Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Глава 1. Термодинамические основы флуоресцентного охлаждения 13
Люминесценция 14
Компоненты вторичного свечения кристаллов (14).
Квазитермодинамическое равновесие (20). 1.1.3. Положительная и отрицательная люминесценция (21). 1.1.4. Правило Стокса (23). 1.1.5. Энергетический выход (25). 1.1.6. Возможные значения энергетического выхода (26).1.1.7. Оптическое
охлаждение (27). 1.1.8. Квантовый выход люминесценции (28).
Энтропия излучения 29
Бозе-газ (30). 1.2.2. Энтропия излучения (31). 1.2.3. Фотолюминесценция (32). 1.2.4. Интенсивность антистоксового излучения (34).
Электролюминесценция 36
Фотолюминесценция 38
Парадигма антистоксовогоохлаждения 42
Антистоксовое охлаждение (42). 1.5.2. Доплеровское охлаждение (45). 1.5.3. Газы (46). 1.5.4. Растворы красителей (48).
Полупроводники (50). 1.5.6. Рубин (55). 1.5.7. Ионы редких земель (56).
Глава 2. Теория лазерного охлаждения 60
Основные типы кинетических уравнений 61
Уравнение Паули (61).2.1.2. Уравнение Цванцига (62).
Неравновесный статистический оператор (64). 2.1.4. Скоростные уравнения (67). 2.1.5. Выводы (68).
Метод иерархий кинетических уравнений Боголюбова 69
Элементарная теория антистоксовой флуоресценции 74
Трёхуровневая модель (75). 2.3.2. Энергетический выход и эффективность охлаждения (76). 2.3.3. Температура (77).
Лазерное охлаждение примесных твёрдых тел 78
Лазер в обращённом режиме. Кристалл YAG:Nd3+ (78).
Охлаждение рубина. Кристалл А120з:Сг3+ (80). 2.4.3. Об-
щий подход. Кинетические уравнения (88).2.4.4. Построение
уравнений (91). 2.4.5. Стационарное решение (92).
Сверхизлучательный режим охлаждения
Сверхизлучение (94).2.5.2. Лазерное охлаждение (95).
Система уравнений (97).2.5.4. Интенсивность (100).
Общие замечания (101).
Явление Пельтье
Полупроводниковые холодильники Пельтье (104).
Сравнение с антистоксовым охлаждением I (106). 2.6.3. Скоростные уравнения (107).2.6.4. Стационарное решение (109).
Два частных случая (109). 2.6.6. Потоки охлаждения (110).
Эквивалентные величины (112). 2.6.8. Сравнение с антистоксовым охлаждением II (115).
Глава 3. Экспериментальные исследования и ограничения фундаментального характера
Методика Лос-Аламосского эксперимента
История вопроса (119). 3.1.2. Эксперимент (120).
Первые разработки твердотельного лазерного рефрижератора . . . .
Обобщённая холодильная машина
Минимальная температура
Максимальная мощность охлаждения
Глава 4. Самоохлаждение активных элементов твердотельных лазеров
Радиационно сбалансированный лазер
Рабочая среда для радиационно-сбалансированноо лазера (139). 4.1.2. Протяжённость среды (144). 4.1.3. Термодинамика (146).
Двухпримесной лазер
Скоростные уравнения лазера (156). 4.2.2. Эффективность охлаждения (157).4.2.3. Условия генерации лазера (158).
Коэффициент потерь на второй примеси (159). 4.2.5. Самоохлаждение (164).
Глава 5. Лазерное охлаждение твердотельных носителей информации оптических эхо-процессоров
Магнитное охлаждение
Адиабатическое размагничивание спиновой подсистемы (168).
Спин-локинг
Многоимпульсный спин-локинг (172).
Фотонный локинг
Акустооптический модулятор (174).5.3.2. Фотонный ло
9494102102119119124128130133119119124128130133138139138139153153167168171173167168171173кинг (175).
94
94
102
102
119
119
124
128
130
133
119
119
124
128
130
133
138
139
138
139
153
153
167
168
171
173
167
168
171
173
Сужение однородной ширины спектральных линий с помощью многоимпульсных последовательностей для улучшения функционирования эхо-процессоров 5.4.1. Постановка задачи (177). 5.4.2. Многоимпульсное сужение однородной ширины спектральных линий в магнитном резонансе (177). 5.4.3. Многоимпульсное сужение однородной ширины спектральных линий оптических переходов (179). 5.4.4. Подавление дипольной ширины спектральной линии оптического перехода ионов в кристалле путём радиочастотного воздействия на ядра кристаллической решётки (180).
Возможность создания самоохлаждающегося оптического процессора
Двухпримесный парамагнетик (182).5.5.2. Холодный
«бит» (182). 5.5.3. Ионы трёхвалентного тулия (185). 5.5.4. Другие способы улучшения функционирования оптических эхо- процессоров (187).
Глава 6. Проблемы охлаждения твердотельных квантовых процессоров
От классических оптических процессоров к квантовым
Процессоры, функционирующие на основе использования поляризационных состояний бифотонов
Твердотельные оптические квантовые эхо-процессоры
Многоуровневые твердотельные квантовые процессоры
Лазерное охлаждение полупроводникового ЯМР-квантового компьютера
Заключение
Приложение
177177182182189190191194197199204206211189190191194197199204206211Список литературы
177
177
182
182
189
190
191
194
197
199
204
206
211
189
190
191
194
197
199
204
206
211
Предисловие
Данная монография посвящена одному из перспективных и интереснейших направлений лазерной физики — лазерному охлаждению твёрдых тел и перспективам создания твердотельного оптического рефрижератора. Её написание вызвано желанием авторов монографии дать ответы хотя бы на часть многочисленных вопросов специалистов в области когерентной оптики и спектроскопии о физике лазерного охлаждения твёрдых тел, о путях достижения более глубокого охлаждения и о возможности создания твердотельных лазерных рефрижераторов, самоохлаждающихся твердотельных лазеров и эхо-процессо- ров с оптически охлаждаемыми носителями информации. Эти вопросы возникли уже в 1995 году сразу же после сообщения о постановке в США первого твердотельного эксперимента по лазерному охлаждению. Их число росло с появлением новых экспериментальных работ, которые требовали объяснения с единых позиций в одном издании. Более того, наметились перспективы по использованию антистоксова механизма охлаждения для понижения температуры активных элементов твердотельных лазеров и носителей информации оптических эхо- процессоров. Одним из способов решения таких практически важных задач является дополнительное легирование твердотельной среды ионами трёхвалентного иттербия или тулия. Другие способы оптимизации работы, например, оптических эхо-процессоров так или иначе уже обсуждались в радиоспектроскопии. В основе этих способов лежит спин- локинг и различные режимы многоимпульсного сужения однородной ширины спектральных линий. Поэтому авторы данной монографии сочли целесообразным кратко описать эти режимы и провести анализ возможности их реализации в оптическом диапазоне. Это описание завершается обсуждением конкретной схемы такого фазового процессора с оптически охлаждаемым носителем информации.
Существенное влияние на нас при написании книги оказали блестящие эксперименты по лазерному охлаждению тяжелометаллического стекла с трёхвалентным иттербием, выполненные в национальной лаборатории США в Лос-Аламосе. Большое значение имела личная встреча и длительная дискуссия одного из авторов книги с исполнителями этих экспериментов — Ричардом Эпстейном, Карлом Мунганом и Мансуром Шейк-Бахае в г. Альбукерке в декабре 2000 года. Авторы данной книги попытались в ней дать ответы на вопросы, возникшие в ходе вышеупомянутых дискуссий. Мы надеемся, что проблемы, затронутые в книге, окажутся полезными широкому кругу читателей.
Издание книги поддержано грантом РФФИ № 04-02-30002д. Монография написана с использованием публикаций её авторов, поддержанных в своё время грантами МНТЦ #2121, CRDF (CGP RP1-2560-KA-03 и программа BRHE REC-007), РФФИ (№ 02-02- 16722а и 04-02-16932а), РФФИ «Россия-Беларусь» (№04-02-81009 Бел-2004а), Программой Президиума РАН «Квантовая макрофизика» и Программами ОФН РАН «Оптическая спектроскопия и стандарты частоты» и «Когерентные акустические поля и сигналы», Договорами между КФТИ КазНЦ РАН и НЦВО ИОФ РАН, между КФТИ КазНЦ РАН и ИЛФ СО РАН (Новосибирск).
Авторы благодарны чл.-корр. РАН, проф. К.М. Салихову за создание благоприятных условий в КФТИ КазНЦ РАН для проведения исследований, проф. М.Х. Салахову и д.ф.-м.н. Д.Я. Осокину — за интерес к этим исследованиям и консультации, зав. лаб. НПО «ГИПО» С.Н. Андрианову — за многолетнее научное сотрудничество в области когерентной спектроскопии и лазерного охлаждения, проф. С. О. Ми- румянцу — за постоянную поддержку всех наших разработок, с.н.с. Р. Н. Шахмуратову — за сотрудничество при решении одной из задач гл. 4, с.н.с. А. А. Калачеву — за обсуждение материала книги и ценные советы в области оптического сверхизлучения, к.ф.-м.н. С. Я. Хлебникову — за консультации в области магнитного охлаждения, н.с. А. А. Калинкину — за техническую помощь при создании некоторых рисунков и цветной вклейки, а также В. Л. Аснину (Hebrew University of Jerusalem), прочитавшему рукопись второй главы и сделавшему ряд ценных замечаний.
Введение
Воздействие света на вещество состоит в передаче этому веществу энергии и импульса, привносимых световой волной, в результате чего могут возникать разнообразные эффекты. Первичным процессом является поглощение света. Поглощённая световая энергия в самом общем и наиболее распространённом случае переходит в тепло, несколько повышая температуру поглощающего тела. Обнаружение в 1928 году антистоксового и стоксового режимов рассеяния света показало принципиальную возможность оптического охлаждения вещества. Использование лазеров (особенно полупроводниковых) для охлаждения позволяет сделать оптический рефрижератор компактным.
Первые идеи лазерного охлаждения (и пленения) атомов возникли независимо в нескольких группах исследователей, занимавшихся проблемами нелинейной лазерной спектроскопии и созданием прецизионных стандартов частоты [1]. Многие недоумевали, как лазер, обладающий столь высокой яркостной температурой, способен не нагревать, а охлаждать вещество. Идею механического действия лазерного излучения на свободные атомы можно понять следующим образом. Доля медленных атомов в максвелловском распределении атомов по скоростям в пучке очень мала. Больше всего атомов со среднетепловой скоростью. Допустим, мы настроимся лазером в резонанс с этими атомами и направим фотонный пучок навстречу атомному пучку. Тогда, если частоту лазерной волны отстроить в красную сторону от центра атомного резонанса на величину полуширины доплеровской линии, то группа атомов вблизи резонансной скорости ^ки — (^д0П — ^Лаз)| < Г, где 2Г — однородная ширина атомного перехода, ^лаз — частота лазера, ^доп — частота центра доплеровски-уширенного перехода, d — скорость атомов) будет испытывать трение в потоке встречных фотонов, их скорость будет уменьшаться. При этом, очевидно, условие резонанса не будет нарушаться, если частоту поля повышать так, чтобы отстройка частоты отслеживала изменение доплеровского сдвига этой группы атомов, испытывающей действие силы светового трения [2]. С энергетической точки зрения атомы поглощают низкоэнергетические фотоны, а затем, в среднем, изотропно излучают фотоны так, что испущенный свет уже не имеет доплеровского сдвига и, как следствие, большей частоты. Эта разница в энергиях фотонов представляет собой то количество теплоты, которое отбирается у атомов.
Физический механизм радиационного охлаждения посредством антистоксовой флуоресценции был изначально предложен П. Прингсхей- мом в 1929 году [3]. В отличие от трансляционного охлаждения сво-
бодных атомов, лазерное охлаждение твёрдого тела происходит в том случае, когда при облучении образца лазером средняя энергия излучённых телом фотонов превосходит энергию поглощённых фотонов. Иными словами это происходит тогда, когда антистоксовая эмиссия, которая протекает на частотах, больших, нежели частота лазера накачки, доминирует над стоксовой эмиссией, частоты которой имеют меньшие значения, при условии, что скорости безызлучательных переходов из возбуждённых состояний пренебрежимо малы по отношению к скоростям оптических переходов. В этом случае происходит охлаждение внутренних степеней свободы, по меньшей мере две из которых связаны теплообменом с окружением.
Охлаждение атомов за счет резонансного светового давления продолжается до тех пор, пока не вступают в процесс флуктуации импульса атома, неизбежные в процессе стохастического переизлучения большого числа атомов. При облучении вещества лазерным излучением возникает конкуренция двух процессов — лазерного охлаждения и диффузионного разогрева атомов. Установление баланса между этими процессами приводит к установлению стационарной температуры. Для двухуровневого атома последняя имеет минимальное значение порядка 10-3 -У 10-4 К и определяется однородной шириной резонансного перехода [4]. Антистоксовое лазерное охлаждение является более эффективным процессом: при наблюдении антистоксового охлаждения газов было установлено, что доплеровское охлаждение менее эффективно примерно на шесть порядков величины [5].
Проблема лазерного охлаждения твердотельных образцов является одной из наиболее актуальных и практически значимых в лазерной физике. Достижение в лазерном охлаждении твёрдых тел успехов, подобных успехам доплеровского охлаждения газов, позволило бы создать миниатюрные лазерные рефрижераторы, функционирующие без использования криогенных жидкостей. Такие устройства, функционирующие на принципе антистоксового лазерного охлаждения, обладали бы свойствами компактности, нечувствительности к электромагнитному излучению, отсутствием вибраций при работе. Их срок эксплуатации может исчисляться годами. К настоящему времени уже поставлена серия экспериментов [6-16], приближающих время создания таких устройств. Отметим, что ещё в 1995 году Ричардом Эпстейном, Бредли Эдвардсом, Мелвином Бухвальдом и Тимоти Госнеллом был получен патент США под названием «Флуоресцентное охлаждение» [17], с помощью которого закреплялись авторские права этой группы исследователей на определённую конструкцию твердотельного лазерного рефрижератора. В качестве рабочего материала такого рефрижератора предлагается использовать тяжелометаллическое стекло ZBLANP (ZrF4-BaF2-LaF3-AlF3-NaF3-PbF2), легированное ионами трёхвалентного иттербия (Yb3+) с концентрацией 1 вес. %. В 1999 году Тимоти Госнелл сумел охладить этот материал от 301 К до 236 К[15]. На момент публикации данной книги рекордное лазерное охлаждение
твердотельного образца (ZBLANP, легированный Yb3+ в концентрации 2 вес. %) достигнуто Ричардом Эпстейном с коллегами и составляет 88°, начиная от комнатной температуры [18]. В 1999 году Карлом Мун- ганом и Тимоти Госнеллом был опубликован полный обзор результатов экспериментальных исследований в области лазерного охлаждения твёрдых тел[19]. Отметим, что наряду с ионами Yb3+для реализации лазерного охлаждения в том же стекле используются ионы трёхвалентного тулия (Тш3+) [16]. О результатах эксперимента [16] проф. Мансур Шейк-Бахае (Университет Нью-Мексико, США) детально докладывал на международной конференции Lasers’2000 в г. Альбукерке. Затем последовали ещё два патента, посвящённые различным аспектам создания твердотельного оптического рефрижератора, в том числе на основе полупроводников [20, 21]. В апреле 2004 года на третьей ежегодной конференции по лазерному охлаждению твёрдых тел (США, г. Альбукерке, 16 апреля 2004 г.) Р. Эпстейн сообщил также о поставленных его группой экспериментах по лазерному охлаждению примесных кристаллов: YAG:Yb3+ на 6° при накачке этого кристалла на длине волны 1030 нм, а также ВаУ2Еб:Тш3+ (2 вес. %) на 2° при накачке на длине волны 1902 нм. На той же конференции прозвучал весьма интересный доклад М. Шейк-Бахае по лазерному охлаждению полупроводников и возможной конструкции лазерного рефрижератора на их основе. Особенно поражают предлагаемые им нанорефрижераторы на гетероструктурах из матриц подобных нанорефрижераторов. У разработчиков твердотельных лазерных рефрижераторов безусловный интерес вызвал доклад Г. Миллса с коллегами из Белловской аэрокосмической и технологической корпорации США, посвящённый обсуждению конкретных конструкций твердотельных оптических рефрижераторов. Наиболее важные фрагменты этих докладов Р. Эпстейна, М. Шейк-Бахае и Г. Миллса с коллегами приведены на специальной вклейке в данной книге.
В целом, результаты работ [6-16] и только что упомянутых исследований создали предпосылки для появления первого твердотельного лазерного рефрижератора. Как уже отмечалось, его функционирование возможно в режиме антистоксовой флуоресценции, когда энергия кванта спонтанного излучения больше энергии кванта излучения накачки. Идея использования этого режима для охлаждения различных сред принадлежит И. Прингсхейму. В 1945-1946 гг. развернулась теоретическая дискуссия между И. Прингсхеймом и С. И. Вавиловым, отрицавшем в модели Прингсхейма возможность охлаждения среды в этом режиме по термодинамическим соображениям. Сторону И. Прингсхейма в этой дискуссии принял Л.Д. Ландау [22], построивший термодинамическую теорию, доказывающую возможность антистоксового оптического охлаждения сплошных сред. Позднее группа физиков во главе с Б. И. Степановым (М.Н. Аленцев, В. В. Антонов-Романовский, Б. И. Степанов, М. В. Фок и А. П. Хапалюк) учла неизбежное влияние
теплового фона и, по существу, первой показала возможность существования сред с энергетическим выходом, превышающим единицу.
К настоящему времени хорошо известны серьёзные достижения в области оптического охлаждения газов. Заметим, что ещё в 1619 году И. Кеплер в сочинении «DeCometis» высказал гипотезу о том, что причиной отклонения хвостов комет является давление световых лучей. В 1873 году Дж. Максвелл на основе своей электромагнитной теории предсказал величину светового давления, которое было обнаружено в 1899 году П.Н. Лебедевым. В 1909 году А. Эйнштейн уже обсуждал вопрос о существовании флуктуаций светового давления. Затем, в 1933 году, О.Р. Фришем был поставлен эксперимент по отклонению пучка атомов натрия под действием давления резонансного излучения натриевой лампы. В начале семидесятых годов встал вопрос об использовании в таких экспериментах лазерного излучения, и первые подобные эксперименты были поставлены в 1971 году А. Эшкиным с коллегами. Они показали, что давление лазерного излучения способно управлять движением небольших частиц. Затем, в 1975 году, две независимые группы исследователей — О. Вайнленд и X. Димельт, а также Т. Хэнч и А. Шавлов, предсказали возможность использования резонансного лазерного излучения для охлаждения атомов. Для реализации этого предсказания было важно решить проблему локализации атомов в световом поле. Впервые проблема локализации нейтрального атома в световом поле стоячей волны была поставлена в 1968 году В.С. Летоховым и позднее развита А.П. Казанцевым. Эксперименты в области лазерного охлаждения газов проходили в двух направлениях: а) получение «охлаждённых» атомов газа путём их замедления встречным лазерным пучком; первый такой эксперимент был поставлен в 1980 году В.С. Летоховым с коллегами; б) получение охлаждённых атомов в электромагнитных ловушках; первый подобный эксперимент Вайнленда с коллегами относится к 1978 году. Прекрасное изложение истории этих исследований и физики лазерного охлаждения можно найти в книге ВТ. Миногина и В.С. Летохова [23]. Последующие успехи в лазерном охлаждении газов до температуры 10-4 К оценены присуждением в 1997 году С. Чу, К. Коен-Танноуджи и У. Филлипсу нобелевской премии по физике за цикл работ по лазерному охлаждению газов.
Столь высокие достижения в лазерном охлаждении газов не могли не стимулировать разработки в области лазерного охлаждения твёрдых тел. После первого твердотельного эксперимента [6], в котором удалось получить понижение температуры образца всего лишь на 0,3°, начался интенсивный поиск путей повышения эффективности лазерного охлаждения. Так, начиная с 1996 года С.Н. Андриановым и одним из авторов данной книги было дано адекватное теоретическое описание эксперимента [6] и ряда последующих экспериментов в рамках метода неравновесного статистического оператора и сделан прогноз возможности лазерного охлаждения молекулярных и примесных кри-
сталлов [24-27]. В 1996 году А.Н. Ораевский [28], а также Л.А. Ривлин и А.А. Задерновский [29] теоретически исследовали возможность и оптимальные условия лазерного охлаждения полупроводников. Тем не менее, многие аспекты теории лазерного охлаждения твёрдых тел ещё остались нераскрытыми и они будут обсуждаться в данной книге. Один из таких аспектов связан с лазерным охлаждением активных элементов твердотельных лазеров. Другой аспект посвящён охлаждению носителей информации оптических эхо-процессоров. Из содержания данной книги следует, что один из путей организации самоохлажде- ния твердотельного объекта связан с его легированием «охлаждающими» примесными центрами типа трёхвалентного иттербия. Особое внимание уделено поиску оптимальных условий функционирования твердотельных оптических эхо-процессоров. Многие вопросы такой оптимизации были решены ранее в радиодиапазоне путём применения спин-локинга и многоимпульсных последовательностей, сужающих дипольную ширину спектральных линий. Особую роль в развитии этих методов в радиодиапазоне сыграли Дж. Уо и У. Хеберлен, а в оптике — А. Зевейл.
Отметим, что функционирование оптических эхо-процессоров возможно в фемтосекундном диапазоне длительностей. К настоящему времени уже поставлены эксперименты по фемтосекундному фотонному эхо на твердотельных образцах, находящихся при комнатной температуре. Известно [30], что оптические фазовые процессоры могут функционировать не только на основе фотонного эха, но и на основе оптического сверхизлучения, которое было предсказано в 1954 году Робертом Дике. Особыми перспективами характеризуется триггерное оптическое сверхизлучение; первый твердотельный эксперимент по его наблюдению и изучению был поставлен в 2001 году [31].
В целом в данной книге раскрыт комплекс проблем, стоящих на пути создания миниатюрных твердотельных лазерных рефрижераторов, самоохлаждающихся твердотельных лазеров и носителей информации оптических эхо-процессоров, а также обсуждаются пути и результаты их оптимального решения.
Глава 1
ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕ ОСНОВЫФЛУОРЕСЦЕНТНОГО ОХЛАЖДЕНИЯ
Термодинамические законы накладывают ограничения на процесс фотолюминесценции и поэтому, прежде всего, необходимо рассмотреть некоторые общие теоретические положения, лежащие в основе работы любой оптической холодильной машины.
Как такового, понятия «холод» в термодинамике нет. Холод — это просто теплота, температурный уровень которой ниже температуры окружающей среды [32]. Исторически термодинамика возникла из потребностей создания эффективных тепловых машин, т. е. таких устройств, которые служат для превращения теплоты в механическую работу. Первое теоретическое исследование работы тепловых машин было проведено Сади Карно (1796-1832 гг.), доказавшим теоремы, определяющие наибольший коэффициент полезного действия тепловых машин. Эти теоремы позволили впоследствии сформулировать один из основных законов термодинамики — второе начало.
Охлаждением будем называть процесс отвода теплоты или отдачи работы, который сопровождается понижением температуры и протекает с участием не менее двух тел: охлаждаемого и охлаждающего. Этот процесс происходит с помощью так называемой холодильной машины, когда за счёт внешней работы (например, оптической накачки) тепло отнимается от более холодного тела и передаётся телу с более высокой температурой. Вообще, холодильная машина может представлять собой целый комплекс элементов, при помощи которых рабочее вещество совершает обратный по отношению к работе тепловой машины термодинамический цикл за счёт затраты работы или теплоты. При описании процессов в элементах холодильной машины нужно помнить, что эти процессы взаимосвязаны, и на них оказывают влияние как окружающая среда, так и сами охлаждаемые объекты.
Люминесценция *)
Компоненты вторичного свечения кристаллов. Взаимодействие света с кристаллическим веществом сопровождается разнообразными явлениями: энергия фотонов может частично или целиком переходить в энергию теплового движения; в веществе могут вызываться химические реакции или фотоэффект; кристалл может излучать фотоны той же или изменённой частоты.
Все виды излучения, возникающего в молекулах и кристаллах при оптическом возбуждении, принято называть вторичным свечением, которое подразделяется на релеевское рассеяние (без изменения частоты), комбинационное рассеяние (с изменением частоты), люминесценцию, горячую люминесценцию и резонансное свечение. Сюда же следует относить и отражение света от поверхности, так как оно сопровождается частичным проникновением света в кристалл и отражает характер возбуждённых состояний кристалла.
Как известно, тепловое движение атомов твёрдого тела рассматривают как совокупность нормальных малых колебаний кристаллической решётки. В квантовой теории вместо этих колебаний вводится понятие о фононах как о некоторых распространяющихся по решетке квазичастицах, обладающих определенными энергиями и направлениями движения. Если частота возбуждающего света попадает в область прозрачности кристалла, то в результате взаимодействия света с веществом происходит рассеяние с той же частотой или с изменённой частотой. Процессы рассеяния света в теории рассматриваются как процессы второго порядка, проходящие через промежуточные виртуальные состояния. При релеевском рассеянии процессы поглощения и излучения когерентно связаны: такое рассеяние является упругим соударением фотона с атомами кристалла. При комбинационном рассеянии происходит неупругое столкновение фотона с фононами. Из-за изменения частоты когерентность нарушается, однако сохраняются кинематические соотношения, обусловленные выполнением законов сохранения энергии и импульса.
Различия между некоторыми типами вторичного свечения достаточно условны и определить их оказывается возможным при рассмотрении классификации вторичного свечения в зависимости от тех или иных параметров, выбор которых зависит от предпочтений исследователя или от физики исследуемого явления. Проиллюстрируем это на следующем примере. Если в качестве такого параметра взять время t между актами поглощения и испускания фотонов, то условно можно прийти к следующему разбиению по типам вторичного свечения на такой временной шкале (рис. 1.1). Спустя время, равное периоду волны
Материал этого параграфа написан под влиянием книг А. С. Давыдова [33] и Б. И. Степанова и В.П. Грибковского [34].
OTP pj(^p гл Л ФI1111*7
О 2тг/си тф трел Тзахв
Рис. 1.1. Возможная классификация типов вторичного свечения в зависимости от времени возникновения вторичного свечения: ОТР — отражение света, РКР — резонансное комбинационное рассеяние, ГЛ — горячая люминесценция, Л — люминесценция, Ф — фосфоресценция [35]
2тг/щ, может возникнуть только отражённая световая волна с той же частотой. На больших, чем период волны, временах, но меньших времени рождения кванта колебания решётки Тф ~ 10“12 с, формируется излучение резонансного комбинационного рассеяния. В этом случае в системе фазовая память ещё сохраняется. Но если в результате релаксации электронного возбуждения успевают родиться несколько фононов, то информация о фазе первоначального возбуждения теряется. В этом случае наблюдаемое свечение называют горячей люминесценцией. За время трел ~ 10-9 л- 10“10 с первоначально возбуждённое электронное состояние может релаксировать в низшее возбуждённое состояние, в результате чего устанавливается новое квазиравновесное распределение населённостей, характеризуемое температурой решётки. Высвечивание из этих состояний является обычной люминесценцией и происходит с интенсивностью, превышающей на несколько порядков интенсивность горячей люминесценции. Если электронное возбуждение при спонтанных переходах попадает на так называемые метаста- билъные уровни, время жизни которых тзахв может составлять несколько часов и даже суток, то в результате дальнейшей релаксации из этих долгоживущих состояний мы наблюдаем излучение фосфоресценции. Таким образом видно, что в зависимости от того или иного типа промежуточных состояний, которые проходит квантовая система между актами поглощения фотона и его испускания, процесс вторичного свечения можно классифицировать по-разному.
В нашем изложении мы будем придерживаться следующей классификации вторичного свечения. Пусть свет возбуждает в кристалле реальные электронные или электронно-колебательные состояния. Тогда после поглощения света система находится некоторое время т в этом состоянии. Этот промежуток времени называется среднее время жизни, а процессы поглощения и испускания выступают как независимые процессы. Среднее время жизни т определяет экспоненциальное уменьшение интенсивности излучения с течением времени
/Ю=Д0)е-‘Ц(1.1)
Уменьшение интенсивности обусловлено взаимодействием электронных и электронно-колебательных степеней свободы с другими степенями свободы кристалла и вакуумом поля излучения.
Взаимодействие атомов кристалла с вакуумом поля излучения характеризует радиационное время жизни трад. Его обратная величина
связана с вероятностью спонтанного излучения фотона в единицу времени. При испускании фотона квантовая система переходит в более низкое энергетическое состояние, например в основное состояние. Прежде чем назвать такое испускание фотонов люминесценцией, обратим внимание на следующие два обстоятельства.
Наряду с люминесценцией каждое тело, нагретое до определённой температуры, излучает фотоны за счёт энергии беспорядочного теплового движения зарядов. Интенсивность этого температурного бесструктурного излучения пропорциональна четвёртой степени температуры. Спектральный состав излучения также определяется температурой. Поэтому, во-первых, необходимо отделить люминесценцию от теплового излучения.
Во-вторых, за счёт изменения внешних условий длительность свечения может быть уменьшена. Такое изменение называется тушением люминесценции. Характерным признаком люминесценции является возможность её тушения. Поэтому для полного определения люминесценции необходимо учесть, что поглощение и испускание фотонов могут быть разделены между собой некоторыми промежуточными процессами, например оптическими или неоптическими переходами между подуровнями возбужденных состояний.
Итак, мы будем понимать под люминесценцией избыток вторичного излучения над температурным, сопровождающий переход квантовой системы из заданного реального квантового состояния (время жизни которого превышает период световых колебаний вторичного излучения), в состояния с меньшей энергией. Длительность этого излучения должна превышать время фазовой релаксации поляризации среды. Процессы поглощения и люминесценции не зависимы и не когерентны между собой. Они также не связаны кинематически одновременным выполнением законов сохранения энергии и импульса. Спектральное распределение люминесценции обусловлено индивидуальными особенностями излучающего тела (ширинами и т. д.) и энергетическим распределением уровней, между которыми происходят переходы 9.
В люминесцирующих телах значительная часть поглощённой энергии не поступает в тепловое распределение, а излучается в виде света. Такие вещества превращают излучение одной частоты в излучение другой частоты. В частности, с помощью люминесцирующих веществ
9 Вследствие большого показателя преломления при частотах, близких к резонансу, вторичное излучение испытывает многократное отражение, прежде чем покинуть кристалл. Из-за эффектов реабсорбции и комбинационного рассеяния на фононах (вероятность которого возрастает при приближении к резонансу) спектральное распределение вторичного излучения может зависеть от размеров кристалла. При низких температурах рассеяние в основном сопровождается рождением фононов, поэтому уменьшается интенсивность излучения, соответствующего бесфононным переходам, и увеличивается интенсивность стоксовых компонент (см. ниже Правило Стокса).
можно превратить невидимые ультрафиолетовые лучи в видимые. Это явление широко используется для практических целей.
Исходя из данного определения люминесценцию можно разделить на флуоресценцию и фосфоресценцию. Флуоресценция происходит на электродипольных квантовых переходах между состояниями одинаковой мультипольности (одинакового спина). Радиационное время жизни по отношению к флуоресценции равно 10-7 -у 10-9 с. Фосфоресценцией называется излучение, сопровождающее переходы между состояниями разной мультипольности. В силу спинового запрета радиационное время жизни фосфоресценции в миллионы раз превышает радиационное время жизни флуоресценции, если соответствующие им квантовые переходы отличаются только спиновыми состояниями.
Наряду с оптическими переходами между уровнями энергии на практике возможны различные безызлучательные или неоптические переходы. Они отсутствуют только для очень простых и изолированных систем. Реальные же системы подвержены действию внешней среды. Вероятности неоптических переходов могут иметь различное значение в зависимости от характера взаимодействия. В сложных системах переходы между состояниями % j (Ei > Ej) происходят также в результате внутренних взаимодействий, причём высвобождающаяся энергия преобразуется в другие её формы. Безызлучательные переходы в состояния с меньшей энергией, в частности в основное состояние, определяются временами релаксации Тбезызл- Такие процессы релаксации уменьшают общее время жизни т состояния
\ Трэд Тбезызл 1
На излучение тратится т/трад часть энергии возбуждения, остальная часть энергии т/тбе3ызл обращается в тепло. Если выполняется неравенство трад >> Тбеэызл, то кристалл не люминесцирует — световая энергия переходит в тепловую энергию.
При поглощении фотона в кристалле полупроводника образуется пара квазичастиц — электрон в зоне проводимости и дырка в валентной зоне. Обратный переход электронов из зоны проводимости в валентную зону осуществляется за счёт электронно-дырочной рекомбинации свободных носителей одного типа со связанными носителями противоположного типа. Взаимодействие электронов и дырок с диссипативной подсистемой фононов колебаний решетки кристалла изменяет состояния электронов и дырок, так что они не могут сразу же после образования аннигилировать с испусканием поглощенного фотона. В этом случае энергия взаимодействия между электронами и дырками обусловлена электростатическим взаимодействием заряженных частиц и отбор излишней энергии происходит согласно одному из следующих двух механизмов: 1) осуществляется одним или более решёточным фононом; 2) осуществляется посредством трёхчастичного
столкновения, при котором энергия передаётся свободному носителю (оже-рекомбинация). Приводящая к люминесценции релаксация носителей в этих случаях описывается экспоненциальным законом. При достаточно высоких концентрациях свободных носителей может также происходить и прямая рекомбинация свободных электронов и дырок. Тогда следует ожидать, что вероятность перехода будет пропорциональна концентрации свободных носителей, что приведёт к неэкспоненциальному характеру релаксации.
Особенностью люминесцирующих кристаллов является то, что для них выполняются условия
Дад (Л > /о) > Тэезызл (Л > /о), Ерг > EfQ, % — 1,2,...,
Дад (/оg") < ^безызл(/о > §\0-3)
где /о — один из нижайших электронных уровней кристалла, отделённый от основного состояния (g) щелью, значительно превышающей энергию теплового движения.
(1.4)(1.4)При выполнении условий (1.3) между состояниями /о, /ь /2,... с энергиями Е^ф^ < Е(Д) < ^(/2) < ... устанавливается квазиравновесное распределение, определяемое температурой кристалла Т. Вероятность этого распределения выражается законом Больцмана
(1.4)
(1.4)
Wo) еХР хТ
где и — постоянная Больцмана.
В условиях очень низких температур излучение происходит только из состояния /о- Соответствующее излучение называется термализованной люминесценцией. Эта термализация носит условный характер, так как она осуществляется не по отношению к основному состоянию кристалла, а по отношению к электронному возбуждению /о, отделённому от основного состояния на несколько электрон-вольт.
Следует отметить, что в течение длительного времени электронное возбуждение может хранить в себе энергию, в десятки и сотни раз превосходящую тепловую энергию. Способность к такой изоляции обусловлена электронной структурой элементов, ответственных за излучение (атомы редких земель, ароматические молекулы и т. д.). Длительность свечения меняется для разных веществ и разных условий в крайне широких пределах: от миллиардных долей секунды в случае свечения атомов и молекул до часов и даже многих суток для кристал- лофосфоров.
Если радиационное время жизни делается сравнимым со временем релаксации, то в системе квазиравновесное распределение полностью не устанавливается. В этом случае излучение частично происходит из нескольких возбуждённых состояний. Такое излучение называют горячей люминесценцией.
Релеевское и комбинационное рассеяние света обычно исследуется при использовании интенсивного монохроматического излучения с частотой, расположенной в области прозрачности кристалла. В этих условиях спектр рассеяния находится в области, далёкой от спектра люминесценции, и легко выделяется. Интенсивность рассеяния очень мала. Однако по мере приближения возбуждающей частоты к резонансу интенсивность рассеяния сильно возрастает. В резонансе релеевское и комбинационное рассеяния практически неотличимы (если не учитывать, что поглощение и испускание фотонов разделены между собой промежуточными процессами). Природа релеевского резонансного излучения с возбуждённого уровня, имеющего ширину у, зависит от спектрального состава облучающего света. Если система облучается светом с непрерывным спектром в области у, то имеет место резонансная люминесценция, т. е. происходит два независимых процесса: поглощение и последующее испускание света со спектральным распределением, обусловленным шириной уровня квантовой системы у. Если же система облучается монохроматическим светом шириной уо то испускаемая линия имеет ту же ширину уо и форму, что и первичная. При этом поглощение и излучение представляют собой однофотонный когерентный процесс. Квантовая система «помнит», какой фотон она поглотила. В этих условиях энергия квантовой системы в момент взаимодействия со светом не имеет определённого значения. Таким образом, при резонансной флуоресценции нельзя сказать, в каком состоянии, основном или возбуждённом, находится молекула. Как только квантовое состояние молекулы сделается определённым, например, при измерении в течение времени, малого по сравнению со временем жизни 1/у, излучаемая энергия, из-за короткого времени измерения (меньше 1/у), будет обладать шириной, не меньшей, чем естественная ширина у. Итак, когда молекула в процессе поглощения и излучения находится в возбуждённом состоянии, оба процесса делаются независимыми и испускаемое излучение имеет естественную ширину.
К процессам рассеяния (релеевского и комбинационного) следует также добавить процессы, при которых возбуждённые состояния кристалла выступают только как виртуальные (даже в условиях резонанса). При релеевском рассеянии процессы поглощения и излучения когерентно связаны между собой и оно является процессом упругого рассеяния фотонов в кристалле. Следующее из теории возмущений участие в рассеянии промежуточных (виртуальных) возбуждённых состояний кристалла не отражает реальный процесс перехода в возбуждённое состояние. Действительно, согласно теории возмущений волновая функция кристалла, взаимодействующего с фотоном, представляется в виде суперпозиции волновых функций возбуждённых состояний невозмущённого гамильтониана. Однако эту же функцию можно разложить и по любой другой полной ортонормированной системе функций, определённых в том же пространстве независимых
переменных. Отдельные слагаемые в таких суперпозициях не имеют самостоятельного значения.
Спектральное распределение упруго рассеянного излучения соответствует спектральному распределению фотонов в пучке возбуждающего света. При комбинационном (рамановском) рассеянии изменяется частота фотона, т. е. происходит неупругое рассеяние фотона при рождении или поглощении одного или нескольких элементарных возбуждений кристалла: фононов, поляритонов, магнонов и т. д. При этом спектральное распределение излучения отличается от спектрального распределения возбуждающего света, так как оно отражает особенности реально возбуждаемых в кристалле состояний. При облучении монохроматическим светом спектральное распределение комбинационного рассеяния определяется спектральным распределением и ширинами рождаемых (поглощаемых) в кристалле элементарных возбуждений. При теоретическом описании упругого рассеяния ширины промежуточных состояний не должны учитываться.
Квазитермодинамическое равновесие. Относительная роль переходных процессов в кристалле зависит от типа кристалла и температуры. Так, в кристаллах с примесями люминесценция происходит из состояний примесей.
Большой экспериментальный материал указывает на то, что, как правило, спектральное распределение люминесценции кристаллов при возбуждении в области собственного поглощения не зависит от длины волны возбуждающего света. При низких температурах в идеальном кристалле спектр люминесценции начинается с полосы, соответствующей чисто электронному переходу из нижнего синглетного возбуждённого уровня. Эти экспериментальные факты свидетельствуют об установлении квазитермодинамического равновесия между возбуждёнными состояниями. Излучение из этих «термализованных» состояний следует относить к процессам люминесценции, так как оно происходит из реальных состояний и отражает их природу.
Оценки времён релаксационных процессов, приводящих к установлению квазитермодинамического равновесия внутри зоны возбужденных состояний, дают значения 10-11 -у 10-13 с. Радиационное время жизни синглетных состояний 10-7 -у 10-9 с. Таким образом при не очень низких температурах квазиравновесное распределение обычно успевает установиться. В некоторых случаях, однако, оно не успевает установиться полностью. Степень отклонения от равновесного распределения существенно отличается для возбуждений разного типа. Например, квазиравновесное распределение меду синглетными возбуждениями устанавливается значительно быстрее, чем равновесное распределение между синглетными и триплетными состояниями.
Энергия нижайших триплетных возбуждений в кристаллах меньше энергии синглетных возбуждённых состояний. Из-за слабой связи между синглетными и триплетными состояниями и малого радиацион-
ного времени синглетных состояний энергия возбуждения синглетных возбуждений часто излучается прежде, чем перейдёт в энергию возбуждения триплетных состояний.
При изучении спектров поглощения и люминесценции чистых молекулярных кристаллов было обнаружено, что коротковолновая часть спектра люминесценции при низких температурах непосредственно примыкает к длинноволновому краю полосы поглощения. Такая близость указывала на одинаковую природу излучающего и поглощающего состояний. Однако точное резонансное совпадение краёв полос люминесценции и поглощения наблюдается сравнительно редко.
Положительная и отрицательная люминесценция. Под влиянием внешнего воздействия, например потока внешнего излучения от источника света, термодинамическое равновесие, имеющееся в облучаемой системе, может быть нарушено. В результате этого система в целом перейдёт в возбуждённое состояние, и в ней возникнут процессы, стремящиеся вернуть её в исходное состояние, одним из которых и является люминесценция.
Одновременно с процессом поглощения падающего излучения в системе идет поглощение тепловой радиации, падающей на систему со стороны её окружения. Пусть система имеет энергетические уровни Е^ и Ер удовлетворяющим условиям Е^ > Ej и Е^ — Ej = hv^p и находится в состоянии термодинамического равновесия при температуре Т. Поскольку при термодинамическом равновесии поглощение тепловой радиации внутри системы компенсируется её спонтанным испусканием, то последнее мы будем полностью относить к тепловому испусканию. Тогда, обозначая населённости уровней энергии nt и Hj, имеем
EL = Si e-hvl3/xT q
и — постоянная Больцмана, g^gj — статистические веса энергетических состояний. При термодинамическом равновесии мощность люминесценции, очевидно, должна быть равна нулю.
При отклонении от термодинамического равновесия уже только часть спонтанного испускания является тепловой, другая его часть относится к люминесценции. Поэтому мощность поглощения равновесной радиации, падающей на систему со стороны среды, а также мощность спонтанного испускания теперь принимают другие значения, чем при равновесии. Отсюда видно, что было бы неправильно определять мощность люминесценции как разность мощности спонтанного испускания системы и её теплового испускания, существовавшего до нарушения термодинамического равновесия. Поскольку нарушение равновесия внутри системы не должно вызывать изменения в состоянии окружающей среды (т. е. плотность равновесного излучения в окружающем пространстве должна оставаться постоянной), то для определения мощности теплового испускания достаточно учесть, что оно должно компенсировать поглощение равновесной радиации, пада-
ющей на систему со стороны окружения. Таким образом, мощностью люминесценции является превышение полной мощности спонтанного испускания системы рсп исп над мощностью поглощения тепловой радиации ртпогл.
Так как поток тепловой радиации является изотропным, то для мощности люминесценции можно записать:
р™ = ^сп.исп _ ^ПОГЛ = hv.jA..n. _ hv^Bj^j - ByU^ =
— h^ij AjjTlj BjiU^j— h^ij AjjTlj BjiU^jgigi(1.6)(1.6)
— h^ij AjjTlj BjiU^j
— h^ij AjjTlj BjiU^j
gi
gi
(1.6)
(1.6)
где и^ обозначает плотность равновесной радиации, А^ и Р^ — интегральные коэффициенты Эйнштейна для спонтанного испускания и вынужденного поглощения, соответственно. Используя связь коэффициентов Эйнштейна и плотности равновесной радиации
Aid gj кигзщт _ ygVAid gj кигзщт _ ygV
Aid gj кигзщт _ ygV
Aid gj кигзщт _ ygV
выражение (1.6) можно преобразовать к более удобному для анализа
виду:виду:рлюм Ajj hujjV । _ е-^гзщтрлюм Ajj hujjV । _ е-^гзщт(1.7)(1.7)
виду:
виду:
рлюм Ajj hujj
V । _ е-^гзщт
рлюм Ajj hujj
V । _ е-^гзщт
(1.7)
(1.7)
Из определения мощности люминесценции видно, что она может принимать как положительные, так и отрицательные значения. Интенсивность же люминесценции задается степенью отклонения населенностей от их равновесного распределения по уровням энергии.
Если при нарушении термодинамического равновесия
(1.8)(1.8)e-hv13/xTgi gj’
(1.8)
(1.8)
то мощность люминесценции больше нуля. Иначе говоря, имеет место превышение полной мощности спонтанного испускания над мощностью поглощения тепловой радиации. В этом случае спонтанное испускание превышает поглощение планковской радиации и система становится источником положительного светового потока частоты v^.
Если же нарушение равновесного распределения носит противоположный характер и
e-kv%3!xTц g\
gi gj’'
то мощность люминесценции отрицательна и, следовательно, полное испускание системы меньше её теплового испускания. В данном случае говорят, что система становится источником отрицательного светового потока. Источником отрицательных потоков может быть любое тело, температура которого ниже температуры исследуемой системы.
Возникновение положительной люминесценции может быть связано не только с увеличением населённости верхнего уровня, но и с умень-
шением населённости нижнего уровня. С другой стороны, возникновение отрицательной люминесценции связано с уменьшением населённости верхнего или увеличением населённости нижнего уровней энергии.
По своим свойствам отрицательные световые потоки в принципе не отличаются от положительных потоков — они также способны поглощаться, рассеиваться, отражаться, могут служить источником возбуждения, способны охлаждать облучаемое тело (см. подробнее [37]), подвержены двойному лучепреломлению в анизотропных средах, характеризуются поляризацией и т.д. Величина отрицательного потока радиации, получаемого экспериментально, сильно зависит от температуры исследуемого объекта и рабочей области спектра. В видимом и ультрафиолетовом диапазонах при комнатной температуре отрицательные потоки малы. В этой области они могут быть велики только при сверхбольших температурах. Однако в инфракрасной области спектра отрицательные потоки хорошо чувствуются обычными приемниками радиации. Интересное применение отрицательная люминесценция нашла в физике полупроводников (см., например, обзор [38]), в спектроскопии высокотемпературных сверхпроводников [39], в микроволновой резонансной терапии [40].
Правило Стокса. Как мы видели, в процессе поглощения и последующего испускания света обычно происходит изменение его спектрального состава: частоты флуоресценции отличаются от частот поглощения (возбуждения). Их полное совпадение наблюдается лишь как исключение при резонансной флуоресценции.
Со второй половины XIX века основным законом, определяющим
Рис. 1.2. а) — стоксова люминесценция; б) — возникновение антистоксовой люминесценцииРис. 1.2. а) — стоксова люминесценция; б) — возникновение антистоксовой люминесценцииэто изменение спектрального состава Стокса: частоты возбуждающего света всегда больше или равны частотам спектра люминесценции [41]
Рис. 1.2. а) — стоксова люминесценция; б) — возникновение антистоксовой люминесценции
Рис. 1.2. а) — стоксова люминесценция; б) — возникновение антистоксовой люминесценции
^возб ^исп- (1.10)
Это правило передаёт лишь самые грубые черты явления и неверно в деталях. Смысл правила Стокса можно наглядно продемонстрировать на примере атомных спектров. Пусть возбуждение спектра происходит при поглощении света частоты ^возб (рис. 1.2, а), сопровождаю-
щемся переходом с нижнего уровня
на один из высоких уровней энергии. В спектре испускания появится множество линий разных частот. Все они возникают при переходах между более близкими уровнями энергии. Одна из них совпадает с частотой падающего света, остальные меньше её. Так же можно проиллюстрировать и случаи нарушения правила Стокса.
Пусть частота возбуждающего света равна ^В03б = ^23 (рис. 1.2,6). Если все атомы находятся в основном электронном состоянии, то поглощение будет отсутствовать. При температурах, отличных от нуля, небольшая часть атомов находится на уровне 2 и, поглощая свет частоты ^23> переходит на уровень 3. В дальнейшем они могут перейти в состояние 2 с испусканием квантов, частоты которых равняются частоте поглощённого света. Вместе с тем они могут перейти в состояние 1 с испусканием частоты z/gi > £40зб- Чем больше температура и меньше расстояние Е^ — Е\, тем легче наблюдать отклонение от правила Стокса.
Рис. 1.3. а) Стоксова и антистоксова люминесценция при переходах между электронно-колебательными подуровнями молекул. 6) Контур полос поглощения (I) и испускания (II) сложных молекул
В сложных системах со сплошным спектром уровней энергии нарушение правила Стокса намного вероятнее и часто наблюдается в действительности. На рис. 1.3, а приведены переходы между колебательными подуровнями двух электронных уровней энергии. Стрелками 1 и 2 изображены переходы с поглощением и испусканием, соответствующие правилу Стокса, стрелками 3 и 4 — нарушающие его. Так как высота исходного уровня для перехода 3 невелика, то число частиц на этом уровне значительно и мощность поглощения достаточна для возникновения заметной антистоксовой люминесценции.
Легко видеть, что в процессе поглощения и последующей стоксовой флуоресценции всегда происходит выделение некоторого количества колебательной, т. е. тепловой энергии. При нарушении правила Стокса положение обратное: запас колебательной энергии молекулы уменьшается, часть её превращается в излучение. Это важное обстоятельство и используется при лазерном охлаждении примесных твёрдых тел.
На рис. 1.3,6 приведены типичные спектры поглощения и люминесценции сложных молекул. Линия приближённой симметрии спектров соответствует частоте v33X чисто электронного перехода. Опыт показы-
вает, что форма полосы люминесценции сложных молекул не зависит от частоты возбуждающего света при z/B036 > ^Эл и лишь иногда слабо трансформируется при ^В03б < ^эл- Таким образом, при z/B036 < ^эл значительная часть наблюдаемой полосы относится именно к антистоксовой люминесценции.
Энергетический выход. Одной из важнейших характеристик люминесцентных свойств системы является энергетический выход, т. е. отношение мощности люминесценции к мощности поглощения. Ранее считалось, что энергия, поглощаемая люминесцирующими объектами, в основном превращается в тепло и лишь небольшая её часть возвращается в виде люминесценции. Однако для целого ряда систем потери световой энергии сравнительно незначительны и энергетический выход может быть достаточно высок. Первое экспериментальное доказательство этого было дано в 1924 г. С. И. Вавиловым, исследовавшим свечение флуоресцеина в ряде растворителей. Он показал, что при возбуждении светом со сплошным спектром энергетический выход флуоресценции равен 0,71. Последующие более точные измерения привели к тем же результатам. В ряде случаев энергетический выход близок к единице.
Величина энергетического выхода той или иной конкретной системы имеет решающее значение в технических проблемах, связанных с практическими применениями люминесценции и, в частности, при лазерном охлаждении твёрдых тел.
Детальное вычисление энергетического выхода люминесценции может быть проведено только для конкретных систем при заданных условиях возбуждения. Ограничимся общими замечаниями. Для точного определения энергетического выхода надо измерить общее количество энергии, поглощаемое системой за всё время действия возбуждающего источника, затем измерить полную энергию люминесценции за время от начала действия возбуждения до её полного исчезновения и разделить вторую величину на первую. Чаще всего достаточно разделить мощность люминесценции на мощность поглощения в условиях стационарного режима.
В общем случае системы с дискретным спектром уровней энергии для энергетического выхода можно записать
hutjhutj
hutj
hutj
(1.11)
где суммирование проводится по всем возможным частотам поглощения и испускания света, g- — статистический вес г-го уровня. В формуле (1.11) utj обозначает плотность внешнего излучения частоты и^ и представляет собой превышение полного излучения над
тепловой радиацией и^. В знаменателе учитывается поглощение только внешнего потока, вызывающего появление люминесценции, — именно оно реально измеряется на опыте. Поглощение теплового излучения внутри системы компенсируется её тепловым испусканием и уже учтено при определении понятия мощности люминесценции. Для расчёта энергетического выхода по формуле (1.11) нужно знать значения всех коэффициентов Эйнштейна А^ и В^, и, кроме того, населённости всех уровней энергии гц и Tip которые можно определить из стационарных решений уравнений баланса данной системы. Населённость г-го уровня зависит от всех вероятностей оптических и неоптических переходов между различными парами уровней энергии, плотности внешней радиации и температуры системы.
Выражение для энергетического выхода люминесценции систем со сплошным спектром уровней энергии имеет аналогичный вид и может быть получено из (1.11) заменой суммирования по индексам г и j интегрированием по частоте г и по колебательным уровням верхнего электронного состояния.
Если возбуждение проводится монохроматическим светом частоты v^p то для определения уэн достаточно рассматривать переходы между ограниченным числом уровней энергии, так как большинство вышестоящих уровней не будет затронуто возбуждением и сохранит первоначальную населённость. Например, в случае возбуждения излучением с частотой ^12 достаточно рассматривать поглощение и испускание при переходах только между двумя уровнями, а формула (1.11) принимает простой вид:
_ Л21П2 — В\^х^тг\ — П2) /1 1эн BX2U2x(tii - п2) ’ '
Возможные значения энергетического выхода. Если в системе все переходы оптические, то, как следует из закона сохранения энергии, энергетический выход тождественно равен единице.
Возникновение неоптических переходов обычно приводит к тушению люминесценции и, таким образом, к падению энергетического выхода. Это справедливо только для внутримолекулярных неоптических переходов или тех неоптических переходов, связанных взаимодействием со средой, которые носят статистический характер и приближают систему к термодинамическому равновесию. У таких неоптических переходов вероятности перехода вниз всегда превосходят вероятности перехода вверх.
Если вероятности неоптических переходов значительно превосходят вероятности оптических переходов, то энергетический выход приближается к нулю, а система по-прежнему остаётся в состоянии равновесия. Большинство конкретных систем не люминесцирует именно по этой причине. Чаще всего люминесцируют более простые системы, у которых внутримолекулярные неоптические переходы маловероятны.
Из приведённых соображений следует, что в большинстве случаев люминесцирующих объектов энергетический выход больше нуля и меньше единицы:
0<7эн<1.(М3)
Вместе с тем принципиально возможны два аномальных случая:
7эн < о и 7Эн > 1.(1.14)
Энергетический выход может быть меньше нуля тогда, когда числитель и знаменатель (1.11) имеют разные знаки. А именно, для возникновения отрицательного энергетического выхода необходимо, чтобы числитель (1.11) был отрицательным.
При некоторых условиях энергетический выход может стать больше единицы. Например, как мы знаем, при возбуждении обычными положительными потоками в ряде частот возникает положительная, в других — отрицательная люминесценция. Если бы все вероятности неоптических переходов были равны нулю, то выход был бы равен единице, т. е. числитель (1.11) полностью равнялся бы знаменателю. Таким образом, при 7ЭН > 1 сумма всех положительных слагаемых в числителе (1.11) должна быть больше знаменателя. Если теперь каким-либо способом избирательно потушить отрицательную люминесценцию, то числитель (1.11) станет больше его знаменателя и выход будет больше единицы.
Оптическое охлаждение. Если для данной системы 7эн > 1, то это значит, что под влиянием внешнего воздействия, выводящего её из равновесия, система может превращать в излучение часть собственной тепловой энергии. Как будет строго показано в 1.2, это не противоречит второму началу термодинамики, так как охлаждение люминесцирующего тела не сопровождается передачей энергии возбуждающему источнику света, имеющем более высокую температуру. Вместе с энергией возбуждающего излучения тепловая энергия люминесцирующего тела передаётся окружающим телам, температура которых ниже температуры источника света. Подобное явление вполне аналогично действию обычных холодильников, работающих при включении внешних источников энергии.
Остановимся на температурной зависимости энергетического выхода люминесценции. При очень малых температурах и^ = 0, и поэтому второе слагаемое в числителе (1.11) исчезает:
У^ Aijmhuij
7эн =•(1.15)
г,з/
Отрицательная люминесценция осуществляться не может, вместе с тем запас тепловой энергии отсутствует, поэтому 7ЭН < 1. Аномальные
значения выхода (7ЭН > 1 и 7ЭН < 0) связаны с наличием теплового фона.
При очень высоких температурах распределение частиц по уровням энергии почти одинаково (если g. = g^ = 1), а внешнее излучение недостаточно для заметного нарушения равновесия. В этих условиях мало как поглощение внешних потоков, так и люминесценция. При Т сю вероятности неоптических переходов вниз равны вероятностям обратных переходов, превращение световой энергии в тепло полностью компенсируется обратным процессом. Как следствие, тушение люминесценции отсутствует, и при сильном повышении температуры энергетический выход увеличивается, а в пределе при Т сю приближается к единице.
При умеренно малых температурах температурная зависимость энергетического выхода может быть обусловлена зависимостью вероятностей неоптических переходов от температуры, что, например, в сложных молекулах приводит к уменьшению энергетического выхода. Такого рода явления называются температурным тушением люминесценции.
Квантовый выход люминесценции. Квантовым выходом фотолюминесценции называется отношение числа испущенных к числу поглощённых квантов (в стационарном режиме). В простых системах значение квантового выхода часто значительно превышает единицу и определяется в значительной мере числом уровней энергии. Так, например, в схеме возбуждения на рис. 1.2, а, при поглощении одного кванта v^\ могут возникнуть кванты ^41,^42,^43,^32,^31,^21- В этих условиях введение понятия квантового выхода не имеет особого смысла и им не пользуются.
Понятие квантового выхода фотолюминесценции приобретает эвристический смысл только в тех случаях, когда спектр испускания не зависит от частоты возбуждающего света. С подобной ситуацией мы сталкиваемся в сложных системах, в которых спектр испускания возникает при переходах только с самого нижнего из возбуждённых электронных состояний и не зависит от запаса колебательной энергии, полученной при возбуждении. В таких системах вероятности внутримолекулярных неоптических переходов значительно превосходят вероятности соответствующих оптических переходов, быстро происходит процесс внутримолекулярного перераспределения энергии и перед актом испускания света молекула оказывается в состоянии 2 (см. рис. 1.2, а), практически независимо от способа возбуждения.
В этих условиях величина квантового выхода определяется в значительной мере соотношением между вероятностью оптического перехода Л21 и вероятностью неоптического перехода между состояниями 2 и 1.
При независимости спектра испускания от z/B036 величина квантового выхода 7кв однозначно связана с величиной энергетического выхода
(1.16)(1.16) Рлюм -^люм ^^исп ^испО^ЭН рTXT 77кВ,
(1.16)
(1.16)
Тпогл-^^погл ПиВОзб^возб
где 7УЛюм и ТУпогл — числа испущенных и поглощённых квантов (в стационарном режиме).
Если г/исп < £4озб> квантовый выход всегда больше энергетического. Случай антистоксовой флуоресценции подлежит особому рассмотрению (см. 2.3).
Энтропия излучения
В этом параграфе мы рассмотрим подробно частный случай, когда спектры поглощения и испускания состоят из узких линий. Термодинамика накладывает существенные ограничения на процесс фотолюминесценции: из законов термодинамики вытекают определённые неравенства, которые должны удовлетворяться в любом случае.
Согласно второму закону термодинамики энтропия в изолированной системе, которая в изучаемом случае представляет собой люминесци- рующее тело+излучение, должна возрастать. Поэтому следует учесть энтропию излучения как такового 9. Известно, что перенос тепла может происходить в виде лучистой энергии (излучением). Таким образом, излучение может быть рабочим телом в тепловой машине, и, как следствие, для света должно иметь смысл тепловое равновесие, свет должен иметь энергию, теплоемкость, энтропию и температуру. Представление о температуре излучения (и о функции распределения для спектра излучения нагретого тела) было одним из первых успехов квантовой физики.
Температура — это характеристика системы, находящейся в тепловом равновесии. Течением же тепловых процессов в природе управляет энтропия: при установлении равновесия передача энергии происходит всегда так, чтобы энтропия увеличивалась. В этом смысле энтропия является более общим понятием и через нее строго определяется понятие температуры.
Интуитивно к понятию о температуре излучения можно прийти следующим образом. Пусть электромагнитное поле находится в некотором замкнутом объёме, например, в резонаторе, температура стенок которого поддерживается постоянной и равной Т. Этот резонатор можно «расстроить» так, что в нем окажутся волны с самыми разными частотами. В состоянии равновесия энергия, которая излучается стенками резонатора внутрь, должна в точности компенсироваться энергией, которая этими стенками поглощается. Компенсация должна выполняться
Эту задачу впервые решил Л. Д. Ландау [22], и мы будем следовать этой работе.
для каждого интервала частоты излучения. Тогда естественно считать, что в равновесии излучение имеет ту же температуру Т, что и стенки.
Бозе-газ. Рассмотрим частицы газа, которые описываются симметричными волновыми функциями, и взаимодействие между которыми настолько слабо, что им можно пренебречь. Числа заполнения квантовых состояний при этих функциях могут принимать произвольные значения. В этом случае говорят, что идеальный газ подчиняется статистике Бозе или статистике Бозе-Эйнштейна 9. В частности, это означает, что в каждом квантовом состоянии может находиться любое количество частиц.
Если распределить все квантовые состояния отдельной частицы по группам, каждая из которых содержит близкие состояния (например, обладающие близкими энергиями), причём так, что и число состояний в каждой группе, и число находящихся в них частиц велики, то набор чисел Nj — количество частиц в этих состояниях, где j нумерует группы состояний, будет полностью характеризовать макроскопическое состояние газа. Число микроскопических способов, которыми может быть осуществлено данное макроскопическое состояние, называется статистическим весом этого состояния. Рассматривая каждую группу из Nj частиц как независимую систему со статистическим весом Zj, для статистического веса всего газа получаем
Z = n^-(1.17)
j
Энтропия вычисляется как логарифм статистического веса
8 = x\iyZ = xln^Zj = x^\nZj,(1.18)
jj
по Wj(1.19)после(1.20)по Wj(1.19)после(1.20)где и — постоянная Больцмана. Пусть Wj есть число состояний в группе j. Поскольку в каждом квантовом состоянии может находиться любое число частиц, статистический вес Zj представляет собой число всех способов, которыми можно распределить Nj частиц состояниям. Оно равно [42]
по Wj
(1.19)
после
(1.20)
по Wj
(1.19)
после
(1.20)
_ (Wj + Nj - 1)!
3(Wj-\)\N3V
Так как числа Wj велики, то можно пренебречь единицей и логарифмирования выражения (1.19) получаем
S = х£ № + Nj) In (Wj + Nj) - Nj \nNj - Wj In WJ.
3
Для квантов света впервые её ввёл Ш. Бозе, а позднее, в 1924 г. А. Эйнштейн обобщил этот результат.
Обозначим средние числа заполнения квантовых состояний как rij = = Nj/Wj. Тогда из (1.20) для энтропии неравновесного Бозе-газа имеем
S = х£ Wj {(1 + гъ^ In (1 + nj) - rij Inn?} .(1.21)
j
Энтропия излучения. Распределение излучения по частотам и направлениям можно описать посредством плотности p^v, л) его энергии. Величина p(u,n)dudo представляет собой отнесённую к единице объёма энергию излучения в интервале частот du, имеющего направление л в элементе телесного угла do. Вместо функции р(и, л) удобно ввести функцию f(u,n), определённую следующим образом:
р(и, л) du do = f (и, n^hu^(122)
с
здесь Ни — энергия фотонов, а 2и2 dudo/c3 = 2к2 dk do/(2тг)3 — «элемент объёма» в «пространстве» волнового вектора к. (Множитель 2 учитывает два возможных направления поляризации; для краткости мы не будем рассматривать распределение по поляризациям, поскольку оно не оказывает существенного влияния на дальнейшие рассуждения.) Теперь числа заполнения квантовых состояний выражаются функцией f(u,n), которая представляет собой число фотонов в единице объёма пространства, отнесённое к единичному объёму в «/^-пространстве». Интенсивность излучения di, испускаемого единицей поверхности рассматриваемого тела, определяется выражением
di = ср cos Э du do = /(и, n)hu dr,(1-23)
где мы ввели обозначение
,q 2и du do
dT = cos v2 (1 -24)
c
Qd — угол между л и нормалью к поверхности).
Энтропия излучения определяется формулой статистики Бозе (1.21), применённой к «фотонному» газу. Энтропия излучения 8, проходящего через площадку в 1 см2 за 1 сек, равна
S^^HNf^HMW-(1.25)
Интегрирование здесь распространено на весь спектр частот на все направления л; и — постоянная Больцмана.
Если весь спектр излучения сконцентрирован в узком интервале частот /Хи, а все направления — в малом интервале углов /Хо, то, очевидно, полная интенсивность излучения равна
32 Гл. 1. Термодинамические основы флуоресцентного охлаждения где / — некоторое среднее значение / и
л 2t/2 cos Ао
Для энтропии получаем
8~х\у^\^й^х^-Р^1\Хт = Х- (7+1)ь(7+1)-7ь7 L
V (1-27)
Для монохроматического или строго направленного излучения (т. е. когда при заданной полной интенсивности устремляем Ат к нулю) видно, что / будет стремиться к бесконечности. Но в случае больших значений / разность
(/+1)1п(/+1)-/1п/
приближённо равна In/ + 1, a (ln/+ 1)// стремится к нулю. Тем самым из (1.27) следует, что и S стремится к нулю. Условие, что Ат стремится к нулю, не требует, чтобы А^ и Ао стремились к нулю одновременно. Достаточно, чтобы стремилось к нулю одно из них. Иными словами, и энтропия строго монохроматического излучения (Az/ = 0), и энтропия строго направленного излучения равна нулю.
Фотолюминесценция. Обратимся теперь к процессу фотолюминесценции. Допустим для краткости, что люминесценция сопровождается полным рассеянием излучения по всем направлениям и что люминесценция не зависит от направления падающего света. Тогда процесс люминесценции будет характеризоваться некоторой функцией w^v^vY которая определяет интенсивность излучения света с частотой v в результате облучения светом с частотой и’.
Рассмотрим ограничения, накладываемые законами термодинамики на свойства этой функции при определённой частоте V. Не ограничивая общности, мы можем формально считать, что тело облучается строго монохроматическим светом (частота и’ и интенсивность 1^. Интенсивность испущенного света определяется функцией w(vf,v). Если испущенный свет является в достаточной мере монохроматическим или состоит из достаточно узких спектральных линий, то его энтропия будет равна нулю, и поэтому можно рассмотреть лишь изменение энтропии тела. Это изменение в единицу времени (отнесённое к единице поверхности тела), очевидно, равно
Ig-hТ ’
где Т — температура тела, а Д — интенсивность люминесценции. Следовательно, в этом случае второй закон термодинамики приводит к неравенству
Il < la,
т. е. относительный выход люминесценции не может превосходить единицу.
Если, однако, люминесценция, происходящая в результате облучения монохроматическим светом, не состоит из отдельных достаточно узких спектральных линий, то необходимо ввести поправку, учитывающую энтропию излучения. Следует заметить, что отражённый свет также является монохроматическим и его можно не учитывать.
Пусть Nv представляет собой интервал частот спектра люминесценции. Энтропия падающего света равна нулю, в то время как энтропия излучённого света приближённо равна
х[(/+ 1)1п(/+ 1) - /In/]Ат,
где f(u) определяет спектр люминесценции; вместо интеграла (1.25) мы подставили значение функции, находящейся под знаком интеграла, соответствующее некоторому среднему /, умноженное на область интегрирования Ат. Полное изменение энтропии тела вместе с излучением должно быть положительным:
+ х[(7 + 1) In (7 + 1) - 7 In 7 ] Ат 0.(1.29)
Интенсивность излучения люминесценции Ii можно выразить через / следующим образом:
It = ^fhvdT - hvf^T.(1.30)
Поэтому неравенство (1.29) может быть переписано в виде
<.>б[|-^1Ш21УШЫУ1.(|31)
а 1v 7
Выражение в правой части зависит от /, т. е. от абсолютной интенсивности света (см. формулу (1.26)). С другой стороны, до тех пор, пока фотолюминесценция линейно возрастает с интенсивностью падающего света, отношение Ii/Ia не зависит от интенсивности. Это позволяет нам подставить в качестве / любое значение, соответствующее интенсивности фотолюминесценции в линейной области. Поскольку выражение [(/+ 1)1п(/ + 1) — /In/]// является монотонно возрастающей функцией, то ясно, что максимальное ограничение будет в том случае, когда мы возьмём значение /, соответствующее наибольшей интенсивности фотолюминесценции, для которой всё ещё сохраняется линейность.
Введём в качестве «эффективной температуры» ТЭфф излучения люминесценции температуру равновесного излучения (так называемого чёрного излучения), в спектре которого выбранный интервал Nv обладает интенсивностью, равной наибольшей интенсивности люми-
2 С. В. Петрушкин, В. В. Самарцев
несценции в линейной области. Эта температура связана с / формулойнесценции в линейной области. Эта температура связана с / формулойПланкаПланка7 =7 =11hv.exp —1^эффhv.exp —1^эфф(1.32)(1.32)
несценции в линейной области. Эта температура связана с / формулой
несценции в линейной области. Эта температура связана с / формулой
Планка
Планка
7 =
7 =
1
1
hv.
exp —1
^эфф
hv.
exp —1
^эфф
(1.32)
(1.32)
После подстановки (1.32) в (1.31) получается довольно длинное выражение. Выпишем его для двух предельных случаев — большой и малой величин в показателе экспоненты hvfxT^. Когда hv >> хТЭфф, имеем / ехр ^ , и неравенство (1.31) приобретает вид х7эфф
lala(1.33)(1.33)
la
la
(1.33)
(1.33)
Отношение Т/ТЭфф, вообще говоря, мало, поэтому (1.33) можно записать также следующим образом:
II la ( 1 +^^эфф)-(1-34)
\ Чэфф /
В обратном предельном случае малых hv ) хТэ^ имеем / ^ xT^/hv, и неравенство (1.31) приводит к
Il < laIl < la1 + Мп + 1Т эфф \ rtv /1 + Мп + 1Т эфф \ rtv /(hv « хДфф), (1.35)(hv « хДфф), (1.35)
Il < la
Il < la
1 + Мп + 1
Т эфф \ rtv /
1 + Мп + 1
Т эфф \ rtv /
(hv « хДфф), (1.35)
(hv « хДфф), (1.35)
лишь незначительно отличающемуся от (1.34).
Полученные здесь неравенства выражают термодинамические ограничения на энергетический выход люминесценции. Температура ТЭфф обычно порядка нескольких десятков тысяч градусов, в то время как Т — комнатная температура. Поскольку отношение Т/ТЭфф очень мало, то можно сделать вывод, что учёт энтропии излучения приводит лишь к незначительным (порядка нескольких процентов) поправкам в простом неравенстве (1.28). Неравенства (1.34) и (1.35) показывают принципиальную допустимость того, что отношение Ii/Ia может быть больше единицы, не вступая в противоречие со вторым законом термодинамики. Недостатком полученного результата является то обстоятельство, что полученная верхняя граница для энергетического выхода не накладывает почти никаких ограничений на его значение, поскольку при достаточно малой плотности излучения сама граница стремится к бесконечности. Другой подход к разрешению этого вопроса изложен в 2.3.
Интенсивность антистоксового излучения. Рассмотрим систему, состоящую из люминесцирующего тела и чёрного излучения, имеющих одну и ту же температуру Т. Тогда можно утверждать, что тело и излучение находятся в тепловом равновесии друг с другом. Это означает, что в каждом интервале частот dv интенсивность света, испускаемого телом, равна интенсивности спектра чёрного излучения
в том же интервале. Но свет, испущенный телом, состоит из двух частей: индуцированного излучения, возникающего под влиянием падающего на тело чёрного излучения (в эту часть мы включаем и фотолюминесценцию), и спонтанного излучения. Поэтому при этих условиях для каждого интервала частот должно иметь место следующее неравенство:
интенсивность люминесценции ^ интенсивность чёрного излучения.
(1.36)
Выразим это неравенство в математической форме. Допустим, что для всех рассматриваемых частот энергии фотонов много больше средней тепловой энергии частиц вещества, т. е. справедливо неравенство hu' >> хТ. Согласно формуле Вина, интенсивность чёрного излучения для таких частот выражается в виде
constV3 e-W ! хТ.
Чтобы получить интенсивность люминесценции, умножим это выражение на интенсивность w(z/, и) (напомним, что это интенсивность света с частотой и, испущенного после облучения светом с частотой u'Y и проинтегрируем по du'. Проделав это, получим выражение для интенсивности в левой части неравенства (1.36) в следующем виде:
const • | w(u', u)u'3e~h" !хТ du'.
В правой части неравенства (1.36) должно стоять выражение const .tr>erHvlxT. Таким образом,
const • | w(u', u^u'3e-Hv !хТ du' < const • u3e-Hv/xT.(1-37)
Чтобы избавиться от интеграла в левой части неравенства (1.37), мы рассмотрим малый интервал частот, в котором функция u'3we-hv !хТ меняется незначительно. Это допустимо, поскольку неравенство может только усилиться, если мы ограничимся лишь частью значений и’. Тогда (1.37) можно переписать в следующем виде:
ZXu'w(u', u)u'3e~h"!хТ < const • 1?е-Ну1хТ
илиилиw(u', и) <w(u', и) <^4(17-17')/хТ/Хи'^4(17-17')/хТ/Хи'(1.38)(1.38)
или
или
w(u', и) <
w(u', и) <
^4(17-17')/хТ/Хи'
^4(17-17')/хТ/Хи'
(1.38)
(1.38)
Это неравенство показывает, что интенсивность излучения в антистоксовой области (и > и') при больших значениях разности и — и’ должна стать малой величиной по сравнению с интенсивностью падающего света.
В стоксовой же области (и < и^ неравенство (1.38) при больших и' — и даёт нам мало полезной информации, поскольку оно задаёт только верхний предел для ш, который во всех случаях слишком высок.
Электролюминесценция
Явление электролюминесценции — люминесценции, возбуждаемой электрическим полем, — в полупроводниковых диодах было открыто в начале 50-х годов прошлого столетия [53-55]. Было сразу же обнаружено, что энергия самых коротковолновых фотонов превышает прилагаемую электрическую энергию в расчёте на один привносимый электрон. В работе [56] был сделан вывод, что эта разница в энергиях возникает благодаря высвобождению внутренней энергии решётки полупроводника. Возможность использования этого эффекта для охлаждения была отмечена в работе [57]. В этой работе в пренебрежении джоулевым нагревом и явлениями переноса было получено выражение для мощности охлаждения в виде (Eg/eV — 1)7V, где I — величина силы электрического тока, V — напряжение смещения диода, Eg — энергия запрещённой зоны (квантовый выход люминесценции принимался равным единице).
Эту концепцию охлаждения приняли на вооружение в 1956 году, а три года спустя, в 1959 году был получен патент США на устройство, функционирующее на основе этого принципа [58]. Запатентованное устройство состоит из набора электрически возбуждённых полупроводниковых ячеек (Si, Ge, CdSe, InSb, AlSb, CdTe, CdS, GaSb и GaP, где тщательно контролировалась концентрация и местоположение примесей), расположенных на плоской сетке, через которую циркулирует тонкий слой прозрачной, теплообменной жидкости, например ССЦ. Сопротивление и геометрия этих ячеек подбираются специальным образом, чтобы уменьшить омические потери и общее внутреннее отражение, соответственно. К преимуществам такого охлаждающего устройства следует отнести высокую эффективность и отсутствие движущихся механических частей. Его возможные приложения — это сжижение газов и охлаждение инфракрасных детекторов.
С позиций теории процессы фотолюминесцентного и электролюминесцентного охлаждения вполне аналогичны друг другу, различаясь лишь способом возбуждения. Первым, кто отметил это соответствие, был М.А. Вайнштейн [59]. В своей работе он вычислял техническую эффективность процесса — отношение мощности излучения люминесценции к скорости подвода работы. Очевидно, она равнялась единица плюс величина эффективности охлаждения. Температура Tph флуоресценции определялась им через отношение излучённой мощности к общей скорости, с которой процессы люминесценции уменьшали энтропию образца. Вообще говоря, этот поток энтропии (и, как следствие, Тр^ зависит от теплового излучения, которое падает на образец со стороны окружения — величины, зависящей, в свою очередь, от температуры окружения Т, которую имеет и сам образец. В случае, когда скорость подвода работы падает до нуля, Tph уменьшается до Т.
Это является следствием второго начала термодинамики: техническая эффективность должна быть меньше Трн/(Трн — Т\
Для узкополосного излучения величина мощности люминесценции значительно превосходит мощность внешнего теплового излучения, если рассчитать последнюю в том же спектральном интервале. Предполагая флуоресценцию изотропной, получаем, что Tph оказывается примерно равной яркостной температуре излучения Твн. Заметим, что величина Tph стремится к бесконечности в случае строго монохроматического или строго направленного излучения. Так как самая низкая температура чёрного излучения для видимого спектра составляет 800 К, то теоретически можно получить максимальное значение для эффективности охлаждения образца, излучающего при комнатной температуре в видимом спектре: оно равно 300/(800 - 300) = 0,6. Однако, данный расчёт является идеализированным, так как мы предполагаем квантовый выход излучения равным единице при любой структуре энергетических уровней.
В 1965 году физическая модель электролюминесцентного диода была применена для целей вычисления технической эффективности [60]. Было показано, что если квантовый выход равен единице, то
Trh = Eg,TFh-T eV
Этот результат находится в согласии с выводом работы [57]. В соответствии с этим авторы статьи [60] рассматривали диод как обращённую тепловую машину, в которой происходит перенос энергии от резервуара с меньшей температурой (решётка) к резервуару с большей температурой (поле излучения).
Не так давно появилась работа [61], в которой проблема электролюминесцентного охлаждения рассматривалась с позиций применения полупроводниковых диодов. Автор определил коэффициент полезного действия (КПД) как отношение мощности охлаждения к внешней работе электрического поля, которую нужно совершить. В режиме излучения КПД идеальной холодильной машины равен
Т
КП Дидеал Tr Т ’
где Т — температура диода, Tr — температура окружения диода. Так, при комнатной температуре окружения и температуре диода 0°С, КПД достигает значения порядка 10. Пусть выход излучения, коэффициент преломления и излучательная способность диода равны единице. Тогда, для энергетического расщепления порядка (3 -У 5) хТ, можно показать, что скорость охлаждения на сечении перехода равна 650 Вт/м2, а КПД равен 1,25. Теоретически, если совсем не принимать во внимание джоулев нагрев и другие возможные причины нагрева, то охлаждения можно достичь так же и при значениях квантового выхода меньших единицы, хотя и с меньшим КПД.
горячий резервуар Thгорячий резервуар ThРис. 1.4. Трёхуровневый мазер, рассматриваемый как тепловая машина. Обращённый режим работы приводит к рефрижераторуРис. 1.4. Трёхуровневый мазер, рассматриваемый как тепловая машина. Обращённый режим работы приводит к рефрижераторухолодный 2 резервуархолодный 2 резервуароткудаоткудаTlx— = exp n0Tlx— = exp n0П1 Tlx П2/ hv\2 \/ HVQ2— == exp —- exp - —-ПоП2 П()\И1С /\ 7.1 hП1 Tlx П2/ hv\2 \/ HVQ2— == exp —- exp - —-ПоП2 П()\И1С /\ 7.1 h/ ^02 Th -Tc _ \j =xTc Loi Th Л P/ ^02 Th -Tc _ \j =xTc Loi Th Л P^01 / PC !^01 / PC !(1.39)(1.40)(1.39)(1.40)
горячий резервуар Th
горячий резервуар Th
Рис. 1.4. Трёхуровневый мазер, рассматриваемый как тепловая машина. Обращённый режим работы приводит к рефрижератору
Рис. 1.4. Трёхуровневый мазер, рассматриваемый как тепловая машина. Обращённый режим работы приводит к рефрижератору
холодный 2 резервуар
холодный 2 резервуар
откуда
откуда
Tlx
— = exp n0
Tlx
— = exp n0
П1 Tlx П2/ hv\2 \/ HVQ2
— == exp —- exp - —-
ПоП2 П()\И1С /\ 7.1 h
П1 Tlx П2/ hv\2 \/ HVQ2
— == exp —- exp - —-
ПоП2 П()\И1С /\ 7.1 h
/ ^02 Th -Tc _ \j =
xTc Loi Th Л P
/ ^02 Th -Tc _ \j =
xTc Loi Th Л P
^01 / PC !
^01 / PC !
(1.39)
(1.40)
(1.39)
(1.40)
Фотолюминесценция
Техника охлаждения, основанная на антистоксовой фотолюминесценции, не вызывала серьёзного практического интереса до появления лазера, который смог послужить в качестве источника высокоинтенсивного и узкополосного излучения. История этого вопроса начинается с конца 1950-х годов, когда X. Сковил и Е. Шульц-Дюбуи [62] из Bell Laboratories обнаружили, что мазер, работающий в обращённом режиме, будет функционировать как холодильная установка (см. также 2.4). Они рассмотрели систему с тремя уровнями, обозначенными на рис. 1.4 от 0 до 2, где состояния 1 и 2 связаны с холодным резервуаром температуры Тс и энергетически отделены переходом частоты пщ. В свою очередь, состояния 0 и 2 связаны с «горячим» резервуаром температуры Т^ и разделены между собой переходом с частотой По2-
X. Сковил и Е. Шульц-Дюбуи определили эффективность действия мазера как рм = ^01/^02 т. е. это выходная энергия мазера, делённая на энергию накачки, в предположении, что квантовый выход люминесценции равен еди
нице. Величина Тс рассматривается в качестве температуры образца. Например, Тс может быть температурой кристаллической решётки, с которой связаны спиновые уровни мазерно-активных редкоземельных ионов, а Тн тогда будет температурой микроволнового газового разряда, который используется для накачки системы. Зная величины населённостей уровней из формулы распределения Больцмана, можно получить инверсию населённостей на переходе 0-1
Таким образом, получаем следующее условие для действия мазера
(1.41)(1.41)дм < дс,
(1.41)
(1.41)
где КПД «теплового двигателя»
Пс =Пс =Th — TcThTh — TcTh
Пс =
Пс =
Th — TcTh
Th — TcTh
Тот факт, что мазер может рассматриваться и как тепловая машина, показывает нам, что полученный результат является ничем иным, как простым выражением второго начала термодинамики. Заставляя машину работать в обратном направлении, мы получаем охлаждение кристалла и анализ, подобный предыдущему, приводит к выражению
г/СКПД^од.(1.43)
Здесь эффективность охлаждения г/ = ^12/^0ь т-е- это энергия охлаждения, делённая на энергию мазера, а коэффициент полезного действия холодильной установки равен
КПДхолод =(1.44)
Таким образом, из последних двух выражений следует, что
В 1965 году Ю.Т. Мазуренко [63, 64] приложил принципы термодинамики к рассмотрению необратимой генерации индуцированного излучения в лазере. При рассмотрении скорости изменения энтропии системы осцилляторов, взаимодействующих как с неравновесным полем излучения, так и с термическим резервуаром (в качестве последнего принимается сама среда), он использовал «локальную» формулировку второго начала термодинамики в формулировке И. Пригожина [65]. Ю. Т. Мазуренко впоследствии получил неравенство для лазерной эффективности цр, которая определяется отношением выходной мощности лазера к мощности поглощённой оптической накачки. В 1968 году П.Т. Ландсберг и Д.А. Эванс [66] обобщили этот результат и получили, что
l-T/TFp
ПЫр—(1-46)
где Т — это температура терморезервуара, Трр и TpL — температуры потоков излучения накачки и лазерного излучения соответственно, определяемых как отношение соответствующих потоков энергии и энтропии. В роли предельного значения оказывается отношение двух коэффициентов полезного действия, так как мы можем интерпретировать лазер в терминах объединённой пары тепловых двигателей, запущенных в прямом и обращённом режимах, как показано на рис. 1.5. Работа выхода машины, работающей в прямом режиме, подводится к тепловой машине, работающей в обращённом режиме, и обеспечивает их функционирование. Оба этих тепловых двигателя делят общий холодный резервуар температуры Г, но горячий резервуар для первого теплового двигателя имеет температуру Трр, а для второго — температуру TpL. Ввиду того, что идеальный лазер переносит энергию, а не энтропию
горячий резервуаргорячий резервуарвходвходРис. 1.5. Работа лазера как функционирование объединённой пары тепловых двигателей, запущенных в прямом и обращённом режимах. Эта схема тепловой машины удобна для анализа эффективности лазерной операции. В качестве оптической накачки используется лампа-вспышкаРис. 1.5. Работа лазера как функционирование объединённой пары тепловых двигателей, запущенных в прямом и обращённом режимах. Эта схема тепловой машины удобна для анализа эффективности лазерной операции. В качестве оптической накачки используется лампа-вспышкатермализация возбужденных и лазерных уровнейтермализация возбужденных и лазерных уровней
горячий резервуар
горячий резервуар
вход
вход
Рис. 1.5. Работа лазера как функционирование объединённой пары тепловых двигателей, запущенных в прямом и обращённом режимах. Эта схема тепловой машины удобна для анализа эффективности лазерной операции. В качестве оптической накачки используется лампа-вспышка
Рис. 1.5. Работа лазера как функционирование объединённой пары тепловых двигателей, запущенных в прямом и обращённом режимах. Эта схема тепловой машины удобна для анализа эффективности лазерной операции. В качестве оптической накачки используется лампа-вспышка
термализация возбужденных и лазерных уровней
термализация возбужденных и лазерных уровней
(мы видели, что энтропия строго направленного или строго монохроматического излучения равна нулю), Tfl = сю и, таким образом,
(1.47)(1.47)/Тгр-Т
(1.47)
(1.47)
Ль <
Г Ер
Запуская лазер в обратном направлении и, следовательно, переводя его в режим работы оптического охладителя, при котором излучение накачки является уже выходом флуоресценции с температурой Теь, мы получим, что техническая эффективность окажется равной обратной величине лазерной эффективности рь- Таким образом, техническая эффективность должна быть меньше, чем Тен/(Тен — Т), что согласуется с неравенством, полученным М. А. Вайнштейном [67] для случая электролюминесцентного охлаждения.
О. Кэфри и Р. Д. Левайн [68] в 1974 году также обратили внимание на необходимость рассмотрения изменения энтропии для циклов лазерной генерации и процесса охлаждения, выражая изменения энтропии среды во время релаксации к термодинамически равновесному
распределению какраспределению как^SC > ^SP + А^,^SC > ^SP + А^,(1.48)(1.48)
распределению как
распределению как
^SC > ^SP + А^,
^SC > ^SP + А^,
(1.48)
(1.48)
где NSp и NSh — изменения энтропии среды во время поглощения накачки и во время последующей оптической эмиссии, соответственно. Для процесса лазерного охлаждения NSP имеет значение порядка нуля, a NSC оказывается меньше нуля, так что когерентная эмиссия, для которой /XSh является положительной величиной, невозможна. Если охлаждающая система состоит из трёх энергетически уровней от 0 до 2, где оптическая накачка соответствует переходу 1-2 и флуоресценция
происходит на переходе 2-0, то отношение населённостей уровней 0 и 1 будет равно
— = ехр ,(1.49)
п0и
при условии, что оба эти состояния находятся в термодинамическом равновесии друг с другом. Таким образом, процесс охлаждения истощает («охлаждает») населённость уровня 1. О. Кэфри и Р.Д. Левайн предположили, что возможным практическим применением этой схемы может быть её использование для увеличения выхода лазера, у которого нижним уровнем является состояние 1, а верхний рабочий уровень, предположительно, существенно выше состояния 2.
В работе, выполненной в 1980 году, П.Т. Ландсбергом и Ж. Тонге [69] был представлен единый обзор термодинамики систем, которые преобразуют свет в тепло или в работу и обратно. С достаточной общностью они рассмотрели преобразователь энергии в виде ящика, в который энергия и энтропия поступают с определёнными скоростями от накачивающей системы и уходят уже с другими значениями скоростей в сток. Применяя уже развитый подход к лазерному охладителю, они снова получают неравенство
(150)
где г/ — эффективность охлаждения в смысле первого начала термодинамики: отношение скорости нагрева от термического резервуара температуры Т к мощности входящего оптического излучения накачки; флуоресцентная температура Tph, как и ранее, определена через отношение скоростей энергии и энтропии вышедшего излучения.
Важная деталь, которую прояснили П.Т. Ландсберг и Ж. Тонге в своём обзоре и которая не была достаточно оценена предыдущими исследователями, — это разница между температурами потоков и яркостными температурами, первые из которых не являются «абсолютными термодинамическими температурами» (т. е. частной производной энергии по энтропии при постоянном объёме). В любом случае, правая часть полученного ими неравенства (1.50) представляет собой «коэффициент полезного действия цикла Карно», вычисление которого требует определения энтропии, унесённой неравновесным излучением поля. П.Т. Ландсберг и Ж. Тонге утверждают, что эта энтропия описывается обычным равновесным выражением, а именно, интегралом от числа занятых фотонов по всем модам, входящим в спектральную ширину излучения, по области телесных углов и по направлениям поляризации излучения. Заметим, что плотность потока флуоресцентной энергии может быть записана как интеграл по тем же числам заполнения фотонов. Тогда, исходя из данных спектра флуоресценции, величина энтропии может быть соотнесена к величине энергии, так, что Tph в конечном счёте выражается только в терминах эмиссионной интенсивности. Этот анализ неявно предполагает, что Tph
много больше, чем температура внешней среды — вывод, полученный ещё в работе М.А. Вайнштейна 1960 года [67], результаты которой П.Т. Ландсберг и Ж. Тонге по существу переполучают. В качестве простого примера П.Т. Ландсберг и Ж. Тонге рассматривают случай, когда спектр флуоресценции постоянен в узкой полосе частот и равен нулю во всей остальной области. Для разных значений плотности энергетического потока на единицу спектральной ширины, они построили графики зависимости флуоресцентной температуры от частоты излучающего центра. Ими также были приведены выражения, применимые для случая гауссовского спектра, которые уже могут быть использованы для объяснения некоторых экспериментальных результатов.
Парадигма антистоксового охлаждения
Антистоксовое охлаждение. Представим себе систему невзаимодействующих примесей в твёрдом теле. Предположим, что эти примеси имеют очень простую энергетическую структуру: основное состояние, которое условно назовём «1», и возбуждённое состояние, представляющее из себя пару уровней «2» и «3» (рис. 1.6щ). Для иллюстративных целей, предположим также, что расщепление между уровнями «2» и «3» составляет самое большее несколько иТ, где и — постоянная Больцмана, Т — температура, которую имеет образец. Такое предположение обеспечит нам, что эти два уровня будут быстро, за время порядка нескольких наносекунд (нередко и пикосекунд [70]), возвращаться в состояние термодинамического квазиравновесия друг с другом, если это равновесие будет нарушено. В то же время мы потребуем, чтобы расстояние между уровнями основного и возбуждённого состояний по меньшей мере на порядок превышало это расщепление. Согласно известному правилу о соотношении между вероятностью безызлучательного перехода и энергией перехода [43], это обеспечит нам то, что процессами безызлучательной релаксации между этими состояниями можно пренебречь. Таким образом, возбуждение атомов из верхнего состояния может распадаться в основное состояние только с излучением фотона. Математически это означает, что квантовый выход люминесценции этой системы близок единице: на каждый поглощённый на данном переходе фотон излучается также один фотон.
Рассмотренная схема представляет собой простейший пример системы, на которой можно проиллюстрировать флуоресцентное охлаждение. Пусть некий узкополосный источник света (скажем, кольцевой лазер) настроен на частоту перехода 1-2 и его излучение падает на нашу атомную систему. Тогда, вследствие вынужденных переходов, уровень «2» будет перенаселён по отношению к термически равновесному значению населённости уровня «3». Чтобы восстановить равновесие, часть населённости сразу же перейдёт на более высокий уровень «3». Возбуждённое состояние атомов, далее, сменяется основным, сопро-
вождаясь излучением фотонов: происходит флуоресценция на переходах 2-1 и 3-1. Такой флуоресцентный распад обычно происходит на временах от нано- до миллисекунд [70], т. е. много медленнее, чем время установления термического квазиравновесия в возбуждённом состоянии. Очевидно, что в этом случае средняя энергия излучённых фотонов больше, чем энергия поглощённых фотонов. Избыток энергии обязан наличию теплового поглощения, которое обязательно происходит в процессе установлении равновесного состояния между подуровнями полосы возбуждённого состояния. Этот избыток уносится из твёрдого тела с флуоресценцией, приводя к охлаждению.
Возможна также иная ситуация, когда основное состояние расщеплено на два подуровня «1» и «2», а возбуждённое состоит из уровня, соответствующего состоянию «3», как изображено на рис. 1.6, б. Охлаждения в этом случае можно достичь, если настроить лазер на частоту перехода 2-3. Флуоресценция тогда будет иметь место на частотах, соответствующих переходам 2-1 и 3-1. И снова, в среднем, энергия излучённых фотонов будет превосходить энергию фотонов, поглощённых системой.
ЛазернаянакачкаЛазернаянакачка
Лазернаянакачка
Лазернаянакачка
Рис. 1.6. Схемы флуоресцентного охлаждения — частота излучения превос-ходит частоту поглощённого света: а^ мультиплет возбуждённого состоянияб) мультиплет основного состояния
Объединяя рассмотренные модели, можно представить ситуацию, изображённую на рис. 1.7: оба, как верхнее, так и нижнее состояния имеют близко расположенные подуровни, тогда как расстояние между нижней и верхней группой подуровней достаточно велико. Лазер накачки должен быть отстроен в длинноволновую область линии поглощения настолько далеко, насколько это возможно. Тогда возбуждение системы происходит с верхних подуровней основного состояния на нижние подуровни возбуждённого. Последующая флуоресценция происходит на более коротких волнах, или, что то же самое, на больших частотах (энергиях), приводя к охлаждению. Типичными примерами веществ, которые имеют подходящую энергетическую структуру, подобную приведённой на рис. 1.7, являются следующие: полупро-
водники, в которых возбуждение осуществляется через запрещённые
зоны; легированные редкоземельными или переходными элементами
возбужденноевозбужденноеэмиссияэмиссияфотонпоглощениефотонпоглощениепоглощениепоглощениеосновноеосновноеРис. 1.7. Парадигма антистоксового охлаждения: средняя энергия излучения превышает энергию погло-Рис. 1.7. Парадигма антистоксового охлаждения: средняя энергия излучения превышает энергию погло-щённого излучениящённого излучениякристаллы и стекла, где возбуждение осуществляется между 4/ и 5с/ мультиплетами; многоатомные молекулы (вещество может находиться в произвольном агрегатном состоянии), в которых возбуждение осуществляется между колебательными подуровнями.
возбужденное
возбужденное
эмиссия
эмиссия
фотон
поглощение
фотон
поглощение
поглощение
поглощение
основное
основное
Рис. 1.7. Парадигма антистоксового охлаждения: средняя энергия излучения превышает энергию погло-
Рис. 1.7. Парадигма антистоксового охлаждения: средняя энергия излучения превышает энергию погло-
щённого излучения
щённого излучения
В условиях, когда квантовый выход люминесценции укв близок к единице, энергия охлаждения на один фотон равна разнице между средней энергии флуоресценции и поглощённой энергией. Выразим это количественно в математической форме. Обозначим среднюю энергию излучённого фотона Ефл, с соответствующей ей длиной волны Афл = hc/E^. Аналогично, пусть Епогл будет энергией фотона накачки с длиной волны А. Эм-
пирическое правило, известное как закон С. И. Вавилова [71], гласит, что Афл не
зависит, или зависит слабо, от А. В этом случае, средняя охлаждающая
энергия на один фотон за цикл равна
Е/ОХЛ — 7квЕ/фЛ -Епогл — 7кв(Е/фЛ -Епогл) (1 7кв)Е/П0ГЛ’ (Е51)
Умножая энергии на частоту цикла и, таким образом, имея дело с мощностями, а не с энергиями, можно получить выражение для эффективности охлаждения р, которую определим как отношение мощности охлаждения к мощности излучения, поглощённого при данной лазерной накачке. Строго говоря, эта величина должна называться относительной эффективностью охлаждения; абсолютная же эффективность задаётся отношением мощности охлаждения к мощности падающего лазерного излучения. Из (1.51) получаем
г _ ^кв I~ ^фл/7кв Ар — Р — ^Фл
-^ОХЛI ААI А А / I^ОХЛ ^ПОГЛ А* ,
\Афл A J\ Л • Афл/Укв /Афл
(1.52) и для эффективности охлаждения, с учётом (1.16) результат состоит в следующем:
Т] == 7квА - 1 = 7эн - 1,(1.53)
АфлАфл
где Афл = Афл/7КВ. Отсюда видно, что при наиболее благоприятном случае, когда укв = 1, для определения значения р оказывается достаточным информации о спектре флуоресценции. Два последних выра-
жения неявно содержат причину того, что антистоксовое резонансное охлаждение так трудно наблюдать в эксперименте. Ввиду г/ > 0 мы получаем
7кв>^«1-^, (1.54)
и, так как для того, чтобы минимизировать многофононную релаксацию, Епогл должно составлять по меньшей мере 20 хТ, а отсюда следует, что укв должно быть близким к единице.
Высокий квантовый выход излучения большинства материалов твердотельных лазеров, таким образом, делает их естественным кандидатом для антистоксовых флуоресцентных охладителей. В этом контексте можно рассматривать эти устройства как лазеры с оптической накачкой, работающие в обратном режиме.
Присутствующая в формуле (1.52) Афл может измеряться экспериментально из спектра флуоресценции и, таким образом, может быть вычислена средняя энергия излучения. Это, в свою очередь, позволит легко вычислить эффективность охлаждения для любого данного материала. На практике, однако, нужно помнить, что, с одной стороны, значение мощности охлаждения ограничено немонохроматичностью падающего луча накачки, который поглощается в образце, и, с другой стороны, безызлучательными (нагревающими) энергетическими релаксационными процессами (в частности, переносом энергии через приповерхностные примеси).
Доплеровское охлаждение. Антистоксов механизм лазерного охлаждения будь то твёрдых тел, жидкостей или газов близко соотносится с техникой доплеровского охлаждения свободных атомов. Последняя в настоящее время является решающей при охлаждении разреженных газов до температуры конденсата Бозе-Эйнштейна [72]. Идея этого метода, как уже указывалось, была впервые предложена для нейтральных атомов Т. В. Хинчем и А. Л. Шавловым и может быть понята на основе такого явления, как давление света нескольких пар противоположно распространяющихся лазерных лучей, направленных вдоль трёх взаимноперпендикулярных осей. Такое трансляционное охлаждение наблюдается при небольшой отстройке оптической частоты в сторону частот, меньших соответствующей частоты атомной линии поглощения, и тогда доплеровски сдвинутый свет излучения накачки оказывается в резонансе только с теми атомами, которые движутся в направлении данного лазерного источника, замедляя их.
Если посмотреть на этот процесс с энергетической, а не с импульсной точки зрения, то очевидно, что атомы поглощают низкоэнергетические фотоны, а затем, в среднем, изотропно переизлучают фотоны так, что излучённый свет уже не является доплеровски сдвинутым и, как следствие, имеет большую частоту. Т. е. излучённый свет сдвинут по частоте относительно поглощённого в область больших энергий, а энергетическая разница и составляет величину уносимого тепла от
атомов. Таким образом, и доплеровское и антистоксовое охлаждение подразумевают эмиссию фотонов большей энергии, нежели энергия поглощённых. С другой стороны, можно указать на границы этой аналогии: доплеровская техника охлаждения состоит в трансляционном охлаждении невзаимодействующих двухуровневых атомов, тогда как метод охлаждения за счёт антистоксовой люминесценции работает на охлаждение внутренних степеней свободы, по крайней мере две из которых связаны с окружающей средой неким тепловым контактом. Отметим также, что области применения этих разных техник охлаждения существенно различны.
Газы. В своей основополагающей работе [3] П. Принг- схейм обсуждал возможность оптического охлаждения паров натрия. Он предлагал осуществить накачку на переходе l2^^ ^Ру^^ соответствующему длине волны 5896 A (Dy — линия). Например, свет, полученный от натриевого источника, можно пропустить через фильтр и облучать дьюар с парами охлаждаемого натрия. Для получения большего значения энергетического выхода, эксперимент нужно проводить при низком давлении, в результате чего столкновительные девозбуждения будут происходить редко, а релаксация будет преимущественно с испусканием квантов света. С другой стороны, давление должно быть достаточным для того, чтобы происходило тепловое перераспределение населённости между верхней парой уровней 22Ру^ и 22Рз^« Чтобы уменьшить нагрев, пары натрия нужно поместить в прозрачный, теплоизолированный дьюар. Тогда, последующее излучение на переходе 22Рз^ 12Д/2, с длиной волны 5890 X(Ds — линия), будет приводить к охлаждению.
Двадцать один год спустя, А. Кастлер [73] развил эту идею, которую он назвал фото-холодильный эффект («effet lumino-frigorique»). В случае охлаждения паров натрия для удовлетворения двух необходимых вышеуказанных условий, он предложил использовать буферный газ, типа гелия или аргона. Соответственно для щелочных паров давление должно составлять 1-10 мТорр и порядка 1 Торр для буферного газа. При умеренных интенсивностях оптической накачки каждый атом натрия будет возбуждаться около 10000 раз в секунду. Энергетическое расщепление между Dy и D^ линиями соответствует разнице температур в 24 градуса (17 см-1). Отсюда предсказывалась максимальная скорость охлаждения порядка 10 градусов в секунду. А. Кастлер сам не делал попыток провести такой эксперимент, а его работа завершается следующим предложением: «Даже если кому-то и удастся удовлетворить необходимым условиям для экспериментального наблюдения оптического охлаждения, этот эффект, по-видимому, останется в истории как научный курьёз, нежели практический метод достижения низких температур».
В полемике с С. И. Вавиловым, П. Прингсхейм предложил идею оптического охлаждения в условиях, когда давление газа может быть
сколь угодно малым [74], а охлаждение достигается лишь за счёт колебательных состояний электронных переходов в двухатомных молекулах, типа Д- Длину волны возбуждающего оптического источника можно отстроить так, чтобы в возбуждённом состоянии оказывались только те молекулы, основное состояние которых соответствовало пятому колебательному уровню (dm = 4), населённому за счёт теплового контакта с окружением. Эти молекулы затем спонтанно переходят в основное состояние на уровни с пм =3,2,1 или 0, излучая свет в антистоксовой области. Относительные интенсивности линий этих переходов определяются только факторами Франка-Кондона и могут превышать интенсивности стоксовых переходов.
Аналогичная идея заключена в следующем способе охлаждения, пригодном для гетероциклических двухатомных азов, например монооксида углерода [75]. Накачивая вращательную полосу спектра колебательных уровней, например, v = О, J = У и = \, J = 1', можно наблюдать релаксацию v = 1, J = 1' v = О, J = 0", которая, при условии установления теплового равновесия в основном состоянии, приведёт к охлаждению.
Другая теоретическая возможность — возбуждать далёкий колебательный обертон, например, с г = 3, молекул газообразного СО. Это приведёт к последующему ступенчатой обмену возбуждением с Av = 1 с окружающими невозбуждёнными молекулами СО [76, 77]. Вследствие ангармонизма, энергии переходов 3 2 и 2 1 меньше, чем энергия перехода 0^1. Таким образом, обмен возбуждением происходит с поглощением тепла, приводя в целом к охлаждению среды.
Подобным же образом можно ожидать охлаждения и твёрдых образцов, например, легированных ионами CN- щёлочегалоидов, накачивая переходы с большим значением Av [17]. Для достижения этого, образец можно активировать двумя типами почти резонансных примесей и производить накачку той, энергия перехода которой окажется меньше. Если концентрация второй примеси значительно превышает концентрацию первой, то вероятность переноса возбуждения от первой примеси ко второй с участием фононов резко повышается. По существу, комбинация этих двух примесей представляет собой объект, у которого возбуждённое состояние образовано двумя уровнями, верхний их которых сильно вырожден, из-за чего система стремится покинуть это состояние, переходя в основное с излучением фотонов и охлаждая саму решётку кристалла.
Описанные случаи подразумевают высокий энергетический выход конечного перехода 1 0 и отсутствие центров паразитного поглощения, таких как тяжёлые изотопы СО и CN-, или других неконтролируемых примесей. Эффективность этих схем охлаждения определяется такими параметрами, как отношение вероятностей безызлучательных переходов между рабочими уровнями к вероятностям прочих возможных механизмов распада возбуждения, и такими как способность поглощения оптических переходов при накачке. Что касается рассмотрен-
ных веществ СО и CN-, то, возможно, многие из описанных здесь идей неосуществимы на практике. Однако последняя из рассмотренных схем нашла своё подтверждение в первом, по существу, эксперименте по наблюдению оптического охлаждения, основанного на антистоксовом механизме.
В начале 1980-х годов Дью и Уинтни из военно-морской исследовательской лаборатории наблюдали охлаждение углекислого газа СО2 на один градус в области луча накачки диаметром 1 см, проходившего сквозь цилиндр с газом, температура стенок которого поддерживалась равной 600 К [5]. Колебательный переход (100) (001) накачивался при помощи СО2 лазера мощности 300 Вт на длине волны 10,6 мкм. Охлаждение достигалось благодаря антистоксовой эмиссии на длине волны 4,3 мкм при переходах из антисимметричного состояния (001) в основное колебательное состояние (000). При установлении теплового равновесия происходит заселение симметричного состояния (100), которое затем опустошается при лазерной накачке. Процессу теплового перераспределения населённостей содействуют три фактора: близость к резонансу первого обертона (010), постоянная температура окружения 600 К, добавление к СО2, парциальное давление которого 64 мТорр, инертного газа Хе, парциальное давление которого равно 0,2 Торр. В качестве буферного газа ксенон выгоден своей малой теплопроводностью, а также тем, что он слабо влияет на девозбуждение молекул СО2, находящихся в состоянии (001). Парциальное давление буферного газа подбиралось опытным путём из условия наиболее оптимального режима охлаждения. В отсутствие буферного газа давление двуокиси углерода устанавливалось на такой уровень, когда только начиналась девозбуждение состояния (001) в результате частых столкновений молекул. Это определяло плотность СО2, что, в свою очередь, задавало диаметр кюветы с газом, который составлял 127 мм, с той целью, чтобы сделать минимальным перепоглощение излучения на длине волны 4,3 мкм. Внутренние стенки цилиндра были выкрашены в чёрный цвет, чтобы избежать отражения излучения обратно в среду. Изменение температуры фиксировалось по изменению осевого давления при помощи ёмкостного манометра. В целом, форма снятой кривой зависимости изменения температуры от парциального давления буферного газа подтверждала наличие охлаждения.
Растворы красителей. Вопрос о возможности охлаждения посредством антистоксовой эмиссии в красителях, растворённых в жидкой среде, был впервые поднят С. И. Вавиловым в 1945 году [71]. Этот вопрос вытекал непосредственно из интереса спектроскопистов того времени, ведущих исследования антистоксовой флуоресценции растворов красителей на протяжении предшествующих двадцати лет [78, 79]. Вплоть до 1970 года ответ на этот вопрос был отрицательным. Обоснованием этому служил теоретический анализ экспериментов, поставленных для широкого спектра молекулярных ве-
ществ, включая родамин-Б и флуоресцеин в этаноле [80]. Однако два года спустя [81] были проведены аккуратные измерения антистоксовой эмиссии родамина 6G как в этаноле так и в глицерине, которые показали, что квантовый выход люминесценции не зависит от длины волны возбуждения, вплоть до отстройки на 2500 см-1 в область меньших частот по отношению к частоте 0-0 перехода.
Одновременно появилась работа [82], в которой проводились подобные измерения родамина 6G в метаноле и в тонких плёнках полиуретана. Предполагая, что коэффициентом поглощения самого образца можно пренебречь, авторы этой работы получили выражение для отношения мощности охлаждения к мощности поглощённого лазерного излучения, т. е. эффективности охлаждения, равное
»?=^-7кв-1, (1.55)
Афл
где А — длина волны излучения накачки, укв — квантовый выход флуоресценции, Афл — средняя длина волны флуоресценции. Было получено, что при накачке на длине волны 632,8 нм (родамин 6G в метиловом спирте), для эффекта охлаждения необходимо, как минимум, иметь значение квантового выхода укв = 0,94.
Лишь в начале 90-х годов, спустя 20 лет, группе исследователей из Германии удалось экспериментально достигнуть охлаждения органического красителя [83, 84]. Было обнаружено, что необходимо внести коррективы в выражение (1.55), добавив к нему отрицательный член ЛбезызлМпогл, где Лбе3ызл характеризует паразитное поглощение, возникающее вследствие безизилучательных переходов как примесей, так и самого растворителя, а Лпогл — поглощение молекул красителя. В итоге был сделан вывод, что охлаждение раствора родамина 6G (10-5-М) при температуре 293 К должно иметь место при накачке на длине волны 579 нм, средней длине волны флуоресценции ^фл = 563 нм, необходимый квантовый выход должен превосходить значение 0,984. Для измерения значения укв была применена техника фототермических линз. Лазерный луч, полученный при накачке ионным криптоновым лазером, собирался в фокус перед образцом. Внутри же самого образца, радиальное распределение интенсивности приводит к образованию температурного градиента в растворе, что, в свою очередь, приводит к градиенту коэффициента преломления. Поскольку коэффициент преломления уменьшается с ростом температуры, то при накачке на длинах волн, приводящих к нагреву, в среде эффективно формируется рассеивающая линза. Затем на этой линзе наблюдалась расфокусировка слабенького пробного луча гелий-неонового лазера, который накрывал луч накачки. Чтобы избавиться от оставшегося излучения накачки, на выходе устанавливался фильтр.
Дополнительное преимущество этого метода в том, что возможно получить аналитическое выражение для временной зависимости сигнала. Оно является функцией двух параметров tc и ^, где tc — харак-
теристическое время тепловой диффузии, зависящее от диаметра луча и плотности излучения накачки, удельной теплоёмкости и теплопроводности раствора Л. Параметр ^ определяет скорость выделения тепла и зависит от разности между поглощённой и излучённой мощностями, длины волны лазера, градиента показателя преломления и значения Л. В результате, для находящегося в равновесии с окружением раствора родамина 6С-перхлората в C2H5OD было получено укв = 0,980. Это значение возрастало до 0,990 при деаэрации образца потоком газообразного азота. Таким образом, охлаждение образца ожидалось при накачке в диапазоне длин волн 570-585 нм — при попадании длины волны накачки в эту область линза из рассеивающей превращалась в собирающую. Измеренное пиковое значение абсолютной эффективности охлаждения был равен РОхл/^лазер = 3,2 • 10-5 на длине волны накачки 575 нм, что соответствует мощности охлаждения 1 мкВт и относительной эффективности охлаждения РОхл/Дюгл = 1,1 %•
В 1996 году в работе [45] сообщалось об охлаждении 104М раствора родамина-101 объёмом 0,3 мл, находящемся в подкислённом этиловом спирте. Образец подвергался оптической накачке излучением непрерывного лазера на красителе (накачка самого лазера достигалась с помощью аргонового лазера) при длинах волн от 580 нм до 680 нм, мощность накачки доходила до 350 мВт. Каждые 15 минут излучение накачки блокировалось и при помощи монохроматора измерялась флуоресценция на длине волны 620 нм. Последняя возникала после облучения вспомогательного гелий-неонового лазера мощности 1 мВт, луч которого фокусировался в объёме рабочей части раствора. По полученным спектроскопическим данным можно было сделать вывод о температуре, сравнивая снятый спектр с откалиброванными спектрами для разных значений температур в диапазоне 150-300 К. Выяснилось, что раствор родамина-101 нагревался при возбуждении на длинах волн 583 нм и 605 нм, и охлаждался при возбуждении на длинах волн 620 нм и 634 нм. Этот результат согласуется с ожидаемым, т.к. в первом случае поглощаются фотоны, энергия которых превосходит среднюю энергию фотонов люминесценции, а во втором случае энергия поглощаемых фотонов оказывается меньше. В частности, максимальное уменьшение температуры равное 3 К начиная от температуры окружения (290 К) было зафиксировано в условиях, когда накачка с мощностью 350 мВт производилась в течение 4 часов на длине волны 634 нм.
Полупроводники. Мы уже отмечали, что в 1996 году А. Н. Ораевский [28], а также Л. А. Ривлин и А. А. Задерновский [29], теоретически исследовали возможность и оптимальные условия лазерного охлаждения полупроводников. В 2002 году году американские исследователи Р. Эпстейн, Б. Эдвардс и М. Шейк-Бахае получили патент [21] на создание оптического рефрижератора, функционирующего на основе оптического охлаждения полупроводниковой среды, в непосредственной близости к которой приделаны тонкие слои материала,
отводящего тепло и предотвращающего пленение излучения. Такое устройство может также использоваться в комбинации с компактным стеклянным иттербиевым оптическим рефрижератором. Однако, полупроводниковая среда обладает рядом преимуществ по сравнению с легированными редкоземельными ионами средами. Во-первых, полупроводник намного эффективнее взаимодействует с лазерным излучением, чем активированные иттербием стекла или кристаллы. Как следствие, полупроводниковый рефрижератор может быть более компактным. Во-вторых, технология изготовления полупроводниковых материалов очень хорошо развита, что позволяет производить высоко чистые устройства, в которых практически отсутствует неконтролируемое паразитное выделение тепла. Это обстоятельство позволяет применять такое устройство в условиях более низких температур, чем это оказывается возможным для рефрижераторов, основанных на применении ионов трёхвалентного иттербия. Так, полупроводниковый рефрижератор может функционировать при температурах до 10 К. Третьим преимуществом является то, что оптические охладители на полупроводниках значительно дешевле при их массовом производстве. В перспективе, одним из преимуществ может оказаться возможность совместить в одной активной среде рефрижератора и накачивающий полупроводниковый лазер, и полупроводниковый охлаждающий прибор, что сделает такое устройство ещё более компактным и выгодным по стоимости.
Физический механизм лазерного охлаждение полупроводников следующий. Если носитель заряда, электрон, путём поглощения лазерного излучения попадает в зону проводимости, имея кинетическую энергию ниже среднетепловой, затем приобретает её и покидает зону проводимости путём спонтанной рекомбинации, являясь уже более «горячим», то температура ансамбля носителей в зоне проводимости будет понижаться. Ансамбль, в свою очередь, за счёт взаимодействия с фононами будет охлаждать кристаллическую решётку. Таким образом, стационарное охлаждение полупроводника, поглощающего лазерное излучение может происходить при осуществлении следующего теплового цикла.
Пусть полупроводником поглощается излучение лазера, частота которого v лежит в интервале Езона/^ < v < Езона/^ + Л^. Это поглощение сопровождается прямыми электронными переходами через запрещённую зону с шириной Езона. Такой процесс в стационарном режиме уравновешивается обратным процессом, состоящим в спонтанной излучательной рекомбинации. Если скорость этой рекомбинации много меньше скорости установления квазиравновесия между носителями и решёткой и скорости внутризонной термализации самих носителей, то как в зоне проводимости, так и в валентной зоне успевают возникнуть квазиравновесные распределения электронов и дырок с соответствующими квазиуровнями Ферми и температурой, равной температуре решётки Т. Охлаждение наступает в условиях, когда носители, появляющиеся в результате поглощения фотонов на-
качки, будут «холоднее» образующихся квазиравновесных носителей, которые участвуют в спонтанной рекомбинации. Стационарный баланс устанавливается в результате поглощения света свободными носителями, безызлучательной релаксации и теплового энергообмена, происходящего с излучением, между кристаллом в вакууме и стенками термостата, имеющего более высокую температуру То. Итогом этого теплового цикла является охлаждение тела, с одной стороны, и преобразование монохроматического лазерного излучения в широкополосное спонтанное излучение, вследствие чего, как было показано в 1.2, его энтропия возрастает. Из вышесказанного видно, что степень охлаждения полупроводника должна определяться эффективностью механизма решёточной релаксации носителей заряда при низких температурах.
Российские исследователи А. Н. Ораевский [28], а также Л. А. Ривлин и А. А. Задерновский [29, 85] внесли существенный вклад в решение проблемы охлаждения полупроводников лазерным излучением. В их работах теоретически рассмотрены процессы, ограничивающие нижний предел охлаждения, и проведены оценки охлаждения в полупроводниках, возбуждаемых лазерным излучением. Используя полуэмпирические уравнения, описывающие возникновение электрона и дырки, экситонные эффекты и межзонное поглощение свободными носителями, в этих работах был рассчитан и коэффициент поглощения. А.Н. Ораевский показал, что при комнатной температуре, используя накачку лазером вблизи уровня насыщения, можно охладить GaAs от 300 до 10 К при мощностях около 2000 Вт/см2, а при более низких температурах — при мощностях порядка 300 Вт/см . В этих расчётах пренебрегалось явлением полного внутреннего отражения. Ради простоты и получения ясной и физичной картины, А. Н. Ораевский рассматривал модель оптически тонкого, плоского и изотропно переизлучающего образца. А. А. Задерновский и Л. А. Ривлин, с другой стороны, акцентировали внимание на балансе между величиной охлаждения, происходящего посредством рекомбинации с излучением, и величиной нагрева от окружающей среды. В качестве последнего используется энергия излучения абсолютно чёрного тела, находящегося при комнатной температуре. Для лазерного излучения мощности 12 Вт/см2 они получили предельное значение температуры охлаждения равное 3 К. В работе [85] приведён график зависимости температуры образца от плотности потока фотонов излучения накачки для разных значений спектральной ширины луча и разных значений температуры окружающей среды. Авторы отметили, что во всём интересующем нас интервале температур время фононной релаксации носителей остаётся по меньшей мере на два порядка меньше времени радиационной релаксации. Таким образом, фононная релаксация носителей заряда устанавливает квазиравновесное тепловое распределение электронов и дырок намного раньше, чем они рекомбинируют друг с другом.
Рассмотрим подробнее конструкцию оптического полупроводникового холодильного устройства. На рис. 1.8 и 1.9 схематично представлен подобный полупроводниковый рефрижератор 10. Как показано на рисунке внизу, излучение лазера накачки 11 попадает в охлаждающий слой 12, и, взаимодействуя с электронами в этом слое, преобразуется в излучение флуоресценции 13. Пассивные слои 14 и 15 представляют
Всенаправленное зеркало
Рис. 1.8. На схематическом изображении оптического полупроводникового рефрижератора показано, где должно располагаться тело, которое необходимо охладить в практических применениях рефрижератора («предмет для охлаждения») [21]
собой плоский волновод, который удерживает излучение лазера 11 в слое 12, таким образом, оптимизируя процесс накачки. Сам слой 12 может состоять из любого полупроводникового материала с подходящей запрещённой зоной. Например, это может быть арсенид галия GaAs и GalnAs. Пассивный слой 15 также может быть полупроводниковым материалом, например GalnP и Ga Р.
Пространственно отделённый от слоя 15 поглощающий слой 16 состоит из специально подобранного полупроводникового материала, такого как германий, и располагается на некотором расстоянии, которое регулируется разделителями 17. Это расстояние должно быть много меньшим, чем длина волны фотонов флуоресценции 13. Толщина барьера 18 имеет порядок 100 нм или даже меньше, чтобы удовлетворить указанному условию в большинстве практических случаях.
Когда излучение лазера накачки 11 входит в охлаждающий слой 12 и возбуждает в нём свободные носители, последние быстро приходят в равновесие путём поглощения фононов, понижая температуру слоя 12. После этого через время порядка 10-9 с возбуждённые носители рекомбинируют, порождая фотоны флуоресценции 13, энергия которых больше, чем энергия фотонов излучения лазерной накачки 11. Спонтанное образование таких высокоэнергетичных по отношению к излучению накачки фотонов носит название «антистоксовой флуоресценции». Результатом этого процесса является отток тепла из слоя 12.
Важно, чтобы слой 12 был достаточно тонким, тогда лишь небольшая часть фотонов флуоресценции 13 сможет поглотиться при вертикальном прохождении через слой 12. Распространяющиеся вниз фото-
Рис. 1.9. Схематическое изображение оптического полупроводникового рефрижератора, иллюстрирующее роль переноса излучения и теплового барьера в режиме его работы [21]
ны 13 встречают на своём пути барьер 18. Физические свойства его таковы, что, с одной стороны, он должен быть оптически проводящим, а с другой стороны — слабо или совсем не проводящим тепло. Он может быть реализован или как некая пространственная область (например, вакуумная щель), или как некая среда, обладающая указанными свойствами. В последнем случае она должна иметь такие параметры, которые близки и к пассивному слою 15 и к поглощающему слою 16, являясь, одновременно, очень слабо теплопроводящей средой. Примерами таких веществ могут служить сильно деформированные супер-решётки и аморфная двуокись алюминия. При использовании таких материалов в качестве барьера 18, его толщина становится уже не таким критическим параметром, как в случае вакуумной щели, и может быть использована в целях оптимизации процесса охлаждения.
Поскольку пленение излучения в полупроводнике происходит в основном из-за полного внутреннего отражения, барьер 18, сконструированный в виде вакуумной щели как показано на рисунке, обеспечивает эффективное туннелирование фотонов 13, разрушая эффект полного внутреннего отражения и не способствуя теплопередаче. Толщина его подбирается таким образом, чтобы фотоны проходили весь путь от охлаждающего слоя 12 через пассивный слой 15 до поглощающего слоя 16 практически без потерь на отражение. Как уже отмечалось
выше, толщина в 100 нм оказывается достаточной для большинства практических применений.
Поглощающий слой 16 на длине порядка нескольких микрон преобразует поступившее излучение 13 в тепло, т. е. энергия фотонов теперь оказывается в виде энергии тепловых фононов 19. Сам слой 16 нанесён на золотую подложку 20, которая в свою очередь, нанесена на теплоотводящую подложку 21. Все тепловые фононы, распространяющиеся обратно в сторону охлаждающего слоя 12, будут сталкиваться с барьером 18, являющимся для них непреодолимым препятствием ввиду специальных свойств барьера, описанных выше. Теплопроводностью разделителей 17 можно пренебречь из-за малой площади соприкосновения со слоями.
В заключение заметим, что золотая подложка 20 также играет положительную роль в том, чтобы ограничить попадание тепловых фононов обратно в охлаждающий слой 12. Это оказывается возможным потому, что золото имеет излучательную способность для теплового излучения порядка 2%, а поглощающий слой 16 почти прозрачен для теплового излучения. В целом существование такой конструкции приводит к тому, что около 98% тепловых фононов остаются в теплоотводящем слое 21, так и не достигнув слоя 12.
Рубин. Холодильный прибор, использующий в качестве механизма охлаждения антистоксовую флуоресценцию, во многом аналогичен лазеру, запущенном в обратном режиме: мощное когерентное строго направленное излучение вносится в активную среду, которая переизлучает почти изотропно и на более высокой частоте широкополосный свет. Многие исследователи именно с этих позиций подходили к выбору перспективной среды для охлаждения. В частности, всего спустя год после наблюдения непрерывной лазерной генерации в рубине [86] уже была высказана возможность оптического охлаждения в районе температур ниже 100 К [48]. Процесс охлаждения предлагалось осуществить по следующей схеме: оптическая накачка возбуждает ионы трёхвалентного хрома, находящиеся в основном электронном состоянии и переводит их на нижний уровень 2Е — расщепления; отсюда при установлении теплового равновесия происходит переход на уровень вверх, с поглощением фонона энергии 29 см-1; последующие спонтанные оптические переходы из этих состояний в основное, известные как R\ и R% линии, приведёт к отводу тепла из кристалла. Подробный расчёт этой схемы приведён в посвящённом рубину разделе параграфа 2.4. Но на 1963 год не было подробной информации о процессах, которые препятствовали оптическому охлаждению в рубине. В результате этого невозможно было оценить величину вклада в нагрев процессов многофононной релаксации, процессов релаксации пар (троек, четвёрок) ионов Сг+3, зависимости от времени установления ион-решёточного равновесия, от перепоглощения флуоресцентного излучения.
Однако, два года спустя появилась работа [87], в которой подробно описывались спектроскопические свойства рубина. Спектр излучения,
поглощениепоглощениеm о13600m о13600излучениеизлучение^Е^Е77°К ЕА_с77°К ЕА_сШирина щелиШирина щели375 см375 см375 см1375 см1S и оУS и оУо 1 -щsёо 1 -щsё14000140001440014400Частота, см 1Частота, см 112800128001520015200
поглощение
поглощение
m о
13600
m о
13600
излучение
излучение
^Е
^Е
77°К ЕА_с
77°К ЕА_с
Ширина щели
Ширина щели
375 см
375 см
375 см1
375 см1
S и о
У
S и о
У
о 1 -
щ
s
ё
о 1 -
щ
s
ё
14000
14000
14400
14400
Частота, см 1
Частота, см 1
12800
12800
15200
15200
Рис. 1.10. Спектры излучения и поглощения (возбуждения) рубина в районе Н1,2 — линий при температуре 77 К (электрический вектор Е поля накачки перпендикулярен тригональной оси С). Спектр излучения приведён в относительных единицах, чтобы правильно отразить площадь под R — линиями и был преобразован в эффективное сечение по формуле <т(ш) = X2 А^ = ртХ4А(Х); спектр возбуждения также приведён к относительным единицам, чтобы корректно отобразить пик поглощения 2Тх — линий. Концентрация хрома равна 2,4 • 1019 см“3 [87]
полученный авторами этой работы (см. рис. 1.10), показывает наличие боковых фононных полос в стоксовой области. Хотя они и слабы, но их ширина такова, что суммарная площадь под ними сравнима с площадью R — линий. Эти полосы имеют максимум, расположенный примерно на 400 см-1 левее частоты перехода 2Е^4А2 (14 400 см-1) и спадает к нулю в области частот порядка 13 400 см-1. Таким образом, флуоресценция в этой области (в среднем) происходит с излучением фотона и фонона и полностью подавит охлаждающий эффект, который обязан расщеплению в 29 см-1 даже в условиях безфононного перехода по пути R2 — линии. Это обстоятельство и поставило рубин в разряд непригодных для реализации оптического охлаждения сред.
Ионы редких земель. Преимуществом редкоземельных ионов является то обстоятельство, что их оптически активные 4/-элек- тронные уровни хорошо экранированы от электрического поля решётки заполненными 5s и 5р оболочками. Это существенно сокращает влияние вибронных полос, заостряет однородные линии переходов, приводя к большим значениям коэффициентов поглощения и, таким образом, более эффективной накачке, и подавляет многофононную безызлучательную релаксацию.
А. Кастлер [73] был первым, кто предложил использовать редкоземельные ионы для реализации флуоресцентного охлаждения. Для
кристалла, активированного редкоземельными ионами, он предложил осуществлять накачку в слабой антистоксовой части спектральной полосы вибронных состояний электронных переходов этих редкоземельных ионов. Данным электронным переходам всегда сопутствуют процессы поглощения энергии решётки. При условии близости единице квантового выхода флуоресценции для нуль-нуль переходов, такой способ накачки должен привести к охлаждению. А. Кастлер рассуждал, что этот малый эффект охлаждения может быть усилен за счёт использования термоэкранов, которые пропускают исходящую флуоресценцию, но блокируют тепловое излучение внешнего окружения. Однако, коэффициент поглощения вибронных состояний электронных переходов редкоземельных ионов оказался очень мал и недостаточен для проведения подобных экспериментов.
В 1961 году на второй международной конференции по квантовой электронике С. Ятсив [88] впервые представил рассмотрение цикла охлаждения, изображённый на рис. 1.7. Он рассмотрел две группы энергетических уровней, среди которых одна или сразу обе имеют подуровни. Расстояние между подуровнями составляло энергетическую щель порядка иТ, а сами группы отделены друг от друга значительной энергетической щелью. Заметим, что при низких температурах величина расщепления между подуровнями может подстраиваться внешним магнитным полем. В сообщении указывалось, что необходима щель между возбуждённым и основным состояниями размером не менее 10000 см-1, поскольку это весьма удобно как с точки зрения накачки, так и для уменьшения вероятности безызлучательной релаксации между группами подуровней. Чтобы возбуждать отдельные переходы с верхнего подуровня группы основного состояния на нижний подуровень группы возбуждённого состояния, необходим узкополосный источник излучения; таким образом, стоксовая эмиссия будет исключена. С. Ятсив предложил три типа оптической накачки для реализации такого эксперимента: (1) мощная дуговая лампа, свет которой пропускается через монохроматор; (2) предварительно возбуждённый лампой-вспышкой идентичный охлаждаемому образцу кристалл, флуоресценция которого, проходя через фильтр, будет иметь в спектре лишь длинноволновую часть; (3) подходящий оптический мазер.
Предполагая, что время установления термического равновесия в возбуждённом состоянии много короче времён оптической релаксации между группами, С. Ятсив провёл анализ скоростных уравнений и получил стационарное значение для скорости охлаждения. При расчёте он использовал значения параметров ионов трёхвалентного гадолиния. Энергетическая щель между основным состоянием 6Sy/2 И подуровнями возбуждённого СОСТОЯНИЯ {6Р?/2, 6?5/2> 6Рз/2} составляет ^33000 см-1. Это значение расщепления гарантирует пренебрежимо малую безызлучательную релаксацию. А для того, чтобы обеспечить эффективное поглощение излучения накачки и, одновременно, снизить
до минимума перепоглощение собственного излучения флуоресценции, рекомендуемая концентрация ионов Gd3"^ должна составлять 1 весовой процент. Радиационное время жизни мультиплета 6Р?/2 в стехиометрическом гидритированном гадолиниевом хлориде равно 7,8 мс, откуда С. Ятсив сделал выводы об интегральном сечении поглощения и сечении излучения. Для излучения накачки мощности 1 мВт/см2 он, таким образом, получил оценку для плотности мощности охлаждения при рабочей температуре образца 10-40 К, которая составила 3 мкВт/см3.
Вообще, первая попытка по лазерному охлаждению твердотельного образца, активированного редкоземельными ионами была сделана в 1968 году исследователями из Белл-лаборатории [46]. Их выбор пал на кристалл иттрий-алюминиевого граната YAG, легированный трёхвалентным неодимом с концентрацией в один весовой процент. Причиной такого выбора явилось то обстоятельство, что этот материал может быть использован как в качестве образца для охлаждения, так и как кристалл, который служит для получения излучения накачки. В этом эксперименте как лазерный, так и охлаждаемый кристалл были помещены вместе в оптическую кювету. Размеры образца составляли 0,254 см в диаметре и 5,08 см в длину; кристалл поддерживался тремя иглами в специально сконструированной для этого ячейке. На внутренние стенки этой ячейки был нанесён тонкий золотой слой, по- видимому, для того, чтобы перераспределять рассеянное излучение накачки обратно в образец, несмотря на то, что такая техника обладает серьёзным недостатком, так как приводит к перепоглощению излучения собственной флуоресценции. Образец облучался светом с длиной волны 1,064 мкм, изменения температуры определялись посредством присоединённой термопары и сравнивались в температурой такого же, но не легированного никакими примесями стержня YAG.
В этом эксперименте исследователи ожидали получить для величины скорости объёмного охлаждения значение п^Е0ХЛ/т, где П2 — плотность населённости возбуждённого состояния, т — время флуоресцентного распада и Е0ХЛ — средняя энергия фононов. Предполагая термическое равновесие между излучающими состояниями и пренебрегая скоростями внутренних безызлучательных переходов, можно оценить величину Еохл/Ьс. Для этого нужно найти соответствующую сумму всевозможных разностей энергий между подуровнями верхнего и нижнего состояний. Полученное значение составило 90 см-1. При накачке мощностью 100 Вт ожидаемое уменьшение температуры образца для вакуума равнялось 8,4 градуса, считая от комнатной, а для образца в окружении воздушной среды составило 2,1 градуса. Описанный выше эксперимент показал ожидаемую временную зависимость температуры образца, но охлаждение так и не было достигнуто. Вместо этого, наблюдалось лишь уменьшение нагрева: результирующая стационарная температура оказалась на 0,6 К меньше, чем температура чистого кристалла в полости с мощностью излучения 100 Вт.
В поисках объяснения этого результата авторы [46] интерпретировали наблюдаемое двухградусное повышение температуры сопутствующего образца причиной прямого поглощения лазерного излучения неконтролируемыми примесями. Изначально предполагалось, что легированный образец будет нагреваться так же, как и чистый сопутствующий кристалл. Однако, наблюдение того факта, что разность температур составила 0,6 градуса вместо ожидаемых 2,1 градуса, говорит о том, что в легированном кристалле имели место и другие паразитные механизмы, приводящие к нагреванию. В частности, для объяснения указанного расхождения достаточно констатировать уменьшение квантового выхода флуоресценции до значения 0,995. В свою очередь, такое значение квантового выхода могло быть результатом многофононной релаксации со скоростью 30 с-1 через энергетическую щель 4700 см-1 между состояниями 4Fg/2 4115/2 иона Nd3+, что, в принципе, находится в хорошем согласии с известными значениями безызлучательных скоростей для других редкоземельных ионов.
Иная интерпретация этого эксперимента дана в работе Ю. И. Чуковой [89]. Отсутствие результирующего охлаждения она объясняла чрезвычайно высокой интенсивностью излучения и большой спектральной шириной линии перехода источника излучения. Основой для её заключений служили сугубо термодинамические закономерности для потоков энтропии лазерного и флуоресцентного излучений. В пределе нулевой интенсивности накачки для ширины линии 10 МГц она получила значение эффективности охлаждения порядка 30%. Это значение возрастает до 60%, когда линия лазера становится бесконечно узкой, и спадает до нуля, когда интенсивность становится порядка 10 Вт/мм2 Ю.П. Чукова утверждала, что при интенсивности 1 Вт/см2 уменьшение температуры должно было составить 37 К. Однако, чтобы сделать более или менее реальные оценки понижения температуры, этот анализ требует дополнения, исходя из практических соображений. Так, например, ясно, что не имеет смысла делать спектральную ширину возбуждающего излучения уже, чем однородная ширина линии поглощения, которая при комнатной температуре превышает 10 МГц.
После этих неудач, вплоть до 1995 года не предпринималось экспериментальных попыток по антисктоксовому лазерному охлаждению твёрдых тел. Краткое описание этого эксперимента мы проведём в гл. 3.
Глава 2
ТЕОРИЯ ЛАЗЕРНОГО ОХЛАЖДЕНИЯ
В этой главе мы изложим теорию лазерного охлаждения, базирующуюся на конкретных моделях рассматриваемых систем. Эти модели, конечно, не являются исчерпывающими, так как отражают лишь те или иные черты этих систем. Кроме того, ситуация становится более сложной из-за неравновесности исследуемых процессов, поэтому приходится использовать приближённые методы исследования, а характер возможных упрощений существенно зависит от свойств рассматриваемой системы. Наше изложение мы начнём с краткого обзора методов описания взаимодействующих систем.
В случае замкнутой квантовой системы эволюция её состояния во времени описывается уравнением для матрицы плотности
iH^ = Hp-pH, (2.1)
где Н — оператор Гамильтона, определяющий полную энергию системы. Однако, чаще реализуется ситуация, в которой интересующее нас система не является замкнутой, а находится в контакте со своим окружением. Следовательно, возможен обмен энергией с окружающими телами, а состояние такой системы зависит от теплового движения в окружающих телах. Если энергия взаимодействия рассматриваемой системы с окружением много меньше энергии самой системы (и, тем более, энергии окружающих тел), то тепловое движение окружающих тел можно охарактеризовать некоторой средней интенсивностью этого движения, или, как говорят, температурой окружающих тел Т. Она является статистической характеристикой, что проявляется в независимости функции Гамильтона от температуры. Введённая таким образом температура совпадает с термодинамической температурой, фигурирующей во втором начале термодинамики.
В частности, система может находиться в контакте с термостатом. Если роль термостата играет электромагнитное поле, то малость энергии взаимодействия рассматриваемой системы с полем по отношению к самой энергии системы определяется слабой связью между системой
и полем — малостью атомов, а также малостью электрического заряда ионов и электронов.
В том случае, когда мы интересуемся установившимся движением системы (при отсутствии внешних сил), решение вопроса об описании такой «открытой» системы хорошо известно. Система, находящаяся в контакте с термостатом, с которым она слабо взаимодействует, в состоянии термодинамического равновесия описывается матрицей плотности вида:
/) = exp/ip exp,(2-2)
\ И1 )\ И1 )
где Т — температура термостата, Н — гамильтониан интересующей нас «открытой» системы.
Если интересующая нас система находится в неравновесном состоянии, то с течением времени она будет переходить в равновесное состояние. Любые процессы установления равновесия, в частности, и процесс приближения к стационарному состоянию системы во внешнем поле, мы будем называть процессами релаксации. Релаксация происходит в результате взаимодействия рассматриваемой системы с диссипативными системами (или подсистемами), которые обладают бесконечным (в пределе) числом степеней свободы и непрерывным спектром.
Основные типы кинетических уравнений
Уравнение Паули. При изучении временной эволюции взаимодействующих квантовых систем в картине Шрёдингера основная задача состоит в определении временного развития вектора состояния или оператора плотности интересующей нас системы. Уравнение движения, как для полного, так и для приведённого оператора плотности, должно иметь решение в виде функции от времени. Такое уравнение называется основным кинетическим уравнением, хотя такое же название иногда применяют для уравнений движения различных вероятностных распределений. Был получен целый ряд мощных и достаточно общих основных кинетических уравнений [90-96].
Одна из первых форм основного кинетического уравнения была получена Паули [90]. Рассмотрим состояние классической системы, характеризуемое некоторым целым числом тг (0, 1,2,...), так что значение тг появляется с вероятностью p(n,t\ Если скорость перехода ^тп из состояния тг в состояние m зависит только от тг и т, так что процесс является марковским, то скорость изменения р(тгД) должна равняться разности между скоростью возрастания населённости состояния тг, вследствие переходов с других состояний, и скоростью уменьшения его населённости, вследствие переходов в другие состояния. Таким
образом,
^p(n,Z) = 52 ЖтРМ - 52 Лтир^пД\ (2.3) m^n m^n
Это уравнение есть основное кинетическое уравнение Паули для вероятности р(п, t) и имеет форму скоростного уравнения. Оно может быть решено относительно p(ji,t), если известны все скорости переходов ^пт. В частном случае, когда система подчиняется принципу детального равновесия, получаем стационарное решение
^е/птр(772,) = ^тпр(п), (2.4) которое можно рассматривать как рекуррентное соотношение, позволяющее вычислить все р(п) через р(0).
Для квантовой системы уравнение движения типа (2.3) выполняется только при определённых обстоятельствах. Квантовая система удовлетворяет основному кинетическому уравнению Паули только тогда, когда её оператор плотности p(t) диагоналей в некотором выбранном базисе |^п)« Причиной этого является то, что система не обязательно находится в одном из состояний \фп) с вероятностью p(n,t), если p(t) не является диагональным. В этом случае она может находиться в суперпозиционном состоянии. Даже если оператор плотности p(t) диагоналей в момент времени t (что всегда можно обеспечить, выбрав подходящим образом базис), он не может оставаться строго диагональным в последующие моменты времени t' > t при наличии взаимодействия. Таким образом, основное кинетическое уравнение Паули справедливо только в некотором ограниченном смысле, который нужно уточнять.
Уравнение Цванцига. Помимо основного кинетического уравнения Паули, справедливого в ограниченных случаях и описывающего только поведение диагональных элементов оператора плотности p(t), были получены более общие уравнения движения для p(t), в частности метод, развитый Цванцигом [92], в котором используются проекционные операторы, проецирующие оператор плотности на ту его часть, которая представляет интерес для исследователя.
Суть метода заключается в следующем. Запишем уравнение Неймана (2.1) через оператор Лиувилля:
№= 1 Д,^)] = -гад), (2.5) 1 LIL
где $ = (i/Тф^Н, ..Д — оператор Лиувилля системы. Если в картине взаимодействия оператор Н в (2.5) заменить гамильтонианом взаимодействия Hi(t), то тогда оператор Лиувилля $(t) становится зависящим от времени. Введём независящий от времени проекционный оператор Р:
который выбирается так, чтобы проектировать на наиболее подходящую или интересующую нас часть оператора p(t\ Тогда (1 — P)p(t) представляет собой не интересующую для нас часть оператора плотности и, очевидно,
р№ = РрЧН 0 -(2.7)
Если мы рассматриваем квантовую систему S, взаимодействующую с резервуаром R, и нас интересует только система S, то можно сосредоточиться на приведённом операторе плотности ps^ = Тгд p(t\ выбирая_
P... = Pr№tr...(2.8)
Умножая обе части уравнения (2.5) на Р слева и подставляя вместо p(t) в правой части выражение (2.7), получаем
р^ = -iP$(t)Pp(t) - tpse^o - РЖ(2.9)
После умножения (2.5) на (1 — Р) слева получим
(1 - Р)^ = -г(1 - PYP№^ - 41 - РЖШ - PWY (2.10)
Формально интегрируя дифференциальное уравнение первого порядка (2.10) и записывая решение относительно (1 — P)p(t), после замены t — т = Р получим следующий результат:
(1 - PW) = ехр(1 - PW) = ехр'11
(1 - PW) = ехр
(1 - PW) = ехр
- р) | WY dt' (1 - Р^ -о J
ttt
t
t
— г|ехр — г(1 — Р) j $(tf) dt' (1 — P)$(t — P)Pp(t — Р) dP. о L
Подставляя (1 — P)p(t) в уравнение (2.9) и полагая
г1
ехр — г(1 — Р) \ dt' = U(t,P),
получим
Р^ = -гР^РрЧ) - iP^WWO ~ Р^Ж -
t
- P<Hf^U(M0 -Р^ИРрИ dT. (2.11)
о
Это и есть обобщённое основное кинетическое уравнение Цванцига. Оно является точным, но малопригодным для практического использования. Его полезность основана частично на том, что оно является
уравнением движения для Pp(t), в котором не интересующая исследователя часть (1 — P)p(t) присутствует только в начальный момент времени t = 0. Иногда начальные условия таковы, что (1 — Р)р(0) = 0, и второе слагаемое в правой части уравнения исчезает.
Кинетическое уравнение Паули (2.3) можно вывести из более общего уравнения (2.11), вводя некоторые ограничения и приближения. Поскольку нам необходимы диагональные элементы оператора плотности рф1\ то Р выберем в виде
Р... = £|О<^|Тг[|<МШ-4 (2.12)
Тогда в базисе состояний \фп) уравнение (2.11) сводится к следующему:
t
^фГ = ^ |[fcnm(r)pnn(z - т) - knm0)Pmm(t - т)] йт, (2.13)
В случае, когда взаимодействие достаточно слабое, а время т и число степеней свободы системы достаточно большие, величину pnn(t — т) под знаком интеграла можно заменить на pnn(t\ а верхний предел интегрирования устремить к бесконечности. Условия этого сформулированы в работах [91-95]. Уравнение (2.13) сводится тогда к уравнению (2.3). Данное приближение означает, что эффекты памяти имеют место лишь для коротких интервалов времени, так что систему можно считать марковской.
Можно сделать вывод, что основное кинетическое уравнение Паули имеет силу лишь в довольно специфических случаях, несмотря на то, что оно кажется всеобщим, когда формулируется через классические величины. С другой стороны, кинетическое уравнение Цванцига (2.11) имеет очень общий характер, но оно настолько сложное, что необходимо вводить некоторые приближения для его практического использования.
Неравновесный статистический оператор. Для разработки статистической термодинамики неравновесных процессов, которая включала бы возмущения, вызванные внутренними неоднородностями в системе, необходимо построение статистических ансамблей, представляющих макроскопические условия, в которых находится система [97]. Это оказалось возможным с использованием идеи Н.П. Боголюбова о сокращении в описании системы [98], которая сопровождалась введением понятия иерархии времён релаксации в неравновесную статистическую механику и состоит в следующем.
Если начальное распределение произвольно, то в начальной стадии состояние системы может очень сильно отличаться от равновесного. Для его описания нужно задать большое число функций распределения: не только одночастичную и двухчастиную, но и функции более
высокого порядка. Эти функции быстро меняются со временем в соответствии с уравнением Лиувилля (2.5). Однако очень быстро для многих систем из большого числа частиц наступает синхронизация функций распределения, или кинетическая стадия, когда все функции распределения полностью определяются заданием одночастичной функции распределения. Для этой стадии удаётся, исходя из уравнения Лиувилля (2.5), построить кинетическое уравнение для одночастичной функции распределения.
Для больших масштабов времени ещё более сокращается число параметров, необходимых для описания состояния системы, и наступает гидродинамическая стадия, которую можно описывать гидродинамическими уравнениями, т. е. лишь несколькими моментами функции распределения (некими средними динамических величин). Функция распределения тогда начинает зависеть от времени только через эти параметры.
Для общего случая конденсированной среды и без приближения систем со слабым взаимодействием в книге Д. Н. Зубарева [97] показана возможность описания гидродинамической стадии с помощью некоторой неравновесной функции распределения (т.н. неравновесным статистическим оператором), зависящей от времени через свои параметры. Метод неравновесного статистического оператора Зубарева затем развивался в работах С. В. Пелетминского (см. книгу [99]). Если соответствующим образом выбрать параметры, описывающие состояние системы, то можно построить уравнения для динамических переменных, которые будут справедливыми и на кинетическом этапе эволюции [100, 101].
Суть данного подхода заключается в следующем. Рассмотрим квантовомеханическую систему с гамильтонианом
Я = ЯО + ЯЬ(2.14)
где Яо — гамильтониан свободных частиц или квазичастиц, Щ — гамильтониан взаимодействия, которое будем считать малым.
Предположим, что для описания неравновесного состояния для не слишком малых масштабов времени достаточно набора величин (Я&), где скобки означают неравновесное усреднение. Пусть операторы Рк удовлетворяют простым перестановочным соотношениям с гамильтонианом свободных частиц
^Н0,Рк^=^а1кРь(2.15)
I
где aki — некоторые численные коэффициенты, определяющие свободную эволюцию операторов Рк. Во многих задачах оказывается достаточным рассматривать операторы, удовлетворяющие условию (2.15).
3 С. В. Петрушкин, В. В. Самарцев
Операторы Р^ подчиняются уравнениям движения
<21б>
Уравнениям движения (2.16) соответствует неравновесный статистический оператор, построенный по обычным правилам [97], в пределе £ 0 удовлетворяющий уравнению Лиувилля
Р = Q 1 ехр] - у^ Fk(f)Pk [ =
к
= Q 1 ехр< - ук= Q 1 ехр< - укО
= Q 1 ехр< - у
к
= Q 1 ехр< - у
к
e^P^t + ti^P^t^dtA, (2.17)
ИЛИ
Р = Q 1 ехр] - У^ РкЯЖ +кО+ dtve£t' У^ (pk(t + ^)А(й) + ‘кР = Q 1 ехр] - У^ РкЯЖ +кО+ dtve£t' У^ (pk(t + ^)А(й) + ‘кdF^ft + й)dtdF^ft + й)dtPk(tl)Pk(tl)(2.18)(2.18)где Q — обобщённая статистическая сумма, £ — положительный параметр, который устремляется к нулю после термодинамического предельного перехода, F^(t) — некоторые параметры, связанные с (Рк)- Эта зависимость определяется из дополнительных условийгде Q — обобщённая статистическая сумма, £ — положительный параметр, который устремляется к нулю после термодинамического предельного перехода, F^(t) — некоторые параметры, связанные с (Рк)- Эта зависимость определяется из дополнительных условий(Рк) = Q^q,(Рк) = Q^q,(2.19)(2.19)гдегде(...)= Тг (р...)(...)= Тг (р...)— усреднение с неравновесным статистическим оператором (2.18), а— усреднение с неравновесным статистическим оператором (2.18), а(...)д = ТГ (Pq ...)(...)д = ТГ (Pq ...)— усреднение с квазиравновесным статистическим оператором вида— усреднение с квазиравновесным статистическим оператором видаPq = Qq ‘ exp j - УкPq = Qq ‘ exp j - Ук(2.20)(2.20)Qq = Tr expQq = Tr exp-Р^Рк(1")Ркк-Р^Рк(1")Ркк(2.21)(2.21)
Р = Q 1 ехр] - У^ РкЯЖ +
к
О
+ dtve£t' У^ (pk(t + ^)А(й) + ‘к
Р = Q 1 ехр] - У^ РкЯЖ +
к
О
+ dtve£t' У^ (pk(t + ^)А(й) + ‘к
dF^ft + й)dt
dF^ft + й)dt
Pk(tl)
Pk(tl)
(2.18)
(2.18)
где Q — обобщённая статистическая сумма, £ — положительный параметр, который устремляется к нулю после термодинамического предельного перехода, F^(t) — некоторые параметры, связанные с (Рк)- Эта зависимость определяется из дополнительных условий
где Q — обобщённая статистическая сумма, £ — положительный параметр, который устремляется к нулю после термодинамического предельного перехода, F^(t) — некоторые параметры, связанные с (Рк)- Эта зависимость определяется из дополнительных условий
(Рк) = Q^q,
(Рк) = Q^q,
(2.19)
(2.19)
где
где
(...)= Тг (р...)
(...)= Тг (р...)
— усреднение с неравновесным статистическим оператором (2.18), а
— усреднение с неравновесным статистическим оператором (2.18), а
(...)д = ТГ (Pq ...)
(...)д = ТГ (Pq ...)
— усреднение с квазиравновесным статистическим оператором вида
— усреднение с квазиравновесным статистическим оператором вида
Pq = Qq ‘ exp j - У
к
Pq = Qq ‘ exp j - У
к
(2.20)
(2.20)
Qq = Tr exp
Qq = Tr exp
-Р^Рк(1")Рк
к
-Р^Рк(1")Рк
к
(2.21)
(2.21)
Заметим, что квазиравновесный статистический оператор (2.20) может описывать сильно неравновесные состояния. Среднее значение от (2.16), вычисленное с оператором (2.18)
+(2.22)
к
и есть обобщённое кинетическое уравнение для (Р^), так как средний коммутатор Р^ с оператором взаимодействия выражается через (Р/^) с помощью (2.18) и (2.19). Первый член в правой части (2.22) представляет свободную эволюцию функции распределения (Р^), а второй член — интеграл столкновений.
Дальнейшая процедура заключается в разложении интеграла столкновений в ряд по степеням взаимодействия.
Скоростные уравнения. Способность молекул или атомов поглощать или испускать излучение разных частот можно характеризовать вероятностями переходов между уровнями энергии этих молекул или атомов. Эйнштейн в 1917 году ввёл понятие вероятностей переходов чисто феноменологически и это впоследствии позволило описать основные оптические свойства вещества. Так, зная вероятности перехода между уровнями молекулы, нетрудно вычислить большинство экспериментально наблюдаемых величин.
При расчёте вероятностным методом поглощения и испускания света предполагается, что уровни энергии и вероятности переходов для исследуемой квантовомеханической системы уже известны и требуется определить населённости отдельных энергетических уровней.
Пусть число переходов в единицу времени с уровня г на уровень j пропорционально населённости г-го уровня умноженной на полную вероятность перехода Ptj • Тогда изменение населённости г-го уровня в единицу времени равно уходу частиц с него плюс приход частиц с других уровней за это же время:
-^т = тц ^Ptj + 52 пзРР-(2.23)
з з
Полная вероятность переходов, когда г > j, выражается через коэффициенты Эйнштейна А^ и В^ следующим образом
Pi] =+ ^^3^3
Pji = Pji^ij Т dji,(2.24)
где А^ и BijUij — вероятности спонтанных и вынужденных переходов, V^ — вероятности неоптических переходов. Явно коэффициенты Эйнштейна можно вычислить в рамках квантовой электродинамики.
Из термодинамических соображений (см. напр. [36]) между коэффициентами устанавливаются соотношения
gtBtj = gjBjt, = (2.25)
в которых g^, gj — статистические веса уровней г и j.
Из-за своей простоты и наглядности метод скоростных уравнений нашёл широкое применение. Например, этим методом можно рассчитать законы затухания, квантовый выход люминесценции, кинетику квантовых усилителей и генераторов когерентного света.
Однако вопросы, связанные с контуром уровней энергии и спектральных линий простых систем, со смещением и уширением уровней под действием излучения накачки, с нерезонансным рассеянием и аналогичные им полностью выходят за рамки этого метода. Уравнения (2.23) в общем случае не следуют из уравнений квантовой электродинамики. Их можно получить используя специальные предположения, которыми ограничивается область их применимости. Скоростные уравнения (2.23) справедливы при условии, что падающее излучение или вовсе отсутствует, или достаточно широкополосно, а средние частоты полос совпадают с собственными частотами исследуемого вещества. Ими также можно пользоваться, если облучение вещества происходит узкополосным излучением в условиях, когда уровни энергии обладают большой шириной, например, когда это колебательные уровни сложных молекул.
Выводы. Мы видели, что основное кинетическое уравнение Паули (2.3) имеет силу лишь в довольно специфических случаях. С другой стороны, кинетическое уравнение Цванцига (2.11) имеет очень общий характер, но оно настолько сложное, что необходимо вводить некоторые приближения для его практического использования. Метод неравновесного статистического оператора также обладает общим характером и ограничен лишь операторами, для которых справедливы соотношения (2.15), а для получения кинетических уравнений типа (2.22) на неравновесные средние динамических переменных, с точностью до высших порядков теории возмущений (по меньшей мере, начиная с третьего), этот метод требует проведения весьма сложных математических выкладок. Для балансных уравнений типа (2.23) в частном случае (отсутствие внешнего излучения накачки и неоптических переходов) показано [170, 171], что они вытекают из основных уравнений квантовой оптики, однако в общем случае не следуют из уравнений квантовой электродинамики. Их можно получить лишь используя специальные предположения, которыми и ограничивается область их применимости.
Имея в виду указанные причины, а также то обстоятельство, что задача лазерного охлаждения твёрдых тел имеет в своей основе модельный гамильтониан специального вида, несомненными преимуществами
для исследования кинетики переходных процессов этого явления обладает метод частичного исключения бозонных операторов, который мы рассматриваем ниже.
2.2. Метод иерархий кинетических уравненийБоголюбова
Если в неравновесной системе протекают как быстрые, так и медленные процессы, которым соответствуют сильно отличающиеся друг от друга времена релаксации, то возникает возможность сокращённого описания неравновесных состояний. Именно, в этом случае возможно ввести для описания неравновесного состояния совокупность некоторых параметров, которые медленно изменяются со временем. Скорость изменения этих параметров определяется либо слабым взаимодействием, либо малыми градиентами, либо обоими этими факторами. При этом структура операторов, соответствующих этим параметрам, определяется только основным (невозмущённым) гамильтонианом.
Метод иерархий кинетических уравнений, развитый Н.Н. Боголюбовым и Н.Н. Боголюбовым (мл.) [112-114], является весьма общим при описании динамических процессов в «малой» подсистеме, приводимой в контакт с термостатом, и нашёл широкое применение в теории сверхизлучения [120-123]. Он может быть также использован для описания широкого круга явлений в конденсированных средах. Подчеркнём, что понятие «малой» системы следует понимать в том смысле, что число степеней свободы этой системы много меньше, чем у термостата.
Как известно, динамическая проблема в квантовой механике не может быть сформулирована без некоторого произвольного выбора той части системы, которая подлежит рассмотрению. Полный гамильтониан системы должен быть разбит на две составляющие; одна из них описывает те части физической системы, переходы в которых являются предметом рассмотрения, тогда как другая описывает их взаимодействие. Часто используемое так называемое приближение заданных внешних сил [111], когда электромагнитное поле можно считать заданной функцией и вместо совокупности описывающих его величин подставлять их средние значения, обретает в методе исключения бозонных операторов точный характер и позволяет самосогласованным образом учесть влияние поля, явно исключив полевые операторы из уравнений для величин атомной подсистемы. Таким образом, в данном подходе вывод уравнений необходимо делать для меньшего числа динамических переменных и вся процедура сводится, главным образом, к вычислению коммутаторов.
Рассмотрим ансамбль из N излучателей с частотами перехода Qj (индекс j нумерует излучатели), находящихся в рабочем объёме Vc = У1 Li, г = x,y,z (например, для системы излучателей, располо-
г
женных в узлах простой кубической решётки, Vc = Na3, где а — постоянная решётки) в условиях, когда электромагнитное поле квантуется в объёме V >> Ус.
Пусть задан гамильтониан полной системы в виде
Н = HM^HF^HMF,(2.26)
НР = ^Тм)ка^ак и HMf = ^(М^а^ Мкак), кк
где величины М^, Мк зависят только от переменных атомной подсистемы.
Состояние общей системы «вещество + поле», задаётся матрицей плотности pMp(t\ Начальное состояние поля полагаем равновесным, а моментом времени, с которого начинаем учитывать взаимодействия, будем считать to. Тогда
e-0HF
Pmf^q) = Рм^о) 0 Pf^q) и рр =.(2.27)
TrF(e”№)
При рассмотрении динамических процессов в квантовостатистических системах отправным пунктом является уравнение Неймана (2.1)
^дрмр = jjpMF _ pMFH,
где Н — оператор гамильтона, определяющий полную энергию системы. В интересующем нас случае система представляет собой совокупность некоторого числа излучателей, взаимодействующих с электромагнитным полем, играющим роль термостата.
Для описания процесса с участием произвольного числа типов квантов s необходимо (см. [116-119]) в слагаемом Hmf гамильтониана (2.26) произвести замену
а+ ^/9 ГТ щ+, а ^/9 ГТ at,jys/2 11 г ’11
внося соответствующие поправки в константу взаимодействия.
Рассмотрим случай, когда s = 2:
Н = Нм + HF + £(М+ф+ + МкакЬ). (2.28) к
Здесь операторы Ь^Ь описывают моду электромагнитного поля, выделенную в силу каких-либо физических причин. Здесь полезно заметить, что мода Ь^ ,Ь может быть не только электромагнитной природы и в задаче лазерного охлаждения описывает фонон [124]. В этой связи будем теперь считать, что по-прежнему взаимодействие описывается гамильтонианом Hmf из (2.26), но с новыми «эффективными» операторами атомной подсистемы
мкь ^мк = мк, м+ь+ м+ = м+.
Пусть ом№ — оператор, который действует на собственные функции гамильтониана (2.26) только как на функции переменных, относящихся к М-системе. Вводя представление Гейзенберга для произвольной динамической величины Omf, заданной в представлении Шрёдингера
OMp(t) = U-i(t,to)OMFU(t,to),(2.29)
где унитарный оператор U(t,to) удовлетворяет уравнению
iTij-tu(t,to = HU(t,to), ич0,Ю = С запишем уравнение движения для ом^)
ihytoM4) = [oM(t),H].(2.30)
Дополнительный вклад в эволюцию операторов поля в данной моде (оператора a"^(t) или оператора a^tY) при включении взаимодействия аддитивно обусловлен лишь функциями динамических величин, относящихся к атомной подсистеме. Действительно,
гК^ аЛк = Vak4Y HF + HMf\ = Kwkak^ + ^ мкЛО5к,к> (2.31) kf
ih^ a^F = [a^(Z), HF + HMf\ = -Кшк4(Z) - ^ Mk,(t)5k,k. (2.32) kf
Решая (2.31) и (2.32), получаем
ak(t) = ЗЩ) + j с1тМ+(т)О^О
to
t
= FW - 1 j dTMkM(2.34)
to
где Ok^ и a^(t) — решения, отвечающие случаю свободного электромагнитного поля:
= ^k(t0Kitok(t"t0\ = 5(^o)eM(t-to).(2.35)
Вторые слагаемые в (2.33)-(2.34) связаны с источниками поля. Введём для них следующие обозначения:
t
а№) = ^ | йтМ^т)(2.36)
to
| drMk(T)(2.37)
to
Данное обстоятельство оказывается весьма полезным при составлении уравнений для средних значений операторов типа (2.30), вычисляемых по матрице плотности, заданной выражениями (2.27)
г^ом^^^м^.Н^.(2.38)
Выпишем явно это уравнение, подставив гамильтониан (2.26) и имея в виду зависимости (2.33) и (2.34):
ом^А = ^M(t), HMfY- (2.39) \ (/ILIL/
Тождественными преобразованиями приведём коммутатор в правой части к виду:
V>mW, Hmf] = 52 ([»м(Ц M^akF + \омХ), М^а^(£)).(2.40)
к
Удобство представления коммутатора в таком виде видно из нижеследующего.
Рассмотрим некоммутирующие операторы х и у, причём [х,ж+] = 1. Тогда для обобщённого параметра А [99]
еХх^ хе-Хх^х _ е-^х
и, для всякого распределения, допускающего разложение р =
= /)(...) e"x$F
Тг (рху) = Тг {рурхр 1} = еЛ Тг (рух) .
Таким образом, среднее от произведения операторов х и у связано с их коммутатором, что и позволяет нам исключить полевые операторы из правой части (2.40). Справедливы следующие леммы [113, 115]:
Лемма 1. Пусть aY^to) = ак, a^t^ = а^ — операторы бозонного поля, оператор O(t) зависит от переменных полной системы. Тогда имеет место для средних
(0 ^акО^ = Nk^\ak,O^\Y
<иИ40^ = -МкМ,0^\У
где величины N^ таковы, что= е^Шк, р — обратная
температура, среднее берётся по состоянию (2.27).
Доказательство.
. Соотношение (I) равносильно (akO(ty = 1 "tTNk (OHdakY
. а соотношение (11) равносильно (a^O(t)) =
. По свойству начального состояния
Pfm = Pm®Pf = Рм тг^"^ гДе Тгм(ж) = 1-
Тогда, представляя № = И где Ppk = Qk 1 е-РПшкПк, находим к
^акО^ = TrFk\ctk ТгМр(О^рм П PFk,)ppk)
УУП{пк + \\OkHQp е-^Пк, здесь Ок = ТгМр(ОРрм П PFk3- к'^к
. Аналогично (с) находим ~
(O(£)ak) = Щк + 1 (nfc + \\Ok\nk^Qp
. Для сопряжённых операторов поля:
(a^O(t)) = VnTTT (nfe|Ofc|nfc + OQ^1 е-,№шк(-Пк+Ч
. (Р4)ар = Ст1к + 1 (nfc|Ofc|nfc + OQ^1 е-Р^ШкПк.
. Таким образом, из (с, d, а) следует справедливость (I), а из (е, f,
b) следует справедливость (и).
Лемма 2.
Пусть ak(t) или ak(t) — операторы бозонного поля, O\(t\) и O^t^ — операторы атомной подсистемы, принадлежащие другим моментам времени. Тогда справедливо следующее выражение для коррелятора*. ^O^t^ ak^t)) O\^t\^ = = k°i4C)akPO\4\^ ~ е-1Шк^рО^\<^^^^ где среднее берётся по вакуумному состоянию поля \uacY Доказательство.
Согласно (2.33) и (2.36) ak(t) = ak(t) + cisk(t). С учётом этого распишем коррелятор:
WM^Ox^ = ^WK^W^(2.41)
Представим оператор (2.35) через зависимость от момента времени t\:
= WF -(2.42)
Подставим (2.42) в (2.41)
^O^t^ak^Ox^ixY = ^O2(t2)ask(t)Ox(txY +
+ Wti {(зд(й) -OvFP (2.43)
Ввиду того, что атомные и полевые операторы, заданные в один и тот же момент времени, коммутируют, получаем:
a/:(^i)Oi(Zi)|vac) = Oi(ti)afe(^i)|vac) = Oi(Zi)a^(Zi)|vac).
Отсюда, второе слагаемое в (2.43) принимает вид
(O2(i2) {(«fc(ti) - аШх))е"^-^ОхЧР =
= {O^{(QxXWk^(2.44)
и, таким образом, лемма доказана.
Выбирая в качестве О^ = \ом^\ Mk(t^ и О^ = \ом^\ M^(t^ и следуя приведённым выводам, получаем окончательное искомое кинетическое уравнение (2.39) для системы из N многоуровневых излучателей с учётом двухквантового характера процесса взаимодействия:
^т(^м(^)) + ^т^На + Ть^ьЬ^Ь, ом(^) =
+ (l+№)/± j dT е-^-АМкШАом(да^to/
+ (1+Ж)/^| dTe^-^MkOXOVoM^.M+^b+^m, (2.45) to)
где, как отмечалось, OM^t) — оператор, действующий на переменные М-системы, описываемой гамильтонианом
Нм = Нм + hubbub.
Полученная структура уравнения движения (2.45) описывает временную зависимость средних значений динамических переменных М-системы (излучателей). Однако, на её основе могут быть получены и характеристики излучения, если воспользоваться выражениями для интегралов движения гамильтониана (2.26).
Элементарная теория антистоксовойфлуоресценции
Как было показано ранее, оптическое охлаждение сопровождается значением энергетического выхода уэн превышающим единицу (1.1). Чем лучше выполняется это условие, тем выше, как это следует из (1.53), оказывается эффективность охлаждения. Прингсхейм предположил, что при 7ЭН > 1 в модели, показанной на рис. 1.6,6, происходит охлаждение частиц и весь процесс эквивалентен действию холодильной машины. Однако, как будет показано ниже, это предположение требует некоторых уточнений. Впервые на это было указано в работах В. В. Антонова-Романовского, Б. И. Степанова, М. В. Фока
и А.П. Хапалюка [125]. В этой работе детально рассмотрен вопрос об энергетическом выходе люминесценции системы частиц с тремя уровнями энергии и на основе развитой ими теории разрешён спор о возможности антистоксового механизма охлаждения сред.
Трёхуровневая модель. Трёхуровневая модель, предложенная Прингсхеймом [74], преследовала цель доказать возможность осуществления системы с энергетическим выходом уэн большим единицы. Однако, влияние безызлучательных переходов и наличие естественного фона тепловой радиации учтено не было, что и привело к сомнению относительно выводов автора. Последнее учитывать необходимо, так как распределение населённости в соответствии с законом Больцмана
связано с наличием теплового равновесия среды с окружением при температуре Г ^ О [126].
Пусть на систему трёхуровневых частиц, которую мы будем также называть системой рабочих частиц, достаточно долго падает излучение с плотностью и и с частотой ^32, отвечающей переходу между состояниями с энергиям Е2 и Ез (см. рис. 2.1). В результате этого воздействия система выйдет из термодинамического равновесия и населённости уровней п\,П2,пз примут некоторое стационарное значение ПрП^Ц, отличающееся от равновесного. Вводя вероятности переходов между состояниями (см. 2.1), найдём это новое распределение. Обозначим через fij — скорости оптических переходов между состояниями г и j, в которые вносят вклад как спонтанные, так и вынужденные процессы. Последние возникают в результате взаимодействия с тепловым фоном:
fij = ^с - j)Aij + BijUij, (2.46)
Рис. 2.1. Трёхуровневая модель: fij — полная вероятность перехода г —>A fji — полная вероятность обратного перехода j —> г, i,j = = 1,3; Гар — вероятности безызлучательного переходаа (3, а, [3 = 1,2Рис. 2.1. Трёхуровневая модель: fij — полная вероятность перехода г —>A fji — полная вероятность обратного перехода j —> г, i,j = = 1,3; Гар — вероятности безызлучательного переходаа (3, а, [3 = 1,2где Э(х) — функция Хевисайда, Uij — плотность равновесного излучения теплового фона. В общем случае, между оптическими уровнями возможны и неоптические переходы, вероятность которых Г^ зависит, в частности, от величины расщепления. Тогда соотношения (2.46) примут вид (2.24), а величины fij будут иметь смысл полных скоростей перехода:
Рис. 2.1. Трёхуровневая модель: fij — полная вероятность перехода г —>
A fji — полная вероятность обратного перехода j —> г, i,j = = 1,3; Гар — вероятности безызлучательного переходаа (3, а, [3 = 1,2
Рис. 2.1. Трёхуровневая модель: fij — полная вероятность перехода г —>
A fji — полная вероятность обратного перехода j —> г, i,j = = 1,3; Гар — вероятности безызлучательного переходаа (3, а, [3 = 1,2
/v = ^(^ — j^^ij "Т BijUij + F^j. (2.47)
Теперь вероятность оптического перехода в единицу времени равна разности (fij — Vij). При равновесии между состояниями i j за время
dt число актов испускания равно числу актов поглощения равновесного излучения: ntftjdt = njfjidt, откуда получаем
^ = ^=ехр{-^}; 0>г\(2.48)
J ji 1 3гI XI )
При включении возбуждения с частотой v^ вероятности Г^ останутся неизменными, поскольку являются свойством конкретной системы, а вероятности переходов 1^2 и 1^3 — поскольку их частоты находятся вне резонанса по отношению к падающему излучению. Вероятности переходов 2^3 примут вид
Лз = /23 + ^23?Z,/32 = /32 + ^32^-(2.49)
С учётом (2.49), уравнения (2.23) принимают вид системы
^1 = — (/12 + /1з)^1 + Л1^2 + /З1п3’
^2 = /12^1 — (Лз + /21)^2 + /з2п3’(2.50)
^3 = /13^1 + Лзп2 — (/31 + /з2)^3’
которую нужно дополнить условием сохранения полного числа возбуждений:
п = Tl\ + 7^2 + TL3.(2.51)
Подставляя (2.47)-(2.49) в уравнения (2.50), в стационарном случае получаем
+ Ап, = П2 - (1 + fi)Ап, П3 = ng + fiАп, (2.52)
где
Ап =
f2f21 + exp1 + expЩз1 - /21)Щз1 - /21)B23UB23U+ В^иУ^у + 2/12 + /з1 + 2/13)+ В^иУ^у + 2/12 + /з1 + 2/13)(2.53)(2.53)
f2
f2
1 + exp
1 + exp
Щз1 - /21)
Щз1 - /21)
B23U
B23U
+ В^иУ^у + 2/12 + /з1 + 2/13)
+ В^иУ^у + 2/12 + /з1 + 2/13)
(2.53)
(2.53)
fi —f2 — /12/31 + /21/32 + /31/32 exp. (2.54)
/31 - /21I И1 J
Здесь П1,П2,пз — населённость уровней 1, 2 и 3 при термодинамическом равновесии с тепловым фоном до включения внешней накачки.
Энергетический выход и эффективность охлаждения. Как видно из формулы (1.11), мощность люминесценции равна разности полной мощности испускания и мощности, необходимой для сохранения существующего теплового излучения. Подставляя в (1.11)
значения населённостей из (2.52), получаем, что энергетический выход люминесценции равен
Г31/21 — + Г32 ( /21 + /31 ехр_ i^32\7эн — 1Г31/21 — + Г32 ( /21 + /31 ехр_ i^32\7эн — 1^32 Н , ^21—f ~ 1 21/31J /^32^32 Н , ^21—f ~ 1 21/31J /^32/21/32 + /21/31 + /32/31 ехр <!I XI/21/32 + /21/31 + /32/31 ехр <!I XI(2.55)(2.55)
Г31/21 — + Г32 ( /21 + /31 ехр
_ i^32\
7эн — 1
Г31/21 — + Г32 ( /21 + /31 ехр
_ i^32\
7эн — 1
^32 Н , ^21
—f ~ 1 21/31
J /^32
^32 Н , ^21
—f ~ 1 21/31
J /^32
/21/32 + /21/31 + /32/31 ехр <!
I XI
/21/32 + /21/31 + /32/31 ехр <!
I XI
(2.55)
(2.55)
Сравнивая (2.55) с (1.53) получаем, что эффективность охлаждения имеет вид
х ^21 ।/ р । рГ ^Ц32 1 \р ^21
131/21h 132 /21 + /31 ехр <—- > — 121/з1
(2.56)(2.56)^32\I J /^32
(2.56)
(2.56)
=Г Xv )
/21/32 + /21/31 + /32/31 ехр jX Г
Напомним, что формула (2.56) справедлива тогда, когда спектр испускания не зависит от частоты возбуждения (см. последний раздел 1.1). Полученные выражения (2.55) и (2.56) позволяет сделать несколько важных заключений. Видно, что энергетический выход люминесценции не зависит от плотности падающего излучения и. В случае, когда все Г^- = 0, энергетический выход принимает значение 7ЭН = 1- Очевидно, что при полном отсутствии неоптических переходов энергия оптической накачки не может превращаться в тепловую.
Знаменатель второго слагаемого выражения (2.55) всегда положителен. Однако, в числителе есть отрицательный член. Следовательно, в условиях, когда
^ht-^ht > (/21 +/31 ехр{-^}) 7,(2.57)
1 321 32\I Ml J / 1/21
энергетический выход 7ЭН > С а эффективность охлаждения становится больше нуля: р > 0. Это означает, что часть тепловой энергии системы атомов превращается в излучение, сама система охлаждается, а отобранное тепло передаётся окружающим телам, температура которых ниже температуры источника накачки.
Температура. То, что отобранное тепло передаётся окружающим телам, температура которых ниже температуры источника накачки, непосредственно следует из принципа возрастания энтропии. Действительно, окружающие тела и наша рабочая среда составляют вместе замкнутую систему двух тел с энергиями Е\ и Е/ не находящихся в равновесии друг с другом и, как следствие, с различной температурой Т\ 7^ Т^. С течением времени между ними будет устанавливаться равновесие, а их температуры должны выравниваться. Общая энтропия S = 51 + ^2 при этом будет возрастать — её производная по времени будет положительна. С другой стороны, полная энергия
сохраняется. Отсюда имеем
AS _ dSxdSx_ dSx dExdS2 dE2 _ / dSdS2 \ dEx Q
dt dtdt dEx dtdE2 dt \dExdE2) dt> ''
В скобках как раз стоят величины, обратные температурам: когда отдельная система находится в состоянии термодинамического равновесия, то производная энтропии по энергии для всех её частей одинакова, а обратная величина этой постоянной называется температурой. Поэтому, если температура рабочей среды Тх выше температуры окружающих тел Т2
dEx dE2 - Тх Т2< ’
Т0dE1 -^ q
dt dt ’
т. е. энергия окружающих тел Е2 увеличивается.
Однако видно, что распределение (2.52), которое получается при наличии внешнего возбуждения, значительно отличается от равновесного распределения (1.4) и поэтому понятие температуры получает ограниченный смысл. Средний запас энергии всех рабочих частиц не уменьшается, но тем не менее температура среды, непосредственно окружающей систему рабочих частиц, действительно уменьшается. Вокруг неё образуется постоянный градиент температуры, обеспечивающий непрерывный приток тепла и компенсирующий потерю энергии за счёт антистоксовой люминесценции, которая происходит с энергетическим выходом 7эн > 1. Это обстоятельство приводит к выводу о том, что рабочая система частиц играет роль не самого холодильника, а холодильного агента.
Лазерное охлаждение примесных твёрдых тел
Лазер в обращённом режиме. Кристалл YAG:Nd3+. Как уже отмечалось (см. 1.4), лазер, работающий в обращённом режиме, будет функционировать как холодильная установка. Один из вариантов реализации такого обращённого режима — использовать в качестве образца кристалл YAG:Nd3+, а накачивать его с помощью лазера, работающего на этом же кристалле [46]. Ситуация пояснена на рис. 2.2. В стационарном режиме работы количество тепла dQ, которое уносится из образца за время dt, можно выразить через произведение скорости изменения плотности населённости излучающих состояний 7УВОЗб/^ (где т — время, в течение которого длится флуоресценция), и средней энергии фононов q, которая отнимается у кристалла в расчёте на один поглощённый фотон:
(2.59)(2.59)-dQ = qdt.
(2.59)
(2.59)
12000 -12000 -10000 -10000 -8000 -8000 -8000-8000-4000-4000-2000™2000™0L0L^/2^/22Нд/22Нд/2Рис. 2.2. Схематическое изображение процессов лазерной генерации (слева) и лазерного охлаждения (справа) — охлаждаемый образец тот же, что и активная среда лазера: кристалл YAG:Nd3+Рис. 2.2. Схематическое изображение процессов лазерной генерации (слева) и лазерного охлаждения (справа) — охлаждаемый образец тот же, что и активная среда лазера: кристалл YAG:Nd3+
12000 -
12000 -
10000 -
10000 -
8000 -
8000 -
8000-
8000-
4000-
4000-
2000™
2000™
0L
0L
^/2
^/2
2Нд/2
2Нд/2
Рис. 2.2. Схематическое изображение процессов лазерной генерации (слева) и лазерного охлаждения (справа) — охлаждаемый образец тот же, что и активная среда лазера: кристалл YAG:Nd3+
Рис. 2.2. Схематическое изображение процессов лазерной генерации (слева) и лазерного охлаждения (справа) — охлаждаемый образец тот же, что и активная среда лазера: кристалл YAG:Nd3+
Энергия, см 1 14000г
Последняя по смыслу аналогична величине (1.51) и может быть понята как разность между энергией «фотона флуоресценции» и энергией фотона накачки hvH№. Вклад в энергию «фотона флуоресценции» равен энергетической доле спонтанных оптических переходов (их вероятности А^ в общем числе всех переходов, включая безызлучательные (их вероятности Г^). Поэтому можно записать
ь л ( Ei — Erx 1
> . hvijAij expf
Q =7F _pГ - ^нак,(2.60)
£(Л0+Гц)ехрЩ ^M
где Erx — энергия самого нижнего из флуоресцирующих уровня неодима (мультиплет 4Fg/2). Вероятности Г^ для рассматриваемых переходов 4Fg/2 —> 41ц/2 пренебрежимо малы. Используя результаты измерений скоростей спонтанного перехода при комнатной температуре [47], для величины q получаем значение £з90 см-1.
Скорость изменения температуры охлаждаемого кристалла определяется балансом между отводом тепла (2.59) из образца и обменом самого образца теплом с окружением. Тепловой обмен с окружением будем характеризовать постоянной величиной у, а ввиду небольшой разницы между температурами кристалла и окружения, это количество тепла будет пропорционально разности температур АТ. Для кристалла объёмом V и теплоёмкостью С имеем
Для небольших отклонений температуры можно пренебречь зависимостью температуры от процесса отвода тепла. В этом приближении получаем решение
ХТ^ = АТрав„ (1 - exp { - XL U , АТравн = -№dV.(2.62)
уICLt
Пусть соблюдены следующие условия:
времена установления равновесия между штарковскими подуровнями излучающего состояния 4Fg/2 и состояний мультиплета 41 короче других времён релаксации;
скорость распада возбуждения с нижнего лазерного уровня на основное состояние превышает величины А^ и Г^-;
распределение интенсивности в лазерном пучке описывается формулой Гаусса.
Тогда для изменения температуры на больших временах можно записать
АТравн = exp {-^} q^ (N + rv)exP хТ^ S£ Х
X In( 1 + ЛЕ_ s V (А, + Гу) exp {- Ei р } ), (2.63)
где Аосн — плотность населённости основного состояния, отделённого от нижнего лазерного уровня энергетической щелью AS, С — длина кристалла YAG, Р — интегральная мощность накачки, а — сечение поглощения на частоте излучения лазера, S — сечение лазерного луча.
Параметр у, характеризующий обмен теплом с окружением, можно измерить независимо, проведя предварительный эксперимент. В работах [46, 47] параметры эксперимента были следующие:
S = 0,78 мм2, Т = 300 К, £ = 50,8 мм, Р = 100 Вт, М,с„ = 6 • 1019 см"3, V = 2,5 • 10"2 мм3, ст = 8,8 ■ 10“19 см2. Это позволяет оценить изменение температуры: в вакуумной камере оно равно 8,4°, а при атмосферном давлении оно равно 2,1°.
2.4.2. Охлаждение рубина. Кристалл А120з:Сг3+. Из-за всесторонней спектроскопичекой изученности и достигнутой высокой технологии роста кристалл рубина мог бы стать идеальным твердотельным объектом для реализации на нём оптического охлаждения. Поэтому уже в начале шестидесятых годов XX века именно к этому кристаллу было приковано внимание исследователей [48, 49]. Однако, как было указано разделе параграфа 1.5, посвящённому рубину, вследствие фононных полос в спектре излучения кристалл рубина является малоперспективным кандидатом для оптического охлаждения. В работе [87] была снята зависимость энергетического выхода излучения R — линий от температуры, поляризации по отношению к тригональной оси-с и концентрации ионов трёхвалентного хрома. В качестве
энергетического выхода измерялось отношение интегральной интенсивности излучения R — линий к общей интегральной интенсивности флуоресценции. Для оптически тонких образцов энергетический выход плавно возрастал с понижением температуры до значения 0,49, когда поляризация была вдоль оси с, и до значения 0,83, когда поляризация была перпендикулярна оси с.
В этом разделе мы не будем принимать во внимание указанное обстоятельство и подробно рассмотрим применение метода скоростных уравнений на примере рубина.
Энергетическая структура уровней ионов трёхвалентного хрома в корунде приведена на рис. 2.3.
При комнатной температуре и в отсутствие внешнего возмущения ионы хрома находятся в термодинамическом равновесии с решёткой
Рис. 2.3. Энергетическая диаграмма ионов Сг3+ в корундеРис. 2.3. Энергетическая диаграмма ионов Сг3+ в корундерешётки будет преобразовыватьсярешётки будет преобразовыватьсяи заселяют состояния 1 и 2. Если произвести оптическую накачку с частотой ^23, то ионы с уровня 2 возбудятся и перейдут на уровень 3. В условиях не слишком низких температур (не менее 10 К), часть ионов будет отбирать у решётки энергию тепловых колебаний, в результате чего будут происходить переходы на уровень 4. Этот процесс сопровождается дальнейшим спонтанным переходом в основное состояние на уровни 1 или 2, которых происходит с излучением фотона. Таким образом, энергия тепловых колебаний
Рис. 2.3. Энергетическая диаграмма ионов Сг3+ в корунде
Рис. 2.3. Энергетическая диаграмма ионов Сг3+ в корунде
решётки будет преобразовываться
решётки будет преобразовываться
в энергию электромагнитного излучения и выводиться из кристалла, а сам кристалл будет охлаждаться. При низких температурах (менее 20 К), аналогичный процесс будет иметь место при интенсивном опустошении уровня 2: ионы с уровня 1 будут переходить на уровень 2 с поглощением из решётки фонона. В связи с тем, что каждый из этих процессов будет доминировать в своём интервале температур, оптическое охлаждение с использованием расщепления 3^4 может быть эффективнее реализовано, если накачивать образец на частоте ?^13, соответствующей оптическому переходу 1 ^> 3, а излучение накачки направить вдоль тригональной оси кристалла (соответственно электрический вектор будет перпендикулярен этой оси). При низких температурах, когда в механизме охлаждения эффективно работает зеемановский переход 1 ^ 2, частоту накачки ^13 следует заменить на ^23- Эти два режима охлаждения проиллюстрированы на рис. 1.6.
Обозначим скорости вынужденных переходов между состояниями 2 и 3 величиной В, скорости переходов, связанных с тепловыми колебаниями решётки, как Г12, Г21, Г34, Г43 (Г^ц), а скорости спонтан-
ных оптических переходов как А32, А31, А42, Ai (АА Пусть Q21 и Q43 — расщепления основного (4А2) и возбуждённого (А) состояний, соответственно. Эти расщепления обязаны как кристаллическому по
лю, так и спин-орбитальному взаимодействию, и принимают значения Q21 = 0,38 см-1 и Q43 = 29 см-1.
Пусть температура спиновой подсистемы 3(/-электронов ионов Сг3+
изменяется квазиизотермически по отношению к температуре решётки, так, что при медленном изменении температуры решётки спиновая подсистема будет находиться в некотором стационарном состоянии. Это означает, что изменение температуры АТ за время спин-решёточной релаксации 1 /Г не должно приводить к значительному изменению значений самих величин Г, сохраняя условие изотермического приближения. Так как такое изменение температуры равно
АТ =АТ =V\dtVV\dtV(2.64)(2.64)
АТ =
АТ =
V\dtV
V\dtV
(2.64)
(2.64)
то в этом приближении должно удовлетворяться неравенство
r^T = pf«L<2-65’
Заметим, что это в свою очередь приводит к условию на порог интенсивности оптической накачки. Если интенсивность столь высока, что В >> Г, то температура спиновой подсистемы будет значительно отличаться от температуры решётки и необходимо отказаться от изотермического приближения.
Запишем уравнения (2.23) для четырёхуровневой системы ионов хрома в корунде. Пренебрегая безызлучательными переходами на оптических частотах и оптическими переходами между уровнями 1 ^ 2 и 3 4, для производных по времени от населённостей энергетических уровней П1, П2, ng, П4 можно записать
А = -П1Г12 + П2Г21 + П3А1 + П4А1,
А = ^Ai2 - п2(Г21 + В) + п3(А2 + В) + П4А2,
А = П2В — пз(Гз4 + Ai + А32 + В) + П4А43,(2.66)
А = П3Г34 - П4(Г43 + Al + А2),
Ni = П1 + П2 + Пз + П4,
где Nt — общее число ионов Сг3+.
В стационарном режиме количество тепла dQ, которое уносится из образца за время dt, можно выразить через решения уравнений (2.66) и величины расщеплений основного и возбуждённого состояний:
dQ = Ai АА12 - П2Г21) + Аз(^зГз4 - П4Г43).(2.67)
(2.68)(2.68)(2.69)(2.69)Пз = NtПз = NtГ12В(Г43 + Л42 + Л41)Г12В(Г43 + Л42 + Л41)(2.70)(2.70)
(2.68)
(2.68)
(2.69)
(2.69)
Пз = Nt
Пз = Nt
Г12В(Г43 + Л42 + Л41)
Г12В(Г43 + Л42 + Л41)
(2.70)
(2.70)
Подставляя сюда стационарные решения
[ВЛз1 + Г21(В + Л32 + Л31)] (Г43 + Л42 + Л41)
Г21Гз4(Л42 + Л41 + Г34ВЛ41)
Г12(В + Л32 + Л31)(Г43 + Л42 + Л41)Г 12Г34 ( Л42 + Л41)
п4 = Ntп4 = NtГ12Г34ВГ12Г34В(2.74) количества(2.74) количества-dQ = C(TW ^ ^ = ~С(Т)^.-dQ = C(TW ^ ^ = ~С(Т)^.(2.75)(2.75)
п4 = Nt
п4 = Nt
Г12Г34В
Г12Г34В
(2.74) количества
(2.74) количества
-dQ = C(TW ^ ^ = ~С(Т)^.
-dQ = C(TW ^ ^ = ~С(Т)^.
(2.75)
(2.75)
(2.71)
(2.72)
где
Q = {ВЛ31 + ВГ12 + (В + Л32 + Лз1)(Г21 + Г12)} (Г43 + Л42 + Л41) +
+ Г34 {(Г21 + Г12)(^4-42 + 4.41) + ВГ12 + ВЛ41} ,(2.73)
получаем, вместо (2.67),
dQ _ Ы/рр ^21 {4з1(Г43 + Л42 + Л41) + Г34Л41} + П4зГз4(Л42 + Л41)
"dt - '12О
Изменение температуры кристалла связано с изменением теплоты посредством теплоёмкости образца С(Т);
При температурах ниже дебаевской (а, именно, такие температуры представляют сейчас для нас интерес), теплоёмкость зависит от температуры по закону Т3-Дебая
(2.76)(2.76)СЦ) = 7Т3 = ^ i^Nx^' 7'5
(2.76)
(2.76)
где и — постоянная Больцмана, 7V — число формульных единиц AI2O3 в единице объёма кристалла, ^р — характеристическая дебаевская температура (для AI2O3 ^800°К). Из уравнений (2.74)-(2.76) получаем
j dt = -^\dT^j dt = -^\dT^Г12^21 {4з1(Г43 + Л42 + Л41) + Г34Л41} +Г12^21 {4з1(Г43 + Л42 + Л41) + Г34Л41} +
j dt = -^\dT^
j dt = -^\dT^
Г12^21 {4з1(Г43 + Л42 + Л41) + Г34Л41} +
Г12^21 {4з1(Г43 + Л42 + Л41) + Г34Л41} +
Интеграл в правой части (2.77) может быть вычислен, если известны относительные величины скоростей В,А^ и Г^. Радиационное время жизни состояния 3 (переходы Rx — линии: 3^2 и 3 —> 1) при температуре 77 К равно 4,3 • 10-3 с [50], откуда
Asl + ~ 232 с~'. (2.78)
Интенсивности переходов 31 и 32 относятся как 3 : 2, поэтому
находим: А32 ~ 93 с-1 и А31 £з 139 с-1.
Скорость индуцированных переходов В, согласно теории Эйнштейна, равна произведению коэффициента Эйнштейна В23 и плотности падающего излучения и;
В = В23и.(2.79)
В соответствии с (2.25) имеем
^23 =^23 =О7Г (11^23О7Г (11^23(2.80)(2.80)
^23 =
^23 =
О7Г (11^23
О7Г (11^23
(2.80)
(2.80)
откуда, подставляя ^з = 4,32 • 1014 Гц, с = 3 • 108 м/с, h = 6,62 х х 10-34 Дж • с, для величины В23 получаем значение 2 • 1015.
Оценим величину средней плотности излучения на единичный спектральный интервал в единице объёма и, присутствующей в формуле (2.79). Ширина спектра света, поступающего от непрерывного источника накачки, намного меньше, чем ширина линии поглощения. Пусть коэффициент поглощения для диапазона частот, лежащего внутри ширины линии поглощения /Av = 3 • 1010 Гц (=1 см-1), имеет постоянное значение. Плотность излучения внутри кристалла в этом случае, очевидно, уменьшается с глубиной проникновения внутрь образца линейно и, поэтому, зададим её среднее значение равным половине от плотности падающего излучения. Таким образом
(2.81)(2.81)1 пР2с А^’
(2.81)
(2.81)
где с — скорость света в вакууме, п — коэффициент преломления среды (п = 1,76), Р — мощность излучения накачки. Подставляя (2.81) в (2.79) и используя найденное значение (2.80), получаем количественное соотношение, связывающее скорость накачки с мощностью накачки
В [с"1] ~ 2 • 1(Г4Р[Вт/м2] = 2 • Р[Вт/см2]. (2.82)
Средние мощности излучения непрерывных лазеров подходящего диапазона изменяются в пределах 10-3 Р 102 Вт/см2. Поэтому будем в дальнейшем считать, что удовлетворяется условие А^ >> В.
Обсудим применение выражения (2.77) для различных интервалов температур.
80 К > Т > 20 К.
Все скорости спонтанных переходов А^ имеют один и тот же порядок величины. Рамановские процессы происходят с участием уровней 3 и 4, для которых можно записать
Г34 = Г4зехр{-^} > А,-,Г34 = Г4зехр{-^} > А,-,(2.83)(2.83)
Г34 = Г4зехр{-^} > А,-,
Г34 = Г4зехр{-^} > А,-,
(2.83)
(2.83)
а для обмена возбуждениями внутри нижнего мультиплета
(2.84)(2.84)Г12 ~ Г21 >
(2.84)
(2.84)
Величиной Q21, которая меньше чем Q43 примерно в 75 раз, в (2.77) можно пренебречь. В итоге получаем
[ dt = "л^в [ т3 (ехр {SI + 0 dT’ (2-85)
где й и ^ _ начальный и конечный моменты времени наблюдения, соответствующие начальной Тнач и конечной Ткон температурам.
20 К >Т> 10 К.
В этой области температур уже нельзя пренебречь расщеплением Q2i- Однако, остальные допущения, сделанные в случае 1, по-прежнему будут иметь место. Тогда, вместо (2.77), получаем
^2| dt = - tx^2| dt = - tx47NA^B47NA^BГ ^43 1 I 1exp <^ ^ > + 1( Q Т ^^2^43/^21 + ехр < —>Г ^43 1 I 1exp <^ ^ > + 1( Q Т ^^2^43/^21 + ехр < —>(2.86)(2.86)
^2
| dt = - tx
^2
| dt = - tx
47NA^B
47NA^B
Г ^43 1 I 1
exp <^ ^ > + 1
( Q Т ^^
2^43/^21 + ехр < —>
Г ^43 1 I 1
exp <^ ^ > + 1
( Q Т ^^
2^43/^21 + ехр < —>
(2.86)
(2.86)
10 К >Т> 0,55 К.
Нижний предел (0,55 К) соответствует расщеплению основного состояния 0,38 см-1. При гелиевой температуре величины Г21 и Г12 имеют порядок 10 с-1 и с дальнейшим понижением температуры они становятся сравнимыми со значениями скоростей оптических переходов А^ но всё ещё превышают скорость накачки В;
(2.87)(2.87)Г12 = Г21ехр{-^} | Ау > В.
(2.87)
(2.87)
В отношении неоптических переходов между уровнями мультиплета возбуждённого состояния можно предположить, что процессы с поглощением фононов становятся настолько маловероятными, что с дальнейшим понижением температуры величина Г34 быстро стремится к нулю. Поэтому в этой области температур приближённо положим
В этих условиях получаем
at =[ т3 /хр{%} + 0 dT-at =[ т3 /хр{%} + 0 dT-4) 0,55 К > T > 0,02 K.Как и в предыдущем варианте, имеем4) 0,55 К > T > 0,02 K.Как и в предыдущем варианте, имеемГ,2 = Г21 ехрГ,2 = Г21 ехр%), но Ау>1\2>В. XI )J%), но Ау>1\2>В. XI )JТогдаТогда^2j №хВti^2j №хВti/ f ^21 1 , Л/ f ^21 1 , ЛdT.dT.(2.89)(2.90)(2.91)(2.89)(2.90)(2.91)
at =[ т3 /хр{%} + 0 dT-
at =[ т3 /хр{%} + 0 dT-
4) 0,55 К > T > 0,02 K.
Как и в предыдущем варианте, имеем
4) 0,55 К > T > 0,02 K.
Как и в предыдущем варианте, имеем
Г,2 = Г21 ехр
Г,2 = Г21 ехр
%), но Ау>1\2>В. XI )J
%), но Ау>1\2>В. XI )J
Тогда
Тогда
^2
j №хВ
ti
^2
j №хВ
ti
/ f ^21 1 , Л
/ f ^21 1 , Л
dT.
dT.
(2.89)
(2.90)
(2.91)
(2.89)
(2.90)
(2.91)
Для расчёта полученных интегралов возьмём отношение N/Ni = 3000, что соответствует 0,05% Сг^Од в А^Од. Значения скорости охлаждения от мощности накачки для различных областей температур приведены в табл. 2.1. Результаты вычислений для значений температур от 300 К до 10 К приведены на рис. 2.4.
Рис. 2.4. Справа: зависимость времени охлаждения до Т = 40 К от начальной температуры для различных значений мощности накачки: а) 10“1 Вт/см2; б) 1 Вт/см2; в) 102 Вт/см2; г) 104 Вт/см2. Слева: зависимость времени охлаждения от 125 К до 40 К от мощности подводимого излучения. [49]Рис. 2.4. Справа: зависимость времени охлаждения до Т = 40 К от начальной температуры для различных значений мощности накачки: а) 10“1 Вт/см2; б) 1 Вт/см2; в) 102 Вт/см2; г) 104 Вт/см2. Слева: зависимость времени охлаждения от 125 К до 40 К от мощности подводимого излучения. [49]
Рис. 2.4. Справа: зависимость времени охлаждения до Т = 40 К от начальной температуры для различных значений мощности накачки: а) 10“1 Вт/см2; б) 1 Вт/см2; в) 102 Вт/см2; г) 104 Вт/см2. Слева: зависимость времени охлаждения от 125 К до 40 К от мощности подводимого излучения. [49]
Рис. 2.4. Справа: зависимость времени охлаждения до Т = 40 К от начальной температуры для различных значений мощности накачки: а) 10“1 Вт/см2; б) 1 Вт/см2; в) 102 Вт/см2; г) 104 Вт/см2. Слева: зависимость времени охлаждения от 125 К до 40 К от мощности подводимого излучения. [49]
Расчёт интеграла (2.77) для режима охлаждения за счёт опустошения уровня 2 производился в интервале температур от 10 К до 0,01 К [49]. Результаты приведены на рис. 2.5, где видно, что нижний предел охлаждения, который может быть достигнут за счёт участия двух нижних зеемановских подуровня основного состояния, имеет порядок 0,02 К.
Наряду с теоретическим анализом, в работе [49] проводились эксперименты, доказывающие возможность оптического охлаждения рубина. Эти эксперименты выполнялись на двух идентичных образцах рубина с концентрацией ионов Сг3+ порядка 0,05%. Один из этих
Таблица 2.1. Скорость охлаждения, рассчитанная по формуле (2.77) для разных интервалов температур
Лач, К
Тм, к
Время, с
F = 10 1 Вт/см2
Р = 0,5 Вт/см2
Р = 102 Вт/см2
80
40
5-Ю3
ю3
5
40
20
5- 102
ю2
0,5
20
10
150
30
0,15
10
4,2
100
20
0,1
4,2
0,55
5
1
5- 10“3
0,55
0,1
30
6
0,03
0,1
0,05
5-10“4
10"4
5-10“7
0,05
0,03
0,05
10"2
5- 10“5
0,03
0,02
150
30
0,15
0,02
0,015
5- 103
3 • 103
15
образцов помещался в замкнутую полость и освещался индуцирован
ным излучением другого. Флуоресценция последнего измерялась с по
мощью спектрографа ДФС-13. Накачка излучением рубинового лазера, которое пропускалось через красный светофильтр. Отношение интенсивностей флуоресценции на переходах F2 и R\ равнялось 0,3. Поскольку ^-линия соответствует энергетическому переходу 4 1, a R\-линия — переходу 3 1, то столь высокая эффективность антистоксовой флуоресценции указывает на возможность оптического охлаждения рубина.
Весьма интересные результаты были получены недавно в работе по акустическому детектированию линий оптическо-
го резонанса в концентрированном рубине (0,6% Сг3+) [51]. Снятая авторами этой работы зависимость относительной интенсивности потока тепловых фононов, вызываемых в рубине сканируемым по длине волны лазерным лучом, приведена на рис. 2.6. Из этого рисунка
осуществлялась импульснымосуществлялась импульсным^охл? с^охл? сЮ3^Ю3^102™0,02 0,03 0,04 0,05102™0,02 0,03 0,04 0,05Рис. 2.5. Зависимость времени охлаждения от конечной температуры, когда начальная температура равна 10 К. Мощность накачки0,1 Вт/см2 [49]Рис. 2.5. Зависимость времени охлаждения от конечной температуры, когда начальная температура равна 10 К. Мощность накачки0,1 Вт/см2 [49]резонанса на всех переходах,резонанса на всех переходах,видно, что при достижении оптического
осуществлялась импульсным
осуществлялась импульсным
^охл? с
^охл? с
Ю3^
Ю3^
102™
0,02 0,03 0,04 0,05
102™
0,02 0,03 0,04 0,05
Рис. 2.5. Зависимость времени охлаждения от конечной температуры, когда начальная температура равна 10 К. Мощность накачки
0,1 Вт/см2 [49]
Рис. 2.5. Зависимость времени охлаждения от конечной температуры, когда начальная температура равна 10 К. Мощность накачки
0,1 Вт/см2 [49]
резонанса на всех переходах,
резонанса на всех переходах,
за исключением перехода, соответствующего Ri-линии, наблюдается увеличение числа тепловых фононов. Относительная интенсивность потока тепловых фононов, соответствующего R\-линии, как следует из приведённого экспериментального результата, резко падает (наблюдается уменьшение потока неравновесных фононов на болометре). Авторы работы [51] объясняют результаты эксперимента поглощением лазерного импульса в объёме образца, приводящим к уменьшению нерезонансной генерации фононов.
Рис. 2.6. Оптический спектр поглощения рубина, снятый на болометре путём детектирования потока неравновесных фононов. Эксперимент выполнен А. М. Шегедой [51]
Однако, учитывая вышеприведённый прогноз, подобное поведение зависимости интенсивности теплового импульса, соответствующего Ri-линии, может свидетельствовать о том, что столь резкое падение числа тепловых фононов при достижении оптического резонанса на Ri-линии также связано и с процессом оптического охлаждения.
Общий подход. Кинетические уравнения. Рассмотрим лазерное охлаждение примесных частиц в кристалле, подсистема которых сама может служить охладителем для образца. Примесные молекулы испытывают колебательные либрации относительно своих равновесных положений в кристалле. В силу того, что направления их дипольного момента перехода жёстко связаны с осями симметрии молекулы, эти либрации модулируют постоянную взаимодействия молекулы с электромагнитным полем, что приводит к так называемым непрямым переходам, когда вместе с фотонами поглощается или испускается фонон.
Гамильтониан анизотропных молекул в кристалле может быть записан как
Я = ЯО + ЯЬ(2.92)
где
Яо = На + Hf + Я,(2.93)
гамильтониан свободных частиц (ионы, фотоны и фононы),
Н\ = Haf + H^f(2.94)
гамильтониан взаимодействия. А именно:
Я. = £ huj^(2.95)
з
гамильтониан системы примесных ионов с энергией ^о, Sj — оператор проекции энергетического спина в базисе состояний иона;
Я/ = у Ишкакак(2.96)
к
гамильтониан свободного электромагнитного поля в представлении вторичного квантования, а^,ак — операторы уничтожения и рождения фотона моды к;
= №mB+mBjm(2.97)
зт
гамильтониан свободного фононного поля в представлении вторичного квантования, TiClm — энергия фонона моды т, Вдт,В^т — операторы уничтожения и рождения фонона моды т;
Haf = Hgkei^S+ak+g*ke-i^S7at)(2.98)
гамильтониан взаимодействия между молекулами и электромагнитным полем в приближении вращающейся волны, где gk — константа взаимодействия, к — волновой вектор фотона моды к, rj — радиус-вектор j-той молекулы, 8^ — оператор повышения и понижения проекции эффективного спина;
= У> ^тк е - 3 Sj~ (Bjm + B^ja^ + hmk e ~ 3 S^ (Bjm + B^m)ak jmk x
(2.99) — гамильтониан взаимодействия между молекулами и электромагнитным полем с участием фононов, hm^ — постоянная взаимодействия.
Используя принятые нами обозначения, кратко остановимся на физических механизмах, приводящих к охлаждению конденсированных
систем лазерным излучением. Закон сохранения энергии для процесса, описываемого гамильтонианом (2.92) может быть записан как
У м + У «П,„=
atatat
кт
= У Hjk М + у Шт Пт - W (2100) ~^т^^—^тт
где п^ — заданное внешним источником среднее число фотонов моды к; пт — определяемое взаимодействием с термостатом среднее число фононов моды т; (Sz) — средняя разность населённостей; Тк и тт — характерные релаксационные времена по отношению переходов с участием фотонов моды к и с участием фононов моды т, соответственно.
В стационарном режиме, когда все производные равны нулю, из (2.100) получаем
(2.101)
Пусть возбуждение имеет место лишь на определённой частоте ше, а излучение происходит на этой же частоте и на более высокой частоте
— о)е 4" Hm.
Тогда уравнение (2.101) сводится к
М _^fM + КПт Пт М = 0.(2.102)
ТеТfТт
С другой стороны, имеет место закон сохранения для числа возбужденииу сЦпк) += у Пк - (пк)^2 ЮЗ)
кdt к Тк
Легко видеть, что в стационарном режиме и при вышеуказанных условиях получаем~
- УМ = w ,(2 104)
ТеТ/
благодаря чему (2.102) даёт
(2.105)
Рассматривая величину
Л =(2.106)
как отрицательную работу, производимую внешним источником над подсистемой резонансных фононов для получения положительного тепла ~ _ / \
Qx=K?lmUm ^Пт) (2.107)
от образца и возвращения отрицательного тепла
Q2 = -М— - Тш)?1л$1(2.108)
ТеТу
(2.109)(2.109)со спонтанным излучением окружающей среде, мы имеем обычное термодинамическое уравнение холодильной машины
(2.109)
(2.109)
А — Qi + Q2,
где работа (возбуждение молекул на длинноволновом краю линии поглощения) затрачивается на передачу тепла от холодного тела (образец) к горячему (термостат), а холодильным агентом является система резонансных фононов. Таким образом, внешнее лазерное излучение может охлаждать твердотельный образец через систему резонансных фононов. В неупорядоченных конденсированных системах подсистема примесей сама может служить охладителем для остального образца.
Построение уравнений. Построим уравнения для средних значений оператора числа вибронов в m-той моде и оператора неравновесной разности населённостей между электронными уровнями и, найдя стационарные решения уравнений, покажем возможность понижения температуры образца. Указанные операторы определим как Tijm = В^тВдт и pj = 2Sj соответственно, индекс j нумерует атомы. В приложении представлены математические выкладки, которые приводят к следующей системе уравнений (значок (...) обозначает макроскопическое усреднение):
dtdtN2т?ТN2т?ТNNNNNNj,2j,2j.2j.211
dt
dt
N
2т?Т
N
2т?Т
N
N
N
N
N
N
j,2
j,2
j.
2
j.
2
1
1
(2.110)(2.110)<Цр) =dt<Цр) =dtT)T)
(2.110)
(2.110)
<Цр) =dt
<Цр) =dt
T)
T)
-NE-NE1 , 11 , 1-1), (2.111)-1), (2.111)
-NE
-NE
1 , 1
1 , 1
-1), (2.111)
-1), (2.111)
где p — неравновесная разность населённостей между электронными уровнями, ns — некое равновесное распределение фононов в образце, находящемся в термодинамическом равновесии с окружающей средой,
NS^I^lWo-^)1 п кNS^I^lWo-^)1 п к(2.112)(2.112)
NS^I^lWo-^)
1 п к
NS^I^lWo-^)
1 п к
(2.112)
(2.112)
обратное время спонтанного излучения на прямом переходе,
"^ЕЫ^Ь"^)(2.ПЗ)
обратное время стимулированного излучения на прямом переходе,
(2.114)
т\т Г1
обратное время спонтанного излучения на стоксовом прямом переходе при участии фонона моды т,
4T = §EIWWo-^ + fim)(2.115)
обратное время спонтанного излучения на антистоксовом прямом переходе при участии фонона моды т,
Пт)(2.116)
Ттк
обратное время вынужденного излучения на стоксовом прямом переходе при участии фонона моды т,
4s = ^Т,^\Нкт\28(шО - Шк +(2.117)
Ттк
обратное время вынужденного излучения на антистоксовом прямом переходе при участии фонона моды т, Х/т^ — обратное время релаксации фононов моды т к термодинамически равновесному состоянию.
2.4.5. Стационарное решение. Практические результаты могут быть получены в модели локальных или так называемых псевдолокали- зованных фононов, когда задача сводится фактически к четырёхуровневой схеме. Псевдолокализованные фононы — это кванты комбинированного колебательного движения, образованные низкочастотными оптическими либрациями анизотропных примесных молекул, которые модулируют постоянную электрон-фотонного взаимодействия, и резонансными по отношению к ним акустическими фононами основного кристалла. Мы будем говорить о них как о резонансных фононах. Они характеризуются повышенной спектральной плотностью в узком спектральном диапазоне и проявляют себя как узкие пики в длинноволновом крыле линии поглощения.
Рассмотрим возбуждения на стоксовом переходе. В этом случае все числа фотонов, за исключением фотонов с частотой uq — Qq, должны быть положены равными нулю. В приближении низких температур, (ns) << 1, можно показать, что антистоксовы процессы проявляют себя лишь во втором порядке малости по среднему числу фононов всевозможных мод, определяемым взаимодействием с термостатом. В этих приближениях и когда поле источника не слишком мало,
(n&) ^ 1 и rs С rf (т"1 — обратное время вынужденного излучения на стоксовом прямом переходе при участии фононов всевозможных мод, (rf)-1 — обратное время спонтанного излучения на стоксовом прямом переходе при участии фононов всевозможных мод), мы можем переписать систему уравнений (2.110)-(2.111) как
^ = ^ МИ + |«рН1)(2.118)
at TgТу
^ = -1 (И + 1) - 2-f(p)W + М+1\(2.119)
at т\ts \2)
где (ns) — число резонансных фононов, т^ — время их термализации, М — количество фононных состояний, участвующих в охлаждении.
Стационарное решение системы (2.118)-(2.119)
(2.120)(2.120)
(2.120)
(2.120)
в приближении низких температур имеет вид
Ту \Mts 1 + тх ^Tig)Ту \Mts 1 + тх ^Tig)Ту \Мт8 1 + тх У + N(tits) 1Ту \Мт8 1 + тх У + N(tits) 1(2.121)(2.121)
Ту \Mts 1 + тх ^Tig)
Ту \Mts 1 + тх ^Tig)
Ту \Мт8 1 + тх У + N(tits) 1
Ту \Мт8 1 + тх У + N(tits) 1
(2.121)
(2.121)
Отсюда, при достаточно длинных временах Nt^ <^ Мт\ имеем
(п) = п(п) = пn Мn М(2.122)(2.122)
(п) = п
(п) = п
n М
n М
(2.122)
(2.122)
и для эффективной температуры
Т = Т8Т = Т8Шо \Т1 М) у ’Шо \Т1 М) у ’(2.123)(2.123)
Т = Т8
Т = Т8
Шо \Т1 М) у ’
Шо \Т1 М) у ’
(2.123)
(2.123)
где Т8 — температура образца.
В высокотемпературном приближении, (ns) >> 1, стационарное решение уравнений (2.110)-(2.111) для (п) имеет вид:
лг\ ео-1 С^г1 + к)-') - 2мсп"'+ (пт1)
м^т^г'(2СаТ1 + (тО-' + ИП-1)2
(2.124)
при ts <^ т®,т^8; ri С rfs /М сводится к
т = т8(\-т = т8(\-=(2125)
т = т8(\-
т = т8(\-
иТ8 ту М) ’и туМ’'
где АТ — изменение температуры образца в результате охлаждения.
Полученные формулы (2.123) и (2.126) для стационарной температуры образца позволяют оценить величину охлаждения. Так, для флюридного стекла, легированного ионами иттербия с концентрацией в один весовой процент [13], предположим N = 1019, т^ 10-5ть М = 2,5 х 1016 [110], Qq = 400 см-1. Получаем, что возможно охлаждение указанного образца до 295 К от комнатной температуры (298 К), т. е. на 3 градуса. Понижение температуры в первом эксперименте [6] составило 0,3 градуса. Авторы это объяснили наличием неконтролируемых примесей в образце, которые преобразовывали поглощённое излучение в тепло.
2.5. Сверхизлучательный режим охлаждения
Несмотря на то, что проблема лазерного охлаждения твердотельных образцов является одной из наиболее актуальных и практически значимых в лазерной физике [102], экспериментально к настоящему времени ещё не удалось охладить твердотельные образцы до температур, близких хотя бы к температуре жидкого азота. Поэтому перед исследователями этой проблемы возникла необходимость поиска путей интенсификации процесса охлаждения. В этом параграфе исследуется один из таких путей, состоящий во внесении когерентности в процесс лазерного охлаждения. Среди когерентных процессов наиболее интенсивным является процесс оптического сверхизлучения (см. работы [127-130]).
Отметим, что те процессы в оптике, в которых поведение многочастичных систем излучателей существенно обусловлено их коллективным взаимодействием друг с другом, могут приводить к разнообразным новым эффектам. Например, кооперативный характер системы излучателей, взаимодействующих через поле излучения, обуславливает возможность таких режимов высвечивания, которые принципиально отличаются от спонтанного или вынужденного излучения, и может приводить к изменениям спектроскопических характеристик вещества. Такие явления оказывают существенное влияние на работу приборов квантовой электроники.
Сверхизлучение. Любая многоатомная система, приведённая в сфазированное состояние, находится в нём в течение времени фазовой памяти Т2. В сфазированном состоянии дипольный момент системы пропорционален числу атомов, а, следовательно, интенсивность
излучения пропорциональна квадрату числа атомов. Ввиду малости времени Т^ для оптических переходов атомов это явление удалось наблюдать лишь при использовании мощных лазерных импульсов.
В случае обычного спонтанного излучения, когда атомы распадаются независимо друг от друга со временем спонтанного распада Т\, не зависящим от числа излучателей N, интенсивность излучения пропорциональна числу излучателей: I ~ N1ujqIT\ ос N, где с^о — частота перехода.
В своей основополагающей работе [127] Дике показал, что система N инвертированных двухуровневых атомов может спонтанно перейти в основное состояние за время, обратно пропорциональное числу атомов: тс ~ 7V-1. Этот эффект обусловлен наведением корреляций между моментами перехода пространственно разделённых излучателей, взаимодействующих друг с другом через общее поле излучения. В результате атомы, находящиеся в макроскопически большом объёме, излучают когерентно. Поскольку полная энергия, излучаемая коллективом N атомов, равна NTluq, то интенсивность излучения I ~ N1XujqItc ос 7V2. Такое излучение и получило название сверхизлучения Дике.
В твёрдых телах сверхизлучение впервые наблюдалось в 1982 году [131]. В кристалле, легированном редкоземельными ионами, оно экспериментально наблюдалось в 1999 году [132]. В отличие от обычной флуоресценции, когда каждый примесной центр излучает поглощённую энергию независимо от других частиц, в режиме сверхизлучения спонтанное излучение одной частицы связано со спонтанным излучением другой частицы общим полем излучения, а также шумовым полем. Эта связь характеризуется важным параметром тс, получившим название времени самонаведения корреляций. Оно должно быть меньше времён продольной Т\ и поперечной необратимой релаксаций Т^. Сигнал сверхизлучения, как правило, испускается резонансной средой с некоторой задержкой то ~ 2тс (временем задержки). Вообще, необходимыми условиями для развития сверхизлучения являются следующие неравенства:
т<тс<Т2*,Т1,Т2, (2.127)
где т — время пролёта фотона через среду, Т^ — неоднородное время жизни, при условии, когда спектр импульса накачки целиком накрывает соответствующую неоднородно уширенную линию, или же это обратная ширина импульса, при условии селективного возбуждения.
Лазерное охлаждение. Рассмотрим совокупность частиц, совершающих фононные переходы 1-2 с энергией перехода TzQ вследствие наличия конечной температуры образца; оптические переходы 2-3 с энергией ^32 и 1-3 с энергией ^31 вследствие спонтанных и вынужденных процессов при непрерывной накачке лазером на переходе 2-3 и импульсной накачке на переходе 1-3 (рис. 2.7). Образец должен находиться в оптическом криостате при температуре жидкого
гелия. Зеемановский подуровень 2 (или набор таких подуровней) оказывается заселённым под действием фононов даже при столь низкой температуре. Непрерывная лазерная накачка осуществляет на энергетическом переходе 2-3 возбуждение примесных центров. На рис. 2.7 для создания необходимой инверсии населённостей на примесные центры воздействует короткий лазерный импульс, несущая частота которого резонансна частоте перехода 1-3, а длительность короче характеристических времён необратимых релаксаций. При выполнении упоминавшихся в предыдущем разделе неравенств (2.127) для времени самонаведения корреляций тс примесные центры высвечивают сигнал оптического сверхизлучения, квант энергии которого больше кванта накачки на величину энергии фонона. Затем на переходе 1-3 на примесные центры воздействует очередной короткий лазерный импульс, вызывающий высвечивание следующего сигнала сверхизлучения. Подобное короткоимпульсное воздействие должно продолжаться до тех пор, пока из-за понизившейся температуры в образце будут отсутствовать фононы, способные возбудить электроны на уровень 2. Достичь необходимой для развития сверхизлучения разности населённостей можно и другим способом, чем как в предложенной нами схеме на рис. 2.7. Вместо подачи периодического короткого импульса, мы предлагаем промодулировать амплитуду лазерного импульса накачки, происходящей на переходе 2-3, с частотой фононного перехода (см. рис. 2.8). Таким образом, в электромагнитной волне появится резонансная компонента, отвечающая частоте между нижним и верхним
Рис. 2.7. Сверхизлучательный режим лазерного охлаждения примесных кристаллов и стёкол с использованием вспомогательных коротких лазерных импульсов. Обозначения: НЛН — непрерывная лазерная накачка, КЛИ — короткий лазерный импульс, ОСИ — оптическое сверхизлучение, Ф — фотон, Фн — фонон; 1, 2, 3 — энергетические уровниРис. 2.7. Сверхизлучательный режим лазерного охлаждения примесных кристаллов и стёкол с использованием вспомогательных коротких лазерных импульсов. Обозначения: НЛН — непрерывная лазерная накачка, КЛИ — короткий лазерный импульс, ОСИ — оптическое сверхизлучение, Ф — фотон, Фн — фонон; 1, 2, 3 — энергетические уровниРис. 2.8. Сверхизлучательный режим лазерного охлаждения примесных кристаллов и стёкол при условии накачки лазерным излучением, промодулированным с частотой фононного перехода. Обозначения: МНЛН — модулированная непрерывная лазерная накачка, ОСИ — оптическое сверхизлучение, Ф — фотон, Фн — фонон;1, 2, 3 — энергетические уровниРис. 2.8. Сверхизлучательный режим лазерного охлаждения примесных кристаллов и стёкол при условии накачки лазерным излучением, промодулированным с частотой фононного перехода. Обозначения: МНЛН — модулированная непрерывная лазерная накачка, ОСИ — оптическое сверхизлучение, Ф — фотон, Фн — фонон;1, 2, 3 — энергетические уровни
Рис. 2.7. Сверхизлучательный режим лазерного охлаждения примесных кристаллов и стёкол с использованием вспомогательных коротких лазерных импульсов. Обозначения: НЛН — непрерывная лазерная накачка, КЛИ — короткий лазерный импульс, ОСИ — оптическое сверхизлучение, Ф — фотон, Фн — фонон; 1, 2, 3 — энергетические уровни
Рис. 2.7. Сверхизлучательный режим лазерного охлаждения примесных кристаллов и стёкол с использованием вспомогательных коротких лазерных импульсов. Обозначения: НЛН — непрерывная лазерная накачка, КЛИ — короткий лазерный импульс, ОСИ — оптическое сверхизлучение, Ф — фотон, Фн — фонон; 1, 2, 3 — энергетические уровни
Рис. 2.8. Сверхизлучательный режим лазерного охлаждения примесных кристаллов и стёкол при условии накачки лазерным излучением, промодулированным с частотой фононного перехода. Обозначения: МНЛН — модулированная непрерывная лазерная накачка, ОСИ — оптическое сверхизлучение, Ф — фотон, Фн — фонон;
1, 2, 3 — энергетические уровни
Рис. 2.8. Сверхизлучательный режим лазерного охлаждения примесных кристаллов и стёкол при условии накачки лазерным излучением, промодулированным с частотой фононного перехода. Обозначения: МНЛН — модулированная непрерывная лазерная накачка, ОСИ — оптическое сверхизлучение, Ф — фотон, Фн — фонон;
1, 2, 3 — энергетические уровни
уровнями. Её вклад можно использовать для обеспечения необходимой инверсии населённостей на переходе 1-3.
Система уравнений. Гамильтониан такой системы трёхуровневых частиц имеет вид
Я = Яа + Я/+Я„+Яр + Я31+я32 + я12,(2.128)
гдеf
На = Е ejRjj
гамильтониан системы примесей с энергией Ej, R^- — операторы чисел заполнения группы SU(3),
я/ = Е+ Е Т^кда^акр
гамильтониан свободного электромагнитного поля,
= У Tl^Qcx bqa bqa
Qot
гамильтониан системы фононов с волновым вектором qa и энергией TiClQ(x,
Нр =+
+ ^ifl(t) £ (й^е-^-^Ч + й^^-^/Л
гамильтониан накачки на переходах 2-3 и 1-3, u^R^t) и u^R^t) — обобщённые частоты Раби, Гу — радиус-вектор /-го примесного иона, Я31 = ЕЕ(§Г Rf3^kae-^ + ^Г^<e^0
описывает спонтанные оптические переходы с уровня 3 на уровень 1 и обратно, ^ — константа связи перехода 1-3,
я32 = Е Е(§32 R^e^ + g^R^/^O
описывает спонтанные оптические переходы с уровня 3 на уровень 2 и обратно, g^ — константа связи перехода 2-3,
НИ = Е WnR^e-^i + ^f 4^е^^)
описывает фононные переходы, h^ ~ константа связи электрон-фо- нонного взаимодействия.
Мы будем рассматривать более простой случай, предполагая определённую заселённость второго уровня и исключая из рассмотрения
4 С. В. Петрушкин, В. В. Самарцев
динамику фононных переходов, сосредоточив основное внимание на излучательных процессах в системе. Удобным оказывается перейти в представление коллективных операторов. Пусть вектор v соответствует модам в объёме квантования поля Vc и ^ = ^rttlLt (г = ж, р, г), nt — целое число. Тогда коллективные операторы определим как
R«3 = Е Сз^Ф R^= £ Rfape-^, R^^RLf(a>3)Koks')f
(2.129)
и члены гамильтониана принимают вид
3
Нм = На Т Нр =£j Rjj Т
з
+ ^^ Е (е~^Ф^ - v)R3x +е^фЗк31 - р)ДГз) (2.130)
атомная часть (гамильтониан рабочих частиц) и лазерная накачка;
Hl = Е Е Ф^ - VUSR31 + gkRX\¥k +
V к
+ Е Е Ф*^ - ЩЕХ1 + ЙМ (2.131) V к
гамильтониан, описывающий переходы рабочих частиц с излучением фотонов;
здесьN
геометрический фактор;
/ 2т? N_
gk ~^а13(1а1зех
— константа электрон-фотонного взаимодействия на переходе а — (3. Система уравнений (2.45) с гамильтонианом (2.130)-(2.131) в марковском приближении принимает вид
(ом ) + ^. ([Ям, ОМ]) = Е Е {^23 ([^32, Ом] ^23 )+ 71 з ([^32 - °М] R13 )} + V V*
+ Е Е {72з([Яз1’Ом]Л2з) + 71 з(VR31> Ом]ЯГз)} ’ (2.132)
где
к5 тк
кКтк
тР =[dr = тг5(ша0 - wO - iP (-
Из (2.132) мы можем получить бесконечную цепочку марковских кинетических уравнений для средних значений коллективных атомных операторов вида (Rao), (Rap), (RapRa'P') и т. д. Для замыкания цепочки уравнений можно использовать стандартные расцепления трёхчастичных корреляторов
(^22^32^21) ~ №2)^32^21),
(^31^32^23) ~ (^31)(^32^2з),
(^33^32^23 ) ~ (^ЗзК^32^2з),
и пренебречь корреляторами, описывающими двухфотонные процессы.
Рассмотрим возможность сверхизлучения из возбуждённого состояния в нижнее основное. Предположим, что мы имеем в системе достаточно много частиц, заселяющих уровень 2. Действуя накачивающим лазером только на переходе 2-3, создавая разность населённостей между уровнями 3 и 1, рассмотрим кинетику возникающих спонтанных переходов. Аналогичное рассмотрение проводилось в работе [133] для случая накачки системы ядер с метастабильного уровня импульсом рентгеновского излучения. Система уравнений (2.132) для динамических переменных, описывающих коллективные переходы между рассматриваемыми состояниями принимает вид:
(11£'31
(2.133)
= г-ШкЧМ\"Р - (Л- -гДзй № + (g- -^31) х
X (^-)((ЯззЫМ),
= г-ШнШ№ - (ВД --^31)
^^ = |^W№i) + (^ - ^31) аР\МР
где константы определены следующим образом:
П каП каД31Д31= 1 р 18зГ I2
П ка
П ка
Д31
Д31
Ti2 V W3i - wkct ’
№1 = Г^ГГиГфтМК, - l,Rd -wi*i -шк.р, П ка к'а
5= 1= 1р\^>“\2ф(ка - кф
/г2 4^Ш31 - Шке ’А2 ,W21 - Шк„ ’
ф(кп - кт) = Г^ехр [i(kn - km)rij],
символ Р обозначает главное значение интеграла.
Интенсивность. Пусть площадь импульса накачки на переходе 2-3 такова, что длительность импульса 9 много короче времени самонаведения корреляций. Тогда на первоначальной стадии существует интервал времён, на котором можно пренебречь излучательными процессами и по прошествии импульса мы можем найти решение системы уравнений (2.133) для разности населённостей верхнего и нижнего состояний
№з) - (-М = — (2 - уГЙТл^кТщ th№з) - (-М = — (2 - уГЙТл^кТщ tht — tp 92tr ) 't — tp 92tr ) '(2.134)(2.134)
№з) - (-М = — (2 - уГЙТл^кТщ th
№з) - (-М = — (2 - уГЙТл^кТщ th
t — tp 9
2tr ) '
t — tp 9
2tr ) '
(2.134)
(2.134)
здесь to — время задержки импульса сверхизлучения
9) =9) =731^4 + p^N2 sin4 $/2731^4 + p^N2 sin4 $/2InInP3xN sin2 $/2 — 2 + ^4 + p^N2 sin4 ^/2P3xN sin2 $/2 — 2 + ^4 + p^N2 sin4 ^/2P3iN sin21^/2 — 2 — ^4 + p^N2 sin4 ^/2P3iN sin21^/2 — 2 — ^4 + p^N2 sin4 ^/2
9) =
9) =
731
^4 + p^N2 sin4 $/2
731
^4 + p^N2 sin4 $/2
In
In
P3xN sin2 $/2 — 2 + ^4 + p^N2 sin4 ^/2
P3xN sin2 $/2 — 2 + ^4 + p^N2 sin4 ^/2
P3iN sin21^/2 — 2 — ^4 + p^N2 sin4 ^/2
P3iN sin21^/2 — 2 — ^4 + p^N2 sin4 ^/2
— площадь импульса накачки, tr — характерное время длительности импульса сверхизлучения
t
$ = [ wfi(t')dt', tr =Т31
0у 4 + р^хN2 sin4 ^/2
9 В работе [134] экспериментально исследовались режимы сверхизлучения, когда длительность импульса накачки значительно превосходит время образования импульса сверхизлучения, что соответствует условиям непрерывной накачки на временах энергетической релаксации Т\ Тз1. Приведённый здесь расчёт, однако, сделан для коротких импульсов; случаю импульса площади ^ = тг/2 соответствует действие длительного непрерывного излучения накачки, выравнивающего населённости состояний, на частоте перехода между которыми действует накачка.
Из закона сохранения энергии нетрудно получить выражение для интенсивности излучения на переходе 3-1
j = Н^д^^ = ^31(4 + ^31^ sin4tf/2) 5cch2t - t0 dt 4^3|т31 2tr '
Отсюда видно, что интенсивность такого излучения пропорциональна квадрату числа излучателей и происходит через некоторое время задержки. Поэтому эффективность лазерного охлаждения в режиме сверхизлучения больше, чем в режиме обычной флуоресценции. Эта эффективность может быть увеличена, если вместо одиночного импульса накачки одновременно использовать два и более импульсов накачки с разными направлениями волновых векторов [135, 136]. В этом случае формируется многоканальное сверхизлучение, а эффективность лазерного охлаждения должна быть умножена на число каналов. Кроме того, в этой формуле должна фигурировать частота следования импульсов накачки (или число актов сверхизлучения в единицу времени) и эффективность охлаждения будет пропорциональна множителю N^X^Ktis, где N — число активных примесных центров, А — длина волны сверхизлучения; К — число каналов сверхизлучения; ng — число актов сверхизлучения в секунду.
Общие замечания. На основе метода исключения бозонных операторов Боголюбова в предыдущих двух параграфах нами был развит математический подход, который позволяет из первых принципов получить точную иерархию кинетических уравнений для описания антистоксового лазерного охлаждения кристаллических твёрдых тел, активированных некрамерсовыми редкоземельными ионами. Результатом теоретического рассмотрения явилось получение выражений для установившейся температуры охлаждаемого образца как для случая высоких температур (2.126), так и для случая низких температур (2.123). Найденные выражения позволяют провести удовлетворительное сравнение с имеющимися экспериментальными результатами. Однако те приближения, которые приходится делать для получения таких простых выражений, требуют к себе более пристального внимания и при оценке результатов в каждом конкретном эксперименте нужно исходить из системы уравнений (2.110), (2.111).
В качестве способа увеличения эффективности охлаждения рассмотрено сверхизлучение подсистемы трёхуровневых примесей и на основе развитого математического формализма второй главы проведено теоретическое исследование сверхизлучательного режима лазерного охлаждения с использованием вспомогательных коротких лазерных импульсов, а также режим лазерного охлаждения при условии накачки лазерным излучением, промодулированным с частотой фононного перехода. Однако, указанные ниже причины не позволили нам пока провести оценку эффективности охлаждения. В результате было показано, что при определённых условиях интенсивность антистоксового излуче-
ния будет пропорциональна квадрату числа рабочих частиц в среде. Это позволяет сделать вывод о том, что сверхизлучательный режим лазерного охлаждения подсистемы примесей приводит к увеличению эффективности лазерного охлаждения. С физической точки зрения основное преимущество заключается в том, что время цикла охлаждения уменьшается, увеличивая, таким образом, мощность охлаждения.
Этот вывод не следует считать строгим, поскольку явление сверхизлучения является тонким эффектом, требующим для своего протекания соблюдения довольно жёстких условий (2.127). Кроме того, подача коротких лазерных импульсов для формирования импульса сверхизлучения с последующим охлаждением может снизить эффективность охлаждения, так как спектральная ширина такого импульса может быть значительной. С другой стороны, стоит здесь отметить, что существуют способы получения спектрально узких коротких импульсов от непрерывного узкополосного источника излучения.
При последовательном исследовании режима модулированной накачки в расчёте должна фигурировать глубина модуляции. Ясно, что поскольку относительно процесса сверхизлучения такой модулированный импульс будет вести себя как последовательность коротких импульсов, то необходимо оговорить и соотношение между частотой этой последовательности, частотой фононного расщепления и временем самонаведения корреляций тс. В общем случае, результат должен отражать зависимость спектральных распределений лазерных импульсов и переходов в среде, однако, при построении гамильтониана эта зависимость нами не учитывалась.
2.6. Явление Пельтье
В металлах и полупроводниках существует определённая связь между электрическими и тепловыми процессами, которую можно использовать для осуществления охлаждения. Было обнаружено 9, что при при протекании тока через цепь, составленную из спаянных полупроводников или разнородных металлов, в одних местах контакта происходит выделение тепла, а в других — поглощение тепла. Например, если пропустить постоянный ток через полоску висмута, подключённую с помощью двух медных проводников, то можно заметить, что соединение, где ток идёт от меди к висмуту нагревается, а другое соединение — висмут-медь, через которое ток направлен в обратном направлении, охлаждается. Позже было понято, что этот эффект в значительной степени усиливается, если вместо металлов
Впервые эта закономерность была открыта французским часовщиком и метеорологом по имени Жан Шарль Атаназ Пельтье в 1834 г. Однако Ж. Пельтье так и не смог понять и объяснить наблюдаемое им явление и лишь в 1838 г. это сделал знаменитый Э.Х. Ленц.
использовать соединения из разнородных полупроводников. На этом основаны конструкции современных элементов Пельтье.
Явление Пельтье имеет следующее объяснение. Электроны, переносимые током из одного металла в другой, ускоряются или замедляются под действием внутренней контактной разности потенциалов между металлами. В случае ускорения кинетическая энергия электронов увеличивается, а затем выделяется в виде тепла. В случае замедления кинетическая энергия электронов уменьшается, и эта убыль энергии пополняется за счёт тепловых колебаний атомов второго проводника. В результате происходит охлаждение. Более точно, носители тока, будь то электроны или дырки, по разные стороны от спая (контакта) обладают различной полной энергией (полная энергия представляет собой сумму кинетической и потенциальной энергий) и, пройдя через спай, если они попадают в область с меньшей энергией, то отдают свой избыток энергии кристаллической решётке, в результате чего спай нагревается. Соответственно, на другом спае носители тока переходят в область с большей энергией и недостающую энергию они заимствуют у решётки, что приводит к охлаждению спая.
Наиболее сильно эффект Пельтье проявляется в случае использования полупроводников с различными типами проводимости (p-и п-ти- пами). Здесь, на одном спае электроны и дырки движутся навстречу друг другу, а на другом спае протекающий ток отсасывает электроны и дырки от границы между полупроводниками. При движении навстречу электроны и дырки рекомбинируют: электрон из зоны проводимости n-полупроводника попадает в р-полупроводник и занимает там валентное место дырки. При этом высвобождается как энергия, которая требуется для образования свободного электрона в п-полупроводнике и дырки в р-полупроводнике, так и кинетическая энергия электрона и дырки. Эта энергия поглощается кристаллической решёткой, что приводит к нагреванию данного спая. На другом спае убыль носителей тока в пограничной области пополняется за счёт попарного рождения электронов и дырок — здесь происходит обратный процесс: электрон из валентной зоны р-полупроводника переходит в зону проводимости n-полупроводника. На образование такой пары затрачивается энергия, которая отбирается у кристаллической решётки, что приводит к охлаждению спая.
Количество выделяемого тепла в течение времени t, когда ток I течёт в направлении от звена А к звену В, определяется выражением
QAB = nABlt = qnAB, (2.135)
где q — заряд, прошедший через спай, Щв = ®авТ — коэффициент Пельтье (ад в — удельная термо-э.д.с. данной пары металлов или полупроводников при температуре спая Г). Как видно, количество выделившегося тепла пропорционально первой степени тока, а не квадрату, как это имеет место в случае эффекта Джоуля-Ленца. Так как
при изменении направления тока вместо выделения тепла на данном спае наблюдается поглощение такого же количества тепла, то
Пдв = -Пвд.(2.136)
Интересно сравнить эффективность охлаждения за счёт эффекта Пельтье и за счёт антистоксовой флуоресценции. На этот вопрос впервые обратили внимание французские учёные в работе [145]. Ниже мы дадим сравнительный теоретический анализ оптического антистоксового охлаждения и охлаждения за счёт эффекта Пельтье, предложенный в этой работе, но прежде кратко рассмотрим некоторые практические особенности в конструкции уже имеющихся холодильников Пельтье.
ТеплоТеплоРис. 2.9. Пример расположения контактов полупроводников р-и n-типа в термоэлектрических холодильникахРис. 2.9. Пример расположения контактов полупроводников р-и n-типа в термоэлектрических холодильникахПолупроводниковые холодильники Пельтье. А.Ф. Иоффе выдвинул идею использования явления Пельтье для создания холодильных установок. В шестидесятых и семидесятых годах нашей отечественной промышленностью предпринимались неоднократные попытки выпуска бытовых малогабаритных холодильников, работа которых была основана на эффекте Пельтье. Однако, несовершенство технологий того времени и низкие значения КПД (а также и дороговизна) не позволили подобным устройствам покинуть испытательные стенды. Много позднее на компьютерном рынке появились и вскоре стали популярными такие специфические средства охлаждения электронных элементов как полупроводниковые холодильники Пельтье (часто применяется слово «кулер», но правильным термином, на наш взгляд, для элементов Пельтье является холодильник). В последние годы данные модули стали активно использовать для охлаждения разнообразных электронных компонентов компьютеров. Их, в частности, стали применять для охлаждения современных мощных процессоров, работа которых сопровождается высоким уровнем тепловыделения.
Тепло
Тепло
Рис. 2.9. Пример расположения контактов полупроводников р-и n-типа в термоэлектрических холодильниках
Рис. 2.9. Пример расположения контактов полупроводников р-и n-типа в термоэлектрических холодильниках
ников p-и n-типа позволяетников p-и n-типа позволяетКонструктивно охладитель на основе эффекта Пельтье состоит из последовательного соединения множества чередующихся полупроводниковых элементов п-и p-типов (рис. 2.9). Объединение большого количества пар полупровод- создавать охлаждающие элементы — мо
ников p-и n-типа позволяет
ников p-и n-типа позволяет
дули Пельтье сравнительно большой мощности (рис. 2.10). При прохождении постоянного тока через такое соединение одна половина р-п контактов будет нагреваться, другая, наоборот, — охлаждаться. Полупроводниковые элементы ориентированы так, чтобы нагревающиеся контакты выходили на одну сторону, а охлаждающиеся — на другую. Получается пластинка, покрытая с обеих сторон материалом из керамики. Если подать на пластинку из элементов Пельтье достаточно
сильный ток, то одна её сторона нагреется, а другая охладится, а разность температур между ними может достигать нескольких десятков градусов.
холодная сторонахолодная сторона
холодная сторона
холодная сторона
проводник(медь)проводник(медь)полупроводник•
проводник(медь)
проводник(медь)
р-типа
полупроводник- 1
истина изолятор m
(керамика) сторона
Рис. 2.10. Структура модуля Пельтье — объединение большого количества парполупроводников p-и п-типа
Практика использования модулей Пельтье, применяемых в составе средств охлаждения электронных элементов, показала, что они отличаются сравнительно высокой надёжностью, и в отличие от холодильников, созданных по традиционной технологии, не имеют движущихся частей. Для увеличения эффективности своей работы они допускают каскадное использование, что позволяют довести температуру корпусов защищаемых электронных элементов до отрицательных значений даже при значительной мощности рассеяния. Однако, следует обратить на следующие особенности использования таких холодильников.
Модули Пельтье, выделяющие в процессе своей работы большое количество тепла, требуют наличия в составе охлаждающего устройства соответствующих радиаторов и вентиляторов, способных эффективно отводить избыточное тепло непосредственно от охлаждающих модулей. А так как термоэлектрические модули отличаются относительно низким коэффициентом полезного действия, то, выполняя функции теплового насоса, они сами являются мощными источниками тепла. Использование данных модулей в составе средств охлаждения электронных комплектующих компьютера вызывает значительный рост температуры внутри системного блока, что нередко требует дополнительных мер и средств для снижения температуры внутри корпуса компьютера. В противном случае повышенная температура внутри корпуса может создать трудности для работы не только для защищаемых элементов и их систем охлаждения, но и остальным компонентам компьютера. Необходимо также подчеркнуть, что модули Пельтье являются сравнительно мощной дополнительной нагрузкой для блока питания. С учё-
том значения тока потребления модулей Пельтье величина мощности блока питания компьютера должна быть не менее 250 Вт. Следует отметить, что существуют холодильники Пельтье с собственным блоком питания. Модуль Пельтье, в случае выхода его из строя, изолирует охлаждаемый элемент от радиатора (так как расположен между самим элементом и радиатором), что приводит к очень быстрому нарушению теплового режима защищаемого элемента и скорому выходу его из строя от последующего перегрева.
Низкие температуры, возникающие в процессе работы холодильников Пельтье избыточной мощности, способствуют конденсации влаги из воздуха. Это представляет опасность для электронных компонентов, так как конденсат может вызвать короткие замыкания между элементами. Для исключения данной опасности целесообразно использовать холодильники Пельтье оптимальной мощности. Возникнет конденсация или нет, зависит от нескольких параметров. Важнейшими из них являются: температура окружающей среды (в данном случае температура воздуха внутри корпуса), температура охлаждаемого объекта и влажность воздуха. Чем теплее воздух внутри корпуса и чем больше влажность, тем вероятнее произойдёт конденсация влаги и последующий выход из строя электронных элементов компьютера.
Появились сообщения об экспериментах по встраиванию миниатюрных модулей Пельтье непосредственно в микросхемы процессоров для охлаждения их наиболее критичных структур. Такое решение способствует лучшему охлаждению за счёт снижения теплового сопротивления и позволяет значительно повысить рабочую частоту и производительность процессоров. Работы в направлении совершенствования систем обеспечения оптимальных температурных режимов электронных элементов ведутся многими исследовательскими лабораториями. И системы охлаждения, предусматривающие использование термоэлектрических модулей Пельтье, считаются чрезвычайно перспективными.
Сравнение с антистоксовым охлаждением I. Рассмотрим холодильник Пельтье, состоящий из холодного (с температурой Тхол) и горячего (с температурой Тгор) спаев, к которым приложена разность потенциалов е. Последняя обеспечивает непрерывную циркуляцию носителей заряда в замкнутой цепи. Количество тепла (здесь и далее точка над буквой обозначает «в единицу времени») 9Х0Л, которое будет отнято от холодного спая при протекании через него тока I, равно
^хол^хол= STX0J -= STX0J -1 RI2 - 7ЦТгор - ТХ0Л),1 RI2 - 7ЦТгор - ТХ0Л),(2.137)(2.137)
^хол
^хол
= STX0J -
= STX0J -
1 RI2 - 7ЦТгор - ТХ0Л),
1 RI2 - 7ЦТгор - ТХ0Л),
(2.137)
(2.137)
где S,R и К — коэффициент Зеебека, сопротивление и теплопроводность спая, соответственно. Количество тепла Qrop, которое выделяется на горячем спае, равно
(2.138)(2.138)Qrop = STropI + Д2~ К(ТГор - ТХ0Л\
(2.138)
(2.138)
Разность последних двух выражений нам даёт значение мощности, которую необходимо подвести для осуществления процесса охлаждения
р = Щр - Схол = S(Trop - Тхмл + RI1. (2.139)
Теперь обратимся к оптическому твердотельному рефрижератору. Он состоит, в свою очередь, из холодного оптического материала температуры Тхол, помещённого в горячую вакуумную камеру, имеющую температуру Тгор. Однако, теперь у нас нет аналогичной электрическому току «циркуляции фотонов» по замкнутой цепи, что для эквивалентной схемы соответствует бесконечным потерям на горячем спае. Количество тепла QX(M экв, которое отнимается от образца в камере при облучении его лазерным излучением мощности Рлаз, равно
9хол экв = ЩквДкв — Н — <JeS3kb(T^ — Т^ол), (2.140) где Пэкв — коэффициент, эквивалентный коэффициенту Пельтье, Н — величина нагрева, связанного с паразитным поглощением излучения, а — постоянная Стефана-Больцмана, е — излучательная способность материала, 5ЭКВ — площадь поверхности образца, которая предполагается много меньшей, чем площадь поверхности вакуумной камеры. Поскольку образец может быть помещён в вакуумную камеру так, что практически будет отсутствовать непосредственный или опосредованные тепловой контакт между ним и камерой, то можно считать, что единственный способ обмена энергией между ними происходит посредством излучения. Таким образом, количество теплоты, которое выделяется на эквивалентном горячем спае — вакуумной камере — даётся выражением:
Qrop экв = п'кв + Н-- ^5экв(Т4ор - ТЩ, (2.141) где П'кв — коэффициент, эквивалентный коэффициенту Пельтье, соответствующий вакуумной камере как «горячему спаю», Н' — величина, отвечающая потерям на поглощение в нашем эквивалентном горячем спае, приводящим к паразитному нагреву.
Скоростные уравнения. Чтобы теперь провести сравнительный анализ качества охлаждения в режиме эффекта Пельтье с антистоксовым лазерным охлаждением, необходимо конкретизировать параметры, входящие в выражения (2.137)-(2.141). Обратимся снова к модели системы однородноуширенных трёхуровневых частиц, аналогичную рассмотренной нами в 2.3, но имеющих основное состояние 0, а возбуждённое состояние представляет собой пару уровней 1 и 2 (переходы при охлаждении такой системы показаны на рис. 1.6, а). Пусть теперь система таких частиц находится в поле фотонов с частотами, соответствующим переходам 0 1 и 0 2, а тепловое равновесие между состояниями 1 и 2 наступает практически мгновенно, как изображено на рис. 2.11
Скоростные уравнения, описывающие временную эволюцию плотностей населённостей в такой схеме переходов могут быть записаны в пренебрежении индуцированными процессами следующим образом:
= счпоЛ^ - ^4ю^1 - ^21 at= счпоЛ^ - ^4ю^1 - ^21 atЭп2dtЭп2dt= g2tiqN2 — А2оп2 + Д21= g2tiqN2 — А2оп2 + Д21П2 + Hi + ng = п,П2 + Hi + ng = п,(2.142)(2.143)(2.144)(2.142)(2.143)(2.144)где п — общая плотность населённостей, сп и од — сечения поглощения переходов 01 и 02, соответственно; TVi и N2 — световые потокифотонов частоты щ и v2, соответственно, которые распространяются строго вдоль образца (примем это за направление оси z) длиной L. Первые слагаемые в уравнениях (2.142) и (2.143) описывают оптическое поглощение на переходах 0^1 и 02,вторые — спонтанное излучение со скоростями Аю и А2о на тех же переходах, а последние слагаемые отвечают за установление квазитермодинамическо- го равновесия при температуре Т, которое устанавливается со скоростью Д21 между состояниями 2 и 1, энергетическое расщепление между которыми составляет Е2 — Е\ = ТЕГДля простоты будем считать, что спонтанное излучение происходит не изотропно во всё окружающее пространство, а так же, как и падающее излучение, имеет строгую направленность. Тогда потоки TVi и N2 можно удобно представить в виде сумм N'x + и N^ + N^, соответственно, где N- — это падающий поток фотонов лазерного излучения, a N" — поток фотонов спонтанного излучения с частотой v^ (г = 1,2). Заметим, что в экспериментах нагде п — общая плотность населённостей, сп и од — сечения поглощения переходов 01 и 02, соответственно; TVi и N2 — световые потокифотонов частоты щ и v2, соответственно, которые распространяются строго вдоль образца (примем это за направление оси z) длиной L. Первые слагаемые в уравнениях (2.142) и (2.143) описывают оптическое поглощение на переходах 0^1 и 02,вторые — спонтанное излучение со скоростями Аю и А2о на тех же переходах, а последние слагаемые отвечают за установление квазитермодинамическо- го равновесия при температуре Т, которое устанавливается со скоростью Д21 между состояниями 2 и 1, энергетическое расщепление между которыми составляет Е2 — Е\ = ТЕГДля простоты будем считать, что спонтанное излучение происходит не изотропно во всё окружающее пространство, а так же, как и падающее излучение, имеет строгую направленность. Тогда потоки TVi и N2 можно удобно представить в виде сумм N'x + и N^ + N^, соответственно, где N- — это падающий поток фотонов лазерного излучения, a N" — поток фотонов спонтанного излучения с частотой v^ (г = 1,2). Заметим, что в экспериментах наоо2121Ti2g21491Ti2g21491Рис. 2.11. Антистоксовое охлаждение в модели трёхуровневых частиц, по, пт,Рис. 2.11. Антистоксовое охлаждение в модели трёхуровневых частиц, по, пт,^о^о^о^оп2п2плотностиплотностинаселённости со-стояний 0,1 и 2;g^ gp g2 - сте-пень вырожде-ния этих состоя-нийнаселённости со-стояний 0,1 и 2;g^ gp g2 - сте-пень вырожде-ния этих состоя-ний
= счпоЛ^ - ^4ю^1 - ^21 at
= счпоЛ^ - ^4ю^1 - ^21 at
Эп2dt
Эп2dt
= g2tiqN2 — А2оп2 + Д21
= g2tiqN2 — А2оп2 + Д21
П2 + Hi + ng = п,
П2 + Hi + ng = п,
(2.142)
(2.143)
(2.144)
(2.142)
(2.143)
(2.144)
где п — общая плотность населённостей, сп и од — сечения поглощения переходов 01 и 02, соответственно; TVi и N2 — световые потоки
фотонов частоты щ и v2, соответственно, которые распространяются строго вдоль образца (примем это за направление оси z) длиной L. Первые слагаемые в уравнениях (2.142) и (2.143) описывают оптическое поглощение на переходах 0^1 и 02,
вторые — спонтанное излучение со скоростями Аю и А2о на тех же переходах, а последние слагаемые отвечают за установление квазитермодинамическо- го равновесия при температуре Т, которое устанавливается со скоростью Д21 между состояниями 2 и 1, энергетическое расщепление между которыми составляет Е2 — Е\ = ТЕГ
Для простоты будем считать, что спонтанное излучение происходит не изотропно во всё окружающее пространство, а так же, как и падающее излучение, имеет строгую направленность. Тогда потоки TVi и N2 можно удобно представить в виде сумм N'x + и N^ + N^, соответственно, где N- — это падающий поток фотонов лазерного излучения, a N" — поток фотонов спонтанного излучения с частотой v^ (г = 1,2). Заметим, что в экспериментах на
где п — общая плотность населённостей, сп и од — сечения поглощения переходов 01 и 02, соответственно; TVi и N2 — световые потоки
фотонов частоты щ и v2, соответственно, которые распространяются строго вдоль образца (примем это за направление оси z) длиной L. Первые слагаемые в уравнениях (2.142) и (2.143) описывают оптическое поглощение на переходах 0^1 и 02,
вторые — спонтанное излучение со скоростями Аю и А2о на тех же переходах, а последние слагаемые отвечают за установление квазитермодинамическо- го равновесия при температуре Т, которое устанавливается со скоростью Д21 между состояниями 2 и 1, энергетическое расщепление между которыми составляет Е2 — Е\ = ТЕГ
Для простоты будем считать, что спонтанное излучение происходит не изотропно во всё окружающее пространство, а так же, как и падающее излучение, имеет строгую направленность. Тогда потоки TVi и N2 можно удобно представить в виде сумм N'x + и N^ + N^, соответственно, где N- — это падающий поток фотонов лазерного излучения, a N" — поток фотонов спонтанного излучения с частотой v^ (г = 1,2). Заметим, что в экспериментах на
о
о
2
1
2
1
Ti2g2
1491
Ti2g2
1491
Рис. 2.11. Антистоксовое охлаждение в модели трёхуровневых частиц, по, пт,
Рис. 2.11. Антистоксовое охлаждение в модели трёхуровневых частиц, по, пт,
^о^о
^о^о
п2
п2
плотности
плотности
населённости со-стояний 0,1 и 2;g^ gp g2 - сте-пень вырожде-ния этих состоя-ний
населённости со-стояний 0,1 и 2;g^ gp g2 - сте-пень вырожде-ния этих состоя-ний
образец падает излучение лазера лишь с частотой щ (т. е. N^ = 0), но для дальнейших целей мы оставим слагаемое с N^.
При непрерывном лазерном облучении потоки TVi и N2 не зависят от времени, поэтому остаётся выписать уравнения, описывающие их пространственные изменения:
^ = -<71^7-«17,(2.145)
^ = -ст2по7 -(2.146)
^ =+(2.147)
^ = -<т2п0Х' - а2Х - 52< + Л20п2.(2.148)
Первое слагаемое в уравнениях (2.145)—(2.148) отвечает потерям в падающем излучении на возбуждение системы в состояния 1 и 2, которая затем спонтанно будет возвращаться в основное состояние 0, а второе слагаемое учитывает все остальные потери в излучении, которое поглощается системой частиц, но энергия возбуждения которых впоследствии не появляется в виде спонтанного излучения, а переходит в тепло, нагревая образец. Третье слагаемое в уравнениях (2.147) и (2.148) описывает убыль поля спонтанного излучения, которое покидает систему, не участвуя в нагреве, а четвёртый член описывает процессы спонтанного рождения фотонов с частотой щ и z/2, соответственно.
Стационарное решение. В стационарном режиме dn\/dt = = 0 и dn^/dt = 0, откуда
А п _ М^' + О + М^ + О
10 11 +ехр { —
(2.149)
л _ /ММ + Nx) + P2(N2 + N2)
20 2l + aexp{+(MXX} ’
(2.150)
где введены обозначения: Д = сг^по, 62 = ct2tiq и а = (^ioM2o(gi/g2))« В этих обозначениях систему уравнений (2.147)-(2.148) можно переписать в виде:
М. =+(2.151)
^ =-a2< + ^^ + 6i« + X),(2.152)
где at = оц + 8i + bi и b\ = Pi — bi (г = 1,2); а также
b = A b =A
1 + аехр (Ш/мТ) ’21 + exp { —(Ш/мТ)}
Два частных случая. Пусть на нашу систему падает излучение только одной частоты щ, соответствующее переходу из основного состояния 0 на низший подуровень 1 возбуждённого состояния (см. рис. 2.11). Это соответствует накачке образца, которую осуществляют в экспериментах по лазерному охлаждению и который нами уже обсуждался ранее. Тогда N^ = 0 и, проделав соответствующие вычисления, можно получить аналитическое решение уравнений (2.145), (2.146) и (2.151), (2.152):
N„ = 02+71. л 712 + 02 +72 л 722 _
0|01
.(а, + 31 - ^Dbi.(а, + 31 - ^DbiЛДО^-^'+АЦЛДО^-^'+АЦ(2.154)(2.154)
.(а, + 31 - ^D
bi
.(а, + 31 - ^D
bi
ЛДО^-^'+АЦ
ЛДО^-^'+АЦ
(2.154)
(2.154)
N£ = А^12 + А^2 + DN^e-^^2,(2.155)
D =5■(«1 + /31) - ((21 + <22)(qi + /31) + (21(22 - Ь\Ь^D =5■(«1 + /31) - ((21 + <22)(qi + /31) + (21(22 - Ь\Ь^
D =5■
(«1 + /31) - ((21 + <22)(qi + /31) + (21(22 - Ь\Ь^
D =5■
(«1 + /31) - ((21 + <22)(qi + /31) + (21(22 - Ь\Ь^
Константы Ai и А^ должны определяться из начальных условий, задаваемых для фотонных потоков спонтанного излучения N" и N^. Например, если образец облучается только лазерным излучением, то ^(0) = ^(0) = 0, и
А1 = -^L±31±A2)B±h_ n'(0),(2.156)
72 - 71
л2 = - («1 + № +7i)O + bi ^^(2.157)
72 - 71
Если процессы перепоглощения в среде отсутствуют, т. е. каждый спонтанно испущенный фотон с частотой щ и ^ сразу же покидает образец и не возвращается обратно, то нужно устремить 51 и 5^ к бесконечности (см. уравнения (2.147) и (2.148)), тогда N"^ = N^^ = 0. В противоположность этому, в условиях, когда все фотоны спонтанного излучения перепоглощаются и снова попадают в охлаждаемую среду, мы имеем 5\ = 5^ = 0.
В частном случае, когда нет процессов, приводящих к паразитному нагреву в среде (оц = с^ = 0), решения принимают вид
X' = Х(0) (1 - е"012 - Г1 -е“(61+Ь2)Щ ;(2.158)
N3 = Х0)Аг [1 -е-А.+ЫА!(2.159)
01 + 02 LJ
N£_N"N£_N"Так, для сильно протяжённых сред с длиной L, когда выполняются условия P\L >> 1 и (^i + b2)L >> 1, получаем
N£_
N"
N£_
N"
(2.160)
что и должно быть при термодинамическом равновесии.
Потоки охлаждения. Разница между потоком излучённых фотонов с частотами и z^i и потоком поглощённого излучения
фотонов с частотами щ и ^2, соответственно, позволит нам грубо определить поток охлаждения F, который можно записать как
L
F = Ш | ^bxW + N") - Ь2№ + Ns^(2.161)
о
Здесь Ш = Цн2 — их) представляет собой энергию охлаждения, в расчёте на каждый акт поглощения фотона накачки и последующего спонтанного излучения фотона. С использованием решений уравнений (2.145), (2.146) и (2.151), (2.152) и задав начальные условия, можно вместо (2.161) получать явные выражения для конкретных моделей.
В качестве примера получим результат, впервые опубликованный в работе С. Ятсива [88]. Пусть накачивающий лазер облучает образец только светом с частотой щ. Тогда N”(0) = W^O) = О, N^O) = О и Ny(0) = const. Если обратиться к ситуации, когда нет паразитного поглощения, приводящего к нагреву (ац = с^2 = 0), когда в среде нет перепоглощения спонтанно излучённых фотонов (51,^2 ос) и когда среда предполагается бесконечно длинной фхЬ, P^L ос), то легко получить
(2J62)
В случае, когда все фотоны спонтанного излучения перепоглоща- ются в среде (51 = 62 = 0), мы получаем
F = «rTi^w(2j63)
Как следствие, из полученных выражений можно заключить, что если /31 < Р2 (сечение поглощения на переходе с большей частотой U2 превышает сечение поглощения на переходе с меньшей частотой щ), то более эффективное охлаждение будет в условиях, когда в среде нет перепоглощения фотонов спонтанного излучения. Но если /31 > /З2 (сечение поглощения на переходе с большей частотой U2 меньше сечения поглощения на переходе с меньшей частотой щ), то перепоглощение фотонов спонтанного излучения приводит к более глубокому охлаждению.
Действительное же охлаждение описывается потоком Q, который равен потоку F за вычетом нагрева ТПОтери, происходящего за счёт безызлучательных переходов, и нагрева, связанного с паразитным поглощением Н;
Q = F — ТпотерИ — Н.
Последний член, очевидно, можно представить в виде:
LL
Н = И | оц (X + N”) dz + hu21+ N^) dz. (2.164)
о0
Заметим, что при грубой оценке эффективности охлаждения с помощью величины Ff^Ny^hvyY из (2.161) видно, что она зависит от отношения частот Q/2tt^i. Отсюда следует, что эффективность охлаждения должна расти с увеличением отстройки от резонанса в область длинноволнового крыла линии поглощения, т. е. с уменьшением частоты накачки щ. Однако, с другой стороны, рост многофононной релаксации и уменьшение времени спонтанного распада существенно ограничивают указанную возможность повышения эффективности охлаждения.
Эквивалентные величины. Рассмотрим толстый изотермичный спай в холодильнике Пельтье и запишем выражение для потока тепловой энергии Лолн» который проходит через слой dz:
dJnonH — о dz —dz 4" Io dz,(2.165)
е ozе ozoz
где (E) и E — средняя энергия электронов (каждый электрон несёт заряд, равный по модулю е) с учётом и без учёта тепла Джоуля-Ленца, соответственно; Iq — плотность тока, V^ — электрический потенциал:9V = -То
dz а ’
где а — электрическая проводимость. Предполагая а постоянной на протяжении всего спая, получим, что полный поток, который переносится всем спаем длиной L равен
Г2 т
= ЛолнЦ) - Лолн(О) = Пва^о -(2.166)
(7
Здесь первый член описывает эффект Пельтье, а второй — эффект джоулева нагрева. Коэффициент Пельтье для толстого спая АВ, через который течёт ток в направлении от В к А, даётся выражением
Пвд = - еПвд = - е(2.167)(2.167)Г ЭЕ ,
Пвд = - е
Пвд = - е
(2.167)
(2.167)
—- dz.
о
Какая величина при оптическом охлаждении эквивалентна плотности тока? Обратим внимание, что в электрических явлениях мы имеем дело с потоками электронов, а в оптических — с потоками фотонов. Зададим эквивалентную величину для плотности тока в явлении оптического охлаждения
/экв = е^, (2.168)
где N — общая плотность фотонов должна быть постоянной на протяжении всей охлаждаемой системы, как это имеет место для плотности электронного тока. Действительно, у электронов может изменяться только энергия, а у фотонов — только частота. В этом смысле, поглощение фотона с частотой и должно пониматься как изменение частоты
данного фотона с значения v на значение va = 0, что означает уменьшение числа фотонов с частотой v на единицу, и увеличение числа фотонов с частотой va на единицу. Таким же образом нужно учитывать вклад в общую плотность фотонов тех фотонов, которые образовались при спонтанных переходах и покинули образец. В результате, полный поток фотонов с частотой v^ (г = 1,2) на расстоянии г в образце равно
(2.169)
где N^t^ описывает фотоны, появившиеся в результате спонтанных переходов и покинувших образец. К этому теперь остаётся добавить фотоны, которые исчезают в результате паразитного поглощения (например, на неконтролируемых примесях в образце) N^(z). В итоге получаем
N = E W44 + <М + <(Ч + <Щ ■(2.170)
г=1
Используя формулы (2.161), (2.164), (2.166) и (2.167) можно получить эквиваленты для электрической проводимости сгэкв и коэффициента Пельтье Пэкв. Итак, для проводимости находим
Г2 Т
^экв =(2.171)
Интересно отметить тот факт, что величина джоулева нагрева квадратично зависит от приложенной на входе энергии (электрического тока), а при поглощении излучения накачки зависимость нагрева является линейной (если пренебречь многофононной релаксацией). Это видно из выражения (2.171), поскольку в грубом приближении Н пропорционально 1ЭКВ, и, таким образом, <7ЭКВ ~ /экв. Это обстоятельство является значительным преимуществом оптического антистоксового охлаждения в сравнении с охлаждением Пельтье.
Искомый нами эквивалент коэффициента Пельтье, который задан выражением (2.167), можно вычислить, если в качестве Е взять среднюю энергию фотонов (Еф)
- и (—mw— )+ 2I—Mw- и (—mw— )+ 2I—Mw+ hva№ + О-
- и (—mw— )+ 2I—Mw
- и (—mw— )+ 2I—Mw
(2.172)
Помня, что va = 0, из уравнений (2.145), (2.146), (2.151) и (2.152) следует, что
ЕЧ ai(N\ + N\'H+ N^V (2.173)
MW и 117 MW v 227 v '
Первый член можно соотнести с охлаждением Пельтье, тогда как второй описывает паразитный нагрев за счёт поглощения излучения
на неконтролируемых примесях и может быть соотнесён с джоулевым нагревом. Таким образом, для эквивалентного коэффициента Пельтье
находимнаходим1 Fе W)1 Fе W)LеОLеОМ + nVХ(о)М + nVХ(о)- ^2- ^2Л^2 Т -^2Л^2 Т -^2М(о)М(о)dz.dz.(2.174)(2.174)
находим
находим
1 F
е W)
1 F
е W)
L
е
О
L
е
О
М + nVХ(о)
М + nVХ(о)
- ^2
- ^2
Л^2 Т -^2
Л^2 Т -^2
М(о)
М(о)
dz.
dz.
(2.174)
(2.174)
Как видим, Пэкв не зависит от интенсивности лазерной накачки подобно тому, как коэффициент Пельтье не зависит от силы («интенсивности») электрического тока.
При лазерном охлаждении, происходящем без перепоглощения фотонов в образце и без тепловых потерь, можно использовать выражение (2.162), которое при подстановке в формулу (2.174) приводит к
ХГрх/^ехр^Ш/иТУХГрх/^ехр^Ш/иТУ(2.175)(2.175)
ХГрх/^ехр^Ш/иТУ
ХГрх/^ехр^Ш/иТУ
(2.175)
(2.175)
(2.176)(2.176)Чтобы завершить проведение аналогии между лазерным охлаждением и охлаждением Пельтье, необходимо рассмотреть ситуацию, когда направление тока (в оптическом случае это поток фотонов, а в электрическом — поток электронов) меняется с прямого на обратное. Джоулев нагрев не зависит от направления тока, а вот коэффициент Пельтье при изменении направления тока на обратный меняет свой знак [см. формулу (2.136)]. Чтобы удовлетворить этому обстоятельству, нужно наложить следующие условия:
(2.176)
(2.176)
А^прЯМ — Ябр,
L
| [Щ0ц(Мпрям + Мпрям - Мобр - Мобр) +
+ ^№рям + <прям - <бр - <бР)] ^ = 0,(2.177)
L
| [^1 (Мпрям + Мпрям + Мобр + Мобр) -
Ы^прям + <прям + <бр + <бр)]= 0.(2.178)
Величина потока в точке с координатой z линейно зависит от начального значения — от значения потока на входе с координатой 0. Поэтому в условиях постоянного тока (т. е. когда заданы А^прям(0) и А^прям(0)) эта система не может быть решена, так как она имеет всего два независимых параметра (№Хобр(0) и А^обр(0)). Поскольку оптическое поглощение в нашем рассмотрении не может быть полностью аналогично джоулеву нагреву, то уравнения (2.176) и (2.178) следует решать независимо от уравнения (2.177), которое эквивалентно описывает для оптического процесса независимость джоулева нагрева от направления
электрического тока. Это становится совершенно оправданным, когда охлаждаемый материал не имеет паразитного нагрева за счёт потерь на неконтролируемых примесях, т. е. чист.
В этом случае, лазерное охлаждения представляется таким же обратимым процессом, как и охлаждение Пельтье, учитывая смену знака эквивалентного коэффициента Пельтье при изменении падающего на образец излучения с частотой щ и ^2 ПРИ удовлетворении условий (2.176) и (2.178).
Сравнение с антистоксовым охлаждением II. Теперь мы можем вернуться к анализу выражений (2.137)-(2.141). В экспериментах по лазерному охлаждению вакуумная камера представляет собой элемент, в котором происходят только потери излучения на поглощение. Поэтому можно положить
Р\ = й = О, П'кв = 0 и a\L = a^L —► ос.
В этом случае в формуле (2.141) Н' можно представить выражением
Я' = Них^х(Ь) Р (2.179)
где Ny(L) — поток лазерного излучения, прошедший через образец, a N"(L), N^L) — потоки, описывающие фотоны спонтанного излучения, которое покинуло образец. Отметим, что в отличие от лазерного охлаждения, в холодильнике Пельтье коэффициент Пельтье на горячем спае напрямую связан с коэффициентом Пельтье на холодном спае. Если же внешнюю камер снабдить отражающим покрытием, то фотоны с частотой щ и ^ могут быть снова отправлены в образец и тогда уже Щкв + 0.
Типичные параметры для производимых коммерческих холодильников Пельтье имеют следующие значения: 8 = 4,5-2 В/К, R = 5,3 Ом, К = 0, 16 Вт/К. На рис. 2.12 представлена зависимость мощности охлаждения одноэлементного холодильника Пельтье QX(M [уравнение (2.137)] от поступающей мощности Р [уравнение (2.139)]. Кривые построены для различных разностей температур АТ = Тгор — Тхол = 0, 30 и 50 К. Эти результаты можно использовать для сравнения с качеством лазерного охлаждения различных систем. Следует заметить, что с ростом входной мощности при некотором значении Р мощность охлаждения холодильника Пельтье достигает своего максимума вследствие конкурирующих процессов: охлаждающего эффекта Пельтье (который пропорционален величине тока г) и нагревающего эффекта Джоуля- Ленца (который пропорционален квадрату величины тока г2). Как видно из рисунка, с ростом АТ мощность охлаждения падает, так как потери на тепло, связанные с прохождением тока, становятся всё больше и больше и при АТ > 66 К дальнейшего охлаждения уже достигнуть невозможно. Этот результат указывает на то, что значительного преимущества лазерных рефрижераторов следует ожидать при области больших разностей температур АТ.
Входная мощность, Вт
Рис. 2.12. Зависимость мощности охлаждения одноэлементного холодильного устройства Пельтье QXon от входной мощности Р, рассчитанная из уравнений (2.137) и (2.139). С увеличением входной мощности мощность охлаждения проходит через максимум. В режиме работы обращённой тепловой машины (ДТ = 0) мощность охлаждения в максимуме достигает 17 Вт при значении входной мощности электрического тока около 30 Вт, и эффективность охлаждения, соответственно, равна 50%. При малых значениях входной мощности эффективность оказывается больше единицы, например при F = 3 Вт она составляет 300%. С ростом ДТ мощность охлаждения падает, так как потери на тепло, связанные с прохождением тока, становятся всё больше и больше и при ДТ > 66 К дальнейшего охлаждения уже достигнуть невозможно [145]
В случае функционирования лазерных рефрижераторов можно рассчитать мощность охлаждения 9Хол экв [см. формулу (2.140)] для различных параметров, используя выражения (2.161) и (2.164). Результаты расчёта приведены на рис. 2.13. Значения параметров при расчёте были выбраны следующие: е5экв = 1 см2, T^Q = 20 мЭв, а = 0,1, P\L = 4 и 51, ^2 ос.
На рис. 2.13, а мощность охлаждения показана как функция мощности накачки с энергией фотонов hv\ = 1 эВ для интервалов температур АТ =0, 100 и 150 К. Потери на поглощение предполагались не более 1 %. Благодаря малому внутреннему нагреву и небольшим потерям на поглощение, которые линейно пропорциональны мощности лазерной накачки, оптическое охлаждение оказывается возможным для больших значений АТ. Это подтверждается уже поставленными экспериментами (см., например, [146, 147]), где продемонстрирована возможность лазерного охлаждения при температурах ниже 190 К, тогда как холодильники Пельтье уже не могут качественно функционировать при таких температурах, а обычные механико-электрические рефрижераторы становятся неудобными из-за вибраций, сопровождающих их работу. Хотя эффективность лазерного охлаждения остаётся пока невысокой, такие лазерные рефрижераторы могут использоваться для отвода небольшого количества тепла.
ааббРис. 2.13. Зависимость мощности охлаждения лазерного рефрижератора Ухол экв [см. формулу (2.140)] от мощности накачки с энергией фотонов hv\ = 1 эВ (рис. (а)) и hv\ = 0,3 эВ (рис. (б)), рассчитанная из уравнений (2.161) и (2.164). Кривые представлены для интервалов температур ДТ =0, 100 и 150 К. Потери излучения на поглощение не более 1 %. В режиме работы обращённой тепловой машины (ДТ = 0) эффективность охлаждения лазерного рефрижератора при небольших мощностях накачки никогда не сможет превысить эффективности охлаждения холодильника Пельтье. Преимущество лазерных рефрижераторов обнаруживаются с ростом ДТ, начиная от значения ДТ = 60 К, при котором одноэлементный холодильник Пельтье уже практически не функционирует [145]Рис. 2.13. Зависимость мощности охлаждения лазерного рефрижератора Ухол экв [см. формулу (2.140)] от мощности накачки с энергией фотонов hv\ = 1 эВ (рис. (а)) и hv\ = 0,3 эВ (рис. (б)), рассчитанная из уравнений (2.161) и (2.164). Кривые представлены для интервалов температур ДТ =0, 100 и 150 К. Потери излучения на поглощение не более 1 %. В режиме работы обращённой тепловой машины (ДТ = 0) эффективность охлаждения лазерного рефрижератора при небольших мощностях накачки никогда не сможет превысить эффективности охлаждения холодильника Пельтье. Преимущество лазерных рефрижераторов обнаруживаются с ростом ДТ, начиная от значения ДТ = 60 К, при котором одноэлементный холодильник Пельтье уже практически не функционирует [145]
а
а
б
б
Рис. 2.13. Зависимость мощности охлаждения лазерного рефрижератора Ухол экв [см. формулу (2.140)] от мощности накачки с энергией фотонов hv\ = 1 эВ (рис. (а)) и hv\ = 0,3 эВ (рис. (б)), рассчитанная из уравнений (2.161) и (2.164). Кривые представлены для интервалов температур ДТ =0, 100 и 150 К. Потери излучения на поглощение не более 1 %. В режиме работы обращённой тепловой машины (ДТ = 0) эффективность охлаждения лазерного рефрижератора при небольших мощностях накачки никогда не сможет превысить эффективности охлаждения холодильника Пельтье. Преимущество лазерных рефрижераторов обнаруживаются с ростом ДТ, начиная от значения ДТ = 60 К, при котором одноэлементный холодильник Пельтье уже практически не функционирует [145]
Рис. 2.13. Зависимость мощности охлаждения лазерного рефрижератора Ухол экв [см. формулу (2.140)] от мощности накачки с энергией фотонов hv\ = 1 эВ (рис. (а)) и hv\ = 0,3 эВ (рис. (б)), рассчитанная из уравнений (2.161) и (2.164). Кривые представлены для интервалов температур ДТ =0, 100 и 150 К. Потери излучения на поглощение не более 1 %. В режиме работы обращённой тепловой машины (ДТ = 0) эффективность охлаждения лазерного рефрижератора при небольших мощностях накачки никогда не сможет превысить эффективности охлаждения холодильника Пельтье. Преимущество лазерных рефрижераторов обнаруживаются с ростом ДТ, начиная от значения ДТ = 60 К, при котором одноэлементный холодильник Пельтье уже практически не функционирует [145]
Низкая эффективность лазерного охлаждения может быть обусловлена малой отстройкой в длинноволновую области линии поглощения, так, для hv\ = 1 эВ отношение £2/2тгщ = 2 • 10-2. Если уменьшить частоту накачки, то при высокой эффективности спонтанной эмиссии можно ожидать увеличения степени охлаждения. На рис. 2.13, б видно, к каким изменением привела замена частоты накачки — расчёты сделаны при тех же значениях параметров, что и на рис. 2.13, а, но частота падающего излучения hv\ = 0,3 эВ (это соответствует длине волны около 4 мкм). Кривые 1, 2 и 3 относятся к АТ = 0, 150 и 225 К, соответственно. Преимущество лазерных рефрижераторов обнаруживаются с ростом АТ, начиная от значения АТ = 60 К, при котором одноэлементный холодильник Пельтье уже практически не функционирует.
Итак, сравнение качества охлаждения холодильника Пельтье и лазерного твердотельного рефрижератора позволило авторам работы [145] провести интересную аналогию между охлаждением Пельтье и оптическим антистоксовым охлаждением и найти эквивалентные выражения для коэффициента Пельтье в обоих процессах. Оказалось, что при лазерном охлаждении эквивалентный коэффициент Пэкв из формулы (2.174) тоже зависит от температуры, но по своей величине меньше, чем коэффициент Пельтье Щв, который прямо пропорциона-
лен температуре (см. формулу (2.135). Но несмотря на это, лазерное охлаждение остаётся в выигрыше благодаря тому, что при поглощении излучения накачки величина нагрева пропорциональна интенсивности накачки, тогда как джоулев нагрев в холодильнике Пельтье пропорционален квадрату силы тока. При работе в обращённом режиме тепловой машины (АТ = 0) и при небольшом охлаждении (когда АТ < 60 К) холодильники Пельтье могут оказаться более выгодными, чем лазерные рефрижераторы, но для более глубокого охлаждения последние оказываются в выигрыше, так как разогрев холодильника Пельтье начинает доминировать над его охлаждающим действием и его эффективность резко падает. Эффективность охлаждения лазерных рефрижераторов с понижением температуры остаётся достаточной для качественного охлаждения: необходимо лишь подобрать соответствующий материал, чтобы при низких температурах можно было использовать другие (меньшие) энергетические расщепления (например, зеемановские подуровни, см. 2.4), связанные с фононным резервуаром при температуре окружения хТ.
Глава 3
ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯИ ОГРАНИЧЕНИЯ ФУНДАМЕНТАЛЬНОГОХАРАКТЕРА
Методика Лос-Аламосского эксперимента
История вопроса. Впервые об экспериментальном наблюдении флуоресцентного охлаждения твердотельного образца было сообщено в работе [6] в 1995 году. Ионы трёхвалентного иттербия, которые были внедрены в тяжелометаллическое флюридное стекло, облучались светом близкого инфракрасного диапазона с длиной волны порядка ~1 мкм. В первоначальных экспериментах температура опускалась на 0,3 градуса от комнатной, а измерения проводились для образца объёмом 43 мм3, представляющего из себя прямоугольный параллелепипед. В последующих экспериментах [7], которое проводились для легированного оптоволокна диаметром 250 мкм, было обнаружено уменьшение температуры на 16 градусов от комнатной. Спектроскопические измерения этих исследователей показали, что относительные эффективности охлаждения, которые наблюдались в этих экспериментах при комнатной температуре, должны быть получены и при температурах жидкого азота [8, 9].
Исторически до этих экспериментов имели место ещё две других попытки охлаждения лазерным излучением твердотельных образцов. Однако, в обоих экспериментах паразитные процессы, приводящие к нагреванию, преобладали над охлаждающим эффектом и, в итоге, охлаждение не было наблюдено. Например, в 1968 году большой кристалл YAG:Nd3+ был помещён в 1,064 мкм лазерный резонатор, содержащий такой же, предварительно независимо возбуждённый искровой лампой, кристалл YAG:Nd3+ [46]. Предположительно, наличие в кристалле остаточного числа примесей, таких как Dy3+, которые очень трудно химически отделить от Nd3+, и явилось ответственным за нагревание образца в целом.
Не так давно наметился обнадёживающий прогресс в решении задачи оптического охлаждения тонкого слоя GaAs [52]. К сожале-
нию, большой коэффициент отражения этого материала способствовал задержке фотонов люминесценции внутри образца, увеличивая, таким образом, вероятность процессов перепоглощения и последующего безызлучательного распада с нагреванием. Между тем, постоянно неослабевающий интерес в применении полупроводниковых приборов в оптоэлектронной промышленности должен привести к дальнейшему прогрессу в этой области лазерного охлаждения.
Наблюдение антистоксова охлаждения молекул газа и жидкостей также оказалось небезуспешным. В 1981 году диоксид углерода, находящийся под низким давлением, был лазерно охлаждён с 600 К до 599 К [5]. Эксперимент проводился при оптической накачке 10,6 мкм СО2 лазером. В процессе охлаждения принимали участие переходы между симметричным и антисимметричным вибрационными состояниями. Ввиду переходов с излучательной релаксацией антисимметричной моды в основное колебательное состояние, которые были весьма вероятны, термическая населённость опустошённой основной симметричной моды, поддерживаемой некоторым запасом газа Хе, охлаждала смесь СО2-Хе.
Две европейские группы исследователей оптическим способом при комнатной температуре охлаждали лазерные красители, растворённые в этаноле. В 1995 году К. Зандер и К. Дрексхадж [44] для наблюдения перехода от нагрева к охлаждению раствора родамина 6G применили технологию фототермических линз. Они, однако, не предприняли попытки измерить, насколько в целом охладился образец. Это было сделано годом позже в эксперименте по охлаждению раствора родамина-101, поставленном исследователями Дж. Кларк и Дж. Рум- блесом [45]. Изменение температуры раствора родамина-101 в целом составило 3 градуса.
Таким образом, антистоксовое охлаждение материалов является областью активного экспериментального исследования и изучения. Более того, эта тема разработок представляет собой изобильную почву для физиков-теоретиков, интересующихся взаимодействием между светом и веществом.
Эксперимент. Воспользуемся описанием этого эксперимента, изложенным в обзоре [19]. В качестве рабочего иона служил редкоземельный трёхвалентный ион иттербия Yb3+. Впервые на эффективность использования редкоземельных ионов в процессе лазерного охлаждения обратил внимание А. Кастлер [73].
Авторы обзора [19] считают, что ион трёхвалентного иттербия является идеальным примесным центром для реализации антистоксового режима лазерного охлаждения. Схема энергетических уровней этого иона в стекле ZBLANP приведена на рис. 3.1. Основное энергетическое состояние 2Ау/2 является квартетом дважды вырожденных состояний, так называемых крамерсовых дублетов, а возбуждённое состояние 2А5/2, расположенное выше примерно на 1,3 эВ, — триплетом таких же
2 г 10674- ^5/2 10408102612 г 10674- ^5/2 10408102612’ 1’ О’2’ 1’ О’975 нм975 нм466-2F7/2310-7/2 78-466-2F7/2310-7/2 78-3 21 О3 21 ОДлина волны, нмДлина волны, нмРис. 3.1. Слева: схема рабочих энергетических уровней иона трёхвалентного иттербия в стекле ZBLANP:Yb3+; справа: коэффициент поглощения, выраженный в обратных сантиметрах, (вверху) и спектр флуоресценции в относительных единицах (внизу) для легированного стекла ZBLANP:Yb3+ с концентрацией ионов иттербия, равной 1 вес. % [19]
2 г 10674- ^5/2 10408
10261
2 г 10674- ^5/2 10408
10261
2’ 1’ О’
2’ 1’ О’
975 нм
975 нм
466-
2F7/2310-
7/2 78-
466-
2F7/2310-
7/2 78-
3 2
1 О
3 2
1 О
Длина волны, нм
Длина волны, нм
состояний. Время радиационной релаксации из возбуждённого состояния 7”д не короче 10-2 4- 10-3 с.
Оптические спектры поглощения и антистоксовой флуоресценции образца ZBLANP:Yb3+ (1 вес. %), снятые практически одновременно при комнатной температуре авторами работы [6], приведены на
рис. 3.1, а, б. На рис. 3.2 обозначена длина волны Хр (равная 995 нм), соответствующая средней энергии флуоресцентных фотонов.
В работе [6] был поставлен эксперимент по обнаружению лазерного охлаждения в этом твердотельном образце. На рис. 3.3 приведена блок-схема экспериментальной установки 9, заимствованная из обзора [19].
Роль накачки выполняло излучение непрерывного титан-сапфи- рового лазера, длина волны которого могла быть перестроена в интервале 950 — 1050 нм. Это излучение фокусировалось линзой на хорошо отполированный образец ZBLANP:Yb3+ (1 вес. %) с линей-
Сечение процесса, 10 20 см2Сечение процесса, 10 20 см2Длина волны, нмДлина волны, нмРис. 3.2. Сечения поглощения (сплошная линия) и флуоресценции (пунктирная линия) ионов трёхвалентного иттербия в тяжелометаллическом стекле ZBLANP [6]Рис. 3.2. Сечения поглощения (сплошная линия) и флуоресценции (пунктирная линия) ионов трёхвалентного иттербия в тяжелометаллическом стекле ZBLANP [6]Такая установка впервые была создана В. Б. Джексоном с коллегами и
Сечение процесса, 10 20 см2
Сечение процесса, 10 20 см2
Длина волны, нм
Длина волны, нм
Рис. 3.2. Сечения поглощения (сплошная линия) и флуоресценции (пунктирная линия) ионов трёхвалентного иттербия в тяжелометаллическом стекле ZBLANP [6]
Рис. 3.2. Сечения поглощения (сплошная линия) и флуоресценции (пунктирная линия) ионов трёхвалентного иттербия в тяжелометаллическом стекле ZBLANP [6]
была названа спектрометром на основе фототермического отклонения [138].
ными размерами 2,5 х 2,5 х 6,9 мм и полным объёмом 43 мм3. Подача излучения накачки на образец при необходимости могла отсекаться с помощью затвора. Излучение накачки вызывало появления в образце процесса антистоксовой флуоресценции, уносившей из образца энергию фононов, в результате чего он охлаждался. Важно было зафиксировать экспериментально даже малое изменение температуры образца. Для этого использовался высокочувствительный метод фототермиче- ских отклонений, наиболее надёжно реализованный в работе [139]. Суть метода состоит в том, что даже малое изменение температуры (например, оптически тонких образцов с небольшим коэффициентом поглощения) приводит к появлению градиента показателя преломления (ассоциируемого авторами работы [139] с тепловой «линзой»). Поэтому поданный на образец луч, например, гелий-неонового лазера будет отклоняться от своего прежнего направления, а величина этого отклонения напрямую связана с изменением температуры. В установке, представленной на рис. 3.3, луч гелий-неонового лазера был направлен противоположно лучу накачки. Отклонённый луч фиксировался позиционно-чувствительным детектором, запущенным от излучения накачки. Затем сигнал с этого детектора через усилитель направлялся
Рис. 3.3. Блок-схема экспериментальной установки по обнаружению лазерного охлаждения образца ZBLANP:Yb3+ [19]
на осциллограф. На экране этого осциллографа наблюдается быстрый рост отклонения зондирующего луча и удержание этого отклонения в течение интервала срабатывания затвора (примерно около секунды), после чего оно становилось нулевым. Эта картина наблюдалась при различных длинах волн и было установлено, что уже на длинах волн 995 нм и выше происходит смена фазы на 180° наблюдаемых сигналов, которая указывает на переход от режима нагрева к режиму охлаждения образца. Ситуация пояснена на рис. 3.4.
Каждый флуоресцентный фотон несёт в себе и тепловую энергию, равную разности энергии фотона накачки и средней энергии флуоресцентного фотона. Как было показано в (1.52), мощность РОхлШ>
потраченная на охлаждение, пропорциональна поглощённой мощности накачки РПОгл(А) и усреднённой разности вышеупомянутых энергий:
РохЛ(А) = Вюгл(А)^^, (3.1)
где А — длина волны накачки; Хр — длина волны, отвечающая средней энергии флуоресцентного фотона hc/Xp.
Относительная эффективность
Рис. 3.4. Усреднённые сигналы отклонения зондирующего луча, наблюдаемые на осциллографе для двух значений длины волн (980 нм и 1010 нм) накачки образца ZBLANP:Yb3+ [19]Рис. 3.4. Усреднённые сигналы отклонения зондирующего луча, наблюдаемые на осциллографе для двух значений длины волн (980 нм и 1010 нм) накачки образца ZBLANP:Yb3+ [19]охлаждения р определяется следующим образом:
Рис. 3.4. Усреднённые сигналы отклонения зондирующего луча, наблюдаемые на осциллографе для двух значений длины волн (980 нм и 1010 нм) накачки образца ZBLANP:Yb3+ [19]
Рис. 3.4. Усреднённые сигналы отклонения зондирующего луча, наблюдаемые на осциллографе для двух значений длины волн (980 нм и 1010 нм) накачки образца ZBLANP:Yb3+ [19]
%хЛ = ^ =(3.2)
1 поглАр
Поскольку Рохл пропорциональна амплитуде отклонения луча на ос-
^7охл^7охлАА(3.3)(3.3)циллографе, то выражение для относительной эффективности охлаждения р0ХЛ приобретает вид
^7охл
^7охл
А
А
(3.3)
(3.3)
где А — амплитуда отклонения на осциллографе в милливольтах;где А — амплитуда отклонения на осциллографе в милливольтах;Эффективность охлаждения, %Эффективность охлаждения, %Рис. 3.5. Экспериментальная зависимость Рохл/Аогл ОТ ДЛИНЫ ВОЛРис. 3.5. Экспериментальная зависимость Рохл/Аогл ОТ ДЛИНЫ ВОЛНЫ А при температуре 300 К [19]НЫ А при температуре 300 К [19]
где А — амплитуда отклонения на осциллографе в милливольтах;
где А — амплитуда отклонения на осциллографе в милливольтах;
Эффективность охлаждения, %
Эффективность охлаждения, %
Рис. 3.5. Экспериментальная зависимость Рохл/Аогл ОТ ДЛИНЫ ВОЛ
Рис. 3.5. Экспериментальная зависимость Рохл/Аогл ОТ ДЛИНЫ ВОЛ
НЫ А при температуре 300 К [19]
НЫ А при температуре 300 К [19]
Рнак — мощность накачки; а — коэффициент поглощения; L — длина образца.
Экспериментально снятая зависимость р0ХЛ от длины волны накачки А приведена на рис. 3.5. На этом рисунке сплошная линия соответствует формуле (3.3) и, по-существу, является теоретической зависимостью рохл(Х). Кружочки отражают результаты эксперимента. На рис. 3.5 можно видеть, что до длины волны 995 нм параметр рохл отрицателен, и, по-существу, левый участок кривой соответствует режиму нагрева образца. И только верхняя правая часть этой зависимости после А = 995 нм соответствует режи-
му охлаждения. Эта часть кривой отвечает экспериментально измеренной эффективности охлаждения, равной 2%. Дополнительный кон
троль температуры проводился с помощью инфракрасной камеры.
Теперь остановимся на экспериментальной установке Тимоти Госнелла по лазерному охлаждению образца ZBLANP:Yb3+ (1 вес. %)
Рис. 3.6. Блок-схема установки Т. Госнелла по лазерному охлаждению ZBLANP:Yb3+ [15]: ТСЛ — титан-сапфиро- вый лазер; МСВ — многомодовое световолокно; ВК — ваку- умизированная камера; МО — микроскопические объективы; ФСЛ — флуоресцентное световолокно; CCD-cn — CCD-спек- трофграф; ВЭО — высокоэффективный отражатель; справа сверху пояснён способ фиксации и удержания образца Обр в камереРис. 3.6. Блок-схема установки Т. Госнелла по лазерному охлаждению ZBLANP:Yb3+ [15]: ТСЛ — титан-сапфиро- вый лазер; МСВ — многомодовое световолокно; ВК — ваку- умизированная камера; МО — микроскопические объективы; ФСЛ — флуоресцентное световолокно; CCD-cn — CCD-спек- трофграф; ВЭО — высокоэффективный отражатель; справа сверху пояснён способ фиксации и удержания образца Обр в камерена 65°, начиная от комнатной температуры [15]. Она приведена на рис. 3.6.
Рис. 3.6. Блок-схема установки Т. Госнелла по лазерному охлаждению ZBLANP:Yb3+ [15]: ТСЛ — титан-сапфиро- вый лазер; МСВ — многомодовое световолокно; ВК — ваку- умизированная камера; МО — микроскопические объективы; ФСЛ — флуоресцентное световолокно; CCD-cn — CCD-спек- трофграф; ВЭО — высокоэффективный отражатель; справа сверху пояснён способ фиксации и удержания образца Обр в камере
Рис. 3.6. Блок-схема установки Т. Госнелла по лазерному охлаждению ZBLANP:Yb3+ [15]: ТСЛ — титан-сапфиро- вый лазер; МСВ — многомодовое световолокно; ВК — ваку- умизированная камера; МО — микроскопические объективы; ФСЛ — флуоресцентное световолокно; CCD-cn — CCD-спек- трофграф; ВЭО — высокоэффективный отражатель; справа сверху пояснён способ фиксации и удержания образца Обр в камере
Образец ZBLANP:Yb3+ представлял собой полый цилиндр из стекловолокна диаметром 250 микрон (при диаметре его сердцевины 170 мкм) и длиной 7 мм. Он удерживался и фиксировался на специальной подставке. Излучение накачки создавалось с помощью непрерывного титан-сапфирового лазера мощностью 2,2 Вт на длине волны 1015 нм. Оно распространялось по многомодовому кремниевому световолокну к вакуумизированной камере, а затем с помощью миниатюрной линзы направлялось через окно камеры к микроскопическому объективу, фокус которого точно соответствует местоположению переднего торца образца. Пройдя образец, излучение накачки проходит через второй микрообъектив и отражается от высокоэффективного зеркала, а затем вновь направляется в образец, охлаждая его. Излучение антистоксовой флуоресценции контролировалось с помощью CCD-спектрографа.
Достигнутая в эксперименте температура охлаждения (по отношению к комнатной) определялась методом бесконтактной термометрии. Она составила 65 °C.
Первые разработки твердотельного лазерногорефрижератора
Остановимся вкратце на первых разработках твердотельного лазерного рефрижератора [17], известного как LASSOR (Los Alamos Solis-State Optical Refrigerator). Общий вид его приведён на общей художественной вклейке этой монографии, где видно, что лазерный рефрижератор LASSOR включает в себя охлаждающую камеру с хладагентом (например, тяжелометаллическим стеклом ZBLANP:Yb3+ с концентрацией иттербия 2 вес. %) и систему возбуждения, состоящую
из иттербиевого волоконного лазера, накачиваемого высокоэффективным непрерывным диодным лазером. Возбуждающее излучение доставляется к охлаждающей камере с помощью световолокна. По оценкам разработчиков LASSORa, для получения 0,5 Вт мощности охлаждения хладагента до 77 ° К необходима мощность возбуждения (накачки) на длине волны 1020 нм около 20 Вт. В принципе, это будет соответствовать эффективности охлаждения, равной 1 %.
Большое значение придаётся конструкции охлаждающей камеры, которая в идеале должна гарантировать флуоресценцию хладагента в антистоксовом режиме как абсолютно чёрного тела, для которого мощность охлаждения может быть рассчитана по формуле
Ро„ = - Т^ (3.4)
где а — постоянная Стефана-Больцмана, А — площадь поверхности хладагента, TV — температура вакуумизированной камеры, ТОб — температура хладагента. Теперь обратимся к конструкции этой камеры. Она изображена на рис. 3.7. Разумеется, основным её элементом
накачка
Рис. 3.7. Схематическое изображение вакуумизированной охлаждающей камеры [17] (см. также http://nis-www.lanl.gov/~edwards/cooling.html)
является хладагент (ZBLANP:Yb3+) в форме цилиндра (диаметром 3 см и весом 80 грамм), на торцах которого расположены высококачественные прозрачные диэлектрические зеркала, способные отражать 99,97% падающего света в пределах угла к нормали, равного 30°. Другим важным элементом камеры является «холодный палец», который непосредственно контактирует с устройством (например, с носи-
телем информации процессора), которое пользователь намерен охладить. Нижняя часть этого «пальца» покрыта металлическим зеркалом, предохраняющим его от любого радиационного нагрева в камере. Контакт «холодного пальца» и хладагента осуществляется через прозрачный тепловой связывающий элемент. Очень важной частью камеры является её термо- и светозащита. Она наглядно видна на рис. 3.8,
Рис. 3.8. «Разрез» верхней части охлаждающей камеры в районе «холодного пальца» [17]Рис. 3.8. «Разрез» верхней части охлаждающей камеры в районе «холодного пальца» [17]
Рис. 3.8. «Разрез» верхней части охлаждающей камеры в районе «холодного пальца» [17]
Рис. 3.8. «Разрез» верхней части охлаждающей камеры в районе «холодного пальца» [17]
Мощность охлажденияМощность накачкиМощность охлажденияМощность накачкиРис. 3.9. Эффективность охлаждения как функция температуры при 5-метровом и 25-метровом проходе через хладагент ZBLANP:Yb3+ (2 вес. %). На этом рисунке особо выделен случай азотной температуры (77 ° К) [17]. Пунктирная кривая соответствует термодинамическому пределу для эффективности охлаждения тех рефрижераторов, которые используют в качестве холодильной подсистемы ионы иттербияРис. 3.9. Эффективность охлаждения как функция температуры при 5-метровом и 25-метровом проходе через хладагент ZBLANP:Yb3+ (2 вес. %). На этом рисунке особо выделен случай азотной температуры (77 ° К) [17]. Пунктирная кривая соответствует термодинамическому пределу для эффективности охлаждения тех рефрижераторов, которые используют в качестве холодильной подсистемы ионы иттербия
Мощность охлаждения
Мощность накачки
Мощность охлаждения
Мощность накачки
Рис. 3.9. Эффективность охлаждения как функция температуры при 5-метровом и 25-метровом проходе через хладагент ZBLANP:Yb3+ (2 вес. %). На этом рисунке особо выделен случай азотной температуры (77 ° К) [17]. Пунктирная кривая соответствует термодинамическому пределу для эффективности охлаждения тех рефрижераторов, которые используют в качестве холодильной подсистемы ионы иттербия
Рис. 3.9. Эффективность охлаждения как функция температуры при 5-метровом и 25-метровом проходе через хладагент ZBLANP:Yb3+ (2 вес. %). На этом рисунке особо выделен случай азотной температуры (77 ° К) [17]. Пунктирная кривая соответствует термодинамическому пределу для эффективности охлаждения тех рефрижераторов, которые используют в качестве холодильной подсистемы ионы иттербия
изображающем «разрез» конструкции в районе «холодного пальца». Разработчики рефрижератора LASSOR говорят о тройной (и более высокой) защите хладагента и «холодного пальца» кремниевым стеклом, покрытым плёнкой титаниевого диоксида (толщиной 8-13 мкм). Очень
важной является защита входа лазерного накачивающего излучения. Экспериментально установлено, что диаметр этого входного отверстия (равный 0,1 мм) должен быть не менее чем в 30 раз меньше диаметра диэлектрического зеркала. Накачивающее лазерное излучение направляется перпендикулярно этому зеркалу, а затем многократно (в различных направлениях) проходит через хладагент, возбуждая ионы Yb3+. В результате многоходового прохождения через хладагент «накачивающий свет» покрывает многометровые расстояния. Как следствие, растёт эффективность охлаждения, о чём свидетельствует её зависимость от температуры, приведённая на рис. 3.9. Отметим, что повышение эффективности охлаждения за счёт многоходового прохождения света практикуется также и в более поздних разработках
твердотельных лазерных рефрижераторов с хладагентом на основе примесных кристаллов типа YAG:Tm3+. Но при этом используется эффект полного внутреннего отражения, о чём свидетельствует одна из фотографий на художественной вклейке монографии.
Рис. 3.10. Диаграмма энергетических уровней ряда редкоземельных ионов, пригодных для легирования хладагента [17] (см. также http://nis-www.lanl.gov/~edwards/cooling.html)
Очень большое значение придаётся подбору рабочего иона хладагента. При этом принципиально важно, чтобы на «охлаждающем» переходе не было промежуточных энергетических уровней, через которые может осуществляться неконтролируемая термализация поглощённой энергии с выделением большого числа фононов, т. е. с нагревом хладагента. Ситуация пояснена на рис. 3.2 (а также на художественной вклейке книги).
И, наконец, очень важна чистота приготовления самого хладагента. Он должен быть свободен от наличия таких «вредных» примесей как Ец3+, Dy3+, Sm3+, Ее3+ (и других), присутствие которых приводит к нагреву хладагента. Разумеется, огромную роль играет материал самого хладагента, что следует учитывать при дополнительном легировании носителя информации процессоров или активных элементов лазеров ионами Yb3+. Это вопрос ещё будет обсуждаться в 5.5. В заключение параграфа отметим, что разработчики рефрижератора LASSOR планируют достичь с помощью него температуры жидкого азота (77 °К) при мощности охлаждения 0,5 Вт и при эффективности охлаждения 1 %, а общий вес LASSORa не будет превышать 1,5 кг.
К настоящему времени достигнут существенный прогресс в разработках твердотельных лазерных рефрижераторов, о чём свидетельству-
ют материалы докладов, сделанных на 3-й ежегодной конференции по лазерному охлаждению твёрдых тел (16.04.2004, г. Альбукерке, США). Наиболее интересные фрагменты из этих разработок приведены на художественной вклейке данной книги.
Обобщённая холодильная машина
На рис. 3.11 обобщённо показан процесс охлаждения. Со «входа» поток входящей энергии со скоростью Ер и соответствующий ей поток энтропии со скоростью Sp поступают в преобразователь, находящийся при температуре Т. Пусть некий процесс приводит к оттоку тепла со скоростью Qc от резервуара, имеющего меньшую температуру Тс. В результате холодильник должен отдавать часть энергии и энтропии со скоростью Ен и 8н, соответственно, во внешний резервуар, который назовём «выходом». По аналогии с работой [69], мы рассматриваем источник накачки как нечто более общее, чем производитель работы, а внешний резервуар — как нечто более общее, чем просто поглотитель тепла. Таким образом, всегда, как только рассмотрение затрагивает «вход» или «выход», главной величиной будем считать поток энтропии, а не термодинамическую температуру. Именно это
Рис. 3.11. Блок-схема холодильной машины. Холодильник работает при температуре Т. Необратимое производство энтропии составляет SgРис. 3.11. Блок-схема холодильной машины. Холодильник работает при температуре Т. Необратимое производство энтропии составляет Sgобобщение делает возможным проводить термодинамический анализ, в который включается возможность накачки и оттока тепла в форме электромагнитного излучения. Возвращаясь к рис. 3.11 заметим, что в конвертере происходит накопление энергии и энтропии со скоростями Е и S, соответственно, а за счёт внутренних необратимых процессов конвертер производит энтропию со скоростью Sg.
Рис. 3.11. Блок-схема холодильной машины. Холодильник работает при температуре Т. Необратимое производство энтропии составляет Sg
Рис. 3.11. Блок-схема холодильной машины. Холодильник работает при температуре Т. Необратимое производство энтропии составляет Sg
Согласно данным определениям должны удовлетворяться следующие соотношения:
Ё — Ёр + Qc — Ён(3.5)
s = Sp + ^ - Sh + Sg.(3.6)
В последнем уравнении величина Sg выражает скорость необратимого производства энтропии на произвольном этапе. В нашем случае, относящемся к оптике, таким процессом, например, может быть безызлучательная релаксация внутри конвертера (другими словами, необ-
ратимое поглощение излучения накачки лазера), а также излучение в окружающую среду, сопровождающееся спектральным уширением и распространением в развёрнутый телесный угол. Таким образом, в случае полностью обратимого рефрижератора, мы имеем Sg = 0. Предполагая, что конвертер функционирует в стационарном режиме (Е = S = 0), уравнения (3.5) и (3.6) могут быть использованы для получения коэффициента полезного действия такого рефрижератора:
откудаоткудаEh J гр Six, гр Sp p Sg ЁрEh J гр Six, гр Sp p Sg ЁрЁр ЁрЁр ЁрЁрЁр„ =Qs =11 Ёр1 - T/TFh„ =Qs =11 Ёр1 - T/TFh(3.7)(3.8)(3.7)(3.8)
откуда
откуда
Eh J гр Six, гр Sp p Sg Ёр
Eh J гр Six, гр Sp p Sg Ёр
Ёр Ёр
Ёр Ёр
Ёр
Ёр
„ =Qs =
11 Ёр1 - T/TFh
„ =Qs =
11 Ёр1 - T/TFh
(3.7)
(3.8)
(3.7)
(3.8)
где Tpp = Ёр/Sp и Tph = Ёк/Sh математические выражения для температур потоков энергии и энтропии. Их введение обусловлено желанием получить в нашем обобщённом анализе выражения для коэффициента полезного действия в виде, подобном известным формулам Карно. Так, из (3.8) можно получить максимальный КПД обратимой холодильной машины (Sg = 0) и он имеет следующий вид:
обр _ Т(1 - TFJTFp)обр _ Т(1 - TFJTFp)(3.9)(3.9)
обр _ Т(1 - TFJTFp)
обр _ Т(1 - TFJTFp)
(3.9)
(3.9)
Пусть оптическая накачка представляет собой «тепловую баню» О, которая обменивается энергией Ер = hvoi с рефрижератором только посредством 0 1 перехода (см. рис. 1.4). Так как в этом процессе участвуют только уровни 0 и 1, то населённости этих уровней тц и по определяются температурой Toi, и, если она равна температуре тепловой бани Тр, то обмен энергией между этими двумя системами будет обратимым. Таким образом, получаем
= т='= ~ хЛ&У(310)
Аналогично, представим себе внешний резервуар обменивающимся энергией с нашим рефрижератором только посредством перехода 2^0. Тогда, соответственно,
m _ m _(^21 + Ер)/усН 1 П
02 М1/хТс-1п(щ/п0)'’
Наше представление о накачке и внешнем резервуаре в виде «тепловых бань» приводит к тому, что «потоковая» и термодинамическая тем-
9 Например, это может быть смоделировано как ансамбль гармонических осцилляторов, резонансная частота которых близка к частоте энергетического перехода 0 —> 1.
5 С. В. Петрушкин, В. В. Самарцев
пературы перестают различаться, и, поэтому, уравнение (3.9) можно переписать в виде
обр _ Тс(1 — Th/Tp)
- Th-Tc ■
Подставляя сюда выражения для Тр и Т^ из выражений (3.10) и (3.11), получаем
Обр = /2^21 =(313)
Действительно, в обратимом процессе количество теплоты, равное по величине ^21, можно отнять от холодного резервуара только при поступлении извне необходимой энергии Ер = huQ\ (ср. (3.13) с формулой (1.45)). Заметим, что результат (3.13) получен в приближении, когда мы пренебрегли возможным вкладом в охлаждение за счёт уширения линии перехода. Простым примером для демонстрации механизма охлаждения за счёт уширения линии перехода может служить подсистема двухуровневых примесей, возбуждённое состояние которых имеет однородное уширение. В этом случае, оптическая накачка узкополосным излучением с частотой, немногим меньшей центральной частоты перехода, приведёт к охлаждению кристаллической решётки за счёт имеющегося неупругого столкновения электронного возбуждения с фононами.
Минимальная температура
Первоначальная оценка минимальной температуры, до которой может быть охлаждено твёрдое тело посредством антистоксовой флуоресценции, можно сделать исходя из баланса скорости получения теплоты, которое образуется посредством безызлучательных механизмов, и температурозависимой мощностью охлаждения, предсказываемой анализом выбранной модели. Поставив перед собой такую цель, будем считать, что рассматриваемая нами выше трёхуровневая модель может использоваться для охлаждения при любых температурах и, кроме того, что переходы, не сопровождающиеся излучением фотона, не вносят вклада в нагрев матрицы образца. Вместо этого будем считать, что за тепло, которое присутствует в холодильной машине при низких температурах, целиком ответственны те неустранимые неупругие оптические процессы, которые присущи чистому (нелегированному) твердотельному образцу.
Основные механизмы [140], на которые мы укажем здесь, следующие:
многофононное поглощение, которое ответственно за оптические потери в матрице в длинноволновой части окна поглощения;
непрямое электронное межзонное поглощение (известное как край Урбаха\ которое ответственно за потери в коротковолновой области;
рамановское рассеяние на решётке, которое ответственно за все остальные неупругие явления рассеяния света (такие как рассеяние Мандельштама-Бриллюэна).
Экситонные переходы, эффекты внутреннего электронного или многофононного поглощения на примесях, поглощение на свободных
носителях — эти механизмы рассматриваются нами как малозначительные или весьма ограниченные в интересующем нас диапазоне частот, чтобы вносить заметный вклад в выделение тепла.
На рис. 3.12 графически представлен нагрев, обусловленный тремя механизмами, указанными выше, для трёх примеров твёрдых тел: кварцевое стекло, тяжёлое металофлюорид- ное стекло и кристаллический КС1. Размерность нВт/смВт имеет следующий смысл: для мощности источника в 1 Вт поглощение или неупругое рассеяние дадут вклад в нагрев, согласно значению на графике, по отношению к 1 см длины, пройденному падающим излучением в образце. Для многофононного поглощения величина нагрева определяется РНагрев [hBt/cmBt]^109qmp(^,Т), где
Нагрев, нВт/смВтНагрев, нВт/смВтЧастота, 103 см 1Частота, 103 см 1Рис. 3.12. Внутренние оптические потери, выраженные через произведённое тепло на едини-Рис. 3.12. Внутренние оптические потери, выраженные через произведённое тепло на едини-/ л НИ) + 1 / т v \ амр^.Т) = До \ 7 J exp -Ь—
Нагрев, нВт/смВт
Нагрев, нВт/смВт
Частота, 103 см 1
Частота, 103 см 1
Рис. 3.12. Внутренние оптические потери, выраженные через произведённое тепло на едини-
Рис. 3.12. Внутренние оптические потери, выраженные через произведённое тепло на едини-
(3.14) это TV-фононный коэффициент поглощения (в обратных сантиметрах), N = и/щ, v^ — частота фононов, п(и) = X/\ехр (hv/хТ) — 1] — числа заполнения бозонов для фононов частоты v и температуры Т [141]. Край Урбаха в кристаллах также описывается экспоненциальной функцией частоты:
цу длины и на единицу мощности излучения накачки, показаны как функция частоты лазерного излучения для трёх характерных оптических материалов. Сплошные V-образные кривые представляют собой суммарный вклад многофононного оптического поглощения и поглощение на краю Урбаха (кроме кривой для КС1, где оно слишком мало). Пунктиром показан нагрев, происходящий из-за рамановского рассеяния. Все кривые приведены для температуры 300 К. Источники: см. [140], [141], [142], [143], [144]цу длины и на единицу мощности излучения накачки, показаны как функция частоты лазерного излучения для трёх характерных оптических материалов. Сплошные V-образные кривые представляют собой суммарный вклад многофононного оптического поглощения и поглощение на краю Урбаха (кроме кривой для КС1, где оно слишком мало). Пунктиром показан нагрев, происходящий из-за рамановского рассеяния. Все кривые приведены для температуры 300 К. Источники: см. [140], [141], [142], [143], [144]В этой формуле температурная зависимость является весьма приближённой [140]. Для стёкол частотная зависимость внутриполосного по-В этой формуле температурная зависимость является весьма приближённой [140]. Для стёкол частотная зависимость внутриполосного по-^Щ.ТЩ^ехр^-Х (3.15) где vg является пороговым значением при поглощении на прямом переходе.
цу длины и на единицу мощности излучения накачки, показаны как функция частоты лазерного излучения для трёх характерных оптических материалов. Сплошные V-образные кривые представляют собой суммарный вклад многофононного оптического поглощения и поглощение на краю Урбаха (кроме кривой для КС1, где оно слишком мало). Пунктиром показан нагрев, происходящий из-за рамановского рассеяния. Все кривые приведены для температуры 300 К. Источники: см. [140], [141], [142], [143], [144]
цу длины и на единицу мощности излучения накачки, показаны как функция частоты лазерного излучения для трёх характерных оптических материалов. Сплошные V-образные кривые представляют собой суммарный вклад многофононного оптического поглощения и поглощение на краю Урбаха (кроме кривой для КС1, где оно слишком мало). Пунктиром показан нагрев, происходящий из-за рамановского рассеяния. Все кривые приведены для температуры 300 К. Источники: см. [140], [141], [142], [143], [144]
В этой формуле температурная зависимость является весьма приближённой [140]. Для стёкол частотная зависимость внутриполосного по-
В этой формуле температурная зависимость является весьма приближённой [140]. Для стёкол частотная зависимость внутриполосного по-
глощения непрямого более сложная, но, в целом, имеет приблизительно экспоненциальный характер. В противоположность многофононному поглощению, на электронном краю Урбаха в стёклах наблюдается лишь слабая температурная зависимость [140].
Возвращаясь к рис. 3.12, видно, что V-образные кривые показывают суммарный спектр поглощения (многофононное поглощение и поглощение на краю Урбаха) при комнатной температуре как для кремниевого, так и для тяжёлого металфлюридного стёкол. У кристаллического хлорида калия электронное поглощение настолько мало в районе до 20000 см-1, что показана только кривая, соответствующая многофононному поглощению.
Кривые, представляющие вклад рамановского рассеяния в нагрев, приближённо описываются формулой
^нагрев [нВт/смВт] « 10® • 4?Г^^нагрев [нВт/смВт] « 10® • 4?Г^\Vr)\Vr)(^стоксV(^стоксV(3.16)(3.16)
^нагрев [нВт/смВт] « 10® • 4?Г^
^нагрев [нВт/смВт] « 10® • 4?Г^
\Vr)
\Vr)
(^стокс
V
(^стокс
V
(3.16)
(3.16)
где (da/d^)\VR — сечение стокс-рамановского перехода, измеряемое по отношению к частоте накачки ivr, проинтегрированное по поляризациям и стоксовым частотам в пренебрежении более слабым анит- стоксовым рассеянием на фононах. Среднее значение раман-стоксо- вого сдвига обозначено как ^СТОкс- Направление рассеяния выбрано перпендикулярным к направлению лазерного луча накачки частоты v. Множитель 4тг введён для удобства при переходе к рассмотрению изотропного рассеяния.
Из рис. 3.12 видно, что больший нагрев должен ожидаться от материалов с неупорядоченной структурой. При комнатной температуре нагрев ограничен многофононным поглощением и поглощением на краю Урбаха; оба этих процесса зависят от частоты излучения накачки. В пределе нулевой температуры, простая экстраполяция показывает, что этот механизм является доминирующим для нагрева в большей части интересующего нас диапазона частот. В кристаллах рамановское рассеяние отвечает за нагрев практически во всём диапазоне частот, за исключением области низких частот.
Приближённое значение минимально достижимой температуры определяется выражением:
(3.17)(3.17)Т ~ D^V
(3.17)
(3.17)
min ~ нагрев ,-^С1Ион
где и — частота излучения лазерной накачки и аион — коэффициент поглощения активных примесных трёхуровневых центров с энергетическим расщеплением xTmin, оптимизированным для режима достижения минимальной температуры. Так, для частоты и = = 10 000 см-1, коэффициента поглощения аион = 1 см-1 и нагрева ^нагрев = 0,02 [нВт/смВт] (рамановский предел для КС1), минимальная достижимая температура составит Тт}п £з 1 мК. В сильно поглощающих веществах Tmin может снижаться до микрокельвин. Таким
образом, по крайней мере для техники охлаждения, использующей механизм отнятия тепла ^иТт^ за цикл, это является предельной температурой охлаждения. Между тем, для трёхуровневой модели следует отметить, что энергетической расщепление е, отвечающее 1 мК, составляет всего несколько десятков мегагерц. Поэтому эффекты уширения при поглощении и испускании излучения, а также скорость процессов установления больцмановского равновесия между уровнями должны быть совместимы с охлаждением посредством такой маленькой энергетической щели, для того, чтобы на практике можно было достигнуть таких низких значений температуры.
Максимальная мощность охлаждения
Одними из важных характеристик твердотельных оптических рефрижераторов являются абсолютная эффективность процесса охлаждения — отношение мощности охлаждения к общей подведённой мощности излучения — и объёмная плотность мощности охлаждения, которая может быть достигнута в рабочем веществе. Рассмотрим эти характеристики подробнее на примере легированного стекла ZBLANP:¥b3+, энергетическая диаграмма состояний которого показана на рис. 3.1.
Ввиду того, что энергия оптического перехода много больше внут- римультиплетных расщеплений, скорость многофононной релаксации между возбуждённым Е^ и основным Ец^ мультиплетами на порядок величины меньше скорости радиационной релаксации 7рад. Вторым важным свойством этого материала является то, что спектр люминесценции при комнатной температуре не зависит от длины волны возбуждения. Указанные обстоятельства позволяют семиуровневую систему эффективно рассматривать как двухуровневую систему, уровни в которой имеют большое однородное уширение, а квантовый выход оказывается близким к единице.
Если не принимать во внимание теплопроводность образца, то скорость накопления энергии в единице объёма при накачке с интенсивностью I на длине волны А можно представить в виде
— /^(А) = 717/2^погл(^) ’ I ^5/20"изЛ (А) • I — 7рад^5/2 3” ^b ‘ I 3” Х^5/2>
ФЛ (3.18)
где <7П0ГЛ и аИЗЛ — сечения поглощения и стимулированного излучения на длине волны А, соответственно (их можно рассчитать с помощью зависимостей приведённых на рис. 3.1); а^ь — широкополосный коэффициент поглощения (который характеризует в том числе и поглощение на неконтролируемых примесях, к которым относятся ионы типа переходных металлов); х — скорость выделения тепла при релаксации из возбуждённого состояния, сопровождающейся переходами с рождением фононов. Длина волны света Афл, через которую можно выразить
среднюю энергию люминесценции, записывается в виде следующего интегрального соотношения
/ E\dX/ Еш1ио duo
he 1 о\ о
-— = he—= \huo) = —— =
Лфл J \EXdXJ Еш duo
Оо
= (средняя энергия поля люминесценции), (3.19)
где Е\ (еш) — спектральная функция плотности излучения на единичный интервал длин волн (на единичный интервал частот). Стационарные значения плотности населённостей основного П7/2 и возбуждённого П5/2 состояний определяются накачкой и при общей плотности рабочих ионов N удовлетворяют следующим соотношениям:
"77 ^5/2 = Т- [^7/2^"погл (^) — ^З^^изл (^)] — Зрад^б^ = О,
ПС(3.20)
N = ^7/2 + ^5/2-
Отсюда для скорости лазерно-индуцированного выделения тепла в единице объёма и в расчёте на единичную интенсивность накачки имеем
1 . ^ — ^°"поглУз/1)У ^/^фл) .(3 21)
I dt 1 + <7изл/(7погл + Is/I
где введены обозначения
Л*Л = 1/Афл-Х/(Мрад)’
и Д — характерная интенсивность насыщения на длине волны А
т _ he 7рад
А СТпогл
Когда интенсивность накачки невелика, так что I С Is, то выражение (3.21) упрощается
у ■ $= №тП0Гл 0 -+ а6.(3.22)
KIS\ Лфл/
Экспериментальные значения фототермического отклонения пробного лазерного луча, нормированные как на интенсивность накачки, так и на линейный коэффициент поглощения, приведены на рис. 3.5. Эти данные получены при интенсивности накачки ниже насыщающей, поэтому, согласно выражению (3.22), можно записать, что ожидаемое отклонение должно быть пропорционально величине
1 dpХ^о’и0ГЛ1 dt1 dpХ^о’и0ГЛ1 dtКГКГаьNo- поглаьNo- погл(3.23)(3.23)
1 dp
Х^о’и0ГЛ1 dt
1 dp
Х^о’и0ГЛ1 dt
КГ
КГ
аь
No- погл
аь
No- погл
(3.23)
(3.23)
Это соотношение предсказывает линейную зависимость нормированного отклонения от длины волны накачки в условиях, когда нежелательное поглощение (например, поглощение на неконтролируемых примесях) мало; прямая линия (ср. с формулой(3.1)) соответствует пределу аъ —> 0, АфЛ = 995,3 нм, температура окружения равна 300 К.
Отрицательное значение скорости лазерно-индуцированного выделения тепла (3.21) соответствует оптическому охлаждению с положительной скоростью оттока тепла р0ХЛ = — р (соответственно, нужно положить % = 0 и аь = 0) при накачке на частоте и;
п (Т ТА = 77храд(Т)5и [/7фЛ(Т)//у — 1]
dtPoxA ’ ’ '+’
где НифЛ — средняя энергия излучённого фотона. Функциональные зависимости от температуры и частоты входящих в формулу (3.24) величин показаны явно указанием их аргументов. Так, присутствующие сечения переходов становятся зависящими от температуры через населённости индивидуальных подуровней возбуждённого и основного штарковских мультиплетов трёхвалентного иттербия.
Вводя функции распределения Z^(T) внутри мультиплетов 2Р^, для систем с уширением можно записать[137]:
ст^лОлТ). = Zi!^ /1(^00' - О/о оех
^(z/,T) ЗДТ) Р хТ ’()
начало отсчёта для энергии находится н нижайшем уровне мультиплета, v^i = 10261 см-1 — частота 0-0’ перехода между этими нижайшими подуровнями (см. рис. 3.1). С учётом (3.25) из (3.24) получаем
d _2УДрад^ [^фл/^ - 1]
Полученное выражение позволяет вычислять плотность мощности охлаждения как функцию частоты возбуждения для заданных интенсивности накачки и температуре. Если выбрать частоту накачки при которой эффективность охлаждения максимальна, то в пределе 7 оо мы получим максимальную плотность мощности охлаждения только как функцию температуры. На рис. 3.13 показана такая зависимость при концентрации трёхвалентного иттербия в 1 вес. %, что эквивалентно N = 2,42 • 1020 ионов в см3, максимальная плотность мощности охлаждения падает от значения ^50 Вт/см3 при температуре 300 К до
Вт/см3 при 100 К, и до ^0,1 Вт/см3 при 77 К [19].
Приведённые значения являются несколько преувеличенными по отношению к реальным, поскольку рассчитаны в пределе бесконечной интенсивности накачки. Уравнение (3.26) также может быть использовано для получения зависимости плотности мощности охлаждения от интенсивности накачки при заданной температуре охлаждающего элемента. Снова, выбирая частоту накачки, при которой мощность
Плотность мощностиПлотность мощностиТемпература, КМощность накачки, Вт/см2Температура, КМощность накачки, Вт/см2Рис. 3.13. Теоретически рассчитанная с помощью уравнения (3.26) максимальная плотность мощности охлаждения для легированного трёхвалентным иттербием стекла ZBLANP, концентрация примеси составляет 1 вес. %. Кривая получена в пределе бесконечно большой интенсивности излучения накачки [19]Рис. 3.13. Теоретически рассчитанная с помощью уравнения (3.26) максимальная плотность мощности охлаждения для легированного трёхвалентным иттербием стекла ZBLANP, концентрация примеси составляет 1 вес. %. Кривая получена в пределе бесконечно большой интенсивности излучения накачки [19]Рис. 3.14. Теоретически рассчитанная с помощью уравнения (3.26) максимальная плотность мощности охлаждения как функция от интенсивности накачки при заданных значениях температуры. Легированное трёхвалентным иттербием стекло ZBLANP, концентрация примеси составляет 1 вес. % [19]
Плотность мощности
Плотность мощности
Температура, КМощность накачки, Вт/см2
Температура, КМощность накачки, Вт/см2
Рис. 3.13. Теоретически рассчитанная с помощью уравнения (3.26) максимальная плотность мощности охлаждения для легированного трёхвалентным иттербием стекла ZBLANP, концентрация примеси составляет 1 вес. %. Кривая получена в пределе бесконечно большой интенсивности излучения накачки [19]
Рис. 3.13. Теоретически рассчитанная с помощью уравнения (3.26) максимальная плотность мощности охлаждения для легированного трёхвалентным иттербием стекла ZBLANP, концентрация примеси составляет 1 вес. %. Кривая получена в пределе бесконечно большой интенсивности излучения накачки [19]
охлаждения оказывается максимальной, на рис. 3.14 построены соответствующие кривые.
Пусть охлаждающий элемент представляет собой кубик с ребром 1 см и пусть он облучается лазерным излучением мощностью 100 Вт, поперечное сечение луча которого является квадратом со стороной 1 см. Тогда ожидаемое значение плотности мощности охлаждения для образца, легированного трёхвалентным иттербием с концентрацией 1 вес. %, составит:
порядка 200 мВт при температуре 300 К,
порядка 10 мВт при 100 К,
и порядка 2 мВт при 77 К.
С учётом того, что стекло ZBLANP можно легировать иттербием с концентрацией до 3 вес. %, то, поместив образец в оптический резонатор с добротностью Q равной 10, мы, тем самым, увеличим мощность циркулирующего в охлаждающем элементе излучения от значения 100 Вт до 1000 Вт, что, в свою очередь, приведёт к увеличению мощности охлаждения
до ^6 Вт при 300 К,
до ^240 мВт при 100 К,
и до ^60 мВт при 77 К.
Эти значения соответствуют эффективности охлаждения 6,0%, 0,24% и 0,06%, соответственно.
Вследствие явлений насыщения, эффективность охлаждения, очевидно, должна уменьшаться. На рис. 3.15 можно определить те зна-
Мощность накачки, Вт/см2охлаждения, Вт/см3Мощность накачки, Вт/см2охлаждения, Вт/см3Рис. 3.15. Теоретически рассчитанная с помощью уравнения (3.26) эффективность охлаждения как функция интенсивности накачки при заданных значениях температуры. На графиках видно падение эффективности при достижении порога интенсивности насыщения. Легированное трёхвалентным иттербием стекло ZBLANP, концентрация примеси составляет 1 вес. % [19]Рис. 3.15. Теоретически рассчитанная с помощью уравнения (3.26) эффективность охлаждения как функция интенсивности накачки при заданных значениях температуры. На графиках видно падение эффективности при достижении порога интенсивности насыщения. Легированное трёхвалентным иттербием стекло ZBLANP, концентрация примеси составляет 1 вес. % [19]Рис. 3.16. Теоретически рассчитанная с помощью уравнения (3.26) эффективность охлаждения как функция плотности мощности охлаждения при заданных значениях температуры. Из данных графиков можно определить те значения плотности мощности охлаждения, которые имеют место до того, как процессы насыщения сводят на нет эффективность охлаждения. Легированное трёхвалентным иттербием стекло ZBLANP, концентрация примеси составляет 1 вес. % [19]
Мощность накачки, Вт/см2охлаждения, Вт/см3
Мощность накачки, Вт/см2охлаждения, Вт/см3
Рис. 3.15. Теоретически рассчитанная с помощью уравнения (3.26) эффективность охлаждения как функция интенсивности накачки при заданных значениях температуры. На графиках видно падение эффективности при достижении порога интенсивности насыщения. Легированное трёхвалентным иттербием стекло ZBLANP, концентрация примеси составляет 1 вес. % [19]
Рис. 3.15. Теоретически рассчитанная с помощью уравнения (3.26) эффективность охлаждения как функция интенсивности накачки при заданных значениях температуры. На графиках видно падение эффективности при достижении порога интенсивности насыщения. Легированное трёхвалентным иттербием стекло ZBLANP, концентрация примеси составляет 1 вес. % [19]
чения интенсивности накачки, которые демонстрируют эту закономерность. Кривые представляют собой зависимость величины р0ХЛ/1 от интенсивности накачки I. На рис. 3.16 представлена эффективность охлаждения р0ХЛ/1 как функция плотности мощности охлаждения при заданной интенсивности накачки I. Эта информация позволяет выявить те значения плотности мощности охлаждения, которые она принимает до того, как процессы насыщения сводят на нет эффективность охлаждения.
Глава 4
САМООХЛАЖДЕНИЕ АКТИВНЫХ ЭЛЕМЕНТОВТВЕРДОТЕЛЬНЫХ ЛАЗЕРОВ
В настоящее время продолжается интенсивная разработка твердотельных лазеров, активными элементами которых являются кристаллы, легированные редкоземельными ионами (см. например [148]). Их достоинство состоит в том, что эти лазеры допускают перестройку длины волны генерации в широком диапазоне, в том числе в ультрафиолетовом и инфракрасном областях длин волн, где проблема перестройки длины волны является всё ещё острой. Из-за небольших интенсивностей генерируемого излучения проблема охлаждения активных элементов до сих пор ещё не становилась актуальной, но с ростом интенсивностей накачки и генерации оптимальное решение проблемы охлаждения, безусловно, окажется важным. На наш взгляд, одним из направлений поиска такого решения является лазерное охлаждение. Напомним, что к настоящему времени уже поставлены эксперименты по лазерному охлаждению тяжелометаллического стекла, легированного ионами трёхвалентного иттербия (Yb3+) [15] и тулия (Тш3+) [16], причём рекордное понижение температуры достигало значения 88°, начиная от комнатной температуры. Разумеется, хотя бы частичная реализация сценария лазерного охлаждения в активных элементах твердотельных лазеров, сделала бы их функционирование крайне благоприятным. Например, это исключило бы необходимость использовать в конструкции лазера неудобные внешние элементы охлаждения, которые заменяются внутренними — охлаждающими примесями. Наше внимание к этой задаче было стимулировано обнаруженным В. В. Семашко, А. К. Наумовым, Р. Ю. Абдулсабировым и С. Л. Кораблевой обстоятельством, заключающемся в том, что для предотвращения центров окраски в активных элементах твердотельных лазеров, появляющихся под действием интенсивной накачки, эти активные элементы необходимо дополнительно легировать ионами трёхвалентного иттербия.
Идея лазера, работающего без выделения тепла, впервые была высказана в 1999 году С. Боуманом [149], где процессы лазерной генерации и антистоксового охлаждения протекают в одной и той же системе
ионов. Такие лазеры были названы им радиационно-сбалансированными. В 2001 году С.Н. Андрианов и В. В. Самарцев в работе [150] предложили схему, в которой процесс лазерной генерации происходит в одной системе ионов, а процесс антистоксового охлаждения — в другой.
Радиационно сбалансированный лазер 9
Обычный твердотельный лазер работает с выделением теплоты. Процессы накачки и стимулированное излучение приводят к производству тепла в активной среде лазера. Это, в свою очередь, приводит к повышению температуры и усилению внутренних напряжений в среде, из-за чего ухудшаются характеристики излучения и уменьшается средняя мощность генерации. Начиная с 60-х годов предпринимаются усилия по увеличению мощности генерируемого излучения. Для достижения этого были изобретены остроумные схемы охлаждения и схемы ограничения теплового искажения лазерного излучения. В настоящее время существуют качественные твердотельные лазеры со средней мощностью излучения порядка нескольких сотен ватт [151-153]. Дальнейшее увеличение средней мощности может быть достигнуто только за счёт значительного усложнения конструкции лазера или же потери качества когерентного излучения. Ограничение сверху на генерируемую мощность также возникает из-за теплового разрушения активной среды лазера и имеет значение около 1 кВт. В табл. 4.1 приведены некоторые из параметров для разных типов лазеров.
Однако, можно попытаться использовать антистоксовый механизм охлаждения внутри самой лазерной среды для того, чтобы управлять балансом производимого тепла. Это можно сделать подбирая специальным образом параметры накачки и лазерной генерации. В результате получится радиационно сбалансированный лазер без избытка тепла, поскольку в среднем оно будет компенсироваться сдвигом частоты генерации.
Рабочая среда для радиационно-сбалансированноо лазера. Чтобы сделать возможным функционирование радиационно-сбалансированного лазерного устройства, необходимо решить задачу выбора среды, рабочих частот и подходящих интенсивностей. Рассмотрим лазерную среду, которая хорошо описывается идеальной квазидвух- уровневой моделью как показано на рис. 4.1. Обычно такие лазерные схемы называют квазитрехуровневыми, но мы своим названием хотим подчеркнуть то обстоятельство, что изменение энергии в рассматриваемых процессах имеет порядок хТ. Переходы между верхними и нижними электронными уровнями будем считать чисто оптическими.
9 В этом параграфе мы будем основываться на работе С. Боумана [149]
Таблица 4.1. Выборочные параметры некоторых лазеров (ими. — импульсный или импульсно-периодический; непр. — непрерывный) [154]
Тип лазера
Режим работы
Длина волны
Средняя мощность, Вт
Пиковая мощность, кВт
Длительность импульса
Дифф, кпд, %
Рубин
имп.
694,3 нм
1
10-104
1 мс 4-10 нс
< 0,1
Nd:YAG
непр.
1064 нм
200
1-3
Nd:YAG
имп.
1064 нм
1000
10
1-5 мс
1-3
Nd:YAG
имп.
1064 нм
10
2- 104
10-20 нс
1-3
He-Ne
непр.
632,8 нм
10-Ц10"2
< 0,1
Си
имп.
510,5 нм
40
100
20-40 нс
1-2
Ar+
непр.
514,5 нм
10-150
< 0,1
HeCd
непр.
325 нм
од
441,6 нм
co2
непр.
10,6 мкм
(1щ50)-103
10-20
CO2(TEA)
имп.
10,6 мкм
103
ю4
0,1-0,5 мкс
10
n2
имп.
337,1 нм
0,1
103
10 нс
< 0,1
KrF
имп.
248 нм
500
5 ■ 103
10 нс
1
Родамин 6G
имп.
590 нм
100
100
10 мкс
0,5
Родамин 6G
непр.
590 нм
5
HF
непр.
2,6-3,3 мкм
юЧю6
HF
имп.
2,6-3,3 мкм
103
GaAs
непр.
850 нм
1
40
ЛСЭ
непр.
мм — синяя область
до 100
1-10
Это необходимое требование для обеспечения радиационного баланса. О реальности такого допущения будет сказано ниже.
Пусть число атомов на первом и втором уровнях энергии равны ТД и TV2-, соответственно. Тогда полное число атомов
Рис. 4.1. Квазидвухуровневая энергетическая диаграмма с указанием переходов, принимающих участие при накачке и лазерной генерации. Спектры поглощения и излучения показывают положения соответствующих частот для реализации радиационно-сбалансированного лазера
Второе наше допущение состоит в том, что оба этих уровня расщеплены на несколько подуровней, переходы между которыми являются неоптическими, а энергетический порядок суммарного расщепления соответствует хТ. Таким образом, атом, находясь в любом из этих состояний, может обмениваться энергией с кристаллической матрицей посредством оптических фононов. Поскольку расстояния между подуровнями гораздо менее хТ, время обмена составляет пикосекунды. Если в лазерном материале радиационное время жизни возбуждённого состояния имеет порядок миллисекунд, то атомы, находящиеся в основном и возбуждённом состояниях, будут успевать приходить в термодинамически равновесие и заселять подуровни в соответствии со статистикой Больцмана. Именно это обстоятельство, которое мы будем называть термализация верхнего и нижнего уровней, приводит к изменению частоты флуоресценции и делает возможным обеспечить радиационный баланс.
В активной среде лазера, обладающей описанными выше свойствами, спонтанное излучение из верхнего состояния будет иметь широкий спектр, который частично перекроет широкий спектр поглощения нижнего состояния, как показано на рис. 4.1 справа. Определим среднюю частоту флуоресценции как
УЗ f vFp du
УЗ j Fp dvр о
где Fp — спектральная функция излучения, а суммирование происходит по всем возможным поляризациям. Положение ир по отношению
к спектру поглощения является той особенной характеристикой среды, которую необходимо учитывать при конструировании радиационносбалансированного лазера.
Рассмотрим взаимодействие нашей квазидвухуровневой системы с излучением накачки частоты vp и лазерным полем частоты vp (см. рис. 4.1). Это взаимодействие выведет систему из равновесия и приведёт к изменению населённостей энергетических уровней TVi и N2. Пусть отдельные подуровни являются невырожденными. Тогда тепловое распределение атомов по состояниям, вызванное процессами поглощения энергии hvp = Ер2 — £рр удобно описывать величинами
S2 — £Р2 ехрИ Р2 =уровень 2S2 — £Р2 ехрИ Р2 =уровень 2(4.3)(4.3)^2 — ^2г ехр хТ^2 — ^2г ехр хТ— ЕРХ ехр——
S2 — £Р2 ехр
И Р2 =
уровень 2
S2 — £Р2 ехр
И Р2 =
уровень 2
(4.3)
(4.3)
^2 — ^2г ехр хТ
^2 — ^2г ехр хТ
Pi =
ехр—7- XIехр—7- XIуровень 1
ехр—7- XI
ехр—7- XI
а тепловое распределение по энергиям, связанное с процессами вынужденного излучения энергии Кир = Ер2 — ^ы будем описывать величинами„_ _
— EpiЕ2 — EL2
ехр ——ехр—-
£1 =-ЛГ и А =—^,(4.4)
уровень 1уровень 2
ехрЕ?г£ ехр^Р"
3i
которые будем называть термораспределением. Здесь £2 отвечает значению энергии нижнего состояния уровня 2. Такое термораспределение может быть вычислено для любого лазерного материала путём отбора ряда интересующих оптических переходов и используя рассчитанные для них энергетические состояния. Временное поведение нашей системы можно описать с помощью вероятностных уравнений (2.1), вводя скорость накачки Wp, скорость вынужденного перехода Wp и радиационное время жизни т
^l = Wp-WL-^.atт^l = Wp-WL-^.atт(4.5)(4.5)
^l = Wp-WL-^.atт
^l = Wp-WL-^.atт
(4.5)
(4.5)
Предположим для простоты, что в целом среда является слабо усиливающей. Уравнение (4.5) необходимо дополнить уравнениями для полей излучения накачки и излучения генерации. В случае нашей квазидвухуровневой модели уравнение (4.5) принимает вид
9N2dt9N2dt^[Pi-M-№ + Pi)-N-ПИр^[Pi-M-№ + Pi)-N-ПИр
9N2dt
9N2dt
^[Pi-M-№ + Pi)-N-
ПИр
^[Pi-M-№ + Pi)-N-
ПИр
Х^£2 + £рК2_£г^Л, (4.6) iWpT
где Ip, Ip и dp, dp — интенсивность и сечение перехода для излучения накачки (индекс Р) и лазерного излучения (индекс L) соответственно.
В стационарном случае значение производной в уравнении (4.6) нужно положить равным нулю.
Инверсия населённости и усиление в среде имеют место при Wp > 0. Поглощение излучения накачки приводит, в свою очередь, к условию Wp > 0. Оба этих условия удовлетворяются всякий раз, как только выполняется следующее соотношение для термораспределений
> ^ > £' . (4.7)
Р2 + Р1 Nt £2 + Р v ’ Из определений (4.3), (4.4) следует, что соотношение (4.7) требует, чтобы vp > vp, что является естественным.
В случае радиационно-сбалансированного лазера мы должны наложить дополнительное условие: средняя величина плотности поглощённой мощности должна быть равна средней плотности мощности излучения
hvp^Wp^ = hvp^W^ + huF + (4.8)
где усреднение производится за некоторый временной период. Это ограничение, в совокупности с уравнением (4.5), после усреднения приводит к фундаментальному соотношению для радиационно-сбалансированного лазера
W = 1 (М) = W (4 9) рр - Up т (рр - Рр) Рр - Рр* '
В радиационно-сбалансированном лазере значения скоростей накачки и вынужденного излучения определяются исключительно величиной скорости спонтанного излучения. Вкупе с требованием эффективного поглощения и усиления, фундаментальное соотношение (4.9) приводит к следующему расположению на частотной шкале, как показано на рис. 4.1:
vp > vp > vp. (4.10)
Используя (4.9), для непрерывного радиационно-сбалансированного лазера можно получить стационарное решение уравнения (4.6)
N2 = ^ '^ ■,(4.11)
Рх+Р2 IP + Ipsat ’'
а также интенсивность лазерного излучения, которая имеет вид
т = Р1 • (£2 + Л) • 1р • Il sat
L ^£2 - Р2Л) • 1р - Л (Р1 + Л) • Ipsat ’'
Здесь Ipsat и Ipsat — интенсивности насыщения поглощения и усиления, соответственно; они определены как
т _ Нрр ( рр - рр\ т _ Нрр ( рр - рр\РsettI IL sat/ р । р \ I•
+ Р2) \up - Рр J\Рр - Рр )
(4.13)
Уравнения (4.11)-(4.13) описывают режим работы непрерывно дей
ствующего радиационно-сбалансированного лазера. Выражение (4.11)
имеет вид стандартного решения для насыщения поглощения, разница в том, что интенсивность насыщения теперь определена иначе — в формулах (4.13) присутствует дополнительный множитель, равный отношению разности частот. Вследствие требования фундаментального соотношения (4.9) мы имеем (4.10), а значит значения интенсивности насыщения поглощения Ipsat из (4.13) всегда будут превосходить соответствующие величины интенсивностей насыщения в обычном режиме. Однако, очевидно, это не относится к интенсивности насыщения усиления лазерного поля II sat — её величина определяется выбором vp и vp, и поэтому она может быть как выше типичного значения, так ниже его.
Из требования наличия усиления на частоте vp можно получить выражение для минимума интенсивности накачки. Аналогично, минимальное значение интенсивности лазерного поля получается из условий интенсивности насыщения поглощения и радиационного баланса. Уравнения (4.11)-(4.12) дают
т _ ( Л № + Р2 м тт _ / Pi • (Л +\ т
\ гум. —\ ryL^ — r^Ly /
(4.14) Величины Vpmin и Il min являются тем удобным критерием, который необходим для отбора перспективных активных сред радиационносбалансированного лазера.
Уравнение (4.12), которое связывает интенсивность лазерного излучения с интенсивностью накачки, является новым условием функционирования радиационно-сбалансированного лазера. Оно должно удовлетворятся в каждой точке пространства, поэтому КПД лазера принимает вид:
мощность генерации pF - рР pL r/o = =•(4.15)
поглощенная мощность vF — vp vp
Протяжённость среды. Для простоты сначала рассмотрим пример плоской волны, распространяющейся через стационарный однопроходный усилитель. Стандартное соотношение для изменения интенсивности вдоль направления распространения имеет вид:
^ = ^ьУРь=<ть\Ы2 + £\^2-^Ш1ь.(4.16)
Пусть эта волна распространяется в стационарном радиационно-сбалансированном режиме. Найдём в этом случае выражение для интенсивности накачки. С помощью (4.9) и (4.11) исключим населённость N^ из уравнения (4.16):
dip G^plplpsat/д 1
Ip Ip sat
Здесь коэффициент поглощения aL определён как обычно: aL = = apC\Nt. Условие радиационной сбалансированности приводит к изменению знака знаменателе. Радиационно-сбалансированный лазер приводит к режиму, когда усиление достигается в условиях
Il > к™ > Ibsat- Интегрирование (4.17) даёт
' Э1ь^dzО' Э1ь^dzО— lb satо— lb satо11dIL^dzdIL^dzdz — Il sat oll z =Фdz — Il sat oll z =ФIL(z) - IL(O) - ILsat ^Il(z) - 1r7l(0)) = ILsatCtLZ,IL(z) - IL(O) - ILsat ^Il(z) - 1r7l(0)) = ILsatCtLZ,(4.18)(4.18)
' Э1ь^dz
О
' Э1ь^dz
О
— lb sat
о
— lb sat
о
1
1
dIL^dz
dIL^dz
dz — Il sat oll z =Ф
dz — Il sat oll z =Ф
IL(z) - IL(O) - ILsat ^Il(z) - 1r7l(0)) = ILsatCtLZ,
IL(z) - IL(O) - ILsat ^Il(z) - 1r7l(0)) = ILsatCtLZ,
(4.18)
(4.18)
Рис. 4.2. Интенсивность накачки (пунктир) и генерации (сплошная) при распространении вдоль направления z-оси. Величина интенсивности нормирована на II min из выражения (4.14). Представленные на рисунке зависимости показывают интенсивность излучения радиационно-сбалансированного непрерывного лазера в условиях, когда (^) Il min = 1Д II sat? (2) Il min = = 1 Д1ь sat) (5) Il min = 2,01L sat-Рис. 4.2. Интенсивность накачки (пунктир) и генерации (сплошная) при распространении вдоль направления z-оси. Величина интенсивности нормирована на II min из выражения (4.14). Представленные на рисунке зависимости показывают интенсивность излучения радиационно-сбалансированного непрерывного лазера в условиях, когда (^) Il min = 1Д II sat? (2) Il min = = 1 Д1ь sat) (5) Il min = 2,01L sat-
Рис. 4.2. Интенсивность накачки (пунктир) и генерации (сплошная) при распространении вдоль направления z-оси. Величина интенсивности нормирована на II min из выражения (4.14). Представленные на рисунке зависимости показывают интенсивность излучения радиационно-сбалансированного непрерывного лазера в условиях, когда (^) Il min = 1Д II sat? (2) Il min = = 1 Д1ь sat) (5) Il min = 2,01L sat-
Рис. 4.2. Интенсивность накачки (пунктир) и генерации (сплошная) при распространении вдоль направления z-оси. Величина интенсивности нормирована на II min из выражения (4.14). Представленные на рисунке зависимости показывают интенсивность излучения радиационно-сбалансированного непрерывного лазера в условиях, когда (^) Il min = 1Д II sat? (2) Il min = = 1 Д1ь sat) (5) Il min = 2,01L sat-
IlH = ib(O)exp 2 —- aLz .(4.19)
I ' L satJ
Интенсивность Il(z) выражается, таким образом, через УУ-функцию
Ламберта 9:
7L(^) = -/L8atwf-^exp(-^-aL4Y (4-20)
\ L sat I L satI /
Из (4.20) видно, что плоская волна, распространяясь через активную среду при радиационно-сбалансированном режиме работы лазера, будет нарастать. Параметры усиления и накачки должны варьироваться соответственно условиям баланса выделяемого тепла и достигаемого охлаждения. Вид зависимости интенсивности накачки, который будет обеспечивать нужное усиление, теперь может быть получен непосредственно с помощью выражений (4.11) и (4.20). На рис. 4.2 изображены зависимости интенсивностей накачки и лазера при распространении вдоль 2-оси для случая, когда L(0) = ILmin-
Вблизи поверхности, через которую проникает в активную среду излучение накачки, усиление g слабого сигнала ограничено условием насыщения накачки и имеет
9 УУ-функция Ламберта (иногда называемая Омега-функцией) является решением уравнения вида: а = хеж. Решение по определению записывается как х = W(a). Главное значение УУ-функции можно представить в виде ряда: ИШ) = Ек2^Г, где ее С.
максимальное значение
= аь^х^ - ТУл) 9П
Отсюда непосредственно следует, что эффективнее будет такой режим, когда частоты излучения накачки и лазера выбираются так, чтобы они не были слишком близкими.
Полученный для плоской волны результат остаётся справедливым и для каждого луча, распространяющегося внутри ограниченного коллимированного пучка. До тех пор, пока Il^,t) > Дт1п, каждый луч, находящийся в данном поданном пучке, может быть соотнесён с контуром накачки, который приведёт в итоге к усилению в радиационносбалансированном режиме генерации.
Примеры возможных перспективных сред для радиационно-сбалансированных лазерных систем можно найти в работах К. Мунгана и С. Боумана [158].
Термодинамика. В этом разделе мы для конкретной модели рассчитаем КПД при процессах превращения энергии в тепло и обратно в радиационно-сбалансированном лазере.
Твердотельные лазеры с оптической накачкой можно представить как устройство, совершающее работу по превращению многомодового и, часто, широкополосного излучения накачки в единый луч узкополосного излучения высокой яркости. Энтропия излучения непрерывного лазера мала и пропорциональна числу мод резонатора [155]. Таким образом, изменение энтропии лазерной среды под воздействием накачки и в результате генерации оказывается отрицательным. В обычных лазерных устройствах выделение тепла приводит к достаточной компенсации этого уменьшения энтропии, поэтому никакого конфликта со вторым началом термодинамики не происходит [156]. Однако, как быть в случае радиационно-сбалансированного лазера, когда выделения тепла нет? Ответ заключается в том, что спонтанное излучение как раз является той самой «неупорядоченной» подсистемой, которая ответственна за рост энтропии. Спонтанное излучение некогерентно, широкополосно и всенаправленно; оно включает в себя все возможные моды излучения. Это обстоятельство и обеспечивает большое приращение энтропии лазерной среды, которое компенсирует уменьшение энтропии при преобразовании одного типа излучения в другое. Вообще, можно сказать, что именно благодаря этому механизм антистоксового охлаждения не входит в противоречие с законами термодинамики (см. 1.2).
В предыдущем разделе мы выяснили, что для функционирования радиационно-сбалансированного лазера необходимо удовлетворить двум условиям: уравнению (4.6) с нулевой левой частью и соотношению (4.8). Для удобства перепишем эти условия для случая, когда спектральная ширина как излучения накачки, так и лазерного
излучения на выходе, гораздо меньше, чем ширина линий рабочих энергетических переходов.
Первое условие удовлетворяется, когда плотность интенсивности поглощения (см-3с-1) уравновешена плотностью интенсивности индуцированного и спонтанного излучения:
IIhup
(-А"1<7ПОГЛ4У2<7изл)
(А^2<7изл лаз А^2<7ПОГЛ лаз) Т ,(4.22)
где (Тпогллаз, сгизллаз, сгП0ГЛ и сгизл являются сечениями поглощения и испускания для света с частотой излучения лазера (ир) и излучения накачки кур\ соответственно.
Второе условие требует, чтобы плотности мощности поглощения и излучения (Вт/см3) также были уравновешены:
7р(Л^1СГПогл — А^изл) = 1ь(И2°"изл лаз — -А"1<7ПОГЛ лаз) 4~•(4.23)
Так как накачка среды является первоочерёдным этапом для получения лазерной генерации, то уравнения (4.22) и (4.23) могут быть решены [с учётом (4.1)] для 1р и W2 относительно Ip. С другой стороны, мы видели, что интенсивность генерируемого лазерного излучения увеличивается по мере распространения в активной среде (вдоль направления оси г) согласно уравнению (4.16), которое в нашем приближении принимает вид
— Il (4\^2<7изл лаз 4У1<7ПОГЛ лаз
(4.24)
Как следствие, интенсивность накачки Ip(z) уже не может являться произвольной величиной для z > 0.
Вводя в рассмотрение интенсивности /pmin и 1ытп, соответствующие (4.14), находим
где
т _ (3p(3L huP vF - up
IP min — о о>
PP PL <ТпоглТ" Up Up
_ Pp(3l hup up — up
L min»
PP PP <Тпогл лазТ Up Up
<7погл СТпогл лаз
T и Pl =
<Тпогл T (ТИзлЩлогл лаз T <7Изл лаз
(4.25)
(4.26)
С учётом этих полученных выражений, уравнения (4.22) и (4.23) при
нимают вид:
Ip min , Il min
Ip " Il
(4.27)
Nt = J_
N2 pL
1
Рр
1 \ Ip min Pl / Il
(4.28)
Поступая аналогично, как мы делали при выводе уравнения (4.19), получаем
IL^ = Il(0) + IL min^^ ] In Pp I
№
IlW
лаз^
(4.29)
Полученное решение можно использовать для описания модельной системы, изображённой на рис. 4.3. В качестве модельного образца
1ИР
Флуоресценция
Z
Лазерная накачка
Рис. 4.3. Используемая в расчёте однопроходная усиливающая среда, имеющая форму параллелепипеда с размерами 1 х 1 х 110 мм, сделанная из оптоволокна KGW, легированного Yb3+ с концентрацией 3,5 вес. %. Накачка производится через длинную нижнюю грань параллелепипеда с помощью специально
выбран материал KGW, легированный трёхвалентным иттербием, а именно KGd(WO4)2, в котором ионы гадолиния заменены ионами иттербия с концентрацией 3,5 вес. %. Если накачка производится а-поляризованным светом с длиной волны Анак = 1001 нм, то будет происходить усиление Ь-по- ляризованного излучения с длиной волны Хь = 1042 нм. Соответствующие этим длинам волн сечения поглощения и испускания имеют следующие значения: ^погл = 1,53 пм2, СГИЗЛ = 5,11 пм2, ^"погл лаз = 0,083 ПМ И <7ИЗЛ лаз = = 1,88 пм2. Длина образца выбрана равной величине 2/(М^погл лаз), где Nt = 2,2 х 102- см-3. Так как
подведённых НО лазерных лучей.Усиленный луч и каждый из лучейнакачки в сечении имеют 1 мм х1 мм. Излучение спонтанной флу-оресценции распространяется изо-тропно во все стороны [157]
максимальные потери при поглощении излучения накачки на длине I = = 1 мм составляют ^(7П0ТЛ1 = 34 %, то мы будет считать, что интенсивность накачки по всей толщине остаётся постоянной. Кристаллик KGW можно умозрительно разде
лить на НО маленьких кубиков, расположенных вплотную друг к другу, каждый из которых имеет объём 5V = Z3, где I = 1 мм — шаг, с которым уравнение (4.29) будет численно интегрироваться при нахождении зависимости Il(^Y Каждый элемент — умозрительный маленький кубик — накачивается отдельным лазерным лучом, подведённым к образцу вдоль его длины. Самый яркий луч должен располагаться в начале параллелепипеда (z = 0) и иметь интенсивность Ср(0) = Ю кВт/см2 что соответствует мощности 100 Вт. Поскольку т для Yb3+ в матрице KGd(WO4)2 равно 600 мкс, минимальные интенсивности из формул (4.25) и (4.26) принимают значения 7ртщ = 1,37 кВт/см2 и 1ъшт = 4,36 кВт/см2 Таким образом, 1Р(0) на порядок превышает Ipmin, как это и требуется для успешного
Рис. 4.4. Пространственные зависимости интенсивностей II, Ip и Ip при стационарном режиме работы радиационно-сбалансированного однопроходного усилителя, изображённого на рис. 4.3. Интенсивность излучения флуоресценции (прерывистая линия) получено из расчёта полусферически изотропного распространения фотонов [157]Рис. 4.4. Пространственные зависимости интенсивностей II, Ip и Ip при стационарном режиме работы радиационно-сбалансированного однопроходного усилителя, изображённого на рис. 4.3. Интенсивность излучения флуоресценции (прерывистая линия) получено из расчёта полусферически изотропного распространения фотонов [157]уравнении (4.23), для интенсивности находимуравнении (4.23), для интенсивности находим(4.30)(4.30)
Рис. 4.4. Пространственные зависимости интенсивностей II, Ip и Ip при стационарном режиме работы радиационно-сбалансированного однопроходного усилителя, изображённого на рис. 4.3. Интенсивность излучения флуоресценции (прерывистая линия) получено из расчёта полусферически изотропного распространения фотонов [157]
Рис. 4.4. Пространственные зависимости интенсивностей II, Ip и Ip при стационарном режиме работы радиационно-сбалансированного однопроходного усилителя, изображённого на рис. 4.3. Интенсивность излучения флуоресценции (прерывистая линия) получено из расчёта полусферически изотропного распространения фотонов [157]
уравнении (4.23), для интенсивности находим
уравнении (4.23), для интенсивности находим
(4.30)
(4.30)
осуществления радиационно-сбалансированного режима лазерной ге
нерации.
Из уравнения (4.27) находим, что II^) = 5,05 кВт/см2. Это значение мало отличается от Il min, о чём можно только мечтать при
проведении реального эксперимента. Усиление и рост интенсивности лазерного излучения, по мере его распространения внутри образца, можно численно рассчитать из уравнения (4.29), продвигаясь по параллелепипеду вдоль оси z с шагом 5z = 1 мм. Результаты этого расчёта приведены на рис. 4.4. Рассчитанная из уравнения (4.27) интенсивность излучения накачки 1р, которая необходима, чтобы поддерживать радиационно-сбалансированный режим усиления, приведена на том же рисунке сплошной тонкой линией. Если бы волокно было полубесконечной длины, то 1р асимптотически бы стремилось к значению 7pmin при z ею.
Для расчёта КПД необходимо также знать величину интенсивности излучения флуоресценции у границы поверхности образца. Поскольку плотность мощности спонтанного излучения даётся нам последним членом в
_ hvpN2 dV _ hvpN^l
F ~ т TAS ~ 4т
где 5V = I3 — объём элемента, на который мы умозрительно разбили образец, площадь поверхности которого равна 6AS = 4Z2 На рис. 4.4 пунктирной линией изображена функция, описываемая уравнением (4.30), в котором N^ вычислялось с помощью (4.28). Ввиду малой величины IF(z\ показанные на графике значения увеличены в 10 раз.
Посмотрим теперь, какие изменения происходят с энергией (Е) и энтропией (S') при работе радиационно-сбалансированного лазера [157]. На рис. 4.5 обозначены скорости изменения энергии и энтропии: Ер и Sp — скорость поглощения энергии и энтропии излучения накачки, El и Sl — скорость, с которой энергия и энтропия поступают в излучение радиационно-сбалансированного лазера, Ер и Sp — скорость, с которой энергия и энтропия уносятся из системы вместе со спонтанным излучением. В стационарном режиме работы из первого
начала термодинамики получаем Ёр = Ёр + Ёр, а второе начало термодинамики требует
(4.31)(4.32)(4.31)(4.32)Если процесс является необратимым, то левая часть неравенства (4.32)Если процесс является необратимым, то левая часть неравенства (4.32)должна быть строго больше нуля. Вводя в рассмотрение «потоковую» температуру Тр = Ёр/Sp, Тр = Ёр/Sp и Тр = Ёр/Sp,должна быть строго больше нуля. Вводя в рассмотрение «потоковую» температуру Тр = Ёр/Sp, Тр = Ёр/Sp и Тр = Ёр/Sp,лазернаялазернаяфлуоресценцияфлуоресценцияРис. 4.5. Изменение энергии и энтропии при оптической накачке, флуоресценции и лазерной генера-Рис. 4.5. Изменение энергии и энтропии при оптической накачке, флуоресценции и лазерной генера-выражения (4.31) и (4.32) позволяют записать верхний предел для КПД оптического усиления:выражения (4.31) и (4.32) позволяют записать верхний предел для КПД оптического усиления:_ Ёь , 1 - TF/Tp Ёр 1 - TF/TL '_ Ёь , 1 - TF/Tp Ёр 1 - TF/TL '(4.33)(4.33)В сравнении с накачивающим и лазерным излучением излучение спонтанной флуоресценции несёт с собой меньшую энергию и большую энтропию, поэтомуВ сравнении с накачивающим и лазерным излучением излучение спонтанной флуоресценции несёт с собой меньшую энергию и большую энтропию, поэтомупоследнее выражение можно переписать в приближённом видепоследнее выражение можно переписать в приближённом виде1 - Тр/Тр1 - Тр/Тр1 - Тр/Тр1 - Тр/ТрI-Ipt^-IY (4.34)\1р Ip;I-Ipt^-IY (4.34)\1р Ip;ции в радиационно-сбалансированном лазере. Точки над буквами обозначают производную по времени. Таким образом, Е представляет собой мощность, измеряемую в ваттах, а 8 имеет размерность ватт на градусции в радиационно-сбалансированном лазере. Точки над буквами обозначают производную по времени. Таким образом, Е представляет собой мощность, измеряемую в ваттах, а 8 имеет размерность ватт на градусЭто выражение также можно преобразовать к форме (1.42), если выразить температуру горячего и холодного резервуаров следующим образом:Это выражение также можно преобразовать к форме (1.42), если выразить температуру горячего и холодного резервуаров следующим образом:Т -1h l/Tp-1/Tp’Т -1h l/Tp-1/Tp’Тс = Тр =Ф7? = ^^. (4.35)V hТс = Тр =Ф7? = ^^. (4.35)V h8р + SF - SP > 0.
(4.31)
(4.32)
(4.31)
(4.32)
Если процесс является необратимым, то левая часть неравенства (4.32)
Если процесс является необратимым, то левая часть неравенства (4.32)
должна быть строго больше нуля. Вводя в рассмотрение «потоковую» температуру Тр = Ёр/Sp, Тр = Ёр/Sp и Тр = Ёр/Sp,
должна быть строго больше нуля. Вводя в рассмотрение «потоковую» температуру Тр = Ёр/Sp, Тр = Ёр/Sp и Тр = Ёр/Sp,
лазерная
лазерная
флуоресценция
флуоресценция
Рис. 4.5. Изменение энергии и энтропии при оптической накачке, флуоресценции и лазерной генера-
Рис. 4.5. Изменение энергии и энтропии при оптической накачке, флуоресценции и лазерной генера-
выражения (4.31) и (4.32) позволяют записать верхний предел для КПД оптического усиления:
выражения (4.31) и (4.32) позволяют записать верхний предел для КПД оптического усиления:
_ Ёь , 1 - TF/Tp Ёр 1 - TF/TL '
_ Ёь , 1 - TF/Tp Ёр 1 - TF/TL '
(4.33)
(4.33)
В сравнении с накачивающим и лазерным излучением излучение спонтанной флуоресценции несёт с собой меньшую энергию и большую энтропию, поэтому
В сравнении с накачивающим и лазерным излучением излучение спонтанной флуоресценции несёт с собой меньшую энергию и большую энтропию, поэтому
последнее выражение можно переписать в приближённом виде
последнее выражение можно переписать в приближённом виде
1 - Тр/Тр
1 - Тр/Тр
1 - Тр/Тр
1 - Тр/Тр
I-Ipt^-IY (4.34)\1р Ip;
I-Ipt^-IY (4.34)\1р Ip;
ции в радиационно-сбалансированном лазере. Точки над буквами обозначают производную по времени. Таким образом, Е представляет собой мощность, измеряемую в ваттах, а 8 имеет размерность ватт на градус
ции в радиационно-сбалансированном лазере. Точки над буквами обозначают производную по времени. Таким образом, Е представляет собой мощность, измеряемую в ваттах, а 8 имеет размерность ватт на градус
Это выражение также можно преобразовать к форме (1.42), если выразить температуру горячего и холодного резервуаров следующим образом:
Это выражение также можно преобразовать к форме (1.42), если выразить температуру горячего и холодного резервуаров следующим образом:
Т -1
h l/Tp-1/Tp’
Т -1
h l/Tp-1/Tp’
Тс = Тр =Ф
7? = ^^. (4.35)
V h
Тс = Тр =Ф
7? = ^^. (4.35)
V h
Если лазерный луч строго направленный и строго монохроматический, тогда Тр ос и мы получаем выражение для КПД идеального тепло
вого процессавого процессаЧс Тр'Чс Тр'(4.36)(4.36)
вого процесса
вого процесса
Чс Тр'
Чс Тр'
(4.36)
(4.36)
Таким образом, зная изменение энергии и энтропии, для конкретных модельных систем можно рассчитать «потоковые» температуры и тем самым найти КПД таких радиационно-сбалансированных лазеров. Выпишем выражения для потоков энергии и энтропии (в единицу времени и проходящих через единичную площадь) излучения накачки, флуоресценции лазерного излучения.
(4.37)(4.37)В случае флуоресценции с интенсивностью Гр можно записатьЁр = [ Тр dAs,
(4.37)
(4.37)
где интеграл берётся по всей поверхности As образца. Вкладом в энтропию от фотонов окружения можно пренебречь, так как температура Тр намного превышает температуру окружающей среды. Поэтому для потока энтропии, который уносится вместе с излучением флуоресценции, мы находим
Sp = хс|| |[(1 + тгр) In (1 + тгр) — rip In np]y cos fidE dCldAs =
= 2тгхс [ [[(1 + тгр) In (1 + тгр) -тгр In пр] A-4 dXdAs, (4.38)
где у = 2Е2(Дс) 3 — плотность фотонных состояний (множитель 2 учитывает два возможных направления поляризации), ^ — угол между направлением распространения излучения и нормалью к поверхности. Так как спонтанное излучение распространяется изотропно, то угловой интеграл даёт нам тг. Величина Tip представляет собой безразмерное число заполнения для фотонов. Оно связано со спектром излучения флуоресценции следующим образом:
I\pdX =I\pdX =Епр'у cos cZQ ) dE = 2тгИс2тгрХ ^dX,Епр'у cos cZQ ) dE = 2тгИс2тгрХ ^dX,(4.39)(4.39)откуда получаемоткуда получаем_ IpX5 I\FnПр — 2 7’_ IpX5 I\FnПр — 2 7’(4.40)(4.40)
I\pdX =
I\pdX =
Епр'у cos cZQ ) dE = 2тгИс2тгрХ ^dX,
Епр'у cos cZQ ) dE = 2тгИс2тгрХ ^dX,
(4.39)
(4.39)
откуда получаем
откуда получаем
_ IpX5 I\Fn
Пр — 2 7’
_ IpX5 I\Fn
Пр — 2 7’
(4.40)
(4.40)
где индекс тг указывает на то, что спектральная интенсивность нормирована на единицу в максимуме Амакс. Иногда 1хрп называют нормированной спектральной плотностью эмиссии.
При поглощении излучения накачки, поступающая мощность Ер равна
Ёр = - 11р(ЕхстП0ГЛ — dAs,(4.41)
где (Тпогл и <7ИЗЛ — сечения поглощения и испускания на частоте излучения лазера накачки, Z3 — объём облучаемой части образца, имеющего поверхность As. Поток энтропии, поступающей при накачке активного элемента лазера, равен
SP = тгхЦ |[(1 +првх)1п(1 ЕпРвх) - првх1ппрвх]А 4 dXdAs -
Trxcj j^(l + прВНуТр) In (1 + прВНуТр) — прВНуТр InпрВНуТр]A dXdAs.
(4.42)
Для дальнейшего расчёта необходимо конкретизировать модель активной среды и способ её возбуждения. Пусть активная усиливающая среда представляет собой параллелепипед, изображённый на рис. 4.3. Как видно из рисунка, излучение накачки, в отличие от излучения фотолюминесценции, не распространяется изотропно, а падает нормально
на поверхность образца, поэтому угловой интеграл из (4.42) теперь при интегрировании даст значение 2тг, а не тг, как было получено в формуле (4.38). Аналогично выражениям (4.39) и (4.40), число заполнения првх для фотонов, которые падают на поверхность образца, равно
I А5
Т1рвх = тАлД’ если ^ € ААнак(4.43)
47гксДАнак
Првх = о,если А ^ ААнак,
где при интегрировании импульсы накачки интенсивности Гр предполагались прямоугольными и со спектральной шириной ДАнак. Поскольку не все фотоны, попадающие на поверхность, поглощаются в образце, то число заполнения для фотонов, проникших внутрь образца, можно представить в виде
^Рвнутр = ^Рвх(1 — А"1(7погл^ 4" А^^излО•(4.44)
Для образца, изображённого на рис. 4.3, можно приближённо считать, что излучение флуоресценции распространяется симметрично в четырёх перпендикулярных направлениях от граней параллелепипеда, каждая из которых имеет площадь А = 110 мм2. Тогда вместо (4.37) получаем
EF = 4\lFM.(4.45)
Таким образом, в дальнейшем будем считать, что в формулах (4.37)(4.42) интегрирование по поверхности As заменяется интегрированием по поверхности А, а результат нужно умножить на 4.
Вследствие выбранной геометрии накачки, когда НО лазерных лучей подводятся к образцу снизу и располагаются вдоль нижней грани параллелепипеда через каждый миллиметр, среду можно рассматривать как состоящую из НО соединённых друг с другом элементов. Тогда интегрирование по поверхности можно заменить на /2, а затем провести суммирование по всем НО элементам, составляющим оптоволоконный образец. Для коммерческих непрерывных твердотельных лазеров мощности 100 Вт, спектральная ширина излучения на длине волны ~1 мкм составляет примерно ДАнак = 4 нм. Поэтому при интегрировании уравнения (4.42) длину волны А можно приближённо считать равной Анак, a dX = ДАнак = 4 нм. В принятых приближениях, находимiio
Тр =^^,(4.46)
47ГХсДА„ак 52 Spiг=1
где в целях сокращения записи нами приняты следующие обозначения:
СЦ — М^г^погл А^2 (^г)<7изл»
Sp% — (1 Т ^Ргвх) In ( 1 3“ ^Ргвх) ^Ргвх In Tlp^x
— (1 + /^р^внутр) In (1 + Пр^ВНуТр) — Пр^ВНуТр In Пр^ВНуТр,
IР (-^г)Анак / i 7\ ^Ргвх = ~л ’ П/р^ВНуТр = Рргвху^ —
4тгНс ААнак
Аналогично, для «потоковой» температуры флуоресценции можно получить^
Тр =(4-47)
2тГМсААр У^ Sptг=1
где
SFi = (1 + Tipi) In (1 + nFi) - nFi In Прр
^F (^) ^максA \[ г
^Fi - o , 2. Л , AAp - 1XF^ dA.ztvHc ZaXfJ
Для образца KGW:Yb3+ в спектре флуоресценции имеется максимум на длине волны Амакс = 982 нм, спектральная ширина которого составляет ААр = 28 нм. Используя данные, соответствующие рис. 4.4, можно увидеть, что значение tiFbx падает от 34, при z = О, до 6, при z = 11см. Физически, в значительно степени это обусловлено распределением яркости каждого из лазерных лучей накачки, которые подаются на образец. Значение nF изменяется от 0,23, при z = 0, до 0,088, при z = 11 см.
Теперь мы готовы вычислить значения «потоковых» температур, которые даются выражениями (4.46) и (4.47):
ТР = 11000К, TF = 4500К,
и для КПД нашего модельного радиационно-сбалансированного усилителя получаем рс = 60%. Для сравнения приведём его внутренний оптический КПД:
= 1ь(П см) - IlF) = 1?%,(4 48)
У2 Ip(zi)ail г=1
в предположении, что квантовый радиационный выход равен единице.
Двухпримесной лазер
Уже в начале 60-х годов были выполнены первые исследования нестационарных процессов в лазерах [159-161]. Обратимся к одной из основных моделей одномодового двухуровневого лазера бегущей волны, активная среда которого имеет однородное уширение, — системе
уравнений Лоренца-Хакена [162, 163], подробно описанной в книгах Я. И. Ханина[164, 165]:
^■ = 6<р-Е\ ^=>(пЕ-р\ ^ = 7„(П - п - рЕ). (4.49) (11(11(11
Здесь, для простоты, все входящие в эту систему уравнений переменные нормированы и имеют следующий смысл: Е — амплитуда электрического поля, р — амплитуда поляризации активной среды, п — инверсия, П — параметр накачки. Скорость релаксации разности населённостей обозначена уп, скорость релаксации поляризации — ур. Параметр q характеризует добротность резонатора и связан с временем жизни фотона в резонаторе Тс соотношением q = 1/(2Тс).
Обсудим, в качестве примера, твердотельный лазер, относящийся к классу В. Анализ показывает, что для реализации самоохлаждения таких лазеров предпочтительно, чтобы их активный элемент был легирован редкоземельными ионами. В этом случае соотношения между релаксационными коэффициентами оказывается таково, что
7р > 2 > 7п,
(4.50)(4.50)т. е. за полем успевает следить только поляризация, которая единственно исключается из числа переменных. Соответственно, фазовое пространство двумерно и допускает существование особых траекторий
(4.50)
(4.50)
РЗИРЗИ— 3’™фотон7A/W-— 3’™фотон7A/W-2’ г2’ гРис. 4.6. Совмещение сценариев лазерной генерации и лазерного охлаждения в кристалле, легированном активными редкоземельными ионами (РЗИ) для получения лазерной генерации и дополнительно — ионами Yb3+ дляРис. 4.6. Совмещение сценариев лазерной генерации и лазерного охлаждения в кристалле, легированном активными редкоземельными ионами (РЗИ) для получения лазерной генерации и дополнительно — ионами Yb3+ длявнутреннего лазерного охла-ждениявнутреннего лазерного охла-ждениянаряду с особыми точками. Переходные процессы имеют преимущественно колебательный характер.
РЗИ
РЗИ
— 3’™
фотон
7A/W-
— 3’™
фотон
7A/W-
2’ г
2’ г
Рис. 4.6. Совмещение сценариев лазерной генерации и лазерного охлаждения в кристалле, легированном активными редкоземельными ионами (РЗИ) для получения лазерной генерации и дополнительно — ионами Yb3+ для
Рис. 4.6. Совмещение сценариев лазерной генерации и лазерного охлаждения в кристалле, легированном активными редкоземельными ионами (РЗИ) для получения лазерной генерации и дополнительно — ионами Yb3+ для
внутреннего лазерного охла-ждения
внутреннего лазерного охла-ждения
Оптические спектры ионов редкоземельных элементов обусловлены электронными переходами в пределах незаполненных внутренних оболочек (например, d или /), которые экранированы от внешних воздействий электронами наружных (обычно р и s) оболочек. Поэтому окружение редкоземельного иона относительно слабо сказывается на этих спектрах и спектральные линии, соответствующие рассматриваемым переходам, относительно узки.
Упрощённая модельная схема, демонстрирующая процесс самоохлажде
ния активного элемента твердотельного лазера, легированного двумя редкоземельными примесями[150], приведена на
рис. 4.6. Будем предполагать, что роль «охлаждающих» ионов будут играть ионы ¥Ь3+, схема рабочих переходов которых пояснена на рис.3.1 Ион трёхвалентного иттербия является весьма удобным для процесса антистоксового охлаждения твердотельного образца. Струк-
чг-г
лазерный ион
Рис. 4.7. Пример переходов при совмещении сценариев лазерной генерации и лазерного охлаждения в твердотельной лазере, легированном редкоземельными ионами с добавлением ионов Yb3+. Здесь W — скорости безызлучательных переходов возбуждённого и основного состояний, А и В — скорости спонтанных и индуцированных переходов лазерных ионов, Nt (г = g, 1,2,3) — населённости состояний лазерных ионов, -rij (j = В^^З') — населённости состояний ионов Yb3+, П — скорость когерентной накачки, а, а' и Ь — скорости спонтанных и индуцированных переходов ионов Yb3+, Га^^а.Р = 1',2х) — скорости перераспределения населённостей в результате установления термодинамического равновесия между соответствующими состояниями ионов Yb3+.
Энергетический переход 1 —> g предполагается бесфононным
тура энергетических уровней состоит лишь из двух штарковских мультиплетов, а именно,2^7/2 основного состояния и 2^5/2 возбуждённого состояния, расположенного выше примерно на 1,3 эВ. Практически во всех кристаллических матрицах мультиплет основного состояния расщеплён на квартет дважды вырожденных состояний, так называемые крамерсовы дублеты, а мультиплет возбуждённого состояния имеет триплетную структуру. Вследствие значительного расстояния между основным и возбуждённым состоянием, вероятность безызлучательной релаксации на порядок величины меньше, чем вероятности оптических переходов. А благодаря простоте в структуре энергетических линий пары соседних ионов не участвуют в реакциях переноса возбуждения, которые приводят к безызлучательной релаксации, что, вообще, является типичным для кристаллов, легированных редкоземельными ионами. По совокупности этих причин, квантовых выход иона иттербия близок к единице, даже при довольно высоких концентрациях.
Очевидно, что схема, изображённая на рис. 4.6, является настолько простой, что при её использовании в расчёте могут быть пропущены важные детали. Поэтому воспользуемся более сложной схемой уровней, изображённой на рис. 4.7, которая характерна для многих твердотельных лазеров, активный элемент которых легирован редкоземельными ионами. Важно отметить, что необходимо подобрать такую кристаллическую или стеклянную матрицу, чтобы энергетический переход 1 g имел как можно меньшую вероятность многофононной релаксации (см. рис. 5.7, на котором показана зависимость, снятая
экспериментально, скорости испускания фононов от величины энергетического расщепления уровней для различных стёкол и кристаллов при комнатной температуре).
Скоростные уравнения лазера. Как будет показано ниже (см. формулу (4.65)), существует некая частота лазерного излучения, которая делает процесс охлаждения наиболее эффективным [6, 147]. Эффективное охлаждение активного элемента двупримесного лазера может происходить в том случае, когда подсистема ионов иттербия поглощает часть фотонов, появившихся в результате генерации лазерных ионов, а затем спонтанным образом люминесцирует в антистоксовой области с «эффективной» длиной волны излучения Ар = 2тгсо/щд, (со — скорость света в вакууме), как это наблюдалось в серии экспериментальных работ [6, 19], охлаждая кристалл в целом (см. 1.5). На рис. 4.7 приведена упрощённая схема энергетических переходов в рабочем веществе такого лазера.
Качественно эффект самоохлаждения можно понять следующим образом. При непрерывной накачке из состояния g в полосу поглощения (состояние 3) со скоростью П, мощность которой выше пороговой, в резонаторе лазера накапливается когерентное электрическое поле большой амплитуды. Оно вызывает быстрые индуцированные переходы между состояниями 1 и 2 со скоростью В. Инверсия населённостей этих состояний принимает такое значение, чтобы скомпенсировать все потери, которые связаны как с выходом излучения из резонатора, так и с оттоком части энергии поля на примесь иттербия. Поскольку длина волны генерации попадает в длинноволновое крыло линии поглощения иттербия, то величина b составляет небольшую долю от скорости В и потери на иттербии обусловлены главным образом скоростями спонтанной люминесценции иттербия а и а'. Пусть 9 нагрев лазера преимущественно обусловлен безызлучательными переходами лазерных ионов из состояния 3 в состояние 2, сопровождающимися рождением фонона с энергией Ш32, и скоростью накачки П. Величина расщепления Ш32 в два-три раза меньше, чем величина расщепления основного состояния ионов иттербия М^ч', на нижний подуровень которого происходит спонтанное излучение в анистоксовой области, приводящее к охлаждению. Понятно, что существует некое соотношение между значениями скоростей П,А,В и Ь,а,а', при котором процесс охлаждения будет компенсировать или даже превосходить процесс нагрева.
Рассмотрим подробнее кинетику эффекта оптической квантовой генерации. Система, для которой плотность ионов N в основном состоянии известна, описывается следующими уравнениями:
= М 4N2 + N34Ng (4.51)
9 Мы предполагаем здесь, что формула (2.60) для средней энергии фононов, которая отнимается у кристалла в расчёте на один поглощённый фотон, даёт нам то же значение и в обратном направлении процесса.
TVi = BqN2 + AN2 - WNV
(4.52)
N2 = lV^з - BqN2 - AN2
(4.53)
N3 = nWg - lV^з
(4.54)
Ng = W7V] - nWg
(4.55)
q = B(q+\)N2Va-^q-Wcq
(4.56)
где скорости безызлучательных переходов возбуждённого и основного состояний обозначены как W, А и В = Bq — скорости спонтанного и вынужденного переходов (они связаны с коэффициентами Эйнштейна), Nt (г = g, 1,2, 3) — населённости состояний рабочих лазерных ионов, N — общее число рабочих ионов, П — скорость когерентной накачки, q — число когерентно возбуждённых фотонов в кристалле, Q — добротность резонатора, Wc — скорость потерь когерентного излучения на примеси ионов Yb3+, Va — эффективный объём моды в резонаторе. Скоростные уравнения для системы охлаждающих ионов можно записать следующим образом:
п = пц + П2'+ П3/, (4.57) пу = а'пз' - Г1/2/П1 + Г2/1/п2/, (4.58) п2/ = Ы3/ + апз' - Ьп2> - Г2/рп2/ + Гр^пц, (4.59) йз> = Ьп2/ — апз> — Ьпз> — a'n,^, (4.60)
где п — полное число частиц второй примеси, rij (j = П^^З') — населённости состояний ионов Yb3+, а, а' и Ъ — скорости спонтанных стоксового и антистоксового переходов и вынужденного перехода для ионов Yb3+, Гау^а,Р = 1', 2') — скорости установления равновесного термораспределения в основном состоянии ионов Yb3+. В стационарном режиме получаем следующее решение:
(4.61)(4.62)(4.63)(4.61)(4.62)(4.63)Их' 1Г1/2/(о + а + 25)
(4.61)
(4.62)
(4.63)
(4.61)
(4.62)
(4.63)
Т1Г1/2/5 + а b + (Г1/2/ + Г2ч/)(а + а + 5)
_ Г1/2/(а -УаЧЬ^
ti Г1/2'5 + а b + (Г^7 + Г2ч,)(а + а + 5)
тгз' = Гр2^
Ti Г1/2'5 + а b + (Г 1/2' + Г2ч,)(а + а + 5)
Эффективность охлаждения. Пусть в полости резонатора оптической длины L и объёма V равномерно распределена мощность лазерного излучения Pi частоты шу Мощность охлаждения Рс определим как разницу между излучённой энергией в результате люминесценции ионов иттербия и энергией, поглощённой подсистемой этих ионов:
Рс = V | eWwdw - Pl (1 - е-^1^ = о
| E^hudu - 1Xu)iV | е^ du, (4.64)
ооо
о
о
где спектральная функция излучения такова, что s(u)du задаёт число фотонов, излучаемых в единицу времени в единицу объёма в интервале частот между и и и + du, a(ui) — коэффициент поглощения. Тогда эффективность лазерного охлаждения, определённая как отношение между мощностью охлаждения и лазерной мощностью, наведённой в полости, можно записать как
РсРс11e-d(cjz)Le-d(cjz)LUp — U[Up — U[(4.65)(4.65)
Рс
Рс
1
1
e-d(cjz)L
e-d(cjz)L
Up — U[
Up — U[
(4.65)
(4.65)
где
J г(и)1ги du
Ткар == (средняя энергия поля люминесценции).
J e(u) du о
Наряду с эффективностью охлаждения рс введём в рассмотрение эффективность самоохлаждения psc лазера как отношение мощности самоохлаждения (Рс — Рр) к мощности нагрева Рр. Тогда, представляя эффективность охлаждения через поглощённую мощность Рь, запишем
Рс ^ =РьРс ^ =РьРа' " PbРьРа' " PbРьРс-РнРс-Рн(4.66)(4.66)
Рс ^ =Рь
Рс ^ =Рь
Ра' " PbРь
Ра' " PbРь
Рс-Рн
Рс-Рн
(4.66)
(4.66)
Здесь Рс — мощность охлаждения, равная разности мощности антистоксовой люминесценции Ра> и поглощённой ионами иттербия мощности Рь; Рр — мощность нагрева, выделяемая в кристалле при поглощении излучения накачки. Совместные условия наличия охлаждения за счёт иттербия рс > 0 и наличия самоохлаждения psc > 0 налагают требования на скорость индуцированного поглощения Ь, а тем самым на величину отстройки в длинноволновую область линии поглощения:
Ь>Ь>рс^ тг2' ’рс^ тг2' ’(4.67)(4.67)
Ь>
Ь>
рс^ тг2' ’
рс^ тг2' ’
(4.67)
(4.67)
Условия генерации лазера. Принимая во внимание малость времён безызлучательных переходов по отношению ко временам жизни верхнего лазерного уровня и даже ко времени лазерного перехода ^W >> А, В\ получим из системы (4.51)-(4.56) уравнение для разности населённостей лазерных состояний NN = N2 — N\ и уравнение для среднего числа фотонов q:
(4.68)(4.68)MV(t) = П(^ - ^N(t)) - ^(t)Q3q(t) + А)
(4.68)
(4.68)
q^ = BVaq(tPMt) - ^ q(t) - Wcq(p
Если накачка включается в момент времени to, когда в резонаторе вследствие спонтанного испускания присутствует некоторое небольшое число фотонов до, ПРИ начальной инверсии населённостей АЛф Для частного решения системы (4.68) получаем:
гдегде= 1 ^/Q + Ж) (t - t0) ( + 1VaB (t-toK+1= 1 ^/Q + Ж) (t - t0) ( + 1VaB (t-toK+1q(t) = qo^qo- vaB(t -t0) aa0 -q(t) = qo^qo- vaB(t -t0) aa0 -ui/Q^wAVaB ) ’ui/Q^wAVaB ) ’/, Q + ^c“ AjV0O '/, Q + ^c“ AjV0O '(4.69)(470)(4.71)(4.69)(470)(4.71)
где
где
= 1 ^/Q + Ж) (t - t0) ( + 1
VaB (t-toK+1
= 1 ^/Q + Ж) (t - t0) ( + 1
VaB (t-toK+1
q(t) = qo^qo- vaB(t -t0) aa0 -
q(t) = qo^qo- vaB(t -t0) aa0 -
ui/Q^wA
VaB ) ’
ui/Q^wA
VaB ) ’
/, Q + ^c
“ AjV0O '
/, Q + ^c
“ AjV0O '
(4.69)
(470)
(4.71)
(4.69)
(470)
(4.71)
Эти решения дают нам временное поведение q(t) на этапе, когда число фотонов изменяется линейно со временем (см. рис. 4.8). В пределе t —> ос формула (4.69) даёт нам
цт =!(w(4 72)
что совпадает с относительной инверсной населённостью на пороге генерации псг, начиная с которой скорость роста фотонов q становится положительной:
^сг^сгАА\N / порогАА\N / порог1 (адNVa [ QB + В J ’1 (адNVa [ QB + В J ’(4.73)(4.73)
^сг
^сг
АА\
N / порог
АА\
N / порог
1 (ад
NVa [ QB + В J ’
1 (ад
NVa [ QB + В J ’
(4.73)
(4.73)
Из последней формулы видно, что пороговое условие на генерацию для разности населённостей в случае наличия примеси иттербия (слагаемое с Wc в формуле (4.73)) требует достижения большего значения инверсии, чем без наличия дополнительной примеси иттербия.
Коэффициент потерь на второй примеси. Чтобы получить выражение для коэффициента Wc, характеризующего внутренние потери лазерного поля на ионах иттербия, рассмотрим множество резонаторов, находящихся первоначально в нижнем состоянии |1'). Вследствие несовпадения частоты безфононного резонансного перехода |1') |3') с частотой лазерной генерации, вынужденные переходы будут происходить между состояниями |2') и |3'), а заселённость состояния |2') определяется температурой образца и подчиняется распределению Больцмана. Введение в рассмотрение состояния |2') делает удобным исследование возбуждения светом, частота которого смещена относительно резонанса в длинноволновый край линии поглощения. Будем предполагать квантовый выход люминесценции безфононного перехода близким единице и, таким образом, система таких ионов будет поглощать фотоны лазерного поля со скоростью, пропорциональной интенсивности света, но без переизлучения в лазерную моду.
Вычислим влияние одного такого иона, допуская, что взаимодействие с лазерным полем продолжается в течении времени Т — времени
населенноетсей
Рис. 4.8. Временная зависимость среднего числа фотонов лазерной моды в резонаторе, описываемая формулой (4.70), в зависимости от значения инверсии населённостей в момент времени to- Ниже порога генерации число фотонов уменьшается со временем, выше порога — увеличивается
жизни иона в состоянии Ц'). Для этого получим среднюю скорость изменения матрицы плотности поля рр, при условии, что состояние поля меняется медленнее, чем состояния ионов. Затем усредним по радиус-вектору г, полагая, что п ионов распределены с некоторой плотностью Tf(r\
Гамильтониан полной системы, состоящей из одномодового электромагнитного поля частоты ш^ и иона, с частотой резонансного перехода то = Г^зчч находящегося в точке с радиусом-вектором г, можно записать в виде:
Н = WvRa + М (q + 1) - Д12. E(r,t) ^b(t) + b4t)] ,(4.74)
где pt'^ — матричный элемент оператора дипольного момента перехода иона, который будет считаться действительным, как в случае перехода с Ат = 0; q — оператор числа фотонов, b(t) и b^ (t) — ионные понижающие и повышающие операторы. В картине взаимодействия понижающие и повышающие операторы изменяются со временем согласно формулам
W = ыр) e-^ott-to), ^40 = Wo
где to — начальный момент времени, с которого начинается эволюция. Одномодовое электрическое поле E(r, t) в картине взаимодействия выражается тогда в виде
+1/2 г
E(r, t) = —^ () a(to)n(r) e_^^_t°) + э.с. ,(4.75)
7 VV \ 2s0 / LJ
где и^ — нормированная модовая функция резонатора; V — объём резонатора и г — действительный единичный вектор поляризации, представляющий линейно-поляризованную волну. Слагаемое, описывающее взаимодействие в (4.74), принимает вид
H^t) = hg \а b^ и^ё1^0-^^^-^ + э.с. + аД)и(г)еГг^°^^^^^+ э.с."|.
(4.76)
Здесь g есть константа, характеризующая эффективность взаимодействия:1/2
^(4.77)
\ZrlEoV /
Временные аргументы в операторах а, а\ Ь, Ь^ по умолчанию всегда равны to-
В момент to, начиная с которого мы будем учитывать взаимодействие, состояние полной системы факторизуется, так что оператор плотности записывается в виде
№0 = IЩЩ ®Щ£о),№0 = IЩЩ ®Щ£о),(478)(478)
№0 = IЩЩ ®Щ£о),
№0 = IЩЩ ®Щ£о),
(478)
(478)
где |1')(1'|, pp(to) — приведённые операторы плотности примесного иона и поля, соответственно. Результатом взаимодействия является изменение во времени оператора р в картине взаимодействия, и его вид в момент t задаётся разложением [168]
tЦ^г-1
\ dt\ \ dt2 dtT х
/г)JJJ
tototo
x \нл^, [яЦЦ),..., [М).Ж)]] ...] . (4.79)
Вычисляя след по переменным ионов второй примеси, мы можем выразить влияние взаимодействия на состояние лазерного поля в момент времени t в виде
001 ft rtirtr-1
№(t) = №(<о) + Тга у TTTTr d-M <й2... dtr X J t0 J t0 J to
x [ДОР, [^(Ц), [... [яЦ^ЩЦ)]]• (4.80)
Влияние ансамбля примесных ионов на поле можно рассчитать приближённо, выбирая в разложении (4.80) t — to = At равным времени Т' — времени жизни иона в состоянии |1') и затем усредняя по At с экспоненциальным распределением вероятности для среднего значения Т 1
Р(М) = 1. е-^/Т, (4.81)
6 С. В. Петрушкин, В. В. Самарцев
Если время жизни М = t — t^ очень большое по сравнению с оптическим периодом 2тг/сс;о, то члены, содержащие e±z(^+^o)t в выражении (4.76), дают при интегрировании нуль и ими можно пренебречь. Чтобы гарантировать, что потери будут пропорциональны интенсивности лазерного поля и что переизлучение ионов второй примеси будет отсутствовать в лазерную моду, мы оборвём разложение (4.80) на первом неисчезающем члене. Тогда для изменения состояния поля, вызванного ионом второй примеси в точке с радиус-вектором г, получим следующее выражение
△ЩМ =^Т) .2 Mr)I2 [аМрР(^о)(1 +«TAw) -арг^о)^ + э.с.],
1 + (Т Дш)
(4.82) где Acj = ui — шо — отстройка от резонанса. Так как количество примесных ионов п достаточно велико, вклад любого из них в изменение рр, следовательно, мал, и если лазерное поле эволюционирует медленно, то изменение Ajop(^o) из выражения (4.82) можно рассматривать как бесконечно малое. Умножая AjSp(^o) на Rfx — скорость, с которой ионы приводятся в состояние |1'), и усредняя по радиус-вектору г, получаем среднюю скорость изменения оператора плотности лазерного поля, вызванного потерями на ионах второй примеси, при условии, что состояние поля меняется намного медленнее, чем состояние каждого иона, и при отстройке от частоты резонансного перехода Ащ. Результат имеет вид
RiW2п(1 + (Т'Дш)2) .RiW2п(1 + (Т'Дш)2) .7р(г)Щг)|2 х7р(г)Щг)|2 х
RiW2п(1 + (Т'Дш)2) .
RiW2п(1 + (Т'Дш)2) .
7р(г)Щг)|2 х
7р(г)Щг)|2 х
х [аМ/)р(1 + гТ'ХЛ) — арЛ^ + э.с.] d?r, (4.83)
где скорость изменения представляет собой крупнозернистую производную [169]. Если переписать (4.83), вводя коэффициент С', характеризующий потери на второй примеси, то получим выражение
№-\=-1с'Ма№(1+гТАш)-а^ра1+ Э.С.1,(4.84)
\ ut J потери 2
где' (
С' _ 2—RikgT)f^(r)|u(r)|2 d3T.(4_85)
n(l + (Т'Alc) )
Здесь n — количество ионов второй примеси, распределённых в объёме активной среды лазера с плотностью т/(г); u(r) — нормированная модовая функция резонатора; Acj — величина отстройки частоты лазерного поля от резонанса безфононного перехода ионов второй примеси; константа g характеризует величину взаимодействия каждого иона с полем, которое длится в течение времени жизни Т', Rx — скорость, с которой ионы оказываются в основном состоянии.
Объединим (4.85) с эффектами усиления и потерь, которые получаются в квантовой теории одномодового лазера [168, 169]. Это приводит к следующему основному кинетическому уравнению для оператора плотности 3f лазерного поля:
^^ = — ^ А [аа^Зг — с^рра + э.с.] — ^ С [о^/)р — арра^ + э.с.] —
- ^ С' [а^аЗг(1 + zT'Acj) - аррсА + э.с.] +
+ | В [а сАа сАрр + За а^рраа^ — 4сАа а^рра + э.с.] , (4.86)
где введены сокращения (в квантовой теории лазера эти символы являются стандартными и не нужно их путать с символами А и В, которые используются нами для коэффициентов Эйнштейна)
Л = 2^ №)2|??(r)|u(r)|2 Лг,
С = 2^ (§Щ2р1(г)Шг)|2 Лг,
Ri(irri\i г(4.87)
С = 2‘^ ,[ ^'(r)|u(r)|2 Лг,
B =d3r
для коэффициентов, характеризующих усиление, потери и нелинейность лазера, соответственно. N — количество ионов лазерной примеси, распределённых в объёме активной среды лазера с плотностью р(г); и(т) — нормированная модовая функция резонатора; Аи — величина отстройки частоты лазерного поля от резонанса безфононного перехода ионов второй примеси; константа g характеризует величину взаимодействия каждого лазерного иона с полем, которое длится в течение времени жизни Т2 для верхнего лазерного уровня, соответствующего состоянию 2, и Ti — для нижнего лазерного уровня, соответствующего состоянию 1 (см. рис. 4.7); константа ^ характеризует величину взаимодействия каждого иона второй примеси с полем; TVi — число атомов теплового резервуара, который формально описывает потери на зеркалах.
Полную скорость потерь теперь можно отождествить с реальной скоростью потери фотонов в резонаторе лазера, которая определяется коэффициентами отражения зеркал и поглощением поля на второй примеси. На практике скорости усиления А и потерь С соизмеримы, даже значительно выше или значительно ниже порога. С другой стороны, отношение В к А, как правило, чрезвычайно мало и составляет ю-6^ КГ7.
Операторное уравнение движения (4.86) позволяет вывести уравнения для средних значений динамических переменных поля. Уравне-
ние движения для вероятности р(пД) того, что в момент времени t в резонаторе имеется п фотонов, которая задаётся средним значением оператора pr(t) в фоковском состоянии |п)
р(п, t) = (nl^F^)!^),
нетрудно получить из (4.86) и оно имеет вид:
^^^ = -А(п + 1) [1 - ^ (n + l)]p(n, t) + Ап [1 - ^ п]р(п - 1, t) +
+ (С + С'^п + Х>(п + М) - (С + С>р(п, t). (4.88)
Данная формула имеет точно такой же вид, как и формула, получаемая методом Вайскопфа — Вигнера [169], при условии, что рассматриваются только такие числа фотонов п, для которых члены (В/А)п оказываются намного меньше единицы, а полный коэффициент потерь выражается суммой (С + C'Y Это указывает на тот факт, что уравнение (4.88) описывает работу лазера при наличии второй примеси в рабочем кристалле и при не сильном превышении порога.
Стационарное решение уравнения (4.88) даёт распределение вероятностей в установившемся режиме работы лазера. Из него можно получить среднее значение числа фотонов (n^t. С другой стороны, это же стационарное значение числа фотонов, которое обозначим qst, получается из системы уравнений (4.68), если в них положить производные равными нулю. В [168] показано, что даже если лазер работает при значительном превышении порога, он всё ещё хорошо описывается уравнениями движения (4.86), для которых разложение по теории возмущений обрывается на втором неисчезающем члене. Таким образом, мы имеем [169]
\ _ Л2 Аn^st~(C + C')B в
с одной стороны, где константы определены в (4.87), и
ОП г П 4- т/ Д
4st =+ WCQ) NVa В(4'90)
с другой стороны, где константы определены в (4.51)-(4.56), а г-1 представляет собой скорость спонтанной релаксации верхнего лазерного уровня А из системы (4.51)-(4.56).
Самоохлаждение. Аддитивность потерь на ионах второй примеси в (4.88) оправдывает в уравнении (4.56) последнее слагаемое. Вычислим в стационарном режиме из системы (4.68) относительную инверсную населённость
= ^Nst = Пn$t - n П + А + В ’
и с помощью (4.91) из (4.68) получим критическую скорость накачки, необходимую для достижения порога генерации:
А
Пег =(4.92)
Предположим, что генерация начинается при достижении инверсии порядка 1 %. Тогда характерное значение пороговой скорости накачки Псг примерно в сто раз меньше А. Договоримся все скорости выражать в скоростях спонтанного распада верхнего лазерного уровня А. Оценим скорости индуцированных переходов. Пусть в режиме генерации скорость накачки П на порядок превышает пороговое значение, т. е. П = 10Псг = ОДЛ. В свою очередь, для В из формул (4.91) и (4.92) получаем:
В = А ^ - 1) + П.(4.93)
Поскольку частота когерентного излучения находится в длинноволновом крыле линии поглощения иттербия, то при отстройке от центра линии на три ширины, скорость индуцированных переходов в примеси иттербия b составит В/^, т. е. будет величиной одного порядка с А. При эффективности охлаждения на иттербии порядка одного процента для рассматриваемых переходов величина £ имеет значение порядка 100. Отсюда видно, что значение b удовлетворяет неравенству (4.67).
При Т = 300 К отношение ГЛр/Грг' 0.1 Тогда из решений (4.62) и (4.63),
П2~п^—,(4.94)
1 + ^ («' + &)
Из ~ И77/Л\■(4-95)
а о / , нА// 7 \
+ Н 1 + г— I ^а + ^
1 Х'2'\1 Х'2' /
Можно показать, что при выбранных значениях параметров П, А, В и Ь, а, а' реализуется следующая цепочка событий. Со скоростью П = ОДЛ лазерный ион возбуждается в состояние 3. Поскольку безызлучательный процесс является самым быстрым среди рассматриваемых, то можно считать, что со скоростью П рождается фонон с энергией Шз2- Далее, часть энергии когерентного лазерного поля уходит на возбуждение иттербия и он со скоростью Ь А переходит в возбуждённое состояние 3'. Затем со скоростью а' ^ А происходит распад иттербия с излучением кванта, частота которого лежит в антистоксовой области. Этот квант забирает энергию TiCl^v > ^32 из фононной подсистемы.
В принятых нами условиях, когда генерация начинается при достижении инверсии порядка 1 % имеем: Псг ~ 10-2Л, П = ОДЛ, В ~ ЮЛ, b ~ — А, ~ 100, П2 ~ 0,6п. пз ~ 0,Зп. Таким образом мы получаем, что при больших на порядок концентрациях активной лазерной приме-
си, чем примеси Yb3+, в нашем примере выполняется условие лазерного охлаждения, т. е.
(мощность нагрева) ^ (мощность охлаждения), или
NgII •< (П1ГИ2/ - n2r24/) • Мч'-(4.96)
Например, если для иттербия и лазерного иона расщепления составят ^24' ~ 400 см-1 и Q32 ~ 100 см-1, соответственно, то для (4.96) получаем:,
1 • 0,1 ■ 100 < 0,3 • 10-1 • 1 ■ 400(4.97)
Таким образом, самоохлаждение возможно тогда, когда в процессе накачки рождается фонон с энергией, меньшей чем энергия, уносимая в процессе антистоксовой люминесценции. По сделанным выше оценкам последняя примерно в два-три раза больше первой. Необходимо также подобрать такой лазерный ион, чтобы его резонансная частота попадала в длинноволновое крыло линии поглощения холодильного иона второй примеси так, чтобы скорость накачки, достаточная для генерации, была на порядок меньше скорости антистоксовой люминесценции. Тогда мощность охлаждения может превышать мощность нагрева кристалла.
Глава 5
ЛАЗЕРНОЕ ОХЛАЖДЕНИЕ ТВЕРДОТЕЛЬНЫХНОСИТЕЛЕЙ ИНФОРМАЦИИ ОПТИЧЕСКИХЭХО-ПРОЦЕССОРОВ
В настоящее время ведутся активные разработки оптических фазовых процессоров, функционирующих на основе долгоживущего фотонного эха (см., напр., [172]). У этих оптических эхо-процессоров с точки зрения пользователя имеется существенный недостаток, связанный с необходимостью обеспечения низких температур для надёжного функционирования носителей информации. При этом в качестве последних используются кристаллы, легированные некрамерсо- выми редкоземельными ионами (Рг3+, Еи3+, Тш3+, Но3+, ТЬ3+, Рш3+) и известные как ван-флековские парамагнетики. Ещё в 1995 году в работе [173] Т. Моссбергом с коллегами было продемонстрировано, что оптические эхо-процессоры могут иметь небольшие размеры, благодаря использованию компактных коммерческих диодных лазеров и лавинных фотодиодных детекторов. Оптическая плотность таких эхо- процессоров с носителем информации YAG:Tm3+ достигала нескольких гигабит/см2, а скорость перезаписи информации достигает нескольких терагерц. Компактные оптические эхо-процессоры нуждаются в компактной системе охлаждения. Один из путей решения этой проблемы состоит в использовании антистоксового режима лазерного охлаждения с применением компактного диодного лазера. Заменить громоздкую внешнюю систему охлаждения физическим «охлаждающим» процессом внутри носителя информации — такова цель разработок на этом пути. Идеальным решением проблемы была бы реализация режима, при котором чем дольше выполняет расчёт эхо-процессор, тем больше он самоохлаждается. Для достижения такого решения понадобится использование фотонного локинга или многоимпульсных оптических последовательностей (приводящих к сужению однородной ширины спектральной линии). Поскольку ряд проблем такого рода был уже решён в ЯМР при достижении магнитного охлаждения, то целесообразным будет в этой главе сначала обсудить физику магнитного охлаждения в условиях адиабатического изменения магнитного поля и спин-локинга [174].
Магнитное охлаждение
.1.1. Адиабатическое размагничивание спиновой подсистемы. В ЯМР понятие спиновой температуры было введено X. Казимиром и Ф. дю-Пре при термодинамическом описании экспериментов К. Гор- тера по парамагнитной релаксации. В твёрдых телах ядерные спины связаны друг с другом дипольными магнитными взаимодействиями гораздо сильнее, чем с решёткой. Понятие спиновой температуры предполагает, что спины находятся в состоянии внутреннего равновесия, достигнутого за время поперечной релаксации Т^ существенно более короткого, чем время спин-решёточной релаксации Ti, и что это состояние равновесия может быть описано внутренней температурой Т^\ отличной от температуры решётки Т. Существенный вклад в развитие представления о спиновой температуре внёс Дж. Ван-Флек, обративший внимание на то важное обстоятельство, что разложение статистической суммы Z по степеням обратной температуры 1 /Т позволяет найти Z без вычислений собственных значений энергии и собственных функций гамильтониана. Первым, кто активно использовал это обстоятельство, был, безусловно, И. Валлер. Итак, зная статистическую сумму состояний j с энергией каждого из них Ej при температуре резервуара Т
г
можно найти такие характеристики системы, как теплоёмкость, энтропия, намагниченность и энергия.
Если спиновая система с температурой Т^ находится в тепловом равновесии с термостатом температуры Т, то различные состояния j всей системы заполняются с вероятностями Pj, определяемыми фактором Больцмана
р1(Ез \
Pl = 77 exp.
3Z\ иТ^ )
Тогда в высокотемпературном приближении можно показать, что средняя энергия Е = ^ ЕзЕз равна [174]
з
(5.2)(5.2)гдегдер С(Яб + Я20К)г(с)
(5.2)
(5.2)
где
где
яуДЧд-и)
Зи
— постоянная Кюри; Нлок — локальное магнитное поле, равное
=-«Д+ое(7)6=-«Д+ое(7)6(5.3)(5.3)
=-«Д+ое(7)6
=-«Д+ое(7)6
(5.3)
(5.3)
— гиромагнитное отношение; I — значение ядерного спина; Tv™ — радиус-вектор расстояния между спинами I и т; N — число ядер в единице объёма.
Энтропия а, являющаяся мерой порядка в системе, оказывается равной значению [174]
а = ^xln (2/ + 1) - | Я° .(5.4)
При этом намагниченность М подчиняется закону Кюри
М = ^(5.5)
Теперь обсудим режим медленного или адиабатического изменения магнитного поля. В адиабатическом процессе энтропия постоянна. Из выражения (5.4) следует, что величина (Н^ + Н^ок)/Т^ также остаётся постоянной. Из этого вытекает, что при адиабатическом изменении поля Над до конечного значения Hq^ конечная температура Т^ может быть определена с помощью следующей формулы
==н2 4- Н2 1 1/2Д0(к) + ДдокНад + Нд0К _н2 4- Н2 1 1/2Д0(к) + ДдокНад + Нд0К _(5.6)(5.6)
=
=
н2 4- Н2 1 1/2
Д0(к) + Ддок
Над + Нд0К _
н2 4- Н2 1 1/2
Д0(к) + Ддок
Над + Нд0К _
(5.6)
(5.6)
где индексы «н» и «к» соответствуют начальному и конечному значениям магнитного поля и спиновой температуры. В процедуре адиабатического размагничивания предполагается, что Hq^ >> Н^№. Затем магнитное поле Яо адиабатически уменьшают до значения Hq^ С Н^ок. Тогда из выражения (5.6) следует, что
(57)(57)лок
(57)
(57)
Т^ Я0(н)
Итак, конечная температура спинов становится много меньше первоначальной ТнС\ Первоначально спины находились в тепловом равновесии с термостатом (под которым понимается, например, решётка, имеющая температуру жидкого гелия). Конечная температура спинов Т^ будет существенно меньше температуры термостата. При этом, чем больше Но(н) и чем меньше Нлок, тем более эффективной будет процедура охлаждения. Заметим, что для уменьшения Нлок магнитные атомы разбавляют [174]. Идея магнитного охлаждения была предложена П. Дебаем в 1926 году. Позднее, в 1934 году, К. Гортер теоретически исследовал возможность ядерного магнитного охлаждения, а в следующем году последовал первый эксперимент, выполненный Н. Курти и Ф. Симоном. Наинизшая температура ТкС^тш, которую можно достигнуть с помощью ядерного магнитного охлаждения (в отсутствие квадрупольного или обменного взаимодействия) определяется спонтанным упорядочением ядерных спинов, обусловленным диполь-
170 Гл. 5. Лазерное охлаждение твердотельных носителей информации дипольным взаимодействием. Оценки т^с)т1П приводят к значениям 0,1 мкК, а в эксперименте с церий-магниевым нитратом достигнуто значение т^с)т1П = 1,9 мК. В монографии О.В. Лоунасмаа [175] содержится прекрасное описание аппаратуры по реализации магнитного охлаждения.
С.А. Альтшулер в работе [176] предсказал возможность использования сверхтонкого взаимодействия для реализации ядерного магнитного охлаждения ван-флековских парамагнетиков. Дело в том, что некрамерсовы редкоземельные ионы (Рг3+, Еи3+, Тш3+, Но3+, ТЬ3+, Рш3+), обладающие высокой ван-флековской восприимчивостью и находящиеся в основном синглетном состоянии, при наложении даже слабого магнитного поля приобретают индуцированный магнитный момент, который, в свою очередь, создаёт в области расположения ядра более сильное магнитное поле (чем Яо). При этом коэффициент усиления поля а равен а = 1 + к (где к — сдвиг Найта, который может быть порядка 20 и даже 100). Индуцированный магнитный момент на один-два порядка больше, чем ядерный магнетон. В этих условиях, при отсутствии магнитного взаимодействия между ионами, спонтанное упорядочение ядер может ожидаться лишь при температурах 10 -У 100 мкК, а при наличии обменного взаимодействия — примерно 1 мкК. Наибольшими перспективами обладают ван-флековские парамагнетики с ионами Тш3+ и Рг3+, у которых спиновый угловой момент S = 1 и поэтому обменное взаимодействие между ионами слабее, что, в свою очередь, приводит к более низкой температуре спонтанного упорядочения ядер.
Предсказание С.А. Альтшулера было экспериментально проверено К. Андресом и Е. Бучером [177, 178]. Многообещающие результаты получены на PrPt5,PrCu6 и РгТ1з, где Т^ достигала значений 3,5; 2,7 и 1,5 мК соответственно.
Итак, мы убедились, что процедура адиабатического размагничивания приводит к установлению порядка в зеемановской системе ядерных спинов. Как обеспечить перенос этого порядка в дипольную систему в условиях, когда зеемановская энергия квантована в квантах около ста мегагерц каждый, а спектр дипольной системы не превышает ста килогерц? Разумеется, в сильном магнитном поле эти системы не взаимодействуют. Однако, мы можем «включить» это взаимодействие с помощью радиочастотного поля, частота которого со близка к зеемановской частоте coq при конкретном значении поля Hq. Речь идёт о процедуре адиабатического размагничивания во вращающейся системе координат, впервые экспериментально реализованной Ч. Сликтером и Д. Холтоном в 1961 году. Во время этой процедуры медленно изменяют зеемановскую частоту (путём адиабатического изменения Н^ от отдалённого по отношению к со значения до резонансного значения. В области резонанса большая часть зеемановского порядка переходит в дипольную систему, а большая часть энтропии — в зеемановскую
систему. Теоретическое описание физической картины всего процесса удобно выполнять во вращающейся системе координат. При достижении резонанса радиочастотное поле выключают и обе системы вновь становятся изолированными друг от друга. Эта процедура может быть проведена неоднократно.
Спин-локинг
При теоретическом описании адиабатического размагничивания во вращающейся системе координат было получено [177], что
М = МоМ = МоНэффНэфф[Я^фф + Я2ОК]1/2[Я^фф + Я2ОК]1/2(5.8)(5.8)
М = Мо
М = Мо
Нэфф
Нэфф
[Я^фф + Я2ОК]1/2
[Я^фф + Я2ОК]1/2
(5.8)
(5.8)
+ хЯь+ хЯьгде Яэфф — эффективное статическое поле;
+ хЯь
+ хЯь
(5.9)
Н\ — амплитуда переменного магнитного поля; у — гиромагнитное отношение; х, у, z — орты вращающейся системы координат; Mq = у Яд — равновесное значение намагниченности; у — магнитная восприимчивость. Обратим внимание на то, что М||НЭфф в согласии с законом Кюри. При уменьшении Яо по мере приближения к резонансу, намагниченность М меняет своё направление и при точном резонансе имеем МЦНр Намагниченность можно измерить, если быстро выключить радиочастотное поле с амплитудой Н\ и наблюдать свободную прецессию намагниченности М вокруг поля Но. Известно, что свободная прецессия магнитных спинов индуцирует в катушке вокруг образца напряжение, которое после выключения поля Hi пропорционально Мх. Компонента намагниченности Мх затухает за время, обратное величине уЯЛ0К. Однако, Mz-составляющая осталась неизменной и её можно измерить. Для этого исследователь должен повернуть Mz в плоскость ху с помощью —-импульса (т. е. импульса с «площадью» ^ = ш\М = —, где ш\ = 7Я1 — частота Раби; At — длительность импульса). Можно показать, то после этого поворота компоненты намагниченности Мх и Mz могут быть рассчитаны по формулам
Мх — МоМх — МоЯ1Я1Mz = м0Mz = м0Яд^ффЯд^фф[ДфФ + <к]|/2’[ДфФ + <к]|/2’где Ядфф — составляющая ЯЭфф в направлении оси z;где Ядфф — составляющая ЯЭфф в направлении оси z;TTZ тт ш^эфф - Я0 -TTZ тт ш^эфф - Я0 -(5.10)(5.11)(5.10)(5.11)
Мх — Мо
Мх — Мо
Я1
Я1
Mz = м0
Mz = м0
Яд^фф
Яд^фф
[ДфФ + <к]|/2’
[ДфФ + <к]|/2’
где Ядфф — составляющая ЯЭфф в направлении оси z;
где Ядфф — составляющая ЯЭфф в направлении оси z;
TTZ тт ш
^эфф - Я0 -
TTZ тт ш
^эфф - Я0 -
(5.10)
(5.11)
(5.10)
(5.11)
Теперь следует вновь включить переменное поле H](t) и вернуться во вращающуюся систему координат. В случае точного резонанса полу-
чаем
М^ = М»ш2+Г р/2. (512) + Ллок]
а направление Мж-компоненты совпадает с направлением Hi во вращающейся системе координат. В этих условиях поле Hi выполняет роль «продольного» постоянного поля, а это, в свою очередь, приводит к тому, что Мж-составляющая будет сохраняться на временах, меньших времени продольной релаксации Ti (а не времени поперечной релаксации Т^, как обычно).
В результате, ядерные спиновые моменты осуществляют в течение Ti прецессию в фазе с полем Hi и поле этой прецессии фиксируется приёмной катушкой. Согласно [177], эффект постоянства намагниченности М в условиях, пока сохраняются неизменными поле ЯЭфф и синфазность прецессии МиЯ|, получил название спин-локинг (т. е. захват спинов полем Н\\ При Н^ порядка Я^ок компонента намагниченности Мх становится меньше Mq. Но намагниченность можно восстановить, если отойти от резонанса. В этом случае она возрастает до значения Mq при Я|фф >> Я^. Из формул (5.10) следует, что если поле Яо точно соответствует резонансу и если выполняется условие Я1 >> Ялок, то имеем: Мх = Mq, а сигнал индукции получается столь же большим, как после тг/2-импульса.
При Я1 << Ялок поперечная компонента намагниченности оказывается меньше Mq, а постепенное плавное уменьшение амплитуды Н\ до нуля после достижения резонанса приводит к исчезновению намагниченности. В итоге, весь порядок в зеемановской подсистеме оказывается перенесённым в дипольную систему, в которой спины выстраиваются вдоль их локальных полей. Через некоторое время можно снова восстановить намагниченность в зеемановской системе, если медленно включить радиочастотное поле Hi.
Многоимпульсный спин-локинг. В настоящее время используются различные режимы реализации спин-локинга, в том числе многоимпульсные. В заключение параграфа остановимся на одном из них. Сначала на спин-систему воздействует тг/2-импульс, вызывающий появление поперечной намагниченности, скажем, Мх. Затем на эту систему подаётся протяжённый «запирающий» импульс, поле которого Hi должно быть направлено вдоль поперечной компоненты Мх. Этот импульс осуществляет захват спинов на временах, меньших Ть После окончания действия «запирающего» импульса, поперечная намагниченность затухает со временем релаксации Т^ и это затухание фиксируется приёмной катушкой. В принципе, до момента полного затухания на спин-систему можно было бы подать тг-импульс и наблюдать ядерное спиновое эхо. Этот третий импульс выполняет роль считывающего импульса. Разумеется, возможны и другие варианты реализации считывания.
Фотонный локинг
В этом параграфе речь пойдёт о реализации идеи спин-локинга в оптике. Впервые такой вопрос был поставлен и экспериментально реализован в 1986 году А. Зевейлом с коллегами [179]. Оптическому диапазону присущи характерные особенности по сравнению с ЯМР-диапазоном. Первая из них состоит в том, что энергетические оптические расщепления уровней (скажем, ионов в кристалле) определяются внутрикристаллическим и внутриионным полями, а не магнитным полем Но, как это имеет место в ЯМР-диапазоне. Как следствие, при переносе идеи магнитного охлаждения в оптику мы не можем эффективно использовать изменение магнитного поля Но, но всё же мы можем осуществить варьирование амплитуды электрического поля лазерного излучения и изменение параметра расстройки.
Вторая особенность связана с тем, что оптический резонанс, как правило, реализуется на электродипольных энергетических переходах, а электрический диполь является полярным вектором и на переходах между невырожденными уровнями у него отсутствуют продольные компоненты (рп и Р22), в отличие от магнитного диполя. Кроме того, вектор поляризации возбуждающего лазерного поля тоже не имеет продольной компоненты. Чтобы учесть эту особенность, Р. Фейнман с коллегами ещё в 1957 году в работе [180] показали, что и в оптическом диапазоне можно построить уравнения типа уравнений Блоха, но роль диполей в них будут играть псевдоэлектрические диполи Pj, а роль поля в местоположении каждого из них будет играть псевдо- электрическое поле Ej [181]. Приведём общий вид этого уравнения без релаксационных членов:
^ = 7э(Р7хЕЛ, (5.13)
где 7э = V2K-xpX2 — гироэлектрическое отношение; рх2 — модуль электрического дипольного момента перехода. Все эти особенности оптического диапазона детально описаны в книге [182].
И, наконец, третья особенность оптического диапазона является технической и связана с трудностью получения крутых фронтов импульсов И СЛОЖНОСТЬЮ контроля импульсной площади ^ = ТГ^ЕоМ (где Ео — амплитуда напряжённости электрического поля импульса; At — длительность импульса).
Эта трудность уже преодолена в оптическом диапазоне несколькими методами: а) путём использования техники штарковских импульсов [183]; б) путём применения техники внутрирезонаторной частотной модуляции [184]; в) за счёт использования акустооптического модулятора [185]. Важным элементом оптических схем всех этих методов является узкополосный непрерывный лазер, позволяющий осуществлять селективное возбуждение широких неоднородно-уширенных спектральных линий [186]. Поскольку в эксперименте по фотонному-
локингу [179] использовался акустооптический метод «в», то здесь представляется целесообразным кратко остановиться на его особенностях.
Акустооптический модулятор. Схема акустооптического
модулятора, управляющего процессом подачи лазерного излучения на
Рис. 5.1. Схема акустооптического модулятора, управляющего подачей лазерного излучения на исследуемый образец. К — кристалл модулятора (плавленый кварц), П — плёнка преобразователя, РЧИ — радиочастотный импульс, кп и кд — волновые вектора падающего и дифрагированного лазерных лучей, кзв — волновой вектор звукаРис. 5.1. Схема акустооптического модулятора, управляющего подачей лазерного излучения на исследуемый образец. К — кристалл модулятора (плавленый кварц), П — плёнка преобразователя, РЧИ — радиочастотный импульс, кп и кд — волновые вектора падающего и дифрагированного лазерных лучей, кзв — волновой вектор звукаисследуемый образец приведена на рис. 5.1 В качестве непрерывного источника когерентного оптического излучения использовался кольцевой одномодовый перестраиваемый по частоте лазер (фирмы Spectra-Physics), накачка которого осуществлялась аргоновым лазером. Модовая структура кольцевого лазера управлялась с помощью сканируемого интерферометра Фабри-Перо. Непрерывное излуче-
Рис. 5.1. Схема акустооптического модулятора, управляющего подачей лазерного излучения на исследуемый образец. К — кристалл модулятора (плавленый кварц), П — плёнка преобразователя, РЧИ — радиочастотный импульс, кп и кд — волновые вектора падающего и дифрагированного лазерных лучей, кзв — волновой вектор звука
Рис. 5.1. Схема акустооптического модулятора, управляющего подачей лазерного излучения на исследуемый образец. К — кристалл модулятора (плавленый кварц), П — плёнка преобразователя, РЧИ — радиочастотный импульс, кп и кд — волновые вектора падающего и дифрагированного лазерных лучей, кзв — волновой вектор звука
ние этого лазера мощностью около 300 мВт на длине волны 589,7 нм подавалось на акустооптический модулятор (Harris Model 190), схема которого пояснена на рис. 5.1. Модулятор управлялся радиочастотными импульсами с частотой 460 мГц. Излучение радиочастотного источника представляло собой три импульса разной амплитуды и фазы, каждый из которых чётко отсекался один от другого
специальным электроннымспециальным электроннымпереключателем, а подбор разности фаз
специальным электронным
специальным электронным
импульсов осуществлялся с помощью векторного вольтметра фирмы Hewlett-Packard (Model 8405А). Акустооптический модулятор представлял обработанный кристалл плавленого кварца, на одну из поверхностей которого была напылена плёнка преобразователя, на которую
в заданные интервалы времени подавались радиочастотные импульсы. В результате воздействия этих импульсов на плёнку преобразователя в ней генерировались акустические волны, которые распространялись в плавленом кварце, формируя «решётку» плотности материала этого кварца. На этой «решётке» в течение времени воздействия последовательности радиочастотных импульсов дифрагирует непрерывное лазерное излучение в соответствиями с условиями Брегга. После окончания воздействия импульсов дифракция света прекращалась и лазерное излучение распространялось в кристалле кварца прямолинейно мимо резонансной среды. В итоге, из узкополосного непрерывного лазерного излучения «вырезалась» последовательность когерентных оптических импульсов с учётом заложенной в радиочастотной импульсной последовательности разницы в фазах. Эта разница в фазах проявляется в раз-
ном направлении векторов поляризации последовательности оптических импульсов. Дифрагированные оптические импульсы распространялись через резонансную среду и затем детектировались скоростным фотодиодом, с выхода которого они направлялись на осциллограф. Для детектирования свечения образца использовалась трубка фотоумножителя, установленная перпендикулярно направлению распространения лазерного пучка, т. е. для повышения чувствительности исследовалось изменение в некогерентном спонтанном фоне, вызванное когерентным откликом резонансной среды. Отклик предварительно усиливался, а результаты детектирования свечения среды обрабатывались на компьютере.
Фотонный локинг. Для фотонного локинга использовалась трёхимпульсная оптическая последовательность, изображённая на рис. 5.2 [179]. Из содержания параграфа 5.2, посвящённого спин-
Д^з
Рис. 5.2. Трёхимпульсная оптическая последовательность, использованная в работе [179] при реализации фотонного локинга. X.Y — направления векторов поляризации импульсов во вращающейся вокруг оси г системе координат. Первый импульс 1 с площадью ^i = тг/2 служит для создания узкополосной когерентности на оптическом переходе с длиной волны 589,7 нм. Второй сдвинутый по фазе на 90° импульс служит для запирания (захвата псевдодиполей). Третий импульс является пробным и служит для детектирования оптической когерентности
локингу, следует, что для реализации аналогичного режима в оптике на резонансную среду следует сначала воздействовать с помощью лазерного тг/2-импульса, который вызывает появление в среде поперечных компонент псевдоэлектрических диполей, например, Pj. Учитывая селективность (т. е. узкополосность) возбуждения среды с большим неоднородным уширением линии резонансного энергетического перехода, из всего ансамбля примесных центров будет
возбуждена лишь его часть, которая в дальнейшем будет участвовать в процедуре «запирания». Поэтому первый импульс носит название подготовительного. Для реализации «запирания» на эту подсистему псевдоэлектрических диполей необходимо воздействовать «запирающим» лазерным импульсом, вектор поляризации которого должен быть направлен вдоль псевдоэлетрических диполей Р^. В итоге будет осуществлён «захват» этих псевдоэлектрических диполей электрическим полем (точнее, поляризацией) «запирающего» импульса. И, наконец, после его окончания на эти псевдоэлектрические диполи необходимо воздействовать третьим лазерным импульсом, играющим роль пробного или считывающего. Разумеется, вместо пробного импульса на резонансную среду может воздействовать импульсная последовательность, осуществляющая одну из операций обработки оптической
Рис. 5.3. Спад сигнала свободной световой индукции в молекулярном йоде с ростом длительности «запирающего» импульса А^- Длительность подготовительного импульса равна 50 нс, а пробного импульса — 150 нс. Мощность подготовительного и «запирающего» импульсов составляла 100 мВт, а пробного - 20 мВт [179]
информации. В работе [179] использовался режим, когда считывание сначала выполнялось с помощью пробного импульса, поляризация которого совпадала с поляризацией «подготовительного» импульса, а затем с помощью импульса, поляризация которого отличалась на 180°; после чего в интеграторе снимаемые сигналы взаимовычитались. Характерный спад свободной индукции, снятой в работе [179] после процедуры «запирание», приведён на рис. 5.3.
С теоретической точки зрения во время действия «запирающего» импульса происходит усреднение несекулярной (т. е. некоммутирующей с «зеемановским» гамильтонианом) части диполь-дипольного взаимодействия. Это напоминает ситуацию с формированием долгоживущего стимулированного фотонного эха (ДСФЭ) [187]. После воздействия первых двух тг/2-импульсов, ось «веера» псевдоэлектрических диполей оказалась параллельной ^-оси. В протяжённом временном интервале между вторым и третьим импульсами поперечные компоненты псевдо-
электрических диполей усредняются, но остаётся неизменной их «продольная» компонента, которая после подачи третьего (считывающего) импульса приводит к формированию ДСФЭ.
Сужение однородной ширины спектральныхлиний с помощью многоимпульсныхпоследовательностей для улучшенияфункционирования эхо-процессоров
Постановка задачи. Известно (см., напр., [182]), что при создании эхо-процессоров достаточно жёсткие требования накладываются на временной интервал между первыми двумя импульсами и на их длительность, которые должны быть короче времени поперечной необратимой релаксации Т^. Дело доходит до того, что при временном кодировании информации и использовании «эшелонов» кодированных сигналов этот временной интервал делается нулевым [173]. Очень важно удлинить время релаксации Т2, которое напрямую связано с обратной однородной шириной спектральной линии. В результате, перед исследователем возникает проблема сужения однородной ширины линии. Сузить однородную ширину спектральной линии означает улучшить работу эхо-процессора, что, по существу, равноценно решению проблемы снижения температуры носителя информации.
Один из путей решения задачи сужения однородной ширины спектральных линий состоит в воздействии на резонансную среду (например, ионы в кристалле) многоимпульсными последовательностями. Описанию этого метода посвящён этот параграф.
Многоимпульсное сужение однородной ширины спектральных линий в магнитном резонансе. По существу, Эрвин Хан при открытии ядерного спинового эха в 1950 году [188] продемонстрировал способ «устранения» неоднородной ширины линии магнитного резонанса (обязанной неоднородности постоянного магнитного поля Но). В 1954 году X. Карр и Е. Парселл предложили и реализовали многоимпульсный способ исключения диффузного затухания сигнала эха [189]. Отметим, что этот способ уже в 1973 году был применён в оптике Р. Брюером с коллегами [190]. Идея многоимпульсного сужения дипольной ширины линии магнитного резонанса была практически одновременно выдвинута в 1966 году Е. Острофом и Дж. Уо, а также П. Мансфельдом и Д. Вааром. История экспериментальной реализации этой идеи прекрасно изложена в книгах [174, 191, 192].
Рассмотрим два спина Ii и I2, расстояние между которыми определяется радиус-вектором г 12. Магнитное поле Н, создаваемое спином Ii в месте расположения спина I2 равно
Н(г12) = 4- [3 (М/, . г12) г12] -(5.14)
П2П2
где Мд — магнитный момент спина 1ь который направим вдоль оси z. Обсудим три варианта взаимных местоположений спинов Ii и I2:
спин I2 также направлен вдоль ось z и назовём такую конфигурацию осевой. Тогда имеем:
Н(г12) = 2^;(5.15)
П2
спин I2 направим вдоль осей X или Y и эти конфигурации будем называть боковыми. В этом случае
Н(п2) = -^.(5.16)
^12
Если по какой-то причине спин Ii будет быстро менять направление между этими осями, находясь в среднем одинаковое время в каждом из них, то спин I2 будет испытывать воздействие среднего во времени поля<<
(Нд) = (2МС - Мт - Md = 0.(5.17)
6 П2
Аналогичный результат получается и при непрерывном изменении положения спина Ii.
Теперь усложним картину и будем менять ориентацию обоих спинов 11 и I2. Конфигурация, когда Ii | |I21 |Z, является осевой, а остальные две конфигурации, когда Ii||l2||X или Ii||l2||Y, будут боковыми. Найдём значения магнитной энергии Е = —МдНдд для этих конфигураций. Для осевой конфигурации имеем
д^-ЗМ^Мд(5 18)
а для боковых конфигураций получаем:
Еб№ =•(5.19)
Нг
Сначала остановимся на осевой конфигурации, когда Мд и Мд параллельны. Через интервал т быстро повернём Мд и Мд вокруг оси на угол тг/2 и получим боковую конфигурацию. Затем, через интервал т вновь быстро поворачиваем оба спина и получаем другую боковую конфигурацию. И вновь ждём окончания интервала т. Найдём среднюю магнитную энергию в течение интервала Зт:
(£) = 4 4" ^MIxMhT + MIxMhr + MItMl2r) = 0.(5.20)
П2
Итак, с помощью только что рассмотренного цикла, когда осуществляются быстрые одновременные повороты обоих спинов на угол тг/2 по всем направлениям, можно усреднить магнитную энергию до нуля. Согласно [174], дипольное взаимодействие усредняется до нуля благодаря быстрым поворотам спинов от одной конфигурации (осе-
вой) к другим (боковым) в условиях, когда боковые конфигурации существуют во времени в два раза дольше осевой. В книге [191] детали этого устранения дипольного взаимодействия демонстрируются методом среднего гамильтониана.
В качестве характерного примера многоимпульсной последовательности, используемой для снятия дипольной ширины линии, остановимся на четырёхимпульсной последовательности WAHUHA 9. Она изображена на рис. 5.4. Эту последовательность удобно записать в виде:
90*90*90°^ 90*%90°^ 90*%90*90*
90*
90*
90°^ 90*%
90°^ 90*%
90*
90*
2т
Рис. 5.4. Четырёхимпульсная последовательность WAHUHA [191], используемая для снятия дипольной ширины спектральных линий. На рисунке не показан подготовительный импульс 90°_^, переводящий намагниченность Mz в плоскость XY вращающейся системы координат
ж, т(т, —ж, т, у, 2г, —у, т, ж, т). (5.21)
Она характерна тем, что подготовительный импульс х и следующий за ним интервал т в начале цикла совпадают с последним импульсом и интервалом т в конце цикла. Регистрации подлежит сигнал Му в интервалах т, указанных перед скобками. Обратим внимание на то, что подготовительный импульс, приложенный вдоль оси X, поворачивает намагниченность вдоль оси —Y. Сигнал, пропорциональный М^-составляющей, детектируется в интервале между импульсами х и — х.
В настоящее время известны различные варианты многоимпульсных последовательностей [191, 192], снимающих не только дипольное уширение, но и другие типы уширений. Многоимпульсное сужение линий реализовано в ядерном квадрупольном резонансе, где существенный вклад внесли работы Д.Я. Осокина (см., напр., [193, 194]).
Многоимпульсное сужение однородной ширины спектральных линий оптических переходов. Возможность многоимпульсного сужения однородной ширины спектральных линий в оптике была исследована в 1981 году практически одновременно в работах [195, 196] и [197]. Позднее, в 1983 году в работе [198] обсуждались эксперименты по первичному и стимулированному эхо, в которых (в отличие от традиционных оптических эхо-экспериментов [182]) для возбуждения эхо-сигналов использовались лазерные импульсы, разность фаз (и, следовательно, взаимное положение векторов поляриза-
9 Название образовано от первых двух букв фамилий учёных, предложивших её в 1968 году — WAugh, HUber, HAberlen.
ции) между которыми управлялась. Отметим также работу В. Варрена с коллегами [199], в которой исследовался вопрос об особенностях формирования в оптике точных тг/2 и тг-импульсов.
Заметим, что решение проблемы сужения однородной ширины линий в оптике важно не только с позиций оптимального функционирования оптических эхо-процессоров, но и с позиций фемтосекундной эхо-спектроскопии примесных кристаллов. Дело в том, что активное использование в спектроскопии фемтосекундных импульсов с длительностью 5-6 фс [200] позволяет в настоящее время проводить эксперименты по фотонному эхо на твердотельных образцах, находящихся при комнатной температуре. В этих условиях спектральные линии оптических переходов характеризуются однородной шириной, существенно превосходящей неоднородную ширину, что, в свою очередь, создаёт трудности для наблюдения на таких образцах фотонного эха.
В 5.3, посвящённом фотонному локингу, уже обсуждались способы получения в оптике последовательностей узкополосных лазерных импульсов с крутыми фронтами. Целесообразно отметить, что оптическим аналогом поля Н\ в ЯМР является электрическая поляризация возбуждающих импульсов. К настоящему времени не известны прямые эксперименты по многоимпульсному сужению однородной ширины спектральных линий оптических переходов. Однако, отметим, что в эксперименте [198] обнаружен рост сигналов флуоресценции (а также эхо- сигналов) при резонансном воздействии на образец многоимпульсной оптической последовательности. Этот рост связывают с достижением лучшей инверсии населённости резонансных уровней после действия импульсной последовательности по сравнению со случаем воздействия на среду одиночного тг-импульса.
Заметим, что ещё в 1980 году был поставлен косвенный оптический эксперимент по сужению однородной ширины спектральной линии [201].
Подавление дипольной ширины спектральной линии оптического перехода ионов в кристалле путём радиочастотного воздействия на ядра кристаллической решётки. Этот эксперимент [201] поставили Р. Макфарлайн, Ч. Яннони и Р. Шелби на кристалле ЕаЕз:Рг3+ (энергетический оптический переход 3Н4—^2; длина волны А = 592,5 нм; температура образца — 2°К; концентрация ионов празеодима с = 0,05 мае. %). Исследовались кривые спада сигналов первичного фотонного эха (ПФЭ) в условиях детектирования ПФЭ с помощью техники оптического гетеродинирования. Из кривых спада ПФЭ, представляющих собой зависимость интенсивности эхо- сингалов от значений временных интервалов т между возбуждающими лазерными импульсами, находились времена необратимой релаксации Т2. Из ряда экспериментов известно (см., напр., [202]), что эта релаксация при вышеуказанных условиях обязана магнитному диполь- дипольному взаимодействию ядер празеодима и фтора. Для снятия
этого взаимодействия в течение всего времени формирования ПФЭ на ядра 19F действовало резонансное радиочастотное поле с напряжённостью Н\ = (Яо — щя/у) tg (54,7°) (где у — ядерное гиромагнитное отношение; Hq — постоянное магнитное поле; угол 54,7° известен как магический угол [191]). Это вызывало прецессию с частотой щя ядерных спинов фтора вокруг оси, наклонённой к направлению Но под магическим углом. Напомним, что магнитное поле, наведённое одним ядром в месте расположения другого равно [191]: pr~3(3 cos2 — 1), где г — радиус-вектор, соединяющий ядра; ^ — угол между г и Но. Можно убедиться, что при = 54,7° это поле равно нулю. Чтобы подобная ситуация была справедливой для всех окружающих ядер, необходимо либо обеспечить быстрое вращение образца вокруг оси под магическим углом с частотой и = h~]Egg (где Egg — энергия межя- дерного магнитного диполь-дипольного взаимодействия), либо вызвать прецессию ядерных спинов фтора с той же частотой под магическим углом к направлению Hq. Безусловно, второй способ является более простым и именно он был использован в эксперименте. Это привело к существенному удлинению времён релаксации Т^, о чём свидетельствуют кривые спада, изображённые на рис. 5.5.
■4 отн. ед.
Рис. 5.5. Кривые спада сигналов ПФЭ в кристалле ГаРз:Рг3+ при 2 К на длине волны 592,5 нм [201]. Кривая 1 соответствует нулевому магнитному полю; кривая 2 снята в поле Яо = 357 Гс, но в отсутствие радиочастотного поля накачки (Я1 = 0); кривая 3 получена в поле Яо = 357 Гс и в радиочастотном поле Я1 = 36 Гс, соответствующем резонансу между подуровнями ядер фтора (развязка дипольного взаимодействия ядер празеодима с ядрами фтора); кривая 4 снята в поле Яо = 375 Гс и в радиочастотном поле Hi = 45 Гс (развязка дипольного взаимодействия между ядрами фтора). В режиме релаксации Н равно 5,6; 19; 53 и 77 мкс для кривых 1-4 соответственно
Подобным образом можно было бы снять магнитное дипольное взаимодействие и других ядер. Подавление магнитного дипольного взаимодействия ядер вызывает удлинение времени релаксации Т^, поскольку случайные флуктуации поля именно этого взаимодействия
приводили к спектральной диффузии. В результате, однородная ширина линии 3Н4—^2 оптического перехода становилась более узкой в поле резонансной радиочастотной накачки ядер 19Р кристаллической решётки.
Возможность создания самоохлаждающегосяоптического процессора
Двухпримесный парамагнетик. Один из путей создания самоохлаждающегося эхо-процессора состоит в использовании в качестве носителя информации двухпримесного ван-флековского парамагнетика. В качестве рабочих примесей можно использовать ионы трёхвалентного празеодима, тулия или европия, а в качестве «охлаждающих» примесей — ионы трёхвалентного иттербия, тулия или эрбия. Ситуация пояснена на рис. 5.6.
Рис. 5.6. Схематическое изображение двухпримесного самоохлаждающегося носителя информации оптического эхо-процессораРис. 5.6. Схематическое изображение двухпримесного самоохлаждающегося носителя информации оптического эхо-процессораИзвестно, что для реализации самоохлаждения выдвигаются высокие требования к чистоте материала носителя информации (т. е. необходима гарантия отсутствия неконтролируемых примесных центров, через которые может осуществляться паразитный нагрев материала). Кроме того, крайне важно подходить к подбору самой кристаллической матрицы, через уровни которой могут происходить безызлучательные переходы, вызывающие нагрев носителя информации. Разумеется такие же требования предъявляются и к контролируемым «рабочим» примесным ионам (Рг3+ или Ец3+). В связи со сказанным, целесооб
Рис. 5.6. Схематическое изображение двухпримесного самоохлаждающегося носителя информации оптического эхо-процессора
Рис. 5.6. Схематическое изображение двухпримесного самоохлаждающегося носителя информации оптического эхо-процессора
разно воспользоваться снятой авторами работы [203] зависимостью скорости безызлучательных переходов (и, следовательно, скорости испускания фононов при таких переходах) от энергетического расщепления уровней различных кристаллических матриц (см. рис. 5.7). Разумеется, изображённая на рис. 5.6 схема возбуждения носителя информации допускает приложения радиочастотной накачки к ядрам кристаллической решётки, а также операций фотонного локинга и многоимпульсного сужения однородной ширины спектральных линий.
Холодный «бит». Весьма заманчивой представляется перспектива реализации такого режима функционирования оптического эхо-процессора, когда роль «бита» информации выполняет сужающая однородную ширину многоимпульсная оптическая последовательность (типа WAHUHA), а различные операции обработки информации осуществляются путём кодированного манипулирования такими «битами».
Энергетическое расщепление, см 1
Рис. 5.7. Зависимость скорости испускания фононов от величины энергетического расщепления уровней для различных стёкол (сплошные линии) и кристаллов (штриховые линии) при комнатной температуре [203]
В этом режиме можно было бы ожидать продолжительного и устойчивого функционирования оптического эхо-процессора, как в случае ядерного квадрупольного резонанса. В работах [204-206] экспериментально продемонстрировано существование длительного многоимпульсного режима сужения однородной ширины линий ЯКР, который объяснялся формированием квазистационарных состояний квантовой системы, подвергающейся периодическому внешнему воздействию [207]. Можно ожидать, что подобные продолжительные многоимпульсные режимы сужения линий будут реализованы в оптике. Основная парадигма подобного рода режимов может быть сформулирована следующим образом: чем дольше работает оптический эхо-процессор, тем более благоприятные условия для функционирования он себе создаёт.
С деталями функционирования оптического эхо-процессора с носителем информации LaFg:Pr3+ можно ознакомиться, например, в обзоре [208].
В качестве иллюстрации приведём на рис. 5.8 блок-схему однопозиционного оптического эхо-процессора, созданного в КФТИ КНЦ РАН. Основным его узлом является оптический квантовый генератор (ОКГ), состоящий из лазера накачки, системы формирования гармоник излучения и перестраиваемого лазера на красителе. Лазер накачки запускается от блока питания (БП ОКГ) с помощью системы управления (СУ) с частотой повторения 12,5 Гц. Излучение ОКГ проходит через нелинейный элемент (НЭ), призму Глана (Г), фазовую пластинку (ФП), оптический механических затвор (М31) и затем с помощью полупрозрачной пластинки (ПП) делится на два импульсных пучка. Первый
из них, сфокусированный линзой (Л) направляется непосредственно на носитель информации (О) — кристалл LaFg:Pr3+, находящийся при гелиевой температуре в оптическом криостате. Второй пучок предварительно распространяется через оптическую линию задержки (ОЛ31) и лишь затем воздействует на ту же локальную область образца. Для формирования третьего возбуждающего импульса по команде СУ на НЭ подаётся высоковольтное напряжение. За счёт этого плоскость поляризации излучения поворачивается. Это излучение через призму Г распространяется в направлении второй линии задержки ОЛ32. Затем оно проходит через механический затвор М32 и затем воздействует в направлении, обратном второму импульсу. Сигнал долгоживущего
Рис. 5.8. Блок-схема однопозиционного оптического запоминающего устройства, функционирующего на основе явления долгоживущего стимулированного фотонного эха
фотонного эха распространяется в направлении, обратном направлению первого импульса. Затем он через полупрозрачную пластинку ПП попадает на регистрирующий фотоприёмник (ФЭУ) и наблюдается на осциллографе. Переключение с режима на режим осуществляется системой управления (СУ), которая задаёт напряжение на нелинейном элементе НЭ и включает механические затворы М31 и М32. Режим записи реализуется при отсутствии напряжения на НЭ, открытом М31 и закрытом М32. При этом на образец воздействуют два первых импульса. Режим хранения реализуется при закрытых М31 и М32, когда на образец (носитель информации) О излучение не воздействует. Считывание происходит при поданном на НЭ напряжении, закрытом М31 и открытом М32 после третьего импульса.
Остановимся на многоимпульсном режиме возбуждения — режиме аккумулированного фотонного эха. Та же установка работала в условиях последовательного формирования заданного количества циклов записи, хранения и считывания информации, причём число циклов записи менялось. Практически время между вторым импульсом последней идентичной пары и считывающим импульсом равнялось четырём интервалам Т (т. е. 0,32 с), а количество идентичных импульсных
пар изменялось от одной до тридцати. Сигнал аккумулированного фотонного эха наблюдался на экране осциллографа и фиксировался на фотоплёнке.
Ионы трёхвалентного тулия. В 1997 году Р. Макфарлайн и М. Жу [209] также использовали компактные полупроводниковые диодные лазеры и фотоприёмники в созданном ими эхо-процессоре с носителем информации ЕаЕз:Тш3+. Рабочая длина волны этих лазеров, равная 793 нм, соответствовала длине волны энергетического перехода 3Нб(1)-3Н4(1) ионов трёхвалентного тулия. Недостатком вышеупомянутых эхо-процессоров [173, 209] является низкая температура их носителя информации, которую нужно было обеспечить для того, чтобы выполнить одно из основных условий возбуждения фотонного эха: длительность возбуждающих импульсов At и временной интервал т между ними должны быть короче времени фазовой релаксации TV Понижение температуры носителя информации можно осуществить путём его лазерного охлаждения, т. е. без использования криогенных жидкостей.
В 2000 году был поставлен эксперимент по лазерному охлаждению тяжелометаллического стекла ZBLANP, легированного ионами трёхвалентного тулия [210]. Таким образом, ионы трёхвалентного тулия оказались востребованными с позиций лазерного охлаждения. Однако, обратим внимание на то, что волновое число, соответствующее переходу 3Hg—Зр4, равно 6000 см-1 [211] (и для охлаждения используется оптический параметрический генератор с длиной волны 1,9 мкм), в то время как волновое число перехода, на котором осуществляется эхо- процессинг, равно 12554,6 см-1. Итак, в случае совмещения на одном носителе информации, легированного ионами тулия, сценариев эхо- процессинга и лазерного охлаждения, оказываются задействованными различные энергетические переходы. Для полного устранения взаимовлияния этих сценариев друг на друга, лазерное возбуждение в каждом из них следует осуществлять на различных участках носителя информации.
При формировании схемы оптически охлаждаемого эхо-процессора с носителем информации YAG:Tm3+, мы возьмём за основу оптический эхо-процессор Т. Моссберга с коллегами [173] и внесём в неё элементы оптической установки, обеспечивающей лазерное охлаждение (см., напр., [210]). Один из возможных вариантов оптической схемы такого эхо-процессора приведён на рис. 5.9. Следуя [173], для осуществления оптического процессинга в технике фотонного эха предлагается использовать коммерческий диодный лазер (Sharp LT024MD), длина волны которого (793 нм) стабилизирована с помощью наружного резонатора типа Литтмана. Несущая частота диодного лазера может варьироваться путём приложения напряжения (около 300 В) к кристаллу танталата лития, находящемуся в резонаторе. Затем непрерывное излучение диодного лазера проходит через два акустооптических модулято-
Рис. 5.9. Блок-схема возможного оптически-охлаждаемого твердотельного эхо- процессора: ДЛ — диодный лазер, 3 — зеркало, Р — дифракционна решётка, АОМ 1,2,3 — акустооптические модуляторы, НИ — носитель информации, ЛФД — лавинный фотодетектор, РЛ — референтный луч, ОЛ — объектный луч, СЛ — считывающий луч, ПГС — параметрический генератор света, Н — накачка к ПГС
ра, «вырезающих» объектный, референтный и считывающий импульсы из этого непрерывного излучения. При этом модулятор АОМ-1 формирует референтный и считывающий импульсы, а модулятор АОМ-2 формирует кодированную последовательность «объектных» сигналов. После модуляторов АОМ-1 и АОМ-2 референтный импульс и последовательность «объектных» сигналов практически одновременно воздействуют на одну и туже область носителя информации (YAG:Tm3+). Это воздействие приводит к записи «решётки» неравновесной населённости (интерферограммы), на которой позднее дифрагирует считывающий импульс, что вызывает появление долгоживущего стимулированного фотонного эха в направлении кэ, совпадающем с направлением волнового вектора объектных сигналов кд (поскольку кэ = —ki + к2 + kg, то при ki = кд имеем кэ = к2, где ki,k2 и кд — волновые векторы референтного, объектного и считывающих импульсов, соответственно). Эхо-сигнал через акустооптический модулятор АОМ-3 направляется на кремниевый лавинный фотодиод (марки Hamamatsu С5460 APD Module), фиксируется им и затем направляется в систему электронной обработки информации. В работе [173] типичные мощности сигналов, участвующих в эхо-процессинге, не превышали 2,5 мВт. Носитель информации YAG:Tm3+ имел толщину, равную 2 мм, а диаметр области, на которой осуществлялась запись информации, не превышала 20 мкм. Концентрация ионов Тт3+ составляла 0,5 ат.% и, в принципе, она может быть иной, нежели концентрация ионов Tm3+ (1 ат.%) в области кристалла, играющей роль хладагента. Следуя [210], непрерывную накачку этой части образца предполагается проводить с помощью оптического параметрического генератора (ОНГ) на длине волны 1,9 мкм при средней мощности около 6 Вт. Носитель информации (YAG:Tm3+) должен находиться в вакууме (не хуже 10-5 Торр), поскольку только в этом случае возможно его эффективное оптическое охлаждение. К сожалению, в настоящее время эффективность такого охлаждения г/
(где р = (А — Хр)/Хр; А и Хр — длины волн накачки и антистоксовой флуоресценции) ещё невелика. Она может быть существенно повышена, если в процессе оптического охлаждения будут задействованы не только штарковские, но и зеемановские подуровни энергии.
Другие способы улучшения функционирования оптических эхо-процессоров. Один из них связан с использованием фемтосекундных титан-сапфировых лазеров. Дело в том, что рабочая длина волны этих лазеров (780-800 нм) совпадает с длиной волны энергетического перехода 3Нб( 1)—3 Н4 (1) ионов трёхвалентного тулия. Рекордная длительность таких импульсов достигает 5 фс и они уже давно используются в оптической эхо-спектроскопии [212] для исследования твердотельных образцов при комнатных температурах. Разумеется, в качестве носителей информации таких процессоров должны использоваться стеклянные матрицы (например, ZBLANP), легированные трёхвалентным тулием, поскольку кристаллы YAG:Tm3+ имеют узкие спектральные линии и большая часть энергии широкополосного фемтосекундного лазера окажется незадействованной.
Ещё один способ улучшения эффективности работы оптического эхо-процессора состоит в удлинении времени фазовой релаксации Т2. Нередко временной интервал между первыми двумя импульсами оказывается недостаточным для размещения в нём закодированной последовательности «объектных» сигналов. Дело доходит до того, что эти временные интервалы делаются нулевыми [173]. Зачастую бывает важно удлинить время фазовой релаксации Т2, которое напрямую связано с обратной однородной шириной спектральной линии. В таких критических ситуациях применяют процедуру сужения однородной ширины линии. Сузить однородную ширину спектральной линии означает улучшить работу эхо-процессора, что, по существу, равноценно решению проблемы снижения температуры носителя информации. Один из режимов сужения дипольно-уширенных линий основан на применении многоимпульсных оптических последовательностей (типа WAHUHA). В оптике этот режим был впервые теоретически исследован в работах [195, 196] и экспериментально реализован авторами работы [197]. Физические принципы этого и других режимов сужения однородно- уширенных линий изложены нами в этой главе и, в частности, нами высказывается идея использования таких многоимпульсных сужающих последовательностей в качестве битов информации, названных «холодными битами». Целесообразно отметить, что ещё в 1980 году Р. Мак- фарлайном с коллегами [201] был освоен в оптике радиочастотный режим подавления дипольной ширины спектральной линии на примере кристалла ЕаЕд:Рг3+. Его реализация вызывала «развязку» дипольного взаимодействия сначала ядер фтора между собой, а затем — дипольного взаимодействия ядер фтора с ядрами празеодима. Флуктуации поля этих взаимодействия приводили к спектральной диффузии, а их подавление вызывало удлинение времени фазовой релаксации пример-
Таблица 5.1
Матрица
Ион, концентрация
Возбуждённый уровень
А, нм
Ti, мкс
Т2, мкс
YAG
0,14% Тт3+
3Н4(1)
793,2
800
75
LaF3
0,1% Тт3+
3Н4(1)
796,3
2100
7
но в 10 раз. Такая процедура может быть применена к кристаллам YAG:Tm3+ и ЕаЕз:Тш3+. Отметим, что в работе [213] Р. Макфарлайн провёл детальный анализ кристаллов, легированных редкоземельными ионами, которые пригодны для использования в оптических эхо- процессорах в качестве носителей информации. Среди них, данные о вышеупомянутых кристаллах, приведённые в табл. 5.1 [213].
Глава 6
ПРОБЛЕМЫ ОХЛАЖДЕНИЯ ТВЕРДОТЕЛЬНЫХКВАНТОВЫХ ПРОЦЕССОРОВ
Перспективы создания оптических квантовых компьютеров [214-216] вызвали интерес к квантовой оптике [217, 218], имеющей дело с очень слабыми световыми пучками, детектирование которых осуществляется в режиме счёта одиночных фотонов.
По-существу, первый эксперимент в этом направлении выполнили Р. Браун и Р. Твисс [219], обнаружившие ещё в 1956 году положительную корреляцию между числами фотонов в двух когерентных пучках света. Практически сразу же Э. Парселл дал адекватное теоретическое описание [220] этого основополагающего эксперимента на основе модели волновых пакетов, каждый из которых содержит один фотон. Однако эта модель оказалась недостаточной для объяснения других проявлений квантовой интерференции и, в частности, эффекта антигруппировки фотонов. Как следствие, уже в конце шестидесятых годов прошлого века возникла насущная необходимость в развитии подхода, основанного на измерениях различных корреляционных функций поля. Этот подход изложен в монографиях по квантовой оптике [217, 218], существенный вклад в развитие которой внёс Д. Н. Клышко [221]. На основе этого подхода анализировались различные ситуации в оптике, которые нельзя было описать без использования квантовой теории. К числу таких ситуаций относится режим сжатых состояний света, впервые рассмотренный Д. Столером [222] и экспериментально исследованный Р. Слашером с коллегами [223] на пучке атомов натрия. Такие состояния света уже используются в работе оптических фазовых процессоров. Одна из серьёзных проблем функционирования твердотельных квантовых процессоров связана с необходимостью их глубокого охлаждения. Некоторые пути её решения будут обсуждаться в данной главе.
От классических оптических процессоровк квантовым
Физика квантового компьютера базируется на том обстоятельстве, что в квантовой механике возможны суперпозиции энергетических состояний. Квантовая система с двумя базисными состояниями (|0) и |1)), названная кубитом, позволяет закодировать в них числа 0 и 1. Поэтому цепочка из N кубитов позволяет закодировать TV-значное число при условии, что каждый из кубитов находится в одном из двух базисных состояний. Однако ситуация существенно меняется в случае, когда каждый из кубитов находится в суперпозиционном состоянии, например [224] |0) + |1)
V2 '
В этой ситуации состояние всей цепочки кубитов можно описать как суперпозицию из 274 двоичных чисел с N знаками. При обработке информации (записанной в двоичных числах) в такой цепочке кубитов, с ней будет совершаться последовательность унитарных преобразований, причём параллельно будет обрабатываться все 2N вариантов исходных данных. Итак, в такой цепочке кубитов реализуется «квантовый параллелизм», существенно сокращающий время квантовых вычислений. Согласно [224], состояние квантового компьютера является суммой огромного числа слагаемых, каждое из которых представляет собой произведение состояний вида |0) или |1), т. е. на языке А. Эйнштейна, Б. Подольского и Н. Розена [225] такое состояние квантового компьютера является сложным перепутанным состоянием. При операции обработки информации над этим состоянием производится серия конкретных унитарных преобразований, а затем осуществляется измерение нового полученного состояния. В итоге мы убедились, что работа квантового компьютера базируется на операциях с перепутанными состояниями цепочки кубитов. Одна из трудностей создания квантового компьютера состоит в обеспечении квантовой когерентности большого числа кубитов (например, атомов или ионов), подразумевающей отсутствие любых неконтролируемых взаимодействий кубитов друг с другом, а также со средой. Эти взаимодействия вызывают быстрый распад суперпозиционных состояний и превращение их в смесь состояний (этот процесс получил название «декогеренция»). Способы устранения декогеренции обсуждаются в обзоре [226]. Существенный вклад в развитие теории квантовой информации внёс Б. Б. Кадомцев [227]. Полезное обсуждение физических основ современных информационных процессов содержится в издании [228]. В целом, ситуация с созданием твердотельных квантовых процессоров сложная и подавляющее число работ в этом направлении посвящено обсуждению физических принципов их функционирования. Остановимся на некоторых возможных вариантах оптических процессоров, с помощью которых предполагается реализовать операции квантовой логики.
Процессоры, функционирующие на основеиспользования поляризационных состоянийбифотонов
Под бифотоном, или бифотонным полем, понимается поле с парной корреляцией фотонов, т. е. с высокой величиной нормированной корреляционной функции интенсивности. Это один из немногих видов неклассических световых полей, получаемых в настоящее время экспериментально. Один из эффективных способов получения бифотонов — спонтанная параметрическая люминесценция света (см., например, работу [229]). В работах [230, 231] экспериментально были получены бифотоны как типа I (т. е. пары одинаково поляризованных фотонов), так и типа II (т. е. пары ортогонально поляризованных фотонов) и продемонстрировано, что из таких состояний можно составить базис, который позволяет осуществить троичное кодирование квантовой информации.
В работе [229] показано, что произвольные поляризационные преобразования для состояния двухфотонного света |Ф) = ci |2,0) + C211,1) + + сд|0,2) (где символ |т, п) обозначает состояние с т фотонами в поляризационной моде X и с п фотонами в поляризационной моде Y; ci,C2,cg — численные коэффициенты) соответствуют группе Ли SU(3) и задаются восемью параметрами. Обычно используемые в эксперименте линейные поляризационные преобразователи не позволяют в общем случае осуществить вышеуказанные преобразования двухфотонного света. Поэтому из всех состояний такого света выбраны три взаимно ортогональных состояния:
|ф) = м^ад. |ф_) = ж^м. |ВД = |1.1).
V2V2 ।। /
Состояние |Ф+) соответствует паре фотонов, один из которых поляризован правоциркулярно, а другой — левоциркулярно. Состояние |Ф_) соответствует паре фотонов, один из которых поляризован под углом 45° к оси X, а другой — под углом -45° к той же оси. И, наконец, |Ф0) соответствует паре фотонов, один из которых поляризован вдоль Х-оси, а другой — вдоль Y-оси. Экспериментально поляризационные преобразования вышеуказанных состояний проводились на установке, блок-схема которой изображена на рис. 6.1, заимствованном из работы [230].
Непрерывное излучение гелий-кадмиевого лазера на длине волны 325 нм направлялось на вход интерферометра, в оба плеча которого помещается нелинейный кристалл йодата лития. В этом кристалле происходило спонтанное параметрическое рассеяние (СПР) света, благодаря чему в обоих плечах после кристалла распространялось двухфотонное излучение в состоянии |2,0), в то время как излучение лазера (накачка) отсекалось фильтром. В одном из плеч интерферометра
Рис. 6.1. Экспериментальная установка, на которой были реализованы поляризационные преобразования бифотонного поля [230, 231]: He-Cd — гелийкадмиевый лазер непрерывного излучения на длине волны 325 нм; ЕНОз — нелинейный кристалл йодата лития, в котором происходило спонтанное параметрическое рассеяние (СПР); СД1 и СД2 — поляризационные светоделители; Фл и 1Фл — фильтры; 3 — зеркало; А/2П — полуволновая пластинка; Ф — фазовая пластинка; Д1 и Д2 — лавинные фотодиоды; СС — схема совпадений фотоотсчетов. Блок И служит для измерения величин |ci|2 и |сз|2.Рис. 6.1. Экспериментальная установка, на которой были реализованы поляризационные преобразования бифотонного поля [230, 231]: He-Cd — гелийкадмиевый лазер непрерывного излучения на длине волны 325 нм; ЕНОз — нелинейный кристалл йодата лития, в котором происходило спонтанное параметрическое рассеяние (СПР); СД1 и СД2 — поляризационные светоделители; Фл и 1Фл — фильтры; 3 — зеркало; А/2П — полуволновая пластинка; Ф — фазовая пластинка; Д1 и Д2 — лавинные фотодиоды; СС — схема совпадений фотоотсчетов. Блок И служит для измерения величин |ci|2 и |сз|2.
Рис. 6.1. Экспериментальная установка, на которой были реализованы поляризационные преобразования бифотонного поля [230, 231]: He-Cd — гелийкадмиевый лазер непрерывного излучения на длине волны 325 нм; ЕНОз — нелинейный кристалл йодата лития, в котором происходило спонтанное параметрическое рассеяние (СПР); СД1 и СД2 — поляризационные светоделители; Фл и 1Фл — фильтры; 3 — зеркало; А/2П — полуволновая пластинка; Ф — фазовая пластинка; Д1 и Д2 — лавинные фотодиоды; СС — схема совпадений фотоотсчетов. Блок И служит для измерения величин |ci|2 и |сз|2.
Рис. 6.1. Экспериментальная установка, на которой были реализованы поляризационные преобразования бифотонного поля [230, 231]: He-Cd — гелийкадмиевый лазер непрерывного излучения на длине волны 325 нм; ЕНОз — нелинейный кристалл йодата лития, в котором происходило спонтанное параметрическое рассеяние (СПР); СД1 и СД2 — поляризационные светоделители; Фл и 1Фл — фильтры; 3 — зеркало; А/2П — полуволновая пластинка; Ф — фазовая пластинка; Д1 и Д2 — лавинные фотодиоды; СС — схема совпадений фотоотсчетов. Блок И служит для измерения величин |ci|2 и |сз|2.
устанавливалась полуволновая пластинка, которая поворачивала на 90° поляризацию, переводя состояние света в этом плече в |0,2), а затем оба пучка из обоих плеч совмещались на светоделителе СД1. Одно из зеркал 3 в интерферометре снабжено пьезоэлектрической подачей, благодаря которой оно могло перемещаться, из-за чего менялась фаза е между компонентами |2,0) и |0,2) вектора состояния на выходе интерферометра. Светоделители СД1 и СД2 были поляризационными, причём СД1 направлял бифотоны |2,0) и |0,2) в один выходной канал, а СД2 служил для измерения корреляции между числами фотонов в модах X и Y. Фазовая пластинка Ф служила для выполнения поляризационных преобразований. Интерференционный фильтр 1Фл и апертура А служили для выделения коллинеарного частотно-вырожденного рассеяния. Полученное поляризационное состояние регистрировалось с помощью поляризационного светоделителя СД1 и пары лавинных фотодиодов Д1 и Д2, импульсы фототока с которых направлялись в схему совпадений фотоотсчетов. Состояния |Ф±) с учётом фазы е могут быть записаны в виде
|ф) =|ф) =|2,0> +егЕ|0,2)V2|2,0> +егЕ|0,2)V2
|ф) =
|ф) =
|2,0> +егЕ|0,2)
V2
|2,0> +егЕ|0,2)
V2
причём фазе s = 0 соответствует состояние |Ф+), а фазе е = тг — состояние |Ф_). С помощью фазовой пластинки Ф эти состояние переводились в состояние |Фо), причём для преобразования |Ф+) требовалась четвертьволновая пластинка, а для преобразования |Ф_) — полуволновая пластинка. Эта установка позволяла авторам работы [230] без потерь получать бифотоны как типа I, так и типа II. Состояния бифотонов |Ф+), |Ф-) и |Фо) (как и состояния |2,0), |0,2) и |1,1)) образуют ортогональный базис в пространстве поляризационных состояний бифотонного поля. Как мы убедились выше, эти состояния легко преобразуются друг в друга с помощью фазовых пластинок, переключение которых может быть автоматизировано. Полуволновая
пластинка (ориентированная под углом 22,5° к оси X) переводит |Ф_) в |Фо), а четвертьволновая пластинка (ориентированная под углом 45° к оси X) преобразует |Ф+) в |Фо)- Преобразование |Ф+) в |Ф_) выполняется четвертьволновой пластинкой (ориентированной под углом 0° к оси X). В работе [229] был построен аналогичный ортогональный базис в пространстве поляризационных состояний, элементы которого преобразовы
вались друг в друга с помощью единственной фазовой пластинки.
Итак, авторами работ [229-231] продемонстрирована возможность использования поляризационных состояний двухфотонного света и их преобразования друг в друга в квантовых устройствах на основе троичной логики и при передаче квантовой информации в троичной кодировке. На их взгляд, состояние |Ф+) можно считать кодом двойки, состояние |Ф_) — кодом единицы, а состояние |Фо) — кодом нуля. Это могло бы увеличить плотность записи квантовой информации по сравнению с традиционной записью с помощью кубитов. При кодировании информации с помощью бифотонов, состояние которых задаются вектором |Ф) = Cl |2,0) + с2| 1,1) + с3|0,2) в трёхмерном пространстве, то N бифотонов (кутритов) будут охватывать
Рис. 6.2. Схема устройства для выделения одного из ортогональных поляризационных состояния бифотона [231]. Входной бифо- тонный пучок направляется на неполяризованный светоделитель СД, который делит его на два пучка, на пути каждого их которых устанавливается по одной четвертьволновой пластине А/4П, полуволновой пластине А/2П и одному поляризованному фильтру ПФ (пропускающему вертикально поляризованный свет). Затем детекторы Д1 и Д2 регистрируют излучение в выходных пучках и направляют сигналы в схему совпадений СС. Положение фазовых пластинок могло изменяться, что сказывалось на скорости счёта совпадений и давало возможность измерить параметры состояния бифотонного поляРис. 6.2. Схема устройства для выделения одного из ортогональных поляризационных состояния бифотона [231]. Входной бифо- тонный пучок направляется на неполяризованный светоделитель СД, который делит его на два пучка, на пути каждого их которых устанавливается по одной четвертьволновой пластине А/4П, полуволновой пластине А/2П и одному поляризованному фильтру ПФ (пропускающему вертикально поляризованный свет). Затем детекторы Д1 и Д2 регистрируют излучение в выходных пучках и направляют сигналы в схему совпадений СС. Положение фазовых пластинок могло изменяться, что сказывалось на скорости счёта совпадений и давало возможность измерить параметры состояния бифотонного поля7 С. В. Петрушкин, В. В. Самарцев
Рис. 6.2. Схема устройства для выделения одного из ортогональных поляризационных состояния бифотона [231]. Входной бифо- тонный пучок направляется на неполяризованный светоделитель СД, который делит его на два пучка, на пути каждого их которых устанавливается по одной четвертьволновой пластине А/4П, полуволновой пластине А/2П и одному поляризованному фильтру ПФ (пропускающему вертикально поляризованный свет). Затем детекторы Д1 и Д2 регистрируют излучение в выходных пучках и направляют сигналы в схему совпадений СС. Положение фазовых пластинок могло изменяться, что сказывалось на скорости счёта совпадений и давало возможность измерить параметры состояния бифотонного поля
Рис. 6.2. Схема устройства для выделения одного из ортогональных поляризационных состояния бифотона [231]. Входной бифо- тонный пучок направляется на неполяризованный светоделитель СД, который делит его на два пучка, на пути каждого их которых устанавливается по одной четвертьволновой пластине А/4П, полуволновой пластине А/2П и одному поляризованному фильтру ПФ (пропускающему вертикально поляризованный свет). Затем детекторы Д1 и Д2 регистрируют излучение в выходных пучках и направляют сигналы в схему совпадений СС. Положение фазовых пластинок могло изменяться, что сказывалось на скорости счёта совпадений и давало возможность измерить параметры состояния бифотонного поля
не 274 состояний (как N кубитов), a 3N состояний. При этом, в качестве базисных состояний можно использовать не только |Ф+), |Ф-) и |Ф0), но и любые три ортогональных состояния. По мнению автора работы [231], для выделения одного из них можно использовать схему, изображённую на рис. 6.2.
Если схема, изображённая на рис. 6.2, настроена на некоторый кутрит, то совпадение фотоотсчетов будет отсутствовать в том случае, если на входе схемы находится ортогональный кутрит. Таким образом, совпадение фотоотсчетов в такой схеме возможно лишь в том случае, если на её входе находится кутрит, на который она настроена. Отметим, что кодировка с помощью кутритов (в режиме невырожденного двухпучкового спонтанного параметрического рассеяния) была впервые выполнена А. Зейленгером с коллегами в 1996 году [232]. В этой работе использовались три из четырёх базисных состояний двухмодовых бифотонов (т. е. состояний Белла). Авторы работ [230, 231] считают, что использованный ими однопучковый режим более удобен для передачи квантовой информации, поскольку он позволяет пропускать оба коррелированных фотона через одно и то же волокно и даёт возможность избежать неконтролируемых групповых задержек. Они отмечают, что в зависимости от количества частотных мод, такой режим позволяет реализовать либо троичную квантовую кодировку (кутриты), либо четверичную кодировку (куквартиты). В настоящее время, на основе троичной кодировки в работе [233] была предложена схема квантовой криптографии. Её протоколы имеют ряд преимуществ по сравнению с соответствующими двоичными протоколами, поскольку троичная кодировка позволяет увеличить скорость обмена данными [234] и повысить безопасность против подслушивания [235]. Важным достоинством обсуждаемых квантовых устройств, реализующих троичную логику на основе бифотонов, является то, что они не требуют использования низких и сверхнизких температур.
6.3. Твердотельные оптические квантовыеэхо-процессоры
Полуклассическим аналогом таких процессоров является оптический эхо-процессор, функционирующий на основе явления стимулированного фотонного эха (СФЭ). Его работа уже обсуждалась нами в предыдущей главе. Напомним, что условие пространственного синхронизма сигнала СФЭ имеет вид: kc = —ki + к2 + кз, где ki, к2, к3 — волновые векторы первого, второго и третьего возбуждающих импульсов. При к2 = —кз условие пространственного синхронизма перестаёт зависеть от направления волновых векторов второго и третьего импульсов и приобретает вид кс = —ki. Такой режим возбуждения известен как обращённый. В случае квантового эхо-
процессора, впервые теоретически рассмотренного С. А. Моисеевым и С. Кролем (S. Kroll) [236], роль первого возбуждающего импульса выполняет однофотонный волновой пакет. Для того, чтобы интенсивные второй и третий лазерные импульсы «не портили» записанную информацию об этом пакете, они должны действовать на носитель информации на другом (сопряжённом) энергетическом переходе. Такой режим возбуждения СФЭ в трёхуровневой системе получил название режима модифицированного стимулированного фотонного эха [237]. В работе [236] (и в более поздних работах [238, 239]) информация вносится во временную форму однофотонного волнового пакета. Напомним, что временная запись информации используется и в традиционных оптических эхо-процессорах, основанных на эффекте корреляции формы СФЭ, обнаруженном экспериментально в работе [240]. В квантовом случае сигнал однофотонного эха будет представлять собой обращённый во времени однофотонный волновой пакет, распространяющийся в направлении, обратном «записанному» волновому пакету. В теоретических работах [236-238] второй и третий импульсы предполагались тг-импульсами. Интервал между ними, по- существу, был временем хранения информации. Роль носителя этой информации выполняла газовая среда с большим неоднородным уширением.
В 2003 году С. А. Моисеев, В.Ф. Тарасов и Б. С. Хем (B.S. Наш) опубликовали теоретическую статью [241], посвящённую твердотельному квантовому эхо-процессору. В качестве носителя информации предлагается использовать кристалл ЕаЕз:¥Ь3+. Этот выбор носителя информации создаёт благоприятные условия для совмещения в одном и том же кристалле (но на разных его участках) сценариев квантового процессинга и лазерного охлаждения.
Временной порядок следования возбуждающих импульсов при записи и считывании информации показан на рис. 6.3.
Авторы работы [241] в качестве твердотельного носителя информации выбрали примесный кристалл, в котором присутствует два сорта рабочих атомов («а» и «Ь»). Расчёт на оптическом процессоре осуществляется на энергетических переходах атомов сорта «а». Атомы сорта «Ь» составляют окружение атомов «а» и их влияние сводится к частотным сдвигам Д12 и Д23 каждого энергетического перехода атомов «а». Эти частотные сдвиги приводят к расфазировке псевдо- электрических диполей сорта «а» во временных интервалах О/щ^/д и ^^з- Уровень |2) является метастабильным, и на нём происходит хранение информации об однофотонном волновом пакете. Интересно, что считывание этой информации происходит не с помощью третьего лазерного импульса (как это было в работах [236-238] в случае газовой среды), а с помощью радиочастотного тг-импульса, инвертирующего ядерные подуровни атомов сорта «Ь» и за счёт этого изменяющего знак межатомных взаимодействий атомов «Ь» и «а». В результате частотные сдвиги Д21 и Д23 также меняют знак и, как следствие, 7*
Лазерные тг-импульсы
аа"а" - рабочие ' электронныеуровни ^ОВП^ с&рЬ ^211"а" - рабочие ' электронныеуровни ^ОВП^ с&рЬ ^211^2^2ЭВПЭВП^echo™ ^ph v f^echo™ ^ph v f1— |з> \ ^32 ^|2>1— |з> \ ^32 ^|2>|1>|1>ядерныеподуровниядерныеподуровнирч тг-импульр . хрч тг-импульр . х
а
а
"а" - рабочие ' электронные
уровни ^
ОВП^ с
&рЬ ^211
"а" - рабочие ' электронные
уровни ^
ОВП^ с
&рЬ ^211
^2
^2
ЭВП
ЭВП
^echo™ ^ph v f
^echo™ ^ph v f
1— |з> \ ^32 ^|2>
1— |з> \ ^32 ^|2>
|1>
|1>
ядерныеподуровни
ядерныеподуровни
рч тг-импульр . х
рч тг-импульр . х
^2^з t^2^з tРис. 6.3. А. Временная диаграмма твердотельного квантового эхо-процессора и структура рабочих энергетических уровней носителя информации [241]: |1), |2), |3) — рабочие электронные уровни; |—) и |+) — ядерные подуровни атомов решётки, на энергетическом переходе между которыми воздействует радиочастотный тг-импульс; Ш21 и Ш23 — частоты энергетических переходов между соответствующими уровнями; ОВП — однофотонный волновой пакет; ЭВП — эхо-фотонный волновой пакет. В. Направления волновых векторов ki и кг возбуждающих лазерных импульсов по отношению к волновым векторам ОВП (кр^) и ЭВП (кес^о)Рис. 6.3. А. Временная диаграмма твердотельного квантового эхо-процессора и структура рабочих энергетических уровней носителя информации [241]: |1), |2), |3) — рабочие электронные уровни; |—) и |+) — ядерные подуровни атомов решётки, на энергетическом переходе между которыми воздействует радиочастотный тг-импульс; Ш21 и Ш23 — частоты энергетических переходов между соответствующими уровнями; ОВП — однофотонный волновой пакет; ЭВП — эхо-фотонный волновой пакет. В. Направления волновых векторов ki и кг возбуждающих лазерных импульсов по отношению к волновым векторам ОВП (кр^) и ЭВП (кес^о)
^2^з t
^2^з t
Рис. 6.3. А. Временная диаграмма твердотельного квантового эхо-процессора и структура рабочих энергетических уровней носителя информации [241]: |1), |2), |3) — рабочие электронные уровни; |—) и |+) — ядерные подуровни атомов решётки, на энергетическом переходе между которыми воздействует радиочастотный тг-импульс; Ш21 и Ш23 — частоты энергетических переходов между соответствующими уровнями; ОВП — однофотонный волновой пакет; ЭВП — эхо-фотонный волновой пакет. В. Направления волновых векторов ki и кг возбуждающих лазерных импульсов по отношению к волновым векторам ОВП (кр^) и ЭВП (кес^о)
Рис. 6.3. А. Временная диаграмма твердотельного квантового эхо-процессора и структура рабочих энергетических уровней носителя информации [241]: |1), |2), |3) — рабочие электронные уровни; |—) и |+) — ядерные подуровни атомов решётки, на энергетическом переходе между которыми воздействует радиочастотный тг-импульс; Ш21 и Ш23 — частоты энергетических переходов между соответствующими уровнями; ОВП — однофотонный волновой пакет; ЭВП — эхо-фотонный волновой пакет. В. Направления волновых векторов ki и кг возбуждающих лазерных импульсов по отношению к волновым векторам ОВП (кр^) и ЭВП (кес^о)
О к к
^2
это приводит к сфазированию псевдоэлектрических диполей сорта «а». Эхо-фотон высвечивается этими атомами в направлении — ki в момент времени, примерно удвоенный моменту воздействия радиочастотного тг-импульса (т. е. в момент t ~ 2tg). Волновой пакет эхо-фотона будет иметь временную форму, обращённую форме волнового пакета на входе в кристалл. В случае с кристаллом ГаГз:¥Ь3+ роль частиц сорта «а» выполняют ионы иттербия, а частиц сорта «Ь» — ионы фтора (19F). Возбуждение ионов Yb3+ предполагается осуществлять на частоте ^21 = 728 ГГц, которая лежит в субмиллиметровой полосе между микроволновой и оптической областями спектра. Рабочая частота тг-импульса, воздействующего на ядра 19Г, должна составлять 400,53 МГц. Процесс лазерного охлаждения ионов иттербия удобно производить на длине волны 1015 нм с помощью непрерывного титан- сапфирового лазера в той части носителя информации ГаГз:¥Ь3+, где не осуществляются операции фотонного эхо-процессинга.
6.4. Многоуровневые твердотельные квантовыепроцессоры
Большинство предложенных схем квантовых двухкубитных вентилей квантовых ЯМР-компьютеров (см., напр., [242],[243]) основано на использовании двух спинов 1/2, связанных скалярным обменным взаимодействием, которое необходимо включать и выключать в заданные моменты времени. Процесс включения и, особенно, выключения обменного взаимодействия основан на применении сложных многоимпульсных последовательностей, которые удлиняют время квантовых вычислений. В 1999 году А. Р. Кесселем и В. Л. Ермаковым [244]
3Р1
450 нм
НЩ5/2
0,72МГц | mi|=3/2
,,, 477,7 нм
0,45МГц |№г|=1/2’
^2
592,5 нм
;;—— 240 нм | ж1|=5/2
| 16,7МГц | 777,11=3/2 0
"8,47МГц W = 1/2
Рис. 6.4. Энергетическая структура уровней иона Рг3+ в монокристалле LaFg. Указаны также квадрупольные расщепления термов 3Ро и 3Н4, соответствующие различным значениям проекциям ттц ядерного спина [246]. Блоки а, Ь, с, d соответствуют различным операциям, осуществляемым над псевдоспинами
было показано, что использование спинов, равных или больших 3/2, для создания логических элементов квантовых процессоров открывает новые возможности. Дело в том, что двухкубитные вентили могут быть реализованы на одной многоуровневой квантовой частице и, потому, нет необходимости затрачивать время на включение и выключение взаимодействия между частицами. Этот подход к созданию кванто-
Рис. 6.5. Схема возбуждения энергетических переходов иона Рг3+ в LaFg для реализации информационных вентилей [245]. Блоки a, b, с, d отражают различные операции, производимые над псевдоспинами. Переходы в блоках а и с могут быть осуществлены с помощью полупроводниковых инфракрасных лазеров. Переход 3Н4 — ^2 может быть реализован с помощью импульсного лазера на красителе «Rodamine-6G», а для возбуждения перехода 3Н6 — 3Ро может быть использован импульс оранжевого сверхизлучения
вых процессоров можно охарактеризовать короткой фразой: «много- уровневость вместо многочастичности». Логические операции в такой многоуровневой квантовой системе реализуются путём применения коротких импульсов, длительность которых определяется амплитудой этих импульсов и контролируется экспериментатором. В работе [245] многоуровневый подход, развитый в работе [244], переносится на систему дискретных оптических уровней некрамерсова редкоземельного иона в кристалле. В качестве такового выбран ион трёхвалентного празеодима в кристалле LaFg. Дело в том, что при низких температурах этот ион обладает простой и хорошо изученной структурой уровней. В этих условиях равновесное состояние системы совпадает с её начальным состоянием и имеется принципиальная возможность реализовать квантовый вентиль на отдельном ионе, а квантовые вычисления вести в режиме счёта одиночных фотонов. Техника такого счёта фотонов
хорошо отработана. Структура рабочих уровней Рг3+ в кристалле LaFg приведена на рис. 6.4. Среди приведённых на рис. 6.4 энергетический уровней можно подобрать рабочую четвёрку уровней; например, 3Н4(0), 3Hq (2312 нм), 1D2 (592,5 нм) и 3Pq (477,7 нм). Одна из схем возбуждения энергетических переходов для реализации информационных вентилей приведена на рис. 6.5.
В работе [245] рассмотрены и другие схемы возбуждения и проведено обоснование процесса реализации информационных вентилей квантовых процессоров. Такие процессоры требуют охлаждения примесного кристалла до температур жидкого гелия. Проблема лазерного охлаждения носителей информации этих квантовых процессоров может быть решена путём дополнительного легирования нерабочей части носителя ионами трёхвалентного иттербия.
.5. Лазерное охлаждение полупроводниковогоЯМР-квантового компьютера О
Наиболее известный вариант такого компьютера, содержащего практически неограниченное число ядерный спинов-кубитов, был детально рассмотрен в 1998 году Б. Кейном (В. Капе) [247]. В его основе лежит кремниевая структура (см. рис. 6.6, заимствованный из статьи [247]), верхним слоем которой служила окись кремния (SiO2) толщиной в несколько нанометров; затем следует тонкий слой бес- спинового изотопа кремния 28Si, в который внедрены донорные атомы стабильного изотопа фосфора 31Р, замещающие атомы 28Si в узлах кристаллической решётки. Атомы фосфора 31Р обладают ядерным спином I = 1/2, взаимодействующим с ядерными спинами ближайших атомов фосфора благодаря сверхтонкому взаимодействию с электронами этих соседей из-за «перекрывания» электронных волновых функций различных доноров. Ядерные спины этих донорных атомов в такой структуре выполняют роль кубитов. Современная технология позволяет расположить донорные атомы 31Р регулярным образом в кристаллической решётке изотопа кремния 28Si, а также разместить над каждым донором свой управляющий металлический затвор (обозначенный на рис. 6.6 буквой А). Набор этих затворов образует линейную «решётку», причём каждый из затворов служит для индивидуального управления резонансной ядерной частотой кубитов. Между А-затворами размещалась «решётка» J-затворов, контролирующих взаимодействие ядерных спинов соседних донорных атомов.
Схема квантового компьютера в модели Кейна работает при температурах Т ^ 0,1 К, которая существенно ниже, чем температура «вымораживания» орбитальных электронных состояний донорных ато-
При написании этого параграфа мы находились под влиянием прекрасной книги К. А. Валиева и А. А. Кокина [216].
Рис. 6.6. Иллюстрация двух ячеек полупроводниковой структуры, предложенной Б. Кейном для ЯМР-квантового компьютера [247]. Роль барьера выполняет плёнка окиси кремния, а роль носителя информации — кристаллическая плёнка бесспинового изотопа кремния 28Si, в которую внедрены атомы стабильного изотопа фосфора 31Р, обладающие ядерным спинов I = 1/2. А-затворы контролируют резонансную частоту атомов фосфора, играющих роль кубитов, а J-затворы контролируют взаимодействие двух соседних кубитов через сверхтонкое взаимодействие с их электронами благодаря частичному перекрыванию (гибридизации) электронных волновых функций. Интервал между А-затворами порядка 20 нм. Величина электрического напряжения на затворах не превышает 1 В
мов [216]. На самом деле, чтобы исключить влияние неконтролируемых энергетических переходов между различными электронными спиновыми состояниями, важно, чтобы электроны атомов-доноров находились в нижнем состоянии в магнитном поле Яо. Но для этого нужно удовлетворить неравенству:
гр < 2рвНо
где рв — электромагнитный магнетон Бора, х — постоянная Больцмана, что в магнитных полях Яо > 2 Тл соответствует температурам Т < 0,1 К. Разумеется, столь низкие рабочие температуры (а также очень высокие магнитные поля) являются серьёзным недостатком модели Кейна. В работе [248] Кейн теоретически исследовал возможность повышения рабочей температуры и понижения внешнего магнитного поля. Для этого он предложил использовать специальное устройство, названное им «спиновым рефрижератором». Электроны на входе в такой рефрижератор находятся в частично поляризованном состоянии. Ситуация пояснена на рис. 6.7. Затем эти электроны поступают в «квантовую точку» (под которой понимают искусственно созданный атомоподобный нульмерный наноструктурный элемент с конечным числом дискретных энергетических уровней [216]), где электроны соединяются в пары, находящихся либо в синглетном, либо в триплетном состоянии. Электронные пары в синглетном состоянии имеют нулевую
спиновую поляризацию и они направляются из квантовой точки в тепловой резервуар. Электронные пары в треплетном состоянии имеют высокую поляризацию и направляются на выход «спинового рефрижератора», а из него на вход квантового ЯМР-компьютера. Высокая поляризация этих пар фактически означает их низкую температуру. Такие «холодные» пары электронов будут поляризовать ядра доноров квантового компьютера и существенно улучшать эффективность их сверхтонкого взаимодействия. Проблему охлаждения вышеописанного
Рис. 6.7. Схема «спинового рефрижератора», повышающего эффективность работы квантового ЯМР-компьютера. «Вход» и «выход» символизируют начало и конец операции получения высокополяризованного состояния электронных пар из электронов с умеренной поляризацией. КТ означает «квантовую точку» (или каскад таких точек), в которых получаются электронные пары в триплетном состояниях и происходит сортировка пар. Синглетные пары с нулевой поляризацией направляются в тепловой резервуар и не влияют на работу квантового компьютера. Высокополяризованные триплетные пары направляются на выход «спинового рефрижератора», а из него на вход квантового компьютера, охлаждая его
квантового ЯМР-компьютера можно решить с помощью лазерного облучения нерабочей части полупроводникового носителя информации [21]. Если валентный электрон после поглощения кванта лазерного излучения попадает в зону проводимости (имея кинетическую энергию ниже среднетепловой), а затем из-за спонтанной рекомбинации покидает эту зону (будучи уже более «горячим»), то температура электронов в зоне проводимости будет более низкой. Это понижение температуры электронов за счёт электрон-фононного взаимодействию будет приводит к охлаждению кристаллической решётки полупроводника [28, 29].
Теперь остановимся на модифицированном варианте полупроводникового квантового ЯМР-компьютера Кейна, у которого индивидуальное обращение к кубитам управляется не электрическими, а лазерными импульсами [249]. Как справедливо отмечено в монографии [216], этот вариант позволяет избежать использования наноэлектронных измерительных устройств для трудновыполнимого измерения состояний отдельных кубитов (ядерных спинов). В качестве носителя информации предлагается использовать световод (на кремниевой подложке) на основе того же бесспинового кремния 28Si. В этот световод необходимо внедрить два сорта донорных атомов А и В регулярно (с одинаковым шагом), но цепочки атомов А и В сдвинуты друг относительно друга на
полшага. Атом А имеет ядерный спин I = -, но не имеет электрона на внешней оболочке, в то время как атом В имеет один слабо связанный электрон на внешней оболочке, но не имеет ядерного спина. Ситуация пояснена на рис. 6.8.
-п—■—1=1—■■—п—■—п—■—
А:/^=1/2 ф5$
B:IB=0Q ® М °° 28Si
и ■ и ■■ и ■ и ■
Рис. 6.8. Порядок расположения донорных атомов А и В, а также управляющих затворов (чёрные квадратики), в кремниевом световоде. То обстоятельство, что атомы А обладают ядерным спином I = 1/2, пояснено стрелками на этих атомах. На рисунке изображена ситуация, когда один из бесспиновых атомов В возбуждён лазерным импульсом, из-за чего распределение его электронной плотности имеет вид «лепестков», направленных к атомам А
Величину взаимодействия электронного спина атома В и ядерного спина атома А авторы работы [249] предлагают контролировать за счёт включения и выключения лазерного импульса в световоде. Волновая функция возбуждённого состояния электрона атома В способна сильно перекрываться с ядрами атома А. Из рис. 6.8 видно, что затворы также образуют регулярную решётку и путём изменения напряжения на затворах можно изменить направление «лепестков» перекрывания с ближайшими атомами А, расстояние между которыми должно быть порядка 20 нм. Существенной является возможность селективного управления отдельным кубитом в условиях воздействия на световод лазерным импульсом с круговой поляризацией. Настройка в резонанс конкретного атома В возможна из-за штарковского сдвига его частоты перехода на затворе, расположенном вне световода над атомами В. Проблема лазерного охлаждения данного полупроводникового квантового компьютера может быть решена так, как это предлагается в патенте [21] и в работах [28, 29]. Имеются некоторые предпосылки считать (см., напр., работу [250]), что в качестве хладагента могут быть выбраны атомы кремния, возбуждение которых можно выполнять на длине волны 620 нм.
В заключение остановимся на двух последних работах по созданию твердотельных квантовых компьютеров. Одна из них [251], — экспериментальная, посвящена реализации квантового алгоритма Дойча- Джозса на квантовых точках в полупроводнике Ino^Gao^As МВЕ, находящемся в гелиевом криостате при 5 К. Возбуждение осуществлялось импульсами титан-сапфирового лазера длительностью 5 пс. Результат реализации алгоритма Дойча-Джозса детектировался в виде сигналов интегральной фотолюминесценции от множества квантовых точек за один и тот же интервал времени с помощью спектрометра на основе CCD-матрицы, охлаждённой до температуры жидкого азота.
Вторая работа [252] — теоретическая; она посвящена исследованию возможности квантового процессинга в неорганических кристаллах, легированных редкоземельными ионами. Индивидуальный кубит ассоциируется с ионом, находящимся в определённом спектральном «пакете». Существенное значение имеет узкополосность лазерного излучения, которая должна обеспечить возбуждение конкретного иона, как в случае спектроскопии одиночных молекул. Кроме того, аппаратура должна гарантированно обеспечить формирование тг-импульсов. И, наконец, эта аппаратура должна быть способной фиксировать излучение одиночных ионов.
Заключение
Таким образом, в данной монографии раскрыто современное состояние разработок в области лазерного охлаждения твёрдых тел, описаны все известные её авторам эксперименты на момент издания книги, приведены результаты теоретического объяснения этих экспериментов и изложен использовавшийся для этого математический аппарат, а также дан прогноз будущих разработок этого практически важного научного направления. Авторы монографии осознают, что из-за большого числа возможных трудностей при создании высокоэффективного твердотельного лазерного рефрижератора, часть проблем всё же оказалась лишь обозначенной без детальной проработки. В поставленных к настоящему времени экспериментах решалась технически важная задача понижения температуры твердотельного образца, начиная от комнатной. В процессе её решения, наряду с оптическими энергетическими уровнями ионов, использовались штарковские подуровни. Достигнутое при этом понижение температуры составило 88° ниже комнатной. Дальнейшему понижению температуры лазерного охлаждения стали мешать внутренние причины охлаждаемой твердотельной среды, связанные с использованием штарковских подуровней. По мнению авторов книги, в дальнейшем необходим переход к использованию зеемановских и сверхтонких энергетических подуровней, с участием которых будет осуществляться процесс антистоксового лазерного охлаждения.
С другой стороны, в научном плане могут оказаться крайне важными эксперименты по лазерному охлаждению твердотельных образцов, уже находящихся при температуре жидкого гелия и ниже. В таких экспериментах перспективен режим антистоксового оптического сверхизлучения, позволяющего существенно увеличить эффективность лазерного охлаждения.
В качестве перспективных материалов для хладагентов лазерных рефрижераторов предпочтительны полупроводники, использование которых в сочетании с небольшими полупроводниковыми возбуждающими лазерами позволило бы сделать эти рефрижераторы миниатюрными. Это привело бы со временем к их повсеместному использованию как на околоземных станциях без использования криогенных жидкостей, так и для охлаждения персональных компьютеров в различных наземных условиях.
Наряду с задачей создания высокоэффективного твердотельного лазерного рефрижератора, имеются и другие практически важные научные задачи, тесно связанные с проблемой лазерного охлаждения. Среди них — проблема самоохлаждения активного элемента твердотельного
лазера и проблема лазерного охлаждения носителя информации оптических эхо-процессоров, включая квантовые. В связи с многолетними разработками оптических эхо-процессоров с участием авторов данной книги, решение второй из вышеуказанных проблем имеет для авторов приоритетное значение. Обойтись без криогенных жидкостей при обеспечении эффективной работы оптических эхо-процессоров — давняя мечта многих их создателей. Можно ожидать, что она будет осуществлена путём комбинации методов лазерного охлаждения и путём использования фемтосекундной лазерной техники, позволяющей ставить оптические эхо-эксперименты на образцах, находящихся при комнатной температуре.
В целом, активные разработки нового научного направления — лазерного охлаждения твёрдых тел — продолжаются и, безусловно, эти разработки приведут к созданию высокоэффективных твердотельных оптических рефрижераторов.
Приложение
Вычислим коммутаторы, входящие в иерархию (2.45). При сравнении модельного ряда гамильтониана (2.92) с (2.26) видно, что операторам Мк и М^ отвечают выражения
Mk = gk^ ^3 в+Л + £ (М (S .m + в^Л,
Получим для определённого формулой (2.44) оператора омк^ = = Pjto = ^^(t) члены с коммутаторами, входящие в кинетическое уравнение (2.45) (будем опускать аргумент времени р но там, где необходимо отличать аргумент, по которому впоследствии происходит интегрирование, укажем переменную т):
МкИ\РгМк\ =
= Й Е fЕ <Bmjl + в+)Е х
X Й ЕЕ hmk \Pj, S^ ^mj +| =
= XgkVEEe^-^ST^j.S^ +3 3\
+ Е ^^тке^-^-)57(т)[р,-,5+](Вт,-+ВЕ) +
з7\зТП
+ Е Skhmk е^И-^Дт)^, S+](Bmj(r) + В+.(т)) + З7х,т
+ Е ЕЬЗпкНт^^^X
т,тх j,jx
Аналогично записываем
W^PaWkM = Ы2££ e-^-^Hs-,Pj\spo + 3 ЗХ
+ £ ЙНтке-^^?^^^
+ £ g;3w^^^
+ £ £C^mlfce-^-^-)[S7,^.]S+x m,mi pp
X (T)(Smij + В^ДВ^ (t) + Bmjx (t)),
NbPjW = -\gk\2EE e^-^,8^ -
ЗЛх^т
£ glhmke-^-^4S7,p^SpT^Bmj + B^- jJxJn
£ £ h*mkhmlkerk^-^\PpSpSpT)x
£ ^Втхз + -Вт\з^®тЗхкТ^ + ®тзх^Т^'
И, последняя комбинация
3 ЗХ
- £ glhmke-ik^-^SpT^
" £ gkhmke-^-^SpT)VSj,PjKBmj + В<) - 3i3x,m
- £ Ehkkhmke-^-^SpT^S-,Pj\x т,тх рз\
Теперь, проинтегрировав по т в первом приближении по возмущению, можем записать правую часть кинетического уравнения (2.45) как
t
{[р^Нм?]} = |Е [ dT^e-^-T4NkWaT)Ht)^ + к
+ ^к + Х^ММрАП\М1НтУ)и
е^"тЧЖ(>^УрМ Ш +ЯЖ + Х)(ЖтПРММк№\ =
кЕРкЕР^-)(57^,5+])27г5(Шо-^) +^-)(57^,5+])27г5(Шо-^) +
кЕР
кЕР
^-)(57^,5+])27г5(Шо-^) +
^-)(57^,5+])27г5(Шо-^) +
+ Е g*khmk e^^-^a^J^, Sp(Bmj + В+^2тг6(Шо - Ш^ +
+ Е Skhmk^-^X
х ^Sj^\pj 1 Sp^Bmj^lvd^UjQ Wk + ^m) + ^mj^^^^^ UJk Qm))^ ++ E E hmlkh*mk ^3, s+](Bmjl2* -Uk ++
- № + l)(|gfc|2 £ е^з-^Ч\р^ S+]Sp2^0 -+
+ E g>mk e*^-?n 4\Pj> Sps-(Bmj + B<W5^0 - ^) +
+ E gkh*mke^-^xЗЛх.т
X ([pj, Sj""\Sjx (^B-n^j^TrS^Uo — 03^ T f^m) T 5^^2775(^0 — шк — ^m))) 4"+ E Ehmxkh*mke^3-^ X
x ([pp Sj""\Sjx (Bmxj + B^j^(Bmjx2Tr5(oJo озк + Qm) +
4" ^mji^^^^O ^k ^m)))4" ^mji^^^^O ^k ^m)))+ (комплексно сопряжённые члены).
4" ^mji^^^^O ^k ^m)))
4" ^mji^^^^O ^k ^m)))
Полезно заметить, что оператор S^ коммутирует с На + Hv.
Осталось выписать соответствующие слагаемые с коммутаторами для оператора о^ = т^т = В^тВдт = пт в уравнении (2.45)
м+№т,м^ = ЕЕ^^е~^-^^^+
+ Е Е h^h^e"^,-^^
ЗЛ\ т,тх
МЛг>т,М^ =+ B+m,nm] -
-E E СкЬт1ке^-^др^^
x \Bmjt + B^jt, nm];
ЩЕ п^М^т) = EE h*mkgkS~SpT)[Bmj + B^, nm] +
+ E E hmkWe-^-^STSpT^Bm^BV^x
x (Bjimi (t) + Bj1Trtl (t));
[Mfc,nm]M+(T) = EL^f'":;W^^f^nm.Bmjl+B+j] -
"EE h^khmJ<e-^^^^
x (BmjO) + B+.(r)).
Интегрируя по т как и ранее, запишем правую часть (2.45) для эволюции пт
х ^ЛМ+(т>т(1),Мк(1^ + (Nk + \-)^MkW,Tim(t^MkM^ +
+ е1Шк^-т) х
х ^М+№,пт^МЛт^ + (Nk + i^MkO>mW,M+(t^ =
e-^3-r-,a<S7S>m,Bmjl +B+jt]} x
X 2тг5Ц0 -шк) + 52 52 hmikhmke гк^э г,,)
т,тх з,зх
X ^Sj Sj^[Bmj27v6[wQ Wk + Qm) + B^^TvS^Wq Wk ^m)) Xx \^m,Bmxjx +5^^^])^ —
Список литературы
Hansch T.W., Shawlow A.L. Cooling of gases by laser radiation // Opt. Comm. 1975. V. 13, № 1. P. 68-71.
Letokhov U.S., Minogin V.G., Pavlik B.D. Cooling and trapping of atoms and molecules by a resonant laser field // Opt. Comm. 1976. V. 19, № 1. P. 72-75.
Pringsheim P. Zwei Bemerkungen uber den Unterschied von Lumineszenz- und Temperaturstrah-lung // Z. Phys. 1929. P. 739.
Летохов B.C., Миногин В.Г., Павлик Б.Д. Охлаждение и пленение атомов и молекул резонансным световым полем // ЖЭТФ. 1977. Т. 72, №4. С.1328-1341.
Djeu N., Whitney W.T. Laser cooling by spontaneous anti-Stokes scattering H Phys. Rev. Lett. 1981. V. 46. P. 236-239.
S. Epstein R.L, Buchwald M.L, Edwards B.C. et al. Observation of laser-induced fluorescent cooling of a solid // Nature (London). 1995. V. 377. P. 500.
Mungan C.E., Buchwald M.L, Edwards B.C. et al. Laser cooling of a solid by 16 К starting from room temperature // Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78. P. 1030.
Mungan C.E., Buchwald M.L, Edwards B.C. et al. Internal laser cooling of Kb3+-doped glass measured between 100 and 300 К // Appl. Phys. Lett. 1997. V. 71. P. 1458.
Mungan C.E., Buchwald M.L, Edwards B.C. et al. Spectroscopic determinantion of the expected optical cooling of ytterbium-doped glass // Mat. Sci. forum. 1997. 239-241. P. 501.
Epstein R.I., Edwards B.C., Mungan C.E., Buchwald M.I. The los Alamos Solid-State Optical Refrigerator. Proceedings of the 9-th International Cryocooler Conference / Ed. by R. Ross. — N.Y.: Plenum Pub., 1997.
Fajardo J.C., Sigel (jr.) G.H., Edwards B.C. et al. Electrochemical purification of heavy metal fluoride glasses for laser-induced fluorescent cooling applications // J. Non-Crystalline Solids. 1997. V. 213-214. P. 95-100.
Gosnell T.R., Luo X., Eisaman M.D. Laser cooling of solid by 21К starting from room temperature // Technical Digest od International Quantum Electronics Conference (IQEC’98, San Francisco, USA). 1998. V. 7. P. 222-223.
Luo X., Eisaman M.D., Gosnell T.R. Laser cooling of a solid by 21 К starting from room temperature // Optics Letters. 1998. V. 23, № 8. P. 639-641.
Edwards B.C., Anderson J.H., Epstein R. et al. Demonstration of a solid-state optical cooler: an approach of cryogenic refrigeration // J. Appl. Phys. 1999. V. 86. P. 6489-6491.
Gosnell T.R. Laser cooling of a solid by 65 К starting from room temperature Ц Optics Letters. 1999. V. 24, № 15. P. 1041-1043.
Hoyt С. W., Sheik-Bahae М., Epstein R.I. et al. Observation of anti-Stokes fluorescence cooling in Thulium-doped glass // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85, № 17. P. 3600-3603.
Epstein I.R., Edwards B.C., Buchwald M.L, Gosnell T.R. Fluorescent refrigeration II Patent USA, №5.447.032 (Date: 05.09.1995).
Epstein R.I. Progress on laser cooling of rare-earth doped solids // Proceedings of 3d Annual Workshop on Laser Cooling of Solids (April 16, Univ, of New Mexico, Albuquerque, NM, USA), 2004.
Mungan C.E., Gosnell T.R. Laser cooling of solids // Advances in Atomic, Molecular and Optical Physics (review). 1999. V. 40. P. 161-228.
Edwards B.C., Buchwald M.I., Epstein I.R. Optical refrigerator using reflectivity tuned dielectric mirrors // Patent USA, №6.041.610 (Date: 28.03.2000).
Epstein I.R., Edwards B.C., Mansoor Sheikh-Bahae, Semiconductor-based optical refrigerator // Patent USA, №6.378.321 (Date: 30.04.2002).
Landau L. On the thermodynamics of photoluminescence // J. Phys. USSR. 1946. V. 10. P. 503.
Миногин В.Г., Летохов В. С. Давление лазерного излучения на атомы. — М.: Наука, 1986. - 300 с.
Andrianov S.N., Samartsev V.V. Exciton mechanism of laser cooling in solid-state systems // Laser Physics. 1996. V. 6. P 949.
Andrianov S.N., Samartsev V.V. Laser cooling of the phonon mode in a molecular crystal // Laser Physics. 1996. V. 6. P. 759.
Andrianov S.N., Samartsev V.V. Laser cooling of matter in condensed phase // Laser Physics. 1997. V. 7. P. 1086.
Andrianov S.N., Samartsev V. V. Optical superradiation and laser cooling // Laser Physics. 1997. V. 7. P. 314.
Oraevsky A.N. Cooling of semicondactors by laser radiation // J. Russian Laser Research. 1996. V. 17. P. 471.
Zadernovskii A. A., Rivlin L.A. Laser cooling of semiconductor, (optical heat engine) // Quantum Electronics. 1996. V. 26. P. 1100.
Kalachev A.A., Samartsev V. V. Optical superradiance in impurity crystals and its possible applications // Laser Physics. 2002. V. 12. P. 1114-1125.
Zinoviev P. V, Zuikov V.A., Kalachev A. A. et al. Triggered optical superradiance in biphenyl crystals with pyrene molecules // Laser Physics. 2001. V. 11. P. 1307-1313.
Бараненко А. В., Бухарин H.H., Пекарев В.И. и др. Холодильные машины / Под общ. ред. Л. С. Тимофеевского. — C-Пб.: изд-во Политехника, 1997. - 992 с.
Давыдов А. С. Теория твёрдого тела. — М.: Наука, 1976. — 640 с.
Степанов Б.И., Грибковский В.П. Введение в теорию люминесценции. — Минск: изд-во. АН БССР, 1963. — 444 с.
Васильев А.Н., Михайлов В. В. Введение в спектроскопию твёрдого тела. — М.: изд-во МГУ, 1987. — 192 с.
Лоудон Р. Квантовая теория света. — М.: Мир, 1976. — 488 с.
Петрушкин С. В., Самарцев В. В. Люминесцентное охлаждение Н Сб. трудов VIII Международная молодежная научная Школа «Когерентная оптика и оптическая спектроскопия». — КГУ: Казань, 2004. С. 390-396.
Malyutenko V.K. Negative luminescence in semiconductors: a retrospective view Ц Physica E. 2004. V. 20. P. 553-557.
Болдырев Н.Ю., Бурлаков B.M., Головашкин А.И., Жижин Т.Н, Митъ- ко А. Г., Красносвободцев С.И., Печень Е.В., Хаджийский Ю.А. Спектроскопия отрицательных световых потоков ориентированных пленок // Письма в ЖЭТФ. 1988. Т. 48. С. 354-356.
Bunduk L.S., Kuzmenko А. Р., Ponezha G.V. Experimental and clinical approbation of the negative microwave electromagnetic radiation fluxes // Physics of the Alive. 1999. V. 7. N 2. P. 11-18.
Stokes G.G. 11 Phil. Trans. 1852. V. 143. P. 463.
Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Статистическая физика. T. 5. — М.: Наука, 1964. - 568 с.
Egorov S.A., Skinner J.L. On the theory of multiphonon relaxation rates in solids Ц J. Chern. Phys. 1995. V. 103. P. 1533.
Zander C., Drexhage K.H. Cooling of a dye solution by anti-Stokes fluo- rescense // Advances in photochemistry / Ed. by D.C. Neckers, D.H. Volman and G. von Biinau. V. 20. — N. Y.: Wiley: 1995. — P. 59.
Clark J.L., Rumbles G. Laser cooling in the condensed phase by frequency-up conversion // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. P. 2037-2040.
Kushida T., Geusic J.E. Optical refrigeration in Nd-doped yttrium aluminium garnet // Phys. Rev. Lett. 1968. V. 21. P. 1172.
Kushida T, Marcos H.M., Geusic J.E. Transition Cross Section and Fluorescence Branching Ratio for Nd3+ in Yttrium Aluminum Garnet // Phys. Rev., 1968, 167. P. 289-291.
Tsujikawa I., Murao T. Possibility of optical cooling of ruby // J. Optical Society of Japan. 1963. V. 18, №4. P. 503-510.
Арсеньев П.А., Кустов E. Ф., Сурогин Л. И. К вопросу о озможности оптического охлаждения // Журн. Прикл. Спектр. Т. 8, вып. 4. С. 610-611.
Varsanyi Е., Wood D.L., Shawlow A.L. Self-Absorption and Trapping of Sharp-Line Resonance Radiation in Ruby // Phys. Rev. Lett. 1959. V. 3. P. 544-545.
Шегеда A.M., Лисин B.H. Фононная регистрация оптических спектров Сг3+ в рубине // Казнский физико-технический институт им. Е. К. Завой- ского, 2002. Ежегодник. — Казань: ФизтехПресс, 2003. С. 111-115.
Gauck И, Gfroerrer Т.Н., Renn M.J. et al. External radiative quantum effeciency of 96% from a GaAs/GalnP heterostructure // Appl. Phys. A. 1997. V. 64. P. 143.
Newman R. Optical studies of injected carriers. II: Recombination radiation in germanium // Phys. Rev. 1953. V. 91. P. 1313.
Haynes J.R., Briggs H.B. Radiation produced in germanium and silicon by electron-hole recombination // Phys. Rev. 1952. V. 86. P. 647.
Lehovec K., Accardo C.A., Jamgochian E. Injected light emission of silicon carbid crystals // Phys. Rev. 1951. V. 83. P. 603.
Lehovec K., Accardo C.A., Jamgochian E. Light emission produced by current injected into a green silicon-carbide crystal // Phys. Rev. 1953. V. 89. P. 20.
Таис J. The share of thermal energy taken from the surroundings in the electroluminescent energy radiated from a p-n junction // Czech. Journ. Phys. 1957. V. 7. P. 275.
Bradley W.E. Electronic cooling device and method for the fabrication thereof. U.S. Patent №2.898.743. — Philco Corporation, 1959.
Weinstein M.A. Thermodynamic limitation on the conversion of heat into light // Journ. of Opt. Soc. of America. 1960. V. 50. P. 597.
Gerthsen P., Kauer E. The luminescence diode acting as a heat pump // Phys. Lett. 1965. V. 17. P. 255.
Berdahl P. Radiant refrigeration by semiconductor diodes // J. Appl. Phys. 1985. V. 58. P. 1369.
Scovil H.E.D., Schulz-DuBois E.O. Three-level masers as heat engines // Phys. Rev. Lett. 1959. V. 2. P. 262.
Mazurenko Yu. T. Some properties of lasers from the point of view of thermodynamics // Opt. Spectrosc. 1965. V. 19. P. 85.
Mazurenko Yu. T. X thermodynamic treatment of the process of photoluminescence // Opt. Spectrosc. 1965. V. 19. P. 24.
Prigogine I. Introduction to thermodynamics of irreversible processes. (3rd ed. P. 17). - N. Y.: Wiley, 1954.
Landsberg P. T, Evans D.A. Thermodynamic limits for some light- producing devices // Phys. Rev. 1968. V. 166. P. 242.
Weinstein M.A. Thermodynamic limitation on the conversion of heat into light н J. Opt. Soc. Am. 1960. V. 50. P. 597.
Kafri O., Levine R.D. Thermodynamics of adiabatic laser processes: Optical heaters and refrigerators // Opt. Commun. 1974. V. 12. P. 118.
Landsberg P. T, Tonge G. Thermodynamic energy conversion efficiencies // J. Appl. Physics. 1980. V. 51. P. RI.
Miniscalco W.J. Optical and electronic properties of rare-earth ions is glasses // Rare-earth doped fiber lasers and amplifiers / Ed. by M.J.F. Digonnet. — N.Y.: Marcel Dekker, 1993. — P. 19.
Vavilov S. Some remarks on the Stokes law // J. Physics (Moscow). 1945. V. 9. P. 68.
Anderson M.H., Ensher J.R., Matthews M.R. et al. Observation of Bose-Einstein condensation in a dilute atomic vapour // Science. 1995. V. 269. P. 198.
Kastler A. Quelques suggestions concernant la production optique et la detection optique d’une inegalite de population des niveaux de quantification spatiale des atomes: Application a I’experience de Stern et Gerlach et a la resonance magnetique // J. Phys. Radium. 1950. V. 11. P. 255.
Pringsheim P. Some remarks concerning the difference between luminescence and temperature radiation: Anti-Stokes fluorescence // Jour, of Phys. (Moscow). 1946. V. 10. P. 495.
Djeu N. Laser cooling of gases by reradiation at higher frequency transitions // Opt. Commun. 1978. V. 26. P. 354.
Treanor C.E., Rich J. W., Rehm R.G. Vabrational relaxation of anharmonic oscillators with exchange-dominated collisions // J. of Chern. Phys. 1967. V. 48. P. 1793.
Yardley J. Т. Population inversion and energy transfer in CO lasers // Appl. Opt. 1971. V. 10. P. 1760.
Jablonski A. Efficiency of anti-Stokes fluorescence in dyes // Nature (London). 1933. V. 131. P. 839.
Wood R. W. Anti-Stokes radiation of fluorescent liquids // Phil. Mag. 1928. V. 6. P. 310.
I. Ketskemety, Ё. Farkas, Neuere Uberlegungen beziiglich der oberen Schranke der Fluoreszenzausbeute // Acta Phys. Chem. Szeged (Hungary). 1970. V. 16. P. 77.
Erickson L.E. On anti-Stokes luminescence from Rhodamine 6G in ethanol solutions // J. Luminescence. 1972. V. 5. P. 1.
Chang M.S., Elliott S.S., Gustafson T.K. et al. Observation of anti-Stokes fluorescence in organic dye solutions // IEEE Journal Quantum Electronics. 1972. V. 8. P. 527.
Zander C. Abkiihlung einer Farbstofflosung durch Anti-Stokes-Fluo- reszenz // Ph. D. thesis. — Universitat Siegen, 1991.
Zander C., Drexhage K.H. Cooling of a dye solution by anti-Stokes floures- cence // Advances in photochemistry / Ed. by D.C. Neckers, D. H. Volman and G. von Biinau. V. 20. N. Y.: Wiley, 1995. — P. 59.
Rivlin L.A., Zadernovsky A. A. Laser cooling of semiconductors // Opt. Commun. 1997. V. 139. P. 219.
Nelson D.E., Boyle W. S. A continuous operating by ruby optical maser // Appl. Opt. 1962. V. 1. P. 181.
Nelson D.E., Sturge M.D. Relation between absorption and emission in the region of the R lines of ruby // Phys. Rev. 1965. V. 137. P. Al 117.
Yatsiv S. Anti-Stokes fluorescence sa a cooling process // Advances in quantum electronics / Ed. by J.R. Singer. 1961. — N. Y.: Columbia University Press. — P. 200-213.
Chukova Yu.P. Influence of excitation-line characteristics on efficiency of spectral conversion of energy by ions of trivalent neodymium in yttrium-aluminum garnet // Bull. Acad. Sci. USSR (Phys. Ser). 1974. V. 38. P. 57.
Pauli W. in Probleme der Modernen Physik, Arnold Sommerfeld zum 60. Geburtstage gewidmet van seinen Schiilern ed. P. Debye. — Leipzig: Hirzel Verlag, 1928. V. 1. Reprinted in Collected Scientific Papers by Wolfgang Pauli / Ed. by R. Kronig, V. F. Weisskopf. — N.Y.: Interscience, 1964. P. 549.
Van Hove L. in Fundamental Problems in Statistical Mechanics / Ed. by E.G.D. Cohen. — North-Holland, Amsterdam, 1962. P. 157.
Zwanzig R. // Lectures in Theoretical Physics. V. 3 // Ed. by W. E. Brittin, B.W. Downs and J. Downs. — N. Y.: Interscience, 1961. — P. 106.
Montroll E. W. // Lectures in Theoretical Physics. V. 3. eds. W. E. Brittin, D.W. Downs and J. Downs N.Y.: Interscience, 1961. — P. 221.
Prigogine I. Non-Equilibrium Statistical Mechanics. — N.Y.: Interscience, 1962.
Agarwal G.S. Quantum Statistical Theories of Spontaneous Emission and their Relation to other Approaches. Springer Tracts in Modern Physics. V. 70. — Berlin: Springer, 1974.
Oppenheim I., Shuler K.E., Weiss G.H. Stochastic Processes in Chemical Physics: The Master Equation. — Cambridge, MA: MIT Press, 1977.
Зубарев Д.Н. Неравновесная статистическая термодинамика. — М.: Наука, 1971.
Боголюбов Н.Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. — М.-Л.: Гостехиздат, 1946.
Ахиезер А.И., Пелетминский С.В. Методы статистической физики. — М.: Наука, 1977. - 368 с.
Покровский Л. А. Получение обобщённых кинетических уравнений с помощью неравновесного статистического оператора // ДАН СССР. 1968. Т. 183, №26. С. 806-809.
Balescu R. Dynamical correlation patterns: a new representation of the Liouville equation // Physica. 1971. V. 56, № 1. P. 1-24.
Андрианов C.H., Самарцев В. В. Оптическое сверхизлучение и лазерное охлаждение в твёрдых телах. — Казань: изд. КГУ, 1998.
Казанцев А.П, Сурданович Г.И., Яковлев В.П. Механическое действие света на атомы. — М.: Наука, 1991.
Павлик В.П. Холодные и ультрахолодные атомы. — Киев: Наукова Думка, 1993. - 267 с.
Andrianov S.N., Samartsev V. V. Laser cooling of impurity molecular crystal Ц Proceedings of SPIE. 1997. V. 3239. P. 442-456.
Andrianov S.N., Samartsev И И Superradiance of laser cooled particles // Proceedings of SPIE. 1997. V. 3239. P. 457-461.
Kalachev A. A., Кагатуshev S.B., Samartsev И И Laser cooling of the spin system in Van-Vleck paramagnetics // Laser Physics. 1996. V. 6, № 1. P. 27.
Kalachev A.A., Samartsev V. V. Specific features of local data erasure and laser cooling in Van-Vleck paramagnetics // Laser Physics. 1997. V. 7, № 2. P. 476.
Andrianov S.N., Samartsev V. V. Laser cooling of impurity crystals // Laser Physics. 1998. V. 8, № 1. P. 14.
Andrianov S.N., Samartsev V. V. Anti-Stokes regime of laser cooling of solids Ц Laser Physics. 1999. V. 9, №5. P. 1021.
Файн B.M., Ханин Я.И. Квантовая радиофизика: фотоны и нелинейные среды. — М.: Сов. Радио, 1972.
Bogolubov N.N. Kinetic equations for the electron-phonon system. Preprint E17-11822. - Dubna: JINR, 1978.
Боголюбов Н.Н, Боголюбов Н.Н. (мл.), Кинетическое уравнение для динамической системы, взаимодействующей с фононным полем // ЭЧАЯ. 1980. Т. 11. С. 245.
Боголюбов НН, Боголюбов Н.Н. (мл.), Введение в квантовую статистическую механику. — М.: Наука, 1984.
Енаки Н. А. Сверхизлучение при двухфотонном спонтаном распаде // ЖЭТФ. 1988. Т. 94, вып. 10. С. 135-144.
Shen Y.R. Quantum statistics of nonlinear optics // Phys. Rev. 1967. V. 155. P. 921-931.
Walls D.F. Quantum theory of nonlinear optical phenomena // J. Phys. A: Math Gen. 1971. V. 4. P. 813-826.
McNeil К. J., Walls D.F. Quantum theory of multiphoton lasers I. Systems in detailed balance // J. Phys. A: Math Gen. 1975. V. 8. P. 104-110.
McNeil K.J., Walls D.F. Quantum theory of multiphoton lasers II. Systems without detailed balance // J. Phys. A: Math Gen. 1975. V. 8. P. 111-119.
Боголюбов H.H. (мл.), A.C. Шумовский, Сверхизлучение. — Дубна: ОИ- ЯИ, 1987.
Bashkirov Е.К., Petrushkin S.V. Quantum correlation functions in the problem of collective spontaneous emission // Proceedings of the Workshop QFTHEP, 1997. P. 466. (Editor: В. B. Levtchenko, INP MSU Moscow).
Bashkirov E.K., Petrushkin S. V. Quantum theory of superradiance in two-level and three-level systems // Proc. SPIE, 2001, Saratov Fall Meeting 2000: Laser Physics and Photonics; and Spectroscopy and Molecular Modeling (Vladimir L. Derbov; Leonid A. Melnikov; Lev M. Babkov; Eds.). V.4243. P. 156-161.
Башкиров E.K., Петрушкин С. В. Модифицированные кинетические уравнения в квантовой теории сверхизлучения в двух- и трёхуровневых системах // Теоретическя Физика. 2002. Т. 2. С. 37-44 (Самара: изд. СамГУ).
Petrushkin S. У., Samartsev V. V. Boson operator elemination method in the laser cooling of solids // Theoretical and Mathematical Physics. 2001. V. 126, № 1. P. 136-145.
Антонов-Романовский В. В., Степанов Б. И., Фок М.В., Хапа- люк А.П. и ДАН. 1955. Т. 105. С. 50.
Степанов Б. И. Люминесценция сложных молекул. Ч. 1. — Минск: изд. АН БССР, 1955. - 328 с.
Dicke R.H. Coherence in Spontaneous Radiation Processes // Phys. Rev. 1954. V. 93. P. 99-110.
Андреев А. В., Емельянов В. И., Ильинский Ю.А. Кооперативные явления в оптике. Сверхизлучение, бистабильность, фазовые переходы. — М.: Наука, 1988. — 288 с.
Benedict M.G., Ermolaev А.М., Malyshev V.A. et al. Super-radiance: mul- tiatomic coherent emission. — L.: Institute of Physics Publishing, 1996.
Samartsev V. V., Kalachev A. A. Optical and Gamma Superradiance // Hyperfine Interactions. 2001. V. 135. P. 257-273.
Florian R., Schwan L. O., Schmid D. Superradiance and high-gain mirrorless laser activity of O^-centers in KC1 // Solid State Commun. 1982. V. 42. P. 55.
Zuikov V.A., Kalachev A.A., Samartsev V. V., Shegeda A.M. Optical Superradiance in а БаИз : PrH Crystal // Laser Physics. 1999. V. 9. P. 951.
Андрианов C.H., Самарцев В. В. Гамма-сверхизлучение при накачке с ме- тастабильного уровня // Известия РАН, сер. физ. 2000. Т. 64, № 10. С.2097-2100.
Crubellier A., Liberman S., Mayou D. et al. Oscillations in superradiance with long-duration pumping pulses // Optics Letters. 1982. V. 7, №1. P. 16-18.
Kalachev A.A., Samartsev V. V. Long-Lived Optical Superradiance in the Regime of Multipulse Excitation // Laser Physics. 1999. V. 9. P. 916.
Калачев А. А., Самарцев В. В. Оптическое сверхизлучение в режиме че- тырёхволногово смешения // Известия РАН, сер. физ. 2000. Т. 64, № 10. С.2063.
McCumber D. Е. Einstein relations connecting broadband emission and absorption spectra // Phys. Rev. 1964. V. 136. P. A954-A957.
Jackson W.B., Amer N.M., Boccara A.C., Fournier D. Photothermal deflection spectroscopy and detection // Appl. Opt. 1981. V. 20. P. 1333.
Boccara A.C., Fournier D., Jackson W., Amer N.M. Sensitive photothermal deflection technique for measuring absorption in opticallt thin media // Optics Letters. 1980. V. 5. P. 377-379.
Lines M.E. Infraction of light with matter: Theoretical overview // Handbook of infrared optical materials (Optical engineering) / Ed. by P. Klocek. — N.Y.: Marcel Dekker, 1991. - P. 71.
Bendow B. Transparency of Bulk Halide Glasses // Flouride glass fiber optics / Ed. by I. D. Aggarwal and G. Lu. — San Diego: Academic Press, 1991. - P. 85.
Boyer L.L., Harrington J. A., Haas M., Rosenstock H.B. Optical absorption by alkali halides: Possible structure in the multiphonon region // Optical properties of highly transparent solids / Ed. by S.S. Misra and B. Sendow. — N.Y.: Plenum Press, 1975. — P. 59.
Heyman D., Hellwarth R. W., Hamilton D.S. Raman scattering and nonlinear refractive index measurements of optical glasses // J. Noncryst. Solids. 1979. V. 34. P. 63.
Gallo P., Mazzacurai V., Ruocco G., Signorelli G. Absolute two-phonon Raman cross section in potassium chloride // Phys. Rev. B. 1991. V. 43. P. 14268.
Frey R., Micheron F, Pocholle J.P. Comparison of Peltier and anti-Stokes optical coolings // J. Applied Physics. 2000. V. 87, № 9. P. 4489-4498.
Edwards В. C., Buchwald M.I., Epstein R. I. 11 Rev. Sci. Instrum. 1998. V. 69. P. 2050.
Lamouche G., Lavallard P., Suris R., Grousson R. Low temperature laser cooling with a rare-earth doped glass // J. Applied Physics. 1998. V. 84, № 1. P. 509-516.
Semashko V. V., Abdulsabirov P. Yu., Naumov A.K. et al. 11 Proc. SPIE. 2000. V. 4061. P. 306.
Bowman S.R. Lasers without internal heat generation // IEEE J. Quantum Electronics. 1999. V. QE-35. P. 115-122.
Andrianov S.N., Samartsev V.V. Solid-state lasers with internal laser refrigeration effect Ц Proc. SPIE. 2001. V. 4605. P. 208-213.
Payne S.A., Beach R.J., Bibeau C. et al. Diode arrays, crystals, and thermal management for solid-state lasers // IEEE J. Select. Topics Quantum Electron. 1997. V. 3. P. 71-81.
St R.J., Pierre D.W., Mordaunt H. et al. Diode array pumped kilowatt laser // IEEE J. Select. Topics Quantum Electron. 1997. V. 3. P. 53-57.
Bruesselbach H.W., Sumida D.S., Reeder R.A., Byren R.W. Low-heat high-power scaling using InGaAs-diode-pumped Yb:YAG lasers // IEEE J. Select. Topics Quantum Electron. 1997. V. 3. P. 105-116.
Звелто О. Принципы лазеров. — М.: Мир, 1990. — 560 с.
Graf Т., Balmer J.E. Laser beam quality, entropy and the limits of beam shaping // Opt. Commun. 1996. V. 131. P. 77-83.
Graf T., Balmer J.E., Weber H.P. Entropy balance of optically pumped cw lasers // Optics Comm. 1998. V. 148. P. 256-260.
Mungan G.E. Thermodynamics of radiation-balanced lasing // J. Opt. Soc. Am. B. 2003. V. 20, № 5. P. 1075-1082.
Bowman S.R., Mungan G.E. New materials for optical cooling // Appl. Phys., 2000, vol. B. 71. P. 807-811.
Ораевский A.H. К теории молекулярного генератора // Радиотехника и электроника. 1959. Т. 4. С. 718.
Грасюк А. 3., Ораевский А. Н. Тр. 4-го Международного конгресса по лампам СВЧ. — Шевинген: Нидерланды, 1962.
Грасюк А.З., Ораевский А.Н. // Радиотехника и электроника. 1964. Т. 9. С. 524.
Lorenz Е. Ц J. Atm. Sci. 1963. V. 20. Р. 130.
Haken Н. Analogy between higher instabilities in fluids and lasers // Phys. Lett. A. 1975. V. 53. P. 77.
Khanin I. Ya. Principles of Laser Dynamics. — Amsterdam, 1995.
Ханин Я. И. Основы динамики лазеров. — М.: Наука, Физматлит, 1999. — 368 с.
Наумов А.К. / Дисс. на соискание степени кандидата физ.-мат. наук — Казанский Государственный Университет, 1998. — С. 148.
Ярив А. Квантовая электроника. — М.: Советское радио, 1980.
Mandel L., Wolf Е. Optical coherence and quantum optics. — Cambridge: Cambridge Univ. Press 1995.
Scully M.O., Lamb W.E. jr, Quantum theory of an optical maser. I. General theory Ц Phys. Rev. 1967. V. 159. P. 208-226.
Landau L. Ц Zs. f. Phys. 1927. V. 45. P. 430.
Bloch F. Ц Phys. Zs. 1928. V. 29. P. 58.
Калачев А. А., Самарцев В. В. Когерентные явления в оптике. — Казань: изд. КРУ, 2003. - 281 с.
Lin Н., Wang Т., Wilson G.A., Mossberg Т. W. Experimental demonstration of swept-carrier time domain optical memory // Optics Letters. 1995. V. 20, № 1. P. 91-93.
Сликтер Ч. Основы терии магнитного резонанса. — Москва: Мир, 1981. - 446 с.
Лоунасмаа О. В. Принципы и методы получения температур ниже 1 К. — М.: Мир, 1977. - 356 с.
Альтшулер С. А. Об использовании веществ, содержащих редкоземельные ионы с чётным числом электронов, для получения сверхнизких температур Ц Письма ЖЭТФ. 1966. Т. 3. С. 177-180.
Andres К., Bucher Е. Observation of hyperfine-enhanced nuclear magnetic cooling Ц Phys. Rev. Lett. 1968. V. 21. P. 1221-1223.
Andres K., Bucher E. Hyperfine-enhanced nuclear magnetic cooling in Van Vleck paramagnetic intermetallic compounds // J. Appl. Phys. 1968. V.42. P. 1522-1527.
Sleva Е.Т., Xavier (jr.) I.M., Zewail A.H. Photon locking // J. opt. Soc. Amer. B. 1986. V. 3. P. 483-486.
Feynman R.P., Vernon F.L., Hellwarth R. W. Geometrical reprezentation of the Schroedinger equation for solving maser problems // J. Appl. Phys. 1957. V. 28. P. 49-52.
Abella I.D., Kurnit N.A., Hartmann S.R. Photon echoes // Phys. Rev. 1966. V. 141. P. 391-411.
Маныкин Э.А., Самарцев В. В. Оптическая эхо-спектроскопия. — М.: Наука, 1984. - 270 с.
Brewer R.G., Shoemaker R.L. Photon echo and optical nutation in molecules Ц Phys. Rev. Lett. 1977. V. 27. P. 631-634.
Брюер P. Когерентная оптическая спектроскопия // Нелинейная спектроскопия. — М.: Мир, 1979. С. 119-176.
Orlowsky Т.Е., Jones К.Е., Zewail A.H. Measurements of molecular dephasing and radiationless decay by laser-acoustic diffraction spectroscopy // Chern. Phys. Lett. 1978. V. 54. P. 197-202.
Набойкин Ю.В., Самарцев В. В., Зиновьев П.В., Силаева Н.Б. Когерентная спектроскопия молекулярных кристаллов. — Киев: Наукова Думка, 1986. - 202 с.
Ахмедиев Н. И, Самарцев В. В. Долгоживущее оптическое эхо и оптическая память Ц Новые физические принципы оптической обработки информации. — М.: Наука, 1990. С. 326-359.
Hahn E.L. Spin echoes Ц Phys. Rev. 1950. V. 80. P. 580-594.
Carr N.Y., Purcell T.M. Effects of diffusion on free precession in nuclear magnetic experiments // Phys. Rev. 1954. V. 94. P. 46-61.
Schmid I., Berman P.R., Brewer R.G. Coherent transient study of velosity-changing collisions // Phys. Rev. Lett. 1973. V. 31. P. 1103-1105.
Уо Дж. Новые методы ЯМР в твёрдых телах. — М.: Мир, 1978. — 179 с.
Хеберлен У., Меринг М. ЯМР высокого разрешения в твёрдых телах. — М.: Мир, 1980. - 540 с.
Osokin D. Ya. Coherent multipulse sequences in nitrogen-14 NQR // Journal Molecular Structure. 1982. V. 83. P. 243-252.
Osokin D. Ya. Pulsed spin-locking in nuclear quadrupole resonance of 14N // JETP. 1983. V. 84. P. 118-123.
Самарцев В.В., Трайбер А.С. Снятие дипольной ширины с помощью многоимпульсных оптических последовательностей II ЖПС. 1981. Т. 35. С. 148-151.
Кавеева З.М., Самарцев В. В. Световое эхо в режиме двойных резонансов и Изв. АН СССР, сер. физ. 1981. Т. 45. С. 1537-1543.
Warren W.S., Zewail A.Z. Optical analog of NMR phase coherent multiple pulse spectroscopy // J. Chern. Phys. 1981. V. 75. P. 5956-5958.
Warren W.S., Zewail A.Z. Multiple phase-coherent laser pulses in optical spectroscopy // J. Chern. Phys. 1983. V. 75. P. 2279-2297.
Warren W.S., Bates J.L., McCoy M.A. et al. There were no pi pulses in iodine vapour: crafted pulses to compensate for Rabi-frequency inhomogeneities // J. Opt. Soc. Amer. B. 1986. V. 3. P. 488-492.
Ахманов C.A., Никитин С.Ю. Физическая оптика. — М.: МГУ, 1998. — 655 с.
Macfarlane R.M., Yannoni C.S., Shelby R.M. Optical line narrowing by nuclear spin decoupling in Pr3+:LaF3 // Optics Communications. 1980. V. 32. P. 101-104.
Zuikov ИЛ., Bikbov I. S., Кагатуshev S.B., Samartsev V.V. Long-lived photon echo in a LaF3:Pr3+ crystal: polarization properties, influence of a weak magnetic field and a problem of local data erasure // Laser Physics. 1994. V.4. P. 95-108.
Edwards В. C., Buchwald M.L, Epstein R.I. et al. Development of a fluorescent cryocooler // Proceedings of the Ninth Annual American Institute of Astronomies / Ed. by F. Redd. — USA: Utah State University, 1996. P. 1-9.
Osokin D. Ya. Coherent quasi-steady states in nitrogen-14 NQR multipulse experiments // Phys. Stat. Sol.(B). 1982. V. 109. P. k7-kl0.
Osokin D.Ya., Ermakov V.L., Kurbanov R.H, Shagalov V.A. The qua- sistationary states in multipuse NQR // Z. Naturforsch. 1992. V. 47a. P. 439-445.
Kim S. S., Jayakody J.R.P., Marino R.A. Experimental investigations of the strong off-resonance comb (SORC) pulse sequence in 14N NQR // Z. Naturforsch. 1992. V. 47a. P. 415-420.
Зельдович Я.Б. Квазиэнергия квантовой системы, подвергающейся периодическому воздействию // ЖЭТФ. 1966. Т. 51. С. 1492-1495.
Самарцев В.В., Зуйков В. А., Нефедьев Л.А. Оптическая память на основе долгоживущего фотонного эха // ЖПС. 1993. Т. 59. С. 395-424.
Macfarlane R.M., Zhu М. // Optics Letters. 1997. V. 22. Р. 248.
Hoyt С. W., Sheik-Bahae M., Epstein R.I. et al. // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. P. 3600.
Hoyt C. W. Laser cooling in thulium-doped solids // Dissertation Dr. of Phil. Opt. Sci. — Albuquerque: New Mexico Univ., 2003. — 138 p.
Becker P.C. et. al Ц Phys. Rev. Lett. 1988. V. 61. P. 1647; 1989. V. 63. P. 505.
Macfarlane R.M. // Laser Physics. 1995. V. 5. P. 567.
Feynman R.P. Quantum mechanical computers // Found. Phys. 1986. V. 16. P. 507-531; УФН. 1986. T. 149. C. 671.
Bennet C.H. Notes on the history of reversible computation // IBM Jour. Res. Develop. 1988. V. 32. P. 16-23.
Валиев К. А., Кокин А. А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. 2001, (Ижевск: изд. «Регулярная и хаотическая динамика»). — 351 с.
Мандель Л., Вольф Э. Оптическая когерентность и квантовая оптика. — М.: Физматлит, 2000. — 896 с.
Скалли М.О., Зубайри М.С. Квантовая оптика. — М.: Физматлит, 2003. - 510 с.
Brown R.H., Twiss R. Q. Correlation between photons in two coherent beams of light Ц Nature. 1956. V. 177. P. 27-29.
Purcell E.M. The Question of Correlation between Photons in Coherent Light Rays Ц Nature. 1956. V. 178. P. 1449-1450.
Клышко Д.Н Фотоны и нелинейная оптика. — М.: Наука, 1994.
Staler D. Equivalence classes of minimum uncertainty packets // Phys. Rev. D. 1970. V. 1. P. 3217; Equivalence Classes of Minimum-Uncertainty Packets. II Ц Phys. Rev. D. 1971. V. 4. P. 1925.
Slusher R.E., Hollberg L. W., Yurke В. et al. Observation of squeezed states generated by foure-wave mixing in an optical cavity // Phys. Rev. Lett. 1986. V. 5 5. P. 2409-2412.
Женский M. Б. Квантовая механика: новые эксперименты, новые приложения и новые формулировки старых вопросов // УФН. 2000. Т. 170. С.631-648.
Einstein Л., Podolsky В., Rosen N. Can quantum-mechanical description of physical reality be considered complete? // Phys. Rev. 1935. V. 47. P. 777-780; УФН. 1936. T. 16. C. 440.
Килин С.Я. Квантовая информация // УФН. 1999. Т. 169. С. 507; в кн.: Progress in Optics. 2001. V. 42. Р. 3-91.
Кадомцев Б. Б. Динамика и информация. — М.: Ред. жур. УФН, 1997.
Горбачёв В.Н., Жилиба А.И. Физические основы современных информационных процессов. — С.-Пб.: изд-во C-Петербургского филиала Московского госуниверситета печати, 2001. — 42 с.
Tsegaure В. Т., Soderholm I., Mature М. et al. Experimental demonstration of three mutually orthogonal polarization states of entangled photons // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. P. 5013-5017.
Burlakov A. V., Chekhova M.V., Karabutova O.A. et al. Polarization state of a biphoton: quantum ternary logic // Phys. Rev. 1999. V. 60. P. R4209-R4212.
Чехова M.B. Поляризационные и спектральные свойства бифотонных полей // Дисс. на соискание степени доктора физ.-мат. наук — М.: МГУ, 2004. - 239 с.
Mattle К., Weinfurter Н., Kwiat Р., Zeilinger A. Dense coding in experimental quantum communication // Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. P. 4656-4659.
Bechmann-Pasquinucci H., Peres A. Quantum cryptography with 3-state systems // Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. P. 3313-3316.
Bechmann-Pasquinucci H., Tittel W. Quantum cryptography using larger alphabets Ц Phys. Rev. 2000, V. A61. P. 062308.
Bruss D., Machiavello C. Quantum eavesdropping in cryptography with three-dimensional quantum states // Phys. Rev. Lett. 2002. V. 88. P. 127901.
Moiseev S.A., Kroll S. Complete reconstraction of the quantum state of a single-photon wave packet absorbed by Doppler-broadened transition // Phys. Rev. Lett. 2001. V. 87. P. 173601-1.
Сиразиев А. И., Самарцев В. В. Стимулированное эхо при комбинированном возбуждении многоуровневой системы с неэквидистантным спектром // Оптика и спектроскопия. 1975. Т. 39. С. 730-734.
Rostovtsev ¥., Sariyianni Z., Scully М.О. Photon echo pulse shape storage // Laser Physics. 2002. V. 12. P. 1148-1154.
Моисеев C.A. Квантовая память на основе фотонного эха в трёхуровневых оптически плотных газовых средах с Н-конфигурацией атомных переходов // Оптика и спектроскопия. 2003. Т. 94. С. 847.
Зуйков В. А., Самарцев В. В., Усманов Р.Г. Корреляция формы сигналов светового эха с формой возбуждающих импульсов // Письма ЖЭТФ. 1980. Т. 32. С. 293-297.
Moiseev S.A., Tarasov V.F., Ham В.C. Quantum memory photon echo-like technique in solids. J. Opt. B: Quantum Semiclassical Opt. 2003. V. 5. P. S497-S502.
Gershenfeld N.A., Chuang, I.D. Bulk Spin-Resonance Quantum Computation // Science. 1997. V. 275. рз. 350-356.
Cory D.B., Price M.D., Havel T.F. Nuclear magnetic resonance spectroscopy: An experimentally accessible paradigm for quantum computing // Physica D. 1998. V. 120. P. 82-101.
Кессель A.P., Ермаков В. Л. Многокубитный спин // Письма ЖЭТФ. 1999. Т. 70. С. 59.
Ermakov V.L., Kessel A.R., Samartsev V.V. Four atomic optical energy level as a two qubit quantum computer register // Proceedings SPIE. 2000. V. 4061. P. 79-84; (quant-ph / 0001090, 2000).
Weber M. J. Spontaneous emission probabilities and quantum efficiences for excited states of Pr3+ in LaFs // J. Chern. Phys. 1968. V. 48. P. 4774-4780.
Kane B.E. A silicon-based nuclear spin quantum computer // Nature. 1998. V. 393. P. 133-137.
Kane B.E. Silicon-based quantum computation // E-print arXiv: quant-ph/0003031. — 14 p.
Bowden C.M., Pethel S.D. Novel scheme for universal quantum computation // E-print arXiv: quant-ph/9912003. — 17 p.
Zuikov И A., Kalachev A. A., Samartsev И И et al. Spatial and spectral properties of nonequilibrium population grating induced in resonant medium by femtosecond pulses // Laser physics. 2000. V. 10. P. 368-371.
Bianucci P., Muller A., Shih C.K. et al. Experimental realization of one qubit Deutsch-Jozsa algorithm in a quantum dot // Phys. Rev. B. 2004. V. 69. P. 161303(R).
Ross I., Molmer К. Quantum computing with an inhomogeneously broadened ensemble of ions // Phys. Rev. A. 2004. V. 69. P. 022321.
Научное издание
ПЕТРУШКИН Сергей ВалериевичСАМАРЦЕВ Виталий Владимирович
ЛАЗЕРНОЕ ОХЛАЖДЕНИЕ ТВЕРДЫХ ТЕЛ
Редактор Е.С. АртоболевскаяОригинал-макет: В.В. Худяков
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 07.12.04.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 14. Уч.-изд. л. 15,4. Заказ № 11298
Издательская фирма «Физико-математическая литератураМАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивовв ППП «Типография «Наука»
121099, Москва, Шубинский пер., 6
ISBN 5-9221-0552-3
УДК 530.1; 535.2
ББК 32.86
П31
Петрушкин С. В., Самарцев В. В. Лазерное охлаждение твердых тел. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 224 с. - ISBN 5-9221-0552-3.
Монография посвящена одному из перспективных и интересных направлений лазерной физики — лазерному охлаждению твёрдых тел. Кратко излагается история развития этого направления и обсуждаются поставленные к настоящему времени эксперименты по лазерному охлаждению конденсированных сред. Особое внимание уделено физике процессов охлаждения и математическому аппарату их описания. Исследуются проблемы создания самоохлажда- ющихся твердотельных лазеров и эхо-процессоров. Одна из глав посвящена магнитному охлаждению, спин-локингу и фотонному локингу, а также методам сужения однородной ширины спектральных линий носителей информации оптических эхо-процессоров. Обсуждаются также актуальные проблемы оптического охлаждения твердотельных квантовых процессоров.
Адресуется специалистам в области лазерной физики, а также аспирантам, магистрантам и студентам физических факультетов университетов.
На обложке: общий вид прототипа радиационно-сбалансированноготвердотельного лазера на кристалле KGd(WO4)2:Yb3+ (фотография из работы:S.R. Bowman // NRL Review, optical sciences. 2003. P. 191).
© ФИЗМАТЛИТ, 2004
ISBN 5-9221-0552-3ISBN 5-9221-0552-3© С. В. Петрушкин, В. В. Самарцев, 2004
ISBN 5-9221-0552-3
ISBN 5-9221-0552-3
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 6
Введение 8