0

=1 -近1%(方1)+(-^) jd厶о0

近 2%(方1)%(% 2)+ … …(5240)

0

Для того, чтобы продемонстрировать преимущество этого формализма, рассмот™ рим взаимодействие двухуровневого атома с монохроматическим полем частоты 〃” Гамильтониан в этом случае дается выражениями (5.2.3), (5.2.4) и (5.2.5). Из равенства

М = (Пша)п|а){а| + 他也广 |b〉〈b| (5241)

следует, что

Уо⑴=exp (—力)=exp(—必&力)|а〉〈а| + ехр(—公也力)|b〉〈b|*(5.2.42)

Поэтому для атома, находящегося в точке z = 0, гамильтониан в представлении взаимодействия задается выражением

r(t) = -Шк1/+(^)(в"^|аКЬ| + e^|b)(a|)l/0(^)cosi/f =

=一竽忙一勺公® /△方+ e^IЬ)(a| ет

+ е^ф\а}{Ь\ /З+少 + е^|Ь)(а|「№+")[, (5243)

где △=⑺一〃* Члены, пропорциональные ехр[±г(ш + 〃)力],изменяются очень быстро и их средние на временном масштабе, превышающем 1/〃，равны нулю. Поэтому в приближении вращающейся волны этими членами можно пренебречь. Упрощенный гамильтониан в представлении взаимодействия имеет вид

(5244)(5244)

(5244)

(5244)

в котором мы предположили, что выполняется резонансное условие А = 0. Оператор временной эволюции в представлении взаимодействия U『(力)можно получить прямо из (5.2.39), используя

(5245)(5245)片飞）=（竽广（旧⑷+切®门片…⑴=一（竽广+1 （「吗。）佃+ 宀〉〈。｝

(5245)

(5245)

Окончательное выражение для U『(力)имеет вид

S⑴=cos (竽)(I。〉® + ⑹M + ^sin (竽卜厂勺a〉® + е^|Ь)(а|).(5246)

Если атом первоначально находился в возбужденном состоянии(11/;(0)) = |а)), то

I以切=U/⑴Ia)= cos (手)⑷ + zsin (号)ё勺地 (5247) и мы получаем амплитуды вероятности

Ca(t)二 SIW〉二 cos (^^) ,(5.2.48a)

=〈〃屮〉=г sin (^^)(5.2.486)

что согласуется с выражениями (5.2.21) и (5.2.22).

5 М.О* Скаллт, М“С. Зубайри

За пределами приближения вращающейся волны. В квантовой оптике часто встречается, так называемое, приближение вращающейся волны, которое уже обсуждалось в связи с уравнением (5.2.13). Конечно, это хорошее приближение, в котором удерживаются только те члены в гамильтониане, которые сохраняют энергию.

Более того, как будет показано ниже, существуют ситуации, когда это приближе™ ние является «точным», поскольку во всех практических задачах «члены с противоположным вращением» никогда не появляются. Рассмотрим атом водорода, который находится в сильном магнитном поле и взаимодействует с монохроматическим полем

ш = +1

Свет с левой круговой поляризациейш = 0

Е⑴Е⑴晩(г)晩(г)

Е⑴

Е⑴

晩(г)

晩(г)

Рис. 5.3. Взаимодействие падающей электромагнитной волны с водородом (ридберговскиматомом) в случае, когда разность энергий £口=1 — еъ намного больше, чем £m=-i — %

(рис. 5.3). Если уровни хорошо разрешены по энергии, то можно сконцентрироваться на рассмотрении только двух уровней (см. задачу 5.7), для которых

九(г)=九(г)=(ж 一 々g)exp(—『/2ao),(ж 一 々g)exp(—『/2ao),现(г) = 7^=ехр(-『/ао),现(г) = 7^=ехр(-『/ао),(5.2.49а)(52496)(5.2.49а)(52496)

九(г)=

九(г)=

(ж 一 々g)exp(—『/2ao),

(ж 一 々g)exp(—『/2ao),

现(г) = 7^=ехр(-『/ао),

现(г) = 7^=ехр(-『/ао),

(5.2.49а)

(52496)

(5.2.49а)

(52496)

где ад — радиус Бора.

Используя дипольное приближение (см. разд. 5.1.2) и помещая атом в начало координат так, что Ж = 0, получаем гамильтониан в представлении взаимодействия

% =⑴* Е⑴，(5250а)

где

『⑴=e^fr「屮(52506)

поэтому

兀6⑴=—e%6⑴• E⑴=—e%6 • E⑴ /R(5251a)

线。⑴=^erba(t) • E⑴=—" E⑴(52516)

где ш — частота атома.

Теперь, в случае линейной поляризации, когда

(5252)(5252)Е⑴=х^ cos 〃3

(5252)

(5252)

выражения (5.2.51а, 5.2.516) и (5.2.52) означают, что

九= -exab^ cos ut е13t =

=—十(5.2.53)

а также

%а«)=―巳竄bag COS ut €-^ =

=-ехЬа^[е^^ + 厂^+5[ ^ —ед.^ £("~)匕(5254)

Таким образом, приближение вращающейся волны заключается в пренебрежении членами с противоположным вращением, которые пропорциональны exp[±i(w + 〃)]* Теперь рассмотрим случай волны с левой круговой поляризацией (ЛКП), которая

связывает состояния 恥(丁) и 观(丁), заданные выражением (5.2.49). Электрическое поле имеет вид

Е⑴=金君 cos 〃力—歹君 sin ut.(5.2.55)

При этом выражения (5.2.53) и (5.2.54) приобретают вид

爲6⑴=—e^^Xab cos ut + jab sin ut} &心*(5.2.56a)

九&⑴=—eW(Zba cos i4 + %& sin ut)(5.2.566)

где, согласно (5.2.49a) и (5.2.546), можно записать

exab = ^*(r)x^6(r) dr = p,(5.2.57a)

exba = i^(『)g呪(『)dr = -ip,(5.2.576)

а также ex^a =伊 и £%& = ip. Тогда выражения (5.2.56a) и (5.2.566) принимают простой вид:

%аб⑴=^p(^(cos ut — i sin ut) e13t =—伊君&一“"一公)*(5.2.58a)

%a("= 一伊君(cos i4 + 〃 sin 〃力)£-心£ =—伊君 gU"-⑺*(5.2.586)

и члены с противоположным вращением не появляются.

В заключение отметим, что хотя и отсутствуют члены с противоположным вращением типа &2("+公)* которые связаны с волной ЛКП, вызывающей переходы Am = —1, но существуют члены с противоположным вращением, связанные с ЛКЛ и переходами в состояние п = 2, / = 1, mi = +1, т. е. с Ат = +1. Обычно говорят, что такие переходы исчезают благодаря правилам отбора по угловому моменту. Здесь они принимаются «исчезающе малыми», так как они ведут себя как члены с противоположным вращением. То есть, они разрешены в том смысле, что атом совершает переход в возбужденное состояние с излучением фотона. Такие члены могут быть существенно меньше обычных членов с противоположным вращением (см. задачу 5.7).

Оператор плотности для двухуровневого атома D

Для заданной физической системы существует вектор состояния |^〉, который содержит всю возможную информацию о системе. Если мы хотим извлечь часть информации о системе, то нам нужно вычислить среднее значение соответствующего оператора О,

(О)км = {ф\О\ф).(5.3.1)

Во многих случаях мы можем не знать |力,но нам достаточно знать вероятность Р@ того, что система находится в состоянии |少〉.В такой ситуации нам не только нужно взять квантово-механическое среднее, но также усреднить по ансамблю большого числа идентичных, одинаково приготовленных систем. Вместо (5.3.1) имеем теперь (см. разд. 3.3)

((О)км)ансамбль = Тг(Оо),(5.3.2)

где оператор плотности р определяется выражением

Р = ^ ^.#)(^1-(5-3.3)

Можно заметить, что

Tr (Ор) = Тг(о。)，(5J.4)

В частном случае, когда все равны нулю, за исключением величины, соответствующей состоянию |呪〉,имеем

Р = *〉3о|,(5-3.5)

и это состояние называется чистым состоянием. Из условия сохранения вероятности следует, что Tr (р) = 1. Кроме того, для чистого состояния

Tr(p2) = 1.(5.3.6)

Уравнение движения для оператора плотности. Уравнение движения для оператора плотности можно получить из уравнения Шредингера:

而=—(537)

Взяв производную по времени от р (выражение (5.3.3)), получим

力=£ %(而01 + *〈"}(538)

где Р^ не зависит от времени. Используя уравнение (5.3.7), чтобы заменить 而 и〈力| в (5.3.8), получаем

0 = — 办(5.3.9)

В Наиболее полное описание вынужденного излучения, развитое Лэмбом и Скалли (Lamb and Scully, 1971), можно найти в главе III книги Sargent, Scully and Lamb (1974).

Уравнение (5.3.9) часто называют уравнением Лиувилля или Фон Неймана. Оно является более общим, чем уравнение Шредингера, поскольку оно использует оператор плотности вместо определенного вектора состояния и поэтому может дать как квантово-механическую, так и статистическую информацию.

В уравнении (5.3.9) не учтен распад уровней за счет спонтанного излучения. Возбужденные уровни атома могут также распадаться благодаря столкновениям или другим явлениям. Конечное время жизни атомных уровней можно просто ввести, добавив феноменологические времена распада в уравнения для оператора плотности (5.3.9) (см. также задачу 5.2).

Скорости распада можно включить в уравнение (5.3.9) с помощью релаксационной матрицы Г, которая определяется выражением

(^|Г|т) = 7nSnm-(5.3.10)

С этим дополнением уравнение движения для оператора плотности приобретает вид ;1

0=一万[-2{「"},(5J.11)

где {Г, р} = Г^ + 0r. В общем случае, релаксационные процессы оказываются более сложными.

Матричный элемент ij уравнения (5.3.11) имеет вид

Pij =—另〉](身^к Pkj — Pik^kj ) — 2〉](「ikPkj + Pik^ kj} '(5.3.12)

kк

Эта формула оказывается полезной для описания многоуровневых систем.

Двухуровневый атом. Теперь вновь рассмотрим двухуровневую атомную систему, состояние которой является линейной комбинацией состояний |а) и |Ь), т. е. 叫 =Са\а} + Сь\Ь). Тогда оператор плотности можно записать как

Р =叫3| = [&⑴⑷ + Cb(t')\b}][C2(t'){a\ + C^(t){b\]=

=|Ca|2|«)(«| + CaCt\a)(b\^ CbC2\b}{a\^\Cb\2\b)(bi (5.3.13)

Матричные элементы будут иметь вид

Paa = («|Р|«) = |以⑴匕(5*3」4)

РаЬ = Ир\Ь} = С.⑴。6 ⑴*,(5J.15)

Pba = Pab^(5.3.16)

Pbb = (b\p\b) = \Cb(t)\\(5J.17)

Оператор плотности в матричном виде можно записать как

"實 X)-(5318)

Очевидно, что раа и рьь являются вероятностями нахождения в верхнем и нижнем состояниях, соответственно. Для того чтобы понять смысл недиагональных элементов, необходимо вспомнить, что атомная поляризация (см. (5.2.25)) двухуровневого атома (в точке ?) есть

尸(2,力)=С а。Ь Pba + К.С. = Pab^ i 力)伊ba + КС (5.3.19)

Таким образом мы видим, что недиагональные элементы определяют атомную поляризацию.

Можно было бы найти эту форму для р прямо из (5.3.5), вспомнив, что в спинорных обозначениях

*=(*),= У М)*(5320)

Тогда, перемножая матрицы, получаем

ю

Уравнения движения для элементов матрицы плотности можно вывести из уравнения (5.3.12) с гамильтонианом, заданным выражениями (5.2.4) и (5.2.5). Результат имеет вид

Раа = —УаРаа + J^PabEPba К.С.],(5.3.22)

Pbb = —УЬРЬЬ — j~ [раЬ -^ Pba 一 Кс]〉(5.3.23)

РаЬ = —(6® + ^ab} РаЬ 一 另伊 абЕ(0аа — Pbb} ■)(5*3.24)

где 7ab =(7а + 7b)/2(7а и 75 определяются выражением (5.3.10)), и 后(力)задается выражением (5.2.6). В приближении вращающейся волны функция cos(〃£)заменяется в уравнениях (5.3.22)—(5.3.24) функцией ехр(—成〃力)/2.

Учет упругих столкновений между атомами. Физическая интерпретация элементов матрицы плотности позволяет нам включить в эти уравнения члены, связанные с определенными процессами. Одним из таких процессов является упругое столкновение между атомами в газе.

В частности, во время столкновения атомов уровни энергии испытывают случайные штарковские сдвиги без изменения состояния и скорость распада 0ab увеличивается без существенного изменения ja и 7^. Изменение скорости распада 0ab можно просто вычислить следующим способом.

Предположим, что случайные сдвиги Штарка включены в уравнение (5.3.24) путем добавления случайных сдвигов Scu(t) к частоте ш. Пренебрегая, для простоты, взаимодействием атома с полем, можно записать уравнение движения для элементов матрицы плотности ра^ следующим образом:

瓦6 =-[沁 + ?»G ⑴ + 7ab]Pab-(5.3.25)

Формально интегрируя (5.3.25), получаем

Pab(t) = ехр -(iw + yab)t - i dtfSaj(tf) 0ab(0)“(5.3.26)

мом

Выполним теперь статистическое усреднение уравнения (5.3.26) по случайным изменениям 8uj(t). Это усреднение затрагивает только множитель 6uj(t\ так что требуется t

найти (ехр[^г| ^^ш(^)])- о

Функция 8з имеет столько же положительных значений, сколько и отрицательных. Следовательно, среднее по ансамблю 0g ⑴〉равно нулю. Более того, поскольку изменения В® (力)обычно происходят очень быстро по сравнению с другими изменениями, развивающимися на таких масштабах как 1/7аб)полагаем, что

3®⑴ 孔и(У)〉= 27ph Щ — У),(5.3.27)

где 7рь ——константа. Также положим, что Jw(f) описывается случайным гауссовым процессом, так что справедлива хорошо известная теорема моментов для гауссова процесса. В этих условиях получаем

(exp) = ехр(—(5.3.28)

что дает для среднего от (5.3.26) следующее выражение:

Pab = вхр[—(沁 + Tab + 7ph)t]pab(O).(5.3.29)

Следовательно, дифференцируя это выражение и добавляя член взаимодействия, получаем модифицированное уравнение движения для р^ь：

Pab = _(必 + 1)РаЬ — ^РаЬ^(^7 ^(.Раа — Pbb)(5-3.30)

где 7 = 7ab +7Ph — новая скорость распада. Уравнение (5.3.30) является уравнением, усредненным по столкновениям.

Уравнения Максвелла-Шредингера

Взаимодействие одиночного атома с одномодовым полем, которое обсуждалось в предыдущих параграфах, представляет собой простую идеализированную систему. Во многих задачах квантовой оптики вызывает интерес взаимодействие поля излучения с большим числом атомов. Первым примером такой системы является одномодовый лазер, в котором возбужденные накачкой атомы взаимодействуют с электромагнитным полем внутри резонатора. Другие примеры относятся к прохождению когерентного импульса и оптической бистабильности.

В этом разделе для рассмотрения таких задач развивается математический аппарат, который основан на самосогласованной системе уравнений для вещества и поля. Этот набор уравнений и его модификации позволяют работать со многими полуклассическими задачами, в которых атомы описываются квантовомеханически, а поле — полуклассически.

При данном полуклассическом атомно-полевом взаимодействии классическое поле индуцирует в среде электрический дипольный момент согласно законам квантовой механики. Чтобы упростить статистическое суммирование отдельных дипольных моментов, необходимое для получения макроскопической поляризации среды, используется матрица плотности. Хотя полуклассический подход является очень хорошим для описания многих задач, представляющих интерес при изучении заданной системы, он, тем не менее, не достаточен для получения информации о квантово статистических свойствах света. Эти аспекты будут представлены в следующих главах, где поле излучения описывается квантово-механически.

Матрица населенности и уравнение движения для нее. Рассмотрим взаимодействие электромагнитного поля со средой, состоящей из двухуровневых атомов с однородно уширенной линией. Отдельные атомы описываются оператором плотности (см. выражения (5.3.14)^(5.3.17))

(541)(541)p(z.t.to) = e/^户(2,力力0)也)31,

(541)

(541)

где а, Д = а, Ь и 0a户(？，3 力о)——элементы матрицы плотности отдельного атома в момент времени t в точке ?, который начинает взаимодействовать с полем в начальный момент времени 力》Начальный момент времени 力о может быть случайным. Элементы матрицы плотности отдельного атома pa^{z^ 力,力о) удовлетворяют уравнениям движения (5.3.22), (5.3.23) и (5.3.30). Если состояние атома в момент накачки записывается как

0(z,仇,仇)=e0?"a)〈例，(542)

то

0。 户(2,力0,力 0) = 0?j"(543)

Влияние тех атомов, которые возбуждаются в процессе накачки со скоростью 『а(2,力о) атомов в секунду в единице объема, учитывается путем суммирования по начальным временам. Результирующая матрица населенности определяется как

p(z, t) =dtora(z,力 o)0(z, 3 to) = £dtQra(z,力 o)0a 户(2,3 力 o)|a〉〈0|*(5.4.4)

—oo%户—oo

Обычно скорость возбуждения『《(之,力о) изменяется медленно и ее можно считать постоянной. Макроскопическая поляризация среды,尸(之,力),создается ансамблем атомов, которые прибывают в точку г в момент времени 力 независимо от времени их возбуждения, т. е.,

P(z,t) = dtOra{z, to)Tr [pp(z, f, to)] = £d加『a(2, to)0a 户(2,3 to)伊户 co

—oo—oo

(5.4.5) где p ——оператор дипольного момента, и во второй строке мы подставили p(z, t, to) из (5.4.1). Для двухуровневого атома, у которого ра^ = р^а = р, получаем

p(d t) = p[pab{z, t) + К.С.].(5.4.6)

Таким образом, недиагональные элементы матрицы населенности определяют макроскопическую поляризацию.

Уравнения движения для элементов матрицы населенности p(z, t) можно полу™ чить, взяв производную по времени от выражения (5.4.4) и используя уравнения (5.3.22), (5.3.23) и (5.3.30). Например, если атомы некогерентно возбуждаются на уровни |а) и |Ь) с постоянной скоростью га (р^ = р^ = 0), тогда

Раа =儿一JaPaa 十另僚石Oba — K.C.),(5.4.7)

Pbb =入6 — IbPbb —另僚石 Oba — K.C.),(548)

Pab =—(沁 + 7)Pab —另伊石(0аа — 066),(549)

где А& = 丁а〃^ и Ль =『関^" Эти уравнения для среды двухуровневых атомов связаны с полем Е. Условие самосогласованности требует, чтобы уравнение движения для поля Е определялось матричными элементами атомной населенности. В следующем параграфе мы выведем это уравнение для одномомодовой бегущей волны.

Уравнения Максвелла для медленно меняющихся функции поля. Электромагнитное поле излучения описывается уравнениями Максвелла:

V-D = 0, Х7хЕ=—(5410)

V - В = 0, V х Н = J + ^,(5411)

где

D = &()Е + Р, В = ддН, J = сгЕ.(5.4.12)

Здесь Р ——макроскопическая поляризация среды. Для того чтобы избежать решения сложной задачи с граничными условиями, рассмотрим среду с проводимостью а. Эта проводимость введена для того, чтобы феноменологически учесть линейные потери, обусловленные наличием какой-либо поглощающей фоновой среды, а также потери, связанные с дифракцией и пропусканием зеркал. Объединив роторные уравнения, взяв соответствующие временные производные и воспользовавшись выражением (5.4.12), получим волновое уравнение

(5413)(5413)▽ x x e) +从00瓦 + м0е0е产 = 一仰 万户•

(5413)

(5413)

Таким образом, поляризация Р(г,力)действует как член-источник в уравнении для поля излучения. Рассмотрим ситуацию, в которой поле излучения взаимодействует с двухуровневыми атомами внутри однонаправленного кольцевого резонатора, показанного на рис. 5.4. Обычно в резонаторе существуют обе бегущие волны. Однона-

Рис. 5.4. Схема лазера в однонаправленной кольцевой конфигурации правленное распространение достигается с помощью устройства внутри резонатора, обеспечивающего большие потери для одной из бегущих волн. Обычно интенсивность поля изменяется медленно поперек оси лазера на масштабах порядка оптической длины волны. Поэтому мы пренебрегаем зависимостью Е от / и 仇 т. е.Рис. 5.4. Схема лазера в однонаправленной кольцевой конфигурации правленное распространение достигается с помощью устройства внутри резонатора, обеспечивающего большие потери для одной из бегущих волн. Обычно интенсивность поля изменяется медленно поперек оси лазера на масштабах порядка оптической длины волны. Поэтому мы пренебрегаем зависимостью Е от / и 仇 т. е.

Рис. 5.4. Схема лазера в однонаправленной кольцевой конфигурации правленное распространение достигается с помощью устройства внутри резонатора, обеспечивающего большие потери для одной из бегущих волн. Обычно интенсивность поля изменяется медленно поперек оси лазера на масштабах порядка оптической длины волны. Поэтому мы пренебрегаем зависимостью Е от / и 仇 т. е.

Рис. 5.4. Схема лазера в однонаправленной кольцевой конфигурации правленное распространение достигается с помощью устройства внутри резонатора, обеспечивающего большие потери для одной из бегущих волн. Обычно интенсивность поля изменяется медленно поперек оси лазера на масштабах порядка оптической длины волны. Поэтому мы пренебрегаем зависимостью Е от / и 仇 т. е.

(5414)(5414)Е(г,力)=E(z, f)x.

(5414)

(5414)

Тогда уравнение (5.4.13) упрощается и принимает вид

д2Е дЕ 1 д2Е д2Рд2Е дЕ 1 д2Е д2Р(5.4.15)(5.4.15)

д2Е дЕ 1 д2Е д2Р

д2Е дЕ 1 д2Е д2Р

(5.4.15)

(5.4.15)

Поле частотой 〃 записывается в виде бегущей волны:

硏马力）=；君（马方）eTS一^+奴/，切 + к.e.,（5.4.16）

где ^(z^t) и 0(之,力)——медленно меняющиеся функции координаты и времени; к = =у/с. Для задачи лазерной генерации к = %/с, где ус ——частота резонатора. В общем случае ^(z,力)一комплексная функция; тем не менее, в этом и последующих разделах мы считаем ее действительной величиной.

Если поле задается выражением (5.4.16), то отклик среды, в пренебрежении высшими гармониками, определяется поляризацией

Р(2, “ = ^(z, t) е—汕 J^+0(z，力 + КС,(5417)

где 夕(z, t)——медленно меняющаяся функция координаты и времени.

Медленно меняющаяся комплексная поляризация 夕(之,力)выражается через матрицу населенности путем отождествления положительно-частотных частей в выражениях (5.4.6) и (5.4.17):

*(?м) = 2伊0ab £Siz+0(^)L(5418)

Подставим выражения (5.4.16) и (5.4.17) для E[z^ t) и P(z, t) в уравнение (5.4.15) и сделаем следующие приближения:

《阮(5.4.19)

otozotOZ\/

步《〃又k况(5420)

Эти приближения медленно меняющихся амплитуд и фаз оправданы, когда cf, ф и 夕 изменяются незначительно на масштабах периода оптической частоты. Так как уравнение (5.4.15) можно переписать в виде

получаемполучаем丄 Т + с dt) \ dz1 A、尸дЕд2Р(5421)СV dz(5422)aw 1 aw—1 dz c dt=一”g —k Im 况(5.4.23)dz c dtс 2eo(5424)丄 Т + с dt) \ dz1 A、尸дЕд2Р(5421)СV dz(5422)aw 1 aw—1 dz c dt=一”g —k Im 况(5.4.23)dz c dtс 2eo(5424)4 + OZ4 + OZ

получаем

получаем

丄 Т + с dt) \ dz

1 A、尸дЕд2Р

(5421)

С

V dz

(5422)

aw 1 aw

—1 dz c dt

=一”g —k Im 况

(5.4.23)

dz c dt

с 2eo

(5424)

丄 Т + с dt) \ dz

1 A、尸дЕд2Р

(5421)

С

V dz

(5422)

aw 1 aw

—1 dz c dt

=一”g —k Im 况

(5.4.23)

dz c dt

с 2eo

(5424)

4 + OZ

4 + OZ

где х = сг/2£()с — коэффициент линейных потерь.

Уравнения (5.4.7)^(5.4.9), (5.4.23) и (5.4.24) формируют самосогласованный набор уравнений. Этот набор уравнений является отправным пунктом для изучения многих систем, включающих взаимодействие поля излучения с ансамблем атомов. Обобщение этого набора уравнений на случай многоуровневой атомной системы и многомодового поля очевидно.

В следующем разделе в качестве важного примера применения этого набора уравнений мы представим полуклассическую теорию лазера.

Полуклассическая теория лазера

В этом разделе, мы сначала изложим в общих чертах основные принципы лазерной генерации, а затем представим теорию лазера в том виде, как она впервые была развита Лэмбом с соавторами. Будут также выведены пороговые условия генерации и уравнения эволюции для электромагнитного поля.

.5.1. Принцип работы 】).В 1954 году Гордон, Зейгер и Таунс показали, что можно осуществить генерацию когерентного электромагнитного излучения в радиочастотном диапазоне с помощью, так называемого, мазера (maser — аббревиатура выражения microwave amplification by stimulated emission of radiation). Первая мазерная генерация наблюдалась в аммиаке.

Принцип работы мазера был распространен на оптическую область частот Ша- вловым и Таунсом а также Прохоровым ), так что получился лазер (laser — аббревиатура выражения light amplification by stimulated emission of radiation). Лазер состоит из набора атомов, взаимодействующих с электромагнитным полем внутри резонатора. Резонатор поддерживает только определенный набор мод, соответствующих дискретной последовательности собственных частот. Активные атомы, т. е. атомы, возбужденные в процессе накачки на верхний уровень лазерного перехода, находятся в резонансе с одной из собственных частот резонатора. Резонансное электромагнитное поле вызывает вынужденное излучение и атомы передают свою энергию возбуждения полю излучения. Испущенное излучение остается в резонансе. Если верхний уровень достаточно населен, то это излучение вызывает последующие переходы в других атомах. Таким образом, вся энергия возбуждения атомов передается в одну моду поля излучения.

Первая импульсная лазерная генерация была продемонстрирована в рубине Мей- маном. Гелий-неоновый газовый лазер, первый лазер непрерывного действия (лазер непрерывной волны), был построен Джаваном ). С тех пор во многих системах была продемонстрирована лазерная генерация когерентного света, простирающегося от инфракрасной до ультрафиолетовой области частот. Они включают лазеры на красителях, химические лазеры и полупроводниковые лазеры. Также был разработан новый класс лазеров, в которых используются электроны в периодическом магнитном поле (названных лазерами на свободных электронах).

Из нашего обсуждения принципа работы лазера следует, что лазерная теория должна включать три основных элемента — активную среду (двухуровневые атомы с инверсией населенности), механизм накачки на верхний лазерный уровень и радиационные потери, обусловленные резонатором. Последовательная полуклассическая теория лазера была развита Лэмбом.

.5・2. Полуклассическая теория Лэмба. Рассмотрим полуклассическую теорию лазера для простого случая линейно поляризованного электрического поля в однонаправленном кольцевом резонаторе с двухуровневыми однородно уширенными активными атомами.

) В 1939 г. В.А. Фабрикант впервые сформулировал в диссертации принцип усиления волны при ее прохождении через вещество. В 1951 г. на эту идею было выдано авторское свидетельство.——Примеч. ред. пер.

ттгсттгс^т^т(5.5.1)(5.5.1)Временную зависимость электрического поля 君(？,力)можно отделить от пространственной части, разлагая поле по нормальным модам резонатора. В кольцевом резонаторе только определенные дискретные моды достигают ощутимой величины, а именно те, частоты которых удовлетворяют соотношению

ттгс

ттгс

^т

^т

(5.5.1)

(5.5.1)

S

где S — окружность кольца, т — большое целое число (обычно порядка 106) и km — соответствующее волновое число. Здесь мы рассматриваем одиночную моду с функциями однонаправленной моды (бегущей волны) U(z) = вхр(£к?) (рис. 5.4).

В данной задаче уравнения движения для амплитуды поля (5.4.23) и фазы (5.4.24) сводятся к следующим:

awawдф dtдф dt(5.5.2a)(5526)(5.5.2a)(5526)

aw

aw

дф dt

дф dt

(5.5.2a)

(5526)

(5.5.2a)

(5526)

где ус — частота резонатора и 7 = (ja 十 75)/2. В уравнении (5.5.2а) величина х заменена величиной 泼/2с, где 泼=ус/Q (Q ——добротность резонатора), для учета потерь на зеркалах резонатора. Поляризация 夕,возбуждающая поле в выражении (5.4.18), определяется уравнением (5.4.9) и имеет вид

力)=—^exp[-j(t - ^) - г(ш -u)(t- tf)]^(t,')[paa(t,') - рьь(^)] ^- (5.5.3)

При условии, что амплитуда 君(力')и разность населенности раа — рьь существенно не изменяются на временах порядка l/j, интеграл (5.5.3) можно легко вычислить, ибо данные члены можно тогда вынести из под знака интеграла. Это решение приводит к скоростным уравнениям для атомной населенности. Такое приближение является точным в стационарном состоянии (亥=0). Мы получаем следующие выражения:

Im*(" =叫),(5.5.4а)

Re*⑴=二/^⑴(0- 竺⑴—0叫)•(5546)

Подставляя (5.5.4) в уравнения движения для раа и рьь ((5.4.7) и (5.4.8)), получаем скоростные уравнения

(5.5.5а)(5.5.56)(5.5.5а)(5.5.56)Раа =入а - УаРаа 一 ^(Раа 一 0Ь6)〉Pbb = ^Ь — IbPbb + Н(0аа — Pbb) ?

(5.5.5а)

(5.5.56)

(5.5.5а)

(5.5.56)

где постоянная скорости

221177(5.5.6)(5.5.6)

2

2

1

1

7

7

(5.5.6)

(5.5.6)

Очевидно, что постоянная скорости Я, определяющая скорость, с которой изменяется

разность населенностей со временем, зависит в основном от скорости, с которой изменяется общая интенсивность поля. Следовательно, приближение скоростных уравнений заключается в предположении, что огибающая электрического поля слабо изменяется на временах жизни возбужденного состояния атома. Из (5.5.5) можно найти разность населенностей в стационарном состоянии. Эту разность можно подставить обратно в уравнения для Im 夕 и Re 夕 и, таким образом, определить составляющие поляризации.

В стационарном состоянии (раа = ръь = 0) уравнения (5.5.5) дают

Раа — Pbb =Раа — Pbb =1 + А/凡1 + А/凡(557)(557)

Раа — Pbb =

Раа — Pbb =

1 + А/凡

1 + А/凡

(557)

(557)

где JVq = Х&7；1 —尤7鼠 1 и Rs = 7a7匕/2》Поэтому разность населенностей задается значением JV0, при отсутствии поля, деленным на величину, которая увеличивается с ростом интенсивности электрического поля.

Комбинируя (5.5.7) с выражениями (5.5.4) и (5.5.2), получаем уравнения для амплитуды и частоты:

/ =/ =(558)(559)(558)(559)

/ =

/ =

(558)

(559)

(558)

(559)

где V — объем резонатора, и

(5510а)(55106)(5510а)(55106)

(5510а)

(55106)

(5510а)

(55106)

Здесь 〃 ——параметр линейного усиления и 纺 ——параметр насыщения. Теперь определим безразмерную интенсивность

п =п =2方"2方"(5511)(5511)

п =

п =

2方"

2方"

(5511)

(5511)

которая соответствует «числу фотонов» в лазере. (Здесь e^2V/2 ——полная энергия в лазерном луче и 方沙——энергия, соответствующая одному фотону.) Эта формулировка будет еще усилена в гл. 11 при изучении квантовой теории лазера. Из уравнений (5.5.8) и (5.5.9) следует, что

力=-穹а+ j/n力=-穹а+ j/n沙十 j =厶十沙十 j =厶十(cd — м)"(cd — м)"27271丄纺1十丿）1丄纺1十丿）(5512)(5513)(5512)(5513)

力=-穹а+ j/n

力=-穹а+ j/n

沙十 j =厶十

沙十 j =厶十

(cd — м)"

(cd — м)"

27

27

1丄纺

1十丿）

1丄纺

1十丿）

(5512)

(5513)

(5512)

(5513)

(5514)(5515)(5514)(5515)

(5514)

(5515)

(5514)

(5515)

При слабом возбуждении (纺汽/〃 « 1) можно построить теорию возмущений, разлагая в ряд знаменатели в уравнениях (5.5.12) и (5.5.13), что приводит к

力=(〃 一^п — ^n2,沙十j = %+(%/)(" 一终花)"

Уравнения (5.5.14) и (5.5.15) являются основными уравнениями лазера. Как будет показано ниже, они описывают пороговое условие генерации, стационарную и переходную интенсивности лазера, а также затягивание частоты благодаря наличию усиливающей среды.

Из уравнения (5.5.14) сразу видно, что в стационарном случае (п = 0) имеем п = =0 до тех пор, пока не выполнится условие 〃 > 穹* Когда 〃 > 穹，стационарная интенсивность задается выражением

По = П =—房一.

Таким образом, условие порога лазерной генерации имеет вид 〃 = & т. е. усиление равно потерям в резонаторе.

На рис. 5.5 изображена зависимость стационарной интенсивности от расстройки △ = з — 1Л Согласно уравнению (5.5.15), частота осцилляций 沙 сама зависит от интенсивности. Между тем, при вычислении различных коэффициентов, хорошим приближением можно считать у = ус.

△/)△/)Рис. 5.5. Зависимость стационарной интенсивности по от расстройки △/?» Здесь использованы следующие значения параметров: 穹 = 1 мкс~\ 夕^〃/后。方7 = 1.15 мкс^1 и ^^^No/e^jajbjV 二 10"3 мкс"1Рис. 5.5. Зависимость стационарной интенсивности по от расстройки △/?» Здесь использованы следующие значения параметров: 穹 = 1 мкс~\ 夕^〃/后。方7 = 1.15 мкс^1 и ^^^No/e^jajbjV 二 10"3 мкс"1

△/)

△/)

Рис. 5.5. Зависимость стационарной интенсивности по от расстройки △/?» Здесь использованы следующие значения параметров: 穹 = 1 мкс~\ 夕^〃/后。方7 = 1.15 мкс^1 и ^^^No/e^jajbjV 二 10"3 мкс"1

Рис. 5.5. Зависимость стационарной интенсивности по от расстройки △/?» Здесь использованы следующие значения параметров: 穹 = 1 мкс~\ 夕^〃/后。方7 = 1.15 мкс^1 и ^^^No/e^jajbjV 二 10"3 мкс"1

гдегде(5517)(5517)(5518)(5518)

где

где

(5517)

(5517)

(5518)

(5518)

Уравнение (5.5.15), определяющее частоту, предсказывает затягивание частоты

генерации от частоты пассивного резонатора к центру линии. В частности, в стационарном режиме (応=0)

ус + 9з沙=1 +夕’

" —终п0 一@

2?2)

—фактор стабилизации. Уравнение (5.5.17) можно интерпретировать как уравнение

для центра масс, в котором частота генерации 沙 равна взвешенному среднему от ис

и ш с весами 1 и JZ, соответственно. Обычно 穹 « 2^ и поэтому у = ус^ по у затянута ближе к атомной частоте ш. Это явление называется затягиванием мод.

Физическая картина вынужденного испускания и поглощения

Для того чтобы лучше понять физику, стоящую за вынужденным излучением и поглощением, рассмотрим атом, взаимодействующий с полем E(z,力) = = 片(z,力)cos(i4 — kz} в точке ^ = 0. Как и прежде, амплитуды Са и 0b определяются уравнениями (5.2.7) и (5.2.8), а медленно меняющиеся амплитуды са = Са ^必止 и сь = Сь 巳久3" определяются уравнениями (5.2.12) и (5.2.13) соответственно. Для простоты рассмотрим точный резонанс △ = з —沙=S Тогда решение (52*21)— (5.2.22) принимает вид

勿⑴=卜а(0) cos (产)+ "b(0) sill (岑)卜(5.6.1a)

以⑴= 卜 b(0) cos (^^) + "a(0) sill (^■j,(5616)

где мы предположили, что матричный элемент является действительной величиной 夕&匕 = ^Ьа = 夕* Теперь в первом порядке теории возмущений можно просто вычислить раъ = сас^ 2G力 для случаев, когда атом находится в возбужденном состоянии и в основном состоянии.

В первом случае (вынужденное излучение), когда са(0) = 1 и с^(0) = 0, для атома, прошедшего через резонатор за время т, в первом порядке находим

勿(т) ^ 1,(562а)

以(丁)当亭*(5626)

Тогда поляризация имеет вид (см. (5.4.18))

夕=2рраЬ о" = -фОят.(563)

*(丁) 4分(丁)= 1,*(丁) 4分(丁)= 1,В случае поглощения, в начальный момент времени са(0) = 0 и сь(О) = 1, и в первом порядке получаем

*(丁) 4

分(丁)= 1,

*(丁) 4

分(丁)= 1,

(564а)

(5646) и

夕仝 фОят.(5.6.5)

Теперь, используя уравнение (5.4.23), для атома, первоначально находившегося в возбужденном состоянии, имеем

丄竺=

где мы пренебрегли потерями резонатора. Из уравнения (5.6.6) следует, что изменение электрического поля за время 丁 имеет вид

△片片丁2,(5.6.7)

т. е. падающая волна испытывает усиление.

Подобным образом, для атома, первоначально находившегося в основном состоянии, получаем

с dt 2е()方 丁и поэтомук 2

△片=一言亍片丁(5.6J)

т. е. падающая волна испытывает поглощение. Таким образом, атом действует, по существу, как крошечный осциллирующий электронный ток, индуцированный падающей световой волной. Тогда ослабление падающей волны происходит в результате излучения этого тока, деструктивно интерферирующего с падающим светом (рис. 5.6). Эту простую физическую картину вынужденного излучения и поглощения

—•—旧一-—IG

—切一•— \ь)

Рис. 5.6. Излучение: конструктивная интерференция индуцированного излучения диполя и падающей волны (а); поглощение: деструктивная интерференция индуцированного излучения диполя и падающей волны (6)

можно расширить, чтобы объяснить более сложные явления, такие как лазерная генерация без инверсии (см. разд. 7.3.1).

5.7. Спектроскопия с временным разрешением

В предыдущем разделе мы увидели, насколько проста и интуитивно красива концепция вынужденного излучения и поглощения в рамках полуклассической теории излучения. В качестве примера необычной, противоречащей интуиции, физики в рамках той же полуклассической теории мы закончим эту главу обсуждением спектроскопии с временным разрешением.

В обычной спектроскопии предел разрешения по энергии между двумя состояниями |а) и \Ь) определяется суммой скоростей релаксации 7a и 7ь из этих состояний.

В этом разделе описывается метод спектроскопии, который обеспечивает разрешение, превосходящее пределы естественного уширения линии. Наши соображения основаны на том факте, что в переходном режиме вероятность индуцированных переходов в двухуровневой системе, взаимодействующей с монохроматическим электромагнитным полем, не определяется лоренцианом с шириной(7а + 7ь)/2 = 7аб, а скорее задана лоренцианом с шириной(7а — 7b)/2 = 8&“ Лоренцева ширина ^。匕， которая обычно встречается в атомной физике, восстанавливается только в соответствующем пределе.

Приступим к рассмотрению экспериментальной ситуации, в которой ансамбль двухуровневых атомов в момент времени 力 = 力。возбуждается в состояние \Ь) некоторым «мгновенным» механизмом возбуждения, например, пикосекундным оптическим импульсом. Затем возбужденные атомы подвергаются действию монохроматического, но перестраиваемого, поля излучения.

Рассмотрим схему уровней, изображенную на рис. 5.7. Там показан атом с двумя нестабильными состояниями \а) и \Ь) и слабое поле, возбуждающее атом из нижнего

Рис. 5.7. Энергетическая диаграмма уровней, на которой показано, что атом из основного состояния возбуждается в состояние |6), затем взаимодействует с резонансным полем, переводящим атом из состояния \Ь) в состояние |а), с последующим переходом в состояния

|d〉и |с) со скоростями 7a и ть, соответственно

состояния |Ь〉в верхнее |а). Если добавить нижние состояния (|с) и |d〉), в которые переходят |а) и |6), то эту систему можно рассматривать как четырехуровневый атом. То есть, мы имеем атом в состоянии |Ь〉в момент времени 力о, возбуждаем атом в состояние |а), и считаем число атомов, накопившихся в состоянии |с), начиная с момента 力о до конечного времени t. Скорость счета измеряется как функция расстройки между лазерной и атомной частотами.

Далее, решая уравнения движения для матрицы плотности (5.3.22)-(5.3.24) с точностью до первого неисчезающего члена, находим элемент paa(t). Результат имеет вид

paa(t) = м^и (I。)+「^(J%) ^2e^ab^to} cos △(力一t0)]. (5.7.1)

где 8аъ =(7a — 7ь)/2, Од — частота Раби возбуждаемого перехода и △ — расстройка между частотой лазера и 3^6* Ключевым пунктом является то, что лоренцев множитель в (5.7.1) имеет ширину 7a — 75, а не 7а + 75.

Теперь предположим, что мы считаем число фотонов, испущенных возбужденным атомом, когда он совершает переход |а) Т |с). Оно будет равно полному числу атомов, накопившихся на уровне |с), и определяется простым скоростным уравнением

Рсс (^ч ^0)= 70аа(3 力 0), (5.7.2)

где обозначения напоминают нам, что атомы первоначально были возбуждены в момент времени 力＞ Тогда полное число спонтанно испущенных фотонов, начиная с момента времени t0 до достаточно большого времени, прошедшего после возбуждения

в состояние |6), задается выражением

№(△,力о) = "a j 0аа(А 3 力0)也(5.7.3)

io

где ?]——константа, определяемая эффективностью детектирования фотона.

Подставляя (5.7.1) в (5.7.3), находим

(574)

△ + Jab 7«7t>

To есть, когда мы выполняем вышеописанную процедуру, накапливая фотоны, испущенные на переходе |а) Т |с), начиная от 力о до бесконечно большого времени, то возвращаемся к обычному лоренциану с шириной 7&岳 Этот результат обнадеживает, так как во многих экспериментах именно 7ab определяет разрешение.

Рис. 5.8. Сигнал W(r), наблюдаемый во время-задержанной спектроскопии при различных значениях т. Для простоты все кривые нормированы. В действительности, как следует из формулы (5.7.6), максимумы кривых, которые соответствуют большим значениям г, существенно меньше. Тем не менее, сужение линии может оказаться полезным (см. Fi只只ег and Walther, 1974)

Давайте теперь подождем до момента времени f0 + т, прежде чем начать принимать какие-либо отсчеты счетчика. То есть, будем измерять

№(△, Й + т) = "а Раа(А,力山)dt.(575)

Подставляя (5.7.1) в (5.7.5), находим (См. Mey st re, Scully, and Walter, 1980)

力a* [ exp(—Ta丁)exp(—”)

A2 + 礁[7a7b

+ 2 ex?( Tjb丁)(△ sin △丁 — Tab cos .(5.7.6)

Идея прозрачна. Когда мы задерживаем наблюдение, оказывается, что линия сужается, что видно из сравнения (5.7.4) и (5.7.6). Зависимость (5.7.6) представлена на рис. 5.8 для различных значений задержки во времени.

В заключение отметим, что, как еще было указано Фиггером и Вальтером, сужение линии в спектроскопии с временным разрешением обеспечивает высокое спектральное разрешение в том смысле, что мы можем разрешить близко расположенные линии. Тем не менее, для частот атомного перехода 3&匕 это более высокое разрешение не всегда приводит к более высокой экспериментальной точности получаемого результата. Причина этого — экспоненциальное затухание сигнала с увеличением времени задержки, проявляющееся через множители ехр(—7&т) и ехр(—^匕丁) в выражении (5.7.6). Мы вернемся к вопросу увеличения спектрального разрешения в последующих главах, например, в разд. 21.7.

Приложение 5.А

Эквивалентность (г • Е)- и (р • А)-гамильтонианов

В разд. 5.1 было отмечено, что в радиационной калибровке (R—калибровке) и в дипольном приближении (А(г,力),U(г,力))=(А«), 0) калибровочное преобразование

Х(гЛ)=-计⑴ ” г(5А1)

приводит к калибровке (0, —Е⑴Заметим, что калибровка (0, —Е⑴• г) приводит к электрическому дипольному взаимодействию 匿(выражение (5.1.19)) и поэтому мы называем его калибровкой электрического поля (^-калибровка). Поэтому два гамильтониана 匿(см. (5.1.19)) и (см. (5.1.21)) связаны через калибровочное преобразование (5.А.1). Калибровочное преобразование требует преобразования потенциалов, согласно (5.1.6) и (5.1.7), и волновых функций согласно (5.1.4). Для физически измеряемых величин получаются неидентичные, неправильные результаты в различных калибровках, если выполнить только одно из этих двух преобразований. Обсудим, как обращаться с волновой функцией в двух различных калибровках для того, чтобы получить калибровочно-инвариантные физические предсказания. Однако, прежде чем это сделать, давайте кратко обсудим некоторые примеры физических величин.

. Форм-инвариантные физические величины. Форм-инвариантная физическая величина определяется как величина, соответствующий оператор Gx = =G(AX, U%) которой является инвариантным по форме при унитарном преобразовании T(r, t) = exp[z%(r, f)], т. е.

仆=TGXT+,(5А2)

где волновая функция в калибровке х преобразуется в калибровку х' с помощью унитарного преобразования

Vvd 力)=Т(『，力)V\(-力)-(5A3)

Разница между физическими и нефизическими величинами лежит в калибровочной инвариантности собственных значений. Собственные значения физической величины одинаковы во всех калибровках, в то время как собственные значения нефизических величин зависят от выбранной калибровки. Для того чтобы это показать, обозначим

собственные значения и собственные состояния оператора Gx через gn и |^х)п), соответственно:

(5.А.4)

Только для физических величин собственные значения g^ калибровочно инвариантны, т. е.

=TgrJSxm〉= Sn\Cxfyn)-(5.A.5)

Следовательно, нефизические величины могут быть использованы только как вычислительные инструменты.

Теперь рассмотрим некоторые примеры физических и нефизических величин. Отправным пунктом в этих рассуждениях является тот факт, что операторы г и р (р = —£/!▽), связанные с координатой и каноническим импульсом частицы, одинаковы во всех калибровках. То есть р представляется оператором — £%▽ во всех калибровках. Это гарантирует, что коммутационное соотношение [rj, рд,] = ihdjk выполняется в любой калибровке. При таком критерии оператор механического момента

7rx = р — еАх(—力)(5.А.6)

является физической измеряемой величиной, поскольку

Т7ГхТ+ = Т[р — еАх(г, "]Т+ = р — еАх —方▽% = р — еА%，= тгх/.(5.А.7)

Аналогично, оператор мгновенной энергии системы, состоящий из кинетической энергии и статического потенциала (обычно, атомного связывающего потенциала),

夂=^[P^eAx(r3)]2 + ^(^),(5*А”8)

представляет физическую величину, также как и любой другой оператор, который является только функцией других физических величин, типа тгх.

С другой стороны, канонический импульс р не является физической величиной, поскольку

ТрТ+ = р — W% 步 р.(5А項)

Аналогичным образом, оператор J^ = р2/2т (не зависящий от потенциалов) не является физической величиной, поскольку

ТМТ+ = М十(V%) ” р] + ^(Vx)2 步(5А10)

В общем случае, любой оператор, который является функцией только нефизических величин, таких как канонический импульс р или векторный и скалярный потенциалы А% и U%, представляет собой нефизическую величину. Полный гамильтониан

次=^[Р - eAx(r, t)f + eUx(r, f) + У (г).(5.AJ1)

также является нефизической величиной, поскольку он зависит от скалярного потенциала Ux.

Поэтому мы приходим к выводу, что временная эволюция физической системы определяется такими гамильтонианами, как J^ или J^, которые, в общем случае, не являются наблюдаемыми величинами. Физическими величинами являются, например, механический импульс и мгновенная энергия системы.

2. Вероятности переходов в двухуровневом атоме. В этом разделе мы ограничимся обсуждением длинноволнового дипольного приближения (ДДП), в котором потенциал А можно рассматривать как не зависящий от г, т. е. А(г,力) = А⑴. Поскольку оператор энергии 螟(см. (5.А.8)) зависит от времени, его собственные состояния |&%(力)〉,где а = а, 6, и его собственные значения Еа =方з。в общем случае также зависят от времени, а именно

夂|а%⑴〉=石 а|а% ⑴〉％(5.А.12)

Тем не менее в ДДП собственные значения 螟 не зависят от времени. Это можно показать с помощью калибровочного преобразования (5.А.1). В ДДП

ехр [/А?・〔[р — eA(t)]2 exp『A?・r]=状，(5.A.13)

так что

ехр 卜竺*12] / ехр [弋1T = JC(5.A.14)

Тогда, собственное состояние |&%〉связано с собственным состоянием |&(力)〉гамильтониана J^o соотношением

J = ехр「爪T)[|a⑴)，(5a15)

и собственные значения Еа оператора 嶼 совпадают с не зависящими от времени собственными значениями Еа гамильтониана J^, так как собственные значения физических величин не зависят от калибровки.

В /^-калибровке оператор невозмущенной энергии 聂 равен невозмущенному гамильтониану J^q. Следовательно, собственные состояния J^ являются также собственными состояниями &* Поэтому только в /^-калибровке волновая функция разлагается по собственным состояниям энергии, и коэффициенты ^。(力),где а = =а, Ь, в формулах (5.2.10) и (5.2.11) интерпретируются как амплитуды вероятности нахождения системы в собственном состоянии наблюдаемой энергии. В любой другой калибровке J^ ——нефизическая величина, и ее состояния не являются собственными состояниями энергии системы. Тогда коэффициенты разложения ca(t) в выражениях (5.2.10) и (5.2.11) являются амплитудами вероятности найти систему в собственном состоянии гамильтониана J^* Между тем, если J^ ——нефизическая величина, то эта вероятность зависит от калибровки, и ее нужно отличать от измеряемой, калибровочно-инвариантной вероятности найти систему в собственном состоянии энергии.

Поэтому полезно разложить волновую функцию системы по собственным состояниям оператора энергии 螟：

1V\'⑴)=九⑴『必『aJ +厶⑴「必"队).(5.AJ6)

Тогда коэффициенты разложения da и d^ совпадают с амплитудами вероятности переходов системы в собственные состояния \ах) и \ЬХ) оператора энергии 夂 с собственными значениями 方з& и 方幻匕：

九⑴=g|久⑴〉еМ*(5"А」7)

九⑴=(人1吵х"))ё必吃(5А」8)

Теперь явно покажем, что эти амплитуды калибровочно инвариантны.В /^-калибровке амплитуда вероятности da(t) задается в видеd?⑴二S|Uo⑴U『)⑴|b〉e必叱(5A」9)а в /^-калибровке — в видеd^t) = exp [」A[)[ %⑴uf)⑴ exp [^|h£] |fe)(5A20)Теперь явно покажем, что эти амплитуды калибровочно инвариантны.В /^-калибровке амплитуда вероятности da(t) задается в видеd?⑴二S|Uo⑴U『)⑴|b〉e必叱(5A」9)а в /^-калибровке — в видеd^t) = exp [」A[)[ %⑴uf)⑴ exp [^|h£] |fe)(5A20)где Uo(t) = exp(—〃延力/方)игде Uo(t) = exp(—〃延力/方)иU『«) = ^exp —； (ItUq (r)^i(T)UQ(T) .(5.A.21)_ о_U『«) = ^exp —； (ItUq (r)^i(T)UQ(T) .(5.A.21)_ о_Здесь мы полагаем, что атом первоначально находился в основном состоянии \Ь). Аналогичные выражения существуют для амплитуд d『⑴ и d^(t). В первом порядке теории возмущении оператор эволюции во времени и) принимает видЗдесь мы полагаем, что атом первоначально находился в основном состоянии \Ь). Аналогичные выражения существуют для амплитуд d『⑴ и d^(t). В первом порядке теории возмущении оператор эволюции во времени и) принимает видUf)= 1 - ； RU0b(丁)陷(t)Uo(t), оUf)= 1 - ； RU0b(丁)陷(t)Uo(t), о(5А22)(5А22)а амплитуда вероятности возбужденного состояния в /^-калибровке описывается выражениема амплитуда вероятности возбужденного состояния в /^-калибровке описывается выражением源⑴=一2|о源⑴=一2|оt= ^片"(小曲 dT* ra6^—(5A23)оt= ^片"(小曲 dT* ra6^—(5A23)оСравним этот результат с соответствующим результатом в Л-калибровке. В первом порядке теории возмущенийСравним этот результат с соответствующим результатом в Л-калибровке. В первом порядке теории возмущений吟⑴=-依⑴义■t'_о.吟⑴=-依⑴义■t'_о.］十氾А?).〔切］十氾А?).〔切(5A24)(5A24)Используя (5.1.26), (5232) и 〃⑴=g〃 e^wf, в низшем порядке по 〃 получаемИспользуя (5.1.26), (5232) и 〃⑴=g〃 e^wf, в низшем порядке по 〃 получаем

Теперь явно покажем, что эти амплитуды калибровочно инвариантны.

В /^-калибровке амплитуда вероятности da(t) задается в виде

d?⑴二S|Uo⑴U『)⑴|b〉e必叱(5A」9)

а в /^-калибровке — в виде

d^t) = exp [」A[)[ %⑴uf)⑴ exp [^|h£] |fe)(5A20)

Теперь явно покажем, что эти амплитуды калибровочно инвариантны.

В /^-калибровке амплитуда вероятности da(t) задается в виде

d?⑴二S|Uo⑴U『)⑴|b〉e必叱(5A」9)

а в /^-калибровке — в виде

d^t) = exp [」A[)[ %⑴uf)⑴ exp [^|h£] |fe)(5A20)

где Uo(t) = exp(—〃延力/方)и

где Uo(t) = exp(—〃延力/方)и

U『«) = ^exp —； (ItUq (r)^i(T)UQ(T) .(5.A.21)

_ о_

U『«) = ^exp —； (ItUq (r)^i(T)UQ(T) .(5.A.21)

_ о_

Здесь мы полагаем, что атом первоначально находился в основном состоянии \Ь). Аналогичные выражения существуют для амплитуд d『⑴ и d^(t). В первом порядке теории возмущении оператор эволюции во времени и) принимает вид

Здесь мы полагаем, что атом первоначально находился в основном состоянии \Ь). Аналогичные выражения существуют для амплитуд d『⑴ и d^(t). В первом порядке теории возмущении оператор эволюции во времени и) принимает вид

Uf)= 1 - ； RU0b(丁)陷(t)Uo(t), о

Uf)= 1 - ； RU0b(丁)陷(t)Uo(t), о

(5А22)

(5А22)

а амплитуда вероятности возбужденного состояния в /^-калибровке описывается выражением

а амплитуда вероятности возбужденного состояния в /^-калибровке описывается выражением

源⑴=一2|

о

源⑴=一2|

о

t

= ^片"(小曲 dT* ra6^—(5A23)

о

t

= ^片"(小曲 dT* ra6^—(5A23)

о

Сравним этот результат с соответствующим результатом в Л-калибровке. В первом порядке теории возмущений

Сравним этот результат с соответствующим результатом в Л-калибровке. В первом порядке теории возмущений

吟⑴=-依⑴义

■t'

_о.

吟⑴=-依⑴义

■t'

_о.

］十氾А?).〔切

］十氾А?).〔切

(5A24)

(5A24)

Используя (5.1.26), (5232) и 〃⑴=g〃 e^wf, в низшем порядке по 〃 получаем

Используя (5.1.26), (5232) и 〃⑴=g〃 e^wf, в низшем порядке по 〃 получаем

Из (5.1.30) имеем р&ь = +imwrae> и, определяя 片=iu^получаем

«At — I 好(力)=蒜貧“«At — I 好(力)=蒜貧“(5А25)(5А25)

«At — I 好(力)=蒜貧“

«At — I 好(力)=蒜貧“

(5А25)

(5А25)

Таким образом, амплитуды d^ (力)и d^(力)оказываются идентичными. Это разрешает 1) очевидное противоречие, отмеченное в конце разд. 5.1.

Приложение 5.Б

Векторная модель матрицы плотности

Физическое описание матрицы плотности можно получить, приведя уравнения (5.3.22), (5.3.23) и (5.3.30) к виду, эквивалентному уравнениям Блоха, применяемым в теории ядерного магнитного резонанса. Рассматриваемая проблема двухуровневой системы, взаимодействующей с электромагнитным полем, похожа на задачу о магнитном диполе со спином 1/2, испытывающим прецессию в магнитном поле. Эта формальная аналогия привела к предсказанию, наблюдению и пониманию физики большого числа явлений, связанных с распространением когерентного импульса в системе двухуровневых атомов.

Введем действительные величины

Я1 = раь + к.с.,(5.Б.1)

R2 = ipab е^ + кх.,(5*82)

尺3 = Раа - Pbb-(5-Б.З)

Эти величины являются составляющими вектора R, заданного выражением

R = Ri^i + 兄2昼2 + &€?,(5.Б.4)

где ё1, е2 и ёз образуют набор взаимно перпендикулярных единичных векторов. Здесь Я1 и 尺2 представляют атомный дипольный момент, а Яз ——разность населенностей между уровнями |а〉и \Ь).

Из уравнений (5.3.22), (5.3.23) и (5.3.30) следует, что в приближении вращающейся волны (при 0 = 0)

= —(5.Б.5) / 2

电=△必-(5B6) J 2

E =——(5.Б.7) j 1

где мы положили 7a = 7b = 1/Ti и 7 = 1/T2m Величины Т± и Т2 соответственно называются продольным и поперечным временами релаксации по аналогии с соответствующими величинами в уравнениях Блоха. Уравнения (5.Б.5)-(5.Б.7) называют оптическими уравнениями Блоха.

Когда Ti =不,эти уравнения можно записать в следующей компактной форме:

立=—+ R х О,(5.Б.8)

где эффективное поле задано выражением

О = Qftei - Де2.(5В9)

1) Представленное описание слишком упрощено в том плане, что не учитываются эффекты атомной релаксации. Рассмотрение более общего случая можно найти в работе Lamb, Scliliclier and Scully (1987).

Зависимость R от времени, задаваемая выражением (5.Б.8), хорошо известна из классической механики. Вектор R прецессирует по часовой стрелке вокруг эффективного поля Q, затухая по амплитуде. Прецессия в случае точного резонанса и в случае

Рис. 5.9. Прецессия вектора Блоха R вокруг эффективного поля Q: △ = 0 (а) и △ ^ 0 (5)Рис. 5.9. Прецессия вектора Блоха R вокруг эффективного поля Q: △ = 0 (а) и △ ^ 0 (5)

Рис. 5.9. Прецессия вектора Блоха R вокруг эффективного поля Q: △ = 0 (а) и △ ^ 0 (5)

Рис. 5.9. Прецессия вектора Блоха R вокруг эффективного поля Q: △ = 0 (а) и △ ^ 0 (5)

небольшой отстройки от резонанса изображены на рис. 5.9. Физически вектор R, направленный вдоль & (质=1, Ri = Я2 = 0), изображает систему, находящуюся в возбужденном состоянии, когда раа = 1, 0bb = 0. Аналогичным образом вектор R, направленный вдоль —匈,изображает систему в ее основном состоянии.

Приложение 5.В

Физика квазимод лазера, основанная на модах вселенной 】)

Многие теории лазеров, например, та, что представлена в разд. 5.5, описывают электромагнитное поле с помощью дискретного набора квазимод резонатора лазера, каждая из которых имеет конечную добротность Q. В данном разделе эта теория обобщается на случай лазера с резонатором, который моделируется полупрозрачной стенкой в качестве одного из зеркал, так что теперь присутствует множество мод «вселенной», соответствующих каждой квазимоде. Здесь мы покажем, что нормальные моды вселенной, связанные с одной «модой», при определенных условиях могут синхронизоваться, и может восстановиться 5-образная линия излучения лазера.

Рассмотрим нормальные моды для комбинированной системы, состоящей из лазерного резонатора, связанного с внешним миром. Изобразим «вселенную» с помощью существенно большего резонатора, имеющего идеально отражающие стенки. Простая одномерная модель, которая имеет основные черты такой комбинированной системы, показана на рис. 5.10. Зеркала в точках z = L и —Lq являются абсолютно отражающими, в то время как зеркало в точке z = 0 ——полупрозрачное. Область 1 соответствует резонатору лазера, а область 2 ——остальной части вселенной.

Представим полупрозрачное зеркало в виде очень тонкой пластинки с очень большой диэлектрической константой. В качестве идеализации такого зеркала выберем

1) Для дальнейшего чтения рекомендуем Lang, Scully and Lamb (1973).

Область 2Область 2Область 1Область 1—Ьо—ЬоОLОLРис. 5.10. Резонатор с утечкой, который состоит из идеального зеркала, расположенного в точке 2 = L, и полупрозрачного зеркала, расположенного в точке n = 0. Смежный резонатор, который вместе с резонатором с утечкой объемлет всю вселенную, состоит из идеального зеркала, расположенного в точке n =—丄。(丄。一 оо), и зеркала, расположенного в точке 2 = 0Рис. 5.10. Резонатор с утечкой, который состоит из идеального зеркала, расположенного в точке 2 = L, и полупрозрачного зеркала, расположенного в точке n = 0. Смежный резонатор, который вместе с резонатором с утечкой объемлет всю вселенную, состоит из идеального зеркала, расположенного в точке n =—丄。(丄。一 оо), и зеркала, расположенного в точке 2 = 0

Область 2

Область 2

Область 1

Область 1

—Ьо

—Ьо

ОL

ОL

Рис. 5.10. Резонатор с утечкой, который состоит из идеального зеркала, расположенного в точке 2 = L, и полупрозрачного зеркала, расположенного в точке n = 0. Смежный резонатор, который вместе с резонатором с утечкой объемлет всю вселенную, состоит из идеального зеркала, расположенного в точке n =—丄。(丄。一 оо), и зеркала, расположенного в точке 2 = 0

Рис. 5.10. Резонатор с утечкой, который состоит из идеального зеркала, расположенного в точке 2 = L, и полупрозрачного зеркала, расположенного в точке n = 0. Смежный резонатор, который вместе с резонатором с утечкой объемлет всю вселенную, состоит из идеального зеркала, расположенного в точке n =—丄。(丄。一 оо), и зеркала, расположенного в точке 2 = 0

диэлектрическую константу в окрестности точки 2 = 0)равную

О = $о[1 + 4 3(2儿(5.В.1)

где 〃 ——параметр с размерностью длины, который определяет прозрачность этой пластинки.

Функции нормальных мод этой системы можно получить, решая уравнения Максвелла с соответствующими граничными условиями (см. задачу 5.6). Для тех нормальных мод, которые имеют частоту 以(=ck), близкую к «резонансной» частоте 〃о(= с%), собственные функции всего резонатора имеют вид

sin k(z —厶)(z > 0),sin k(z —厶)(z > 0),(5.B.2)(5.B.2)

sin k(z —厶)(z > 0),

sin k(z —厶)(z > 0),

(5.B.2)

(5.B.2)

где & ——фазовый множитель, который меняется между значениями 1 и —1 при возрастании к от одного значения до следующего. Коэффициенты Мк в (5.В.2) имеют вид

Мк = (以—"о)? + 丁 , (5.В.З)

где 穹 ——спектральная полоса, связанная с прозрачностью зеркала и определяемая выражением

* — 2c — 2c

где

A=^ = g(5В5)

с ko

а частота 〃о для 几=访 квазимоды дается выражением

(5*B£)(5*B£), (птг + 1/А)с〃0 = ско = J-——

(5*B£)

(5*B£)

Произвольное неуправляемое поле во всем резонаторе можно выразить через положительно-частотную часть поля:

(5*В”7)(5*В”7)后（十）（% 力）=e ^（0）^W± = e 或⑴"（力

(5*В”7)

(5*В”7)

что можно рассматривать как сумму мод большого резонатора, т. е. «вселенной».

Теперь продемонстрируем, что полупрозрачность зеркал приводит к затуханию свободных колебаний в лазерном резонаторе. Предположим, что в момент времени 力=0 лазерный резонатор (область 1) содержит поле вида

七(十)(%0)= 阎1e-加日由自(2 —厶)，(5в8)

в то время как вне резонатора, т. е. в области 2, поля нет. В этом случае коэффициенты Д；(0) находим, умножая (5.В.8) на функцию Uk(z)^ задаваемую выражением (5.В.2), и интегрируя по N” Результат имеет вид

飲⑴=(画|"J/A))(5.В.9)

Поэтому на более поздних временах,力〉0)

后(％ t)=(画|厶/厶о) £ M£J£z)「У+屮)*(5.B.10)

k

Суммирование можно приближенно заменить интегрированием, если частотный интервал между нормальными модами мал по сравнению с 穹* После выполнения интегрирования по /с в (5.В.10), явное выражение для Е(z)t) в резонаторе лазера приобретает вид

Е(+)(%0)=画|sinko(N—厶)巳一(^+屮)一(5.В.11)

Выражение (5.В.11) означает, что поле, локализованное в резонаторе лазера, экспоненциально затухает со скоростью 穹/2)благодаря утечке через зеркало.

Задачи

Покажите, что уравнение Шредингера (5.1.5) инвариантно при локальных калибровочных преобразованиях (5.1.4), (5.1.6) и (5.1.7).

Конечность времени жизни атомных уровней можно описать, добавляя феноменологические релаксационные члены в уравнения для амплитуд вероятности (5.2.12) и (5.2.13):

С 一—工 с +慢к -—工Ch + 僅^

где 7 ——константа затухания и g = 〃. Покажите, что для атома, первоначально находившегося в состоянии |а), инверсия в момент времени t имеет вид

Ж⑴=е™7* cos(Qftt).

Найдите решение уравнения (5.Б.8) (при Т( f оо)

立=R х И

для R(0) = 0. Дайте физическую интерпретацию этого решения.

Покажите, что в общем случае

Тг(р2)^1,

где равенство справедливо только для чистого состояния.

Рассмотрите трехуровневый атом, взаимодействующий с классическим полем частотой у. Переходы \а) f \b) и \b) f |с) разрешены, тогда как переход \а) f —> |с) — запрещен. Также предполагается, что з^ — з% = шь~^с = 〃• Предполагая, что атом первоначально находился на уровне |с), и применяя приближение вращающейся волны, найдите вероятности того, что атом находится на уровнях 1«) и Iе)-

Электромагнитное поле во всем резонаторе (области 1 и 2 на рис. 5.10) удовлетворяет волновому уравнению Максвелла

ozot

где E можно записать как Е = 以⑶ ехр(—分〃左力).

Найдите Ujz) в виде (5.В.2) и докажите что

М^tg2 kL + 1

忌 tg2 kL + (Atg^L — l)2 '

где величина Л задается выражением (5.В.5). Выведите уравнение (5.В.З).

Покажите, что

厶

(以一以,)2dzUk(z)U^(z)E：(z) = 0,

где s⑶ = ^о(1 + п 方⑶).(Указание: см. работу Lang, R., Scully, М.О. and Lamb, W.E., Jr. Phys. Rev. Л 7, 1788 (1973).)

Уровень m = +1 на рис. 5.3 слабо связан с уровнем 观(т) светом с левой круговой поляризацией через противоположно вращающиеся члены в выражении (5.2.55). Отметим, что в этом случае (переход m = 0 —> m = +1) обычно исключают такую связь на основании того, что для перехода т = 0 Т т = +1 необходим свет с правой круговой поляризацией.

Покажите, что если определить

屮加(Г)= ^п=23 = 1,тг= + 1(Г)= 〃(优 + £沙)в^г/2а°,

где п — несущественная константа [у 64тшд 初厂\ то

[ dr 此(г) г-(ж cos ut—y sin 〃力)观(г)力=—伊£ 巳。®。/#")。

Покажите, на определенном примере, что члены с противоположным вращением, связанные с переходами \b) f |az), которые пропорциональны [®а‘ь + 沙]一 1, могут оказаться намного меньше обычных членов с противоположным вращением [幻^七十〃]一'"(Указание: рассмотрите атом Ридберга, в котором о；аб = з^ь = 109Гц. Если теперь приложить поле порядка 104Гс, то можно сделать %6 порядка 103 Гс за счет зеемановского сдвига, в то время как 幻削匕 〜 1010 Гс.)

Список литературы

Монографии

*Файн В.М., Ханин Я.И. Квантовая радиофизика (Сов. радио, Москва, 1965).

* Карлов Н.В. Л екции по квантовой электронике (Наука, Москва, 1983).

*Альперин М.М., Клубис Я.Д., Хижняк А.И. Введение в физику двухуровневых систем (Наукова думка, Киев, 1987).

Saleh, В. Е. A. and Teich, М. С. Fundamentals of Photonics^ (Wiley-Interscience, New York 1991).

Ахманов C.A., Никитин С.Ю. Физическая оптика (МГУ, Москва, 1998).

Мандель Л., Вольф Э. Оптическая когерентность и квантовая оптика (Физматлит, Москва, 2000).

Гамильтониан взаимодействия атома с полем

Goppert-Mayer, М. Ann. Phys. (Leipzig) 9, 273 (1931).

Power, E. A. and Zienau, S. Philos. Tran. Roy. Soc. London 251, 427 (1959).

Cohen-Tannoudji, C., Dupont-Roc, J. and Grynberg, G. Atom-Photon Interactions, (Wiley, New York 1992).

Взаимодействие двухуровневого атома с одномодовым полем

Bethe, Н. A. in Quantentheorie^ Vol. 24/1 of Handbuch der Physik, 2nd ed. (Springer, Berlin 1933), p. 273.

Lamb, W. E. and Retherford, R. C. Phys. Rev. 72, 339 (1947).

Feynman, R. P., Vernon, F. L. and Hellworth, R. W. J. Appl. Phys. 28, 49 (1957).

Jaynes, E. T. and Cummings, F. W. Proc. IEEE 51, 89 (1963).

Allen, L. and Eberly, J. Optical Resonance and Two Level Atoms(Wiley, New York 1975). [Аллен Л., Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые атомы (Мир, Москва, 1978).]

Stenholm, S. Foundations of Laser Spectroscopy^ (Wiley, New York 1984).

Осадько И.С. Селективная спектроскопия одиночных молекул (Физматлит, Москва, 2000).

Экспериментальная реализация двухуровневого атома

Abate, J. A. Opt. Commun. 10, 269 (1974).

Grove, R. E., Wu, F. Y. and Ezekiel, S. Phys. Rev. A 15, 227 (1977).

Meschede, D., Walther, H. and Muller, G. Phys. Rev. Lett. 54, 551 (1985).

Сравнение (p • А)- и (r • Е)-гамильтонианов

Lamb, W. E., Jr., Proc. Scuola Internazionale di Fisica Course XXXI)Academic Press 1963.

Haken, H. Z. Phys. 181, 96 (1964).

Lamb, W. Е., Jr., Phys. Rev. 85, 259 (1952).

Yang, К. H. Ann. Phys. (NY) 101, 62 (1976).

Kobe, D. H. and Smirl, A. L. Am. J. Phys. 46, 624 (1978).

Schlicher, R. R., Becker, W., Bergou, J. and Scully, M. O. in Quantum Electrodynamics and Quantum Optics^ ed. A. O. Barut (Plenum, New York 1984), p. 405.

Becker, W. Opt. Commun. 56, 107 (1985).

Lamb, W. E., Jr., Schlicher, R. R. and Scully, M. O. Phys. Rev. A 36, 2763 (1987).

Мазер

Gordon, J. P., Zeiger, H. J. and Townes, С. H. Phys. Rev. 95, 282 (1954); ibid. 99, 1264 (1955).

Лазер

Maiman, T. H. Nature 187, 493 (I960).

Javan, A., Bennet, W. R., Jr., and Herriot, D. R. Phys. Rev. Lett. 6, 106 (1961).

Полуклассическая теория лазера

Prokhorov, A. M. Sov. Phys. JETP 34, 1658 (1958).

Schawlow, A. L. and Townes, С. H. Phys. Rev. 112, 1940 (1958).

Haken, H. and Sauermann, H. Z. Phys. 173, 261 (1963); ibid. 176, 47 (1963).

Proc. Enrico Fermi School of Physics, Course XXX/, p. 78 (1963)

Lamb, W. E., Jr., Phys. Rev. 134, A1429 (1964).

Sargent III, M., Lamb, W. E., Jr. and Fork, R. L. Phys. Rev. 164, 450 (1967).

Stenholm, S. and Lamb, W. E., Jr., Phys. Rev. 181, 618 (1969).

Haken, H. Laser Theory^ (Springer, Berlin 1970).

Lamb, W. and Scully, M. OSA Spring 1971, p. 66.

Sargent III, M., Scully, M. and Lamb, W. E., Jr., Laser Physics (Addison-Wesley, Reading, MA 1974).

Siegman, A. E. Lasers (Univ. Sci. Books, Mill Valley, CA 1986).

Milonni, P. and Eberly, J. Lasers (Wiley, New York 1988).

Боровский А.В., Галкин А.Л. Лазерная физика (Изд. атом, техн., Москва, 1996).

Лазерный усилитель

Arecchi, F. Т. and Bonifacio, R. IEEE Journal of Quantum Electronics QE-1, 169 (1965).

Hopf, F. A. and Scully, M. O. Phys. Rev. 179, 399 (1969).

Карлов H.B., Маненков А.А. Квантовые усилители (ВИНИТИ, Москва, 1966).

Моды лазерного резонатора

Fox, A. G. and Li, Т. Bell System Tech. J. 40, 453 (1961).

Boyd, G. D. and Gordon, J. P. Bell System Tech. J. 40, 489 (1961).

*Файн B.M., Ханин Я.И. Квантовая радиофизика (Сов. радио, Москва, 1965).

Spencer, М. В. and Lamb, W. Е., Jr., Phys. Rev. A 5, 884 (1972).

Lang, R., Scully, M. O. and Lamb, W. E., Jr., Phys. Rev. A 7, 1788 (1973).

Lang, R. and Scully, M. O. Opt. Commun. 9, 331 (1973).

Ujihara, K. Phys. Rev. 4 12, 148 (1975); ibid. 16, 652 (1977).

Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн (Наука, Москва, 1979).

*Ораевский А.Н., УФН 164, 415 (1994); Квантовая электроника 29, 137 (1994).

Спектроскопия с временным разрешением

Figger, Н. and Walther, Н. Z Phys. 267, 1 (1974).

Meystre, Р., Scully, М. and Walther, H. Opt. Commun. 33, 153 (1980).

Набойкин Ю.В., Самарцев В.В., Зиновьев П.В., Силаева Н.Б. Когерентная спектроскопия молекулярных кристаллов (Наукова думка, Киев, 1986).

Кессель А.Р., Моисеев С.А. Письма ЖЭТФ 58, 77 (1994).

Demtroder, W. Laser Spectroscopy^ (Springer, Berlin 1995). [Демтредер В. Лазерная спектроскопия (Наука, Москва, 1995).]

Mohan, R.K., Luo, В., Kroll, S., Mair, A. Phys. Rev. A 58, 4348 (1998).

Глава 6

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ АТОМА С ПОЛЕМ — КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ

В предыдущих главах, касающихся взаимодействия поля излучения с веществом, поле предполагалось классическим. Во многих случаях это предположение справедливо. Тем не менее есть много примеров, когда классическое поле не может описать экспериментально наблюдаемые результаты, и необходимо квантовое описание поля. Это, например, справедливо для спонтанного излучения атома, которое феноменоло™ гически описывалось в гл. 5. Для строгого описания распада возбужденного атомного состояния в свободном пространстве необходимо рассмотреть взаимодействие атома с вакуумными модами «вселенной». Даже в простейшей системе, которая включает в себя взаимодействие одномодового излучения с одиночным двухуровневым атомом, предсказания динамики атома в полуклассической теории и полностью квантовой теории существенно отличаются. В отсутствие процессов распада полуклассическая теория предсказывает осцилляции Раби для атомной инверсии населенности, тогда как квантовая теория предсказывает некие явления коллапса и возрождения. Эти интересные предсказания квантовой теории поля были уже экспериментально проверены.

В этой главе мы обсудим взаимодействие квантованного поля излучения с двухуровневой атомной системой, которое описывается гамильтонианом в дипольном приближении и приближении вращающейся волны. Для одномодового поля гамильтониан сводится к очень простой форме. По ряду причин ——это особенно примечательный гамильтониан в квантовой оптике. Во-первых, для него задачу можно решить точно при произвольной константе связи, и он демонстрирует некоторые истинные квантово-механические эффекты, такие как коллапс атомной инверсии с последующими периодическими возрождениями. Во-вторых, он дает простейшую иллюстрацию спонтанного излучения и поэтому объясняет эффекты различных видов статистики поля в более сложных системах, таких как микромазер и лазер, которые мы рассмотрим в последующих главах. В-третьих, и пожалуй это самое главное, благодаря замечательным успехам в развитии микроволновых резонаторов с высокой добротностью Q 1) такой гамильтониан стало возможным воплотить в эксперименте.

Спонтанный распад атомного уровня описывается с помощью рассмотрения взаимодействия двухуровневого атома с модами вселенной в вакуумном состоянии. Мы исследуем состояние поля, которое рождается в процессе испускания кванта энергии, равного разности энергий атомных уровней. Такое состояние можно считать однофотонным состоянием.

В Здесь можно выделить микромазер Вальтера с соавторами, который обсуждается в гл. 13. См. также статью Ароша и Клеппнера в Physics Today (Haroche and Kleppner, 1989), которая дает очень хорошее представление о квантовой электродинамике для резонатора.

Гамильтониан взаимодействия атома с полем

Взаимодействие поля излучения Е с одноэлектронным атомом можно описать в дипольном приближении следующим гамильтонианом:

* = % 十欢一er，Е*(6.1.1)

Здесь Жа и %f — энергии атома и поля излучения, соответственно, в отсутствие взаимодействия, и г ——радиус-вектор электрона. В дипольном приближении поле предполагается однородным по всему атому.

Энергия свободного поля %f выражается через операторы рождения и уничтожения следующим образом:

外 =E方以(心仇+ ；) .(6工2)

k

Можно выразить 光厶 и er через операторы атомных переходов:

Jj = Ю01-(6-1.3)

Как и ранее, {|£〉} представляет собой полный набор собственных энергетических состояний атома, т. е. £〃 \i) (i\ = 1. Тогда из уравнения для собственного значения J^lp = Ei\i) следует, что

兑纟=£ 旦 19® = £ Emi」(6.1.4)

ii

А также

er = £ еЮ(^1г1Л01 = £(6工5)

где 化j = e(i\r\j) — матричный элемент электрического дипольного перехода. В дипольном приближении оператор электрического поля вычисляется в координатах точечного атома. Из уравнения (1.1.27) следует, что для атома, находящегося в начале системы координат, имеем выражение

Е = J2%<(ak + a+),(6 工 6)

k

где 级=(hi/k/^oV)1^2. Здесь, для простоты, мы используем базис линейной поляризации и действительные единичные векторы поляризации.

Следовательно, подставляя J^? J^p, er и Е из (6.1.2), (6.1.4), (6.1.5) и (6.1.6) в выражение (6.1.1), получаем

* = £方以+ £ /ин +方££或内乂仇+(6.1.7)

кгi,j к

где

g?(6.1.8)

В выражении (6.1.7) мы опустили в первом члене энергию нулевых колебаний. Далее в этой главе, для простоты, будем считать 夕叮 действительной величиной.

Теперь приступим к рассмотрению двухуровневого атома. В случае, когда ^аь = =夕е»а, запишем

gk = g^ = g*a(619)

Тогда гамильтониан приобретает следующий вид:

赞=^huka^ak + (Еаааа + Ebabb) + h^gk(aab + aba)(ak +。亡)以 (6.1.10) кк

Второй член в уравнении (6.1.10) можно записать как

^а^аа + ^b^bb = 2 ^^(^аа 一。66)+ 万(石а + 石6))(6.1.11)

где использованы соотношения (% — %)=无％ и ааа +。必=1. Членом с постоянной энергией (% + %)/2 можно пренебречь. Если использовать обозначения

- 矶=|。〉〈。| 一 |b〉〈b|)(6.1.12)

= Gab = I。〉®)(6-1-13)

О— = Оба = |Ь〉〈а|,(6.1.14)

то гамильтониан (6.1.10) приобретает вид

赞=£ huka^ak + ^hujaz + 无£gk(°+ +。一)(孤 +。亡)"(6.1.15)

Из тождества

[(Г叮，^kl\ = ^il ^j k — ^kj ^il(6.1.16)

следует, что a+, ои ст^ удовлетворяют алгебре спина 1/2 для матриц Паули, т. е.

С「叫]=―県(6.1.17)

[(т_, az] = 2(т_.(6.1.18)

В матричном виде。+,(т_ и az записываются следующим образом:

(1 о) 5。+ = (о 丿(о Л) •(1 о) 5。+ = (о 丿(о Л) •(6.1.19)(6.1.19)

(1 о) 5。+ = (о 丿(о Л) •

(1 о) 5。+ = (о 丿(о Л) •

(6.1.19)

(6.1.19)

Оператор(т_ переводит атом из верхнего состояния в нижнее состояние, тогда как 。+ переводит атом из нижнего состояния в верхнее состояние.

В выражении (6.1.15) энергия взаимодействия состоит из четырех членов. Член а^описывает процесс, в котором атом переводится из верхнего состояния в ниж™ нее состояние и испускается фотон моды к. Член а“+ описывает противоположный процесс. Энергия сохраняется в обоих случаях. Член Ок。一 описывает процесс, в кото™ ром атом переходит из верхнего состояния в нижнее состояние и фотон уничтожается, что приводит к потере энергии, примерно равной 2%g. Аналогично。：。+ описывает процесс с увеличением энергии на 2%g.

Пренебрежение членами, которые не сохраняют энергию, соответствует приближению вращающейся волны. В результате такого приближения получается упрощенный гамильтониан, который имеет вид

赞=工力以壮强 + |%G(b + 无 £gkS+ak + (6.1.20) k k

Гамильтониан такого вида, который описывает взаимодействие одиночного атома с многомодовым полем, является отправной точкой во многих расчетах в области квантовой оптики.

62 Взаимодействие одиночного двухуровневого атома с одномодовымполем

Из (6.1.20) следует, что взаимодействие одномодового квантованного поля часто™ ты 〃 с одиночным двухуровневым атомом описывается гамильтонианом

赞=j^ +必(621)

где

Jfo = hua^a + ^hcdaz,(622)

= hg{a^a +(623)

Здесь индекс константы взаимодействия g опущен. Гамильтониан, заданный выражениями (6.2.1)-(6.2.3), описывает взаимодействие атома с полем в дипольном приближении и в приближении вращающейся волны. Как будет показано ниже, этот важный для квантовой оптики гамильтониан дает нам точно решаемый пример атомно-полевого взаимодействия.

Удобно работать в представлении взаимодействия. Гамильтониан в этом представлении имеет вид

% = ei^Qt/h^(624)

Используя формулу

2

еаАВ е^аА = В + а[Л, В] + ^[Л,[Л,刼]+(625)

нетрудно убедиться, что

e^a+ata ^а+а力=a(6.2.6)

6 必公 方/2°+ 6-必公"2 =6必匚(627)

Комбинируя выражения (6.2.1)-(6.2.3), (6.2.4), (6.2.6) и (6.2.7), получаем

Г = hg(a+aeiAt + а+(т^ 巳一必)，(6.2.8)

где △ = g — к

В этом разделе мы представим три различных, но эквивалентных метода решения задачи эволюции системы «атом 十 поле», описываемой гамильтонианом (6.2.1)(6.2.3). Первый метод основан на решении уравнений для амплитуд вероятности, второй ——на использовании операторов Гейзенберга для поля и атома, третий ——на унитарном операторе эволюции во времени.

Метод амплитуд вероятности. Сначала решим уравнение движения для т.е.

汤* = %№〉•(629)

В любой момент времени t вектор состояния |吵⑴〉является линейной комбинацией состояний |а, п} и 也 п). Здесь |а, п} — состояние системы, при котором атом находится в возбужденном состоянии |а), а поле имеет п фотонов. Аналогично описывается состояние |6, п). Используя представление взаимодействия, вводим медленно меняющиеся амплитуды вероятности са^п и с^)п. Поэтому вектор состояния имеет вид

I中⑴〉=£k耍⑴|о, n) + cb)n(t)\b, n)].(6.2.10)

Взаимодействие (6.2.8) может вызывать только переходы между состояниями |а, п) и I仇 п + 1). Поэтому рассмотрим эволюцию амплитуд вероятности са)п и C5)n+i. Урав™ нения движения для амплитуд са)п и £仇九+1 можно получить, подставляя сначала выражения (6.2.10) и (6.2.8) для |中(力)〉и % в уравнение (6.2.9), а затем проецируя результат соответственно на (а, п\ и (6, п + 1|. В результате получаем

са,п =一%底。+ 1 (6.2.11)

4,n+i = -%g"n + 1几. (6.2.12)

Эта связанная система уравнений очень похожа на ту, которая была получена в полу™ классическом описании (ср. с (5.2.12) и (5.2.13)). Эти уравнения можно решить точно при определенных начальных условиях. Общее решение для амплитуд вероятности имеет вид

—*7Tl %九+1(0) sin I 6必"2, (6213)

Q,n+i(^) = |q,«+i(0) [cos (^i) + sin (^£)]—

—Са)п(0) sin I 厂必"2,(6214)

где

^ =仆+4《5 + 1)*(6215)

Если атом первоначально находился в возбужденном состоянии |а), то са)п(0)= =сп(0), и C5)n+i(0) = 0. Здесь сп(0)——амплитуда вероятности только для поля. Тогда получаем

⑴=&⑼[cos (号)-j^ sin (^)]尸2 (6216)

Q,„+iG) = f (0产(6217)

Эти уравнения дают полное решение задачи. Из них можно получить все основные физические величины, относящиеся к квантованному полю и атому. Выражения для |са)п|2 и |с5)п|2 представляют собой вероятности того, что в момент времени t имеется п фотонов и атом находится соответственно в состоянии |。〉или \Ь). Поэтому вероятность р(п) того, что в момент времени t в поле имеется п фотонов, можно получить, взяв след по атомным состояниям, т. е.

Р(П)= |ca?n(t)p + I С“п，(力)『=Рпп (0)

х [cos2 (竽)+ (щ sin2 (竽))]+ Pn-i.n-iW^^sin2, (6-2.18)

где рпп = |сп(0)|2 ——вероятность того, что в момент времени 力=0 в поле имеется п фотонов. На рис. 6.1 представлен график зависимости р(п) для начального когерентного состояния:

Рпп(0) = 一"(6219)

Рис. 6.1. Зависимость р(п), задаваемая формулой (6.2.18), которая справедлива если в качестве начального состояния взято когерентное состояние поля. Использованы следующие значения параметров: А = 0, (п) = 2Ь и gt = 10Рис. 6.1. Зависимость р(п), задаваемая формулой (6.2.18), которая справедлива если в качестве начального состояния взято когерентное состояние поля. Использованы следующие значения параметров: А = 0, (п) = 2Ь и gt = 10

Рис. 6.1. Зависимость р(п), задаваемая формулой (6.2.18), которая справедлива если в качестве начального состояния взято когерентное состояние поля. Использованы следующие значения параметров: А = 0, (п) = 2Ь и gt = 10

Рис. 6.1. Зависимость р(п), задаваемая формулой (6.2.18), которая справедлива если в качестве начального состояния взято когерентное состояние поля. Использованы следующие значения параметров: А = 0, (п) = 2Ь и gt = 10

Другой важной величиной является инверсия Ж(f), которая связана с вероятно™ стами |%,九(力)|2 и |c5)n(t)|2 выражением

(6220)(6220)

(6220)

(6220)

Подставляя ©…⑴ и ct)n(t) из выражений (6.2.16) и (6.2.17), после некоторых пре™ образований получаем

w⑴=52 0rm(。)［守 +w⑴=52 0rm(。)［守 +4g2 (几 + 1)/、4g2 (几 + 1)/、(6221)(6221)

w⑴=52 0rm(。)［守 +

w⑴=52 0rm(。)［守 +

4g2 (几 + 1)/、

4g2 (几 + 1)/、

(6221)

(6221)

Интересно отметить, что если даже взять в качестве начального состояния вакуумное поле (рпп(0)二杀))то

屮⑴=(6222)

т. е. имеют место осцилляции Раби. Этот результат совершенно отличается от предсказаний полуклассической теории, рассмотренной в гл. 5. В полуклассической теории атом, находящийся в возбужденном состоянии, не может совершить переход в нижнее состояние в отсутствие возбуждающего поля. В полностью квантовомеханическом описании переход из верхнего состояния в нижнее состояние становится возможным в вакууме благодаря спонтанному излучению. Процесс, описываемый формулой (6.2.22), является самым простым примером спонтанного излучения, в котором спонтанно испущенный фотон вносит вклад в рассматриваемую одиночную моду. Подробный анализ спонтанного излучения атома в свободном пространстве, обусловленного наличием бесконечного числа вакуумных мод, будет рассмотрен в следующем параграфе.

На рис. 6.2 приведена величина Ж⑴ как функция от безразмерного времени 丁 = g力,при условии, что в качестве начального состояния выбрано когерентное состояние. Поведение Ж⑴ совершенно отличается от соответствующей зависимости (рис. 5.2) в полуклассической теории. В рассматриваемом случае огибающая сину-

Рис. 6.2. Эволюция инверсии населенности W(t) во времени в случае, когда начальным состоянием является когерентное состояние. Использованы следующие значения параметров:

(п) = 20 и А = О

соидальных осцилляций Раби «коллапсирует» до нуля. Тем не менее, с увеличением времени мы сталкиваемся с «возрождением» исчезнувшей инверсии. Такое поведение коллапса и возрождения инверсии повторяется со временем, причем амплитуда осцилляций Раби уменьшается, а продолжительность возрождения увеличивается и в конце концов наступает перекрытие более поздних возрождений с предыдущими.

Физику явлений коллапса и возрождения можно понять из выражения (6.2.21). Каждый член суммы отвечает за осцилляции Раби для определенной величины п. Функция распределения фотонов рпп(0) определяет относительный вес каждой величины п. Считаем, что в начальный момент времени,力=0, атом находится в определенном состоянии и поэтому все члены суммы скоррелированы. Осцилляции Раби, связанные с различными типами возбуждений, имеют разные частоты, и поэтому с течением времени они становятся некоррелированными, что и приводит к коллапсу инверсии. В дальнейшем корреляция восстанавливается и происходит возрождение. Продолжая этот процесс, получаем бесконечную последовательность возрождений. Важным моментом здесь является то, что возрождения происходят только благодаря дискретной структуре распределения фотонов. Таким образом, возрождение является чисто квантовомеханическим явлением. Непрерывное распределение фотонов (без нулей) дало бы тоже коллапс, как и в случае классического случайного поля, но без возрождений.

Простые выражения для времен 力办 tc и tr, связанных с синусоидальными осцилляциями Раби, коллапсом этих осцилляций и их возрождением, можно найти из (6.2.21) в пределе (n)》1. Период 力凡 осцилляций Раби задан обратной величиной

частоты Раби Qn при п = (п), т. е.

出小—(а2 +Vh)1/2'出小—(а2 +Vh)1/2'11(6223)(6223)1

出小—(а2 +Vh)1/2'

出小—(а2 +Vh)1/2'

1

1

(6223)

(6223)

Как упоминалось ранее, эти осцилляции Раби продолжаются до момента времени коллапса 力когда колебания, связанные с различными значениями п, становятся некоррелированными. Теперь учтем, что для распределения Пуассона (6.2.19) пер™ воначально когерентного поля среднеквадратичный разброс числа фотонов Ап равен ，〈几〉.Поэтому оценку tc можно получить из условия

(6224)(6224)

(6224)

(6224)

111/2” (6225)1/2” (6225)2^ U +2^ U +В случае точного резонанса, А = 0, время коллапса tc равно l/2g и не зависит от среднего числа фотонов (п). При отличной от нуля расстройке, tc увеличивается с ростом (п). Промежуток времени tr между возрождениями можно найти из условия一 H^^tr = 2тгт (m = 1, 2, . . .),(6226)т. е. возрождения имеют место, когда фазы колебаний соседних членов в (6.2.21) отличаются на число, кратное 27r. В пределе (n)》1 вновь получаем力— 27rm 〜27rm，(тг)В случае точного резонанса, А = 0, время коллапса tc равно l/2g и не зависит от среднего числа фотонов (п). При отличной от нуля расстройке, tc увеличивается с ростом (п). Промежуток времени tr между возрождениями можно найти из условия一 H^^tr = 2тгт (m = 1, 2, . . .),(6226)т. е. возрождения имеют место, когда фазы колебаний соседних членов в (6.2.21) отличаются на число, кратное 27r. В пределе (n)》1 вновь получаем力— 27rm 〜27rm，(тг)1 +1 +△ 2△ 24g2 ⑺)4g2 ⑺)(6227)(6227)где т ——целое число. Отсюда видно, что возрождения происходят через регулярные интервалы времени.где т ——целое число. Отсюда видно, что возрождения происходят через регулярные интервалы времени.6.2.2. Метод оператора Гейзенберга. До сих пор мы рассматривали задачу взаимодействия одномодового квантованного поля с одиночным двухуровневым атомом в картине взаимодействия. Ниже дано решение этой же задачи в представлении Гейзенберга. В частности, мы решаем операторные уравнения для атомного и полевого операторов о(力)и a±(t). Эти решения могут быть особенно полезными для вычисления многовременных корреляционных функций, необходимых при изучении спектральных свойств поля. Уравнения Гейзенберга для операторов а, и az получаются из гамильтониана (6.2.1):6.2.2. Метод оператора Гейзенберга. До сих пор мы рассматривали задачу взаимодействия одномодового квантованного поля с одиночным двухуровневым атомом в картине взаимодействия. Ниже дано решение этой же задачи в представлении Гейзенберга. В частности, мы решаем операторные уравнения для атомного и полевого операторов о(力)и a±(t). Эти решения могут быть особенно полезными для вычисления многовременных корреляционных функций, необходимых при изучении спектральных свойств поля. Уравнения Гейзенберга для операторов а, и az получаются из гамильтониана (6.2.1):а =《［а〉赞］=—£〃а — iga^,6 _ =—沁 о— + igaza^bz = 2ig(a+a^ — a^a).а =《［а〉赞］=—£〃а — iga^,6 _ =—沁 о— + igaza^bz = 2ig(a+a^ — a^a).(6228)(6229)(6230)(6228)(6229)(6230)

1

1

1/2

” (6225)

1/2

” (6225)

2^ U +

2^ U +

В случае точного резонанса, А = 0, время коллапса tc равно l/2g и не зависит от среднего числа фотонов (п). При отличной от нуля расстройке, tc увеличивается с ростом (п). Промежуток времени tr между возрождениями можно найти из условия

一 H^^tr = 2тгт (m = 1, 2, . . .),(6226)

т. е. возрождения имеют место, когда фазы колебаний соседних членов в (6.2.21) отличаются на число, кратное 27r. В пределе (n)》1 вновь получаем

力— 27rm 〜27rm，(тг)

В случае точного резонанса, А = 0, время коллапса tc равно l/2g и не зависит от среднего числа фотонов (п). При отличной от нуля расстройке, tc увеличивается с ростом (п). Промежуток времени tr между возрождениями можно найти из условия

一 H^^tr = 2тгт (m = 1, 2, . . .),(6226)

т. е. возрождения имеют место, когда фазы колебаний соседних членов в (6.2.21) отличаются на число, кратное 27r. В пределе (n)》1 вновь получаем

力— 27rm 〜27rm，(тг)

1 +

1 +

△ 2

△ 2

4g2 ⑺)

4g2 ⑺)

(6227)

(6227)

где т ——целое число. Отсюда видно, что возрождения происходят через регулярные интервалы времени.

где т ——целое число. Отсюда видно, что возрождения происходят через регулярные интервалы времени.

6.2.2. Метод оператора Гейзенберга. До сих пор мы рассматривали задачу взаимодействия одномодового квантованного поля с одиночным двухуровневым атомом в картине взаимодействия. Ниже дано решение этой же задачи в представлении Гейзенберга. В частности, мы решаем операторные уравнения для атомного и полевого операторов о(力)и a±(t). Эти решения могут быть особенно полезными для вычисления многовременных корреляционных функций, необходимых при изучении спектральных свойств поля. Уравнения Гейзенберга для операторов а, и az получаются из гамильтониана (6.2.1):

6.2.2. Метод оператора Гейзенберга. До сих пор мы рассматривали задачу взаимодействия одномодового квантованного поля с одиночным двухуровневым атомом в картине взаимодействия. Ниже дано решение этой же задачи в представлении Гейзенберга. В частности, мы решаем операторные уравнения для атомного и полевого операторов о(力)и a±(t). Эти решения могут быть особенно полезными для вычисления многовременных корреляционных функций, необходимых при изучении спектральных свойств поля. Уравнения Гейзенберга для операторов а, и az получаются из гамильтониана (6.2.1):

а =《［а〉赞］=—£〃а — iga^,6 _ =—沁 о— + igaza^bz = 2ig(a+a^ — a^a).

а =《［а〉赞］=—£〃а — iga^,6 _ =—沁 о— + igaza^bz = 2ig(a+a^ — a^a).

(6228)

(6229)

(6230)

(6228)

(6229)

(6230)

Поскольку (n)》，〈几〉в пределе (n)》1, выражение (6.2.24) дает

1

Для того чтобы облегчить решение этих связанных операторных уравнений, опреде™ лим следующие интегралы движения:

N =。+。+(т+(т_,(6.2.31)

С = ■|△(Tz + g(o"+a +(6232)

Т.е. N и С коммутируют с гамильтонианом: [N, Ж\ = [G, Ж\ = 0. Здесь N — оператор, который описывает полное возбуждение в системе «атом 十 поле», а С ——интеграл обмена энергией.

Сначала выведем уравнение движения для атомного понижающего оператора о_ —• Из уравнения (6.2.29) следует, что

К—=―仙看—^虱看工^+仃工衿=—沁力―一2g2(а+(т—a—(r+a2)+〃g(Tza—《ст—, (6233) где во второй строчке подставлены значения az и а из уравнений (6.2.30) и (6.2.28), соответственно. Легко убедиться, что

g2(a+cr_a — d^a^) = —?：(另 + C)方一 + (〃C — /△? + /必厶)。一，(6234)

gaza =+ a)a^.(6.2.35)

Подставляя эти выражения в (6.2.33), получаем необходимое уравнение для а_:

3— + 2分(〃 一С)а^ + (2〃С — 〃2 + 般須―=о*(6236)

Аналогичным образом получаем

@ + 2“〃 一 С)& + (2〃С — " + g2)。= 8(6237)

Эти уравнения можно непосредственно решить и получить выражения для(т_ и а⑴：

(t)二匕+⑴]+ 二 f-z"力 f”c[(cos 以 + EC S[") о—(0) — 5g su；力 а(0)] , (6238)

。⑴=е"^ eiCf [(cosMt —。^^) a(0)—暗^^。一(0)卜 (6239) где х ——интеграл движения,

—+g2(^ + l) ,(6240)

который коммутирует с С, т. е. [С, м] = 0. При выводе (6.2.38) и (6.2.39) мы исполь™ зовали соотношения

e2 =丿内(6241)

gaza = 2С(т— + △<т_ — ga.(6.2.42)

Выражения (6.2.38) и (6.2.39) дают полное решение задачи взаимодействия двух™ уровневого атома с одномодовым полем в представлении Гейзенберга. Все интересующие нас величины можно найти из этих решений. Например, выражение для инверсии Ж(f) (6.2.21) можно получить из (6.2.38), используя соотношение

W⑴=(a, a\az(t)\a^ а) = 2(а, a\a^(t)a^ (t)|a, а) — 1.(6243)

Здесь мы предположили, что первоначально атом находился в возбужденном состоя™ нии |а), а поле ——в когерентном состоянии |а).

Как уже упоминалось, особым преимуществом работы в картине Гейзенберга является простота вычисления многовременных корреляционных функций. В качестве примера воспользуемся выражением (6.2.38), чтобы построить диполь™дипольную корреляционную функцию (задача 6.5):

〈© a|(r+⑴(T—⑴|a, a〉=巳—”“丁―® x

S l< n=0 х{(Пп + А)2S l< n=0 х{(Пп + А)2|2n1a 1|2n1a 1F麻 rsF麻 rs2n…2n…则（丁）卜则（丁）卜厂4门/2 +(^ — Д)2 еШпт/2 + 8g2m + i) cos[On(T + 2力)/2]},(6244)厂4门/2 +(^ — Д)2 еШпт/2 + 8g2m + i) cos[On(T + 2力)/2]},(6244)

S l< n=0 х{(Пп + А)2

S l< n=0 х{(Пп + А)2

|2n1

a 1

|2n1

a 1

F麻 rs

F麻 rs

2n…

2n…

则（丁）卜

则（丁）卜

厂4门/2 +(^ — Д)2 еШпт/2 + 8g2m + i) cos[On(T + 2力)/2]},

(6244)

厂4门/2 +(^ — Д)2 еШпт/2 + 8g2m + i) cos[On(T + 2力)/2]},

(6244)

где Qn задается выражением (6.2.15).

Метод унитарного оператора эволюции. Другим эквивалентным подходом для решения задачи взаимодействия атома с полем является поиск решения с помощью унитарного оператора эволюции во времени. Во многих задачах, в которых эволюция системы унитарна, т. е. когда нет диссипации, этот подход может оказаться самым простым. Для нашей задачи взаимодействия двухуровневого атома с одномодовым квантованным полем унитарный оператор эволюции во времени имеет вид

U ⑴=ехр(—?：%〃％),(6245)

где гамильтониан в картине взаимодействия % при точном резонансе имеет вид (см. (6.2.8) при △ = 0)

У = hg(a+a + a+(T_).(6.2.46)

Здесь。+ = \a){b\ и(т_ = |6)(a|. Используя

(a+a + а+а^)21 = (аа+)1\а){а\ + (а^ а)1 \Ь) {Ь\(6247) (a+a + a+(r_)2'+i = (аа^)1 a\a){b\ + a+(aa+)f|6)(a|,(6.2.48)

получаем

U⑴=cos (gtVa+ a + 1)|«XaI + cos (g力,a+a )|b〉〈b| —

._出(研(6249)

Вектор состояния в момент времени t выражается через вектор состояния в момент времени 力=0 следующим образом:

歴⑴〉= и«)| 以О»(6250)

В качестве демонстрации эквивалентности этого метода всем предыдущим подходам вычислим амплитуды вероятности ca^n{t) и с“九+】(力)для атома, первоначально находившегося в возбужденном состоянии |а), и поля, представляющего собой линейную комбинацию состояний с определенным числом частиц, т. е.

|^(0)) = ^cn(0)|a,nX(6J.51)

п=0

Подставляя U(力)и |以0)〉из (6.2.49) и (6.2.51), соответственно, в (6.2.50), получаем

IV⑴〉=52。九(°)[cos (g力，九 + 1) |a, n) — i sin (g力，冷 + 1)也 n + 1)] .(6252)

n=0

Таким образом,

(6253)(6254)(6253)(6254)Са,几⑴=〈。》|以力)〉=Cn(0) COS (gtVn + 1 ),/,71+1 ⑴=-icn(0) sin (gtVn + 1),

(6253)

(6254)

(6253)

(6254)

в полном согласии с выражениями (6.2.16) и (6.2.17) при △ = 0.

6.3. Теория Вайскопфа-Вигнера спонтанного излучениядвухуровневого атома

В предыдущем разделе было показано, что атом, находящийся в возбужденном состоянии, может со временем совершать переходы в основное состояние и обратно даже в отсутствие приложенного поля. Тем не менее, эксперимент показывает, что в возбужденном состоянии атом распадается с характерным временем жизни в нижнее состояние, и он не совершает переходов вверх и вниз. В уравнениях для матрицы плотности атома такой распад атома был учтен феноменологически (см. задачу 5.2). В нашей модели спонтанного излучения, которая обсуждалась в предыдущем разделе, распад не учитывался, поскольку мы рассматривали только одну моду поля. Чтобы должным образом учесть распад атома, нужно включить в рассмотрение континуум мод, соответствующий квантованию бесконечно протяженного резонатора.

Для этой системы в представлении взаимодействия гамильтониан в приближении вращающейся волны имеет вид

% =%e“(而0+孤人), + эх.],(6.3.1)

к

где gr(r。) = gr ехр(—гк • Го), т. е. пространственная зависимость учтена в явном виде. Здесь Го — радиус-вектор положения атома. Гамильтониан в представлении взаимодействия получаем тем же методом, который был описан в начале разд. 6.2. Предположим, что в момент времени 力=0 атом находился в возбужденном состоянии |а), а моды поля ——в вакуумном состоянии |0). Поэтому вектор состояния имеет вид

IV⑴〉=Ca(t)\a, 0〉+ £ %,kh Ik),(6.3.2)

k

где

Ca(0) = 1,Q)k(0) = 0.(6.3.3)

Мы хотим найти состояние атома и состояние поля излучения через некоторый промежуток времени, когда атом начнет излучать фотоны. Мы найдем его в приближении Вайскопфа-Вигнера.

Из уравнения Шредингера,

^⑴〉=力|以力》(634)

получим уравнение движения для амплитуд вероятности са и %,к：

匕⑴=Tе戏(f0)内3一人)%Ь,к⑴，(635)

к

4,kW = — ?：gk(ro) f — —以)％a⑴*(636)

Для того чтобы получить уравнения, содержащие только са, сначала проинтегрируем уравнение (6.3.6),

⑴=-igk(ro) d，J®」以)力&(。(637)

о

Подставляя это выражение для с^^ в уравнение (6.3.5), получаем

匕⑴二—£ kk(r0)|2 dtf e^^^^c^Y(6.3.8)

k$

Это выражение все еще остается точным уравнением. Мы заменили два линейных дифференциальных уравнения одним линейным интегродифференциальным урав™ нением. В качестве следующего шага сделаем некоторые приближения.

Предполагая, что моды поля близко расположены по частоте, можно заменить сумму по к интегралом

2тг 7ГОО

e一2"^[d0d 少 sin 少 dkk2,(6.3.9)

к000

где V ——объем квантования. Из (6.1.8) следует, что

кк(г0)|2 =朮父%ь соУ 也(6-3-10)

где 少一угол между дипольным моментом атома 夕@6 и вектором поляризации электрического поля %. Тогда уравнение (6.3.8) принимает вид

翁⑴=у；*；/ d以凉以)"*)%(，)，(6.3.11)

о о

где выполнено интегрирование гю 少 и 0 и использовано соотношение k =以/с. В спектре излучения интенсивность света, которая связана с полем, испущенным атомом, должна быть центрирована на частоте атомного перехода ш. Величина 〃^ изменяется незначительно около частоты 以=G, для которой интеграл по времени в уравнении (6.3.11) дает основной вклад. Поэтому можно заменить 吸 величиной w3, а нижний предел в интегрировании по 以 устремить к —ос. Интеграл

d以 /3)(J/) = 27r 3(力—力(6.3.12)

дает следующее уравнение для ca(t) в приближении Вайскопфа-Вигнера:

г

第⑴⑴，(6*3.13)

где константа распада имеет вид

4?гбо 3屁3 *

Решение уравнения (6.3.13) дает

(6.3.15)(6.3.15)Раа = |с(1(力)| = 2Хр( — Ft),

(6.3.15)

(6.3.15)

т. е. возбужденное состояние |а） атома в вакууме распадается экспоненциально со временем жизни 丁 = 1/ Г.

В процессе спонтанного распада атом излучает квант энергии, равный Еа — Е^ = =Ни. Теперь найдем состояние волны, испущенной в течение процесса спонтанного излучения.

Сперва вычислим коэффициенты Сь,к（力）” Подставляя решение для ca（t） в уравнение （6.3.7）, находим

空к⑴二 Tgk（『o） J 山—「右 /2 = gk（r。）］（以—®）+ н/2 ］，（6*3」6）

о

так что

砂⑴）=й「"2@o〉+ |b〉egkcTk*r。丄一葭"二一切一工一万72- h〉*（6317）

Далее, вводя состояние поля

= ?gk （二）；『/2h）（6.3.18）

на временах, больших по сравнению с радиационным распадом t》1/ Г, получаем 叫 Т |Ь〉Ю* Здесь индекс《0» в Ю напоминает нам, что это состояние соответствует атому, расположенному в точке г» Оно является линейной суперпозицией однофотонных состояний с различными волновыми векторами.

На большйх временах корреляционная функция первого порядка G^ （г, г; t,力） определяется следующим выражением:

G⑴（г）г;3? = 3 旧（-）（一力）后（+）（一力）1 次=

二〈旬加-）（r⑴石（+）（r⑴％〉二〈7。旧-）（rM）|O〉e£+）（r“7o〉” （6319）

Здесь вставлено разложение по полному набору состояний и, поскольку выживает только вакуумное состояние, а другие состояния приводят к нулю, мы сохраняем только вакуумное состояние. Мы также предположили, что поле линейно поляризовано, скажем вдоль оси х. Как обсуждалось в разд. 4.2, функция G⑴（г, г;力）力）пропорциональна вероятности зарегистрировать фотон в момент времени 力 фотодетектором, находящимся в точке г. Согласно （6.3.19）, G⑴（г, г;力,t） = |〈0£。）（г, ^）|7о）|2- Таким образом, функцию

Ф7（гД） = {О|£；（+）（гЛ）|7о）（6320）

можно интерпретировать как некий вид волновой функции фотона. Это сделано по аналогии с соответствующей волновой функцией частицы （см. разд. 1.5）.

Из определений Е（+）（г,力）и 乩〉（выражения （1.1.30） и （6.3.18））, находим

/ t—гк-го

（。e+）（2）也〉=£你以，产加，.鼻以二+=

Теперь вычислим эту функцию, сначала преобразуя сумму в интеграл с помощью выражения （6.3.9）. Однако, мы выбрасываем множитель 2 из этого выражения, так

как предполагается, что поле поляризовано вдоль оси х. Интегрирование хю 0 и " можно выполнить, выбирая систему координат, в которой вектор г — г。направлен вдоль оси 2, дипольный момент атома составляет угол 〃 с осью 2 в плоскости xz^ и волновой вектор к имеет составляющие

к = k(sin 犷 cos фх + sin 犷 sin фу + cos 犷2).(6.3.22)

Окончательное выражение для〈0旧(+)(г,力)|)о〉имеет вид 】)

〈0归(+)(f/)乩〉=(6323)

О

где Дг = |г —г。]* В вышеприведенном интеграле член exp[—i(k^r-^i/kt)] отвечает за приходящую волну и поэтому мы им пренебрегаем. Так же, как в теории спонтанного излучения Вайскопфа-Вигнера, мы предположим, что величина 吸 слабо меняется

Рис. 6.3. Контур интегрирования, используемый при вычислении (6.3.23). Путь интегрирования замыкается в верхней полуплоскости с помощью полуокружности G, если t < Дг/с, или в нижней полуплоскости с помощью G, если t > Аг/сРис. 6.3. Контур интегрирования, используемый при вычислении (6.3.23). Путь интегрирования замыкается в верхней полуплоскости с помощью полуокружности G, если t < Дг/с, или в нижней полуплоскости с помощью G, если t > Аг/с

Рис. 6.3. Контур интегрирования, используемый при вычислении (6.3.23). Путь интегрирования замыкается в верхней полуплоскости с помощью полуокружности G, если t < Дг/с, или в нижней полуплоскости с помощью G, если t > Аг/с

Рис. 6.3. Контур интегрирования, используемый при вычислении (6.3.23). Путь интегрирования замыкается в верхней полуплоскости с помощью полуокружности G, если t < Дг/с, или в нижней полуплоскости с помощью G, если t > Аг/с

около 〃店=g и поэтому ее можно заменить величиной w, а нижний предел интегрирования распространить до —оо. Используя эти приближения, приходим к интегралу

ехр(—分〃к 力 + iuk^r/с)ехр(—分〃к 力 + iuk^r/с)(以—w) + iT/2(以—w) + iT/2

ехр(—分〃к 力 + iuk^r/с)

ехр(—分〃к 力 + iuk^r/с)

(以—w) + iT/2

(以—w) + iT/2

Этот интеграл вычисляется с помощью метода контурного интегрирования (рис. 6.3). Если t < △厂/c)контур лежит в верхней полуплоскости, а если t > ^г/с ——в нижней

полуплоскости. Выполняя интегрирование, находим

〈0|加+)(一 力)|)о〉= ^ О « —午)к/2),(6.3.24)

где О ——единичная ступенчатая функция и

2*

尚=」『叫(6325)

47r£оС Ar

Тогда получаем

G ⑴(r,r;3 力)=I 品『圧二^)「「(J-ol/c)).(6326)

|r - Го| 、 С /

Здесь ступенчатая функция появляется из-за того, что сигнал не может распространяться быстрее скорости света.

ISISI。I。Рис. 6.4. Схема распада возбужденного состояния трехуровневого атома благодаря спонтанному излучению в каскадной конфигурацииРис. 6.4. Схема распада возбужденного состояния трехуровневого атома благодаря спонтанному излучению в каскадной конфигурацииДвухфотонное каскадное излучение

IS

IS

I。

I。

Рис. 6.4. Схема распада возбужденного состояния трехуровневого атома благодаря спонтанному излучению в каскадной конфигурации

Рис. 6.4. Схема распада возбужденного состояния трехуровневого атома благодаря спонтанному излучению в каскадной конфигурации

В этом разделе мы рассмотрим спонтанное излучение в трехуровневом атоме, имеющем каскадную конфигурацию переходов (рис. 6.4). Атом в верхнем состоянии |а) испускает k-фотон частоты 以 и переходит в состояние |6), которое в свою очередь распадается в состояние |с) с испусканием q-фотона частоты 〃д. Гамильтониан системы в картине взаимодействия имеет вид

Г =冇 £M,k(『0)T〃k /(%…炉 + 9С］ + к

+ 方E［丸9(费2?旬 £23bc~qR +(641) q

где a^)= 1a〉(玩= 1ь〉(с1 и ga,k(ro) и g仇津任0)—

константы взаимодействия для переходов |а) т \Ь) и \b) Т |с), соответственно.

Теперь состояние системы «атом 十 поле» описывается выражением

@⑴〉=с。⑴］例0〉+ e 生上也lk〉+ k

+〉［ Cc,k,q|c, 1匕 lq〉* (642)

cc k q удовлетворяют уравне-cc k q удовлетворяют уравне-Как и в разд. 6.3, амплитуды вероятности са, с^к ниям движения

cc k q удовлетворяют уравне-

cc k q удовлетворяют уравне-

ии匕二 T£g；k(『o)〃,"gbf 匕(643)

и

и

k

<\k = Tga,kao)c/T%bim —w£g為(r(3)kkg/®bciqR(644)

q

4,k,q = -〃g6g(ro)%k G —认зьс-5 *(645)

Поступая также, как в разд. 6.3, приходим к тому, что в приближении Вайскопфа- Вигнера

т£/,к(*”к/(^~^ = —^每(646)

k

где Га ——скорость перехода атома из состояния |а) в состояние |Ь〉. Более того, видно, что второй член в уравнении (6.4.4) отвечает за переход из 16) в |с), и можно записать

一工境1(Г。)优^匕(647)

q

где「ь — скорость перехода из |Ь〉в |с). Подставляя выражения (6.4.6) и (647) в (6.4.3)-(6.4.5) получаем в окончательном виде удобные уравнения движения для системы «атом + поле»:

翁=—(648)

4,к = -iga,k(ro) с —以)JF/2 — ?窃,匕(649)

Cc,k,q = -^6,q(rO)Cb,k乙匕(6410)

где в первом члене уравнения (6.4.9) величина с@(力)заменена функцией ехр( —Га^/2).

В этой задаче основной интерес представляет состояние поля на больших временах 力》Г；1,^1. Поэтому МЫ ХОТИМ узнать Cc)k,q(oo) при условии, когда Са(оо) и сь；к(оо) стремятся к нулю.

После выполнения простого интегрирования уравнения (6.4.9) получаем

⑴=Tga,k(『0)d，J(%b-以巾-М/2 £ —几(J#)/2 =

0

i(vk -Ldab)t-ra力/2 _-Гь^/2

= Tg") “以…(6411)

Это выражение для 么止(力)можно подставить в уравнение (6.4.10), а получившееся уравнение проинтегрировать. В результате на больших временах имеем следующий предел для cCjkjq(t):

%kg(g) = ga,kgbv cT(k+d).r。“以—g&) I (% _ 几)/2 乂

J111 =

IL 分(以 + % — ®ac) —「a/2 i^Uq — &bc) — Г^/2 J

(6412)(6412)= _ ga…。

(6412)

(6412)

[分(以 + ~ — ®ac) — Га/2][г(1/д — ®bc)—『b/2]

Поскольку в пределе больших времен обе величины ca(t) и c^^(t) равны нулю, мы подставляем cc)k,q(oo) из (6.4.12) в (6.4.2) и находим, что состояние поля излучения имеет вид

巾 °>= e 网以 + 〜-aw)'-г：/2]["〜-®bc)-几/2]u匕及〉，(6413)

kg

где |7, ф} представляет собой двухфотонное состояние.

Более детально мы воспользуемся этим результатом в гл. 21, когда мы будем использовать двухфотонную корреляционную функцию для того, чтобы прийти к более глубокому пониманию основ квантовой механики.

Вероятности возбуждения для одиночных и парныхфотоэлектронных событий

В разд. 4.2 были приведены эвристические аргументы, показывающие, что вероятность фотодетектирования определяется нормально упорядоченной корреляционной функцией поля. Здесь мы выведем вероятность возбуждения для одиночного и парного фотоэлектронных:

событий, используя формализм взаимодействия системы・

«атом + поле», развитый в этой главе〔).

Рассмотрим взаимодействие линейно поляризованно- 包〉 го поля, которое описывается полевыми операторами

石(+)(一 力)и Е^ (г, £)〉с атомной системой, характеризуемой основным состоянием \Ь) и набором возбужденных состояний |а力(рис. 6.5). Предположим, что атом первоначально находится в состоянии |6), а поле ——в состоянии |г).

В приближении вращающейся волны гамильтониан в представлении взаимодействия имеет вид

切Рис. 6.5. Схема уровней, используемая для описания процесса фотодетектирования. Атом совершает переход из состояния \Ь) во множество состояний \aj)切Рис. 6.5. Схема уровней, используемая для описания процесса фотодетектирования. Атом совершает переход из состояния \Ь) во множество состояний \aj)% 二一£«%用с% 力加+)(г/)ехр(沁％力力)+э.с.(6.5.1)

切

Рис. 6.5. Схема уровней, используемая для описания процесса фотодетектирования. Атом совершает переход из состояния \Ь) во множество состояний \aj)

切

Рис. 6.5. Схема уровней, используемая для описания процесса фотодетектирования. Атом совершает переход из состояния \Ь) во множество состояний \aj)

Состояние системы «атом + поле» в момент времени t задается выражением

I 以力)〉=U『⑴ I 以0)〉о 1一^ dt^^) |b〉验陶"(652)

_ о_

Вычисляя среднее значение оператора проектирования |а力〈а八 находим вероятность возбуждения атома в состояние |а力 т. е.

乌⑴=@(力)1出〉〈出@⑴〉=

dti此exp［必出(方一力2)］("石㈠(-t2)E^(r,⑴内,dti此exp［必出(方一力2)］("石㈠(-t2)E^(r,⑴内,(653)(653)

dti此exp［必出(方一力2)］("石㈠(-t2)E^(r,⑴内,

dti此exp［必出(方一力2)］("石㈠(-t2)E^(r,⑴内,

(653)

(653)

где состояние 叫 подставлено из (6.5.2). Если мы хотим найти только вероятность возбуждения, мы должны просуммировать по всем возбужденным состояниям |а“. В случае, когда 夕膜 слабо зависит от j, можно положить 夕^ % t 夕4 Следовательно, для широкополосного детектора суммирование по / для функции ехр［必出(力i 一土2)］ приводит к эффективной 6(力］—^2)~функции, и мы получаем

月⑴=£ 门⑴="dti^E^Xr, t^E^Xr,片)|》 (654) о

1) Замечательное описание этой проблемы можно найти в лекциях Глаубера (Les Houches lectures of Glauber, 1965).

где " — константа. В случае смешанных состояний выражение (6.5.4) принимает вид

月⑴二 m 山1Trm石(-)(r)h)E(+)(r/i)L(655)

о

Теперь рассмотрим атомы, расположенные в точках Гх и г2, и найдем вероятность совместного отсчета 尸о, т. е. ищем среднее значение оператора фотовозбуждения

(Ela川电)

для обоих атомов, т. е. а = 1 и 2. По аналогии с уравнением (6.5.5) запишем

e2 =諸d片d力2Tг历石(一)(口)片)由一)(f2)力2)石什)(r2)力2)石什)(口)片儿(656)

00

Таким образом 凸2 задается корреляционной функцией второго порядка операторов поля.

Задачи

Модель, которую иногда рассматривают для изучения взаимодействия атома с полем в резонаторе без потерь, описывается гамильтонианом

赞=hya^a + hujaz + hg[a^a(a+а)1^2 + (a+ a^^a^

в обычных обозначениях. Отметим, что взаимодействие зависит от интенсивности. Вычислите атомную инверсию и рассмотрите ее эволюцию на различных временных масштабах, т. е. на периоде осцилляций Раби, временах коллапса и временах возрождения для случаев, когда в начальный момент времени поле находится (а) в когерентном состоянии и (б) в тепловом состоянии.

62626363Вычислите в дипольном приближении и приближении вращающейся волны инверсию населенности двухуровневого атома, взаимодействующего с одномодовым квантованным полем излучения, для произвольного времени t, при условии, что при 力=0 поле находится в когерентном состоянии |«), а атом

62

62

63

63

Рис. 6.6. Радиационный распад двух состояний \а) и |а), разделенных небольшим энергетическим интервалом, в общее состояние \Ь)Рис. 6.6. Радиационный распад двух состояний \а) и |а), разделенных небольшим энергетическим интервалом, в общее состояние \Ь)находится В СОСТОЯНИИ 叫атом = (|а) + + ”|Ь〉)/，^) (|а) и \Ь) — возбужденное и основное состояния соответственно). Обсудите условия, при которых населенности обоих состояний остаются «плененными».

Рис. 6.6. Радиационный распад двух состояний \а) и |а), разделенных небольшим энергетическим интервалом, в общее состояние \Ь)

Рис. 6.6. Радиационный распад двух состояний \а) и |а), разделенных небольшим энергетическим интервалом, в общее состояние \Ь)

Рассмотрите атомную систему, показанную на рис. 6.6, с двумя близко расположенными верхними уровнями, соответствующими состояниям |а) и |а'〉, и нижним уровнем, соответствующим состоянию |6). Правила отбора и энергетический интервал между состояниями |а) и |從〉таковы, что они взаимодействуют

с одинаковыми вакуумными модами. Взаимодействие этой системы с многомодовым вакуумным полем описывается гамильтонианом в представлении взаимодействия

% =冇e伍『3亡切(句以 3ab+ э.с. k

Здесь &亡一оператор рождения моды с волновым вектором к и %6 = % 一 以仇 刃凉6 二 ujaf —刃6・ Выведите для этой трехуровневой системы уравнения движения для амплитуд вероятности и покажите, что эффекты квантовой интерференции возникают благодаря совместному использованию общих вакуумных мод двумя верхними уровнями. [Указание: см. работу Zhu, Narducci and Scully, Phys. Rev. Л 52, 6 (1995)*]

Покажите, что если выполняются соотношения С = △сг2/2 + g(c+a + а+с_) и N = а+а + бт+бт_, то

Докажите соотношение (6.2.44).

Список литературы

Обзорные статьи и монографии по двухуровневым системам, взаимодействующим с одномодовым квантовым полем

Stenholm, S. Phys. Rep. 6, 1 (1973).

Sargent- III, M., Scully, M. and Lamb, W. E., Jr., Laser Physics, (Addison-Wesley, Reading, MA, 1974).

Allen, L. and Eberly, J. H. Optical Resonance and Two-Level Atoms(John Wiley, New York, 1975). [Аллен Л., Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые атомы (Мир, Москва, 1978).]

Knight, Р. L. and Milonni, Р. W. Phys. Rep. 66, 21 (1980).

Stenholm, S. Foundations of Laser Spectroscopy, (Wiley, New York, 1984).

Cohen-Tannoudji, G., Dupont-Roc, J. and Grynberg, G. Photons and Atoms. Introduction to Quantum Electrodynamics^ (Wiley, New York 1989).

Haroche, S. and Kleppner, D. Physics Today 42, Jan. 24 (1989).

Cohen-Tannoudji, C., Dupont-Roc, J. and Grynberg, G. Atom-Photon Interactions^ (Wiley, New York 1992).

Shore, B. W. and Knight, P. L. J. Mod. Opt. 40, 1195 (1993).

Berman, P. ed., Cavity Quantum Electrodynamics (Acad. Press, New York 1994).

Walls, D. F. and Milburn, G. J. Quantum Optics, (Springer-Verlag, Berlin 1994).

Статьи общего характера

Jaynes, E. T. and Cummings, F. W. Proc. IEEE 51, 89 (1963).

Glauber, R. J. in Quantum Optics and Electronics^ Les Houches, ed. C. DeWitt, A. Blandin, and C. Cohen-Tannoudji (Gordon and Breach, New York 1965).

Scully, M. O. and Lamb, W. E., Jr., Phys. Aeu. 159, 208 (1967).

Tavis, M. and Cummings, F. W. Phys. Rev. 188, 692 (1969).

Meystre, P., Quattropani, A. and Baltes, H. P. Phys. Lett. 49A, 85 (1974).

von Foerster, Т.丿“ Phys. Л 8, 95 (1975).

Acker halt, J. R. and Rzazewski, K. Phys. Rev. A 12, 2549 (1975).

Narozhny, N. B., Sanchez-Mondragon, J. J. and Eberly, J. H. Phys. Rev. A 23, 236 (1981).

Knight, P. L. and Radmore, P. M. Phys. Rev. A 26, 676 (1982).

Zaheer, K. and Zubairy, M. S. Phys. Rev. A 37, 1628 (1988).

Eiselt, J. and Risken, H. Opt. Commun. 72, 351 (1989); Phys. Rev. A 43, 346 (1991).

Quang, T., Knight, P. L. and Buzek, V. Phys. Rev. A 44, 6092 (1991).

Bykov, V.P. Radiation of atoms in a resonant environment (World Scientific: Singapore, 1993).

Обобщенные модели квантованных атомно-полевых взаимодействий

Cook, R. J. and Shore, B. W. Phys. Rev. A 20, 539 (1979).

Kumar, S. and Mehta, C. L. Phys. Rev. A 21, 1573 (1980).

Buck, B. and Sukumar, С. V. Phys. Lett. A 81, 132 (1981).

Singh, S. Phys. Яеи 4 2 5, 3206 (1982).

Bogolubov, N. N., Jr., Le Kien, F. and Shumovsky, A. S. Phys. Lett. A 101, 201 (1984); ibid. 10 7, 456 (1985).

Deng, Z. Opt. Commun. 54, 222 (1985).

Seke, J. J. Opt. Soc. Am. В 2, 968 (1985).

Abdel-Hafez, A. M., Obada, A. S. F. and Ahmad, M. M. A. Phys. Rev. A 35, 1634 (1987).

Alsing, P. and Zubairy, M. S. J. Opt. Soc. Am. В 4, 177 (1987).

Iqbal, M. S., Mahmood, S., Razmi, M. S. K. and Zubairy, M. S. J. Opt. Soc. Am. В 5, 1312 (1988)"

Puri, R. R. and Bullough, R. KJ. Opt. Soc. Am. В 5, 2021 (1988).

Buzek, V. and Jex, I. J. Mod. Opt. 36, 1427 (1989).

Sharma, M. P., Cardimona, D. A. and Gavrielides, A. J. Opt. Soc. Am. В 6, 1942 (1989).

Buzek, V. Phys. Rev. 4 39, 3196 (1989); J. Mod. Opt 37, 1033 (1990).

Adam, G., Seke, J. and Hit-tmair, O. Phys. Rev. A 42, 5522 (1990).

Joshi, A. and Puri, R. R. Phys. Rev. A 42, 4336 (1990).

Toor, A. H. and Zubairy, M. S. Phys. Rev. A 45, 4951 (1992).

Юкалов В.И. Изв. РАН, сер.физ. 64, 2039 (2000).

Явления коллапса и возрождения

Eberly, J. Н., Narozhny, N. В. and Sanchez-Mondragon, J. J. Phys. Rev. Lett. 44, 1323 (1980).

Rempe, G. and Walther, H. Phys. Rev. Lett. 58, 353 (1987).

Fleischhauer, M. and Schleich, W. Phys. Rev. 4 47, 4258 (1993).

Сжатие и антигруппировка фотонов при взаимодействии атома с полем

Meyst-re, Р. and Zubairy, М. S. Phys. Lett. А 89, 390 (1982).

Голубев Ю.М., Соколов И.В. ЖЭТФ 87, 408 (1984).

Knight, Р. L Phys. Scripta 33 (Т12), 51 (1986).

Bogolubov, N. N., Jr., Le Kien, F. and Shumovsky, A. S. Europhys. Lett. 4, 281 (1987).

Aravind, P. K. and Hu, G. Physica C 150, 427 (1988).

Gerry, С. C. Phys. Rev. A 37, 2683 (1988).

Kuklinski, J. R. and Madajczyk, J. L. Phys. Rev. A 37, 3175 (1988).

Kim, М. S., De Oliveira, F. А. М. and Knight, Р. L. J. Mod. Optics 37, 659 (1990).

Mahran, M. H. Phys. Rev. A 42, 4199 (1990).

Mir, M. A. and Razmi, M. S. K. Phys. Rev. A 44, 6071 (1991).

Gorbachev, V.N., Gziliba, A.I. Quant. Opt. 5, 193 (1993).

Горохов А.В. Изв. РАН, сер.физ. 64, 2030 (2000).

Когерентная суперпозиция при взаимодействии атома с полем

Phoenix, S. J. D. and Knight, Р. L. Ann. Phys. (NY) 186, 381 (1988).

Zaheer, K. and Zubairy, M. S. Phys. Rev. A 39, 2000 (1989).

Gea-Banacloche, J. Phys. Rev. Lett. 65, 3385 (1990).

Sherman, B. and Kurizki, G. Phys. Rev. A 45, 7674 (1992).

Приближение Вайскопфа—Вигнера

Weisskopf, V. and Wigner, E. Z Phys. 63, 54 (1930).

Sargent III, M., Scully, M. and Lamb, W. E., Jr., Laser Physics, (Addison-Wesley, Reading, MA 1974) p. 236"

Louisell, W. Quantum Statistical Properties of Radiation, (Wiley, New York 1974).

Kimble, H. J., Mezzacappa, A. and Milonni, P. W. Phys. Rev. A 31, 3686 (1985).

Двухфотонные эффекты и каскадное излучение

Holt, Н. Phys. Rev. Lett. 19, 1275 (1967).

Narducci, L. M., Scully, M. O., Oppo, G.-L., Ru, P. and Tredicce, J. R. Phys. Rev. A 42, 1630 (1990).

Zhu, Y.-F., Gauthier, D. J, and Mossberg, T. W. Phys. Rev. Lett. 66, 2460 (1991).

Huang, H. and Eberly, J. H. J. Mod. Opt. 40, 915 (1993).

Глава 7

ЛАЗЕРНАЯ ГЕНЕРАЦИЯ БЕЗ ИНВЕРСИИ И ДРУГИЕ 9①①ЕКТН АТОМНОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ

И ИНТЕРФЕРЕНЦИИ

Эффекты квантовой когерентности, а также корреляций в атомной физике и теории излучения имеют много интересных и неожиданных проявлений. Например, в ансамбле атомов, находящихся в когерентной суперпозиции состояний, наблюдаются эффект Хан ле, квантовые биения, фотонное эхо, самоиндуцированная прозрачность и когерентные рамановские биения х) . В разд. 1.4 уже говорилось, что квантовые биения являются одним из наиболее веских оснований для квантования поля излучения.

Другим интересным следствием приготовления атомной системы в когерентной суперпозиции состояний является то, что при определенных условиях можно избавиться от поглощения за счет атомной когерентности. Такие атомные состояния называются состояниями пленения ). Наблюдение резонансов без поглощения повлияло на концепции лазерной генерации без инверсии (ЛГБИ) ), увеличения показателя преломления, сопровождающегося исчезновением поглощения, и электромагнитно- индуцированной прозрачности.

Основная идея лазерной генерации без инверсии состоит в исчезновении поглощения благодаря атомной когерентности и интерференции. Это явление лежит также в основе электромагнитно-индуцированной прозрачности. Обычно оно наблюдается в трехуровневой атомной системе, имеющей два когерентных пути поглощения, которые могут деструктивно интерферировать, что и ведет к исчезновению поглощения. В результате, небольшая населенность возбужденного состояния может приводить к результирующему усилению. Родственным эффектом является резонансное увеличение показателя преломления в отсутствие поглощения в ансамбле фазово-когерентных атомов (фазеониум). В газообразном фазеониуме, у которого

В Рекомендуем ознакомиться с оригинальными исследованиями по самоиндуцированной прозрачности (McCall and Hahn, 1969) и когерентным переходным явлениям, таким как когерентные рамановские биения (Brewer and Hahn, 1973), близкими по духу к данной главе.

Эффект Ханле

возбужденный уровень не заселен, исчезновение поглощения всегда соответствует исчезновению преломления. Однако, если небольшая часть атомов находится в возбужденном состоянии, то поглощение обращается в нуль с небольшой отстройкой от резонанса, там где действительная часть восприимчивости имеет существенное значение. Это и приводит к возможности высокого значения показателя преломления в непоглощающей среде.

В этой главе мы рассмотрим эти новые явления, в которых явно видно влияние атомной когерентности.

Эффект Ханде

NNЭксперимент Ханле является одной из наиболее ясных и старейших демонстраций той ситуации, в которой атомная когерентность играет важную роль. Пусть ансамбль атомов, помещенных в слабое магнитное поле, освещается импульсом света, поляризованным вдоль оси х. Регистрируется поляризация света, переизлучаемого

N

N

ш = +1

О

-1

нн中中ошошРис. 7.1. Иллюстрация эксперимента Ханле и схема атомных уровнейРис. 7.1. Иллюстрация эксперимента Ханле и схема атомных уровней

н

н

中

中

ош

ош

Рис. 7.1. Иллюстрация эксперимента Ханле и схема атомных уровней

Рис. 7.1. Иллюстрация эксперимента Ханле и схема атомных уровней

в направлении оси z. Оказывается, что в слабом магнитном поле переизлученный свет может быть поляризован вдоль оси д, как показано на рис. 7.1.

Чтобы понять, каким образом атомы, возбуждаемые светом, поляризованным вдоль оси ж, переизлучают свет, поляризованный вдоль оси д, необходимо вычислить дипольный момент, индуцированный падающим излучением. Пусть атом в начальный момент времени находился в основном состоянии,

I 以 о）〉= еалл）

Далее электрическое поле

Е（г,力）=金舐 cos（kg — 〃力）（7.1.2）

вызывает переходы на уровни т = ±1, и волновая функция атома принимает вид

⑴〉=с+ вхр（沁+力）|+〉+ С— вхр（沁，）|—〉+ со|О）.（7.1.3）

Частоты си± равны

си± = 〃 ± △,（7.1.4）

где △——величина расщепления уровней в магнитном поле. Тогда дипольный момент атома равен

〈Р ⑴〉=е{ф(1)\хх + уу + zz\^(t)}=

二 0+ [G cos(〃 + △)力 + psin(〃 + △)力]+ 0— [x cos(p — △)力一 ^sin(p —(7.1.5)

где 0士 ——поляризация, соответствующая величине。士，о =。±唸 то есть

0土 = 6〈士岡 О〉(0±，о + э.с.).(7.1.6)

Далее будем рассматривать случай, когда р^ = р_ =夕.Тогда выражение (7.1.5) принимает вид

〈Р⑴〉=р cos ut(x cos △力 + рsin △力).(7.1.7)

Интенсивность и поляризация излучения такого атомного диполя и являются интересующими нас функциями времени. Согласно (7.1.7), если поместить детектор в точке / = /о на оси ж, то никакого переизлучения не будет регистрироваться в случае, когда приложенное магнитное поле Н, а значит и А, равны нулю. Для конечных значений А, однако, будет наблюдаться модулированное поле излучения вдоль оси ж, зависимость которого от времени будет иметь вид

Касс =品 cos vt sin △力.(7.1.8)

Причиной такой модуляции является индуцированная когерентность между уровнями |+〉и |—). Этим уровням соответствуют неравные нулю элементы 0士" В общем случае, говорят, что атомная когерентность существует, если матрица плотности имеет отличные от нуля недиагональные элементы.

Когерентное пленение — темные состояния

Интересным явлением, в котором по-новому проявляется когерентная суперпозиция атомных состояний, является когерентное пленение. Если атом находится в когерентной суперпозиции состояний, то можно при определенных условиях аннулировать поглощение или излучение. Такие атомы являются практически прозрачными для падающего света даже при наличии резонансных переходов. В этом разделе обсуждается эффект когерентного пленения в трехуровневой атомной системе.

множество интересных приложений.множество интересных приложений.Когерентные суперпозиции атомных состояний трехуровневых атомов имеют Таковыми являются лазерная генерация без

множество интересных приложений.

множество интересных приложений.

Рис. 7.2. Взаимодействие трехуровневого атома, имеющего А-кон фигу рацию переходов, с двумя полями с частотами % и 〃2Рис. 7.2. Взаимодействие трехуровневого атома, имеющего А-кон фигу рацию переходов, с двумя полями с частотами % и 〃2инверсии и увеличение показателя преломления в непоглощающей среде, обсуждаемые в этой главе. Другими интересными приложениями являются квантовые биения (разд. 1.4) и корреляционный лазер (гл. 14).

Рис. 7.2. Взаимодействие трехуровневого атома, имеющего А-кон фигу рацию переходов, с двумя полями с частотами % и 〃2

Рис. 7.2. Взаимодействие трехуровневого атома, имеющего А-кон фигу рацию переходов, с двумя полями с частотами % и 〃2

Рассмотрим когерентное пленение в трехуровневом атоме, взаимодействующем с двумя полями, имеющими частоты / и а, как показано на рис. 72 Предположим, что атом имеет так называемую А-конфигурацию уровней, когда два нижних уровня \Ь) и |с) связываются с одним верхним уровнем \а). Другими возможными конфигурациями уровней являются V- и каскадная конфигурации.

Гамильтониан такой системы, в приближении вращающейся волны, получается соответствующим обобщением гамильтониана двухуровневого атома, взаимодействующего с одномодовым полем (выражения (5.2.3)-(5.2.5)), на случай трехуровневого атома, взаимодействующего с двухмодовым полем:

* = М +(721)

где

% =方0а|а〉〈а| + 方&Jb〉〈b| + Лшс|с)(с|,(722)

Ж 二一^(Cwi 巴―。加巴一'"『a〉〈b| + Cr2 е^е^г^\а){с\ + э.с.).(723)

Здесь Qri exp(—沖i) и ^依 exp(—沖2) — комплексные частоты Раби, соответствующие взаимодействию мод поля, имеющих частоты / и а, с атомными переходами \а) Т \Ь) и |а〉т |с) соответственно. Здесь предполагается, что дипольно разрешены лишь переходы \а) Т |Ь〉и \а) Т |с).

Волновая функция атома может быть записана в виде

叫⑵=%,⑴「&叫G + Cb(t) 6fbi少 + /⑴「^公(724)

Уравнения движения для амплитуд вероятности с。⑴,сь(力)и 绘⑴ выводятся из уравнения Шредингера 分川力=^\ф) и имеют вид

4. = |(^Н1「汕必 + ^Н2「％。)，(725)

瓦=加(7.2.6) Сс = ^я2е^2са,(727)

где мы предположили, что поля резонансны переходам \а) Т \Ь) и \а) Т |с), то есть 0ab = 〃1 и Шас = 〃2”

Предположим теперь, что начальное атомное состояние является суперпозицией состояний \Ь) и |с):

|^(0)) = cos(少/2)|Ь〉+ sin(少/2)巴一屮小(728)

Решение уравнений (7.2.5)—(7.2.7), удовлетворяющее начальному условию (7.2.8), имеет вид

%,⑴=isin(m/2) рш「•血 cos(〃2) + Cr2(北+W sin(H/2)],(729)

cb(t) = ^{[嗚2 + 嗚i cos (Qt/2)] cos (i^/2)-

—2QhiQh2 ^(加—。2—吵)Sin2 (Qt/4) sin (少/2)}, (7210) 绘⑴=^{Q*i + 嗚2 cos (Ш/2)] t…sin (少/2)—

—2^Я1^Я2 巴―'(加—北)sir? (C〃4) cos (19/2)}, (7211) где Q = (Q^x + Q^J/2. Очевидно, что когерентное пленение имеет место в случае, когда

Qhi = Qh2, = 7г/2,例 一 02 — W = ±小(7212)

При этих условиях

Са(力)=0,(7.2.13а)

%(力)=自(72136)

一叫(7.2.13В)

то есть, населенность захвачена в нижних состояниях и поглощение отсутствует даже в присутствии поля. В данном трехуровневом атоме когерентное пленение имеет место вследствие деструктивной квантовой интерференции между двумя переходами.

В заключение отметим, что существует интересное следствие когерентного пленения населенности (КПН) в случае адиабатического включения и выключения поля в выражении (7.2.3). То есть, пусть в начальный момент времени атом находится в состоянии |Ь), Q^i = 0, и величина Qr2 конечна. Затем будем выключать Q^2 при медленном включении Q^i，Тогда атом закончит эволюцию в состоянии |с). Это становится ясным, если представить, что атом находится в зависящем от времени состоянии пленения:

D叵,(7214)

У ^JZl + ^Л2

см. задачу 7.3.

В этом разделе мы рассмотрели случай, когда атом в начальный момент времени находится в непоглощающем состоянии. Интересный аспект КПН состоит в том, что оно может иметь место даже тогда, когда атом не находится в темном состоянии в момент 力=0. Фактически, атом можно привести в это состояние путем, например, непрерывного действия электромагнитных полей и спонтанного излучения (аналогично механизму оптической накачки) с помощью адиабатического переноса населенности. Пример этого приводится в следующем разделе.

Электромагнитно-индуцированная прозрачность

В предыдущем разделе рассматривалось явление когерентного пленения населенности с помощью трехуровневой системы, в которой нижние состояния существуют

Рис. 7.3. Схема возбуждения трехуровневой системы в режиме электромагнитно-индуцированной прозрачностиРис. 7.3. Схема возбуждения трехуровневой системы в режиме электромагнитно-индуцированной прозрачностив виде когерентной суперпозиции. В этом разделе рассматривается другое родственное явление ——электромагнитно-индуцированная прозрачность (ЭМИП), впервые исследованное Харрисом с сотрудниками, при котором квантовая интерференция появляется вследствие воздействия на два верхних уровня трехуровневой атомной системы сильным когерентным полем (см. рис. 7.3). При определенных условиях среда становится фактически прозрачной (поглощение равно нулю) по отношению к пробному полю.

Рис. 7.3. Схема возбуждения трехуровневой системы в режиме электромагнитно-индуцированной прозрачности

Рис. 7.3. Схема возбуждения трехуровневой системы в режиме электромагнитно-индуцированной прозрачности

Рассмотрим замкнутую трехуровневую систему, показанную на рис. 7.3. Уровни |а) и \ Ь) связываются пробным полем, имеющем амплитуду 廿 и частоту у. Нас будет интересовать дисперсия и поглощение этого поля.

Верхний уровень |а) связывается с уровнем |с) сильным когерентным полем частоты 〃丛,комплексная частота Раби которого равна ㈡丛 вхр(—分0丛)* Скорости затухания недиагональных элементов 0@6, Рас и pcb обозначим, соответственно, через 71, 72 и 7з.

Гамильтониан взаимодействия атома с двумя полями вновь задается выражениями (7.2.1)-(7.2.3), но с подстановками:

(731)

Уравнения движения для элементов матрицы плотности 0ab и 0cb имеют вид

Ра,ь =—(沁ab + 7i)Pab — ^£^^ ^wt(paa — р^ь) + ^^ 巴一嶂小 е^ги^рсъ.(7.3.2)

РсЬ 二 s + "b-g 整『面 Pea + g&£ eKMpab,(733)

Рас =—(沁ас + 72)Рас + | ^^Pbc - 捻浊巴'°" ^ ^^(Раа — Рсс)- (7.3.3) Как было показано ранее, дисперсия и поглощение определяются величиной р^, то есть нам нужно вычислить поляризацию в низшем порядке по £* Однако, поскольку когерентное поле, связывающее уровни |а) и |с), является сильным, относительно него задача должна решаться точно, и необходимо удерживать QM во всех порядках.

Поскольку в начальный момент времени атомы находятся в состоянии |Ь),

Pbb = 1， Paa. = Р^ = Р^а = °'(735)

Подставляя эти значения матричных элементов в (7.3.2) и (7.3.3) и делая замену

РаЬ = 0аЬ「『(736)

0cb = 3cb£T("+^)\(737)

получаем следующую систему уравнений:

=-(力+必)入6 +扌* + |^м6…％6，(738)

Peb = —(73 + i^)pcb + f^M вТ%0аЬ,(738)

где △ = 0ab — 〃 ——отстройка пробного поля, так же предположим, что 〃丛=шас.

Полученную систему уравнений можно решить, например, переписав ее сначала в матричном виде:

Л = -МЛ+ 4,(7.3.10)

где

(“2)&Y)3+ 厶 JL 0丿

и затем интегрируя

R(t) =e^M{t^t，} Adtf =(7.3.12)

Это дает

'ab⑴—2瓦* + 必)(73 + 必)+ 從/4] •

Используя соотношение 夕=^оХ^ вместе с определением (5.4.18) комплексной поляризации, получаем следующее выражение для действительной и мнимой частей комплексной восприимчивости * = *' + 勿х":

XТ尸7gl + J + (△? --优/4)],(7314)

/ = ^^[^(力 + 73)— ТУА — 7173^ ^/4)],(7315)

где Na ——плотность атомов и

Z = (А2 - 717з -豌/4)2 + A2(7i + 7з)2-(7.3.16)

Из выражений (5.4.23) и (5.4.24) ясно видно, что %; и х〃 связаны с дисперсией и поглощением, соответственно. Более детальное обсуждение будет сделано в разд. 75

На рис. 7.4 приведена зависимость х‘ и х〃 от величины расстройки △, выраженной в единицах 71, для случая, когда QM = 2七 и 71》73 (73 = ]0-匕/

△/)

Рис. 7.4. Действительная (сплошная линия) и мнимая (пунктирная линия) части линейной восприимчивости (в относительных единицах), как функции нормированной расстройки

Видно, что при нулевой расстройке А = 0, обе величины %7 и х〃 равны нулю, то есть поглощение почти отсутствует там, где показатель преломления равен единице. Таким образом, среда становится прозрачной при воздействии сильного когерентного поля. Это пример светоиндуцированной прозрачности.

Отметим, что при резонансе %х = 0, и величина х〃 пропорциональна 73. Поскольку последняя величина представляет собой скорость релаксации дипольно запрещенного перехода, она может быть очень малой. Физику явления ЭМИП можно

объяснить в терминах темных состояний, обсуждавшихся в предыдущем разделе. Однако, есть существенное различие. В предыдущем разделе предполагалось, что в начальный момент времени атом находится в темном состоянии. В случае ЭМИП, однако, атом возбуждается в темное состояние совместным действием сильного поля накачки и слабого пробного поля. Существует два возможных механизма такой накачки. Первый является эквивалентом обычной оптической накачки в плененное состояние. В этом случае ЭМИП индуцируется в атоме в течение времени порядка радиационного времени жизни, поскольку в течение этого времени возбужденный атом переходит в несвязанное («плененное») состояние. Этот случай соответствует ступенчатому включению связывающего (между уровнями а и с) и пробного полей. Тогда, как видно из рис. 7.5, величина р^ь、определяющая поглощение, затухает

(6)(6)

(6)

(6)

Рис. 7.5. Временные масштабы установления ЭМИП в Л-системе, возбуждаемой сильным управляющим полем и слабым пробным полем. Сплошными линиями показана поляризация, возникающая на пробном переходе (в относительных единицах) как функция времени (в единицах атомной скорости затухания). В начальный момент времени заселено лишь основное состояние пробного перехода, а связывающий лазер действует постоянно. Внезапное включение (ступенчатая функция) пробного поля приводит к эффекту оптической накачки на временном масштабе, определяемом атомной скоростью затухания (а); медленное включение (пунктирная линия) пробного поля приводит к адиабатическому слежению атома. ЭМИП устанавливается при включении пробного поля в момент времени t = 0,2丁—L Частота Раби управляющего поля равна П = 200? (6); та же ситуация, что и в предыдущем случае, только управляющее поле слабее, Q = IOO7. Адиабатичность не столь идеальна и после включения пробного поля некоторая населенность остается в поглощающем состоянии. Оптическая накачка этой оставшейся населенности приводит к поглощению в моменты времени, превышающие t = 0,27-1 (в)

в течение нескольких радиационных времен жизни. Но если включить поле медленно (по сравнению с периодом Раби связывающего лазера ^晨 в формуле (7.2.14)), атом перейдет в зависящее от времени состояние пленения (7.2.14) за время порядка Q^2, как показано на рис. 7.26. Таким образом, при достаточно большом значении П^2) процесс не зависит от времени радиационного затухания.

Однако, как видно из рис. 7.5е, даже при Q^2 ~ IOO7 мы не попадаем еще полностью в область ЭМИП. Вместо этого мы имеем ситуацию «типа ЭМИП» для коротких времен t < 2)温,тогда как для больших времен определяющими являются значения времен радиационного затухания 9 .

1) Рисунки приведены с разрешения U. Rathe.

Лазерная генерация без инверсии

Увидев, что когерентная суперпозиция дублета основного состояния может при™

вести к исчезновениювести к исчезновениюРис. 76 Трехуровневая атомная система в поле с частотой 沙Рис. 76 Трехуровневая атомная система в поле с частотой 沙поглощения, зададимся естественным вопросом: возможна ли лазерная генерация, если в основном дублете находится больше атомов, чем в возбужденном состоянии \а). В общем случае (см. разд. 5.5) лазеру требуется инверсия населенности для того, чтобы преодолеть поглощение атомами, находящимися в основном состоянии. Но что если организовать дело так («сфазировать» атомы), чтобы поглощение исчезло? Будет ли тогда лазерная генерация без инверсии? Ответ: «Да». В этом разделе будут рассмотрены ситуации, когда лазерная генерация без инверсии возникает в когерентно приготовленной трехуровневой атомной системе (рис. 7.6). С этой целью мы сначала очень просто обсудим физику лазерной генерации без инверсии (ЛГБИ), а затем приступим к более серьезному рассмотрению проблемы.

вести к исчезновению

вести к исчезновению

Рис. 76 Трехуровневая атомная система в поле с частотой 沙

Рис. 76 Трехуровневая атомная система в поле с частотой 沙

Концепция ЛГБИ. Рассмотрим вновь A-систему, показанную на рис. 7.2, где верхний уровень \а) связывается с нижними уровнями \Ь) и |с) с помощью двух полей, имеющих частоты 以 и 〃2・ Будем считать, что дипольно разрешены только два перехода \а) Т \Ь) и |а) т |с), и что выполняются условия резонанса 0ab = =〃i и шас = 〃2・ Гамильтониан системы задается выражениями (7.2.1)-(7.2.3), а уравнения движения для амплитуд вероятности ——выражениями (7.2.5)-(7.2.7).

Рассмотрим случай, когда в начальный момент времени заселены только два нижних состояния |Ь〉и |с), причем населенность их одинакова, а фазы их фиксированы, так что

с«,(0) = 0, %(0) =“(0) =5叫(741)

Это частный случай начального условия (7.2.8), когда

少= 7г/2.(7Л.2)

Таким образом из решения (729)-(7211) следует, что в низшем порядке

(743)(744)(745)(746)(743)(744)(745)(746)e。⑴=5M Phi加+工

(743)

(744)

(745)

(746)

(743)

(744)

(745)

(746)

Если

выражение (7.4.3) принимает вид

1〃,⑴『=^^ 口 + c08(Ф1 一02 一 ")]*

Это означает, что поглощение исчезает (|ca(t)|2 = 0), если

Ф1 - Ф» — 2 = 士呼

то есть вновь получаем условия (7.2.12) для когерентного пленения.

В случае, когда в начальный момент времени атом возбужден, то есть

Са(0) = 1,сь(0) = Сс(0) = 0,

решение уравнений (7.2.5)-(7.2.7) имеет вид

⑴=cos 帯),

(748)

簣 sin 得),

(749)

小心*

(7410)

При П力《1 приближенно получаем

%(7.4.11h) 空/*(74116)

Тогда вероятность излучения равна

\Cb(t)\^\ec^ = ^^(7412)

то есть является величиной положительной и не зависящей от фаз. Таким образом, если в системе выполняются условия (7.4.2), (7.4.4) и (7.4.6) для исчезновения поглощения, то будет иметь место результирующее усиление даже в отсутствии инверсии населенности.

ЛГБИ с точки зрения лазерной физики: простое рассмотрение. Рассмотрим систему трехуровневых атомов, взаимодействующих с лазерным полем в резонаторе. Модель, которую мы будем рассматривать, иллюстрируется на рис. 7.6. Атомы имеют один верхний уровень \а) и два нижних уровня \Ь) и |с) с энергиями Кша^ %必6,方0с и скоростями релаксации 7а, 75, 7c соответственно. Переходы \а) Т |Ь〉 и \а) Т |с) индуцируются теперь одним классическим полем частоты и. Переход \b) Т |с) дипольно запрещен. Атомы накачиваются со скоростью га в когерентную суперпозицию состояний

pg =以)1叫@ + 4?⑹® + 澧)Q〈c| + 4?|b〉〈c| + 隽旧仰 (7413) Здесь раа (а = а, b, с) — населенности уровней и 0^, (а 卢 о/) — атомные когерентности.

Прежде чем представить детальную теорию, дадим простое доказательство того, как исчезновение поглощения в данной системе может привести к лазерной генерации без инверсии.

Поскольку состояния \Ь) и |с) независимы, вероятность излучения задается вы™ ражением

Ризл = В + 凡=(iN-bl 沾 2 + 认_с|2 炉)然％(7414)

где Хать и ”атс — постоянные, зависящие от матричного элемента перехода между соответствующими состояниями и от связи атома с полем. С другой стороны, вероятность поглощения записывается в виде

рпогл = "1% + Сс|2(г2 = ^[р^ + 或 + 4? + /?]"(7415)

Поэтому скорость роста амплитуды лазерного поля, при подходящих условиях, при™ нимает вид

4 = у [р!^ Pbb Р^с Pb^c P^cb]-(7416)

(7417)(7417)Здесь 废 ——постоянная величина. Таким образом, если величины р^\ /?,从? и /4? взаимно сокращаются, то

(7417)

(7417)

и мы можем получить лазерную генерацию даже тогда, когда только малая часть атомов находится в возбужденном состоянии |а), то есть когда раа < (рьь + рсс)-

С физической точки зрения, исчезновение поглощения в рассмотренной трехуровневой системе является проявлением квантовой когерентности. Если атом совершает переход из верхнего состояния в два нижних, то полная вероятность перехода есть сумма вероятностей переходов \а) Т \Ь) и \а) Т |с). Однако вероятность перехода из двух нижних уровней в один верхний получается возведением в квадрат суммы двух амплитуд вероятности. Если имеет место когерентность между двумя нижними состояниями, то появляются интерференционные члены, дающие нуль в вероятности перехода, соответствующего поглощению фотона.

Анализ ЛГБИ. Для более строгого рассмотрения роли атомной когерентности в лазерной генерации без инверсии, обратимся к полуклассической теории, в которой поле рассматривается классически, и ограничимся линейным анализом проблемы, удерживая члены до второго порядка по константе взаимодействия атома с полем. Уравнение движения для амплитуды поля в данной задаче имеет вид (см. разд. 5.4)

(7.4.18)(7.4.18)/⑴=Im {e，lVt[pcaPac(^) + РЬа,РаЬ(^)]}'

(7.4.18)

(7.4.18)

Уравнения для различных элементов матрицы населенности можно получить обобщением метода, развитого в разд. 5.5.

В данном случае имеем 3 х 3-матрицу населенности

心⑴= ЕЕа 0心⑴= ЕЕа 0『а（%,力O）0z,a/3（力,力О）|а〉〈0| d力°,『а（%,力O）0z,a/3（力,力О）|а〉〈0| d力°,(7419)(7419)

心⑴= ЕЕ

а 0

心⑴= ЕЕ

а 0

『а（%,力O）0z,a/3（力,力О）|а〉〈0| d力°,

『а（%,力O）0z,a/3（力,力О）|а〉〈0| d力°,

(7419)

(7419)

где суммирование по а и /3 включает состояния |а), \Ь) и |с), и атомы возбуждаются в процессе накачки с постоянной скоростью га в когерентную суперпозицию состояний (7.4.13). Для данной задачи, когда одномодовое поле частотой 沙 и амплитудой 君⑴ взаимодействует с трехуровневой атомной системой, гамильтониан взаимодействия задается выражениями (7.2.1)—(7.2.3) с заменой

—it

(7420)

В результате уравнения движения для элементов матрицы населенности

имеют вид

Pab =+ lab)Pab _ g 冇

^Wt{Paa — Pbb) +

〃 ^ab^ —iyt

(7421)

Рас = ^Шас + Jac^Pac 9 g

e^wt{paa — pcc) +

(7422)

Paa =

raPaa - la Paa ,

(7423)

Pbb =

(0)

ПРъъ - 7bPbb,

(7424)

pcc =

『c。!？ — 7cPcc,

(7425)

Pbc =—(沁 be + Ibc) Pbc

(7426)

Здесь отсутствуют члены взаимодействия в уравнениях для раа, рьь： Рсс и рьс： поскольку мы ограничились линейным приближением.

Решение этих уравнений нулевого порядка, а именно

Paa = J ）式1。）”12 個=守也

(7427)

—oo

рьь =款澀,

(7428)

Рее =

(7429)

Jbc

(7429)

можно подставить в уравнения (7.4.21) и (7.4.22) для р^ь и рас. Интегрируя результирующие уравнения, находим, что

Xg鱼）…。1ра6Xg鱼）…。1ра6

Xg鱼）…。1ра6

Xg鱼）…。1ра6

(7431)(7432)(7431)(7432)^bb =^bb =(о)(о)(о)(о)々 y TMe = —Im々 y TMe = —Im(△ + i^ac){i^bc — )bc)(0).(七。+ 9)(/ + 從严点^"61(△ + i^ac){i^bc — )bc)(0).(七。+ 9)(/ + 從严点^"61Хь =养『a ImХь =养『a Im(△ — iiab)(i3bc + )bc) ,(lib + △2)(^bc + Me)(△ — iiab)(i3bc + )bc) ,(lib + △2)(^bc + Me)Pba PacPba Pac(7434)(7435)(7436)(7437)(7437)(7434)(7435)(7436)(7437)(7437)

(7431)

(7432)

(7431)

(7432)

^bb =

^bb =

(о)

(о)

(о)

(о)

々 y T

Me = —Im

々 y T

Me = —Im

(△ + i^ac){i^bc — )bc)(0)

.(七。+ 9)(/ + 從严点^"61

(△ + i^ac){i^bc — )bc)(0)

.(七。+ 9)(/ + 從严点^"61

Хь =养『a Im

Хь =养『a Im

(△ — iiab)(i3bc + )bc) ,(lib + △2)(^bc + Me)

(△ — iiab)(i3bc + )bc) ,(lib + △2)(^bc + Me)

Pba Pac

Pba Pac

(7434)

(7435)

(7436)

(7437)

(7437)

(7434)

(7435)

(7436)

(7437)

(7437)

—2方，7ab + “Gab —沙)[ 7a 7b J—加be j

2方 7ac + “Ga。[ )a ?c J^ ^be — 2Gbe J

При выводе этих уравнений мы предположили, что £(/) является медленно меняющейся функцией времени t в течение атомного времени жизни, и потому 扌(力о) заменили величиной ^(t). Подставляя обратно эти выражения для ра^ и рас в (7.4.18), получаем

.1

畲⑴=2 ^^аа —必％ — "с + 必с + /в)扌⑴，(7433)

где

M △=沙—Gq6 = Gqc —沙=06^/2^

В уравнении (7.4.33) член ^а, пропорциональный р^а, отвечает за усиление. Он содержит две части, соответствующие процессам излучения при переходе из состояния \а) в состояния \Ь) и |с). Члены 玆匕 и ^с, пропорциональные р^ и Дсс\ соответственно, отвечают за потери при поглощении в ходе перехода из состояний \Ь) и |с) в состояние |а). Это обычные слагаемые для полуклассической теории, в которой требуется инверсия населенности для результирующего усиления. Однако теперь, благодаря атомной когерентности, имеются зависящие от фазы члены 必 и 必6, пропорциональные, соответственно, р^ и р^. Поэтому возможно, что при определенном выборе параметров члены 必ь и 欢一 отвечающие за поглощение, и члены Мс и 〃в, отвечающие за когерентность, сокращаются, что и приводит к лазерной генерации без инверсии. Это имеет место в двух случаях:

7а =Рас = РаЬ = Рч 7》^Ьс?0^/ = |Pbc^ I 七“穴，(7439)

и

7a《7с = 7ь = 7, Рас = РаЬ = Р, 7 = ^аЬ, о'? = I丨 37r〃， (7.4.40)

где 21Pbe 1 = Pbb + Pcc- Тогда

(7441)

где

(7.4.42)

и

2 T4^ G)，以亿4"43)

соответственно. Таким образом, при условиях (7.4.39) или (7.4.40), любая малая населенность верхнего уровня приводит к усилению.

Увеличение показателя преломления с помощью квантовойкогерентности

Значение показателя преломления оптической среды может достигать 10 или 100 на частотах близких к резонансу. Цена, которую необходимо заплатить за такую высокую дисперсию, состоит, обычно, в высоком поглощении. Однако, благодаря атомной когерентности или интерференционным эффектам, приводящим к таким явлениям как корреляционный лазер или лазерная генерация без инверсии, можно получить прозрачную среду со сверхвысоким показателем преломления. В этом разделе будет рассмотрена ситуация, когда когерентность и интерференционные эффекты приводят к большому значению показателя преломления, в то время как поглощение остается очень малым или исчезает вовсе.

Линейный отклик атомной системы на электрическое поле Е описывается комплексной поляризацией

口％ 力)=£о ] x(t)E(z,力一 r) dr,о

которая появляется в виде вынуждающего члена в волновом уравнении для электрического поля (уравнение (5.4.15) при а = 0):

д2Е1 д2ЕA2P…а

2= /^0—(752) ozc otot

В уравнении (7.5.1)

Х = Г +(753)

представляет собой восприимчивость, а 千 и #〃 ——ее действительная и мнимая части соответственно.

Для плоской волны с частотой 〃，

E(z. t) = |^ £一(〃—盍乞)+ кс,(754)

из (7.5.1) получаем

方)=^£[х(〃)+ х(—〃)0公『，(755)

где х(〃) — фурье-образ 夕⑴.Сравнение с (5.4.17) (при 0 = 0) дает

^(z, t) = ^о^Х-(756)

Таким образом, записывая % = %7 + 勿X”, получаем

Re身=e依h(757)

Im 身二 Q)扌х"*(758)

Следовательно, подставив выражения для Re 身 и Im 身 в (5.4.23) и (5.4.24), получаем, что величины х' и х" описывают, соответственно, дисперсию и потери на единицу длины волны.

Теперь свяжем действительную и мнимую части восприимчивости с показателем преломления и коэффициентом поглощения среды.

Подставляя Е и Р из выражений (7.5.4) и (7.5.5), соответственно, в уравнение (7.5.2), получаем дисперсионное соотношение

2

к2 — —7?二 0,(759)

с

где

不(〃)=1 + х(〃)"(7510)

Как обычно, к = уп/с. Если nf и пП есть действительная и мнимая части п, то есть п = п + in\(7.5.11)

то п7 представляет собой показатель преломления среды, а пП — коэффициент поглощения. Согласно определению пП среда будет поглощающей, если пП > 0, и усиливающей, если тг" < 0. Объединяя (7.5.10) и (7.5.11), получаем

几'+ " = (1 + X’ + 分х")“2 = [(1 +『)2 + %,,2]1/4 exp[i sign(x，，)^/2],(7512)

где 少=tg"1[|x//|/(l + х')]* Тогда

Т"2 +(1 + Х『(7.5.13)

絞={…+「(Т)广 sig《〃).(7.5.14)

7 М.О* Скаллт, М.Са Зубайри

(7515)(7516)(7515)(7516)Отметим, что в случае, когда х'〉0 и х'》|х"|,^ ~ (1 +『А/*тг" и О,

(7515)

(7516)

(7515)

(7516)

то есть имеем большой показатель преломления и маленький коэффициент поглощения. Прежде чем обсуждать увеличение показателя преломления с одновременным уменьшением поглощения за счет квантовой когерентности, покажем сначала, что подобный эффект отсутствует в обычной двухуровневой системе.

Для двухуровневой системы действительную и мнимую части восприимчивости можно получить подстановкой Re 身 и Im 身 из формул (5.5.4) в выражения (7.5.7) и (758). В результате находим, что

2А

= -(7.5」7a)

= —(75176)

где △ = 口 一〃; также было использовано линейное приближение

Раа = 5仅(7518a)

Раа =(75186)

Здесь 7 = (о。+ 7ь)/2, и будем считать, что 7a = 7b. Для замкнутой системы, содержащей Na атомов в единице объема, величины ra/ja и га/^ъ в выражениях (7.5.18а) и (7.5.186) заменяются величиной Na^ так что формулы (7.5.17а) и (7.5.176) принимают вид

/ = --(7519a)

孑岂忌2 -Р^]-(7-5.196)

Эти зависимости изображены на рис. 7.7. Условия х'》1 и х'》|х"| не удовлетворяются ни при каких значениях отстройки. Например, для перехода \b) Т |@〉 (р!2 = 0, р：? = 1) имеем %7 = %7/, когда А = 7 и

Х‘ = Х〃 = ^М(7520)

(7521)(7521)Для 7 = 7Г, где

(7521)

(7521)

' ЗтгЙеос3

——скорость радиационного затухания между уровнями |@〉и \Ь}. Таким образом, для длины волны 1 мкм и Na 〜ю!батом.см-з(『@3 при давлении одна атмосфера) имеем X’ 〜104, то есть большой показатель преломления. Однако также и х"〜104, где X” фактически характеризует потери на единицу длины волны. Следовательно свет поглотился бы полностью на расстоянии существенно меньшем длины волны. Таким образом, высокому показателю преломления соответствует сильное поглощение.

Однако ситуация существенно меняется в случае трехуровневых схем (типа той, что рассматривалась в предыдущем разделе), где устанавливается атомная когерентность и имеют место эффекты квантовой интерференции.

△/)△/)Рис. 7.7. Действительная (сплошная линия) и мнимая (пунктирная линия) части линейной восприимчивости двухуровневого газа (в относительных единицах), как функции нормированной расстройки △/). Здесь 夕恵=0 и 厶? = 1Рис. 7.7. Действительная (сплошная линия) и мнимая (пунктирная линия) части линейной восприимчивости двухуровневого газа (в относительных единицах), как функции нормированной расстройки △/). Здесь 夕恵=0 и 厶? = 1

△/)

△/)

Рис. 7.7. Действительная (сплошная линия) и мнимая (пунктирная линия) части линейной восприимчивости двухуровневого газа (в относительных единицах), как функции нормированной расстройки △/). Здесь 夕恵=0 и 厶? = 1

Рис. 7.7. Действительная (сплошная линия) и мнимая (пунктирная линия) части линейной восприимчивости двухуровневого газа (в относительных единицах), как функции нормированной расстройки △/). Здесь 夕恵=0 и 厶? = 1

Рассмотрим трехуровневую систему с парой близко лежащих нижних уровней, в которой устанавливается когерентность между состояниями дублета с помощью какого-то внешнего воздействия, как это обсуждалось в разд. 7.3. Предполагая, что дипольно разрешенными являются переходы между верхним синглетом \а} и двумя близко расположенными нижними уровнями \Ь) и |с), получаем, что линейная восприимчивость системы равна

(7522)(7522)夕 г* / PbaPab I Рса Рас \

(7522)

(7522)

где элементы матрицы населенности 0ab и рас задаются выражениями (7.4.31) и (7.4.32). Подставляя эти значения р^ь и рас в (7.5.22), после некоторой перестановки получаем

7*7*(△ab COS ф + 7ab sE ф)(△ab COS ф + 7ab sE ф)(7523a)(7523a)

7*

7*

(△ab COS ф + 7ab sE ф)

(△ab COS ф + 7ab sE ф)

(7523a)

(7523a)

丨cos ф + sin 0)丿 I, (75236)

J嗚+ 4J/

где △&% = ®ab — 人 Aac = ®ac — 〃，а фаза ф задается в виде

Ф = Фаь + tg"1(w6c/76c),(7524)

где фсЬ = arg[p^]. Здесь для простоты мы положили, что ра6 = рас = рьа = рса = 二 р. Таким образом, фаза ф зависит от атомной когерентности.

Рис. 7.8. Действительная (сплошная линия) и мнимая (пунктирная линия) части линейной восприимчивости, как функции нормированной расстройки △/), при введении когерентности. Значения параметров: 7a = 0,1,)ь = )с = 2,夕恵=0,01 и 从?=』? = 0,495Рис. 7.8. Действительная (сплошная линия) и мнимая (пунктирная линия) части линейной восприимчивости, как функции нормированной расстройки △/), при введении когерентности. Значения параметров: 7a = 0,1,)ь = )с = 2,夕恵=0,01 и 从?=』? = 0,495Из выражений (7.5.23а) и (7.5.236) видно, что можно сделать поглощение х" равным нулю, сохраняя при этом величину х' большой, то есть сохраняя большим показатель преломления. Обозначим △ = (△&% + Аас)/2, настроим величину 口办 (с помощью, например, постоянного магнитного поля в случае зеемановских подуровней) так, чтобы 3cb = 7бс, и рассмотрим случай, когда 75 = 7С. Приготовим состояния

Рис. 7.8. Действительная (сплошная линия) и мнимая (пунктирная линия) части линейной восприимчивости, как функции нормированной расстройки △/), при введении когерентности. Значения параметров: 7a = 0,1,)ь = )с = 2,夕恵=0,01 и 从?=』? = 0,495

Рис. 7.8. Действительная (сплошная линия) и мнимая (пунктирная линия) части линейной восприимчивости, как функции нормированной расстройки △/), при введении когерентности. Значения параметров: 7a = 0,1,)ь = )с = 2,夕恵=0,01 и 从?=』? = 0,495

\b) и |с) когерентно, так чтобы ф = 5тг/4 и р^ = р£?)= |р^|. Результирующая поляризация показана на рис. 7.8. Видно, что показатель преломления может быть большим при нулевом поглощении.

Когерентное пленение, лазерная генерация без инверсиии электромагнитно-индуцированная прозрачность: точное решениепростой модели

В предыдущих разделах было показано, что пленение населенности, лазерная генерация без инверсии и электромагнитно-индуцированная прозрачность являются следствиями квантовой когерентности и интерференции. Чтобы дать единое описа-

Рис. 7.9. Схема уровней энергии и порядок возбуждения в случае единого рассмотрения когерентного пленения населенности, лазерной генерации без инверсии и электромагнитно- индуцированной прозрачностиРис. 7.9. Схема уровней энергии и порядок возбуждения в случае единого рассмотрения когерентного пленения населенности, лазерной генерации без инверсии и электромагнитно- индуцированной прозрачности

Рис. 7.9. Схема уровней энергии и порядок возбуждения в случае единого рассмотрения когерентного пленения населенности, лазерной генерации без инверсии и электромагнитно- индуцированной прозрачности

Рис. 7.9. Схема уровней энергии и порядок возбуждения в случае единого рассмотрения когерентного пленения населенности, лазерной генерации без инверсии и электромагнитно- индуцированной прозрачности

ние этих явлений в одной системе, рассмотрим систему трехуровневых атомов в А- конфигурации, когда скорости релаксации всех уровней равны 7 (рис. 7.9).

Если для атома в начальном состоянии

И(0))二 са(0)|а) + о,(0)|Ь〉+ ес(0)|с),(761)

то состояние атома в момент времени t будет иметь вид (задача 7.2)

М ⑴〉=胃⑴ |@〉+ B(t)\b} + С⑴ I。，(7.6.2a)

где

4(t) = ca(0) cos(Qi/2) icb(0)^ sin(Qt/2) wc(0)^ sin(Qt/2) e"^/2, (7.6.2a)

6(力)={ 一分Ca(0)^" sin(n力/2) + 0,(0)6(力)={ 一分Ca(0)^" sin(n力/2) + 0,(0)cos(C 力/2)cos(C 力/2)++

6(力)={ 一分Ca(0)^" sin(n力/2) + 0,(0)

6(力)={ 一分Ca(0)^" sin(n力/2) + 0,(0)

cos(C 力/2)

cos(C 力/2)

+

+

(7626)(7626)+ cc(0)+ 血俨 c°s(n〃2)] £—a*

(7626)

(7626)

С⑴=^a(0)^sin(m/2) + %(0) [- ^产2 + ◎展2 cos(Qf/2)] +

+ 绘(。)力/2) } £ —(7.6.2в)

П&1 и П&2 — частоты Раби, отвечающие резонансным полям, действующим на переходах \а} Т \Ь) и \а) Т |с), соответственно, и

◎ =•(763)

Это общее решение можно использовать при соответствующих начальных условиях для получения результатов, относящихся к захвату населенности, лазерной генерации без инверсии и электромагнитно-индуцированной прозрачности.

Если атомы приготовлены в когерентной суперпозиции нижних состояний, то есть

@(。)〉= "^1^) — ^"1。，(764)

то получаем плененное состояние, если 7 = 0. Это можно проверить подставляя са(0) = 0, сь(0) = ^&2& и сс(0) = —(1冗1/(1 в выражение (762)”

Рассмотрим теперь лазерную генерацию без инверсии. Как обсуждалось ранее, усиление на единицу длины в лазере пропорционально мнимой части поляризации Im 身％ Если вводить атомы в состояние \а) со скоростью га, то

t

Im 身=7ra ca(t, ^o)cb(t, ^o) dt0 =

=7^a 羽 sin[Q(t — to)] J扣)=71nt qF：；2” 亿6”5)

Здесь C&(力,力о) = cos[Q(t —力o)/2] и Cb(t^ 力°)=—汨融 sin[Q(t —力о)/2]/П — амплитуды вероятности того, что атом находится в состоянии |@〉и |6), соответственно, удовлетворяющие тому начальному условию, что атомы переведены в состояние \а) в момент времени 力о” Таким образом, получаем лазерную генерацию без инверсии. Если еще одновременно переводить атомы в состояние пленения (Пд2|Ь) — ^Я1|с))/^, то получим лазерную генерацию без инверсии поскольку плененные атомы не влияют на усиление.

Наконец рассмотрим свободную от затухания Л электромагнитно-индуцированную прозрачность. Полагая 7 = 0 и рассматривая атомы переведенные в состояние |6), получаем

师))=-号sin期)+ [醬+ * cos貝

Ч

^Я1^Я2^Я1^Я2 QI \

Ра =Ра =Теперь вероятность поглощения фотона пробного поля (то есть вероятность возбуждения атома в состояние |@〉) задается выражением

Ра =

Ра =

(767)

и обращается в нуль в пределе ^也》Cri, что и соответствует электромагнитно-индуцированной прозрачности.

Задачи

Рассмотрим трехуровневый атом в Л-конфигурации, как показано на рис. 7.9. Гамильтониан взаимодействия атома с полем в представлении взаимодействия и в условиях точного резонанса имеет вид

% = -^^^\а){Ь\ —響^aXd +э.с.,

где Qri и Cr2 ——частоты Раби, связанные с полями, действующими на переходах |@〉т |Ь〉и \а} Т |с) соответственно.

Покажите, что собственные векторы гамильтониана имеют вид

где ◎二，П%1 + С%? • Найдите соответствующие собственные значения.

Добавив одинаковые постоянные релаксации 7 для трех уровней, покажите, что решение уравнения Шредингера, удовлетворяющее начальному условию (7.6.1), задается выражениями (7.6.2а)-(7.6.2г) (см. работу Scully, 1994)"

Используя адиабатическую теорию возмущений, покажите, что атом, находящийся в состоянии (7.2.14), будет оставаться в этом состоянии. (Указание: см. работу Kuklinsky, Gaubatz, Hioe and Bergmann, 1989.)

Список литературы

Эффект Ханле, фотонное эхо, самоиндуцированная прозрачность и когерентные рамановские биения

Hanle, W. Z Phys. 30, 93 (1924).

Breit, G. Rev. Mod. Phys. 5, 91 (1933).

Abella, L, Kurnit, N. and Hartmann, S. Phys. Rev. 141, 391 (1966).

Scully, M., Stephen, M. J. and Burnham, D. C. Phys. Rev. 171, 213 (1968).

McCall, S. and Hahn, E. Phys. Rev. 183, 457 (1969).

Shoemaker, R. and Brewer, R. Phys. Rev. Lett. 2 8, 1430 (1972).

Brewer, R. and Hahn, E. Phys. Rev. A8, 464 (1973).

*Маныкин Э.А., Самарцев В.В. Оптическая эхо-спектроскопия (Наука, Москва, 1984).

Голенищев-Кутузов В.А., Самарцев В.В., Хабибуллин Б.М. Импульсная оптическая 〃 акустическая когерентная спектроскопия (Наука, Москва, 1988).

Scully, М. О., Fearn, Н. and Atherton, В. W. in New Frontiers in Quantum Electrodynamics and Quantum Optics, ed. A. O. Barut (Plenum, New York 1989)

Ахмедиев H.H., Самарцев В.В. В кн. Новые физические принципы обработки информации, ред. Ахманов С.А., Воронцов М.А. (Наука, Москва, 1990), с.326-359.

Евсеев И.В., Ермаченко В.М., Самарцев В.В. Деполяризующие столкновения в нелинейной электродинамике (Наука, Москва, 1992).

Калачев А.А., Самарцев В.В. Фотонное эхо и его применение (КГУ, Казань, 1998).

*Maimistov A.I., Basharov A.M. Nonlinear optics waves (Klawer Academic Publishers, London 1999).

Рубцова H.H. Изв. РАН, сер.физ. 66, 302 (2002).

Когерентное пленение

Alzetta, G., Gozzini, A., Moi, L. and Orriols, G. Nuovo Cimento 36B, 5 (1976).

Arimondo, E. and Orriols, G. Nuovo Cimento Lett. 17, 333 (1976).

Whitley, R. M. and Stroud, C. R., Jr., Phys. Rev. A 14, 1498 (1976).

Gray, H. R., Whitley, R. M. and Stroud, C. R., Jr., Opt. Lett. 3, 218 (1978).

Alzetta, G., Moi, L. and Orriols, G. Nuovo Cimento 5 2B, 209 (1979).

Stettler, J. D., Bowden, С. M., Witriol, N. M. and Eberly, J. H. Phys. Lett. 73A, 171 (1979).

Rad more, P. M. and Knight, P. L. J. Phys. В 15, 561 (1982); Phys. Lett. 102A, 180 (1984).

Dalton, D. J. and Knight, P. L. Opt. Commun. 42, 411 (1982).

Swain, S. / Phys. В 15, 3405 (1982).

Agarwal, G. S. and Nayak, N. J. Phys. В 19, 3375 (1986).

Zaheer, K. and Zubairy, M. S. Phys. Rev. A 39, 2000 (1989).

Arimondo, E. in Progress in Optics ed. E. Wolf, 35, 257 (1996).

Лазерная генерация без инверсии

Javan, A. Phys. Rev. 107, 1579 (1956).

Hansch, T. W. and Toschek, P. E. Z Phys. 236, 213 (1970).

Popov, T., Popov, A. and Ravtian, S. JETP Lett. 30, 466 (1970).

Arkhipkin, V. and Heller, Yu., Phys. Lett. 48A, 12 (1983).

Kocharovskaya, O. and Khanin, Ya. I. Pis 'ma Zh. Eksp. Teor. Fiz. 48, 581 (1988) (JETP Lett.

630 (1988)).

Harris, S. E. Phys. Rev. Lett. 62, 1033 (1989).

Scully, M. O., Zhu, S.-Y. and Gavrielides, A. Phys. Rev. Lett. 62, 2813 (1989).

Harris, S. E. and Macklin, J. H. Phys. Rev. A 40, 4135 (1989).

Imamoglu, A. Phys. Rev. A 40, 2835 (1989).

Lyras, A., Tang, X., Lambropoulos, P. and Zhang, J. Phys. Rev. A 40, 4131 (1989).

Kocharovskaya, O. and Mandel, P. Phys. Rev. A 42, 523 (1990).

Fill, E. E., Scully, M. O. and Zhu, S.-Y. Opt. Commun. 77, 36 (1990).

Kocharovskaya, O., Li, R.-D. and Mandel, P. Opt. Commun. 77, 215 (1990).

Blok, V. R. and Krochik, G. M. Phys. Rev. A 41, 1517 (1990).

Agarwal, G. S., Ravi, S. and Cooper, J. Phys. Rev. A 41, 4721 (1990); ibid. 41, 4727 (1990).

Basile, S. and Lambropoulos, P. Opt. Commun. 78, 163 (1990).

Imamoglu, A., Field, J. E. and Harris, S. E. Phys. Rev. Lett. 66, 1154 (1991).

Agarwal, G. S. Phys. Rev. A 44, R28 (1991).

Narducci, L. M., Doss, H. M., Ru, P., Scully, M. O. and Keitel, C. Opt. Commun. 81, 379 (1991).

В ergon, J. A. and Bogar, P. Phys. Rev. A 43, 4889 (1991).

Kocharovskaya, O. Phys. Rep. 219, 175 (1992).

Scully, M. Phys. Rep. 219, 191 (1992).

Scully, M. O., Zhu, S.-Y. and Fearn, H. Z. Phys. О 22, 471 (1992).

Fleischhauer, M., Keitel, С. H., Narducci, L. M., Scully, M. O., Zhu, S.-Y. and Zubairy, M. S. Opt. Commun. 94, 599 (1992).

Scully, M. O. Quantum Optics 6, 203 (1994).

Kocharovskaya, O. and Mandel, P. Quantum Optics 6, 217 (1994).

* Malyshev, V.A., Ryzhov, I.V., Trifonov, E.D., Zaitsev, A.I. Laser Physics 8, 494 (1998).

*Shakhmuratov, R.N., Kozyreff, G., Coussement, R., Odeurs, J., Mandel, P. Opt. Commun. 179, 525 (2000).

Экспериментальная демонстрация усиления света и лазерной генерации без инверсии

Nottelmann, A., Peters, С. and Lange, W. Phys. Rev. Lett. 70, 1783 (1993).

Fry, E. S., Li, X., Nikonov, D., Padmabandu, G. G., Scully, M. O., Smith, A. V., Tittel, F. K., Wang, C., Wilkinson, S. R. and Zhu, S.-Y. Phys. Rev. Lett. 70, 3235 (1993).

van der Veer, W. E., van Diest, R. J. J., Donszelmann, A. and van Linden van den Heuvell, H. B. Phys. Rev. Lett. 70, 3243 (1993).

Zibrov, A. S., Lukin, M. D., Nikonov, D. E., Hollberg, L. W., Scully, M. O., Velichansky, V. L. and Robinson, H. G. Phys. Rev. Lett. 75, 1499 (1995).

Padmabandu, G. G., Welch, G. R., Shvbin, I. N., Fry, E. S., Nikonov, D. E., Lukin, M. D. and Scully, M. O. Phys. Rev. Lett. 76, 2053 (1996).

Увеличение показателя преломления с помощью квантовой когерентности

Scully, М. О. Phys. Rev. Lett. 67, 1855 (1991).

Fleischhauer, M., Keitel, С. H., Scully, М. О. and Su, С. Opt. Commun. 87, 109 (1992).

Fleischhauer, M., Keitel, С. H., Scully, M. O., Su, C., Ulrich, В. T. and Zhu, S.-Y. Phys. Rev.厶 46, 1468 (1992).

Scully, M. O. and Zhu, S.-Y. Opt. Commun. 87, 134 (1992).

Wilson-Gordon, A. D. and Friedmann, H. Opt. Commun. 94, 238 (1992).

Rathe, U., Fleischhauer, M., Zhu, S.-Y., Hansch, T. W. and Scully, M. O. Phys. Rev. A 47, 4994 (1993).

Sultana, S. and Zubairy, M. S. Phys. Rev. A 49, 438 (1994).

Kocharovskaya, O., Mandel, P. and Scully, M. Phys. Rev. Lett. 74, 2451 (1995).

Электромагнитно-индуцированная прозрачность

Harris, S. E., Field, J. E. and Imamoglu, A. Phys. Rev. Lett. 64, 1107 (1990).

Hahn, К. H., King, D. A. and Harris, S. E. Phys. Rev. Lett. 65, 2777 (1990).

Boiler, K.-J., Imamoglu, A. and Harris, S. E. Phys. Rev. Lett. 66, 2593 (1991). В статье сообщается о первом наблюдении ЭМИП.

Field, J. Е., Hahn, К. Н. and Harris, S. Е. Phys. Rev. Lett. 67, 3062 (1991).

Hakuta, K., Marmet, L. and Stoicheff, B. Phys. Rev. Lett. 66, 596, (1991).

*Шахмуратов P.H., Сабо А., Козырев Г., Куссемент Р., Одюрс Дж., Мандель П. Изв. РАН, сер.физ. 64, 1963 (2000).

* Сазонов С.В. Изв. РАН, сер.физ. 66, 353 (2002).

Адиабатический перенос населенности в трехуровневых системах

Kuklinski, J. R., Gaubatz, U., Hioe, F. T. and Bergmann, K. Phys. Rev. A. 40, 6741 (1989).

Oreg, J., Hioe, F. T. and Eberly, J. H. Phys. Rev. A 29, 690 (1984).

Wilkinson, S. R., Smith, A. V., Scully, M. O. and Fry, E. S. Phys. Rev. A 53, 126 (1996).

Явление интерференции Фано

Fano, U. Phys. Rev. 124, 1866 (1961).

Fano, U. and Ran, A. Atomic Collisions and Spectra, (Academic Press, New York 1986).

Глава 8

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ РЕЛАКСАЦИИ — МЕТОДЫ ОПЕРАТОРА ПЛОТНОСТИ И ВОЛНОВОЙ ①ункгрш

Во многих задачах квантовой оптики релаксация играет важную роль. Среди них можно, например, отметить распад атома из возбужденного состояния в нижнее состояние и затухание поля излучения внутри резонатора с частично прозрачными зеркалами. В общем случае релаксация системы обусловлена взаимодействием с резервуаром с большим числом степеней свободы. Между тем, нас интересует только эволюция переменных системы. Чтобы решить эту проблему, необходимо вывести уравнения движения интересующей нас системы, взяв след по переменным резервуара. Существует несколько различных подходов к решению этой задачи.

В этом разделе мы представим теорию релаксации, основанную на использовании оператора плотности, в которой переменные резервуара исключаются с помощью вве™ дения приведенного оператора плотности системы в представлении Шредингера (или представлении взаимодействия). Мы также представим подход «квантовых скачков» к теории релаксации. В следующих главах релаксация системы будет рассмотрена с привлечением метода оператора шума в представлении Гейзенберга.

Понять механизм релаксации можно, рассматривая распад атома из возбужденного состояния внутри резонатора. Атом можно рассматривать как одиночную систему, связанную с полем излучения внутри резонатора. Даже в отсутствие фо™ тонов в резонаторе существуют квантовые флуктуации, связанные с вакуумным состоянием. Как уже обсуждалось в гл. 1, поле можно представить как большой набор гармонических осцилляторов, каждый из которых соответствует отдельной моде резонатора. С увеличением размеров резонатора плотность мод увеличивается, и в свободном пространстве мы получаем континуум мод. Поэтому среди них существует «мода резонатора», которая находится в резонансе с атомным переходом.

Атом тоже можно представить как осциллятор, причем возбужденный атом соответствует осциллятору в возбужденном состоянии. Взаимодействие атома с большим числом осцилляторов (соответствующих большому числу мод поля) приводит к релаксации. Это означает, что энергия, первоначально принадлежавшая атому, распределится между затухающими осцилляторами, вызывая таким образом переход атома в нижнее состояние.

Диссипация энергии сопровождается флуктуациями. На примере систем, изуча™ емых в этой и последующих главах, мы познакомимся с этим аспектом релаксации, который в более формальном виде выражен в так называемой флуктуационно- диссипационной теореме. Прежде чем рассматривать релаксацию атома и поля, обу™ словленную резервуаром гармонических осцилляторов (бозонных) мод, рассмотрим общую теорию резервуара.

Общая теория резервуара

Рассмотрим в общем виде некую систему S, которая взаимодействует с резерву™ аром R. Комбинированный оператор плотности обозначим через Psr- Приведенный оператор плотности системы ps получается путем взятия следа по координатам резервуара, т. е.

PS = Tr&(05R)”(8.1.1)

Пусть %(力)——энергия взаимодействия системы с резервуаром. Тогда уравнение движения для Psr имеет вид

ihpSR = ir(tlPsRlt)l(812)

Это уравнение можно формально проинтегрировать и мы получаем

t

05R⑴=psR(ti) - ^ [У (tf), psR(tf)] dtf.(8.1.3)

Здесь ti ——время, когда начинается взаимодействие. Подставляя psR(t) обратно в уравнение (8.1.2), получаем уравнение движения

Psr = -^，⑴/5r(右)]-} ，⑴」％(力)05r(，)口 彰： (8.1.4)

Если бы энергия взаимодействия %(t) равнялась нулю, то система и резервуар были бы независимы друг от друга и оператор плотности psr можно было бы представить в виде прямого произведения 0§衣(力)=0§(力)® Or (%), где мы предполагаем, что резервуар находится в тепловом равновесии. В случае, когда % мало, ищем решение уравнения (8.1.4) в виде

PSR(t~) = 05⑴ ® pRg + 0c(力(8-1.5)

где pc(t)——члены более высоких порядков по %二 Для того чтобы удовлетворить условию (8.1.1), потребуем, чтобы

ТгМс ⑴]=6(8.1.6)

Если psR(t) из (8.1.5) подставить в интеграл из (8.1.4), и оставить только члены порядка не выше ^/2, то получим

t

Ps =—尹г [%⑴/5⑴ ® PRiti)]—彦[Г(^),[Г(Л,Р5(Л ® РяШ d/ (817)

Приведенный оператор плотности。§(力),определяющий статистические свойства системы, зависит от предыдущей истории, начиная с момента времени t =力；до 力 Это видно из уравнения (8.1.7), так как 0$(力')оказывается под интегралом. Между тем, обычно, резервуар является протяженной открытой системой, имеющей много степеней свободы. Более того, как будет показано на частном примере в следующем разделе, наличие большого числа степеней свободы резервуара (мод, фононов, и т. д.) приводит к дельта-функции 8(力一У》Следовательно, оператор плотности системы ps(tf) можно заменить оператором ps(t\ и процесс тогда называется марковским. Это предположение разумно, поскольку релаксация разрушает память о прошлом.

Теперь уравнение (8.1.7) принимает вид

j1 f

Ps =r 了⑴⑴g0R(右)]-彦，⑴」％(*)/5⑴g0R(右川彰L(8.1.8)

Это уравнение справедливо для системы, описываемой оператором р^, которая вза™ имодействует с резервуаром, описываемым оператором рд. В следующих разделах будут рассмотрены несколько примеров взаимодействия системы с резервуаром.

Релаксация атома, вызванная тепловым и сжатым вакуумнымрезервуарами

Спонтанный переход атома из возбужденного состояния можно объяснить на при™ мере простой модели, в которой атом связан с резервуаром простых гармонических осцилляторов. Аналогичным образом, релаксацию поля излучения внутри резонатора можно описать с помощью модели, в которой интересующая нас мода связана с полным набором мод резервуара. Эти задачи интересны не только для физики лазеров и мазеров, но также и для квантовой теории пассивных интерферометров, например таких, которые используются для детектирования гравитационных волн.

Сначала рассмотрим радиационный распад возбужденного состояния двухуров™ невого атома, вызываемый резервуаром простых гармонических осцилляторов, которые описываются операторами уничтожения (рождения) 6卜(b]) и плотностью распределения частот 沙左=ck. В представлении взаимодействия и приближении вращающейся волны гамильтониан взаимодействия имеет простой вид

方⑴=/z£gk[bi>—人)力 + o+bk 以)％(8.2.1)

k

где d_ = \b)(o| и(7十 =|a)(6| выражены через векторы возбужденного (|а)) и основного (|Ь〉) состояний. Теперь система соответствует двухуровневому атому (р^ = ратом) • Подставляя энергию взаимодействия % (выражение (8.2.1)) в уравнение движения (8.1*7) для рs = Ратом, получаем

t

Ратом = —Еj2^(bi}^^^^M]^^- и^Еgkgk 义

k2 k,k‘

X {匕—。一0ат°м(，)— 2。一然 KJ +

+ к^а+ратом(г) 。+0ат。£У)。一]以)"/)〈к院〉+

+ 6十。一0ат。м(у) -0—0ат。м(，2+]「g-^ 一也-入心陋坟)+ зе}, (822) где средние значения относятся к начальному состоянию резервуара. С этого момента мы выбираем частную модель состояний резервуара.

Тепловой резервуар. В качестве первого примера предположим, что переменные резервуара распределены по некоррелированной тепловой равновесной смеси состояний. Приведенный оператор плотности такого резервуара является многомодовым обобщением теплового оператора, а именно

= 0 ехр (—爲 Jexp (—厘卢)，(8.2.3)

где &в ——постоянная Больцмана и Т ——температура. Легко показать, что

(Ьк) = (К〉= 0,(8.2.4а)

"亡")=现證财，(8246)

伍 b]J = (nk + l)4v,(8.2.4b)

(6k6v) = (b+6+) = 0,(824r)

где среднее число бозонов

现二[GXP (К) -*(825)

Подставляя средние значения из (8.2.4) в уравнение (8.2.2), получаем

Ратом = —〃 Г 或{匕—* Аггом (力')—^+Ратом(^)а-]^к e^2(w^^)(^^)+

+ [a^a^paтом (力)一 0-paToM(t>+](nk + 1) 人)(力т')} + э.с. (826)

Теперь выполним ту же процедуру, что была сделана в теории спонтанного излучения Вайскопфа-Вигнера.

Сумму по к можно заменить интегралом с помощью стандартного рецепта (см. (639)):

2тг 7ГОО

(827)(827)У^ 7 2 ^[з I d0 d" sin 犷 dk k2

(827)

(827)

к00О

где V ——объем квантования. Интегрирование в уравнении (8.2.6) можно выполнить в приближении Вайскопфа-Вигнера, как уже обсуждалось в разд. 6.3. Тогда мы получаем интегралы вида (6.3.12). Таким образом, находим приведенный оператор ПЛОТНОСТИ Ратом,

Ратом (右)=一птепл е匕一 0+0атоm (力)一0+0атом (力)0一]一 _ г

一(п тепл + 1)万g+0一 1Pатом (力)一0一1Pатом (力)0+] + 3e,(828)

(829)(829)「“e 几тепл —几к。(“0 = g/c) И

(829)

(829)

4тгео 3 辰з

——скорость релаксации атома, идентичная константе релаксации (6.3.14), выведенной в теории спонтанного излучения Вайскопфа^Вигнера. При выводе уравнения (8.2.8) мы воспользовались величиной g^ из (6.1.8).

Теперь уравнение движения для элементов матрицы плотности атома можно получить из уравнения (8.2.8):

(8210а)(82106)(8.2.10b)(8210а)(82106)(8.2.10b)Раа =〈а|0атом|&〉= 一(几 тепл + 1)『0аа + 几 теплГ/^ЬЬ,РаЬ = Pha =—(几тепл + g) РаЬ,

(8210а)

(82106)

(8.2.10b)

(8210а)

(82106)

(8.2.10b)

Pbb =—几тепл『06Ь 十(^тепл + 1)『0аа*

Отметим, что раа + р^ь = 0. Это соотношение справедливо благодаря тому, что мы рассматриваем переход из верхнего состояния |а) только в нижнее состояние

\Ь). Поэтому, согласно условию сохранения вероятности, подразумевается, что раа + + ръь = 1- Эта ситуация отличается от той, которая обсуждалась в разд. 5.3, где атомные состояния |а) и \ Ь) распадались в другие состояния через безызлучательные переходы. При нулевой температуре (птеПл = 0) уравнения сводятся к следующим:

Раа = —^Раа , ._ГРаЬ =—万 Pab 7Pbb = Г Paa •Раа = —^Раа , ._ГРаЬ =—万 Pab 7Pbb = Г Paa •(8211a)

Раа = —^Раа , ._Г

РаЬ =—万 Pab 7

Pbb = Г Paa •

Раа = —^Раа , ._Г

РаЬ =—万 Pab 7

Pbb = Г Paa •

(82116)

(8.2.11b)

Уравнение (8.2.11a) представляет собой как раз результат Вайскопфа^Вигнера (6.3.15).

Резервуар сжатого вакуума. Во втором примере рассматривается ситу™ ация, когда атом связан с резервуаром сжатого вакуумного поля. Приведенный оператор плотности резервуара имеет вид

OR =居〉日=nSk(H2k〉伍限(8212)

k

где оператор сжатия (см. выражение (2.8.9) с 6k = b(ck) и т. д.) определяется выражением

Я(€) = exp(fk+kb …TK"J J(8213)

где £ =『exp(〃"), r — параметр сжатия и 少一опорная фаза сжатого поля. Многомодо™ вое сжатое поле не является просто произведением независимо сжатых мод, а скорее существует корреляция между модами, симметрично расположенными относительно центральной, резонансной частоты 沙=скд сжимающего устройства. Следуя методу, который использовался при выводе соотношений (2.7.6) и (2.7.7), получаем

s1tk/kSk—ко = bkch(『)—矶厂*%9),(8214a)

St—k/tSjk° =竝❶⑺—Ь2к°—к「Е%М『)”(82146)

Аналогичные выражения существуют для S^—k^kSko—k и S^Q_kb^S^o^. Поэтому вычисление средних значений, таких как {Ь^ЬТ/}^ можно упростить, записав

〈К%〉= n(0q|S+b+SqS+6vSq|0q).(8215)

q

Следовательно

〈bk〉= (Ь+) = 0,(8216а)

〈岐“〉= $}/(『) bkk，，(82166)

(bkbt〉= ch2(г) 8kK(8.2.16b)

〈bkbk"二—Q” sh(r) ch(『)bkNk。—k,(8.2.16г)

〈К陆〉=-「％М『)31(г) 8k\2k。—匕(8.2.16д)

Подставляя выражения (8.2.16а™8.2.16д) в уравнение (8.2.2) и поступая также, как и при выводе уравнения (8.2.8), получаем

Ратом = —Е ch (『)(。十(Г—1Pатом - 2(7—0атом。+ + 0атомЬ+。—) 一

—万 sh (『)(<Т—(Т+0атом — 2(Т+0атомЬ— + Оатом。—。+)—

—Г 6-2日 sh(r) ch(『)(T—Оатом。— 一 Г 已2日 sh(r) ch(r)a+paTOM(T+. (8.2.17)

При выводе уравнения (8.2.17) было использовано соотношение а^а^ = а+(т+ = 0.

Из (8.2.17) следует, что уравнения движения для средних значений операторов ах = (ст_ +(т+)/2, ау = (ст_ — a+)/2i и az = (2(т+(т_ — 1) имеют вид

(%〉=一^产*廿〉(8218a)

(…-卜师〉，(82186)

亿〉=-r[2sh2(r) + 1](а,)^Г = —Мб〉— Г,(8.2.18b)

где Г% = Г[2 sh2(r) + 1], и выбрана фаза 犷=仇 Поэтому ясно, что резервуар сжатого вакуума приводит к фазово-чувствительной релаксации атома. Синфазная и квадратурная составляющие, (ах) и (а^), дипольного момента атома релаксируют с различными скоростями, в зависимости от его начальной фазы относительно фазы 犷 сжатого вакуума.

Релаксация поля

Метод, развитый в предыдущем параграфе, можно применить к затуханию моды электромагнитного поля частотой 沙 внутри резонатора. Вместо (8.2.1) теперь воо пользуемся гамильтонианом взаимодействия в виде

Г =九 e^[仇>「9—人)方 + a+bk”"jQl，(8.3.1)

k

где a (&+)——оператор уничтожения (рождения) интересующей нас моды. Операторы bk и Ь± описывают моды резервуара, вызывающие затухание поля. Для потерь, обусловленных пропусканием, они в действительности представляют собой поле вне резонатора.

Уравнение движения для приведенного оператора плотности поля можно легко получить, так как его вывод точно такой же, как и для атомной системы, которая уже обсуждалась в предыдущем разделе. Это можно сделать, заменив(т_ и。+ полевыми операторами а и а+, соответственно.

Когда моды bk изначально находятся в тепловой равновесной смеси состояний (8.2.3), тогда результат имеет вид

0 = — уптепл(аа+р — 2а+ра + раа+) — — (птепл + 1)(а+ар — 2ара+ + ра+а). (8.3.2)

где, как и ранее,泼一постоянная затухания, и птепл = Пк0 — среднее число квантов (на частоте 沙)в тепловом резервуаре. Здесь р ——приведенный оператор плотности для поля. В частности, при нулевой температуре (птепл = 0),

0 = ^ (а* ар — 2ара+ + ра^ а).(8.3.3)

Если все потери являются потерями, обусловленными пропусканием, тогда 泼 можно связать с добротностью Q резонатора с помощью соотношения 泼=沙/Q"

Когда моды bk изначально находятся в состоянии сжатого вакуума (выражение (8.2.12)), то получается следующее уравнение движения для приведенного оператора плотности р

0 =万(N + l)(a^ap — 2”q+ + pa^ a) — ^ N (aa+p — 2a^ pa + poa+) +

+ ^M(aap — 2apa + раа) + ^Ж*(а+а+0 — 2a+pa+ + pa^ a^\ (8.3.4) где N = sh2(r) и M = ch(r) sh(r) exp(^ii9). Это уравнение описывает, например, эволюцию поля в резонаторе, связанном через частично прозрачное зеркало с внешним полем, которое находится в состоянии сжатого вакуума. Уравнение движения в случае теплового резервуара (8.3.2) можно получить из уравнения (8.3.4) с помощью подстановки N Т птеПл, М ^ 0. Однако в случае резервуара сжатого вакуума параметры Ж и М связаны друг с другом соотношением |М| = [N(N + I)]1/2.

Уравнение Фоккера-Планка

Особенно интересным представлением, в которое можно преобразовать уравнение движения для оператора плотности, является представление когерентных состояний или F-представление, уже обсуждавшееся в гл. 3. В этом параграфе мы выведем уравнение движения для Р-распределения, которое соответствует уравнению (8.3.2) для оператора плотности моды гармонического осциллятора, затухающей при взаи™ модействии с тепловым резервуаром, заполненным гармоническими осцилляторами. Итоговое уравнение будет иметь вид уравнения Фоккера^Планка. Решение этого уравнения раскроет некоторые интересные черты временной эволюции распределения поля.

Подставим Р~представление оператора плотности (3.1.16)

(841)(841)р = F(a, a*, t)|a)(a| d2a

(841)

(841)

в уравнение (8.3.2). Тогда получаем

Р(а, а*,力)|а〉〈а| d2a =

穹 f

=—^兩епл 月(а, а*, t)(aa+|a)(a| — 2а+|а)(а|а + |а)(а|аа+) *а—

@r

—^"(%епл + 1)月(а, а*, t)(a+a|a)(a| — 2а|а)(а|а+ + |а〉〈а|&+&) d%* (8.4.2)

Из соотношений

а+|а〉〈а| = (К + а*) |а〉〈а|，(8.4.3a)

а|а)(а| = а|а)(а|,(8.4.36)

|а)(а|а+ = а*|а)(а|,(8.4.Зв)

|а〉〈а|& = (£ + «) 1«)(«1(8.4.3г)

следует, что

аа+|а〉〈а| — 2а+|а)(а|а + |а)(а|аа+ =

+ а*) а - 2 ^™~— + of+ а*) а - 2 ^™~— + of+ Q ) ++ Q ) ++ а) а*] |а〉〈а| =+ а) а*] |а〉〈а| =

+ а*) а - 2 ^™~— + of

+ а*) а - 2 ^™~— + of

+ Q ) +

+ Q ) +

+ а) а*] |а〉〈а| =

+ а) а*] |а〉〈а| =

(а£ + а* 鼻+ 2瓦4}a〉Sh (8ЛЛ)

а+а\а){а\ — 2а|а)(а|а+ + \а) (а\а+ а =

=[a 後 + a*) - 2 同2 + a* (善 +a)]旧)д1.=

=(а^Ь + °*券)|а〉〈" (845)

Теперь подставим (8.4.4) и (8.4.5) в уравнение (8.4.2) и проинтегрируем результат по частям. Выполняя это, получаем

鳥аР(а, а*,力)]|а)(а| d2a.鳥аР(а, а*,力)]|а)(а| d2a.(846)(846)Р(а, а*,力)(а£|а〉〈а|) d2a =

鳥аР(а, а*,力)]|а)(а| d2a.

鳥аР(а, а*,力)]|а)(а| d2a.

(846)

(846)

二 аР(а, а*, t)|а)(а|

Поскольку на бесконечности распределение стремится к нулю, уравнение (8.4.6)

приобретает вид

口％ а*〉力)(q^™|q〉〈q|) d% = — [-^™аР(а, а*, t)j |a)(a|d2a.(8.4.7)

Аналогичным образом

Р(а,а*М)片& =^^月⑺ d2d (848)

Тогда из уравнения (8.4.2) имеем

户(а, а*,力)|а〉〈а| d2a =

万（瓦^ +瓦Т +2』л瓦寸）口…⑴万（瓦^ +瓦Т +2』л瓦寸）口…⑴|а)(а| d2a.|а)(а| d2a.(849)(849)

万（瓦^ +瓦Т +2』л瓦寸）口…⑴

万（瓦^ +瓦Т +2』л瓦寸）口…⑴

|а)(а| d2a.

|а)(а| d2a.

(849)

(849)

Приравнивая коэффициенты при |а)(а| под знаками интегралов, получаем уравне™ ние движения для Р(а, а*,力)в виде

^ = у月 + 泼兩епл •(8.4.10)

2 J \да/даоа'

Это и есть уравнение Фоккера^Планка для Р-распределения.

Найдем теперь решение уравнения Фоккера^Планка. Предположим, что поле изначально находится в когерентном состоянии |а()), т.е.

В гауссовом представлении 5-функции имеем

0) = 1吧 gexp ( _心厂『)*(8412)

Поэтому мы ищем решение уравнения (8.4.10) в виде

Р(а, а*, 0) = вхр[—а⑴ + b⑴а + с⑴а* — d⑴аа*](8.4.13)

при начальных условиях

а(0) = "' + 1п(тг8),

(8.4.14а)

Ь(0) = Q%/*

(8.4.146)

с(О) = Qo/%

(8Л.14в)

d(0) = 1/е*

(8.4.14г)

Подставляя выражение (8.4.13) для「(&)&*)力)и выполняя необходимые операции дифференцирования по t и а, получаем

—G + Ьа + са* — »|а『=

=钾 1 + 72тепл(Ьс — d) + (g — 72Terwbd) а + (g 一 72тештС^) Q* — (d — 72Tепл d?) | Q「•

(8415)

Сравнение членов, пропорциональных |а|2, а*, а и единице, приводит к следующей системе дифференциальных уравнений:

才="^(d ■九тепл "),

(8416a)

6泼(/ 一几 тепл с"))

(84166)

'=泼—九теплЬ"))

(8Л.16в)

& = —*^[1 + ПтеПл(^с — d)「

(8416f)

Решение этих уравнений при начальных условиях (8.4.14а)-(8.4.14г) имеет вид

d⑴=

1

(8417а)

九тепл— е) + £ е

c⑴=

е /

(84176)

九тепл (1 — е) + £ е

b⑴=

(8Л.17в)

九тепл (1 — В) + £ £

1j 2— t

?^тепл — е) + £ е

.例 + 1п{7г[?гтепл(1 е ) + е е ]}.

(8.4.17г)

Подстановка этих решений в уравнение (8.4.13) приводит к гауссову виду

Р(а, а*,力):

「(％&〕)= ^ехр「工尸[,(8418)

где

=%епл(1 —厂穹土)(8419)

——дисперсия функции Гаусса около ее среднего значения,

QoU⑴=&о分匕(8.4.20)

В выражении (8.4.20) мы включили множитель вхр(—分〃力))возвращаясь обратно из представления взаимодействия в представление Шредингера.

Дисперсия D(t) растет, начиная с нулевого значения, в то время как центр гауссо™ ва распределения циркулирует по экспоненциальной спирали, заданной выражением (8.4.20). Это показано на рис. 8.1, где P-распределение изображено как функция

Рис. 8.1. F-представление для комплексной амплитуды моды гармонического осциллятора, затухающей при взаимодействии с тепловым резервуаром. Мода гармонического осциллятора начинает эволюцию из когерентного состояния |а) в момент времени 力=0, а среднее значение амплитуды движется по экспоненциальной спирали, непрерывно уменьшаясь по модулю, в то время как дисперсия амплитуды растет

комплексной амплитуды а. Когда время t намного больше, чем время затухания 泼 распределение поля приходит к равновесию с осцилляторным тепловым резервуаром. В этом стационарном состоянии дисперсия принимает свое предельное значение пТепл, и распределение Гаусса центрировано в начале системы координат. Таким образом, поле передает свое первоначальное возбуждение в тепловой резервуар осцилляторов, но приобретает шум в процессе затухания. Это является проявлением флуктуационно-диссипационной теоремы, т. е. диссипация через тепловой резервуар осцилляторов сопровождается флуктуациями. Мы обсудим это в следующей главе.

Интересно отметить, что если взять тепловой резервуар, находящийся при нулевой температуре, (птеПл = 0), то дисперсия 0(力)остается нулевой для всех значений времен и Р(а, а*,力)всегда остается ^функцией, т. е.

Р(а, а*/) = b⑵[& — Q()U⑴]•(8421)

Состояние поля остается для всех времен чистым когерентным состоянием. Эта форма диссипация полностью свободна от шума.

Описание релаксации с помощью «квантовых скачков»

Исторически понятия квантовых скачков и мгновенного коллапса волновой функ™ ции восходят к ранним дням становления квантовой механики, когда Эйнштейн вы™ сказывал свою озабоченность по поводу исходящей сферической волны, «коллапсирующей» при детектировании фотоэлектрона; и к представлениям Бора, касающимся излучения света, когда атом «прыгает» между боровскими орбитами.

Между тем, с приходом квантовой механики вопрос о квантовых скачках в целом стал приобретать новые перспективы. Были введены представления об атомных переходах и часто можно было встретить утверждение, что «нет таких вещей как квантовые скачки».

Недавно в работе Демельта и других было ясно показано, что резкие скачки появляются во многих явлениях квантовой оптики. К таким примерам можно отнести блестящую работу, посвященную одиночному иону в ловушке Паули.

Совсем недавно был развит новый подход «квантовых скачков» к проблеме дис™ сипации, и здесь можно встретить такие названия и концепции как: метод Монте Карло, квантовые траектории, коллапс или редукция вектора состояния, отсутствие отсчета или «нулевое» измерение, и матрица условной вероятности. Здесь мы кратко познакомим вас с этими интересными идеями применительно к релаксации или диссипации в квантовой оптике.

Условные операторы плотности и нулевое измерение. В предыдущих разделах этой главы была развита теория релаксации или диссипации в квантовой меха™ нике с точки зрения оператора плотности. Теория обычно приводит к уравнению вида (8.3.3), которое описывает затухание отдельной моды резонатора при температуре Т = 0. При выводе уравнения использовалась модель резервуара с большим числом осцилляторов, например, взаимодействие мод резонатора с внешними фононами. Тем

Рис. 8.2. Пучок двухуровневых атомов, находящихся в основном состоянии |Ь), проходитчерез резонатор

не менее результат (8.3.3) не зависит от модели и здесь мы вновь исследуем эту проблему, используя другую модель, которая приведет нас естественным образом к другой точке зрения, касающейся процессов диссипации.

Рассмотрим модель, изображенную на рис. 8.2, в которой атомы, находящиеся в основном состоянии, пропускаются через резонатор, настроенный на частоту атомного перехода, т. е. гамильтониан в представлении взаимодействия имеет вид

Рассмотрим оператор плотности поля p(t + т) в момент времени t + т, который получается в результате инжекции атомов, находящихся в основном состоянии, в рв『 зонатор в момент времени 力 т. е.

р(力 + т) = Тгатом [&т"/^⑴ 0 份® 巳沙"勺=

=(® Iратом—поле(力 + 丁)10)+ (^)ратом—поле(力 + 丁)1ь)*(852)

Естественно отождествить два члена в (8.5.2) с «условными» операторами плот™ ности, т. е.

pa(t + т) = условный оператор плотности поля, атом возбужден =

二 S| e^T^p(t) 0 而® е^Т^\а),(853а)

Pb(t + 丁) = условный оператор плотности поля, атом не возбужден =

=®⑴ 0 IS® ёГт^\Ь}.(8536)

Можно рассматривать ра и рь как условные операторы плотности, соответствую™ щие тому, что в пучке атомов мы зарегистрировали отсчет (атом возбужден) или не зарегистрировали его (атом находится в основном состоянии). Таким образом, атомный пучок выполняет две функции: он является механизмом диссипации и он также является своего рода пробником или фотодетектором для поля.

Далее отметим, что на малых временах 丁 можно разложить множители ехр(±г'Ут/В) и получить, что

pa(t + т) = g2T2ap(t)a+,(8.5.4а)

pb(t + т) = р⑴一^g2T2[a+ap(t) + p(t)a+a] = e^Rra+ap(t) e^Rra+a, (8.5.46)

где R = g2r/2.

Теперь сделаем следующий важный шаг. Устремим 丁 f 0 и допустим, что выра™ жение (8.5.4а) связано с «квантовым скачком» фотопоглощения в момент времени t. Тогда, если рассматривать процесс, в котором наблюдается п отсчетов в моменты времени 力匕 力2)…「力?г)при отсутствии отсчетов в промежутках между этими момвн- там и, то условный оператор плотности имеет вид

0(①=嘱…6(幻一⑴0「5如0(0)义

х e^stla+ e^s^tl} . . . a+ 厂仔&一―力仪+厂s«Tn)]/ T『，(8.5.5) где S = Aa+a, и след в знаменателе ——нормировочный множитель. Выражение можно упростить^ учитывая то)нто)например〉

Р —S(幻一力I)е р 一S右 1 — Q —Ro+a(力2 一十 1) е р 一Аа+а力 1 _

=也Т1)厂五。十哈еЯа+айае^Яа+ай =厂五小血 厂此1欧(8.5.6)

Это соотношение можно использовать многократно и привести выражение (8.5.5) к простому виду

at п /с、 +n —Ra+at：

产 ⑴=2-.迎出—.I：——,(857)

Tr [p(0)a+n e^2Ra atan]

где разнообразные множители типа вхр(—兄力i) сокращаются благодаря нормировке. Выражение (8.5.7) (и его обобщения) является основным результатом этого раздела.

В частности, если взять в качестве р(0) оператор плотности чистого состояния р(0)= =|^(0))(^(0)|, то (857) можно записать следующим образом:

*)«) =*)«) =「J”以 0)〉у (^(0)|a+n e^2Ra+atan\^(0))「J”以 0)〉у (^(0)|a+n e^2Ra+atan\^(0))у (^;(0)|a+n e^2Ra+atan\^(Q))у (^;(0)|a+n e^2Ra+atan\^(Q))(858)(858)

*)«) =

*)«) =

「J”以 0)〉

у (^(0)|a+n e^2Ra+atan\^(0))

「J”以 0)〉

у (^(0)|a+n e^2Ra+atan\^(0))

у (^;(0)|a+n e^2Ra+atan\^(Q))

у (^;(0)|a+n e^2Ra+atan\^(Q))

(858)

(858)

Уравнение (8.5.8) является исходным для наиболее простого и естественного введе™ ния метода волновой функции в описании диссипативных процессов.

Метод Монте Карло для волновой функции при описании релаксации. Пользуясь результатом предыдущего раздела, т. е. выражением (8.5.8), представим здесь краткий расчет затухания в рамках метода волновой функции. Для того, чтобы раскрыть основные идеи, мы продолжим рассмотрение простой задачи релаксации одномодового поля, но возьмем более общий резервуар, такой, как разд. 8.3. Таким образом, скорость релаксации R больше не определяется временем т, а задается более короткими временами корреляции резервуара. Выражение (8.5.8) приводит нас к записи «условного вектора состояния»

у (^(t)\a+n e^2Ra+aStan\^(t))

представляющего собой состояние поля, возникающее из |吵(力)〉при условии, что п фотонов поглотилось в течение времени St. В частности, особый интерес представ™ ля ют собой состояния, включающие в себя только одно событие поглощения или ни одного. Состояние в момент времени t ^ St для п = 0 (ноль измерений), имеет вид

砂⑼(t + 济))=e-R“+“叫以室 l- Ra+a8t(8.5.10a)

где〈〃+〃〉= (ф^)\а+а\ф^)); а состояние, соответствующее n = 1, (квантовый скачок) есть

I 吵(1)(力)一生7I 以力»(85106)

у (⑦⑴|a+ e^2Ra+aSta\^(t)) v〈。+。〉

Например, если начальное квантовое состояние полевой моды имеет вид

I 吵⑴〉=“⑴ |0〉+ 5⑴ |1〉，(8.5.11)

то (8.5.10а) и (8.5.106) означают условные векторы состояния

Между тем, мы хотим описать эволюцию из состояния |吵(力)〉)заданного выражением (8.5.11), в более общее состояние в последующие моменты времени, которое должно стать в конце концов состоянием |0). Как видно из (8.5.10а) в течение времени St нв『 нормированное состояние «нет отсчета» или «нулевое измерение» |吵〉удовлетворяет уравнению движения

浊…科⑴〉，(8513a)

то есть

力 @(о)⑴〉=^^ihRa+a)\^{t)).(85136)

Таким образом, в отсутствие поглощения мы вынуждены описывать временную эволюцию ненормированного вектора состояния с помощью неунитарного уравнения Шредингера

的屯⑼⑴〉晶⑼⑴〉"(8514)

которое определяется неэрмитовым гамильтонианом

% = —iARa+a,"(8.5.15)

Конечно, развитие во времени, которое подразумевается в уравнении (8.5.14), прерывается в случайные моменты времени квантовыми скачками или коллапсами волновой функции. Когда такой коллапс происходит, состояние задается вектором |0). Это происходит только один раз. Начиная с этого момента времени и далее поле находится в вакуумном состоянии. Продолжая рассмотрение нашего простого приме™ ра, заметим, что, согласно уравнению (8.5.14), ненормированный вектор состояния

晶⑴)=瓦⑴|0〉+31(力1)

(8516)

удовлетворяет простым уравнениям движения

瓦⑴=0,

(8.5.17а)

我1⑴=一r2⑴，

(85176)

которые означают, что

coW = co(O),

(8518а)

31⑴=瓦⑼「玖"

(85186)

Соответствующие нормированные амплитуды вероятности имеют вид

V|Co(o)|2 + |Cl(o)|2e^2^^

V|co(O)|2 + |Ci(O)|2e^2^

(8519a)

(85196)

Таким образом, мы имеем полностью когерентную эволюцию условного вектора состояния до точки коллапса,

(8520)(8520)田= со(())|。〉+ ci(0)勺1〉

(8520)

(8520)

，0(0)|2+15 ⑼ 2及

Отметим, что при 力 f g состояние |吵⑼(0)〉f |0). Получилось так, как должно было быть, поскольку условное состояние |吵⑼⑴〉является следствием допущения, что ни один фотон не поглотился. Поэтому, если по прошествии большого времени мы ни разу не зафиксировали «отсчет», то из этого следует вывод, что мы должны были все время находиться в вакуумном состоянии |0). Подводя итог, можно заключить, что согласно уравнению (8.5.14) поле развивается, начиная с момента 力=0 “о

некоторого момента времени 力 и между t nt ^ 8t происходит скачок, т. е.

I 吵⑼⑴〉=Со(О)|О) + ci(0)|l)(8521а)

«нет отсчетов» при 0 f 力

I 吵⑴)=b⑴ IS+ 5⑴卩)(85216)

коллапс при t t ^ §t

I以力+先))=-方-；-7不■j吵⑴)=I。)，(8521b)

где с。⑴ и 5⑴ в (8.5.216) задаются выражениями (8.5.19а) и (8.5.196), а (8.5.21в) следует из (8.5.106). Теперь вспомним, что вероятность коллапса или скачка в момент времени t задается оператором плотности, обусловленным событием поглощения одного фотона, т. е., «отсчетом». Имея это в виду, запишем уравнение (8.3.3) при 兄二％'/2 в виде

р = —R(a^ap + ра^ а) + 2Rapa^

=一力% 0 一 Р'^) + ?a竽叫(8522)

=0(нвт отсчета) + р(отсчет).

Следовательно, вероятность коллапса между t и t ^ St определяется выражением

Тг [р(отсчет)]5^ = 2R8t Тг [p(t)a+a]=

=2兄先〈吵⑴|а+о|吵⑴〉=2兄吊 <]；；；；；："电(8523)

Поэтому, для данной задачи, из уравнений (8.5.16)^(8.5.196) и (8.5.23) вытекает следующее выражение для вероятности скачка:

р — 2RStII:—§一： (8 5 24)

2ЯМ|Со(о)|2 + |С1(0)|25)

Наконец, переведем вышесказанное в диаграмму вероятности найти фотон в рв『 зонаторе по истечении времени 力 при условии, что cq(0) = 0 и ci(0) = 1, т. е. когда Скачок(^) = 2RSt. Сделаем это с помощью метода Монте Карло следующим образом. Во-первых, начнем рассмотрение поля в состоянии |1) с Ci(0) = 1 и выберем число между 0 и 1, используя компьютерный генератор случайных чисел. Если число меньше, чем Скачок(0), то считается, что скачок или коллапс произошел, и число фотонов полагается равным нулю. Между тем, более вероятно, что это число будет больше, чем /%,качок, и тогда мы заново проводим расчет |吵⑴〉с помощью выражения (8.5.20) и затем начинаем все снова. Эту процедуру повторяем п раз до тех пор пока случайное число не окажется меньше, чем J%rKa4OK(t) в (8.5.24). После этого сделаем

запись в нашу таблицу следующим образом:

t = 0

1 以力)〉=co(O)|O) + ci(0)|l)

«эволюция»

t = 5t

1 吵(吊))= Co(St^O) + 5(先)11)

«эволюция»

t = 2St

1 以2b")= 0)(2先)10)+ 5(2先)11)

«эволюция»

：(8525)

«эволюция»

t 二 n3t

^(nSt))二 CQ(n6t)\Q) + ci(nSt)\l)

«коллапс»

f = (n + 1)8力

血网+ 1)綺］)=|9

Нет необходимости говорить, что простой предыдущий пример был выбран в пе™ дагогических целях. Методом квантовых скачков Монте Карло можно решить, и бы™ ло решено, множество более сложных задач. Среди них можно отметить спонтанное излучение, резонансную флуоресценцию, доплеровское охлаждение, пленение населенности и линию темного резонанса 9 , и это составляет лишь малую часть списка.

В заключение отметим, что метод, представленный в этом разделе, часто называют «методом квантовых траекторий». Также можно отметить интересную работу Виллиса Лэмба, в которой рассчитаны траектории гауссовых волновых пакетов с целью разработки квантовой теории некоторых проблем, связанных с процессом измерения. Эта работа также предполагает компьютерный анализ, чтобы наглядно изобразить (случайные) результаты эксперимента.

Задачи

Выведите соотношения (8.2.14а) и (8.2.146) и используйте эти результаты для того, чтобы рассчитать корреляционные функции (8.2.16а)-(8.2.16д).

Уравнение движения для приведенного оператора плотности, описывающего поле одномодового резонатора, взаимодействующего с вакуумным резервуаром через частично пропускающее зеркало, имеет вид

0 = — — (а^ар — 2ара+ + ра^ а).

1) Имеется ввиду определенное сочетание частот поля накачки и пробного поля, при которых возникает пленение населенности в темном состоянии.——Примеч. ред. пер.

Здесь 泼——скорость затухания, связанная с добротностью Q резонатора соотношением 泼=〃/Q. Выведите уравнения движения для соответствующих величин и затем решите их чтобы показать, что среднеквадратичные отклонения (△Xi)； и (厶*?)；, где Xi = (о + о+)/2 и X? = (о — а+)/2г, увеличиваются бла™ годаря диссипации (флуктуационно-диссипационная теорема!). Эту ситуацию можно рассматривать как случай бозонной моды, некоррелированной с полем резонатора, которая входит в резонатор через частично пропускающее зеркало, и следовательно добавляет некоррелированный шум.

Если резервуар из предыдущей задачи находится в состоянии многомодового сжатого вакуума, то уравнение движения для приведенного оператора плотности имеет вид (8.3.4). Как и в предыдущем случае, вычислите среднеквад™ ратичные отклонения (AXi)^ и (/кХ?)；" Можно ли подавить в этой ситуации добавочный шум?

Для теплового резервуара

р =—万(兩епл + 1)(о+о0 — 2ара+ + ра+а) — -^птепл(аа+р — 2а+ра + раа+\ где птеПл — среднее число фотонов в резервуаре. Выведите соответствующее уравнение для Q-распределения и решите его.

Выведите уравнения (8.2.18а)-(8.2.18с).

Список литературы

Квантовая теория релаксации и диссипации

Lax, М. Phys. Rev. 145, 110 (1966).

Weidlich, W. Risken, H. and Haken, H. Z. Phys. 201, 369 (1967).

Haken, H. Laser Theory, (Springer, Berlin 1970).

Louisell, W. Quantum Statistical Properties of Radiation^ (Wiley, New York 1974).

Sargent III, M., Scully, M. and Lamb, W. B., Jr., Laser Physics (Addison-Wesley, Reading, MA 1974).

* Ахманов C.A., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику (Наука, Москва, 1981).

* Coleman, A. J., Yukalov, V. I. Reduced density matrixes (Springer, Berlin 2000).

Релаксация в условиях сжатого вакуума

Collett, М. J. and Gardiner, С. W. Phys. Rev. A 30, 1386 (1984).

Gardiner, C. W. Phys. Rev. Lett. 56, 1917 (1986).

Gea-Banacloche, J., Scully, M. O. and Zubairy, M. S. Phys. Scripta T21, 81 (1988).

P-представление моды гармонического осциллятора, затухающей при взаимодействии с тепловым резервуаром

Glauber, R. J. in Quantum Optics and Electronics, Les Houches, ed. C. DeWitt, A. Blanch, and C. Cohen-Tannoudji (Gordon and Breach, New York 1965), p. 331. [Глаубер P. В кн. Квантовая оптика и квантовая радиофизика (Мир, Москва, 1966), с. 91-279.]

Glauber, R. J. in New Techniques and Ideas in Quantum Measurement Theory. Annals of the New York Academy of Sciences^ Vol. 480, ed. D. M. Greenberger (1986), p. 336.

Квантовые скачки

Dehmelt, Н. J. Bull. Am. Phys. Soc. 20, 60 (1975).

Cook, R. J. and Kimble, H. J. Phys. Rev. Lett. 54, 1023 (1985).

Cohen-Tanoudji, C. and Dalibard, J. Europhys. Lett. 1, 441 (1986).

Nagourney, W., Sandberg, J. and Dehmelt, H. Phys. Rev. Lett. 56, 2797 (1986).

Sauter, Th., Blatt, R., Neuhauser, W. and Toschek, P. E. Opt. Commun. 60, 287 (1986).

Schenzle, A., DeVoe, R. G. and Brewer, R. G. Phys. Rev. A 33, 2127 (1986).

Nienhuis, G. Phys. Rev. / 35, 4639 (1987).

Zoller, P., Marte, M. and Walls, D. F. Phys. Rev. A 35, 198 (1987).

Porrati, M. and Puttermann, S. Phys. Rev. / 36, 925 (1987).

Reynaud, S., Dalibard, J. and Cohen-Tannoudji, C. IEEE Journal of Quantum Electronics 24, 1395 (1988).

Bergquist, J. C., Itano, W. M., Hulet, R. G. and Wineland, D. J. Phys. Scripta T22, 79 (1988).

Общая теория непрерывных измерений

Srinivas, М. D. and Davies, E. B. Opt. Acta 28, 981 (1981).

Ueda, M. and Kitagawa, M. K. Phys. Rev. Lett. 68, 3424 (1992).

Метод Монте Карло для волновой функции

Dalibard, J., Cast-in, Y. and M01mer, К. Phys. Rev. Lett. 68, 580 (1992).

Carmichael, H. J. An Open Systems Approach to Quantum Optics (Springer-Verlag, Berlin 1993).

Квантовая теория измерения и траекторий

Lamb, W. Е., Jr., Physics Today, 22, 23 (1969); Proc. 2nd Int. Symp. Found, of Quant. Meeh. (Tokyo 1986), p. 185.

Lamb, W. E., Jr., in New Techniques and Ideas in Quantum Measurement Theory. Annals of the New York Academy of Sciences^ Vol. 480, ed. D. M. Greenberger (1986), p. 407.

Lamb, W. E., Jr., in Quantum Measurement and Chaos, ed. E. Pike and S. Sarkar (Plenum, New York 1987), p. 183.

Глава 9

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ

РЕЛАКСАЦИИ — МЕТОД

ГЕЙЗЕНБЕРГА-ЛАНЖЕВЕНА

В предыдущей главе было получено уравнение движения для системы, эволю™ ционирующей под влиянием ненаблюдаемой системы (резервуара). При этом использовался метод оператора плотности и расчет производился в представлении взаимодействия. В этой главе та же задача взаимодействия системы и резервуара решается методом Гейзенберга^Ланжевена. При этом мы снова исключаем переменные резервуара. Результирующие уравнения для операторов системы содержат, помимо релаксационных членов, операторы шумщ вызывающие флуктуации. Эти уравнения имеют вид классических уравнений Ланжевена, описывающих, например, броуновское движение частицы, подвешенной в жидкости. Метод Гейзенберга^Ланжевена, рассматриваемый в этой главе, особенно подходит для вычисления двухвременных корреляционных функций операторов системы, которые требуются, например, для определения спектральной ширины лазера.

Сначала рассматривается релаксация гармонического осциллятора, обусловлен™ ная взаимодействием с резервуаром, состоящим из множества других простых гармонических осцилляторов. Эта система описывает, например, затухание одномодового поля в резонаторе, имеющем зеркала с потерями. В этом случае резервуар состоит из большого числа мод фононного типа, возбуждаемых в зеркалах. Кроме того, рассматривается затухание поля, обусловленное взаимодействием его с атомным резервуаром. Интересным приложением теории взаимодействия системы с резервуаром является эволюция атома в резонаторе с потерями. Показано, что скорость спонтан™ ного перехода атома может существенно возрасти, если его поместить в резонатор.

9.1. Простое рассмотрение релаксации через резервуар осцилляторов:марковский белый шум

Рассмотрим систему, состоящую из одномодового поля частоты 〃, взаимодействующего с резервуаром. Поле описывается оператором уничтожения а(力).В качестве резервуара можно взять произвольный большой ансамбль систем, имеющий много степеней свободы. Предположим, что резервуар состоит из множества осцилля™ торов (например фононов, других фотонных мод и т. д.), имеющих близкие частоты 〃к и операторы уничтожения (рождения) Ь^ (6^). Такая система, следовательно, опи™ сывает затухание гармонического осциллятора, обусловленное взаимодействием с ре= зервуаром, состоящим из множества других простых гармонических осцилляторов.

Эволюция системы «поле + резервуар» во времени определяется гамильтонианом

光=巡弋光、、(91.1)

北=hya^a + ^2 %人竝显,(9.1.2)

к

抬=%工g4竝a+。+显)*(9工3)

к

Как и прежде, Jf^ ——энергия свободного поля и мод резервуара, a J^ ——энергия взаимодействия. Операторы поля коммутируют с операторами резервуара в заданный момент времени. Отметим, что в (9.1.3) сделано обычное приближение вращающейся волны.

Уравнения движения Гейзенберга для операторов системы имеют вид

а 二 /匿，& 二—⑴—i^gkbk(t\(9.1.4)

k

k =—。以显(力)一igka(ty(9.1.5)

Нас интересует замкнутое уравнение для оператора гармонического осциллятора a(t). Уравнение для оператора резервуара bk(力)можно формально проинтегрировать и получить

显⑴=显(。)厂‘力—分gk dtfa(tf)「M(I')*(9.1.6)

о

Здесь первый член описывает свободную эволюцию мод резервуара, тогда как второй член является результатом взаимодействия этих мод с гармоническим осциллятором. Операторы резервуара bk (力)можно исключить, подставляя формальное решение для bk(力)в уравнение (9.1.4). В результате получим

a =一分〃0一£號 山‘矶，)以(I，)+ 九⑴，(9.1.7)

к О

九⑴=T£gkM0)「”"3(9.L8)

k

Оператор /«(力)в уравнении (9.1.7) является оператором шума, поскольку он зависит от операторов резервуара 6^(0). Таким образом, эволюция средних значений, содер™ жащих оператор гармонического осциллятора, зависит от флуктуаций резервуара. Оператор шума изменяется быстро, ибо содержит все частоты резервуара. Высо™ кочастотную зависимость оператора а(力)от времени можно исключить, переходя к медленно меняющемуся оператору уничтожения

a(t) = a(t) eiyt.(9工9)

Видно, что

m ⑴,G+⑴]=1,(9J.10)

и уравнение (9.1.7) сводится к

« = -Х^[ dtfa(tf) fTMi) J') + &⑴，(9JJ1)

k О

c⑴=爲⑴=TEgkbk(0)「‘3~W(9工12)

k

Интегрирование по времени в (9.1.11) аналогично тому, которое встречалось в теории Вайскопфа^Вигнера (разд. 6.3). Как и в приближении Вайскопфа^Вигнера, суммирование в (9.1.11) приводит к функции 8(力一〃)，после чего интегрирование становится осуществимым. В результате получаем

e或 dtfa(tf)二 %矶力)，(9工 13)

k В"

где константа затухания

@ = 2"收(〃)f!)(〃)*(9」」4)

Здесь g(沙)=gu/c ——константа взаимодействия, вычисляемая при 足=〃/с, и。(〃)= = V 1/2/тг2с3 (где V — объем квантования) — плотность состояний (см. (1.1.26)). Таким образом, уравнение (9.1.11) можно заменить уравнением Ланжевена:

.1

"一产⑴，(9115)

где Fa(t)——оператор шума, зависящий от переменных резервуара.

Интересно отметить, что присутствие оператора шума в уравнении (9.1.15) не™ обходимо для сохранения коммутационного соотношения (9.1.10) в любой момент времени. В отсутствии шумового члена (匾⑴=0) уравнение (9.1.15) можно решить и получить

a(t) = a(0)e^^\(9116)

Если оператор а удовлетворяет коммутационному соотношению (9.1.10) в момент времени 力=0, то

® ⑴/+#)] =厂登)(9 工 17)

что соответствует нарушению коммутационного соотношения. Оператор шума, имеющий подходящие корреляционные свойства, помогает сохранить коммута™ ционное соотношение (9.1.10) в любой момент времени. Наличие в уравнении (9.1.15) шумового члена вместе с релаксационным членом является проявлением флуктуационно-диссипационной теоремы статистической механики, то есть диссипация всегда сопровождается флуктуациями.

Предположим, что резервуар находится в состоянии теплового равновесия, так

что

(Ьк(0))д = (б+(0))д = 0,(9118)

”((Ш(。)〉=Mkkj(9 工 19)

(显(0)砧(0)〉=(现 + 1)近匕(9」.20)

(6k(0)6v(0)) = (б+(О)б+(О)) = 0.(9121)

Используя эти соотношения вместе с выражением для оператора шума (9.1.12), можно вычислить следующие корреляционные функции первого и второго порядков, содержащие &⑴*

Из (9.1.18) сразу следует, что средние по резервуарам значения операторов (力)и 尸^ (力)обращаются в нуль, то есть

(&^)〉r=(^(力)〉r=6(9122)

Используя (9.1.19), получаем

k H

=工 或刑 /("")(~)=0(以升3(以)产讯以)/М~)(~人.(9」.23) kЙ

В последней строке мы перешли обычным образом от дискретного представления к непрерывному. Теперь можно вытащить за знак интеграла медленно меняющиеся члены D(z7fc), g(〃/г) и n{uk) при значении 〃卜 = 〃 и заменить интеграл ^функцией.

В результате получим

{F±(t)F^)}R =穹兩епл “力—，)，(9.1.24)

где 扌 задается выражением (9.1.14) и птепл = n{uk). По аналогии с классической теорией Ланжевена, определим коэффициент диффузии О^+а для а+а с помощью соотношения

(堤⑴/(，))《. = 2(0小〉r 8(方一，)”(9125)

Тогда из (9.1.24) получаем следующее выражение для коэффициента диффузии:

2П+а〉ц = Ееп*(9 工 26)

Подобным образом можно показать, что

〈&⑴J^(，)〉R =穹(兩епл + 1) 8(力—S(9工27)

(%⑴冲⑺〉r=仍^⑴琨(у)〉R=0,(9工28)

так что

2〈。滿+〉R = ^(Птепл + 1),(9 工 29)

〈0淪〉r=(。"方+〉r=0.(9.1.30)

Вычислим теперь {F~^(t)a(t))r. Эта величина понадобится при выводе уравнения движения для〈石+石〉冗* Решая уравнение (9.1.15), получаем

5(f) = а(0) ехр (―^力)+ dtf ехр [一^(力一力')]^a(tf)-(9.1.31)

о

Тогда

ь兴成⑴〉r=〈琨⑴〉俞(0) exp (-^力)+

+ ]〃ехр[2 —门]〈")&(，)*• (9132) о

Здесь предполагается, что 尸石⑴ и 3(0) являются статистически независимыми. Из (9.1.22) и (9.1.24) следует, что

(F±(t)a(t))R =万％епл =(9」.33) Аналогично можно показать, что

伍+⑴&⑴)R=(9工34)

Эти корреляционные функции будут использоваться при выводе уравнений дви™ жения для корреляционных функций поля в разд. 9.3. Далее мы рассмотрим за™ тухание одномодового поля, взаимодействующего с атомным резервуаром, а также расширим и усилим данное рассмотрение резервуара осцилляторов. Главным резуль™ татом этого будет корреляционная функция оператора шума, которая не является дельта^функцией и, следовательно, соответствует «окрашенному» шуму, а не белому шуму, рассмотренному в этом разделе.

92 Расширенное рассмотрение релаксации через резервуары атомови осцилляторов: немарковский окрашенный шум

В этом разделе мы расширяем наш подход к задаче релаксации, предполагая на этот раз конечные значения времен корреляции (то есть, не дельта-функции). Вначале рассматривается механизм релаксации поля через взаимодействие с двух™ уровневыми атомами, проходящими через резонатор и распределенными по закону Больцмана. Атомы предполагаются долгоживущими и моноэнергетическими, так что они взаимодействуют с полем в резонаторе в течение фиксированного времени г. Затем мы возвращаемся к модели резервуара осцилляторов, обобщая рассмотрение и выходя за пределы марковского приближения.

Метод атомного резервуара 】). Рассмотрим затухание одномодового поля, обусловленное взаимодействием с атомами. Гамильтониан для данной задачи имеет вид

匿=比^ + %,(921)

Jfo = hua+ а + ^力〃(922)

殄=%g £[/(%)力，丁)a+c： + э.с.],(9.2.3)

где ст； и aL ——операторы, соответствующие £=му атому, и /(力勿,力,丁)——функция, описывающая появление атома в момент времени 七 и его исчезновение в более поздний момент времени 力勿 + 兀 В этом смысле функция /(力勿,力,т) является ступенчатой функцией, имеющей значения

=(924)

в противном случае.

Для простоты предположим, что влетающие атомы находятся в резонансе с полем. Используя данный гамильтониан, записываем уравнения движения для полевых

в2£：гГШеГ° 3—ТВа С МаТСРИаЛОМ СМЕ и рабе Scully, Siiss^nn and

8 М.О* Скаллт, М“С. Зубайри

и атомных операторов в представлении взаимодействия:

■⑴=一вe/(%/, 丁)鹏⑴，(925)

i

内上⑴=階/9,力 r)a>(t).(926)

Как и прежде, нас интересует замкнутое уравнение для оператора а(力)* Интегриро™ вание уравнения для атомного оператора (9.2.6) дает

亡⑴=亡(右)+ ig dtff(ti,厶 ^aKt^a^).(927)

Подставляя это выражение для aL (力)в уравнение для оператора поля, получаем

口 = g"e d，/(3 力T)/(%,厶丁)(т；(力)研，)一暗e/(右,力⑺d(右)(9.2.8)

Если поле не меняется существенно в течение времени прохождения атомов, то оператор a(tf) в уравнении (9.2.8) можно заменить оператором a(t). В линейном приближении оператор a* (tf) также заменяется своим значением в момент инжекции ст乂右)* Результирующее уравнение имеет вид

g = _g@a +%⑴，(929)

где

@=-2产 E d//(^, 3 丁)/9,厶 丁)。；(3)(9210)

% ⑴=ig^2f(ti,t,T)aL(ti).(9.2.11)

Здесь константа затухания 穹 является положительной величиной, поскольку начальное значение инверсии а* (^) является отрицательным в условиях теплового равновесия.

Можно показать, что оператор шума Fa(^) имеет моменты

〈凡⑴〉=0,(9212)

〈泛⑴%修)〉=ь£ "办,力")/&,/EHN =

”=g2[l + exp(力〃/ЕвТ)]Т £ /色，3 丁)/9,厶丁)) (9-2.13)

где учтено, что для атомов, находящихся в состоянии теплового равновесия при температуре Т, имеет место соотношение

{^(t^aLktj)} = Sij[l + ехр(Др/^вТ)]^1,(9.2.14)

которое получается из стационарного решения уравнений (8.2.10а) и (8.2.10в) с искоторое получается из стационарного решения уравнений (8.2.10а) и (8.2.10в) с использованием формулы (8.2.5). Заменяя сумми= рование по г в (9.2.13) интегрированием по времени инжекции

которое получается из стационарного решения уравнений (8.2.10а) и (8.2.10в) с ис

которое получается из стационарного решения уравнений (8.2.10а) и (8.2.10в) с ис

(9215)(9215)где га — скорость инжекции атомов в резонатор, находим

(9215)

(9215)

〈以⑴凡(У)〉二 rag2[l + ехр("/Ев7)]Т><

х J dtif(ti,t,T)f(ti,t\r). (9.2.16)

Рис. 9.1. Корреляционная функция шума〈尸^⑴凡(У)〉, задаваемая выражением (9.2.20)Рис. 9.1. Корреляционная функция шума〈尸^⑴凡(У)〉, задаваемая выражением (9.2.20)Интегрирование можно выполнить, например,

Рис. 9.1. Корреляционная функция шума〈尸^⑴凡(У)〉, задаваемая выражением (9.2.20)

Рис. 9.1. Корреляционная функция шума〈尸^⑴凡(У)〉, задаваемая выражением (9.2.20)

записывая

(9217)(9217)/（七，力丁） = ®（力一匕）一 ®（力一丁一爲），

(9217)

(9217)

где О — единичная ступенчатая функция, и используя соотношение

СЮ力 2tl

[dtj 0(tj -方勿)®(力2 -七)=®(方 1 -力2) [ d七 + ®(力2 -力 1) ] dtj.(9218)

—оо—оо—сю

Тогда получаем

I d右/色）力 丁）/（七，，丁）= 2（力 一 ，） — ®（方 一，一 丁）] ] d方什

У—Tt

+ [®（力一力'）—®（力一方'+ 丁）] [ dti + [0（，一力）—0（，一力一丁）] [ d% +

+ [®（， 一力）一®（y 一力 +丁）] I d行.（9219）

Внимательный анализ показывает, что правая часть выражения (9.2.19) равна нулю, до тех пор пока не выполнится условие 丁 》|力一力[,при удовлетворении которого правая часть становится равной 丁一 |力一У|* Таким образом, корреляционная функция (9.2.16) задается выражением

⑴凡⑺〉=卜尸(Т T 一")/产，если 1力-"' Т,

в противном случае,

где &尸 =『ag?丁2[1 + ехр(力〃/任7)]一\ и имеет вид, как показано на рис. 9.1. Это один из простейших примеров «окрашенного» шума.

Обобщенное рассмотрение задачи осцилляторного резервуара 】)• Рассмотрим теперь задачу теплового резервуара, состоящего из множества осцилляторов. В случае, когда осциллятор, характеризуемый импульсом р и координатой ж, взаимодействует с резервуаром осцилляторов, имеющих импульс pj и координату qj, гамильтониан «системы + резервуара» можно записать в виде

匿二黑+ ^тш/2d + e 訂+ I叱.崂④一方产(9221)

Отметим, что в таком виде гамильтониан (9.2.21) записан без приближения вращающейся волны. Используя стандартные коммутационные соотношения [ж, р] = ih и [qj, рд.] = ifiSjk^ находим

充7(9.2.22а)

р = ^[р,匿]=—тп〃％ +工 mjWj(Qj — ж),(9.2.226)

仇老]=為(9222b)

力== 一д吟⑨一吟(9222Г)

Дифференцируя уравнения (9.2.22а) и (9.2.22в) и используя (9.2.226) и (9.2.22г), находим

近⑴=一〃2方⑴+ e ^崂[方⑴-方⑴],(9223a)

否⑴=—若切⑴一方⑴]"(92236)

Прямой подстановкой можно проверить, что решение для qj (t) записывается в виде

qj(t)—宽⑴=q；(t) — dtf cos[wj(t tf)]x(tf)^(9.2.24)

где g,(力)——решение задачи в отсутствие взаимодействия (ж = 0):

QjW = Qjcos(9-2-25)

Здесь qj и pj — обычные зависящие от времени операторы координаты и импульса. Подставляя (9.2.24) в (9.2.23а), находим

mx(t) +d，/i(力一，)秋，)+ m〃2方⑴=尸⑴)(9.2.26)

где релаксационная функция задается выражением

/1(力一/)二 ^2 加拙；cos[wj (力一У)],(9.2.27а)

В Изложение этого раздела следует работе Ford, Lewis and О'Connell (1988).

а оператор шума принимает вид

ё⑴=£叫3冠⑴"(92276)

Уравнение (9.2.26), написанное в таком виде, очень похоже на уравнение (9.1.11). Однако задачу можно обобщить и учесть эффекты памяти, записывая следующее общее выражение для затухающего осциллятора:

mx(t) + d//i(t tf)x(tf) + my2x(t) = F(t),(9.2.28)

где

|(F(t)F(H +W)F(t)) =

=丄 du?Recthcos|w(力一力夕，(9.2.29)

о

и “ 一 фурье-образ функции 从(力).

В случае постоянного затухания, который представляет для нас наибольший интерес, Re [Д(ш + г0+)] = Г, и корреляционная функция принимает вид

^{F(t)F{tf) + F(/)F(t)) = ； do^Gcth (弟)cos[g« —门]= о

=『квТ^ cth 尸叫……"口 ■ (9.2.30)

Отметим, что выражение (9.2.30), приближаясь в пределе к 8(力一^)~ФункЧии7 в общем случае выходит за пределы марковского приближения, то есть подразумевает окрашенный шум.

Уравнения движения для корреляционных функций поля

Теперь можно вывести уравнения движения для среднего значения оператора G⑴ и оператора числа частиц а+а. Поскольку〈尸石⑴〉冗=0, из (9.1.15) следует, что 伍⑴〉r=-；@④⑴〉用(9.3.1)

Видно, что среднее значение оператора системы стремится со временем к нулю. Отметим, что усреднение в уравнении (9.3.1) осуществляется лишь по переменным резервуара, так что остается оператор по полевым координатам.

Эволюция среднего значения полевого оператора числа частиц задается уравне= нием

融+(RJ R+(噂)К =

=一@伍+⑴矶力))r+ {F^(t)a(t)}R + @+⑴爲⑴)R =-@伍+⑴矶⑵R +@兩еПл* (932)

Таким образом, стационарное значение оператора числа частиц (а^~(t)a{t))r равно Мтепл (умноженное на единичный оператор поля). Оно не равно нулю, в противоположность значениям〈石+(力)〉冗 и (а(^))д, стремящимся со временем к нулю в соответ™ ствии с (9.3.1).

Аналогично можно показать, что

^伍⑴G+⑴〉R =一@0⑴G+⑴)R +@(兩еПл + 1).(9.3.3)

Объединяя (9.3.2) и (9.3.3), видим, что коммутатор [G⑴)G+⑴]сохраняет свое сред™ нее по резервуару значение, равное единице, а не стремится к нулю.

Рассуждая таким же образом, как при выводе уравнений движения для〈3(力)〉冗 и〈石+(力)G(力)〉冗(уравнения (9.3.1) и (9.3.2)), можно показать, что для произвольного произведения операторов рождения и уничтожения имеет место уравнение

^(0+广/)r=一^(" + 几)〈3+严稲〉r +@nm%еПл(т+)ет秋T〉2(9.3.4)

В переменных а и а+ (см. (9.1.9)) оно имеет вид

^кa+)Еа賀)r=卜〃(щ — П) — ^(m + 几)]x

x《0+严0几)r+ @ь丽3n(0+广-1优1〉2 (935)

Это уравнение обычным образом описывает влияние резервуара.

Как отмечалось ранее, настоящий подход Гейзнберга^Ланжевена к квантовой теории релаксации особенно удобен для вычисления многовременных корреляционных функций. Это можно оценить на простом примере затухания поля частотой 〃 в резонаторе со скоростью 穹=〃/Q” Здесь Q — добротность резонатора.

Оператор поля 3 = а(力)exp(wt) подчиняется уравнению

^ =一方g+居⑴，(936)

решение которого имеет вид (при г > 0)

矶行 + T)=矶七)ехр (一方丁) + d，exp [一方(右 + 7 一，)]%(力')”(9.3.7)

Следовательно, поскольку (a^(ti)Fa(tf)}r = 〈G+(右)〉冗〈&(〃)〉冗=0, получаем

④+(右)3(右 + 丁))r={a+(ti)a(ti)}Re^p④+(右)3(右 + 丁))r={a+(ti)a(ti)}Re^p(938)(938)

④+(右)3(右 + 丁))r={a+(ti)a(ti)}Re^p

④+(右)3(右 + 丁))r={a+(ti)a(ti)}Re^p

(938)

(938)

то есть, функция корреляции поля затухает со временем экспоненциально. Спектр поля можно получить, выполняя фурье-преобразование функции корреляции:

{a+(ti)a(ti + r))R = (a+(ti)a(ti + r)}Re^WT = (n) exp〃丁 一{a+(ti)a(ti + r))R = (a+(ti)a(ti + r)}Re^WT = (n) exp〃丁 一где (п) — среднее число фотонов в начальный момент временигде (п) — среднее число фотонов в начальный момент времени2QT)，(939)ti，В результате2QT)，(939)ti，В результатеполучаем (см. (4.3.14))S(5 =! Re (a+(力)a(力 +丁))ополучаем (см. (4.3.14))S(5 =! Re (a+(力)a(力 +丁))о沙/2Q沙/2QR_ "V"(3一沙『+ (沙/2Q『R_ "V"(3一沙『+ (沙/2Q『(9.3.10)(9.3.10)

{a+(ti)a(ti + r))R = (a+(ti)a(ti + r)}Re^WT = (n) exp〃丁 一

{a+(ti)a(ti + r))R = (a+(ti)a(ti + r)}Re^WT = (n) exp〃丁 一

где (п) — среднее число фотонов в начальный момент времени

где (п) — среднее число фотонов в начальный момент времени

2QT)，(939)

ti，В результате

2QT)，(939)

ti，В результате

получаем (см. (4.3.14))

S(5 =! Re (a+(力)a(力 +丁))

о

получаем (см. (4.3.14))

S(5 =! Re (a+(力)a(力 +丁))

о

沙/2Q

沙/2Q

R_ "V"(3一沙『+ (沙/2Q『

R_ "V"(3一沙『+ (沙/2Q『

(9.3.10)

(9.3.10)

——распределение Лоренца, центрированное на частоте g = 〃 и имеющее полуширину 〃/2Q"

Приближенное выражение для плотности мод пустого резонатора Dc(w) получается делением S(g) на (п), то есть

Следовательно, плотность состояний внутри резонатора существенно отличается от плотности состояний в свободном пространстве (см. (1.1.26)).

Флуктуационно-диссипационная теорема и формула Эйнштейна

Теперь установим связь между настоящим квантовым ланжевеновским и клас™ сическим подходами. В разд. 9.1 была получена корреляционная функция второго порядка ланжевеновского шума 局(力)：

(F±(t)F5(f))=穹兩епл 8(力—。(9-4.1)

Интегрируя обе части, получаем

穹= J j員dt\(942)

^тепл J

Это выражение означает, что скорость затухания системы 穹 определяется флукту™ ациями резервуара. Таким образом, флуктуации, индуцируемые резервуаром, вы™ зывают рассеяние энергии в системе. Это одна из формулировок флуктуационно™ диссипационной теоремы.

Теперь воспользуемся уравнением (9.1.15) и соотношением (9.1.26), чтобы пере™ писать (9.3.2) в виде

2〈0"g〉r.=力小⑴矶切冗Y ]t 一闿⑴卜⑴)r -(小⑴毒-砖⑴] (943)

Это есть формула Эйнштейна, определяющая коэффициент диффузии. Мы выводим ее для задачи затухающего гармонического осциллятора. Однако можно показать, что это соотношение справедливо для многих более общих задач, связанных с системой и резервуаром. Подобным образом можно вывести соотношение

以=总⑴G+(W -}⑴-碍⑴])J 儘-仍(吸+(%•

(944) Формула Эйнштейна связывает члены дрейфа [da/dt — F^(t)] и [da^ /dt —歹^ ⑴] с коэффициентами диффузии. При решении многих интересных задач эта формула предоставляет чрезвычайно простой способ вычисления коэффициента диффузии.

Формулу Эйнштейна можно использовать для определения коэффициентов диф™ фузии непосредственно из уравнений для матрицы плотности. Чтобы пояснить, как это делается, рассмотрим простой пример затухания поля при взаимодействии

с тепловым резервуаром, (8.3.2). Из этого уравнения следует, что

〈笫=Т〃а 力)=-j(a),(945)

〈若〉=(9-4.6)

^(a%)=一@(〈@+@)— птепл).(9.4.7)

При выводе этих уравнений использовались возможность циклической перестановки операторов под знаком следа (то есть, Тг (АВС) = Тг (САВ) и т. д.) и коммутации онное соотношение [а, а+] = 1. Теперь величины [da/dt —凡,(力)]и [da+ /dt — F+(t)] можно получить из (9.4.5) и (9.4.6), соответственно, убирая знак среднего значения в правой части. В результате

=一万 q,(948)

=_^@+/(9.4.9)

Подставляя (9.4.7)^(9.4.9) в соотношение (9.4.3), получаем

2(0"五)=@亢тепл,(9410)

в соответствии с (9.1.26).

Атом в резонаторе с потерями

Очень простым применением математического формализма, развитого в этой главе, является исследование эволюции одиночного двухуровневого атома, приготов™ ленного изначально в верхнем состоянии |а), в условиях резонанса атомного перехода и моды резонатора. В частности, оказывается, что скорость спонтанного излучения атома в резонаторе существенно выше, чем в свободном пространстве. Фактор увели™ чения можно получить строгим образом в рамках квантово^механического анализа, при котором затухание резонатора рассматривается через взаимодействие одномо™ дового поля с резервуаром, состоящим из большого числа простых гармонических осцилляторов. Это интересное явление мы поясним сначала с помощью эвристиче™ ского рассуждения.

Напомним (см. разд. 6.3), что спонтанное излучение атома в свободном про™ странстве рассматривалось нами так, что атом взаимодействовал с континуумом мод электромагнитного поля. Скорость затухания Г (выражение (6.3.14)) можно переписать в виде

Г = 2тг(кИ|2)О(ш), (9.5.1)

где угловые скобки обозначают среднее по направлению, g(G)— вакуумная частота Раби и D(w)= 丿g2/乃%3 ——плотность состояний на частоте атомного перехода ш. Следовательно, скорость спонтанного затухания пропорциональна плотности состоя™ ний. Структура мод вакуумного поля резко изменяется в резонаторе, размер которого сравним с длиной волны. В резонаторе добротности Q, плотность мод Dc(w) можно аппроксимировать лоренцевой функцией (9.3.12)

2%(952)

Следовательно, скорость спонтанного затухания атома в резонаторе получается пу™ тем замены D(w) в выражении (9.5.1) плотностью Dc(w):

Гс = 27г(к(ш)|2)Ос(ш).(953)

Если резонатор настроен на частоту, близкую к атомной частоте перехода, то 0c(g) ~ 2Q/7TG, и

(癬)(S)= PQ(954)

Таким образом, с точностью до геометрического множителя порядка единицы (для нижайшей моды резонатора ш = тгс/£, где £ — длина резонатора, этот множитель равен 2/тг2), скорость спонтанного затухания в резонаторе в Q раз больше, чем скорость затухания в свободном пространстве.

Возрастание скорости спонтанного излучения можно еще объяснить по-другому, используя понятие мнимого заряда. Влияние зеркал резонатора на эволюцию атома можно имитировать, поменяв зеркала на создаваемые ими образы атома, число которых равно Q. Поскольку резонатор настроен на частоту атомного перехода, диполи всех этих образов находятся в фазе с диполем атома. Следовательно, они действуют как Q сонаправленных антенн, находящихся в фазе. Каждая антенна в этом массиве излучает в Q раз быстрее, чем отдельная антенна. Поэтому энергия атома рассеивается в Q раз быстрее, чем в свободном пространстве.

Обратимся теперь к строгому выводу скорости атомного затухания в резонаторе. Рассмотрим систему из двухуровневого атома, взаимодействующего с одномодовым электромагнитным полем внутри резонатора. Резонатор взаимодействует с тепловым резервуаром через свои стенки. Таким образом, гамильтониан системы и резервуара записывается в виде

赞=m,+弟⑸+ 餐4斤+弟为+ ^FR,(9.5.5)

比勿=方沙q+q,(9.5.6)

光人=g^^Oz,(9.5.7)

^af = hg(a^a + a^a^),(9.5.8)

帽二e方以亚6匕(959)

光fr =力£gk(bt@ + a+bk).(9.5.10)

Здесь 光f и 光a — гамильтонианы свободных поля и атома, соответственно, J^p ——оператор взаимодействия атома с одномодовым полем резонатора, %r ——га™ мильтониан резервуара и ^fr — оператор взаимодействия поля с резервуаром. Вследствие потерь на зеркалах, моды резервуара соответствуют вакуумным модам, проникающим в резонатор через частично пропускающие зеркала. Полагаем, что моды резервуара находятся в состоянии теплового равновесия при температуре Т.

Интересующими нас величинами являются энергия поля〈@+@〉и инверсия атома (az). Уравнение движения для произвольного оператора вида (а^^а^'О а (где О а — атомный оператор, например <т+, ◎— az) имеет вид

^[(а^тапоA] = 一 口伍十片障0人协+滔+陷尸]+ (^[(a+)mЛ)0人 '(9.5.11)

где (d[(a^)mап]/d力冗 задается выражением (9.3.5). Используя это уравнение, можно вывести следующие уравнения для средних значений (а^а) и (az):

或二 J〉= ig{a^a — а+сг_)—穹(а+а) + ^птепл,(9.5.12)

d^" = —2ig(o+a — @十(7_〉.(9.5.13)

Угловые скобки обозначают одновременно среднее значение по резервуару и квантово^механическое среднее значение. Эти уравнения содержат среднее значение эрмитового оператора (<т+а — а^а^)^ для которого уравнение движения в свою очередь содержит величину (a^aza) и т. д. В общем случае получается бесконечная система уравнений, которую нельзя решить аналитически. Однако ситуация существенно упрощается, если в начальный момент времени атом находится в возбужденном состоянии |а), поле внутри резонатора ——в вакуумном состоянии |0), а резонатор находится при нулевой температуре (птепл = 0). Поле может содержать самое большее один фотон, так что состояние поля внутри резонатора в произвольный момент времени 力 является линейной суперпозицией вакуумного состояния |0) и однофотонного состояния |1). Следовательно, средние значения операторов, содержащих вторые и более высокие степени полевых операторов а и а+, например ((a+)2aza2), равны нулю в каждый момент времени. При этих условиях получаем следующую замкнутую систему уравнений:

= g4 一@(9514) 勺2g/'(9.5.15)

嘗"=g〈％〉+ 2g%2 + g - ^厶(9516) %^ =—穹厶 2)(9.5.17)

где

厶1 = i{a^a —(9.5.18)

人=〈a+oz@〉"(9.5.19)

Отметим, что в уравнении (9.5.17), в свете вышесказанного, мы пренебрегли членом, пропорциональным (<т+а+а2 ™ (а+)2аа^). Четыре уравнения (9514)—(9517) можно решить, например, используя метод преобразований Лапласа. Решения для {a^a)t и {(rz)t^ удовлетворяющие начальным условиям (а+а)о = Л1(0)= 厶2(0) = ° 乳 廿才〉= =1, имеют вид

(@十@〉古=_(@十@〉古=_8g2」/2 厅一16g28g2」/2 厅一16g21 — ch1 — chY - 16g2)1/2力2Y - 16g2)1/2力2(9520)(9520)

(@十@〉古=_

(@十@〉古=_

8g2」/2 厅一16g2

8g2」/2 厅一16g2

1 — ch

1 — ch

Y - 16g2)1/2力

2

Y - 16g2)1/2力

2

(9520)

(9520)

Ы「一1 +- 40 +[号-2g2 十 ^(守一16g2)1T 92一乃产"*

> -16g [L 44_

「彳—2g2 — ^険2 — 16g2)1/2卜-(守-16g2)"〃2 卜(9521)

На рис. 9.2 изображена вероятность нахождения атома в возбужденном состоянии Ра = (1 +〈＜7才〉)/2 как функция времени при различных значениях 穹/4g* Здесь мы видим переход от затухающих осцилляций Раби к апериодическому движению.

Рис. 9.2. Вероятность Ра как функция безразмерного времени gt: ^/4^ = 0.1 (a); @/4g =10 (6)Рис. 9.2. Вероятность Ра как функция безразмерного времени gt: ^/4^ = 0.1 (a); @/4g =10 (6)

Рис. 9.2. Вероятность Ра как функция безразмерного времени gt: ^/4^ = 0.1 (a); @/4g =10 (6)

Рис. 9.2. Вероятность Ра как функция безразмерного времени gt: ^/4^ = 0.1 (a); @/4g =10 (6)

Это различие в поведении можно легко показать, рассматривая два предельных случая решения (9.5.21). Если 穹《 4g, то атомная инверсия (a2(t)) и вероятность Ра принимают простой вид,

(9522)(9523)(9522)(9523)⑴〉=-1 + е"ш/2[1 + cos(2gf)],

(9522)

(9523)

(9522)

(9523)

-%Ч/2

&⑴=—2口 十 cos(2gt)],

соответствующий затухающим осцилляциям Раби частоты 2g. В противоположном пределе 穹》4g получаем

(9525)(9525)〈％⑴〉=—1 十 2 g—4g〜住，(9524)

(9525)

(9525)

то есть атом затухает экспоненциально со скоростью

Гс =Гс =宜二（1 4炉煮@ у4?гео 3辰З丿/丿宜二（1 4炉煮@ у4?гео 3辰З丿/丿(9526)(9526)

Гс =

Гс =

宜二（1 4炉煮

@ у4?гео 3辰З丿/丿

宜二（1 4炉煮

@ у4?гео 3辰З丿/丿

(9526)

(9526)

Если не считать тривиального множителя 3, это выражение идентично выражению (9.5.4), полученному с помощью эвристических рассуждений, учитывающих плотно™ сти состояний. Множитель 3 исчезает, если в выражении (9.5.26) заменить величину g2 ее средним значением по различным ориентациям.

Задачи

Одиночная мода частотой 沙 взаимодействует с тепловым резервуаром. Эволю™ ция системы «поле 十 резервуар» описывается уравнением Ланжевена

.1

где S(f) = a(t) exp(wf), a ——оператор уничтожения фотона в моде поля. Вычислите дисперсию (AXi)2 (где X] = (а + а+)/2) в момент времени f, выразив ее через дисперсию в начальный момент времени 力=0.

92 Вычислите корреляционную функцию {F^(t)Fa(tf))задаваемую выражением (9.2.13), при следующих условиях:

/если ti < ti + т,

в противном случае.

Вычислите корреляционные функции второго порядка 〈1^(力)F^(〃)〉r., {Fa(t)F^(tf))R, {Fai^Fa^^R и (F^(t)F^(tf))R ланжевеновского оператора в случае, когда резервуаром является многомодовый сжатый вакуум.

Выведите уравнение движения для среднего значения произвольного произве™ дения операторов рождения и уничтожения ((а^)тап) в случае: (а) теплового резервуара и (б) сжатого резервуара.

Пусть резервуар находится в состоянии сжатого вакуума. Вычислите коэффи™ циент диффузии О@@+, используя уравнение движения для оператора плот™ ности моды поля и формулу Эйнштейна. Проверьте результаты, сравнивая их с результатами теории Ланжевена.

Список литературы

Метод Гейзенберга—Ланжевена в квантовой теории релаксации и связанные с этим задачи

Lax, М. Phys. Rev. 145, 110 (1966).

Ford, G. W., Lewis, J. T. and F. O'Connell, R. Phys. Rev. / 37, 4419 (1988).

Scully, M. O., Siissmann, G. and Benkert, C. Phys. Rev. Lett. 60, 1014 (1988).

Атом в резонаторе с потерями

Purcell, Е. М. Phys. Rev. 69, 681 (1946).

Milonni, P. W. and Knight, P. L. Opt. Commun. 9, 119 (1973).

Haroche, S. in High Resolution Laser Spectroscopy, ed. K. Shimoda (Springer-Verlag, Berlin 1976).

Kleppner, D. Phys. Rev. Lett. 47, 233 (1981).

Ахманов C.A., Дьяков Ю.Е., Чиркин А.С. Введение в статистическую радиофизику и оптику (Наука, Москва, 1981).

Sachdev, S. Phys. Rev. А 29, 2627 (1984).

Haroche, S. and Raimond, J. M. in Advances in Atomic and Molecular Physics, Vol. 20, ed.

D. Bates and B. Bederson (Academic Press, New York 1985), p. 347.

Gallas, J. A., Leuchs, G., Walther, Н. and Figger, Н. in Advances in Atomic and Molecular Physics, Vol. 20, ed. D. Bates and B. Bederson (Academic Press, New York 1985), p. 413.

Быков В.П., Шепелев Г.В. Квантовая электроника 9, 1844 (1986).

Эксперименты по усилению или подавлению спонтанного излучения в резонаторе

Goy, Р., Raimond, J. М., Gross, М. and Haroche, S. Phys. Rev. Lett. 50, 1903 (1983).

Gabrielse, G., Van Dyck, R., Jr., Schwinberg, P. and Dehmelt, H. Bull. Am. Phys. Soc. 29, 926 (1984).

Глава 10

РЕЗОНАНСНАЯ

① ПУОРЕС 口 ЕНЩ151

Явление резонансной флуоресценции интересно проявлениями квантовой теории света, и в нем высвечивается «фактическая область» применений материала гл. 8 и 9. В процессе этого явления двухуровневый атом, обычно, возбуждается непрерывным резонансным лазерным полем, а измеряются спектральные и квантовые статистиче™ ские свойства флуоресцентного света, испущенного атомом. Экспериментально это может быть достигнуто путем рассеяния лазерного излучения на коллимированном

Рис. 10.1. Схема эксперимента по резонансной флуоресценции. Направления атомного пучка, лазерного пучка, а а также осй детектора взаимно перпендикулярныРис. 10.1. Схема эксперимента по резонансной флуоресценции. Направления атомного пучка, лазерного пучка, а а также осй детектора взаимно перпендикулярныДетекторДетекторатомном пучке, когда направления лазерного пучка, атомного пучка и оси детектора являются взаимно перпендикулярными (рис. 10.1).Если возбуждающее (управляю™ щее) поле монохроматично, то при слабой интенсивности возбуждения атом поглощает фотон на частоте возбуждения и переизлучает его на той же частоте вследствие сохране™ ния энергии. Спектральная ширина флуоресцентного света является, по™ этому, очень узкой. Ситуация, од™ нако, становится существенно более сложной с ростом интенсивности воз™ буждения, когда частота Раби, соот™атомном пучке, когда направления лазерного пучка, атомного пучка и оси детектора являются взаимно перпендикулярными (рис. 10.1).Если возбуждающее (управляю™ щее) поле монохроматично, то при слабой интенсивности возбуждения атом поглощает фотон на частоте возбуждения и переизлучает его на той же частоте вследствие сохране™ ния энергии. Спектральная ширина флуоресцентного света является, по™ этому, очень узкой. Ситуация, од™ нако, становится существенно более сложной с ростом интенсивности воз™ буждения, когда частота Раби, соот™вого дипольного момента, и в спектре х)вого дипольного момента, и в спектре х)ветствующая управляющему полю, становится сравнимой или большей, чем атомная ширина линии. При та™ ких интенсивностях осцилляции Ра™ би проявляются в модуляции кванто™ компоненты.ветствующая управляющему полю, становится сравнимой или большей, чем атомная ширина линии. При та™ ких интенсивностях осцилляции Ра™ би проявляются в модуляции кванто™ компоненты.излучения возникают боковыеизлучения возникают боковыеЭто так называемое динамическое штарковское расщепление является интересным свойством атомно^полевого взаимодействия. Кроме того, флуоресцентный свет обнаруживает определенные неклассические свойства, такие как антигруппировка фото™Это так называемое динамическое штарковское расщепление является интересным свойством атомно^полевого взаимодействия. Кроме того, флуоресцентный свет обнаруживает определенные неклассические свойства, такие как антигруппировка фото™

Рис. 10.1. Схема эксперимента по резонансной флуоресценции. Направления атомного пучка, лазерного пучка, а а также осй детектора взаимно перпендикулярны

Рис. 10.1. Схема эксперимента по резонансной флуоресценции. Направления атомного пучка, лазерного пучка, а а также осй детектора взаимно перпендикулярны

Детектор

Детектор

атомном пучке, когда направления лазерного пучка, атомного пучка и оси детектора являются взаимно перпендикулярными (рис. 10.1).

Если возбуждающее (управляю™ щее) поле монохроматично, то при слабой интенсивности возбуждения атом поглощает фотон на частоте возбуждения и переизлучает его на той же частоте вследствие сохране™ ния энергии. Спектральная ширина флуоресцентного света является, по™ этому, очень узкой. Ситуация, од™ нако, становится существенно более сложной с ростом интенсивности воз™ буждения, когда частота Раби, соот™

атомном пучке, когда направления лазерного пучка, атомного пучка и оси детектора являются взаимно перпендикулярными (рис. 10.1).

Если возбуждающее (управляю™ щее) поле монохроматично, то при слабой интенсивности возбуждения атом поглощает фотон на частоте возбуждения и переизлучает его на той же частоте вследствие сохране™ ния энергии. Спектральная ширина флуоресцентного света является, по™ этому, очень узкой. Ситуация, од™ нако, становится существенно более сложной с ростом интенсивности воз™ буждения, когда частота Раби, соот™

вого дипольного момента, и в спектре х)

вого дипольного момента, и в спектре х)

ветствующая управляющему полю, становится сравнимой или большей, чем атомная ширина линии. При та™ ких интенсивностях осцилляции Ра™ би проявляются в модуляции кванто™ компоненты.

ветствующая управляющему полю, становится сравнимой или большей, чем атомная ширина линии. При та™ ких интенсивностях осцилляции Ра™ би проявляются в модуляции кванто™ компоненты.

излучения возникают боковые

излучения возникают боковые

Это так называемое динамическое штарковское расщепление является интересным свойством атомно^полевого взаимодействия. Кроме того, флуоресцентный свет обнаруживает определенные неклассические свойства, такие как антигруппировка фото™

Это так называемое динамическое штарковское расщепление является интересным свойством атомно^полевого взаимодействия. Кроме того, флуоресцентный свет обнаруживает определенные неклассические свойства, такие как антигруппировка фото™

нов и сжатие.

В этой главе развита теория резонансной флуоресценции, объясняющая эти явле™ ния. Для начала будет установлена связь между полевыми операторами, необходи™

мыми для определения характеристик рассеянного света, и атомными дипольными

1) Полный расчет спектра был впервые выполнен Мол л оу (Mollow, 1969). Прекрасное физическое объяснение с использованием «одетых состояний» было позднее дано С. Cohen- Tannoudji с соавторами (см., например, Cohen-Taniioudji and Reynaud, 1976).

операторами в соответствующий более ранний момент времени. Дипольные корре™ ляционные функции будут при этом рассчитываться полу классически, а сильное управляющее поле рассматривается классически. Рассмотрена также задача о резонансной флуоресценции системы У^типа. В этом случае наблюдается представляю™ щее интерес «сужение линии». Нами представлена упрощенная трактовка задачи, отражающая физическую суть.

Оператор электрического поля для спонтанного излученияодиночного атома

Начнем с рассмотрения двухуровневого атома, расположенного в точке с радиус™ вектором го и подвергающегося воздействию сильного непрерывного лазерного поля. Это взаимодействие можно рассматривать полуклассически, как это сделано в гл. 5. Возмущенный атом возбуждается в верхнее энергетическое состояние и затем излучает спонтанно по всем направлениям (см. гл. 6). Оператор поля в точке г, ассо™ циируемый с этим флуоресцентным полем излучения, зависит от соответствующего атомного оператора в момент времени запаздывания, равный времени распростра™ нения из го в точку г. В приложении 10.А получено соотношение, позволяющее нам изучать спектральные свойства флуоресцентного света путем упрощенного расчета соответствующих корреляционных функций, содержащих атомные операторы воз™ бужденного атома.

Как показано в приложении 10.А, делая, по^существу, приближение Вайскопфа- Вигнера, мы находим, что оператор поля Е(+)в точке г определяется выражением

Е⑴(М) = 4 ， (ЮЛ.1)

и аналогичным для E(—)(—力)* Выражение (10.1.1) указывает, что положительно™ частотная часть оператора поля пропорциональна атомному понижающему опера™ тору в момент времени запаздывания.

В выражении (10.1.1), справедливом только в дальней зоне, диполь предпола™ гается расположенным в плоскости xz под углом 〃 к оси N, частота ш ——атомная частота перехода, a q ——матричный элемент диполя на переходе между двумя состояниями. Видно, что в приближении дальней зоны рассеянное поле поляризовано в ж-направлении.

Введение в теорию спектра резонансной флуоресценции

Предел слабого управляющего поля. До погружения в детальные вычисления, воспользуемся простыми аргументами для понимания спектральных свойств флуоресцентного света.

На рис. 10.2 поле со спектральной шириной D и средней частотой 〃 воздействует на атом со спектральной шириной Г и средней частотой ш. Поле наводит в атоме дипольный момент, который определяет излучаемый или рассеянный свет согласно выражению (10.1.1). А именно, если вычислить среднее значение выражения (10.1.1), то найдем

= JjQ (10.2.1)

(。)(。)Атомный профильАтомный профильПадающий светПадающий светРис. 10.2. Падающий свет частотой р рассеивается атомом, время жизни которого в возбужденном состоянии равно 1/ Г (а); падающий свет характеризуется спектром с центральной частотой р и шириной полосы D. Рассеянный свет характеризуется шириной полосы О с центром на частоте р при『》О (6)Рис. 10.2. Падающий свет частотой р рассеивается атомом, время жизни которого в возбужденном состоянии равно 1/ Г (а); падающий свет характеризуется спектром с центральной частотой р и шириной полосы D. Рассеянный свет характеризуется шириной полосы О с центром на частоте р при『》О (6)

(。)

(。)

Атомный профиль

Атомный профиль

Падающий свет

Падающий свет

Рис. 10.2. Падающий свет частотой р рассеивается атомом, время жизни которого в возбужденном состоянии равно 1/ Г (а); падающий свет характеризуется спектром с центральной частотой р и шириной полосы D. Рассеянный свет характеризуется шириной полосы О с центром на частоте р при『》О (6)

Рис. 10.2. Падающий свет частотой р рассеивается атомом, время жизни которого в возбужденном состоянии равно 1/ Г (а); падающий свет характеризуется спектром с центральной частотой р и шириной полосы D. Рассеянный свет характеризуется шириной полосы О с центром на частоте р при『》О (6)

Среднее значение〈＜т_ (力)〉можно получить, принимая во внимание, что

廿一⑴)=Tr [U+⑴0—(0)U⑴0(0)]=

二 Tr 匕—(0)U⑴/9(0)0十⑴]二 Tr 匕_(0)/9⑴],(1022)

где U(力)——оператор временной эволюции для атома, возбуждаемого интенсивным классическим полем. Поскольку понижающий оператор определяется как (0)= =|6)(а|, то из выражения (10.2.2) следует, что

廿-⑴〉=Tr[|6)(a|p(t)] = {a\p(t)\b) = Pab ⑴"(1023)

Согласно (5.3.24) для элемента pab(t) матрицы плотности имеем

0ab⑴=—(必 + 万)Pab — ^^[paa(t) — Pbb(t)](10.2.4)

Здесь мы использовали приближение вращающейся волны и положили 7ab = Г/2. Решение уравнения (10.2.4) имеет вид

Oab ⑴=Pab ⑼「(必十「/2)± —学厂® dtfPbb^)]=

о

g —Е"方 _ 8一("+「/2)土.

где Од является частотой Раби управляющего поля, Од = Q扌/力,и принято также во внимание, что раь(О) = 0 и что для слабых полей разность /9аа(^) — рьь^) можно заменить величиной раа(0) — рьь(^У В итоге, в пределе больших времен t》1/ Г, получаем следующий результат:

Рис. 10.3. Расщепление атомных состояний при динамическом эффекте ШтаркаРис. 10.3. Расщепление атомных состояний при динамическом эффекте Штарка

Рис. 10.3. Расщепление атомных состояний при динамическом эффекте Штарка

Рис. 10.3. Расщепление атомных состояний при динамическом эффекте Штарка

Выражение (10.2.6) свидетельствует о том, что диполь осциллирует на частоте управляющего поля, а не на атомной частоте. Из (10.2.1) и (10.2.6) видно, что поле, излучаемое в некотором новом направлении, имеет тот же спектр, что и управляющее поле, если его спектральная ширина О мала по сравнению с Г (см. рис. 10.2). Другими словами, для поля, обратная спектральная ширина которого равна I/O, вследствие его конечной продолжительности, мы представляем атомный отклик как отклик возбуждаемого осциллятора с частотой управляющего поля. Атомный осциллятор рассеивает до тех пор, пока он возбуждается, т. е. в пределах времени 1/D. Таким образом, флуоресцентный свет, вызванный спектрально узким управляющим полем, также имеет узкую спектральную ширину.

Предел сильного поля: появление боковых полос. Ситуация, описанная выше, соответствует слабой интенсивности возбуждения. Когда же частота Раби, соответствующая управляющему полю Пд, становится сравнимой или большей, чем спектральная ширина атома Г, в спектре флуоресцентного света появляются сателлиты, что приводит к трехпиковому спектру. Возникновение боковых полос на частотах 沙 + Cr и 沙一Cr обязано модуляции дипольного момента осцилляциями Раби. Физическое толкование такого интересного поведения можно дать, рассмотрев атомно-полевое взаимодействие в представлении «одетого» атома. Гамильтониан

взаимодействия квантованной полевой моды, резонансно взаимодействующей с двух™ уровневым атомом, в приближении вра

щающейся волны имеет вид (см. (6.2.8))

* =陷十陷=

=^•bz + hua+а + hg((j+a + (1027)

Рассмотрим случай, когда з =叭 так что в представлении взаимодействия имеем гамильтониан

% =方g((7+a + a+(7_).(10.2.8)

Путем прямой подстановки можно по™ казать, что собственные состояния га™ мильтониана (10.2.8) имеют вид |±»〉= ±(|а»〉±|，几+ 1〉)，(1029)

с собственными значениями +/гПп/2 и —/Ш"2, соответственно, где Пп =

=2g，几十 1 — «обобщенная» частота Раби. Таким образом, ранее вырожденные состояния |а, п) и 也几十 1) расщепляются на дублеты «одетых» состояний, раз™ деленных частотой Пп, как показано на рис. 10.3. Такое расщепление называется

динамическим штарковским расщеплением. Динамические штарковски расщеплен™ ные дублеты имеют почти равный интервал при 几》L Как показано на рис. 10.3, спектр однофотонного спонтанного распада состоит из триплета линий, разделенных частотой Раби Пп с центральной линией, обусловленной двумя равными вкладами.

Ширины трех пиков в пределе очень сильного поля. Из разд. 10.2.1. и 10.2.2 видно, что явные спектральные особенности, такие как дельтаобразный спектр в пределе слабого поля и появление трех пиков в пределе сильного поля,

легко объяснимы, чего нельзя сказать о ширинах этих пиков. Как будет видно далее, ширина центрального пика равна Г/2, а ширйны боковых полос ——ЗГ/4. В чем причи™ на этого различия? Традиционный расчет трехпикового спектра достаточно сложен (см. разд. 10.5 и приложение 10.Б). Дадим простой вывод для случая, когда частота Раби много больше, чем скорость атомного распада. Для начала предположим, что распределение фотонов поля имеет острый максимум в окрестности среднего числа фотонов п, так что можно записать

Пп 仝 С行三 Cr”(10.2.10)

В этом случае индекс фотона в выражении (10.2.9) для собственных состояний можно опустить

|±〉= ±(|а〉±|6〉)*(10211)

Полученное выражение представляет собой собственные состояния полуклассическо™ го гамильтониана взаимодействия [выражение (5.2.54) при 0 = »]

%=等(⑷® +切®),(10212)

такие что

土〉= ±^^.|土〉.(10213)

Вооружившись этими обозначениями и предположениями, приступим к вычисле™ нию оператора плотности возбуждаемого и затухающего атома. Атомный оператор плотности подчиняется уравнению движения (в представлении взаимодействия)

0 =_對%(10214)

где релаксационный член находится из (8.2.8) (в пределе птепл = 0) и имеет вид

Г — 2а(10.2.15)

Для начала найдем среднее〈＜т_ (力)〉,которое в базисе «одетого» состояния имеет вид (см. задачу 10.2)

.+ 1

Учитывая, что р__ = 1 — р++ и р卜=舛для вычисления (а^ ⑴〉достаточно найти р++(力)и р^(力)* Запишем уравнения движения для р++ и р^, используя выражения (10.2.14) и (10.2.15) (см. приложение 10.Б),

ГГ

P++ = -20++⑴ + 4，(10.2.17а)

/ ЗГ、 Г Г

0+— = — (〃：0咒 + 彳)0+— — —р^+ — е*(10.2.176)

Кроме того, в секулярном приближении, которое справедливо для сильных полей, таких что Cr》Г, последними двумя членами в уравнении (10.2.176) можно пренебречь (поскольку они приводят к быстро осциллирующим членам):

Решая (10.2.17а) и (10.2.18), находим

(10219а)(102196)(10219а)(102196)

(10219а)

(102196)

(10219а)

(102196)

В заключение, подставим выражения (10.2.19а) и (10.2.196) в (10.2.16) и получим

廿一⑴〉一力=}{[2。++(0) - 1]еT"？ 一 m+一⑼「m「о - ке]}" (10220)

Из выражения (10.2.20) с учетом (10.2.1) следует несколько интересных момен™ тов. Прежде всего, имеется центральная составляющая, спадающая как функция ехр(—Г力/2)〉что подразумевает наличие центрального пика с шириной Г/2, и два сателлита на частотах 土Cr с ширинами ЗГ/4. Таким образом, имеется простой способ вычисления ширины линий.

Однако, как видно из (10.2.19а), стационарное значение р++(0) равно 1/2, и, следовательно, первый член в (10.2.20) обращается в нуль. Более того, в пределе Cr》Г, стационарное значение р^__(0) стремится к нулю, и наш диполь, следо™ вательно, исчезает. Дело в том, что следует подробнее рассмотреть, в чем состоит суть вычисления (и измерения!) спектра рассеянного света. Этим мы и займемся в следующем разделе.

Теория анализатора спектра

Для ответа на вопрос, возникший в предыдущем разделе, мы пересмотрим и углу™ бим наш подход к процессу измерения спектра рассеянного излучения. С этой целью рассмотрим модель анализатора спектра (см. рис. 10.4). Имеется атомный детектор

Управляющее полеУправляющее полеРассеивающий атомРассеивающий атомРис. 10.4. Схема установки модели анализатора спектраРис. 10.4. Схема установки модели анализатора спектра

Управляющее поле

Управляющее поле

Рассеивающий атом

Рассеивающий атом

Рис. 10.4. Схема установки модели анализатора спектра

Рис. 10.4. Схема установки модели анализатора спектра

с двумя «узкими» уровнями, соответствующими состояниям |а〉и |/3), разделенными энергией Иша. После того, как в момент времени fg затвор открывается, рассеянный свет облучает атом вплоть до момента времени 力о 十 7\ когда затвор закрывается.

Потребуем, чтобы время Т было много больше, чем обратная спектральная ширина 1/ Г рассеянного света. В этих условиях атомный детектор возбуждается на верхний уровень с вероятностью 卩(@@)* Затем «смотрим», возбужден ли атом, записываем результат наблюдения, переводим атом в основное состояние |/3) и по™ вторяем измерение много раз.

Далее мы «перестраиваем атомный детектор», изменяя ша (например, варьируя внешнее магнитное поле) и повторяем последовательность действий, изложенную

в предыдущем абзаце. В заключение, строим зависимость вероятности 口®от частоты ®а, чтобы получить спектр рассеянного света.

Вышеприведенная умозрительная схема анализатора спектра дает нам операци™ онное определение спектрального профиля. Теперь не составляет труда рассчитать Р(®а), используя выражение (6.5.3), что в принятых обозначениях приводит к следующему результату:

р^а.t) = ^ рй I 山 2〈石(一)(一方 1)e( +)(一力 2))「心。(如一⑴"(Ю.3.1)

Здесь 伊&万 является обычным дипольным матричным элементом, а (. . .) — среднее по операторам рождения и уничтожения поля, означающее Тг [рр . . .], где р尸—опера™ тор плотности поля. Еще точнее, спектр, определенный выражением (10.3.1), можно записать через корреляционную функцию G⑴(г, г;力，力2)(выражение (4.2.10)). Вы™ ражение (10.3.1) тогда будет иметь вид

2 т т

Р^а,т) = * ]山J 也G⑴(г也方2)已一必。向一竺(Ю.3.2)

где G(D (г, г;九，力2)= Тг [Е^(т, ti)E^ (г, ^2)Pf]- Из приложения 10. Д следует, что эта вероятность пропорциональна спектру мощности рассеянного света и равна (для стационарных полей)

口®а) = " (1tG^(y^ г; 0, г) е1ШаТ + к.с.,(10.3.3)

где “ является константой, зависящей от эффективности детектора и т. д.

В данной задаче о резонансной флуоресценции можно с помощью (10.1.1) записать (10.3.3) в виде

G(】)(r, 力 切=(:黑Tr 卜 +忆—W)小 (10-ЗЛ)

где『 = |r — г()|ир ——атомный оператор плотности.

Но как вычислить двухвременнбе среднее в выражении (10.3.4)? В разд. 10.2 мы имели дело исключительно с одновременными средними значениями

廿―⑴〉=Tr [a^(0)p(t)]s(10.3.5)

Возникает вопрос, можно ли использовать (10.3.5) для вычисления двухвременных средних значений, аналогичных тем, что имеют место в (10.3.4)? В следующем разделе показано, как это можно сделать.

От одновременных к двухвременным средним: теоремарегрессии Онсагера-Лакса

При изучении спектральной плотности и антигруппировки фотонов флуоресцент™ ного света нами будут использоваться следующие двухвременные корреляционные функции：((7+(力)(7_(力 + T)) И((7+(力)(7+(力 + 7)(7_(力 + 丁)(7_(力))" В общем случае, ДЛЯ вычисления двухвременных корреляционных функций не достаточно решения для оператора плотности. Необходимо определить распределение вероятности перехода. Однако, при определенных условиях, теорема квантовой регрессии позволяет нам

получить двухвременную корреляционную функцию из одновременной корреляции онной функции.

Полный оператор плотности в момент времени 丁 при 丁》0 выражается через оператор плотности в более ранний момент времени 力=0 следующим образом:

。(丁)= и(т)р(0)и+(т),(1041)

где U(г) является унитарным оператором временной эволюции для полной системы. Здесь р(力)является оператором плотности для полной системы «атом + резервуар». Предполагается, что оператор плотности резервуара ра(0) не связан с атомным оператором плотности ратом (0) в начальный (более ранний) момент времени t = 0, т. е.

р(О) = ря(О)0ратом(О).(1042)

Приведенный оператор матрицы плотности для атома в момент времени г, таким образом, можно получить, взяв «след» по переменным резервуара, т. е.

Ратом(Т)= ТГЯ [U(T)pR(Q)艺 0атом(О)и+(7)]*(10.4.3)

Тогда среднее значение а_ (г) определяется как

0-⑺) =Тгатом Тгд [^(0)рн(т) ㊂ Ратом(7)]=

=ТГатом {о—(0)Тга IU(t)Pr(Q) 0 Ратом(0)и+(т)]}, (10.4.4)

в то время как двухвременная корреляционная функция записывается в виде

9+(0)(т—(т)〉= Тгатом Тгя [а+(0)(т^(т)ря(0) 0 Ратом(О)]=

=Тгатом {(Т+(0)ТгЯ [1/+(Т)(Т^(0)1/(Т)рЯ(0) 0 Ратом (0)]}=

=Тгатом К(0)Тгя{1/(т)ря(0) 0 Матом(О)%⑼]и+(т)})工(10.4.5)

Сравнивая выражения (10.4.5) и (10.4.4), можно легко вычислить (<т+(0)(т_(т)〉, используя Ратом(0)^+(0) вместо Ратом(0) в выражении (10.4.4). Очевидно, что двухвременную корреляционную функцию можно получить, зная одновременные средние значения. Ключевым предположением является выражение (10.4.2), которое обычно именуется марковским приближением.

Более общая формулировка квантовой теоремы регрессии состоит в том, что, если для некоторого оператора О,

〈0(力 + 7))= e 出(7)(伪⑴〉，(1046)

то

0(方 + 7)0m方)〉=e 出(7)(a⑴0式力)0М方»(1047)

Осуществив эти предварительные шаги, возвратимся к задаче разд. 10.2.2. Ко пользуя выражения (10.Б.28) и (10.Б.29), можно записать (10.2.20) в представлении «неодетых» состояний как

КМ)已5 = |{Тг[|6)(а|Н0)]+ Тг [|а〉®0(0)]}尸丁分一

—|{2Тг [|а)Ир(0)]^1^Тг[|6)(а|р(0)] + Тг [|а〉® р(0)]}已一з「『/4 е-^^ +

+ |{2Тг [|а〉(а価(0)] — 1 十 Т『[切值価(。)]一 Тг [|а〉®р(0)]}已一з「『/4 已皿"，(10.4.8)

где использовано также соотношение pij (0) = Tr (| j)(i|p(O)). Если теперь заменить р(0) величиной р(0)(т+(0), как предложено выше, то получим

廿+⑼。一⑺〉—；TГ[1a〉s価⑼]「Т/2一

—g｛—T『 [|a〉®p(0)] _ Tr [|a〉S価(0)]｝「3「『/4+

十；｛—T"IGSM(0)] + Tr [|a〉S|p(0)]｝已—3『T/4 已2^° (1049)

Для стационарного состояния paa = рьь = 1/2, раь = Pba = 0, и окончательный вид двухвременнбй корреляционной функции задается формулой

3+(0)。—(т)〉=；(已一「丁/2 + ；「盯丁/4十 1 已Т『т/4 /См)「』(10Л.10)

В этом результате содержатся физические основы трехпикового резонансного спек™ тра флуоресценции, включая ширины пиков. Данный результат (10.4.10), получен™ ный в приближении сильного поля, распространен в разд. 10.5 на случай обычных полей.

Полный спектр резонансной флуоресценции

В этом разделе вычисляется полный спектр мощности излучения, рассеянного двухуровневым атомом, возбуждаемым полем произвольной величины. Предполо™ жим, что атом изолирован и зафиксирован в определенной точке пространства. Нас интересует поле, излучения вдоль оси х. Поэтому оператор поля в (10.1.1) можно рассматривать как скаляр. Спектр мощности S(r,®o) флуоресцентного света в некоторой выбранной точке г в дальнем поле получается путем фурье™ преобразования относительно 丁 нормально упорядоченной корреляционной функции поля 〈石(一)(—力)石(+)(r)t + г)) (см. приложение 10.Д):

S(r,= 1 Re j(1т(Е^｛т.力)E(+)(r,力 + г))已必叫(10.5.1)

о

Здесь мы предположили, что поле в стационарном состоянии является статистически стационарным, т. е. полевая корреляционная функция не зависит от начального момента времени, так что корреляционная функция〈石(一)(—t)E^ (г,力十丁)〉зависит только от разницы значений времени т.

Из (10.1.1) следует, что

f + г)) = Io(r)(a+(t)(T^(t + г)),(Ю.5.2)

где

(10.5.3)

\47Г60с2|г-г0|7

Двухвременную корреляционную функцию〈＜7+(力)(7_(力 + г)) можно вычислить с по мощью квантовой теоремы регрессии, зная соответствующие одновременные корре™ ляционные функции. Таким образом, нам необходимы средние значения дипольных

операторов в представлении взаимодействия, {a^(t)) = Pba(t) ехР (^t\ 〈°"_(力)〉= =Pab(t) exp (—沁力)，и оператора инверсии〈＜7三⑴〉=[p.a⑴一Рьь⑴]"Все корреляционные функции высших порядков могут быть получены из них. Например,

S±⑴0±⑴)=仇(10.5.4а)

廿+⑴。—⑴〉=(S/力)〉+ 1)/2*(10546)

Как показано в приложении 10.Б (см., также, приложение 10.В), точное решение уравнения Лиувилля (10.2.14) приводит к выражениям

((I_(方 + 7))已2(力 + T)= pab(t + T)=

=gь(7) + (12(7)9一⑴〉已心力 + ^(T^a^(t))已-'心力 + a4(7)((*⑴〉+ 1)/2,(10.5.5)

гдегде(〈(7式力 + 丁)〉+ 1)/2 = paa(t + 丁)=

где

где

Г(4%一[

cos ur — sin 必7

[' 4/丿

},”57)

：-3『丁/4

◎2(т) = 2 е / +

[Г sin дат + 4/z cos цт],

8д'

(10.5.8)

-ЗГт/4

◎з(т) = 2 已 /

[Г sin 4T 十 4从 cos дат], 8д

(10.5.9)

a4（7）= -3『丁/4 S也从丁,

(10.5.10)

仇(7)=广+,蝠[1 kOS

从7 十 !^Sin/XT)e一З『丁/4],

(10.5.11)

b2（T）= j）3『丁/46也从丁，

(10.5.12)

63(Т)=」

24

(10513)

好(7)=用丁/4к0д 4T — ； sin дат],

(10.5.14)

嗚一 方:

(10.5.15)

=伉⑺ + WQS.⑴)小力 + 6式7)廿+⑴)已一5 十 М7)(〈*⑴〉+ 1)/2, (1056)

Нас будут интересовать стационарные свойства рассеянного поля. В стационарном состоянии (力 Т сю) средние значения различных атомных операторов являются независимыми от начальных условий. Отсюда следует, что

Jim (＜т—⑴〉已心"=О1(сю)=Jim (＜т—⑴〉已心"=О1(сю)=(Юсс + 1)/2 = 61(сю)=(Юсс + 1)/2 = 61(сю)='Г2 + 2С*， 喝「2+2喝a'Г2 + 2С*， 喝「2+2喝a(10516)(10517)(10516)(10517)

Jim (＜т—⑴〉已心"=О1(сю)=

Jim (＜т—⑴〉已心"=О1(сю)=

(Юсс + 1)/2 = 61(сю)=

(Юсс + 1)/2 = 61(сю)=

'Г2 + 2С*， 喝

「2+2喝a

'Г2 + 2С*， 喝

「2+2喝a

(10516)

(10517)

(10516)

(10517)

Теперь вычисление двухвременной корреляционной функции 〈＜7+(力)(7_(力 + г)), как было показано в разд. 10.4, формально идентично вычислению одновременного сред™ него значения〈＜т_(力 + г)), за исключением того, что вместо приведенного оператора

плотности Ратом (^) следует использовать неэрмитов оператор paTOM(t)(T+(t). Следо™ вательно, из (10.5.5) следует, что

S+⑴人(方+ T))已向=｛团⑺〈*⑴〉+ a2(T)S+⑴"⑴)已^ +

+ <13(7)(0+⑴ * ⑴)已一2力 + (14(7)(0+⑴[* ⑴ + 1]/2〉｝=

=｛团⑺S+(方))+ а2(7)к*⑴〉+ I/2]｝" (10-5.18)

В стационарном состоянии из (10.5.16) и (10.5.17) следует, что

3+(力)(7—(力 + т)〉сс =[建1(丁)若(8)+ «2(^)Ь1(сю)] е^гшт.(10.5.19)

Подставляя различные коэффициенты из выражений (10.5.7), (10.5.8), (10.5.16) и (10.5.17) в (10.5.19), получим следующее точное выражение для полевой двухвре™ меннбй корреляционной функции:

(〃 —)(-力)加+)(г"十 т)〉= /o(r)S+(力)(7—(力 + т)〉сс =

+ —^一[已+ 5Q) + 已'"(У — iQ)]卜(10520)

где Ig(г) определяется выражением (10.5.3), а безразмерные константы Р и Q имеют вид

。2f2r 1端「2

Выражение для спектра мощности можно получить, выполняя фурье-преобразо™ вание ｛Е^(T^t)E^ (r^t т)) (см. (10.5.1)). Как уже было показано в разд. 10.2 и 10.4, спектр демонстрирует удивительно разное поведение в слабо и сильнополевом пределах. Поэтому мы рассмотрим их отдельно.

Предел слабого поля. Выражение (10.5.20) значительно упрощается в пре™ деле слабого поля, когда

Г

Пн《[(10522)

Частота Раби управляющего поля в этом пределе много меньше скорости спонтанного испускания фотонов. Поэтому атом ведет себя как сверхзатухающий квантовый гармонический осциллятор. Из определения 从(см. (10.5.15)) следует, что в этом пределе 从 = гГ/4. Первый член в фигурных скобках в выражении (10.5.20) в этом случае будет порядка единицы, второй и третий члены взаимно уничтожаются, а четвертый член равен нулю. Получаем

〈石(―)(一力№(+)(- t + r))^ 10(г)(Оя/Г)2(10523)

Следовательно, спектр мощности излученного поля имеет вид

S(r, ш0)=厶什)(口咒/ Г)2 8(® — ш0),(Ю.5.24)

т. е. спектр определяется 8-пункцией. Результат не является неожиданным, поскольку при монохроматическом резонансном управляющем поле атом поглощает фотон на частоте возбуждения, а закон сохранения энергии требует, чтобы испущенный фотон имел ту же частоту, в соответствии с предсказаниями для упругого релеевского рассеяния. Таким образом мы вновь получаем результаты разд. 10.2.1.

Предел сильного поля. Ситуация оказывается более сложной, когда частота Раби управляющего поля сравнима или больше, чем скорость атомной релаксации. В этом случае атом может когерентно взаимодействовать с полем много раз до того, как спонтанно излучит фотон. Следовательно, осуществляя фурье-преобразование {Е^\г^ t)E^ (г, t + г)) (см. (10.5.20)) и используя формулы

(10.5.25)(10.5.26)(10.5.25)(10.5.26)j/2+iujQT —

(10.5.25)

(10.5.26)

(10.5.25)

(10.5.26)

J——®о) + Г72‘

о

,i(w ± /z - w0) + ЗГ/4?

о

получаем спектр мощности флуоресцентного света:

6(r, зо) = Q+faJ _皆 + 2喝 8® - 3°)+(3 —3o)2 +(r/2)2 +

十(@ + 4+ (3「/4)2 +(® 一m一®0产+(3174)2]')

где

ЗГ

Q土 = P 土(® 土 从—^o)О•(10*5.28)

На рис. 10.5 изображена функция S(r, ®о) для различных значений 4ПД/ Г. Видно, что с ростом интенсивности управляющего поля однопиковый спектр 5(г, ®о) с мак™

S(r,Go)S(r,Go)Рис. 10.5. Спектр резонансной флуоресценции 5(г, о；о) в произвольных единицах, рассчитанный согласно (10.5.27): 4Пд/ Г = 1 (а), 4Па/ Г = 8 (6) и 4n贝/ Г = 16 (в). Вклад упругого рассеяния, пропорциональный а (о; 一 з。) не учтенРис. 10.5. Спектр резонансной флуоресценции 5(г, о；о) в произвольных единицах, рассчитанный согласно (10.5.27): 4Пд/ Г = 1 (а), 4Па/ Г = 8 (6) и 4n贝/ Г = 16 (в). Вклад упругого рассеяния, пропорциональный а (о; 一 з。) не учтен

S(r,Go)

S(r,Go)

Рис. 10.5. Спектр резонансной флуоресценции 5(г, о；о) в произвольных единицах, рассчитанный согласно (10.5.27): 4Пд/ Г = 1 (а), 4Па/ Г = 8 (6) и 4n贝/ Г = 16 (в). Вклад упругого рассеяния, пропорциональный а (о; 一 з。) не учтен

Рис. 10.5. Спектр резонансной флуоресценции 5(г, о；о) в произвольных единицах, рассчитанный согласно (10.5.27): 4Пд/ Г = 1 (а), 4Па/ Г = 8 (6) и 4n贝/ Г = 16 (в). Вклад упругого рассеяния, пропорциональный а (о; 一 з。) не учтен

симумом на частоте ®о 二® преобразуется в трехпиковый спектр с максимумами на частотах wq = w, ш ± Пд. Высоты этих пиков для Cr 》Г/4 соотносятся как

1:3:1. Упругий релеевский пик при ш^ = ш теряется в этом пределе. Такое поведение аналитически следует из выражения (10.5.26) в пределе Пд》Г/4* Тогда

S(3o)S(3o)厶叫ЗГ/4

S(3o)

S(3o)

8» [(ш^Пд^ш0)2 + (ЗГ/4)2

(10.5.29)(10.5.29)IГ(ЗГ/4

(10.5.29)

(10.5.29)

+- ®0)2十(г/2产+3十Cr -例产+(3174产‘

что согласуется с выражением (10.4.10). Ширина пиков с центрами на частотах ®о = = ® — Пд, шиш + Пд равна ЗГ/4, Г/2 и ЗГ/4, соответственно. Однако интегральные интенсивности пиков соотносятся как 1:2:1.

Антигруппировка фотонов

Покажем, что рассеянное поле при резонансной флуоресценции обнаруживает неклассическое поведение, связанное с антигруппировкой фотонов. Для того, что™ бы вычислить нормированную корреляционную функцию второго порядка &(?)(т) (выражение (4.2.21)), сначала определим двухвременную корреляционную функцию (<т+(力)(т+(力十丁)(т_ (力十丁)(т_ (力)〉из выражения (10.5.6). Используя квантовую теорему регрессии, получаем

0+(力)(7+(力 + T)b—(力 + 7)(7-⑴〉=。+⑴((7 式力 + T) + 1/2)(T—⑴)=

=bi(r)(a+(t)a^(t)) + b2(T)(a+(t)a^(t)a^(t))已心力 + 6з(т)〈ь+⑴。+⑴。―⑴〉已一心力十

+ 施(丁)〈。+⑴廿工⑴ +(力)〉/2 = bi^^a^t)) + 1)/2. (10.6.1)

Для стационарного состояния из выражения (10.5.6) имеем

〈。+(力)(т+(力 + T)a^(t + т)(т—⑴〉сс = 61(т)61(сю).(10.6.2)

Подставляя различные коэффициенты из (10.5.11) и (10.5.17) в (10.6.2), получаем

〈。+(力)(т+(力 + r)a^(t + r)a^(t))cc =

= (^Й) (cos " +》in= (^Й) (cos " +》in(10.6.3)(10.6.3)

= (^Й) (cos " +》in

= (^Й) (cos " +》in

(10.6.3)

(10.6.3)

Из (10.6.3) с учетом (10.1.1) и (4.2.21) следует, что

g⑵(г) = 1 — (cos ДАТ + |^- sin “) 6-3「丁/4.(10.6.4)

На рис. 10.6 величина &(?)(т) представлена как функция временной задержки 丁 для различных значений нормированной частоты Раби управляющего поля. Видно, что g⑵(г) = 0 для г = 0, и g⑵(г) > 0 с ростом т. Следовательно

g⑵⑺>g⑵⑼，(10.6.5)

что соответствует явлению антигруппировки фотонов (см. (4.4.71)).

В случае слабого управляющего поля, когда Пд《Г/4, величина &(?)(т) увели™ чивается монотонно от 0 до 1 с ростом т. В случае же сильного управляющего поля, когда Cr》Г/4, величина g^ (г) демонстрирует осцилляционную зависимость от г. Амплитуда этих осцилляций спадает с ростом г, а функция &(?)(т) стремится к единице при 丁 Т ос.

g⑵⑴g⑵⑴Рис. 10.6. Нормированная корреляционная функция второго порядка g(?)(力)как функция безразмерной задержки Гт: 4Пд/ Г = 0.1 (a), 4Qr/ Г = 10 (6)Рис. 10.6. Нормированная корреляционная функция второго порядка g(?)(力)как функция безразмерной задержки Гт: 4Пд/ Г = 0.1 (a), 4Qr/ Г = 10 (6)Легко понять физическую причину антигруппировки фотонов в резонансной флуоресценции. После испускания фотона атом возвращается в основное состояние, и для того, чтобы вновь возбудить атом в верхнее состояние, из которого может быть испущен следующий фотон, управляющему полю необходимо некоторое время. В среднем, эта задержка порядка периода Раби С}', что можно видеть из выражения (10.6.4) в пределе Cr 》「/4" Следовательно, спонтанно испущенные фотоны демонстрируют тенденцию к антигруппировке для малых времен задержек т.

g⑵⑴

g⑵⑴

Рис. 10.6. Нормированная корреляционная функция второго порядка g(?)(力)как функция безразмерной задержки Гт: 4Пд/ Г = 0.1 (a), 4Qr/ Г = 10 (6)

Рис. 10.6. Нормированная корреляционная функция второго порядка g(?)(力)как функция безразмерной задержки Гт: 4Пд/ Г = 0.1 (a), 4Qr/ Г = 10 (6)

Резонансная флуоресценция возбуждаемой V-системы

В заключение обсудим флуоресценцию трехуровневого атома х), возбуждаемого двумя когерентными полями (см. рис. 10.7). Основное отличие от традиционной

схемы резонансной флуоресценции состоит ля. В результате не только возникают каче™ ственные изменения в форме спектров ио пускания и поглощения, но меняется также и ширина линии в том смысле, что она ста™ новится зависимой от атомных параметров и от относительной интенсивности полей.

В частности, ширйны и пиковые амплитуды спектральных компонент могут значительно отличаться от таковых для случая традиционной резонансной флуоресценции, в которой двухуровневая система возбуждается единственным близким к ре™ зонансу полем (см. рис. 10.8).

в наличии второго управляющего по-в наличии второго управляющего по-Рис. 10.7. Схематичное представление V- модел и.沙1 и 沙2 — несущие частоты управляющих полейРис. 10.7. Схематичное представление V- модел и.沙1 и 沙2 — несущие частоты управляющих полейДля ознакомления с простой физической трактовкой см. (Keitel, Narducci and Scully, 1995). Классической является экспериментальная работа Zhu, Gauthier and Mossberg (1991).

в наличии второго управляющего по-

в наличии второго управляющего по-

Рис. 10.7. Схематичное представление V- модел и.沙1 и 沙2 — несущие частоты управляющих полей

Рис. 10.7. Схематичное представление V- модел и.沙1 и 沙2 — несущие частоты управляющих полей

Пусть атом переходит из возбужденных состояний (см. рис. 10.7), \а) и \Ь) в состояние |с) со скоростями Га и『6, и мы предположим, что Га 》「» Более того,

（G。一 Gac）/「ас（G。一 Gac）/「асРис. 10.8. Спектр спонтанного излучения на переходе |а) f |с) в случае резонансных управляющих полей: стандартный спектр для случая резонансного управляющего поля, связывающего состояния |а) и |с) (а); то же, но для случая сильного управляющего поля на переходе 16) Т 一 |с) (6). (Из статьи Narducci, Scully, Oppo, Ru, and Tredicce, 1990.)Рис. 10.8. Спектр спонтанного излучения на переходе |а) f |с) в случае резонансных управляющих полей: стандартный спектр для случая резонансного управляющего поля, связывающего состояния |а) и |с) (а); то же, но для случая сильного управляющего поля на переходе 16) Т 一 |с) (6). (Из статьи Narducci, Scully, Oppo, Ru, and Tredicce, 1990.)куумные флуктуации на частотах, близких ккуумные флуктуации на частотах, близких кпредположим, что частоты Раби управляющих полей, связывающие |о〉и |с) (Ош) и \Ь) и I。(С/?2)та- ковы, что Cr2》Cri. В этом случае наблюдается спектральное суже™ ние (см. рис. 10.8). В следующих нескольких параграфах мы представим эвристическую трактовку задачи.

（G。一 Gac）/「ас

（G。一 Gac）/「ас

Рис. 10.8. Спектр спонтанного излучения на переходе |а) f |с) в случае резонансных управляющих полей: стандартный спектр для случая резонансного управляющего поля, связывающего состояния |а) и |с) (а); то же, но для случая сильного управляющего поля на переходе 16) Т 一 |с) (6). (Из статьи Narducci, Scully, Oppo, Ru, and Tredicce, 1990.)

Рис. 10.8. Спектр спонтанного излучения на переходе |а) f |с) в случае резонансных управляющих полей: стандартный спектр для случая резонансного управляющего поля, связывающего состояния |а) и |с) (а); то же, но для случая сильного управляющего поля на переходе 16) Т 一 |с) (6). (Из статьи Narducci, Scully, Oppo, Ru, and Tredicce, 1990.)

куумные флуктуации на частотах, близких к

куумные флуктуации на частотах, близких к

Начнем с разложения атомного дипольного оператора по наиболее естественному набору состояний —— «одетым» состояниям системы «атом + управляющее поле» — и найдем скорости релаксации «одетых» ко герентных составляющих, которые определяют ширины линий спектра резонансной флуоресценции в при™ ближении сильного управляющего поля. Мы получим точное выражение для скорости затухания, определяющей ширину одной из крайних боко вых полос, и идентифицируем вклады, вносимые двумя возбужденными состояниями в этот распад «одетой» когерентности. Оказывается, что ва™ частоте одного из двух разрешенных

атомных переходов, могут подавляться флуктуациями на частотах, близких к часто™ те другого перехода, благодаря взаимной связи, которую «одетые» состояния полной системы вызывают между «неодетыми» возбужденными атомными состояниями.

«Одетые» состояния являются собственными состояниями гамильтониана систе-

мы «атом 十 управляющее поле»:

(10.7.1)(10.7.1)% = B^i(|c)(a|af + |a)(c|ai) + hg2(\c){b\a^ + |6)(с|а2),

(10.7.1)

(10.7.1)

где &1 и &2 являются операторами уничтожения фотонов полевых мод, чьи фоковские состояния обозначены как \п) и |т), соответственно. Эти собственные состояния при™ ведены на рис. 10.9, а матричные элементы перехода между «одетыми» состояниями, связанные со спонтанным излучением фотона, показаны на рис. 10.10. Как следует из рис. 10.10, теперь возможны по пять линий на обоих |о〉Т |с) и \b) Т |с) переходах, хотя на этом рисунке отражены лишь по три линии на каждом переходе.

Ширйны спектральных составляющих определяются временной эволюцией соответствующих «одетых» когерентностей. В качестве яркого примера, рассмотрим составляющую дипольного оператора (см. (10.2.16))

1.

Sac ⑴〉=Tr ⑴]=…

(1072)(1072)(1073)(1073)которая осциллирует с частотой шас + 2D, где

(1072)

(1072)

(1073)

(1073)

| + , n, т} = -^[|с, n, т) + sin^|a, п — 1，т〉+ cos 6\b, п^т — 1〉] v2

|0, n, m〉= cos 6\a, n — 1, m) + sin В也 n, m — 1)]

| —, n,— sin ^|a, n — 1, m) — cos 6\b, n,m — 1〉]

Переходы на частоте owПереходы на частоте ow|0, п — 1, т) = cos 6\а, п — 2, т) — sin В也 п — 1,т — 1)]|0, п — 1, т) = cos 6\а, п — 2, т) — sin В也 п — 1,т — 1)]\ — ,п — 1,т} = ^^丨& 几—1,т) — sin^|a, п — 2,т) — cos ^|Ь, п — 1,т — 1)]\ — ,п — 1,т} = ^^丨& 几—1,т) — sin^|a, п — 2,т) — cos ^|Ь, п — 1,т — 1)]

Переходы на частоте ow

Переходы на частоте ow

|0, п — 1, т) = cos 6\а, п — 2, т) — sin В也 п — 1,т — 1)]

|0, п — 1, т) = cos 6\а, п — 2, т) — sin В也 п — 1,т — 1)]

\ — ,п — 1,т} = ^^丨& 几—1,т) — sin^|a, п — 2,т) — cos ^|Ь, п — 1,т — 1)]

\ — ,п — 1,т} = ^^丨& 几—1,т) — sin^|a, п — 2,т) — cos ^|Ь, п — 1,т — 1)]

gix/^y ,COS 0 三gi，^

Jg；d〉+ g弘力)Jg；d〉+ g弘力)

Рис. 10.9. Собственные состояния, соответствующие п фотонам в первом управляющем поле и т фотонам — во втором, распадающиеся в состояния с 冗一1 и т фотонами, соответственно.Часть состояний, связанных с переходами на частоте шас, выделена волнистой линиейРис. 10.9. Собственные состояния, соответствующие п фотонам в первом управляющем поле и т фотонам — во втором, распадающиеся в состояния с 冗一1 и т фотонами, соответственно.Часть состояний, связанных с переходами на частоте шас, выделена волнистой линией(jjac : |(±, п, m|r|±, п — 1, т)|2 二:sin2 0\(а, п — 1, m|r|c, n — 1, т}\2(jjac : |(±, п, m|r|±, п — 1, т)|2 二:sin2 0\(а, п — 1, m|r|c, n — 1, т}\2а) а с + 2Q : |(+, n, m|r| —, п — 1, m)|2 = - sin2 6\{а, п — 1, m|r|c, п — 1, т)\2 о)ас + ◎ : |(0, n, m|r| —, п — 1, m^|2 = g cos2 例〈。，几一1, m|r|c, n — 1, m^|2а) а с + 2Q : |(+, n, m|r| —, п — 1, m)|2 = - sin2 6\{а, п — 1, m|r|c, п — 1, т)\2 о)ас + ◎ : |(0, n, m|r| —, п — 1, m^|2 = g cos2 例〈。，几一1, m|r|c, n — 1, m^|2

Рис. 10.9. Собственные состояния, соответствующие п фотонам в первом управляющем поле и т фотонам — во втором, распадающиеся в состояния с 冗一1 и т фотонами, соответственно.

Часть состояний, связанных с переходами на частоте шас, выделена волнистой линией

Рис. 10.9. Собственные состояния, соответствующие п фотонам в первом управляющем поле и т фотонам — во втором, распадающиеся в состояния с 冗一1 и т фотонами, соответственно.

Часть состояний, связанных с переходами на частоте шас, выделена волнистой линией

(jjac : |(±, п, m|r|±, п — 1, т)|2 二:sin2 0\(а, п — 1, m|r|c, n — 1, т}\2

(jjac : |(±, п, m|r|±, п — 1, т)|2 二:sin2 0\(а, п — 1, m|r|c, n — 1, т}\2

а) а с + 2Q : |(+, n, m|r| —, п — 1, m)|2 = - sin2 6\{а, п — 1, m|r|c, п — 1, т)\2 о)ас + ◎ : |(0, n, m|r| —, п — 1, m^|2 = g cos2 例〈。，几一1, m|r|c, n — 1, m^|2

а) а с + 2Q : |(+, n, m|r| —, п — 1, m)|2 = - sin2 6\{а, п — 1, m|r|c, п — 1, т)\2 о)ас + ◎ : |(0, n, m|r| —, п — 1, m^|2 = g cos2 例〈。，几一1, m|r|c, n — 1, m^|2

Рис. 10.10. Распад состояний с числом фотонов п и т в управляющих полях в состояния с числами п 1, т и п, т — 1 фотонов, соответственно. В окрестности обеих частот шас и шьс будут наблюдаться по пять пиков, из которых только три отражены на рисунке. Приведены матричные элементы т, ггш и m2a на п, т п — 1, m-фотонных переходах.

См. обозначения на рис. 10.6

Если внешние управляющие поля являются достаточно сильными или, точнее, если эффективная частота Раби С много больше, чем обе скорости спонтанного распада верхних атомных состояний, можно воспользоваться секулярным приближением и получить (см. приложение 10.Д)

Р+^ 二一2ЕС°+— — ^+^р+^,(Ю.7.4)

где

= I 卜n需)，(10-7-5)

Ясно, что когда Га 》Г^, но С/^ 》Cri, ширина линии на частоте шас + 2D становится равной『力

Таким образом, можно сказать, что вакуумное взаимодействие, связанное с \Ь) т Т |с) переходом, определяет ширину пика \а) Т |с) на частоте ®ас+2С" Этот эффект наблюдался экспериментально.

Приложение 10.А

Оператор электрического поля в приближении дальней зоны

Начнем с рассмотрения взаимодействия двухуровневого атома с полем излучения, которое в приближении вращающейся волны описывается гамильтонианом (см. (6220))

* = ^^Z + £ Bpfca+AakjA £ B^k)A(akjA(T+ 七汰工口 + о],Л(т—厂汰^)" (10.А.1) k,A k,A

Здесь учтено взаимодействие между атомом и всеми полевыми модами, характеризующимися волновым вектором к и поляризацией А. Далее введем медленно меняющиеся операторы 石к,А и 3_, такие что

ак,a ⑴=涼6(力)£f上(10.A.2a)

с.⑴=彳—⑴ 叫(10.А.26)

Уравнения движения Гейзенберга для этих операторов имеют вид

^к,А⑴=—階⑴(ЮА.За)

^―⑴=££gk,AW ⑴迎 л/®~к)"и%(ЮА.Зб)

k,A

Можно формально проинтегрировать эти уравнения и получить

3k,A⑴=ak,A(0)—晒k,A gT3~k) J*r° ] dt^^t1) /3~к)("У),(10A.4a)

о

飞—⑴=入(0) + £ 分gk，A /(G宀krg dtfaz(tf)aKX*(Ю.А.46)

Первые члены в этих выражениях соответствуют свободной эволюции полевых и атомных операторов в отсутствие взаимодействия. В следующих разделах нас будет интересовать вклад в поле, обусловленный его взаимодействием с атомом.

Из (1.1.30) следует, что положительно-частотная часть оператора электрического поля имеет вид

Е(+)(гЗ) = Х<^Л)^аИ eik'r,(Ю.А.5)

к, А

где <Рк =(方〃к/2£()1/)1/2* Подставляя выражение для a^^(t) из (10.А.2а) и (10.А.4а), получаем

e(+)(2) = (I^^)「^卜к亠讃)嚷).以…一。)乂

X dtfa^(tf) "k)(J。(Ю.А.6)

о

где было использовано определение gk из (6.1.8) и осуществлена замена суммы интегралом согласно правилу

V (2*)3 J

Учитывая, что (см. (1.1.36))

e讃)「-警А

получаем оператор векторного поля в удобном виде:

Е( + )(г," = (—£一必土 [dk dddpk2sind以 £*(r — ro)义

\16тглео/ J[就」

x dtfa^(/) /(…k)(, (Ю.А.7)

о

Затем предположим, что линия, соединяющая атом с наблюдателем, направлена вдоль оси z, которая параллельна вектору г —го, а электрический диполь расположен в плоскости xz под углом 〃 к оси z (см. рис. 10.11). Тогда векторы к и р в полярных координатах записываются следующим образом:

k = к(х sin Н cos 夕 + 歹sin Н sin р + z cos H),(10.A.8)

p = р(ж sin 〃 + 2cos 17).(10.A.9)

Рассмотрим сначала интегрирования по углам в выражении (10.А.7). Интегрирование по 夕 дает для 力-составляющей

27r02тг= d(pp[sin n — sin H cos 夕(sin 17 sin H cos g + cos 17 cos ")]=0=27Tpsin tj (1 — g sh'")， (ISA」。)27r02тг= d(pp[sin n — sin H cos 夕(sin 17 sin H cos g + cos 17 cos ")]=0=27Tpsin tj (1 — g sh'")， (ISA」。)

27r

0

2тг

= d(pp[sin n — sin H cos 夕(sin 17 sin H cos g + cos 17 cos ")]=

0

=27Tpsin tj (1 — g sh'")， (ISA」。)

27r

0

2тг

= d(pp[sin n — sin H cos 夕(sin 17 sin H cos g + cos 17 cos ")]=

0

=27Tpsin tj (1 — g sh'")， (ISA」。)

Рис. 10.11. Вектор дипольного момента атома и вектор к электрического поля в полярных координатахРис. 10.11. Вектор дипольного момента атома и вектор к электрического поля в полярных координатахдля ^/-составляющейдля ^/-составляющей27rd9歹行一о27rd9歹行一о依依®”k)(kj)®”k)(kj)27r(/夕断0 —sin H sin 夕(sin 〃 sin H cos <p + cos 〃 cos ")] = 0, 027r(/夕断0 —sin H sin 夕(sin 〃 sin H cos <p + cos 〃 cos ")] = 0, 0(10А11)(10А11)

Рис. 10.11. Вектор дипольного момента атома и вектор к электрического поля в полярных координатах

Рис. 10.11. Вектор дипольного момента атома и вектор к электрического поля в полярных координатах

для ^/-составляющей

для ^/-составляющей

27r

d9歹行一

о

27r

d9歹行一

о

依

依

®”k)(kj)

®”k)(kj)

27r

(/夕断0 —sin H sin 夕(sin 〃 sin H cos <p + cos 〃 cos ")] = 0, 0

27r

(/夕断0 —sin H sin 夕(sin 〃 sin H cos <p + cos 〃 cos ")] = 0, 0

(10А11)

(10А11)

и для ^-составляющей

27rо27rок2к2(2"k)(k‘@)(2"k)(k‘@)27r

27r

о

27r

о

к2

к2

(2"k)(k‘@)

(2"k)(k‘@)

d夕伊[cos tj — cos i3(sill 〃 sin H cos 夕 + cos 〃 cos ")]=

0

=2?rpcos 〃(1 — cos2 H) = 2?rpcos 〃 sin2 法 (10.A.12)

Таким образом, ^/-составляющая электрического поля обращается в нуль. Далее рассмотрим интегрирование по i3 в (10.А.7). Записывая

gEk-O — ro) = eife|(r-r0)| cos i?

и осуществляя замену переменных 从=cos i3, получаем для ^-составляющей

27rpsiii 7/о27rpsiii 7/оd" sill H —d" sill H —g sin2 H)e«k-(r^r0) = 2тгр sill tjg sin2 H)e«k-(r^r0) = 2тгр sill tj(1 — /?)] /к|г —гоМ =(1 — /?)] /к|г —гоМ ==27rpsiii 〃=27rpsiii 〃ik\r-r0\ -i/c|r-r0|/1ik\r-r0\ -i/c|r-r0|/1,(10.А.13),(10.А.13)

27rpsiii 7/

о

27rpsiii 7/

о

d" sill H —

d" sill H —

g sin2 H)e«k-(r^r0) = 2тгр sill tj

g sin2 H)e«k-(r^r0) = 2тгр sill tj

(1 — /?)] /к|г —гоМ =

(1 — /?)] /к|г —гоМ =

=27rpsiii 〃

=27rpsiii 〃

ik\r-r0\ -i/c|r-r0|/1

ik\r-r0\ -i/c|r-r0|/1

,(10.А.13)

,(10.А.13)

27r p COS n027r p COS n0

27r p COS n

0

27r p COS n

0

а для ^-составляющей

1

dd sin3 i3 егк'(г™г°) = 2тгр cos у d//(l —川)

—1

где использованы результаты (10.А.10) и (10.А.12). В области дальнего поля членами, пропорциональными О(1/|г — го|2), можно пренебречь, и ^-составляющая злектри- ческого поля также обращается в нуль. Комбинируя (10.А.7) и (10.А.13), получаем

х (eik^^ -厂泌”g) ^5^(Г) /®~Q(JQ (ЮА.15) о

Далее по аналогии с теорией Вайскопфа-Вигнера осуществим замену k2 Т Т (ш/с)2, распространим передел интегрирования по к до —оо и, после интегри™ рования по к, получим

О

—必(t+k—g/c)b (力一/ + 仔—丁.) . (10A16)

о

Пренебрегая вкладом входящей волны и возвращаясь к а^ (t) (см. (10.А.26)), легко получаем выражение (10.1.1).

Приложение 10.Б

Уравнения движения для матрицы плотности и их точноерешение в базисе «одетых» состояний

10.Б.1. Вывод уравнения движения в базисе «одетых» состояний. В разд. 10.2 было показано, что в пределе сильного поля и в рамках секулярного приближения решение системы в базисе «одетых» состояний объясняет положения и ширины спектральных линий без сложных расчетов. Более того, как будет показано далее, точное решение задачи в базисе «одетых» состояний также требует меньших усилий, чем в базисе «неодетых» состояний.

Для начала заметим, что из выражения (10.2.11) следует

(lO.B.la)(10.Б.16)(lO.B.la)(10.Б.16)1°) = о(|+〉+ Ь)),切=±(1+〉-丨-〉)"

(lO.B.la)

(10.Б.16)

(lO.B.la)

(10.Б.16)

С помощью этих формул запишем гамильтониан взаимодействия %, выразив пони™ жающий и повышающий операторы <т十 и через состояния |±):

% =牛(1+〉〈+1-〉㈠)，(Ю.Б.2)

人=切з=g|+)(+| + |+〉㈠-㈠〈+| —㈠㈠)，(10.Б.3)

9 М.О* Скалли, М.С. Зубайри

。十。一 = Ia)И = ；(1+〉〈+| + |+〉〈 - | + I-〉〈+| + |+〉(-|)*(w.БЛ)

Подставляя выражения (10.Б.2)^(10.Б.4) в (10.2.14) и используя соответствующие матричные элементы оператора плотности, получаем

++•р++•рF - 4г -2F - 4г -2力=-力一+ =-力=-力一+ =-^-4^-4^-4^-4ш+гш+гя шя ш++гг-4-4гг-4-4F -2F -2гг(1О.Б.5а)(10.Б.56)(1О.Б.5в)(1О.Б.5а)(10.Б.56)(1О.Б.5в)10.Б.2. Решение уравнений движения. Достоинство базиса «одетых» состояний состоит в том, что уравнение (10.Б.5а) не связано с уравнениями (10.Б.56) и (1О.Б.5в). Решение для 夕十十 уже найдено в (10.2.19а). Для того чтобы получить решения для рчи р__н, удобно переписать (10.Б.56) и (1О.Б.5в) в матричной форме:10.Б.2. Решение уравнений движения. Достоинство базиса «одетых» состояний состоит в том, что уравнение (10.Б.5а) не связано с уравнениями (10.Б.56) и (1О.Б.5в). Решение для 夕十十 уже найдено в (10.2.19а). Для того чтобы получить решения для рчи р__н, удобно переписать (10.Б.56) и (1О.Б.5в) в матричной форме:А⑴=—А7А⑴+ &А⑴=—А7А⑴+ &(10.Б.6)(10.Б.6)гдегдеa⑴=a⑴=什十一⑴什十一⑴/ЗГ/4 + гПя Г/4\—I Г/43174 —/ЗГ/4 + гПя Г/4\—I Г/43174 —(10В7)(10.Б.8)(10.Б.9)(10В7)(10.Б.8)(10.Б.9)Для того чтобы решить уравнение (10.Б.6), найдем собственные состояния и собственные значения матрицы М, такие чтоДля того чтобы решить уравнение (10.Б.6), найдем собственные состояния и собственные значения матрицы М, такие чтоMvi = Ag (公=1,2).(10.Б.10)Mvi = Ag (公=1,2).(10.Б.10)Следовательно, матрица, состоящая из собственных векторов (матриц™столбцов) v^ имеет видСледовательно, матрица, состоящая из собственных векторов (матриц™столбцов) v^ имеет видV =(V1V2),V =(V1V2),(10.Б.11)(10.Б.11)иMV = (Aivi A2V2).(10.Б.12)Нам также понадобится матрица, обратная У, которую можно найти традиционными матричными методами и записать в виде матрицы, состоящей из векторов-строк:厂二 С；) .(Ю.Б.13)Студентам, изучающим современную квантовую механику (и лучше знакомым с обозначениями Дирака, чем с матричными обозначениями) может помочь следую™ щее замечание:Vi —> Ю? "/' —(Л-(10.Б.14)Теперь учтем, что (т. е., согласно нашему определению V^1)VL = 1,(10.Б.15)иMV = (Aivi A2V2).(10.Б.12)Нам также понадобится матрица, обратная У, которую можно найти традиционными матричными методами и записать в виде матрицы, состоящей из векторов-строк:厂二 С；) .(Ю.Б.13)Студентам, изучающим современную квантовую механику (и лучше знакомым с обозначениями Дирака, чем с матричными обозначениями) может помочь следую™ щее замечание:Vi —> Ю? "/' —(Л-(10.Б.14)Теперь учтем, что (т. е., согласно нашему определению V^1)VL = 1,(10.Б.15)

+

+

•р

+

+

•р

F - 4г -2

F - 4г -2

力=-

力一+ =-

力=-

力一+ =-

^-4^-4

^-4^-4

ш

+г

ш

+г

я ш

я ш

+

+

г

г

-4

-4

г

г

-4

-4

F -2

F -2

г

г

(1О.Б.5а)

(10.Б.56)

(1О.Б.5в)

(1О.Б.5а)

(10.Б.56)

(1О.Б.5в)

10.Б.2. Решение уравнений движения. Достоинство базиса «одетых» состояний состоит в том, что уравнение (10.Б.5а) не связано с уравнениями (10.Б.56) и (1О.Б.5в). Решение для 夕十十 уже найдено в (10.2.19а). Для того чтобы получить решения для рчи р__н, удобно переписать (10.Б.56) и (1О.Б.5в) в матричной форме:

10.Б.2. Решение уравнений движения. Достоинство базиса «одетых» состояний состоит в том, что уравнение (10.Б.5а) не связано с уравнениями (10.Б.56) и (1О.Б.5в). Решение для 夕十十 уже найдено в (10.2.19а). Для того чтобы получить решения для рчи р__н, удобно переписать (10.Б.56) и (1О.Б.5в) в матричной форме:

А⑴=—А7А⑴+ &

А⑴=—А7А⑴+ &

(10.Б.6)

(10.Б.6)

где

где

a⑴=

a⑴=

什十一⑴

什十一⑴

/ЗГ/4 + гПя Г/4\

—I Г/43174 —

/ЗГ/4 + гПя Г/4\

—I Г/43174 —

(10В7)

(10.Б.8)

(10.Б.9)

(10В7)

(10.Б.8)

(10.Б.9)

Для того чтобы решить уравнение (10.Б.6), найдем собственные состояния и собственные значения матрицы М, такие что

Для того чтобы решить уравнение (10.Б.6), найдем собственные состояния и собственные значения матрицы М, такие что

Mvi = Ag (公=1,2).(10.Б.10)

Mvi = Ag (公=1,2).(10.Б.10)

Следовательно, матрица, состоящая из собственных векторов (матриц™столбцов) v^ имеет вид

Следовательно, матрица, состоящая из собственных векторов (матриц™столбцов) v^ имеет вид

V =(V1V2),

V =(V1V2),

(10.Б.11)

(10.Б.11)

и

MV = (Aivi A2V2).(10.Б.12)

Нам также понадобится матрица, обратная У, которую можно найти традиционными матричными методами и записать в виде матрицы, состоящей из векторов-строк:

厂二 С；) .(Ю.Б.13)

Студентам, изучающим современную квантовую механику (и лучше знакомым с обозначениями Дирака, чем с матричными обозначениями) может помочь следую™ щее замечание:

Vi —> Ю? "/' —(Л-(10.Б.14)

Теперь учтем, что (т. е., согласно нашему определению V^1)

VL = 1,(10.Б.15)

и

MV = (Aivi A2V2).(10.Б.12)

Нам также понадобится матрица, обратная У, которую можно найти традиционными матричными методами и записать в виде матрицы, состоящей из векторов-строк:

厂二 С；) .(Ю.Б.13)

Студентам, изучающим современную квантовую механику (и лучше знакомым с обозначениями Дирака, чем с матричными обозначениями) может помочь следую™ щее замечание:

Vi —> Ю? "/' —(Л-(10.Б.14)

Теперь учтем, что (т. е., согласно нашему определению V^1)

VL = 1,(10.Б.15)

(10.Б.15) можно записать через собственные векторы и обратные к ним в виде

VV^1 = (vi v2) 0：) = vivi + v2V2 = 1,(10.Б.16)

(вновь отметим, что это аналогично выражению |1)(1| + |2)(2| = 1).

С помощью (10.Б.15) можно записать (10.Б.6) как

左⑴=+ В,(10.Б.17)

или

^”TR⑴]=^(V^MV^^R^t)] +『т»(10.Б.18)

Поскольку

Law = Q1 ；) = D,(10.Б.19)

то

^旷―1〃 ⑴]=^D[V^R{t)] +『т&(10.Б.20)

Решение этого уравнения имеет вид

V^Rit) = £-03-1 A(0) + dtf(10.Б.21)

о

Из (10.Б.21) сразу же следует, что

a ⑴=(V£一0屮一1)а(0) + V!)T(1 _ e^Dt)V^B.(10.Б.22)

Принимая во внимание тот факт, что D является диагональной, e^Dt записывается в виде

•(Ю-В.23)

Теперь очевидно, что зная собственные значения и собственные векторы,夕^(力) и 夕一 + (力)можно получить из (10.Б.22) непосредственным перемножением матриц.

В нашей задаче собственные значения М равны

Ai,2 = * ± 分例 М = Jf^ —(『/4)2,(10.Б.24)

и отвечают собственным состояниям

(10.Б.25)(10.Б.25)/cos 叫 _(一sin 少、

(10.Б.25)

(10.Б.25)

\sinдJ 7 “2 — I cos"丿 7

где tg i3 = —(4〃 F)(Cr — 4》Теперь можно построить V, V™1, О, и после некоторых алгебраических преобразований мы приходим к следующему выражению для 夕十_ ⑴：

夕十—=—(2// cos /it — 2Шд sin 从力)g—з『"40H_ (0) — — sin 从力巳一з『±/4夕

Г рМ(Г/2^Шд) 十%[一『2 + 2%一Г рМ(Г/2^Шд) 十%[一『2 + 2%一cos从力一1 一cos从力一1 一(3172)(172 — 2#'『2 + 2c2(3172)(172 — 2#'『2 + 2c2sill fit > e-3『方/4 -sill fit > e-3『方/4 -

Г рМ(Г/2^Шд) 十%[一『2 + 2%一

Г рМ(Г/2^Шд) 十%[一『2 + 2%一

cos从力一1 一

cos从力一1 一

(3172)(172 — 2#'『2 + 2c2

(3172)(172 — 2#'『2 + 2c2

sill fit > e-3『方/4 -

sill fit > e-3『方/4 -

Г(Г/2^ШД)『2 + 2叫Г(Г/2^ШД)『2 + 2叫(10.Б.26)(10.Б.26)

Г(Г/2^ШД)

『2 + 2叫

Г(Г/2^ШД)

『2 + 2叫

(10.Б.26)

(10.Б.26)

260

Резонансная флуоресценция

Гл. 10

Подставляя выражение

(10.2.19а) для 0+十(力)и выражение

(10.Б.26) для 夕+―(力)

в формулу

= Pab = Р++ — 21m—

(10.Б.27)

и отмечая, что

P++ — /О + Pab + Pba),

(10.Б.28)

0T= /(2paa — 1 — Pab + Pba)

(10.Б.29)

получаем выражения для〈(7_(力+丁)〉и (。力(力+丁)〉вида (10.5.5)^(10.5.14), необходимые для вычисления спектра мощности. Для сравнения мы вкратце изложили решение той же задачи в привычном базисе «неодетых» состояний в приложении 10.В, ио пользуя несколько иную технику расчета.

Приложение 10.В

Уравнения движения для матрицы плотности и их точноерешение в базисе «неодетых» состояний

Поучительно решить задачу резонансной флуоресценции в базисе «неодетых» состояний исключительно для того, чтобы показать, насколько проще она решается в базисе «одетых» состояний. Уравнения движения для различных элементов матрицы плотности можно получить из (10.2.14) и (10.2.15) путем подстановки выражения для % из (10.2.12) и последующего подбора соответствующих матричных элементов оператора плотности. Результирующие уравнения можно записать в компактной матричной форме следующим образом:

(10.В.1)(10.В.1)R(t) = -MR(t) + B,

(10.В.1)

(10.В.1)

ГДе (при pbb = 1- pa。)

f Pab\

A = Paa ,(Ю.В.2)

\PbaJ

/ r/2 一询R 0 、

M = —4r/2 Г Шя/2 ,(10.B.3)

'0Г/2 丿

Разительное отличие уравнений (1О.Б.5а)-(1О.Б.5в) (или (10.Б.6)) от (10.В.1) заключается в том, что в системе уравнений (1О.Б.5а)-(1О.Б.5в) уравнение (10.Б.5а) не связано с остальными, тогда как в (10.В.1) все три уравнения для ра^, раа и 夕^。 взаимосвязаны. Это означает, что в базисе «неодетых» состояний нам придется оперировать матрицами размера 3 х 3 в отличие от матриц размера 2 х 2 в базисе «одетых» состояний.

Для решения уравнения (10.В.1) сначала находим собственные значения матрицы М, которые имеют вид

гзгзг

Ai = А2 = — + £从, А? = %—必(10.В.5)

где, как и прежде, /1 =— Г?/]6 . Вновь обозначая собственные векторы и обратные им векторы через v? и 防(/ 二 1, 2, 3), соответственно, по аналогии с (10.Б.16) имеем

з

£vNz = L(Ю.В.6)

С помощью (10.В.6) можно показать, что

з

e^ш0 = £(访0)"%(10.В.7)

где О — матрица-столбец размера 3x1. Теперь можно найти решение:

R(t + т) = e^MrR(t) +e^^^^^Bdr1 = е^Мт R(t) + (1 — е^Мт)М^В =

=£ ｛乃坦⑴_M^B]vi 6_%丁｝ + и(10.B.8)

Определяя обратную матрицу М^1 и подставляя различные величины в (10.В.8), можно получить выражения (10.5.5)^(10.5.14) для〈＜т_(力 + т)) и ｛az(t + т)) (задача 10J).

Приложение 10.Г

Спектр мощности в стационарном режиме

Согласно теореме Винера-Хинчина, спектр мощности выражается через двухвременную корреляционную функцию поля излучения следующим образом:

т т

]If f

5(ш0) = - lim 寿 dt 必(后(一)⑴后(+)(у))6-必。(力")*(10T.1)

2тг Tf 8 T J J

о о

В стационарном режиме корреляционная функция〈石(一)(力)石(+)(〃)〉зависит только от разности значений времени т = t — tz, и выражение (10.Г.1) принимает вид

Т/tТ \

S(go) = ^：^™ I? dt I 必 + ]必 卜石㈠⑴石(+)(у))「必。(I')= 0\0t/

丄lim丄27r Tf oo T丄lim丄27r Tf oo TTdtTdtооdT(E(-)(7)石(+)(0))6-必"+dT(E(-)(0)后(+)(7)〉6必".оо(10.Г.2)dT(E(-)(7)石(+)(0))6-必"+dT(E(-)(0)后(+)(7)〉6必".оо(10.Г.2)

丄lim丄27r Tf oo T

丄lim丄27r Tf oo T

T

dt

T

dt

о

о

dT(E(-)(7)石(+)(0))6-必"+dT(E(-)(0)后(+)(7)〉6必".

оо

(10.Г.2)

dT(E(-)(7)石(+)(0))6-必"+dT(E(-)(0)后(+)(7)〉6必".

оо

(10.Г.2)

При условии, что операторы поля коррелируют только при малых значениях времени, можно распространить верхний предел интегрирования по 丁 до бесконечности, не внося значительных изменений. Поскольку

(10TJ)(10TJ)（加一）（7）加+）（0））=（加一）（0）后（+）（7））*）

(10TJ)

(10TJ)

из (10.Г.2) следует, что

(10.Г.4)(10.Г.4)丄 Re-)(0)后

(10.Г.4)

(10.Г.4)

о

Приложение 10.Д

Вывод формулы (10.7.5)

Отметим, что в обычных обозначениях оператор релаксации в представлении «одетых» состояний имеет вид

=〈+|(%“ + 4”)|-〉= затухание

二一^〈+|(|а〉〈@М + р\а}{а\ — 2|с〉〈а|"а〉〈с|)|—〉一

—^〈+1(切〈Ь|0 + p\b){b\^2\c){b\p\b){c\)H，(100」)

и после вставки полного набора состояний

'/ затухание

=^у ^X^+laH«k)^^ + Eo+oeiGSI—〉一 2£〈+Q〈Q|G/VrS|Q〉〈d—〉)一

—7 (工什⑹“匕力〜+ £ 吗S|b〉〈b|—〉— 2 £〈+Q〈b|Go“〈丁|b〉©—〉) """(100"2)

В пределе сильного поля остаются только члены типа 内, что приводит к выражению

二一^(〈+|q〉〈q|+〉+〈一|q〉〈q| —〉一 2〈+|0〈q|+〉〈一|а〉〈с| —〉)0+——

—^(〈+切"|+〉+〈—|b〉〈b|—〉— 2〈+Q〈b|—〉〈—|b〉〈c|—〉)o+—=

二一^(「aSin"犷 +「bCOS?犷)0十_ 二 _； ( & ^^三一)+—*(10.Д.З)

Таким образом, 0H(t) 〜 6一)+—力0H(0), т. е. диполь Pac(t) = Рас{аас(^)} содержит компоненту, которая спадает как 6一и, следовательно,〈。^(。历^⑴〉 (согласно теореме регрессии) ведет себя также.

Задачи

Покажите, что атомно-полевые «одетые» состояния | + , п) и | —, п), определенные в (10.2.9), являются собственными состояниями гамильтониана (10.2.8) с соответствующими собственными значениями Е(士，п) = 士冇^染/?〉где Qn = =2gVn + 1 •

1. Покажите, что полнота типа |+〉〈+| + | —〉〈一| = 1 эквивалентна |а)(а| +

+ |Ь〉® = 1.

Используя предыдущий результат покажите, что

廿一("；тГ…)"切=

=(+匕一1+〉(+1川+〉+(+匕一〉(一MI+〉+

+〈一匕—l+〉〈+MI—〉+〈一》」一〉〈一Ml—〉*

Заметим, что в отличие от (10.2.2) здесь появляется множитель ё^， поскольку мы работаем в представлении взаимодействия.

Покажите, что

(+»」+〉=(+也〉〈a1+〉=；

(一匕一1+)==一；

Учитывая все полученные выше результаты, докажите справедливость выражения (10.2.16).

Получите выражения (10.5.5)^(10.5.14), следуя методу, изложенному в приложении 10.В.

Рассмотрите резонансную флуоресценцию двухуровневого атома, затухающую благодаря многомодовому сжатому вакууму. В этом случае уравнение движения для атомного оператора плотности имеет вид (см. (8.2.17))

厶Г

力=―兀#, " — Е ch2 (г)(а+а^р — 2а^ра+ + ра^а^-

р

- Е sh2 (г)(сг^(т+р - 2а^ра^ +—

—Г fi" sh (г) ch (r'ja^pa^ — Г 6乞"sh (r) ch (г)(т+р(т+,

где『一параметр сжатия,犷一опорная фаза сжатого поля, % — гамильтониан (10.2.12) в представлении взаимодействия. Получите выражение для спектра резонансной флуоресценции в случае сильного когерентного управляющего поля. Покажите, что ширину центрального пика в трехпиковом спектре можно сузить по сравнению с соответствующей шириной в случае атомного распада в вакууме за счет соответствующего подбора 仇(Указание: см. Carmichael, H.J., Lane, AS and Walls, DE Phys. Rev. Lett 58, 2539 (1987) J

Список литературы

Обзорные статьи

Knight, Р. L. and Milonni, Р. W. Phys. Rep. 66, 23 (1980).

Loudon, R. Rep. Prog. Phys. 43, 227 (1980).

Mollow, B. R. in Progress in Optics, Vol. 19, ed. E. Wolf (North-Holland, Amsterdam 1981).

Трехпиковый спектр

Burshtein, A. L Sou Phys. JETP 21, 567 (1965); ibid 2 2, 939 (1966).

Newstein, M. Phys. Rev. 167, 89 (1968).

Mollow, B. R. Phys. Rev. 188, 1969 (1969).

Kimble, H. J. and Mandel, L. Phys. Rev. A 13, 2123 (1976).

Cohen-Tannoudji, C. and Reynaud, S. / Phys. B: Atom. Molec. Phys. 10, 345 (1976).

Renaud, B., Whitley, R. M. and Stroud, C. R., Jr., J. Phys. B: Atom. Molec. Phys. 19, L9 (1976).

Wodkiewicz, K. and Eberly, J. H. Ann. Phys. 101, 574 (1976).

Eberly, J. H., Kunasz, С. V. and Wodkiewicz, K. J. Phys. В 13, 217 (1980).

Cardimona, D. Raymer, M. and Stroud, C. J. Phys. B. 15, 55 (1982).

Sargent III, M., Zubairy, M. S. and de Martini, F. Opt. Lett. 8, 76 (1983).

Экспериментальное наблюдение трехпикового спектра

Schuda, F., Stroud, C. R., Jr., and Hercher, M. J. Phys. B: Atom. Molec. Phys. 198, L7 (1974).

Walther, H. in Laser Spectroscopy, ed. S. Haroche, J. C. Pebay-Peyroula, T. W. Hansch, and S. E. Harris (Springer-Verlag, Berlin 1975).

Wu, F. Y., Grove, R. E. and Ezekiel, S. Phys. Rev. Lett. 35, 1426 (1975).

Hartig, W., Rasmussen, W., Schieder, R. and Walther, H. Z. Physik 4 2 78, 205 (1976).

Grove, R. E., Wu, F. Y. and Ezekiel, S. Phys. Rev. A 15, 227 (1977).

Сужение естественно уширенных линий и резонансная флуоресценция У-системы

Narducci, L. М., Scully, М. О., Oppo, G.-L., Ru, Р. and Tredicce, J. R. Phys. Rev. A 42, 1630

(1990).

Zhu, Y.-F., Gauthier, D. J. and Mossberg, T. W. Phys. Rev. Lett. 66, 2460 (1991).

Keitel, С. H., Narducci, L. M. and Scully, M. O. Appl. Phys. В 60, S153 (1995).

Антигруппировка и сжатие

Carmichael, Н. J. and Walls, D. F. J. Phys. В 9, L43 (1976); ibid. 9, 1199 (1976).

Kimble, H. J. and Mandel, L. Phys. Rev. A 13, 2133 (1976).

Cohen-Tannoudji, D. in Frontiers in Laser Spectroscopy Vol. 1, ed. R. Balian, S. Haroche, and

S. Liberman (North-Holland, Amsterdam 1977).

Walls, D. F. and Zoller, P. Phys. Rev. Lett. 47, 709 (1981).

Mandel, L. Phys. Rev. Lett. 49, 136 (1982).

Short, R. and Mandel, L. Phys.. Rev. Lett. 51, 384 (1983).

Голубев Ю.М., Соколов И.В. ЖЭТФ 87, 408 (1984).

Gorbachev V.N., Zhiliba A.I. Quant. Opt. 5, 193 (1993).

Горохов А.В. Изв. РАН, сер.физ. 64, 2030 (2002).

Экспериментальное наблюдение антигруппировки фотонов

Kimble, Н. J., Dagenais, М. and Mandel, L. Phys. Rev. Lett. 39, 691 (1977).

Dagenais, M. and Mandel, L. Phys. Rev. A 18, 2217 (1978).

Cresser, J. D., Hager, J., Leuchs, G., Rat eike, M. and Walther, H. in Dissipative Systems in Quantum Optics, ed. R. Bonifacio, (Springex-Verlag, Berlin 1982).

Эффект флуктуаций накачки

Kimble, H. J. and Mandel, L. Phys. Rev. 4 15, 689 (1977).

Knight, P. L., Molander, W. A. and Stroud, C. R., Jr., Phys. Rev. A 17, 1547 (1979).

Raymer, M. G. and Cooper, J. Phys. Rev. 4 20, 2238 (1979).

Теорема квантовой регрессии

Onsager, L. Phys. Rev. 37, 405 (1931).

Lax, M. Phys. Rev. 129, 2342 (1963).

Глава 11

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ

ЛАЗЕРА — МЕТОД ОПЕРАТОРА

ПЛОТНОСТИ

В гл. 5 и 7 теория лазера излагалась таким образом, что свет описывался как классическое поле, подчиняющееся уравнениям Максвелла, тогда как лазерная среда представлялась множеством атомов, динамика которых описывалась уравнением Шредингера. Такая полуклассическая теория поведения лазера достаточна для описания широкого круга явлений. Однако, существует много вопросов, ответы на которые требуют полностью квантовой теории излучения. Например, статистика фотонов и ширина линии излучения лазера могут быть правильно поняты лишь с помощью полностью квантовой теории лазера.

Ширина линии излучения лазера является важной величиной. Например, она определяет фундаментальный предел работы активного кольцевого лазерного гироскопа. Первый полностью квантовый вывод выражения для спектральной ширины лазера был сделан методом оператора квантового шума D и был настолько общим, что включал в себя даже проблему ширины линии излучения полупроводникового лазера. Этот вывод излагается в гл. 12.

Статистическое распределение фотонов лазера интересно по нескольким причинам. Исторически сложилось так, что статистика фотонов изначально предполагалась бозе——эйнштейновской. Небольшое размышление показывает, что этого не может быть, поскольку лазер работает в условиях, далеких от термодинамического равновесия. С другой стороны, существовала теория, согласно которой множество атомов, осциллирующих в фазе, создает, в сущности, классический ток, который генерирует когерентное состояние. Статистика последнего является пуассоновской. Однако, например, статистика фотонов типичного гелий-неонового лазера существенно отличается от пуассоновской. Конечно, существенно выше порога, стационарное статистическое распределение фотонов лазера является пуассоновским. Первый вывод статистики фотонов лазера использовал формализм матрицы плотности ) и представлен в данной главе.

Существует глубокий смысл в том, что поведение лазера вблизи порога аналогично фазовому переходу второго рода ). Это можно правильно понять лишь

Рассмотрение с помощью оператора квантового шума было представлено М. Лаксом на конференции «Физика квантовой электроники» в 1965 г.; см. Proceedings of the Int. Conf, on the Phys, of Quantum Electronics^ ed. P. Kelley, B. Lax, and P. Tannenwald (New York, 1966).

в контексте полностью квантовой теории лазера, как это делается в данной главе. В заключение заметим, что микромазер, в смысле реального устройства, есть модель, для правильного понимания работы которой требуется квантовая теория лазера. Такое описание дано в гл. 13.

Уравнение движения для матрицы плотности

Рассмотрев полуклассическую теорию в гл. 5, а также затухание квантовых систем в гл. 8 и 9, перейдем теперь к «фотонному» описанию работы лазера. Квантовая теория лазерного излучения, в сущности, есть проблема неравновесной квантовой статистической механики. Нашей задачей будет вывод «крупномасштабного» уравнения движения для матрицы плотности лазерного излучения, отражающего процесс добавления (и последующего устранения) множества возбужденных атомов. Мы выведем это уравнение двумя способами.

Метод 1. Рассмотрим систему атомов в резонаторе, структура уровней которых изображена на рис. 11.1. Для описания лазерной генерации теория должна задать

Рис. 11.1. Схема уровней энергии, поясняющая работу лазера. Лазерная генерация происходит на переходе между двумя возбужденными состояниями \а} и |6), имеющем частоту ш. Состояние \а} возбуждается со скоростью га, при этом состояния \а} и |6) релаксируют в состояния |с) и |d), соответственно, со скоростями 7a и 7b. Состояния |а), |с) и |d> релаксируют в состояние |g> со скоростями 7^, 7С и 7^, соответственно

механизмы накачки и релаксации. Для описания действия накачки предположим, что атомы усиливающей среды переводятся в верхнее возбужденное состояние \а} из основного состояния \g) в случайные моменты времени to со скоростью Ла. Релаксация из состояний \а) и |Ь〉 может происходить в состояния |с) и |d〉, соответственно, со скоростями)а и 75, а уже из этих состояний в основное |g〉со скоростями, соответственно, % и)& (рис. 11.1). Скорость релаксации из состояния

\а} в состояние \g) обозначим через 7^. Для простоты предположим, что Та = Ть = =7, и рассмотрим лазер, настроенный в резонанс с атомами. Детали механизма затухания поля в резонаторе не очень важны для теории лазера. В полуклассической теории затухание описывалось омическими токами (разд. 5.5). Здесь можно предположить, что существуют только потери при пропускании, которые объясняются взаимодействием поля излучения внутри резонатора с резервуаром вакуумных мод, представляющим окружающий мир (моды «вселенной» х)) так, как он видится через частично пропускающие зеркала.

В данном подходе будем искать сначала квантово-механический аналог уравнений Максвелла для поля и выражение, соответствующее атомной поляризации. Метод 1 будем излагать, подчеркивая связь с полуклассической теорией.

Гамильтониан взаимодействия для активных атомов, резонансных одномодовому лазерному полю, в представлении взаимодействия и в приближении вращающейся волны (выражение (6.2.8)) имеет вид

% = £恒旧@ + q+冉=

i i

где(T* = (|а)(6|)г и aL = (|6)(а|)г — повышающий и понижающий операторы для г-го атома, соответственно. Здесь учтено лишь взаимодействие с полем на переходе между состояниями \а) и |Ь〉. Возбуждение посредством накачки из состояния |g〉 в состояние \а} и релаксация состояний будут учтены феноменологически, как это делалось в полуклассической теории лазера.

Уравнение движения для матрицы плотности лазерного поля, учитывающее взаимодействие с активной лазерной средой и механизм релаксации, имеет вид

Рппг = —j~TraTOMbIP^n^n1 ?(11.1.1)

где, как следует из (8.3.3), 穹

(2=—万(几 + 吟рпп； + (几 + l)(nz + 1)+(11.1.2)

Слагаемое в (11.1.1), описывающее лазерную генерацию, расписывается следующим образом:

усиЛеН11е = ^^ТГатомы [^^]п,п/ = 一 ^ £[%, "{а}/;{а} W)(11」.3а)

{«}

где {а} = &1)&2)&N (电=а или Ь) обозначает состояние всех N атомов лазера. Его можно упростить, записывая в виде

网(11.1.З6)

a‘£ = o4 b i

где

Pnnz 二〉[W (力)(11.1.3в)

{«}

——проекция матрицы плотности для системы атомов и поля на пространство состояний Его атома и поля, {&'} = «1, . . . Q^i, Q-i+i? - • - aN- Используя (11.1.36)

В См. работы Lang, R., Scully, М.О. and Lamb, W.E., Jr., Phys. Rev. A 7, 1788 (1973); Lang, R. and Scully, M.O. Opt. Commun. 9, 331 (1973).

и (11.1.Зв), запишем вклад лазерной генерации в изменение величины р в формуле (11.1.3а) следующим образом:

=^|тгатомы [Г,р]пХ =

° 工 / усиление 几

г

+ ^bn.an-lP^n-l.bn' — Pbn.an'-l^an1 -l.bn^i (11.1.3г)

где

^an,bn + l =冇 g .71 + 1 , ^bnf + l,anf =冇 g "冗/ + 1 .

Здесь отметим, что члены типа £% ргап Ьп+1(^,友),где 友一время инжекции j-ro атома, являются полностью квантовым аналогом матрицы населенности (5.4.4).

Таким образом, имеет смысл ввести обобщенную матрицу населенности, элементы которой

+ l=e0:九也宀(力由)*

Уравнение (11.1.3г) можно переписать через элементы матрицы населенности в виде

(5pn,nf、/w

7~7)= —\y an^bn + lPbn-\-l^an — 0cm,fm' + l.— 1 ,ап/+

° &/ усиление几

+ ^bn^an — lPan — l^bn1 — Pbn^an, — 1 ^ап' — l^bn' ) •(11.1.4)

Теперь предположим, что рассматривая атомно-полевую матрицу населенности для г-го атома можно учитывать влияние остальных атомов только через их вклад в рпп，⑴(так же как в полуклассическом случае влияние на г-й атом остальных атомов определялось коллективным полем 石(力))* Тогда уравнения движения для матрицы населенности рап,/3п, =〈&, ^IРатом—поле I/5?几'〉МОЖНО записать в виде

(11.1.5а)(11.1.5а)Рап^ап' = ^aPgn,gn, — Рап,апг — Уg Рап,ап,—

(11.1.5а)

(11.1.5а)

—J" {^an^bn-i-1 Pbn-j-1 ,an, — Pan^bn1 -^-l^bn1 -}-1,ап1) ?

0a%fm' + l = Pan,bnf + 1 —石(%m?im + l 0bn + l 力疗 + 1 — Pan,anf ^anf ,bnf + 1} ?Pbn-j-1 ,anr = —^ Phn-Yl^an,' 一 无(^)ti + 1 ,an P ап)ап/ 一 Pbn + l^bn' ■^l^bn, -\-l^anr ) ?0b賀，+ 1用疗 + 1 = —*7Pbn + l^bn' -\-l — J" {^bn-\-l ^an Pan^bn1 -\-l — Pbn-Yl^an' ^an' ^bn1 + 1) ?Pcn,cnz = ^Pan^an1 — ?cPcn,cn‘)Pdn^dn1 = 1 Pbn^bn1 — 1 dPdn,dnl ?Pgn1gn, = —^aPgn,gnf + ^g Pan,anf + "УсPcn^cn' + УdPdn1dn, ?0a%fm' + l = Pan,bnf + 1 —石(%m?im + l 0bn + l 力疗 + 1 — Pan,anf ^anf ,bnf + 1} ?Pbn-j-1 ,anr = —^ Phn-Yl^an,' 一 无(^)ti + 1 ,an P ап)ап/ 一 Pbn + l^bn' ■^l^bn, -\-l^anr ) ?0b賀，+ 1用疗 + 1 = —*7Pbn + l^bn' -\-l — J" {^bn-\-l ^an Pan^bn1 -\-l — Pbn-Yl^an' ^an' ^bn1 + 1) ?Pcn,cnz = ^Pan^an1 — ?cPcn,cn‘)Pdn^dn1 = 1 Pbn^bn1 — 1 dPdn,dnl ?Pgn1gn, = —^aPgn,gnf + ^g Pan,anf + "УсPcn^cn' + УdPdn1dn, ?(11.1.56)(11.1.56)(11.1.5b)(11.1.5b)(11.1.5г)(11.Ь5д)(11.1.5е)(11.1.5ж)(11.1.5г)(11.Ь5д)(11.1.5е)(11.1.5ж)

0a%fm' + l = Pan,bnf + 1 —石(%m?im + l 0bn + l 力疗 + 1 — Pan,anf ^anf ,bnf + 1} ?

Pbn-j-1 ,anr = —^ Phn-Yl^an,' 一 无(^)ti + 1 ,an P ап)ап/ 一 Pbn + l^bn' ■^l^bn, -\-l^anr ) ?

0b賀，+ 1用疗 + 1 = —*7Pbn + l^bn' -\-l — J" {^bn-\-l ^an Pan^bn1 -\-l — Pbn-Yl^an' ^an' ^bn1 + 1) ?

Pcn,cnz = ^Pan^an1 — ?cPcn,cn‘)

Pdn^dn1 = 1 Pbn^bn1 — 1 dPdn,dnl ?

Pgn1gn, = —^aPgn,gnf + ^g Pan,anf + "УсPcn^cn' + УdPdn1dn, ?

0a%fm' + l = Pan,bnf + 1 —石(%m?im + l 0bn + l 力疗 + 1 — Pan,anf ^anf ,bnf + 1} ?

Pbn-j-1 ,anr = —^ Phn-Yl^an,' 一 无(^)ti + 1 ,an P ап)ап/ 一 Pbn + l^bn' ■^l^bn, -\-l^anr ) ?

0b賀，+ 1用疗 + 1 = —*7Pbn + l^bn' -\-l — J" {^bn-\-l ^an Pan^bn1 -\-l — Pbn-Yl^an' ^an' ^bn1 + 1) ?

Pcn,cnz = ^Pan^an1 — ?cPcn,cn‘)

Pdn^dn1 = 1 Pbn^bn1 — 1 dPdn,dnl ?

Pgn1gn, = —^aPgn,gnf + ^g Pan,anf + "УсPcn^cn' + УdPdn1dn, ?

(11.1.56)

(11.1.56)

(11.1.5b)

(11.1.5b)

(11.1.5г)

(11.Ь5д)

(11.1.5е)

(11.1.5ж)

(11.1.5г)

(11.Ь5д)

(11.1.5е)

(11.1.5ж)

где член XaPgn,gnf в уравнении (11.1.5a) соответствует возбуждению в процессе накачки из состояния |g〉только в состояние |а〉. Отметим, что уравнение (11.1.5ж) является довольно общим и справедливо для более сложных схем, например когда атомы, находящиеся в состояниях |а〉и \Ь) могут релаксировать во многие другие состояния, а возбуждение в процессе накачки в состояния \а} и \Ь} может осуществляться из любого произвольного состояния. Как будет показано ниже, для вывода

уравнения движения полевой матрицы плотности необходимы только уравнения (11.1.5а)-(11.1.5г) и (11.1.4). Таким образом, справедлива эффективная двухуровневая картина.

Далее найдем компоненты элементов матрицы плотности Pbn^i.anh Pan.bn'+ii Pan-i,bnf и рьп,ап,-1- Сначала предположим, что скорость релаксации с уровня |а〉 на уровень \g) мала, так что в уравнениях (11.1.5а) и (11.1.5ж) можно пренебречь членами, пропорциональными ^g. Тогда из (11.1.5д)™(11.1.5ж) следует, что в стационарном состоянии

(11.1.6)(11.1.6)Рgn,gn，= х(Рап,ап，+ Pbn,bnf) •

(11.1.6)

(11.1.6)

Рпп' — Рап^ап' + Pbn^bn' + Penmen' + Pdn^dn1 + Pgn^gn' ?Рпп' — Рап^ап' + Pbn^bn' + Penmen' + Pdn^dn1 + Pgn^gn' ?(11.1.7а)(11.1.76)(11.1.8)(11.1.7а)(11.1.76)(11.1.8)Предположим, что 7С, 7^ 》 7, так что в стационарном состоянии рсп сп/ = 二 Pdn,dn, — 0. Это условие гарантирует, что как только атомы в процессе релаксации перешли из состояний \а} и \Ь) в состояния |с) и |d), соответственно, они быстро окажутся в состоянии |g), из которого возбудятся в состояние |а〉в процессе накачки. Таким образом, поскольку

Рпп' — Рап^ап' + Pbn^bn' + Penmen' + Pdn^dn1 + Pgn^gn' ?

Рпп' — Рап^ап' + Pbn^bn' + Penmen' + Pdn^dn1 + Pgn^gn' ?

(11.1.7а)

(11.1.76)

(11.1.8)

(11.1.7а)

(11.1.76)

(11.1.8)

имеем

Рап^ап' + Pbn,bn, = Рпп' — Pgn^gn' ?

и выражение (11.1.6) дает

〜7

Pgn.gn1 О ^ _р д Рпп1 •

Теперь уравнение (11.1.5а) можно переписать в виде

Рап,апг О raPnnf — *7 Рап,апг — J" {^an ,bn + l Pbn-j-1 ,anr — Pan,bnr + l^bn,Jrl,anr ) ? (11.1.9)

где ra = )》a/(7 + Xa) — эффективная скорость накачки. В результате уравнение (11.1.9) вместе с уравнениями (11.1.5б)^(11.1.5д) образуют замкнутую систему уравнений для матричных элементов, соответствующих лазерным уровням \а) и \Ь). Решения этих уравнений движения для элементов pan,bn^~i(t) и т. п. приводятся в приложении 11.А.

Подставляя различные компоненты атомно-полевой матрицы населенности из приложения 11.А в (11.1.4), находим уравнение движения для pnni, описывающее воздействие активной среды,

В% / усилениеВ% / усиление

В% / усиление

В% / усиление

(11.1.11)(11.1.11)где введены линейный коэффициент усиления

(11.1.11)

(11.1.11)

коэффициент самонасыщения

(1LL12)

и безразмерные множители

歩=；5 + 1 + ^ + 1)+ 5，『缪(11.1.13а)

疗= ^(п +1 + ^ + 1)+ 5 总缪(1ьызб)

Коэффициенты усиления и насыщения М и 纺 соответствуют коэффициентам (5.5.10) полуклассической теории лазера в случае накачки на верхний уровень и нулевой отстройки. Связь между данным квантовым рассмотрением и полуклассиче™ скими результатами будет показана в конце этого раздела.

Добавляя {п\^p\nf) из (11.1.2) находим

—/@5 + П)рпп> + 穹[(冗 + 1)(?/ 十 l)]1//2Pn + l,n/ + l • (11.1.14)

Полученное уравнение составляет наш основной результат. В частности, для диагональных элементов рпп = р(п), соответствующих вероятности обнаружить п фотонов в поле лазера, имеем уравнение движения

力5)= - [i+；；；?)J/以 Р(〃)+ (1+Х^) р5 — J

—^пр(п) + ^(п + 1)р(п + 1). (11.1.15)

Важно отметить, что диагональные элементы связаны только с диагональными, а недиагональные элементы, в общем случае, связаны только с теми недиагональными, которые имеют ту же разность п — пг.

Уравнению (11.1.15) для функции распределения фотонов можно придать про™ стой физический смысл, разлагая в ряд члены знаменателя в (11.1.15) и используя диаграмму потоков вероятности (рис. 11.2). Мы видим, что есть всевозможные

泼 m + i)p(n +1)

+ i)@m)

^(n + l)2p(n)

• • •

^np(n)

^np(n — 1)

^n2p(n — 1)

• • •

Рис. 11.2. Диаграмма потоков вероятности для лазера

«потоки» вероятности между состоянием \п} и соседними состояниями |??+1〉и |冗一1〉* Например, член 废(п^1)р(п) представляет собой поток вероятности от состояния \п) к состоянию \п + 1), обусловленный испусканием фотонов атомами, находившимися первоначально в верхних состояниях. Здесь 废п есть скорость вынужденного излу= чения,废一скорость спонтанного излучения и эти скорости умножаются на р(п)^ для того чтобы дать полную скорость потока вероятности. Поскольку вероятность вытекает из р(п), этот член отрицателен. Первый член в разложении множителя в квадратных скобках из (11.1.5), а именно 纺(冗 + l)2p(n) = ^(п + 1)(纺/W)(?? + + l)p(?i), соответствует процессу, в котором фотоны излучаются, а затем перепогло™ щаются. Скорость перепоглощения равна (^/^)(п + 1). Аналогичные разложения существуют для остальных членов, включая члены потерь.

Метод 2. Как подчеркивалось ранее, каждый атом в газовом лазере передает свою энергию полю независимо от других, если не считать того, что поле, с ко™ торым он взаимодействует, создано другими атомами. Принимая это во внимание, рассмотрим изменение матрицы плотности поля излучения, возникающее вследствие инжекции в момент времени 力о одного атома, возбужденного в процессе накачки в верхнее состояние |а). В представлении чисел заполнения это изменение запишется в виде

6Рпп* = Рпп/ (^0 +丁)— Рпп' (^0)? (11*1.16)

где время 丁 больше атомного времени жизни, но меньше времени, характеризующего рост или спад поля излучения. Тогда макроскопическое изменение матрицы плотно™ сти Дрпп/ вследствие действия N атомов на поле в течение интервала времени △力 равно

^Рпп, = N5Рппз = гa^t8рппг, (11.1.17) где га ——скорость инжекции атомов.

Обратимся теперь к определению величины 6pnnf, фигурирующей в (11.1.16). Чтобы найти рпп/ (tg+т) необходимо проследить за эволюцией объединенной системы «атом + поле» до момента времени 力о 十 т и затем взять след от матрицы плотности по атомным состояниям N:

Рпп1 (^0 丁) =〉[ 0a(力o+丁) (а = а, Ь)电 (11.1.18)

«Крупномасштабная» производная от матрицы плотности лазерного поля Ap/At = = raSp получается комбинированием выражений (11.1.16)-(11.1.18):

() = Га[Рап,апг (^0 + ^) + Pbn,bnf (^0 + ^) ™ Pan,an1 (^0)]- (11.1.19) ' 。芯 усиление

В адиабатическом приближении время t^ в этом выражении заменяется временем I. Поскольку в данном рассмотрении атомы возбуждаются в процессе накачки в со™ стояние |а), Pbn,bnf(to) = 0.

Величины Pan^n^t + т), Pbn.bn^t + т) и Pan^n^t) нетрудно определить, решая уравнения для амплитуд вероятности сап и сьп+1 (уравнения (6.2.11) и (6.2.12)). В случае резонанса △ = g —沙=0 решения выглядят следующим образом:

Сап (力 + 丁)= Can (力)COS(grV П + 1),

(11.1.20)

Cbn+i(t + т) = -ican(t)sin(gTVn + 1),

(11.1.21)

откуда

Parian'(t + T)= 0气疗(力)COS(gT,72 + 1 ) COS(gT.nf + 1),

(11.1.22)

Pbn,bnG + т) = Рп^1,п^1^ sin(grV^) sin(grVn7),

(1LL23)

Pan,an1 (^) = Pnn' (^) ?

(11.1.24)

поскольку при T = 0,

Pnn, (^) = 1 сай (^) h •

(11.1.25)

Результирующее уравнение для приведенной матрицы плотности поля имеет вид

=-ra[l - cos(grVn + 1) cos(grVnf + 1 )]^^ +

° 匸 / усиление

+ Га Sin(gT^n ) Slll(gTV^)pn^l,n^l- (11-1-26)

Отметим, что это уравнение было получено для системы, в которой двухуровневые атомы переводятся в верхнее состояние |а〉в случайные моменты времени со скоро™ стью га и взаимодействуют с полем излучения в течение времени т. Такая модель, и следовательно уравнение (11.1.26), непосредственно имеет отношение к проблеме квантовой статистики микромазера, которая будет рассматриваться в гл. 13.

Используя (11.1.26) можно получить уравнение (11.1.10). С этой целью рассмот™ рим атом, переведенный в состояние |а) в момент времени равный нулю, который релаксирует из состояний |а) и \Ь} в состояния |с) и |d), как показано на рис. 11.1, со скоростью 7 = 7а, = 7е). Вероятность того, что атом останется в состояниях |а〉и \Ь) спустя время 丁 равна

Р(т)б/т = 7» d,.(11.1.27)

Следовательно, усредняя (11.1.26) по этому распределению получаем «крупномас™ штабное» уравнение для матрицы плотности лазерного излучения:

)=-ra dr^ е^1Т\1 - cos(grVn + l)cos(grV?i, + l)]^^

\ °Х / усилениеJ

0

+ ra dT? 6一 丁丁 ^n(gT y/n) ^(gT^/rij ) рп^^(11.1.28)

о

Вычисляя интегралы приходим к уравнению (11.1.10). Детали расчета приводятся в задаче 11.7.

Чтобы связать данную квантовую теорию лазера с полуклассической теорией, рассмотренной в разд. 5.5, выведем из (11.1.15) уравнение для среднего числа фотонов {п}. В области порога генерации, когда ^{п)/废《1)получаем (разложив в ряд знаменатели первых двух членов в правой части)

嘗=£ п认П)=(废一名)⑺〉一终(5 + 1)2)+ 废"(1LL29)

n=0

Это уравнение сводится к (5.5.16) в пределе (п)》1 и (п2) = (п)2. Таким образом, полуклассическая теория справедлива при больших числах фотонов и в ситуациях, когда справедливо приближение

⑺2〉=⑺ 2%(1LL30)

Член 废 в уравнении (11.1.29), отсутствующий в полуклассической уравнении, отвечает за спонтанное излучение в моду лазерного поля. Видно, что если в началь™ ный момент времени п = 0, то согласно полуклассическому уравнению поле остается равным нулю и в последующие моменты времени. Наоборот, согласно квантовому уравнению (11.1.29) поле может вырасти с нулевого значения благодаря члену 废) отвечающему за спонтанное излучение.

Статистика лазерных фотонов

Как показано в предыдущем разделе, вероятность pnn{t)=夕(冗)обнаружить п фотонов в лазерном поле изменяется со временем вследствие усиления за счет вынужденного излучения и потерь резонатора. В данном разделе будут рассмотрены стационарные решения уравнения движения (11.1.15) для рпп и определена статистика числа фотонов в стационарном режиме.

Перед тем как обсуждать общее решение уравнения (11.1.15), рассмотрим два предельных случая работы лазера.

Линейное приближение (纺 = 0). Уравнение движения (11.1.15) для функции распределения фотонов 夕(冗)в стационарном состоянии (力(冗)=0) сводится к следующему:

(п + 1)р(п) + 废 пр(п — 1) — @пр(п) + ^(?2 + 1)р(п + 1) = 0. (11.2.1)

Из условия детального равновесия следует, что дифференциальное уравнение вто™ рого порядка (11.2.1) сводится к эквивалентной системе двух дифференциальных уравнений первого порядка:

废冗夕(冗—1) — ^пр(п) = 0,(11.2.2)

废(л + 1)р(п) — @5 十 1)р(п + 1) = 0.(11.2.3)

Решение этих уравнений имеет вид

Р(«) = Р(。)仔)“(1124)

Константа р(0) определяется из условия нормировки:

£pS) = 1-(11-2.5)

п=0

Когда 废 V 歹 получаем

р(0) = (1 —,(1126)

так что

Поскольку в линейном приближении решение для р(п) не существует при 废》@) условие 废=@ можно рассматривать как пороговое. Следовательно, ниже порога генерации, стационарное решение есть, в сущности, решение для излучения черного тела:

Р(〃)= Г — ехр (—爲)]ехр (一爲),(1128)

где эффективная температура Т задается соотношением

ёхр (一名卜，(1129)

(11210)(11210)Лазер, работающий существенно выше порога (废》@)* В этом случае насыщение настолько сильное, что ^{п)/^》1. Тогда в знаменателях из правой части уравнения (11.1.15) можно пренебречь единицей по сравнению с величиной 致?/М. Результирующее стационарное уравнение для 夕(冗)имеет вид

(11210)

(11210)

—方夕(к)十 委夕(冗一1) — ^пр(п)十 @5 + 1)р(п + 1) = 0.

Это уравнение опять решается с привлечением условия детального равновесия, ко™ торое означает, что

-^р(п — 1) — %пр(п) = G(11.2.11)

Нормированное решение этих уравнений имеет вид

(11212)(11213)(11212)(11213)Р5)=e(

(11212)

(11213)

(11212)

(11213)

где

Таким образом, статистика фотонов лазера, работающего существенно выше порога, задается распределением Пуассона, характеризующим когерентное состояние поля.

(11215)(11215)

(11215)

(11215)

11.2.3. Точное решение. Рассмотрев два предельных случая, дадим общее ста™ ционарное решение уравнения (11.1.15). Из условия детального равновесия следует,

что

^^^夕(冗一1) — ^пр(п) = 0.(11.2.14)

1

Решение этого уравнения, очевидно, имеет вид

где р(0) определяется из условия нормировки £叁()夕(冗)=1- Величина р(п) является произведением п сомножителей вида (废/^)(1 + 纺足/废)一L В случае, когда

(11216)(11216)

(11216)

(11216)

каждый из этих сомножителей больше единицы, тогда как при k > пр эти сомно™ жители меньше единицы. Следовательно с увеличением п величина р(п) растет пока п W 冗р, а затем монотонно убывает до нуля при п > пр. Таким образом, распределение достигает максимума при

(11.2.17)

Выражение (11.2.15) можно записать в более удобной форме:

(11218)(11218)05)=p(0)指个"

(11218)

(11218)

5 +滋)！

Нормировочный множитель р(0) выражается через вырожденные гипергеометриче™

ские функции:

Р(0)=Р(0)=歹舅十 r扇讶歹舅十 r扇讶(11219)(11219)

Р(0)=

Р(0)=

歹舅十 r扇讶

歹舅十 r扇讶

(11219)

(11219)

На рис. 11.3 приведено распределение фотонов р(冗)(11.2.18) для лазера, работаю™ щего с 20%=ным превышением порога.

Рис. 11.3. Функция распределения фотонов в стационарном состоянии для когерентного (точки) и лазерного (сплошная линия) излучения. Лазер работает с 20%-ным превышением порога, а параметр 缪 выбран так, чтобы (п) = 200Рис. 11.3. Функция распределения фотонов в стационарном состоянии для когерентного (точки) и лазерного (сплошная линия) излучения. Лазер работает с 20%-ным превышением порога, а параметр 缪 выбран так, чтобы (п) = 200Вычисляя среднее значение 冗,находимВычисляя среднее значение 冗,находимOO 丄必1广ОО⑺“)£ J …Ofп=0 (П + 豆')!n=lOO 丄必1广ОО⑺“)£ J …Ofп=0 (П + 豆')!n=l5 + ^)!5 + ^)!步2步2

Рис. 11.3. Функция распределения фотонов в стационарном состоянии для когерентного (точки) и лазерного (сплошная линия) излучения. Лазер работает с 20%-ным превышением порога, а параметр 缪 выбран так, чтобы (п) = 200

Рис. 11.3. Функция распределения фотонов в стационарном состоянии для когерентного (точки) и лазерного (сплошная линия) излучения. Лазер работает с 20%-ным превышением порога, а параметр 缪 выбран так, чтобы (п) = 200

Вычисляя среднее значение 冗,находим

Вычисляя среднее значение 冗,находим

OO 丄必1广ОО

⑺“)£ J …Of

п=0 (П + 豆')!n=l

OO 丄必1广ОО

⑺“)£ J …Of

п=0 (П + 豆')!n=l

5 + ^)!

5 + ^)!

步2

步2

n=0n=0(11220)

n=0

n=0

Для лазера, работающего существенно выше порога, последний член в (11.2.20), очевидно, не существенен, ибо р(0) « 1. Тогда

(11221)(11221)

(11221)

(11221)

(11222)(11222)Аналогичное вычисление для (?i)2 дает

(11222)

(11222)

3…

Выше порога генерации величина〈冗〉задается формулой (11.2.21). Нормированная дисперсия распределения фотонов описывается так называемым параметром Ман= деля Q. В случае лазера этот параметр принимает вид

Q f =Q f =(11223)(11223)

Q f =

Q f =

(11223)

(11223)

Поскольку Qf > 0 выше порога (废 > ^), поле является суперпуассоновским. Однако существенно выше порога (废》穹)величина Q/ стремится к нулю, что соответствуй ет пуассоновскому распределению и согласуется с предшествующим анализом.

Лазер в Р-представлении

В гл. 3 было показано, что Р^распределение устанавливает соответствие меж™ ду классической и квантовой теориями когерентности. Поэтому интересно найти F-распределение для лазера, исходя из которого довольно просто вычисляются все нормально упорядоченные корреляционные функции операторов поля. Однако существуют и другие преимущества использования Р-представления. Как будет показано в следующем разделе, вычисление естественной ширины лазерной линии сильно облегчается при использовании уравнения движения для Р-распределения. Эта задача является довольно сложной в рамках метода оператора плотности. Кроме того, P-представление помогает установить соответствие между методом оператора плотности, рассмотренным в разд. 11.1 и методом уравнения Ланжевена, который будет рассматриваться в следующей главе.

Как показано в приложении 11.Б, уравнение движения для Р(а, а*,力)записывается в виде

дРд 91 д д 1 д2 д2 \

dt 2 у r dr2r dr dr 2戸 3炉)

Здесь совершен переход от независимых комплексных переменных а, а* к полярным координатам г, i9, с использованием соотношения

а = г с*"”(11.3.2)

Это уравнение содержит производные всех порядков по г и i9.

Вблизи порога стационарное решение уравнения (11.3.1), как показано в прило™ жении 11.Б, имеет вид

t 歹 exp Ц|a|,(1133)

где ”/ ——нормировочная константа.

Естественная ширина

До сих пор рассматривались статистические характеристики лазерного поля, связанные с диагональными матричными элементами рпп приведенного оператора плотности поля. Квантовые флуктуации, ответственные за флуктуации числа фото™ нов поля, отвечают и за фазовые флуктуации, приводя к конечной ширине линии излучения лазера.

Детальный вывод выражения для естественной ширины линии должен включать вычисление двухвременной корреляционной функции (Е^ (t)E^ (t + 丁)〉 поля. Согласно выражению (4.3.14) преобразование Фурье этой двухвременной корреля™ ционной функции дает спектр поля и, следовательно, ширину линии. Это довольно тяжелый процесс, поскольку для него требуется нестационарное решение уравнения (11.1.14) для недиагональных матричных элементов рпп> или уравнения (11.3.1) для соответствующего Р^распределения. Здесь мы воспользуемся простым методом,

278 Квантовая теория лазера — метод оператора плотности Гл. 11 дающим желаемый результат при вычислении коэффициента фазовой диффузии в уравнении Фоккера-Планка для P-распределения. Однако сначала, для обоснования этого подхода, рассмотрим модель уширения линии излучения лазера за счет фазовой диффузии.

Модель фазовой диффузии. Для того чтобы рассматривать фазовые флуктуации лазерного поля, представим напряженность электрического поля в виде комплексного вектора (рис. 11.4), испытывающего малые изменения фазы вследствие

Im а

Рис. 11.4. Представление напряженности электромагнитного поля на комплексной плоскости. Фаза диффундирует вследствие спонтанного излучения

актов спонтанного излучения. Поскольку эти малые изменения носят абсолютно случайный характер, фаза постепенно диффундирует и становится распределенной равномерно по углу 2тг. Предположим, что малое изменение фазы из-за одного акта спонтанного испускания происходит за время, намного меньшее времени, в течение которого происходит общая эволюция ПОЛЯ.

Рассмотрим ситуацию, когда лазер работает существенно выше порога, так что амплитудными флуктуациями можно пренебречь. В этом случае поле 石(+)(力)можно записать в виде

e(+)⑴=，⑺)exp［分少(力)™ iuQt\^ (11.4.1)

где {n} — среднее число фотонов частоты 沙。в стационарном состоянии поля. С ко™ рость спонтанного излучения равна 废* Вследствие случайных актов спонтанного испускания, вектор электрического поля (фазор) совершает случайные блуждания. Пренебрегая амплитудными флуктуациями, получаем одномерное случайное блуждание по угловой координате. Согласно теории случайного блуждания, вероятность перемещения на расстояние / за Q力 шагов равна

尸⑺= 3rxp(-(1142)

Выражая ее через угловое смещение ”, получаем

p⑺=p⑺=(1143)(1143)

p⑺=

p⑺=

(1143)

(1143)

где использовано / =，⑺〉少(см. рис. 11.4). Легко показать, что Р^) удовлетворяет уравнению фазовой диффузии

(11.4.4)(11.4.4)(1145)(1145)дР — 2P

(11.4.4)

(11.4.4)

(1145)

(1145)

гдегде方=

где

где

0=上

45厂

Таким образом, простая модель, в которой акты спонтанного излучения вызывают случайное блуждание конца вектора электрического поля (фазора), приводит к урав™ нению фазовой диффузии для Р^).

Теперь рассмотрим корреляционную функцию второго порядка〈石㈠⑴石(+)(力 + + т)). Предположим, что поле является статистически стационарным и требуется лишь определить величину ^Е^ (0)Е^ (^)Х Из рис. 11.4 видно, что

{E(^\t)E^\t + т))=(石-)(0)石(+)(丁)〉=⑺〉е^0Т(е^}. (1146)

Из выражения (11.4.3) следует, что

〈COSH〉二 P(#)MdH 二 €™Dt,〈COSH〉二 P(#)MdH 二 €™Dt,(11.4.7)(11.4.7)

〈COSH〉二 P(#)MdH 二 €™Dt,

〈COSH〉二 P(#)MdH 二 €™Dt,

(11.4.7)

(11.4.7)

так что

{E^\t)E^\t + т))=⑺〉厂(1L4.8)

Тогда спектр мощности получается путем фурье-преобразования корреляционной функции второго порядка (см. (4.3.14)), т. е.

S⑵= :rJ(")⑴石(+)"丁)〉丁而=(1149) 7Г J7r (沙—沙0) + D

0

20 二"20 二"Это есть распределение Лоренца, центрированное на частоте 沙=沙。и имеющее полуширину (ширину на половине высоты)

20 二"

20 二"

(11Л.10)

как показано на рис. 11.5.

Этот простой вывод выражения для ширины лазерной линии, основанный на модели фазовой диффузии, показывает, что коэффициент диффузии в уравнении для распределения вероятности определяет ширину линии. В следующем разделе мы воспользуемся этим результатом при выводе выражения для ширины линии лазера, исходя из уравнения Фоккера-Планка, полученного в предыдущем разделе.

Рассмотренная выше модель фазовой диффузии дает обоснование чрезвычай™ но простому подходу ко многим интересующим проблемам. Поле E(t) с конечной шириной линии 20 можно описать выражением (11.4.1), в котором предполагается, что ^(t) является случайной гауссовой фазой, совершающей броуновское движение, описываемое так называемым стохастическим процессом Винера^Леви:

⑺⑴)=0,⑺⑴т(，))=0(力+， — I力一力‘}(11411)

Рис. 11.5. Нормированный спектр S^)/5(ро)? задаваемый выражением (11.4.9)

Производная от этого процесса представляет собой белый шум:

{^(t^(tf)) = 20 8(力-tfl(1L4.12)

Тогда из теоремы моментов для гауссова распределения следует, что

(E^\t)E(+\t^T)) = 5)6一広""仏一"h ⑴一伙方+初)=

=⑺ 6亠。4-(1/2)з⑴-H(W)F〉)=⑺f」0二(11413) Полученный результат совпадает с (11.4.8). Эта модель лоренцевой формы линии будет использоваться в гл. 16 при исследовании влияния ширины линии поля накачки на процесс параметрического усиления.

Уравнение Фоккера-Планка и ширина линии излучения лазера. Рассмот™ рев классический подход к изучению ширины линии излучения лазера, вернемся к полностью квантово^механическим уравнениям движения, выведенным в предьь дущих разделах. Как уже обсуждалось в гл. 4, квантово™классическое соответствие в квантовой оптике осуществляется через F-представление. Разумно, поэтому, отож™ дествить коэффициент диффузии с шириной линии, если уравнение движения для F-распределения лазера можно свести к (11.4.4).

Как и прежде предположим, что в области существенно выше порога изменения величины Р(а, а*) вдоль радиальной (амплитудной) координаты г ограничены уело™ вием стационарной работы. Этими изменениями, следовательно, можно пренебречь по сравнению с изменениями вдоль координаты Н, и уравнение (11.3.1) принимает вид

дp _泞

где

2。= "(1 + 彰2»),(11415)

2(就(1 +扌⑺)

При выводе этого уравнения величину г2 заменили величиной (п) и предположили (п)》］》%/». Из выражения для (п) (11.2.21) следует, что

20 =20 =4И '4И 'Вблизи порога, когда л^ 0 君)Вблизи порога, когда л^ 0 君)20 ~20 ~0х2R0х2R(11.4.16)(11.4.17)(11.4.16)(11.4.17)

20 =

20 =

4И '

4И '

Вблизи порога, когда л^ 0 君)

Вблизи порога, когда л^ 0 君)

20 ~

20 ~

0х

2R

0х

2R

(11.4.16)

(11.4.17)

(11.4.16)

(11.4.17)

Это выражение для коэффициента диффузии, а следовательно и для ширины линии, идентично выражению, полученному в ходе эвристических рассуждений, основанных на модели фазовой диффузии.

Интересно отметить, что выражение (11.4.17) для лазерной ширины линии вблизи порога можно вывести из лазерного уравнения движения в линейном приближении (纺=0, см. (11.4.15)). Кроме того, член потерь, пропорциональный & не входит прямо в коэффициент диффузии. Следовательно, для работы вблизи порога (но с достаточным превышением его, так чтобы изменения величины Р вдоль радиальной координаты ограничивались ее стационарным значением) ширину линии лазера просто можно получить в линейном приближении без члена потерь (до тех пор пока потери резонатора описываются взаимодействием с тепловым резервуаром при нулевой температуре). Среднее число фотонов〈冗〉,однако, зависит от коэффициентов насыщения и потерь. Это упрощение будет использовано при вычислении ширины линии излучения лазера в более сложных лазерных системах, таких как в гл. 14.

Недиагональные элементы и ширина линии излучения лазера

Как обсуждалось ранее, строгий вывод выражения для ширины линии излучения лазера требует вычисления двухвременнбй корреляционной функции поля (Е^ ⑴ Е(+)(力 + 丁)〉. Из-за очевидной сложности вычисления этой функции мы последовали в предыдущем разделе простому подходу, основанному на модели фазовой диффузии. Здесь будет описан альтернативный подход к вычислению ширины линии излучения лазера, основанный на вычислении недиагональных элементов приведенной матрицы плотности поля.

Напомним (разд. 10.4), что в марковском приближении (которое справедливо для решения рассматриваемой задачи) справедлива квантовая теорема регрессии, то есть зависимость двухвременнбй корреляционной функции от времени идентична зависимости среднего значения поля〈后-⑴〉от времени. Таким образом, определение (Е^ (/)) дало бы значение лазерной ширины линии. Теперь учтем, что величина 〈后―⑴〉связана с недиагональным матричным элементом приведенного оператора плотности поля выражением

£•,九+ 10n户+1(力)* (11-5.1) n=0

Следовательно, затухание недиагонального матричного элемента pn,n+i(^) означает одновременное затухание поля, приводящее к уширению линии излучения. В этом разделе будет описан простой метод вычисления рп,п+1(^) и вновь получены результаты, касающиеся ширины линии излучения лазера.

Будем исходить из уравнения движения (11.1.14) для матрицы плотности

Pn,n+fc = Рп ):

у П(П + к)"у П(П + к)"1 + ^n-l,n + k-l^ / ^1 + ^n-l,n + k-l^ / ^/3-/3-

у П(П + к)"

у П(П + к)"

1 + ^n-l,n + k-l^ / ^

1 + ^n-l,n + k-l^ / ^

/3-

/3-

—|%m+n+^р^+^[(n+i)(n+足 + пр/?力％.

Перепишем его, добавляя и вычитая соответствующие члены:

1 +J1 +J,n(n + к)/1 + ^п-1,п + к-1^ / “,n(n + к)/1 + ^п-1,п + к-1^ / “。3+。3+

1 +J

1 +J

,n(n + к)/

1 + ^п-1,п + к-1^ / “

,n(n + к)/

1 + ^п-1,п + к-1^ / “

。3+

。3+

++，⑺ + DS + в + U"1 + ^%巾+归%7 "，⑺ + DS + в + U"1 + ^%巾+归%7 "/(九 +1)(п + k + U "1 + ^п,п+к^ / “/(九 +1)(п + k + U "1 + ^п,п+к^ / “諸）-諸）-

+

+

，⑺ + DS + в + U"1 + ^%巾+归%7 "

，⑺ + DS + в + U"1 + ^%巾+归%7 "

/(九 +1)(п + k + U "1 + ^п,п+к^ / “

/(九 +1)(п + k + U "1 + ^п,п+к^ / “

諸）-

諸）-

--^(n + п + к)小)+ %[(n + 1)5 + k + 1)]1/2力% +

+ ^[n(n + 足)]1/2諸)一 Щп(п + ку^^р^ =

=-%俨戒)+ a3。з -或+小)")+壮3小3，(1152)

где

12я12я(左)_["n'm+A? -，(n + 1)(п + k + 1)]"(左)_["n'm+A? -，(n + 1)(п + k + 1)]"1 + "公中+蠢毋/»1 + "公中+蠢毋/»+ 穹[n + g —，几(汽十 &)] ,(11.5.3)+ 穹[n + g —，几(汽十 &)] ,(11.5.3)

1

2я

1

2я

(左)_["n'm+A? -，(n + 1)(п + k + 1)]"

(左)_["n'm+A? -，(n + 1)(п + k + 1)]"

1 + "公中+蠢毋/»

1 + "公中+蠢毋/»

+ 穹[n + g —，几(汽十 &)] ,(11.5.3)

+ 穹[n + g —，几(汽十 &)] ,(11.5.3)

(1154)(1154)(方)_，(n + 1)(乳 + k + 1) /

(1154)

(1154)

(1155)

Здесь безразмерные множители ^%?/ и 。戏几？ задаются выражениями (11.1.13а) и (11.1.136). Уравнение движения для 0f (11.5.2) связывает р^ лишь с ближайшими соседними элементами, а именно р^х и р^17 но не вносит связи по ^-индексу. Таким образом, перед нами трехчленное дифференциальное рекуррентное соотношение между сложными, но не зависящими от времени коэффициентами. Далее будет описан приближенный, но аналитический метод вывода нижайшего собственного

значения, исходя из условия детального равновесия.

Условие детального равновесия имеет вид Wp俨=d^^p^^ (и, следовательно, условие с，\р：3 = d£"俨)и предполагает, что

戒)⑴=С"俨⑴戒)(0)=

n (fe)n

=⑴霜1)n M⑴諸^)П 1—石-A (1156)

Таким образом, из (11.5.2) следует, что

力俨=力俨 + <){1 —「m3"z]} + С(М {1 一「[*Ld，]}(1157)

0俨⑴生；/4宀九0俨⑴生；/4宀九До сих пор вычисление носило точный характер. Теперь разложим экспоненты и в низшем порядке найдем

0俨⑴生；/4宀九

0俨⑴生；/4宀九

(11.5.8)

(11.5.9)(11.5.9)Здесь мы предположили, что

(11.5.9)

(11.5.9)

аналогичное выражение имеем для |О^х — D^\. Это условие выполняется, когда /1^)является медленно меняющейся функцией от п. Тогда из выражений (11.5.6) и (11.5.8) следует, что

成)⑴="(0)ехр[—/4D〃2] - Н)(0)ехр[—$；)“2],(11510)

где на последнем шаге величину п в 髙 заменили средним значением числа фотонов (п). Соотношение (11.5.10) сводит выражение (11.5.1) к следующему:

〈后(一)⑴〉〜£"n+ 1")(0)*(11511)

п=0

выражениевыражениеУчитывая (11.5.3), получаем для ширины линии 2D лазера в пределе (п)》1

выражение

выражение

(11512)(11512)⑴ ~ 1穹3毋/2+ 毋2/16"'

(11512)

(11512)

_=4m)(1 + 5)%7步)

Вторым членом в (11.5.12) можно пренебречь по сравнению с первым при всех значениях ^(п)/^. Таким образом, получаем

20生20生45〉45〉(11513)(11513)

20生

20生

45〉

45〉

(11513)

(11513)

в полном согласии с (11.4.16).

Аналогия между поведением лазера вблизи порога и фазовымпереходом второго рода

В этом разделе мы рассмотрим возможность полезных аналогий между теорией лазера и другими разделами неравновесной статистической механики. Фактически интересное сравнение можно сделать между фазовыми переходами второго рода в ферромагнетиках и полупроводниках и лазером, работающим вблизи порога ге™ нерации. Целью данного раздела является демонстрация того, что поведение лазера вблизи порога аналогично фазовому переходу второго рода.

Аналогия становится очевидной, если вспомнить, что обычное рассмотрение лазера проводится в рамках самосогласованной теории поля. При анализе пред™ полагается, что каждый атом образует излучающий диполь в электромагнитном поле, создаваемом всеми другими атомами. Поле излучения, создаваемое множеством излучающих атомов, вычисляется тогда самосогласованным образом. В этом отношении физика лазера схожа с физикой ферромагнетика, в котором каждый спин «чувствует» среднее магнитное поле, создаваемое всеми остальными спинами, и выстраивается вдоль него, давая таким образом вклад в среднее магнитное по™ ле. Формальное сходство между макроскопическими уравнениями, описывающими

свойства лазера, и уравнениями, описывающими ферромагнетик, является пора™ зительным и предполагает отождествление лазерного поля с параметром порядка в ферромагнетике, а атомной инверсии населенностей ——с температурой. Следуя этой точки зрения, покажем, что теория лазера может быть рассмотрена на языке фазовых переходов второго рода.

Стационарное решение для P-распределения 口а, а*) задается выражением (11.3.3). Среднее значение (Е) безразмерного оператора электрического поля Е = =(а + а*)/2, соответственно, удовлетворяет уравнению

(" 一歹)〈后〉—纺(后3)= s(1161)

Если лазер работает не слишком близко к порогу, то〈炉〉можно заменить в полу- классическом пределе величиной〈后尸,так что

(" 一夕)〈后)—纺(后产=s(1162)

Пороговое условие определяется в разд. 11.2 как » = ®. Полагая ^ = аа, ^ = =Ьа и ^ = ад, запишем стационарное решение уравнения (11.6.2) в виде

О,если ст — j W 0 (ниже порога),

5〉=(「屮一吟J…、(U63)

［石(J j , если ст — j〉U (выше порога).

Теперь рассмотрим теорию молекулярного поля в ферромагнетике. Пусть система содержит N магнитных атомов в единице объема, и каждый атом имеет магнитный момент /1. Средняя намагниченность (М) является функцией температуры Т системы и внешнего магнитного поля Н.

В случае невзаимодействующих спинов (М) задается выражением

〈"〉= N/Uh (嘗» (1164)

где кв ——постоянная Больцмана. Случай взаимодействующих спинов, естественно, намного сложнее, и точного решения для трехмерной системы не существует. Простейшее приближенное решение было получено Вейссом, в рамках теории, обычно называемой теорией молекулярного поля. В этой модели эффект взаимодействия спинов учитывается просто добавлением к внешнему полю внутреннего поля Н, которое вычисляется самосогласованно и пропорционально величине (М) с константой пропорциональности А. Уравнение состояния ферромагнетика можно вывести из (11.6.4), подставляя вместо Н сумму Н + ХМ и разлагая в ряд по степеням (М). В результате имеем

V (备У(〃 +(11.6.5)

откуда

Н = МТ —晨)〈"〉+-Н = МТ —晨)〈"〉+-а(Т ^Tc){M)^bfT{M)\ (11.6.6)а(Т ^Tc){M)^bfT{M)\ (11.6.6)гдегде(1167)(1167)

Н = МТ —晨)〈"〉+-

Н = МТ —晨)〈"〉+-

а(Т ^Tc){M)^bfT{M)\ (11.6.6)

а(Т ^Tc){M)^bfT{M)\ (11.6.6)

где

где

(1167)

(1167)

Здесь сделана подстановка Н = а'(Т — ТС)(М) в кубическом члене из первой строки выражения (11.6.6).

если Т — Тс 2 О,если Т — Тс < Q.если Т — Тс 2 О,если Т — Тс < Q.Из (11.6.6) получаем следующее соотношение между М и Т при Н = 0:

если Т — Тс 2 О,

если Т — Тс < Q.

если Т — Тс 2 О,

если Т — Тс < Q.

(1168)

Выражения (11.6.3) для лазера и (11.6.8) для ферромагнетика формально одинаковы. Огибающая электрического поля Е соответствует статической намагниченности Af, являющейся параметром порядка для ферромагнитного перехода. Инверсия насе™ ленностей ст, если не учитывать изменение знака, соответствует температуре Т.

Чтобы установить полную аналогию, необходимо расширить теорию лазера, включив в нее внешнее поле. Напомним, что равновесное среднее по ансамблю значение намагниченности может быть равно нулю только в присутствии внешнего магнитного поля с определенной ориентацией. Аналогичная ситуация с лазером про исходит при введении внешнего классического поля в лазерный резонатор. Это приводит к добавочной поляризации 夕 ехр(—Е〃" активной среды. Амплитуда 夕 есть не зависящая от времени действительная величина, определяющая интенсивность внешнего поля. Предполагается также, что внешнее поле имеет то же направление поляризации, что и лазерная мода.

Квантовую теорию лазера можно расширить, включив в нее внешнее поле. Стационарное решение для P-распределения в присутствии внешнего поля находится в виде

口а ) о 彳7 exp Ц) |а| —+ 丁9 + а )卜(1169)

где ”/ ——нормирующий множитель. При 夕=0 это решение сводится к (11.3.3). Данное выражение для Р(а, а*) можно переписать через эффективную свободную энергию G в виде

口g) = + exp 卜岑丹(П-6.10)

где х = (а + а*)/2 и у = (а — а*)/25 — декартовы координаты,

у) = ；&((т 一 at){x2 + 力)+ ^ba(x2 + 才『一夕z + Go(11.6.11)

и К = а/4 ——четверть коэффициента усиления для одного атома. Здесь отметим, что 0х — @ = а(а — /), и 务=ba.

Рассмотрим теперь соответствующее выражение для плотности вероятности Р^М) намагниченности М ферромагнитной системы вблизи фазового перехода. В состоянии теплового равновесия эта плотность определяется выражением

(11612)

где

歹(")=!标(丁 — I；)"? + :УТ"3 — нм + Fo,(11613)

причем Fq зависит от Т и Н. Сходство выражений (11.6.2) для Р(М) и (11.6.10) для Р(ж, у) очевидно, и означает, что функцию G(x, у) можно интерпретировать как функцию типа термодинамической энергии. То, что распределение вероятности для лазерного поля (11.6.10) и соответствующий термодинамический результат (11.6.12) находятся в таком близком соответствии, является сильным доводом в пользу ан а™ логии между областью лазерного порога генерации и фазовым переходом второго рода.

Близкая аналогия между поведением лазера вблизи порога генерации и фазовым переходом второго рода ясно показывает, что кооперативное явление может развиваться даже в условиях, далеких от теплового равновесия. Другими примерами являются мягкие моды в сегнетоэлектрике, химические реакции и турбулентность. Использование этих идей привело к новым открытиям в фундаментальной и при™ кладной науке, от лазеров до компьютеров, и даже в социологии. Понятие переходов типа порядок——беспорядок, происходящих в условиях далеких от состояния теплового равновесия, привело ко многим интересным нововведениям. Мы завершим главу несколькими примерами.

В лазерной физике нарушение симметрии посредством внешнего поля наводит на мысль о том, что массив из N маломощных лазеров с синхронизированными фазами может служить средством достижения высокой фокальной мощности (растущей как №), за счет преодоления рандомизации IIIавлова-Таунса. Отметим также, что переход типа порядок——беспорядок, встречающийся в явлении оптической бистабиль™ ности, тесно связан с поведением лазера вблизи порога в присутствии внешнего поля. Более того, переход к хаосу через многократные бифуркации является естественным расширением аналогии с лазерным фазовым переходом. Наконец, отметим недавнее красивое исследование по гидродинамике, проведенное путем изучения схожего поведения поперечной модовой структуры лазера. Аналогия между вынуждаемыми параметрическими системами и динамикой мягких мод в сегнетоэлектрике привела Ландауэра к новым идеям в информатике. Подобным образом переходы типа порядок——беспорядок, происходящие в химических реакциях и даже изучаемые в социологии, плодотворно исследованы с позиций физики фазовых переходов, происходящих в условиях, далеких от термодинамического равновесия.

Приложение 11.А

Решение уравнений для элементов матрицы плотности

Решение системы уравнений (11.1.9) и (11.1.56)-(11.1.5г) облегчается, если переписать ее в матричном виде:

^MR^A,(11.АЛ)

где

(ПА2)(ПА2)(11.A.3)(11.A.3)Рап,ап,

(ПА2)

(ПА2)

(11.A.3)

(11.A.3)

R =R =Pan^bn' + 1

R =

R =

Pbn+\,an‘

_Pbn+l,bn, ^1_

7 -ig\/nf + 1 igy/n + 1О

ММ—igy/nf + 170igy/n + 1

М

М

ig^n + 1077 T + 1

/■ = 丁 aPnn'/■ = 丁 aPnn'0ig^n + 1 —ig^/nf + 17

/■ = 丁 aPnn'

/■ = 丁 aPnn'

(11.АЛ)

Формальное интегрирование уравнения (11.А.1) дает

/?,⑴=/?,⑴=e^M(t^to)AdtQ = M^A.e^M(t^to)AdtQ = M^A.(11.А.5)(11.А.5)

/?,⑴=

/?,⑴=

e^M(t^to)AdtQ = M^A.

e^M(t^to)AdtQ = M^A.

(11.А.5)

(11.А.5)

Здесь мы сделали адиабатическое приближение, предположив, что поле заметно не меняется в течение времен жизни атомных состояний. Это позволяет рассматривать А в (11.А.5) как не зависящую от времени величину. Поскольку нас интересуют матричные элементы Pan,bn‘+\ и рьп^1,апЧ требуется определить лишь (Л/一工)21 и (М^1)^. Результирующие выражения для требуемых матричных элементов имеют вид

(11.AJ)(11.AJ)(11А7)(11А7)Pan,bnf^l = ГаРпп^М^1)^! = "@j^ 也[g2(?7 一 П)+ 丁"]0rm\Pbn^l^ =『aAW("T)31 = - 2：^n~tl[g2m 一 九/) + 丁2]〃2加,

(11.AJ)

(11.AJ)

(11А7)

(11А7)

гдегде\М\ = det Af = 74 + 2g2丁2(冷 + 1 + n7 + 1) + g4(n — nz)2.\М\ = det Af = 74 + 2g2丁2(冷 + 1 + n7 + 1) + g4(n — nz)2.(ll.AJ)(ll.AJ)

где

где

\М\ = det Af = 74 + 2g2丁2(冷 + 1 + n7 + 1) + g4(n — nz)2.

\М\ = det Af = 74 + 2g2丁2(冷 + 1 + n7 + 1) + g4(n — nz)2.

(ll.AJ)

(ll.AJ)

Матричные элементы Pan—\,bn‘ и рьп,ап,-1 получаются из (11.А.6) и (11.А.7), соответственно, путем замены величин п, п' величинами п — 1, п‘ 一 L

Приложение 11.Б

Точное решение для P-распределения лазера

Рассмотрим основное уравнение (11.1.14) для матричных элементов. Если о пре™ делить вспомогательную величину

(11.Б.1)(11.Б.1)Дпп/ = (1 +Рпп'

(11.Б.1)

(11.Б.1)

то уравнение (11.1.14) будет равносильно следующей системе уравнений:

署L =[|(n + 1 + nf + 1) + 言(九—n，)2] Дпп^

+ »Vnnf /1九一1，加一1 + 名，(几 + 1)(加 + 1) 0n+1，疗+i - /%(北 + nf)pnn/,(11.Б.2)

(11.Б.З)(11.Б.З)(11.Б.4)(11.Б.4)l + _(n+l + n +i) + __(n^n)回歩=^紋"

(11.Б.З)

(11.Б.З)

(11.Б.4)

(11.Б.4)

В P-представлении матричный элемент рпп/ задается в виде

Рпп' (^) = d2apm, а*，力)

JV n! V пч

Определим другую вспомогательную функцию Л/(а, а*), соответствующую дпп/,

/Azn/ (土)=/Azn/ (土)=(11.Б.5)(11.Б.5)

/Azn/ (土)=

/Azn/ (土)=

(11.Б.5)

(11.Б.5)

Используя эти соотношения, уравнения (11.Б.2) и (11.Б.3) можно преобразовать в эквивалентную систему уравнений для Р и М.

Различные члены в (11.Б.2) и (11.Б.3) можно записать через Р и М следующим образом:

(^ + 1 + 九 + 1) Дпп/ =

=闷“^^ [(—。糸―优詐+ 2|a『)"(a，a*)]，(1LB6)

(九一• n ^) Цпи,=

d"^^ ［（"^ -优总）"""*尸厂间1 "（小优）=

d2aё-也『d2aё-也『(11.Б.7)(11.Б.7)

d2aё-也『

d2aё-也『

(11.Б.7)

(11.Б.7)

•汽歩 Дп — 1 ,nz 1•汽歩 Дп — 1 ,nz 1d^a — —xV n! V 卅！d^a — —xV n! V 卅！

•汽歩 Дп — 1 ,nz 1

•汽歩 Дп — 1 ,nz 1

d^a — —x

V n! V 卅！

d^a — —x

V n! V 卅！

xxa2a2дада*дада*+ Ка+詐优+ 1a12 — 1）a飞优尸「也广+ Ка+詐优+ 1a12 — 1）a飞优尸「也广М(а, а*)=М(а, а*)=

x

x

a2

a2

дада*

дада*

+ Ка+詐优+ 1a12 — 1）a飞优尸「也广

+ Ка+詐优+ 1a12 — 1）a飞优尸「也广

М(а, а*)=

М(а, а*)=

d^aG V^V^I [(аа@а* - &丽 - а 才 + |叶—1) "(а, а )] , (11Е8)

(11.Б.9)(11.Б.9)，(n + 1)(疗 + 1)仍1+1，紋+1 = d2a e^^P(a, q*)],

(11.Б.9)

(11.Б.9)

JV n! V пч

(n + n)pn^ =

Раскрывая члены в уравнениях (11.Б.2) и (11.Б.3) с помощью выражений (11В6)— (11.Б.8), после некоторых преобразований получаем

(11.Б.11)(11.Б.11)др(а,а)@*门标 ^ / а а д2"

(11.Б.11)

(11.Б.11)

х М(a, Q ) + — ( ^^^ + а。* а )夕(а, а ),

噴 例г а1 —+2м LAa噴 例г а1 —+2м LAa^^а* — 2(1 + |а『)]+^^а* — 2(1 + |а『)]++ ^・(}-么 а*) }"(")"(% а)+ ^・(}-么 а*) }"(")"(% а)(11.Б.12)(11.Б.12)

噴 例г а

1 —+

2м LAa

噴 例г а

1 —+

2м LAa

^^а* — 2(1 + |а『)]+

^^а* — 2(1 + |а『)]+

+ ^・(}-么 а*) }"(")"(% а)

+ ^・(}-么 а*) }"(")"(% а)

(11.Б.12)

(11.Б.12)

Уравнения (11.Б.11) и (11.Б.12) принимают более удобный вид, если перейти от не™ зависимых комплексных переменных а, а* к полярным координатам 一少,используя

соотношение

а = г еа = г е2Н2НТогдаТогдаа1 а 2 1 - ада2r dr 2綻 _ 1 / a a 加дада* 4r2 у дгГ dr + А/а1 а 2 1 - ада2r dr 2綻 _ 1 / a a 加дада* 4r2 у дгГ dr + А/(11.Б.13)(11.Б.14)(11.Б.15)(11.Б.13)(11.Б.14)(11.Б.15)

а = г е

а = г е

2Н

2Н

Тогда

Тогда

а1 а 2 1 - а

да2r dr 2

綻 _ 1 / a a 加

дада* 4r2 у дгГ dr + А/

а1 а 2 1 - а

да2r dr 2

綻 _ 1 / a a 加

дада* 4r2 у дгГ dr + А/

(11.Б.13)

(11.Б.14)

(11.Б.15)

(11.Б.13)

(11.Б.14)

(11.Б.15)

В результате, уравнения (11.Б.11) и (11.Б.12) принимают вид

a口『,合）dta口『,合）dt‘以(1 а 21 а а

a口『,合）dt

a口『,合）dt

2 yr дгГ 2гдгГ дг

{-為[^宀 2(1 + 制-^^焉} M% = P^ 吩 "В”)

Уравнение для Р можно получить, подставляя М из (11.Б.17) в уравнение (11.Б.16):

др (г д 91 а а 1 а2 毋綻、

dt 2 \^r dr 2r dr &『2『？ a»"4〃 Q^2 у

('416“2am2 j2 \rdr /"丿

Это уравнение содержит производные всех порядков гю『и 少"

В стационарном состоянии [дР/dt = 0) Р-распределение является функцией лишь от модуля а (то есть |а| = г), поскольку все недиагональные элементы рпп/ равны нулю. Уравнения (11.Б.16) и (11.Б.17) сводятся к

—— к5) Р = О,(11.Б.19)

2 \г дг 2г dr dr J 2 \г дг /

{「爲[歩-2(1 + М)]}”Р.(П-Б.20)

Если теперь ввести переменную интенсивности

/ =户三 |а匕(11.Б.21)

то уравнения (11.Б.19) и (11.Б.20) существенно упрощаются:

-М + @房(/p)=a(ne22)

[1 —/)] М = Р・(UE23)

Эти уравнения решаются относительно М путем исключения Р. Результат имеет вид

const " (1exp(/),

если 丁/ W(1LE24)

[3"

в противном случае.

10 М.О* Скалли? М.С. Зубайри

Тогда ^-распределение находим из (11.Б.23):

(11.Б.25)(11.Б.25)Р(/) =°ехр(/), если W 1,

(11.Б.25)

(11.Б.25)

0,в противном случае.

Здесь ” — нормирующий множитель. Наличие в (11.Б.18) производных всех порядков приводит к стационарному состоянию, которое описывается неаналитической функцией от / =仙仔.

P-распределение позволяет вычислить все нормально-упорядоченные моменты оператора числа частиц а+а, исходя из первого:

((小尸宀〉= "尸口/)= * 一-д-1)他+产-%"1)+ о

+-1)((a+)"小T〉，(1LE26)

Вблизи порога среднее значение интенсивности / = \а\2 мало, и справедливо неравенство (纺％/л^2)|а『《1. Множитель перед экспоненциальной функцией в (11.Б.25) записывается приближенно в виде

=ехр [(> -1) 1П С -登@2)] - (-，(11В27)

где сделано приближение » 2± ® в |а|4-члене разложения экспоненты. Следовательно ^-распределение (выражение (11.Б.25)) имеет вид

口小 a*) 0 + ехр [(^^) IaI^ з a1[,(UB28)

где о#7 ——нормирующий множитель. Ограничение на / в (11.Б.25) теперь, очевидно, можно убрать, ибо распределение (11.Б.28) никогда не перейдет в область отрицательных значений, так что величину |а| можно считать изменяющейся от 0 до ос.

Задачи

Рассмотрим одномодовый двухфотонный лазер, в котором атомы, находящиеся в возбужденном состоянии |а), совершают переход через виртуальное состояние в нижнее состояние |6), испуская два фотона частотой 〃• Предположим, что по тери на зеркале резонатора являются линейными. Исходя из эффективного гамильтониана, записанного в представлении взаимодействия в условиях точного резонанса (шаь = 2〃) У = hg[a^a2 + (а+)2сг^], выведите уравнение движения для элементов рпп> приведенной матрицы плотности поля. Покажите, что Q/ = =1/2, если лазер работает высоко над порогом.

Рассмотрим лазер с насыщаемым поглотителем, то есть лазер, резонатор кото рого в дополнение к активной среде содержит поглощающую среду. Усиливаю™ щая среда состоит из двухуровневых атомов, характеризуемых состояниями |а) и |6), которые накачиваются в возбужденное состояние |а) со скоростью 丁&1. Поглотитель также состоит из двухуровневых атомов, характеризуемых

состояниями |с) и |d), но атомы накачиваются в нижнее состояние |d〉со скоростью га2. Предполагая точный резонанс для обоих типов атомов (®аЬ = ^cd = =沙),выведите уравнение движения для приведенной матрицы плотности поля. Получите стационарное решение для функции распределения фотонов р(п), а затем выражение для среднего числа фотонов (п). (Указание: см. работу Ноу, R” Phys. Rev. % 20, 2093 (1979).)

Покажите, что в линейном режиме (勿 = 0) уравнение (11.1.14) для pnnf эквивалентно следующему уравнению движения для приведенного оператора плотности ПОЛЯ：

0 = _^(сш+а - 2а+ ра + раа^) - ^{а+ар - 2ара+ + ра+ а).

Выведите (11.2.22).

Выведите уравнение движения для pnnf, описывающее одномодовый лазер в условиях отсутствия резонанса между полем и атомами, то есть, когда △= =G —沙卢0*

Вычислите ширину линии излучения лазера, используя метод коэффициента диффузии из разд. 11.4, в случае, когда потери резонатора описываются взаи™ модействием с тепловым резервуаром, находящимся при температуре Т.

Выведите уравнение движения для диагональных элементов матрицы плотности, используя метод усреднения по временам жизни. С этой целью выведите со отношение (11.1.28), учитывая (11.1.27). Выполните интегрирование в (11.1.28), предполагая п = п1. Указание: начните с уравнения

〈^р〉丁 =『a dr[-(l - COS2(gVn + lr))pnn + sin2(gy/nr^Pn^!^^

0

и покажите, что

7 jsin2(Onr) L dr =2 ?

J7 + 4Qn

о

где On = gy^. Это приведет к уравнению

Список литературы

Теория лазера, метод оператора плотности

Scully, М. О., Lamb, W. Е., Jr. and Stephen, М. J. Proceedings of the International Conference on the Physics of Quantum Electronics, Puerto Rico〉1965, ed. P. Kelley, B. Lax, and P. Tannanwald (New York, 1966), p. 75.

Fleck, J., Jr., Phys. Rev. 149, 309 (1966).

Scully, M. O. and Lamb, W. E., Jr., Phys. Rev. 159, 208 (1967); ibid. 179, 368 (1969).

Pine, E. R. Riv. Nuovo Cimento, Numero Speciale 1, 277 (1969).

io*

Scully, М. Proceedings of the International School of Physics «Enrico Fermi», Course XL 11 ed. R. Glauber (Academic Press, New York 1969).

Sargent III, M., Scully, M. O. and Lamb, W. E., Jr., Appl. Opt. 9, 2423 (1970).

Scully, M. O., Kim, D. M. and Lamb, W. E., Jr., Phys. Rev. A 2, 2529 (1970); ibid. 2, 2534 (1970).

Wang, Y. R. and Lamb, W. E., Jr., Phys. Rev. A 8, 866 (1973).

Stenholm, S. Phys. Rep. 6C, 1 (1973).

Loudon, R. The Quantum Theory of Light, (Oxford University Press, New York 1973). [Лоудон

P. Квантовая теория света (Мир, Москва, 1976).]

Lugiato, L. A. Physics 81А, 565 (1976).

Pike, E. R. and Sarkar, S. Quantum Theory of Radiation, (Cambridge, London 1996).

* Мандель Л., Вольф Э. Оптическая когерентность и квантовая оптика (Физматлит, Москва, 2000).

Теория лазера, метод Фоккера^Пл анка

Risken, Н. Z. Phys. 191, 186 (1965); in Progress in Optics, Vol. 8, ed. E. Wolf (North-Holland, Amsterdam 1970).

Hemstead, R. D. and Lax, M. Phys. Rev. 161, 350 (1967).

Risken, H. and Vollmer, H. D. Z. Phys. 201, 323 (1967).

Haken, H. Z Phys. 219, 246 (1969).

Grossmann, S. and Richter, P. H. Z. Phys. 249, 43 (1971).

Graham, R. and Smith, W. A. Opt. Commun. 7, 289 (1973).

Mandel, P. Physica (Utr.) 77, 174 (1974).

Casagrande, F. and Lugiato, L. A. Phys. Rev.厶 14, 778 (1976).

Arecchi, F. T. and Ricca, A. M. Phys. Rev. A 15, 308 (1977).

Tehrani, M. M. and Mandel, L. Phys. Rev. A 17, 677 (1978); ibid. 17, 694 (1978).

Аналогия между поведением лазера вблизи порога и фазовым переходом и связанные с этим работы

DiGiorgio, V. and Scully, М. О. Phys. Rev. А 2, 1170 (1970).

Graham, R. and Haken, H. Z. Phys. 237, 31 (1970).

Landauer, R. IBM Journal of Res. and Dev. 14, 152 (1970).

Landauer, R. Ferroelectrics 2, 47 (1971).

Glandsdorff, P. and Prigogine, I. Thermodynamic Theory of Structure, Stability, and Fluctuations, (Wiley, New York 1971).

Haken, H. Rev. Mod. Phys. 47, 67 (1975).

Scott, J. F., Sargent III, M. and Cantrell, C. Opt. Commun. 15, 13 (1975).

Chow, W. W., Scully, M. O. and van Stryland, E. W. Opt. Commun. 15, 6 (1975).

Weidlich, W. Concepts and Models of a Quantitative Sociology: the Dynamics of Interacting Population, (Springer, Berlin 1983).

*Yukalov V.I., Shumovsky A.S. Lectures on phase transitions (Wourd Scientific: Singapore, 1990).'

Gatti, A. and Lugiato, L. A. Phys. Rev. A 52, 1675 (1995).

Глава 12

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ

ЛАЗЕРА — МЕТОД

ГЕЙЗЕНБЕРГА-ЛАНЖЕВЕНА

В этой главе будет представлена теория лазера, основанная на методе Гейзен™ берга-Ланжевена D . Это совершенно другой метод, но он полностью эквивалентен методу оператора плотности, рассмотренному в предыдущей главе. В общем случае, метод оператора плотности лучше подходит для изучения статистики фотонов поля излучения, тогда как метод Гейзенберга-Ланжевена имеет определенные преимуще™ ства вычислительного характера при определении коэффициентов фазовой диффу™ зии и, следовательно, ширины линии излучения лазера.

В разд. 12.1 описан простой метод определения ширины линии излучения лазера, основанный на линейной теории. Этот анализ интересен и полезен потому, в частности, что учитывает эффекты атомной памяти, что трудно сделать в рамках теории, основанной на методе оператора плотности. В разд. 12.2-12.4 изложена полная не™ линейная теория лазера и заново получены все важные величины, характеризующие квантовые статистические свойства поля излучения.

Простой расчет ширины линии излучения лазера методомЛанжевена, учитывающий эффекты атомной памяти )

Полная нелинейная квантовая теория лазера, обсуждавшаяся в предыдущей главе, рассматривает наиболее интересные квантовые статистические свойства поля излучения. Однако, во многих практически значимых задачах нет необходимости в таком детальном рассмотрении. Например, как было видно в предыдущей главе, естественную ширину линии излучения лазера можно определить из линеаризованной теории. То есть, полная нелинейная теория служит для определения амплитуды поля, а фазовые флуктуации в области рабочей точки описываются линейной теорией. В этом разделе будет представлена простая линейная ланжевеновская теория лазера, в которой атомное время жизни учитывается в эффективном гамильтониане. Преимущество этого простого подхода состоит в том, что его можно легко расширить, как будет показано ниже, с целью учета эффектов атомной памяти и вычисления естественной ширины линии излучения других квантовых оптических систем.

Эффективный гамильтониан системы двухуровневых атомов, взаимодействующих с одномодовым полем в условиях точного резонанса, в представлении взаимо™ действия имеет вид

贅=方g£ /(力打)(а+ь乙 + €7^a).(12.1.1)

Здесь введена функция /(力,力^), определяющая взаимодействие j™ro атома, переве™ денного в момент времени tj в верхнее состояние, с полем излучения. Для опреде™ ленности запишем /(t, tj) в виде

/(力力力=®(方一芍)ёхp[一)(力一力力/陋],(12.1.2)

где 0(力)——обычная ступенчатая функция. Функция /(t,力^) изображена на рис. 12.1. Здесь экспоненциальный множитель ехр[—)(力一tj)/-^2] моделирует релаксацию

/(力 %)

Рис. 12.1. Функция взаимодействия /(£*&■), определяющая взаимодействие j-ro атома и электромагнитного поля

атомов лазера. Таким образом атомная релаксация включена в эффективный гамильтониан.

Уравнения движения Гейзенберга для операторов поля и атомных дипольных моментов имеют вид

@ = _I@a —階 £ "力，力須：+ /⑴，(12.1.3)

兄=igf(t,力力^欧(12.1.4)

Эффекты потерь резонатора учтены в уравнении (12.1.3) через скорость затухания резонатора 穹 и соответствующий ей оператор ланжевеновского шума F^. При нулевой температуре (птепл = 0) все нормально упорядоченные корреляционные функции величины F^ равны нулю.

Формальное интегрирование уравнения (12.1.4) дает

+ ig j dtrf(t\ tj^a^t^a^).(12.1.5)

Отметим, что определение функции f(t\ tj) позволяет устремить нижний предел интегрирования в (12.1.5) к —оо工 Подстановка этого выражения в (12.1.3) приводит к результату

@ = -j@a +犬I山，e/色门)/(厶订)。?(门矶，)+〜⑴+ /⑴，(12.1.6) где

/.⑴=-噌e 〃力①~e)(12工7)

——шум, возникающий в поле из-за взаимодействия с лазерными атомами.

Уравнение (12.1.6) для оператора поля а можно упростить, если предположить, что линейный коэффициент усиления определяется, главным образом, мгновенным значением поля излучения. Такое приближение имеет силу, если оператор электрического поля a(t) медленно меняется в течение атомного времени жизни)一L Это условие удовлетворяется, если)》穹"Тогда можно заменить оператор а(У) в интеграле (12.1.6) оператором a(t) и вынести его из-под знака интеграла. Кроме того, ограничимся линейным приближением по оператору поля. В этом случае можно аппроксимировать оператор разности населенностей crl(tf) его средним значением в начальный момент времени,〈。夕(力^)〉 = 1. В результате получаем следующее уравнение для оператора а(力)：

@=|(N —穹)а + % ⑴ + 凡⑴，(12 丄 8)

в котором линейный коэффициент усиления 力 определен в виде

Q = 2g2 I出/e〃力,力""厶力力(12工9)

-оо 7

Если предположить, что скорость инжекции атомов га является постоянной вели™ чиной, то можно заменить суммирование по атомам интегрированием по временам инжекции, то есть

£f『a(12110)

Используя определение (12.1.2) функции взаимодействия /(力力^) и вычисляя остав= шиеся интегралы, получаем следующий линейный коэффициент усиления

/=^^\(12.1.11)

旷

который совпадает с линейным коэффициентом усиления, полученным ранее (см. выражение (11.1.11)).

Теперь обратимся к вычислению корреляционной функции операторов шума в уравнении (12.1.8). При нулевой температуре (птепл = 0) нормально упорядоченные

корреляционные функции операторов F^ равны нулю (формулы (9.1.24), (9.1.27) и (9.1.28)). Таким образом, оператор шума F^ не дает вклада в ширину линии излучения лазера. Это будет показано явно при строгом рассмотрении в следующих разделах. Из (12.1.7) находим

〈片⑴凡.(，)〉= ^2ЕЕ /9 力力％ 4)К(^)^^))-(12*1.12)

Все атомы находятся в начальный момент времени в возбужденном состоянии \а) и полностью независимы друг от друга. Таким образом,

〈吸&)(т勺(九)〉=5jk.(12.1.13)

Если опять заменить суммирование по атомам интегрированием по моментам време= ни инжекции, то получим

(12.1.14)(12.1.14)(ь^⑴凡修)〉=/£^ ехр (一专I力-y|)

(12.1.14)

(12.1.14)

Интересно отметить, что шум не является(5-коррелированным. События спонтанного испускания нельзя больше рассматривать как мгновенные импульсы. Вместо этого событие спонтанного испускания размазано по характерному временному интервалу в течение которого испускается фотон. Такие эффекты памяти^ обусловленные атомами, приводят к окрашенному шуму вместо белого шума.

В пределе)一】 f 0 вновь получаем белый шум:

〈片⑴凡(У)〉= /8(力一У)”(12.1.15)

Эта 5-корреляция операторов шума является результатом предположения, что временная эволюция атома происходит намного быстрее эволюции поля излучения. Аналогичным образом находим

〈/⑴凡.⑺〉=〈个⑴％ (У)〉= 0. (12.1.16)

То, что обе корреляционные функции в (12.1.16) равны нулю, есть прямое следствие начального состояния атомов и ограничения линейным приближением по полю.

Чтобы получить выражение для коэффициента фазовой диффузии электромагнитного поля отождествим операторное уравнение Ланжевена (12.1.8) с соответствующим с-числовым уравнением. Это можно сделать заменив операторы а и 凡⑴ комплексными переменными а и 発& ⑴,соответственно. Результирующее уравнение имеет вид

d = |(^ — ^)а + 多山 (12117)

Если выбрать классическую функцию шума 兔& ⑴ так, чтобы она имела корреляционные функции вида (12.1.15) и (12.1.16), то все произведения комплексных переменных а будут соответствовать нормально упорядоченным произведениям операторов а.

Поскольку нас интересуют фазовые флуктуации лазерного поля, удобно работать в полярных координатах 丁 и 少,определяемых соотношением а = г exp(i^). Тогда из (12.1.17) следует, что

^ = ^{t\ (12J.18)

гдегде(12J.19)(12J.19)

где

где

(12J.19)

(12J.19)

Если пренебречь амплитудными флуктуациями, то есть предположить, что |а| = = (п), где (п) — стационарное среднее число фотонов в лазерном поле, то из выражений (12.1.15) и (12.1.16) следует, что

з⑴①(门)=/8(一。(12工20)

Сравнение с формулой (11.4.12) приводит к выражению

“нн〉=(12-1.21)

в согласии с результатами предыдущей главы D .

Квантовые уравнения Ланжевена

В этом разделе будут выведены квантовые уравнения Гейзенберга-Ланжевена для полевых и атомных переменных, с учетом всех нелинейных эффектов насьь щения. Из полученной системы уравнений можно определить статистику фотонов и ширину линии излучения лазера.

Рис. 12.2. Физическая модель лазера: атомы (изображенные в виде точек) проходят через лазерный резонатор

На рис. 12.2 изображена физическая модель лазера. Множество трехуровневых атомов взаимодействует с одной модой поля излучения внутри лазерного резонатора. Атомы находятся в начальный момент времени в состоянии |а), и два верхних состояния \а) и \Ь) являются рабочими. Нижнее атомное состояние |с), далекое от резонанса,

так что 3ac：3bc 》 ®аб, является неактивным основным состоянием, в которое атомы релаксируют со скоростью 7. Гамильтониан такой системы в представлении взаимодействия и в приближении вращающейся волны имеет вид

Ж = ^AF + ^RrF + ^R2F^(12.2.1)

где Жар — гамильтониан взаимодействия атомов с полем, а <^^工尸 и ^r2a описывают взаимодействие поля и атомной системы с резервуарами гармонических осциллято™ ров, имеющих наборы близких частот 沙^ и 沙矗 и операторы уничтожения cq и bk, соответственно:

= hg ^2 ® (力一力力(a+oL +(т^_а),(12.2.2)

^^Ri F =力£gf弋a exp[—“沙一乙川 + зс,(12.2.3)

q

匐2 尸=^ J2 ^2i^k)alcbk exp[i(wac 一 uk)t] +g^(^lcbk exp[i(wbc -以)力]} + зс,

(1224)

где 0(力)——единичная ступенчатая функция, at = |6)jj(a| и о] = |a%』〈“——повьь шающий и понижающий операторы, соответственно, для j-го атома. Предположим, что константы взаимодействия g, g£)и g『)являются действительными величинами, и что

冗口 = 1小力〈加1 (n,m = a, 6, с).(12.2.5)

Мы предположили, для простоты, что частота лазерного перехода \а) f \b) равна частоте поля, то есть шаь =沙” Влияние всех атомов учитывается в гамильтониане J^f, где ступенчатая функция отвечает тому факту, что j-й атом начинает взаимодействовать с полем в момент инжекции tj. Такой подход немного отличается от метода оператора плотности, где влияние большого числа атомов описывалось при помощи матрицы населенности.

Уравнения движения Гейзенберга для различных атомных, полевых и резервуар™ ных переменных записываются в следующем виде:

« 二 Tg £ 0(力一芍須1 —分 £ g；)d 〜匕(12.2.6)

方 1 =分g®(力一门)(^.a — ^lb)a +

+ 2 £ 成久也'£ 以2%"k /3acf 匕(1227) kk

^L =分g@(力一tj)^+^ — 4a)—

—2 £ gf%〃bk /3acf)£ + 2 £ g^bi^a 以匕(1228) kk

方点=-igB(t —力力(a+ol — oja)—

—分 £ 42)<6k+ i £ g^b^aJcb人匕(1229)

kk

cq = Tg()a 〜匕(12.2.10)

儿=T £g『)[足6 e-认3…Qt + 凉.「(*c一人)[*(12J.11)

Формально интегрируя уравнения (12.2.10) и (12.2.11) и подставляя величины cq и bk в уравнения (12.2.6)™(12.2.9) (см. разд. 9.1), находим следующие квантовые

уравнения Ланжевена для полевых и атомных операторов:

@ =一万a _ 分g^2@("一^j)a- + ь渡⑴，(12.2.12)

灵=_)足 +ig^(t - tjXa^ -加Ja + 阡。⑴，(12213)

方爲=一)。，.+ 分g0(力一芍)(小d一*a) + %S(12214)

方点=力6 _階0(力一力力(a+а_<«) +用6⑴，(12215)

где 穹 ——обычная скорость затухания резонатора и 7 ——атомная скорость релаксации, которая, для простоты, считается одинаковой для обоих возбужденных атомных уровней. При выводе этих скоростей затухания было сделано обычное приближение Вайскопфа-Вигнера (см. разд. 6.3).

Операторы F в правой части уравнений (12.2.12)-(12.2.15) есть ланжевеновские операторы шума, появляющиеся вследствие взаимодействия с тепловым резервуаром и имеющие вид

歹穹⑴=т£М&(0)£((12216) q

也⑴=2也⑴e/呪(0)「©。") J 2或⑴E以2九(0)^3"厂

(12217)

哼a⑴=欣с⑴ £g£M0"®ai^ +9C,(12.2.18)

k

吃⑴=2 山⑴ E g£M。) e2(^f)£ + эх..(12219)

k

Операторы F^ имеют нормально упорядоченные корреляционные функции:

〈吃⑴％(У)〉= nT^8(t — У),(12220)

〈心(力)/(门)=〈吃(力)冷修)〉=0*

Для простоты предположим, что тепловой резервуар находится при нулевой температуре, так что птепл 二 0. Интересующие нас ненулевые моменты атомных операторов шума при нулевой температуре имеют вид

伊結⑴也(y)〉= 7〈叫⑴〉8(力

(巧:⑴理(门〉=)〈必⑴〉8(力一，)a

(也⑴忆(y)〉= 7(吸⑴〉"一门，

(阡广⑴网6(门>=乂厘⑴〉8(力一力)

Следующим шагом будет переход от операторов, соответствующих отдельным атомам, к операторам, описывающим макроскопические атомные характеристики. Это окажется необходимым для приближенных методов, используемых далее в этом

разделе. Несмотря на то, что индивидуальные атомные операторы очень чувствительны к адиабатическому приближению, усредненные макроскопические величины можно рассматривать таким способом. Пусть, следовательно,

m⑴= -口…)М(力)，(12.2.22)

Na(" = £®(一 蜀⑴，(12223)

Nb(" = £®« —力“加 b(扑(12224)

Оператор M есть макроскопическая атомная поляризация. Множитель (—5) в (12.2.22) введен для удобства вычислений. Операторы Na и N^ определяют число атомов в двух возбужденных атомных состояниях \а) и \Ь) соответственно. С учетом этих определений уравнение (12.2.12) для электромагнитного поля запишется в виде

a =—万a + gM + 反渡(方)*(12*2.25)

Уравнения Ланжевена для атомных операторов можно найти, дифференцируя вы™ ражения (12.2.22)-(12.2.24) и подставляя соответствующие величины из (12.2.13)^ (12.2.15). Например, для оператора Na получаем

z。= Em(力-芍)。，⑴+ ®(力一力/з厶.⑴]=

= e 8(力一^>£(^) - TNa - g(a+M + м+а) + e ®(力一力力/凉⑴""2226)

Первый член в правой части (12.2.26) соответствует возбуждению атомов в процессе накачки в верхнее состояние. Чтобы прояснить это, вычислим среднее значение первого члена:

Здесь учтено, что атомы находятся в начальный момент времени в верхнем возбуж™ денном состоянии, так что〈。^@(力j)〉=丄 Индекс S при угловых скобках в (12.2.27) означает, что необходимо еще усреднить по моментам времени инжекции, то есть усреднить по флуктуациям накачки. Пусть средняя, не зависящая от времени, скорость инжекции равна га. Тогда результат усреднения запишем в виде

(12228)(12228)

(12228)

(12228)

Выражение (12.2.27) можно рассматривать как альтернативное для определения усредненной скорости атомной инжекции га.

Чтобы отделить в (12.2.26) члены дрейфа от шумовых членов, добавим и вычтем среднее значение первого члена и получим

(12229)(12229)Na = ra-)Na - g(a+M + M+a) + Fa(t),

(12229)

(12229)

где

%⑴=e ®(方一S)b；a⑴+ e 8(力-匕)以。化)-『險(12230)

Оператор Fa есть оператор полного шума для атомной величины Na. Он содержит вклады атомной релаксации, индуцированной резервуаром, и флуктуаций накачки. Нетрудно проверить, что среднее значение оператора % ⑴ равно нулю для любых моментов времени.

Подобным образом можно вывести уравнения для оставшихся атомных операторов:

此=—ТМ + g(a+M + М+«) + 眾⑴，(12231)

必=^М + g(Na N“o + FM(t),(12232)

где

ПИ = £®« —ь⑴ + £*力一力力或b(S)，(12233)

⑴=T e ®(一力"理.e 8(方一力N色)(12234)

Отметим, что в выражениях (12.2.31) и (12.2.32) отсутствует член накачки, поскольку предполагается, что атомы в начальный момент времени находятся в возбужденном состоянии |а).

Корреляционные функции шума можно вычислить следующим образом:

{F^F^t1}) = ( e ®(力一芍)®« — ^)(Fi.⑴ь為,(门))+

+ ( £ 8(力一芍)8(力一九)〈以a⑴*a(Q〉) 一 2『a ( £ 3(t - tj^aUtj)) ) + ^,

(12235)

Здесь статистическое среднее по временам инжекции, обозначаемое индексом S, отделено от квантово-механического среднего. Чтобы вычислить члены в (12.2.35) отметим, что индивидуальные атомы абсолютно не зависят друг от друга. Поэтому первое слагаемое в выражении (12.2.35) содержит вклады только членов с j = k. Кроме того, среднее значение 〈〃，⑨说工力及)〉в0 втором слагаемом факторизуется для j 卢 к в виде (^,a(^')Kaaa(^)) = 1 (〈c<a(1^)〉= 1 для всех атомов, первоначально находящихся в возбужденном состоянии). Поэтому

8(力-%/) 8(力‘一力k)8(力-%/) 8(力‘一力k)（% ⑴%（，）〉= 7^e ®（一①*,8（力一门 +

8(力-%/) 8(力‘一力k)

8(力-%/) 8(力‘一力k)

ss+方一门）8（У -门）〈必 a""〉

s

s

—2『a(£8(,匕)〉+『”S〈Na〉+『a)8(—Q" (12236)

s

На последнем шаге вывода были использованы определения (12.2.23) и (12.2.28) операторов Na и『а, соответственно, а также соотношения

e8（方一匕）8（/ 一匕）e8（方一匕）8（/ 一匕）8（力一打））8（力一门=『a 8（力一У）,（12237）8（力一打））8（力一门=『a 8（力一У）,（12237）5(t tj) S(t —力•5(t tj) S(t —力•(12238)(12238)评к评к

e8（方一匕）8（/ 一匕）

e8（方一匕）8（/ 一匕）

8（力一打））8（力一门=『a 8（力一У）,（12237）

8（力一打））8（力一门=『a 8（力一У）,（12237）

5(t tj) S(t —力•

5(t tj) S(t —力•

(12238)

(12238)

评к

评к

Аналогичным образом можно вычислить остальные ненулевые корреляционные функции:

〈眾⑴*(〃)〉= Т〈ЛМ 8(力一У),(12239а)

(型⑴ь加，)〉=1(m) "力一Q,(122396)

〈F^⑴/4『(，)〉=(MN。〉+『°) “力一Q,(12239b)

(Fa{t)FM(t^ = т〈Л/+〉8(力—S(12239。

Прежде чем решать уравнения (12.2.25), (12.2.29), (12.2.31) и (12.2.32) для четырех макроскопических величин, преобразуем операторные уравнения Ланжевена в соответствующие с-числовые уравнения. Это упростит расчет.

Вывод с-числовых уравнений Ланжевена

Чтобы преобразовать операторные уравнения, необходимо определить некоторое упорядочение операторов, которому будут соответствовать с-числовые уравнения. Это необходимо, поскольку с-числа коммутируют друг с другом, а операторы нет. Поэтому однозначное соответствие между операторными и с-числовыми уравнениями Ланжевена можно получить, только если определить соответствие между произведениями с-чисел и произведениями операторов. Здесь мы выберем нормальное упорядочение а+, М+, Жа, М, М, а и выведем четыре с™числовых уравнения Ланжевена для переменных а, ^, ^2 и е/^, так чтобы уравнения для их первых и вторых моментов совпадали с операторными. Уравнения (12.2.25), (12.2.29), (12.2.31) и (21.2.32) уже записаны в нужном порядке, так что сразу получаем

a = -^-Q + ^% + 亥金，(12.3.1)

% =场 + g(^a — ^Ж)& + 歹〃，(12.3.2)

"a =『a - T儿 一 g(a*^ ++ 乡a,(12.3.3)

“b = —+ g(a*^ + ^*a) + %*(12.3.4)

Функции 亥 в уравнениях (12.3.1)—(12.3.4) опять являются типичными ланжевенов- скими флуктуационными силами, имеющими средние значения

〈先⑴〉=0,(12.3.5)

⑴劣(/)=(20加"力一Q,(1236)

где 攵卽 и 劣 могут быть любыми из указанных выше. Коэффициенты диффузии Dki определяются теперь исходя из требования, чтобы уравнения движения для вторых моментов также совпадали с соответствующими операторными уравнениями. Нетрудно показать, что коэффициенты диффузии для флуктуационной силы 発穹

такие же, как и для нормально упорядоченного оператора шума F^, так что

D^^ = 0,。穹穹=0.(12.3.7)

Однако некоторые коэффициенты диффузии изменяются при переходе от операторного к с™числовому уравнению. Например, вычислим коэффициент D^^. Из операторного уравнения (12.2.32) получаем

^(M(f)M(t)) = ^27(ММ) +

+ g[{(Na Nb}Ma} +〈Af (N。一 Nb}a}] + {MFM} + (FMM), (12.3.8)

Второй член в квадратных скобках не соответствует выбранному типу упорядочения, поскольку оператор М находится слева от Na и N^. Поэтому необходимо воспользоваться коммутационным соотношением [М, Na — N^] = 2М, чтобы привести этот член к нужному порядку. Кроме того, последние два слагаемых обращаются в нуль, так что получаем

^〈Л/⑴Л/⑴〉二—2т〈Л/Л/〉+ 2g〈(Na — Nb)Ma) + 2g{Ma).(12.3.9)

Воспользуемся теперь уравнением (12.3.2), чтобы получить соответствующее с- числовое уравнение

*^⑴毋⑵=—2乂4<〉+ 2g((X - Л)-<а) + ”九〃(12*3.10)

Если потребовать, чтобы левые части уравнений (12.3.9) и (12.3.10) совпадали, то коэффициент диффузии。〃^ следует записать в виде

20” = 2gz^(12.3.11)

Оставшиеся ненулевые с-числовые коэффициенты диффузии вычисляются аналогично:

+ г а,(12.3.12а)

20*〃 = ",(12.3.126)

2IW =(12.3.12в)

2Daa = 7Х +『a — g(^^ +。〃*&),(12312。

2&ь = ТеД — g(a*^ + ^*a),(12.3.12д)

2Dab = g(a*^ +(12.3.12e)

Теперь можно решать уравнения Ланжевена (12.3.1)—(12.3.4). Обычно скорость атомной релаксации 7 существенно больше скорости затухания поля 爲 так что эволюция атомных переменных происходит намного быстрее, чем эволюция поля. В этом случае можно адиабатически исключить атомные переменные ^, е/^ и е/^ и вывести уравнение только для поля а. Для этого сначала в уравнении (12.3.2) положим производную по времени равной нулю и получим адиабатическое значение атомной поляризации

«у^ — — - + -夾^〃. (12.3.13)

Подстановка этого результата в уравнения для ^, ^2 и е/^ дает

G = —^а + ^(^/^ — е/^)а + 攵穹 + ^先〃(12.3.14)

力 а =『а — Т^^—与(契務 & + &* 先〃)+ 攵а ,(12.3.15)

bH—— еЖ)а*а — ^(歹％& + Q*灾〃)+ 乡ь-(12.3.16)

Теперь адиабатически исключим населенности ^/^, и ^/^, полагая их производные по времени равными нулю. При этом уравнения (12.3.15) и (12.3.16) сводятся к системе двух линейных уравнений и легко решаются. Результат имеет вид

11『。 (1 +，/) + (1 +，/)% + ^Ж『。 (1 +，/) + (1 +，/)% + ^Ж4 =4 =7171『а 可/ + (1+ 统 + ^Ша .7\777.『а 可/ + (1+ 统 + ^Ша .7\777.(12.3.17)(12*3.18)(12.3.17)(12*3.18)

1

1

『。 (1 +，/) + (1 +，/)% + ^Ж

『。 (1 +，/) + (1 +，/)% + ^Ж

4 =

4 =

7

1

7

1

『а 可/ + (1+ 统 + ^Ша .7\777.

『а 可/ + (1+ 统 + ^Ша .7\777.

(12.3.17)

(12*3.18)

(12.3.17)

(12*3.18)

(12.3.19)(12320)(12.3.19)(12320)a = a h7 以、+，a,2 2 *ga = a h7 以、+，a,2 2 *g(12.3.21)(12.3.21)

(12.3.19)

(12320)

(12.3.19)

(12320)

a = a h7 以、+，a,2 2 *g

a = a h7 以、+，a,2 2 *g

(12.3.21)

(12.3.21)

где / — интенсивность |а|2 поля излучения, а шумовые функции 吼，乳皖 определи™ ются выражениями

%=%，- j%％a + Q*先〃))统=多b + ^(歹% Q + Q* 契〃)“

Подставим теперь выражения (12.3.17) и (12.3.18) в уравнение (12.3.14) и получим уравнение движения для электромагнитного поля:

(12.3.23а)(12.3.236)(12.3.23b)(12.3.23а)(12.3.236)(12.3.23b)

(12.3.23а)

(12.3.236)

(12.3.23b)

(12.3.23а)

(12.3.236)

(12.3.23b)

в котором флуктуационная сила 乡仪 задается в виде

2

(12322)(12322)= ^ + £Л< + 一7-§…\-(纥—Я)-7

(12322)

(12322)

Параметры Q 乳 纺 являются коэффициентами усиления и насыщения лазера, определенными ранее (см. выражения (11.1.11) и (11.1.12)). Флуктуационная сила 亥& характеризуется корреляционными функциями

夕а⑴〉=0,

〈冗⑴"（，）〉=〈20一〉"一）,〈炙⑴炙（У）〉=〈2Оаа〉8« — У>

Коэффициенты диффузии Da^a и Daa определяют интенсивность шума и могут быть вычислены исходя из определения 亥Длинный, но простой расчет приводит к результату (см. задачу 12.3)

2入一［1 + 〃 (З +，(12324)

20cm = (2£VQ* = —/—更^—у(3 + А) *(12-3.25)

Полученные результаты можно теперь использовать для анализа стационарного режима работы и квантовых флуктуаций лазера.

Статистика фотонов и ширина линии излучения лазера

Нас интересуют свойства интенсивности и фазы лазерного излучения. Перейдем в полярную систему координат, используя определение

(12.4.1)(12.4.1)а = V/ ехр(2)"

(12.4.1)

(12.4.1)

Дифференцируя по времени и сравнивая действительные и мнимые части с уравнением (12.3.21), получаем следующие уравнения Ланжевена для переменных / и i9:

=%,=%,(1242)(1242)

=%,

=%,

(1242)

(1242)

(1244)(1245)(1244)(1245)(1246)(1247)(1246)(1247)

(1244)

(1245)

(1244)

(1245)

(1246)

(1247)

(1246)

(1247)

/ =一@/ +/ =一@/ +(1243)

/ =一@/ +

/ =一@/ +

где

= 2/Re (Г) •

В выражении (12.4.5) опущены индуцированные шумом дрейфовые члены, которые намного меньше оставшихся величин. Коэффициенты диффузии для операторов шума & и Fj имеют вид

Прежде чем рассматривать статистику фотонов и естественную ширину линии излучения, отметим, что коэффициент диффузии。少少 совпадает с коэффициентом диффузии (11.4.15), если величину / заменить средним числом фотонов (п) в стационар™ ном состоянии. Далее в этом разделе будет установлено прямое соответствие между методом оператора плотности (и соответствующим Р-распределением), обсуждавшимся в предыдущих разделах, и рассматриваемым здесь методом Ланжевена.

Чтобы установить соответствие между величиной / и статистикой фотонов лазера, напомним, что при переходе от операторных уравнений (12.2.25), (12.2.29),

(1248)(1248)(12.2.31) и (12.2.32) к с-числовым уравнениям (12.3.1)-(12.3.4) было выбрано нор™ мальное упорядочение. Следовательно, интенсивность / соответствует нормально упорядоченным произведениям полевых операторов. Среднее число фотонов (п) и дисперсия числа фотонов определяются выражениями

(1248)

(1248)

⑺〉=(")=⑺，

(An)2 = (а+ аа^ а) — (а+а)2 =

=(а^а^аа) + (а^а) — (а+а)2 = (/2) + ⑺—(/)2 = (А/)2 + ⑺.(12.4.9)

Из (12.4.3) следует, что в стационарном состоянии, когда (/) = 0, имеем

-@⑺+-@⑺+^1^1=о,=о,(12410)(12410)

-@⑺+

-@⑺+

^1

^1

=о,

=о,

(12410)

(12410)

где учтено, что〈巳⑴〉二 0. Если предположить, что〈/*〉=〈/〉*, то

(12Л.11)(12Л.11)

(12Л.11)

(12Л.11)

Для определения флуктуаций величины / сначала линеаризуем уравнение (12.4.3) около стационарного значения. Определяя А/ = / — /° и используя выражение (12.4.11) для среднего числа фотонов в стационарном состоянии, находим

=一-@)△/ 十 ь八(12412)

Следовательно,

^(△/)2 = _^(Q — Я(Д/)2 + 2〈△/⑴巳⑴〉”(12413)

Корреляционную функцию {^I{t)Fj{t)} можно найти, используя методы, разрабо тайные в разд. 9.1. Из формального решения уравнения (12.4.12) следует, что

(△/⑴巳⑴)=△/(())(三⑴)exp [^Jn — @)4 +

+ ] d/exp [-；(Q -@)(力-，)](巳(门巳⑴〉=〈0〃〉，(12414) о

где использованы соотношения (Fj{t)) = 0 и {Fi(t,)Fj(t')) = 2〈£>〃〉S{t — f). Таким образом, стационарное решение уравнения (12.4.13) имеет вид

(△О':^(0小ME

(12416)(12416)Подставляя ((А/)2) и (/) из (12.4.15) и (12.4.11) в формулу (12.4.9), получаем

(12416)

(12416)

(△也)2 = / @⑺)

Нормированная дисперсия распределения фотонов определяется параметром Манделя Q для поля и равна

(12417)(12417)

(12417)

(12417)

Выражения (12.4.11) и (12.4.17) совпадают с результатами (11.2.21) и (11.2.23), полученными в разд. 11.2 методом оператора плотности.

Теперь рассмотрим фазовую скорость диффузии, которая вычисляется с помощью уравнения (12.4.2). Интегрируя последнее, получаем

少⑴= dfF^(f),(12418)

о

так что

[d力"〈％(，)&(力")〉=〈2%力(12.4.19)

о 0

Подставляя (2D^^) из (12.4.6) в (12.4.19) и используя выражение (12.4.11) для среднего числа фотонов в стационарном состоянии, находим, после интегрирования по времени, что

〈炉〉二 J(12420)

Постоянная интегрирования 1 /4(п) в (12.4.20) обусловлена вкладом вакуумных флуктуаций и будет детально обсуждаться в разд. 14.5. Второй член в (12.4.20) показывает, что фаза диффундирует линейно во времени, а скорость диффузии (Q + ^)/4{п} определяет естественную ширину линии излучения лазера.

Связь между методом оператора плотности и методом Ланжевена можно установить через уравнение для функции распределения поля. В приложении 11.Б было выведено уравнение движения для F-распределения (уравнения (11.Б.1) и (11.Б.2)), которое эквивалентно соответствующему уравнению для матрицы плотности (11.1.14) лазерного поля. Теперь учтем, что если случайная комплексная переменная а удовлетворяет уравнению Ланжевена (12.3.21) с корреляционными функциями вида (12.3.23а)—(12.3.23в), то, согласно теореме о стохастических процессах, распределение вероятности Р(а, а*) удовлетворяет уравнению Фоккера-Планка:

(12421)

Поскольку для перехода от операторных уравнений к с-числовым уравнениям было выбрано нормальное упорядочение, следует ожидать, что Р(а, а*) отвечает вычислению нормально упорядоченных корреляционных функций. Это соответствует F- представлению поля. Нетрудно показать, что если пренебречь производными третьего и более высокого порядка (что можно обосновать из масштабных соображений),

то уравнения (11.Б.11) и (11.Б.12) оказываются идентичными уравнению (12.4.21).

Это и доказывает эквивалентность двух подходов.

Задачи

1. Выведите уравнения движения для с-числовых полевых и атомных пере

менных а,。〃, и е/^, соответствующие антинормальному упорядочению операторов а, М, Жа, Ж^,

Найдите ненулевые коэффициенты диффузии, связанные с ланжевенов- скими флуктуационными силами в уравнениях движения для а, ^,

И

Выведите уравнение движения для электромагнитного поля а, адиабатически исключая атомные переменные.

Выведите формулы (12.3.12а)-(12.3.12е).

Выведите формулы (12.3.24) и (12.3.25).

Список литературы

Ланжевеновская теория лазера

*Файн В.М., Ханин Я.И. Квантовая радиофизика (Сов. радио, Москва, 1965).

Lax, М. in Physics of Quantum Electronics, ed. P. L. Kelley, B. Lax, and P. E. Tannenwald (McGraw Hill, New York 1966), p. 735.

* Микаэлян А.Л., Тер-Микаелян М.Л., Турков Ю.Г. Оптические квантовые генераторы на твердом теле (Сов. радио, Москва, 1967).

Lax, М. in Statistical Physics, Phase Transition, and Superconductivity^ Vol. II, ed. M. Chretien, E. P. Gross, and S. Dreser (Gordon and Breach, New York 1968).

Louisell, W. Quantum Statistical Properties of Radiation^ (Wiley, New York 1974).

Haken, H. Laser Theory, (Springer, Berlin 1970).

Haken, H. Lights Vols. I and II, (North-Holland, Amsterdam 1981).

Fleischhauer, M. Phys. Rev. A 50, 2773 (1994).

Sargent III, M., Scully, M. and Lamb, W. E., Jr., Laser Physics, (Addison-Welsley, Reading, MA, 1974).

Эффекты атомной памяти в лазере

Haake, F. Z. Phys. 22 7, 179 (1969}

Scully, M. O., Siissmann, G. and Benkert, C. Phys. Rev. Lett. 60, 1014 (1988).

Scully, M. O., Zubairy, M. S. and Wodkiewicz, K. Opt. Commun. 65, 440 (1988).

Benkert, C., Scully, M. O. and Siissmann, G. Phys. Rev. 4 41, 6119 (1990).

Эффекты синхронизации мод и окрашенный шум

Chow, W. W., Scully, М. О. and Van Stryland, Е. Opt. Commun. 15, 6 (1975).

Cresser, J. D., Louisell, W. H., Meystre, P., Schleich, W. and Scully, M. O. Phys. Rev. A 25, 2214 (1982).

Graham, R., Hohnenback, M. and Schenzle, A. Phys. Rev. Lett. 48, 1396 (1982).

Fox, R. F., James, G. E. and Roy, R. Phys. Rev. Lett. 52, 1778 (1984).

Влияние статистики накачки

Golubev, М. and Sokolov, I. V. Zh. Eksp. Tear. Fiz. 87, 408 (1984) (Sov. Phys. J ETP 60, 234 (1984)).

Yamamoto, Y., Machida, S. and Nilsson, O. Phys. Rev. A 34, 4025 (1986).

Machida, S., Yamamoto, Y. and Itaya, K. Phys. Rev. Lett. 58, 1000 (1987).

Marte, M. A., Ritsch, H. and Walls, D. F. Phys. Rev. Lett. 61, 1093 (1988).

Bergou, J., Davidovich, L., Orszag, M., Benkert, C., Hillery, M. and Scully, M. O. Phys. Rev. 4 40, 5073 (1989) (метод оператора плотности).

Haake, F., Tan, S. M. and Walls, D. F. Phys. Rev. A 40, 7121 (1989).

Benkert, C., Scully, M. O., Bergou, J., Davidovich, L., Hillery, M. and Orszag, M. Phys. Rev. 4 41, 2756 (1990) (метод Ланжевена).

Briegel, H.-J., Englert, B.-G., Ginzel, C. and Schenzle, A. Phys. Rev. A 49, 5019 (1994).

Fontenelle, M. T. and Davidovich, L. Phys. Rev. 4 51, 2560 (1995).

Глава 13

ТЕОРИЯ МИКРОМАЗЕРА

Разработка одноатомного мазера или микромазера х) позволяет детально исследовать взаимодействие атома с полем. Ситуация здесь очень близка к идеальному случаю взаимодействия одного двухуровневого атома с одномодовым квантовым полем, рассмотренному в разд. 6.2. В микромазере поток двухуровневых атомов направляется в сверхпроводящий резонатор, имеющий высокую добротность. Скорость поступления атомов может быть такой, что в каждый момент времени только один атом находится внутри резонатора. Благодаря высокой добротности резонатора время затухания излучения намного больше характерного времени взаимодействия атома с полем, которое задается обратной однофотонной частотой Раби. Поэтому поле внутри резонатора растет, если среднее время между моментами поступления атомов в резонатор меньше времени затухания резонатора. Таким образом, микромазер позволяет поддерживать генерацию при условии, что в резонаторе в среднем находится менее одного атома.

Реализация одноатомного мазера или микромазера стала возможной благодаря грандиозному прогрессу в конструировании сверхпроводящих резонаторов, а также благодаря сильному лазерному возбуждению атомов, называемых атомами Ридберга. Добротность сверхпроводящих резонаторов достаточно высока для того, чтобы наблюдать периодический обмен энергией между атомом и полем резонатора. Интересные свойства атомов Ридберга делают их идеальными для микромазеров. У такого атома вероятность вынужденных переходов между соседними уровнями становится очень большой и изменяется пропорционально п4, где п ——главное квантовое число. Следовательно, нескольких фотонов достаточно для насыщения перехода между соседними уровнями. В добавок, время жизни возбужденного состояния для случая спонтанного перехода оказывается очень большим.

На рис. 13.1 приведена общая схема прекрасного эксперимента, выполненного в институте квантовой оптики имени Макса Планка (Гархинг, Германия), в котором реализована идея микромазера. Сильно коллимированный пучок атомов рубидия пропускается через селектор скоростей Физо. Перед входом в резонатор атомы возбуждаются на верхний мазерный уровень 63рз/2- Сверхпроводящий ниобиевый резонатор охлаждается до температуры 0,5 К с помощью гелиевого (3Не) криостата. При такой низкой температуре число тепловых фотонов снижается до 0,15 на частоте 21,5 ГГц. Добротность резонатора равна 3 • 10, что соответствует времени жизни фотона 0,2 с. Исследуются мазерные переходы с уровня 63夕3/2 на уровень 61d3/2 (частота 21,5 ГГц). Среднее время пролета ридберговских атомов сквозь резонатор равно 50 мкс, а поток атомов уменьшается до значения 1750 атом/с. Прошедшие через резонатор ридберговские атомы, находящиеся на вернем и нижнем уровнях,

состояниясостояния

Рис. 13.1. Схема эксперимента, демонстрирующего работу микромазера (из работы Rempe, G., Schmidt-Kaier, F. and Walther, H. Phys. Rev. Lett. 64, 2783 (1990))

регистрируются двумя разными полевыми ионизационными детекторами. Напря™ женность поля ионизации подбирается такой, чтобы в первом детекторе атомы, находящиеся в верхнем состоянии ионизировались, а находящиеся в нижнем состоянии —— нет.

Статистика фотонов в микромазере обнаруживает много интересных свойств, включая субпуассоновский характер. Используя резонатор с достаточно высокой добротностью можно даже генерировать состояния с определенным числом фотонов. Если в резонаторе отсутствуют тепловые фотоны, что достигается охлаждением резонатора до очень низкой температуры, возникают интересные особенности типа плененных состояний.

В этой главе изучаются эти интересные свойства фотонной статистики, а также ширина линии излучения микромазера. Приложение микромазеров к проблеме кван・ товых измерений будет рассматриваться в гл. 19 и 20.

Уравнение движения для матрицы плотности

Рассмотрим одномодовый резонатор, в который вводятся возбужденные двух™ уровневые атомы со скоростью достаточно низкой, чтобы в каждый момент времени в резонаторе находился самое большее один атом. Затухание резонатора полагается настолько малым, что им можно пренебречь в течение времени взаимодействия. Времена жизни всех уровней также полагаются намного большими, чем время вза™ имодействия атома с полем в резонаторе мазера. Таким образом, можно пренебречь процессами спонтанного распада (на другие уровни или в другие моды) и считать, что совместная эволюция одномодового поля и атома является унитарной.

Чтобы получить «крупномасштабное» уравнение движения для приведенной матрицы плотности поля необходимо сложить вклады всех атомов, поступающих в резонатор в случайные моменты времени со скоростью га и взаимодействующих с полем излучения в резонаторе в течение фиксированного времени 丁 до момента выхода из резонатора (см. разд. 11.1, метод 2). Результирующее уравнение имеет вид (уравнение (11.1.26))

=一丁а[1 - COS(grVn + l)COS(grVn, + l)]pnn/ + усиление

+ ra sin(grVn ) sin(gr Vn7)pn-i,n^i- (13.1.1)

Добавим вклад потерь резонатора (уравнение (8.3.2)):

(13.1.2) в пред-(13.1.3)(13Л.4)(1315)(13.1.6)(13.1.2) в пред-(13.1.3)(13Л.4)(1315)(13.1.6)р = —^(птепл^1)(а+ар+2ара^ + ра+ а) — ^птепл(аа+р — 2а+ра + раа+).

(13.1.2) в пред-

(13.1.3)

(13Л.4)

(1315)

(13.1.6)

(13.1.2) в пред-

(13.1.3)

(13Л.4)

(1315)

(13.1.6)

Это приводит к следующему уравнению движения для матрицы плотности ставлении чисел заполнения (где pnnr = {n\p\nf}^ n, nf = 0,1,...):

Рппг = ®n,nz Pn,nz + ^п — 1,п, — 1 Рп — 1,п, — 1 + ^n+1 ,nZ + l Pn+1 ,nZ + l ?

где

an,nf = _『а[1 — COS(grVn + 1 ) COS(gT Vn^TT )]-

—豆⑵％ешт5 + П； + 1) +(П + П7)],

bn,n，= ra sin(^rVn + 1 ) sin(grVnf + 1 ) + 穹兩епл[т + 1)(X + 1)]1/2,

^n,nf =穹(冗тепл + 1) V^Tinf "

Это уравнение является основой большинства исследований квантовых статистических свойств излучения в микромазере. Диагональные элементы р{п) = рпп, представляющие собой вероятность обнаружить в поле п фотонов, удовлетворяют уравнению движения

力О) = аПуПр(п) + b?1_i)n^ip(n 一 1) + cn+i)n+ip(n + 1),(13.1.7)

где

«п,п = 一丁a,sin2(gT“几 + 1) 一 穹阮тешД??! + 1) + п],(13.1.8)

Ьп,п = rasill2(grVn + 1) + 穹兩епл5 + 1),(13.1.9)

Cn,n =穹(力тепл + 1)П.(13.1.10)

Отметим также, что

®п,п + ^п,п + ^п,п = 0 ■(13.1.11)

Статистика фотонов в стационарном состоянии

Стационарное распределение числа фотонов можно получить из уравнения (13.1.7), полагая р(п) = 0, как это делалось в гл. 11. Результирующее уравнение

{ra sin2(grVn + 1) + ^[птеПл(2п + 1) + n]}p(n) +

+ [ra sin2(gTV^) + ^теплп]р(п 一 1) + [穹(兩ешт + 1)(П + 1)]卩(汽 + 1) = 0(13.2.1)

эквивалентно следующим рекуррентным соотношениям:

[ra sin2 (grVn) + ^Птеплп]р(п 一 1) = ^(Птепл + 1)W(H),

2 (丄力・/・/)

[ra sin (grVn + 1 ) + 穹兩еплб + 1)]p5)=穹Мтепл + 1)(汽 + 1)卩(汽 + 1),

откуда

/ 、^тепл^ + г а 81^ (gT \/1 ) /1

(1324)(1324)(1325)(1325)= Р(°)П —D—

(1324)

(1324)

(1325)

(1325)

где р(0) определяется из условия нормировки:

£pS) = L

п=0

Выражение (13.2.4) является основным результатом этого раздела, поскольку из него можно получить все свойства статистики фотонов в микромазере.

Прежде чем обсуждать поведение стационарной функции распределения фотонов р(п), найдем пороговое условие для микромазера. Для этого достаточно использовать линейное приближение, в котором

5也2("，^) = (gr)2n,(13.2.6)

и уравнение (13.1.7) сводится к следующему:

力S) = -[ra(gT)2(n + 1) + ^п]р{п) + ra(gT)2np(n 一 1) + 穹5 + 1)р(71 + 1). (13.2.7)

Здесь мы предположили, что птеПл = 0. Теперь можно проследить за ростом поля, исходя из уравнения для среднего числа фотонов,

5〉=工 пр(п) = [ra{grf -穹]⑴〉+ ra{grf.(13.2.8)

n=0

Последний член является следствием спонтанного излучения. Ясно видно, что поле растет, когда

乙(g丁)2 > @工(1329)

Таким образом, условие ra{gr)2 =片 определяет порог генерации микромазера. Ниже порога (丁。(且丁尸 < 君)поле должно исчезнуть. Отсюда естественным образом определяется нормированное время взаимодействия:

Твз =(13.2.10)

которое равно единице на пороге генерации.

Рис. 13.2. Нормированное среднее число фотонов {N) в стационарном состоянии как функция нормированного времени взаимодействия твз при птеПл = 0.1: NBO36 = 20 (а) и NBO36 = =2000 (6)

На рис. 13.2 изображена зависимость нормированного числа фотонов,

工 W(^),(13211)

/ V возб丿 V возб

n=0

от величины твз для Жвозб = га/^ = 20 и 2000, и при условии, что птепл = 0,1. Параметр Жвозб = га/^ представляет собой среднее число атомов, проходящих через резонатор в течение времени жизни поля. Среднее число фотонов остается практически равным нулю для малых твз, однако на пороге (твз) = 1 величина {п} становится конечной и быстро растет почти до единицы ((п) = Жвозб) с увеличением твз. Затем среднее число фотонов падает, достигая минимума при твз о 2тг, после чего скачком возрастает до большего значения. Такое колебательное поведение продолжается, хотя и становится менее отчетливым, при дальнейшем увеличении значения твз.

На рис. 13.3 изображен параметр Манделя Q,

Qf =⑺- 1,(13212)

\п)

как функция величины твз. Сразу над порогом распределение фотонов сначала становится сильно суперпуассоновским (Q/》0))а затем параметр Q падает ниже пуассоновского уровня Q/ = 0. С увеличением твз суперпуассоновские пики появляются приблизительно с интервалом 2тг, чередуясь с субпуассоновской статистикой.

Рис. 13.3. Параметр Манделя как функция нормированного времени взаимодействия твз При Nтозб 二 200 И Т1тепл 二 0 • 1

Генерирование субпуассоновской статистики в стационарном состоянии является интересной чертой микромазера. В следующем разделе будет показано, как микромазер может генерировать состояния с определенным числом фотонов.

До сих пор рассматривалось поведение первых двух моментов функции распределения фотонов в стационарном состоянии. На рис. 13.4 приведена зависимость р(п) от п при различных значениях времени взаимодействия. Когда твз = Зтг, очевидно, имеем субпуассоновское поведение. Однако, когда твз = 15тг, распределение не имеет

Рис. 13.4. Функция распределения фотонов в стационарном состоянии при Жвозб = 200 и пТепл = 0.1: твз = Зтг (а) и Твз = 157r (6). Распределение имеет три пика при значении 7"вз = 1 б?!

более одного пика. Такое многопиковое распределение является еще одной особенно™ стью микромазера.

Создание состояния с определенным числом фотоновв высокодобротном микромазере

В этом разделе обсуждаются два возможных способа создания состояния с о пре™ деленным числом фотонов в высокодобротном микромазере, а именно: 1) схема редукции состояния, когда вывод о статистике делается на основе осмотра ридберговских атомов при выходе их из резонатора и 2) схема состояния пленения, в которой время взаимодействия выбрано таким, чтобы вероятность испускания при определенном числе фотонов была мала, и поле обрезалось на этом числе фотонов.

Чтобы экспериментально получить состояние поля с точно известным числом фотонов, необходимо выполнение двух условий. Первое касается температуры. Теп™ ловые фотоны должны быть подавлены, поскольку они индуцируют распад и влияют на статистику, так что получается суперпозиция состояний с определенным числом фотонов. Тепловые фотоны можно устранить, охлаждая резонатор до достаточно низкой температуры. Среднее число тепловых фотонов на частоте 20 ГГц равно 3 х х IN при Т = 0,1 К. Второе условие состоит в том, чтобы фотоны, запасенные в резонаторе, не терялись во время эксперимента, то есть необходим резонатор, потерями которого за это время можно пренебречь. Время жизни фотонов опреде™ ляется скоростью затухания 片=沙/Q* Поскольку добротность Q резонатора может достигать значения 1011, времена жизни фотонов с микроволновой частотой около 20 ГГц получаются равными нескольким секундам.

Редукция состояния. Рассмотрим экспериментальную установку типа той, которая изображена на рис. 13.1. Атомы в возбужденном состоянии влетают в пустой резонатор, то есть поле в начальный момент времени находится в вакуумном

состоянии |0). Вылетев из резонатора, атомы анализируются статическим злектри- ческим полем, ионизирующим все атомы, находящиеся на верхнем энергетическом уровне. Все те атомы, которые не ионизируются, испустили фотон в резонаторе. Подсчитав эти атомы (с помощью электронного детектироания, как показано на рис. 13.1), можно сделать вывод о числе фотонов в поле мазера. Отметим, что редукция состояния и связанные с ней идеи теории измерений имеют принципиальное значение для этой схемы. При определении состояния выходящих атомов, число фотонов в резонаторе становится точно известным, то есть поле переводится в чистое состояние с определенным числом фотонов. Поскольку первоначально излучение в резонаторе отсутствует, поле всегда находится в состоянии с определенным числом фотонов, когда атом попадает в резонатор. Вследствие взаимодействия атома с по™ лем, находящимся в состоянии |п), последнее переходит в суперпозицию состояний |п) и |n + 1). В результате последующего измерения атомного состояния эта суперпозиция переводится в одно из состояний |п) или |п + 1), в зависимости от результата измерения.

Теперь, имея нулевые потери в резонаторе, будем сохранять состояние с опреде™ ленным числом фотонов, поскольку в данном эксперименте излучение не покидает резонатор. Однако мы получим лишь априорные вероятности, согласно которым, в данной схеме редукции состояния, в действительности генерируется состояние с определенным числом фотонов. Эти априорные вероятности не должны противоречить статистическим распределениям фотонов. Например, если бы поле излучения находилось в когерентном состоянии, то любой лазер или любая рассматриваемая система была бы в бесконечной суперпозиции состояний с определенным числом фотонов. В данном же случае каждая система находится в конкретном состоянии с определенным числом фотонов. Однако до эксперимента не известно, какое это будет состояние. Поэтому необходимо повторить эксперимент многократно с одним и тем же общим числом атомов, получая, таким образом, большое число различных состояний с определенным числом фотонов. Распределение чисел фотонов будет задаваться априорным распределением вероятности, которое сейчас будет вычис™ лено. Необходимо подчеркнуть, что число атомов, покидающих резонатор в нижнем состоянии, равно числу фотонов в резонаторе только в том случае, если последний является резонатором без потерь.

Перейдем теперь к вычислению вероятности Рп(т) того, что в поле будет п фотонов, после того как т атомов пройдут через резонатор. Для этого выведем рекуррентное соотношение. Оператор эволюции U(т) системы, состоящей из двух™ уровневого атома, взаимодействующего с полем, задается выражением (6.2.49), т. е.

U(t) = cos(gr V«+a + 1) I а) (a I + cos(gT,а+а )|b〉〈b| —

Va+а + 1Va+а + 1

Предположим, что первоначально атом находится в верхнем состоянии |а), а поле —— в состоянии с определенным числом фотонов |п). Следовательно, оператор плотности системы «атом 十 поле» имеет вид |а, п)(а, п|. Спустя время взаимодействия 丁 получаем

夕(丁)= 1/(т)|а,пХа,п|(/+(т)=

=cos2 (grVn + 1) I а, п)(а, n| + sin2(gr^ + 1 )|Ь, n + 1)(Ь, n + 1| —

-i sin(gT•，几 + 1) cos(g「，n + 1 )[|A n + !)(«, ^| - |а j〉® 汽 + 1}(13.3.2)

Состояние поля излучения определяется теперь через редукцию состояния. То есть, если окажется, что атом находится в верхнем состоянии |а), то оператор плотности (13.3.2) сведется к следующему:

夕(丁)= cos2(grV^ + 1)I«, n)(a, n|,(13.3.3)

а если атом будет обнаружен в состоянии |6), то оператор плотности запишется в виде 夕(丁)= sin2(grV^ + 1 )|Ь, п + 1)(Ь, п + 1|.(13.3.4)

Отсюда находим, что вероятность того, что поле останется в состоянии |п), равна с(п) = cos2 (gr^n + 1),

а вероятность перехода его в состояние |n + 1) имеет вид s(n)三 sin2(grV^ + 1 )•

После прохождения т—1 атома поле будет в состоянии |п) с вероятностью Рп(т — —1) и в состоянии |n 1) с вероятностью Pn^i(m — 1). Тогда вероятность того, что поле будет в состоянии |п), после того, как в резонаторе побывало т атомов, равна

Рп(т) = с[п)Рп[т — 1) + §{п — l)Pn_i(m — 1).(13.3.5)

Предположим, что поле в начальный момент времени находится в вакуумном состоянии |0), то есть Ро(О) = 1- Тогда для одного атома имеем Д)(1) = с(0) и Pi(l) = s(0), для двух атомов имеем

居⑵=。(0)凡⑴=匕(0)匕

Pi (2) = o(l)Pi(l) + s^P^ = “0)匕(0) + c(l)],(13.3.6)

F2(2) = S(1)P1(1) = S(0)5(l)

и T. Д.

Распределение вероятности Pn(m) может быть найдено численно как функция числа прошедших атомов для различных значений gr. На рис. 13.5 приведены результаты расчетов для различного числа атомов, вплоть до 1000.

010203040506070010203040506070Рис. 13.5. Вероятность обнаружить п фотонов в резонаторе после прохождения через него т атомов при gr = 0.4 (из работы Krause, Scully and Walther (1987))Рис. 13.5. Вероятность обнаружить п фотонов в резонаторе после прохождения через него т атомов при gr = 0.4 (из работы Krause, Scully and Walther (1987))

010203040506070

010203040506070

Рис. 13.5. Вероятность обнаружить п фотонов в резонаторе после прохождения через него т атомов при gr = 0.4 (из работы Krause, Scully and Walther (1987))

Рис. 13.5. Вероятность обнаружить п фотонов в резонаторе после прохождения через него т атомов при gr = 0.4 (из работы Krause, Scully and Walther (1987))

Очевидно, что вероятность Рп^т) очень сильно зависит от значения gr. Этот па™ раметр меняется экспериментально путем изменения скорости атомного пучка. Если gr < 1, то в распределении фотонов развивается пик, перемещающийся в сторону больших чисел фотонов по мере возрастания числа прошедших атомов. Теоретически величина s(ng) может стать равной 0, так что распределение вероятности будет В- функцией в стационарном состоянии. Этот случай будет обсуждаться ниже. Однако в любом эксперименте распределение скоростей атомного пучка никогда не бывает таким острым. Поэтому высота пика распределения вероятности уменьшается при увеличении числа вводимых атомов, и новый пик развивается перед следующим барьером (2?r/gT)2. Таким образом, реализация состояния с определенным числом фотонов связана с детектированием через выходящие атомы.

Скорость атомов сама по себе не является усложняющим фактором в данной схеме создания п-состояния. Она приводит к изменению вероятности испускания фотона, но для эксперимента важно лишь, испущен фотон или нет. Главная идея получения информации о поле через наблюдение за атомами остается в силе независимо от усложняющих факторов типа движения атомов. Однако, если эксперимент повторять многократно, то статистика получаемых чисел фотонов в состояниях с определенным числом фотонов будет меняться.

Состояния пленения. В общем случае, как показано в разд. 13.2, в микромазере достигается стационарное состояние вследствие потерь в резонаторе. В такой ситуации статистика поля существенно зависит от длительности взаимодействия г. Вообще говоря, стационарное состояние не существует для резонатора без потерь, поскольку атомы в возбужденных состояниях непрерывно вводятся в резонатор. Однако стационарное состояние можно получить в резонаторе без потерь, выбирая время взаимодействия таким, чтобы вероятность испускания при определенном числе фотонов становилась малой, так что поле обрезалось бы на этом числе фотонов. Такое состояние называется состоянием пленения. В этом разделе обсуждается схема, основанная на манипуляции временами взаимодействия с целью получения чистых состояний с определенным числом фотонов.

Рассмотрим установку, в которой атомы, находящиеся в возбужденном состоянии влетают в пустой резонатор. Если время взаимодействия атомов с полем выбрать так, чтобы для пд фотонов внутри резонатора выполнялось условие

gTy/nq + 1 = Q7T (q = 1,2,3, . . .), (13.3.7)

то возбужденный атом испытает q осцилляций Раби и останется в резонаторе в воз™ бужденном состоянии. Говорят, что мазер находится в восходящем состоянии пле™ нения, поскольку по мере поступления инвертированных атомов поток вероятности от состояния ng к состоянию ng + 1 не возникает, и поле мазера эволюционирует в состояние |ng).

С другой стороны, если

gTy7^ = дтг (q = 1,2,3, . . .), (13.3.8)

то атом, входящий в резонатор в основном состоянии, испытает q осцилляций Раби и покинет резонатор в том же состоянии. Говорят, что мазер находится в нисходящем состоянии пленения. Ясно, что состояние с определенным числом фотонов, непосред™ ственно следующее за нисходящим состоянием пленения, есть восходящее состояние пленения. В обоих случаях атомы, влетающие в резонатор, воспринимают поле как 2дтг™импульс, и стационарное состояние достигается даже в отсутствии потерь, так что

p(^+i) = р(^), ^г+1 =右 + 丁一丄 (13.3.9)

Выражение (13.3.9) есть общепринятый критерий стационарного состояния микромазера, несмотря на тот факт, что поле изменяется в течение времени взаимодействия г.

Покажем теперь, как состояние с определенным числом фотонов возникает из точного решения основного уравнения (13.1.1) для микромазера.

Уравнение (13.1.1) для функции распределения фотонов (без членов потерь) можно переписать в матричном виде следующим образом:

Я = ^MR,(13Л.10)

где

R ⑴=:,(13*3.11)

м =м =■ «о— «о■ «о— «о«1О«1О(13Л.12)(13Л.12)

м =

м =

■ «о

— «о

■ «о

— «о

«1

О

«1

О

(13Л.12)

(13Л.12)

p«J) = {l\pF(t)\l) и ® = -ra sin2 (grV/ + 1).

Определим собственное значение X? матрицы М, соответствующее правому собственному состоянию,

Г / 1

«о

4 = а〔 ，(13J.13)

и левому собственному состоянию,

=[До Д1 • • •] ?

(13*3.14)

следующими соотношениями:

м 4 = %4,

(13315)

BiM = Х[В[.

(13.3.16)

Если уравнение (13.3.15) умножить на 6“ слева, уравнение (13.3.16) для / умножить на Л/ справа, а затем вычесть одно из другого, то получим соотношение ортогональ™ ности

(13317)(13317)(13.3.18)(13.3.18)В，4 = В〃*

(13317)

(13317)

(13.3.18)

(13.3.18)

при условии, что X?卢 入〃 или X厶 X" не вырождены.

С учетом (13.3.15) решение уравнения (13.3.10) имеет вид

救)=£04厂人"

/=0

В тех случаях, когда собственные значения не вырождены, коэффициент Ci можно определить, используя условие ортогональности (13.3.17), так что

G = BtR^Y(13Л.19)

Из (13.3.18) и (13.3.19) следует, что

p0m) = ££优* £』p(q,O)"(13.3.20)

1=0 q=0

То есть функция распределения фотонов полностью определяется собственными значениями Х^ и элементами правого и левого собственных состояний Ai и Bi，

Собственные значения X/ матрицы М, удовлетворяющие уравнению det(M — X") = 0,(13*3.21)

где / ——единичная матрица, имеют вид

% = о? = ^Га sin2(grVT+1).(13.3.22)

Когда 0 ^ / ^ по и gTy/no + 1 = тг, имеем % 卢 Х〃 при /卢匕 Подстановка выражения (13.3.22) в (13.3.15) и (13.3.16) приводит к следующим рекуррентным соотношениям между матричными элементами а人 и Д^:

—dn^i J + апап = dioin,(13*3.23)

旬—1 —旬—屮；=а 胤—「(13324)

Многократно применяя рекуррентные соотношения (13.3.23) и (13.3.24), получаем

Пг=2 + 1 @г-1/(@г-0мn > /1,n = /0,n < /П『=д аг/ («г - а1),Q <1,q =0,q >LПг=2 + 1 @г-1/(@г-0мn > /1,n = /0,n < /П『=д аг/ («г - а1),Q <1,q =0,q >L(13325)(13*3.26)(13325)(13*3.26)

Пг=2 + 1 @г-1/(@г

-0м

n > /

1,

n = /

0,

n < /

П『=д аг/ («г - а1

),Q <

1,

q =

0,

q >

L

Пг=2 + 1 @г-1/(@г

-0м

n > /

1,

n = /

0,

n < /

П『=д аг/ («г - а1

),Q <

1,

q =

0,

q >

L

(13325)

(13*3.26)

(13325)

(13*3.26)

Формула (13.3.20) вместе с выражениями для X厶 а： и Д^ полностью определяют эволюцию оператора плотности во времени.

Пусть начальное состояние поля является вакуумным. При этом р(д, 0)=方加- Время взаимодействия выберем так, чтобы gr^no + 1 =齐，Тогда аПо = 0. При этих условиях выражение для функции распределения фотонов существенно упрощается и принимает вид

РЕ 力=[ПХо о『足贽⑷ i)]РЕ 力=[ПХо о『足贽⑷ i)]n = 0,n 1.n = 0,n 1.(13327)(13327)

РЕ 力=[ПХо о『足贽⑷ i)]

РЕ 力=[ПХо о『足贽⑷ i)]

n = 0,

n 1.

n = 0,

n 1.

(13327)

(13327)

В стационарном состоянии (力 f оо) величина p(n, oo) равна нулю при п ^ п^. Единственный член, дающий ненулевой вклад в сумму, есть член / = ng. Следовательно, стационарное распределение фотонов рсс(п) имеет вид

(13*3.28)(13*3.28)Рсс (汽)=^ППо 7

(13*3.28)

(13*3.28)

т. е. является функцией распределения фотонов фоковского состояния.

Ширина линии излучения микромазера

Обратимся теперь к вычислению спектра микромазера. Расчет будет основан на вычислении недиагональных элементов полевой матрицы плотности, таким же образом, как это делалось в разд. 11.5 для лазера.

Уравнение движения для матрицы плотности рп、п+к = 諸)(13.1.3) можно переписать в виде (11.5.2), но с другими коэффициентами:

:川= sin2 因(Si + 1 + 用一,几 + 1 )]—@(元те口л + 1)[几 十 g _，几(几 + k)] + + 穹亢тепл [几 + 1 + 5 — \J5 弋 1)(几 + 用 + 1)] ,(13.4.1)

C岁=ra sin(grVn + 1 ) sin(gT V^PT ) + 穹亢Tei1Л\/几(几 + 用))(13.4.2)

d申=@(元тепл + 1)，几(几 + k) *(13.4.3)

Следуя той же процедуре, что была использована в разд. 11.5, получаем следующее выражение для ширины линии излучения микромазера:

2D 仝(急)+ 弋:广1),(13-4.4)

где использовано разложение квадратных корней из (13.4.1) при {п)》1.

На рис. 13.6 изображена зависимость этой приближенной константы фазовой диффузии D от нормированного времени взаимодействия твз = gryjra/^ = 50 для 『а/君=50 атомов и птепл = 10—4 тепловых фотонов. Острые пики на фоне монотонного увеличения D напоминают состояния пленения.

Твз/»

Рис. 13.6. Относительная ширина линии D/穹, определяемая формулой (13.4.4), как функция времени взаимодействия твз при га/^ = 50 и птеПл = 10一% На вставке показана точная зависимость, полученная на основе численного решения уравнения для матрицы плотности (13.1.3) для больших значений времени твз при га/^ = 20 и птеПл = 1

11 М.О* Скалли? М.С. Зубайри

Отметим, что фазовая диффузия особенно велика, когда мазер заперт в состоянии пленения, то есть, когда величина {п) зафиксирована в одном из острых минимумов. Выражение (13.4.4) обнаруживает такое поведение в пределе коротких времен взаимодействия или больших чисел фотонов, то есть, когда g丁/纵几户卩 « 1. Разлагая тогда функцию синуса в ряд, приходим к выражению Шавлова-Таунса (11.5.13) для ширины линии:

20 = » + 穹(2 旬 тепл + 1) где

” =rag2r2.(13.4.6)

Сложный характер поведения ширины линии микромазера проистекает из сложной зависимости величины (п), входящей в знаменатель, от параметра накачки. Наличие функции синуса в (13.4.4) означает колебательное поведение ширины линии в пределе больших твз. Это подтверждается точными численными расчетами (см. вставку на рис. 13.6).

Задачи

Покажите, что в полуклассическом приближении, когда {пг) = {п)г и (п)》 》1, нормированное среднее число фотонов (N) = (п)/Жвозб в микромазере определяется по формуле sin2(rB3^/(Ж)) = (Ж). Отсюда покажите, что при больших значениях твз может быть более одного стационарного значения〈N〉.

Покажите, что вероятность Рп(т) обнаружить п фотонов в резонаторе микромазера после прохождения т двухуровневых атомов через первоначально пустой резонатор задается выражением

п — 1пт — 1

i=0ij =0 j=n

— 1 W…W広九)

где

'n in—2 m —1

n m — 1…n 0,

Е

ЮК C(分，) = < in=0— i—0 j = n

31, m = n, n 0,

m < п или n < 0

0 n = 1. (Указание: см. работу Krause, Scully, Walther, and Walther, 1989.)

Список литературы

* Обзоры

* Вальтер Г. УФН 166, 777 (1996).

Эксперимент

Meschede, D., Walther, Н. and Miiller, G. Phys. Rev. Lett. 54, 551 (1985).

Haroche, S. and Raimond, J. M. in Advances in Atomic and Molecular Physics, Vol. 20, ed. D. R. Bates and B. Bederson (Academic, New York 1985), p. 350.

Gallas, G. A. C., Leuchs, G., Walther, H. and Figger, H. in Advances in Atomic and Molecular Physics, Vol. 20, ed. D. R. Bates and B. Bederson (Academic, New York 1985), p. 414.

Rempe, G., Walther, H. and Klein, N. Phys. Rev. Lett. 58, 353 (1987).

Теория

Filipowicz, P., Javanainen, J. and Meystre, P. Phys. Rev. A 34, 3077 (1986).

Lugiato, L. A., Scully, M. O. and Walther, H. Phys. Rev. A 36, 740 (1987).

Статистика фотонов, определяемая через статистику атомов

Vogel, W., Welsch, D.-G. and Leine, L. J. Opt. Soc. Am. B. 4, 1633 (1987).

Rempe, G. and Walther, H. Phys. Rev. A 42, 1650 (1990).

Paul, H. and Richter, Th. Opt. Commun. 85, 508 (1991).

Briegel, H.-J., Englert, B.-G., Sterpi, N. and Walther, H. Phys. Rev. A 49, 2962 (1994).

Wagner, C., Schenzle, A. and Walther, H. Opt. Commun. 107, 318 (1994).

Bardroff, P. J., Mayr, E. and Schleich, W. Phys. Rev. A 51, 4369 (1995).

Bardroff, P. J., Mayr, E., Schleich, W. P., Domokos, P., Brune, M., Raimond, J.M. and Haroche, S. Phys. Rev. 4 53 2736 (1996).

Двухфотонный микромазер

Brune, M., Raimond, J. M. and Haroche, S. Phys. Rev. A 35, 154 (1987).

Davidovich, L., Raimond, J. M., Brune, M. and Haroche, S. Phys. Rev. A 36, 3771 (1987).

Ashraf, L, Gea-Banacloche, J. and Zubairy, M. S. Phys. Rev. A 42, 6704 (1990).

Ashraf, I. and Zubairy, M. S. Opt. Commun. 77, 85 (1990).

Создание состояний с определенным числом фотонов и состояний пленения

Filipowicz, Р., Javanainen, J. and Meystre, Р. J. Opt. Soc. Am. В 3, 906 (1986).

Krause, J., Scully, M. O. and Walther, H. Phys. Rev. A 36, 4547 (1987).

Krause, J., Scully, M. O., Walther, T. and Walther, H. Phys. Rev. A 39, 1915 (1989).

Slosser, J. J., Meystre, P. and Braunstein, S. L. Phys. Rev. Lett. 63, 934 (1989).

Qamar, S., Zaheer, K. and Zubairy, M. S. Opt. Commun. 78, 341 (1990).

Спектр микромазера

Qamar, S. and Zubairy, M. S. Phys. Rev. A 44, 7804 (1991).

Scully, M. O., Walther, H., Agarwal, G. S., Quang, T. and Schleich, W. Phys. Rev. A 44, 5992 (1991).

Lu, N. Phys. Rev. Lett. 70, 912 (1993); Phys. Rev. A 47, 1347 (1993).

Quang, T., Agarwal, G. S., Bergou, J., Scully, M. O., Walther, H., Vogel, K. and Schleich, W.

Phys. Rev. A 48, 803 (1993).

Микролазер

An, K., Childs, J. J., Desari, R. R. and Feld, M. S. Phys. Rev. Lett. 73, 3375 (1994).

An, K. and Feld, M. S. Phys. Rev. A 52, 1691 (1995).

Глава 14

КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ ЛАЗЕР:

КОНЦЕПЦИЯ, ТЕОРИЯ

И АНАЛИЗ

Как обсуждалось в последних трех главах, фундаментальным источником шума в лазере является спонтанное излучение. Простая наглядная модель происхождения ширины линии излучения лазера представляет ее как следствие случайного процесса фазовой диффузии, возникающего благодаря добавлению спонтанного излучения фотонов со случайными фазами к лазерному полю. В этой главе мы показываем, что квантовый шум, приводящий к уширению лазерной линии, может быть подавлен ниже стандартного уровня, то есть предела Шавлова-Таунса, путем создания атомных систем в когерентной суперпозиции состояний, как в эффекте Ханле или экспериментах по квантовым биениям, обсуждавшимся в гл. 7. Спонтанное излучение в таких системах называется коррелированным. Лазеры, работающие посредством такого фазово-когерентного атомного ансамбля, будем называть корреляционными лазерами (КЛ)】).Интересным аспектом КЛ является то, что квантовый шум спонтанного излучения на связанных переходах можно устранить, создавая корреляции двух актов спонтанного излучения.

Существует много схем подавления квантового шума ниже стандартного уровня. В двухмодовых схемах корреляция двух актов спонтанного испускания в две различные моды устанавливается с помощью атомной когерентности, так что относительная фаза между ними не диффундирует или не флуктуирует. В лазере Ханле и лазере квантовых биений это достигается когерентной накачкой атомов, так что каждый спонтанно излучающий атом вносит равный вклад в две моды излучения, что приводит к сокращению или даже исчезновению шума разности фаз. В двухфотонном КЛ каскадный переход трехуровневых атомов связан лишь с одной модой поля излучения. Точно определенная когерентность между верхним и нижним состояниями приводит к корреляции света, излучаемого на переходе \а} Т т |Ь〉и последующем переходе \Ь) т |с) (см. рис. 14.8).

В этой главе описываются микроскопические теории этих схем для корреляционных лазеров и определяются условия, при которых имеет место подавление квантового шума. При работе лазера Ханле и лазера квантовых биений происходит обращение в нуль константы диффузии относительной фазы, а в случае двухфотонного КЛ еще и сжатие фазы.

Простейшее рассмотрение КЛ основано на методе квантовых уравнений Ланжевена (Scully, 1985). Здесь представлен анализ в рамках формализма матрицы плотности и уравнения Фоккера-Планка (Scully and Zubairy, 1987), поскольку его легче обобщить, учитывая, например, нелинейные эффекты (Krause and Scully, 1987).

Для простоты ограничимся линейной теорией. В ходе обсуждения естественной ширины линии излучения одномодового лазера (разд. 11.4) мы увидели, что для вычисления ширины спектра в областях выше порога генерации достаточно линейного анализа. Он быстрее выявляет физику явлений, а полностью нелинейный анализ (Krause, and Scully, 1987) оправдывает такой подход.

Концепция корреляционного лазера

Во многих областях современной науки существует большая потребность в высокоточных лазерных интерферометрических измерениях. Например, интерферометр Майкельсона служит основой современных попыток зарегистрировать гравитационное излучение, а лазерный гироскоп, использующий кольцевой интерферометр Саньяка, часто работает на стандартном квантовом «пределе». Как обсуждалось в разд. 4.1, кольцевой интерферометр Саньяка используется для измерения скоростей вращения. Для того чтобы определить назначение корреляционного лазера, мы рассмотрим здесь квантовые пределы пассивного и активного лазерных гироскопов.

Напомним (разд. 4.1.2), что в оптическом кольце радиуса 6, вращающемся со скоростью Ог, разность фаз △犷 между противоположно распространяющимися лазерными пучками после одного обхода задается выражением (см. (4.1.14))

△少=如叩， (14.1.1)

где А = А/2тг — приведенная длина волны.

Однако, поскольку мы имеем дело с высококачественным оптическим резонатором, характеризуемым скоростью затухания g свет обойдет кольцо N раз, где N = с@—1/2开仇 и фактический сдвиг фаз (фазовый сигнал) между противоположно распространяющимися волнами будет равен

(141.2)(141.2)△^сигн = N△犷=S@—1"『 (пассивный),

(141.2)

(141.2)

где S = 26/入

△少 口。гp =△少 口。гp =(пассивный).(пассивный).С другой стороны напомним, что квантовый шум (в случае, когда квантовая эффективность равна единице) таков, что △犷 110rp 〜]/v^, где n — измеренное число фотонов (фотоэлектронов), равное Ptm/hy [Р — мощность лазера, tm — время измерения). Таким образом,

△少 口。гp =

△少 口。гp =

(пассивный).

(пассивный).

(141.3)

Приравнивая (14.1.2) и (14.1.3), находим обычное значение квантового предела ла

(пассивный).(пассивный).зерного гироскопа:

(пассивный).

(пассивный).

(141.4)

Сейчас подходим к интересному моменту. Активный лазерный гироскоп работает на разности частот противоположно распространяющихся волн. Если время одного оборота для пучков, распространяющихся по часовой (Ч) и против часовой (ПЧ) стрелки, обозначить как 力 + и 力—,соответственно, то частоты 〃+ 以 〃_, соответствующие Ч- и ПЧ-пучкам, задаются условиями резонанса с力士 = ттгс/沙土)где т — четное целое число. Следовательно, подставляя 力+ и t~ из (4.1.9), в низшем порядке по Ьа「/с имеем

(141.5)

где V = ттгс/27rb. Тогда разность частот △沙=2иЬЙг/с создает фазу активного сигнала

△^сигн = △沙力 m = Stm^r (аКТИВНЫЙ). (14.1.6)

Сравнивая (14.1.2) и (14.1.6), видим, что фазовый сигнал в активном гироскопе на много порядков больше, чем в пассивном, ибо, например, tm 〜1 с, но 穹一'〜 〜]0—匕]。-6 & Именно по этой причине коммерческие лазерные гироскопы, обычно, являются активными.

Но каково отношение сигнал/шум в активном гироскопе? Кажется естественным (и многие попали в эту ловушку), что нужно объединить ошибку (14.1.3), связанную с дробовым шумом, вместе с сигналом (14.1.6) и найти

(предел активного гироскопа).(предел активного гироскопа).(141.7)(141.7)

(предел активного гироскопа).

(предел активного гироскопа).

(141.7)

(141.7)

Хорошая новость ——то, что выражение (14.1.7) устанавливает предел, существенно лучший предела пассивного гироскопа (14.1.4), а плохая новость — то, что это выражение ошибочное. Как было показано в ходе рассмотрения фазовой диффузии, индуцированной спонтанным шумом, погрешность фазы 犷)выросшая за время 力加) равна △犷гтогр = VDtm , где D — скорость фазовой диффузии (выражение (11.4.11)). Кроме того, поскольку О о 穹/ {п) и {п) = ，/冇沙)имеем

(14.1.8)(14.1.8)/шум спонтанного излучения \в активном гироскопе

(14.1.8)

(14.1.8)

Таким образом, видно, что благодаря множителю ^tm фазовый шум (14.1.8) намного больше, чем (14.1.3). Наконец, если использовать выражения (14.1.8) и (14.1.6) вместе (как и следует делать), то вновь получим стандартный предел (14.1.4). То есть, для активного и пассивного устройств предел получается одинаковым. Естественно приходим к вопросу: существует ли способ сделать активное устройство, избежав при этом шума спонтанного излучения? Этот вопрос является отправной точкой в изучении корреляционного лазера, к чему мы сейчас и приступаем.

Корреляционный лазер Хайле: метод оператора плотности

В предыдущем разделе мы напомнили, что в активных лазерных интерферометрических экспериментах предельным источником квантового шума часто являются флуктуации относительного фазового угла, связанные со спонтанным излучением. Сейчас будет показано, что диффузия относительного фазового угла между двумя такими лазерными модами может быть устранена путем создания лазерной среды, состоящей из «трехуровневых» атомов, и таким ее расположением, чтобы два перехода |а〉О |с) и \Ь) о |с) возбуждали двойной резонатор (см. рис. 14.1). Таким способом можно по-разному влиять на оптические пути внешним воздействием (например, гравитационной волной или частотным сдвигом Саньяка).

Атомные переходы, возбуждающие два оптических пути, являются сильно коррелированными, когда верхние состояния |а) и \Ь) создаются в когерентной суперпозиции, как в случае эффекта Ханле или экспериментах по квантовым биениям. В случае эффекта Ханле, в качестве состояний \а) и \Ь) можно взять состояния «линейной поляризации», образованные из одного состояния «эллиптической поляризации», как показано на рис. 14.1а. В случае квантовых биений когерентное смешивание создается сильным внешним микроволновым сигналом, как показано на рис. 14.2а. Поля, излучаемые атомами в первом случае (рис. 14.1), различаются поляризацией,

индуцированная поляризациейиндуцированная поляризациейУсиливающая средаУсиливающая средаООДвойной резонаторДвойной резонаторРис. 14.1. Лазер Ханле. Когерентное возбуждение атомов на лазерные уровни |а) и \Ь) с помощью соответствующим образом поляризованного пучка накачки. Переходы с возбужденных состояний в основное |с) различаются поляризацией (а). Схема лазера Ханле, использующая когерентно возбужденные атомы в качестве активной среды. Чувствительные к поляризации зеркала разделяют моды поляризации в двойном резонаторе (6)Рис. 14.1. Лазер Ханле. Когерентное возбуждение атомов на лазерные уровни |а) и \Ь) с помощью соответствующим образом поляризованного пучка накачки. Переходы с возбужденных состояний в основное |с) различаются поляризацией (а). Схема лазера Ханле, использующая когерентно возбужденные атомы в качестве активной среды. Чувствительные к поляризации зеркала разделяют моды поляризации в двойном резонаторе (6)Когерентность, индуцированная микроволновым полемКогерентность, индуцированная микроволновым полем"1"1У силивающая средаУ силивающая среда〃2〃2Двойной резонаторДвойной резонатор

индуцированная поляризацией

индуцированная поляризацией

Усиливающая среда

Усиливающая среда

О

О

Двойной резонатор

Двойной резонатор

Рис. 14.1. Лазер Ханле. Когерентное возбуждение атомов на лазерные уровни |а) и \Ь) с помощью соответствующим образом поляризованного пучка накачки. Переходы с возбужденных состояний в основное |с) различаются поляризацией (а). Схема лазера Ханле, использующая когерентно возбужденные атомы в качестве активной среды. Чувствительные к поляризации зеркала разделяют моды поляризации в двойном резонаторе (6)

Рис. 14.1. Лазер Ханле. Когерентное возбуждение атомов на лазерные уровни |а) и \Ь) с помощью соответствующим образом поляризованного пучка накачки. Переходы с возбужденных состояний в основное |с) различаются поляризацией (а). Схема лазера Ханле, использующая когерентно возбужденные атомы в качестве активной среды. Чувствительные к поляризации зеркала разделяют моды поляризации в двойном резонаторе (6)

Когерентность, индуцированная микроволновым полем

Когерентность, индуцированная микроволновым полем

"1

"1

У силивающая среда

У силивающая среда

〃2

〃2

Двойной резонатор

Двойной резонатор

Рис. 14.2. Лазер квантовых биений. Приготовление атомов в когерентной суперпозиции верхних состояний |а) и |Ь〉с помощью внешнего поля, имеющего эффективную частоту Раби £2r. Два лазерных перехода частоты 沙工 и 〃2 делят общий нижний уровень |с) (а).

Схема лазера квантовых биений с двойным резонатором (6)

тогда как поля, излучаемые атомами во втором случае (рис. 14.2), различаются частотой.

В обоих упомянутых случаях тон биений гетеродина между двумя спонтанно излучаемыми полями 1 и 2 показывает, что они сильно коррелированы. Чтобы увидеть это, рассмотрим атомы, взаимодействующие с квантованным полем, как показано на рис. 14.2. Вектор состояния задается выражением

\^} = ае^\а,0ъ02}/3 е^\Ь,0ъ02)^12\с,^^(1421)

где |1, — состояние а：|0/, i = 1, 2 и а^ (电)—оператор рождения (уничтожения) фотонов частоты %. Теперь видно, что среднее значение оператора электрического

поля £7：+),

e『)(一力)=明0m)，(1422)

вычисленное с помощью (14.2.1), равно нулю, поскольку состояния |а), \Ь) и |с) ортогональны. Аналогичные рассуждения показывают, что 石^十)также обращается в нуль. Однако перекрестный член не равен нулю:

”石「局+)№〉=蜀* 况臂)2〈dc〉expi(& — k2)r + £(% — а)讣(1423)

То есть, спонтанно испущенные фотоны частотой % и 勿2 являются коррелированными.

Под влиянием предыдущих рассуждений, перейдем к исследованию диффузии относительного фазового угла в двойных резонаторах, изображенных на рис. 14.16 и рис. 14.26.

В случае лазера Ханле имеем активную среду, состоящую из трехуровневых атомов, находящихся в когерентной суперпозиции верхних состояний \а) и \Ь) и релаксирующих в состояние |с), с испусканием излучения различной поляризации (рис. 14.1). В двойном резонаторе эти две волны взаимодействуют с активной средой при помощи поляризационно-чувствительного зеркала.

Гамильтониан атомно-полевой системы в приближении волны вращающейся поляризации задается выражением

/ =影 + 餐)(1424)

где

J^ = ^2 ^i\i){i \ + 方〃1。ja】+ hy2a2。2,(14.2.5)

i = a^b^c

茅=hgiai\a){c\ + hg2a2\b){c\ + э.с.(14.2.6)

Здесь gi 0 g2 — константы взаимодействия для переходов |а〉 т |с) и \b) Т Т |с), соответственно. Если верхние состояния \а} и \Ь) соответствуют зеемановским подуровням вырожденного верхнего состояния, то в отсутствии внешнего магнитного поля имеем G& о ш^, так что волны, испущенные атомами на переходах \а) Т |с) и \b) Т |с), различаются поляризацией, но имеют практически одинаковую частоту (勿1 = а =勿).Если теперь преобразовать гамильтониан (14.2.4) в представление взаимодействия относительно 光~ то получим

% = Bgidi elAt\a){c\ + 冇g2a2 elAt\b){c\ + э.с.,(14.2.7)

где △=幻& — ®с —沙=幻匕—®с —沙 ——расстройка, которую будем считать одинаковой для обоих переходов.

Предположим, что атомы находятся в когерентной суперпозиции двух верхних состояний. Следовательно атомный оператор плотности имеет вид

ратом (0) = (/九 a1a)+ 以1少)(「泄戏⑷ + WW)=

=川阴。〉⑷+感旧® + 4?切⑷+谓切®* (1428)

Здесь ф ——некоторая фиксированная относительная фаза между верхними состояниями и f =忌？| ехр(£。) ——начальная когерентность.

Уравнение для приведенного оператора плотности поля р получается взятием следа по атомным переменным 】),что приводит к результату

Р = —^Тгатом [”, ратом—поле ]—

=—万(['纭Рса] + Pcb] + [九СП Рас] + [九b , 0Ьс])) (14.2.9) где Ратом—поле обозначает полный атомно-полевой оператор плотности и '纭с = =冇gi&i ехр(分△力),’%© =方g2a2 exp(分△力).Атомные матричные элементы рас и р^с можно вычислить в первом порядке по константам взаимодействия gw, решая соответствующие уравнения.

Уравнения движения для рас и рьс имеют вид

Рас = —Рас —万(纭с0сс — Paa ^ac 一 Pab^ ,(14.2.10)

Pbc = ^IPbc —万(％c"cc — Pbb^bc — PfcaX^-(14.2.11)

Здесь J ——атомная скорость затухания, которую, для простоты, будем считать одинаковой для всех уровней. Уравнения движения нулевого порядка для рсс, раа, рьь и РаЬ имеют вид

0сс = —Рсс 5

(14212)

раа

=Г a pd р - 1 Раа ?

(14213)

Рьь

(0)

=Р-ТРЬЬ)

(14.2.14)

РаЬ

(0)

=ZPabP 一 ТОМ

(14215)

где га ——скорость перевода атомов в когерентную суперпозицию (14.2.8). Стационарное решение этих уравнений записывается следующим образом:

Рсс = о,(14216)

Аш =(14217)

Рьь = ^Р^Р,(14-2.18)

Oab = ^p{abP^(14219)

Следовательно, подставляя эти выражения для матричных элементов нулевого порядка в уравнения (14.2.10) и (14.2.11) и затем интегрируя, получаем

Оас⑴=^山° 厂乂I叫第/Wgi /△〃 + PabPa^g2 /△九]=

=^7^[^^^ e^° + 感 g2j e^°], (142.20)

1) С этого момента p без индексов соответствует приведенному оператору плотности, Рполе = Тгатом ратом^поле- НаЛИЧИе ИНДвКСОВ, рас = («| Ратом^поле | С), ОЗНачавТ МЯТрИЧНЫЙ элемент полного оператора плотности, взятый между атомными состояниями.

°ьс⑴=^^Щ"?^'°2 '込"+ p^glpai С〕*(14221)

Остальные матричные элементы в (14.2.9) определяются при помощи соотношений

Рса = Рас И РсЬ = 0^"

Подставляя рас и р^с из (14.2.20) и (14.2.21) в уравнение (14.2.9), получаем следующее основное уравнение для атомно-полевого оператора плотности р:

p = 2 an(Paiat - afom) - 5a22(0a2弦-吟0a2)一

—5al2(0&2&力—0a2)已‘。——0ai) с+ э.с., (14.2.22)

где

«11

=2『ag；©

一）（T +必）

(14223)

&12 :

_2『agig2 J (0)|

(14224)

&21 ：

—2raglg2 , (Q),

(14225)

_2%屋(0)

(14226)

a22

一)(T + 必)/6 "

В этом уравнении члены, пропорциональные «ц и @22, описывают усиление двух мод, которые приводят к обычным выражениям для ширины линии, рассмотренным в разд. 11.4. Однако члены, пропорциональные «12 и а21, чувствительны к фазе и возникают вследствие создания верхних уровней \а) и \Ь) в когерентной суперпозиции. В уравнение (14.2.22) не включены члены, описывающие затухание резонатора, поскольку они не вносят вклада в коэффициенты фазовой диффузии в последующих вычислениях.

Для того чтобы исследовать фазовый шум, преобразуем уравнение (14.2.22) в эквивалентное уравнение Фоккера-Планка для F-распределения 口a】, a；, a2, ag) при помощи следующих подстановок:

(14.2.27)(14.2.27)电0 ^—> aiP,

(14.2.27)

(14.2.27)

Pat —&； P>

где i = 1, 2. Результирующее уравнение Фоккера^Планка имеет вид

ap _ L a汴j,k = l,2ap _ L a汴j,k = l,2/0(7 + к©(14228)/0(7 + к©(14228)

ap _ L a汴

j,k = l,2

ap _ L a汴

j,k = l,2

/0(7 + к©(14228)

/0(7 + к©(14228)

Теперь определим полярные координаты 匚у, % (J = 1, 2) с помощью соотношения dj =门 exp(i^j), а также разностную и среднюю угловые переменные 犷=犷1 —犷2 以

М =(少 1 + 少2)/2. Тогда

a十丄丄dai-2a1 аa@2=2十гр2 0"20"12 O/i十丽，a _丄巨аО% 2 H/ia十丄丄dai-2a1 аa@2=2十гр2 0"20"12 O/i十丽，a _丄巨аО% 2 H/i(14229)(14230)(14231)(14232)(14229)(14230)(14231)(14232)

a

十丄丄

dai

-2

a

1 а

a@2

=2

十гр2 0"2

0"12 O/i

十丽，

a _丄巨

а

О% 2 H/i

a

十丄丄

dai

-2

a

1 а

a@2

=2

十гр2 0"2

0"12 O/i

十丽，

a _丄巨

а

О% 2 H/i

(14229)

(14230)

(14231)

(14232)

(14229)

(14230)

(14231)

(14232)

Выше порога флуктуации амплитуды малы, и ими можно пренебречь. Это означает, что Р можно считать не зависящей от ri и Г2, а зависящей лишь от 少 и д,. Переменные ri и『2 можно заменить их средними значениями，(汽1〉и，〈汽2〉в стационарном состоянии. Точные выражения для (ni) и〈汽2〉можно определить путем нелинейного анализа. При этих условиях уравнение (14.2.28) сводится к следующему виду:

ЯР ЯаЯ2Я2厅2

瓦=一丽（d“）-丽（九P）十歹（网日尸）十丽丽（0办，）十后（以"），（14233）

金=一4金=一4—7—出一…7—也一 e^ ) + к.с, 1)(九2)1)〈九2)/—7—出一…7—也一 e^ ) + к.с, 1)(九2)1)〈九2)/где

金=一4

金=一4

—7—出一…7—也一 e^ ) + к.с, 1)(九2)1)〈九2)/

—7—出一…7—也一 e^ ) + к.с, 1)(九2)1)〈九2)/

(14.2.34)

(14235)

Физический смысл членов в (14.2.33) следующий. Коэффициенты d® и d^ есть коэффициенты дрейфа относительно переменных 少="i —少2 見 М =(少i + 少2)/2,Физический смысл членов в (14.2.33) следующий. Коэффициенты d® и d^ есть коэффициенты дрейфа относительно переменных 少="i —少2 見 М =(少i + 少2)/2,(14236)

Физический смысл членов в (14.2.33) следующий. Коэффициенты d® и d^ есть коэффициенты дрейфа относительно переменных 少="i —少2 見 М =(少i + 少2)/2,

Физический смысл членов в (14.2.33) следующий. Коэффициенты d® и d^ есть коэффициенты дрейфа относительно переменных 少="i —少2 見 М =(少i + 少2)/2,

(14.2.37)

(14238)

a D^^ и DMM ——соответствующие коэффициенты диффузии. Главной особенностью коэффициентов диффузии и дрейфа является то, что они явно зависят от фазы, и эти

фазовые зависимости возникают вследствие внесенной когерентности. Более простой вид коэффициентов получается в случае, когда

認=4? = iZ^I = 14а I = I，(14239)

gl = g2 = g w.(П1)=(汽2〉= (п). При этих условиях

Qu = «12 = @21 = @22 =Qu = «12 = @21 = @22 =2 rag2 rag7（7 + 必）'7（7 + 必）'(14240)(14240)

Qu = «12 = @21 = @22 =

Qu = «12 = @21 = @22 =

2 rag

2 rag

7（7 + 必）'

7（7 + 必）'

(14240)

(14240)

= —g sin^,

(14241)

% =—言(l + cos“)，

(14.2.42)

2Z>o = ^yU — cos*,

(14243)

2° 办& = 0,

(14244)

2°阳£ =丽y(l + cos")，

(14245)

где = 2rag2/(j2 + А2) — линейный коэффициент усиления.

Из уравнения Фоккера-Планка (14.2.33) получаем следующее уравнение движения для относительной фазы:

(14.2.46)(14.2.46)力少〉=（心

(14.2.46)

(14.2.46)

Синхронизация фаз (или запирание относительной фазы)((少〉=const) имеет место для тех значений 少，при которых коэффициент дрейфа обращается в нуль. Это происходит тогда, когда ^ = 0, то есть i} = ф. Кроме того коэффициент диффузии относительного фазового угла (см. (14.2.43)), пропорциональный величине (1—cos 屮), обращается в нуль при 屮 равном нулю. Таким образом, в лазере Ханле возникает режим работы корреляционного лазера (КЛ).

Интересно отметить, что условия, при которых исчезает диффузия относительной фазы 少=少］—少2, не приводят к обращению в нуль D間炉 где д,=(少i 十少2)/2"

Физику подавления флуктуаций относительной фазы 少,вызванных спонтанным излучением, можно понять, обратившись к рис. 14.3, где на комплексной «-плоскости

Рис. 14.3. Наглядное представление эффекта КЛ. События спонтанного испускания в две моды являются сильно коррелированными, так что относительные фазы до (а) и после (6) спонтанного испускания одинаковыРис. 14.3. Наглядное представление эффекта КЛ. События спонтанного испускания в две моды являются сильно коррелированными, так что относительные фазы до (а) и после (6) спонтанного испускания одинаковы

Рис. 14.3. Наглядное представление эффекта КЛ. События спонтанного испускания в две моды являются сильно коррелированными, так что относительные фазы до (а) и после (6) спонтанного испускания одинаковы

Рис. 14.3. Наглядное представление эффекта КЛ. События спонтанного испускания в две моды являются сильно коррелированными, так что относительные фазы до (а) и после (6) спонтанного испускания одинаковы

изображено «случайное блуждание» фаз электрического поля двух мод. Если прене™ бречь флуктуациями амплитуд, то флуктуации фазы поля, связанные со спонтанным излучением, позволяют концам вектора напряженности поля диффундировать по кругу в комплексной плоскости. Если О仆仆 =0, то спонтанное излучение в обе моды становится сильно коррелированным, так что относительный фазовый угол

少 «запирается» в определенном значении. Однако средняя фаза характеризуется ненулевой диффузией.

Лазер квантовых биений: качественное описание

Лазер квантовых биений, также как и лазер Ханле, состоит из трехуровневых атомов с V-конфигурацией переходов, которые возбуждаются в процессе накачки в верхнее состояние |а〉внутри двойного резонатора (рис. 14.2). Когерентность между верхними состояниями |а〉и \ Ь) создается внешним полем, характеризуемым частотой Раби Од ехр(—勿0), где Cr и 0 ——действительная амплитуда и фаза. Предполагается, что переходы |а〉f |с) и \b) f |с) разрешены в дипольном приближении, а переход |а) 7 |Ь), следовательно, запрещен. Внешнее поле, приводящее к когерентности между состояниями, может быть сильным магнитным полем в случае магнитного дипольно^разрешенного перехода. Переход |а) 7 \Ь) рассматривается полуклас™ сически, в произвольном порядке по частоте Раби. Переходы |а〉 7 |с) и \Ь) 7 7 |с) рассматриваются полностью квантово-механически, но с точностью до второго порядка по константам взаимодействия. Расчет, приведенный в приложении 14.А, вновь показывает, что квантовый шум спонтанного излучения в относительном фазовом угле можно сделать равным нулю. Здесь представлено простое наглядное х) рассмотрение проблемы, приводящее к тому же результату интуитивным путем.

В схеме КЛ квантовых биений два электрических поля 閉=勺 exp(勿少° и 况= =『2 exp(勿少2)с медленно меняющимися амплитудами rj и фазами 办(j = 1, 2) синхронизированы постоянным относительным фазовым углом &. Эта синхронизация фаз описывается в простейшем случае следующим уравнением Адлера для разности фаз (см. задачу 14.3):

自=а — bsin 仇(14.3.1)

где а = % — 〃2 — разность собственных частот 沙彳 двух резонаторов, а величина 6 пропорциональна коэффициенту усиления.

Перейдем во вращающуюся систему координат, в которой поля 閉 и 况 являются медленно меняющимися и имеют относительный фазовый угол 少о = sin^1(a/b), определяемый формулой (14.3.1). Таким образом, Д = ，〈汽〉exp(—分少()/2) и 况 = =，^/^Уехр(〃^о/2)* Здесь мы предположили симметричную конфигурацию, когда ri = Г2 =，〈#, и (п) обозначает среднее число фотонов в стационарном состоянии.

Вследствие спонтанного излучения электрические поля 乡 仃=1, 2) флуктуируют, так что

В& = Fj(t\(14.3.2)

где Fj ——гауссовы источники шума:

〈巧)=(巧⑴/(门)=0 (九后=1, 2),(14.3.3)

〈歹；(Q〉= 2.% 6(力—，)Q, к = 1, 2)”(1434)

Отметим, что акты спонтанного излучения из двух когерентно возбужденных состоя™ ний являются сильно коррелированными, как показано для лазера Ханле. В результате этого, перекрестный коэффициент диффузии 012 можно сделать отличным от нуля.

В Для дальнейшего чтения см. работу Schleich and Scully (1988).

Рис. 14.4. Фазовая диаграмма спонтанного излучения в лазере с синхронизированными фазами. Напряженности электрического поля 矍貿况 имеют фиксированную относительную фазу ". Флуктуация 6冬(j = 1, 2) вызывает изменение фазы S^j, задаваемое выражениями (14.3.5) и (14.3.6)Рис. 14.4. Фазовая диаграмма спонтанного излучения в лазере с синхронизированными фазами. Напряженности электрического поля 矍貿况 имеют фиксированную относительную фазу ". Флуктуация 6冬(j = 1, 2) вызывает изменение фазы S^j, задаваемое выражениями (14.3.5) и (14.3.6)Рассмотрим теперь влияние флуктуационных сил 修 и /^ на относительную разность фаз 少(см. рис. 14.4). Фазовый сдвиг В少i обусловлен актом спонтанного испускания В閉 и при |3閉|《，〈汽〉задается выражением

Рис. 14.4. Фазовая диаграмма спонтанного излучения в лазере с синхронизированными фазами. Напряженности электрического поля 矍貿况 имеют фиксированную относительную фазу ". Флуктуация 6冬(j = 1, 2) вызывает изменение фазы S^j, задаваемое выражениями (14.3.5) и (14.3.6)

Рис. 14.4. Фазовая диаграмма спонтанного излучения в лазере с синхронизированными фазами. Напряженности электрического поля 矍貿况 имеют фиксированную относительную фазу ". Флуктуация 6冬(j = 1, 2) вызывает изменение фазы S^j, задаваемое выражениями (14.3.5) и (14.3.6)

Oi ^ sin(B0i + 少/2)=

二 1[|(5ДI sin(B0i) cos(少/2) + IВ閉 | cos(J^i) sin(少/2)]二

=-^[Im (<5Д) cos(^/2) + Re (<5Д) sin(^/2)].

，5〉

Аналогично

二處I sin(B02)cos(少/2)—历况I cos(B02)sin(少/2)]二

=-^=[Im (8况)cos(少/2) — Re (В處)sin(少/2)]*

Следовательно полная флуктуация В少=6少i — В少2 разности фаз 少 равна

В少=^^[cos(^/2)Im(Mi — J^) + sin(^/2)Re (<5Д + J^)],

и с учетом (14.3.2),

(1435)(1435)(1436)(1436)(14.3.7)(14.3.7)(14.3.8)(14.3.8)В少二1.._ [cos"/2)Im (Fi^t —皿г В力)+ sin(少/2)Re (尸i<5力十 F2^t)].

(1435)

(1435)

(1436)

(1436)

(14.3.7)

(14.3.7)

(14.3.8)

(14.3.8)

Определяя В少/В力=(9^/9^)|флук, находим

亏 =^=[cos(^/2)Im (Fi — F2) + sin(^/2)Re (尸i + F2)].(14.3.9)

флук

Прибавляя этот результат к детерминистическому уравнению (14.3.1), приходим к геометрически обоснованному уравнению движения:

自=a — bsin 少十 со$2/2)Ь— +sin2/2)耳•(14310)

На последнем шаге мы ввели гауссовы силы Ланжевена 歹_ = Im (Fi — F2)/\/(n) и F+ = Re (尸！ + ЗЕ、 имеющие, согласно выражениям (14.3.3) и (14.3.4), следующие свойства:

〈歹―〉二〈％〉二 0,(14.3.11а)

(F_{t)F_(t‘y)=+。22 — 2Re (D12)] 3(力一力‘)，(14.3.116)

\п/

〈歹+(力)％(')〉二+。22 + 2Re (D12)] 3(力一力‘)，(14.3.11г)

\п/

(F^F^)=(。切 3(力—廿*(И.З.Пд)

\п/

Здесь учтено, что D12 = О爵(что следует из (14.3.4)). В соответствии с (14.3.116) и (14.3.11b) корреляция источников шума 邑 и %〉то есть то, что О12 卢 0, приводит к снижению шума у 歹_ и соответствующему увеличению шума у F+. Следовательно, силы Ланжевена 歹_ и F+ являются коррелированными, что отражается формулой (14.3.11г). Вклад косинуса или синуса в уравнении движения для 少(14.3.10) зависит от степени корреляции между 修 и &•

В отсутствие корреляции, то есть когда О12 = 0, обе случайные силы F^ и 耳 имеют равный вес, и выражение (14.3.7) упрощается путем введения гауссова шума F = cos(少/2)Ь_ + sin(少/2)%, имеющего, согласно формулам (14.3.11), следующие свойства:

〈用=0,(14*3.12)

(ь(力)ь(y))= 22"力一Г),(14J.13)

где 2 二 D/(n). Здесь, и до конца раздела, полагается, что Du 二 Z)22 三 °* Уравнение движения для 少(14.3.10) сводится, следовательно, к уравнению для так называемого лазера с синхронизацией фаз (ЛСФ):

i) = a —bsin 少十歹«)*(143.14)

Обратимся теперь к случаю максимальной корреляции, когда Рц = О22 = 2Re D12 и, следовательно,〈几(力)歹一 (〃)〉=0. Для простоты предположим, что Im £>12 = =0, так что (Ь—%〉= 0. Поскольку〈歹_〉= 0 и F_ является гауссовым шумом, все корреляционные функции более высокого порядка также равны нулю. Следовательно F^ = 0. В результате уравнение (14.3.10) упрощается до уравнения движения для разности фаз в корреляционном лазере:

右=а — bsin 少 + sin(少/2)歹+(力)，(14.3.15)

где, согласно (14.2.11в),

Считывающий пучокСчитывающий пучокМнимое изображениеМнимое изображениеФотопластинкаФотопластинкаФотопластинкаФотопластинка

Считывающий пучок

Считывающий пучок

Мнимое изображение

Мнимое изображение

Фотопластинка

Фотопластинка

Фотопластинка

Фотопластинка

Сравнивая (14.2.16) и (14.3.13), мы видим, что интенсивность коррелированного шума в два раза больше интенсивности некоррелированного шума F. Подчеркнем, кроме того, что два уравнения движения для 少，(14.3.14) и (14.3.15), существенно от™ личаются друг от друга. В (14.3.15) шум F+ умножается на нелинейную функцию стохастической переменной 少* Особенно отметим, что ((В少产〉=4(0/(n)) sin2(i?/2)Jt = 二 2(0/(n))(l — cos 少)3九 Это и есть желаемый результат.

Голографический лазер

В предыдущих разделах рассматривались лазеры, основанные на эффекте Ханле и квантовых биениях, в которых трехуровневые атомы поддерживают две лазерные моды, соответствующие переходам из двух когерентно созданных верхних состояний в общее основное состояние. В этом разделе рассматривается голо графический лазер, активная среда которого состоит из двухуровневых атомов, находящихся в кольцевом резонаторе. Режим КЛ может быть достигнут для двух противоположно распространяющихся бегущих волн с помощью пространственной модуляции активной среды. В этом случае спонтанный шум подавляется точно также, как в трехуровневых лазерах^ рассмотренных выше.

Обоснование данному варианту КЛ проистекает из области когерентной фурье- оптики и голографии. Напомним, что в процессе создания голограммы фотопластинка облучается двумя пучками света, как показано на рис. 14.5а. Эти два пучка

Рис. 14.5. Процесс создания голограммы: интерференционная картина, создаваемая объ™ ектным и опорным (записывающим) пучком, записывается на фотопластинке (а); после проявления опорный (теперь уже считывающий) пучок рассеивается на голограмме, созда™ вая мнимое изображение объекта (6)

света (опорный и объектный) интерферируют, создавая на фотопластинке гологра™ фическое распределение плотности или модуляцию. Затем информация, записанная на фотопластинке, считывается при подаче исходного (теперь уже считывающего) опорного светового пучка, который рассеивается слоями полученной голограммы, создавая, таким образом, новый объектный пучок (рис. 14.56).

По аналогии можно ожидать, что слоистая активная среда будет создавать силь™ ную связь между двумя противоположно распространяющимися модами кольцевого лазера. Эта взаимосвязь будет такой, что две моды станут сильно коррелированными и можно ожидать, что эта корреляция перенесется также и на квантовые характе™ ристики поля. Такой тип кольцевого лазера называется поэтому голографическим лазером (ГЛ).

В ГЛ активная среда, находящаяся в кольцевом резонаторе, состоит из тонких слоев (см. работы Scully, 1987; Raja, Brueck, Scully and Lee, 1991), разделенных одинаковым пространственным интервалом (рис. 14.6). Когерентное взаимодействие

двух противоположно распространяющихся мод кольцевого резонатора воз™ никает в результате обратного рассеяния. При рассеянии назад света од™ ной моды слоем усиливающей среды получается конструктивная интерференция, если фазы отраженной части пучка и противоположно распространяющегося пучка согласованы. Два поля в кольцевом резонаторе можно опи™ сать волновыми векторами k\>k21c ча™ стотами 沙ь 沙2 и амплитудой Д, кото™ рую будем полагать одинаковой у обоих пучков, так что

e1 = 品exp[分(后1%—沙V)],

e2 =岗 exp[一分(k2% + 沙2力)]"

При отражении в момент времени 力о, фазы двух пучков должны быть равными, с точностью до целого кратного

后1之0 - /力0 - 2?т/ = 一k2之0 一沙2力0(/ = 0, ±1, ±2,...),

(1442)

где %о ——координата отражающего слоя. Отсюда получаем

(红十后2)之0 -(以一沙2)力。 = 2ttj. (14.4.3)

Поскольку 沙1 =沙2, условие на ^о име™ ет вид

W = lS； = %(1444)

ибо 任 0 k2“

Из этого эвристического рассуж

Рис. 14.6. Голографический лазер. Слоистая среда помещается в кольцевой резонатор. Две моды бегущей волны частично отражаются различными атомными слоями. Отраженный свет конструктивно интерферирует с противоположно распространяющейся модой, подавляя фазовый шум. (Из работы Krause and Scully (1987))Рис. 14.6. Голографический лазер. Слоистая среда помещается в кольцевой резонатор. Две моды бегущей волны частично отражаются различными атомными слоями. Отраженный свет конструктивно интерферирует с противоположно распространяющейся модой, подавляя фазовый шум. (Из работы Krause and Scully (1987))дения мы заключаем, что слои усиливающей среды должны быть расположены в точках % = (тг/к)九 для того чтобы была максимальная связь между модами. Фактически, такой же результат получается и из детального анализа.

Рис. 14.6. Голографический лазер. Слоистая среда помещается в кольцевой резонатор. Две моды бегущей волны частично отражаются различными атомными слоями. Отраженный свет конструктивно интерферирует с противоположно распространяющейся модой, подавляя фазовый шум. (Из работы Krause and Scully (1987))

Рис. 14.6. Голографический лазер. Слоистая среда помещается в кольцевой резонатор. Две моды бегущей волны частично отражаются различными атомными слоями. Отраженный свет конструктивно интерферирует с противоположно распространяющейся модой, подавляя фазовый шум. (Из работы Krause and Scully (1987))

Ханле и квантовых биениях, будем описывать обе моды операторами рождения и уничтожения «i, а[ и 做，。^・ Обе моды взаимодействуют с одними и теми же двухуровневыми атомами усиливающей среды. Здесь допустим, что собственные частоты «пустого резонатора» %1 и %2 отличаются от рабочих частот % и 沙2 лазерных полей,Ханле и квантовых биениях, будем описывать обе моды операторами рождения и уничтожения «i, а[ и 做，。^・ Обе моды взаимодействуют с одними и теми же двухуровневыми атомами усиливающей среды. Здесь допустим, что собственные частоты «пустого резонатора» %1 и %2 отличаются от рабочих частот % и 沙2 лазерных полей,Как и в предыдущих линейных теориях лазеров, основанных на эффекте

Ханле и квантовых биениях, будем описывать обе моды операторами рождения и уничтожения «i, а[ и 做，。^・ Обе моды взаимодействуют с одними и теми же двухуровневыми атомами усиливающей среды. Здесь допустим, что собственные частоты «пустого резонатора» %1 и %2 отличаются от рабочих частот % и 沙2 лазерных полей,

Ханле и квантовых биениях, будем описывать обе моды операторами рождения и уничтожения «i, а[ и 做，。^・ Обе моды взаимодействуют с одними и теми же двухуровневыми атомами усиливающей среды. Здесь допустим, что собственные частоты «пустого резонатора» %1 и %2 отличаются от рабочих частот % и 沙2 лазерных полей,

поскольку, как видно из (4.1.19), это необходимо для работы лазерного гироскопа. Взаимодействие между пучками и лазерной средой описывается гамильтонианом

赞= hi/cia^«1 + 冇％2賣 j«2 + /гс^а,|а)(а| + huj^b) (Ь| +

十伝 £ 化⑴⑷®%•十 U*(z)apb)(a\], (1445)

где |а〉и \b)——верхнее и нижнее атомные состояния, разделенные энергетическим интервалом з = з& — ш^, и Uj(z) (j = 1,2)——функции нормальных мод. В картине взаимодействия гамильтониан сводится к следующему:

% = h(jjcl - i/i)af «1 + 冇(％2 - ^2)«J«2 + hg[\a){b\A(z, t) + Л+(2：, f)|b)(a|], (14.4.6) где комбинированный оператор 4(%,力)задается выражением

4%,力)=賣1 ехр(分△]/)«(%) + «2 ехр(分力)厶(之)(14.4.7)

и Ai = g — 〃i, △? = g — 〃2・ Координата z отсчитывается вдоль пучков, так что усиливающая среда простирается от 之 二—Z/2 до 之 二 //2, и предполагается, что протяженность среды в направлении, перпендикулярном направлению пучка, не зависит от ^.

Следуя методу, изложенному в разд. 14.2 для лазера Ханле, можно вывести следующее уравнение движения для приведенного оператора плотности поля:

0=一分(沙ci 一 ^[a^ai.p] 一 金(沙e2 一 沙2)[c4a2,0]一 2/2

—^ dzn(z)[A(z)A^(z)p 2A^{z)pA{z) + pA(z)A^(z)], (14.4.8) 一2/2

где 国=2rag2/у2 ——обычный коэффициент усиления, а суммирование по атомам в резонаторе выполнено путем пространственного интегрирования с плотностью атомов тг(%). Для простоты предположим далее, что % = 〃2 = 〃ci = %2 =必・

Функции нормальных мод Ui(z) и Uz(z) для бегущих волн имеют вид

Ui(z) = eikz,(1449а)

U2(z) = 6—泌。(14496)

В этом случае уравнение (14.4.8) сводится к (14.2.22) с <^ = 0. Коэффициенты а叮 для голографического лазера задаются выражениями

2/21/2

а、、=国 n(z)\Uj(z)\2 dz = ^ J n(z) dz (j = 1,2),(14.4.10)

— 2/2—2/2

2/21/2

@12 = a；i =n(z)Ui(z)U式z) dz =必 汽(之)62Mdz•(14.4.11)

/2—2/2

Как показано для лазера Ханле, коэффициент диффузии О仆仆 относительной фазы 少 1 —少2 равен (выражение (14.2.36))

2。仆仆=(Q11 + «22 — Q12 £ —(14.4.12)

где мы предположили, что〈汽。=〈汽2〉= (n).

Если усиливающая среда не является пространственно модулированной, то есть n(z) = ng, то величины «12 и «21 получаются порядка «ц/к, то есть являются очень малыми на оптических частотах по сравнению с «ц и в выражении (14.4.12) ими можно пренебречь. В этом случае мы не получаем подавления шума относительного фазового угла и из (14.4.12) имеем

2。2。ацац(14413)(14413)

2。

2。

ац

ац

(14413)

(14413)

Из (14.4.10) и (14.4.11) следует, что модуляция, при которой коэффициенты усиления равны между собой, должна быть такой, чтобы плотность атомов была велика, главным образом, в тех точках, где ехр⑵k%) ~ 1, т. е. в точках % = 7rty /к, где j ——целое число. В принципе, хотелось бы иметь ^функции в этих точках, но на практике получатся пики плотности, имеющие ширину А. Если предположить, что эти пики имеют гауссову форму (см. Krause and Scully, 1987), то функция плотности n(z) между точками z = —I/2 и z = I/2 будет выглядеть следующим образом:

汽⑶汽⑶Пр2 jo + 1Пр2 jo + 11A exp1A exp'1п2 / 7Г А2"'1п2 / 7Г А2"(14Л.14)(14Л.14)

汽⑶

汽⑶

Пр

2 jo + 1

Пр

2 jo + 1

1

A exp

1

A exp

'1п2 / 7Г А2"

'1п2 / 7Г А2"

(14Л.14)

(14Л.14)

где jo = ^/2тг и ng — константа.

В этом случае получаем для интегралов из (14.4.10) и (14.4.11) следующие выра™ жения:

2/2

(14415a)(144156)(14415a)(144156)j n(z) dz = ng,

(14415a)

(144156)

(14415a)

(144156)

—2/2

"2

J 汽(之)6 dz = n0 exp (

T/2'

Видно, что интегралы приблизительно равны, если ширина △ намного меньше \/к. Этот результат (выражение (14.4.15)) остается справедливым и тогда, когда лишь каждый п-й пик (п — положительное целое) в формуле (14.1.14) отличен от нуля. Из (14.4.10) и (14.4.11) сразу видно, что все коэффициенты усиления равны между собой (an = «22 = @12 = @21))что и требуется для получения нулевого коэффициента диффузии D^).

Квантовые флуктуации фазы и амплитуды

Как показано в гл. 2, сжатые вакуумные флуктуации поля излучения связаны с разложением амплитуды электрического поля на косинусоидальную и синусоидальную составляющие. Это означает, что оператор уничтожения для электрического поля записывается в виде а = «1 + г«27 где «1 и «2 ——эрмитовы амплитуды двух квадратурных составляющих. Квантово-механические свойства этих амплитуд предполагают соотношение неопределенностей

AaiAa2》1/4.(14.5.1)

Сжатыми состояниями света являются состояния, для которых

(А«1)2 или (△а?)? < 1/4.(14.5.2)

Это есть стандартное определение сжатия.

Флуктуации амплитуды и фазы являются величинами, представляющими фундаментальный интерес для лазерной физики. Как показано в гл. 11, в области существенно выше порога флуктуации амплитуды достаточно малы, и происходят вокруг постоянного значения, которое в полуклассическом приближении равно，⑺〉,где (п) — среднее число фотонов в стационарном состоянии. Далее мы будем связывать флуктуации фазы и амплитуды в лазере с эрмитовыми операторами а】и a2a Сначала приведем рассуждения, использующие простую полуклассическую картину лазерного излучения.

Рис. 14.7. Амплитудная 方仪打 и фазовая 6" флуктуации комплексной амплитуды аРис. 14.7. Амплитудная 方仪打 и фазовая 6" флуктуации комплексной амплитуды а

Рис. 14.7. Амплитудная 方仪打 и фазовая 6" флуктуации комплексной амплитуды а

Рис. 14.7. Амплитудная 方仪打 и фазовая 6" флуктуации комплексной амплитуды а

Пусть флуктуация Ba”, как показано на рис. 14.7, соответствует чисто амплитудной флуктуации величины а. Из простых тригонометрических соображений получаем следующие соотношения:

Bq = |Ja| cos(少一少о) = ,(14.5.3)

Ba丄=|Ja| sin(少一少о) =^,(14.5.4)

где Ba = |Ja| exp(fi^). В этих формулах 少о — мгновенная фаза полуклассического электрического поля и 少一фаза флуктуационного смещения Ba. Члены 80^ и Ba丄 относятся к следующим зависящим от 少о амплитудам:

«1(^0)= —,(1455)

В этих амплитудах узнаются стандартные квадратуры а】и а?〉повернутые на угол 少о по отношению к направлению, задаваемому амплитудой а электрического поля. Для флуктуаций, приводящих к малому изменению фазы В少 и амплитуды Jr, имеем

(1457)(1458)(1457)(1458)3賣口 = Jai(^o) = Sr,

(1457)

(1458)

(1457)

(1458)

Ba丄=Ja2(^o) = a tg В少〜，⑺ В少”

Здесь на последнем этапе мы заменили величину а полуклассическим выражением ，〈几〉,поскольку в повернутой системе координат ее фаза равна нулю, и аппроксимировали значение тангенса значением аргумента. Эти соотношения позволяют приблизительно отождествить флуктуации амплитуды и фазы с флуктуациями зависящих от фазы величин а】"。)и 曲"。).

До этого момента наши рассуждения были полуклассическими. Теперь распространим наши выводы на квантовый случай. С этой целью заменим классические амплитуды а и а* в выражениях (14.5.5) и (14.5.6) бозе-операторами уничтожения и рождения а и а+, и свяжем фазу "о с поворотом эрмитовых наблюдаемых. Такое унитарное преобразование оставляет коммутационное соотношение без изменения, т. е. [ai("o), а2("。)] = £/2, и можно видеть, что соотношение неопределенности (14.5.1) инвариантно относительно произвольных поворотов на угол 阮.Это означает, что обобщая полуклассические флуктуации амплитуды и фазы, мы получаем следующие квантово-механические выражения:

〈(％11)2〉=〈Аа；"о» (1459)

((W) = ^j(M(^o)), (14510)

где правые части выражений (14.5.9) и (14.5.10) являются здесь квантово-механическими дисперсиями операторов 肉”。)и а2”о)・ Из этих определений и соотношения (14.5.1) получаем следующее соотношение неопределенностей между фазой и амплитудой:

〈(％||)2〉〈(％||)2〉》(14511)

Отметим, что это определение свободно от проблем, связанных с попытками сконструировать оператор квантовой фазы. Оно имеет ясный физический смысл и связывает простым образом флуктуации фазы и амплитуды с точно определенными квантово-механическими наблюдаемыми 团 и。2・

Квантово-механические дисперсии △后”。)(г = 1, 2) можно переписать в виде, содержащем лишь нормально упорядоченные операторы (нормально упорядоченные дисперсии) и вклад коммутатора:

△播(阮)=：△编"0)：+；" (14512)

Такое представление квантово-механических флуктуаций окажется крайне полезным при рассмотрении работы КЛ с учетом эффектов сжатия. Напомним, что сжатыми состояниями света являются состояния, в которых : △(!式阮):или : △а^("о): меньше нуля.

Используя (14.5.12), можно переписать (14.5.9) и (14.5.10) в следующем виде:

〈3")2〉=今(14513) ((必1卩2)=:十《(加卩2：)， (14514)

где символические выражения (: (В日产:〉и (: (Вау)? :〉обозначают нормально упорядоченные дисперсии величин сц"。) и а?"。), как в формулах (14.5.9) и (14.5.10). В сжатых состояниях эти «нормально упорядоченные» флуктуации фазы и амплитуды становятся отрицательными.

Появление нормально упорядоченных операторов в наших выражениях полезно в том отношении, что всякий раз, когда подразумевается нормально упорядоченное квантовое среднее значение, естественным образом используется Р-представление.

Двухфотонный корреляционный лазер

До сих пор мы рассматривали схемы коррелированного спонтанного излучения, в которых создается корреляция актов спонтанного испускания в две различные моды поля излучения, так что относительная фаза между ними не диффундирует. В данном разделе мы рассмотрим другой тип корреляционного лазера, в котором каскадный переход трехуровневых атомов (рис. 14.8) связывается лишь с одной модой

⑷一 г111

切.----——.1

Приготовление состоянияДвухфотонный КЛ

Рис. 14.8. Схема двухфотонного корреляционного лазера. Приготовление состояния (первый резонатор) отделено от работы лазера (второй резонатор). В первом резонаторе атомы приготовляются в когерентной суперпозиции путем, например, прохождения через фольгу или около острия ножа, или путем оптической накачки. Затем они вводятся во второй резонатор, где происходит лазерная генерация. Два перехода \а) т \Ь} и |Ь〉т |с) связываются одной модой поля излучения

поля излучения. В этой схеме можно не только снизить шум спонтанной фазовой диффузии ниже предела Шавлова-Таунса, но и получить сжатие фазового шума.