Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
На протяжении последних пятнадцати лет получены важные результаты большого числа теоретических и экспериментальных работ, посвященных дифракции рентгеновских лучей в кристаллах с весьма совершенной структурой. Хотя существенное содержание динамической теории рассеяния в подобных кристаллах было разработано еще в 1913—1917 гг. Дарвином и Эвальдом, новые данные, имеющие принципиальный характер, привели к возникновению особого раздела физики твердого тела.
Помимо обобщенной теории следует отметить исследования интерференционных эффектов и рассеяния в поглощающих кристаллах, а также надежные и прецизионные измерения параметров рассеяния. Особое значение имеет использование обобщенной теории для разработки задач рассеяния в несовершенных кристаллах, в частности на кристаллических дефектах различного типа. Изложение соответствующих работ не входит в содержание данной монографии.
Столь интенсивное развитие этой области физики в значительной степени обязано возрастающей роли монокристаллических материалов в самых передовых областях современной техники. К таким материалам предъявляются высокие требования в отношении совершенства их кристаллической структуры, о чем рентгеновская дифракция дает богатейшую информацию.
Однако широко распространенные методы рентгеновской топографии являются чисто эмпирическими и обычно характеризуются качественной, иногда неоднозначной, интерпретацией получаемых картин. Совершенно очевидно, что основой этих методов должна быть полная и строгая теория рассеяния как в идеальных кристаллах, так и в кристаллах с дефектами в совокупности с надежным и прецизионным количественным изучением дифракционных эффектов.
Настоящая монография, насколько автору известно, является первым в нашей и зарубежной литературе систематическим и пол-
ньгм изложением теории, экспериментальных методов и результатов в области динамического рассеяния рентгеновских лучей в идеальных кристаллах.
Следует отметить, что глава 11 в основном написана Ф. Н. Чу- ховским, которому я выражаю благодарность также за просмотр и обсуждение некоторых других частей текста.
Г. Пинскер
Москва, 1973 г.
Глава 1
ИСТОРИЧЕСКИЙ ОБЗОР
Открытие дифракции рентгеновских лучей в кристаллах Лауэ, Фридрихом и Книппингом в 1912 г. [1] послужило отправной точкой развития научных исследований в ряде важнейших направлений. Рассмотрим некоторые из них.
Как известно, это открытие окончательно доказало наличие волновых свойств у рентгеновского излучения. Вместе с ранее установленной электромагнитной природой излучения это привело к важному выводу о том, что рентгеновские лучи составляют коротковолновую часть электромагнитного спектра. Это открытие было первым и решающим экспериментальным доказательством периодической структуры кристаллов. Фактически к этому представлению уже пришла теоретическая кристаллография, прежде всего как к следствию теории пространственных групп симметрии Федорова [2] и Шенфлиса [3].
Из оптики видимого света было известно, что дифракция на периодических объектах типа оптических решеток наблюдается на излучении, длина волны которого порядка периодов, в случае кристаллических решеток — порядка межатомных расстояний. Ясной стала причина того, что видимый свет с длинами волн, примерно в 500—1000 раз большими, чем периоды кристаллических решеток, не позволил вскрыть с помощью дифракционного эксперимента периодическую структуру кристаллов.
В это время Лауэ работал над главой о дифракции и интерференции для энциклопедии математических наук и нашел простую форму для теории двумерных оптических решеток. Результат эксперимента Фридриха и Книппинга побудил его сделать следующий шаг и построить простейшую теорию пространственной или трехмерной дифракции и интерференции. Такая теория получила наименование геометрической или кинематической теории.
Одним из первых и наиболее известных направлений работ, получивших бурное развитие в результате открытия 1912 г., является рентгеновский анализ атомной структуры кристаллов. Огромный экспериментальный материал рентгеноструктурных исследований, накопленный в течение более чем полувекового перио.
да, представляет одно из важнейших условий развития физики и химии твердого тела, с одной стороны, и получения, переработки, использования многих материалов современной техники, с другой [4].
Вместе с тем очевидно, что открытие дифракции рентгеновских лучей положило начало новой и в высшей степени интересной главе оптики. Если в оптике видимого света кристаллическая среда рассматривается как континуум, характеризующийся анизотропией, то оптика рентгеновских лучей должна быть несравненно ближе к периодической атомной структуре. Однако, к сожалению, блестящие успехи рентгеноструктурного анализа мало способствовали развитию этой новой оптики. Кинематическая теория рассеяния была впоследствии дополнена более правильными расчетами интенсивностей и атомных амплитуд, учетом влияния тепловых колебаний, методом определения фаз структурных амплитуд, основанным на аномальной дисперсии, и т. д. В таком виде она вполне удовлетворяла требованиям, которые предъявляли ей исследователи атомной структуры кристаллов.
Характерной чертой кинематической теории является учет взаимодействия каждого атома только с первичной, или преломленной, волной в кристалле. Эта теория пренебрегает взаимодействием атома с тем волновым полем, которое создается в кристалле совокупным рассеянием всех атомов. Другими словами, не учитывается многоволновое рассеяние, в частности взаимодействие элементарных волн с преломленной.
Заметим, что в настоящее время проблема многоволнового рассеяния становится более актуальной в связи с исследованием структуры белковых кристаллов. Это связано с соотношением длин волн используемого рентгеновского излучения и периодов решеток подобных структур.
Наиболее грубым дефектом кинематической теории является пренебрежение законом сохранения энергии, так как энергия проходящей через кристалл первичной волны считается неизменной, несмотря на то, что часть ее сообщается рассеянным волнам. Впрочем, указанный недостаток получил разумное объяснение впоследствии, к чему мы еще вернемся.
Первым, кто обратил внимание на схематичность кинематической теории и сделал успешную попытку более строго рассмотреть рассеяние рентгеновских лучей в кристаллах, был Дарвин [5]. С теорией Дарвина можно познакомиться по книгам Комптона, Алисона [6], Г. С. Жданова [7] и Джеймса [8].
В его теории многоволновое рассеяние получило наглядную, хотя и недостаточно строгую, интерпретацию многократного отражения, что было связано с представлениями английской школы, возглавляемой Брэггами. Отражение рентгеновских лучей от кристалла рассматривалось как последовательное прохождение и многократное отражение от параллельных плоскостей, составляющих кристалл. При этом не учитывалось многократное рас- 6
сеяние Внутри данной плоскости. Несмотря на неполноту такого рассмотрения, Дарвин получил правильную форму максимума отражения от идеального кристалла, который рассеивает не только под углом Вульфа — Брэгга, но и в некотором конечном угловом интервале.
В этот период времени, 1913—1914 тг., Дарвин работал вместе с Мозли в Манчестере у Резерфорда, изучая интенсивности рассеянных лучей. Проверяя соответствие экспериментальной интенсивности той величине, которая была определена им теоретически, он установил, что первая примерно в 10 раз сильнее. Тогда он выдвинул совершенно новую идею, согласно которой несовершенный кристалл состоит из слегка дезориентированных, но обладающих внутренней совершенной структурой субъединиц, или блоков, т. о., согласно современной терминологии, обладает мозаичной структурой (термин, введенный позже Эвальдом).
При построении своей теории Дарвин предсказал явление первичной экстинкции, которое заключается в полном отражении рентгеновских лучей совершенным кристаллом в некоторой области максимума отражения, а следовательно, в быстром экспоненциальном затухании волн в кристалле. В отличие от этого в мозаичном кристалле следует ожидать возникновения вторичной экстинкции, т. е. ограниченного проникновения падающего излучения вследствие постепенного отражения от отдельных блоков, надлежащим образом ориентированных по отношению к падающему пучку.
Эти результаты сыграли важную роль в последующем развитии. Во-первых, был дан толчок к значительному усовершенствованию методов измерения интенсивностей. Во-вторых, был указан путь к переходу от строгой теории рассеяния к кинематической, как к теории рассеяния в мозаичном кристалле. Впрочем, широко используемые понятия: идеально или неидеально мозаичный кристалл не отличаются ясностью и необходимой четкостью. Во всяком случае, впоследствии Лауэ, Захариасен и другие исследователи показали, что кинематические формулы получаются из формул цля совершенного кристалла при предельном переходе к малым кристалликам.
Далее, идея блочной или мозаичной структуры реальных кристаллов послужила исходной точкой развития самостоятельного направления в физике твердого тела и важных технических применений рентгенографии. К этому мы вернемся в дальнейшем. Следует отметить, что представление о реальном кристалле как о мозаике получило своеобразный резонанс в среде физиков. Распространялось представление, согласно которому совершенных кристаллов заметных размеров вообще не существует и создать их невозможно.
Глубокий анализ явлений, протекающих при распространении «коротких» волн в кристаллах, был проведен Эвальдом [9], который уже с 1911 г., т. е. еще до открытия дифракции рентге-
новских лучей, работал над проблемой построения теории дисперсии света в кристалле, обладающем правильной периодической структурой. Эта работа сыграла существенную роль в формировании тех физических идей, которые были внесены Эвальдом в динамическую теорию рассеяния рентгеновских лучей [10].
Основы теории Эвальда изложены в книге Джеймса [8]. Здесь мы приведем некоторые замечания Эвальда [4], которые поясняют его подход к явлениям рассеяния излучения в кристалле.
Типичная задача кристаллооптики ——определение коэффициента преломления — рассматривается как проблема собственных значений, аналогичная задаче вычисления частот колебательного спектра механической системы в стационарном состоянии.
Колебания резонаторов, возникновение и распространение вызванных этими колебаниями элементарных волн в бесконечном, неограниченном кристалле рассматриваются не как вынужденные, а как собственные колебания системы. Существенной чертой такой колеблющейся системы является самосогласованностъ. Она проявляется в том, что каждый резонатор приходит в колебание под влиянием волнового поля, образованного суперпозицией элементарных воли всех остальных резонаторов. Другими словами, волновое поле предполагает наличие связи между колеблющимися резонаторами, а резонаторы — наличие связи между излуче- нитти, т. е. общее волновое поле. Соответствие между двумя типами связи является условием, определяющим показатель преломления п. Если задана частота v, самосогласованностъ предопределит величину 入 или фазовую скорость q оптических волн в данном кристалле, а следовательно, и показатель преломления среды п =二 c!q.
Роль фазовой скорости q как регулятора, обеспечивающего конечную величину амплитуды в бесконечном, неограниченном кристалле, очевидна. Действительно, наличие фазовой скорости q V с эквивалентно утверждению, что элементарные волны от некоторых атомных плоскостей, распространяясь, допустим, в направлении /, будут интерферировать с последующими элементарными волнами с некоторым сдвигом фаз. Таким образом, амплитуда суммарной волны будет пропорциональна (с —夕厂'.При q = с амплитуда бесконечного кристалла обращается в бесконечность. Следовательно, фазовая скорость q при правильном ее значении определит «способность» системы резонаторов к образованию волнового поля надлежащей силы в «самосогласованном» режиме.
Теория Эвальда, опубликованная в 1916—1917 гг., медленно и с трудом воспринималась физиками, почти не привлекла к себе внимания даже в период после окончания войны 1914—1918 гг. Как представлялось в то время, эта теория приводила к тем же результатам, что и теория Дарвина, но несравненно более сложным путем.
В действительности, однако, теория Эвальда, изложенная в [10], имела более богатое содержание. Она включала дисперсию падающей волны внутри кристалла и естественный переход к многоволновому рассеянию; детальное рассмотрение двухволнового случая и использование дисперсионной поверхности, что принципиально позволяет предугадать аномальное прохождение в поглощающих кристаллах; симметричное и асимметричное отражения; отражение по Лауэ; наконец, маятниковое решение и, следовательно, основные интерференционные эффекты при рассеянии в идеальных кристаллах.
В последующих работах теория Эвальда получила несколько иную форму.
Как известно, в этой теории кристалл рассматривался как периодическая структура, состоящая из точечных резонаторов или диполей. Под влиянием внешней волны в кристалле возникает и распространяется возбуждение диполей, приходящих в колебание. Эта дипольная волна, в свою очередь, порождает электромагнитную волну. Использованная в этой теории модель точечных атомов-излучателей в какой-то мере не соответствовала тому уровню представлений, которые стали складываться с конца 20-х и начала 30-х годов. Во-первых, в рентгеноструктурном анализе начал использоваться метод Фурье-анализа распределения электронной плотности на основе экспериментальных значений структурных амплитуд. При этом получались картины непрерывного распределения электронной плотности, максимумы которой соответствовали положениям центров тяжести атомов.
Эти результаты находились в соответствии с новой физической картиной микромира, которая отвечала волновой, или квантовой, механике Луи де Бройля ——Гейзенберга, получившей в 1926 г. свое первое завершение в работах Шредингера. В 1927—1928 гг. Венцель, Валлер и, в особенности, Хартри и Фок начали вычислять на основе квантовой механики атомные амплитуды рассеяния рентгеновских лучей с использованием модели непрерывного распределения электронной плотности внутри атома.
К этому надо добавить, что в 1928 г. была опубликована фундаментальная работа Бете [И], в которой, по аналогии с динамической теорией рассеяния рентгеновских лучей Эвальда, была предложена динамическая теория рассеяния электронов. Эта работа была вызвана открытием дифракции электронов в 1927 г. В теории Бете в качестве «рассеивающей материи» для электронов принималось непрерывное трехкратно периодическое распределение внутреннего потенциала кристалла.
Все это побудило Лауэ [12] выступить в 1931 г. с работой, в которой дается иная исходная модель в теории Эвальда, именно, вместо точечных резонаторов рассматривается непрерывно распределенная электронная плотность при наличии положительных зарядов, локализованных в центрах атомов. Под влиянием электрического поля падающей волны возникает поляризация,
пропорциональная в каждой точке локальной величине электрической напряженности.
Несколько позже (в 1933 г.) сотрудник Лауэ Коолер [13] опубликовал важную работу, в которой была дана квантовомеханическая интерпретация указанной модели, использованная в изложении динамической теории, данной Лауэ в монографии [14].
Тот же подход был использован Захариасеном в гл. III его монографии [15]. Ясное и сжатое изложение и удачный выбор переменных и параметров рассеяния принесли большую популярность этой главе книги. Многие теоретики и экспериментаторы, работающие в области динамического рассеяния рентгеновских лучей, использовали эту книгу и ссылались на нее.
По тем или иным причинам динамическая теория в изложении Захариасена, а несколько позже и в изложении Лауэ, в последнем издании его книги 1960 г. [14], и в обзорах Отье [16], Джеймса [17], Баттермана и Кола [18] получила более широкое распространение, чем прежняя форма теории Эвальда.
Сопоставляя результаты кинематического и динамического рассмотрения рассеяния рентгеновских лучей в кристаллах, исследователи в период времени между двумя войнами сводят различия между ними к двум пунктам: в направлениях и угловой ширине дифрагированных пучков и в величинах интегрального отражения. Что касается геометрии интерференции, то в течение указанного периода было выполнено значительное число работ, посвященных отклонению от формулы Вульфа — Брэгга; измерениям коэффициента преломления методами, перенесенными из оптики видимого света; определению универсальных констант, таких, как заряд электрона; абсолютному определению длин волн и других величин. Эти исследования, выполненные Парратом, Бирдином, Бергеном и Дэвисом, Ларссоном, Бэклином, Стен- стремом, Реннингером и другими авторами, показали с полной убедительностью справедливость формул динамической теории. Вместе с тем полученные результаты имели во многих случаях скорее качественный, чем количественный характер [14].
Еще более отчетливо качественный характер экспериментальных доказательств справедливости динамической теории выражен в исследованиях полуширины максимумов отражений и величин интегрального отражения. В известных работах Джеймса, Бриндлея и Вуда, Вагнера и Куленкампфа и Реннингера было показано с несомненностью, что в большинстве случаев рассеяние рентгеновских лучей от кристаллических образцов, в том числе «монокристаллов», находящихся в распоряжении экспериментаторов, либо стоит ближе к значениям, предписываемым кинематической теорией, либо носит промежуточный характер между кинематическим и динамическим [7].
На пути к созданию экспериментальных возможностей для точного воспроизведения динамического рассеяния и измерения его параметров стояло два наиболее серьезных препятствия.
Первое заключалось в необходимости получить пучок рентгеновских лучей, который по спектральному разбросу и угловой расходимости отвечал бы тому приближению падающей плоской волны, которое лежит в основе теорий Дарвина и Эвальда. Решение этой задачи потребовало более полувека, если учесть пионерскую работу Комптона [19] 1917 г., который использовал кристалл- монохроматор, и принять во внимание, что и в настоящее время превосходные схемы для получения указанных пучков, использованные Реннингером, Отье, Бубаковой, Хильдебрандтом и Бат- терманом и Коора [20], все еще требуют усовершенствования по тем или иным причинам.
Весьма существенным является то обстоятельство, что преодоление указанного первого препятствия тесно связано со вторым препятствием ——отсутствием достаточно совершенных кристаллов. Что касается естественных образцов, то, как было установлено Парратом, Бирдином и др. еще в 1932—1933 гг., а затем в важной серии работ Брогреном (1952——1954 гг.), среди естественных кристаллов кальцита и кварца имеются образцы с весьма совершенной структурой, вполне пригодные для количественной проверки динамической теории. Искусственно выращенные кристаллы хлористого натрия были исследованы Реннингером и обнаружили более или менее сильно выраженную мозаичную структуру.
Таким образом, общим итогом упомянутых исследований было убедительное доказательство справедливости динамической теории. Однако при этом создавалось впечатление, что формулы этой теории в основном, а именно в геометрии интерференций, приводят большей частью к результатам, которые отличаются от значений, предписываемых кинематической теорией, на ничтожные углы порядка нескольких угловых секунд. Другими словами, динамическая теория имеет весьма узкую и специальную область применения. Что касается интенсивностей, значения которых различаются в некоторых случаях больше, чем на порядок величин, то и это различие не имеет существенного значения, так как относится к редчайшим экземплярам кристаллов.
Обратимся теперь к послевоенному периоду.
На фоне общего научно-технического прогресса, темпы которого особенно усилились после перерыва, вызванного второй мировой войной, выделяется возникновение и развитие промышленности, связанной с полупроводниковыми материалами, приборами и различными устройствами, включающими полупроводниковые приборы. Исходными условиями возникновения этой промышленности были два взаимосвязанных фактора: развитие физики полупроводников и разработка технологии получения сверхчистых полупроводниковых материалов и, в особенности, изготовления весьма совершенных монокристаллов, прежде всего Ge, Si и GaAs. Далее было установлено, что полупроводниковые монокристаллы обладают нужными свойствами и выполняют те или иные заданные функции либо при ничтожных специально
введенных добавках, либо в сверхчистом состоянии, но во всяком случае ——при максимально возможном совершенстве кристаллической структуры. Естественно, бурное развитие получили методы исследования подобных монокристаллов. Потребности практики вызвали большой интерес, в частности, к динамическому рассеянию рентгеновских лучей, как к одному из основных методов исследования и контроля степени совершенства кристаллов.
Использование монокристаллических материалов в современной технике, как известно, не ограничивается полупроводниками. Большое значение имеют монокристаллы кварца и других веществ в квантовой электронике и радиотехнике.
В этих условиях существенную роль сыграли интенсивные теоретические и экспериментальные исследования, выполненные на протяжении последних 15——20 лет и относящиеся как к динамическому рассеянию в идеальных кристаллах, так и к рассеянию в слегка искаженных кристаллах.
Важным этапом в разработке динамической теории было рассмотрение случая поглощающего кристалла и вывод формул для коэффициентов и интегральных величин отражения и прохождения. Существенно отметить, что один из важнейших эффектов, наблюдаемых при динамическом рассеянии в идеальных кристаллах, именно, эффект аномального прохождения в области максимума, не был предсказан теоретически, а обнаружен чисто экспериментально в работах 1941 г. и главным образом 1951 г. и был назван эффектом Бормана по имени автора этих работ [21]. Между тем Захариасен в своей книге [15] (1945 г.) ничего не говорит об аномальном прохождении, хотя приведенные им формулы при незначительном преобразовании однозначно указывают на наличие такого эффекта. Фактически в работе Лауэ 1949 г. [22] эффект Бормана показан как очевидный вывод из динамической теории.
Аномальное прохождение рентгеновских лучей в толстом поглощающем кристалле имеет важное принципиальное и практическое значение.
Как известно, в основе динамической теории Эвальда ——Лауэ лежит квазиклассическое уравнение Максвелла, решением которого является так называемая блоховская волна, которая в двухволновом приближении аппроксимируется двумя плоскими волнами. Дальнейший анализ приводит к двум волновым полям (модам) в кристалле для каждого из двух стандартных состояний поляризации. Эффект Бормана заключается в том, что для одного из полей поглощение резко возрастает, а для другого резко снижается против нормального, что и приводит для этого поля к аномальному прохождению. Аномальное прохождение одного поля и поглощение другого находят свое выражение в своеобразных формах максимумов прохождения при различных условиях эксперимента.
Наряду с исследованием поглощающего кристалла, и а протяжении главным образом 60-х годов началось всестороннее изучение интерференционных эффектов, сопровождающих динамическое рассеяние в кристаллах со слабо выраженным поглощением. Эти интерференционные эффекты, представляющие большой интерес с чисто физической точки зрения, открывают совершенно новые пути для точных определений важных количественных параметров как волнового поля в кристалле, так и самого кристалла. Значение интерференционных эффектов, в частности, определяется тем, что они позволяют измерить не только параметры идеальных кристаллов, но и характеристики различных искажений в реальных кристаллах.
Впервые интерференционные эффекты были обнаружены экспериментально в 1959 г. Като и Лангом при исследовании динамического рассеяния на клиновидных участках некоторых кристаллов [23]. При детальном анализе полученного экспериментального материала Като показал, что одно из фундаментальных исходных положений динамической теории во всех ее формах, а именно, падение на кристалл плоской волны, требует обобщения. Им было установлено, что определенный тип наблюдаемых интерференционных картин может образоваться только, если на кристалл падает расходящийся пучок волн. В связи с этим Като разработал вариант динамической теории в приближении падающей сферической волны [24, 25]. .
В дальнейшем, в 1968 —1970 гг., в работах Хильдебрандта и Бат- термана, Отье, Лефельд-Сосновской и Мальгранж и других авторов были получены интерференционные эффекты, обязанные рассеянию падающей плоской волны. Следует отметить, что аналогичные интерференционные эффекты наблюдались при динамическом рассеянии электронов значительно раньше (начиная с 1939-1940 гг.) [26, 27].
Замечательно, что интерференционные эффекты при динамическом рассеянии, о которых идет речь, были предсказаны Эвальдом в его динамической теории в 1916 г., но не могли быть реализованы экспериментально в течение примерно 43 лет, во всяком случае для рентгеновских лучей.
Таким образом, мы имеем здесь пример глубокого теоретического предвидения, на много лет опередившего возможности физического эксперимента.
Дальнейшим развитием работ, посвященных изучению динамических интерференционных явлений, следует считать создание и использование Бонзе и Хартом рентгеновских интерферометров [28]. Как и оптические интерферометры, их рентгеновские аналоги позволяют получать когерентные волны, но рентгеновского диапазона. Эти вновь созданные приборы открывают интересную перспективу сверхпрецизионных и сверхчувствительных измерений как параметров идеальных и реальных кристаллов, так и различных длин и физических величин за пределами кристалла. Рентге-
новские интерферометры, в которых используются наиболее совершенные монокристаллические материалы, работают в точном соответствии с динамической теорией рассеяния рентгеновских лучей и наиболее общими соотношениями электромагнитной оптики.
Интересный и важный класс явлений, обнаруженных экспериментально впервые Реннингером в 1937 г. [29], а впоследствии существенно дополненных работой Бормана и Хартвига [30] в 1965 г., относится к динамическому рассеянию с учетом нескольких взаимодействующих волн в кристалле. При этом наблюдается заметное изменение характера и величины эффектов аномального прохождения в поглощающих кристаллах. Соответствующая теория разработана Эвальдом и другими авторами [31—33].
Существенную роль в рассеянии рентгеновских лучей в кристаллах, в том числе и в динамическом рассеянии, играют тепловые движения атомов, а также диффузное рассеяние, частично также зависящее от тепловых колебаний. Влияние неупругого рассеяния па коэффициенты отражения и прохождения в динамическом режиме изучали теоретически ряд авторов, в частности Отеки [34], Афанасьев и Каган [35]. По-видимому, в теории двух последних авторов получено наиболее ясное физически и полное решение проблемы. Диффузное рассеяние, имеющее несколько различных аспектов, продолжает служить предметом теоретических и экспериментальных исследований [36].
Наряду с упомянутыми экспериментальными исследованиями, направленными к строгому количественному изучению динамического рассеяния, с конца 50-х годов начала развиваться рентгеновская дифракционная топографий монокристаллов. Методы топографии, позволяющие непосредственно наблюдать изображения различных дефектов в данном образце, приобрели важное практическое значение и широко распространены в настоящее время. Расшифровка топограмм, основанная на качественной трактовке динамического рассеяния, хотя и не всегда однозначна, но во многих случаях дает полезную информацию о реальной структуре объектов исследования. Отметим, что анализ рентгеновских топо- грамм имеет много общего с расшифровкой электронно-микроскопических снимков, что является существенным ввиду значительных успехов динамической теории рассеяния электронов в деформированных кристаллах. Развитие рентгеновской топографии за последние 10—15 лет связано с именами Ланга, Отье, Ньюкирка, Бонзе, Швутке, Елистратова, Миускова и других авторов. Общая характеристика методов рентгеновской топографии и библиография содержатся в сборнике [37], вышедшем под редакцией и с послесловием Елистратова.
Таким образом, разработка теории (Эвальда ——Лауэ) рассеяния рентгеновских лучей в идеальных кристаллах в приближении падающей плоской волны, дополненная теорией Като [24] в приближении сферической волны, позволила охватить широкий круг явлений динамического рассеяния в идеальных кристаллах.
Количественное согласи^ с экспериментом в подавляющем большинстве случаев тем лучще, чем совершеннее экспериментальная техника и точнее использованные атомные и тепловые параметры.
Важнейшая очередная проблема, а именно, динамическая теория рассеяния рентгеновских лучей в кристаллах с дефектами, начала разрабатываться с 60-х годов.
В работах Пеннинга и Полдера [38] и Като [39] по аналогии с геометрической оптикой было развито лучевое приближение теории Эвальда ——Лауэ и были получены удовлетворительные результаты в построении динамической теории рассеяния в упруго- деформированных кристаллах.
В эти же годы Хови и Уилен [40] для электронов и Такаги [41] для рентгеновских лучей начали разработку динамической теории, которую можно рассматривать как более строгую форму теории Дарвина.
Характерные для теории Дарвина рекуррентные соотношения, связывающие амплитуды преломленной и дифрагированной волн для двух последовательных плоскостей внутри кристалла, преобразуются в теории Хови и Уилена в систему из двух дифференциальных уравнений для указанных амплитуд, зависящих только от глубины z. Эта форма теории, соответствующая так называемому колонковому приближению, хотя и не является строгой, но с удовлетворительной точностью описывает распространение волн для случая дифракции электронов. Достоинством этой теории являются ее простота и возможность непосредственного перехода от рассеяния в идеальном кристалле к рассеянию в кристалле с дефектами. Важно подчеркнуть, что 6 двухволновом приближении уравнения Хови и Уилена могут быть использованы для описания рассеяния рентгеновских лучей в идеальном кристалле в случае падающей плоской волны.
Более общей и строгой является обобщенная теория, основанная на уравнениях Такаги, в которых волновое поле в кристалле зависит от двух переменных khz, отвечающих плоскости, образованной векторами преломленной и дифрагированной волн.
В работе Топэна [42] уравнения Такаги были выведены из уравнений Максвелла. Этот результат можно рассматривать, в частности, как доказательство эквивалентности двух форм динамической теории для идеального кристалла'. Эвальда — Лауэ й обобщенной. Вместе с тем эта последняя имеет по меньшей мере два существенных преимущества. Прежде всего она непосредственно позволяет перейти от приближения плоской падающей волны к общему случаю падающего волнового пакета, возбуждающего в кристалле пространственно неоднородное волновое поле. Это было показано одновременно и независимо в работах Слобо-
децкого, Чуховского и Инденбома [43] и Отье и Симона [44]. В частном случае бесконечно узкой щели получаются результаты, соответствующие теории Като в приближении падающей сферической волны. В указанных работах рассмотрен случай Лауэ.
В 1969 г. одновременно и независимо Афанасьев и Кон [45] и Урагами [46] решили указанные уравнения для случая Брэгга при отражении от тонкой плоскопараллельной кристаллической пластинки. Результаты, полученные в обеих работах, вполне идентичны. Из работ [42——46], в частности, следует, что наряду с маятниковым решением динамической задачи, предсказанным Эвальдом в 1916 г., при использовании падающей волны с ограниченным волновым фронтом следует ожидать осцилляций интенсивности на краях волнового поля. Эти осцилляции, ио-видимому, аналогичны френелевской дифракции.
Схема построения обобщенной теории применительно к идеальному кристаллу изложена в обзоре Инденбома и Чуховского [47].
Существенное значение имеет использование уравнения Такаги для непосредственного перехода от волнового поля в идеальном кристалле к полю в кристалле с дефектами; при этом входящая в уравнения функция угла падения будет также зависеть от координат 力 и z. Тем самым положено основание динамической теории рассеяния рентгеновских лучей в деформированном кристалле.
Глава 2
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ И ЕГО РЕШЕНИЕ
ДЛЯ ПРОЗРАЧНОГО НЕОГРАНИЧЕННОГО КРИСТАЛЛА
Волновое уравнение и его решение
Физическая модель распространения электромагнитных рентгеновских волн, положенная в основу излагаемой теории [14], сводится к следующему. Мы пренебрегаем действием рентгеновских волн на ядра атомов. При отсутствии внешнего поля можно считать кристалл нейтральным. Однако при прохождении падающей электромагнитной волны должно наблюдаться смещение отрицательных зарядов и, следовательно, некоторая поляризация.
Таким образом, под влиянием внешнего поля в кристалле возникает возмущенная электронная плотность, а значит, и дополнительный шредингеровский ток, или ток вероятности. Электромагнитное волновое поле в кристалле связано именно с распространением упомянутого возмущения и описывается методами электродинамики с помощью уравнений Максвелла.
Полная величина возмущенной электронной плотности в каждой точке р (尸)получается суммированием величин, относящихся к каждому электрону, так как это делается в одноэлектронном приближении. Итак, имеем
р(» =—叫⑺屮*"•), (2.1) где е — заряд электрона; гр (г) — волновая функция и 屮*(夕)一 соответствующая комплексно-сопряженная величина. Здесь р (尸)——плотность числа электронов в кристалле, усредненная по квантовомеханическому электронному состоянию и по статистическому распределению теплового движения ядер в решетке. Связанные с величиной р (/*) шредингеровский ток J и диэлектрическая проницаемость °, так же как и р (г), являются непрерывными функциями координат. Таким образом, наша величина £ существенно отличается от обычной диэлектрической постоянной в макроскопической теории диэлектриков.
Обращаемся к уравнениям Максвелла в обычном виде:
rol Е = 一 L等， rot Я -厂号 + 仇刀， (2.2) div E =>^w), Qiv U 产 0.
Объемная плотность энергии W и вектор потока энергии электромагнитного поля в вакууме S выражаются известными формулами
釈 =急(闿2+|制D，(2.3)
S^^[EH].(2.4)
Скалярная величина интенсивности электромагнитной волны составляет среднее значение модуля вектора |S| за период времени, достаточно большой по сравнению с периодом рентгеновских колебаний v1.
Уравнение непрерывности для наших возмущенных зарядов можно получить, если взять дивергенцию rot Н (2.2), тогда
警+ div J = 0.(2.5)
Векторы Е и /Г в общем случае выражаются через векторный потенциал 4 и скалярный потенциал ср следующим образом:
Н = rot 4,(2.6)
石=学一gradp(2.7)
Так как 屮 в волновом поле обращается в нуль, мы получаем для Е:
Е —— 3・(2.8)
Смещение отрицательного электричества, вызываемое электромагнитной волной, описывается поляризацией Р, которая здесь является непрерывной функцией координат, и индукцией
Z> = Е + 4лР,(2.9а)
причем для волнового поля
divD=0.(2.96)
Очевидно, что
J .(2.10)
Продолжая аналогию с полем в диэлектрике, можно написать Z> = Е + 4лР = еЕ, & = 1 + 4冗禺.(2.11)
Перейдем теперь к выводу волнового уравнения для поперечной волны индукции поля. Используя (2.9), перепишем первое уравнение Максвелла в виде
rot (Z> — 4яР) = _ 广 祟.(2.12)
Используя известную^ формулу векторного анализа
rot rot Z> = grad div D 工 AD,(2.13)
найдем ротор от (2.12):
AJD =「0 (rot N)/夾=—4冗 rot rot P.(2.14)
Перепишем теперь второе уравнение Максвелла в виде:
询及=；管+期笫=(2.15)
Откуда
АП 一 4•缥十 4冗 rot rot P = 0.(2.16)
r3 di1 1/
Для того чтобы преобразовать полученную форму волнового уравнения к более удобному виду, обратимся вновь к значению величины тока е7. Как известно, с учетом возмущенной электронной плотности общее выра?кение для шредингеровского тока имеет вид
J =書方(屮*grad 屮一■屮grad 炉)一鳥 411nl)*, (2.17)
где второй член описывает томсоновское рассеяние. При прохождении электромагнитной волны первый член в скобках также меняется, но при частотах падающей волны, далеких от собственных частот рассеивающих электронов, этим изменением можйо пренебречь. Другое допущение, которое мы делаем, заключается в том, что во втором члене мы используем величину р, согласно (2.1) относящуюся к невозмущенным атомам в решетке. Таким
образом,
J =——4屮屮* 三—р4.(2.18)
тс2 т т/
Далее, принимая для вектора 4
Л Aq exp 2nz [v£ — (JCr)], 箒=2nivA(2.19)
и учитывая (2.8), перепишем (2.18) в виде
J =(2.20)
Сопоставляя (2.20) и (2.10) и используя для Р функции типа (2.19), получим
(2.21)
и согласно (2.9а)
= Ц〕Е.(2.22)
Откуда для диэлектрической постоянной среды, где второй член описывает обратное влияние рассеяния на поле в среде,
получаем
(2.23)(2.23)функцию решетки % (см.функцию решетки % (см.(2・24)(2・24)ё⑺=1 +需・
(2.23)
(2.23)
функцию решетки % (см.
функцию решетки % (см.
(2・24)
(2・24)
Введем теперь новую скалярную (2.9а))
4лР 工 %Z>,% = 1 — &т.
Принимая, что D есть также функция типа (2.19), т. е.
凜一竽刀=4叫码2。I R I = ； ,(2.25)
получаем преобразованную форму волнового уравнения для ин
дукции
AZ) + 4л21R |2D + rot rot (%Z>) — 0.(2.26)
Введенная нами функция %, очевидно, аналогична поляризуемости и может быть вычислена следующим образом.
Обозначим через N число электронов в единице объема. В таком случае имеем для £ из уравнения (2.23) (р — р = — | е | N):
(2.27)(2.27)1+3=1 一咎.
(2.27)
(2.27)
Лт V2тс^п
Так как e^lmc^ — 2,8-10~13 см, X2 ж 10~1Q см2 и N у ю23—1025с;и~3, то второй член справа в уравнении (2.27) порядка < Ю-4. Таким образом, мы можем разложить величину х в (2.24) в ряд по степеням малой величины ep/nmv2:
ерX —八 ^mv2ерX —八 ^mv2[mu[mu22(2.28)(2.28)и с достаточной точностью ограничиться первым членом разложения, принимаяи с достаточной точностью ограничиться первым членом разложения, принимая(2.29)(2.29)Поляризуемость %, будучи непрерывной периодической функцией координат, может быть разложена в ряд Фурье видаПоляризуемость %, будучи непрерывной периодической функцией координат, может быть разложена в ряд Фурье вида% = 2 %m exp [—2ni(hmr}\,% = 2 %m exp [—2ni(hmr}\,(2.30)(2.30)где hm ——радиус-вектор обратной решетки:где hm ——радиус-вектор обратной решетки:九 /h =加1a1 + ^2a2 + 加3a3；九 /h =加1a1 + ^2a2 + 加3a3；(2.31)(2.31)суммирование производится по всем векторам обратной решетки.суммирование производится по всем векторам обратной решетки.
ер
X —
八 ^mv2
ер
X —
八 ^mv2
[mu
[mu
2
2
(2.28)
(2.28)
и с достаточной точностью ограничиться первым членом разложения, принимая
и с достаточной точностью ограничиться первым членом разложения, принимая
(2.29)
(2.29)
Поляризуемость %, будучи непрерывной периодической функцией координат, может быть разложена в ряд Фурье вида
Поляризуемость %, будучи непрерывной периодической функцией координат, может быть разложена в ряд Фурье вида
% = 2 %m exp [—2ni(hmr}\,
% = 2 %m exp [—2ni(hmr}\,
(2.30)
(2.30)
где hm ——радиус-вектор обратной решетки:
где hm ——радиус-вектор обратной решетки:
九 /h =加1a1 + ^2a2 + 加3a3；
九 /h =加1a1 + ^2a2 + 加3a3；
(2.31)
(2.31)
суммирование производится по всем векторам обратной решетки.
суммирование производится по всем векторам обратной решетки.
Коэффициент!»! разложения (2.30) выражаются формулами
%п=《尸 \ %exp[2n»("my)Jd%(2.32)
яч
%()= QT \ %dt.(2.33)
Индексы т могут принимать как положительные, так и отрицательные значения, причем хт и %蒞 являются комплексно-сопряженными величинами; /0 — среднее значение % по всей решетке — действительная величина.
В дальнейшем используются выражения /т и /0 в функции от структурных амплитуд Fm:
%印"—詫値 \ rexp2nZ (^m^dx 奈爲，(2.34)
ЯЧ
%° ~ nwv2Q — nmv2 *( .
Очевидно, что %。〉/т, так как рассеивающая способность атома падает с углом отклонения от направления первичного пучка, поскольку суммирование по элементарной ячейке в случае /0 всегда производится при фазах, одинаковых для всех атомов.
Решением волнового уравнения (2.26) динамической задачи является блоховская волна:
D = ехр |2п» (vZ —(乃о尸))]2。例 exp [—2ni (hmr)].(2.36)
Коэффициенты Dm являются комплексными векторами. Выражение (2.36) можно рассматривать как плоскую волну с волновым вектором 乃° и периодически изменяющейся амплитудой, причем в идентичных точках различных элементарных ячеек величина \D\ 2 имеет одинаковое значение.
Другая интерпретация блоховской волны основана на условии
丸m =蜀十 hm,(2.37)
откуда
力=exp [2nixt] 2 R^exp [—2m (Z^wr)|.(2.38)
В этом случае блоховская волна описывает волновое поле, состоящее из бесчисленного множества плоских волн с волновыми векторами кт. Следовательно, уравнение (2.38) описывает упомянутое во введении многоволновое решение динамической теории. Там же было указано, что для рассеяния рентгеновских лучей наибольшее значение имеет двухволновое приближение, которое будет подробно рассмотрено в 2.2.
Для проверки предложенного решения необходимо ближе исследовать и преобразовать последние члены в уравнениях (2.16) и (2.26). Для этого представим в виде тройного ряда Фурье величину поляризации
JR = exp 2nivZ £ Pm ехр [—2欣(乃砒，")]•(2.39)
С другой стороны, сравнивая упомянутые последние члены и используя разложения (2.30) и (2.36), получаем»
4лР 弋 %I? = exp [2ni (vZ — (Ло *))] X
х— -Г 耳小尸)1・(2.40)
Так как в разложении (2.38) пределы суммирования распространены на бесконечность, оно остается справедливым, если, например, все индексы т увеличить на одну и ту же величину % при этом индекс 0 переходит в р. Очевидно далее, что вектор
九g+九 ~ hq й~ Л/п(2.41)
также является вектором обратной решетки. Выражение (2.40) можно переписать поэтому иначе, если ввести т — q -\- п:
Х^> = exp 12ni (v^ — (kQг))] 2 3 Xm-n^n exp I—2^ (hm r)], (2.42) q n
%Z> — exp 2nivt 2 2 Xm-n^nexp [—2nt(kmr)],(2.43)
Отсюда получаем значения коэффициентов Фурье-разложения (2.39).
Рщ = (4п)Т 2 Xm-n^n-(2.44)
Теперь для того чтобы подставить в волновое уравнение (2.16) значения входящих в него членов и установить условия приемлемости решений (2.36) и (2.38), проведем дифференцирование:
А2>=—4л2 exp 2nivt 2 A410m exp [ ―2лZ (A?mr)j = m(2.45)
=-4n2 exp [2Я^ (yt —(乃0歹))1 2 "^刀Пeхp [-2ш (^wr)].
Далее [см. (2.39)]
rqt JP = — 2nZexp 2nivt 2 [^P^] exp [—2ni(kmr)],
rot rot P = — 4л2 exp 2nW£ ] [km [fcmPm]] exp [—2欣(fcmr)].
Преобразуем тройное векторное произведение в правой части (2.46) по известному правилу:
[А [ВС]] = В (4С) — С (45)(2.47а)
и получаем
[кт [А?тРт]] = кт (^тРт)—1^碌•(2.476)
Очевидно, что в первом члене справа мы имеем слагаемое Рт, параллельное кт и не представляющее для нас интереса при описании поперечных волн; второй член содержит слагаемое Рт, перпендикулярное к кт. Обозначим его через Pmfrn].
Подставляя в уравнение (2.16) новые значения всех трех членов из (2.25), (2.45) и (2.46), получим уравнение, которое должно удовлетворяться тождественно, т. е. для каждого из ттг в отдельности. Условие равенства нулю коэффициентов при каждом слагающем колебании (или моде) будет иметь вид
-4n2乃^刀0 + in2K2Dm + 4Л2Pm [m]^m = 0,
(^m — К?)刀团/乃^1 — ^tPm [th],(2.48)
или с учетом (2.44)
Ш, 2刀m = 2 Xm-n^n [m]«(2.49)
n
Слагаемое 刀矶m] — индукция волн п, перпендикулярных к волновому вектору данной волны 儿优.
Уравнения (2.49) называются фундаментальными уравнениями динамической теории.
Заметим, что уравнения (2.2), (2.9а) и (2.15) позволяют уточнить взаимное расположение важнейших векторов этих волн.
Действительно, из (2.2) и из Фурье-представления магнитной напряженности
Н 二 exp 2nivt 2 Нт exp f —2位(也/)](2.50)
получаем
div H =—2лf exp (2nivt) 2 (^m ^m) exP [—2陋(稲产)| =0.
(2.51)
Очевидно, что равенство нулю суммы является тождественным, т. е. все (ктН^ обращаются в нуль, а следовательно, магнитные напряженности отдельных волн перпендикулярны к своим волновым векторам.
Аналогичным путем доказывается перпендикулярность волновым векторам векторов индукции Dm, что видно из уравнения (2.49).
Наконец, из уравнения (2.15) следует
•-2就 exp (2niv^) 2 包户优]exp[—2ni(kmr)]=
—2niK exp (2nivZ) £ Dm exp [ —2ni (^mr)], откуда
Dl- 小-"4他反^.(2.52)
Таким образом, в «плоских» волнах т векторы Нт, Dm и кт образуют правовинтовую ортогональную систему совершенно так же, как в электромагнитной оптике видимого света в анизотропных средах [48].
Чисто поперечными являются лишь волны индукции I). Аналогия с оптикой относится и к вектору напряженности электрического поля Е, который, оставаясь перпендикулярным к Н, лежит в плоскости, проходящей через ки D. Это следует из первого уравнения Максвелла (2.2), которое приводит к условию
Hm = K~4^mEw],(2.53)
а также из уравнений (2.9) и (2.24), дающих значение Ет в виде
~— 2 Xm-n^n*(2.54)
Вместе с тем следует подчеркнуть, что представление блохов- ской волны в виде плоских волн является лишь аппроксимацией. Как показывают уравнения (2.37) и (2.49), в действительности «плоские» волны возникают лишь совместно, образуя единое волновое поле. Кроме того, излагаемая здесь форма динамической теории является недостаточно строгой и в другом отношении. Использование индукции D вместо напряженности Е является недостаточно обоснованным, поскольку в данной теории Z) есть функция координат, а не макроскопический параметр L
Как следует из сделанных выше замечаний, решение (2.38) волнового уравнения в кристалле, так же как и система фундаментальных уравнений (2.49), описывает волновое поле, состоящее из бесконечно большого числа отдельных плоских волн. Очевидно, что решение в такой форме не может быть фактически вычислено и, следовательно, сопоставлено с экспериментом. Однако опыт дает нам характер приближенного решения, которое позволяет провести до конца все расчеты и построить соответствующую теорию. Для того чтобы сформулировать это приближение, обратим-
Впрочем, как показал Вагенфельд [49], использование Эвальдом в его теории электрического вектора Е для описания волнового поля в кристалле также основано на приближении： Е ^ D — rot rot Z (Z - - вектор Герца). Это приближение не более обосновано, чем приближение Лауз (2.24): 4лР = %Е а
ся к хорошо известной из кинематической теории схеме сферы отражения в обратной решетке (рис. 1). Построение предполагает, что по крайней мере два узла обратной решетки в точности ложатся на сферу, построенную радиусом К, равным 入т волновому вектору в вакууме. Один из них отвечает началу координат (точка О), узлу или отражению (ООО), т. е. падающей волне. Другой ——узлу или отражению hkl (точка Н). В динамической теории это построение несколько меняется. Если радиус сферы равен волновому вектору в вакууме К, то начало координат должно
отстоять от цецтра сферы L на величину кт 丰 К, вследствие того, что коэффициент преломления рентгеновских лучей слегка отличается от единицы. Для образования отражений в динамической теории не требуется выполнения столь сильного условия, как уравнение Вульфа —Брэгга. Для данных условий эксперимента, т. е. данного положения центра сферы и самой сферы в обратной решетке, принципиально любой узел мо-
ткет отвечать определенному от- Рис. 1. Сфера отражения в обратном ражению и волновой вектор пространстве (кинематическое при- этой отраженной волны 石印,ближение)
будучи подставлен в фундаментальное уравнение (2.49), дает значение вектора Втв функции от всех Dri[m^ Необходимо, однако, принять во внимание, что сумма в правой части всех уравнений типа (2.49) должна быть примерно постоянной и почти все узлы обратной решетки находятся от центра на расстояниях, больших и очень больших по сравнению с К, т. е. вообще К W кт % следовательно, (&т ——К?)/乃^ а 1. Однако для узла, лежащего близко к сфере, указанная дробь будет очень малой величиной. Следовательно, отвечающая ей волна Dm будет, наоборот, очень большой сравнительно со всеми другими Dn.
Другими словами, наше приближение является двухволновым: одна из волн может рассматриваться как падающая, точнее, преломленная, другая ——как отраженная.
Отстояние узлов обратной решетки от сферы характеризуется величиной ошибки возбуждения
—(I 在m|-|K|)g
1* ]•(乙35)
В динамической теории более существенное значение имеет построение не сферы, а дисперсионной поверхности в обратном пространстве. Если рассматривать в общем случае систему фун-
паментальных уравнений (2.49) как подлежащую решению систе му уравнений с р неизвестными векторами D, то, очевидно, она распадается на Зр скалярных уравнений. Однако так как компоненты Dm, параллельные соответствующим волновым векторам к%, не образуют поперечных электромагнитных волн, остается только 2，уравнений. Условием существования нетривиального решения будет равенство нулю детерминанта этой системы. Полученное уравнение и будет описывать указанную дисперсионную поверхность.
В качестве переменной в этом уравнении может фигурировать 8т=о из уравнения (2.55) или другая величина, связанная с геометрией дисперсионной поверхности. Высшая степень этой переменной и, следовательно, степень уравнения будет 2р. От найденных корней для переменной можно перейти с помощью уравнения (2.55) к соответствующим волновым векторам 就)，础)и, наконец, Dq} и Z)化 где Z = 1, 2, 3 ... р. Следующее мысленное построение поясняет сказанное с помощью образа дисперсионной поверхности.
Построим в обратном пространстве векторы к^\ сходящиеся в начале координат обратной решетки. Их направления и величины будут определяться данным углом падения и показателем преломления, различным для разных Z [см. далее (3.21)]. Начальные точки этих векторов будем называть точками возбуждения (по Лауэ), или точками связи (по Эвальду). Меняя угол падения вблизи угла Вульфа— Брэгга, мы тем самым будем слегка покачивать волновые векторы, оставляя неподвижными их конечные точки в начале координат. При этом их начальные точки будут описывать некоторые поверхности, которые составят 2р-листную дисперсионную поверхность. Каждый лист этой поверхности следует рассматривать как геометрическое место точек возбуждения. Если из одной из точек листа номер Z провести векторы 碱)ко всем точкам обратной решетки 仇=1, 2, ...), то это множество, совместно с исходным вектором 碑，будет относиться к некоторому волновому полю или моде динамической задачи. Таких полей всего будет 2р ——по числу скалярных уравнений нашей фундаментальной системы (2.49). Термин точка возбуждения отражает эффект возбуждения волнового поля в кристалле под влиянием внешней вакуумной волны для данного значения угла падения.
Однако, рассматривая волновое поле в неограниченном кристалле, мы не можем принципиально выделить из множества волн ту, которая соответствует преломленной волне 乃j. Колебания в неограниченном кристалле рассматриваются как собственные, но не вынужденные. Этому представлению отвечает термин точка се兄з〃 (tie point [4]). В общем случае найденные волновые векторы могут быть комплексными векторами
(2.56)(2.56)碎=础+嘛）.
(2.56)
(2.56)
Известно, что комплексное значение волнового вектора приводит к появлению в выражении для волны множителя затухания:
eXp [-2位(福‘%)] = exp [-2位(胁％)] exp [2冗(左华竽)1.(2.57)
В выражении для интенсивности мы получим квадрат этого множителя
eхp [-2就(盼2 +泳化r)] exp [-卜2就(乱？一施化f)]不
=exp 4R(左华竽)，
]^?! = -^<0.(2.58)
Наше фундаментальное уравнение (2.49) написано для векторов электрической индукции Dm. Разумеется, оно может быть с помощью несложного преобразования представлено в виде уравнения для магнитных векторов Нт. Умножим векторно уравнение (2.52) на кт, В таком случае справа мы будем иметь
и уравнение примет вид
=[乃 т°т】，(2.59)
Теперь умножим векторное уравнение (2.49) на к^К. Согласно (2.59), слева мы получим (点—К?) Н论 а справа Еу _ £ lkmDn] (значок т можно опустить, так как здесь мы имеем векторное произведение, куда входит только слагающая Dn, перпендикулярная 左俏).Заменяя в этом векторном произведении Dn его значением согласно (2.52) и переходя от тройного векторного произведения к разности скалярных, получим
(碌 一 К2)Нт^^ X— {Нп (kmkn) - kn (^五九)}.(2.60)
Это есть фундаментальное уравнение для векторов магнитного поля.
Двухволновое приближение.
Дисперсионная поверхность
Прежде чем перейти к детальному изложению теории для двух сильных волн, рассмотрим рассеяние при отсутствии правильного отражения, т. е. когда угол падения первичной волны достаточно далек от угла Вульфа —— Брэгга. В этом случае система (2.49) вырождается в одно уравнение, индекс т обращается в нуль, и тогда п тоже принимает значение нуль. Волновой вектор для этого случая прохождения первичной волны без отражения обозначим через fc. Уравнение принимает вид 储—^2)^-2 — Хо =。・
Ввиду малости /0 пренебрегаем ее квадратом и преобразуем полученное уравнение нижеуказанным образом:
兴(1 -^^К\ 1Ms ①二/ 之 К (1 + % %о). (2.61)
Введем величину показателя преломления
= (2.62)
Значение п из (2.62) совпадает с результатом вычисления показателя преломления рентгеновских лучей в классической теории дисперсии. Как известно, экспериментальная проверка этого значения для частот больших, сравнительно с К-краем поглощения, дает согласие с точностью до нескольких процентов. Это является подтверждением применимости допущений и самой физической модели, положенной в основу излагаемой теории.
Очевидно, в рассматриваемом случае дисперсионная поверхность вырождается в сферу с радиусом
|川=К(1 +%%о) VK・ (2.62а)
Переходим теперь к двухволновому приближению. Если, непрерывно меняя угол падения первичной волны на поверхность кристалла, мы попадаем в область максимума непосредственно вблизи угла Вульфа ——Брэгга, в кристалле возникает блоховская волна, которую в данном случае можно представить в виде совокупности четырех плоских волн, двух преломленных и двух отраженных, так как 2 = 1,2. Это относится к каждому из двух состояний поляризации наших электромагнитных волн.
Для более точного и полного описания процесса рассеяния введем в рассмотрение плоскость отражение, проходящую через векторы к^ и 左^)указанных волн в кристалле.
Мы будем рассматривать наиболее простую и часто реализуемую на опыте схему, в которой плоскость отражения совпадает с плоскостью падения.
В том случае, когда частоты падающих волн велики по сравнению с К-краем поглощения, величины поляризуемостей /0 и %九 являются истинными скалярами, и рассматриваемая плоскость будет плоскостью симметрии процесса рассеяния.
Обратимся к уравнениям (2.49). В нашем двухволновом приближении в первом уравнении следует принять ттг = 0, во втором т = h; п в правой части обоих уравнений последовательно принимает значение 0 и А. Что касается векторов Dm, точнее А и 力八, то мы разлагаем их, так же как и векторы Но и Н”，по двум направлениям: перпендикулярно и параллельно плоскости отражения. Таким образом, мы будем дальше иметь дело со скалярными уравнениями. Для колебаний векторов индукции перпендикулярно 28
к плоскости отражения (а-поляризация) получим
咫一К2
%— dq = уоА + 麻 4,
(2.63)(2.63)碌一 k2
(2.63)
(2.63)
—— Dh = %aD0 + %o4・
Волны с другим состоянием (л-поляризация) можно описать с помощью фундаментальных уравнений для магнитных векторов,
Рис. 2. Взаимное расположение векторов индукции в двух состояниях поляризации
а ——о-поляризация; векторы индукции перпендикулярны к плоскости отражения и взаимно параллельны;
б — л-поляризация; векторы индукции лежат в плоскости, параллельной плоскости отражения
именно для слагающих этих векторов, перпендикулярных к исходной плоскости. Используем уравнение (2.60).
В этом случае т принимает значение 0 и А и п — также 0 и А. Нетрудно видеть, что второй член в скобках в правой части (2.60) обращается в нуль, а скалярное произведение при Нд дает множитель cos 2》，где 令—угол Вульфа ——Брэгга. Система принимает вид
磅一《2
• % = bЯ0 + %元 cos 2仅九，
2(2.64)
踩—\ /
-Hh - %h cos 2令80 + 加h". kh
Очевидно, что л-поляризацию можно описать и с помощью уравнений для слагающих D^ и Dh, лежащих в исходной плоскости; уравнения получаются заменой величин Н^ и Hh на 2)0ц и Dh^ как это легко видеть из рис. 2.
Заметим, что в то время как слагающие О。丄 и Dh^ HQ^ и Hh^ попарно параллельны, это не имеет места для величин 4|| и О"|| •
В дальнейшем мы будем иметь дело главным образом с величинами Do± и О”丄,перпендикулярными к плоскости отражения (а-поляризация), с которыми мы будем обращаться (так же как и с величинами DQ^ и Dh^) как со скалярами, так как их направления определены однозначно.
Преобразуем теперь систему уравнений (2.63). Для этого с достаточным приближением примем
麻一к2 —商%0弋麻十区2(1 + % %о)2 =稻一們(2.65)
球一 ^2-^Хо^^-*2,(2.66)
/ Q 請工 ％ & k—gkh + kw 2K(2.67)
Рис. 3. Дисперсионная поверхность в обратном пространстве при двухволновом приближении (неограниченный кристалл)Рис. 3. Дисперсионная поверхность в обратном пространстве при двухволновом приближении (неограниченный кристалл)и перепишем уравнения (2.63) в следующем виде: (ko-k)DQ-42K^Dh^O, (2.68)
Рис. 3. Дисперсионная поверхность в обратном пространстве при двухволновом приближении (неограниченный кристалл)
Рис. 3. Дисперсионная поверхность в обратном пространстве при двухволновом приближении (неограниченный кристалл)
— %KxhDq + (kh — k)Dh = Q.
Детерминант этой системы, будучи приравнен нулю:
А =
&0 -及-% К"&0 -及-% К"—%К% 亢къ, — к—%К% 亢къ, — к=О,(2.69)=О,(2.69)образует уравнение дисперсионной поверхности в обратном пространстве. Эта поверхность является (в принятом приближении) двухлистной поверхностью вращения (гиперболическим цилиндром)
&0 -及
-% К"
&0 -及
-% К"
—%К% 亢къ, — к
—%К% 亢къ, — к
=О,(2.69)
=О,(2.69)
вокруг оси ОН, где О и Н — соответствующие узлы обратной
решетки. Часть сечения этой поверхности плоскостью отражения
показана на рис. 3 (гиперболы S(D, S©)). На этом рисунке при
выбранном масштабе не помещаются узлы О и 区 а тем более про
тивоположная, относительно оси ОН, часть сечения. Описывая из
точек О и Н сферы радиусом к — К (1 -]- 1/2%0), мы получим на нашем сечении линии То и Th соответственно и точку их пересечения М. Ввиду удаленности точек О и Н линии Т и 7’ в малом
угловом интервале могут рассматриваться как прямые.
Очевидно, что точка М, удаленная от точек О и Н на величину К = АС (九 ——длина волны в вакууме), соответствует центру сферы распространения в кинематической теории, т. е. отражению при точном значении угла Вульфа ——Брэгга и неизменной длине волны.
Точка Е также может рассматриваться как центр сферы, построенной для отражения при точном значении угла Вульфа —— Брэгга, однако при величине волнового вектора к, включающего
поправку на преломление L Наконец, точки 歹。)и 歹С)на двух ветвях гиперболы отвечают уже динамическому отражению при частном значении угла отражения, именно угле Вульфа ——Брэгга. Эти точки отстоят от узлов。и*на величины 乃£：)=及^)и 乃,)— —Лд} соответственно. Для этого частного случая волновые векторы с индексами 0 и А оказываются равными.
Дисперсионная поверхность, на нашем сечении гипербола, есть геометрическое место точек возбуждения. Поэтому случаю динамического отражения под углами, слегка отличными от угла Вульфа — Брэгга, будет отвечать смещение точек 歹。)или 歹G), или обеих, вдоль кривых S^ и S©). Пусть точками возбуждения окажутся точки 4。)и 力赵).Соединим их с узлами О и Н. Введем в рассмотрение отрезки 事)и g化 которые имеют следующие значения (см. рис. 3):
^ = ^ - к. 或)=林)—厶，2 = 1,2. (2.70)
Величины 需)и 或)будут далее считаться положительными, если они образуют острые углы с положительным направлением векторов к и 砂).Напомним, что векторы R, к и 硏)направлены от точек М, Е или А^ к О и 〃. Таким образом, мы имеем
零）=干1需）I，需）=干|器）1■零）=干1需）I，需）=干|器）1■(2.71)(2.71)
零）=干1需）I，需）=干|器）1■
零）=干1需）I，需）=干|器）1■
(2.71)
(2.71)
Теперь мы можем переписать уравнение дисперсионной поверхности (2.69) в виде
占о占о=о,=о,(2.72)(2.72)
占о
占о
=о,
=о,
(2.72)
(2.72)
(2.73)(2.73)?0鼠=丁K2能讶
(2.73)
(2.73)
Очевидно, если мы напишем уравнение типа (2.68) для другого состояния поляризации с магнитными векторами, перпендикулярными к исходной плоскости, мы получим в соответствии с(2.64)
Eo^=i/4K2(cos2 8)2x”^・ (2.73а)
Поэтому в дальнейшем мы будем вводить в наши формулы множитель С, имеющий следующий смысл:
(2・74)(2・74)(1 — для б-поляризации,
(2・74)
(2・74)
I cos 28 ——для л-поляризации.
В литературе ио инициативе Эвальда (см. [4]) точка М иногда называется точкой Лауэ La, так как она соответствует концу вектора К, который используется в кинематической теории при описании волнового поля в кристалле. Для точки Е Эвальд предложил название точки Лор ентца Lo, так как она возникает при учете преломления на границе раздела вакуум——кристалл. Как известно, формула (2.62) может быть получена из формулы Лоренц — Лорент- ца в теории дисперсии из условия соо ―① 二一-со.
Очевидно далее, что
С = \С\(-^.(2.74а)
где t = 0 для о-поляризации и т — 1 для л-поляризации при 2仔〉n/2 1.
В соответствии с этим уравнение дисперсионной поверхности приобретает вид
Uh = ^K^C№-(2・75)
Исключая 乃° из уравнений (2.55) и (2.70) и используя (2.61), получаем соотношение между величинами % и 三。
Ео = к (% — %Хо)・(2.76)
Напоминаем, что х0 является величиной существенно отрицательной.
Уравнение дисперсионной поверхности можно рассматривать как уравнение гиперболы на плоскости отражения.
Величины 三斤，проведенные из точек 户⑴ на действительном диаметре гиперболы, имеют значение
(膿r=(羽九=空]/而(2.77)
Если исходить из уравнения гиперболы, отнесенной к осям
(2.78)(2.79)(2.78)(2.79)宓2,
(2.78)
(2.79)
(2.78)
(2.79)
то величина действительной полуоси
〃 —cos 8 — 2 cos О '
и мнимой полуоси
6 =等^莅(2・80)
и уравнение гиперболы (2.78) примет вид
^2cos2 8 — у? sin2 8 =^—麻.•(2.81)
Нетрудно видеть из (2.79), что для колебаний вектора индукции, перпендикулярных плоскости отражения, действительная ось 2〃 больше, чем для состояния л-поляризации в (cos 2 ^)-1 раз (рис. 4).
Введем теперь величины с^, выражающие отношения величин D^/Dq\ Из уравнений (2.68) и (2.70) следует
(2.82)(2.82)宵 2码)_里£ = ]/丽 研=中=2^)_ V J帀•
(2.82)
(2.82)
Проще пользоваться условием С 二 |cos 28| для л-поляризации.
Выражения (2.82) определяют отношения амплитуд в волновых полях внутри кристалла. Пользуясь последним соотношением, представляющим с⑴ с функции от переменных 三⑴,мы можем проследить, как меняются величины с«)при непрерывном изменении угла падения внутри области максимума.
Очевидно, вся область максимума отвечает интервалу углов от одного до другого края дисперсионных кривых (соответственно поверхностей).
На нижней ветви при переходе от отрицательных смещений от угла 9 (слева) к положительным (справа) величина отношения
Рис. 4. Дисперсионные поверхности для су- и л-поляризаций
c(i)= Z)^//)^ возрастает от 〜0,01 до 100 (на правом краю схемы), обращаясь в единицу в точке 歹。)(рис. 3). Для с(2), т. е. для верхней ветви, мы получаем в точности обратный ход, т. е. уменьшение отношения JD^ID^ при переходе слева направо. Однако эти особенности функций (2.82) являются не столь характерными и существенными, как соотношение абсолютных величин 。限 и Д^(смЛ[(3.22), (3.23)).
Следует помнить, что двухволновое приближение, для которого применима схема рис. 3, заключается в том, что среди бесчислен- ноо множества волн4 динамической задачи две волны, DQ и Dh, предполагаются достаточно сильными. Поэтому при углах падения, близких к границам максимума, т. е. к границам дисперсионных кривых, когда одна из волн, именно Dh, становится слабой, двухволновое приближение и данная схема становится неприменимыми. Следовательно, уточнять соотношения (2.82) применительно к условиям, отвечающим краям рис. 3, не следует. Существенно, что вне области максимума мы попадаем в условия, отвечающие одной волне, которая распространяется в кристалле без отражения. Направление этой волны, с точностью до показателя преломления, совпадает с направлением падающей волны в вакууме. Таким образом, мы имеем в этих случаях переход от двух волн в кристалле к одной волне. Нетрудно видеть, что дисперсионная поверхность с точки зрения такого перехода является промежуточной областью пересечения двух сфер распространения (рис. 5).
Качественный анализ соотношений (2.82) и рис. 3 позволяет установить относительные фазы волн индукции двух полей в
33333. Г. Пинскер
33
33
каждом йз состояний поляризации. Как указывалось выше, %九 является комплексной величиной. Пусть
(2.83)(2.84a)(2.846)(2.83)(2.84a)(2.846)Xh = I %h I exp &%), 粽=I Xh I exp {—i^, откуда
(2.83)
(2.84a)
(2.846)
(2.83)
(2.84a)
(2.846)
器抬=出『，р/ ^=exp 协，
%产绘，風加
В частном случае центросимметричного кристалла
% = % ехрйи=—1,?=1・(2.85)
В уравнении (2.82) знаки величин с^, определяющие фазовые соотношения колебаний Z)o и Dh, будут зависеть от знаков как ^0, так и %д. Так как при данном значении 刀九 все %九 становятся отрицательными, то c(D〉0 и с(2)V 0, т. е. О?)колеблется в фазе с D(q\ а。俨 в противофазе с D^\
Рис. 5. Дисперсионная поверхность —область пересечения двух сфер распространения
Таким образом, динамическая теория в двухволновом приближении приводит к образованию внутри кристалла в области максимума четырех волновых полей (по два поля для каждого состояния поляризации), причем в каждом поле по две волны D^v D 八 —— итого восемь волн.
Здесь необходимо сделать еще однуJочень важную оговорку. Рис. 3 и анализ, проведенный в связи с ним, относятся к прохождению рентгеновых лучей, т. е. к случаю Лауэ. Систематическое рассмотрение случая Брэгга будет дано в гл. 7 и 8.
Глава 3
ПРОХОЖДЕНИЕ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ ЧЕРЕЗ ПРОЗРАЧНУЮ КРИСТАЛЛИЧЕСКУЮ ПЛАСТИНКУ. ОТРАЖЕНИЕ ПО ЛАУЭ
Волновые поля внутри кристалла
Полукристалл. Связь с условиями эксперимента.
Эффект преломления.
До сих пор мы фактически рассматривали распространение блоховских волн в неограниченном кристалле. С этим связана неопределенность в локализации действительных центров возбуждения на дисперсионной поверхности, а следовательно, и невозможность определения действующих волновых векторов 否俨 и 啖、 Указанная неопределенность устраняется, если ввести в рассмотрение поверхность раздела вакуум-кристалл и на ней падающую волну, представленную волновым вектором К^ с углом падения 屮°, и отражающую плоскость с углом 屮 относительно поверхности раздела или входной грани.
При теоретическом рассмотрении границы раздела кристалл —— вакуум может возникнуть опасение, что ввиду малой, порядка периодов решетки, длины волны рентгеновских лучей реальная структура поверхности, с ее ступеньками, окисными или адсорбированными пленками и другими отклонениями от идеализированной картины, может внести существенное искажение в схему граничных условий. Однако вопрос решается опытом. По-видимому, схема, использующая математическую границу кристалл ——вакуум, хорошо согласуется с имеющимися экспериментальными данными. Таким образом, мы переходим от неограниченного кристалла к полубесконечному кристаллу.
Волновое поле в кристалле порождается падающей волной, причем волна к0 является прямым продолжением в кристалле падающей [волны В таком случае фазовые скорости вдоль поверхности раздела, а следовательно, и тангенциальные компоненты волновых векторов должны быть равны.
Можно показать, что если в трех условиях Лауэ для образования максимумов трехмерной интерференции два условия написать для векторов, лежащих в плоскости входной поверхности, то эти условия будут выполняться и в динамической теории. Это следует из упомянутой1 непрерывности тангенциальных слагающих вол-
новых векторов на границе. Что касается третьего условия, то в кинематической теории оно выполняется только для определенного угла падения, причем тем точнее, чем больше рассеивающий кристалл. В отличие от этого динамическая теория делает третье условие не столь строгим даже и для сколь угодно большого рассеи
вающего кристалла.
Внесем теперь в схему рис. 3 параметры, описывающие условия на границе. Прямая PPf на рис. 6 указывает положение (еди
ничной) нормали к поверхностиничной) нормали к поверхностиРис. 6. Дисперсионная поверхность в обратном пространстве (полукристалл)Рис. 6. Дисперсионная поверхность в обратном пространстве (полукристалл)раздела. Направление вектора нормали выбирается внутрь кристалла. Так как направление волнового вектора R，) падающей волны в вакууме отвечает отрезку, проведенному от точки Р на прямой 7； к узлу О обратной решетки^ то угол Р'РО, который мы обозначаем через 屮°, и будет углом падения. Заметим, что ввиду удаленности точек О и Н прямые, сходящиеся в одной из этих точек на рис.З и 6, представлены параллельными. Волновые векторы волн в кристалле 历，)и 历£) проводятся из точек 4 ⑴ к узлам О и X.
ничной) нормали к поверхности
ничной) нормали к поверхности
Рис. 6. Дисперсионная поверхность в обратном пространстве (полукристалл)
Рис. 6. Дисперсионная поверхность в обратном пространстве (полукристалл)
Равенство тангенциальных слагающих волновых векторов на
границе кристалл — вакуум требует, чтобы векторы R$)и Е$)на рис. 6 опирались на общую нормаль.п0, лежащую на РРГ. Это можно записать в виде векторных уравнений
к^ = к8%о + 历化 研)=к 俨 一 к8%о,(3.1)
где K6^nQ представлены отрезками 24⑴，направленными от точки Р. На рис. 3 и 6 мы рассматриваем плоскость отражения с положительной стороны, на которую обращен вектор [khk0]. Угол <р между отражающей плоскостью ME и входной гранью на рис. 6 представлен углом между прямой RP | \ОН (ОН 三九)и нормалью п. Этот угол может изменяться в пределах от ——л/2 до +冗/2 и будет считаться положительным, если векторное произведение [hn0] обращено в ту же сторону, что и [乃九乃°]. Угол падения 屮о также может меняться от — л/2 до + л/2 и считаться положительным, если векторное произведение [К(^п0] обращено в ту же сторону, т. е. на рис. 6 к читателю.
Таким образом, наклон нормали п0 к прямой Т^ определяется углами ^ и ф.
Что касается положения нормали на 7°, то оно определяется углом падения. Если угол падения 屮°友 отвечает кинематической теории, т. е. углу Вульфа — Брэгга для отражения от данной плоскости, то нормаль пройдет через точку М, с которой точка Р совпадет. Из рис. 6 следует непосредственно
屮ок - y -屮一色(3.2)
По мере отклонения угла падения от этого значения нормаль п0 смещается вдоль Т； вправо или влево от точки М. Приращение величины ip0, которое мы обозначаем через % может быть представлено на рис. 6 углом МОР.
В дальнейшем мы принимаем
То = cosapo = cos (叩。友 + 刀)之 cos^ofe(3.3)
и аналогично
丫 h = cos 办=cos (屮^ + n) — cos ^)hk.(3.4)
Для приращения 刀 получаем
n = Wo — у + ф + ^»(3.5)
При проведении сферы из точки Р, как из центра, радиусом К она пройдет через узел О, но не через Н. Отстояние сферы от узла Н по радиусу равно отрезку闻. Очевидно,
PQ — Ка = Ку] sin 29.(3.6)
Существенным результатом проведения на нашей схеме нормали РР' является образование на дисперсионных кривых двух точек возбуждения /(】)и /⑶.
Теперь нашей задачей является определение величин аккомодации 6⑴ и затем вычисление коэффициентов отражения *)внутри кристалла в функции от экспериментальных параметров. Для этого удобно выписать значение модулей векторов К^п^ используя величины отрезков 露"и 三俨・ Согласно определению (2.71), они будут иметь положительные значения для второго поля и отрицательные для первого. Из рис. 6 получаем
(3・7)
Эти уравнения решаем совместно с (2.75) и получаем квадратное уравнение для g$):
恭+ 毀出一加(1 一习卜$)_ 1犬%/詹^ = 0.(3.8)
Введем новую угловую переменную
В = 2а — %。[1 — ^]・(3.9)
В таком случае решением уравнения (3.8) для 碍)будет
驴=務%/詳俨+參淑Y.(3-Ю)
При рассмотрении корней (3.10) следует различать два случая. Случай Лауэ ——дифракция на прохождение, когда yh〉0, слу чай Брэгга ——дифракция на отражение, когда у^ < 0. В рассматриваемом здесь случае Лауэ второй член под корнем в (3.10) имеет знак плюс и корень является действительной величиной. Рассматривая далее выражение (3.10) в целом, замечаем, что при положительном знаке перед корнем 寄)〉0, а при отрицательном знаке 自$)V 0. Имея в виду условия (2.71), мы получаем в (3.10)自§) при отрицательном знаке перед корнем и 自，)при положительном знаке, i
Теперь мы можем записать выражения для величин с«)внутри кристалла в функции от экспериментальных параметров. Для этого достаточно восцользоваться уравнением (2.82), а 自，)взять из (3.10). Получаем
(3.11)(3.12)(3.11)(3.12)二 8 士 m肾 + 级h左e（^/70）
(3.11)
(3.12)
(3.11)
(3.12)
一2 什（т〃7о）с（—1『
ИЛИ
U硬—2号（丫拉/7。户2c （一L一
Имея в виду дальнейшее изложение, введем новые угловые координаты
у = sh d =у = sh d =ВВ2c (ХАХ^)1/2 (Тд/Го)1/2 '2c (ХАХ^)1/2 (Тд/Го)1/2 '(3.13)(3.13)
у = sh d =
у = sh d =
В
В
2c (ХАХ^)1/2 (Тд/Го)1/2 '
2c (ХАХ^)1/2 (Тд/Го)1/2 '
(3.13)
(3.13)
где для гиперболических функций v имеем известные соотношения ch и = ]/Ч 十 sh? и,sh и 土 ch и = 土 exp (+ u)・
Используя новые переменные, получаем для 事)и 即
I I =加(Ji + 声土 5)=加 exp (土 p),
(3.14)
|需)I = тп^(/Г+^+?/) = znjexp(干吟 m =竺!阳/ ~-
Перепишем выражение (3.12)
/^图=—|/^ (沙 土 МГТ^)(-以，(3」5)
|/lj^ =干 J^exp (土叭一(3.16)
Используя (2.83)；— (2.85), перепишем формулы (3.15) и (3.16) следующим образом. Для кристалла без центра симметрии
j/^^前"一(一厅(沙 土 Ml + 沙2) exp @叫=
=+ exp (i% 土 и) (—4)二(3.17)
Для кристалла с центром симметрии
J^W =(-» ® 土 У1"^ = 土 ехР (± 叭—»・(3.18)
Очевидно, положительный знак отношения D^/Dq^ указывает на совпадение фаз этих амплитуд и относится к первому полю, в то время как отрицательный знак означает, что соответствующие амплитуды во втором поле находятся в противофазе (см. раздел 2.2).
Средняя точка максимума соответствует значениям 0 = у = = 0 = 0. В этом случае
*1 加h = ^|/°|(3.19)
и для интенсивностей
丫拄[现屮=丫。1國屮，(3.20)
е. равенство ежесекундных потоков энергии, так как наличие множителей yh — cos 叩九 и 丫。= cos 巾° связано с изменением поперечных сечений при отражении.
Амплитудные коэффициенты отражения 枚)даны в (3.12) и (3.15) в функции от величин р, у или г, которые, в свою очередь, зависят от величины т]. При этом весьма существенной является неоднозначность названных угловых функций в общем случае при данном значении 刀.
Внимательное рассмотрение формул (3.6), (3.9) и (3.13) позволяет дать им наглядное геометрическое истолкование и выявить своеобразный эффект преломления, который наблюдается в случае Лауэ.
Заметим, что формула (2.62), определяющая величину коэффициента преломления при падении волны под углами, лежащими за пределами какого-либо максимума отражения, соответствует уменьшению модуля волнового вектора вакуумной волны К на ве-
личину (1/2)£|%о1 (см. рис. 3 или 6). При падейии той же ёолйЫ в пределах максимума возникает волновое поле, характеризующееся дисперсией. Обозначая совершенно формально коэффициенты преломления для проходящих и дифрагированных волн в кристалле через м$)и м^Р, можно написать для волновых векторов и величин 八G)следующие выражения:
碎=К (1 + % %。) + 肥碑=1 + % %。+：(需)/К),(3.21)
就)=k (i + % %。) + 器)，成)=1 + % 加 + (霏么K).
Величину 席 можно рассматривать как коэффициент преломления при переходе отраженных волн из кристалла в вакуум. В отличие от п величины 碑 и 成)могут быть как меньше, так и больше единицы. С другой стороны, полный эффект преломления в частном случае плоскопараллельной пластинки можно определить величиной
拼一照吗=等.(3.22)
Правая часть этого выражения получается подстановкой в левую часть значений 三伊 и 三牝，согласно (3.14), и, далее, заменой у на его значение (3.13).'
Левая часть (3.22) является разностью проекций векторов к^ и 乃俨 на нормали к входной и выходной граням (здесь совпадают), спроектированной на направление kh, практически совпадающее с направлением К^ ——вектора дифрагированной волны в вакууме.
Обращаясь к геометрической интерпретации величины § (или К0/2), замечаем, что, как показывает рис. 7, при симметричном отражении
(窃)—歸啕 s = Knsin28;(3.23)
это вполне согласуется с (3.9) при yh = у。. Общий случай асимметричного отражения представлен на рис. 8. Проектируя последовательно отрезок №№，на MR || п0 и затем MR на N1UNN. мы замечаем, что
NwNn =斤=_ } К%。［ 1 —用
добавляется к отрезку F"C = PQ = n sin 29 так, что
Р^ = & sin 29 — } К%。［1 一閑=譬•(3.24)
Построение разности (3.22) в общем случае показано на рис. 9, где дана ближайшая окрестность точки А^.
Рис. 7. К выводу формулы (3.23)
Рис. 8. К рассмотрению эффекта преломления при асимметричном отражении (случай Лауэ)
Рис. 9. К выводу формулы (3.22) в общем случае
Рис. 10. К выводу формул (3.25) (а) и (3.26) (б)
Рис. 10 показывает характерные частные случаи положения нормали, т. е. величины п и одного из параметров р, у, *0*. Так, на рис. 10, а нормаль пересекает верхнюю ветвь дисперсионной гиперболы в точке 歹(2). В этом случае, как нетрудно видеть, DD\ равное вообще %砰，принимает частное значение
及=好 sin 2©-4-^UXol-lxd)[今 Т] <0-(3.25)
Отрицательное значение QP связано со смещением нормали от точки М влево. На рис. 10, б показан случай падения вакуумной волны при значениях ^ ~ у =0. Здесь отрезок
N^ = 一 КП sin 29 = ； КI 笈 I [ 1 -亲].(3.26)
Непосредственное определение эффекта преломления дается значением % выраженным, например, в виде функции от у, так как результаты теории, в частности кривые отражения и прохождения, даются в функции от у. Из (3.13) получаем
t] = ay + b,t] = ay + b,—0 %" 丨(丫"丫。)%“ —sin 29—0 %" 丨(丫"丫。)%“ —sin 29
t] = ay + b,
t] = ay + b,
—0 %" 丨(丫"丫。)%
“ —sin 29
—0 %" 丨(丫"丫。)%
“ —sin 29
(3.27)(3.27)|xo|[(VTo)-i]
(3.27)
(3.27)
2 sin 29
При симметричном отражении п — ау, или в угловых секундах
” —° I ^hl /о no\
% =⑶n2今 4,85 • 10-6 . 3倒
Так как О и sin 2仆一величины порядка единицы и | % 九 | ^ 10~5-^ -н 10^6, то при симметричном отражении значение у близко к значению 頂 и имеет тот же знак.
В общем случае асимметричного отражения согласно (3.27) как знаки, так и соотношение величин у и п" могут быть различными в зависимости от отношения Ыа. При малых скользящих углах, т. е. больших if>0, величина b может заметно превысить а, что отражает возрастающий эффект преломления. В результате возникает два интересных эффекта. Во-первых, смещение максимума отражения относительно угла Вульфа — Брэгга © и, во-вторых, зависимость этого смещения от знака индексов. Другими словами, указанное смещение будет различно для отражений hkl и hkl.
Еще раз отметим, что обсуждаемый здесь эффект можно назвать преломлением несколько условно, так как, например, связь между величинами т] и ?/, согласно (3.27), одинаково относится как к отраженной волне, так и к проходящей. Заметим также, что,
используя (3.27) для оценки угловой протяженности дисперсионных гипербол, представленных на рис. 3 и 6, получим величины порядка 10〃——15〃 для симметричного отражения и несколько большие значения и асимметрию рисунка (относительно центра гиперболы) при асимметричном отражении.
Амплитуды волн. Маятниковое решение. Экстинкция.
Квазистоячие волны
Переходим теперь к пограничным условиям для амплитуд. Эти условия существенно отличаются от тех, которые используются в электромагнитной теории света, в двух отношениях. Во-первых, ввиду ничтожного отличия показателя преломления от единицы в случае рентгеновских лучей мы можем ограничиться условием непрерывности слагающих векторов индукции. Во-вторых, по той же причине мы не учитываем зеркально-отраженной обратно в вакуум волны, что, очевидно, следует из соответствующей формулы Френеля.
Вместе с тем, как известно, при скользящем падении рентгеновских лучей под углами (л/2) —if)0 порядка критических углов для полного внешнего отражения величина коэффициента отражения принимает значения, которыми нельзя пренебречь. Поэтому в этих специальных условиях необходимо выполнить соответствующий расчет для динамического рассеяния. Интерес к случаю малых скользящих углов возрос за последние годы в связи с созданием спектрометров с асимметричным отражением по Брэггу. Следует оговориться, что в подобных устройствах скользящие углы падения (л/2)—屮。превышают 1—2°, что позволяет пренебречь отраженной волной.
Заметим, что столь малые скользящие углы падения используются при отражении по Брэггу.
Обращаясь к формулировке пограничных условий, заметим, что здесь мы рассматриваем частный случай плоскопараллельной кристаллической пластинки, на входную поверхность которой под углом 屮0 土 п падает плоская монохроматическая волна. Пластинка принимается непоглощающей и ее толщина малой сравнительно с фронтом падающей волны. В таком случае волновые поля в кристалле остаются неразделенными.
Таким образом, условия на входной поверхности имеют вид следующих уравнений:
比)+ 璃=0俨，(3.29а)
D^ + D^ = 0,(3.296)
если начало отсчета для распространения волн выбрать где-либо на этой поверхности. Уравнение (3.296) указывает, что здесь мы имеем случай Лауз, так как в случае Брэгга дифрагированная волна выходит обратно через ту же поверхность.
Решая совместно уравнения (3.29а, б), (3.17) и (3.18), получаем значения амплитуд О^)и О$)внутри кристалла, выраженные через амплитуды D^ падающей вакуумной волны:
國；告(‘干國=嘿翼^'(3・3。)
yК。£)=干(一厅署* /7；或；干(一1)。黑*吟；國).
(3.31)
В частном случае рассеяния в центросимметричном кристалле m^ 國=土(忐祟 UK 0" = 土忌了元0"(3.32)
Рассматривая волновое поле внутри кристалла, следует прежде всего различить два случая. Если падающая волна не поляризована, то два состояния поляризации будут независимыми колебаниями в том смысле, что между ними не будет постоянных фазовых соотношений. Очевидна связь между двумя состояниями поляризации в том случае, когда падающая волна является плос- кополяризованной.
Что касается соотношений колебаний двух волновых полей с одинаковым состоянием поляризации, то они будут взаимно когерентны в силу связывающих их пограничных условий (3.29). Если к тому же сохраняется указанное выше условие неразделен- ности полей внутри кристалла, то общее волновое поле для колебаний с одинаковым типом поляризации может быть описано парой выражений типа
2 П)"ехр 2加[vt— (^r)],© 33)
2 D^ exp 2ш w力—(胱％)], г
из которых первое относится к полю преломленной волны и второе —— к полю дифрагированной волны в кристалле.
Эти выражения можно преобразовать следующим образом:
2 比)exp 2欣[v/ —(砧'％)]=
=exp 2ni [vt — (fcor)] £ D^ exp (士 niAfc),
г—(3.34)
2 D^h exp 2ni [vt —(左胃％)]= г
=exp 2nf [vt —(映冷]2。夕 exp (士 ni\kz),
г
где
\k =研)一 k^ =硫)-麻).(3.35)
Для вычисления модуля | АЕ | можно использовать соотношение
|Afc|= ^{1^1 + 1^11 = ^{|^|+ 1^1).(3.36)
Значения величин | 三 | можно взять из (3.14), используя угловые переменные ^ и о согласно (3.13). Окончательно получим
|Afc||Afc|『ch”.(W)/2『ch”.(W)/2(3.37)(3.37)
|Afc|
|Afc|
『ch”.
(W)/2
『ch”.
(W)/2
(3.37)
(3.37)
Начнем анализ волнового поля в прозрачном кристалле с рассмотрения вклада в максимумы преломленной и дифрагированной волн каждого из полей. Это может быть сделано на основе уравнений (3.30), (3.32) с помощью рис. 6 и 11.
При возрастании положительных значений угловых функций у или о, т. е. смещении по дисперсионной поверхности вправо от прямой ME, точка А^ приближается к асимптоте Т。и, как легко видеть из (3.30), | D^\ возрастает, приближаясь к величине 砂.
уравнениях, т. е. положительных значений у и о, иуравнениях, т. е. положительных значений у и о, иехpо_ 4 2757 —ехpо_ 4 2757 —lim 匕寸=1,утоо (1 + 沙2) 2lim 匕寸=1,утоо (1 + 沙2) 2limlim
уравнениях, т. е. положительных значений у и о, и
уравнениях, т. е. положительных значений у и о, и
ехpо_ 4 2757 —
ехpо_ 4 2757 —
lim 匕寸=1,
утоо (1 + 沙2) 2
lim 匕寸=1,
утоо (1 + 沙2) 2
lim
lim
Наоборот I 國)| при этих условиях стремится к нулю. Нетрудно видеть, что в области отрицательных значений у и q т. е. по левую сторону от прямой ME на рис. 6, знак изменения амплитуд | О俨 | и I О$)| будет обратным. Другими словами, в области положитель-
йых значений у и v преобладает второе поле проходящей волны, в области отрицательных у и о преобладает первое поле.
В отличие от двух амплитуд преломленной волны модули обеих амплитуд дифрагированной волны согласно уравнениям (3.31) остаются равными между собой во всей области максимума, который, таким образом, будет для обоих полей симметричным относительно равных нулю значений у и о.
Еще раз отметим, что на концах максимума | О仍 обращаются в нуль, так же как и одна из | №|; мы будем наблюдать явление распространения одной волны в кристалле, претерпевающей преломление на входной грани. В средней точке максимума, при ^ = у = г 0, получаем
^ = D^ = 4«國)， 圆)=D^^ (^『告 D^^ (3・38)
Наконец, при симметричном отражении от плоскости, перпендикулярной входной грани,
國=欧)=；國).(3.39)
Эти результаты поясняет рис. 11, который построен для отражения 200 NaCl, при 仆—54° и (у。/? J" = 1,23, Си/Га-излучения. При этом поглощение не учитывалось. Пространственное распределение максимумов волнового поля в кристалле может быть определено анализом уравнений (3.34). Если использовать значения Dq} и D^ из (3.30) и (3.31), а в значениях Е уравнений (3.34) перейти от показательных к тригонометрическим функциям, мы получим следующие выражения:
cos nAEz — X^—тг sin(1+矿产cos nAEz — X^—тг sin(1+矿产exp 2冗订”力一(A?or)j, (3.40)exp 2冗订”力一(A?or)j, (3.40)
cos nAEz — X^—тг sin
(1+矿产
cos nAEz — X^—тг sin
(1+矿产
exp 2冗订”力一(A?or)j, (3.40)
exp 2冗订”力一(A?or)j, (3.40)
二sin nAfcU+G)/2二sin nAfcU+G)/2exp 2就[vt —(乃拉尸)].exp 2就[vt —(乃拉尸)].(3.41)(3.41)
二sin nAfc
U+G)/2
二sin nAfc
U+G)/2
exp 2就[vt —(乃拉尸)].
exp 2就[vt —(乃拉尸)].
(3.41)
(3.41)
Еолее простой вид, удобный для качественного физического анализа, эти выражения приобретают, если от общего случая перейти к точке у = 0,
D^ [cos nAfe] exp 2ni [vt — (A?or)],(3.42)
D^ [ — i sin nAEz] exp 2ni [vt — (A?or)]=
=D^ [sin nAfcz] exp，或["力一(用0丁)]- i 多卜 (3.43)
где величина —力=exp (— %冗/2) перенесена из амплитуды в фазовый множитель и kh заменено на kQ.
Вектор ДА?, согласно определению (3.35), направлен антипараллельно вектору нормали п0. Его модуль равен расстоянию между
(3.44)(3.44)двумя точками возбуждения на ветвях гиперболы. В частном случае симметричного отражения при у = 0 он переходит в вектор
(3.44)
(3.44)
модуль которого равен действительному диаметру дисперсионной гиперболы [см. (2.79)]:
(3.45)(3.45)fo] =土毕=2优.
(3.45)
(3.45)
I и I COS V
Обращаясь к выражениям (3.42) и (3.43), замечаем, что они описывают колебания с амплитудами (в квадратных скобках), которые являются периодическими функциями глубины проникновения 2-излучения в кристалл. Другими словами, постоянные значения амплитуд имеют место на плоскостях, параллельных входной границе. .
Максимумы волновой функции дифрагированной волны (3.43) при у = 0 будут лежать на глубинах
Zn = 2A〃o '
причем первый максимум при тг = 0 приходится на плоскость, находящуюся на глубине, равной половине характерной величины экстинкционной глубины:
то = |А^о Г1. (3.47)
Величина т0 — расстояние между двумя смежными плоскостями с максимальными значениями волновой функции дифрагированной волны. Согласно (3.42) расстояние между максимумами проходящей волны такое же. При этом одно семейство плоскостей смещено относительно другого на половину глубины экстинкции (2母。尸.
Заметим, что описанная структура волнового поля в кристалле напоминает, но не совпадает полностью с системой стоячих волн. Отличие связано с тем, что экспоненты в (3.42) и (3.43) зависят от координат 力 и у и от времени. Следовательно, для каждого данного значения z указанные уравнения описывают бегущую в плоскости (磔/) волну с амплитудой, величина которой зависит от 2.
Существенной чертой такого волнового поля является периодическая «перекачка» энергии от проходящей волны к дифрагированной и обратно по мере проникновения излучения внутрь кристалла, а также (что очень важно) в стационарном волновом поле, порожденном падающей вакуумной волной. Это замечательное физическое явление, которое обнаруживается с помощью надлежащих интерференционных экспериментов, было впервые предсказано Эвальдом на основе его динамической теории. По аналогии со взаимодействием связанных и колеблющихся маятников, в результате которого происходит периодический обмен энергией
колебаний между ними, Эвальд назвал это явление маятниковым решением (Pendelldsung) динамической задачи. В это решение* входит также образование побочных максимумов, которое мы рассмотрим ниже в связи с анализом и численными оценками выражений для интенсивностей проходящей и дифрагированной волн в вакууме.
Приведем теперь численные оценки значений экстинкционных глубин. При у = 0 экстинкционная глубина
(3.48)(3.48)* — X COS 今冗〃гс2 cos 8 Q
(3.48)
(3.48)
To =^PTT
Так как маятниковое решение рассматривается в этой главе для случая прозрачного кристалла, то наибольший интерес при численных оценках для сопоставления с экспериментом имеет рассеяние коротковолнового излучения в кристаллах, состоящих из атомов легких и средних элементов. В табл. 1 приведены примеры,
Таблица 1. Значение экстинкционных глубин т0 в мк при рассеянии излучений AgKa, МоКа и CuKoi кристаллами кремния, кварца и германия
Вещество
Отражение
Излучение
AgKa
МоКа
СиКа
Кремний
220
35,4
15,5
422
42,0
14,6
333
61,5
22,6
Кварц
1011
84,5
31,0
1120
121,5
44,0
2021
250,0
86,5
1012
123,0
42,5
Германий
220
15,9
6,9
333
31,2
10,0
444
22,3
4,3
относящиеся к рассеянию Mo/Га-, СиКа- и Ag/ia-излучений в кристаллах кремния, германия и кварца.
Следует иметь в виду, что приведенные значения экстинкционных глубин относятся к случаю « = 0, что при симметричном отражении соответствует углу и. С отклонением от 杼,согласно (3.44), экстинкционная глубина уменьшается по закону т = =т0 (1 + у?)-%, что соответствует при у = 3 工工 0,32 т0.
В связи с изложенным анализом выражений для волновых полей в кристалле (3.33), (3.34) и (3.40) — (3.43), следует сделать оговорку, представляющую особый интерес для рассеяния в по-
глощающем кристалле (см. гл. 4). Каждое из волновых полей в отдельности, очевидно, может быть описано с помощью выражения типа (2.36), пригодного для двухволнового приближения:
£>°)= eкр 2就[v^ —便0尸)]{1>")+ Dh) exp [— 2位(九歹)]}. (3.49)
Это уравнение можно интерпретировать как уравнение волны с амплитудой (в фигурных скобках), которая является периодической функцией координат. В отличие от аналогичных задач для произвольной среды, где геометрические параметры волнового поля определяются длинами волн колебаний, здесь колебания приспосабливаются к периодичности решеток. Действительно, в данном уравнении экстремальные значения амплитуды будут наблюдаться при целочисленных значениях скалярного произведения (纪戸).Такие значения соответствуют атомным плоскостям и п плоскостям, лежащим между ними, где целое число п есть отношение индексов интерференции к Миллеровским индексам. Будут ли на этих плоскостях наблюдаться максимумы или минимумы амплитуд, зависит от соотношений знаков или фаз 0^)и D^-
Для первого поля знаки D^ и D^ совпадают, и, таким образом, на атомных плоскостях будут наблюдаться максимумы. Наоборот, для второго поля на этих плоскостях будут наблюдаться минимумы, в то время как посредине между ними, при значениях (九戸), равных —1, — максимумы.
Такая структура каждого из двух полей имеет существенное значение в явлениях прохождения рентгеновских лучей в поглощающих кристаллах. Так как главным механизмом истинного поглощения рентгеновских лучей является фотоэлектрический эффект, поглощение существенно локализовано на атомах и, следовательно, на атомных плоскостях. Сильнее будет поглощаться то поле, которое имеет максимумы на атомных плоскостях.
В непоглощающих и слабо поглощающих кристаллах описанная структура каждого из полей в отдельности не проявляется. Более существенными становятся взаимодействия между проходящими (Z)^) и дифрагированными (О仍 волнами обоих полей, рассмотренные ниже.
Коэффициенты прохождения и отражения.
Анализ маятникового решения в случае плоскопараллельной пластинки
Перейдем теперь к вычислению волновых функций волн, выходящих в вакуум из нижней, или выходной, поверхности кристалла, и коэффициентов прохождения и отражения.
Условие (3.296) для величин D^ на входной грани перепишем
в виде
(3.50)(3.50)c⑴加)+ e⑵躋=0, где с⑴ даны в уравнении (3.11) L
(3.50)
(3.50)
Условия на выходной грани должны включать^ фазовые множители, отвечающие распространению волн по толщине пластинки t (начало отсчета на входной поверхности)
(3.50а)(3.50а)D^} exp [ - 2H讨碌)]+ D^ exp [- 2汽计礫)]= =D^exp [-2nitK^I,
(3.50а)
(3.50а)
Og)exp [ — 2nitkhl ] + D^ exp [ — 2n"乃般]=• =О 俨 exp [— 2 血 К勘.(3.506)
Решая совместно (3.50) и (3.29а), получим
规D =费、矶7现2)= - MzW燎，(3")
⑴图砂，礎=-^ 國)•(3.52)
Подставляя значения D^ и D^ в условия (3.50), получим
以0 exp [-2nitK^] -О$)exp [- 2就力碌)]一
一°俨 exp [-2血碌)]，(3.53)
0俨exp[-2就/勘比%xp[-2就做?] +
+ 淄% 國%xp [一 2血碾]•(3.54)
Так как (см. (3.1))力^)= К^ — КЗ⑴，и в случае плоскопараллельной пластинки
К^^ К『)，(3.55)
В работах 1971—1972 гг. группа авторов [50, 51] исследует отражения по Брэггу и по Лауэ, возникающие при очень малых скользящих углах падения или отражения, порядка угловых минут. При теоретическом рассмотрении подобных экспериментов авторы учитывают в пограничных условиях динамической задачи зеркально отраженную волну на входной грани. В результате получается модифицированная форма динамической теории. Эксперименты, описанные в указанных работах, находятся в согласии с выведенными соотношениями.
йёрепишем (3.53) в следующем ййДё：
D^^ D^ ⑴ exp [血K (6⑴ + 鋅))]X
X {c(2)exp [nitК (6(1) - 6(2))]c(1)exp [——n"K (3⑴-6(2))]}.
(3.56)
Аналогичное преобразование можно сделать с выражением (3.54), поскольку
<)-或? - K华一碌)-6⑴.(3.57)
Из уравнений (3.7) и (3.10) следует
к 3(i)+ 3% =戸 в 一恥， к(6 ⑴ - №))=与所；
少=]/俨 + 4◎今 bZ_ = 2C J今 /ад М匸衣.(3.58)
Переходя от волновых функций к значениям коэффициентов прохождения Т и отражения А, умножаем правые части (3.56) и аналогичного выражения для О#)на соответствующие комплексно-сопряженные выражения. Комплексными являются величины с⑴,содержащие комплексные дроби %"х%・ Произведения ХдХп, представленные в (3.11) и (3.13), являются действительными величинами, так же как и величины у и о.
Для коэффициента прохождения получаем
=I 网 l2 + I 叫 2 — с ⑴叫 ехр (—2а) —
—с⑴*с⑶ exp Х2а},
или, переходя от экспоненциальных к тригонометрическим функ
циям,
Т = р^р-Ц^{I с⑶ |2 + I с⑴ |2 + 2c⑴с(2)* cos 2а}.(3.59)
Аналогичным путем получаем для коэффициента отражения
д-^|^-^(3・6О)
a =就к (3⑴一濟)=就/病 /Г +7 - Л /1^7.
(3.61)
И окончательно, йспользу^
I Соотношения (3.17) и (3.(8), получаем
явные выражения для Т и
А в функции от у И 0：
丄 M1 D^} |2[十 j
[i/2 + cos2A]/l + i/2l,(3.62)
〃力旧伊У加Sin?，小
EMU" IB? h %'
7⑵=9宀器炉业1 =人一 区(办(3.64)
А /、sin2[/cho]几
,(3・65)
(3.66)
Рассматривая выражения (3.64) и (3.65), замечаем прежде всего, что сумма любой соответственной пары величин Т и Е для любого данного значения углового аргумента у или о равна единице. Очевидно, это отвечает нашему рассмотрению рассеяния в прозрачном кристалле, в котором энергия падающей волны делится на энергию проходящей и отраженной волн. Напоминаем, что в формулах (3.63) и (3.65) в случае центросимметричных кристаллов величина отношения I %拉 I / I Kg I обращается в единицу.
Уравнения (3.62) — (3.65) имеют маятниковое решение. Действительно, через посредство переменной А эти выражения являются периодическими функциями толщины кристалла %. Дополнительность Т и Е проявляется в том, что для любого данного значения t определенные значения у будут соответствовать максимуму Т7 и минимуму А, или наоборот. Так, при 看=(2п + 1)/2 |АЛ в средней точке максимума, т. е. при у = 0, коэффициент отражения А достигает максимального значения — единицы. При значениях t = 2n/2 I А/с0 I в средней точке максимума А = 0 и Т = 1. Аналогичное периодическое изменение значений Е и 7 c толщиной имеет место и при других, отличных от нуля, значениях у и о. Заметим, что при значениях у =/= 0 максимальные значения R уже не достигают единицы.
Очевидно, что особенно наглядно маятниковое решение полученных уравнений проявится в случае рассеяния на клинообразной пластинке. При этом указанное периодическое изменение величин Т и А будет непосредственно наблюдаться на участках выходной грани, соответствующих критическим значениям 九 Кроме того, что особенно существенно, интервалы между максимумами обеих величин возрастают в некоторых схемах эксперимента в отношении 〜(sin 卩尸 или 〜(tgji)-* где 卩一угол клина. Соответствующая геометрическая теория изложена ниже.
Помимо зависимости от толщины коэффициенты А и Т являются также квазипериодическими функциями от угловых переменных
66万万Рис. 12. Изменения величин 7 и Е в области максимума в случае прозрачного кристаллаРис. 12. Изменения величин 7 и Е в области максимума в случае прозрачного кристаллаа — кривые R и Т соответствуют t = 2n/Ah0； 6 — кривые R при различных значениях толщины кристалла /; показаны побочные максимумы маятникового решенияа — кривые R и Т соответствуют t = 2n/Ah0； 6 — кривые R при различных значениях толщины кристалла /; показаны побочные максимумы маятникового решения
6
6
万
万
Рис. 12. Изменения величин 7 и Е в области максимума в случае прозрачного кристалла
Рис. 12. Изменения величин 7 и Е в области максимума в случае прозрачного кристалла
а — кривые R и Т соответствуют t = 2n/Ah0； 6 — кривые R при различных значениях толщины кристалла /; показаны побочные максимумы маятникового решения
а — кривые R и Т соответствуют t = 2n/Ah0； 6 — кривые R при различных значениях толщины кристалла /; показаны побочные максимумы маятникового решения
夕 и о. Наличие множителя (1 + 力" =ch~2r приводит к монотонному спаду гребенки на кривых 7? и Т (рис. 12). При больших значениях угловых переменных R обращается в нуль и Т — в единицу. Таким образом, маятниковое решение для А и Т, как функций угла падения, приводит к образованию тонкой структуры или побочных максимумов.
илиили(3.67)(3.68)(3.67)(3.68)(3.69)(3.69)Угловое распределение побочных максимумов коэффициента отражения А определяется из условия
или
или
(3.67)
(3.68)
(3.67)
(3.68)
(3.69)
(3.69)
Так как для типичных условий эксперимента
。2 I X. |2£2 ~ Ф ( I X/l Ь Z) W 4 ,
то для второго и последующих побочных максимумов (gJ》~T~ с достаточной точностью можно пренебречь единицей в (3.68), и в таком случае отстояние между соседними побочными максимумами составит
^弋号霄=罕.(3.70)
При симметричном отражении условия (3.68) и (3.70) позволяют представить
屮(I X/i I")=屮1(%) —屮2(X/J,. (3.71)
что, очевидно, важно для экспериментальной проверки теории.
Действительно, для симметричного отражения [см. (3.27)]
9 一 sin 23
и, переходя в (3.68) от угловой функции у к аргументу п，получим
伉一' —2—/ Fsin'2 2仆.伉一' —2—/ Fsin'2 2仆.(3.72)(3.72)
伉一' —2—/ Fsin'2 2仆.
伉一' —2—/ Fsin'2 2仆.
(3.72)
(3.72)
(3.73)(3.73)Для максимумов, следующих после первого, по-прежнему можно использовать (3.70), которое преобразуется для симметричного отражения к виду
(3.73)
(3.73)
А% =力• 4,85： 10-6 •
Таким образом, сопоставляя измерения углового расположения первого максимума (3.72) и последующих (3.73), можно раздельно определить как толщину данной кристаллической пластинки, так и величину I %Л I или структурную амплитуду | Fh | данного отражения [52].
В случае асимметричного отражения (3.70) можно преобразовать к виду
Ап —Ап —£ cos 8£ cos 8△%△%cosW拉cos仆cosW拉cos仆(3.74)(3.74)
Ап —
Ап —
£ cos 8
£ cos 8
△%
△%
cosW拉
cos仆
cosW拉
cos仆
(3.74)
(3.74)
Для численных оценок тонкой структуры максимумов, обязанной маятниковому решению, применим (3.73) к отражениям 220 и 333 излучения СиКа от монокристаллических пластинок Si. Если задаться угловым интервалом ~ Г, то необходимая толщина пластинок составит 40 и 22 мк соответственно. Для получения большого интервала необходимо использовать еще более тонкие пластинки, что представляет большие экспериментальные трудности.
Сопоставляя обе формы маятникового решения: полосы равной толщины и побочные максимумы, отметим некоторые интересные различия этих явлений [52]. Прежде всего обратим внимание на возможность раздельного определения толщины пластинки t и величины I %ЛI в случае побочных максимумов, согласно (3.68) — (3.73). В случае же полос равной толщины в формуле (3.44) имеется параметр у. не всегда поддающийся точному независимому определению. Далее следует указать, что принципиально число тех и других максимумов различно. В случае полос равной толщины число полос не может превышать величины ^/т0. Между тем, как следует из формул (3.68) и (3.70), число побочных максимумов неограниченно.
Наконец, интересно рассмотреть модель, представляющую маятниковое решение, как эффект интерференции волн от двух (фиктивных) источников.
Фиктивные источники используются в оптике видимого света для интерпретации классических интерференционных экспериментов. Однако в отличие от оптических схем, где фиктивные источники вводятся для расчета взаимодействия волн в реальное пространство, здесь используются точки возбуждения 厶⑴(см., например, рис. 6) в обратном пространстве. Отвлекаясь от различия амплитуд D^ или。倒 и выбрав в качестве направления распространения интерференцирующих в кристалле волн D^ направление вектора К^\ близкое к направлениям 力吊)и к^
Рис. 13. Разность хода волн в кристалле а — при образовании полос равной толщины；6 — побочных максимумовРис. 13. Разность хода волн в кристалле а — при образовании полос равной толщины；6 — побочных максимумов
Рис. 13. Разность хода волн в кристалле а — при образовании полос равной толщины；
6 — побочных максимумов
Рис. 13. Разность хода волн в кристалле а — при образовании полос равной толщины；
6 — побочных максимумов
(рис. 13, а), запишем разность фаз волн D^:
2小石1丫0 = 2n能(3.75)
Эта разность фаз отвечает первому экстинкционному расстоянию в кристалле. Используя выражение (3.37), выпишем значение разности хода двух интерферирующих волн, соответствующей n-му экстинкционному расстоянию или n-й полосе (максимуму):
必=壶2冗 ± =华1=芈，(3.76)
где 厶厶一разность хода, отвечающая первой полосе. Таким образом, с возрастанием номера полосы равной толщины разность хода интерферирующих волн уменьшается. Иная картина наблюдается при образовании побочных максимумов. В этом случае выражение (3.75) отвечает разности фаз интерферирующих волн для некоторого определенного побочного максимума, т. е. определенного положения нормалей 7——4 на рис. 13, б или определенного значения уп (п = 1, 2, . . .). Нулевой максимум (у = 0), очевидно, соответствует положению нормали 1 на том же рисунке. Из рисунка видно. что разность хода, отвечающая n-му максимуму,
^n = C\^h\丿言 /1 + ^(3.77)
возрастает с увеличением номера максимума.
Рис. 15. Кривая изменения инт ег> рального отражения А? (4)Рис. 15. Кривая изменения инт ег> рального отражения А? (4)Рис. 14. Профили максимумов усредненных функций R а Т
Рис. 15. Кривая изменения инт ег> рального отражения А? (4)
Рис. 15. Кривая изменения инт ег> рального отражения А? (4)
Дальнейший анализ эффектов маятникового решения, связанный, в частности, с экспериментальным определением структурных амплитуд, приводится для приближения падающей сферической волны в гл. 6 и 9, для приближения падающей плоской волны — в гл. 9.
Из сказанного ясно, что экспериментальное наблюдение и измерение эффектов, связанных с маятниковым решением, представляет трудную задачу. Фактически оно осуществлено лишь в самые последние годы, как это показано в гл. 9. Поэтому до сих пор по преимуществу использовались выражения (3.62) — (3.65) в таком виде, чтобы они отвечали доступным условиям измерений. Речь идет об усреднении функций А и Т по 力 и у. Для получения Л достаточно, например, в (3.63) заменить величину квадрата синуса его средним значением по полному периоду колебаний. Среднее значение Т получим вычитанием Л из единицы:
“ =2 (1 ；呼)，Т = i — (1 ；篁明• (3.78)
Кривые для А и 7 представлены на рис. 14.
Полуширина максимума ш или его ширина при значении Л = 1/2戸max определяются из условия 2y = 2. Переходя опять к абсолютным величинам 刀，получаем (см. (3.27))
您=2c 叱］/。). . (3.79)
Если варьировать длину волны применяемого излучения, т. е. принять, что данной величине А” соответствует определенный интервал АА,=九 —— 九в, где Ав ——длина волны, точно отвечающая условию Вульфа — Брэгга, то мощно выразить полуширину
максимума ё йнтервалах Длин волш
2A 入 $ =2A 入 $ =^е|而1⑴丿丫。)%sin2 8^е|而1⑴丿丫。)%sin2 8(3.80)(3.80)
2A 入 $ =
2A 入 $ =
^е|而1⑴丿丫。)%sin2 8
^е|而1⑴丿丫。)%sin2 8
(3.80)
(3.80)
Переходим к определению интегрального отражения
用=肾§*尸物(3.81a)
Этот интеграл вычисляется дифференцированием подынтегрального выражения по параметру А:
2
d屮,d屮,С :sin [2А sin 屮]
d屮,
d屮,
J sinq о
к которому можно привести правую часть в (3.81а). Далее используется определение
备 Ju (力)= \ cos (х sin ср) d(p,
о
и результат имеет вид (принимаем |%九 |/| 乂万 | = 1)
2Qоо
(3.816)(3.816)Е? — -^ \ Jо(R)壶二二 г 2 J2П+1 (24).оП=О
(3.816)
(3.816)
Здесь Jq и Jn обозначают, как обычно, функции Бесселя нулевого и соответственно n-го порядков.
Для численного расчета интегрального отражения по (3.816) можно использовать либо асимптотические свойства ряда
2 J2П+1 (2Л)п=02 J2П+1 (2Л)п=04 8У1),；(4>)4 8У1),；(4>)(3.81b)(3.81b)
2 J2П+1 (2Л)
п=0
2 J2П+1 (2Л)
п=0
4 8У1),；(4>)
4 8У1),；(4>)
(3.81b)
(3.81b)
либо, согласно Де-Марко и Вейссу [53], использовать данные
в приложении 1 значения интеграла \ J。(况)&力 для 4 V 5c о
Для 4〉5 достаточно точные результаты дает функция
24
о
«то (力)d力=1
总[0⑷cos(24+书+
+ Q⑷sin 24 +
户(4) = 0,7979
0,2010 I 0,4575
A2 *Л^~，
Q(4) =宇
0,2586 , 1,0332
(3.81г)
Кривая изменений функции Ri (Л) дана на рис. 15. При малых значениях величины А, пропорциональной толщине кристалла 力 наблюдается монотонное возрастание интегрального отражения, что находится в согласии с кинематической теорией. С дальнейшим ростом А обнаруживается эффект экстинкции, а именно, периодическое изменение интегрального отражения с постепенным понижением амплитуды колебаний относительно среднего значения п/2. Нетрудно видеть, что то же среднее значение л/2 получается при интегрировании величины 戸 из (3.78):
(1+42尸如=子.(1+42尸如=子.(3.81д)(3.81д)
(1+42尸如=子.
(1+42尸如=子.
(3.81д)
(3.81д)
Следует также иметь в виду, что при больших толщинах t кристаллической пластинки приближение прозрачного кристалла неприменимо, и необходимо использовать формулы (4.124) — (4.126), приведенные в гл. 4. Численная оценка критических толщин для такого перехода может быть сделана на основе теории, изложенной в гл. 4.
Принимая указанное среднее значение интегрального отражения, выпишем следующие окончательные значения:
凡一『 凡一 sin 29凡一『 凡一 sin 29(3.82a)(3.82a)
凡一『 凡一 sin 29
凡一『 凡一 sin 29
(3.82a)
(3.82a)
В случае падающего неполяризованного излучения
(3.826)(3.826) I几丨j ^h冗1十I cos 2仆I
(3.826)
(3.826)
—sin 2 仆 |/ 行"22
При асимметричном отражении максимумы отражения 7? (и соответственно минимумы Т) смещаются из положений, отвечающих кинематической теории. Смещение максимумов определяется из (3.27) при у = 0
Ло =Ло =W [(田 T]2 sin 2ВW [(田 T]2 sin 2В(3.83)(3.83)
Ло =
Ло =
W [(田 T]
2 sin 2В
W [(田 T]
2 sin 2В
(3.83)
(3.83)
(3.84)(3.84)
(3.84)
(3.84)
Используя (2.62) и вводя 坛=1 - n =-%%0,
перепишем (3.83) в виде
小綜(' — *) =爲綜(3・85) Эффект смещения, таким образом, не связан с собственно динамическим рассеянием (не зависит от %h) и определяется рассмотренным в 3.1 своеобразным преломлением при прохождении через плоскопараллельную пластинку. Интересно отметить, что при переходе от hkl к 方豆 величина смещения изменяется. Действительно, изменение знаков индексов отражения эквивалентно переходу к отражению от другой стороны той же системы плоскостей. При этом меняются значениями величины у0 и yh.
Следует иметь в виду, что увеличение п означает возрастание угла 弋＞о, т. е. уменьшение скользящего угла падения.
Наконец, отметим, что при асимметричной съемке угловая полуширина максимумов ш = 2刀％ отражений с противоположными знаками индексов становится различной. В результате если при симметричном отражении угловое положение и полуширина максимумов Rhn Rh полностью одинаковы, то при асимметричном отражении эти максимумы приобретают различную угловую полуширину и расходятся в разные стороны от точки, отвечающей Г] = 0.
Что касается численных оценок, то описанные эффекты, вообще говоря, незначительны и измеряются величинами порядка угловой секунды, что впрочем вполне доступно современным возможностям регистрации (см. гл. 9).
Так, при отражении 444 и 444 MojKa-излучения от плоскопараллельной пластинки Si, ограниченной сверху и снизу плоскостями (100), смещения центров максимумов отражения составляет для A444no = —0,45〃 и для /?—- “о =二 0,84"; соответственно w^ — =0,34", ш--- = 0,66". Эффекты более сильно выражены для отражения с минусами, что связано с условием
碍屋〉峭，
а следовательно, с уменьшением скользящего угла падения при переходе к 444.
Прохождение через клиновидную пластинку
До сих пор мы рассматривали прохождение рентгеновской волны через плоскопараллельную пластинку. Если при этом сохраняется условие широкого фронта падающей волны по сравнению с толщиной пластинки и, следовательно, волновые поля внутри кристалла остаются неразделенными, то из кристалла в вакуум выходит одна общая волна D^ и одна волна D^\
Нетрудно показать, что если кристаллическая пластинка будет не плоской, а клиновидной, следует ожидать некоторого рас-
хождения выходящих в вакуум волн, которые порождаются различными волновыми полями внутри кристалла. При этом на выходной грани волны по обе стороны поверхности раздела будут связаны не соотношениями (3.29), а пограничными условиями для каждого поля в отдельности. То же относится к условию непрерывности тангенциальных слагающих волновых векторов (3.1).
Рассмотрим прохождение неполяризованной рентгеновской волны через клиновидную кристаллическую пластинку, наибольшая толщина которой значительно меньше волнового фронта падающей вакуумной волны. Пограничные условия на входной грани, а также волновое поле внутри кристалла, которое формируется соответственно этим пограничным условиям, остаются неизменными и, следовательно, описываются в соответствии с вышеизложенным детальным анализом. Однако теперь в вакуум из кристалла выйдет по четыре волны для каждого состояния поляризации.
Рассмотрим л- и о-колебания вектора индукции. Амплитуды и волновые векторы падающей волны в вакууме и четырех волн, выходящих из кристалла, обозначим в этом разделе следующим образом:
砂，國，0亂國，國，
(3.86)
Roa, К^, К飘 K^, R総.
Выведем теперь выражения для волновых векторов в вакууме, например, К^. Для этого используем пограничные условия для волновых векторов, сначала на входной, затем на выходной гранях. Обращаясь к (3.1), добавим в обе части уравнения вектор 比:
(3.87)(3.87)(3.88)(3.88)碎=К。。+ 比 一 КЗ%。.
(3.87)
(3.87)
(3.88)
(3.88)
Привлекая далее (3.7) и (3.14), получим
X(mТГ7 十 У)+許孕亲.
(3.89)(3.89)Для формулировки пограничных условий на выходной грани используется схема (рис. 16). Через точки возбуждения А^ проведены прямые А^Р^\ параллельные нормали nd к выходной грани. Направление нормали — из кристалла в вакуум. Пограничные условия на выходной грани для каждого из векторов в вакууме можно записать следующим образом:
(3.89)
(3.89)
Рис. 17. К выводу формул для значений углов Хо И ХдРис. 17. К выводу формул для значений углов Хо И Хд
Рис. 17. К выводу формул для значений углов Хо И Хд
Рис. 17. К выводу формул для значений углов Хо И Хд
где, ио аналогии с (3.7),
KP^nd =(-読一 ％К%。十 К%区电=№•
(3.90)
Окончательное выражение для Khd получаем, подставляя в (3.89) значения 乃伊 из (3.88) и используя (3.14) и (3.90),
Khd = K02 + h — m1 {卷［V^- +У2 + У)—
一号(MiT?-»}+等(^-冷)+ 号K何，(3.91)
K-hd = Roa + " + 处(M1 + У — У)—
諧UE"} +參（計-前+辛^
ToTo(3.92)
To
To
Вычислим теперь значения углов между парами волновых векторов, т. е. % между кЙ и 乂拉между Км- Для этого обратимся к рис. 17, который в увеличенном виде изображает соответствующую деталь рис. 16. Угол 乂。七 K-'PQ)P&* где отрезок 夕⑴夕⑶ примерно перпендикулярен к векторам 衣総.Аналогично, угол
Рис. 16. Дисперсионная поверхность в обратном пространстве для клиновидной пластинки
乂拉 q K^Q^Q^, где отрезок Q^Q^ почти перпендикулярен к К趾
В соответствии с соотношением (3.35) вектор 4(2)4(», представляющий вектор КЗ。)九о — КЗ©)九°, вместе с тем является векторной разностью А?俨——А?о) или равной ей к^ —础).Из пограничных условий для волновых векторов на выходной грани следует
(А?俨一设＞D )танг =佯限一研^ )танг =
=(К^ 一 К^))тан「= (К闹 一 К禽)тан-(3.93)
Эти равенства становятся понятными из рис. 17, где отрезки 4(2)/。), p(2)p(i)и q(2)q(d, представляющие соответственно | 厶碇| и I Afc^l, I ARoJ I АКМ|, имеют равные проекции на прямую 力(DQ(2). Эта прямая, перпендикулярная к вектору nd, параллельна выходной грани.
Используя из (3.37) значение | А乃 | = А©)/。), получаем из рис. 17:
尸⑴Q(2)_ 4(2)4⑴ sin 卩=-^??J МГТ^ Sin 卩.(3.94)
Для определения приближенных значений углов 乂。и 乂九 введем средние значения 屮］для углов
一 /(矶％dX/(R孤d),/(碑飽dK/ /Md),(3.95)
屮拉 для углов
/ (碑％d) ^ z (K限九d)，Z (碱)％d) - Z (R&d)(3.96)
и обозначения
cos%三丫工 cos叫三犧(3.97)
В таком случае для указанных углов получаем
& 七 $ Р⑵尸⑴=q(2)尸⑴=S ” , МП7? , (3.98) каг0(T。%)'2т 0
Xh七亲Q⑵尸⑴=•(3.99)
厶(Torh )/2丫拉
Используя выражения (2.34), (2.35) и (2.62), можно написать
|Xh| = IXo|l^ = 2(l-n)l^-,(З.ЮО)
откуда
&=尸迎上，出=0雙上，
(То/)% 歹。'
Полученные формулы позволяют рассчитать углы расхождений волн 居？ и Км при прохождении рентгеновских волн через клиновидную пластинку.
Весьма интересным, с точки зрения эксперимента, является наблюдение и расчет интерференционных явлений в слабо расходящихся парах Kho и Khd- Эта интерференция относится к полосам равной толщины, т. е. разность фаз, отвечающая наблюдаемым при этом периодическим изменениям интенсивности, связана с величиной ЛА? согласно (3.37).
Точное значение периода интерференционной картины определяется величиной (I АК九dl)-\ т. е. вычитанием (3.91) из (3.92). Принимая
惜)弋九 а1Жа2,(3.102)
получаем,
М = (I AKhd I 厂1 =九{с I I р^亲 U1 + У? ( I 計一/ ) } • h (3.103) Выражение для ^\ h в явном виде определяется, очевидно, величиной векторной разности в круглых скобках, в правой части (3.103). Эта величина определяется одной из возможных экспериментальных схем [23]: 1) ребро клина перпендикулярно к плоскости, в которой лежат нормали п0 и nd к входной и выходной граням; 2) ребро клина наклонно к указанной плоскости. Здесь мы рассмотрим только первый случай. Схемы эксперимента будут различаться соотношениями углов 屮 и ср' между отражающей плоскостью, и пограничными плоскостями. Наконец, в каждой схеме возможны два хода лучей, которые различаются взаимными направлениями векторов:
[^Л1, [nQnd].(3.104)
Это условие эквивалентно отражениям от двух противоположных сторон отражающей плоскости. Схемы представлены на рис. 18, 19.
Вывод выражения (3.103) в явном виде, т. е. вычисление модуля разности векторов в правой части (3.103), облегчается рассмотрением рис. 20. На этом рисунке:
4⑴4(2)= | АА?|, 4(2)歹=% ]乌,
両 =02"⑴=0A团,业=血+卩.
Величина отрезка A^F определяется из треугольника A^A^F:
l/i + ^-^^osn,(3.105)
Рис. 18. Схемы прохождения через клиновидную пластинку
а, 6丁儲(₽'= <р + 卩，屯I = Wo + 20, lb =冗/2 — <p — 8, 1Ph 二屮八 ；
6, a-"，3 =屮 + u，2" =% — 20, Wo =n/2 - (p + 0,2九=屮九一n
Рис. 19. Схемы прохождения через клиновидную пластинку
а, е—竹，^г=屮——卩，屮九=Wo十20, Wo = л/2 —屮——О,屮八=屮九+ ц;
3 a—J% q/=屮一卩，屮九=Wo — 28, Wo = Л/2 — ср + О, <ф拉=屮八 + 卩
Рис. 20. К выводу формулы (3.106) елучайз九=3九+以Рис. 20. К выводу формулы (3.106) елучайз九=3九+以и ширина ее фронта велика срави ширина ее фронта велика срав
Рис. 20. К выводу формулы (3.106) елучайз九=3九+以
Рис. 20. К выводу формулы (3.106) елучайз九=3九+以
и ширина ее фронта велика срав
и ширина ее фронта велика срав
откуда, подставляя значение | А力 | из (3.37), получаем
А拉={ I АК；1d |} 1 — ^T/i V 丫о丫拉 X
X {С I 观 I Н + 沙2 М脸十 rl — 2n" cos 卩}乜 (3.106)
Это выражение упрощается в частных случаях схем (3.104) и рис. 18, б при屮拉仁卩，рис. 19, б при屮入弋卩.
При использовании схем рис. 18, б принимаем yh q cos 卩 и подбираем отражение с 丫九 q 1, откуда
m弋九］/丽{c I %拉I/不+于sin卩}Т.(3.107)
С другой стороны, в схемах рис. 19, а принимаем 次 Q cos 卩 и подбираем отражение с 丫九 弋 1, в результате
&弋九/ТШ {С I观I户+炉tg卩尸.(3.108)
При малых 卩 выражения (3.107) и (3.108) практически эквивалентны. Наконец, используя (3.101), получаем из (3.108)
ЛЛ =九嗝 1.(3.109)
Явления интерференции на клине будут рассматриваться в гл. 6 в связи с приближением сферической падающей волны, а также в гл. 9 в связи с экспериментальной проверкой динамической теории. В частности, будет рассмотрен эффект модуляции периода А 拉，вызванный биениями двух колебаний, соответствующих двум состояниям поляризации, а следовательно, и двум значениям С в формулах (3.106)-(3.108).
Рассматривая в этой главе распространение рентгеновских волн через кристаллическую пластинку, мы исходили из модели, включающей два важных условия: падающая волна явля-
ется плоской монохроматической
нительно с толщиной пластинки. Однако во многих случаях мы
встречаемся с иной картиной. Падающее излучение в действитель
ности представлено пучком волновых векторов в угловом интервале, превышающем угловую ширину динамического максимума, и протяженность фронта падающего излучения на входной грани значительно меньше толщины пластинки. Детальное рассмотре-
65653 3. Г. Пинскер
65
65
w
r
Рис. 21. Различные случаи прохождения через плоскопараллельную пластинку а — широкий фронт плоской падающей волны; б——узкий фронт плоской падающей волны, слева — в прозрачном кристалле, справа — в поглощающем; в — пучок лучей, проходящий через узкую щель
ние волнового поля в кристалле и вакуумных волн, выходящих через заднюю грань, в случае подобной схемы падения изложено в гл. 6.
Здесь мы ограничимся лишь некоторыми замечаниями по этому вопросу.
В 3.1—3.3 мы рассматривали условия, при которых оба поля в кристалле перекрываются. В 3.4 мы имели дело с волновым полем в клиновидной пластинке, и пограничные условия на выходной грани формулировались для каждого из полей в отдельности, хотя волновые поля внутри пластинки остались неразделенными. Это было результатом того, что фронт падающей вакуумной волны был принят широким сравнительно с толщиной пластинки (рис. 21, а). Иное должно наблюдаться при падении волны с узким фронтом, например, через щель. Если бы при этом можно было обеспечить параллельность волновых векторов по ширине щели, т. е. по-прежнему принимать вполне определенный угол падения, то внутри кристалла следовало бы ожидать разделения обоих волновых полей, причем в каждом из них разделялись бы волны с различным состоянием поляризации. На выходной грани кристалла каждое поле должно давать свой вклад как в прошедшую, так и в дифрагированную волны (см. рис. 21, d). Разделение полей внутри толстого кристалла является следствием того, что распространение энергии рентгеновских волн в кристалле, так же как и в случае кристаллооптики видимого света, происходит по направлениям векторов Пойнтинга, не совпадающим с направлениями волновых векторов. Эти вопросы подробно рассматриваются в гл. 5.
Однако в действительности использование щелей влечет за собой образование веера лучей. Собственно говоря, аналогичную структуру имеет и пучок лучей от рентгеновской трубки. В обоих случаях лучшим приближением является не плоская волна, а сферическая, как будет подробно показано в гл. 6. Здесь мы только обратим внимание на то, что в связи с наличием в падающем пучке 66
одновременно всех направлений или всех углов падения, во всяком случае в пределах максимума, в кристалле образуется широкий веер лучей или направлений распространения рентгеновских волн (рис. 21, б).
Вместе с тем показанные на рис. 21 наглядные модели должны рассматриваться как частные случаи падения на кристалл волны с произвольной шириной фронта, которая соответствует более общему представлению волнового пакета. Подобное представление рассматривается в обобщенной теории на основе уравнений Такаги и излагается в кратких чертах в гл. 12, а также частично в гл. 7 и 10.
Глав а 4
РАССЕЯНИЕ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ В ПОГЛОЩАЮЩЕМ КРИСТАЛЛЕ.
ОТРАЖЕНИЕ ПО ЛАУЭ
Теория рассеяния, изложенная в гл. 2 и 3, относится к прозрачному кристаллу без поглощения. Такое приближение является разумным и находится в хорошем соответствии с экспериментальными данными, если рассеивающий кристалл достаточно тонок и не содержит атомов тяжелых элементов, а рассеянное излучение имеет длину волны малую по сравнению с краями поглощения элементов, входящих в состав кристалла. Типичным примером является рассеяние излучений МоКа или AgKa в тонких пластинках кристалла кремния, на котором изучались эффекты, связанные с маятниковым решением (см. гл. 3, 6, 9). Очевидно, что переход к широкому кругу явлений, сопровождающих прохождение рентгеновского излучения с любой длиной волны через более толстые кристаллы, требует учета дисперсии и поглощения рентгеновских лучей.
В соответствии с этим изложению теории рассеяния в поглощающем кристалле мы предпосылаем краткое рассмотрение обобщенного атомного рассеяния, включающего поглощение.
Атомное рассеяние и поглощение
Точное вычисление атомного рассеяния в указанном общем смысле требует использования многоэлектронных волновых функций атомов. В таком случае при построении динамической теории для шредингеровского тока должно быть использовано уравнение (2.17), включая первый член справа.
К сожалению, в настоящее время многоэлектронные функции неизвестны и соответствующие точные расчеты пока невыполнимы.
'Поэтому, используя приближенные методы, различные авторы вычисляют дисперсионные поправки к атомному рассеянию, а теория рассеяния в поглощающем кристалле строится на основе метода, применяемого в классической теории дисперсии, т. е. введением комплексных параметров рассеяния [54].
Атомное рассеяние рентгеновских лучей с учетом дисперсии и собственно поглощения удобно рассматривать с помощью
определения Джеймса [8, 55]:
/ = %+節'+込广 / = /「+ %, (4.1) где /0 ——рассеяние излучения с длиной волны, много короче края поглощения; А/' и А/“ ——рассеяние, зависящее от дисперсионных эффектов, т. е. от частоты падающего излучения, причем А/"三 厶 определяется поглощением L
Обзор работ, относящихся к определению величин А/' и А/", примерно до 1950 г. приведен в монографии Джеймса [8]. В течение последних лет опубликованы новые работы, в которых достигнут определенный прогресс в теоретическом и экспериментальном определении параметров, входящих в (4.1). Здесь мы не будем останавливаться на определении величин А/' и лишь кратко рассмотрим методы теоретического вычисления указанных поправок.
Классическая теория дисперсии заменяет реальный процесс рассеяния атомами падающего излучения моделью колеблющихся диполей, обладающих определенными собственными частотами. Фактически учитываются лишь колебания электронов. Обозначая через(0$ = 2nvs собственную (круговую) частоту диполя, через <о — частоту падающего излучения и вводя коэффициент затухания р, нетрудно получить для амплитуды волны, рассеянной диполем на расстоянии единицы в экваториальной плоскости
决 3jEq
4 一 me2 (Dg - 0)2 + j,① , (4.2)
Для свободного электрона это выражение переходит в формулу Томсона для рассеяния одним электроном Ат =—卜±)石о・ Таким образом, рассеяние диполем в электронных единицах или функция рассеяния диполем
Знак / зависит от соотношения между со и cos и противоположен знаку амплитуды А, член Zps имеет заметное значение только в специальном случае, когда со q g.
Крамер и Манн дали значения атомных амплитуд /0 для нейтральных атомов 订всех элементов, а также для многих ионов в виде коэффициентов к следую- £ щей функции: .( j :
川嘤卜』4expj 阴+ С.
Эта функция с большой точностью передает значения вычисленные по методу Хартри — Фока [55а]. -
Разделение действительной и мнимой частей в (4.3) приводит к следующим выражениям:
(4.4а)(4.4а)(4.46)(4.46)_0)2 ®2 一 *)
(4.4а)
(4.4а)
(4.46)
(4.46)
—(0)2 一党)2 + 卢з2，
Р0）3
（0）2 一時）2 +卢炉
Для того чтобы установить соотношение между 力 и атомным коэффициентом поглощения 卩&, можно использовать значение показателя преломления % согласно (2.62). Как указано в 3.1, формула (2.62) относится к случаю падения вакуумной волны на кристалл под углом, не попадающим в пределы какого-либо максимума отражения.
Величина электронного заряда в единице объема р в выражении для коэффициента переломления
пп11ер九22лмс2ер九22лмс2(4・5)(4・5)
п
п
1
1
ер九22лмс2
ер九22лмс2
(4・5)
(4・5)
может быть представлена в виде
р = eZ = Ne/o,(4.6)
где Z — число электронов в единице объема; N — число атомов в единице объема и /0 — атомная амплитуда рассеяния в направлении падения начального пучка. Таким образом, получаем
九=1 -二三n/。.(4.7a)
тс2 2л J
Так как для случая прохождения в поглощающей среде фазовый множитель распространяющейся волны
ехр [—- 2л^ (Кп, г)]
при вычислении интенсивности не исчезает полностью, а преобразуется в множитель поглощения согласно (2.58), мы можем совершенно формально разделить как п, так и /0 на две части (действительную и мнимую)
久2
е2九2е2九2"r= 1一諸元"%门(4・76)
е2九2
е2九2
(4・7в)
В соответствии с этим множитель поглощения будет иметь вид
ехр 4л (Кщ, г) — ехр (— ”)・(4.8)
Если теперь ввести атомный коэффициент поглощения 卩女 то согласно (4.8) и (4.76) получим
n=.2卩s卩。=焉2九%丿.(4.9)
яч.
Еще раз подчеркнем формальный характер рассуждений, приведших к формуле (4.9), как впрочем и исходного соотношения (4.1). Действительно, в то время как рассеивающая способность атома /о г пропорциональна электронной плотности или числу электронов (для /0 просто совпадает с числом атомных электронов), 九 определяется вероятностями переходов, возникающих при возбуждении и ионизации атомных электронов. При этом /0^ для определенных видов излучения заведомо меньше полного числа электронов в атоме данного элемента.
Для действительной части атомной амплитуды, в случае, когда со не слишком близок к со$, можно в (4.4а) пренебречь коэффициентом затухания р и написать
厶= (4・1°)
(О2 — (0；
Это выражение можно преобразовать, используя весьма полезное понятие силы осциллятора.
Атом представляется в виде совокупности осцилляторов, разбитых на группы, каждая с определенным значением собственной частоты. Число осцилляторов с некоторой частотой ①$, обозначаемое g (s), называется силой осциллятора. В таком случае атомное рассеяние (4.10) может быть представлено в виде
g⑻党g⑻党(4.11)(4.11)
g⑻党
g⑻党
(4.11)
(4.11)
Классическому понятию силы осциллятора можно сопоставить вполне определенную величину в квантовой механике.
В результате квантовомеханического рассмотрения когерентного рассеяния рентгеновских лучей на атоме с одним электроном можно получить следующее выражение:
/г — /пп — 2 [^ &kn I %пк |2 з J" J，(442)
где Й —九/2п. В этом выражении для частот падающего излучения ①発①互几,fnn представляет полную величину когерентного рассеяния атома в состоянии п. В общем случае приходится учитывать дисперсию. Сравнивая (4.12) с (4.11), замечаем, что классической величине силы осциллятора g (s) отвечает величина
g (冗几)=鬻 3m I %nk I2-(4.13)
Величина xnk пропорциональна вероятности самопроизвольного квантового перехода атома из состояния 乃 в состояние п, которое будем считать нормальным. Для одноэлектронного атома состояния к могут быть квантованными, так как верхние уровни свободны. В случае многоэлектронного атома состояния к могут включать непрерывную область, т. е. отвечать фотоэффекту. В от-
Личйё от классической модели оСцйллятора В @@ квантовом эквиваленте сила осциллятора пропорциональна не числу осцилляторов, а вероятности перехода.
Наряду с силой осциллятора g (s) используется понятие плотности осциллятора, существенное для непрерывной области состояний. Величина dgld^ представляет число осцилляторов, приходящееся на частоты в пределах от(о до(о + ds. Полная сила осцилляторов, приходящаяся на данную атомную оболочку, очевидно, определяется из интеграла
g(s)= £ 圈产， (444)
причем для каждой оболочки имеет место специальный вид функции g ((о). В соответствии с (4.14) и (4.11) можно написать
88з2 (dgjd0s ~⑴0 - 3з2 (dgjd0s ~⑴0 - 3(4.15)(4.15)
8
8
з2 (dgjd0s ~⑴
0 - 3
з2 (dgjd0s ~⑴
0 - 3
(4.15)
(4.15)
где ①力——круговая частота падающего излучения.
Наконец, рассматривая долю, поглощаемую атомом из всей падающей энергии, можно показать, что плотность осциллятора следующим образом связана с атомным коэффициентом поглощения：
砲何①=盡%%(3)■&I6)
Далее из (4.9) и (4.16) получаем для 厶：
於=名千3儒卜(4.17)
Для вычисления dg/da)из (4.16) необходимо знание закона изменения 卩(①)с частотой в пределах данной электронной оболочки. Некоторые авторы использовали следующий эмпирический закон:
卩(з) =倍” (д)，(4.18)
здесь значок s означает, что данная величина относится к краю поглощения. На основе тех или иных соображений выбиралось определенное значение г, которое зависит также и от порядкового номера элемента.
Поправки А； и А/〃，вычисленные с помощью (4.16), (4.17) и (4.18), вошли в расширенном виде в международные таблицы [56]. Наряду с этими данными мы здесь отметим три работы, посвященные вычислению теоретических величин А/' и А尸.Далее мы сопоставим вычисленные значения А/" с наиболее надежными экспериментальными значениями для Ge.*
Крамер [57], стремясь обойти необходимость использования экспериментальных значений 卩。，вычислял сначала значения силы осциллятора, а затем из уравнения (4.16) теоретическое значение %• Величины А/〃 и А/' определялись из (4.17) и (4.15). В выражении (4.15) плотность осциллятора может быть выражена также через величину %.
При вычислении квантовомеханического эквивалента gK для /Г-оболочки использовалось выражение
g*J = $NE max (Z, 〃)⑶+ 1)[% 0, /, Z；广;1,1)]2 X
Х^Г$ Pn^urPn^dr^,(4.19)
о
в котором AZ ——разность энергий двух состояний; (2/ + 1)—— кратность конечного состояния; И ——поправка, используемая при вычислении сложных спектров; F'——частичная занятость конечного состояния; Р ——радиальные функции Хартри, которые были в расчете заменены на релятивистские атомные функции. С деталями расчета можно познакомиться в литературе, приведенной в работе Крамера.
Несмотря на более строгий расчет используемых волновых функций, в работе Крамера, как отмечает сам автор, точность вычисления А/' и А/" была существенно ограничена использованием зависимости % от ① согласно (4.18). Автор приводит таблицы вычисленных им значений А/' и А/" для элементов с атомными номерами от 10 до 98 и пяти характеристических излучений: Ст, Fe, Си, Mo, Ag Ка.
В работах Хэнля [58] и Вагенфельда [59] использовались для расчета водородоподобные атомные волновые функции.
Хэнль воспользовался результатами работ Сугиура [60], который вычислил плотность осциллятора в К-континууме для одноэлектронного атома. В пределах отношения(о/о)к = zk от 1 до 4 величина g ⑵，согласно Хэнлю, составляет
g(z)弋叶国(4z—1),(4.20)
в то время как плотность осциллятора по Сугиура
dg _ 27 g(z)
Для перехода от водородоподобного к реальному атому Хэнль ввел ряд поправок. Во-первых, была введена поправка на экранирование заряда ядра. Эффективный заряд ядра для Х-электронов был принят Z ——s, где s ——константа Слейтера, равная 0,3. Во- вторых, влияние внешних электронов было сведено к дополнительному потенциалу в области К-оболсшки. Наконец, в выражении для энергии ионизации к величине (Z — s)2 добавлялась реляти-
вистская поправка вида a2 (Z — s)4/4, где а — постоянная тонкой структуры оптического спектра. В результате исправленная частота края поглощения ①衣=о)к (1 — §к), где 6^ = =(1 — 911/Л^Л),入 к в ангстремах, 4 = (Z — 0,3)2 + 1,33х Х10-5 (Z — s)4.
Формулы Для вычисления величин А/' и А/〃, которые были использованы Джеймсом, получаются при подстановке значения dg/ds из (4.21) в (4.16) и (4.17), причем значение g(z) в (4.21) берется из (4.20) и z =(о/о)к：
А4 = 4" ехр (- 4) {渕*誌L -
—■仔 + 3 In I I)},(4.22)
Мк = 丁exp (— 4) n{%2a —6k)2 z3(1 — 6衣)3 卜 z〉4,
A/'k = 0，z<1.(4.23)
Таблицы значений А/' и А/" для К-оболочки в функции от 6^ и 九/入к приведены в приложении III монографии Джеймса [8].
Переходим к методу расчета %, использованному Вагенфельдом. Для вычисления поперечного сечения поглощения а или совпадающего с этой величиной 卩。применялось общее выражение, получаемое на основе водородоподобной функции,
% =寨 22 |<^|Аехр(2лВД|р>|2.(4.24)
1',т',п，1,т,п
Здесь р ——начальное состояние с квантовыми числами п, Z, т связанного электрона; р' — конечное состояние выбитого свободного электрона с квантовыми числами К Г, т\ Для того чтобы определить пространственное распределение выбитых фотоэлектронов, необходимо анализировать множитель запаздывания ехр (2п2К/), в котором х есть направление распространения рентгеновской волны, а в качестве направления электрического вектора выбрана ось у. Указанный множитель может быть представлен в виде ряда
ехр (2niKx) = 1 + 22пК力 一 2n2K2炉十..(4.25)
Это разложение можно связать с определенной физической моделью: его члены соответствуют излучению диполя, квадруполя и т. д. Будучи предложено еще в 1930 г., оно было подробно рассмотрено в упомянутой работе Хэнля [58], который сделал численную оценку вклада отдельных членов ряда (4.25) и отметил пренебрежимо малый вклад квадрупольного, а тем более последующих слагаемых. Однако квадрупольные члены могут быть использованы для вычисления величин %无厶 как будет показано далее.
При вычислении отдельных членов (4.25) были использованы
известные правила перехода: для диполя 2->Г = 2±1,в частности для ^-поглощения Z' = 1; для квадруполя Z + ? = 2士 2) для Х-поглощения Г =2. В отличие от Хэнля Вагенфельд приводит формулы для вычисления оа или 卩。Для поглощения на К-, 厶-и М-оболочках. Однако в работе Гутмана и Вагенфельда [61] фактически вычислены лишь коэффициенты поглощения на к- и L-оболочках. Как отмечают эти авторы, существенный прогресс в надежности и точности расчетов, основанных на водородоподобной модели, стал возможным благодаря опубликованию более точных значений длин волн характеристического излучения большинства элементов (см. [59]). Эти данные позволили вычислить константы экранирования s^ не только для /^-поглощения, как в расчетах Хэнля, но и для L- и 7И-пог л ощенил.
Расчетные формулы, которые были использованы автором [59] для вычисления поперечного сечения поглощения на данной оболочке, легко вывести (например, для К-оболочки — дипольный член) следующим образом. Для квантовомеханического выражения силы осциллятора используется не приближенное соотношение Хэнля (4.20), а более точная формула Сугиура:
傢=ехр[—(4/匕—l)]arctg(z —I)*%1 — exp (— 2r/(z — I)1-2)
(4.26)
Из (4.9) и (4.17) следует
(4・27)
Так как需=s詁碧'то, используя (4.21), (4.27) можно переписать в виде (для двух электронов)
吃=等卧俵Yg К()(428)
где g (z) определяется из (4.26), и
九К = (Z _ Sr)2 区8, Eg =等・(4.29)
Квадрупольный член для Х-поглощения
(4.30)
где А© — hlmc ——комптоновская длина волны.
Аналогично для £-поглощенйя
吋=吆十喘=4U S 屮(1 + 32)^ (z) +
+ 2噥屮卜+乳海(2), (4.31)
吧=處+喘=^嗯冬纣一1)2十
4 ° 統(11—6屮)(1+3屮) сох
где 屮=九/九厶，gL (z) отличается от gK (z) тем, что z в (4.26) является функцией от 入厶.Релятивистские поправки в этих расчетах не вводились.
Таблицы, вычисленные Гутманом и Вагенфельдом, содержат значения атомного поглощения в отдельности для дипольного и квадрупольного членов, а также их сумму
% и吧+眼 此=眩+吧 m = m十吧 (4・33)
Указанные величины вычислены для элементов с атомными номерами от 11 до 84 для излучений от AgK0i (0,4975 А) до СгКаг (2.2897 А).
Следует подчеркнуть, что методы расчета, использованные Хэнлем, Крамером и Гуттманом и Вагенфельдом, не позволяют с необходимой надежностью и точностью вычислить величины А/' и А/" в непосредственной близости к краям поглощения соответствующих элементов. Кроме того, несмотря на учет релятивистских эффектов в работах Хэнля и Крамера, соответствующие методы расчета, строго говоря, неприменимы к тяжелым элементам.
Важно далее отметить, что какая-либо теоретическая оценка надежности и точности изложенных методов расчета величин А/' и ft представляет трудную и нерешенную задачу. Поэтому, особое значение прибретает экспериментальная проверка величин, вычисленных в упомянутых работах.
Не останавливаясь на детальном анализе опубликованных работ, посвященных экспериментальным определениям коэффициентов поглощения рентгеновских лучей, заметим, что такие определения связаны с рядом непреодоленных до сих пор трудностей и не отличаются достаточной точностью.
Существенный прогресс достигнут в работе Гримвалл и Перссон [62], которые измерили линейные коэффициенты поглощения в Ge ряда излучений. В табл. 2 указанные экспериментальные данные сопоставлены с теоретическими значениями |iGe, вычисленными авторами работ [55—58, 61]. Как можно видеть из приведенных величин Д.%, экспериментальные данные для А V Ак лучше всего согласуются с теоретическими, полученными в работе [58], в то время как для 九〉九к наилучшее соответствие имеет 76
Таблица 2. Сопоставление теоретических значений у Ge (см^) с экспериментальными для Ge
Излучение
卢[62]
В [58]
△, %
1ХТ [61]
А, %
В [57]
△ , %
Х-поглощение
AgKB
九= 0,497
125
108,2
13,5
126,7
1
4,3
Ag/Ca
九=0,559
147
148,8
1
174,8
12
179,5
12,2
3,6
МоКр
九= 0,6323
210 '
197
6
244
16
2,8
МоКа
X = 0,709
274
290
6
332
21
409
50
2,2
L-поглощение
CuKB
九=1,392
296,5
253,5
6
0,8
CuKa
九=1,541
352
338
4
400
14
0,6
FeKB
九= 1,756
510
494
3
0,45
FeKa
九=1,936
670
652
2,8
0,35
CrKB
九= 2,085
827
806
2,5
0,3
CrKa
九= 2,29
1090
1055
3
1060
2,5
0,2
место для данных работы [61]. Последнийстолбец таблицыдает оценку точности и надежности теоретических расчетов величин ^hi.
Комплексная форма параметров динамического рассеяния [63]
Обратимся теперь к параметрам динамического рассеяния в идеальных поглощающих кристаллах.
Величины поляризуемости и коэффициенты ее Фурье-разложения становятся в этом случае комплексными:
% =小 + i左， Хо = Xor + 玖Oi, Xh = :Ьг + ilhi^ (4.34) Волновые векторы волн в кристалле также становятся комплексными.
При падении вакуумной волны за пределами области максимумов отражения мнимая часть волнового вектора будет связана только с нулевой слагающей Фурье-разложения %, именно с %о [см. (2.61)]:
k^K^ + ^a.r + i1^^(4.35)
吗=1/2r儿」(4.36)
Фазовый множитель для такой волны в кристалле при переходе к интенсивностям преобразуется согласно (2.58).
Если угол падения попадает внутрь какого-либо максимума, волновые векторы волны в кристалле ^ и 噬 становятся комплекс-
ными через посредство как %。, так и %拉. В соответствии с (3.1) можно написать
破)=К^ 一 К&%° — iK8^n0.(4.37)
Аналогичное соотношение можно написать для вектора 碑,причем, как это следует из соотношений (3.7), вектор 乃伊 также становится комплексным из-за функции 3⑴.Таким образом,
k^^K^n.^k^i(4.38)
Сопоставляя (4.8), (4.35) и (4.36), можно написать
2一言^6(4・39)
Обратимся к соотношениям (4.34) и используем аналогию между амплитудами рассеяния /г и Fhr и поглощения % и Fhi.
Для действительной части % и %拉 можно написать очевидные выражения
絡= ^^\Жехр2п*(з-8°,1*)М =_鳥^力(4.40)
(где % должно включать как дисперсионную поправку, так и фактор Дебая — Баллера),
%"「= G \ %「呵 2加(叫 dx =-鳥与％(4.41)
При 无=0 мы получаем выражение (2.35). Аналогично (4.40) мы можем написать для %» следующее выражение, формально вводя мнимую атомную амплитуду %:
%=一鳥千■拉(4.42)
%仆=_鳥^'/2九=一蒸.(243)
ЯЧ
С другой стороны, из (4.9) получаем
储=若击%,脑=響4噌•(44)
Весьма существенной является угловая зависимость 九，а следовательно и %•
В работе Хэнля [58] было показано, что отдельные составляющие по мультипольностям в (4.25) имеют, вообще говоря, различные поляризационные множители. Таким образом, следует различать 居 и |i^, где значки сверху обозначают состояние поляризации падающего излучения относительно плоскости отражения. В соот-
ветствии с этим можно записать [59] [сравните с (4.33)]
吗=峭十吟|cos28|,
卩』=卩？ I cos 28 I + 吟 I cos 4ft |.(4.45)
Кроме поляризационных множителей следует учесть для %九月 (но не для %ог0 температурную поправку. Мы введем температурный множитель Дебая —— Баллера ехр (——〃)，тот же, который вводится в действительную часть атомной амплитуды (см. также [35]). Таким образом, для неполяризованного падающего излучения следует написать
%м =-鳥芸 2 九稣 С exp 2m (М,(4&6)
яч
или с учетом приведенных соотношений
%m=-г 2 也")ехр 2м(九＞)ехр (- M), яч
噌』(吗 + 卩』)，Г= (2nKQ)T.&47)
Заменяя показательную функцию на тригонометрические и принимая, что температурный фактор включается в величины / и |л^\ выпишем следующие формальные соотношения. Для отражения hkl (/ — номер атома в базисе):
%/г = %Г + 恤。=-(储 + i加)(cos%• + iSi吗)],
%hr = — F 2 (加 cos % + ifrj sin %),
ЯЧ
Xhi = — Г 2 (%cos % + ifij sin ф.)= , ЯЧ
=—Г 2 (啮)cos ф. + 2 阍)sin ф.).(4.48)
яч
Для отражения 五应：
友=左Г + ^м = _ Г 2 (加cos ф. - ifrj Sin ф.)— яч
—汀 2 (卩潔 cos фу—小^)sin ф.),(4.49)
яч
me2 jiQ '
% = 2r (hxj + ky.十 ％).(4.50)
Очевидно, что величины %Ог и %oi, не содержащие фазовых множителей, являются действительными, в то время как %九「и %九》— комплексными.
Далее, из выражений (4.48) и (4.49) следует, что
碌=片Г，项=左汇(4.51)
Причем, в отличие от параметров прозрачного кристалла, при отсутствии центра симметрии,
m/左・(4.52)
Использованная форма записи комплексных величин %hr и %hi сопоставляется с другой формой:
机г = I %九「I exp 加九，\r = I ХЛг I exp (— ^J,(4.53)
观2 = I机/ exp咻，%后=I %加I exp (-叫).
Сопоставление (4.48), (4.49) и (4.53) позволяет определить фазы “拉 и ①九(опускаем значки /)
(4.54a)(4.54a)cos % = p^ 2 fr cos ф, sin % = j^j £ fr sin g
(4.54a)
(4.54a)
cos ^^iT^i S/i cos(pcos ^^iT^i S/i cos(psin3h = r^|2/'SinW =sin3h = r^|2/'SinW =—11e開叫一1—11e開叫一12 噌)cos(p,2 噌)cos(p,12吧Sin屮,12吧Sin屮,(4.546)(4.546)
cos ^^iT^i S/i cos(p
cos ^^iT^i S/i cos(p
sin3h = r^|2/'SinW =
sin3h = r^|2/'SinW =
—1
1e開叫
一1
—1
1e開叫
一1
2 噌)cos(p,
2 噌)cos(p,
12吧Sin屮,
12吧Sin屮,
(4.546)
(4.546)
(4.54b)(4.54b)I %" = У (£ fr cos ф)2 + (T fr sin(p)2, I 2 吧户 U (2 附)COS屮)2+(2 附)sin屮)2, \Fhi\ = V(2力cos(p)2 十(X力sin(p)2.
(4.54b)
(4.54b)
Следует обратить внимание на то, что | Fhr | и | Fhi | ——величины безразмерные, | 2卩£九)| согласно (4.54в) имеет размерность |1а, т. е. [см2]. Введение этой величины диктуется удобством использования таблицы значений 卩。[61].
Рассмотрим теперь значения %”％五 и ] %"%五 |, которые войдут в формулы для Т и Е. Как указано [см. (4.52)], в поглощающих кристаллах %拉 и %元 не являются комплексно-сопряженными. Используя (4.48)—(4.51), получаем
观左=(猊Г +恤0 (左Г + %J三%r + Z%加(%+女詁
На основании (4.53)
%% = IX" |2 — I %冶 I2 + I 線711 机/ exp [— fvj +
+ 2I%”i| exp [ + M]=①” + X*,
①八—I %hr『一I ^hi |2j 屮九=2 ] X^r I I I COS V”； Vh — Л/L —①h・
(4.55)
Далее
(4.56а)(4.56а)阳=力 ％r + %J（*r - iX；H）= 了（猊Г十双加（卄r-zyj .号К ^hr +以元）嗚一%）了篁后十以无）（断г - %卩
(4.56а)
(4.56а)
w+2 * sEv",
аналогичноIII-1-2аналогичноIII-1-2XfiiXfiisin %.sin %.(4.566)(4.566)
аналогично
III-1-2
аналогично
III-1-2
Xfii
Xfii
sin %.
sin %.
(4.566)
(4.566)
При выводе (4.56) величины | XhJXhT |2 отбрасывались как величины второго порядка малости. Согласно (4.54),
V /г cos ф р 卩七2 sin ф
cos V产{回1?噌)|} 1 &,'= 一別戸Е屮T噌)cos(p， ° (4.57)
£ 厶 sin 屮 у fr cos ф
S nV” = {1&/囹噌)]} 1 A, A= у 噌)sincp £ 噌 coscp ・
Заметим, что величины cos vh и sin vh являются безразмерными, как и должно быть. Для центросимметричных структур 笃拉 л со九 обращаются в 0 или л, и тогда cos vh = 土 1 и sin vh = 0.
Используя эти соотношения, преобразуем (4.56) следующим образом:
I舟NGI舟NG
I舟NG
I舟NG
Таким образом, соотношение между людулями обоих отношений определяется знаком детерминанта или согласно (4.56) знаком sin vh.
Наряду с коэффициентом линейного поглощения 卩，относящегося к любому направлению в кристалле, в дальнейшем используется линейный коэффициент поглощения в направлении нормали к входной поверхности:
2冗《/I2冗《/I(4.59)(4.59)
2冗《/I
2冗《/I
(4.59)
(4.59)
Наконец, для комплексной угловой функции р можно написать
В = Вт + %•氏，Br = 2nsin2e + |%or I (1 — ^), 氏=%|(1 一今).(4.60)
Таблица 3. Значения линейного коэффициента поглощения р (в еле'1) и действительной и мнимой частей нулевого члена Фурье-разложёния поляризуемости |%0| ЛО6
Элемент
Параметр
Излучение
Элемент
Параметр
Излучение
CuKa
МоКа
AgKa
CuKa
Mo Ka
AgKa
Si
卩
Хот
Xof
143,0
14,862
0,351
14,3 3,156 0,0162
11,2 1,963 0,00998
Ge
卩
Xor
352,0
30,438
0,863
290,0
6,461
0,328
148,8
4,024
0,133
В табл. 3, 4 приведены значения | хОг I， | %九「|,卩,| %oz | и I ^拉？ I для Si и Ge и трех характеристических излучений AgKa, Мо左а и СиКа.
Значения | хОг | и | %力「| в табл. 3, 4 вычислялись по величинам %, взятым из [56]. В эти значения были внесены поправки на аномальную дисперсию, вычисленные с помощью таблицы в работе [8], и множитель Дебая — Баллера. Значения дебаевской температуры приняты для Si 543° и для Ge 296°. Значения линейного коэффициента поглощения были определены из таблицы работы [61] для Si и из наших табл. 3,4 для Ge. При этом для излучений AgKa и МоКа использовались величины 卩=148,8 см~1 и 290,0 сж"1, а для СиКа — 352 сж-1. Из значений р, непосредственно по формуле (4.39) вычислялись %oi.
Для определения величин | Xhz I， относящихся к Si, и для излучения Си Ка — к Ge, согласно (4.45), вычислялись 卩* и 掰 причем 卩? и 卩£ брались из таблицы работы [61]. Далее использовалась формула (4.47) для определения 卩£)и (4.48)——для вычисления I хм I- “
Определение величин | %九》| для Ge в случае излучений AgKa[ и МоКа этим путем невозможно, так как соответствующие раздельные значения 卩? и 卩£, взятые из работы [61], дают в сумме величину, приводящую к 卩=174,8 и 332 см」，что значительно превышает соответствующие экспериментальные значения 148,8 и 290 сж"1. Эти данные приведены в табл. 2. Поэтому, используя указанные величины 卩f и 卩£, мы придем к нелепому результату I Xot I V j X%i .] В качестве приближенных значений | ^hi | мы приводим в табл. 5 величины, основанные на допущении 80 = %拉丿％0»= = 1. Эти величины вычислялись по формуле (4.48),卩即 一 по (4.47), в (4.45) принималось 卩書 а % у 卩?，卩』р % Q 卩？cos 2仔 или
附)^%(1 + I cos 20 1)/2.
Таблица 4. Значения действительной н мйпмой частей коэффицйейтов
Фурье-разложения поляризуемости |%^| • 106
Элемент
Излучение
Отражение
ill
220
311
400
丨为严
I-106
CuKa
8,09
9,74
6,29
8,17
МоКа
1,70
2,04
1,32
1,74
Si
AgKa
1,06
1,27
0,82
1,06
CuKa
17,62
21,36
14,22
18,16
Ge
MoKa
3,95
4,84
3,23
4,16
AgKa
2,45
2,99
2,00
2,57
IxmI-io6
CuKa
0,245
0,340
0,237
0,327
MoKa
0,0113
0,0168
0,0110
0,0152
AgKa
0,00436
0,00608
0,00422
0,00583
Ge
CuKa
0,586
0,810
0,565
0,781
Элемент
Излучение
Отражение
331
333
'440
444
I观r|・W
CuKa
5,56
5,11
6,64
6,22
MoKa
1,17
1,13
1,39
1,17
Si
AgKa
0,72
0,70
0,86
0,72
CuKa
12,11
10,78
14,16
11,61
Ge
MoKa
2,79
2,50
3,31
2,77
AgKa
1,72
1,54
2,04
1,70
I Хм 1-Ю6
CuKa
0,228
0,222
0,308
0,295
Si
MoKa
0,0106
0,103
0,0142
0,0134
AgKa
0,00409
0,00398
0,00550
0,00516
Ge
CuKa
0,545
0,526
0,730
0,684
В заключение заметим, что величины [ Xhi | и I Xoi , приведенные в табл. 3—5, вполне удовлетворяют условию ^hi | У W I Х%「J (Д = 0, Л) и относятся лишь к легким и средним элементам и к излучениям, заметно отличающимся по длинам волн от краев поглощения этих элементов.
Таблица 5. ^наченйя мнимой части Фурьё-рАзлоясенйя поляризуемости I Хм I • Ю6 для Ge
Излучение
Отражение
Ш
220
311
400
331
333
440
444
МоКа
0,229
0,317
0,221
0,306
0,214
0,207
0,287
0,268
AgKa
0,093
0,129
0,090
0,124
0,087
0,084
0,116
0,109
Вывод точных формул
для коэффициентов прохождения Т и отражения R
в случае поглощающего кристалла
Здесь мы рассматриваем случай неразделенных полей, который соответствует падению вакуумной волны с шириной фронта, превышающей толщину кристаллической пластинки. Вывод указанных формул аналогичен тому, который использовался в случае прозрачного кристалла и изложен в 3.3. Однако расчет осложняется ввиду комплексного характера переменных с⑴,3⑴ и W.
Точные формулы для Т и R, относящиеся к общему случаю рассеяния в кристалле без центра симметрии и при любом соотношении между модулями | ^hr | и | ^hi |, были выведены Зелин- ской-Рогозинской [64]. Наше изложение очень близко к выводу, • данному этим автором, однако мы сохранили тот смысл обозначений ^拉厂 и у”％ который, следуя Лауэ, мы ввели ранее.
(4.61)(4.61)(4.62)(4.62)Исходим из формулы (3.11) для с⑴：
(4.61)
(4.61)
(4.62)
(4.62)
2e（丫Wo）/，
В 土呼=岱土刃丿+ Z低土恥）,
где W определяется по (3.58). Умножая числитель и знаменатель дроби на %元，получим
⑴_(/Г 一以应)咆士可)+ »他士%)]
_2。(优0)1号12
Заменяя знаменатель в правой части (4.63) буквой р, выпишем
в явной форме значения четырех величин С?)и с£)
吟)=-pт [/r(Br + Wr) + 左式氏 + ^)],
中)=一* &Г他 + S) 一 %元(Br + W J,
Y)= 一 口】1% (Br - Wr) + %欣(氏一M)],&64)
*）=一口"卄,他一％）一左厶伪一 WJ.
WI можно получить, комплексного числа：WI можно получить, комплексного числа：Точные выражения для величин Wr и
WI можно получить, комплексного числа：
WI можно получить, комплексного числа：
применяя правило извлечения корня из
1wr = ^[V^T^ + a\}2 >0,1wr = ^[V^T^ + a\}2 >0,1叭=拎卜^1^_叫2〉0,(4.65)6=2以氏 + 402?屮".(4.66)То
1
wr = ^[V^T^ + a\}2 >0,
1
wr = ^[V^T^ + a\}2 >0,
Приведем явные выражения для величин (5⑴ + ^⑶)и (5⑴一5@)), являющихся теперь комплексными. Из уравнений (3.10) следует
；需)=一券[個土%) + X 值 土 叫И,(4.67)
и тогда [см. (3.7)]
聲=偽-第w=凭一幫土
(4.68)
Подставим эти величины в суммы и разности 5⑴：
з⑴ + 谷⑵=з£)+ з,))+ % ©D + 3紡，
3⑴—з(2)= (б(1)一货)+ z(б(1)_ 陋).(4.69)
Получим для действительных и мнимых составляющих
吃+ 3，)=笠_子，3?)+吃= _=_等㈡+专), 4九T 0To乙\ I九io/
(4.70)
脚一货=^, 胪-瞭=亲.(4.71)
丄+%力丄+%力(4.72)(4.72)Необходимо также учесть, что
丄+%力
丄+%力
(4.72)
(4.72)
inKt\^ + 6^2)) + Z 3产 + 3 貝)]=nKt
5K"(严一吃)+ X传胃一3竺]=nKt r + inKt^, (4.73)
Повторяя теперь вывод, изложенный в 3.3, перепишем формулы (3.53) и (3.54) для волновых функций преломленной и дифра-
гированной волн применительно к кристаллу с поглощением
D^}=少俨D^}=少俨11（《2）-k））+ i（《2）— 4i）”exP（《2）-k））+ i（《2）— 4i）”exP
D^}=少俨
D^}=少俨
1
1
（《2）-k））+ i（《2）— 4i）”exP
（《2）-k））+ i（《2）— 4i）”exP
X exp [ inKt 施一等)][(喀 + 码2)) exp j — nК典]x
(4.74)(4.74)X exp ^inKt^^ — (*)+ X*))exp [冗&或| X X exp [— inKt ^]},
(4.74)
(4.74)
吟明七祥;У exp"乎+ »] X
X exp "加源一智мeхр [一 "及第X
X exp [хл:А7^； — exp [лЛ7誥]exp |^—Z^^^jj . (4.75)
Переходя к величинам T и R, умножаем приведенные уравнения на сопряженные комплексные величины. При этом используем соотношение (4.43) и в интерференционных членах используем тригонометрические функции.
Точные формулы для Т и R имеют следующий вид:
0『)2ехр[—(財2)爲i+員"]砂=1$)—《2)|2 + |4。—《2)|20『)2ехр[—(財2)爲i+員"]砂=1$)—《2)|2 + |4。—《2)|2I— с,) |2 + ] с?) — «2)]2[2 \Т0 丫八I— с,) |2 + ] с?) — «2)]2[2 \Т0 丫八xx十 exp ^nKt ^] — 2 cos 卜A7十 exp ^nKt ^] — 2 cos 卜A7£• (4.77)£• (4.77)
0『)2ехр[—(財2)爲i+員"]
砂=1$)—《2)|2 + |4。—《2)|2
0『)2ехр[—(財2)爲i+員"]
砂=1$)—《2)|2 + |4。—《2)|2
I— с,) |2 + ] с?) — «2)]2[2 \Т0 丫八
I— с,) |2 + ] с?) — «2)]2[2 \Т0 丫八
x
x
十 exp ^nKt ^] — 2 cos 卜A7
十 exp ^nKt ^] — 2 cos 卜A7
£• (4.77)
£• (4.77)
Несмотря на достаточно сложный характер этих выражений и трудность их качественного анализа, все же они ясно показывают одну замечательную черту явления прохождения рентгеновских лучей через совершенный поглощающий кристалл, а именно —— эффект Бормана.
Действительно, рассматривая эти формулы, можно заметить, что члены в фигурных скобках описывают последовательно волны, принадлежащие первому и второму полям и их интерференции. Поглощение представлено общим множителем, стоящим перед
скобками, и дополнительными множителями, относящимися к каждому из двух полей. При этом дополнительный множитель при первом члене в скобках, относящийся к первому полю, имеет знак показателя степени, совпадающий со знаком показателя общего множителя перед скобкой, в то время как дополнительный множитель при втором члене имеет обратный знак. Следовательно, если относить общий множитель к «среднему арифметическому» между поглощением проходящей и дифрагированной волн в кристалле,
——(曷(党 + 疗)， 478)
то при падении вакуумной волны в области максимума возникает дополнительное или «интерференционное» поглощение:
(4.79)(4.79)Ж.
(4.79)
(4.79)
^h
Его характерной чертой является различие в знаке, что приводит к усилению поглощения одного поля и существенному ослаблению поглощения другого поля. Другими словами, при рассеянии рентгеновских лучей в поглощающем кристалле возникает ано
мальное поглощение одного поля и аномальное прохождение рентгеновских лучей другого поля. При достаточной толщине t кристаллической пластинки проходящая и дифрагированная волны в вакууме будут формироваться только за счет одного из полей
в кристалле.
Вывод приближенных формул
для коэффициентов прохождения Т и отражения R
В настоящее время основным материалом, на котором ведется количественное экспериментальное исследование динамического рассеяния рентгеновских лучей, являются монокристаллы Si, Ga As, кварца, кальцита, Ge, Си. Эти монокристаллы состоят из атомов легких и средних элементов периодической системы. Можно полагать, что при рассеянии в таких кристалах излучения с длиной волны X, не очень близкой к краю поглощения на К- или L-оболочках рассеивающих атомов, выполняются условия
l^iKI^I， %|У%г|, I 呼|<<|仇|・(4.80)
Кроме того, взаимодействие падающего рентгеновского излучения с атомами в таких кристаллах (сравнительно с рассеянием на атомах тяжелых элементов) лучше удовлетворяет приближенным методам расчета параметров поглощения, изложенным в 4.1. Как было показано Захариасеном [15] и Лауэ [12], использование этих условий и пренебрежение квадратами мнимых составляющих при наличии квадратов действительных компонентов %()「и ^hr
позволяет вывести более простые формулы для Т и /?. Такие формулы удобны для проведения детального качественного анализа явления и фактически с успехом используются для достаточно точного количественного сопоставления с экспериментом. Вывод приближенных формул может быть сделан путем простых преобразований.
Будем пользоваться в качестве угловых переменных величинами ^ и о, которые здесь должны рассматриваться как комплексные функции. На основе уравнений (3.13), (4.60) и условий (4.80) можно написать для ^
У = % + »% =У = % + »% =2c 仔(％ + $)『2С [^ФТ2c 仔(％ + $)『2С [^ФТ2%」’2%」’Уг-Уг-色一（自屮”/2①"）色一（自屮”/2①"）(4.81)(4.81)
У = % + »% =
У = % + »% =
2c 仔(％ + $)『2С [^ФТ
2c 仔(％ + $)『2С [^ФТ
2%」’
2%」’
Уг-
Уг-
色一（自屮”/2①"）
色一（自屮”/2①"）
(4.81)
(4.81)
Значение мнимой части угловой переменной о» получаем при помощи тождества
sh р — sh 〃r cos з + % ch vr sin 4.(4.82)
(4.83)(4.83)На основе приближения cosgyl, sin 3ss
(4.83)
(4.83)
можно написать
(sh 0上
(4.84)(4.84)(sh u)「к sh s 弋 sin 生=-・
(4.84)
(4.84)
Откуда, используя (4.81) и (3.13), получим
。二 % 二:生 一(8 产"2%),.
2 2c 侍% )\1+小
/‘ 生%屮"、1
(4.85)(4.85)^ I '" ' ' ' * . ・ ■ I,
(4.85)
(4.85)
ic^hy 2%丿(宀屮
Для величин Wr и Wt используются приближенные значения, которые получаются из точных следующим простым преобразованием. Пренебрегая в (4.66) величиной 0? по сравнению с 卩^ [см. (4.60)], получим для Wr
Wr ^Wr^Wr ^Wr^/ 佛+ *2±0)拉./ 佛+ *2±0)拉.(4.86)(4.86)
Wr ^Wr^
Wr ^Wr^
/ 佛+ *2±0)拉.
/ 佛+ *2±0)拉.
(4.86)
(4.86)
Приближенное выражение для W\ можно получить, умножив и разделив второе уравнение(4.65) на Wr и заменив в знаменателе Wr на Ж；:
W^W^^ 2WrW^W^^ 2Wrв晶+ 2e2（Y拉小）壮 m琛十40（丁"/丫。）①hв晶+ 2e2（Y拉小）壮 m琛十40（丁"/丫。）①h487)487)
W^W^^ 2Wr
W^W^^ 2Wr
в晶+ 2e2（Y拉小）壮 m琛十40（丁"/丫。）①h
в晶+ 2e2（Y拉小）壮 m琛十40（丁"/丫。）①h
487)
487)
Вывод приближенных выражений для Т и R можно выполнить, используя метод, изложенный в 3.3, как это было сделано выше для точных значений указанных коэффициентов, но с привлечением приближенных значений функций, входящих в эти выражения.
Для величин с⑴ используем сначала (3.15) в следующей форме:
Квадраты модулей величин (с(2)— с⑴)и с^с^ могут быть записаны в форме [см. (4.83)]Квадраты модулей величин (с(2)— с⑴)и с^с^ могут быть записаны в форме [см. (4.83)](4.88)(4.88)
Квадраты модулей величин (с(2)— с⑴)и с^с^ могут быть записаны в форме [см. (4.83)]
Квадраты модулей величин (с(2)— с⑴)и с^с^ могут быть записаны в форме [см. (4.83)]
(4.88)
(4.88)
(4.89)(4.89)I (С⑵一с⑴)=子 券{exp [2vr] + exp [― 2分]+ 2 cos 2吋
(4.89)
(4.89)
— Т^т-т^сЬ2 vr,I
(4.90)(4.90)i⑵X闺第了
(4.90)
(4.90)
Далее, экспоненты niKt (5⑴ + ^⑶)и ^iKt (5⑴一^⑶)преобразуются согласно (4.72) и (4.73). Первые члены в правой стороне этих выражений при умножении на комплексно-сопряженные величины войдут в экспоненты множителей поглощения (с заменой Wr и WI на Wr и W{). Второй член справа в (4.72) сокращается, так же как и второй член справа в (4.73), при величинах | с⑴ | 2. Что касается членов c(Dc(2)* и с^с^, то здесь мы получим
с⑴с(2)*ехр inKt ^^] + cd)**) ехр — inKtс⑴с(2)*ехр inKt ^^] + cd)**) ехр — inKt2也2也W7 1 nKt-~-——2vi .W7 1 nKt-~-——2vi .(4.91)(4.91)
с⑴с(2)*ехр inKt ^^] + cd)**) ехр — inKt
с⑴с(2)*ехр inKt ^^] + cd)**) ехр — inKt
2也
2也
W7 1 nKt-~-——2vi .
W7 1 nKt-~-——2vi .
(4.91)
(4.91)
Согласно (4.55) и (4.80), напишем
&92)&92)^h — I Х〃 F， 丫"=2 I 爲r I I %拉i I cos "拉.
&92)
&92)
И в таком случае на основании приведенных выше соотношений
++=% +0九.=% +0九.2лКС I 天八 J cos vh2лКС I 天八 J cos vh冗区一不一 =^Xoi冗区一不一 =^Xoi++Cw 户 d + %)%Cw 户 d + %)%(4.93)(4.93)
+
+
=% +0九.
=% +0九.
2лКС I 天八 J cos vh
2лКС I 天八 J cos vh
冗区一不一 =^Xoi
冗区一不一 =^Xoi
+
+
Cw 户 d + %)%
Cw 户 d + %)%
(4.93)
(4.93)
Таким образом, помимо среднего значение которого дано в (4.78), допол ните л ьных коэффициента院=-斗(т01 - 丫# th %,0九Наконец,Таким образом, помимо среднего значение которого дано в (4.78), допол ните л ьных коэффициента院=-斗(т01 - 丫# th %,0九Наконец,коэффициента поглощения ат, при отражении возникают двакоэффициента поглощения ат, при отражении возникают два
Таким образом, помимо среднего значение которого дано в (4.78), допол ните л ьных коэффициента
院=-斗(т01 - 丫# th %,0九
Наконец,
Таким образом, помимо среднего значение которого дано в (4.78), допол ните л ьных коэффициента
院=-斗(т01 - 丫# th %,0九
Наконец,
коэффициента поглощения ат, при отражении возникают два
коэффициента поглощения ат, при отражении возникают два
(4.95)(4.95)
(4.95)
(4.95)
Здесь величина А имеет то же значение (3.66), что и для прозрачного кристалла (| Х”「| 三 | X” I).
Итак, точные формулы (4.76) и (4.77) для R м Т преобразуются в приближенные формулы Лауэ, имеющие следующий вид (сохраняем прежние обозначения для Т и Я):
Т(")整奇'{ch 12% + (о” +。；) t] 4- cos [2a - 2^]}. (4.96a)
В отличие от T коэффициент отражения R в общем случае кристалла без центра симметрии будет различным для отражений hkl и hkl. Заменяя величины | %拉 | /1 猊]и | %元]/1 %拉]их значениями согласно (4.56) или (4.58), получим для двух коэффициентов отражения
区士比⑼=ex^g?；：" {"[(。九 + 疝力一cos 2a}(l ± 2 ]普 |sin v,・ ，"(4.9бВ)
Другая форма записи выражений для Т и /?, в функции от угловой переменной у, имеет вид
+ (% + 匕 + 涼У exp [(% + 而 t] + 2 cos
R土МУ)=鼻：+£] {ch [(% + G “ - cos 2a} (I±2 I * jsin 吋
(4.976)
Приведем также выражения для Т и Е (в наших обозначениях), данные Захариасеном в его книге [15]. Эти выражения легко получить с помощью простейших преобразований из (4.97):
7 仅)=exp 。浦卜一口X
(4.98а)(4.98а)(4.986)(4.986)X sh2 [(。八 + 6ft)等]+ у； ；f sh [(oh + Од) f] j , R @)= e；；『' {sir? a + Sh2 [(% + 而-|-]} X
(4.98а)
(4.98а)
(4.986)
(4.986)
x(+图卜E・
Если в формулах Лауэ типа (4.96а) или (4.97а) в фигурных скобках выписываются последовательно члены, относящиеся к первому и второму полям, и интерференции между ними, то в формулах Захариасена выписываются сначала члены, относящиеся к прозрачному кристаллу, а затем к поглощающему. Заметим, что в (4.98а) не учитывается дополнительная фаза 2% 三 石十 2,；・ Очевидно, что в формулах Лауэ более отчетливо, в явной форме, обнаруживается «эффект Бормана».
Анализ приближенных формул
для коэффициентов прохождения Т и отражения R
Выражения (4.96) и (4.97), так же как и (4.76) и (4.77), ясно показывают наличие интерференционного поглощения, различного для обоих полей. Полная величина коэффициента поглощения в направлении нормали к входной грани составляет
。=。m土(生 + 或)・(4.99)
Она будет одинакова как для преломленной, так и для дифрагированной волн, так как согласно (4.35) и (4.38) определяется мнимой частью волнового вектора к^.
Вместе с тем соотношение коэффициентов Т и Е существенно определяется условиями эксперимента. Наиболее важными являются значение произведения omt (для симметричного отражения 卩%), условия ф = л/2 (симметричное отражение) или 屮用 п/2 (асимметричное отражение), и, наконец, наличие или отсутствие центра симметрии в рассеивающем кристалле.*|Следует также иметь в виду замечания, сделанные в 4.1, о неприменимости изложенной теории к рассеянию кристаллами, состоящими из атомов тяжелых элементов, и к излучению с длиной волны, близкой к краю поглощения. Обращаясь к формуле (4.99), отметим, что собствен-
но интерференционное поглощение, зависящее от %九》, представлено величиной аЛ, обладающей максимумом при уг = 0. Что касается о%, то эта величина согласно (4.94) определяется подобно вт линейным коэффициентом поглощения 卩 и при этом зависит от различия между углами падения гр0 и отражения 屮八，обращаясь в нуль при симметричном отражении.
Наличие осциллирующих членов в формулах для Т и 7? означает, что при небольших значениях произведения Gmt (до 〜2) в поглощающих кристаллах, так же как и в прозрачных, наблюдаются побочные максимумы маятникового решения. При этом наличие дополнительной фазы 2/ в косинусном члёне формулы для 7 приводит к некоторым особенностям рассеяния в поглощающем кристалле. Во-первых, побочные максимумы Т несколько смещаются относительно таковых на Е-кривой, в результате чего нарушается строгая дополнительность обеих кривых, характерная для рассеяния в прозрачном кристалле. Во-вторых, так как rf зависит от уг в первой степени, кривая Т, содержащая побочные максимумы, приобретает небольшую дополнительную асимметрию относительно средней точки.
С переходом к большим значениям резко возрастает аномальное поглощение одного из полей, в результате чего ослабляются и затем совсем исчезают побочные максимумы. Это определяется возросшим «собственным» поглощением интерференционной части (косинусного члена).
Очевидно, эффект поглощения влияет также на периодические изменения амплитуд преломленной и дифрагированной волн с глубиной. Напомним физическую модель, с помощью которой в гл. 3 было дано объяснение интерференционных эффектов маятникового решения. Интерференция между преломленными волнами обоих полей в кристалле приводит к периодическому изменению амплитуды суммарной волны с глубиной. Такая же интерференция имеет место для дифрагированных волн обоих полей. При этом, хотя период изменений амплитуды с глубиной в обоих случаях одинаков, так как определяется величиной вектора А Аг, относительные положения плоскостей максимумов и минимумов смещены на половину экстинкционной глубины т 亍 I А罔 т. В результате возникает эффект перекачки энергии от преломленной волны к дифрагированной и обратно.
С другой стороны, совокупность обеих волн в каждом из двух полей также образует модулированную амплитуду, но с периодом модуляции порядка межатомных расстояний, т. е. примерно в 104 раз меньшим экстинкционной глубины. В прозрачном кристалле эта модуляция не проявляет себя. Так как в первом поле максимумы лежат на атомных плоскостях, его поглощение быстро растет с глубиной или толщиной кристаллической пластинки. При этом в первом члене в формулах (4.96) и (4.97) для Е и 7 появляется множитель аномального поглощения ехр [——(am + +。九 + о')*, в то время как в интерференционном члене вслед-
ствие взаимной компенсации дополнительного интерференционного поглощения обоих полей остается множитель нормального поглощения ехр (—。加力).Таким образом, для оценки возможности «сохранения в поглощающем кристалле эффекта периодического обмена энергий между преломленной и дифрагированной волнами с глубиной можно сопоставить глубину экстинкции с относительным ослаблением энергии поля, представленной вторым и третьим членами в указанных формулах, вследствие поглощения. Для определенных частных случаев это сопоставление сделано в табл. 6.
Таблица 6. Значения множителей поглощения при симметричной съемке кристаллов Ge в СиКа-излучении (0 = 1, уг — 0,卩=352 слС1)
Слагающие
0,25
0,5
1,0
6,0
10,0
20,0
Отражение 220, Тэ = 6,75-Ю-4 см
Первое поле
Второе поле
0,614
0,992
0,376
0,981
0,141
0,962
8.10-6
0,786
3,Ь10~9 0,670
0,450
От]
Первое поле
ражени 0,670
[е 333, 0,450
% = 1 0,202
3,5.10-4 с.
67-10-3
м
ИЛО'8
Второе поле
0,910
0,824
0,678
0,037
0,0204
4,1-Ю~4
Интерференционная часть
0,782
0,607
-0,368
0,0025
45,5.10-6
2,1.10~9
Перейдем к более детальному анализу формул для R ^ Т.
Симметричное отражение [63, 65, 66, 69, 70]. В случае симметричного отражения параметры рассеяния принимают следующие частные значения. Дополнительный индекс означает принадлежность данного параметра к симметричному случаю:
Tos = 丫九 s = COS», Rrs = 2т] sill 2令，3is =。，
0拉 s= 0,
cos行
(4.100)
2eKC 丨 ％ 1 cos %— T]sin 2行
%s— cos 行(1 +J'
(4.101)
(4.102)
a$ = 4 1 + 诙，^& = 4
(4.103)
Выпишем выражения для коэффициентов прохождения и отражения:
+ 2 exp [— т^г] cos (2as — 2%)} ,(4404)
(4.105)
Проследим теперь за изменением формы кривых Ts и Rs с возрастанием произведения 卩九 Возрастание 卩方 может быть связано либо с увеличением толщины кристаллической пластинки при фиксированном значении 卩 для используемого излучения, либо с переходом к другим, более мягким излучениям, поглощение которых в данном кристалле возрастает и происходит на других электронных оболочках атома. Как показывает эксперимент (см. гл. 9), оба случая обнаруживают далеко идущее сходство.
Следует также иметь в виду, что сам по себе параметр 卩力 не является достаточно универсальным. Как следует из формул (4.96), (4.97), (4.104) и (4.105), произведение 卩力 непосредственно определяет множитель поглощения лишь для интерференционного члена. Что же касается относительных значений множителей поглощения, то здесь удобно сопоставление следующих величин:
—卩％ (1 + £), —卩力(1 — £), —財， £ = I %hi Н Хог
(4.106)
Величина £ может существенно меняться при переходе от первых отражений к последующим как из-за уменьшения температурного фактора ехр (—М), так и главным образом в соответствии с изменением геометрического структурного множителя. Типичным примером может служить рассеяние CuKa излучения на Ge: £22 0 — 0,96 и 8333 = 0,61. Соответствующие значения множителей поглощения приведены в табл. 6.
Изменение формы кривых Т и 戸 представлено на рис. 22 и 23 [12, 17]. Кривые при малых значениях р7 соответствуют значениям 7? и Т без косинусного члена; Л— интенсивность пучка, прошедшего через пластинку данной толщины за пределами максимума.
Что касается кривой прохождения, то при малых 卩力 ж 0,1—0,2 она обнаруживает характерный минимум, слегка смещенный от нулевой точки. Далее, с возрастанием 卩力 асимметрия кривой Т становится значительной, кривая «деформируется» и постепенно образует максимум.
Эти изменения легко объясняются с помощью качественного анализа формулы (4.104). Асимметрия кривой объясняется различием множителей поглощения для первого и второго полей, представленных соответственно первым и вторым слагаемыми в фигурных скобках. Можно сказать, что начальная кривая при малых 卩力 характеризует аномальное поглощение по сравнению с «фоном» или значением 卩力/cosO, действующим за пределами максимума и
Рис. 23. Максимумы отражения R для поглощающего кристалла при симметричной съемке для ряда возрастающих значений t (МоКа, 220, Si, li = =13,4 ai/T)Рис. 23. Максимумы отражения R для поглощающего кристалла при симметричной съемке для ряда возрастающих значений t (МоКа, 220, Si, li = =13,4 ai/T)Рис. 22. Максимумы прохождения Т для поглощающего кристалла при симметричной съемке для ряда возрастающих значений z (Cuka, 200, NaCl, р, = 160 смГ1)
Рис. 23. Максимумы отражения R для поглощающего кристалла при симметричной съемке для ряда возрастающих значений t (МоКа, 220, Si, li = =13,4 ai/T)
Рис. 23. Максимумы отражения R для поглощающего кристалла при симметричной съемке для ряда возрастающих значений t (МоКа, 220, Si, li = =13,4 ai/T)
обозначенным на рис. 22 прямыми N. Это аномальное поглощение несколько сильнее для первого поля, которое эффективно при yrs V 0. При возрастающих 卩力 более отчетливо выражается аномальное прохождение, имеющее место только для второго поля, т. е. справа от оси 沙 =0.
Кривые Т при средних значениях 卩力 описывают суперпозицию *. [%S -(1 +吃户产/s +(1 +*)可
функции слева исправа, медленно
4 (1 十 ％ts)4 (T 十 ％s)
меняющихся с изменением | yrs |, и множителя поглощения второго поля.
В отличие от кривых прохождения кривые отражения (рис. 23) во всем интервале значений 財 сохраняют симметричные форму и положение относительно оси yrs = 0. Это объясняется тем, что функции D{h и 0?) симметричны относительно этой оси.
Рассмотрим область приближения толстого кристалла при симметричном отражении. Как показывает табл. 6, при значениях 卩方工 56 и более, первое поле, а также интерференционная часть настолько ослабляются, что величина и форма кривых Т и Е определяется практически лишь вторым полем. Здесь мы вступаем в область приближения толстого кристалла.
Формулы для Т ^ R записываются в виде
穿4一為卜一詳粉"(-07)
*宁"4-為厂奇卜9
Рассмотрение траектории вектора плотности потока энергии, проведенное в гл. 5, показывает, что в толстом поглощающем кристалле происходит сужение волнового поля по мере проникновения вглубь. 〜
При симметричном отражении энергия волнового поля распространяется вдоль отражающей плоскости, поэтому некоторые авторы используют выражения для Rl и Т； типа (4.108) и (4.107) без cos仆 в показателе степени множителя поглощения. Отмеченная выше суперпозиция функций для Т； все в большей степени, с возрастанием 卩力 сводится к преобладанию экспоненциальной функции
' / С£ COS V, \ 1
Как показывает нижняя кривая Ts на рис. 22, соответствующая 卩方 = 6,4, максимум определяется функцией (4.109). С дальнейшим возрастанием 卩力 максимум 7, уменьшаясь и смещаясь ближе к
нулевой оси, при значениях р,^ ж 40 -н 60 по положению и форме совпадает с максимумом R. Характерным параметром для переходной области и в особенности для области приближения толстого кристалла является величина смещения точки Ттах относительно оси уг = 0. Эта величина определяется из кубического уравнения
-^ =臓s — а* + yrs — Г' = 0, а = ^^, р =卩也(4.110)
Уравнение (4.110) решается точно. На рис. 24 приведены значения
Рис. 24. Смещения максимумов Т на шкале у и в угловых секундах в функции от р для отражений 220 и 311 СиЛ^а-излучения от Ge
смещения yrs, а также смещения точки Тщах в угловых секундах tf' для частных случаев отражений 220 и 311 CuKa-излучения от Ge, при возрастающих значениях 卩力е・
Другим важным параметром кривых Т； и Е^ является их полуширина, которая при рассеянии в достаточно толстых кристаллах примерно одинакова. Значение полуширины 2次厶 или 必=2т)1/2 может быть определено из уравнения
晔(4ЛИ)
которое решается методом последовательных приближений. Так как (4.111) основано на учете только одного поля, значения у% для 卩力 V 6 являются оценочными (табл. 7).
Величина коэффициента поглощения в формулах (4.107), (4.108) в простейшем случае кристалла с центром симметрии и а-поляризации имеет минимальную величину
0mm =一 e)=宀 - • cos 今' 7 cos \ xoi 丿
Сравнивая ряд отражений с возрастающим sin仆/入 для данного кристалла, данного излучения и 无 + В + / = const, мы, очевидно, получим (качественное) подобие для отношений 为九丿％。》и Xhr/Xor- В первом случае спад определяется действием температурного множителя, во втором случае — дополнительно еще спадом
97974 3. Г. Пинскер
97
97
Таблица 7. Значения у% и полуширины w = 2刀；[для кривой симметричного отражения R CuKot-излучения от Ge
220 (е =
=0,96)'
333 (е
二 0,61)
2"%
阂
гу"
闵
го〃
〜1,2
3,12
〜6
4,92
〜2
〜1,0
>~0,72
5,21
8,2
〜1,6
10,42
〜4
16,4
<Л ,2
0,60
15,63
3,3
24,6
1,0
0,52
20,80
2,8
32,8
0,9
0,46
26,05
2,5
41,0
0,8
0,42
31,27
2,3
49,2
0,7
0,33
52,03
1,8
82,0
0,6
функции / (sin 仆/入). Поэтому для дальних отражений подобие будет ухудшаться.
Между тем отношения х^^Хог согласно (2.61) и (2.77), а также рис. 6 равны отношениям действительного полудиаметра дисперсионной гиперболы к величине х/2 К | %о |, т. е. тем больше, чем ближе точка пересечения гиперболы с осью ME (рис. 6) к точке Лауэ — М. .
Таким образом, из рис. 6 можно установить и сопоставить значения интерференционного (и полного) поглощения, т. е. эффект Бормана.
Этот путь был указан Эвальдом в 1958 г. [67] и может быть назван критерием Эвальда. В трехволновом случае, как будет показано в гл. 12, он также является существенным.
Л симметричное отражение [63] обнаруживает ряд интересных особенностей, которые формально в значительной степени связаны с влиянием величины аА. Эти особенности выражены тем сильнее, чем резче асимметрия съемки. Сопоставим нижеследующие выражения для величин о九 и an： .
2冗ке|%| cos vh ，一 2几勺如1 yr
Величины cos vh и yr (при условии yr W 1) по модулю близки. Что касается «множителя асимметрии» q, то в практически реализуемых условиях его модуль может существенно отличаться от нуля, принимая (при | z/r | ^ 1) значения, равные 〜1. Учитывая далее, что | Хог | для дальних отражений может значительно превышать I %八2 I， мы приходим к заключению, что при больших
ssRR
s
s
R
R
\yr\^h может значительно превышать о» Такой случай представлен кривыми о., о{_¥ ОЕ + 5； на рис. 25. Кривые относятся к отражениям 333 и 333 СиК a-из л учения от кристаллической пластинки Ge, ограненной плоскостями {111}.
Существенно отметить две особенности этого графика: смещение максимума суммы ah 十 о^ от нулевой точки и обращение кривых при перемене знака индексов отражения. Первая может быть объяснена тем, что в определенных пределах ап и сумма о九 + Oh растут с увеличением | уг |. Вторая объясняется Зависимостью Gh от уг в первой степени. Допустим, что для некоторого отражения hkl у。〉 у. В таком случае g < 0 и положительные значения ап и суммы о& + ок будут наблюдаться при yt〉0・ Так как перемена знака индексов отражения эквивалентна переходу к отражению qt другой стороны той же плоскости, Yq и у九 меняются значениями
и а^ и ал + ак будут положительными уже при отрицательных значениях уг.
Обратимся к коэффициенту отражения 戶,который даже при небольших значениях 07n方 практически совпадает с R, так как из-за достаточно сильного поглощения пропадает тонкая структура или побочные максимумы маятникового решения. Поэтому в дальнейшем мы опустим черту над R (так же как и над Т)・
Как было показано в гл. 3, максимумы асимметричного отражения от прозрачного кристалла 戸 имеют симметричную форму относительно средней точки ^/ = 0 и совпадают для отражений с обоими знаками индексов. При переходе к шкале 刀 обнаружи-- вается эффект смещения Кривых 戸 относительно угла 仆,что вызывается преломлением, причем смещение для hkl и й/Л имеет противоположный знак. Однако эффект смещения в случае прозрачного кристалла является незначительным, порядка 1". В отличие от этого при асимметричном отражении от поглощающего кристалла указанное смещение Е-кривых является их характерной чертой. Это смещение сопровождается искажением их формы, которая становится асимметричной относительно Етах・ Для отражений с противоположными знаками индексов величины смещений максимумов на шкале уг равны по величине и противоположны по знаку, так что кривые Rhki и 笈冗应 оказываются зеркально-симметричными (для центросимметричного кристалла). В толстом кристалле
——)——eхp［一(0т 一。h一0九)力・ (4л13a) 4(1 + 此)
Естественно, от выражения (4.113а) можно перейти к (4.108) для симметричного случая.
Обращаясь опять к форме и положению кривых R, замечаем, что смещение этих кривых и их асимметрия растут с увеличением произведения Gmt (рис. 26). Как показывает рис. 26, 6, в случае выбранного примера отстояние максимумов при 。加力 р 21 составляет величину 2,3 по шкале уг, т. е. превосходит полуширину максимума R при отражении от прозрачного кристалла. Очевидно, что смещение этих кривых обязано смещению максимума функций (。九 + аА), представленных на рис. 28. Не останавливаясь здесь на вычислении интегрального отражения, заметим, что в случае центросимметричных кристаллов, для которых множитель
1 ± 21 J sin vh = 4$
несмотря на различий кривых 灭九(у) и 五五(у), их Ийтегральные отражений будут раьны
，%(y)匆工，砾(1/)切(4.1136)
Это равенство не будет выполняться при отражении от кристаллов без центра симметрии. Зеркальная симметрия в смещении максимумов и условие (4.1136) для центросимметричных кристаллов сохраняются при возрастании amt. Это связано с тем, что, несмотря на поглощение одного из полей, вклад любого из них в отраженную волну внутри кристалла согласно формуле (3.31) и рис. И остается симметричным относительно оси 办=0.
Что касается Г-кривых, то они при асимметричной съемке
также испытываюттакже испытываютпротивоположное попротивоположное посмещение по шкале %смещение по шкале %Рис. 27. Кривые коэффициента прохождения Т при асимметричной съемке (Ge, CuKa)Рис. 27. Кривые коэффициента прохождения Т при асимметричной съемке (Ge, CuKa)
также испытывают
также испытывают
противоположное по
противоположное по
смещение по шкале %
смещение по шкале %
Рис. 27. Кривые коэффициента прохождения Т при асимметричной съемке (Ge, CuKa)
Рис. 27. Кривые коэффициента прохождения Т при асимметричной съемке (Ge, CuKa)
а： 1, 2 — omt = 1,3; 6 ： / — omt = 7; 2 — 10; 3 — 20,72； 4 — 62,16
знаку для отражений hkl и hid. Однако наиболее существенным эффектом является различие в значениях Thhi и Т成卜 возрастающее с толщиной или, точнее, произведением dm九 При cmt = 62 или, в том же примере отражений 333 и 333 CuAza-излучения от Ge, 卩方=18, отношение 7拉融/7欣z достигает 100.
Этот эффект является следствием асимметрии вклада каждого из полей в кристалле £)р в общую величину коэффициента прохождения Т. Как следует из формулы (3.30) и рис. 11, вклад первого поля преобладает при 5 V 0 и вклад второго поля ——при у〉0. Таким образом, в результате сильного поглощения первого поля величина прохождения для отражений hkl и hkl определяется лишь вторым полем в кристалле. Между тем в результате смещения максимумов функции (ah 4 砲 от средней точки 勿=0 максимумы функций Т смещаются в противоположные стороны, и, в то время как 7驟 в нашем примере асимметричного отражения смещен в сторону максимального значения | 0$)卩,максимум Гш смещается в сторону отрицательных значений у?, где
величина | D^ |2 очень мала. На рис. 27 показаны кривые Т с соответствующими числовыми значениями основных параметров.
Параметром, определяющим области приближения тонкого, промежуточного и толстого кристаллов при асимметричной съемке, является произведение
0^ =斗伍1 + 丫内方.
С возрастанием степени асимметрии, когда одна из величин у0 и Тл много меньше единицы, amt может значительно превосходить 卩力, в результате чего упомянутые области приближения тонкого и толстого кристаллов существенно смещаются в сторону меньших толщин.
Интегральные значения отражения 丘步 и прохождения 2% в случае поглощающего кристалла [66]
Величины R» м Т» являются важнейшими параметрами рассеяния, наряду с коэффициентами К и Т, в особенности при рассеянии поглощающим кристаллом. Их регистрация представляет более простую экспериментальную задачу, чем получение полных кривых отражения, и привлекает к себе внимание многих исследователей.
Исследование функций К» и 7\ для некоторых частных случаев было дано в монографии Захариасена [15] и работе Хирша [68]. Однако более полное решение задачи вычисления этих интегральных величин и анализ результатов содержатся в работах Рамачандрана [69] и Като [70]. Полезная дискуссия, в особенности применительно к толстому кристаллу, а также учет периодических составляющих имеется в работе [71]. В нашем изложении, следуя главным образом ходу расчета, изложенного в работе Като, незначительным изменением значений переменных и последовательным учетом периодических составляющих выводятся общие выражения для интегральных величин R» и 7\. Вместе с тем приведенные выводы относятся к случаям, когда | %hi | У | %拉「|, так как выполняется интегрирование выражений Захариасена ——Лауэ (4.96) и (4.97). Далее следует отметить, что если интегральное отражение Ri вычисляется совершенно точно, вернее, соответствующие интегралы являются собственными, то при вычислении 7» мы встречаемся, с несобственными интегралами, для которых, однако, возможно нахождение главного значения. Расходимость указанных интегралов отражает особенности подынтегральной функции на границах максимума. Как уже отмечалось в гл. 2 при анализе соотношений (2.82), на границах максимума, когда волна D八 становится очень слабой, двухволновое приближение неприменимо» .
Итак, по определению [см. (4.81)]
* \ R (分)d分， *=一端端 成，(4.114a)
т?= \{7®) — exp[—%£]}dyr,爲= \&^丿？•(44伍6)
ехр[—б^]{Ж + V},ехр[—б^]{Ж + V},*《Riy^dy*《Riy^dyВ соответствии с этим, используя (4.986), запишем следующее выражение для интегрального отражения:
ехр[—б^]{Ж + V},
ехр[—б^]{Ж + V},
*《Riy^dy
*《Riy^dy
(4.115а)
где
*匕斗确%,y=j+ Sh?[同+ 4) 4-]
(4.1156)
Значения Л, о”，о[ определяются из уравнений (4.93) и (4.95).
Интеграл W, в согласии с анализом, проведенным в 3.3, выражается следующим образом:
勿=冗 2 J2?г+1 (24)=п=0勿=冗 2 J2?г+1 (24)=п=0лА,л:лА,л:Л<1, 4>(・Л<1, 4>(・(4.116)(4.116)
勿=冗 2 J2?г+1 (24)=
п=0
勿=冗 2 J2?г+1 (24)=
п=0
лА,
л:
лА,
л:
Л<1, 4>(・
Л<1, 4>(・
(4.116)
(4.116)
Что касается гиперболической подынтегральной функции в выражении (4.1156) для V, то ее аргумент является общим и для гиперболических функций, которые подлежат интегрированию при вычислении 7\ (см. далее). Для приведения соответствующих интегралов к стандартному виду используются следующие подстановки:
磊s, tg『磊s, tg『2с£ 了而^ cos vh2с£ 了而^ cos vhCOS В =COS В =s — MC2£2cos2% + d，s — MC2£2cos2% + d，(4.117)(4.117)
磊s, tg『
磊s, tg『
2с£ 了而^ cos vh
2с£ 了而^ cos vh
COS В =
COS В =
s — MC2£2cos2% + d，
s — MC2£2cos2% + d，
(4.117)
(4.117)
S = | 2了丫而©82 cos2^ + g2) I，I 学
Здесь «множитель асимметрии» q задан выражением (4.112). Далее
h cos b = " 生工'丁 =0；/ cth 分， 九 sin B ch 分，
办=sh % = — ctg 0.(4.118)
В таком случае указанный аргумент гиперболических функций преобразуется следующим образом:
м 丄^KC\%hi\t cos vh ( I 以Tof)]
例M = (丫咻产(1+吟用 (丄十2我 (叫户宀j -
=无 sin В sin 0{1 — ctg [J ctg 8}=无 cos (0 + В).(4.119)
Переходя от sh2 [(о” + 0拉)〃2] к ch [(。拉 + о/力】и от переменной интегрирования ут к переменной 0, получаем
V = ^^{chlfecos (0 + ₽)]-1}й0.(4.120)
о
Этот интеграл решается с помощью функций Бесселя от мнимого аргумента Zn (А). Общее выражение, а также функции нулевого и первого порядков имеют вид
*(无)=S A!(几+传! к=о '
^o W = 1 + — + 22.16 十 62.64 十 242• 256 十"120M024* 十…，
/1 W = — + у^-
И + 24Ж12 +
无口,
十 120.720.1024 十
(4.121)
При переходе к толстым кристаллам используются асимптотические выражения для 7n (Л), имеющие хорошую сходимость при достаточно больших значениях п. Приведем такие выражения для функций нулевого и первого порядков:
л （九）=歹他）£ 4小，л （九）-^（л）2 а^\
гг
(4.122а)
2 4 尸=1
+击+
9
—75
75-49
11052.812
| 120.85.五5十
128胪
T 16.64公1
1 8・642■无4
2 4宀1 г
15
105
525
105-77 ,
128无2
16・64Дз
8・642■无4
643.胪1 ,
3晉
(4.1226)
Используя указанные для интеграла
卩 7 "。(九)一1]
функции [72], непосредственно получаем
(4.123)
(4.124)(4.124)и для полной величины интегрального отражения: &「= 0 士 21 畳卜Е У”) exp [- От力 Q,
(4.124)
(4.124)
n
Q =子[2 X 厶+1 (24) + 厶(九)一1] •
Интегральное отражение от центросимметричного кристалла
(4.125)(4.125)Ric = exp [—От* Q・
(4.125)
(4.125)
Более простое выражение, дающее во многих случаях хорошее согласие с экспериментом, может быть получено, если исходить из величины 戸.При этом используется переход [см. (4.116)]
冗〉]J2п+1 (24)—> 冗/2. Откуда
(4.126)(4.126)
(4.126)
(4.126)
Переходим к вычислению интегрального прохождения. Прежде всего заметим, что так как интегрирование выполняется в пределах от ——ое до ое, то, очевидно, в (4.114) ехр [ —— о。打 представляет излучение, проходящее через кристалл за пределами области максимума.
Для облегчения расчета вычисляется интеграл от суммы 7』Rc・ Используя (4.97) и (4.98), можно записать [см. (4.119)]
卞f 2/+ 1
Л + Ric = exp [- 6^1 \/ 2 ch [九 cos(8 + B)l +
4
^^#sh[ftcos(9+3)l+^^#sh[ftcos(9+3)l+ch [无 cos (В + В)]ch [无 cos (В + В)]2to?4- 1)2to?4- 1)十2晚十1) X十2晚十1) X
^^#sh[ftcos(9+3)l+
^^#sh[ftcos(9+3)l+
ch [无 cos (В + В)]
ch [无 cos (В + В)]
2to?4- 1)
2to?4- 1)
十2晚十1) X
十2晚十1) X
X [cos(2а — 2vi)— cos 2а] — exp [―萼(-^——；)]}&% (4.127)
Используя (4.85) и учитывая приближение (4.83), получаем
2(3工]j [°°s & — 2%) — cos 2a]弋2(3工]j [°°s & — 2%) — cos 2a]弋2% sin 2a2% sin 2a2(总+1)2(总+1)% sin 2a c 团 sin 2a dyr% sin 2a c 团 sin 2a dyrк・[к・[%¥”sin 2anту* «Уг2=2 02%(* + 炉2%¥”sin 2anту* «Уг2=2 02%(* + 炉2
2(3工]j [°°s & — 2%) — cos 2a]弋
2(3工]j [°°s & — 2%) — cos 2a]弋
2% sin 2a
2% sin 2a
2(总+1)
2(总+1)
% sin 2a c 团 sin 2a dyr
% sin 2a c 团 sin 2a dyr
к・[
к・[
%¥”sin 2a
nту* «Уг2=2 0
2%(* + 炉2
%¥”sin 2a
nту* «Уг2=2 0
2%(* + 炉2
(yr делает подынтегральную функцию нечетной относительно нулевой точки). В результате очевидных преобразований
(4.128)(4.128)выражение (4.127) принимает следующий вид: 北 + Ric = exp [—(5mt] {W 十 У2},
(4.128)
(4.128)
匕=匕=sin 2a 」—^dyr(磋+ 1)%sin 2a 」—^dyr(磋+ 1)%
匕=
匕=
sin 2a 」
—^dyr
(磋+ 1)%
sin 2a 」
—^dyr
(磋+ 1)%
匕=\ {ch [无 cos (8 + В)] +
+ 如辱%；)— sh [h cos (0 + P)] — exp [h cos B]} dyr.
Обращаясь к интегралу У1? замечаем, что он является несобственным. Действительно, при возрастании уг коэффициент при sh стремится к единице. Далее, сумма (ch + sh) принимает значение exp [h cos (9 + В)]. Рассматривая выражения (4.118) и (4.119), замечаем, что при дальнейшем возрастании yr exp [h (cos (0 + 0)]т f exp [九 cos В + 无 ^11 P] . В результате подынтегральная функция принимает следующее асимптотическое значение:
ехр [九cosB]際+ $(*у+・ .}・ехр [九cosB]際+ $(*у+・ .}・(4.129)(4.129)
ехр [九cosB]際+ $(*у+・ .}・
ехр [九cosB]際+ $(*у+・ .}・
(4.129)
(4.129)
Таким образом, этот интеграл является расходящимся, и в последующем будет определяться его главное значение.
Разобьем 匕 на две части
У； = \ {ch [h cos (0 + В)] — ch [h cos P]}sin-2 8d9,(4.430)
，0
У； = ^{cos9 sh[/icos(9 + B)] — sh \h cos ^]} sin"2 0d0.(4.131)
При вычислении этих интегралов используется известное разложение в ряды по функциям Бесселя от мнимого аргумента [72]: ch [h cos 中]=10 (五)十 2厶(九)cos 2中十 2Ц (五)cos 4屮 + • • •
•..十 2/2n (无)cos 2шр,(4.132)
sh [h cos ф] = 2厶(无)cos 屮 + 2/3 (Л) cos 3(p + 2/б (Л) cos 5屮 + ・• •
•・• + 2/2n+i (Л) cos (2〃 + 1)屮.(4.133)
Интеграл У； преобразуется с помощью разложения (4.132) следующим образом:
У； = 2 2 /2п (九)\ {cos 2п (8 + В)——cos 2八卩} sin"2 0d0?(4.134)
n=00
й 6Го главное зйа^йййё соответствует предельному Переходу 兀一g
lim，{cos 2n (0 + В) — cos 2碎} sin*2 9d9.(4.135)
e->0 g
Разбивая область интегрирования в (4.134) на две части, получаем искомое значение этого интеграла л/2 '
，{cos 2〃 (9 + В) + cos 2〃 (9 — В) — 2 cos 砲 sin-2 0й0 = о
л/2 .
=—4 cos 2碎 \ "^2弋 曲=—2шт cos 2碓(4.136)
о；
Этот последний интеграл является стандартным (вычисляется с помощью интегральных сумм [73]). Таким образом,
У； = — 2эт |] 2〃 cos 2〃В/2rl (Л)・(4.137)
п=о
Аналогичным путем получаем для второго интеграла (4.131):
У； = - 2几 2 (2п + 1) cos [(2〃 + 1) В] /2п+1(^).(4.138)
Полная величина интеграла 匕 составляет
У1 = —2л 2 {^ cos 1^₽] -^т(А)}-(4.139)
Другое выражение для интеграла У】, которое используется в дальнейшем анализе полученных формул, применительно к отдельным частным случаям может быть получено использованием
рекуррентных формул для функций /九(九)[75]:
mlm (九)= А {Апт ® — Лп+i ®},(4.140)
откуда
У；=—冗无厶 ® + 2冗九 sin В 2 sin [(2〃 + 1) В] 72n (也)，(4.141)
У；=—冗无 cos p/0 (九)+ 2л^ sin В £ sin [2〃因 /2n (九)，(4.142)
n=l
У工=—冗力{/i (Л) + /0 (力)cos В} + 2лЛ sin BP,(4.143)
P = 2 ImW^m^(4.144)
m=o
Для Р в рассматриваемом общем случае может быть также получено следующее выражение. Исходя из другой рекуррентной формулы для 1rl (Л)
鳥 In (九)=4- [〃Т (无)+ 乙+1 (无)],(4.145)
получаем дифференциальное уравнение для Р
-^- = -у /0 sin ₽ + Р cos В・(4.146)
При начальных условиях Р = 0 при 九=0 имеем
h
Р = } sin В exp [h cos ₽] \ /0 (%) ехр {— х cos р} dx. (4.147) о
Переходим теперь к вычислению интеграла У2? который перепишем в виде
絹ctgg,号产电.(4,48)
Переходя к угловой переменной vr
и применяя разложение в ряд по функциям 1п (无)
sin (24 ch %) = 2厶(24) ch vr + 2厶(24) ch 3% + …，(4.150)
преобразуем У； в серии интегралов
У； = 41、(24)§亳7 + 仇(24) §骑也 +
00
+4人(24)§^^d%+ …(4.151)
Эти интегралы являются стандартными. Их решения имеют вид [74]
f饵_冗
)ch% - 2 '
0
\~^TdVr = 5 , +%Jr)-(4452)
0r
Функции В вычисляются с помощью бесконечных произведений
5也加=注器舒j,(4453)
Имеющих прй разумных значениях параметров пренебрежймб малые значения.
Таким образом,
У2 T 碧卜tg В {2叫(24)+ 2 2 厶(24)，(1 + 等 J -f)} Q
。I 算 |ctgB2nA (24).(4.154)
Изложенный расчет приводит к следующим двум выражениям для интегрального прохождения:.
T*i= ехр [ — 0т%1 {匕+ %} — % = пехр [ — 6mt]{M(h) +N⑷}, % = nexp [—0浦{" (%)+ N (A) + 4•卜(4.155)
Здесь функции М и Мг от 九 представляют результат интегрирования монотонных слагающих А и Т, в то время_как функция N от 4 относится к интегрированию периодических слагающих. Ниже приводятся явные выражения для этих функций:
〃 *) = } [1 一 /о 仇)]一 2 2 m cos (呻)％ (Л),(4.156)
NP (九)=2P6 sin В - Л/i (Л)一等((十 2也 cos b)厶仇)，
N (4) = 2 J 碧 %g В厶(24) — 2 (n+i (24).(4.157)
Введение двух различных выражений для 7\, так же как и различных выражений для функций Р, диктуется необходимостью использования в различных частных случаях (тонкий и толстый кристаллы, симметричное и асимметричное отражения) таких функций, которые будут обладать наилучшей сходимостью при тех или иных предельных условиях.
4.7. Анализ выражении для интегральных величин 丘皆 и Ti применительно к важнейшим частным случаям
Преобразуем общие выражения, полученные ранее, к виду, более удобному как для качественного анализа в отдельных случаях, так и для численных оценок сходимости используемых рядов.
Рассеяние 6 тонком кристалле. В этом случае удобно использовать точные выражения для функций 1п (Л) и /】(24), подобные приведенным в (4.121), и исследовать их в области значений аргументов от Л, Л <^ 1 до Л, A q 1—5. Применяя соответствующее условие в (4.116), а также выражения (4.114), (4.121) и (4.124),
получим дЛя интегрального отражений
用Q^M^-(1 土2〔碧卜in v^eXp[-Om«] X
><当(24+-^•十备+ 書(4.158)
Для вычисления интегрального прохождения удобно использовать функцию М (九)согласно (4.155) и (4.156). Применяя общее выражение (4.121) для вычисления функций 1п 伍)，при тг〉1 получим
'? = —^丽—2" exp [— 0m力｛g~ cos В —^ (4 cos 23 + ()—
一得(cos В + cos ЗВ) — 爲(2,67 cos 郅十 6 cos 2B 十()一
—爲(1,5 cos 33 + cos В) — ^^ (4,8 cos 4(i + 6 cos 23 十 I) +
+ 1^№g3[4 + 年 + 塞 + 备"^ ] - -Г|-(4459)
Эти выражения существенно упрощаются при переходе к симметричному отражению, при этом
% = т” cos 也 0TH = %, cos В = ctg В = cos (2八 + 4) В = О (n = 1? 3, 5 ...),
,utc^ cos v,,，“、
cos2〃B = — 1, cos 4nP = 1, 瓦=—而瞽;——.(4.160)
Выражения (4.158) и (4.159) принимают вид
僞Q sin 2"■i(i±2l^lsinv0exp[—%订 x
X [24 + -^]'(4.16()
^~1Ы2^2зХеХр [- °° 力丁 + Кзз+По+ 4ббо" +，，Т (4.162)
Сопоставляя выражения (4.158) и (4.159) для асимметричной съемки с выражениями (4.161) и (4.162) для симметричной, замечаем, что первые могут быть использованы в меньшем интервале величин 卩九 Это связано с тем, что Л а 2—2,5 卩厶 в то время как hs q 卩九 Хотя при малых значениях 卩方 явления должны быть близкими к рассеянию в прозрачных кристаллах, для которых характерно,
например, отрицательное значение величин 7\ в (4.159) и (4.162) при Л и 九，меньших единицы, все же можно отметить особенности, свойственные поглощающим кристаллам. Это прежде всего различие в значениях R» для hkl и hkl отражений, вследствие того, что sinw^#。. Величина интегрального прохождения 7\ при асимметричной съемке различается для отражений с противоположными знаками индексов из-за изменения знаков у cos 20 в (4.159), причем это имеет место как при отсутствии, так и при наличии центра симметрии в рассеивающем- кристалле.
Чрезвычайно наглядно выражение (4.162) передает переход от отрицательных значений при Л5 С 1 к положительным при /^〉1, что соответствует переходу к промежуточной области между приближениями тонкого и толстого кристаллов. Хотя при возрастании значений 无 и 4 свыше ж 5 сходимость рядов, входящих в рассматриваемые выражения, ухудшается, приведенные формулы все же могут быть использованы для примерного подсчета интегральных величин в промежуточной области.
В пределе, при 耳七 0, полученные соотношения должны совпадать с формулами для прозрачного кристалла. Учитывая, что при этом должно быть (1=0, получим, например, из (4.161) и (4.162、：
居1 工冗4, П = - M. (4.163)
Рассеяние в области, промежуточной между приближениями тонкого и толстого кристаллов [66]. При значениях Л до 10 интегральные отражения, согласно (4.124), можно определить, используя разложение (3.81) для вычисления J/。(力)d力 и таблицы [75] для значений 70 仇)三 J。(汲).
Рассеяние толстым кристаллом. Симметричное отражение. Для приближения толстого кристалла используются асимптотические выражения для функций 70 (Л) и J\ (Л). Рассмотрим сначала симметричное отражение, которому по преимуществу посвящены имеющиеся экспериментальные работы. Так как асимптотические выражения (4.122а) имеют общий множитель ехр 无/(2лЛ)%, то в формулах для Rt и Z^
exp [― (^ — h^] = exp ^― -^^ (1 — Ce cos v^ .(4.164)
Для интегрального отражения получаем [см. (4.116)]
础。0,627 С% ехр [-爲
sm29(M&cos%)%у
х('±2| 羽sE*，+響 + 审+(4.165)
Отметим хорошую сходимость ряда в (4.165). Даже для hs = 15, т, е. в области, промежуточной между приближениями тонкого и
толстого кристаллов, третий член, содержащий К^, составит лишь 0,03% от единицы. Для вычисления интегрального прохождения необходимо использовать Ti2 из (4.155). При этом функция М' (Л) дана в (4.156) и функция N ⑷ принимает асимптотическое значение для симметричного отражения, равное —1/2. Что касается величины то
忆=}"。（^吟普2忆=}"。（^吟普2(2k-l)!!敞产(2k-l)!!敞产m=M27П=0m=M27П=0(2m —1)!!m! 4m(2m —1)!!m! 4m(4.166)(4.166)
忆=}"。（^吟普2
忆=}"。（^吟普2
(2k-l)!!敞产
(2k-l)!!敞产
m=M
2
7П=0
m=M
2
7П=0
(2m —1)!!m! 4m
(2m —1)!!m! 4m
(4.166)
(4.166)
Используя далее асимптотические выражения для 70 (%) и 7г (Л), получаем
о б27ехр [—為 U —点 cos、)]
…'sin 28(晔 cos 02J COS 疗 X
(4.167)(4.167),/4 , 2,125 . 5,320 . 18,520 . 83,149 .
(4.167)
(4.167)
"C + k +〒 + 〒+ 丁 +
Очевидно, применяя приведенные формулы для Ris и Г^ к рассеянию в кристаллах с центром симметрии, необходимо положить cos л?九=1, sin vh = 0. •
Наличие множителя cos vh в показателе множителя поглощения при рассеянии в нецентросимметричных кристаллах существенно снижает эффект аномального прохождения, по сравнению с этим эффектом в кристаллах с центром симметрии. Снижение осо бенно велико для сильных отражений, т. е. для больших значений £. Так, при £ — 0,96 и cos vh = 0,95
ехр [—(1 力(1 — £)] = 0,3; ехр [― |i^ (1 — cos vhe)] = 0,07. (4.168)
Важным параметром рассеяния является отношение величин интегрального прохождения и отражения. При экспериментальных исследованиях это отношение может служить приближенным критерием степени совершенства рассеивающего кристалла.
Сходимость ряда для 7\ (4.167) хуже сходимости ряда (4.165) для интегрального отражения. Так при h х \it = 3Q использование лишь первого члена в (4.165), т. е. единицы, приводит к ошибке 〜0,4%. Такая же величина ошибки требует использования в (4.167) четырех первых членов, включая член с %『 С указанной точностью отношение
Q『需^士2/小)飞+*十賢+甯)
(4.169)
составляет для центросимметричного кристалла при 耳$ q 卩力=40 не менее 1,057 и при 卩方—50 порядка 1,042. В случае кристалла без центра симметрии, когда необходимо учитывать множитель
перед рядом в (4.167). указанное отношение для одного из отражений может оказаться гораздо ближе к единице, а для другого —— величиной порядка 1,1 и больше при тех же значениях 卩力.Мы здесь не рассматриваем это отношение при специальных условиях, когда множитель I %h |/| X石 I в формуле для Rt может достигать величины порядка 2.
На рис. 28 приведен график функции (4.169) в интервале значений hs от 10 до 50 для центросимметричного кристалла.
R〃夕R〃夕力 >о 26 必 42,3万=g右£/e05》力 >о 26 必 42,3万=g右£/e05》Рассеяние толстым кристаллом. А симметричное отражение. Очевидно, что мы и в этом случае используем асимптотические
R
〃夕
R
〃夕
力 >о 26 必 42,3
万=g右£/e05》
力 >о 26 必 42,3
万=g右£/e05》
Рис. 28. Г рафик функции Qs^= = Tis/RiS для центросимметричного кристалла и симметричного отражения
выражения для функций 7П (Л). Для показателя множителя поглощения получаем
0/ 一无=沂0丫h[（丫0 + 7及）-S]■0/ 一无=沂0丫h[（丫0 + 7及）-S]■(4.170)(4.170)
0/ 一无=沂0丫h[（丫0 + 7及）-S]■
0/ 一无=沂0丫h[（丫0 + 7及）-S]■
(4.170)
(4.170)
Для интегрального отражения получаем формулу, мало отличаю ЩУЮСя от (4.165),
出。0，627 :氏 呻卜弋\：：广"）一叶/麻X
X 0 士2/W0+屮 + 卒+•••)「(4.171)
Чтобы получить выражение для Z\, необходимо вывести асимптотическую формулу для функции Р в общем виде. Для этого введем новую переменную
(4.172)(4.172)g (无)=2 sin-工 В У 2лЛ ехр (— h) Р.
(4.172)
(4.172)
Дифференцируя (4.172) по % и используя (4.147), получаем следующее дифференциальное уравнение для g (Л):
褰 + g [1 - cos В - (2无尸]=m痴 ехр (- h)厶(五).(4.173)
Переходим к большим h [см. (4.122)]:
Y2nhI^^^K) = 4。+ 年 + * 十・• •(4.174)
(4.175)(4.175)Допустим, что асимптотическое выражение для функции g имеет аналогичный вид:
(4.175)
(4.175)
g弋笈0+丁 + -十...
В таком случае, подставляя это значение g, а также правую часть (4.174) в (4.173) и приравнивая коэффициенты с равными 瓦
получим
5。= 4吕=——)————G>1).(4.176)
и 1 — COS В1 — COS 3' 1'/
Таким образом, общее решение дифференциального уравнения (4.173) для g будет:
g ^^ М J2лЛ ехр ［ — (1 — cos В)无］+ В。+ В、р + 区?” + • • •
(4.177)
Постоянная интегрирования М должна быть равна нулю, так как Р для больших Л (1 — cos 0) имеет значение
(4.178)(4.178)sin В exp А 1
(4.178)
(4.178)
"^/2лГ 1—cosp
и, следовательно, искомое асимптотическое выражение для Р имеет вид
夕匸乎8九？(4.179)
Заметим, что в частном случае симметричного отражения cos 0 = 0 и коэффициенты В^ принимают значения коэффициентов ряда (4.166).
Используя решение Т\,2 в (4.155) и М'(无)в (4.156), пренебрегая малой величиной первого члена в выражении для N (Л) и учитывая, что при больших Л 22^2沱+1 (24)——1=0, получаем
п
案=今 si：翁"eхp ［一党工(Yo + 丫力］2AT (*(4.480)
2ЛГ (九)^^ 也(1 - cos2 b) 2 В^ - 2无？ 4小一
-}(1 十 2AcosB)与4小}.(4.181)
Подставляя значения коэффициентов Bt из (4.176), At и A\ из (4.122), мы получим для интегрального отражения
案=0,6274 -_也一?/2^； 2 W.
Sin 2^(MS户 2， 2 I г
(4.182)
Приводим выражения для пяти коэффициентов £» в явном ййде:
А = T^Si，厶 j，5 ^^S И + °，25 (1 - cos B)]+ 0,25, 厶=4,25 壮黑春[1 + 0,25 (1 - cos B) + 0,0938 (1 - cos В沟 + +0,281,(4.183)
& = 13,125 强[1 + 0,25(1 — cos В) + 0,0938 (1 一 cos 旷十 4- 0,0391 (1 — cos В)3] + 0,4395,
& = 59,064 (廿:器[1 + 0,25 (1 - cos 卩)+ 0,0938 (1 一 cos ?)2+ + 0,0391 (1 — cos В)з + 0,017(1 — cos ①勺 + 1,452.
Рассматривая полученные соотношения для асимметричного отражения, замечаем, что интегральное отражение R» так же, как и при симметричном отражении, имеет различную величину для отражений с противоположными знаками индексов при рассеянии в кристаллах без центра симметрии. Необходимо отметить, что ряд 2 ^Л~г (4.171) тождествен ряду (4.165) для интегрального от- г ражения при симметричной съемке. Это указывает на то, что хотя при переходе к асимметричной съемке максимумы отражения деформируются и становятся асимметричными относительно средней точки, вклад «хвостов» в величину R» остается незначительным.
Вместе с тем необходимо отметить значительное возрастание поглощения при той же величине 卩方 при асимметричной съемке сравнительно с симметричной. Так, при асимметричном отражении 333 и 333 излучения Си Ка от Ge при огранении {100} для значения |л力 = 20 множитель поглощения в формулах для R» и Тi составляет 6,3 -10~6, а при симметричном отражении величину 4 -10~4, что соответствует (1Z31.
Переходим к замечаниям, относящимся к интегральному прохождению 7\. Прежде всего отметим различие в значениях 7» для двух отражений с противоположными знаками индексов [£» = Li (cos 0)] и нечувствительность их к наличию или отсутствию центра симметрии в рассеивающем кристалле. Видно ухудшение сходимости рядов в формуле (4.182) для 7\ по сравнению с аналогичным выражением при симметричной съемке. Это является следствием сильной деформации максимумов Т и образованием медленно спадающего в сторону больших уг хвостов (см. рис. 27, б)
Переходим к численным оценкам. Применяя формулу (4.182) для указанного примера, получим следующие ряды:
Е9 9 . 128,6 . 2420 ： 50 575 . 2 045 000 ,
(2厶九)ззз = 1^,оо НI ^—iдз I ^г
28-10628-106(208,7 /06 I(208,7 /06 I(4.184)(4.184)
28-106
28-106
(208,7 /06 I
(208,7 /06 I
(4.184)
(4.184)
йрй h = 41,8 (卩方=20) этот ряд имеет вВД
(2^41,8^)333 = 12,33 + 3,08 + 1,38 + 0,688 + 0,495 + 0,202 + + 0,037 + ... = 18,21 + ...,
(弘/Г%§ - 0,0811 + 厘 + 體 + ...,(4.185)
(Е厶41,8%就=0,0811 十 0,00198 + 0,000235...
Отношение сумм этих рядов
4^—注 202.(4.186)
/2=2
i=033 3
Заметим, что седьмой член разложения для 333 составляет 〜0,3% от нулевого, так же как третий член ряда для отражения 333. Следует иметь в виду, что в данном примере отражению 333 соответствует большой угол падения “о или малый скользящий угол.
Отношение интегрального прохождения 7\ к интегральному отражению % в общем случае толстого нецентросимметричного кристалла и асимметричного отражения на основании (4.171) и (4.182) имеет вид
Q =齐 р(1 士 2 圏卜in v.y1 2 W・(4.187)
Это отношение будет различаться для отражений hkl и Ък1 также при наличии центра симметрии в рассеивающем кристалле, так как все выводы, полученные из рассмотрения формул для R» и Т^ очевидно, находятся в согласии с анализом выражений для коэффициентов отражения и прохождения.
При рассеянии в прозрачном кристалле переход к л-колеба- ниям в плоскости отражения приводит к уменьшению коэффициента отражения и интегрального отражения, однако эти параметры имеют тот же порядок величины, что и для a-колебаний. Это непосредственно следует, например, из формул (3.82) для интегрального отражения. Для отражений 220 и 333 излучения СиКа от тонкой пластинки Si:
<° = 0,7<°, Е霏= о,99 届f
Переходя к рассеянию в поглощающем кристалле, замечаем, что в случае тонкого кристалла при любой схеме съемки интегральное отражение Н^ ~l cos 261 R^ [(4.158), (4.161)]. Примерно такая же зависимость имеет место для 7\.
В толстом кристалле распространение волн с л-колебаниями подчиняется другим закономерностям, и практически такие волны почти не обладают аномальным прохождением. Это является след-
ствиём того, что функция h (4.117) входит в показатель прй множителях поглощения о储—h и a0Z — hs [см. (4.165), (4.167), (4.171), (4.182)].
В случае симметричного отражения влияния поляризационного множителя прослеживается более просто. В случае сильных отражений, когда (1 ——£)у 1, множители поглощения для о- и л-по- ляризаций сильно различаются. Типичным является отражение 220 излучения СиКа от Ge. В этом случае 8 = 0,96, и, например, при 卩方=20 множитель поглощения для а-поляризации равен 0,42 и для л-поляризации 87 -10~8, т. е. излучение, прошедшее через кристалл, является почти полностью плоскополяризован- ным.
Для более слабых отражений, так же как и при асимметричном отражении, различие множителей поглощения не столь сильно. Излучение с л-поляризацией составляет величину от —1% до немногих десятых процента от излучения с а-поляризацией.
Другое замечание относится к так называемому закону Фриделя, играющему важную роль в рентгеноструктурном анализе, который основан на кинематической теории рассеяния. Закол Фриделя сводится к нечувствительности интенсивности отражений к наличию или отсутствию центра симметрии в структуре. При этом особенно важно указать, что речь идет об отражениях от таких плоскостей, которые непараллельны имеющимся в нецентросимметричном кристалле полярным направлениям.
Как следует из содержания гл. 3 и 4, можно говорить о выпол нении или нарушении закона Фриделя при динамическом рассеянии со следующими оговорками. Во-первых, вместо интенсивности при динамическом рассеянии следует сравнивать кривые отражения и интегральные отражения R».
Во-вторых, как было показано рядом авторов, главным образом применительно к дифракции электронов при многоволновом рассеянии закон Фриделя для интегральных отражений не выполняется при рассеянии как в прозрачном, так и в поглощающем кристалле.
Однако в двухволновом приближении, как ясно из изложенного выше, рассеяние в прозрачном кристалле подчиняется закону Фриделя, в то время как при рассеянии в поглощающем кристалле этот закон нарушается, что связано непосредственно с наличием
vh)в формулах для интегрально-vh)в формулах для интегрально-
vh)в формулах для интегрально-
vh)в формулах для интегрально-
го отражения R” Следует подчеркнуть, что этот множитель принимает значения, заметно отличающиеся от единицы лишь при рассеянии на кристаллах, содержащих тяжелые атомы, излучения с длиной волны, близкой к краю поглощения. Так, например, при рассеянии на кристаллах CdS со структурой сфалерита излучения с длиной волны, близкой к краю поглощения металлического атома, величины указанного множителя согласно (4.58) будут сильно
различаться. Действительно, величин^
А =（工力 sin ср） （Е够）cos ср） — （2幽）sin ср） （Sfr cos 屮）（4.488）
будет определяться суммами, связанными с синусами, если выбрать такое описание структуры, в котором атомы Cd помещаются в центры октантов. В таком случае, используя излучение с указанной длиной волны, мы получим значительное уменьшение /г Cd за счет большой величины и отрицательного знака поправок А/'. С другой стороны, при этом возрастет поглощение （S（ia sin 屮）. Отношение [см. （4.58）]
（4.189）（4.189）1+а 二九詣+ A/I4/2
（4.189）
（4.189）
——ас?，
a=21碧卜m”—a®「R息Т
может достигнуть величины 2.
Глава 5
ВЕКТОРЫ ПОЙНТИНГА И РАСПРОСТРАНЕНИЕ
ЭНЕРГИИ РЕНТГЕНОВСКИХ ВОЛН
Усредненный вектор Поинтинга в общем случае
Изложенная теория, описывающая возникновение и распространение волновых полей в кристалле, не может быть полной без рассмотрения векторов Пойнтинга, по которым распространяется энергия волновых полей. Так же как и в случае видимого света, направления векторов Пойнтинга рентгеновских полей в кристалле не совпадают с волновыми векторами 乃片)или 嗷、
Учет соотношений, определяющих векторы Пойнтинга и их траектории, может быть использован при рассмотрении случая малости волнового фронта падающей волны сравнительно с толщиной кристалла, а также рассеяния рентгеновских лучей в деформированных кристаллах.
Вектор плотности потока энергии S, представленный выражением
8 =衰［石矶 (54) используется в настоящей теории в несколько измененном виде. В общем случае поглощающих кристаллов электрический и магнитный векторы являются комплексными величинами типа (2.50).
Прежде всего обратим внимание на то, что направление вектора S, так же как и его модуль, меняется во времени с частотой, отвечающей частотам рентгеновских колебаний и, кроме того, меняется в пределах элементарной ячейки кристалла, притом одинаковым образом во всех ячейках. Поэтому в дальнейшем для сопоставления с экспериментом необходимо усреднить величину S по периоду колебания у-】и периоду решетки, нормальному к входной грани.
Отнесем нашу электромагнитную волну к прямоугольной системе координат. При распространении волны вдоль положительного направления оси х среднее значение векторного произведения за период колебания составит
【豆守［=風瓦=v £ EyHz dt. (5.2)
Результат этого первого усреднения может быть записан в форме
81 = ^^е[ЕН^],(5.3)
где дополнительный множитель г/2 является средним значением квадрата косинуса. Далее, удобно перейти от вектора электрической напряженности Е к вектору индукции D, который образует в кристалле правовинтовую тройку векторов совместно с Н и S ввиду близости диэлектрической постоянной волн возмущения к единице. Таким образом, для среднего по времени значения вектора Пойнтинга можно написать
S^^^IDW].(5.4)
Для того чтобы получить выражение для вектора S, отвечающего нашей задаче, необходимо подставить в (5.4) блоховские решения (2.36) и (2.50) для векторов индукции и магнитной напряженности. При этом выясняется, что вектор 8’ в кристалле является суммой слагающих, относящихся к отдельным полям. Как отмечалось выше, поля, принадлежащие одному состоянию поляризации и связанные общими условиями на границе вакуум —— кристалл, являются взаимно когерентными, так же как и поля, относящиеся к различным состояниям, поляризации в том случае, когда падающая волна плоскополяризована.
Выпишем выражения для D и И:
!> = 2 exp 2ni [vt — (А?^г)] 2 ^m exp [—2лг (hmr)],(5.5)
H = £ exp 2就[v^ —(乃?％] £ Hn exp [ — 2欣(hnr)].(5.6)
Формулы (5.5) и (5.6) написаны для общего случая многоволнового рассеяния. Первая (внешняя) сумма берется по точкам возбуждения на всех полостях многополостной дисперсионной поверхности и вторая сумма ——по всем точкам обратной решетки, или по всевозможным индексам отражений. В соответствии с этим векторное произведение в (5.4) будет иметь вид
[DH ] = £』ехр [2ш (碱)一乃化 г) X г j
х 2 2 [D^Hg)*] exp [2位(比n —比竽)]•(5.7)
Рассматривая распространение энергии в поглощающем кристалле, используем для вычисления вектора разности 儿?)——啕 формулы (2.58) и (4.37). Итак, имеем
(fc^ -乃化竽)=(A儿⑹，九z) + ("4冗)(0⑴ + 0⑺)z,(5.8)
где А А?⑴)обозначает вектор, отнесенный к разности волновых векторов любой пары точек возбуждения на двух различных полостях общей дисперсионной поверхности; о» и а； обозначают полные величины показателей поглощения для волн, связанных с указанными точками.
Рассматривая теперь величину векторного произведения (5.7) и учитывая (5.8), можно заметить, что значения oz медленно меняются с глубиной z и практически постоянны на отрезках порядка периода решетки. Разброс значений | А加⑴)| весьма незначителен. В отличие от этого
ехp [2加(九h一九你，f)] = exp 2位(hqr)
является быстро меняющейся внутри ячейки функцией. Среднее значение этой величины в пределах элементарной ячейки обращается в нуль при всех значениях д, за исключением « = 0, когда этот множитель обращается в единицу. При этом двойная сумма по п и по m обращается в одинарную (n = т). Таким образом, наше векторное' произведение, усредненное по элементарной ячейке, приобретает следующий вид:
[^j^*『4 =』』exp [2位А砂力2] х
X exp [- 4 (。⑴ +。⑴)z] 2 [D^H^]. (5.9)
Теперь преобразуем векторные произведения в правой части (5.9) в скалярные. С этой целью используем формулу (2.59) для вектора магнитной напряженности. При этом учтем, что модули векторов кт = кп отличаются величинами порядка 10~5 от К. Поэтому если ввести единичный вектор вдоль кп
формулу (2.59) можно переписать следующим образом:
H^SsM.(5.10)
и далее, согласно (2.47а),
[刀化川?]』[刀£%他0?)*]] = (Z)化Dg)*)碗一(碗,D^D^\ (5.11)
Нетрудно видеть, что второй член в правой части (5.11； обращается в нуль, так как векторы, параллельные волновым векторам, будут во всех случаях перпендикулярны соответствующим векторам индукции. Таким образом, уравнение (5.9) переписывается в виде
[®^『 = 22ехр[2тА^)2]х
X exp [- }(。⑴ +。⑺)?] 2 (刀§)國*) sn(5.12)
й ьелйчййа ДйажДы усредненного вектора плотности потока знер・ гии (с использованием действительной части (5.12))
#三 Е =孟乡怦理 |2ехр (—#z) +(51з)
+ § а eхp [-孑(# + W) ?] cos [2"a硬)?1(或)刀恥卜從
Таким образом, вектор 6 является суммой векторов, направленных от соответствующих точек дисперсионной поверхности к отдельным узлам обратной решетки. Значение каждого такого вектора определяется выражением в фигурных скобках. Члены типа I 2>^)|2 представляют собой независимый вклад отдельных волн от различных полостей дисперсионной поверхности, а двойная сумма — соответствующие интерференционные члены от каждой пары таких волн.
Косинусный член в формуле (5.13) имеет аргумент с периодом, соответствующим экстинкционной глубине
z=T=e声『.(5.14)
Представляет интерес дальнейшее третье усреднение вектора S по периоду т. Использование такой величины удобно при любом соотношении ширины фронта падающей вакуумной волны и толщины кристалла, если учесть, что обеспечить постоянство толщины кристалла с точностью порядка микрона на сколько-нибудь за< метной площади составляет трудную задачу.
Введем вектор
耳=击』｛2 I 國 |2 ехр [ _ *2] sj(5.15)
усредненный дополнительно по экстинкционной глубине для данного излучения. Переходя от многоволнового приближения к двухволновому, следует переписать (5.13) и (5.15), принимая м = 0, Аи» = 1,2 в виде
困=金｛(I *『s。+ I 國 I2 sQ exp (—。⑴z) +
+ (I 國)[2 So + I 欧)J2 sQ exp (一0吗)+
+ [(加)赠* +赠.0俨)团+
+ (D^^ + D^D^｝ sh] exp (—。旅)cos (2n;AA：zZ),(5.16)
宫=詁｛(I 國)I2 s。+ 10甯 I2 s拉)exp (一。⑴2)+
+ (I0俨 产 团 + J 欧)I Sf^ eXp (一。⑶力，(5.17)
где A" = I Nk I определяется из (3.35) и (3.37).
Заметим, что выражения (5.16) и (5.17) удобно относить к одному состоянию поляризации. Действительно, следует учесть, что произведения (。犬力?)*) слагающих индукции, относящихся к двум различным состояниям поляризации, обращаются в нуль. Кроме того, глубина экстинкции t содержит множитель С и, следовательно, будет больше для а-поляризации.
Трижды усредненный вектор Пойнтинга в прозрачном кристалле.
Слагающие вектора по полям. Теорема Эвальда ——Като
Введем в наши выражения среднее значение вектора плотности тока падающей вакуумной волны:
瓦1 =金1國%(5.18)
Заменяя в (5.17) с/8л его значением из (5.18), используя соотношения (3.30) и (3.31) и введя обозначение I = — — , получим (о。)= о(2)= 0)''
后=4Гк {[①一y匸仔尸S。十％s”十'
+ I® + 了可亨)2 So + 麻]},(5.19a)
§ = ^Ж"{|ехР (— 2”) б。+ Zs" + [exp (2“)б。+ lsh]} (5.196) или
国=5⑴+耳⑶，(5.20а)
京；募{1 國 |2 So + I 或 I2 %}，(5.206)
Очевидно, в (5.19) и (5.20) полная величина вектора плотности потока энергии представлена в виде суммы соответствующих векторов, отвечающих плотности потока энергии каждого из двух полей в кристалле.
Другое представление вектора S следует из иной группировки членов в правой части (5.19), а также из (3.78), (5.18) и (5.20)
%瓦1图期Ч兔修14
耳=|瓦|{^0 +局^sj・
Здесь вектор S представлен в виде суммы вектороб плотности потока энергии преломленной и дифрагированной волн в кристалле.
Выражения, аналогичные (5.21), получаются из (5.206), если заменить с/8л его значением из (5.18) и ввести переменные р^ и qx 評=1百。l{1等 8。+ 原［8"}(522)
w⑴=|瓦)I {P/0 + %Sn}.
Существенной характеристикой векторов S и S&)является ихСущественной характеристикой векторов S и S&)является ихориентация в даннойориентация в даннойточке кристалла, например, относительно векторов So и §九・ На рис. 29 J представляет биссектрису угла 2仆 между б。ji s九.Направления векторов S и У определяются углами е и 々 этих векторов с направлением J, причем положительные значения £ м 々 отсчитываются в сторону s。. Из рисунка непосредственно следует, чтоточке кристалла, например, относительно векторов So и §九・ На рис. 29 J представляет биссектрису угла 2仆 между б。ji s九.Направления векторов S и У определяются углами е и 々 этих векторов с направлением J, причем положительные значения £ м 々 отсчитываются в сторону s。. Из рисунка непосредственно следует, чтоsin (仔 + е) Т” Т sin (今一е) — То 耳sin (仔 + е) Т” Т sin (今一е) — То 耳「闻户 г「闻户 гSKI2 ' гSKI2 ' г(5.23)(5.23)откудаоткудаtg£tg£sin (О + ер _ I 噌户sin (О—%) 一 I 川)|2，sin (О + ер _ I 噌户sin (О—%) 一 I 川)|2，определяются углы еле»определяются углы еле»tg必tg必(5.24)(5.24)(5.25а)(5.25а)(5.256)(5.256)
Существенной характеристикой векторов S и S&)является их
Существенной характеристикой векторов S и S&)является их
ориентация в данной
ориентация в данной
точке кристалла, например, относительно векторов So и §九・ На рис. 29 J представляет биссектрису угла 2仆 между б。ji s九.Направления векторов S и У определяются углами е и 々 этих векторов с направлением J, причем положительные значения £ м 々 отсчитываются в сторону s。. Из рисунка непосредственно следует, что
точке кристалла, например, относительно векторов So и §九・ На рис. 29 J представляет биссектрису угла 2仆 между б。ji s九.Направления векторов S и У определяются углами е и 々 этих векторов с направлением J, причем положительные значения £ м 々 отсчитываются в сторону s。. Из рисунка непосредственно следует, что
sin (仔 + е) Т” Т sin (今一е) — То 耳
sin (仔 + е) Т” Т sin (今一е) — То 耳
「闻户 г
「闻户 г
SKI2 ' г
SKI2 ' г
(5.23)
(5.23)
откуда
откуда
tg£
tg£
sin (О + ер _ I 噌户
sin (О—%) 一 I 川)|2，
sin (О + ер _ I 噌户
sin (О—%) 一 I 川)|2，
определяются углы еле»
определяются углы еле»
tg必
tg必
(5.24)
(5.24)
(5.25а)
(5.25а)
(5.256)
(5.256)
Используя далее соотношения (3.17) и (3.18), можно получить
следующие формулы:
tg е =tg е =2 ch2 о —(1 + Z)2 ch2 г? — (1 — Z)2 ch2 о —(1 + Z)2 ch2 г? — (1 — Z)tg"=tg"=2, + (l—Z) 2y2+(1 +Z)2, + (l—Z) 2y2+(1 +Z)tg令,tg令,(5.26a)(5.26a)
tg е =
tg е =
2 ch2 о —(1 + Z)
2 ch2 г? — (1 — Z)
2 ch2 о —(1 + Z)
2 ch2 г? — (1 — Z)
tg"=
tg"=
2, + (l—Z) 2y2+(1 +Z)
2, + (l—Z) 2y2+(1 +Z)
tg令,
tg令,
(5.26a)
(5.26a)
при 2 = 1, t. e. при симметричном отражении tge^ th2z；tge= Y^-tg^,
sin e = 丁 M sin 廿，cos e « -у (1 + 娥)oos 仇
/= /^ + (1 + 2i/) cos2 ^,
tg^)= tg%—)=宮二^為:tge и при 2 = 1
(5.266)(5.27a)(5.266)(5.27a)sin 8isin 8i— у sin О(ж2 + cos2 “'/2— у sin О(ж2 + cos2 “'/2(5.276)(5.276)tg%=干通内g令=干不含产tg也
(5.266)
(5.27a)
(5.266)
(5.27a)
sin 8i
sin 8i
— у sin О
(ж2 + cos2 “'/2
— у sin О
(ж2 + cos2 “'/2
(5.276)
(5.276)
Заметим, что при асимметричном отражении для каждого данного значения у или г углы е〔朵 е2- Для равенства этих углов необходимо, чтобы
](圾 + Ml + У^
沙2 — % = In 一 =偿.(5.27в)
& + P 1 + *)
Очевидно, при 2 = 1 У\ = lh или % = г2. Используя соотношения (5.23) и (5.24), легко получить формулы для модулей | S | и | S⑶| при каждом данном значении углов ем%.
Так как в фигурных скобках справа в уравнениях (5.21) и (5.22) даются суммы слагающих соответствующих векторов по осям s。 и s九，то, очевидно, модули этих векторов равны суммам проекций слагающих на направления векторов. Эти проекции получаются умножением слагающих на косинусы углов, образуемых вектором с соответствующей осью. Преобразуя (5.21) и используя (5.23),
получимполучим2 j sin (8 + е)2 (1 + 炉)[sin (8 — е)111 sin 292 (1 十 У) sin (8 — e)2 j sin (8 + е)2 (1 + 炉)[sin (8 — е)111 sin 292 (1 十 У) sin (8 — e)(5.28)(5.28)
получим
получим
2 j sin (8 + е)
2 (1 + 炉)[sin (8 — е)
111 sin 29
2 (1 十 У) sin (8 — e)
2 j sin (8 + е)
2 (1 + 炉)[sin (8 — е)
111 sin 29
2 (1 十 У) sin (8 — e)
(5.28)
(5.28)
и аналогичным путем из (5.22) и (5.24)
(5.29)(5.29)I II 丨2丨sin 29
(5.29)
(5.29)
Q I — I I 4(1 +炉)sin (8 г).
Наконец, используя выражения (5.26a) и (5.27a), можно вычислить значения sin (仆一8)и sin (О — е^), входящие в знаменатели формул (5.28) и (5.29), и_вывести нижеследующие выражения для модулей векторов S и S⑴ в функции только от переменной у. В общем случае асимметричного отражения
Рис. 30. Доказательство теоремы P^c* 31. Направления векторов Эвальда — Karo, gi =匕九S")в области максимумаРис. 30. Доказательство теоремы P^c* 31. Направления векторов Эвальда — Karo, gi =匕九S")в области максимума
Рис. 30. Доказательство теоремы P^c* 31. Направления векторов Эвальда — Karo, gi =匕九S")в области максимума
Рис. 30. Доказательство теоремы P^c* 31. Направления векторов Эвальда — Karo, gi =匕九S")в области максимума
В случае симметричного отражения
同户同严+宵工尸(5.31а)
1動口画I肃爲厂岁M" .(5.316)
Обращаясь опять к уравнениям (5.20), заметим, что разложение вектора S на слагающие по отдельным полям в кристалле имеет физическое обоснование, поскольку эти слагающие «возникают» на точках возбуждения дисперсионной кривой в результате пересечения их нормалью к входной грани. При этом, как было показано Эвальдом [67] и Като [76], векторы S&)направлены по нормалям к ветвям дисперсионной кривой в соответствующих точках.
Элементарное доказательство упомянутой теоремы заключается в следующем. На рис. 30 показаны прямоугольные координаты 力 s у, в которых описывается дисперсионная кривая согласно (2.81), 炉 cos2 О —矿 sin2 О =三匿化(5.32)
где 照"=х cos» — у sinO,占俨=力 cos 令 + у sin 令 или
一码)+规) .即Y
“ 一 2 cos O' “ —2 sin О *
Угол, образованный нормалью к дисперсионной кривой (5.32) в точке (力,у) с осью /, определяется условием
篇|=专*2 =詫罵tg也 屮川齡+穿）篇|=专*2 =詫罵tg也 屮川齡+穿）(5.34)(5.34)Используя соотношения (2.82), эти следующйм образом:Используя соотношения (2.82), эти следующйм образом:空二_"巴空L 两二一山俨户+ 1硬尸空二_"巴空L 两二一山俨户+ 1硬尸tg仇tg仇уравнения можно переписать(5,35)уравнения можно переписать(5,35)
篇|=专*2 =詫罵tg也 屮川齡+穿）
篇|=专*2 =詫罵tg也 屮川齡+穿）
(5.34)
(5.34)
Используя соотношения (2.82), эти следующйм образом:
Используя соотношения (2.82), эти следующйм образом:
空二_"巴空L 两二一山俨户+ 1硬尸
空二_"巴空L 两二一山俨户+ 1硬尸
tg仇
tg仇
уравнения можно переписать
(5,35)
уравнения можно переписать
(5,35)
Это уравнение в точности соответствует (5.256) для углов % между векторами 6⑴ и биссектрисой J, направление которой обратно (положительному) направлению оси х. На рис. 31 показаны направления векторов S(D и 6(2)в различных точках всей области максимума.
Чтобы пояснить применимость полученного результата к общему случаю многоволнового рассеяния, можно использовать ход рассуждений, основанный на понятии групповой скорости.
Рассмотрим общее решение волнового уравнения в виде группы блоховских волн [см. (2.38) и (2.36)]:
刀=2 А = 2& ехр {2欣[%•£ —(隔/)]} 2 Dmexp[—2jti(hmr)].
(5.36)
Разброс частот vj и волновых векторов к^ отдельных компонентов группы характеризуется условиями
(5.37)(5.37)I ^0 ； — ^0 I W I 加о I，” 一 V《V,
(5.37)
(5.37)
где А?о и V ——некоторые средние значения для группы. Выражение (5.36) можно переписать в следующем виде:
(5.38)(5.38)X ехр {2欣[(* — 2" — (&厂-А?。，г)]}.
(5.38)
(5.38)
В соответствии с условиями (5.37) скорость перемещения амплитуды, точнее, энергии, связанной с группой, выражается через
(5.39)(5.39)〃 =—grad，v.
(5.39)
(5.39)
Наглядное представление величины вектора групповой скорости 〃 может быть получено следующим образом. При построении дисперсионной поверхности мы использовали векторы 碗)，сходящиеся в начале координат обратной решетки О. При покачивании такого вектора в пределах максимума, при постоянном значении частоты V, его начальная точка описывает некоторый определенный лист дисперсионной поверхности. Если же частота меняется в некотором интервале dv, то каждый вектор в данном волновом поле Z будет представлен пучком волновых векторов. Качания этих векторов приводит к заполнению их начальными точками определенного объема, внутри которого частоты v будут функциями координат обратного пространства.
Введенная величина групповой скорости и =gradk，v будет направлена по нормали к поверхности v = const, т. е. к дисперсионной поверхности. Можно показать, что величина вектора Пойнтинга равна произведению групповой скорости распространения на плотность энергии.
_ Рассмотрим теперь качественную картину изменений векторов 6⑴ в области максимума и их вклада в полную величину 6. При этом можно сопоставить рис. 31 и рис. 11, если рассматривать изменения квадратов соответствующих величин (рис. 11). При больших положительных значениях у или г вблизи правой границы области максимума значение tg 82 согласно (5.27а) приближается к tg仔，т. е. вектор 6仅)по направлению близок к вектору S。. При этом модуль I S(2)| согласно (5.30) принимает асимптотическое значение
I亨⑵小…两叱土丫七")" +( j) 2M=同I，(5.40)
а следовательно, почти полностью определяет величину вектора |« |. Это находится в соответствии с рис. 11 и выражением (5.22), в правой части которого основной вклад в величину | 6(2)| будет составлять \D^}^I\D^ Г, а вклад вектора j&D[ в правой части области максимума ничтожен. Описанные соотношения становятся обратными в крайнем левом углу максимума, где главный вклад определяется вектором | §⑴ I.
Обращаясь снова к вектору 8С), замечаем, что с уменьшением у направление 6@)постепенно меняется, так как при этом уменьшается угол 82- Вместе с тем уменьшается и модуль этого вектора, причем меняется соотношение между двумя его компонентами в (5.22), так как вклад дифрагированной волны возрастает. При некотором определенном значении у оба компонента в уравнениях (5.22) становятся равными. Согласно (3.30) и (3.31) при этом
UE" = |Hl，"吊目：(5.41)
При у = у' значение вектора
聲=两患*/(5.42)
так как равенство компонентов означает, что согласно (5^5) 包=0 м, следовательно, вектор S⑵ направлен вдоль j. Вектор^(1) принимает то же значение и имеет равные компоненты при
=(5.43)
Дальнейшее уменьшение у 口嘈уля приводит к совпадению направлений всех трех векторов S и S^. Это непосредственно следует из уравнений (5.26а) и (5.27а), которые дают при у = 0 следующее общее значение тангенса угла относительно вектора J:
tg 产。=tg 或=° = 4^i tg 屯(5.44)
В соответствии с этим уравнения (5.30) для модулей векторов плотности потока энергии при у = 0 принимают вид
II I 鳳|$ [(1 + 2)2 cos2 2 + (1 - Z)2 sin2 仆]打=
=2]需⑴ | = 2回2)]-(5.45)
Указанное в (5.44) общее направление всех трех векторов, не совпадающее с J, все больше отклоняется от этого последнего с возрастанием множителей асимметрии, введенных в гл. 4 [см. (4.112) и (4.118)] (принимаем | Хл] ^ ||)«
q = •三』'q W , tg 8 = tg 厶=— tg 令.(5.46)
Весьма существенно установить направление этого поворота. Очевидно, что если
для (ЛИ)То>Тп и I业|<|屮/ то tge = tg8i<0,(5.47а)
Для (Ш)Го<ГЛ и I屮o|<|W/ то tge = tg现〉0・(5.476)
Соотношения (5.47) означают, что при у = 0 общая энергия волнового поля, представляемая вектором S, распространяется при Yo〉Yh в направлении, лежащем между отражающей плоскостью и вектором s九,а при у0 <； yh——между той же плоскостью и вектором б。.
Очевидно, также, что в рассмотренном интервале уменьшающихся положительных значений у векторы §(D и 6 также совершили поворот: первый от s九，где модуль ^⑴内。,и второй от sо一 до значений 圆=° = 一國=° = - 或=。.
При дальнейшем изменении у в сторону возрастающие отрицательных значений в угловом интервале (仆 + 8)векторы 8⑴ и 3 будут поворачиваться до направления s。, а вектор 6(2)в меньшем угловом интервале (О ——8) до направления s九,где | 8? |。0.
При симметричном отражении значение у, при котором оба компонента у каждого из векторов 8^ будут равны, обращается в нуль согласно (5.41) и (5.43) и, таким образом, совпадает со значением у, при котором все три вектора плотности потока энергии имеют одинаковое направление. Выражение (5.45) принимает более простой вид
I 忘 II 瓦 I cos 2 = 21 目⑴ I = 2 I 屈⑵ |.(5.48)
Здесь, очевидно, общее направление совпадает с /, а значит и с отражающей плоскостью.
Наконец, важно отметить, что полная величина, поворотов векторов 6(»)в интервале изменений у, т. е. в пределах немногих
угловых секунд, составляет 28, что выражается в зависимости от индексов отражающей плоскости и используемого излучения величинами 〜20° + 90° и более. Можно показать, что величина производной de/diq содержит в качестве множителя величину I %Л 厂1 а 105 т- 10е, что и определяет этот эффект. Интервал поворотов S при симметричном отражении — от «0 до У и обратно; при асимметричном — от s()до (令 + 80) и обратно. Впрочем модуль величины е0 при использовании мало поглощаемого излучения, например МоКа, составляет несколько градусов.
Преобразуем некоторые из полученных выше соотношений, используя систему координат, естественным образом связанную с формой исследуемого кристалла в виде плоскопараллельной пластинки. В этой системе ось х (рис. 32) с единичным вектором а лежит в плоскости входной грани, и ось z с единичным вектором п — по направлению внутренней нормали.
В соответствии с выбором знаков длягро 口屮九，сделанным в гл. 3, а именно, считая их положительными при отсчете от п по часовой стрелке, принимаем и для а тот же знак. В таком случае положительное направление оси х и вектора а принимаем налево от начала координат, как показано на рис. 32 для асимметричного отражения. Связи между векторами ^0 и s九,с одной стороны, и п и а —— с другой, имеют следующий вид:
瑞=施 + atg 屮 °,十 〃tg 屮 з(5・49)
Преобразуем (5.21), вынося за скобку 戶у。и используя (5.49)
冒=1 ^ol^y^ {2(1 + 淌施 + 2此Hg 业 +
+ (tg^o + tg%)a}.(5.50)
Из этого выражения можно определить уравнение траектории распространения энергии в прозрачном кристалле, отнесенное к указанным осям,
a: = zlga; tga = T^tgWo +」^^J.(5.51)
Это уравнение показывает, что энергия волнового поля в прозрачном кристалле распространяется по прямым, выходящим из «точки» падения на входную грань падающей плоской волны с ограниченным волновым фронтом. Наклон этих прямых, во всем интервале значений у ясен из предшествующего анализа, причем соотношение между углами а и 8 соответствует той или иной схеме отражения. Примеры таких схем и этих соотношений приведены на рис. 32 и 33. В случае рис. 33
—tg屮о = tg屮九=± I tgO |.(5.52)
В результате значение tg а определяется из более простого
соотношения
tga =才$tgW。= 士不方I电行I，tga =才$tgW。= 士不方I电行I，(5.53)(5.53)
tga =才$tgW。= 士不方I电行I，
tga =才$tgW。= 士不方I电行I，
(5.53)
(5.53)
Si, огранение ~{100}, отражение 444, излучение МоКа, (р = 55°Si, огранение ~{100}, отражение 444, излучение МоКа, (р = 55°Рис. 33. Схема симметричного отражения (Si, МоКсс, 220)Рис. 33. Схема симметричного отражения (Si, МоКсс, 220)
Si, огранение ~{100}, отражение 444, излучение МоКа, (р = 55°
Si, огранение ~{100}, отражение 444, излучение МоКа, (р = 55°
Рис. 33. Схема симметричного отражения (Si, МоКсс, 220)
Рис. 33. Схема симметричного отражения (Si, МоКсс, 220)
где знаки плюс или минус выбираются соответственно знаку tga или tgW(). Выражения (5.51) сами по себе не вносят нового в физическую картину или геометрию распространения энергии волнового поля в прозрачных кристаллах. Вместе с тем эти выражения непосредственно дают ориентацию вектора 百，тогда как формулы
Рис. 32. К выводу формул (5.50) и (5.51)
позволяют вычислить лишь положение этого вектора относительно следа отражающей плоскости или вектора j.
Кроме того, использование приведенной системы координат является весьма существенным при переходе к поглощающему кристаллу, в котором, в отличие от прозрачного кристалла, tg ф является функцией вертикальной координаты или глубины z. В результате траектория распространения энергии становится криволинейной, и определение ее уравнения в явном виде требует интегрирования более сложной функции, чем (5.51).
Изложенный анализ, относящийся к распространению энергии в прозрачном кристалле, одинаково применим как к центросимметричному кристаллу, так и к кристаллу без центра симметрии.
Трижды усредненный вектор Пойнтинга в поглощающем центросимметричном кристалле
Запишем следующее выражение для вектора 8 в поглощающем кристалле (о九十 и% = 乂，I 观 I / I %万 I = D：
声=I 瓦 I ё吃 112产"h(2分 + m2)1 "。+ 詁[ch x2] %卜(5.54)
Используя систему координат, введенную выше с единичными векторами а и п, перепишем (5.54)
w=I 瓦)I -*а:不"°{吐(2% + xz)(九 + @ tg a) +
+ ch^z (n + a tg必)}.(5.55)
Используя тождества
ch (2% + кг) + ch xz = 2 ch (pr + xz) ch pr,
ch (2% + 乂?)一 ch yz = 2 sh (% + 乂?)sh 昨， легко получить следующее выражение для У:
W = I 瓦)丨 _е：^ЬЕ：*)"' {2 ch (分 + xz) ch 分” +
+ 2 sh (yr + xz) sh vr tg\p()a + ch кг (tg ^h + tg 屮())a}. (5.56) Отсюда тангенс угла наклона касательной к траектории в точке с координатами (ж, z) относительно оси ?
dx ,, . , 1 z .,[tg 咻 + tg 2。ch yz
石=tga = tg 业 th(%'+ ”)th% + —2硒一 ch (%+ 切
(5.57)
и уравнение траектории в выбранных осях
% = \ th (叫十 xz) th vr tg 少о dz + о
,tg 必+ tg 收 j gKZ , V 1 V/二二Q、
+ …派丁一 ! Ffzj 威=& + X2.(5.58)
Первый интеграл является стандартным
Х「冬tg1M(5.59) а второй легко решается с помощью подстановки ехр (。「+ yz) = ti
X-^iF4¥伪 + 陶一警m2ch(分 +吻}：=
=H (tg R + tg 屮0)2 — E(tg ^h + tg 屮0)-^— In―^—・(5.60)
Окончательно
“ Wm 增5 m^M^+彳(tg 屮。+ ^^)-
-產肃寿(tg屮"tg业"n c*£)'
или
%tgj , ch(% + %z)
X = - '. in：
乂力+力Ch%
(5.61)(5.61)tgЯ^о + tg% Г yrch(Vr + xz)
(5.61)
(5.61)
[了Г+* n ch%
В последнем выражении первый член соответствует траектории распространения энергии в случае симметричного отражения и второй член возникает при переходе к общему случаю асимметричного отражения.
Полученные выражения для траектории распространения энергии волнового поля (5.61) и для угла а (5.57) в функции от координатного параметра 〃「и глубины z являются достаточно сложными.
Качественный анализ формы и расположения траекторий, а также некоторые основные численные оценки могут быть выполнены, если использовать асимптотические формы уравнения (5.57) для участка кристалла вблизи поверхности (z а 0) и при большой толщине (z q оо). В первом случае используем условия
th (уг + 乂?)|z=o Q th %,ch xz |z»o Q 1,
ch (pr + X2)]zqo Q ch %,(5.62)
откуда
tg^ + tg5_ 碎 tgp° Jg% + tg业
tg a Jo ~ th2 vr tg Wq +2 ch2 %=不仔"十 F 二不•
т(5.63)
Во втором случае имеем
th(pr + xz) k«oo^l, 而^; YZ丿 zQ8^exP(-%)，(5.64)
tg a |z“8 ~ th vr tg 业 + 舞:眾=
%tg5 , tg 业+ tg%/二公0
Заметим, что уравнения (5.63) и (5.65) фактически описывают распространение энергии в прозрачном кристалле: в поверхностном слое при наличии двух полей, так как (5.63) совпадает с (5.51) и в глубине кристалла при наличии одного поля (5.65). Действительно, рассматривая распространение второго поля
в поглощающем кристалле, используем выражения (5.22), (5.49) и получаем
(5.66)(5.66)+ exp (2%) tg 屮 oa + tg 必q}.
(5.66)
(5.66)
Из этого выражения непосредственно определяется значение tg а, совпадающее с (5.57).
Дальнейший анализ применяется к определенным схемам асимметричной (и симметричной) съемки. На рис. 32—34 представлены
Рис. 34. Схема асимметричного отраженияа —2。= —11°, ^>h = + 65°; 6 —屮。=+6°30,屮八=50°； 6 —ip。= —65°,屮拉=11°Рис. 34. Схема асимметричного отраженияа —2。= —11°, ^>h = + 65°; 6 —屮。=+6°30,屮八=50°； 6 —ip。= —65°,屮拉=11°
Рис. 34. Схема асимметричного отражения
а —2。= —11°, ^>h = + 65°; 6 —屮。=+6°30,屮八=50°； 6 —ip。= —65°,屮拉=11°
Рис. 34. Схема асимметричного отражения
а —2。= —11°, ^>h = + 65°; 6 —屮。=+6°30,屮八=50°； 6 —ip。= —65°,屮拉=11°
соответствующие схемы. На рис. 32,34,6 углы 5^ полностью умещаются в одном из квадрантов прямоугольной системы координат. Следовательно, при любом значении угловых параметров vr или у「, а также на любой глубине знаки tg а и угла а будут постоянны: для схем рис. 32 и 34, 6, 6 знаки будут положительными. В противоположность этому схемы рис. 34, а, 6 так же как и частный случай подобных схем рис. 33, соответствуют более сложным закономерностям в изменении формы траекторий вектора Пойнтинга при изменении упомянутых параметров (табл. 8).
Обратимся сначала к схемам, представленным на рис. 32 и 34, 6, в которых tg 屮о и tgx|)h положительны. Выражение (5.63) приводит одинаково при положительных и отрицательных возрастающих значениях уг к уменьшению величин tg а и а. От наибольшего значения, отвечающего уг = 0, угол а, уменьшаясь, приближается к значению 屮。.Что касается значений угла а для zq оо, определяемых из уравнения (5.65), то здесь возрастание положительных и отрицательных значений уг приводит к различным результатам. В первом случае значения угла а приближаются к величине 屮°, во втором случае — к 屮九.При этом интервал изменений при распространении энергии от поверхностного слоя к более глубоким (от z ^ 0 до z^ оо) с возрастанием цоложитель-
Схема отражения
Глубина
Угловой параметр u「
-5
-3
-1
0
1
3
5
业= б°зх
z qO
7°
9。30'
20。30,
33。
200407
9。30,
7°
^h = 50。
Z Q ОО
50°
49。30‘
46。
33°
18。40‘
8°
6。30,
5 = —11°
z a 0
-10°
-4。30'
21°
44°
21°
-4。30'
-10°
屮 h = 65。
z a oo
65°
64。40,
61。20‘
44°
8。20,
-7。35,
-10。40’
屮 о — —65?
z a 0
—64°ЗУ
-63。35,
-57。25‘
-44。20,
-57。25’
-63。35‘
-64。35’
屮尸11。
Z a oo
10。45‘
—6。30?
—9。35‘
一44。20,
—60。10‘
—64О30,
—64。50‘
Таблица 8. Значения углов а между направлением вектора осью п в поглощающем кристалле (рис. 34)
亍и вертикальной
ных значений уг уменьшается почти до нуля. С возрастанием отрицательных значений，「этот интервал возрастает до полной величины 2令.
Другими словами, возрастание | ут | приводит к совпадению направлений векторов bus。в поверхностном слое, в то время как возрастание положительных значений уг приводит к совпадению тех же векторов в глубине кристалла, а возрастание отрицательных значений уг ——к совпадению S и sh. Следовательно, кривизна соответствующих траекторий в первом случае (у「〉0) уменьшается и во втором (处 V 0) возрастает.
В соответствии с этим траектория вектора 亨 вблизи правого (положительного) края максимума (так же как и в центре при уг = 0) близка к прямолинейной, в то время как в левой стороне максимума интервал изменений Да приближается к 2&. Сказанным определяются и знаки углов а, которые зависят от знаков 屮о и ^h.
Все это относится и к схемам, представляющим зеркальное отражение рис. 34, 6.
Существенной чертой траекторий вектора Пойнтинга при ис- пользовании схем с углом SqS^, захватывающим части обоих нижних квадрантов координатного поля, является их искривление с пересечением вертикальной оси п. Это следует из изменения знаков углов а в глубине кристалла по сравнению со знаками в поверхностном слое, которое наблюдается (табл. 8) в левой стороне максимума. Использование для численных оценок, приведенных в табл. 8, асимптотических выражений (5.63) и (5.65) не позволяет проследить за формой таких траекторий, в частности, определить (в этом полуколичественном анализе) значения координаты ж, при которых траектории пересекают вертикальную ось. Это возможно только в случае симметричного отражения, схема которого представлена на рис. 33.
При симметричном отражении [см. (4.39) и (4.101)] С = 1, w0 ——"五=0，(5.67)
卩£ COS 1V拉
(5.68)(5.68)% == 0拉/- 一・屮二■ ■
(5.68)
(5.68)
cos "£ + 力
z即 COS Vh cos 令 У1 + S Ch %z即 COS Vh cos 令 У1 + S Ch %(5.69)(5.69)Уравнение траектории распространения энергии (5.61) приобретает следующую форму:
z即 COS Vh cos 令 У1 + S Ch %
z即 COS Vh cos 令 У1 + S Ch %
(5.69)
(5.69)
疝%+
% К”" In L
卩£ COS %
Очевидно, что знак xs будет обратным знаку уг, так как sin 9 в данном случае 悖о V 0] будет отрицательной величиной. Наконец, существенно упрощается также и (5.57):
tg as = th %th (% + 2%) tg 令三-，，l 丁 ——th (% + z%) tg 仇 (5.70)
Знаки функции tg as подчиняются тому же правилу, что и знаки 力$. Асимптотические формы уравнений (5.70) имеют следующий вид:
У®У2"
(5.71)(5.72а)(5.726)(5.71)(5.72а)(5.726)tga4z^0~—2_tgi|)0= — 丁 L ・|tg令I,
(5.71)
(5.72а)
(5.726)
(5.71)
(5.72а)
(5.726)
yr
tg a* у8 ж 7^^ 啥 Wo,
у
tg a” zqoo Q —"- I tg 令[•
У i+y?
Выражение (5.72а) совпадает с (5.53) при симметричном отражении от прозрачного кристалла, а (5.726) соответствует случаю распространения энергии одного лишь второго поля и непосредственно получается из (5.65) наложением условий для симметричного отражения. Рассматривая зависимость знаков углов а и tg а от знаков 价，замечаем следующее.
Положительные значения уг при обоих предельных значениях z дают отрицательные значения tg а, т. е. траектории распространения энергии при 沙「V 0 полностью укладываются на правой стороне координатного поля при 力 V 0. При этом чем больше значение уг, тем меньше увеличение | tg а | во всем интервале изменений z. При значениях уГ1 соответствующих положительной границе максимума, значения tg az^0^tg 0^。8, т. е. траектория вектора 6 идет почти параллельно направлению s°・
При отрицательных значениях уг вблизи верхней границы кристалла tg а также имеет отрицательные значения, однако при
больших z tg а меняет знак на обратный, т. е. траектория вектора S пересекает ось z. Чем больше | уг |, тем больше изменение I tg а |. При больших отрицательных значениях уг изменение I а I составляет почти 20.
Из условия xs = 0, согласно (5.70), помимо решения уг = О, следует также, что при ?/г < 0 и % V О
z = 2|%|/%・ (5.73)
Другими словами, с уменьшением уг или vr точка пересечения «поднимается» к началу координат, т. е. к входной грани кристалла. При уг = 0 траектория распространения энергии совпадает с осью z, которая лежит в отражающей плоскости.
Указанные особенности геометрии распространения энергии в поглощающем кристалле иллюстрируются некоторыми кривыми, представляющими траектории в схеме отражения на рис. 35.
Изложенный анализ геометрии распространения энергии в поглощающем кристалле относится к сравнительно небольшим значениям произведений amt для асимметричного отражения или 卩力 для симметричного отражения. Вступая в область толстого кристалла, мы должны учесть зависимость поглощения от параметра уг или ввести в наши формулы вместо коэффициента поглощения специальную функцию линейного коэффициента поглощения по направлению вектора S —卩s, который может быть представлен либо в виде функции от уг (или %), либо угла £ отклонения 8 от отражающей плоскости.
Наиболее простой путь для учета поглощения при рассмотрении распространения энергии в толстом поглощающем кристалле заключается в замене выражения для S выражением для 8但)(5.66).
Таким образом, значение вектора плотности потока энергии в толстом' поглощающем кристалле мы получаем, используя (5.306) для 8(2)и вводя множитель поглощения:
|新=丨麻I吁^勺萨步N (分+ /1 +A (5.74) 4 (1 + #)
где N — числитель дроби (5.306). В частном случае симметричного отражения используется (5.316):
I I =丨 & I 墮^10ft 了用(Уг + UiT^) /"cos?仇(5.75) 2 (1十力)
На рис. 36 представлена полярная диаграмма величины | S |/| ^0| в функции от уг, согласно (5.75), для симметричного 220 отражения излучения СиКа от Ge при значениях 卩方=17,65 и 35,3. Наиболее существенной чертой диаграммы является сужение фронта волнового поля, распространяющегося в достаточно толстом поглощающем кристалле. Отметим, что схема, представленная на рис. 36, соответствует падению вакуумной волны с весьма
Рис. 35. Криволинейная траектория вектора Пойнтинга в поглощающем кристаллеРис. 35. Криволинейная траектория вектора Пойнтинга в поглощающем кристаллеРис. 36. Сужение волнового фронта в толстом кристалле
Рис. 35. Криволинейная траектория вектора Пойнтинга в поглощающем кристалле
Рис. 35. Криволинейная траектория вектора Пойнтинга в поглощающем кристалле
узким волновым фронтом и при наличии полного набора векторов 8 эквивалентна падению сферической вакуумной волны.
Эффект сужения волнового фронта обязан зависимости показателя при множителе поглощения в (5.75) от угловых переменных уг или 么.На основании (4.78), (4.94) и (4.113а) можно получить следующее выражение для этого показателя:
=exp (干吟十专exp(土吟干鳥十 (5.76) Нетрудно видеть, что, например, в случае симметричного отражения а(2) уменьшается от границ области максимума к средней точке в зависимости от величины £ = | %九方 |/| %Ог I на 〜4,丄+ ч- 30%, что приводит к весьма существенному возрастанию [8 |.
Более общее значение имеет величина линейного показателя поглощения, в виде функции £% дающая величину поглощения вдоль направления 8⑴ для любой точки дисперсионной кривой. Такое выражение может быть использовано в Вех случаях, когда условия эксперимента не позволяют связать каждый данный вектор плотности потока энергии с определенным значением угла 刀 внутри максимума при падении на кристалл расходящегося^пуч- ка или сферической волны.
Вводим вектор 七⑴(рис. 37), определяемый согласно (5.206) следующим образом:
L^^ 警駅；I D^ |^o + I 國 I2 时，(5・77)
откуда
(〃％) = I 工⑴ I cos ^ = 1^ |2To + | 國 I2 Tn.(5.78)
С другой стороны, из заштрихованного треугольника на рис. 37 следует, что
I Z⑴ |sin (令 士 ％ = I 國八 I2 sin 2令，(5.79)
」："『"=(sin 20尸]/「sin (仆+ %) sin ①一唠=
/si il2 8-
= (2cos令尸[/ i—号.(5.80)
Рис. 37. К выводу формулы (5.84)Рис. 37. К выводу формулы (5.84)Проектируя тот же треугольник на направление J, получаем
Рис. 37. К выводу формулы (5.84)
Рис. 37. К выводу формулы (5.84)
I 工⑴ |cos % = {| 國)I2 +1 球)I2} cos 仇 (5.81)
Далее, из (3.18) следует, что exр (士峭 1 环)
ехp (士叫 _ 1 刀伊I
2竺& 1。。114旧叫
(5.82)
Используя выведенные соотношения, а также выражение (5.76) для а, получаем
评)=0 cos 侬=(m 川){1 國)Р + I 现)12 土 2 源 cos "拉 I 制 IID^ I} (5.83a)
или, исключая | Z | с помощью (5.80) и (5.81), приходим к выражению, совпадающему с формулой Лауэ для 卩 в направлении вектора 8 [141,
8 = qp .lX0il(5.836)8 = qp .lX0il(5.836)俨)=т£т {cos % 土 魂 cos ^ ]/ 4 - ^^},
8 = qp .
lX0il(5.836)
8 = qp .
lX0il(5.836)
Наконец, используя тбждебтвб
],cos% /吆2%
cos 8sin2 8 — cos ^ уtg2 今，
получаем
^<^)= ^KI Xoi I ± 2лКС I Xhi I cos v, |/1 一欝｝嘗.
(5.84)
Если энергия волнового поля распространилась вдоль некоторого направления L на отрезок Z, то потеря этой энергии на поглощение составит, очевидно, \ks(i4. Проектируя путь I на направление J и разлагая полученную проекцию на слагающие 20so и 儿^力,получим
卩s⑴£ cos % = [1$⑴(С。+ %) cos 甘=
=^K |xoi|±2rKCcosvh|хм|]/ 1 -•^|^卜。+ %)• (5・85)
Из этого соотношения следует, что выражение в фигурных скобках является линейным коэффициентом поглощения вдоль некоторого оптического пути в кристалле, состоящего из бесконечно малых отрезков вдоль ^0 и sh. Полученное выражение для линейного показателя поглощения, как показал Като [24], обладает замечательным свойством: оно может быть получено без выполнения условий (4.80), которые лежат в основе теории динамического рассеяния в поглощающем кристалле.
Отметим два предельных значения правой части (5.85) при 立 = 0 и 勺 = ®・ При 8f = 0 второй член в фигурных скобках приобретает максимально возможное значение, а следовательно, линейный коэффициент поглощения (для второго поля)——минимальную величину. Другими словами, минимум поглощения энергии имеет место при ее распространении вдоль отражающей плоскости. Наоборот, максимум поглощения, отвечающий величине нормального линейного поглощения 2лК\ %Ог1 = 卩，соответствует значению 勺=令，т. е. значению 立=丄 О, соответствуют определенные резкие границы динамического волнового поля внутри кристалла. Таким образом, выражение (5.85) описывает волновое поле, строго локализованное в (треугольном) участке поглощающего кристалла.
Вместе с тем выражение (5.85), имеющее общий характер и относящееся как к симметричному, так и к асимметричному отражениям, показывает две составные части линейного коэффициента поглощения кристалла в области максимума: нормальный коэффициент 卩 и аномальный ——интерференционный или бормановский
卩拉=土 2冗КС cos ”h [%% (1 一 需■)『•(5.86)
При этом интерференционный коэффициент поглощения зависит только от параметра %加 и не зависит от %oi, который определяет величину 卩・
Сопоставляя выражение для линейного коэффициента поглощения внутри области максимума (5.85) с формулой типа (4.99)
，Т侏г)土多『书^士^^…砌 замечаем прежде всего, что если (5.85) не связано с определенным значением угла падения *ф0, а следовательно, и с положением отражающей плоскости относительно входной грани, то (5.87) не связано с определенной точкой падения вакуумной волны на кристалл. Таким образом, переходя от (5.87) к (5.85), мы переходим от приближения падающей плоской волны к падающей сферической волне при достаточно узком волновом фронте (узкой щели). Очевидно, в общем случае оба выражения неэквивалентны, так как (5.85) дает коэффициент поглощения вдоль любого направления в кристалле, в то время как (5.87)——вдоль нормали к входной грани. Напоминаем, что (5.85) имеет общее значение, так как применимо при любом соотношении параметров | %hi | и I %hr|, а (5.87) лишь при \%hi\<^ | %无/・ По-видимому, волновое поле в кристалле, порожденное падающей волной с узким волновым фронтом, имеет в некотором отношении более простую структуру, и задача определения линейного коэффициента поглощения в любом направлении имеет сравнительно простое решение без упомянутого приближения. В важном частном случае симметричного отражения при vr = уг = ^i = 0 оба выражения совпадают, точнее
力。:尸={2л^ I Хог I ± 2冗№ cos vn |%м|}(^0 + 16t.(5.88)
5・4・ Распространение энергии
в поглощающем кристалле без центра симметрии.
Учет периодической составляющей вектора Пойнтинга. Дополнительные замечания
Как уже упоминалось, изложенная для прозрачного кристалла теория полностью применима к кристаллам без центра симметрии, так как значение | %无|/| %% | обращается в единицу. В случае поглощающего кристалла без центра симметрии выражение, соответствующее (5.54), не позволяет провести столь детальный качественный анализ, как это сделано выше.
Выражение для вектора распространения потока энергии в поглощающем кристалле без центра симметрии имеет вид
|^ = Ро| 胃^产(ch (2% + %" &о +ch (HZ) 8h
「h (5.89)
Переходя к системе координат 力2, получаем
凤网筈修卜2г + 乂 z) +凤网筈修卜2г + 乂 z) +п +п +丛丛(5.90)(5.90)ОткудаОткудаch (2% + xz) th 业 +ch (xz)tg 必ch (2% + xz) +ch (乂z)ch (2% + xz) th 业 +ch (xz)tg 必ch (2% + xz) +ch (乂z)ch (xz)电2h]0}.ch (xz)电2h]0}.dx , _ = tga =dx , _ = tga =+ ch (2% + xz) tg 屮 ° +| ~+ ch (2% + xz) tg 屮 ° +| ~(5.91а)(5.91а)力力('dx 7о('dx 7о(5.916)(5.916)
凤网筈修卜2г + 乂 z) +
凤网筈修卜2г + 乂 z) +
п +
п +
丛
丛
(5.90)
(5.90)
Откуда
Откуда
ch (2% + xz) th 业 +
ch (xz)tg 必
ch (2% + xz) +
ch (乂z)
ch (2% + xz) th 业 +
ch (xz)tg 必
ch (2% + xz) +
ch (乂z)
ch (xz)电2h]0}.
ch (xz)电2h]0}.
dx , _ = tga =
dx , _ = tga =
+ ch (2% + xz) tg 屮 ° +| ~
+ ch (2% + xz) tg 屮 ° +| ~
(5.91а)
(5.91а)
力
力
('dx 7
о
('dx 7
о
(5.916)
(5.916)
Заметим, что даже при уг (5.84)Заметим, что даже при уг (5.84)и「=0 tg asи「=0 tg as(一出彩1(一出彩1=1 +1%"写]=1 +1%"写]tg色tg色(5.95)(5.95)
Заметим, что даже при уг (5.84)
Заметим, что даже при уг (5.84)
и「=0 tg as
и「=0 tg as
(一出彩1
(一出彩1
=1 +1%"写]
=1 +1%"写]
tg色
tg色
(5.95)
(5.95)
Асимптотические уравнения для tg а при z a 0 и z а оо имеют вид
dx j
"z Lao
ch (2%) tg 业 +
Xh
卄
tgR
ch (2%) +
左
exp (2o ) tg 屮о +
dx I
观
tg办
no\
dz |zq8
Xh
exp (* +
В случае симметричного отражения
tg 屮0 = — tg ^h = tg 也
(5.93)
Xh ch(2vr + xz)——
ch %z
tga=x
tg#.(5.94)
ch(2% + %z)+ 井
ch %z
здесь в отличие от центросимметричного кристалла =% = 0 tg a 丰 tg 3. Вместо этого получаем из
Сравнивая величину tg а из (5.95) для двух отражений hkl и hkl и используя (4.56), получаем
tga…—1+ 咻%j sin 、 1相中，tga…—1+ 咻%j sin 、 1相中，(5.96a)(5.96a)
tga…—1+ 咻%j sin 、 1相中，
tga…—1+ 咻%j sin 、 1相中，
(5.96a)
(5.96a)
(5.966)(5.966)I %”"” sin % i. 例 g S,丽一 1 —| 編恤 r I Sin V J g 卜
(5.966)
(5.966)
Таким образом, фиксируя точку выхода энергии волнового поля на выходной грани кристаллической пластинки, можно установить различие между отражениями hkl и 五*2 только 也з геометрии дифракционного эффекта^ в то время как при использовании коэффициента отражения (см. гл. 4) различие устанавливается по интенс ивностям.
В заключение этой главы следует рассмотреть соотношения, относящиеся к траекториям дважды усредненного вектора Пойн- тинга 豆,а следовательно, содержащие периодические составляющие. Необходимость учета этих осцилляций особенно наглядна в случае поглощающего кристалла, так как использование вектора S, усредненного по экстинкционной глубине т, ограничено надлежащей величиной отношения F碌=^卩/丫0・ Так, в случае отражений 220 и 333 излучения Си А" а от Ge это отношение составляет 〜 0,2 и 〜 0,5 соответственно.
К сожалению, вычисление траекторий вектора Пойнтинга с учетом периодических составляющих и поглощения представляет сравнительно сложную задачу и качественно анализируется лишь в простейшем случае симметричного отражения от центросимметричных структур.
Основные особенности задачи могут быть показаны на примере рассеяния от прозрачного кристалла.
При учете периодических составляющих в значениях коэффициентов прохождения и отражения [см. (3.62) — (3.66)1 для S вместо (5.21) получаем
w = I 麻 I (4 + 力尸｛伍2 +cos2 p] So *sin2 psQ ,(5.97)
где p = nz/т. Переходя к системе координат nz, перепишем (5.97) 困=豐^ ｛心2 + cos? p](九十 口 tg 屮°) + sin2 p (n + a tg 屮Q｝ (5.98) или
困=畳贤｛(' + 产 ％ + [借2 十 cos2 p) tg 5 + Sid p tg 以]a｝.
(5.99)
Отсюда
JtzJtz
COS2—Sin2 —
tg a =匸餐tg屮о +不中tg屮。+不"tg R・(5.100)
Заменяя sin2 р и cos2 р на их средние значения, получаем (5.51).
Рассмотрим подробнее симметричное отражение. В этом случае вместо (5.100) получаем
zcos2—
tg a =匸餐 tg 仆 + T：@r tg 仇(5.101)
Первый член справа относится к непериодической составляющей, которая совпадает с (5.53) для трижды усредненного вектора, а здесь может быть отнесена к средней линии распространения энергии. Второй член описывает периодические увеличения и уменьшения угла а по сравнению с углом для средней линии. В соответствии с (5.101) уравнение траектории имеет вид
(5.102)(5.102)一 У 令■ tgO sin2p
(5.102)
(5.102)
一 l + ^Zlgu 十i + , 2p/z *
Анализ выражений (5.101) и (5.102) непосредственно связан с описанием маятникового решения для прозрачного кристалла, приведенным в гл. 3 [см. (3.44) — (3.47)1. Действительно, средняя линия пересечется с осциллирующей на глубинах
(5.103)(5.103)z = £ либо 2 =鴿志1,AE = L,
(5.103)
(5.103)
которые соответствуют глубинам экстинкции. При этих глубинах расстояния х от оси z для обеих составляющих 力 в (5.102) будут равны.^При таких значениях z углы наклона осциллирующей кривой согласно (5.101), вследствие cos 2р = + 1/будут равны
tg a = tg 8, tg a =沁I tg 仆. (5.104)
от средней(5.105)(5.106)от средней(5.105)(5.106)Между двумя точками пересечения кривая отстоит прямой
от средней
(5.105)
(5.106)
от средней
(5.105)
(5.106)
на величинуX — Xq = ~на величинуX — Xq = ~tg92«AA (1 + 产)tg92«AA (1 + 产)g = &ztg"
на величину
X — Xq = ~
на величину
X — Xq = ~
tg9
2«AA (1 + 产)
tg9
2«AA (1 + 产)
При этом z = (тп 土 1/4)/А^. В этих точках, как следует из (5.102), вектор потока плотности энергии S оказывается параллельным оси z.
Существенно отметить, что характерные параметры траектории потока энергии, определяемые приведенными уравнениями,
являются функциями у. В частности, при 沙=0 средней линией (5.105) становится ось z. На оси z отстояния между двумя ближайшими точками пересечения z = тт и z = (m + V2) т будут наибольшими из расстояний, отвечающих различным возможным значениям у. В точках пересечения вектор 8 будет направлен вдоль б。. При том же значении у = 0 в точках z= (тп 十‘友)с вектор S будет направлен вдоль sh. На средних линиях (прямых)?
отвечающих 沙丰 0, в точках z = тх или z = (тп + 1/2) с вектор S будет также направлен вдоль s0, однако в
промежуточных точках пересечения отклоняется к ^0. Это отклонение возрастает с увеличением у. Общее представление о характере осцилляций направления потока энергии в
случае симметричного отражения дает рис. 38, отличающийся от соответствующего рисунка для S (рис. 29) наложением осциллирующих кри
вых.
В^случае поглощающего кристалла в формулах для tg а и 力［(5.69), (5.70)1 появятся дополнительные сла
гаемые, аналогичные вторым членам в правой части выражений (5.101) и (5.102). Эти дополнительные члены
имеют вид
tg0as = cos ^ tg 令/ch (分 + %z) ch 〃〜
(5.107)
Рис. 38. Осцилляции направления распространения вектора ПойнтингаРис. 38. Осцилляции направления распространения вектора Пойнтингаcos 券［ch (分 + %z)尸 dz.
Рис. 38. Осцилляции направления распространения вектора Пойнтинга
Рис. 38. Осцилляции направления распространения вектора Пойнтинга
Г 0
(5.108)
Подынтегральная функция в (5.108) осциллирует с глубиной z. Эти осцилляции при положительных значениях yr = sh vT монотонно спадают с глубиной и при отрицательных значениях уг проходят через (пологий) максимум и затем тоже спадают. Функция 力as，согласно (5.108), пропорциональная площади под осциллирующими кривыми, ведет себя аналогично. Очевидно, период осцилляции равен отношению z/t. Некоторые дополнительные данные, относящиеся к поведению функции 力^s， можно получить из обзора Джеймса ［171.
Глава 6
ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ В ПРИБЛИЖЕНИИ ПАДАЮЩЕЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ВОЛНЫ
Динамическая теория рассеяния рентгеновских лучей в идеальных кристаллах, изложенная в гл. 2—4, имеет одним из исходных условий ——падение на кристалл плоской монохроматической волны. В конце гл. 3 мы отметили возможность других экспериментов, в частности использование пучка с ограниченным волновым фронтом и набором направлений падения, перекрывающим угловую ширину максимума отражения. В гл. 5 рассматривался случай волнового фронта падающей волны, малого по сравнению с толщиной кристаллической пластинки.
Эксперименты, в которых использовалась подобная схема (система диафрагм между трубкой и кристаллом), были поставлены в 1959 г. Като и Лангом [231 для исследования полос маятникового решения при прохождении рентгеновского пучка через кристаллический клин. Эти авторы получали рентгенограммы двух типов: «секционные»— снимки при фиксированном положении кристалла и пленки относительно источника рентгеновских лучей и снимки при сканировании кристалла и пленки относительно источника. На секционных снимках было получено изображение маятниковых полос, имеющих форму шпильки (буквы V). При сканировании были получены прямолинейные полосы.
В связи с качественным и в особенности к о личественным анализом этих экспериментов Като развил динамическую теорию, описывающую рассеяние рентгеновских лучей кристаллом при падении на него сферической волны [241. Очевидно, что этот подход к явлениям рассеяния ближе к условиям эксперимента, чем приближение плоской падающей волны.
Действительно, излучателями характеристического рентгеновского излучения антикатода рентгеновской трубки являются отдельные атомы, и это излучение, прошедшее через систему диафрагм, следует рассматривать как наложение элементарных сферических волн без постоянных фазовых соотношений между ними. Нетрудно видеть, что наиболее существенным является соотношение между угловой шириной максимума отражения (или прохождения), с одной стороны, и угловым раствором пучка рентгеновских лучей, выходящего из антикатода и эквивалент-
ного (в некоторых отношениях) сферической волне. Этот угловой раствор составляет 〜1,5', т. е. по меньшей мере на порядок больше полуширины максимума. Интересно сопоставить указанное соотношение с тем, что имеет место в современном электронном микроскопе при просвечивании монокристаллической пластинки. Расходимость пучка электронов в подобных приборах не более 10~з раЗ, в то время как полуширина первых максимумов динамического рассеяния на порядок больше.
Анализ этой фундаментальной проблемы «динамического» рентгеновского эксперимента проводится также в гл. 9 в связи с методами «приготовления» плоской монохроматической волны с помощью монохроматоров.
Динамическая теория в приближении падающей сферической волны, развитая Като, позволила с большой точностью описать упомянутые полосы маятникового решения на секционных снимках, которые были фактически первой экспериментальной реализацией эффекта, предсказанного Эвальдом в его работах 1916—— 1917 гг.
Существенным результатом теории Като и усовершенствова- ния экспериментов с получением секционных снимков является новый метод измерения абсолютных значений | %九「］, а следовательно, и структурных амплитуд | Fhr |. Здесь абсолютные значения противопоставляются относительным значениям, обычно определяемым из измерений интенсивности рентгеновской дифракции. Особенностью метода Като следует считать исключение ошибки, обязанной влиянию экстинкции на интенсивность сильных отражений, так как на секционных снимках измеряются только геометрические параметры дифракционной картины.
6.1. Динамическая теория в двухволновом приближении при условии падающей на кристалл сферической волны.
Применение к рассеянию в прозрачной плоскопараллельной кристаллической пластинке
Скалярная волна в вакууме, распространяющаяся в положительном направлении вдоль оси z, описывается в общем случае следующей интегральной формулой:
J J F (К) expt (Кг) dK^Ky,(6.1)
где F (宜)——весовая функция, относящаяся к угловому спектру волны Та. В случае плоской волны весовая функция обращается в 6-функцию:
4(食)=6(直一玄)(6.2)
В случае сферической волны можно использовать обычное Фурье- представление (при единичной амплитуде):
"必喏生=*4上吗"/马.(6.3)
Сравнивая (6.3) и (6.1), замечаем, что весовая функция для сферической волны
% (直)=工 а %、・(6.4)
s、丿 8№ К cos (К«)\/
Здесь Kcos (Re) = Kz = (К2 —抬一蜀)％ принимает положительные значения либо на действительной, либо на мнимой осях комплексной плоскости.
В случае рентгеновских лучей мы должны использовать выражение, аналогичное (6.1) для векторных волн. Для получения такого выражения рассмотрим спонтанное электромагнитное излучение атомных источников. В вакууме вдали от источника электромагнитное поле полностью характеризуется заданием любого из векторов Е или Н, связанных соотношением
Е = iK^1 rot Н.(6.5)
Если ввести операторы
M^[TV],R二击口口打(6.6)
(Г ——постоянный вектор, пропорциональный матричному элементу оператора плотности тока спонтанного атомного перехода, в результате которого излучается гамма-квант) и оставить только главный член (порядка г-1) в асимптотическом разложении нан пряженности поля, можно получить следующие выражения для электромагнитного поля в волновой зоне излучения:
Н3^МФ8, ES^NФS.(6.7)
Отметим, что в асимптотической области векторы Е и Н перпендикулярны направлению распространения поля. Подставляя (6.1) в (6.7), получаем
Hs^ik\ I dKxdKyFs (К)[ТК]ехр 八 R>),
°0 °°(6.8)
Es^iK J J dKxdKyFs (K)[[JK] K} exp i (£>)•
В дальнейшем нас будут интересовать вполне определенные состояния поляризации электромагнитного поля в кристалле
С колебаниями вектора ййдукции либо в плоскости отражения, либо перпендикулярно этой плоскости. Поэтому мы можем ограничиться рассмотрением скалярного волнового поля, включая соответствующие поляризационные множители [IK] и [[1К]К] в весовую функцию F (К).
Обращаясь к выражению для сферической волны в виде суперпозиции плоских волн, каждая из которых описывается изложенной в предыдущих главах динамической теорией, внесем в формулу (6.3) соответствующие амплитудные коэффициенты:
A,h = *W $ K^dQthdKxdKy. 一 (6.9)
Множитель do,九 может рассматрив аться как амплитудная модуляция преломленной и дифрагированной волн в кристалле. Напомним, что такая же интерпретация приводилась нами применительно к выражению (2.36) для блоховской волны, а также при анализе волнового поля в кристалле (3.49).
Множители dQjh для прозрачного кристалла (в двухволновом приближении) детально рассмотрены в гл. 3. Они могут быть также записаны в форме
d。=2加入Xp i{(k^ 一 к)(竽一~)}, (6.10) i=l,2
4=2 o£%xpi{(力£)一К)(竽一г)}. (6.11) 〃=1,2
В выражениях (6.10) и (6.11) г обозначает расстояние точки наблюдения от источника, ге ——расстояние произвольной точки на входной грани от того же источника. Для дальнейшего содержания данной главы существенное значение имеет точное определение величин, обозначаемых г и ге. Так как формулы (6.10) и (6.11) относятся к плоским волнам, то те можно рассматривать как вектор, проведенный от источника к любой точке входной грани. При этом согласно (3.1)
碎一К = -К6(%о (6.12)
направлено в любой точке нормально к входной грани. Таким образом, в (6.10) и (6.11) величина фазы в фазовых множителях дана относительно произвольной точки входной грани.
Переходим к детальному рассмотрению случая падающей сферической волны. Для выполнения интегрирования в общем выражении типа (6.9) оси выбираются следующим образом.
В обратном пространстве, как показано на рис. 39 (см. рис. 6), ось х направлена в сторону отсчета отрицательных значений углов 貝 и ось z совпадает с вектором Kq, образующим с отра-
жающей плоскостью угол О. Начало координат выбирается й точке М.
Анализ процесса распространения в плоскопараллельном кристалле поясняется рис. 40. Сферическая волна, выходящая из точечного источника на антикатоде рентгеновской трубки, проходит систему щелевых диафрагм и падает на кристалл в точке О. Ось х перпендикулярна вектору Kq, имеющему тот же смысл, что и на рис. 39, и представляющему ось z. Ось у перпендикулярна к плоскости чертежа, которая совпадает с плоскостью отражения. Вектор К? имеет направление вектора отраженной волны при падении вакуумной волны под углом 8. OF ——перпендикуляр, опущенный на выходную грань,瓦—след отражающей плоскости и ОР — переменный вектор, соответствующий вектору плотности потока энергии, который далее будет рассмотрен подробнее. Для описания волнового поля, так же как и его интенсивности, в любой точке внутри кристалла используется направление ОР. Любая точка на этой прямой внутри кристалла и точка Р на выходной грани определяются косоугольными координатами %о и 2九,а также длинами перпендикуляров, опущенных на векторы 衣『и R?(① и ①)Расстояние каждой данной точки наблюдения от источника мы определяем следующим образом:
^ =券ё + (券一悭)， (6.13) где второй член справа представляет собой радиус-вектор от точки О входной грани к любой точке волнового поля в кристалле. В соответствии с рис. 40 г — ге можно отнести к переменному вектору ОР.
Рис. 39. Выбор осей координат % и z в обратном пространствеРис. 39. Выбор осей координат % и z в обратном пространствеРис. 40. К анализу процесса распространения волн в пл оскопарал дельном кристалле
Рис. 39. Выбор осей координат % и z в обратном пространстве
Рис. 39. Выбор осей координат % и z в обратном пространстве
Расчеты, относящиеся к излагаемой теории, производятся с помощью следующих переменных:
2 sin 282 sin 28/ =/ =Ке ]/肃]/Лsin 28J 丫о 'Ке ]/肃]/Лsin 28J 丫о '
2 sin 28
2 sin 28
/ =
/ =
Ке ]/肃]/Лsin 28J 丫о '
Ке ]/肃]/Лsin 28J 丫о '
(6.14)(6.14)»=[(!• — re) n], а =『sin 2仆・
(6.14)
(6.14)
Связь новых переменных со старыми с учетом направления оси 力 устанавливается непосредственно (в этой главе Ко — 1/九 и К = =2 л/Л)
(6.15)(6.15)了匸衣±у = Г (/^Т72土)
(6.15)
(6.15)
& = - 2л^0П, s = ^^， ^ =宁•
Полное аналитическое выражение волновой функции проходящей волны в прозрачном кристалле в приближении падающей плоской волны в старых переменных
硬eхр - 2就£際十
十竺匚竺(K1+V± У)]}(6.16)
и в новых переменных
+ a"s 土М^ТР]卜(6.17)
Заметим также, что далее в этой главе для обозначения плоской волны используется выражение
Т = Тоехр [—心力 + i(Kr)].Т = Тоехр [—心力 + i(Kr)].(6.18)(6.18)
Т = Тоехр [—心力 + i(Kr)].
Т = Тоехр [—心力 + i(Kr)].
(6.18)
(6.18)
Аналогичные преобразования приводят к выражению для волновой функции дифрагированной волны в прозрачном кристалле [см. (3.32)]:
^^expi^K + 2nh)r] +^^expi^K + 2nh)r] ++黛+ a*[s士 J阡产]}.+黛+ a*[s士 J阡产]}.(6.19)(6.19)
^^expi^K + 2nh)r] +
^^expi^K + 2nh)r] +
+黛+ a*[s士 J阡产]}.
+黛+ a*[s士 J阡产]}.
(6.19)
(6.19)
Переходим к вычислению интеграла (6.9). При этом мы заменяем в амплитуде величину К『на К? что соответствует двухволно-
вому приближению или аппроксимации участка сферы радиуса К на рис. 39 плоскостью (ее след ——прямая МР). Фазовый множитель exp i (Кг) в (6.17) и (6.19) преобразуется, согласно (6.13),
(6.20а)(6.20а)exp i(Kr) = expi(KzL) exp i (К/ + К^,
(6.20а)
(6.20а)
L =鹿， 卢①-尸ё)]三乙z + Kxx.(6.206)
Что касается интегрирования в (6.9) по Ку, то необходимо учесть, что переменная Ку встречается только в выражении (6.20а), так как Kz = (К? 一抬一抬)％. Выполняя интегрирование по Ку методом перевала [77], получаем
W ехр % (z + £) /К? 一 抬-屛 а/ 亡 £ exp「K(z + £)-
—%(2 + £)彥」dKy = exp iK(2 + A) X
X \exp “2 + £)杂]dKy.(6.21)
Переходя от показательной подынтегральной функции к тригонометрическим, используем для вычисления полученных интегралов таблицу интегральных трансформант в книге Снеддона [78]. После обратного перехода к показательной функции получаем
exp (iKz) Dy = exp (iKz) Mj^^~exp (—力夫卜 (6.22)
Вместо выполнения интегрирования по Кх вводим новую переменную s, связанную с Кх соотношением (6.14). Вынося за знак интегралов выражения, не содержащие s, получим следующие формулы:
Ро =4" 3)-% [К(z + £)「％ехр好£) exp (- i^ X XexpH(Kz + P)]Uo,(6.23)
Dh = ^-(2л)~3/2 [K(z + L)]-^exp (iKL) exp (-力*) x
X exp [i (Kz + 2冗(hr) + 刀九 + P)] U”，(6.24)
p =翠=挚& + 2)(6.25)
2 ( ToTo sin 2存 1 sin 2-0* J 2 v 1'
и интегралы UQ и Uh имеют вид
% = } f {(- s + /^TP) exp "at /^+7] + (s + /^Tf) X
X exp [ — ia^ J^s2 + /2]} [/s? + y2]"1 exp [— iqst] ds, (6.26)
Uh-=^{exp [ E力、s'2 十 /2] — exp [ — iatYs2 + 产]} X
КС
* —'灯【is订姒(6.27a)
Sin У s2 + /2
吋胃第上畔罕exp(*)曲.(6.276)
Здесь
q =：a, / = (a + q"・(6.28)
Более простой интеграл Uh непосредственно раскрывается с помощью уже упомянутой таблицы интегральных трансформант [78]. Результат записывается следующим образом:
°， |g〉a，
U九=ь(g) =U九=ь(g) =(6.29)(6.29)КС
U九=ь(g) =
U九=ь(g) =
(6.29)
(6.29)
следующимследующимочевиднымочевидным戒 sin^Ml/WH硏，丨 g|<a・
следующим
следующим
очевидным
очевидным
Вычисление интеграла Uo облегчается соотношением с U九[см. (6.27а)]:
Uo =Uo =sin 26sin 26(д (iqt)十 3 (ZM)(д (iqt)十 3 (ZM)(6.30)(6.30)
Uo =
Uo =
sin 26
sin 26
(д (iqt)十 3 (ZM)
(д (iqt)十 3 (ZM)
(6.30)
(6.30)
(6.31)(6.32)(6.31)(6.32)а также рекуррентным соотношением 八(己)二一。[人(己)]/得
(6.31)
(6.32)
(6.31)
(6.32)
В результате получаем
о,|g|〉a,
"°]/?^厶["Ma2 —也,|g|<a.
Анализ полученных выражений для волнового поля в кристалле может быть произведен с помощью рис. 40 и 41. Прежде всего, как следует из условий (6.29) и (6.32), волновое поле в кристалле резко ограничено треугольной областью ROT, В приближении плоской падающей волны, как подробно показано в гл. 5, каждому частному значению угла падения 屮о ± п отвечает определенное направление распространения энергии, или вектор плотности потока энергии 否=的)+ 百⑶，причем векторы 泵%) представляют нормали к соответствующим ветвям дисперсионной поверхности в точках возбуждения. В случае сферической падающей волны, когда возбуждаются все точки дисперсионной гиперболы, векторы 8«)по-прежнему являются нормалями в соответствующих точках той или иной ветви. Однако они уже не связаны с
торых перпендикулярныторых перпендикулярныРис. 41. Возбуждение всех точек дисперсионной гиперболы при падении сферической вакуумной волны (верхнее Л ^ 4)Рис. 41. Возбуждение всех точек дисперсионной гиперболы при падении сферической вакуумной волны (верхнее Л ^ 4)ТоТоL XL X= ±(а-9)九= ±(а-9)九(6.33)(6.33)sin 282 cos2拉sin 282 cos2拉(6.35)(6.35)彳豈森睜（一导X厶（川豆），彳豈森睜（一导X厶（川豆），
торых перпендикулярны
торых перпендикулярны
Рис. 41. Возбуждение всех точек дисперсионной гиперболы при падении сферической вакуумной волны (верхнее Л ^ 4)
Рис. 41. Возбуждение всех точек дисперсионной гиперболы при падении сферической вакуумной волны (верхнее Л ^ 4)
То
То
L X
L X
= ±(а-9)九
= ±(а-9)九
(6.33)
(6.33)
sin 28
2 cos2拉
sin 28
2 cos2拉
(6.35)
(6.35)
彳豈森睜（一导
X厶（川豆），
彳豈森睜（一导
X厶（川豆），
каким-либо частным значением угла падения и однозначно опре
деляются, например, углом £ относительно отражающей пло
скости. При этом, очевидно, данному значению £ будут отвечать два вектора Е" в точках Л и Л (см. рис. 41). Можно принять,
что для каждого значения £ существует определенный вектор ь=2豆豎)=2百*. Такой переменный вектор 为 представлен на рис. 40 прямой ОР. Основание Р этого переменного вектора фиксируется косоугольными координатами %’ и %, направления ко
Кп и Кд. В свою очередь х и xf зависят от общего углового параметра д, являющегося функцией £. Значение х представлено формулой (6.28), в то время как значение хг определяется из соотношений, следующих из рис. 40:
Используя далее очевидные связи
I = ОР =力/cos (目一Wo + £), % = Z sin (今 + £),(6.34)
получаем для q〜 sin (8 + £)
4 ~ COS 绅h — 8 + £)
Учитывая приведенные значения аргументов % и а/ (6.28), (6.33) и решения интегралов (6.29) и (6.32), выпишем полные значения волновых функций Dq и Dh в кристалле в следующей форме:
exp iLz exp 力{Kz 十 P}子 J子 X
(6.36)
Dh = z,^ ~= exp (— ^卜xp辽2exp i {Kz + 2л ">)+
+ % + P}"o"M/7),(6・37)
R/]/、.(6.38)
Полученные выражения показывают, что геометрические места точек, отвечающие постоянным значениям произведения
XX* =粤(а? — g2)产，(6.39)
образуют гиперболы, асимптотами которых являются векторы Kf и К?・
Исходя из формул (6.36) и (6.37), можно перейти к полю интенсивности внутри кристалла. Напишем соответствующее выражение для дифрагированной волны
%=7 价2 (人仔恒］)2 = T (/)2 {J。血(叫}2. (6.40)
Как уже отмечалось во введении к настоящей главе, излагаемая теория была использована для истолкования и расчета интерференционных эффектов маятникового решения, которые наблюдались на секционных снимках.
Естественно связать такие осцилляции указанных функций с интерференцией полей, обязанных возбуждению точек на обеих ветвях дисперсионной кривой. Для описания волнового поля внутри кристалла используется переменный вектор ОР, который при каждом частном значении угла 8, с одной стороны, соответствует интерференции определенной пары волн, для точек А и Л (рис. 41), а с другой стороны, служит разрезом через интерференционную картину маятникового решения.
Для интерференции волн, соответствующих сопряженным точкам А и А дисперсионной гиперболы, необходимо выполнение двух условий: наряду (^совпадением направлений распространения потока энергии S胃 || S軍 указанные волны должны быть когерентными.
Рассматривая не только точку Л, но и малый участок гиперболы вблизи Л, на котором еще можно пренебречь ее кривизной, мы можем ввести следующие характеристики, определяющие способность к интерференции вдоль направления 戸曾 соответствующих волн: 1) дифракционную ширину
(6.41)
геометрическую ширину gf = IW, где I ——путь, проходимый в кристалле вдоль W от точки О, и И7 — угловая расходимость векторов ^⑴ внутри участка 8Ка- При этом минимальный размер gm определяется равенством геометрического размера и дифракционной ширины
gm = ZWm = %巾 ®m) = (КЗщ)匕 ©m =夂：• (6.42)
Условие (6.42) означает, что волны внутри интервала относительного углового разброса пучка волн не могут интерферировать с волнами за пределами этого интервала. Другими словами, gw дает порядок величины когерентного участка вдоль волнового фронта, который распространяется в направлении 困⑴.
Обратимся теперь к точке А дисперсионной гиперболы. Точка / является сопряженной точке Л, что означает параллель-
яость соответствующих векторов S⑴，а также определенное условие, касающееся интервала когерентности. Сопоставим минимальный размер gm, согласно (6.24), с разностью расстояний от источника
(6.43)(6.43)I G + ^е) — (% + 戛)I 弋 £2%,
(6.43)
(6.43)
где величины с чертой относятся к участкам волнового поля в кристалле, соответствующим точке возбуждения А. Строго говоря,
это соотношение не соответствует исходной модели, показанной
на рис. 40 и положенной в основу излагаемой теории. Для выяснения условия (6.43) необходимо допустить конечную ширину волнового фронта падающей волны вместо точки О на рис. 40. При этом не выполняется первое условие (6.20). Величина L отвечает расстоянию от источника до гточки падения при угле 屮。，в то время как ге и % ——расстояниям до точек
п 仃при углах падения 巾°％ На
Рис. 42. к вычислению увеличе-—二 ，公 片、
ния М в кристаллепервый взгляд, условие (6.43) не
выполнимо, так как левая часть, согласно (6.42), имеет величину
порядка lWm, т. е. примерно 10~42/2т]т, если принять, что Пт a Wm- Однако условие (6.43) оказывается справедливым, так как волновое поле в кристалле обладает свойством увеличения,
в результате чего Wm 导 2刀团・
Действительно (см. [79] и рис. 42), при наличии некоторого интервала углов падения dr] на малом участке SSr дисперсионной гиперболы возникает интервал ае» углов векторов 8⑴ с плоскостью отражения. Увеличение М, пропорциональное кривизне гиперболы на данном участке "Е, где R — радиус кривизны,
составляет
(6. 44)(6. 44)de. de. dy2sin2&cus2%sK К cos 令
(6. 44)
(6. 44)
drf —近而" cos 8 [1 + s；//；)]%"cos%
Величина радиуса кривизны на рассматриваемом участке гиперболы
[1+ 6沁]%[(s；//；)+cos2 8]%
“ =2 tg2®cos3% + t：o = КС I 肌]2sin2 行 *
Рассмотрим два предельных случая.
На границе максимума R f К, так как граница максиму- ма соответствует переходу от дисперсионной гиперболы к окружности. При этом % т 存 и
Mai,(6.46)
е. увеличения нет.
2. При точном =Ss/力=О И
значении
R
M =
1
2totg2$，
2КРо sin? 8cos 8
угла Вульфа — Брэгга % = ^ =
(6・47)
(6.48)
Из отношения т0/% М будет порядка 104.
Из этой оценки мы получаем, во-первых, нужное нам соотношение
gm>>L2T]m (6.49) и, следовательно, возможность интерференции волн, отвечающих точке (участку) Л дисперсионной гиперболы, с волнами, соответствующими возбуждению сопряженной точки (участка)瓦 и только с этими волнами. Сопоставляя условия образования интерференционных картин маятникового решения в случаях падения сферической и плоской волн, отметим их существенные отличия. Действительно, во втором случае интерферируют волны с примерно параллельными волновыми векторами, в то время как в первом случае интерферируютъолны с"параллельными|векторами Пойнтинга, или лучами.
Другой вывод, который следует сделать из приведенной оценки увеличения М кристалла в области максимума, имеет более общее значение: фраунгоферова дифракция, при которой геометрические размеры изображения источника значительно меньше дифракционной картины, в кристалле реализуется при расстояниях источник — дифракционная картина примерно в 104 меньших, чем в вакууме.
Уравнение (6.40), дающее распределение интенсивности в плоскости отражения, показывает, что величина 少九 фактически зависит от двух независимых переменных: глубины (толщины) t и угла 8, образованного переменным вектором ОР и следом отражающей плоскости. Величина 屮(е) в (6.40) выражается следующим образом:
屮(£)=黑留 Usinf& + E)siri(® — E)cos-1 (业一° + 8). (6.50)
Экспериментальные исследования этих эффектов и в особенности применение их для определения абсолютных значений структурных амплитуд основаны на вариациях интенсивности вдоль линии OL (следа) отражающей плоскости (рис. 40). Обозначая отстояние произвольной точки на этой линии от точки О на входной грани через р и учитывая, что вдоль OL значение е обращается в нуль и cos 帥九一仆 + e)=力/р, получим
抑(£)_ p sm^^^ = *КР・抑(£)_ p sm^^^ = *КР・(6.51)(6.51)
抑(£)_ p sm^^^ = *КР・
抑(£)_ p sm^^^ = *КР・
(6.51)
(6.51)
Выражение (6.40) переписывается в виде
^T^{J.[2na^}\(6.52)
где а = KqC | %九 | /2cos 9 составляет действительную полуось дисперсионной гиперболы.
Как было показано экспериментальными исследованиями этих интерференционных эффектов, для описания изменения интенсивности вдоль линии р можно ограничиться формулой (6.52) лишь на участке дифракционной картины, примыкающей к точке О. Более глубокие участки соответствуют асимптотическому разложению функции Бесселя, которое для функции нулевого порядка имеет вид [72]
J。⑶ 蓑 cos[W-?]・(6.53)
В таком случае, для более глубоких участков интерференционной картины закон изменения интенсивности выражается следующим образом:
虱(р)а4；^^鹏2П吁h(6・54)
Расстояние между двумя соседними гиперболами вдоль линии р, вблизи точки О в соответствии с (6.52)
小—吟更，⑹55)
где 以+1 и Вт — значения аргумента J。，отвечающие двум соседним максимумам. Для остальной части дифракционной картины при больших значениях р интервал между соседними максимумами (6.54)
аз之急(6・56)
Несмотря на совпадение формулы (6.56) с (3.45) и (3.47) для экстинкционной глубины в случае падающей плоской волны различия между двумя цнтерференционными картинами бросаются в глаза при исследовании абсолютных положений максимумов, т. е. их расположения относительно входной грани кристалла (см. рис. 43) [80].
Прежде всего при р'。0 (2лар V 0,01), т. е. непосредственно вблизи входной грани, согласно (6.52), функция J。，а с ней и величина интенсивности 少九(р) имеют максимум, в то время как из "(3.43) интенсивность дифрагированной волны в кристалле, приГпадающей плоской волне
* 〜I加叫2 sin2(必版)，(6.57)
-при z。0,夕％ а О. Отстояния между максимумами в случае падающей плоской волны Лр/ точно определяются из (6.56) и примерно соответствуют отстояниям Amh при больших р. Однако отстояния первых максимумов превосходят А^. Так, расстояние между первым и вторым максимумами превосходят А“ на 22%. Далее эти расстояния постепенно уменьшаются, приближаясь к Ар【・ При этом максимумы смещены 左 входной грани по сравнению с максимумами для случая плоской волны на 丄/《Amh, что непосредственно следует из выражения (6.54).
1,221,22卜乙23 3,24 4,25 5,25 5,25 7,25卜乙23 3,24 4,25 5,25 5,25 7,25с
1,22
1,22
卜乙23 3,24 4,25 5,25 5,25 7,25
卜乙23 3,24 4,25 5,25 5,25 7,25
Рис. 43. Сопоставление интер-"〃 弘〃浓〃必
12 3^ 5 6 7 /?/Л?412 3^ 5 6 7 /?/Л?4валов интерференционных кар- 丄 Уi I
12 3^ 5 6 7 /?/Л?4
12 3^ 5 6 7 /?/Л?4
тин маятникового решения 方力力
а — сферическая падающая волна ；
б — плоская падающая волна.
Рассмотрим детальнее физические причины, приводящие к указанным различиям, в особенности смещение фазы на л/4 в (6.57) сравнительно с (6.54) [81]. Полное аналитическое выражение для фазы каждой из двух слагающих волн, проходящих и дифрагированных, после проведения интегрирования по К： имеет вид [см. (6.23) 一 (6.26)]
7牍—KLKz -\- Р (at — xj s ^r at ]/飞2 + /2.(6.58a)
С другой стороны,巾^за для каждого из полей заменяется вдоль траектории вектора ~8^ по закону
丁⑴=К£ + (紋)(v), v),(6.586)
где V — единичный вектор вдоль 6(»)・ Легко показать, что значение (6.56) для Ать может быть получено из величины разности векторов
0砌山)川=([初1)(w)一4(2)w)],w)，А泌= 2n/(A码w),w), (6.59) в то время как величина
А館=2л/(АА? (;п), п).(6.60)
Более полное выражение для фазы колебаний вдоль траектории вектора S⑴ может быть получено приближенным методом
перевала. В отдельности для проходящей и дифрагированной волн можно получить
(6.61 丿(6.61 丿7$)= KL + (子} + (-等} + (土?)3 + (乃俨""，
(6.61 丿
(6.61 丿
賣)=KL +
(6.62)
Здесь фаза, обозначенная индексом 1, содержит величину л/2, соответствующую множителю Z в выражениях (6.23) и (6.24). Фаза с индексом 2 появилась в результате интегрирования по Ку [см. (6.22)]. Соответственно фаза с индексом 3 возникает при интегрировании по Кх. Наконец, член, зависящий от I, определяет форму гипербол и их отстояния.
В связи со сдвигом фазы в (6.54) представляет интерес наличие двух знаков в (土 л/4)3. Если исходить из того, что при падении на кристалл сферической вакуумной волны возбуждаются все точки обеих ветвей дисперсионной гиперболы (поверхности), причем из каждой точки по нормали распространяются векторы 豆⑴，то, очевидно, что для первого поля следует ожидать образование фокуса (фокальной линии) этих лучей вблизи входной грани. Что касается второго поля, то соответствующая ветвь имеет тот же знак кривизны, что и падающая волна, и дает лишь расходящийся веер векторов Пойнтинга. Это можно показать, если проинтегрировать выражение для цилиндрической волны
(6.63)(6.63)屮⑺)=J exp i{kxx + / (瓦：)2} dkx
(6.63)
(6.63)
приближенным методом перевала. Результат имеет вид
屮(г) - § ехр (〃2) [Г (力)]。z 限 一 \k^dkx =
=(佈(6.64)
где индекс 0 означает величину, отвечающую точке стационарной фазы, а — + 1, в зависимости от знака [/']0. Полученное выражение показывает, что знак фазы [Z (л/4)] зависит от знака второй производной / ("J, т. е. от кривизны наших гипербол.
Между тем из оптики известно, что при переходе через фокус фаза меняется скачком на л/2. Таким образом, фаза второго поля остается неизменной и составляет [——г (л/4)]3, в то время как фаза первого поля меняется и становится [г (л/4)]3. Детальное рассмотрение этого эффекта, следующего из теории Дебая, дано в монографии Зиммерфельда [82].
Существенной Чертой рассматриваемой интерференционной картины можно считать модуляцию интенсивности максимумов с интервалами, более или менее значительно превышающими интервалы (6.55) и (6.56). Эта модуляция, как показали Като [83] и Харт и Ланг [84], обязана эффекту биения при суммировании интенсивностей излучений со взаимно перпендикулярными плоскостями колебаний электрической индукции. Учитывая, что излучение, выходящее из рентгеновской трубки, является (практически) полностью неполяризованным, и рассматривая для простоты Amh из (6.56), следует различать А丄 и Дп:
(А丄尸=I ^必cos也(Л у尸=观cos 2巾X cos也
(A 丄)т + (Л 口尸=(А 丄尸(1 + cos 2仆).(6.65)
Формула (6.54) для интенсивности вдоль отражающей плоскости 少九(р) переписывается и далее преобразуется следующим образом:
%(°) = n丄pt m2 (言一？) + cos 2。 COS2 传一?)]= NN
=诘(1 + COS 2^) + ^(l+cos23)cos{ji[(AQ7+(A||)T]p—
N:
—л/2} cos {л [(AQT — (A||)-“ р} — ^- (1 — cos 2*0*) x
(6.66)(6.66)X sin {л [(A丄尸 + (Л „ 尸]p—斗卜in {л [(А丄尸一(Л II 尸]р},
(6.66)
(6.66)
n丄=[2儲」丄・
Не рассматривая здесь убывания амплитуды с возрастанием р, представленного множителем N丄/2р, рассмотрим три слагаемых в правой стороне уравнения (6.66).
Первое слагаемое дает лишь общий фон. Третье слагаемое дает незначительные модуляции, так как cos 2С имеет величину, близкую к единице. Поэтому основная интерференционная кар- тица определяется вторым слагаемым, точнее, величиной cos {л【(А丄尸 + (Лк)-1] р —(冗/2)}・ Интервал Л, слегка отличный от Лтп из (6.56), соответствует соотношению
Л"1 = (2А 丄)т (4 + cos 2")・(6.67)
Амплитуды полос Л7P модулируются эффектом биений двух осцилляций интенсивности, выраженным множителем
cos [лр (А丄)т (1 — cos 2*0*)](6.68)
во втором слагаемом. Полосы интерференции ослабляются вплоть до полного исчезновения, если соблюдается условие
(1 一 cos 2® р/Л р (2п + 1)/2.(6.69)
Число полос между двумя участками ослабления определяется соотношением
N = (1 + cos 28)/2 (1 - cos 2令)(6.70)
за исключением участка между началом и первым ослаблением. Здесь число полос составляет JV72. Условия образования полос в участках между двумя ослаблениями зависят от знака множителя cos [пр Aj (1 ——cos 2®)]. В случае положительного знака максимумы и минимумы интенсивности полос определяются условиями
лрА卫(1 十 cos 2令)y = 2пл — max,
лрАj (1 + cos 2今) = (2n + 1)冗一min.(6.71)
В случае отрицательного знака указанного множителя условия (6.71) меняются на обратные, и, следовательно, положения максимумов и минимумов меняются после каждого участка ослабления. Приведенные характеристики находятся в хорошем количественном согласии с экспериментальными данными [83, 84] (рис. 44).
Хотя изложенное рассмотрение влияния поляризации на интерференционную картину является естественным и, возможно, элементарным проявлением поперечной природы электромагнитных волн рентгеновского диапазона, наглядный характер эффекта, а также возможность внесения поправки в наблюдаемые значения Л делает этот эффект существенным. Речь идет о небольших смещениях в положениях максимумов, вызванных как плавным фоном, так и слабыми осцилляциями [третий член справа в (6.66)]. Принципиальный интерес представляет измерение формы максимумов интерференционной картины. Действительно, форма максимумов находится в закономерной связи с формой ветвей дисперсионной гиперболы и согласно (6.40) должна быть гиперболической. Метод экспериментального изучения формы дисперсионной поверхности с помощью описываемых здесь секционных снимков является более прямым, чем использование кривых отражения. Между тем обнаружение каких-либо отклонений от гиперболы в форме дисперсионных кривых имело бы важное значение, так как указывало бы непосредственно на неприменимость (во всяком случае частичную) двухволнового приближения.
В соответствии с (6.61) или (6.62) полная величина разности фаз между волнами, связанными с двумя различными ветвями дисперсионной гиперболы, составляет
①(①⑴-①⑵)+ (田⑴(V)__ 历(2)(v)],v)Z(6.72)
или, учитывая (6.50) и (6.59),
①=(①⑴一①⑶)+ ^^」m说，(6.73)
откуда получаем
(6.74)(6.74)m试={①一(①⑴一①⑵)} /竽爲I
(6.74)
(6.74)
Таким образом, условием точной гиперболической формы интерференционных полос является постоянство разности фаз (①⑴一 —①(2)). Очевидно, это условие относится и к форме дисперсионной поверхности или ее сечения плоскостью отражения. Выполненные до сих пор экспериментальные проверки формы интерференционных полос [85] не обнаружили отклонения от гиперболы.
. В связи с использованием секционных снимков для определения абсолютных величин структурных амплитуд в ряде работ Като с сотрудниками [86] разрабатывалась методика регистрации и точных измерений периодов А^, данных формулами (6.55) и (6.56). Если обратиться к основной части дифракционной картины, за исключением участков, прилегающих к входной грани, то в формулу (6.56) следует ввести поляризационный множитель
Рис. 44. Модуляция интенсивности гипербол
Стрелки показывают области ослабления
Рис. 45・ Схема образования изображения гипербол маятникового решения при распространении сферической волны в кристалле
а — интерференционная картина в случае плоскопараллельной пластинки; 6 — интерференционная картина в случае клина; пересечение прямых г и р—точка С
согласно (6.67). В таком случае период А? между соседними вершинами гипербол в отражающей плоскости внутри кристалла имеет величину
А£ 三金♦(6*75)
На рис. 45, а показана соответствующая дифракционная картина на боковой стороне плоскопараллельной пластинки. Период А£ измеряется вдоль оси р. На выходной грани плоскопараллельной пластинки будут наблюдаться полосы, отвечающие основаниям гипербол.
Для объективной регистрации гипербол можно использовать клин, показанный на рис. 45, 6. Здесь дифракционная картина наблюдается на выходной грани и соответствует косой проекции изображения на грани А.
Как отмечалось в самом начале этой главы, при исследовании динамического рассеяния, наряду с секционными снимками, используются также снимки со сканированием.
На рис. 45 показано направление перемещений кристалла (и пленки) относительно источника. Нетрудно видеть, что при этом на пленке регистрируются линии, которые являются геометрическими местами вершин гипербол, образующих секционный снимок. Вместе с тем эти линии являются линиями постоянной, или равной, толщины в клинообразном кристалле.
На рис. 45, б представлен частный случай съемки при симметричном отражении: отражающая плоскость ОСО' перпендикулярна входной и выходной граням пластинки. Период на выходной грани вдоль оси г будет увеличен по сравнению с периодом вдоль р согласно формуле
贏-ЛлФл,①h =岩•弋"g 卩，(6.76)
где 卩 ——угол клина СО'О. Величина АЛ с учетом (6.75)
А…贰念表(67)
отличается от соответствующей величины периода в приближении падающей плоской волны лишь множителем поляризации.
Однако детальное рассмотрение изображений, получаемых при регистрации дифракционной картины на выходной грани клина, привело к необходимости введения ряда поправок, приведенных в гл. 9.
Величина интегрального отражения в случае прозрачного кристалла не должна отличаться от значения, получаемого в теории при падающей плоской волне. Согласно (3.816)
2А
凡=要、几⑺瓦(6.78)
о
(6.79)(6.79)Заметим, что здесь и далее в формулах 2?» опущен множитель I %h I / |%й|. Выражение (6.78) представляет осциллирующую функцию на фоне постоянной интенсивности л/2. Интеграл, очевидно, является функцией верхнего предела
(6.79)
(6.79)
WTo%
имеет период осцилляций 2л и дает интервал между соседними полосами равной толщины t:
А = (6・8。)
Таким образом, использование снимков со сканированием, которые были получены впервые в работе Като и Ланга ([23] гл. 1), не требует пересмотра теории в приближении падающей плоской волны. Однако, как это следует из нашего изложения, только на основе теории в приближении падающей сферической волны можно установить механизм образования и количественные характеристики интерференционных полос на снимках со сканированием.
Здесь будет уместно дополнить сопоставление двух типов маятникового решения: полос равной толщины и побочных максимумов, которое было рассмотрено в разделе 3.3. Очевидно, гиперболические полосы на секционных снимках не могут быть отнесены к указанным двум типам. Действительно, согласно (6.33)—(6.35) аргумент функции Бесселя /0, входящей в выражение (6.40), для поля интенсивности интерференционной картины будет
Е=Е (力 £)• (6.81)
Отсюда следует, что полосы на секционных снимках представляют геометрические места точек, отвечающих максимумам интенсивности, для определенной пары значений угла £ и толщины (или глубины)九 При этом точки всех гипербол на прямой р, лежащей в отражающей плоскости, соответствуют значению Е = 0, т. е. направлению векторов宫⑴ или f = 2§G), параллельному той же плоскости. Естественно, сканирование кристалла по направлению, указанному на рис. 45, приводит к образованию линий равной толщины на фотопленке. (На выходной грани кристалла образуются лишь интерференционные гиперболы: при сканировании меняется объем кристалла, в котором происходит рассеяние падающей сферической волны.)
С другой стороны, полосы на секционных снимках, так же как и побочные максимумы, обязаны интерференции при равном наклоне. Однако в то время как при образовании побочных максимумов интерферируют волны, имеющие одинаково направленные волновые векторы как внутри кристалла, так и в вакууме,
при падении на кристалл сферической волны интерферируют волны, имеющие в кристалле одинаково направленные векторы 困,т. е. лучи, но в вакууме имеющие различные направления лучей, или волновых векторов.
Если учесть соотношения (6.59) и (6.60) и обратиться к дисперсионной гиперболе в обратном пространстве, то станет очевидным следующее. Так как интервалы осцилляций и разность фаз интерферирующих волн в случае секционных снимков, согласно (6.59), определяются проекцией соответствующего диаметра дисперсионной гиперболы на нормаль (v, но не п!) или вектор 8, то очевидно, что разность фаз уменьшается к краю снимка до нуля, так как вблизи границы максимума .нормаль к кривой становится перпендикулярной диаметру гиперболы. Таким образом, в этом отношении гиперболы на секционных снимках сходны скорее с линиями равной толщины, чем с линиями равного наклона.
6.2. Применение изложенной теории к рассеянию в поглощающем кристалле
Для перехода к поглощающему кристаллу мы должны рассматривать в выражениях (6.23)—(6.27) параметры Хо и 北九,％万 как комплексные величины. Следует обратить внимание на то, что Хо входит только в величину фазы Р (6.25), в то время как %九 и %芯一в подынтегральные функции в (6.26) и (6.27). Выражение (6.25) можно переписать в виде
P^P. + iP^JL (а + i^(lQ + 儿)， (6.82) а следовательно, множитель поглощения, относящийся к предын- тегральным частям в (6.23) и (6.24), соответствует нормальному коэффициенту поглощения.
Переходя к интегралам Uq и U八,замечаем, что при вычислении интерференционной части показателя в множителе поглощения, как показано в гл. 4, согласно теории Захариасена и Лауз, используется весьма существенное приближение: | Xhi | W I ^hr I， в то время как при вычислении амплитудных множителей принимается Хо ^ Хог и х* ^ (%九％区)「=①九• Однако при интегрировании выражений (6.26) и (6.27), как было показано Като, удается избежать указанных ограничений и вычислить эти интегралы для общего случая любого соотношения между модулями действительной и мнимой частями параметров %. Для этого используется интегрирование по комплексной плоскости. Как и ранее, начинаем с интеграла Z/九. Свдчддд этот интеграл вычисляется при условии
а〉|3 — а%)|/% = 0 (6.83)
L \/(+)dZ;L \/(+)dZ;оL \ /(-)就；оL \ /(-)就；Рис. 46. К выводу формулы (6.89)Рис. 46. К выводу формулы (6.89)В таком случае линейные интегралы по контурам 厶(Х=1,...,4) имеют видВ таком случае линейные интегралы по контурам 厶(Х=1,...,4) имеют вид\ I (—) d?=—\ I (—) d?=—(6.86)(6.86)(6.87)(6.87)(6.88)(6.88)
L \/(+)dZ;
L \/(+)dZ;
о
L \ /(-)就；
о
L \ /(-)就；
Рис. 46. К выводу формулы (6.89)
Рис. 46. К выводу формулы (6.89)
В таком случае линейные интегралы по контурам 厶(Х=1,...,4) имеют вид
В таком случае линейные интегралы по контурам 厶(Х=1,...,4) имеют вид
\ I (—) d?=—
\ I (—) d?=—
(6.86)
(6.86)
(6.87)
(6.87)
(6.88)
(6.88)
Вводится следующая функция комплексной переменной z:
/(土)= [土 ％(z2 + 产户2] exp it[— qz + a(z2 + 产朋，(6.84)
причем значение 啰 + 产)％ будет равно (52 + 产)％ на линии z = s「+ iSi для sr > 0. Контуры интегрирования показаны на рис. 46. Интегрирование вдоль линий £» (Z = 1, 2, 3, 4) сводится к четырем интегралам:
\ /(+)dz;
l2=o
l4=o
(6.85)
Далее берутся интегралы по контурам С (+) и С (—). Однако, так как внутри этих последних контуров нет полюсов, линейные интегралы по бесконечно удаленным полуокружностям при выполнении условий (6.83) стре-
мятся к нулю и интегралы по бесконечно малым окружностям вокруг точек (полюсов) z = 土炉 равны нулю. Поэтому
Uh = f^Phh[ \ /(+)dz+ \ /(—)叁]= L3+L4
= fexp»%j \ H + )dz + \ /(一)女]・厶+22%+人
На этих последних линиях выполняются условия z =炉 sin 屮(a,％)； z = - X/ sin 屮 &/4)■
,兀/2
у (+) d? = — Х/2 \ exp ft (q sin 屮一ia cos ср) d(p,
片Ф0
、/ (十)dz = i/2 \ ехр ft (q sin ф + ia cos ср) d(p,
大丿2
Н'2
备 \ ехр ft (— q sin 屮 + ia cos 屮)dcp,
-00
-Фо
у \ ехр ft (——q sin 屮 ——Za cos ф) dcp, л/2
Где (Ро определяется из Соотношения /г sin(p0=5i- Изменяя переменную ф таким образом, чтобы все интегралы приняли форму первого, например, во втором интеграле, заменяя 屮 на 冗 ——ср, получим для суммы интегралов
,2 叶 Фо
Uh = ~ / exp it]九 \ exp ft (g sin (р — ia cos(p)d屮= Фо 2л
=十 / exp ix\h \ exp [ift (a2 —矿尹 sin 令de = о
=冗斤 exp ix\hJQ [ft (a2 — q?)%].(6.89)
Нетрудно показать, что, заменяя условие (6.83) условием a < \q\, мы получаем。九=0, а при а = \ q \ интеграл становится несобственным, хотя и имеет главное значение.
Аналогичным путем решается и интеграл С；。.
Таким образом, мы приходим к неожиданному и весьма важному результату, формулы (6.36) и (6.37) для волновых функций в кристалле одинаково применимы как к прозрачному, так и к поглощающему кристаллам, если во втором случае считать Хо и %Л комплексными величинами. При этом никаких ограничений, касающихся соотношения модулей | %Ог | и | %Oi |, а также I Xhr I и I %hi I，не накладывается.
Так как при больших значениях аргумента 占，в частности Е (р), функции Бесселя J。принимают асимптотические значения
/。（自）=/。（自）=V备cos卜+今卜V备cos卜+今卜(6.90)(6.90)
/。（自）=
/。（自）=
V备cos卜+今卜
V备cos卜+今卜
(6.90)
(6.90)
(см. также (6.53)), то мы можем рассматривать эти выражения как описывающие две плоские волны в кристалле. Каждая волна связана с определенной ветвью дисперсионной гиперболы. Эти волны в поглощающем кристалле имеют линейный коэффициент поглощения в направлении нормали в данной точке гиперболы согласно (5.85) на некотором пути 上
久=K^Qi (^о + 人)土 2 力(%片)% =
=*2 土 2nKoC cos "九 умс^ /( - ^j} % +儿)，(6-91)
В связи с этим выражением в разделе 5.3 рассматривается соотношение между этой величиной и полным значением о в теории рассеяния в поглощающем кристалле при падении плоской волны-
Переходя от выражений для волновых полей к выражениям для интенсивностей и прослеживая изменение интенсивностей вдоль отражающей плоскости (направление отсчета длин р),、
мы можем использовать выражения (6.36) и (6.37). Таким образом, интенсивности вдоль указанного направления для проходящей и дифрагированной волн в кристалле имеют вид
% =蟲击 ехР [-需§г]⑺2 k [2%p +
+ i ("о + 4) ~^~ exp 心九]I ,(6.92)
%= 32л Kz 呵[-Б^т]|/1，о[2%р + + Ц^о + 儿)-К** ехр 庙九]J ,
(6.93)
p = (20+厶)cos 令；8 ехP %3h= -. ^0г
(6.94)
Рассмотрим два важнейших частных случая (применительно к 少九). Тонкий кристалл
I Go + 4) К*，У 1・(6.95)
При этом можно использовать приближенное выражение
/()(〃 + 山)=%(〃)一川厶(〃)， 少殳1,(6.96)
или
I Jo (2 冗即)|2 = I Jo (2%p) |2 + |(Zo + 幻 ^^| 〃 (2ap)]2.(6.97)
Подставляя это выражение в (6.93), мы получим необходимое частное значение 力.Определим теперь относительное смещение максимумав функции (6.97) и полной величины dh сравнительно с положением максимумов в случае прозрачного кристалла согласно (6.55). Указанное смещение имеет величину
[^~^т = — 乂 o/Amh；乂0 = [^Х/ьг/ХогГ1»(6.98)
причем эта величина смещения справедлива, если только хЛтЛ <^ 1. Отметим, что максимумы смещаются по направлению к входной грани. Численная оценка для величины 乂。для отражения 220 излучения СиКос от Ge составит ~5%.
Толсты й кр исталл
J …)晔|>1.(6・99)
В соответствии с асимптотическим разложением функции Бесселя нулевого порядка /0 величина интенсивности в направлении
р выражается следующим образом:
力力1111/ sin 8 P [ cos 9/ sin 8 P [ cos 9++
力
力
1
1
1
1
/ sin 8 P [ cos 9
/ sin 8 P [ cos 9
+
+
(6.100)(6.100)+ ch [(Zo + 幻 ЯС|18 exp 施/j}.
(6.100)
(6.100)
Оценка относительного смещения максимумов в этом случае показывает,что учет этого смещения при прецизионных измерениях необходим лишь при значениях 心，*^ и Xni/X/ir порядка 0,1.
Следующей задачей в разработке теории в приближении сферической падающей волны является вычисление интегральных интенсивностей, которые здесь определяются интегрированием поля интенсивности на выходной грани. Задача решается для кристалла, имеющего форму клина, в частности, в связи с интерпретацией снимков со сканированием и их использованием для определения структурных амплитуд.
Значения интегрального отражения и прохождения в излагаемой теории формулируются следующим образом:
^=^/4 T-方=曰expfbx
X
хх/1/1~ KC\ih\tyr^~ KC\ih\tyr^2 M血2 M血(6.101)(6.101)用二:用二:0e1sin 2仆0e1sin 2仆'犷ST'犷STX I JoX I Jo■ ^c I % J t 户二齐■ ^c I % J t 户二齐2m落2m落Г+1Г exp 然Г而.Г+1Г exp 然Г而.]|]|11(6.102)(6.102)
х
х
/1
/1
~ KC\ih\tyr^
~ KC\ih\tyr^
2 M血
2 M血
(6.101)
(6.101)
用二:
用二:
0e1
sin 2仆
0e1
sin 2仆
'犷ST
'犷ST
X I Jo
X I Jo
■ ^c I % J t 户二齐
■ ^c I % J t 户二齐
2m落
2m落
Г+1
Г exp 然
Г而.
Г+1
Г exp 然
Г而.
]|
]|
1
1
(6.102)
(6.102)
Переменная интегрирования о является нормированной переменной координатой на прямой RT, представляющей след выходной грани, и определяется выражением (см. рис. 47)
(6.103)(6.103)
(6.103)
(6.103)
где a = TF. b =蚕 м т —переменное отстояние от основания F перпендикуляра Е尸，опущенного на выходную грань. Далее У = (£/2) [(1/Yo) + (1/уд)], убм 丫八 一 косинусы углов с нормалью к выходной грани.
В работе Като [24] вычисляется интеграл в выражении (6.102) и подробно анализируются полученные выражения для интегрального отражения R” Для Н? получено выражение
Е?=斗ехр[—М] ]/芸芸｛\jo(p)dp + о
+ 2т^+ 2т^
+ 2т^
+ 2т^
幻（24尸,幻（24尸,(6.104)(6.105)(6.104)(6.105)2Z = 24H — g2 ・
幻（24尸,
幻（24尸,
(6.104)
(6.105)
(6.104)
(6.105)
В этом выражении
х = 1%м|/1хпг|; g =岑(十
4 соответствует формуле (3.61) с учетом комплексного значения величин I Хл I и |%五|. Следовательно, А = \А \ ехр /а, cos а = 1, sin а = 乂. Наконец, h дается формулой (4.117).
Сравнивая (6.104) с величиной интегрального отражения в приближении падающей плоской волны (4.115), (4.121) и (3.81), замечаем, что интеграл в (6.104) отличается от интеграла W в (4.115) верхним пределом интегрирования, а сумма в (6.104) отличается от интеграла У в (4.115) множителем g2r+i[2A У1 — g2].
Рис. 47. К вычислению интегральных интенсивностей в случае клина
Указанное сходство используется для проведения качественного анализа результатов интегрирования. При этом необходимо заменить косинусы углов с нормалью к выходной грани Yo и уп на соответствующие величины, относящиеся к входной грани.
Прозрачный кристалл:卩=х = g = 0. Интегральное отражение, описывающее распределение интенсивности на снимках со сканированием, уже в функции от угловой переменной у или угла Г), одинаково как при падении плоской, так и сферической волн.
Тонкий поглощающий кристалла h (« p,f) <^ 1. Полагая, что величина 2 в (6.104) пренебрежимо мала, приходим к выводу, что интегральное отражение при падающей сферической волне слегка отличается множителем [(1 + х2)/(1 —— g?)]% и верхним пределом интегрирования от выражения для прозрачного кристалла.
Лромежуточная область толщин: h (а М) ~ 1- В этом случае необходимо учитывать величину
『=玄鳥(等)凜2…【24 ]/!=/]・(6.106)
Численные значения функции g7n (2Л) в широком интервале значений 2Л, т. е. в широком интервале щ)оизведений 卩厶 оказались близкими к единице для значений 2А < 3 и при условии, что 乂 и g порядка 0,1. Таким образом, и в этом случае можно использовать теорию в приближении падающей плоской волны.
Толстый поглощающий кристалл: h ^> 1. Используя асимптотическое разложение бесселевых функций, можно получить следующее выражение для интегрального отражения:
成=备寸方eхр [一m+无]{1+[$+訂明；，
(6.107)
т. е. результат (при достаточно больших 无),практически совпадающий с (4.174) для интегрального отражения в случае падающей плоской волны, разумеется, если в (6.102) отнести cos гр0 и cos ^h к входной грани.
В заключение приведем линейный коэффициент поглощения в направлении нормали к выходной грани для интегрального отражения:
n=4« к 畑 f^ + ^+гКе 了丽"[(乂2 + g2)件才产，
(6.108)
где параметры %八 и %五 рассматриваются как комплексные вели
чины.
Глава 7
ОТРАЖЕНИЕ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ ПО БРЭГГУ. I.
ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ.
КОЭФФИЦИЕНТЫ ПОГЛОЩЕНИЯ.
ДИФРАКЦИЯ В КОНЕЧНОМ КРИСТАЛЛЕ
Изложенная выше теория относится к прохождению рентгеновских лучей через кристалл с выходом отраженной волны через выходную или обратную поверхность кристаллической пластинки. Такая схема эксперимента носит название метода или случая Лауэ. Другая схема (рис. 48) относится к случаю Брэгга, в котором отраженная волна выходит в вакуум через входную поверхность. Существенное отличие физических явлений, протекающих при этом в кристалле, от того, что имеет место в случае Лауэ, определяется различием условий для амплитуд на границах раздела кристалл——вакуум. В случае Лауэ комплексный характер поляризуемости, угловых функций и волновых векторов внутри кристалла выражает истинное поглощение рентгеновских лучей. В случае Брэгга наряду с поглощением мы встречаемся с экстинкцией —
Рис. 48. Схема отражения по Брэггу
а — Yo > I % I； б — Yo < I Yh I； 6 — Yo = I 丫拉 I
интерференционным эффектом, действие которого для некоторых случаев в определенной части области максимума значительно превосходит действие поглощения. Характерной чертой отражения по Брэггу является различие физического механизма рассеяния в разных частях области максимума.
Теория рассеяния рентгеновских лучей идеальными кристаллами при отражении по Брэггу исторически начала разрабатываться раньше теории Эвальда. Она была впервые дана в трудах Дарвина и Принса [87], который включил в рассмотрение эффект
поглощения. В настоящей главе используется тот же подход, что и в предыдущих главах, предложенный Лауэ——Захариасеном. Следует отметить работу Вагнера [88], который рассмотрел отражение по Брэггу в тонкой плоскопараллельной поглощающей пластинке, а также работы Бонзе [89, 90]. В самые последние годы были опубликованы важные теоретические и экспериментальные исследования, посвященные этой проблеме [91—97].
Поскольку различие между рассеянием по Лауэ и по Брэггу возникает при изменении пограничных условий, содержание гл. 2, относящееся к неограниченному кристаллу, может быть использовано в обоих случаях. Иное расположение дисперсионной поверхности относительно нормали к выходной поверхности кристалла будет специально рассмотрено.
Переходя к полукристаллу (см. гл. 3), замечаем прежде всего что при выбранных нами направлениях отсчета углов р。и величина cos 屮九=丫九 в случае Брэгга становится отрицательной
办〉п/2, 丫九= -%]・(7・1)
В соответствии с этим получаем
В = 2а —хо(1+?),(7.2)
十8士(俨一筑的^2|^|依声
Как можно видеть, существенное отличие этого выражения от (3.11) заключается в том, что корень в правой части для определенной области величин § может принимать мнимые значения. Эта область ограничена условиями
—2С|^||/ 早 <р< + 2С|х,||/ 粤 ・ (7.4)
В результате в указанной области величин § волновые векторы волн в решетке принимают комплексные значения. По аналогии с волновыми векторами в поглощающих кристаллах это означает экспоненциальное ослабление интенсивностей таких волн по мере их проникновения внутрь кристаллов. Соответствующая область максимума носит название области полного отражения.
В этой главе мы также будем пользоваться угловыми функциями р, ?/ и г? от величины т) — отклонения от угла гр0. Однако связи между указанными функциями будут иметь несколько отличные значения в различных областях максимума, а также в прозрачных и поглощающих кристаллах.
Отражение от прозрачного кристалла
Для того чтобы исследовать различные области максимума при отражении по Брэггу, рассмотрим прежде всего схему эксперимента, при котором падающая вакуумная волна имеет достаточно широкий по сравнению с толщиной кристалла волновой фронт и при этом ничтожную расходимость, меньшую углового размера максимума.
По-видимому, вся область максимума может быть разделена по меньшей мере на три части: область полного отражения и две соседние ——в сторону меньших и больших углов р。+ Л-
Область I находится в стороне меньших значений углов 屮° — п сравнительно с границей области полного отражения. Здесь ут V —1, но I 勿 I〉1. Величина (yi — I)1% а вместе с ней и значения с⑴， 爲"， 力俨 и 破)являются действительными величинами. Переменная о определяется условиями
Ут =Ут =ВВ=—chu, и〉0.=—chu, и〉0.(7・5)(7・5)
Ут =
Ут =
В
В
=—chu, и〉0.
=—chu, и〉0.
(7・5)
(7・5)
Используя приведенные соотношения, а также (3.15), получаем
Yyj— i = sh и,Yyj— i = sh и,(Ут +(Ут ++ ^ Z/x — 4)=—+ ^ Z/x — 4)=—(7.6)(7.6)
Yyj— i = sh и,
Yyj— i = sh и,
(Ут +
(Ут +
+ ^ Z/x — 4)=—
+ ^ Z/x — 4)=—
(7.6)
(7.6)
/ПГ~ 景=丿堂 & 一了此—1) = — ]Z*exp(+b).
°'(7.7)
Область III находится в стороне больших значений углов 屮о + т]. Здесь z/ni > 1,(状口 ——1)1/ги связанные с ним функции действительны, так же как и в области I. Переменная о определяется условиями
Уш —- = ch р, 0,(7.8)
откуда
(状п —()% = shu,
(7・9)
(7.10)
exp (— у).exp (— у).粤盜=]Z^（勿口 -^ут - 1）=
exp (— у).
exp (— у).
(7.11)
Наконец, в области полного отражения——области II для переменной V принимаем
Ун = cos р, 〃〉0.(7.12)
V ?/п — 1 = i V 1 —比工=力 sin. и,V ?/п — 1 = i V 1 —比工=力 sin. и,Границами области являются значения ymin = —1, 5тах = + 1・ Так как в этой области | у | < 1, то
V ?/п — 1 = i V 1 —比工=力 sin. и,
V ?/п — 1 = i V 1 —比工=力 sin. и,
(744)(744)(7.15)(7.15)(7.13)
(744)
(744)
(7.15)
(7.15)
Очевидно, при наличии поглощения переменные у и v становятся комплексными величинами. Заметим также, что угловая ширина области полного отражения, которая далее будет определяться, соответствует полуширине максимума при отражении по Лауэ и составляет для прозрачного кристалла от 〜10——13" для сильных отражений до 〜2——3〃 для слабых отражений.
Для дальнейшего анализа необходимо привести три возможные схемы съемки по Брэггу, различающиеся соотношением между Yo и модулем \ yh |. На рис. 48, а представлен случай Yo〉| 丫九 |, (Yo/| Yh|)」2 > 1,以一(n/2) < (冗/2) — фо, (n/2) — 2o〉仆.На рис. 48,6 показана схема съемки при Yo <С I Тл b (То/| 丫九 |)% <С 1,屮九― —(冗/2)〉(冗/2) — ар。，(n/2) — po 々仔.На рис. 48, е дана схема симметричного отражения по Брэггу, при котором отражающая плоскость параллельна входной поверхности кристаллической пластинки и y0= | 丫九|,屮о=n 一屮九.
Сопоставим теперь формулы для амплитудных коэффициентов отражения в трех областях максимума с анализом взаимного расположения дисперсионной поверхности и нормалей % к входной поверхности кристалла в случае Брэгга (см. рис. 49). Отражающая плоскость представлена здесь прямой, проходящей через точки Е и ,М, и является действительной осью дисперсион-
Рис. 49. Дисперсионная поверхность в обратном пространстве при отражении по БрэггуРис. 49. Дисперсионная поверхность в обратном пространстве при отражении по Брэггу(7.16)(7.16)
Рис. 49. Дисперсионная поверхность в обратном пространстве при отражении по Брэггу
Рис. 49. Дисперсионная поверхность в обратном пространстве при отражении по Брэггу
(7.16)
(7.16)
ной гиперболы. Наиболее существенным отличием этой схемы от рис. 6 или других схем, относящихся к случаю Лауэ, следует считать расположение нормали п, которая на рассматриваемой схеме в зависимости от значения угла т] либо пересекает одну какую-либо ветвь гиперболы, либо проходит между ними. Нетрудно видеть, что указанные выше три области максимума представлены здесь участками схемы: область I — левее точки 7?\ область II — между точками R' и Ии область III ——правее точки Е. Действительно, в области II величина 0 определяется условиями (7.4), в соответствии с чем у принимает значения от—1до+1. Границами области, внутри которой (z/2 — 1)% = % (1 — уу/、 будут (при данном направлении и) точки /Г и 凡 где 匂2—1)%=0.
В областях I и III нормали 九 пересекают соответствующую ветвь гиперболы в двух точках 4 ⑴ и 4(2), (4‘⑴，Л/(2)), которые при уменьшении п сближаются, сливаясь затем в одну точку Е‘ или Л.
Нетрудно показать, что величины с⑴ непосредственно связаны с отношением длин отрезков AB/SB. В частности, для X = 2 отрезок 4(2)5 в области III пред
ставляет величину ^/yQ. Чтобы получить значение длины отрезка SB, можно исходить из величины 霏)в точке 尸 Е伍=a cos 3, тогда SB 二丫厂丄 a cos 行= =(1/2?0)及0脸1 [ем. (2：79)]. Используя (2.81), получаем
На основании полученного выражения (7.16) легко проследить за изменением коэффициентов с⑴ с изменением угла т)・ С увеличением угла г) в области III, т. е. при смещении нормали п вправо, отрезок А(1)В, а с ним и отношение с⑴ растут беспредельно. Поскольку такое поведение величины с@)физически неприемлемо, так как с отклонением от угла 3 отраженная волна должна убывать, мы приходим к заключению, что в этой области максимума в кристалле первое поле отсутствует. Что касается второго поля, то соответствующий коэффициент с(2)при возрастании^угла 刀 вместе с отрезком 4(2)В стремится к нулю. Можно сказать, что
значение с(2)в (7.16) является единственным решением дисперсионного уравнения в области III.
В области I точки 4'(i)и А'^ как бы меняются местами сравнительно с точками А^ и /О. С увеличением ?)в сторону отрицательных значений, т. е. с приближением к левой границе максимума,отрезок А7 (1Ш', а с ним и коэффициент с{^ уменьшаются и стремятся к нулю, в то время как отрезок Л'^В' и с(2)возрастают беспредельно. Единственным физически приемлемым решением дисперсионного уравнения в области I является значение c(D, и, следовательно, необходимо признать, что в области I внутри кристалла существует лишь первое поле.
Сопоставляя эти выводы с формулами (7.6), (7.7) и (7.10), (7.11), мы видим соответствие в поведении обоих полей в областях I и III.
Наконец, тот же результат можно сформулировать с помощью пограничных условий для амплитуд на входной поверхности, которые для случая Брэгга принимают следующую характерную форму:
。俨十 /2) = /а) и。伊十 0*) = 0俨. (7.17)
Учитывая сделанные выводы о наличии только одного из полей внутри кристалла в двух боковых областях максимума, перепишем эти условия для областей I и III соответственно:
/2)=以7 С⑵加2)=0化
(748) =以。), c⑴加D =0伊.
Таким образом, в каждой из этих областей значения соответствующей амплитуды £)Г постоянны и не зависят от угла т], в то время как амплитуды отраженных волн 0*“ возрастают с уменьшением модуля |т)I или I у I，достигая максимума при у = ± 1, т. е. на границах области II полного отражения. Для Хь = Х^зти максимальные значения, согласно (7.6) и (7.11), при с^ = 1 приводят к условиям в областях I и III:
ехр (— и)= —
ехр(—и)=|/ 早•(7.19)
Однако эти условия выполнимы только в том случае, когда I 丫九 I < Yo, так как v всегда положительно, другими словами, когда схема эксперимента соответствует рис. 48,〃. В случае схемы, представленной рис. 48,6., дисперсионная поверхность в обратном пространстве будет иметь расположение относительно нормалей,
несколько отличное от рис. 49. При уменьшении | т] | на аналогичной схеме точки 4°)в области III и Л,(1) в области I, перемещаясь вдоль гиперболы, достигнут точек касания соответственно R 0 R' раньше, чем придут в вершину гиперболы F (или 歹‘)，в которой только и может обратиться в единицу коэффициент с&). В результате условия (7.19) не будут выполнены.
Переходя к коэффициенту отражения, получаем одинаковую величину для областей I и III:
吊务卜 ехр(-2и)专.(7.20)
Что касается области II, то из (7.14) и (7.15) следует, что для обоих полей
(7.21)(7.21)
(7.21)
(7.21)
Рис. 50. Профиль максимума отражения по Брэггу при асимметричной съемке от прозрачного кристаллаРис. 50. Профиль максимума отражения по Брэггу при асимметричной съемке от прозрачного кристалла碱）=k俨一 长”%。，I КЗ（2）Мо I =击｛—需）一4 К%。｝=碱）=k俨一 长”%。，I КЗ（2）Мо I =击｛—需）一4 К%。｝=(7.23)(7.23)
Рис. 50. Профиль максимума отражения по Брэггу при асимметричной съемке от прозрачного кристалла
Рис. 50. Профиль максимума отражения по Брэггу при асимметричной съемке от прозрачного кристалла
碱）=k俨一 长”%。，
I КЗ（2）Мо I =击｛—需）一4 К%。｝=
碱）=k俨一 长”%。，
I КЗ（2）Мо I =击｛—需）一4 К%。｝=
(7.23)
(7.23)
Таким образом, для прозрачного кристалла коэффициент отражения равен 1 во всей области полного отражения от у =——1 qo у = + 1 и быстро падает в
областях I и III от единицы до нуля по закону (7.20). Соответствующая кривая отражения (см. рис. 50) была впервые вычислена Дарвином [5], который использовал известный первый вариант динамической теории.
Очевидно, эффект полного отражения падающей волны в области II связан с экспоненциальным убыванием волнового поля в кристалле с глубиной. Это убывание, подобно явлению поглощения, также можно описать введением комплексного волнового вектора.
Так как в области II мы не можем построить тангенциаль-
ную проекцию волнового вектора в кристалле, воспользуемся формально уравнением (3.1), причем вместо величины^) используем коэффициент с(2)согласно (2.82). Таким образом, мы получаем условие на границе для волновых векторов в форме
(7.22)
или, подставляя значение е@)из уравнения (7.15), получаем для мнимой части волнового вектора, обязанной полному отражению от прозрачного кристалла,
I•(7・24)
По аналогии с коэффициентом поглощения (4.36) вводится коэффициент экстинкции
4 = 4n 碌)=2nке\ 視 \Vi^ / /Ж?.(7.25)
Как можно видеть из уравнения (7.25), экстинкция имеет максимум при у = 0 п падает до нуля на краях области полного отражения при у = 土 1・ Подставляя в (7.25) значение |观|, получаем [см. (2,34)]
義 max = 2м?е2b (九)/М而灯 тс^ •(7.26)
При подстановке в (7.23) всесто с(2)величины c(D мы получим согласно (7.14) для коэффициента экстинкции
о； = — 2яКС IIУТ^/ МЖТ・(7.27)
Если положительное значение о© по (7.25) означает экспоненциальное ослабление волнового поля, проникающего в глубь кристалла, то отрицательное значение о； соответствует экспоненциальному усилению этого поля с глубиной и, таким образом, является физически неприемлемым, так как в области II вся энергия падающей волны отражается обратно в вакуум. Этот результат еще раз подтверждает правильность вывода о наличии в области II лишь второго поля.
В дальнейшем мы будем часто пользоваться помимо углов 屮о и 屮九 относительно нормали углами со。и со九 относительно входной поверхности или углами скольжения. При этом увеличение углагро, или величина % откладываемая от нормали по часовой стрелке, означает уменьшение угла скольжения соо- Используя угол ф между входной поверхностью и отражающей плоскостью, запишем для схемы рис. 48, а
丫 о = cos 4>0 = sin.(仔 + 屮)=sin. g,
(7.28)
I 丫八 I = ] cos ^h I = sin. (# — ф) = sin. co%
При симметричном отражении (рис. 48, е) максимальное значение экстинкции составляет величину
&— 9 е2 ^С F (Л)7
и, следовательно определяется ' только структурой кристалла, природой рассеивающих атомов и индексами отражения.
Сопоставим величины экстинкции и обычного поглощения. Наибольшее превышение ое над величиной 卩 имеет место для самых первых отражений и в тех случаях, когда обычное поглощение минимально, т. е. для жесткого излучения и атомов легких элементов. Этим требованиям удовлетворяет, например, отражение излучения МоКа от плоскости (200) Si. В этом случае, принимая С = 1, получим
о% s, max = £4 700 С%т,卩 q15 c犷\%/卩石丄0°°・(7.30)
Более правильно сравнивать величину ае с величиной 卩,отнесенной к нормали к входной поверхности, тогда отношение экстинкции к поглощению составит лишь 〜128.
Для полной характеристики максимума интенсивности при отражении по Брэггу, приведем выражения для углового размера и средней точки области полного отражения. Согласно (7.4) угловая величина этой области составляет
你=*出|]/ 岑■(7.31)
или, переходя к угловому аргументу %
А% = (sin2旷2c |/果 I JU |.(7.32)
Наличие множителя С существенно снижает угловую ширину Дт)0 для л-колебаний вектора D, Индекс 0 обозначает принадлежность данного углового интервала к падающей волне. Средняя точка максимума т)0 отвечает значению § = 0, т. е. смещена относительно величины 屮°,
3 = 2T]osin 2# —%о(1 十丄*) = °，
По =加(1 十 早)(2 sin 2仆尸.(7.33)
Значение rj0 по (7.33) совпадает с величиной углового смещения максимума отражения в случае Лауэ, согласно (3.83), с заменой —yh на yh. Замечания, сделанные в связи с выражением (3.83), частично применимы и к случаю Брэгга. Это относится к указанию о зависимости эффекта смещения только от величины %о, но не от %无，Заметим, что в виду %0 =— | %01 выражение (7.33) обозначает уменьшение утла 屮°, т. е. увеличение угла со 0- Наконец, (7.33) можно преобразовать так же, как это сделано в случае Лауэ, и получить выражение, аналогичное (3.85),
/ 一忘蒔('+"丄)(7・34)
(7.35)(7.35)и в случае симметричного отражения
(7.35)
(7.35)
"м — sin 29 — sin 2仆
выражение, полученное Дарвином.
Очевидно, что смещение угла падения (7.33), отвечающее средней точке максимума, приводит к смещению отражения, отвечающего той же точке. Из основного условия, связывающего переменные векторы К俨 и R化 К$)— K(h —九，следует, что
К (sin 屮；一sin 屮Q = I 九 I，(7.36)
где 业 и % — переменные углы,
心=业 +%， 就=必 + 小.(7.37)
Таким образом,
К (cos i|?oHo — cos 屮"％) = 0,(7.38)
так как мы принимаем cos 屮| a cos i|?0 и cos ^rh。cos 屮九. Из (7.38) получаем
加=(1 +.(7.39)
团 IT^ I 10 sm2^ \ \yh\ )
Изменение величины отклонения падающего луча при отражении по Брэггу составляет, если перейти от углов х|?0 и ярд к углам скольжения,
р,6 COS ф ( 1.1 ]
П - По + % - cos仆 (sin со。+ sin s” J -
=—弊R+，一！・(7.40)
2 COS 仆 I Sin So sin CO^ J'/
Это выражение показывает, что величина 2т)может принять особенно большие значения, а следовательно, может быть измерена с большей точностью в том случае, когда или падающий, или отраженный луч почти параллелен входной поверхности. Для достижения таких условий поверхность кристалла сошлифовы- вается под надлежащим углом к отражающей плоскости. На рис. 50 приведен профиль максимума по Брэггу согласно формулам (7.19) и (7.21). Ширина области полного отражения и положение максимума относительно угла 仆 в соответствии с формулами (7.32) и (7.33) приведены в функции от углов скольжения. Эта форма максимума, полученная впервые Дарвином, называется иногда в литературе его именем. Ее характерными признаками являются: плоская вершина, отвечающая коэффициенту отражения К = 1, и симметрия относительно средней ординаты. Эти признаки характерны для отражения от прозрачного кристалла и нарушаются при переходе к поглощающим кристаллам.
Замечательное свойство прозрачного кристалла полностью отражать в области II максимума падающие на него рентгеновские лучи, очевидно, является весьма ценным при решении фундаментальной экспериментальной задачи ——получения достаточно интенсивного излучения, возможно, близкого по своим характеристикам к идеальной модели плоской монохроматической волны. При этом существенным является уменьшение угловой- расходимости отраженного пучка, которая для сильных отражений, как было отмечено, может немного превышать 10". В случае симметричного отражения угловые расходимости падающего и отраженного (в области II максимума) пучков одинаковы. Величина угловой расходимости в этом случае определяется выражением, которое можно получить из (7.32) и условия у。= =Ml
2С|Х”| sin 2仆 ,
Отсюда, переходя обратно к асимметричному отражению и углам скольжения, получим опять для расходимости падающего пучка, который отражается в пределах области II максимума
=Ди=Диsin о)”sin о)”sin（о）sin（о）(7・42)(7・42)
=Ди
=Ди
sin о)”
sin о)”
sin（о）
sin（о）
(7・42)
(7・42)
Очевидно, что расходимость отраженного в той же области максимума пучка будет связана с величиной А% выражением, в котором синусы углов со九 и со。меняются местами. Используя формулы (7.28), можно написать (для схемы 48, 6)
=“По,=“По,sin (О 一①) sin (行 + 中),sin (О 一①) sin (行 + 中),(7.43)(7.43)
=“По,
=“По,
sin (О 一①) sin (行 + 中),
sin (О 一①) sin (行 + 中),
(7.43)
(7.43)
Так как углы ср между входной поверхностью кристалла и отражающей плоскостью можно менять шлифовкой и, кроме того, использовать повторное отражение от разных кристаллов, то величину расходимости Aq九 отраженного пучка можно весьма существенно уменьшить. Этот метод асимметричной съемки действительно оказался одним из наиболее эффективных методов получения пучка лучей с нужными свойствами (см. гл. 9).
Эффект изменения угловой расходимости пучков при изменении углов падения и отражения наглядно поясняется использованием схемы дисперсионной поверхности в обратном пространстве (рис. 51). На рис. 51,а показано, что при симметричном отражении угловые расходимости в области полного отражения для падающей волны ТТГ и отраженной RR одинаковы, на рис. 51, 6 при асимметричной съемке ТГ〉RR, т. е. Лг)^ < Дг)0.
Сделаем несколько замечаний, касающихся суммарного волнового поля в кристалле (для а-поляризации) при указанных
условиях отражения, т. е. падении плоской монохроматической волны с широким волновым фронтом. Это поле описывается уравнением (3.49).
D^ = {Р^г) + о£)ехр (— 2ni (hr)} exp 2ni [vt —(用俨尸)],(7.44)
и его полная величина определяется соотношением фаз проходящей и дифрагированной волн в кристалле. В отличие от случая Лауэ, при котором во всей области максимума присутствуют оба поля {двухволнового приближения, в рассматриваемом слу-
Рис. 51. К рассмотрению эффекта изменения угловой расходимости пучков при изменении углов падения
а — симметричное отражение;
6 — асимметричное отражение
чае в каждой из областей эффективным является лишь одно из полей: в области I лишь первое, в то время как в областях II и П1 ——второе поле. Для определения фазовых соотношений необходимо в выражениях (7.6), (7.11) и (7.15) уточнить фазу 刀无 отношения (х/%£)% = ехр 拋九. Принятые нами в (3.16) значения 刀九=冗 соответствуют простейшему случаю примитивной трансляционной решетки с одним атомом в элементарной ячейке, причем исключаются условия аномальной дисперсии. Таким образом, величина отношения DJD h принимает следующие значения (с точностью до множителя (у。/ | yh |)%)：
I —ехр(—办
Л1-ехр[Цл-р)],(7.45)
III — exp (in — у).
Другими словами, в области I обе волны находятся в фазе, в области III ——в противофазе и в области II сдвиг фазы монотонно растет от 0 при у =——1 до л при 沙=+ 1.
Как это следует далее из (7.44), максимумы и минимумы пол
ного волнового поля в кристалле располагаются на плоскостях, параллельных атомным плоскостям. Значения экстремумов интенсивности поля выражаются величинами [1 + (уо/|ул|) ехр (—。)产 для областей I и III и величинами [1 士 (у0/1 yh |)]2 для области II. Очевидно также, что если при принятых условиях
в области I на атомных плоскостях лежат максимумы, то в об-
ЛаСти Ш на тех ж© Плоскостях лОжат минимумы. В области II положения максимумов и минимумов монотонно меняются от одного до другого крайних положений. Эти данные непосредственно указывают на направление распространения энергии в каждой из областей. В то время как на боковых областях максимума суммарный вектор 6 направлен вдоль К, в области II полного отражения энергия волновою поля распространяется параллельно входной поверхности кристалла. Соответственно значениям сдвига фаз DQ и Dh колебаний по трем областям можно построить
Рис. 52. Изменение интенсивности волнового поля в кристалле в функции от угловой переменной у в трех областях максимума
график полного значения интенсивности волнового поля в кристалле, представленный на рис. 52. Пунктирная линия в области II показывает значения интенсивности с учетом некоторой принятой величины экстинкции.
Обращает на себя внимание резкая асимметрия максимума относительно средней точки этого распределения интенсивности внутри кристалла, в то время как кривая отражения (Дарвина), изображенная на рис. 50, является симметричной.
Некоторые отличия в описанной картине возникают при переходе от а- к л-поляризации, в частности возрастают значения интенсивности поля в области III.
Сделаем некоторое общее замечание, имеющее существенное значение. Несмотря на оговорки, согласно которым рассматривалось отражение от прозрачного кристалла при широком фронте падающей плоской волны, в действительности в приведенной трактовке неявно предполагалось, что отражающий кристалл является достаточно толстым. В таком случае, даже при сколь угодно малом поглощении, волновые поля в областях I и Ш, распространяясь в глубь кристалла, полностью затухают.
Иное имеет место при отражении от тонкой кристаллической пластинки без поглощения или с исчезающе малым поглощением. Волновые поля, возникающие в кристалле при углах падения, отвечающих областям I или III, достигают противоположной выходной поверхности, где вступают в силу другие пограничные условия.
Так, поскольку отраженная волна не выходит в вакуум на выходной поверхности, пограничное условие для дифрагированных
Волн может быть записано следующим образом： 0$)ехр [— 2ni(Khr)] = exp [― 2加(R + h), г] х
(7.46)(7.46)X 2。夕 exp [2лКЗ⑴〃 =0.
(7.46)
(7.46)
Таким образом, здесь возникает дополнительно второе поле в области I и первое поле в области III. Чтобы установить направление распространения энергии вновь возникающих полей, напишем выражение для скалярного произведения векторов 豆⑴ на нормаль п. Используя выражения (5.206), (7.10) и (7.11), легко получить следующее соотношение:
(S⑴九о) = ~^| /" |2 丫о 卜—I J ехр (土 2〃)卜 (7.47) Применяя это соотношение, например к области III, и учитывая, что о〉0, получим положительную величину скалярного произведения для второго поля (при ——2。) и отрицательную величину при 2。, т. е. для первого поля. Так как внутренняя нормаль п0 направлена от входной поверхности к выходной, то из (7.47) следует, что второе поле распространяется в том же направлении, в то время как первое — в обратном направлении, т. е. к входной поверхности кристалла.
Очевидно далее, что при достаточно широком фронте падающей плоской волны (под углом падения, отвечающим одной из боковых областей максимума) внутри кристалла, так же как и на входной поверхности, возникнут интерференционные эффекты. Постоянная величина относительного сдвига фаз интерферирующих волн обоих полей” определяющая расстояние между максимумами или минимумами интерференционной картины
A乃=碗)一碗)， (7.48)
соответствует хорде, которая соединяет две точки 4⑴ или 4'⑴ на общей ветви дисперсионной гиперболы. Эти интерференционные эффекты являются побочными максимумами маятникового решения в случае Брэгга. Они соответствуют тонкой структуре боковых областей максимума. Эта тонкая структура постепенно пропадает при возрастании толщины отражающей кристаллической пластинки и переходит в монотонный спад коэффициента отражения от Я = 1 до 7? = 0 на кривой Дарвина (рис. 50).
Истинное поглощение при отражении по Брэггу.
Исследование величины ь
В отличие от случая Лауэ величина коэффициента поглощения здесь существенно различна в трех областях максимума. Начнем рассмотрение с коэффициента поглощения, отнесенного к нормали
п0 к входной поверхности кристаллической пластинки
。=н/To»(.49)
где 卩——линейный коэффициент поглощения в произвольном направлении при падении вакуумной волны под углом 2о 土 刀 в области максимума. Как точные, так и приближенные выражения для о вычисляются аналогично гл. 4 с необходимыми коррективами, вызванными особенностями случая Брэгга.
Так как величина。непосредственно связана с мнимой частью волнового вектора, возникающей в связи с 必 то согласно (2.58), (3.1), (4.67) и (4.68) получаем
0=_4冗 I 行I = 4吸=4h{一尝L —桶" g士 恥)} , (7.50)
где учтено условие (7.1), согласно которому
自=|満1(1 +岑)，w=]/俨一4户"%元号 .(7.51)
Далее приводятся точные и приближенные значения действительной и мнимой частей корня W аналогично формулам (4.65), (4.66), (4.86), (4.87). Точные значения Wr и Wt при любомсоотно- щении I %hi I，I %od，|%九厂 I，I Xor I определяются согласно выражениям (4.65), однако при слегка отличных значениях величин а и Ь. В случае Брэгга, очевидно,
а =倖 一 В^ — 4c2叫 «I,b = 2B总一4c2咻-IM(7.52)
или в функции от у
匕=2匕仅)，忆=IW^yY 2 = 2c y工 ]/小 =3 • У То Уг
(7.53)
В этом случае
¥В.
a①)= 对-g2-l,b仅)=一2 分g一苗，g=-_.(7.54)
При вычислении приближенных значений Wr и Wt используется аналогия с выражениями (4.86) и (4.87)
Wr^lVy}~ 1 ,
(伴一4© а 丁八[%)%)%_ ^77^7"
(7,55)(7,55)(/ 1,1 \2C& cos % )
(7,55)
(7,55)
Таким образом, для приближенного значения о получаем
2cg cos V,)
士孙)±7^卜"・566)
Имея в виду, что в области I уг =——|у「| и в области III уг=\у^, и вводя обозначения
а = ^j^wqВ = I 办 I 十 У对一丄，
иc 2Ce cos v,
A=1分1-了%-1， 3 = yWCT，"57)
выпишем отдельно значения от для обоих полей. Область I ——первое поле
второе поле
й=-a{哈 + T0T +中一 (7.586)
Область III — первое поле
m、一u击 + 高一可，(7.58В)
второе поле
。*a{* +饰一%(7.58Г)
Сравнивая последние соотношения с аналогичным выражением (5.76) для случая Лауэ, замечаем принципиальное различие в эффектах поглощения.
В случае Лауэ величина а всегда положительна, хотя и может различаться для обоих полей весьма существенно. В случае Брэгга величина а может принимать как положительные, так и отрицательные значения, при этом величины в фигурных скобках (7.58) всегда положительны. Абсолютная величина |。«)| (Z =
= I, III) для обоих полей мало различается, а в случае симметричного отражения одинакова.
Обратимся пока только к положительным значениям о в областях I и III. Как и следовало ожидать из анализа, проведенного в разделе 7.1, положительные знаки относятся к первому полю в области I и ко второму полю в области IIL При этом если принять 2 Се cos vh ^> 0, то а1 ^> а111. Таким образом, возникает асимметрия профиля максимума при отражении от поглощающего кристалла. Вблизи границы области полного отражения при значениях угловой функции 沙「〉1 величина коэффициента поглощения ош меньше значения а1, отвечающего другой боковой стороне максимума. С увеличением угла отклонения, т. е. с возрастанием I 沙「I в выражениях (7.58), относительный вес первого слагаемого в фигурных скобках возрастает и все выражение асимптотически приближается к величине р,/у0. Если 2Се х cosw无 <0, то области I и III имеют обратные отношения коэффициентов о. Для более детального исследования области III с меньшим поглощением определим дифференцированием по уг выражения (7.58) минимум функции。口工 и соответствующие аргументы:
н11丄 1 У 4С%2 cos2
圻，min =方彘% |/т^ (' +」A)(7.59)
и в случае симметричного отражения
。^1, s =亲 Н —柒2 cos2wh ,仇，min, s = (Ce COS Wh)T・(7.60)
Из (7.60) следует, что при a-колебаниях вектора индукции величина коэффициента поглощения будет несколько меньше, чем при л-колебаниях. Для численной оценки величины 0工故 3 приведем значение этой величины при симметричном отражении 220 излучения СиКа от Ge и С = 1. При этих условиях С2е2 cos2 vh ж р 0,925 (при комнатной температуре) и о составит 〜 0,25(х/у0-
Определим величину о в области полного отражения. Так как в этой области максимума
W = i J4c2粤"俯,一俨j吃一恥，(7.61)
то на основании (7.53) можно написать
即=4十佘一晶■土舟叫=》［w一 向｝土 土备［4■(匕％ + Ху) +а®))『
или
也 I —т^уттйп
1彳—：—
~(Va2&)十ь2(沙)+
(7.62)
В тех случаях, когда можно принять малость | ^hi | по сравнению с I %hr I и пренебречь величиной 儲，подкоренное выражение в (7.62) можно аппроксимировать более простым и получить для коэффициента поглощения
2 I Т。 ％1 士 l^oilV WJ2 I Т。 ％1 士 l^oilV WJ吟口吟口XX
2 I Т。 ％1 士 l^oilV WJ
2 I Т。 ％1 士 l^oilV WJ
吟口
吟口
X
X
(7.63)(7.63)
(7.63)
(7.63)
Наконец, непосредственно на границах области полного отражения при yr = ± i для вычисления величины о используем точные формулы (4.65) и (7.53) для Wi，Формула (4.65) упрощается, если в (7.54) принять малость величины g2 〜 优 и, следовательно, а для рассматриваемых значений у обращается в нуль. Для Wt получаем
±W^lV±i\b^ = ±l У±\Ь(у)\ •(7.64)
Отсюда для уг = ± 1
」2［丫。 |TJ - |Xoi|/To|Tj У 2 …I'
Здесь
Общая картина изменения величины о во всех областях максимума передается с помощью двух графиков рис. 53, а, описывающего изменение о/Ощ в боковых областях максимума и рис. 53, 6, где о/Om дана также внутри области полного отражения. Нетрудно видеть, что в приведенных формулах для о (7.5 6а), (7.62), (7,63) и (7.65), (7.66) (уо1 - | ?d ^1)обращается в нуль при симметричном отражении. Что касается асимметричного отражения, то эта разность является существенной, если
падающая, или отраженная, волна образует маЛыё скользящий углы. Однако во всех случаях эта разность меньше второго члена в фигурных скобках, и, следовательно, знаки коэффициента поглощения о для первого и второго полей, вычисленные из всех указанных формул, будут противоположными друг другу как при симметричном, так и асимметричном отражении.
Рис. 53, а относится к отражению 333 излучения СиКа от Ge, причем отражающая плоскость (111) наклонена к входной поверхности кристалла под углом 35°. При этом О = 45°, ^-1 =
Рис. 53. Изменение относительного коэффициента поглощения o/cwа ——при асимметричном отражении для обоих полей;б ——при симметричном отражении, включая экстинкцию в средней области максимум"Рис. 53. Изменение относительного коэффициента поглощения o/cwа ——при асимметричном отражении для обоих полей;б ——при симметричном отражении, включая экстинкцию в средней области максимум"
Рис. 53. Изменение относительного коэффициента поглощения o/cw
а ——при асимметричном отражении для обоих полей;
б ——при симметричном отражении, включая экстинкцию в средней области максимум"
Рис. 53. Изменение относительного коэффициента поглощения o/cw
а ——при асимметричном отражении для обоих полей;
б ——при симметричном отражении, включая экстинкцию в средней области максимум"
= 1,015, |丫九|-1 = 5,75. Для вычисления хода величины от с угловой переменной уг в областях I и III удобно использовать формулу (7.56а), дающую достаточно точный результат от боль- щих I ?/г I до значений уг около ±1. Принимаем С = 1. Кривая на рис. 53, а дает относительные значения or/orw, где
(7.68)(7.68)От =卩/Vrolnl
(7.68)
(7.68)
соответствует среднему геометрическому величин, относящихся к распространению излучения в кристалле в направлениях fc0 и kh:卩/уо и 卩/| 丫拉).Рассматривая рис. 53, а, замечаем, что сплошные кривые, вычисленные с помощью уравнения (7.56а), со знаком минус перед вторым членом в фигурных скобках для области I и знаком плюс для области III, относятся к поглощению при отражении от толстого кристалла. Действительно, как мы показали ранее, в толстом кристалле в области I возникает лишь первое поле и в области III — второе поле. Как видно из рисунка, в области I имеет место интерференционное поглощение, превышающее нормальное поглощение 卩/丫。за пределами максимума. Величина поглощения первого поля в области I резко возрастает с приближением к границе области полного отражения. В области II, которая будет еще рассмотрена в связи с рис. 53, 6 имеет место наложение двух эффектов: фотоэлектрического (истинного) по-
Глощения и экстинкции. При переходе в область Ш поглощений резко падает и далее возникает интерференционное прохождение, максимальная величина которого, отвечающая минимуму от, может быть вычислена с помощью формулы (7.59). Естественно, с увеличением | ут | на обеих границах максимума значения от асимптотически приближаются к величине 卩/丫。； в области I от значений, больших этой величины, и в области III от значений, меньших этой предельной величины.
Сплошные кривые на рис. 53, а отвечают положительным значениям о для первого поля в области I (7.58а) и второго поля в области III (7.58г). Коэффициенты поглощения для дополнительных полей, представленные на рис. 53,а штриховыми кривыми, являются отрицательными и относятся соответственно ко второму полю в области I (7.586) и первому полю в области III (7.58в). На шкале относительных величин рис. 53,а они окажутся значительно выше рассмотренных ранее значений а1 и 0m.
Кривая изменения относительной величины поглощения с/ст при симметричном отражении (рис. 53,6) вычислена следующим образом. Для областей I и III применяются формулы
(7.69)(7.69)
(7.69)
(7.69)
独）=2独）=25，ш \%n,s Is5，ш \%n,s IsI % — Се cos Vh I了宅一1I % — Се cos Vh I了宅一1(7.72)(7.72)
独）=2
独）=2
5，ш \%n,s Is
5，ш \%n,s Is
I % — Се cos Vh I了宅一1
I % — Се cos Vh I了宅一1
(7.72)
(7.72)
(7.70)(7.70)a(y)^yr — i,
(7.70)
(7.70)
(7.71)
Приближенная формула получена из (7.56а); за пределами участков, непосредственно примыкающих к границам области II,
Для значений yr = 土 1 формулы (7.65)——(7.67) приводят в случае симметричного отражения к виду
(7.73)(7.73)
(7.73)
(7.73)
где, как обычно, при положительном значении величины е cos vn верхний знак относится к у「= 1, т. е. к первому полю.
Наконец, в области полного отражения можно использовать формулу (7.62) и (7.63) с учетом условий симметричного отражения и для ^ =卩/sin 3. Более точную формулу (7.62), как и в случае областей I и III, следует применить к участкам, близким к границам области.
Остановимся на характерных чертах кривой изменения поглощения в пределах максимума, представленной на рис. 53, 6. Что касается областей I и III, то здесь можно отметить сходство с кривой на рис. 53, а. Существенно также, что как в этих областях, так и в целом, несмотря на наличие симметричного отражения, максимум сохраняет свою асимметричную форму. Аномальное поглощение в области I и аномальное проникновение волнового доля в области III можно связать с анализом фазовых соотношений между проходящей и дифрагированной волнами в кристалле (см. рис. 52). Там было указано, что в области I благодаря совпадению фаз максимумы полного волнового поля лежат на атомных плоскостях, а в области III, ввиду сдвига фаз на л, максимумы лежат между атомными плоскостями.
Возвращаясь к анализу кривой поглощения на рис. 53, б, отмечаем резкое различие значений поглощения на границах области полного отражения. Рассматривая эту область, следует иметь в виду, что в центре области и всего максимума в целом при максимальном значении первичной экстинкции проникновение волнового поля внутрь кристалла пренебрежимо мало и соответственно вклад истинного поглощения в эффект затухания волнового поля в кристалле незначителен. При переходе к боковым частям области II экстинкция резко падает и поглощение вступает в свои права.
Можно заметить, что в случае асимметричного отражения в области II должны иметь место две кривые поглощения, отвечающие сплошным и штриховым кривым в областях I и III, показанным на рис. 52.
Дифракция в конечном кристалле в приближении сферической падающей волны или падающего волнового пакета
Как уже отмечалось, выше рассматривалось отражение по Брэггу от кристалла, ограниченного либо лишь входной гранью (бесконечно толстый кристалл), либо двумя параллельными гранями (тонкая плоскопараллельная пластинка). Существенным исходным условием вышеизложенного анализа было приближение падающей плоской волны с шириной фронта, превышающей толщину пластинки. Напомним, что теория отражения по Лауэ, изложенная в гл. 2, 3 и 4, также относится к плоскопараллельному или клиновидному кристаллу с той или иной толщиной.
То обстоятельство, что в динамической теории Эвальда — Лауэ—Захариасена ограничиваются рассмотрением плоских кристаллов, причем не учитываются пограничные условия на боковых гранях, некоторые авторы полагали отличительной чертой этой теории. Такому подходу противопоставлялась кинематическая или геометрическая теория, которая описывает рассеяние рентгеновских лучей на конечных кристаллах.
Между тем методы динамической теории, в особенности в ее современных формах (гл. 6 и 12), могут быть успешно использованы для решения соответствующих задач, причем условием полноты рассмотрения является в данном случае отход от классической схемы — приближения падающей плоской волны.
Характерное для рассеяния в конечном кристалле многократное отражение от границ было рассмотрено Вагнером [881 на примере тонкой неограниченной с боков плоскопараллельной пластинки с учетом поглощения. Схема такого отражения показана на
"TTTTTTT^n^T^T^iTTTTTTTTrrTTTiTTTT^zРис. 54. Многократные от-
产 /ражения в тонкой плоско-
帰田/僚"〃山力肃誌九〃力 z=〃 параллельной пластинке
рис. 54. Хотя в основе этой схемы лежит^модель падающей в точке Е волны с узким волновым фронтом, Вагнер применил для рассмотрения волнового поля внутри кристалла и выходящих из кристалла волн (например, в точках Л и £') теорию в приближении падающей плоской волны. Применяя последовательно стандартные пограничные условия для отражения по Брэггу типа (7.17), этот автор получил выражения для векторов Пойнтинга и интенсивностей отраженных и проходящих волн в точках Е,厶,£',... Очевидно, эти выражения в более полной теории в приближении падающей сферической волны интегрируются по углам [91, 92].
Следует заметить, что в работе Вагнера [88] приводятся формулы для коэффициента поглощения в функции от углов е» (j = 1, 2), образуемых векторами Пойнтинга с отражающей плоскостью. Подобные формулы (5.83)—(5.85) применительно к случаю Лауэ рассматривались в гл. 5 и представляют интерес, так как вполне применимы к теории для сферической волны.
Для случая Брэгга могут быть получены следующие выражения для коэффициента поглощения вдоль направлений векторов Пойнтинга:
尸⑴=备回-Cecos^Jl(7.74)
Сопоставляя (7.74) с (5.83), заметим, что знак плюс в скобках перед вторым членом в (5.83), примененный к (7.74), означал бы переход от области III в область I максимума. Необходимо также учесть знаки q. Они считаются положительными, если векторные произведения [к^к^} и [J^S(i)l параллельны. Минимум функции р,8 определяется в зависимости от соотношения между величинами Се cos vh и sin2^.
Се I cos ”八 I〉sin2 9, минимум при ef = 0,
Hmin = "^T (1 — % cos 曲.(7・75)
Ce| cos vh I < sin2^, минимумы при двух значениях ef, определяемых из уравнения
.Sid О — С&2 C0S2 %
Sill £j — siM 今—02&2 cos? %，
^п-н/^^7.(7.76)
Используя выражения (7.75) и (7.76), можно построить полярную диаграмму наименьшего поглощения или наибольшего проникновения (卩$(2))-1 лучей, проникающих в кристалл при падении в случае Брэгга и отраженных обратно в точке А (на рис. 54). Такая диаграмма представлена на рис. 55. Минимальное ослабление соответствует лучу ЕТ, где Т — точка касания прямой, параллельной нижней грани. Луч AN отвечает величине (卩凤1))-1, т. е. пучку, отраженному от Л обратно в кристалл.
44В работе Вагнера [88], так же как и в работах Урагами [93, 94], рассматриваются условия перехода от случая Брэгга к случаю Лауэ и обратно. -
4
4
Рис. 55. Полярная диаграмма наибольшего проникн овения лучей, проникающих в кристалл и отраженных обратно от выходной поверхности
При использовании падающего пучка с достаточной расходимостью и отражении от системы плоскостей с углом 屮 4 ® могут одновременно реализоваться отражения по Брэггу (屮 и по Лауэ (屮〉令).В таком эксперименте плоскости отражения обоих типов не совпадают.
Другая схема подобного перехода, которая обсуждается в [93], основана на использовании сферической падающей волны с угловой расходимостью порядка ширины динамического максимума. При этом отражения обоих типов, Лауэ и Брэгга, возникают либо ввиду отклонения входной поверхности от плоской формы, либо в результате последующего отражения от других границ кристалла.
В работах [94, 95] Урагами рассматривает в приближении падающей плоской волны переход от отражения по Брэггу к отражению по Лауэ для схемы Вагнера.
Рассеяние рентгеновских лучей в ограниченном кристалле изучали Борман и Лееман [96, 97]. Падающий пучок рентгеновских лучей с узким волновым фронтом направлялся на меньшую грань кристалла, имеющего прямоугольное сечение. Образующееся при этом волновое поле внутри кристалла в угловом интервале 29 между направлениями s0 и s拉 частично распространялось без отражения до противоположной выходной грани и в боковых участках отражалось на границах кристалла. Таким образом, в этом эксперименте, во-первых, одновременно реализовались условия отражения как по Лауэ, так и по Брэггу (большие грани отвечали плоскостям с малыми индексами) и, во-вторых, возникла интерференция между различными частями волнового поля. В описываемом случае (излучение Си£а, кристалл Si) рассеяние соответствовало толстому поглощающему кристаллу и эффекты маятникового решения были в значительной степени подавлены. Более общие случаи рассеяния были рассмотрены теоретически в последующих работах Урагами [93—95] и Като с сотрудниками [91, 92] и, частично, экспериментально в указанных работах Урагами. В схемах, исследованных этими авторами, «точки» падения вакуумной волны лежали как между краями меньшей грани, так и на вершинах этого сечения. Кроме того, рассматривалось трапециевидное сечение кристалла. В отличие от Леемана и Бормана [97J, которые анализировали волновое поле в кристалле в приближении падающей плоской волны, авторы работ [91 —— 95J использовали уже упомянутые выше современные формы динамической теории.
В гл. 6 было показано, что волновые поля, порожденные в кристалле падающим пучком рентгеновских лучей (без использования монохроматора), могут рассматриваться в приближении падающей сферическбй волны. В изложенной теории Като окончательные выражения для волновых функций получаются интегрированием по функциям углов или Фурье-преобразованием выражений для плоских волн. Этот метод был использован Като применительно к отражению по Лауэ.
При рассмотрении волновых полей в ограниченном кристалле Като с сотрудниками [91, 92J успешно применили тот же метод разложения по плоским волнам к случаю Брэгга.
Схема, рассмотренная в этих последних работах, представлена на рис. 56. На входной грани в точке Е имеет место отражение по Лауэ. Соответственно выражения для плоских волн в кристалле совпадают с формулами (6.16) и (6.19). Дифрагированная волна падает на выходную грань в точке & и здесь претерпевает отражение и прохождение по Брэггу (далее в точках Л2п+1 и В2п многократные отражения и прохождения).
Из пограничных условий на этой поверхности
Ehtt exp [ц/i г, f r«)] = da exp [i {khr^] + 4,rexp [i(khirr^ (7.77) 0 =爾 exp R (在％)] + d0,r ехр[ЦА?0,гП)](7・78)
(индексы 力 и「означают прошедшие и отраженные волны) и соответствующих условий для волновых векторов, из которых определяются величины аккомодаций 3(〃), можно вычислить окончательные значения волновых функций внутри кристалла после отражения от выходной грани. Значения Фо, г и ФЛ>Г уже в приближении падающей сферической волны получаются интегрированием в комплексной плоскости величин d0, г и ^л, г- Выражения для ①о, г и ①拉,г очень близки к выражениям (6.36) и (6.37) для однократного отражения по Лауэ. В обозначениях, принятых в гл. 6, значения волновых функций для случая Лауэ ——Брэгга составляют (первая строка в формулах (7.79) и (7.80) относится к условию 力0,心九，Г〉0, вторая 一 к условию д,r冲"< 0)
①。,r=I。，宀。e,(7.79)
①м =卜‘/令奇Ь^厶""^然從'(7.80) I0,
b = ± i в зависимости от знака &尹，
& =蟲 ^芸 exp [i (-子十 Р + Kz)],
Bh = 8o exp [2欣(Лг)].(7.81)
Величины у^ и yh являются косинусами углов, образованных волновыми векторами Ко и Khft выходящих вакуумных волн с нормалью па выходной грани; х^т и 力晶「— длины перпендикуляров, опущенных из точки наблюдения на направления 乃о в[乃八 в кристалле, подобно отрезкам / из/ в (6.36) и (6.37)：
Для волны ①九", вышедшей в вакуум, получается выражение
^7 Кь7хГс {^7 /2 (7 ^( I Го IМ xhxhtr)+
①自尸，+ Jo(『М(瓦|/而冲褐1}BhitEe, зд,г>0,(7・82)
с = 土 1 в зависимости от знака xh, Ее — амплитуда падающей волны.
Не останавливаясь на подробном анализе полученных результатов, ограничимся двумя замечаниями.
Рис. 56. Образование волновых полей в ограниченном кристалле (случай Лауэ—Брэгга)Рис. 56. Образование волновых полей в ограниченном кристалле (случай Лауэ—Брэгга)Рис. 57. Схема образования волновых полей в ограниченном кристалле (обратное пространство для случая Лауэ ——Брэгга)Рис. 57. Схема образования волновых полей в ограниченном кристалле (обратное пространство для случая Лауэ ——Брэгга)
Рис. 56. Образование волновых полей в ограниченном кристалле (случай Лауэ—Брэгга)
Рис. 56. Образование волновых полей в ограниченном кристалле (случай Лауэ—Брэгга)
Рис. 57. Схема образования волновых полей в ограниченном кристалле (обратное пространство для случая Лауэ ——Брэгга)
Рис. 57. Схема образования волновых полей в ограниченном кристалле (обратное пространство для случая Лауэ ——Брэгга)
Как и в применении к случаю Лауэ (гл. 6), волновые функции внутри кристалла (7.79) и (7.80) отличны от нуля в определенной области, ограниченной направлениями векторов KQ и К九,》• То же относится к волновой функции выходящей волны Фл)< согласно (7.82). При этом в случае Лауэ (рис. 40) указанная область включает действительную часть, находящуюся внутри кристалла и выходящую из точки Е (точки Е на рис. 56), и мнимую часть, находящуюся в вакууме, с волнами, сходящимися в той же точке.
Аналогично этому, в случае Лауэ — Брэгга формулы (7.80)— (7.82) действительны в области ограниченной двумя прямыми, пересекающимися в некоторой точке «фокуса». Эта область включает участок кристалла, ограниченный выходной гранью и направлением отраженного в точке А вектора £坛广 На рис. 57 показана схема рассмотренных отражений Лауэ — Брэгга в обратном пространстве. Отметим, что в отличие от чистого случая Брэгга, связывающего точки D и Dr, лежащие на общей ветви дисперсионной кривой, в данном случае для каждой точки Dr существует соответственная точка DQ с тем же направлением вектора Пойнтинга. Как известно из гл. 6, наличие таких пар точек характерно для случая Лауэ в применении сферической падающей волны.
В работе [92J рассматривались более сложные случаи рассеяния в подобных кристаллах при наличии однократного отражения по Лауэ на входной грани и многократных отражений по Брэггу на боковых выходных гранях. Применялся тот же метод иссле- Аованн只.
Отметим замб^айия, прийёдейныё в этой работе, По поводу эксперимента Леемана и Бормана и наблюдаемых ими интерференционных полос. Полагая необходимым рассмотрение схемы Леемана——Бормана в приближении сферической падающей волны, авторы приводят соответствующие выражения для волн, прошедших через кристалл без отражения на внутренней стороне боковых граней (Лауэ—Лауэ), и для волн, претерпевших такое отражение (Лауэ—Брэгг—Лауэ). В приближении сферической падающей волны асимптотические формы функций Бесселя, входящих в указанные выражения, имеют вид в случае Лауэ—Лауэ для прошедшей волны
Л(Р1) — V 1/2冲工 |/^^- {ехр [《Pi + *)] +
+ ехр[— »(Pi+、?)]}，(7.83)
для дифрагированной волны
〃о (Pi) — У 1/2л；Р1 |ехр [《Pi + 今j] + ехР [一 “Pi + 受)]}.
(7.84)
В случае Лауэ—Брэгг—Лауэ для прошедшей волны
A (p2)亠 ^麻 |/^ {eXp [i 伍一粤)]+
+ ехр [— Z (р2 —^") ]}，(7.85)
для дифрагированной волны
+ ехр [—《р2 —萼)]}，•(7・86)
Pi = f ^ XqX^ ,Р2 = / 了力0"力九,г •(7.87)
Сопоставляя приведенные выражения (7.83)—(7.86), легко получить выводы, совпадающие с экспериментальными наблюдениями Леемана и Бормана.
При взаимной интерференции прошедших, так же как и дифрагированных, волн разность фаз выражается одинаковой величиной (Pi——р2 + л), так как вторые члены в фигурных скобках пренебрежимо малы в случае толстых поглощающих кристаллов. Отсюда следует, что те и другие волны имеют минимумы и максимумы в тех же точках и, в частности, на общей выходной грани, где Pi = Р2 имеют общий минимум. При этом минимум соответствует нулевой амплитуде лишь для прошедших волн.
Приведенное рассмотрение интерференционного эффекта в работе [921 имеет характер иллюстрации возможностей развитой этими авторами теории. Как уже отмечалось, в опытах Леемана — Бормана практически отсутствуют эффекты маятникового решения, что существенно упрощает задачу расчета. Авторы работ [91, 921 подчеркивают, что общий случай интерференционных эффектов при многократном отражении является весьма сложным и по
этому не рассматривается.
В отличие от этого Урагами посвятил свои работы [93—951 рассмотрению интерференционных эффектов в условиях много-
Рис. 58. Случай Лауэ — Брэгга при криволинейной поверхности кристаллаРис. 58. Случай Лауэ — Брэгга при криволинейной поверхности кристаллакратного отражения произвольного типа падающей волны и наличия отражения на входной (узкой) грани как по Лауэ, так и по Брэггу.
Рис. 58. Случай Лауэ — Брэгга при криволинейной поверхности кристалла
Рис. 58. Случай Лауэ — Брэгга при криволинейной поверхности кристалла
Мы уже отмечали в историческом обзоре (гл. 1), что Урагами, наряду с нашими авторами Афанасьевым и Коном [451, применил для решения задачи отражение по Брэггу обобщенную динамическую теорию, основанную на уравнениях типа Такаги. В гл. 11 кратко излагается решение этой задачи методами обобщенной теории, причем интегральное уравнение для отраженной по Брэггу волны решается с помощью Фурье-пре
образования этой функции (D 九).
В первой работе [95] Урагами рассматривает более сложный случай: падающий волновой пакет одновременно претерпевает отражения как по Брэггу, так и по Лауэ. При этом поверхность раздела может быть не плоской, что представляется важным обобщением по сравнению с классической динамической теорией. Действительно, Лауэ [14] подчеркивает, что стандартные условия
на границе для величи耳D нН относятся именно к плоской поверх
ности раздела.
Следует отметить, что теория Като приближения сферической падающей волны является недостаточно общей, так как исключает из рассмотрения такой важный параметр, как ширина фронта падающей волны. Метод плоских волн, использованный Като, не позволяет провести исследование волнового поля в зависимости от ширины волнового фронта или ширины щели на входной грани кристалла.
В обобщенной динамической теории, как показано в гл. И, для определения волнового поля в любой точке кристалла необходимо вычислить интеграл по некоторому контуру С от функции Грина (функции влияния) G [уравнение (11.43)]. При этом необходимым условием решения является задание величин О。, Dh и их нормальных производных на контуре.
Урагами рассчитывает соответствующий интеграл для контура TPQRS (рис. 58) на поверхности кристалла RT; участок АВ представляет ограниченный фронт падающего волнового пакета, т. е. группы волн с разбросом направлений распространения. Участок АВ делится точкой S на две части: на AS условия падения отвечают случаю Брэгга, а на SB ——случаю Лауэ. Как показывает исследование, проведенное в этой работе, при падении узкого пучка на ребро клиновидного кристалла в кристалле возникает волновое поле, представляющее рассеяние по Лауэ и Брэггу и сопровождающееся образованием маятниковых полос. Используя соотношения обобщенной теории, Урагами получил выражения для проходящей и дифрагированной волн в кристалле, которые включают все указанные эффекты.
Для волны, отраженной от входной грани, получено выражение, отвечающее затухающей осцилляции, что находится в полном согласии с результатом расчета случая Брэгга в работе [45].
Принципиальным является результат, полученный в обеих работах [45] и [95] и относящийся к так называемому краевому эффекту. Как было установлено экспериментально при использовании широких (по углам) пучков, интенсивность пучка, отраженного по Брэггу, достигает максимума на стороне, обращенной к падающему пучку. Этот эффект не мог получить правильное теоретическое истолкование в работах [24, 88], в которых для соответствующих углов значения интенсивностей обращались в бесконечность. В противоположность этому в работах [45] и [95] для амплитуды отраженной волны в точке падения получаются хотя и большие, но конечные значения.
В своей работе [9,5] Урагами привел полученную им рентгенограмму, которая качественно соответствует теории.
В другой работе [94] было рассмотрено многократное отражение, аналогичное схеме Вагнера, однако в общем случае клиновидной пластинки. Здесь более строгим путем получены результаты, аналогичные результатам, полученным Вагнером.
Наконец, в третьей работе [93] рассматривается схема многократных отражений, подобная той, которая была исследована несколько позже в работах Като с сотрудниками [91, 92L В этой работе Урагами, главным образом, применительно к рассеянию в прозрачном кристалле вычисляет как маятниковое решение при многократных отражениях, так и распределение интенсивности волн, отраженных по Брэггу на одной из боковых стенок.
Наиболее типичной является рассчитанная теоретически и наблюдаемая экспериментально (в той же работе) картина маятниковых полос V-образной формы, образованных интерференцией волн, однократно отраженных от обеих боковых границ пластинки.
Глава 8
ОТРАЖЕНИЕ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ ПО БРЭГГУ. II. КОЭФФИЦИЕНТЫ И ИНТЕГРАЛЬНЫЕ ЗНАЧЕНИЯ ОТРАЖЕНИЯ И ПРОХОЖДЕНИЯ
В этой главе выводятся выражения для вычисления коэффициентов и интегральных значений отражения и прохождения в общем виде: как в смысле применимости к любой из трех областей максимума, так и с учетом обоих полей в кристалле. Полученные общие выражения далее применяются к частным задачам.
При выводе основных соотношений сопоставляются формулы, выведенные различными авторами, в частности, те, которые приводятся в монографии Захариасена [15, гл. 1] и широко используются в литературе.
Приведенные здесь выражения применимы к случаю падения плоской вакуумной волны.
Вывод общих выражений
для коэффициентов отражения и прохождения
Выведем выражения для коэффициентов 7? и Т при отражении uq Брэггу с учетом обоих полей в кристалле, не предрешая вопроса о вещественности или комплексности параметров динамической ^задачи. Рассмотрим отражение и прохождение в случае плоскопараллельной кристаллической пластинки, в которой различаются входная и выходная поверхности. Приведенный вывод близок к данному в работе Рамачандрана и Карта [98].
Пограничные условия на входной поверхности
Of) + 加2)=。汽D(^ + D(^ = 0俨.(8.1)
Условия на выходной поверхности
Z)f)exp[-2就碌)力+0俨0Xp[-2П泳乳]=0俨eXp[—2就礫旬，(8.2)
0* exp [― 2nik^t] + D^ exp [— 2兀浓般]=0.(8.3)
Напомним, что D^ — амплитуда волны, отраженной в вакуум на входной поверхности, и 0『)一амплитуда волны, вышедшей в вакуум через выходную поверхность,
Согласно (3.1) волновые векторы волн в кристалле и волновой вектор вакуумной волны К связаны следующими условиями:
破)=К俨 一 Кб⑴"о,础)-К (1 + а) - к№"о,(8.4)
где
6⑴一翁+ *г±(]或匚^^ *(8,5)
6⑴一6<2> = -2|гЛГ|/ ^-4c2厶%% 屮•(8.6)
Введем для всех трех областей максимума общее обозначение
(&7)(&7)?/ = ch %
(&7)
(&7)
а также величину
/ =匕代]Ло/|п| •(8.8)
Для амплитуд D^ записываем соотношения [см. (7.6) и (7.11)]
0俨=/必)ехр (р),D^= f國)ехр (— р).(8.9)
Исключая из (8.1) D^ и поставляя (8.9) и (8.4) в (8.3), получим
。 ⑴二_5(一。+ 2加及6(2))碎.
°ехр (。+ 2niKt6^) — exp (— v + 2mA76(2))
Введем переменную
%=E&(》D-5(2))・(8.11)
Сокращаем в (8.10) дробь справа на величину
ехр ^niKt [б(1> - 01)J]｝；
выражение для 妳)принимает вид
q⑴=_eкp [- e + 叫 0"_ eхp [- е + 明理
0 —exp (v + х) — ехр [—(。十①)]一 2 sh Q + %)'('丿
Далее, используя (8.1), получаем
(8.13)(8.13)⑶_eXp (0+出)0俨
(8.13)
(8.13)
=2 she 十出)•
Подставляя в (8.9) значения О$)и вводя с помощью (8.1) величину О俨，получим следующее выражение для коэффициента отражения
碑碑2= |/|22= |/|2I sh % |2I sh e +%)产I sh % |2I sh e +%)产(8.14)(8.14)
碑
碑
2
= |/|2
2
= |/|2
I sh % |2
I sh e +%)产
I sh % |2
I sh e +%)产
(8.14)
(8.14)
Для пблучейия коэффициента йрохождейия Т подставляем в (8.2) значения />伊 из (8.12) и (8.13 и значения 碳 из (8.4):
7 Т 笫卜 黑若*ехр (- 2niK微十 2niKt^ -
-門s昂二:"exp (- 2就磔)t+2niKt>^)! •(8.15)
Это выражение с точностью до множителя
eXр [一 2就《础区 5⑴产/,
который дает единицу при умножении на комплексно-сопряженную величину, принимает следующий простой вид:
7 = I sh 少 |2 一]sh (0十/)产
Прежде чем перейти к анализу формул (8.14) и (8.16) применительно к более частным задачам, приведем аналогичный вывод выражений для R и Т, используя обозначения Захариасена [15].
Введем переменные g, z, W, с⑴ и 〃⑴：
L倣恤款，2 = 一事帝，了木=号甘， (8.17)
*)_ 二土KZ2.土"
п^ = exp [— »2冗亲等(%0 — 2 土 Ug + 炉)]=exp [2niKt^].
(8.18)
Пограничные условия на выходной поверхности (8.2) с точностью до фазового множителя ехр [—2л/ (К^ 0] могут быть переписаны следующим образом:
(8.19)(8.19)^D^ + ^D^ = D^
(8.19)
(8.19)
и (8.3) с точностью до множителя ехр [—2冗力(1 + а) К^ t]
c⑴〃⑴小D +。⑵几⑶國)=0.(8.20)
Решая совместно уравнения (8.1), (8.19) и (8.20), получаем
"=丨T"1e⑴涼2))2
C(2%(2)_c(l%(D，
疝％⑶(c(2)i(D)2
_C⑵疝2) 一fl)〃⑴-2.川
Выражениях 7? (8.21) было преобразовано Захариасеном для общего случая тонкого и толстого, а также прозрачного и поглощающего кристаллов.
Разбиение\на действительные и мнимые части соответствующих параметров сводится к следующему:
)/q + ?2 —^-yiw.(8.22а)
(8.226)(8.226)Введем также обозначение nк •"丫0 = a.
(8.226)
(8.226)
В таком случае величина п^ из (8.18) записывается так: п^ = ехр [―必(%о — 2 土 и)] ехр (土 aw).(8.23)
После введения в (8.21) значений с⑴ из (8.18) и п^ из (8.23) выражение для коэффициента отражения запишется так:
R =R =1^1То1^1ТоЗдесь у = l^g + z2.Здесь у = l^g + z2.%!2 (— z + у) (— z — у) [ехр (2тК紡⑴)—ехр (2加К必?))] 2Х^1 [(— z — у) ехр (2加Л76⑵)一(一z 十 у) ехр (2加 Л76⑴)]Л(8.24)%!2 (— z + у) (— z — у) [ехр (2тК紡⑴)—ехр (2加К必?))] 2Х^1 [(— z — у) ехр (2加Л76⑵)一(一z 十 у) ехр (2加 Л76⑴)]Л(8.24)
R =
R =
1^1
То
1^1
То
Здесь у = l^g + z2.
Здесь у = l^g + z2.
%!2 (— z + у) (— z — у) [ехр (2тК紡⑴)—ехр (2加К必?))] 2
Х^1 [(— z — у) ехр (2加Л76⑵)一(一z 十 у) ехр (2加 Л76⑴)]
Л(8.24)
%!2 (— z + у) (— z — у) [ехр (2тК紡⑴)—ехр (2加К必?))] 2
Х^1 [(— z — у) ехр (2加Л76⑵)一(一z 十 у) ехр (2加 Л76⑴)]
Л(8.24)
Числитель этого выражения преобразуется следующим образом:
(-z + J7T支)—(z—М厂冃)=一 q, I 软評=僚，
I 八⑴—球2)|2 = 4 (sin2 av + sh2 a约).(8.25)
В знаменателе (8.24) вычисляются квадраты модулей
1一2土m加百 I2(8.26)
и используются тождества
^^r^y^YY^ =w的 + 芻 土|2 閉一⑺泞(8.27)
В результате, путем очевидных преобразований, выводится следующая общая формула Захариасена для коэффициента отражения:
、/sin2 av 4 sh2 aw
X-'J ；J，
D + (D + I z [2) sh2ag — (D — I z |2) sin2 恥十万 犷几 sh 2aw + — N% sjn 2〃〃
D = \q^z^\, M = |(0 + |z 户)2 —|q|2 户，
N^\{D-\z^-\q^.(8.28)
Содержайиё последующих параграфов настоящей гла尸и сводится к преобразованию, качественному анализу и, частично, численным расчетам полученных общих формул (8.21) и (8.28) применительно к важнейшим частным случаям.
Отражение по Брэггу от прозрачного кристалла
В этом случае переменная х в (8.11) может быть представлена как [см. (8.6)]
广 vCKt
/ = in A7 (6 ⑴-6(2)) ^-lAVy^-i, 4 =-尸.…Л ' •
匕。%1
(8.29)
Рассмотрим теперь последовательно разные области максимума Область II
» 陶匸t = _ J厂丁，% = 4 m=产.(8.30)
Из (8.14) следует для относительной интенсивности отраженной волны
外30 = о То = I sh ① |2 I1 =
*)-1丁"1 一 1she + 叫21I -
—Ishmy冃井 I I(8.31)
|sh(Z /1-2/2 +。)卩 I 左 I
Используя далее тождества
I sh (4 ]Л1 —十 + и) У = si? 4 Н —沙2 + sin2 и,
(sha)T = cth2a —1(8.32)
и учитывая формулы (7.12), (7.13), получаем
，伊= Sh2 [4 了厂0]
7^ — 7二万十sh2 [/ ]/*『=亨 —
1I Izg 33)
—护-(1 -k)Cth2 4 yГ^ 纭 I ♦(.丿
Заметим, что в наших выражениях, помимо тех, которые совпадают с формулами Захариасена, переменная у задана формулой (7.5):
2cpe 711MFF7W
т. е. фактически не отличается от функции у, которой мы пользовались в главах, посвященных отражению по Лауэ, так как yhfL = |ул|в. Что касается формул Захариасена, то следует иметь
В ВИДУ, 4页0
% =—沙(8.35)
и в прозрачком кристалле у2 = z2/g.
Области Д u IIL В этом случае х = —iA (у2 — 1)%, sh % = — sh [Ц (严—4)%], |sh 力卩=sin? [/ (у2 + 分％].
Используя ^Тождества (8.32), получаем
夕华)—I % I Sil!? [/ ®2 — I?&—
(8.36)(8.36)^ = I 点 I j - l+sin2[/俨一1声];
(8.36)
(8.36)
唄+俨一Qctg2[4俨一1)勺
Выражения (8.33) и (8.36), данные в форме и с обозначениями Захариасена, легко получаются также из общей формулы (8.28). Действительно, область II соответствует условию (q + z?) < О и области I и III — (д + #)〉0.
(q + 炉)< 0. Так как о = 0, то siMa。и sin2ao обращаются в нуль, так же как и \{\q + ^\ + 怛产产一卜产".Далее \q + + z2| = 7 (1 — z/2) и, наконец,
aw aqyi — у2 = A ]/~I — у2. (8.37)
В результате из (8.28) получаем Л"у0/|уп! согласно (8.33).
(q + z2)〉0, тогда w = 0, av == А^у2 — 1, sh2alp = =sh2a” = 0, (I7 + z2| ——|%产)2 —卜卩=o, ^ + z2 = ? (у2 — 1) и уравнение (8.28)чпереходит в । ” L _Л_ согласно (8.36). Заметим, т。 ”)
что, учитывая тождества
sh2a = — sin2 га, cth2a = — ctg га,(8.38)
формулы (8.33) и (8.36) следует рассматривать как две формы одного общего выражения.
Рассматривая формулу (8.36), замечаем, что она описывает побочные максимумы маятникового решения для случая Брэгга, которые возникают в боковых областях общего максимума интенсивности. Мы уже упоминали ранее о возможности возникновения подобных максимумов, рассматривая явления в тонкой кристаллической пластинке. Причиной образования максимумов можно считать интерференцию между вторым волновым полем, проникающим внутрь кристалла, и первым полем, которое возникает при отражении от выходной поверхности и распространяется обратно в кристалл*
Преобразуем выражение (8.36), переходя частично в знаменателе от переменной у к о:
，华—I 乂 1 —cos2Z)</_i
戏一I 号 ch 2_ cos 2/ 疗口 .()
На рис. 59 показан профиль максимума, соответственно формуле (8.39), при нескольких значениях параметра А = 无 j；/"} ' ®ьь ражения (8.36) и (8,39) обращаются в нуль при условии
24 ]Лу2 — 1 = 2лтп. (8.40)
Для больших т (практически уже при m > 2) угловой интервал между двумя минимумами отвечает величине
九 Мт。I 〃 Iа%1九 Мт。I 〃 Iа%1(8.41)(8.41)
九 Мт。I 〃 Iа%1
九 Мт。I 〃 Iа%1
(8.41)
(8.41)
что формально совпадает с выражением (3.70), которое дает угловые интервалы побочных максимумов в случае Лауэ.
Как уже отмечалось, различие механизма образования побочных максимумов в обоих случаях отражения связано с тем, что точки возбуждения интерферирующих волн в случае Лауэ лежат на различных ветвях, в случае Брэгга ——на общей ветви дисперсионной гиперболы.
Модуль вектора А%, представляющий в обратном пространстве экстинкционную глубину т, в случае Лауэ задан выражением (3.37):
\к =卫坦./ГТР - LL(8.42)
При отражении по Брэггу нормаль к входной грани в областях максимума за пределами области полного отражения пересекает в двух точках какую-либо одну ветвь дисперсионной гиперболы.
Длина хорды 4(i)4(2)на рис. 49 непосредственно определяется из выражения
4⑴m = I А6|в = I阀)—蹴产，(8.43)
где значений ^ слегка отличаются от (3.14), если учесть отрицательный знаку уд：
错)=干 K*"L J4p^y (W — 4 士 у).(8.44)
Таким образом,斗 случае Брэгга
\^k\в= —：AL•(8.45)
При симметричном отражении получим в случае Лауэ [см. (3.73)]:
А弘 н^^,△%=华，(8.46)
в случае Брэгга
А% уA% = ¥tg®(8.47)
Приведенное рассмотрение побочных максимумов маятникового решения в случае Брэгга показало их близкую аналогию с тем же явлением при отражении по Лауэ. Различие сводится к тому, что в случае Брэгга интерферируют волны встречные, в то время как в случае Лауэ — распространяющиеся в (почти) одном направлении.
Нетрудно видеть, что в боковых областях максимума при отражении по Брэггу должен иметь место и другой тип маятникового решения, именно полосы равной толщины. Действительно, модулю вектора А", согласно (8.45), должен отвечать определенный «эк- стинкционный» интервал т. Распределение соответствующих максимумов, так же как и в случае Лауэ, принципиально можно наблюдать, используя вместо плоскопараллельной кристаллической пластинки клинообразную, при фиксированной величине угла падения, т. е. величины т).
Наконец, заметим, что численная оценка величин Ду и Д/c = =т"1, данная в гл. 3 для случая Лауэ, по порядку величин применима и к случаю Брэгга. Это непосредственно следует из сопоставления выражений (8.46) и (8.47).
Представляет интерес рассмотреть случай толстого кристалла, обладающего столь малым поглощением, что его можно считать прозрачным.
Формулы (8.33) и (8.36), содержащие величину Л, как это следует из (8.29), зависят от толщины кристалла 力.В области II максимума согласно (8.33) величина относительной интенсивности с возрастанием Л стремится вместе с cth2 [А (1 —們力] к единице; если |у| < 1 и Л 1, то
Что касается областей максимума I и III, то задача вычисления относительных интенсивностей для предельных толщин является более трудной, так как наличие тригонометрических функций в (8.36) делает величину интенсивности осциллирующей функцией толщины. Для вычисления искомой величины необходимо усреднить ctg [Л (у?——1)%] по области изменений Л, большей, чем л/2. Интегрирование по Л приводит к выражению для |у|〉1 и л >> 1:
厶(1 - H -厂2). (8.49)
Сопоставим теперь выражения для коэффициентов отражения от прозрачного кристалла, полученные в этой главе, (8.33), (8.36), (8.48) и (8.49) с выражениями (7.20) и (7.21).
Для области II максимума (8.33) отличается от (7.21), однако это расхождение устраняется при переходе к предельному значению для толстого кристалла, и формула (8.48) дает 7? = 1 в согласии с (7.21).
Для* областей I и III переход от (8.36) к формуле (8.49), применимой для толстого кристалла, не устранил различия с формулой (7.20), которая может быть записана в следующем виде, если перейти от переменной v к у [см. (7.5) и (7.8)]:
Ri,m=学(干⑷一 了不口)2, (8.50)
где верхний знак относится к области I.
Нетрудно видеть причину этого различия. Формула (7.20) [и эквивалентная ей (8.50)] выведена в разделе 7.1 с учетом лишь одного первого поля в области I максимума и одного второго поля в области III. Как уже отмечалось, в основе этого вывода лежит представление о толстом слегка поглощающем кристалле. В таком кристалле волновое поле, возникающее на входной поверхности, распространяется в глубь кристалла и затухает, не достигая выходной поверхности, где может возникнуть дополнительное поле, идущее обратно.
В отличие от этого формула (8.49) получена на основе представления, согласно которому даже в достаточно толстом кристалле волновое поле, идущее в глубь кристалла, все же достигает выходной поверхности и порождает дополнительное поле. Действительно, исходные формулы (8.14) и (8.24) выведены для широкого фронта падающей волны и наложении двух полей во всей области максимума.
Захариасен назвал формулу (8.50) решением Дарвина, который вывел ее впервые, а формулу (8.49)——решением Эвальда. Очевидно, решение Эвальда применимо к менее толстым кристаллам, в которых эффект поглощения пренебрежимо мал, и предельным выражением для коэффициента отражения должна быть формула
Дарвина. Из\ этого следует, что строгое рассмотрение требует более точногохучета комплексного характера параметров, входящих в выражения (8.14) и (8.24).
На основе изложенного,приведем выражения для интегрального отражения в приближении Дарвина и Эвальда. Очевидно, что в обоих случаях интегральное отражение по области II максимума
殿н = 2殿н = 2迎ч迎ч(8.51)(8.51)
殿н = 2
殿н = 2
迎
ч
迎
ч
(8.51)
(8.51)
Для решения Дарвина
Е?, I + Иг, ш = —7 2 § ехр (— 2z?) dy =
(8.52)丛(8.52)丛学 2 § ехр (—2и) sh udu =号о
(8.52)
丛
(8.52)
丛
乡 j [exp(— и) — exp(— 3y)J dv = ~片оJ
Откуда полная величина интегрального отражения от толстого
кристалла
吟等图，围=Ж/^|^|-（8"а）
Очевидно, как в выражении (8.53а), так и в следующем выражении для интегрального отражения (8.55) при падении на кристалл неполяризованного излучения С заменяется известной величиной поляризационного множителя:
围=44統±屮虬/噜院卜（8・536）
В зависимости от условия 2仆〉л/2 или 28 V л/2 или cos2 仆至 ^ sin2 *& величина интегрального отражения принимает одно из двух частных значений:
(8.53в)(8.53в)%%1 /粤Ctg" ^ , 2令＜备,%|%“1 M?"tg今 ^，2®〉受.
(8.53в)
(8.53в)
Для решения Эвальда можно либо проинтегрировать выражение (8.49), полученное путем усреднения (8.63) по достаточно широкой области изменений толщины (и величины А), либо проинтегрировать формулы (8.33) и (8.36) с учетом условий (8.38),
а затем перейти к толстому кристаллу. Этот второй Метод был использован Лауэ путем интегрирования по комплексной плоскости изменений величины у. Не останавливаясь на ходе ^Ьтегрирования, который подробно изложен в монографии Лау? [14], приведем окончательный результат
(8.54)(8.54)\ 竺= я th Л
(8.54)
(8.54)
L，+ (4 一 护)cth (л и厂歹)・
При больших значениях Л, а следовательно и толщины отражающего кристалла 力 th Z q 1. Для этого предельного значения достаточно, чтобы Z》3. В таком случае
■й? — л■й? — л一 sm ® У То一 sm ® У ТоУУ(8.55)(8.55)
■й? — л
■й? — л
一 sm ® У То
一 sm ® У То
У
У
(8.55)
(8.55)
Сравнивая это значение Е» с интегральным отражением в случае Лауэ согласно (3.82), замечаем, что в случае Брэгга интегральное отражение в два раза больше. Заметим, что (8.53) было получено Дарвином.
Рис. 60. Максимумы кривых отражения по формулам Дарвина (7) и Эвальда (2)
На рис. 60 показаны профили максимумов, отвечающие формулам Дарвина и Эвальда. Различие этих профилей находит свое выражение в различии значений полуширины. Из условия Е】,ш = =% находим из (8.50) и (8.49)：
(8.56а)(8.566)(8.56а)(8.566)93 /2
(8.56а)
(8.566)
(8.56а)
(8.566)
缈Е缈Е4/34/3須 d = 2!]% = 一^一
缈Е
缈Е
4/3
4/3
Заметим, что при асимметричном отражении по Брэггу от толстого кристалла с минимальным поглощением форма максимума остается симметричной. Однако при этом наблюдаются два существенных изменения по сравнению с симметричным отражением. На шкале углов падения с уменьшением скользящего угла(0°, или увеличением 屮。,возрастает смещение средней точки максимума Уо относительно угла О и увеличивается полуширина максимума
Ат]。. Указанное смещение максимума определяется разницей величин г]。согласно (7.34) и (7.35) при | 丫九 | 〉 То (см. рис. 48). Увеличение ширины области полного отражения Дт]0 следует из (7.32). Очевидно, величины ^0 и Дт)0 изменяются в обратных направлениях при увеличении(оо (рис. 48). При переходе от шкалы углов падения к шкале углов отражения указанные изменения имеют обратные знаки. Величина смещения максимума на шкале углов отражения подробно обсуждается в 9.4 в связи со схемой трехкристального спектрометра при асимметричной съемке. Что касается численных оценок, то отмеченные эффекты значительно превышают соответствующие величины в случае Лауэ. Так, при асимметричном отражении 220 излучения МоКа от Si с 丫八=0,335 и у0 = =0,027 получаем % а — 11,2" вместо т)08 = — 1,3" и Дт]0 = =8,1" вместо Дт] Os = 2,3".
Отражение по Брэггу
от толстого поглощающего кристалла
Выражения для величин А и Т в указанном случае могут быть получены как из общих формул (8.14) и (8.16), так и из формулы Захариасена (8.28).
Приведем сначала в развернутой форме выражения для комплексных переменных в (8.14) и (8.16) х и v.
Согласно (8.11) и (8⑹
% = — EKt ”,(8.57)
где точные и приближенные значения Wr и 吗 для случая Брэгга даны в гл. 7 выражениями (7.52)—(7.55). Заметим, что из (8.57)
与=WT 恥'® =-器г %「•(8・58)
Выпишем здесь приближенные значения хгих^ используя формулу (7.55):
■冷КG +向)-箒卦絆9)
0 = -4元口，4 =嘗*.(8.60)
При выводе выражений для комплексной переменной о используются тождества
cho = ch (yr-]-iv^ = ch vr cos % + ishvT sin %,(8.61)
а также аналогичное выражение для sh (vr + ivj (4.82). Приближенные значения основаны на допущениях (4.83) и (4.84).
Таким образом, в областях I и III максимума
Уг + 切》=干 ch (% + 访》)•(8.62)
Точные значения функций vr и % определяются согласно (8.61) из условий
ch vr cos s =干 yr, sh vr sin 力=干力；(8.63)
приближенные значения
_— у.
ch%Q干％, sqsins =干, ' ，•(8.64)
В области II [см. (7.12)]
уг + iyi = cos (% + 汕)=ch 以 cos 分一力 sh Vi sin %,(8.65)
cos iVi = ch v^ sin iu»、= i sh v^(8.66)
Таким образом, точные значения vr и % определяются из условий yr = ch Pj cos pr, yi = —sin vr sh P|,(8.67)
и приближенные
у.
yr ж cos yr? 内七 -.(8.68)
И 1-^
Преобразуем теперь общие формулы (8.14) и (8.16) к частному случаю отражения от толстого поглощающего кристалла, используя тождество.
I sh а |2 = -^- (ch 2% — cos 2а)(8.69)
Выражения (8.14) и (8.16) принимают следующий вид:
ch —cos 2 力；
区=I /『ch (2冗「+ 2。，一 cos (2% + 2%)，⑶ 70)
ch 2% — cos 2%
T - ch (2冗「+ 2。「) 一 cos (2% 十 2。/，(8.71)
где переменные xr и 勺 даны формулами (8.57) — (8.60).
Переходим к применению формул (8.70) и (8.71) к отдельным областям максимума. При этом учтем, что согласно (8・58) и (8.60) %f = —— \ xi I， а также используем соотношения (7.5) — (7.15). В областях I и II максимума
ch 2ж ——cos 2х.
区1, HI = |/12 ch (2 冗「士 2г;，一 cos (2 冗彳干 2%)，(8・ 72)
ech 2г? — cos 2内
"，111 = ch (2% 士 2%) —cos (2% 干 2%) »(8.73)
где верхние знаки в круглых скобках относятся к области I. В области II, заменяя о на 初，получим вместо (% + 汕)，(％ —汕)• Таким образом, в формулах (8.72) и (8.73) заменяем vr на 内 и 力 на ——0了・ В результате для области II получаем следующие выражения для R н Т:
(8・74)(8.75)(8・74)(8.75)ch 2% — cos 2%
(8・74)
(8.75)
(8・74)
(8.75)
区口 = ch (2%十 2%)— cos (2%+2%) ch 2% — cos 2%
7H - ch (2冗r + 2°е)— cos (2冗〃 + 2г?г) °
Представляет интерес сопоставление формул (8.39) и (8.72) в связи с влиянием поглощения на побочные максимумы маятникового решения. Обратим внимание на различие числителей обеих формул. Наличие в (8.72) члена ch 2хг приводит к тому, что в минимумах, соответствующих условию (8.40), функция R не обращается в нуль. Другое существенное свойство функции (8.72) заключается в асимметрии относительно средней точки ® = 0). Это можно показать следующим образом.
Рассмотрим для простоты симметричное отражение. Преобразуем выражение (8万9), приняв у「叁＞ 1:
〜 ^t 外加cos V"
4 仁 2sin®2sin2% •
При выполнении условия (8.40)
(8.77)(8.77)2xi = ~ 2А^Уг ~~ ^ = 2лт,
(8.77)
(8.77)
и мы получим в числителе (8.72) ch (а — Р) — 1 при уг〉0, ch (а + р) — 1 при 办 V 0,
(8.78)(8.78)_|1£CHECOS%
(8.78)
(8.78)
a 一 sin 心 5» —% sin 25
Эта асимметрия является следствием асимметрии коэффициента поглощения. Заметим, что из сравнения (8.59) и (7.56а) следует
4 = — I % ш Is "2,(8.79)
卩 Г /11 \ 2Се cos vh
111 h = W=T 因 h 一 7ЖТ
в соответствии со знаком уг меняет свой знак при переходе от области I к области III.
В отличие от выражений (8.72) — (8.75), применимых к определенным областям максимума, выведем формулы, предложенные рядом авторов и пригодные для вычисления коэффициентов отражения и прохождения (поглощающий кристал) в случае Брэгга по всему максимуму.
Бонзе [89] использует для вычисления коэффициента отражения величины амплитудного коэффициента отражения внутри кристалла [см. (3.11) и (3.15)] для случая Брэгга:
]/需丿^匂土 М 仃）・MD
В этой формуле, как обычно, верхний знак в круглых скобках справа относится к первому полю, нижний — ко второму. Использование величин с^ для коэффициентов отражения вакуумных волн облегчается в случае Брэгга тем обстоятельством, что, как было показано в гл. 7, в областях, примыкающих к левой стороне максимума и к области полного отражения, остается лишь первое поле, в то время как в области, примыкающей к правой стороне максимума 匂〉+ 1), остается лишь второе поле.
Таким образом, в соответствии с пограничными условиями (7.18), вполне правомерными являются равенства
』，2,』，2,(8.82)(8.82)
』，2,
』，2,
(8.82)
(8.82)
и коэффициент отражения в общем случае поглощающего кристалла вместо (7. 20) и (7.21) выражается простой формулой
(8.83)(8.83)e=1叫2*,
(8.83)
(8.83)
где с^ уже являются комплексными величинами.
Перейдем теперь к выводу выражения для Е в виде явной функции от 奩)и с化 а следовательно, и от 办 и у^ Вывод соответствующих выражений будет более строгим, чем в гл. 4 для формул Лауэ (4.96) — (4.98). Значения уг и yt вычисляются следующим образом:
У =У =2|Cf/粤2|Cf/粤=办十»%•=办十»%•(8.84)(8.84)了隔=/Ф, + Q /Ф； + i Е"2 НК,了隔=/Ф, + Q /Ф； + i Е"2 НК,7W =7W =1-2师〜2了拆（2%-力%）_ 1"%先、1-2师〜2了拆（2%-力%）_ 1"%先、(8.85)(8.85)Отметим, что (8.85) выведено при условииОтметим, что (8.85) выведено при условии屮"y①九•屮"y①九•(8.86)(8.86)
У =
У =
2|Cf/粤
2|Cf/粤
=办十»%•
=办十»%•
(8.84)
(8.84)
了隔=/Ф, + Q /Ф； + i Е"2 НК,
了隔=/Ф, + Q /Ф； + i Е"2 НК,
7W =
7W =
1-2师〜
2了拆（2%-力%）_ 1"%先、
1-2师〜
2了拆（2%-力%）_ 1"%先、
(8.85)
(8.85)
Отметим, что (8.85) выведено при условии
Отметим, что (8.85) выведено при условии
屮"y①九•
屮"y①九•
(8.86)
(8.86)
Возвращаемся к выражению (8.84)
屮髙訐専（『卜髙高k
Отсюда
处@z + g^^),场=("2^力一g),(8.88)
(8.89)
Формула (8.81) принимает вид
*)= — (— 4)t J^]；：「/^-^ [yr + »%土 M(办 + »%)2 — !]• (8.90)
Для выделения действительной и мнимой частей в корне, входящем в правую часть выражения (8.90), применяем правило извлечения корня из комплексной величины. Обозначая этот корень через Wy запишем
吟w宀忆，I m 12 =鬲晓卜(办土区)2 十 (仇士忆)2],
(8.91) 忆 nj^~[£ —(+(% —沙*)],忆=了^扌因 + 1 一储-芻)],
E'=仍十y沪一 2(屛一知.
(8.92)
Умножая и деля Wr на E + 1 и 忆 на E — 1? где
E= £ +婦+聆(8.93)
получим
+ |%1/±1/1工)口•(8.94)
(8.95)(8.95)Путем несложных преобразований выражение для | с(')|2 принимает простейшую форму, и после подстановки в (8.83) получаем следующую формулу для коэффициента отражения от поглощающего кристалла:
(8.95)
(8.95)
причем из двух знаков перед корнями в (8.94) справа выбираем знак минус, который единственно обеспечивает в (8.95) условие /? < 1.
Входящие в выражение (8.93) переменные уг и у» могут быть преобразованы из (8.88), если учесть, что
—cos vh = xcos vh I—cos vh = xcos vh I(8.96a)(8.96a)
—cos vh = xcos vh I
—cos vh = xcos vh I
(8.96a)
(8.96a)
(x2 отбрасывается). В таком случае
Ут =—(勿十 gx cos wQ, 仇=(ук cos v九—g).(8.966)
При симметричном отражении от центросимметричного кристалла эти переменные принимают следующие частные значения:
Угз = — @Zs + "^") , Угз = yZsX証 »
T用；(&97a)
猱+瘍=他+謚" +喲，
媒-У is(速-詣■) 口 + 炉)+ 4yzs 脸Г.(8.976)
Заметим, что выражение типа (8.95) можно получить также из формулы (8.70), если использовать тождество
ch (2д + 2%) = exp (2%)ch (2々)—[ch (2写)一sh (2力，1 sh 2%, разделить числитель и знаменатель в (8.70) на ch (2力「) и далее перейти к асимптотической форме, отвечающей толстому кристаллу. При этом хг [см. (8.59)] растет беспредельно, а с ним и 218
ch(2%「)； th (2力「) стремится к единице. В результате получается
Rg= * [ch(2%) — ]/ch? (2%) — 1],(8.98)
где ch (2%), как можно показать, имеет значение, близкое к Е.
Формула (8.71) для коэффициента прохождения легко преобразуется с помощью приведенных формул
Тв =(8.99)
Е +1 — 囹"啰 +1)]
1「4片~1^УгУг
у 尺話в ехр (2,) + у RgB ехр (2吁)一 [^1 - "cos 2%— y== sin 2%
Впрочем при вычислении T было показано, что двумя последними членами в знаменателе, дающими осцилляцию Т с возрастанием толщины кристалла, можно пренебречь ввиду их малых значений.
Наконец, следует вывести используемые в литературе значения коэффициента отражения для толстого поглощающего кристалла в нескольких приближениях, исходя из формулы Захариасена (8.28). Эту формулу следует рассматривать как общее выражение, применимое к кристаллам любой толщины. В случае толстых кристаллов в этой формуле следует принять 〃笫 発彳[см. (8.23)]. Следовательно, можно отбросить все члены, не содержащие ам, и заменить sh2 aw на J/4 exp(2aw) nsh(2aw) на i/2 exp (2aw?)・ После сокращения на exp(2aw) получаем
о —MrJ)C2|xJ2川
8一 |g + z2|+|zF+[(|g+z2| + |zF)2—]gFF/2 石 *О W
Рассмотрим далее последовательно применение (8.100) к трем важнейшим частным случаям при асимметричном отражении.
Центросимметричный кристалл, члены с х2 отбрасываются [15]. Введенные ранее переменные получают следующие значения [х определяется в (7.67)]:
q = - С2舌猊=_c^-^^hr + 就加2 = а(1 + 貶乂)，(8.101a)
.阂 I = MKTTCT = I 視"МГТ^,(8.101 б)
z - 一 4■总值 + Ф0 - c]/咼%J (以+电)=V^(yz + %), а = С2^|^/2,(8.102a)
I z |2 = a(岭 + g2), J g 12 = a(1 + 4x2),
I q + z21 = a I — (4 + »2")+(弥+ 也)21 =
=а I V■觴一g2-l)2 + 4(yzg->(H，(8.1026)
卄z ® g заданы в (8.89),
Введем дополнительную переменную
Ez = {|q + 22| + |z|2} = a{|M(^-g2-l)2 + 4(yzg-*| +
+ 賜 + g2)}・(8.103)
Подставляя полученные выражения в (8.100), умножая затем числитель и знаменатель в правой части (8.100) на Lz — (£z —()% и отбрасывая в знаменателе член 4х2, получаем
醍zi-九И+4硏豪醍zi-九И+4硏豪(8.104)(8.104)
醍zi-九И+4硏豪
醍zi-九И+4硏豪
(8.104)
(8.104)
Эта формула, за исключением последнего множителя, приведена Захариасеном в его монографии.
Центросимметричный кристаллу члены с к? не отбрасываются [99]. Преобразуем сначала выражение (8.100) следующим образом:
(8.105)(8.106)(8.105)(8.106)|g+z2|+|z|2 一 H|g+z2| + |z 因2一⑺2 写
(8.105)
(8.106)
(8.105)
(8.106)
Здесь удобно ввести переменную
7 一(h + ^2l + kl2)
Формула для коэффициента отражения (8.105) принимает вид
破Н = 1『第阿。7)
и была дана в работе Хирша и Рамачандрана [99].
Используемые в (8.105) и (8.106) переменные несколько отличаются от (8.100)—(8.103):
I д I = 0 南 I(猊 г + ам)|2 = «(1 + х2),(8.108)
向 + 叫=-С2-^ ^hr + V + а (г/2 + 2iyzg - ^)=
=а I/储一g2 — 1•十乂2)2 + 4(yzg — к)21.(8.109)
Откуда
т I /^ - g2 ~ 1 + х2)2 + 4 (yzg - ^) I + 俨 + g2)
厶H = •] + 乂2•(O.llv)
Кристалл без центра симметрии^ члены, содержащие к? ме отбрасываются [100]. В отличие от (4.53) запишем комплексные значения | %hr | и | %hi | следующим образом:
Мг = Хлг + 嚏 г,打=X^i + 嗚订(8.Ша)
где согласно (4.48)
%м = - г 2 阳)cos %'馬=-Г 2 唠)sin w，
%；1r = — Г 2 % cos 屮力 期г = — r』Ajsin %.(8.1116)
В таком случае
Xh = %hr - Ki + i % + %財)，丨观产=I %hr|2 (1 + x2 + 2s),
s _ 竿tj『g ,(8.111b)
医『 = E/2(4 + x2-2s),
Xh%K =1 %hrl2-| Xhi I2 + 貶(%ЛДМ + K%J・(8.112a)
Если ввести переменную
p=|厶了1-2(%拉6抬 + кГ猿)(8.1126)
то можно написать
I%佈I =1%疗[(1 一 乂2)2 + 4們九(8.112b)
Следует помнить, что мы принимаем 乂 = | y^t |/| %Лг |» т. е. величиной существенно положительной. Что касается соотношения полных величин XhJXhc то оно определяет величину р согласно (8.1126).
Очевидно, для центросимметричного кристалла s = 0 и р = =乂. Для q берем более общее значение
，=一炉毋 ^ = 一 а [(4 — 乂2)+ z2p],(8.113a)
в то время как в числителе (8.100) сохраняется величина
炉滿 I 規『=° 口 + 炉 + 2sh(8.1136)
Вместе с тем в выражениях (8.106) и (8.109) мы сохраняем прежнее значение [ q | (8.108).
Итак, коэффициент отражения выражается следующим образом:
Е* = £tX"評с-Vl^I] ^ 7(8.114)
где
гМ例一g2-l + x2)2 + 4(%g-p)2 + ^ + g2
Lc =EFT碎•(8.145)
Выражения (8.114) и (8.115) выведены в работе Кола и Стемпла [100].
Максимумы симметричных отражений 220 и 333 излучения СиКа от Ge, вычисленные по формулам (8.95) и (8.107), (8.110) (рис. 61), практически совпадают. Обращаем внимание читателей на интересное различие формул (8.70), (8.72), (8.74), с одной стороны, и формул (8.95), (8.104), (8.107), (8.114), с другой. В первых в явном виде присутствуют функции толщины (глубины) кристалла t, а именно, хг и 勺[см. (8.59) и (8.60)]. Во второй группе формул мы имеем дело с 互т. е. с предельным переходом к бесконечно толстому поглощающему кристаллу.
Надо полагать, что тщательный анализ и сопоставление этих двух типов выражений может вскрыть различие (например, в области толщин) подобно тому, как это было сделано для решений Дарвина и Эвальда для прозрачного или почти прозрачного кристалла. Сделаем несколько замечаний, касающихся формы (и вы-
Рис. 61. Сопоставление кривых симметричного отражения CuKa-излучения для Ge, вычисленных по формулам (8.95а), (8.107) и (8.110)
а — отражение 333; б — отражение 220
соты) максимума отражения по Брэггу от поглощающего кристалла. В случае тонких поглощающих кристаллов, как мы уже отмечали в связи с анализом формулы (8.72), побочные максимумы маятникового решения должны'наблюдаться, причем следует ожидать асимметрии относительно средней точки максимума высоты побочных пиков.
С возрастанием толщины кристалла, ввиду затухания волнового поля, проникающего в кристалл в областях I и III максимума, вследствие поглощения максимум приобретает характерную «дарвиновскую» форму с плоской вершиной и плавно спадающими боковыми частями (см. рис. 50).
Рассмотрение формы максимума по Брэггу в поглощающем кристалле сводится к анализу деформации дарвиновской кривой
Рис. 62. Кривые отражения от поглощающего кристалла, отвечающие различным значениям параметров g и х а — х = 0； б — х = 0,1； в — х = 0,2, g = —0,2Рис. 62. Кривые отражения от поглощающего кристалла, отвечающие различным значениям параметров g и х а — х = 0； б — х = 0,1； в — х = 0,2, g = —0,2
Рис. 62. Кривые отражения от поглощающего кристалла, отвечающие различным значениям параметров g и х а — х = 0； б — х = 0,1； в — х = 0,2, g = —0,2
Рис. 62. Кривые отражения от поглощающего кристалла, отвечающие различным значениям параметров g и х а — х = 0； б — х = 0,1； в — х = 0,2, g = —0,2
в зависимости от параметров х I Хм I / I Xhr I и 一
для центросимметричного кристалла и в зависимости от 乂, g, р, s [формула (8.107) и (8.110)1 для кристалла без центра симметрии [89, 101,* 102].
На рис. 62 приведены некоторые типичные формы максимумов при различных значениях 乂 и д, построенные в соответствии с расчетами по формулам (8.102) и (8.105). Заметим, что формы максимума при 乂拉〉0 и 乂拉 V 0 для данного значения 乂拉=Xhi/Xhr являются зеркально симметричными относительно оси ординат. Как можно видеть из приведенных кривых, возрастание 乂 приводит к усилению асимметрии максимума, в то время как увеличение g—— к уменьшению площади максимума или интегрального отражения. При значениях 乂 = =0,1 + 0,2 и gv — 0,3 один (левый) край асимметричного максимума сохраняется неизменным по отношению к дарвиновской кривой. Эта особенность
кривых отражения в случае поглощающего кристалла может быть объяснена на основе анализа волнового поля в кристалле. Ранее было показано, что относительное расположение плоскостей узлов и пучностей волнового поля, с одной стороны, и атомных плоскостей, с другой, различно в областях I и III, плавно меняется от одного до другого края в области полного отражения. Если допустить, что в области I при уг < —1 атомные плоскости совпадают с узловыми плоскостями волнового поля, то в этой 《левой» стороне максимум останется неизменным, и «левый» край области II будет отвечать Е = 1. Соответственно с перемещением узловых плоскостей при возрастании у эффект поглощения усиливается и остальная часть максимума обнаруживает характерный спад коэффициентов отражения. Рис. 63 может служить иллюстра-
Рис. 63. Кривые отражения от поглощающего кристалла без центра симметрии
а — х = —g = 0,1; б — х = —g/2：= 0,05; 1 — кривые R; 2 — предельные значения Rmax； 3 — кривая Дарвина (для прозрачного кри
сталла)
цией изменений, которые претерпевает форма максимума при отражении от кристалла без центра симметрии [параметры р и s заданы уравнениями (8.112) и (8.111)].
Многие детали подобных изменений кривых отражения можно истолковать с помощью модели кристалла, в котором эффекты рассеяния и соответственно экстинкции, с одной стороны, и эффекты поглощения, с другой, связываются с двумя различными рассеивающими центрами, определенным образом распределенными в структуре [102].
.4. Интегральное отражение
от поглощающего кристалла в случае Брэгга
Несмотря на то, что динамическая теория в применении к отражению по Брэггу разрабатывается уже почти 60 лет, аналитическое выражение для интегрального отражения в наиболее сложном случае толстого поглощающего кристалла выведено совсем недавно в работе Афанасьева и Перстнева [103].
Будем исходить из формулы для коэффициента отражения За- хариасена (8.104), которая с помощью новой переменной L& [см. также (8.17)]
La =La =|g + z2] + |zy —|g + z2] + |zy —hl2hl2(8.116)(8.116)
La =
La =
|g + z2] + |zy —
|g + z2] + |zy —
hl2
hl2
(8.116)
(8.116)
©To I Th 11 观案 I
приводится к виду
(8.117)(8.117)A? = Ид ^ 上(〃 一九，1) da,
(8.117)
(8.117)
a = 2т)sin 2仆・
Далее вводятся следующие вспомогательные переменные:
,：To+|Yj IXod_ 2]/VHJ I gimp協
右=力*/；1_/)，& = 1 + 2s2 (1 - q2)・(8.118)
Перейдем от переменной интегрирования а к 厶 согласно соотношению
2；亭守.(8.119а)
Величина интегрального отражения выражается следующим
8 3. Г. Пинскер225
образом:
где подлежащие вычислению интегралы имеют вид
夕(s, q) = 2^3^! — ^2)(厶 + 厶)；
厶=\ [2 — 办-^2 _ 2 M(1 —依)(1 —依呑]G二需7占，
(8.120)
1
厶=\ ［2 _ / _/2# 一 2 了（1 一依）0一/對］［（］二品
(8.121)(8.121)(1 — z2)3/2 ]血，
(8.121)
(8.121)
厶 может быть непосредственно выражен через полные эллиптические интегралы первого рода К и третьего рода П [104]:
厶=^ 收 + 2 了』］2q2 一胪（I +矿）］+ 2/I^ X
(8.122)(8.122)X [(/一矿)n (- q^k) - /k (向].
(8.122)
(8.122)
厶 приводится к стандартным эллиптическим интегралам после интегрирования по частям:
1
厶厶=卜 2 -依一依纟2 + 2 ]/ (Г_ /)«_ 兴#力 х(8.123)
厶
厶
о
1+2炉1+2炉
1+2炉
1+2炉
где интегралы /3 и 14 приводятся к эллиптическим интегралам
厶=(1 —徜[/Г^К (舟一台]+
+ (1+ 2q2) + р<^ IK (向一E ⑹]—~f} •(8.124)
Окончательно функция Р (s, q) принимает следующее значение: Р(S, д) = (1 — S2 — 292s2)半—票s(l — 292s2) +
+ fe2 (1 一 q2)[3(1 — 92s2)n (―产期—
一(2 - s2 — 292s2) К (初.(8.125)
Существенной чертой расчета, выполненного в этой работе является общий характер комплексных параметров %。и %п, %必 которые входят в выражение для переменной интегрирования z (8.119) посредством величин g, s и £. Здесь не накладывается каких-либо ограничений, связанных с соотношением величин | хм | и |%”г|, как и величин 包》| и | Хог Ь а также с наличием или отсутствием центра симметрии в рассеивающем кристалле. Для произведения хпх~ можно использовать как общие выражения (8.111), так и более специальное, например, отвечающее центросимметричным кристаллам. В этом более простом случае основные параметры s и g принимают следующие значения:
s2c(%1生声1肌|'
2C (I Y J /To)% x
9尸.3冶必。)］乂"且,"26)
где g определяется из (8.89), 乂 = |%価|/^「| и 8 - \^m\l^iY
Интегральное отражение в общем случае может быть протабу- лировано с помощью формул (8.119) и (8.125) и таблиц эллиптических интегралов. Однако так как в настоящее время наибольший интерес представляют случаи отражения при (относительно) малых I у。》I и ］ %h/1，а следовательно, sagW^^Q 】，причем 0 & 1, то функция Р (s, q) может быть упрощена. Используя выражения для полных эллиптических интегралов первого и второго рода и разложение
(1 — ^) П (-产 © ； In ($4^) + 中 In目，
(1-й<1),(8.127)
можно получить
尸(s, д)。1 一 手 s (1 — 2g2s2) + 3s2 ［宇 In 77T^ - +中］鋁.(8.128)
Это выражение дает для s & 0,2 результат, отличающийся от точного не более чем на 〜1%. Наконец, для s W。，°5 главный член в (8.128) составляет
P(s,q)Ql—普 s(8.129)
и интегральное отражение оказывается равным
①=等需标叫偿卜-2,355|g|),(8.130)
8*227
что почти точно совпадает с эмпирической формулой Хирша и Рамачандрана, предложенной ими для случая gV 0,1, а также близко к формуле Захариасена, Ri q /3 (1 — 2 |g|). Наконец, если принять в выражении для s (8.118) %of = 0, то (8.130) дает формулу Дарвина (8.53).
Таблица 9. Функция Р (s, q) для различных s и q
q
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,60
1,0
0,716
0,672
0,633
0,599
0,568
0,541
0,516
0,473
0,9
0,708
0,661
0,620
0,584
0,552
0,523
0,496
0,454
.0,7
0,696
0,646
0,602
0,564
0,529
0,499
0,471
0,423
0,5
0,687
0,636
0,591
0,551
0,515
0,484
0,455
0,406
0,3
0,682
0,630
0,583
0,543
0,507
0,475
0,446
0,397
0,1
0,680
0,627
0,580
0,539
0,503
0,470
0,442
0,392
q
6
0,70
0,80
0,90
1,00
1,50
2,00
3,00
5,00
1,0
0,9
0,7
0,5 о,з
0,1
0,412
0,383
0,366
0,356
0,352
0,349
0,332
0,323
0,318
0,304
0,295
0,290
0,280
0,271
0,266
0,190
0,187
0,143
0,097
0,059
удовлетворительной точностью. Приложение 2 воспроизводит результат расчета Де-Марко и Вейсса. Малая таблица соответствует определенному интервалу значений g = 乂.
В отличие от данных приложения 2 сравнительно простое выражение (8.128) позволяет подсчитать величину интегрального отражения для любого общего случая кристалла без центра симметрии в широком диапазоне изменений значений параметров | %oi|, I Xhi I и I xhr|, а также провести качественный анализ ожидаемого поведения величины Е».
Частная задача, связанная с вычислениями интегрального отражения и представляющая принципиальный интерес, была решена в работе Вейсса [105]. Речь идет о сопоставлении формул (8.50) (решение Дарвина) и (8.49) (решение Эвальда) для коэффициента отражения в случае толстого «непоглощающего» кристалла.4
Будем исходить из наиболее общего выражения Захариасена (8.28). Приведем в явном виде значения аргументов av и aw. На основании (8.22) и (8.104) эти величины можно вычислить наиболее точно, используя правило извлечения корня из комплексного числа:
av = A (q + z2)r2, aw = A (q -}- г2)/2,(8.131)
(g + dy =[(就一内 一 4 一炉)+ 方2 @zg - Y)]%,(8.132)
A
au ={[储—g2 — 1 + 乂 2)2 + 4 @zg — 乂 У]% +
+ (力一g2 — l+喲也(8.133)
{[紡—g2 - 1 + 用)2 + 4 @zg _ К)2]%一
一例一g2 — l + #)}九(8.134)
Приближение Эвальда можно сформулировать условием: g = 0 и приближение Дарвина——aw ^> 1. На машине вычислялась величина 7?? = § Rdy, причем R бралось по формуле (8.28). Е? вь『 числилось в функции от толщины t = 2gAt\k [см. (8.133) и (8.134]). Для g (力)=乂 принималось значение 0,01 (рис. 64). Как показывает кривая 7?У, при очень малых толщинах (卩力 V 0,001) мы имеем кинематическую область, при 卩力七 0,03 мы приближаемся к решению Эвальда. В： максимуме Е? = 冗,что точно отвечает приближению Эвальда. С возрастанием толщины кристалла кривая асимптотически приближается к значению Е? = 8/3, т. е. к решению Дарвина. Эта величина интегрального отражения достигается при [л£〉8, т. е. действительно соответствует толстому кристаллу при исчезающе малом поглощении»
примере симметричногопримере симметричногоЧисленная оценка полученного результата применительно к конкретному эксперименту может быть проиллюстрирована на
примере симметричного
примере симметричного
отражения 220 излучения Ag Ка от кри
сталла Si. В этом pi = 11,2 слГ】，I 渝 I Edсталла Si. В этом pi = 11,2 слГ】，I 渝 I Edслучае 期| = 1,266・ У,
сталла Si. В этом pi = 11,2 слГ】，
I 渝 I Ed
сталла Si. В этом pi = 11,2 слГ】，
I 渝 I Ed
|%目 £ 0,6 • 10-8,
gx 0,008, 0,005.
佇佇Максимум на кривой рис. 64 будет близок к толщине пластинки кремния t = 0,03 мм, и значение 卩力=8 соответствует толщине t = 7,5 мм.
佇
佇
Рис. 64. Изменение величины интегрального отражения от кристалла с исчезающе малым поглощением с возрастанием толщины [решения Эвальда и Дарвина (g — 0,01)]
Сделаем несколько общих замечаний, касающихся интегрального отражения в случае Брэгга. Как следует из изложенного материала, величина интегрального отражения отпределяется прежде всего параметрами g и & а также отношением | yh |/у0.
Обращает на себя внимание слабая зависимость Е» от 乂. Рассматривая табл. 9 значений функции Р (s, ?), замечаем, что для данного значения sag изменение х £ gs в 10 раз приводит к уменьшению функции Р лишь на 〜5% для малых s и до 〜 15— 16% для s = 0,60. Из приложения 2 следует, что при g = 0,30 изменение х от 0 до 0,3 приводит к увеличению Е? ― на 11,5% . Более существенное изменение наблюдается при больших значениях g. Так, при g = 2 изменение х от 0 до 0,9 влечет за собой возрастание Е? на 87% . Возрастание величины Е? с увеличением 乂 аналогично возрастанию интегрального отражения в случае Лауэ с увеличением величины £ = | %拉t| / | Xoil • Заметим, что параметр g в формулах (8.119) и (8.125) пропорционален при рассеянии от центросимметричного кристалла величине 8. Во всяком случае, увеличение 乂 и | Хпг | означает возрастание интерференционного «вклада» в поглощение или возрастание экстинкции
° = 2” 猊 I 2rxe I%”/(1+叫 ％ 43 (Т。也1 产一 (To!Tj)1/2
Вместе с тем следует отметить несравненно меньшую чувствительность интегрального отражения к изменению параметров 乂 или 230
£ В случае Брэгга по сравнению со случаем Лауэ. В соответствующих формулах для случая Лауэ, например (4.165), величина е входит в показатель множителя поглощения и для сильных отражений возрастание или уменьшение |%^| меняет величину Е» на несколько порядков.
Несравненно большее влияние на Е» в случае Брэгга имеет параметр g. Можно показать, что величина g, согласно (8.89), соответствует отношению величин поглощения и экстинкции. Действительно, рассматривая путь, проходимый падающей и дифрагированной волнами в кристалле, получим для некоторой эффективной глубины ta
(8.136)(8.136)«поглощение» при некоторой составит«поглощение» при некоторой составит叫=卩（丫計+m尸）厶.
(8.136)
(8.136)
«поглощение» при некоторой составит
«поглощение» при некоторой составит
С другой стороны, экстинкционное глубине проникновения % н % = 0
（丫。17用产'（丫。17用产'(8.137)(8.137)откудаоткуда2门长1%0e]口+(1^1你)]nK0X"l(l^l/Y。#2门长1%0e]口+(1^1你)]nK0X"l(l^l/Y。#=—4g〉0.=—4g〉0.(8.138)(8.138)
（丫。17用产'
（丫。17用产'
(8.137)
(8.137)
откуда
откуда
2门长1%0e]口+(1^1你)]nK0X"l(l^l/Y。#
2门长1%0e]口+(1^1你)]nK0X"l(l^l/Y。#
=—4g〉0.
=—4g〉0.
(8.138)
(8.138)
Таким образом, возрастание величины истинного поглощения или уменьшения глубины проникновения, обязанное поглощению, приводит к увеличению параметра g. Большая величина экстинкции, т. е. малость глубины проникновения волнового поля в кристалл, связанного с интерференционными эффектами, при малом поглощении соответствует малой величине g. В связи с этим можно заметить, что на рис. 62, а изменение профиля кривой при малых значениях | g | затрагивает лишь область полного отражения, что иллюстрирует связь этого параметра с эффектом экстинкции. За
метим также, что указанная трактовка параметра g позволяет сформулировать физические условия перехода от динамического
рассеяния к рассеянию на мозаичном кристалле.
Интересной чертой функции А? -у— (при g & 0,2) является
заметное изменение ее величины при переходе от симметричного к асимметричному отражению. Действительно, сравнивая соответ
ствующие значения g
замечаем, что с отклонением от значения | 丫》| /丫。= 1 до 4——5 или до 0,25——0,20 величина g (одинаково в обоих случаях) увеличивается примерно в 2—2,2 раза. Это влечет за собой некоторое умень-
Шение величины Е?. Однако так как
围=围=sin20 制sin20 制ТоТо成,成,
围=
围=
sin20 制
sin20 制
То
То
成,
成,
то благодаря действию множителя (| 丫八 | Yo)% интегральное отражение Е? в конечном счете либо еще больше уменьшается (если I Tn I <С То)> либо увеличивается (если |丫”| >Yo)・ Увеличение может достигать 70——80%, уменьшение всегда более значительно.
Сопоставляя величины интегрального отражения по Лауэ и по Брэггу, можно сделать следующие замечания.
Интегральное отражение по Брэггу в аналогичных случаях более или менее значительно превышает отражение по Лауэ, иногда на несколько порядков, что является весьма существенным при создании кристаллических монохроматоров.
С другой стороны, сложный характер зависимости 7?? от таких параметров, как | Xhr | и | Xhi |, делает мало эффективным не только их экспериментальное определение измерением интегральных отражений, но также и точную и однозначную проверку теории.
Глав а 9
РЕНТГЕНОВСКИЕ СПЕКТРОМЕТРЫ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ ДИНАМИЧЕСКОГО РАССЕЯНИЯ. НЕКОТОРЫЕ ИТОГИ
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЙ ПРОВЕРКИ ТЕОРИИ
Динамическая теория рассеяния рентгеновских лучей в идеальном кристалле, изложенная в предыдущих главах, основана на двух возможных физических моделях падающей вакуумной волны, которая возбуждает волновое поле в кристалле: большая часть изложения исходит из приближения падающей плоской волны, а меньшая ——из приближения падающей сферической волны или эквивалентного допущения ——ограничения фронта падающей волны узкой щелью.
Обращаясь к экспериментальным исследованиям динамического рассеяния, посвященным количественной проверке теории, следует прежде всего рассмотреть трудности, возникающие при попытке реализации приближения падающей плоской волны. Эти трудности связаны главным образом с использованием характеристического излучения рентгеновской трубки. Действительно, как известно, спектральная ширина этого излучения, так же как и угловая'расходимость, значительно превосходит соответствующие параметры динамических максимумов, а тем более их тонкой структуры.
Прежде чем перейти к систематическому рассмотрению этой проблемы, заметим, что на современном уровне экспериментальных исследований динамического рассеяния достигнуты большие успехи в создании пучка, монохроматичность и ничтожная угловая ширина которого позволяет реализовать указанное приближение с высокой точностью.
Однако именно в связи с достигнутым уровнем совершенства спектральной аппаратуры на пути прецизионной количественной проверки теории возникают новые препятствия, связанные, во-первых, с трудностью получения монокристаллических образцов, лишенных самых незначительных нарушений, и, во-вторых, с недостаточно точными значениями некоторых фундаментальных параметров, вводимых в теоретические расчеты. Это относится, например, к величинам ^hr, %州厶 х。》, величине М в дебаевском температурном факторе, к параметрам, связанным с неупругим рассеянием на фононах, к длинам волн, используемым в данном эксперименте, и, возможно, к некоторым другим величинам (см., например, 4.1).
Очевидно, в экспериментальных исследованиях получают кривую отражения при покачивании исследуемого кристалла вблизи среднего значения (у = 0) при падении на него рентгеновского пучка после отражения от монохроматора. Кривая отражения является, следовательно, наложением, точнее, сверткой функции R(8)для двух (или трех) кристаллов. Она не может быть непосредственно сопоставлена с теоретически вычисленным динамическим максимумом для одного исследуемого кристалла. (Заметим, что в этой главе через 行 обозначается переменный скользящий угол падения на данную отражающую плоскость в области максимума.)
Приведем теперь некоторые оценки мешающих эффектов, связанных с конечной спектральной шириной характеристической линии и ее угловой расходимости.
Оценка спектральной ширины и угловой расходимости излучения рентгеновской трубки
При использовании в качестве источника монохроматической волны той или иной линии характеристического излучения приходится учитывать естественную спектральную ширину этих линий АХ. Внутри этого интервала имеет место некоторое распределение интенсивности, которое можно аппроксимировать, например, гауссовым распределением. Классическая теория дисперсии [6, 106] связывает конечную спектральную ширину линии с затуханием электронного осциллятора. Подробное рассмотрение этого вопроса приводит к следующей формуле для спектральной ширины линии на половине высоты:
以三 А% =誤=0,059Х (X = КГ11 см). (9.1)
Этот результат означает, что спектральная ширина является универсальной константой, в частности, не зависящей от длины волны 九° середины интервала ДХ. Переходя от спектральной ширины к эффективному времени жизни осциллятора т (в течение которого интенсивность линии уменьшается в е раз), получаем
Р= 2戒小 (鱼2)
что дает, например, для СиКа「Хо = 1537 X, t = 2,12-10~15 сек, и для М0К04,九о = 708 X, t = 4,70 • 10-〔б сек.
Однако, как известно, классическая теория дисперсии рентгеновских лучей в оценке естественной ширины спектральной линии существенно расходится с экспериментом, не подтверждается универсальный характер условия (9.1), и абсолютная величина АХ, вообще говоря, занижена. Квантовомеханическое рассмотрение устанавливает связь между шириной спектральных линий и
шириной уровней, определяющих соответствующий переход:
(АЕ)订=h^v)if = (AE)i + (А£)/.(9.3)
Численная оценка величин (А£)〃 фактически берется из экспериментальных данных. Значения, приведенные в монографиях (например, [106]), следует считать ориентировочными. Так как из измерений на двухкристальном спектрометре (см. ниже) непосредственно определяется полуширина спектральной линии, то лучше обратиться к этим данным. Итак, согласно [106], величины АХ для Ka】 линии монотонно падают от 1,60 X для Са до 0,153 X для W； А九 для La± — от 4,5 X для Ag до 0,88 X для U. Новые 尸 более точные данные, хотя и для ограниченного числа линий, приведены в табл. 10 в связи с анализом результатов, полученных на двухкристальном спектрометре.
Возвращаясь к теоретическим оценкам, заметим, что ширина спектральной линии
(АЕ)u三小盜，(9.4)
где т ——время жизни состояния, представляет собой величину, обратную вероятности распада в единицу времени.
Для формы спектральной линии классическая теория дает следующее выражение:
4 = 4“ к 丁产『，(9-5)
квантовомеханический расчет дает, в первом приближении, ту же формулу. Впрочем, здесь не учитывается асимметрия влияния химической связи и другие более тонкие эффекты. Формула (9.5) представляет особый интерес в связи с тем, что она близка к формуле, описывающей кривую отражения,получаемую на двухкристальном спектрометре при так называемом антипараллельном положении кристаллов (см. ниже).
Очевидно далее, что каждой данной величине полуширины А九 характеристической линии излучения отвечает некоторая величина дисперсии при отражении от данного кристалла. Эта величина определяется дифференцированием уравнения Вульфа——Брэгга:
= —(9.6) 2d cos v
Существенно отметить возрастание А® с порядком отражения, в то время как полуширина максимума
2Ат]% = 2Ау I 猊г I /Wb (sE20)f(9.7)
уменьшается
Таблица 10. ^Экспериментальные рентгеновские данные по естественной полуширине спектральных линий 约入(в X ед.), полученные измерениями на двухкристальном спектрометре [107J
Линия
Отражающий кристалл
叫
仞一
耿
Автор
CuKcti
Кварц 1120 Кварц 2240 Кальцит 211
Кал ьцит 422
0,475
0,44
0,56
0,455
0,038
0,010
0,142
0,012
0,44
0,43
0,42
0,44
Parratt
»
»
»
TiKcti
Кварц 1120
Кальцит 211
0,91
1,03
0,075 0,22
0,84
0,87
»
»
Fe/fai
Кварц 1120
Кальцит 211
0,82
1,00
0,04
0,19，
0,78
0,81
Brogren
Allison
MoKai
* Полуши]
Кварц 1120
Кварц 1120
Кальцит 211
рина по схеме (1,1)
0,27
0,263
0,306
.** Полуши
0,029
0,027
0,076
рина по схеме
0,24
0,24
0,23
(1, —!)•
Parratt Brogren Parratt
Сопоставим теперь численные оценки величин дисперсии полуширины максимумов при динамическом рассеянии. При отражении 220 кристаллом Ge излучения Сика】 значения А8% = = 24, w = 12,8, при отражении 333 — 厶觎 = 57,5, w = 3,9, а при отражении 220 кристаллом Si излучения МоКа】 значения полуширины и дисперсии составили w = 2,2,厶仔力 = 13,1.
Переходим к рассмотрению угловой расходимости излучения рентгеновской трубки (см. также [24]).
Сформулируем условия применимости приближения плоской падающей волны, полагая, что излучение трубки обладает доста точной монохроматичностью. Если обозначить (плоский) угол, внутри которого интенсивность излучения еще имеет заметную величину, через Q, то первым условием будет
w = 2т|1/2^>й,(9.8)
где слева стоит угловая полуширина максимума отражения.壷
Что касается ширины когерентного фронта падающей волны, то, вообще говоря, существенным является соотношение между этой шириной и толщиной кристаллической пластинки. Но, кроме этого, при использовании пограничных условий на входной грани для тангенциальных слагающих волновых векторов необходимо устранить возможность дифракционных явлений (дифракция Френеля) на краях когерентного участка волнового фронта или щели. Это условие формулируется следующим образом:
(9.9)(9.9)2n/2 >> %S-*
(9.9)
(9.9)
где S — эффективный поперечный размер входной грани (S = =ZA8). Можно также записать в качестве желательного условия
，＞S, (9.10) где / ——линейная ширина когерентного фронта.
В условиях эксперимента, в котором на исследуемый кристалл падает пучок лучей от антикатода рентгеновской трубки, прошедшей через систему диафрагм, соотношения (9.8) и (9.10) невыполнимы. Величина Q, обычно, на два порядка превышает угловую полуширину динамического максимума.
Наконец, помимо немонохроматичности и значительной угловой ширины рентгеновского излучения трубки существенным является качество рассеивающего кристалла. Как показали экспериментальные исследования [6], выполненные в начале тридцатых годов, наиболее совершенные образцы монокристаллов, пригодные для количественной проверки динамической теории, можно было найти в то время среди естественных кристаллов кальцита и, иногда, кварца. Кристаллы каменной соли или искусственные кристаллы хлористого натрия скорее могли быть использованы для изучения рассеяния в области промежуточной между динамическим и кинематическим. В настоящее время исследователи располагают также и таким превосходным материалом, как синтетические монокристаллы кварца, германия, кремния, арсенида галлия и некоторых металлов.
Двухкристальный спектрометр
с использованием отражений по Брэггу в обоих кристаллах (схема Брэгг — Брэгг)
Как хорошо известно, еще с 1917 г. [6] в практику исследований начал входить двухкристальный спектрометр, в котором пучок лучей от рентгеновской трубки последовательно отражается от двух кристаллов, чем достигается существенное приближение к условиям динамического рассеяния. Хотя подобные приборы нашли широкое применение при решении ряда других физических и технических задач, мы здесь будем рассматривать двухкристальные спектрометры только с точки зрения экспериментальной проверки динамической теории в отношении параметров динамического максимума и интерференционных эффектов.
Дальнейшее усовершенствование спектральной аппаратуры было направлено к тому, чтобы получить форму кривой отражения, в наибольшей степени близкой к динамическому максимуму. В связи с этим необходимо отметить:
использование схемы Брэгг — Лауэ и Лауэ — Лауэ в работах Брогрена [108];
создание и использование трехкристального спектрометра, идея которого и первые эксперименты принадлежат Реннингеру
[101], а теория й весьма ценные результаты являются заслугой чешских авторов Бубаковой, Драгокоупила и Фингерланда [109];
асимметричную съемку в различных схемах, проведенную Реннингером [110,111],Бубаковой [112],японскими авторами [ИЗ—— 115], Баттерманом и Хильдебрандтом [116];
двухкристальный спектрометр Лауэ ——Лауэ, с использованием в первом кристалле эффекта Бормана, в работах Отье [16], Лефельд-Сосновской и Мальгранж [117].
Детальное изложение теории двухкристального спектрометра дано в книге Комптона и Алисона [6]; обсуждение некоторых важ-
Рис. 65. Схема двухкристального спектрометраРис. 65. Схема двухкристального спектрометра
Рис. 65. Схема двухкристального спектрометра
Рис. 65. Схема двухкристального спектрометра
ных выводов, этой теории приведено в монографиях Джеймса [8] и Лауэ [14]. Применение теории к схемам трехкристального спектрометра развито в работе [109].
Схемы двухкристального спектрометра, для которых была развита теория (рис. 65), основаны на комбинировании двух кристаллов с отражением по Брэггу в симметричном положении, т. е. от системы плоскостей, параллельных входной грани. Падающий на первый кристалл или кристалл-монохроматор А рентгеновский пучок после выхода из трубки проходит через две параллельные щели, в результате чего он характеризуется двумя значениями расходимости или плоскими углами: а——горизонтальная расходимость, соответствующая ширине щелей (в плоскости чертежа), и ср —— вертикальная расходимость, соответствующая высоте щелей. Таким образом, максимальные значения этих углов
(Хт ^― c/z,屮m 二^ 无/z, (9.11)
где с ——ширина и 无 ——высота щелей; z ——расстояние между ними. Схема спектрометра, показанная на рис. 65, относится к двум различным установкам второго кристалла В. Нормали к отражающим плоскостям кристаллов: неподвижного А и вращающегося В в положениях РР или ББ лежат в общей горизонтальной плоскости.
Неподвижный кристалл А устанавливается таким образом, чтобы некоторый средний луч в падающем пучке (т. е. луч, проходящий через геометрические центры обеих щелей), образовывал с
плоской гранью кристалла угол ^ 0, соответствующий середине области полного отражения. Действие кристалла А сводится к тому, что он в некоторой эффективной области углов а формирует параллельные пучки лучей для каждого значения длины волны 九.
Кристалл В устанавливается в исходное положение. Покачивая кристалл В вокруг вертикальной оси, лежащей в отражающей плоскости, мы регистрируем отраженные от этого кристалла пучки, и, таким образом, получаем некоторую экспериментальную форму максимума, называемую в литературе кривой качания (rocking curve) или кривой отражения. Существенной задачей теории является установление соотношения между этой кривой и истинной формой динамического максимума от одного кристалла В. Рассмотрим прежде всего величины углов, образуемых различными лучами в падающем пучке, при различных значениях А, с кристаллами А и В.
Если центральный луч, падающий на кристалл А, характеризуется параметрами^ 0,九°, а = 0,屮=0,儿&, где па — индексы отражения от кристалла А, то угловое отклонение от центрального луча при отражении произвольного луча в пучке с параметрами (О, %, а,屮，па) составит
а^~ 屮2 tg 令 0о, 〃а)—(九 一 Xo) ^~|y^0 •(9.12)
Второй член этого выражения отвечает отклонению, зависящему от вертикальной расходимости, третий——отклонению, связанному с немонохроматичностью. Вид последнего члена связан с естественным допущением, что в пределах спектральной ширины падающего пучка углы отражения меняются лишь незначительно. Индексы 1 и 0 означают, что значение этой производной берется вблизи среднего угла 0。(для первого кристалла) и средней длины волны Хо.
Обращаясь теперь к кристаллу 3, замечаем, что если в нулевом положении угол падения на второй кристалл среднего луча будет также О。, то в случае поворота кристалла на угол § в пределах области максимума, например, против часовой стрелки, угол отражения от В изменится на 令。+ 0 (положение I — РР) или на^0 — р (положение II —— Р，Р') (рис. 65, 66). Соответственно угол отражения луча от второго кристалла (X, а, ср) будет отличаться от угла отражения стандартного луча на величину
土 в 土 a - ｝中2 tg 令 &,啕一仇一統)偿):.(9.13)
Здесь верхние знаки перед 0 и а относятся к положению I и нижние ——к положению II,儿石 означает индексы отражения от второго кристалла, индексы 2 и 0 относятся к значению производной вблизи угла отражения центрального луча от второго кристалла вблизи 又°.
Теперь нам необходимо учесть функции распределения энергии или интенсивности в исходном пучке в зависимости от расходимости пучков а и ср и длины волны X. Зададимся пока некоторыми функциями
G (а, ср), J (九一九°), (9.14)
которые нормируются таким образом, что интенсивности внутри определенного интервала аргумента (da, d(p и dX соответственно) определяются умножением на эти интервалы.
Рис. 66. Положение кристалла В в спектрометре a — антипараллельное (I); б — параллельное (II)
В результате изложенного мы можем написать следующее выражение для полной мощности излучения, отраженного от второго кристалла, в функции от угла поворота § кристалла В из начального положения, если горизонтальная расходимость падающего пучка заключена в пределах от — ат до ат:
$п 入max am
p(b)= ， S § 63,屮"(九一觞)点卜一｝屮2电必一
-вm 入min -am
-(X - Xo) ^-^^ J сe ［士 B 士 a ^-屮2 tg 令2 一
_(九一九о)隱)jdadcpd九.(9.15)
В этом выражении Са 口 Св — функции, отвечающие коэффициентам отражений па и пв от кристаллов А и В.
Анализ и некоторое упрощение достаточно сложного выражения (9.15) можно начать с рассмотрения одной из важнейших характеристик спектрометра, а именно дисперсии, которую мож- 240
но ожидать вследствие конечного спектрального интервала в ис^ пользуемом излучении.
Переходя к предельному случаю бесконечно узких максимумов для функций Са^ С в, которые, следовательно, будут отличаться от нуля лишь при обращении в нуль их аргументов, легко получить величину дисперсии:
(9.16)(9.16)里j / I 这B _ d 入 2d cos ^i — 2d cos 仇
(9.16)
(9.16)
где, как и раньше, верхний знак относится к положению I и нижний ——к положению II кристалла В. Это соотношение непосредственно приводит к следующим важным результатам. В положении I дисперсия в двойном спектрометре складывается из значений дисперсии, отвечающих обоим кристаллам в отдельности. Наоборот, в положении II полная дисперсия составляет разность тех же величин. •
В важном частном случае, когда оба кристалла одинаковы и индексы отражения па =八в, положение I дает удвоенную диспер^ сию, в то время как II — дает дисперсию, равную нулю. Такое свойство положения II определило его преимущественное использование во многих работах.
Дальнейшее рассмотрение характеристик двойного спектрометра ведется раздельно для обеих схем.
Положение //, или параллельное расположение кристаллов —схема (м,— п) (рис. 66, 6). Важным частным случаем является схема с двумя одинаковыми кристаллами, причем предпола' гается, что оба кристалла являются достаточно (и в одинаковой степени) совершенными и индексы отражения
Па = ^в» (9.17)
Кроме того, очевидно, что
(9.18)(9.18)Са = Св = &,必=& =今.
(9.18)
(9.18)
В таком случае выражение (9.15) принимает вид
Р^Р^一仇一入。）（需工] с [a _ в — ~!~ 联 tg 8—一仇一入。）（需工] с [a _ в — ~!~ 联 tg 8—
Р^
Р^
一仇一入。）（需工] с [a _ в — ~!~ 联 tg 8—
一仇一入。）（需工] с [a _ в — ~!~ 联 tg 8—
(9.19)(9.19)—仇一九о) (~^^")o] da dK d(p.
(9.19)
(9.19)
Качественный анализ этого выражения позволяет получить дополнительные характеристики параллельного расположения.
Исходным пунктом такого анализа служит весьма малая область значений аргумента, измеряемая немногими угловыми секундами или абсолютной величиной углов порядка 10~5, при ко-
торых функция С под интегралом отлична от нуля. В таком случае можно показать следующее.
Функция G (а, <р) может быть представлена в виде произведения двух функций
G (а, <р)=伍(а)С2 (<р). (9.20)
При этом, хотя значения функций G^ отличны от нуля в областях углов порядка минуты (〜10~3 в абсолютных единицах), в соответствии с величиной члена 】％ ф2 tg 仆，эффективная область изменений функции G? примерно того же порядка, что и функции С. Кроме того, как можно показать, при параллельном расположении кристаллов форма получаемой кривой отражения вообще не зависит от вертикальной расходимости падающего на первый кристалл пучка.
Для каждой из монохроматических составляющих падающего пучка эффективная область изменений аргумента весьма незначительна и составляет примерно
备石仇一統)9。/纵)о・ (9.21)
Эта оценка соответствует сделанному выше указанию, что кристалл 4 преобразует падающий пучок в совокупность параллельных пучков для монохроматических составляющих.
Функция Р (В) отлична от нуля в очень узкой области значений аргумента. Другими словами, в схеме (п,——п) полуширина кривой отражения сравнима с полушириной динамического максимума от одного кристалла. Для некоторых типичных условий она превышает эту последнюю приблизительно в 1,3 раза.
Эффективная область длин волн, участвующих в образовании максимума внутри кривой отражения, относительно велика и оценивается величиной
觞 ± (祝/80)°%. (9.22)
В типичных случаях это составляет〜入° ± (2 + 3) X, т.е. используется интервал длин волн, более или менее значительно превышающий полуширину многих спектральных линий (см. табл. 10). Оценка (9.22),^как видно из этого выражения, не зависит от §.
Сопоставляя узкую область изменений функций С, фактически учитываемых при интегрировании, и сравнительно широкие области изменений аргументов <р, а, %, причем функции G1? G2 и / медленно меняются в пределах угловых секунд, приходим к следующей форме выражения для кривой отражения:
Ьo0
Р^)^К J С (а) С (а— В) da, (9.23)
咖
Поставленный выше вопрос о соотношении между экспериментальной кривой отражения Р (卩)и истинным профилем динамического максимума отражения от кристалла В был специально рассмотрен Лауэ [118]. Было показано, что прямой переход невозможен.
Мало того, если надлежащим подбором функции (или функций) С интеграл (9.23), вычисленный тем или иным методом, будет в удовлетворительном согласии с экспериментальной кривой отражения, то и этот результат не будет однозначным.
Следует далее отметить, что элементарное рассмотрение (9.23) непосредственно обнаруживает, что кривая отражения при использовании схемы (п,——м) является симметричной относительно точки 3=0, даже если истинные кривые динамического отражения кристаллов Л и 5 несимметричны, например, как в случае отражения по Брэггу от поглощающего кристалла. Необязательным условием указанной симметрии будет тождественность динамических максимумов от обоих кристаллов.
Очевидно далее, что формула (9.23) относится к случаю, когда падающее на кристалл А излучение поляризовано. При неполя- ризованном излучении функция Р записывается следующим образом:
Р^^К J [Са (а) & (а — В) + & (а)以(а 一 閉 da. (9.25)
Это выражение дает полную мощность, отраженную кристаллом В в положении р. Коэффициент отражения в этом случае выражается величиной
f [С。Q) с。(а —В) + с兀(а) 2 似一В)] da
А (В) = —л .(9.26)
J凡⑷十力(a)] &''
Впрочем, под коэффициентом отражения часто понимают величину Р (3) (9.25). Очевидно, что так как подынтегральная функция в (9.25) является для любого данного значения а произведением ординат обеих кривых С (а) и С (а ——§), то максимальное значение этого произведения при § = 0 и параллельности обоих
кристаллов будет соответствовать величине (процентного отражения)
『&(a)]2da+『[Cn(a)]^da
7? (0)=亠七— ,(9.27)
J [Ca^) + Cn (a)] da
которая является максимальным (относительным) значением коэффициента отражения (в двухкристальном спектрометре).
Наконец, величина интегрального отражения при измерениях на двухкристальном спектрометре вычисляется из следующего выражения:.
-[Г Са^)а^ + [ f 2(a)da『
&\ R (В)曲=^•(9.28)
-°°f С°(а)@а+ f 厶⑷殴
Положение /, или антипараллельное расположение кристаллов —схема (м, п) (рис. 66, а). В этом случае, аналогично (9.19), можно написать
Р (В) = “'б(а,屮)J Q — 九°) С {а 一 等tg仆一
一(九—九0) ("^)0} 0 {в — a —^"电令一
(9.29)(9.29)一(九一觞)[UjJ dadKd^.
(9.29)
(9.29)
Качественный анализ этого уравнения, подобный тому, который относится к случаю параллельного расположения, приводит к следующим результатам.
И в этом случае эффективные значения а оцениваются как ар仇一統)億)。 .(9.30)
Оценивая интервал значений 卩，для которых функция Р (В) имеет еще заметную величину, приходим к выводу, что в данном случае этот интервал существенно превышает угловую ширину динамического максимума для одного кристалла. Количественные оценки требуют установления связей между величиной 卩 и спектральным интервалом, дающим вклад в образование максимума.
Аргумент второй функции С под знаком интеграла в (9.29) можно переписать следующим образом:
{В - 2 像")。 (九一九0)} 一 {a —(患)。(九 一 &)} 一 + tg 仇(9.31) Нетрудно видеть, что так как последний член в этом выражении, так же как и второй член в фигурных скобках [согласно (9.30)],
малы, то и первый член в фигурных скобках должен быть малым для того, чтобы величина С для второго кристалла заметно отличалась от нуля. Таким образом, в отличие от параллельного расположения кристаллов [см. (9.22)], если кристалл В отклоняется от среднего положения на угол 卩，оба кристалла отбирают из всего спектра волн в падающем пучке узкую спектральную полосу:
А九Q九o +等(駕)В・ (9.32)
Этот результат имеет принципиальное значение, так как он позволил Реннингеру использовать в качестве монохроматора в трехкристальном спектрометре именно схему (м, п). Действительно, как было уже указано, при образовании максимума Р (§) при параллельном расположении кристаллов в значение функции Р (В) при каждом данном положении 卩 дают вклад монохроматические составляющие пучка в сравнительно широком интервале длин волн: в типичном случае, согласно (9.22), 2—-ЗХ. В противоположность этому, в каждом данном положении 卩 кристалла В в схеме (м, п) принимает участие спектральный интервал в p/aw раз меньший, т. е. в указанном типичном случае шириной до 0,01—0,02Х.
Что касается дисперсии двойного спектрометра, то согласно (9.16) при расположении кристаллов (м, м) она составляет сумму дисперсий от обоих кристаллов и, в частном случае равенства пА = =7<в и тождественности обоих кристаллов, указанное расположение дает дисперсию, удвоенную по сравнению с дисперсией от однокристального спектрометра.
Наконец, важным является результат проверки симметрии функции Р (Р) в данной схеме.
Рассматривая выражение (9.29), мы замечаем, что его преобразование, подобное тому, которое было применено к (9.19), здесь не может быть проведено. Что касается переменной а, то, в соответствии с (9.30), эффективная область ее изменений мала сравнительно с ат, и поэтому мы можем и здесь распространить пределы интегрирования по а до ± оо. Эффект вертикальной расходимости не может здесь быть исключен, так же как и функция J (九一Хо). Однако рассматривая условно работу нашего спектрометра при падении на кристалл А монохроматического пучка лучей с указанной расходимостью (а, ср) и, приняв, что мы можем пренебречь зависимостью от <р, получим
Р (В)七『С (а) С 偉 一 а) da, (9.33)
где опущен множитель пропорциональности. Как показывает внимательное рассмотрение этой формулы, она отличается от (9.23) тем, что, заменяя в ней (§) на (—Р), мы не получим эквивалентного результата. Следовательно, кривая отражения, снятая при вращении кристалла В в схеме (м, п), не обладает паразитной или ин-
Ст^рументальной симметрией относительно точки 0=0 (так же как и относительно любого другого значения §). Это свойство кривых отражения, снятых в схеме (八,八),также имеет принципиальное значение для последующего, хотя и не может быть использовано в рассматриваемой схеме двухкристального спектрометра из-за сильного эффекта дисперсии.
Трехкристальный спектрометр
Впервые идея трех- и многокристальных спектрометров была выдвинута Дю-Мондом [119], который предложил наглядный графический метод анализа свойств подобных приборов. Реннингер [101] использовал этот метод для качественного рассмотрения возможных схем трехкристального спектрометра, построил его и получил с его помощью существенно новый результат: кривую отражения по Брэггу от кальцита с отчетливой асимметрией. Таким образом, была устранена паразитная симметрия кривых отражения, которые получаются при использовании классической схемы (п,——п) двухкристального спектрометра. Полная теория и схема трехкристального прибора были развиты в работе [109] и успешно использованы для получения кривых отражения от Ge и Si.
Схема трехкристального спектрометра приведена на рис. 67. Неподвижные кристаллы 7 и 2 образуют двухкристальный монохроматор 1. Кристалл 3, для которого получают кривую отражения, устанавливается в положение параллельное или антипарал- лельное по отношению к кристаллу II.
Графический метод Дю-Монда заключается в следующем (рис. 68). Значения переменных О и Z, связанных законом Вульфа ——
Мы используем термин «монохроматор» для одного, двух или более кристаллов, с иомощью которых получается пучок, приближающийся к плоской монохроматической волне. Другими словами, монохроматор не только моно- хроматизирует падающее излучение, но м преобразует его, суживая угловую расходимость.
Брэгга, откладываются на двух осях прямоугольной системы координат. Значения X в функции от 8 лежат на прямой линии, наклонной к обеим осям. Фактически, однако, используется не линия, а полоска. Значения ширины этой полоски, взятые параллельно осям 仆 и 九，соответствуют некоторым интервалам углов падения и дисперсии. Двухкристальный спектрометр отвечает наложению двух подобных полосок. При качании кристалла 2 в параллельной установке отвечающий ему график смещается в положительном направлении оси О, и в антипараллельной установке отвечающий второму кристаллу график смещается в противоположном направлении. Зачерненный ромб на пересечении двух полосок в случае схемы (% м), изображенный на рис. 68, соответствует угловому и спектральному интервалам пучка, который образуется в результате последовательного отражения от двух неподвижных кристаллов 7 и 2, составляющих двухкристальный монохроматор. Более широкая полоса 3 показывает область отражения кристалла 3, который поворачивается во время измерения кривой отражения.
Этот метод позволил Реннингеру выбрать принципиальную схему для трехкристального прибора. Существенным моментом в схеме Реннингера является правильный выбор устройства двухкристального монохроматора. В изложенной выше теории двухкристального спектрометра было указано, что из-за отсутствия дисперсии полуширина максимума при (% —忆)расположении несравненно меньше, чем при расположении (几,％). Однако параллельное рас> положение характеризуется значительным вкладом в образование максимума сравнительно широкого интервала длин волн при каждом данном значении § или при каждом положении кристалла 2. Очевидно поэтому, что, используя подобный луч в качестве зонда для получения кривой отражения от кристалла 3, мы получим развертку по спектральному интервалу, заключенному в падающем луче.
Наоборот, согласно оценке (9.32), в каждом данном положении второго кристалла в схеме (п, п) в отражении принимают участие составляющие спектрального интервала примерно на два порядка меньше, чем в схеме (% —/г),
Выяснение возможностей и количественных характеристик трехкристального спектрометра было достигнуто разработкой более строгой теории этого метода, изложенной в работе [109]. Построение теории близко к изложенной теории двухкристального спектрометра.
Условия, которые должны выполняться, следующие:
кристаллы устанавливаются так, чтобы нормали к их входным граням лежали в общей плоскости;
кристаллы имеют совершенную структуру, так что их функции отражения отвечают динамической теории;
рассматривается симметричное отражение от всех трех кристаллов. В таком случае, используя расположение (% м) в монохроматоре (или для первых двух кристаллов (рис. 67)), на основе рассуждений, которые были приведены при выводе формулы (9.45), получим
尸(土丫) = g,G(a, ^JiK^^C^-^^tg^^
_ （九一九0）像）：]d[-a _ -^联tg通—
一仇一九0）一仇一九0）(雾):]Co [± (丫 _ a) - }92 tg / —
一仇一九0）
一仇一九0）
(9.34)(9.34)——（九——九0）
(9.34)
(9.34)
Здесь угол т представляет отклонение исследуемого кристалла 3 от начального положения, и знаки «±» отвечают положениям ан- типараллельному и параллельному кристалла 3 относительно 2 соответственно. Символы этих схем по предложению Реннингера имеют вид (п1? п2, м3) и (п1? м2, —п3).
& =02 三00,& =02 三00,Для упрощения общего выражения (9.34) введем допущения
& =02 三00,
& =02 三00,
(9.35)
(9.36)(9.37)(9.36)(9.37)Сз = Ci, ©з 三令 1，
(9.36)
(9.37)
(9.36)
(9.37)
G (а, ср)=仇(a) & (屮)・
Функции J (九 —— 九о) и G] (а) изменяются незначительно в пределах угловых координат, отвечающих динамическим максимумам & и Со. Поэтому они могут быть вынесены за знак интеграла и пределы интегрирования по переменным 九 и а могут быть расширены до 干 оо. Введем новые функции
乃=將"，少=屮]/瞿上，
2m = <Pm/^・(9.38)
Если обозначить значения дисперсии для кристаллов 7 и 2 через Dq и кристалла 3 — через £\ и использовать формулу Вульфа — Брэгга, то можно написать
(9.39)(9.39)Di — / Н9〃 а8)о — do cos仇 —tg仇 京一I瓦/0 / [瓦/0 一 di cos 仇 一 tg 小
(9.39)
(9.39)
Далее
(九一九。)儀)： = В，"觞)隱卜碓(9・4。)
Принимая 令。》*&i，получаем О V 乃 & 1. Наконец, введем
/=一少2 一 3.(9.41)
Уравнение (9.34) принимает вид
4n 8 ОО
p(土丫) = / S \ \ G・2(屮)Co(a + %)Co(—a + 力)X
—屮 —oo —oo
X & [土 (丫 + a) + kx] dx da d屮.(9.42)
Так как 仇(ф) не зависит от а 瓜 力，уравнение (9.42) может быть представлено
尸(土丫)= /5Р(±Т),(9.43)
5= \ G2 仲)d屮，(9.44)
рг (土 丫)= " r (a + 优)e0(- a + 力) g (士 丫士 a + kx) da dx,
(9.45) Существенный результат (9.43), (9.44), (9.45) заключается в том, что форма кривой отражения, снятой на трехкристальном спектрометре, при сделанных допущениях не зависит от вертикальной расходимости падающего пучка [функции С2 仲)].Для дальнейшего анализа полученных соотношений введем новую переменную
у = 士 a + 乃力，(9.46)
откуда
a+/=±沙+力(1干初一a+力=干沙+力(1 士乃)，(9.47)
и (9.45) преобразуется
Р(土丫)= “ CQ[y +х^ —к^С^—у + х^ + 期]X
X & (土丫 + у) &况 dy.(9.48)
Интегрирование может быть произведено отдельно, и мы получаем две функции
8
Р (士丫)= \ G (土丫 + 汾 U @)1 dy,(9.49)
卩®)= f CQ[y + x(i—k)]Co[—y + x(i+k)]dx, (9.50)
при этом (9.50) зависит от свойств двухкрйСталЬного монохроматора. 尸'(土Y)представляет, следовательно, как и в случае двухкристального спектрометра, свертку двух функций: & — функции динамического рассеяния от кристалла 3 и V (у) — функции размывания. Важное свойство функции 尸'(丫) заключается в том, что изменение знака в схеме (忆口 八2, 士 "з) “ает две кривые отражение которые являются зеркально-симметричными. Так как это свойство не зависит от G2 帥)，оно может служить методом проверки установки трехкристального спектрометра. Отсюда следует, что отклонение от зеркальной симметрии должно служить указанием на различие (например, степени совершенства) кристаллов, составляющих монохроматор, разумеется, если в остальном установка отвечает соответствующим требованиям.
Другое важное свойство прибора — соотношение между полушириной кривой отражения, полученной на этой установке, и полушириной динамического максимума кристалла 3. Исследуем функцию V (у), представленную в (9.50), при различных возможных значениях к.
Для к = 1 имеем
Vi (у)=弋 &)(，)&)(—у+ 2/)d/ = pCo 仅)，
(9.51)(9.51)р — \ Со (— У + 2%) d/ = \ & (2力)dx.
(9.51)
(9.51)
Отсюда следует, что полуширина функции У2 (у) равна полуширине Со (у):
缈匕=Wq.(9.52)
С другой стороны, при к = 0
几匂)=f Со (у + х)С0(—у + х) & =
=\ & (z) С()(z — 2у) dz.(9.53)
Последняя справа форма функции Р。(у) соответствует параллельному расположению (п, —м), но в «половинном» масштабе. Если полуширина при параллельном расположении составляет 力兀, то
(9.54)(9.54)约 % = 1/2 "^■
(9.54)
(9.54)
Аппроксимируя функцию С гауссовой кривой ошибок, мы получим w0 — 2-1/2 wn q 0,71iTn. В таком случае пределы изменения полуширины функции wy в интервале изменения величины к
(9.55)(9.55)будут
(9.55)
(9.55)
0,50 比兀 < 〃v = 0,71 比兀.
Величина wy дает нам оценку углового расхождения луча, выходящего из двухкристального монохроматора и используемого в качестве зонда для получения кривой отражения от кристалла 3. Эта величина на графике Дю-Монда (рис. 68) соответствует ширине по оси ® зачерненного ромба, полученного при пересечении «полосок» от кристаллов 7 и 2 при их антипараллельном расположении. Реннингер [101] оценил величину wy из подобного графика, как 2/3恭兀，т. е. в полном согласии с условием (9.55).
Для вычисления полуширины кривой отражения, получаемой на трехкристальном спектрометре, мы можем использовать ту же аппроксимацию гауссовой кривой для функции С\. В таком случае можно получить следующее соотношение:
炉=必+；1(1+胪)， (9.56)
где iv, г/;】и Wq обозначают значения полуширины кривых отражения и функций С\ и Со соответственно.
Нетрудно видеть, что, согласно (9.56), наилучшее приближение к динамической кривой от исследуемого кристалла 3 достигается при использовании отражения высокого порядка, дающего острый максимум в монохроматоре, и отражения первого порядка от исследуемого кристалла. Так, в [120] авторы использовали схему (3,3,1), причем монохроматор состоял из двух монокристаллов Si и исследовался кристалл Ge при отражении 111 (излучение СиКа). В этом эксперименте значения величин 1Vl 且 к составляли 8" и 0,24 соответственно. Используя ш0 弋 1,89", получаем
比=卜：+ 尊(1 + 0,06)]1/2 q 8,06〃 q 8,Г.(9.57)
Таким образом, трехкристальный спектрометр при надлежащем выборе отражений позволяет получить кривую отражения, которая по форме практически совпадает с истинным профилем динамического максимума, в особенности, если учесть, что этот прибор не искажает истинную кривую из-за «паразитной» симметрии [121].
Рассматривая далее различные частные соотношения между тремя кристаллами, образующими спектрометр, можно получить основные характеристики ожидаемых кривых отражения и прежде всего — значения полуширины.
Наконец, аналогично двухкристальному спектрометру, в случае трехкристального прибора величина R (0) в частном случае (八и 〃2, 土 〃з) определяется из формулы
Со (а + 力)Со(—а 十片)6 (± Т ± а + 4%) da dx
必口 (0)=1.(9.58)
Co (ot + ж) Co (— ot + ①)dot dx
В первой работе с использованием трехкристального спектрометра, выполненной Реннингером [101], в качестве монохроматора были взяты монокристаллы кальцита. Исследовалась кривая отражения также от кальцита в схемах (2,2, 土 1). При расчете теоретических кривых было принято, что после отражения по схеме (2, ± 2) в монохроматоре пучок, падающий на кристалл 3 имеет с-компоненту интенсивности 〜85% и л-компоненту 〜15%. Несмотря на существенное различие профилей теоретической и экспериментальной кривых, значения интегральных отражений, пропорциональных площади, ограниченной кривой, весьма близки:
А： = 37,7 /ОТ Е； = 36,5 ЛОЛ
Близость этих величин свидетельствует о том, что при отражении рентгеновских лучей от почти совершенных кристаллов значение интегрального отражения слабо зависит от степени отклонения от идеальной структуры.
Наконец, в начале 1968 г. была опубликована работа японских авторов [114], в которой принцип трех- (и четырех-)кристаль- ного спектрометра успешно совмещен с асимметричной съемкой. Замечания о результатах, полученных этими авторами, приводится ниже.
Другие типы спектрометров и монохроматоров
Двойные спектрометры типа Брэгг — Лауэ и Лауэ-Лауэ. Брогрен и Эде л л [108] в своих исследованиях кривых отражения кальцита, кварца, а затем Ge и Si использовали двойные спектрометры по схемам Брэгг—Лауэ и Лауэ—Лауэ (рис. 69). В спектрометре Брэгг ——Лауэ (рис. 69, а) используется в кристалле 1 симметричное отражение по Брэггу и в исследуемом кристалле 2 —— симметричное отражение с теми же индексами по Лауэ. Для сопоставления с экспериментальными кривыми отражения эти авторы использовали формулы (9.25) — (9.28), в которых значения функций Со (а) и Сп (а) от кристалла 2 и Q (а — §) и С兀(а — §) от кристалла 2 соответствовали коэффициентам отражения и прохождения в зависимости от выбранной схемы прибора. Так, в случае схемы Брэгг ——Лауэ для кристалла 1 использовались коэффициенты отражения по Брэггу и для кристалла 2 — коэффициенты отражения или прохождения по Лауэ. Хотя использование указанных формул в схемах Брэгг——Лауэ и Лауэ—Лауэ не было обосновано специальным анализом, правомерность такого расчета была подтверждена хорошим совпадением теоретических (т. е. вычисленных указанным путем) и экспериментальных кривых отражения в широкой области спектра. (Вместе с тем следует отметить, что все еще остается неясной теоретическая оценка таких основных характеристик кривых отражения, получаемых в схеме Брэгг ——Лауэ, как наличие или отсутствие «паразитной» симмет-
22Рис. 69. Схемы спектрометров и монохроматоров.Рис. 69. Схемы спектрометров и монохроматоров.а — двухкристальный спектрометр по схеме Брэгга — Лауэ; б — двухкристальный спектрометр по схеме Лауэ — Лауэ с использованием эффекта Бормана; в — монохроматор с асимметричным отражением по Брэггу
2
2
Рис. 69. Схемы спектрометров и монохроматоров.
Рис. 69. Схемы спектрометров и монохроматоров.
рии и соотношения между полушириной динамического максимума и кривой отражения.)
Схема монохроматора с отражением по Лауэ для изучения кривых отражения, разделения волновых полей в кристалле и интерференционных эффектов при динамическом рассеянии использовалась, начиная с 1961г., Отье и его сотрудниками [16, 117]. Характерной чертой этого монохроматора (рис. 69, б) является использование эффекта Бормана. Как отмечалось в гл. 5, при прохождении излучения через толстый кристалл происходит сильное сужение волнового фронта, а следовательно, уменьшение расходимости выходящих, отраженного и прошедшего, пучков.
Спектрометры с использованием асимметричной съемки по Брэггу, Зависимость угловой ширины области II полного отражения по Брэггу от угла падения 屮。или скользящего угла падения соо = —(冗/2)—《° =(冗/2) — (® — ср), рассмотрена в 7.1. Варьируя угол ср между входной поверхностью кристалла и отражающей плоскостью, что может быть сделано шлифовкой (и последующей обработкой) входной поверхности, можно существенно изменить угловую расходимость пучка, отраженного в пределах области II максимума. Согласно (7.43), эта угловая ширина выражается формулой
= Ms /sin(ол =必D。， ь =:器+ •(059)
Таким образом, для получения отраженного пучка с ничтожной угловой расходимостью необходимо использовать возможно малый скользящий угол падения.
Весьма наглядной иллюстрацией к соотношениям (9.59) являются кривые отражения 111 излучения СиКа от Ge, полученные Бубаковой [112]. В этой работе был использован трехкристальный спектрометр, описанный выше. Кривые отражения, представленные на рис. 70, были сняты при трех различных углах падения о)о (соответственно, трех значениях ср). Средняя кривая 1 отвечает симметричному отражению, левая 2 ——скользящему падению при 屮；=心一со。= + 4,5° и правая 3 — значению 屮=合一 —(d0 = —4,5°. Соответственно, левая кривая имеет полуширину меньшую и правая большую, чем средняя.
Рис. 70. Кривые отражения 111 СиКа от Ge, полученные при различных углах падения
Реннингер [111] рассмотрел ряд схем двухкристальных спектрометров с комбинацией либо асимметричного отражения от обоих кристаллов, либо асимметричного отражения от одного и симметричного отражения от другого кристалла. Он показал, что при асимметричном отражении от обоих кристаллов с параллельным расположением отражающих плоскостей достигаются как значительное сужение угловой ширины кривой отражения, так и большое увеличение интенсивности по сравнению с трехкристальной схемой. Однако полученная при этом кривая свертки обладает «паразитной» симметрией, как и в классическом двухкристальном спектрометре. В отличие от этого, двухкристальный спектрометр с асимметричным отражением от кристалла 1 и симметричным отражением от кристалла 2 (исследуемого) свободен от указанного недостатка.
Асимметричное отражение от одного кристалла было успешно использовано Баттерманом и Хильдебрандтом [116] для получения пучка с угловой расходимостью 〜0,4" и шириной когерентного фронта 〜0,5 мм (рис. 63, 6). Этот пучок направлялся на поверхность тонкой плоскопараллельной пластинки для получения кривой отражения по Брэггу, содержащей побочные максимумы маятникового решения. Диафрагма, установленная между описанным монокристальным монохроматором и отражающей пластинкой, не может обеспечить достаточно полного устранения других пучков, помимо основного (X # Хо). Кроме того, при расширении волнового фронта происходит уменьшение интенсивности отраженных пучков.
Систематические исследования свойств асимметричных монохроматоров или, как их называют авторы, коллиматоров были выполнены на протяжении последних шести лет японскими исследователями Коора, Кикута и их сотрудниками [ИЗ——115, 122]. Общий подход к схемам двух- и трехкристальных коллиматоров изложен в работе [115].
Рассмотрим задачу применительно к двухкристальному монохроматору.
Поскольку в пучках, отраженных монохроматором, наибольший интерес представляет область II полного отражения, рассмат* ривается изменение трех параметров (в наших обозначениях): угловой величины области полного отражения Дт]0, согласно (7.32), и угловых смещений г)0 и 刀拉，падающего и отраженного лучей соответственно, согласно формулам (7.34), (7.35) и (7.39).
Следует сделать оговорку. Так как в цитируемых работах рассматривается отражение от поглощающего кристалла (Си Ка от Si или Ge), то полное отражение в области II максимума не имеет места. Вместе с тем эта область представляет основную часть площади под кривой отражения.
Исходим из выражения для угловой функции ут в форме данной Захариасеном [уравнение (8.89)]. Учитывая далее, что величи
на п уменьшается при возрастании скользящего угла(о, получим
% =—因2 « + 匕)Хог — Ъ^ — со。) sin 20]/С I %hr\ /Г (9.60) Отсюда
со。=仆 + (1 + 尸)А + b~^Byz.(9.61а)
4 =丨％or 1/2sin2也 В ^C\%hr|/2sin20,(9.616)
и, аналогично переходу от (7.34) к (7.39), умножая (оо на Ь, получаем
(^h=r^ + (l + b)A + Byz UK"(9.62)
В выражениях для (оо и со” вторые члены справа дают угловое смещение средней точки максимума относительно угла падения, равного ®. Действительно, согласно (7.34) и (7.39),
По = 4 (4 + L),% = 4 (4 + &).(9.63)
Третьи члены справа в (9.61а) и (9.62) дают угловые «координаты» относительно нового «начала» ——середины максимума ——любой точки, отвечающей данному значению yz. При A^z = 2 получим, согласно (7.32).
АПо = 28/ /К А% - 2В ]/Т (9.64)
Рассмотрим теперь последовательно угловые положения средних точек максимумов т)0 и т)Л и значения х/2 Ат]0 и х/2 厶刀八 при отра- жении от двух кристаллов относительно исходной величины 仆.
Рис. 71. Монохроматор асимметрич-Рис. 71. Монохроматор асимметрич-ного отраженияного отражения
Рис. 71. Монохроматор асимметрич-
Рис. 71. Монохроматор асимметрич-
ного отражения
ного отражения
На кристалл 7 падает пучок с большой угловой расходимостью.
Однако эффективным для получения максимума отражения можно считать асимметричный относительно средней точки максимума со。угловой интервал 2В赏、где &г ——соответствующий параметр для кристалла 1. В этом интервале принимаем интенсивность постоянной. Отраженный от кристалла 7 максимум будет иметь среднюю точку на расстоянии А (1 + 6，от угла 8 и эффективную область для получения отражения от кристалла 2 ——2笈 b".
При рассмотрении отражения от кристалла 2 наиболее существенным является учет не только пучка, отраженного от области 2В &12, который обозначается
через Ei*, но и другого отраженного пучка Ен, который возникает при падении на кристалл 2 фона, не попадающего в упомянутый максимум. Из этого фона эффективным будет угловой интервал 25/6，, средняя точка которого отстоит от ® на величину Л (1 + Ь£), где %2 ——соответствующий параметр для кристалла 2. Пучок Дц будет, очевидно, иметь полуширину 2笈绰'2 и среднюю точку на расстоянии Л (1 + &2) от 也 В результате второй кристалл
отразит два пучка: Е； и 7?ц,
имеющие угловые размеры 2笈坛寸 и 2笈殮 соответственно. Отстояние средней точки максимума Е； от 仆 составляет А (1 + 匕1)匕2・ Таким образом, окончательная кривая отражения после кристалла 2 RiRn будет сверткой двух кривых, смещенных друг относительно друга на величину А (1 —仇仿)，что приводит к образованию второго небольшого максимума и к резкому сниже
нию интенсивности.
Наи лучшим путем устранения этого эффекта является надлежащий поворот второго кристалла, что должно привести к наложению максимумов Е【и 7?ц. Угол поворота должен соответствовать разности между «угловыми координатами», или отклонениями от 6 средних точек максимума, отраженного от кристалла 7, и фона, т. е. величине
(9.65)(9.65)4 (1 + ^1) — 4 (1 + &х) = 2 s7*28 (匀1 — %)•
(9.65)
(9.65)
Для такого поворота используется небольшая упругая деформация тонкой части монокристаллического блока (рис. 71). Далее, так
как величина В, согласно (9.616), будет значительно меньшей для я-компоненты ввиду наличия множителя С, неполная компенсация угла, данного (9.65), приведет к затуханию л-компоненты. Отметим, что трехкристальный спектрометр из несвязанных кристаллов является более универсальным.
Некоторые итоги экспериментальной проверки инамической теории
Исследования кривых отражения. Итоги исследований кривых отражения от более или менее совершенных монокристаллов с использованием спектрометров за период времени до 40—50-х годов изложены в монографиях [6—8]. Здесь мы приведем некоторые результаты исследований, выполненных за последние 15—17 лет. Эти работы были проведены Брогреном с сотрудниками [107, 123—125], Реннингером [101, 110], Бубаковой и др. [112, 120], Отье с сотрудниками [16,117], Баттерманоми Хильдебрантом [116], Коора, Кикута и др. [122, 126]. Брогрен с сотрудниками получали кривые отражения и прохождения от кальцита и кварца (1954 г.), а также от кварца, германия и кремния (1962—1963 гг.) в более широком, чем ранее, спектральном диапазоне. Для получения кривых отражения использовались спектры, полученные главным образом по схеме Брэгг — Лауэ, и, в меньшей степени, по схемам Брэгг ——Брэгг и Лауэ ——Лауэ. Применялось как характеристическое излучение, так и белое от вольфрамового антикатода с кристаллом-монохроматором. Существенным результатом этих исследований было получение кривых отражения и прохождения от кристаллов в широком диапазоне толщин и длин волн. Эти кривые относятся как к К-, так и к L-поглощению, причем их форма в соответствии с теорией, изложенной в гл. 4, определяется только произведением р7. Это можно проиллюстрировать рис. 72, где показаны сходные кривые отражения от кристаллов кальцита разной толщины, полученные в лучах МоКа и AuL §i，с величинами fx^ = 2,6 и 2,1. Отметим также характерную форму кривых прохождения, обнаруживающих наличие эффекта Бормана (рис. 72, Б). При обсуждении результатов авторы сопоставляли экспериментальные и рассчитанные (для кривой свертки) параметры полученных кривых: полуширину, Emax, Tmax и их отношение, интегральные величины R», 7\ и смещения максимумов R от максимумов Т для толстых и от минимумов Т для тонких образцов (рис. 73). В ряде случаев теоретические данные не могли были получены.
Представляют интерес установленные в этих работах скачки значений полуширины, коэффициента и интегральной величины отражения на краях поглощения. Эти скачки более резко выражены при отражении по Лауэ, чем по Брэггу. Как показали Кол и Стемпл [100], отражение по Брэггу от мозаичного кристалла сопровождается более сильным скачком на крае поглощения, чем
при динамическом рассеянии. Это различие можно использовать для контроля степени совершенства кристаллических образцов (см. также [127]).
Систематическую экспериментальную проверку динамической теории в случае отражения и прохождения по Брэггу от Ge выполнил Бонзе [89]. Он использовал классический двухкристальный спектрометр по схеме (〃, —п). Представляют интерес результаты измерений, полученные этим автором, величины прохождения Тв- Используя машинный счет, он подбирал значения Хм для отражений 444 и 333, при которых теоретическая кривая по формуле свертки (9.26) для Т (0) наилучшим образом совпадает с экспериментальной (рис. 74). При расчете величины С (а — 0) бра-
Рис. 72. Кривые отражения и прохождения 211
Излучение Au L& ⑷ от кальцита толщиной 0,34 мм (схема съемки Лауэ— Лауэ) и МоК% (Б) от кальцита толщиной 0,91 мм (схема съемки Брэгга— Лауэ): а — теоретические кривые; б — экспериментальные кривые; 1 — кривые прохождения; 2 — кривые отражения
лись по формуле (8.98) для Тв- Им получены значения отношений Xh/Xoi，равные 0,61 для 333 и 0,73 для 444.
Следует отметить, что сходимость экспериментальных и теоретических значений таких параметров, как полуширина и высота максимума кривых отражения в работах Брогрена и Бонзе определяется во многих случаях величинами порядка 10—15%. В некоторых случаях экспериментальные значения оказывались выше теоретических.
В работах Бубаковой [112] и Бубаковой, Драгокоупила и Фин- герланда [109, 120], а в самое последнее время ——Коора и Кикута [122, 126] была решена более специальная задача получения кривых отражения, возможно более близких к динамическому максимуму от одного кристалла. Решение было достигнуто применением трехкристальных спектрометров. Приведем здесь результаты, по-
Рис. 73. Измеренце параметров отражения и прохождения для рефлекса 220 Ge а — коэффициенты отражения в случае Брэгга; б — разрешающая сила в случае Брэгга; в ——коэффициенты отражения и прохождения в случае Лауэ; а — интегральные значения отражения и прохождения в случае Лауэ
лученные в работе [126]. Автор поставил перед собой задачу определения структурных и атомных амплитуд из параметров кривых отражения по Брэггу. Были получены кривые отражений 422 и 333 излучения СиКа от Si. Использовалось излучение, прошедшее через двухкристальный монохроматор с компенсацией эффекта преломления, описанной в 9.4. Расходимость такого пучка составляла 0,10". Наибольший интерес представляют результаты, относящиеся к параметрам кривой отражения 422. Экспериментальная кривая отражения, средняя из тринадцати экс-
Рис. 74. Сопоставление экспериментальной и теоретической кривых прохождения в случае Брэгга (Ge, излучение СиКа)
а — отражение 333, t = 60 мк; б ——отражение 444,力—80 九冗；сплошная кривая ——теоретическая, пунктирная ——экспериментальная
периментов, имеет полуширину 2,963" 土 0,011" и отличается от полуширины кривой, вычисленной по формуле свертки для трехкристального спектрометра, 2,959〃 на 0,2%, в то время как полуширина динамического максимума для одного кристалла 2,931." отличается от экспериментальной величины на 1,5%. Хорошая сходимость достигнута для максимального отражения: экспериментальное значение — 93, теоретическое — 94,5%.
Исследования интерференционных эффектов маятникового решения. Начиная с работы Като и Ланга [23], было выполнено значительное число исследований, в которых удалось реализовать и более или менее детально изучить как линии равной толщины, так и побочные максимумы маятникового решения. Благодаря работам Като с сотрудниками весьма обстоятельно изучены рентгенограммы с гиперболами, связанные с интерференционным эффектом при падении сферической вакуумной волны. В гл. 6 подобные секционные снимки подробно описаны в связи с теорией, развитой Като. Физические условия рассеяния, приводящие к интерференционным эффектам при сферической, а затем при плоской падающей волне, наглядно показаны в работе Харта и Милна [128] (рис. 75).
Тонкий пучок рентгеновских лучей в форме ножа без прохождения через монохроматоры падает на клин, составляющий часть
монокристаллического блока кремния. Проходя через клин при симметричном отражении, падающее излучение образует секционный снимок с гиперболами, который фиксируется на фотопластинке, укрепленной в положении 1. Если удалить фотопластинку, то рентгеновские пучки проникают в толстую плоскопараллельную пластинку, составляющую другую часть того же монокристаллического блока. После прохождения через толстую пластинку волновое поле с гиперболическими максимумами претерпевает существенное изменение как в геометрии, так и в интенсивности отдельных волн. Вследствие сужения угловой расходимости проходящих пучков каждая точка гиперболы представляет почти плоскую волну со своим значением угловой функции у. В результате вступают в силу соотношения, действительные для прибли жения плоской падающей волны вместо прежней, сферической волны.
Отличия обеих интерференционных картин сводятся в основном к следующему:
абсолютные положения полос плоской волны смещены относительно полос сферической волны на 1/4 периода по направлению к выходной грани [ср. (6.57) и (6.54)];
в средней точке гиперболы, т. е. в направлении, параллельном отражающей плоскости, на достаточной глубине периоды обеих картин почти одинаковы;
в то время как для плоской волны периоды уменьшаются с увеличением | у | внутри максимума, для сферической волны периоды возрастают; это объясняет обращение гипербол на картине плоской волны;
периоды обеих картин (для каждого данного значения у) слегка различаются, так как эффект модуляции картин сферической волны, связанный с интерференцией о- и л-колебаний, пропадает ввиду поглощения л-слагающей в толстой пластинке (рис. 76). Эта интерпретация носит качественный характер и требует проверки на основе обобщенной теории.
Определение абсолютных значений атомных амплитуд. Большая серия работ, выполненных на протяжении последних семи пет, посвящена абсолютным определениям атомных амплитуд рассеяния с помощью рентгенограмм с гиперболическими полосами маятникового решения. Эти работы выполнены по преимуществу Като и его сотрудниками.
Метод, основанный на измерении периодов Лл интерференционных картин маятникового решения, противопоставляется методу определения структурных амплитуд из измеренных интенсивностей рассеяния от порошков. Необходимость учета вторичной экстинкции при рассеянии от порошков является источником ошибок, снижающих надежность и точность определений. От этих ошибок свободен метод измерений геометрии интерференционных картин от монокристаллов. Однако этот последний метод не может быть универсальным ввиду ограниченного числа кристаллических
веществ, которые могут быть получены в виде совершенных монокристаллов.
Вместе с тем возможность сопоставления результатов двух принципиально различных методов следует рассматривать с точки зрения точной количественной проверки динамической теории и контроля степени совершенства какой-либо кристаллической структуры.
Определение атомных амплитуд из интерференционных картин производилось с использованием клина, как это изложено в гл. 6. Однако непосредственное применение формул типа (6.76) и (6.77) затруднительно, так как геометрический фактор ①拉 при необходимости учета возможности отклонения от простейшей геометрии эксперимента требует специального исследования. В связи с этим Като [86, 129, 130] еще с 1967 г. разработал такую методику эксперимента, при которой один и тот же образец кристаллического клина используется последовательно сначала для получения секционного снимка с гиперболическими максимумами, а затем для определения х0 и Fo с помощью интерферограмм. Эти последние получаются внесением клина на пути одного из двух когерентных
Рис. 75. Схема эксперимента для получения интерфер енционных полос, отвечающих пацающей сферической (плоскость 7) и плоской волнам (плоскость 2)
Рис. 76. Изображение интерференци - онных полос, отвечающих плоской падающей (〃)и сферической волнам (6)
Цифры обозначают номера максимумов
пучков в интерферометре, описанном в гл. 10. Прохождение рентгеновского пучка через клин при падении за пределами максимума влечет за собой возникновение периодически изменяющейся разности хода между когерентными волнами и образование интерференционной картины, период которой Л.о, аналогично АЛ в (6.76), определяется формулой
Ao = *<Do,(9.66)
где Фо — геометрический фактор, аналогичный ФЛ.
Переходя от %拉 и %° к Fh и FQ, заметим, что если схема эксперимента такова, что переход от секционного снимка к интерферограмме выполняется минимальным и вполне определенным числом операций, то для отношения величин двух структурных амплитуд можно написать:
Q =(9.67) го 2 cos v 5Фо
Таким путем достигается возможность более точного учета источников ошибок при определении геометрического фактора.
Здесь мы изложим в кратких чертах содержание последней работы Танемура и Като [130], посвященной определению абсолютных значений амплитуд Fh для Si. Для юстировки кристаллического клина при получении снимков обоих названных типов был изготовлен специальный двухкристальный спектрометр, в котором клин устанавливался в положение В в схеме (п, — п) на рис. 66. Оба кристалла в спектрометре могли перемещаться. Интерферометр был определенным образом связан с кристаллом А. Весь эксперимент проводился следующим образом. Сначала кристаллический клин устанавливался в отражающее положение по отношению к падаюгцему пучку. Использовались симметричные отражения AgKa】 излучения. В этом положении клина производилась съемка секционной рентгенограммы с гиперболами. Затем клин поворачивался на угол 9 и смещался параллельно входной грани на небольшую величину, составляющую половину ширины соответствующего пучка в интерферометре. Затем интерферометр ставился в такое положение, чтобы клин попадал точно на пути одного из пучков, падающего нормально к входной грани. В этой установке клина получался снимок интерферограммы (рис. 77). Наконец, клин убирался и получался снимок картины муара, свойственной интерферометру и обязанной наличию нарушений структуры в отдельных частях этого прибора (см. 10.3).
При расчете интерферограммы было принято, что наблюдаемый период Лг простейшим образом связан с периодом А。и периодом картины муара Л^:
Л；1 = Ло1 + лг1 (9.68) ввиду сложения сдвигов фаз фг = Фо + Фг-
Рис. 78. Схема, поясняющая связь между картиной гипербол в кристалле и на секционном снимкеРис. 78. Схема, поясняющая связь между картиной гипербол в кристалле и на секционном снимке
Рис. 78. Схема, поясняющая связь между картиной гипербол в кристалле и на секционном снимке
Рис. 78. Схема, поясняющая связь между картиной гипербол в кристалле и на секционном снимке
При расчете секционных снимков авторы исходили из схемы, показанной на рис. 78, в которой поясняются пространственные соотношения между дифракционной картиной на боковой поверхности клина А (см. также рис. 45, а) и на фотопластинке, установленной перпендикулярно к дифрагированному пучку. Необходимо учесть деформацию картины при переходе от грани А к выходной грани клина (см. рис. 45, б), а также нарушения строгой установки фотопластинки, а именно, отклонение действительной биссектрисы секционного снимка у от проекции 刀 линии р и угол 丫 между отвесной прямой и границей снимка WfRf.
Рис. 77. Фотография интерференционных полос от клина, полученная с помощью интерферометра по схеме Лауэ
а - пучок 办£)； 6 ——пучок 彩俨
В таком случае для геометрического фактора ①拉 можно написать:
Ау Ат) АгАу Ат) Аг—Arf Аг Др '—Arf Аг Др '33① h ^ c°s®/2)①。 J COS 3① h ^ c°s®/2)①。 J COS 3(9.69)(9.69)
Ау Ат) Аг
Ау Ат) Аг
—Arf Аг Др '
—Arf Аг Др '
3
3
① h ^ c°s®/2)
①。 J COS 3
① h ^ c°s®/2)
①。 J COS 3
(9.69)
(9.69)
где co ——угол при вершине секционного снимка. Выражение (9.69) получено в результате анализа и исключения возможного влияния ряда источников ошибок, таких, как угол 丫, отклонение от строго симметричного отражения и отклонение плоскости снимка от вертикальной. Кроме этих ошибок, были подвергнуты тщательному рассмотрению другие неточности эксперимента и основные источники ошибок при расчете теоретических значений параметров. Здесь можно отметить: 1) неточность в установке фотопластинки и непостоянство расстояния образец — фотопластинка как при изменении угла (переход к другим отражениям), так и при переходе от секционного снимка к интерферограмме; 2) поправки на температурный ход множителя Дебая —— Валлера, на дисперсию (А/'), на преломление в воздухе для Fo и на рассеяние на ядрах для отражений высших порядков.
Итогом этого анализа, а также некоторых контрольных экспериментов и измерений была следующая оценка точности полученных значений атомных амплитуд рассеяния. Максимальные отклонения в сериях определений / для отражений 111, 220, 333, 440, 444 от 0,34% для 333 до 0,03% для 444. Вероятные ошибки измерений для первых четырех отражений 0,02; 0,01; 0,04 и 0,03% соответственно. Значения атомных амплитуд рассеяния I / I кремния, согласно новейшим определениям различных авторов, представлены ниже.
Отражение
111
220
333
440
444
Танемура, Като [130] Гетлихер, Вельфель [134]
Харт,Милн[131],[132]
10,664
10,72
8,46з
8,45
8,478 (Мо)
8,448 (Ag)
8,487 (Мо)
8,494 (Ag)
5,84з
5,90
5,408
5,36
4仙
4,18
В работах Харта и Милна [131, 132] были также выполнены тщательные определения атомных амплитуд для отражения 220 излучений МоХа и AgKa от кремния. В работе [131] были использованы секционные снимки и особое внимание было обращено на устранение влияния деформаций и дефектов в структуре образца. В работе [132] авторы регистрировали интерференционную картину, возникающую при последовательном прохождении
двух пластин (из одного блока) и воздушного зазора между ними. Теорию этого метода, представляющего интерес при исследовании деформированных кристаллов, разработали Отье, Милн и Соваж [133]. Различие в значениях атомных амплитуд, полученных в работах [131, 132] при использовании двух различных излучений, авторы приписывают различиям в значениях дисперсионного члена Д/'.
Наконец, значения атомных амплитуд получены Гетлихером и Вэльфелем [134] из измерений интенсивности рассеяния в порошках и находятся в ряду лучших определений такого рода. Эти данные пересчитаны на излучение AgKa「Добавим, что в работе Кикута [126] значение / = 6,71 土 0,01 для отражения 422 было определено из полуширины кривой отражения по Брэггу. Хорошая сходимость величин^ полученных различными авторами, особенно относится к /220, здесь расхождения 0,2% и менее. Существенно также подчеркнуть, что авторы [130] не считают возможным приводить какие-либо теоретические значения атомных амплитуд ввиду их недостаточной точности.
Рис. 79. Схема опыта Отье и Мальгранж
а •— прохождение пучка через тонкую часть клина и образование полос маятникового решения постоянной толщины;
б ——прохождение пучка через толстую часть клина и разделение волновых полей, возникших в кристалле
В работе Мальгранж и Отье [135] в одном эксперименте были реализованы две разные области рассеяния в смысле соотношения между шириной фронта падающей плоской волны и толщиной кристаллической пластинки. Авторы использовали монохроматор, основанный на эффекте Бормана (см. рис. 69). Рентгеновский пучок с сечением в форме ленты падал на кристаллически й клин из Si таким образом, что пучок покрывал как толстую, так и тонкую части клина (рис. 79). В тонкой части клина (толщина 〜 50 мкм) происходило перекрытие волновых полей и образование интерференционной картины, теория которого дана в 3.4. Исследовалось отражение 220 в лучах МоКа. Расчет периода Л был основан на формуле (3.108) при y/q cos 卩.В таком случае
a =入(丫疗 j I 1 tg 卩/r+7Г，
Рис. 80. Фотографии, полученные в работе О1ье и Мальгранж
Левая часть соответствует прохождению через тонкую часть клина и содержит полосы постоянной толщины; правая часть соответствует прохождению через толстую часть клина; полоски а и b соответствуют двум волнам в кристалле
Подставляя (丫оТ九)％ = 0,983, у а 0,6, tg 卩=0,21 и | %л | ж ^2,04 • 10^6, получаем А = 140 мкм при экспериментальной величине 132 мкм.
В толстой части клина происходило разделение двух полей. Для определения расстояния между участками обоих полей на выходной грани можно использовать формулу (5.276) для углов £2 (р) и Е](——д), образуемых векторами 6(汾 и 6°)с биссектрисой / угла 2。между s° и s九.Использование формулы (5.276), выведенной для симметричного отражения, оправдывается близостью отношения 丫拉/丫о к 1 в данном эксперименте. Итак,
tg^(У) = tg 电(一 у)=君^ = °，404・
Это расхождение векторов S⑴ на выходной границе пластинки толщиной 0,6 мм составляет 120 мкм и на рис. 80 (с увеличением X 38) величину 〜 5 мм. '
Рис. 81. Кривые отражения (а) и прохождения (6) с побочными максимумами маятникового решения (случай Лауэ)
Если в описанном исследовании наблюдались линии равной толщины, то в другой работе Лефельд-Сосновской и Мальгранж [117] были получены побочные максимумы маятникового решения от почти плоскопаралельной пластинки кремния в лучах СиКа и AgKa. Исследовалось отражение 220. Использовался монохроматор того же типа, что и в работе Отье и Мальгранж. Кривые отражения и прохождения по Лауэ с побочными максимумами были получены от пластинок толщиной от 47 до 13 мк. Такие пластинки представляли донья ямок, вытравленных в монокристалле,
Рис. 82. Схема образования побочных максимумов в случае Брэгга
благодаря чему обладали достаточной жесткостью в ходе эксперимента. Как можно видеть из рис. 81, полученные кривые отражения и прохождения обладали достаточным разрешением, причем угловые расходимости максимумов находились в согласии с теорией. Вместе с тем обращает на себя внимание недостаточный контраст дифракционной картины. Сильный диффузный фон может быть связан как с неоднородностью пластинки по толщине, так и с влиянием щелевой диафрагмы, установленной между кристаллом-монохроматором и исследуемым образцом. Влияние диафрагмы анализируется в работе.
Аналогичные результаты были получены при отражении по Брэггу в работе [116]. Используя описанный выше однокристальный монохроматор с асимметричным отражением по Брэггу, ав-
Рис. 83. Кривая отражения по Брэггу, содержащая побочные максимумы (Si, % = 13,6 мк, 333, GuAd)
— линия фона;
——линия фона и интенсивности;
——линия интенсивности за вычетом фона
торы получили кривую отражения от тонкой плоскопараллельной пластинки. Как ясно из рис. 82 [см. уравнения (7.46) —(7.48)], интерференция в пластинке возникает между вторым полем, идущим сверху, и первым полем, отраженным от нижней грани. Условием перекрытия этих полей является достаточная ширина фронта падающей волны. На экспериментальной кривой (рис. 83)
наблюдаются Максимумы, положения которых находятся в соответствии с теорией [см. уравнения (8.39) и (8.72)]. Однако и здесь, как и в работе [117], контраст является очень слабым, что объясняется теми же причинами.
Заканчивая краткий обзор экспериментальных исследований, в которых ставилась задача количественной проверки теории, следует сделать три замечания.
Проверка теории в приближении падающей сферической волны достигла достаточно высокого экспериментального уровня, однако важный параметр рассеяния, а именно, ширина входной щели или фронта падающей волны, пока остается полностью неизученном.
Проверка теории в приближении плоской падающей волны развивается несравненно медленнее, что связано с отставанием в разработке монохроматоров и трудностями приготовления образцов для исследований в области малых и средних значений 卩力.
Наконец； сопоставление с теорией результатов прецизионных определений затруднительно ввиду отсутствия точных методов расчета тепловых параметров и параметров рассеяния и поглощения на отдельных атомах.
Глава，0
РЕНТГЕНОВСКАЯ ИНТЕРФЕРОМЕТРИЯ.
КАРТИНЫ МУАРА
ПРИ ДИФРАКЦИИ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ
• Рентгеновская интерферометрия является замечательным достижением современной экспериментальной физики. Действительно, подобные интерферометры позволили реализовать возможность абсолютных измерений длин с точностью порядка ангстрема. В первых же экспериментах с таким прибором было обнаружено явление муара при рентгеновской дифракции, которое является, по-видимому, самым чувствительным методом регистрации и точных измерений нарушений идеальной структуры кристаллов. В отличие от оптических интерферометров, в рентгеновских приборах для разделения и отклонения когерентных пучков используется дифракция. Явление преломления в линзах не может дать надлежащего эффекта ввиду ничтожной величины разности (1 — п) для рентгеновских лучей.
Фундаментальная трудность, возникающая при создании рентгеновского интерферометра, это — необходимость обеспечить с точностью до долей ангстрема заданную разность хода двух когерентных пучков. Эта трудность была преодолена использованием одного монокристаллического блока высокосовершенного кристалла Si и кварца для изготовления всего прибора.
Рентгеновские интерферометры могут различаться в зависимости от используемого типа отражений. Соответственно могут быть интерферометры по Лауэ, по Брэггу и смешанного типа. Наибольшее значение до сих пор приобрел интерферометр по Лауэ.
Рентгеновские интерферометры
Интерферометр по Лауэ был описан Бонзе и Хартом в 1965 г. [28]. Схематический план прибора дает рис. 84. S, М и А ——пластинки, перпендикулярные общему основанию, изготовленные из одного монокристаллического блока кремния. Пучок рентгеновских лучей D^} падает на разделитель 5, после которого прошедший и дифрагированный пучки 0^ и О? «преломляются» путем дифракции в зеркалах М1 и Мп. Дифрагированные пучки 苏 и 勿計 рекомбинируют в кристалле-анализаторе А. В результате образуются два выходящих из интерферометра пучка О『)и
夕父).Используя достаточно толстые пластинки S, М и А (отражение 220 СиКа), авторы уменьшили число действующих волновых полей в кристаллах и обеспечили применимость приближения плоской падающей волны. Несколько позже [136, 137] хорошие результаты при пониженном контрасте были получены на интерферометре по Лауэ в режиме прозрачного кристалла.
В теории прибора Бонзе и Харта [28J используются соотно
Рис. 84. Схема иитсрферомегра с отражением по ЛауэРис. 84. Схема иитсрферомегра с отражением по Лауэшения, относящиеся к прозрачному кристаллу, но применительно к пластинкам 5 и М учитывается лишь второе поле. В работе [138] Бонзе и Те-Каат рассмотрели интерференционные эффекты в приборе, возникающие при расфокусировке.
Рис. 84. Схема иитсрферомегра с отражением по Лауэ
Рис. 84. Схема иитсрферомегра с отражением по Лауэ
Здесь будем придерживаться следующих обозначений. Наряду с амплитудами D будем рассматривать волновые функции
Волны в воздушных промежутках снабжаются дополнительной цифрой I или II сверху, номером пути в интерферометре. Волны внутри кристаллов имеют номер волнового поля (арабские цифры) внизу и наимено-
вание кристалла и номер пути номер волнового поля такжевание кристалла и номер пути номер волнового поля такжесверху. Волновые векторы имеют внизу, а величины 6 — номер
вание кристалла и номер пути номер волнового поля также
вание кристалла и номер пути номер волнового поля также
сверху.
Очевидно, что на всех границах кристалл ——вакуум (воздух) используются пограничные условия для волновых векторов типа (3.1) для каждого из полей и для проходящей и дифрагированной волн отдельно:
(10.1)(10.1)衣俨一战1 = K^nQ, r俨一乃。? = K^n„ k俨一琢 1 = К3⑴'九。, R俨 一 kh2 - K^yn..
(10.1)
(10.1)
Используя стандартные пограничные условия для волновых функций типа (3.29), а также (3.50) на входных и выходных гранях кристаллов S, М, Л, которые мы не будем здесь приводить, выпишем значения амплитуд, которые определяются из этих условий (индекс I относится к входным поверхностям, индекс и —— к выходным).
Из условий на поверхности S/ (гп0) = 0 [см. (3.51) и (3.52)] получаем
呢П圆）号r，或-0俨"•（S2）
Из условий на поверхности Su (rn0)=力s
加=國)"飞^P {2mK^tsl
⑴(2)仕°・3)
加'=〃俨 7^f>)exp(2ni£3(2)&)・
Из условий на поверхности М] (ги0)=况1 + »s：
D^-呼丽，W (- 2位£》2期)，
С ⑴2 c(2)n(10.4)
< -2П3(2出).
Из условий на поверхности М?1 (ги0)=况口 + 力s：
國"=—國):)户 exp (- 2加K》2)g),
⑴⑵(25)
國-7r 谓三V‘xp2niK^Yx^
Из условий на поверхности М^ (rn0) = %s 十包1 + "mi：
以=國);(翼С，exp {2mK俗⑵，(息+外+ tMl)— 心)句]}.
(10.6)
Из условий на поверхности М^ (гп0)=友 十况口 + ^мп：
加1 = — D^ехр ^iK [Ь^ fe+ ^ii + ^mii)-б(2)^п]}.
(CK } — (Л ‘)2
(Ю.7)
Из условий на поверхности Л г (rn0) = %s + 优工 十 tMi + + 勿=%s + 包口 + %мн + Уп = L (выписываем амплитуды для обоих полей):
для первого пути:
小 с ⑴2 r(2)2
0紀=一國).仔』? exp [- 2MK (3(2)21 + 3(2*)], C 丄丿_C(a)3
。訝=—國)丁工 exp [-2MK ©2)% + 3(2)g],(10.8)
闻1 =國)exp {— 2就X①⑴，一 3" +
(c@丿—e‘丿尸
+ 6(2)/1+6(2)班]},(Ю.9)
嘀=國)7豊先“ ^p {一 2加k [传⑴，一8^Y) L +
+ 6(2出 +》2)，勿]}；
для второго пути:
D^= — D^ "1 二訪 exp ［— 2加К @2）勿I + 6（2）^п）］,
0毋=一國）/еXр ［一2mК 俨*1 + 6（2）з1）］,
战"=D^ / ⑴，^P {- 2MK ［（脚）-3⑵）L +3⑵，用+
C 丿一c'G）3
十 3（2）勿］},（10.11）
<г =碎 /（「％ ехр {- 2加К 1（6（1）- 6（2）） L +
+ 6（2）^r1 +》2）力出.
Из условий на поверхности Аи （^п0） =£ + %&：
/®）=一或）/ 口 -工exp {— 2就к m⑵‘勿 + 6（^-
-^（L + t^l（Ю.12）
0产）=一國）:：九exp {- 2mK①⑵'力+ 3⑵况1一 c丄丿—e、丿尸
• 一 3（2），（上 + 以）］},
0俨g=一國） 产^ exp {- 2шк俨小口 + 6（2）勿I 一
一5（2）" + 以）］},（10.13）
0产d）=一以a）exp2n/世）‘项 + 6（2）力1 —
-8^f {L + t^.
Для отношения амплитуд пар волн, формирующих выходные волны 夕『）и 夕俨，получаем
0产）/0間d） = ^i^ = exp {一 2MK ©2），（勿一仰0 +
+ ^^1~У^（10.14）
Отсюда следуют условия для точного совпадения фаз этих пар волн:
Ут =况口， ％i =勿「（10.15）
Таким образом, интерферометр, собранный согласно описанной схеме и условиям （10.15）, обеспечивает максимальную интенсивность на всей площади сечения пучков 夕『）и О^）. При смещении фазы одного из пучков 明，隽詁，夕^, 勿詁 на вели-
чину л пучки, представленные отношениями (10.14), будут иметь противоположные по знаку амплитуды и выходные пучки — нулевую интенсивность. Существенное значение имеют соотношения фаз и амплитуд волновых функций внутри кристалла анализатора. Для первого поля, сопоставляя попарно волновые функции преломленных (Ж^1 и 夕2") и дифрагированных волн (О肃 и 砂爵I), замечаем, что фазовые множители в каждой паре равны, если учесть условия идеальной геометрии (10.15 [см. (10.9) и (10.11)].
Для сравнения амплитудных множителей необходимо использовать соотношения [см. (3.11)]
с⑴С(2)= (- 丫o/力)(厶％) = — 1,(10.16)
причем величина ——1 соответствует случаю симметричного отражения от центросимметричного кристалла. В таком случае мы получим для отношения амплитудных множителей в каждой паре волн, в первом поле, величину ——с(1)2. Если учесть сужение волнового фронта проходящих лучей в толстом поглощающем кристалле, эта величина будет близка к ——1.
Таким образом, безотносительно к поглощению волны, относящиеся к первому полю, будут взаимно поглощаться внутри кристалла-анализатора Л. Однако это возможно лишь при условии точного совпадения положений отражающих плоскостей в кристаллах Л, с одной стороны, и S и М, с другой. Это совпадение может быть достигнуто в однокристальном интерферометре использованием высокосовершенного монокристаллического блока и в двухкристальном ——соответствующей взаимной юстировкой кристаллов. Если в двухкристальном приборе анализатор А будет смещен точно в направлении вектора дифракции h на отрезок d”/2, то взаимная компенсация волн будет иметь место для второго поля, но, так как первое поле погашается вследствие поглощения, интенсивность выходящих пучков будет равна нулю. Отсюда следует, что подобный интерферометр может быть использован для измерения отрезков порядка долей одного ангстрема.
Как следует из условия (10.15), а также из условий на поверхности 4〃 необходимо выполнение равенства »mi —力лш, хотя, например, отстояния обоих зеркал М от разделителя S могут быть различными, что представляет известные удобства.
Рассматривая реальный эксперимент и трудность выполнения равенства (10.15), которое обеспечивает «идеальную геометрию» интерферометра, можно отметить, что «оптическая» полировка оказывается достаточной. Это следует из правой части (10.14), в которой величины 谷⑵'и 8(2)порядка 10~5 10~6 и поэтому неровности порядка 104 + 105 от длины волны, т. е. от 1 до Юмкм, приведут к изменениям фаз 〜2冗/10, что является еще вполне допустимым.
Рис. 85. Схема интерферометра с источником конечных размеровРис. 85. Схема интерферометра с источником конечных размеровРис. 86. Схема эксперимента с созданием разности хода когерентных волнРис. 86. Схема эксперимента с созданием разности хода когерентных волн
Рис. 85. Схема интерферометра с источником конечных размеров
Рис. 85. Схема интерферометра с источником конечных размеров
Рис. 86. Схема эксперимента с созданием разности хода когерентных волн
Рис. 86. Схема эксперимента с созданием разности хода когерентных волн
Переходим к численным оценкам применимости приближения плоской падающей волны, которой соответствует изложенная теория прибора. Как известно, антикатод рентгеновской трубки в совокупности с диафрагмами на пути пучка формирует сферическую падающую волну, которая может быть аппроксимирована суперпозицией плоских волн. Однако использование толстых поглощающих кристаллов радикально меняет ситуацию. В качестве типичного случая можно рассмотреть пример 220 отражения СиКа излучения от кристаллов Si, суммарной толщиной Т = + 方м + 方a Q 1,5 мм, что соответствует 卩力=22. Излучение, проникающее через кристалл подобной толщины （при расстоянии от источника до 5； ж 500 мм）, будет иметь на выходной поверхности Аи расходимость 〜1". Это, в свою очередь, соответствует эффективной ширине источника рентгеновских лучей в 2,5 мкм и такой же ширине области, прозрачной для этого источника, на входной поверхности S八 Поперечный размер френелевской зоны на S/ от указанного малого источника составит примерно 30 мкм, что при ширине источника 2,5 мкм с избытком обеспечит постоянство фазы вдоль фронта падающей волны.
С другой стороны, расходимость 〜1"на выходной поверхности кристалла-анализатора А соответствует когерентному участку волнового фронта 〜130 мкм. Это обстоятельство важно в двух отношениях. Во-первых, оно обеспечивает фокусировку бесконечно тонких лучей 孙⑷，О俨"），так же как и 3）产），2D^d\ даже при
Рис. 88. Интерференционная картина ог плосковогнутой линзы с отверстием в центреРис. 88. Интерференционная картина ог плосковогнутой линзы с отверстием в центре
Рис. 88. Интерференционная картина ог плосковогнутой линзы с отверстием в центре
Рис. 88. Интерференционная картина ог плосковогнутой линзы с отверстием в центре
небольших отклонениях от идеальной геометрии уравнений (10.15). Эти уравнения, в свою очередь, можно рассматривать как условия фокусировки, действительные и в том случае, когда падающая волна не вполне строго является плоской, а скорее может рассматриваться как слегка сферическая. Во-вторых, наличие небольшой конечной угловой области для фокусировки пучков в кристалле Л (еш, рис. 85) имеет непосредственное отношение к ширине источника или его размерам в плоскости, параллельной основанию интерферометра. Так как различные точки излучают взаимно некогерентно, то условия (10.15) означают, что поперечное смещение пучков I и II таково, что оно обеспечивает равенство фаз на выходе из кристалла Л для всех точек эффективной части Ве источника, где
Ве = 2T|tg%Jcos8. (10/17)
Описываемый интерферометр является ахроматическим прибором, так как условия для минимума и максимума интенсивности не зависят от длины волны. При изменении длины волны должно наблюдаться смещение облучаемых областей в зеркалах М.
Вводя в один из промежуточных пучков (например, путь I) интерферометра клин Р с ребром, параллельным основанию прибора (рис. 86), мы получим непрерывное и периодическое изме-
Рис. 87. Схема эксперимента с получением интерференционной картины от плосковогнутой линзы
ненне фазы для этого пучка относительно другого (путь II). Возникающая при этом интерференционная картина может быть использована для определения показателя преломления п для данного излучения в материала клипа. Значения периодов изменений разности хода внутри клина А^ и на выходной грани Ло при перпендикулярном падении на входную грань (за пределами максимума!) выражаются известными соотношениями
=各=今，А。= А『ctg 卩・(Ю.18)
где 卩一угол клина. По существу, тот же эффект имел место при образовании интерференционной картины от плосковогнутой линзы, введенной на пути одного из пучков в интерферометре по Лауэ в первой работе Бонзе и Харта [28] (рис. 87 и 88).
Работа интерферометра при нарушенной фокусировке
Как мы отмечали выше, условия идеальной геометрии (10.15) одновременно являются условиями фокусировки пучков, излучаемых всеми точками линейного источника с шириной В。в плоскости, параллельной основанию прибора.
В связи с процессом наладки подобного интерферометра, так же как и двухкристального прибора, возникает задача расчета и экспериментального исследования изображений, которые возникают в сечении выходных пучков в случае расфокусировки. Бонзе и те-Каат [138] выполнили подобное исследование применительно главным образом к двум типам нарушений: отклонение от условий (10.15) и использование источников с шириной В〉Ве.
Для упрощения задачи рассматривался прибор, для которого условия идеальной геометрии имели вид
况=弘 况=д = %口， у = yi = уи・(Ю.19)
В интерферометре осуществлялось симметричное отражение 220 излучения Си Ка в кристалле кремния.
Нарушение фокусировки определяется величиной
А/ =沙——х(10.20)
Для исследования влияния величины А/ на распределение интенсивности в поперечных сечениях выходных пучков был изготовлен интерферометр (рис. 89) с пластинкой анализатора Л, наклоненной к плоскости, параллельной пластинкам S и М, на небольшой угол а' = arctg а = 1°15‘. При этом на некоторой высоте от основания переменная величина расстояния от М до А у точно отвечала условию (10.20). Выше этой идеальной плоскости Az〉0, ниже — Az V 0. В таком случае при фотографировании сечения выходных пучков 3)^ и О俨 сверху вниз по
вертикали полученных изображений величина параметра А/ изменялась линейно, от А/max до A/min, проходя через значение 0.
Для описания интерференционных картин, возникающих при расфокусировке, необходимо вычислить величину разности фаз пучков, прошедших пути I и II интерферометра, в функции от Дх. Эту разность фаз можно отнести к оси 厶(см. рис. 89), направленной параллельно основанию прибора, с началом в точке О,
ссРис. 89. Схема интерферометра, использованного при исследовании работы прибора с нарушенной фокусировкойРис. 89. Схема интерферометра, использованного при исследовании работы прибора с нарушенной фокусировкойлежащей на средней /2 линейно связана с7 一 A 力— Дж =丽•лежащей на средней /2 линейно связана с7 一 A 力— Дж =丽•плоскости величинойплоскости величинойAz:Az:Дх = 0. Другая координатаДх = 0. Другая координата(10.21)(10.21)Если обратиться сначала к источнику и учесть расходимость двух когерентных волн, выходящих из каждой его точки под малым (предельным) углом А屮，то можно ввести некоторый интервал А, аналогичный периоду стоячих волн d/2 при отражении под углом Вульфа — Брэгга. Уравнение для Л при угле AV2 имеет видЕсли обратиться сначала к источнику и учесть расходимость двух когерентных волн, выходящих из каждой его точки под малым (предельным) углом А屮，то можно ввести некоторый интервал А, аналогичный периоду стоячих волн d/2 при отражении под углом Вульфа — Брэгга. Уравнение для Л при угле AV2 имеет вид
с
с
Рис. 89. Схема интерферометра, использованного при исследовании работы прибора с нарушенной фокусировкой
Рис. 89. Схема интерферометра, использованного при исследовании работы прибора с нарушенной фокусировкой
лежащей на средней /2 линейно связана с
7 一 A 力— Дж =丽•
лежащей на средней /2 линейно связана с
7 一 A 力— Дж =丽•
плоскости величиной
плоскости величиной
Az:
Az:
Дх = 0. Другая координата
Дх = 0. Другая координата
(10.21)
(10.21)
Если обратиться сначала к источнику и учесть расходимость двух когерентных волн, выходящих из каждой его точки под малым (предельным) углом А屮，то можно ввести некоторый интервал А, аналогичный периоду стоячих волн d/2 при отражении под углом Вульфа — Брэгга. Уравнение для Л при угле AV2 имеет вид
Если обратиться сначала к источнику и учесть расходимость двух когерентных волн, выходящих из каждой его точки под малым (предельным) углом А屮，то можно ввести некоторый интервал А, аналогичный периоду стоячих волн d/2 при отражении под углом Вульфа — Брэгга. Уравнение для Л при угле AV2 имеет вид
(10.22)(10.22)
(10.22)
(10.22)
— 2 sin (Агр/2) ~ "^
Волны, различающиеся направлением на величину Д^, образуют соответственно два различных угла rj внутри максимума, что и приводит к образованию интерференционных полос с указанным интервалом Л.
Введем помимо аккомодации 60 (см. рис. 90) соответствующую величину для отраженных волн 6Л:
=硒， 6^ = U；, К Зо — 3疝=Kn 2 sin 仔. (10.23) Рассматривая распространение указанных двух волн по путям I и II в интерферометре и снабжая относящиеся к ним величины буквами а и В, запишем величину разности углов падения и, следовательно, углов т] внутри, максимума:
a少=為[嵐-储一隔一税)1 =(不-限). (Ю.24)
С другой стороны, величина Aip связана с разностью хода и, следовательно, с разностью фаз волн, которые распространяются по первому и по второму пути. Эта разность фаз возникает, во-первых, внутри кристаллов, на отрезке пути Т, во-вторых, вследствие расхождения на угол Ар при выходе из источника и, наконец,
ввиду различного поперечного смещения, главным образом в зеркале М. Выражение для полной разности фаз сначала задается в функции от аккомодаций 6. Затем, используя соотношения (3.7),
(3.14) и (3.15), можно перейти к амплитудным коэффициентам отражения % которые будут различными на путях I и II (соответственно са и %). Окончательные простые формулы были получены разложением выражений для с в ряд по степеням малых величин: (& ctg 8 土An) Т. Отсюда связь между 厶屮 и Az была получена в следующей форме:
Д1р = 2 I %九 I А//Т sin 2仔，
(10.25)
откуда (см. (10.22))
Л =人,Дх =入/А0c. (10.26)
Таким образом, интерференционные картины, связанные с нарушением условий идеальной геометрии (10.15) или же с интерференцией волн, выходящих из источника под углом Дгр, эквива^. лентны.
Заметим также, что в расфокусированном приборе описанного типа (рис. 89) возникает плоскость антисимметрии, перпендикулярная основанию интерферометра и проходящая через его сере дину. В точках, симметричных относительно этой плоскости, разность фаз волн, идущих по путям I и II, имеет противоположный знак. Вместе с тем на этой плоскости фокусировка сохраняется.
Изложенный в кратких чертах анализ приводит к следующему уравнению для линий равных фаз в плоскости поперечного сечения выходного пучка:
5 =入Тт tg8/a I %h I, (10.27)
где т принимает последовательный ряд целочисленных значений. Для того чтобы выявить гиперболы (10.27) в достаточной области изменений координат 厶 и /2, можно воспользоваться введением клина на пути одного из пучков в приборе. Если ребро клина параллельно одной из осей, картина смещается вдоль этой оси на отрезок, пропорциональный Л-1 ——величине, обратной периоду полос.
Рассмотрим теперь условия и соотношения, определяющие контраст и функцию видимости интерференционных картин в расфокусированном интерферометре. Заметим, что соотношение (10.17), относящееся к сфокусированному прибору, требует уточнения при наличии расфокусировки. В теоретической оптике [139] рассмотрение контраста интерференционных картин в зависимости от размеров источника связано с условиями и степенью частичной когерентности. В случае рентгеновских лучей расходимость пучка коллимируется конечной угловой шириной области максимума.
С другой стороны, при наличии расфокусировки эффективная ширина источника Вв включает в себя помимо пучков, дающих интерференционную картину, также и такие, которые дают вклад в образование фона (рис. 85). Можно считать, что полезная часть источника Bd оказывается меньше Ве и эта последняя делится на три участка
凡=%+ 2(及/2). (10.28)
Два крайних участка BJ2 дают пучки, проходящие лишь по одному из двух путей I или II, в то время нак центральная часть дает пучки, проходящие внутри угла 2ет в пластинке А [см. (10.17)].
Очевидно, что величина контраста или функция видимости
VV一 ?max — ?min 一 2P 28d I sin W I•^max十％iin 1十加28d十々I叩I一 ?max — ?min 一 2P 28d I sin W I•^max十％iin 1十加28d十々I叩I4茹4茹(10.29)(10.29)
V
V
一 ?max — ?min 一 2P 28d I sin W I
•^max十％iin 1十加28d十々I叩I
一 ?max — ?min 一 2P 28d I sin W I
•^max十％iin 1十加28d十々I叩I
4
茹
4
茹
(10.29)
(10.29)
В интерферометре с идеальной геометрией Bd = Ве и о = 1, т. е. контраст составляет 100%. В отличие от этого в интерферо- мГетре с прозрачными кристаллами может быть достигнут контраст 50%. При наличии расфокусировки контраст определяется осциллирующей функцией типа sin т)/т] при
(10.30)(10.30)2л| А力 ||tg&m|Tutg"
(10.30)
(10.30)
Так, в реальных условиях эксперимента значение |tg 8W | = =0,136 привело к потере видимости при первом минимуме функции sin q/т] для А%<40 мкм, что согласуется с экспериментальным значением 28 мкм и с оценкой допустимых нарушений условий (10.15), приведенной выше.
Представляет также интерес, наложение на интерференционную картину расфокусировки с периодом Л =入/Агр, картины муара, возникающей в интерферометре в результате различия межплоскостных расстояний в пластинах. Если, в частности, период d сохраняется в 5 и М, в то время как в А изменяется на d + Ad, то предельный угол Ар принимает значение Ар'. В результате при А/ = 0 Ар # 0. Если добиться максимального контраста при Aip = 0, то остающаяся часть Дгр'=入/А позволит
(10.31)(10.31)определить j Ad|, Ad/d =入/2A tg 令.
(10.31)
(10.31)
Фактически, подобная ситуация встречается обычно при работе с интерферометром Лауэ ввиду нарушений структуры в отдельных участках монокристаллических блоков.
В работе [138] приводятся также краткие замечания о влиянии на различные интерференционные картины в сечениях выходных пучков вертикальной расходимости и размера источника в вертикальном направлении.
Образование и использование картин рентгеновского муара
Как известно, различают оптический, или геометрический, и дифракционный муар. Согласно Шубникову [140] оптический муар наблюдается при последовательном прохождении света через изображения двух решеток: А с повторяющимся изображением и В с сеткой, периоды которой совпадают (решетки не параллельны) или близки (решетки параллельны) периодам Л. Изображения в А, разбитые на элементы, синтезируются с увеличенными интервалами. При этом складываются интенсивности световых пучков. Дифракционный муар возникает при последовательном прохождении (падение лучей в области максимума) излучения через два кристалла с соотношениями периодов и ориентаций, аналогичными решеткам при оптическом муаре, при этом складываются волновые функции рассеяния на отдельных кристаллах. Очевидно, в этом случае периоды решеток близки к длинам волн излучений.
Муар при дифракции электронов был обнаружен несколько ранее рентгеновского муара. Подробное рассмотрение электронного муара приводится в монографиях [141] и [27]. Соответствующая теория развита Хашимото и др. [142] и Дживерсом [143]. Теория Дживерса может быть применена и к описанию рентгеновского муара в приближении падающей плоской волны, что эквивалентно использованию обобщенной динамической теории, основанной на уравнениях типа Такаги [41]. Основы этой теории изложены в гл. И. Здесь мы применим ее к образованию муара в приближении падающей плоской волны, рассматривая оба рассеивающих кристалла как идеальные. В таком случае уравнения для волнового поля в первом кристалле имеют вид [см. (11.90)].
(10.32)(10.32)»》y0禦=%何。+ e观双，
(10.32)
(10.32)
^ ~ Yn -^" - %0%拉一a砲 + C为例0.
Переходим к симметричному отражению (у。= ?“ = cos令) и
задаем нижеследующие значения волновых функций О。и 步拉： ®о = Аехр [— ш%о(^ог)] - "exp[—力^^^z] ,(10.33)
耽=% exp {— E%o [(晶冷 + (sy)]},
I s I = Ka = 2A"t] sin 2 仇(10.34)
В результате подстановки (10.33) и (10.34) в (10.32) эти последние уравнения принимают вид
» "礬党 ехp [- ^5^5^- e% А exp (-方欧0[(左夕)+(s^)]}, 争 expin^\(khr) + (s，)]}=
=%4甸一3為小
или, заменяя,
航=趺)+① \8\^к^%=曾穿，
получим
(10.35)(10.35)步=%T，°"exp[—E%o(" + s, *)],
(10.35)
(10.35)
dD, 冗
= ^ — О0 exp [ш%о (” 4- & ?')]•
Отметим, что приближение падающей плоской волны находит свое выражение в том, что амплитуды DQ и Dh являются функциями лишь глубины z. Отсутствие нарушений в рассеивающем кристалле означает, что угловая координата внутри максимума для падающей волны s не зависит от глубины z.
Рис. 91. Модель образования дифракционного муара
Модель образования муара при использовании обобщенной теории, в частности уравнений (10.35), приведена на рис. 91. Уравнения (10.35) относятся к волновому полю внутри первого кристалла. Для описания поля внутри второго кристалла следует, во-первых, ввести некоторое постоянное приращение Дг к радиусу-вектору г, что соответствует либо смещению, либо повороту второго кристалла, и во-вторых, для того чтобы сохранить неиз-
менной величину %拉，использовать известное приближение %?=林 exp [― 2就(А"т%
а также заменить
(比 + А", г + Аг) на ("Ar) + (z*A"), причем (ЛЛ尸)=(—гАй,).
声声=%^О”{1 — [1 — exp Za]} exp [— m%0(«г)|,=%^О”{1 — [1 — exp Za]} exp [— m%0(«г)|,В таком случае уравнения (10.35) переписываются следующим образом:
声
声
=%^О”{1 — [1 — exp Za]} exp [— m%0(«г)|,
=%^О”{1 — [1 — exp Za]} exp [— m%0(«г)|,
(10.36)(10.36)(10.37)(10.37)а〃力тг
(10.36)
(10.36)
(10.37)
(10.37)
片=i^-DQ{i — [1 — exp ia]}exp[m%0(^)], azTo
fa = 2ni%oX J A"|.
Здесь 力一координата в направлении ”, т. е. перпендикулярно отражающим плоскостям.
Так как значения производных в (10.36) зависят от 力 только через а, то геометрические места точек равных или постоянных значений амплитуды и интенсивностей рассеяния будут отвечать условиям
y^Y = A const, А = I А" I-1.y^Y = A const, А = I А" I-1.(10.38)(10.38)
y^Y = A const, А = I А" I-1.
y^Y = A const, А = I А" I-1.
(10.38)
(10.38)
Следовательно, период муара Л определяется величиной изменения вектора дифракции А". Из этого результата получаются формулы для периодов муара: параллельного, или дилатационного, поворотного и смешанного:
АсмешАсмеш(10.39)(10.39)二 d”/Z, Z ― Ad/d, Лпов =源/a, a [J" Лпар + Лпов
Асмеш
Асмеш
(10.39)
(10.39)
Эти формулы совпадают с соотношениями для геометрического муара, которые вывел Шубников.
Если падающая волна испытывает в кристаллах А и В отражения от различных систем плоскостей с векторами "ид соответственно, значение периода муара определяется из формулы
(10.40)(10.40)A = I" — g |t.
(10.40)
(10.40)
Как следует из выражений (10.38), полосы параллельного муара параллельны отражающим плоскостям и полосы поворотного маура параллельны вектору дифракции h.
Далее, по Дживерсу [143] можно получить выражения для интенсивностей картины муара. Согласно рис. 91, муар возникает при интерференции пар волн либо в направлении волны дифрагированной, либо преломленной в первом кристалле.
Применяя последовательно теорию в приближении плоской падающей волны к рассеянию в первом и втором кристаллах, можно показать, что интенсивность на выходной грани второго кристалла может быть представлена следующим образом (для направления отражения от первого кристалла):
%=%熊1(m)+圆%I (01) + 2 (需必1次%1) cos 2n (% 一/)A?
(10.41)
где 力° ——некоторая функция от толщин обоих кристаллов и величины отклонения от угла Вульфа —— Брэгга.
Если рассматривать образование муара при падающей сферической волне, то необходимо привлечь более общую форму уравнений Такаги, в которой амплитуды или волновые функции волн в кристалле зависят от двух аргументов. Эти аргументы могут быть связаны либо с прямоугольными осями 力 и z, либо с косоугольными 力о§о и 力"S”，направленными вдоль волновых векторов преломленной и дифрагированной волны в кристалле: (см. (11.36))
.九 az)oIx—Л dxh.九 az)oIx—Л dxh-%0。0 + %4,-%0。0 + %4,=(Хо — a) Dh + СХЛ£)0.=(Хо — a) Dh + СХЛ£)0.(10.42)(10.42)
.九 az)o
Ix—
Л dxh
.九 az)o
Ix—
Л dxh
-%0。0 + %4,
-%0。0 + %4,
=(Хо — a) Dh + СХЛ£)0.
=(Хо — a) Dh + СХЛ£)0.
(10.42)
(10.42)
В работах Отье и Симона [44, 144] авторы переходят от уравнений типа (10.42) к уравнениям второго порядка [см., например, (11.54)] и далее используют решение, аналогичное (11.49), (11.50), для сферической падающей волны. В случае фронта падающей волны произвольной протяженности:
Dh 仍)=一 ^^ \ 或)(/)人 / /^7^)电 (Ю.43)
BABAb -\- X b--力b -\- X b--力Д (5 Ub2 一①2) d/Д (5 Ub2 一①2) d/(10.44)(10.44)
BA
BA
b -\- X b--力
b -\- X b--力
Д (5 Ub2 一①2) d/
Д (5 Ub2 一①2) d/
(10.44)
(10.44)
2冗W丽IC 1/丽2冗W丽IC 1/丽В =В =(10.45)(10.45)Приведенные значения Dh (P) и DQ (P) относятся к произвольной точке Р волнового поля на выходной грани кристаллической пластинки. Интегрирование производится по некоторому контуру АВ на входной грани, который является сечением ограниченной по фронту падающей волны. Этот контур делится пополам началом, точкой О； 6 = ОА = ОВ, х — переменная координата на линии АВ,
2冗W丽IC 1/丽
2冗W丽IC 1/丽
В =
В =
(10.45)
(10.45)
sin 20
С другой стороны, при почти точечной протяженности 4笈，т. е. в случае сферической падающей волны, значения амплитуд Dh и Do в произвольной точке р0 на выходной грани выражаются следующим образом:
4 侬)=一切$)Wo尸 /^為eXр [- i-J] /о也/再=砲, (10.46)
A(Po)=言у {ехр「— Е W~ (Ь — ро)2 — ехр [— i g] X
(10.47)
Очевидно, в этом случае область волнового поля в кристалле ограничена треугольником, образованным направлениями ^0 и s” и выходной гранью кристалла (см. рис. 40); г0 соответствует Р на указанном рисунке; далее, 6 и р0 в (10.46) и (10.47) аналогичны величинам b и / в (10.43) и (10.44), но относятся к выходной границе.
Рассматривая более общий случай по сравнению со схемой рис. 91, а именно, наличие небольшой прослойки воздуха (вакуума) между кристаллами, мы можем написать для волн, прошедших эту прослойку, следующие выражения:
加=Z^ (pi) ехр ^― 2ш^- zTj ехр [― 2%1^^\, (10.48)
加=D^p1) exp [- 2位衆 z1] exp [-2血及％」， (10.49) где О± (Р1) и Dq (Р1) даны в уравнениях (10.46) и (10.47).
Характерной чертой метода, используемого в реферируемой работе [44], является произвольный выбор волнового вектора в данном кристалле. Для этого вектора принимаются два условия: 1) равные тангенциальные слагающие с волновым вектором падающей вакуумной волны; 2) модуль, равный Кп, где п ——коэффициент преломления.
Обращаемся опять к образованию муара. Пусть второй кристалл, из такого же материала, что и первый, будет слегка повернут, причем волны, описываемые (10.48) и (10.49), претерпевают в нем отражение от той же плоскости, что и в первом кристалле. Выбираем в качестве волновых векторов внутри этих кристаллов векторы, соединяющие в обратном пространстве точки О и Я с точкой 厶(рис. 92). Далее, мы принимаем
I I I ^h11 I 乃о" I = | 乃门， (10.50) где векторы со штрихом соответствуют отраженным волнам 九[(研и D^他I).
Рис. 92. Обратное пространство пр образовании дифракционного муараРис. 92. Обратное пространство пр образовании дифракционного муараX exp(— eniK^r1).X exp(— eniK^r1).exp [— 2就(Ku — Кexp [— 2就(Ku — КX(10.52)X(10.52)
Рис. 92. Обратное пространство пр образовании дифракционного муара
Рис. 92. Обратное пространство пр образовании дифракционного муара
X exp(— eniK^r1).
X exp(— eniK^r1).
exp [— 2就(Ku — К
exp [— 2就(Ku — К
X
(10.52)
X
(10.52)
На рис. 92 вакуумные волны после прохождения через первый кристалл представлены волновыми векторами R：三 ОМ, Kh = H^. Если вектор дифракции h для отражения в первом кристалле представлен прямой ОН, то во втором кристалле для волны, прошедшей через первый кристалл, вектор дифракции представлен прямой НГО =
=h — dh. Для волновых векторов во втором кристалле мы имеем К?三哥匸),К^1 = OL0. Аналогично, для волны, отраженной от первого кристалла, вектор дифракции и волновые векторы во втором кристалле будут представлены в виде
(УН =—比 + dh,
k俨三HLl
Коп =。£ •
Выразим теперь волны, падающие на второй кристалл, с помощью следующих формул [ср. с (10.48) и (10.49)]:
4 = {就(У) eXр (- 2册 2^： ) eXр [- 2或(Я^ 一 К^)"]} X
X exp (― 2就R%】)，(10.51)
Разности векторов в фазовых множителях в фигурных скобках непосредственно определяются из рис. 92. Скалярные произведения этих величин на г1 разлагаем на суммы произведений модуля векторной разности на проекции г1, нормальные и касательные к плоскости раздела. В результате для «псевдоамплитуд» получаем
0；1(/* z1)="(叫 eхР (一 2位Kno丫0炉)X
X exp (2nZA'T|0a0zI) exp [— 2niK 學 z】]=
=Dq (л;1) exp (2л^т]оао21) exp2就及自, (10.53)
Dh (xV) = D^ (ж1) exp (2mKx]hahzl) exp [― 2就^^公]• (10.54)
После прохождения обоих кристаллов суммарная отраженная волна имеет величину
4 = 0也01)+就七序).(10.55)
Для вычисления каждой из этих волн можно воспользоваться формулами для волны с конечной шириной фронта (10.43) и (10.44). При этом в качестве О俨，или «певдоамплитуды», берутся волны (10.53) и (10.54). Получаем ，
研(°‘)= 一 噜鼾 、 0。叮。(з了“一声)厶口， (1。・56)
A2B2
41(序)=以1(炉=x +*)_等\ 0й3)>< A2B2
X J :三：：；Jr (# $初一您)加1.(10.57)
Наконец, если ввести величины
0? 8П)=-胃禽人仍'了分p一公1)(10.58)
國(纪")=го，斫exp ［ 一 e ?(码-d1户+ 弓］一
一告 J若:二三J必少2一炉”)，(Ю.59)
то значения О^' (О1) и 0K (/г1) могут быть представлены в функции от амплитуд О* (*):
妳(炉)=|(10.60)
〔о, I к I〉拄，
D^ (О1) - Жо1 (X)*勿У (X) ехр {— 2就［栄-К%%］ z】} , (10.61)
加1(层)=就(X)*鳄(-X) exp ［_ 2就［祭一心科" Z1}.
(10.62) Окончательно выражение для «псевдоамплитуды» отраженной волны после прохождения через оба кристалла имеет вид
5(Х) - ®оТ (X)嘛】(X) + 苏［(X)我I (- X) x
X exp К- 2就区加/2) z【(y-1 - Г"1)! exp (— 2加奶丄z】)，(10.63) где d力丄 означает слагающую от вектора dh по нормали к плоскости раздела.
Рис. 93. К теории муара в приближении падающей сферической волныРис. 93. К теории муара в приближении падающей сферической волныслучае малой толщины первогослучае малой толщины первогоНа рис. 93 показана схема прохождения падающей сферической волны черезоба кристалла. Там же|нанесены оси отсчета координат 力工 и 力口 в плоскс- сти раздела и X на выходной грани второго кристалла. Согласно обозначениям этого рисунка, величина Ь1 = 0^± = О/],匕口 =。2厶2 = 025211b = =О A = OB, Отрезок OP = X представляет переменную координату, для которой дается величина Dh (X) в (10.63).
Рис. 93. К теории муара в приближении падающей сферической волны
Рис. 93. К теории муара в приближении падающей сферической волны
случае малой толщины первого
случае малой толщины первого
Достаточно сложное выражение (Ю.бЗ)упрощается в частном кристалла. Интенсивность кар- быть представлена сле-
тины муара при таком допущении может дующим образом:тины муара при таком допущении может дующим образом:%(в Г
тины муара при таком допущении может дующим образом:
тины муара при таком допущении может дующим образом:
+%£「/(S U户匸辛)+ 2 М够褫厶义
X (вМ户2—Х2)£：；： J1 仍 %m—密)cosФ
sin2 Bb1 Н 十,sin2 Bb1 Н 十,①=2л (dh г) — ПК%。(^ - *①=2л (dh г) — ПК%。(^ - *I —sin2 5bl UE7(10.65)一 2簿儿丄z】+ ср. (10.66)I —sin2 5bl UE7(10.65)一 2簿儿丄z】+ ср. (10.66)电屮=石鼻tg5从/冃F电屮=石鼻tg5从/冃F(10.67)(10.67)(10.64) где величины jJ и ^ и аргумент Ф имеют следующие значения:
sin2 Bb1 Н 十,
sin2 Bb1 Н 十,
①=2л (dh г) — ПК%。(^ - *
①=2л (dh г) — ПК%。(^ - *
I —sin2 5bl UE7
(10.65)
一 2簿儿丄z】+ ср. (10.66)
I —sin2 5bl UE7
(10.65)
一 2簿儿丄z】+ ср. (10.66)
电屮=石鼻tg5从/冃F
电屮=石鼻tg5从/冃F
(10.67)
(10.67)
Используя для описания волнового поля в первом кристалле схему рис. 40, заметим, что [см. (3.66)]
2 扭=d(tg 屮 о + tg 包)=
(10.68)
В результате выражения (10.65) для интенсивностей jJ и 脸 совпадают с формулами (3.62) для интенсивностей в случае
прозрачного кристалла в приближении плоской падающей волны (принимая %Л = %/•
В то же время множители при величинах jJ и J^ в выражении (10.64) близки к квадратам модулей величин интегралов U() и Uh в теории Като [см. формулы (6.29) и (6.32)].
Таким образом, выражения (10.64)—(10.68) допускают наглядную, качественную интерпретацию.
С другой стороны, сравнивая (10.64) с формулой Дживерса (10.41), можно заметить, что величины интенсивностей Jo и J^ как в первом, так и во втором кристаллах, очевидно, должны отвечать приближению плоской падающей волны. Следует помнить, что теория Дживерса, развития для дифракции электронов, применима к рассеянию рентгеновских лучей лишь при симметричном отражении. В таком случае фаза Ф, данная в (10.66), получает более простую форму:
Ф = 2л [(龙九，г) + ср], (10.69)
которая вполне аналогична величине 2л (力一g)/A в (10.41). если учесть последнюю из формул (10.38).
Переходя к анализу результатов изложенных теорий и сопоставления теории с экспериментом, заметим, что в опубликованных работах интерпретация эксперимента сводится преимущественно к применению простых геометрических соотношений типа (10.39), а также к использованию некоторых качественных и полуколи- чественных закономерностей.
Как следует из тех же формул (10.39), период муара не зависит от длины волны используемого излучения. Однако при наблюдении картин муара в интерферометре изменение длины волны может привести к изменению этих картин, что должно быть связано с перемещением облучаемого участка кристалла (пластинки М).
Площади кристаллических пластин, облучаемые при образовании рентгеновского муара, определяются геометрией освещения и могут быть увеличены сканированием. В опубликованных работах эти площади имеют поперечники порядка 1—5 мм и более. Периоды муара меняются в пределах от немногих микрон до миллиметров, откуда следует, что этим методом можно изучать относительные деформации Ad/d в пределах от 10~4 до 10~8 и повороты отдельных участков кристалла на величины от одной до десятых долей угловой секунды. Интерпретация подобных деформаций в настоящее время представляется неясной.
Необходимо также иметь в виду, что интерференционные эффекты типа линий равной толщины, отвечающие параметрам %о и %%, могут привести к ошибкам в индицировании наблюдаемых полос. Периоды подобных полос согласно (3.109), (10.18) составляют десятки и сотни микрон, т. е. имеют тот же порядок величин, что и линии муара. Поэтому требуются дополнительные
признаки, чтобы различить природу этих картин. Так, А муара всегда уменьшается при переходе к высшим порядкам отражений, в то время как Лh может увеличиваться, если структурные амплитуды соответствующих отражений уменьшаются. Кроме того, полосы равной толщины, связанные как с /0, так и с %九，всегда параллельны входной грани.
Переходя к отдельным экспериментальным работам, заметим, что лишь в некоторых случаях можно полагать, что возникновение картин муара обязано специальной надлежащей ориентации
Рис. 94. Устройство для изучения деформаций в интерферометре
рассеивающих кристаллов, выполненной автором. В работах Чикава [145] и Ланга и Миускова [146] эффекты муара возникали при последовательной дифракции волн от двух участков монокристалла с разницей в значениях d”以 или с взаимным поворотом.
В отличие от этого, в работах Бонзе и Харта [28], Бредлера и Ланга [147], а также Харта [136] и Дислейта [137] картины муара были результатом специальной взаимной юстировки рассеивающих кристаллов. Из этой группы работ авторы [28], 1136] и [137] применяли интерферометрическую аппаратуру. В работе [28] часть монокристального блока кремния, примыкающая к пластине-анализатору Л, связывается с остальной частью узкой полоской (рис. 94) и снабжается устройством (рычагом, блоком и грузиком), которое позволяет поворачивать анализатор относительно остальной части прибора на небольшой угол; поворот пластинки Л на угол 0,01" приведет к образованию муара с интервалом полос в 〜 4 мм. На рис. 95, а показана серия картин, полученных при. разных значениях момента пары сил, поворачивающих пластинку А. Из наблюдаемого максимального наклона полос можно определить отношение Ad/d 七 8 -10~8. На рис. 95,6 показаны изображения дислокаций на картинах муара. Не вдаваясь в детали, заметим, что лишь при Ad〉0 (верхние снимки) две избыточные полосы муара находятся над изображением дислокации, при Ad < 0 (нижние снимки) избыточные полосы — под изображением дислокации. Из условия эксперимента удалось установить, что вектор Бюргерса этих дислокаций составляет 1/2 [110] или 3,84 А, что соответствует кратчайшему меячплоскост- ному рассеянию в Si с решеткой алмаза.
Рис. 95. Снимки муара, полученные в интерферометре
а — картины, возникающие при закручивании (повороте анализатора А), момент закручивающей пары уменьшается слева направо; б ——изображен1[я дислокаций
В работах В. Ф. Миускова 1 эффекты муара систематически используются в рентгеновской топографии реальных кристаллов. На рис. 96, а приведена рентгенограмма картин муара от бездис- локационного кристалла кремния повышенной чистоты, полученная в трехкристальном интерферометре. Горизонтальные полосы муара отвечают повороту на 〜0,8", вертикальные — величине
Устное сообщение.
Рис. 96. Снимки муара, полученные в интерферометреРис. 96. Снимки муара, полученные в интерферометреа — картина поворотного и дилатационного муара, полученная в трехкристальном интерферометре (220, МоКа, Si; ц/ — 25);
Рис. 96. Снимки муара, полученные в интерферометре
Рис. 96. Снимки муара, полученные в интерферометре
6 — модуляция картины муара (справа) интерференпией от клина
Рис. 97. Поворотный муар от двух пластинок Si, угол поворота 2,5"
Ad/d ^ 4-10-8. Центральная часть снимка представляет сильно нарушенную область, крайняя правая часть не имеет фиксируемых нарушений. Таким образом, в поверхностном слое кристалл обладает более совершенной структурой. Очевидно, интерферометрическая методика позволяет фиксировать имеющиеся в кристалле градиенты тех или иных нарушений.
На рис. 96, 6, полученном П. А. Безирганяном и Ф. О. Эйрамд- жяном 1 в трехкристальном интерферометре можно наблюдать модуляцию картины муара (справа) интерференцией от клина (слева). Клин был введен в один из пучков интерферометра (см. рис. 86).
В работегБредлера и Ланга [147] картина муара была получена от двух монокристальных пластинок кремния, ориентированных в ходе эксперимента с небольшим взаимным поворотом. Полученная весьма контрастная картина соответствует чисто поворотному муару (рис. 97).
Другие типы интерферометров.
Трансляционный муар
Интерферометр с отражением и прохождением п о Брэггу [148]. Общая схема интерферометра ясна из рис. 98. В отличие от интерферометра с отражением по Лауэ, здесь центральная пластинка выполняет (двумя различными участками) функции разделителя и анализатора, в то время как боковые части являются непрозрачными зеркалами. Ход лучей в интерферометре можно кратко свести к следующему. Первичная вакуумная волна О俨 падает на центральную пластинку, вызывая образование отраженной (по Брэггу) волны 勿% и волнового поля в кристалле. Это поле в тонкой пластинке претерпевает частичное отражение на выходной поверхности, причем другая часть энергии поля выходит в вакуум в виде волны ®J. Волны 勿詁и аJ испытывают отражение по Брэггу от боковых кристаллов-зеркал, и отраженные волны вновь попадают на среднюю пластинку. Здесь волна 2)^ отражается, образуя выходную волну 勿工®), другая выходная волна 夕口®)является волной, прошедшей (по Брэггу) через тонкую пластинку в результате падения волны 2)^. Отражения в средней пластинке и боковых кристаллах соответствуют асимметричной схеме при угле между входными поверхностями кристаллов и отражающими плоскостями ср = 13,7°. В интерферометре используется отражение 220 Си Ка излучения от Si.
Существенной чертой экспериментов с интерферометром по Брэггу является использование сферической волны, образованной из пучка, выходящего из рентгеновской трубки и прошедшего
У стное сообщение.
через систему диафрагм. Сечение падающей на среднюю пластинку волны составляло 20 мкм при толщине пластинки 504 мкм. Тем не менее при расчете интерферометра использовалось приближение плоской падающей волны.
При проверке работы прибора введением пластмассового клина на пути одного из лучей (SCI(d) или 夕口《)) наблюдалось усложнение и размытие интерференционной картины, связанное с рядом факторов. Помимо нарушений «идеальной» геометрии, которая вполне аналогична соотношениям для интерферометра по Лауз, различные области кривой отражения несли информацию о реальной структуре различных участков стенок желобков между центральной пластинкой и боковыми зеркалами. Наряду с этим была обнаружена полосчатость, связанная с процессом получения моно- кристального блока кремния.
По-видимому, использование интерферометра по Брэггу представляет более сложную задачу, чем работа с интерферометром пи Лауэ. Это может относиться как к технике изготовления, так и к более корректному расчету, основанному на приближении сферической падающей волны. Интересно отметить, что авторами обнаружено сильное расхождение падающего пучка внутри кристалла в противоположность случаю Лауэ при прохождении через толстый поглощающий кристалл. В заключение можно привести указание, сделанное в работе о возможности использования подобной схемы для построения нейтронного интерферометра.
Рис. 9y. Схема комбинированного интерферометра (разделитель и анализатор по Лауэ, зеркала по Брэггу)Рис. 9y. Схема комбинированного интерферометра (разделитель и анализатор по Лауэ, зеркала по Брэггу)Рис. 98. Схема интерферометра с отражением по Брэггу
Рис. 9y. Схема комбинированного интерферометра (разделитель и анализатор по Лауэ, зеркала по Брэггу)
Рис. 9y. Схема комбинированного интерферометра (разделитель и анализатор по Лауэ, зеркала по Брэггу)
Рис. 100. Схема двухкристалыюго интерферометраРис. 100. Схема двухкристалыюго интерферометра
Рис. 100. Схема двухкристалыюго интерферометра
Рис. 100. Схема двухкристалыюго интерферометра
а — схема прибора; б, в, г — использование различных отражений для его юстировки
В работе [149] описан комбинированный интерферометр, в котором разделитель и анализатор работают на основе отражения по Лауэ, а зеркала — по Брэггу (рис. 99).
Принципиальное преимущество подобной схемы ——в более высокой интенсивности выходных пучков. Действительно, при прохождении через пластинку с заданной величиной поглощения отношение интенсивностей проходящих пучков Tb/Tl 〜(1 —— —R)2/jR, где R — коэффициент отражения. Наоборот, интегральное отражение по Брэггу в два раза больше отражения по Лауэ.
Двухкристальный интерферометр. В интерферометрах, изготовленных из одного монокристаллического блока, помимо решения задачи рекомбинации когерентных пучков, обеспечивается механическая и «тепловая» стабильность. Однако при использовании интерферометрического метода изучения и контроля совершенства структуры с помощью картин муара представляет интерес создание прибора из двух независимых частей, одна из которых является данным образцом. Подобный прибор важен также при точных измерениях длин и параметров с помощью трансляционного муара. В работе Бонзе и те-Каата fl50] описан двухкристальный интерферометр, в котором (рис. 100) разделитель и зеркало изготовлены из одного блока С\, а анализатор ——из другого С2. Как показано на рисунке, кристалл С2 закрепляется неподвижно, а кристалл Сх снабжается механизмом с тремя взаимно перпендикулярными поворотами. Интерферометр рассчитан для отражения 220 Си Ка от Si. Оси указанных поворотов имеют рациональные ориентации: ось 6 (рис. 100) направлена вдоль [112], ось р ——вдоль [111] и ось 乂 ——вдоль [110]. Таким образом, ось 6 позволяет установить угол отражения
Рис. 101. Схема интерферометра для получения трансляционного муараРис. 101. Схема интерферометра для получения трансляционного муара00Рис. 102. Запись трансляционного муара в лучах отраженного (力)и прошедшего (Т) пучковРис. 102. Запись трансляционного муара в лучах отраженного (力)и прошедшего (Т) пучков
Рис. 101. Схема интерферометра для получения трансляционного муара
Рис. 101. Схема интерферометра для получения трансляционного муара
0
0
Рис. 102. Запись трансляционного муара в лучах отраженного (力)и прошедшего (Т) пучков
Рис. 102. Запись трансляционного муара в лучах отраженного (力)и прошедшего (Т) пучков
220 по Лауэ по отношению к падающей волне. Ось р ——позволяет либо вызвать, либо устранить поворотный муар между пластинками А, М та. S. Наконец, ось 乂 ——нормальна к отражающей плоскости 220. Соответственно основной дифракционный эксперимент, отражение от плоскостей (220), по схеме интерферометра позволяет юстирювать кристалл С\ относительно оси 6. С помощью отражения 224 излучения Мо&х от тех же трех пластинок SMAC\ юстируется относительно оси 乂. Для юстировки относительно оси р используется многократное отражение 112 внутри полости, образованной обоими кристаллами, как показано на рис. 100, в. Наиболее точной должна быть юстировка относительно последней оси. Точность установки по р и 0 контролировалась с помощью пьезоэлемента. Прибор был термостатирован с точностью до 土 10-3 ℃ в продолжение часа и + 10~2 ℃ в течение суток, а также защищен от механических вибраций и дрейфа.
Исследование режима работы прибора показало, что в системе происходят медленные движения двух типов: взаимное поступательное смещение (0,2 А в минуту) кристаллов С\ и С2, эффект которого можно компенсировать, и взаимный их поворот.
Таким образом, была доказана возможность юстировки частей прибора с точностью порядка 10 ~3 от угловой секунды.
Картины трансляционного муара. В работах Харта [136] и Дислейта [137] для осуществления взаимного смещения частей интерферометра использовался тот же принцип упругой деформации более тонких частей монокрисгального блока, что и в работе Бонзе и Харта [28]. Харт [136] поставил задачу использования трансляционного муара, возникающего в интерферометре по Лауэ, для абсолютных и точных измерений небольших отрезков (^0,1 мкм). Схема интерферометра представлека на
рис. 101. С помощью соответствующего давления можно упруго деформировать пружины 邑 и S2 s смещать анализатор относительно пластинки S и М. При этом смещение микрометренного винта, деформирующего пружины на 20 мк, приводит к относительному смещению частей интерферометра на 喝。=1,92 А. Запись трансляционного муара дана на рис. 102.
Дислейт [137] использовал аналогичное устройство, дополненное оптическим интерферометром, смонтированным вместе с рентгеновским на общей латунной основе. Работа такого комбинированного прибора с одновременной записью по двум каналам— оптическому и рентгеновскому — позволяет производить абсолютные измерения с ошибкой порядка ангстрема отрезков до 50 мкм.
Глава И
ОБОБЩЕННАЯ ДИНАМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ
РАССЕЯНИЯ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ
В ИДЕАЛЬНЫХ И ДЕФОРМИРОВАННЫХ КРИСТАЛЛАХ
В главе 1, посвященной историческому обзору развития наших представлений о процессах распространения рентгеновских лучей в идеальных (и почти идеальных) кристаллах, отмечалось, что за последние годы наблюдается своеобразное возрождение динамической теории Дарвина. Преимуществом первоначальной формы этой теории является большая простота выводов, с помощью которых ее автор, а также Принс [87] и другие, получили результаты, подтвержденные более строгой теорией Эвальда -- Лауэ ——Захариасена. Когда актуальной стала задача построения теории рассеяния рентгеновских лучей в деформированных кристаллах, Пеннингом и Полдером [38] и Като [39] была рассмотрена эта задача для слабодеформированных кристаллов, с использованием слегка модифицированной теории Лауэ ——Захариасена. При этом выявились принципиальные трудности, стоящие на этом пути и вызванные неприменимостью к иным условиям рассеяния таких понятий, как обычная блоховская волна и ее аппроксимация суперпозицией плоских волн, дисперсионная поверхность, экспоненциальные комплексные волновые функции.
В это же время в небольшой заметке, опубликованной в 1962 г., Такаги [41] предложил использовать другой подход к той же задаче и привел фундаментальные уравнения для описания волн в кристалле, близкие по форме к уравнениям типа
等^ = %。0 + chJ^h. (11.1а)
= chDQ + (q + 2a) Dh, (11.16)
где c0 и ch — некоторые комплексные коэффициенты прохождения и отражения и 2а — функция отклонения от точного значения угла Вульфа —— Брэгга, например типа (3.6).
Между тем уравнения (11.1) являются не чем иным, как рекуррентными соотношениями Дарвина, записанными в дифференциальной форме [7].
Теория, основанная*на подобных уравнениях, как было показано для дифракции электронов [27, 40] и рядом авторов для ди-
фракции рентгеновских лучей [42—46,151], непосредственно обобщается для деформированного кристалла и общего случая падающего волнового пакета.
В настоящей главе, следуя Топену [42], мы прежде всего при- водйм вывод уравнений типа Такаги из уравнений Максвелла. Далее, согласно [43], рассматривается применение теории в приближении падающего волнового пакета к рассеянию в идеальном кристалле как для случая Лауэ, так и для случая Брэгга.
Возможности теории для решения задачи дифракции по Брэггу применительно к деформированному кристаллу иллюстрируются в 4.3.
Вывод фундаментальных уравнений в общем случае деформированного кристалла
В данной теории область дефекта делится на две части: слабо искаженная и сильно нарушенная, в которой практически отсутствует динамическое равновесие проходящей и отраженной волн. Для слабо искаженной области не делается никакого предположения о роде деформаций и используется лишь единственное ограничение на порядок возрастания их величины: относительное изменение деформации принимается малым сравнительно с единицей
I ди^дх{ I < 1(11.2)
(勾(尸)一вектор смещения, г — радиус-вектор в реальном кристалле, Z, / = 1, 2, 3).
Вектор электрической индукции в вакууме описывается выражением
D = Do (戸)exp X [gV — 2лФ0(г)],(11.3)
где вводится циклическая частота со。— 2 от V g •
Выражение (11.3) является обобщением (2.19) и описывает произвольную (в смысле формы поверхности равной фазы) волну. В частности, для плоской волны: Фо (г) — (kQr), | 乃° | = 1/入. В общем случае D удовлетворяет волновому уравнению для вакуума:
\D + ^-D^0. (И.4)
Подставляя (11.3) в (11.4), получаем
Д^о —Д^о —/2 Л ^ОдДФд /2 Л ^ОдДФд (11.5)(11.5)
Д^о —
Д^о —
/2 Л ^ОдДФд
/2 Л ^ОдДФд
(11.5)
(11.5)
Так как DQ и Фо действительные функции координат, разделение действительной и мнимой частей уравнения (11.5) проводится непосредственно.
Мы будем рассматривать волны, для которых радиусы кривизны поверхностей одинаковой фазы много больше длины волны 九， например для сферической волны радиуса R будем считать AIRW W 1- Легко видеть, что в этом случае
1grad①。5中十0 備)],(П.6)
где второй член в скобках справа обозначает пренебрежимо малые члены высших порядков малости относительно X.
Если падающая волна является почти плоской, т. е.
grad ①о = М)+ А%,(11.7)
причем 乃°А乃° = 0 и I \kQ | % | 乃о |, то из (11.6) следует, что
I 乃о| = ^т,|А&| = А7,(11.8)
что соответствует падающему волновому пакету с угловой шириной порядка 入/А.
Для описания волны внутри кристалла мы сохраним (обобщенную) функцию Фо для фазы. Амплитуда Do становится комплексной функцией координат, зависящей от разности хода в кристалле и в вакууме. В частности, в случае совершенного кристалла мы имеем одну псевдопериодическую волну, отвечающую правой части уравнения (3.34), для каждого состояния поляризации. Из этого следует, что пограничное условие (3.29а) сводится к рассмотрению Do как непрерывной функции координат при переходе из вакуума в кристалл.
Волновое поле в кристалле будем описывать с помощью блоховской функции, однако теперь с переменными амплитудами [см. (2.36) и (2.38)]:
D = 2 刀тп^хр i [①力一2л (kmr)].(11.9)
m
В случае совершенного кристалла и плоских волн остаются постоянными (2.37):
km = kQ + 九皿 ^о = grad Фо.(И.Ю)
Однако в общем случае kQ и hm являются функциями координат. Мы можем определить в каждой точке вектор 九加，нормальный к системе плоскостей т (тройка индексов), причем
I 九т|=М ⑺.(11.11)
Тогда при переходе от плоскости с номером пт к плоскости той ，же системы пт + 1 имеем соотношение
^Пт = 1 =九捞龙尸，(11.12)
где dr — приращение радиуса-вектора г при переходе от данной точки г на пт-й плоскости к точке г + dr на (nm + 1)-й плоскости.
Считая далее чисто формально nm непрерывной функцией координат, которая принимает целочисленные значения на каждой плоскости т, находим
比m = grad(41.43)
D = 2 ^mexp i ((d0^ — 2лФш),(ИЛ4)
где
RnU)=①0 ⑺ + 〃记⑺.(44.15)
Заметим, что изложенный здесь способ введения функции пт не является строгим. Непрерывность пт, в частности, нарушается в кристаллах, содержащих дислокации. Тем не менее можно показать, чта результаты излагаемой теории применимы в общем случае произвольного распределения nm, если в деформированном кристалле выполняется условие (11.2).
Переходим к замечанию, касающемуся диэлектрической постоянной и поляризуемости в общем случае деформированного кристалла. Хотя диэлектрическая постоянная при этом не остается периодической функцией координат, но сохраняется условие (11.2), можно приближенно принимать & (г) экспоненциальной функцией пт в каждой системе т отражающих плоскостей. Для поляризуемости остаются в силе формулы (2.24), (2.34) и (2.35). В разложении Фурье (2.30), в соответствии со сделанным замечанием, учитываем (11.11). Таким образом, мы записываем
е(Н = 1 + %,% = 2%техр(—2 冗切加)，(И.16а)
%。=鲁鳥及，= XL —詁得及•(И.166)
Далее, соответственно анализу, проведенному в 4.1 и4.2 [например, (4.48)—(4.50)], запишем для общего случая поглощающего кристалла:
Хо = Хог + 玖 о»， Ха = % hr + 耽呪(И-17)
Одно из характерных отличий рассеяния в деформированных кристаллах есть зависимость угла отражения, или отклонения т] от координат. В этой главе в качестве угловой переменной используется величина
а = 2т] sin 2仇(11.18)
соответствующая удвоенной величине а из уравнения (3.6). Нетрудно видеть, что величина а из выражения (11.18) соответствует
приближенному значению выражений
а =乃о?[碌 + 2 (乃о"тл)]=入2 (~^— ~^—^ ,(11.19)
где как d, так и sin6 зависят от координат.
Перейдем теперь к выводу волнового уравнения для поля внутри кристалла и фундаментальных уравнений. При этом, так же как и в гл. 2, мы будем исходить из уравнений Максвелла.
Взяв ротор от обеих частей уравнений (2.2), получаем
rot rot Е = rot ^^ =^-备 rot H.(И .20)
Перепишем теперь (2.2) в виде [см. (2.9) и (2.10)]
rot Н = с-嘴.(11.21)
Подставляя (11.21) в (11.20) и переходя от вектора Е в левой части (11.20) к вектору 力，согласно соотношению
D = £石=(4 + %) Е, Е = (1 — 乂) D,(11.22)
получаем волновое уравнение для волн индукции D\
rot rot (4 — ％) I)=礬刀・(11.23)
При этом формально принято, что D зависит от времени так же, как и каждая из плоских волн в (11.14).
Для вычисления в явном виде левой части (11.23) перепишем сначала величину (1 — %) D, используя решение волнового уравнения (11.14) и Фурье-разложение поляризуемости (11.16а). При этом, по аналогии с соотношением обратных векторов в идеальном кристалле 九k + 九/ =九hi, принимаем 〃/^ + 〃/ =八计2：
Е = (1 + %) D = exp i^t { 2 An exp (— ^2лФт)—
-2 2 %m5 exp [-貶e(nm + ①h)]}=
=exphvio^exp (— йлфт),(11.24)
Qm = Dm — 2(11.25)
h
В дальнейшем множитель ехр (го)0^) опускается. Кроме того, используются связи
乃о = grad Фо, - hm = grad пт, кт = grad Фт.(44.26)
Слагающие по осям от двойного векторного произведения, согласно известным формулам векторного анализа, имеют вид
(rot rot 矶—等 + 嚏紹，(41.27)
где индексы 力 и к независимо принимают значения 1, 2, 3.
Для члена номер т в сумме в правой части (11.24) появятся следующие значения слагающих по осям после первого дифференцирования:
設(4 — %) Dmi^ ехр(- i2^\^-t^kmhQmi 卜(11.28)
Проведя второе дифференцирование и учитывая, что
8力km" дx^дх^8%kg тг，
получаем окончательно
rot rot (1 — X) D = 2 exp (— ^2лФт) ｛ 4# [碌Q^ —
—(%Om) %] + ^JTfcw ^~ 一 貶冗 grad (乃wQm)—
-22К?^ div Qm + ZZkQmA ①他-AQ?n +
+ grad div q" = 4・(41.29)
Подставляя (11.29) и блоховское решение в (11.23), получаем
筈 2 % ехр (一 貶冗&) = 4.(11.30)
т
Уравнение (11.30) имеет бесконечное число неизвестных. Предполагая, что эффективные расстояния, на которых меняются пред- экспоненциальные множители с номером т в (11.30), много больше длины волны с волновыми вектором кт (как будет показано последующими оценками), можно приравнять члены, относящиеся к различным волнам т. Составляя скалярные произведения каждого из членов (11.30) на Qm, получим для каждой волны
4л2 ｛碌嗚 一 ^ (ДпМ) - (Qm^m)2｝ + i2nkm grad Q^ + 3 ｛圆 x
X A①mQm grad (乃mQm)—(石mQm) div Qm +
+ Qm grad div Qm —。团厶篇｝=。・(11.31)
Заменяя в (11.31) Л^ на а% согласно (11.19) получаем
4核｛痂mQ^ -盾乡 Xm-hI>nQm -(以/)2 ｝ +
+ »2jt ｛乃th grad Qm -j- QтДФтQm grad (乃他Qm)
—(乃mQm) div 0rn + От grad div Qm — QwAQm｝. (11.32)
Система уравнений (11.32) содержит члены, существенно различающиеся по порядку величины. В последующем мы исключаем члены, малые сравнительно с Q^/九2 n 1 Ниже дается оценка порядка величины всех членов уравнения (11.32). Буквой т здесь обозначаются величины, малые по сравнению с единицей.
1.际《mQ^ ： am << 1, откуда 麻(XmQ^ ~ xQ^2\
2・自 ^m-h-^h^m • Xm-h <^^ 1, Откуда 耳口 Xm-hD ^Qm 〜tQm入?
(Qm乃/и)? : ввиду достаточно точной поперечности
〃九волн ： (Отп乃ти) ~ ^Qт^ч (Qm^zn)2 ~ ^Q^l^'i
кт grad Q^ : Qm медленно меняется на отрезках порядка 儿 кт grad Q^ ~ т(?т/^2；
Q諸①£ из (11.4) 一 (11.6), а также и (11.25) следует, что АФт ~ ①#爪2, одода Qm^Фm 〜t2Q^/M；
Qm grad (Qm乃m):左mQm 〜^Qm^ меняются медленно, отсюда Qm grad (Q7n乃力~改結九2；
(^mQm) div Qm :(乃mQzn) ~ ^Qm^, так как Qm медленно меняется на отрезках порядка А, то div Qm У Qm仄;
(乃znQzn) div Q7n ~ 1；2捲/入2；
Qm grad div。团：div Qm 〜rQm/九 медленно меняется на отрезках порядка X и Q7n grad div Qm ~ t2^V^2；
QmAQm : AQm ~ grad div。你，QmAOm ~ 改"入2.
Учитывая приведенные оценки и пренебрегая в (11.32) другими членами второго порядка малости, которые появляются при исключении Qm, согласно (11.25) перепишем (11.32) в следующем виде (после сокращения на /с^т, cos Xmh——поляризационный множитель)
%刀m — 2 Xm-h^h,cos X^ + 急 km grad Dm = 0.(11.33)
Кроме того, следует подчеркнуть, что в уравнениях (11.33) ве~ личины кт являются постоянными и соответствуют волновым векторам в идеальном кристалле. Таким образом, задача о распространении рентгеновских волн в реальном кристалле сводится к решению системы уравнений (11.33) в частных производных первого порядка с переменными а”，рассчитанными с учетом локального поля деформаций в данной точке кристалла.
В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением только двух волн (двухволновое приближение) 0 и А и рассеянием в центросимметричном кристалле.
Пусть §о и Sh ——единичные векторы в направлениях распространения преломленной и отраженной волн соответственно:
So =九乃о,s” =九乃八・(11.34)
Для любой точки плоскости отражения в кристалле имеем
Г = NoSo + 力働，(11.35)
и система уравнений (11.33) в двухволновом приближении записывается следующим образом:
'告戀■ =(%。- % 4 + 观％(11.36)
Как и в гл. 2 при выводе основных соотношений теории Эвальда— Лауэ, переход к двухволновому приближению позволил получить фундаментальные уравнения (11.36) в скалярной форме.
Очевидно далее, что в двухволновом случае мы можем включить поляризационный множитель cos Xmh, входящий в выражение (11.33), в величину %拉,добавляя значки J_ (ст丄-поляризация) и II (л-поляризация), при этом
猪= %h|cos2"|)T.(11.37)
Система (11.36) была впервые получена Такаги в 1962 г. [41]. В настоящее время она является основной системой уравнений при решении задачи о распространении пространственно-неоднородных рентгеновских волновых пакетов в кристалле и анализе проблемы изображения в рентгеновской дифракционной оптике (как в идеальном, так и в деформированном кристалле).
Дифракция рентгеновских лучей в идеальном кристалле в условиях пространственно-неоднородной динамической задачи.
Функция влияния точечного источника
Рассмотрим общий случай волнового пакета, падающего на поверхность идеального кристалла. Введем в плоскости отражения прямоугольную систему безразмерных координат с осью Ох, направленной антипараллельно вектору отражения ", и перейдем от косоугольной системы (§о§/ в уравнениях (11.36) к новой прямоугольной системе с помощью соотношений
况=竽~ (/0 —陶，2 =爷(况0 +冲).(11.38)
Уравнения (11.36) принимают вид
(11.39)
-2" (^- ^) Dh = % _ ao) Dh + %"00，
или, используя подстановки
00 = аеXp [-*， 以= 4eXp[一等J,(11.40)
получаем
-2»傍+ ^也=%m，
(11.41)(11.41)-2%乌 + / "=-办 + ^Dq,
(11.41)
(11.41)
В последующем изложении мы отбрасываем штрихи при До и Dh.
Система (11.41) соответствует телеграфному уравнению для амплитуд Do и Dh [152]:
Е121三{爲一爲 + »*[^+ *] + +} 2 = 0； 7 = °，①
(11.42)
Для построения решений (11.42) при произвольных граничных условиях введем в рассмотрение функции G (自一瑞 g — z), удовлетворяющие уравнению [47] '
(11.43)(11.43)£?臼=佇一至+ 方等发十备］+ + 争｝G = 6（E —况）3（C —z）・
(11.43)
(11.43)
Здесь 6(8)— дельта-функция Дирака. В формулах (11.42)—— (11.52) используется обозначение X2 = Х^Хк- Из определенияЗдесь 6(8)— дельта-функция Дирака. В формулах (11.42)—— (11.52) используется обозначение X2 = Х^Хк- Из определенияРис. 1иЗ. Схема ТакагиРис. 1иЗ. Схема ТакагиПоясняет определение волнового поля в точке В кристалла с помощью известных данных для Dj и ее нормальной производной на А А'三СПоясняет определение волнового поля в точке В кристалла с помощью известных данных для Dj и ее нормальной производной на А А'三Сфункции G (^ — X, С — z) и выражения (11.43) также следует
Здесь 6(8)— дельта-функция Дирака. В формулах (11.42)—— (11.52) используется обозначение X2 = Х^Хк- Из определения
Здесь 6(8)— дельта-функция Дирака. В формулах (11.42)—— (11.52) используется обозначение X2 = Х^Хк- Из определения
Рис. 1иЗ. Схема Такаги
Рис. 1иЗ. Схема Такаги
Поясняет определение волнового поля в точке В кристалла с помощью известных данных для Dj и ее нормальной производной на А А'三С
Поясняет определение волнового поля в точке В кристалла с помощью известных данных для Dj и ее нормальной производной на А А'三С
点［G］= 层一泰一导後 + 备）点［G］= 层一泰一导後 + 备）+++ 岑]G = 5(E — %)6 爲一2).(11.44)
点［G］= 层一泰一导後 + 备）
点［G］= 层一泰一导後 + 备）
+
+
В теории линейные дифференциальные операторы функции G, удовлетворяющие уравнениям с 6-функцией в правой части, носят название функций Грина.
Составим билинейную комбинацию —— тождество
{。倉,^ [G] — GL [Dj]}=
=35代一2)3售一z).(11.45)
Интегрируя тождество (11.45) в плоскости (nz) и переходя с помощью теоремы Грина от интеграла по площади к интегралу по контуру, ограничивающему данную площадь, находим интегральное соотношение, связывающее волновые поля внутри кристалла и на произволь-
но заданном контуре С:
十笠 dzj+ i^-GD^dz - d^.(11.46)
Если на контуре С известны значения функции D)и ее нормальной производной dDj/dn (эти значения могут быть заданы произвольно лишь для контуров, которые пересекаются прямыми ж + 2= const в одной точке [153]). то (11.46) дает решение задачи об определении волнового поля в любой точке кристалла (рис. 103). При этом функция G и ее производные являются функциями влияния, описывающими распространение локального возмущения волнового поля и играют в оптике рентгеновских лучей такую же роль, какую в световой оптике играет функция 7?」exp (ikR), описывающая, согласно принципу Гюйгенса-Френеля, распространение возмущения от элементарного источника.
В дальнейшем мы для простоты ограничимся рассмотрением симметричной дифракции рентгеновской волны по Лауэ и Брэггу на идеальном кристалле в виде плоскопараллельной пластины толщиной t.
Отражение по Лауэ в идеальном кристалле
Будем считать, что кристаллу соответствуют z〉0, входная поверхность кристалла совпадает с плоскостью z = 0. Распределение падающей волны при z = 0 имеет вид
a=國)(瑞力 & = (11.47)
Волновое поле в кристалле распространяется в положительном направлении оси z. Из физических соображений ясно, что в этом случае удобно выбрать в качестве функции G в (11.45) запаздывающую функцию Грина G(「)
宪Lz,d =等 Jo [等 U 售-z)2 - (^ - * X
X exp {- i + R - z)-(三-Z)] }e (之-2)Ie (W - z +
+ 三一优)-8(三一力一白一2)],(11.48)
где J。(z)——функция Бесселя нулевого порядка; 0 (z)——ступенчатая функция: 8 (z) = 1 при z〉0; 0 (z)=0 при z<0 и @8 (z)/@z= =6 (z). Непосредственной подстановкой (11.48) в уравнения (11.44) или (11.45) можно убедиться, что G。)обращает эти уравнения в тождества. Выражение (11.48) для функции G было впервые получено в работе Слободецкого, Чуховского и Инденбома [43] и независимо в работе Отье и Симона [44].
Из (11.46), используя (11.47) — (11.48), а также (11.41), и опуская промежуточные выкладки, получаем для волнового поля внутри кристалла следующие выражения:
Do (力,弘 z) = \ dxf。俨(К, у) Gqo (x — ", z),
(11.49)
4(%,〃z)= § ddD(；)8, y) Ghq M , z),4(%,〃z)= § ddD(；)8, y) Ghq M , z),X人传］/齐刁0 （z）田（力+ z） - 8 （况一窈.X人传］/齐刁0 （z）田（力+ z） - 8 （况一窈.
4(%,〃z)= § ddD(；)8, y) Ghq M , z),
4(%,〃z)= § ddD(；)8, y) Ghq M , z),
X人传］/齐刁0 （z）田（力+ z） - 8 （况一窈.
X人传］/齐刁0 （z）田（力+ z） - 8 （况一窈.
Формулы (11.49), (11.50) позволяют построить волновое поле внутри кристалла при произвольном распределении падающей волны на входной поверхности z = 0. Рассмотрим в качестве применения полученных формул изображение щели в поле дифрагированной волны, когда D^ (力，у) = О俨[8 (力 + а) — 8 (力一а)], где а ——полуширина щели. В этом случае для поля дифрагированной волны из (11.49), (11.50) имеем
.min(x+2：, а)
43/) =粤 \ Мхmax(x-z, -а)
X Л)(告 y/_ (①一")2)еXp[——^~0 一力+ 力')].(11.51)
При а -> оо (11.51) естественно переходят в классическое решение динамической задачи (см., например, (3.41))
&(%) =&(%) =力 sin (»/2) 了 1 + (а/2У)：力 sin (»/2) 了 1 + (а/2У)：У(1+(а/2%)2У(1+(а/2%)2ехрехр(11.52)(11.52)
&(%) =
&(%) =
力 sin (»/2) 了 1 + (а/2У)：
力 sin (»/2) 了 1 + (а/2У)：
У(1+(а/2%)2
У(1+(а/2%)2
ехр
ехр
(11.52)
(11.52)
Если полуширина щели а больше толщины кристалла t, решение (11.52) справедливо лишь для центральной «равномерно освещенной» области |ж| < а —力 а по краям изображения а — t \х\ < V а + 力 должны наблюдаться осцилляции интенсивности.
Если полуширина щели меньше толщины кристалла, равномерно освещенная область исчезает, а области осцилляций интенсивности накладываются, причем с уменьшением ширины щели или с увеличением толщины кристалла максимума интенсивности возрастают к краям изображения для прозрачного кристалла.
Напротив, в сильно поглощающем кристалле эти осцилляции интенсивности сглаживаются. На рис. 104, 105 приведены примеры изображений щели в дифрагированной волне, полученные с помощью формулы (11.51) для прозрачного и сильно поглощающего кристалла и различных значений параметров ос, а и %.
Отметим, что, как следует из (11.49), (11.50), в предельном случае бесконечно узкой щели ее изображение непосредственно дается функциями Goo в проходящей и GhQ в дифрагированной волнах, что соответствует результату теории Като (1961 г.) для падающей на кристалл сферической волны (см. гл. 6).
Рис. 104. Распределение интенсивности дифрагированной волны в случае прозрачного кристалла постоянной толщиныРис. 104. Распределение интенсивности дифрагированной волны в случае прозрачного кристалла постоянной толщины
Рис. 104. Распределение интенсивности дифрагированной волны в случае прозрачного кристалла постоянной толщины
Рис. 104. Распределение интенсивности дифрагированной волны в случае прозрачного кристалла постоянной толщины
а— a/z — 10-2; б — 2-10~2； в — 0,1； г — 0,25； 1 — а/ | X | — 0； 2 — 2; 3 — 4; 4 — 8
Представляет интерес вывод и физическая интерпретация функций влияния точечного источника, основанные на переходе от уравнений гиперболического типа для волнового поля в кристалле (задача Коши) к уравнениям эллиптического типа (задача Лапласа) [154]. Ниже кратко приводится теория построения функций влияния, как суперпозиции «обобщенных» плоских волн.
Выполняя замену переменных в уравнениях Такаги (11.36)
у” [X + iY] = &, у。[X 一 iY] = xh(11.53)
для амплитуды Dh (Х,У) находим следующее уравнение:
(爲+ 显 + 4d/中电m"产0.(U.54)
Амплитуду Dh (Х,У) можно формально рассматривать как комплексную амплитуду электромагнитной волны, удовлетворяющую уравнению (11.54) и граничным условиям на контуре Г (X = 0)
(11.55)(11.55)笠(江?)卜=一 2乳也机RD。(X,y) I г.
(11.55)
(11.55)
Рис. 105. Распределение интенсивности дифрагированной волны в случае поглощающего кристалла
Из физических соображений ясно, что /)”(Х,У) не может нарастать на бесконечности, когда (Х2 不 У2) -> ос, т. е. имеет место асимптотическое равенство VO”(Х,У) + а при Х2 4- У2 > оо. Уравнение (11.54) удобно представить в виде
LDh = 0.(11.56)
Здесь дифференциальный оператор L равен
厶=方уг + f?r + *
б2-4л2^С2ХЛТоЬ(11.57)
и действует на амплитуду Dh (Х,У) в области ◎' (X〉0).
Введем функцию распределения Т(Х,У) следующим образом:
Т = О”е(Х), •(11.58)
где 0 (X) — ступенчатая функция.
Действуя оператором L на тождество (11.58), находим уравнение для ^-функции:
LT
0
7J^
8(Х)-2
а — а/z == 4-Ю-2； б — 0,25;
в — 0,5; ос/ I X I равно： э — 0,5;
2—0；3—1；4—5
叫 de(x)
(11.59)
которое является неоднородным (с правой частью) двумерным волновым уравнением. Решение этого уравнения может
быть написано в виде «запаздывающих» и «опережающих» потен
циалов:
T = ^^dXfdYf [Н^(б7?) + Н^} (oR)] хm 腿(“ dDh 加(k)]
E2 =(X-Xz)2 +(y —『)2,
(11.60)
где 8$)(аЯ)——функция Ханкеля нулевого порядка первого или второго рода.
Учитывая граничные условия (11.55), соотношение
de(х)/〃х = з(X),
а также вспоминая, что в области Qz Т-функция совпадает с амплитудой Z)拉，окончательно находим
Dh (ХУ) = %；*$/〃 (О, X)[跳I)(。I 7? 一外 I) +
+ Н俨(。I А — 万 м е(IА _ RS D， (11.61)
где Rs — радиус-вектор контура Г三(О, У) Выражение (11.61) для амплитуды Dh полностью эквивалентно результату (11.49), полученному методом Римана, если воспользоваться функциональным соотношением
几⑺=4"山俨⑺一必2)(〃)]■
С другой стороны, последнее соотношение позволяет интерпретировать функцию влияния (11.48) как суперпозицию «обобщенных» плоских волн (математически описываемых функциями Ханкеля), распространяющихся от точечного источника, расположенного на поверхности кристалла.
Таким образом, изложенная трактовка процесса распространения рентгеновских волн в кристалле при наличии ограниченного волнового фронта падающей волны приводит к более общему представлению, согласно которому наблюдаемое распределение интенсивности может рассматриваться как интерференционная картина. В тех или иных специальных условиях эта картина отвечает наличию двух волновых полей (опыт Отье [16, 135]). В случае падающей плоской волны с неограниченным волновым фронтом интерференционная картина, известная как маятниковое решение динамической задачи, может быть вычислена как интерференция двух волновых полей ——физическая модель, использование которой не обязательно. Тот же результат может быть получен при использовании функций влияния по методу Римана.
Отсюда следует, что изложенная в гл. 2——5 и 7, 8 теория Эвальда —Лауэ — Захариасена не является единственно возможной трактовкой динамического рассеяния.' Вопрос о многоволновом рассеянии, который освещен в гл. 12 с позиций теории Эвальда — Лауэ в том случае, если желательно использовать функции влияния, потребует специального рассмотрения.
11 Л. Отражение по Брэггу в идеальном кристалле
С учетом выбранной нами системы координат области кристалла соответствует теперь 力〉0. Граничные условия имеют вид
(11.62)(11.62)Afz,力 /=0, Dh = 0,x — t.
(11.62)
(11.62)
Отметим, что в случае дифракции по Брэггу граничные условия задаются при различных значениях переменной 芻 поэтому построение решения для волнового поля не является столь очевидным, как это было в случае дифракции по Лауэ. Тем не менее эта задача была впервые решена Афанасьевым и Коном [45] ц независимо Урагами [46] методом Римана, обобщенного этими авторами на случай задания граничных условий (11.62).
Для единства изложения приведем здесь решение, основанное на использовании функций Грина G.
Введем в рассмотрение запаздывающую и опережающую функции Грина:
G,乙,J) =^~ JО— Z)2 — е 一 ％)2 X
X б е 一 %)I e (с - Z + e一支)一 e (с - Z 一 e + 况)I X
X exp [— i — (C — z —己 + 力)],(11.63a)
G佟普 J) =1- Jo (等 M(C — Z)2 — (E —力叶 X
X e(/-E)[e(c — z + E — £)-e(c — z-E + £)] x
X exp [ — i 等(C — z — E + /)] ,(11.636)
удовлетворяющие уравнениям (11.43), (11.44).
Полагая в (11.46) G = G®)и учитывая, что для G = G®)интеграл по прямой 力=0 равен нулю, имеем
Dh^Q - ； з仅八孚一欤)需 +治(。办)1.(U.64)
Вспоминая, что Dh\x=t = 0 и ^^ k=t =—岑 厶 (см. (11.41)), (11.64) можно представить в виде
〃怎？ = — Х与• X dzG^^-z^~t)D0(t,zY (И.65)
Для определения DQ (力 z) в (11.65) снова используем (11.46) с G = G。)，для которой обращается в нуль интеграл по прямой / =力
A«，z)= ； dz[A疇—G⑺芻十 i，欤囱』• (11.66)
Учитывая (11.41) и проводя тождественные преобразования,
преобразуем (11.66) к виду
4炉）=]&，[圆）（陪一等）+
(11.67)
Подставим (11.67) в (11.65). При этом мы получаем интегральное уравнение поля дифрагированной волны для каждого значения толщины Е. Так как нас в случае дифракции Брэгга интересует поле отраженной волны на входной поверхности кристалла, то, полагая Е = 0 и учитывая явный вид функций G(°)и G&)[(11.62), (11.63)], получаем искомое интегральное уравнение:
^(0, l) + ^^dzdzfJ0 住 V齐干几(-|-/^=^) X
X ехр [^-(2 + z)]后1 (С — z — z)=
X J。('"!"' У”？ 一 修 ехр I^-(2 + z，)] А (С — z — z) +
+eхp [—^-] \ dzJ0 -吁 X
X exp [—弓^ ] A (己一Z — £)・(11.68)
Интегральное уравнение (11.68) проще всего решить методом Фурье-преобразования:
(11.69)(11.69)Dh (0, J =孑 j Dh (а) ехр (崎 da, 4(a) = £ Dh (0,^)exp(— iaZ)d^
(11.69)
(11.69)
В результате такого преобразования после проведения непосредственных вычислений и использования табличного интеграла
^dZ^{~iaz)J0^V^) = 2 s吗*醤L ⑴.7。)
йа^одйМ
(11.71)(11.71)Dh(a)^G^^D0(a),
(11.71)
(11.71)
U(B) =sin (方 九2 一(产/4))
(a) _ sin Q J w一(炉/4) 一 Z 7 染一(戈/4) cos (方 mё?三方两).
(11.72)
Функция G(a)устанавливает связь между Фурье-компонентами искомой функции Dh (О, Е) и заданной на поверхности кристалла Z)『(С). В координатном пространстве эта связь имеет вид
(11.73)(11.74)(11.73)(11.74)А, (0,9= J G^^-z) D^(z)dz, б® © =击 j G(b)(a) exp (za。da.
(11.73)
(11.74)
(11.73)
(11.74)
Если на кристалл падает плоская волна, тоЕсли на кристалл падает плоская волна, то(11.75)(11.75)
Если на кристалл падает плоская волна, то
Если на кристалл падает плоская волна, то
(11.75)
(11.75)
Легко проверить, что, подставляя (11.75) в (11.74) и выполняя интегрирование сначала no z и затем по а, мы получим результат, который в точности соответствует результату классической динамической теории для дифракции Брэгга.
Отметим, что формулы (11.71), (11.72) можно получить непосредственно, раскладывая падающую волну на плоские волны и решая для каждой Фурье-компоненты динамическую задачу в ее классической постановке.
Таким образом, формулы (11.72)——(11.74) полностью решают поставленную задачу определения коля отраженной волны на входной поверхности кристалла при произвольном распределении падающей волны в случае дифракции Брэгга.
Нам осталось привести окончательное выражение для интеграла (11.74). Используя известные табличные интегралы, можно получить для G(b)(z) выражение в виде конечной суммы для любого фиксированного z:
6%)= ^exp J*z)纟2 (-1产佇屋嚣『X ' / n=0, m=n, n+1 '
2n (等 Mz2_(2£m)2)+
+三寨小+21等匕2 一(2硏0 (z — 2Е研.(11.76)
В важном для приложений случае бесконечно толстого кристалла « т 8)в (11.76) остается только первый член ряда с 〃 = 0:
G“ ⑶心8 = -^-exp»gzj 卩о (与■) + 丿2 (导)]8(z)・(1L77)
Применение обобщенной теории к деформированному кристаллу.
Связь угловой переменной “比 с полем деформаций
Пусть точка с радиус-вектором г* в результате деформации переходит в точку г. Аналогично, пусть 瓦几 есть значение вектора hm до деформации. Тогда уравнение плоскости с номером nh до деформации имеет вид
nh = hmv\(11.78)
Предположим, что при деформации кристалла точка О не подвергается смещению, т. е.
(11.79)(11.80)(11.79)(11.80)九тЛ (0)=比他.
(11.79)
(11.80)
(11.79)
(11.80)
С другой стороны, г = Г* + U
(и —— вектор смещения). Подставляя (11.80) в (11.78) и учитывая (11.79), находим
nh = (hm(O)\r — u]),(11.81)
hm = grad nh = hm (О) — grad (hm (。)〃)•(11.82)
Тогда величина а равна [см. (11.18), (11.19)]
a% =九2 {赚(°)4- grad2 [hm (О) и] — 2hm (。) grad [hm (О) и] +
+ 2战比优(0)+ 2面 grad [hm (。)%]}=州(0)-
-2九2航 grad [hm (О) u] + O (т2),(11.83)
или, используя (11.34), (11.35), получаем
(11.84)(11.84)а^ = % (О) — 2九為[hm (。) 〃],
(11.84)
(11.84)
где ah (см. (11.19)) определяет отклонение общей ориентации кристалла от точного условия Брэгга. Полагая окончательно
(11.85)(11.85)Xh = Xhr^ + i^l Xhr<0
(11.85)
(11.85)
(Х%г —— действительная величина), получим
久九久九砍八砍八(11.86)(11.86)&&X /4оX /4о(11.87)(11.87)
久九
久九
砍八
砍八
(11.86)
(11.86)
&
&
X /4о
X /4о
(11.87)
(11.87)
Представим систему уравнений (11.36) в виде
谶=(И-88)
i貶=(-計｝ a - a +沈)%
Ф = л (Лт (0) w).(11.89)
Изучение частного случая зависимости DQ и Dh только от толщины кристалла [155]
Будем искать решения основной системы (11.36), для которой амплитудыDq и Dh зависят только от одной переменной t — (и, г), где п ——единичный вектор нормали к поверхности входа кристалла (力 V 0 в кристалле и £ = 0 на входной поверхности).
Ясно, что существование подобных решений, которые в дальнейшем будут называться «собственными волнами», накладывает определенные ограничения на форму падающей волны и тип деформации кристалла, например, случай дифракции плоских рентгеновских волн на совершенном кристалле. Тем не менее изучение подобных решений имеет методическое значение, так как оно приводит к существенному упрощению расчетов. В частности, мы увидим, что число переменных в основной системе уравнений от двух сводится к одному и даже нулю, например в случае постоянного градиента деформации в кристалле бесконечной толщины.
Собственные волны. Мы называем «собственной волной» такую волну, для которой ah зависит только от 力.В общем случае падающий на кристалл пучок всегда расходящийся и дифракционная картина — суперпозиция бесконечного количества картин, соответствующих различным волновым векторам, содержащимся в падающем пучке. Для изучения дифракции на совершенных кристаллах этот пучок обычно разлагают на плоские волны. Метод Топэна заключается в том, что тип волны, выбираемой для этого разложения, зависит от рода деформации кристалла. Кроме того, необходимо, чтобы система собственных волн была полной, т. е. чтобы любая падающая волна могла быть представлена в виде суммы собственных волн.
Система дифференциальных уравнений для собственных волн [ср. (11.36)]
i之心嚟=加°° + X队
dDh
" ~ T拉飞厂加°拉-ahDh + %h4，
при этом
t с
°^ = аМ。)+ 山，(14.91)
о
力=То^о + Т 拉冲，То = (%§())； Т/г =(九$九)・(11.92)
Систему уравнений (11.90) необходимо дополнить граничными условиями, причем возможны два случая:
случай Лауэ (匕=¥拉/丫。〉0):
4 = 0,0。=國)(力=0)(11.93)
(矶°)— амплитуда волн в вакууме);
случай Брэгга (Ъ = уп/у0 V 0):
О拉=0 при t = %max (力max ——нижняя грань кристалла, для бесконечно толстого кристалла Zmax — — оо)
" = 0伊(力=0).(11.94)
Рассмотрим в качестве примера изогнутый кристалл. Пусть R — радиус кривизны плоскостей, положительный для 力》0. Ось ОХ лежит в плоскости падения, перпендикулярной оси О力， ось OY параллельна оси кривизны. Считая, что изгиб является строго цилиндрическим, имеем
их =^-, 〃у = 0,〃/ = }(力 + L -~-j ,(11.95)
где L —(九* + 2卩*)/九* (卩*,九* — коэффициенты Ламэ).
Учитывая (11.84), находим
В частности, в симметричном случае Брэгга Ъ = —1, yh = sin 仆,
■^Ь. — A_ (cos2 令一乙 sin2 令).(11.96)
В симметричном случае Лауэ b = 1
dah/dt = 0.(11.97)
Следовательно, интегральная отражательная способность та же самая, <го и для неизогнутого кристалла. Действительно, в этом случае величины ^ и d изменяются, но величина dsin» остается постоянной вдоль хода лучей [38].
Модификация основных уравнений (поглощающий кристалл)
Введем следующие обозначения:
А = ехр 割 ехр [—易],
=* ]/l^J 沟[一%"為J exp [一齣, л _ T拉出一丫。/。
Введем также величину
(1 в случае Лауэ,
[ —1 в случае Брэгга.
(11.98)(11.99)(11.100)(11.101)(11.98)(11.99)(11.100)(11.101)Основная система уравнений (11.90) принимает вид
(11.98)
(11.99)
(11.100)
(11.101)
(11.98)
(11.99)
(11.100)
(11.101)
" "^^ = a + 汉)&，- " "^" - 2Qh (g + 浓)+ £ a + %%)•
(11.102)
Здесь величины 夕 и g даны в (8.89), 乂 = Xhf/Xhr. Кроме того,
e（2言一急品（姆T））,e（2言一急品（姆T））,(11.103)(11.103)А y(A) = yQ + ^C(A)dA, о
e（2言一急品（姆T））,
e（2言一急品（姆T））,
(11.103)
(11.103)
где Z, /, к — независимо принимают значения 1,2; $伊 и s俨 являются проекциями соответствующих единичных векторов на нормаль п.
Рассмотрим случай отражения по Брэггу. Заметим, что в этом случае нас интересует величина
(11.104)(11.104)К 公—Qh（S —4（°）MW 大。5 一- A（0）уйй -
(11.104)
(11.104)
Естественно поэтому попытаться получить уравнение для определения только функции X (Л). Система (11.102) делением соответствующих уравнений на Qh и Q。преобразуется к виду
-iQo^^X^ + i^(11.105)
—'Qh ТэТ = 2 (д + %g) —j- (1 + %%)•
Вычитая почленно из первого уравнения второе, находим искомое уравнение:
I {dX/dA) = Х2(1 + 汉)—2Х(д + ig)十(1 十力乂)(11.106)
с граничным условием
Х = 0 (А = Атах).(ИЛ07)
Рассмотрим дифракцию Брэгга в случае однородного изгиба толстого кристалла много больше длины обычного поглощения, т. е.
*max ^> 卩‘•
При этом энергия, выходящая с обратной стороны кристалла, будет пренебрежимо мала (бесконечно толстый кристалл, ^тах = = —— оо). С учетом этого обстоятельства граничное условие (11.107) можно заменить следующим:
X = 0, (А = — х^г • р).(11.108)
Так как для однородного изгиба
У-У^) + СА,(11.109)
то удобно преобразовать уравнение (11.106), введя независимую переменную у:
ic (dX/dy) - X2 (1 + 汉)一 2Х ① + ig) + (1 + 次) (11.110) с граничным условием
X = 0 (夕=—eg. оо).(11.111)
Уравнение (11.110) является исходным для проверки динамической теории в однородно деформированном кристалле в случае дифракции Брэгга 1155]. Исследование кривых отражения обнаруживает, что при |с I V 0,1 нет отличия от кривой для совершенного кристалла. При |с| 二0,01 кривые имеют со стороны yeg〉0 осциллирующий хвост, убывающий в среднем как ехр (— |4 g沙/с|), в то время как часть кривой, заключенная в интервале от ——1 до 1, остается практически неизметшой. Если |с| ^> 1, главный максимум уменьшается и смещается вправо (yeg〉0), между тем как «хвост» вытягивается, давая широкую и сильно сплющенную кривую отражения.
Глава 12
ДИНАМИЧЕСКОЕ РАССЕЯНИЕ
В СЛУЧАЕ ТРЕХ СИЛЬНЫХ ВОЛН
Принципиальное рассмотрение многоволнового рассеяния было впервые выполнено Эвальдом в 1937 г. [156] на основе его динамической теории. В этой работе рассматривалось рентгеновское волновое поле, состоящее из п взаимодействующих между собой плоских волн, распространяющихся в кристалле. Согласно точке зрения автора, основные характеристики поля, а именно длины и направления волновых векторов кп и относительные значения амплитуд или напряженностей электрических и магнитных полей, определяются точкой А в обратном пространстве, названной автором точкой связи. При этом условие самосопряженности полного волнового поля приводит к выводу, что точка А должна лежать на дисперсионной поверхности А = 0 (см. гл. 2 и рис. 3). Эта поверхность должна иметь 2п листов. Такой подход принципиально позволяет определить преломленные и дифрагированные волны в вакууме использованием соответствующих условий на границах кристалл — вакуум.
Наряду с указанной теоретической работой Эвальда, следует отметить экспериментальное обнаружение и детальное исследование в двадцатых и тридцатых годах нашего века двух чисто динамических эффектов, связанных с многоволновым рассеянием.
Прежде всего это «просветление» (Aufhellung), открытое в 1923 г. Вагнером и детально исследованное Бергом и в особенности учеником Эвальда Майером [157]. Явление просветления заключается в том, что при использовании слегка расходящегося пучка лучей с конечным спектральным интервалом для получения определенного отражения от монокристалла можно поворотом вокруг одной из осей спектрографа юстировать кристалл в положение, отвечающее одновременно второму отражению. В таком случае на спектральной полосе, отвечающей первому отражению, возникает узкая светлая линия, обязанная изменению относительной интенсивности первого (главного) отражения при переходе к трехволновому рассеянию. Необходимо отметить, что уже в 1928 г. Майер использовал динамическую теорию Эвальда для расчета эффекта просветления, который рассматривался как трехволновое рассеяние с лежащими в одной плоскости волновыми векторами падающей (преломленной) и двух дифрагированных волн. В тео-
ретической части этой работы для рассмотрения трехволнового рассеяния использовался метод дисперсионной поверхности, и Майера можно считать предшественником современных исследователей.
Трехволновое рассеяние в более прямом смысле было открыто и исследовано Реннингером в 1937 г. и было им названо «непрямым возбуждением» (Umweganregung). Исследуя отражение рентгеновских лучей от кристалла алмаза, Реннингер наблюдал (обнаруженное еще до него) отражение 222, запрещенное для алмазной структуры. Как известно [158], возникновение этого отражения объясняется отклонением электронной оболочки атомов углерода в этой структуре от сферической симметрии и сосредоточением некоторой доли электронной плотности в межатомных «мостиках». Впрочем, это объяснение может считаться подтвержденным экспериментально скорее качественно, чем количественно.
Реннингер применил оригинальную методику эксперимента. Установив кристалл по отношению к падающему пучку в положение отражения (по Брэггу) второго порядка от плоскости (111), он регистрировал ионизационной камерой интенсивность отраженного пучка, вращая кристалл вокруг оси, нормальной к плоскости (111). При этом наблюдалось слабое постоянное отражение 222 и периодическое возникновение более или менее сильных пиков, обязанных отражениям от других плоскостей кристалла. Период этих «всплесков» интенсивности, в соответствии с шестерной симметрией оси [111] в обратной решетке, составлял 60°. Образование обнаруженных отражений при вращении кристалла алмаза вокруг оси [111] при угле падения, отвечающем отражению 222, непосредственно прослеживается на стереографической проекции кубического кристалла вдоль оси третьего порядка, если нанести соответствующие проекции окружностей основания конусов Косселя. Окружность конуса отражений 222 (которая проектируется без искажения) пересекает с указанным интервалом в 60° окружности конусов отражений 111, 133 и 113 поочередно. Легко показать, что, несмотря на пересечение окружностей конусов более сильных отражений 220 и 400, возникновение этих отражений невозможно, если учесть поляризацию отраженных волн.
Толчок к новым детальным исследованиям многоволнового рассеяния был вызван работой Бормана и Хартвига 1965 г. [30]. В этой работе исследовалось одновременное отражение 111 (пучок II) и 111 (пучок III) по Лауэ излучения Си Ка от кристаллической пластинки Ge. Применялся широкоугольный пучок и отражения регистрировались на фотопленке. Снимок представляет собой полоски двухволнового отражения, с более интенсивными пятнами, возникавшими в результате трехволнового рассеяния. Так как толщина пластинок Ge была 〜1 мм (卩力 а 30), то полученную картину можно было объяснить усилением аномального прохождения по сравнению с двухволновым случаем. Этот вывод
подтверждается тем, что при переходе от толщины 0,8 мм к 1,2 мм- полоски исчезали, в то время как точки оставались. Используя приближенное соотношение интенсивностей отражений от пластинок указанных толщин, авторы нашли минимальный коэффициент поглощения ~45 ст" и сопоставили его с соответствующими величинами:
卩=352 е, б^п(Ш) - 105
第(п (220) = 15 см? о儲п (1И) = 45 с%т.
На другом снимке зафиксированы случаи отражения, возникающие, если направить падающий пучок вдоль отраженных пучков II и III. Полученные снимки интересны, по меньшей мере, с двух точек зрения. Во-первых, иллюстрируется эквивалентность трехволнового отражения (но не двухволнового!) при циклической замене пучков II т III Во-вторых, обнаруживается образование отражения 200, запрещенного при двухволновом рассеянии.
Следует отметить, что дальнейшие экспериментальные исследования многоволнового рассеяния немногочисленны. Можно привести измерения Саксосио и Заяк [159], Уэбаха и Хильдебрандта [160] и Кацнельсона, Кисина и Поляковой [161], а также очень краткую заметку Хильдебрандта [162], в которой дана сводка выполненных им измерений ряда трех-, четырех- и шестиволновых отражений. Для отражений 111 зафиксированы многочисленные случаи усиления аномального прохождения по сравнению с двухволновым рассеянием. Вместе с тем до сих пор не зафиксированы надежные данные, указывающие на возрастание аномального прохождения для отражений типа 220.
Наряду с экспериментальными работами, начиная от 1965 г. были опубликованы теоретические работы, задачей которых наряду с разработкой общей теории многоволнового рассеяния был расчет векторов индукции, коэффициентов поглощения и интенсивностей прошедших и дифрагированных волн [159, 163—165] и [33]. Как будет показано далее, существенно различаются два типа многоволнового рассеяния (по преимуществу, трехволнового): первый тип, при котором волновые векторы 乃°, 〃小 乃/ лежат в одной плоскости, и второй тип, при котором указанные векторы не компланарны.
Рассеяние первого типа описывается уравнениями, которые являются обобщением системы (2.63) или (2.64). Аналогично уравнениям в форме (2.68), используя соотношения (2.70) и (2.76), запишем систему для случая трех отражений, для а-поляризации
(%о - 2£0)Dq + %声拉 + %『氏=°，
%/i°o +(Xo — 2%) Dh + Xh-iDi = 0, (12.4)
左A + Xi-hDh +(Xo — 2勿)Q =。
и для л-поляризации
(Хо — 2&о) Яо + 北兀 cos2^QhHh + XT cos 2仆。/区=0,
%九 cos 2行°九反о + (Xo — 2班)Hh + out cos 2必"乙=0,
(12.2)(12.3)(12.4)(12.2)(12.3)(12.4)兀 cos 2 仆 о® + xi-h cos 2^hlHh + (%o — 2加)％ = 0.
(12.2)
(12.3)
(12.4)
(12.2)
(12.3)
(12.4)
Отсюда можно получить
п 混(2% — ％。)+ %Мт п _"—(2% 一 刈)(2%一加)一1 ме
=x八(28/ -%。)cos2"0九 + 5i cos 280/ cos 2心从拄 (2% — %o) (2% — %。)一 I %h-i I2 cos2 28m
Выражения (12.3) и (12.4) обнаруживают две интересные особенности многоволнового рассеяния. Во-первых, в том случае, если %九=0, т. е., например, данное отражение является запрещенным, величины Dh и 斗，а следовательно, и интенсивность отражения не обязательно обращаются в нуль. Этот результат объясняет эффект Реннингера или «непрямое возбуждение». Наоборот, при отличных от нуля значениях %八,％/ и /^_/ второе слагаемое в числителе (12.3) и (12.4) может иметь знак, обратный первому, в результате чего значения Dh и Н^, а значит, и интенсивностей, могут быть сильно уменьшены. Это объясняет эффект «прояснения».'
Основной интерес представляет, однако, многоволновое рассеяние с некомпланарными волновыми векторами. Этот случай связан с трудностью в определении направлений и величин векторов индукции ввиду отсутствия стандартных направлений о- и л-поляризаций. Задача оказывается сложной также и потому, что дисперсионная поверхность является поверхностью шестого и более высокого порядка и ее исследование становится чрезвычайно трудным.
Общее и вместе с тем детальное рассмотрение трехволнового рассеяния дано в работах Эвальда и Хено [31, 32] к изложению которых мы и перейдем.
Рассеяние в прозрачном кристалле.
Опорные системы координат
Для анализа и описания волнового поля в кристалле в трехволновом приближении широко используется образ дисперсионной поверхности в обратном пространстве. При этом возможен различный выбор системы координат. Наиболее общей следует считать систему, связанную с тройкой волновых векторов, проведенных из точки Е ——точки Лоренца (на рис. 3 и 6) к соответствующим узлам обратной решетки. Эта тройка векторов показана на рис. 106. По построению точка Лоренца (Lo) является точкой
Рис. 106. Опорная система координат в обратном пространстве, используемая в теории трехволнового рассеяния Эвальда— ХеноРис. 106. Опорная система координат в обратном пространстве, используемая в теории трехволнового рассеяния Эвальда— Хено(12.7)(12.7)величина его проекций на прямую0九з _ (1 ⑵仇3无3).величина его проекций на прямую0九з _ (1 ⑵仇3无3).
Рис. 106. Опорная система координат в обратном пространстве, используемая в теории трехволнового рассеяния Эвальда— Хено
Рис. 106. Опорная система координат в обратном пространстве, используемая в теории трехволнового рассеяния Эвальда— Хено
(12.7)
(12.7)
величина его проекций на прямую0九з _ (1 ⑵仇3无3).
величина его проекций на прямую0九з _ (1 ⑵仇3无3).
пересечения сфер радиусом
"=41一1/21凡1), к^Кn. (12.5)
Соответствующие векторы обозначаются буквами kf^\ 历(2)и 历⑶，причем, если обозначить вектор Lo О = Lo 历⑴三—Lo,历(2)= - Lo +九2，
乃⑶=—Lo十坛•(12.6)
Очевидно, что волновые векторы динамического трехволнового рассеяния ki отличаются по направлениям от векторов 历«)лишь весьма незначительно. Мы вводим далее единичные векторы:
Lo— Lo + 比 2
S1 = 万， S2 = ^,
—Lo + Лз
Таким образом, наряду со стандартным началом координат в обратном
пространстве, точкой О, мы вводим новое начало, точку Lo, которая смещена относительно О на вектор Lo, согласно (12.6). Для определения величины вектора Lo, выраженной через векторы 九％ используем то обстоятельство, что точка Lo лежит на пересечении плоскостей, равноотстоящих от О и /г2 и О и 7j3 соответственно. Уравнения этих плоскостей получаются непосредственно, так как для любого вектора Ох,
кончающегося на такой плоскости, прямую。历2 составит (1/2)(九2无2), на Искомые уравнения имеют вид
(12.8)(12.8)（况儿2）= 4"成（况儿3）= 号 碌 自=I0加I.
(12.8)
(12.8)
Вектор Ox =Oxr, лежащий на пересечении указанных плоскостей в плоскости (儿2儿з)； с одной стороны, удовлетворяет уравнениям (12.8) и, с другой, может быть определен как О" = ah2 + Pfo3. Скалярным умножением этого уравнения на Л2 и Л3 и использованием (12.4) мы определяем а и 0. В результате
0х,=x, = & ［比2%3F {儿* ‘"* -(儿霜3)1 儿2 + 居［儿;一仇2%)］九3}・(12.9)
Расстояние OLo, очевидно, будет равно векторной сумме вектора Oxf и некоторого вектора, нормального к плоскости (九2%)，
Lo =心一у ［h2h3］=况.(12.10)
Возводя (12.10) в квадрат, подставляя ^ = к2 и значение 疗 из (12.9)，определяем неизвестное ”. Окончательное выражение для вектора Lo имеет вид
L0 = 2 [Л2Л3]2 U儿'一(九2九3)]居% +
+ [九之一(比2%)]无次3 -須[儿2比3]，
w = {4依伟2九3产一比/:(比2 -九3)2}%.(12.11)
Точка Лауэ La (точка М на рис. 3 и 6), по определению, соответствует пересечению сфер, проведенных из точек О,九2,九з радиусами К. Ввиду малого различия величин 乃 и К значение расстояния La Lo можно получить, заменяя в (12.7)乃 на К и используя переход
limAQ = 1^1 а^・(12.12)
Отсюда
-La Lo =%0.£2中*] .(12.13)
(4R2 [比2比3]2 -鸠嘱(比2 —比3)2)’/2、
Итак, роль исходной или «прямой» системы координат будет играть тройка векторов s», согласно (12.7), с общим началом в Lo. Объем «ячейки», опирающейся на векторы 6%, составляет
么=(电[s2sз)) = L (— Lo [(— Lo + 儿2)(— Lo 十瓦3升)=
nL — Lo^z^lQLmMpE^Fn 謂・(12.14)
Далее будут также использоваться безразмерные векторы
“2 =熱2乃-1 Яз = ^з^_1?(12.15)
модули которых соответственно условию Вульфа ——Брэгга отвечают величинам 2 sin 仆2 n 2 sin ®з, где углы 仆2 и 9з отвечают исправленному (на преломление) закону Вульфа —— Брэгга. С использованием новых переменных значения w и vs переписываются в виде
須=乃3 /旬小小产-嘴嘴(出一%)2,
% = 4/2 У4 [т]2Пз]2 —噹％ (电一Пз)2.(12.16)
Для исследования дисперсионной поверхности используется система координат, обратная по отношению к системе s” Единичные векторы обратных осей & определяются с помощью стандартных соотношений:
£3 =[电殓]/%=[-Lo/]/乃2%,
力2 =[靠母]/% = [Lo 比3]/无2%,
ti = [s2s3】/% = {【一Lo, % —九2】+ lh2h3]}/k2vs =
=—力 2 —力3 + [儿2%]僧％(12.17)
Из этих соотношений следует, что векторная сумма
协+右2 +力3 =[九2九з1修乙三1"2"3】/%(1218)
направлена нормально к плоскости 仇2%)，т- е- совпадает с направлением La Lo.
Явные выражения для & в функции от "» имеют вид
力 1 = 2%[瓦11# {("2%) ("2 一 电户["2"3] - 2%"%"31 ("2 一 "3)]},
力=吋而# {[噹吗一嘴("2"3)]["2"3] - 2%[["2113]"3]},
方3 =玩击卧{[噹噸一哨("2"3)][%"3] - 2%[[小"3]恥1}・(12.19)
Пространственное соотношение между системами 当(历0 и 灰 было показано на рис. 106.
Для вектора——La Lo вместо (12.9) можно написать (используя (12.18))
—La Lo = 1/2 Ла。(ГТ?)(右 + 力2+右3)弋 1/2 乃儿(力 +柒 + %), (12.20)
где n ——показатель преломления.
Ось, направленная вдоль (hjb^ и проходящая через точки Lo и La, получает наименование главной оси и точки ее пересечения с дисперсионной поверхностью ——наименование главных точек.
Положение точки возбуждения А относительно точки О оп-、 ределяется вектором
Lo 4 三 2 = Lo + 1/2 Ла。％(12.21)
где 0 — безразмерный единичный вектор, направленный от Lo к А. Соответственно, точка Лауэ определяется соотношением
0La =右1 + 力2 + *3。，(12.22)
Понимая под вектором 历》волновой вектор, относящийся к точке возбуждения Л, запишем его значение в виде
必=似用一1/2凡0),(12.23)
где в общем случае
0 = 2m，(12.24)
Множитель л;» связывает 0 с величинами £^ и, следовател) но, с нашими угловыми функциями. Запишем
2e一%0=2e一%0=2% + [ Хо [2% + [ Хо [ХоХо1%。11%。1
2e一%0=
2e一%0=
2% + [ Хо [
2% + [ Хо [
Хо
Хо
1%。1
1%。1
или, так как
2q 十 I 瓦 I у 2 依一 © kT+ I 凡 I = 2 % 一 K) К 一* то
(12.25)(12.25)_(勺一〃)MR 1/2K |不| •
(12.25)
(12.25)
Система фундаментальных уравнений (2.49) в случае трех сильных волн
и уравнение дисперсионной поверхности
при рассеянии в прозрачном кристалле
Перенесем в уравнениях (2.49) в левую сторону члены %n-nDn^m]. Для трех волн система (2.49) может быть переписана следующим образом:
(2ё1 - %001一%12。2口] - %13普3口] = °,
-%21。1[2] + (2g2 - %1)02 - x23刀3[2] — °,(12.26)
一 x31 刀 1[3] 一 %32普2[3] + (283 一 %1)刀3 = °・
«Здесь используется соотношение, вытекающее из (2.55) ввиду малости величин &т：
(12.27(12.27艮一2暗一 K、工況介
(12.27
(12.27
Далее мы разлагаем каждый из векторов Dm на слагающие, параллельные и перпендикулярные каждому из волновых векторов кт:
刀тп ~ 刀гп[п] + 刀ггфг, ^, 72 = 1, 2, 3, Ш =^= 72.(12.28)
Принимая в дальнейшем изложении Хо = Хи введем величины
(^九=am=n = 1.(12.29)
Подставляя (12.28) и (12.29) в систему (12.26), получим
e1普1 + a12^2 + а13 о 3 =大 1S1,
а?]刀 1 +。2普2 十 ^23^3 =九2s2,(1 2.30)
a31 。 1 + аз2 。 2 +。3 。 3 =大 3s3。
В этих уравнениях принято, что значения коэффициентов 入》 лишь незначительно изменились бы при замене единичных векторов Si на те, которые точно отвечают направлениям 乃八 согласно (12.23).
Переходим к рассмотрению решения данной системы в двух принципиально различных случаях.
Все Хт равны нулю. Тогда векторы Dn не дают вклада в направление вектора кт, другими словами, Dn\\Dmi или все три
вектора индукции лежат в одной плоскости. Определение величин этих векторов сводится к решению скалярной системы уравнений, основанному на значении детерминанта
a =a21а31a =a21а31а12 а13 R а?з 0.a32。3а12 а13 R а?з 0.a32。3(12.31)(12.31)
a =a21
а31
a =a21
а31
а12 а13 R а?з 0.
a32。3
а12 а13 R а?з 0.
a32。3
(12.31)
(12.31)
Этот случай рассмотрен выше [см. (12.1) — (12.4)].
2. Детерминант А и хотя бы одна из величин А» не равны нулю. Тогда решение системы (12.30) для векторов индукции имеет вид
九资1 a12 a13
e1 九 181®L3
АА =
九 2s2 °2^23
,△刀2 =
(X21 九 2§2 ^23
九3s3 ^^ f3
aз1 九3s3。3
(12.32)
口 ^12九1班
А刀з =
a21p2 大 2s2
•
a31 a32 大 3s3
Очевидно,,
для получения величин J9Z в явном виде необходимо
исключить
неизвестные коэффициенты 九八 С этой
целью прежде
всего составим скалярные произведения уравнений (12.32) на еди
ничные векторы Si, б?迈 £з соответственно. При этом мы получим систему линейных однородных уравнений для 九》. Эта система имеет решение при условии равенства нулю детерминанта, составленного из коэффициентов при %. Следовательно, соответствующее уравнение (12.33) является уравнением дисперсионной поверхности в трехволновом случае. Вводя обозначения для скаляров smn = (mJ smm = 1, получим
t2
a32
a23
°3
-521
a12
&2
a13 %
531
tt12
°2
a13
々23
Д'=
—Si?
a21
备1
a23
°3
J
a31
a13 %
—$23
tl
a21
询3
a23
=0.
$13
a21
a31
a32
—$2з
口
^31
^12
a32
G a21
^12
°2
(
12.33)
Первое весьма существенное замечание, касающееся детерминанта А', относится к оценке относительных значений образующих его элементов; smn имеют значения косинусов соответствующих углов между волновыми векторами; численные значения awn заключены в пределах от 〜1 до 〜0,5 н- 0,6, наконец, Tf имеют значения^ которые можно пояснить отношением величин 三 к 1/2 К |%0| на
рис. 6 и которые, следовательно, меняются в области максимума в пределах от 〜0,5 до 〜2 -н 3 и могут принимать большие значения на самых краях области отражения.
Отсюда мы заключаем, что помимо случаев значительного отклонения падающей волны от середины максимума, все элементы детерминанта в (12.33) являются величинами порядка единицы.
Вводим дополнительно следующие обозначения:(电电)(s2sз) • •(禽財)=^12 3- В тех случаях, когда необходимо показать циклическую перемену индексов, не используются соотношения smn = snm
2c 三《123 + a321,^1^2 三 e12,t1°2。3 三 °123,
%2a23 三々1223，a12a23a31 = a123*(12.34》
Величины awn являются выражением динамической связи или взаимодействия соответствующих волн в кристалле. Величины» типа а1223 отражают более сложное непрямое взаимодействие волн 7 и 2 через посредство волны 3. Наконец, величина а123 относится, к обратному эффекту взаимодействия волн 1 т 2 т 3 т 1, аналогично обратной связи или самоиндукции.
Перепишем теперь уравнение (12.33) по нисходящим степеням 叫 но с использованием (12.34):
А'=寸23 - 5з {[% I。23 I (1 十•％)十〈2 I。31 I2 (1 + S；1)+
+ Г I a12 Г (1 + S；2)]} — G232c ($123 — $；2 — S^ — S簿十
+ 2s123 {[^12 I a1332 |2 + 兀23 I a2113 F +。31 I a3221 |2]} +
+ [^12 I a1332 P (1 — S；2)+。23 I a2113 卩 U — S銹十 Г31 |。3221『X
X 口 一 %)] + [^( a2314 s^3 + " I a311鹫]+ " ( a121^2] -
-2C fti I a23 (2(S]23 + S；3)+ 工2 I a31 !2 ($123 + S簿+ T3 ! a12 |2 X
X ($123 + s；?)] + 4c2s123 — I a123『成=0,(12.35)
个=1 + 2s123 — s；2 — s；3 — s；i・(12.36》
Выражение (12.36)——стандартное для объема триклинной элементарной ячейки с периодами а = b = с = i [см. также (12.14)]..
12.3. Анализ уравнения дисперсионной поверхности
в случае прозрачного кристалла
Приравнивая нулю содержимое в фигурных скобках, мы получаем .для (qt?) Два значения:
f I а12 Г ~
Нетрудно видеть, что эти два решения различаются множителем, ■который совпадает со значением множителя поляризации для л-колебаний вектора индукции. Решения (12.38) соответствуют гиперболическим цилиндрам (вдоль оси t3). Другими словами, они означают переход от трехволнового к двухволновому приближению.
Зависимость от перестановок (номеров) векторов kt. Как и следовало ожидать, дисперсионная поверхность инвариантна к циклическим перестановкам номеров Z, 2, 3 волновых векторов. Зто видно из того, что отдельные части А' в (12.35), отвечающие каждой степени т», образуются по правилу циклических перестановок, а величины |а12з|2, 2С, s123 и 電 остаются при этом неизменными. При нециклических перестановках изменяется положительное направление главной оси и дисперсионная поверхность строится с обратной стороны плоскости векторов h2 и h3.
Фазовые соотношения. Из уравнения (12.35) следует, что фазы коэффициентов связи amn = |awn| exp %屮俏九 входят только через посредство величины
2c a123 + a321 1a1231 2 cos (р, (12.39、
9=%2 + 9 23 + 屮 31・ (12.40)
Таким образом, отдельные фазы не влияют на дисперсионную поверхность, и, следовательно, при фиксированных значениях двух отдельных фаз третья может быть определена из геометрии дисперсионной поверхности.
В связи с этим следует сделать принципиальное замечание, касающееся выполнимости закона Фриделя при трехволновом рассеянии. Как было специально отмечено в конце гл. 4, закон Фриделя при двухволновом рассеянии нарушается лишь для случая поглощающего кристалла без центра симметрии. В отличие от этого при трехволновом рассеянии закон Фриделя нарушается также и в случае прозрачного кристалла. Действительно, при обращении (переориентации) полярного направления в нецентросимметричном кристалле изменяется знак ср, а следовательно, и интенсивность отражений [166].
Центросимметричностъ дисперсионной поверхности. Имеет место лишь при условии С = 0, так как величина С входит в оба члена в А' (12.35), содержащие нечетные степени т. Нулевое значение С может определяться либо равенством нулю одного из 仪俏九,либо значением 屮=冗/2 в (12.39). Центром симметрии дис- лерсионной поверхности в указанных случаях, очевидно, будет точка Lo.
Следствия обращения 6 нуль величины а123. В этом случае постоянные члены в (12.35) (не зависящие от xf) обращаются в нуль, и, кроме того, при этом нижняя степень т ——квадратная. В результате точка Lo, для которой все т» = 0, является по меньшей мере двойной, т. е. через нее проходят два из шести листов дисперсионной поверхности. Кроме того, при этом, согласно условию 4, точка Lo будет также центром симметрии дисперсионной поверхности.
Главные точки при а123 = 0. Допустим, что один из коэффициентов связи, например, а23 = 0. В этом случае все шесть главных точек действительны. Пусть q = % = ^з = т. Уравнение (12.35) сведется к следующему:
А，= т2 [т4 一 产忆 + n2] = 0, (12.41) где
Ni = {|“2|2(l+s；2)+|ai3|2(l+s；3)},
N2 = {1 *112 !2 (1 + 2s123 - S銹 + I 的2 限；2 + I a13 i4^3}.
Решая уравнение (12.41), получаем соответствующие шесть значений т, положительных и отрицательных. Четыре корня, отвечающие выражению в квадратных скобках, являются действительными, так как дискриминант [TV^ — 4 生]〉。・
Сечение дисперсионной поверхности 6 случае а23 = 0. Сечение плоскостью (力2，力з) состоит из пары прямых, проходящих через Lo. Если единичные векторы % и §з связаны плоскостью симметрии, проходящей через s「тогда вектор Т перпендикулярен к С— Сечение состоит из двух осей Т и двух пар гипербол, взаимное расположение которых зависит от соотношения параметров and, являющихся функциями а и s.
Точечная решетка. В некоторых случаях представляет интерес рассмотрение рассеяния в точечной решетке, для которой все а, заданные выражением (12.29), обращаются в единицу (например, рассеяние нейтронов при единичном температурном множителе). Эта модель соответствует в теории Эвальда точечным диполям. Благодаря условию a = 1 упрощаются выражения для А「например, (12.33).
Условие, определяющее прохождение дисперсионной поверхности через точку La. Принимая, согласно (12.22), все 口 = 1 и используя модель точечной решетки, т. е. условия a = 1 и С = =1, получим из уравнения (12.35)
1 + 2*23—2 s焉一W = 0, (12.42) условие, которое всегда выполняется [см. 12.36].
Три {взаимно) ортогональных волновых вектора. Если все smn = 0, то из уравнения (12.35) остается лишь первое (тройное) произведение:
(§тп = 0)=(豆2 — |%2『)& — I &з 产)(％ — |a13|2) = 0. (12.43)
Это уравнение в обратном пространстве описывает три пары взаимно пересекающихся недеформированных гиперболических цилиндра для трех пар векторов s】,s?； §2, §з； §з, §i・ Существенной чертой полученного решения является такая ориентация векторов индукции, которая исключает распространение волнового поля в третьем (по отношению к данной паре тп) направлении. Другими словами, соответствующие волновые поля не связаны между собой. Трехволновое поле распадается на три двухволновых.
Рассеяние в кристаллах кремния и германия
Очевидно, представляет интерес применение изложенной общей теории (без учета поглощения) к наиболее важному в настоящее время случаю рассеяния в кристаллах Ge и Si. Структурные амплитуды, а следовательно, и величины awn для алмазной решетки зависят только от суммы индексов Н = ^hi и принимают одно из четырехзначений:
Н = 4п,откудаа = 4,
Н = 4〃 十 2,а=О,
Я = 4n 1,а=ехр(—Е/4): У 2,
Н = 4〃 — 4,а=ехр(+ш/4):У2
(п ——любое целое число), и обозначаются 1,0, «——», «+» соответственно.
Так как волна 2, или ООО, соответствует величине Н = 4п при 八=0, то коэффициенты связи а12 и а13 соответствуют коэффициентам а2 и а3. Используя циклические перестановки, можно составить следующую схему всех возможных комбинаций значений Н и коэффициентов связи в случае Ge и Si для точечной решетки (в вершинах треугольников даны значения Я, на серединах граней ——значения awn):
4"4"4"以 ，〃4"4"4"以 ，〃14"24r7+2 34"吆 4 4〃〃14"24r7+2 34"吆 4 4〃〃
4"4"4"以 ，〃
4"4"4"以 ，〃
14"24r7+2 34"吆 4 4〃〃
14"24r7+2 34"吆 4 4〃〃
Рассматривая диаграмму, можно отметить, что случаи 2 и 3 не представляют интереса, так как одно из отражений не взаимодействует с остальными. Случаи 4 и 5 принципиально эквивалентны. Наибольший интерес, помимо случая 1, представляют случаи 6 и 8, соответствующие «непрямому возбуждению». При этом случай 6 соответствует истинному «непрямому возбуждению», если учесть, что волна 1 есть падающая волна. Случай 8 ——это «непрямое возбуждение» в том смысле, что обе отраженные волны взаимодействуют не непосредственно, а через падающую волну.
При переходе к кубической структуре с использованием безразмерных векторов 1), согласно (12.15), значения скалярных произведений принимают простую 而орму
S12 =' 一 噹)，S13 = [4 - g 嚼)，
S23 = ['^ (貝2 — Пз)2】・(12.44)
Рассмотрим теперь случаи 1, 6 и 8 на схеме.
Случай 1 ——максимальная связь между отражениями,仪捞九二 = 1. Принимая также j = т, получим из (12.35).
А，= “ 一 4)3 к + 1)3-(т + 1)3 4п 一 2sl23] = 0.(12.45)
Для точки Лауэ La первых три корня (т = 1) независимы от углов между волновыми векторами. Что касается уравнения третьей степени относительно (т + 1), то непосредственно устанавливаем, что оно не имеет корней, отвечающих t〉1, т. е. дисперсионная поверхность не проходит над точкой Лауэ.
Случай 6 ——истинное ^непрямое возбуждением. Отражение 4八 + 2 является запрещенным и непосредственно не связано с падающей волной 7. Однако обе волны связаны через 4 n —1. Принимая а12 = 0 и для простоты а13 = а23 = а, получим для главной точки (rf = т)
А，= d Е 一 12 1a |2(2 十 s；3 十 s^ + 网& (2s】23 十 1 一 眩 +
+ ^з+^з)Ь(12.46)
В этом случае точка Lo соответствует двум корням т = 0 , являясь центром симметрии дисперсионной поверхности. Значения других главных точек определяются решением уравнения, отвечающего выражению в квадратных скобках в (12.46). В частном случае, когда волновые векторы 7 и 2 взаимно перпендикулярны, соответствующие корни принимают значения т2 = 1, т2 = 1 + + 51з + s；3・ Случай соответствует определенному значению а/К.
Случай 8 ——окольное《непрямое возбуждением. Этот случай представляет особый интерес по двум причинам. Во-первых, он отвечает схеме эксперимента Бормана и Хартвига [30], рассмотренного в 12.1. Кроме того, как уже указывалось, он был детально рассмотрен в работе Хильдебрандта [33]. Здесь отражения 111
и 111 непосредственно между собой не взаимодействуют, а лишь через посредство падающей волны. Это объясняется тем, что значение коэффициента а23, отвечающего отражению (111) — (111) = = 020, равно нулю, отражение 020 — запрещено. Уравнение дисперсионной поверхности (12.35) принимает вид
А'=冗23 — % °123 [ 3 (4 十 S；3)+ T3 (1 + S；2)J + 1/4T2T3 (1 + 2s123—
-s^ 十 %爲端+T豬2)= 0・ (12.47)
Весьма существенным здесь является анализ сечения дисперсионной поверхности плоскостью симметрии, каковой является плоскость (100). Такое сечение описывается уравнением, которое можно получить из (12.47), если учесть, что в этом случае 〈2 = ^3 = % S12 = S]3 = s，$23 = s'. Откуда уравнение сечения 厶，=工2 反户 一 i/2(1 + 252-?)][т1т 一 1/2 (1 + s')] = 0. (12.48)
Решением этого уравнения являются две асимптоты, на которых т2 = т3 = 0, и две гиперболы. Асимптоты пересекаются в точка Lo. Обе гиперболы отвечают значениям т и т17 имеющим одинаковый знак, что следует из положительного знака величины (1 + + 2s2 — s)
Отметим полное соответствие между изложенной характеристикой сечения дисперсионной поверхности плоскостью симметрии и чертежом, приведенным в работе Хильдебрандта [33]. Ниже мы еще остановимся на сопоставлении результатов обеих работ.
Эвальд и Хено показали, что в трехволновом[случае отражений 111/111/020 излучения СиКа от Ge лист дисперсионной поверхности, расположенный между точками Lo и La, пересекает главную ось ближе к точке La, чем в случаях одной или двух волн. В случае одной волны точкой возбуждения следует считать точку Lo, находящуюся на расстоянии т = 1 от точки La. В двухволновом случае для точечной решетки можно использовать решение дисперсионной поверхности в асимптотическом рассмотрении (12.38):
豆=т2 — |сх121 = 2一1 % 弋 0,707.
Наконец, в трехволновом случае для точечной решетки следует использовать решение (12.48). При этом s=s12 = s13 cos28m = =0,889,6’ = 52з = cosZOzoo = 0,852, соответственно корни (12.44) составляют т；。厂=0,9623, т(2) = 0,9297.
В результате минимальное расстояние дисперсионной поверхности от точки La в случаях изолированной волны (I), двух волн (П) и трех волн (III) равно
(I) 一 26,5, (II) -7 ,76, (III) 一 1.
Каково физическое содержание этих параметров? Согласно модели Эвальда, диполи, образующие кристаллическую решетку*
приходят в колебание под влиянием внешнего поля. Колебания диполей, в свою очередь, являются источником электромагнитного поля внутри кристалла. Можно показать, что уменьшение расстояния точки возбуждения, лежащей на дисперсионной поверхности, от точки La означает усиление резонанса, т. е. уменьшение амплитуды дипольных волн, необходимых для создания волнового поля в кристалле. Соответственно увеличение указанного расстояния означает увеличение дипольной амплитуды. Между тем поглощение энергии поля в кристалле пропорционально дипольной амплитуде и, следовательно, растет с увеличением расстояния точки Л от точки La.
Следует подчеркнуть, что изложенная модель находится в соответствии с той формой динамической теории, которая исполЬ' зуется в гл. 2—8, хотя представления о диполях там не привлекаются. Действительно, согласно теории рассеяния в поглощающем кристалле, изложенной в гл. 4, наименьшим поглощением сопровождаются волны, связанные с точкой возбуждения на второй дисперсионной кривой, лежащей ближе к точке Лауэ. Кроме того, величина интерференционного коэффициента поглощения [см. (4.93) и (4.94)1
。"〜(1+ 徜” (12.49)
и, следовательно, с возрастанием уг или с удалением от точки La величина о力 уменьшается и полный коэффициент поглощения (От — S)возрастает.
Обращаясь к трехволновому случаю, замечаем, что сопоставление расстояний от La указывает на усиление эффекта аномального прохождения рентгеновских лучей в поглощающем кристалле..
Рассеяние в поглощающем кристалле. Введение комплексных параметров рассеяния
Дополнительно к параметрам рассеяния в поглощающем кристалле, введенным в 4.2, здесь необходимо ввести комплексные величины а и т, заданные в действительной форме в (12.29) и (12.25). Величины amn преобразуются следующим образом:
% 黑=%hr，
X^n三％M・
(12.50)
Нетрудно видеть, что
(12.51)
Для комплексной формы параметров тЛ можно написать
(12.52)(12.52)_ 加一住—[(“Г —阮г) + i 的一^Лг)] (XOr — %。
(12.52)
(12.52)
Xh = Я^ =1/2码(%Г十%0]2
Учитывая, что
кг = К (1 -}- % %ог), 网=% ^%oi?4лА/^ = 4лДК/г =。”
и коэффициент поглощения (полный) в направлении kh для волны 九 динамического рассеяния
о 九=а?Л,(12.53)
получим, после выполнения действий, указанных в числителе (12.52), и деления числителя и знаменателя на 1/2 К%^,
TQfe^+氯1-学启]/Г +俊)1’ i254 汽П启一 fc^y / [1+借力•"即
При этом, аналогично (12.51),
^h 二二 / h 十 Th — , ^h = / /1 ^h 7,
Лог人Or
P” — ^hri
rp' _ 〃r - 〃/irh=% k瓦;rp' _ 〃r - 〃/irh=% k瓦;(12.55)(12.55)
rp' _ 〃r - 〃/irh=% k瓦;
rp' _ 〃r - 〃/irh=% k瓦;
(12.55)
(12.55)
(12.56)(12.56)Теперь введем формальный способ записи величин а и % используя обозначение 0皿九,согласно условию
(12.56)
(12.56)
几у, т…h・
Далее, § = 0^ 十 方§。и величины 0" и §“ связаны соотношениями типа (12.55). Величины 俨 и р。имеют следующий смысл:
，yd, а
qd, а 厶d, а [ %oi*0Гqd, а 厶d, а [ %oi*0Г&а, dpmn，&а, dpmn，吃：= 胃'(12.57)
qd, а 厶d, а [ %oi
*0Г
qd, а 厶d, а [ %oi
*0Г
&а, d
pmn，
&а, d
pmn，
I Т九,Т九,т = n = h.
У равнение дисперсионной поверхности в случае поглощающего кристалла.
Коэффициент поглощения
Используя формальный способ записи (12.56), получим уравнение (12.33) в виде-
А' (Ршп) =。， А' (%, ат/ — 0・(12.58)
При введении в (12.58) разложения р на действительную и мнимую части мы получаем детерминант, который в отличие от прежнего включает величины, отличающиеся по порядку, хотя это различие имеет место «внутри» каждого элемента А'・ Разложением дисперсионной функции в ряд Тэйлора удается разделить А' на две функции, зависящие только от действительных и от мнимых частей. Этот результат является фундаментальным в излагаемой теории. Приводим упомянутое разложение уравнения дисперсионной поверхности:
где2 г * 偉师)]=必，%)где2 г * 偉师)]=必，%)(12.59)(12.59)(12.60)(12.60)
где
2 г * 偉师)]=必，%)
где
2 г * 偉师)]=必，%)
(12.59)
(12.59)
(12.60)
(12.60)
Разложение (12.59), очевидно, можно записать кратко следующим образом:
a‘三 a；+ 込；=0,(12.61)
где А「и А^ являются действительными функциями и равенство нулю детерминанта в (12.58) может быть выполнено лишь при одновременном выполнении двух условий:
А； = 0,& = °.(12.62)
В нашем случае четной степени функции А' выражения (12.62) переписываются так:
дг = A'(pD — ^-(2+^(»踪九新) 一
^тп 叩7rm /'mn u^mnl
—康(2 端几凱j =0，(12.63)
'mnn‘
Очевидно, числа в круглых скобках справа наверху при членах разложения одновременно обозначают степень при р^п и порядок производной. Отсюда, если использовать приближение, лежащее в основе теории для поглощающего кристалла, а именно, малость Pmn сравнительно с |3黑(см. соотношения (12.57)), мы получим из (12.63) нужный результат
A；^Az(PD-0, (12.64а)
И1 "黑)И1 "黑)吗吗++d^тпd^тптп ^mnтп ^mn办‘（丁拉，"黑）датп办‘（丁拉，"黑）датпО,О,(12.646)(12.646)
И1 "黑)
И1 "黑)
吗
吗
+
+
d^тп
d^тп
тп ^mn
тп ^mn
办‘（丁拉，"黑）датп
办‘（丁拉，"黑）датп
О,
О,
(12.646)
(12.646)
Уравнение (12.64а), очевидно, является уравнением дисперсионной поверхности в случае поглощающего кристалла. Что касается уравнения (12.646), то оно непосредственно позволяет получить общее выражение для относительного коэффициента поглощения р/ =吓一】.Для этого достаточно заменить в нем величину Th ее значением из (12.55):
2吟2吟(12.65)(12.65)
2吟
2吟
(12.65)
(12.65)
Тем самым принципиально решена задача теории в приближении трех сильных волн (включая падающую) для рассеяния в поглощающем кристалле при условии малости мнимых параметров 開球
Помимо величин аи |1, можно рассматривать коэффициенты поглощения вдоль нормали к дисперсионной поверхности или вдоль вектора распространения потока энергии (вектора Пойнтинга):
卩 三 卩 =ocos(Pi, (12.00)
где L^ определяется выражением (5.77). Напомним, что в гл. 5 было показано, что теорема Эвальда — Като, согласно которой векторы S”)или Е⑴ направлены вдоль упомянутой нормали, применима как в двухволновом, так и во многоволновом случаях. Угол ср» в (12.66) образован направлениями вектора Z/') и нормали и к входной грани.
Обращаясь к формуле (12.65), замечаем, что некоторые из входящих в нее сумм имеют простой геометрический смысл.
Прежде всегоПрежде всеговеличинавеличинаявляется соответявляется соответ
Прежде всего
Прежде всего
величина
величина
является соответ
является соответ
ствующей слагающей до s» от единичного вектора с вдоль градиента функции /V:
grad А，(Т；, 〃黑)=% 崇 Si,无=』1, 2, 3.(12.67)
В таком случае, используя систему единичных векторов 力刀 обратных векторам & [см. (12.13), (12.16), (12.17) и (12.18)],
"=2 7必，Lo La = — 2 &, Lo 4 = — % T忠，(12.68) 2ii
получим нижеследующие2 ~у — (-L❶ La с),получим нижеследующие2 ~у — (-L❶ La с),значения для сумм в (12.65):2 % к = cos (п, с) = cos <р, г dTiзначения для сумм в (12.65):2 % к = cos (п, с) = cos <р, г dTi
получим нижеследующие
2 ~у — (-L❶ La с),
получим нижеследующие
2 ~у — (-L❶ La с),
значения для сумм в (12.65):
2 % к = cos (п, с) = cos <р, г dTi
значения для сумм в (12.65):
2 % к = cos (п, с) = cos <р, г dTi
(12.69)(12.69)XT；* 匸(Lo Лс).
(12.69)
(12.69)
Т R
Выражение в квадратных скобках в правой части (12.65) преобразуется следующим образом:
VI л /г Хтп d ЗА，
(12.70)(12.70)г=1 +?—竺丄上2显 =1 +Р一氏
(12.70)
(12.70)
h
2"黑（油/喝/£厶g/叫р =mnh(Lo Nc)2（川/叫 h2（2/陶）(Lo La c)Отсюда1 + P-5 -1 +(NLa, c) 〃 (LoLac)2"黑（油/喝/£厶g/叫р =mnh(Lo Nc)2（川/叫 h2（2/陶）(Lo La c)Отсюда1 + P-5 -1 +(NLa, c) 〃 (LoLac)Здесь Р, согласно теореме Эйлера, имеет видЗдесь Р, согласно теореме Эйлера, имеет вид(12.71)(12.71)(12.72)(12.72)
2"黑（油/喝/
£厶g/叫
р =
mn
h
(Lo Nc)
2（川/叫 h
2（2/陶）
(Lo La c)
Отсюда
1 + P-5 -1 +
(NLa, c) 〃 (LoLac)
2"黑（油/喝/
£厶g/叫
р =
mn
h
(Lo Nc)
2（川/叫 h
2（2/陶）
(Lo La c)
Отсюда
1 + P-5 -1 +
(NLa, c) 〃 (LoLac)
Здесь Р, согласно теореме Эйлера, имеет вид
Здесь Р, согласно теореме Эйлера, имеет вид
(12.71)
(12.71)
(12.72)
(12.72)
Рассматривая выражение для величины В, замечаем, что так как
%0r ^mn j
то 3 ^ 0 (разумеется, только для качественной оценки выраже* ния (12.65) и величины в квадратных скобках).
Как показывает рис. 107, скалярные произведения, входящие в правую часть (12.71), представляют собой проекции на общее направление с отрезков Л La и LoLa. Очевидно, что в случае главного сечения, т. е. пересечения дисперсионной поверхности с осью Lo La, точка Л ложится на главную ось и значение скобок преобразуется следующим образом:
卩=1 一 X, 『=Ti =冗=冗.卩=1 一 X, 『=Ti =冗=冗.(12.73)(12.73)
卩=1 一 X, 『=Ti =冗=冗.
卩=1 一 X, 『=Ti =冗=冗.
(12.73)
(12.73)
Рис. 107. К геометрической интерпретации критерия Эвальда для коэффициента поглощения при трехволновом рассеянии, /三TРис. 107. К геометрической интерпретации критерия Эвальда для коэффициента поглощения при трехволновом рассеянии, /三T
Рис. 107. К геометрической интерпретации критерия Эвальда для коэффициента поглощения при трехволновом рассеянии, /三T
Рис. 107. К геометрической интерпретации критерия Эвальда для коэффициента поглощения при трехволновом рассеянии, /三T
Для главной точки величина коэффициента поглощения, с точ
ностью до приближения 8 y： 0, составит 卩=。/卩о=—(Lo La с) (1 — 7〃)/cos(p・ (12.74) Это выражение можно рассматривать как обоснование критерия Эвальда, сформулированного выше при рассмотрении трехволнового рассеяния в прозрачном кристалле. Как мы отметили в гл. 4, критерий Эвальда выполняется и при двухволновом рассеянии.
Сделаем два замечания по поводу указанного критерия. Во-первых, так как он
относится к положению дисперсионной поверхности в обратном пространстве, то он определяет лишь значения величин т и, следовательно, действител ьных частей атомных амплитуд fhr и/Ог- Между тем, как будет показано далее, окончательные выражения для коэффициентов поглощения, на
пример, (12.84), так же как и формулы для 卩 в двухволновом случае (4.107), (4.108), содержат в скобках вычитаемое, зависящее как от /г, так и от /f, что, вообще говоря, может существенно влиять на значение величин о и р/・ С другой стороны, в работе [31], по
священной рассеянию в прозрачном кристалле, не рассматривается случай 7 (см. стр. 332), примером которого может служить отражение 111/111/220. Этот случай анализируется в работе Хено и Эвальда [32] и кратко рассматривается ниже. Усложнение фор
мы дисперсионной поверхности делает менее наглядным и однозначным указанный критерий Эвальда. Вместе с тем, формула (12.65) имеет общее значение.
Рассмотрим применения уравнения дисперсионной поверхности (12.64а) и формулы (12.65) для коэффициента поглощения в слу
чае рассеяния в кристаллах с одним сортом атомов.
Придерживаясь по-прежнему приближения малости мнимых составляющих т и а по сравнению с действительными, перепишем уравнение (12.64), опуская индекс «г»:
(12.75)(12.75)А'(П,。黑)nQ*
(12.75)
(12.75)
В важном частном случае кристаллов элементарного состава (Ge, Si, Си и т. д.) значение а„гп в (12.64) преобразуется [см. (2.35) и (4.41)] в
d , 2 ехр (2館奶)，
喻尸家=牛丄К——=今G,/三/.(12.76a)
尸 о/о 2 1‘°
Если ни одна из величин атп не равна нулю, используем обозначения
用=/1,¥=/2, fh^fhr(12.766)
‘0‘0/о
для введения новых переменных
Ti = T；4，72=兀齐，Тз=Т；4・(12.76b)
Напомним, что Т[ — координаты конца переменного радиуса- вектора, соединяющего точку Lo с любой точкой в обратном пространстве, прежде всего с любой точкой возбуждения на дисперсионной поверхности. Нормировка величин Т\ устанавливается таким образом, что координаты точки La отвечают значениям 7； = 1. Новые переменные 7\ меньше соответствующих Т\. Поэтому, в частности, точка La' на главной оси, отвечающая значениям Ti = 1, и, следовательно, 7；弋 ％/%, находится между точками Lo и La.
Уравнение дисперсионной поверхности в новых переменных принимает вид
А'(Те, 〃*n) = А'(Тг, (Лпм//о) G?)1n) — (/1/2/3尸尸(Ti, G^n) = 0.
( dF 厶dF /2十丫23九厶/； 匕h為.‘23 1 尸"./13 1+ /； G23^+Z/；a尸 /2. dF /3 У"( dF 工丄工，(12.78)( dF 厶dF /2十丫23九厶/； 匕h為.‘23 1 尸"./13 1+ /； G23^+Z/；a尸 /2. dF /3 У"( dF 工丄工，(12.78)(12.77)Формула для коэффициента поглощения (12.65) преобразуется(12.77)Формула для коэффициента поглощения (12.65) преобразуется
( dF 厶dF /2
十丫23九厶/； 匕h為
.‘23 1 尸"./13 1
+ /； G23^+Z/；
a尸 /2. dF /3 У
"( dF 工丄
工，(12.78)
( dF 厶dF /2
十丫23九厶/； 匕h為
.‘23 1 尸"./13 1
+ /； G23^+Z/；
a尸 /2. dF /3 У
"( dF 工丄
工，(12.78)
(12.77)
Формула для коэффициента поглощения (12.65) преобразуется
(12.77)
Формула для коэффициента поглощения (12.65) преобразуется
Цифра 2 перед скобкой означает удвоение в случае центросимметричных структур. При отсутствии центра симметрии, очевидно, необходимо включить члены с перестановкой индексов. Коэффициенты перед каждым из членов, содержащих dF/dGmn. соответствуют произведениям ［см. (12.65)1
Заметим, что уравнение 尸(北，Gmn) = 0 непосредственно получается из А (е，атп) = 0 путем замены( на Tt и awn на Gmn.
Рассмотрим теперь важнейшие частные случаи.
S12 = S13, /12 = /；з, /；2 = /；3・ Принимая /；=/；= /', получим
т； = 4 (/'2//J, Т； = Т儿 Т； = Тз/；・(12.79)
В этом случае прямая 7\ = 7\ = ?з = Т не совпадает с главной осью Т； = Т； =爲= Т‘，что имело бы место при усреднении всех /wn. Выражение для коэффициента поглощения получается из (12.78) с учетом указанных соотношений (12.79)：
m =［彩夫 + (鼠 + 鼠卜八尸］［丫;累% +
+ G13 譌 + 2w623总］爲备 + 圈 + 藕)(/；尸］｝
(12.80)
Пусть при этом одна из величин атп, например а23, равна 0. Наши переменные 7\ принимают следующие значения:
兀=4U就，冗=丁2М贏i, Т； = ТзMJ工・(12.81)
Откуда уравнение дисперсионной поверхности
А，(т； 毕 ％,三 f^F (Л, G师)0А，(т； 毕 ％,三 f^F (Л, G师)0(12.82)(12.82)
А，(т； 毕 ％,三 f^F (Л, G师)0
А，(т； 毕 ％,三 f^F (Л, G师)0
(12.82)
(12.82)
и выражение для коэффициента поглощения
,dF,dF丄 /з dF、丄 /з dF、"3)"3)dF r (_ж■ +dF r (_ж■ +
,dF
,dF
丄 /з dF、
丄 /з dF、
"3)
"3)
dF r (_ж■ +
dF r (_ж■ +
+ n w石^ + г3^ 一
X 卜+ (若 G12 諜 + ^"G13 裁•)] X х卜_^编+ ^彩+专制]h (12-83)
Если дополнительно к условию а23 = 0 еще имеем s12 = =S13 н 厶2 = 无з, /12 = Аз, задача существенно упрощается. Вводя /；=/； = /\ получим вместо (12.81) 7； = 7/. Выражение для коэффициента поглощения (i = К)
Примером этого _ случая может служить рассмотренное ниже отражение 111/111/020 от кристалла Ge.
Принимаем
ООО -瓦，111 —九2, 111 -九3, 020 -(历2 —无3)。(12.85)
Далее, учитывая, что при рассеянии алмазной решеткой отражение типа 020 является запрещенным, записываем
а2з = аз? = 0.
Что касается произведений smn, то они принимают следующие простые значения:
S12 = S13 = S = COS 2由 11 =1厂 p2,
S23 = s，= cos 2^200 = i — 2俨，(12.86a)
I %212 = 1G1312 = 1/2, В = V^Ge.(12.866)
Уравнение дисперсионной поверхности записывается как
F (北，俨)=看23 -(1 + S2) 7123 与® + 岑北3 +
+ 与胃 % + 普(鑑 + 北)=0.(12.87)
Выпишем значения производных, входящих в формулу для коэффициента поглощения,
第一=723[72 (г31 - 1/2) + 73 (/12 - 1/2)^- ①+73)],
• ；Q — T3 (T31 — 1/2) (T12 — 1/2) + Т12з (T 31 —丄/2) +
+ T- 7з 2" T沙 1 - s2/2 (731 - 1/2)一勺" 北， (12.88)
dF/dT3 получается из предыдущего выражения заменой индексов 2 на 3. Отсюда
з
% Т拉萨=?231 厶(4 + Тз) — 1] 一 2s2sz3 + s2?1 X h=l拉
X (T” -1)+ s2* (T12 — 1) + sZ3,(12.89)
3
X 票=①十北)(八3 - 1/2) (712 — 1/2) +
h—1 h
+ (T1 + 4) 723(T12 - 1/2) + (北 + 7\)(北3 — 4/2)北3 +
+(T2 + T3)- S2北(T13 - 4/2)—
^-為(* + t3)-S2T3(^12 - 1/2)-
一 4 北(4 + 北)一胃(北 + △).(12.90)
С помощью этих выражений можно вычислить величину р/ в любой точке дисперсионной поверхности, согласно (12.84).
Наибольший интерес представляет сечение дисперсионной поверхности ее плоскостью симметрии, которая параллельна грани куба (100). В этой плоскости Т^ — Т2— Т ^ Т ^ Тг. Подставляя эти соотношения в уравнение (12.77), получаем уравнение сечения, которое легко приводится к виду
72 [т* _ 1/2 - ^ [т/ - 1/2 _ s2 + 等]=0.(12.91)
Это уравнение, как легко видеть, распадается на уравнение пары прямых (асимптот) и два уравнения гипербол. Центром симметрии сечения является точка Lo, в согласии с анализом уравнения дисперсионной поверхности (12.35), проведенным выше.
Переходим к исследованию векторов индукции D^. Для этого следует обратиться к уравнениям (12.32), которые можно переписать в виде
(12.92)
где Л h отличается от А заменой одного из столбцов на произведения Л-^р Малый детерминант А применительно к рассматриваемому сечению и с заменой
叫=М = Т〃，/' = /ш//；, а = G = °嘗(12.93)
имеет простое значение
A = (/；u//；)T(AT-i)・(12.94)
При вычислении Ад мы вводим в наши выражения величины 九订 пока еще не определенные. Так как система уравнений для Xj
является однородной, то мы определяем из нее соответствующие отношения 九J^a и далее переходим к новым переменным, учитывая условия, относящиеся к данному сечению. При этом мы получаем два решения применительно к каждой из гипербол в уравнении (12.91).
Для первой гиперболы [Т±Т — 1/2 — (s'/2)] указанные отношения составляют 九J九3 = О, Х2/Х3 = —1, в результате чего получаем из (12.32)
—脑)* ($2 — $3)1,Аз — (— S2 + s S3)А =" (туг —1)—・—脑)* ($2 — $3)1,Аз — (— S2 + s S3)А =" (туг —1)—・刀丄—％з(а*)2(—s's2+$3)2 — —fT (TiT-1)刀丄—％з(а*)2(—s's2+$3)2 — —fT (TiT-1)(12.95)(12.96)(12.95)(12.96)
—脑)* ($2 — $3)
1,
Аз — (— S2 + s S3)
А =" (туг —1)—・
—脑)* ($2 — $3)
1,
Аз — (— S2 + s S3)
А =" (туг —1)—・
刀丄—％з(а*)2(—s's2+$3)2 — —fT (TiT-1)
刀丄—％з(а*)2(—s's2+$3)2 — —fT (TiT-1)
(12.95)
(12.96)
(12.95)
(12.96)
Формула (12.96) соответствует нормальной или о-компоненте для вектора индукции падающей волны, так как она осциллирует параллельно вектору s? — §з，т- е- перпендикулярно плоскости падения, в которой лежат векторы 買，и s「Векторы, обозначенные через D^ и 刀九 лежат вместе с вектором D^ в плоскости, проходящей через S3 и «2. Однако их направления
刀/"||(— s2 cos 2仆200 + S3) М D^ II (— §2 + S3 COS 2 令200)(12.97)
отличаются от перпендикуляра к плоскости падения.
Как следует из уравнений (12.26), для рассматриваемого случая @23 = а32 = 0)
工1刀1 + а12^2[1] + а13^3[1] — °,
а21^1[2] + 匕刀2 — °, а31^1[3] + %。3 = °，(12. 98)
D^ и D^ соответственно параллельны проекциям вектора А на направления, перпендикулярные s? и §з・ Это же относится и к слагающим, лежащим в плоскости (^2s3).
Из уравнений (12.91) непосредственно следует, что для всех точек гиперболы
|^|2-|^|2=#|^|2,(12.99)
для главных точек 7\/2T = 1/2.
Аналогично, для второй гиперболы [7\Т ——1/2 ——s?十 +($72)1 указанным путем могут быть получены следующие выражения:
А“ =,，т (туг —1)[§1^7 &2? *]，(12.100а)
刀3 = ―/7^^^—艮—” 22s.出-击 s3],(12.1006)
加=7，苗汇l)辰一患一与手吋.(12Л00В)
Нетрудно видеть, что О』лежит в плоскости падения, так как коэффициенты при векторах s2 и «3 в (12.100а) равны между собой. Соответственно различие коэффициентов при s2Hsз в (12.100в) указывает, что, вообще говоря, векторы Dl hD0 не лежат в плоскости падения. Для отношений \Dl |2/ [О』产 и |д^1 р/]^ |2 М0Гут быть получены выражения, аналогичные (12.99).
Анализируя полученные результаты для ориентации векторов D^ замечаем, что в трехволновом случае (точнее, в указанном сечении) наблюдается та же закономерность, что и в двухволновом, а именно, гипербола с большим значением действительного диаметра отвечает о-поляризации векторов индукции.
Наконец, полученные выше соотношения позволяют непосредственно вычислить значения коэффициентов поглощения.
Так, для точек дисперсионной поверхности, лежащих на сечении ее плоскостью симметрии, согласно формулам (12.80) (12.87) и (12.90), коэффициент поглощения выражается формулой
(12.101)(12.101)2(Т + Т1)/12 2ГП
(12.101)
(12.101)
'2丫 17 + Ti (丫2 + 丫з)[ 元 T + Ti
Для главных точек этих гипербол, лежащих на главной оси, для которых 7\ = У7? = ?з = Т，причем для двух гипербол соответственно
74 = 土 ]/二三三土 了正二視，
网二土 )42*等(1 - s,) = 土/(1一 俨)2+^ 俨, или Т1 = 0,96 и 7口 — 0,93, получаем
*n = ^=嘉一1-今可=千口一舞0,96h], 端l胃二专口一含"0用3е].(12.102)
Сравнивая этот результат с выражением для коэффициента поглощения в двухволновом случае (4.107), замечаем, что значение скобок различается на множитель 2% Т в вычитаемом, и, следовательно, в трехволновом случае для отражений типа 111 наблюдается существенное возрастание аномального прохождения.
Формулы (12.102) совпадают с теми, которые были выведены Хильдебрандтом более специальным методом [33]. Заметим, также, что соотношение^ между* величинами Т в (12.102) Т1〉7口 и, следовательно, “
Hmin ^> Hmin(12.103)
вполне аналогично соотношениям между 卩 и о для двух гипербол 346
йлй двух состояний поляризации Е дьухйолновом случае. В формуле (4.107) наличие поляризационного множителя С приводит к увеличению 卩 в случае л-поляризации.
Другие вопросы, относящиеся к трехволновому рассеянию, в том числе форма дисперсионной поверхности, коэффициент поглощения вдоль вектора Пойнтинга,_а также переход к двухволновому случаю: ООО—111 или ООО—111 рассмотрены в работе Хено и Эвальда [32] с помощью изложенной общей теории.
При отражении 111/111/220 от кристалла Ge, более сложном по сравнению с предыдущим, исходные точки обратной решетки есть ООО —瓦，111 — hv 111 — Л3, 220 — (h2 — —无з) ПРИ ЭТОМ %з 羊 0, S12 = S13 = 1 — 3/2Р2 = S, S23 = s' = 1 — ——4p2. Уравнение дисперсионной поверхности, выраженное через переменные 7\, имеет вид
ь(北，俨)三(72з - i) (7 1з - 1/2) (712 - 1/2) +
+ ^(1-Л)(1-Г3)(1/2-Л)-
-亿 13 -(i - 3 -子g12 - 4-) X
X (1- 73)2 - s'2 (723 — 1)(1/2 一看)=0.(12.104)
Здесь переменные 北 связаны с координатными функциями 7\ соотношениями (12.76в).
Напомним, что
/0 丿0/0
Плоскость симметрии дисперсионной поверхности в данном случае 7\?з，а следовательно, и Т； = 7；; однако в отличие от
предшествующей задачи здесь главная ось (Т； = Т? = 7；) не совпадает с осью ⑵=Г2 —北).
Пересечение дисперсионной поверхности с главной осью отвечает указанным соотношениям: Т； = Т〔 = Т； = Т\ и, следовательно, согласно (12.79),
Т卡=北=Тз = Т = } •(12.106)
Значения величины Т в точках пересечения определяются из уравнения
(Т 一 1) [(7 + 1) 3倉 一 1/2)2 + s2s，(7 — 1) (1/2 一 a7) — 一 s2 (7 一 1) (aт2 - 1/2) - 型2 (T + 1)(1/2 一 a7)2] = 0,
а = (А /广)2.(12.107)
Одной из точек пересечения является точка, отвечающая условию
7\ = 4 = ?з = А*(12.108)
Коэффициент поглощения в этой то^кё
"杀卜片)(42,09)
Заметим также, что коэффициейт поглощения, измеренный вдоль направления падения, составляет величину
卩y = 1 — (/220//0),(12.110)
и вдоль нормали к дисперсионной кривой (ближайшей к точке La)
Рассмотрим теперь пересечение дисперсионной поверхности иря- мой, отвечающей условию
Т=Т\ = Т2 = Тз или Т^Т^ Т^^.(12.112)
^111
Согласно (12.104), точки пересечения удовлетворяют уравнению
(Т - 1)国2 一 1/2 一 s，(1/2 - Т)П(Т2 一 口2) (7 十 1) +
+ s〈T + 1) (1/2 一 T) 一 §2(7 — i)j = о. (12.113)
Учитывая выражение (12.80), можно вычислить значения величин р/, отвечающих различным корням уравнения (12.113). Наибольший интерес представляет значение р/ для Т = 1. В этом случае р/ отвечает формуле (1^.109). Это означает, что, в отличие от более простого случая 111/111, здесь минимальные значения величин р/ и о соответствуют не только пересечению дисперсионной поверхности с главной осью, но и другим точкам дисперсионной поверхности.
Интересно сравнить координаты точек в обратном пространстве, для которых в случаях 111/111 и 111/111 установлены минимальные значения величин [if и о.
В случае 111/111 координаты соответствующей точки на главной оси
?； = Т； = Т； = 0,78.
В случае 111/111 координаты точки на главной оси
厶=А = Тз = 0,69.
В том же случае координаты точки с одинаковыми значениями
兀= 1,03,7； = Тз = 0,69.
Основной результат рассмотрения отражений 111/111 заключается в том, что с точностью до множителя (у? + Уз)"1 минимальное значение коэффициента поглощения о в этом трехволновом случае совпадает со значением о при двухволновом отражении 220. Интересно отметить, что 卩工皿 определяется как действительными амплитудами // (через посредство переменных Т；, т. е. координат точки на дисперсионной поверхности), так и мнимыми//% В связи с этим необходимо отметить, что критерий Эвальда, основанный на учете лишь /^п, здесь недостаточен и дает неправильный ответ, т. е. точка пересечения дисперсионной поверхности с главной осью в случае 111/111 расположена ближе к точке La, чем в случае 111/111.
По-видимому, в случаях, когда ни одно из отражений не является запрещенным, а также в еще более сложных случаях, когда все атп различны, необходимо более общее детальное исследование дисперсионной поверхности и величин, входящих в формулу (12.78), для определения «абсолютных» значений 卩％т и omin.
Как уже отмечалось, работа Бормана и Хартвига [30], в которой было обнаружено возрастание аномального прохождения в трехволновом случае, послужила толчком к теоретической разработке многоволнового рассеяния.
Обзор других теоретических и экспериментальных работ
Независимо от изложенной теории Эвальда — Хено, хотя частично и по инициативе Эвальда, в 1965—1968 гг. были опубликованы работы, в которых излагались расчеты различных типов многоволнового рассеяния в случае Лауэ [159, 163—165, 167, 168, 33].
В работах [159, 163] авторы поставили перед собой частную задачу в многоволновом рассеянии, отвечающую точному соблюдению условия Вульфа ——Брэгга для каждого из отражений и такой ориентации отражающих плоскостей, при которой входная грань кристаллической пластинки параллельна плоскости, проходящей через многоугольник векторов hmn. Это ограничение позволило авторам [163] вычислить значения интенсивностей рассеяния и минимальных коэффициентов поглощения для двух примеров трехволнового случая, а также для четырех- и шестиволнового рассеяния.
В этих работах авторы исходили из фундаментальных уравнений для слагающих волновых векторов Dh по двум взаимно перпендикулярным направлениям в плоскости, перпендикулярной соответствующему волновому вектору kh. Используя угловой параметр типа
/二宅二，胪=k2(1 + 骗)， (12.114)
и вводя для каждой дифрагированной волны в кристалле единичные векторы поляризации зт九 и и九,авторы составляли уравнения следующего вида:
(12.115)(12.115)^-^тп — £ п [(Nm%J 刀пн + (^m^n)刀по].
(12.115)
(12.115)
^-^то — £ ^m-n [(^т^п)刀птс 十(^т^п) ^по ]•
Для относительных интенсивностей выходящих дифрагированных волн в вакууме использовались выражения
窜。(Z) = 2 刀МЙ ехр h^^ 5 + 研 |2,(12.116)
где / обозначает различные решения системы (12.115). Каждому решению соответствуют определенные значения 力 и векторов индукции. В работе [163] рассматривались отражения 111/111, 220/202, 220/220/400, 220/242/044/224/202. Для всех этих случаев соответствующие системы уравнений решены и значения х и D определены.
Вычисление минимальных коэффициентов поглощения производится в [1631 по аналогии с двухволновым рассеянием (для угловой функции у = 0):
电=卩。+ 厶冉=卩。一К |%о/. (12.117)
Отражение 220/202 исследовалось ранее [159]. В обеих работах было показано, что при этом усиление эффекта Бормана либо очень незначительно, либо вообще отсутствует (в [159] даже ослабление) .
В остальных исследованных в работе [1631 случаях расчет приводит к заметному усилению эффекта Бормана.
Весьма обстоятельное рассмотрение трехволнового отражения 111/111 выполнено в работе [33J. Автор исходил из системы фундаментальных уравнений типа (12.26) и выбрал для описания дисперсионной поверхности прямоугольную систему координат с началом в точке La. Ось и — вдоль % (в нашем обозначении), плоскость {uw) — в плоскости симметрии и ось 〃 перпендикулярна к этой плоскости (единичные векторы % 九乃 соответственно). Выбор прямоугольной системы координат с указанным направлением осей удобен для исследования нормальной (OoJ и параллельной (Z)Ow) слагающих индукции падающей волны и соответствующих величин для дифрагированных волн.
Уравнение дисперсионной поверхности имеет вид (частично в наших обозначениях)
KN — LM = 0, К, N = I %о F Esq — C%,n (t2 + т3)唸］,
厶=М =2历(з — %)唸I |Хо|3,匕=В = J1^^,
(12.118)
,2 = d — S23) -(1- SQ2, Cl = 1 - b\ C* = 1 — ,2.
Введение слагающих радиуса-вектора 尸(〃,〃,w) в уравнение дисперсионной поверхности позволяет провести исследование этой поверхности. Как и следовало ожидать, в сечении дисперсионной поверхности плоскостью симметрии получаются уравнения, описывающие пару прямых
〃з =(及 I I + 2 с 3/2。，а = S12(12.119)
и две пары гиперболических кривых
“L2 = ~^~ {К I %о I (1 +。) + 2出 土
土 U［K J %0I (1 - a) + 2出］2 + 8a0気nK2%弘(12.120)
в полном согласии с результатом, полученным выше с помощью общей теории Эвальда ——Хено.
Для вычисления коэффициента поглощения автор исходит из формулы
о = 4冗拆，6 = 〃/及(s%),6 =① + %M・(12.121)
На сечении дисперсионной поверхности плоскостью симметрии гипербола, ближайшая к точке La, пересекается двумя прямыми: нормалью к входной грани и осью и. Из треугольника, образованного точкой La и двумя упомянутыми точками, пересечения, можно найти приближенное соотношение
(12.122)(12.122)и (а — 1)
(12.122)
(12.122)
W =
с
Исключая величину w из этого уравнения и (12.120) и приравнивая эти значения, определяем и и подставляем в (12.121). Мнимая часть 6j, определяющая Omin, вычисляется на основе стандартного приближения I X/u I《I %^г I- Для Omin получаем формулу (12.102)
(12.123)(12.123)
(12.123)
(12.123)
Для определения направлений векторов индукции автор исходит из соотношений [см. (12.118J)
KDQv = 0, NDOw = 0, KN = 0,(12.124)
справедливых для сечения плоскостью симметрии. Здесь
刀* = 〃^ и D^ = kDOw.(12.125)
Точкам на гиперболах отвечает условие 2&厶—Хо ^ё 0, причем ①=&м
Если К = 0, 7V =^= 0 и из (12.120) следует, что DQw = 0, т. е. Z)o =刀^ = JDq, колебания Do направлены перпендикулярно к плоскости симметрии. Так как условие К = 0 относится к гиперболе внешней, т. е. расположенной ближе к точке La, то получаем соответствие с двухволновым случаем.
Аналогично, для 7V = 0 (внутренняя гипербола) DQ 三 D^ =
Далее из фундаментальных уравнений следует
(2е「一 ％。) I>LtM = JDqv%l,m 土 bDQ^itMSL,M,
(12.126)
(2e「一 ％o) Dl.m = ^Dqw%l,M + cDowXL,M^LtM-
Из уравнения (12.126) видно, что векторы D^ = 2>ь и D^ ^ JD^ лежат в одной плоскости с вектором 刀十，а также векторами к2 И 乃з ИЛИ $2 И S3.
В отличие от этого, как следует из уравнения (12.126), векторы Z>2 и 刀! в общем случае не лежат в плоскости симметрии, так как их направление определяется также и векторами ^2 и S3.
Эти результаты иллюстрирует рис. 108.
Наконец, представляет интерес указание, сделанное в [33], относительно более сильной зависимости коэффициентов поглощения в трехволновом случае (чем в двухволновом) от длины волны А.
Рис. 108. Расположение векторов индукции в случае трехволнового отражения 111/111 от Ge
а — векторы, отвечающие о-поляризации; б — векторы, отвечающие л-поляризации
Эта последняя связана с наличием множителя Т (厶2/^2)в формуле (12.102) для коэффициента поглощения. Приведенные автором кривые для。丄/。。и all/a0 обнаруживают сильный спад с уменьшением 入；обе кривые пересекаются при 入 七 3,75 А.
Переходя к оценке соответствия между теоретическими и экспериментальными значениями amin для рассматриваемого отражения 111/111, отметим работу Уэбаха и Хильдебрандта [160J, в которой было проведено более тщательное измерение интенсивностей1 прошедших волн на образце Ge для излучений CuKa и МоКа.
Весьма существенные условия получения правильных результатов в данном эксперименте — это, во-первых, измерение интегральных интенсивностей и, во-вторых, при измерении прошедшей волны ——использование достаточно толстого образца. Как следует из формул (4.167) и (4.169), интегральные отражения для прошедшей волны Ti и отношение Q = T〕Rt в случае симметричного двухволнового отражения являются функциями толщины кристалла. Эта зависимость может быть формально записана так:
卩 ^^ 2/ 1 + 卩min..
Авторы [1601 использовали другие формулы, ссылаясь на Като
卩弋(2 力尸 + 卩 min,(12.127a)
吟(2)卩min.(12.1276)
Формула (12.1276) относится к более толстому кристаллу. Следует сделать оговорку, что закон изменения указанных величин с толщиной кристалла при трехволновом рассеянии нам неизвестен.
Далее необходимо иметь в виду, что при исследовании прошедших через кристалл волн мы измеряем в определенном интервале толщин суммарную величину 7卢 и Т^ , а следовательно,。^也 и Gmin- Авторы [1601 измеряли интегральные интенсивности 7\ и 7?t при прохождении излучения через ступенчатую пластинку Ge с максимальными толщинами 〜1,81 мм (卩力 — 64 для Си Ка и 卩力=58 для МоКа) и 2,05 мм (соответственно,卩力=72,5 и 65,5). Полученные из их экспериментов значения Omm составляют (力=1,81 мм)
^min ^ 25 см"1 для СиКа и 6rnin ж 14 сж"1 для МоКа.
Существенно, что в трех- и двухволновом случаях экспериментальные значения
[
_МоКа 】「-МоКа 】
嚼京]= °，56,[番4 = °，91・".128)
Что касается численных результатов теоретического расчета Gmin и ^min» то, очевидно, они зависят от принятых значений исходных параметров.
Хильдебрандт, используя старые данные Вагенфельда для Xhi/Xoi и значение 卩=350 см-1, получил (излучение Си 龙а) CTmin = 19 см-1, Gmin = 31 см-1. Если воспользоваться нашими табл. 3 и 4 и величиной 卩=352 см-1 то можно получить п^ш = =28 см-1, о%п = 39 см~1. Величина 28 см-1 близка к результату авторов работы [1601.
Необходимо также подчеркнуть расхождение между расчетами и экспериментальными данными для коэффициентов поглощения в случаях многоволнового рассеяния, включающих отражения типа 2 20. Так, по расчетам [163J для отражений 220/ 400/220 и 220/242/044/224/202 должно наблюдаться значительное снижение Omin сравнительно с величиной amjn при двухволновом рассеянии (5,2 см-1 вместо 14,4 см~г). Между тем в заметке [1621 подчеркивается, что как в только что указанных, так и в других случаях, включающих отражения типа 220, на линиях этих отражений не наблюдалось более интенсивных пятен, обязанных усилению аномального прохождения. В той же заметке отмечается, что подобные пятна наблюдались на линиях, отвечающих отраженным пучкам 111, 311, и 331. Очевидно, необходимо продолжать экспериментальные исследования с более совершенной методикой. Вместе с тем теоретические расчеты, в которых были получены сниженные значения для Omin, возможно, должны быть проверены более прецизионным путем. Для трехволнового рассеяния в изложенной работе Эвальда и Хено для отражения 220 было получено значение Omin, совпадающее с величиной, отвечающей двухволновому рассеянию.
Оценивая возможности дальнейшей разработки вопросов многоволнового рассеяния, приходится признать, что существенный прогресс может быть достигнут при условии использования машинного счета для вычисления интенсивностей и коэффициентов поглощения во всей области максимума, т. е. для всех точек дисперсионной поверхности. Примером такого исследования могут быть работы [167, 168J, посвященные трехволновому отражению 111/111 Си Ка излучения от Ge.
В заключение заметим, что трактовка многоволнового рассеяния в случае Брэгга отличается от изложенной теории для случая Лауэ необходимостью учета эффектов экстинкции. В результате при анализе различных возможных решений дисперсионного уравнения устанавливается мнимость некоторых из них. Экспериментальные исследования отражений по Брэггу почти отсутствуют. Основной экспериментальный метод исследования многократных отражений в случае Брэгга—это метод Реннингера [291.
Рассмотрение геометрии образования многократных отражений при съемке кристалла по методу Реннингера дано в работе Кола, Чемберса и Дана [169L Проведенный анализ позволяет индицировать пики на кривой интенсивности, которая получается при азимутальном вращении кристалла.
Авторы [168] приводят график, на котором дайы кривые зависимости параметра р-1 = 〃九-】от азимутального угла а для структуры алмаза. Подобные кривые, очевидно, могут быть полезны и при исследовании многократных отражений по Лауэ.
Примером использования указанного метода может служить работа Лафуркада, Кудерка и Ларока [1701 по исследованию многократных отражений по Брэггу от кристаллов цинка. Ренпингер отметил, что измерения положения подобных пиков дают возможность прецизионного измерения периодов решетки.
2A
ЗНАЧЕНИЯ ИНТЕГРАЛА，J° (%)〃宓 ДЛЯ Л<5и
2A
24
2A
0,00
0,00000
3,40
1,26056
6,80
0,89512
0,10
0,09991
3,50
1,22330
6,90
0,92470
0,20
0,19933
3,60
1,18467
7,00
0,95464
0,30
0,29775
3,70
1,14509
7,10
0,98462
0,40
0,39469
3,80
1,10496
7,20
1,01435
0,50
0,48368
3,90
1,03471
7,30
1,04354
0,60
0,58224
4,00
1,02473
7,40
1,07190
0,70
0,67193
4,10
0,98541
7,50
1,03917
0,80
0,75834
4,20
0,94712
7,60
1,12508
0,90
0,84106
4,30
0,91021
7,70
1,14941
1,00
0,91973
4,40
0,87502
7,80
1,17192
1,10
0,99399
4,50
0,84186
7,90
1,19243
1,20
1,06355
4,60
0,81100
8,00
1,21074
1,30
1,12813
4,70
0,78271
8,10
1,22671
1,40
1,18750
4,80
0,75721
8,20
1,24021
1,50
1,24144
4,90
0,73468
8,30
1,25112
1,60
1,28982
5,00
0,71531
8,40
1,25939
1,70
1,33249
5,10
0,69920
8,50
1,26494
1,80
1,36939
5,20
0,68647
8,60
1,26777
1,90
1,40048
5,30
0,67716
8,70
1,26787
2,00
1,42577
5,40
0,67131
8,80
1,26528
2,10
1,44528
5,50
0,66831
8,90
1,26005
2,20
1,45912
5,60
0,66992
9,00 .
1,25226
2,30
1,46740
5,70
0,67427
9,10
1,24202
2,40
1,47029
5,80
0,68187
9,20
1,22946
2,50
4,46798
5,90
0,69257
9,30
1,21473
2,60
1,46069
6,00
0,70622
9,40
1,19799
2,70
1,44871
6,10
0,72263
9,50
1,17944
2,80
1,43231
6,20
0,74160
9,60
1,15927
2,9()
1,41181
6,30
0,76290
9,70
1,13772
3,00
1,38756
6,40
0,78628
9,80
1,11499
3,10
1,35992
6,50
0,81147
9,90
1,09134
3,20
1,32928
6,60
0,83820
10,00
1,06701
3,30
1,29602
6,70
0,86618
ЗНАЧЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНЫХ ОТРАЖЕНИЙ 冗？ В СЛУЧАЕ ЁРЕГГА ОТ БЕСКОНЕЧНО ТОЛСТОГО КРИСТАЛЛА (Л >4)
Таблица 1 • (0《一g《3,000, 0<х<1,000)
_g
х = 0
0,025
0,050
0,075
0,100
0,125
0,150
0,175
0,200
0,000 0,005 0,010 0,015 0,020 0,025 0,030 (),035 0,040 0,045 0,050 0,055 0,060 0,065 0,070 0,075 0,080 0,085 0,090 0,095 0,100 0,105 0,110 0,115 0,120 0,125 0,130 0,135 0,140 0,145 0,150 0,155 0,160 0,165 0,170 0,175
2,6667 2,6357 2,6059 2,5769 2,5487 2,5207 2,4937 2,4674 2,4415 2,4162 2,3913 2,3669 2,3430 2,3195 2,2964 2,2738 2,2515 2,2296 2,2081 2,1870 2,1662 2,1457 2,1256 2,1058 2,0863 2,0671 2,0483 2,0297 2,0114 1,9934 1,9757 1,9582 1,9410 1,9240 1,9073 1,8909
2,5278 2,4998 2,4730 2,4468 2,4212 2,3959 2,3713 2,3472 2,3236 2,3004 2,2775 2 2552 2,2332 2,2115 2,1903 2,1694 2 1488 2,1286 2,1088 2 0892 2； 0700 2,0510 2,0324 2,0140 1,9960 1,9781 1,9606 1,9434
1,9264 1,9096 1,8931
2,4ИЗ 2,3855 2,3606 2,3364 2,3126 2,2893 2,2664 2,2440 2,2220 2,2005 2,1793 2,1584 2,1380 2,1178 2,0980 2,0785 2,0594 2,0405 2,0220 2,0037 1,9858 1,9681 1,9506 1,9335 1,9166 1,8999
2,3106 2,2864 2,2631 2,2404 2,2182 2,1961 2,1748 2,1538 2,1332 2,1130 2,0931 2,0736 2,0544 2,0355 2,0169 1,9986 1,9806 1,9629 1,9455 1,9283 1,9114
2,2230 2,1994 2,1774 2,1557 2,1347 2,1142 2,0941 2,0743 2,0549 2,0358 2,0170 1,9986 1,9804 1,9626 1,9450 1,9278
2,1442 2,1224 2,1016 2,0810 2,0611 2,0416 2,0225 2,0038 1,9854 1,9672 1,9494
2,0773 2,0540 2,0339 2,0145 1,9956 1,9771
2,0129
0,180
1,8746
1,8768
1,8835
1,8948
1,9107
1,9320
1,9589
1,9930
0,185
1,8586
1,8608
1,8673
1,8783
1,8940
1,9147
1,9410
1,9740
0,190
1,8429
1,8450
1,8514
1,8622
1,8776
1,8978
1,9234
1,9555
0,195
1,8273
1,8294
1,8357
1,8463
1,8614
1,8812
1,9062
1,9373
1,9576
0,200
1,8120
1,8140
1,8202
1,8306
1,8454
1,8648
1,8893
1,9196
0,210
1,7820
1,7840
1,7899
1,7999
1,8141
1,8328
1,8562
1,8849
1,9202
0,220
1,7529
1,7547
1,7605
1,7701
1,7838
1,8017
1,8242
1,8516
1,8851
0,230
1,7244
1,7263
1,7319
1,7411
1,7544
1,7716
1,7932
1,8195
1,-8512
0,240
1,6969
1,6986
1,7040
1,7130
1,7257
1,7424
1,7632
1,7885
1,8187
—g
к = 0
0,025
0,050
0,075
0,100
0,125
0,150
0,175
0,200
0,250
1,6700
1,6717
1,6769
1,6856
1,6979
1,7140
1,7341
1,7584
1.7874
0,260
1,6438
1,6455
1,6505
1,6589
1,6709
1,6864
1,7058
1,7292
1,7371
0,270
1,6183
1,6199
1,6248
1,6330
1,6446
1,6596
1,6783
1,7010
1,7278
0,280
1,5935
1,5951
1,5998
1,6077
1,6190
1,6335
1,6517
1,6735
1,6994
0,290
1,5693
1,5708
1,5754
1,5831
1,5940
1,6082
1,6257
1,6469
1,6719
0,300
1,5457
1,5472
1,5516
1,5592
1,5697
1,5835
1,6005
1,6210
1,6452
0,310
1,5227
1,5242
1,5285
1,5338
1,5461
1,5594
1,5760
1,5959
1,6192
0,320
1,5003
1,5017
1,5059
1,5130
1,5230
1,5360
1,5521
1,5714
1,5941
0,330
1,4784
1,4798
1,4839
1,4908
1,5006
1,5132
1,5288
1,5476
1,5695
0,340
1,4571
1,4584
1,4625
1,4692
1,4787
1,49Ю
1,5062
1,5244
1,5458
0,350
1,4363
1,4376
1,4415
1,4481
1,4573
1,4693
1,4841
1,5019
1,5227
0,360
1,4160
1,4172
1,4211
1,4275
1,4365
1,4482
1,4626
1,4799
1,5001
0,370
1,3962
1,3974
1,4011
1,4074
1,4162
1,4276
1,4417
1,4585
1,4782
0,380
1,3768
1,3780
1,3816
1,3877
1,3964
1,4075
1,4212
1,4376
1,4568
0,390
1,3578
1,3591
1,3626
1,3686
1,3770
1,3879
1,4013
1,4173
1,4360
0,400
1,3394
1,3406
1,3441
1,3499
1,3581
1,3687
1,3818
1,3975
1,4157
0,410
1,3213
1,3225
1,3259
1,3316
1,3397
1,3500
1,3628
1,3781
1,3960
0,420
1；3037
1,3048
1,3082
1,3138
1,3216
1,3318
1,3443
1,3592
1,3767
0,430
1,2865
1,2876
1,2909
1,2963
1,3040
1,3139
1,3262
1,3408
1,3578
0,440
1,2697
1,2707
1,2739
1,2793
1,2868
1,2965
1,3085
1,3228
1,3394
0,450
1,2532
1,2542
1,2574
1,2626
1,2700
1,2795
1,2913
1,3052
1,3215
0,460
1,2371
1,2381
1,2412
1,2463
1,2536
1,2629
1,2744
1,2881
1,3040
0,470
1,2213
1,2223
1,2253
1,2304
1,2375
1,2466
1,2579
1,2713
1,2869
0,480
1,2059
1,2069
1,2098
1,2148
1,2218
1,2307
1,2418
1,2549
1,2702
0,490
1,1909
1,1918
1,1947
1,1996
1,2064
1,2152
1,2260
1,2389
1,2539
0,500
1,1761
1,1770
1,1799
1,1847
1,1913
1,2000
1,2106
1,2233
1,2379
0,525
1,1406
1,1415
1,1442
1,1488
1,1551
1,1634
1,1735
1,1856
1,1996
0,550
1,1069
1,1078
1.1103
1,1148
1,1209
1,1287
1,1384
1,1500
1,1634
0,575
1,0749
1,0758
1,0783
1,0824
1,0883
1,0959
1,1052
1,1162
1,1290
0,600
1,0446
1,0453
1,0477
1,0517
1,0574
1,0646
1,0735
1,0841
1,0964
0,625
1,0156
1,0164
1,0187
1,0226
1,0280
1,0350
1,0436
1,0537
1,0655
0,650
0,9881
0,9889
0,9911
0,9948
1,0000
1,0067
1,0150
1,0248
1,0361
0,675
0,9619
0,9626
0,9648
0,9683
0,9734
0,9798
0,9878
0,9972
1,0082
0,700
0,9369
0,9376
0,9396
0,9431
0,9479
0,9542
0,9619
0,9710
0,9815
0,725
0,9130
0,9137
0,9157
0,9191
0,9238
0,9298
0,9372
0,9460
0,9562
0,750
0,8602
0,8909
0,8928
0,8961
0,9036
0,9065
0,9136
0,9221
0,9320
0,775
0,8185
0,8691
0.8710
0,8741
0,8785
0,8842
0,8911
0,8993
0,9089
0,800
0,8476
0,8482
0,8500
0,8531
0,8573
0,8628
0,8696
0,8776
0,8868
0,825
0,8277
(),8282
0,8300
0,8330
0,8371
0,8424
0,8490
J,8567
0,8657
0,850
0,8086
0,8091
0,8108
0,8137
0,8178
0,8229
0,8293
0,8368
0,8455
0,875
0,7903
0,7908
0,7925
0,7953
0,7992
0,8042
0,8104
0,8177
(),8261
0,900
0,7727
0,7732
0,7749
0,7776
0,7814
0,7863
0,7922
0,7993
0,8075
0,925
0,7558
0,7564
0,7579
0,7606
0,7643
0,7690
0,7749
0,7818
0,7898
0,950
0,7397
0,7401
0,7416
0,7443
0,7478
0,7525
0,7582
U,7649
0,7727
0,975
0,7240
0,7245
0,7260
0,7286
0,7321
0,7366
0,7421
0,7487
0,7563
1,00Э
0,7091
0,7096
0,7110
0,7135
0,7169
0,7213
0,7267
0,7331
0,7405
1,050
0,6808
0,6813
0,6826
0,6850
0,6882
0,6924
0,6976
0,7037
0,7107
1,100
0,6546
0,6550
0,6563
0,6585
0,6617
0,6657
0,6706
0,6764
0,6831
1,150
0,6301
0,6306
0,6318
0,6339
0,6369
0,6407
0,6455
0,6510
0,6574
1,200
0,6073
0,6078
0,6090
0,6110
0,6139
0,6176
0,6221
0,6274
0,6335
1,250
0,5861
0,5865
0,5877
0,5896
0,5924
0,5959
0,6003
0,6053
0,6112
1,300
0,5662
0,5666
0,5677
0,5696
0,5722
0,5756
0,5798
0,5847
0,5904
1,350
0,5474
0,5479
0,5490
0,5508
0,5534
0,5566
0,5606
0,5654
0,5708
0,250
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
0,800
0,900
1,000
1,8637 1,8290 1,7964 1,7652 1,7350 1,7059 1,6779 1,6507 1,6244 1,5989 1,5742 1,5502 1,5268 1,5041 1,4821 1,4606 1,4397 1,4194 1,3995 1 3802 1,3613 1,3430 1,3250 1,3075 1,2904 1,2737 1,2337 1,1959 1,1601 1,1262 1,0941 1,0636 1,0346 1,0071 0,9808 0,9558 0,9319 0,9091 0,8873 0,8665 0,8465 0-8274 0,8090 0,7914 0,7745 0,7583 0,7277 0,6993 0,6729 0,6484 0,6254 0,6041 0,5840
1,7886 1,7561 1,7256 1,6963 1,6681 1,6409 1,6147 1,5893 1,5647 1,5409 1,5178 1,4953 1,4735 1,4523 1,4317 1,4116 1,3920 1,3730 1,3544 1,3363 1,3186 1,2763 1,2365 1,1988 1,1633 1,1296 1,0977 1,0674 1,0386 1,0113 0,9852 0,9603 0,9366 0,9140 0,8923 0,8716 0,8517 0,8327 0,8145 0,7970 0,7202 0,7485 0,7192 0,6919 0,6666 0,6429 0,6209 0,6000
1,6816 1,6524 1,6252 1,5990 1,5739 1,5496 1,5261
1,5035 1,4815
1,4602 1,4396
1,39J3 1,3444 1,3014 1,2610 1,2229 1,1871 1,1531
1,1210 、 1,0905 1,0616 1,0341 1,0079 0,9830 0,9591 0,9364
0,9147 0,8938
0,8739 0,8548 0,8366
0,8021 0,7702 0,7407 0,7133
0,6877 0,6638 0,6415
1,6178 1,5540 1,4969 1,4446 1,3962 1,3511 1,3091 1,2696 1,2324 1,1974 1,1642 1,1329 1,1032 1,0749 1,0480 1,0224 0,9980 0,9747 0,9525 0,9311 0,9107 0,8724 0,8371 0,8044 0,7741 0,7460 0,7198 0,6953.
1,5852 1,5257 1,4726
1,4238 1,3786 1,3365
1,2972 1,2620
1,2253 1,1924
1,1612 1,1317 1,1036 1,0769 1,0514 1,0271 1,0040 0,9605 0,9207 0,8840 0,8500 0,8185 0,7892 0,7620
1,5759 1,5198 1,4695 1,4234 1,3806 1,3407 1,3032 1,2680 1,2348 1,2034 1,1736 1,1453 1,1184 1,0682 1,0225 0,9805 0,9419 0,9062 0,8730 0,8422
1,5844 1,5309 1,4828 1,4387 1,3976 1,3593 1,3233 1,2894 1,2573 1,1981 1,1446 1,0958 1,0512 1,0101 0,9722 0,9370
1,6069
1,5553 1,5090 1,4663 1,4266 1.3544 1,2902 1,2324 1,1800
1,1321 1,0881 1,0476
1,6402 1,5452 1,4649 1,3944 1,3314 1,2746 1,2228 1,1755
—g
х = 0
0,025
0,050
0,075
0,100
0,125
0,150
0,175
0,200
1,400
0,5300
0,5304
0,5314
0,5332
0,5356
0,5388
0,5426
0,5472
0,5525
1,450
0,5136
0,5139
0,5149
0,5166
0,5190
0,5220
0,5257
0,5302
0,5353
1,500
0,4980
0,4983
0,4993
0,5010
0,5033
0,5062
0,5098
0,5141
0,5190
1,550
0,4834
0,4837
0,4847
0,4862
0,4885
0,4913
0,4948
0,4989
0,5037
1,600
0,4696
0,4698
0,4708
0,4723
0,4744
0,4772
0,4806
0,4846
0,4892
1,700
0,4440
0,4443
0,4452
0,4467
0,4487
0,4513
0,4545
0,4582
0,4625
1,800
0,4211
0,4214
0,4222
0,4235
0,4254
0,4279
0,4309
0,4344
0,4386
1,900
0,4003
0,4006
0,4014
0,4026
0,4045
0,4068
0,4096
0,4130
0,4169
2,000
0,3815
0,3817
0,3824
0,3837
0,3854
0,3876
0,3903
0,3935
0,3962
2,100
0,3642
0,3645
0,3652
0,3664
0,3680
0,3701
0,3727
0,3757
0,3792
2,200
0,3485
0,3487
0,3494
0,3505
0,3521
0,3541
0,3566
0,3594
0,3628
2,300
0,3341
0,3343
0,3349
0,3359
0,3374
0,3394
0,3418
0,3445
0,3477
2,400
0,3207
0,3209
0,3216
0,3225
0,3240
0,3258
0,3281
0,3307
0,3338
2,500
0,3084
0,3086
0,3092
0,3102
0,3115
0,3133
0,3155
0,3180
0,3210
2,600
0,2970
0,2971
0,2977
0,2987
0,3000
0,3017
0,3038
0,3062
0,3091
2,700
0,2863
0,2865
0,2871
0,2880
0,2892
0,2909
0,2929
0,2952
0,2980
2,800
0,2764
0,2766
0,2771
0,2780
0,2792
0,2808
0,2828
0,2850
0,2877
2,900
0,2672
0,2674
0,2679
0,2687
0,2699
0,2714
0,2733
0,2755
0,2780
3,000
0,2586
0,2587
0,2592
0,2600
0,2612
0,2626
0,2644
0,2666
0,2690
Таблица 2 (0,000《一g=Y《0,190)
x=g
勺
x=g
碎
0,000
2,6667
0,100
2,2230
0,200
0,9576
0,005
2,6366
0,105
2,2059
0,210
1,9371
0,010
2,6098
0,110
2,1899
0,220
1,9175
0,015
2,5801
0,115
2,1743
0,230
1,8988
0,020
2,5535
0,120
2,1590
0,240
1,8809
0,025
2,5278
0,125
2,1442
0,250
1,8637
0,030
2,5030
0,130
2,1297
0,260
1,8474
0,035
2,4790
0,135
2,1154
0,270
1,8317
0,040
2,4558
0,140
2,1016
0,280
1,8167
0,045
2,4332
0,145
2,0880
0,290
1,8023
0,050
2,4113
0,150
2,0773
0,300
1,7886
0,055
2,3901
0,155
2,0618
0,310
1,7755
0,060
2,3694
0,160
2,0492
0,320
1.7630
0,065
2,3493
0,165
2,0368
0,330
1,7511
0,070
2,3297
0,170
2,0247
0,340
1,7397
0,075
2,3106
0,175
2,0129
0,350
1,7288
0,080
2,2920
0,180
2,0013
0,360
1,7184
0,085
2,2739
0,185
1,9900
0,370
1,7085
0,090
2,2563
0,190
1,9789
0,380
1,6991
0,095
2,2391
0,195
1,9681
0,390
1,6902
0,250
0,300
0,400
0,500
0,600
0,700
0,800
0,900
1,000
0,5651
0,5807
0,6205
0,6723
0,7365
0,8135
0,9044
1,0100
1,1318
0,5475
0,5624
0,6004
0,6508
0,7126
0,7867
0,8740
0,9751
1：0915
0,5308
0,5454
0,5824
0,6306
0,6902
0,7616
0,8455
0,9427
1^0541
0,5151
0,5290
0,5651
0.6116
0,6691
0,7380
0,8189
0,9123
1,0193
0,5003
0,5139
0,5486
0,5937
0,6493
0,7158
0,7938
0,8839
0,9868
0,4730
0,4858
0,5184
0,5607
0,6129
0,6752
0,7481
0,8321
0,9277
U,4484
0,4605
0,4913
0,5311
0,5803
0,6389
0,7074
0,7861
0,8755
0,4262
0,4376
0,4668
0,5045
0,5510
0,6063
0,6709
0,7449
0,8290
0,4060
0,4169
0,4446
0,4804
0,5244
0,5767
0,6379
0,7079
0,7872
0,3877
0,3980
0,4244
0,4584
0,5003
0,5501
0,6081
0,6744
0,7495
0,3708
0,3807
0,4059
0,4383
0,4782
0,5257
0,5809
0,6440
0,7152
0,3554
0,3648
0,3889
0,4199
0,4580
0,5034
0,5560
0,6161
0,6840
0,3412
0,3502
0,3732
0,4029
0,4395
0,4828
0,5331
0,5906
0,6554
0,3280
0,3367
0,3588
0,3873
0,4223
0,4639
0,5121
0,5671
0,6291
0,3158
0,3242
0,3454
0,3728
0,4064
0,4464
0,4927
0,5455
0,6049
0,3045
0,3126
0,3330
0,3594
0,3917
0,4301
0,4746
0,5254
0,5825
0,2940
0,3017
0,3215
0,3469
0,3780
0,4150
0,4579
0,5067
0,5617
0,2842
0,2916
0,3106
0,3352
0,3653
0,4009
0,4423
0,4894
0,5423
0,2749
0,2821
0,3006
0,3243
0,3533
0,3878
0,4277
0,4732
0,5242
X=g
砂
X=g
増
X=g
0,400
1,6816
0,750
1,5782
1,500
1,9105
0,410
1,6736
0,775
1,5809
1,550
1,9438
0,420
1,6659
0,800
1,5844
1,600
1,9779
0,430
1,6586
0,825
1,588Э
1,700
2,0481
0,440
1,6517
0,850
1,5941
1,800
2,1208
0,450
1,6452
0,875
1,6001
1,900
2,1957
0,460
1,6390
0,900
1,6069
2,000
2,2724
0,470
1,6332
0,925
1,6143
2,100
2,3507
0,480
1,6277
0,950
1,6223
2,200
2,4305
0,490
1,6226
0,975
1,6310
2,300
2,5115
0,500
1,6178
1,000
1,6402
2,400
2,5937
0,525
1,6071
1,050
1,6603
2,500
2,6768
0,550
1,5981
1,100
1,6824
2,600
2,7608
0,575
1,5Э0Э
1,150
1,7062
2,700
2,8457
0,600
1,5852
1,200
1,7316
2,800
2,9313
0,625
1,5803
1,250
1,7585
2,900
3,0175
0,650
1,5780
1,300
1,7867
3,000
3,1044
0,675
1,5763
1,350
1,8161
0,700
1,5759
1,400
1,8466
0,725
1,5765
1,450
1,8781
ЛИТЕРАТУРА
М. Laue, W. Fridrich, P. Knip- ping, Miinchener Sitzungsbe- richte. 1912, 303; Ann. Phys., 1913, 41, 971.
E, С. Федоров. Зап. СПб., минерал, об-ва, 2-я серия, 1891, 28.
Л. Schoenflies. Kristallsysteme und Kristallstruktur. Leipzig, 1891.
Fifty Years of X-Ray Diffraction. By P. P. Ewald N. V. A. Oosthoek's Nitgevers Mij, Utrecht, 1962, 248.
C. G. Darwin. Phil. Mag., 1914, 27, 315, 675.
A. Комптон^ С. Алисон. Рентгеновские лучи. Перев. под ред. Д. Д. Гогоберизде. М.—Л., Гос- техиздат, 1941.
ГС. Жданов, Основы рентгеновского структурного анализа. М.— Л., Гостехиздат, 1940.
Р. Джеймс. Оптические принципы дифракции рентгеновских лучей. Перев. с англ, под ред. В. И. Ивероновой. М., ИЛ, 1950.用
Р. Р, Ewald. Fortschr. Chemie, Physik und physik. Chemie, Ser. B, 1925, 18, 492; Physika, 1924, 4, 234.
P.P,Ewald,Mm. Phys., 1917,54, 332; Z. Phys., 1920, 2, 519; 1924, 30, 1; Phys. Zschr., 1925, 26, 29.
И. ^Я. A. Bethe. Ann. Phys., 1928, 87, 55.
'M, Laue. Ergebnisse exact.[Na- turwiss., 1931, 10, 133. 亠
M, Kohler, Ann. Phys., 1933, 18, 265.
M、Laue, Rontgenstrahlinterfe- renzen. Изд. 3, Frankfurt/M., 1960.
W. H. Zachariasen. Theory of X-Ray Diffraction in Crystals. N・ Y., 1945.
A. A uthier. Bull. Soc. Fr. Miner, 1961, 84, 51.
R. W. James. Solid State Physics, 1963, 15, 53.
В. W. Вatterman, H. Cole. Revue Modern Physics, 1964, 35, 681.
A . H. Compton. Phys. Rev., 1917, 9, 29.
K. Kohra. J. Phys. Soc. Japan, 1971, 30, 1136.
G. Borrmann. Z. Phys., 1941, 42, 157; Z. Phys., 1950, 127, 297; Z. Kristall., 1954, 106, 109; Beitrage zur Physik und Chemie 工卫 der 20 Jahrhunderts. Vicweg ung …® Sohn, 1959, 26.
' M. Laue. Acta Cryst., 1949, 2, 碼 106.
\Ж. Kato, A. R. Lang. Acta ^Cryst., 1959, 12, 787.
TV. Kato. Acta Cryst., 1961, 14, 526, 627.
N. Kato. J. Appl. Phys., 1968, 39, 2225, 2231.
3. Г. Пинскер. Дифракция электронов. M., Изд-во АН СССР, 1949.
П. В^Хирш^ A JXoeu, Р. Б. Николсон и др. Электронная микроскопия тонких кристаллов. М., изд-во «Мир». Перев. с англ., 1968.
U, Bonze, М. Hart. Appl. Phys. Letters, 1965, 6, 155; Z. Phys., 1965, 188, 154; 1966, 190, 455.
M. Reinninger. Naturwissen- schaften, 1937, 25, 42.
G. Borrmann, W» Hartwig, Z. Kristall., 1965, 121, 401.
P. P. Ewald, У・ He no. Acta Cryst., 1968, A24, 5.
У. Нёпо, Р. Р. Ewald. Acta Cryst., 1968, А24, 16.
G. Hildebrandt. Phys, status so- lidi, 1967, 24, 245.
У. H. Otsuki. J. Phys. Soc. Japan, 1964, 19, 2285.
A. M. Afanasiev, Yu. Kagan. Acta Gryst., 1968, A24, 163.
Ч. Вустер. Диффузное рассеяние рентгеновских лучей в кристаллах. Перев. с англ. М., ИЛ, 1963.
Прямые методы исследования дефектов в кристаллах. М., изд-во «Мир», 1963.
Р. Penning^ D. Polder. Phillips Res. Repts, 1961, 16, 419.
N. Kato. J. Phys. Soc. Japan, 1963, 18, 1785; 1964, 19, 67, 971.
A . Howie^ M. J. Whelan. Proc. Eur. Reg. Conf, on Electron. Microscopy, 1960, 1, 194; Delft; Proc. Roy. Soc., 1961, A263, 217.
S. Takagi. Acta Cryst., 1962, 15, 1311; J. Phys. Soc. Japan, 1969, 26, 1239.
D Taupin. Bulletin de la So- ciete franc, de Mineralogir et Cristall., 1964, 87, 469.
И. Ш. Слободецкий, Ф. H. Чу- ховский, В. Л. Инденбом. Письма в ЖЭТФ, 1968, 8, 90.
Л. Л uthier, D. Simon. Acta Cryst., 1968, A24, 517.
Л. M. Афанасьев, В. Г. Кон. Ди
намическая теория рентгеновских лучей в кристаллах с дефектами. Препринт. Изд. Ин-та атомн. энергии им. Курчатова. М., 1969; Acta Cryst., 1971, А27, 421.
Т. Uragami. J. Phys. Soc. Japan, 1969, 27, 147.
В. JI. Инденбом^ Ф. H. Чухов- ский. Проблема изображения в рентгеновской оптике. Препринт. Ин-т кристаллографии АН СССР. М., 1971.
Л. Д. ЛандауЕ. М, Лифшиц, Электродинамика сплошных сред. М., Физмагтиз, 1959, стр. 403.
Н. Wagenfeld. Acta Cryst., 1968, А24, 170.
S. Kishino, К. Kohra. Japan. J. Appl. Phys., 1971, 10, 551.
S. Kishino, A. Noda^ K. Kohra. J. Phys. Soc. Japan, 1972, 33, 158,
M, Henninger, Acta Cryst., 1968, A24, 143; 1969, A25, S3, 214.
J. J.R, J. Weiss. Ac
ta Gryst., 1965, 19, 68.
G. Moliere. Ann. Phys., 1935, 24, 591; 1939, 35, 272; 1939, 36, 265.
R. Ж. James, The Optical Principles of the Diffraction of X-Rays. London, Bell, 1962.
55a. D. T. Cromer, J. B. Mann. Acta Cryst., 1968, A24, 321.
International Tables for X-Ray Crystallography, 3. Birmingham, Kynoch Press. 1962.
D. T. Cromer, Acta Cryst., 1965, 18, 17.
H. Hdnl. Z. Physik., 1933, 84,1.
H. Wagenfeld. Phys. Rev., 1966, 144, 216.
У. Sugiura. J. Phys, rad., 1927, 8, 113.
A. J. Guttman - H. Wagenfeld. Acta Cryst., 1967, 22, 334.
G. Grimvall, E. Persson. Acta Cryst., 1969, A25, 417.
3. Г. Пинскер. Кристаллография, 1970, 15, 658.
E. Zielinska-Rohozinska. Acta physica polonica, 1965, 27, 4, 587.
M. Lefeld-Sosnowska^ E. Zielinska-Rohozinska. Acta physica po- lonica, 1962, 21, 329.
3. Г. Пинскер. Кристаллография, 1966, И, 505; 1971, 16, 1117.
P. P. Ewald. Acta Cryst., 1958,
888.
P. B. Hirsch. Acta Cryst., 1952, 5, 176.
G. N, Ramachandran. Proc. Indian Acad. Sci., 1954, A39, 65.
N. Kato. J. Phys. Soc. Japan, 1955, 10, 46.
E, К. Ковъев, О. H. Ефимов, Л. И. Коровин. Phys, status so- lidi, 1969, 35, 455.
Э. Грей, Г. Б. Мэтьюз. Функции Бесселя. М., ИЛ, 1953.
Г. М, Фихтенгольц. Курс дифференциального и интегрального исчисления. Т. 2. М.— Л., Гостехиздат, 1948, 144.
И. С, Градштейн, И. М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм и т. д. М.,①изматшз, 1962.
Е. Янке^ Ф. Змбе, Ф. Леш, Специальные функции, М., изд-во «Наука», 1964,
119.120.121.122.123.124.125.126.119.120.121.122.123.124.125.126.J. Phys., Bll, 199. J. Phys., B12, 264.Kikuta,J. Phys., Bll, 199. J. Phys., B12, 264.Kikuta,S・ Kikuta. Phys” Status solidi» 1971, 45, 333,S・ Kikuta. Phys” Status solidi» 1971, 45, 333,
119.
120.
121.
122.
123.
124.
125.
126.
119.
120.
121.
122.
123.
124.
125.
126.
J. Phys., Bll, 199. J. Phys., B12, 264.
Kikuta,
J. Phys., Bll, 199. J. Phys., B12, 264.
Kikuta,
S・ Kikuta. Phys” Status solidi» 1971, 45, 333,
S・ Kikuta. Phys” Status solidi» 1971, 45, 333,
TV. Kato, Acta Cryst., 1958, 11, 885.
P. Курант, Г. Гильберт. Методы математической физики. Т. 1.М.—Л., Гостехиздат, 1951, 442.
И. Снедлон. Преобразование ①урье. М., ИЛ., 1955, 583.
A, Authier. Acta geologica et geographica. Universitatis Go- menianae. Geologica, 1968, N14, 37.
N. Kato, J. Phys. Soc. Japan, 1966, 21, 1160.
TV. Kato. Acta geologica et geographica. Universitatis Gomeniae Geologica. 1968, N4, 43.
A. Зоммерфельд. Оптика. § 45. M., ИЛ, 1953, 411.
N. Kato, J. Phys. Soc. Japan, 1965. 20, 1047.
M.Hart,A, R, Lang. Acta. Gryst., 1965, 19, 73.
N・ Kato.- J. Phys. Soc. Japan, 1966, 21, 1772.
N. Kato, Acta Cryst., 1969, A25, 419.
J, A. Prine. Z. Phys., 1930, 63, 477.
H. Wagner. Z. Phys., 1956, 146, 127.
U. Bonse. Z. Phys., 1961, 161, 310.
U. Bonse, Z. Phys., 1964, 177, 385.
T. Saka, T. Katagawa, N. Kato. Acta Gryst., 1972, A28, 102.
T. Saka, T. Katagawa, TV. Kato. Acta Cryst., 1972, A28, 113.
T. S. Uragami. J. Phys. Soc. Japan, 1971, 31, 1141.
T. S. Uragami. J. Phys. Soc. Japan, 1970, 28, 1508.
T. Uragami. J. Phys. Soc. Ja- -pan, 1969, 27, 147.
Borrmann, K. Lehmann. Crystallography and Crystal perfection. London, Academic Press, 1963, 101.
K. Lehmann, G, Borrmann. Z. Z. Kristall., 1967, 125, 234.
G. TV. Ramachandran, C. Kartha. Proc. Indian Acad. Sci., 1952, 35, 445.
P. B. Hirsch, G. N. Ramachandran. Acta Cryst., 1950, 3, 187.
H. Cole、N.R. Stemple. J. Appl. Phys., 1962, 33, 7, 2227.
M. Renninger. Acta Cryst*, 1955, 8, 597.
E. Bucksch, J. Otto, M. Rennin- ger. Acta Cryst., 1967, 23, 507. 103. A. M. Afanasiev, I. P. Persnev. Acta Cryst., 1969, A25, 520.
A. Erdetyi. Higher Transcendental Functions, 2, N. Y.— Toronto —London, McGraw — Gill, 1953.
R. J. Weiss. Acta Gryst., 1965, 18, 814.
M. A. Блохин. Физика рентгеновских лучей, гл. 3. М., Гос- техиздат, 1953.
G. Brogren, Arkiv phys., 1954, 8, 391.
G. Brogren. О. Adell. Arkiv phys., 1954, 8, 297.
R. Bubakova^ J. Drahokoupil, A. Fingerland. Czech. J. Phys., 1961, Bll, 205.
M. Renninger. Z. Naturforsch., 1961, 16a, 1110.
M. Renninger. Advances in X-Ray Analisis, 1967, 10, 32.
R. Bubakova. Czech. J. Phys., 1962, B12, 776.
K. Kohra, S, Kikuta, S. Annaka a. o. J. Phys. Soc. Japan, 1966, 21, 1565.
K, Kohra^ S. Kikuta. Acta Cry st. 1968, A24, 200.
S. Kikuta, K. Kohra. J. Phys. Soc. Japan, 1970,29,1322.
В. M. Вatterman^ G. Hildebrandt. Acta Cryst., 1968, A24, 150.
M. Lefeld-Sosnovska, C. Mal- grange. Phys. Status solidi, 1969, 34, 635.
M. Laue. Z. Phys., 1931, 72, 472.
J. Du-Mond. Phys. Rev., 1937, 52, 872.
E. Bubakova^ J. Drahokoupil^
A. Fingerland, Czech. 1962, B12, 776; 1961, A. Fingerland, Czech. 1960, B10, 233; 1962, T. Matsushita^ S.
K. Kohra, J. Phys. Soc. Japan, 1971, 30, 1136.
G. Brogren. Arkiv fys., 1954, 8, 371; 1962, 22, 87; 1963, 23, 87.
G. Brogren., б Adell. Arkiv fys., 1954, 8, 401.
G. Brogren, E. Hornstrom. Arkiv fys., 1963, 23, 81; 1964, 24, 81.
Б. Т. Захаров. Кристаллография, 1965, 10, 442; 1966, 11, 227.
М. Hart, A. D. Milne. Phys. Status solidi, 1968, 26, 185.
TV. Kato. S, Tanemura. Phys. Rev. Letters, 1967, 19, 22.
S. Tanemura^ S. Kato. Acta Cry st., 1972, A28, 69.
M. Hart. A. D. Milne. Acta Gryst., 1969, A25, 134.
M. Hart, A. D. Milne, Acta Gryst., 1970, A26, 223.
A. Authier, A. D. Milne, M. Sauvage. Phys. Status solidi, 1968, 26, 469.
S. Gottlicher, E. Wolfel. Z. Elek. Chem., 1959, 63, 891.
C. Malgrange, A. A uthier. C. R. Acad. Sc. Paris, 1965, 261, 3774.
M. Hart. Brit. J. Appl. Phys., 1968, 1, 2, 1405.
7?. D. Deslattes. Appl. Phys. Let- terrs, 1969, 15, 386.
U. Bonse, E. te-Kaat. Z. Phys., 1971, 243, 14.
M. Борн, Э. Вольф. Основы оптики. М., изд-во «Наука», 1970.
А. В. Шубников. Природа, 1927, № 2, 83; 1953, № 1, 20; 1965, № 11, 61.
S. Amelincx. The Direct Observation of Dislications. N. Y., Academic Press, 1964.
E. Hashimoto, M. Mannami^ T. Naiki. Phil. Trans. Roy. Soc. 1961, A253, 459.
E. Gevers. Phil. Mag., 1962, 7, 1681.
D. Simon, A. Authier. Acta Gryst.； 1968, A24, 527.
J. Chikawa, J. Appl. Letters, 1965, 7, 193.
N. R, Lang, V. F. Miuskov. Appl. Phys. Letters, 1965, 7, 214.
J. Bradler, A. R. Lartg. Acta Gryst., 1968, A24, 246.
U. Bonse, M. Hart. Z. Phys., 1966, 194, 1.
U. Bonse, M. Hart. Acta Cryst., 1968, A24.
U. Bouse, E. te-Kaat. Z. Phys., 1968, 214, 16.
S. Takagi, J. Phys. Soc. Japan, 1969, 26, 1239.
A. H. Тихонов, A. А. Самарский. Уравнения математической физики. М., изд-во «Наука», 1966.
Р. Курант. Уравнения с частными производными. М., изд-во «Мир», 1964.
Ь. Вalibar. These, Paris, 1969.
D. Taupin. These, Paris, 1964,
P. P. Ewald. Z. Kristall., 1937, A97 1.
♦157. G. Mayer. Z. Kristall., 1928, 66, 585.
B. Dawson. Proc. Roy. Soc., 1967, A298, 264.
E. J, Saccosio, A. Zajac» Phys. Rev., 1965, A139, 255.
W. Uebach^ G. Hildebrandt. Z. Kristall., 1968, 129, 1.
А. А. Кацнельсон^ В. Я. Кисин^ Н. А. Полякова. Кристаллография, 1969, 17, 965.
G. Hildebrandt, Acta Cryst., 1969, А25, pt S3, XVI; S209.
T. Joko, A. Fukuhara. J. Phys., Soc. Japan, 1967, 22, 597.
P. Penning, D. Polder. Philips. Res. Rep., 1968, 23, 1.
P. Penning. Philips. Res. Rep., 1968, 23, 12.
K. Kambe. J. Phys. Soc. Japan, 1957, 12, 25.
S. Balter, R. Feldman, B. Post. Phys. Rev. Letters, 1971, 27, 307.
E. Feldman, В. Post. Phys. Status solidi, 1972, 12a, 273.
H, Cole, E. W. Chambers, H. M. Dunn. Acta Gryst., 1962, 15, 138.
/. Lafour cade,J.-J. Couderc,
P. Larroque. C. R. Acad. Sc. Paris, 1965, 260, 5752.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие• 3
Глава 1. Введение. Исторический обзор 5
Глава 2. Волновое уравнение и его решение для прозрачного неограниченного кристалла 17
Волновое уравнение и его решение 17
Двухволновое приближение. Дисперсионная поверхность 27
Глава 3. Прохождение рентгеновских лучей через прозрачную кристаллическую пластинку. Отражение по Лауэ . . .35
Волновые поля внутри кристалла 35
Полу кристалл. Связь с условиями эксперимента. Эффект преломления 35
Амплитуды волн. Маятниковое решение. Экстинкция.
Квазистоячие волны• 43
Коэффициенты прохождения и отражения. Анализ маятникового решения в случае плоскопараллельной пластинки 49
Прохождение через клиновидную пластинку 59
Глава 4. Рассеяние рентгеновских лучей в поглощающем кристалле.
Отражение по Лауэ 68
Атомное рассеяние ипоглощение 68
Комплексная форма параметров динамического рассеяния [63] 77
Вывод точных формул для коэффициентов прохождения Т и отражения в случае поглощающего кристалла . . . .84
Вывод приближенных формул для коэффициентов прохождения Т и отражения R 87
Анализ приближенных, формул для коэффициентов прохождения Т и отражения R 91
Интегральные значения отражения R» и прохождения 7\ в случае поглощающего кристалла [66] 102
Анализ выражений для интегральных величин R» и 7\ применительно к важнейшим частным случаям109
Глава 5. Векторы Пойнтинга и распространение энергии рентгеновских волн 119
Усредненный вектор Пойнтинга в общем случае :. . .119
Трижды усредненный вектор Пойнтинга в прозрачном кристалле. Слагающие вектора по полям. Теорема Зваль-
да—Като 123
Трижды усредненный вектор Пойнтинга в поглощающем цеитросимметричном кристалле 131
Распространение энергии в поглощающем кристалле без центра симметрии. Учет периодической составляющей вектора Пойнтинга. Дополнительные замечания 141
Глава 6. Динамическая теория в приближении падающей сферической волны 146
Динамическая теория в двухволновом приближении при условии падающей на кристалл сферической волны. Применение к рассеянию в прозрачной плоскопараллельной кристаллической пластинке 147
Применение изложенной теории к рассеянию в поглощающем кристалле 166
Глава 7. Отражение рентгеновских лучей по Брэггу. I Оснсвиые определения. Коэффициенты поглощения. Дифракция в конечном кристалле . • 173
Отражение от прозрачногокристалла 175
Истинное поглощение при отражении по Брэггу. Исследование величины о 186
Дифракция в конечном кристалле в приближении сферической падающей волны или падающего волнового пакета 193
Глава 8. Отражение рентгеновских лучей по Брэггу. II Коэффициенты и интегральные значения отражения и прохождения 202
Вывод общих выражений для коэффициентов отражения и прохождения 202
Отражение по Брэггу от прозрачного кристалла . . .206
Отражение по Брэггу от толстого поглощающего кристалла 213
Интегральное отражение от поглощающего кристалла в случае Брэгга 225
Глава 9. Рентгеновские спектрометры, используемые при исследовании динамического рассеяния. Некоторые итоги экспериментальной проверки теории 233
Оценка спектральной ширины и угловой расходимости излучения рентгеновской трубки 234
Двухкристальный спектрометр с использованием отраже
ний по Брэггу в обоих кристаллах (схема Брэгг—Брэгг)237
Трехкристальный спектрометр 246
Другие типы спектрометров и монохроматоров252
Некоторые итоги экспериментальной проверки динамической теории 257
Глава 10. Рентгеновская интерферометрия. Картины муара при дифракции рентгеновских лучей 270
Рентгеновские интерферометры 270
Работа интерферометра при нарушенной фокусировке 277
Образование и использование картин рентгеновского муара 281
Другие типы интерферометров. Трансляционный муар 293
Глава И. Обобщенная динамическая теория рассеяния рентгеновских лучей в идеальных и деформированных кристаллах 298
Вывод фундаментальных уравнений в общем случае деформированного кристалла 299
Дифракция рентгеновских лучей в идеальном кристалле в условиях пространственно-неоднородной динамической задачи. Функция влияния точечного источника . . • •305
Отражение по Лауэ в идеальном кристалле 307
Отражение по Брэггу в идеальном кристалле 311
Применение обобщенной теории к деформированному кри
сталлу. Связь угловой переменной 0Tl с полем деформаций 315
Изучение частного случая зависимости Do и Dh только от толщины кристалла 316
Модификация основных уравнений (поглощающий кристалл) 318
Глава 12. Динамическое рассеяние в случае трех сильных волн . .320
Рассеяние в прозрачном кристалле. Опорные системы координат 323
Система фундаментальных уравнений (2.49) в случае трех сильных волн и уравнение дисперсионной поверхности при рассеянии в прозрачном кристалле 327
Анализ уравнения дисперсионной поверхности в случае прозрачного кристалла 329
Рассеяние в кристаллах кремния и германия 332
Рассеяние в поглощающем кристалле. Введение комплексных параметров рассеяния 335
Уравнение дисперсионной поверхности в случае поглощающего кристалла. Коэффициентпоглощения 337
Обзор других теоретическихиэкспериментальных работ 349
Приложение 1 356
Приложение 2 357
Литература 362
ЗИНОВИЙ ГРИГОРЬЕВИЧ ПИНСКЕР
ДИНАМИЧЕСКОЕ РАССЕЯНИЕ РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ
В ИДЕАЛЬНЫХ КРИСТАЛЛАХ
Утверждено к печати Ордена Трудового Красного Знамени
И нс тит утом кристаллографии АН СССР им. А. В. Шубникова
Редактор В. В. Удалова. Редактор издательства М. С. Райкова
Художник А. Г. Кобрин. Художественный редактор Н. Л. Власик
Технический редактор Э. Л. Кунинi
Сдано в набор 27/VIII 1973 г. Подписано к печати 28/XII 1973 г. Формат 60x90Vie. Бумага книжно-журнальная № 2. Усл. печ. л. 23. Уч.-изд. л. 24. Тираж 2100. Т-18354. Тип. зак. 2876. Цена 1 р. 67 к.
Издательство «Наука». 103717 ГСП, Москва, К-62, Подсосенский пер., 21
2-я типография издательства «Наука». 121099, Москва, Г-99, Шубинский пер., 10
Опечатки
Страница
Строка
Напечатано
Должно быть
169
13 св.
氮®
/о (ц)
190
7 св.
]А 一片
琼
婷
190
8（片一1）
8（1一吟
358
18 сн.
0,8602
0,8902
358
17 сн.
0,8185
0,8685
3. Г. Пинскер
I 闻=1e1 X(5.30а)
[4頂 + (1 + Z) COS2 卷(4产 + 1 + Z) + (I — z) sin2 8 (4炉 + 1 一 l)]^
:2(1+徜，
1. Лсимптотические свойства. Допустим, что один из xir
тельно отклоняется от значения, отвечающего середине максимума. В этом случае в уравнении (12.35) достаточно учесть лишь члены, содержащие 勾：
%(””)一 JR I и |2 (1 + % + 眩 I a1214} = 0.(12.37)
З.Г.ПИНСКЕР
ДИНАМИЧЕСКОЕ РАССЕЯНИЕ
РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ В ИДЕАЛЬНЬ1Х КРИСТАЛЛАХ
ИЗДАТЕЛЬСТВО，НАУКА・
АКАДЕМИЯ НАУК СССР
ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ
ИНСТИТУТ КРНСТАЛЛОГРА①ИИ им. А. В. ШУБНИКОВА
3. Г. ПИНСКЕР
ДИНАМИЧЕСКОЕ РАССЕЯНИЕ
РЕНТГЕНОВСКИХ ЛУЧЕЙ
В ИДЕАЛЬНЫХ КРИСТАЛЛАХ
ИЗДАТЕЛЬСТВО • НАУКА • МОСКВА • 1974
УДК 548
Динамическое рассеяние рентгеновских лучей в идеальных кристаллах. П и н с к е р 3. Г. М., изд-во «Наука», 1974.
В последнее время важное значение приобрели методы исследования и контроля различных нарушений идеальной структуры кристаллов, основанные на динамическом рассеянии, в связи с возросшим потреблением монокристаллов в полупроводниковой технике, квантовой электронике и т. д.
В монографии впервые дается полное систематическое изложение теории наиболее прецизионных экспериментальных методов и важнейших результатов, относящихся к дпкамическому рассеянию рентгеновских лучей в идеальных кристаллах. Наряду с этим приводятся в кратком изложении основы современной теории рассеяния в кристаллах с дефектами.
Книга рассчитана на читателей, имеющих подготовку в объеме программ физических факультетов университетов и инженерно-физических вузов.
Илл. 108. Табл. 13. Библ. 170 назв.
Ответственный редактор
член-корреспондент АН СССР В. К. ВАЙНШТЕЙН
© Издательство «Наука», 1974 г© Издательство «Наука», 1974 г「20805-0018
© Издательство «Наука», 1974 г
© Издательство «Наука», 1974 г
П 042 (01)—74 397—74