ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ

Вниманию читателя предлагается книга известного чехословацкого физика Яна Перины, активно участвующего в 'создании теории когерентности оптических полей.

Автор преследовал цель дать систематическое описание когерентных свойств оптических полей и связанных с этим вопросов. С этой точки зрения книга действительно оригинальна и является по существу в настоящее время единственной в данной области. Если учесть, что большинство затронутых в ней проблем имеет прямое отношение к прикладным задачам (построение изображений, голография, светолокация и т. п.), то ясно, что ее можно рассматривать и как справочное издание, и как «руководство к действию». Важно, что изложение доведено до уровня, отвечающего современному состоянию данной области физики.

Как это нередко бывает в изданиях, где авторы преследуют столь общие цели, в ряде случаев изложение носит конспективный характер. Тем не менее большинство вопросов теории когерентности оптических полей достаточно подробно рассмотрено в книге. Она снабжена практически исчерпывающей библиографией, охватывающей публикации до 1972 г.

По манере, способу и уровню изложения книга относится к учебникам повышенного типа. С этим отчасти связаны свойственные учебникам «повторы», иногда встречающиеся в ней. Вместе с тем автор опустил многие промежуточные выкладки и читателю предлагается либо принять их на веру, либо проделать самому. Разумеется, второй путь, который мы рекомендуем читателю, впервые знакомящемуся с предметом, способствует лучшему усвоёнию материала.

Поскольку книга Я. Перины посвящена теоретическому обсуждению проблемы и почти не содержит экспериментального

материала, мы сочли целесообразным при подготовке русского издания включить в нее специальное дополнение с обзором экспериментальных результатов, полученных в последние годы. Это дополнение написано В. Г. Тункиным и А. С. Чиркиным. В первой его части дан краткий обзор результатов по статистическим характеристикам лазерного излучения (здесь же приведена подробная библиография), во второй части изложены основы фотоотсчетной техники, широко используемой для изучения статистических свойств оптических полей.

При переводе мы исправили имевшиеся в оригинале опечатки (автор любезно прислал их список), а также снабдили книгу некоторым числом подстрочных примечаний, разъясняющих отдельные места.

П. П. Барашев В. /7. Кузнецов

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА

К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Монография посвящена описанию статистических и когерентных свойств оптических полей и проблеме их детектирования. В ней излагаются классический и квантовый методы, соответствие между которыми изучается с помощью теории когерентных состояний. Хотя понятие оптической когерентности не является новым, теория когерентности совсем недавно получила дальнейшее развитие и широкое применение. Параллельно совершенствовалась экспериментальная техника — техника корреляционных измерений, совпадений фотоотсчетов, интерферометрии интенсивностей и т. п. В настоящее время методы теории когерентности, в частности теория когерентных состояний, плодотворно используются во многих областях физики, таких, как физика элементарных частиц, ферромагнетизм, сверхтекучесть, сверхпроводимость и т. д.

Мне приятно, что мою книгу нашли интересной для советских читателей. Многие советские ученые внесли вклад в развитие этой области науки. Я полагаю, что перевод книги на русский язык явится дополнительным вкладом в международное научное сотрудничество.

Ян Перина Оломоуц, сентябрь 1973 г.

Автокорреляционная функция Г/7 (т)

Аппаратная матрица £(夕)

Взаимная интенсивность 「(％[, х2) s Г (дс{, х2; 0) спектральная 〃 (v)

Взаимная спектральная плотность G(xlt х2; v)

Взаимная функция когерентности Г(Х], х2; т)

Видность Т = \ у(л:ь #2； t) I

Дифракционная функция K(Q, Р； v)

Интегральная интенсивность W

Корреляционная функция (/и + и)-го порядка

Гм】，……т+万(％1, • • •» %т+〃； Л> ^m+n) спектральная G(m*n}(xb ..., хт^ v)

Матрица интенсивности 才

Матрица когерентности 證

спектральная 我(v)

Матрица плотности в представлении Фока р (/и, п)

S-матрица, (Smn) = S ^ S (+ оо) …

Оператор векторного потенциала А(х) отрицательно-частотная часть 兄(一)(尤) положительно-частотная часть 4(+)(欠)

Оператор временной эволюции S (f)

Оператор детектирования А(х)

собственное значение /(%)

Оператор сдвига О(а)

Оператор электромагнитного поля Ац (х) отрицательно-частотная часть %『)(％) положительно-частотная часть N小)(х)

Передаточный коэффициент ①"'。(/，恥)

Передаточная матрица (Кт〃)曰户

Передаточная функция для когерентного емтп К(№ ")

Плотность вероятности Р〃(，1, И2> ・.・, |/〃)

Плотность квазивероятности (квазивероятность) Q-упорядоченная Ф (a, Q) s-упорядоченная Ф(а, s)

для интегральной интенсивности P(U7, s) антинормально упорядоченная Фл (а)

нормально упорядоченная Глаубера — Сударшана ①“(а) многомодовая ①“((а九})

для интегральной интенсивности Р“(步) симметрично (по Вейлю) упорядоченная ①犷(а) Распределение числа фотоотсчетов р (и, Г) Распределение числа фотонов р(〃)

Световой тензор 乙/

Спектр мощности G (%, v) = G (х, x; v)

Спектральная плотность G(v)

нормированная g(v)、

Степень когерентности y^*п) (хь ..., х2п)

второго порядка у(ц；力

Тензор корреляции 况住闻,xj〜

взаимный спектральный 疡抬(％i,%2； v)

Функция Грина g/(Q〃 匕；v)

Функция зрачка 女(卩，v)

Функция отклика 9 (打，％分

Функция фильтра Q (Р*, р)

Характеристический функционал С {у{х}}

Характеристическая функция С^(у)*

многомодовая (ехр (氏论)〉川

произвольно упорядоченная С(〃, Q)

Глава /

ВВЕДЕНИЕ

Явления интерференции и дифракции электромагнитных волн обычно описывают, используя понятия об идеально когерентных и идеально некогерентных световых пучках» В первом случае суммируются амплитуды оптических полей и суперпозиция пучков наблюдается обычно по интерференционной картине на экране. Во втором случае складываются интенсивности и интерференционная картина не наблюдается. В действительности оба эти случая не что иное, как математическая идеализация, поскольку реальные световые пучки частично влияют друг на друга, т. е. коррелируют между собой. Таким образом, в действительности ситуация является промежуточной и соответствует случаю частично когерентных световых пучков. Суперпозиция таких пучков дает интерференционную картину, видность которой меньше видности интерференционной картины, образуемой полностью когерентными пучками. Впервые на недостаточность описания когерентных свойств света с помощью представления об идеально когерентных и идеально некогерентных световых пучках указал в 1869 г. Верде [33], который обнаружил, что световые пучки от двух отверстий, освещаемых Солнцем, образуют на экране интерференционную картину, если расстояния между отверстиями меньше 0,05 мм. Солнце можно рассматривать как некогерентный источник, состоящий из множества элементарных излучателей (атомов), которые излучают практически независимо друг от друга. Так как когерентность поля обусловливается когерентностью излучателей (которые оказываются в ряде случаев взаимно синхронизированными), очевидно, мы должны рассматривать «промежуточные» состояния между состояниями когерентности и некогерент- ности, т. е. состояния частичной когерентности.

Тем не менее до недавнего времени теории частичной когерентности уделялось недостаточное внимание. В последние годы понятие частичной когерентности применяется во многих областях физики：，в теории электромагнитного поля во всем спектральном диапазоне, но особенно в оптике (формирование изображений, интерферометрия), в радиоастрономии и в настоящее время в теории мазеров и лазеров. ~

Любое оптическое поле, существующее в природе, обладает определенными статистическими свойствами, ибо создается множеством некоррелированных элементарных источников (атомов) и, следовательно, представляет собой статистическую динамическую систему. Поэтому, вообще говоря, в теории когерентности основным является статистическое описание электромагнитного поля, статистические свойства которого проявляются в виде его когерентности.

Понятие когерентности в оптике впервые было введено для описания явлений дифракции и интерференции. Однако появление все более совершенных типов оптических детекторов, равно как и источников нового типа (лазеров и мазеров), вызвало необходимость систематического и более полного описания эффектов когерентности высших порядков. Эта задача может быть решена как с классической (волны), так и с квантовой (частицы) точек зрения. В первом случае теория когерентности основывается на теории электромагнитного поля Максвелла и теории случайных функций, а во втором случае в основе лежит квантовая электродинамика. Очевидно также, что теорию когерентности можно рассматривать как раздел более общей теории — теории информации, исследующей способность поля переносить информацию, если рассматривать его как статистическую динамическую систему. Следовательно, теория когерентности тесно связана с теорией шумов (в классической формулировке) и с теорией квантовых флуктуаций поля (в квантовой формулировке).

Наиболее ранние исследования частичной когерентности и поляризации световых пучков, ограничившись учетом эффектов второго порядка (в нашей классификации), выполнили Верде [33], Лауэ [245], Берек [72—75], Майкельсон [312], ван Циттерт [457, 458], Цернике [487], Винер [465—467], Гопкинс [200—202], Вольф [470—473], Блан-Лапьер и Дюмонте [83] и Панхаратнам [331, 332]. Последующие результаты были получены в работах Вольфа [476], Манделя [266, 267], Манделя и Вольфа [282], Пар* рента [334, 335], Берана и Паррента [70, 71], Романа и Вольфа [407, 408], Романа [404, 405], Паррента и Романа [337], Бара- ката [53], Гамо [165J и Габора [159].

Эксперименты Хэнбери Брауна и Твисса [91——96], посвященные измерениям корреляционной функции четвертого порядка, положили начало новому периоду в развитии теории когерентности. В принципе эксперименты подобного типа позволяют ио следовать эффекты корреляции произвольного порядка. Практически это очень важно для полного статистического описания нехаотического (например, лазерного) света, поскольку статистические свойства излучения хаотического источника полностью

описываются корреляционной функцией второго .порядка. Общее описание статистических свойств оптических полей, учитывающее эффекты когерентности всех порядков, было дано в классической формулировке в рамках теории стохастических процессов Вольфом [479].

Так как информация о статистике оптических полей получается главным образом с помощью фотодетекторов (представляющих собой частный случай более общего класса квадратичных детекторов), возникает необходимость найти соотношение, связывающее статистику фотонов поля излучения со статистикой фотоэлектронов, эмиттируемых фотодетектором, помещенным в такое поле. Это соотношение в классической формулировке вывел Мандель [263, 264, 269]. Оно называется соотношением фотодетектирования и связывает распределение вероятности интегральной (по времени) интенсивности излучения с функцией распределения эмиттированных электронов.

В 1963 г. Глаубер [172—175] развил квантовую теорию когерентности, основанную на квантовой электродинамике. Введенные им квантовые корреляционные функции представляют собой средние значения нормально упорядоченных произведений полевых операторов, которые тесно связаны с величинами, измеряемыми на опыте с помощью фотоэлектрических детекторов. Диагональное представление матрицы плотности, которое может быть получено после введения так называемых когерентных состояний для поля излучения (Глаубер [172——174], Сударшан [435, 436]), позволяет установить соответствие между квантовым и классическим описаниями статистических свойств оптических полей. В этом представлении классические и квантовые корреляционные функции формально эквивалентны, если ввести обобщенное распределение в фазовом пространстве. В квантовой теории когерентности проблема соответствия между функциями операторов (^-числа) и функциями классических величин (стисла) играет важную роль. Это соответствие недавно исследовали Агарвал и Вольф [37, 40], Лэке [250], а также Кахилл и Глаубер [105, 106]. Авторы показали, в частности, что антинормально упорядоченные произведения полевых операторов тесно связаны с величинами, измеряемыми так называемыми квантовыми счетчиками [278], регистрирующими не акт поглощения, а акт стимулированного излучения. Многие другие задачи, связанные с квантовой формулировкой когерентных свойств оптических полей и теорией лазеров, были решены в работах Глаубера, Манделя, Вольфа, Меты, Клаудера, Сударшана, Хакен«, Лэкса и многих других.

Отметим, что математический аппарат, используемый при описании частичной когерентности, полезен также и при

исследовании свойств частично поляризованного света. Оба указанных свойства поля излучения могут быть рассмотрены в рамках теории корреляции единым образом после введения соответствующего тензора корреляции.

Интересной особенностью теории когерентности является то, что она оперирует только с измеримыми величинами. В классической теории электромагнитного поля Максвелла предполагается, что напряженности электрического и магнитного полей являются измеримыми функциями координат и времени. Однако в действительности оптическое поле осциллирует настолько быстро, что не существует никаких реальных детекторов, способных непосредственно следить за его изменением. Кроме того, оптическое поле представляет собой, как уже упоминалось ранее, статистическую динамическую систему. Поэтому возникает необходимость введения соответствующей операции усреднения для измеряемых физических величин, ибо можно измерить только средние величины. Вследствие этого характеристики электромагнитного поля формулируются обычно в теории когерентности в терминах наблюдаемых величин, причем, по-види- мому, любая теория поля （включая теорию взаимодействующих полей） должна быть сформулирована в такой реалистической форме.

Наконец, следует отметить, что основное содержание книги посвящено описанию когерентных свойств свободных электромагнитных полей и проблеме их детектирования. Выявление роли когерентности при взаимодействии электромагнитного поля с веществом, так же как и анализ изменений статистических свойств оптических полей в процессе взаимодействия, лежит вне круга вопросов, затронутых в данной книге. Эти вопросы рассмотрены, например, в монографии Люиселла [19], в статьях Моллоу и Глаубера [322, 323], в работах Хакена и др. [191, 192], а также в статьях Лэкса [247—250], Лэкса и Люиселла [251], Лэкса и Юна [252], Виллиса [469], Пикарда и Виллиса [382], Пауля [339], Флека [145—147], Скалли и Лэмба [415—417], Рискена [398, 534] и др. Проблеме оптической накачки посвящены, например, работы Коэн-Таннуджи и Кастлера [116] и Се- риеса [420]. Главный объект наших исследований — свет, однако большая часть результатов, изложенных ниже, применима для любых электромагнитных полей.

Существует целый ряд монографий, посиящсиных тем или иным вопросам теории когерентности. Классическая теория когерентности изложена, в частности, в следующих монографиях: М. Борн и Э. Вольф, «Основы оптики» |8], гл. 10; А. Марешаль и М. Франсов, «Структура оптнчгск（）1'（）ипображения» [20], гл. 7; М. Беран и Г. Паррепт, «Теории частичной иогерент-

ности» [3]; М. Франсон и С. Сланский, «Когерентность в оптике» [11]; Э. О'Нейл, «Введение в статистическую оптику» [24]. Обзор квантовой теории когерентности можно найти в лекциях Р. Глаубера, прочитанных в летних школах в Лезуше (Франция) [176], в Нордвике-ан-Зее (Нидерланды) [180] и в Кербери- Тауере (Шотландия) [181]. Классическая и квантовая теории когерентности и их взаимосвязь были рассмотрены в работах Л. Манделя и Э. Вольфа [285], Я. Перины [355, 362] и в монографии Дж. Клаудера и Э. Сударшана «Основы квантовой оптики» [17]. Краткий обзор основ теории когерентности дан также в книге Г. Троупа «Теория оптической когерентности» [32].

Глава 2

ОПРЕДЕЛЕНИЯ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ВВЕДЕНИЕ

Комплексное описание вещественныхполихроматических полей

Хорошо известно, что электромагнитное поле — вещественное физическое поле в отличие от электрон-позитронного поля, которое по своей природе является комплексным!)« Однако в классической теории когерентности принято описывать вещественное электромагнитное поле с помощью комплексных величин вследствие математического удобства, а также потому, что при этом наглядно подчеркивается, что в теории когерентности имеют дело с такими процессами, которые чувствительны к «огибающей» сигнала или «средней интенсивности» поля излучения. Хотя описание поля излучения комплексными величинами в классической теории является искусственным, однако оно имеет глубокий физический смысл в квантовой теории, способствуя правильному пониманию сущности процесса детектирования. Такое комплексное представление поля излучения, во-первых, устанавливает соответствие между классическим и квантовым описаниями явлений когерентности и, во-вторых, позволяет осуществить естественное обобщение хорошо известных в классической оптике результатов, полученных при комплексном описании монохроматических полей, на случай реальных полихроматических полей, интересующих нас в дальнейшем.

Пусть скалярная величина V^(t) является, например, декартовой компонентой вектора напряженности Е электромагнитного поля. Если функцию V^(t) подвергнуть фурье-преоб- разованию, то можно записать

+ 8

，「)《)= / У(г)(V)ехр (— /2лvO dv =

=2 j I V(r) (v) I cos [2лv/ — arg 户⑺(v)] dv.(2.1)

о

*) Точнее было бы сказать, что в квантовой теории поля элскгромгн пш - ное поле описывается эрмитовыми операторами, и '^к'ктроп-позитропное по〃е ——неэрмитовыми операторами.——Прим, перса,

Здесь мы использовали + оо

У(г)(V)= j V<r) (/) exp (Z2nW) dt(2.2)

и условие 17(r)*(v) = P(r)(——v). Это условие следует из того факта, что величина V^(t) действительная (师 обозначает операцию комплексного сопряжения). Следовательно, компоненты с отрицательной частотой (v V 0) не несут в себе никакой дополнительной физической информации, которая не содержалась бы в компонентах с положительной частотой (v > 0), и поэтому они могут быть опущены. Таким образом, можно ввести комплексную функцию

V (0 = J R(「)W)exp( —i2jtvf)dv・(2.3)

о

Здесь .

+ 8

М)ехрV/)財(24)

О,V <0.

Функцию V(/), называемую комплексным аналитическим cue- налом, ввел Габор [157] (см. также [8], гл. 10, § 2; [3], гл. 2 и [280])・ Ее можно записать в виде

1/(/) = •”(「)(/) + "(，)(/)],(2.5)

где

1/(，)(/) = - 2 j I 俨⑺(v)| sin [2nv/ - arg 户⑺(明 dv ・(2.6)

о

Поскольку полная энергия сигнала, определяемая выражением

j I R⑺ W)Fdv, о

которое, используя тождество Парсеваля, можно записать как

+ оо

J iV^Pdt,•

,—°0

предполагается конечной, то функция (2.3), согласно неравенству Шварца, является аналитической в нижней полуплоскости комплексной г-ij^^iw^ (г = / + W) и поэтому V(t)

представляет собой предельное значение этой аналитической функции при 8 f—0. Используя теорему Коши для аналитических функций, получаем дисперсионные соотношения, называемые также преобразованиями Гильберта [31],

卩"f)= ^P j ^^Т^' '"(/)= -^Р j 饗，■必(2.7)

где Р есть главное значение интеграла в смысле Коши при / = У. (Более подробный вывод дисперсионных соотношений мы дадим в § 4 гл. 4.) Из уравнения (2.7) видно, что функции V^(t) и V⑴(/) связаны друг с другом и к тому же функция V(8, определяемая выражением (2.5), не может в принципе содержать больше физической информации, нежели функция !/(')(/)・

Введя обобщенные функции

6土 (0 = j ехр(± 2invt) dw = о

=e^o[~^W^y]=Hs(/) 土 吁]

[здесь 6(/)—функция Дирака], получим, подставив (2.2) в (2.3),

V^-T 呐/，)6一(/一，)"=胤贵工品$dt，= 一+8■

=橐叫/)一打 j 4yp(2.8a)

и

+°°+°° ①

人)=J呐/，)6+(-，)成』單。费丄тЛ^^ =

=4 М"⑴+(2.86)

Таким образом, если функция V^(t) удовлетворяет волновому уравнению в вакууме

М(2.9)

где Д — оператор Лапласа, можно получить такое же уравнение Н для комплексной функции V(/), умножив уравнение (2.9) н@

6-(/ —，)и проинтегрировав дважды по частям по X:

+ оо

'=”(/)-』％ V(f) = O・ (2.10)

[В выражениях (2.9) и (2.10) с — скорость света в вакууме.]

Корреляционные функции и их свойства

Пусть в момент времени / в точке % задано электромагнитное поле, определяемое сигналом Vg(x, f), где ц — индекс поляризации. Определим корреляционную функцию порядка (/и + и) как среднее по ансамблю от произведения величин 匕 взятых в разных пространственно-временных точках для различных поляризаций, т. е. в виде [479, 481—483]

「Li ^m+n(%1‘ • •%m+n；力1‘ • • • > fm + n)=

mm+n

=%/ ⑴/)』+宀(融，我)〉，(2.И)

где скобки 〈•.・〉обозначают операцию полного усреднения. Квантовые корреляционные функции, соответствующие выражению (2.11) и пригодные для описания когерентных свойств полей, определяемых с помощью фотодетекторов, можно записать следующим образом:

jm+n 八

rir/ixj...цт+п(^i> • • • > %加+冷)=Sp{0 宮Х\/国)尼耳+/傷)％)j・ (2.12)

Здесь x = (xt /), ^仔)и N『)—операторы уничтожения и рождения фотонов соответственно [173-—175], р — матрица плотности, a Sp обозначает сумму диагональных элементов матрицы. Индекс 4 показывает, что произведение операторов 不+)и 彳㈠ взято в нормальном виде, т. е. все операторы уничтожения 彳(+) расположены справа от операторов рождения 3(一)・ Соответствие между корреляццонными функциями (2.11) и (2.12) устанавливается следующей заменой: (...) <^ Sp {р ...}, H*Z㈠ и V <^ А(+). Конечно, это соответствие не является однозначным, поскольку операторы 4(+)и 彳(一)не коммутируют. Строгое опре-

деление корреляционной функции (2.11) будет дано в гл. 8. Корреляционную функцию (2.12), а также квантовые корреляционные функции, учитывающие другие виды упорядочения полевых операторов Д(+, и 4㈠，мы определим в гл. 12, 14 и 16, где рассмотрим также их соответствие классическим корреляционным функциям (2.11) и различным измеряемым физическим величинам.

Важным классом оптических полей, распространенных в природе, являются стационарные и эргодические поля. Для стационарных полей корреляционные функции (так же как плотности вероятности при описании статистики поля излучения, см. § 1 гл. 8) не зависят от выбора начала отсчета времени. Для эргодических полей усреднение по ансамблю можно заменить усреднением по времени, т. е.

+т

〈・・・〉=lim 占 f ...dt.(2.13)

T->oo厶当

Для этого класса полей корреляционную функцию (2.11) можно переписать в виде

Г(т,九)(％i，• • •,龍;〃+九)

三 F(" ")(X!,...,力巾+"；/，•••，工m+")===

+T 尸m+n

四斤111片(办/+叫n b (检，/ + “) dt

T 今 °°—T /=1k=m + l

причем ti можно взять за начало отсчета времени (ti = 0), a w =力一А для / = 1, 2, ..., zn + м- В выражении (2.14) для простоты опущены индексы поляризации: предполагается, что в пространственно-временной точке %)= (%), fj) волне с индексом поляризации 林^ можно сопоставить обобщенную координату %j 三(打，‘力 Hi)) •

Корреляционная функция второго порядка (m = n = 1) для стационарных и эргодических полей называется взаимной функцией когерентности), Ее можно записать как

r （勺，*2；力三 F亿 0 （修，*2； t）=r （勺，*2；力三 F亿 0 （修，*2； t）=+ тJ V\^t)V(x2it + ^dt.+ тJ V\^t)V(x2it + ^dt.(2.15)(2.15)

r （勺，*2；力三 F亿 0 （修，*2； t）=

r （勺，*2；力三 F亿 0 （修，*2； t）=

+ т

J V\^t)V(x2it + ^dt.

+ т

J V\^t)V(x2it + ^dt.

(2.15)

(2.15)

Корреляционные функции для стационарных полей зависят только от разности времен tj = ^ ——fi, и поэтому взаимная функция когерентности также зависит только от разности аргументов т = /2 — Л.

Взаимная функция когерентности, которую сокращенно записывают в виде Г12(т), играет важную роль в описании эффектов когерентности второго порядка, связанных с явлениями интерференции и дифракции. Корреляционные функции высших порядков описывают эффекты когерентности более высоких порядков, которые могут быть обнаружены с помощью корреляционных измерений на нескольких квадратичных (например, фотоэлектрических) детекторах. Большинство выполненных до настоящего времени исследований когерентных свойств света связано только с функцией Г12(т) [8, 3, 11].

Следует заметить, что разница между классическими (2.11) и квантовыми (2.12) корреляционными функциями возникает из-за различия в операциях усреднения, т. е. зависит от «смысла» скобок. Но результаты, связанные с пространственновременным и поляризационным поведением корреляционных функций, такие, как

спектральное разложение корреляционных функций,

закон интерференции,.

волновые уравнения,

уравнения распространения корреляционных функций,

понятие взаимной спектральной чистоты света,

законы сохранения для корреляционных функций,

матричная формулировка теории когерентности,

описание поляризационных свойств света и т. д., не должны зависеть от «смысла» скобок и поэтому должны быть справедливыми как для классических, так и для квантовых корреляционных функций. Эту независимость можно продемонстрировать с помощью так называемого диагонального представления Глаубера — Сударшана для матрицы плотности, ко- горое сводит квантовое усреднение операторов (^-чисел) к «классическому» усреднению классических полей (с-чисел) в фазовом пространстве.

Спектральные и аналитические свойства корреляционных функций

Предположим, что фурье-преобразование поля U(%, f) имеет вид8

V (х9 0 = / V (х, V)ехр (— Z2nvf) dv(2.16)

,о

(для краткости вместо 卩⑺ пишем Р). Подставив (2.16) в (2.11), получим следующее спектральное разложение корреляционной

функции:

F(m，, %/〃+〃； f)=

=J G("〃)(％i,・・・，尤^+"； v)exp[/2л(v, t)]dv, (2.17) о

в котором функи,ия

/ 吗rn+n

О^^(хь ..xm+n\ v) =(JJ 户*(Х/, ”)JJ R(/, '/=1E=m+1

=J「九切(％1,・・・，r^+几； f)exp[ —i2n(v, f)]df (2.18) (vy>0 для всех /)

является спектральной корреляционной функцией. Здесь

m+ п £ 三(厶，• • •， ^m+n)t 出三n 吟,

m+n

V ^5^m,”m + 1, • • •,”m+〃)，d” ^= ]] dv/

/=1

И

Для стационарных и эргодических полей соответствующие соотношения можно получить, используя определение корреляционной функции (2.14) и спектральное разложение (2.16):

Г(м)6,・・・，％т+储 т)==

=J G(g叫札・・•，％小+“； v)Q> e/v'expU2n(% 初dv・(2.19)

Здесь спектральная корреляционная функция описывается выражением

G(m，“)(％i，・・・,&»+〃； ”)=

户*(勺，匕)П户"

R=m+1 а m+ n

К曰(工2, R，•…，F+J (% t)N 2 zivix4

Скобки 〈•・・〉е в (2.20) обозначают полное усреднение, гарантирующее существование предела для случая стационарных полей (см. дискуссию в работах [8, 3]). Проинтегрировав в (2.19) по переменной vi и введя спектральную корреляционную функцию

G炉『дС"…，x…；v)= (m+九\

勺，・・・，Хт^.п\ ^2 £/”八 *^2» • • • > ^rn> "' ^m+1 > • • • >^m+njt

рассматриваемую на гиперповерхности

m+n

2 е// = 0(2.21)

в пространстве % 8 也 8 ・・・ ® ”加+〃 !), найдем обратное преобразование соотношения (2.19):

G炉з3,*/П+権；v)= +°о

=J 卩九切(力1xm+n\ т) ехр[ — /2л(V, т)] dr (2.22)

(,》0 для всех /).

Выражения (2.17) и (2.19) представляют собой обобщенную теорему Винера— Хинчина.

Из (2.17) и (2.19) видно, что

/т+п \

G(m “)(w) = G伊緝(w) 6 (否 8尸，(2.23)

(здесь для краткости опущена зависимость от пространственных координат). Подставив это соотношение в (2.17), получим (2.19), причем & =" — h・ Пропорциональность выражения (2.23) 6-функции означает, что (т + п) частотных компонент P(vi), ..., ^(vm+n) стационарного поля могут коррелировать тогда и только тогда, когда частоты vi, ..., vm+n связаны соотношением (2.21).*

Разумеется, в случае стационарных полей то же самое условие для частот (2.21) является необходимым условием существования отличных от нуля корреляционных функций. Это следует из определений корреляционных функций (2.11) и (2.12), в которых используются соответственно операции усреднения

Знак 好 обозначает прямое (кро.некеровское) произведение. — Прим, перев..

по ансамблю и квантовомеханического усреднения и принимается во внимание, что корреляционные функции не зависят от выбора начала отсчета времени, т. е.

卩“九)(乙+ %友+ %・・・，tin+n +力=卩色九)(九/2, ..., tfn+n)

[это соотношение получено при использовании условий стационарности и спектрального разложения (2.16)]. Соответствие между этим определением стационарности и квантовомеханическим определением [рЯ] = 0, где р — матрица плотности, Н — гамильтониан поля, а [0方]=0方一倉0 — коммутатор, мы обсудим в гл. 15.

Заметим, что соотношение (2.22) можно использовать для получения информации о связи мод в спектре лазерного излучения по данным измерения корреляционной функции. Некоторые дальнейшие сведения, касающиеся спектрального разложения корреляционных функций и их применения в теории формирования изображений, спектроскопии и т. п.» изложены в работах [363, 303； 272, 482].

Для описания эффектов когерентности второго порядка и ряда поляризационных явлений вполне достаточно взаимной функции когерентности (2.15). В этом случае из (2.19) мы получаем

F(%i,%2；工)=j G(%i,%2； V)exp (— Z2nvr) dv, (2.24) о

где в соответствии с (2.20) и (2.22)

G(%i, %2； В 三G(l 1)(修,*2； v) = G(h “Xi, %2； ” — v)=

=J**(R* (修,V)R /2,吟e ='+8

f Г(4сн х2; т) exp (Z2jivt) dr, v》0,

=，(2.25)

0v<0.

Функция (2.25) называется взаимной спектральной плотно- стью». Соотношение (2.24) известно в теории стационарных стохастических процессов как теорема Винера—-Хинчина.

Из (2.24) можно видеть, что взаимная функция когерентности Г12(т) ^ Г(Х], х2; т), подобно аналитическому сигналу (2.3), является аналитической функцией в нижней полуплоскости

】)В английской литературе встречаются два адекватных термина: cross- spectral density и mutual spectral density. — Прим, перед，

комплексной т-плоскости. Поэтому дисперсионные соотношения справедливы и для взаимной функции когерентности

理⑺工碧火,Г做Т) = ТРf尝

°°.°0(2.26)

Функции Г12 и Г12 могут быть определены следующим образом.

Используя (2.5), получаем

% ⑺=〈％(/) V2(/ + r)) =

=扌｛〈，『 (О VT (f + 力〉+〈V? (f) V£)(/ + т))｝-

一 т ｛〈Н ⑺，g)(力 + т)〉- "Г(0 V0 (/ + G〉｝・ (2.27)

Однако из прямого и обратного дисперсионных соотношений следует, что

〈*心5〉=』『各p『吗受4=

=_；p i ^^гм1^) n°(/+v)>=

=一！° J v^r〈H(f-O，0(f)〉=〈H(f"0(f+w)〉・

(2.28a)

При выводе этого соотношения использовалось условие инвариантности взаимной функции когерентности относительно выбора начала отсчета времени. Точно, таким же образом можно получить, что

〈W)⑴ V£)(f + 力〉=—〈件)(f) ^)(/ + t)〉・.(2.286)

Поэтому, согласно (2.27), для взаимной функции когерентности находим

Г12(т) = ^〈У? (О 1/Г (f + т)〉+ ^〈17?⑴ U£)(/ + т)〉・ (2.29)

Следовательно,

呢(力=買寸(/) ^ (/ + т)) = 1 W『(О V^ (f + 力，‘ r(1У ⑺=1〈，? ⑴ ^" 0 +曲=一 ^ Gf)⑺ pg) (f + 力.⑵ 30)

Необходимо отметить, что тот же самый результат можно получить из равенства

〈匕(f)%a +力)=0,.

которое обусловлено отсутствием отрицательных частот в спектре излучения [407, 269]. В частности, при 勺 м 故 и т = 0

("Г« 32〉=(""(修切?)=我w(*")囹(2.31а)

(1/叫m"*)(%, f)〉= 0..(2.316)

Из определений для Г12(т) и Gi2(v) непосредственно следуют тождества

口2(力三П1(一T),(2.32а)

G：2(v) = G2i(v).(2.326)

Первое носит название условия перекрестной симметрии, а второе выражает свойства эрмитовости матрицы G.

Аналогичные результаты для корреляционных функций третьего и четвертого порядков получены в работе [67].

Из выражения (2.17) можно видеть, что корреляционная функция j(m，n)(厶,...,fm+n) является аналитической функцией в верхней полуплоскости комплексной /-плоскости для переменных Л, ..., и в нижней полуплоскости для переменных /т+1, ..., fm+n・ Следовательно, справедливы следующие дисперсионные соотношения:

Re F'm ")& …，f尼％+0"Re F'm ")& …，f尼％+0"ReW71，Wi,・・・，tm+n)=ReW71，Wi,・・・，tm+n)=(2.33)(2.33)

Re F'm ")& …，f尼％+0"

Re F'm ")& …，f尼％+0"

ReW71，Wi,・・・，tm+n)=

ReW71，Wi,・・・，tm+n)=

(2.33)

(2.33)

血应d偽血应d偽1»7О 1mMm)(京…，厶

血应d偽

血应d偽

8Ь 产 I :

0% -"

где вл = 1 для k= \, ..., m и e^ = — 1 для k~m'^lt ... ...,m + n. В соотношениях (2.33) Im и Re обозначают мнимую и вещественную части. Аналогичные соотношения справёдливы и в случае стационарных полей в комплексной т-плоскости [ср. (2.19)].

Волновое уравнение в вакууме

Как следствие волнового уравнения (2.10) для комплексной амплитуды поля для корреляционной функции и спектральной корреляционной функции в вакууме справедлива следующая

система волновых уравнений:

□ /Г(т- “)(*1,..., *м+“； f) = о,(2.34)

回+(苧2(修，• • • > %m-M； v) = 0,(2.35)

где j = 1, ..., m + ^- Здесь □； и Д； — операторы Даламбера и Лапласа для j-й координаты. При выводе этих уравнений использовано спектральное разложение (2.17).

В случае стационарных полей корреляционные функции удовлетворяют системе волновых уравнений

(謚+訟+ +諳丿!x

X「W)(%1，•••, %m+n； t) = 0, г ])

А/ —％m+储 T)= °

(/ = 2, 3, . . . , /И + и).

Эти уравнения приводят к следующей системе уравнений для спектральных компонент:.

[今 +(警『М"«,・・・，％i； v) = 0(2.37)

(/= 1, 2, ..., m + n).

При выводе уравнений (2.37) мы использовали выражение (2.19) и условие (2.21) для частот. '

Волновые уравнения для взаимной функции когерентности Г12(т) впервые получил Вольф в 1955 г. [472] (см. также [8, 3]).

Степень когерентности

Прежде чем дать определение величины, называемой степенью когерентности, приведем некоторые простые неравенства, справедливые для корреляционных функций.

Из определения корреляционной функции (2.11), а также из соотношения (2.12) непосредственно следует, что

[pm,,尤m+%)]三卩"'向(％m+〃，• • •，尤 1),(2.38)

и поэтому условие (2.32а) представляет собой частный случай этого тождества (m = п= 1, а ^ —介=4 для стационарных полей). ,

Другое важное свойство состоит в том, что перестановка аргументов %ь . • •, хт, а также аргументов %根+1%加+九 не меняет корреляционных функций Пт> п).

Можно без труда заметить, что

卩&加(修，・・・，хп, %",・・・，%!)>0.(2.39)

Используя неравенство Гёльдера, можно показать, что

I卩小")(修，...，心/师0g口&川(々….，勺)，(2.40)

откуда следует

「m, “)(％],..., xnf %〃,••・,％i)「("‘ ® (/+[,.・•,尤2"，％2九，• • •,尤％+i)》

>|Г^^(хь x2n) I2.(2.41)

Эти, а также ряд других важных свойств корреляционных функций мы докажем в гл. 12 [173, 176].

Теперь после сделанных замечаний определим следующие величины:

丫(小”札・・・，x2n)=二"'用⑴'・••，/"),(2.42a)

⑷丫依“)(％”・・・，尤2%)= 离(M，•…嘘(2.426)

⑻Ym用а],一.，x2rt) =

=w%切(打，•・・，也権).

{г'"' “)(％1，• • • > %小 Xfi, • • •，％i) Г” “)(％〃+1, • • •,也％,尤2%，• • • > %zi+i)}，

(2.42в)

Каждая из этих величин называется степенью когерентности. Величина у(п* 九)(2.42а) была введена в работах [372, 298]. Величину (2.426) ввел Глаубер [173, 175, 176], а величину (2.42в)— Сударшан (см. [17]). Из (2.40) и (2.41) видно, что

丨丫⑺‘叫修一・・,х2П) |< 1 (2.43а)

И 丨⑻丫(…)У, ・・・，х2п)|< 1. (2.436)

Однако для (g)y(m, п) подобное неравенство не выполняется. Понятие степени когерентности в случае стационарных полей, зависящих только от разности 学= 勾 —— 厶(/= 2, ..., 2/г), можно легко определить аналогичным образом.

Введенные в этом параграфе корреляционные функции представляют собой основные физические и математические величины, рассматриваемые в данной книге, и служат мощным средством исследования когерентных и поляризационных свойств электромагнитных полей.

Элементарное описание временнойи пространственной когерентности

Временная когерентность

ФИГ. 1. Схема интерферометра Майкельсона.а—точечный источник света; М[ и Л/2 — зеркала; Мо—полупрозрачное зеркало;^ —экран..ФИГ. 1. Схема интерферометра Майкельсона.а—точечный источник света; М[ и Л/2 — зеркала; Мо—полупрозрачное зеркало;^ —экран..Предположим, что луч света от точечного источника а (фиг. 1) делится на два пучка в интерферометре Майкельсона и что эти два пучка соединяются затем вновь, получив разность хода, равную As = cAf (с — скорость света). Если As достаточно мала, то в плоскости 毋 формируется интерференционная картина. Такая картина обусловлена временной когерентностью двух пучков, поскольку видность интерференционных полос зависит от времени запаздывания Af. В общем случае интерференционные полосы наблюдаются только тогда, когда выполняется условие

ФИГ. 1. Схема интерферометра Майкельсона.

а—точечный источник света; М[ и Л/2 — зеркала; Мо—полупрозрачное зеркало;

^ —экран..

ФИГ. 1. Схема интерферометра Майкельсона.

а—точечный источник света; М[ и Л/2 — зеркала; Мо—полупрозрачное зеркало;

^ —экран..

AMv< 1,(2.44)

где Av ——эффективная спектральная ширина излучения. Время запаздывания

碌 * *(2.45)

называется временем когерентности света, а соответствующая оптическая длина пути сА/ — длиной когерентности. Подробное обсуждение понятий времени и длины когерентности, основанное на представлениях о волновых пакетах, дано в [11].

Используя определение для степени когерентности второго порядка у(х, %; т)三 y(t) в случае стационарных полей, дадим ниже несколько более строгое определение понятия времени когерентности [475, 8].

Рассмотрим простой эксперимент, схема которого приведена на фиг. 1, в том случае, когда время задержки между двумя пучками известно и равно т. Тогда, как будет показано в гл. 3, видность интерференционных полос, наблюдаемых в плоскости 岛,пропорциональна абсолютной величине степени когерентности у(х, х; т) (х определяет положение точки А。на зеркале Мо). Поэтому время когерентности можно вычислить по формуле [475],

尤= (А£)2 = %т j т2| у (т) |2 dx = -у j° т2| у (т) |2dr. (2,46)

—8О

Здесь

N= J 1Y(工)吃工='g2(v) dv.(2.47)

一80

Величина g(v) есть нормированная спектральная плотность света

g(”)= оЛ") ，(2.48)

J G(V)dv о + оо.

где G(v)=G(х, X} v). Следует заметить, что f ^ j t| у (t) 12dt = 0, так как |у(т)| — четная функция. Равенство обоих интегралов в выражении (2.47) вытекает из теоремы Парсеваля, примененной к нормированному спектральному разложению (2.24), т. е.

Y (т) = J gf(v) exp (— /2лvr) dv,(2.49)

о

где j g(v)dv= 1. о

Если эффективная спектральная ширина светового потока определяется выражением

(Av)2 = N^1 j (v —勺)2 g2(v)dv(2.50)

о

c

v = N^[ J vg2(v) dv,(2.51)

о

то можно показать [8], что

AMv>^.(2.52)

Для квазимонохроматического света с гауссовым спектральным распределением в выражении (2.52) стоит знак равенства.

Несколько иное определение времени когерентности дано в работах [264, 269], где принято

+ 8

(2.53)(2.53)% = А/ = J I у (т) |2"

(2.53)

(2.53)

Если спектральную ширину линии излучения определить с помощью выражения

Ау = [/ g2(V)dv,(2.54)

то, используя равенство Парсеваля (2.47), получаем

AfAv=l.(2.55)

Такое определение спектральной ширины линии излучения использовалось при трактовке эксперимента Хэнбери Брауна —； Твисса по измерению корреляционной функции четвертого порядка [269]. Для простейших типов спектральных распределений оба определения (2.50) и (2.54) практически эквивалентны [284, 295].

При описании экспериментов, связанных с делением светового пучка в двух различных точках [например, эксперименты с интерферометром Юнга (см. гл. 3)], обычно вводят более общие определения [475, 8]. Еще более общие определения времени когерентности, используемые для описания нестационарных полей, даны в работе [110].

Пространственная когерентность

Рассмотрим теперь интерференционный эксперимент типа опыта Юнга (фиг. 2). Предположим, что квазимонохроматиче- ский свет (Av/#《1) от протяженного теплового источника о, имеющего форму квадрата со стороной Да, создает интерференционную картину вблизи точки Q на экране 图 после прохождения через два точечных отверстия Pi и Р?， расположенных достаточно близко друг к другу. Возникновение интерференционных полос обусловлено пространственной когерентностью между световыми пучками, пришедшими в точку Q из Р】и Р2, поскольку контрастность полос зависит от расстояния между отверстиями. Вообще говоря, интерференционная картина наблюдается только тогда, когда

Д^Да<Х,(2.56)

где ^ = с/А — эффективная длина волны света. Для наблюдения интерференционной картины в окрестности точки Q оба отверстия должны быть расположены в' плоскости W внутри некоторой области с центром в точке О, площадь которой равна

△4*(Г^)2"岛=需，(2.57)

где S = (Aa)2 — площадь протяженного источника света. Величину АА называют площадью когерентности света в плоскости 以

(2.58)(2.58)вблизи точки О. Телесный угол AQ, под которым видна площадь когерентности из источника, равен

(2.58)

(2.58)

Конечно, предположение о тепловом (хаотическом) характере излучения источника не так уж важно, и, следовательно, понятие площади когерентности является достаточно общим.

ФИГ. 2. Схема интерферометра Юнга.ФИГ. 2. Схема интерферометра Юнга.а—протяженный источник хаотического квази- монохроматического света; Л—экран с двумя отверстиями Р| и Р?；勿一зкран для наблюдения.а—протяженный источник хаотического квази- монохроматического света; Л—экран с двумя отверстиями Р| и Р?；勿一зкран для наблюдения.Оба рассмотренных типа когерентности описываются функцией у(хь х2; т). Временная когерентность описывается функцией у(хьХ1； т), а пространственная —функцией y(%1,*2, 0). b общем случае нельзя разделить эффекты пространственной и временной когерентности [т. е. представить степень когерентности Yi2(r) в виде произведения ун(т) и 丫12(6)] вследствие того, что пространственная и временная когерентность взаимосвязаны, поскольку функция Г12(т) подчиняется (в ва

ФИГ. 2. Схема интерферометра Юнга.

ФИГ. 2. Схема интерферометра Юнга.

а—протяженный источник хаотического квази- монохроматического света; Л—экран с двумя отверстиями Р| и Р?；勿一зкран для наблюдения.

а—протяженный источник хаотического квази- монохроматического света; Л—экран с двумя отверстиями Р| и Р?；勿一зкран для наблюдения.

кууме) волновому уравнению, которое связывает пространственные и временные изменения величины Г. Однако существует такой класс оптических полей, для которых величину yi2(t) можно представить в виде произведения

Y12 (т)=== Yu (^) Y12 (0),(2.59)

т. е. эффекты пространственной и временной когерентности можно отделить друг от друга. Такие поля получили название взаимно спектрально чистых [266]. При некоторых допущениях можно показать, что временная когерентность определяется в основном спектральными свойствами света, а пространственная —геометрическими характеристиками источника (см. § 3 гл. 3 и § 3 гл. 4).

Объем когерентности

Объем когерентности может быть определен как объем цилиндра, площадь основания которого равна площади когерентности, а высота ——Длине когерентности, т. е.

△昨Ма4。肃*4 = ^^ = 瓷=(总m金了/(2。60)

где Д% = A(c/v) = (c/v2) Av. Этот объем соответствует также одной ячейке фазового пространства фотонов [229].

Весьма важной характеристикой поля является параметр вырождения 6 [265], который равен среднему числу фотонов, находящихся в одном и том же состоянии поляризации внутри объема когерентности, т. е. равен среднему числу фотонов одной и той же поляризации, пересекающих площадь когерентности за время когерентности. Если £v — среднее число фотонов, испускаемых в единицу времени единицей площади источника света в единичном интервале частот и в единичном телесном угле с осью, совпадающей с нормалью к поверхности источника, то

6 = l£vSAvAQAt(2.61)

Множитель 1/2 в правой части возникает из предположения о тепловом характере источника света. Следовательно, свет не поляризован, т. е. равновероятны обе ортогональные поляризации. Из (2.45) и (2.58) получаем соотношение

6%£Ev，(2.62)

которое не зависит от геометрии. Для излучения абсолютно черного тела имеем

0=^"回)(能)-1] ,(2.63)

где К ——постоянная Больцмана, Т — абсолютная температура, 人——постоянная Планка. В этом случае (2.62) принимает вид

2冲(备)一 1][(264)

Формулу (2.64) впервые получил Эйнштейн [139] при исследовании излучения в полости при тепловом равновесии его со стенками. Величина 6 описывает среднее число фотонов в ячейке фазового пространства и называется в квантовой статистике параметром вырождения излучения.

Разумеется, введенный здесь параметр, вырождения может быть определен и для нетеплового излучения. Следует упомянуть, что для нетеплового (например, лазерного) света 6》1, ;i для теплового излучения 6《1 [265, 160].,

Можно показать, что понятие об объеме когерентности совпа- пает с квантовомеханическим опредёлением ячейки фазового пространства, т. е. \qx\qy\qz = h^^px^py^pz)-1 s AV, где q и /丿——канонические координаты и импульсы [285].

Квазимонохроматическое приближение

Во многих практически интересных случаях используется квазимонохроматическое излучение. Если спектральная ширина линии излучения есть Av, а средняя частота —v, то условие квазимонохроматичности имеет вид

(2.65)(2.65)Av《v.

(2.65)

(2.65)

Записав корреляционную функцию в виде

Г(%“)(％1，• • •, #2"； Т)=

・2n -=i口"》)(勺，. ..，%2%；t) lexpm(修，...，/"； t) + ^2nv £打匕 (2.66)・2n -=i口"》)(勺，. ..，%2%；t) lexpm(修，...，/"； t) + ^2nv £打匕 (2.66)2%、где a = arg『(他力 ——2nH S £/t/) и использовав соотношение 、/2/2%2n \2%、где a = arg『(他力 ——2nH S £/t/) и использовав соотношение 、/2/2%2n \(2.19) с заменой vf — v->[(5)(%1,...，%2〃； T)= /2%\(2.19) с заменой vf — v->[(5)(%1,...，%2〃； T)= /2%\”/( — 2 в/Vy V—工 力匕丿，получим \/=2/=2/”/( — 2 в/Vy V—工 力匕丿，получим \/=2/=2/exp，2nu£e/t/) J・・・j G伊“⑶，…，勺九；v) Xexp，2nu£e/t/) J・・・j G伊“⑶，…，勺九；v) X/=2/ о2%/=2/ о2%2%2%Хехр /2л ^8У (vz —V)ту ^dvf =Хехр /2л ^8У (vz —V)ту ^dvf =/=2 2п/=2 2пexpl力2吶£町, X\/=2/expl力2吶£町, X\/=2/X / •.・ f G(" ")( *1, • • • , %2九；"^^ °/，，” + ”2，• • •，””2九)XX / •.・ f G(" ")( *1, • • • , %2九；"^^ °/，，” + ”2，• • •，””2九)X

・2n -

=i口"》)(勺，. ..，%2%；t) lexpm(修，...，/"； t) + ^2nv £打匕 (2.66)

・2n -

=i口"》)(勺，. ..，%2%；t) lexpm(修，...，/"； t) + ^2nv £打匕 (2.66)

2%、

где a = arg『(他力 ——2nH S £/t/) и использовав соотношение 、/2/2%2n \

2%、

где a = arg『(他力 ——2nH S £/t/) и использовав соотношение 、/2/2%2n \

(2.19) с заменой vf — v->

[(5)(%1,...，%2〃； T)= /2%\

(2.19) с заменой vf — v->

[(5)(%1,...，%2〃； T)= /2%\

”/( — 2 в/Vy V—工 力匕丿，получим \/=2/=2/

”/( — 2 в/Vy V—工 力匕丿，получим \/=2/=2/

exp，2nu£e/t/) J・・・j G伊“⑶，…，勺九；v) X

exp，2nu£e/t/) J・・・j G伊“⑶，…，勺九；v) X

/=2/ о

2%

/=2/ о

2%

2%

2%

Хехр /2л ^8У (vz —V)ту ^dvf =

Хехр /2л ^8У (vz —V)ту ^dvf =

/=2 2п

/=2 2п

expl力2吶£町, X

\/=2/

expl力2吶£町, X

\/=2/

X / •.・ f G(" ")( *1, • • • , %2九；"^^ °/，，” + ”2，• • •，””2九)X

X / •.・ f G(" ")( *1, • • • , %2九；"^^ °/，，” + ”2，• • •，””2九)X

(

2%\ 2%

/2л 工 ) JJ d,・(2.67)/=2/ /=2*

Так как мы рассматриваем квазимонохроматический свет, функция G в выражении (2.67) заметно отличается от нуля лишь в области частот (v—Av/2, v + Av/2) ® ... ® (v—Av/2, A + Av/2). Таким образом, поскольку Av/v 4： 1, функция |г(п, n)|exp(/a) содержит только низкочастотные компоненты и поэтому при изменении tj меняется медленно по сравнению с изменением множителя exp(i2nU X E/t/)： Рассматривая величины т, такие, что

Н/ к i (/ = 2, 3,2п),Н/ к i (/ = 2, 3,2п),(2.68)(2.68)

Н/ к i (/ = 2, 3,2п),

Н/ к i (/ = 2, 3,2п),

(2.68)

(2.68)

из (2.67) мы видим, что | Г(п,п) |ехр(/а) не зависит от т и, следовательно,

Г(~“)(％1, ・・・，х2п; т)=

=eхр02吶тe广/f(%")(修，..x2"； 0).

Если для двух векторов Tj и т2 выполняется условие

I %/。2/ I《■j^' (/== 2, 3,・..，2九)，

то

口%加(勺%2〃；巧)=

2n

= exp j2吶 工5(5/-%/)卩他"ai，•…*2Л； T2).

/=2J

(2.69)(2.70)(2.71)(2.69)(2.70)(2.71)Аналогичные результаты можно получить как для квантовых корреляционных функций F樂‘吗 так и для квантовых корреляционных функций при других способах упорядочения операторов поля (см. гл. 16).

(2.69)

(2.70)

(2.71)

(2.69)

(2.70)

(2.71)

Глава 3

КОГЕРЕНТНОСТЬ ВТОРОГО ПОРЯДКА

В настоящей главе в рамках классического описания поля излучения на примере интерференционного опыта Юнга мы приведем элементарное изложение теории когерентности второго порядка, а также дадим вывод уравнений распространения частичной когерентности. Однако в дальнейшем мы покажем (§ 2 гл. 12), что квантовое описание формально идентично классическому и результаты, приведенные здесь, применимы и для квантовых корреляционных функций. ,

§ 1. Интерференция двух частично когерентных пучков

В данной главе мы рассмотрим стационарные и эргодические оптические поля. Для простоты предположим, что свет линейно

поляризован и, следовательно,поляризован и, следовательно,ФИГ. 3. Интерференционный эксперимент с двумя пучками света для изучения когерентности второго порядка.о— протяженный источник квазимонохрома- тического света; «у? —экран с двумя отверстиями Р| и Р2；勿一зкран для наблюдения.ФИГ. 3. Интерференционный эксперимент с двумя пучками света для изучения когерентности второго порядка.о— протяженный источник квазимонохрома- тического света; «у? —экран с двумя отверстиями Р| и Р2；勿一зкран для наблюдения.может быть описан скалярной функцией Р(х, f)・ Предположим также, что излучение ква- зимонохроматическое.

поляризован и, следовательно,

поляризован и, следовательно,

ФИГ. 3. Интерференционный эксперимент с двумя пучками света для изучения когерентности второго порядка.

о— протяженный источник квазимонохрома- тического света; «у? —экран с двумя отверстиями Р| и Р2；勿一зкран для наблюдения.

ФИГ. 3. Интерференционный эксперимент с двумя пучками света для изучения когерентности второго порядка.

о— протяженный источник квазимонохрома- тического света; «у? —экран с двумя отверстиями Р| и Р2；勿一зкран для наблюдения.

В теории электромагнитного поля Максвелла предполагается, что напряженности электрического Е и магнитного Я полей являются измеримыми величинами. Однако, как уже указывалось ранее, частота оптических колебаний столь велика, что фактически не су

скую динамическую систему.скую динамическую систему.ществует реальных детекторов, способных непосредственно следить за изменением поля; кроме того, оптическое поле представляет собой статистиче- Поэтому необходимо проводить

скую динамическую систему.

скую динамическую систему.

усреднение физических величин. В случае стационарных и эргодических полей для определения взаимной функции когерентности достаточно ограничиться усреднением по времени.

Рассмотрим интерференционный опыт Юнга, схема которого приведена на фиг. Зив котором применяется протяженный

источник квазимонохроматического света а. Световые пучки, исходящие из отверстий Р1(%1) и 「2(*2), расположенных на защитном экране 立,интерферируют вблизи точки Q(x) на экране 史.Точка Q расположена на расстояниях s〔 и s2 соответственно от отверстий Р\ и Р2. Поскольку мы рассматриваем линейно поляризованный свет (т. е. пренебрегаем поляризационными эффектами, при которых проявляются векторные свойства злеК； тромагнитного поля), можно описывать явление интерференции с помощью скалярной комплексной функции V(xt t), которую в точке 0(%) запишем в виде

V (х, f) = ау (к】，t — Q + a2V (x2, f —幻； (3.1)

здесь fi = s\/c и f2 = $2/4 c — скорость света (для простоты — в воздухе). Мнимые коэффициенты а\ и & являются коэффициентами передачи поля между точками Pi и Q и Р2 以 Q, определяемыми на средней частоте излучения, и зависят от размеров отверстий и их формы 】).,一 二

Для интенсивности света в точке Q(x) имеем выражение

/(R)= «(%, В〉=〈『(%, t)V (乜力=

=1 ^i I2/(^i)+l ^2 РЦ^2)+ 2| a{a2 IReT^b a:2; t).(3.2)

Здесь x — t\ —— 勾=(61 ——sjlc, а величина.

Г12(т) ^ Г (xb x2; r) = <У\хь f) V (x2, / + r)>(3.3)

является взаимной функцией когерентности. Интенсивности света в точках х{ и х2 связаны с взаимной функцией когерентности соотношением

/(勺)=Г(勺，勺；0)(/=1, 2).(3.4)

При выводе (3.2) было использовано условие стационарности

<V\xht-t{)V (к, t 一 幻〉=〈》*(%/"(勺,力 + 力一力)〉，(3.5)

которое отражает тот факт, что корреляционная функция зависит только от разности времен 介一勾・

Определим интенсивность излучения в точке Q, обусловленную освещением только одним из пучков (когда открыто одно из отверстий в точке Р\ или Р2), как

0=旧|2/(勺)(/=1,2).-(3.6)

，)Например, как видно из выражения (3.36), коэффициент

2лЗ — 2лз ・

Затем, следуя (2.42а), определим степень когерентности второго порядка (〃=1) как

Y S，") = {?不黑*丁…)1% '(3・7)

причем, согласно (2.43а), имеем | 丫(勺，％2； т) | W 1 [все степени когерентности 丫(】，D,⑷丫。，Ь и ⑻丫。，D, определяемые выражениями (2.42а) — (2.42в), в этом случае идентичны][). Тогда, используя выражение (2.66) при п = 1 для полной интенсивности интерференционной картины, создаваемой стационарным квазимоно- хроматическим светом, имеем окончательно

I (х) = /⑴(％) + /(2)(х) + 2 [/⑴(％) /⑵(％)]% Re Y(xb x2; t) (3.8a) или

/ (%) = w(X)+ №(%)+ 2 [/⑴(%) /⑵(»]% I Y (招,修；工)IX

X cos [a (勺，％2； t) — 2冗询.(3.86)

Измеряя полную интенсивность / (х) в точке Q и интенсивности отдельных пучков света /(】)(％) и /⑵(％), прошедших через каждое отверстие, можно определить функцию Re yi2(r), а значит, и Re Г12(т). Следовательно, сами функции 丫12«) и Г12(т) можно найти с помощью дисперсионных соотношений. Таким образом, обе эти функции являются измеримыми величинами. Третий член в формулах (3.8а) и (3.86) описывает интерференционные эффекты, возникающие, когда оба отверстия открыты.

Обычно мерой контрастности интерференционных полос является видность, введенная Майкельсоном 2),

乃(%)= 三夕нн ,(3.9)

< макс 十'мнн

где•

/макс = /⑴(％) + /⑶(％) 土 2 卩⑴(％) № 任)产 I 丫(修，”2； T) I, (3.10) мин

так как, согласно (3.86), в случае максимума cos х = 1 (а ——2jivt = 2лт, /и = 0, ±1, ...), а в случае минимума

9 Величину 丫3'，％2；工)называют иногда также комплексной степенью когерентности (см. [8]). — Прим, перев.'

分)Другое определение видности дали Франсон и Сланский [11]:

Г(х) =Г(х) ='макс'макс'макс — 'мнн

Г(х) =

Г(х) =

'макс

'макс

cos % = — 1 [а — 2nНт = (2〃г + 1) л]. Следовательно, для вид- ности (3.9) имеем

/(力=/(力=2 U/⑴(%)/⑵⑺/⑴(*) + /⑵⑴2 U/⑴(%)/⑵⑺/⑴(*) + /⑵⑴I y(%1，*2； t)丨=I y(%1，*2； t)丨==2[]/黑+]/黑｝ 2（修，修；=2[]/黑+]/黑｝ 2（修，修；*1.*1.(3.H)(3.H)

/(力=

/(力=

2 U/⑴(%)/⑵⑺/⑴(*) + /⑵⑴

2 U/⑴(%)/⑵⑺/⑴(*) + /⑵⑴

I y(%1，*2； t)丨=

I y(%1，*2； t)丨=

=2[]/黑+]/黑｝ 2（修，修；

=2[]/黑+]/黑｝ 2（修，修；

*1.

*1.

(3.H)

(3.H)

В частности, если интенсивности обоих пучков равны, то 岁(力=1Y(勺，x2; T) I,(3.12)

т. е. в этом случае видность полос равна модулю степени когерентности. Таким образом, величину |丫| можно определить путем несложных измерений.

Фаза величины 丫 также имеет простой физический смысл. Из (3.86) вытекает, что положения максимумов интенсивности на интерференционной картине определяются выражением

/s\ — s2\2冗vс、

/；—-—丿—(«! — s2)=

=a卜и #2； ^一円—争(S[ — s2) = 2/пл, /и = 0, il； 1, .... (3.13) Положения максимумов, определяемые формулой (3.13), совпадают с теми положениями, которые существовали бы, если бы оба отверстия освещались монохроматическим светом с длиной волны Л, а фаза колебаний в точке Pi запаздывала относительно фазы в точке Р? на величину а(хьХг； (s】一Sz)/c)・ Следовательно, величина а может рассматриваться как «эффективное запаздывание» света в точке Pi относительно света в точке「2・ Из (3.13) следует, что фазу функции у можно в принципе опре* делить из измерений положений максимумов полос интерференционной картины.

Используя значения у, найденные из эксперимента, с помощью теоремы Винера ——Хинчина можно рассчитать спектральные характеристики поля излучения. К сожалению, измерения фазы функции у по положению максимумов очень трудны. Поэтому в дальнейшем мы рассмотрим метод определения фазы функции у, основанный на аналитических свойствах этой функции (см. § 4 гл. 4).

Если ограничиться рассмотрением таких времен запаздывания т, для которых выполняется условие (2.68), т. е.

|т|《(А”)т (as = 2 — S2| «с(Av)"1),

то, согласно (2.69), для /г = 1 имеем•-

I「(*1,%2； Т)|=| Г(Х1> 为2； 0)1，argF(%i，力2； т)=а(%1，#2； 0) —2hvt.

Таким образом величины | у (хн %2； т) I и а (хь 力2；工)，входящие в выражение (3.8а), могут быть заменены в соответствующих уравнениях на |丫(％1, *2； 0) I и а(хь х2; 0). Функция Г(хь х2; 0)= 三「(*1,%2)называется функцией взаимной интенсивности.

Возвращаясь к уравнению (3.86), мы видим, что при 丫 = 0 (1Y1 = 0， F = 0) не возникает никаких интерференционных полос; это соответствует случаю, когда два световых пучка, достигающих точки Q из отверстий Pi и Р?, являются взаимно некогерентными. Если |丫|=1, интерференционные полосы, напротив, обладают максимально возможной видностью, и, следовательно, оба пучка полностью когерентны. Промежуточные значения 0 < |у| < 1 соответствуют случаю частичной когерентности.

Переписав выражение для полной интенсивности интерференционной картины в форме [8]

/ (%) = I Y 阳，*2； D I {/⑴(%) + /⑵(X)+ 2 M/(d(%)/(2)(%) x

X cosla^!，力2； T)—2nvr]) + [l—I У(Х!，*2； t)l] [/⑴(％) + /⑵(％)]，

(3」4)

мы получим интересный результат, что излучение от отверстий Р[ и「2，достигающее точки Q, можно рассматривать как смесь когерентного и некогерентного света. Первый член в выражении (3.14) может быть истолкован как когерентная суперпозиция двух пучков с интенсивностями I у (^i» %2；工)丨八"(％) и I y(#i，%2；力 |/("(х) и относительной разностью фаз a(%i，х2; т)—— —2nvr, а второй член ——как некогерентная суперпозиция двух пучков с интенсивноетями (1--1y(%1, %2；T)丨)/("(%) и (1—I Y(%i，%2； t)l)/(2)(x).

Уравнения распространения частичной когерентности

Пусть взаимная функция когерентности Г12(т) = Г(хь х2; т) задана на некоторой поверхности 必.Требуется определить эту функцию для двух точек Qi и Q?, расположенных вне поверхности 垓 (фиг. 4). Введем обозначения 门=BQi и % 三「2、2・ Чтобы решить данную задачу, используем метод функций Грина, применяемый при решении волновых уравнений (2.36), для взаимной функции когерентности (при m = n = 1) [334, 3]. Из (2.36) следует, что для функции Г12(т) справедливы волновые уравнения

^^^) = ^^^-(/ = !> 2),(3.15а)

которые можно свести в одно уравнение

△心n2（力=3囉汉.△心n2（力=3囉汉.(3.156)(3.156)

△心n2（力=3囉汉.

△心n2（力=3囉汉.

(3.156)

(3.156)

Соответствующие уравнения для спектральных компонент имеют вид

A/G12(V)+ ^2G12 (v) = 0 (j=l, 2 для всех v), (3.16) где 々=2jw/c. Пусть функция Gi2(v) задана на поверхности М и пусть 乡 1 и ^2 — функции Грина для уравнений (3.16). Тогда

ФИГ. 4. К закону распространения частичной когерентности.

мы имеем уравнение

[Az + ^^ ^ (Qp Pz; v) = - d (Qy - Pz) (/=1, 2) (3.17)

(здесь б — функция Дирака) с граничными условиями

骂& 用叽”Р/ = " Р戸國(/ = !> 2).(3.18)

Используя формулу Грина [3], получаем следующий закон распространения для взаимной спектральной плотности:

G (Qi，Q2； у)=

=f f °团呦3⑴竺2(**2；v)G (В, p2； v) dR dP2. (3.19)

Здесь d/dtij обозначает частную производную по нормали к поверхности 必 в точке 巳(/ =1,2). Поскольку, согласно (2.326), G*(Qi, Q2； V)= G(Q2, Qi； v), то

乡 i = %・(3.20)

Введя в (3.19) обозначение K(Q, Р; v) ■= О乡(Q, Р; v)/d〃，получим.

G(Qi, Q2； ”)=

=j J K*(Q“ В； v)K(Q2, P2； ”)G(B，P2； hdPidg, (3.21)

где ^(Q, P; v)——дифракционная функция, которая определяет комплексную амплитуду сигнала в точке Q, создаваемую

единственным точечным источником с частотой v, расположенным в точке Р. Вследствие линейности уравнений, описывающих распространение взаимной когерентности в оптическом устройстве, не имеющем нелинейных элементов, при рассмотрении влияния частичной когерентности на процесс отображения в такой системе может быть введена функция, аналогичная K(Q, P;v) в (3.21). Эта функция, так же как и в уравнении (3.21), является

ФИГ. 5. К выводу закона распространения частичной когерентности от плоскости конечных размеров.

ядром интегрального уравнения, связывающего функции взаимной когерентности, описывающие объект и его изображение (см. гл. 9).

С помощью интегрального уравнения (3.21), полагая Qi 三 =Q2 = Q, можно найти спектр мощности сигнала G(Q, v). Эта величина определяется не спектром мощности сигнала на поверхности 垓，а взаимной спектральной плотностью G(Pb Р2； v).

Применяя фурье-преобразование к выражению (2.24), получаем взаимную функцию когерентности

「(Qi, Q2；力=j 尸(Qi，Q2； v) exp (— i2nvr) dv, (3.22) 0

где

尸(Qi，Q2； ”)= J J K*(Qi，В； SK(Q2, ^2； ^G{P„ P2; v)dP{dP2.

Если функция ^(Q, P; v) слабо зависит от частоты, ее можно заменить соответствующим значением K(Q,P;H) для некоторой средней частоты v. В этом случае закон распространения для

взаимной функции когерентности имеет вид

「(Qi, Q2；工)=

=j j K*(Qi, В； v)^(Q2, Р2; »)F(R,巳；力 dRdP2・ (3.23a)

Отсюда, полагая t = 0, получаем выражение для взаимной интенсивности

门 Qi，Q2)= J『K*(Qk 2； »)K(Q2, 2； »)F(B，戶 2) dP'dPx (3.236)

Интенсивность /(Q) может быть определена как /(Q)三 wf(Q, Q；0)， а степень когерентности — из выражения (3.7), где F(d，Qj； 0)三 / (Qj)・

Рассмотрим снова задачу о распространении излучения от конечной плоской поверхности (фиг. 5), которая имеет важные практические применения [334, 3].

Функция Грина для этой задачи на бесконечности удовлетворяет условию излучения Зоммерфельда [асимптотическое поведение вида ехр(/йг)/г] и в соответствии с (3.18) равна

Д (.= 1> 2); в%)

4 冗 г「 4 л Гу

Здесь г产 PjQ『а г： — расстояние между точками Р, на- поверхности 國 и зеркальным отображением точки Q/ в плоскости (х,力 т. е.

勺=[®一喷+(%一疥+ ® -葡吵，

7 =[(与一m)2 + (勿一勿)2 + (弓+葡2]%. •

Поэтому для производных функции Грина по нормали имеем * =h七)崙計- MV)** (3.26)

Однако, поскольку выполняются следующие равенства：

(=5/(=5/(3.27)(3.27)

(=5/

(=5/

(3.27)

(3.27)

ныражение (3.26) преобразуется к виду

= 2(^-^)T^C0S^^

(3.28)

В результате, используя (3.19), мы находим

G (QH Q2; v)=表 J j (1 + 血 J (1 一 /г?) X

X 吋 L 岁;Г?" cos01 cos&G (В，2； #dP] d「2・ (3.29)

Взаимная функция когере иности [после фурье-преобразования (3.29)] имеет вид

Г* (Qi, Q‘2； t)=

8

=表 j Jj H(n，「2； ”，T)COSO1COSO2G (B，巳；”)"1办2厶・(3.30)

0 Л

Здесь

〃(人「2； V, т)===ехр — i2nv(tT〃(人「2； V, т)===ехр — i2nv(tTП —「2сП —「2с] I 饅（门一Г2）TH 十 FT"] I 饅（门一Г2）TH 十 FT"上]“2 j上]“2 j

〃(人「2； V, т)=

==ехр — i2nv(tT

〃(人「2； V, т)=

==ехр — i2nv(tT

П —「2с

П —「2с

] I 饅（门一Г2）

TH 十 FT"

] I 饅（门一Г2）

TH 十 FT"

上]“2 j

上]“2 j

Это соотношение в краткой форме можно записать как

Г (Qi> Q2； t)=,

=靑『丨'"；；『& 豆 F(B，P2； x + ^^dP.dP^ (3.31)

где оператор

豆"32)

Уравнение (3.31) представляет собой общий закон распространения взаимной функции когерентности поля излучения, создаваемого плоским полихроматическим частично когере тнымисточ- ником (первичным или вторичным).

В практических случаях обычно выполняется условие 女：=竽》；，(3.33)

и выражение (3.31) принимает вид

* r(QP Q2; т) = ^ j ] —~A；A2dBdB・ (3.34)

Здесь Л； = ik cos 9j — коэффициенты наклона, описывающие изменение направления вторичных волн от поверхности №, a Aj — среднее (по частотам) значение А>

Разумеется, этот же закон распространения можно получить, исходя из принципа Гюйгенса — Френеля, если в (2.24) подставить выражение для спектральных компонент P(v):

俨(Q/, v)= J V(% v)警？A,dPj. (3.35)

Интенсивность в точке Q можно вычислить, если в выражении (3.34) положить Qi 三 Q2 三 Q и т = 0, по формуле

'(Q)= f j ”^R；F"y(B，А； ^^)入沐2dp "2, (3.36)

причем степень когерентности у определяется выражением (3.7).

Следует отметить, что в закон распространения входят только измеримые величины, а не быстро изменяющиеся векторные величины, которые фигурируют в уравнениях Максвелла и не поддаются прямым измерениям. Это является характерной особенностью рассматриваемой теории.

Если, в частности, считать, что поверхность 必 представляет собой неосвещенную сторону & (фиг. 3), то из уравнения (3.36) можно снова получить закон интерференции (3.8).

Если- же считать, что поверхность 垓 есть' поверхность первичного протяженного плоского источника а, излучение которого создается независимыми, взаимно некогерентными элементарными излучателями, то в величину Г, входящую в выражение (3.34), вносят вклад только пары точек Pi м Р?曰 Р, и можно написать, что

G (Р，Р2; v) = G (В，v)d (Р2 - В),(3.37а)

Г (В，Л； т) = Г(Рь Р1； т)6(Р2-Р^(3.376)

где G(P, v) = G (Р,尸；v) — спектральная мощность. Таким» образом, исходя из (3.34), имеем

「(Qi，Q2； t)=、

=表 J ^р (— i2nvt) dv|G (P, v) " ~*广二创入込2 dP. (3.38) оо

Степень когерентности y(Qi，Q2；工)определяется выражением (3.7), где8

Г (Qy, Q/； 0)三/(Q/) = ±J dvj 乌3»|& 12 dp =

Вводя обозначение

西矮y乙=[/9/, p; v),(3.40)

можно переписать (3.38) в виде

「(Q“ Q2； t) = М/(Qi)/(Q2) y (Qi, Qz； т)=

=J exp(-/2nvr) dv J U*(Q“ P; v)U(Q2i P; *dP. (3.41) 0о

Здесь

，(Q/)= Jdvj|U(Q/, P; ”) 12dp (/=1, 2).(3.42)

0 о

Эта формула выражает взаимную функцию когерентности и степень когерентности через параметры распространения волны излучения от некоторого фиктивного источника, поскольку, согласно (3.40), функцию U(Q, P;v) можно рассматривать как комплексную амплитуду поля излучения в точке Q, создаваемого точечным монохроматическим источником с частотой v и амплитудой UGlP, v), расположенным в точке Р.

Теорема ван Циттерта — Цернике

Практически обычно имеют дело с квазимонохроматиче- скими источниками света. Если наряду с условием квазимонохроматичности выполняется условие

I т + I《击，(3・43)

то выражение (3.38) в случае малых углов О/ (т. е. cosO/弋 1) имеет вид

г(Qi> Q2； т) =，/(Qi) / (Q2) y (Qi，Q2； t)=

= (^У exp (_ z・2*) J / (Р)呻匕^尸成 dP. (3.44)

Степень когерентности при этом равна

Y (Qi，Q2；吟三 Yi2 (т) = Yi2(0) ехр(— /2лvt),(3.45)

причем степень пространственной когерентности 丫12(°) дается выражением

W2 (0)三 Y12 =「=」二4 f / (Р) exp iS二1迎 必，(3.46)

где

/(Q/)= J*dP 0=1, 2).(3.47)

Эти соотношения получили название теоремы ван Циттерта — Цернике, которая позволяет рассчитывать (при указанных выше предположениях) степень когерентности протяженного квазимонохроматического некогерентного источника по распределению интенсивности на поверхности источника.

Интересно отметить, что, вообще говоря, некогерентный источник создает частично когерентные световые поля, а это означает, что при дифракции и распространении степень когерентности света может быть улучшена. На важность этого факта применительно к проблеме генерации излучения внутри резонатора лазера было указано Вольфом [480, 481].

Если справедливо выражение (3.45), то видность интерференционной картины определяется геометрическими свойствами источника, причем достаточным является только учет пространственной когерентности [описываемой функцией yi2(0)], которая не зависит от спектральных характеристик излучения. Однако, согласно (3.38), очевидно, что пространственная когерентность, описываемая степенью когерентности 丫12(0) (т = 0), и временная когерентность, характеризуемая степенью когерентности уи(т) (Pi 三「2), обычно зависят как от геометрических свойств источника, так и от спектральных характеристик излучения. В общем случае невозможно представить степень когерентности излучения 丫12住)как произведение степеней пространственной Yi2(0) и временной Yu(t) когерентности, так как они взаимосвязаны. Это следует из того факта, что Г12(т) подчиняется волновому уравнению в вакууме (3.15а) (§ 2 гл. 2). Но в некоторых случаях, представляющих практический интерес, подобное разделение возможно при некоторых ограничениях. Например, предполагая, что спектр мощности G(P,v) не зависит от координаты точки Р и что

(3.48) из (3.38) получаем

r(Qb Q/, A击门力尸虱W；Rf)]入瓜"=

= F(t)F(Qi，Qz； 0),(3.49)

где Г(т) — фурье-преобразование функции G(v). Следовательно, Y (Qi, Q2； т) = Y (т) Y (Qi，Q2；。)・(3.60)

Г (Qi, Q2； 0)Kr(Qb Qi；0)r(Q2, Q2; 0)Г (Qi, Q2； 0)Kr(Qb Qi；0)r(Q2, Q2; 0)Здесь у (т) = Г (т)/Г (0) и

Г (Qi, Q2； 0)Kr(Qb Qi；0)r(Q2, Q2; 0)

Г (Qi, Q2； 0)Kr(Qb Qi；0)r(Q2, Q2; 0)

Y(Qi, Q2； 0)

В этом случае временная когерентность связана со спектральными характеристиками поля излучения, а пространственная когерентность ——с геометрическими характеристиками источника

света. Этот результат является частным случаем более общего рассмотрения проблемы взаимной спектральной чистоты света [266] (см. § 3 гл. 4).

Исходя из выражения (3.34) в случае малых углов 9力 когда выполняется условие (3.43), можно получить закон распространения взаимной функции когерентности (или взаимной интенсивности) для квазимонохроматического излучения:

r(Qb Q2； т)==^Уехр(-Z2jivt)X

х j J 呻【二*^L二®. Г (Pb 2； 0) dP, dP2. (3.51) a

Полагая т = 0, получаем'

Г (Qi，Q2) = ^I (Qi) / (Q2) y (Qi，QJ =

=Ш2 J / exp【-需-a)] F(?, A)dP«P2・ (3.52) a

Это соотношение является частным случаем уравнения (3.236), когда K(Q, Р； V)(^/2л) exp (ikr)/г.

Аналогично, подставив выражение (3.40) в (3.44), получим формулу Гопкинса

WQ1，Q2) = /MFTOy(Qi, QJ= j U*(Q“ P)U(Q2, P)dP, (3.53)

которая часто используется в инструментальной оптике !)« Эта формула позволяет рассчитать степень пространственной когерентности излучения без использования процесса усреднения

ФИГ. 6. К выводу теоремы ван Цит- терта — Цернике.ФИГ. 6. К выводу теоремы ван Цит- терта — Цернике.в явном виде.

ФИГ. 6. К выводу теоремы ван Цит- терта — Цернике.

ФИГ. 6. К выводу теоремы ван Цит- терта — Цернике.

Ограничиваясь рассмотрением источника с малыми линейными размерами и предполагая малыми угловые расстояния между точками Qi и Q2 (фиг. 6), имеем rj = [(Xf-^ + (Y]-^ +

+ Г?]%弋厂+

+ 必二中^. (3.54)

Если учесть, что линейные размеры источника малы по сравнению с расстоянием г, а также то, что углы между линиями.

，)Обычно в инструментальной оптике формулой Гопкинса называется выражение типа (3.53) для случая неоднородной среды (см. [8], гл. 10).— Прим, перев.

00’ и PQj незначительны, получим

(Х1 + Г1) ~ (Х2 + Г2)(% -厶)自 + (% - 丫2加 с 彳个

Обозначив

一 區吗奥咨广口 一中，(3.56)

из (3.46) найдем

J / 传，П)exp [ik (pg + g)]尚 dr]

Y (Qi，Q2) = exp (Zip) — p•(3.57)

J / 隽,叫 dg dx\

При выводе этого соотношения мы заменили произведение г^2 на г2. В этом случае степень пространственной когерентности

ФИГ. 7. Зависимость | w? I от и ==(々р/「)X х 义个F产Й?1孑再для круглого источника квазимоно- хроматического однородного некогерентного света.ФИГ. 7. Зависимость | w? I от и ==(々р/「)X х 义个F产Й?1孑再для круглого источника квазимоно- хроматического однородного некогерентного света.ФИГ. 8. Схема звездного интерферометра Майкельсона.

ФИГ. 7. Зависимость | w? I от и ==(々р/「)X х 义个F产Й?1孑再для круглого источника квазимоно- хроматического однородного некогерентного света.

ФИГ. 7. Зависимость | w? I от и ==(々р/「)X х 义个F产Й?1孑再для круглого источника квазимоно- хроматического однородного некогерентного света.

Mi—М,—зеркала; % —зкран.

(с точностью до фазового множителя) равна значению нормированного фурье-образа функции, описывающей распределение интенсивности источника.

Y(Qi, Q2)=旦*~ехр (绅)・Y(Qi, Q2)=旦*~ехр (绅)・(3.58)(3.58)В случае квазимонохроматического однородного, пространственно-некогерентного излучения от круглого источника радиуса р выражение (3.57) принимает вид '

Y(Qi, Q2)=旦*~ехр (绅)・

Y(Qi, Q2)=旦*~ехр (绅)・

(3.58)

(3.58)

Здесь и = Ер [р*2 + д*2]%, a J{ — функция Бесселя. Для прямоугольного источника со сторонами 2a и 26

Y(Qi, QJ = F* $實 exp”). (3.59)

На фиг. 7 представлено типичное поведение модуля степени пространственной когерентности (т. е. видности), соответствующее случаю, описываемому выражением (3.58).

Выражение (3.58) можно использовать для определения углового радиуса звезд с помощью звездного интерферометра Май- кельсона, схема которого показана на фиг. 8. Если изменять расстояние d между зеркалами M【и M2f то видность интерференционной картины в точке Q и ее окрестности будет меняться так, как это показано на фиг. 7. Первый нуль на кривой вид- ности расположен при и =后pdo/r = 3,83, т. е. при do = 0,61 Х/а (в этом случае 屮。0), где а = р/г — угловой радиус звезды, т. е. а = 0,61 X/do-

Если к тому же рассматриваются эффекты временной когерентности и если степень когерентности представима в виде произведения степеней пространственной и временной когерентности, то результирующую видность интерференционной картины в опыте типа Юнга можно представить в виде произведения видностей, соответствующих пространственной и временнбй когерентности, т. е. |yi2(t) | = |ун(т)I Iyi2(0) |-

Вопросы, связанные с измерением степени когерентности второго порядка, обсуждаются в [151].

Глава 4

НЕКОТОРЫЕ ОБЩИЕ ВОПРОСЫ

ТЕОРИИ КОГЕРЕНТНОСТИ ВТОРОГО ПОРЯДКА

В настоящей главе мы рассмотрим некоторые интересные вопросы теории когерентности второго порядка. Мы исследуем вопрос о форме взаимной функции когерентности для некогерентного излучения [71, 3], проанализируем свойства когерентного излучения как предельного случая частично когерентного света [334, 335, 282, 3, 428, 311, 54, 356], рассмотрим понятие взаимной спектральной чистоты излучения [266, 267], а -также фазовую проблему интерференционной спектроскопии. Полное решение последней задачи позволяет в принципе определять спектральный состав излучения по данным измерения видности интерференционных полос [478, 406, 375, 297, 300, 129, 126, 328].

§ 1. Взаимная функция когерентностидля некогерентного излучения

Рассмотрим вновь закон распространения (3.19) для взаимной спектральной плотности в случае, когда излучение является некогерентным во всем пространстве, включая поверхность 國,Рассмотрим вновь закон распространения (3.19) для взаимной спектральной плотности в случае, когда излучение является некогерентным во всем пространстве, включая поверхность 國,т. е. когдаG(R, Л； v)=т. е. когдаG(R, Л； v)=G (Р, Р; V)= G (Р, V)0G (Р, Р; V)= G (Р, V)0Р[ = 2 三 Р, b Р2.Р[ = 2 三 Р, b Р2.(4.1)(4.1)

Рассмотрим вновь закон распространения (3.19) для взаимной спектральной плотности в случае, когда излучение является некогерентным во всем пространстве, включая поверхность 國,

Рассмотрим вновь закон распространения (3.19) для взаимной спектральной плотности в случае, когда излучение является некогерентным во всем пространстве, включая поверхность 國,

т. е. когда

G(R, Л； v)=

т. е. когда

G(R, Л； v)=

G (Р, Р; V)= G (Р, V)0

G (Р, Р; V)= G (Р, V)0

Р[ = 2 三 Р, b Р2.

Р[ = 2 三 Р, b Р2.

(4.1)

(4.1)

Интеграл в (3.19) .можно рассматривать как интеграл в четырехмерном пространстве, хотя подынтегральная функция отлична от нуля и конечна лишь на двумерной гиперповерхности. Таким образом, интеграл равен нулю во всех случаях, включая Pj = Р2. Этот вывод противоречит соотношению (4.1), и, следовательно, подобные некогерентные источники не должны излучать. Поскольку закон распространения (3.19) получен непосредственно из уравнений Гельмгольца (3.16), напрашивается вывод, что существование некогерентных полей в свободном пространстве связано со спектральными свойствами излучения. Однако в согласии с результатами, полученными Блан-Лапьером и Дюмонте [83], можно определить некогерентный источник, используя выражения (3.37а) и (3.376), с помощью соотношения

G12(v) = G11(v)6(P1-P2), (4.2)

справедливого для всех пар точек источника Рь Р2. В этом случае выражение (3.19) принимает вид

G(Q，V)= J I 里专 j ')『G (P，v) dP. (4.3)

Здесь G(Q, v) = G(Q, Q; v), но понятие взаимной спектральной плотности теряет в данном случае физический смысл при Pi =戶2・ Эта трудность устранена в [71, 3], где показано, что 6-функцию в выражении (4.2) можно заменить функцией 2/1(^|Р1 —Рг|)/^|^1 — ^2), где k = 2лД,厶一функция Бесселя, a 丨Pi -21 = [(%1 -/户 + ①一y2)?]% [P/eP/国，力)，j=L 2]. Разумеется, такая функция, соответствующая «сглаженной» 6-функции, не является единственной (более подробно этот вопрос рассмотрен в работах Берана и Паррента [71, 3]).

,§ 2. Свойства когерентного излучения

Полностью когерентное (во втором порядке) поле излучения

удовлетворяет условию

I Y (尤 1，%2)I三 1・(4.4а)

Если к тому же поле стационарное, то

I Y(*i, *2；力 1= L(4.46)

Выражения (4.4а) и (4.46) справедливы для всех значений %卜 力2，Л，芍(工)・ Это означает, что

I Г(хр 尤2)12 = Г(хн %1) Г(х2,尤2)(4.5а)

I г М к；力卩=г 3, *1； 0) Г (х2, *2； 0),(4.56)

поэтому корреляционная функция Г(хь х2) имеет вид

r (ХP %2)= 4 (修)4 (Х2)exp 口中(修，%2)].(4.6)

Поскольку Г (xb x2) == Г* (x2,尤i), функции A(xf) = [V (xh x^ и 屮(修，x2) = — Ф (x2,尤J являются действительными. Введя функцию F==^CjV (xz), получим

。《〈1尸卩〉==方4%(片(%/)，(啕〉=*0卩)(%/，4), (4.7a)

方学鹏陷 /)》0.(4.76)

Мы нашли условие неотрицательности для степени когерентности (魂=ck [Г (хд, /)]" — произвольные комплексные по-

стоянные). Это условие при /г = 1, 2, 3 дает соответственно

Y (尤，％) —- 1 > 0,

• (4.8a)

1

Y（%2,修）

Y（修，%2）

1

=1 — 1 у (%】，尤2)1》0,

(4.86)

1

Y（修，Х2）

Y （修，%3）

Y(%2,修)

1

Y(%2, %3)

=

Y（%3,修）

Y (%3, %2)

1

=(1 - 1 Y(修，%2)卩)(1 -1 y(%3,%i)产)一

-1Y(尤3,%2)-Y (尤 1，%2)Y(*3,%i)F>0・(4.8b)

Смысл первого условия очевиден. Второе условие дает условие нормировки для функции y(Xi,%2)・ Из третьего условия имеем

I Y (%3,%2)- Y (修，%2)Y (%3,占)12 《

《(1 -卜(修，%2)卩)(1 -I Y(%3,修)F)・(4.9)

Помня об условии (4.4а), можно записать, что

Y(%3, %2)= 丫(修，％2)Y(%3, %i)，•(4.10а)

т. е. *

中(%3,%2)=中(Х1，%2)+中(七，%1)=中(勺，%2)-9(修，%3)■(4.106)

Таким образом, полагая %i = 0, получаем соотношение

9(%з, %2)—<Р(%з, 0) = qp (0,尤2),

которое не зависит от %з・ Следовательно, из функционального уравнения (4.106) с точностью до постоянной величины можно определить функцию а(х) = ср (0, х), а именно

Ф(%1，х2) = а (х2) — a(%，・(4.11)

После подстановки (4.11) в (4.6) взаимная функция когерентности Г(%1,%2)принимает факторизованный вид

「"” Х2)=и*(%1)Р(%2),(4.12)

где V(x) = А (х) exp [fa (х)]. Таким образом, условия полной когерентности (4.4а) [или (4.5а)] и (4.12) эквивалентны, поскольку (4.12) включает условие (4.4а) [или 4.5а)]. Ряд следствий, вытекающих из свойства факторизации корреляционной функции второго порядка, важных для описания корреляционных функций более высоких порядков, мы рассмотрим в гл. 12. Однако отметим, что поле излучения, когерентное во всех порядках, можно определить, используя аналогичные свойства факторизации для корреляционных функций 「⑺，九).Поля, удовлетворяю-

щие таким условиям, являются детерминированными без каких- либо флуктуаций. Эти вопросы мы обсудим в § 2 гл. 12.

Детальный анализ свойства факторизации взаимной функции когерентности для когерентных стационарных полей дан в работе [311]. Выражение (4.12) в этом случае принимает вид

Г(хн *2；力=и*(%])и(Х2)ехр(—方2冗”0竹・(4.13)

Здесь t =/2——九，vo — положительная константа, a Ug)— функция, зависящая только от %力 Для квазимонохроматического света свойство факторизации (4.13) взаимной функции когерентности было получено другими методами [334, 335, 3, 282].

Можно видеть, что условие (4.46) полной когерентности во втором порядке требует, чтобы когерентное в указанном смысле поле было монохроматическим с частотой v0. С другой стороны, подставив монохроматическое поле

V (xJt f) = U(X/)exp(—i2n?Vof) (j=l, 2)(4.14)

в определение функции Г(хь х2; т), можно вновь получить свойство факторизации (4.13). Следовательно, стационарное поле полностью когерентно (во втором порЯ&ке) в смысле (4.4) тогда и только тогда, когда оно монохроматическое. Этот вывод вытекает из ограничений, накладываемых на стационарные поля. Действительно, для стационарных полей

F(f” /2) = Г(/1-/2) = Г(/1)1/(/2),

причем этому функциональному уравнению удовлетворяет только экспоненциальная функция, т. е. функция вида U(i)~ 〜ехр(——i2nvoO. Однако надо сказать, что в общем случае нестационарных полей свойство факторизации (4.12) и аналогичные условия для Пп*п) (и, следовательно, полная когерентность) не накладывают ограничений на спектральные свойства поля К Спектральный состав таких полей может быть произвольным, но на статистические свойства этих полей накладываются определенные ограничения.

Условия (4.4) оказываются слишком сильными для реальных физических полей. Поэтому Мандель и Вольф [282] ввели для полей более слабое, но более соответствующее действительности условие полной когерентности второго порядка, требующее, чтобы для любых %】и *2

Мах| у (%], #2；力 I 三 1・(4.15)

Они показали, что взаимную функцию когерентности можно представить в виде произведения:

Г(%1，%2； т) = U* (%i) U %) Y (吟(4.16)

где y(t)——унимодулярная функция. Таким образом, когерентные в этом смысле поля не обязательно должны быть монохроматическими. Тем самым класс когерентных [в смысле определения (4.16)] полей шире, чем класс монохроматических полей. Выражение (4.16) можно привести к виду (4.13), если

1工丨《★.也」7)

Можно ввести другие обобщающие определения когерентного поля [351, 352], согласно которым когерентное поле необязательно должно быть монохроматическим, а монохроматическое поле — не обязательно когерентным. Эти определения основываются на усреднении, использующем функциональное интегрирование. То, что когерентность обусловлена статистическими свойствами поля излучения и что вообще она не ограничена спектральным составом излучения, становится очевидным при квантовом описании поля излучения, где используется формализм так называемых когерентных состояний.

Следует отметить, что в случае стационарного когерентного поля, как это можно показать с помощью (4.13), степень когерентности 丫 (尤 1,%2；工)не имеет нулей в комплексной т-плоскости. Этот интересный результат связан с фазовой проблемой в теории когерентности (см. § 4 настоящей главы), заключающейся в нахождении условий, при которых по известному значению модуля функции Y(Rh#2；t)——видности — для всех значений т можно однозначно определить фазу, а следовательно, найти целиком функцию у и затем ее спектр g (из фурье-преобразования). В работах [136, 459] показано, что наиболее общая унимодулярная функция, аналитическая в нижней полуплоскости комплексной т-плоскости, имеет вид

ехр 闻2 ⑼=exp 卩(％? — 2n”0喇 ГТ 卫 3~.(4.18)

Здесь Pi2 и vo > 0 — вещественные постоянные, а т；——комплексные числа (ImtjVO), определяющие положение нулей функции exp[iq)i2(t)] в нижней полуплоскости комплексной т-плоскости. Для стационарных полей выражение (4.6) приводится к виду

Г(%1，*2； Т)= Л (Xi) Л (х2) exp [fqp(Х|, %2； t)]・(4.19)

Используя условие (4.13), получаем

①(%1，%2；t)=6 (% 1，*2)— 2n*()t = a (%2)--a (%J --2nJv0T, где a (%)—функция только переменной х, а U(%) = =Л (x)exp fa(x). Поскольку в условии (4.13) отсутствуют так называемые факторы Бляшке (т —叮)/(% —守)， входящие в

выражение (4.18) и учитывающие существование нулей, функция Y(a：i, л：2； т) не имеет нулей. Выполненное в [335,3] устранение нулей за счет использования для функции у действительной части условия перекрестной симметрии 丫(窜)=丫*(—т) некорректно [311, 54, 356], так как это условие приводит к симметричному расположению нулей относительно мнимой оси, а не к их устранению (см. § 4 настоящей главы). Тем не менее возможность исключения нулей следует из того факта, что Г(хь х2; т) должна удовлетворять волновым уравнениям (3.15а) [356]. Функцию, описываемую выражением (4.19), после подстановки в него (4.18), можно представить в факторизованном виде*

Г(хь х2; t) = U*(Ri)U(%2)f (力，

где U не зависит от т, а

f (т) = ёхр(— Z2^v0t)

Из этого следует, что функция Г(хь Хг； т) не может быть решением волнового уравнения, если она имеет нули, a f(t) равна ехр(—i2nvot).

Наконец, нужно заметить, что свойство полной когерентности остается неизменным в процессе распространения, т. е. если поле является когерентным на некоторой поверхности 垓，то оно сохраняется когерентным во всем пространстве. Это свойство можно получить, подставляя в (3.21) фурье-образ выражения (4.13)

G(X” *2； V)= W (xj и (х2) 6(V — v0).(4.20)

Выполнив подстановку, получим

G(Q» Q2； ”)=

=| / K*(Qi, Л； v)^(Q2, Р2； ^U^P^UiP^^v-v^dP^P, (4.21)

и, следовательно, функцию

F (Qi，Q2；力=U (Qi) U (QJ ехр(- f2nv0r), (4.22)

которая снова совпадает по виду с условием (4.13). Здесь

U(Q)= J K(Q, р； v°)U(P)dP・(4.23)

Используя (4.16) и (3.34), можно также доказать [282] (при определенных условиях), что функция F(Qi, Q2；t) представима в факторизованном виде (4.16). Поэтому соотношение (4.23), вы-

ражающее в более общей форме принцип Гюйгенса — Френеля, справедливо для более широкого класса оптических полей, чем класс монохроматических полей, т. е. оно справедливо для класса когерентных [в смысле выражения (4.15)] полей. Все величины, входящие в выражение (4.23), измеримы.

Понятие взаимной спектральной чистоты излучения

Как уже упоминалось ранее, пространственная и временная когерентность связаны друг с другом степенью когерентности У12(т) и в общем случае их нельзя разделить. Тем не менее можно показать [266], что в ряде случаев, представляющих практический интерес, функцию Yi2(t) можно представить (по крайней мере в хорошем приближении) в виде произведения степеней пространственной и временной когерентности. Это свойство факторизации тесно связано со спектральными характеристиками излучения. Понятие взаимной спектральной чистоты излучения, введенное на основе этого свойства, приводит к важной классификации оптических полей.

Ограничимся рассмотрением линейно поляризованного света и предположим, что в точках Pi(%i) и 「2(*2) комплексные амплитуды поля излучения равны V(xb /) и Z(x2, /). Пусть g (%ь *2； V)三 gi 2(V)——нормированная взаимная спектральная плотность для функции Y(*b#2；t) и gi i(v)三 g2 2(”)・ Предположим также, что средняя частота излучения равна v, а ширина его спектра Av. Будем считать, что из точек Pi и Р2 в точку Рз(#з) падает свет с соответствующей нормированной спектральной плотностью, равной ^зз^). В общем случае g3 3(”) не связана простым соотношением с gi ifv) и g2 2 (v), даже когда gfi i(v) и g2 2(v) совпадают. Однако если gi i(v) = g2 2(v) и если существует окрестность точки Рз такая, что g3 3(v)ss gi i(v), то говорят, что сигналы У】(/) и У2(0 являются взаимно спектрально чистыми./

В точке Рз для суперпозиции полей Vi (/) и ^2(f), характеризуемых оптическими длинами путей ct)i и ст)2 и коэффициентами передачи а\ и а2, описывающими* распространение полей между точками Рь Рз и Р2, Рз соответственно, справедливо выражение

V (%з, f) = %!/ (%[, t — т)1) + a2V (х2, t —通 (4.24)

из которого следует, что автокорреляционная функция Г3 3 (т) имеет вид

Г33(т) = |а1 |2Ги(т) + |а2 |2Г22(т) +

+ а&Х 2 К + % — %) +。网「21 G + % — %)・(4・25)

Нормировка функции Газ(т) дает

Узз(，)=•

11 *

Yl 1 ⑴ + 万 К[ 2丫1 2 (т + Л1 — П2)+ "2 ^1 2?2 1 (Т + Л2 — %)

=1 + Re{自 2w2(巾一小)}，(4・26)

поскольку g{!(V)= g2 2(V) и, следовательно, W i (т) = w 2 (工)・ В выражение (4.26) входит

& 2 — |fll \Чх + \а2\Ч2，(4・27)

здесь //三「〃(0) и, очевидно, | ^ 21^ I. Выполняя в (4.26) фурье-преобразование, получаем

с _ gi 1(V)+ Re {Ki 2gl 2 (v) exp [— i2HV (切一”2)]} M * g33(")_l + Re{K 2h2(小一屯)}.(生28)

Таким образом,

g33(”)一 gi i (v) =

_ Re {Ki 2【gi 2 (v) exp [— i2m ⑴一%)] - g】】fv) ” 2 ⑴一小)]} M 9Qx 1 + Re {Ki 2Y1 2(Л1 -小)}•

Теперь попытаемся определить условия, при которых излучение является взаимно спектрально чистым, т. е. когда gii(v)三 三 g2 2(v)三 8зз(”)・ Для этого правая часть выражения (4.29) должна быть равна нулю. Однако такое условие в общем случае не выполняется [за исключением случая некогерентных пучков, для которых yi 2(工)三 gi 2(”)三 0]・ Это легко видеть при достаточно больших значениях |川一т)2|, когда функция Y!2(т)1——П2) в выражении (4.29) стремится к нулю, а спектр излучения оказывается промодулированным по косинусоидальному закону благодаря первому члену правой части. Однако если разность оптических путей c|r)i — т)г| достаточно мала, т. е. мы можем записать т)1 —巾=т)о + А% где | Ат) |《1/А» то

Yi 2(П1 —刀2)= Yi 2 (ho + Ah) = Yi 2 (no) exp (— i2nb Ar))・ (4.30)

Подставив это выражение в (4.29), получим

gi 2 (v) ехр(— Z2nvT)0) = g 1 (”) W 2 仇)，(4.31)

если g3 3(v)三 gi i(v) для всех K12 и |Ат)|《l/Av. Отсюда, выпол^ нив фурье-преобразование, получим искомые условия факторизации

Yi 2 С + 小)=Yi 1 ⑴ Yi 2 (По)(4.32a)

или

Yi 2 (力=Yi 1 (t — По) Yi 2 (%)・(4.326)

Поскольку Iyi 1(т) I < Iyi 1(0) I = 1, имеем |у12(т + т)о) | ^ 《丨丫12(刀。)|, откуда следует, что ст)0 является такой разностью оптических путей световых пучков, исходящих из точек Pi и Р2, для которой величина |丫12丨 достигает максимума. Практически т)о обычно равна величине т)1 — т)2 = (Р3Р1——Рз「2)/с. Первый сомножитель в правой части выражений (4.32) характеризует временную когерентность излучения, а второй — пространственную. Окончательно можно сказать (при использованных выше предположениях), что степень взаимной когерентности в точках Pi н Р? в случае стационарных полей представляется в виде произведения тогда и только тогда, когда соответствующие световые пучки являются взаимно спектрально чистыми.

С помощью закона распространения взаимной функции когерентности можно показать [266], что формулы (4.32), т. е. условия взаимной спектральной чистоты света, остаются неизменными в процессе распространения излучения, если имеющиеся разности оптических путей достаточно малы и если нормированная взаимная спектральная плотность постоянна на поверхности, от которой она распространяется.

Из соотношения (4.2) можно видеть, что пространственно некогерентный источник, для которого справедливо условие

Y(%i，*2； t) = Y(*i, %i；力6(占一％2), (4.33)

порождает поле излучения, которое всегда является взаимно спектрально чистым при условии, что нормированная взаимная спектральная плотность одинакова для всех точек источника (при вышеуказанных ограничениях на разности оптических путей).

Поведение взаимно спектрально чистых пучков изучалось в работе [267].

Определение спектра излучения по измерениямвидности интерференционных полос.

Фазовая проблема в теории когерентности

Обсудим теперь важную для интерференционной спектроскопии задачу об определении спектра излучения по данным изменения видности интерференционных полос. Впервые эту задачу рассмотрел Майкельсон, который показал, что можно получить информацию об энергетическом спектре света по данным измерения видности 彳=|y(r, х; t) I 三 |丫(6 I как функции т.

Очень наглядно это можно показать на примере квазимоно- хроматического излучения, например излучения спектральной линии на средней частоте v с шириной Av(《») и симметричным профилем, нормированная спектральная плотность которой g

удовлетворяет условию g(v + v) = ^(v — v). Как следует из (2.49),8

у (т) = J g(V)exp (— i2nvx) dv,(4.34)

о

и поэтому спектр g(v) можно определить с помощью обратного фурье-преобразования:

J Y (т) exp i2nvt dr (v》0),

0(v < 0).

Для определения g(v) должен быть известен не только модуль функции Y(t), но также и значение ее фазы(р(т). Однако в случае симметричного профиля спектра после подстановки v -> v + v в выражение (4.34) получим

Av/2

у (т) = ехр (— z2jivt) J g(A + v) ехр(—i2gt) dv. (4.36) — 3/2

Но интеграл в этом выражении является вещественным, поскольку функция g(4 + v) симметрична относительно v [т. е. g(» + v) = g(A ——v)]. Вычислив абсолютное значение (4.36), видим, что этот интеграл равен |у(т) |. Таким образом, окончательно получаем

у(т) = ехр(— i2nbt)| Y(t) I,(4.37)

причем в этом случае фаза(р(т) величины у(т) равна —2nvr. Спектр излучения определяется выражением (4.35) и равен

+ 0О

g(v) = f У (т) ехр[/2лт(V — V)] dr =

н 2 / % (t) cos [2лт (v — v)] dt,(4.38)

6

так как F(r) = |у(т) | ——четная функция т.

Если спектр излучения несимметричен, фаза функции у(т) уже не равна —2nat, но, как упоминалось в § 1 гл. 3, в этом случае фаза может быть в принципе определена по сдвигу интерференционных полос в опыте Юнга. К сожалению, подобные измерения трудно выполнить. Однако, как было отмечено Вольфом [478], информацию о фазе функции у(т) можно получить при исследовании аналитических свойств функции у(т), если известны положения ее нулей в области аналитичности или если они отсутствуют.

Так как функция Y(t), определяемая выражением (4.34), является аналитической и регулярной в нижней полуплоскости □(-)комплексной т-плоскости, то функция

In у(т) = 1п| 丫 (т) I + zqp (т) (4.39)

также аналитична в 口(-), но в нулях у(т) она имеет логарифмические точки ветвления. Предположим сначала, что у(т) вообще не имеет нулей в 口(-). Тогда, применяя дисперсионные соотношения в форме (2.26), можно получить связь между модулем |у(т) I и фазой(р(т) [478, 285, 406]. При выводе дисперсионных соотношений для функции у(т) потребуем [6], чтобы |у(т) |->0 при |т|-> оо по крайней мере как |t|-i и чтобы модуль |у(т)| был квадратично интегрируем. В этом случае мы имеем

j I Y (т)I2 ^ == J g2(V)dv < оо.

—оо0

Тогда для аналитической и регулярной функции у(т) можно написать интеграл Коши с контуром интегрирования, состоящим из действительной оси и полуокружности бесконечного радиуса, лежащей в полуплоскости 口(一)・ Интеграл обращается в нуль на этой полуокружности вследствие сделанных выше- предположений, так что

+ оо,

Y ⑴=—备 J 乎竺 dY, Im t V О. (4.40)

Полагая Imr->0 и используя тождество

1吧~^餐三Р；±就6(力(4.41)

е>0

(здесь Р — главное значение в смысле Коши), а также отделив вещественную и мнимую части, получим следующие дисперсионные соотношения типа (2.26):

1ту(т) = У J R兇？ ”,(4.42а)

+ оо

ReY(T)= --^P / 号约".(4.426)

Ситуация несколько меняется, если рассматривать непосредственно функцию In у(т). Поскольку Iу(т) I « Irl"1 для |t|->oo, то 1п|у(т) I« 1п|т|, и условия, необходимые для равенства нулю интеграла Коши на полуокружности, не выполняются.

В этом случае следует рассматривать функцию In у(т)/т, для которой

心н需

при |т|->оо. Здесь мы используем, однако, другой способ решения фазовой проблемы, основанный на решении сингулярного интегрального уравнения типа Коши методом Мусхелишвили [23], достаточно изящным и успешно применяемым во многих областях физики. Предположим, что для всех используемых функций выполняется условие Липшица (|丫(口)——Y(t2)|W 《a|ti—t2|B，где а и 0 — константы). Модуль и фазу функции 丫⑺ можно записать в виде

I Y (т) I = {[Re у (喇2 + [Im 丫 (т)]2}'\(4.43а)

(4・436)

+ 8,f ЗЯ&У・ (4・44)+ 8,f ЗЯ&У・ (4・44)Предположим сначала, что tgqp(r) #= 0 и Re у(т) #= 0 для всех вещественных значений т. Эти условия эквивалентны предположению, что Y(t) не имеет нулей в □(-)и, следовательно, тогда Im у(т) #= 0 для всех т и функция 丫(工)не имеет нулей для вещественных значений т. Применяя теорему, изложенную в [18, § 125], к функции у(т), можно убедиться, что она действительно не имеет нулей в fl(-). Введя обозначение Imу(т) = /(т) и подставив (4.436) в (4.426), получим сингулярное интегральное уравнение типа

+ 8

,f ЗЯ&У・ (4・44)

+ 8

,f ЗЯ&У・ (4・44)

tg(p(T)— л

Чтобы решить это уравнение, используем метод, предложенный

Мусхелишвили.

Однако получим сначала формулу Сохоцкого — Племеля. Пусть функция 2(т) определяется как интеграл Коши:

+ оо

2(» = m I ■^^М(4.45)

Сохоцкого —(4.46а)(4.466)Сохоцкого —(4.46а)(4.466)Используя тождество (4.41), получаем формулы Племеля

Сохоцкого —

(4.46а)

(4.466)

Сохоцкого —

(4.46а)

(4.466)

旷⑺一旷⑺"⑴，

+ оо

旷⑴+旷⑺=三Р!总м.

Здесь 2+(т) и 2一(工)一граничные значения 2(т) на действительной т-оси при подходе к ней соответственно из верхней и нижней полуплоскостей.

Из формулы (4.44), обозначая А (т) = f/tg(p(r), находим, что

+ 8

A^f(T)-^P J ^^“ = 0・(4.47)

Применяя затем формулы Сохоцкого-—Племеля (4.46), мы имеем

4 日)国+ ⑴-旷(力)-瓜+ ⑴ + 旷")} = 0.(4.48)

Поскольку у(т) по предположению не имеет нулей в 口(一) (т. е. [In у (т) /2ni] I с = ф (т) /2л = 0 для любого замкнутого контура С в полуплоскости П(-)), то соотношение

[In2(т)]+ -[In2(t)「= 1п 北禺=一 2阿(т),(4.49)

вытекающее из (4.48), определяет единственную функцию ln2(t), для которой, согласно (4.46а) и (4.45), справедливо выражение

+ 84-00

E2(t)=爲 J •ГЙ?Г^' = -^ J ^гт^. (4・50)

(4.51)(4.51)Отсюда получаем

(4.51)

(4.51)

屮(t) = exp Y J 削舁"

=2/sin，T(r) exp=2/sin，T(r) exp+ 8+ 8Принимая во внимание снова (4.46а), мы имеем f (т) = Im у (т) = ”+ (т) — "J (т)=

=2/sin，T(r) exp

=2/sin，T(r) exp

+ 8

+ 8

(4.52)

Используя тот факт, что решение однородного уравнения определено с точностью до постоянного множителя, и опуская постоянную 2i в выражении (4.52) [f (т) = 1 для qp = л/2], получаем из (4.436)

Rev(T)= cos(p(T)exp 一山 J -^y dV ,(4.53)

а из (4.43a)

「+8,]

I у(т)| = ехр -^P J *^di/ ・(4.54)

С помощью этого соотношения можно найти модуль |у(т) |, если известна фаза (р(т). Однако, используя формулы Сохоцкого —— Племеля, можно доказать, что если две функции G н 〃 связаны интегралом Коши, т. е.

+ ОО

G(t)= ±P『 罢"，(4.55а)

то

十8

"⑴=备尸f罢舁北(4.556)

Поэтому, исходя из (4.54), имеем

+ 8

-/1п|у(т)| = --^Р j 岁空改(4.56)

и окончательно получаем выражение

屮⑺=^Р j 学绊1“，(4.57)

которое является искомым соотношением, связывающим значение фазы ф(т) с модулем | у(т) |.

Теперь рассмотрим общий случай, когда у(т) имеет нули в П(-)в точках Tj (/ = 1, 2, ...). Используя наиболее общую форму записи аналитической унимодулярной функции (4.18), можем записать, что

Y (т) = уо ⑴ ехр (— i2jtv0r) TT —^ ,(4.58)

где vo > 0, a Irntj < 0. Нули функции у(т) описываются факторами Бляшке { —— ％)/« —— £)，а | у(т) | = | уо(т) | на действительной т-оси, причем функция Yo(t) не имеет нулей в полуплоскости П(-)・ Поэтому полная фаза(р(т) функции 丫(工)，получаемая из уравнения (4.58), имеет вид [443]

Ф(т) = —Р Г —；d% + У arg； 2冗”0工・(4.59)

ЛT -T丁 T - Ту

Физический смысл последнего члена ясен — он возникает из-за сдвига спектра на vo и поэтому в дальнейшем его можно отбросить. Поскольку, как можно показать, второй член в' (4.59), описывающий так называемую фазу Бляшке, неотрицателен, то

первый член, определяемый дисперсионными соотношениями, называется минимальной фазой.

Таким образом, для однозначного определения фазы (p(t) функции у(р) и, следовательно, для однозначного определения спектра по видности необходимо знать положения нулей функции 丫(三)в полуплоскости 口(-), т. е. в общем случае значения только одной видности F(t) = Iу(т) I недостаточно, чтобы однозначно определить функцию gf(v). Используя теорему о вычетах, можно вычислить g(v) по формуле (4.58), явно выделив вклад факторов Бляшке в спектральную плотность g(v) [375]: g(v) = go“) =

=2就 £ (л;； — %) exp (Z2nr*v) JJ •?二？ J g0 (卩)exp (—⑵t加)加

/О(4.60)

Здесь минимальная спектральная плотность go(v) определяется фурье-преобразованнем функции у0(т)..

К сожалению, в настоящее время очень мало известно о физическом смысле нулей и их расположении, кроме некоторых ограничений, вытекающих из условия перекрестной симметрии Y(г) = у* (—т), выражающего вещественность спектра g (v), [g* (v) = g'(v)], а также из условия неотрицательности функции g(v)・ Нетрудно показать [406, 375], что условие перекрестной симметрии для функции у(т), которая имеет вид (4.58), приводит к симметричному распределению нулей относительно мнимой т-оси, т. е. на каждый множитель вида (т — %)/(т — т*) приходится множитель вида (т + т^)Дт + 質尼) (для каждого / существуют такие k, что ту = — т*). В таком случае (4.59) может быть переписано в виде

qp©=—Р ——~rdx +》arg?- + arg——, (4.61) ибо Iу(т) I — четная функция [условие у*(т) = у(——т) приводит к тому, что |丫(一т) I = Iу(+т) I и (р(—т) = —ф(+т)]. Условие g(v)^0 ведет к отсутствию нулей на мнимой т-оси, поскольку, если т = /а (величина а V 0 и действительна), то

Y (id) = J g (у) exp (2nwz) dv > 0, о

,г. e. Y (2)* 0.

Могут быть выявлены некоторые физические условия, при ко- юрых у(т) вообще не может иметь нулей в 口(-). Следовательно,

функции ф(т) и g(v) можно однозначно определить из диспер^ сионпых соотношений. В [375] было показано, что

In 2 (叫 ~In 2 (叫 ~dr = (— 1)"dr = (— 1)"N212(2%一 1)1N212(2%一 1)11 у Im 疗—、£哀F (4.62а)2l 1 亍1)I ( °1 у Im 疗—、£哀F (4.62а)2l 1 亍1)I ( °у. Re 号“7少$产f =。・у. Re 号“7少$产f =。・(4.626)(4.626)

In 2 (叫 ~

In 2 (叫 ~

dr = (— 1)"

dr = (— 1)"

N21

2(2%一 1)1

N21

2(2%一 1)1

1 у Im 疗—、

£哀F (4.62а)

2l 1 亍1)I ( °

1 у Im 疗—、

£哀F (4.62а)

2l 1 亍1)I ( °

у. Re 号“7

少$产f =。・

у. Re 号“7

少$产f =。・

(4.626)

(4.626)

Здесь п ^ 1, а также выполнены условия

I In у (т) К ЛI т |Zl (/[V2〃一 1 для I т |-> оо) и

I In у (т) I ^ ВI т |/г (勾 > 2п — 1 для I т I -> 0)

(где Л и В—действительные положительные постоянные). Так как нули расположены симметрично относительно мнимой оси, условие (4.626) является тождеством. Условие (4.62а) связывает поведение модуля |丫(工)| в окрестности нуля и на бесконечности с моментами |i2n-i спектра функции In y(t) и распределением нулей в полуплоскости П(-)・ Для случая п ^ 1 получаем [233]

m I у(с) Im I у(с) Idt = T-£dt = T-£Im Ту可Im Ту可(4.63)(4.63)

m I у(с) I

m I у(с) I

dt = T-£

dt = T-£

Im Ту

可

Im Ту

可

(4.63)

(4.63)

где з 三卩 1 — момент спектра функции y(t) [т. е. функции g(v)]・ Так как 0 & |Y(t) | W 1, у(0) = 1 и Imr； < 0, то для минимального значения со имеем

ии^П-с1т>0^П-с1т>0(4・64).(4.65)(4・64).(4.65)

и

и

^П-с1т>0

^П-с1т>0

(4・64).

(4.65)

(4・64).

(4.65)

Таким образом, восстановление фазы при дополнительном предположении о минимуме момента спектральной плотности является однозначным. Другой способ исключения нулей в случае полностью когерентных стационарных полей был рассмотрен в § 2 настоящей главы. Как показано в [226], функция у(т) не имеет нулей в полуплоскости 口(一)в случае излучения абсо* лютно черного тела и поэтому ее фаза, равно как и спектр, мо* гут быть определены по данным измерения видности интерфе-

ренционной картины, #(т) (= |丫(工)|), несмотря на то, что спектр этого излучения несимметричен. Некоторые интересные теоремы о положении нулей для случая квазимонохроматиче- ского излучения (в частности, с гауссовой и лоренцевой формой спектра) сформулированы в [328]. В частности, показано, что учет вклада нулей в значение фазы(р(т) существен, и поэтому минимальное значение фазы не может считаться хорошей аппроксимацией ее реального значения.

В последнее время был предложен целый ряд альтернативных экспериментов для нахождения фазы ф(т) по значению модуля Iу(т) |. Гамо [163] (см. также [269]) предложил определять фазу с помощью измерений тройной корреляции интенсивностей. Другой метод, предложенный Метой [297], основан на применении условий Коши ——Римана, которые должны выполняться в полуплоскости 口(-):

…)1(4.66а)

纟喘也= IY(MS)|*1,(4.666)

здесь t =亏 + iq. Интегрируя (4.666), можно определить фазу ср. Для определения производной 5ф(тг, %^1д%г Ц=о должна быть известна функция |у(т) | в II㈠ при 仃 < 0, но физический смысл величины Y(tr, т» ясен, так как из (4.34) видно, что

у (тг, т；)= [ g(V)exp (2n”q) exp (— z2nvrr) dv, (4.67) о

т. e. функцию y(Tr, Тг) для Тг < 0 можно определить из спектра g(v) с помощью экспоненциального фильтра ехр [—2冗у(—t：)]. Еще один метод, предложенный Метой [300], основан на использовании опорного пучка с известной степенью когерентности уг(т) и известным спектром gr(v). Если смешать свет от опорного источника со светом с неизвестным спектром g(y), то, поскольку источники света статистически независимы, спектр результирующего светового потока равен

g(v)==g-(v) + gr(V).(4.68)

Аналогично для соответствующих степеней когерентности получим

〒(力= Y(t) +%«)・(4.69)

Из двух независимых экспериментов, выполненных для света с неизвестным спектральным составом и суперпозиции полей с H3BecjHbiM и неизвестным спектральными составами, можно

получить |y(t) I и |у(т) |. Для квадрата модуля функции у(т), определяемой соотношением (4.69), имеем

I Y(T) |2=| у(т) |2+| уг (т) |2 + 2| у(т) И уг(т) |cos[qp(т)—qpr (т)]. (4.70) В этом выражении все величины, кроме(р(т), могут быть определены экспериментально.

Роман и Маратэй [406] рассматривали задачу о нахождении нулей функции у(т), как нелинейную задачу на отыскание собственных значений, а Диалетис и Вольф [129] и Диалетис [126]— как некоторую неоднородную задачу типа Штурма — Лиувилля на определение собственных значений. Было показано, что такая задача на отыскание собственных значений эквивалентна некоторой задаче об определении устойчивости механической системы.

Таким образом, в оптическом диапазоне, где функция Re у(т) является быстро осциллирующей величиной и поэтому -не может быть непосредственно измерена, имеется круг нерешенных задач, связанных с определением спектра излучения g(v) по данным измерения видности | у(т) |. Такие измерения величины Re у(т) вполне возможны в далекой инфракрасной области спектра [434, 209]. Так как Imу(т) однозначно определяется по Re у(т) с помощью дисперсионных соотношений, то спектр g-(v) в этом случае может быть в принципе однозначно определен.

В заключение следует заметить, что вопрос о фазе поля излучения возникает в целом ряде других физических задач, например в квантовой теории распада [233], теории рассеяния [183], дифракционной теории формирования изображения [330, 460, 347] и т. п.

Глава 5

МАТРИЧНОЕ ОПИСАНИЕ

ЧАСТИЧНОЙ КОГЕРЕНТНОСТИ

Теорема выборки

Изложенная в предыдущих главах теория когерентности может рассматриваться как функциональная теория. Применим теперь другой подход к описанию свойств когерентности электромагнитного поля, использующий метод «квантования» полевых функций (например, функций объекта или изображения), основанный на так называемой теореме 8blборки').

Если спектр квадратично интегрируемой функции *%) отличен от нуля только в конечном интервале (—闪，+闪),то такая функция полностью определяется своими значениями на счетном бесконечном множестве точек, и нетрудно доказать, что

+ оо

1(%)= 2 f (赤)％(2兀犷"(5.1)

где.

".(2册)厶喝黑二(反2)

Функцию f(%) можно записать в виде

+ W

/(%)= j g (v) exp (— /2jivx) dv,(б.З)

где g(*v) — спектр f (х). Далее имеем

+ 8

g(v) = a(v, Г)工 ап ехр^лп(5.4)

〃=—8

Здесь

+取

。〃=表 f gW)exp(-，n“.)d%(5.5)

a

° (v, Г) = sign ”一v) +sign ” + v.L ；(5.6)

')Эта теорема известна также как теорема отсчетов или теорема В. А. Котельникова (1933 г.). — Прим, перев.

Sign — знаковая функция (sign х= 1 при х > 0 и sign % = —1 при х < 0). Сравнивая (5.3) и (5.5), видим, что

а龍f ("^iF)・(5・7)

Подставляя это выражение в (5.4) и производя фурье-преобра- зование, получаем окончательно

+ оо+历

f(%)= 工 f (赤)击 j exp(inne-i2nvx)dv = n=—OO—取

=1 f隔*笋,(5.8)

n=—ОО

т. е. формулу (5.1). Теория информации, разработанная наряду с другими авторами Шенноном [28], Габором [159, 160], Линфу- том [255] и Торальдо ди Франсиа [444] (см. также [16]), основана на этой теореме. Характерным свойством этой теоремы является квантование функции ，(％). На свойстве квантования основана матричная формулировка теории частичной когерентности, связь которой с обычной функциональной теорией аналогична соотношению между волновой (Шредингер) и матричной (Гейзенберг -- Дирак) формулировками квантовой механики. Разумеется, эти две формулировки эквивалентны вследствие изоморфизма пространства 厶2 (пространства функций, квадратично интегрируемых в смысле Лебега) и пространства /2 (пространства обобщенных фурье-коэффициентов разложения функций из 厶).

Ограничимся случаем квазимонохроматического света, так как этого будет вполне достаточно для демонстрации потенциальных возможностей матричного метода. Более полные сведения о матричной формулировке теории когерентности можно найти в работах Гамо [165] и Габора [159].

Сформулируем сначала некоторые свойства функции un, определяемой формулой (5.2). Очевидно, что

(1 (т = и),

% (mn) = 6咖°(①片切(6.9)

Далее получаем условие ортогональности полного набора функций "九：

+ оо

J ип (2л1^х) um (2nWx) dx = -^ 6mn. (5.10)

Обращая (5.1) при помощи этого условия, получаем + °о

f(备)=2呼 J f(x)un(2nWx)dx.(5.11)

Отсюда нетрудно показать, что

hf(%)|F=鳥 £ |f(昜)『・(5.12)

-00%=一ОО

Из (5.1), если положить f(х) = 1 (z = 2冗取尤)，находим, что

三 〃“(》= S 嚟謬=L (5.13) П——oofl=—8

Полагая в (5.1) f (x) = sin (г — z^(z — z^, получаем

S sin ⑵-兀〃)sin (22 - 冗几) _ sin ⑵一22)e 1

乙 21 — Л% 一22 — 几几一 一 -21一^2*

П=—00

ЕСЛИ 2i = Z2 = Z, ТО

+ 00■、

〃金8 碎同=L(5.15)

Закон интерференции в матричной форме

Поскольку мы рассматриваем случай квазимонохроматиче- ского света, для описания когерентных свойств излучения можно воспользоваться функцией взаимной интенсивности 「(％1,%2)冃 = /12・ Обозначая Г\1(0) = /11 и 「22(°)三/22, запишем закон интерференции в виде

/ = I 1 Ia2f/2 2 +a：a2乙 2 +a&/2 1，6 16)

где &)— коэффициенты передачи (см. § 1 гл. 3). Соотношение (5.16) является положительно полуопределенной квадратичной формой, так как / ^ 0. Элементы матрицы 『=(J订)можно выразить через ее собственные значения % и Х2, определяемые уравнением

/ f %=炉一(九+厶2)九+乙也2T /12『 = "(5」7) J 2 12 --人

и через собственные векторы

屮⑴=(,4P⑶=)(5.18)

、\ ^2 1 /\^22/"

в виде

4/ = %41% + %4242 & j = L2).(5.19)

Элементы матрицы U 三(屮⑴，屮⑵) удовлетворяют однородным уравнениям вида

Поскольку 0 является унитарной матрицей (0+=。一* где 0+ — матрица, эрмитово сопряженная с матрицей О), то

UhU" + U%U2/ = tAQ} + S2U；2 = M (Z, /=1, 2). (5.21)

Так как |yi2|《1, имеем |/i2|2-^/i 1Л2, причем равенство выполняется для случая когерентного света. В этом случае det J = = /11/22 — |/iг|2 = 0 (det обозначает определитель), а также, согласно (5.17),九2 = 0. Затем из ($.. 19) следует, что 丿订= =^^ 1^* р т. е. элементы матрицы J факторизованы, что находится в согласии с результатом, полученным в § 2 гл. 4.

Матрица интенсивности и ее свойства

Приступим теперь к более общему рассмотрению матричной формулировки частичной когерентности. Во-первых, введем мат-

ФИГ. 9. Числовые апертуры для входного и выходного зрачков.

рицу интенсивности А, соответствующую взаимной интенсивности. Рассмотрим плоскость, которая отображается оптической системой с числовыми апертурами a = 〃isin0i и р = n2 sin ^,

где 九卜 91 и 〃2,今2 — показатели преломления и апертурные углы в пространстве объекта и изображения соответственно (фиг. 9). С помощью несложных дифракционных расчетов можно показать, что дифракционная функция ^(x, g) (для простоты рассмотрим одномерный случай) является функцией, пространственный спектр которой ограничен областью (——W, +呼)三 曰(一尼а/2л, + 左а/2冗)и (—左卩/2冗，+左В/2п), где k — среднее волновое число [8].

Взаимную интенсивность /(%卜％2) можно разложить по полному набору функций ип в виде

，(%1，-^2)=== 2 工 ^nm^n {kdX[) Um {kdX^f (5.22) n=—oo—oo

где коэффициенты Anm определяются из условия ортогональности (5.10):

4%zn==(~^') J J J(%i, *2)〃n (々ах) 〃m (々a/) d*i d%2・ (5.23)

Поскольку J*(%i, %2)=」(％2, %3 матрица A s (Лпт) является эрмитовой, т. е. Anm == Л^ = Amn，.

Условие положительной полуопределенности для /(%ь%2), т. е.

+ оо

■ h / (尤1，%2)广(内)f (%2)岗 d%2 > o,(5.24a)

можно преобразовать к матричному виду

52 ":2加>。.(5.246)

п=—ОО m=—00

Здесь f (x) — произвольная функция, a

之九=j f (%) un (々a%) dx.

Записав взаимную интенсивность с помощью формулы Гопкинса (3.53), получим 1)

丿(修，％2)= J U*3, Е)〃(%2, E)dg・(5.25)

')Заметим, что эта форма записи взаимной интенсивности очень похожа на формулу для матрицы плотности p(xi, Хг) подсистемы в квантовой механике, выраженной через волновую функцию системы 屮(％,«)：

р （修，％2）= J 2* （修，9）屮（%2, g） d仇

Интегрирование здесь производится по поверхности источника света. Пользуясь теоремой выборки (5.1), получим формулу для элементов матрицы

A^=\^^^^db(5.26)

Отсюда видно, что элементы матрицы Anm = J (пл/ka, mn/ka) представляют собой взаимную интенсивность волновых амплитуд в /г-й и m-й точках выборки, а Апп = J (nn/ka, пя/ka) —— интенсивность в /г-й точке выборки. Отметим, что обе эти величины измеримы. Из неравенства |/i 2(2 ^ -^i 1/22 следует, что

IAnm I2 ^АппАтт.(5.27)

Проводя суммирование в правой и левой частях формулы (5.27) по всем п и т и используя свойства эрмитовости матрицы 力《掰m =получаем■

+ оо 4-00/ 4-00\2

2 S AunAn〃& 2 Ляп，(5.28а)

九=—а гп=—00\п=—00/

т. е.

Sp 42<(Sp Л)2,(5.286)

где Sp обозначает след матрицы. Знак равенства имеет место для полностью когерентного света.

Полную интенсивность можно найти из формулы (5.22), если положить х\ = х2 = х, а полученную интенсивность /(%,%), являющуюся эрмитовой действительной и неотрицательной формой !)» проинтегрировать по %:

+ оо

Лолн= J /(х, x)dx = -^SpA(5.29)

[при выводе (5.29) было использовано условие ортогональности (5.10)]. Можно показать также, что

JJ1/U1, %2)I2dx\ d/ =(去У Sp 津.(5.30)

Полагая в (5.24а) f(%)三 1 и подставляя (5.22), имеем

4-004-00+8

口,(修宀)阳也=(备)2£ £^■ntn》。；(5.31)

Заметим, что матрица интенсивности А содержит информацию о фазе, в то время как интенсивность J(x, х) ее не содержит. С этой точки зрения матрица интенсивности Z= (Апт)—величина, физически более интересная, ^ем интенсивность J (х, х),

при выводе этого соотношения был использован интеграл + 8

J [sin (ах)/х] dx = n sign а.

Выражение (5.22) можно записать в матричной форме в виде скалярного произведения

J "1, %2)= (3 Ui),彳3 (尤2))，(6.32)

где ф — вектор-столбец в гильбертовом пространстве функций ип. Применяя неравенство Шварца, получаем

丨(3 (叫 Аф (/)) F & П 3 (修)『II Аф (х2)||2 =

==11彳3(%2)『《 工 工 I Anm (2=sp Д2 =

〃=—8 m= —OO

==留 JJu(i2)F對必，(5.33)

—OO/'

где нормы II ВII и [I 兄3 II векторов 小 н 才小 удовлетворяют следующим условиям:

113『=(外3)=工%=1(6.34)

"=■8

согласно формуле (5.15) и

II ^||2<||4||2ИН2= s s 14ml2= Sp 屁(5.35)

М=—оо m=—оо

При выводе соотношения (5.33) использована также формула (5.30). Из (5.33) следует, что ряды в (5.22) ограничены и равномерно сходятся, если

+ оо

J j I J(%i, х2) |2 dxx dx2 < оо.(5.36)

Квадратичная форма (5.22) может быть приведена обычными методами к диагональному виду. Пусть Хп — собственные значения матрицы А, определяемые из уравнения

det (彳一％f) = 0,(5.37)

где 1 ——единичная матрица (Хп действительны и неотрицательны, так как матрица А эрмитова и неотрицательна), и пусть (р(п)——собственные векторы матрицы А, удовлетворяющие однородным уравнениям

А^ = кп^.(5.38)

Определим матрицу Ut такую, что ее элемент Umn представляет собой /п-ю компоненту вектора 屮①)，т. е.

方三(中⑴，(T⑵…)

Матрица U является унитарной:

U*U = UU* = \,(5.39)

т. e.

工 5mUm= 工 UmjU% = бтм(5.40)

/= — ОО/= — 8

Это выражение есть не что иное, как более общий вид формулы (5.21). Введя в (5.32) новый вектор

屮= 0+* (ф = 0^(5.41)

приходим к диагональной по 2 форме J(xb х2):

J(%i，%2)= (加(%i),加2 (心))=СФ (%i)，U^AU^ (х2)). (5.42)

Так как U AU =Л, где Л — диагональная матрица с элементами Ла, из (5.42) получаем

J (巧，x2) = g ⑷⑵(脸(543)

Это выражение представляет собой диагональную форму взаим+ ной интенсивности /(хь х2).

(5.44а)(5.446).(5.45)(5.44а)(5.446).(5.45)Далее получим/=оао+,т. е.%= — 8Из (5.41) следует, что+ оо% (%) = /?з и：м (々а%),

(5.44а)

(5.446).

(5.45)

(5.44а)

(5.446).

(5.45)

+ 8un (feax) = ^ 2 ^nj^j W*

Очевидно, используя (5.40) и (5.34), можно получить + оо +оо +оо

II <ф ||2 = (-ф, -ф) = £ X £ иj卩；注иi (hax) иI (卜“公=

П=18 /= — ОО (= —84-oo /

=/』“吟(^ах) = И1Р=1.(5.46)

Выражение (5.446) можно переписать в виде

月=区m叫(5.47)

где

(叫产"乩(5・48)

является матричным элементом оператора проектирования Р(п), для которого справедливо выражение

=士 UjnU；rtUrmU 1mHi UjfiU；m6fim = (「("))〃 6nm(5.49a)

t. e.

P{n]P{m} =(5.496)

Кроме того, используя (5.40), получим z,

SpM=L(5.50)

Некоторые другие свойства взаимной интенсивности можно получить, если вместо квадратичной формы в гильбертовом пространстве рассмотреть ядро однородного интегрального уравнения. Обозначив фп(х) = ^n(kouc) и используя формулы (5.10),- (5.41) [или (5.45)] и(5.39) [(5.40)], можно записать, что

+оо

(九(»，^m W) = J Фп W W dx =

=(恥⑶，％:(%))= ] ^X^m^dx = ^^ (BSD

Умножим (5.43) на г|)п(Xi) и проинтегрируем по 修・ Тогда + 8

]/(修，修)必⑴)岗=表m办(%2).(5.52)

Следовательно, 2n (尤)являются собственными функциями ядра J(%i，％2), соответствующими собственным значениям лХп/^а.

Уравнение (5.43) представляет собой разложение взаимной интенсивности——ядра интегрального уравнения (5.52) — по собственным функциям г|)п(х) (теорема Мерсера).

Если 九j = 0 для всех / #= п, а Хп > 0 [все Xj действительны, так как J* (工卜工2)=丿(％2,尤 1), и, поскольку справедливо условие (5.24а), неотрицательны], то из (5.43) получаем

J (巧，%2)= 3% ⑺%(/)•(5.53)

Полная интенсивность (5.29) в этом случае равна 冗入п/归а. Таким образом, взаимная интенсивность факторизуется и, следовательно, поле когерентно. Частично когерентное поле можно рассматривать, согласно (5.43), как суперпозицию элементарных когерентных полей, излучаемых дискретными, статистически независимыми элементарными источниками. Уравнение (5.43) можно переписать, введя оператор проектирования

№)(%,砌=% ⑺必⑸)，(5.54)

в виде + 8

/(%!, х2) = £ KPm)(%i, %2)，(5.65)

п=—ОО

причем по аналогии с (5.496) и (5.50) получаем + 8

胃 J Р^(х{, x^P^{x2i x^dx2 = P^(x[i x3)6nm (5.56а)

и

+ 8

~ j Р^{х. x)dx=l.(б.ббб)

Матричная форма закона распространениячастичной когерентности

Представляет интерес формулировка закона распространения (3.236) в матричной форме. Можно написать, что

г (修，尤2)= J J к* (修，&)К(%2,占2)/(&,自2)恋]恋2・、(5・57)

Здесь величины F(Qi, Q2) и Г(Р^ Р2) обозначены соответственно как 厂(修，％2)и J(3,&2), а 卜(居自)三 K(Q, Р; 0). Пусть 垓i — пространство объекта, в котором определена функция Z(gi, g2), а 必2 ——пространство изображения, в котором взаимной интенсивностью является J/(%i,%2)・ Поскольку в пространстве изображения числовая апертура равна р, интервал частот, в котором спектр в пространстве изображения отличен от нуля, равен (—山0/2冗,+^р/2л). Определим передаточную матрицу (КПт) =К аналогично матрице интенсивности, т. е. запишем, что

К (%, Е)=工 工 Кпт〃т (即к) ип (归啕，(5.58)

九=—оо zn=—8

где

Кпт = ^ J /к (х, g) Um (饵 X)焱但啕 dx 若・(5.59)

Используя (5.11), можно выяснить физический смысл элементов Кпт подобно тому, как это было сделано для Апт. Мы получаем, что Кпт = ^(mл/^p, 几冗/^a) представляют собой амплитуду волны в m-й точке выборки в плоскости изображения, создаваемую волной единичной амплитуды, излучаемой /г-й точкой выборки в плоскости объекта.

Подставим (5.58) в (5.57) и умножим уравнение (5.57) на 〃ш(尼6%i)〃j(左6%2). Результат проинтегрируем по % и х2, предполагая, что / 三 0 вне области 垃卜 a J'三 0 вне области &2・ Затем, вводя элементы матрицы интенсивности А из (5.23), приходим к выражению

必/ =(許『£ S К；1mAniKg (5.60a) 〃=—oo /=—oo

или 「

矛=(★『r+森・ (5.СЭ6)

Использование решения интегрального уравнения Фредгольма (5.57) в задаче о восстановлении объекта по его изображению эквивалентно решению матричного уравнения (5.60).

Более подробные сведения о матричной формулировке соответствующих задач можно найти в обзоре Гамо [165]. Отметим, что упрощенный вариант матричной формулировки теории когерентности в изопланарной области, в которой К(х,自)= = К(х ——g), был исследован О'Нейлом и Асакурой [329] (см. также [24], гл. 8).

Энтропия световых пучков

Рассматривая выражение (5.43) как некогерентную суперпозицию элементарных световых пучков, определим следующим образом вероятность рп того, что данный фотон принадлежит n-му пучку: .

泰？ »"=L М》0・ (5.61)

Кроме того, определим энтропию распределения вероятности, как среднее значение величины 1п(1/рп) = —Inрп (которая изменяется от 0 до оо при изменении рп от 0 до 1) [18] 9:

"=—2 Рп 1п Рп* (5.62)

‘)Эта -формула соответствует выражению для энтропии, определенной с цомощью матрицы плотности р： 〃 = —Sp р In р.

Эта величина служит мерой «беспорядка» в поле излучения и отражает его корреляционные свойства. Нетрудно показать, что энтропия минимальна в том случае, когда все Xj = 0, кроме рассматриваемых 入九(>0); тогда Pj = 0 при / #= /г, а рп = 1, т. е. 〃 = "мт】=0. Это случай когерентного поля. Методом сомножителей Лагранжа можно также показать, что энтропия максимальна при 左= 1/N (/ = 1, 2, ..., ^), где "макс = = 1пМ. Это случай некогерентного поля. Для частично когерентного поля значение энтропии лежит между этими двумя значениями.

Некоторые приложения идей термодинамики и понятия энтропии к задачам интерференции были рассмотрены Лауэ [245] и Гамо [165].

Общековариантная формулировка теориичастичной когерентности

Другой вид матричной формулировки, который может быть назван общековариантной формулировкой теории частичной когерентности, был развит в работе [346], где использовалось понятие «квантования» объекта и его изображения [159], которое позволяет рассматривать степень когерентности как метрический тензор неевклидова пространства, называемого оптическим пространством. В этом случае частичная когерентность является характеристикой, свойств оптического пространства. Ограничимся ниже рассмотрением только действительных функций и квазимонохроматического света с временем запаздывания |t|《l/Av.

Подставим в (5.57) выражение для степени когерентности

.и обозначим амплитуду и(^) = У I (g). Выполняя затем «квантование» объекта и полагая 卜三 1, получаем выражение для интенсивности в виде квадратичной формы

/ = X 歩. (5.63)

Здесь dw〃(&), ^ — точки квантования, а 丫订三 丫(层，凉).Далее обычным способом [26] можно ввести неевклидово пространство с метрическим тензором 丫订=丫戸,задающим квазиинтервал (ds) 2 в виде квадратичной формы

(ds)2 = 2 у, du1 du1, (5.64)

Такое пространство называется оптическим. Поскольку/> 0, эта квадратичная форма является положительно полуопределенной. Следовательно, (ds)2 можно рассматривать как интервал в n-мерном римановом пространстве с метрическим тензором 丫订 Видно, что для некогерентного света, поскольку 丫订=6订, оптическое пространство является евклидовым и

/=£(〃')2.(5.65)

/=1

Для когерентного света 丫订=1 при всех 厶 /, поэтому П \2

・(5.66)

/

Таким образом, для когерентного и частично когерентного света оптическое пространство неевклидово.

Такое рассмотрение степени когерентности как метрического тензора неевклидова (риманова) пространства позволяет применить теорию римановых пространств для изучения когерентных свойств оптических полей.

В заключение настоящей главы приведем некоторые основные результаты этой теории..

Для того чтобы функция 丫订 описывала некогерентный свет в конечной области оптического пространства, необходимо и достаточно выполнение условия

財^ = 0,(5.67)

где R；im — тензор кривизны риманова пространства. Принцип эквивалентности общей теории относительности приводит к заключению, что амплитуды всегда можно выбрать таким образом, что свет будет некогерентным (локально).

Если ввести световой тензор 7订，характеризующий свойства источников и их положение, то мы получим для 丫仃 n-мерное уравнение Эйнштейна

R" 一 "^ Y〃r=Y乙/.(5.68)

Здесь Ra ——тензор Риччи, R = ^yilRij (где 丫订 ——контрава- риантный метрический тензор), а 乂 ——постоянный коэффициент пропорциональности между геометрическими и негеометрическими величинами. В линейном приближении уравнение (5.68) сводится к волновому уравнению. Если Т订=0, то получим уравнение

Q/ = 0(5.69)

для /г(/г + 1)/2 компонент 丫订，определяющих искривление оптического пространства, вызываемое только излучением (в отсут-

ствие источников). Так как взаимная функция когерентности 丫叮,удовлетворяющая уравнению (5.68), одновременно является метрическим тензором оптического пространства, в котором она задается, то можно понять причину нелинейности этого уравнения.

Тензор 丁仃,вообще говоря, не определяется полностью заданием свойств источников и их расположением, он зависит также и от 丫订.Следовательно, при решении уравнения (5.68) нужно применять самосогласованный метод. Использование оптического пространства позволяет построить тензор Т订，исходя из топологических свойств оптического пространства, если придать источникам топологический смысл.

Источники света изменяют метрику пространства в смысле уравнения (5.68). Вследствие нелинейности этого уравнения метрика управляет «движением» источников (изменениями амплитуды света) в соответствии с уравнением движения

需+ 2% 阴吗=。， (5.70)

где Г// — символы Кристоффеля.

Можно решить задачу о таких изменениях амплитуды света, которые не меняют степени когерентности, или, наоборот, можно искать такую степень когерентности, которая не меняется при данных изменениях амплитуд. Эти вопросы можно решить, пользуясь методами теории групп Ли. Имеет место следующая теорема.

Для того чтобы метрический тензор оптического пространства (т. е. степень когерентности) не менялся при преобразовании амплитуды

〃〃=必 + f(4)配 (5.71)

(t — параметр, а ^ — вектор направления), необходимо и достаточно, чтобы в направлении V выполнялось условие

6厶丫 力/ =。； (5.72)

здесь 6l — дифференциал Ли.

В этом случае говорят, что преобразования (5.71) являются группой движений. Уравнение (5.72), называемое уравнением Киллинга, позволяет решить обе задачи, сформулированные выше.

Пространство максимальной однородности инвариантно относительно преобразований п(п + 1)/2 параметрической группы движений (п трансляций и С； вращений, где С?——биномиаль-

ный коэффициент; т. е. это группа максимальной подвижности). Оптическое пространство максимальной однородности есть пространство идеально некогерентного света. При частичной и идеальной когерентности оно инвариантно относительно групп с меньшим, чем /г(/г + 1)/2, числом параметров.

Некоторые инварианты в оптическом пространстве можно построить с помощью теоремы Нетер, используя степень когерентности и ее производные.

Приведенный здесь математический аппарат подробно изложен в монографии Петрова [26].

Глава 6

ПОЛЯРИЗАЦИОННЫЕ СВОЙСТВА СВЕТА

До сих пор при описании световых пучков мы использовали скалярные величины, т. е. рассматривали либо какую-то одну из компонент векторного поля, либо рассмотрение проводили в рамках скалярного приближения для векторного электромагнитного поля. Однако ниже всюду будет учитываться векторный характер поля излучения. В данной главе мы рассмотрим корреляцию световых пучков в фиксированной точке пространства, уделяя особое внимание корреляции компонент поляризаций светового пучка. Более общая теория, включающая рассмотрение корреляций между пучками и между различными их поляризациями в разных пространственно-временных точках, будет рассмотрена в следующей главе.

Впервые матрица когерентности, описывающая поляризационные свойства электромагнитного поля, была введена Винером [465—467]. Он показал ее связь с квантовомеханической матрицей плотности, а также возможность разложения матрицы когерентности по некоторым матрицам (которые теперь называют матрицами Паули) с коэффициентами разложения, называемыми параметрами Стокса. Кроме того, он предложил способ экспериментального определения параметров Стокса. Позднее этот круг вопросов изучали Фано [140], Вольф [471, 476] (см. также [8]), Паррент и Роман [337] (см. также [3]), Баракат [53] и Маратэй [289] (см. также [24]). В отличие от результатов работ Вольфа, Паррента и Романа и Маратэя, ограничившихся рассмотрением только квазимонохроматических полей, результаты Винера и Бараката справедливы для полей с произвольным спектральным составом. Панхаратнам [331, 332] также рассматривал случай полихроматического света.

Определение матрицы когерентности и параметров Стокса

Следует отметить вначале, что чисто монохроматическая волна всегда является также и полностью поляризованной, т. е. концы векторов электрического и магнитного поля прецессируют во времени, описывая в общем случае эллипс. Если концы векторов движутся совершенно хаотически, то говорят, что свет

неполяризован. Однако обычно движение носит промежуточный характер, при этом говорят, что свет частично поляризован.

В дальнейшем при описании поляризационных характеристик мы рассмотрим только вектор электрического поля Е, но не составляет труда, если это необходимо, принять во внимание также и вектор магнитного поля Н. Предположим, что стационарные плоские волны распространяются в положительном направлении оси z правой системы координат (х, у, г). Комплексными аналитическими сигналами такой волны будут величины Ех(х, /) и £"?(%,/) —две компоненты вектора Е, перпендикулярные оси z и ортогональные друг другу (Ez = 0 вследствие по- перечности поля).

Введем матрицу когерентности [471, 476「)

名⑺=够+(00器(£ +"〉=《* ) ® (J (f + T), еу (/ +砌〉=

_ /〈Е； (0 Ех (/ + т)><£* (0 /(/ +，)〉)_(九 *(力 7^(т))

=I〈局(/) Ех (/ + 力〉〈或(/) Еу (/ + 力〉尸 I ^ух (т)夕”⑺ J D где ® означает прямое (кронекеровское) произведение, а

鬼=〈項(0 弓(f + 力〉(厶 i = x, у)(6.2)

—элементы матрицы когерентности и ^ = (EXi Еу) — матрица- строка (координата х здесь для краткости опущена). Введем далее спектральную матрицу когерентности в виде [466—468] ^(V)= (/(v)訂;))"吧方《竄"(瓦(叫廃(出e •

(6.3) Здесь, поскольку мы использовали соотношение (2.25), имеем

+ 00

阳/")= J 冗/(力 exp«2:rtvr)dt=出n g■〈皮(у)瓦 “)〉е・(6.4)

Из этих определений * (t) и 我(v) видно, что

名+(力=了(一力(6.5а)

统+e)=我(*(6.56)

т. е. спектральная матрица когерентности 现(v) эрмитова, а матрица когерентности 石(t) эрмитова только при т = 0; это справедливо для квазимонохроматического излучения, если время запаздывания |t|《 l/Av.

')Заметим, что матрица когерентности Вольфа несколько отличается от у (т) в форме (6.1); его матрица когерентности равна 名*(0).

Записывая матрицу 3?(v) в форме

, ч _ 1 / so + 51 s2 + is3\

(v) = у 1(6・6)

видим, что

So =融% +死加

S]=%х 一死^夕

$2 =笈%g + 约/%,

S3 =，(^yx —现%y)・

Эти величины

называются спектральными параметрами Сток-

са [331].

Далее получаем

4det先=4{加％-|仆Г}=齡_* —綺_$泠° "a)

и

Sp 與=例%% + 笈” =s()》О.(6.86)

Поэтому след матрицы S? равен спектральной интенсивности 7(V). Свойство параметров Стокса (6.8а) наводит на мысль но пользовать группу преобразований Лоренца для изучения поляризационных свойств света [53].

Вводя матрицы Паули

для которых выполняются соотношения

0ra0rB = 一 ОГр^а =—沁Y，(6.10a)

где (а, p, у) — циклическая перестановка в (1, 2, 3),

3/)2 =。。(/ = 0, 1, 2, 3),(6.106)

。/00==。/(j ^=0，1, 2, 3),(6.10в)

Sp(s“) = 26"(i, / = 0, 1, 2, 3),(6.10г)

спектральную матрицу когерентности можно переписать в виде з

现= ^2“В・(6.11)

i=0

Умножая (6.9) на oj, беря Sp полученной матрицы и используя свойство (6.10г), находим, что

Sj = Sp (сту^).(6.12)

Это выражение представляет собой компактную запись формулы (6.7).

Аналогичное (6.11) разложение справедливо и для матрицы когерентности 了(0) (в предположении, что свет квазимонохро- матический и |т|《 l/Av), в котором параметры Стокса Sj(O)= 三 Sj определяются следующим образом:

Sy (т) = J Sy(V)exp (— z2nvr) dv, (6・13), о /

Матричное описание оптических устройств,не формирующих изображение

Некоторые оптические приборы, не формирующие изображение, например компенсатор или поляризатор, можно описать матрицей %(”), зависящей только от свойств прибора. Эта матрица связывает спектральные компоненты падающего на прибор поля ^(v) со спектральными компонентами поля ^(v),выходящего из прибора, соотношением

歹(”)=矛纟.(6.14)

Спектральная матрица когерентности на выходе прибора, если использовать выражение (6.3), имеет вид

空(V)= lim表〈尹+⑺®济⑺〉。 =

=lim 詣〈名+砂+纟发线=%+("用(”)2(V).(6.15)

Спектральная интенсивность Г (v) на выходе прибора равна

Г(V)= Sp 侬(v) = Sp {W+ (v)與(V)2(V)} = Sp 例22+}, (6.16)

так как циклическая перестановка матриц не меняет шпура.

Полученные общие формулы нетрудно применить в частном случае квазимонохроматического света при условии, что |т| <С l/Av, если вместо спектральной матрицы когерентности %(j использовать матрицу когерентности 了(0)三了 [476, 337, 8, 285]. Из формулы (6.5а) видно, что в этом случае матрица когерентности 了 эрмитова и, следовательно, справедливы формулы (6.6) — (6.8), (6.11), (6.12) и (6.14) — (6.16), если спектральные величины в них заменить соответствующими фурье- образами. Если т = 0, то

我⑺-У(0)[/(v)->z=Sp^L

(6.17)(6.17)"(v)f S/(0),号⑴f卷(5

(6.17)

(6.17)

(6.18)следует, (6.19а) (6.196) не изме-(6.20)(6.18)следует, (6.19а) (6.196) не изме-(6.20)

(6.18)

следует, (6.19а) (6.196) не изме-

(6.20)

(6.18)

следует, (6.19а) (6.196) не изме-

(6.20)

Аппаратная матрица 2 (v) должна быть при этом заменена на % (»), где V — средняя частота излучения. Случай квазимоно- хроматического света был исследован, например, в работе [3].

Рассмотрим теперь некоторые конкретные оптические устройству.

Компенсатор. При прохождении излучения через компенсатор фазы компонент поля Ех и Еу изменяются соответственно на величины ex(v) и %(”)• Вводя разность 6(v) = ex(v) — %(v), функцию этого прибора можно описать матрицей

Это унитарная матрица, и поэтому из формулы (6.15) что

5^ = %1例纥

и〜

%=厶，

так как при унитарном преобразовании шпур матрицы няется (поглощение и отражение отсутствуют).

Аттенюатор. Это устройство описывается матрицей

где т)х и х｝у — действительные неотрицательные постоянные. Спектральная матрица когерентности &ь' дается формулой (6.15), а спектральная интенсивность равна при этом

7； = Sp ｛笈巻｝.(6.21)

Фазовращатель. Устройство, поворачивающее вектор напряженности электрического поля на угол а, описывается действительной унимодулярной и унитарной матрицей cos a sin а

—sin а cos а

Поэтому'

坏=乞；■例4 = 4 (— а)父4 (а)(6.23a)

и

7； = Л.(6.236)

Поляризатор. Поляризатор — прибор, проектирующий вектор напряженности электрического поля на фиксированное направ-

ление 9, описывается оператором проектирования %广)(9), удовлетворяющим условию идемпотентности

2, (О) 4+)⑼=4+)(О)・ (6.24а) Сопряженный оператор %{Г)(О), проектирующий вектор напряженности электрического поля на направление, перпендикулярное направлению *&, удовлетворяет аналогичному условию. Оба эти оператора подчиняются следующим условиям:

(6.246)(6.24в)(6.246)(6.24в)з(+)з(—) з(—)з(+) лоС р еС Р U,

(6.246)

(6.24в)

(6.246)

(6.24в)

трицами

/丄、/ cos?® cosOsinO、

名，紡)=..,(6.25a)

”\ sin 0 cos 8sin2^ /•

/、/ sin2,&— sin^cosO、

名貝(分)=.(6.256)

"\ —cos OsinOcos2-0*/

婚+必r)=i・

Операторы проектирования можно представить эрмитовыми ма

Очевидно, что 幺尸(О)=名申(О + л/2). Поскольку 幺广)+ = Z{p\ спектральная матрица когерентности преобразуется по формуле 况!=外г徒必扎(6.26а)

Для，спектральной интенсивности получаем [с учетом (6.24а)] /^ = Sp{0?^+)).(6.266)

Закон интерференции

Умножая последовательно матрицы, определенные выше, можно описать и составные оптические системы. В качестве

важного примера, иллюстрирующего возможность определения элементов матрицы когерентности и параметров Стокса для сложных систем, рассмотрим прибор, состоящий из компенсатора с последующим поляризатором. Исходя из (6.18) и (6.25а), получаем

% =约纳=% =约纳=expexpcos2-ftsin О cos 9cos2-ftsin О cos 9cos-ft sin d sirPOcos-ft sin d sirPO

% =约纳=

% =约纳=

exp

exp

cos2-ft

sin О cos 9

cos2-ft

sin О cos 9

cos-ft sin d sirPO

cos-ft sin d sirPO

exp cos?O exp cos О sin 行 \ / z6x• (6.27)

exp (—万丿 sinO cos8 exp sin2 ^ /

Таким образом, находим

7(v) = Sp {房+)+Й■例纥*，} = Sp 例£金+夕广)}= exp 修)cos?® exp 停)cos 今 sin О

电 JI exp (—鄂 sinO cosO exp (— y^ sin2 8

\0 exp⑴丿丿

=彌％ cos2 О + %y sin2 -ft + 3lxy exp (— i6) sin 8 cos 8 ++ 笈у% exp (26) sin 8 cos 8 =

=虱戈x cos? 8 + 契^ sin2 行 + 2 sin ® cos 8 Re {鬼^ exp(— Z6)}. (6.28) Обозначая

7(i)(v)=死%% (”)cos2 也 力2)(v) = %y (v) sin2 О (6.29a) и

% (”) = I % (v) I exp z% (v) = 7冢-^1"(；泅，(6・296) перепишем (6.28) в виде [332]

/(v) = 7⑴ 2 + 泅(v) + 2 /⑴⑺ 7(2)")]% I %y (v)|cos [%y (v) - 6].

(6.30)

Выражение (6.30) представляет собой спектральную форму закона интерференции. Эта формула очень похожа на закон интерференции (3.86) для частичной когерентности.

Рассматривая квазимонохроматический свет при условии IтIС 1 /Av, а также характеристики прибора, определяемые формулами (6.30) или (6.28), можно положить v = v, и поэтому с помощью фурье-преобразования имеем

/ (О, S)=九％ cos2 О + 夕纱 sin2 ® + 2 sin 8 cos 8 Re [fxy exp (—⑹}

(6.31a) или

/(也 6) = /⑴+/(2)+ 2[Н)№)]%| Y%y|cos(B/-6), (6.316) где коэффициент корреляции между х- и //-компонентами электрического поля описывается формулой

Уху = I Уху I ехр /р%у = —— ~•(6.32)

U хх/ уу\

Формулы (6.31) выражают закон интерференции Вольфа для частичной поляризации [476, 8, 285], очень похожий на закон

интерференции для квазимонохроматических частично когерентных световых пучков (3.86). Коэффициент корреляции уху играет роль степени когерентности второго порядка у(хь Хг； 0) в скалярной теории и определяет корреляцию между компонентами электрического поля в фиксированной точке пространства. Из формулы (6.8а) и соответствующего соотношения между зле- ментами матриц и Sj имеем

0<|Цх, (v)l<l,(6.33а)

0<| YxJ<l.(6.336)

Эти соотношения соответствуют неравенству |у(#ь 也；т) |^ 1, полученному в скалярном случае.

Из формулы (6.31а) можно показать, что

4 det у4 det уа видность интерференционных полос равна

4 det у

4 det у

(6.35)

Эта величина зависит только от инвариантов Sp證 и det ^ относительно вращений и сама, следовательно, является инвариаН' том относительно вращений в плоскости (х, у).

Неполяризованный и поляризованный свет

Для неполяризованного (естественного) света величина /(О, 6) является постоянной и, следовательно,

I Уху I= 0> 九％ =7®(6.36)

т. е. Ех и Еу взаимно некогерентны. Поэтому ^ху =為尢=0, и матрица когерентности имеет вид

» =1)-(6・37)

Рассмотрим когерентный свет. В этом случае имеем

/|£>卩 I ЕхЕу |ехр/д\

* = (g|exp(i) 员 Р )•(6・38)

(6.39)(6.40а)(6.39)(6.40а)где б = arg Еу — arg £х. Отсюда получаем det У = 0

(6.39)

(6.40а)

(6.39)

(6.40а)

и

YXi/ = exp(/d),

Т，6，lYxJ=l.(6.406)

Следовательно, такой свет полностью поляризован. Матрицу (6.38) можно также определить для частных случаев света с линейной или круговой поляризацией [8].

Покажем теперь, что любая матрица когерентности может быть представлена в виде суммы матриц когерентности для полностью поляризованного и неполяризованного света:

% = % + %，(6.41)

где

(А “ (В D\

先АГ®42)

а Л, В и С — действительные и неотрицательные величины, удовлетворяющие соотношению

ВС —102 = 0.,(6.43)

Отсюда следует, что

А + В=^хх, D = ^xy9

Из (6.43) с учетом (6.44) получаем, что

у* — д у

(九 Х 一 用(久，一4)一九步"=；_ л，(6.45)

т. е. А является собственным значением матрицы когерентности J. Таким образом,

2 =4 Sp 讣 ±-若圍，(6.46)

что совпадает с выражением (6.34). В силу неравенств

detX7x，z}(Sp%)2(6.47)

собственные значения 41,2 действительны и неотрицательны. Величины В, С м D определяются формулами (6.44). Выбирая в выражении (6.46) знак минус перед корнем (знак плюс ведет к отрицательным значениям В и С), получаем

Л = у (九 х + ^)-y[(Sp 名)2 - 4 det 疗/2,

B = | Zx -夕加 + “Sp 孑)2 — 4 det У»,(6.48)

С =4 (九，-夕冷 + |[(Sp У)? — 4 det 舟/% 0=九力 ^ - f ух»

Поскольку справедливо соотношение

[(Sp名)2 - 4 det舟/2 =【(九工一九J + 41九，吋>

— 时儿(6.49)

мы имеем В, ОО. В этом смысле представление (6.41) единственно.

Степень поляризации

Степень поляризации определяется как

_ Sp 爲 _В+С —4 det у _

=Sp%"+Sp 名〃 =B+C + 24 = I —Tsp 名)2 =

=1制=僦。)

Таким образом, мы замечаем, что степень поляризации равна видности, определяемой выражением (6.35). При выводе (6.50) использовались выражения (6.48), (6.46) и соответствующие условия (6.8а) и (6.86) для параметров Стокса Sj・ Очевидно, что степень поляризации инвариантна относительно вращений, а (6.47) дает

0&P&L (6.51)

При Р = 1 получаем det 了 = 0 и \уХу \ = 1, т. е. свет полностью поляризован. При Р = 0 справедливо (^хх — ^уу)2-^4\^Ху\2=0 (т. е. Ххх = Zo и 7к« = Zyx = 0) и свет полностью неполяри^ зован (уху = 0). В промежуточных случаях 0 V Р V 1 говорят о частично поляризованном свете.

Можно показать [8, 337], что

Р>\УХУ\(6.52)

и.

р = Мах| уху |.(6.53)

Этот максимум достигается в нутой относительно системы формулойtg 2qp =Этот максимум достигается в нутой относительно системы формулойtg 2qp =системе координат (х\ /), повер- (х, у) на угол ср, определяемыйсистеме координат (х\ /), повер- (х, у) на угол ср, определяемый九g 一夕%% f ху Л- f ух九g 一夕%% f ху Л- f ух(6.54)(6.54)

Этот максимум достигается в нутой относительно системы формулой

tg 2qp =

Этот максимум достигается в нутой относительно системы формулой

tg 2qp =

системе координат (х\ /), повер- (х, у) на угол ср, определяемый

системе координат (х\ /), повер- (х, у) на угол ср, определяемый

九g 一夕%% f ху Л- f ух

九g 一夕%% f ху Л- f ух

(6.54)

(6.54)

В новой системе координат (%', у') имеем ?%々，=夕旷旷=〃2・

Вероятностная интерпретация собственных значенийматрицы когерентности

По аналогии со случаем частичной когерентности и вероятностной интерпретации собственных значений матрицы интенсивности (§ 5 гл. 5) можно дать соответствующее истолкование собственных значений 4】и #2 матрицы когерентности. Написав формулу

I Ml 0\1丄 1 /о 0]

видим, что матрицу когерентности можно представить в виде некогерентной суперпозиции матриц когерентности полностью поляризованного света. Можно сказать поэтому, что вероятность pi того, что фотон поляризован по оси х, есть pl=Ai/(A\ +%2), а вероятность его поляризации вдоль оси у есть р2 = =А2/И1 + ^2)- Энтропия пучка минимальна, если только одно из чисел Л1 или Л2 не равно нулю (полностью поляризованный свет); энтропия максимальна при Л1 = Л2 (полностью неполя- ризованный свет). Энтропия частично поляризованного света имеет промежуточное значение.

Заметим, что собственные значения Ai и /2 можно выразить через степень поляризации Р в виде、

4,2 = #/(1±Р)・(6.56)

Определение матрицы когерентности и параметров Стокса

Элементы матрицы когерентности можно определить с по* мощью закона интерференции (6.31а):

九产/(0,0), 时产/修,0)，

扑传，。)-/ (半,。)} {传，子)-/ 传,专)},(6.57) 九/% =久以

Параметры Стокса Sj можно найти, зная элементы матрицы когерентности, поскольку обе эти величины эквивалентны при описании статистических свойств второго порядка. Они дают полное описание гауссова излучения, для характеристики которого достаточно знать только моменты второго порядка. В случае негауссова света для полного описания должны быть заданы моменты всех порядков.

Аналогия между матрицей когерентностии квантовомеханической матрицей плотности

Рассмотренные выше уравнения показывают, что любая измеримая величина М может быть представлена в виде

M=Sp{M^}t(6.58)

где матрица когерентности 了 описывает состояние поля, а оператор М соответствует физической величине М. Эта формула аналогична соответствующей формуле квантовой механики для средних значений наблюдаемых физических величин (с матрицей плотности р вместо матрицы когерентности 石).Уравнения (6.15) и (6.16), описывающие преобразование(% и 項,также аналогичны соответствующему уравнению для матрицы плотности. Однако, хотя аналогия между ^ и р весьма близкая, она не является полной [337]. Соответствие между ^ и р на основе закона интерференции было исследовано в работе [348]. Аналогию между матрицей когерентности и матрицей плотности .подробно исследовали Фано [141], Тер-Хаар [440], Паррент и Роман [337], Гамо [165] и др.

Роман [403] провел обобщение параметров Стокса на случай квазимонохроматических, но не плоских волн. Оказалось, что матрица когерентности содержит при этом (3 X 3) элементов и может быть представлена в виде суммы девяти линейно-независимых матриц (3X3), образующих полную систему. Матрица когерентности для суперпозиции N световых пучков была исследована Баракатом [53].

Глава 7

УРАВНЕНИЯ ПОЛЯ И ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ ДЛЯ ТЕНЗОРОВ КОРРЕЛЯЦИИ

Скалярная теория явлений когерентности, изложенная в гл. 1—5, применима к линейно-поляризованному свету и может служить, как уже указывалось, для приближенного описания когерентных свойств света. Глава 6 была посвящена рассмотрению корреляции между различными поляризационными компонентами поля; в ней в рамках векторного описания поля излучения рассматривались корреляции в фиксированной точке пространства. В данной главе вводится система тензоров корреляции, которые дают математическую и физическую основу для совместного рассмотрения явлений когерентности и поля-» ризации.

Тензоры корреляции были введены в теорию когерентности Вольфом [471, 473] и изучены подробно Романом и Вольфом [407, 408], Романом [404, 405], Кано [221], Бераном и Паррен： том [70, 3] и Гораком [204], использовавшими классическую не， релятивистскую теорию, а также Куявски [239] и Диалетисом [128], применившими релятивистский подход. Аналогичные ис-' следования квантовых тензоров корреляции выполнили Мета и Вольф [308, 309] и Горак [205, 206]. Некоторые применения этого метода предложили Джерми [168] и Карчевски [227, 228] （в задачах интерференции и дифракции） и Бурре [88], Мета и Вольф [306, 307, 310] и Бревик и Сухонен [498, 499] （при изучении свойств когерентности черного излучения）.

§ 1. Тензоры корреляции и их свойства

Введем четыре тензора корреляции 卷，務,4 и #, образующих матрицу », следующим образом:

«Ж*/论（%i,尤2）=〈（（%i）） ® （匕58）,儿（尤2））〉—

牙"（％, %2）奴必（修，Х2）\

办（修，%2）非公（修，%2）丿.•

Здесь Ej и "j — комплексные аналитические сигналы, обусловленные компонентами электрического и магнитного полей, а

//ё(尤1,%2)=(司(修)J (*2)〉(/, k-1, 2, 3),

脸/M修，%2)=〈"；(修)"式修)〉，

胫必(修，%2)=〈目(修)"М修)〉，I )

Конечно, рассматривая скобки в этих формулах как усреднение с помощью матрицы плотности, а Е； и Я； как соответствующие операторы, можно определить такую же систему квантовых тензоров корреляции (см. § 1 гл. 12). Соотношения типа (2.26) и (2.28)——(2.31) остаются в силе для введенных тензоров корреляции и тензоров корреляции более высокого порядка; из них можно сформировать соответствующую матрицу %("'") и изучить некоторые их свойства [206]. Однако, поскольку структура этих тензоров довольно сложна, преимущества метода тензорного описания мы продемонстрируем ниже на примере тензоров корреляции второго порядка.

Из формулы (7.1) видно, что)

窃亦：(％1, Х2)= о^й/(Х2> Х1).(7.3)

Для дальнейшего рассмотрения удобно определить следующие тензоры:

U/k(*i,内)= 甘汴(х1，%2)+非传(%i,%2)= Sp 比№(%i,%2)，(7.4a)

S/也(修，x2)= %№(%1, *2)- #/(%1, ?2)= Sp {6%/也(尤1, x2)}, (7.46) где

(7・8)

С тензором UJk можно связать скаляр U и вектор U(Ui, t/2, ^з>) определенные формулами'

з

U (%1，尤2)= X 办左(%1, %2)=

也=1

“=(Г (办 Е (/)〉+ К &)・ Я ⑵» (7.6а)

з

G (%1，*2)= / В [ e4Q* (*1，%2)n

'"二{〈E* 8) x E (心)〉+〈H・ 3) X я (心)〉必(7.66)

Здесь • и X обозначают скалярное и векторное произведение, a 8ijk — единичный антисимметричный тензор Леви — Чивита [е^й = 1 (—1), если (i, /, k) образуют четную (нечетную)

перестановку (1, 2, 3); е订月=0, если хотя бы два индекса совпадают]. Подобным образом с тензором S^ можно связать скаляр〉 и вектор:

3

(7.7а)(7・76)имеют и рас*(7.7а)(7・76)имеют и рас*s (%1，х2)=工 s滁(修，*2)=〈Е* (%1)・ Н (%2)〉—〈”* (尤1) • Е (%2)〉， ^=i

(7.7а)

(7・76)

имеют и рас*

(7.7а)

(7・76)

имеют и рас*

3■

Sz(%], %2)=名^S"S"(%i, %2)=

={(£ g)X Я (%2)〉-〈"* (修)X £(/))}，•

Величины, описываемые формулами (7.7а) и (7.76), простой физический смысл. Первая, умноженная на 1/4л

сматриваемая при 打=陋(修 三 也，乙=办)，представляет собой среднее значение плотности энергии электромагнитного поля; вторая, умноженная на с/4л или 1/4лс, при %i 曰 х2 представляет собой компоненту вектора Пойнтинга или компоненту плотности импульса поля в вакууме.

Введем теперь тензоры

з

7代(%1, %2)=u也(修，%2)+u財(修，%2)-6"宫u济(修，%2)， (7.8a) 3

Q/左(%1，*2)=== S/&(%[,尤2) + $电(%1,尤2)6/总 ^J S[i (%1，尤2)・(7.86)

Тензор (1/4л)Г/^(х1,尤2) &曰不 представляет собой максвелловский тензор натяжения электромагнитного поля. Если рассматривать соответствующие квантовые тензоры, то вследствие правил коммутации полевых операторов к этим тензорам добавляются аддитивные постоянные, выражающие вклад вакуума [309]. Однако перенормированные квантовые тензоры корреляции, в которых этот вклад вакуума исключен, совпадают по форме с классическими.

Из определения тензоров корреляции и свойства (7.3) сле

дует, что

U財(xi, х2)=⑺尼(％2,修)，(7.9а)

Ski (хь %2)= — S3 (尤2,尤i),(7.96)

Tki (-^i, a^hT/Mxi, %2)= T；« (%2, %i),(7.9b)

Qki(X1,尤2)= Q/M%1, %2)= — Qm(X2,修).(7.9г)

Поэтому получаем из (7.6а) и (7.9а)

Im U (%, %) = 0,(7.10а)

из (7.76) и (7.96)

Im Si (х, х) = 0>(7.106)

а из (7.8а) и (7.9в)

Im Tfk (х, х) = 0.(7.10в)

Подобным же образом из (7.7а) и (7.96) следует, что

Re S (х, х) = 0,

(7.11a)

из (7.66) и (7.9а)

Re Ui (х, х) = 0,

(7.116)

а из (7.86) и (7.9г)

ReQ/M%, x) = 0.

(7.11b)

Легко найти модификацию полученных тензоров, векторов и скаляров для случая стационарных полей, когда все величины зависят только от разности времен т = ^ — ^i, так что пространственно-временная зависимость этих величин имеет вид (%】，％2)= (%ь #2； т)； если же % и 也 совпадают, то (%, %)三 三(х, %; 0). Скобка (х2, %1) эквивалентна скобке (х2, %i； —т).

Динамические уравнения для тензоров корреляции

Рассмотрим сначала уравнения электромагнитного поля Максвелла в вакууме. Запишем эти уравнения, используя тензоры Леви-Чивита &间,в виде

冷备（龍产制歌=。冷备（龍产制歌=。0=L 2, 3). (7.12)0=L 2, 3). (7.12)

冷备（龍产制歌=。

冷备（龍产制歌=。

0=L 2, 3). (7.12)

0=L 2, 3). (7.12)

Здесь матрица а задана формулой (7.5), а Е/ н 〃/ являются аналитическими сигналами. Уравнения для дивергенции можно

при этом записать в виде

(7.13)

Умножая уравнения (7.12) и (7.13) (в смысле Кронекера) при № Xi на (£^(%2), ^m(x2)) справа, после усреднения получаем следующие уравнения:

2°/必^~^lm^^ х^у"^"^/т(^ь х2)= 0,(7.14)

工言"川22)= 0，(7.15)

которые представляют собой первую систему динамических уравнений для тензоров корреляции.

Другую систему динамических уравнений можно получить следующим образом, Умножим (в смысле Кронекера) уравне-

ния, эрмитово сопряженные с (7.12) при х = х2, слева на

после чего результат усредним. Произведя ту же операцию с уравнениями (7.13), получим, используя свойства 証=—а, другую систему динамических уравнений:

^eikl 3^Y 兆血("1，尤2)+ ；"^■笈 т/(%1，力2)6 = °，(7.16)

? 詣/，(修，*2)= 0.(7.17)

Уравнения (7.14) — (7.17) можно рассматривать как основные дифференциальные уравнения теории корреляции второго порядка для электромагнитного поля, хотя обе системы динамических уравнений (7.14) — (7.17) в некотором смысле эквивалентны. Используя условие (7.3), можно получить (7.16) и (7.17) из (7.14) и (7.15), если первая система эрмитово сопряженная. При этом следует заменить х^->x2kf tx -> f2, d'dx{k-> -> д)дх2^ 3/灭1一》@/出2 (2+ = ——о)・ И наоборот, из второй системы уравнений можно получить первую..

Заметим, что обе системы уравнений инвариантны относительно преобразований

笈-»8兆)7 = G-1^a =一热兆2(输一1=一G).

Кроме того, система (7.14) — (7.15) инвариантна относительно преобразования

改f先(：；}

а система (7.16) — (7.17) —относительно преобразования

Рассмотрим первую систему уравнений. Применив оператор д/дху к уравнениям (7.14) и просуммировав их затем по /, по лучим, что

^^ "^^优 1m (修，尤2)= Const

(первый член равен нулю вследствие антисимметрии е^). Следовательно, если эта константа равна нулю при f】=/0 [т. е. выполняется уравнение для дивергенции (7.15)], то она равна нулю в любой момент времени.

Уравнения второго порядка для тензоров корреляции(волновые уравнения)

Чтобы получить уравнения второго порядка для тензоров корреляции (т. е. волновые уравнения), можно использовать приведенные выше динамические уравнения первого порядка.

Применив оператор d/d(cti) к (7.14) и снова использовав уравнения (7.14), выразим первый член в полученном соотношении в виде

e ib拉科Н氾合^謚^况nm.(7.18)

fe> 2fe» Z, 4 n

Затем, учитывая, что a2 = —1, получаем уравнение

R ё少声"“ а£ a：产"L _十宣喉•(7.19)

总，M厶m

Воспользовавшись уравнением (7.15) и тождеством [15]

不 ^fkfiiin = 6〃必—弓前卜1(7.20)

(бул — символ Кронекера), из (7.19) окончательно получаем искомое волновое уравнение для тензоров, корреляции:

А 或/т =十旨期 т，(7.21а)

где Ai = 3 д2/дх^—‘оператор Лапласа, действующий на координаты точки %i・ Аналогично можно вывести уравнение такого же типа относительно другой пространственно-временной точки %2：

a2期m=十含兆Pи.(7.216)

Применив оператор 0/0(cf?) к (7.14) и использовав (7.16), можно получить следующее уравнение второго порядка:

£ ^Ik^min 譌^ 詣"笈必 к 尸 0f df 2兆/m&7 ・(7.22)

Законы сохранения для тензоров корреляции

Взяв шпур уравнений (7.14) и (7.15) и используя определения тензоров (7.4а) и (7.46), получаем уравнения, выражающие законы сохранения в виде

2 5kl 誤Гsim = 0,(7・23а)

J 誤(7・236)

Умножив (7.14) и (7.15) на а слева (или справа) и взяв шпур, получим другую систему уравнений законов сохранения

2£阳含Sm+营备(7.24a)

J 謂；30.(7.246)

Обе эти системы уравнений для законов сохранения снова можно записать в матричной форме

沁説(7.25а) 多号尉尸。・GM)'

Эти уравнения инвариантны относительно преобразования

伐)(7・26)

Система уравнений, выражающих законы сохранения, для пространственно-временной точки (х2, /2) может быть получена, если взять уравнения, эрмитово сопряженные относительно (7.25), и произвести замену 打一>%2, d/d%iA->d/d%2h и dldt\->dldt2i а также использовать уравнения (7.9а) и (7.96) [систему уравнений можно получить также из (7.23) и (7.24), если произвести в них замену Sjm -> —Smjt Ujm — Umji 整—*2, d/dxik f d/dx2k и d]dt\ f 5/5/2].

Волновые уравнения для Ujm и Sjm

(7.27) c dti \SJlm

можно получить, взяв шпур уравнений (7.21а) и (7.216), а так- 用е используя шпур этих уравнений, умноженных на а Уравне-

ния (7.25а) и (7.256) можно назвать законами сохранения для тензора.

Положив / = m и просуммировав no j в уравнениях (7.23а) и (7.24а), найдем

(7.28)

%・S = -^ 备 °，(7.29)

где U, U и S, S определены формулами (7.6) и (7.7). Эти два уравнения представляют собой законы сохранения для скаляра.

Если умножить (7.23а) и (7.24а) на erjm и результат затем просуммировать по / и /и, то, используя тождество (7.20) и уравнение (7.256), получим

耳為7 仓 Sr，(7.30)

斗為(7.31)

где тензоры 7\力 Sr, Qrj и Ur определяются соответственно формулами (7.8а), (7.76), (7.86) и (7.66). Уравнения (7.30) и (7.31) представляют собой законы сохранения для вектора. Второй набор уравнений, выражающих законы сохранения, можно получить из (7.28) — (7.31) подстановкой V^Va, d/d%i/f f。/©也/ и dldt{ d/dt2.•

Полученные законы сохранения являются линейными, поскольку тензоры корреляции входят в них линейно. Некоторые нелинейные законы сохранения, в которые тензоры корреляции входят квадратично, сформулированы в работах [405] и [204].

Стационарные поля

В конце § 1 настоящей главы было отмечено, что соответствующие уравнения для стационарных полей можно получить, заменяя (х“ х2) ->(Xi，%2；工)，七=力2 —力 [или (х2, %i)f ->(х2, *1； ■— т), (х, х) -> (х, %; 0), — d/dt{ = d/dt2 = д/дх]. Например, из (7.14) и (7.16) в этом случае получим

£ °阿 ~^~"兆勿(*» 力2；工)+ "^"晶先/m(*i，%2； ^) = 0, (7.32) kt Ilk

£ e"Z况mlg> #2； T) + 7 ^"优mj (%1，%2； Т) & =0.(7.33)

Волновые уравнения для стационарных полей записываются как

Z况jm =亨±^ 优jm (，=L 2),(7.34)

(7.35)(7.36)(7.37)(7.38)(7.39)(7.35)(7.36)(7.37)(7.38)(7.39)а уравнения типа (7.22) принимают вид

(7.35)

(7.36)

(7.37)

(7.38)

(7.39)

(7.35)

(7.36)

(7.37)

(7.38)

(7.39)

k, I, I, n

Законы сохранения (7.28) — (7.31) сводятся к виду% • u =千 ^善 S,5、S=±；±U,

(здесь верхний знак соответствует i = 1, а нижний — i = 2).

Можно показать [408, 309], что обычные законы сохранения в усредненном виде вытекают из записанных выше законов сохранения как частные случаи. Так, например, из (7.37) можно получить закон сохранения энергии в усредненном виде, а и8 (7.38) — соответствующий закон сохранения импульса электромагнитного поля, если заменить Xi~>%2» т->0 и взять действительную часть уравнений (7.37) и (7.38). В этом смысле законы сохранения (7.36) и (7.39) не имеют классических аналогов, так как они сводятся к тождеству 0 = 0 вследствие свойств тензоров (7.11).

Взаимные спектральные тензоры

Взаимные спектральные тензоры 含必(％1，х2； v), %伸⑺,х2 v), /汴(尤1，％2； v)，^ik^y ^2； v), так же как и UJk(x[t х^ v), §/左(％1， *2； v) образуют спектральную матрицу %/尼(力卜 *2； v), которая определяется формулой

4-00

优/虱*1，*2； ”)= J 兆汴(修，^ t) exp (Z2nvr) dr. (7.40)

В согласии с изложенными в § 2 гл. 2 результатами спектрального анализа корреляционных функций для случая стацио

парных полей можно получить [см. (2.23)]

〈月；(修，^Ek(x2t ”')〉=禹式有，*2； v)6(v—吟，(7.41) где Ej(x, v)——спектральная компонента аналитического сигнала Ej(%,/). Поэтому можно сделать вывод, что две спектральные компоненты электрического поля коррелируют тогда и только тогда, когда их частоты совпадают. Аналогичные результаты справедливы и для других тензоров корреляции.

Обратное фурье-преобразование соотношения (7.40) выражает теорему Винера ——Хинчина [ср. (2.24)]

况代(#1，«2； т)= / 优必(％1，％2； V)ехр(— Z2jivt)dv. (7.42) о

Используя эту теорему, можно вывести динамические уравнения и законы сохранения для взаимных спектральных тензоров.

Из (7.32) и (7.33) получим

£ е削方冗加(%i，*2； v)^^■凭*2； v) = 0, (7.43)

z,左{k

工ё削/■先何(礼"2； V)一罕•%m/(rl，x2； V)a‘=0，(7.44)

k, /2论

2/ Е/2/ Е/а уравнения для дивергенции дают,

2/ Е/

2/ Е/

т(%1，%2； v) ==。，(7.45)

”(修，Х)； v) = 0.(7.46)

Волновые уравнения сводятся при этом к уравнениям Гельмгольца

А/先/т (%1，%2； ^) Н目—^/m (^ь %2； v) = 0(»=L 2). (7.47)

§ 7. Условия неотрицательности для тензоров корреляциии взаимных спектральных тензоров

Аналогично выводу условий неотрицательности (4.7) для корреляционной функции Г(%ь х2) можно получить условия неотрицательности для тензоров корреляции и взаимных спектральных тензоров [308, 309, 206].

Определяя величину А как

{ = £]【％(%) £/ (х) + gi (%) Hi W] dM, (7.48)

имеем〉

0 &〈I *2〉=工 J J 伍 &) %/ (占，％) f] (Х2) +

+ Si (尤1)制 1限\、*2)gj (*2)+ fi (*1)胫"(XP %2)g/ (X2)+

+ gt ("1)/""("У *2)%(*2)] "4"I d%.(7.49)

Здесь fi (x) и g^(%) (i= 1, 2, 3) —произвольные интегрируемые функции пространственно-временных точек х = (х, /). Выбирая конкретный вид функций f и g, можно получить несколько частных условий. Так, например, условие неотрицательности для тензора корреляции 齒订 получается при g = 0t а для тензора 非订 такое же условие — при f = 0. Полагая

М N

fi W = 2 2 ^mkid(^m~х)б(tk-/)(Z=l, 2, 3) (7.50)

т—\ 尼=1

и

g，(%)= 2 2 M^m-x)b[tk-f} (/=1, 2, 3), (7.51)

Z?2—1 Zf — 1

можно получить, исходя из (7.49), неравенство

2 1a;?ш%(% *%；%乙)%" +

m,新 ％, Za

+ %尼逐"("加“；勿乙)跣"+ %^居/(*加Xn\ %乙)隔/ +

~b ^mki^а (Xm» “; ％ /)%〃]》0・(7.52)

Соответствующие условия для стационарных полей являются следствием (7.49) и (7.52), если в них положить т = /2 — 6.

Вводя величину

v+Av/2

N = У J dv J [力⑴瓦(х, v) + gi (x) Hi (x, ”)] 0М (7.53) i v—Av/2.

где 〃厶 Ei — спектральные компоненты аналитического сигнала, а (V ——Av/2, v + Av/2)——произвольно малый интервал частот,

получим аналогичным путем условие неотрицательности для взаимных спектральных тензоров

2 J j 他(*)狗"("" "2； ")//("2)+

+ 屏(%1)笫"(巧，々；2)当(*2)+ "(外应"(*1，*2； »当(*2)+

+ g；(巧)Л/ (xi> *2； V)f/(%2)] d3%] d3%2 > 0. (7.54)

Отметим наконец, что результаты, полученные для тензоров корреляции, не зависят от вида усреднения (они характеризуют пространственно-временное поведение полей) и, следовательно, остаются в силе для квантовых тензоров корреляции, если пренебречь вкладом физического вакуума [308, 309]. Изложенные результаты можно распространить и на случай наличия в пространстве случайных источников [404, 70, 3, 204]; некоторые из этих результатов мы рассмотрим ниже. Общие законы распространения, включая законы интерференции как для частичной когерентности, так и для частичной поляризации, были получены в работе [204] на основе дифференциальных уравнений для тензоров корреляции. Теория корреляции оптических полей, использующая тензоры корреляции произвольного порядка, была развита в работах [205, 206]. Все эти формулировки теории корреляции являются нерелятивистскими, что характерно для типичных приложений квантовой оптики. Релятивистская теория корреляции, использующая антисимметрический тензор электромагнитного поля 尸ав(%), была развита в работах [239, 128].

Техника тензоров корреляции может быть также использована при изучении свойств турбулентной жидкости и плазмы.

Глава 8

ОБЩЕЕ СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ КЛАССИЧЕСКОГО ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ

В § 2 гл. 2 были введены классические и квантовые корреляционные функции произвольного порядка, которые являются основными величинами при исследовании когерентности света. Здесь мы дадим более строгое определение классических корре* ляционных функций с помощью классической теории стохастических процессов, а более точный смысл скобок, обозначающих усреднение с квантовомеханической точки зрения, равно как и соответствие между классическим и квантовым подходами, мы обсудим ниже (гл. 12 и 14).

Все экспериментальные результаты по оптической когерентности, интерференции, дифракции и поляризации, полученные до 1955 г.» могут быть полностью описаны в рамках теории когерентности второго порядка, которая рассматривалась в предыдущих главах. С тех пор было предложено и выполнено много необычных экспериментов. Для их описания потребовалось дальнейшее развитие теории когерентности. Из этих экспериментов отметим следующие: эксперименты Форрестера, Гудмундсена и Джонсона [150] по наблюдению биений, возникающих при суперпозиции световых пучков от независимых источников света; эксперименты Хэнбери Брауна и Твисса [92—98] по корреляции фотонов и интерферометрии интенсивности; эксперименты Мед- жара и Манделя [261, 262], посвященные изучению неустановив- шихся интерференционных эффектов в световом поле, создаваемом независимыми источниками света (лазерами) !); предложенный Гамо [163] эксперимент по измерению трехточечной корреляционной функции (корреляционной функции шестого порядка); эксперименты по определению статистики фотонов или, что в принципе то же самое, статистики фотоэлектронов, эмиттируемых фотодетектором (см. гл. 10); эксперимент по измерению корреляционной функции шестого порядка, выполненный Давидсоном и Манделем [125] (см. также [503]), и эксперименты Пфлегора и Манделя [378—380] и Радлофа [390] по

，)Интерференционные полосы при этом можно рассматривать как «биения» в пространстве, и, следовательно, эксперимент Меджара и Манделя является интерференционным аналогом эксперимента Форрестера и др. — Прим. nepeet -

интерференции отдельных фотонов. Необходимая для описания этих экспериментов общая теория когерентности, основанная на классической теории случайных функций, впервые была предложена Вольфом [479, 481] и Манделем [272], а теория, базирующаяся на квантовой электродинамике, — Глаубером [173—175].

Стохастическое описание оптического поля

Рассмотрим оптическое поле, заданное в пространственновременной точке (хй ti) вектором комплексной аналитической волновой амплитуды Vi = V(хй ti). Стохастическое поведение векторного поля V (x, t) можно описать последовательностью плотностей вероятности*.

В(%)，鼻(匕，匕)，・・・，Рп^Уъ %,・・•，匕)(8.1)

Эти плотности вероятности имеют следующий смысл. Совместное n-мерное распределение вероятностей

Рп (九 X，・・・，叭)片匕 d2% ... dVn (8.2)

[здесь d2Vj = d(ReVj)d(ImVj) (/ = 1, 2, ..., n)] представляет собой совместную n-мерную вероятность того, что в пространственно-временной точке (ль /1) величины ReV и IrnV лежат соответственно в интервалах [ReVb ReVi + d(ReVi)] и [ImVi, ImVi + d(lmVi)] и т. д., а в пространственно-временнбй точке (xn, tn) они лежат соответственно в интервалах [Re»,RelV+d(Re叭)]и [ImVn, ImVn + d(lmVn)l

Если 尸(Vi, ..., Vn) является функцией, зависящей от значения поля V в точках (办,介),...,(хп, /п), то среднее по ансамблю значение 尸 определяется соотношением 】)

(尸(%….，%)〉= + 0О

=J ・・• J 尸(匕匕)Р£%, Vn)^V{i d2%・(8.3)

Заметим, что Pn есть плотность вероятности в 6п-мерном пространстве, а интегрирование в соотношении (8.3) производится по Зп комплексным плоскостям. Комплексное представление поля излучения очень удобно для описания статистических

характеристик оптических полей, измеряемых с помощью фотодетекторов. Такое представление связывает между собой классическое и квантовое описание когерентных свойств света, хотя вполне может оказаться, что Рп (Vi, ..., Vn) не имеет аналога в теории квантового поля, так как задание комплексного поля V эквивалентно одновременному заданию амплитуды и фазы волны.

В некоторых экспериментах по корреляционным эффектам измеряются моменты высших порядков (корреляционные функции или тензоры корреляции), классическая форма которых, как показано в гл. 2, согласно теории когерентности, имеет вид

Г^・2 卩加+九(%1，尤m+力=〈JY К/(%/)][，呪(/)〉， (8.4) /■— 1+1

где хе(х, f). Частный случай стационарного и эргодического полей, для которых распределение вероятностей инвариантно по отношению к изменению начала отсчета времени, так что среднее по ансамблю равно среднему по времени, мы уже рассмотрели выше в гл. 2.

Было предложено и осуществлено несколько экспериментов по непосредственному определению корреляционных функций четвертого и шестого порядков (согласно терминологии данной главы). В ряде последующих экспериментов изучалось распре- > деление фотонов в поле излучения, т. е. распределение вероятностей вида (8.1). Таким способом можно по экспериментальным функциям распределения рассчитать корреляционные функции высшего порядка. Этот метод зачастую бывает значительно проще, чем прямое измерение корреляционных функций высшего порядка.

Метод характеристического функционала

Мы не будем здесь вникать в подробности теории функционала. Определим характеристический функционал с помощью соотношения

0{乂%)} =

=j exp{j {у (х) У* (х) - / (х) V (х)] йЦ Р {У (х)} IJ ^ (х). (8.5)

Здесь P{V(x)} — функционал вероятности, % ——краткое обозначение величины (х,卩),а

J ... d4x= £ J ...力％・

Корреляционная функция (8.4) может быть получена как функциональная производная характеристического функционала

mm+九и命п/=1' 〃 E=zn+1mm+九и命п/=1' 〃 E=zn+166(-У*(/))66(-У*(/))e 历(%)} 1У(Х)Мо =mm+n=〈Н『®)П У*/=1fe=m + le 历(%)} 1У(Х)Мо =mm+n=〈Н『®)П У*/=1fe=m + l(8.6)(8.6)

mm+九

и命п

/=1' 〃 E=zn+1

mm+九

и命п

/=1' 〃 E=zn+1

66(-У*(/))

66(-У*(/))

e 历(%)} 1У(Х)Мо =

mm+n

=〈Н『®)П У*

/=1fe=m + l

e 历(%)} 1У(Х)Мо =

mm+n

=〈Н『®)П У*

/=1fe=m + l

(8.6)

(8.6)

где функциональная производная определяется следующим образом:

■^^Г = I吧 3 [尸历(%) + eS (x — x^]—F [у (x))];(8.7)

здесь F ——непрерывный функционал, а 6(%)——четырехмерная функция Дирака 】).

Аналогичные квантовомеханические соотношения мы приведем в § 3 гл. 12.

Некоторые математические аспекты теории функционалов можно найти в книге Вольтерры [34] (см. также [167] и [13], гл. 3). Приложения теории функционалов к проблеме когерентности излучения можно найти в [3, 17, 350—352, 207, 208]. Многочисленные приложения теория функционалов имеет и в теории поля [144, 10, 7, 2, 166].

，)Определение свойств непрерывности функционала дано, например, в книге [12, стр. 14]. — Прим, перев.

Глава 9

НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ КОГЕРЕНТНОСТИ К ЗАДАЧЕ ①ОРМНРОВАННЯ ОПТИЧЕСКОГО ИЗОБРАЖЕНИЯ

В настоящей главе некоторые из результатов предыдущих глав мы применим для определения соответствия между объектом и его изображением в оптических системах, предназначенных для формирования изображения протяженных полихроматических объектов. Хотя обычно при анализе формирования оптического изображения принимают во внимание (если вообще учитывают влияние когерентности) лишь эффекты когерентности второго порядка [336, 3, 201, 202, 8, 20], можно без особого труда учесть влияние эффектов когерентности произвольного порядка. Подобный анализ можно провести для случая формирования изображения с помощью частично когерентного нетеплового (т. е. лазерного) света [363, 373], поскольку для полного описания статистических свойств такого света требуется знать моменты всех порядков, в то время как для описания статистических свойств хаотического излучения достаточно знать лишь момент второго порядка (§ 1 гл. 17). Два частных случая общей проблемы связи между объектом и его изображением имеют важное практическое значение. Это, во-первых, задача о восстановлении объекта по его изображению (изображение может быть не похоже на объект вследствие дифракции и аберраций в оптической системе) и, во-вторых, задача о подобии объекта его изображению [347, 372, 373], которая является нелинейной в случае формирования изображения в частично когерентном свете.

Пространственный фурье-анализформирования оптического изображения.Передаточные функции для частично когерентного света

Важной характеристикой оптической системы является передаточная функция — фурье-образ дифракционной функции оптической системы для когерентного света. Передаточная функция характеризует способность оптической системы передавать пространственные частоты — число линий на единицу длины исследуемого объекта. Эту функцию можно ввести, если предположить, что рассматриваемая система линейная и Стационарная

(в пространстве). В этом случае, пользуясь терминологией теории электрических цепей, оптическую систему можно рассматривать как пространственно-частотный фильтр. Среди интересных приложений пространственного фурье-анализа следует упомянуть технику пространственной фильтрации, предложенную Марешалем и Кросом [290]. Продолжая исследования в этом направлении, Строук с сотр. [430—433, 29] разработали метод, позволяющий при восстановлении снимков с размытых фотографий получать изображения, очень похожие на объекты. Их метод представляет собой развитие принципа пространственной фильтрации Марешаля ——Кроса, реализованное в виде голограмм Габора [158, 161]. Поскольку связь между объектом и его изображением имеет вид свертки функции, характеризующей объект,, и дифракционной функции, то частотный спектр изображения 金(卩)равен произведению передаточной функции 氏(卩) на пространственно-частотную функцию『(卩)，характеризующую объект (предполагаем, что излучение когерентно). Если размеры апертур оптической системы конечны, то передаточная функция не равна нулю только в некоторой конечной области. Следовательно, оптическая система отфильтровывает высшие пространственные частоты, и они не принимают участия в формировании изображения. Поэтому объект нельзя однозначно «восстановить», применяя фурье-преобразование к соотношению f^) = ^((ы)/^(ц), поскольку f (pi) = 0/0 в некоторой области и, следовательно, величина『(卩)не может быть получена для всех значений 卩.В связи с методом голографического деления фурье- образов!) некоторые возможности получения «сверхразрешения», использующие метод аналитического продолжения для раскрытия неопределенности 0/0, обсуждались в работах [§68, 374, 431]. •

Передаточные функции обычно рассчитываются методом численного интегрирования [203, 232, 24], причем, как правило, для частных случаев полностью когеретного или полностью некогерентного света. Передаточная функция при освещении объектов частично когерентным светом вычислялась для некоторых частях случаев в работах [427, 319]. На первом этапе исследования ЕЛИянне когерейтности на формирование изображения изучалось для квазимонохроматического света [201, 202, 8, 20]. В работах [§36, 3], где рассматривался случай освещения полихроматическим светом, такое ограничение было снято. Однако при этом авторы Не учитывали влияния детектирования света на форми- ^Оввййе изображения. Общий анализ формирования оптического изображения в полихроматическом свете с учетом эффектов

I) Подробности этого метода изложены, например, в [537*, 538*]. — Прим,

когерентности произвольного порядка выполнен в работе [363] и использован для конкретных расчетов в работе [373].

Оптическую систему, рассматриваемую как пространствен-丄 ный фильтр, можно сравнить с временным фильтром в электронике 1). Если электронная схема описывается функцией отклика h(t) в момент времени /, а входной и выходной сигналы описываются соответственно функциями f(t) и g(f), то

+ 8

g(，) = “(f)= j h« — t)№dt,(9.1)

где, очевидно, интегральный оператор £ линеен, а система стационарна, поскольку функция отклика зависит только от разности времен (Р—f). Физический принцип причинности требует, чтобы выполнялось условие

А (0 = 0 для / < 0,(9.2)

а для устойчивости системы необходимо, чтобы

+ 0О

j \h[t)\dt< оо.(9.3)

Из этого условия следует, что

I й(V)I = ] Л (0 exp (Z2nv/) dt & j \ h(t) \ dt < оо, т. e. отклик на конечный входной сигнал является конечной величиной.

Все эти условия остаются справедливыми и 宣ри формировании оптического изображения, кроме условия (9.2), не имеющего пространственного аналога, поскольку световой поток распределен по обе стороны от оптической оси системы (мы имеем дело в этом случае с координатой х, а пе с временной переменной t). Условие стационарности для оптических систем, формирующих изображение, выполняется приближенно, причем области, для которых это условие справедливо, называются изопла- парными областями. Типичное соотношение между функциями, характеризующими объект и изображение, для двумерного случая имеет вид

g{^\ y'^W K(xf — x. y' — y)f{x, y)dxdy. (9.4) ‘

，)Подробное изложение электрооптической аналогии можно найти в книгах [539*, 540*]. — Прим, перев.

Здесь (х, у) и (%',力一соответственно координаты в плоскостях расположения объекта и изображения, а К — дифракционная функция. Условие (9.2) иногда можно заменить на

/(х, г/) = 0 (招 у 陆或)，(9.5)

где 加—область в плоскости расположения объекта. Условие (9.5) отражает тот факт, что обычно размеры объекта конечны. Передаточная функция К(м，v) может быть определена с помощью фурье-преобразования в виде

g^ ^^^^^ v)f^ v)；(9.6)

здесь ц и V — пространственные частоты, а,

+оо~

穴(闷 V)= J j K0 у) exp[/2л (|^x + V//)] dx dy = y—2^(9.7)

в предположении, что『(卩,v) ^ 0 для всех ц и v.

Такую формулировку для полностью когерентного света можно использовать и для' некогерентного света, если К заменить на |К|2 и предположить, что функции fug имеют смысл интенсивностей. В случае частично когерентного света расчеты надо начинать с применения закона распространения (3.21) для взаимной спектральной плотности G(xi, х2; v). В более общем случае, решив граничную задачу для волновых уравнений (2.35) [или (2.37), если поле стационарное], получим вместо (3.29) соотношение

G” ")(Q[,・・・，Q2龍;V)=”

=(2；)2% 1°" П｝仍卜…，2%； v) X

X R(P\, • • •，P2M Qi, Qzn； w) [[ dP/dP龍+/,(9.8)

где

R(Л，...» P2%; Qi，•・•，Q2"； ”)=

=口(屮%力 ”％+*”+/)ехР【Т%：7“+% “ cosen+/.

Рассматривая этот закон распространения на гиперповерхности (2.21) т. е. для Vi = — X£jV/J и используя выражение

(2.19), получаем при k 及 l/厂, что

S)(Qi,・・・，Q2 権；t)=

=而 2" 1 • • J F 仇 5)(P[,・•・广「2%； % …，Т2п) П rr dPjdPzjH

=(2兀)2〃 J …J М П)(尸1，…，％； T2Т2п)义自[小)仍/)/的(/\ + /)产"

X П—A；An+/ dPj dPn+h (9.9)

где 守=t/ + - c—-■0 = 2,・・・，2n).

Здесь использовано определение степени когерентности 丫(九，п) (2.42а) и тождество

/5)仍)m「g 切(Р,…，р. о, 0).

Соотношение (9.9) является обобщением формулы (3.34). При обычных предположениях, аналогичных условию (3.43), можно получить соответствующие уравнения для случая квазимоно- хроматического света.

Линейный процесс формирования изображения

Более общий закон распространения, справедливый для не* однородной среды, можно записать в виде

匕(…)(斗…，j； v) = | …〕Пк*®-*〃，)X

</f/=1

m+nm+n

X Ц К (*Z — /，"J °а”'")(*1，…，Хт+п) V) П ^ХГ(9.10) k=m+l/=1

Здесь °G и iG — спектральные корреляционные функции объекта и изображения соответственно, а К зависит от разности (%' — х), поскольку уравнение рассматривается в изопланарной области. Если предположить, что поле стационарное, то уравнение (9.10) нужно снова рассматривать на гиперповерхности ш+п

2 ezvz = 0. Корреляционная функция изображения Ф(т»п)мо- жет быть получена с помощью фурье-преобразования.

Для характеристики качества передающих свойств оптической системы в случае частично когерентного полихроматиче-

ского света с произвольной статистикой можно также ввести передаточные функции. В силу линейности уравнения (9.10), связывающего функции объекта и изображения, получаем, используя фурье-преобразование, что

Ю^п^{, ..点 v)= mm+n

=П©(-&,") П К(к,吟啥meg, • • •» 模m+九； w), (9.11) /=1尼=zn+】

где м ——вектор пространственных частот, соответствующий вектору %. В этом выражении величины

mш+п 〜

^ п)(^ -^n. V)= П ^* (- И/, vz) П 穴(取,喲(9」2)

/»1k=m + l

являются передаточными функциями.

Нелинейный процесс формирования изображения

Если поле детектируется с помощью, скажем, и квадратичных детекторов (расположенных в точках %°, выходы которых связаны таким образом, что в принципе можно .измерять величины 1) Т(& 切(％；,・・・, ％；，%，・・・，％ то следует положить в уравнении (9.10) m-п и ^ = х^+/. В результате мы приходим к нелинейному соотношению 七⑷(公・・・，*; v)=

=J …J И К* (% — X/, ») К ^n+l-xn+r %/) X

X °^n, n^ (^i, .. •, ^2n» ^) JJ °^* (^/) °^ {^n+i)dXf dxn+j, (9.13) /=i

Здесь og(&")— нормированная [в смысле определения (2.42а)] спектральная корреляционная функция [т. е. фурье-образ функции 。y(%")], 0u (х) - амплитуда объекта и ，G(切(%% ...,%么;")三 三伶①加(ж；, ..., К，黑，・・・,芯；v).

Предположим, что для °g^n>п)выполняется условие пространственной стационарности

°^п}^ ...» «2п； V)= °g^ п} (хп+1 — хь ..., х2п — хп\ V),(9.14)

тогда с помощью пространственного фурье-преобразования можно получить уравнение, описывающее передачу простран-

Подробный анализ измерений этих величин дан в § 6 гл. 10.

ственных гармоник, в форме

+ оо

®т)(х)・・・,х；; V)= j ... J ①"'山(%,・・・,%権;v) X —8

X JJ 叨* (%)啮(％+/) exp 陷冗盟.(％ — ％+刁 d"/ d\” (9.15a) и

喳m)(Mi, ・・・，Hn； v)=

= /•••/ 2"疋(/，・・・，%，/ + Ml% + %； v) X

*11。"*(切)也(% + 出)四/.(9.156) /=i

Обобщенные передаточные функции В(&"), обобщающие передаточный коэффициент Гопкинса [201, 202], даются соотношением

+ооП

2g用(%，…，1w ") = j -/n 及*3 + /； »)x

—oo/=1

XK^ + 现+/； %+/)噌& 山(M …，％ V)П d%・(9・ 16) fe=i

Обобщенные передаточные функции полностью определяются дифракционными свойствами системы (функция К) и когерентными свойствами света (функция g). Интегрирование в (9.16) производится по общей части областей, в которых функции Л и g не равны нулю (апертуры системы конечны).

Если свет детектируется п детекторами, расположенными в одной точке пространства, то процесс формирования изображения описывается уравнением (9.15а) при х\ = х^= ... .=%； = %'・ Обозначая 令(續(％‘,*; v) как lG^ (х\ v), получаем следующее уравнение для пространственных гармоник:

+ оо

e⑵(h; V)= J j乡"，山(巾，…,%"；w)X

(

2%\ n

£ £/% + М [[ °〃*0) %(Лп+/)^Л/ d%+/・(9•⑺

/=i/ /=1

Из уравнения （9.17） видно, что передача пространственных гармоник не равна нулю тогда и только тогда, когда пространственные частоты т]ь ..., т]2п для 2п волн, распространяющихся от объекта, удовлетворяют условию

2 呐/ + М = 0・（9.18）

/=1

Все эти результаты принимают простой вид в частном слу- m+n

чае стационарных полей, если подставить » =—鼻 £/“•

Фурье-анализ в случае квазимонохроматического света

В приближении квазимонохроматического поля, рассмотренном в § 4 гл. 2, для передачи пространственных гармоник получаем уравнение

'「（"）（北1, • • •, %； т）=

（

2%\ +8

i2丽 工8eJ • • • j①6'制（巾，…，%，由+模1，…，% +%）X /=2 丿—оо

хП £*（"/）%（%+ &"”/• （9・19） /=1

Здесь ‘卩切 соответствует 令⑺，а”

+°°叱

纱，”％,・・・，％） = J …J Н К* ⑶ + П戸М （% + %+/，V）X —8/=1

n

Хо^-\^ 吟 Н 叫•（9・20） /=1

Если апертуры оптической системы и размеры источника конечны, т. е. функция зрачка R и степень когерентности °у источника не равны нулю только в конечных областях, то обобщенные передаточные функции 2（п，п）（так же как и функции 庁⑺） тоже не равны нулю только в конечных областях. Пространственные гармоники, описывающие структуру объекта, которые отфильтровываются оптической системой с передаточными функциями Z^' п\ не вносят вклада в функцию изображения Т（п）. Это говорит о том, что в общем случае объект не может быть однозначно восстановлен по его изображению. Однако если рассматривать объекты конечных размеров и использовать теорему

Пэли — Винера о целых функциях, то квадратично интегрируемые функции объектов могут быть однозначно восстановлены по функциям их изображения (§ 2 гл. 9).

Случай п= 1

Полагая в (9.12) n = m = 1 и считая поле стационарным, приходим к передаточной функции, введенной Паррентом [336]. Далее из (9.15а) для стационарных полей при и = 1 получаем + 8

"⑴(*) - J J 2"，|)(/, П2)°й*(П1)°й (%) X

X ехр 卩 2п*'• (а — т)2)] d^{ йт]2. (9.21) Здесь величина

23 】)(/,%) =

=J I J N*(M + "1，V)及紋+ "2宀)。03)紋,匂出 dv (9.22) 0 I —oo

является передаточным коэффициентом при формировании изображения в полихроматическом свете и описывает эффекты ко-« герентности второго порядка. Для квазимонохроматического света из (9.22) можно получить передаточный коэффициент Гопкинса [201, 202]

+ 8

纟仆)(％,%)= j 守(M‘ + /,A)R(M + "2,*/D(y)dk (9.23)

В случае круглых источников и апертур интегрирование в (9.23) следует проводить по общей части круговой области изменения аргументов функции °у с центром в начале координат и круговых областей изменения аргументов функций К* и К с центрами в точках т]1 и т)2 соответственно.

Полагая в (9.19) и = 1 и используя (9.20), получаем [20]

+ 8 f +<»

仆)@)= j J к*($ + %»R(и + " + m, 0。№")如‘仅

Х°〃*(")°〃(" + 模)d"=

+ 8

+ 8

勺女(M + ^,,。涉"(M —")如/ x.Х°〃*(П — ^)%(П + ^)М (9.24)

Здесь мы заменили цх + т] + n/2 -> Q и ” + м/2 -> 斗 Соотношение (9.24) хорошо известно и описывает процесс формирования изображения для случая частично когерентного квазимонохро- матического света.

Предельные случаи когерентного и некогерентного света

По аналогии с формулой (4.12) для полностью когерентного поля можно написать, что*

2 %%”・・・，为力=ПГ (勺)V &+/)(9.25)

/=1

для всех %ь ..., %2т и всех п, где V — функция, не зависящая от п. Очевидно, такое условие выполняется, как уже отмечалось выше, для детерминированного классического поля без флуктуаций. Аналогичное условие для стационарного поля имеет вид

П/2rt \

Г^Л)(Х!，...» %2笳 t) = II и* (%/)〃％+/) ехр 卜2冗”0 » 8^tJ . (9.26)

Здесь U зависит только от 力(не зависит от и), a vo — частота когерентного поля. Подробный анализ когерентных полей мы приведем в § 2 гл. 12.'

Из соотношения (9.26) видно, вто снова справедливо уравнение (4.23), т. е. передаточная функция в этом случае равна K(N，vo). Однако из (9.26) также следует, что

Y(%〃)(勺，・・・，当笳t)=

иeXр卜 2[₽ (勺)一в (/+/)1 + "叭0 m %%} , (9.27а)

где §—фаза U. Таким образом,

Y(即〃)(％i,・・・，/, %»・・・，к】；т)е丫(小〃)(勺，・・・，％; т)=

=ехр ^；2лv0 3 电%} (9.276)

Поэтому, совершая фурье-преобразование, приходим к формуле

п2%

餾切(М ・・・ W； v)=总 6 (% П “％ - v0). (9.28)

Следовательно, соотношение (9.16) в случае стационарного поля излученияX 丿 принимает вид

①厂)(％, ・・・，％; v)=

=П 及* ("八 Vo) К (%+八 VO) П S(V/ — v0). (9.29) /=1/=2

Для "戸⑺‘加 мы получаем

庁(5)3,…，Ц2П； T)= exp^2w0^2 eyTfj X

ХПГ(М/, ”o)穴(％+/, %)%*(&)% (%+/)• (9.30)

Этот вывод согласуется с результатами пространственного фурье-преобразования уравнения (4.23) в изопланарной области. Однако можно видеть, что соотношение между объектом и его изображением нелинейно, если в процесс формирования изображения включено детектирование, даже в том случае, .когда используется когерентный свет.

В § 1 гл. 17 мы покажем, что хаотический свет полностью характеризуется корреляционной функцией второго порядка. Поэтому в случае некогерентного света можно ограничиться рассмотрением лишь этой функции. Поскольку, согласно (4.2), функция G0，1)(%1, %2； V)= @3 1)(%1, %1； v)6(xi — %2), то уравнение (9.10) для стационарных полей сводится к уравнению

心3D(К，名；v)=

=j К*(%； —%, v)K® — %, ”"G3D(x, %; v)dx. (9.31)

Пространственное фурье-преобразование (9.31) дает уравнение 心(/)(Mi, М2； v) = K(-Mi, ОК@2, v)嗜(s)(Ni + 內，v), (9.32)

которое показывает, что корреляция между световыми пучками, связанная с пространственными частотами изображения gi и цг, определяется функцией объекта °G(L〔), связанной с пространственной частотой объекта, равной gi + g2.

Поскольку в случае некогерентного квазимонохроматическо- го света

Y(l 1}(/，#2； t) = exp (- »2哈)6 (修一为2)(I T 丨《鳥卜

уравнение (9.22) дает обычную передаточную функцию для некогерентного света в виде свертки функций зрачка К：

+ «>

纟5)(/,%)= / КМ + П1,初近紋 + 小,A)dM = —ОО

=f 六(Ке)及(М + % —仆)加.(9.33)

Уравнение (9.31), рассматриваемое при Xj ^xj, показывает, что если в процесс формирования изображения включено детектирование, то только в некогерентном свете этот процесс является линейным.

Более подробно вопросы формирования изображения, включая изображения плохо видимых объектов (для которых опти^ ческая система работает как обычный фильтр), а также матричная формулировка представленных здесь результатов освещены в работе [363].

Восстановление объекта по его изображению и соответствие между объектом и его изображением

Только что изложенную общую теорию соответствия между объектом и его изображением можно использовать для решения задачи о восстановлении объекта по его изображению и изучения вопроса подобия объекта и его изображения с учетом эффект тов когерентности.

Задача о восстановлении характеристик объекта по характеристикам его изображения в случае частично когерентного света рассмотрена в монографии [3], а при отображении некогерентным и когерентным светом — в [16]. В общем случае такая задача не может быть решена однозначно. Однако Хургин и Яковлев [16] показали (рассматривая объекты конечных размеров и используя теорему Пэли — Винера о целых функциях), что единственное решение задачи существует в пространстве квад- ратично-интегрируемых (в смысле Лебега) функций 厶・ Следом вательно, при этих условиях восстановление объекта однозначно.

Восстановление объекта по его изображению и аналитическое продолжение

Рассмотрим для простоты одномерную задачу и случай ква- зимонохроматического света (это ограничение несущественно для проводимых ниже исследований). Из фурье-преобразования

формулы (9.10), полагая t = 0 и К(х) ^ /<(х, v), получаем закон распространения в следующей форме:

心叫斗・・•，陶=ШК*®-用К因+L%/)Х %/=1

X °卩％ 加(％1…，X2rt) [J dxj dxn+h (9.34) /=i

Нам нужно по заданной величине '「(小山，характеризующей изображение, определить функцию объекта °「(小切[т. е. степень когерентности 。丫(％切 и интенсивность n-го порядка 67m)(%)三 =°г^п)(х,・・・, х)]. Используя пространственное фурье-преобразование уравнения (9.34), можно получить решение этого уравнения в виде

0Г(小〃)(%" ・・・，&)= j ... j 一^")仙，…'卩而一义

(

2%\ 2%

—期£卩产如/ + /3, ・・・，尤2)(9.35) /=1/ /=1

Здесь 0 — область пространственных частот, в которой R(卩)* 0 и вне которой R(卩)wO; f — произвольная функция, фурье-образ которой равен нулю в области 0. Действительно, мы видим, что задача о восстановлении объекта по его изображению в общем случае не имеет однозначного решения. Считая функцию °Г(П» n)(xi, ..., х2п) отличной от нуля только в области П = (П7)271, где IT — одномерный интервал, соответствующий объекту конечных размеров, и, кроме того, предполагая квадратичную интегрируемость при любых 尤力 получаем функцию

叩5,公(卩]，...，网J =二曰曲 ……),(9.36)

0f(一打)及(%+/)

которая в области 0, согласно теореме Пэли ——Винера, является целой функцией [25, 16]. Функцию 。貝忆九)для всех 旧 можно за- пйсать в виде произведения рлдов Тейлора:

f(a*a)(Hi，Ц2п) =

=S近^…,(9.37)

以2广心2e

где 卩ом ...,卩0 2%w@・ Следовательно, квадратично-интегрируе- мую функцию объекта 攵他切 можно однозначно определить погде 卩ом ...,卩0 2%w@・ Следовательно, квадратично-интегрируе- мую функцию объекта 攵他切 можно однозначно определить поформулеформуле+оо+оо2%2%а%, ・・・，％2“)=]... /2 Па%, ・・・，％2“)=]... /2 П3 — к。/) / d /Г X勺1 */3 — к。/) / d /Г X勺1 */XX.存佃権）（山，・・・，卩2権） 立r*（一唠女（匕+左）-々=1.存佃権）（山，・・・，卩2権） 立r*（一唠女（匕+左）-々=1хх%=卩0 1^2tl~^Q 2%%=卩0 1^2tl~^Q 2%

где 卩ом ...,卩0 2%w@・ Следовательно, квадратично-интегрируе- мую функцию объекта 攵他切 можно однозначно определить по

где 卩ом ...,卩0 2%w@・ Следовательно, квадратично-интегрируе- мую функцию объекта 攵他切 можно однозначно определить по

формуле

формуле

+оо

+оо

2%

2%

а%, ・・・，％2“)=]... /2 П

а%, ・・・，％2“)=]... /2 П

3 — к。/) / d /

Г X

勺1 */

3 — к。/) / d /

Г X

勺1 */

X

X

.存佃権）（山，・・・，卩2権） 立r*（一唠女（匕+左）

-々=1

.存佃権）（山，・・・，卩2権） 立r*（一唠女（匕+左）

-々=1

х

х

%=卩0 1

^2tl~^Q 2%

%=卩0 1

^2tl~^Q 2%

X exp I — /2л 工呪办 IJ 加.(9.38)

*也==i/ k=i

Это тот же самый метод, о котором упоминалось выше и который был использован в работах [368, 374] для получения «сверхразрешения» в голографическом методе деления фурье-образов. В [368, 374] были предложены способы аналитического продолжения с использованием ортогональных полиномов. В работе [371] этот же метод был применен для изучения волроса о существовании так называемого диагонального представления матрицы плотности (см. § 3 гл. 13), причем предполагалось, что шумами в системе можно пренебречь.

С точки зрения теории связи проблему соответствия между объектом и его изображением изучал, используя теорему выборки, Торальдо ди Франсиа [444]; такое рассмотрение позволило ему ввести понятие «степеней свободы». Если в системе имеются шумы, то число степеней свободы объекта бесконечно, тогда как число степеней свободы изображения конечно, и, следовательно, в процессе отображения теряется часть информации об объекте. Этот факт отражает фильтрующие свойства системы, из-за которых объект нельзя восстановить однозначно по его изображению, т. е. существует целый класс объектов, соответствующих данному изображению !). При восстановлении объекта важную роль играют также априорные сведения о нем (например,. требования к разрешающей силе оптической системы). Однако если шумами можно пренебречь [431], то число степеней свободы как объекта, так и изображения бесконечно ([16], § 6.3). Эти степени свободы содержатся в неотфильтрованной. ча-* сти пространственного спектра . изображения и могут быть

I) Критика результатов работы [444], а также более строгое изложение затронутых в этом параграфе вопросов, содержится в книге [541*], представляющей собой второе (существенно дополненное и переработанное) издание книги [16]. — Прим. nepeet

определены точными измерениями или более просто с помощью аналитического продолжения. Поэтому восстановление функции объекта по функции изображения в данном случае однозначно. Ограничения, возникающие из-за наличия определенного уровня шума, рассмотрены в работах [446, 447].

Для иллюстрации изложенных соображений введем понятие двухточечной степени разрешения [16]. Рассмотрим для простоты одномерный случай освещения объекта когерентным светом. Предположим, что объект состоит из двух точек, находящихся на расстоянии 2b друг от друга, так что『(％) = 6(х — b) + 6(х + Ь). Выбирая в качестве характеристики системы дифракционную функцию для щели, т. е.

仪幻=噜J (9.39)

получаемполучаем(9.40)(9.40)

получаем

получаем

(9.40)

(9.40)

Следовательно, такая система устраняет из изображения все пространственные гармоники | 卩|>1. Расчет функции изображения g(%‘)дает

g(x9= ]\(/-x)f(x)dx = ^^ (9.41)

Используя метод деления фурье-образов, получаем

(9.42)(9.42)(2 cos 2叩 А I 卩 I V 1,m=需=] 4.

(9.42)

(9.42)

Следовательно, при различном расстоянии 2b между точками функция Пн) является системой косинусов, определенных внутри интервала —1《 卩《+1.

Предел степени разрешения системы можно определить как минимальный корень уравнения

=0，(9.43а)

dx %，=о

которое дает

tg(2叫)=2 2 幫務芽，т・ е・ 2л&о- 2,1.(9.436)

Это означает, что только при b > Ьо изображения двух точек (9.41) различимы; при этом априори должно быть известно, что рассматриваются именно две точки [чтобы однозначно восстановить /(х), функция『(卩)даже в этом случае должна быть известна при всех pi]. При b V Ьо нельзя определить вид функции

^(jx) = g(|i)/^(|Li), если рассматривать ее только при |m|v1. Этот интервал слишком мал, и функция в его пределах практически постоянна. В этом случае разделение точек, расположенных на расстоянии 2Ь, не может быть осуществлено и, следовательно, точки неразличимы. Однако если принять во внимание, что f(х) описывает объект конечного размера [f(x) =0, |х| > Ь], то Пн)—целая функция, которая может быть представлена в виде ряда Тейлора для всех 卩.Поэтому можно найти вид функции 『(м) и однозначно определить функцию f(%) =6(% — Ь) + ：+6(% + Ь) без каких-либо ограничений на величину 2Ь. Таким образом в принципе можно различать произвольные близкие точки, т. е. нет никакого ограничения на степень разрешения системы (в отсутствие шумов).

Конечно, такие же рассуждения могут быть проведены и для корреляционной функции

5①出(勺，...，%2П) =。Y(小nЦxъ ...»无2小叫(修)...。"(х2 J

где 。〃(％) = 6(尤一b) + 6(% + b), которая является ограниченной функцией для всех переменных. Следовательно, функция 。負九，九)(卩1,...,卩2п) —— нелая функция всех переменных 卩力

Соответствие между объектом и его изображением.Алгебраические интегральные уравнения

Проблема соответствия представляет собой задачу нахождения такой функции объекта f(%), которая отображается подобно в том смысле, что существует такое число 入,что функция изображения g (%) =%"/(%)• Эту задачу впервые сформулировал Мандельштам для когерентного и некогерентного света [287, 288]. Его работа в некотором смысле была продолжена в [16], а для частично когерентных световых пучков эта же задача рассматривалась в [347, 349, 354, 372, 373]. Проблема соответствия для случая когерентного света является основной в теории оптических резонаторов, т. е. для лазеров [445, 448]. Роль частичной когерентности в теории оптических резонаторов исследовали Вольф [480, 481] и Страйфер [429]..

Если рассматривать соответствие, определяемое условием

Т(% “)(/,・・・，尤2%)= 蟲。卩％力(修，・・・，％2 J(9.44)

то, исходя из (9.34) и применяя пространственное фурье-преобразование, получаем

嗔…3,...…〃)=1九上立总(一闻女(％+/)咽…3,.宀)

(9.45)

Поскольку функция зрачка К равна нулю вне конечной области, функция 。亍(九，九)также должна быть равна нулю вне конечной области. Следовательно, используя теорему Пэли ——Ви^у нера, функцию 。?(九，九)можно продолжить на всю комплексную плоскость х путем разложения в ряды Тейлора, и, как следствие единственности такого продолжения, 。1"(九，九)не может быть равной нулю в любой конечной области (если бы она равнялась нулю в конечной области, то она была бы равна нулю тождественно) .Из этого следует, что для любого объекта конечного размера задача подобия в бесконечной области не имеет никакого решения, но в конечной области она всегда имеет решение.

Из (9.45) следует, что должно выполняться одно из следующих уравнений:

П 六(一卩/)女(%+/)=，(9・46)

呼(%山(卩1，网権)= 0.(9.47)

Таким образом, если уравнение (9.46) справедливо в конечных областях 卩-пространства, то уравнение (9.47) должно выполняться вне этих областей. Если же (9.46) справедливо во всем пространстве, то функция К пропорциональна 6-функции Дирака и система является идеальной.

Существуют различные возможные характеристики объекта и изображения [373]. Рассмотрим здесь важный случай, когда изображение характеризуется только интенсивностью. Ограничиваясь для простоты рассмотрением действительных функций и действительных коэффициентов подобия X, приходим к следую、 щему уравнению подобия для амплитуды и:

辽 2%(%)=九2〃 J …J £(%, xb ...» /J JJ 〃 (尤/) dx〃 (9.48)

где

L (x,尤2%) == °Y^rt* ")(%i‘ • • ♦, %2n) IT К (爲 ％/)• (9,49)

Предположим, что ^(x, у) = K(yt х) и °у(п. п)(хь ..., х2п) суть непрерывные функции, а функция °丫(九，п) симметрична относительно перестановки всех пар переменных 尤卜...,%2n.

Уравнение (9.48) представляет собой частный случай класса нелинейных интегральных уравнений, называемых алгебраическими интегральными уравнениями. В математике эти уравнения впервые рассмотрел Шмайдлер [413]; в дальнейшем их изу-

чала Перинова [376, 377]. Можно доказать следующую теорему [372, 373]:

Если Л(х,尤1, ..., х2п) — положительная непрерывная функция, то существует действительное собственное значение 九о > О 〃 действительная нормированная собственная функция и0(х) > О (норма определяется формулой ||u0|| = | | и^(л：)йх| ”=1), такие, что выполняется уравнение (9.48), причем

•，尤2%) JJ 〃о (^/) dxf dx/=1•，尤2%) JJ 〃о (^/) dxf dx/=1-1/2%(9.50)-1/2%(9.50)

•，尤2%) JJ 〃о (^/) dxf dx/=1

•，尤2%) JJ 〃о (^/) dxf dx/=1

-1/2%

(9.50)

-1/2%

(9.50)

является наименьшим собственным значением и это собственное значение простое.

Кроме теоремы существования собственной функции уравнения (9.48), можно доказать следующую теорему о счетной бес* конечности его собственных значений.

Пусть каждое собственное значение Ло и соответствующая ему собственная функция 〃()(％) уравнения (9.48) удовлетворяют следующим условиям:

и0 (х) не равна нулю в области 弘

Хоп является простым собственным значением ядра

"｝一〃+1 (%) J • .. J L (%，g,%2，• 。 。 , %2九)]["0 (*/) d%"

л/=2

в)в)интегралинтегралJ Ф (х) *ф* (х) dxJ Ф (х) *ф* (х) dxотличен от нуля для соб*отличен от нуля для соб*

в)

в)

интеграл

интеграл

J Ф (х) *ф* (х) dx

J Ф (х) *ф* (х) dx

отличен от нуля для соб*

отличен от нуля для соб*

ственной функции(р(%)三 и0(х) и связанной с ней собственной функции 《(％), соответствующей собственному значению Лоп;

тогда существует, самое большее, бесконечный набор счетных собственных значений.

Вследствие нелинейности уравнения (9.48) в общем случае может существовать интервал собственных значений. В результате может возникнуть ветвление структуры 〃&(尤)，отображаемой подобно и соответствующей собственному значению А。，на несколько структур, отображаемых подобно для собственных значений, принадлежащих окрестности Хо. Такое ветвление вызвано частичной когерентностью, порождающей типичную нелинейность при отображении. Изложение теории ветвления

вместе с приложениями ее к задаче оптического соответствия можно найти в работе [373].

Линейные интегральные уравнения для амплитуд и ннте安 сивностей, соответствующие частным случаям когерентного и некогерентного света, исследовал, например, Мандельштам [287, 288].

В настоящей главе мы рассмотрели главным образом пространственно-временное поведение корреляционных функций. Представленные здесь результаты верны как для классических, так и для квантовых корреляциойных функций.

Глава 10

ПОЛУКЛАССИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ЭФФЕКТОВ

КОГЕРЕНТНОСТИ ЧЕТВЕРТОГО И ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

В предыдущих главах, в частности в гл. 3, мы рассмотрели возможность экспериментального определения степени когерентности второго порядка с помощью интерференции и дифракции света. В данной главе излагаются нестандартные методы, основанные либо на корреляции фотоэлектрических измерений, либо на измерениях функции распределения фотоотсчетов. Эти методы позволяют в принципе определять статистические свойства оптических полей, обусловленные эффектами когерентности произвольного порядка. В первом случае измеряются корреляционные функции типа Г(п> п\ а во втором — распределения эмиттируемых фотодетектором электронов, статистика которых непосредственно связана со статистикой поглощенных фотонов. Поэтому моменты высшего порядка (корреляционные функции) можно вычислить, зная распределение фотоотсчетов. Хотя в следующих главах эффекты когерентности высшего порядка исследуются в рамках квантовой теории, в данной главе мы рассмотрим эти эффекты с помощью относительно простой полу- классической теории. Особенностью полуклассического подхода является то, что поле здесь рассматривается с точки зрения классической теории, а его взаимодействие с веществом в процессе детектирования ——с квантовомеханических позиций.

Ранее было показано, что эффекты когерентности второго порядка характеризуются корреляционной функцией второго порядка, имеющей размерность интенсивности (две амплитуды поля перемножаются и усредняются). Корреляционные функции четвертого и более высокого порядков можно представить как корреляции интенсивностей поля в различных пространственно- временных точках. Корреляции четвертого порядка впервые измерили в 1956 г. Хэнбери Браун и Твисс [92—94], которые использовали малоинерционные фотодетекторы для измерения корреляции флуктуаций интенсивности. Эксперименты этого типа проводились с помощью как корреляционной техники, так и техники фотоэлектрических совпадений (Хэнбери Враун и Твисс [95, 96], Твисс, Литтл и Хэнбери Браун [456], Твисс и Литтл [455], Ребка и Паунд [391], Браннен, Фергюсон и Велау [89] и Харвит [194]). Давидсон и Мандель [125] (см. также [503])

измерили корреляционную функцию шестого порядка. Другой способ получения информации о моментах высшего порядка (корреляционных функциях) основан, как отмечалось выше, н# измерении статистики фотоотсчетов. Этот метод позволяет более просто измерять моменты высшего порядка (Арекки [41], Арек- ки, Берне и Бурламаччи [44], Арекки, Берне, Сона и Бурламаччи [46], Арекки, Берне и Сона [45] (см. обзор в [42]), Фрид и Хаус [153, 154], Джонсон, Джонс, Мак-Лин и Пайк [218], Фрей, Джонсон, Джонс, Мак-Лин и Пайк [152] (см. обзоры [386, 387]), Мар- тиенсен и Шпиллер [292, 293], Смит и Армстронг [425, 426] (см. обзор [52]) и Чанг, Коренман, Эллей и Детенбек [114]).

Новая область интерферометрии, так называемая корреляционная интерферометрия, основывается на измерении корреляции четвертого и более высоких порядков. При помощи этой методики угловые диаметры звезд можно измерить точнее, чем при использовании звездного интерферометра Майкельсона [93, 97, 98]. Корреляционные измерения дают также и информацию, о поляризации света [477, 283, 270], а также информацию о спектральных характеристиках световых пучков [148, 149, 162, 164, 170, 171, 478, 482]. Теоретическое объяснение эффекта корреляции четвертого порядка на основе классического и полукласси- ческого описания световых пучков впервые дал Парселл [389]. Идеи этой работы развили в дальнейшем Вольф [474], Яноши [215, 216], Мандель [263, 264, 269], Кан [220], Мандель и Вольф [283] и Мандель, Сударшан и Вольф [281].

С квантовомеханической точки зрения корреляционную проблему исследовали Дике [131, 132], Сеницкий [418, 419], Фано [142], Глаубер [172—176, 180, 181], Келли и Клейнер [231], Голд- бергер и Ватсон [185, 186], Холлидей и Сейдж [198], Лемберг [520], Мандель и Мельтцер [523], Перина [357, 364] и др.

В полуклассической теории основное соотношение фотодетектирования связывает вероятность излучения (поглощения) p(t)dt фотоэлектрона (фотона) в интервале времени (f, t + dt) с классической интенсивностью падающего на фотокатод квазимонохроматического света /(f) (в общем случае является стохастической величиной) и имеет вид

р (f) dt = т)/(0 dt = ^*(0 V (0 山. (10.1)

Здесь т) — квантовый выход фотодетектора (свет предполагается линейно-поляризованным). Это соотношение можно вывести с помощью квантовомеханической теории возмущений [281], и оно следует из простого квантовомеханического рассмотрения (см. [173—176], а также гл. 12 настоящей книги). Если V(/) —собственное значение оператора уничтожения 月(+)(/) фотона, нахо Дятцегося в состоянии |), то Вероятность процессов фотодетек-

тирования пропорциональна [согласно (10.1)] квадрату модуля матричного элемента {f\A^(t) | /), связывающего начальное |/) и конечное |f) состояния поля.

Статистика фотоотсчетов

Пусть пучок света падает на плоский фотокатод перпендикулярно его поверхности. Определим вероятность р(п, Г, t) того, что в течение интервала времени (/,/*7), где Т фиксировано, с фотокатода вылетит 〃 фотоэлектронов (т. е. вероятность появления /г фотоотсчетов, или, по-другому, вероятность детектирования /г фотонов; см. гл. 14). Для начала будем считать, что интенсивность /(f)——детерминированная функция. Разделив интервал Т на отрезки с точками / + 込Т.м 爲，где f = 0, 1,..., Т/АТ, можно вычислить распределение вероятности р (ti, Т, t) появления п отсчетов в интервале (/, / + Т). Это распределение вероятности равно сумме по всем возможным последовательностям отсчетов, члены которой представляют собой произведение вероятностей получить отсчеты в моменты времени /Гр tr2 и т. д. до trn9 умноженное на вероятность отсутствия отсчетов в остальных Т/АТ — п интервалах времени [269], т. е.

т/дт т/дт

р(小тК)=蹲e...工%m(片).・・

『°7=0

TILT

П [1-М (⑺ AT]

华権)(AT)“得，(Ю.2а)

l[t^dtf ・(10.26)l[t^dtf ・(10.26)Пин%)⑺

l[t^dtf ・(10.26)

l[t^dtf ・(10.26)

p(n, TV)=G

Распределение p(nt T, f) является распределением Пуассона для числа отсчетов п со средним значением

t + T

(и) = Т) J /(f)必,.

Если интенсивность /(f)——случайная функция, то распределение (10.26) нужно усреднить по всем возможным реализациям

/(/). В результате получаем

р (/г, Т") = *〈(r)UZ)%xp (— т)Ю) =

曰=J ^n^P(-^P(W)dW.(10.3а)

о

Здесь

f+7

Г= J /(，)#,(10.36)

а Р(步)一распределение интегральной интенсивности W. Соот- ношение фотодетектирования (10.3а) было впервые получено Манделем [263, 264, 269]

Для стационарных полей распределение р(〃，Т, /) не зависит от t, т. е. р (/г, T,t)=p (/г, Т).

В общем случае распределение отсчетов отличается от пуассоновского, но для идеальных лазеров (т. е. идеально стабилизированных) ,интенсивность которых практически не флуктуирует, распределение отсчетов близко к распределению Пуассона, свойственному источникам классических частиц.

Некоторые свойства распределения фотоотсчетов

Вычислим сначала получаемВычислим сначала получаемдисперсию числа отсчетов и. Из (10.3а)

Вычислим сначала получаем

Вычислим сначала получаем

⑺=工 Р (и, T,t)n =

〃=о

(10.4а)(10.4а)= ^^Т 工* ехрН ^)\ = п(п

(10.4а)

(10.4а)

\L九=о」/

〈九2〉=eР (小T, f)%？= "=0

="〈呼〉+ 哦〈中〉.(10.46)="〈呼〉+ 哦〈中〉.(10.46)

="〈呼〉+ 哦〈中〉.(10.46)

="〈呼〉+ 哦〈中〉.(10.46)

')В гл. 14 приведен квантовомеханический вывод соотношения фотодетектирования.

Аналогичным образом можно получить

〈絞〉= n(Г) + 3刀2〈吃)+ 限〈取 3〉，(10.4в)

〈献〉=似⑺ + 7rf〈IF〉+ 6唄〈呼3〉+ т14 Vli74〉，(Ю.4г)

Из (10.4а) и (10.46) находим дисперсию числа отсчетов п

《№)2〉= (п2) -〈/г〉2 = т](Г) + if ((АГ)2)=⑺ + rf〈仆⑺〉(10.5) В этом выражении величина

((ДГ)2> = (Г2) — (Г>2(10.6)

представляет собой дисперсию интегральной интенсивности W. Выражение (10.5) имеет очень простой физический смысл. Оно показывает, что дисперсия флуктуаций числа фотоэлектронов равна сумме дисперсии числа классических частиц, подчиняющихся распределению Пуассона [слагаемое (/г), поскольку для распределения Пуассона (/г)п ехр(—(п))//г! имеем ((Д/г)2) ^ = (п)], и дисперсии флуктуаций классического волнового поля [слагаемое т)2((Д11^)2), описывающее интерференцию волн]. Этот вывод, обобщающий результаты Эйнштейна [137, 138], Боте [87] и Фюрта [155, 156], справедлив для любого светового пучка (теплового или нетеплового, стационарного или нестационарного). Хотя выше речь шла о флуктуациях фотоотсчетов, полученный результат может рассматриваться как следствие статистических свойств самого света. Этот факт будет отмечен при квантовом описании статистики света (§ 2 гл. 14).

Определяя характеристическую функцию как .

С")(〃) =〈ехр (〃〃)〉= 2 Р (小 Т, 0 ехр (/хп),(10.7)

п=«0

из (10.За) получаем

С⑺(以)=(ехр 5 (尸—1) W^(10.8а)

C{n\ix) = J Р”)ехр[т)(卢一1)叼d!T = C(⑺(т)(/—1)); (10.86) о

здесь С(取)(i%)— характеристическая функция распределения Q (步).Если задана характеристическая функция 0(九)(力尤),то, используя фурье-преобразование^ Можно найти распределение фотоотсчетов

2л

р(〃，Т, f)=击 j ехр (—反几)С(")(i%) d%・(10.9)

о

Моменты〈/?〉，尼=0, 1, ...» можно вычислить по формуле

⑺=高e叫% 丁(1°/°)

Подставляя exp (zx)—1 = is в (10.86), получаем для характеристической функции C(w)(fr)s) выражение

С(^)(Zns) = <ехр (ix]sW)} = ((1 + is)n) ,(10.11)

и, следовательно, взяв производные этой функции, находим

Р("，Т 龄 С")(你)кт・(1。•⑵

Запишем факториальные моменты

〈T?〉= T^〈(1 +‘现〉1=限〈呼)(10.13)

Если определить кумулянты 乂/ следующим образом:

⑺(20=1，2,...)，(10.14)

, d (ixy以=0

то характеристическую функцию можно записать в виде

С(")(й) = ехр £ 吟『里|.(10.⑸

Таким же образом с помощью 0(闪)определяются кумулянты 乂，取),называемые факториальными. Выражение (10.8а) дает связь между кумулянтами 叫切 и 乂俨：

(10」6)(10」6)

(10」6)

(10」6)

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х« в раз* ложении (10.16), для кумулянтов получаем такие же соотношу

ния, как и для моментов [см. (10.4)] [264, 269J)

乂俨=小尸，

呦)=巾产+ T)2叫Q

喈)=叫叼+ з哈严+唯空)，(10.17)

乂r=陋产+ 7唄儿尸+ 6D现界)+哦碍为

Смысл кумулянтов ясен из следующих выражений:

咽= Nexp七砌~^(exp (沃〃)〉仁产⑺，(Ю.18а)

乂了 一 / [(exp (ixn))]2 X

X {(exp(Zxn))爲 <exp(fxn)) — [£〈exp «%〃)〉『} [%=。=

=〈吟一〈n〉2 = ((Дп)2>, (10.186)

乂黑=〈出〉—3〈絞〉〈力 + 2〈〃〉з и т. д. (10.18в)

Такие же соотношения имеют место и для 乂俨)・

В общем случае, используя тождество

，[忐也;|]=0 3H j>Q0， / = 0

из (10.16) получаем

嚟=鳥 I；啜好(；)(Т~ехр (W) L° =

/=1/=0

В гл. 14 мы покажем, что соотношения (10.4) и (10.17) [(10.19)] являются следствием правил коммутации полевых операторов, которые указывают на тесную формальную связь

между классическим и квантовым описаниями статистических свойств света.

В случае слабого излучения в формулах (10.17) преобладает" первый член, и р(/г, Т, f) становится распределением Пуассона. Действительно 乂『)=陋门=”〈呼〉，а функция (10.15), т. е. C^(ix) = ехр[т)(Ц/) (exp ix— 1)], является производящей функцией распределения Пуассона, поскольку

£ [S〈W〉)"exp (— т) (1^)) exp (Zxn)/n!] = exp [т] {W} (exp ix— I)].

〃=0

Следовательно, в очень слабых полях эмиттируемые фотоэлектроны подчиняются статистике классических частиц. Наоборот, в сильных полях в формулах (10.17) преобладает последний член. Поэтому 吟")= М叫犷),и распределение /г отсчетов стремится к распределению величины т)取,пропорциональному распределению классической интегральной интенсивности. В этом случае выходной сигнал фотодетектора можно рассматривать как непрерывный сигнал.

Получение распределения интегральной интенсивности из распределения фотоотсчетов

Встречающиеся на практике поля обычно стационарны, и поэтому распределение фотоотсчетов не зависит от времени f, т. е. p(nf Г, /) = p(nt Т). Если, имея много реализаций, подсчитать число фотоэлектронов, испускаемых в интервале времени Т, то можно найти распределение фотоотсчетов р(п, Т). Измерения можно выполнить, используя, например, конденсатор, улавливающий эмиттируемые электроны, напряжение на котором пропорционально числу фотоэлектронов, испускаемых за время Т・ По известному значению p(n, Т) можно вычислить моменты〈几人〉, а также факториальные моменты 刀衣〈步，〉=〈〃!/(〃 ——々)！) и, следовательно, определить статистику эмиттируемых фотоэлектронов [41, 42, 44—46, 152—154, 218, 386, 387, 292, 293, 425, 426, 52, 345, 260, 114]. Теперь возникает задача о том, какую информацию о статистике поля излучения, характеризуемой распределением 。(步)，можно получить, зная статистику фотоотсчетов р(п, Т) =р(/г). Такая задача с математической точки зрения решается обращением уравнения фотодетектирования (10.3а).

Введем в (10.3а) следующие обозначения:

п!р(п) = Л4п и Р(Г)ехр(- W) = Q(W)t

а также предположим, что т) = 1. Тогда обратная задача сводится к хорошо известной проблеме моментов^ т. е. к задаче

определения функции Q (步)по заданной последовательности ее моментов:、

Jq(W) WkdW = {Wk} = Mk (^ = 0, 1, ...).(10.20)

о

Получение распределения интегральной интенсивности P(W) из статистики фотоотсчетов р(п) представляет собой такую же проблему.

Легко заметить, что формальное решение уравнения (10.3а) (П = 1) можно записать в виде

Р”) = ехр”)》(一 1)пр(и)б^(Г),(10.21)

n=0

где 6(九)(取)—n-я производная S-функции Дирака.

Хотя такое математическое выражение, содержащее бесконечное число членов, иногда может не иметь смысла !), здесь оно является хорошо определенным вследствие аналитичности характеристической функции

С(^)(/х) = |р (U7) exp (ixW) dWt .(10.22)

о

которая аналитична в верхней полуплоскости комплексной переменной х, поскольку Р (历)=0 при 取 V 0・ Выражая в (10.21) 6(п)-функцию в виде интеграла Фурье

+оо

6叫步)=击 j (一反尸 exp (一反步)dx, (10.23)

получаем из (10.21) [485]

+ 8

р”) = *ехр (步)J C (汉)exp (—沃步)dx・ (10.24)

В этой формуле

e(反)=S 依)"p ⑺(10.25)

%=о

I) Такие ряды нельзя рассматривать как определяющие обычную обобщенную функцию ни в пространстве основных функций, которые не равны нулю на конечном интервале и непрерывны вместе со всеми производными (D-пространство), ни в пространстве основных функций, которые убывают на бесконечности как отрицательная степень аргумента (S-пространство); их можно представить как обобщенную функцию в Z-пространстве основных функций, которые являются фурье-образами функций D-пространства. Такую обобщенную функцию иногда называют ультрараспределением Z'. Эти вопросы мы рассмотрим в § 3 гл. 13 при обсуждении возможности диагонального представления матрицы плотности.

есть характеристическая функция распределения Р (W) ехр (—W). Из (10.22) и (10.24) следует, что C(ix) = C^(ix—Ц. Аналитичность C(ix) позволяет получить значения C(ix) для всех % посредством аналитического продолжения, если ряд (10.25) имеет конечный радиус сходимости. Поэтому распределение 戶(步),определенное таким способом, единственно возможное.

Например, для распределения Бозе ——Эйнштейна

р(〃)=(£；严 получаем

e(反)=(1 +g一氏g尸，p ")=击еXp (一靑)，

т. е. распределение P(W) является экспоненциальным. В случае распределения Пуассона

имеем

С(и) = ехр [—〈/г〉(1 — /х)], Р ”) = 6 (К - (и)), где 6 ——функция Дирака. Можно сказать (при некоторых допущениях), что первое распределение описывает хаотическое 〃з・ лучение, а второе — излучение идеального лазера (§ 3 гл. 10).

Поскольку каждый член ряда (10.21) представляет собой обобщенную функцию с одноточечным носителем (грубо говоря, функция не равна нулю только в одной точке), мы должны знать бесконечное число функций р(/г), чтобы восстановить P(W) в виде обычной функции. Разумеется, такое восстановление нельзя осуществить экспериментально, поэтому ниже дается метод, основанный на разложении P(W) в ряд по полиномам Лагерра [22, 58, 388, 17], в котором каждый член имеет носителем всю комплексную плоскость. Это позволяет по конечному числу измеренных распределений р(п) построить функцию P(W) с достаточной степенью точности. В более общем виде такой метод использован в § 3 гл. 13 для изучения вопроса о существовании диагонального представления матрицы плотности [369, 371].

В случае Р (历)w 厶2 можно искать решение обратной задачи для соотношения фотодетектирования в виде

Р (Г) = ехр [―售 一 1) Г] 2 с ；(红丿)・(10.26)

Здесь А/ — полиномы Лагерра, определяемые формулой ([22], гл. 6)/

取%) = [F 0 + М + 1)『£ 51(/ 一 S)(需匕ТТГ(1°・27)

s=0

и удовлетворяющие условию ортогональности

j d exp (— ％)球⑴ / (%) dx = 6必皿佬齿严.,(10.28) о

а величина g》l является действительным числом и Г(ц)=

=j/т ехр (—х) d%・ Умножая (10.26) на Lk (СIT) ехр(— W)t

о

интегрируя результат по 甘呼 и пользуясь условием (10.28) при ц = 0 [а также (10.27) и (10.3а)], получаем

% =僚 j Р (羽)exp (— Г) 4 m d忆(Ю.29а)

0

c^^P^^W7l-(10.296)

s=0

Точность приближения при использовании первых ^ известных из эксперимента распределений р(/г) (п = 0, 1, ..., ^) дается формулой (полагаем ^ = 1)

j [Р (Г) — Р^ (Г)]2 ехр (- Г) dW = 纟(n!)2c2 <е; (10.30) 0 n=N+l

здесь P(n)— функция, являющаяся N-й частичной суммой ряда (10.26), а 8 — произвольно малое число. Поскольку

14 (%)|&ехр 修卜

то при g>2 имеем

14 (W) exp[-a-l)U7]|< ехр (券)ехр [—也-1)Г] =

= ехр(—券 + К)&1.

В этом случае ряд (10.26) равномерно сходится, если X | с, | V 8.

/=о

Иногда для расчетов удобнее использовать несколько другое разложение, в котором показана явная зависимость P(W) от числа степеней свободы М (мод). Это разложение можно записать в виде

Р”)=й7мт iiCjL^^W),(10.31)

где

С/ = Г(/ + М) £ (j — s\ —1 + М) ° ⑶，(10・32)

Если мы хотим определить функцию QW) по ее моментам (Г^) = ^Q(W)Wk dW = Mki о

то для этого достаточно подставить распределение Р(а)ехр(—W)= Q(W) и p(s)s! = Ms в формулы (10.31) и (10.32).

Распределение интегральной интенсивности

Используем некоторые теоремы для моментов из математической статистики [1, 4], чтобы выяснить условия, при которых функция (10.26) представляет собой либо обычную неотрицательную функцию, либо обобщенную функцию с носителем, состоящим из конечного числа точек [371].

Определим последовательность моментов

Mn=J WndF(W) (n = 0, 1, ...).(10.33)

о

Здесь dF(W)= F/(W)dW = P(W)dW [аналогично можно рассматривать последовательность [р (п)}^0, если обозначить Мп = р(п)п\ и 尸(取)=ехр(—呼)Р(庇)j. Введем следующий набор квадратичных форм [1]:

m8 / m\ 2

^ = Ем,+м/=]工呼包 d尸”)(m = o, 1一・)(10.34) /, kо 、=o 丿

где {uj — произвольный нетривиальный действительный вектор. Необходимым и достаточным условием неотрицательности меры d尸(取)является неравенство.

9Q0,(10.35)

выполняемое для любого числа m и произвольного нетривиального вектора {uj. Неотрицательность квадратичных форм qm необходима и достаточна также для существования неубывающей функции F(W) (0 &取 V8), удовлетворяющей выражению (10.33) и имеющей бесконечное число точек, в которых эта функция растет [1]. Поэтому если qm > 0 для любого т и произвольного нетривиального вектора {〃?•}? то можно построить

единственное распределение Рг(W) = Р(W)^ 0 из данной последовательности моментов {М龍}之0・ Другая ситуация возникает, когда для некоторых m и нетривиального вектора {uj квадратичные формы (10.34) равны нулю. Можно показать [4], что и в этом случае существует единственное распределение 戶(步), носитель которого состоит из конечного числа точек, равного минимальному числу т, при котором qm = 0.

Эти утверждения можно проиллюстрировать следующими примерами. Рассмотрим систему детерминантов

MQ Mi ... Af

勿M 此 Mm^ (^ = 0, 1, ...). (10.36)

M〃z+1 • • • M2m

Если 纱7n > 0, то и qm > 0 (m = 0, I, ...). Нетрудно показать, что эти условия, выполняются для хаотического излучения, для которого, как мы увидим ниже [см. (10.40)], момент Мп = п1{п)п, где (/г)—среднее число фотонов. Поэтому P(W) должна быть единственной обычной функцией; действительно, можно показать [см. (10.39)], что в этом случае P(W) = (п)~1ехр(—取/〈〃〉)• Для когерентного света Мп = (п)п, и поэтому S)m = 0 при /и 1, а 级=1・ Таким образом, qm = 0 при m 1, а 莪 > 0・ Пользуясь указанной выше теоремой, приходим к заключению, что соответствующее распределение Р (步)представляет собой обобщенную функцию с одноточечным носителем и что действительно оно равно 5(取—(п)) [см. (10.61)].

Таким образом, используя эти результаты и свойства определителя (10.36), можно по измеренным значениям моментов Мп узнать, является ли распределение P(W) обычной неотрицательной функцией или обобщенной функцией с носителем, состоящим из конечного числа точек.

Статистика фотоотсчетовдля малых временных интервалов

Исследуем сначала хаотическое световое поле, которое наиболее распространено в природе. Оно создается тепловыми источниками, состоящими из множества независимых атомных излучателей, и представляет собой суперпозицию большого числа волн с различными частотами в некотором непрерывном диапазоне. Эти элементарные волны можно рассматривать как независимые со случайными фазами. Используя центральную предельную теорему, можно показать, что такое поле является случайным гауссовым со средним значением амплитуды, равным нулю; это было доказано прямым расчетом ван Циттертом [457,

и Яноши [215, 216]; квантовое рассмотрение приводит к такому же результату (см. § 1 гл. 17).

Совсем другой, характер имеет излучение лазеров (где преобладает вынужденное излучение) и излучение Черенкова — эти поля не являются гауссовыми.

Рассмотрим линейно-поляризованное хаотическое поле. Поскольку поле V^(t) представляет собой случайный гауссов процесс со средним значением, равным нулю, то, согласно (2.7) и (2.316),卩⑴(/) также есть некоррелирующий с V^(t) случайный гауссов процесс с равным нулю средним значением. Далее, так как дисперсии величин V^ и V^ равны между собой и равны, скажем, 2а2 [ср. (2.31а)], то совместное распределение вероятностей V^ и 沃)дается формулой

Р"⑺,V^) dV^ dV^ = -^ exp [- -^^^ dV^ dV^. (10.37)

Но сумма V^2 + V{i}2 равна интенсивности поля /, и поэтому (10.37) можно переписать в виде

Р(М『，arg V)d(VT)d (arg V)=

= ^exp(-負)"d(V7)d(argI/)・ (10.38)

Эта плотность вероятности не зависит от фазы функции V, т. е. все фазы в интервале 0 W arg I/ W 2n равновероятны. Интегрируя по фазе и принимая во внимание, что (/) = 2а2, приходим окончательно к экспоненциальному распределению для интенсивности /:

Р (/)以=击 exp (―方)di.(10.39)

Момент ^-го порядка равен

(小)=总(/＞， -(10.40)

а дисперсия

〈0/)2〉=〈/2〉_〈/〉2 =〈/〉2.(10.41)

Рассмотрим теперь случай, когда время разрешения детектора Т много меньше времени когерентности излучения тс. Поскольку интенсивность /(/) практически не меняется за время тс, интегральная интенсивность 取=/Т и соотношение фотодетектирования принимает вид

pg Т) = р(п, 7\ 0 = J -^1 exp(-т)/ПР(/)di. (10.42) о

Такие измерения статистики фотоотсчетов в случае малых временных интервалов дают более глубокое представление о физи-

ке явления, поскольку интенсивность / имеет простой физический смысл, в то время как интегральная интенсивность W является величиной более сложной природы. Подставив (10.39) в (10.42), можно получить распределение фотоотсчетов для хаотического источника в случае Т V тс：

p(")二号脑，a。43)

где (п) =т)〈/〉Т. Это — хорошо известное распределение Бозе — Эйнштейна для п тождественных частиц, находящихся в одном квантовом состоянии (в одной ячейке фазового пространства). Исходя из принципа неопределенности, полученный результат можно понять следующим образом: в направлении распространения пучка света фотоны неразличимы на расстоянии сТ (Т。l/Av), -и поэтому все они, занимая одну ячейку фазового пространства, ведут себя подобно тождественным частицам Бозе — Эйнштейна. В этом случае, используя формулу (10.41), для дисперсии флуктуаций числа отсчетов (10.5) имеем

=Т)⑺ Т + т)2=⑺(1 + ⑺)，(10.44)

т. е. полученная дисперсия оказывается больше дисперсии (и) в случае распределения Пуассона.

Запишем характеристическую функцию в виде

㈣s) = f '丄р…3 di = 7T4^> ・(10.45) о

Полученные точные результаты можно обобщить на случай М степеней свободы (например, М = Т/тс, если Т》тс; см. § 5 гл. 10) и на случай частично поляризованного света.

Отметим, что если интегральная интенсивность W =^Wf

есть случайная величина [где Wj статистически независимы и каждая подчиняется распределению Р)(取))], то распределение P(W) равно свертке распределений 巳(取))，а именно:

p")=j…仪展?吃)gP/”/)dI%・ (10.46)

Следовательно, соответствующая характеристическая функция для Р (取)равна произведению характеристических функций для Pj(Wj), т. е,

'〈exp(isUZ)〉= IJ〈exp(is 吃)〉(10.47а)

илиилис^(/5)= Пс(^мс^(/5)= Пс(^м(10.476)(10.476)

или

или

с^(/5)= Пс(^м

с^(/5)= Пс(^м

(10.476)

(10.476)

Применяя этот результат к системе с М независимыми степенями свободы, характеризуемыми одинаковыми для каждой степени свободы средними значениями {п)/М, можно получить для результирующей характеристической функции выражение

ew)(，哂ew)(，哂11 — is -11 — is -附•附•(10.48)(10.48)Отсюда следует, что [264, 449]+ 8Отсюда следует, что [264, 449]+ 8dn1dn1ехр(— isW)ds =ехр(— isW)ds =(10.49)(10.49)ииP 5")=P 5")=削d(/・s)〃 (1诘〈〃〉)附削d(/・s)〃 (1诘〈〃〉)附，s=—1，s=—1T詐帯(T…)T詐帯(T…)〈吁* d"s)〈吁* d"s)，s=» 0，s=» 0-M-M(10.50)(10.50)k (k + М- 1)! ~М - 1)! Mkk (k + М- 1)! ~М - 1)! Mk(10.51)(10.51)〈(A/g=⑺(1 +崎卜〈(A/g=⑺(1 +崎卜(10.52)(10.52)

ew)(，哂

ew)(，哂

1

1 — is -

1

1 — is -

附•

附•

(10.48)

(10.48)

Отсюда следует, что [264, 449]

+ 8

Отсюда следует, что [264, 449]

+ 8

dn1

dn1

ехр(— isW)ds =

ехр(— isW)ds =

(10.49)

(10.49)

и

и

P 5")=

P 5")=

削d(/・s)〃 (1诘〈〃〉)附

削d(/・s)〃 (1诘〈〃〉)附

，s=—1

，s=—1

T詐帯(T…)

T詐帯(T…)

〈吁* d"s)

〈吁* d"s)

，s=» 0

，s=» 0

-M

-M

(10.50)

(10.50)

k (k + М- 1)! ~М - 1)! Mk

k (k + М- 1)! ~М - 1)! Mk

(10.51)

(10.51)

〈(A/g=⑺(1 +崎卜

〈(A/g=⑺(1 +崎卜

(10.52)

(10.52)

Величина (п)/А1 представляет собой параметр вырождения!).

Рассмотрим теперь частично поляризованный свет. Если Л и /2 ——интенсивности двух линейно-независимых поляризаций гауссова света, то для характеристической функции получаем

здесьздесь连钵)=一匚标『匸击炉;(吟=刀(/)7 (/ = 1, 2).连钵)=一匚标『匸击炉;(吟=刀(/)7 (/ = 1, 2).(10.53)(10.53)(10.54)(10.54)

здесь

здесь

连钵)=一匚标『匸击炉;

(吟=刀(/)7 (/ = 1, 2).

连钵)=一匚标『匸击炉;

(吟=刀(/)7 (/ = 1, 2).

(10.53)

(10.53)

(10.54)

(10.54)

I) Если число М не целое, то вместо факториалов в формулах (10.49)

(10.51) нужно использовать Г-функции.■

Используя (6.56), можем написать, считая для определенности 〈/1〉》(/2) (без нарушения общности изложения), что

〈〃1〉= ^(1+Р)〈м〉，(10.55а)

52〉=4(1-Р)〈*(10.556)

где 〈九〉=〈几 1〉+〈〃2〉・ Записав затем (10.53) в виде

С”)(3)=/、I，(10.56) '7— (п2) L 1 — IS(П1)1 — is (n2)」' 丿

получим [270]-

Р⑺=ТТТУ [ехр(-(1 + 户)《〉) - ехР (—(1，)〈/〉)] (10.57) ；(")=忐[。+击⑺广+告⑺广｝

(10.58) Дисперсия /г отсчетов равна при этом

〈(А〃)2〉=〈吟 一 (n)2 =⑺[1 + ^ (1 + Р)⑺]・(10.59)

Отсюда находим, что М = 2/(1 + 尸2). Если свет полностью поляризован (Р = 1), то получаем формулу (10.44); если свет полностью неполяризован (Р = 0), имеем

<(Ап)2) = (/г>(1+-^)(10.60)

и Л1 = 2.

Другим важным видом оптических полей является свет идеального лазера, интенсивность которого можно считать (по крайней мере приблизительно) идеально стабилизированной. Для идеального лазера распределение интенсивности излучения есть 6-функция, т. е.

Р (/) = 6 (/_〈/〉).(10.61)

Из соотношения фотодетектирования (10.42) в этом случае получаем, что р(/г, Т) есть распределение Пуассона

Р(小 Т) = ^ехр(— (и)).(10.62)

Этот результат можно получить также, используя конфигурационное пространство волновых функций [272] при квантовомеханическом рассмотрении (см, § 1 гл. 13, а также [30, 253]).

Дисперсия числа частиц ((Ди)2) = {п) [в согласии с (10.5)], поскольку для излучения идеального лазера 〈(AW)?〉= 0.

Справедливость распределений (10.43) и (10.62) для случаев хаотического и лазерного излучений подтверждена экспериментами Арекки [41] (см. также [44, 46]) и других авторов (подробно результаты изложены в гл. 17). В § 3 гл. 17 мы дадим в рамках квантовой теории более реальное описание свойств излучения лазера, работающего в режиме, превышающем порог генерации. Это рассмотрение основано на модели суперпозиции когерентного и хаотического полей. Хаотическое излучение в экспериментах Арекки было получено при прохождении света от стабилизированного по амплитуде одномодового гелий-неонового лазера через вращающийся диск, изготовленный из матового стекла. Такое излучение, называемое псевдотепловым, впервые предложили использовать Мартиенсен и Шпиллер [291]. Распределение фотоотсчетов р(п, Т) для хаотического излучения с М степенями свободы, определяемое формулой (10.50), а также соответствующие распределения для поляризованного и неполяризованного света (10.58), экспериментально исследовали Мартиенсен и Шпиллер [292], получившие очень хорошее согласие с теорией. То, что фотоны, излучаемые лазером в режиме ниже порога генерации, подчиняются распределению Бозе ——Эйнштейна, подтвердили в своих экспериментах Фрид и Хаус [153].

Эффект группировки фотонов

Выше мы отметили, что статистика фотоотсчетов в общем случае отличается от статистики Пуассона и что дисперсия флуктуаций числа отсчетов обычно превышает соответствующее значение для распределения Пуассона. Отсюда следует, что фотоэлектроны (а значит, и фотоны) эмиттируются не случайно, а обладают свойствами группировки.

Чтобы описать эффект группировки фотонов, как, впрочем, и эффект корреляции четвертого порядка, впервые наблюдавшийся Хэнбери Брауном и Твиссом, необходимо использовать корреляционную функцию четвертого порядка, которая для линейно-поляризованного света имеет вид

「(2, 2)(%], #2, *1，%2； 0, — Т, 0, —t) = &(/ + "/2(/)〉=

=〈* (f + Т)匕(/ + т) b (f) % (/)〉(10.63) и характеризует таким образом корреляцию интенсивности. В случае хаотического излучения мы должны вычислить корреляционную функцию четвертого порядка гауссовой функции распределения. Ванг и Уленбек [461] и Рид [392], использовавшие методы теории случайных процессов, а также Глаубер [174, 176] в рамках квантовой теории (см. § 1 гл. 17), показали, что

корреляционная функция (т + п)-го порядка для хаотического поля имеет вид

^+")=匕権£卩/)(修,今+i)

(10.64а) где 2 означает суммирование по всем п! возможным перестановкам индексов /г + 1, ..., 2/г (или 1, ..., и). Из уравнения (10.64а) видно, что корреляционная функция 2/г-го порядка для хаотического поля полностью определяется корреляционной функцией второго порядка. Полагая %i 三％2 三...三 x2n 三 ％, получаем

「小叫%%)= ⑺⑴〉=川«(Х))\(10.646)

что согласуется с формулой (10.40).

Используя соотношение (10.64а) в (10.63), находим для корреляции интенсивностей [474]

% (f + т)/2(/)〉= Г11 (0) Г22(0) + |Г12(т) р =

= (/i)(/2)[1+IY12(t) PL (I0.65a)

а для корреляции флуктуаций интенсивности A/i = /]——(/^ и А，2 =，2—〈编 следующее соотношение:

М (/ + DM (f)〉= U/〉- &〉〈厶〉=«〉〈厶〉1 Yi 2 ⑼2. (10.656)

Отсюда видно, что модуль степени когерентности можно определить, измеряя корреляцию флуктуаций интенсивности. Этот результат лежит в основе метода корреляционной интерферометрии.

Если предположить, что свет частично поляризован, то получим [аналогично (10.59)]

〈А厶(f + т) Л/2 (f)〉= I &〉&〉(1 + Р)I Y12 ⑴ 12> (Ю.66)

откуда видно, что измерение корреляции флуктуаций интенсивности может дать также информацию о степени поляризации световых пучков.

Условная вероятность pc(t\t + т)Лт есть вероятность того, что фотоотсчет будет зарегистрирован .в интервале времени (^+ т, f+ т + Лт) при условии, что предыдущий отсчет был зарегистрирован в момент времени t [269]. Вероятность наблюдения фотоотсчета как в момент времени f, так и в .момент / + т внутри интервалов dt и dr равна, очевидно, ^I(t)I{t + ^dt dr, а вероятность того, что два фотоотсчета разделены интервалом времени т, равна〈陋(/)/« +，))〃 dt. Если это выражение разделить на среднее значение вероятности »1 ⑴ dt того, что фотоотсчет произойдет в момент времени t в интервале df, то мы

получим условную вероятность Рс(т) того, что второй фотоотсчет произойдет спустя время т после первого. Таким образом, используя (10.66), имеем

唄〈/(/ + t)/(/)〉dtdT _nU⑺ dt—=

-=т](/(ф[1 +|(1 + P2)I Y(r) I2]dr.(10.67a)

Для полностью поляризованного (P=l) излучения получим рДт)==П</(ф[1+|у(т) I2].(10.676)

Поскольку при t《区=l/Av степень когерентности |у(т) | ^ 1, а при т 玄 tc имеем |у(т) | ^ 0, условная вероятность рс(т) из-

ФИГ. 10. Условная вероятность рс (т) появления второго фотоотсчета в момент времени т при условии, что первый фотоотсчет зарегистрирован в момент времени т = 0 [48].

Экспериментальные результаты приведены для излучения лазера (L) и хаотического света от искусственного источника (G), для получения которого лазерный пучок пропускался через матовое стекло, вращающееся с разными скоростями V.

меняется от 2т)(/(/)) при малых значениях т до т)〈/(/)〉 при больших значениях т. Этот вывод иллюстрирует свойства группировки фотонного пучка. Экспериментально эффект группировки наблюдали Арекки, Гатти и Сона [48], а также Морган и Мандель [326]. Результаты их экспериментов, приведенные на фиг. 10 и 11, находятся в очень хорошем согласии с теоретическими предсказаниями.

В этих экспериментах свет от квазимонохроматического хаотического источника падает на малоинерционный фотоумножитель. После фотоумножителя сигнал поступает на схему совпа-

дений по двум каналам, один из которых содержит линию задержки. Таким образом, на выходе схемы совпадений сигнал возникает только тогда, когда с фотоумножителя поступают импульсы, разделенные временем задержки т. Условная вероятность рс (т) определялась при этом по распределению совпадений отсчетов в зависимости от т. Морган и Мандель для наблюдения эффекта группировки использовали свет от ртутной лампы низкого давления, содержащей изотоп 198Hg; Арекки, Гатти и Сона использовали псевдотепловое излучение, получая

аа0В4 1切 §76 ^720В4 1切 §76 ^72ФИГ. 11. Результаты измерений статистики фотоотсчетов, иллюстрирующие эффект группировки фотонов [326].ФИГ. 11. Результаты измерений статистики фотоотсчетов, иллюстрирующие эффект группировки фотонов [326].

а

а

0В4 1切 §76 ^72

0В4 1切 §76 ^72

ФИГ. 11. Результаты измерений статистики фотоотсчетов, иллюстрирующие эффект группировки фотонов [326].

ФИГ. 11. Результаты измерений статистики фотоотсчетов, иллюстрирующие эффект группировки фотонов [326].

а—излучение высокомонохроматичной (Av « 200 МГц) дуговой ртутной лампы (изотоп l08Hg); б ——излучение обычной вольфрамовой лампы накаливания, широкий спектр которого не позволяет наблюдать корреляцию интенсивности из-за весьма малого времени корреляции. На оси ординат отложена величина, пропорциональная инте

гралу j* рс (т) dx, где т2= const.

5

от лазера хаотическое излучение с помощью вращающегося ма тового стеклянного диска. Эксперименты по измерению временных интервалов между фотоэлектронами, испускаемыми фотодетектором, освещавшимся одномодовым лазером или псевдо- тепловым источником [179], описаны в работе [64]. Все эти экспериментальные данные находятся в очень хорошем согласии с теорией.

Как мы уже показали для лазерного излучения, которое не является гауссовым, корреляция интенсивности (/i (/ + т)/2(0)= =〈/i〉〈，2〉[ср. (10.61)], а корреляция флуктуаций интенсивности (Д/1 (/ + т) Д)2(0) практически равна нулю. Следовательно, Рс(т) = т)(/(/)〉 и эффект группировки должен отсутствовать. Арекки, Гатти и Сона [48] наблюдали это экспериментально (фиг. 10). Можно сказать, что второй член в выражении (10.676), типичный для хаотического излучения, связан с отклонением от статистики Пуассона и вызван эффектом группировки фотонов.

ФИГ. 12. Схема установки для наблюдения корреляции флуктуаций интенсивности.5— тепловой источник света; М — полупрозрачное зеркало; Pi и Р2 —фотоумножители; А{ и Д2 —Усилители; С — коррелятор; В — интегрирующее устроистьо.ФИГ. 12. Схема установки для наблюдения корреляции флуктуаций интенсивности.5— тепловой источник света; М — полупрозрачное зеркало; Pi и Р2 —фотоумножители; А{ и Д2 —Усилители; С — коррелятор; В — интегрирующее устроистьо.Эффект Хэнбери Брауна — Твисса.

ФИГ. 12. Схема установки для наблюдения корреляции флуктуаций интенсивности.

5— тепловой источник света; М — полупрозрачное зеркало; Pi и Р2 —фотоумножители; А{ и Д2 —Усилители; С — коррелятор; В — интегрирующее устроистьо.

ФИГ. 12. Схема установки для наблюдения корреляции флуктуаций интенсивности.

5— тепловой источник света; М — полупрозрачное зеркало; Pi и Р2 —фотоумножители; А{ и Д2 —Усилители; С — коррелятор; В — интегрирующее устроистьо.

Корреляционная интерферометрия четвертого порядка

Корреляцию фотоэлектронов на выходе двух фотодетекторов впервые наблюдали Хэнбери Браун и Твисс [92] в 1956 г. в виде корреляции двух фототоков, рассматриваемых как непрерывные сигналы. Схема их экспериментальной установки показана на фиг. 12. Свет от теплового источника (ртутной лампы) S делится на два пучка полупрозрачным зеркалом М и падает на два фотоумножителя Р\ и 戶2, выходы которых подключены через узкополосные усилители 4 и Л2 к коррелятору С (один из фотоумножителей подвижный, что позволяет изменять время задержки t). Среднее значение произведения флуктуаций интенсивности регистрируется интегрирующим устройством В. Позднее этот эксперимент, используя псевдотепловой источник, повторили Мартиенсен и Шпиллер [291].

Чтобы объяснить результаты эксперимента Хэнбери Брауна ——Твисса, следует глубже изучить физическую модель, связанную с интенсивностью излучения, а не с интегральной интенсивностью.

Дисперсия числа фотоэлектронов на выходе одиночного фотоумножителя в предположении, что свет линейно-поляризован, может быть получена с помощью соотношения фотодетектирования (10.3а): t+T

〈絞〉=〈〃〉+ *『]〈/(，)/(/〃)〉壮，df 〃 = t

T

= S〉+哦 j j〈/(/ + * —/〃)/(/)〉〃 山〃.(10.68)

_о

Здесь 〈гг〉= п〈/〉Т и предполагается, что процесс стационарный. Обозначая тт

Ц ⑺=J J I у (* - f〃)卩 d* 必〃 =2 J (Г —/^ Y(f) ^df, (10.69)

получаем из (10.68), используя также (10.65а), что [263, 264, 269]

〈九2〉=<冷 + 噌 й)2 Г2 + n2 ")2 72 1EL ="

u (n)2 + (n)(l+ (n)屮).(10.70)

Поскольку |丫(，一 f〃)|《l, то E(T)《T, и если T <C l/Av, то Y(t) практически равно единице и 自(Т)^Т. Следовательно, дисперсия числа фотоэлектронов, определяемая формулой (10.70), согласуется с выражением (10.44). Однако если 7》l/Av, то, поскольку у(т) #= 0 лишь в интервале т порядка нескольких отрезков времени 1/Av, справедливо выражение

'+оо

乳T)*W(8)=『丨 Y(川2因(10.71)

которое можно рассматривать как одно из определений времени когерентности тс [ср. (2.53)] [263, 264, 269].

Из (10.70) получаем дисперсию числа бозонов, распределенных по Т/хс ячейкам фазового пространства длиной стс：

《“)2)=(力(1+〈枕〉争).■(10.72)

Распределение фотоотсчетов (10.50) для М = Т/тс имеет вид р(")=瑞療。+』П】+ 用 Г'，(073) где вместо факториалов записана Г-функция, поскольку число Т/тс не целое. Можно показать [61], что эта формула справед* лива не только при Т》тс, но и дает очень хорошее приближение при всех значениях Т. Аналогичный результат был получен для суперпозиции когерентного и хаотического света в работах [509, 510, 528, 532].

Отклонения статистики фотоотсчетов от классической статистики Пуассона (справедливой в случае излучения идеального лазера), для которой ((Дп)2) =〈〃〉, зависят от параметра вы* рождения

6к^Н = П〈/〉Х(10.74)

который равен среднему числу фотоотсчетов на ячейку фазового пространства; как мы отмечали, S《 1 для теплового излучения и 6 » 1 для излучения лазера. Поскольку для теплового излучения 5《1, измерить непосредственно «избыточный» шум фотонов в этом случае довольно трудно. Для псевдотеплового излучения положение значительно лучше.

Корреляцию между фотоотсчетами двух фотодетекторов можно рассчитать аналогичным образом:

t + T

(%出〉=口力 J j Ui (/)厶(/〃)〉必‘山"=

=wf J «I (/ +，一 /〃)‘2 (f)〉df dr. (10.75) о

Предполагая, что для излучения выполняется условие взаимной спектральной чистоты 丫12(，) = У12(0)уц(т), получаем

3"2〉=〈%〉依〉(1 +-ЦЯ(V12(0) I2)(Ю.76а)

и

〈АЗ A电〉=屮I Y12(0) |2依〉依〉.(10.766)

Нормированная корреляция флуктуаций фотоотсчетов имеет вид 储А 隱霁％泌■ =Y12 (0) I2,(10.77)

[〈(△勿)2〉〈(A&)2〉]/21 + 6

где параметр вырождения 6 определен формулой (10.74) (〈/г)=〈几2〉)・ Поскольку для тепловых .источников 6 ^ 10~3, такую корреляцию в тепловом поле излучения наблюдать очень трудно. Для псевдотеплового излучения условия наблюдения значительно лучше, так как 61012.

В случае частично поляризованного излучения, используя (10.66), получаем, что

<(W) = (n)[l +1(1+Р2) {П)^])(ю.78а)

〈A% AQ =異 + Р2) S〉〈心 Yi 2 (。) F 導.(Ю.786)

Ранее отмечалось, что результаты измерений Хэнбери Брауна и Твисса выражены через классические непрерывные сигналы фотодетекторов — фототоки, а не через число частиц (фотоэлектронов) .При достаточно больших фототоках числа П] и п2 фотоэлектронов пропорциональны фототокам Si(f) и S2(t) на выходе каждого из фотодетекторов, а Т играет роль «времени разрешения». Корреляцию флуктуаций фототоков можно записать в виде

〈AS】 AS, = у 1 + 卩)〈s>〈S2〉I % 2 (0) I?屮，(Ю.79)

а дисперсия ((AS)2) равна 〈AS】 AS?〉1%尸的.Выражение (10.79) совпадает с (10.786). Член, соответствующий 〈/г〉в (10.78) и яв、 ляющийся типично квантовым； здесь отсутствует. Этот резуль-

тат можно рассматривать как следствие того, что в приближе* нии сильного поля последние члены в (10.17) являются преобла-、 дающими, и поэтому первым членом в (10.78а) можно пренебречь.

Для хаотического света кумулянты, определенные в § 1 настоящей главы, равны [269]

乂产=〈/",

т

喂= 0-1)!⑺」…1Y仏一幻m为一外… о

...、& —t〉dt\ …dtj (/>2).(10.80)

Выражения для кумулянтов мы выведем в § 1 гл. 17.

Эксперименты, использующие вместо корреляционной техники технику совпадений, выполнили Твисс, Литтл и Хэнбери Браун [456], Твисс и Литтл [455], Ребка и Паунд [391], Браннен, Фергюсон и Велау [89], Мартиенсен и Шпиллер [291] и многие другие.

Запишем условную вероятность /?с(т) для негауссова излучения в виде

гдегде历⑺=П2 KQ %〉+〈AL (/ + т) Д/2(ф]==哦〈公〈厶〉(1+1&2(工)|2),历⑺=П2 KQ %〉+〈AL (/ + т) Д/2(ф]==哦〈公〈厶〉(1+1&2(工)|2),IS⑺ l2 =IS⑺ l2 =(AL(f+ т) А 厶⑴〉^Ш5(AL(f+ т) А 厶⑴〉^Ш5(10.81)(10.82)(10.81)(10.82)

где

где

历⑺=П2 KQ %〉+〈AL (/ + т) Д/2(ф]=

=哦〈公〈厶〉(1+1&2(工)|2),

历⑺=П2 KQ %〉+〈AL (/ + т) Д/2(ф]=

=哦〈公〈厶〉(1+1&2(工)|2),

IS⑺ l2 =

IS⑺ l2 =

(AL(f+ т) А 厶⑴〉^Ш5

(AL(f+ т) А 厶⑴〉^Ш5

(10.81)

(10.82)

(10.81)

(10.82)

Для теплового излучения |^i 2(т) | = |yi 2(т) |. В случае стационарных полей корреляция фотоотсчетов дается формулой

т

〈修电〉=〈小〉〈"2〉+ n小 J J〈A/1 r)а厶(f")〉d* 成"，(10.83)о

а корреляция флуктуаций равна

〈А% ДП2)=〈小〉〈电>¥.(10.81)

Здесь

реляционного интерферометрареляционного интерферометраФИГ. 13. Схема звездного корреляционного интерферометра.и М? — зеркала; Pi н Р2—фотодетекторы；и Л2—усилители; т —линия задержки;коррелятор; В —интегрирующее устрой-ФИГ. 13. Схема звездного корреляционного интерферометра.и М? — зеркала; Pi н Р2—фотодетекторы；и Л2—усилители; т —линия задержки;коррелятор; В —интегрирующее устрой-результатырезультатыполучаемыеполучаемыество.ство.Корреляционный метод имеетКорреляционный метод имеет

реляционного интерферометра

реляционного интерферометра

ФИГ. 13. Схема звездного корреляционного интерферометра.

и М? — зеркала; Pi н Р2—фотодетекторы；

и Л2—усилители; т —линия задержки;

коррелятор; В —интегрирующее устрой-

ФИГ. 13. Схема звездного корреляционного интерферометра.

и М? — зеркала; Pi н Р2—фотодетекторы；

и Л2—усилители; т —линия задержки;

коррелятор; В —интегрирующее устрой-

результаты

результаты

получаемые

получаемые

ство.

ство.

Корреляционный метод имеет

Корреляционный метод имеет

^ 0 и, следовательно, (AniAn2) ^ 0. В этом случае не наблюдается отклонений статистики фотоотсчетов от классической статистики Пуассона.

Корреляционная техника, лежащая в основе корреляционной интерферометрии, была применена Хэнбери Брауном и Твиссом для измерения угловых диаметров звезд [93, 97, 98]. Схема кор- интенсивности приведена на фиг. 13. Как видно из формулы (10.79), такие корреляционные измерения позволяют определить |丫12(。)| путем изменения расстояния d между зеркалами, причем

имеют вид кривой, показанной на фиг. 7. Угловой ра-

диус звезды можно определить способом, описанным для случая звездного интерферометра Майкельсона (гл. 3). Недавно большой звездный интерферометр был построен в Наррабри (Австралия) [90] (см. также [483]). Обзор применений интерферометрии интенсивности в физике и астрономии дан в статье [454].

некоторые преимущества при

измерении угловых диаметров звезд по сравнению с методом звездного интерферометра Майкельсона. При корреляционных измерениях имеют дело с интенсивностью излучения / = | V|2, которая меняется медленно по сравнению с быстро меняющейся амплитудой V, а фаза величины V в формулах отсутствует (степень когерентности входит в формулы только в виде модуля |丫12(0)|)・ Следовательно, фазовые искажения, возникающие, например, вследствие турбулентности атмосферы, изменения ее

показателя преломления и т. п., не влияют на результаты корреляционных измерений, тогда как при измерениях на звездном интерферометре Майкельсона они в принципе недопустимы. Кроме того, в корреляционном интерферометре можно использовать гораздо большие расстояния d, чем в интерферометре Майкельсона, что позволяет измерять звезды очень малых угловых размеров.

С другой стороны, в корелляционных измерениях теряется информация о фазе степени когерентности, хотя такие измере-

ния (как и измерения эффекта группировки фотонов) содержат, как уже указывалось, информацию о поляризации и модуле степени когерентности. Задача о восстановлении фазы степени когерентное™ обсуждалась в § 4 гл. 4. Некоторую информацию о спектре поля можно получить из спектра h(y) величины |丫(,) |2, если измерить условную вероятность рс(т) [268, 269, 279, 423, 482], поскольку

A(v) = J I у (т) |2 exp(Z2n;VT)dr = | g (v') g (vz + v) dv\ (10.86) —oo 0

Здесь g ——нормированный энергетический спектр излучения. Экспериментальный метод восстановления фазы степени когерентности у, использующий корреляционную функцию шестого порядка, был предложен Гамо [163, 164] (см. также [269]). Некоторые другие экспериментальные возможности определения фазы величины 丫 обсуждались в § 4 гл. 4.

Наконец, отметим, что интересное применение техники корреляции интенсивности в задаче рассеяния излучения с целью определения фазы матрицы рассеяния обсуждали Гольдбергер, Льюис и Ватсон [183] и Гольдбергер и Ватсон [185, 186]. Различные приложения метода флуктуаций интенсивности к анализу спектров изучали Гольдбергер, Льюис и Ватсон [184]. Корреляцию интенсивности для измерения ширины линии применили Филлипс, Клейман и Дэвис [381]; измерение ширины линии по данным статистики фотоотсчетов выполнили Джейкмен, Оливер и Пайк [211]. Роль коммутатора поля фотонов в квантовой теории корреляции интенсивности обсуждалась в работе [333], а флуктуации интенсивности пучков в пространстве и времени рассматривались в работе Конвея [117] (на основе результатов Гольдбергера и др.).

Эффекты когерентности высших порядков

Мы видели, что хаотическое излучение можно описать гауссовой функцией распределения вероятности, которая полностью определяется корреляционной функцией второго порядка (момент первого порядка равен нулю). Для полного описания статистики негауссова излучения (например, лазерного) необходимо знать моменты (корреляционные функции) всех порядков. Корреляционные функции высших порядков в принципе можно измерять, используя схему многоточечной регистрации.

Рассмотрим систему из ^ фотодетекторов, освещаемую nyq« ком частично когерентного линейно-поляризованного света. Если tij есть число отсчетов, зарегистрированное /-м фотодетектором в интервале времени (厶，厶 + Т；), то, согласно (10,3а),

P®…， 几T1，■…，Tn, 乙，■..，/yv)=

(10.87)

Здесь T)；——квантовый выход /-го фотодетектора, а

吃(T/,川=J 〃®，4)叫.吃(T/,川=J 〃®，4)叫.(10.88)(10.88)

吃(T/,川=J 〃®，4)叫.

吃(T/,川=J 〃®，4)叫.

(10.88)

(10.88)

Угловые скобки в (10.87)) означают усреднение по Ммерному распределению вероятности 尸(闪卜...,WN). Как и ранее, введем характеристическую функцию

c({"/»(Q/D =〈дехр(%"»==

= ^Р(Ы，[Т^ 固)JJexp(i%“)， (10.89)

U/}

где (nJ ^ (/?!，..., nN). Используя (10.87), получаем, что

С(^ ({%}) = С(М/})(尻(声/ — 1)});(10.90)

здесь

С({，})({“/}) =〈R ехр(й]/Л：М)) =

N

=?Р({叫{Т/}，囿)n(l + F)Z (10・91)

{〃/}К

Корреляция числа отсчетов имеет видКорреляция числа отсчетов имеет вид

Корреляция числа отсчетов имеет вид

Корреляция числа отсчетов имеет вид

=Q • • • hN J • • •

川+Tn

j 「(*1'К N、“N，％1；力，％, %,・••，/1) X

tN

XM・・・d%, (10.92)

где F(n，N)一 корреляционная функция 2?V-ro порядка. Корреляция фотоотсчетов полностью определяется корреляционной функцией 2N-ro порядка, и если поле стационарное, то можно

М г/

заменить J . .. на J • • • • В этом случае корреляционная 力о

функция дается формулой.

(10.93)(10.93)F(M М (%[..., %N，%№，•••，*1； 丁1，•…，Т N，Т N，7：

(10.93)

(10.93)

ОТ】•• • ОТn % • "%

(10.94)(10.94)Записывая (10.92) в виде

(10.94)

(10.94)

(10.95)(10.95)(ni • • • n^) = 5 • • • П%〈％ …呼N〉‘ видим, что

(10.95)

(10.95)

корреля-корреля-〈А/2[ . . . А/2%〉= 口 • • • *Hn〈厶呼1 • • • A 取N〉・

корреля-

корреля-

Поскольку для лазерного излучения А步 а 0, для нег( ция флуктуаций очень мала.

Некоторые применения этих формул для ^мерного распределения в случае детектирования гауссова света изучал Бедард [60], который показал, что информацию о профиле спектральных линий излучения можно получить, зная трехточечную совместную функцию распределения вероятности фотоотсчетов. Двухточечное распределение фотоотсчетов для гауссова излучения экспериментально исследовали Арекки, Берне и Сона [45]. Давидсон и Мандель [125] (см. также [503]) непосредственно измерили корреляционную функцию шестого порядка, а Чанг, Детен- бек, Коренман, Эллей и Хочули [113], Чанг, Коренман и Детен* бек [115] и Чанг, Коренман, Эллей и Детенбек [114] измерили

кумулянты 乂界),乂界)и 乂")второго, третьего и четвертого порядков для излучения лазера, работающего в пороговом режиме генерации. Арекки [42] измерил третий приведенный факториальный момент Н3 = ((п(п — 1) (п — 2)))/{п}3 — 1.

Строгий подход к изучению когерентных свойств оптических полей, включающий рассмотрение эффектов корреляции высших порядков и основанный на методах теории случайных процессов, был предложен Пикинбоно и Больо [385, 84]. Эти авторы особое внимание уделили изучению экспериментальных результатов, описываемых корреляционной функцией четвертого порядка. Руссо [411] в рамках теории случайных процессов исследовал статистические свойства фотоэлектронов для ряда частных моделей поля излучения.

Таким образом, мы завершили классическое и полуклассиче- ское рассмотрение свойств когерентности оптических полей. Следующие главы мы посзятим квантовому описанию (с применением квантовой электродинамики) статистических свойств полей, а также установлению связи между классическим и квантовым описаниями.

Глава 11

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ

ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

В результате дальнейшего совершенствования измерительной техники и разработки новых приборов (в частности, схем совпадений) стала возможной регистрация отдельных фотонов, что позволяет, например, исследовать статистические характеристики поля излучения. В отличие от более ранних исследований, когда вследствие малости квантового выхода детектора требовались интенсивные световые пучки, а сигнал на выходе фотодетекторов представлял собой фототок, в настоящее время можно непосредственно изучать корпускулярный характер электро^ магнитного поля. В связи с этим становится очевидным преимущество описания явлений когерентности светового поля методами квантовой электродинамики, когда оператор поля соответствует классической амплитуде, а частицы (фотоны) — интенсивности поля. Хорошо известно, что указанное соответствие выполняется при вторичном квантовании поля.

Обычно квантовая электродинамика формулируется на основе теории возмущений и поэтому описывает процессы с участием небольшого числа частиц. Рассмотрение процессов с участием большого числа частиц связано со значительными математическими трудностями, и вследствие этого, строго говоря, переход к классическому пределу в квантовой электродинамике полностью еще не выполнен. В то же время изучение таких процессов, как явление когерентности, требует рассмотрения большого числа фотонов, поведение которых в пространстве и во времени взаимосвязано. (Именно такое рассмотрение может объяснить действие лазерных источников света — типичных нелинейных устройств, работающих в условиях, когда интенсивность поля излучения велика.) Следовательно, необходимо сформулировать квантовую электродинамику таким образом, чтобы переход к классическому пределу был отчетливо ясен. Поэтому для описания поля следует использовать не фоковские состояния, лежащие в основе обычной формулировки квантовой электродинамики, а так называемые когерентные состояния. Эти когерентные состояния суть линейные комбинации фоковских состояний и обладают тем преимуществом, что они в явном виде сохраняют информацию о фазовых характеристиках поля, которая теряется

при использовании фоковских состояний. Введение когерентных состояний позволяет к тому же проследить формальное соответствие между квантовым и классическим описаниями поля излучения (разумеется, это ничего не говорит о физической эквивалентности двух описаний). Вообще можно сказать, что классическое рассмотрение непригодно для описания результатов тех измерений, которые чувствительны к флуктуациям физического вакуума. Подобные измерения описываются функциями операторов поля, упорядоченных другим способом по сравнению с обычным нормальным упорядочением. При нормальном упорядочении все операторы рождения стоят слева от операторов уничтожения и среднее по вакууму равно нулю; при других способах упорядочения среднее по вакууму значение произведения может быть и не равно нулю. Основы квантовой теории оптической когерентности в рамках представления о когерентных состояниях впервые сформулировал Глаубер в 1963 г. [173—176, 180, 181].

В дальнейшем мы не будем рассматривать механизм фотоэмиссии и роль когерентности в этом процессе. Основное внимание уделим изучению распространения фотонов в пространстве и во времени, т. е. проблеме когерентности свободных полей (уравнения Максвелла рассматриваются для операторов напряженностей электрического и магнитного полей Е и 勿 в отсутствие источников). Как было указано в гл. 1, выяснение роли когерентности в процессах взаимодействия излучения с веществом лежит вне рамок данной книги. •

Квантовое описание поля

В настоящей главе мы изложим основные понятия и результаты теории вторичного квантования электромагнитного поля в вакууме (более полное изложение см. в монографиях [2, 7, 9, 27,21]).

В квантовой теории электромагнитного поля напряженности электрического и магнитного полей £ и Я рассматриваются как операторы в пространстве состояний, которые описывают поле. Эти величины, удовлетворяющие уравнениям Максвелла, связаны с оператором векторного потенциала Д соотношениями

自=Т芻， (11」а)

я = V х а. (11.16)

Предполагая, что поле заключено в нормировочном объеме L3 и удовлетворяет периодическим граничным условиям, можно

представить оператор векторного потенциала А в виде 公⑴_(厶7 siw {е⑶(用族s exp 卩 3 • % — ckf)] + A s=l

+ e(” * 3) di exp [—，传力一c砌]}. (11.2)

Здесь aks——оператор уничтожения фотона с импульсом 方々 и поляризацией s, ats ——оператор рождения фотона, эрмитово сопряженный aks. Операторы 6 и 6+ подчиняются следующим правилам коммутации:'

[% @初=6的, [。戸 %] = [筱,蹂]=0,(11.3)

где 九三(瓦 s)——индекс моды, [Л, В] = ЛВ — ВА есть коммутатор операторов Л, В и “N = “h&sJ Единичный вектор поляризации е($)(左)удовлетворяет соотношениям

е($)*® •«)3)= 6s$,,(11.4а)

jfc・e(s)3) = 0,(11.46)

т. е. e(D, е。) и klk (々=|左|) образуют ортонюрмированную систему векторов 2

2罐)*但)階)3)+警=% (И, v=l, 2, 3).(11.5)

S=1

В выражении (11.2) присутствует только поперечная поляризация (s=l, 2), поскольку на оператор А наложено условие div А = 0 (кулоновская калибровка) [2].

'Определим оператор числа фотонов п = 6+6 в данной моде (индекс моды X для простоты опущен). Используя правила коммутации (11.3), получаем

[d"] = d,(11.6а)

[и, &+] = &+.(11.66)

Повторное использование этих соотношений дает

/Мт = а,п (п — т),(11.7а)

加+m=@+m(论 + 向 (m=0, 1, 2, ...),(11.76)

а также

@+m加=包力-1) •..伊一/n + 1),(11.8а)

М@+т = (〃+ [)(论+ 2)…(论+ 烟.(11.86)

Предположим, что существует собственный вектор \п) оператора числа фотонов п, такой, чго

们/2〉= 儿|*(11.9)

где п ——действительное число. Из этого уравнения следует равенство {п\п\п) = п{п\п)у где {п\——вектор состояния, эрмитово сопряженный вектору |/г〉. Таким образом,

{п\а+й\п}{п\а+й\п}>0.>0.

{п\а+й\п}

{п\а+й\п}

>0.

>0.

Далее, если \п) есть собственный вектор оператора /г, то из (11.7а) получаем

а^й (&k In〉)= (〃一©(» in)),

т. е. вектор состояния (ah\n)) является также собственным вектором оператора п с собственными значениями (и ——论)для 归= =0, 1, 2, ... . Поскольку /г ^ 0, число п должно быть целым положительным или нулем, ограничивающим эту последовательность. Из (11.76) видно, что все целые числа являются собственными значениями оператора и, так как 〃(&+* | 〃〉) = (〃+左)X X (6+&|/г〉) для ^ = 0, 1, 2,...・ Основное состояние {вакуум) может быть определено как состояние, для которого п = 0. Поэтому, используя (11.76), имеем /1 (&+也 |0〉)=々(d+*|0〉)，т. е. вектор состояния 6+尼|0〉должен быть пропорционален вектору \k). Из (11.86) следует, что (0 |dM+^ |0) = ^!. Таким образом, можно определить нормированные векторы состояний

1冷=焉"〃|0〉.(n.Ю)

Эти векторы называются фоковскими векторами состояний, или векторами состояний в пространстве чисел заполнения. Очевидно, что такие векторы ортонормированы, т. е. (n|/n) = 8nmt и выполняются следующие соотношения:

й+|и)=/^+Т|п+ 1),(11.11а)

d|n>=/n |и— I).(11.116)

Для стабильности вакуума должно выполняться условие d|0)= =0. Уравнения (11.11) показывают, что операторы &+ и 2 действительно могут быть названы операторами рождения и уничтожения фотонов. Если записать гамильтониан поля в виде

后尸歳J6+应2）也L3后尸歳J6+应2）也L3(11.12)(11.12)

后尸歳J6+应2）也L3

后尸歳J6+应2）也L3

(11.12)

(11.12)

то, используя (11.2) и (11.1), получаем

HF = ^hK+^h^(11.13)

где ①入=kc. Этот оператор с точностью до аддитивной постоянной 工(力①J2) (энергия физического вакуума) является гамильтонианом системы динамически независимых гармонических осцилляторов с энергиями 几入方①九.Введем канонические переменные р и q с помощью соотношений

"=7^®° + /

1(U.I4)

откуда

片■/备3 +*），

少（UM

夕= 一 ]/"伍一介）.

Операторы 夕 и 夕 подчиняются правилу коммутации

［仇川=访.(11,16)

Тогда (11.13) дает

弘=，X/ +啲乳•（U・17）

откуда ясно видно, что свободное электромагнитное поле эквивалентно набору бесконечного числа гармонических осцилляторов. Этот результат, полученный Дираком, лежит в основе квантовой электродинамики.

Векторы \п) для всех “ образуют полную ортонормирован- ную систему, для которой выполняется условие полноты (условие разложимости единицы):

*|〃〉SI = i； (H.I8)

здесь 1 — единичный оператор. Следовательно, любой вектор состояния I ) можно разложить по векторам |/г).:

гдегдеCk = (^ I )•Ck = (^ I )•(11.19)

где

где

Ck = (^ I )•

Ck = (^ I )•

(11.20)

Пространство, натянутое на такие векторы, есть обычное пространство Фока в квантовой теории поля. Почти все результаты квантовой электродинамики могут быть получены, если использовать это представление. Однако, как уже отмечалось, рассмотренная формулировка не дает информации о фазе поля.

В прежних исследованиях это было неважно, поскольку информация о фазе играла незначительную роль. При обсуждении же вопросов когерентности информация о фазе жизненно необходима, и, чтобы сохранить ее, нужно ввести так называемые когерентные состояния. Эти состояния являются удобными при рассмотрении классического предела квантовой электродинамики, когда поля сильные и п велико и неопределенно.

Так как классическое поле действительно, то оператор векторного потенциала А является эрмитовым (А+ = А), Из (11.2) видно, что А (а также £ и Я) можно представить в виде суммы положительно-частотной части %(+)и отрицательно-частотной части A㈠：

А = Ам + А{-\(11.21)

где

&+)⑴=Z^£ Е 今 e(s)(电柒$ exp [i ® % — c砌](11.22)

и 4м = [Л(+)]+. Следовательно, операторы А(+) и 庁(一)также представляют собой операторы уничтожения и рождения. Они соответствуют классическим полям V и V* и играют важную роль при рассмотрении процессов детектирования полей. В связи с этим разложение оператора поля А на две комплексные величины является основным в квантовой теории, в то время как в ” классической теории подобное описание поля в большой степени связано с математическим удобством. В классической теории, где пренебрегают энергиями, сравнимыми с квантом 方со, невозможно отличить поглощение от излучения, т. е. может быть из мерена только действительная часть комплексного поля А(+) ОС другой стороны, в квантовой теории атомы можно рассматривать как детекторы, позволяющие измерять оператор уничтожения %(+), если атомы находятся в невозбужденных состояниях, и оператор рождения 月(一),если они находятся в возбужденных состояниях.

Для описания процесса детектирования электромагнитного поля введем так называемый оператор детектирования ([27],, § Ю, [275])

А (х) = L 2 е⑻(*) Aks exp [« х — ckt)]t (11.23) k, s

который тесно связан с положительно-частотной частью оператора векторного потенциала. Оператор числа фотонов п, лока-

Имеется в виду измерение соответствующей физической величины.—— Прим, перев.

лизованных в конечном объеме V, линейные размеры которого велики по сравнению с длиной волны, имеет вид

/^=J А+(х)-A(x)rf3x.(11.24а)

откуда для V = U получаем

自=§6：象.，(11.246)

В случае квазимонохроматических полей, обычно используемых на практике, все операторы Е(+), Н(+\ А(+)и А пропорциональны один другому.

Статистические состояния

С квантовомеханической точки зрения вся информация о статистике квантовой системы содержится в матрице плотности р, которая является эрмитовой (р+ — р, см., например, [18]). Матрица плотности может быть разложена по фоковским состояниям в виде

р = 2 р (и, /п) I n) {m I, .(11.25)

где р(м, т)=〈孔|0|加〉,поскольку (n|/n) = 8пт)причем выполняется условие нормировки

Sp р = 1, или Ер(“，几)=1・(11.26)

п

Чистое состояние поля, содержащее “ фотонов, описывается матрицей плотности р = |/г)(п|.

В качестве примера рассмотрим равновесное тепловое излу* чение при температуре Т. Обозначая © = Ьз1КТ, где К ——постоянная Больцмана, имеем

Р= £ Р(%)1 力〈们；(11.27)

"=0 здесь

р (n) ^ р (и, /г) = [ 1 — ехр (—©)] ехр (—п0).(11.28)

Отсюда, используя условие полноты (11.18), можем записать, что

0 =工[1 — ехр(—®)]ехр(—9d+d)| п) (и | = "==0

/ а \ ехp (Д-

Е"ехр(Т)]ехр{_而仆“卜吁鼻叫，(11-29)

где Й есть перенормированный гамильтониан. Среднее значение оператора /г равно

(й) = Sp {微+d} = Е 九exp (— и©) [1 — ехр(—0)]= %=о

=Т 1 _ exp (―®)]备 1_ ex；(一广 ^=T =〈办(1L3。)

Таким образом для средней энергии 〈U〉получаем

=(11.31)

Из (11.28) находим выражение для матричных элементов ма

(11.32)(11.32)трицы плотности ,、(п}п

(11.32)

(11.32)

Pd)W后严‘

которое представляет собой хорошо известное распределение Бозе ——Эйнштейна. Квантовая характеристическая функция при этом имеет вид

Sp[pexp(M) = £制嘴〉.『=

(11.33)(11.33)1 —〈/г〉[exp (氏)一1]1 —〈/г〉[exp (氏)一1]%=о

(11.33)

(11.33)

1 —〈/г〉[exp (氏)一1]

1 —〈/г〉[exp (氏)一1]

Р ⑺= S〉“exp (-⑺)

(11.34)

получаем

Sp {рй} =〈〃〉

(11.35a)

Sp (рехр(/хй)} =exp[(e‘*— 1) (n)].

(11.356)

+ ⑷"Т^уехр ⑺

Аналогичным образом для распределения Пуассона

Описание многомодового поля

Для описания многомодового поля введем векторы фоков- ских состояний

1Ы)^П|пО，(11.36)

для которых выполняется условие полноты

育"2〈闲1・（И.37）

Матрица плотности в этом случае имеет вид

0飞焉pg'…{小^⑴餌

где p({nx}, {mJ) = ({nx} I р|{^х}). Чистое состояние поля описывается матрицей плотности р = |{nj)({m}|.

Вычисление коммутаторов операторов поля

Соответствие между классическими полями и операторами поля определяется правилами коммутации (11.3). Однако иногда необходимо знать правила коммутации для операторов, -являющихся функциями координат и времени, таких, как At Et Н и т. д. Поэтому выведем здесь некоторые из них с тем, чтобы использовать их в дальнейших расчетах. Достаточно вывести правила коммутации для операторов А и А, поскольку правила коммутации для Е и Н следуют из соотношений (11.1).

Используя (11.2), (11.3) и (11.5), получаем

凤(х), 4⑺]=争，書巡(同歐(论)X

论,S

X {exp[f^(x — %')] — exp[— ik (x — Z)])=

(11.39)

(здесь 々% =店•% - kct) и

[冲)(х),彳『(〃)]=^!1 工 у 铝)(*)吧'3) exp [/ (% — %')]= k, s

= ~p~ 1 万卜卩 v^)ехр[/(% — %')].(11.40)

k

Правило коммутации для оператора детектирования (11.23) дается формулой

[Аи (х),舗(У)] = 77 工卜卩V^")exp[z%a — л7)], (11.41) k

которая для / = f сводится к

[Аи (х, f), Av (x\ /)] =

- 6仪6 (力 一 炉)一蒜 /争 expW . (* - 廿)]0瓦(11.42)

В этом выражении сумма 2 заменена интегралом (L/2n)з j •…d3g. Нетрудно видеть, что [4+,W，£+Q)] = M『“)，д7(/)] =

= [&(%), Av (/)] = [ А； (х), АЯ/)] = 0. (11.43)

Функции в правой части формул (11.39)——(11.42) являются сингулярными функциями, которые равны нулю вне светового конуса, т. е. при (х — х^) > c2(t ——Г)2, поскольку измерения полей в такой паре точек, произведенные с любой степенью точности, не влияют друг на друга [напомним, что если два оператора А и 5 удовлетворяют правилу коммутации [А, В] = С, то {(^А)2){(^В)2) ^|С|2/4; ср. (13.24)]. Иначе говоря, это есть выражение принципа причинности в квантовой электродинамике (сигналы не могут распространяться со скоростью больше скорости света в вакууме) [409].

По аналогии с правилами коммутации (11.6) можно вывести следующие правила коммутации [277]:

(#, 0 «соединимо» с 亿，)，(х, /) «не соединимо» с (V,，)(#, 0 «соединимо» с 亿，)，(х, /) «не соединимо» с (V,，)(11.44а)(11.44а)[А (%, /), /1^"=

(#, 0 «соединимо» с 亿，)，

(х, /) «не соединимо» с (V,，)

(#, 0 «соединимо» с 亿，)，

(х, /) «не соединимо» с (V,，)

(11.44а)

(11.44а)

А (х, /), если

[〃иУ, А+ (х, f)]=—f А+ (х, /), еслиI 0, если[〃иУ, А+ (х, f)]=—f А+ (х, /), еслиI 0, еслиI 0, если и

[〃иУ, А+ (х, f)]=

—f А+ (х, /), если

I 0, если

[〃иУ, А+ (х, f)]=

—f А+ (х, /), если

I 0, если

(% 0 «соединимо» с (匕，)，(“ ^^

(х, t) «не соединимо» с (У,，).

Термины «соединимо» и «не соединимо»!) определяются следующим образом [277]. Определим функцию U(х, V) = 1, если хе V, и U = 0, если x0 V; тогда говорят, что (х,/) «соединимо» с (V, f), если U(х\ 1/)=1, и 《не соединимо», если U(л/, V) = 0, где xf = х — ck(t — tf)/\k\.

Временная эволюция в квантовой электродинамике

Хорошо известно, что в квантовой электродинамике состояние поля описывается векторами гильбертова пространства состояний. Эволюция состояния во времени может быть описана либо как изменение со временем вектора в пространстве, если

система координат фиксирована (шредингеровское представление), либо как изменение со временем системы координат, если вектор состояния не меняется (гейзенберговское представление).

В шредингеровском представлении уравнение Шредингера для вектора состояния |2(/)〉имеет вид

历詛2(f)〉= 〃 伸(力，(И.45а)

где Й ——гамильтониан, не зависящий от времени. Для любого оператора 戶，не зависящего от времени, можно написать уравнение

一访祭=0.(11.456)

Осуществляя канонические преобразования

户(/) = ехр卜 粤)戶ехр( —i整)，(ll・46a)

丨 2(f)〉= exp(—i粤)| 2〉，(11.466)

которые связывают величины в шредингеровском и гейзенберговском представлениях, получаем для гейзенберговского представления

T力导户(力=自 户(方)],(и.47a)

/й2Ж = 0.(11.476)

Для матрицы плотности р в шредингеровском представлении имеем уравнение

/需=[庆 0(川，(П.48а)

а в гейзенберговском — уравнение

访需=0.(11.486)

Таким образом,

Р (0 = exp(Т粤)О (0) expg半)・(11.49)

Для вычисления среднего значения какого-либо оператора 戶(/) применяется следующее выражение:

Sp(pF(O) = Sp{pexp(z 卒)戶 exp(—i毕)}=

=Sp卜xp(T率)0 exp «")尸卜 Sp 丛(/)户}.(11.50)

Иногда удобно использовать представление взаимодействия. Если Я = Яо + Hi, где Яо — гамильтониан свободных полей

a Hi ——гамильтониан взаимодействия, то

访生产_ =能.1力(力，(11.51а)

一访普产=[瓦，歹(f)]；(11.516)

здесь人

|e(力=时g隼)12(f)〉，(n.52а)

捲力=exp(i ~^^)/7» ехр (— i~^^),(11.526)

歹(f) = ехр(/ 攀)戶ехр (—2岑)・(11.52в)

Решение уравнения Шредингера (11.45а) (где R, вообще говоря, зависит от времени t) можно записать в виде

\^(t))^S(t)\^(O))t(Н.53)

где *§(/)—унитарный оператор эволюции системы во времени,. подчиняющийся уравнению Шредингера

ih^^- = H(t)S(t).(11.54) •

Решая это уравнение методом теории возмущений и используя начальное условие 3(0) = 1 (см., например, [2]), получаем

S(t)= fехр 一^ J 百(，)d，= -0-

= e*(-£)：■・-产历(幻…后(幻｝喝%；(11.55) п=00

здесь Т — оператор хронологического упорядочения. Этот оператор переставляет сомножители в каждом из операторных произведений таким образом, что они перемножаются в порядке (справа налево), возрастания аргумента f.

Глава 12

КВАНТОВЫЕ ЭФФЕКТЫ ОПТИЧЕСКОЙ КОРРЕЛЯЦИИ

Изложив основы квантового формализма, изучим теперь эффекты когерентности с квантовомеханической точки зрения, а также покажем, какие эксперименты описываются квантовыми корреляционными- функциями. Будем считать, что световое поле регистрируется детекторами, состоящими из атомов, которые находятся в основном состоянии и поэтому регистрируют фотоны при поглощении. К таким устройствам относятся фотодетекторы, фотопластинки и т. д.

Квантовые корреляционные функции

Рассмотрим идеальный детектор, размеры которого достаточно малы (по сравнению с длиной волны света) и чувствительность которого не зависит от частоты фотона. Таким детектором поля излучения может служить, например, отдельный атом. Пусть начальное состояние поля характеризуется вектором |i〉，а атом первоначально находится в основном состоянии. Если \f) — конечное состояние поля после поглощения фотона, описываемого оператором уничтожения %(+)(%) (предполагаем, что попе линейно поляризовано), то амплитуда вероятности перехода равна 〈/I "(+)(%) I i〉・ Вероятность перехода поля излучения из состояния |i〉в состояние |f〉в единицу времени при поглощении фотона в пространственно-временной точке (х, /) пропорциональна величине | (/1А^ (х) 10 |2. Поскольку конечное состояние поля Ц) обычно не известно, мы должны просуммировать результат по всем возможным конечным состояниям |f), что дает с учетом усповия полноты 3 | f) (f I = 1 равенство

2 ⑴庁㈠(%) I /〉⑴不+)(%) I 2〉="爪㈠ W 不+)Wl» (12.1)

Начальное состояние поля |/) обычно зависит от некоторых случайных или неизвестных параметров, и, следовательно, все характеристики поля должны рассчитываться как средние по ансамблю способов, которыми поле может быть реализовано. Как уже упоминалось, информация о статистике поля, рассматриваемого как

статистическая динамическая система, содержится в матрице плотности 0 =屮〉〈j|}cp. Поэтому мы можем записать выражение для средней интенсивности поля в точке %:

{« I 彳㈠(х)解+)(х) |z・〉}cp = Sp 俗/i (x) /(+)(x)}.(12.2)

Эта интенсивность эквивалентна в частном случае (при %’ == х) квантовой корреляционной функции

Г^°(х, У) = Sp {007(%)不+)(/)},(12.3)

которая соответствует классической корреляционной функции 『3 1)(%, %'). Если принять во внимание векторные свойства поля, то операторам Х'* и 0一)надо приписать векторные индексы. В результате, как и прежде, мы получим тензор второго ранга Г^, j]v. Для краткости в дальнейшем будем писать % вместо (х /, ц). Если поле излучения получено, например, с помощью поляризационных фильтров, которые выделяют фотоны с фиксированной поляризацией е, то в этом случае достаточно использовать только скалярный оператор А = еА.

В более общем случае нужно ввести вероятность [с размерностью (время)-п] того, что фотон поляризации 卩】поглощается в точке 修 三(X], /1), фотон поляризации ц2 ——в точке %2 三(％2, 6) и т. д., наконец, фотон поляризации цп ——в точке хп = (лп, /„). Можно показать, что эта вероятность пропорциональна функции

ГсЛ。 (％i, • • •, %", %〃，• • •，尤1)==

= {2l<f|X(+)(x1)AM(xn)\i)\2^ =

= Sp{0不_)8)不一)(/)不+)%)… 解+)(/)).(12.4) Эта функция представляет собой частный случай более общей корреляционной функции (тензора) Гж* n)(Xi,...,尤加+九) при m — п и х； = хп+；, j = 1, 2, ..., 〃，определяемой выражением Гж * “) (％, • • •, ^m+n)=

=Sp {0 不一)(修)不 T (%m) 0+)(%巾 + 1)・・・不+)(%〃+")}・ (12.5) Заметим, что все операторы 4㈠，так же как и Л(+), могут быть переставлены согласно правилам коммутации (11.43). Корреляционные функции (12.5) переходят в классические корреляционные функции (8.4) и наоборот при ^замене Д(+) <-> У, К(-)一，*, ° —尸・ Однако операторы /(+)и Дн), вообще говоря, не коммутируют [ср. (11.40)], так что это соответствие классических и квантовых корреляционных функций неоднозначно. Эффект Хэнбери Брауна — Твисса, рассмотренный в гл. 10, описывается квантовой корреляционной функцией Гж 2)Ui> %2, %2, %i)・

Важным свойством корреляционных функций является то, что операторы Л(+，и Лн) в выражении (12.5) расположены в нормальном порядке, т. е. все операторы уничтожения Х(+)стоят справа от всех операторов рождения 4(一). В силу этого и из условия стабильности вакуума Л(+)|0) = 0 следует, что среднее по вакууму от произведений нормально упорядоченных операторов равно нулю, т. е.

вак (-^1, • • •,%九,•…，为)—■,

=〈0 电 4㈠同 n m (/)|0> = 0, (12.6)

и таким образом физический вакуум не дает вклада в величины, характеризующие фотоэлектрические корреляционные эксперименты. Однако физический вакуум дает вклад при измерениях, связанных с другим упорядочением операторов поля. В качестве примера в § 4 гл. 16 мы обсудим устройства (квантовые счетчики), действие которых описывается антинормально упорядоченными произведениями операторов поля, когда N(+)и Лм меняются местами. В таких устройствах поле регистрируется в процессе вынужденного излучения, а не поглощения. В этом случае мы имеем соотношение (0 |Л(+) (х)不一)(/)| 0) =[&+)(%),方㈠(/)]， где коммутатор дается формулой (11.40) и, следовательно, физический вакуум вносит при измерении вклад, отличный от нуля. Именно поэтому функции распределения поглощаемых фотонов и эмиттируемых фотоэлектронов имеют подобный вид, тогда как функции распределения фотонов и отсчетов квантового счетчика отличаются друг от друга (вследствие вклада физического вакуума).

Из корреляционных функций, определенных для оператора Л, можно получить, используя соотношения (11.1), корреляционные функции (тензоры) для оператора Ё (или для Н)

{

Гn 他+% ]

р П U/) II , (12.7) /=1 尼=m+l J

а также различные смешанные корреляционные функции. Глаубер [173—176, 180, 181] применил корреляционные функции (12.7) для исследования квантовой когерентности. В случае квазимоно- хроматического света, который обычно встречается в действительности, все указанные корреляционные функции пропорциональны друг другу. Можно также определить [173] корреляционные функции (тензоры) другого типа для антисимметричного тензора электромагнитного поля F^ (%) = dAJdx^ ——dAJdx^ свойства которых исследованы в работах [239, 128].

Для более точного описания процесса детектирования электромагнитного поля следует использовать нестационарную теорию возмущений. Это было сделано в электрическом дипольном приближении в работе [176]. Гамильтониан взаимодействия в таком случае имеет вид.

山=-空 0；(12.8а)

здесь е ——заряд электрона, «丫一оператор пространственной координаты у-го электрона атома относительно его ядра, которое предполагается расположенным в точке х. В более общем случае гамильтониан взаимодействия может быть записан в виде

弘=—善 £""(%, 0,(12.86)

Y•

где pY ——оператор импульса, a Z ——оператор векторного потенциала.

Рассмотрим в качестве детекторов ^ атомов, расположенных в точках Xi,…，xNi и применим формализм, изложенный в § 5 гл. И, к описанию эволюции системы во времени. Мы можем решить уравнение Шредингера (11.45а) с гамильтонианом Н = Ht⑴ (представление взаимодействия) в виде (1 Г.53), где оператор эволюции во времени S дается формулой (11.55). Используя N・e приближение [N-й член в (11.55)] теории возмущений, получаем вероятность p(z)(T[, ..., 7\) того, что первый атом совершит переход в интервале времени (0, Л), второй —— в интервале (0, Т2) и т. д., N-й в интервале (0, 7\), в виде [176]

p(N)S，・・・，厶)=

=J-• • j 「歌'M(%],...，小，尤N，…，尤1；%…，%，公…，彳)X о о

X U?對一切財％, (12.9) /=1

где 夕 ——весовая функция (функция «отклика» детекторов).

Будем считать детекторы настолько широкополосными, что их частотная характеристика не влияет на процесс детектирования. Тогда можно записать, что

^^-n = ^{r-f)f(12.10)

где п ——чувствительность детектора. Учитывая это выражение, получаем вероятность (12.9) в виде

PR",…，TJ = 厶 tn

=ПУ j ... j 「樂 M (巧，…，Л：%, ・・・，巧；/；,...,力力，.…f；)X О о

xjl^/. (12.11)

Эта вероятность должна быть равна среднему значению 〈论1 ... /In〉, т. е. вероятности того, что все детекторы 1, 2,.・.，2 произвели отсчеты в интервалах (0, Ti), (О, Т2),(О, TN) со

ответственно; этот результат аналогичен полученному при полу- классическом описании [уравнение (10.92)].

^-мepнaя скорость счета совпадений в моменты времени 7'ь ..., TN равна по аналогии с (10.93)

5(?;,7n)=西二呜P‘n、⑵，…，TJ =

==9"Г夕'叫尤1，・。・，%m х№•・•，A, T1，…，7心7№…，71)・(12.12)

Уравнение (12.9) может быть использовано для описания точечных детекторов, которые реагируют не на мгновенное, а на усредненное по некоторому интервалу времени значение поля. Рассматривая более общий случай детекторов, не чувствительных к полю в одной точке %, а реагирующих на поля, усредненные по пространственным областям Ri, ..., Vjv, получаем

p^ = j ... J J ... J г^^)(4 ..., 4, 4,Х；9Х о о у, vN

X n0阳’一办 〃一4)d%dM. (12.13) /=1

Уравнение (12.9) может быть получено из (12.13), если 乡(х〃 一 xz, t" — f) = 6 (尤〃 一M) 6(* — %)乡(/〃 — f). В выражении (12.13) % обозначает точку с координатами (%/,卩),а интегралы по % предполагаются просуммированными по индексу поляризации 卩.

В гл. 2 мы рассмотрели ряд свойств корреляционных функций. Ниже мы дадим краткий вывод некоторых из них, а также укажем другие свойства.

Уравнение (2.39) следует из неравенства

Sp{pB + B}>0(12.14)

(справедливого для произвольного оператора В) при В = =Л(+)(%!)... Л(+) (xrt). Если

В^Ъс.А(^ (хХ(12.15)

/=1 то получим квантовый аналог неравенства (4.7а)

£%「М®，马)>。・(12.16)

Это условие приводит к неравенству

Det {F* (环马)} 2 0,(12」7)

откуда для и = 1 имеем Г^ ° (х, %)》0, а для п — 2 гМ(%|,修)讶 “(%2, %2)》|М°8, Х2)I2.(12.18)

Если

в = e[аm(x[) ... 0+)(0+e2不+)(今+1)...斤+)的)(12.19)

сразу получается неравенство (2.41).

Другое интересное свойство функции Гж “) состоит в том, что она обращается в нуль для состояния поля с конечным числом фотонов, скажем ^, когда и > ^, поскольку Х(+)является оператором уничтожения.

Как отмечалось выше, аргументы 修，.・.，xm, так же как и xm+i, ..., xm+ni можно менять местами без изменения функции Гж* п\ поскольку операторы 不+)(修)[так же как и А н)(х/)] коммутируют друг с другом.

Квантовая когерентность

Когерентность второго порядка

Когерентность второго порядка мы рассматривали в гл. 3 на примере опыта Юнга. В § 2 гл. 4 была введена взаимная функция когерентности второго порядка для когерентного поля. В настоящем параграфе мы рассмотрим более подробно уравнение (9.25), чтобы определить когерентность поля высших порядков. Интерференционный опыт Юнга описывается с помощью квантовых корреляционных функций так же, как и при классы-

ческом рассмотрении, что приводит к результатам, обсуждавшимся в § 1 гл. 3:

/(%) = Sp{p [加才23)+ a"㈠(也)]同不+)8) + 出0+)(х2)])=

=I。1『Г^ ° (ХЬ X!)+ I & |2 Г^Н)(%2,尤2)+

+ Ia1a2 !rж IJ(X1, %2)+ Ia1a2 1讨"(%2,为).(12.20)

Интерференционные члены Г^ 1) (хь 也)и Гж п(Х2,尤i) в (12.20) выражают тот факт, что невозможно определить, от какой щели пришел фотон. Видно, что полная когерентность во втором порядке дает наибольшую видность интерференционных полос, когда

|г^!)(X,,尤2)『=1^°3, Х1)Г%' "(%2, %2)・(12.21)

Выражение (12.21) соответствует знаку равенства в (12.18) и

приводит, согласно определению степени [⑵42а) — (2.42в)], к условию

1 伊)(/‘ 尤2)| = L

когерентности

(12.22)

справедливому при всех %i и х2- В общем случае

o《|y旷％/)|&1・

(12.23)

Записывая (12.21) в форме

Гж ° U1, %2)= 4 (%1) в (%2),

(12.24)

из условия кросс-симметрии

Д(Х1)В(х2) = Д*(х2) В\х{)

(12.25)

получаем

4(打)一 4"(%2)_厶

В* (修)8 (&)'

(12.26)

где k — действительная постоянная. Поэтому Л (х) = kB*(x)f и, вводя функцию V (х) = УkB(х), можно переписать (12.24) в факторизованном виде

r$D (札尤2)=丿 8"3),(12.27)

который совпадает с (4.12).

Интересно проследить, какие ограничения на корреляционные функции высших порядков накладывает условие факторизации в форме (12.27) [441]. Если справедливо условие (12.27), то выполняется также и равенство (12.21), а это означает, что

,Sp{pB+B)==0,(12.28)

где

月= /"(%)—■不 Г%；(“а

здесь %о ——произвольная пространственно-временная точка. Следовательно, рВ+ = Вр = 0, и, таким образом, получаем

不+()6 =綜竺30+心。)0，d2.30a)

00一心)=*誇？疗%。).(12.306)

Учитывая тождества (12.30а) и (12.306) при х2 и 尤i соответственно, получаем

Sp{00-)3)彳+)(.”)} =

=咪’普*；患麼Sp {0不T (%不+)闯}, (12.31а) или.

用D (修,修)=屮"倒势¥空2)=…I)飞)，(12.316)

что согласуется с (12.27). Здесь в качестве сомножителя выступает величина

ГМ依,啕]з

Когерентность высших порядков

m+nm+nmmДля корреляционной функции (/n + 〃)-ro порядка аналогичным образом можно получить, что

m+n

m+n

m

m

F們八打・・・，％+/=产")口片(X九旦 J%), (12.32) где

Y — [1Т)(2°)Г■切.Y — [1Т)(2°)Г■切.(12.33)(12.33)

Y — [1Т)(2°)Г■切.

Y — [1Т)(2°)Г■切.

(12.33)

(12.33)

Однако, поскольку 尤о является произвольной точкой, величина (12.33) не должна зависеть от %о・ Следовательно, условие факторизации (12.27), выражающее когерентность во btodom порядке, приводит к факторизации всех корреляционных функций в виде (12.32).

По аналогии с условием факторизации (12.27) для функций когерентности второго порядка можно построить следующий набор условий факторизации mm+rt

F炉加⑶一・・，尤т+“) = П『®) П У%,(12.34)

/=1片=m + l

где V не зависит от m и /г. Следовательно, можно говорить о когерентности 2^-гo порядка, если условия (12.34) справедливы для /и, n^N. В случае когда (12.34) выполняется для всех т, /г (фактически для всех т = /г), поле становится полностью когерентным. С классической точки зрения ясно, что полностью когерентные поля являются полями без шума, и их функция распределения описывается 6-функцией Дирака. Этот факт иллюстрирует тесную связь между шумовыми свойствами поля и его когерентностью. В квантовой теории существуют такие состояния полей, для которых также справедливо условие (12.34). Эти состояния, названные когерентными состояниями [174], мы исследуем в следующей главе.

Сравнивая условие (12.34) с (12.32), видим, что эти два соотношения отличаются множителем 丫飙，п\ т. е. когерентность второго порядка в общем случае не приводит к когерентности высшего порядка, для которой*

Y(m，〃)=l・(12.35)

Если в поле присутствует конечное число фотонов, скажем М то 丫(九，п)= 0 для /г > 启 и, следовательно, такое поле не может быть когерентным во всех порядках. С другой, стороны, хаотическое поле, для которого, согласно (10.646),

Y(m‘切=6т権削, (12.36)

не обладает когерентностью [если для степени когерентности использовать определение (2.426)] выше второго порядка (m = n = 1). Выражение (12.36) для других частных случаев поля можно получить на основе результатов, изложенных вне обладает когерентностью [если для степени когерентности использовать определение (2.426)] выше второго порядка (m = n = 1). Выражение (12.36) для других частных случаев поля можно получить на основе результатов, изложенных вгл. 11. В случае одномодового излучения, исходя из имеемгл. 11. В случае одномодового излучения, исходя из имеем(11.8а),(11.8а),y他,Л)y他,Л)〈d+力尼〉—团（论一1）・・・①一也+ 1）〉〈d+力尼〉—团（论一1）・・・①一也+ 1）〉{d+d)k{d+d)kДля фоковского состояния 0 = |〃〉〈〃|, и поэтомуДля фоковского состояния 0 = |〃〉〈〃|, и поэтому〈犷•|п) матрица плотности〈犷•|п) матрица плотности(12.37)(12.37)равнаравна(九一k)\ nk(九一k)\ nk(12.38)(12.38)

не обладает когерентностью [если для степени когерентности использовать определение (2.426)] выше второго порядка (m = n = 1). Выражение (12.36) для других частных случаев поля можно получить на основе результатов, изложенных в

не обладает когерентностью [если для степени когерентности использовать определение (2.426)] выше второго порядка (m = n = 1). Выражение (12.36) для других частных случаев поля можно получить на основе результатов, изложенных в

гл. 11. В случае одномодового излучения, исходя из имеем

гл. 11. В случае одномодового излучения, исходя из имеем

(11.8а),

(11.8а),

y他,Л)

y他,Л)

〈d+力尼〉—团（论一1）・・・①一也+ 1）〉

〈d+力尼〉—团（论一1）・・・①一也+ 1）〉

{d+d)k

{d+d)k

Для фоковского состояния 0 = |〃〉〈〃|, и поэтому

Для фоковского состояния 0 = |〃〉〈〃|, и поэтому

〈犷•

|п) матрица плотности

〈犷•

|п) матрица плотности

(12.37)

(12.37)

равна

равна

(九一k)\ nk

(九一k)\ nk

(12.38)

(12.38)

Интересным свойством фоковского состояния является*то, что при нормальном порядке операторов поля дисперсия отрицательна,

т. е.〈(АВ)2)川=〈6+262〉—〈6+6)2 = n(« — 1) — n2 = —п < 0, и, следовательно, дисперсия оператора п равна ((Ап)2) = (и) + +〈(А〃)2〉勿=0. Такой эффект антикорреляции для этих состояний, а также сами фоковские состояния не имеют классических аналогов [315, 81]. [Заметим, что для когерентных состояний (см. гл. 13) «+2d2〉— 0+«〉2 = о.]

Для теплового излучения матрица плотности р определяется формулой (11.29), и поэтому

渺,左)= [Sp{exp(_^)}『-渺,左)= [Sp{exp(_^)}『-】SP^exp (-时 71f】SP^exp (-时 71f[Sp {exp (— 0/?)论} №[Sp {exp (— 0/?)论} №(12.39)(12.39)

渺,左)= [Sp{exp(_^)}『-

渺,左)= [Sp{exp(_^)}『-

】SP^exp (-时 71f

】SP^exp (-时 71f

[Sp {exp (— 0/?)论} №

[Sp {exp (— 0/?)论} №

(12.39)

(12.39)

Здесь в числителе стоит величина

Sp ^хр (— &2)} =£ ехр (- 0п)而』

%=о

=exp(-日々)=exp(-日々)= exp(—0й)= exp(—0й)而餐泅£ехр(—% =dk1而餐泅£ехр(—% =dk1d[exp(—®)№ 1 — exp (— 0)d[exp(—®)№ 1 — exp (— 0)=exp (— 0^)—.=exp (— 0^)—.(12.40)(12.40)

=exp(-日々)

=exp(-日々)

= exp(—0й)

= exp(—0й)

而餐泅£ехр(—% =

dk1

而餐泅£ехр(—% =

dk1

d[exp(—®)№ 1 — exp (— 0)

d[exp(—®)№ 1 — exp (— 0)

=exp (— 0^)—.

=exp (— 0^)—.

(12.40)

(12.40)

Подставляя это выражение в (12.39), получаем

[1 - exp (-日)产

Г ' — [1 — ехр (—日)尸 [1 -ехр(—®)产 exp (— 8也)

(12.41) что согласуется с условием (12.36).

Джейкмен, Оливер и Пайк [212] экспериментально проверили справедливость условий (12.35) и (12.36) (т. е. фактически справедливость условий факторизации) для хаотического и лазерного света и наблюдали хорошее согласие вплоть до двенадцатого порядка (т = п).

Принимая во внимание, что для полностью когерентного поля

Sp {0不т (%) 0+)“)} -1 Sp 历不+)(%)} Г = 0,(12.42)

имеем

V (х) = Sp {рЛ(+)(X)} = F併 ° (%).(12.43)

Выше мы видели, что понятие когерентности второго порядка можно ввести на примере опыта Юнга и что оно имеет ясный

физический смысл ——при этом видность интерференционных полос максимальна. Однако физический смысл условий когерентности высшего порядка не столь ясен. Естественными экспериментами, которые позволяют исследовать данный вопрос, являются эксперименты по совпадению фотоотсчетов.

Из уравнения (12.34), если использовать определение степени когерентности (2.426), следует, что | (G)Y^ ^{^v ...» x2n) | = 1, т. е.(⑵丫步м)(/,・・・，％紋匕/)м1, и поэтому

巾陶(川修)=立f犷%，打).(12.44)

Согласно прежним результатам, это означает, что "-тодечная скорость фотоотсчетов, определяемая выражением (12.12), равна произведению скоростей отсчетов отдельно каждым из N счетчиков в отсутствие всех других (отклики всех счетчиков статистически независимы). В случае стационарного поля, когда его средняя интенсивность не зависит от времени, корреляция фотонов по времени прибытия не наблюдается. Это согласуется с результатом полуклассического рассмотрения эффекта группировки фотонов и эффекта Хэнбери Брауна — Твисса (гл. 10) для лазерного света, когда, как указывалось ранее, эффект Хэнбери Брауна — Твисса отсутствует. Указанный эффект имеет место в случае полей, которые не могут быть когерентными в четвертом и более высоких порядках. Типичным примером такого поля является хаотическое поле, для которого характерна тенденция прибытия фотонов парами (ср. фиг. 10 и 11).

Условия полной когерентности поля означают то, что частицы поля подчиняются статистике Пуассона (см. гл. 10). Поскольку {а^пап} =〈6+6〉九,то нормально упорядоченная характеристическая функция〈exp(is〃〉川 дается формулой

〈eXр (広面〉勿=?喘〈&+”〉= n=o.

=£ 岑P〈""〉“ = exp ('s〈'〉)・ (12.45) 〃=0

Из (10.11) при т] = 1 имеем

£ р(/г, n)(l + is)n = (exp (isn))^(12.46)

и, по аналогии с (10.12), получаем распределение

Р(〃，力=Gl^pr〈exp(法⑪勿[=_ =寿exp(-〈〃〉)，(12.47)

которое представляет собой распределение Пуассона. Этот результат согласуется с (10.62).

Степени когерентности 丫川,(°)丫川 и (‘)丫川,определяемые формулами (2.42а) — (2.42в), эквивалентны, если выполнено условие факторизации (12.34) и | 丫川 | =严)丫川 | = | ⑻％ | = 1, хотя в общем случае они различны (совпадают при 孔=加=1). Как мы уже видели, степень когерентности (夕)丫川 удобно использовать при анализе экспериментов по корреляции фотонов, однако для описания частичной когерентности высших порядков (G)y川 нельзя применить вследствие неограниченности ее значения. Для этой цели можно употребить степени когерентности 丫如 и(s)Y川,поскольку неравенства (2.43а) и (2.436) справедливы в предположении, что у川 и (5)у^ существуют. В [441] показано, что неравенство (2.43а) выполняется для полей, имеющих классический аналог, когда весовая функция диагонального представления матрицы плотности является положительно-определенной (гл. 13). Применяя, например, определение степени когерентности (2.42а), можно говорить (по аналогии со случаем 几=1) о частичной когерентности полей в высшем порядке, если 0 V |丫界'叫 V 1・ Из определения степени когерентности в квантовом рассмотрении следует, что эту величину можно определить только если число фотонов в поле больше чем /г и, следовательно, для определения 、(几，п)при всех /г необходимо, чтобы в поле присутствовало бесконечное число фотонов. Более глубокий физический смысл различных определений степени когерентности еще не очень ясен; можно только отметить, что степень когерентности (2.42а) удобно использовать в задачах отображения [372, 363] (ср. гл. 9), а величину (2.42в) —для характеристики видности в эксперименте Юнга, когда измеряемой величиной является /г-кратная интенсивность [17]. Таким образом, можно сказать, что различные определения степени когерентности соответствуют разным типам экспериментов.

Пикинбоно [383] дал интересное описание когерентных Полей с помощью классических случайных функций, результаты которого полностью аналогичны изложенным выше результатам квантовой теории корреляционных функций. Он назвал поле слабо когерентным, если в (12.33) только величины y(L 】)= 1, и сильно когерентным, если 丫(忆 п)= 1 для любого п. Ясно, что если для слабо когерентного поля | у^ ^(Хр х2)| = 1, то и I 丫必，")(％],•・・,％2九)I = 1 в смысле определения (2.42а), и наоборот; то же самое верно и в смысле определения (2.42в) [в этом можно легко убедиться, используя выражение (12.32)]. Это означает, что условие (12.22) полностью определяет слабо когерентное поле. Отметим, что достаточным условием сильной когерентно-

сти как классических, так и квантовых полей (с неотрицательной весовой функцией диагонального представления матрицы плотности; см. гл. 13) является условие 丫°，D = 丫但，2)= 1 [441, 383].

Квантовый характеристический функционал

По аналогии с выражением (8.5) определим квантовый характеристический функционал

С(")也(%)} =

= Sp{0exp[J у(х)А{Ч (х) d4x] ехр[— J 〃х) &* (%)闵},

(12.48)

из которого можно получить полный набор нормально упорядоченных корреляционных функций

Sp{pA(4(^l) ... &T(Xm)不+)(小 ・・・ АМ(Хт^}=^

=g 晶也久TF^jyC例以矶(1249)

Здесь % 三(％,f,卩)，а интегрирование по % включает суммирование по индексу поляризации 卩.

Измерения корреляционных функцийсмешанного порядка

Хотя с помощью квадратичных детекторов можно измерять только корреляционные функции четного порядка типа (/г, и), тем не менее существует ряд экспериментов, которые позволяют, по крайней мере в принципе, измерить и корреляционные функции смешанного порядка типа (/и, /г) для т^п. Такие эксперименты, в частности, были предложены Глаубером [181].

Рассмотрим стационарное поле, когда выполняется условие т+п

(2.21), т. е. S 8yVy = 0, которое необходимо для того, чтобы корреляционная функция Г1^'" не была равна нулю. Мы видим, что это условие выполняется, если т = п и vj = ”九+厶 В этом случае зависимость от времени исчезает, и нетрудно получить не равную нулю функцию F玄'切，Более сложная ситуация

возникает, если т^ пъ так как в этом случае поле должно обладать специальным набором частот. Например, чтобы Гж 2) не была равна нулю, должно выполняться условие vi = V2 + ”з； подобное условие выполняется в параметрических усилителях [322, 323, 318, 187], а также, например, при эффекте Рамана. Кроме этого условия, необходимого для того, чтобы корреляционная функция не была равной нулю, должна также существовать статистическая зависимость мод \%. В противном случае, если моды Vi независимы, матрица плотности факторизуется в произведение матриц плотности отдельных мод и тогда Гж 2) = 0. В параметрическом усилителе или при эффекте Рамана такая зависимость существует, и поэтому Гж 2) =# 0. Для случая генерации вторых гармоник в нелинейной среде также выпол-

Красный Красный^^^^КрасныйКрасный Красный^^^^КрасныйСинийСинийСинийСиний DСинийСиний DggКрасныйСинийСинийКрасныйСинийСиний

Красный Красный^^^^

Красный

Красный Красный^^^^

Красный

Синий

Синий

Синий

Синий D

Синий

Синий D

g

g

Красный

Синий

Синий

Красный

Синий

Синий

ФИГ. 14. Схема эксперимента для измерения корреляционной функции Г^ 2\

няется соотношение 2v = v + v [5] (например, два фотона красного света рождают фотон синего света). На выходе генератора гармоник в поле излучения присутствуют обычно две компоненты, причем частота одной из них в 2 раза больше частоты другой, т. е. (см., например, [69])

不+)(/) = #+)(/) +力月(+)2(/)=

=0{+} (/) ехр (施f) + Ь0+)2 (0 ехр 2/(0/, (12.50)

где 月(+)(/)= {/(+)(/)ехр (ico/)——падающее поле частотой ①=2nv, а b — постоянная; фазы обеих компонент также взаимосвязаны и, следовательно, Гж 2) #= 0.

Для определения корреляционной функции с m #= п приходится измерять как высокочастотные, так и низкочастотные гармоники поля. Предположим, что фотодетектор (атом) обладает порогом детектирования фотонов по частоте, превышающим частоту используемых фотонов красного света. Одиночные фотоны красного света не рождают фотоэлектрон, в то время как пара фотонов красного света при поглощении вызывает фотоэмиссию, т. е. два таких фотона можно наблюдать одновременно. Выход фотоэлектронной эмиссии в этом случае пропорционален

Л/^)2. Разумеется, одиночный фотон синего света (фотон второй гармоники излучения) также может вызвать фотоэффект, так как его частота лежит выше порога детектирования. Эти два процесса интерферируют друг с другом, давая корреляционную функцию

F*=Sp{0猫)破)砍)}.F*=Sp{0猫)破)砍)}.(12.51)(12.51)

F*=Sp{0猫)破)砍)}.

F*=Sp{0猫)破)砍)}.

(12.51)

(12.51)

[口 I bORxpQi吵[口 I bORxpQi吵力 ND ГЛ左0(%p(i3t)+ bU©%p 侬at)ФИГ. 15. Использование нелинейного диэлектрика (ND) в эксперименте Юнга для измерения F%2)・力 ND ГЛ左0(%p(i3t)+ bU©%p 侬at)ФИГ. 15. Использование нелинейного диэлектрика (ND) в эксперименте Юнга для измерения F%2)・Другая возможность измерения функции Гж 2) [и 「% °] основана на использовании двух делителей оптической частоты С[ и С*2 (фиг. 14), изготовленных из нелинейного диэлектрика. Первый делитель & освещается фотонами красного света, которые частично преобразуются в фотоны синего света, а частично остаются без изменения. Некоторые из оставшихся фотоноз красного света преобразуются затем во втором делителе С2, а те, что все-таки сохранились, задерживаются фильтром F. Детектор D измеряет функцию Гж °. Обозначая детектируемое поле 彳仗)， получаем (b = 1)

[口 I bORxpQi吵

[口 I bORxpQi吵

力 ND ГЛ左

0(%p(i3t)+ bU©%p 侬at)

ФИГ. 15. Использование нелинейного диэлектрика (ND) в эксперименте Юнга для измерения F%2)・

力 ND ГЛ左

0(%p(i3t)+ bU©%p 侬at)

ФИГ. 15. Использование нелинейного диэлектрика (ND) в эксперименте Юнга для измерения F%2)・

А^ = В{^ + В^}2.(12.52)

Таким образом, детектор измеряет следующую корреляционную функцию:

Sp {0而龄} = Sp{p № + В^2ШЧ 月(*)}=

=Sp {0脂喧仗)} + Sp {0月煜现+)} +

+ Sp {0月貝f炉} + Sp {0月厂月炉}・(12.53)

Эта функция включает также корреляционные функции Г^2) и 「(2, 1)

Однако в обычных экспериментах со стационарными полями корреляционные функции, для которых т^ п, практически равны нулю [303], и только в особых условиях в нелинейной оптике возможны случаи, когда г!лг* ")У= 0 для т^ п.

Вместо используемых" в эксперименте Хэнбери Брауна — Твисса двух квадратичных фотодетекторов, сигналы с которых попадают в коррелятор, можно, как это предложили Беран, де Велис и Паррент [69], для измерения корреляционной функции

Г1%?' использовать нелинейный диэлектрик. На фиг. 15 приведена схема соответствующей экспериментальной установки, состоящей из двухщелевого интерферометра Юнга и нелинейного диэлектрика, расположенного на входе в интерферометр. Пусть U(+)(f)exp (心/)— комплексная амплитуда падающего на диэлектрик поля. Тогда, согласно (12.50), комплексная амплитуда поля на выходе диэлектрика равна U(+)(f)exp(is/)+bU(+)exp(2is/). Если первую компоненту убрать при помощи фильтра 户，то на экране 每 можно наблюдать интерференционные полосы, описываемые корреляционной функцией четвертого порядка F%2)= = sp{p[/(~)2t/(+)2}.

Глава 13丿

ОПИСАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ С ПОМОЩЬЮ КОГЕРЕНТНЫХ СОСТОЯНИЙ

В данной главе мы покажем, что в квантовой теории электромагнитного поля существуют квантовые состояния, называемые когерентными состояниями, в которых квантовая корреляционная функция факторизуется в виде (12.34), т. е. поле в таком состоянии удовлетворяет условию полной когерентности. Эти состояния, образующие переполненную систему, могут быть использованы в качестве базиса для разложения по ним векторов состояния и операторов квантовой механики. Более того, эти состояния позволяют сформулировать квантовую теорию оптической когерентности по форме, очень близкой к классическому описанию, изложенному в предыдущих главах. Когерентные состояния, впервые введенные Шредингером в 1927 г.,[414] и изучавшиеся затем другими авторами (см., например, [234]), успешно использовал Глаубер в квантовой оптике для описания когерентных свойств оптических полей [173——176].

Когерентные состояния электромагнитного поля

Определения

Введем смещенное вакуумное состояние

|a) = D(a)|0).(13.1)

В этом выражении 人

D (а) = ехр (ad+ — a*d)(13.2)

есть оператор сдвига, |0) — вакуумное.состояние, a — комплексное число, 6 и 6+ — операторы уничтожения и рождения соответственно, а ]а〉— так называемое когерентное состояние. Применим тождество Бейкера — Хаусдорфа [19]

ехр(Л + В) = ехрЛ ехрВ ехр(—^[4 月]),(13.3)

где А и В — операторы, коммутатор [Л, В] которых является ^-числом, т. е. [ [Л, В], А] == [ [Д, В], В] = 0. Тогда выражение

можно переписать в виде

I а〉= ехр (— ；| а |2^ ехр (а@+) ехр (— а а) | 0)=

=w(-曾卩)£券|〃〉.(13.4) п=0

Здесь мы разложили ехр(а6+) и ехр(—а*6) в ряды Тейлора и использовали условие стабильности вакуума d|0) = 0 и определение фоковского состояния \п) в виде (11.10). С помощью соотношения (11.116) нетрудно проверить, что

d I а) == a I a),(13.5a)

(а| &+ = (а |а*,(13.56)

е. когерентное состояние | а) есть собственный вектор оператора уничтожения а с собственным значением а, которое в общем случае представляет собой комплексное число, поскольку оператор а не эрмитов. Из уравнения (13.5а) следует, что в состоянии |а) должно находиться бесконечное число фотонов, так как оператор а не изменяет этого состояния.

Можно доказать [314], что нельзя построить состояния || а)) с конечным значением а, такие, что

d+II а〉〉= а II a〉〉(13.6a)

И«а II Й =(13.66)

е. не существует собственных векторов оператора рождения а+ с конечными собственными значениями. В самом деле, предполагая, что

l|a»=S|n)(n ||а»,(13.7)

%=о

и используя уравнение (13.6а) и эрмитово сопряженное вьфа- жение (11.116), получаем следующее рекуррентное соотношение для коэффициентов 〈/г||а〉〉：

а (/г ||a)) = /n〈〃一 1 ||а».(13.8)

Это соотношение после /г-кратного применения дает

⑺!吟=粤(01|吟.(13.9)

Подставив (13.9) в (13.7), имеем

1口〉〉=(011吟〉£贤"〉(13.10)

п=о

и, следовательно, для нормы ||а)) получаем

(13.11)(13.11)«а И а» = |{0|! а» 卩工肃*九=о I

(13.11)

(13.11)

(напомним, что {n\m) = 8Пт)- Ряд в (13.11) расходится для всех конечных комплексных амплитуд а, т. е. состояния ||а〉) не могут рассматриваться как физические состояния поля излучения. Только состояния |п) и ]а〉имеют физический смысл и могут быть использованы в качестве базисов для представлений поля излучения.

Из (13.4) видно, что состояния | а) нормируемы, т. е. (а|а) = 1, так как {n\m) = 6nm, а также, что

〈川 а〉= ехр (一 I а 口 -^,(13.12a)

откуда получаем величину

I〈川吟 |2 = ехр ( — I a F)喏，(13.126)

представляющую собой распределение Пуассона с (/г) = |а|2. Таким образом, в согласии с (12.47) и (10.62) вероятность того, что в одной моде поля содержится и квантов, дается распределением Пуассона.

Скалярное произведение двух когерентных состояний равно 91Р〉= ехр(_^|аР —^|PF)2 丿篙〈闺唠=

=exp (一 ВI a |2 - ^| В 12 + *).(13.13а)

Отсюда получаем, что

l(a|₽)P = exp(-|a-₽|2),(13.136)

е. когерентные состояния не являются ортогональными; их можно приближенно рассматривать как ортогональные, если I a — ВI》L

Разложения по когерентным состояниям

Когерентные состояния образуют^1ер.еполненцу.ю систему и, несмотря на неортогональность, позволяют разложить произвольный вектор или оператор (в частности, матрицу плотности) по этим состояниям.

Во-первых, заметим, что когерентные состояния взаимно зависимы, что является наиболее характерным свойством

переполненной системы векторов. Умножая (13.4) на а" и интегрируя по всей комплексной а-плоскости, мы находим, что

J *| a〉d2a = 0 (й = 1,2,...).

Здесь a = rexp(Zqp), г и <р ——действительные величины, a d2a==« = d(Re a)d(Ima) = rdrd^. Фоковское состояние | /г) можно разложить 'по I а), если умножить (13.4) на 冗一^ (/г!)"% а*" X Хехр[ —I a F/2] и проинтегрировать по всем а. Эта процедура дает

1"〉=打ё灯(-/日2)1^1。)°%，a3.⑷

Подставляя (13.14) в (11.18), получаем

亲打 ехр (-岑一粵 + apj| R〉〈a 10a 呻=1.(13.15)

Интеграл по р равен

打 I В〉exp 喈 exp (_ I В |2 + a₽*)呼=

=}£ 匿 iS-JpTmexp(-|₽F)^ = exp(^-)|a>. 九=0m—Q

(13.16)

Здесь для разложения | р)ехр(| р |2/2) мы использовали формулу (13.4), разложили также функцию exp (ар*) в ряд и использовали значение следующего интеграла при s = 1:

J ^т ехр(— s|p|2) d2p = ± |°|р 尸俏 exp(— s| P I?) d| В |2 X о 2л

X J exp [i (n — m) arg p] d (arg ₽)= о

=冗 J I в 尸m exp(— sI 0 f) dI 似弋^ =券 6询(Re s > 0).

夕s(13.17)

Таким образом, «получаем «разложение единицы» по когерентным состояниям:

j|a) <a|d2a = l.(13.18)

Нетрудно показать, что для целой функции f(a) по аналогии с (13.16) справедливо соотношение

/ (a) = ^ J f (В) ехр (— I § 产 + 唠)d2m,(13.19)

Используя тождество (13.18), можно выразить произвольный нормированный вектор | 〉в виде

丨〉=^ Ja〉Sl〉d2a(13.20)

и произвольный оператор 戶 как

户=5 J J I。〉@ 自 В〉〈勿 d2a d2p.(13.21)

Коэффициент (а | ) в формуле (13.20) можно выразить через коэффициенты разложения по фоковским состояниям:

〈а I £加几〉= ехр(— ^| а 产)?斉九=,

= ехр(— у I а 产)f (а)(13.22)

Так как норма вектора | ) есть ( | ) = 31 fn I2 = Ь то ряд f (а*) = ^ а*п уйр- сходится для всех а в конечной части плоскости и, следовательно, f (а*) является целой функцией.

Формула (13.16) может служить примером разложения вектора (13.20) для I〉曰 а〉・

Волновые пакеты с минимальной неопределенностью

Определяя А夕 и А, как

砍=Q 一〈Q，財=。一 "〉，(13.23)

получаем из соотношения коммутации (11.16)

^ =扌1〈【仇用〉1 = ^1(РМ，m1〉h

《1 囤,AQ W k幽)2)〈囹)2)}%.(13.24)

Если использовать свойства собственных значений (13.5) для когерентных состояний, то из (11.15) получим

*〉=/亲(a+a)(q=-‘/粤(а-а) (13.25а)

《AM =〈仍-〈疗=А,《期)2〉=粤・(13.256)

При этом для когерентных состояний неравенство (13.24) сводится к равенству'

(阳)2〉《燄冷=号.(13.26)

Следовательно, в квантовой теории когерентные состояния имеют смысл состояний, наиболее близких к классическим.

Роль когерентных состояний в задаче взаимодействия излучения с веществом (применительно к лазерному излучению) исследовали Пикард и Виллис ［382］. Если вспомнить, что среднее арифметическое больше среднего геометрического и что ((Др)2) = д2〈(А@)2〉，то получим

^［〈。济〉+ з2 ((М)2)］》о)К画)2〉《М)2〉］% =粤・(13.27)

Легко видеть, что неравенство (13.27) сводится к равенству в случае когерентных состояний. Следовательно, величина

4 к。”〉+о2<(до=у【〈炉〉+со2<о- 4(W+炉〈行］

(13.28) представляет собой некогерентную часть энергии поля, т. е. разность между полной энергией поля и когерентной частью энергии. Поэтому можно сказать, что в когерентном состоянии некогерентная часть энергии равна минимально возможному значению 方со/2, т. е. энергии вакуумных флуктуаций поля.

Некоторые свойства оператора сдвига Q(a)

Из определения оператора сдвига (13.2) следует, что

Ь+ (а) = /т (а) =D(- а).(13.29)

Далее, используя (13.3), получаем

&В (а) = ехр (— I а I?) Q exp (ad+) ехр(— a*d)=

=ехр(- ^| a F)£ * dd+^exp (— а%).(13.30)

п=ю

Применив правило коммутации dd+“ = d+〃d + 〃Q+%-* имеем

dD (a) = D (a) d + aD (a).(13.31)

Отсюда следует, что оператор D(a) есть оператор сдвига в том смысле, что

力 la)訪(a) =d +а,力 r(a"+b(a)=d+ + £・

В более общем случае для операторной функции 戶(6+, 6) имеем ,

方一 (a)戶("")力(a)=戸(d+ + a , d + a).(13.33)

С помощью тождества Бейкера — Хаусдорфа (13.3) можно показать, что произведение двух операторов сдвига равно

D (а) Ь (Р) = ехр (а&+ — a*d) exp (0d+ — §*d)=

=力(a + В) exp [1 (a『-a*P)].(13.34)

Для следа оператора fi, используя разложение единицы (13.18), находим '

SpD(a) = l j (P|D(a)|P)d2p =

=^ J ехр( — }| a |2)〈0 I exp (ad+) exp (— a*d) f P) d2p =

=打 exp (— JI a P + ap* — a單)d2P =

=exp(— }I a F). exp[2z Im(ap*)]d2p =+ 8

= exp(—}| ap)^ J J exp[2i(Ima Re p — Re a Im P)] X

X d(Re p) d (Im p) = exp (— ^| a p)冗6 (Re a)d(Im a) = лб (a).

(13.35)

Здесь 6(a) —двумерная б-функция Дирака; в преобразованиях использовались соотношения (13.3) и (13.5), а также подстановки 2Re § = х и 21m ^ = у. *

Уравнения (13.34) и (13.35) дают

Sp{D+(a)D(p)}=Jt6(a —р). -(13.36)

Из (13.35) следует, что комплексную 6 (а)-функцию можно представить в виде интеграла Фурье:•

/° 3)= 3 f ехР« -评)d阻 (13.37)

Средние значения операторов в когерентных состояниях

Предположим, что оператор 戶(川)(6+, 6) задан в нормальной форме. Тогда выполняются соотношения

(a I戸(")(&+, &) |(/〉= RS((f, az)(a| а) (13.38)

и, в частности, .9曲仍(肝，4)m〉=尸(")(6, a),(13.39)

т. е. среднее значение нормально упорядоченного оператора 户(勿) получается заменой df(x, d+ ->а* в операторной функции. Если F^}(&^, &) = й^кй1 (kt I — целые числа), то (a \ &^k&1 ]а)= = а*&(?・ Далее, пользуясь (13.4), можно доказать, что

ии(13.40)(13.40)(13.41)(13.41)(13.42)(13.42)介|吟=（导+篇）1吟'g修=传+誥№丨

и

и

(13.40)

(13.40)

(13.41)

(13.41)

(13.42)

(13.42)

d+1 a〉〈a I = （а* + 弟）I а〉〈а |,

丨 а)(а |d = (а + 誥)| а)<а |.

Для оператора F {а^, ^) получаем

戸(d+, d)| а〉〈а | =尸(£ +詣，а)|а〉〈а|,丨 а〉〈а I戶伍+, @)=尸(а*, а + *г)|а〉〈а |.

Умножая (13.42) на |а) справа и на (а| слева, мы приходим

к соотношению

〈а| 戶(d+, d)| a〉= F(a* +备，a)=尸(a*, a +誥).(13.43)

' Эти правила обычно используются при решении уравнений движения. В качестве примера рассмотрим уравнение Шредингера для оператора

访e$哮"2 =方(片,&}S^, d");(13.44)

Если .умножить (1&44) на |a) справа и на (а| слева, то, используя (13.43), получаем уравнение

dS (a* + а,/ а \а \

Q5Г~^ = "« +备，』S(a* +謂，а，《)， (13.45)

которое представляет собой уравнение классической механики. Решая это уравнение относительно S, получаем

5(。*+ 詣’。，/) = S(")(a\ a") =〈a |§(")(”，夕 /)| a>, (13.46) т. e. такой метод решения приводит непосредственно к нормальной форме оператора S. ,、

Обобщенные когерентные состояния

Титулаер и Глаубер [442] ввели обобщенные когерентные состояния в виде，

|а,份“}〉= ехр (- ^| а F)£ 鹏е薔办)丨 “〉,(13 47)

где {8П}——последовательность действительных чисел. Эти состояния можно считать ^наиболее общими чистыми полностью когерентными состояниями (в смысле m = п). Некоторые свойства таких состояний изучали Титулаер и Глаубер [442], Кро- синьяни, ди Порто и Солимено [120] и Бялыницкая-Бируля [82], а свойства подсистем подобных когерентных состояний — Кам- паньоли и Замботти [107].'

Полагая 必=〃也 видим, что Q |а, {О』〉= аехр(2)| а, {О/〉 и, таким образом, величина (а, {^} \ &^^ \ а, {^}) = a*fea^ не зависит от 屯 Это свидетельствует о том, что для когерентных состояний поля выполняются условия полной факторизации, а также о том, что смесь когерентных состояний, отличающихся друг от друга фазовыми множителями, тоже описывает когерентные поля (/и = п)/ Разница между когерентными состояниями |а) и обобщенными когерентными состояниями |а,(行九]〉 не проявляется в опытах, описываемых корреляционными функциями четного порядка (/и = 〃). В дальнейшем мы будем пользоваться только когерентными состояниями | а) [поскольку лишь для |а) выполняются условия факторизации (12.34) при всех m и矶

Многомодовые состояния поля

Метод когерентных состояний может быть применен для описания электромагнитного поля, занимающего конечный объем и обладающего конечным или бесконечным счетным числом степеней свободы. [Обобщение на случай полей в бесконечном объеме, имеющих несчетное число степеней свободы, также возможно, если использовать функциональные (континуальные) интеграл ы;] Введем когерентное состояние ,

(13.48)(13.49)(13.48)(13.49)1{耿}〉三111以〉，

(13.48)

(13.49)

(13.48)

(13.49)

для которого

1Е}〉= £ I [[證^ехр (-同〉

{"}=0 V "

а условием полнотыа условием полнотыявляется равенствоявляется равенство

а условием полноты

а условием полноты

является равенство

является равенство

/|ЫХЫ1^(Ы) = 1.(13.50)

Здесь I ｛孔九｝〉 есть фоковское состояние, определяемое выражением (11.36), а

办(&｝)三[J 勺-(13.51)

Если использовать (11.22) и (13.5а), то получим следующее свойство когерентных состояний:

Ам(х)\М = У(х)\｛ак]);.(13.52а) •

эрмитово сопряженное этому равенству выражение имеет вид

〈｛%｝| &-)(» =〈｛%｝¥*(%);(13.526)

здесь

У (х)= “ ；礬一 > pL- е⑶(Л) aks exp [i 但• ％ — ckt)]. (13.53)

Следовательно, если выбрать матрицу плотности в виде 0 =| ｛а%｝〉〈｛а/I, то корреляционные функции (12.5) факторизуются в виде (12.34), а поле в когерентном состоянии удовлетворяет условиям полной когерентности. Видно также, что в (13.53) представлены все частоты, т. е. когерентность, наклады； вая ограничение на статистику поля, не ограничивает его спектр*

Изменение когерентных состояний со временем *

Рассмотрим для простоты одномодовое поле с гамильтонианом (11.13), в котором энергия нулевых флуктуаций вакуума 方з/2 не учитывается. При этом зависимость от времени когерентного состояния Iа(/)) определяется уравнением Шредингера

汴需"=团a(力.(13.54)

Для начального условия |а(0)) = |а) решение такого уравнения можно записать как

I а (力〉=ехр (— i 粤)I а)=

=exp (— ZcoM^d —^ I 。卩)Z备I 几〉=| a exp (-施/)〉•(13.55)

%=0

Следовательно, когерентное состояние свободного поля остается когерентйым в любой момент времени. Комплексная амплитуда а ехр(——ко/) описывает при этом окружности в комплексной плоскости.

В более общем случае можно показать, что когерентное состояние остается когерентным, если гамильтониан имеет вид

方=£ % (0 勺& + S 瓦(0 結 + ^ ⑴ &] + Л (О, (13.56) /,总k

где % = f；/, А*(О = Л(О, a gk (/) — произвольные функции времени [178,305,302].

Было также показано [305, 302], что в общем случае собственные значения оператора уничтожения для взаимодействующих систем не являются аналитическими сигналами, ибо они содержат как отрицательно-, так и положительно-частотные компоненты. Кроме того, Глаубер показал [174, 176], что поле в когерентном состоянии можно получить, если токи считаются заданными. Гамильтониан, включающий нелинейные члены третьего порядка и сохраняющий некоторые особые когерентные состояния, обсуждался в [317]. Квантовый осциллятор с частотой, зависящей от времени, начальное состояние которого является когерентным, рассмотрен в работах [121, 122].

Матрица плотностив представлении Глаубера — Сударшана.

Поскольку состояние поля чаще является смешанным, чем чистым, то для описания полей мы должны применить матрицу плотности, которую удобно рассматривать в представлении когерентных состояний. Используя разложение оператора в форме (13.21), получаем для матрицы плотности выражение [174]

О п* 11 丨 а〉〈а 101 Р〉〈Р1 &2ad2%(13.57)

которое представляет собой разложение по диадам |а)(р|. С пойощью фоковского представления (11.25) для р и (13.12а) получим весовую функцию (а|р| р), входящую в (13.57), в виде

〈30卿=£р(〃，/и)-^^ехр(-1|а|2-1|Р|2). (13.58)

В силу того что Sp {02} = £| р%т |2《1, где I рпт |2<рппр^, т. е. Sp {р2} <(Spp)2= 1,ряды в выражении (13.58) сходятся для всех конечных значений а* и р, т. е. (а|р|р) является целой функцией в плоскостях а и 0.

Преимущество разложения (13.57) состоит в том, что в когерентных состояниях квантовые средние значения нормально упорядоченных операторов (^-чисел) сводятся к математическому ожиданию собственных значений (с-чисел) с весовой функцией

(а| р| р). Эти средние значения можно вычислять просто интегрированием в комплексных плоскостях а и 0. Разложению (13.57) соответствует условие разложения единицы в виде 穽口 I а〉〈а| Р)(Р| d2ad20=,

==口 I а〉exp(а*₽-|| а I2 - || p |2)(p| d2a呻=1,(13.59)

при выводе которого использовалось выражение (13.13а). Выражение (13.59) совпадает с (13.15), которое, если воспользоваться (13.16), приводит к простому условию полноты в форме (13.18). Можно спросить, представима ли матрица плотности р в виде более простого разложения [172, 436, 174]

0 = j ①“(а)| а) (а| 0а,(13.60)

т. е. как «смесь» операторов проектирования 1а)(а| на когерентные состояния [(|а)(а| )2 = | а)(а| а)(а| = | а)(а]], где ①川(а)— весовая функция. Эта диагональная форма матрицы плотности называется представлением Глаубера — Сударшана. Поскольку Sp р = 1, имеем

J Фж(а) d2a=l,(13.61)

а из эрмитовости матрицы р+ = р следует, что [①川(a)]* =①川(a), т. e. Фж(a)——действительная функция комплексной переменной а.

Функцию (аI р Iр) можно выразить с помощью (13.60) и (13.13а) через ①“(а) в виде'

〈a1 01 В〉= J(a1 Y)<Y| 0)①"(y)小Y П

=ехр(— }| а У — ^I р 卩)J ①"(у) exp (―I 丫 |2 + а*у + ₽Y*) d2y.

(13.62а) При а = р мы получаем

、(а|р|а)= j ①“(p)exp(-|a-n)d2p・(13.626)

Используя разложение (13.60), находим связь весовой функции Фж и фоковских матричных элементов р (и, /и) матрицы плотности [436, 174]:

(и |0| т) == р(м, /и) = j ①川(a)〈川 a) (a I /и) d2a =

Фж (a) exp(-| a |2) d2a.(13.63)

У山ml

Разложение (13.60) можно формально вывести из разложения матрицы плотности (11.25) по фоковским состояниям следующим образом. Подставляя (13.14) в (11.25) м используя (13.63), находим, что /

р = i Ш ехР (- || ^|2 41 Р I2 -1 Y I2 + a*Y + ₽yj X

J ； X ①川(Y)|a〉〈B|dad2Bd2Y， (13.64)

откуда с помощью (13.16) получаем (13.60).

Диагональная форма матрицы плотности (13.60) очень удобна для расчетов средних значений нормально упорядоченных операторов. Например, используя свойства собственных значений когерентных состояний (13.5), для среднего значения оператора импульса a+hal (^, / — целые числа) получаем

Sp {06+冶4 = Sp { j Фж(a)I a)(a \ d2aa^kdl^ =

=J ①“(a)〈aI d+2"| a)d2a =[①“(a)a*%"d2a =〈a*%"〉川；(13.65) индекс 4 у ① означает, что эта функция соответствует нормально упорядоченному оператору. Следовательно, квантовое среднее значение нормально упорядоченного оператора может быть выражено как «классическое» среднее значение в обобщенном фазовом пространстве с «распределением вероятности» ①川(а), если интегрирование выполнять по всей комплексной a-плоскости. Как мы уже видели, корреляционные функции, которые используются для описания экспериментов с фотодетекторами и дают информацию о когерентных свойствах света, представляют собой как раз средние значения нормально упорядоченных произведений операторов, поля, и поэтому такие корреляционные функции можно выразить (с помощью представления Глаубера ——Сударшана для матрицы плотности) в виде, очень близком к -классическому и исследованном выше. Итак, этоz представление составляет основу общей формальной эквивалентности классического и квантового описания оптической когерентности.

Поле в когерентном состоянии | р) обладает весовой функцией

①“(a) = 6(a —0),(13.66)

а матрица плотности р есть просто оператор проектирования 16〉〈61 в когерентное состояние. Общую матрицу плотности, описывающую смешанное состояние поля, можно рассматривать, согласно разложению (13.60), как суперпозицию операторов проектирования |a)(a| с весовой функцией Фиг (а).

Хотя Фж (а) обладает некоторыми свойствами распределения вероятностей [это действительная функция, удовлетворяющая условию нормировки (13.61)], ее, вообще говоря, нельзя рассматривать как распределение вероятности, поскольку она не является положительно-определенной и может быть более сингулярной, чем 6-функция. Это следует из того, что величины Re.а и Im а, которые суть собственные значения некоммутирующих операторов (2+ 6+)/2 и (а ——d+)/2i, не могут быть измерены одновременно и, следовательно, функцию Фж(а) нельзя измерить непосредственно. Назовем функцию ①山 плотностью квазивероятности. Она является одной из целого семейства плотностей квазивероятности. Другая плотность квазивероятности была введена Вигнером [468]. Функция (а| р| а), хотя и обладает многими общими свойствами плотности вероятности, включая регулярность и положительную определенность, не может быть непосредственно измерена и поэтому фактически тоже является плотностью квазивероятности.

Получим некоторые свойства функции квазивероятности 〈а|0|а〉. Во-первых, мы видим, что при усреднении антинормально упорядоченных произведений операторов поля функция jf^alp I а) играет ту же самую роль, что и квазивероятность Ф^ (а) для нормально упорядоченных произведений, поскольку Sp (М伍+尼} = Sp {d^kpd1} = Sp{^ J I a) (a |d2ad+/5pdz }=

=^ J a*%《a |0| a〉d2a.(13.67)

Здесь мы произвели не меняющую следа циклическую перестановку операторов и ввели единичный оператор (13.18). Обозначим функцию л-1(а|р|а) как Ф^(а), индекс которой подчеркивает связь этой функции с антинормально упорядоченными one- раторами. Из (13.626) имеем

①历(a) = ^ J ①川偉)exp (— I a - В |2) ^队 (13.68)

Полагая ^ = / = 0 в (13.67), получаем условие нормировки

•^ j (a| р I a) d2a = 1.(13.69)

Введя характеристическую функцию [177]

'。⑹=Sp {0力(閒=Sp {р exp(改+ -p*d)}(13.70)

и используя тождество (13.3), получаем

”)(卩)=exp(jIPI2)C(P) = exp(|p I2)C〃)(亂 (13.71)

Здесь

С^ (В) = Sp(p exp (М+) exp (- Qd)}=

=j ①“ (a) exp (Pa* — P*a) 0a ' (13.72) и

C^ (p) = Sp{p exp (— 0%) exp：(開+))=-

=J ①必(a) exp (Pa* — p*a) d2a.(13.73)

Используя выражение для комплексной 6-функции (13.37), получаем'

①川(а) =5 j С⑺(B)exp(—0a* + B*a)d2B(13.74)

и

①必(а) = % j С^ (р) ехр (— pa* + р*а) d^.(13.75)

Функция Вигнера, о которой упоминалось выше, дается формулой

ФГ (a) = & J С<₽) ехр (— ₽а* + р*а) d^ (13.76)

в которой характеристическая функция С(р) определяется выражением (13.70). Моменты функции Вигнера можно вычислить по следующей формуле:

J а*%"①犷 3) d2a =景 @ J；*了。(叫=o =〈a*%%,(13.77)

где

C(p)=[①犷(a) exp (pa* — P*a) d2a.(13.78)

Вычислив производные в (13.77) с помощью (13.70), мы видим, что они равны средним от симметрично (по Вейлю) упорядоченных произведений 为 операторов а+ и / операторов 6. Поэтому функция Вигнера является плотностью квазивероятности (квазивероятностью) ,соответствующей симметричному (вейлевскому) упорядочению. Если 々=/ = 0, то получаем условие нормировки

J Фг (a)d2a==C(0)=l.(13.79)

Таким же способом ' с помощью характеристических функций С(們(Р) и С(")(Р) соответственно можно вычислить моменты

функций ①川(а) и Фл (а). Из (13.72) и (13.73) имеем

г"(叫=o=Sp{M+W

=J ①川(а) a*%%2a =〈。*%?“，(13.80)

系廿河C阂⑹b-o = Sp{Mg =

=J ①必(a) a*\?d2a = (а^а^.(13.81)

Пусть 12〃〉— нормированные собственные состояния матрицы плотности р с собственными значениями 九〃，тогда

0 = 2“1屮力〈必〕.

В силу того что 0&統忘1 0n》O, Sp0 =，A〃=l), имеем

①乩(a) Ш厩кa1必〉|2》0,(13.82а)

а также

①{ 3) &^ £|〈。1 必〉12 = ^.(13.826)

п

Таким образом, мы получаем неравенство 0 &①招(а)《1/п, поскольку

|а〉= £| 必〉〈必I а〉и 〈а| а〉=，|〈а| 必〉|2= 1・

Кроме того, поскольку $(а) — унитарный оператор (Ь+Ь— 1), то I С(Р) К 1, и-из (13.71) следует, что

・1С^(р)|<ехр(-||₽|2)(13.83а)

и*

|С^(р)|<ехр(1|Р12).(13.836)

Следовательно, функция | С^ (Р) | всегда убывает по меньшей мере как ехр(—| р |2/2) при | Р |-> оо, тогда как | C(4/r，)(p)I при |р|-> оо может расти как ехр(|р12/2).

Из (13.58) видно, что (а| р| а) (1/л) = Ф^(а) является целой аналитической функцией

①庚(а)= Т 工р (小 Ф)а*%" ехр(— I а |2).(13.84)

Функцию ①械(а) впервые ввели и .изучали Глаубер [176], Кано [223, 224] и Мета и Сударшан [304].

Связь между функциями Фж(а), Фл(а) и ①犷(а) можно получить из соотношения (13.71) для их характеристических функций с помощью теоремы свертки (см. также § 2 гл. 16):

①庚 3)=^ J exp(-2|a-BF)①犷⑹呼， (13.85a)

①次⑷=^ J exp (- 2| a - b |2)①"偉)d?0;(13.856)

кроме того, функции Фж(а) и Ф^(а) связаны между собой соотношением (13.68). Вообще говоря, функции ф^ и ①犷,стоящие слева в выражениях (13.85), представляют собой соответственно средние значения функций ①犷 и Фж, стоящих справа, с экспоненциальными весовыми множителями. Подобное усреднение, позволяющее получить по известной функции Фж зна че ния Фл и ①勿,приводит к сглаживанию нерегулярного поведения функции Фиг, преобразуя ее в гладкую функцию, а также обеспечивает неотрицательность и регулярность Ф^. В то время как функции Фл и ①犷 существуют для всех квантовых состояний, ①川 нельзя определить в обычном смысле в тех случаях, для которых интегралы типа свертки (13.68) и (13.856) не могут быть обращены.

Упорядочение матрицы плотности. Квазивероятности

Зная матрицу плотности, упорядоченную определенным образом, можно найти ①勿 и Фл [251, 247, 193]. Предположим, что оператор 戶 можно записать в нормальной и антинормальной формах следующим образом:

F^\ @)=户們(d+, @)=戸川(/，d)=

=3 F^}a+ra ^ s 得空屮・(13.86)

Допустим, что подобные разложения справедливы для матрицы плотности

0 ①+, 0)=产伍+, d) = p^ 伍+, d) = S G^^+rds = 2 鑑%冶+Г. r, sr, s

(13.87)

Тогда получим

Sp{/} = Sp{0(”？ =

= Sp[^j|a〉〈a|d% 工 G^}asa+rF{^d^ua\ =

=打 1 G%"*〈a I a^&+u^as I a) d2a = r, 6,…

=^ J p(勿(a\ a)产仍(a\ a) d2a; (13.88) здесь

•^ p") (a*, a)=①“(a)=工 GrT^r^ (13.89)r, 6

И尸g(a*, a)=2F^a*V.(13.90)

G S

Аналогично находим

Sp (pFJ = Sp 我仍户切} = ^ j p(")(a*, a) F^ (a, a) d2a, (13.91)

т e

・・山(g ;上竺好J

а также

①必(a) = ^(a| p Ia) = ^〈a| 0(")|a〉= ^p(仍(a* a).

Далее имеем

p = J ①川(a) I a〉〈a I d2a =

=工 G^dsd+r =工 G^ds ~ j I a〉〈a| d2a d+，=

=^ f (2 GrfVa*^| a) <a| d2a.

Таким образом снова получаем, что Фж (а) = ри) (а*, а)/л. Следовательно, функцию Фж (Ф^) можно вычислить из анти- нормальной (нормальной) формы матрицы плотности (полученной при использовании правил коммутации для операторов) заменой d ->a, d+ ->а*; с другой стороны, заменой a->d, a*->d+ в функции Фж (Ф<л) получаем антинормальную (нормальную) форму матрицы плотности.

Пример

(13.92)(13.92)Рассмотрим в качестве примера случай суперпозиции гауссова света (со средним числом фотонов (/г)) и когерентного излучения. Матрица плотности при этом -имеет вид

(13.92)

(13.92)

(1 + 6))1+仆5

где й = Й — р； здесь р—>'комплексная амплитуда когерентной компоненты； Очевидно, что [й,方+] = [&, d+] = 1, и поэтому можно написать

-6+6-1-6+6-1=丄勺（一1）"（方+方+%）1⑺气”（广6）1=丄勺（一1）"（方+方+%）1⑺气”（广6）1〈〃尸.(13.93)〈〃尸.(13.93)

-6+6-1

-6+6-1

=丄勺（一1）"（方+方+%）1

⑺气”（广6）1

=丄勺（一1）"（方+方+%）1

⑺气”（广6）1

〈〃尸.(13.93)

〈〃尸.(13.93)

Используя (11.86), получаем выражение для матрицы плотности

产二击^фхр(—£)}, (13.94) п=0

которое при замене 方 f а ——0 и й+->а* — р* дает

①*(а)= Нгехр(-」а/}(13.95)

В (13.94)以 обозначает антинормально упорядоченный оператор. Аналогично получаем

0 =吊水1-7^广=

= *£(一尸(圖(1 +〈材"=

n=0

=』£Q + ⑺厂 (13.96)

n=0

С учетом (11.8a) находим

P 1 +⑺乙” (1 + 6〉严1 + 6〉" [exp I i +・

%=o

(13.97)

Таким образом,!

. ①施(а)= 5t(]；⑺)ехр(— ：+〈汩.(13.98)

В (13.97) “ обозначает нормально упорядоченный оператор.

Подставляя выражение (11.30) для (и) в эти соотношения, можно получить соответствующее выражение для света, являющегося суперпозицией когерентной компоненты 0 и равновесного теплового излучения при температуре Т・ Сравнивая выражение (13.93) с (13.97) и (13.94), приходим к

0 = (1 — е-6)ехр [-❷(d+ — р*) (d — p)J =

=(1 - е-б) “ {ехр [— (1 — с-。)(d+ —修)(d - р)]) = pW, (13.99)

0 =(開—i)必{exp [— (e0 — 1) (d+ —修)(d - В)]}曰 0(叫 (13.100) Уравнение (13.99) для 0 = 0 следует также из соотношения (а| ехр(— 8&+&) |а) = 2^хр(—0/г)| (а| п) |2 =

=2 "хр(需」а|龙 ехр(-1 а |2) = ехр[ — I а |2(1 一《-叩= п

= (а| # {ехр[— d+d(l — ^-е)]} |а); (13.101)

здесь мы использовали условие полноты (11.18) и распределение (13.126) [ср. с (10.8а)].

Суперпозиция полей

Рассмотрим случай суперпозиции нескольких полей. Если комплексная амплитуда а состоит из двух компонент р и у, т. е. а = р + у, то матрицу плотности, описывающую флуктуации компоненты р, можно записать в виде

Pi = j ①弘В)邝 + Y〉〈В + Yl 呻， (13.102) а матрицу плотности, описывающую флуктуации компоненты у, как .

02 = j ①，(Y)I В + Y〉也 + YI 叫. (13.103)

Результирующая матрица плотности равна

0 = j j ①"(凯①負(Y)18 + Y〉〈0 + Y1出В成Y=]Ф^(a)|a)(а|d2a,

(13.104)

где

Фж (а) = J①力(а - y)①併(y) d\ = J①勿偉)①貝(a - р)dВ=

=J J ①%)(P)①拿(Y) 6 (a — p - y)呻/.(13.105)

В более общем случае, если а = £а〃 имеем выражение

①川(а) = J 6卜_ J а再①弘)(а/)Ма〃(13.106)

которое является аналогом классической свертки (10.46) для распределений статистически независимых величин. Эта свертка квазивероятностей ①啰 характерна, если поле описывается функцией Фж(а), и выражает общий квантовый принцип суперпозиции:

(а) = [ Фж (а) а d2a =

=打 ①w(Р)①併(Y)(B + y)呻兮=〈В〉+〈Y)，(13.107a)

(I а I2) = <1 В I2) +〈I Y I2) +〈BY*〉+ <P*Y>.(13.1076)

Вопросы существования квазивероятности Глаубера — Сударшана

Критерий принадлежности Фл* к классу квадратично-интегри- руемых функций L? может быть получен с помощью характеристической функции С(“) [177, 180]. Из (13.74) можно видеть, что если С(")(В)巨 С?，то также и Фж (а)е Л2. Поскольку из неравенства (13.836) следует, что С(")(6), вообще говоря, не принадлежит к классу функций Л2, то Фиг (а) может и не быть обычной функцией, хотя она, разумеется, может существовать как обобщенная функция (распределение).

Мета [299] предложил другой критерий принадлежности к классу функций Л2. Исходя из (13.60) и (13.13а), получаем 〈一а| р |а)=]①“(В)〈一 а| 0〉〈阳 а) d2p =

=/Фж (Р) ехр (— I а 卩—I § У - а*р + а₽*) d2p. (13.108)

Отсюда находим

①川(р) = ^Р 济!2) J〈—a J ° J а〉ехр (J а |2) ехр @%—呻*) d2a. (13.109)

Следовательно, если функция (—а|р|а)ехр(|а|2) принадлежит к классу функций £?, то и Ф^(р)ехр(——|р|2) также относится к классу функций Л2->

Прежде чем перейти к более подробному описанию проблемы существования представления- Глаубера ——Сударшана для матрицы плотности, приведем некоторые определения классов обобщенных функций.

Определение и классы обобщенных функций

Обобщенная функция f есть непрерывный линейный функционал, который сопоставляет каждой основной функции 屮 линейного пространства некоторое комплексное число (см., например, [12])

(Л Ф)= j /WtW dx.

Линейность функционала означает, что

(Л «Ф1 + ^ф2) = «(А Ф1) + ^ (Л 叫) (13.110) для любых двух функций ф1 и ф2 рассматриваемого пространства основных функций и любых комплексных чисел u, v. Функционал является непрерывным в том смысле, что

lim (f, “)= (f, lim(ра) = (f, ср). (13.111) 〃->8 П->0О

Набор функций {(рп] представляет собой последовательность элементов пространства, которая сходится к ф в этом пространстве.

Класс бесконечно дифференцируемых основных функций с ограниченным носителем (обращающихся в нуль вне некоторого конечного интервала) определяет линейное пространство D основных функций. Все непрерывные линейные функционалы, определенные на D, образуют пространство обобщенных функций (распределений) DL

Пространство S основных функций включает бесконечно дифференцируемые основные функции, которые вместе со своими производными обращаются в нуль на бесконечности быстрее, чем любая отрицательная степень величины |х|. Тогда S' есть линейное пространство непрерывных линейных функционалов, заданных на S; эти функционалы называются обобщенными функциями умеренного роста. Если f(%) —локально интегрируемая функция полиномиального роста, то линейный функционал J f (х) ф (х) dx сходится для ср е S и, следовательно, определяет обобщенную функцию умеренного роста. Очевидно, что Q и S, т. е. каждый непрерывный линейный функционал, определенный на S, является также непрерывным линейным функционалом, определенным на D, т. е. S' и О'. Таким образом, мы видим, что каждая обобщенная функция умеренного роста является обобщенной функцией пространства Df. Пространство обобщенных функций умеренного роста включает S-функцию Дирака, ее производные конечного порядка и все конечные комбинации 6-функции и ее производных.

Целые функции 屮(2) комплексной переменной z = 〃 + 2, которые удовлетворяют неравенствам

I zn^{rn} (z) К cn, m ехр (а I и I) (и, zn = 0, 1, ...), (13.112) где а и cn, 7n ——постоянные, зависящие в общем случае от 屮,/г и /и, образуют линейное пространство Z основных функций. Тогда Z' есть пространство обобщенных функций, определенных на Z; иногда их называют ультрараспределениями. Поскольку 屮(2) целая функция, она не может быть равна нулю на любом конечном отрезке действительной оси (иначе она была бы равна нулю

ФИГ. 16. Соотношения между пространствами основных обобщенных функций.-,

во всей комплексной плоскости). Это означает, что только нулевой элемент является общим для пространств D и Z. Но если 2(2)wZ, то, согласно (13.112), также и “(〃)巨S, т. е. пространство Z состоит из всех целых аналитических функций экспоненциального типа, которые быстро убывают при действительных значениях аргумента, и, следовательно, Z и S. Поэтому Z‘ a S'. Соотношения между пространствами основных и соответствующих обобщенных функций схематически показаны на фиг. 16.

Пространства О и Z, так же как и О' и Z1 связаны между собой фурье-преобразованием. Пусть qp(x)——произвольная основная функция пространства О, равная нулю при \х\> а. Ее фурье-образ 屮(〃)можно рассматривать как целую функцию от 之=〃 + iu (согласно теореме Пэли — Винера о целых функциях [25, 16], т. е.

2⑶= j 9(元)eXp (氏2)dx. (13.113)

Продифференцируем (13.113) m раз по г, затем проинтегрируем п раз по частям относительно % и возьмем абсолютное значение полученной величины. В результате находим, что

I 2咏恤)⑵ I《j I 爲[xmqp (x)] exp(-xu)|dx<

<^,mexp(a| v I) (n, /n = 0, 1, ...), (13.114)

где +а

J \~^n[^(x)]\dx.(13.115)

Условие (13.114) в точности совпадает с (13.112). Кроме того, каждая целая функция 屮(2), которая удовлетворяет (13.114), является фурье-образом некоторой бесконечно дифференцируемой функции(р(х) с ограниченным носителем |х| ^ а. Следовательно, фурье-преобразование устанавливает однозначное соответствие между D- и Z-пространствами, а также между D'・ и /^пространствами.

Интересным примером элемента пространства Z' является функция

6(z + c)=£^6m)(2)(13.116)

л=：0

(где z = 〃 + iu, а с — комплексная постоянная), которая представляет собой бесконечный'ряд производных от 6-функции.

Важной функцией, имеющей отношение к вопросу существования распределения Фж(а), является следующий ряд:

n")=£%6叫")，(13.117)

п==0

который имеет вид, аналогичный (10.21). Хотя, как показал Кахилл [103], такой ряд не может рассматриваться как элемент пространства Dr (исключая случай сп = 0 для ti> N、где ^ — конечное), он может быть элементом пространства Z' [316]. Действительно, если 2 ⑶巨 Z, то

J f(u)^(u) du==^-l)ncn^(0\(13.118)

"=0

а из (13.114) следует, что |^п)(0) | ^ сап (с и а — постоянные). Таким образом, ряд (13.117) является элементом пространства

Z', если N cnzn = g (г) — целая аналитическая функция. П=0

Более подробные сведения об обобщенных функциях можно найти в работе [12], а об их применении в физике — в [189].

Точное определение Ф川

Вопрос о существовании ①川(а) можно более глубоко понять, если воспользоваться обращением интегрального соотношения (13.63). Это обращение дает информацию о квазираспре-

делении комплексной амплитуды поля, выраженной через фоков- ские матричные элементы p(n, т). Впервые задачу о существовании Фл-(а) решил Сударшан [436]. Он нашел, что、

每(а)= 2•优 i)叫 Т)"(「),

п=0 m=0

(13.119) где а = г ехр(г(р). Полученный ряд является двумерной модификацией разложения (10.21), и, следовательно,①川(а) представляется в виде двойного ряда, члены которого суть производные 6-функции. Как мы уже видели, такой ряд не приводит к обобщенным функциям на D-пространстве основных функций всякий раз, когда поле находится в состоянии с бесконечным числом фотонов [103]. Поэтому выражение (13.119) для Фж (а) было подвергнуто критике некоторыми авторами (см., например, [199]). Однако, как мы только что показали, ряд (13.119) может давать обобщенные функции на Z-пространстве основных функций, которые являются фурье-образами функций /^-пространства.

Мы используем несколько иной подход для построения функции Фж (а), основанный на разложении Фж (а) по полиномам Лагерра [369, 371]. Представим Фж (а) в виде

①“(а) = ехр[— (g— 1)| а |2] X

。川(财取目好)+3%(我产坊(g1a12)]. (13.120) /=0 I ц=0ц,= 1丿

Здесь 白》1 — действительное число,马 L, — полиномы Лагерра, определяемые выражением (10.27) и удовлетворяющие условию ортогональности (10.28). Умножая (13.120) на a*"Z/(g| a F) X X ехр(—|а|2), интегрируя затем по ga и используя (10.27), (10.28) и соотношение (13.63), получаем для коэффициентов разложения с沁 в (13.120) следующее выражение, в которое входят фоковские матричные элементы р(п, т):

с加=冗[(/£ 丽 f ①川 3)exp (一 I a I2) a*""也 I a I2)鼠(ga)=

= ^Ъут£(т此)b^dtpS s + D (13.121) $=o

Это уравнение может быть решёно относительно р:

Р (S, S + 卩)=舟[Ц^]/2 £ (— 1У (力 0 + 卩)！(13.122)

Легко убедиться, что подстановка (13.120) и (13.4) в (13.60) с использованием (13.122) снова приводит к фоковскому виду матрицы плотности (11.25) [371].

Моменты 〈а*%'〉勿 функции ①勿(а) можно определить с помощью (13.120) [371] или (13.119) [199] в виде

〈а*%%. = £р(「+ /,厂+粉」(「+ /),；+"!】％ ・(13.123) г=0

Выражения (13.120) и (13.121) при ц = 0 соответствуют формулам (10.26) и (10.29).

Из (13.120), полагая для простоты g = 1, получаем выражение•

J Фж (a) d卩(а) = п £ g|勺卩卩」"吋川"+

/=0 ц=0

+ 冗££ I(13.124)

/=0 |i=l

где dpi (а) = exp ( — | a |2) rf2a. Следовательно, если интеграл

J Фиг (a)如(a)e. 2 w I c川 |2」0+J)丄e)'/=0 |x=0./

конечен, то Фж (а) относится к классу функций L2 в пространстве с мерой dfi и ряды (13.120) сходятся к ①川(а) по норме 厶，t. e.

lim f [Ф^ (а) — Ф^ (a)]2 dpi (а) = 0,(13.125)

где ①僚)(а) есть ^-чacтичнaя сумма в (13.120). Таким образом, класс физических полей, для которых Ф^ (а) является элементом пространства L?, может быть определен заданием р(м, т) и найден с помощью (13.121).

Примеры

Рассмотрим случаи гауссова света и суперпозиции гауссова света с когерентной компонентой. В первом случае

p (几,^) = 6%m(1 +(/))1+" »•(13.126)

откуда, используя (13.121) при 白=1, получаем

1 + 严，(13.127)

так ЧТО

h2*%0!)2 = £[(1 +〈〃〉)2「‘一=团产?25)V 8 . (13.128) /=о/=о.

Действительно, функция ①“(а) имеет вид (13.95) с § = О, I. е. является функцией из £?•

Во втором случае для p(n, т) имеем [322] (см. также § 3 гл. 17)

р 的加)=(鳥У exp (- 1 関 J(1 +%『x

(….(13.129)

[Отметим, что, если п> т, то p(〃, tn) = ^(т, /г).] Коэффициенты

川兀(1+⑺)/+卩+1叫1 +⑺丿[(/ +卩川3 *.

X【1 + ⑺(1 -州 6*“甘(0 +⑷)[:黑〉(—)])•(13」3。)

Подставляя это выражение для с；ц в (13.120) и используя тождество ([14], стр. 1052)

£ [(〃工)-尸冼⑴比(力i= %=o

= -^f!^exp(-z^(13.131)

[здесь /и(х)—модифицированная функция Бесселя первого рода], а также свойство /一卩(％) = /卩(％) и тождество

+ 8

£ 1п (х) exp (Zn(p) = exp (х cos <р),(13.132)

п= —ОО

снова приходим к диагональному представлению функции (13.95). Можно легко проверить, используя (13.131) и (13.132), что коэффициенты (13.130) удовлетворяют условию

^|С/цр>+^<оо.(13.133)

Заметим, что частные случаи полностью когерентного или хаотического поля можно рассматривать как предельные случаи соответственно при (/г) -> 0 и р>->0.

Можно видеть, что, в то время как носитель каждого члена ряда (13.119) является одноточечным, носителем членов ряда (13.120) является вся комплексная плоскость. Это значит, что если гарантировать априори существование функции ①“(а) в

обычном (не обобщенном) смысле, то, чтобы построить ①“(а) согласно (13.119), мы должны знать все p(n, т). Если же отлично от нуля только конечное число p(n, т), то ①“(а) имеет одноточечный носитель. С другой стороны, если ограничиться конечным числом членов ряда, выражение (13.120) можно использовать в качестве аппроксимации ①川(а) как обычной функции, если только задан конечный набор р(/г, т). Если же заданы все p(n, т), то (13.120) представляет собой обычную функцию, когда входящий в (13.120) ряд равномерно сходится (для всех а). Если же этот ряд расходится, то последовательность частичных сумм может сходиться к обобщенной функции. Некоторые физические примеры полей, приводящих к обобщенным функциям умеренного роста, приведены в [371] (при g= 1).

Когерентное состояние 10〉 В этом случае

①川(а) = 6 (а — Р)= м м

=Hm ехр (-1 Р I2) S S (^Г ^ (| а|2) L^ (| Р D +

+ 工(компл. coup.)}, (13.134) ц=1J

где «компл. сопр.» обозначает выражение, комплексно-сопряженное первому. Формула (13.134) выражает условие полноты системы функций {а“厶}^ в пространстве 厶2 с мерой d(i(a)= =ехр (—|a|2)d2a. Разложение (13.134) можно получить также из (13.120), при подстановке в (13.121) выражения '

которое следует из (13.63), если ①川(а) =6(а—§).

Поскольку в экспериментах информация о фазах часто теряется, то, усредняя (13.134) по фазам, получаем

2 л2 л

①“ (а)=击 j 6 (а — Р) d(p = ^- J 3 "：'а J"' 6 (qp — ф) rfqp = о •о

_ 6(|а|-|В|) __ 丄「6(|а|-|В|) , 6(|а|+|Р|)]=

— 2л I а I — л L 2 I а I 十 2 | а | J м

= ^6(|а|2-|р F)=『工 ^ехр (-1 В У)工击以| а |2) "(| Р『).

/=°(13.135)

Здесь мы учли, что d(| а | + | Р |)/2| а | = 0, а а = | а |exp(fqp) и P = l Р 1ехр (绅)・

Фоковское состояние | и)

Из (13.119) или (13.120) следует выражение

①川 3)= В WW eхp( Ia?)(击广6(Ia[)=

(13.136)

Здесь мы использовали тождество

6(2")(I а I) _ №力(I а I) + 6阿(一 |а I) _

Г«]—21al—

—产 6(с + |а|) + 6(с-|а|)—

—\дс 丿21alc=o —

=後广601a卩必 =

=(#ni±/c2/6(/)(i«i2)u= /=0

= (-l)“ 噜“叫 |а|2)・(13.137)

Можно сделать вывод, что состояние \п) не имеет классического аналога, так как для п > 0 функция ①“(а) более сингулярна, чем 6-функция [①“(а) пропорциональна n-й производной 6-функции].

Общее решение проблемы существования

Уравнение (13.68) дает полное решение проблемы существования ①“(а). Бонифацио, Нардуччи и Монтальди [85, 86] решили это уравнение типа свертки, используя фурье-преобразование. Авторы показали, что если решение уравнения (13.68) существует, то оно единственно. Совершая фурье-преобразование в (13.68), приходим к соотношению

С(阁(Р) = Cw (Р) exp (― I В |2), (13.138) где характеристические функции С(*)(р) и С(ж) (р) определяются выражениями (13.72) и (13.73). Следовательно, если

严(Р) = d闾(В) ехр| §『 (13.139)

представляет собой обобщенную функцию умеренного роста, то ее фурье-образ Фж (а) также есть обобщенная функция умеренного роста [86]. В дальнейшем Миллер и Мишкин [316] показали, что ①《(а) (регулярная функция) является элементом пространства S〔 а следовательно, и Z： Тогда С(Л, (Р) е £)' (а также С(")(В), определяемая выражением (13.139)) принадлежит О'; поэтому фурье-образ ①川(а) является элементом пространства Z'. Нетрудно показать, что это решение единственно [316]. Следовательно, для всех физических полей функция ①川(а)——весовая функция диагонального представления Глаубера ——Сударшана для матрицы плотности — существует по крайней мере как обобщенная функция в пространстве Z' (ультрараспределение). Действительно, ①川(а) является элементом подпространства в пространстве Z' [316]. В этом смысле можно сказать, что функция Фж (а) всегда существует.

Были предложены также и другие подходы к проблеме существования диагонального представления матрицы плотности. Мета и Сударшан [304], Клаудер, Мак-Кенна и Кюри [236], Клаудер [235] (см. также [17], гл. 8, § 4) и Рокка [402] определили весовую функцию ①如(а) как предел бесконечной последовательности регулярных весовых функций {①歴)(а)}・ Следовательно, все матрицы плотности можно получить как пределы последовательностей, каждый член которых является диагональным представлением Глаубера — Сударшана с весовыми функциями Ф(^)(а), представляющими собой квадратично-интегри- руемые функции или обобщенные функции умеренного роста. Для того чтобы определить Ф(^)(а), можно оборвать каждый ряд на N・m члене, воспользовавшись в первом случае выражением (13.120), а во втором——(13.119). Однако поскольку при реальных измерениях матрицы плотности выполнение условия

5р{М-рлЛ]<е||Д||(13.140)

несущественно (здесь А ——ограниченный оператор с нормой ||А||, а £ ——произвольное малое число), то можно сделать вывод, что матрица плотности может быть выражена в диагональной форме с произвольной точностью. Этот результат применим к важным физическим операторам

A = ^ {ехр (氏d+d)}

и

方謠产才%一产青"{(a+G)%xp(一戸叽

которые соответствуют нормальной характеристической функции и распределению фотоотсчетов. Распределение фотоотсчетов

равно, например,

р(п)^ j 咽У)3)喑^ехр(—|а|2"2а,(13.141)

где р(п) = р(/г, /г), а р(/г, /г) дается выражением (13.63).

Кахилл [104] предложил метод регуляризации функции (a).

Описание многомодового поля

Если использовать когерентные состояния | ｛а^)), определяемые формулой (13.48), все предыдущие результаты можно распространить на поля и системы с конечным или бесконечным счетным числом степеней свободы. Матрица плотности в представлении Глаубера — Сударшана имеет при этом вид

0 = J ①川(匾｝)| &｝〉〈&｝I d2｛%｝・(13.142)

Здесь Фж (｛а^)) ^ Фж (ан а2, ...) — весовая функция (или функционал), a d2 [ах] = П й2аЛ. Например, вместо (13.63) в случае к

многомодового поля получаем выражение

〈｛纵｝i0 i｛^j〉=p(m/，｛皿1)=：

=J ①“3exp (― I 臥 |2)d2ax. (13.143)

Далее запишем соотношение, соответствующее (13.68),

①先(匾｝) = J Фж (他｝) И eXр (一 |耿一阮 I2)❷(13.144)

и соотношение, которое соответствует (13.84), а*пкатк

Фл (匾D=22Р(｛叫，｛恤｝)JI 合占exp(-|a#)・(i3.i45)

Другие соотношения для случая многомодового поля можно обобщить таким же образом.

Используя (13.142) и (13.52), можно записать корреляционную функцию (12.5) в виде

Г*們")(%],・•・，хт+п)=>.

т+п

①“(｛а/)П 片(打)П，(4)d2｛”｝，(13.146)

，=1k—m+l

где P (x) определяется выражением (13.53).

Суперпозиция двух полей, определяемых функциями Фж ({а^}) и Ф^ ((а^))» записывается по аналогии с (13.105) в виде ①川({aj)=

=Я 嘲個})嘲(М})1Р(" 一阮 一丫九)抨九 d2Y» (13.147)

Эта свертка выражает квантовый принцип суперпозиции, который приводит к закону интерференции мод, совпадающему с классическим законом интерференции:

〈"—)(%)不+)(%)〉=

= [0Мe})〈e}1М)(居{自")不+)(居 闯)1{耿}〉門耿]= =[](1)2(危})(1)貝(m})[『(招{₽j) + r(x, {加)]w(招偽}) + + 厂(修 Ш)]а2{М d4vJ=(l v(x, {₽j)p)+ (|y(x, {yx))I2) +

+(片的他}"(% m})〉+〈〃x，回})片⑵也}» (13.148) здесь мы учли линейность V (х, {ах}) по {ах}, т. е. V (х, (рх + у/)= =V (х, {阮}) + 丿的 MD・ Этот результат согласуется с формулой (12.20), основанной скорее на интуитивных соображениях.

Изменение во времени квазивероятностиГлаубера — Сударшана

Как уже отмечалось в § 1 данной главы, наиболее общий вид гамильтониана, для которого когерентное состояние остается с течением времени когерентным, дается выражением (13.56). Это означает, что если написать матрицу плотности р в шрединге- ровском представлении, т. е.

0(f) =/ ①代(а,川 а〉〈а|&2(х,(13.149)

то весовая функция Ф^ (ос) = 6(а—р), описывающая начальное когерентное состояние | р), остается всегда 6-функцией. В более общем случае справедливо выражение [462, 463]

Фж({ах(0)); f) =(D“({Ns"(/)M0) + Q九叫 0). (13.150)

Здесь S入ц — матричные элементы S-матрицы (11.55), вычисленные для гамильтониана Й 三(f诘)=厶 т. е.

ООtG— I

我)=1 +，(宁y jdt；1fg …f 俏)，(13.151)

'0О

а

t

QNf)=4, Js力(行 g/『)疗，(13.152)

卩0

где fik Н gh ——коэффициенты из выражения для гамильтониана、 (13.56). Из (13.150) следует, что если при t = 0 распределение было гауссовым, то оно остается гауссовым и во все другие моменты времени [463, 400, 401, 508].

Н (0 = %%&+(£) d (/) + 力①匕6+ (0 6 (/)—Н (0 = %%&+(£) d (/) + 力①匕6+ (0 6 (/)—В связи с различными физическими задачами были исследованы также и некоторые другие гамильтонианы. Например, Мол- лоу и Глаубер [322, 323] изучали временную зависимость функции Фиг (0 для процесса параметрического усиления, который описывается гамильтонианом

Н (0 = %%&+(£) d (/) + 力①匕6+ (0 6 (/)—

Н (0 = %%&+(£) d (/) + 力①匕6+ (0 6 (/)—

一力乂 [d+ (f) A (/) exp(-加f) + d (f) 6 (/) exp (施/)]. (13.153)

В этом гамильтониане моды а и b, описываемые операторами уничтожения и рождения й, Q+ и 6, ё+, связаны с гармоническим полем ехр (心которое

ФИГ. 17. Поведение функции Ф^ (а, /)ФИГ. 17. Поведение функции Ф^ (а, /)предполагается настолько интенсивным, что может быть -задано классической функцией с константой связи х. Частоты За, о)ь и частота накачки(о удовлетворяют УСЛОВИЮ СО = СОа + СОб [ср. С условием стационарности (2.21)]. С помощью гамильтониана (13.153) можно также описывать деление частоты пучка света и когерентное рассеяние Рамана и Бриллюэна. Была исследована зависимость ①步(а, р, /)

ФИГ. 17. Поведение функции Ф^ (а, /)

ФИГ. 17. Поведение функции Ф^ (а, /)

ОТ Времени для оптических во времени для системы, находящейся МОД а И b. С ЭТОЙ целью первоначально в когерентном состоянии, в работах [322, 323] использовались характеристические функции в гейзенберговском представлении, а в работе [318]——характеристики соответствующего дифференциального уравнения в частных производных для характеристических функций в шредингеровском представлении, рассматриваемых в фурье-частотной области. Другие подходы были предложены в работах [187, 188, 453], а кван

товая статистика систем связанных осцилляторов исследовалась в [320].

Рассмотрим для простоты статистические свойства одномодового поля излучения (мода а). Тогда для функции ①勿(a, f) можно получить [322]

①川(a, 0 =匸鼬 乂/)2 J J ①川(曲，例)exp - ■e!点)2" d2aod2Po,

(13.154)

где Фж (а0, Ро) описывает начальное состояние поля при / = 0, a a (a0,限 ^) = aoch (nt) exp(— i(dat) + ZPosh(xf) exp(— i(aat)t Если начальное состояние когерентное, т. е.①“(а$, Ро) =6 (ао — a0) X Хб(Вб-Во), т。

Фж (а, /) = exp II °二,f(13.155)

л (sh xf)2 U L(sh x/)2 J '7

Изменение этой функции co временем показано на фиг. 17 для ₽о = 0.

В замкнутом виде решение указанной задачи можно найти также и в некоторых других случаях — в частности, для случайно модулированного гармонического осциллятора [123]. В предположении, что частотная корреляция короткодействующая, возмущение сильное, а процесс марковский, уравнение (11.48а) для матрицы плотности в гейзенберговском представлении приводит (после некоторых громоздких вычислений) к следующему дифференциальному уравнению:

鳥①川(а, /) = ｝。(言一4x)1 詣)①川(а, /) (13.156)

(здесь D — постоянная). Решение этого уравнения можно записать в виде

①“(а, /)=

4-00Te + foo

=exp(2х2) j d/ J dy&xp*(—2/2)①“(a-0)乡 1 (%,劣力/, у, 0) — ООТеТоо

при у > Re у',(13.157а)

или

①“(а, 0 =

а+力 84-оо

=exp (2%2) j d/ j d/ exp (— 2%")①川(a\ 0)乡2 (爲 У；力 %’, /； 0) “一«8—ОО

при %>ReM(13.1576)

Здесь а = % + 〃, to — абсцисса сходимости, соответствующая аналитическому продолжению функции Грина 乡1,2 по х и у,

а функция Грина дается выражением 乡1.2(修 У；计 m /； 0)=

=*%*/%『j exp [一 攵# т® -/)]岑=о

=[2，冗纪喂尸 Jexp[—4F —卩(■』)]*・(13.158)

Статистические свойства лазерного излучения, а также временную эволюцию светового пучка, находящегося в неравновесных условиях (переходные эффекты), мы рассмотрим в § 2 гл. 17.

Г лава 14

СВЯЗЬ КВАНТОВОЙ И КЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИЙ КОГЕРЕНТНОСТИ

Квантовые и классические корреляционные функции

Определим распределение вероятности Рп (7Ь ..., Vn) [Vi=V (ху)] с помощью соотношения [271]

п

F(%, 乙)=1 ①"(М)II6”/一匕)0{關=

/=1

= (n>"/一%))；(14・1)

Г!г * “) (%i，• • •, %т+〃)=Г!г * “) (%i，• • •, %т+〃)=здесь функции 7/ заданы формулой (13.53) с заменой а —а'・ Тогда корреляционную функцию (13.146) можно переписать в виде

Г!г * “) (%i，• • •, %т+〃)=

Г!г * “) (%i，• • •, %т+〃)=

m т+п

，г…)п叫п ^п^=

/=1 k=m + l /=1

шm+九

=(11片(/)П，⑵)〉.в⑵

/=1々=т+1

Это выражение совпадает с формулой (8.4) для классической корреляционной функции. Таким образом, имеется очень близкое соответствие между классической и нормально упорядоченной квантовой корреляционными функциями. При этом диагональное представление Глаубера — Сударшана для матрицы плотности служит как бы мостом между классическим и квантовым описаниями. В более общем случае, когда f [А^ (х), А(+)(х)} представляет собой функционал от операторов поля Z(+)и %(-), если определить оператор сдвига D ({а九}) в виде произведения операторов сдвига для отдельных мод (13.2) и использовать свойства операторов сдвига (13.32), мы имеем равенства

(&}) Ам(х) 5(&})=不+)W + V(х),力一(ED 不 т (%) d (ED = (%) + 丿⑴， •

где V (х) задано формулой (13.53). Следовательно,

Sp{/{0T(x), Д(+)(%)}}= 、 =J ①“(®})〈о| $т (ED 戶{/㈠(%), А(+)(х)]ЬЫ)\ 0〉d2{%}= =J Фж(Ы)<0I 川不一)(%) +片⑴,不+)(6 + !/(%)} |0〉0{耿};(14.4)

здесь учтено, что | {aj〉= D({a%}) |0〉・ Операторы 才(+)и 才㈠， стоящие справа в (14.4), вообще говоря, могут дать вклад от флуктуаций физического вакуума. Однако если Р——нормально упорядоченный функциональный оператор, то среднее по вакууму от нормально упорядоченного оператора равно нулю, поскольку 屈+)(0〉= 〈0|力(一)=0 (т. е. флуктуации вакуума не дают вклада). Поэтому мы получаем, что

Sp{0 戶{ЛН)(Х),簿+)(%)}} =『①勿({”})尸{片(%),!/(%)} d2 aMi 4.5)

Этот результат не зависит от интенсивности поля и справедлив также для произвольно низких интенсивностей света. Он используется, кроме того, для обоснования расчетов классической оптики [286]. Таким образом мы видим, что имеется формальная эквивалентность между классическим и квантовым описаниями; конечно, эта формальная эквивалентность не означает физической эквивалентности между классической и квантовой теориями: так, например, мы видели, что фоковское состояние |/г〉 не имеет классического аналога. Однако выражение (14.2) показывает, что все результаты, полученные в предыдущих главах, посвященных исследованию зависимости корреляционных функций от поляризации, координат и времени, справедливы также и для квантовых корреляционных функций.

Статистика фотонов и фотоотсчетов

Успехи классической (полуклассической) теории объясняются тем, что соотношение фотодетектирования (10.3а), выведенное полуклассическим методом, следует непосредственно из свойств квантованного электромагнитного поля [169, 353, 357, 176, 231, 620, 523].、

Рассмотрим сначала распределение р(п), т. е. вероятность обнаружить /г фотонов в момент времени / в нормировочном объеме L3. Ясно, что

P(m)= £ P(MR，㈣}№w (14.6)

где X 〃入=〃• Момент 〈论厶〉[оператор й определяется формулой (11.246), k ——целое число], вычисленный с помощью представления Глаубера — Сударшана для матрицы плотности, равен (仍=2>({纵})〈{耿}|們{耿})Н

{"}

=j5。(匾})〈е}1們е}〉d2{a人}; (14.7)

здесь р({/гх}) ^ р({^х}, {^х}). Подставляя в правую часть равенства (14.7) единичный оператор (11.37) и используя многомодовый аналог формулы (13.126) в виде

1<Ы1(а^)|2=П1^^ехр (-|ах Р),(14.8)

получаем

^p(n)nk^

〃=0&

= 2(!ф- (Ы) П 鼻2 exp ㈠外 |2)d2 闷步卜(14.9)

В этом уравнении n = 2 ^— собственное значение оператора п в фоковском состоянии I {nJ), а р(м) задано формулой (14.6). Поскольку уравнение (14.9) должно выполняться для любого k [в силу произвольности р(п)], мы приходим к формуле [169, 357]

Р^-\ ①川({”})粤ехр(-Щ叫吟(14.10)

Здесь использована полиномиальная теорема

ГП<=Д^.U4.U)

где 工‘ обозначает суммирование при дополнительном условии 2 = п- Величина W равна

а =〈{”}⑷{%}〉= J 必(%) ^ W d3% =工| 耿 I2, (14.12) L3X

где 必(У) —собственное значение оператора А(х) [см. (11.23)] в когерентном состоянии. В случае плоского детектора с площадью S, на который нормально падают плоские волны, L3=ScT

и величина (14.12) пропорциональна (10.36). Подстановка в (14.10) выражения

Pn W) = / ①川(｛喲吁 - ？ № I2) d2 ｛叫 (14.13) \ дает соотношение фотодетектирования (при п = 1) в окончательном виде

ОО

p(n)= ] ^(Ю^ехр(-Г)ЙГ. (14.14) о

Таким образом, для распределения числа фотонов в объеме L3 в момент времени t мы получили такую же формулу, как и для распределения фотоэлектронов, эмиттированных в течение интервала (^, t + Т). Можно сказать поэтому, что при фотодетектировании статистика фотоотсчетов непосредственно отражает статистику фотонов поля излучения. Выше было отмечено, что за этот результат ответственно использование нормального упорядочения операторов, при котором вклад физического вакуума равен нулю.

Можно также показать, что соотношение (14.14) справедливо для произвольного объема V, линейные размеры которого велики по сравнению с длиной волны и который не обязательно совпадает с нормировочным объемом L3. Рассматривая случай, когда (V\ f) «соединимо» с (х, /), и используя соотношение коммутации (11.44а), получаем формулу [277]

” ｛喝〉『储％ =〈紀 &L 1)・•・(％L k + 1)〉，(14・15) которая является многомодовым аналогом соотношения (11.8а). Таким образом, нормальная характеристическая функция равна

〈ехр (氏％/九=£ 粤〈敍厶=〈(1 + ixfvt\ (14.16) r=0

Это выражение соответствует (10.11). Подставляя 1 + i% = е*и, получаем выражение

(exp (^Vf)> = (exp [Av/ (е^ — 1)])ж,(14.17)

которое соответствует (10.8) и (13.101); обратное фурье-преобразование сразу же приводит к формуле (14.14). Из написанных выше соотношений следует также, что коэффициенты в разложении моментов 〈论乳〉по нормальным моментам 〈论〃〉“ (/=1,…，k) те же, что и в формулах (10.4), (10.17) или (10.19); это можно также проверить непосредственно с помощью правил коммутации (11.42) [275]. Например, рассматривая для простоты

случай одной моды и используя правило коммутации (11.3), получаем 〈//〉=〈&+&&+&〉=〈& + & + &&〉+〈&+&〉=〈外〉川 +〈〃〉“，ЧТО согласуется с (10.46) и со вторым уравнением в (10.17). Эти результаты еще раз подтверждают формальную аналогию между квантовым и классическим описаниями.

Отметим, что нормированные факториальные моменты распределения фотоотсчетов, определяемые выражением

\(几一也)1 /

которое следует из (10.13), не зависят от квантового выхода фотодетектора т) и равны факториальным моментам распределения числа фотонов. Таким образом, если для анализа экспериментальных данных используются факториальные моменты, то распределение фотоотсчетов можно рассматривать как распределения числа фотонов независимо от квантового выхода детектора. Связь между распределением фотоотсчетов рл(п), получаемым на детекторе с квантовым выходом т) #= 1, и распределением числа фотонов р(п), рассчитанным по данным измерений нормированных факториальных моментов (rj = 1), дается распределением Бернулли '

Рп5)= £(；)唄(1-П)…Р(冷 (14.19) m==九

Распределение числа фотоотсчетов в форме (10.3а) можно получить квантовыми методами [176, 177, 180, 231, 520, 523, 17]. Для этого предположим, что чувствительный элемент счетчика фотонов состоит из множества атомов, каждый из которых способен поглотить фотон и дать отсчет продетектированного фо

тона i)・ Пусть оператор п (Г) = 2 〃/ (Т) есть оператор числа от-

Можно рассмотреть также процессы двухфотонного и многофотонного поглощения. Согласно квантовомеханической теории возмущений [243, 111, 112], вероятность перехода при s-квантовом поглощении пропорциональна /5(/), и поэтому все .результаты, справедливые для случая однофотонного поглощения, остаются верными и для многофотонного, если /(/) заменить на Is (/). Тейч и Диамент [438] теоретически исследовали связь между распределением числа фотоотсчетов при двухфотонном поглощении и интенсивностью флуктуаций падающего на фотодетектор лазерного и хаотического излучения и сравнили полученный результат с данными фотодетектирования при однофотонном поглощении. Дальнейшие исследования статистики двух- и многофотонных процессов были проведены в работах [439, 102, 242, 130, 321, 491— 493, 511, 526—528, 531, 532, 536]. Некоторые экспериментальные результаты приведены в [422, 502, 521, 535].

счетов в интервале (О, Т), где R)(T)——соответствующие операторы для отдельных атомов. Собственными значениями nj являются 1 или 0: первое значение——для конечных состояний, в кото/ рых /-й атом вносит вклад в отсчет фотонов, а второе — для состояний, в которых такой вклад отсутствует. Поэтому можно написать

N

(1 +沃严)=(1 +汉)沙‘⑺=

=屮1+京)/ =用1+"•叫(T)].(14.20)

Разложим (14.20) в ряд и запишем, согласно (12.13), следующее выражение:

®(Т) •・・ ％(Т)〉= №)(Т,・・・，Т),

а также будем считать, что в разложении (14.20) число сочетаний ^![(纣一т)! m!]-1(m!)-1 (поскольку N велико и р^ 声 0

только при m《Л7). Тогда мы получим, что

<(1 +反尸⑺〉=1 + £嚅尸m •(14・21)

где

尸加=]*••• J f • • • f F$J?，(Xl» • • •» Xm» 爲％7) X 00 VD

x 口 口解-斗4 - /0 d%叫丿

(здесь VD — объем детектора). Если теперь воспользоваться представлением Глаубера — Сударшана, то для характеристической функции получим выражение

<(1 + 2皿〉=J %({”})exp[z・%/{%})]d2{%},(14.22)

где

г({%})= j・・・J J... jg(%〃—％[г—/)у*(力“)V(%’)d’xdM". 00 Уп

(14.23)

Напомним, что в выражениях (14.23) и (14.21) под интегрированием по х следует понимать также и суммирование по

индексам поляризации. Если в (14.22) использовать выражение, аналогичное (14.13), а именно

Р如(Ю=〕①川(Ы) 6 (历一砺({%})) d2 {啾(14.24)

то получим окончательный вид характеристической функции

<(1 + 京产⑺〉о J & (Г) exp (ixW) dW. (14.25) о

Искомое распределение числа фотоотсчетов равно

р(% 7)=营謠产〈(1 +汉)'⑺儿…= 8-

=J &@)等 exp (一砺〃历，(14.26) о

а факториальные моменты вычисляются с помощью (14.21) следующим образом:

〈小〉=鳥《心)吗"。 Г Гk

00 yo /=1

k

X「第期(6,...此，或%7) Д心斗击*. (14.27)

/=1

Для широкополосного детектора и плоских квазимонохрома- тических волн, падающих нормально (в направлении г) к поверхности плоского фотокатода площадью S, можно написать, что 9* —认 t〃 — Г) = (x]/ScT) 6 (/ — H) = (x]/ScT) 6 (%〃一%')>< X6(f〃 — f). В этом случае мы имеем

г сТт

历=舟 J 力‘ j dz[ / (犬)d2x, = t)J / (，)必‘ =т]呼，(14.28) 0 0sо

где величина / (х) = 3 V* (х) Уц (х) = У* (%) V (х) не зависит явно От %, у и 2. Выражение (14.26) вместе с (14.28) приводит к соотношению фотодетектирования (10.3а), полученному полуклас- сическим методом. Факториальные моменты (14.27) при этом

равны [ср. (12.11) и (10.92)]

〈(论—々)!〉=瞰J…J % *)(才，・・・，％ %・•・，彳)Д必;・' 00/=1

(14.29)

Не представляет труда по аналогии с (10.87) — (10.95) обобщить полученные формулы на случай нескольких детекторов.

В заключение можно сказать, что имеется формальная эквивалентность между квантовым и классическим описаниями когерентных свойств электромагнитного поля, если представление Глаубера — Сударшана для матрицы плотности рассматривать как обобщенную функцию (ультрараспределение) в пространстве Z\ Это можно объяснить тем, что среднее по вакууму нормально упорядоченных операторов поля равно нулю, и поэтому физический вакуум не дает вклада в наблюдаемые эффекты. Однако ничего нельзя сказать о физической эквивалентности, поскольку классическое описание применимо лишь к сильным полям, по сравнению с энергией которых энергией кванта 方со можно пренебречь, тогда как квантовое описание законно во всех случаях (включая сколь угодно слабые поля). Физическая неэквивалентность квантового и классического описаний выражается в том, что классические функции распределения представляют собой регулярные неотрицательные функции, тогда как функция Фж ({ах}) может принимать отрицательные значения и быть сингулярной (например, для фоковского состояния |и) она пропорциональна п-й производной 6-функции и не имеет классического аналога; она может быть и еще более сингулярной, поскольку в общем случае представляет собой Z'-pacnpe・ деление). Только в пределе сильных полей, когда способ упорядочения операторов поля не играет никакой роли, можно достичь полной физической эквивалентности квантового и классического описаний, ибо при этом Фиг -> Фл> причем Фл является регуляр， ной функцией.

Г лава /5

УСЛОВИЯ СТАЦИОНАРНОСТИ ПОЛЯ

Свойства временной инвариантностикорреляционных функций

Хорошо известно, что условие стационарности в квантовой теории выражается уравнением

[瓦 0] = О,(15.1)

которое следует из уравнения (11.48а), поскольку d61dt = G; здесь Й — гамильтониан системы. Покажем сначала, что прежнее определение стационарного поля (гл. 2), согласно которому корреляционная функция (т + и)-го порядка инвариантна относительно временных трансляций и зависит только от (т + и—1) разностей временных аргументов (力 —— 九)，j=2,... ・.., m + n, является следствием уравнения (15.1) [222, 176, 181].

В гейзенберговском представлении можно записать, используя циклическое свойство следа и подстановку единичного оператора ехр [——，(At/方)]exp [«ар/方)],что

七%+") = Sp，О JJ")(*/，勿)不"％，九)’=

=Sp 卜xpg -^~) P exp ( —i *^~) X

Xexp卜牛)%1(修,幻exp( 一力 率)…

…exp, ^ф~) 0+)(x次十％, f?+J exp (—力~^~)}・(15.2)

Используя (11.46а) и предполагая, что выполнено условие (15.1), приходим к выражению

f歌")(%], ・・.，%加+/ =

=sp p n @t (%八勺 +1) n 不* (检，爲 +1)= I /=1々=m+lJ

=Г炉出(巧，'；„+% +，)・(15・3)

Полагая t=—厶，мы получаем формулу

Г*护 ”)(R], • • •, %+") =

=f华加(打...，为加+以； 0, t2 - /],..•，tm+n - Q, (15.4)

которая выражает рассмотренное выше условие стационарности. Из выражений (15.3) и (15.4) можно, наоборот, получить условие (15.1).

Другое условие стационарности, в котором используются производные функции「夕山 по времени, можно получить следующим образом [206]. В гейзенберговском представлении имеем

历更沪幺=[0+)(勺，з方].(15.5)

Умножим это уравнение на П@т(%/，川 П 不+)(“ 编 слева /=1k=m+l

m+n

и на Ц 0+)%,爲)справа, а затем полученный результат л=/+1

усредним. Тогда найдем, что

m①何m①何/国，川Л赤%,爲空"if ".%，"））= 左=m+l'尼=?+1/

m①何

m①何

不一）（吃，力）П л（+） ^ ^л （+） ^ ^^и ^（+） k=tn+l也=Z + 1/

/1（抄力）П0+）（/，僞后0+）（勺，力）11不+）（/，〃））.

（15.6）

Суммируя все эти уравнения для / = /п + 1, ..., m + п и добавляя к этой сумме набор уравнений, эрмитово сопряженных уравнениям (15.5), получаем условие стационарности в виде [ср., с условием (2.21) для частот]

ш + п

‘力]"57? r仍用(小“+")=•

m㈠⑴)n脚(/)h\-/=1E=m+1J

ряДлм(Х/) Д 彳+)(/) =/=1k=m+l丿

=Sp 旧, 0】lp-u)и不+)(/) = о，(15.7) >^=?zn-|-1丿

где использовано условие (15.1). Для пг = п= 1 мы имеем как следствие того, что 「％】)&, %) = ?%。('2 f %)， следующее равенство:

аг^ 1)— аг^ D

Условия стационарности в фазовом пространстве

Рассмотрим свободное одномодовое поле. Используя выражения (11.13) для перенормированного гамильтониана А = ^= h^a+a и (11.25) для матрицы плотности р, запишем условие (15.1) в виде

[Я, р] = йсо 2 Р(«, /п)(и —/и) \ri){tn | = 0,(15.8)

т. е.

{k\[Ht р] |Z) = A(op(Z>, l)(k — l) = 0(15.9)

для любых k и I. Следовательно, р (財 /) должны иметь вид

p （在，0 = p （財々）6以.p （在，0 = p （財々）6以.(15.10)(15.10)

p （在，0 = p （財々）6以.

p （在，0 = p （財々）6以.

(15.10)

(15.10)

Поэтому, как можно видеть из (13.119) или (13.121) и (13.120), ①“ (а) не зависит от фазы 屮 величины а. С другой стороны, если Фж(а) не зависит от фазы qp, то р(^, I) должны иметь вид (15.10), и тем самым выполняется соотношение (15.1). Следовательно, для одномодового свободного поля условие стационарности (15.1) является необходимым и достаточным, для того чтобы(Ь“(а) не зависело от фазы 屮 комплексной амплитуды а.

В случае многомодового свободного поля рассмотрим снова перенормированный гамильтониан (11.13) и, используя для матрицы плотности многомодового состояния выражение (11.38), получим уравнение • . •

(15.11)(15.11)=0,=0,[瓦 0]=為部({叫 Ы) ^fi^^ — m^ {nK]}{[tnK] | =

(15.11)

(15.11)

=0,

=0,

которое приводит к выражению

р({〃/, {加%}) = Ро({〃/, {恤})Мм，(15.12)

где

N = X力S耿，m =工力①儿恤，(15.13)

а ро = Р， если N = М. Подставим выражение (15.12) в формулу (13.119), записанную для случая многомодового состояния

поля, т• е•

%({喲=Е £ р(Е}，{恤))!1Tl^g^x

X exp同+ Z网一纵)耿](一證广a 6 (G или в соответствующую формулу (13.120), т. е. 办({”})=ехр [—(—1) § I” 耳 X

X{割怠*№山@/歴1時)+ + 5 (компл. coup.)}, {以}=1 丿 где

办}cУ^ {^} = > Р (同，做 + 阂)*{S 九}=0

W+也)1国+以)「

(15.14)(15.14)(15.15)(15.15)(15.16)(15.16)В результате такой подстановки получим соответствующую функцию ①“({а*}) для стационарного поля. Эта функция, вообще говоря, зависит от фаз {q)x} набора комплексных амплитуд {ах}.

(15.14)

(15.14)

(15.15)

(15.15)

(15.16)

(15.16)

Если выполняется дополнительное условие [222, 225]

[р,纥纵]=0 (для всех А),(15.17)

то

p(同，W) = P(N> 同)6{”}，{叫(15.18)

и, следовательно,①“({а%}) не зависит от фаз {<р入}. В этом случае матрица плотности (11.38) в представлении чисел заполнения является диагональной.

Аналогичные результаты для зависимости корреляционных функций от пространственных координат можно получить [134] из условия [Р, р] = 0, где 》=》力左入djd九 есть оператор полного импульса системы. Это условие приводит к корреляционным функциям, стационарным в пространстве (т. е. однородным и изотропным). Можно показать, что если имеет место условие (15.17), то [Л,р] = [Р, р] = 0 и, следовательно, поле стационарно во времени и пространстве. Это можно заметить также из вида

корреляционных функций, рассчитанных в предположении, что ①勿(｛々九｝) не зависит от ｛屮入｝ [ср. § 1 гл. 17, уравнение (17.26)]. Вообще говоря, если поле стационарно во времени, то оно не обязательно должно быть стационарным в пространстве; например, функция F^D(%, х; /2 — /J может зависеть от %.

Следовательно, условие (15.17) является необходимым и достаточным условием независимости ①川(｛а入｝) от фаз ｛屮入｝, распределенных случайно и равновероятно в интервале (0,2л). Условие же (15.1) есть необходимое, но не достаточное условие независимости ①川(｛а入｝) от фаз ｛屮入｝.

Если Фж (｛«х｝) не зависит от ｛屮入｝, т. е. поле стационарно во времени и пространстве, то Sp ｛0d九｝ = Sp ｛0@±｝ = 0 и, следовательно,

Sp｛04(x)｝=O, (15.19) а также

Sp｛00-)8)・・・ А^^А^^^ ...不+依加+力｝ = 0, (15.20)

если m 4= п, поскольку в представлении Глаубера — Сударшана интегралы по фазам должны быть равны нулю. Однако если поле стационарно только во времени, то Г樂'切 при m=^ п, вообще говоря, не равны нулю, так как в этом случае имеет место выражение (15.12) и ①川(｛а入｝) зависит, вообще говоря, от фаз ｛ф^｝. Для того чтобы спектральные составляющие функции Г^*п) при m =И= /г были не равны нулю, должны выполняться также условия для частот (2.21).

Некоторые возможности измерения корреляционных функций F於 п) при 加 W 几 обсуждались в § 4 гл. 12. Однако обычно в экспериментах со стационарными полями корреляционные функции Г^1, п) для m ^ п равны нулю [303, 273].

Понятие квазистационарного поля было введено в работе Пикинбоно [384] (см. также [533]).

Глава 16

УПОРЯДОЧЕНИЕ ПОЛЕВЫХ ОПЕРАТОРОВ

В КВАНТОВОЙ ОПТИКЕ

В предыдущих главах, посвященных квантовой теории когерентности, мы имели дело главным образом с нормальным упорядочением операторов поля и с соответствующими им функциями с-чисел, хотя были рассмотрены также антинормальное и вейлевское упорядочения. В данной главе мы изложим систематический подход к исследованию соответствия между функциями q- и с-чисел.

Соответствие между функциями ^-чисел (операторами) и функциями с-чисел (обычными функциями) впервые исследовал Вигнер [468]. Он ввел, обобщенную функцию квазивероятности в фазовом пространстве в связи с рассмотрением квантовомеханических поправок к описанию термодинамического равновесия. При решении этой задачи возникает проблема упорядочения функций ^-чисел согласно определенным правилам, а также тесно связанная с проблемой упорядочения задача расчета квантовых средних, т. е. задача об усреднении по плотности квазивероятности в некотором обобщенном фазовом пространстве. Позднее Мойал [327] использовал метод Вигнера для статистической интерпретации квантовой механики и показал, что функция квазивероятности Вигнера связана с симметризованным (вейлевским) упорядочением операторов бозонного поля. Среди других статей, посвященных этой проблеме, упомянем работу Меты [296].

Проблема упорядочения операторов поля играет важную роль в квантовой механике при вычислении плотности квазивероятности в обобщенном фазовом пространстве для оптических полей [435, 436, 173—176, 285, 17, 362, 301, 304, 223, 224], а также в теории лазеров [251, 247, 248, 19, 193, 250, 252] и в связи с исследованиями нелинейных процессов, таких, как параметрическое усиление [322, 323, 188, 187, 318] и нелинейное детектирование [421]. Систематический подход к изучению проблемы упорядочения операторов поля и нахождения соответствия между функциями ^-чисел и функциями с-чисел предложили недавно Агарвал и Вольф [37, 484, 40]. Другой общий подход к решению проблемы сформулировал Лэке [250] (см. также [259]), причем его теория справедлива и для фермионов. Эти методы

использовались в [38, 36] для решения задач квантовой динамики в фазовом пространстве и получения выражения для упорядоченного во времени произведения операторов в гейзенберговском представлении, расположенных согласно заранее установленному правилу упорядочения (в качестве частного случая можно получить теорему Вика) [39]. Кахилл и Глаубер [105, 106] провели общее рассмотрение упорядочения операторов, продемонстрировав взаимосвязь между нормальным, симметричным (вейлевским) и антинормальным упорядочениями. Они рассмотрели также соответствие между функциями q・ и с-чисел и нашли способ вычисления квантовомеханических средних с помощью параметризации, позволяющей интерполировать между нормальным и антинормальным упорядочениями (частный случай теории Агарвала и Вольфа). Указанные методы упорядочения операторов дают возможность видеть, где и какими сингулярностями обладают плотности квазивероятности, включая случай весовой функции в представлении Глаубера — Сударшана. Соответствующая теория для многомодовых полей была развита в работах [365, 367], а в работе [366] применена для частного случая поля, представляющего собой суперпозицию когерентного и хаотического полей.

Результаты этих теоретических исследований имеют особое значение для корреляционных измерений и экспериментов по статистике фотоотсчетов. Фотодетекторы измеряют физические величины, связанные с нормально упорядоченными произведениями полевых операторов, а счетчики квантов, действие которых обусловлено не поглощением фотонов, а эффектом вынужденного излучения, измеряют физические величины, связанные с антинормальным упорядочением полевых операторов [278, 359, 360]. Кроме того, рассмотренными методами можно изучать задачи о рассеянии света вследствие флуктуаций в жидкости и турбулентных средах, поскольку этот эффект описывается симметрично упорядоченными корреляционными функциями поля, тесно связанными с корреляционными функциями флуктуаций среды (напрцмер, флуктуаций плотности частиц [77, 79, 80, 118, 119, 133]).

§ 1. Определение Л-упорядочения и разложения операторов

Свойство (13.36) оператора сдвига 15(a) позволяет разложить любой оператор А по операторам сдвига D(a) в ви^е

гдегде(16.1)(16.2)(16.1)(16.2)/ = ^ Jm(B)力+(B)d2dG(B) = Sp{/(B) Л}.

где

где

(16.1)

(16.2)

(16.1)

(16.2)

Введя еще один оператор В, можно написать

Sp{dE=^ J М(Т)5 ⑹呻，(16.3)

и, если 身三/+, имеем

II % II2 = Sp {Л+Л) = ^J 丨 &偉)|2呻・(16.4)

Следовательно, если а (Р) есть квадратично-интегрируемая функция, то для оператора 4 норма Гильберта — Шмидта •

||Д|| = [5р{Д+Л}]1/2

является конечной. Верно и обратное утверждение. В частности, для матрицы плотности р = р+ Л имеем

Sp{02}=gf IC偉)『呻《1.

Здесь С(Р) — характеристическая функция (13.70), т. е. снова получаем, что 0 <| С (Р) |^ 1.

Если положить M(d+, Q)三 0 («+, d), то получим разложение матрицы плотности по операторам сдвига D(p)・ Очевидно, что функция й(р) совпадает с характеристической функцией Вигнера С(р), заданной формулой (13.70), а функция р(а*, а)/л, полученная из (16.1), является функцией Вигнера, определяемой формулой (13.76). Дальнейшие подробности о свойствах полноты системы операторов сдвига 5(a) можно найти в работах [105, 40].八

Введем оператор Л (a, Q) в виде

Д(а, Q) = |fQ (储 В)力⑹ ехр (—瞅 + р*а)呻=

=^- J Q (P*, P) exp[₽ (Й+ — a*) — P* (d — a)] d2p,(16.5)

т. e. оператор A (a, Q)/n является фурье-образом оператора 力偉，Q) = QP (P) = Q exp(pd+ — P*d)=

= ◎(『，B)exp(Bd+ — B*d)三⑺⑹b， (16.6)

где Q ——оператор приведения к Q-упорядоченному виду, обозначаемому { ]Q . Функция Q(p*, р) может быть названа функцией фильтра. Подставляя выражение (16.6) в (16.5), получим

A (a, Q)=-^ / 力(B，Q)exp(p*a —pa*)d2P.(16.7)

Предположим, что функция Q(a*, а) обладает следующими свойствами: Q(a*, а) получается из функции Q(p, а) при р = а*,

которая является целой аналитической функцией двух комплексных переменных и не имеет нулей (минимальный фильтр), кроме того, Q(0, 0,) = 1, a Q(—Р，— а) = Q(р, а) (симметричный фильтр). Согласно теореме Вейерштрасса для целых функций, Q(P，а) имеет вид exp [со(р, а)], где з([3, а) есть целая аналитическая функция, причем з (0,0) = 0. Нетрудно видеть, что из перечисленных выше свойств следует равенство

<о(Р，а) = -^ а2 + у Р2 + 4 а^ +

-{- члены высшего порядка по а н 0, (16.8)

где г, / и s — параметры.

В качестве примеров рассмотрим случаи нормального, симметричного (вейлевского) и антинормального упорядочения. Используя тождество Бейкера — Хаусдорфа (13.3) и определение Я-упорядочения (16.6), получаем для s-упорядочения

/(В，Q) = D(p, S) = exp(f |P|2)D(₽) =

=ехр 仔 I § 产)exp (B@+ — В%)=

=ехр (^^ I В I2) ехр (р@+) ехр (— §*&)=

=ехр("Ц^I В |2)ехр (— 6%)ехр (阳+),(16.9)

т. е. г = f = 0, а членами высшего порядка в (16.8) по а и р пренебрегаем. Следовательно, для симметричного упорядочения s = 0, для нормального s = 1 и для антинормального s = —1.

Очевидно, что D+ (р, Q) = 6 (—§, Q*) = D-1(P, Q*~l)= =力-i (В, 0*), где fi-упорядочение определяется как й-упоря- дочение с заменой Q (р*, р) —> й-1 (Р*, р). Поэтому Д+ (а, й)= =А (а, R*). Для частного случая s-упорядочения имеем Ь+ (Р，s)= = D(-^ s*) = Ь^ (p, -s*) и *A+ (a, s) = A(a, s*)・

Если, согласно (11.15), выразить операторы 6 и 6+ через канонические переменные р и ^, то оператор 力(а) можно построить таким способом, что все q стоят слева от всех р (нормальное упорядочение) или все q стоят справа от всех р (антинормаль- ное упорядочение}. Тогда в первом случае в формуле (16.8) получаем г = 1/2, f = —1/2 и s = 0, а во втором случае г =——1/2, f = % н s = 0.

Из (16.7) и (16.6) следует, что А (а, й) = л {6 (d — a)]Q [6-функция здесь определяется формулой (13.37)], т. е. оператор лГ1А(а, Q) представляет собой Q-упорядоченную форму оператора 6 (d — a).

Далее получаем

Sp {5(В, Q)力(》◎)} = Sp [О(Р, s)力(丫，一s)}=

=Sp {力偉)力(y)}=66(8 + y). (16.10)

Поэтому любой оператор А можно записать в виде

%=^ J й(р, Q)力—(В, fi)d2p.(16.11)

Это разложение является более общим, чем (16.1); здесь 2(р, Q) = Sp 仍偉，R)X}・(16」2)

Если А = р и D(p, Q) = D(P，s), мы снова получаем при s= 1 以 s = ——l соответственно характеристические функции С‘")(В)三 = @(М 1) [см. (13.72)] и С(⑺⑹= G(3 -1) [см. (13.73)]. Таким образом, функция р (а*, а)/л, определяемая из (16.11) заменой @f а и dь ->а*, равна Фж(а) при s=l [см. (13.74)] и ①4(а) при s = —1 [см. (13.75)]. При s = 0 мы имеем формулы (16.1) и (16.2), которые соответствуют симметричному упорядочению.

Используя (16.7) и (16.10), приходим к следующему условию о ртогональности:

Sp{A(p, Q)A(y, 0)}=п6(В —у).(16.13)

Можно привести и другие интересные свойства оператора Д(Р，Q). Так, из (16.7), применяя выражения (16.5) и (13.35), получаем, что

j Д(р, Q) ^ = пЬ (0, R) = n(16.14)

и

Sp[A(p, Q)) = l.(16.15)

Используя формулу (16.7) и (16.9) при s = —1, приходим к

А(Р, ^) = А (Р, —1)=

=g j ехр (—y*d) (^ J I аХа I ^а) exp (yd+) ехр (丫單一уР*) d?y = =亲 j 丨 а〉〈а |d% j exp [у (а* — p*) — у* (а — Р)] d2y = I В〉〈В |・

(16.16)

Следовательно, оператор А(р, —1) есть оператор проектирования на когерентное состояние |卩〉，

Учитывая условие полноты (16.13) операторов А, можно также разложить любой оператор А по операторам Л, т. е.

N = ^ j а(В, й) Л (р,⑦成仇(16•⑺

где

а 偉，fi) = Sp{A(p, Q) Л}.(16.18)

Поскольку Х(0, Q) = n{5(6 — |3)}q , выражение (16.17) дает fi-упорядоченную форму оператора А. Воспользовавшись снова свойством (16.13), получаем для следа произведения двух операторов А и В выражение

Sp{N囱=5 J J а 偉，R)6(y, O)Sp (A(P, 0)A(y, R)}抨叱=

=^ j а(" Q)b(" 6 d2p・(16.19)

Если оператор В есть матрица плотности р, то можно написать, что

5р(рД)=1|ф(р, 0)а(р, R)呻， (16.20а) где

Ф(₽, Q) = Sp [рД (Р，Й)) = л ({6(d -?^}s\(16.21а)

и оператор р, как следует из (16.17), равен

0 = ^ J ①偉，⑦ А (3 Q) d2M(16.22а)

Рассматривая s-упорядочение как частный случай Q-упоря- дочения, имеем

Sp (рЛ) = ^ / ①(В, -s) а(В, s) d2p. (16.206) Здесь

①(В,-s) = Sp{0A(K—s)}(16.216)

и

0=4 J ①他一s)A(p, s)d^.(16.226)

Следовательно* среднее значение оператора А можно вычислить как классическое среднее значение обычной функции а(Р，Q) [поставленной в соответствие оператору А путем й-упо- рядочения (16.17)] с плотностью квазивероятности Ф(р, Q) [поставленной в соответствие оператору р путем Q-упорядочения (16.22а)]. Это согласуется с результатами, рассмотренными для частных случаев в § 2 гл. 13.

Полагая в выражении (16.226) s = —1 и используя (16.16), получаем матрицу плотности в представлении Глазера — Сударшана:

Р=|фжф)|₽ХР1^2Р>(16.23)

где ①川(B[w 冗т①(В, 1).

Если A=lt то, как следует из (16.18) и (16.15), а偉，£2)=1; при этом (16.20а) дает условие нормировки

Sp[p} = l=l |ф(р, Q)d^t(16.24)

а равенство р = р+ означает, что ①*(§, Q) = Ф(Р， Q*) или Ф*(₽, s) = O(p, s)

Используя выражение (16.7), запишем (16.21а) в виде

(D(% 6 = ^ J Sp (рО(р, Q)}exp(p*a —Ра*) d2p. (16.25)

Отсюда очевидно, что Sp (pD(p, й)) есть характеристическая функция С (В, Q) для плотности квазираспределения Ф(а, Q). Следовательно,

Ф(а,紛=^ J С(р, Q)ехр(₽*а —₽а*) d2p, (16.26a)

С(8, 0)=^ j(DQ, Q) ехр(-р*а + Ра*) d2a. (16.266)

Характеристическая функция С (р, Q) является ограниченной, т. е.

|С(Р, Q)| = |Q||Sp(pD(p)}|<|Q|.

Q-упорядоченные моменты функции Ф(а, Q) можно вычис< лить по формуле

—Q) L У=

对d (-修)“|B=B*=o1 у d^kd(_§*)/ u，丿"p=^：p*=o

= Sp{p {^+M%)=-1 J ①伍，Q)a*%%2a =〈a%%, (16.27) при выводе которой были использованы выражения (16.6) и (16.266). Если выразить с помощью (16.7) D через Л, то получим

= а/*(_р*у 力(8, Q)|₽=₽*=о=

и ар靠评 ^ J 厶(a，Q)ехр (—в*а + ра*) d2a |ц =

=^ J °*'"'@ R)d2a. (16.28)

Рассматривая эти формулы в частном случае s-упорядочения при Q (а*, а) = exp (s| а |'/2), получаем из (16.266) [(16.26а)] выражения (13.72), (13.73) и (13.78) [(13.74) — (13.76)], а из (16.27) — уравнения (13.80), (13.81) и (13.77) соответственно для s=l, s = —1 и s = 0, если при этом обозначить Ф(а, 1)/冗三 三①川(а),(1)(а, — 1)/冗三①必(а), Ф(а, 0)/л = Ф^(а), С(К 1)мС(仍⑹， С (3 — 1)三。4)(Р) и С(р, о)^с(р).

Данная общая схема соответствия между функциями ^-чисел. и функциями с-чисел способна пролить свет на характер сингулярностей функций распределения квазивероятности. Рассмотрим для примера только случай s-упорадочения. Можно разложить оператор А в (16.11) в s-упорядоченный ряд путем разложения в ряд оператора 力一】，т. е.

a = ^ Sp{力偉，一s)田 exp 传 1n)eXp(一阳++8喇呻= =ss {^n^}sAnm (16.29) n m

(здесь мы использовали формулу (16.9), заменив sf——s), где

Anm =誌T[Sp {力(?, -s)小(一m偉*产 d2В =

=-^ J Sp {力偉)4} exp (-专IB”一旷(B^d2d(16,30)

Применяя к выражению (16.30) неравенство Шварца и воспользовавшись (16.2) и соотношением

fe(p)= exp(-f|pp)(~ Р)^(РТ， имеем

|1 j a(p)&(p)d2p|<{|j|a (Р) |2 d^ }% {打 I В (Р) Р 呻「.

♦(16.31)

Видно, что из-за присутствия множителя ехр(—s|p|2/2) коэффициенты в (16.30) конечны для всех ограниченных операторов А [ср. с формулой (16.4), согласно которой || А ||2— Sp {А+А} < оо], если Re s > 0. Следовательно, можно сказать, что эти коэффициенты конечны для упорядочений, которые ближе к нормальному, чем к антийормальному упорядочению. Дальнейшее исследование сходимости ряда (16.29) [105] приводит к выводу, что все ограниченные операторы представляются сходящимися s-упорядоченными степенными рядами при Re s > 72, т. е. когда упорядочение ближе к нормальному, чем к симметричному. Заметим, что в (@, р)-представлении exp (iqp/2) заменяет множитель ехр (—s|p|2/2) вследствие того, что коммутатор [^, р] = /й

есть чисто мнимое число. Поэтому подынтегральные выражение в интегралах для различных упорядочений отличаются друг от друга множителями, по модулю равными единице, а ограниченный оператор обладает при разных упорядочениях подобными разложениями. Такой класс операторов почти тот же, что и класс операторов, к которым применимо симметрично упорядоченное разложение (16.29) с s = 0. (Читателя, интересующегося более подробными сведениями о (^, ^)-представлении, мы отсылаем к работам [105, 40].) Вообще говоря, из (16.30) следует, что наиболее широкий класс операторов обладает нормально упорядоченными разложениями, а относительно меньший класс операторов — антинормально упорядоченными разложениями. Согласно прежним результатам, это означает, что класс физических состояний полей, обладающих диагональным представлением матрицы плотности 0 = 4 с весовой функцией Фж (а) = jt"^^^ (а*, а) — обычной функцией, уже, чем класс состояний полей, для которых обычной функцией является ①*(а)=冗一9(“)(а\ а) [действительно, для всех физических состояний полей функция ①必(а) обычная].

Характерной чертой разложения (16.226) является то, что оно зависит как от чисел s, так и от —s. Мы видели, что Д(а,—1) = |а)(а|. В то же время с помощью расчета, подобного (16.16), нетрудно убедиться, что оператор Д(а, 1), который может быть также использован для разложения матрицы плотности с весовой функцией Ф^ (а), сингулярен. В первом случае, когда оператор А (а, —-1) регулярен, может быть сингулярной функция Фж(а), а во втором случае, когда Фл (а)——регулярная функция, оператор Д (а, 1) сингулярен. Таким образом, регулярное поведение одной величины ведет к сингулярному поведению другой. Только для симметричного упорядочения, когда s = 0, обе величины Д (а, 0) и Ф^ (а) = л-!Ф (а, 0) являются регулярными [хотя оператор А (а, 0) неограниченный, он конечен в том смысле, что Мах(р|Л(а, 0) |р) конечен при конечном р].

§ 2. Связь между различными упорядочениями

Если рассмотреть два различных упорядочения ◎〔 и Q2, то можно, исходя из формулы (16.5), написать

Д(а, Q】)=；〕Q| (筋 р)Д(р)ехр(-ра* + Р*а)й2р, (16.32a)

Д (а, Rj = ^ j % 偉\ В)力(В) ехр(-ра* + р*а) d2p. (16.326)

Найдем оператор 力(В) путем обратного преобразования (16.32а) и подставим его в (16.326). Тогда получим

Д (a, Q2)= j Л (Р, Q0 兄 1 (а — ₽) d2P, (16.33) где

К21 偉)=* j 山(Y\ Y)Q2(Y*, Y)exp(-Yp* + Y*p)d2y. (16.34)

Умножив (16.33) на матрицу плотности р, взяв след и используя соотношение (16.21а), в котором Q заменено на Q, найдем

Ф(«, %)= J Ф(Р，Ql)^2 1(a-P) ^2Р.(16.35)

Соответствующая связь характеристических функций С (a, Q^ и С (а, Q2) очевидна:

С (а, Й2) = С (а, &)爲(а*, а) й2 («*, а).(16.36)

Можно также вывести и некоторые другие дифференциальные соотношения, связывающие различные способы упорядочения.

Запишем выражение для оператора

Д(а, 4)=^ j Qi(P\ В)5(储 B)Qi(储 Р)Х

X 力(Р) ехр (一賦 + В*а) d2§ =刍 1 (^，一 誥)& (。，◎) (16.37) где~

名 1(Y*, Y)=财(Y*, Y)Q2(Y*> Y).(16.38)

Тогда имеем

①3,4)=空1(券，一名)①(% a).(16.39)

Эти общие соотношения справедливы для s-упорядочения и, в частности, могут быть использо&аны для вывода связи между нормальным, симметричным и антинормальным упорядочениями. Поскольку в данном случае Q (а*, а) = ехр (s | а 12/2), то из (16.36) имеем

С (а, S2) = С (а, S)ехр 抬⑶—&) | а 冃，(16.40a)

方(a, s2) = D (a, sjexp 後(力一邑)1 а Г](16.406)

[вспомним, что С (а, s) = Sp{pD(a, s)}]. Вычисляя с помощью (16.34) величину

К21 (В) = % J ехр 抬 ％ — sj у I2] ехр(-уР*+ 丫里)d2y

и рассматривая выражение для интеграла

J ехр (—s I у F + ау* + аху) d2y ==

=2 1 tS~ J exp (-s| Y I2) y*V^2Y =7 ехр (圖(16.41) n m

(Re s > 0)

[здесь использован интеграл (13.17), в котором s = ® — s2)/2, a = p и a' = —P*], получаем

% 毋)=禎占万 exp [—强](Res〉ResJ・ (16.42)

Таким образом из (16.35) находим

①(a，S2)= ^^ J■①(B；S|)exp[-^^qd2B (16.43) (Re Si > Re s2).

Поскольку Ф(а, s) = Sp{pA(a, s)}, такая же связь существует между Д (a, s2) и A (a, Si) [это следует из (16.33)]. Соотношения (13.85) и (13.68) получаются из (16.43) соответственно при Si = 0, §2 = —1, Si = 1, $2 = 0 и s = 1, S2 = —1・.Из (16.43) можно видеть, что такая гауссова свертка стремится сгладить нерегулярное поведение функции Ф(р, si). Например, в когерент» ном состоянии при Si = 1

旷Q偉，1)曰①步(p)= 6(B-Y), а функция

\2 Г 21 a - у I21

является регулярной при s =Н= 1. В случае s = —— l

口一1 ①(a, — 1)三①必(a) = n"1 eхр(-I a — Y |2),

а при s = 0

л;一①(a, 0)三①勿(а) = 2л;Техр(—2| a — у I2).

в некоторых случаях можно представить как ряд по полиномам Эрмита Нп [367]:в некоторых случаях можно представить как ряд по полиномам Эрмита Нп [367]:Соотношение (16.43), которое является рнтегралом типа свертки, в принципе может быть обращено (вообще говоря, в пространстве обобщенных функций). Это обратное соотношение

в некоторых случаях можно представить как ряд по полиномам Эрмита Нп [367]:

в некоторых случаях можно представить как ряд по полиномам Эрмита Нп [367]:

(16.44)(16.44)ф(м.)=2^(4Г(^Г+т'х x儿([ 士用研片勻纸)詣訝①(“)

(16.44)

(16.44)

(Re Si > Re s?);

здесь a = ai + ^2, Р = Pi + Ф2 (「пе «н а2» М и р2 — действительные числа). При этом предполагается； что

j1①(k S1))^(-言昂弊=冗j1①(k S1))^(-言昂弊=冗гдеCfimгдеCfimп!/и!п!/и!S「S2)")/22 /S「S2)")/22 /^^^^n\m\\cntn |2<оо, (16.45) 詣壽Г ①(a，S2)l“・(16.46)^^^^n\m\\cntn |2<оо, (16.45) 詣壽Г ①(a，S2)l“・(16.46)

j1①(k S1))^(-言昂弊=冗

j1①(k S1))^(-言昂弊=冗

где

Cfim

где

Cfim

п!/и!

п!/и!

S「S2)")/2

2 /

S「S2)")/2

2 /

^^^^n\m\\cntn |2<оо, (16.45) 詣壽Г ①(a，S2)l“・(16.46)

^^^^n\m\\cntn |2<оо, (16.45) 詣壽Г ①(a，S2)l“・(16.46)

В более общем случае, используя (16.39), получаем

(D(a, sj = ехр ( - ^^- ^a. ) Ф (a, S2)・(16.47)

В частных случаях имеем при S] = 0 и s2 = — 1

①犷 3) = ехр ( — *| 方a^F)①4(唸(16・48а)

при S[ == 1 и S2== О

①川(а) = ехр(-у "^^^)①犷(a)(16.486)

И при Sj — 1 и s2 = —-1

①勿(a) = exp( —-^維)d)4(a)・(16.48в)

Эти формулы являются обратными по отношению к (13.85) и (13.68).

Можно вывести также соотношения, связывающие s-yno- рядоченные различными способами моменты〈{6+也&'}$〉= (d+Mz}5. Из (16.43) для Re§i>ReS2 получаем

〈Е% =〈а*%% =

=4 J①e，s)呻府工)J a*%%xp(一 2个三普卜a =

=^ I ①偉，邑)呻 ^^J J* 2 + P*)，Y + 6)&p (— ^) d?Y

(16.49)

(здесь произведена замена переменной a — 0 = 丫)・ Используя биномиальную формулу, имеем

к I

⑷咕％ =41 ф(р> а 啷 £ е ^Н『(；_» х

m=0 n=0

X 冗®Lsz) j exp ( — ^^)| Y |*f f+"| YlX0

2л

X J ^{i^(l — n—k^m)}d^(16.50)

0

殆（江言『（旷"「（殆（江言『（旷"「（2|В|2》S2 — Si 丿&2|В|2》S2 — Si 丿&где -ft = arg у. Вычисление интегралов в этом выражении 厶зет

殆（江言『（旷"「（

殆（江言『（旷"「（

2|В|2》

S2 — Si 丿&

2|В|2》

S2 — Si 丿&

=春（冲У G'i以f （^7）Z （/》尉（16・51a）

〈产死尸駅^^夕f□^）〉“（y風（16.516）

Моменты, рассчитанные по формуле, являющейся обратной по отношению к (16.43), также выражаются формулой (16.51) при замене S[ ^ s2. Следовательно, (16.51) справедлива в общем случае. Ее можно вывести также и с помощью (16.27). Во-

первых,

D (р, $2)=力(₽, Si) ехр [-| ⑸一s J § |2]=

•=*xp(Bd+ — В% + ^"($2 — S[)|BF)}—

(16.52а)(16.52а)=1£需[一+^7"]飞(悶+ )

(16.52а)

(16.52а)

I人=0I人=06+ + ^ ($2 — s' p[ exp(—6+ + ^ ($2 — s' p[ exp(—(16.526)(16.526)

I人=0

I人=0

6+ + ^ ($2 — s' p[ exp(—

6+ + ^ ($2 — s' p[ exp(—

(16.526)

(16.526)

Используя тождество ([22], гл. 6)

(1+f)气 Xp( 一 比)=sТ(；工1У卄一"(办(16.53)

九=0

которое приводит (16.52) к виду

Ь(Р，$2)=

。仿2(一)噜等閉-同驾)卜(16.5甸

I m=0 n=0丿 Si

££(-i 产/1^=0 rzi=：O££(-i 产/1^=0 rzi=：On! 献n! 献抬(slsJ呼抬(slsJ呼г n^m ^mг n^m ^m,(16.546),(16.546)

££(-i 产

/1^=0 rzi=：O

££(-i 产

/1^=0 rzi=：O

n! 献

n! 献

抬(slsJ呼

抬(slsJ呼

г n^m ^m

г n^m ^m

,(16.546)

,(16.546)

и применяя (16.27), снова приходим к соотношениям (16.51).

Соотношения между моментами, соответствующими нормаль* ному, симметричному и антинормальному упорядочениям, можно получить из (16.51) при s = 1, s = 0 и s = —1. Например, имеем при s2 = 1 и Si = —1

(产冷如=^ (一及〈广2Kd+&)〉％ (Z》场(16.55)

ПрИ S? == — 1 И S] = 1

〈@+%% = 4г〈广電广"一«%)〉“(/)%(16.56)

при $2 == 0 H S] = 1

〈尹%% = 4 (計〈广电厂(一23)〉" (/》尼)(16.57) и Т・ д.

Дальнейшие сведения об Q-упорядочении и s-упорядочении можно найти в ранее цитированных работах Агарвала и Вольфа [40] и Кахилла и Глаубера [105, 106].

§ 3. Многомодовые состояния

Изложенную выше общую теорию нетрудно распространить (подобно тому, как это было сделано в гл. 13) на системы с произвольным числом (конечным или бесконечно-счетным) степеней свободы. Например, многомодовый оператор /({匈九})三 三N(阈)，岡), зависящий от операторов, относящихся к различным модам, можно представить по аналогии с (16.17) и (16.18) в виде

才({源})= Ja(他}，0)a(他},Q)JI 噜，(16.58)

где

а 邯力，Q) = Sp{A({PJ,Q)A}(16.59)

А ({^}, Q) = IJJ лб (ЙЛ — аЛ)| =

(16.60)(16.60)=J R（闷，闷）ПeXР也（"一吟一В；（亀一嘀卓.

(16.60)

(16.60)

В этом случае следующее соотношение является аналогом формулы (16.20а):

Sp 佰用=J ①(他}, Q)a({Mt Q)U#； (16.61)

здесь Ф дается формулой (16.59), в которой оператор А заменен на р. Матрица плотности р может быть разложена в виде (16.58), если вместо 。({0入},0) подставить Ф({рх}, й) и т. д..

Дадим другое обобщение результатов, полученных для одномодового поля, в том случае, когда поле характеризуется величинами А(х) и Яуь определяемыми выражениями (11.23) и (11.24) [365, 367].

Для этого сначала необходимо найти s-упорядоченную форму оператора exp(i%6+6). Подставляя этот оператор в формулу (16.30) и используя (16.9), а также циклическое свойство следа, получаем

Anm = "^ J Sp {ехр (М+ - В%) ехр (氏 d+d)} ехр(-||р|2)Х

X (一 В)” 旷戒=~^^ 口〈а I ехр (/+) ехр (泓+d) X

X ехр(- В%) I а) ехр ( 一 中 | р f)(- 旷产 d2P 痂.(16.62)

Если задать оператор exp(i%6+6) в нормальной форме, определяемой выражениями (13.99) или (14.17), то, используя интегралы (16.41) и (13.17), соотношение (16.62) можно переписать в виде

4加=鳥订 11 ехр 偉а*)〈а | “ [ехр[(е^ — 1) d+d川 а) X

X eXр ( 一 в*a) ехр ( 一二A | В『卜一旷户弊孔=

=磊 U ехр (ра*-₽*а + (г--1)|аР-^1|р Р)X

『 г山 1 — exp (Zx)1

\21 — exp (zxjj

(16.63)

Подставляя полученный результат в (16.29), имеем

計[1 - exp (zx)] + 1計[1 - exp (zx)] + 1ехр @d+d)=

計[1 - exp (zx)] + 1

計[1 - exp (zx)] + 1

〃\ 2' 1 — exp (zx) /

(16.64)(16.64)2/ “「2(1-户)d+d 1]

(16.64)

(16.64)

1 +J% + s —sjx gp (j + ^ + s — s川J/

Заметим, что, поскольку операторы b = a — p (p — комплексная амплитуда) и 6+, описывающие суперпозицию хаотического и когерентного полей, подчиняются тому же правилу коммутации, что и операторы 6 и 6+, формула (16.64) применима также и к операторам 方.

Рассмотрим поле, заключенное в нормировочный объем. Тогда, введя оператор числа частиц nf согласно выражению (11.246), получим следующее соотношение для характеристической

функции:(ехр (i喇〉=функции:(ехр (i喇〉=exp Qexp Q

функции:

(ехр (i喇〉=

функции:

(ехр (i喇〉=

exp Q

exp Q

1 + /% + s — seix J 卜 a [ 1 + J* + s — seix」厶

一是与置1）卜1中（一厂/一是与置1）卜1中（一厂/；(16.65)；(16.65)

一是与置1）卜

1中（一厂/

一是与置1）卜

1中（一厂/

；(16.65)

；(16.65)

здесь М ——число мод поля. Этот результат справедлив и для произвольного объема V (линейные размеры которого велики по сравнению с длиной волны) по той же причине, что и формулы (14.15) — (14.17).

2(产一1)1 + е" + s — seix2(产一1)1 + е" + s — seix=%=%(16.66)(16.66)Подстановка

2(产一1)

1 + е" + s — seix

2(产一1)

1 + е" + s — seix

=%

=%

(16.66)

(16.66)

в (16.65) дает s-упорядоченную характеристическую функцию

(exp (iyn^s = {exp(iyW))s = (1 —(exp (iyn^s = {exp(iyW))s = (1 —(16.67)(16.67)Рассматривая два упорядочения при s = s】иРассматривая два упорядочения при s = s】и1 + /% + si — si/% J ' ° [ 1 + е"% + si — sie〃 .1 + /% + si — si/% J ' ° [ 1 + е"% + si — sie〃 .2， (户 一 1)1 + е“* + s? — $2。"2， (户 一 1)1 + е“* + s? — $2。"(16.68).(16.68).имеем'имеем'

(exp (iyn^s = {exp(iyW))s = (1 —

(exp (iyn^s = {exp(iyW))s = (1 —

(16.67)

(16.67)

Рассматривая два упорядочения при s = s】и

Рассматривая два упорядочения при s = s】и

1 + /% + si — si/% J ' ° [ 1 + е"% + si — sie〃 .

1 + /% + si — si/% J ' ° [ 1 + е"% + si — sie〃 .

2， (户 一 1)

1 + е“* + s? — $2。"

2， (户 一 1)

1 + е“* + s? — $2。"

(16.68).

(16.68).

имеем'

имеем'

откуда с помощью подстановки (16.66) при замене sf 力 следует, что

〈ехр(物％ = (1. + szу 用)"(ехр [+ s；3 ..(16.69)

Полученная функция является производящей для полиномов Лагерра L^{ ([22], гл. 6), т. е.

(eхр(з厶=t彌沐[宁」(厶尸(化)〉鼠.(16.70) r=0

Из (16.69), если вычислить интеграл Фурье с помощью теоремы вычетов, можно получить связь между распределениями квазивероятностей P{Wy s2) и Р(步，门)：

+ оо

р (步,S2)=击 J (ехр (勿纵2 exp (- iyW) dy =

8+8—M

N嘉 f P”'，sJM f (1—宁z%) x 0—oo

Xexp ——iyW dy =

2(步+旷‘)1~Si — S2~J X2(步+旷‘)1~Si — S2~J X

2(步+旷‘)1

~Si — S2~J X

2(步+旷‘)1

~Si — S2~J X

(16.71)(16.71)X &7(4 ^^)P (犷，s) dir (Re 邑〉Re sj,

(16.71)

(16.71)

где /м-i (^)— модифицированная функция Бесселя.

Обратное соотношение, выражающее P(Wt sj через P(Wt s2) (Re Si > Re s2), носит сингулярный характер, поскольку в этом случае интеграл по у в (16.71) не равен нулю в комплексной ^-плоскости только при W = 0. Эта точка является носителем обобщенной функции. Такое соотношение можно записать в виде ряда, в который входят производные 6-функции, или в некоторых случаях в виде ряда по полиномам Лагерра [365, 367].

Из (16.67) тем же способом можно получить соотношение между распределением квазивероятности Р (历,s) и распределением числа фотонов р(п) !):

P(Wt s)P(Wt s)ехрехр2取、¥[ 1 —s2取、¥[ 1 —s)X)X

P(Wt s)

P(Wt s)

ехр

ехр

2取、

¥[ 1 —s

2取、

¥[ 1 —s

)X

)X

xg丽罂*И吿门尸(供)■06.72)

Обратное этому соотношение, если использовать условие ортогональности (10.28), имеет вид

р(«)=(〃鳥二Т)!(备厂(ттгГ х

X J р (W, s) L^ (-r^-) exp ( - -i^.) dW. (16.73)

При s-> 1, если применить асимптотическую формулу

小⑴ q %产(_%)\(16.74)

соотношение (16.73) дает обычное соотношение фотодетектирр- вания (14.14).

Соотношение между моментами 〈论”$? и 〈论'〉$i следует из (16.70) и имеет вид

(叽=盡?〈eхр (力叭1g =

=吊码(中『〈或Т• (16.75)

Из формулы (16.65) для характеристической функции, которая одновременно является производящей функцией полиномов Лагерра, и с помощью тождества, используемого при выводе формулы (10.19), получаем

3〉=酢RexpC 喇〉=

左г /_

=ЕйгЬг(宁У Е(/)(т)产 а尸(ю〉$・(16・76)

/=о・ Lr=o」

Аналогично из (16.67) имеем 〈仍产〈也=鳥〈ёхр (财)〉心=

=(£黑幫(战^(-2尸宀%一尸).(16.77)

'/ = 0/

Соответствующие формулы для частных случаев нормального, симметричного и антинормального упорядочений можно получить тем 》к? способом, что и для одномодового поля, полагая s=1,s±0hs =——1 соответственно. Например, из (16.71) имеем при $2 = —1 и s】=0

Pw (Г) = 2 J 岡(J” ехр [-2(Г + IT)] X о

X Лит(4/W7) Pr (IT) dW\ (16.78a)

а при s2 = —1 и S] = 1/

Р旅⑺=j (卷广”2ехр[-(Г+ IT)] X о

X 1мт(2/W7) Р“ (IT) dir. (16.786)

Связь между моментами получаем из (16.75):

〈力疝〈厶"(-2面〉犷，(16.79a)

〈績勿=Км)〈或—(-<r，(16.796)

а связь между характеристическими функциями находим из (16.69):

〈ехр (勿叽=(1—賀 м〈ехр[у^%]〉, (16.80а)

〈exp (力面〉〃 = (1-切)№〈exp%.(16.806)

Аналогично, полагая в (16.76) s = 1 и применяя асимптотиче* скую формулу (16.74), получаем соотношение 9

/=0г—0/^0 m н 0

(16.81)

которое соответствует результатам (10.4) и (10.19), полученным при полуклассическом рассмотрении. Для s = 0 можно найти

I) В более общем случае для функции F (d+d) оператора &+А имеем

(a|F(d+d)|a〉н，|〈а ⑺产尸⑺==工嗜■ exp ( - | а円尸⑺= nn

F (j — tn) 0F (j — tn) 0旧2("叫一1严• У у (-1严1a也 Л ⑺ н 厶厶(/ — т)! /и!

F (j — tn) 0

F (j — tn) 0

ш=0 /=/п

• /=»0m=s0-

…=i＞心与群产 /^0加=0

выражение, связывающее моменты 〈八百〉и 〈论)〉勿，а для s = —1 имеем

(心=1(紋)〃£5"产.(瓜82)

/=0r=0

Из (16.77) при s = — 1 следует формула

〈仍4 = ^ + М){п + М^-\) ,..(fl + M + k-\^^

=〈端冷〉，(16.83)

которую можно получить и с помощью правил коммутации (11.44), используя соотношение

J А (х, /)• А(+)(х, /) 0% = М + 方工 е⑶ з)м$)* (田=

=论 V7 + 卩=^И/ + M

полученное с учетом (11.4а) (здесь 卩一число мод в объеме L3, а М ——число мод в объеме V). Заметим, что множители в (14.15) последовательно уменьшаются на единицу, в то время как множители в (16.83) последовательно увеличиваются на единицу. Это различие можно рассматривать как отражение того факта, что нормально упорядоченные корреляции соответствуют поглощению фотонов, а антинормально упорядоченные корреляции ——излучению фотонов. (Этот вопрос мы более подробно обсудим в следующем параграфе.)

Выражение (16.67) дает следующие характеристические функции соответственно для s = l,s = 0ns = —1: •

〈exp (iyn)^ = <(1 + 力)纱，(16.84)

(exp(g)〉方=(1 -号)可聞)(16.85)

И

•〈ехр {1у^л =〈(1 - %)f-м〉・(16.86)

Из (16.65) имеем

(exp (ixf^ = (ехр [Л (е1х — 1)%,(16.87а)

= ®]%ХР 咼修少齡，(16.876)

=(ехр [ — ixM + п(1 — ?-〃)]〉/•(16.87 в)

Уравнение (16.87а) согласуется с (14.17), а (16.87в) при М = 1 с (13.100).

Окончательно из (16.72) при s = —1 получаем

匕(Г) = ехр(-Г)2 仇看2nP(叫(16.88)

n=0

откуда имеем

P ⑺=爲HE [^ ⑺ exp Г] I.。•(16.89)

Соответствующие формулы для одномодового состояния стационарных полей можно получить, если положить в написанных выше соотношениях Л1 = 1.

Дальнейшие сведения о затронутых здесь вопросах можно найти в работах [365, 367].

В классическом пределе, когда среднее число фотонов в моде велико, коммутатор операторов поля [d, d+] = dd+ — Q+d практически равен нулю, поскольку dd+ =d+d* l*d+d [это также верно для операторов А(х) и А(х)], и различие между способами упорядочения операторов поля исчезает, что является следствием принципа соответствия. Поэтому все распределения Р(步，s) для различных s и р(〃) должны быть равны, а значит, равны и все их моменты. В этом можно убедиться следующим образом. Например, в соотношении фотодетектирования (14.14) [или (16.88)] функция 取кехр(—闪)/п!, стоящая под интегралом (или под знаком суммы), имеет максимум в точке W = п п в окрестности этой точки вносит главный вклад в интеграл (сумму) ;однако при больших W эта функция стремится к 8(步一и). Таким образом р(п) «Рж (и) для больших п(п ^ W) и (ЙЛ) « Q {nk)^ И т. д.

В заключение упомянем общий метод упорядочения операторов поля, предложенный Лэксом [250] (см. также [259]), пригодный как для бозонных, так и для фермионных полей.

Рассмотрим полный набор операторов {纵} в шредингеров- ском представлении с набором коммутационных или антиком- мутационных соотношений (антикоммутатор определяется как [Л, В]+ = ЛВ + ВД), а также связанный с этими операторами набор с-чисел {а%}. Оператор N(Q)({d%}), заданный в Q-упорядоченной форме, можно представить в виде

不Q)(闷)=f 4(Q)(®}) [[6(亀一%)典大，(16.90)

где d-функции упорядочены определенным способом. Если {纵}—набор неэрмитовых операторов и 不Q)зависит также

от @3 то 6-функции можно определить, например, следующим образом:

6(d — а) = $ j ехр[ — Р* (d — а)]ехр[р (d+ — а*)] d2p, (16.91)

если выбран порядок, когда за d следует &+. Среднее значение оператора (16.90) тогда равно

Sp {M(Q)) = J 4Q)({"})<u6(纵一"))由匾}=

=J4(Q)(®})①(e})叫%}.(16.92) В этом выражении

①(ED =〈[[ 6 (纵—耿)〉=е

=4 I C (闷)И exp ( - 0声；+ 网")哪，(16.93)

а характеристическая функция имеет вид

C((M=SP{pn ехр( - В&) ехр 色燄)卜(16.94)

Преимущество этого метода упорядочения в том, что Q-поря-* док операторов отражен явным образом в уравнении (16.90), в то время как в методе Агарвала — Вольфа различный порядок операторов определяется функцией Q(a*, а) и не всегда ясно, какой порядок операторов соответствует данной функции Q(a*, а).

§ 4. Измерения, соответствующие антинормальноупорядоченным произведениям полевых операторов.

Квантовые счетчики

В этом параграфе мы покажем, что в принципе существует интересный метод измерения статистических характеристик оптических полей,» основанный на замене обычных фотодетекторов атомными детекторами, так называемыми квантовыми счетчиками [278]. Квантовые счетчики регистрируют в основном не акт поглощения, а акт вынужденного излучения, и поэтому корреляционные измерения квантовыми счетчиками связаны с антинормально упорядоченными произведениями операторов поля. Однако следует сказать, что квантовые счетчики, регистрирующие вынужденное излучение, в принципе пригодны для из-

мерения статистики сильно вырожденных полей, когда число фотонов в моде излучения велико. В том случае；'когда поле вырождено слабо, практически осуществить измерения с помощью подобных детекторов довольно трудно. Тем не менее интересно сравнить особенности измерений статистических свойств оптических полей обычными фотодетекторами и квантовыми счетчиками.

Действие квантового счетчика схематически представлено на фиг. 18. Уровень а есть основной энергетический уровень счетчика, с ——метастабильный уровень, с которого возможен радиационный переход на достаточно широкий уровень d, характеризуемый малым временем жизни и, следовательно, большой

ФИТ. 18. Схема энергетических уровней квантового счетчика.

вероятностью спонтанного перехода из состояния d в основное состояние а. Предположим, что под действием импульса накачки счетчик, переведенный в состояние Ь с широкой энергетической полосой, безызлучательно релаксирует в метастабильйое состояние с Предположим также, что положение уровней с и d таково, что разность (Ес—— Ed)/方с одного порядка с волновым числом характерной моды детектируемого поля, a (£d — Еа) > > (凡一廃)•

При взаимодействии подобной четырехуровневой системы, расположенной в момент времени / = 0 в точке х, с внешнрм полем может произойти вынужденный переход из метастабиль- ного состояния с в состояние d с излучением фотона. Поскольку уровень d обладает очень малым радиационным временем жизни, то вслед за актом вынужденного излучения происходит спонтанный переход с уровня d на уровень а, в процессе которого рождается фотон с энергией (Ed — Еа). Этот последний фотон заметно отличается по своим энергетическим характеристикам от первого, так как (£^ —Еа) > (Ес —Ed), и поэтому фотодетектор с достаточно высоким порогом детектирования, расположенный вблизи точки х, регистрирует только фотон, рожденный при спонтанном переходе. Таким образом, комбинация обычного фотодетектора с большим числом атомных систем, создающих фотоны в процессе вынужденного излучения, действует как квантовый счетчик внешнего поля, реагирующий на

вынужденное излучение. Следует отметить, что каждая атомная система излучает два фотона, однако фотодетектор, играющий вспомогательную роль и регистрирующий только один фотон на частоте спонтанного перехода, в действительности реагирует на отдельный акт индуцированного перехода.

На основе результатов, приведенных в § 1 гл. 12, где обсуждался вопрос об измерении характеристик поля излучения с помощью фотодетекторов, получаем, что вероятность зарегистрировать фотоотсчет в точке 力 в момент времени / пропорциональна величине

{中⑴而)wi z，〉也={不a• 1犀+)(%)i力⑴津一)⑼%=

=Sp h不+)(X)彳㈠(X)}=氏 0(X, X), (16.95) т. е. вероятность пропорциональна антинормально упорядоченной корреляционной функции Г^"(х, %). Аналогичным образом можно показать, что вероятность 府-точечного отсчета для системы ^ квантовых счетчиков, расположенных в пространственно-временных точках %ь ..., xNi пропорциональна величине

Г^'• •・，尤1)=

=Sp {0N(+)(%])・・・ 2(+)(%N)А^ (%N)・・・ а(_)(修)}, (16.96) которая является антинормально упорядоченной корреляционной функцией 2Nro порядка. .

Из выражения (16.83) очевидно, что квантовые счетчики чувствительны к полю только в том случае, если среднее число фотонов 〈〃) много больше числа мод, т. е. если параметр вырождения 6 =〈п〉1М = {n}L3/[iV много больше единицы. Этот случай соответствует лазерному излучению (6》1), однако в случае невырожденных (например, тепловых) полей мы имеем 6之1・ Поэтому для измерения тепловых полей использовать эти счетчики трудно. В то же время для достаточно сильных полей (большие 6) разница между нормально и антинормально упорядоченными корреляциями, как мы уже видели, практически исчезает и 〈〃，〉必*〈胪“ * (nfe), поскольку поле становится почти классическим и, следовательно, фотодетекторы и квантовые счетчики должны давать фактически одни и те же результаты.

Мандель [278] вычислил вероятность р‘(几,Т,/) зарегистрировать п отсчетов в интервале времени (/, ^ + Г) для квантового счетчика, освещаемого плоской квазимонохроматической волной. Исходя из тех же предпосылок, которые использовались

при выводе соотношения (10.3а), он получил, что \ оо 一

Р^п, Т, /) = J 戶历(初)雰ехр(-砺)d»・ (16.97) о

Этот результат соответствует формулам (10.3а) или (14.26), где * определяется выражением (14.28). Следовательно, все свойства соотношения (16.97) такие же, что и для (10.3а) (см. гл. 10). Однако при измерении квантовыми счетчиками всегда 〈(А〃)2〉4》0 [в случае фотодетекторов это не так, ибо для состояния |п), например, имеем ((Л/г)2)ж = — п и <(Л/г)2) = 0]. Поэтому для распределения (16.97) дисперсия числа п всегда больше или равна дисперсии распределения Пуассона. Этот факт является следствием неотрицательности плотности квазивероятности ①“({ах}) [ср. (13.82а)], из-за чего антинормально упорядоченные корреляции всегда неотрицательны. Из (13.68) видно, что в сильных полях, для которых плотность квазивероятности Фж(₽) не равна нулю только при больших значениях |0|, а функция ехр[——|а —— В|2] имеет резкий пик, главный вклад в Фл(а) вносит область значений 0 в окрестности а и, если Фж (а) достаточно гладкая функция, Фл (а) « Фиг (а) [соответственно для многомодовых состояний поля ①必({а/) 近“({а/)]・ Таким образом, снова видим, что в классическом пределе нормально и антинормально упорядоченные корреляции одинаковы.

В гл. 14 мы показали, что выражения для распределения числа фотонов и числа фотоотсчетов совпадают (они отличаются лишь множителем т), характеризующим квантовый выход детектора). Этот результат можно рассматривать как следствие того, что при фотодетектировании измеряются величины, связанные с нормально упорядоченными произведениями операторов поля, для которых среднее по вакууму равно нулю (т. е. флуктуации вакуума не вносят вклада в нормально упорядоченные корреляционные функции). Однако, как мы отмечали, при иных способах упорядочения операторов поля возникает другая ситуация. Например, для антинормально упорядоченных произведений операторов поля, связанных с величинами, измеряемыми квантовыми счетчиками, распределение фотоотсчетов описывается формулой (16.97), а распределение числа фотонов — формулой (16.89), существенно отличающимися одна от другой. Такое различие в распределениях вызвано вкладом физического вакуума, как видно из соотношения коммутации &&+ — a+d=l, т. е. йй+ = а^й + 1. Можно сказать, что соотношение коммутации дает свертку (13.68), причем имеется следующее соответствие: йй+ («),分+Q* ①“(а) и 1К 二ехр(—] а [2) = (а |0) (0 |а〉=〈а |4 (ехр ( — ©+&)} |а〉[т. е.| 0) (0 | =

=“{ехр( — d+d)}]. Вклад флуктуаций вакуума для случая М・ модовых состояний поля выражается через число мод М, так как J А (%) • А+ (х) d\ == J А+ (х) • А (х) cfx + M.

VV

Связь между распределениями //(〃，Т,/) и р(п) можно найти, подставив (16.88) в (16.97) [360]:

/(«> Л 0= £ p(m)2f-f「+ ,")(16.98) т=0

В заключение можно сказать, что различные способы упорядочения операторов поля соответствуют существенно разным типам экспериментов.

Глава /?

НЕКОТОРЫЕ СОСТОЯНИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ

В данной главе изложенные выше общие методы анализа статистических свойств поля излучения мы применим для описания наиболее часто встречающегося состояния электромагнитного поля, а именно хаотического поля (в частности, равновесного теплового излучения). Кроме того, рассмотрим лазерное излучение и случай суперпозиции хаотического и когерентного полей.

§ 1. Хаотическое (гауссово) излучение

Квазивероятности и характеристические функции

Хорошо известно, что состояние, для которого энтропия

// = -Sp{plnp)(17.1)

имеет максимальное значение при дополнительных условиях Sp р = 1 и Sp{0d+d}= (п), является хаотическим состоянием. Матрица плотности в этом случае приводится к диагональному фоковскому виду (11.27), а диагональные элементы р(п) дают распределение Бозе — Эйнштейна (11.32), т. е.

p =-7订.(17.2)

(1 +〈九)产

В случае равновесного теплового (черного) излучения (п) определяется выражением (11.30), а для р мы имеем выражение (11.29)..

Матрица плотности для многомодового поля, по аналогии с (11.29), имеет вид

。 ]J eхр (一日的4)ехр (一志分)

6 = sp {Jexp (_%网)广 8P {exp 吉啾;(I7-3)

здесь гамильтониан Й дается формулой (11.13) без члена, учи* тывающего энергию вакуума X 力(о〃2・

Определим вид функции ①“(｛а%｝), соответствующий выражениям (17.2) и (17.3). Вследствие статистической независимости мод выражение (17.2) для многомодового поля имеет вид

。=п〈嘿е』—("力：+T I 也)〉〈｛耿) I. 入(1+〈秋〉)九九 ｛以｝a(1+〈秋〉)

(17；4)

Используя (13.50) и (13.49), можно написать, что

О = j 丨 E｝〉〈｛aJ ■П^П Л紋О = j 丨 E｝〉〈｛aJ ■П^П Л紋"〈唸宀"〈唸宀

О = j 丨 E｝〉〈｛aJ ■П^П Л紋

О = j 丨 E｝〉〈｛aJ ■П^П Л紋

"〈唸宀

"〈唸宀

u J 2 £ IJexp( -1方|2)｛"｝ ｛以｝%入+1兀"(1 +〈唸)4入u J 2 £ IJexp( -1方|2)｛"｝ ｛以｝%入+1兀"(1 +〈唸)4入=.，£ ｛秋D〈｛恤｝ IX ・ ｛"｝ ｛以｝=.，£ ｛秋D〈｛恤｝ IX ・ ｛"｝ ｛以｝yr exp(-|”|2) a｝ 吧 / 〈”〉『九 d2aA ¥ i+〈a v4r рчФ+⑺丿几yr exp(-|”|2) a｝ 吧 / 〈”〉『九 d2aA ¥ i+〈a v4r рчФ+⑺丿几(17.5)(17.5)Так как при интегрировании по фазам остаются только члены ряда с пх =加入,мы приходим к выражениюТак как при интегрировании по фазам остаются только члены ряда с пх =加入,мы приходим к выражению

u J 2 £ IJexp( -1方|2)

｛"｝ ｛以｝%

入+1兀

"(1 +〈唸)4入

u J 2 £ IJexp( -1方|2)

｛"｝ ｛以｝%

入+1兀

"(1 +〈唸)4入

=.，£ ｛秋D〈｛恤｝ IX ・ ｛"｝ ｛以｝

=.，£ ｛秋D〈｛恤｝ IX ・ ｛"｝ ｛以｝

yr exp(-|”|2) a｝ 吧 / 〈”〉『九 d2aA ¥ i+〈a v4r рчФ+⑺丿几

yr exp(-|”|2) a｝ 吧 / 〈”〉『九 d2aA ¥ i+〈a v4r рчФ+⑺丿几

(17.5)

(17.5)

Так как при интегрировании по фазам остаются только члены ряда с пх =加入,мы приходим к выражению

Так как при интегрировании по фазам остаются только члены ряда с пх =加入,мы приходим к выражению

0 = 1110 = 111ехрехр-laJ+y^ylM2~"兀(1+&〉)：-laJ+y^ylM2~"兀(1+&〉)：I 阮〉〈阮 Id? ｛")=I 阮〉〈阮 Id? ｛")=ехрехр1犷］ .〈纵〉. 九〈秋〉1犷］ .〈纵〉. 九〈秋〉1（阮｝〉〈｛氏｝52｛氏｝；1（阮｝〉〈｛氏｝52｛氏｝；(17.6)(17.6)

0 = 111

0 = 111

ехр

ехр

-laJ+y^ylM2

~"兀(1+&〉)：

-laJ+y^ylM2

~"兀(1+&〉)：

I 阮〉〈阮 Id? ｛")=

I 阮〉〈阮 Id? ｛")=

ехр

ехр

1犷］ .〈纵〉. 九〈秋〉

1犷］ .〈纵〉. 九〈秋〉

1（阮｝〉〈｛氏｝52｛氏｝；

1（阮｝〉〈｛氏｝52｛氏｝；

(17.6)

(17.6)

ехр①川(ED =Ц -ехр①川(ED =Ц -(17.7)(17.7)здесь использовано обозначение 6九=aj〈〃％〉/(l +〈几％〉)]%• Вернувшись вновь от обозначения р к а, окончательно получаем распределение

ехр

①川(ED =Ц -

ехр

①川(ED =Ц -

(17.7)

(17.7)

которое представляет собой гауссово распределение комплексных амплитуд, не зависящее от их фаз и описывающее хаотическое поле, стационарное во времени и пространстве. Легко убедиться, что подстановка (17.7) и (13.49) в (13.142) снова приводит к матрице плотности (17.4).

Этот результат можно также получить с помощью квантового аналога центральной предельной теоремы [174, 17]. Для хаотического излучения распределение (17.7) соответствует классическому распределению (10.39). Это соответствие следует из того, что комплексная амплитуда поля представляет собой линейную суперпозицию типа (13.53) и что свертка двух гауссовых распределений также является гауссовым распределением. Таким образом, мы получаем классическое распределение (10.39) с〈/〉= (V* (х) • 口 (％)〉= 2aheL 工 ^-1〈九也$〉, посколь- k, s

ку〈aZsabs'〉亍=6n，6ss，〈| Wbs |2〉= 6^，6ss，〈办s〉・ Если величина 〈％$〉 не зависит от индекса поляризации s, что имеет место для случая черного излучения, то (/) = 2лАсА~3 2 ^-1 (/г^), где

k, s

(ил) = (ил) определяется выражением (11.30).

Вычислив для хаотического излучения характеристический функционал (12.48), можно определить по формуле (12.49) корреляционные функции, а также распределение вероятностей (14.1). Обозначая

% (儿尤)=豐2煮對(田eXри做一 e就)],(17.8)

можно записать ^-компоненту оператора (11.22) в виде

3^)(%) = £ 电(％ х)翫 * А(+) (х).(17.9)

Подставляя (17.9) и (17.7) в (12.48), получаем

X ехр 卩[у (х) 2 е* (V, %) а芬一у* (%)】е (Г,尤)耿]小#｝出佃/ =

Ук = J У(Х)е* (^> %) &4汇Ук = J У(Х)е* (^> %) &4汇В")В")=【П 誌у ехр (-若 + а；% — а屈产”，(17.10) где

Ук = J У(Х)е* (^> %) &4汇

Ук = J У(Х)е* (^> %) &4汇

В")

В")

(интегрирование по х обозначает и суммирование по 卩). Поэтому, используя (16.41), имеем

”){у(%)}=ПехР(-〈аМ#)=

= ехр ~ j J / U9 ^ ^ 8 ^ х^ 8* ^» х)У ^ ^х ^^ • (17.12)

Следовательно, корреляционная функция второго порядка равна

М ° (х, /) = Sp (рЛ(+) (х)牙т (/)}=

=〕и “〈以〉ехр ( —■ I j] )2 Z е* & %) е 仇'，*') а{а“ d? {а/ =

=1〈纵〉8仇，公)e*(儿Х)■(17.13)

В результате приходим к окончательной формуле для харак* теристического функционала

产仞(切:=ехр[-J J р(%)М"(% %“*(/)必柒[・(17.14)

При этом корреляционная функция Гж п), согласно (12.49)， равна

巾“气5)=(-1\坦J(-)(崎)Х

义{ 口 [ J W 国，/)9* 3)〃]严{у (*)} I， (*)=o =

•F犷)％,右+/),(17.15)

л /=1

где 5 обозначает суммирование по п! возможным перестанов-

кам индексов п + 1, ..., 2п (или 1, .,. ? ri) . Очевидно, Г(т> 九)=0 при шфп, что совпадает с (10.64а),'

Используя комплексное представление 6-функции (13.37), можно записать распределение (14.1) в виде 匕(匕，，・・，乙)=

=『ОЫ｛叫)J J^exp(Vfz^V^exp(-V^ ^ d^ ｛向｝= /=i\

=JС例(｛2/｝) JJexp (%z；-以:刁)二^",(17.16)

где характеристическая функция 。("，(｛之,｝) дается (17.14) с

以%)=若之/6(%一々)， т. е.

Г п•

(闯)= eхр - 2引讨也/,/)现.

Вводя векторы-столбцы

UJ HJ

и матрицу ковариаций

疏=〈户纟俨+〉，

формулой(17.17)(17.18)(17.19)(17.20)формулой(17.17)(17.18)(17.19)(17.20)характеристическую функцию (17.18) можно переписать в виде С(")(2) = ехр (— 2+豌 2)・(17.21)

формулой

(17.17)

(17.18)

(17.19)

(17.20)

формулой

(17.17)

(17.18)

(17.19)

(17.20)

Таким образом для распределения (17.16) имеем

&(%,・・・，乙)=

=靑 Jexp(-2+j2)exp(— R+2 + 2+R)JJd2q, (17.22)

откуда окончательно получаем распределение [ср. (16.41)]

乙（乙・・・，乙）=^r^exp（一产統一团，（17.23）

которое является многомерным гауссовым распределением. Следовательно, квантованное хаотическое электромагнитное поле описывается таким же распределением вероятности, что и гаус* сов случайный процесс.

Очевидно, аналогичные результаты можно получить для s-упорядочения. Применяя многомодовый аналог формулы (16.43) (при * = s и Si = 1) для выражения (17.7), получаем ①S)= 他〉ехр(_〈 ；：]『)• (17.24) Отсюда видно, что все результаты, полученные для хаотического излучения, справедливы также и в случае s-упорядочения, если〈〃入〉заменить на 入〉+ (1 — s)/2.

Следовательно, как квазивероятности в обычном пространстве и времени, так и квазивероятности в фазовом пространстве являются многомерными гауссовыми распределениями с положительно-определенной матрицей ковариаций при ——l《s《l (этот интервал изменения s включает нормальное, симметричное и антинормальное упорядочения).

Корреляционная функция второго порядка

Корреляционная функция второго порядка для излучения абсолютно черного тела изучалась рядом авторов. Буре [88] для вывода электрического тензора корреляции второго порядка использовал метод, применяемый в теории изотропной турбулентности несжимаемой жидкости. Позднее Сарфат [412] получил основные результаты с помощью точных квантовомеханических расчетов.

Корреляционные функции, удобные для описания временной когерентности излучения абсолютно черного тела, предложили Кано и Вольф [226]. Они показали, что в этом случае степень когерентности не имеет нулей в нижней полуплоскости комплексной переменной т. Мета [295] определил время когерентности и эффективную ширину линии излучения черного тела. Более полное рассмотрение электрического, магнитного и смешанного тензоров корреляции второго порядка для излучения черного тела дали в серии статей Мета и Вольф [306, 307, 310]. Исследуя свойства тензоров корреляции второго порядка и спектральных тензоров корреляции, они показали, что для излучения черного тела классические и квантовые корреляционные тензоры совпадают. Статистические свойства такого излучения в неограниченном^ пространстве исследовали, используя теорию функционалов, Холлидей [197], Холлидей и Сейдж [198] и Келлер [230]. Наиболее общие свойства корреляционной функции для излучения черного тела получил Глаубер [174, 176]. Эберли и Куявски [135] и Куявски [517] изучали свойства тензоров корреляции в равномерно движущейся системе координат. Куявски [240] показал, что когерентные свойства излучения черного тела можно характеризовать единственной скалярной корреляцион-

ной функцией; он рассмотрел также соответствие между коммутаторами квантованного электромагнитного поля и тензорами корреляции. Релятивистски-инвариантная теория когерентности излучения черного тела была развита Бревиком и Сухоненом [498, 499]. 、

Ниже мы обсудим только некоторые простые свойства электрического тензора корреляции, связанные с временной когерентностью излучения черного тела. Более детальное исследование этого вопроса можно найти в обзорной статье Манделя и Вольфа [285].

Квантовый аналог электрического тензора корреляции 吝订(尤ь%2), определенного формулой (7.2), можно записать в виде

%(叩%2)= SpM广)(/)屮)闯｝. (17.25)

Используя (17.13) и (11.1а), имеем

甘，/ (%1，%2)=

=齊£〈％〉码$)*3)е?)®ехр/(%-$) — ^&-4]・(17・26)

Поскольку 〈〃尼$〉==〈几论〉[величина 〈〃尼〉'определяется выражением (11.30)], то, просуммировав (17.26) no s с помощью (11.5) и заменив

получим для тензора корреляции

因(%i, %2)= /，/ (%2 -%J =甘〃(%)=

=諡 J咎)exp (俩 d^k =

=/•(面号—砌J 号r-хp(з)瑜(17.27) где №(x, т) = х2 — хь a xz — компоненты вектора x. Введя сферическую систему координат в ^-пространстве с полярной осью, направленной по вектору %, получаем

爲/⑴=w廡詣_и/a) x

°°л2л

X р——扑鼠ехр (— ikcx) J exp (ikr cos 3) sin ^d^ ( d(p =

о exp(-^r)— 1оо

(17.28)(17.28)句]2（々勺一%）

(17.28)

(17.28)

喏+ g2 +，У [（唠+ g2 +产了

где г = |%|. Степень когерентности у“(%) равна при этом

）= 醫订（Х）=醫仃（％）

丫""=@济（0）行〃（0）｝% =画而

(17.29)(17.30)(17.29)(17.30)=90 也y2(勺勺一г26")

(17.29)

(17.30)

(17.29)

(17.30)

"4" [卜告+ "户「十 [(唠+辽心T：

Здесь

ср 4屁 / ^r V V 14屁 / КТ Н

/〃(0)= 小石)2而)丽,

九=0

где сумма равна значению обобщенной ^-функции Римана 也(4, 1)=冗4/§0], определяемой формулой [35]

寸(s, а)=£(〃 + а)7.(17.31)

〃=о

Обсудим полученный результат для частного случая временной когерентности. Полагая х = 0 в (17.29), имеем

Y,/(0,力=6“寮《4, I + z-^t).(17.32)

Следовательно, любые две ортогональные компоненты поля ЕМ%, fi) и £；(х, ^2)не коррелируют друг с другом. В этой связи следует упомянуть, что функция (17.32) не имеет нулей в нижней полуплоскости комплексного переменного т [226], и поэтому фазу функции угДО, т) можно однозначно найти по известному значению ее модуля с помощью дисперсионных соотношений (см. § 4 гл. 4). Таким образом, спектр излучения черного тела можно определить по видности интерференционных полос.

Очевидно, что для тензоров корреляции высшего порядка имеет место соотношение того же вида, что и (17.15), т. е. эти тензоры полностью определяются значениями тензоров корреляции второго порядка.

Статистика фотоотсчетов

Рассматривая статистику фотоотсчетов для гауссова света в связи с объяснением результатов эксперимента Хэнбери Брауна—Твисса, Глаубер [172] впервые ввел диагональное представление матрицы плотности по когерентным состояниям.

Хотя основные формулы для описания статистики фотоотсчетов для случая гауссова света были даны в гл. 10 [выражения (10.48) — (10.52)], приведем ниже некоторые более общие результаты.

Исходя из характеристической функции вида (14.22) и используя для V(%) выражение, соответствующее (17.9), в случае гауссова света получаем

<ехр(/хГ))ж= J ехр 一 丫聂丹?叭弘.% n志^ '(17.33)

где г

fc= НН е*3, %〃)俨(%〃一X, r-f)e(r, /)d4/d4%〃・(17・34) 0 V

Вводя обозначения

氏=V^T 〃的=М£ ^v /Ы»(17・35)

запишем соотношение (17.33) в виде

〈eхр (反力)〉产 J eхр [ - 1 间2 + 改，^U^A JJ 冷=

= Jexp卜2飙卩+沃£/呵JI噜=n』；

(17.36)

здесь °U\ — собственные значения матрицы U = (U^). Поле, заключенное в нормировочный объем, удобно описывать величиной W (» = п»)，определяемой формулой (14.12). Кроме того, в этом случае 灰入=〈〃*〉, и если предположить, что все (пх) одинаковы, так что 叨％ =〈/г入)/М (М — число мод поля), то приходим к формуле (10.48).

Характеристическую функцию (17.36) можно переписать в виде

= exp S纟怨斗exp= exp S纟怨斗exp<ехр (ixW))^ = /“1匕0)= ^Р - » 広(1 - ix^ =

= exp S纟怨斗exp

= exp S纟怨斗exp

g 安 sp&"= rt=l-

=exp[— Sp In (1 — ixO)]. (17.37)

Сравнивая эту формулу с выражениями, определяющими кумулянты 乂｝取)[ср. (10.15)], можно записать кумулянты в виде

(о кумулянтах см. [500])：

乂O)= sp и = т

г

=j j j j 彳(%〃 — ％'，f" — ')W# (%"，/)成XdM",(17.38a)

0 V

%W = (/—l)!Spt// =

=(j — 1)! j ・・・ j U 乡(4 一 <)T)(4, ％+) d*d* r=l

(%3 =司 />2).(17.386)

Отметим, что первый член ряда в формуле (17.37) соответствует полностью когерентному полю. Присутствие других членов нарушает полную когерентность. Выражения (17.38) представляют собой обобщение выражений (10.80), которые можно получить, если положить 夕(％〃 ——％') = т)6 (х,Л — V) 6 (хЛ — х), где х—фиксированная точка пространства, и если считать поле стационарным.

Чтобы вычислить характеристическую функцию (17.36), нужно найти собственные значения 勿入 матрицы О, матричные элементы которой даются в (17.35), где W^ определяется выражением (17.34). Эта задача рассматривалась в работах [56, 213, 127, 410] для хаотического поля с лоренцевой формой линии спектра излучения ^, а в [214, 531] для суперпозиции когерентного и хаотического излучения с лоренцевой формой спектра. Используя полную ортонормированную систему функций {中*(%，£)} на интервале (0, Т) и в объеме V, можем написать

Х(+)(%) =§6何(%),(17.39а)

где*

灰=JJ ^}^^^(17.396)

о у

Таким образом, для поля, стационарного в пространстве и времени, получаем

Sp俗放6"}=弘九""=

=Ш/ ^{^}^)不+)(砂 ФЛ(X)Ф；(〃)办 d4d. • (17.40) о V

Умножая это уравнение на (р*(%") и суммируя по А/, получаем окончательно интегральное уравнение, определяющее значения 纵卜 И фх (х)：

勿冲式％〃)= JJ 1^2*(/,尤)映⑶ d% (17.41) о p

так как

审中；3)臥①)=6 (乂一 /).

Собственные значения 勿入 зависят от спектра излучения, поскольку в (17.41) входит корреляционная функция Гж "*(%〃, ％)= =「%'"*(%" — х). В упомянутых выше работах однородное интегральное уравнение было решено в более частном случае (для временной области) лоренцева профиля спектральной линии.

Очевидно, что точный расчет характеристической функции является очень трудной задачей, однако математические выкладки значительно упрощаются для двух предельных случаев, когда Т《％ ^ (Av)-1 или Т》&• В первом случае в предположении, что 夕(％〃一％') = т)6(х〃 — ％')6(л/— %), корреляционная функция практически постоянна в интервале времени (0, Т), и поэтому %^)= (j—1)!(т)〈/〉Т)/, а, следовательно, характеристическая функция равна ■ 8"

〈exp(ix/“ = exp ^^Г~^ ^ Т^ =

一九 =1一

=ехр [ — In (1 —沃т)〈/〉Т)] = утг^тут ・(17.42)

Формула (17.42) соответствует выражению (10.45) для распределения Бозе — Эйнштейна (10.43). Во втором случае получаем выражение (10.48) с p(n, Т), даваемым формулами (10.50) или (10.73), где М = Т1%с. Следовательно, формула (10.73), справедливая при Т》тс, остается также справедливой и при Т 之 Тс (если при этом М= 1). По-видимому, формула (10.73) представляет очень хорошую аппроксимацию при всех значениях Т. Действительно, как показали Бедард, Чанг и Мандель [61] с помощью рекуррентных соотношений для /?(&Т),

выведенных Бедардом [56], эта формула служит хорошим приближением для распределения p(n, Т) при всех Т, если

М = ^=—^ (17.43)

2 j(T-U)lYH)|2W

о

[здесь было использовано выражение (10.69)]. Справедливость этой аппроксимации была проверена для лоренцевой, гауссовой и прямоугольной форм спектра линии излучения. Интересным свойством формулы Манделя (10.73) является то, что она фактически не зависит от формы спектра, которая учитывается в ней только параметром М. Аналогичные результаты для суперпозиции когерентного и хаотического полей получены в работах [509, 510, 528, 532].

Глаубер [172, 176, 177] (см. также [17], гл. 9) получил другое выражение для распределения p(n, Т) при лоренцевой форме линии излучения, когда

〈也力力3入=(% - 4)2 +兽(17-44)

(coo —средняя частота, Г — полуширина линии). Он нашел, что при Г» 1/Г

"(% Г)= 7Г(^)，/4mехр(ГТ)； (17.45) здесь £2 = (Г2 + 2?](/) Г)!/\ а ^_у2 — модифицированная функция Ханкеля полуцелого порядка. Асимптотическая форма выражения (17.45) имеет вид

"他Та?ё^хР卜专/-图]у6)

где 卩=т)(/)/Г и〈几〉=刀〈/〉Т・ В работе [61] было показано, что распределение (17.45) при Т/女》1 (в 10) хорошо согласуется с точным решением. Еще одно асимптотическое выражение для p(n, Т) было предложено в [294].

Как отмечалось в гл. 10, применимость формулы (10.43) для хаотического света экспериментально проверили Арекки [41]; Арекки, Берне и Бурламаччи (44], Арекки, Берне, Сона и Бурла- маччи [46] (см. хакже [42]), Пайк [386, 387] и Фрид и Хаус [153]. Мартиенсен и Шпиллер [292] проверили справедливость формулы [10.50) для случая многомодового гауссова излучения, а также справедливость формулы (10.58) для поляризованного (Р=1) и неполяризованного (Р=0) света. Арекки, Берне и Сона [45] экспериментально исследовали временную эволюцию стационарного гауссова поля излучения, используя технику многоточечного детектирования.

При измерении статистики фотоотсчетов наблюдается так называемый эффект мертвого времени, суть которого заключается в том, что для счетчика после каждой регистрации существует интервал времени т, в течение которого он не срабатывает. Поэтому число отсчетов, зарегистрированных в интервале времени Т, меньше, чем действительное число актов поглощения, и, следовательно, измеренное распределение фотоотсчетов должно быть скорректировано с учетом этого эффекта. Этот вопрос подробно изучали Джонсон, Джонс, Мак-Лин и Пайк [218] и Бедард [59]. •

В заключение настоящего параграфа приведем некоторые из написанных выше соотношений в s-упорядоченной форме. Из (17.24) видно, что уравнения для частного случая s-упорядочения можно получить заменой 〈孔入〉—>〈〃*〉+ (1 — s)/2 в соответствующих выражениях. Таким образом, из (16.69) при Si = 1 и §2 = s 以 формулы (10.48) найдем

<exp(/W)X=[l -ix (崙 + 千)「\ (17.47) где (и) — среднее число отсчетов. Отсюда

р 修 s)=(力 [ s)附(М _ 力 ехр ⑺ ]—s (17.48) и

〈吟=((E49)

Наконец, упомянем некоторые результаты, полученные для фермионов. Эффекту группировки фотонов, являющемуся следствием статистики Бозе — Эйнштейна и требования максимума энтропии, соответствует эффект разгруппировки фермионов, который обусловлен отсутствием у них когерентных состояний. Глаубер [181] рассмотрел этот вопрос с точки зрения волновых пакетов для хаотических полей, а Бенард [62, 63, 494] на основе теории Гольдбергера и Ватсона [186], справедливой как для бозонов, так и для фермионов. Читателя, интересующегося свойствами когерентности фермионов, мы отсылаем к работе [254].

Лазерное излучение

Статистические свойства излучения лазера, работающего в режиме, превышающем порог генерации, качественно отличаются от свойств хаотического излучения. На это впервые указал Голей [182]. Для полного описания статистических и когерентных свойств лазерного излучения как вне, так и внутри резонатора требуется решить уравнения движения системы,

состоящей из взаимодействующего с атомами активного вещества поля излучения и различных источников энергии (положительных и отрицательных), таких, как излучение накачки, потери энергии в резонаторе, колебания решетки и т. п. Главное отличие лазерного излучения от теплового состоит в том, что лазерное излучение является вынужденным, а не спонтанным, а также в том, что существует очень сильная связь между различными модами, приводящая к нелинейности уравнений движения. Эта нелинейность характерна для лазерного излучения, и поэтому только нелинейные теории способны успешно объяснить все его свойства. Кроме того, нелинейность играет важную роль в стабилизации излучения лазера. Обычно статистические свойства лазерного излучения исследуют с помощью следующих трех типов уравнений:

уравнений Ланжевена для комплексных амплитуд (т. е. обычных уравнений движения с добавкой случайных сил, описывающих марковский процесс),

уравнения Фоккера — Планка для распределения вероятности и

обобщенного кинетического уравнения для матрицы плотности, причем последний метод полностью квантовомеханический.

Это обстоятельство позволяет использовать при решении обобщенного кинетического уравнения рассмотренное выше соответствие между функциями операторов и плотностями квазивероятности (см. работы Лэкса и его соавторов). Довольно сложный анализ такого метода исследования статистики лазерного излучения лежит вне рамок данной книги, и поэтому мы отсылаем читателя к обзорным статьям Хакена [191, 192], Лэкса [246, 247], Рискена [398, 534] и Пауля [339] и к оригинальным работам Лэкса [248, 250], Лэкса и Люиселла [251], Лэкса и Юна [252], Флека [145—147], Скалли и Лэмба [416, 417] и Виллиса [469] (см. также ссылки, упомянутые в этих работах). Несколько упрощенных моделей различного рода нелинейных оптических устройств рассмотрено в книге Люиселла [19] и в работе Хакена (192]. Армстронг и Смит [52] дали обзор экспериментальных исследований по проверке статистической теории лазера. Интересный подход к проблеме статистики лазерного излучения, основанный на • использовании квантовоэлектродинамического формализма Швингера, обобщенных функций Грина и функциональных производных предложил Коренман [238, 515]. В этом параграфе мы ограничимся рассмотрением модели идеального лазера, а также приведем основные результаты нелинейной теории (распределение Рискена), описывающей статистику излучения лазера при работе его во всех трех характерных режимах: ниже порога генерации, на пороге генерации и выше порога ге-

нерации. Модель суперпозиции когерентного и хаотического полей, которая описывает статистические свойства излучения лазера при работе в режиме выше порога возбуждения, применима в том случае, когда можно использовать теорию в линей二 ном приближении. Эту модель и некоторые экспериментальные работы мы подробно рассмотрим в следующем параграфе.

Модель идеального лазера

Как уже упоминалось, Глаубер [174, 176] показал, что когерентные состояния поля создаются классическими (неслучайными) токами. Поле излучения обусловлено дипольными переходами атомов активной среды лазера, а так как поляризация этих атомов меняется синхронно с полем излучения, активная среда в целом обладает осциллирующей плотностью поляризации. Поскольку производная по времени от плотности поляризации дает распределение тока, то поле излучения лазера, если он работает в стационарном режиме, можно рассматривать как когерентное поле в состоянии | р), создаваемое осциллирующими классическими (с-числовыми) неслучайными токами. Матрица плотности, описывающая это поле, равна

P=IPXP I,(17.50)

а

Фж (а) = 6 (а — 0) = 6(丄霜 ®)6 (ф _ 2)；(17.51)

здесь а = |a|exp(iqp) и р = |р|ехр(/г|)); множитель |а|т появляется из-за того, что d(Re a)d(Im а) = |a|d|a|d(p. В шрединге- ровском представлении р = | р ехр (— /ш/)) (р ехр (— /ш/) |, и поэтому 〈2〉= § ехр(—icof) не является стационарным состоянием. Распределение (17.51) выражает тот факт, что в поле излучения лазера как интенсивность |р|2, так и фаза <р комплексной амплитуды имеют определенные значения.

К сожалению, информация о фазе 屮 колебаний при высоких частотах обычно отсутствует. Поэтому предположим, что фаза равномерно распределена в интервале (0, 2л). Тогда получим

①川他)=* j-2)d(p =

о

=(17.52)

Многомодовая функция распределения ①“({а%}) для такого одномодового идеального лазера имеет вид

：6(| 欢 |-| 以 I) 口 6(|”, I)

—2川 ”12n|av| *

Смешанные состояния, образованные суперпозицией когерентных состояний с различными фазами, также являются когерентными, и поле, описываемое формулой (17.53), удовлетворяет условию полной когерентности (12.34) при m = п. Распределение (17.53) не зависит от фаз ｛屮入｝ и, следовательно, описывает стационарное поле. Оно соответствует распределению интенсивности излучения идеального стабилизированного по амплитуде лазера со случайным значением фазы [этот случай в рамках классического рассмотрения приводит к выражению (10.61)]. Соответствующее этому излучению распределение фотоотсчетов является пуассоновским и дается формулой (10.62). Для распределения Р(/) справедлива формула (10.61), которую можно снова получить из (17.52) [или (17.53)], поскольку

〈/〉=普々-"酬但)]2|зr

Элементы матрицы плотности p(n, т) для распределения (17.51) находятся из (13.63):

р(/г, т) = /^ехр(-|р|2),(17.54)

а нормально упорядоченные моменты равны

〈d+吻〉“ =a*kal.(17.55)

Полагая в (17.54) п — mt получаем распределение Пуассона для р(п) ^ р(п, п). Распределение ①(a, s) и соответствующие моменты можно получить исходя из (16.43) и (16.51) при s】=1 以 S? = s, а именно:

①(％ s)= T^rexp(-^£^)(17.56)

и

〈尹昭a=告(中)6*厶-忆尸(誓)他〉/)・ (17.57)

Соответствующие выражения для симметричного и антинор- мального упорядочений имеем при s = 0 и s = —— L

Чтобы найти величины р(п) [или р(〃, Г)], а также Ф(а, s), <Й+М% = 6Л/ (й+М% и 〈@+尼d"〉s = 6以〈d+左d左3s для усредненных по фазам распределений (17.52) или (17.53), рассмотрим более общий случай, когда

.%(同户立如а н響% (17.58) 九=1Х=Л1+1

Некоторые статистические свойства этой модели при М ^ 2 были исследованы теоретически и экспериментально в работах [76,78], в частности, на примере интерференционного эксперимента типа Юнга.

Распределение Р(呪 s) в нормировочном объеме можно вычислить по формуле

Р"，s)= J ①(｛鼠｝, s)b(取一工|£|2)п#=■

\入=1/ Л=1

•+8// М \\

=击 J exp ( — ixW) (exp (^ J] |< )2 / dx, (17.59)

—OO\' 入=1丿’$

где характеристическая функция, соответствующая только М модам в (17.58), имеет вид •

= 7^7/П-Р(-^# + ^1<|2)^- Вб。) 九=1

[члены б(| ах ()/2л| аЛ | в (17.58) можно определить, полагая % = 0 в модах %>〃+"・ Подставляя в (17.60) (az —Р |2 = =1 а‘ F +1 § |2 — 2| а' II В I cos ((р, — 2), пблучаем

"p友£1叫2)=1п占eхр(一联)义

•\X=1/ / s 0 九=1

ХехрХехр2同22同21 - S1 - S+ 反阙2)/。(4+ 反阙2)/。(41 - S1 - S(17.61)(17.61)

Хехр

Хехр

2同2

2同2

1 - S

1 - S

+ 反阙2)/。(4

+ 反阙2)/。(4

1 - S

1 - S

(17.61)

(17.61)

где /о — модифицированная функция Бесселя нулевого порядка. Разлагая /0 в степенной ряд и интегрируя по | а^ |2, приходим к выражению

〈ехр (氏Щ〉$ = (1 — 沃上汽f exp 卜 勺三]；(17.62) здесь (nc) = SI Px I2 — среднее число фотонов в когерентном поле. Это выражение есть производящая функция для полиномов Лагерра 厶产~《)，поскольку

(1 一 ^)-%хp 岛=2 1<^以1(一貧=(17.63a) м=0

= (1 + ВГмехр(磊)义[

义 £ I"」M) (1 +Е) (1 十'%)"『 [-5(13) )• (17.636)

Выражение (17.62) следует также из (16.69) при s2 = s и S] = 1, если учесть, что

Р"")=]y(1喈_也削阕2)p|%2 = =6 ”一〈％〉)・ (17.64)

Используя полиномиальную теорему, имеем

.公1喏

ехр(—I рх р)=

I 队 12Г

一-ёхp（一中 队卩）,

(17.65)

где знак 》'обозначает суммирование при дополнительном условии, что £〃九=几.Подставляя (17.62) в (17.59), с помощью

теоремы о вычетах [или подставляя (17.64) в (16.71) при s{ = 1 и S2 = sL получаем

рm2占（各广嗔хр

2 (*+〈％〉)] к](4 ^уТ^}

7(17.66)

Моменты〈睽〉$ можно определить из (17.62) с учетом (17.63а) следующим образом:

<ехр(/хГ)>5 =

77告硏(中门"(弊9 .(17.67)

Для нормального упорядочения s == 1, и характеристическая функция (17.62) равна

<ехр (ixW))^ = ехр (氏〈％〉),

(17.68)

т. е. независимо от числа мод М поле излучения подчиняется распределению Пуассона

Р(〃)=绵1 ехр (-⑷).(17.69)-

Моменты, соотвеггствующие нормально упорядоченным операто

рам поля, равны

〈也=〈〃/

(17.70)

Соотношения (17.66) и (17.67) в пределе s—► 1 приводят к формулам (17.64) и (17.70).

Соответствующие результаты для одномодового распределения (17.52) можно получить, полагая М =]・

Модель реального лазера

Более реальную модель лазерного излучения предложили Глаубер [176], а также Клаудер н Сударшан [17, § 2 гл. 9]. Эта модель, основанная на предположении о диффузии фазы комплексной амплитуды, приводит к лоренцеву спектру лазерного излучения.

Рискен [396, 397], используя нелинейную теорию лазера и так называемое приближение «волн вращающейся поляризации» Для осциллятора Ван дер Поля, получил уравнение Фоккера -^ Планка для распределения Р川(厂)】)：•

卷 + 7И = 7(г 甞)+』(17.71)

здесь г и ср ——безразмерные модуль и фаза комплексной амплитуды поля, a w ——параметр накачки (при работе лазера в режиме ниже порога генерации ш <； 0, выше порога з > 0, а на пороге генерации з = 0). Стационарное решение этого уравнения имеет вид

Pn (r)=亲 ехp (一彳 + 侬-у)=亲 ехp (号)exp [- — (f2 -5尸],

(17.72)

где8

T= J ^(—^ + ^^г dr.(17.73)

о

Подставляя г2 = ///0 Vп， где / — интенсивность излучения, а /0 — средняя интенсивность на пороге генерации, можно переписать (17.72) в виде

(/) =京е臨帚ехр卜蠢+ 2読)=

р“(/) = о (/ < 0).(17.74)

Здесь

erf w = р=- J ехр (—尤2) dx.

Этот же результат другими методами получили Хемпстед и Лэке [195], Флек [145, 146], Скалли и Лэмб [415], Вейдлих, Рискен и Хакен [464] и Лэке [247].

См. об этом подробнее, например, в [17, гл. 6]. — Прим, перев.

Для средней интенсивности 〈/)“ получаем

。S•(17.75)

Распределение фотоотсчетов рассчитали Смит и Армстронг [425] (см. также [52]). Они нашли

р(«. П==л2(；)^[г(^+1) +

т=0

+(—i)f r(N二胃土L,制(c》o),

九(17.76)

p(n, т)= А 2(^(~0wld"[r(^^l)-

?n=0

— r(F乜 |c用(cvo)； здесь

“ ]6 exp(—50 + W)

匕？ n! 1 + erf 侬 *

D = y[H 矶T, c — w — ^. Г (a, x)= ^ exp (— f)广一】或，

т] — квантовый выход детектора, Т ——временной интервал детектирования, Г (а, х) —неполная гамма-функция, Г(а, 0) s Г(а) — гамма-функция. Другой вид p(n, Г) получил Бедард [57]:

р (и, Г)=器 ехр 6 伍 一 2/ — 2”)]。一― (ix-/1 ш), (17.77) где—

卩=/^m0兀 J^Vn^Tw,n=冃％

a Dn(^)—функция параболического цилиндра [14]. Факториальные моменты для распределения (17.72) равны [57, 51]

〈歌〉"=黑加eXp(一 £)。…(-/2 3).(17.78)

Рассмотрим три характерных режима работы лазера. Ниже порога генерации ^ < 0 и, если |з| достаточно велико, то

Риг (/) & const ехр (— ^^^)，(17.79)

т. е. мы получаем экспоненциальное распределение интенсивности. Следовательно, излучение лазера при работе в режиме

ниже порога генерации является гауссовым. Вблизи порога и на пороге генерации распределение Р*(/) дается формулой (17.74). При работе лазера выше порога генерации, когда 侬 > 0, применима линеаризованная теория, и поэтому мы мо-

жем написать, что

././弘=|^问(1+*

./

./

где в мало. Поскольку функция (17.74) имеет при этом острый пик, то из (17.74) следует, что

%(/)=斎 Т+Эт ехр [-叫(11 )2 卜

a const • exp — 4w21匕厶]= =const • exp[—p^/ [" — VУН wIQ ]2j. (17.80) Таким образом, распределение амплитуды Р“(МГ) представ- ляет собой гауссову функцию с максимумом при j/7 =V У п ⑫/。* которая в пределе 5 f 8 переходит в распределение 6(/—〈/〉“)，характерное для идеального лазера'. Выражение (17.74) можно, таким образом, рассматривать как «сглаженное» в виде гауссова распределения 6-распределение д (/—У л wl^ Эта модель для описания статистики лазерного излучения была предложена в работе [55]. Некоторые другие модели лазерного излучения обсуждались в работах [424, 452].

Модели излучения лазера, учитывающие присутствие в спектре генерации двух и более мод, были рассмотрены в работах [276, 450, 76, 78, 313]. Квантовому описанию лазерных пучков и их взаимодействия с веществом посвящены работы [339, 342, 394, 344, 343, 99, 100, 101]. Нестационарное решение уравнения Фоккера — Планка (17.71) исследовано в работе [399].

Остановимся теперь подробнее на результатах экспериментов, посвященных изучению статистики лазерного излучения, причем рассмотрим три различных режима работы лазера: 1) ниже порога генерации («подпороговый» режим), 2) вблизи порога и на пороге генерации («пороговый» режим) и 3) выше порога генерации («надпороговый» режим).

Подпороговый режим

При работе лазера в подпороговом режиме фотоны поля излучения, как было показано выше, подчиняются статистике Бозе — Эйнштейна. Первые экспериментальные исследования

ФИГ. 19. Распределение фотоотсчетов для случая работы лазера в пороговом режиме (2) [425].Приведены также распределение Пуассона (/) и хорошо аппроксимирующее наблюдаемые результаты распределение (3) для случая нелинейного осциллятора. При п=7, 8, 9 распределения 2 н 3 совпадают.ФИГ. 19. Распределение фотоотсчетов для случая работы лазера в пороговом режиме (2) [425].Приведены также распределение Пуассона (/) и хорошо аппроксимирующее наблюдаемые результаты распределение (3) для случая нелинейного осциллятора. При п=7, 8, 9 распределения 2 н 3 совпадают.d（D〉〈步2“嚟）d（D〉〈步2“嚟）

ФИГ. 19. Распределение фотоотсчетов для случая работы лазера в пороговом режиме (2) [425].

Приведены также распределение Пуассона (/) и хорошо аппроксимирующее наблюдаемые результаты распределение (3) для случая нелинейного осциллятора. При п=7, 8, 9 распределения 2 н 3 совпадают.

ФИГ. 19. Распределение фотоотсчетов для случая работы лазера в пороговом режиме (2) [425].

Приведены также распределение Пуассона (/) и хорошо аппроксимирующее наблюдаемые результаты распределение (3) для случая нелинейного осциллятора. При п=7, 8, 9 распределения 2 н 3 совпадают.

d（D〉〈步2“嚟）

d（D〉〈步2“嚟）

статистики излучения лазера, работающего ниже порога генерации, выполнили Фрид и Хаус [153] и Смит и Армстронг [426], которые доказали справедливость распределения Бозе ——Эйнштейна (10.43) для случая Т < тс. Фрид и Хаус [153] измерили также распределение фотоотсчетов для случая Г > тс и проверили результаты, предсказываемые формулами (17.46) и (10.50), при числе мод М, определяемом выражением (17.43). Обзор

этих экспериментальных результатов можно найти в работе [52]. Аналогичные результаты, соответствующие распределению Бозе ——Эйнштейна, получил Арекки [41] (см. также [44, 46]), который исследовал статистику рассеянного от движущейся матовой поверхности пучка света, создаваемого амплитудно стабилизированным лазером при работе в режиме, намного превышающем порог генерации.

Пороговый режим

При работе лазера вблизи порога генерации для описания статистики фотонов следует использовать нелинейную тео

рию, приводящую к соотношениям (17.74) и (17.76) — (17.78). Смит и Армстронг [425] показали (фиг. 19), что выражение (17.76) справедливо для распределения интенсивности излучения лазера вблизи порога генерации. Они измерили также второй нормированный факториальный момент

значения которого изменяются от 1 (для гауссова света и излучения лазера в подпороговом режиме) до 0 (для излучения идеального лазера, работающего в режиме, значительно превышающем порог генерации). Аналогичные результаты, совпадаю-

щие с теоретическими выводами (42], получили Арекки, Родари и Сона [51] и Пайк [386, 387], измерявшие величину третьего нормированного факториального момента

—(自(自_1)(〃_2)) (IT)" 〈步〉з“ —

значения которого изменяются от 0 (идеальный лазерный свет) до 5 (гауссов свет). В дальнейшем справедливость нелинейной теории проверяли Чанг, Детенбек, Коренман, Эллей и Хочули [ИЗ], Чанг, Коренман и Детенбек [115] и Чанг, Коренман, Эллей и Детенбек [114], которые измерили второй, третий и четвертый нормированные кумулянты поля излучения. Давидсон и Мандель [124, 125] (см. также [503]) измеряли корреляционную функцию шестого порядка, используя технику совпадений фотоотсчетов (корреляционный метод). Мельтцер и Мандель [525] проверили результаты нелинейной теории, наблюдая динамику фотоотсчетов. Как показали эксперименты, все основные выводы нелинейной теории находятся в хорошем согласии с данными измерений. Нормированные кумулянты Q,三乂产/网犷屮, использовавшиеся Чангом и др. [113——115], являются естественным обобщением второго нормированного факториального момента /^^乂七取)/[乂【卜)]2 на случай более высоких моментов. Значения Qj изменяются от (/ — 1)! для гауссова света до 0 для излучения лазера (при / > 1, //i = 1). Это следует из определения кумулянтов (см. § 1 гл. 10) и формул (10.39) и (10.61) или из определения кумулянтов с помощью характеристических функций (10.45) и (17.68). Результаты эксперимента Чанга и др. [113——115], подтверждающие справедливость предложенной модели в области значений интенсивностей (0,1 —10) Zo, приведены на фиг. 20.

Некоторые статистические измерения динамических характеристик излучения лазера, работающего в пороговом режиме генерации, выполнены также в работе [49].

Надпороговый режим

Для описания статистических характеристик излучения лазера, работающего в режиме, значительно превышающем порог генерации (///0 > 5), целесообразно использовать модель поля излучения, представляющего собой суперпозицию полностью когерентного и гауссова излучений, соответствующую феноменологическому распределению (17.80), о котором более подробно мы расскажем в следующем параграфе. Экспериментальные исследования статистики фотоотсчетов в этом режиме работы лазера выполнили Арекки, Берне и Бурламаччи [44] (см. также

ФИГ. 20. Зависимость второго (а), третьего (6) и четвертого (в) нормированных кумулянтов от нормированной интенсивности излучения (7)//0 при работе лазера в пороговом режиме генерации.

Сплошная кривая — теоретические значения; точки—экспериментальные значения [114].

[46]), а также Смит и Армстронг [425], Фрид и Хаус [154], Мар- тиенсен и Шпиллер [293] и Мейджил и Сони [260]. Распределения фотоотсчетов, наблюдавшиеся Арекки и др. [44], приведены на фиг. 21. Эти результаты подтверждают законность модели суперпозиции когерентного и гауссова полей для излучения лазера, работающего в надпороговом режиме, когда применимо линейное приближение нелинейной теории (///0 > 5). Соответствующие уравнения, справедливость которых проверялась экспериментально, приведены в следующем параграфе. Из кривой L, показанной на фиг. 21, видно, что в режиме, значительно превышающем надпороговый, распределение фотоотсчетов р(/г, Т), является пуассоновским, т. е. поле излучения лазера находится в усредненном по фазе когерентном состоянии. В этом случае для описания характеристик лазерного излучения применима модель идеального лазера.

Пирл и Троуп [345] теоретически рассчитали и экспериментально проверили статистику фотоотсчетов модулированного лазерного пучка (подробные сведения о статистике фотонов в модулированных пучках см. в [495, 504, 532], а также в библиографии к указанным работам).

Нестационарное решение уравнения Фоккера — Планка (17.71) для излучения лазера исследовали Рискен и Фолмер [399], а соответствующие экспериментальные измерения статистики фотоотсчетов провели Арекки, Деджорджио и Куэрзола [47] (см. также 42]). Их результаты приведены на фиг. 22. Видно,

что статистика фотоотсчетов меняется от распределения Бозе —— Эйнштейна (кривые 1 и 2), соответствующего подпороговому режиму работы Лазера, до стационарного распределения Пуассона (кривая 6), когда лазер работает в режиме, значительно превышающем пороговый режим генерации.

ФИГ. 21. Распределение фотоотсчетов для гауссова (G) и лазерного (L) источников, а также в случае суперпозиции их полей (S) [44].ФИГ. 21. Распределение фотоотсчетов для гауссова (G) и лазерного (L) источников, а также в случае суперпозиции их полей (S) [44].Суперпозиция когерентного и хаотического полей —модель статистики лазерного излучения

ФИГ. 21. Распределение фотоотсчетов для гауссова (G) и лазерного (L) источников, а также в случае суперпозиции их полей (S) [44].

ФИГ. 21. Распределение фотоотсчетов для гауссова (G) и лазерного (L) источников, а также в случае суперпозиции их полей (S) [44].

Статистика поля, образованного суперпозицией когерентного й хаотического света, неоднократно изучалась теоретически, поскольку подобная модель, соответствующая суперпозиции сигнала и шума, достаточно хорошо описывает статистические свойства лазерного излучения при его работе в режиме генерации значительно выше порога. Впервые квантовомеханическое рассмотрение этой модели провели Лакс [241], Троуп [451] и Глаубер [177], которые получили выражения для распределения фотоотсчетов и соответствующих факториальных моментов в случае суперпозиции одномодового когерентного и узкополосного хаотического полей с одинаковыми средними частотами. Другой подход к этой задаче, основанный на вычислении корреляционных функций, развил Моравиц [324, 325]. Его результаты для случая многомодовых полей обобщили Пе

рина [358, 361, 360] и Перина и Миста [370] (см. также [518, 507]). Дальнейшее обобщение на случай s-упорядочения операторов поля выполнили Перина и Горак [365, 367]. Джейкмен и Пайк [214] показали, что дополнительную информацию о спектральных характеристиках хаотического поля можно получить, используя метод гетеродинирования этого поля, если предварительно смешать хаотическое поле с когерентной составляющей заданной частоты. Таким способом по данным биений (или фотоотсчетов) можно определить центральную частоту хаотического поля. Однако в общем случае при подобном гетеродинном методе детек-

тирования спектрального состава хаотического (теплового) излучения следует учитывать, что центральная частота хаотического поля и частота когерентного поля могут заметно отличаться друг от друга. Некоторые результаты Джейкмена и Пай-

ФИГ. 22. Распределение фотоотсчетов для различных времен задержки т при работе одномодового газового лазера в переходном режиме [47].

Кривые /—6 для Т=2,6; 3,7; 4,3; 5,0; 5,6 и 8,8 мкс соответственно.

ка, справедливые для случая одной опорной когерентной моды, обобщили на случай многомодового поля Перина и Гррак [366], которые рассмотрели также случай, соответствующий s-упорядочению операторов поля】).

*) В экспериментальной работе [514] изучалась статистика фотоотсчетов при гетеродинном детектировании гауссова излучения с лоренцевой формой линии спектра, а в работах [501, 513, 529} были измерены кумулйнты поля, являющегося суперпозицией когерентного и хаотического полей. В работах [509, 510] подробно проанализированы приведенные в настоящем параграфе формулы для суперпозиции многомодового когерентного и хаотического полей и их использование как приближенных выражений для расчета хаотического поля с произвольным спектральным составом (в частности, с лоренцевой линией спектра) и при произвольных временных интервалах отсчета 工 Аналогичные результаты для случая двухфотонного поглощения получены в работе [528], а для случая частично поляризованного света — в [532]. Обзор статистических и когерентных свойств светового поля, являющегося суперпозицией когерентного и хаотического света, дан в [530], где подробно рассмот-

Функция Фж ({а^}) для суперпозиции когерентного и хаотического полей может быть получена, согласно квантовому закону суперпозиции (13.147), как свертка гауссова распределения (17.7) и распределения в виде 6-функции

6(e}-他}) = И 6(%一阮)，

т. e.①"（｛喇==/ J H 6（"一鼠一成）6（鼠一0 о -т. e.①"（｛喇==/ J H 6（"一鼠一成）6（鼠一0 о -1«х|211«х|21Sc力力Sc力力几5c九九）几5c九九）上鹏置!；=上鹏置!；=M=nM=n冗〈乙九九〉冗〈乙九九〉exp[-*試卢]• "8Dexp[-*試卢]• "8D

т. e.

①"（｛喇=

=/ J H 6（"一鼠一成）6（鼠一0 о -

т. e.

①"（｛喇=

=/ J H 6（"一鼠一成）6（鼠一0 о -

1«х|21

1«х|21

Sc力力

Sc力力

几5c九九）

几5c九九）

上鹏置!；=

上鹏置!；=

M

=n

M

=n

冗〈乙九九〉

冗〈乙九九〉

exp[-*試卢]• "8D

exp[-*試卢]• "8D

Это ——многомодовая форма выражения (13.95) (в данном параграфе вместо среднего числа фотонов (пх) в моде 九 хаотического поля используется обозначение 飙抖,чтобы отличить его от среднего числа фотонов (псх) в когерентной моде поля). Формула (16.43), распространенная на случай многомодового излучения, при S2 = s и Si = 1 дает м

①(同,s)= U ,=s-exp」一I(17.82)

X 5c五力H2—[〈几硏入〉42—

Это выражение сводится к (17.24), если {рх} = 0. При s = —I получаем функцию ①必({а%}) для суперпозиции когерентного и хаотического полей [ср. (13.98)].

Одномодовое поле

Рассмотрим одномодовое поле (индекс моды 九 для простоты опустим). Подставляя Фж(а) из (13.95) в (13.63), найдем после интегрирования р(п, ш) в виде (13.129). При другом способе расчета р(п, /и) вводится функция

ехрг

R (* 2, е) = J —产」ехр [一 8 Га |2 + Za + га*] d2a 士

=_еXоГ-」1肝 ]exo Г—I 之 -.

в M + 1 expL 仆用+ 1」ехрЗ〈* + 1 1之1 十加+ 1」，

(17.83)

рены случаи многофотонного поглощения излучения, модуляции сигнала, распространения света в турбулентной атмосфере и рассеивающей среде, а также Нестационарные эффекты статистики фотоотсчетов. Результаты этой работы частично изложены в данном параграфе*

здесь в неотрицательное действительное число. При выводе (17.83) использовалась формула (16.41). С помощью соотношений (16.52) и (16.54), в которых произведена замена

S2-S1>Sc 力d+ —》 В*6В

2 В (nch) + 1 'е {nch} + 1 'е {nch) + 1

из (16.546) получаем, что

R (Z, 2, е)=

/=0 /=0

Х(萧%»2"(一码乂器:)+ ) 07.84)

Для р（и, /и） имеем [322]

Р的肉=右券薪r（"z，川аЗ =

=备 /偌）京储"exP [- ■位W；J《般2：严^ Xx5（一■〈苗黑+ 1））（血》叫Вb»

Это выражение совпадает с (13.129). Для п> т можно воспользоваться условием р(〃, /и) = р*(/п, и). Нррмальные моменты 〈d+2'〉“ определяются из (17.84) следующий образом [322, 370]:

н£〈&h畔-以尸(一牲)(^>0； (17.86)

если k<lt то 〈d+比@/〉“ =〈白+倖”》・ Это согласуется с формулой (17.57) при замене величины (1—s)/2 на (исЛ).

Все полученные выражения можно легко распространить, как это следует из (17.82), на случай s-упорядочения, заменяя &力 f〈端 + (1 — s)/2.

Выражения (17.85) и (17.86) позволяют также получить р(п, т) и 〈6+人你〉“ для случая зависящей от времени функции ①“,определяемой выражением (13.155) и описывающей процесс параметрического усиления, если заменить

₽->«(«о> Ро, /),〈％。f (sh就凡

Частные случаи когерентного и хаотического полей получаются в пределах соответственно (псл) 0 и р—>0.

Выражение (17.85) при т = п дает вероятность того, что в поле имеется “ фотонов. Моменты, определяемые выражением (17.86), при k = I можно измерить с помощью фотодетекторов.

Многомодовое поле

и используя фор- (17.82) характери-и используя фор- (17.82) характери-Проводя вычисления в (17.60) — (17.62} мулы (17.63), получаем для распределения стическую функцию в виде

и используя фор- (17.82) характери-

и используя фор- (17.82) характери-

(exp (ixW))s =

。工(廿：s п-—У。 Е ПК=П 九\。工(廿：s п-—У。 Е ПК=П 九\1k(九次〉1 — ix{[nchK)+ ^-^1k(九次〉1 — ix{[nchK)+ ^-^=JJ[l — ^ (〈％/〉+ 丄产)]exp

。工(廿：s п-—

У。 Е ПК=П 九\

。工(廿：s п-—

У。 Е ПК=П 九\

1k(九次〉

1 — ix{[nchK)+ ^-^

1k(九次〉

1 — ix{[nchK)+ ^-^

=£（i+改尸2 11（1+〈%而+宁）-*

В этих выражениях {nch^) и〈九©力—средние числа фотонов в моде % хаотического и когерентного полей.

Таким образом, для моментов (Wk)s и распределения р (п) имеем [370].

〈…击〈exp(»Ej

р (力=% т&^〈ехр @Ш〉“ |,_L

Пe U(l + SQ)-%xp备 X

*(1 +击广J (一一丽謡T他加))•(17・89)

Распределение Р (吃 s) можно в принципе определить из выражения)

Р”，S)= ^-' ехр(- Ш £ 啮専亂(М；関寓•

(17.90)

которое аналогично (10.31) при условии, что

оосо

J Р2(吃 $)ТГ』ехр(Г)dW^^」门空纱庄吟 < oo, (17.91)

0Л»^)

где

% = —〃(D；F(/ + M). — *

Эти формулы упрощаются, если все средние числа заполнения мод в хаотическом поле равны, т. е. если (исл х)=〈九(л〉/М, где (псп) есть полное среднее число фотонов в хаотическом поле, а М — число мод. Выражения (17.87)—\(17.89) дают в этом случае [365, 367]丿

<ехр(/хЮ>, = [1-^ (*■ + У)「" X

ХехрХехр(17.92)(17.92)

Хехр

Хехр

(17.92)

(17.92)

и [358, 361, 360]и [358, 361, 360](17・93)\ FT■十丁7(17・93)\ FT■十丁7

и [358, 361, 360]

и [358, 361, 360]

(17・93)

\ FT■十丁7

(17・93)

\ FT■十丁7

呻）=f（1 +岛厂0+脅户ехp[-#^]x

X媒Т（一而爲窜圖）），（e94）,

где (nc) = 51 Рх Р- При выводе этих соотношений использовано следующее тождество для полиномов Лагерра [14]:

М/ м 、

2 hГ四+[十1)嘴阈=口ь

(17.95) где м

0=工以+M-L

Распределение фотоотсчетов можно получить, заменив 〈几т〉->т)〈〃с九〉и 〈〃с〉-> т)〈几с〉 [т) — квантовый выход (эффективность) фотодетектора].

ФИГ. 23. Распределения числа фотонов для случая суперпозиции когерентного и хаотического полей, рассчитанные по формуле (17.94) для числа мод М =^ 1 (а) и М = 5 (б) при условии, что (пс) + (пс^) = 20.

Д^я кривых /—4 отношение〈％〉/俨加 равно соответственно 0/20, 10/10, 16/4 и 20/0.

На фиг. 23 приведены распределения, вычисленные по формуле (17.94) для частных случаев М = 1 и М = 5 и различных ^нэч^ний〈％%〉и 〈佐〉• Кривые на фиг. 23, а соответствуют экспе-

риментальным данным Арекки и др. [44]. Из фиг. 23,6 видно, что р(/г) стремится к распределению Пуассона с ростом числа мод М. В самом деле, из (17.92) следует, что lim〈ехр «%论)〉川= М->оо

=ехр[/х((исЛ) + (ис))].Эта характеристическая функция соответствует распределению Пуассона р (и) — (п)пехр (— (и))/и1, где 〈72〉= \flch) +〈孔с〉・

Фурье-преобразование выражения (17.92) дает распределение [365, 367]

Х”рХ”р(17.96)(17.96)Р吟)=(窄+宁厂(咼…X 旷+ 5。〉"1 г/о

Х”р

Х”р

(17.96)

(17.96)

""АГ"十J\

которое аналогично распределению (17.66).

Все семейства распределений Р(呼,s) в пределе сильного поля стремятся к P(w,\) = P^W), а в случаях (псп) —► 0 и 〈〃c〉f 0 приводят к соответствующим формулам для когерент* ного и хаотического полей.

Чтобы исследовать процесс гетеродинного детектирования хаотического света, надо иметь формулы, описывающие супер* позицию когерентного и хаотического полей с различными средними частотами. Эти формулы можно получить в общем случае из выражений (17.87)——(17.89). Мы приведем их только для случая, соответствующего нормальному упорядочению операторов поля.

Рассмотрим характеристическую функцию (17.87) для 2М мод со средними числами заполнения на моду 〈п(^*〉— (nca)/Af при X = 1, 2, ..., Л4 и 5с九入〉н 0 при X = Л4 + 1, ..., 2Л4 ({nCh}——среднее число фотонов в хаотическом поле). Пусть сохц есть разность частот моды X хаотического поля и моды 卩 когерентного поля, а〈九办厶〉—среднее число фотонов в той когерентной моде 卩，которая сопоставлена моде 九 хаотического поля* Введем параметр сдвига частот

工〈%如〉脸吟二4初一，

1де 〈也力=W〈九认», и, рассматривая случай s=l, произведем в (17.87) следующие замены:

GQf〈&力做 н G”M〉fGQG~喲 ("1,…，М)・

Тогда характеристическая функция, описывающая суперпозицию М-модовых когерентного и хаотического полей, разность

частот которых равна ①入，имеет вид (eXр (к 取)〉частот которых равна ①入，имеет вид (eXр (к 取)〉空，*鼠+ ix("力a 一峭空，*鼠+ ix("力a 一峭

частот которых равна ①入，имеет вид (eXр (к 取)〉

частот которых равна ①入，имеет вид (eXр (к 取)〉

空，*鼠+ ix("力a 一峭

空，*鼠+ ix("力a 一峭

"""猊丁 +京(吟0 一哨=

「(22 炉〈％〉〈％〉「(22 炉〈％〉〈％〉卜友〈生〉；(17.97)卜友〈生〉；(17.97)

「(22 炉〈％〉〈％〉

「(22 炉〈％〉〈％〉

卜友〈生〉；(17.97)

卜友〈生〉；(17.97)

здесь

£或〈九詢

a

{^^^^c^ T. e. c)2= $ (%]厂・

Это выражение для характеристической функции впервые получили для случая М = 1 Джейкмен и Пайк [214] (см. также [513]), • которые показали, что для лоренцевой формы линии спектра хаотического света сохц = 2 sin (йхц/2)/ЙХц； йхц есть разность между средней частотой хаотической (с лоренцевой формой линии) моды 九 и частотой когерентной моды 卩,умноженная на интервал времени наблюдения Г. Следовательно, характеристическую функцию (17.97) можно представить в виде произведения характеристической функции, описывающей суперпозицию хаотического и когерентного полей со средними числами заполнения 〈&九〉и (пс)со2, и характеристической функции, описывающей только когерентное поле со средним числом заполнения 〈〃с〉(1—®2) [полное среднее число заполнения в когерентном поле равно (/гс)(о2 +〈2(1 — со2) =〈％)]• Таким образом, пара： метр со характеризует распределение средних чисел заполнения 〈/г) между когерентной частью суперпозиции полей и чисто когерентным толем. В случае ①=1 величина (ис) полностью принадлежит суперпозиции полей и результирующая характе- ' ристическая функция описывает суперпозицию хаотического и когерентного полей с одинаковыми частотами. В случае (о = 0 величина (пс) целиком принадлежит чисто когерентному полю и характеристическая функция равна произведению функ-. ций, описывающих чисто когерентное н чисто хаотическое поля.

Распределение 尸“(取)можно вычислить с помощью фурье- преобразования выражения (17.97):

Х/мт(2|8|М-ЗН华(L 噌)】%),

取 ><%)(1-必)，

Р“ (К) = 0, W< 5》(1 -硝・ (17.98)

Моменты (Wh}^ и распределение р(м) можно определить либо из выражений (17.93) при s = 1 и (17.94) [366], используя (17.98) с подстановкой » = W +〈也〉(1 — d), либо из многомодовых (2М) аналогов выражений (17.88) и (17.89) при s= 1 с помощью соответствующих подстановок. Действуя одним из этих способов, получаем

2M/-0 М2M

D尸沙门儿匕+JLl

а также используя тождество рему, приходим к выражениюа также используя тождество рему, приходим к выражению(17.95) и полиномиальную тео-(17.95) и полиномиальную тео-

а также используя тождество рему, приходим к выражению

а также используя тождество рему, приходим к выражению

(17.95) и полиномиальную тео-

(17.95) и полиномиальную тео-

〈闪% =＜贵Г〉0&廿謂 0 + М）KQ 0 一噌广‘ X/-0

x（縮）4一（ -需）①」。。）

Аналогично находим

Р(〃) = (1 +Р(〃) = (1 +ехрехр〈〃。〉［m +〈久力（1-炉）］］〈〃。〉［m +〈久力（1-炉）］］XX

Р(〃) = (1 +

Р(〃) = (1 +

ехр

ехр

〈〃。〉［m +〈久力（1-炉）］］

〈〃。〉［m +〈久力（1-炉）］］

X

X

仪Ex U X X仪Ex U X X（-工（"如K&〉（1_叫-X（-工（"如K&〉（1_叫-X

仪Ex U X X

仪Ex U X X

（-工（"如K&〉（1_叫-X

（-工（"如K&〉（1_叫-X

卜焉户尸(一优％)・

При ЛГ —> оо распределение р(п) стремится к распределению Пуассона с (/г) = (псп) + (пс), поскольку из (17.97) следует, что lim〈ехр (沃/〉川=ехр [ix (〈％力 +〈％〉)].

Нетрудно получить соответствующие выражения для различных величин 〈〃4办〉[366, 532]. Однако эти выражения имеют гораздо более сложный вид.

Второй момент〈取2〉“ определяется из выражения

〈犷％ = SQ2 j^ + 2〈九届〈&〉(1 + %) + ⑷2,(17.102a)

откуда .

(g取)2% =(曳力2 + *(%"〈">.(17.1026)

Для среднего квадрата оператора числа фотонов имеем

(①=〈吟 +〈吟=(线力+⑷+〈心2 (1+±) +

+ 2(n^(n.>(l+^) + ^>2, (17.103а)

откуда дисперсия равна

〈(№)2〉=〈步即 +〈(AHZ)2〉“ = 5G +〈％〉+ 縛 +

+ 咨Ж (17.1036)

Первый и второй члены в (17.1036) соответствуют распределению Пуассона с 〈几〉=〈％九〉+〈幻，третий выражает эффект группировки фотонов в хаотическом поле, а четвертый описывает интерференционные эффекты. Он равен нулю при со = 0, тогда как второй и третий равны нулю при М —► 8, причем в последнем пределе получаем распределение Пуассона с дисперсией 〈(А6)2\ =〈％九〉+〈吟 К (А例)2〉“ = 01-

Как частный случай, при(о = I мы имеем формулы (17.92) — (17.94) и (17.96) (для s = 1), а при〈也九〉一>0 и {пс} -*0 пpиxo^ дим к ранее полученным формулам для когерентного и хаотического полей.

Приведенные формулы для суперпозиции когерентного и хао* тического полей описывают в общем случае суперпозицию хаотического М-модового поля с когерентным /V-модовым полем (М》N). Когерентное N-модовое поле можно получить либо от одного лазера, работающего в надпороговом режиме и излучающего N мод внутри контура линии усиления активной среды, либо в результате суперпозиции полей излучения N одномодовых лазеров. Приведенные здесь формулы описывают статистические свойства излучения Л4-модового лазера в том случае, когда применима линеаризованная теория лазерного поля излучения. Кроме того, с помощью этих формул можно описать и некоторые эксперименты по рассеянию излучения многомодового лазера. В принципе формулы, в которых используются различные средние частоты, пригодны для описания гетеродинного детектирования хаотического Л4-модового поля при суперпозиции с когерентным ^модовым полем (M^N), частотный сдвиг которого характеризуется параметром со*. Из (17.97) видно, что характеристическая функция для суперпозиции полей имеет тот же вид независимо от числа ^ (^ М) когерентных мод. Поэтому наиболее важный практический случай детектирования хаотического Л1-модового поля, наложенного на когерентное одномодовое поле, описывается той же характеристической функцией. Соответствующие формулы для моментов и распределения фотоотсчетов получаются при подстановке (исх) = 0 для всех мод, кроме рассматриваемой.

Наиболее общий метод описания суперпозиции когерентного и хаотического полей основан на использовании корреляционных функций. Пусть Г?川一корреляционная функция, соответствующая s-упорядоченным операторам поля. Запишем ее в виде

=市k(〈圖 + 子)-

ХГ(хО ... V^xn)V(xn) ... V^O^Kb (17.104) Обозначая Y% = a% — 0入,получаем

1^5)(/, ・・.,% /,…,Х{) = J Ц [n ({nch^ + -Ц^-j] X Xexpl!"也 W*(修)+ 8*(幻]■・■ 1 &)+ b* 協)1 X

XI，(/)+ в (&)]一.[V (/)+ 8 (修)]Q2 {Y办(17.105)

где V(x)= V(x, {ух})—гауссово поле, а В(х)^ В(х, {рх}) —когерентное поле. Применяя формулу (17.15), заменив в ней для случая s-упорядочения (п^) на (ислх) + (1—5)/2, можно в прин* ципе рассчитать все Г^* ⑴.В [370] разработан графический метод таких расчетов. Обозначая корреляционную функцию второго порядка для хаотического поля как сЛГ^» °, получаем последовательно

F")% /)=m"% 看)+ ]5(/)12,(17.106а)

*2)(“ х2, х2,々尸产屮。％ ^ + \В(х^]Х

><"")% /) + 仍闻|2] +产F")% х2)(2 +

+ 2w1叫，])(“/)夕&/&)} (17.1066)

и т. д. Дисперсия числа фотоотсчетов определяется* по формуле [324, 286]

《m)2〉=⑺+州 J J r州，)色一幻)2弱弱+ 0

十 2弊垃Re] J \ ^^{tx-t^^^ 必2},

(17.107) где

⑺=〈电力+〈&〉，(生〉=叭北(山力=n(4Л) т，

а °五у%。и 'y%d — степени когерентности для хаотического и когерентного полей. В выражении (17.107) первый член соответствует распределению Пуассона, второй описывает эффект Хэнбери Брауна — Твисса для хаотического излучения, а третий—интерференционные эффекты.

Сравнивая выражения (17.1036) и (17.107), можно определить число мод М [при 〈〃c〉= 0 получаем формулы (17.43)]. Подставив найденное выражение для М в (17.98), (17.100) и (17:101), получим приближенные формулы для P^(W)t〈刃尼〉“ и р(〃), справедливые для произвольного спектра излучения и любых значений интервала времени счета Т [509, 51Э] (в случае частично поляризованного света в работе [532] приведены

точные формулы, полученные на основе соотношений (17.87)— (17.89), в которых 〈〃「力九〉соответствует спектральному составу хаотического поля, найденному из интегрального уравнения (17.41); в случае двухфотонного поглощения эта задача рассматривалась в [528]). Сравнение значений первых трех факториальных моментов, вычисленных по точным и приближенным формулам, для хаотического поля с лоренцевой формой линии спектра и одномодового когерентного света показывает [509, 510], что приближенные формулы с достаточной точностью описы-/ вают статистику поля.

Глава 18

ИНТЕРФЕРЕНЦИЯ НЕЗАВИСИМЫХ СВЕТОВЫХ ПУЧКОВ

Одним из важных вопросов, связанных с когерентными свойствами оптических полей, является вопрос об интерференции независимых световых пучков. Наблюдение интерференционной картины от независимых источников излучения в оптическом диапазоне в отличие от радиочастотного диапазона, где этот эффект сравнительно легко наблюдаем, связано в первую очередь со значительными экспериментальными трудностями. Однако совершенно ясно, что не существует никаких принципиальных ограничений, препятствующих наблюдению этого эффекта и в оптическом диапазоне. На фиг. 24 приведена схема соответствующего интерференционного эксперимента. Два независимых источника света S】и S2 излучают слегка сходящиеся, почти параллельные пучки света, падающие на экран 姦.В той части экрана, где пучки света перекрываются, расположен фотодетектор, измеряющий суммарное поле излучения. Вообще говоря, на экране в области перекрытия световых пучков в силу линейности полей излучения наблюдается интерференционная картина, которая в общем случае может заметно меняться со временем. Если время разрешения детектора (или нескольких детекторов) недостаточно, то интерференционная картина не наблюдается. Если же время разрешения детектора достаточно мало, то интерференционная картина становится наблюдаемой. В этой связи возникает вопрос, не противоречит ли такой выво'д известному замечанию Дирака ([9], стр. 25), что «каждый фотон интерферирует лишь с самим собой. Интерференция между различными фотонами никогда не происходит».

Впервые биения, возникающие при суперпозиции нескольких некогерентных световых пучков, наблюдали Форрестер, Гуд- мундсен и Джонен [150], которые использовали в качестве независимых источников света две спектральные компоненты дублета Зеемана, а в качестве приемника излучения — резонатор, настроенный на разностную зеемановскую частоту. Интересно отметить, что этот эксперимент был выполнен для случая теплового (невырожденного) излучения, когда среднее число фотонов, проходящих через площадь когерентности за время, в течение

которого наблюдались устойчивые биения (время когерентности), было меньше единицы. С развитием лазеров, дающих световые пучки с параметром вырождения 6》1, подобные эксперименты по наблюдению биений стали легко осуществимыми

(вырожденное) излучение, можно(вырожденное) излучение, можно(Джаван, Балик и Бонд [217], Липсетт и Мандель [256, 257]). Меджар и Мандель [261, 262] показали, что, используя лазерное

(вырожденное) излучение, можно

(вырожденное) излучение, можно

ФИГ. 24. Схема интерференционного эксперимента с не* зависимыми источниками.ФИГ. 24. Схема интерференционного эксперимента с не* зависимыми источниками.экспериментально наблюдать интерференционную картину, создаваемую двумя независимыми лазерными пучками.

ФИГ. 24. Схема интерференционного эксперимента с не* зависимыми источниками.

ФИГ. 24. Схема интерференционного эксперимента с не* зависимыми источниками.

То, что большие значения параметра вырождения S важны для успешного осуществления экспериментов подобного типа, нетрудно понять из следующих рассуждений. Число фотонов, участвующих в создании интерференционной картины в плоскости регистрации за время,

меньшее чем время когерентности

падающего излучения, ограничено величиной 6. Если 6《1, то интерференционная картина практически ненаблюдаема.

Все результаты экспериментов, упомянутых выше, можно объяснить в рамках классического описания поля излучения (см. [285]). Наиболее характерным свойством рассмотренных эффектов является их неустановившийся (нестационарный) характер, и поэтому для их наблюдения все процессы усреднения должны быть по возможности устранены. Квантовомеханическую трактовку неустановившихся эффектов суперпозиции в рамках

представления о когерентных состояниях поля излучения предложили Пауль, Бруннер и Рихтер [341], Пауль [338], Мандель [274], Рихтер, Бруннер и Пауль [395], Пауль [339, 340], а также Коренман [237], Джордан и Чилметти [219] и многие другие.

Интересные эксперименты по интерференции независимых пучков света выполнили Пфлегор и Мандель [378——380] и Рад- лов [390].

В эксперименте Пфлегора и Манделя интерференционные полосы регистрировались в условиях, когда интенсивность света настолько мала, что средний интервал времени между фотонами в пучке света велик по сравнению со временем их пролета через измерительную аппаратуру, т. е. велика вероятность того, что отдельный фотон будет поглощен раньше, чем следующий будет излучен одним из источников света (лазером). Поскольку интенсивность света была очень низкой, для наблюдения интерференционной картины использовалась техника корреляции фото- ОТСчетор. Интерференционные полосы регистрировались с по*

мощью набора очень тонких стеклянных пластинок, толщина каждой из которых соответствовала полуширине отдельной интерференционной полосы. Пластинки были нарезаны и уложены таким образом, что свет, падающий на первую, третью, пятую и т. д. пластинки, попадал затем на один общий фотоумножитель, а свет, падающий на вторую, четвертую, шестую и т. д. пластинки,——на другой фотоумножитель. Когда ширина интерференционной полосы равняется ширине пластинки и, например, максимум интерференционной полосы приходится на пластинку с нечетным номером, фотоумножитель регистрирует только те фотоны, которые падают на них, и не регистрирует фотоны, падающие на четные пластинки. Хотя положение максимума интерференционных полос носит случайный характер, в целом, однако, число фотонов, регистрируемых одним из фотоумножителей, бывает больше, чем число фотонов, регистрируемых вторым фотоумножителем, если расстояние между максимумами интерференционных полос равно толщине отдельной стеклянной пластинки. Поэтому должна наблюдаться отрицательная корреляция между числом фотоотсчетов на обоих фотодетекторах, что и было обнаружено экспериментально. Поскольку условия опыта были таковы, что поглощение фотона происходило в среднем раньше, чем в систему попадал следующий фотон, то из результатов опытов следует, что утверждение Дирака, приведенное • выше, имеет прямое отношение к этим экспериментам. В общем случае эксперименты с независимыми пучками света согласуются с утверждением Дирака, так как любая «локализация» фотона в пространстве и во времени автоматически исключает 0в си“у сЬотношения неопределенности) возможность определений efo импульса. Поэтому нельзя узнать, какому пучку света принадлежит фотон — каждый фотон следует рассматривать как принадлежащий частично обоим пучкам и интерферирующий только с самим собой.

Радлов [390] выполнил эксперимент, в целом аналогичный эксперименту Пфлегора — Манделя. В отличие от Пфлегора и Манделй, наблюдавших пространственную интерференцию независимых световых пучков, он наблюдал эффекты временной интерференции—биения, возникающие в независимых лазерных • пучках. Результаты этого эксперимента подробно обсуждаются в работе [437]..

В принципе интерференционные эксперименты указанных типов можно выполнить, хотя и значительно труднее, с источниками хаотического (например, теплового) света. Интерференционный эксперимент с двумя независимыми тепловыми источниками выполнили Хайг и Силитто [190]. Им удалось, используя технику измерения корреляции интенсивностей, наблюдать про- дтранствб宜ную модуляцию интенсивности светового потока в об-

ласти, где независимые пучки света интерферируют между собой.

Пусть поле, создаваемое источником Si, описывается функцией ①啰({州1})，а поле от источника S2 — функцией Ф^ ({аХ2}). Суперпозиция этих полей описывается сверткой (13.147). Среднее значение интенсивности в точке % = (*,/), наблюдаемое на экране 必，определяется формулой (13.148), т.е.

/ (%)=〈不-)(%) 0+)(%)〉= /⑴(%) + /R)⑴ +

+ 2Ие{/ф^(Ы)Г(^ 回}) d2 {啕 X

X J 吗他2}У(%，{”2М{啕}・(18・1)

Здесь W(x)m〈不Т(%, {%/})%(+)(%, Е/})〉(где / = 1,2) являются усредненными интенсивностями полей, создаваемых каждым из источников в отсутствие другого (ограничимся для простоты здесь и ниже случаем линейно-поляризованного света). Третье слагаемое в выражении (18.1) описывает интерференционный эффект, и если оно не равно нулю, наблюдение интерференции возможно. В общем случае это слагаемое не равно нулю, если поля, создаваемые обоими источниками, содержат отличные от нуля когерентные компоненты. Для примера рассмотрим случай, когда поля от обоих источников когерентны, т. е.

^^}) = Ц^к-^(/=Ь 2).(18.2)

В этом случае интерференционный член отличен от нуля, поскольку он равен

2 Re {『(%, {阮(招{%})}・(18.3

Запись интерференционного члена в таком виде предполагает, что значения фаз комплексных амплитуд {0%} известны. Однако на практике информация о фазах оптических полей почти всегда теряется. Поэтому распределения (18.2) следует проинтегрировать по фазам комплексных амплитуд {а*», что приводит к распределению в виде (17.58), не зависящему от фаз и описывающему стационарные поля. Интерференционный член в (18.1) после усреднения обращается в нуль, и, следовательно, интерференция должна отсутствовать. Этот вывод согласуется с прежним результатом, согласно которому подобный интерференционный эффект проявляется только тогда, когда имеется по крайней мере частичная когерентность между обоими пучками.

Интерференционную картину можно зарегистрировать на опыте по меньшей мере двумя квадратичными фотодетекторами,

В этом случае, подобно эффекту Хэнбери Брауна ——Твисса, при интерференции должна наблюдаться корреляция интенсивностей в двух точках пространства-времени. Предполагая, что пучки описываются функциями Фж и ①貝,а фазы комплексных амплитуд {а入} распределены равновероятно в интервале (0, 2л), получаем для корреляции интенсивностей выражение 〈/(%М(%2)〉=

=〈а*8, {*) +『& 匾霜]卜的 &]}) + !/(/,匾2})]Х Х[Г(Х2, {%})+『(&，{耿2})Н，(%2, {%]})+ V(修，{”2})]〉= =(1，(修，E1D PW(/，包3)卩〉+ (1V(xb(axl))P, V(%2/%2})卩〉+ +〈l ug, {aj)|2| У(%2, {ам})12) + <1 P(%1，Ы) l2l V^2. {耿 2})B + +〈广(修，EJ)U"i，{*"*的{以由У的{*)〉+

+ <V*Ui, M)V(xlt {*)片的{%}"% &2})〉，(18.4) где члены вида.

〈片(修，M)V(xl9 血})片的{*""2, 小用〉

и т. д. равны нулю. Пятый и шестой члены выражения (18.4) в общем случае приводят к почти периодической зависимости корреляции интенсивности (/(%i)/(X2)) от |х2 ——勺| и |/2——厶|・ Предполагая, что пучки квазимонохроматические (т. е. Д^ много меньше среднего волнового числа kQ) и что

1勺一"21《古 и1力一为[《•7%， получаем

〈/(修"(%2)〉=〈[1 八修，EJ)F + I V的(*)fT〉+

+ 2〈wg, {"田卩〉〈1 门礼 Ы^)Х

X cos 岁)一噌)(々一吃)一c 邯)一空))(% — Q], (18.5) где 々У) относятся к /-му пучку (j = 1,2). Поэтому в пространственно-временной ограниченной области корреляция интенсивностей имеет косинусоидальную зависимость от координат и времени, что соответствует представлениям о пространственной структуре интерференционной картины и о временной интерференции —биениях. Производящая функция для этого случая рассмотрена в монографии [17, § 2 гл. 10].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В этой книге мы изучили когерентные свойства электромагнитных полей как оптического, так Н других диапазонов методами классической теории поля и квантовой электродинамики. В рамках понятия о когерентных состояниях и представления Глаубера — Сударшана для матрицы плотности исследована взаимосвязь между классическим и квантовым методами описания оптической когерентности. Особое внимание было уделено детектированию оптических полей. Показано, что многие теоре

тические выводы очень хорошо согласуются с экспериментальными результатами, полученными рядом авторов. Поскольку главной целью этой книги было исследование когерентных свойств свободных электромагнитных пол ей, вопросы о влиянии когерентности на элементарные акты взаимодействия излучения

с веществом систематически не рассматривались, хотя в ряде случаев (в частности, для излучения лазера) они были затронуты. Однако наиболее важные работы на эту тему неоднократно упоминались в тексте.

В заключение необходимо сказать, что методы теории когерентности нашли применение в ряде задач статистической оптики, а также в других областях физики. В частности, проблема когерентности излучения имеет важное значение в связи с практическими задачами о распространении света в различных средах ——рассеивающих, нелинейных, турбулентных и т. д. Из работ, посвященных этим вопросам, упомянем серию статей Берана и сотр. [65, 66, 68, 488, 489, 196], а также работу Арекки и др. [43]. Вопросы рассеяния света в турбулентных средах и средах с различного рода статистическими неоднородностями рассматривали Бертолотти, Кросиньяни, Ди Порто и Сетте [77, 79, 80], Ди Порто, Кросиньяни и Бертолотти [133], Арекки, Джиглио и Тартари [50], Арекки [42], Пайк [386, 387], Мандель [522], Диамент и Тейч [505], Коренман [516], Бертолотти, Кросиньяни и Ди Порто [496] и многие другие. Возможность получения информации о центрах рассеяния, а также о фазовых характеристиках поля излучения по данным корреляционных измерений рассеянного света обсуждали в серии работ Гольдбергер, Льюис и Ватсон [183, 184], Гольдбергер и

Ватсон [185, 186] и Феттер [143]. Квантовую статистику нелинейных оптических эффектов изучал Шен [421]. В последнее время возрос интерес к изучению статистики фотоотсчетов в случае многофотонных процессов (см. примечание на стр. 228), а также статистики поля в состоянии сверхизлучения [497, 506].

Метод когерентных состояний был использован и в других областях физики. Каррузерс и Ди [108] применили этот метод для описания состояний в физике твердого тела, в частности в теории необратимых процессов в ангармонических кристаллах, а Лопес [258], Лангер [244, 519] и Каррузерс и Ньето [109] — в теории сверхпроводимости. Резенде и Загари [393] с помощью этого метода исследовали ферромагнитные явления.

Как уже упоминалось ранее, с помощью представления о когерентных состояниях были развиты некоторые новые подходы к изучению статистических и корреляционных свойств систем фермионов. Наконец, отметим, что метод когерентных состояний можно применить для описания псевдоосцилляторных систем, для которых коммутатор 险6+] = — 1 [210, 490]. Зардецки [486] обратил внимание, что в ряде случаев при рассмотрении когерентных свойств излучения следует принимать во внимание структуру источников излучения и, в частности, учитывать его мультипольный характер.

Все перечисленные примеры показывают, что методы и результаты теории когерентности электромагнитного поля можно успешно использовать и в других областях физики. Это замечание относится в первую очередь к методу когерентных состояний, который позволяет сформулировать квантовую электродинамику в виде, пригодном для описания систем, содержащих большое число частиц, а также, сохраняя информацию о фазе поля, обеспечивает предельный переход к классическому описанию поля излучения.

1.1.4.Б.6.4.Б.6.9.10.11.12.13.14.15.9.10.11.12.13.14.15.16.17.181916.17.1819

1.

1.

4.

Б.

6.

4.

Б.

6.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18

19

16.

17.

18

19

ЛИТЕРАТУРА

Монографии

Ахиезер Н. Я., Классическая проблема моментов и некоторые вопросы анализа, связанные с нею, М., 1961.

Ахиезер А. Я., Берестецкий В. 5., Квантовая электродинамика, изд-во «Наука», М., 1969.

Beran М. /., Parrent G. В., Theory of Partial Coherence, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N. J., 1964.

Berezansky J. M, Expansions in Eigenfunctions of Selfconjugate Operators, Amer. Math. Soc., New York, 1968.

Bloembergen M, Nonlinear Optics, W. A. Benjamin, New York, 1965 (cm. перевод: H. Бломберген, Нелинейная оптика, изд-во «Мир》，М., 1966).

Боголюбов //. ”.，Медведев Б. В., Поливанов М К., Вопросы теории дисперсионных соотношений, М.—Л., 1958.

Боголюбов Н. ”.，Ширков Д. В., Введение в теорию квантованных полей, М. —Л., 1957.

Born М” Wolf Е, Principles of Optics, Pergamon Press, Oxford, 1965 (см. перевод: M. Борн, Э. Вольф, Основы оптики, изд-во' «Наука》，М” 1970).

Dirac Р. 4 М, Principles of Quantum Mechanics, 4th edn., Clarendon Press, Oxford, 1958 (см. перевод: П, A. A£ Дирак, Принципы квантовой механики, М., I960).

Feynman R. Р・，Hibbs A. R・，Quantum Mechanics and Path Integrals, McGraw-Hill, New York, 1965 (см. перевод: P. Фейнман, Д. Хиббс, Квантовая механика и интегралы по траекториям, изд-во «Мир》,М., 1968). Fratigon М, Slansky S” Coherence en optlque, Ed. Centre Nat. Rech. Scl., Paris, 1965 (см. перевод: M. Франсон, С. Сланский, Когерентность в оптике, изд-во «Наука», М., 1967).

Гельфанд И. М, Шилов Г. В., Обобщенные функции и действия над ними, М., 1959.

Гельфанд И. М, Виленкин Н. Я., Некоторые применения гармонического анализа. Обобщенные гильбертовы пространства, М., 1961.

Градштейн 方.С., Рыжик И. М, Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений, М., 1962.

Jeffreys Н., Jeffreys В. S., Methods of Mathematical Physics, 2nd edn., Cambridge Univ. Press, New York, 1950, p. 73 (см. перевод: Г. Джеф* &5. Свирлс, Методы математической физики, изд-во «Мир》，М.,

Хургин Я. Я., Яковлев В. 〃.，Методы теории целых функций в радиофизике, теории связи и оптике, М., 1962.

Klauder J. R., Sudarshan Е. С. G.t Fundamentals of Quantum Optics, W. A. Benjamin, New York, 1968 (см. перевод: Дж. Клаудер, 3. Сударшан, Основы квантовой оптики, изд-во «Мир», М., 1970).

Ландау 〃. Д., Лифшиц Е. М, Статистическая физика, иЗд-во «Наука», М., 1964.

Loulsell /. Я., Radiation and Noise in Quantum Electronics, McGraw-Hill, New York, 1964 (см. перевод: У. Люиселл, Излучение и шумы в кванте* вой электронике, изд-во <Наука», М., 1972).

Mar6chal Д., Frangon AL, Diffraction. Structure des images, Ed. Rev. d'Opt. Theor. et Instr., Paris, 1960 (см. перевод: 4 Марешаль, M. Фран- сон, Структура оптического и^вбраження, изд-во «Мир», М., 1964).

Messiah 4, Quantum Mechanics, John Wiley and Sons, New York, 1961, vol. I; vol. II, 1962.

Morse P. M, Feshbach Я., Methods of Theoretical Physics, vol. I, McGraw- Hill, New York, 1953 (см. перевод: M. Морс, Л Фешбах, Методы теоретической физики, ИЛ, 1958).

Мусхелишвили Н. Я., Сингулярные интегральные уравнения, М., 1962.

O'Neill Е. L., Introduction to Statistical Optics, Addison-Wesley, Reading, Mass., 1963 (см. перевод: Э. О^ейл, Введение в статистическую оптику, изд-во «Мир», М., 1966).

Paley R. £., Wiener М, Fourier Transforms in Complex Domain, New York, 1934 (см. перевод: H. Винер, P. Пэли, Преобразование Фурье в комплексной области, изд-во《Наука», М., 1964).

Петров А. 3., Пространства Эйнштейна, М., 1961.

Schweber S. S., An Introduction to Relativistic Quantum Field Theory, Row, Peterson and Co. Evanston, Ill., Elmsford, New York, 1961 (cm. перевод: С. Швебер, Введение в релятивистскую квантовую теорию поля, ИЛ, М., 1963).

Shannon С 左，Mathematical Theory of Communications, Univ, of Illinois Press, 1949 (см. перевод: К. Шеннон, Работы по теории информации и кибернетике, ИЛ, М., 1963, стр. 243).

Stroke G.步.，An Introduction to Coherent Optics and Holography, Academic Press, New York, 1966 (см. перевод: Дж Строук, Введение в когерентную оптику и голографию, изд-во «Мир», М., 1967).

Thirring % Е., Principles of Quantum Electrodynamics, Academic Press, New York, 1962 (см. перевод: В. E Tup ринг, Принципы квантовой электродинамики, изд-во «Высшая школа», М., 1964).

Titchmarsh Е. С., Introduction to the Theory of Fourier Integrals, 2nd edn., Clarendon Press, Oxford, 1948 (см. перевод: E. Титчмарш, Введение в теорию интегралов Фурье, М. — Л., 1948).

Troup G. Л, Optical Coherence Theory, Recent Developments, Methuen, London, 1967.

Verdet E, Lemons d'Optique Physique I, L'Imprimerie Imperiale, Paris, 1869, p. 106..

Volterra V., Theory of Functionals and of Integral and Integro-Differential Equations, Dover Publications, New York, 1959.

Whittaker E., Watson G. N., A Course of Modern Analysis, 4th edn., Cambridge Univ. Press, Cambridge, 1940, p. 266 (см. перевод: Э. Уиттекер, Дою. Ватсон, Курс современного анализа, М., 1963).

Статьи и обзоры

Agarwal G. S., Phys. Rev., 178, 2025 (1969).

AgarwalG.S., WolfE., Phys. Letters, 26A, 485 (1968).

AgarwalG.S., WolfE, Phys. Rev. Letters, 21, 180 (1968).

AgarwalG.S., ^WolfF., Phys. Rev. Letters, 21, 656(E) (1968).

Agarwal6.S., WolfE., Phys. Rev., D2, 2161, 2187, 2206 (1970) (перевод

последней статьи см. в сб. «Когерентные состояния в квантовой теории»г сер. НФФ, вып. I, изд-во《Мнр》，М., 1972, стр. 184).

Arecchi 尸.7., Phys. Rev. Letters, 15, 912 (1965).,

Arecchi 尸.T・，Photocount Distribution and Field Statistics, Lectures at the Inter. School of Phys. E. Fermi, Varenna, 1967 (см. перевод： Ф. Арекки и др., Квантовые флуктуации излучения лазера, изд-во «Мир》，1974, стр. 7).

Arecchi F, Т. е/ Nuovo Cimento Letters, 1, 181 (1969).

Arecchi 尸.T” Вегпё 4, Burlamacchi Р., Phys. Rev. Letters, 16, 32 (1966).

Arecchi 尸.Т., Вепгё 4, Sona 4, Phys. Rev. Letters, 17, 260 (1966).

Arecchi F. 7., Berne Д., Sona A., Burlamacchi P., IEEE J. Quant Electr., QE-2, 341 (1966).

Arecchi 尸.Г., Degiorgio V.» Querzola A, Phys. Rev. Letters, 19, 1168 (1967).

Arecchi 尸.T., Gatti E, Sona 4, Phys. Letters, 20, 27 (1966).

Arecchi 尸.T., Giglio Я., Sona 4., Phys. Letters, 25A, 341 (1967).

Arecchi F. T., Giglio M., Tartari V., Phys. Rev., 163, 186 (1967).

Arecchi 尸.T., Rodari G. S., Sona A., Phys. Letters, 25A, 59 (1967).

Armstrong J. A., Smith 4 IT., в книге Progress in Optics (ed. E. Wolf), vol. VI, North-Holland, Amsterdam, 1967, p. 213.

Barakat R., J. Opt. Soc. Amer., 53, 317 (1963)«

Barakat R., J. Opt. Soc. Amer., 56, 739 (1966).

В2dord G., Phys. Letters, 21, 32 (1966).

Bedard Phys. Rev., 151, 1038 (1966).

Bedard G., Phys, aetters, 24A, 613 (1967).

Bёdard G., J. Opt. Soc. Amer., 57, 1201 (1967).

Bedard G.t Proc. Phys. Soc., 90, 131 (1967).

Bedard G., Phys. Rev., 161, 1304 (1967).

Bedard "., Chang J. C., Mandel L., Phys. Rev., 160, 1496 (1967).

Benard С. Л1・，в сб. Quantum Optics (Proc. Tenth Session Scottish Univ. Summer School in Phys.), eds. S. M. Kay and A. Maitland, Academic Press, London and New York, 1970, p. 535.

B6nard С. M, Compt. Rend., 268, 1504 (1969).

Bendjaballah C., Compt. Rend., 268, 1719 (1969).

BeranM./., J. Opt. Soc. Amer., 56, 1475 (1966).

BeranM/., IEEE Trans. Ant. Propag., AP-15, 66 (1967).

Beran M. /., Corson P., J. Math. Phys., 6, 271 (1965).

BeranM./., De Velis J. B., J. Opt. Soc. Amer., 57,186(1967).

BeranM./., De Velis J. B., Parrent G., Phys. Rev.,154,1224(1967).

Beran M. /., Parrent G. B,, J. Opt. Soc. Amer., 52, 98 (1962).

Beran M. /., Parrent G. B., Nuovo Cimento (10), 27, 1049 (1963).

BerekM.Л,Zs.Phys.,36,675(1926).

BerekM./.,Zs.Phys.,36,824(1926).

BerekAf.J.,Zs.Phys.,37,287(1926).

BerekM/.,Zs.Phys.,40,420(1926).

Bertolotti M, Crosignani 8., Di Porto P” Sette D, Phys. Rev., 150, 1054 (1966).

Bertolotti M.t Crosignani B., Di Porto P“ Sette D., Phys. Rev., 157, 146 (1967).

Bertolotti M, Crosignani B., DI Porto P., Sette D, Zs. Phys., 205, 129 (1967).

Bertolotti M.t Crosignani B., Di Porto P., Sette D, J. Phys. A2, 126 (1969).

Bertolotti M, Crosignani B., Dl Porto P., Sette D, J. Phys., A2, 473 (1969).

Bertrand P. P.』Mishkin E 4, Phys. Letters, 25A, 204 (1967).

Bialynlcka-Birula Z., Phys. Rev., 173, 1207 (1968).

Blanc-Lapierre 4, Dumontet P・，Rev. Opt., 34, 1 (1955).

Boileau 頁，Picinbono B., J. Opt. Soc. Amer., 58, 1238 (1968).

Bonifacio R., Nardu^ci L. M, Montaldi E., Abstracts of the Second Roch. Coni, on Coherence and Quant. Opt., 1966, p. 46.

Bonifacio R., Narducci L. M, Montaldi 氏 Phys. Rev. Letters, 16, 1125 (1966).

Bothe 取，Zs. Phys., 41, 345 (1927).

Bourret R. C., Nuovo Cimento, 18, 347 (I960).

Brannen E, Ferguson H. /. S., Wehlau IT., Canad. J. Phys., 36, 871 (195g). Brown Hanbury R., Sky Telesc., 28, 64 (1964).

pl. Brown Hanbury R., Twiss R・ Q., Phil. Mag., 45, 663 (1954).

92.餓94.95.96.97.98.99.00.0 1 .02.03.04.05.06.07.08.09.92.餓94.95.96.97.98.99.00.0 1 .02.03.04.05.06.07.08.09.НО.111.НО.111.112.112.113.113.114.115.114.115.116.116.117.118.117.118.119.119.Brown Hanbury R., Twiss R. Q・,Nature, 177, 27 (1956).

92.餓94.95.96.97.98.99.00.0 1 .02.03.04.05.06.07.08.09.

92.餓94.95.96.97.98.99.00.0 1 .02.03.04.05.06.07.08.09.

НО.

111.

НО.

111.

112.

112.

113.

113.

114.

115.

114.

115.

116.

116.

117.

118.

117.

118.

119.

119.

Brown Hanbury R., Twiss 0., Nature, 178, Brown Hanbury R., Twiss R. Q., Nature, 178, Brown HanburyTwissR.Q.,Proc.Roy.

Soc., А248, 199Soc., А248, 199Brown HanburyR.,TwissR.Q,Proc.Roy.

Soc., А248, 199

Soc., А248, 199

Brown HanburyR.,TwissR.Q.,Proc.Roy.,

Brown Hanbury R., Twiss R. Q., Proc. Roy. Soc., A248, 222 Brunner 呪，Ann. Phys., 20, 53 (1967).

Brunner 呪，Ann. Phys., 22, 67 (1968).

Brunner IT., Paul "., Ann. Phys., 23, 152 (1969).

Brunner %, Paul H.t Richter G., Ann. Phys., 16, 343 (1965). Cahill K. E・，Phys. Rev., 138B, 1566 (1965).

Cahill К. E., Phys. Rev., 180, 1244 (1969).

Cahill К. E” Glauber R. /., Phys. Rev., 177, 1857 (1969). Cahill K・ E, Glauber R. J., Phys. Rev., 177, 1882 (1969). Catnpagnoli G., Zambotti G., Nuovo Cimento, 57A, 468 (1968).

1046 (1956).1447 (1956).Soc., A242, 300Soc., A243, 2911046 (1956).1447 (1956).Soc., A242, 300Soc., A243, 291(1957).(1957).(1958).(1958).(1957).(1957).(1958).(1958).Carruthers P., Dg K. S., Phys. Rev., 147, 214 (1966).Carruthers P., Nieto M. M, Rev. Mod. Phys., 40, 411 (1968) (см. переводCarruthers P., Dg K. S., Phys. Rev., 147, 214 (1966).Carruthers P., Nieto M. M, Rev. Mod. Phys., 40, 411 (1968) (см. переводв сб. «Когерентные состояния в квантовой теории», сер. НФФ, вып. I, изд-во «Мир》，М.» 1972, стр. 71).

1046 (1956).

1447 (1956).

Soc., A242, 300

Soc., A243, 291

1046 (1956).

1447 (1956).

Soc., A242, 300

Soc., A243, 291

(1957).

(1957).

(1958).

(1958).

(1957).

(1957).

(1958).

(1958).

Carruthers P., Dg K. S., Phys. Rev., 147, 214 (1966).

Carruthers P., Nieto M. M, Rev. Mod. Phys., 40, 411 (1968) (см. перевод

Carruthers P., Dg K. S., Phys. Rev., 147, 214 (1966).

Carruthers P., Nieto M. M, Rev. Mod. Phys., 40, 411 (1968) (см. перевод

Carusotto S., Nuovo Cimento, 70В, 73 (1970).

Carusotto S., Fornaca G., Polacco E., Phys. Rev., 157, 1207 (1967).

Carusotto S., Fornaca G., Polacco E・，Phys. Rev., 165, 1391 (1968).

Chang R.尸.，Detenbeck R.呪，Korenman K, Alley C.. O., Hochuli U., Phys. Letters, 25A, 272 (1967).

Chang R. Л, Korenman V., Alley C. O., Detenbeck R. W.t Phys. Rev., 178, 612 (1969).

Chang R.尸.，Korenman V., Detenbeck R. IF., Phys. Letters, 26A, 417 (1968).

Cohen-Tannoudji C., Kastler 4, в книге Progress in Optics (ed. E. Wolf), vol. V, North-Holland, Amsterdam, 1966, p. 1.

Conway J. M, Phys. Rev., 156, 1365 (1967).

Crosignani B., Di Porto A, Phys. Letters, 24A, 69 (1967).

Crosignani B., Di Porto P., Engelmann E, Zs. Naturforsch., 23A, 743 (1968).

Crosignani B., Di Porto P” Solimeno S., Phys. Letters, 27A, 568 (1968).

Crosignani B.t Di Porto P” Solimeno S., Phys. Letters, 28A, 271 (1968).

Crosignani B.t Di Porto P., Solimeno S., Quantum Harmonic Oscillator with Time-Dependent Frequency, preprint, 1968 [см. также: Solimeno S., Di Porto P., Crosignani B., J. Math. Phys., 10, 1922 (1969)].

Crosignani B., Di Porto P., Solimeno S., Phys. Rev., 186, 1342 (1969).

Davidson D., Mandel L., Phys. Letters, 25A, 700 (1967).

Davidson Л, Mandel L., Phys. Letters, 27A, 579 (1968).

Dialetis D. J. Math. Phys., 8, 1641 (1967),

Dialetis D, J. Phys., A2, 229 (1969).

\23. Dialetis D, J. Opt. Soc. Amer., 59, 74 (1969).

Dialetis D, Wcdf ^., Nuovo Cimento (10), 47, 113 (1967).

Diament P., Teich M, J. Opt. Soc. Amer., 69, 661 (1969).

Dicke R. ”.，Phys. Rev., 9$, 99 (1954).

Dicke R. ”.，в сб. Quantum Electronics (Proc, of the Third Inter. Congress) ,eds. N. Bloembergen and P. Grivet, Dunod et Cie., Paris, 1964, p. 35.

Di Porto P., Crosignani B., Bertolottl M., J. Appl. Phys., 40, 5083 (1969).

Eberly 丄 Я., K〃/〃3s班 4, Phys. Letters, 24A, 426 (1967).

Eberly J. Я., Kdja5shi 4, Phys. Rev., 155, 10 (1967).

Edwards S. E, Parrent G. В.» Opt. Acta, 6, 367 (1959).

Einstein 4, Phys. Zs., 10, 185 (1909) (см. перевод: А. Эйнштейн, Собрание научных трудов, т. 3, изд-во «Наука》，М., 1966, стр. 164).

Einstein 4, Phys. Zs., 10, 817 (1909) (см. перевод: А. Эйнштейн, Собрание научных трудов, т. 3, изд-во «Наука», М., 1966, стр. 181).

Einstein 4, в книге La theorie du rayonnement et les quanta (Institus .Solvay, Brussels, Conseil de Physique 1911), eds. P. Langevin and L. de Broglie, Gauthier-Villars, Paris, 1912, p. 407 (см. перевод： А. Эйнштейн, Собрание научных трудов, т. 3, изд-во «Наука», М., 1968, ctp. 277).

Fano U., Phys. Rev., 93, 121 (1954).

Fano U., Rev. Mod. Phys., 29, 74 (1957).

Fano U., Amer. J. Phys., 29, 539 (1961).

Fetter A. L., Phys. Rev., 139, A1616 (1965).

Feynman R. P., Rev. Mod. Phys., 20, 367 (1948) (см. перевод в сб. «Вопросы причинности в квантовой механике», ИЛ, М., 1955, стр. 167).

Fleck J. 4, Phys.Rev., 149, 309 (1966).

Fleck J. 4, Phys.Rev., 149, 322 (1966).

Fleck J. 4, Phys.Rev., 152, 278 (1966).

148・Forrester A. T., J.Opt. Soc. Amer., 51, 253(1961).

Forrester A. T., вкниге Advances in QuantumElectronics (ed. J. R. Sin

ger), Columbia Univ. Press, New York, 1961, p. 233 (см. перевод в сб. «Лазеры» под ред. М. Е. Жаботинского и Т. А. Шмаонова, ИЛ, М., 1963, стр. 289).

Forrester А. Т., Gudmundsen R. 4. Johnson Р. О., Phys. Rev., 99,1691 (1955).

Fran^on M, Mallick S・，в книге Progress in Optics (ed. E. Wolf), vol. VI, North-Holland, Amsterdam, 1967, p. 71.

Fray S., Johnson E 4, Jones R., McLean T. P・，Pike E. R., Phys. Rev., 153,357 (1967).

Freed C., Haus H. 4, Phys. Rev. Letters, 15, 943 (1965).

Freed C., Haus ". 4, IEEE J. Quant. Electr., QE-2, 190 (1966),

Furth R” Zs. Phys., 48, 323 (1928).

Furth R., Zs. Phys., 50, 310 (1928).

Gabor 力” J. Inst. Electr. Engrs., 93, 429 (1946).

Gabor D, Nature, 161, 777 (1948).

Gabor D, в сб. Proc. Symp. on Astr. Optics and Rei. SubJ., ed. Z. Kopal, North-Holland, Amsterdam, 1956, p. 17.

Gabor D, в книге Progress in Optics (ed. E. Wolf), vol. I, North-Holland, Amsterdam, 1961, p. 109.

Gabor D., Opt. Acta, 13, 299 (1966).

Gamo Я., в книге Advances in Quantum Electronics (ed. J. R. Singer), Columbia Univ. Press, New York, 1961, p. 252.

Gamo ”.，в книге Electromagnetic theory and Antennas, part 2 (ed. E. C. Jordan), Macmillan, New York, 1963, p. 801.

Gamo 〃.，J. Appl. Phys., 34, 875 (1963).

Gamo ”.，в книге Progress in Optics (ed. E. Wolf), vol. Ill, North-Holland, Amsterdam, 1964, p. 187.

Гельфанд И. M, Минлос И. 4, ДАН СССР, 97, 209 (1954).

Гельфанд И. М, Яглом А. М, Успехи матем. наук, 11, 77 (1956).

Germey К・，Ann. Phys., 10, 141 (1963).

Ghielmetti F., Phys. Letters, 12, 210 (1964).

Givens M R, J. Opt. Soc. Amer., 51, 1032 (1961).

Givens M P., J, Opt. Soc. Amer., 52, 226 (1962).

Glauber 旦 /., Phys. Rev. Letters, 10, 84 (1963).

Glauber 及.Phys. Rev., 130, 2529 (1963).

Glauber R. /., Phys. Rev., 131, 2766. (1963).

Glauber R. J., в сб. Quantum Electronica (Prqp. of the Third Inter. Com gre制，eds. N, BloegjJierger} agd P. ®xjt, p鹼 gt 0% Paris, 1964t

176.176.177.178.179.180.181.177.178.179.180.181.182.183.184.185.186.187.188.189.190.191.192.182.183.184.185.186.187.188.189.190.191.192.3.4.5.&7.&9.0.L2.3.4.S6.7.&9.0.L Z3.4.5.6 Z11 111 1 11 11 1 1111111222222222 2222222223.4.5.&7.&9.0.L2.3.4.S6.7.&9.0.L Z3.4.5.6 Z11 111 1 11 11 1 1111111222222222 222222222

176.

176.

177.

178.

179.

180.

181.

177.

178.

179.

180.

181.

182.

183.

184.

185.

186.

187.

188.

189.

190.

191.

192.

182.

183.

184.

185.

186.

187.

188.

189.

190.

191.

192.

3.4.5.&7.&9.0.L2.3.4.S6.7.&9.0.L Z3.4.5.6 Z

11 111 1 11 11 1 1111111222222222 222222222

3.4.5.&7.&9.0.L2.3.4.S6.7.&9.0.L Z3.4.5.6 Z

11 111 1 11 11 1 1111111222222222 222222222

Glauber R. /., в книге Quantum Optics and Electronics (eds. C. De Witt, A. Blandin and C. Cohen-Tannoudji), Gordon and Breach, New York, 1965, p. 144 (см. перевод в сб. «Квантовая оптика и квантовая радиофизика», изд-во «Мир», М., 1966, стр. 91).

Glauber R. Л, в книге Physics of Quantum Electronics (eds. P. L. Kelley, B. Lax and P. E. Tannenwald), McGraw-Hill, New York, 1966, p. 778. Glauber R. Л, Phys. Letters, 21, 650 (1966).

Glauber R. /., в книге Proc. Symp. Modern. Optics, Polytechnic Press, New York, 1967, p. 1.

Glauber R・ J., в книге Fundamental Problems in Statistical Mechanics (II) (ed. E. G. D. Cohen), North-Holland, Amsterdam, 1968, p. 140.

Glauber R. /., в cd.Quantum Optics (Proc. Tenth Session Scottish Univ. Summer School in Phys.), eds. S. M. Kay and A. Maitland, Academic Press, London and New York, 1970, p. 53.

Golay M.丄 E., Proc. IRE, 49, 958 (1961).

Goldberger M L., Lewis ".取.，Watson ^. M, Phys. Rev., 132, 2764 (1963).

Goldberger M. L., Lewis H. F., Watson ^. M, Phys. Rev., 142, 25 (1966). Goldberger M. L., Watson К. M., Phys. Rev., 134, B919 (1964).

Goldberger M. L., Watson ^. M, Phys. Rev., 137, В1396 (1965).

Graham R., Zs. Phys., 210, 319 (1968).

Graham R., Haken ”.，Zs. Phys., 210, 276 (1968).

Giittinger 取.，Fortschr. Phys., 14, 483 (1966).

Haig N. D, Sillitto R. M., Phys. Letters, 2 8A, 463 (1968).

Haken H.、в книге Dynamical Processes in Solid State Optics, part I (eds. R. Kubo and H. Kamimura), W. A. Benjamin, New York, 1967, p. 168.

Haken ”.，в сб. Quantum Optics (Proc. Tenth Session Scottish Univ. Summer School in Phys.), eds. S. M. Kay and A. Maitland, Academic Press, London and New York, 1970, p. 201.

Haken H, Risken "., Weidlich 步.，Zs. Phys., 206, 355 (1967).

Harwit M, Phys. Rev., 120, 1551 (I960).

Hempstead R. D., Lax M, Phys. Rev., 161, 350 (1967).

Ho T. L., Beran M /., J. Opt. Soc. Amer., 58, 1335 (1968).

Holliday D, Phys. Letters, 8, 250 (1964).

Holliday D., Sage M L, Ann. of Phys., 29, 125 (1964),

Holliday D, Sage M L, Phys. Rev., 138, B485 (1965).

Hopkins H. Я., Proc. Roy. Soc., A208, 263 (1951).

Hopkins H. ”.，Proc. Roy. Soc., A217, 408 (1953).

Hopkins H. H.、J. Opt. Soc. Amer., 47, 508 (1957).

Hopkins 〃• H., Proc. Roy. Soc., B70, 1002 (1957).

Horak R” Opt. Acta, 16, 111 (1969).

Hordk R., Czechosl. J. Phys., B19, 827 (1969).

Horak R., Czechosl. J. Phys., B21, 7 (1971).

Ingarden R. S., Fortschr. Phys., 13, 755 (1965).

Ingarden R. S., Higher Order Temperatures and Coherence of Light (preprint, 1967).

Jacquinot P., Rept. Progr. Phys., 23, 267 (I960).

Jaiswal 4 K・，MeEa C. " Phys. Letters, 29A, 245 (1969).

JakemanOliver C. /., Pike E. R., J. Phys., Al, 406 (1968).

Jakeman E., Oliver C. /., Pike E. R., J. Phys., Al, 497 (1968).

Jakeman E, Pike E. R., J. Phys., Al, 128 (1968).

Jakeman £, Pike E. R., J. Phys., A2, 115 (1969),

Janossy L., Nuovo Cimento, 6, 125 (1957).

Janossy L, Nuovo Cimento, 12, 369 (1959).

Javan 4, Ballik E. 4, Bond 阻 L, J. Opt. Soc. Amer., 52, 96 (1962) (см. перевод в сб. «Лазеры» под ред. М. Е. Жаботинского и Т, А. Шмаонова, ИЛ, М., 1963, стр. 183).

Johnson F. Д., Jones R., McLean T. R., Pike E. R., Phys. Rev. Letters, 16, 589 (1966).

Jordan F. T., Ghielmetli F., Phys. Rev. Letters, 12, 607 (1964).

Kahn E. D, Opt. Acta, 5, 93 (1958).

Kano У., Nuovo Cimento (10), 23, 328 (1962).

Kano У., Ann. of Phys., 30, 127 (1964).

Kano У., J. Phys. Soc. Japan, 19, 1555 (1964).

Kano У., J. Math. Phys., 6, 1913 (1965).

Kano У., Nuovo Cimento (10), 43, 1 (1966).

Kano У., Wolf E, Proc. Phys. Soc., 80, 1273 (1962).

Karczewski B., Phys. Letters, 5, 191 (1963).

22'8. Karczewski B., Nuovo Cimento (10), 30, 906 (1963).

Kastler А., в сб. Quantum Electronics (Proc, of the Third Inter. Congress), eds. N. Bloembergen and P. Grivet, Dunod, Paris, 1964, p. 3.

Keller E. R, Phys. Rev., 139, B202 (1965).

Kelley P. L, Kleiner W. H., Phys. Rev., 136, A316 (1964).

Keprt ；., Optik, 27, 213 (1968).

Халфин Л. А, ДАН СССР, 132, 1051 (I960).

Klauder J. R., Ann. of Phys., llr 123 (I960).

Klauder J. R., Phys. Rev. Letters, 16, 534 (1966).

Klauder J. R., McKenna J., Currie D. G., J. Math. Phys., 6, 734 (1965).

Korentnan V., Phys. Rev. Letters, 14, 293 (1965).

Korenman K, Ann. of Phys., 39, 72 (1966).

Kujawski 4, Nuovo Cimento (10), 44, 326 (1966).

Kujawski Л., Acta Phys. Pol., 34, 957 (1968).

Lachs G., Phys. Rev., 138, В1012 (1965).

Lambropoulos P., Phys. Rev., 168, 1418 (1968).

Lambropoulos P., Kikuchi C., Osborn R. K・，Phys. Rev., 144, 1081 (1966).

Langer /. S., Phys. Rev., 167, 183 (1968).

Laue M., Ann. Phys., 23, 1 (1907).

Lax M., Brandeis Summer Institute Lectures, Gordon and Breach, New York, 1966.

Lax M., в книге Dynamical Processes in Solid State Optics, Pt. I (eds. R. Kubo and H. Kamimura), W. A. Benjamin, New York, 1967, p. 195.

LaxM.,Phys.Rev.,157,213(1967).

LaxM.,Phys.Rev.,160,290(1967).

LaxM,Phys.Rev.,172,350(1968).

LaxM,Louisell W.".,IEEE J. Quant. Electr., QE-3, 47 (1967).

Lax M, Yuen H., Phys. Rev., 172, 362 (1968).

Led勿egg E, Zs. Phys., 191, 177 (1966).

Ledinegg £., Zs. Phys., 205, 25 (1967).

Linfoot E. H., в сб. Proc. Symp. Astr. Optics and Rei. Sub], (ed. Z. Ko- pal), North-Holland, Amsterdam, 1956, p. 38.

Lipsett S., Mandel L., Nature, 199, 553 (1963).

Lipsett M. S., Mandel L, в cE. Quantum Electronics (Proc, of the Third Intern. Congress), eds. N. Bloembergen and P. Grivet, Dunod et Cie., Paris, 1964, p. 1271.

Ldpez Л., Phys. Letters, 25A, 83 (1967).

Louisell W.方.，в сб. Quantum Optics (Proc. Tenth Session Scottish Univ. Summer School In Phys.), eds. S. M. Kay and A. Maitland, Academic Press, London and New York, 1970, p. 177.

Magill A J., Soni R. A, Phys. Rev. Letters, 16, 911 (1966).

Magyar G., Mandel L., Nature, 198, 255 (1963).

Magyar G., Mandel 上в сб. Quantum Electronics (Proc, of the Third Intern. Congress), eds. N. Bloembergen and P, Grivet, Dunod, Paris, 1964, p. 1247.

Mandel L, Proc. Phys. Soc., 72, 1037 (1958),

Mandel L, Proc. Phys. Soc., 74, 233 (1959).

Mandel L., J. Opt. Soc. Amer., 51, 797 (1961).

Mandel L, J. Opt. Soc. Amer., 51, 1342 (1961).

Mandel L, J. Opt. Soc. Amer, 52, 1335 (1962).

Mandel L., в книге Electromagnetic Theory and Antennas, Pt. 2 (ed. E. C. Jordan), Macmillan, New York, 1963, p. 811.

Mandel L., в книге Progress in Optics (ed. E. Wolf), vol. II, North-Holland, Amsterdam, 1963, p. 181.

Mandel L., Proc. Phys. Soc., 81, 1104 (1963).

Mandel L., Phys. Letters, 7, 117 (1963).

Mandel L., в сб. Quantum Electronics (Proc, of the Third Intern. Congress), eds. N. Bloembergen and P. Grivet, Dunod, Paris, 1964, p. 101.

Mandel L., Phys. Letters, 10, 166 (1964).

MandelL.,Phys.Rev.,134, A10 (1964).

MandelL.,Phys.Rev.,136, В1221 (1964).

MandelL,Phys.Rev.,138, B753 (1965).

MandelL.,Phys.Rev.,144, 1071 (1966).

MandelL,Phys.Rev.,152, 438 (1966).

Mandel L” в книге Proc. Symp. Modern Optics, Polytechnic Press, New York, 1967, p. 143.

Mandel L., J. Opt. Soc. Amer., 67, 613 (1967).

Mandel L.t Sudarshan E・ C. G., Wolf E.t Proc. Soc., 84, 435 (1964).

MandelL.,WolfE.,J. Opt Soc.Amer., 51, 815 (1961).

MandelL,Wolf£,Phys. Rev.,124, 1696 (1961).

MandelL.,WolfE,Proc. Phys.Soc., 80, 894 (1962).

MandelL,WolfE.,Rev. Mod.Phys., 37, 231 (1965) [см. перевод: УФН,

491 (1965); 88, 347, 619 (1966)].

Mandel L., Wolf E, Phys. Rev., 149, 1033 (1966).

Мандельштам, JI. 〃.，Собрание сочинений, т. 1, M., 1948, стр. 229.

Мандельштам Л. Я., Собрание сочинений, т. 2, М., 1947, стр. 388.

Marathay 4 S., J. Opt. Soc. Amer., 56, 619 (1966).

Marechal A., Qroce P., Compt. Rend., 237, 607 (1953).

Martienssen 皮，Spiller E, Amer. J. Phys., 32, 919 (1964).

Martienssen Spiller E., Phys. Rev. Letters, 16, 531 (1966).

Martienssen 取.，Spiller E, Phys. Rev., 145, 285 (1966).

McLean T. P., Pike E R., Phys. Letters, 15, 318 (1965).

Mehta C. L., Nuovo Cimento, 28, 401 (1963).

Mehta C. L, J. Math. Phys., 5, 677 (1964).

Mehta C. L., Nuovo Cimento (10), 36, 202 (1965).

Mehta C. L., Nuovo Cimento (10), 45, 280 (1^66).

Mehta C. L., Phys. Rev. Letters, 18, 752 (1§67)・

Mehta C. J. Opt. Soc. Amer., 58, 1233 (1968).

Mehta C.乙，J. Phys., Al, 385 (1968).

Mehta C. L., Chand P., Sudarshan E. C. G., Vedam R., Phys. Rev., 157, 1198 (1967).

Mehta C. в книге Electromagnetic Wave Theory, Part 2 (Proc. Symp.), Pergamon Pfess, Oxford, 1967, p. 1069.

Mehta C. L., Sudarshan E. C. G., Phys. Rev., 138, B274 (1965).

Mdhta C. £., Sudarshan 5. C. G., Phys. Letters, 22, 574 (1966).

MehtaC.WolfPhys. Rev., 134,Al 143 (1964).

MehtaC.L,Wolf E.tPhys. Rev., 134,Al 149 (1964).

MehtaC.L.,Wolf E・，Phys. Rev., 157,1183 (1967).

MehtaC.L,Wolf £.,Phys. Rev., 157,1188 (1967).

MehtaC.L.,Wolf E.,Phys. Rev., 161,1328 (1967),

Mehta C. £., Wolf £., Balachandran 4. R. j. Math. Phys., 7, 133 (I960).

Michelson А. 4, Phil. Mag., 30, 1 (1890).

Miller M M, Phys. Letters, 27A, 185 (1968).

MillerM.M,Mishkin E4,Phys.Rev.,152,1110(1966).

MillerM.M.,Mishkin E.4,Phys.Letters, 24A, 188 (1967),

MillerM.AL,Mishkin E.4,Phys.Rev.,164,1610(1967).

МШаL.,Phys. Letters, 25A,646 (1967).

МШа L., Czechosl. J. Phys., B19, 443 (1969).

Moller A, Opt. Acta, 15, 223 (1968).

followB.R.,Phys. Rev., 162, 1256 (1967).

followB.R.,Phys. Rev., 175, 1555 (1968).

MollowAR.,Glauber R. /., Phys. Rev., 160,1076(1967).

MollowB.R.,Glauber R. J., Phys. Rev., 160,1097(1967).

Morawitz H., Phys. Rev., 139, A1072 (1965).

Morawitz ”.，Zs. Phys., 195, 20 (1966).

Morgan B. L., Mandel L., Phys. Rev. Letters, 16, 1012 (1966).

Moyal J. E., Proc. Cambr. Phil. Soc., 45, 99 (1949).

Nussenzveig H. M., J. Math. Phys., 8, 561 (1967).

O'Neill E. L., Asakura T., J. Phys. Soc. Japan, 16, 301 (1961).

O'Neill E. L., Walther 4, Opt. Acta, 10, 33 (1963).

Pancharatnam S., Proc. Indian Acad. Sci., 57, 218 (1963).

Pancharatnam S., Proc. Indian Acad. Sci., 57, 231 (1963).

Paoli T. L, Phys. Rev., 163, 1348 (1967).

Parrent G. B., J. Opt Soc. Amer., 49, 787 (1959).

Parrent G. B., Opt. Acta, 6, 285 (1959).

Parrent G. B., J. Opt. Soc. Amer., 51, 143 (1961).

Parrent G. B., Roman P., Nuovo Cimento, 15, 370 (I960).

Paul ”Ann. Phys., 14, 147 (1964).

Paul 〃.，Fortschr. Phys., 14, 141 (1966).

Paul H., Ann. Phys., 19, 210 (1967).

Paul H., Brunner /., Richter G., Ann. Phys., 12, 325 (1963).

Paul Brunner 取,Richter G., Ann. Phys., 17, 262 (1966).

Paul 〃.，Frahm /., Ann. Phys., 19, 354 (1967).

Paul Я., Frahm /., Rauh D., Ann. Phys., 19, 344 (1967).

Pearl P., Troup G. /., Phys. Letters, 27A, 560 (1968).

Perina Л, Opt. Acta, 10, 333 (1963).

Perina /., Opt. Acta, 10, 337 (1963).

PeHna Л, в сб. Proc. Symp. Interkamera (ed. J. Mordvek), STN, Prague, 1963, p. 139.

PeHna /., Acta Univ. Palackianae, 15, 87 (1964).

PeHna /., Phys. Letters, 12, 194 (1964).

PeHna J., Phys. Letters, 14, 34 (1965).

PeHna /., Phys. Letters, 15, 129 (1965).

PeHna /., Phys. Letters, 19, 195 (1965).

do4. Perina Л, Acta Univ. Palackianae, 18, 49 (1965).

PeHna Thesis, Palacky Univ., 1965 (unpublisned).

PeHna Czechosl. J. Phys., B16, 907 (1966).

PeHna /., Czechosl. J. Phys., B17, 1086 (1967).

Perina J., Phys. Letters, 24A, 333 (1967).

PeHna /., Phys. Letters, 24A, 698 (1967).

PeHnaCzechosl. J. Phys., В18, 197 (1968).

PeHnaActa Univ. Palackianae, 27, 227 (1968).

PeHna /・，Czechosl. J. Phys., B19, 151 (1969).

PeHna 丄,Opt. Acta, 16, 289 (1969).

PeHna /., в сб. Quantum Optics (Proc. Tenth Session Scottish Univ. Summer School in Phys.), eds. S. M. Kay and A. Maitland, Academlo Press, London and New York, 1970, p. 513.

PeHna /.. Hordk R., Opt. Comm., 1, 91 (1969).

Perina Л, Horak R., J. Phys., A2, 702 (1969).

Perina /., Horak R., Czechosl. J. Phys., B20, 149 (1970).

Perina /., Kvapil Л, Optik, 28, 575 (1968/69).

Perina J.,Mibta L., Phys. Letters, 27A, 217 (1968).

Perina /., Mista L., Czechosl. J. Phys., B18, 697 (1968).

Perina /., Mista L., Ann. Phys., 22, 372 (1969).

Perina /., Pefinovd V., Opt. Acta, 12, 333 (1965).

Perina Л, Pefinovd V., Opt. Acta, 16, 309 (1969).

Perina /., Stroke G.伊.，Holographic Method of «Deconvolution» and Analytic Continuation, preprint, 1968 [см. также: Perina Czechosl. J. Phys., B21, 731 (1971)].

Perina /., Tillich /., Acta Univ. Palackianae, 21, 153 (1966).

Pefinovd V., Cas. p&st. mat., 94, 253 (1969).

Pefinovd V., Cas. pest, mat., 94, 297 (1969).

Pfleegor R. L., Mandel L., Phys. Letters, 24A, 766 (1967).

Pfleegor R. L., Mandel L., Phys. Rev., 159, 1084 (1967).

Pfleegor R. L., Mandel L., J. Opt. Soc. Amer., 58, 946 (1968).

Phillips D. T., Kleiman 〃.，Davis S. P., Phys. Rev., 153, 113 (1967).

Picard R. 〃・，Willis C. R., Phys. Rev., 139, A10 (1965).

Picinbono B・，в книге Proc. Symp. Modern Optics, Polytechnic Press, New York, 1967, p. 167.

Picinbono B., Phys. Letters, 29A, 614 (1969).

Picinbono B., Boileau E, J. Opt. Soc. Amer., 58, 784 (1968).

Pike E. R., Nuovo Cimento Letters, 1, 277 (1969).

Pike E. R., в сб. Quantum Optics (Proc. Tenth Session Scottish Univ. Summer School in Phys.), eds. S. M. Kay and A. Maitland, Academic Press, London and New York, 1970, p. 127.

Piovoso M. J., Bolgiano L. P., Proc. IEEE, 55, 1519 (1967).

Purcell E. M., Nature, 178, 1449 (1956).

Radloff M, Phys. Letters, 27A, 366 (1968); Ann. Phys., 26, 178 (1971).

Rebka G. 4, Pound R. V., Nature, 180, 1035 (1957).

Reed /. S., IRE Trans, on Inform. Theory, IT-8, 194 (1962).

Rezende S. Zagury M, Phys. Letters, 29A, 47, 616 (1969).

Richter G., Ann. Phys., 18, 331 (1966).

Richter G., Brunner W., Paul ”.，Ann. Phys., 14, 239 (1964).

Risken "., Zs. Phys., 186, 85 (1965).

Risken，.，Zs. Phys., 191, 302 (1966).

Risken，.，Fortschr. Phys., 16, 261 (1968).

Risken ”.，Vollmer H. D., Zs. Phys., 204, 240 (1967).

Robi H. R., Phys. Letters, 24A, 288 (1967).

Robi H. R., Phys. Rev., 165, 1426 (1968).

Rocca E., J. Phys. Rad., 28, 113 (1967).

RomanA,Nuovo Cimento(10), 13,974 (1959).

RomanP.,Nuovo Cimento(10), 20,759 (1961).

RomanP.,Nuovo Cimento(10), 22,1005 (1961).

Roman P, Marathay A. S., Nuovo Cimento, 30, 1452 (1963)・

RomanP,Wolf E, NuovoCimento(10), 17, 462(I960).

RomanP.,Wolf E, NuovoCimento(10), 17, 477(I960).

Rosenfeld L： в книге Niels Bohr and Development of Physics (ed. W. Pauli), Pergamon Press, London, 1955 (см. перевод в сб. «Нильс Бор и развитие физики», ИЛ, М., 1958, стр. 96).

Rousseau M, Compt. Rend., 268, 1477 (1969).

Rousseau М., J. Phys., 30, 675 (1969).

Sarfatt 丄，Nuovo Cimento, 27, 1119 (1963).

Schmeidler W., Ann. d. Finnischen Akad. Wiss., I, Math,-Phys., I, 220 (1956).

Schrodinger E, Naturwissenschaften, 14, 644 (1927).

Scully M. 0., Lamb W. E, Phys. Rev. Letters, 16, 853 (1966).

Scully M. 0., Lamb W. E., Phys. Rev., 159, 208 (1967).

Scully M. 0., Lamb 呪 E., Phys. Rev., 166, 246 (1968).

Senitzky /. R., Phys. Rev., Ill, 3 (1958).

Senitzky /. R., Phys. Rev., 127, 1638 (1962).

Series &. W., в сб. Quantum Optics (Proc. Tenth Session Scottish Univ. Summer School in Phys.), eds. S. M. Kay and A. Maitland, Academic Press, London and New York, 1970, p. 395.

Shen У. R., Phys. Rev., 155, 921 (1967).

Shiga F., Inamura S., Phys. Letters, 25A, 706 (1967).

Sillitto R. M., Proc. Roy. Soc. (Edinburgh), A66, 93 (1963).

Sillitto R. M., Phys. Letters, 27A, 624 (1968).

Smith A.步.，Armstrong J. 4, Phys. Rev. Letters, 16, 1169 (1966).

Smith A.呪，Armstrong /. 4, Phys. Letters, 19, 650 (1966).

Steel W. Я., J. Opt. Soc. Amer., 47, 405 (1957).

Streifer 步.，Ann. Phys., 27, 72 (1964).

Streifer 取.，J. Opt. Soc. Amer., 56, 1481 (1966).

Stroke G.旣，Photograf. Korrespondenz, 104, 82 (1968).

Stroke G.取.，Opt. Acta, 16, 401 (1969).

Stroke G.取.，IndebetoUw G” Puech C., Phys. Letters, 26A, 443 (1968).

Stroke G. IT., Zech R. G., Phys. Letters, 25A, 89 (1967).

Strong /., Vanasse G. 4, J. Opt. Soc. Amer., 49, 844 (1959).

Sudarshan E. C. G., в сб. Proc. Symp. Optical Masers, John Wiley, New York, 1963, p. 45.

Sudarshan E. C. G., Phys. Rev. Letters, 10, 277 (1963).

Teich M C., Appl. Phys. Letters, 14, 201 (1969).

Teich M C., Diament A, J. Appl. Phys., 40, 625 (1969).•

Teich M. C., Wolga G. /., Phys. Rev. Letters, 16, 625 (1966).

Ter Haar D., Rept. Progr. Phys., 24, 304 (1961).

Titulaer U. M, Glauber R. /., Phys. Rev., 140, B676 (1965).

Titulaer U. M., Glauber R. /., Phys. Rev., 145, 1041 (1966).

Toll Л, Phys. Rev., 104, 1760 (1956).

Tor aldo di Francia G., J. Opt. Soc. Amer., 45, 497 (1955).

Toraldo 由 Francia G・，Opt. Acta, 13, 323 (1966).

Toraldo di Francia G., J. Opt. Soc. Amer., 59, 799 (1969).

Toraldo di Francia С., в сб. Proc. Conf. Europ. Phys. Soc., 1969 (Florence) ;Nuovo Cimento Letters, 1, 17 (1969).

Toraldo dl Francia G., в сб. Quantum Optics (Proc. Tenth Session Scottish Univ. Summer School in Phys.), eds. S. M. Kay and A. Maitland, Academie Press, London and New York, 1970, p. 323.

Troup G. /., Proc. Phys. Soc., 86, 39 (1965).

Troup G. /., Phys. Letters, 17, 264 (1965).

51. Troup G. J., Nuovo Cimento (10), 42, 79 (1966).

Troup G. /., Phys. Letters, 28A, 251 (1968).

Tucker /., Walls D E, Phys. Rev., 178, 2036 (1969).

Twiss R. Q., Opt. Acta, 16, 423 (1969).

55. Twiss R. Q., Little A. G., Australian J. Phys., 12, 77 (1959).

Twiss R. Q., Little A. G., Brown Hanbury R., Nature, 180, 324 (1957).

Van Cittert P. Я., Physica, 1, 201 (1934).

Van Cittert P.，.，Physica, 6, 1129 (1939).

59. Van Kampen M G., Phys. Rev., 89, 1072 (1953).

Walther 4, Opt. Acta, 10, 41 (1963).

61. Wang M. C., Uhlenbeck G. E., Rev. Mod. Phys., 17, 323 (1945).

62. Webber /. C., Phys. Letters, 27A, 5 (1968).

63. Webber 丄 C., Canad. J. Phys., 47, 363 (1969).

64. Weidlich 步.，Risken，.，Haken ”.，Zs. Phys., 201, 396 (1967).

65. Wiener M, J. Math. Phys, 7, 109 (1928).

4G6. Wiener У., J. Franklin Inst., 207, 525 (1929),

Wiener 2., Acta Math., 55, 117 (1930).

Wigner E” Phys Rev., 40, 749 (1932).

Willis C. A., Phys. Rev., 147, 406 (1966)..

Wolf E., Nuovo Cimento, 12, 884 (1954).

Wolf E., Proc. Roy. Soc., A225, 96 (1954).

Wolf E, Proc. Roy. Soc., A230, 246 (1955).

Wolf E, в сб. Proc. Symp. Astr. Optics and Rei. Subj. (ed. Z. Kopal), North-Holland, Amsterdam, 1956, p. 177.

Wolf E, Phil. Mag., 2, 351 (1957).

Wolf £.. Proc. Phys. Soc., 71, 257 (1958).

Wolf E” Nuovo Cimento, 13, 1165 (1959).

Wolf E, Proc. Phys. Soc., 76, 424 (I960).

Wolf E, Proc. Phys. Soc., 80, 1269 (1962).

Wolf E., в сб. Proc. Symp. Optical Masers, John Wiley, New York, 1963, p. 29.

Wolf E., Phys. Letters, 3, 166 (1963).

Wolf E., в сб. Quantum Electronics (Proc, of the Third Intern. Congress), eds. N. Bloembergen and P. Grivet, Dunod, Paris, 1964, p. 13.

Wolf E., Japan J. Appl. Phys., 4 (Suppl. I), 1 (1965).

Wolf E., Opt. Acta, 13, 281 (1966)..

Wolf E., Agarwal G. S., в сб. Polarisation, Matiere et Rayonnement (So- cibtK Frangaise de Physique), Presses Universitaires de France, 1969,

胱力 E., Mehta C. L., Phys. Rev. Letters, 13, 705 (1964).

Zardecki Л., Acta Phys. Pol., 35, 271 (1969),

Zernike 尸.，Physica, 5, 785 (1938).

Zuckerman J. L” De Velis J. В., в книге Proc. Symp. Modern Optics, Polytechnic Press, New York, 1967, p. 193.

Zuckerman J. L., De Velis J. A, J. Opt. Soc. Amer., 58, 175 (1968).

Agarwal G. S., Nuovo Cimento (10), 65B, 266 (1970).

Agarwal G. S・，Phys. Rev., Al, 1445 (1970).

Барашек П, 〃.，Phys. Letters, 32A, 291 (1970).

Барашев /7. /7., ЖЭТФ, 59, 1318 (1970).

Benard Ch Phys. Rev., A2, 2140 (1970).

Bendjaballah M. С.» Perrot F” Compt. Rend., 271, 1085 (1970).

Bertolotii M” Crosignani B., Di Porto P., J. Phys., A3, L37 (1970).

Bialynicka-Birula Z., Phys. Rev., DI, 400 (1970).

Brevik /., Suhonen E., Physica Norvegica, 3, 135 (1968).

Brevik /., Suhonen E., Nuovo Cimento, 65B, 187 (1970).

Cantrell C. D, Phys. Rev., Al, 672 (1970).

Cantrell C. D., Phys. Rev., A3, 728 (1971).

Clark W. G” Estes L. E., Narducci L. Л1., Phys. Letters, 33A, 517 (1970).

Davidson Л, Phys. Rev., 185, 446 (1969).

Diament P., Telch M. C., J. Opt. Soc. Amer., 60, 682 (1970).

Diament P., Telch M. C., J. Opt. Soc. Amer., 60, 1489 (1970).

Eberly /. Я., Rehler N. E, Phys. Rev., A2, 1607 (1970).

Fillmore G. L・，Phys. Rev., 182, 1384 (1969).

Helstrom C.历.，Quasi-Classlcal Analysis of Coupled Oscillators, preprint, Westinghouse Res. Lab., 1966.

Hordk R., MiSta L, P^ina J・，J. Phys., A4, 231 (1971).

Hor&k R・，Mi§ta L, Pefina J., Czechosl. J. Phys., B21, 614 (1971).

Jalswal 4 K, Agarwal G. §., J. Opt. Soc. Amer., 59, 1446 (1969).

Jaiswal 4 K・，Mehta C. L, Phys. Rev., 186, 1365 (1969).

Jaiswal A. R, Mehta C. L, Phys. Rev., A2, 168, 2570 (1970).

Jakeman E・，Oliver C. /., Pike R. R, Phys. Letters, 34A, 101 (1971).

Korenman V., Phys. Rev., 154, 1233 (1967).

Korenman V., Phys. Rev., A2, 449 (1970).

B7・ ^awskl Л.. Bull. Acad. PoL S生,17,唯7 (1969).

Lachs G., J. Appl. Phys., 38, 3439 (1967).

Langer /. S., Phys. Rev., 184, 219 (1969).

Lehmberg R. 〃.，Phys. Rev., 167, 1152 (1968).

Lyons /., Troup G. /., Phys. Letters, 32A, 352 (1970).

Mandel L., Phys. Rev., 181, 75 (1969).

Mandel L., Meltzer D, Phys. Rev., 188, 198 (1969).

Mehta C. L, в книге Progress in Optics (ed. Wolf), vol. VIII, North- Holland, Amsterdam, 1970, p. 375.

Meltzer D, Mandel 厶.，Phys. Rev. Letters, 25, 1151 (1970).

Millet /., Usselio-La- Verna 步.，Opt Comm., 2, 120 (1970).'

Millet /., Varnier B., Opt. Comm., 1, 211 (1969).

Mista L., Pefina /., Opt. Comm., 2, 441 (1971).

Mista 厶.，Pefina /., Perinova V., Phys. Letters, 35A, 197 (1971).

Pefina 丄，Statistical and Coherence Properties of the Superposition of Coherent and Chaotic Fields, Palacky University, Olomouc, 1971 (unpublished).

Pefina J., Pefinova V., Phys. Letters, 35A, 283 (1971).

Pefina /., Pefinova V., Mista 厶.，Opt. Comm., 3, 89 (1971).

Picinbono B, Rousseau M., Phys. Rev., Al, 635 (1970).

Risken，.，в книге Progress in Optics (ed. E. Wolf), vol. VIII, North-Holland, Amsterdam, 1970, p. 241.

Teich M. C., Abrams R. L., Gandrud W. B., Opt. Comm., 2, 206 (1970).

Tункин В. Л, Чиркин А. С., ЖЭТФ, 58, 191 (1970).

Литература, добавленная переводчиками

Gabor D, Kock W. £., Stroke G. W.t Science, 173, 11 (1971) [см. перевод: Д. Габор, У. Кок, Дж. Строук, УФН, 107, 443 (1972)].

Сорок。Л. М, Основы голографии и когерентной оптики, изд-во «Наука», М., 1971.

Goodmen /. W., Introduction to Fourier Optics, McGraw-Hill Co., New York and London, 1968 (см. перевод: Дж. Гудмен, Введение в фурье- оптику, изд-во «Мир», М., 1970).

Popoulis 4, Systems and Ttransforms with Applications in Optics, McGraw- Hill, New York and London, 1968 (см. перевод: А. Папулис, Теория систем и преобразований в оптике, изд-во «Мир», М., 1971)..

Хургин Я. И., Яковлев В. /7., Финитные функции в физике и технике, изд-во «Наука», М., 1971.

Сб. «Когерентные состояния в квантовой теории》， сер. НФФ, вып. 1, изд-во《Мир», М., 1972.

Lax М., Fluctuations and Coherence Phenomena in Classical and Quantum Physics, New York, 1968—1971 (см. перевод: M. Лэке, Флуктуации и когерентные явления, изд-во «Мир», М., 1974).

Шереметьев А. Л, Статистическая теория лазерной связи, М., 1971.

Шестов И. С., Выделение оптических сигналов на фоне случайных помех, М., 1967.

Vinson /. Е, Optische Koharenz in der Klassischen Theorie und der Quanten Theorie, Akademie-Verlag, Berlin, 1971.

Александров E. 6, Опт. и спектр., 28, 1000( 1970).

Об одном недоразумении в вопросе счета фотонных совпадений.

Анисимов В. Я., Опт. и спектр., 34, 589 (1973).

Об асимптотическом поведении степеней когерентности высших порядков.

Анисимов В. Я., Сотский 5. 4, Опт. и спектр., 33, 172 (1972).

О когерентности электромагнитного поля в высших порядках,

Баратее 〃. /7., ЖЭТФ, 61, 139 (1971),

Основные статистические характеристики многоквантового фототока, порождаемого модулированным излучением.

Бойцов В. Ф., Мурахвер Ю. Е, Слюсарев С. Г., Опт. и спектр., 35, 708 (1973).

Некоторые свойства когерентных оптических полей.

Воробьев Ф. 4, Соколовский Р. Я., Опт. и спектр., 35, 779 (1973).

Статистические явления при многоквантовых процессах.

Зельдович Б, Я., Клышко Д. Н., Письма в ЖЭТФ, 9, 69 (1969).

Статистика поля при параметрической люминесценции.

Климонтович ТО. Л„ УФН, 101, 577 (1970).

Вопросы статистической теории взаимодействия атомов с излучением.

Коварский В. 4, ЖЭТФ, 57, 1613 (1969).

Многофотонные переходы в дискретном спектре атомов и процессы ионизации в сильном электромагнитном поле.

Сотский Б. 4, Анисимов В. Я., Опт. и спектр., 35, 583 (1973).

О степени когерентности рассеянного излучения.

Татарский В. И., ЖЭТФ, 63, 2077 (1972).

Оператор числа фотонов, прошедших через пространственную точку.

Тер-Хаар 〃.，УФН, 99, 129 (1969).

К истории статистики фотонов.

Файн В. М., ЖЭТФ, 52, 1544 (1967).

Квантовый гармонический осциллятор в фазовом представлении и соотношения неопределенности между числом квантов и фазой.

Agarwal G. S., Phys. Rev., 177, 400 (1969).

Phase-space analysis of time-correlation functions.

Agarwal G. C., Phys. Letters, 38A, 93 (1972).

Fluctuation-dissipation theorems for systems in nonthermal equlibrium and application to laser light.

Aldridge M D, J. Appl. Phys., 40, 1720 (1969).

Enchancement of photon-bunching effects.

Барашев /7. 〃.，Phys. Stat. Solidi, 9A, 387 (1972).

Statistical characteristics of the multiquantum photocurrent..

Benard Ch., Phys. Letters, 41A, 191 (1972).

Incoherent sources.

Benard Ch., Macchi O., J. Math. Phys., 14, 155 (1973).

Detection and «emission» processes of quantum particles in a «chaotic» state.

Bendjaballah C., Perrot E, Appl. Phys. Letters, 18, 532 (1971).

Statistical properties of randomly modulated pseudothermal optical field.

Bendjaballah C., Perrot E, Opt. Comm., 3, 21 (1971).

Photoelectron statistics of laser liqht modulated by Gaussian noise.

Blount E /., Klauder /. R., J. Appl. Phys., 40, 2874 (1969).

Recovery of laser intensity from correlation data.

Cantrell C. D, J. Math. Phys., 12, 1005 (1971).

Generating function of the N-fold photoelectric counting distribution for Gaussian light.

Cantrell C. D, Fields /. R・，Phys. Rev., A7, 2063 (1973).

Effect of spatial coherence on the photoelectric counting statistics of Gaussian light. .

Chandra M, Vachaspati, Indian J. Pure and Appl. Phys., 6, 111 (1968). Effect of coherence on three-photon absorption.

Chandra M, Vachaspati, Indian J. Pure and Appl. Phys., 6, 163 (1968).

Determination of fourth-order coherence functions.

Chandra M, Vachaspati, Indian J. Pure and Appl. Phys., 6, 334 (1968). Two-photon absorption and light fluctuations.

Chang D. B., Ancker-Johnson B., Phys. Letters, 35A, 113 (1971).

The effect of photon statistics on two-photon absorption and emission.

Clark 呪 G., O'Neill E. L., J. Opt. Soc. Amer., 61, 934 (1971).

Photoelectron count distributions due to periodic irradiance modulation. 576. Davidson F., A moss /., J. Opt. Soc. Amer., 63, 30 (1973).

Sequential photon-counting statistics and maximum-likelihood estimation techniques for Gaussian optical fields.

Debethune /. L., Nuovo Cimento, 12B, 101 (1972).

Quantum correlation functions for radiation fields with stationary independent modes.

Ernst K, Zs. Phys., 229, 432 (1969).

On the origin of laser coherence.

Estes L.良，Kuppenheimer /. D., Narducci L. M., Phys. Rev., Al, 710

(1970).

Statistical analysis of randomly modulated laser light.

Farkas Gy., Acta Phys. Acad. Sci. Hung., 29, 415 (1970).

High-order coherence effects of laser light on the photoelectron distribution detected by thard order photoeffect.

Gontier У., Trahin M.t Phys. Rev., A7, 1899 (1973).

Higher-order effects in resonant multiphoton processes.

Jakeman E., Pike E. R., J. Phys., A2, 411 (1969).

Spectrum of clipped photon-counting fluctuations of Gaussian light.

Jakeman E, J. Phys., A3, 201 (1970).

Theory of optical spectroscopy by digital autocorrelation of photon-counting fluctuations.

Jakeman £., Pike E. R., Swain S” J. Phys., A4, 517 (1971).

Statistical accuracy in the digital autocorrelation of photon-counting fluctuations.

Kano У., J. Phys. Soc. Japan, 24, 869 (1968).

An application of Green's functions in the theory of optical coherence.

Kouskoulas J. Appl. Phys., 42, 3659 (1971).

Correlation theorem for nonstationary complex stochastic processes of a real variable.

Lamb F. K., ter Haar D, Phys. Reports, 2C, 4 (1971).

The interaction of atoms with polarized light.

Mehta M. L, Mehta C. L., J. Opt. Soc. Amer., 63, 826 (1973).

Statistics of photoelectron counting with a rectangular spectral profile. 589. MiSta L., J. Phys., A4, L73 (1971).

N-photon factorial moments for superposition of coherent and chaotic fields.

Stenholm S., Phys. Reports, 6C, 1 (1973).

Quantum theory of electromagnetic fields interacting with atoms and molecules.

Srinivasan S. K., Sukavanam S., Phys. Letters, 35A, 81 (1971).

Photocount statistics of Gaussian light of arbitrary spectral profile.

Teich M. C., Diament P., J. Appl. Phys., 41, 415 (1970).

Observation of flat-counting distribution for Poisson process with linearly swept mean.*

Tornau N., Echtermeyer B., Ann. Phys., 29, 289 (1973).

Photon-counting statistics of thermal light consisting of two spectral lines.

Zardecki 4., J. Math. Phys., 11, 244 (1970).

Functional formulation of the coherence theory.

Zardecki 4, Delisle C., Bures 丄，Opt. Comm., 5, 298 (1972).

Generelized notation of the coherence area.

Zardecki 4, Bures Delisle C., Phys. Rev., A6, 1209 (1972).

Photocount statistics of transient laser light.

Yoshitani R., J. Stat. Phys., 2, 347 (1970).

On the detectability limit of coherence optical signals in thermal radiation.

ДОПОЛНЕНИЕ

В. Г. ТункиНу А. С. Чиркин

СТАТИСТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ЛАЗЕРНОГО ИЗЛУЧЕНИЯ

Введение

Статистические характеристики излучения лазера наряду с другими его параметрами во многом определяют возможности использования лазеров в различных приложениях. Кроме того, исследование флуктуаций в лазере представляет значительный интерес для анализа динамики его излучения.

Изучение флуктуаций в лазерах было начато практически сразу после их создания. Ширины линии лазерного излучения впервые пытались измерить Джаван, Беннет, Эрриот [108], Эр- риот [103] и Джаван, Балик и Бонд [107], а пространственную когерентность лазерного излучения впервые наблюдали Эрриот [103] и Коллинз и др. [91].

За время, прошедшее с момента создания лазеров, выполнено большое число исследований по статистическим свойствам лазерного излучения. Эти исследования условно можно разделить на три направления:

статистику одномодового излучения;

статистику многомодового излучения;

преобразование статистики лазерного излучения в оптически нелинейных и неоднородных линейных средах.

Теорию флуктуаций в лазерах, помимо авторов, упомянутых в настоящей книге, развивали также советские физики: для одномодового излучения — Бернштейн, Андронова и Зайцев [21], Климонтович и Ланда с сотр. (см. обзор [46]), Казанцев и Сур- дутович [44], Малахов и Сандлер [54] и др. (см. библиографию в книге [27]); для многомодового излучения ——Летохов [50], Кузнецова [43, 141], Дерюгин и Курашов [139] и др.

Здесь мы дадим краткий обзор экспериментальных исследований по статистике лазерного излучения, относящихся к первым двум направлениям, и рассмотрим как временную, так и пространственную статистику излучения. По третьему направлению также имеется весьма обширный экспериментальный материал; некоторые аспекты этого направления отражены в Обзорах [17, 20, 47, 59, 76, 93, 96].

Одномодовое излучение

Лазерное излучение может быть одномодовым (или многомодовым) в смысле как продольной； так и поперечной структуры. В первом случае одномодовая генерация представляет собой одночастотное излучение, во втором случае под излучением с одной поперечной модой чаще всего подразумевают наинизшую поперечную моду ТЕМ^. Ниже мы обсудим статистические свойства лазерного излучения отдельно для каждого случая.

Статистика поля; одномерные законы распределения

В настоящей книге (гл. 17) приведены лишь некоторые экспериментальные результаты по статистике фотоотсчетов для одночастотного излучения. Прежде всего следует отметить, что Летохов и Маркин [51] почти на год раньше Арекки [70] и Фрида й Хауса [98] измерили распределение амплитуды биений между двумя волнами излучения с одинаковой статистикой амплитуд при вращении кольцевого лазера (в измерениях. использовался амплитудный анализатор). Результаты работы [51] хорошо совпадают с результатами, предсказываемыми для модели суперпозиции идеального лазерного излучения и гауссова шума.

Различные вопросы статистики излучения в пррцессе установления световых колебаний в лазере (на примере гелий-неонового лазера) в последнее время исследовались в работах [18, 19, 55, 63, 72, 111].

Согласно работе Бакланова, Раутиана и "др. [19], распределение числа фотонов излучения в момент времени t после включения (t = 0) надпорогового усиления лазера определяется выражением

Р(")=鳥(1 一总т ехр { _ а—為(1 —焉厂 Е}. (Д. I)

Здесь аг характеризует время установления поля в резонаторе, Поо есть среднее число фотонов в стационарном режиме, а (п0) — среднее число «затравочных» фотонов, представляющих собой сумму спонтанных фотонов до включения усиления (предосцилляционные спонтанные фотоны [14]) и спонтанных фотонов, действующих в течение времени f V 1/аг после включения усиления. В зависимости от параметров лазера существенную роль в переходном процессе могут играть предосцилляцион- ные шумы .либо шумы, возникающие в процессе установления.

Плотность вероятности заданного числа фотонов в момент времени t равна

吸-卜(Д⑵

Распределения вероятности 步(f)Af появления n фотонов за время А/ приведены на фиг. Д.1, где точками обозначены

tgLW^U纶[W(t)At]tgLW^U纶[W(t)At]ФИГ. Д.1. Распределение вероятности 1g｛犷По данным [19].для 02=1,0 • 105 с-1, 〃/〃8=°，°9, 力=(%/〈〃0» (1—九例8)= 1°」°4;6 — для%=1,43 . 105e1* 〃/〃8Ho,05,外=0,55 • 104.ФИГ. Д.1. Распределение вероятности 1g｛犷По данным [19].для 02=1,0 • 105 с-1, 〃/〃8=°，°9, 力=(%/〈〃0» (1—九例8)= 1°」°4;6 — для%=1,43 . 105e1* 〃/〃8Ho,05,外=0,55 • 104.Телегин и др. [63] измерялиТелегин и др. [63] измеряли

tgLW^U纶[W(t)At]

tgLW^U纶[W(t)At]

ФИГ. Д.1. Распределение вероятности 1g｛犷По данным [19].

для 02=1,0 • 105 с-1, 〃/〃8=°，°9, 力=(%/〈〃0» (1—九例8)= 1°」°4;6 — для

%=1,43 . 105e1* 〃/〃8Ho,05,外=0,55 • 104.

ФИГ. Д.1. Распределение вероятности 1g｛犷По данным [19].

для 02=1,0 • 105 с-1, 〃/〃8=°，°9, 力=(%/〈〃0» (1—九例8)= 1°」°4;6 — для

%=1,43 . 105e1* 〃/〃8Ho,05,外=0,55 • 104.

Телегин и др. [63] измеряли

Телегин и др. [63] измеряли

экспериментальные значения для излучения гелий-неонового лазера [19]. Хорошее согласие экспериментальных и теоретических данных (фиг. Д.1) свидетельствует о том, что флуктуации лазер-

ного излучения в переходном процессе обусловлены спонтанным шумом.

С помощью выражения (Д.1) можно рассмотреть эволюцию в переходном процессе среднего значения, дисперсии и моментов более высокого порядка, характеризующих ста* тистику фотонов, а с помощью (Д.2)——среднее время установления световых колебаний и другие величины.

На фиг. Д.2 приведены результаты работы Арекки и Деджорджио [72] по измерению первых двух моментов числа фотонов в процессе установления; теоретические кривые на фиг. Д.2 построены этими авторами при наилучшем совпадении с экспериментом. Аналогичные данные получены Мельтцером и Манделем [111] для случая стационарной генерации вблизи порога, среднее время установления и

его дисперсию для поля излучения стандартного лазера, а Махнев и Телегин [55] измеряли эти величины для газового лазера с нелинейным резонансным поглощением. Надо заметить, что

некоторые из полученных результатов по установлению колебаний лазера аналогичны таковым для генераторов радио- и СВЧ диапазонов. В частности, в конце 50-х годов Ахманов и др. [14, 15] исследовали переходный процесс в клистроне. Согласно работе [14], следует ожидать, что введение в резонатор лазера ела- бого внешнего сигнала позволит существенно уменьшить время установления колебаний и его флуктуационный разброс.

Временные характеристики излучения

Приведенные выше результаты связаны с одномерной функцией распределения лазерного излучения. Применяемая обычно для ее измерения техника фотоотсчетов может быть использо-

вана для измерения многомерных функций распределения и корреляционных функций излучения [71, 74, 117]. Однако при исследовании временного поведения флуктуаций одночастотного излучения наиболее широкое распространение получило непосредственное измерение спектра флуктуаций интенсивности и частоты с помощью метода фотосмешения !)«

ФИГ. Д.2. Зависимость среднего числа фотонов (△п2) = ((п — (л))2) (6) от времени в переходном данным [72].Время f отсчитывается от момента включения усиления.ФИГ. Д.2. Зависимость среднего числа фотонов (△п2) = ((п — (л))2) (6) от времени в переходном данным [72].Время f отсчитывается от момента включения усиления.(п) (а) и дисперсии процессе лазера. По(п) (а) и дисперсии процессе лазера. По

ФИГ. Д.2. Зависимость среднего числа фотонов (△п2) = ((п — (л))2) (6) от времени в переходном данным [72].

Время f отсчитывается от момента включения усиления.

ФИГ. Д.2. Зависимость среднего числа фотонов (△п2) = ((п — (л))2) (6) от времени в переходном данным [72].

Время f отсчитывается от момента включения усиления.

(п) (а) и дисперсии процессе лазера. По

(п) (а) и дисперсии процессе лазера. По

Уместно напомнить, что флуктуации в лазерах по аналогии с генераторами радиосигналов [53, 60] принято разделять на технические и естественные. Технические флуктуации связаны с медленными изменениями параметров резонатора и накачки лазера, а естественные обусловлены атомарной структурой активного вещества и квантовым характером излучения. Естественные флуктуации принципиально неустранимы, в то время как технические можно уменьшить путем увеличения жесткости конструкции лазера.

Спектр флуктуаций интенсивности

Исследованию этой проблемы посвящено много работ [5, 6, 28, 30, 39, 40, 52, 74, 75, 77, 80, 81, 86, 99, 117, 118, 122]. Достигнутые успехи частично освещены в обзорах Армстронга и

Этот метод впервые был предложен Гореликом [32] (см. также [24]).

Смита [78], Арекки и Деджорджио [73], Климонтовича, Ковалева и Ланда [46]. Здесь мы остановимся на результатах Андроновой, Зайцева и др. [5, 6, 30, 40], которые детально рассмотрели флуктуации интенсивности гелий-неоновых лазеров на длинах волн С,63; 1,15 и 3,39 мкм. Аналогичные результаты получены и в других работах.

ФИГ. Д.З. Спектры флуктуаций интенсивности для гелий-неоновых лазеров на разных длинах волн Л. По данным [30]..

入=0,63 мкм, Р = 15 мкВт (кривая /); А, = 1,15 мкм, Р = 10мкВт (кривая 2); %=3,39 мкм, Р = 10 мкВт (кривая 3). Кривые / и 5 заимствованы из [6].

Авторы [5, 6, 30, 40] использовали метод фотосмешения, поэтому исследование флуктуации интенсивности /(f) излучения сводилось к измерению спектра флуктуаций тока i(/)~j/(f)—— —〈/(%)〉] фотодетектора. При сопоставлении результатов эксперимента и теории удобно ввести коэффициент случайной модуляции фототока

(Д.з)

где io(f)——среднее значение тока. Средний квадрат коэффициента случайной модуляции равен

<m2(母=j〈m力"(д.4)

о

(〈М^〉一спектральная плотность флуктуаций).

На фиг. Д. 3 приведены спектры 〈Л1^〉 естественных флуктуаций интенсивности гелий-неоновых лазеров. Спектр флуктуаций, обусловленных техническими причинами, наблюдался Зайцевым [39] в области частот F < 2 кГц; их спектральная плотность оказалась по величине на один-два порядка больше естественных флуктуаций, соответствующих кривой 1 на фиг. Д.З. После принятия специальных мер автору удалось ширину спектра технических флуктуаций уменьшить до 100 Гц.

Результаты, представленные на фиг. Д.З, удовлетворительно описываются следующей формулой (выведенной в работе [21] при феноменологическом рассмотрении свойств активной среды):

("力=I +'様9例尸， (以•5) где

〈碱=也粽匹. (д.6)

Здесь v — частота излучения; Av — полоса резонатора; Р — полная мощность излучения, отдаваемая активной средой; q —— прочность предельного цикла, описывающего процессы в системе; параметры а и $ характеризуют начальную инверсию и «обеднение» верхнего уровня энергии атома (произведение ар « 1,5——2); 乂2 и х2 — мнимые составляющие электрической восприимчивости среды соответственно в отсутствие и при наличии колебаний. Величины в формулах (Д.5) и (Д.6) обычно определяются из динамических измерений [5, 40].

Удовлетворительное согласие экспериментальных результатов с формулами (Д.5) и (Д.6) получено также при измерении спектра 〈М±〉 для режима работы лазера с различным превышением над порогом генерации, с разными значениями отстройки генерируемой частоты от средней частоты перехода, а также при изменении других параметров лазера.

Типичная зависимость спектральной плотности 〈М^〉 флуктуаций интенсивности на.нулевой частоте F = 0 показана на фиг. Д.4. Обратим внимание на то, что произведение(Мо) Р3 в области значений мощности Р < 20 мкВт не меняется. Однако в лазерах, работающих на длинах волн 0,63 и 1,15 мкм, область значений Р, для которых величина〈М^〉рЗ постоянна, несколько иная. В обсуждаемых экспериментах эффективный коэффициент случайной модуляции интенсивности МЭфф = У{М^, связанный со спонтанным излучением, равен 10~2 —- 10"4.

Из- выражения (Д.5) видно, что форма спектра (Mf) лорен- цева,. а его ширина △尸 определяется параметром q (т. е.

NF = ql2ri). Соответствующие измеренные зависимости q от лазерных параметров можно найти в цитированных работах. Отметим только, что А尸 составляет сотни килогерц или несколько мегагерц (фиг. Д.З) и сначала линейно увеличивается с ростом полной мощности Р, а затем насыщается.

ФИГ. Д.4. Зависимость спектральной плотности 〈М；〉 от полной мощности генерации гелий-неонового лазера. По данным [5].

入=3,39 мкм при токе разряда 20 мА и давлении в трубке 0,6 мм рт. ст. (кривая /) и 1*2 мм рт. ст. (кривая 0.

Спектр флуктуаций частоты

Для измерения флуктуаций частоты лазерного излучения применяют оптическое гетеродинирование — вариант метода фотосмешения. При этом задача исследования сводится к анализу спектра флуктуаций разностной частоты двух лазеров или межмодовых лазерных биений.

Спектр флуктуаций частоты лазера измерялся в работах [38, 42, 48, 56, 85, 87, 103—105, 107, 110, 113, 120, 121]. Как и в случае флуктуаций интенсивности, выделение естественных флуктуаций частоты проводится сравнением спектральных распределений с теоретическими и с измеренными распределениями при разных внешних условиях.

По-видимому, естественную ширину впервые удалось измерить Зайцеву и Степанову [42] для гелий-неонового лазера на длине волны 0,63 мкм при мощности генерации 1 мВт. Они получили ширину линии 6v « 0,08 Гц, что хорошо согласуется

с теоретической оценкой. В ранее выполненных измерениях [48, 103, 105, 107] ширина линии лазера при указанной мощности составляла единицы или десятки герц. Специальному исследованию технических флуктуаций частоты лазера, обусловленных вибрационными колебаниями, посвящены работы Нагаи [113].

Естественная форма линии излучения лоренцева, а ее ширина определяется известной формулой Шавлова — Таунса

ФИГ. Д.5. Спектры флуктуаций частоты гелий-неонового лазера (九=0,63 мкм) для различных значений полной мощности генерации [42]:

/ — 1000. 2 — 300 и 3 — 80 мкВт.

. При феноменологическом описании свойств активной среды эта формула имеет следующий вид：

嚷哼竺. (Д.7)

На фиг. Д.5 представлены экспериментальные спектры флуктуаций частоты. В области 尸=60——300 кГц спектральная плотность S” (尸)не зависит от частоты 尸 и обусловлена естественными флуктуациями частоты лазера.

Хинкли и Фрид [104] непосредственно наблюдали лорен- цеву форму линии шириной 54 кГц излучения лазера на диоде Pb0,88Sn0,i2Te мощностью 240 мкВт, работающего в непрерывном режиме вблизи длины волны 10,6 мкм (в качестве гетеродина использовался стабильный одночастотный газовый

лазер на С02). Этими авторами, как и рядом других (см., например, [42, 110, 120]), была получена обратная зависимость ширины спектра 6v от мощности генерации.

• Недавно Манес и Сигман [НО] исследовали флуктуации частоты гелий-неонового и гелий-ксенонового лазеров (длины волн соответственно 3,39 и 3,508 мкм), при этом для гелий-неонового лазера они также непосредственно получили лоренцеву форму спектра.

Кроме того, исследовался [85, 121] среднеквадратичный набег фазы лазерного излучения (Аср2(т)) = ([<р(/ + т)—(р(/)]2). Известно, что в случае технических флуктуаций частоты \Aqp2(r)) ~ ~ т2, а для естественных флуктуаций (Дф2(/)) 〜 т.

Пространственная когерентность излучения

Выше мы рассмотрели случайную модуляцию лазерного излучения во времени. Не меньший интерес представляет случайная модуляция излучения в пространстве. Однако к настоящему времени вопросы пространственной статистики лазерных пучков изучены довольно слабо; как правило, исследования ограничены измерением поперечной пространственной корреляционной функции поля (взаимной функции когерентности)

г (Г,『+ S； 2)=〈Е (г + s, f)〉〈Е* 亿之，f)〉； (Д.8) здесь 2 — координата вдоль направления распространения пучка, г — координата в плоскости, перпендикулярной оси 2・

В подавляющем большинстве работ [36, 57, 58, 61, 84, 90, 92, 106, 125, 127, 134] исследовалась пространственная когерентность низшей моды гелий-неоновогО лазера (九=0,63 и 1,15 мкм), лишь в [115]——когерентность излучения лазера на СО2, а в работах [61, 4, 11]——когерентность излучения лазеров соответственно на рубине, неодиме и алюмоиттриевом гранате. Основной метод исследования пространственной когерентности моды ТЕМоо —— метод Юнга; Яноши и др. [106, 92] применяли интерферометр Маха ——Цендера; Арутюнян, Ахманов и др. [11] использовали поляризационный интерферометр, предложенный в работе [13].

Результаты измерения пространственной когерентности в цитированных работах, за исключением [7, 134], кратко сводятся к следующему. По наблюдениям степень пространственной когерентности в пределах ширины пучка в одной серии работ равна “0,9 или отличается от единицы на несколько сотых-, в другой серии работ она заметно спадает к краю пучка. По-видимому, последний результат обусловлен неконтролируемым возбуждением высших поперечных мод. Хотя Покасов и Хмелевцов [58] связывают этот эффект с числом генерируемых продольных мод,

Дерюгин и др. [36] нашли, что для низшей поперечной моды и трех и шести продольных мод значения степени пространственной когерентности одинаковы. Однако следует заметить, что авторы работы [36] использовали установку типа установки Хэнбери Брауна — Твисса и по существу измеряли пространственную корреляционную функцию интенсивности (корреляционную функцию четвертого порядка).

Весьма важный результат получен Аракеляном и др. [7, 134] с помощью поляризационного интерферометра [13] и техники

ФИГ. Д.6. Степень гространственной когерентности низшей моды гелийнеонового лазера (Л = 0,63 мкм) в зависимости от расстояния s между измеряемыми точками профиля пучка. По данным [7].

Превышение над порогом генерации для кривой / больше, чем для кривой 2. Штриховая кривая— профиль пучка / (s)// (0). отклонение которого от гауссова не превышает 5%. По оси ординат справа отложена величина [/ (s)/y (0)] • 103. Вертикальной чертой отмечены значения | у (s) | для I (s)/Z (0) = 1 • 10~3.

фотоотсчетов для регистрации интерференционной картины. Авторы этих работ измерили естественную пространственную когерентность лазерного излучения. Для центра пучка (r=s = 0) ими получена степень когерентности | у(0) | = 0,99997 ± 1 • 10~5 (фиг. Д.6). При увеличении расстояния s между измеряемыми точками значение |丫| уменьшается, оставаясь довольно высоким (кривая /). Для точек, в которых интенсивности составляют 1 • 10"1 и 1 • 10~3 максимальной величины, значения |y(s) | равны 0,9991 ± 1 • 10~4 и 0,998 ± 1 • 10-3. Используя для интерпретации этих данных модель лазерного излучения ——суперпозицию полностью когерентной низшей моды и дельта-коррелированного по пространству шума^ получаем для отношения шум/мода значение 6-10-5 в центре пучка. Выше было показано, что это отношение такого же порядка и при измерении временных флуктуаций интенсивности излучения. Совпадение указанных результатов (см. также [156]) свидетельствует о том, что в работах

[7, 134] основным источником шума, нарушающего пространственную когерентность лазерного излучения, было спонтанное излучение активной среды.

Интересные данные по пространственной когерентности одномодового излучения лазера на алюмоиттриевом гранате содержатся в работе [11].

Многомодовое излучение

Одномодовый и одночастотный режимы генерации лазера являются простейшими режимами. Однако в большинстве практических случаев лазеры работают в режиме генерации нескольких или многих мод. При многомодовом режиме динамика излучения лазером отдельной моды обладает рядом характерных особенностей. Нелинейность лазера в определенной мере стабилизирует полную интенсивность излучения, в то же время флуктуации интенсивности каждой моды возрастают [41]. Вследствие этого коэффициент корреляции между модами становится отрицательным [128, 78]. Флуктуации же частоты отдельной моды не испытывают сильных изменений [41]. В литературе [41, 78, 128] приведены экспериментальные результаты, подтверждающие сказанное.

Статистика фотоотсчетов многомодового излучения изучалась в ряде работ [33, 64, 68]. Значительное число исследований лазерного излучения с большим числом мод связано с интерферометрией интенсивности, т. е. с измерением корреляционных функций четвертого порядка.

С одной стороны, эти исследования проводятся с целью выяснить влияние модовой структуры излучения на его статистические характеристики, а с другой стороны, благодаря методам интерферометрии интенсивности получают важную информацию о фазовой статистике мод, о временной последовательности воз« буждения различных мод и т. д.

Временная статистика; временные корреляционные функции интенсивности

Применение методов нелинейной интерферометрии в физике лазеров в значительной степени было связано с проблемой генерации оптических импульсов с пикосекундной длительностью. Статистическая теорий генерации сверхкоротких импульсов развита, например, в работах Летохова [50], Кузнецовой [141] (см. [43] и цитируемую гам литературу). Обсуждение применения интерферометрии интенсивности в экспериментах по генерации сверхкоротких импульсов в лазерах на рубине и неодиме можно найти в обзорах [43, 95, 97, 129, 17] (весьма полная библиография по этому вопросу содержится в [140]),

При измерении временных корреляционных функций интенсивности мощных твердотельных лазеров широкое распространение получила так называемая двухфотонная методика{). В основе этой методики лежит использование зависимости контраста R трека двухфотонной люминесценции при «столкновении» импульсов от фазовой статистики мод:

=где f(D=l + 2g(2)(t)・(Д.9)

Здесь xk—время корреляции многомодового излучения, а

J Z(0/(/+t)dt

g⑵⑴==^ (д.Ю)

j /2⑴必,

есть нормированная корреляционная функция интенсивности /(f). В случае, когда фазы мод полностью связаны, значение R = 3,0. Для теплового излучения R= 1,5. Такое же значение контраста R получается для многомодового излучения с несин- хронизованными модами. Поэтому статистику этого излучения считают гауссовой. Строго говоря, отсюда следует, что она совпадает со статистикой теплового излучения во втором порядке корреляционных функций.

Для измерения функции g(2)(t) в случае маломощных лазеров (газовые, полупроводниковые) применяют либо интерферометры интенсивности Хэнбери Брауна и Твисса (см. § 5 гл. 10 настоящей книги), либо интерферометры, использующие удвоение оптических частот..

Экспериментальные значения g(2)(t) для полупроводниковых лазеров приведены в [26, 100—102, 123, 126].

Корреляционные функции интенсивности для газовых лазеров измерялись в работах [12, 34, 35, 45, 94, 124]. В случае газовых лазеров измеренные функции ^)(т) можно сравнить с рассчитанными и таким образом получить сведения о характере межмодовой связи. Именно такие исследования были проведены в работе Арутюняна, Ахманова и др. [12] (фиг. Д.7), Несовпадение теоретической кривой (фиг. Д.7,6) с экспериментальными точками показывает, что в режиме самосинхронизации мод связь между модами неполная. В экспериментах [34, 35, 45] наблюдалось квазипериодическое поведение корреляционной функции

g(2)(t); спад максимумов g^(x) определяется временем когерентg(2)(t); спад максимумов g^(x) определяется временем когерентности отдельной моды, а ихности отдельной моды, а ихО0,5%〃О0,5%〃ФИГ. Д.7. Нормированные временные корреляционные функции интенсивности ^2)(т) для гелий-неонового лазера (Л = 1,15 мкм) для двух режимов генерации. По данным [12].а —генерация пяти несинхронизованных мод; б—генерация трех синхронизованных мод. В первом случае распределение интенсивности между модами 0,26 : 0,61 : 1,0 : 0,61 : 0.Л6; во втором — 0,63 : 1,0 : 0,48. Точки—экспериментальные значения; Й —частота межмодовых биений.ФИГ. Д.7. Нормированные временные корреляционные функции интенсивности ^2)(т) для гелий-неонового лазера (Л = 1,15 мкм) для двух режимов генерации. По данным [12].а —генерация пяти несинхронизованных мод; б—генерация трех синхронизованных мод. В первом случае распределение интенсивности между модами 0,26 : 0,61 : 1,0 : 0,61 : 0.Л6; во втором — 0,63 : 1,0 : 0,48. Точки—экспериментальные значения; Й —частота межмодовых биений.гомодового держатся 138] (для излучениягомодового держатся 138] (для излучения

g(2)(t); спад максимумов g^(x) определяется временем когерент

g(2)(t); спад максимумов g^(x) определяется временем когерент

ности отдельной моды, а их

ности отдельной моды, а их

О0,5%〃

О0,5%〃

ФИГ. Д.7. Нормированные временные корреляционные функции интенсивности ^2)(т) для гелий-неонового лазера (Л = 1,15 мкм) для двух режимов генерации. По данным [12].

а —генерация пяти несинхронизованных мод; б—генерация трех синхронизованных мод. В первом случае распределение интенсивности между модами 0,26 : 0,61 : 1,0 : 0,61 : 0.Л6; во втором — 0,63 : 1,0 : 0,48. Точки—экспериментальные значения; Й —частота межмодовых биений.

ФИГ. Д.7. Нормированные временные корреляционные функции интенсивности ^2)(т) для гелий-неонового лазера (Л = 1,15 мкм) для двух режимов генерации. По данным [12].

а —генерация пяти несинхронизованных мод; б—генерация трех синхронизованных мод. В первом случае распределение интенсивности между модами 0,26 : 0,61 : 1,0 : 0,61 : 0.Л6; во втором — 0,63 : 1,0 : 0,48. Точки—экспериментальные значения; Й —частота межмодовых биений.

гомодового держатся 138] (для излучения

гомодового держатся 138] (для излучения

ширина — временем т^ = 2冗/№, где ^ — число продольных мод, a Q — частота межмодовых биений.

Следует отметить, что, хотя измерение корреляционной функции интенсивности g(2)(r) не позволяет восстановить точную динамику излучения [43], однако в некоторых случаях этих сведений вполне достаточно для коли- ► чественной оценки эффек- £т/?г тивности нелинейных про

цессов второго порядка [65——67], таких, как генерация межмодовых частот, второй гармоники и т. л.

Недавно Арсеньев и др. [8—10] разработали метод измерения высших моментов флуктуаций интенсивности по спаду свечения мощного лазерного пучка при его прохождении через полупроводник с нелинейным поглоще-

нием света.

Сведения об измерении корреляционной функции шестого порядка (третьего порядка по интенсивности) для мно-

излучения со- в [130—132, одномодового подобные из-

мерения выполнены в работах [88, 89]). Аустон [79] измерял корреляционную функцию интенсивности пятого порядка для одиночного сверхкороткого импульса, т. е.

G(5)(t)= j I(/)/« +，)成. (Д.11)

В последнее время методы нелинейной интерферометрии получили дальнейшее развитие.

Пространственная статистика; пространственные корреляционные функции

Пространственная когерентность лазерных пучков в случае небольшого числа поперечных мод (двух-трех) измерялась для

ФИГ. Д.8. Степень когерентности у (s) излучения лазера на алюмоиттрие- вом гранате (свободная генерация) для разных диаметров d диафрагмы в квазиконцентрическом резонаторе. По данным [11].

Кривая /—d=4 мм (число поперечных мод N丄=45); кривая 2—d=8 мм (拉丄 * 830)； кривая 3 —без диафрагмы (N丄戸 Ю4).

газовых лазеров [82, 83, 106, 112, 114, 127]. В работах [82, 112, 114] показано, что экспериментальные значения пространственных корреляционных функций хорошо согласуются с рассчитанными при условии статистической независимости мод. Для импульсных многомодовых лазеров исследования пространственной когерентности носят в основном качественный характер. В лазерах на рубине [29, 37, 49, 109] и полупроводниковых лазерах [22, 25], как правило, измерялся коэффициент корреляции поля для двух фиксированных точек пучка. В некоторых работах выводы о пространственной корреляции делаются качественно на основе измерений расходимости лазерного пучка, а в работах [22, 29] приводятся данные о корреляционных функциях поля.

Для исследования пространственной когерентности многомодового излучения характерно многообразие применяемых интерферометров. Кроме интерферометров типа Юнга, в экспериментах используются интерферометр Линника (23, 49],

впервые представлены результаты одновременного измерения пространственных корреляционных функций поля (степени когерентности) и интенсивности многомодового лазерного излучения. В качестве объекта изучения был выбран лазер на алюмоиттриевом гранате, его спектральные и временные характеристики исследовались Ахмановым, Го- ляевым и Дмитриевым [16]. Были измерены корреляционные функции в широком диапазоне изменений условий генерации: режим свободной генерации, режим модулированной добротности, различные превышения над порогом генерации, разные диафрагмы в резонато-впервые представлены результаты одновременного измерения пространственных корреляционных функций поля (степени когерентности) и интенсивности многомодового лазерного излучения. В качестве объекта изучения был выбран лазер на алюмоиттриевом гранате, его спектральные и временные характеристики исследовались Ахмановым, Го- ляевым и Дмитриевым [16]. Были измерены корреляционные функции в широком диапазоне изменений условий генерации: режим свободной генерации, режим модулированной добротности, различные превышения над порогом генерации, разные диафрагмы в резонато-ФИГ. Д.9. Отношение диаметра пучка D к радиусу корреляции 「尼 в зависимости от параметра /0 = 7г kD (0) tg qp. По данным [11].ФИГ. Д.9. Отношение диаметра пучка D к радиусу корреляции 「尼 в зависимости от параметра /0 = 7г kD (0) tg qp. По данным [11].

впервые представлены результаты одновременного измерения пространственных корреляционных функций поля (степени когерентности) и интенсивности многомодового лазерного излучения. В качестве объекта изучения был выбран лазер на алюмоиттриевом гранате, его спектральные и временные характеристики исследовались Ахмановым, Го- ляевым и Дмитриевым [16]. Были измерены корреляционные функции в широком диапазоне изменений условий генерации: режим свободной генерации, режим модулированной добротности, различные превышения над порогом генерации, разные диафрагмы в резонато-

впервые представлены результаты одновременного измерения пространственных корреляционных функций поля (степени когерентности) и интенсивности многомодового лазерного излучения. В качестве объекта изучения был выбран лазер на алюмоиттриевом гранате, его спектральные и временные характеристики исследовались Ахмановым, Го- ляевым и Дмитриевым [16]. Были измерены корреляционные функции в широком диапазоне изменений условий генерации: режим свободной генерации, режим модулированной добротности, различные превышения над порогом генерации, разные диафрагмы в резонато-

ФИГ. Д.9. Отношение диаметра пучка D к радиусу корреляции 「尼 в зависимости от параметра /0 = 7г kD (0) tg qp. По данным [11].

ФИГ. Д.9. Отношение диаметра пучка D к радиусу корреляции 「尼 в зависимости от параметра /0 = 7г kD (0) tg qp. По данным [11].

интерферометр Жамена [37] и Маха — Цендера [106], интерферометр Майкельсона с уголковым отражателем вместо одного зеркала [31], поляризационный интерферометр [13], а также голографический способ [62] и способ, базирующийся на дифракции от одной щели [29].

В перечисленных выше работах измерялись только пространственные корреляционные функции поля.

Детальное исследование пространственной когерентности содержит работа Арутюняна, Ахманова и др. [11], в которой

D (0) —наименьший диаметр пучка, ф—угловая расходимость пучка в дальней зоне. Точки — экспериментальные значения, прямая линия --

рассчитана по формуле (Д.12).НбКОТОрые результаты

работы [11] для степени когерентности y(s) приведены на фиг. Д.8. Интересно заметить, что при большом числе поперечных мод (кривая 3) функция Y(s) становится похожей на таковую для теплового излучения (ср. фиг. 7 настоящей книги).

На фиг. Д.9 показаны^экспериментальные зависимости ра

диуса корреляции rh излучения от параметров пучка; теоретическая оценка для случая статистически независимых поперечных мод дает

где D—диаметр пучка, /V丄一число поперечных мод (D н 厂力—— функции расстояния вдоль направления распространения пучка).

Одновременное измерение степени когерентности и корреляционных функций интенсивности позволило авторам работы [11] проследить формирование пространственной гауссовой статистики при увеличении числа мод 皮丄.На фиг. Д.10 представлены пространственные корреляционные функции интенсивности для

ФИГ. Д.10. Нормированная пространственная корреляционная функция интенсивности многомодового лазера на алюмоиттриевом гранате. По данным [11].

Точки — экспериментальные значения, сплошная кривая — теоретическая, построенная по формуле F (s)= 1 +1 Уэксп (s) |2 с использованием значений кривой 3 на фиг. Д.8.

^l = 104. Видно, что в этом случае экспериментальные результаты хорошо удовлетворяют соотношению

g(2)(s)=l+lY(s)F, справедливому для гауссовых случайных полей (см. § 4 гл. 10 настоящей книги).

В обсуждаемой работе [11], а также в [29], было обнаружено, что лазерное излучение с большим числом поперечных мод представляет собой неоднородное случайное поле.

Заключение

В этом небольшом обзоре, разумеется, невозможно было сколь-нибудь подробно проанализировать весь имеющийся материал по статистике лазерного излучения.

Поэтому основное внимание мы уделили естественным флуктуациям излучения. В стороне остались вопросы влияния на статистику излучения лазера шумов возбуждающего тока, механических вибраций и прочих технических причин.

Кроме того, были рассмотрены работы, в которых исследовался только лазер с резонансной обратной связью.

Интересными особенностями с точки зрения как физики, так и применений обладают лазеры с нерезонансной обратной связью; их статистические свойства исследовались в работах [1—3].

В последнее время начали также изучать пространственную и временную когерентность суперлюминесцентных лазеров [69, 116, 133]. Совсем недавно получены некоторые теоретические [136, 137, 142] и экспериментальные [11] результаты по пространственной когерентности раман-лазеров. В этих лазерах, как и суперлюминесцентных, когерентное излучение начинает формироваться из дельта-коррелированного шумового излучения.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ТЕХНИКА ФОТООТСЧЕТОВ

Введение

Одновременно с появлением принципиально новых источников света ——лазеров — начинается активное исследование статистических свойств световых полей и прежде всего лазерного излучения. С самого начала в экспериментальных исследованиях такого рода стали использоваться различные методы техники фотоотсчетов, т. е. методы, которые самым непосредственным образом используют квантовый характер светового излучения.

Если вначале техника фотоотсчетов развивалась в основном в связи с потребностями изучения статистики световых полей, то в настоящее время эта техника находит все более широкое применение в различных задачах физики, которые можно свести к исследованию рассеянного лазерного излучения. Таковы, например, физические задачи, решаемые с помощью рэлеевского рассеяния и рассеяния Мандельштама ——Бриллюэна. Применение техники фотоотсчетов для регистрации рассеянного излучения позволяет регистрировать чрезвычайно узкие линии, которые с помощью обычных методов спектроскопии разрешить невозможно. Здесь же можно упомянуть и такие задачи, как, например, исследование турбулентных потоков газов и жидкостей. Использование узкополосного и узконаправленного лазерного излучения в совокупности с техникой фотоотсчетов регистрации рассеянного излучения позволяет получить значительно большую физическую информацию, чем та, которая могла бы быть получена другими методами.

В этой части дополнения мы опишем различные методы техники фотоотсчетов, используемые для измерения статистики фотонов и корреляционных функций интенсивности, и их применение для регистрации слабых световых сигналов.

Фотодетекторы

Обязательным элементом любого устройства, применяемого в технике фотоотсчетов, является фотодетектор, с помощью которого можно регистрировать импульсы от отдельных фотонов. Как правило, в качестве такого фотодетектора используется

фотоэлектронный умножитель (ФЭУ). Однако не всякий ФЭУ можно применить в технике фотоотсчетов [143]. Прежде всего ФЭУ должен иметь достаточно высокий коэффициент усиления (冬 106 или выше).

Другой важный параметр ФЭУ ——квантовая эффективность фотокатода или вероятность выбивания фотоэлектрона при падении на катод одного фотона. Однако только часть фотоэлектронов, вылетающих с фотокатода, попадает на 1-й динод и

BOEdhCJEO 08^BOEdhCJEO 08^5 10 15 20 25 4лШ11т"% шли、通5 10 15 20 25 4лШ11т"% шли、通

BOEdhCJEO 08^

BOEdhCJEO 08^

5 10 15 20 25 4лШ11т"% шли、通

5 10 15 20 25 4лШ11т"% шли、通

ФИГ. Д. 11. Распределения амплитуд импульсов на выходе ФЭУ 56 AVP [145]. Кривая / — сигнальные одноэлектронные импульсы; кривая 2 —шумовые импульсы.

далее усиливается, что характеризуется эффективностью сбора. По данным работы [144], эффективность сбора, во всяком случае для тех ФЭУ, которые проверялись в эксперименте, лежит в пределах 0,5—1. Естественно, что произведение квантовой эффективности на эффективность сбора должно быть как можно ближе к 1.

В некоторых ФЭУ вслед за одноэлектронными импульсами через несколько десятых долей микросекунды идут так называемые послеимпульсы. ФЭУ, у которых послеимпульсы достаточно велики, непригодны для фотоотсчетов.

Вследствие статистических эффектов при выбивании с динодов вторичных электронов амплитуда одноэлектронных импульсов： на аноде ФЭУ флуктуирует. Распределение амплитуд одноэлектронных импульсов может быть получено экспериментально с помощью амплитудного анализатора.

Кроме сигнальных одноэлектронных импульсов, на аноде ФЭУ регистрируются шумовые импульсы. Эти импульсы обусловлены различными причинами: термоэлектронами, вылетающими с фотокатода, ионами газов, адсорбируемых колбой или динодами, термоэлектронами с динодов, космическим излучением, фоновым радиоактивным излучением. Шумовые импульсы,

обусловленные гсрмоолсктронамл, выле1ающими с фотокатода, имеют такое же распределение по амплитудам, как и сигнальные, и потому их нельзя отличить друг от друга. Остальные шумовые импульсы имеют иное распределение по амплитудам, в основном смещенное в сторону меньших амплитуд, и потому применением дискриминирующих устройств их можно частично отсечь. На фиг. Д.11 показаны распределения амплитуд шумовых и сигнальных импульсов [145].

Если основной вклад в шумы вносят термоэлектроны (а это, как правило, имеет место), то число шумовых импульсов можно уменьшить охлаждением фотокатода. В работе [146] сообщается, что при охлаждении ФЭУ от +20 до —20 ℃ число шумовых импульсов уменьшается более чем на порядок и составляет 0,45 имп/с, причем дальнейшее охлаждение не уменьшает числа шумовых импульсов. Снижение числа шумовых импульсов может быть достигнуто применением ФЭУ с малой площадью фотокатода, если, конечно, регистрируемое излучение может быть сфокусировано на этой площади. Например, излучение на щелевом выходе спектрального монохроматора удобно регистрировать с помощью ФЭУ с фотокатодом в виде узкой полоски. В некоторых ФЭУ уменьшение эффективной площади фотокатода достигается диафрагмой, стоящей непосредственно за катодом. Например, в работе [147] описан канальный ФЭУ с площадью фотокатода 10~2 см2 и числом шумовых импульсов 2 имп/с при температуре 25 ℃. При —20 ℃ число шумовых импульсов снижалось до 0,1 имп/с, дальнейшее охлаждение не уменьшало числа шумовых импульсов. Однако следует иметь в виду, что квантовая эффективность ФЭУ при охлаждении катода может уменьшиться.

Измерение распределения фотоотсчетов

В связи с изучением статистических свойств излучения газовых лазеров было выполнено большое количество работ по измерению распределения фотоотсчетов.

Измерение распределения фотоотсчетов р(п, Т) состоит в нахождении распределения числа фотоэлектронных импульсов/г, регистрируемых за некоторый интервал времени Т [148]. Если Т《та, где т^ — время корреляции флуктуаций интенсивности светового потока, то, согласно формуле Манделя [см. соотношение фотодетектирования (10.3а) в настоящей книге],

р(〃，Т) = = j (т)/7Уехр(—т)/Т)Р(/)〃， о

где п — эффективность фотокатода, а Р(/) —распределение ве

роятности для интенсивности.

На фиг. Д.12 показана типичная схема для измерения распределения фотоотсчетов [148]. Импульсы с анода ФЭУ, имеющие некоторый разброс по амплитуде и длительности, стандартизуются по обоим этим параметрам в формирователе импульсов. Затем они поступают на счетчик, открывающийся импульсом строба на время Г. Далее информация о сосчитанном числе

импульсов запоминается в амплитудном анализаторе. Если, на-

ФИГ. Д.12. Устройство для измерения распределения фотоот-ФИГ. Д.12. Устройство для измерения распределения фотоот-пример, за время Т было сосчитано 10 импульсов, то в 10-й канал амплитудного анализатора добавляется 1 и т. д. Имеется некоторая вероятность того, что из- за мертвого времени счетчик сосчитает два близко идущих импульса за один. Это приводит к некоторому искажению распределения фотоотсчетов, которое можно учесть, введя поправки на мертвое время формирователя [149, 150].

ФИГ. Д.12. Устройство для измерения распределения фотоот-

ФИГ. Д.12. Устройство для измерения распределения фотоот-

Рассмотренный метод измерения распределения фотоотсчетов иногда называют нелинейным из-за того, что в нем исполь-

сдетов. зуется формирователь импульсов.

Существует другой метод измерения распределения фотоотсчетов, называемый линейным, в котором отсутствует формирователь импульсов и, следовательно, не нужно вводить поправки на мертвое время. В этом методе в схеме измерения сразу за ФЭУ стоит линейный ключ, открывающийся импульсом строба на время Т и пропускающий импульсы ?а накопительный конденсатор. Через некоторое время после окончания строба конденсатор разряжается. Таким обра

зом, с конденсатора снимается импульс, амплитуда которого пропорциональна накопленному за время Т заряду, что определяется числом импульсов, пришедших с ФЭУ за это время. Информация об амплитуде этих импульсов запоминается в амплитудном анализаторе. Естественно, в обоих методах интервал между последовательными вы-борками должен быть больше времени корреляции флуктуаций, интенсивности.

При измерении распределения фотоотсчетов любым из рассмотренных методов возникает статистическая ошибка, связанная с конечностью числа выборок. Пусть п；——число импульсов, сосчитанных в /-й выборке. Можно определить 尼-й момент слу-

чайной величины: N

/=1

Здесь N — число выборок.

Среднее значение М， есть 左-й момент истинного распределения, которое мы получили бы при ^ -> оо, т. е.

〈修〉=此・

Дисперсия величины М[ найдена в работе [151] для случая, когда все выборки статистически независимы:

《А峭2〉《А峭2〉m2々一磴m2々一磴

《А峭2〉

《А峭2〉

m2々一磴

m2々一磴

Величина 〈（АМ，）?〉 определяет статистическую ошибку для моментов распределения фотоотсчетов, полученного после N выборок.

Измерение корреляционных функций интенсивности

Техника фотоотсчетов для измерения корреляционных функций интенсивности получила свое развитие в связи с исследо- .ванием статистических свойств лазерного излучения. В случае измерения гауссовых полей корреляционная функция интенсивности g（2）（t） дает информацию о корреляционной функции поля g（i）（t） и о связанной с ней преобразованием Винера ——Хинчина спектральной плотности мощности S（（o）, поскольку в этом случае 酬）（т） = 1 +1 g⑴（т） 12.

Предельное разрешение спектроскопических систем, измеряющих непосредственно S（（o） с помощью эталонов Фабри —— Перо, составляет примерно 1 МГц.

Предельное разрешение в технике фотоотсчетов существенно лучше, поскольку довольно просто можно реализовать необходимые для измерения корреляционных функций интенсивности времена задержек порядка нескольких минут. Применение техники фотоотсчетов позволяет получить как высокое предельное разрешение （лучше 0,1 Гц）, так и высокую чувствительность.

Первый эксперимент по измерению корреляционной функции интенсивности был выполнен Хэнбери Брауном и Твиссом в 1956 г. [154] （см. фиг. 12）, которые использовали аналоговую технику.

Сигнал на выходе коррелятора в эксперименте типа Хэнбери Брауна и Твисса пропорционален 〈〃1孔2〉, где ti\ и /г2 — число фотоэлектронных импульсов, поступивших с ФЭУ за время,

равное времени интегрирования на выходе ФЭУ. Аналогичный эксперимент можно выполнить с помощью чисто цифровой техники, в этом случае nj и 几2 — число фотоэлектронных импульсов, поступивших с ФЭУ за время выборки Г, перемножение сигналов осуществляется цифровым коррелятором (фиг. Д.13). Индексы /

ФИГ. Д.13. Блок-схема установки для измерения корреляционных функций интенсивности.

и 2 означают, что величины 〃i и п2 измеряются при различном пространственном положении ФЭУ и в различные моменты времени.

Величина (nin2) связана с корреляционной функцией интенсивности (/i/2) следующим образом [155]:

т т

〈〃因2〉= ns j f (Л (ПЛ(f〃)〉dfdf\ (Д.14) о о

где Th и т)2 — эффективности ФЭУ. Если время выборки Т《工总,то 5№〉="m2〈/心〉.(Д.15)

Преобразуя выражение (Д.14), получаем.

〈"1儿2〉-〈儿1〉〈几2〉=〈佝〉〈电〉?2产"，

где

т т

52 (Т) = т 号鵠Г J〕[&(/"(/〃)〉- &〉&〉] ” "-

В случае стационарных полей выражение для ai2(T) сводится к

S式Т)=支秋订 |(Г-т)[<Л(т)/2(0)> 一 </i)</2>]dr. о

Отсюда легко получить соотношение

扌薪…]=迎瑞№(д-16)

Таким образом, измеряя избыточные флуктуации фотоотсчетов, т. е. величину {п2) — (п)2 при различных временах выборки Т, можно определить функцию ai2(T) и затем, воспользовавшись соотношением (Д.16), найти корреляционную функцию интенсивности.

Однако практически удобнее проводить измерения при одном значении Т《以，но при этом надо вводить задержку между выборками для 〃i и п2. Тогда в соответствии с выражением - (Д.15) величина 〈孔1〃2〉 пропорциональна корреляционной функции интенсивности. Измерения могут быть проведены и с одним ФЭУ с помощью аналогичной схемы, если сигнал после ФЭУ разделить на два канала, в один из которых вводится задержка. На практике широкое применение получил метод задержанных совпадений, рассматриваемый как разновидность данного метода, в котором время выборки Т настолько мало, что вероятность зарегистрировать один импульс в пределах этого времени существенно меньше 1. В этом случае операция перемножения 〃i〃2 практически сводится к регистрации совпадений.

На фиг. Д.14 показана схема экспериментальной установки, использованной в [74] для измерения корреляционной функции интенсивности излучения от одночастотного стабилизированного по амплитуде гелий-неонового лазера и квазитеплового источника, создаваемого при прерывании луча газового лазера вращающейся матовой пластиной.

В качестве элемента задержки, кроме одновибраторов, используются линии задержки. Одновибраторы позволяют получить весьма большие времена задержки, но вносят мертвое время, равное времени задержки.

Линии задержки не вносят мертвое время, но с их помощью трудно получить время задержки более 1 мкс. Схема задержанных совпадений обладает высоким временным разрешением, определяемым фактически быстродействием ФЭУ, формирователей импульсов и схем совпадений, которые можно сделать меньше 10 нс. Общим недостатком схемы задержанных совпадений независимо от типа применяемой задержки является то, что измерения приходится повторять несколько раз для различных времен задержки. Путем усложнения измерительной аппаратуры,

применяя многоканальную схему совпадений с набором элементов задержки и накопительных элементов, этот недостаток можно частично устранить [157].

Для упрощения аппаратуры, применяемой для измерения корреляционных функций интенсивности, Джейкмен и Пайк [158] предложили использовать так называемый метод одноканальной привязки.

Идея метода привязки аналогового сигнала к какому-то уровню была высказана еще в 1943 г. ван Флеком [159]. Ван

ФИГ. Д.14. Блок-схема установки для измерения корреляционных функций интенсивности по методу задержанных совпадений.

Флек рассматривал корреляционную функцию гауссова сигнала, преобразованного следующим образом: если сигнал больше среднего значения, ему приписывается значение 1, если меньше, то — 0. Ван Флек показал, что корреляционная функция преобразованного сигнала равна арксинусу корреляционной функции исходного сигнала, т. е. информация о корреляционной функции при таком преобразовании не теряется. Предложенный Джейк- меном и Пайком метод есть фактически применение идеи ван Флека к дискретным сигналам.

В случае дискретного сигнала /г(£) также вводится некоторый уровень привязки k и, если число импульсов, сосчитанных за время выборки Т, превышает 瓦 то преобразованный сигнал 〃(幻(/) принимает значение 1, если меньше k или равно 左，то сигнал принимает значение 0. Такого рода привязка сигнала может проводиться или в одном канале, при этом сигнал во втором канале не меняется, или в обоих. Соответственно и метод называется методом одноканальной или двухканальной привязки. • .

Далее сигналы с обоих каналов, в один из которых введена задержка, перемножаются, сигнал с умножителя поступает на накопитель.

Джейкмен и Пайк рассмотрели одноканальную схему привязки в случае гауссовых случайных процессов, нормированная корреляционная функция интенсивности которых равна

〈/г(О)/г(т)〉/(〃〉2 = 1 +|g⑴(т)|2. Они показали, что

券能？ = 1 +g⑴⑴F，

т. e. корреляционная функция в схеме одноканальной привязки линейно связана с корреляционной функцией интенсивности и равна ей, если уровень привязки k =〈/г). В общем случае для негауссовых полей связь корреляционной функции, измеряемой

ФИГ. Д.15. Блок-схема установки для измерения корреляционных функций интенсивности по методу одноканальной привязки [160].

в методе одноканальной привязки, с корреляционной функцией интенсивности исходного процесса не такая простая. Джейкмен и Пайк указали также на то, что метод задержанных совпадений можно рассматривать как частный случай метода двухканальной привязки с уровнями 论=0. Необходимым условием правильной передачи корреляционной функции интенсивности в этом случае является неравенство (n) <С 1.

На фиг. Д.15 показана схема радиотехнического устройства, которое было использовано для реализации метода одноканальной привязки [160]. Это устройство было применено для измерения коэффициента диффузии протеиновых молекул в водных растворах.

Импульсы после формирователя разделяются на два канала. В одном из каналов стоит блок привязки, в качестве которого может быть использован счетчик k + 1 импульсов. Импульсы с выхода блока привязки поступают в регистры сдвига, на которые с некоторой частотой 1/Т поступают тактовые импульсы.

Например, если в некоторый момент времени в 1-м регистре сдвига зафиксировано состояние《1》，то в момент прихода тактового импульса состояние 《1》 переходит во 2-й регистр, а 1-й регистр сбрасывается на 0. Таким образом, регистры сдвига работают как линия задержки на время пТ, где /г — число регистров. Если какой-то регистр находится в состоянии 《1》，то соответствующее ему ключевое устройство открыто и импульсы с формирователя проходят на накопитель. Меняя частоту прихода тактовых импульсов, можно легко менять временной масштаб измерителя. Временное разрешение метода одноканальной привязки определяется периодом следования тактовых импульсов.

Был разработан и применен метод измерения корреляционных функций интенсивности, в котором с помощью преобразователя время — амплитуда измеряется распределение интервалов времени между импульсами [161]. Этот метод обладает большим временным разрешением и позволяет в одном измерении сразу получать корреляционную функцию. Импульс, идущий с одного ФЭУ, запускает преобразователь время ——амплитуда, а первый импульс, пришедший с другого ФЭУ, останавливает его. Амплитуда импульса на выходе преобразователя пропорциональна временному интервалу между этими импульсами. Информация об амплитуде запоминается в амплитудном анализаторе. Таким образом, в конечном счете в амплитудном анализаторе измеряется функция распределения временных интервалов между последовательными импульсами. Временное разрешение этого метода определяется в основном быстродействием преобразователя. Такой же метод можно использовать с одним ФЭУ, в этом случае временное разрешение нельзя сделать лучше мертвого времени формирователей импульсов.

В рассматриваемом методе измеряемая величина, т. е. распределение временных интервалов 呼(т), вообще говоря, не пропорциональна корреляционной функции интенсивности. Как показано в [162], распределение 呼(т) имеет вид

t+T

ц(1 (/)7 (/ + т) ехр [- П j / (U)叫〉

W (т) =〈 / ⑴〉•(Д«17)

В частности, для когерентного поля / (/) = const получаем известный результат:

呼 «) = П〈/(9〉ехр [— т)〈/ (0) т].

Флуктуации интенсивности приводят к отклонению распределения 例(t) от экспоненты. Если W (т) известно, то точно рассчитать 〈/«)/(% + 工)〉можно только в двух случаях.

Если пзвссгпа статистика исследуемого излучения. Рази (/(/)/(宀)) по известному распределению W(т) для гауссовых полей с лоренцевой формой спектра проведен в работе [1()3].

Если среднее число импульсов, регистрируемых в пределах времен гл, значительно меньше 1, то в этом случае экспонента в выражении (Д.17) примерно равна 1 и 步(t) ~〈/(/)/« +1)〉・

5. Регистрация слабых световых сигналов

Рассмотрим вначале регистрацию слабых непрерывных световых сигналов. В настоящее время считается общепризнанным,

ФИГ. Д.16. Система регистрации слабых непрерывных световых сигналов.

что техника фотоотсчетов позволяет получить наибольшую чувствительность. Оптимизация отношения сигнал/шум в методе фотоотсчетов объясняется тем, что здесь путем введения дискриминаторов нижнего и верхнего уровней можно оптимальным образом использовать различие в распределении по амплитудам одноэлектронных шумовых и сигнальных импульсов. Кроме того, счет фотонов позволяет непосредственным образом применять цифровую обработку сигналов.

На фиг. Д.16 показана оптимальная система фотоотсчетов для регистрации слабых непрерывных световых сигналов.

Система работает следующим образом. Заслонка перед ФЭУ вначале открыта, и в течение некоторого времени Т счетчик работает в режиме суммирования, прибавляя к накопленному результату сигнальные и шумовые импульсы. Затем заслонка закрывается, и в течение того же промежутка времени Т счетчик работает в режиме, при котором шумовые импульсы, пришедшие с ФЭУ, вычитаются. Если сигнал отсутствует, то среднеквадратичные показания счетчика растут пропорционально Nt (где f — общее время счета) как среднеквадратичные отклонения в задаче о случайных блужданиях. Показания счетчика при регистрации только одного сигнала растут пропорционально /, так что при достаточно больших временах измерения сигнал преобладает над шумом. Этой схеме может быть сопоставлена схема фазового детектирования в аналоговой технике,

В последнее время появились системы регистрации спектров слабых импульсных световых сигналов, возможный вариант которых приведен на фиг. Д.17. Вплотную к выходной щели спектрографа ставится усилитель яркости с коэффициентом усиления, достаточным для того, чтобы можно было зарегистрировать

ФИГ. Д.17. Система регистрации спектра слабых импульсных световых сигналов.

световые вспышки от отдельных фотоэлектронов, вылетающих с катода усилителя яркости. При достаточно слабом световом сигнале на входе усилителя яркости его изображение на выходе состоит из отдельных точек. На выходе наблюдаются также вспышки от термоэлектронов, вылетающих с катода. Вслед за усилителем яркости стоит телевизионная передающая трубка, расположенная так, что построченная развертка идет поперек изображения щели, т. е. каждой строке соответствует своя длина волны. Время послесвечения должно быть больше времени полной развертки кадра. Сигналы с телевизионной трубки, соответствующие световым точкам на выходе усилителя яркости, суммируются в памяти амплитудного анализатора, причем каждому каналу памяти соответствует своя строка и, следовательно, своя длина волны. Таким образом, в амплитудном анализаторе фиксируется непосредственно спектр излучения.

12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

ЛИТЕРАТУРА

Амбарцумян Р. В., Бажулин С. 77., Басов Н. Л, Летохов В. С., ЖЭТФ, 58, 441 (1970).

Амбарцумян Р. В., Басов Н. Л, Крюков П. Л, Летохов В. С., Письма в ЖЭТФ, 3, 261 (1966); ЖЭТФ, 51, 724 (1966).

Амбарцумян Р. В., Крюков /7. Г., Летохов В. С., Матвеец Ю. 4, Письма в ЖЭТФ, 5, 378 (1967); ЖЭТФ, 53, 1955 (1967).

Ананьев Ю. /., Чернов В. ”.，Шерстобитов В. £., в сб. «Квантовая электроника», № 4, 12 (1971).

Андронова И. 4, ЖЭТФ, 56, 417 (1969).

Андронова И. А., Зайцев Ю. 〃.，Изв. высш. уч. зав. (Радиофизика), 11, 149 (1968).

Аракелян С. М., Арутюнян А. Г., Ахманов С. 4, Гункин В. Г., Чиркин А. С., Квантовая электроника, 1, 215 (1974).

Арсеньев В. В., Днепровский В. С., Клышко Д. 〃.，Сысоев Л. Д., ЖЭТФ, 60, 114 (1971).

Арсеньев В. В., Днепровский В. С., Кльнико Д. Я., Фокин В. С., Хатта- тов В. У., ЖЭТФ, 63, 776 (1972).-

Арсеньев В. 8., Днепровский В. С., Клышко Д. Я., Хаттатов В. У., в сб. «Квантовая электроника», № 7, 82 (1972).

Арутюнян А. Г., Ахманов С. 4, Голяев Ю. Д., Тункин В. Г., Чиркин А. С., ЖЭТФ, 64, 1511 (1973).

Арутюнян А. Г., Ахманов С. 4, Тункин В. Г., Чиркин 4 С., ЖЭТФ, 62, 70 (1972).

Арутюнян А. Г., Тункин В. Л, Чиркин А. С., в сб. «Квантовая электроника», № 1, 111 (1973); авторское свидетельство № 421880.

Ахманов С. 4, О влиянии флуктуаций на протекание переходных процессов в автоколебательных системах, диссертация, МГУ, М., 1963.

Ахманов С. 4, Антонов Г. Ф., Изв. высш. уч. зав. (Радиофизика), 3, 405 (I960).

Ахманов С. 4, Голяев Ю. Д., Дмитриев В. Л, ЖЭТФ, 62, 132 (1972).

Ахманов С. А., Чиркин А. С., Статистические явления в нелинейной оптике, изд-во МГУ, 1971.

Баженов С. В., Бразовский В. Е, Телегин Г. Г., Опт. и спектр., 35, 108 (1973).

Бакланов Е. В., Раутиан G. Л, Трошин Б. 〃.，Чеботаев В. 〃.，ЖЭТФ, 56, 1120 (1969).

Барабаненков Ю. Н., Кравцов Ю. 4, Рытое С. М., Татарский ' В. И.、 УФН, 102, 3 (1970).

Бернштейн И. 〃.，Андронова И. 4., Зайцев Ю. 〃.，Изв. высш. уч. зав. (Радиофизика), 10, 59 (1967).

Богатов А. 〃.，Елисеев П. Г., Манько М 4, Тхай Ч. М, Краткие сообщ. по физике, ФИАН, № 9, 60 (1971).

Бондаренко Н. Л, Еремина И. В., Таланов В. Я., ЖЭТФ, 46, 1500 (1964).

Боровицкий С. Я., Горелик Г. С., УФН, 59, 543 (1956).

Быковский Ю. 4, Елхов В. 4, Ларкин А. Я., ФТП, 4, 962 (1970).

Введенский Б. С., Логгинов А. С., Рандошкин В. В., Сенаторов К. Я., ПТЭ, № 2, 186 (1974).

Волновые и флуктуационные процессы в лазерах, под ред. Ю. Л. Кли- монтовича, изд-во «Наука», 1974.

Воронин Э. С., Ильинский Ю. 4, Прокопенко В. Е, Соломатин 8. С., Старков Г. С., ПТЭ, № 5, 200 (1971).

Воропай Е. С., Саржевский А. М., Сотский Б. А., Журн. прикл. спектроскопии, 7, 834 (1967).

Геликонов В. At, Зайцев Ю. 〃.，Изв. высш. уч. зав. (Радиофизика), 13, 905 (1970).

Герке Р. Р, Денисюк Ю. "., Локшин В. Я., Опт.-мех. пром., № 7, 22 (1968).

Горелик Г. С., ДАН СССР, 43, 46 (1947).

Дерюгин И. 4, Абдуллаев Р. Д., Куратов В. "., Мирзаев А. Т., Настич В. ”.，Радиотехника и электроника, № 8, 1622 (1972).

Дерюгин И. Л., Куратов В. 〃.，Мирзаев А. Т., Опт. и спектр., 33, 1129 (1972).

Дерюгин И. 4, Мирзаев А. 7\, Укр. физ. журн., 16, 858 (1971).

Дерюгин И. 4, Куратов В. //., Мирзаев 4 Т., Укр. физ. журн., 17, 944 (1972).

Дрейден Г. В., Островский Ю. И., Шведова Е. Н., Опт. и спектр., 32, 367 (1972).

Егоров Ю. /7., Письма в ЖЭТФ, 8, 525 (1968).

Зайцев Ю.以，ЖЭТФ, 50, 525 (1966).

Зайцев Ю. И., Изв. высш. уч. зав. (Радиофизика), 12, 60 (1969).

Зайцев Ю. Я., Изв. высш. уч. зав. (Радиофизика), 13, 898 (1970); 13, 1574 (1970).

Зайцев Ю. Я.； Степанов Д. 〃.，Письма в ЖЭТФ, 6, 733 (1967); ЖЭТФ,

1645 (1968).

曲3. Зельдович Б. Н, Кузнецова Т. И., УФН, 106, 47 (1972).

Казанцев А. 〃.，Сурдутович Г. И., ЖЭТФ, 56, 200 (1969); 58, 245 (1970).

Казарян Р. 4, Сидоров С. 〃.，Рылов Г. Е., ДАН Арм. ССР, 56, 79 (1973).

Климентович Ю.刀.，Ковалев А. С., Ланда /7. С., УФН, 106, 279 (1972).

Кляцкин В. Я., Татарский В. 〃.，Изв. высш. уч. зав. (Радиофизика), 15, 1433 (1972).

Лейкин А. Я., Соловьев А С., Зимоносов Г. 〃.，Труды метролог, ин-та СССР, вып. 90(150), 43 (1967).

Леонтович А.死，Чуркин В. Л., ЖЭТФ, 59, 7 (1970).

Летохов В. С., ЖЭТФ, 55, 1077, 1943 (1968).

Летохов В. С., Маркин Е. /7., ЖЭТФ, 48, 770 (1965).

Мазанько И. /7., Трошкин Ю. С., Ярошенко Н. Г., Опт. и спектр., 31, 637 (1971).

Малахов А. Н.、Флуктуации в автоколебательных системах, изд-во «Наука», М., 1968.

Малахов А. Н., Сандлер М. С., Радиотехника и электроника, 16, 299 (1971); Изв. высш. уч. зав. (Радиофизика), 14, 845 (1971).

Махнев В. /7„. Телегин Г.「.，ЖЭТФ, 63, 1212 (1972).

Морозов В. 4, Седельников В. 4, Тучин В. В., ПТЭ, № 5, 192 (1971).

Назарова Л. Г., Опт. и спектр., 29, 757 (1970).

Покасов В. В., Хмелевцов С. С., Опт. и спектр., 25, 945 (1968).

Ринкевичюс 5 С., УФН, 111, 305 (1973).

Рытое С. М., Введение в статистическую радиофизику, изд-во «Наука», М., 1966.

Смирнов А. Л, Стаселько Д. И., Терентьев В. Е, Опт. и спектр., 31, 103 (1971).

Стаселько 〃 //., Денисюк Ю. 〃.，Опт. и спектр., 28, 323 (1970).

Телегин Г. /'.,勿сае〃 В. Д., Фолин Л. Г., Опт. и спектр., 28, 353 (1970).

^64. Тункин /3. /：, Чиркин А. С., ЖЭТФ, 58, 191 (1970).

«65. Чиркин А. С, Жури, прикл. спектр., 19, 56 (1973).

^66. Чиркин 4 С, ЖЭТФ, 60, 1584 (1971).

Ахманов /1. С., Чиркин А. С., Opto-electron., 3, 111 (1971).

/ Ахманов А. С., Чиркин А С., Гункин В. Г., Opto-electron, 1, 196 (1969).

Allen L, Peters G. /., J. Phys. A., 4, 377 (1971); 5, 695 (1972).

Arecchi F. 7\, Phys. Rev. Letters, 15, 992 (1965).

Arecchi F. T., Berne Л., Sona 4, Phys. Rev. Letters, 17, 260 (1966).

Arecchi F. T., Degiorgio V., Phys. Rev., АЗ, 1108 (1971).

Arecchi E T., Degiorgio V., Laser Handbook, Amsterdam, vol. 1, 1972, p. 191.

Arecchi F. T., Gatti E., Sona A., Phys. Letters, 20, 27 (1966).

Arecchi E 7., Giglio 而.，Sona %., Phys. Letters, 25A, 341 (1967).

Armstrong /. 4, Physics today, 4, 34 (1971).

Armstrong J. A., Smith A.呼.，Phys. Rev. Letters, 14, 68 (1965); Phys. Rev., 140, A155 (1965).

Armstrong J. 4, Smith A.呪，Progress in Optics, 1967, vol. 6, p. 213.

Auston D. 〃.，Appl. Phys. Letters, 18, 249 (1971).

80： Bailey R. L., Sanders J. "., Phys. Letters, 10, 295 (1964).

Bellisio /. 4, Freed C., Haus ". 4, Appl. Phys. Letters, 4, 5 (1964).

Bertolotti M., Crosignani B., Di Porto P., Sette D., Phys. Rev., 150, 1054

(1966).、

Bertolotti M, Daino B., Gori E, Sette D, Nuovo Cimento, 38, 150o' (1965).

Bertolotti M., Daino B., Sette D., Nuovo Cimento, 33, 1705 (1964).

Boileau E, Battifol J. M., Crergeot 〃.，Picinbono B., Rev. Phys. Appl.,

23 (1971).

Bolwijn P. T., Phys. Letters, 13, 311 (1964).

Bolwijn P. T., Alkemade С. T. /., Boschloo G. A., Phys. Letters, 4, 59 (1963).

Cantrell C. D, Lax M., Smith 呪 4, Phys. Rev., 7, 175 (1973).

Chopra S., Mandel L., Phys. Rev., Letters, 30y 60 (1973).

Chwalko R., Stepinski S., Hammer，.，Acta Phys. Polon., 29, 753 (1966).

Collins R. j., Nelson D. E, Schawlow A. L, Bond M, Garrett C. D B., Kaizer 呪，Phys. Rev. Letters, 5, 303 (I960).

Csillag L., Janossy AL, Kantor R., Phys. Letters, 20, 636 (1966).

Cummins H. Z., в сб. Quantum Optics, ed. R. J. Glauber, New York, 1969, p. 247.

Davidson F., Klebba J., Laurence C., Tittel F., Appl. Phys. Letters, 17, 117 (1970).

De Maria A. /., Glenn W.，.，Brienza M. /., Mack M. E, Proc. IEEE, 57, 2 (1969) [см. перевод: ТИИЭР, 57, № 1, 5 (1969)].

Degiorgio V., Alta frequenza, 41, 782 (1972).

Duguay M. A, Hansen J. M, Shapiro S. L., IEEE J. Quant. Electron., 6, 725 (1970).

Freed C., Haus H. 4, Phys. Rev. Letters, 15, 943 (1965).

Freed C., Haus H. 4, Phys. Rev., 141, 287 (1966); Appl. Phys. Letters,

85 (1965); IEEE J. Quant. Electron., 2, 190 (1966).

Gloge D, Lee T. P, J. Appl. Phys., 42, 307 (1971).

Gloge D, Lee T. P., IEEE J. Quant. Electron., 7, 43 (1971).

Gloge D, Roldan R., Appl. Pbys. Letters, 14, 3 (1969).

Heriott R., J. Opt. Soc. Amer., 59, 31 (1962).

Hinkley E D., Freed C., Phys. Rev. Letters, 23, 277 (1969).

Jaseja Т. S., Javan 4, Townes C., Phys. Rev. Letters, 10, 165 (1963).

Janossy Л1., Csillag L., Kantor K・，Phys. Letters, 18, 124 (1965).

Javan 4, Batik E. 4, Bond 呪 L, J. Opt. Soc. Amer., 52, 96 (1962).

Javan 4, Bennett W. R., 〃.，Herriott D R, Phys. Rev. Letters, 6, 106 (1961).

Magyar G., Opto-Electron., 2, 68 (1970).

Manes K. A・，Siegtnan 4 反，Phys. Rev., A4, 373 (1971).

Meltzer D., Mandel L, Phys. Rev. Letters, 25, 1151 (1970); Phys. Rev., A3, 1763 (1971).

Morley D C. %, Schofield D. G., Allen L., Jones D. G. C., Brit. J. Appl. Phys., 18, 1419 (1967).

Nagai ”.，Jap. J. Appl. Phys., 11, 410 (1972); IEEE J. Quant. Electron., 8, 857 (1972).

Ohtsuka У., Opt. Acta, 18, 879 (1971).

Ohtsuka У., Phys. Letters, 34A, 279 (1971); 36A, 151 (1971).

Peters G. /., Allen L, J. Phys. 4, 4, 238 (1971); 5, 546 (1972).

Pike E. R., в сб. Quantum Optics, 2ds. S. M. Kay, A. Maitland, New York, 1970, p. 127.

Prescott J. /., van der Ziel 4, Appl. Phys. Letters, 5, 48 (1964); Phys. Letters, 1、2, 0317 (1964).

Schawlow A. L., Townes C. ”.，Phys. Rev., 112, 1940 (1958).

Sieg man A. E, Arrathoon R., Phys. Rev. Letters, 20, 901 (1968); J. Appl. Phys., 40, 910 (1969).

Siegtnan A. E, Daino B., Manes K. R., IEEE J. Quant. Electron., 3, 160 (1967).

Smith A.取.，Armstrong /. 4, Phys. Letters, 16, 38 (1965).

Smith 4 取.，Edmonds H. D, IEEE J. Quant. Electron., 7, 94 (1971).

Tittel 尸.，Klebba Л, Davidson Л, Appl. Optics, 10, 213 (1971).

Valignat S., Erbeia 4, Opt. Comm., 1, 135 (1969).

Weber H. P., Gloge D, Appl. Phys. Letters, 17, 231 (1970).

Young M., Drewes P. L., Opt. Comm., 2, 253 (1970).

Smith A.呪，Armstrong J. 4, IBM J. Res. and Develop., 10, 225 (1966).

Smith P.呼.，Proc. IEEE, 58, 1943 (1970) [см. перевод: ТИИЭР, 58, № 9, 49 (1970)].

Eckardt R. C., Lee C. 〃.，Appl. Phys. Letters, 15, 425 (1969).

Rentzepis P. M, Mitschell /., Saxman C. 4, Appl. Phys. Letters, 17, 122 (1970).

Shapiro S. L., Appl. Phys. Letters, 13, 19 (1968).

Абросимов Г. 8., Опт. и спектр., 31, 106 (1971).

Аракелян С. М, Арутюнян 力.Г., Тункин В. Г., Чиркин А. С., Пространственная когерентность нулевой моды лазерного излучения. Физические основы регистрации и обработки информации лазерным излучением, Киев, 1973, стр. 4.

Басов ". Г., Бутслов М. М., Крюков /7. Л, Матвеец Ю. 4, Смирнова Е. 4, Степанов Б. М., Фанченко С. 〃.，Чекалин С. В., Чикин Р.左, ЖЭТФ, 65, 907 (1973).

Беспалов В. 〃.，Пасманик Г. 4, ДАН СССР, 210, 309 (1973).

Бетин А. Д., Пасманик Г. А., в сб. «Квантовая электроника», № 4, 60 (1973),.

Веревкин Ю. К・，Дауме Э. Я., Макаров А. И., Новиков М. А., Хиж- няк А. 〃.，Изв. высш. уч. зав. (Радиофизика), 14, 840 (1971).

Дерюгин И. А., Куратов В. "., Опт. и спектр., 29, 345 (1970).

Ермакова Н. Д., Чиркин А. С., Нелинейная оптика. Библиография (разд. IX. 7), изд-во МГУ, 1973.

Кузнецова Т. Я., ЖЭТФ, 57, 1673 (1969).

Пасманик Л 4, ДАН СССР, 210, 1050 (1973).

Morton С. 4, Appl. Phys., 7, 1 (1968).

Coates 〃. 〃.，J. Phys. 1). 6, 153 (1973).

Bertolaccini M., Cova S., Energ. Nucl., 10, 259 (1963).

Oliver C.丄，〃/e £. /，J. Phys. D, 1, 1459 (1968).

Wolber l匕 G, Res. Develop., 19, 18 (1968).

Arecchi /；. T., в книге Quantum Optics, ed. R. J. Glauber, New York, 1969, p. 57.

Bedard G., Proc. Phys. Soc., 90, 131 (1967).

Arecchi F. T., International School of Physics «Enrico Fermi》，XLII Course, Quantum Optics, July 31 — August 19, 1967.

Kendall M G., The Advanced Theory of Statistics, New York, vol. 1, 1963.

Goldstein R. J” Hagen 步.E, Phys. Fluids, 10, 1349 (1967).

Pike E. R., Jockson D. 4, Bouske R. /., Page D. /., J. Phys. D, 1, 727 (1968).

Hanbury Brown R., Twiss R. Q., Nature, 177, 27 (1956).

Klauder J. R., Sudarshan E. C. G., Fundamentals of quantum optics, 1968 (см. перевод: Дж. Клаудер, 3. Сударшан, Основы квантовой оптики, изд-во «Мир», М., 1970).

Аракелян С. М. “ др.、Письма в ЖЭТФ, 19, 571 (1974).

Kikkawa 4, Yoshimuro Т., Suzuki М, J. Appl. Phys., 12, 586 (1973).

Jakemen E., Pike E. R., J. Appl. Phys., A2, 411 (1969).

Van Vleck J. "., Harvard University Radio, Res. Lab. Rep., N 51, 1943,

Foord R., Jakemen E, Jones R., Oliver C. /., Pike E. R., IERE Conferencs ProcpcdinN 14 1

Davidson^F., Mandel L： J. Appl. Phys., 39, 62 (1968).

Troup G. /., Proc. Phys. Soc., 87, 361 (1966).

Rousseau M., Compt. Rend., 268, В1477 (1969).

Агейкин В. А. и др., Опт. и спектр., 36, 808 (1974).、

Интерферометрические измерения ширины линии излучения импульсного инжекционного лазера на основе PbSe.

Александров Е 6., Кулясов В. "., Опт. и спектр., 35, 567 (1973). Двухканальная схема регистрации спектра флуктуаций интенсивности излучения.

Алимов Д. Т. и др., Краткие сообщ. по физике, ФИАН, № 5, 16 (1973). Экспериментальное исследование роли статистики лазерного излучения в процессе многофотонной ионизации атома.

Белокриницкий И. С., Гнатовский А. В., Данилейко М. В., Шпак М. Г., Укр. физич. журн., 18, 1809 (1973).

Исследование пространственной когерентности излучения газовых ОКГ.

Бразовский В. Е., Телегин Г. Л, Опт. и спектр., 36, 739 (1974).

Переходные процессы и статистические явления в гелий-неоновом лазере при медленном изменении параметра накачки.

Введенский 5. С., Логгинов 4. С., Сенаторов К. С., Квантовая электроника, 1, 1232 (1974).

Временная когерентность излучения инжекционных лазеров.

Вирник Я. 3., Радиотехника и электроника, 19, 775 (1974).

Естественные флуктуации амплитуды в распределенной модели лазера бегущей волны.”

Гуськов Л. 〃.，Трошин Б. Я., ПТЭ, 125 (1974).

Схема для измерения функций распределения флуктуаций интенсивности излучения лазера.

Дерюгин И. 4, Куратов В. Я., Абдуллаев Р. 4, Настич В. Я., Изв. АН СССР, сер. физич., 37, 2115 (1973).

Статистические характеристики излучения многочастотного лазера.

Долотков В. М, Кричевский В. И., Шевченко В. В., ПТЭ, № 4, 211 (1973).

Исследование пространственной когерентности серийных газовых лазеров.

Зайцев Ю. Я., в сб. «Квантовая электроника», № 5, Киев, «Наукова думка», 1973, с. 77.

Экспериментальное исследование флуктуаций интенсивности излучения двухмодового гелий-неонового лазера.

Зборовский В. 4, Молчанов М. И., Туркин А. 4, Ярошенко Н. Г., Опт. и спектр., 34, 1213 (1973).

Измерение естественной ширины линии неон-гелиевого лазера бегущей волны в области 0,63 мкм.

Зеленое А. Д., Райхман 5. 4., Семенов Е. 〃., Оптико-мех. пром., № 6, 68 (1974).

Стабилизация мощности излучения лазера Л Г-23.

Кац М Л., Седельников В. 4, Тучин В.左，Радиотехника и электроника, 18, 2089 (1973).

Флуктуация излучения двухмодового газового лазера.

Кечкемета 〃.，Козма 〃.，Acta phys. et chem. Szeged., 19, 429 (1973).

Об исследовании спонтанного и вынужденного излучения растворов органических красителей.

Мальцев А. 4, Радиотехн. и электроника, 18, 572 (1973).

Естественная ширина спектральных линий трех мод эквидистантного спектра в режиме их самосинхронизации.

Маркелов Н. 4, Рогачев В. А., Туркин А. 4, Изв. высш. уч. завед. (Радиофизика), 16, 545 (1973).

Экспериментальное исследование флуктуаций разностной частоты кольцевого лазера.

Милушкин Г. 4, Трошин Б. И., Квантовая электроника, 1, 91 (1974). Исследование флуктуаций частоты гелий-неонового лазера на длине волны 0,63 мкм в технической области спектра.

Паршин А. 8., Оптико-мех. пром., № 6, 67 (1974).

Стабилизация мощности Не—Ne лазера.

Пойзнер Б. ”.，Портнова Т. С., Цидулко И. И., Изв. высш. учеб, заведений (Радиофизика), 17, 350 (1974).

Естественная ширина спектральных линий видов колебаний двухчастотного газового ОКГ в автономном режиме и при синхронизации световым сигналом.

Стаселько Д. Я., Воронин В. 6, Смирнов А. Г., Опт. и спектр., 34, 561 (1973).

Голографический метод измерения флуктуаций пространственной когерентности.

Bendjaballah С., Perrot R, J. Appl. Phys., 44, 513 (1973).

Statistical properties of intensity-modulated coherent radiation. Theoretical and experimental aspects..

Blodgett /. 4, Patten R. 4, Appl. Optics, 12, 2147 (1973).

Measurement of the coherence of a single laser pulse.

Bradley D /., Opto-electron., 6, 25 (1974).

Generation and measurement of frequency-tunable picosecond pulses from dye-lasers.

Brosson P., Patel M, Ripper J. E, Appl. Phys.. Letters, 23, 94 (1973).

Effect of saturable absorption on the behavior of spontaneous emission in semiconductor lasers.

Brown D. C., Ginsburg M, Appl. Phys. Letters, 24, 287 (1974).

Study of noise in He—Cd+ laser.

Corti M, Degiorgio V., Opt. Com., 11, 1 (1974).

Third-order intensity correlations in laser light.

Corti M, Degiorgio V., Arecchi F. T., Opt. Com., 8, 329 (1973).

Measurements of the fine structure of laser intensity correlations near threshold.

Davidson /•., dmo С M, Tittel Е К., Hohimer J. Л, IEEE J. Quant.

Elcclro!!., QI： К), -КИ) (1974).

Pliolon shitislics of a cw dye laser with and without internal etalons.

Delfino G, Opt. Com., 8, 1104 (1973).

On the tlieriiiocliffusion effect in the cw He—Ne laser.

Diguay M. /., Savage A., Opt. Com., 9, 212 (1973).

Picosecond optical sampling oscilloscope.

Gupta S., Mehta C. L., Phys. Rev., A., 8, 1630 (1973).

Determination of the statistical properties of light by photodetectors with a finite dead time.

Kimble H. J., Mandel L., J. Opt. Soc. Amer., 63, 1550 (1973).

Spatial coherence of laser output far below thresold.

Lecompte C., Mainfray G., Manus C., Sanchez 尸.，Phys. Rev. Letters, 32, 265 (1974).

Experimental demonstration of laser temporal coherence effects on multiphoton ionization processes.

Maes J. P., Noore M, J. Phys. E., 6, 15 (1973).

An intensity stabilizing circuit for a cw laser.

Paoli T. L, Appl. Phys. Letters, 24, 187 (1974).

Intrinsic fluctuation in the output intensity of double-heterostructure junction laser, operating continnously at 300 °K.

Ross M, Seliger K., 2nd Int. Conf. Gas. Discharge, 1972, London 1972, p. 115.

Coherence properties and saturation broadening of 337 nm № laser pulses.

Saleh B. 4, J. Phys. A„ 6, 980 (1973).

Statistical accuracy in estimating parameters of the spatial coherence function by photon counting techniques.

Sanchez 尸.，Lecompte C., Appl. Optics, 13, 1071 (1974).

Q-switched Nd3+ glass laser of variable temporal coherence.

Sommers H. S., 〃.，North D. O., J. Appl. Phys., 45, 1787 (1974).

Spontaneous power and the coherent state of injection lasers.

Steinvall O., Anvari 4, J. Phys. E., 6, 1125 (1973).

The desing and coherence properties of a simple N2 laser.

Tomov /. V., Opt. Com., 10, 154 (1974).

Ultrashort pulse measurements using a nonlinear mirror.

Автокорреляционная функция 57

Аналитический сигнал 17, 85, 97, 99

Аппаратная матрица 87, 88

Аттенюатор 88

Бейкера — Хаусдорфа тождество 189

Бляшке фаза 64

минимальная 65

проблема отыскания 59—68

Бляшке факторы 55, 64

Бозе ——Эйнштейна распределение 145, 168

Ван Циттерта — Цернике теорема 46

Векторный потенциал 166

положительно-частотная часть 166

Взаимная интенсивность 40, 71

спектральная 120

Взаимная спектральная плотность 24 .

Взаимная спектральная чистота излучения 32, 48, 57—59

Взаимная функция когерентности 20, 37, 44, 46

аналитические свойства 25

для некогерентного света 51

закон распространения 44— 48

факторизация 53—58

Взаимные спектральные тензоры 104— 107

Вигнера функция, см. Квазивероятность симметрично упорядоченная Видность 29, 31, 38, 47, 49, 50, 55, 59, 65, 91—93, 182

Винера,— Хинчина теорема 23, 24

Волновое уравнение в вакууме 26 для тензоров корреляции 101 Волновой пакет 193, 194

минимальная неопределенность 193

Гамильтониан при параметрическом усилении 221

Гейзенберга представление 170—172

Глаубера — Сударшана представление 199—209

квазивероятность

——временная эволюция 220

существование 200, 201, 217

Гопкинса формула 48

Грина функция 41, 222, 223

Группировка фотонов 148, 150, 298

Гюйгенса ——Френеля принцип 57

Динамические уравнения

для взаимных спектральных тензоров 105

тензоров корреляции 99

Дисперсионные соотношения 18, 61

Дифракционная функция 41, 73, 115

Законы распространения 40, 78, 116, 124

Законы сохранения для тензоров корреляции 102, 103

Излучение (см. также Свет)

—в замкнутой полости 33

—кегерентное 52—57

—некогерентное 51

—псевдотепловое 148

—хаотическое 263—275

—черного тела 33, 269

Изображение, восстановление объекта 123—127

— соответствие объекту 127—130

Интегральная интенсивность 134

Интенсивность полная 74

Интерференция

—закон 38, 45, 71, 89, 220

—между независимыми световыми пучками 302—306

—многомодовая 220

—полосы 29—32, 38, 59, 188, 303

Квадратичные детекторы 21

Квазивероятность (плотность квазивероятности) 202

Квазивероятпость шп ипормалык) упо- рядоче!!1!；1я 2()1 2()5

—моменты 211

—нормально упорядоченная 201

—разложение 213

—симметрично упорядоченная 201 — 205

—соотношение свертки 209

—упорядочение 205, 206

Квазираспределение 243

Квантовая когерентность второго порядка 178—180 высших порядков 180—182 связь с классической когерентностью 224—231

Квантовые корреляционные функции 20, 173—178

смешанного порядка 185— 188

четвертого порядка 188

Квантовые счетчики 258

Квантовый гармонический осциллятор 165

Киллинга уравнение 82 Когерентность —временная 29, 47 —время 29

—второго порядка 36—50

—высших порядков 131, 157, 180

—объем 32

—площадь 31

—полная 56

—пространственная 31

—сильная 184

—слабая 184

—условие факторизации 197

—частичная 40

—четвертого порядка 131

Когерентные состояния 161, 189—199

временная эволюция 198 для многомодовых полей 197 обобщенные 197 разложение 191

скалярное произведение 191

соотношение неопределенностей 193

средние значения операторов 195-

электромагнитного поля 189 Компенсатор 88

Корреляционная интерферометрия 132, 152—160

Корреляционная функция 19—21 аналитические свойства 21, 26 волновое уравнение 26 временная инвариантность 232 высших порядков 131, 266

Корреляционная функция квантовая (см. Квантовые корреляционные функции)

поляризационные свойства 20, 24

связь квантовой и классической теорий 224—231

смешанного типа (порядка) 185—188

спектральная 21—22, 26—27

спектральные свойства 21—26

условие перекрестной симметрии 26

четвертого порядка 148

шестого порядка 157

Корреляция между фотодетекторами 154

Коэффициент наклона 44

Кумулянты 136, 155, 159, 271, 272, 284, 285

Лазер

—идеальный 140, 147, 151, 155, 277— 280

—реальный 280—288

—стабилизированный 147

—статистика излучения, экспериментальные данные 283—288

Ли дифференциал 82、

Майкельсона интерферометр (звездный) 50

Максвелловский тензор натяжений 98

Матрица интенсивности 72

взаимная 40—42, 73, 76

спектральная 87

среднее значение 174

Матрица ковариаций 267

Матрица когерентности 84—87

аналогия с матрицей плотности 95

измерения 94

собственные значения 94

спектральная 85

разложение 91

Матрица плотности 167, 171, 199—209, 242, 243

аналогия с матрицей когерентности 95

в представлении Глаубера — Сударшана 199—209

когерентных состояний 199

Шредингера 171, 220

для гауссова света 207, 214

многомодовых полей 263

суперпозиции полей 208

Матрица плотности существование диагонального представления 217 упорядочение 205 фоковские матричные элементы 200

Метод характеристического функционала ПО

Мерсера теорема 77

Минимальная фаза 65

Моменты

—высших порядков 110

—упорядоченные 278

— факториальные. 136

Мусхелишвили метод 62

□-упорядочение 238

Область изопланарная 114

Обобщенные функции 18, 210 умеренного роста 210 Объект

—восстановление по изображению 123—127

—соответствие изображению 127— 130

Объем когерентности 32

Оператор

—векторного потенциала 162

——временной эволюции 172

—детектирования 166

для многомодовых полей 250

правила коммутации 169

— нормальная форма 173—175

—поля 161—167

коммутаторы 169

упорядочение 238

—проектирования 77, 89

—рождения 163, 166

правила коммутации 163

—сдвига 189, 194—195, 224

—уничтожения 163, 166

правила коммутации 163

собственные функции 190

—хронологического упорядочения 172

—числа частиц 163

Оптическая корреляция 173—188

Оптические устройства, не формирующие изображения 87—89

Оптическое изображение 112—130 фурье-анализ 112—116 Оптическое пространство 80

Основная функция 210

Основное состояние 164

Отражение

—линейное 116

—нелинейное 117

— оптическое 112—123

Параметр вырождения излучения 33, 146, 154

Передаточная матрица 78

Передаточная функция 112—114

для когерентного света 115

обобщенная 118

Передаточный коэффициент 120

Плотность вероятности 109

—функционал ПО Поле

—бесшумовое 181

— квантовое 162—167

—когерентное 54—55, 181, 215, 288

— комплексное 16—19, 57, 109

—многомодовое 168, 197, 219, 250, 292

—нестационарное 54

—одномодовое 257, 290

—сильно когерентное 184

— слабо когерентное 184

—стационарное 19—21, 24—28, 103— 104, 183, 185

—хаотическое 143, 148, 215, 267, 288

—частично когерентное 184

—электромагнитное 16, 19, 36, 161— 172, 175—178, 267

Поляризатор 88

Представление взаимодействия 172

Причинность в квантовой электродинамике 170

Проблема моментов 138

Проблема существования квазивероятности 217

Распределение интегральной интенсивности 138—143

измерение при коротких временных интервалах 143—148

определение 134

разложение 140

Распределение числа фотонов 253, 257, 293, 298

Распределение числа фотоотсчетов (статистика фотоотсчетов)133—

153, 270—275, 284, 288, 289

для лазерного света 282

квантовый вывод 228—230

факториальные моменты 228, 231

S-матрица 172, 220

s-упорядочение 240, 275

s-упорядоченные моменты 252—254.

Сверхразрешение 125

Свет (см. также Излучение)

— идеального лазера 140, 147, 151, 155, 277—280

Свет KBjniiMonoxpoMiiTiPKH'Kiiii 20, 34—35, 46

—когерентный 28, 121

—некогереп nii.iii 121

—неполярпзоваппыи 91—93, 149

—поляризованный 91—93, 149

— реального лазера 280—288

—стохастическое описание 109

—хаотический 140, 148, 157, 269

Световой тензор 81

Соответствие между объектом и его изображением 127

Соотношение фотодетектирования 134, 144 квантовый вывод 225—227 Спектр мощности 42, 45 Спектральная плотность взаимная 24 нормированная 30 Среднее значение нормально упорядоченного оператора 199

оператора 171

Среднее по вакууму для нормально упорядоченных полей 225

Статистические состояния 167.

Степень когерентности 27, 38—39, 45—47, 52—53, 80—83, 156, 184 аналитические свойства 55 второго порядка 38 для излучения черного тела 32 суперпозиции полей 67, 68

Степень поляризации 93

Степень разрешения 126

Стокса параметры 84—87, 93 спектральные 86

Суперпозиция когерентных и хаотических полей

распределение числа фотонов 293, 298

интегральной интенсивности 293, 295, 297

характеристические функции 292, 293, 296

Тензоры корреляции 96—99 волновые уравнения 101 динамические уравнения 99 законы сохранения 102 ' квантовые аналоги 269—270 условия неотрицательности 105—107

Теорема выборки 69

Тепловое излучение 182

Ультрараспределения 211 Упорядочение операторов антинормальное 254, 258—262

Упорядочение операторов нормальное 254

связь между различными способами 245

симметричное вейлевское 254

Условие перекрестной (кросс) -симметрии 179

Условия стационарности 22, 23, 37

в фазовом пространстве 234

для поля 24, 37

квантовые 232

Фазовращатель 88

Флуктуации интенсивности 149

Фоккера — Планка уравнение 281

Фоковские векторы, состояний 164, 217

Функционал вероятности ПО

Функционал характеристический 110

для хаотического поля 265

квантовый 185

Функция зрачка 119

Функция отклика детектора 176

Функция фильтра 239

фурье-преобразование 239, 240

свойства 241

Характеристическая функция 135, 202, 229, 239, 246, 258, 273

аналитические свойства 139

для многомодового поля 256

：поляризованного Ъвета 146

квантовая 168

нормально упорядоченная 183

произвольноупорядоченная 243, 246

симметричноупорядоченная 252

Хэнбери Брауна — Твисса эффект 152—157, 300

Частичная когерентность 35—40

закон интерференции 89

закон распространения 40, 78

ковариантная формулировка 80

матричная формулировка 70, 71-

Шредингера представление 171, 172

Электрическое дипольное приближение 176

Энтропия светового пучка 79

Эффект мертвого времени 275

Юнга эксперимент 36

квантовое рассмотрение 178, 182

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКОВ

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

ОСНОВНЫЕ УСЛОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ

ГЛАВА 1. Введение

ГЛАВА 2. Определения и математическое введение ....

Комплексное описание вещественных полихроматиче- ；、、/ ских полей /)*》2. Корреляционные функции и их свойства

3. Элементарное описание временной и пространственной V когерентности

Квазимонохроматическое приближение

ГЛАВА 3. Когерентность второго порядка

Интерференция двух частично когерентных пучков .

Уравнения распространения частичной когерентности .

Теорема ван Циттерта — Цернике

ГЛАВА 4. Некоторые общие вопросы теории когерентности второго порядка

Взаимная функция когерентности для некогерентного d § 2? Свойства когерентного излучения ' § 3. Понятие взаимной спектральной чистоты излучения ..

Определение спектра излучения по измерениям видно- сти интерференционных полос. Фазовая проблема в теории когерентности

ГЛАВА 5. Матричное описание частичной когерентности .・

Теорема выборки

Закон интерференции в матричной форме

Матрица интенсивности и ее свойства

Матричная форма закона распространения частичной когерентности

Энтропия световых пучков

Общековариантная формулировка теории частичной когерентности

5 7 8

6 6 9 9 4

1 1 1 2 3

36^^^

1 12 7

5 5 5 5

69697172

787980

ГЛАВА 6. Поляризационные свойства света84

Определение матрицы когерентности ипараметров

Стокса84

Матричное описание оптических устройств,не формирующих изображение87

Закон интерференции89

Неполяризованный и поляризованный свет91

Степень поляризации93

Вероятностная интерпретация собственныхзначений

матрицы когерентности94

Определение матрицы когерентности ипараметров

Стокса94

Аналогия между матрицей когерентностии квантовомеханической матрицей плотности 95

ГЛАВА 7. Уравнения поля и законы сохранения ・ для тензоров корреляции96

Тензоры корреляции и их свойства96

Динамические уравнения для тензоров корреляции . . 99

Уравнения второго порядка для тензоров корреляции (волновые уравнения)101

Законы сохранения длятензоров корреляции . . . .102

Стационарные поля103

Взаимные спектральныетензоры104

Условия неотрицательности для тензоров корреляции и взаимных спектральныхтензоров105

ГЛАВА 8. Общее статистическое описание классического поля излучения、• • • 108

Стохастическое описание оптического поля109

Метод характеристического функционала110

ГЛАВА 9. Некоторые приложения теории когерентности к задаче формирования оптического изображения 112

Пространственный фурье-анализ формирования оптического изображения. Передаточные функции для частично когерентного света112

Восстановление объекта по его изображению и соответствие между объектом и его изображением123

ГЛАВА 10. Полу классическое описание эффектов когерентности четвертого 〃 высших порядков131

Статистика фотоотсчетов133

Получение распределения интегральной интенсивности из распределения фотоотсчетов138

Статистика фотоотсчетов для малых временных интервалов 143

Эффект группировки фотонов148

Эффект Хэнбери Брауна — Твисса. Корреляционная интерферометрия четвертого порядка152

Эффекты когерентности высших порядков157

ГЛАВА 11. Основные понятия квантовой теории электромагнитного поля161

Квантовое описание поля . . 162

Статистические состояния . ：167

Описание многомодового поля168

寸 § 4. Вычисление коммутаторов операторов поля169

Временная эволюция в квантовой электродинамике . . 170

ГЛАВА 12. Квантовые эффекты оптической корреляции • . . 173

Квантовые корреляционные функции173

Квантовая когерентность178

Квантовый характеристический функционал185

Измерения корреляционных функций смешанного порядка 185

ГЛАВА 13. Описание электромагнитного поля с помощью когерентных состояний189

Когерентные состояния электромагнитного поля . . . 189

Матрица плотности в представлении Глаубера — Сударшана 199

Вопросы существования квазивероятности Глаубера — Сударшана. 209

Описание многомодовогополя219

Изменениевовремениквазивероятности Глаубера —

Сударшана 220

ГЛАВА 14. Связь квантовой и классической теорий когерентности. • • 224

、§1.Квантовые и классические корреляционные функции • • 224

.'§2.Статистика фотонов и фотоотсчетов225

ГЛАВА 15. Условия стационарности поля 232

Свойства временной инвариантности корреляционных функций 232

Условия стационарности в фазовом пространстве . . 234

ГЛАВА 16. Упорядочение полевых операторов в квантовой оптике 237

Определение Q-упорядочения и разложения операторов 238

Связь между различными упорядочениями245

Многомодовые состояния 250

Измерения, соответствующие антинормально упорядоченным произведениям полевых операторов. Квантовые счетчики 258

ГЛАВА 17. Некоторые состояния электромагнитного поля . . 263

Хаотическое (гауссово) излучение . . . *263

Лазерное излучение275

Суперпозиция когерентного и хаотического полей ——модель статистики лазерного излучения 288

2 7 9 4 4 4 5 4 90 0 0 2 2 2 2 3 33 3 3 3 3 3 3 3 32 7 9 4 4 4 5 4 90 0 0 2 2 2 2 3 33 3 3 3 3 3 3 3 3〃.Экспериментальная техника фотоотсчетов〃.Экспериментальная техника фотоотсчетовВведениеФотодетекторыИзмерение распределения фотоотсчетовИзмерение корреляционных функций интенсивностнРегистрация слабых световых сигналовЛитератураВведениеФотодетекторыИзмерение распределения фотоотсчетовИзмерение корреляционных функций интенсивностнРегистрация слабых световых сигналовЛитератураПредметный указательПредметный указатель1 и 1 3 5 1 3 о4 444455 63 333333 31 и 1 3 5 1 3 о4 444455 63 333333 3

2 7 9 4 4 4 5 4 9

0 0 0 2 2 2 2 3 3

3 3 3 3 3 3 3 3 3

2 7 9 4 4 4 5 4 9

0 0 0 2 2 2 2 3 3

3 3 3 3 3 3 3 3 3

〃.Экспериментальная техника фотоотсчетов

〃.Экспериментальная техника фотоотсчетов

Введение

Фотодетекторы

Измерение распределения фотоотсчетов

Измерение корреляционных функций интенсивностн

Регистрация слабых световых сигналов

Литература

Введение

Фотодетекторы

Измерение распределения фотоотсчетов

Измерение корреляционных функций интенсивностн

Регистрация слабых световых сигналов

Литература

Предметный указатель

Предметный указатель

1 и 1 3 5 1 3 о

4 444455 6

3 333333 3

1 и 1 3 5 1 3 о

4 444455 6

3 333333 3

ГЛАВА 18. Интерференция независимых световых пучков .

Заключение

Литература

ДОПОЛНЕНИЕ (В. Г. Тункин, 4 С. Чиркин)

/. Статистические свойства лазерного излучения

Введение

Одномодовое излучение

Многомодовое излучение Заключение

УВАЖАЕМЫЙ ЧИТАТЕЛЬ!

Ваши замечания о содержании книги, ее оформлении, качестве перевода и другие просим присылать по адресу: 129820, Москва, И-НО,「СП, 1-Н Рижский пер., д. 2. Изд-во «Мир».

I) Для полного описания статистики поля следует устремить 〃一＞ 8； среднее по ансамблю значение F определяется в этом случае континуальным интегралом +оо-

〈尸〉=j ... j F{V(X)}P{V(x)}JYd2V^

—00X

I (Т) = 77儿》J J <А/1 的 М (/〃)〉"力〃="о

т

=ПЛЖГ f (Г ~ т) <Д/1 (т) Д；2 (0)> dT- (1°・85)

Ранее уже говорилось, что эффект Хэнбери Брауна ——Твисса не наблюдается в поле излучения идеального лазера, так как А/ Q

1) В оригинале conjoint и disjoint. Имеется в виду, что событие (%, /) и

I) Недавно Басов и сотр. [135] провели прямое исследование статистики параметров пикосекундных импульсов излучения лазера на неодиме с по

COHERENCE

OF

LIGHT

JAN PERINA,

Rer. Nat. Dr., Ph. D.

Laboratory of Optics

Palackg University, Olomouc, Czechoslovakia

Translation Editor: Dr. T. W. PREIST

University of Exeter

VAN NOSTRAND REINHOLD COMPANY

London

New York Cincinnati Toronto Melbourne

Я. Перина

КОГЕРЕНТНОСТЬ

СВЕТА

Перевод с английского

канд. физ.-мат. наук /7. П. Варолиева и

канд. физ^мат. наук 3・ П. Кузнецова

ИЗДАуЕЛЬСТВО《МИР》

Москва 1974

УДК 535.41

Книга посвящена систематическому описанию когерентных свойств оптических полей как методами классической теории поля, так и методами квантовой электродинамики. Большое внимание в ней уделено анализу когерентных свойств, определяемых корреляционными функциями высших порядков, а также влиянию модового состава излучения на статистические характеристики света. Указаны пределы применимости классического описания поля излучения и проанализированы квантовые корреляционные эффекты, не имеющие аналогов в классической оптике.

Наряду с вопросами прикладного характера (влияние когерентности излучения на формирование изображений, выделение оптического сигнала на фоне шума, оптическое гетеродинирование и т. п.) изложены и основы релятивистски-инвариантной теории когерентности. ，

Книга представляет собой учебник .повышенного типа, она рассчитана на научных работников и инженеров, специализирующихся в области квантовой и статистической оптики, теории оптической связи и локации. Ее можно рекомендовать также преподавателям физико-технических вузов и университетов, аспирантам и студентам старших курсов соответствующих специальностей.

Редакция литературы по физике

20405—066

041^01)-74

66-74

© Перевод на русский язык, «Мир», 1974