Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА И ОБРАЩЕНИЕ ВОЛНОВОГО ФРОНТА
Редактор Д. А. Миртова
Оригинал макет: И. В. Шутов, В. В. Худяков
ЛР№ 071930 от 06.07.99.
Подписано в печать 29.11.02. Формат 60х90 Vie.
Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 16. Уч.-изд. л. 17,6. Тираж 400 экз. Заказ №
Издательская фирма
«Физико-математическая литература»
МАИК «Наука/Интерпериодика»
117864 Москва, Профсоюзная, 90
Отпечатано с готовых диапозитивов в ППП «Типография «Наука» 121099, Москва, Шубинский пер., 6
© ФИЗМАТЛИТ, 2003
ISBN 5-9221-0080-7ISBN 5-9221-0080-7© ВТ. Дмитриев, 2003
ISBN 5-9221-0080-7
ISBN 5-9221-0080-7
ОГЛАВЛЕНИЕ
От автора ....................................5
ГЛАВА I
АДАПТИВНАЯ ОПТИКА И ОБРАЩЕНИЕ ВОЛНОВОГО ФРОНТА
Что такое адаптивная оптика? .....................7
Необходимые сведения из физической оптики ............16
Аберрации в оптике и искажения волнового фронта .........24
1.4 Обращение волнового фронта и возможности компенсации аберраций ...................................33
Общие закономерности преобразования волнового фронта и его обращения в оптике .............................40
Трансформация углового спектра в оптическом устройстве . . . . .51
ГЛАВА II
ОБРАЩЕНИЕ ВОЛНОВОГО ФРОНТА ПРИ ВЫРОЖДЕННОМТРЕХВОЛНОВОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИ
В КВАДРАТИЧНО-НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ
Обращение волнового фронта при генерации разностной частоты .66
Качественное сравнение двух схем ОВФ при трехволновом вырожденном взаимодействии в квадратично-нелинейной среде ......73
К теории вырожденного трехфотонного взаимодействия в квадратично-нелинейной среде ..........................76
Компенсация фазовых искажений при трехчастотном параметриче
ском взаимодействии ..........................89
Трехволновый параметрический преобразователь как пространственный фильтр ...............................93
Теория ОВФ при генерации разностной частоты ...........104
Дополнительные сведения .......................120
Практические схемы ТВВ-ОВФ ....................123
Угловые характеристики ТВВ-ОВФ ..................129
ГЛАВА III
ОБРАЩЕНИЕ ВОЛНОВОГО ФРОНТА ПРИ ВЫРОЖДЕННОМЧЕТЫРЕХВОЛНОВОМ ВЗАИМОДЕЙСТВИИВ КУБИЧЕСКИ-НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
Общие соображения по ОВФ при четырехволновом взаимодействии.
Различные подходы к рассмотрению проблемы ...........134
О возможности ОВФ на нелинейности среды произвольного порядка 139
Общие положения теории четырехволнового нелинейного взаимодействия (уравнения и интегралы движения) .............141
О выполнении условий синхронизма при четырехволновом взаимодействии в ку биче ски-нелинейной среде ...............144
Теория четырехволнового вырожденного взаимодействия световых волн в кубически-нелинейной среде ..................149
Приближение заданных полей накачки в отсутствие самовоздействия (152). 3.5.2. Учет самовоздействия волн в приближении заданных полей накачки (154). 3.5.3. Учет расстройки (156). 3.5.4. Некоторые результаты численного расчета (157). 3.5.5. Дополнительные замечания (160). 3.5.6. Вырожденное четырехволновое взаимодействие в среде с инерционной нелинейностью (166).
Обращение волнового фронта в процессе четырехволнового вырожденного взаимодействия с пространственно-модулированными волнами ...................................169
Общие соображения. Функция разброса для неограниченного по поперечным координатам объема взаимодействия (169). 3.6.2. Функция разброса при ограниченном взаимодействии по поперечным координатам (172). 3.6.3. Влияние расходимости волн накачки (174). 3.6.4. О влиянии дифракции на процесс ОВФ-ЧВВ (177). 3.6.5. Оптические схемы ЧВВ-ОВФ (183).
Некоторые дополнительные вопросы ЧВВ ..............185
Еще раз о механизмах ОВФ в голографическом изложении (185). 3.7.2. О выполнении условий синхронизма при невырожденном ЧВВ (187). 3.7.3. О связи ЧВВ с самофокусировкой света в кубически-нелинейных средах (188).
ОВФ при резонансных четырехфотонных взаимодействиях (192).
ГЛАВА IV
ОБРАЩЕНИЕ ВОЛНОВОГО ФРОНТА ПРИ ВЫНУЖДЕННЫХРАССЕЯНИЯХ СВЕТА
Введение ................................194
Общая характеристика процесса взаимодействия электромагнитных
волн с колебаниями решетки кристаллов ...............197
4.3Вынужденное комбинационное рассеяние света ...........204
4.4Вынужденное рассеяние Мандельштама-Бриллюэна ........209
Вынужденное рассеяние света на поляритонах ............216
Вынужденное рассеяние света в крыле линии Рэлея .........218
4.7 Механизм ОВФ при вынужденных рассеяниях света .........223
4.8 Качественная теория ОВФ при ВР света (общие соображения) . . .228
Особенности ОВФ при ВКР ......................233
Дополнительные замечания по ОВФ-ВР ...............235
Об ОВФ-ВР с неполной пространственной модуляцией накачки (235).
О голографической интерпретации ОВФ-ВР (235). 4.10.3. ОВФ-ВР
в сфокусированных пучках накачки (236). 4.10.4. О возможности ОВФ с использованием антистоксовой компоненты ВКР (237). 4.10.5. О нестационарных процессах ВР (239). 4.10.6. Вынужденное температурное (энтропийное) рассеяние (240). 4.10.7. О поляризационных свойствах ОВФ-ВР (243). 4.10.8. К истории открытия эффекта ОВФ (243).
4.11 Методы определения качества ОВФ-ВР и практические схемы . . . 245
251251Список литературы
251
251
ОТ АВТОРА
Когда я писал эту книгу, в печати уже появился целый ряд монографий по обращению волнового фронта и адаптивной оптике — прекрасные книги Б.Я. Зельдовича, Н.Ф. Пилипецкого и В.В. Шкунова «Обращение волнового фронта», М.А. Воронцова и В.И. Шмальгаузена «Принципы адаптивной оптики», Э.А. Витриченко «Введение в адаптивную оптику», В.В. Рагуль- ского «Обращение волнового фронта при вынужденном рассеянии света», ряд зарубежных монографий на эту же тему. Ведущие научные журналы мира продолжают публиковать отдельные статьи и обзоры по адаптивной оптике и обращению волнового фронта. На этом ярком фоне появление новой книги может показаться избыточным.
Вместе с тем, более детальный анализ опубликованных в печати статей, обзоров и монографий показывает, что далеко не все вопросы адаптивной оптики и обращения волнового фронта освещены адекватно и однородно.
Прежде всего это касается методов нелинейной оптики при обращении волнового фронта лазерного излучения — трехволнового вырожденного взаимодействия в квадратично-нелинейных средах (генерация разностной частоты с комплексно™сопряженным полем в вырожденном по частоте режиме), четырехволнового вырожденного взаимодействия в кубически-нелинейных средах, вынужденных рассеяний света (комбинационного, Мандельштама-Бриллюэна, Рэлеевского, энтропийного и т.д.).
С другой стороны, идея написания данной книги родилась у автора после опубликования им в 1982 г. (совместно с Л.В. Тарасовым) книги «Прикладная нелинейная оптика», где были рассмотрены вопросы генерации второй гармоники лазерного излучения и параметрической генерации света. Предполагалось, что «Прикладная нелинейная оптика» будет состоять из двух частей, причем во второй части основное внимание будет уделено генерации разностных и суммарных частот в квадратично-нелинейной среде, процессам преобразования частоты в кубически-нелинейных средах (генерация третьей гармоники, эффекты самовоздействия и т.п.), а также вынужденным рассеяниям света. Точно так же, как и в первой части, рассмотрение этих процессов предполагалось дать на базе единого математического аппарата и единых физических воззрений. По ряду причин издание второй части этой книги задержалось.
Развитие методов обращения волнового фронта, прежде всего на базе четырехволновых вырожденных взаимодействий в кубически-нелинейных средах и вынужденных рассеяний света, естественным образом предопределило объединение описания вышеперечисленных нелинейных процессов под флагом обращения волнового фронта методами нелинейной оптики.
Это объединение и послужило основой появления данной книги — «Нелинейная оптика и обращение волнового фронта».
Тем самым, книга является фактически второй частью вышеупомянутой монографии «Прикладная нелинейная оптика». «Нелинейная оптика и обращение волнового фронта», по мнению автора, сможет удачно дополнить вышеперечисленные монографии по адаптивной оптике и обращению волнового фронта.
Автор надеется, что материал этой книги поможет разработчикам приборов и устройств нелинейной адаптивной оптики, во-первых, разобраться в физических основах нелинейных методов обращения волнового фронта, и, во-вторых, четко представить себе основные факторы, ограничивающие эффективность обращения волнового фронта, связанные с сопутствующими физическими механизмами и процессами.
Следует отметить, что, например, генерация разностной частоты в квадратично-нелинейной среде, соответствующая трехволновому вырожденному взаимодействию, с точки зрения фазового синхронизма, различных ширин последнего (температурной, спектральной и угловой), коэффициентов эффективной нелинейности, типов синхронизмов, типов используемых кристаллов и т.п. полностью эквивалентна генерации второй оптической гармоники в квадратично-нелинейных средах. По этой причине данную книгу будут успешно дополнять материалы таких монографий с участием автора, как «Прикладная нелинейная оптика» (ВТ. Дмитриев, Л.В. Тарасов, Советское Радио, 1982), «Справочник по нелинейным кристаллам» (Г.Г. Гурзадян, ВТ Дмитриев, Д.Н. Никогосян, Радио и Связь, 1991), “Handbook on Nonlinear Optical Crystals” (V.G. Dmitriev, G.G. Gurza- dyan, D.N. Nicogosyan, Springer™Verlag, 1st ed. - 1991, 2nd ed. - 1996, 3rd ed. - 1999).
Автор приносит искреннюю благодарность профессорам Л.В. Тарасову и Н.В. Кравцову за полезные дискуссии и замечания по материалам этой книги.
Автор пользуется случаем выразить глубокую благодарность Российскому фонду фундаментальных исследований за поддержку издания этой книги. Автор благодарен также директору Физматлита Андреевой М.Н. за благожелательное содействие. Автор полагает, что данная книга будет полезна ученым и разработчикам, работающим в области исследований и создания устройств нелинейной оптики и обращения волнового фронта, а также студентам и аспирантам ВУЗов по специальностям «Лазерная физика», «Квантовая электроника», «Оптическое приборостроение».
Сентябрь 1999 г.
ГЛАВА I
АДАПТИВНАЯ ОПТИКА И ОБРАЩЕНИЕВОЛНОВОГО ФРОНТА
Что такое адаптивная оптика?
Известно, что трудно, а подчас и невозможно, сформулировать исчерпывающее определение многих физических понятий, имеющих достаточно глубокое содержание. Это тем более верно для понятий, которые возникли сравнительно недавно, не устоялись в должной степени, не освободились от синонимов. К таким понятиям относится, в частности, понятие «адаптивная оптика», имеющее синонимы «живая оптика» и «активная оптика». Оно появилось в научной литературе недавно, в середине 70-х годов, и не так-то просто дать ему четкое определение.
Всякое новое понятие формируется не на пустом месте. Оно всегда имеет предысторию. Предыстория адаптивной оптики — это так называемая «жесткая оптика», под которой обычно подразумевается обычная, классическая оптика. Для последней характерна твердость (жесткость) применяемых оптических материалов, исключительная точность, выдерживаемая при изготовлении из них тех или иных оптических элементов. В оптике мы практически всегда имеем дело с интерференционными явлениями. Даже прямолинейное распространение света наглядно объясняется с позиций интерференции световых волн. Вполне понятно, что для реализации необходимых интерференционных эффектов в оптике нужно обеспечить очень высокую точность обработки поверхностей оптических деталей — до долей длины волны света. При этом твердость и прочность оптических материалов должна быть достаточной, чтобы обеспечить сохраняемость точных параметров в течение длительного времени, несмотря на воздействия возмущающих факторов (изменений температуры, механических сотрясений и т.д.). В оптике всегда с большой точностью изготавливались детали, выполняющие функции поддержания определенных межлинзовых, фокусных и других расстояний, обеспечения необходимой юстировки. Недаром понятия «оптика» и «точная механика» всегда стояли рядом.
Именно «жесткость» классической оптики обусловила, в конечном счете, важнейшие свойства оптических инструментов — высокую разрешающую способность, большую светосилу, высокие значения коэффициентов безаберрационного увеличения изображений и т.д. Однако, именно та же самая «жесткость» все чаще оказывается своеобразной ахиллесовой пятой современной оптики. Сегодня она оборачивается явным тормозом дальнейшего прогресса оптических систем. Яркий пример — все более возрастающие и практически непреодолимые трудности создания (в рамках «жесткой оптики») крупногабаритных наземных оптических телескопов. Дело в том, что конструкции и элементы «жесткой оптики» являются всякий раз жестко
заданными, приспособленными к выполнению строго определенных функций. Вследствие жесткой детерминированности они не в состоянии реагировать на изменения внешних условий, которые могут потребовать соответствующих изменений выполняемых функций.
Разумеется, многие оптические системы имеют юстирующие, настраивающие приспособления, однако использование подобных приспособлений вступает в противоречие с требованиями обеспечения точности и высоких параметров качества оптических инструментов. Недаром эти приспособления имеют относительно малый диапазон регулировки.
Выход из наметившегося тупика состоит в отказе от «жесткой оптики», в развитии оптики, способной подстраиваться, приспосабливаться к изменяющимся условиям или входным сигналам. Вот здесь и возникает естественным образом понятие «адаптивная оптика», что означает оптику гибкую, приспосабливающуюся. Применяемые также термины «живая оптика» и «активная оптика» выглядят как очевидное противопоставление термину «жесткая оптика».
Одна из первых в истории человечества практических реализаций принципов адаптивной оптики была, по-видимому, осуществлена задолго до возникновения собственно адаптивной оптики. Согласно известной легенде, знаменитый Архимед с помощью зеркал, отражавших свет, поджег вражеский флот, угрожавший Сиракузам. Это произошло в 212 г. до н.э. Долгое время считали, что легенда не соответствует действительности. Простейшие расчеты [1] показывали, что с помощью одного зеркала, отражающего солнечный свет, невозможно сконцентрировать на объекте, удаленном на сотни метров, плотность мощности, необходимую для того, чтобы загорелось сухое дерево (около 5 Вт/см2). Однако весьма правдоподобна версия, недавно подтвержденная экспериментально [2], согласно которой сожжение деревянных кораблей солнечным светом могло быть осуществлено при помощи большого количества зеркал при условии, что все зеркала фокусируют свет в одну и ту же точку на поверхности выбранного объекта. Зеркалами у Архимеда могли служить полированные металлические щиты воинов. По команде каждый воин ориентировал свой щит таким образом, чтобы направить «солнечный зайчик» в определенную точку поверхности мишени. Совокупность большого числа таких щитов представляла собой своеобразное адаптивное зеркало, поверхность которого образована множеством индивидуально настраиваемых отражающих элементов.
Этот пример показывает, что адаптивная оптика может использовать (как и обычная оптика) «жесткие» оптические элементы. В данном случае принципиально, что оптическая система является нежесткой, гибкой в целом. Весьма важно обратить на это внимание, чтобы не создавалось впечатление, будто адаптивная оптика вообще не приемлет «жесткости». Жесткость может присутствовать; однако при этом должна быть обеспечена необходимая гибкость системы в релом, что позволяет ей адаптироваться к изменяющимся условиям.
Теперь можно попытаться дать определение понятию «адаптивная оптика».
Адаптивная оптика — новое направление физической и технической оптики; она изучает физико-технические проблемы создания оптических систем, параметры, режим работы и даже сама структура которых могут приспосабливаться (адаптироваться) кизменякнримся внешним условиям. Адаптация осуществляется с целью улучшения характеристик системы, оптимизации ее поведения в тех или иных условиях.
Природа создала прекрасный образец адаптивной оптической системы — человеческий глаз. Достаточно отметить способность глаза к самонастройке на резкость за счет изменения оптической силы хрусталика, а также способность изменять диаметр зрачка, что позволяет регулировать доступ света внутрь глаза и глубину резкости с поистине гигантским динамическим диапазоном.
Исходя из сформулированного определения, к адаптивным оптическим системам следует отнести все оптические системы, которые имеют цепи обратной связи, позволяющие корректировать параметры системы. Примерами подобных систем могут служить автоматизированные системы слежения оптических телескопов за перемещающимися небесными объектами, системы автоюстировки резонатора лазера, автоподстройки фазового синхронизма при генерации оптических гармоник в нелинейных кристаллах, автоматической стабилизации длины волны излучения перестраиваемых лазеров и т.п.
Человек, управляющий тем или иным оптическим устройством с целью оптимальной подстройки его под внешние условия, фактически также представляет собой (вместе с настраиваемым устройством) адаптивную оптическую систему с обратной связью, осуществляемой через глаза, мозг и руки оператора. Надо признать, что термин «адаптивная оптика» оказывается очень емким. Получается, что с адаптивной оптикой мы фактически имеем дело очень давно — поистине со времен Архимеда. Можно ли в таком случае говорить сегодня об адаптивной оптике как о новом научнотехническом направлении?
Как специальное научно-техническое направление адаптивная оптика стала формироваться только в последние годы — на основе достижений современной нелинейной и лазерной оптики, вычислительной техники, кибернетики, оптоэлектроники. В рамках этого направления мы можем сегодня рассматривать важные в практическом плане задачи корректировки волнового фронта световых пучков, подвергающегося каким-либо искажающим воздействиям.
Представим себе, не вникая в детали, световой пучок, распространяющийся от некоего излучателя к приемнику. На пути от излучателя к приемнику световое излучение взаимодействует со средой и различными оптическими элементами, например линзами, зеркалами, специальными кристаллами, диафрагмами. Совокупность всех этих элементов вместе со средой, через которую распространяется световой пучок, будем называть оптическим трактом. Что происходит с пучком света по мере прохождения его по оптическому тракту? Во-первых, постепенно падает интенсивность из-за поглощения и ухода части излучения за пределы оптического тракта.
Во-вторых, накапливаются искажения волнового фронта светового пучка; они обусловлены турбулентностью среды, неоднородностью материала оптических элементов, различными деформациями этих элементов (в том числе деформациями, наведенными за счет температурных и механических напряжений). Используя методы адаптивной оптики, можно в существенной мере исправить (скомпенсировать) искажения волнового фронта светового пучка. Исправление этих искажений осуществляют по всему полю изображения, передаваемого по оптическому тракту, т.е. по всей апертуре светового пучка. При этом важно успевать отслеживать изменения искажений во времени (корректировка в реальном времени). Например, характерное время изменения искажений, связанных с турбулентностью атмосферы, лежит в диапазоне 10—х—10—3 с; это предъявляет соответствующие требования к быстродействию адаптивной системы.
Учитывая сказанное, мы можем сформулировать более узкое (нежели приведенное выше) определение адаптивной оптики. Согласно этому определению, адаптивная оптика изучает физико-технические проблемы создания оптических систем, в которых осуществляется корректировка в реальном времени волнового фронта световых пучков, подвергающегося искажающим воздействиям в том или ином оптическом тракте. Разумеется, при этом заметно сужается термин «адаптивная оптика», коль скоро он стал ограничен проблемами корректировки волнового фронта световых пучков.
По мере развития науки и техники будет расширяться круг задач, которые могут практически решаться в рамках адаптивной оптики. Соответственно будет возрастать и емкость применяемого на практике термина «адаптивная оптика». Сегодня содержание этого термина в основном сводится к проблеме корректировки волнового фронта.
Следует подчеркнуть, что предоставляемая адаптивной оптикой (на сегодняшнем уровне ее развития) возможность компенсации искажений волнового фронта светового пучка, распространяющегося в воздушной либо водной среде, имеет исключительное практическое значение. Это важно, в частности, для задач наземной или подводной передачи оптических изображений. По данному поводу американский исследователь Д.Фрид выразился следующим образом: «Так же, как о погоде, многие имели обыкновение рассуждать о турбулентности земной атмосферы, но никто не пытался с ней бороться. Однако теперь ситуация быстро меняется. Оптическая техника достигла такого уровня развития, что у нее появилась возможность как-то противостоять вредному влиянию турбулентности на распространение оптического сигнала. Это «как-то» получило название «адаптивная оптика» [3, 4].
Заметим, что определение Д. Фрида приводит к еще большему сужению термина «адаптивная оптика», и, разумеется, адаптивная оптика уже сегодня не ограничивается рассмотрением лишь тех искажений волнового фронта, которые связаны с турбулентностью атмосферы. Исследуются возможности учета широкого комплекса искажающих факторов. Например, следует указать задачи создания современных оптических телескопов. Телескопы третьего поколения имеют диаметр главного зеркала около 5 м.
Теоретическая величина предельного разрешения таких телескопов порядка 0,01 угловой секунды. Однако, как известно, реальное разрешение оказывается равным нескольким угловым секундам, т.е. в сто раз хуже теоретического. Это объясняется как турбулентностью атмосферы, так и деформациями, неизбежно возникающими в рефлекторе телескопа. Для улучшения разрешения стремятся ослабить влияние турбулентности атмосферы, устанавливая телескопы в высокогорных районах или даже за пределами атмосферы (в космосе). Другой путь предполагает увеличение размеров рефлектора (к концу столетия планировалось создание телескопа с рефлектором диаметром 25 м). Очевидно, что оба указанных пути связаны с исключительно высокими затратами средств и требуют решения сложнейших технических проблем [5]. Неудивительно, что разработчики современных телескопов проявляют возрастающий интерес к адаптивным оптическим системам. В адаптивном телескопе возможно эффективно скомпенсировать искажения волнового фронта светового пучка, вносимые атмосферой. Кроме того, адаптивная оптика позволяет скомпенсировать дефекты самого рефлектора, возникшие как при его изготовлении, так и в процессе эксплуатации. В итоге оказывается возможным получить угловое разрешение, близкое к предельному теоретическому Адаптивная оптика позволяет также устранить ошибки, возникающие при наведении телескопа на объект и при сопровождении объекта [6].
Отметим еще одну проблему — проблему осуществления лазерного термоядерного синтеза. В специальных лазерных установках, создаваемых для решения этой проблемы, используются мощные импульсные лазеры и сложные системы многокаскадного усиления световых импульсов в большом числе параллельных каналов — с последующей фокусировкой излучения на термоядерную мишень (содержащую во внутренней своей части смесь дейтерия и трития). Активные среды усилителей, многочисленные светоделители, элементы фокусирующих устройств, а также воздушные промежутки вносят накапливающиеся искажения в волновой фронт светового импульса; поэтому оказывается невозможной достаточно эффективная фокусировка излучения на мишень. Используя методы адаптивной оптики, можно, в принципе, скомпенсировать искажения волнового фронта и обеспечить эффективную жесткую фокусировку [7, 8].
Круг вопросов, относящихся к адаптивной оптике, уже сегодня достаточно широк. Приведенные примеры показывают это вполне четко. Однако разговор о том, что такое адаптивная оптика, будет неполным, если не коснуться общих принципов реализации корректировки волнового фронта световых пучков.
Для корректировки волнового, или фазового, фронта надо, прежде всего, получить информацию о характере искажений фронта, вносимых данным оптическим трактом. Затем на излучающем конце тракта необходимо внести в передаваемый оптический сигнал соответствующие противофазные искажения («предыскажения»), которые бы скомпенсировали все те изменения волнового фронта, которые внесет оптический тракт. Можно поступить иначе: скорректировать переданный сигнал на приемном конце
тракта и скомпенсировать искажения волнового фронта, внесенные трактом. В первом случае мы имеем дело с излучающей (передающей) адаптивной системой, а во втором — с принимающей. Пример передающей адаптивной системы — лазерная установка термоядерного синтеза; пример принимающей системы — оптический телескоп.
В передающих адаптивных системах используют два метода — обращения волнового фронта (фазового сопряжения) и апертурного зондирования. В системах с обращением волнового фронта (рис. 1.1) излучение, посланное на мишень (объект, находящийся на приемном конце тракта), образует на ней совокупность относительно ярких бликов (так называемый
] Устройство воздействия на волновой фронт] Устройство воздействия на волновой фронтАнализатор волнового фронта.Анализатор волнового фронта.Устройство обработки данныхУстройство обработки данныхРис. 1.1Рис. 1.1
] Устройство воздействия на волновой фронт
] Устройство воздействия на волновой фронт
Анализатор волнового фронта.
Анализатор волнового фронта.
Устройство обработки данных
Устройство обработки данных
Рис. 1.1
Рис. 1.1
«спекл» — структуру, от английского слова «specie» — пятно). Каждый блик должен быть достаточно мал, с тем, чтобы его можно было рассматривать как точечный излучатель, посылающий назад по тракту сферическую световую волну. Распространяясь по тракту в обратном направлении, эта волна испытывает те же искажающие воздействия, что и волна от основного излучателя, проходящая тракт в прямом направлении. На излучающем конце тракта, снабженном узкопольным оптическим приемником, искаженная волна, пришедшая от блика, сравнивается (в анализаторе волнового фронта) с неискаженной, т.е. сферической, волной. На основании этого сравнения устройство обработки данных рассчитывает необходимое предыскажение (противофазное искажение), которое надо ввести в излучаемый волновой фронт, чтобы скомпенсировать искажения, вносимые трактом. Данный метод называют методом фазового сопряжения или методом обращения волнового фронта, поскольку сопряженную по фазе световую волну можно интерпретировать как волну с обращенным фронтом. Этой волне соответствуют световые лучи, имеющие точно такие же траектории, что и в исходной волне, но распространяющиеся в обратном направлении.
В системах, работающих по методу апертурного зондирования (рис. 1.2), измеряют мощность света, отраженного единичным бликом от мишени. Производятся многократные пробные возмущения излучаемого волнового фронта и всякий раз измеряется мощность света, отраженного бликом, на фотоприемнике. Устройство обработки данных выявляет возмущения, приводящие к увеличению этой мощности, а прочие возмущения отбрасывает. Происходит своеобразный процесс итераций (последовательных приближений), который заканчивается тогда, когда нс удастся более повысить яркость блика. Пробные возмущения волнового фронта производят в различных точках поля изображения; отсюда и название метода — апертурное зондирование.
ЛазерЛазерУстройство обработки данныхУстройство обработки данныхУстройство воздействия на волновой фронтУстройство воздействия на волновой фронтРис. 1.2Рис. 1.2
Лазер
Лазер
Устройство обработки данных
Устройство обработки данных
Устройство воздействия на волновой фронт
Устройство воздействия на волновой фронт
Рис. 1.2
Рис. 1.2
В принимающих адаптивных системах используются методы компенсации волнового фронта и повышения резкости изображения. В системах с компенсацией волнового фронта (рис. 1.3) часть светового пучка, несущего искаженное оптическим трактом изображение, поступает в анализатор волнового фронта, где происходит сравнение с неискаженным изображением. Анализатор производит двумерный (в плоскости изображения) анализ искажений; создается «карта ошибок», поступающая затем в устройство обработки данных, которое вырабатывает необходимую коррекцию для устройства воздействия на искаженное изображение. В результате такой коррекции сигнал ошибки в анализаторе волнового фронта обращается в нуль.
В системах с повышением резкости изображения устройство воздействия на волновой фронт производит пробные возмущения фронта принимаемого изображения. Устройство обработки данных выявляет возмущения, приводящие к увеличению резкости изображения. Процесс итераций заканчивается по достижении максимального «качества» изображения.
Нетрудно заметить сходство метода компенсации волнового фронта с методом обращения фронта; точно также налицо сходство метода повышения резкости изображения с методом апертурного зондирования [6].
Напрашивается вывод, что создание адаптивных оптических систем с корректировкой волнового фронта требует решения ряда достаточно
Устройство воздействия на волновой фронтУстройство воздействия на волновой фронтПриемник изображенияПриемник изображенияУстройство обработки данныхУстройство обработки данныхАнализатор волнового фронтаАнализатор волнового фронтаРис. 1.3Рис. 1.3
Устройство воздействия на волновой фронт
Устройство воздействия на волновой фронт
Приемник изображения
Приемник изображения
Устройство обработки данных
Устройство обработки данных
Анализатор волнового фронта
Анализатор волнового фронта
Рис. 1.3
Рис. 1.3
сложных технических задач, связанных с расчетом и конструированием устройств обработки данных и воздействия на волновой фронт. Во всех системах фазовая коррекция осуществляется при помощи специально сформированных сигналов, подаваемых в устройство воздействия на волновой фронт.
Последнее замечание справедливо по отношению к линейным адаптивным системам. Существуют, однако, нелинейные системы с обращением волнового фронта. Анализ искажений и коррекция фронта осуществляется в таких системах в известном смысле «автоматически»; в этом случае не нужно специально формировать корректирующий сигнал. Он реализуется для данного оптического тракта автоматически — в результате обращения волнового фронта светового пучка в нелинейной среде. Обращение фронта, происходит на основе некоторых нелинейно-оптических эффектов и представляет собой, пожалуй, наиболее интересное физическое явление в адаптивной оптике на современном этапе ее развития [6].
Говоря об обращении волнового фронта в нелинейной среде, часто используют термин «нелинейное зеркало». Такое «зеркало» отражает каждый падающий на него световой луч строго назад, как бы поворачивает его точно на 180°. В отличие от обычных зеркал, зачастую здесь нет какой- либо отражающей поверхности. Отраженная световая волна с обращенным
Нелинейное зеркалоНелинейное зеркалоРис. 1.4Рис. 1.4фронтом генерируется в объеме нелинейной среды. Представление о «нелинейном зеркале» дает рис. 1.4; сплошными стрелками показаны световые лучи, падающие на «зеркало», а штриховыми стрелками — отраженные лучи (им отвечает световая волна с обращенным фронтом).
Нелинейное зеркало
Нелинейное зеркало
Рис. 1.4
Рис. 1.4
Таким образом, линейная передающая адаптивная система включает в себя анализатор фронта, устройство обработки данных, устройство воздействия на волновой фронт. В нелинейной передающей системе все эти сложные в техническом отношении блоки заменяет «нелинейное зеркало», содержащее нелинейную среду (нелинейный кристалл
или жидкость в кювете). Естественно, что с технической точки зрения адаптивная оптическая система в данном случае весьма упрощается.
Для обращения волнового фронта в «нелинейных зеркалах» используются в основном две группы нелинейных эффектов — параметрические процессы взаимодействия световых волн в нелинейных средах и процессы вынужденного рассеяния света; возможно использование и других процессов [9].
Говоря о параметрических процессах, выделим, во-первых, так называемое вырожденное трехфотонное взаимодействие в квадратично-нелинейных средах и, во-вторых, вырожденное четырехфотонное взаимодействие в ку биче ски-нелинейных средах. В дальнейшем мы подробно рассмотрим каждый из этих процессов с точки зрения обращения волнового фронта. Отдельно будет рассмотрено обращение волнового фронта на основе процессов вынужденного рассеяния света.
В заключение обратимся к структурной схеме нелинейной адаптивной оптической системы; она представлена на рис. 1.5. Лазер-излучатель посылает на мишень световой пучок, волновой фронт пучка претерпевает
Лазер-излучательЛазер-излучательРис. 1.5Рис. 1.5
Лазер-излучатель
Лазер-излучатель
Рис. 1.5
Рис. 1.5
на пути к мишени определенные искажения. Вид этих искажений, впрочем, совершенно несуществен; важно лишь, чтобы на мишени в составе спекл-структуры возник яркий блик, являющийся источником сферической волны. Сферическая световая волна проходит через усилитель и попадает
в нелинейное зеркало. Проходя по оптическому тракту от мишени до «зеркала», волна как-то искажается. В «нелинейном зеркале» генерируется обращенная по фазе световая волна, которая, взаимодействуя с искажающей волновой фронт средой, образует на мишени усиленную неискаженную (сферическую) световую волну. Иными словами, отраженная бликом сферическая волна, распространяясь по тракту (и при этом усиливаясь), претерпевает искажения, а волна с обращенным фронтом, распространяясь по тому же тракту в обратном направлении, эти искажения компенсирует.
Рис. 1.6Рис. 1.6
Рис. 1.6
Рис. 1.6
Подобные адаптивные системы могут использоваться, в частности, в лазерных установках управляемого термоядерного синтеза. Принципиальная структурная схема такой лазерной установки показана на рис. 1.6.
Необходимые сведения из физической оптики
Плоская волна. Из уравнений Максвелла следует хорошо известное волновое уравнение для электромагнитного поля Е (г, t):
(м>(м>1 д2Е 4тг д2Рт,го,Е ■ с> as - ,? a;-'
(м>
(м>
где тД — пространственная и временная координаты соответственно, Р — диэлектрическая поляризация (см., например, [10]). В простейшем случае линейной однородной среды (Р = жЕ, где и = (4л)™1 (е — 1) —линейная диэлектрическая восприимчивость, е — диэлектрическая проницаемость) и отсутствия зависимости поля Е от поперечных координат ж, у уравнение (1.1) имеет вид
Ле = е Ле
Хорошо известно, что замена переменных вида z ™ ct]^ = т], z Д + ct)^ = $ приводит уравнение (1.2) к виду
общим решением которого служит выражение типа
Е = Ei (77) + Е2 (О = Ei (г - ot) + Е2 (z + ot),(1.4)
где у = c/V? — фазовая скорость распространения волны.
Аргумент функции Еь т.е. величина z — ot, не изменяется, если z и t заменить на z + от и t + т соответственно, где т — произвольная величина времени: z + от — о (t + т) = z — ot. Отсюда следует, что возмущение Ei распространяется в положительном направлении оси z со скоростью о = с/л/е, называемой фазовой скоростью распространения волны, а возмущение Е2 распространяется с той же скоростью о в отрицательном направлении оси z. Так как в каждый момент времени t величина Е постоянна в плоскости z = const, такую волну называют плоской волной.
Наибольший практический интерес представляют решения вида (1.4), обладающие периодичностью по координатам 77, £, т.е. гармонические решения вида exp (jc^/v); exp (jcu^/v).
Тогда решение уравнения (1.2) может быть записано в виде
Е = Ai exp [j (wt — kz)] + А2 exp [j (cut + kz)^ (1.5)
где к = w^fc — волновое число, А1?2 — комплексные амплитуды. В общем случае в (1.5) вместо kz следует писать скалярное произведение вида кг, где г — радиус-вектор данной точки, к — волновой вектор.
Очевидно, что решение (1.5) не изменится, если заменить z на z + А, где А = 2 л с/ (ш^/ё) = 2 л/^ — длина волны света в среде с показателем преломления п = л/е. Соответствующая длина волны в вакууме Ао = = Х^Е = ^тс/ш.
Рассматривая только волну, распространяющуюся в положительном направлении, запишем более общее выражение для плоской линейно-поляризованной волны в виде
(1.6)(1.6)Е (г, t) = ™ {еА exp [j (wt — kr)] + к.с.} ,
(1.6)
(1.6)
2 В. Г. Дмитриев
где единичный вектор е характеризует направление колебаний электрического поля, т.е. поляризацию волны (не путать с поляризацией диэлектрика, описываемой вектором Р!), а обозначение к.с. означает комплексносопряженный член.
В каждый момент времени величина поля В постоянна в плоскостях kr = const, перпендикулярных вектору к. Эти плоскости, очевидно, представляют собой поверхности постоянной фазы или волновую поверхность, волновой фронт. Для плоской волны волновая поверхность и поверхность постоянной амплитуды совпадают, так как А = const. Такая гармоническая волна называется однородной волной.
Квазиплоская волна. Во многих практически важных случаях необходимо записать решение волнового уравнения (1.1) в более общем виде (сравнить с (1.6)):
В (г, ^ = j (еЛ (г) ехР ^' Л - 9 (г))] + к-с-} , (1-7)
где А (г) и g (г) —скалярные функции пространственной координаты. Здесь волновая поверхность определяется уравнением g (г) = const, а поверхность постоянной амплитуды — уравнением А (г) = const. Очевидно, что в общем случае эти поверхности не совпадают. Такая волна называется неоднородной.
При g (г) = кг и некоторых дополнительных условиях, накладываемых на функцию Л (г), волну (1.7) можно считать квазиплоской, т.е. соответствующей плоской волне с модулированной по пространству амплитудой. Такие волны встречаются, например, в теории нелинейнооптических явлений [ 13] и носят название плоских волн с пространственно™ модулированной амплитудой, или квазиплоских волн.
Рассмотрим эти дополнительные условия, при которых можно считать волну квазиплоской. Для простоты рассмотрим периодическую синусоидальную модуляцию амплитуды поля по пространству, например, по оси х:
А (г) = Ло cos (kxx). (1.8)
Волна при этом распространяется по оси z с волновым числом kz; при этом ку = 0 (кж, ky,kz — составляющие вектора к по осям х, у, z; г = |г| = = ^х2 А у2 A z^.
Выражение (1.8) описывает стоячую волну по оси х; хорошо известно, что такая волна является суперпозицией двух бегущих, по оси х навстречу друг другу волн:
Л cos (кжх) = 2 Л (ехР Ь'^л) + exp (—jkxx))
(временной множитель содержится в выражении для полного поля Е (1.7) при g (г) = кг, где к = |к| = Jk2 + к2 + к2). Тогда поле Е (r,t) можно
представить в виде
Е (г, f) = |e^o{exp[j ^wt - кжх - kzz)\ +
+ exp[j (wt + кжх — /г^)] + к.с.}. (1.9)
Из выражения (1.9) следует, что полное поле есть сумма двух истинно плоских, волн с волновым числом к = ^к^ + к^, распространяющихся под
углами (а) и (—а) относительно оси % (рис. 1.7), где а = arctg (Ду/ЬД = = arcsin(^/fc).
Мы будем называть суммарное поле квазиплоской волной при выполнении условия а и kx/kz и kx/k <С. 1. Другими словами, волну с синусоидально модулированной по пространству (в поперечном сечении) амплитудой мы будем называть квазиплоской волной, если расходимость, характеризуемая углом а и появляющаяся, очевидно, вследствие дифракционного расплывания пучков, пренебрежимо мала.
В более сложном, но практически более часто встречающемся, случае пространственная модуляция ампли
Рис. 1.7Рис. 1.7туды поля описывается более сложной функцией, характеризующей по-
Рис. 1.7
Рис. 1.7
перечное распределение амплитуды
поля в реальном световом пучке; примером может служить пучок с равномерным распределением амплитуды по всему сечению пучка с конечным диаметром а;
А(х,у) = А® при —а/2 х, у а/2,A(x,y) = Q при |ж|, \у\ > а/2.
Другой пример — гауссовы пучки:
А (ж, у) = Ло ехр
(1.10)(1.10)(1.11)(1.11)где wo — радиус пучка по уровню е™2 интенсивности.
(1.10)
(1.10)
(1.11)
(1.11)
Разлагая пучки (1.10), (1.11) в интеграл Фурье по пространственным частотам, нетрудно найти пространственный спектр этих пучков; так, для
«прямоугольного» пучка (1.10) имеем
S' (^ж, ку) —
+а/3 —}—сь / 2
л Г Г г77 л sin(^a/2) 81п(^а/2)
= Л0expy-j^x+ куу\ dx dy = Аоа^——^-.
— а/З —а/3
Для гауссова пучка (1.11) имеем
S (кх, ку) = V^w0 exp (^ + к) w^)4] .
Определяя ширину спектра как такую величину, в которой сосредоточено 90% энергии (разумеется, что это число выбрано произвольно), для величины спектра А^ж, А^, т.е., тем самым, для максимальных (для заданного критерия в 90%) значений к^^ и £™ах получаем значения 5Д/а и 1,64/ wo для прямоугольного и гауссова пучков соответственно. Для угла а получим, соответственно, значения 0,81А/а и 0,26A/wq.
Таким образом, как и следовало ожидать, расходимость 2о представляет собой дифракционную расходимость пучка диаметром а (или 2wq). Волну можно считать квазиплоской, если дифракционная расходимость пучка пренебрежимо мала (например, не приводит к существенному расплыванию пучка на заданном расстоянии или существенно меньше естественной
расходимости пучка).
Сферическая волна. В случае сферически-симметричного приближе-
1 д2
ния rot rot Е = — АЕ =(г^) уравнение (1.1) принимает вид
Г ОТ2■
(1-12)(1-12)д2ед2
(1-12)
(1-12)
— (гЕ) = — — (гЕ)
от2с2 ot2
(величина г = ^/ж2 + ?/2 + г2 внесена из левой части исходного уравнения в правую под знак дифференцирования).
Сравнивая (1Л 2) и (1.2) видим, что оба уравнения совпадают, если в (1.2) заменить Е на гЕ; поэтому решение уравнения (1.12) по аналогии с (1.4) следует записать в общем виде
Е (г, t) = ™[Ei (z vt) + Е2 (z + vt)Y(1.13)
т
Решение (1ЛЗ) представляет собой сумму сферических волн, одна из которых распространяется в положительном направлении радиуса т (расходящаяся сферическая волна), другая, соответственно, является сходящейся сферической волной. Обе волны распространяются со скоростью с = cfx/e.
Для гармонической расходящейся сферической волны, по аналогии с (1.6), получаем
Очевидно, что амплитуда волны с ростом т убывает по гиперболическому закону. Поверхности равной фазы в сферической волне определяются условием г = const.
Приближение геометрической оптики. Поскольку длина волны света в видимом и ближних ИК- и УФ-диапазонах весьма мала (^ 10—4—10—5 см), то во многих практически важных приложениях можно пренебречь конечной величиной длины волны; в этом случае Л 0. Поскольку оптические законы в этом приближении можно описать на языке геометрии, соответствующий раздел оптики называется геометрической оптикой. Энергия света в геометрической оптике распространяется вдоль так называемых световых лучей, причем поведение лучей в среде идентично поведению плоских волн (включая поляризационные явления). Геометрическая оптика не описывает явлений, подобных дифракции. Можно сказать, что гео™ метрическая оптика является предельным случаем волновой оптики или волновой оптикой в приближении очень коротких длин волн. Подробнее о геометрической оптике см. [10].
Заметим, что явление возникновения «боковых» плоских волн, возникающих вследствие пространственной модуляции основной волны в поперечном сечении и распространяющихся под углом дифракции а (см. предыдущий пункт), исчезает при Л ^ 0 (при к -б сю), т.е. именно в приближении геометрической оптики. Световой луч есть математическая абстракция, во многих случаях она адекватна реальной ситуации; однако следует помнить, что свет представляет собой волновое явление и что необходимо обоснованно пользоваться законами геометрической оптики.
Принцип Ферма: траектория светового луча между двумя точками минимизирует время распространения между ними. Отсюда следует, что изменение направления распространения не изменяет траектории луча. Другими словами (см. [10]), оптическая длина L реального луча между любыми дву- р2
мя точками Pi и Р2, равная L = § п ds, короче оптической длины любой Pi
другой кривой, соединяющей эти точки и лежащей в некоторой регулярной окрестности луча; здесь и — коэффициент преломления, s — путь луча. Под регулярной окрестностью понимается область, которую можно заполнить лучами таким образом, что через каждую ее точку будет проходить один и только один луч. От- р2р2
сюда следует, что J п ds = с J dt; поэтому PiPi
принцип Ферма называют также принципом наименьшего времени.
В случае невыполнения условия регулярности, оптическая длина пути может оказаться не минимальной (рис. 1.8). Через точку Р^ проходят два луча: Р1Р2 и Р1МР2; из них абсолютно минимален PiP2, a PiMP2 минимален лишь
по отношению к произвольным лучам в некоторой окрестности луча Р1МР2.
Из принципа Ферма непосредственно следует, что оптическая длина пути между любыми двумя волновыми фронтами одинакова для всех лучей (после любого числа отражений и преломлений луча) — это принцип равного оптического пути. Этот результат сохраняет свою силу и при распространении в среде с непрерывно изменяющимся коэффициентом преломления.
Принцип Гюйгенса. Этот принцип был выдвинут в XVII веке выдающимся физиком Гюйгенсом и может быть сформулирован в следующей форме [10]: каждая точка, до которой доходит световое возбуждение, является в свою очередь центром вторичных волн; поверхность, огибающая в некоторый момент времени эти вторичные волны, указывает положение (к этому моменту времени) фронта действительно распространяющейся волны.
В несколько иной формулировке: каждый элемент волнового фронта можно рассматривать как центр вторичного возмущения, порождающего вторичные сферические волны. Волновым фронтом в любой последующий момент времени служит огибающая этих вто- _4^z_ сS'S S" ричных волн.
Рис. 1.9Рис. 1.9Заметим, что в однородной среде можно строить вторичные сферические волны конечного, а в неоднородной — только бесконечно малого радиуса (рис. 1.9). Принцип Гюйгенса предполагает наличие как прямых, так и отраженных (обратных) волн; другими словами, исходя из принципа Гюйгенса, каждой из прямых волн можно сопоставить волну, распространяющуюся в обратном направлении.
Рис. 1.9
Рис. 1.9
Френель дополнил принцип Гюйгенса интерференцией волн: вторичные волны интерферируют между собой. В этой формулировке этот принцип называется принципом Гюйгенса-Френеля. Таким образом, принцип Гюйгенса в первоначальной формулировке является принципом геометрической оптики и указывает лишь направление распространения лучей. Принцип Гюйгенса-Френеля позволяет объяснить и дифракционные явления, т.е. относится уже к волновой теории света.
Формально введенная Гюйгенсом огибающая поверхность вторичных сферических волн благодаря идее Френеля об интерференции последних приобрела ясный физический смысл как поверхность, где вследствие взаимной интерференции вторичных сферических волн результирующая волна имеет заметную интенсивность [10]. Вследствие этого, принцип Гюйгенса- Френеля является основным принципом волновой оптики.
Принципу Гюйгенса в первоначальной форме была присуща трудность, состоящая в том, что из него следует наличие двух волн — прямой и обратной, причем обратная волна распространяется обратно к источнику (см. [11]
и рис. 1.9). Понять отсутствие отраженной волны, т.е. фронта Sn, можно из тех соображений, что возмущение от S идет вперед и назад, т.е. к S’ и SM со™ ответственно. Но перед S, т.е. в S’, возмущения егре нет, а сзади S, т.е. в SH, оно уже пришло, и действие от S сводится к тому, чтобы это пришедшее возмущение скомпенсировать. В результате возмущение проходит через S и идет дальше. В теории Кирхгофа отсутствие обратной волны получает™ ся автоматически; Френелю же пришлось ввести специальное допущение, запрещающее обратную волну
Итак, принцип Гюйгенса не дает обратной (обращенной) волны, но показывает возможность ее появления. Тем самым, этот принцип указывает на возможность существования волны с обращенным волновым фронтом.
Эйконал; геометрический волновой фронт как поверхность постоянного эйконала. Эйконалом в геометрической оптике называют оп™ тическую длину пути L, которая в общем случае является функцией пространственной координаты г:
L (г) = п (г) dS.
s
Выведем общее уравнение для эйконала, являющееся основным в гео™ метрической оптике. Подставляя плоскую электромагнитную волну (1.6) в уравнение (1.1) и используя равенство rot rot Е = —АЕ получаем (пре™ небрегая векторным характером волн)
АЯ-Н^Я = 0.(1.15)
Предположим, что Е = Eq^x, у, z) exp(Jwt), где функция Е0(х, у, z^ = = А^х, у, z) exp^™jkL(x, у, z)] и что величина е = п2 зависит от х, у, z, т.е. будем рассматривать неоднородную среду Из (1.15) получаем
АЕ0 + Ek^ Eq = 0.
Подставляя сюда Eq (х, у, z) и производя вычисления лапласиана, имеем [10, 12]:
k2 Ар - | VL|2} - jk {2 (VA) (VL) + АДЦ + ДА = 0,(1.16)
где V — оператор «набла». Устремляя к оо (А 0), т.е. переходя к при™ ближению геометрической оптики, получаем
кк
VL = grad Г = —
кк
где вектор к определяет направление нормали к поверхности L(x,y, z).
Заменяя градиент производной по направлению, получаем решение для эйконала: L(x^ у, z) = J п(х, у, г)к dS/k.
s
Заметим, что когда мы производили операцию перехода к приближению геометрической оптики в (1.16), мы пренебрегли там тремя членами,
исчезающими при к оо. Точный расчет показывает, что при к ф сю, т.е. в реальных ситуациях, тем нс менее можно пользоваться приближением эйконала (уравнение которого является геометрическим аналогом волнового уравнения) при выполнении следующих условий [10, 12]: 1) изменение амплитуды на длине волны света должно быть много меньше самой амплитуды: VA< к Ап; 2) радиус кривизны волнового фронта должен быть много больше длины волны света; 3) радиус кривизны поверхности равных амплитуд должен быть много больше квадрата отношения длины волны света к амплитуде; 4) изменение показателя преломления на длине волны света должно быть много меньше самой величины коэффициента преломления; 5) линейные размеры волнового фронта должны быть много больше длины волны.
Поверхность L (г) = const является поверхностью равных оптических путей, геометрической волновой поверхностью или геометрическим волновым фронтом. Таким образом, в геометрической оптике волновой фронт есть поверхность постоянного эйконала.
Принцип Ферма в терминах теории эйконала звучит так: при распространении света эйконал минимизируется;
р2
L фРщРф) = п dS = min.
Pi
На теории эйконала базируются расчеты идеальных и аберрационных (реальных) оптических систем, в том числе расчеты сферических аберраций, комы, астигматизма, дисторсии и т.п., светосилы оптических систем и многих других их параметров. Еще раз подчеркнем, что такие параметры этих систем, как разрешающая способность, могут быть рассчитаны только на базе волновой теории.
Заметим, что в последнее десятилетие в литературе появились работы, адекватно трактующие существенно волновые явления, например дифракцию, на языке геометрической оптики. В частности, в работах В.П. Быкова получена каустика гауссова луча (традиционно получаемая только методами волновой оптики) с использованием методов геометрической оптики [20]; построенная таким образом каустика напоминает знаменитую Шу- ховскую башню, которая, как известно, является гиперболоидом вращения, состоящим из прямых линий.
Аберрации в оптике и искажения волнового фронта
Аберрации в оптике; связь аберраций с искажениями волнового фронта. Итак, волновой фронт представляет собой трехмерную поверхность, ортогональную заданному семейству лучей, все точки которой характеризуются одинаковой длиной оптического пути до источника света [11]. Изображение точечного источника может быть создано в однородной (п (ж, у3 z) = const) среде только с помощью сферического волнового
фронта, который, очевидно, сходится в точку. Эта точка, естественно, является математической абстракцией, характерной для геометрической оптики. Реальное же изображение точечного источника будет определяться дифракцией на апертуре (например, круглая апертура даст широко известный дифракционный круг Эйри), а наличие аберраций, т.е. искажений волнового фронта, обусловленных несовершенством оптических элементов, формирующих требуемый волновой фронт, приведет к дополнительным искажениям изображения.
Геометрическая оптика позволяет успешно рассчитывать идеальные оп
тические системы, удовлетворяющие, в совокупности с пучками света, следующим условиям [11, 14]:
— пучки света в оптической системе являются параксиальными, весьма
узкими и приосевыми;
— отсутствует дисперсия показателя преломления (или используется монохроматический свет).
В реальной оптике эти условия не выполняются вообще или выполняются лишь в определенном приближении. В результате первоначально идеальный волновой фронт при распространении волны сквозь реальные аберрационные (т.е. искажающие) оптические системы деформируется, что приводит, в свою очередь, к уменьшению резкости и деформации изображения.
Каждую светящуюся точку источника мы можем рассматривать как вершину расходящегося гомоцентрического (т.е. имеющего общий центр) пучка. Если оптическая система нс вносит аберраций, пучок остается гомоцентрическим, т.е. каждая точка источника отображается также точкой. Изображение источника будет в этом случае адекватно оригиналу (увеличено или уменьшено — это здесь несущественно); такие изображения называются стигматическими. Если после прохода оптических элементов пучок перестал быть гомоцентрическим, точка уже нс изображается точкой, и изображение уже нс адекватно оригиналу; точка в этом случае изображается астигматически. Нетрудно видеть, что нарушение гомоцентричности
Рис. 1.10Рис. 1.10пучка после оптической системы эквивалентно искажению первоначально сферического фронта, т.е. превращению сферического фронта в асферический.
Рис. 1.10
Рис. 1.10
Рассмотрим аберрации оптических систем, пользуясь понятием каустики, или каустической поверхности, т.е. поверхности, огибающей совокупность световых лучей. На рис. 1.10 а видно, что идеально сферический фронт образует точечное изображение Q (каустика здесь вырождается в точку). На
рис. 1.106 показана каустика для случая сферической аберрации, характерной для таких деформаций волнового фронта, при которых каустика остает
ся осесимметричной, т.е. имеющей ось симметрии (для сравнения укажем, что каустика идеального сферического фронта имеет высшую симметрию, т.е. центр симметрии, рис. 1.10 а).
Нетрудно видеть, что изображение на экране точечного источника при наличии сферической аберрации имеет в общем случае вид небольшого кружка (кружкарассеяния); в частном случае помещения экрана в точку Q (рис. 1.10 6) изображение в геометрическом приближении должно было бы быть в виде геометрической точки, однако, наличие дифракции приводит к тому, что в точке Q кружок рассеяния имеет наименьший размер (это просто центр круга Эйри).
В оптических инструментах традиционной «жесткой» оптики сферическую аберрацию исправляют введением дополнительных оптических элементов, имеющих знак сферической аберрации, противоположный таковому для искажающего элемента.
Кома есть аберрация, возникающая в широких световых пучках, когда точечный источник не находится на оптической оси системы; его изображение имеет вид неравномерного пятна, напоминающего комету с хвостом. Каустика в случае комы понижает свою симметрию (по сравнению с каустикой при сферической аберрации) и имеет лишь плоскость симметрии, проходящую через источник и оптическую ось.
Астигматизм изображения возникает в случаях, когда изображение точечного источника формируется внеосевыми наклонными пучками; точка изображается в этом случае двумя линиями, лежащими в разных фокальных плоскостях, а на экране — в виде кружка рассеяния, меняющего свою форму при перемещении экрана по оси. Каустика в этом случае имеет две взаимно перпендикулярные плоскости симметрии.
Влияние наклонных пучков проявляется также в искривлении плоскости изображения, благодаря чему часть изображения получается нерезкой, а также в появлении дисторсии изображения (изменение увеличения от центра изображения к периферии).
Еще раз заметим, что в геометрической оптике все аберрации оптических систем сводятся к наложению на выходящий из них волновой фронт искажений, препятствующих получению изображения точечного источника в виде точки. «Жесткая» оптика добилась замечательных успехов в проблеме устранения аберраций, и, тем нс менее, эта проблема остается в целом ряде случаев нс решенной; главное здесь в том, что на традиционных путях «жесткой» оптики нс видно разумных путей решения этого ряда проблем.
В заключение отмстим хроматические аберрации, определяемые дисперсией коэффициента преломления, т.с. его зависимостью от длины волны. В этом случае следует говорить о наложении различных волновых фронтов, соответствующих различным длинам волн.
Искажения волнового фронта в неоднородных средах. Это явление хорошо известно читателям. При наблюдении звезд или отдаленных точечных источников света на земле через турбулентную атмосферу хорошо видно их «мерцание», связанное с флуктуациями рефракции (преломления) в атмосфере. При наблюдении в этих условиях когерентных точечных источников (лазеров) мерцание значительно усиливается за счет «включения» интерференционных эффектов (см. ниже). В конечном счете влияние оптически неоднородной среды, ярким примером которой служит земная
турбулентная атмосфера, сводится к наложению аберраций на волновой фронт, и, соответственно, к искажению изображения источника или объекта. Отмстим, что методами «жесткой» оптики устранение такого рода аберраций практически, а в ряде случаев и принципиально, невозможно.
Ситуация резко усложняется тем фактом, что аберрации волнового фронта в турбулентной атмосфере принципиально нестационарны, т.е. меняются во времени; «жесткая» оптика способна исправить стационарные (постоянные или регулярные) аберрации, но бессильна перед аберрациями, носящими нерегулярный нестационарный характер. Сказанное, впрочем, относится и к аберрациям оптических систем, появляющимся в силу непредсказуемого влияния механических и климатических факторов на оптические элементы; примерами могут служить наведенные аберрации большого зеркала наземного телескопа, появляющиеся при изменении температуры воздуха, под воздействием ветра или изменяющихся механических нагрузок на зеркало при перемещениях (наклонах и поворотах) телескопа.
В заключение отмстим, что проблема уменьшения аберраций волнового фронта, возникающих вследствие влияния турбулентной атмосферы, возникает даже в лабораторных (комнатных) условиях, например, в установках для лазерного термоядерного синтеза. Было установлено, что тепловые нестационарные потоки в помещении лаборатории, наряду с аберрациями фокусирующих систем и искажениями волнового фронта излучения в самих лазерах, нс позволяют добиться оптимальной фокусировки лазерного излучения на мишень.
Аберратор как среда или система, искажающая волновой фронт. Мы видели, что волновой фронт световой волны, распространяясь сквозь искажающие оптические элементы (оптические системы) и сквозь неоднородные нестационарные среды типа турбулентной атмосферы, значительно деформируется. В частности, световой пучок, несущий информацию о точечном источнике, будучи первоначально гомоцентричным (что в однородной среде эквивалентно сферическому фронту), проходя через такие среды, теряет гомоцентричность, и изображение светящейся точки уже нс адекватно оригиналу.
Обобщая понятие искажающей среды, можно ввести термин «аберратор», включающий в себя класс оптических сред, систем, элементов, вносящих аберрации (искажения) в волновой фронт световых волн (турбулентные атмосферы Земли и планет, неоднородные активные, электрооптические, акустооптические и нелинейные элементы лазеров, аберрационные оптические системы, воды морей и океанов и т.п.). Степень искажений, вносимых в волновой фронт аберратором, можно охарактеризовать некоторой функцией аберрации, описывающей отличие искаженного волнового фронта от первоначального (идеального).
Функция аберрации и волновой расчет интенсивности в осевой точке плоскости изображения точечного источника. Рассмотрим процесс формирования изображения точечного источника волновым фронтом, прошедшим через аберратор. Первоначально-сферический фронт, который в однородной невозмущающей среде создал бы изображение точечного
источника в точке Р, искажен аберратором, так что реальный фронт значи
тельно отличается от сферического (рис. 1.11). Пусть R — радиус неиска-
Реальный (искаженный) волновой фронтРеальный (искаженный) волновой фронтИдеальный сферический фронтИдеальный сферический фронтРис. 1.11Рис. 1.11женного волнового фронта, a R + Ф — радиус реального (деформированного) фронта, где Ф — функция аберрации, величина которой меняется от точки к точке. Волновой фронт в некоторой произвольной точке Q можно представить в виде: A exp \jk (R + Ф (Q))]. Используя дифракционную формулу Френеля- Кирхгофа [10], для величины оптического возмущения в точке Р, расположенной на оптической оси в плоскости изображения,
Реальный (искаженный) волновой фронт
Реальный (искаженный) волновой фронт
Идеальный сферический фронт
Идеальный сферический фронт
Рис. 1.11
Рис. 1.11
U (Р) = w?2 f'xp ' -ГМU (Р) = w?2 f'xp ' -ГМexp [—jk (R + Ф)] dS,sexp [—jk (R + Ф)] dS,sполучаем
U (Р) = w?2 f'xp ' -ГМ
U (Р) = w?2 f'xp ' -ГМ
exp [—jk (R + Ф)] dS,
s
exp [—jk (R + Ф)] dS,
s
J(F) = \U(P)\2J(F) = \U(P)\2где dS — элемент площади поверхности волнового фронта, а интегрирование ведется по всей площади. Интенсивность в точке Р равна квадрату модуля оптического возмущения, т.е.
J(F) = \U(P)\2
J(F) = \U(P)\2
(1.17)(1.17)exp У кФ (г, 0)] г dr dO о о
(1.17)
(1.17)
(здесь элемент площади dS заменен на г dr dO, D — радиус апертуры фронта, т.е. оптического отверстия, или выходного зрачка системы, создающего изображение).
Полагая Ф = 0, из (1Л 7) находим интенсивность в точке Р, создаваемую идеальным волновым (безаберрационным) фронтом:
_ /7tAD2Y
Я(р) = 2рJoЯ(р) = 2рJoВеличину J(F) можно нормировать на безаберрационную интенсивность Jq; такая нормированная интенсивность носит название фактора Штреля [10] (в литературе используется также термин «интенсивность Штреля» [10, И, 14]) и имеет вид
Я(р) = 2р
Jo
Я(р) = 2р
Jo
(1.18)(1.18)drТ ^ ехр [j/^ф (Г) 0)]
(1.18)
(1.18)
о о
Фактор Штреля иногда называют критерием качества изображения; его физический смысл очевиден: он выражает степень уменьшения максимальной интенсивности в плоскости изображения вследствие наличия аберраций волнового фронта.
Если величина аберраций волнового фронта мала, т.е. при Ф <С R, можно воспользоваться разложением подынтегральной функции в (1.18) в ряд:
(1.19)(1.19)12
(1.19)
(1.19)
ехр (Д /сФ) 1 + ]кФ + - (дкФ) + ...
Оставляя в разложении (1.19) члены до квадратичного включительно, имеем ряд интегралов:
(1.20)
(1.21)
(1.22)
где знаком (...) заменено интегрирование по г.
Подставляя (1.20)—(1.22) в (1.18), для фактора Штреля получаем
Я(Р)Я(Р)1 +^(ф) - Д2(ф2)1 +^(ф) - Д2(ф2)
Я(Р)
Я(Р)
1 +^(ф) - Д2(ф2)
1 +^(ф) - Д2(ф2)
(1.24)(1.24)
(1.24)
(1.24)
на интенсивность в фокусе, что становится определяющим и наиболее существенным ограничивающим фактором в таких проблемах, как жесткая фокусировка лазерного излучения на мишень в лазерном термоядерном синтезе, передача световой энергии на расстояние и т.п.
При разложении в ряд вида (1.19) следует помнить, что некоторые из аберрационных интегралов могут оказаться равными нулю, и влияние аберраций на интенсивность в фокусе может начаться с аберраций более старшего порядка. С другой стороны, может возникнуть такая ситуация, когда аберрации старшего порядка могут быть скомпенсированы аберрациями более низких порядков [10].
Согласно критерию Марешаля [10], можно считать, что аберратор хорошо скорректирован, т.е. нс вносит существенных деформаций волнового фронта, если интенсивность в фокусе падает нс более, чем на 20%. Из выражения (1.24) следует, что Н(Р) 0,8 при условии (АФ)2 А/14. Итак, по критерию Марешаля, предложенному в 1947 г., реальный волновой фронт может отличаться от идеального (сферического) не более, чем на А/14. Такие точности обычно требуются в астрономических телескопах, микроскопах высшего качества и других прецизионных оптических приборах. В приборах низкого класса аберрации могут достигать 40-50 длин волн; естественно, что расчет интенсивности в фокусе таких систем должен вестись по полной формуле (1.17), если, конечно, это требуется (для таких приборов падением интенсивности пренебрегают).
Связь аберраций с полиномами Цернике; виды аберраций. В геометрической оптике аберрации волнового фронта рассчитываются с помощью теории возмущенного эйконала (напомним, что эйконал есть длина оптического пути от волнового фронта до точки, в которой необходимо рассчитать оптическое возмущение). Шварцшильдом (1905 г.) было показано, что возмущенный эйконал может быть разложен в ряд по полиномам степени 2 Ад где А: = 1, 2, 3,..., по четырем переменным. Аберрации низшего порядка, т.е. при 2А: = 4, называются первичными, или аберрациями Зайде™ ля; к ним относятся сферическая аберрация, кома, астигматизм, кривизна поля изображения, дисторсия. Болес сложные аберрации описываются членами 6-й, 8™й и т.п. степеней, соответствующими случаям k > 1.
Болес полная теория аберраций может быть дана только в рамках вол™ новой теории, учитывающей дифракционные и интерференционные явления. Дело в том, что с уменьшением величины аберрации на первое место выступают дифракционные члены; например, при устранении всех видов аберраций геометрическая оптика предсказывает бесконечную интенсивность в фокусе и нулевую интенсивность во всех других точках фокальной плоскости, в то время как дифракционная теория для случая круглого отверстия (круглой апертуры) даст круг Эйри, состоящий из яркого центрального пятна с конечной интенсивностью, окруженного темными и светлыми концентрическими кольцами.
Если в геометрической оптике функцию аберрации (возмущенный эйконал) разлагают в степенной ряд, то в строгой дифракционной теории по ряду причин, которые мы здесь нс рассматриваем, более удобно разлагать
функцию аберраций Ф(г, 0) в ряд по системе полиномов Цернике [10]. Эти полиномы имеют вид
Z (г, 0) = R^ (г) exp (jZ©),
где радиальные функции Нф (г) суть полиномы по г, содержащие степени гп, тп-2^ ^-4,, T\i\^ ПрИчем п — целые числа, п ^ 0,I — знакопере
менное число, п |Z|, п — |Z| —четное число.
В теории Нижбера-Цернике (1942-1949 гг.) функцию аберраций Ф можно представить в виде [1]
ОООО п
Ф(г,е) = Лоо + ^Е Л"А' (г) + 52 52 AnmR™ (г) cos m© (1.25) v n=2n=l m=l
(коэффициент 1/V2 введен для упрощения последующих формул, А^ — коэффициенты разложения).
Итак, типичный член, описывающий аберрацию в (1.25), имеет вид
^Tnnl^s ®) — ^nm^mZn^n (У) СО8'Ш0.
Здесь введен коэффициент Епт, равный 1 / V2 при m = 0, п ^ 0, и равный 1 при остальных значениях тип.
Будем рассматривать только первичные аберрации, или аберрации низшего порядка; в этом случае 21 + т + п = 4. Ниже приведена табл. 1.1, взятая из работы [10], иллюстрирующая представление различного вида аберраций по полиномам Цернике.
Таблица 1.1
№
Вид аберрации
1
п
т
Представление в виде полинома
1
Сферическая аберрация
0
4
0
Ло4о(6г4 - 6г2 + 1)/V2
2
Кома
0
3
1
АОз1(Зг2 — 2г) cos 6
3
Астигматизм
0
2
2
Ао22Г2(2 cos2 6—1)
4
Кривизна поля изображения
1
2
0
Л12о(2г2 - 1)/V2
5
Дисторсия
1
1
1
Ашг cos О
Таким образом, представление функции аберрации в виде полиномов Цернике позволяет в явном виде выделить радиальную и угловую зависимости аберраций волнового фронта (напомним, что г, О — координаты точки на апертуре волнового фронта).
При достаточно малых аберрациях, используя условие ортогональности радиальных полиномов
1Rn Щ Rn- Щ Т<Н =1Rn Щ Rn- Щ Т<Н =[2(п + 1)]’[2(п + 1)]’где бпп, — символ Кронекера (5пп,где бпп, — символ Кронекера (5пп,= 1 при п = п', дппг = 0 при п ^ Еу= 1 при п = п', дппг = 0 при п ^ Еуо
1
Rn Щ Rn- Щ Т<Н =
1
Rn Щ Rn- Щ Т<Н =
[2(п + 1)]’
[2(п + 1)]’
где бпп, — символ Кронекера (5пп,
где бпп, — символ Кронекера (5пп,
= 1 при п = п', дппг = 0 при п ^ Еу
= 1 при п = п', дппг = 0 при п ^ Еу
получаем
(Ф) — ЛОо,
Л2)=<+Л2)=<+n—1 т=0n—1 т=0АптП + 1АптП + 1(1.26)(1.26)
Л2)=<+
Л2)=<+
n—1 т=0
n—1 т=0
Апт
П + 1
Апт
П + 1
(1.26)
(1.26)
Подставляя (1.26) в (1.23), для фактора Штреля получаем
2тг2 ”" Д2
-^ЕЕ^IL27>
n=l т=0
На основании выражения (1.27) и критерия Марешаля можно оценить допустимые величины аберраций различного вида. Например, если абер- ратор дает только сферические аберрации низшего порядка (Z = 0, п = 4, т = 0), из (1.27) при Н(Р) ^ 0,8 следует |ЛО4о| ^ 0,22А; более жесткие требования к сферичности фронта накладываются аберрациями типа комы и особенно астигматизма.
Отметим, что в дифракционной теории аберраций имеет место теорема смещения [10, 14], согласно которой добавление к функции аберрации полинома вида
М (г, 0) = аг2 + St sin 0 + yr cos О + ^,
где а, 3, р, ^ — постоянные порядка длины волны А, не изменяет трехмерного распределения интенсивности вблизи фокуса, а лишь смещает его как целое по трем координатам. Отсюда, в частности, следует тот интересный факт, что такие первичные аберрации, как кривизна поля изображения и дисторсия (для первого 3 = 7 = 0, для второго а = 3 = £ = 0), приводят лишь к смещению фокуса, а фактор Штреля для них равен единице, как в безаберрационной системе. Поэтому для этих первичных аберраций критерий Марешаля использован быть не может.
В заключение приведем пример огромного влияния аберраций на интерференционную картину [16].
Пусть пучок состоит из плоской световой волны единичной амплитуды и малой (1 % по энергии) примеси другой плоской волны, волновой фронт которой наклонен по отношению к первой на угол а аз kx/kz:
Е (ж, у') = ехр ^]к^ + 0,1 exp [j (kzz + Ажж)], где к2 + к2 = к2.
Интенсивность J (x, z) = ЕЕ* = \Е (ж, х)|2 равна
J (х, z) = [exp (Jkz) + ОД exp (j (kzz + Ажж))] x
x [exp (-jkz) + 0,1 exp (-j (kzz + Ажж))] =
= 1 + 0,1 exp [j (kz — kzz — Ажж)] + 0,1 exp [j (kzz + kxx — kz)^ + 0,01 =
= 1,01 + 0, 2 cos (kz — kzz — кжх).
Таким образом, 1 % примеси наклонной волны приводит к изменению интенсивности от 0,81 до 1,21, т.е. примерно на 40 %, что еще раз убеждает нас в том, что даже слабые возмущения волнового фронта при интерференции приводят к очень сильным эффектам.
1.4 Обращение волнового фронта и возможности компенсации аберраций
В адаптивной оптике весьма существенную роль играет понятие обращения волнового фронта (ОВФ), или, другими словами, получение оптического излучения с волновым фронтом, комплексно-сопряженным по отношению к волновому фронту исходного излучения. При этом часто говорят о сопряженном волновом фронте, или об обращенном (по фазе) волновом фронте.
Легко видеть, что комплексно-сопряженная волна распространяется в направлении, противоположном направлению распространения исходной волны, и с фазой, инвертированной (изменившей знак) по отношению к фазе исходной волны.
Рассмотрим квазиплоскую волну, распространяющуюся по оси z и имеющую пространственно-неоднородные амплитудный и фазовый фронты:
^Е (ж, у^ z^ t) = А (х, у) exp {+j \uxt — kz + р (ж, у)^ + к.с.,
где Л (ж, у) — амплитуда (действительная) и р^ у) — фаза поля волны, к.с. — комплексно-сопряженный член. Фазово-сопряженная волна может быть записана в виде
2Вфс (ж, у, х, t) = А (ж, у) exp {+j \wt + kz — р (ж, у)^ + к.с. (1.28)
Таким образом, процесс фазового сопряжения (или, что то же, обращения волнового фронта) может быть представлен в виде суперпозиции процессов отражения (изменение знака при z) и обращения по фазе (изменения знака фазы). Отметим, что процесс ОВФ приводит к комплексному сопряжению только пространственной части быстро осциллирующей экспоненты поля, не изменяя временной части. С другой стороны, заметим, что совершенно эквивалентным сказанному является утверждение, что ОВФ соответствует изменению знака временной части экспоненты, без изменения пространственной ее части; другими словами, пространственное ОВФ эквивалентно повороту течения времени.
3 В. Г. Дмитриев
Отметим, что обращение по фазе не есть сдвиг по фазе на тг, как иногда ошибочно полагают. Действительно, сдвиг фазы на тг равносилен умножению волны (1.28) на множитель ег7Г = — 1, т.е. сдвиг на тг приводит к изменению знака поля, но не к появлению комплексно-сопряженной волны.
Из рассмотрения выражения (1.28) следует, что отражение назад световой волны с одновременным изменением знака фазы (т.е. процесс ОВФ) принципиально отличается от обычного отражения света классическим зеркалом. Действительно, для отраженной обычным плоским идеальным зеркалом волны получаем
2Еотр (ж, у, г, t) = Л (ж, у) exp {+j \wt + кг + р (ж, у) + V’]} + к.с.,
где ф — дополнительный сдвиг фазы, вносимый при отражении (как правило, ф не зависит от поперечных координат). Таким образом, в отраженной волне произошло изменение знака только у координаты г, но не у фазы.
Поскольку наличие зависимости фазы от поперечных координат эквивалентно появлению составляющих волнового вектора к волны в направлениях х^ у, то величина р^ у) в определенном смысле характеризует отличие рассматриваемой нами реальной квазиплоской волны от истинно плоской. Другими словами, рфщ у) характеризует расходимость (понимаемую в широком смысле слова) оптического излучения, т.е. описывает волновой фронт луча. Для плоской волны рфщ у) = Pq = const (без ограничения общности можно принять ро = 0); для сферической волны следует учесть изменение амплитуды поля по мере удаления от точечного источника (падение амплитуды обратно пропорционально радиусу г), а фаза такой волны постоянна на сфере т = const. Для волн с искаженным (по отношению
Обычное зеркало Обращающее зеркалоРис. 1.12Обычное зеркало Обращающее зеркалоРис. 1.12к плоской или сферической волнам) волновым фронтом р^ у) ^ 0.
Обычное зеркало Обращающее зеркало
Рис. 1.12
Обычное зеркало Обращающее зеркало
Рис. 1.12
Сказанное подтверждает, что отражение света от зеркала, обращающего волновой фронт, принципиально отличается от отражения от обычного зеркала. Расходящаяся световая волна, падая на обычное зеркало под углом О, покидает его под углом (—0) и продолжает расходиться. Напротив, при падении на адаптивное зеркало расходящаяся волна пос
ле отражения превращается в сходящуюся волну, которая повторяет путь падающей волны (рис. 1.12).
Возможность компенсации аберраций при обращении волнового фронта. Покажем, как процесс ОВФ позволяет значительно или полностью скомпенсировать аберрации волнового фронта. Рассмотрим первоначально сферическую волну, поступающую в аберратор. На выходе аберра- тора волна будет иметь искаженный волновой фронт вида ехр у k (R + Ф)], где Ф — функция аберрации, R — текущий радиус идеально сферического фронта (Ф С R). Отразим эту искаженную волну адаптивным зеркалом,
обращающим волновой фронт. Волна, распространяющаяся в обратном направлении, будет иметь комплексно-сопряженный фронт вида ехр[—jk(Rp + Ф)]. Если аберратор за время распространения до зеркала и обратно не успел изменить своих свойств, на обращенную волну наложатся те же самые аберрации, описываемые той же функцией аберрации Ф. На выходе из аберратора волновой фронт будет иметь вид exp [—jk (Я + Ф)] • exp [j АФ] = = exp [^jAJ?], т.е. отраженная волна станет идеально сферической.
Таким образом, чтобы скомпенсировать искажения, вносимые в волновой фронт аберратором, нужно отразить искаженный волновой фронт адаптивным зеркалом (т.е. зеркалом, обращающим волновой фронт) и снова пропустить через аберратор. После такого двукратного прохождения через аберратор с промежуточным ОВФ волна снова становится неискаженной, но распространяющейся в обратном направлении.
Очевидно, можно поступить по-другому: можно наложить на идеальную (неискаженную) волну искажения в противофазе по отношению к тем искажениям, которые наложит на волну аберратор. Тогда при прохождении такой первоначально искаженной волны через аберратор искажения, вносимые аберратором, будут скомпенсированы первоначально наложенными противофазными искажениями. В этом и состоит, по сути дела, основная идея адаптивной оптики.
Отметим, что при реализации этой идеи на практике возникают особенности, в зависимости от того, передаем или принимаем мы оптическое излучение, т.е. в зависимости от того, какова практическая задача: передать оптический сигнал (изображение) через аберратор на другой конец оптической трассы или, наоборот, принять оптический сигнал (изображение), прошедший через аберратор. Соответствующие адаптивные оптические системы мы будем называть, соответственно, передающими (или излучающими) и приемными (или принимающими).
В излучающей системе необходимо наложить на излучаемый волновой фронт предыскажения, противофазные тем искажениям, которые световой луч претерпит при его прохождении через оптический тракт и турбулентную среду, причем наложить их таким образом, чтобы на приемном конце трассы возникло излучение с требуемым волновым фронтом (например, плоским или сферическим). В принимающей системе поступившее в систему оптическое изображение, искаженное трассой и оптическим трактом, необходимо скорректировать дополнительными (противофазными) искажениями до полного восстановления неискаженного изображения (или до получения изображения, удовлетворяющего некоторому критерию качества). Вообще говоря, в обоих случаях необходимо либо иметь подробную информацию о свойствах оптического тракта и передающей среды, либо информацию о дошедшем до объекта волновом фронте (для передающей системы) и о неискаженном изображении (для приемных систем).
Ярким примером передающей системы является лазер с фокусирующей оптикой, используемый для нагрева мишени в установках управляемого термоядерного синтеза; столь же очевиден пример принимающей системы — это наземный или космический телескопы. В первом случае
аберратором служит система, состоящая из неоднородных лазерных элементов, аберрационной фокусирующей оптики и неоднородной (и даже турбулентной) воздушной среды между лазером и мишенью, а во втором — турбулентная земная атмосфера (для наземного телескопа) и аберрационная оптика (для обоих видов телескопов).
Таким образом, основная идея адаптивной оптики настолько проста, что представляется поначалу парадоксальной и практически невыполнимой: для компенсации искажений оптического сигнала надо просто знать характер этих искажений и наложить на них искажения в противофазе. Остается выяснить, каким способом получить информацию об этих искажениях; ситуация резко (и практически всегда!) осложняется тем обстоятельством, что
возникающие на пути оптического сигнала искажения являются сложными функциями времени и пространственных координат, те. компенсацию этих искажений необходимо производить по всему полю изображения, причем настолько быстро, чтобы успевать отслеживать изменения этих искажений во времени (в этом случае говорят о компенсации искажений в реальном масштабе времени).
В связи с возможностью компенсации атмосферных искажений небезынтересно упомянуть об одном из определений термина «адаптивная оптика», данном Д.Л. Фридом [3]:
«Так же, как о погоде, многие имели обыкновение рассуждать о турбулентности земной атмосферы, но никто не пытался с ней бороться. Однако теперь ситуация быстро меняется. Оптическая техника достигла такого
уровня развития, что у нас появилась возможность как-то противостоять вредному влиянию турбулентности на распространение оптического сигнала. Это «как-то» получило название «адаптивная оптика».
Заметим, что это остроумное определение грешит узостью, так как ограничивается компенсацией искажений, вносимых турбулентной атмосферой.
Примеры ОВФ; трудности ОВФ для случая поля со сложной про
странственно-временной структурой. Реализация процесса ОВФ для
Волновой фронт плоской волныВолновой фронт плоской волнызеркалозеркалоВолновой фронт сферической волныВолновой фронт сферической волныВогнутое зеркало с источником SВогнутое зеркало с источником Sв центре кривизныв центре кривизныРис. 1.13Рис. 1.13небольшого класса электромагнитных полей с простой пространственно-временной структурой достаточно проста. Отражение нормально-падающей плоской волны от плоского зеркала или отражение от вогнутого зеркала сферической волны, исходящей из точечного источника, расположенного в центре кривизны зеркала (рис. 1.13), — вот простейшие примеры реализации ОВФ [9]. Именно процессу ОВФ обязаны своим существованием устойчивые
Волновой фронт плоской волны
Волновой фронт плоской волны
зеркало
зеркало
Волновой фронт сферической волны
Волновой фронт сферической волны
Вогнутое зеркало с источником S
Вогнутое зеркало с источником S
в центре кривизны
в центре кривизны
Рис. 1.13
Рис. 1.13
открытые оптические резонаторы с двумя (или более) зеркалами [15];
в таких резонаторах фаза поля на зеркалах постоянна, и поэтому отраженная от них волна имеет обращенный волновой фронт. Аналогичные примеры можно привести для случаев использования отражателя, выполненного в форме «кошачьего глаза» или триппель-призмы (так называемые ретроотражатели). Вместе с тем, следует оговориться, что процесс ОВФ в таких отражателях, как плоское или вогнутое зеркала (соответственно, для плоской или сферической волн) или ретроотражатели и т.п., имеет место лишь для простейших конфигураций светового поля, т.е. для идеальных волн: фронт этих волн должен быть оптически параллелен поверхности отражателя. Малейшее нарушение идеальности совпадения волновых фронтов с поверхностями отражателей, например, привнесение в волну незначительной фазовой модуляции (фазовых искажений) приведет к немедленному нарушению процесса ОВФ.
Рис. 1.14Рис. 1.14Тем самым мы подошли к наиболее важным трудностям при ОВФ — трудностям обращения волнового фронта волн со сложной пространственно-временной структурой. С принципиальной точки зрения обратить фронт такой волны тоже нетрудно — необходимо только отразить эту волну таким отражателем (зеркалом), поверхность которого в точности повторяет фронт падающей волны в непосредственной близости от зеркала (рис. 1.14). Тогда отраженная таким зеркалом волна будет обращенной по фазе и при
Рис. 1.14
Рис. 1.14
Рис. 1.15
обратном прохождении через аберратор снова примет вид идеальной сферической волны. Вся трудность состоит в том, что, во-первых, необходимо знать распределение фазы по фронту волны вблизи зеркала и, во-вторых, придать поверхности зеркала форму, оптически параллельную падающему на зеркало волновому фронту. Как уже говорилось, ситуация резко осложняется тем, что форма волнового фронта является сложной функцией пространства, и, главное, времени, т.е. существенно нестационарна во многих практически важных случаях.
Заметим, что в принципе методами классической жесткой оптики можно обратить волновой фронт любой заранее заданной (известной) пространственной конфигурации, но только такой, которая стационарна во времени.
Действительно, оставляя в стороне технические трудности изготовления на практике таких отражателей, можно реализовать зеркало с поверхностью в форме точно такой пространственной конфигурации (рис. 1.14). Однако весьма трудно представить себе такую стационарную картину поля на практике. Любопытный пример реализации «жесткого» обращенного зеркала, пригодного для обращения волнового фронта с произвольными фазовыми аберрациями (в том числе нестационарными), принадлежит Ю.А. Ананьеву [15]. Предложенное им устройство весьма напоминает «кошачий глаз» (рис. 1.15), но отличается от него наличием на зеркале, расположенном в фокальной плоскости линзы, выступа (или выемки, что безразлично) высотой в четверть длины волны и с площадью, перекрывающей только центральный максимум дифракционного круга Эйри на апертуре линзы. Предположим, что падающий на линзу почти параллельный пучок имеет волновой фронт вида: Аехр (j/сФ), где Ф — функция аберрации, причем |/сФ| < 1. Тогда, в первом приближении, А ехр (j /сФ) аз А + А^кФ. Первый член соответствует идеальной плоской волне, и большая ее часть соберется линзой на выступе (или на выемке), те. соответственно в центральном максимуме дифракционной картины. Второй член соответствует волнам, идущим под углом к главной оптической оси (ибо именно он ответствен за расходимость почти параллельного луча), и большая часть интенсивности этих волн распределится по остальной площади зеркала. Обе части пучка, в полном соответствии с принципом действия отражателя типа «кошачий глаз», будут отражены назад строго в том же направлении, откуда пришли исходные волны. В частности, волна, отраженная выступом (или выемкой), даст снова плоскую волну с амплитудой А, а волны, отраженные остальной частью зеркала, сформируют снова «боковые» волны (см. § 1.2). Наличие выступа в четверть длины волны приведет к тому, что сдвиг фаз между этими двумя составляющими составит л, что равносильно умножению второй части волны на (—1). Таким образом, отраженное назад поле будет иметь волновой фронт А — А]кФ аз Аехр (—j/сФ), т.е. произойдет обращение волнового фронта. Заметим, что реализация этого метода ОВФ на практике вряд ли возможна, однако, эта идея показывает, что возможности «жесткой» оптики не следует недооценивать.
Таким образом, мы убедились в том, что ОВФ излучения со сложной пространственно-временной структурой является сложной и, по-видимому, не всегда реализуемой физико-технической задачей. Проблема здесь распадается на две части: проблема измерения аберраций, вносимых аберратором в идеальный волновой фронт, и проблема компенсации этих аберраций; как мы уже видели, вторая часть проблемы решается методом обращения вол™ нового фронта.
Заметим, что мы здесь намеренно расширяем область действия термина «обращение волнового фронта». Действительно, например, в принимающих адаптивных оптических системах, служащих для компенсации аберраций, вносимых в оптическое изображение турбулентной атмосферой, обращения волнового фронта как такового не происходит; специальное устройство накладывает (методом проб и ошибок) на аберрационное изображение дополнительные аберрации в такой форме, чтобы изображение стало максимально качественным. Однако когда этот процесс сходится (заканчивается), неизбежно оказывается, что повышение качества изображения до идеального адекватно прохождению аберрационного изображения с комплексно-сопряженным волновым фронтом снова через аберратор. Таким образом, вопрос использования термина «ОВФ» в широком или узком смысле является чисто терминологическим.
Нетрудно видеть, что в случае нестационарного аберратора с характерным минимальным периодом изменения его свойств т, время срабатывания всей цепочки - анализ аберраций + ОВФ — должно быть меньше т. Мы уже говорили, что в этом случае имеет место компенсация аберраций в реальном масштабе времени. Например, для компенсации квазистационар- ных искажений, вносимых турбулентной атмосферой, это время составляет ~ 10 ”3 с, а в ряде случаев — еще меньше; в импульсных режимах лазерной генерации в наносекундном и тем более в пикосекундном диапазонах длительностей импульсов процесс ОВФ должен быть практически безынерционным. В зависимости от времени релаксации аберратора используются различные методы и устройства анализа и компенсации аберраций, которые будут рассмотрены ниже. Сформулируем еще раз основные причины и источники аберраций оптических сигналов и изображений:
— деформации оптических элементов (зеркал, линз, окон, активных и управляющих элементов лазеров и т.п.) как присущие самим материалам этих элементов (или возникающие в них вследствие несовершенства технологии), так и наведенные за счет температурных и механических напряжений;
— турбулентность среды, через которую передается оптический сигнал или изображение наблюдаемого объекта (атмосферы Земли и планет, воды морей и океанов, неоднородные тепловые потоки и т.п.).
Расширяя области применимости термина «адаптивная оптика», сюда же следует отнести такие причины аберраций, как изменяющиеся условия наблюдения в оптике (например, освещенности при фотографировании объекта или расстояния до объекта при его перемещении и т.п.), разъюсти- ровка резонатора лазера, «уход» температуры нелинейного элемента для генерации оптических гармоник и т.д. Компенсация аберраций в этом случае может быть решена методами классической «жесткой» оптики путем введения цепей обратной связи и, например, механического перемещения диафрагмы или одного из компонентов объектива для получения требуемых параметров изображения. Разумеется, в такого рода адаптивных системах бессмысленно говорить об обращении волнового фронта. Прекрасным примером таких систем являются органы зрения человека и животных,
способные приспосабливаться к изменяющимся внешним условиям в широком диапазоне воздействий; оставаясь адаптивными оптическими системами, органы зрения скорее относятся к устройствам «-живой» оптики, подстраивающим структуру и параметры оптики под изменяющиеся условия, но не к устройствам, обращающим волновой фронт изображений.
Фундаментальные предпосылки возможности обращения волнового фронта. Возможность реализации ОВФ электромагнитного излучения непосредственно вытекает из фундаментальных принципов физической оптики и электродинамики. Прежде всего отметим, что волновое уравнение, непосредственно вытекающее из фундаментальных уравнений Максвелла, инвариантно по отношению к изменению знака времени, что, как мы видели ранее, адекватно обращению обобщенной фазы kr+Ф. Таким образом, если решение для прямой волны удовлетворяет уравнениям Максвелла, то и решение, соответствующее обращенной по фазе волне, также удовлетворяет этим уравнениям. Возможность существования обращенной волны следует также из принципов Ферма и Гюйгенса. В частности, из принципа Ферма следует, что изменение направления распространения не меняет траектории луча [10]. Из принципа Гюйгенса также вытекает возможность обращения волнового фронта. Однако, как мы уже отмечали, Гюйгенс и Френель считали этот факт слабым пунктом этого принципа и вводили весьма искусственные постулаты, запрещающие обращенную волну В теории Кирхгофа отсутствие этой волны получалось автоматически. Таким образом, можно полагать, что возможность существования обратной (обращенной) волны, вообще говоря, связана с принципом Гюйгенса, но лишь с той оговоркой, что должен быть указан механизм генерации обратной волны; следует помнить, что принцип и теория Гюйгенса-Френеля-Кирхгофа в их чистом виде не допускают генерацию обращенной волны.
§ 1.5 Общие закономерности преобразования волнового фронта и его обращения в оптике
Для изучения основных физических закономерностей обращения волнового фронта (ОВФ) в различных оптических системах и устройствах нам необходимо знать общие закономерности преобразования волновых фронтов и изображений в оптике. В дальнейшем мы ограничимся случаем линейных оптических систем, для которых изображение объекта, описываемое некоторой функцией пространственных координат, линейно зависит от функции самого объекта.
Пусть функция gi (ж, у) описывает распределение амплитуды электрического поля изображения объекта в плоскости ху, перпендикулярной направлению распространения световой волны г, а функция д^х^у^ — аналогичное распределение для изображения объекта, созданного некоторой оптической системой (рис. 1.16). Плоскость объекта соответствует координате 21, изображения — координате 22.
В качестве оптической системы могут быть использованы линзы, сложные объективы, другие устройства оптики, в том числе диафрагмы,
экраны, параметрические оптические системы и т.п. По аналогии с радиотехникой, функцию (/1 (ж, ?/) можно назвать входным сигналом, а дз (ж, у) —
выходным сигналом оптической системы. Заметим, что свободное пространство между плоскостями объекта 21 и изображения 22, не заполненное оптической системой, как правило, также трансформирует изображение, поэтому в оптике функции gip(x,y), равно как и положение оптической системы в про
странстве, следует привязывать к опре- рис ^ । б деленным точкам оси 2.
Функции дх (ж, у) и д^х, у) связаны между собой некоторым оператором Р, характеризующим свойства преобразования изображения оптической системой и свободным пространством, расположенными между плоскостями 21, 22:
92 (ж, у) = Р{91 (ж, у)}.
Система линейна в случае линейности оператора Р, которая может быть выражена математически следующим образом:
Р ^Адх (ж, у) + В/i (ж, у)} = АР {91 (ж, у)} + ВР {Д (ж, у)} ,
где pi (ж, у), Л (ж, у) — два разных объекта, 92(ж,у) = Р{у1(ж,у)} и НО» у) = Ш1(ж, у)} — их изображения, Л и В — некоторые произвольные (в общем случае комплексные) постоянные. Другими словами, линейная система удовлетворяет принципу суперпозиции; выходной сигнал от суммы двух входных сигналов равен сумме выходных сигналов, взятых по отдельности; постоянные Л, В характеризуют увеличение (уменьшение) изображения (объекта), при котором принцип суперпозиции нс нарушается. Естественно, что реальные оптические системы могут считаться линейными лишь условно, в определенных пределах.
Линейные системы, по их определению, обладают одним важнейшим свойством, которое позволяет использовать при их анализе мощный аппарат преобразований Фурье, Ганкеля, Фурье-Бесселя и др.
Реакцию линейной системы на какое-либо сложное воздействие можно выразить через отклики на некоторые элементарные воздействия. Таким образом, если воздействие можно представить в виде линейной комбинации элементарных воздействий, каждое из которых вызывает отклик известного простого вида, то благодаря линейности системы полная ответная реакция может быть найдена в виде соответствующей линейной комбинации (суперпозиции) таких откликов. Это и есть принцип суперпозиции.
Попутно заметим, что в оптических системах, если мы имеем дело с пространственно-когерентным светом, то свет целесообразно описывать в терминах пространственного распределения комплексных амплитуд; если свет полностью некогерентен, то следует использовать пространственное
распределение действительных интенсивностей. В дальнейшем везде, где противоположное не оговорено специально, мы будем иметь в виду когерентный свет и пользоваться распределением комплексных амплитуд, т.е. действительных амплитуд и их фаз:
9 О, у) = \д (ж, у)| exp VN С, У^ •
В качестве элементарного воздействия, в радиотехнике используют импульс (импульсную функцию, или J-функцию Дирака) или ступенчатую функцию (функцию Хэвисайда). По аналогии, для осуществления элементарного воздействия в оптике можно использовать двумерную ^-функцию Дирака, или, другими словами, точечный (светящийся) источник.
Рассмотрим основные свойства 8-функции Дирака и ее основные представления, которые понадобятся нам в дальнейшем.
Эта функция, определяется, уравнениями:
8 (ж) = 0 при х ^ О,
| 8 (ж) dx = 1.
Фильтрующее действие 8-функции определяется, уравнением
f (ж) 8 (ж — a) dx = / (а).
Таким образом, умножение функции f(x) на функцию 8Д — а) и последующее интегрирование произведения, по всем х эквивалентно замене х на а. Выпишем без доказательств ряд формул:
х8 (х) = О,
8 (—ж) = 8 (ж),
8 (аж) = — J (ж),
8 (ж2 - а2) = ^^ {J (ж — а) + 8 (ж + а)} ,
8 (а — ж) 8 (ж — Ь) dx = 8 (а — Ь),
J\^ Uj .V уС/ е. V ^Q
5' (ж) = -5' (-.т),х5' (ж) = —5 (ж).
Функция Дирака является, производной функции Хевисайда, или ступенчатой (единичной) функции, определяемой как
U (ж) = 0 при х < О,
U (ж) = 1 при х О,поэтому' ах
Определение через интеграл Фурье:
5 (ж) = — | exp ^jkx) dk.
Таким образом, 5-функция есть фурье-образ единицы. Обратное преобразование дает:
5 (х) exp (jkx) dx = 1.
Трехмерная. 5-функция, определяемая, как
5 (г) = 5 Д^у^ 2) = О при х ф О, у ф О, 2^0,
5 (ж, у, 2) dx dy dz = 1,
удовлетворяет уравнениям:
f (ж, у, z) 5 (х — а^у — ф z — с) dx dy dz = f (a, 6, сф
5 фщу.г) =5 фщу.г) =11exp(™jkr) dkx dky dkz,exp(™jkr) dkx dky dkz,
5 фщу.г) =
5 фщу.г) =
1
1
exp(™jkr) dkx dky dkz,
exp(™jkr) dkx dky dkz,
5 (x, y, z) exp (jkr) dx dy dz = 1.
Точечный источник, размещенный в точке ^ ц плоскости ху, описывается двумерной ^-функцией 5 (ж — ^, у ™ ц). Излучение этого источника,
пройдя сквозь оптическую систему, создает изображение источника, описываемое некоторым распределением комплексной амплитуды в плоскости ху, которое является в общем случае функцией координат точечного источника Цх, у, ^ р). Это изображение называется функцией рассеяния, точки или импульсной характеристикой оптической системы.
Пусть теперь имеется некоторый объект, распределение комплексной амплитуды поля которого описывается функцией f(x, у). Тогда изображение некоторой точки объекта (^,77) с амплитудой /(^,77) описывается функцией
Результирующее изображение объекта g(ж, у) по принципу суперпозиции, применимому для линейных систем, является суперпозицией элементарных изображений:
= j j / (С ??) h (ж, у, е Г]) dE dr). (1.29)
Более строго это соотношение доказывается так. Если оператор L описывает воздействие линейной оптической системы, то функция Цх,у) = = L^5(x,y)^ есть импульсный отклик системы, т.е. реакция системы на J-функцию. Если объект есть произвольная функция /(ж, у), то ее можно представить интегралом свертки:
/ (ж, у) =/ (ж, у) =/ (С л) 5 0 - Г У - л) dE dr].
/ (ж, у) =
/ (ж, у) =
Выходная реакция системы есть д(х, у) = Е{/(ж, у^, т.е.
9 (х, уЩЬ9 (х, уЩЬf (Е, л) 5(х-Е,У- л) dE dr) =
9 (х, уЩЬ
9 (х, уЩЬ
f (С л) L {5 О -Су- л)} dE di] =
/(5,т?) h(x,y,E,9) dE dr],
что совпадает с формулой (1.29).
Оптическая система инвариантна к сдвигу объекта, если при сдвиге объекта f(x,y) на величины х^,уо (такой сдвинутый объект, очевидно, описывается функцией /(ж — ж0, у — уо)) изображение д(х, у) описывается
функцией д(ж — хо^у — yoY Реальные оптические системы инвариантны к сдвигу лишь при относительно малых смещениях объекта, однако, инвариантность к сдвигу является во многих случаях вполне допустимым разумным приближением. Инвариантные к сдвигу системы в литературе часто называют изопланарными.
Для инвариантной к сдвигу системы можно рассмотреть только функцию рассеяния вида hippy ^0) = К(х^у\ описывающую изображение точечного источника, помещенного в начале координат и описываемого функцией £(ж, у) = 5(х)5(у). Тогда в силу инвариантности к сдвигу
hp, у, С л) = ьр -Су-л).
и из (1.29) получаем интеграл свертки:
д (ж, у) =д (ж, у) =ДСлРО-Су-л) РР-ДСлРО-Су-л) РР-
д (ж, у) =
д (ж, у) =
ДСлРО-Су-л) РР-
ДСлРО-Су-л) РР-
Таким образом, мы пришли к выводу что изображение объекта в линейной, инвариантной к сдвигу, оптической системе является сверткой объекта с функцией рассеяния, точки. Часто используют обозначение: gipy у) = = f (ж, у) * *К(ру у). (Двойная звездочка означает интегрирование по двум координатам; одномерная свертка обозначалась бы как * .)
Система является совершенной (идеальной), если Цх3у) = 5(p,yY В этом случае в силу фильтрующего свойства J-функции имеем
у (ж, у) =у (ж, у) =/ (5, л) 5 (ж - С у - л) d£,dл = f (ж, у).
у (ж, у) =
у (ж, у) =
Таким образом, идеальная оптическая система формирует изображение объекта, тождественное самому объекту.
Естественно, реальные системы не являются идеальными, или совершенными, поскольку вследствие дифракции изображение точечного источника является размытым, т.е. функция рассеяния точки не есть ^-функция. Тем не менее, представляется разумным считать систему идеальной, если функция рассеяния точки в такой системе обусловлена только апертурой системы (например, дифракцией на линзах объектива).
Величина gipp у) может быть записана в ином виде:
/ Р - С у - л) h (е л) d^ dл.
Пространственно-частотная характеристика (ПЧХ). Запишем изображение в виде пространственно-периодической функции: / (ж, у) = = exp \j (kxx + куу)У, подставляя f (ж, у) в д(х^ у), имеем
д О, у) =д О, у) =МГ^ехрП [Аж (ж - £) + ку (у - т?)]} dE, dr). (1.30)
д О, у) =
д О, у) =
Вводя функцию
НЩЛу^ =НЩЛу^ =к (е т?) exp [-j (А:ж + ку^ d^ di],к (е т?) exp [-j (А:ж + ку^ d^ di],(1.31)(1.31)
НЩЛу^ =
НЩЛу^ =
к (е т?) exp [-j (А:ж + ку^ d^ di],
к (е т?) exp [-j (А:ж + ку^ d^ di],
(1.31)
(1.31)
из (1.30) получаем
д (ж, у) = Н (к®, ку) exp \j Щх + куу)).
Функция Н(кх,ку) есть двумерный фурье-образ функции рассеяния h(x,y) и называется пространственно-частотной характеристикой системы. Производя обратное фурье-преобразование, находим
/г (х, у) =/г (х, у) =1 V2тг /1 V2тг /Я (кж, ку) exp [j Щх + куу)) dkx dky.Я (кж, ку) exp [j Щх + куу)) dkx dky.
/г (х, у) =
/г (х, у) =
1 V
2тг /
1 V
2тг /
Я (кж, ку) exp [j Щх + куу)) dkx dky.
Я (кж, ку) exp [j Щх + куу)) dkx dky.
Итак, подведем итоги.
В линейной оптической системе действие создающих изображение объекта предметов — линз, диафрагм и т.п., полностью описывается суперпозицией комплексных изображений точечных световых источников, расположенных по всему полю объекта.
Линейная оптическая система полностью характеризуется функцией рассеяния точки (импульсной характеристикой), т.е. откликом на импульсное воздействие.
В линейной инвариантной к сдвигу оптической системе изображение есть свертка объекта с импульсной характеристикой системы.
В линейной инвариантной к сдвигу оптической системе изображение пространственно-периодического (в поперечной плоскости) объекта есть произведение объекта на пространственно-частотную характеристику, представляющую собой фурье-образ импульсной характеристики.
Угловой спектр и его распространение. Пусть некоторый объект описывается распределением комплексной амплитуды поля в точке 2 = 0 в виде функции Л (ж, у^ 0). Найдем соответствующее распределение (будем называть его оптическим возмущением) в произвольной плоскости 2, т.е. функцию Л (ж, у^ z). Применим к Л (ж, у, 0) фурье-преобразование:
S(kx,ky^) =S(kx,ky^) =Л (ж, у^ 0) exp [™j (кхх + куу)\ dx dy. (1.32)
S(kx,ky^) =
S(kx,ky^) =
Фурье-образ распределения Л (ж, у, 0), т.е. функция 8^кх, ky, 0), заданная (1.32), называется угловым спектром оптического возмущения A^x^y^Y Для выяснения его физического смысла рассмотрим обратное фурье-преобразование:
2тг2тгS (кх, ку, 0) exp [j (кжх + kyyY dkx dky
2тг
2тг
990-33)
и вспомним, что к2 = к2 + к2 + к2, где к = |к| = шЦш^с — модуль волнового вектора монохроматической волны, ki — компоненты вектора к по осям координат, причем 2 — направление распространения.
Очевидно, что функция
В (х, у, z) = exp (jkr) = exp [j (kxx + kyy + k.zY описывает плоскую волну единичной амплитуды, распространяющуюся в направлении, характеризующемся направляющими косинусами углов:
cosa = kx/k, cos0 = ку/к, cosy = kz/k.
Как правило, кх,ку <С kz ^ к. При 2 = 0 функция exp [J (кхх + kyyY представляет плоскую волну, распространяющуюся в направлении вектора к. Таким образом, выражение (1.33) есть не что иное, как разложение функции А(х, у, 0) по плоским волнам с некоторой весовой функцией 5 (кж, ky,OY Каждая из таких парциальных плоских волн имеет свой набор составляющих kx,ky,kz = ^к2 ™ (^ + к2^ и распространяется в своем соответствующем направлении, а величина 8(кж,ку,0) есть амплитуда такой парциальной волны.
В произвольной точке 2 имеем пару преобразований Фурье:
S (кх, ку, z) =S (кх, ку, z) =A (x, y, z) =A (x, y, z) =А (х, у, z) exp [™j (кхх + kyyY dx dy,
S (кх, ку, z) =
S (кх, ку, z) =
A (x, y, z) =
A (x, y, z) =
S (kx, ky, z) exp [j (kxx + kyyY dkx dky.
Оптическое возмущение A(x, y, z) в свободной однородной изотропной среде удовлетворяет уравнению Гельмгольца, являющемуся прямым следствием уравнений Максвелла для монохроматической волны Д А+к2 А = 0, где Д — оператор Лапласа; в декартовых координатах
у2у2 9
Эх2Эу28z2
Из изложенного выше следует, что угловой спектр должен удовлетворять уравнению
44 +™ (^ + k4 S =+ ^S = 0.(1.34)
Одно из решений (1.34) есть
S [к^ку, z) — S (кх^ку^) exp (jkzz)(1.35)
при этом граничный (при 2 = 0) угловой спектр определяется граничным распределением комплексной амплитуды (1.32), ^kz = ^jk^ ™ (^ + к^. Применяя к (1.35) фурье-преобразование, найдем искомую функцию Л (ж, у^ z):
Л (ж, у, z) =Л (ж, у, z) =А V2тг /А V2тг /S (кх, ку,0) exp \_j (кхх + куу + kzz)\ dkxdky,S (кх, ку,0) exp \_j (кхх + куу + kzz)\ dkxdky,
Л (ж, у, z) =
Л (ж, у, z) =
А V
2тг /
А V
2тг /
S (кх, ку,0) exp \_j (кхх + куу + kzz)\ dkxdky,
S (кх, ку,0) exp \_j (кхх + куу + kzz)\ dkxdky,
или, в сокращенной записи
S (х, 0) exp (jkr) dx^S (х, 0) exp (jkr) dx^
S (х, 0) exp (jkr) dx^
S (х, 0) exp (jkr) dx^
где х = (кЖ1 ку) — вектор поперечных составляющих волнового вектора, k = (х, kz), г — трехмерный радиус-вектор.
Для случая кж ку <С к имеем
/№ + кЧ (к^ + кЧ
Поэтому (1.35) можно переписать в виде
/^2^2 \
S Щ,ки,0 И S (кТ, ку, орхр 0kzpxp ( -j Т 2к У )(L36)
(последний множитель в (1.36) определяет влияние дифракции).
Из (1.35) следуют два важных вывода.
При распространении углового спектра в свободном (от поверхностей, объемов и пр.) пространстве (например, в вакууме) модуль спектра, т.е. амплитуда плоской парциальной волны, не меняется. Это легко видеть из того факта, что
\S (kx,ky,z)\ = \S (kx,ky,Q)\ - |ехр(>А;г)| = \S (kx,ky,Q)\.
Изменения углового спектра происходят только при дифракции на препятствиях.
Эффект распространения сказывается лишь на фазе углового спектра, что отражается фазовым множителем exp(jkzz). Набег фазы на пути 2 парциальной плоской волны с набором (kx^ky) определяется произведением kzz и зависит от k^ky, так как kzz = kz^ 1 — (^ + k2) /к2. Чем больше составляющие k^ky, тем меньше kz и, следовательно, меньше набег фазы этой волны.
Пример использования углового спектра. Пусть в плоскости 2 = 0 задано гауссово распределение амплитуды:
А (ж, у3 0) = Ло ехрА (ж, у3 0) = Ло ехрх2 + у2х2 + у2
А (ж, у3 0) = Ло ехр
А (ж, у3 0) = Ло ехр
х2 + у2
х2 + у2
Найдем его угловой спектр:
S*o ^kXl ky) — ЛдS*o ^kXl ky) — Лд— Ло— Лоexpexp‘2 +‘2 +,21- exp У (kxx + kyy)^ dx dy =,21- exp У (kxx + kyy)^ dx dy =exp I ]kxxexp I ]kxxx2\— ) dx uaJx2\— ) dx uaJ/y2 \exp jkyy - — \ dy.V/y2 \exp jkyy - — \ dy.V
S*o ^kXl ky) — Лд
S*o ^kXl ky) — Лд
— Ло
— Ло
exp
exp
‘2 +
‘2 +
,21
- exp У (kxx + kyy)^ dx dy =
,21
- exp У (kxx + kyy)^ dx dy =
exp I ]kxx
exp I ]kxx
x2\
— ) dx uaJ
x2\
— ) dx uaJ
/y2 \
exp jkyy - — \ dy.
V
/y2 \
exp jkyy - — \ dy.
V
Используя известную формулу
exp (—p x + qx) dx = exp —т
47 p 4pz
(у нас q = jkx, p2 = + l/wg, p = l/w0), имеем
So (kx, ky) = Ло (woV^Y exp ^™k2 - k2) w^/4] =
= Лотгшо exp [- y2 + k2) Wo/4] .
Производя обратное преобразование, получим
Л (ж, р, z) =Л (ж, р, z) =1 \ 2— Aqttw^27Г /1 \ 2— Aqttw^27Г /ехрехр(^ + ky) Wp(^ + ky) Wp
Л (ж, р, z) =
Л (ж, р, z) =
1 \ 2
— Aqttw^
27Г /
1 \ 2
— Aqttw^
27Г /
ехр
ехр
(^ + ky) Wp
(^ + ky) Wp
+ j(kxx + куу + kzz) dkx dky = Q+ j(kxx + куу + kzz) dkx dky = Qexpexp(k^ + k^) w^(k^ + k^) w^+ j ржЖ + ktiy + J к2 - к^- kp+ j ржЖ + ktiy + J к2 - к^- kpdkx dky.dkx dky.(1.37)(1.37)
+ j(kxx + куу + kzz) dkx dky = Q
+ j(kxx + куу + kzz) dkx dky = Q
exp
exp
(k^ + k^) w^
(k^ + k^) w^
+ j ржЖ + ktiy + J к2 - к^- kp
+ j ржЖ + ktiy + J к2 - к^- kp
dkx dky.
dkx dky.
(1.37)
(1.37)
4 В.Г. Дмитриев
В (1.37) интегралы уже не разделяются. Поскольку кЖ)У <^ к, имеем
ллЬ2 I L2/ж у ~ I 1 ™Ь2 I L2/ж у ~ I 1 ™к2 + к^2Рк2 + к^2РВ этом случае р2 = Wq/4 + jz/^k), q = jx или jy, и из (1.37) получаемВ этом случае р2 = Wq/4 + jz/^k), q = jx или jy, и из (1.37) получаем
л
л
Ь2 I L2/
ж у ~ I 1 ™
Ь2 I L2/
ж у ~ I 1 ™
к2 + к^
2Р
к2 + к^
2Р
В этом случае р2 = Wq/4 + jz/^k), q = jx или jy, и из (1.37) получаем
В этом случае р2 = Wq/4 + jz/^k), q = jx или jy, и из (1.37) получаем
Вводя w (2) = woW 1 + 22/2q; 2g = kuu^/S [21], получим
9 9 <L38)
Введем радиус кривизны волнового фронта R = 2 (1 + 2g /22) и прямой подстановкой убеждаемся, что вместо (1.38) можно записать:
х2 + у2 х2 + у2
Далее:
Л(№о + 2ла) 1 = (i + л Ло) 1 = О^лЛ) О + ^л2) 1 = = гир-ш^Щ - Л^1 О + (zz,,1) J = a exp (jp , откуда tgV' = w2 (z) О/горр (1 + (z/z0)2)= z/z0,
р =Л= Л / X L , Л = WQ
у W4 (2) + 22Wq/(2qW4 (2)) W2 у 2q W (2)
Итак, окончательно имеем
Л/ X. 2 , кО2 + у2П Л + у2)
^.T,y,z) = —--exp^y fcz + arctgИ ТТТ Г •
w (2)( [20(2) J
(1.39)
Выражение (1.39) совпадает полностью с формулой (3.14) из монографии [20]. Член j arctg (2/20) обусловливает отличие фазы гауссова пучка от фазы плоской волны (из-за дифракции), последний член в (1.39) определяет изменение амплитуды пучка, третий — изменение фазового фронта с ростом 2.
Фазовая поверхность пучка может быть найдена, если приравнять коэффициент при чисто мнимом показателе экспоненты в (1.39) к постоянной kzi:
kz + к (ж2 + у2^ / (27?) + arctg (z/zq) = kzi.
Пренебрегая малым, по сравнению с другими членами, смещением фазы arctg (z/zo\ получаем поверхность вращения (ж2+ y2)/(2fl)=Z!-Z, где R — радиус кривизны этой поверхности.
Выше мы рассмотрели в общем виде и для конкретного примера гауссова пучка распространение углового спектра в свободной (от различных диафрагм, линз, фильтров и пр.) среде. При наличии на пути распространения спектра различных оптических устройств спектр, естественно, трансформируется. Рассмотрим такую трансформацию в общем виде и применительно к конкретным системам.
§ 1.6 Трансформация углового спектра в оптическом устройстве
Применим к обеим частям соотношения для д(ау у) на стр. 45 преобразование Фурье. Пусть G^kx^ ky) — фурье-образ изображения, Е(кж, ку) и Н(кх,ку) — фурье-образы, соответственно, объекта и импульсной характеристики системы, причем Н(кх, ку) есть пространственно-частотная характеристика системы. Уравнение при этом может быть записано в виде важного соотношения
G ^кхЛ^ = F ^ ку) н № •(1.40)
Строгое доказательство соотношения (1.40) проведем, используя интеграл свертки:
9^^) = j j ПСУНх-Су-л) <Kdq.
Произведем преобразование Фурье (здесь а = х — С 0 = у — q):
д (ж, у) exp \,-j )кхх + куу)) dx dy = G (кх,ку) =
/ (С Ч) h (ж - С у - т?) exp [-J Цхх + куу)) d^dqdxdy =
h (ж - С У - q) ехр Уз [(ж - 5) кх + (у - q) ку]} f У, q) х
х exp [^j (А^ + кур)^ d^ dp dx dy =
h (a, /3) exp [^j (акж + Pky)^ da dp x
X J J ЛГ^)ехр[-Щж£ + fey7?)] tZ£ tZi? = .
Соотношение (1.40) означает, что фурье-образ (спектр) изображения есть произведение фурье-образа (спектра) объекта и пространственночастотной характеристики (или, что то же самое, произведение фурье- образов объекта и импульсной характеристики системы). Это соотношение известно в теории оптической обработки информации как теорема о свертке.
Пространственно-частотная характеристика свободного пространства. При рассмотрении распространения углового спектра мы получили соотношение (1.35). Из формулы (1.31) в соответствии с (1.35) получаем выражение для пространственно-частотной характеристики (ПЧХ) свободного пространства (или ПЧХраспространения):
Н (kx,ky) = exp (jkzz) = expН (kx,ky) = exp (jkzz) = expj^k2 - (k^+k^zj^k2 - (k^+k^z(1.41)(1.41)
Н (kx,ky) = exp (jkzz) = exp
Н (kx,ky) = exp (jkzz) = exp
j^k2 - (k^+k^z
j^k2 - (k^+k^z
(1.41)
(1.41)
При кж, ку <C к, т.е. при малых пространственных частотах объекта из (1.41) имеем
Н (кх, ку) ^ exp (jkz) expН (кх, ку) ^ exp (jkz) exp2к2к(1.42)(1.42)
Н (кх, ку) ^ exp (jkz) exp
Н (кх, ку) ^ exp (jkz) exp
2к
2к
(1.42)
(1.42)
При к2 + ку > к2 показатель эскпоненты в (1.42) становится действительным и отрицательным, что соответствует затухающим в пространстве волнам. Затухание оказывается весьма большим уже на расстояниях порядка нескольких длин волн, поэтому затухающими волнами, соответствующими столь большим пространственным частотам, можно пренебречь. Итак, ПЧХ распространения имеет вид
Я (кж,ку) = <Я (кж,ку) = <exp у^к2 - (^ + ^)^ 0exp у^к2 - (^ + ^)^ 0при к2 + к2 к2, при к2 + к2 > к2.при к2 + к2 к2, при к2 + к2 > к2.(1.43)(1.43)
Я (кж,ку) = <
Я (кж,ку) = <
exp у^к2 - (^ + ^)^ 0
exp у^к2 - (^ + ^)^ 0
при к2 + к2 к2, при к2 + к2 > к2.
при к2 + к2 к2, при к2 + к2 > к2.
(1.43)
(1.43)
Таким образом, свободное пространство эквивалентно линейному фильтру с пространственной дисперсией, т.е. с зависимостью ПЧХ от пространственных частот. Фильтр полностью не пропускает излучение в области к2 + к2 > к2, т.е. в области вне круга радиусом к в плоскости кхку; внутри круга модуль ПЧХ равен единице, однако имеются фазовые сдвиги, зависящие от пространственных частот. Особенно заметна эта зависимость
(пространственная дисперсия) на высоких пространственных частотах. Напомним, что высокие пространственные частоты соответствуют элементам объекта с малым характерным размером а, малые частоты — наоборот, элементам с большим а. Связь между кж и а может быть записана в виде кж и 2тг/а, или Хк ^ акж; в соответствии с этим, из условия кж < к (в противном случае волны становятся затухающими, см. (1.43)), получаем, что наименьший пространственный период объекта должен быть больше длины волны света. Очевидно, этому условию отвечает большинство реальных объектов.
Применяя к ПЧХ распространения (1.43) обратное фурье-преобразование и используя (1.42), получим импульсную характеристику свободного пространства:
ехр зехр зzz
ехр з
ехр з
z
z
х ехр У (fe^ + куу^ dkx dky
— ехр(зкЦ— ехр(зкЦехр рзУкх + куЦ(2k) - (кхх + feyy)]} dkxdky.
— ехр(зкЦ
— ехр(зкЦ
Используя табличный интеграл при р2 = —jz/(2k), q = jж (или jy\ имеем
кж2 ку2_ + _кж2 ку2_ + _, ,, exp(ikz) _ т .
кж2 ку2
_ + _
кж2 ку2
_ + _
h (ж, у) ~ —:д5 ■ ^к ехр з
ехр (jkz).ехр (jkz).(1.44)(1.44)—3 •
ехр (jkz).
ехр (jkz).
(1.44)
(1.44)
У, у) = 9— ехР з^- У" + у")Z7T 2^22
В справедливости (1.44) можно убедиться, получив функцию (1.42) обратным фурье-преобразованием соотношения (1.44). Функция Ырру) описывает изображение точечного источника, созданное оптической системой, и дает распределение амплитуды поля точечного источника единичной амплитуды, т.е. сферическую волну Точное решение уравнения Гельмгольца есть сферическая волна
А = ехр (jkR),(1.45)
где R = у/ж2 Т р2 Т з2, С — константа. Если мы, как и следует из вывода (1.44), рассматриваем поле вблизи оси г, в силу чего
то очевидно, что решения (1.44) и (1.45) совпадают (при этом С = зк/(2тг), а квадратичными по ж, у членами в знаменателе множителя С/R в (1.45), естественно, можно пренебречь [18, 19]).
Искажения углового спектра в реальных оптических системах. Рассмотрим искажения углового спектра, вызванные наличием конкретных оптических систем (диафрагм, линз, фильтров и т.п.). Пусть в непрозрачном бесконечном экране, расположенном в плоскости ху при з = 0, имеется отверстие площадью So с амплитудным коэффициентом пропускания tippy) = 1 при ж, у Е So (естественно, tippy) = 0 в остальной области экрана). Пусть So (kx ,ky, 0) — угловой спектр излучения, падающего на экран и Ао(рру,О) — соответствующее распределение комплексной амплитуды (в плоскости экрана, т.е. при з = 0). Естественно, что эти две величины связаны фурье-преобразованием. Непосредственно за отверстием (т.е., по-прежнему, при з = 0) амплитудное распределение прошедшего через отверстие света равно
А (ж, у, 0) = Ло (ж, у, 0) t (ж, у).(1.46)
Угловой спектр прошедшего излучения Si (kx, ky, 0) есть фурье-образ распределения Ai(x,y,0), заданного формулой (1.46), или что то же самое, — свертка углового спектра падающего излучения So (kx, ky, 0) и фурье-образа Т (кх, ку) функции пропускания tipp у), где
Т(кх,ку) = | | t(x,y)exp\-j (кжх куу)^ dx dy.
Таким образом,
Si {кх,ку, 0) = Л1 (ж, у, 0) exp [-j (ктх + куу)\ dx dy =
= So (кх, ку, 0) Т (кж ™ хж, ку — ху) dxx dxy.
Нетрудно видеть, что последний интеграл соответствует операции свертки. В качестве примера возьмем прямоугольное и круглое отверстия в непрозрачном экране.
Прямоугольное отверстие. Определим коэффициент пропускания (по амплитуде) экрана с таким отверстием в виде функции [18]:
где функция rect ^ определяется из условия:
rect£ = 1 при |^|1/2,
rect ^ = 0 в остальной области.
Фурье-образ функции (1.47) имеет вид
Т {kxky) =Т {kxky) =rectrect
Т {kxky) =
Т {kxky) =
rect
rect
У-Ь
Г /\/7\ 7 л . sin (а&ж) sin (5Ах)
= exp(-jkxx) dx exp^kyp) dp = 4аЬ— =
JJakxbky
= 4absinc (акж) • sine (bky) ,
где sinc^ = sin£/£.
Предположим, что отверстие освещено плоской волной, распространяющейся по оси г, т.е. кж = ку = 0, к = kz. Тогда спектр падающего на экран излучения есть 5-функция, т.е.
50 (кх, ку, 0) = S (0, 0,0) 5 (кж) 5 (ку).
В этом случае фильтрующее действие 5-функции приводит к следующему выражению углового спектра прошедшего через отверстие излучения:
Si (кх, ку, 0) = S (0, 0, 0) Г (кх,ку) =
= 4тг2аЬ5 (0, 0, 0) sine (акр) sine (bky). (1.48)
Таким образом, если входной (падающий на экран) угловой спектр представляет собой 5-функцию, т.е. соответствует плоской волне, то прошедший через отверстие угловой спектр, в соответствии с (1.48), оказывается уширенным. Ширина центрального максимума функции sine (ак$У например, по нулевому уровню, составляет 2v = 2тг/а; таким образом, составляющие кж и ку прошедшего спектра удовлетворяют соотношениям:
—тг/а ^ кж ^ тг/а; )Ъ ^ кж ^ тг/Ь.
После отверстия угловой спектр распространяется в свободном пространстве и, согласно (1.35), в произвольной плоскости z имеем
5i (кж, ку, z) = 4тг2а55 (0, 0, 0) sine (акр) sine (bky) exp (jkzz) ,(1.49)
где kz = ^к2 - (к^ + к^.
Распределение комплексной амплитуды в плоскости z найдем преобразованием Фурье:
4тг24тг255 (Ьж, ку, z) exp [j (кжх + кур)^ dkx dky.
4тг2
4тг2
(1.50)
Вычисление интеграла (1.50) с учетом (1.49) весьма затруднительно, так как дает общую картину дифракции на прямоугольном отверстии, включающую два известных приближения, а именно, дифракцию Френеля
Рис. 1.17Рис. 1.17и дифракцию Фраунгофера [10]. Рассмотрим более простое приближение дифракции Фраунгофера (рис. 1.17).
Рис. 1.17
Рис. 1.17
В точке ДД^о Ло, ^о) расположен точечный источник света; для простоты примем, что он находится на оси г, т.е. ж0 = уо = 0. В плоскости ху при г = 0 в бесконечном экране Мо находится прямоугольное отверстие со сторонами 2а и 26 и центром в начале координат. Для вычисления распре
деления амплитуды поля в произвольной плоскости Mi при z = zi достаточно найти амплитуду в произвольной точке Р(х, у, гу) этой плоскости.
у) = 1Щ, г/) = оу) = 1Щ, г/) = опри — а х а; —Ьпри — а х а; —Ьв остальной области.в остальной области.(1.51)(1.51)Функция пропускания экрана имеет вид
у) = 1
Щ, г/) = о
у) = 1
Щ, г/) = о
при — а х а; —Ь
при — а х а; —Ь
в остальной области.
в остальной области.
(1.51)
(1.51)
Весьма распространенный случай дифракции Фраунгофера реализуется при а^Ъ. Вычисляя интеграл Кирхгофа [10] по апертуре отверстия, получим распределение комплексной амплитуды поля в плоскости Mi, т.е. функцию импульсного отклика экрана с отверстием в виде
(1.52)(1.52)so,so,,. sin(akax) sin(pkby)
(1.52)
(1.52)
so,
so,
1akax pkby
где s0 = ab — площадь прямоугольника, К — несущественная для нас комплексная постоянная, К = — —^— ехр У к До + s)]; для точечного ис- A2qS
точника единичной амплитуды интенсивность в центре дифракционной картины равна Jo = \К|2 Sg, где s0 — площадь отверстия, а = у = s™1;
при этом поскольку s = ^х2 Р у2 Р Ду то в приосевой части s ^i, т.е. а = у = з™1 (это приближение вполне оправдано, поскольку отклонения
дифрагированного света при а, b Р> А весьма малы).
Интенсивность дифракционной картины в точке Р равна:
7(Р) = |/Щ,у)|2 = ^о7(Р) = |/Щ,у)|2 = ^оsin2 (akax) sin2 (akby)sin2 (akax) sin2 (akby)(akax)2 (akby)2(akax)2 (akby)2
7(Р) = |/Щ,у)|2 = ^о
7(Р) = |/Щ,у)|2 = ^о
sin2 (akax) sin2 (akby)
sin2 (akax) sin2 (akby)
(akax)2 (akby)2
(akax)2 (akby)2
где Jq — интенсивность в точке Oi(0,0,^i). График функции (sin£/£)2 представлен на рис. 1.18, Jo = \К\" Sg.
Таким образом, дифракционная картина имеет вид яркого (в точке ОД центрального пятна с размерами 2 Аж = 2тгг1/(&а) и 2 А?/ = 2тг31/(А^)
и ряда вторичных максимумов, интенсивность которых быстро спадает по
мере удаления от точки Ох (рис. 1.18). Таким образом, характерные размеры дифракционной картины есть Азх/а и Xzi)b.
Круглое отверстие. Аналогичным образом можно проанализировать дифракцию на круглом отверстии с радиусом «о в непрозрачном экране [10]. Импульсная характеристика этого отверстия (формула Эйри):
акаор
где р = у/ж2 + у2 — радиус в полярной системе
ДррЦо)ДррЦо)2Ji (aka^p) А "aka^p J2Ji (aka^p) А "aka^p Jкоординат (дифракционная картина, естественно, имеет круговую симметрию в плоскости ху), Ji(x) — функция Бесселя первого порядка, К — комплексная постоянная. Интенсивность дифракционной картины равна
ДррЦо)
ДррЦо)
2Ji (aka^p) А "aka^p J
2Ji (aka^p) А "aka^p J
Вид этой функции (рис. 1.19) весьма схож с видом функции (sin^/^)2 (рис. 1.18), но вторичные максимумы уже неэквидистантны. Дифракционная картина имеет вид яркого кругового пятна (так называемый централь
0 1234 5 6780 1234 5 678ный диск Эйри, или кружок рассеяния) и вторичных колец-максимумов, интенсивность которых быстро спадает с ростом р. Радиус первого темного кольца (или, что то же самое, диска Эйри) равен
0 1234 5 678
0 1234 5 678
Ро O,61A^i/ao = l,22A^i/(2a0).
Первый нуль ЭДД достигается при =
= 1,22тг = 3,832 ... Радиус диска Эйри ока™РиС- Р19
зывается несколько большим, чем соответствующая полуширина центрального пятна дифракционной картины для прямоугольного отверстия, где она равна Агу/(2а) или A^i/(26), причем 2а, 26 сравнимы по величине с диаметром круглого отверстия 2а0. В диске Эйри содержится примерно 84%
полной мощности света, падающего на отверстие.
В заключение отметим, что угловой спектр (1.48) прошедшего через прямоугольное отверстие излучения (аналогично можно рассчитать этот спектр и для круглого отверстия) непосредственно за отверстием соответствует однородному распределению комплексной амплитуды, т.е. чисто геометрической тени отверстия. По мере распространения этого света от отверстия мы от геометрической тени переходим через ближнюю зону (дифракция Френеля)
в дальнюю зону (дифракция Фраунгофера). Из соотношения (1.52) видно, что функция вида sine £, непосредственно у экрана соответствующая угловому спектру при однородном распределении амплитуды, в дальней зоне соответствует уже амплитудному распределению (дифракция Фраунгофера, формула (1.52)). По ряду соображений приближению дифракции Фраунгофера (1.52) нельзя сопоставить пространственно-частотную характеристику (хотя бы потому, что приближение Фраунгофера не отвечает условию пространственной инвариантности уравнения дифракции). Поэтому и в этом приближении следует пользоваться ПЧХ (1.42) или (1.43) (для узкого углового спектра); это выражение справедливо для всей области за экраном.
Можно дать общий совет, каким образом — с помощью амплитудных распределений или угловых спектров — производить расчет распространения излучения через оптические системы. Очевидно, что для распространения света в свободном пространстве целесообразно произвести фурье-преобразование амплитудного распределения и, получив угловой спектр, пользоваться ПЧХ вида (1.41). При расчете влияния оптических систем лучше пользоваться амплитудными распределениями, сделав предварительно (на входе системы) обратное фурье-преобразование углового спектра.
Синусоидальные одномерные решетки [181. Если в отверстии размещен транспарант с пропусканием Дж, у), то для амплитудной решетки (для простоты берем квадратное отверстие со стороной а):
t (ж, ^/) = - \т cos (&ож) + 1] rect (—A rect , (1.53)
для фазовой решетки:
t (ж, у) = ехр — sin (А:ож)1 rect ( —) rect (- j , (1.54) L J \ (X / \ (X /
где т — коэффициент модуляции, к0 — пространственная частота модуляции.
Фурье-образ амплитудного распределения (1.53), (1.54) есть свертка фурье-образов соответствующих множителей; обратное фурье-преобразование дает амплитудное распределение в зоне дифракции Фраунгофера. Это распределение достаточно сложно, и мы его здесь не приводим. Заметим только, что для амплитудной решетки дифракция приводит к перераспределению энергии плоской волны, освещающей транспарант, между центральным (нулевого порядка) и двумя вторичными (первого порядка) дифракционными максимумами. Для фазовой решетки число вторичных максимумов может быть достаточно велико, а при определенных условиях нулевой (центральный) максимум исчезает.
Преобразование угловых спектров при обращении волнового фронта. Рассмотрим схему, содержащую искажающую среду (аберратор), участок свободного пространства и устройство ОВФ (его принцип действия пока не конкретизируем). Пусть в плоскости з = 0 первоначально плоская волна (будем называть ее сигналом) с амплитудой А10, распространяющаяся по оси г, приобрела (после прохождения через аберратор) неоднородный
набег фазы, описываемый множителем ехр Ур (р)], где р — радиус-вектор в плоскости ху, т.е. р2 = ж2 + у2. Тогда в плоскости з = 0 комплексная амплитуда сигнала имеет вид
Л1 (х, у, 0) = Лю exp [jV (р)] •
Угловой спектр сигнала в этой же плоскости равен
/ 1 \2 г
51 Д1жД1у,0) = 51 (мь0) = — Л1 (р, 0) exp (Jxip) dp, (1.55)
где Mi = куж1 + к^т — волновой вектор сигнала в плоскости ху, |мх| = = ^к2ж + к2у, причем I, т — единичные векторы по осям х, у; Xip = = ^1жж + к-рдр условная запись (1.55) будет означать следующее:
51 Д1Ж, ку^, 0)д^-251 Д1Ж, ку^, 0)д^-2Ai (ж, у, 0) exp [j Д1жж + klyy^ dx dy.
51 Д1Ж, ку^, 0)д^-2
51 Д1Ж, ку^, 0)д^-2
klx + klyklx + klyВ некоторой плоскости ^i имеем
klx + kly
klx + kly
5i (ki$,kiy,^ = 5i (ki$,kiy,())exp^-j
или
S1 Ы^М = Si (xi,0) exp Ukizi) exp
Пусть в результате процесса ОВФ возникает новая волна с комплексно-сопряженным фронтом по отношению к 5ь т.е. (для некоторой плоскости г2):
52 (АдхДДу,^) = 52 (м2,г2) = К (мъ х2, гь з2) 5^ (xbzi) . (1.56)
Величина K^Xpz^ есть коэффициент преобразования устройства, обращающего волновой фронт, из волны 5* в волну 52. Этот коэффициент вычисляется, как нетрудно видеть, по амплитудам соответствующих парциальных плоских волн, т.е. по угловым спектрам. Нетрудно также видеть, что величина К отнюдь не есть фурье-образ коэфффициента преобразования по амплитуде поля у, где
Л = T]^,y,zi,z2) =Л = T]^,y,zi,z2) =А2 О^^Э41 О,у,гтуА2 О^^Э41 О,у,гту
Л = T]^,y,zi,z2) =
Л = T]^,y,zi,z2) =
А2 О^^Э
41 О,у,гту
А2 О^^Э
41 О,у,гту
Амплитудное распределение поля обращенной волны найдем обратным фурье-преобразованием углового спектра 52 (м2, г2):
А2 (х,у, х^ = А2 Ц, z2) = S2 (x2,z2)expyjx2p] dx2.
Эта запись означает следующее:
а2 Щу^Щ =а2 Щу^Щ =S2 Щ^Лг^Щ exp [-J Щ^ + fe2yy)] dk2x dk2y.
а2 Щу^Щ =
а2 Щу^Щ =
Подставим сюда (1.56):
А2(р, Щ = К (xi,x2,z1,z2) SPxi,z0exp[-jx2p] dx2 =
К (xi^,^,^)^ (xb0)exp(™jli3i) x
.2
x exp +jA"Zi exp Pjx2p) dx2 = exp (,-jkiZi) exp jp-zx у Zk-i Jу Zk-i
К Щх, х2, z2, z2) S^ (xi,0)exp(-jX2p) dx2 =
= Q K(xi,x2,zi,z2)= Q K(xi,x2,zi,z2)АЩС 0) exp^-jx^dp'( exp(-jx2p)dx2 =
= Q K(xi,x2,zi,z2)
= Q K(xi,x2,zi,z2)
К (x1,x2,z1,z2) Ai (p,0) exp [-j (Xip1 + x2p^ dp1 dx2.
(1.57)
(Здесь мы ввели обозначение 4tt2Q = exp (—jkiZi) exp (jx^i/(2A:i)) и подставили (1.55)).
Переменная интегрирования в (1.55) обозначена через р', чтобы отличить ее от параметра р в интеграле (1.57). Забегая несколько вперед, заметим, что независимо от вида устройства ОВФ (трех- или четырехфотонный нелинейный преобразователь) для случая плоских волн накачки следует положить Xi = —х2. (Например, для трехфотонного параметрического генератора разностной частоты имеем к3 = кх + к2, где к3 — волновой вектор накачки. Отсюда х3 = хх + х2. Если накачка — плоская волна, распространяющаяся по г, то х3= 0, и, следовательно, хх = —х2.)
Введем функцию
Г (р - Щ 21,22) = j К Щх, х2, zT, z2) exp jx2 Ip - р')] dx2 (1.58)
и назовем ее функцией разброса. Тогда из (1.57) получаем
(1.59)(1.59)А2(р, z2) = Q 41 (р',0)Г(р-р',21,22) dp'.
(1.59)
(1.59)
Нетрудно показать (см. ниже), что функция разброса Г есть в данном случае не что иное, как отклик на импульсную функцию (5-функцию), т.е. функция рассеяния точки (или, что то же, импульсная характеристика преобразователя). Таким образом, это есть отклик (реакция) преобразователя
на точечный световой источник. Точно так же фурье-образ функции разброса, т.е. коэффициент преобразования по угловому спектру К, есть ПЧХ преобразователя.
Итак, можно сделать вывод, что обращенное поле есть свертка комплексно-сопряженного поля сигнала с функцией разброса устройства ОВФ. Из (1.58) следует, что функция разброса есть фурье-образ коэффициента преобразования при ОВФ по угловому спектру
Подставляя Их (ж, у^ 0) в (1.59), имеем
Л2 (р, з2) = <2Лю exp \-ЗФ (р')1 Г (р - р', Zi, z2) dp'.
Если начальное распределение волны сигнала было задано в виде
Л1 (р, 0) = Лю exp \-jxop + jp (р)],(1.60)
т.е. если волна сигнала распространяется не по оси % (есть отличный от нуля поперечный волновой вектор м0, где |ж0| = ^Цж + ^1У> и величины ^1Ж и kiy постоянны), то для амплитуды Л2 имеем более общий случай:
Л2 (р, г2) = QJ10 exp \jxopr ™ ЗФ (pZ)] г (Р ” р\ гь з2) dpr. (1.61)
Угловой спектр волны (1.60) найдем фурье-преобразованием:
8^ (ф<2^2) =8^ (ф<2^2) =^2 (р, 32)exp[jx2p] dp.^2 (р, 32)exp[jx2p] dp.(1.62)(1.62)
8^ (ф<2^2) =
8^ (ф<2^2) =
^2 (р, 32)exp[jx2p] dp.
^2 (р, 32)exp[jx2p] dp.
(1.62)
(1.62)
Подставим (1.61) в (1.62):Подставим (1.61) в (1.62):У2 (м2, з2) —У2 (м2, з2) —QHio4тг2QHio4тг2ехр ^Мор1 - ip (р')] exp (jk2p) Г (р - р\ гъ з2) dp dp' =ехр ^Мор1 - ip (р')] exp (jk2p) Г (р - р\ гъ з2) dp dp' =Ф^ю4тг2Ф^ю4тг2ехр ^зф (pz)] Г (р - р\ зх, з2) exp UjM2p + зхорг) dp dpf.(1.63)ехр ^зф (pz)] Г (р - р\ зх, з2) exp UjM2p + зхорг) dp dpf.(1.63)Вычислим фурье-образ функции (1.60):Вычислим фурье-образ функции (1.60):
Подставим (1.61) в (1.62):
Подставим (1.61) в (1.62):
У2 (м2, з2) —
У2 (м2, з2) —
QHio
4тг2
QHio
4тг2
ехр ^Мор1 - ip (р')] exp (jk2p) Г (р - р\ гъ з2) dp dp' =
ехр ^Мор1 - ip (р')] exp (jk2p) Г (р - р\ гъ з2) dp dp' =
Ф^ю4тг2
Ф^ю4тг2
ехр ^зф (pz)] Г (р - р\ зх, з2) exp UjM2p + зхорг) dp dpf.
(1.63)
ехр ^зф (pz)] Г (р - р\ зх, з2) exp UjM2p + зхорг) dp dpf.
(1.63)
Вычислим фурье-образ функции (1.60):
Вычислим фурье-образ функции (1.60):
Si (xi, 0) = АSi (xi, 0) = А110 4^110 4^ехр V™jxoP + ЗФ (р)] ехр (+jxip) dp =ехр V™jxoP + ЗФ (р)] ехр (+jxip) dp =
Si (xi, 0) = А
Si (xi, 0) = А
1
10 4^
1
10 4^
ехр V™jxoP + ЗФ (р)] ехр (+jxip) dp =
ехр V™jxoP + ЗФ (р)] ехр (+jxip) dp =
^-ю 4тг2^-ю 4тг2
^-ю 4тг2
^-ю 4тг2
ехр \™jxop ™ jx2p + ЗФ (р)] dp = 8г (х2,0).
Поэтому спектр (1.63) равен
S2 (х2,Щ = Q S^ (х2,0)Г (р - р1, z-l, z^j exp (jх2р - jх^Щ dp1 =
-^8рх2,0р<(х2,21,Щ. (1.64)
Мы получили то же выражение, что и раньше (1.56), что просто подтверждает правильность наших вычислений.
Спектр (1.64) возвращается к плоскости з = О, где находится аберратор, что эквивалентно умножению 52 (х2, з2) на величину
exp (+j^232) х expexp (+j^232) х exp
exp (+j^232) х exp
exp (+j^232) х exp
Введем
q = expq = exp"х2 х2 "
q = exp
q = exp
-jklZ! + jk2z2 + j P-Z! -j-pz2
Тогда
S2 (x2, 0) = qK (x2, зх, з2) 5i (x2,0).
Вычислим угловой спектр функции аберрации р (р):
ехр[Х (р)] exp О'^гр) dp.
Для нахождения углового спектра волны, вторично прошедшей через аберратор при з = 0, воспользуемся теоремой о свертке (см. [18]); прошедший спектр помечен штрихом:
5'(х2,0) =5'(х2,0) =52 (х2,0) Ф (х2 - Х2) dx2 =
5'(х2,0) =
5'(х2,0) =
= q \ К (х^, 31, з2) 5j (х^, 0) Ф (х2 - м^) dx'2. (1.65)
Итак, спектральный состав восстановленного после прохождения полем аберратора, устройства ОВФ и снова аберратора равен 5^ (х2,0) = = 5-2 (™Xi, 0). Спектральный состав первоначального поля имеет вид плоской волны:
5-рЧх^(1.66)
где 5 (х) — дельта-функция. Можно ввести коэффициент компенсации фазовых искажений при ОВФ как отношение функции (1.65) к (1.66); при этом необходимо провести нормировку этого коэффициента на максимальную величину коэффициента преобразования Ко. Таким образом, коэффициент компенсации равен
=5Д-хь0)= S'P-x^
КаА10Цх-хЭ KOAW '' ' ’
Более точную оценку качества компенсации искажении дает так называемый интеграл перекрытия [16]:
н = Ц"м МА? (рр dp\2/ |АХ (р, z)|2 dp • J |Л2 (р, 0\2 dp
Экспериментальное определение Н достаточно сложно, и зачастую пользуются более наглядным параметром т (1.67). Можно условно принять, что компенсация искажений с помощью ОВФ удовлетворительна, если восстановленная волна несет не менее, чем |Ко |2 /2 энергии первоначальной волны, т.е. |т|2 > 1/2.
Величина т существенно определяется типом устройства ОВФ и спектральным угловым составом функции аберрации. Параметр т будет вычислен ниже для конкретных видов систем и функций р(р).
Рассмотрим общее выражение (1.61) для распределения поля, поперечные компоненты волнового вектора которого обращены, т.е. изменили знак. Можно показать, что если устройство ОВФ является идеальным линейным фильтром, то его функция разброса есть величина, пропорциональная 5-функции, т.е.
r(p-p',zi,22) = £,Цр-рУ
Тогда из (1.61) получаем, пользуясь фильтрующим свойством 5-функции:
М (р, 0 = QA10 ехр\jxop - jtp (р^ ,
т.е. учитывая (1.60):
^2 (рр = QA^ (р,0).
Таким образом, в данном случае мы имеем полное ОВФ по поперечным волновым векторам (обращение продольной составляющей волнового вектора может быть осуществлено, например, отражением от плоского зеркала).
Коэффициент пропорциональности Q, равный
2^1 /2^1 /Q = 4^2 ехр РРр ехр
2^1 /
2^1 /
и являющийся чисто фазовым множителем, здесь может пока не приниматься во внимание (первый множитель есть просто фазовая задержка всего спектра, а второй множитель, как мы увидим ниже, может быть скомпенсирован при формировании изображения оптическими системами).
Итак, имеем
А2 (р, z) ~ Аю ехр ухчр - jp (р)].(1.68)
Проходя вторично через аберратор, вносящий неоднородную (в поперечной плоскости) фазовую задержку (набег фазы), описываемую функцией
ехр \jp (р)], амплитудное распределение (1.68) приобретает вид первоначальной плоской волны:
^2 (Р, 2) ~ ^ю ехр \_jxoP - N (р)] ехр \зф (р)] = Лю exp (;хор) ■
(1.69)
Первоначальное поле (до аберратора) также имело вид плоской волны:
^1 (Р, 0) = Лю ехр Рзхор^.
Восстановленное поле (1.69), возникшее вследствие прохождения плоской волны через аберратор, устройство ОВФ (включая изменение знака продольной составляющей) и снова через аберратор, есть плоская волна, результирующий волновой вектор которой имеет противоположный знак по отношению к первоначальной плоской волне. Это и есть эффект полного ОВФ по всем трем пространственным координатам, характерный для рассматриваемого здесь идеального случая.
Применительно к этому же случаю отметим, что коэффициент преобразования устройства ОВФ, который может быть выражен через функцию разброса, равен
K(x,21,Z2) = ^K(x,21,Z2) = ^4л"24л"2§ (р) ехр (-jxp) dp=—_§ (р) ехр (-jxp) dp=—_Г (р - р- 2Ъ z2) ехр \-jx (р - p')]d(p- Щ
K(x,21,Z2) = ^
K(x,21,Z2) = ^
4л"2
4л"2
§ (р) ехр (-jxp) dp=—_
§ (р) ехр (-jxp) dp=—_
—2тг — ^ 0 тг 2тг Зтг—2тг — ^ 0 тг 2тг ЗтгРис. 1.20Рис. 1.20
—2тг — ^ 0 тг 2тг Зтг
—2тг — ^ 0 тг 2тг Зтг
Рис. 1.20
Рис. 1.20
Итак, величина К (ж) идеального фильтра постоянна для всех спектральных компонент, а угловой спектр преобразованного поля пропорционален комплексно-сопряженному (обращенному) угловому спектру волны,
прошедшей через аберратор.
В общем случае устройство ОВФ не является идеальным линейным фильтром с функцией разброса в виде 5-функции (или, что
то же самое, с коэффициентом преобразова-
ния, постоянным для всего углового спектра преобразуемого излучения). Так, например, устройство ОВФ в виде параметрического трехфотонного вырожденного преобразователя с генерацией разностной частоты (см. гл. II) имеет коэффициент преобразования вида К (ж) = JCosinc (аж2), существенно зависящий от ж, что определяется физикой трехфотонных взаимодействий
в анизотропной среде [13, 17] (рис. 1.20). Нетрудно видеть, что такой преобразователь эффективно (if VO^5JCo) преобразовывает лишь достаточно узкую полосу угловых частот, определяемую условием sine (аж2) = V^/^’ или ам*2 ~ (При таком определении ширина эффективно преобразуемого спектра определяется по поло
вине интенсивности, так называемая полуширина углового спектра. Часто
эту ширину определяют из условия ах2 = тг/2 = 1,57..., что эквивалентно определению ширины преобразования по уровню (0,6366)2 ^ 0,405 интенсивности.) Здесь а — параметр, определяемый свойствами нелинейного кристалла (в частности, длиной, дисперсионными коэффициентами и т.п.) и длиной волны излучения. Не вдаваясь в подробности (детально этот вопрос будет обсуждаться в гл. II), нетрудно видеть, что угловой спектр исходного излучения, прошедшего через аберратор, выходящий за пределы ширины центрального максимума, не будет эффективно преобразован и, следовательно, останется необращенным. Другими словами, в восстановленном поле окажется значительный фон необращенного (т.е. фактически невосстановленного) поля. На практике это приведет к тому, что изображение, прошедшее через аберратор, устройство ОВФ и вторично через аберратор, окажется существенно размытым; при этом особенно размытыми окажутся мелкомасштабные детали изображения, спектральные угловые составляющие которых выходят за пределы центрального максимума. Можно грубо оценить разрешение из следующих соображений. Пусть а — поперечный масштаб деталей изображения; ему соответствует поперечное волновое число ха гз тг/(2а). Тогда получаем, что разрешение (минимальный размер элемента изображения) в восстановленном изображении определяется условием а тг2а/5,6~ 1,76а. Поскольку величина а прямо пропорциональна длине волны А и длине нелинейного кристалла I, то разрешение падает с ростом Ли/. Точно так же будут сильно размытыми резкие контрастные края (границы) элементов изображения, содержащие также высокие пространственные «частоты» углового спектра. Крупные элементы изображения с достаточно плавными (неконтрастными) границами окажутся восстановленными практически полностью.
ГЛАВА II
ОБРАЩЕНИЕ 1ОЛНО1ОГО ФРОНТА ПРИВЫРОЖДЕННОМ ТРЕХВОЛНОВОМВЗАИМОДЕЙСТВИИ
В КВАДРАТИЧНО-НЕЛИНЕЙНОЙ СРЕДЕ
2.1 Обращение волнового фронта при генерации разностной частоты
Рассмотрим квазиплоскую волну с плоским амплитудным и искаженным волновым (фазовым) фронтами
Е = - | А\ {ехр {j \wt — kz + Ф (ж, у)^ + к.с.},
где Ф(ж, у) — функция аберрации в поперечном сечении (ж, у); будем полагать Ф(ж, у) настолько малой, чтобы можно было принять приближенно ехр (^Ф) ^ 1 + ^'Ф. Таким образом, в этом приближении поле Е является суперпозицией двух волн
Е = - | А\ {ехр У (wt — kz)^ + к.с.} +
+ | Н| О’Ф (ж, у) ехр \_j (ujt - kz)^ + к.с.} , (2.1)
т.е. плоской волны с амплитудой А и квазиплоской, модулированной в поперечном сечении, волны с амплитудой зФА. Заметим, что коэффициент j означает умножение на величину ехр (jtt/2), что соответствует наличию сдвига фаз в тг/2 между плоской и квазиплоской волнами.
Как известно, пространственная амплитудная модуляция идентична появлению плоских волн, распространяющихся под углами к направлению z. Рассмотрим для простоты периодическую одномерную модуляцию, т.е.
Ф (ж) = (Фо/2) [ехр (-jfc^x) + ехр (jk^x^ = Фо cos (к^х).(2.2)
Спектр пространственных частот этой функции содержит два значения: кх и —кх; другими словами, модуляция вида (2.2) эквивалентна появлению двух плоских волн, распространяющихся под углом а ~ кж/к по обе стороны от направления z. Поле (2.1) в этом случае имеет вид (^ + ^ = k^Y
MlMl г 1
{exPb' ^ ” к^\ + к.с.} + ^^(^-(exp^ (wi - kzz - k$x^ +
+ exp [J (cut — kzz + Ажх)] + к.с.)). (2.3)
В выражении (2.3) вместо kz в квазиплоской волне мы записали kzz, подчеркнув, что наличие модуляции в поперечном направлении приводит
к повороту направления составляющих плоских волн, т.е. к уменьшению составляющей волнового числа к по оси г; сама величина к определяется лишь дисперсией к = иль (си)/с и (в пренебрежении анизотропией) не меняется с направлением.
Покажем, что при генерации разностной частоты в квадратично-нелинейной среде в вырожденном по частоте режиме генерируется комплексно-сопряженная волна, т.е. происходит ОВФ. Рассмотрим взаимодействие вида 2ш — ш = им Так как режим по сигнальной и разностной волнам вырожден по частоте, необходимо как-то отличать разностную (т.е. генерируемую в среде) волну от сигнальной (т.е. от поступающей в среду) волны, фронт которой необходимо обратить. Здесь можно воспользоваться двумя способами:
применить взаимодействие вида «оее» [1], т.е. волну накачки на частоте 2сс и одну из двух других волн, например, сигнальную волну на частоте ш, взять необыкновенными, тогда разностная волна окажется обыкновенной; разделение сигнальной и разностной волн может быть произведено поляризатором1 до или после возвращающего зеркала (рис. 2.1 а);
применить векторное взаимодействие любого вида («оое» или «оее») [2]; в этом случае разделение падающей (сигнальной) и обращенной (разностной) волн происходит автоматически (они разнесены в пространстве, рис. 2.1 б); фронт обращенной волны смещен относительно фронта сигнальной волны на величину а, зависящую от угла векторного синхронизма 0, длины кристалла и расстояния от кристалла до возвращающего зеркала.
Рассмотрим процесс генерации разностной частоты в квадратично-нелинейной среде более подробно. Представим электрический вектор поля в среде в виде суперпозиции трех волн: накачки на частоте 2ш, сигнальной и разностной волн на частоте им Волнам сигнальной, разностной и накачки припишем индексы 1,2,3, соответственно:
В (г> = 2 {pMi (r) ехР Vi Ml ” kir)] + Р2Л2 exp [7 (_wt - k2r)] +
+ Р3Л3 (r) exp [J (2wt - k3r)] + K.c.}. (2.4)
Поле вида (2.4) является решением волнового уравнения
„ Со 52Е rot rot Е+с2 at2„ Со 52Е rot rot Е+с2 at24тг д2Рнл с2 dt24тг д2Рнл с2 dt2(2.5)(2.5)
„ Со 52Е rot rot Е+
с2 at2
„ Со 52Е rot rot Е+
с2 at2
4тг д2Рнл с2 dt2
4тг д2Рнл с2 dt2
(2.5)
(2.5)
где Рнл = %ЕЕ — нелинейная (в данном случае — квадратичная) поляри- зованность, х — тензор квадратичной поляризуемости.
Запомним [2], что поляризации обыкновенной и необыкновенной волн ортогональны. При таком выборе поляризатор, настроенный на обыкновенную волну, «отрежет» и волну накачки. Если же сигнальная волна выбрана обыкновенной, то разностная будет необыкновенной, как и накачка; поляризатор в этом случае пропустит и накачку, которая может быть отрезана простым фильтром.
Рис. 2.1
Уравнение (2.5) следует решать с учетом граничных условий; полагая, что разностная частота на входе нелинейной среды отсутствует, имеем
Лх(0) — Л10, Г12(0) — 0; Л3(0) — Л30.(2.6)
В дальнейшем будем предполагать, что Л2 (г) С Л10, Л30. Это условие означает, что процесс генерации разностной частоты (ГРЧ) происходит в приближении заданных полей накачки и сигнальной волны, т.е. Лх (г) = = Л10; Л3 (г) = Л30. Величины Л10, Л30 суть, вообще говоря, функции поперечных координат.
В этом приближении уравнения для амплитуды волны разностной частоты Л2(г) имеют вид (г — направление распространения этой волны):
9A2j9z = jcr2A3oAJo, 9A*J9z = -jo-2AI0A10.(2.7)
Из уравнении (2.7) видно, что генерируемая частота имеет фазовый фронт, комплексно-сопряженный по отношению к падающей сигнальной волне. В дальнейшем будем полагать волну накачки плоской (это условие, вообще говоря, не обязательно; важно лишь, чтобы возвращающее зеркало имело поверхность, совпадающую с волновым фронтом накачки [3], при плоской волне накачки возвращающее зеркало также должно быть плоским), а волну сигнала — квазиплоской с волновым фронтом вида
^10 Д,у) = Дю| ехр [уф (ж, у)],
где Ф(ж, у) — функция аберрации; при этом введем Л30 (ж, у) = | Л301 = а30, Дю | = аю. так что из (2.7) следует:
dA^fdz = Усг2аюа30 ехр (—^Ф), ЭА^/Эг = -У<т2аюа3о ехр (уФ). (2.8)
Здесь аз — коэффициент нелинейной связи [1]. Будем искать решение уравнений (2.8) в виде
Л2 (ж, у, z) = а2 О ехр [Уу? (ж, у)].(2.9)
Мы, тем самым, предполагаем, что фазовый фронт волны разностной частоты не является плоским, но наличие фазовой пространственной модуляции еще не приводит к модуляции плоско-амплитудного фронта.
Подставляя (2.9) в первое уравнение (2.8), получаем
ехр = Уо-2аюа30 ехр (-;'Ф),
«2 Р = jc^aioasol ехр [-у (Ф + у?)].
Поскольку в левой части второго уравнения (2.10) стоит действительная константа (амплитуда волны разностной частоты на выходе z = I нелинейной среды), а в правой части в показателе экспоненты стоит функция поперечных координат ж, у, то с очевидностью имеем
р (хру) = -Ф (х.у) + тг/2.(2.11)
В (2.11) мы воспользовались соотношением j = ехр (jtt/2).
С учетом (2.10), (2.11) имеем а^ (Z) = ^аю^зо/, а комплексная амплитуда разностной волны равна:
А2 (ж, у, Z) = ja2ai0a30l ехр [-уф (ж, у)] =
= a2 (Z) ехр {-у [Ф(ж, у) - тг/2]} . (2.12)
Итак, фаза разностной волны имеет знак, противоположный знаку той части фазы сигнальной волны, которая зависит от поперечных координат (т.е. Ф(ж, у)) и дополнительно сдвинута на тг/2.
Конечно, решение (2.12) непосредственно следует и из первого уравнения (2.8). Для того чтобы вся обобщенная фаза сигнальной волны —kz + + Ф(ж, у) изменила свой знак, т.е. для полного ОВФ, необходимо отразить волну (2.12) от плоского зеркала (см. рис. 2.1).
Заметим, что сдвиг фазы на тг/2 не имеет существенного значения для ОВФ, по крайней мере в данном случае. Действительно, пусть сигнальная волна была первоначально идеально плоской, а искажения приобрела при прохождении через аберратор с функцией аберрации Ф(ж, у). Поэтому поле сигнальной волны Е^ (ж, у) на выходе аберратора имеет вид
= Егехр^Ф ■ (2-13)
Поле разностной волны, генерируемой в квадратично-нелинейной среде, имеет то же распределение фазы, но с обратным знаком, и при вторичном (обратном, после отражения от зеркала) прохождении через аберратор полностью восстанавливает плоский волновой фронт; так, на выходе аберратора для волны разностной частоты, точно так же, как и для (2.13), имеем
^2 Э- У) = ^2 О, у) ехр [^Ф (ж, у)],
но, в соответствии с (2.12):
Е2 (ж, у) = 02 exp [-j (wt + k2z - Ф (ж, у) + тг/2)] , и поэтому
^2 (X и) = а2 exp [™j (wt + ^2^ + Тг/2)] .
Таким образом, отраженная назад волна разностной частоты имеет ту же самую частоту, что и сигнальная, и полностью восстановленный исходный плоский волновой фронт.
Заметим, что процессам взаимодействия волн в нелинейных средах вообще свойственно перенесение пространственной модуляции с одной волны на другую. При этом необходимо только помнить, что процесс такого перенесения происходит без дополнительных искажений (применительно к случаю ГРЧ) только в приближении заданных полей накачки и сигнальной волны, т.е. в существенно л инейном режиме, когда можно пренебречь их истощением. Безусловным признаком линейности этого режима является линейный рост амплитуды разностной волны с расстоянием вдоль направления распространения волн. При заметном нарастании этой амплитуды процесс уже не описывается приближением заданного поля, необходимо учитывать изменение с расстоянием не только амплитуд, но и фаз всех трех взаимодействующих волн, в результате чего линейный рост амплитуды с расстоянием переходит в нелинейный (появляется тенденция к насыщению), а перенос фазовой модуляции (т.е. функции аберрации) с сигнальной волны на разностную сопровождается дополнительными искажениями. В конце концов, отраженная от зеркала волна разностной частоты будет не полностью, неточно воспроизводить волновой фронт сигнальной волны, и, следовательно, процесс ОВФ частично (а иногда и практически полностью) не будет иметь места.
В литературе процесс ГРЧ (при вырождении частот) в нелинейной среде называют трехфотонным (трехчастотным, трехволновым) параметрическим процессом (см., например, [1, 3]), подчеркивая тот факт, что ГРЧ в приближении заданных полей по сути дела есть не нелинейный, а чисто
параметрический линейный процесс; с точки зрения физики колебаний такой процесс (при вырождении частот сигнальной и разностной волн) ничем не отличается от процесса возбуждения и нарастания колебаний в любой параметрической системе, например, в качелях. Нелинейность среды в данном случае является лишь средством для модуляции одного из параметров среды (например, е или п) на частоте 2ш. Существенная нелинейность процесса проявляется лишь при отходе от приближения заданных полей накачки и сигнала.
Возвратимся к случаю периодической модуляции по пространству функции аберрации, заданной выражением (2.2), и рассмотрим процесс ОВФ с несколько другой точки зрения. Из (2.3) следует, что сигнальная волна, фронт которой нужно обратить, состоит, по сути дела, из трех плоских волн: волны, распространяющейся только по ^, и двух волн, распространяющихся под углами а = kx/kz к направлению z.
Пусть направление z совпадает с направлением синхронизма для генерации вырожденной по частоте сигнальной волны (ш = 2си — ш). Аберрационное поле сигнальной волны можно представить, с учетом (2.2), в виде Ei (ж,уЮ = ^-^-^{ехРЬ (wt - kiz)]+^- exp [j (wt - klxx - klzzp
7 1
+ exp У (wt + к1жх - /ci^^)] + к.с. >. (2.14)
Геометрическое расположение векторов взаимодействующих волн для случая почти коллинеарного взаимодействия типа «оее» (волны накачки и сигнала — необыкновенные) показано на рис. 2.2. Обозначим через ки и ki2 векторы сигнальных составляющих плоских волн (вектор кп составляет угол +а с осью z и с вектором к3), а через k2i и к22 — векторы соответствующих плоских разностных волн. Имеем следующие соотношения: скалярное к^ + к^ = кз и два векторных kfx + k^ = кз + Аь к^2 + к^2 = к| + А2.
Поскольку угол а весьма мал и, как правило, значительно меньше угловой ширины синхронизма (в том числе векторного) для процесса ГРЧ, все процессы идут практически в синхронизме. Таким образом, в процессе ГРЧ фактически идут три процесса.
ГРЧ между плоскими волнами накачки и сигнала, при этом волна сигнала распространяется точно по z, ей соответствует вектор к^ и первая экспонента в выражении (2.14).
ГРЧ между плоской волной накачки и плоской волной сигнала, распространяющейся под углом (+сф к оси z, ей соответствует вектор к^ и вторая экспонента в (2.14).
ГРЧ между плоской волной накачки и плоской волной сигнала, распространяющейся под углом (“«) к оси z, ей соответствует вектор kf2 и третья экспонента в (2.14).
Векторами волновой расстройки А1)2, в силу малости дифракционного угла а, можно пренебречь.
С первым процессом ГРЧ все очевидно: и волна сигнала, и волна накачки распространяются коллинеарно, и волна разностной частоты, отраженная от зеркала, остается плоской, ее фаза (Ад^) просто изменяет знак; эту составляющую можно было бы и не преобразовывать в разностную волну, а просто отразить от плоского зеркала.
Рис. 2.2
В двух других процессах ГРЧ после преобразования в разностную волну и отражения от зеркала возникают две плоские волны разностной частоты, комплексно-сопряженные исходным составляющим волнам сигнала. Другими словами, компоненты по х и z векторов ku и к12 меняют знак на противоположный, т.е. меняет знак и угол а. Вследствие этого отраженную от зеркала волну разностной частоты можно представить в виде
ЕЭЭ12 ехр [j + ^2^ _ ехр [j + к2тх + ко^-
ф0 ■1
- — ехр \j (wt - к2жх + к2гх^ + к.с. >.
Второй и трети! члены дают:
™ | ехР У (wt + b2z^ {exp (jk2xx) + exp ^-]к2жх^ =
= - cos ^к2ж^ exp [j (wf + k2z^ .
Итак, поле разностной частоты имеет такое же распределение фазы, что и исходная волна сигнала, но сама волна при этом распространяется
Волновой фронт обращенной волныВолновой фронт обращенной волныВолновой фронт сигналаВолновой фронт сигналаРис. 2.3Рис. 2.3в противоположном сигналу направлении (рис. 2.3); при этом обращенная волна имеет ту же частоту (си) и тот же (с точностью до двулучепреломления к° ™ ке = Ак С к) волновой вектор.
Волновой фронт обращенной волны
Волновой фронт обращенной волны
Волновой фронт сигнала
Волновой фронт сигнала
Рис. 2.3
Рис. 2.3
В общем, два этих рассмотрения абсолютно идентичны. В случае более сложной модуляции необходимо прибегать к разложению в ряд Фурье для периодической функции Ф(х, у) или интеграл Фурье для непериодической функции.
Отметим, что во всех случаях расстояние от кристалла до зеркала должно быть меньше характерного расстояния, на котором происходит расплывание неоднородностей пучка сигнала; значительную мешающую роль может сыграть двулучепреломление (диафрагменный апертурный эффект, или снос энергии необыкновенной волны).
Качественное сравнение двух схем ОВФ при трехволновом вырожденном взаимодействии в квадратично-нелинейной среде
При трехволновом ОВФ, вообще говоря, требуется опорная волна с волновым фронтом высокого качества; роль такой волны играет плоская волна накачки с частотой 2ш. Это весьма жесткое, вытекающее из практики, требование. Действительно, пусть волновой фронт накачки имеет вид (оставляем только пространственную часть показателя экспоненты):
Езо = «зо ехр [-j (k3z - у>3 (ж, у))],
т.е. волновой фронт такой волны искажен аберрациями.
Волновой фронт сигнала определится формулой:
Ею = «ю ехр Уз (Уг -(ж, у))].
Из первого уравнения(2.7)сучетомтого,что Лю = аюехр(— jtpi (ж, у)), Л3о = «зо ехр Узфг (ж, у)), получаем
{Д = 7«2«ю«зо ехр Уз уз (ж, у) - <pi (ж, у))].
Отсюда следует, что волновой фронт разностной волны определяется разностью распределений (в поперечном сечении) функций аберрации волны накачки и сигнальной волны:
«2 ехр \з<р2 (ж, у)] = ,№aioa3oZ exp [j (<^3 (ж, у) - <рх (ж, у))]. (2.15)
Для обращения поперечной составляющей фазы сигнальной волны, т.е. для выполнения условия р^ ^ру) = (ж, у\ можно воспользоваться двумя способами:
выбрать опорную волну (волну накачки) плоской, тогда рз (ж/?/) = 0;
учитывая тот факт, что для обращения продольной составляющей фазы сигнальной волны необходимо применить возвращающее зеркало, можно применить зеркало, поверхность которого точно совпадает с поверхностью волнового фронта накачки; другими словами, такое зеркало производит над волной накачки операцию обращения, умножая волну (2.15) на оператор ехр (™урз (ж, у)). В этом случае на волне разностной частоты сохраняется лишь распределение [™^i(ж, у^, обратное по знаку функции аберрации сигнальной волны.
Еще раз подчеркнем, что в вырожденном по частоте трехволновом взаимодействии в квадратично-нелинейной среде происходит обращение (изменение знака) только поперечной составляющей обобщенной фазы поля kz + Ф(х/?/), т.е. только функции Ф(х/?/). Для обращения продольной составляющей фазы, т.е. функции kz, необходимо введение дополнительной операции — отражения от зеркала, поверхность которого точно воспроизводит фронт опорной волны (т.е. волны накачки).
Заметим, что реализация зеркала с такой поверхностью технически весьма трудна; фактически надо создать зеркало, обращающее ВФ опорной волны и не обращающее ВФ разностной волны. Поэтому и требуется использовать плоскую волну накачки, позволяющую применить плоское зеркало.
Рис. 2.4Рис. 2.4
Рис. 2.4
Рис. 2.4
Рассмотрим две схемы ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии (рис. 2.4), отличающиеся направлениями распространения падающей сигнальной волны. Схема рис. 2.4 а соответствует векторному синхронизму при генерации разностной частоты. Плоская волна накачки падает
нормально к входной грани нелинейного кристалла; волна сигнала, подлежащая обращению, распространяется под углом к направлению распространения накачки. Комплексно-сопряженная волна разностной частоты, несущая обращенную поперечную составляющую фазы, распространяется в направлении волнового вектора к2; продольная составляющая фазы обращается при отражении разностной волны от плоского зеркала.
Нетрудно видеть, что схема на рис. 2.4 а пригодна только для случая весьма однородных нелинейных кристаллов. Если же кристалл неоднороден, то процесс ОВФ значительно нарушается, так как на разностную волну дополнительно накладываются аберрации за счет неоднородности. Кроме того, в схеме рис. 2.4 а обращенная и сигнальная волны сдвинуты относительно друг друга в пространстве, что не всегда допустимо.
Схема рис. 2.4 б выгодно отличается от предыдущей тем, что волна сигнала прежде, чем вступить во взаимодействие с плоской волной накачки, проходит через нелинейный кристалл, приобретая дополнительные аберрации за счет неоднородности кристалла. Зеркало в этой схеме полностью отражает волну частоты си, т.е. К(ш) = 1, и полностью пропускает волну накачки, т.е. Я(2ш) = 0.
Сигнальная волна, «сфотографировав» на прямом проходе фазовые неоднородности кристалла, отражается от зеркала и на обратном проходе, взаимодействуя с накачкой 2ш, рождает комплексно-сопряженную волну частоты ш, распространяющуюся точно в обратном направлении по отношению к падающей сигнальной волне. Проходя в этом обратном направлении и будучи полностью обращенной, разностная волна на выходе нелинейного кристалла будет иметь волновой фронт, совпадающий по форме с волновым фронтом падающей сигнальной волны, поскольку аберрации, внесенные неоднородным кристаллом, на обратном проходе разностной волны полностью скомпенсировались. Поясним это простейшими оценками.
Пусть сигнальная волна после прохождения через аберратор из плоской превратилась в квазиплоскую с волновым фронтом
агехр - Ф (х.у)^ ,
где Ф(х,у) — функция аберрации. После прохождения через неоднородный искажающий нелинейный кристалл навстречу волне накачки волна сигнала приобретает дополнительное искажение ВФ, описываемое функцией аберрации кристалла р(х,у), так что вблизи зеркала волна сигнала имеет ВФ вида «i exp [^j (кг — Ф (х, у) — р (х, у))]. После отражения от зеркала эта волна вступает во взаимодействие с плоской волной накачки, в результате чего генерируется разностная волна с сопряженным волновым фронтом вида ja2 exp [j (кг — Ф (ж, у) — р (х, y))Y Проходя еще раз через кристалл в направлении, обратном направлению падающей сигнальной волны, разностная волна вновь получает дополнительное искажение волнового фронта, описываемое функцией р(хру\ так что на выходе кристалла разностная волна имеет
волновой фронт вида jaq exp [j (kz ™ Ф (ж, у) ™ p (x, y))^ exp ^jp (x,2/)] = = ja2 exp [j (kz — Ф (x,y))Y Таким образом, разностная волна как бы не замечает неоднородностей нелинейного кристалла. Само собой разумеется, что все это справедливо лишь в приближении заданных полей накачки и сигнальной волны. До-
СигналСигналРазностная волна соРазностная волна соR(2co) = ОR(2co) = ОR(co) = 1R(co) = 1полнительным достоинством схемы рис. 2.46 является отсутствие пространственного сдвига между пучками сигнальной и обращенной волн.Нетрудно представить себе реализацию схемы рис. 2.4 б в чисто коллинеарном варианте, когда все волны распространяются в одном направле-полнительным достоинством схемы рис. 2.46 является отсутствие пространственного сдвига между пучками сигнальной и обращенной волн.Нетрудно представить себе реализацию схемы рис. 2.4 б в чисто коллинеарном варианте, когда все волны распространяются в одном направле-
Сигнал
Сигнал
Разностная волна со
Разностная волна со
R(2co) = О
R(2co) = О
R(co) = 1
R(co) = 1
полнительным достоинством схемы рис. 2.46 является отсутствие пространственного сдвига между пучками сигнальной и обращенной волн.
Нетрудно представить себе реализацию схемы рис. 2.4 б в чисто коллинеарном варианте, когда все волны распространяются в одном направле-
полнительным достоинством схемы рис. 2.46 является отсутствие пространственного сдвига между пучками сигнальной и обращенной волн.
Нетрудно представить себе реализацию схемы рис. 2.4 б в чисто коллинеарном варианте, когда все волны распространяются в одном направле-
рис 9 5нии; отличать отраженную зеркалом
сигнальную волну от обращенной разностной можно за счет различных их поляризаций, используя взаимодействие «оее» или «еое» [2]. На описании конкретной схемы, пригодной для практического использования, мы здесь не останавливаемся (рис. 2.5).
К теории вырожденного трехфотонного взаимодействия в квадратично-нелинейной среде
Мы убедились в том, что при генерации разностной частоты в вырожденном режиме (си = 2си — си) с последующим отражением от зеркала, поверхность которого совпадает с поверхностью волнового фронта накачки с частотой 2ш, волновой фронт сигнальной волны полностью обращается. При этом мы пользовались приближением заданных полей накачки и сигнальной волны. Ниже мы дадим более полную теорию вырожденного трехфотонного взаимодействия в квадратично-нелинейной среде, воспользовавшись следующими допущениями:
все взаимодействующие волны являются квазипло сними, т.е. мы будем пренебрегать расплыванием неоднородностей волн на всей длине взаимодействия в нелинейной среде; другими словами, мы учитываем распределение фаз по поперечным координатам х, у, но сохраняем лишь производные амплитуд и фаз по продольной координате z;
отсутствуют эффекты сноса энергии (диафрагменные апертурные эффекты), вызванные наличием двулучепреломления в анизотропных нелинейных кристаллах (см., например, [2]); такое допущение справедливо при углах синхронизма, близких к 90°;
отсутствует поглощение в кристаллах.
Нетрудно видеть, что принятые допущения не сильно ограничивают общность проблемы; вместе с тем, позднее мы обсудим влияние тех эффектов, которыми мы здесь пренебрегли.
Укороченные уравнения для действительных амплитуд «1, а2, аз и обобщенной фазы Ф имеют вид [2, 4]
da^jdz = а1«2«з8шФ,(2.16)
da^/dz = а2«1«з sin ^,(2.17)
da^/dz = ™аз«1«2 sin Ф,(2.18)
d^/dz = А — (aia^a^/ai + а2«1«з/а2 — a3aia2/a3)cosФ. (2.19)
Здесь «1 (^) и а2 (^) — амплитуды разностной и сигнальной волн, аз (^) — амплитуда волны накачки; Ф(х, у, z) = рз (ж, у, z^p^x, У, z)^Pi(x^ У, ^)™ — А^ — обобщенная фаза, представляющая комбинацию фаз рп(х, у, z) взаимодействующих волн; А — модуль вектора волновой расстройки А = к3 — к2 ki ; <7п — коэффициенты нелинейной связи:
для «1, а9 и аз соответственно,для «1, а9 и аз соответственно,(2.20)(2.20)о 9 ( Р1ХМР2Рз 8тГ/ X
для «1, а9 и аз соответственно,
для «1, а9 и аз соответственно,
(2.20)
(2.20)
—3— < Р2.Х М Р1РЗ
. Рзх(МР1Р2
рп - единичные векторы поляризаций волн, у — тензор третьего ранга, описывающий квадратичную поляризуемость среды. Система (2.16)-(2.19) должна решаться с учетом граничных (z = 0) условий: ап(0) = «по, Ф(0) = Фо.
Сделаем ряд замечаний о фазах волн рп (x,y,z). Для каждого сечения z = = const = zo функции рп(х, У-,^ описывают аберрации волновых фронтов взаимодействующих волн. Отсутствие производных по поперечным координатам в уравнении для фаз (2.19) и, следовательно, в уравнениях для амплитуд (2.16)^(218) с очевидностью означает, что в нашем приближении мы пренебрегаем расплыванием неоднородностей волнового (фазового) и, следовательно, амплитудного фронтов по всей длине взаимодействия в нелинейной среде. Другими словами, неоднородности волновых фронтов мы считаем достаточно крупными (крупномасштабными), так что их дифракционная расходимость (дифракция на периоде неоднородности) не успевает сказаться по всей длине распространения: в среде, между средой и зеркалом и на обратном пути. Угол дифракционной расходимости (соответствующий, как мы видели ранее, углу, под которым распространяются боковые составляющие волны) мы будем считать меньшим, чем угловая ширина центрального максимума интерференционной кривой синхронизма. Поэтому мы будем считать волновую расстройку не зависящей от пространственных координат, в связи с чем волновая расстройка, как и в теории плоских волн, останется функцией только углового отклонения направления распространения волн от направления синхронизма. Без существенного ограничения общности мы можем принять волну накачки плоской, так что рз (ж, у, z) |2=о = ^з (ж, у, 0) = 0 (плоский фазовый фронт) и рз(х, у, z^ = рз^У
Фазы остальных волн будем отсчитывать от волны накачки. Заметим, что, так как разностная волна на входе (z = 0) нелинейной среды, как правило, отсутствует, то «1(0) = 0, и, следовательно, фаза ^1(ж, у, 0) при этом не определена; однако, как мы увидим позже, при бесконечно малом отличии амплитуды «1 от нуля фаза рх (ж, у, z) становится вполне определенной.
Рассмотрим пространственные зависимости амплитуд и фаз взаимодействующих волн, для чего необходимо решить уравнения (2.16)—(2.19) при следующих граничных условиях:
«1 (0) = «ю,«2 (0) = «20, «з (0) = «зо,(2 21)
у>з (ж, у, 0) = 0, (^2 (ж, У, о) = Ф1 (ж, у), Ф (ж, у, 0) = тг/2.
Как нетрудно видеть из (2.21), разностная волна на входе среды (^ = 0) отсутствует, волна накачки имеет плоский фазовый фронт, волна сигнала на входе среды имеет волновой фронт, искажения которого описываются функцией аберрации p^^dY Особо следует остановиться на граничном условии ^(х,у,0) = тг/2, показывающем, что для всех точек плоскости z = 0 (входной грани нелинейного кристалла) обобщенная фаза Ф постоянна и равна тг/2, несмотря на то, что волновой фронт сигнальной волны не является плоским. Прежде всего покажем, что выбор такого граничного условия для Ф правилен и вытекает из самого механизма трехволнового взаимодействия в нелинейной среде.
Умножая (2.16) на «2^1, (2.18) на «1«2 и вычитая первое из второго, получим
«1«2 (^) — «2^1 (^) = const = «1«20^2^10 = а1^0 1(2.22)
Проводя аналогичные операции с тройкой уравнений (2.16)-(2.18), получаем
«1«| ^ + «з«1 ^ = const = «1«зо + «з«1о = аМо?(2.23)
«2«з W + сг3«| (г) = const = «2^30 + ^20 — а2^о-(2.24)
Уравнения (2.22)-(2.24) представляют собой первые интегралы системы (2.16)-(2.18), выражающие интегральные соотношения Мэнли-Роу, которые, в свою очередь, суть обобщение закона сохранения энергии на нелинейные и параметрические системы. Независимыми являются только два из трех первых интегралов. С их помощью можно выразить «2 и «з через «1 и тем самым свести уравнения (2Л6)™(2.19) к двум уравнениям
——8шФ, (2.25)
dz у у «1/ у «1/
</Ф дCOS Ф
+ ap-z/o-O Mo «М/М
x (^i (Cq + afoM) (Ay - аМз/<71) +
+ ^aj (Л^ — О1<7з/<71) — оза^ (Cq + а^оДоД I. (2.26)
В дальнейшем будем полагать «ю = 0, т.е. Ло = «зо, Со = «2о. Из (2.20) следует, что, так как все три векторно-тензорных произведения в (2.20) равны, можно с точностью до дисперсии коэффициентов преломления п и нелинейности у положить «i = а2 = а3/2. С учетом этого, разделив почленно (2.26) на (2.25), получим
с/Ф dcos^А
dai sin Ф dai ai ^(а^о + «1) («з0 ™ 2«^) sin Ф
f 12«i1 т
— х 4" ;; — _—;; / COS Ф.
( «1 sin Ф («20 + tii) 8™ ^ (азо 2«i) sin Ф J
Сокращая на sin Ф, получаем уравнение для функции w = cos Ф
dwАГ 1«12«!
^°т+2а2 _
(2.27)
Сгруппируем члены (2.27):
dwГ 2«i«111d (wF)dwd In F
~;h —9ppp99W = "™=™з = 1:W^
dai[«30 — 2a^«jg + «J«ijr daydaydai
откуда получаем
d In F 2«idai «зо — 2«^d In F 2«idai «зо — 2«^«11«20 + ^4«■£«11«20 + ^4«■£
d In F 2«i
dai «зо — 2«^
d In F 2«i
dai «зо — 2«^
«11
«20 + ^4«■£
«11
«20 + ^4«■£
Интегрируем
«I У^о + ^Юзо -2«1) ’«I У^о + ^Юзо -2«1) ’d(wF)daid(wF)daiAa^F2«1Aa^F2«1(2.28)(2.28)
«I У^о + ^Юзо -2«1) ’
«I У^о + ^Юзо -2«1) ’
d(wF)dai
d(wF)dai
Aa^F2
«1
Aa^F2
«1
(2.28)
(2.28)
Решение (2.28) имеет вид
cos»(ai) = в]—У«|() | «УД,, 2«i) x
X In («2g + aF («ЗО/Э - a2^| ,
Ct= 2/(«2ОаЗо)1 /3= — [a20 (a20 + a3o/2)], 7= 2 [ttgg (a^o + a§0/2)].
Соотношение (2.29) справедливо в любой плоскости 23 т.е. и при % = 0; а так как «ю = 0, то cos Фо = 0, Фо = тг/2 при любой расстройке. Этим и объясняется выбор граничного условия для обобщенной фазы в виде Фо = 7Г/2.
Соотношение (2.29) позволяет установить еще одно весьма важное свойство трехволнового взаимодействия. Так, из (2.29) следует, что в отсутствие волновой расстройки (при А = 0) имеем cos Ф («1) = 0, Ф (2:) = тг/2 (этот же вывод можно получить и из (2.28) при А = 0, так как в этом случае
wF = const, что может быть при w = cos Ф = 0, так как F есть функция переменной по z величины «1).
Рассмотрим пространственную динамику амплитуды разностной волны при А = 0. В этом случае следует: 8шФ(^) = 1 (так как cos^(^) = 0), уравнения для амплитуд освобождаются от фазовой зависимости и имеют вид
day/ dz = «1«2«з, Aa^f Az = а2«1«з, Aa^/ dz = ™аз«1«2,
а фазовое уравнение исчезает. Полагая «х = «2 = <73/2, из (2.22)-(2.24) получаем
«2 Ю - «1 Ю = «20,°3«) +^Р)=40,
«з О + 2°2 Г) = «зо + 2а20.
Таким образом, амплитуда разностной частоты «1 не может быть больше, чем «зо / V2, в противном случае интенсивность волны накачки а^ становится отрицательной; вместе с тем, интенсивность сигнальной волны всегда больше интенсивности разностной волны на величину «|0. Очевидно, что поскольку знаки производных «1 и «9 в (2.27) совпадают, то и сигнальная, и разностная волны с ростом z возрастают, черпая энергию из волны накачки, амплитуда которой, естественно, с ростом z убывает.
Подставляя «2 и «з, выраженные с помощью (2.30) через «1, в уравнение (2.16), получаем
day) dz = «1^(«|0 + «2) («зо ™ 2«|).
Введем вспомогательные обозначения, нормируя функцию «1, на ее максимально возможное значение «30/V2: су = «1л/2/«зо, Л = (71«зо^, р2 = 2«|0/«з0. Тогда вместо последнего уравнения имеем
dcx( d,T] =
Вводя еще одну переменную у = у/1 + р2у, получим
/ т \ 2-1/99\
(0 F+1+p2 = 7 с7 (1+Р2 + 1+Р2) ■
И, наконец, вводя к2 = (1 + р2^ 1 и учитывая, что р2 (1 + р2) 1 = 1 — ™ р2^ окончательно получаем уравнение для нормированной амплитуды разностной волны:
^dcyfdyy = (1 — с2) (1 — к2 + к2^ .(2.31)
Уравнение (2.31) определяет эллиптический косинус Якоби [5]: ci = = сп (р; к). Косинус Якоби есть двупараметрическая, функция, т.е. функция, определяемая однозначно двумя параметрами:
У =V°30 + 2а20/Т=5 < L
Va30 + ^«20
Итак, полное решение уравнения для «Дг) имеет вид
(2.32)(2.32)«1 (г) = -™™ сп «зо + 2^
(2.32)
(2.32)
где К — полный эллиптический интеграл вида
dxdx1
dx
dx
J Д(1 — ж2) (1 — к2х2)
При г = 0 имеем «1 (0) = («зо / Д2) ел К = 0. Полезно также напомнить, что сп 0 = 1, сп(2К) = 1. Первый максимум «Дг) достигается на длине нелинейной среды г0, равной
г0 =г0 =ЛО + ^«20ЛО + ^«20
г0 =
г0 =
ЛО + ^«20
ЛО + ^«20
При этом, естественно, ах (г0) = «imax = «зо/ДЗ- Подчеркнем, что максимальная мощность (интенсивность) разностной волны определяется лишь интенсивностью волны накачки; интенсивность же сигнальной волны влияет лишь на темп нарастания интенсивности разностной волны. Максимумы интенсивностей сигнальной и разностной волн совпадают; при г = го имеем
«2 До) — «2 шах«2 До) — «2 шаха20 — Д ^1 шах + ^20*а20 — Д ^1 шах + ^20*
«2 До) — «2 шах
«2 До) — «2 шах
а20 — Д ^1 шах + ^20*
а20 — Д ^1 шах + ^20*
1,72. Если принять ах 10 5 В 11,72. Если принять ах 10 5 В 1
1,72. Если принять ах 10 5 В 1
1,72. Если принять ах 10 5 В 1
Для расчетов амплитуд в различных сечениях г удобно пользоваться номограммой, приведенной на рис. 2.6 и иллюстрирующей зависимость величин к2 и К от параметра = = 2«20/«20. Принцип пользования номограммой прост: по значению находится величина к2 (точка
М); затем из точки М проводится прямая, параллельная оси до пересечения с кривой К (к2), и из точки пересечения (точка Ж) опускается перпендикуляр на верхнюю горизонтальную ось абсцисс (значений К). В частности, при равных интенсивностях волн сигнальной и накачки («20 = азо) величи-
на f = 2, к2 0,335 У 0,34 и К
(ниобат лития) и «зо ~ Ю4 В/см, что соответствует плотности мощности 300 кВт/см2, то для величины г0 (точка первого максимума амплитуд «1,2) имеем го ~ 12 см. Напомним, что плотность мощности 5, измеряемая в Вт/см2, определяется по формуле S = па2/752, где п — показатель преломления среды, а амплитуда измеряется в В/см. Заметим, что в этой
6 В. Г. Дмитриев
точке «з(-о) = 0, т.е. вся энергия волны накачки «перекачалась» в энергию волн сигнальной и разностной частот; при этом «2(^0) ~ 1,225«зо.
Приближение заданных полей накачки и сигнальной волны. В этом приближении «1 (г) С«20 7 «30,т.е. а^^иа^о, «з(^) ~«з(ь поэтому при Д = = 0 имеем dai/ dz ^ а1а2о«зо? откуда «х (г) = ах«2о«зо-- Таким образом, амплитуда разностной частоты растет линейно с расстоянием z. Методически полезно проследить предельный переход к приближению заданных полей из общего решения (2.32). Полагая од л/«20 + 2«20 = 3^ запишем (2.32) в виде
«1(г) =
«зо«зо ел К ел (pz) + snKsn (pz) dnKdn (pz)
1/2V2 1 - &2 sn2 sn2
(2.33)
где sn, dn—эллиптические синус и тангенс соответственно. Воспользуемся следующими очевидными соотношениями:
сп К = 0, sn JC = 1, dnJf = V1 ™7
сп (/Зг) dn (/Зг)1, зп(/3г)^/3г, k^pz С 1,
в результате чего вместо (2.33) имеем
«х (г)™™| V1 ™ ^2 3- = ^1«2о«зо-7(2.34)
как и следовало ожидать.
Введем плотности мощностей взаимодействующих волн
Sx (г) = «| (г) с«1/(8тт),520 = ^0спз/(8тг), 530 = «10спз/(8тг).
Преобразуя (2.34), для плотности мощности разностной волны на выходе (г = Z) нелинейной среды получаем
Si (Z) = ^Z3^1s20S30l2.(2.35)
Напомним, что если «1 измеряется в обратных вольтах, I — в сантиметрах, S — в Вт/см2, то переводной коэффициент 8тг/с = 752 В2/В.
В процессе ОВФ нас будет интересовать коэффициент преобразования мощности сигнальной волны в мощность разностной (обращенной после отражения от зеркала) волны. Определим эту величину как
Si (Z) 87ГП1Д 2
% (0 = S— =s30i •(2.36)
Таким образом, коэффициент преобразования при ОВФ определяется нелинейностью («1) кристалла, плотностью мощности накачки (5з0) и квадратом длины взаимодействия, но не зависит от плотности мощности сигнальной волны. Численный пример: полагая ах = 10™5В™1 (ниобат лития), I = 3 см, 530 = Ю5 Вт/см2, получим щ ~ 7 %.
Естественно, с ростом 530 и I коэффициент преобразования быстро растет; однако, начиная со значения цх ^ 10 % и выше, пользоваться приближением заданных полей уже нельзя, так как становится существенной реакция полей сигнальной волны и накачки на возросшую по интенсивности разностную волну.
Отметим, что если зеркало отражает все три волны (а на практике именно так чаще всего и обстоит дело), то на обратном (после отражения) проходе все условия для взаимодействия сохраняются, и мощность разностной волны продолжает нарастать. Нетрудно видеть, что в этом случае вместо I в формулах (2.35), (2.36) следует подставлять 21 (условия для ОВФ также сохраняются). Однако здесь следует учесть следующее обстоятельство. Если отражающее зеркало нанесено непосредственно на нелинейный кристалл в плоскости г = /, то никаких новых явлений не возникает. Если же между нелинейной средой и зеркалом имеется воздушный промежуток длиной Е, то в этом случае может сказаться дисперсия воздуха, т.е. отличие коэффициентов преломления воздуха на частотах си и 2сщ характеризуемое величиной Ап = |п (си) — п (2сА) |. Для изменения обобщенной фазы Ф на тг на длине 2L величина Ап определится формулой: Ап = тгА1/ (8тгЕ) = = Ai/(8E). При Ai = 10™4 см, Е = 3 см имеем Ап = 4 • 10-6, что по порядку величины сравнимо с величиной дисперсии воздуха.
Величина Ап есть, к тому же, сильная функция температуры и давления в воздушном промежутке. Вышесказанное позволяет сделать несомненный вывод о необходимости либо нанесения отражающего зеркала непосредственно на выходную грань нелинейного кристалла, либо вакуумирования промежутка между кристаллом и зеркалом. Заметим, что аналогичная проблема возникает и при внутрирезонаторной генерации второй оптической гармоники [2].
К чему приведет изменение фазы Ф на тг? Поскольку при обратном падении трех волн на нелинейный кристалл входная амплитуда уже не равна нулю, граничное значение фазы будет определяться выходным (при % = = I) значением Ф на прямом проходе (при А = 0 имеем Ф(/) = тг/2) и сдвигом фаз в воздушном промежутке на тг. Таким образом, для обратного прохода граничное значение Ф будет равно Зтг/2 (при А = 0 оно сохранится и на всей протяженности кристалла), так что ьш(Зтг/2) = — 1. Поэтому знаки производных в амплитудных уравнениях (2.16)—(2.18) поменяются на обратные, и на обратном проходе начнется противоположный процесс генерации суммарной частоты (w+ш = 2ш), т.е. обратная перекачка энергии из сигнальной и разностной волн в энергию волны накачки.
Обратимся снова к процессу ОВФ в рассмотренном случае отсутствия волновой расстройки (А = 0). Мы показали, что при А = 0 обобщенная фаза Ф во всех сечениях % постоянна и равна тг/2. Так как волна накачки имеет плоский фазовый фронт, то имеем следующие простые соотношения:
<р3 (ж, у, z) = 0,
Ф (ж, у, z) = ^3 (ж, у, z) - у2 (ж, У, 0 - уч (ж, у, z) = тг/2,(2.37)
УЧ (ж, у, z) = -у>2 (®, У, Л ” ^/2-
Наиболее важным является последнее соотношение в (2.37), показывающее, что распределение фазы разностной волны в поперечном сечении имеет противоположный знак по отношению к поперечному распределению фазы сигнальной волны и «отстает» на тг/2 (постоянный сдвиг фазы при ОВФ не существен). Весьма важен тот факт, что при Д = О обращение поперечной составляющей фазы сохраняется и в нелинейном режиме, а не только в приближении заданных полей сигнала и накачки. Здесь полезно напомнить, что, во-первых, обращение продольной составляющей фазы (^г) осуществляется при дополнительном отражении от плоского зеркала, и, во-вторых, все вышесказанное справедливо только в случае достаточно крупномасштабных фазовых аберраций волнового фронта, когда можно пренебречь их расплыванием на всей длине взаимодействия.
Кратко обсудим возможное влияние ненулевой волновой расстройки (Д ^ 0) на процесс ГРЧ с ОВФ. Для простоты рассмотрим приближение заданных полей сигнала и накачки; из (2.16)—(2.19) имеем
daxfdz = <716X20^30 sin#, d^ ) dz = Д — сгДс^оазо/ах) cos#.
Введем нормированные величины: гр = ai/a20, € = св^зо^, △ = = ДДоуазо). Нетрудно видеть, что щ есть не что иное, как коэффициент преобразования по амплитуде в разностную волну из сигнальной; величина есть отношение длины z к так называемой длине нелинейного взаимодействия гнел = (ах^зо)™1. В этих координатах
dDxfd^ = sin#,(2.38)
d^/dC = Д - (cos#)/i;i.(2.39)
Деля почленно (2.39) на (2.38) и интегрируя полученное уравнение относительно cos #, имеем: cos # = —Дщ 1пщ, и из (2.39) получаем
d'i)i/d^ = 1 — Д2с2 In2(2.40)
Из (2.39) аналогично получим
d^/d^ = Д (1 + In 1/1).(2.41)
Уравнения (2.40), (2.41) не решаются в аналитическом виде; однако из выражения для cos # можно сделать определенные выводы о поведении фазы #. При малых амплитудах щ очевидно, что cos# не слишком отличается от нуля. С ростом их (при этом сохраняется условие их <С 1) cos # быстро отходит от нуля, нарастает (при Д > 0) до максимального значения (положительного), а при щ = 1 снова достигает нуля.
Максимум амплитуды их достигается в точке, где dvx/d£ = 0, т.е. при Дщ 1пгц = 1. Нетрудно оценить графически, что это соотношение дает максимальное значение ^з 1 только при весьма больших значениях Д = 10,... , 20, но такие высокие значения Dx уже не соответствуют
приближению заданного поля сигнальной волны. При малых же значениях А (обычно А 1) в приближении заданных полей максимум щ не достигается.
Случай приближения заданного поля только волны накачки. Если 020 ^ «зо, то наряду с ростом амплитуды волны разностной частоты, растет амплитуда и сигнальной волны, так что пользоваться приближением заданного поля сигнальной волны уже нельзя. В этом случае, если «17 (^) «зо, говорят о приближении заданного поля волны накачки. Решения системы (2Л6)Ц2Л9) в этом приближении имеют вид (при «ю = 0, «2о + 0):
(2.42)(2.42)«1 (^) = /«2osh(Av),
(2.42)
(2.42)
// А V
«2 (^) = «201/ ch2 (Аг) + ^8^2 (Аг),
где 7 = у/^1^2«зо, Л = 7у 1(А/(27))2.
Решения (2.42) существуют только в области А < 2у. При достаточно малых Аг из (2.42) следует:
«1 (г) 33 7«20^ = V«l«2«20«30A
«2 ^ ~ «201/1 + (Аг/2)2.
Таким образом, при Аг <С 1 расстройка влияет только на рост амплитуды «2, но не «1. Наоборот, при больших Аг имеем
sh (Аг) ^з ch (Аг) гз - ехр (Аг),
так что
= ^^ ехр (Л“) ’(2-43)
«2 (г) = |о20 ДТД/АаД ехр (-М,(2.44)
т.е. амплитуды обеих волн нарастают экспоненциально. Перепишем (2.44) в виде
7Г21™1/2
«2 (г) = а20ехр (Az) = о20 [1 - (А/(27)) ] ехр (Az) = 01 (z).
Таким образом, при Аг А> 1 амплитуды волн сигнальной и разностной частот просто равны при любом г. Сделаем численные оценки. Для ниобата лития ^/(71(72 ~ 10™5В™1; «зо ~ Ю5 В/см, 7 гз 1 см-1, Z 3 А 4 см, и при А = 0 имеем Л = 7, AZ и 3, ch 3 « 10,07, sh 3 « 10,02; | ехр 3 и 10,04, т.е. это приближение хорошо работает уже при М ^ 3.
Фазовая плоскость для амплитуды разностной волны. Используя нормированные безразмерные переменные, из общих уравнений (2.25), (2.26) получаем
\ 3ip (1 -7^1) sin Ф, Р = —; 7 =(2.45)
“S*<71(^1^307
уф = д _ (1 - ?Щ (1 + Р^ + М (! - 7Щ - 7^1 (! + ЭР) cos ф
^^«1 У(ТТЭ7ТЮТ7)
(2.46)
Деля почленно (2.46) на (2.45), имеем
d# duid# duid cos Фsin ^daid cos Фsin ^dai-AV(1 + ^i) (1 ~ 7^i) sin#-AV(1 + ^i) (1 ~ 7^i) sin#1ci sin #1ci sin #
d# dui
d# dui
d cos Фsin ^dai
d cos Фsin ^dai
-A
V(1 + ^i) (1 ~ 7^i) sin#
-A
V(1 + ^i) (1 ~ 7^i) sin#
1ci sin #
1ci sin #
Дщyci
Д + Дс^ДтФ (1 —yc^sin#
Сокращая на sin Ф и вводя w = cos Ф, имеем
(2.47)(2.47)dw
(2.47)
(2.47)
dvi
Представим левую часть (2.47) в виде
dw dF dw dlnF d (w H w =H w = ,
dui F dvi dvi dux F dv^ '
откуда получаем
d In F ущ Дщ 1dip 1 — pw( 1 + Дс| ci
Интегрируя, имеем
F =^/(1 + /?^) (1-7^1).
Для упрощения дальнейших расчетов учтем, что cr-i = а^, т.е. Д = 1; кроме того, примем, что граничные значения амплитуд волн сигнала и накачки выбраны в соответствии с соотношениями Мэнли-Роу, т.е. аза^о = = сг2аз0 и, следовательно, 7 = 1. Тогда F = ci ^1 — с^, и из (2.47) получим
СС1
Заметим, что соотношение а^сй^ = а2а|0 — это не просто математическое упрощение, оно означает равенство чисел фотонов на двух длинах волн, «20 /ш = азо/ (2w). Это оптимальный режим, так как один фотон разностной волны рождается из двух фотонов (накачки и сигнала — по одной штуке). Поэтому если это соотношение не выполняется, некоторые фотоны одной из этих волн (например, 2ш) оказываются лишними (им не хватает «пары» в сигнале).
Рис. 2.7Рис. 2.7
Рис. 2.7
Рис. 2.7
Интегрируя (2.48), получаем
cos# =cos# =Д«/2 + С «1 «1 - «Д«/2 + С «1 «1 - «(2.49)(2.49)
cos# =
cos# =
Д«/2 + С «1 «1 - «
Д«/2 + С «1 «1 - «
(2.49)
(2.49)
Уравнение (2.49) представляет собой точное решение для «фазового портрета» системы в существенно нелинейном режиме (т.е. с учетом обратной реакции волн сигнала и накачки на разностную волну) и при наличии
волновой расстройки. Параметр С в (2.49) равен
с = г'юу 1 - 4 cos фо - A^io-
При vio= 0 имеем С = 0, т.е.
(2.50)(2.50)cos# =где Ai = А/2.
(2.50)
(2.50)
V1 - 4
Фазовая плоскость для амплитуды разностной волны при гю = 0 построена для различных Ai > 0 на рис. 2.7 как в координатах (cos#, щ), так и в полярных координатах (щ, #). Там же представлена зависимость максимальной величины у™ах от Ai. Очевидно, что щ = -у™ах при # = 0, т.е. при cos # = 1. Из (2.50) при этом получаем
1 - Д™ах)4 = Д1 (у?*ах)2,
откуда
У™ах = Дд1/2+V1+А1/4-У™ах = Дд1/2+V1+А1/4-(2.51)(2.51)
У™ах = Дд1/2+V1+А1/4-
У™ах = Дд1/2+V1+А1/4-
(2.51)
(2.51)
«1, отн. ед.«1, отн. ед.02 4 6 8 10 АД02 4 6 8 10 АДРис. 2.8Рис. 2.8
«1, отн. ед.
«1, отн. ед.
02 4 6 8 10 АД
02 4 6 8 10 АД
Рис. 2.8
Рис. 2.8
Заметим, что информации о пространственных масштабах щ(0 фазовая плоскость не дает. Эта теория лишь дает информацию об энергетических характеристиках процесса распространения трех волн. Тем самым, г2 есть коэффициент отражения по мощности от обращающего зеркала. Однако следует помнить, что формула (2.51) дает максимальную амплитуду поля, реализуемую либо для определенной длины I (разной для разных Д1 — это весьма существенно!), либо для определенных значений од (и — тоже разных, зависящих от АД при I = const.
Естественно, что на практике нас интересует другая картина, а именно, зависимость амплитуды поля разностной частоты от расстройки при постоянных Z и од. Как мы увидим ниже, эта зависимость фактически дает полосу пропускания преобразователя в разностную частоту; знание величины этой полосы необходимо при расчете параметров процесса ОВФ.
Рассматривая вырожденный (ид = ш2, ^1 ~ од) режим, примем а30 = «2о = «о; тогда можно положить «20 = озо = 1, ою = 0. Численные расчеты дают следующие результаты (рис. 2.8). Для малых значений параметра а = од «зо (а1) кривая a2 (АД) повторя
ет функцию sinc2(AiZ/2), для которой величинами вторичного и тем более других побочных максимумов можно пренебречь. Тем самым их вклад в полосу пропускания преобразователя оказывается несущественным.
Однако с ростом параметра а вторичный максимум может оказаться
сравнимым с центральным, и его вклад в полосу пропускания оказывается
весьма заметным (рис. 2.8, кривая для ст = 3). Не следует забывать, что эта полоса характерна для плоскости синхронизма, в то время как в перпендикулярной плоскости она весьма широка [2].
Компенсация фазовых искажений при трехчастотном параметрическом взаимодействии
Трехволновое взаимодействие (ТВВ) в квадратично-нелинейной среде может быть эффективно использовано в случае, когда искажения, вносимые аберратором, невелики, как, например, в случае активных элементов твердотельных лазеров. Существуют серьезные ограничения применения ТВВ для ОВФ из-за наличия жесткого синхронизма (ограничение по угловой апертуре), но ТВВ может дать высокие коэффициенты преобразования.
Рассмотрим обобщенную схему на рис. 2.9. Пусть сигнальная плоская волна с амплитудой Ео проходит через неоднородную среду при г = 0, где приобретает фазовый набег exp[j^(p)], (р — радиус в полярной системе координат, р2 = х2 + у2).
В приближении заданного поля, когда преобразователь частоты является линейным пространственным фильтром, поле преобразованной волны в некоторой произвольной плоскости г, независимо от вида преобразования (трех- или четырехволнового) можно записать в виде [2]:
Ei кР.Ц-Е*Ei кР.Ц-Е*г Ц - р', г) exp Щр (р) + 3>w\ dp ,г Ц - р', г) exp Щр (р) + 3>w\ dp ,(2.52)(2.52)
Ei кР.Ц-Е*
Ei кР.Ц-Е*
г Ц - р', г) exp Щр (р) + 3>w\ dp ,
г Ц - р', г) exp Щр (р) + 3>w\ dp ,
(2.52)
(2.52)
где хо — поперечная составляющая волнового вектора сигнального излучения, Т Ц — р', Ц — функция разброса преобразователя, т.е. фурье-образ коэффициента преобразования.
По теории плоских волн амплитуда преобразованного поля есть
(2.53)(2.53)Ei = Е*рЕ,
(2.53)
(2.53)
где ре — коэффициент преобразования по амплитуде (здесь мы сохраняем обозначения амплитуд через Е, принятые в [7]). Например, в частном случае генерации разностной частоты (Ео — сигнал, Ех — разностная, Ен — накачка частоты 2ш)
dz
В приближении заданных полей накачки и сигнала Ex(l) = cri^o(O) х х 17н(0)/. Коэффициент преобразования (относительно сигнала) по амплитуде равен комплексной (в общем случае) величине рЕ = Ex (1)/[Eq (0)] = = ail?H(0)/, откуда получаем (2.53). Но в нашем случае волна сигнала не является плоской, так как она имеет фазовый сдвиг exp (jp (р)). Полная запись поля такой волны имеет вид
Ди™ в, Р^ О = | Д exp [j (wt - kz + <p (р))] + к.с. (2.54)
В приближении заданных полей накачки и сигнала мы можем пренебречь уменьшением их амплитуд вследствие нелинейного взаимодействия. При взаимодействии типа «оее» уравнения для комплексных амплитуд волн (для определенности примем Ах — сигнал на обыкновенной волне, Л2 — разностная и Л3 — накачка, обе необыкновенные волны) в стационарном режиме с учетом сноса и дифракции имеют вид [2]
(2.55)(2.55)ЭАг j РЭ2 Ах д2АЛ — Н = 0
(2.55)
(2.55)
Bz 2ki \ Зх2 Зу2 /
за2 _ за2р dz 2 Эх 2к2за2 _ за2р dz 2 Эх 2к2Э2А2 Зу2Э2А2 Зу2— j<y2A3A^,— j<y2A3A^,дА3 _ ЗА3 _ j dz 3 дх 2^здА3 _ ЗА3 _ j dz 3 дх 2^зад2)ад2)(2.56)(2.57)(2.56)(2.57)
за2 _ за2р dz 2 Эх 2к2
за2 _ за2р dz 2 Эх 2к2
Э2А2 Зу2
Э2А2 Зу2
— j<y2A3A^,
— j<y2A3A^,
дА3 _ ЗА3 _ j dz 3 дх 2^з
дА3 _ ЗА3 _ j dz 3 дх 2^з
ад2)
ад2)
(2.56)
(2.57)
(2.56)
(2.57)
Произведем фурье-преобразование комплексных амплитуд:
4тг2 Аг (ж, р, г) =4тг2 Аг (ж, р, г) =(кх, ку, z) exp [j (кжх + куу^ dkx dky, (2.58)
4тг2 Аг (ж, р, г) =
4тг2 Аг (ж, р, г) =
где Si — угловой спектр, причем
Si (кх, ку, z) —Si (кх, ку, z) —Ai (х, у, z) exp [-j (kixx + kiyy^ dx dy. (2.59)
Si (кх, ку, z) —
Si (кх, ку, z) —
Подставим (2.58) в (2.56):
[ dSo1
2тг < -Ж - iPikixSi + 3———— S2 > х
J J I OZ2/^2 I
S3S, XS3S, Xx exp \j (k2xx + /c2yy)] dk2x dk2y =
S3S, X
S3S, X
= Ж
x exp [J Ц3х - кгО x + j Ц3у - kly) у] dk3x dk3y dklx dkly. (2.60)
Положим £ж = кзж — кзж, ^ = кзу — kiy. Тогда интеграл в правой части можно записать в виде
№№^^Зж dk3y^^Зж dk3ydklx dkiyS^Si exp j ^Xx + ^yy) =dklx dkiyS^Si exp j ^Xx + ^yy) == >2= >2^1 (^1ж? ^1у) ^3 (^Зж? ^Зу) X^1 (^1ж? ^1у) ^3 (^Зж? ^Зу) Xх exp j ^жх + ^у) dklx dkly d^x d^y =х exp j ^жх + ^у) dklx dkly d^x d^y == j^2= j^2^1 (^1ж? ^ly) ^3 (^Зж? Ny) dkix dkiy^1 (^1ж? ^ly) ^3 (^Зж? Ny) dkix dkiyx exp j (^жх + £,уу) <ж d£,y.(2.61)x exp j (^жх + £,уу) <ж d£,y.(2.61)Подставляя (2.61) в (2.60) и приравнивая подынтегральные выражения, получим (при этом, естественно, ^ж = к^х, ^ = к2У):Подставляя (2.61) в (2.60) и приравнивая подынтегральные выражения, получим (при этом, естественно, ^ж = к^х, ^ = к2У):„(88-2.к2$ + к2у„2?г —ЗРгк^З^, + J——-S21 OZ2^2„(88-2.к2$ + к2у„2?г —ЗРгк^З^, + J——-S21 OZ2^2= j^2= j^2^i (^1ж? ^iy) ^з (^Зж? ^Зу) dkix dkiy^^i (^1ж? ^iy) ^з (^Зж? ^Зу) dkix dkiy^причем к^х — ^1ж Т ^2ж> ^Зу — kiy Т к2уТеперь рассмотрим аналогичные уравнения для А^ A3причем к^х — ^1ж Т ^2ж> ^Зу — kiy Т к2уТеперь рассмотрим аналогичные уравнения для А^ A3dSi kL + к^Э8чkL + ЙЖ + 3Кт^Х = 0, -^ - З03к3х83 + зу7^'83 = 0.vzzkiuz^кзdSi kL + к^Э8чkL + ЙЖ + 3Кт^Х = 0, -^ - З03к3х83 + зу7^'83 = 0.vzzkiuz^кз
№
№
^^Зж dk3y
^^Зж dk3y
dklx dkiyS^Si exp j ^Xx + ^yy) =
dklx dkiyS^Si exp j ^Xx + ^yy) =
= >2
= >2
^1 (^1ж? ^1у) ^3 (^Зж? ^Зу) X
^1 (^1ж? ^1у) ^3 (^Зж? ^Зу) X
х exp j ^жх + ^у) dklx dkly d^x d^y =
х exp j ^жх + ^у) dklx dkly d^x d^y =
= j^2
= j^2
^1 (^1ж? ^ly) ^3 (^Зж? Ny) dkix dkiy
^1 (^1ж? ^ly) ^3 (^Зж? Ny) dkix dkiy
x exp j (^жх + £,уу) <ж d£,y.(2.61)
x exp j (^жх + £,уу) <ж d£,y.(2.61)
Подставляя (2.61) в (2.60) и приравнивая подынтегральные выражения, получим (при этом, естественно, ^ж = к^х, ^ = к2У):
Подставляя (2.61) в (2.60) и приравнивая подынтегральные выражения, получим (при этом, естественно, ^ж = к^х, ^ = к2У):
„(88-2.к2$ + к2у„
2?г —ЗРгк^З^, + J——-S2
1 OZ2^2
„(88-2.к2$ + к2у„
2?г —ЗРгк^З^, + J——-S2
1 OZ2^2
= j^2
= j^2
^i (^1ж? ^iy) ^з (^Зж? ^Зу) dkix dkiy^
^i (^1ж? ^iy) ^з (^Зж? ^Зу) dkix dkiy^
причем к^х — ^1ж Т ^2ж> ^Зу — kiy Т к2у
Теперь рассмотрим аналогичные уравнения для А^ A3
причем к^х — ^1ж Т ^2ж> ^Зу — kiy Т к2у
Теперь рассмотрим аналогичные уравнения для А^ A3
dSi kL + к^Э8чkL + Й
Ж + 3Кт^Х = 0, -^ - З03к3х83 + зу7^'83 = 0.
vzzkiuz^кз
dSi kL + к^Э8чkL + Й
Ж + 3Кт^Х = 0, -^ - З03к3х83 + зу7^'83 = 0.
vzzkiuz^кз
Введем замену
Si = Mi exp
В итоге получаемВ итоге получаемЭМХdzЭМХdz(2.62)(2.62)dM2dzdM2dzМ^М^ ехр 0Дг) dkix dkly.М^М^ ехр 0Дг) dkix dkly.(2.63)(2.63)ЭМ3dzЭМ3dz(2.64)(2.64)Z-»2 i тр^2 I i 2ip . iP= ркзх - №„^—- + —-.—^ + —-.—я- — расстрой- 2кз2k22kiка, обусловленная сносом и дифракцией (напомним, что /31= 0, так каксигнал — обыкновенная волна).Из (2.62)-(2.64) следуетZ-»2 i тр^2 I i 2ip . iP= ркзх - №„^—- + —-.—^ + —-.—я- — расстрой- 2кз2k22kiка, обусловленная сносом и дифракцией (напомним, что /31= 0, так каксигнал — обыкновенная волна).Из (2.62)-(2.64) следуетМх ^ = Мх (0) = Sx (0), М3 (г) = М3 (0) = 53 (0),Мх ^ = Мх (0) = Sx (0), М3 (г) = М3 (0) = 53 (0),(2.65)(2.65)где 51,3 (0) = 51,3 (кхрХ1 kipy, 0) — входные угловые спектры сигнала и накачки соответственно.Из (2.65) следуетгде 51,3 (0) = 51,3 (кхрХ1 kipy, 0) — входные угловые спектры сигнала и накачки соответственно.Из (2.65) следует51 ^к1ж, kly, z) = 5i (к15С, к1у, 0) ехр51 ^к1ж, kly, z) = 5i (к15С, к1у, 0) ехрГ^ I l2 \ Z.2^1’Г^ I l2 \ Z.2^1’8з ккйх, к3у, z) = 53 ^кйж, к3у, 0) ехр -j8з ккйх, к3у, z) = 53 ^кйж, к3у, 0) ехр -j^Зх + кзу^Зх + кзуТогда
В итоге получаем
В итоге получаем
ЭМХdz
ЭМХdz
(2.62)
(2.62)
dM2dz
dM2dz
М^М^ ехр 0Дг) dkix dkly.
М^М^ ехр 0Дг) dkix dkly.
(2.63)
(2.63)
ЭМ3dz
ЭМ3dz
(2.64)
(2.64)
Z-»2 i тр^2 I i 2ip . iP
= ркзх - №„^—- + —-.—^ + —-.—я- — расстрой- 2кз2k22ki
ка, обусловленная сносом и дифракцией (напомним, что /31= 0, так как
сигнал — обыкновенная волна).
Из (2.62)-(2.64) следует
Z-»2 i тр^2 I i 2ip . iP
= ркзх - №„^—- + —-.—^ + —-.—я- — расстрой- 2кз2k22ki
ка, обусловленная сносом и дифракцией (напомним, что /31= 0, так как
сигнал — обыкновенная волна).
Из (2.62)-(2.64) следует
Мх ^ = Мх (0) = Sx (0), М3 (г) = М3 (0) = 53 (0),
Мх ^ = Мх (0) = Sx (0), М3 (г) = М3 (0) = 53 (0),
(2.65)
(2.65)
где 51,3 (0) = 51,3 (кхрХ1 kipy, 0) — входные угловые спектры сигнала и накачки соответственно.
Из (2.65) следует
где 51,3 (0) = 51,3 (кхрХ1 kipy, 0) — входные угловые спектры сигнала и накачки соответственно.
Из (2.65) следует
51 ^к1ж, kly, z) = 5i (к15С, к1у, 0) ехр
51 ^к1ж, kly, z) = 5i (к15С, к1у, 0) ехр
Г^ I l2 \
Z.
2^1’
Г^ I l2 \
Z.
2^1’
8з ккйх, к3у, z) = 53 ^кйж, к3у, 0) ехр -j
8з ккйх, к3у, z) = 53 ^кйж, к3у, 0) ехр -j
^Зх + кзу
^Зх + кзу
Предположим, что амплитудные фронты сигнала и накачки на входе (г = 0) преобразователя являются гауссовыми, волновой фронт накачки
12 + Г212 + Г2плоский (это означает, что передняя грань преобразователя находится в месте перетяжки гауссова пучка накачки), а волновой фронт сигнала является квазиплоским с функцией аберрации р(х^ у):
12 + Г2
12 + Г2
Ai (х, у, 0) = Ai (0,0, 0) ехр
А3 (ж, у, 0) = Аз (0,0,0) ехр
Вычислим входные угловые спектры, полагая Ai (0,0,0) = Аю; Аз (0,0,0) = = А30; А2 (ж,у,0) = 0:
Азо ехрАзо ехр3 + У23 + У2- 3 ОзхХ + fc3yy)- 3 ОзхХ + fc3yy)dx dy =dx dy =
Азо ехр
Азо ехр
3 + У2
3 + У2
- 3 ОзхХ + fc3yy)
- 3 ОзхХ + fc3yy)
dx dy =
dx dy =
= 7tw| A30 exp= 7tw| A30 expP + P'Ax ^Зу 2"a W343P + P'Ax ^Зу 2"a W343
= 7tw| A30 exp
= 7tw| A30 exp
P + P
'Ax ^Зу 2
"a W3
43
P + P
'Ax ^Зу 2
"a W3
43
5i Л^ЛуЛ) =5i Л^ЛуЛ) =Аю expАю exp- 3 (klxx + kiyy) -- 3 (klxx + kiyy) -
5i Л^ЛуЛ) =
5i Л^ЛуЛ) =
Аю exp
Аю exp
- 3 (klxx + kiyy) -
- 3 (klxx + kiyy) -
- ЗФ О» у) йж Й-
Для дальнейших расчетов необходимо задать в явном виде функцию аберрации р(х^ у).
Трехволновый параметрический преобразователь как пространственный фильтр
В работе [7] описывается случай генерации суммарной частоты (ГСЧ, up-converter), но теория практически идентична со случаем ГРЧ. Естественно, при ГСЧ нет ОВФ, но это в данном случае несущественно. Схема расчета преобразователя показана на рис. 2.10.
В плоскости 21 задано распределение комплексных амплитуд сигнала (W2), а вдоль кристалла почти в направлении 2 распространяется плоская волна накачки частоты шу. Суммарная частота шз = Ш1Аш2. Пусть оптическая ось кристалла лежит в плоскости xz. Будем рассматривать поляризованный свет, тогда сигнал (необыкновенная волна) будет иметь компоненту поля ^2Ж; если же синхронизм выполняется для обыкновенной волны, то это будет Е2У; эти компоненты мы будем обозначать через Л2, но будем иметь в виду два возможных вида синхронизма.
Представим комплексную амплитуду А2 (ж, у^ гд) в виде углового спектра
^2 (^2ж, ^2у? 21) —^2 (^2ж, ^2у? 21) —А2 (ж, у, zO exp \j ^к2жх + /с2уу)] dx dy.
^2 (^2ж, ^2у? 21) —
^2 (^2ж, ^2у? 21) —
(2.66)
Накачка является плоской волной с волновым вектором ку и его составляющими Ауж, kiy; результатом преобразования сигнала будет волна
суммарной частоты, причем
^Зж — ^1ж А ^2ж? ^Зу — кзу 4" к2у(2.67)
Отнесем эту волну (шз) к некоторой плоскости г2, на которую сфокусирован объектив наблюдателя. Введем коэффициент преобразования по спектрам амплитуды:
8з(к3х,кзу,гЛ Т,П , ч ^2 ук^хч &2уч 21)
Величина К зависит только от &2ж, &2y, так как ^1Жду — константы (плоская волна) и в силу (2.67). Физический смысл К ^хч ^2У) достаточно очевиден: мы разлагаем амплитуду поля по плоским волнам, a S (кх, ку г) есть амплитуда парциальной волны. При распространении по оси % этой волны величина S умножается на величину exp ^jkzz\ т.е. фазовый сдвиг этой плоской волны зависит от kz и, следовательно, различен для разных парциальных волн. А величина К (к^хч^у) есть коэффициент преобразования по амплитуде для парциальной плоской волны с определенным набором кзхч кзу, по отношению к сигнальной волне с соответствующим (этому набору) набором Адж, &2у в соответствии с (2.67).
Итак, 5з = КS2. Применяя к 5з обратное фурье-преобразование, получаем
S3 кж, кзу, гз) exp [-j ^к3хх + к3уу^ dk3xdk3y
12тг12тгВоспользуемся тем, что накачка — плоская волна, т.е. ki$, kiy — константы. Поэтому dk^x^ = d ^kix,y + ^2ж,у) = dk2x^y, т.е.
1
2тг
1
2тг
к (Jt^ k^ S2 (k2x,kiy, zO x
x exp \-j (kix + к2П x- 3 (k^y + k2y) y] dk2x dk2y =
= exp \-j (кгхх + &iy у)] ■ 2-Z7F= exp \-j (кгхх + &iy у)] ■ 2-Z7FК (k2x, k2y) S2 (k2x,k2y, z^ xК (k2x, k2y) S2 (k2x,k2y, z^ x
= exp \-j (кгхх + &iy у)] ■ 2-
Z7F
= exp \-j (кгхх + &iy у)] ■ 2-
Z7F
К (k2x, k2y) S2 (k2x,k2y, z^ x
К (k2x, k2y) S2 (k2x,k2y, z^ x
х exp \-j (к2хх + к2уу^ dk2x dk2y. (2.68)
Подставим (2.66) в (2.68):
К (k2mk2y) xК (k2mk2y) x1 V
К (k2mk2y) x
К (k2mk2y) x
— exp [™j (А;1Жж + к1уу)^
Z7T )
A2 (ж', P Zi) exp [j (k2xx' + k2yy')] dx' dy' > x
x exp [™j (к2жх + k2yyj\ dk2x dk2y. (2.69)
Штрихи в центральном интеграле (в фигурных скобках) у ж, у взяты для того, чтобы различать эти переменные интегрирования в этом интеграле от параметров ж, у в интеграле по к2ж, к2у.
Введем функцию разброса
2
dk2x dk2yK (k2x, k2y) exp [-j (x - ж') k2x - j (y - y') k2yY
(2.70)
С учетом (2.70), из (2.69) получаем
A3 (ж, у, z2) = exp \-j (klxx + klyy^ х
А2 (ж', у1, zi) Г (ж - ж', у - у1, zi,z2) dx'dy1. (2.71)
Таким образом, свертка распределения в плоскости 21 комплексной амплитуды сигнальной волны A2(x,y,zi) с функцией Г (2.70), умноженная
наехр [™j (кхжх + /q^)], дает распределение комплексной амплитуды суммарной частоты в плоскости 22.
Из (2.70) следует, что функция разброса Г(£, р, 21,22) есть фурье-образ коэффициента преобразования по угловым спектрам амплитуды. Заметим, что Г не есть двойное фурье-преобразование коэффициента преобразования р = Лз (ж, у, А^ (ж, у, 21) по амплитуде.
Термин «функция разброса», по-видимому, пришел из статистической радиофизики (при интегралах типа свертки).
Для дальнейшего продвижения необходимо разобраться с процессом ГСЧ в нелинейном кристалле с учетом расстройки или, другими словами, с учетом полосы пропускания преобразователя по углам. Преобразователь есть пространственный фильтр (или, если угодно, фильтр углов). Действительно, угловая кривая синхронизма есть функция вида sine (AZ/2) в плоскости синхронизма (т.е. по углу О), где А = 7(6 — Ос), Ос — угол синхронизма, 7 — угловой дисперсионный коэффициент первого порядка [2], и постоянна в плоскости углов р (перпендикулярной к плоскости синхронизма). Но нам этих знаний, коими ограничивалась традиционная нелинейная прикладная оптика, теперь недостаточно. Нам надо знать кривую синхронизма во всем пространстве, а не только в двух взаимноперпендикулярных плоскостях.
Пусть 6 — угол между оптической осью кристалла и направлением 2; тогда для компоненты kz вектора необыкновенной волны имеем [7]
kz = k - кх tg/3 - fc2 (1 + р-УО-к^ - куО +(2.72)
где к = |к|, /3 — угол анизотропии для данного О,
1 + р —1 + р —1 + Е COS2 О1 + £ sin2 О1 + Е COS2 О1 + £ sin2 Оtg2/3,tg2/3,_£ sin 262 1 + £ sin 6_£ sin 262 1 + £ sin 61 + V =1 + V =1 + £1 + £ sin2 6 ’1 + £1 + £ sin2 6 ’е = ««К - Lе = ««К - L
1 + р —
1 + р —
1 + Е COS2 О
1 + £ sin2 О
1 + Е COS2 О
1 + £ sin2 О
tg2/3,
tg2/3,
_£ sin 26
2 1 + £ sin 6
_£ sin 26
2 1 + £ sin 6
1 + V =
1 + V =
1 + £
1 + £ sin2 6 ’
1 + £
1 + £ sin2 6 ’
е = ««К - L
е = ««К - L
В выражении (2.72) kz определена с точностью до членов второго порядка малости по кж, ку. Так как вектор накачки ki направлен по оси 2, то kiz = |ki| = кх, т.е. кхж = кху = 0. Поэтому из (2.67) следует, что ^зж = к2ж, к^у = к2у. Вектор волновой расстройки А имеет существенную для нас компоненту по оси 2:
А = klz + k2z - ka2 = kt > к2 к3 k2x tg/32 - klM + p^/Ok^ -
— kly0 + tp/Ok^ + k3x tg/Зз + ^«l + /1з)/(2кз) + А?5У(1 + г/з)/(2/сз)-
Введем обозначения: к2х = к3х = кх, к3у = к2у = ку; тогда
Д = ki + к2 - к3 - кх (tg р2 - tg/Зз) - кх [(1 + р^/^к^ -
— (1 + Рз)/(2кз)] — ку [(1 + ^2)/(2fc2) — (1 + ^з)/(2/c3)] =
= кх + к2 - к3 - а (кх + х)2 + аи" - 7/с2,
гдегде^ = Л (tgft - tg/Зз),^ = Л (tgft - tg/Зз),/ 1 + /12 _ 1 + /^з А
где
где
^ = Л (tgft - tg/Зз),
^ = Л (tgft - tg/Зз),
1 + ^3 ж1 + ^3 ж\ 2fc2 2/с3 /’
1 + ^3 ж
1 + ^3 ж
Обозначим Ад = &1 + &2 — &з + ах1, тогда
(2.73)(2.73)Д = -а (к1 + х)2 - р1 + До-
(2.73)
(2.73)
Если сигнал ш^ является обыкновенной волной, в (2.73) следует положить £2 = tg72 = 0. Без ограничения общности можно положить Ао = 0, что может быть выполнено специальным выбором угла О.
Запишем укороченные уравнения в приближении заданного поля накачки (Л1 = const):
dApdz = -ja^AX exp 0^0 idApdz = -ja^AX exp 0^0 i(2.74)(2.74)
dApdz = -ja^AX exp 0^0 i
dApdz = -ja^AX exp 0^0 i
(2.74)
(2.74)
(2.75)(2.75)dA^pz = -j<73AiA2 exp (-^Дг).
(2.75)
(2.75)
В [7] приведено сразу выражение для коэффициента преобразования ТС(k2X, ^2У). Нам необходимо предварительно решить (2.74), (2.75). Так как накачка — плоская волна, то Ai = Л^ = Лю. Обозначим ^ = ^ Лю; тогда
dA^jdz = -^2Л ехр 0ДД,(2.76)
dA^pz = -Лз^2 exp PiДД.(2.77)
Введем новые обозначения:
/ А \/ А \
Л2 = а2 exp^з = «з exp I ^j^z I .(2.78)
Тогда из (2.76), (2.77) получаем
М .△da3 А
—™ = ™3 а2 ™j^2a3,= Bj™a3 - j^.(2.79)
az 2az 2
Полагая а^ bi ехр (72), имеем (bi = const)
/А\/А\
М + j j ) Ь2 + ]Ы)з = о,I b3 + j^3b2 = о,
откуда получаем
^? = ^зм ЬЬ + I у ) =а2 (z) = Л ехр (jqz) + В ехр V™3Q^ ,«з (2) = С ехр (jqz) + D ехр (™jqz).
В. Г. Дмитриев
Полагая «2(0) = «20 (сигнал), «з(0) = 0 (суммарная частота), определяем постоянные интегрирования:
1/A\1/A\a20t «20
Л -™ 1™—«20, В -- 1+—«20, c -£3 —,D -^3 — •
2\zq Jz\zq)zqzq
Итак, решения уравнений (2.74), (2.75) для действительных амплитуд имеют вид
•£з
«з = 5-020 [exp PiqO - exp Oqz^ = -j—a^o sin О2) , Zqq
1 / A\ ,41/ A\ ,
«2 = 5 1 - — I «20 exp ^jqz) + - 1 + — I a20 exp
или, для комплексных амплитуд:
АгАгЛ2(г) = Л2о cos [qz) - 3 — sm(^) exphyl,Л2(г) = Л2о cos [qz) - 3 — sm(^) exphyl,22
Аг
Аг
Л2(г) = Л2о cos [qz) - 3 — sm(^) exphyl,
Л2(г) = Л2о cos [qz) - 3 — sm(^) exphyl,
2
2
.€3^20 • r \( .^z
/^ sin (qz) exp I ™j —
где q = ^ЬЬ + (A/2)2, ^ = Ao-
Величина A2q представляет собой распределение комплексной амплитуды сигнала в плоскости z = 0, т.е. Л20 = А2 (ж, у^ 0).
Угловой спектр суммарной частоты на выходе нелинейного кристалла, т.е. при z = 20:
^3 (^Зж? ^Зг/, -^о) — оZTX^3 (^Зж? ^Зг/, -^о) — оZTXЛ3 (ж, у, Zo) exp У (к3хх + ksylJ^ dx dy =
^3 (^Зж? ^Зг/, -^о) — о
ZTX
^3 (^Зж? ^Зг/, -^о) — о
ZTX
expexpA2 (ж, у, 0) xA2 (ж, у, 0) x,^з sin(Q20)
exp
exp
A2 (ж, у, 0) x
A2 (ж, у, 0) x
= ™J zivq
S/ A \
x exp У ^жх + k3yy^ dx dy = sin (qzQ) exp ™jzQ™ x
x S2^k2x,k2y^ (2.80)
(поскольку к2ж = к3ж, k2y = k^y\ где S2 (k2xi k2yi 0) —угловой спектр сигнала в плоскости 2 = 0, или, другими словами, это амплитуда парциальной плоской волны с составляющими к2ж, к2у. Так как исходный сигнал задан распределением в плоскости zx (см. (2.66)), а спектр распространяется как плоская волна, то
S2 (к2ж, к2у, 0) = S2 (к2ж, к2у, 21) exp ^k2zz^ .
Поскольку
тотоSi {kix,kiy,zC и Si CixMyOexpSi {kix,kiy,zC и Si CixMyOexpЦх + ЦуЦх + Цу(2.81)(2.81)
то
то
Si {kix,kiy,zC и Si CixMyOexp
Si {kix,kiy,zC и Si CixMyOexp
Цх + Цу
Цх + Цу
(2.81)
(2.81)
(штрихом здесь отмечен тот факт, что спектр из плоскости 21 до плоскости 2о распространяется в свободном пространстве, т.е. к2 = Ш2/с; к^ = = ш^рп^с, где п2 — коэффициент преломления кристалла).
Аналогично рассмотрим преобразование спектра суммарной частоты из плоскости 2о, где он задан функцией (2.80), в некоторую плоскость 22, полагая, что это преобразование также осуществляется в свободном пространстве:
S3 (k3x,k3y,Zi) = Si (k3x,kSy,z0)exp[jkSz Со - z2)) =
= Si (k3x,k3y,zopxp= Si (k3x,k3y,zopxp(2.82)(2.82)Цх + Ц\
= Si (k3x,k3y,zopxp
= Si (k3x,k3y,zopxp
(2.82)
(2.82)
3 I Ц^ I Co - ^2)
Коэффициент преобразования равен
К СзхСу)К СзхСу)s3 СзМзу^)
К СзхСу)
К СзхСу)
Si Cixkiy, z3)
ЧЫызЮгДдЬжру-УгоД^^
Si (kixC^OexpPjki^zO
sin (qz)( . Д\ ,,
= ~зСexp —jz^ — exp )jk3 Co - ^2)] exp (jfc2^i) x
9\/
x expx exp3 C2 - Zo)3 C2 - Zo)Цх + ЦуЦх + ЦуexpexpЦ$ + Цу2ЦЦ$ + Цу2Ц(2.83)(2.83)
x exp
x exp
3 C2 - Zo)
3 C2 - Zo)
Цх + Цу
Цх + Цу
exp
exp
Ц$ + Цу2Ц
Ц$ + Цу2Ц
(2.83)
(2.83)
(при выводе (2.83) мы использовали выражения (2.81) и (2.82)).
При этом с учетом (2.73):
Д = Д Сх, ку) = До - а (кх + х)2 -
(напомним, что к^ж = к^ж = кж, к^у = к^у = ку). При малой анизотропии кристалла (/3<^С1,д<С1,1/<^С1) имеем
аа12^12^12fe12fe
а
а
12^
12^
1
2fe
1
2fe
Тогда (при А о = 0)
АА1Ж"1Ж"1Ж1Ж(^ + 2^х + х2 + ^).(^ + 2^х + х2 + ^).(2.84)(2.84)
А
А
1
Ж"
1
Ж"
1
Ж
1
Ж
(^ + 2^х + х2 + ^).
(^ + 2^х + х2 + ^).
(2.84)
(2.84)
Положим в (2.83) с учетом (2.84) фазовый множитель, зависящий от к^ ку, равным единице; это означает, что
2'2 ™ 2р2^2'2 ™ 2р2^Ла । 1 ( 2° 2Ц + 2 \2к2Ла । 1 ( 2° 2Ц + 2 \2к2
2'2 ™ 2р
2^
2'2 ™ 2р
2^
Ла । 1 ( 2° 2Ц + 2 \2к2
Ла । 1 ( 2° 2Ц + 2 \2к2
Отсюда определяем соответствующее положение плоскости изображе- (о)
~ кз , 2~ кз , 2к' ко \к' ко \(2.85)(2.85)НИЯ 2'2 :
~ кз , 2
~ кз , 2
к' ко \
к' ко \
(2.85)
(2.85)
Исключение фазового множителя, зависящего от к^, ку, значительно уменьшает разброс (размывание) элементов изображения за счет дифракции, т.е. в плоскости z^ (см. (2.85)) осуществляется наибольшая разрешающая способность изображения.
Итак, с учетом (2.85):
К (к2$,к2у) = -^зК (к2$,к2у) = -^зsin (gz)qsin (gz)qехр [j у (tg/32 - tg/Зз) к^ хехр [j у (tg/32 - tg/Зз) к^ х
К (к2$,к2у) = -^з
К (к2$,к2у) = -^з
sin (gz)q
sin (gz)q
ехр [j у (tg/32 - tg/Зз) к^ х
ехр [j у (tg/32 - tg/Зз) к^ х
х ехр \jk’3 Со - г2) + j/c^i] • (2.86)
Применяя к (2.86) фурье-преобразование и отбрасывая не существенный для нас последний экспоненциальный множитель, не зависящий от кх,у, в соответствии с (2.70) получаем
4тг2Г (ж, у) =4тг2Г (ж, у) =К (к2х, к2у) ехр [^j (к2хх + к2уу^ dk2x dk2y =
4тг2Г (ж, у) =
4тг2Г (ж, у) =
sin (qz)qsin (qz)qexp ^jxokx) ™ j (k2xx + k2yy)^ dk2x dk2y,exp ^jxokx) ™ j (k2xx + k2yy)^ dk2x dk2y,
sin (qz)
q
sin (qz)
q
exp ^jxokx) ™ j (k2xx + k2yy)^ dk2x dk2y,
exp ^jxokx) ™ j (k2xx + k2yy)^ dk2x dk2y,
(2.87) где x0 = (20/2) (tg/32 - tg/33).
Интеграл (2.87) не берется аналитически. Поэтому для получения аналитических решений решим систему (2.74), (2.75) в приближении заданных полей не только накачки, но и сигнала, т.е. считая, что их угловые спектры распространяются без взаимодействия с волной суммарной частоты. Тогда Л3 = Л^ = Лю, |Л2 (x,y,z)\ = |Л2 (ж,г/,0)|. Здесь поставлен знак модуля, поскольку в приближении заданных полей заданными являются только действительные амплитуды. Положим а2 (ж, у, 0) = а2о (^, у) = Цз (^, у, 0)|, «з (ж, у, z) = |Л3 (x,y,z)\.
Тогда
А 2 = «20 ехр 0>Р2), аз = а3 exp (j у?3),
где (^2,з — функции х^ у^ z, определяющие пространственные распределения фаз полей (напомним, что накачка Ai — плоская волна).
Из (2.74), (2.75) имеем (Аю = «ю):
= ™.№«з«10 exp j,
dzdz
dA3da3dp3r / лм
,= ™ja3aiO«2oexp j (™Д^ + p^ - p3) •
dzdzdz
а3аю
= ™О"2COS Ф,
«20
(2.88)
«10«20
= ™а3cos Ф,
«30
(2.89)
= а3аю«20 8шФ.
(2.90)
Приравнивая действительные и мнимые части и полагая Ф = р^ ™ р3 ™ — ^z, имеем
dz
dz das dz
Уравнения (2.88), (2.89) можно объединить:
с/Фdp^dp3т=™ Д = ™ Д ™ а2 cos Фdzdzdzс/Фdp^dp3т=™ Д = ™ Д ™ а2 cos Фdzdzdz«3«10 ,1Т«10«20Н а3 cos Ф«3«10 ,1Т«10«20Н а3 cos Ф«20«20«3«3
с/Фdp^dp3т
=™ Д = ™ Д ™ а2 cos Ф
dzdzdz
с/Фdp^dp3т
=™ Д = ™ Д ™ а2 cos Ф
dzdzdz
«3«10 ,1Т«10«20
Н а3 cos Ф
«3«10 ,1Т«10«20
Н а3 cos Ф
«20
«20
«3
«3
Пренебрегая здесь членом а2а3аю/«20 <^ ^з«1о«2о/«з, имеем
(2.91)(2.91)—- = - Д + а3 cos Ф.
(2.91)
(2.91)
dzа3
Решая (2.91) относительно cos Ф и обозначаяр = а3аю«2о (ж, у), имеем cos Ф = (Д«3 + (7)/а3,
гдеД = Д/(2р).
Так как а3(0) = 0, то С = 0, т.е. cos Ф = Да3 = а3Д/(2р), и
da3/Да3\2 Д (2pV
откуда а3(ж, y,z) = |-а3аю «2о(^л) sin ^р Из (2.89) находим:
«Тзdz«ТзdzрсозФ р[Д/(2р)]а3рсозФ р[Д/(2р)]а3«з«з«з«зДД тг—, т.е. =z2 у3 22ДД тг—, т.е. =z2 у3 22
«Тзdz
«Тзdz
рсозФ р[Д/(2р)]а3
рсозФ р[Д/(2р)]а3
«з
«з
«з
«з
ДД тг
—, т.е. =z
2 у3 22
ДД тг
—, т.е. =z
2 у3 22
Так как мы пренебрегли членом а2 °3°10 cos Ф, то из этого следует р^ = «20'
= о, Ф = -у>3 - Xz = | +- Xz =при этом Ф(0) = у
Окончательно находим
Л3 (x.ipz) =Л3 (x.ipz) =2z ч— а3аю «2о(^Л)2z ч— а3аю «2о(^Л)sin -^- ехрsin -^- ехр
Л3 (x.ipz) =
Л3 (x.ipz) =
2z ч
— а3аю «2о(^Л)
2z ч
— а3аю «2о(^Л)
sin -^- ехр
sin -^- ехр
§3 (^Зж, ^Зу, Zq) —Z7T§3 (^Зж, ^Зу, Zq) —Z7TНайдем угловой спектр суммарной частоты на выходе (^ = ^о):
§3 (^Зж, ^Зу, Zq) —
Z7T
§3 (^Зж, ^Зу, Zq) —
Z7T
Аз (ж, У, z0) exp \j ^кзжх + k3yip dx d-у =
.2<тзаю . Az0 / .Azo\ „, nX
1дSin-^- eXP \ Ж / 52 Vfc2$,K2y,0) ,
где S2 (k2x, k2y, 0) — спектр входного сигнала (мы воспользовались соотношением к2х = кзх, к2у = кзу\
Аналогично (2.83), для коэффициента преобразования имеем
К (к2х, к2у) = (-2^з/Д) sin (Az0/2) exp ^-jz0 (A/2 + k'^ x
x exp j (k^ - k^z^ exp [j (^ + ft2) (Z2 - Zo)/(2fc^)] x
x exp Pipkx + ky)/^^ •
Отбрасывая несущественные множители, не зависящие от кж, ку, получаем
К(к2х,к2у) ~ (2/Д) sin (Az0/2) ехр [—JAz0/2] х
х exp [J рх + к^ (г2 - г0)/(2Ц)] х exp [-j (к^ + к^ z1/(2k'P\ .
Из (2.84) следует
<2.92>
Положим фазовый множитель, зависящий от к^., к^, т.е. определяющий дифракцию (размытие) изображения, равным единице. С учетом (2.92) имеем
^02^022^з / + 2Ц 2Ц2^з / + 2Ц 2Ц
^0
2
^0
2
2^з / + 2Ц 2Ц
2^з / + 2Ц 2Ц
Отсюда 4°= (^з/^з)^! + С1 ™ ^з/(2^) + Ц/(2^3)) ^0.
Итак, при ^2 = ^2
К (к2х, к2у) - д sin — ехр ^у ^— - — J ^2хкх + х )
2 . △-о \кж ."
22= д sin— ехр -^(tg^-tgft) =
2
2
= ^ sin ^- exp (jxoM , (2-93)
гдеж0 = Оо/2) (tg/32 — tg/Зз).
Применяя к (2.93) фурье-преобразование, получим для функции разброса
г О, у) =г О, у) =к <k2ac,k2y) exp [-j (^ж + А?уу)] dkx dky
г О, у) =
г О, у) =
2 . Az0— sinA 22 . Az0— sinA 2exp {-J \кж (ж - ж0) + kyy^ dp dky.exp {-J \кж (ж - ж0) + kyy^ dp dky.(2.94)(2.94)
2 . Az0
— sin
A 2
2 . Az0
— sin
A 2
exp {-J \кж (ж - ж0) + kyy^ dp dky.
exp {-J \кж (ж - ж0) + kyy^ dp dky.
(2.94)
(2.94)
Из (2.92) имеем А и —а ргж + х)2 + ку^. Введем новые переменные р + + х = 5V^o72> ку = уракор, ж — Жд = хрaz^P и опустим в (2.94) множители, не зависящие от С ц, х', у:
Г О, у)Г О, у)sin Д2 + т?2)е^Рsin Д2 + т?2)е^Рехр{4 рх’ + пцр d£, dr].ехр{4 рх’ + пцр d£, dr].
Г О, у)
Г О, у)
sin Д2 + т?2)е^Р
sin Д2 + т?2)е^Р
ехр{4 рх’ + пцр d£, dr].
ехр{4 рх’ + пцр d£, dr].
Интегрируем сначала по ^ и, полагая при этом р = const, получим интеграл:
J =J =sin (£2 + а2)sin (£2 + а2)^2 а2^2 а2ехр (-^ж') d^ехр (-^ж') d^
J =
J =
sin (£2 + а2)
sin (£2 + а2)
^2 а2
^2 а2
ехр (-^ж') d^
ехр (-^ж') d^
(, о’7Г™ Жр) + Г2(, о’7Г™ Жр) + Г201234 жРис. 2.1101234 жРис. 2.11
(, о’
7Г™ Жр) + Г
2
(, о’
7Г™ Жр) + Г
2
01234 ж
Рис. 2.11
01234 ж
Рис. 2.11
В [7] найдено:
г (ж, у) = ——5з ехр 0 их)атг
Из графика функции тг/2 — Si q (рис. 2.11) видно, что первый корень этой функции равен q = arg Si ^1,4. Отсюда для разрешающей способности получаем Дж ^ Дг/
1,4у^о и при жр ~ 1 см, Дж (3 4- 5) х х 10-3 см, т.е. на апертуре кристалла d максимальное число разрешимых элементов равно (d/Дж)2. Видно, что с ростом длины кристалла разрешение падает.
§ 2.6 Теория ОВФ при генерации разностной частотыРассмотрим трехволновое вырожденное взаимодействие (ТВВ) в бесконечном (по поперечным координатам) нелинейном слое толщиной I по оси z, нормальной к граням слоя. Пусть на входную грань нелинейного слоя падают волна накачки с частотой 2ш и комплексной амплитудой А3(р) (р2 = х2 + ^2), и волна сигнала Ai на частоте ш. Волна сигнала несет информацию, записанную аберратором в амплитудно-фазовом фронте. В слое в процессе ТВВ генерируется разностная волна А2 на частоте сигнала ш. Тем самым рассматривается процесс вырожденной по частоте ГРЧ.Комплексные амплитуды А^р, z) являются в общем случае функциями поперечных и продольной координат и связаны укороченными уравнениями [4]:§ 2.6 Теория ОВФ при генерации разностной частотыРассмотрим трехволновое вырожденное взаимодействие (ТВВ) в бесконечном (по поперечным координатам) нелинейном слое толщиной I по оси z, нормальной к граням слоя. Пусть на входную грань нелинейного слоя падают волна накачки с частотой 2ш и комплексной амплитудой А3(р) (р2 = х2 + ^2), и волна сигнала Ai на частоте ш. Волна сигнала несет информацию, записанную аберратором в амплитудно-фазовом фронте. В слое в процессе ТВВ генерируется разностная волна А2 на частоте сигнала ш. Тем самым рассматривается процесс вырожденной по частоте ГРЧ.Комплексные амплитуды А^р, z) являются в общем случае функциями поперечных и продольной координат и связаны укороченными уравнениями [4]:М_dzМ_dz3 ( Ах2кх \ Эх23 ( Ах2кх \ Эх2-д-^- - ^“я- = -JCT1A2A3 exp (jXoZ , dy2 / ох-д-^- - ^“я- = -JCT1A2A3 exp (jXoZ , dy2 / ох(2.95)(2.95)dA2dzdA2dzj / ХА2 2к2 \ Эх2j / ХА2 2к2 \ Эх282АД 8А2. л*л."Э^Г1Г1Ж -^ДДехрСДоЛ , ‘(2.96)82АД 8А2. л*л."Э^Г1Г1Ж -^ДДехрСДоЛ , ‘(2.96)дА3dzдА3dz3 / 9^з2fc3 \ dx23 / 9^з2fc3 \ dx29 А3\8А2.dy2 )ох(2.97)9 А3\8А2.dy2 )ох(2.97)где До = |kx + k2 - к3|г.Уравнения (2.95)-(2.97) являются параболическими укороченными уравнениями и соответствуют квазиоптическому приближению в теории нелинейных волн [8]. Они описывают стационарное (во времени) нелинейное взаимодействие дифрагирующих волновых пучков. Решение этих уравнений в аналитическом виде, как правило, не представляется возможным. Однако их можно существенно упростить, если перейти от комплексных амплитуд к угловым спектрам.Разложим комплексные амплитуды Ai?2?3 в интегралы Фурье по плоским волнам, или, иными словами, запишем выражения для фурье-спектров комплексных амплитуд (i = 1, 2, 3):где До = |kx + k2 - к3|г.Уравнения (2.95)-(2.97) являются параболическими укороченными уравнениями и соответствуют квазиоптическому приближению в теории нелинейных волн [8]. Они описывают стационарное (во времени) нелинейное взаимодействие дифрагирующих волновых пучков. Решение этих уравнений в аналитическом виде, как правило, не представляется возможным. Однако их можно существенно упростить, если перейти от комплексных амплитуд к угловым спектрам.Разложим комплексные амплитуды Ai?2?3 в интегралы Фурье по плоским волнам, или, иными словами, запишем выражения для фурье-спектров комплексных амплитуд (i = 1, 2, 3):Si ^ki^^ kiy, z)Si ^ki^^ kiy, z)11(27г)2 J J(27г)2 J JAi (ж, у, z) exp [j (/г^ж + kiyy^ dx dy,Ai (ж, у, z) exp [j (/г^ж + kiyy^ dx dy,
§ 2.6 Теория ОВФ при генерации разностной частоты
Рассмотрим трехволновое вырожденное взаимодействие (ТВВ) в бесконечном (по поперечным координатам) нелинейном слое толщиной I по оси z, нормальной к граням слоя. Пусть на входную грань нелинейного слоя падают волна накачки с частотой 2ш и комплексной амплитудой А3(р) (р2 = х2 + ^2), и волна сигнала Ai на частоте ш. Волна сигнала несет информацию, записанную аберратором в амплитудно-фазовом фронте. В слое в процессе ТВВ генерируется разностная волна А2 на частоте сигнала ш. Тем самым рассматривается процесс вырожденной по частоте ГРЧ.
Комплексные амплитуды А^р, z) являются в общем случае функциями поперечных и продольной координат и связаны укороченными уравнениями [4]:
§ 2.6 Теория ОВФ при генерации разностной частоты
Рассмотрим трехволновое вырожденное взаимодействие (ТВВ) в бесконечном (по поперечным координатам) нелинейном слое толщиной I по оси z, нормальной к граням слоя. Пусть на входную грань нелинейного слоя падают волна накачки с частотой 2ш и комплексной амплитудой А3(р) (р2 = х2 + ^2), и волна сигнала Ai на частоте ш. Волна сигнала несет информацию, записанную аберратором в амплитудно-фазовом фронте. В слое в процессе ТВВ генерируется разностная волна А2 на частоте сигнала ш. Тем самым рассматривается процесс вырожденной по частоте ГРЧ.
Комплексные амплитуды А^р, z) являются в общем случае функциями поперечных и продольной координат и связаны укороченными уравнениями [4]:
М_
dz
М_
dz
3 ( Ах
2кх \ Эх2
3 ( Ах
2кх \ Эх2
-д-^- - ^“я- = -JCT1A2A3 exp (jXoZ , dy2 / ох
-д-^- - ^“я- = -JCT1A2A3 exp (jXoZ , dy2 / ох
(2.95)
(2.95)
dA2dz
dA2dz
j / ХА2 2к2 \ Эх2
j / ХА2 2к2 \ Эх2
82АД 8А2. л*л.
"Э^Г1Г1Ж -^ДДехрСДоЛ , ‘(2.96)
82АД 8А2. л*л.
"Э^Г1Г1Ж -^ДДехрСДоЛ , ‘(2.96)
дА3dz
дА3dz
3 / 9^з
2fc3 \ dx2
3 / 9^з
2fc3 \ dx2
9 А3\8А2.
dy2 )ох
(2.97)
9 А3\8А2.
dy2 )ох
(2.97)
где До = |kx + k2 - к3|г.
Уравнения (2.95)-(2.97) являются параболическими укороченными уравнениями и соответствуют квазиоптическому приближению в теории нелинейных волн [8]. Они описывают стационарное (во времени) нелинейное взаимодействие дифрагирующих волновых пучков. Решение этих уравнений в аналитическом виде, как правило, не представляется возможным. Однако их можно существенно упростить, если перейти от комплексных амплитуд к угловым спектрам.
Разложим комплексные амплитуды Ai?2?3 в интегралы Фурье по плоским волнам, или, иными словами, запишем выражения для фурье-спектров комплексных амплитуд (i = 1, 2, 3):
где До = |kx + k2 - к3|г.
Уравнения (2.95)-(2.97) являются параболическими укороченными уравнениями и соответствуют квазиоптическому приближению в теории нелинейных волн [8]. Они описывают стационарное (во времени) нелинейное взаимодействие дифрагирующих волновых пучков. Решение этих уравнений в аналитическом виде, как правило, не представляется возможным. Однако их можно существенно упростить, если перейти от комплексных амплитуд к угловым спектрам.
Разложим комплексные амплитуды Ai?2?3 в интегралы Фурье по плоским волнам, или, иными словами, запишем выражения для фурье-спектров комплексных амплитуд (i = 1, 2, 3):
Si ^ki^^ kiy, z)
Si ^ki^^ kiy, z)
1
1
(27г)2 J J
(27г)2 J J
Ai (ж, у, z) exp [j (/г^ж + kiyy^ dx dy,
Ai (ж, у, z) exp [j (/г^ж + kiyy^ dx dy,
или, в условно-векторной записи в полярных координатах
Si (^г, ОSi (^г, О11Ai (р, z) exp О^Р) d-P,Ai (р, z) exp О^Р) d-P,
Si (^г, О
Si (^г, О
1
1
Ai (р, z) exp О^Р) d-P,
Ai (р, z) exp О^Р) d-P,
где Mi — вектор к^ в поперечной плоскости, т.е. Mi = ^Ж1 + ^m (1, m — единичные вектора по ж, у).Обратное преобразование дает распределение комплексных амплитуд в поперечной плоскости я:где Mi — вектор к^ в поперечной плоскости, т.е. Mi = ^Ж1 + ^m (1, m — единичные вектора по ж, у).Обратное преобразование дает распределение комплексных амплитуд в поперечной плоскости я:At (ж, у, z) =At (ж, у, z) =Si [kix ’ kiy , 8) exp [ J (ki$X T ^гу^/)] dkix dkiySi [kix ’ kiy , 8) exp [ J (ki$X T ^гу^/)] dkix dkiy(2.98)(2.98)Ai (p, ^ =Ai (p, ^ =Подставим (2.98) в (2.95):Подставим (2.98) в (2.95):95iЭя95iЭяSi (м.р z) exp (™умгр) dMpSi (м.р z) exp (™умгр) dMpкА + кА \хз Vj3ikix I 5iкА + кА \хз Vj3ikix I 5iх exp [-j (А1жж + fciyy)]х exp [-j (А1жж + fciyy)]dki$ dkly = -joidki$ dkly = -joix exp {-J ^к3э; - к2Ц x + (k3y - k2y) y]} dk3$ dk3y dk2x dk2y.x exp {-J ^к3э; - к2Ц x + (k3y - k2y) y]} dk3$ dk3y dk2x dk2y.Положим ^ж = кзж — ^2Ж, ^y = кзу ™ k^y. Тогда, приравнивая ^ж = ^1Ж, ^у = kiy. имеемПоложим ^ж = кзж — ^2Ж, ^y = кзу ™ k^y. Тогда, приравнивая ^ж = ^1Ж, ^у = kiy. имеем98г , _+ j5i оя98г , _+ j5i оя2ki2ki+ j(3ikla;Si = -jdi+ j(3ikla;Si = -jdiS2S3o dk2x dk2y.S2S3o dk2x dk2y.
где Mi — вектор к^ в поперечной плоскости, т.е. Mi = ^Ж1 + ^m (1, m — единичные вектора по ж, у).
Обратное преобразование дает распределение комплексных амплитуд в поперечной плоскости я:
где Mi — вектор к^ в поперечной плоскости, т.е. Mi = ^Ж1 + ^m (1, m — единичные вектора по ж, у).
Обратное преобразование дает распределение комплексных амплитуд в поперечной плоскости я:
At (ж, у, z) =
At (ж, у, z) =
Si [kix ’ kiy , 8) exp [ J (ki$X T ^гу^/)] dkix dkiy
Si [kix ’ kiy , 8) exp [ J (ki$X T ^гу^/)] dkix dkiy
(2.98)
(2.98)
Ai (p, ^ =
Ai (p, ^ =
Подставим (2.98) в (2.95):
Подставим (2.98) в (2.95):
95iЭя
95iЭя
Si (м.р z) exp (™умгр) dMp
Si (м.р z) exp (™умгр) dMp
кА + кА \
хз Vj3ikix I 5i
кА + кА \
хз Vj3ikix I 5i
х exp [-j (А1жж + fciyy)]
х exp [-j (А1жж + fciyy)]
dki$ dkly = -joi
dki$ dkly = -joi
x exp {-J ^к3э; - к2Ц x + (k3y - k2y) y]} dk3$ dk3y dk2x dk2y.
x exp {-J ^к3э; - к2Ц x + (k3y - k2y) y]} dk3$ dk3y dk2x dk2y.
Положим ^ж = кзж — ^2Ж, ^y = кзу ™ k^y. Тогда, приравнивая ^ж = ^1Ж, ^у = kiy. имеем
Положим ^ж = кзж — ^2Ж, ^y = кзу ™ k^y. Тогда, приравнивая ^ж = ^1Ж, ^у = kiy. имеем
98г , _
+ j5i оя
98г , _
+ j5i оя
2ki
2ki
+ j(3ikla;Si = -jdi
+ j(3ikla;Si = -jdi
S2S3o dk2x dk2y.
S2S3o dk2x dk2y.
Введем замену
Si (xj; z) = Mi ^Xi, z) expSi (xj; z) = Mi ^Xi, z) exp
Si (xj; z) = Mi ^Xi, z) exp
Si (xj; z) = Mi ^Xi, z) exp
В итоге вместо (2.95)-(2.97) имеем
ЭМг .ЭМг .M3Mi exp (у Az) dk2x dk2y,M3Mi exp (у Az) dk2x dk2y,dM2 .ОЯdM2 .ОЯМзМ^ exp (jA^) dkxx dkiy.МзМ^ exp (jA^) dkxx dkiy.(2.99)(2.100)(2.99)(2.100)
ЭМг .
ЭМг .
M3Mi exp (у Az) dk2x dk2y,
M3Mi exp (у Az) dk2x dk2y,
dM2 .
ОЯ
dM2 .
ОЯ
МзМ^ exp (jA^) dkxx dkiy.
МзМ^ exp (jA^) dkxx dkiy.
(2.99)
(2.100)
(2.99)
(2.100)
9М3Эх9М3Эх==MiM2 ехр (^jA^) dkxx dkxy.MiM2 ехр (^jA^) dkxx dkxy.(2.101)(2.101)
9М3Эх
9М3Эх
=
=
MiM2 ехр (^jA^) dkxx dkxy.
MiM2 ехр (^jA^) dkxx dkxy.
(2.101)
(2.101)
А — А0 + Дз^Зж ™ /^2^2ж ™ А^жЦ1ЦЬZK2А — А0 + Дз^Зж ™ /^2^2ж ™ А^жЦ1ЦЬZK2где обобщенная расстройка А равна:
А — А0 + Дз^Зж ™ /^2^2ж ™ А^жЦ1ЦЬ
ZK2
А — А0 + Дз^Зж ™ /^2^2ж ™ А^жЦ1ЦЬ
ZK2
(2.102)
Нетрудно видеть, что выражение (2.102) определяет расстройку, обусловленную в том числе диафрагменным апертурным эффектом и дифракцией [9].
Из уравнений (2.99)—(2.101) видно, что модифицированные угловые спектры волн, т.е. амплитуды соответствующих парциальных плоских волн, фазовые множители которых как бы «исправлены» на дифракцию и снос, определяются интегралом — суперпозицией соответствующих нелинейных произведений спектров двух других волн — по всем направлениям волновых векторов в поперечной плоскости.
Для простоты вычислений и без особого ограничения общности примем волну накачки плоской волной, распространяющейся по оси z, т.е. положим кзж = к3у = 0, ^з^ = к, Зз = 0, отсюда следует, что ^1Ж = ^к^ж-, кху = —к^у, а угловой спектр накачки имеет вид 5-функции:
S3 (кзх^ кзу^ z') — 5зо5 ^кзж^ 5 (фзу).
Вследствие этого интегралы в уравнениях (2.99)^(2.101) исчезают; далее, если волна накачки является достаточно мощной, справедливо приближение заданного поля (Ai,2(^) <^ ^-зо)? и уравнения (2.99), (2.100) примут вид
= -з^ЗзоМ^ ехр 1(2.103)
UZ
= -j<T2SaoM^ ехр ОХ» .(2.104)
Заметим, что если пренебречь дифракцией и анизотропией, то ЛД=Д, и тогда эти уравнения примут вид
= Лу^зо^ ехр (j'Aoz),(2.105)
^ = -№S3oSi ехр (jAoz).(2.106)
С точки зрения математики все. равно, какую систему решать*. (2.103), (2.104) или (2.105), (2.106); только не следует забывать, что эти уравнения записаны для угловых спектров, т.е. для. амплитуд парциальных плоских волн с компонентами векторов кхх = ™^2ж, кху = ™к^у (рис. 2.12).
Поэтому при нахождении амплитудных распределений с помощью обратного фурье-преобразования результат, естественно, будет существенно различным в зависимости от того, используем мы функции Si или Mi.
Будем полагать, что входная грань нелинейного слоя-кристалла расположена при z = 0. Тогда граничные условия для комплексных амплитуд в уравнениях (2.95)™(2.97) примут вид: Ai (ж, у^ 0) = Лю (ж, у) = Лю (р), Л2 (ару,б) = 0, Л3 (ацу^О) = Л30 (ж, у) = Л30 (р). Соответственно для угловых спектров получим
мг (к1х, к1у, 0) = Мх (Х1) = -И j /||0 ^ ехр Цхгр) dp,
М2(к2х,к2у,0) = М2(и2) = 0,
А30 (р') ехр Ци3р) dp.А30 (р') ехр Ци3р) dp.М3 (к3х,к3у, 0) = М3 ЫЭ = Л
А30 (р') ехр Ци3р) dp.
А30 (р') ехр Ци3р) dp.
4тю
Так как мы приняли волну накачки плоской, то Л30 (р) = А30 и
МзЫ = ^Цр)-8зо5(РЦ
Решая систему (2.103), (2.104), имеем
М-2 (х2, 0 = jM^ (xi) cr2S3o sh
/оХ-1/2
х U? - (А/2)2 J exp (jAZ/2), (2.107)
где и2 = aia25f0, sh ж — гиперболический синус, А определяется (2.102), I — длина кристалла.
Если волна сигнала настолько мощная (кроме волны накачки), что можно рассматривать приближение заданного поля сигнала и накачки одновременно, то решение (2.107) упрощается (при этом Мх (xi,x) = = Mi (хь 0) = Mi (хД):
9M2
(2.108)(2.108)= -j<r2S30Mi (xi) exp (jAz),M2 (x2, z) = -^S30Mi (xi) [exp 0X1) - 1],\M2 (x2, < = ^S^M; sin2 ^.
(2.108)
(2.108)
Расстройка А вида (2.102) в выражении (2.108) определяет ширину преобразуемого углового спектра сигнального излучения; так, величина М2 обращается в нуль при выполнении условия AZ/2 = тг, где I — длина нелинейного кристалла, или с учетом (2.102) при условии
△о - РЖ - РЖ + x2/(2fc2) + хром = 2TT/Z, (2.109)
где Xi = у к2ж + к2у. Другими словами, ТВВ-преобразователь эффективно обращает только ту часть углового спектра, которая попадает в центральный максимум кривой синхронизма.
Соотношение (2.109) ограничивает спектр угловых пространственных «частот» величиной, попадающей в центральный максимум кривой sine2 (AZ/2); остальными пространственными частотами можно пренебречь в большинстве практических случаев, так как амплитуды соответствующих волн не превышают величины первого вторичного максимума функции sine (AZ/2).
Проецируя волновые векторы на ось z, в анизотропной среде получим [7]:
к2к2
С = к - Ркх - (1 + р ^ - (1 + I/) р- + ...
(мы ограничились членами второго порядка малости по кж, ку). Здесь введены обозначения ^' — оптическая ось кристалла):
1 + cos2 01
1 + € sin2 0 ’1 + € sin2 0 ’0 = z^.0 = z^./З2, l + i/ =
1 + € sin2 0 ’
1 + € sin2 0 ’
0 = z^.
0 = z^.
I + € sin2 0
е cos 0 sin 0
1 + б sin2 0 ’
При малой анизотропии можно пренебречь величинами д, ю<^ I, тогда
kzkzк {Зкж——.к {Зкж——.
kz
kz
к {Зкж——.
к {Зкж——.
Рассмотрим случай 90°-ного синхронизма, т.е. положим /31 д = 0, До = 0, тогда из (2.102) имеем (так как накачка является плоской волной и Мз = 0, ТО Х1 = -ж2, |Х1| = |ж2| = х)
= 2^12^2 к= 2^12^2 кki = к^ = к = —.ki = к^ = к = —.
=
2^12^2 к
=
2^12^2 к
ki = к^ = к = —.
ki = к^ = к = —.
Итак,Итак,AZ 2 IТ 2кAZ 2 IТ 2к.2 ЭД4тгп.2 ЭД4тгп,2,2(2.110)(2.110)
Итак,
Итак,
AZ 2 I
Т 2к
AZ 2 I
Т 2к
.2 ЭД
4тгп
.2 ЭД
4тгп
,2
,2
(2.110)
(2.110)
где а = AZ/(4;rn), А — длина волны на разностной частоте в вакууме, п — коэффициент преломления. Подставляя (2.110) в (2.107), получаем
sh л/(uZ)2 — (ах2)2
М2 (х, I) = jM^ (х) S30ul exp (jax ) —у■= (2.111)
у (uZ)2 — (ах2)2
(здесь уже сняты индексы 1, 2 у xj.
Соотношения (2.107) и (2.111) четко показывают, что угловой спектр разностной волны с точностью до некоторого множителя является ком™ плексно-сопряженным, т.е. обращенным, по отношению к спектру исходного сигнала. Естественно, обращение здесь происходит только для попе™ речных составляющих волнового вектора (ж, т.е. кж и ку); по продольной компоненте вектора к обращение отсутствует. Мы еще вернемся к вопросу об обращении продольной составляющей к, а сейчас рассмотрим сигнальное излучение.
Пусть в плоскости z = 0, т.е. вплотную к нелинейному слою, находится тонкий транспарант, имитирующий аберратор и имеющий фазовое пропускание, описываемое множителем exp [j^(p)]. Если транспарант™ аберратор освещается слева плоской волной, распространяющейся по оси z с амплитудой Ло, то поле сигнала непосредственно за транспарантом имеет вид
Ао (р) = А) ехр Уу (р)].
Si(xb0) = М1(х1) =Si(xb0) = М1(х1) =Угловой спектр входного поля сигнала равен:
Si(xb0) = М1(х1) =
Si(xb0) = М1(х1) =
Ло ехр Ур (р)] exp yxip\ dp,
51 (^-°) = ^51 (^-°) = ^или
51 (^-°) = ^
51 (^-°) = ^
ехр Ц [р (ж, у) + А^ж + куг/У dx dy.
Вводя обозначение
Qo = jSsoul sh (uZ)2 - (ах2)2 j(ul)2 - (ах2)2,
из (2.111) имеем
М2 (х2, Z) = Оо^Т (^ь0) ехр (jew2) ,
ИЛИ При Pi = 0
S2 (х2,1) = Q0Si (хь0)ехр (уах2) ехр I ) ,(2.112)
или, так как а = А//(4тгп) = 1/(2к) и ki = к^ = к, то
S^.A = М(^ьО).(2.113)
Итак, решение (2.113), полученное в приближении заданного поля на™ качки, показывает, что в этом приближении спектр разностной частоты с точностью до мнимого множителя Qo, не содержащего зависимости от кх, ку, равен комплексно-сопряженному спектру входного сигнала. Это и означает, что при ГРЧ происходит процесс ОВФ, причем «обращается» только поперечная компонента волнового вектора. Для полного обращения необходимо изменить направление составляющей kz, т.е. отразить волну разностной частоты зеркалом, перпендикулярным оси г.
Заметим, что если в исходных уравнениях (2.95)-(2.97) пренебречь дифракцией, т.е. исключить члены со вторыми производными по поперечным координатам, то в приближении заданного поля накачки мы придем к уравнениям для спектров в форме (2.105), (2.106). В этом случае в решении (2.112) последняя экспонента обращается в единицу, и мы имеем
Я (x2,Z) = Qo^ (хь0)ехр (jax2) .(2.114)
Таким образом, мы сохранили экспоненциальный член, по порядку величины равный единице (обе экспоненты — отброшенная в пренебрежении дифракцией и оставленная в (2.114) — это равные члены). Отсюда следует, что либо надо отбросить и вторую экспоненту, либо строго учесть дифракцию с самого начала. В любом случае мы получим (2.113).
Помня о том, что и продольная компонента «обращена», и продолжая работать с поперечными (угловыми) спектрами, рассмотрим конкретные распределения комплексной амплитуды сигнала на входе нелинейного слоя. Вначале выведем некоторые общие закономерности.
Пусть световой пучок вида
Е (г, t) = А (г) ехр У (cut — kz)^
распространяется через линейную неоднородную среду-аберратор с показателем преломления п (г), зависящим от пространственной координаты г, где г = д/агМ^у^^ Уравнение для амплитуды А (г) имеет вид [10]
АЛ — 2jk —- + \ш2п2 (г)/с2 — А:2! Л = 0.az L 7 J
Общее решение, связывающее амплитуды полей на входе неоднородной среды (аберратора), те. при 2 = 0, Л (р, 0), где р2 = ж2 + р2, и на выходе среды, 2 = L, А (р, L) имеет вид
A(p,L)= A(p'^GWW-A(p,L)= A(p'^GWW-(2.115)(2.115)
A(p,L)= A(p'^GWW-
A(p,L)= A(p'^GWW-
(2.115)
(2.115)
Здесь G (р, pf) — функция Грина искажающей среды (аберратора). Ее физический смысл нетрудно понять, рассматривая структуру формулы (2.115). Оптическое возмущение в некоторой фиксированной точке р выходной (2 = L) плоскости аберратора определяется суперпозицией элементарных возмущений, исходящих из точек с произвольными координатами р' = (xW) на входной плоскости, те. интегралом по р\ а функция Грина G (р, р') показывает, как трансформировалось это возмущение на пути через аберратор. В общем случае G (р, р') является комплексной функцией. Заметим, что для случая произвольной зависимости п (г) аберратора вид функции Грина, естественно, неизвестен. Напомним, что (2.115) расшифровывается следующим образом:
A(x,y,L) = j | А (ж', у\ 0) G (ж, у, х\ yf) dxf dyf. (2.116)
Пропустим искаженное поле, прошедшее через аберратор и описываемое формулами (2.115), (2Л16), через устройство ОВФ. Не задаваясь его конкретным видом, введем функцию Г (р, р'), описывающую отклик устройства ОВФ на дельта™образный сигнал, те. на импульсное воздействие (точечный источник света). В этой функции нетрудно узнать уже знакомую нам импульсную характеристику, или функцию рассеяния точки. Сигнал на выходе устройства ОВФ (в плоскости 22) в фиксированной точке этой плоскости р определяется суперпозицией оптических возмущений, пришедших из всех точек входной плоскости устройства ОВФ 21:
(2.117)(2.117)А (р, Z2) = А* (р', 21) Г (р, р'^ dp'.
(2.117)
(2.117)
Нетрудно видеть, что функция Г (р, р^, которую в литературе часто называют функцией разброса. является функцией Грина устройства ОВФ.
АберраторАберраторV//////AУстройствоV//////AУстройствоО L 2221%О L 2221%Рис. 2.13Рис. 2.13Плоскости 21, 22 могут совпадать или находиться перед входной гранью устройства ОВФ (рис. 2.13).
Аберратор
Аберратор
V//////A
Устройство
V//////A
Устройство
О L 2221%
О L 2221%
Рис. 2.13
Рис. 2.13
Пропустим поле, прошедшее устройство ОВФ, снова через аберратор, предполагая, естественно, что распределение п (г) и, следовательно, функция Грина аберратора за время прохождения светом трассы — аберратора, устройства ОВФ и вновь аберратора —
не изменилось; в этом случае говорят о стационарном аберраторе, если функция п (г) вообще не изменяется во времени, или о квазистационарном аберраторе, если время прохода светом всей трассы существенно меньше характерного времени изменения функции п (г) (так называемый «замороженный» аберратор, например, «замороженная» турбулентность атмосферы).
В силу обратимости задачи амплитуда поля на входной (2 = 0) плоскости аберратора выразится через амплитуду на выходной (2 = Г) плос
кости следующими соотношениями:
(2.118)(2.118)Л(р,0) = A^pGWW-Л(р,0) = A^pGWW-(2.119)(2.119)Л (p,z2) = Л (р, L),
(2.118)
(2.118)
Л(р,0) = A^pGWW-
Л(р,0) = A^pGWW-
(2.119)
(2.119)
Смысл (2.118) состоит в том, что мы для простоты рассуждений совместили выходную плоскость устройства ОВФ 22 с выходной плоскостью аберратора 2 = L.
Совместим 21, 22 и L; тогда описание промежутка (вакуум) войдет в функцию разброса Г(р, pf). Сопоставляя (2.115), (2.117) и (2.119), окончательно получим связь между входным полем Л1 (р, 0) и выходным полем Л2 (р, 0) (оба поля — в плоскости 2 = 0) после прохождения входного поля через аберратор, вакуум, устройство ОВФ (здесь пучок поворачивается на 180°), вакуум и вновь аберратор:
Л2 (р, 0) = Л^ (рь 0) G (р, Рз) G* (pi, Рз) Г (р2, Рз) dp! dp2 dp3
(2.120)
(мы ввели обозначения Р1,2,з и р, чтобы различить переменные интегрирования).
Если функция разброса устройства ОВФ пропорциональна 5- функции, то его можно считать устройством идеального ОВФ (или идеальным линейным фильтром). В этом случае интеграл по р2 в (2.120) исчезает (работает фильтрующее действие 5-функции):
Л2(р,0)=ЛПр1,0)С(р,рз)С*(р1,рз) dP1dP3. (2.121)
Наконец, если на входе аберратора излучение представляет собой плоскую волну, т.е. если Hi(pi, 0) = Ло, то из (2.121) получаем
Л (р, 0) = ЗА0 G (р, р3) G* (рь р3) dP1 dp3,(2.122)
(2.123)(2.123)(2.124)(2.124)где 3 — коэффициент усиления (ослабления) идеального устройства ОВФ. Полное восстановление плоской волны, т.е. равенство
(2.123)
(2.123)
(2.124)
(2.124)
Л2 (р, 0) = Ло«Д
будет иметь место при выполнении условия
G (р, Рз) G* (pi, р3) йрз = арр- pi),
где а — коэффициент пропорциональности; тогда при интегрировании (2.122) по pi получаем (2.123).
Соотношение (2.124) может быть выполнено в аберраторе, искажения которого чисто фазовые, т.е. функция п (г) действительна, или, другими словами, когда нет зависимости усиления или ослабления аберратора от поперечной координаты.
Если в плоскости 2 = 0, т.е. на входе аберратора, в некоторой точке Pi находится точечный источник, то из всего вышеизложенного следует, что импульсный отклик всей трассы (аберратор^вакуум^устройство ОВФ-вакуум-аберратор), т.е. функция рассеяния точки (или, если угодно, функция разброса трассы), имеет вид
д(р,рЦ =д(р,рЦ =Г (р2, Рз) G (р, рз) G* (pi, рз) Арг dp3.Г (р2, Рз) G (р, рз) G* (pi, рз) Арг dp3.(2.125)(2.125)
д(р,рЦ =
д(р,рЦ =
Г (р2, Рз) G (р, рз) G* (pi, рз) Арг dp3.
Г (р2, Рз) G (р, рз) G* (pi, рз) Арг dp3.
(2.125)
(2.125)
Все дальнейшие действия связаны с конкретным видом функции Грина аберратора и функции разброса устройства ОВФ. Заметим, что если устройство ОВФ инвариантно к сдвигу (изопланарно), то во всех выражениях функцию Г (р2, рз) можно заменить на Г (р2 р3); в этом случае вместо (2.125) имеем
g(p, Pi) =g(p, Pi) =г(р2 - p3)G(p,p3)G* (Р1,рз) dp2dp3.
g(p, Pi) =
g(p, Pi) =
Тонкий аберратор. Если неоднородная среда (аберратор) имеет настолько малую протяженность по оси 2, что можно пренебречь дифракционным расплыванием лучей на длине аберратора, то аберратор можно считать тонким, и его действие на первоначально плоскую волну можно описать фазовым множителем вида: exp \jp (р)]. Если входное распределение поля соответствует плоской волне, падающей наклонно на тонкий аберратор, то
А (р, 0) = Ао ехр Циор),
В. Г. Дмитриев
где Жо — поперечный волновой вектор плоской волны с угловым спектром
S (х, 0) = So5 (х - ж0).
Непосредственно за аберратором поле имеет вид
А (р, 0) = А (р, 0) ехр [> (р)].
После прохода через устройство ОВФ с функцией разброса Г (р — р') поле имеет вид (для произвольной плоскости 2)
М {р, о = Ао г (р Р- 0 exp (р') + jxoP^ dp'
(в этом выражении мы предполагаем, что устройство ОВФ является линейным пространственным фильтром).
Без вывода приведем ряд выражений, полученных в работах [20, 37]. В параксиальном приближении ^г = -у/х2 + у2 + Z2 » z [1 + р2/(2z)]) функция разброса всей трассы (с учетом участка свободного пространства длиной г) имеет вид
- Р)2 - (Pi- Р)2 - (PiРз)2] ? dp^ dp^. (2.126)Рз)2] ? dp^ dp^. (2.126)г (р2 - Рз, о exp [jV (р2) - № (рз)] X
- Р)2 - (Pi
- Р)2 - (Pi
Рз)2] ? dp^ dp^. (2.126)
Рз)2] ? dp^ dp^. (2.126)
Соответственно восстановленное (после прохождения обращенной волны вновь через аберратор) поле имеет амплитуду
Аг (р, о) = AUPiX^g (р, Pi) dpi,
где g (р, pi) задано формулой (2.126).
Вернемся к расчету ОВФ в режиме трехчастотного вырожденного взаимодействия. В приближении заданного поля накачки коэффициент преобразования устройства ОВФ в виде трехчастотного вырожденного параметрического преобразователя имеет вид
Ji (ж, 2ОПТ)Ji (ж, 2ОПТ)52(ж,/)5х*(-ж,0)52(ж,/)5х*(-ж,0)— Qo,— Qo,(2.127)(2.127)
Ji (ж, 2ОПТ)
Ji (ж, 2ОПТ)
52(ж,/)
5х*(-ж,0)
52(ж,/)
5х*(-ж,0)
— Qo,
— Qo,
(2.127)
(2.127)
где величина Qo, введенная ранее, определена в плоскости оптимальной фокусировки 2ОПТ, в которой в выражении для К отсутствуют квадратичные по ж экспоненциальные множители [12]. При отстройке от этой плоскости выражение (2.127) примет вид
(2.128)(2.128)К (х, z) = Qo exp (j;?x2),
(2.128)
(2.128)
где параметр 0 характеризует отстройку плоскости, в которой мы наблюдаем поле обращенной волны, от плоскости оптимальной фокусировки 2ОПТ, в которой ширина функции разброса устройства ОВФ имеет наименьшую ширину, а фронт обращенной волны наиболее близок к фронту искаженного аберратором поля. Очевидно, что 0 = Д2), причем Д(2ОПТ) = 0.
/ т jS^oul/ т jS^oulexp pj3x2 - jxp)exp pj3x2 - jxp)dx (2.129)dx (2.129)Производя фурье-преобразование функции (2.128), найдем функцию разброса трехчастотного параметрического преобразователя, характеризующую отклик преобразователя на точечный световой источник:
/ т jS^oul
/ т jS^oul
exp pj3x2 - jxp)
exp pj3x2 - jxp)
dx (2.129)
dx (2.129)
(напомним, что запись (2.129) является на самом деле двукратным интегралом по кж, ку в бесконечных пределах). Полагая ^ = ах2, N =
= 5зо^//(8тга), запишем интеграл Фурье-Бесселя:
где Jo (а) — функция Бесселя нулевого порядка.
Заметим, что коэффициент преобразования (2.128), как и функция разброса (2.130), не зависит от спектра сигнального излучения. В этом случае говорят об однородной модели трехчастотного устройства ОВФ. Разумеется, если мы примем в расчет влияние конечной апертуры нелинейного слоя, то однородность снимается.
В случае ul << 1, т.е. при малой эффективности преобразования в разностную частоту, интеграл (2.130) может быть вычислен с помощью интегральной показательной функции:
В работе [2] интеграл (2.130) рассчитывался (рис. 2.14) для значений ul = 0,5 (толстые линии) и ul = 5 (тонкие) при различных значениях параметра 0. Из рассмотрения графиков можно сделать следующие выводы:
при малой отстройке от плоскости оптимальной фокусировки ширина функции разброса минимальна и уменьшается с ростом ul, т.е. с ростом коэффициента преобразования (0 = 0; 0,2а); это означает, что в этих режимах реализуются наибольшие контрастность и разрешение восстановленного изображения точечного источника;
с увеличением отстройки р ширина функции разброса увеличивается, т.е. изображение точечного источника все более расплывается, причем с ростом коэффициента преобразования разрешение и контраст падают.
Рис. 2.14
Аберратор с параболической зависимостью п(р). Рассмотрим модель аберратора длиной L, характеризующуюся квадратичной зависимостью коэффициента преломления от радиуса:
п (р) = По - nip2/2.(2.131)
Такой зависимостью можно, например, аппроксимировать оптический усилитель с усилением у на единицу длины, в котором под действием тепла лампы накачки наводится регулярная тепловая линза вида (2.131).
Пусть на входе аберратора задан гауссов пучок
-4ю (/9,0) = 1/w • уД/тг exp Pp^/wq) ,
где wq — ширина пучка по уровню е™1 амплитуды при г = 0, и пусть функция разброса определяется формулой:
(эта функция с достаточной точностью описывает функции разброса реальных преобразователей).
Тогда коэффициент восстановления при ОВФ для трассы вида аберра- тор^усилитель-аберратор, определяемый как отношение амплитуд спектров восстановленного и исходного полей, будет равен [13]
'2^Re(w2) + l
(при этом мы нормируем т на коэффициент усиления усилителя).
Полагая ОВФ удовлетворительным при т ^ 0,7, найдем из (2.132):
5Re(wg) > 1,2.
Это и есть критерий качества восстановления.
Аберратор — одномерная фазовая решетка. Пусть аберратор представляет собой регулярную одномерную фазовую решетку, для которой
р (р) = acos(yx),(2.133)
где а — амплитуда изменений набега фазы, а у™1 характеризует поперечный размер неоднородностей; период решетки равен 2тг/у.
14тг214тг2Фурье-образ функции ехр^'^р)] с учетом (2.133) имеет вид [14]
14тг2
14тг2
exp \]а cos (уж) + jxp\ dp =
+ оо
=52 jmJmH5(rnT + M. (2.134)
Коэффициент восстановления равен
S2 (-xQ К0А06 (х - х0)S2 (-xQ К0А06 (х - х0)(2.135)(2.135)
S2 (-xQ К0А06 (х - х0)
S2 (-xQ К0А06 (х - х0)
(2.135)
(2.135)
где К0 — максимальное значение коэффициента пропускания преобразователя в разностную частоту (напомним, что К есть фурье-образ функции разброса преобразователя), 52 (^м0) — спектр восстановленного поля, Жо — волновой вектор исходной плоской волны, падающей на аберратор, кож, кОу — его поперечные составляющие, Jm (ж) — функция Бесселя m-го порядка.
При Ко <С 1 можно записать
К(х^К0К(х^К0sin(ax2)ах2sin(ax2)ах2(2.136)(2.136)
К(х^К0
К(х^К0
sin(ax2)ах2
sin(ax2)ах2
(2.136)
(2.136)
(приближение заданных полей сигнала и накачки), и из (2.135) следует (положим для простоты Жо = 0, т.е. допустим, что волна падает нормально на входную грань аберратора):
sin (am2у2)sin (am2у2)am2 у2am2 у2(2.137)(2.137)
sin (am2у2)
sin (am2у2)
am2 у2
am2 у2
(2.137)
(2.137)
Коэффициент восстановления, вычисленный по формуле (2.137), пред
ставлен на рис. 2.15, в зависимости от поперечного размера неоднород
ностей для различных глубин модуляции регулярной фазовой решетки в плоскости оптимальной фокусировки.
Из соотношений (2.134)-(2.137) следует ряд интересных выводов. Во-
первых, спектр рассеянного (искаженного) аберратором поля является эквидистантным (2.134): к^ = Во-вторых, с ростом амплитуды
решетки (а) все большая часть мощности падающей на аберратор плоской волны после рассеяния перекачивается в боковые максимумы (т ^ 0); вместе с тем, основная часть энергии рассеянного аберратором поля содержится в нескольких максимумах углового спектра (в том числе, естественно, в центральном, m = 0, соответствующем нерассеянному свету, т.е. прошедшему без отклонения от первоначального направления распространения плоской волны, задаваемого вектором Жо). Из общих соображений ясно, что коэффициент восстановления углового
спектра тем больше, чем большее количество боковых максимумов спек
тра попадет в полосу пропускания преобразователя (2.136). В частности, из (2.136) можно оценить полуширину пропускания преобразователя по
угловому спектру по уровню
ккр «2/тг«0,64
(такое определение соответствует sin ax2 = 1 или аи2 = тг/2); эта полуширина (обозначим ее через Дж) равна
Дж = у/л/(2а),
или, так как решетка аберратора имеет место только по оси ж,
Хкх = л/тг/(2а:).
В полуширину (Д&ж) умещается число максимумов рассеянного поля
Всего (в обе стороны по ж) в полосу преобразователя попадает число максимумов рассеянного поля (включая центральный), равное
Мо = 2т0 + 1 = 1 + ^тг/ (ад2);
при устремлении периода решетки 2тг/у к нулю, т.е. с увеличением пространственной частоты решетки 7, М 1, т.е. в полосу преобразователя попадает только центральный (ненулевой) максимум, или, иными словами, только нерассеянное поле, распространяющееся точно в направлении синхронизма для разностной частоты. Ясно, что если в Мо максимумах рассеянного поля содержится большая часть его мощности, то восстановление искаженного аберратором поля плоской волны будет достаточно удовлетворительным; в противном случае эффект ОВФ резко ухудшается, так как восстанавливаются только центральный и, например, два боковых максимума, что недостаточно для удовлетворительного восстановления. Заметим, что с уменьшением а ширина кривой синхронизма ^кж возрастает, что позволяет эффективно преобразовывать все большее число максимумов рассеянного поля и повышать тем самым эффективность ОВФ. При уменьшении амплитуды решетки (а) все большая часть энергии рассеянного поля сосредотачивается в центральном максимуме.
Читателю должно быть очевидно, почему мы добиваемся, чтобы в полосу преобразователя попало большее количество вторичных максимумов искаженного поля. Действительно, если «обращенная» часть пространственного спектра искаженной волны (т.е. попавшая в полосу преобразователя) при вторичном прохождении через аберратор полностью восстанавливается до плоской волны, то «необращенная» часть, несущая, возможно, заметную часть мощности рассеянного поля, при вторичном прохождении через аберратор не восстанавливается и даже искажается дополнительно. Таким образом, восстановленная плоская волна выходит из аберратора (после вторичного прохождения) на невосстановленном пространственно-модулированном фоне (на плоской волне появится «остаточная» решетка с периодом 2тг/у).
Аналогично, если на вход аберратора поступает пространственно™ модулированная регулярным образом волна (например, несущая изображение), то на выходе аберратора изображение оказывается размазанным, искаженным. Если результирующий угловой спектр этого искаженного изображения практически полностью попадает в полосу преобразователя, то он практически весь обращается, и при вторичном прохождении его через аберратор искажения практически полностью снимаются. В результате мы имеем практически неискаженное изображение. Если же пространственные детали изображения в совокупности с наложенными на него аберратором искажениями образуют угловой спектр, превышающий по ширине полосу преобразователя, то в восстановленном изображении «чистыми», неискаженными останутся лишь крупные детали, плавные переходы. «Мелкие» же детали, резкие переходы и «мелкая» (по пространству) «рябь» от аберратора, спектр которых «выпал» за
пределы полосы преобразователя, не будут обращены; в восстановленном изображении эти аберрации полностью проявятся, т.е. изображение восстановится на фоне помех и искажений, внесенных аберратором. Контраст и четкость восстановленного изображения окажутся в этом случае существенно худшими, чем в исходном изображении.
Следует просто понимать, что даже в отсутствие аберратора параметрический ТВВ-преобразователь не полностью переносит пространственную модуляцию с волны сигнала на волну разностной частоты. Если модуляции (изображения) вообще нет, т.е. если сигнал является плоской волной, то волна разностной частоты тоже оказывается плоской (остается лишь вопрос, с каким коэффициентом преобразования по интенсивности, но это чистая энергетика). Если сигнальная волна несет изображение, то в разностную частоту преобразуется лишь та часть углового спектра, которая попадает в полосу пропускания преобразователя. Например, при 90°-ном синхронизме полоса ТВВ-ОВФ определяется параметром Qo, а точнее, параметром
Вспоминая, что а = А//(4тгп), и = -xjaia^ S30 = V^i^^ao/(4тг2), иполагаяА = 10™4см, п = 1,5,I = 1 см, ^одод^зо = 1 см-1, получим а «5,3-10—6 см2, ul = 2,5-10™2, и полоса преобразователя по уровню р = 0 определится значением хшах^67 см™1, что соответствует максимальному углу дифракции (на самом мелком масштабе изображения) порядка 0 ~ ^тахД ~ Ю™3 рад ^ 3', что соответствует размеру изображения 1 мм.
Поскольку а = А//(4тгп), то уменьшение а может быть достигнуто за счет уменьшения длины нелинейного слоя. При этом энергетические потери (т.е. потери в коэффициенте преобразования) могут быть скомпенсированы увеличением плотности мощности накачки, в том числе фокусировкой при 90°-ном синхронизме.
Дополнительные сведения
Итак, в идеальной трехволновой ОВФ-системе обращенное поле есть точная комплексно-сопряженная копия падающего поля, прошедшего через аберратор. В реальной системе используемый для ОВФ нелинейный трехволновый процесс фильтрует пространственный спектр излучения, поэтому падающее и обращенное поля уже не совпадают (точнее, совпадают лишь частично), что характеризуется коэффициентом восстановления.
Преимущества трехволнового ОВФ очевидны: быстродействие и возможность высокой эффективности преобразования в сопряженную волну, отсутствие порога; недостаток — наличие условий синхронизма, сужающих полосу пропускания преобразователя по угловому пространственному спектру
Параметр а = XI/ (4тгп) = I/ (2^), где к берется в среде, характеризует ширину угла фазового синхронизма. Действительно, по нулевому уровню функции 8шс(аж2), описывающей полосу преобразования, имеем ах^ = = л, ж0 = V^Z“ — угловая ширина синхронизма. Эта же величина характеризует и разрешающую способность преобразователя.
Трехволновое ОВФ наиболее целесообразно использовать в случаях, когда аберратор вносит сравнительно небольшие искажения [И].
Если выбранная плоскость не есть плоскость оптимальной фокусировки (отстройка 3 ^0), то для случая регулярной фазовой решетки вместо (2.136) следует записать
z х sin (аж2),
К (х) to Ко^ ехр ^_jpx-^ ,(2.138)
ах"х 7
где 3 = 3 (2) = А/(4тг) • [2 ™— / (2/п — 1)] — отстройка некоторой
ПЛОСКОСТИ 2 ОТ ПЛОСКОСТИ оптимальной фокусировки 2 = 2g, для которой /3(2о) = 0, причем 2^ — координата входной плоскости нелинейного слоя длиной L Функция разброса такого преобразователя, т.е. функция рассеяния точечного источника (или, что то же, отклик на пространственноимпульсное световое воздействие), есть фурье-образ коэффициента преобразования (2.138)
г (,. я = тДЖу+ ”е" (“ -я ~
Здесь sign (ж) — функция знака:
Г 1, ж > 0,sign (ж) = <0, ж = 0,
ж < 0,
si ж и ci ж — интегральные синус и косинус [5].
Что такое плоскость оптимальной фокусировки? При прохождении аберратора свет рассеивается на его неоднородностях. Направления рассеяния могут быть «перехвачены» линзой (объективом), и этот рассеянный свет должен быть сфокусирован в преобразователь (нелинейный слой). Плоскость оптимальной фокусировки находится из условия приравнивания нулю показателя в экспоненте коэффициента преобразования К (ж) при квадратичных по х показателях; например, в (2.138) следует положить 3 = 0, откуда находим для плоскости 2о оптимальной фокусировки 20 = 22^ + I (2/п — 1). При 2к = 0 (входная поверхность нелинейного слоя находится в начале координат) 2q = I (2/п — 1). При п 1,5 имеем 2о ^ 0,5/, т.е. фокусировать рассеянный свет следует примерно в середину нелинейного слоя.
Важно, что при z = 20 (т.е. при /3 = 0) волновой фронт обращенного поля наиболее близок к комплексно-сопряженному волновому фронту рассеянного (т.е. вышедшего из аберратора) поля. Из (2.139) при /3 = 0 следует:
т.е. функция разброса имеет минимальную ширину и действительна. На языке отклика на импульсное световое воздействие это означает, что в плоскости оптимальной фокусировки изображение точечного светового источника Г (р, 0) имеет минимальные размеры и не имеет фазовых искажений.
Для того чтобы восстановить первоначальное (неискаженное) изображение, специальной оптической системой следует перенести изображение из плоскости 20 (плоскости оптимальной фокусировки) в ту плоскость, где находится тонкий аберратор.
Если 3 ф 0, то у восстановленной (например, плоской) волны появится дополнительный фазовый набег, зависящий от направления ее распространения, т.е. появятся искажения изображения.
К вопросу об однопроходовых схемах ТВВ-ОВФ. Традиционные схемы ТВВ-ОВФ являются двухпроходовыми, так как для снятия искажений, внесенных аберратором, обращенную (разностную) волну необходимо вновь пропустить через тот же аберратор, по той же неоднородной трассе, по которой прошла первоначально неискаженная (сигнальная) волна. Такой метод, очевидно, предполагает, что неоднородности аберратора за время прохода волны через преобразователь не меняются во времени (приближение так называемой «замороженной» неоднородности аберратора). Сам метод, как и последнее требование, естественно, сужают области применения метода ТВВ-ОВФ.
Рассмотрим случай, когда плоская волна накачки с амплитудой А30 прежде, чем попасть в преобразователь, проходит через тот же аберратор, через который проходит и сигнальная волна Ai (р), несущая информацию (изображение). Здесь принципиально важно, чтобы аберратор был тон™ ким, т.е. чтобы дифракционное расплывание фазовых неоднородностей не привело к амплитудной модуляции, которая уже не может быть скомпенсирована этим методом. Итак, на выходе тонкого аберратора с функцией аберрации р (р) амплитуды полей накачки и сигнала будут иметь вид соответственно
А30 exp Ь» (р)] и At (р) exp [Jу (р)]
(напомним, что полезная информация заложена в комплексной амплитуде сигнала Ai(p), а экспоненциальный множитель описывает фазовые искажения, вносимые аберратором). Рассматривая для простоты приближение заданных полей сигнала и накачки и в пренебрежении дифракцией, сносом и расстройкой из (2.96) получаем, что
А2 «, I) = -jo-ilAX (р) Азо ехр \,-N (р)] exp \jp (р^ = -j^lAX (р А30.
(2.140)
Таким образом, поперечное распределение комплексной амплитуды разностной волны на выходе нелинейного преобразователя с точностью до постоянного множителя совпадает с аналогичным (только комплексно-сопряженным) распределением амплитуды сигнальной волны, несущей изображение. В формуле (2.140) пропорциональность амплитуды Л2 именно комплексно-сопряженной волне Л^ значения уже не имеет. Заметим, что расстояние от аберратора до преобразователя должно быть небольшим по той же причине, по которой аберратор должен быть тонким.
Однопроходовые схемы были предложены в [13]. Там же отмечалось, что такие схемы перспективны в случае, когда в аберраторе имеют место процессы самовоздействий, при наличии которых двухпроходовые схемы вообще не работают.
Практические схемы ТВВ-ОВФ
Принципиальные оптические схемы ТВВ-ОВФ были представлены ранее, там же обсуждались их достоинства и недостатки. Ниже мы обсудим конкретные практические схемы ОВФ при ТВВ.
Рис. 2.16. 1 — лазер; 2 — нелинейный кристалл LiNbOs; 3 — поляризационная призма; 4, 5, 12, 14, 17 — линзы; 6, 7, 8, 16 — зеркала; Р — объектив; 10, 15 — призмы; 11 — аберратор; 13 — нелинейный кристалл ОВФ I = 4 см, а - НЮз;
18 — транспарант; 19 — ЭОП
На рис. 2.16 представлена схема физического эксперимента по ОВФ в квадратично-нелинейных кристаллах, осуществленная авторами [14]. Лазер (7) на АИГ с неодимом генерирует излучение на одной основной
поперечной моде, которое удваивается по частоте в нелинейном кристалле (2) из ниобата лития (взаимодействие типа «оое»). Поскольку излучения основной (си) и второй (2ш) гармоник поляризованы взаимно перпендикулярно, они могут быть разделены поляризационной призмой (3) по двум разным направлениям. Пучок второй гармоники (2ш) проходит к объективу « 5), который фокусирует этот пучок во второй нелинейный кристалл из а-ШОз (13). Пучок основной частоты (си) направляется призмами (3, 10) и зеркалами (6, 7, 8) в тот же кристалл (73); при этом этот пучок проходит через тонкий фазовый аберратор (77), в котором волновой фронт пучка искажается, так что пучок перестает быть плоской волной. Искаженный пучок фокусируется объективом (72) в нелинейный кристалл (73). Взаимодействие вида «оее» прямых волн си и 2си разных поляризаций в кристалле (73) приводит к генерации разностной волны ш с «е»-поляризацией, распространяющейся под углом к волне накачки. Разностная волна имеет волновой фронт, комплексно-сопряженный волновому фронту исходной волны той же частоты си (но с другой поляризацией); такое ОВФ в кристалле с ТВВ происходит только для поперечной составляющей волнового вектора. Для обращения его продольной составляющей используется система из призмы полного внутреннего отражения (75) и зеркала (16). Разностная волна с полностью обращенным волновым фронтом снова проходит через кристалл (73), отражается от зеркала (7) и проходит через аберратор (77). При этом (после прохождения через аберратор) восстанавливается первоначальный (исходный) плоский фазовый фронт.
Если на пути исходной квазиплоской волны поставить прозрачный транспарант (18), то исходный пучок будет нести изображение транспаранта. После первого прохождения аберратора изображение исказится (на него «наложится» функция аберрации). В нелинейном кристалле (73) изображение переложится на разностную волну, а после прохождения последней через аберратор в обратном направлении произойдет снятие искажений и восстановление неискаженного изображения транспаранта (18). Наблюдение восстановленного изображения может быть осуществлено с помощью ЭОП (79); поскольку поляризации исходной (сигнальной) и разностной волн различны, то призма-поляризатор (10) пропустит разностную волну на зеркало (8), линзу (9) и на ЭОП (19).
В работе [14] был реализован коэффициент преобразования 7Г0 ^ 1 и разрешающая способность около 8 линий на 1 мм (теория дает 0,8 и 7 лин/мм соответственно при S^w = 1,7 ■ 105Вт/см2, а = 1,5 х х 10-5 см2). В качестве неоднородной среды-аберратора использовалась плоскопараллельная стеклянная пластинка, протравленная в плавиковой кислоте. Степень искажения волнового фронта аберратором оценивалась в контрольном эксперименте, в котором зеркало (7) устанавливалось нормально к лучу исходной (сигнальной) волны частоты ш, так что пучок, несущий информацию об изображении транспаранта (18), дважды проходил через аберратор.
Эксперименты работы [14] показали, что система компенсации искажений волнового фронта на базе ТВВ в квадратично-нелинейном кристалле позволяет осуществить восстановление исходного поля при поперечных неоднородностях аберратора порядка 0,1 мм и фазовых набегах до 2тг. Естественно, что при уменьшении длины / нелинейного кристалла эти характеристики могут быть улучшены, а получение необходимого коэффициента преобразования может быть достигнуто увеличением плотности мощности накачки S^.
Поскольку в этой работе у-1 ^ 0,01см, а = 1,5 ■ 10“5см2, то величина (cry2)”1 и 7. При этом, согласно теоретическим зависимостям (см. рис. 2.15), например, для случая а = 5 (амплитуда флуктуаций фазового набега меньше 2тг) имеем для коэффициента восстановления г 0,5.
Отметим, что авторам этой работы пришлось найти оптимальную геометрию лучей накачки и сигнальной и разностной волн в нелинейном кристалле. Поскольку для пространственного разделения пучков целесообразно использовать векторный синхронизм [2], то авторы рассчитали угловые перестроечные характеристики взаимодействия «оее» в кристалле а-ШОз в зависимости от угла ф между волновыми векторами накачки к| и сигнала kJ; при этом оказалось, что допустимая угловая расстройка этого угла (величина ^ф), равная примерно 0,8°, реализуется именно при векторном синхронизме для ф и ™ф7°.
Попутно заметим, что использование задающего лазера на АИГ с неодимом позволило осуществить весь процесс на частоте 25 Гц (возможно повышение частот до 100-150 Гц), т.е. практически в квазинепрерывном режиме.
Определение разрешающей способности (лин/мм) может быть осуществлено фотометрированием края восстановленного изображения.
Еще раз подчеркнем, что для эффективного восстановления волнового фронта необходимо, чтобы информация, переносимая световым пучком, содержалась в пространственных модах, пространственный спектр которых попадает в полосу преобразователя [12].
Нетрудно видеть, что в этой работе была использована схема (рис. 2.17 а), принципиально обсужденная ранее. В принципе нетрудно представить себе схему, эквивалентную представленной на рис. 2.17 6, где одновременно происходит «снятие» фазовых искажений, вносимых самим нелинейным ОВФ-кристаллом. «Специальное» зеркало (6) полностью пропускает излучение накачки (2ш) и полностью отражает излучение на частоте ш. Эта схема является двухпроходовой, т.е. для компенсации искажений, вносимых в изображение аберратором, необходим двойной проход излучения через аберратор. Зеркало (6) одновременно обращает и продольную компоненту волнового вектора. Достоинства и недостатки этой схемы очевидны: сигнальная волна на частоте ш° перед ОВФ проходит через нелинейный кристалл (7), так что на нее накладываются и искажения, вызванные неоднородностями этого кристалла, а обращенная волна на той же частоте, но с другой поляризацией фме\ на обратном проходе эти искажения (кристалла) снимает, как бы не замечая неоднородностей в самом кристалле — это достоинство; недостатком является наличие
дополнительной обратной связи на частоте си ° за счет дополнительного связанного резонатора, образованного выходным зеркалом лазера (7) и зеркалом (6); наличие в этом резонаторе транспаранта (73) и аберратора (77) может исказить волновой фронт излучения лазера. Вместе с тем, простейшие меры (использование векторного синхронизма при генерации вырожденной разностной частоты), как показано на рис. 2.17 6, позволяют устранить этот недостаток за счет пространственного раз-
Рис. 2.17. 7 — лазер; 2 — нелинейный кристалл; 3, 10 — поляризац. призма; 4, 5, 8 — линзы; 6 — спец, зеркало; 7 — нелинейный кристалл ОВФ; Я 12, 14 — зеркала; 11 — аберратор; 13 — транспарант; 75 — объектив; 16 — ЭОП; 17 — измеритель энергии (мощности) или поглотитель
деления лучей. Использование поглотителей (77) позволяет устранить использованные лучи сигнала и накачки. Отметим, что специальное зеркало (6) часто в литературе называют параметрическим, так как именно такие зеркала используются в параметрических генераторах света.
Попытаемся представить себе гипотетическую однопроходовую ТВВ~ ОВФ схему (рис. 2.18). В основных чертах она совпадает с ранее рассмотренными схемами. Отличие состоит в том, что через аберратор (8) здесь
проходят обе волны — накачка и сигнал, однако сигнальная волна предварительно с помощью системы из двух поляризационных призм (Л 4) и зеркал (5, 6) пропускается через транспарант (7), создающий полезное изображение. В дальнейшем призма (9) вновь разделяет пучки накачки и сигнала, которые
Рис. 2.18. 1 —лазер; 2, 11 — нелинейные кристаллы; 3, 4— поляризаторы; 5, 6, 10, 13, 18, 19 — зеркала; 7 — транспарант; 8 — аберратор; 9, 14 — призмы Глана; 12, 15 — линзы; 16 — измеритель энергии (мощности)
взаимодействуют в нелинейном кристалле (77), где реализуется вычитание функции аберрации с переложением полезного изображения, свободного от искажений аберратора, с сигнальной волны на разностную (эффект «кроссмодуляции»). Поскольку разностная и сигнальная волны поляризованы ортогонально, то призма (14) пропускает разностную волну на ЭОП (16), где с помощью объектива (75) наблюдается восстановленное изображение.
Несмотря на гипотетичность и сравнительно условную практическую полезность схемы рис. 2.18, следует отметить перспективность предложенного в [ 13] метода однопроходового ОВФ с точки зрения возможности управления операцией комплексного сопряжения за счет модуляции (пространственной, временной) волны накачки (заметим, что в этой работе предложенный метод обсуждался применительно к четырехволновому ОВФ).
Таким образом, однопроходовые схемы ОВФ имеют следующие преимущества:
не требуется двойного прохода волн, несущих информацию, через аберратор;
нет ограничений на временные параметры флуктуаций неоднородности аберратора;
в определенных условиях в таких схемах может быть скомпенсировано влияние различного рода самовоздействий.
В схеме, подобной изображенной на рис. 2 Л 8, но для четырехволнового взаимодействия с ОВФ (ЧВВ-ОВФ), авторы [13] в качестве аберратора
Рис. 2Л9Рис. 2Л9использовали как матированную стеклянную пластинку, ухудшающую расходимость более чем на порядок, так и пластинку из арсенида галлия толщиной 5 мм, в которой наблюдались эффекты са- мовоздействия (самофокусировки с нелинейным фокусным расстоянием около 45 см).
Рис. 2Л9
Рис. 2Л9
Недостатком однопроходовых схем является очевидное увеличение расходимости накачки после аберратора и за счет этого — некоторое уширение функции разброса преобразователя (и, следовательно, ухудшение контраста и разрешающей способности).
Использование векторного синхронизма, общая схема которого
Рис. 2.20Рис. 2.20дана на рис. 2.19 (см. [2]), позволяет реализовать весьма перспективную практическую схему мощного лазера с ОВФ, представленную на рис. 2.20.
Рис. 2.20
Рис. 2.20
Это схема лазерной адаптивной системы, позволяющей получать мощное излучение с высокими когерентными свойствами (на основе
трехволнового взаимодействия в нелинейной среде). Излучение частоты ш от маломощного лазера разделяется светоделительной пластиной СП-1 на два луча. Интенсивный луч проходит сквозь пластину, усиливается и возбуждает в нелинейном кристалле вторую гармонику (световую волну частоты 2ш). Через зеркала 31 и 32 (отражающие на частоте ш и прозрачные на частоте 2ш) вторая гармоника проходит в нелинейную среду, где и реализуется трехволновое взаимодействие (это есть опорная волна Ei с частотой 2ш и волновым вектором кД. Световой пучок, отражаемый от пластины СП-1, затем частично отражается от пластины СП-2, проходит через систему усилителей и после зеркала З2 возвращается в нелинейную среду (это — световая волна Е2 с частотой ш и волновым вектором к2). Взаимодействие волн Ег и Е^ приводит к появлению в нелинейной среде переизлученной световой волны Ез с частотой си и волновым вектором кз (кз = ki — к2). Волна Е3 распространяется навстречу волне, идущей от СП-1 через систему усилителей; волна Е3 имеет по отношению к ней обращенный фронт и поэтому снимает искажения, вносимые усилителями. В результате из системы выходит усиленное излучение на частоте си, имеющее в то же время практически идеальный волновой фронт.
Угловые характеристики ТВВ-ОВФ
Процесс ГРЧ в вырожденном (сщ = ш2 = ш3/2) режиме удовлетворяет условию синхронизма (мы ограничиваемся случаем отрицательных одноосных кристаллов): ki + k2 = k3, где |ki| = ami/с, |k2| = = шп^/с, |k31 = 2шпз/с. Для взаимодействия типа «оое» имеем ni = п2; для «оее»-взаимодействия коэффициенты преломления ni?2 различаются вследствие анизотропии. Ниже мы рассмотрим угловые характеристики (углы синхронизма и ширины углового синхронизма, определяющие полосу преобразователя) для разных типов взаимодействия.
Взаимодействие «оое». Угол коллинеарного синхронизма О"ое (синхронизм для вырожденной ГРЧ совпадает с таковым для ГВГ) выражается формулой:
sine°oe = (пр - пр)/(пр - пр),
где Tiio = П2о — коэффициент преломления обыкновенной волны на частоте си, п3о — то же на частоте 2сщ п3е — главное значение показателя преломления необыкновенной волны на частоте 2ш.
Общий случай векторного синхронизма показан на рис. 2.19. В общем случае вектора к^ образуют с оптической осью Е кристалла разные плоскости, повернутые относительно кристаллографической оси кристалла р1 на углы .
Условие векторного синхронизма имеет вид
П3 = ^2о COS Д2 = П1О COS 44 7
9 В. Г. Дмитриев
где фх = 63 — 61, ^ = 62 ™ Оз; для «б>ое»-взаимодействия фх = Ф^ = #3 nio = ^2о- Величина п| есть функция угла Оз и описывается формулой эллипса:
п3 (©з) = «Зе/ \А=3 COS2 ©3,
где &з —эксцентриситет эллипса, £3 = 1 — (пзе/пзо)2.
Отсюда определим cos ф :
THoXA - £3 COS"' Оз
Итак, для данного направления плоской волны накачки, определяемого углом Оз, существуют два и только два направления, по которым могут распространяться волны сигнала и разностной частоты; эти две волны в векторном синхронизме при «оо^»-взаимодействии различаются лишь по направлениям, в то время как в коллинеарном синхронизме они вообще неразличимы.
Ширину центрального максимума определим по уровню 0,5 интенсивности (в приближении заданных полей накачки и сигнала и коллинеарного синхронизма): sine2 (До//2) = 0,5, откуда для ширины центрального максимума получим 2 | До| 5,56//.
Нам необходимо выразить расстройку в угловых координатах; для этого используем разложение параметра расстройки по степеням малого отклонения от угла синхронизма О — Ос (для плоскости синхронизма):
Учтем, что Д(ОС) = 0, и введем угловые дисперсионные коэффициенты первого и второго порядков:
71 =71 =ада(е^ес)ада(е^ес)1 а2д1 а2де=есе=ес2д(©-©с)2’2д(©-©с)2’
71 =
71 =
ада(е^ес)
ада(е^ес)
1 а2д
1 а2д
е=ес
е=ес
2д(©-©с)2’
2д(©-©с)2’
т.е. ограничимся членами порядка не более второго; тогда
Д (0 - 0С) « 71 (0 - 0С) + 72 (О - ©с)2 ,
и, следовательно,
До (0 - ©с) = ±2,78// = 71 (0 - 0с)о + 72 (© - ©с)о ,
откуда для угловой ширины центрального максимума получаем
± (0 - ©с)0 =- 71^ (272)
При достаточно большом удалении Ос от тг/2 величиной 72 можно пренебречь (так называемый критичный синхронизм), т.е.
2 (6 - 6С)О = 2 |Ао|/71 = 5,56/(71/).(2.141)
Наоборот, при 6С = тг/2 имеем 71 = 0 (некритичный, или касательный, синхронизм), так что
± (0 - 0С)О == а/2,78/(720-(2.142)
Сравнивая (2.141) и (2.142), видим, что угловая ширина преобразования при 90°-ном (некритичном) синхронизме гораздо шире, чем для критичного.
Величина р°ое равна (для коллинеарного синхронизма):
AlTlSo^Se ¥
а величину 72 06 необходимо рассчитывать численно.
Взаимодействие «оое». Угол коллинеарного синхронизма:
• гхоее(^1о ^Зо)// х2 •
sinO^ ^ 4 -, где Ei = 1 - ^iolnie^ , г = 1, 2. у 2?1зо£з niosi
Дисперсионный коэффициент коллинеарного синхронизма первого порядка:
оее тг sin 6°сее = с х
х f2п3оп3е (Хо - Хе) 1
Углы векторного «осс»-синхронизма могут быть найдены из системы уравнений:
(Хо)2 = (fc®)2 + (fcf)2 - 2fcX’jcosX,
ЦСр = (k2p + (kjf - 2^X1 COS ^2.
Для оценки ширины преобразования по углу мы пользовались здесь функцией sine2 (А//2). Вообще говоря, эта функция годится для ГВ Г в приближении заданного поля основного излучения. Для вырожденной
ГРЧ в приближении заданных полей сигнала (ш) и накачки (2ш) амплитуда разностной частоты ai удовлетворяет уравнению
= (1 -^Арп2^)172,(2.143)
гдеах = ai/Va2Oa3o, Ах = A/(a"x^a2oa3o), £ = од Va2oa3o2,откудавид- но, что ах (£) имеет более сложную, чем sine (AZ/2), зависимость. Вме- стс с тем, можно с помощью численного решения (2.143) показать, что возникающие при этом ошибки невелики, и для приближенных оценок ширины полосы преобразования можно все же пользоваться функцией sine (AZ/2).
Векторный синхронизм при вырожденной ГРЧ может дать некоторые новые свойства преобразователю. При векторном синхронизме имеем
ki + k2 = k3.
Теория ГРЧ в вырожденном режиме позволяет найти зависимости углов 61, ©2 (характеризующих направления сигнала и накачки относительно оси У) от угла Оз, под которым распространяется плоская волна
накачки. Эти зависимости качественно представлены на рис. 2.21. Точка М соответствует случаю коллинеарного вынужденного синхронизма, при котором 01 = ©2 = ©з°л. В области углов ©3 < ©з°л синхронизм для
вырожденной ГРЧ вообще отсутствует, при ©3> ©Зол имеется только векторный синхронизм. Данному значению ©3 соответствует одна и только одна пара значений ©ь ©2; например, значению О^ соответствует пара ©1°\ ©2°^. Угол ©ь соответствующий волновому вектору одной из параметрических волн, лежащему ближе к оптической оси, чем вектор накачки, может заходить в область ©1 < ©§ол. Для ©2 всегда имеем ©2 > ©Зол. Напомним, что ось л в нашем случае всегда совпадает с направлением распространения плоской волны накачки, т.е. всегда ©3 = zz'
Если угловой спектр сигнала (пусть сигналу соответствует ©2, например) составляет некоторую величину вблизи угла ©2°\ равную Д©2, то эффективное преобразование всего этого спектра в разностную частоту (РЧ) возможно только в двух случаях: 1) если Д©2 меньше угловой ширины центрального максимума кривой синхронизма ГРЧ при плоской волне накачки, распространяющейся под углом ©3°^; 2) если спектру сигнала Д©2 может быть сопоставлен эквивалентный спектр накачки Д©3 (это необходимо при Д©2, большем, чем ширина центрального максимума); тогда спектр Д©2 сигнала преобразуется в спектр Д©1 РЧ в точном синхронизме. Нетрудно видеть, что во втором случае в силу нелинейности и разного наклона кривых ©1,2 (©3) ширины исходного (Д©2) и преобразованного (Д©1) спектров различны (Д©1 < Д©2); таким образом, преобразователь в РЧ работает как своеобразный трансформатор углового спектра. Уменьшение ширины углового спектра, вообще говоря, соответствует увеличению поперечных размеров луча (изображения). Угловой спектр Д ©з может быть создан в нелинейном кристалле, например, фокусировкой накачки. Неудачная ситуация с преобразованием спектров возникнет в случае, когда при векторном синхронизме угловой спектр РЧ попадает на участок кривой ©Д©3) с горизонтальной касательной (этот случай показан на рис. 2.21 для углов ©^, ©^^ ©^; спектр РЧ в этом случае может оказаться искаженной трансформацией спектра сигнала, а изображение на РЧ — искаженным, сильно увеличенным и размытым.
В заключение этой главы отмстим, что многие характерные свойства ОВФ-ТВВ преобразователей сохраняются и при переходе к четырехволновым взаимодействиям (ОВФ-ЧВВ), обсуждаемым в следующей главе.
ГЛАВА III
ОБРАЩЕНИЕ 1ОЛНО1ОГО ФРОНТА ПРИВЫРОЖДЕННОМ ЧЕТЫРЕХВОЛНОВОМВЗАИМОДЕЙСТВИИ
В ЖУБИЧЕСЖИ-НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
Общие соображения по ОВФ при четырехволновом взаимодействии. Различные подходы к рассмотрению проблемы
Комплексно-сопряженное поле может быть получено при четырехволновом взаимодействии (ЧВВ) в ку биче ски-нелинейных средах. В таких средах вектор диэлектрической поляризованности имеет вид [1,2]
Р = хдЕ 4" ОЕЕЕ,
где х и О — тензоры линейной и кубической, соответственно, восприим- чивостей. Расматривая для простоты вырожденный режим, в котором все четыре волны имеют одну и ту же частоту ш, для диэлектрической поляризованности на частоте ш, вызванной кубической нелинейностью, получаем, в частности:
р^м = ©нешеше:,
что соответствует процессу ш + ш — ш -э ш (напомним, что в процессе ТВВ в квадратично-нелинейной среде аналогично было 2ш — ш -э ш). В общем случае все четыре волны различны по направлениям (и, вообще говоря, по волновым векторам).
Предположим, что на кубически-нелинейную среду падают две пространственно-однородные (по поперечным пространственным координатам) опорные световые волны Ei и Е2 с одинаковой частотой ш; волновые векторы ki и к2 этих волн направлены в противоположные стороны. Если на такую среду направить также световую волну Е3 с пространственнонеоднородным полем, частотой ш и волновым вектором к3, то в среде на частоте ш появится волна поляризованности с амплитудой, пропорциональной EiE^E^. Наличие комплексно-сопряженной амплитуды Е3 отражает тот факт, что пространственная структура волны поляризованности имеет волновой фронт, обращенный по отношению к фронту исходной волны Е3. Распространяясь в среде, волна поляризованности пере- излучит световую волну Е4. Волна Е4, как и волна поляризованности, будет иметь частоту ш и волновой фронт, обращенный по отношению к фронту волны Е3, причем переизлученная волна будет распространяться навстречу волне Е3. Действительно, ее волновой вектор к4 связан с другими волновыми векторами соотношением ki + k2 = k3 + k4; поскольку ki = — k2, то k3 = —k4.
Расположение векторов показано на рис. 3.1. Процесс четырехволнового взаимодействия в кубической среде в вырожденном режиме мы будем называть четырехволновым вырожденным взаимодействием (ЧВВ). Часто употребляются также термины «четырех™
волновое параметрическое вырожденное взаимо™ действие» (ЧПВВ), «четырехволновое смешение» (ЧВС).
Сразу отметим, что в отличие от ТВВ, процесс ЧВВ не требует специальных мер по выполнению условий фазового синхронизма. Действительно, ку™ бическая нелинейность свойственна всем изотропным средам—изотропным твердым телам (стеклам, пласт™ массам и пр.), газам, жидкостям; поэтому в таких сре
дах при равенстве частот всех четырех волн волновые векторы по модулю так™ же равны. При наличии встречных волн Ех и Е^ для волны Е3, направленной в любом произвольном направлении, всегда найдется волна Е4, замыкающая ромб (рис. 3.1) и распространяющаяся строго навстречу волне Е3, т.е., тем самым, находящаяся в синхронизме.
Итак, поскольку при ЧВВ условие синхронизма выполняется всегда, т.е. поскольку для всех пространственных составляющих сигнальной волны Е3 всегда найдется комплексно-сопряженная ей волна Е4, то такой четырехволновый преобразователь уже нс является узкополосным пространственным фильтром, как в случае ТВВ. Его полоса пространственных частот, таким образом, весьма широка, точнее, она определяется только его апертурой (поперечными размерами), как и в случае отверстия в экране (см. гл. 1).
Весьма важным и интересным является вопрос о механизме кубической нелинейности среды; однако, наиболее существенно именно само наличие кубического отклика поляризованности Р на поле Е. Это может быть и керровская нелинейность (эффект Керра есть появление нелинейной добавки к коэффициенту преломления, пропорциональной квадрату электрического поля волны — в данном случае это так называемый «высокочастотный» эффект Керра [3]), либо кубическая нелинейность электронной поляризуемости, либо другие эффекты, зависящие от поля квадратично (для коэффициента преломления) или, что то же, кубично — для поляризованности.
Итак, г-я компонента вектора кубической поляризованности может быть записана в виде
Рр = eijklEjEkE?,
где подразумевается суммирование по повторяющимся индексам j, к, I. В частности, две встречные плоские волны (их можно назвать опорными) вида [Ei exp (jk^) + Е2 exp (—jk^ exp (—joct) и волна сигнала, несущая изображение вида Е3 (г) exp (—jwt), наводят в среде поляризованность вида
Pi (w) &ijkiEljE2kE3l (г) ехр , О-1) где г — радиус-вектор (в полном выражении для поляризованности присутствуют также и другие члены, но нас интересует в первую очередь слагаемое
вида (3 Л)). Это слагаемое, являясь «вынуждающей» силой в волновом уравнении [1,2], возбуждает во всем объеме обращенную (по отношению к Ез) волну на той же частоте ш. Заметим, что здесь, в отличие от ТВВ, процесс ОВФ идет полностью, т.е. обращаются одновременно и поперечные, и продольная составляющие волнового вектора сигнальной волны.
Процесс ОВФ-ЧВВ можно рассмотреть и с «голографической» точки зрения. Взаимодействие волн Ei и Е3 (г) приводит к появлению нелинейной добавки в диэлектрической восприимчивости вида
△><тз (г) = ©Е1Ез (г) = 0^Мз (г) ехР Ь’ (кз - кД г] (3.2) (эта величина постоянна в том смысле, что она не зависит от «быстрых» переменных поля, входящих в экспоненциальный член вида exp j ^wt — kr), и появилась вследствие того, что в ку биче ски-нелинейной среде диэлектрическая восприимчивость зависит от поля квадратично):
х = хо + ©ЕЕ.
Добавка к постоянной части восприимчивости, вызванная кубической поляризованностью среды, равна
Дх=х-х0 = ©ЕЕ*.(3.3)
Это — нс что иное, как самовоздействие светового поля в кубически- нелинейной среде. Из (3.3), в частности, следует (3.2).
Таким образом, из (3.2) следует, что одна из плоских опорных волн, например Ei, и неоднородная (несущая информацию или изображение) волна Е3 (г) через механизм кубической нелинейности записывают «голограмму» в виде неоднородного по пространству распределения добавки (3.2) к диэлектрической восприимчивости (или, иными словами, пространственного распределения добавки к коэффициенту преломления). Эта голограмма в случае электронной кубической нелинейности является чисто фазовой («записаны» неоднородности действительной части коэффициента преломления); если же среда является фоточувствительной (фотопленка или объемная среда с фоточувствитсльным красителем), то после проявления (или другой соответствующей процедуры) голограмма оказывается записанной в амплитудном распределении.
«Считывание» записанной информации может быть проведено встречной плоской опорной волной, например Е2; восстановленная волна Ед будет порождена диэлектрической поляризованностью вида
Рвосст = ^е2 = *ое2 + ©Ai Ад (г) Е2 exp[J (kg - ki) г] =
= м0Е2 + ©eiegAi Ад (г) Е2 exp[J (k3 - ki) г] =
= е2 [^о + ©eie3AiAg (r)j А2 exp[J (wt - k4r)], где е, — единичные векторы поляризации волн.
Таким образом, восстановленное поле имеет вид
Е4 ~ e20eie3AiA2A3 (г) exp[j ^wt - k4r)],
и так как волны Ei)2 — плоские и вектор к4 направлен строго противоположно к3, то восстановленное поле имеет пространственное распределение амплитуды, комплексно-сопряженное исходному полю Е3, т.е. поле Е4 есть обращенное (по отношению к Е3) поле.
Точно так же можно рассмотреть «запись» голограммы изображения Е3 (г) при взаимодействии полей Е2 и Е3 (г):
Дх23 (г) = ее2е3Л2Лз (г) exp [j (k3 - k2) г].
При считывании волной Е3 возникают добавка к поляризованности
АР = е10е2е3Л1Л2Лз (г) exp [j (wf - k4r)]
и обращенное поле Е4.
В дальнейшем вместо тензора 0 будем использовать общепринятое обозначение •
Таким образом, любая из плоских встречных волн (Ei или Е2) может быть опорной «записывающей» или «считывающей»; «считывающей» волне безразлично, каким образом записана голограмма в нелинейной среде — за счет Axi3 (г) или Ам23 (г).
Итак, мы рассмотрели принцип ЧВВ-ОВФ с «нелинейной» точки зрения и на «голографическом» языке; к последнему следует добавить, что речь здесь идет о так называемых динамических голограммах, которые существуют только при наличии полей Ех (или Е2) и Е3 (г) и исчезают при выключении полей. Обычные голограммы являются стационарными, статичными, поскольку информация в них записывается в фотослое, реагирующем на интенсивность, причем амплитудно-фазовая информация записана в форме интерференционной картины, проявляющейся после соответствующей химической обработки фотослоя. Эта интерференционная картина может быть записана в фотослое амплитудным образом (за счет почернения фотослоя) либо фазовым образом (за счет изменения коэффициента преломления среды). Для динамической голографии могут быть использованы среды типа затемняющихся или просветляющихся красителей, фотохромных стекол и вообще любых сред, в которых диэлектрическая восприимчивость зависит квадратично от поля (к последним, естественно, относятся и кубически-нелинейные среды). Впервые динамические голограммы в растворах красителей были продемонстрированы советскими учеными Б.И. Степановым, Е.И. Ивакиным, А.С. Рубановым в 1970 г. [4].
Наряду с «нелинейным» и «голографическим» рассмотрениями ОВФ™ ЧВВ, можно использовать «параметрический» («модуляционный») язык. Действительно, для смешения частот и получения обращенной волны нет необходимости (во всяком случае, принципиальной) использовать нелинейные среды; достаточно иметь среду, один из параметров которой модулирован во
времени (другое дело, что трудно себе представить, каким образом промоду - лировать параметр среды, например коэффициент преломления, на оптической частоте иначе, чем с помощью нелинейности; однако, в радиодиапазоне, на низких частотах, это можно делать даже механическим путем).
В кубически-нелинейной среде возникает добавка к диэлектрической проницаемости, пропорциональная квадрату напряженности электрического поля; в том числе, при взаимодействии двух плоских встречных волн одинаковой частоты ш возникает модуляция диэлектрической восприимчивости на удвоенной частоте
х (^) = жо + х^ Е" Ч xq-V 2х^ Е1Е2 + ... =
= х0 + 2х(3М1Л2 exp (—j2wf) + ...
Отклик среды, один из параметров которой модулирован во времени, на некоторую зондирующую («пробную») волну Е3 (г) определяется поляри- зованностью (уже линейной!) среды на частоте ш:
Р (r^t) = я (Е) Е3 (г) =
= и0Е3 (г) + 2х(3ЫМзЛ2 exp yj yt + k3r)] + ... ,
т.е. возникает и обращенная по фазе (по отношению к волне Е3 (г)) волна Е4 (напомним, что к3 = —кд).
Таким образом, процесс четырехволнового параметрического взаимодействия в кубически-нелинейной среде и процесс ОВФ-ЧВВ можно рассматривать и обсуждать с любой удобной для читателя точки зрения: «нелинейной» (возникновение нелинейной поляризованности), «параметриче
ской» или «модуляционной» (временная модуляция линейной восприимчивости на удвоенной частоте), «голографической» (запись динамической
«голограммы» и ее последующее считывание).
Рассмотрим принципиальную схему ОВФ-ЧВВ. Геометрия волновых век
торов дж этой схемы изображена на рис. 3.1. Из рассмотрения схемы на
рис. 3.2 и вышеприведенных формул ясно, что опорные волны Ei)2 должны быть плоскими (или сферическими) или, дру-
Нелинейная средаНелинейная средаРис. 3.2Рис. 3.2гими словами, волнами высокого дифракционного качества, а также достаточно большой мощности (последнее — из-за малости величины x^Y Только в этом случае наблюдается «чистый» и эффективный процесс ОВФ. Очевидно, что если одна из волн Е3р (или, тем более, обе) является пространственно-неоднородной, то эта пространственная модуляция переложится на разностную волну Е4, в ре
Нелинейная среда
Нелинейная среда
Рис. 3.2
Рис. 3.2
зультате чего процесс ОВФ исказится или прекратится вовсе. Исключение
составляет гипотетический случай, когда волны Ei и Е^ сами являются взаимно-обращенными по фазе, т.е. Ei (г) = Е^ (г); в этом случае процесс ОВФ сохраняет силу. Заметим, что встречные плоские волны всегда строго
обращены по фазе по отношению друг к другу. Учитывая, что волны ЕХ)2 являются встречными (т.е. klz и fc2^ направлены навстречу друг другу), можно сформулировать более общее условие существования чистого процесса ОВФ: опорные волны Ei>2 должны быть сопряжены по поперечным составляющим волновых векторов, т.е. Ei (р) = Е^ (р), где \р\" = ж2 + у2. Плоские встречные волны, очевидно, вполне подпадают под это условие.
Отметим также тот факт, что процесс ОВФ-ЧВВ (как и ОВФ-ТВВ) эффективно обращает нс только пространственно-неоднородную, но и плоскую сигнальную волну. Это замечание нам понадобилось в связи с тем, что другие методы ОВФ, описанные в следующих разделах книги и основанные на эффектах вынужденного рассеяния света, принципиально обращают только пространственно-неоднородные волны; для плоской волны процесс ОВФ в этих случаях не имеет места. Мы обсудим причины этого явления позже (см. также [5]).
О возможности ОВФ на нелинейности среды произвольного порядка
По аналогии с квадратично-нелинейной и кубически™нелинейной средами можно предположить, что процесс ОВФ световых волн возможен в средах с нелинейностью любого порядка. Этот вопрос достаточно подробно исследован в работе [6].
Пусть на среду действует поле, состоящее из нескольких спектральных компонент
Е =(г, z) exp[j (шА - kiZ^ + к.с.,
частоты которых удовлетворяют соотношению:
у; = о, уу» =«,
где Qi — число волн с частотой ар, q — полное число взаимодействующих частот, или, что то же, — ранг тензора нелинейной восприимчивости. Для квадратично-нелинейной среды q = 3, для кубичной q = 4 и т.п. При этом
шг =Е (иу) = Е* (oj^).(3.4)
Примем, что процесс ОВФ происходит без смещения частоты. Это означает, что в процессе нелинейного взаимодействия имеется две волны с одинаковой частотой (обозначим ее шо), причем одна из них — падающая, вторая — обращенная (на той же частоте); припишем этим волнам индексы 1, 2 соответственно. Для обращенной волны с амплитудой Л2 в отсутствие расстройки имеем укороченное уравнение:
= ^4ЦЕ^\(3.5)
где знак П обозначает произведение амплитуд полей с индексами от единицы до q, исключая 2, причем, в соответствии с частотным условием (3.4), если некоторая частота входит в это условие со знаком минус, у амплитуды соответствующей волны следует ставить знак сопряжения.
Например, для квадратично-нелинейной среды, для которой выражение (3.4) принимает вид шз = 2шо, величина произведения в (3.5) примет вид 2у^АзАр Аналогично, для кубичной среды имеем два случая а и б (табл. 3.1).
Таблица 3.1
а
б
Частотное условие
Оз + 04 = 2cdo
О)з — 0)4 = 2(Jq
Условие синхронизма
k3 + к4 = ki + к2
кз = ki + к2 + к4
]Д пропорционально
Х®А4АзА4
Х^МАзАХ
Для среды с нелинейностью четвертого порядка одним из возможных вариантов является случай, в котором шз + ш4 + W5 = 2wg, k3 + k4 + + k,5 = ki + k2, П Х^^Л^-З^лАб и т.п. По аналогии с приведенными примерами можно утверждать, что процесс ОВФ вида (3.5) может иметь
ТВВЧВВ
OqOqСЭоСЭоОз020)1Оз020)1^0^00)00)0
Oq
Oq
СЭо
СЭо
Оз
02
0)1
Оз
02
0)1
^0
^0
0)0
0)0
ааб
а
а
Рис. 3.3
место в средах с нелинейностью любого порядка; заметим, что обращенная волна на частоте ш0 с амплитудой А2 рождается в процессе взаимодействия, если, конечно, выполняются условия синхронизма. Представленные выше примеры проиллюстрированы на рис. 3.3.
Общие положения теории четырехволнового нелинейного взаимодействия (уравнения и интегралы движения)
(3.6)(3.6)Пользуясь традиционной методикой вывода укороченных уравнений (см., например, [1, 2]) для четырехволнового взаимодействия вида ш< = = Ш1 + ш2 + ш3 (случай 1) и Ш1 + ш2 = сиз + ^4 (случай 2), причем волновые векторы направлены по оси г, получим (см. также [7]):
(3.6)
(3.6)
LiAi = -j — < 7i Fi + 72
ТЦ
где
dj р2d2 \
dz2ki (дж2dy2 ) ’
A4A2Ag exp(J Az), A4A1 A3 ехР0^ЩЛ4ЛМ2 exp(JAz), < AXA2A3 exp (-jAz),A2A3A4 exp (—j'Az),AiA4A3 exp (-jAz), A^Ai exp (jAz), < A2 A3 Ai exp (j Az),A4A2Ag exp(J Az), A4A1 A3 ехР0^ЩЛ4ЛМ2 exp(JAz), < AXA2A3 exp (-jAz),A2A3A4 exp (—j'Az),AiA4A3 exp (-jAz), A^Ai exp (jAz), < A2 A3 Ai exp (j Az),i = 1г = 2г = 3г = 4 ,i = 1г = 2г = 3г = 4 ,г = 2г = 3г = 4г = 2г = 3г = 4Случай 1,Случай 1,Случай 2,Случай 2,(3.7)(3.7)
A4A2Ag exp(J Az), A4A1 A3 ехР0^Щ
Л4ЛМ2 exp(JAz), < AXA2A3 exp (-jAz),
A2A3A4 exp (—j'Az),
AiA4A3 exp (-jAz), A^Ai exp (jAz), < A2 A3 Ai exp (j Az),
A4A2Ag exp(J Az), A4A1 A3 ехР0^Щ
Л4ЛМ2 exp(JAz), < AXA2A3 exp (-jAz),
A2A3A4 exp (—j'Az),
AiA4A3 exp (-jAz), A^Ai exp (jAz), < A2 A3 Ai exp (j Az),
i = 1
г = 2
г = 3
г = 4 ,
i = 1
г = 2
г = 3
г = 4 ,
г = 2
г = 3
г = 4
г = 2
г = 3
г = 4
Случай 1,
Случай 1,
Случай 2,
Случай 2,
(3.7)
(3.7)
г = 1-4? <у1?2 — коэффициенты нелинейной связи, пропорциональные х(3\ А — волновая расстройка вида А = ^i + /^2 + кз — ^4 (случай 1) и А = А7 + + кз — ki — к2 (случай 2), п^ — показатель преломления на частоте сщ. Здесь для простоты поляризации волн приняты одинаковыми, поэтому использованы скалярные величины. Напомним, что оператор L^ в форме (3.7) учитывает (в квазиоптическом приближении) дифракцию, что является необходимым из-за фокусировки излучения в нелинейную среду, применяемой вследствие малости х^ •
В работе [8] получены интегралы системы уравнения (3.6). Прежде всего, это интегральные соотношения для мощностей взаимодействующих пучков:
или, другими словами, соотношения Мэнли-Роу:
CC4F2 (^) + ^2^4 (-) = Const,
(3.8)(3.8)W4F3 (^) + CC3F4 (г) = const,(з) +(г) = const
(3.8)
(3.8)
(знаки ± соответствуют случаям 1 и 2 соответственно).
Из (3.8) следует, во-первых, очевидный закон сохранения полной мощности взаимодействующих пучков:
4
(3.9)
Во-вторых, это закон сохранения поперечного импульса волновых пучков:
4
(AV±A* - A* V±A) dx dy = const, (3.10)
и, наконец, в-третьих, это интеграл:
Л =Л =I E Л |V±A|2 - X-\Ap - 71+ F^AO -
Л =
Л =
г=11
™72™72/4\ 24I E^i2 -JEK/4\ 24I E^i2 -JEK> dx dy = const. (3.11)> dx dy = const. (3.11)
™72
™72
/4\ 24
I E^i2 -JEK
/4\ 24
I E^i2 -JEK
> dx dy = const. (3.11)
> dx dy = const. (3.11)
Здесь V± = id/dx + j д/ду, где i, j — орты по осям x, y.
Использование интегралов движения (3.9)-(3 Л1) и введенных в [8] центральных моментов некоторой величины е, пропорциональной плотности мощности взаимодействующих полей, где
е = Е4 ш2,2=1
позволяет получить весьма полезную информацию о процессе взаимодействия пучков и волн без расчетов уравнений на ЭВМ. В дальнейшем полагается Д = 0.
Момент нулевого порядка от величины е есть величина, пропорциональная полной мощности пучка:
Момент первого порядка, нормированный на Мо, есть величина, имеющая смысл координаты «энергетического центра» пучков:
MiMi11Дж 4- JU) e^.y.z) dx dy.Дж 4- JU) e^.y.z) dx dy.
Mi
Mi
1
1
Дж 4- JU) e^.y.z) dx dy.
Дж 4- JU) e^.y.z) dx dy.
Наконец, момент второго порядка, нормированный на Мо, имеет смысл квадрата средней эффективной ширины пучков:
м2 = —(ж2+у2)е(ж,у,2:) </жйу.
Используя (3.6) и выражения для интегралов (3.9)—(3.11), можно показать, что имеют место следующие соотношения:
ЭМо/dz = 0^ Mq (г) = const,
Далее, имеемДалее, имеем9М1 с да -9М1 с да -(3.12)(3.12)т.е. мощность пучков в любом сечении постоянна; это естественно, так как в (3.6) нет членов с затуханием.
Далее, имеем
Далее, имеем
9М1 с да -
9М1 с да -
(3.12)
(3.12)
Интегрируя (3.12), получаем закон изменения положения энергетического центра пучков с ростом z в виде
Mi «)=Mi (0)-М2*,2 о
где Mi (0) — положение центра пучков на входной грани среды.
Аналогично получаем
_Л с Т
dz2 4 mJ3'
откуда имеем закон изменения средней ширины пучков в виде
(3.13)
где величины М2 (0) ибо = ^dMp/dz) |г=о характеризуют диаметр и расходимость пучков (в среднем) на входе среды.
Интересно, что при J3 < 0 из (3.13) следует так называемая «коллективная самофокусировка» пучков, пучки «схлопываются в целом». При некоторой длине среды z = z^ где
2424С0М0 + JcoMof+&c\J3\M0M2^4c|J3|
24
24
а, эффективная ширина пучков М2 обращается в нуль. Если более внимательно рассмотреть строение интеграла J3 (см. (3.11)), то видно, что члены, пропорциональные параметру 72, отвечают за самофокусировку, так как они связаны с изменением коэффициента преломления вида п (Л) = = по + п2 |Л|2 (величина п2 ~ 72). Интеграл J3 может принимать отрицательные значения даже в отсутствие самофокусировочных членов (т.е. при 72 = 0). Это возможно, если на вход подаются достаточно мощные и широкие пучки с гладким профилем (т.е., другими словами, если третий член превосходит первый, пропорциональный поперечному градиенту амплитуды). В этом случае самофокусировка происходит из-за изменений фазовых фронтов взаимодействующих волн, т.е. из-за действия сугубо параметрических членов в (3.6).
Заметим, что если J3 = 0, то эффективная ширина пучков растет линейно с ростом г в соответствии с граничной (г = 0) расходимостью; тем самым, здесь реализуется квазиволноводный характер распространения пучков в целом, хотя, конечно, отдельные пучки могут осциллировать по ширине. При J3 > 0 эффективная ширина пучков быстро увеличивается, так что дифракционное расплывание пучков нс подавляется в этом случае само™ и взаимофокусировкой пучков.
Таким образом, использование интегралов системы (3.6) и центральных моментов величины е даст весьма своеобразную и полезную информацию. Отмстим, что метод моментов в нелинейной оптике для описания поведения пучка в нелинейной среде был применен впервые в работе [9].
О выполнении условий синхронизма при четырехволновом взаимодействии в кубически-нелинейной среде
При четырехволновом ОВФ широко используется схема взаимодействия попарно-встречных волн; эта схема, в частности, обсуждалась в § 3.1 настоящей главы (рис.3.1). В такой схеме имеется две встречных волны накачки Bi?2 и два встречных поля Е3д (одно из них — падающее, другое — рассеянное с ОВФ). Если среда изотропна и частоты всех волн одинаковы, то условие синхронизма выполняется в такой среде автоматически (§ 3.1). Естественно, если угол между направлениями волн накачки отличается от тг, условие синхронизма может быть выполнено в изотропной среде только для невырожденного по частоте взаимодействия.
Можно ли осуществить синхронизм при ЧВВ для попутно-распростра- няющихся волн? На первый взгляд, это возможно, если все четыре волны (с одинаковой частотой) распространяются коллинеарно (рис. 3.4а). Условие синхронизма имеет, например, вид кх 4- к2 = к3 + к4. Совершенно аналогично можно представить себе выполнение синхронизма при невырожденном четырехволновом взаимодействии (рис. 3.4 б). Однако, поскольку среди четырех волн имеются «сильные» и «слабые» волны (например, волны накачки — «сильные», сигнальная волна и, тем более, разностная — как
правило, являются «слабыми»), то нетрудно показать, что коллинеарный синхронизм, графически представленный на рис. 3.4, в реальной ситуации нс осуществляется.
Вырожденный случайкхк-2кзк4аВырожденный случайкхк-2кзк4аНевырожденный случайkiк2кзк4бНевырожденный случайkiк2кзк4б
Вырожденный случай
кхк-2
кзк4
а
Вырожденный случай
кхк-2
кзк4
а
Невырожденный случай
kiк2
кзк4
б
Невырожденный случай
kiк2
кзк4
б
Рис. 3.4
Действительно, рассматривая для простоты вырожденный случай, примем, что в кубически-нелинейной среде распространяется сильная волна накачки с волновым вектором, модуль которого равен ко = шпо/с, где по — показатель преломления среды в отсутствие светового поля (почему здесь взят именно невозмущенный коэффициент преломления, мы увидим позднее), а также две слабых волны с волновыми векторами кхд. Поскольку частоты всех волн одинаковы, на первый взгляд, выполняется равенство ^1,2 = ко; однако, на самом деле это нс так. Рассмотрим добавки к коэффициенту преломления, вызванные кубической нелинейностью среды. Для сильной волны с амплитудой Ао и волновым вектором к0 имеем
Ап (к0, се) = п2АхА* + п^А^А^.
Аналогично для «слабых» волн с амплитудами А1?2 имеем
An(ki?2,cc) = п2А0Ад.
Поскольку Ai)2 < Ао, то An(ki)2,cc) ^> An(k0,cc). Другими словами, волновые векторы слабых волн имеют нелинейно-кубическую добавку, значительно превышающую таковую для сильной волны:
/— 7, ШП2 I Л I2
куз — ко Ч Ао .
с
Таким образом, для сильной волны можно пренебречь нелинейной до
бавкой (именно поэтому мы взяли для сильной волны невозмущенный волновой вектор к0). Поскольку ki)2 > k0, то синхронизм коллинеарного типа, изображенный на рис. 3.4а, невозможен, а реализуется лишь неколлинеарный (векторный) синхронизм, представленный на рис. 3.5 (в равной степени это относится и к невырожденному случаю, рис. 3.46). Условие синхронизма здесь
имеет вид 2kg = ki + k2.
На дифракционном языке появление слабых волн с векторами ki?2 (нетрудно показать, что они появляются и в отсутствие на входе среды
10 В. Г. Дмитриев
волны кь т.е. из шумов) соответствует первому небрэгговскому порядку дифракции. Другими словами, это нс что иное, как нелинейная самодифрак- ция [10]: распространение сильной волны (к0) в кубически-нелинейной среде приводит к появлению слабых, но заметных «дифракционных» максимумов, т.е. к дифракции света под углом а. Этот угол часто называют характерным углом нелинейного взаимодействия при ЧВВ, углом синхронизма при ЧВВ, оптимальным углом и т.п. Представляется, что наиболее целесообразно называть его все же углом синхронизма, что наиболее полно отражает суть дела — наличие фазового синхронизма.
Нетрудно видеть, что здесь весьма ярко проявляется один из нелинейных эффектов самовоздсйствия света, реализующийся в данном случае на кубической электронной поляризуемости среды. Рассмотрим этот эффект, сопровождающийся изменением средних оптических характеристик среды (в частности, коэффициента преломления), более подробно.
Пусть в среде распространяются три плоских волны с частотой ш и волновыми векторами к0, кх, к2, причем выполняется условие синхронизма 2к0 = кх + к2:
Е О, Ч = | [Ло exp[j yt - koz^ + Лх ехр[> (wt - k-p^ +
+ Л2 exp[j - kzz)] + k.c.] .
Волновое уравнение имеет вид [2]
Э2Е е0 д^Е = 4тг Э2РШ
Эг2 + с2 Эв с2 Эв ’}
где РНП = х^Е3 — нелинейная (кубичная) поляризованность среды. Имея в виду, что д2Е/дЕ = ™ш2Е и
д2 Е 1 А . ,М ,9 Л
—-^- ~V I 2jki — + k-Ai exp[j yt - kiZ^ + к.с.,
г=0''
вместо (3.14) имеем (г = 0,1, 2):
dziv^
9ЛХ 23 ,7rfcoX(3) Л2 л*
Вводя традиционную замену [2] Ai = a^exp(j^), а^ = \АД, где
Pi — фазы волн, и учитывая, что в отсутствие расстройки выполняется
равенство: pi + р^ = ^фсн получаем фазовые уравнения:
<До =
8pip _
8г
13.15)
-0Л61
Эп^а^
Поскольку амплитуды слабых волн сравнимы (если вообще не равны), т.е. «1 а^ то для слабой волны имеем
(V ^Z/6q
Отсюда
^1,2 = ~Зтг/соХ^т^У(3.17)
Линейное изменение фазы эквивалентно появлению постоянной добавки к величине волнового вектора для слабой волны:
Д/^2Д/^2Зтг/^о^поЗтг/^о^поkip ™ ^о I 1 +kip ™ ^о I 1 +•ДзЭ712^5)•ДзЭ712^5)
Д/^2
Д/^2
Зтг/^о^по
Зтг/^о^по
kip ™ ^о I 1 +
kip ™ ^о I 1 +
•ДзЭ71
2^5)
•ДзЭ71
2^5)
Поскольку «1)2 <С «о> то из (3.15) следует, что величина волнового вектора для сильной волны практически нс изменяется. Именно по этой причине (/^2 > к0) синхронизм при попутном взаимодействии реализуется неколлинеарным (векторным) образом (см. рис. 3.5).
Величина угла синхронизма а легко вычисляется из рис. 3.5:
а2 коcos а ~ 1= —2 кга2 коcos а ~ 1= —2 кг1_ х _ ЗтЮ^Уо
а2 ко
cos а ~ 1= —
2 кг
а2 ко
cos а ~ 1= —
2 кг
Т + Д/^До4s0
ato ПЗлД3)^/(2s0).
Полный угол между векторами слабых волн определяет двойной (полный) угол нелинейного взаимодействия:
енл = 2а = ^бтгх^аоАо-енл = 2а = ^бтгх^аоАо-(3.18)(3.18)
енл = 2а = ^бтгх^аоАо-
енл = 2а = ^бтгх^аоАо-
(3.18)
(3.18)
Этот угол определяет так называемую нелинейную расходимость при распространении в кубически-нелинейной среде первоначально плоской сигнальной волны, или, другими словами, это есть угол между двумя «са- модифракционными» максимумами.
Диэлектрическая проницаемость среды для слабой волны равна е = = Sq + S2«o> ГДС 6 2 = ЗтгДД Для сильной волны 6 = Sq.
Перейдем к рассмотрению других возможностей обеспечения волнового синхронизма при попутном распространении сильных и слабых волн.
ю*
Мы видели, что взаимодействие типа 2к0 = ki + к2 осуществляется лишь под углом нелинейного взаимодействия (3.18). Возможно ли эффективное взаимодействие попутных волн при в ^ внл? Такая возможность была
показана в работе [И]. Действительно, пусть в изотропной среде распро
страняются четыре плоских волны одинаковой частоты ш и с волновыми векторами к^ (г = 1, 2,3,4), причем | к^ | = Zc0 = шп0/с. Вследствие кубической нелинейности среды три волны Еъ Е-^ Е3 возбуждают, в частности, поляризованность вида х^EiE^E3 с пространственной зависимостью вида exp [j (ki - k2 + k3) г].
Если вектор k< = ki — k2 + k3 совпадает по длине с /^ то волна с пространственной зависимостью вида exp (jk4r) будет резонансно возбу
ждаться соответствующей нелинейной поляризованностью, т.е., тем самым, осуществится эффективный энергообмен между волнами. Таким образом, условие синхронизма здесь примет вид ki + к3 = к2 + к4. Отмстим, что амплитуда рождающейся волны Е4 комплексно сопряжена амплитуде волны Е^.
Нетрудно видеть, что последнее условие синхронизма реализуется в том и только в том случае, если концы всех векторов, отложенных из одной точки, находят
xi _ Х2 = Х4 ™ х3^xi _ Х2 = Х4 ™ х3^xj =xj =,2,2(3.19)(3.19)ся на сфере радиуса к0, и основание пирамиды, образованной векторами к^, является прямоугольным (рис. 3.6). Это эквивалентно двум соотношениям:
xi _ Х2 = Х4 ™ х3^
xi _ Х2 = Х4 ™ х3^
xj =
xj =
,2
,2
(3.19)
(3.19)
где х^ — проекции векторов к^ на плоскость, перпендикулярную биссектрисе пространственного угла между векторами к^ (оси з, рис. 3.6). Такое взаимодействие можно назвать неколлинеарно-некомпланарным взаимодействием.
Очевидно, что вместо плоских волн можно рассматривать один пучок достаточно большой интенсивности, угловой спектр которого содержит поперечные компоненты волнового вектора хц2)3. Вследствие описанного явления самодифракции (самовоздействия, ЧВВ) возникает компонента Х4. причем интенсивность се существенно зависит от выполнения условий синхронизма (3.19).
Отмстим немаловажную роль влияния различных механизмов кубической нелинейности на протекание описываемых процессов, например безынерционного механизма электронной кубической поляризуемости и инерционного теплового механизма нелинейности (для последнего механизма, как известно, добавка к коэффициенту преломления пропорциональна интенсивности световой волны). Наиболее интересен случай, когда величина е2 для этих механизмов различна по знаку; например, для
нитробензола электронная часть ё2л > 0 (самофокусирующая жидкость), а тепловая часть ^з6™ < 0, как для большинства жидкостей. При определенной интенсивности вклады обоих механизмов могут взаимно скомпенсироваться, в результате чего среда станет фактически «линейной».
В работе [И] методом фазовой плоскости показано, что если в кубической среде распространяются две мощных волны под углом в друг к другу (в ^> ^> 0НЛХ то такая ситуация неустойчива по отношению к возникновению (из шумов, естественно) двух новых волн под тем же углом 0 между ними. При этом вновь возникающие волны распространяются в направлениях, лежащих на огибающей поверхности конуса, в основании которого лежит окружность с диаметром, соединяющим концы волновых векторов исходных пучков.
Очевиден и тот факт, что возможность существования такого вида синхронизма в кубичной среде должна учитываться при анализе ОВФ и вообще при анализе распространения пучков со сложной угловой структурой в изотропных средах. Наиболее важно здесь то, что благодаря кубической нелинейности (в том числе тепловой!) может произойти существенное энергетическое перераспределение неоднородного углового спектра (перекачка из одних угловых компонент в другие, возникновение новых угловых компонент).
Подведем итоги. В процессе ЧВВ могут быть реализованы три типа волновых синхронизмов:
— синхронизм для попарно-встречных волн (реализуется автоматически, рис. 3.1);
— синхронизм для попутных волн вида 2k0 = ki+к2 под углом 0НЛ <С 1 (рис. 3.5);
— синхронизм для попутных волн вида ki + к3 = к2 + к< под углом 0, где К 0 < 0НЛ (рис. 3.6).
Все перечисленные процессы могут быть реализованы и для невырожденного по частоте взаимодействия с соответствующей коррекцией углов синхронизма, а также для различных поляризаций взаимодействующих волн.
Теория четырехволнового вырожденного взаимодействия световых волн в кубически- нелинейной среде
Ниже мы рассмотрим наиболее общий случай ЧВВ в рамках плоских волн, следуя, в основном, работе [12]. Расположение волн примем попарно встречным и коллинеарным (рис. 3.7), самофокусировкой пренебрегаем (но нс самовоздействием!).
Введем нормированные величины
Тем самым, поля нормированы на корень квадратный из средней интенсивности волн накачки, входящих с двух сторон в нелинейную среду
(^ = 1 при г = Z). Укороченные уравнения для нормированных амплитуд имеют вид (эти уравнения, конечно, можно получить и из общего волно-
Накачка Ei
ЛИ
111
Накачка E^
Сигнал Ез
Сопряженная
• ” • £
волнаЕ^
Рис. 3.7
вого уравнения в пренебрежении там дифракцией и дополнительно введя линейные потери):
- J7E1 (кз|2 + к4|2), (3.20)+ 77^2 (кз|2 + к4|2) , (3.21)-J7£3^kil + кз| у(3.22)+ 77^4^11 + Ы(3.23)- J7E1 (кз|2 + к4|2), (3.20)+ 77^2 (кз|2 + к4|2) , (3.21)-J7£3^kil + кз| у(3.22)+ 77^4^11 + Ы(3.23)хк1|2 + кз|2
- J7E1 (кз|2 + к4|2), (3.20)
+ 77^2 (кз|2 + к4|2) , (3.21)
-J7£3^kil + кз| у
(3.22)
+ 77^4^11 + Ы
(3.23)
- J7E1 (кз|2 + к4|2), (3.20)
+ 77^2 (кз|2 + к4|2) , (3.21)
-J7£3^kil + кз| у
(3.22)
+ 77^4^11 + Ы
(3.23)
_ =за£з£4£с2 Зр£1
_. =за£^£4£х + 3^£2_
^3X '* -Q ^З^ + l^f
_ = ™§£зJQ5182^4 ™
7112,112
^4х; ■* ;И3'
ДТ — +0^4 + JQ8i82^3 + ЗР^4 Л
Здесь 5 — нормированные коэффициенты линейных потерь, а, 3, у — коэффициенты, пропорциональные %^3\ например:
Отмстим, что для полноты картины величину а следует записывать по- разному для разных уравнений (3.20)-(3.23); так, для уравнения (3.21):
а(1) = ^ {eix(3)e3e4e2 J [4 (0) + 4 (1)] ,
для уравнения (3.22):
_ Zk2 {е2,к3)езе4е1} [4 (0) + 4 (1)] ,СП VLJ
и т.д., где величины в фигурных скобках суть произведения соответствующего единичного вектора поляризации волны на нормированный вектор кубической поляризованности среды. Однако для нашего рассмотрения, как и во всех практических случаях, эти различия несущественны.
Рассмотрим роль различных членов в правых частях уравнений (3.20)™ (3.23). Первый член описывает линейное поглощение среды. Второй член отвечает за четырехволновое параметрическое взаимодействие и описывает такие эффекты, как параметрическое смешение, истощение волн (или их усиление) за счет перекачки энергии, одновременно ОВФ. Третий и четвертый члены описывают самовоздействие волн, те. дают добавку к коэффициенту преломления за счет кубической нелинейности.
Мы пренебрегли самофокусировкой, те. искривлением и изменением амплитудного фронта волны, но учитываем фазовое самовоздействие, те. искривление и изменение фазового (волнового) фронта. Другими словами, мы считаем, что характерный радиус самофокусировки много больше длины нелинейной среды. Заметим, что описываемая третьими и четвертыми членами в (3.20)™(3.23) нелинейная добавка есть проявление электронной кубической нелинейности (этот эффект часто называют оптическим эффектом Керра), в то время как на практике аналогичное изменение коэффициента преломления может происходить и по другим причинам (или одновременно с эффектом Керра), например вследствие тепловых самовоз- действий.
К уравнениям (3.20)™(3.23) следует добавить граничные условия, т.е. значения амплитуд Ei при ^ = 0; 1, равные £1(0), £2(1), £3(0), £4(1). В дальнейшем будем полагать, что обращенная волна на правом (£ = 1) конце нелинейной среды отсутствует, т.е. £4 (1) = 0.
Традиционно введем замену Ei (£) = сц (^)exp[j%^ (С)], где сц = |£^| и pi — действительные амплитуды и фазы волн, и обозначение для обобщенной фазы Ф (О = у3 (О + у>4 (О - у>х (О - у2 (О-
Разделяя мнимую и действительную части, из (3.20)™(3.23) получим
doi/d^ = ™5oi + 002 03 04 sin Ф, (3.24) da^fd^ = 460,2 — 0010304 sin Ф, (3.25) da^/d^ = ™5оз — 00109 04 sin Ф, (3.26) da^/d^ = +^04 + 00102 03 sin Ф, (3.27)
^ф а^а^а^_ Q^Q2Q2 _ q^q2q^
™— = о-cos Ф —
O1O2O3O4
- 3 (4 + 4 - 4 - 4) у. (3.28)
Заметим, что параметр 7 из этих уравнений выпал. Введем удобное для дальнейших расчетов обозначение:
н = -р (4 + 4-4- 4)А
Граничные значения здесь определены лишь для амплитуд, причем для «1,з — при ^ = 0, а для «2,4 — при ^ = 1. Поэтому мы не можем сразу определить обобщенную фазу на границах нелинейной среды. Достаточно просто это достигается методом фазовой плоскости, но можно сделать и по- другому. Положив д = 0 и подставляя (3.24)™(3.27) в фазовое уравнение (3.28), получим
(3.29)(3.29)d 1 z х / (/Ф\ т
(3.29)
(3.29)
—ln(«i«2«3«4) + I — - Я I tgФ = 0.
Поскольку «4 (1) = 0, то первый член в (3.29) расходится, а так как d^/d^ и Я конечны, то надо предположить, что tg Ф при z = 1 бесконечен, т.е. Ф (1) = ±тг/2. Надо брать отрицательный знак, т.е. полагать, что Ф (1) = —тг/2, так как только тогда волна «4 начинает черпать энергию из других волн; в этом случае 8шФ|^=1 = — 1, производная d«4/d^ < 0, что соответствует нарастанию амплитуды «4 при распространении обращенной волны Я4 в направлении к левому концу нелинейной среды. Отметим, что, как и в случае ТВВ, динамика процесса ЧВВ определяется только обобщенной фазой Ф, а не парциальными фазами р^.
Очевидно, что системы уравнений (3.20)-(3.23), равно как и (3.24)™ (3.29), аналитическому решению не поддаются. Поэтому мы вначале рассмотрим случаи, в которых можно получить и проанализировать аналитические решения, а затем приведем результаты расчета на ЭВМ, выполненного в работе [12]. Ряд аналитических решений был получен в работе [13].
Приближение заданных полей накачки в отсутствие самовоз- действия. При «з,4 <^«1,2 можно воспользоваться приближением заданных полей накачки, т.е. пренебречь изменением амплитуд волн накачки «1,2 по длине нелинейной среды. Считая амплитуды волн накачки одинаковыми, «1 (0) = «9 (1) = 1, получаем «1,2 (£)^1. Кроме того, пренебрежем изменением коэффициента преломления, вызванным кубической нелинейностью, т.е. самовоздействием. В результате останутся лишь два уравнения (Ф = = ™^/2):
d«3da4
= +а«4,—- =(3.30)
при «4 (1) = 0, «з (0) = «зо. Их решение имеет вид
sin [а (1- ООо1ч
«4 (С) = «зо ,(3.31)
'cos а
cos [а (1™ С)]
«з Ш — «зо •(3.32)
cos а
Первый интеграл системы (3.30), имеющий смысл соотношения сохранения плотности мощности, может быть записан в виде
(3.33)(3.33)Г (О + а4 (0 = «30 sec2 а-
(3.33)
(3.33)
В выражении (3.30) отсутствуют потери; они могут быть снова введены путем следующей замены переменных:
ai = сц exp (+5^), '« = (1/5) [1 ™ ехР (”^)],
в результате чего уравнения с потерями вновь сводятся к виду уравнений (3.30) без потерь. Поэтому с учетом потерь, например, решение (3.31) будет иметь вид
«4 (5) = «зо ехр (™5^) sin {^ [1 — (1/5) (1 — exp (™5^))]}/cos а.
Рис. 3.8Рис. 3.8Вид решений (3.31), (3.32) качественно показан на рис. 3.8, где стрелки указывают направления распространения волн (сигнальной и обращенной). Из решений (3.31), (3.32), в частности, следуют выражения для граничных значений амплитуд усиленной волны сигнала и обращенной волны:
Рис. 3.8
Рис. 3.8
«4 (0) = «зо tg а, а3 (1) = а30 sec а.
Полезно ввести коэффициент отражения R при ОВФ и коэффициент усиления G для сигнальной (прямой необращенной) волны по интенсивности:
/a4(0)V
а = I ] , Cr = I ] .
\ «зо /\ «зо /
Для рассматриваемого здесь случая имеем
R = tg2 a; G = sec2 а.
Следует помнить, что в процессе прямого усиления сигнальной волны все фазовые искажения, имевшиеся в исходной сигнальной волне, полностью сохраняются. Видно, что коэффициент R в sin2 а раз меньше, чем коэффициент усиления прямой волны; при а > тг/4 коэффициент отражения становится больше единицы. При а = тг/2 обе величины R и G становятся бесконечными. Естественно, что при таких значениях а полученные выше решения неприменимы, так как приближение заданного поля теряет силу (заметим, что этот факт был, по-видимому, впервые отмечен в работе [14]).
Несколько слов о характерном значении о = тг/2. Смысл этого значения совсем не в том, что выходные (граничные) значения амплитуд становятся при этом бесконечными; дело в том, что при таком значении а оба решения (3.31), (3.32) становятся тождественно (при всех £!) бесконечными, в том числе и вблизи граничных (£ = 0; 1) плоскостей, где приближение заданных полей, как можно было ожидать, заведомо выполняется (для а3 при малых 5, для а4 — при вблизи единицы). Именно эта тождественность является принципиально новым фактом, вносимым самим эффектом взаимодействия встречных волн в нелинейной среде. Другими словами, здесь
приближение заданного поля нарушается по всей нелинейной среде одновременно, в отличие от случая взаимодействия попутных волн, где такое нарушение имеет место лишь в некоторой области среды, а вблизи входной границы выполняется заведомо всегда. Все дело в том, что при взаимодействии встречных волн всегда имеется так называемая распределенная положительная обратная связь; такая связь имеется между любыми двумя точками среды. Действительно, рассмотрим на оси ^ две точки J и Б (точка Л ближе к левой границе). Волна а3 бежит от J к Д волна «4 — от Б к Л. Пусть в точке Б по какой-то причине увеличилась амплитуда «4; это увеличение, «добежав» до J в соответствии с (3.30), увеличит производную das /d(, и, следовательно, на пути к Б волна а3 получит дополнительное («незапланированное») приращение. В точке Б это приращение а3 увеличит производную da4,d^ величина 04 еще более возрастет и т.д.
Налицо действие положительной обратной связи, которая действует для любых соседних точек нелинейной среды, т.е. эта связь является распределенной. Ее можно интерпретировать и в рамках распределенного отражающего «зеркала». Теперь можно понять, что при определенных значениях нелинейности среды и мощностей волн накачки, а именно, при а -г тг/2, эта обратная положительная связь приводит к генерации, когда вся среда «возбуждается» по всей своей длине. Таким образом, при а тг/2 нарушение справедливости приближения заданных полей в нашем случае встречного ЧВВ, в отличие от попутных взаимодействий, происходит вследствие генерации по всей длине сразу Такой генератор при а = тг/2, естественно, имеет стационарную амплитуду генерации, определяемую только параметрами среды и накачки и не зависящую от входной амплитуды сигнала а30. Вычисление стационарных амплитуд генерации должно быть проведено в нелинейном режиме, т.е. с учетом подавления волн накачки и самовоз- действия. К аналогичному вопросу мы еще вернемся при рассмотрении вынужденных рассеяний.
Учет самовоздействия волн в приближении заданных полей накачки. Из уравнений (3.24)-(3.28) следует, что учет самовоздействия сводится к совместному решению всей системы этих уравнений. Другими словами, поскольку в фазовом уравнении (3.28) при этом имеется величина U, зависящая от координаты £, то первоначально оптимальная для роста амплитуды «4 фаза Ф (1) = —тг/2 с уменьшением (т.е. при распространении обращенной волны справа налево) будет отходить от оптимального значения —-тг/2, уменьшая тем самым производную в (3.26), (3.27) и «тормозя» рост амплитуд сигнального и обращенного полей. Не учитывая потери и пренебрегая рядом членов в (3.28), например членом «la^ С о/09(24, или «з 4 С al 2, и полагая «1,2 (/) = 1, имеем
da^. da4. d^
—— = ™аа4 sin Ф, = ааз sin Ф, = аcos Ф.
у «4«з /
(3.34)
Нетрудно видеть, что в приближении заданных и симметричных полей накачки («1 (0) = «2 (1) = 1) величина Н = 0, т.е. самовоздействие симметричных волн накачки взаимно компенсируется. Величину Н с полным правом можно назвать нелинейной расстройкой, зависящей, вообще говоря, от продольной координаты. Однако, как следует из вида Н, члены самовоз- действия для попарно-встречных волн входят в нелинейную расстройку с разными знаками, что априори приводит к практически полной их взаи- мокомпенсации. Отличие Н от нуля наблюдается в приближении заданных полей только при несимметричных полях, а в нелинейном режиме — только при несимметричном убывании (возрастании) попарно-встречных полей.
Из системы (3.34) непосредственно следует второй интеграл движения (заметим, что первый интеграл (3.33) сохраняется и для системы (3.34)):
«3«4cos #«3«4cos #= const.= const.(3.35)(3.35)
«3«4cos #
«3«4cos #
= const.
= const.
(3.35)
(3.35)
Для получения (3.35) умножим первое уравнение (3.34) на «4, второе на «з и сложим:
4^ = а («з — «4) sin#.(3.36)
Из третьего уравнения (3.34) следует:
d# cos# («3-04)d^«304d# cos# («3-04)d^«304(3.37)(3.37)
d# cos# («3-04)
d^«304
d# cos# («3-04)
d^«304
(3.37)
(3.37)
Деля почленно (3.37) на (3.36), имеем
d#ctg #
d(0304)«304 ’
откуда следует (3.35). Заметим, что (3.35) можно получить и из (3.30), положив там «1,9 = 1 и Н = 0.
Из (3.35) следует, в частности, что при ^ = 1 мы должны, учитывая «4 (1) = 0, положить cos# (1) = 0, т.е. # (1) = ±тг/2 (выбрать следует ™тг/2). С другой стороны, при С = 0 имеем «3 = «Зо, «4 = «зо tg а, так что
«3 (О «4 (6) = 2*8“
COS Ф (О “30 cos Ф (0) ’
Однако величина cos # (0) у нас не определена. Покажем, что для системы (3.34) выполняется тождество cos # (£) = 0. Используя интеграл (3.33) и деля почленно фазовое уравнение на уравнение для «4, получаем
d# /999\ctg#
3— = («з0 sec" а ™(3.38)
da4 к7 а4 («зо sec2 а )
Уравнение (3.38) легко интегрируется:
С cos# =(3.39)
«4д/«з0 sec^ а ™ «4
где С — константа интегрирования, равная
С = 04 ^«зо sec2 а — а 4 cos Ф.
Величина С может быть вычислена, например при ^ = 1. Так как 04 (1) = 0, то и С = 0. Поэтому из (3.39) следует, что cos Ф (£) = 0, Ф (£) = = -—тг/2, т.е. система (3.34) полностью идентична системе (3.30).
Таким образом, в приближении заданного поля при симметричной накачке (равные амплитуды полей накачки) самовоздействие не проявляется, будучи полностью скомпенсированным. Более того, и в нелинейном режиме, когда амплитуды а^ и 04 в произвольной точке ^ вообще говоря, не равны (они отличаются на величину, определяемую первым интегралом (3.33)), величина Н должна оставаться незначительной, так как самовоздействие попарно сильных и слабых волн в Н входит с разными знаками. То же относится и к волнам о^р. Этот факт, однако, может быть доказан только строгим решением (3.24)-(3.28) на ЭВМ.
Учет расстройки. При коллинеарном попарно-встречном вырожденном четырехволновом взаимодействии (см. рис. 3.4а) плоских волн в изотропной среде условие синхронизма выполняется автоматически:
ki + k2 = к3 + к4 = 0.
Рассмотрим случай квазиколлинеарного распространения волн накачки, когда ki + k2 Ф 0. Этот случай возникает при учете расходимости волн накачки или их неточной юстировки в нелинейной среде. Тогда возникает волновая расстройка:
Д = ki +к4.
Без учета потерь и самовоздействия и в приближении заданных полей накачки система (3.24)Н3.28) примет вид (ai)2 ~ 1):
^«з. тт ^Ф л 1/ «з «4\ т
= ™ао4 sin Ф, = а«з sin Ф, —- = ш + аcos Ф,
\а4 «з /
(3.40) где Д — составляющая вектора А по оси г. Применяя тот же метод, что и в п. 3.5.2, получаем
d^ __ Д/(ао™2а2)с!^Ф
Дм™ 04 sin Ф(«д — а4)’
где «о = азо sec2 а- Интегрируя, имеем
При А = О это выражение переходит в (3.39). Вычислим С. для чего положим = 1. Так как «4 (1) = 0, то С = О (С = «4 V^o ™ а1cos + + Аа4//2а), и, следовательно,
€08» = --(3.41) 2а V ао а4
Из (3.41) следует, что при наличии расстройки фаза отходит от оптимальной Ф (1) = ™тг/2, cos Ф (1) = 0; этот факт тормозит рост азд.
Подставляя (3.41) во второе уравнение (3.40) и используя (3.33), получим
«4 (С) = — sin [ay (1 - С)],(3-42)
где у = yl + (AZ/2a)^ при А = 0 решение (3.42) переходит в (3.31) и если = 0, то
. . sin (ay)«4 (0) = «зо.
'у cos a
Таким образом, в приближении заданного поля расстройка, приводит к уменьшению выходной амплитуды обращенной волны в sin (ay)/(у sin а) раз.
Некоторые результаты численного расчета. Как уже указывалось, системы уравнений (3.20)-(3.23) и (3.24)^(327) не поддаются аналитическому решению. Поэтому в общем случае эти уравнения необходимо решать
на ЭВМ. Некоторые результаты численного счета, полученные в работе [12], мы приведем ниже.
На рис. 3.9 представлены зависимости коэффициентов отражения R для ОВФ-волны (сплошные кривые) и усиления G (штриховые) для прямой (необращенной, или сигнальной) волны в зависимости от параметра нормированной мощности Рт = 2а/тг для разных значений входной нормированной амплитуды азо* Эти расчеты выполнены в отсутствие потерь (5 = 0), при симметричной накачке («1 (0) = аэ (1) = 1) и без учета само™ воздействия (нелинейной добавки к коэффициенту преломления).
Нетрудно видеть, что при фиксированном значении амплитуды входной волны азо коэффициенты отражения и усиления растут, при
этом при малых значениях Рт (или а), соответствующих приближению заданных полей (по крайней мере, для значений Рт ^0,5 для всех а30), ре
зультаты численного счета совпадают с аналитическими решениями, полученными в приближении заданных полей накачки. Естественно, что область таких значений Рт с уменьшением азо расширяется.
На рис. ЗЛО показано, как падает коэффициент ОВФ-отражения R от приведенной входной амплитуды а3о для разных значений Fm; здесь, как и на рис. 3.9, потери и самовоздействие не учитывались. Видно, что при фиксированном значении приведенной мощности Fm коэффициент R с ростом «зо падает тем круче и заметнее, чем больше Fm, т.е. чем больше нелинейность среды и амплитуда волн накачки. На уровне Fm ^ 0,5 величина R практически перестает зависеть от азо, что соответствует приближению заданных полей накачки.
Если усиление прямой и отражение обращенной волн становят
ся достаточно сильными (а3д 1), то должно сказаться явление самовоздействия, т.е. к коэффициенту преломления должна появиться
нелинейная добавка. В результате этого появляется волновая расстройка Н в фазовом уравнении (3.28) и соответствующее изменение величин R, G. Однако мы уже указывали на предполагаемое слабое влияние самовоздействия на процесс ЧВВ из-за характерного вида нелинейной расстройки Н. Действительно, численный расчет показал, что в области значений а30 < 1 и Fm 1,4 относительное изменение F, вызванное эффектом самовоздействия, не превышает 7 %. Таким образом, численный расчет подтвердил общий вывод о слабом влиянии самовоз
действия в приближении плоских
волн на процесс ЧВВ; при этом указанные 7 % следует отнести на счет
различного распределения амплитуд волн сц по длине среды, вследствие чего появляется зависимость Н от расстояния ^ и, вообще, отличие Н от нуля. Естественно, учет самовоздействия приводит к уменьшению R.
Рассмотрим поведение обобщенной фазы Ф(^), положив Ф (1) = —тг/2 (нетрудно, вообще говоря, показать, что при 04(1) = 0 граничное значение фазы Ф (1) может быть любым, однако, это значение в бесконечно тонком слое среды у границы (^ = 1) становится равным оптимальному значению ™тг/2). Легко видеть (см., например, формулу (3.41) при А = 0, 04 (1) = 0), что в отсутствие самовоздействия, при пренебрежении кубическими членами в (3.28), т.е. при Н = 0, мы получим Ф (£) = Ф (1) = ™тг/2. Любое отклонение Ф от оптимального значения означает появление вол-
новой расстройки, либо вследствие ее внесения за счет неколлинеарности волн, либо вследствие учета кубических членов в (3.28), т.е. при Н ^ 0.
Поведение обобщенной фазы по длине нелинейной среды z для разных значений а3о и Рш иллюстрируется рисунками 3.11, 3.12. Из графиков рис. 3.11, в частности, видно, что в приближении заданного поля Рш ^0,5 фаза. Ф (с) практически не меняется с расстоянием z и не отходит от оптимального значения —тг/2. Отклонение от значения (™тг/2) возрастает с ростом Рт и а30, однако, самые большие значения обобщенной фазы не превышают значения (—2); это соответствует изменению величины sin#, входящей в правые части амплитудных уравнений и определяющей значение произ-
Рис. 3.11Рис. 3.11Рис. 3.12Рис. 3.12
Рис. 3.11
Рис. 3.11
Рис. 3.12
Рис. 3.12
водных, от значения (—1), соответствующего оптимальной фазе, до значения sin (—2) зз ™0,91. Отсюда следует весьма, важный для исследования процесса. ЧВВ вывод: даже в существенно нелинейном режиме можно пренебречь изменением обобщенной фазы # вдоль нелинейной среды и с приемлемой точностью полагать # (£) = —тг/2. Дополнительно отметим вытекающий из рис. 3.11, 3.12 факт, что среднее по длине I значение обобщенной фазы, которое, по сути дела, и определяет в целом поведение процесса ЧВВ, оказывается весьма, близким к оптимальному; так, для азо = 0,1; Рт = 1,5 (рис. 3.11) #мин ~ ™ 1,98, но #Средн = —1,61. Все вышесказанное еще раз подтверждает, что влияние самовоздействия при ЧВВ проявляется весьма, слабо.
Наконец, обратимся к изучению влияния потерь (5^0) и асимметрии волн накачки. Из рис. 3.13 видно, что с ростом потерь коэффициент отражения ОВФ-волны падает, причем весьма, заметно. Графики рис. 3.14 иллюстрируют влияние фактора асимметрии амплитуд входных полей накачки ai (0)
и «2 (1) при сохранении постоянной общей (полной) интенсивности накачки («1 (0) + а| (1) = const = 2) и для разных значений д. Видно, что максимальное значение В достигается при симметрии волн накачки («1 (0) = 1); при «1 (0) = V2 вторая волна накачки просто отсутствует, и R = 0.
Дополнительные замечания. Выше мы рассмотрели процесс обмена энергией между четырьмя плоскими попарно-встречными волнами и установили, что происходит, как правило, однонаправленная передача энергии от волн накачки в сигнальную и обращенную (отсутствующую на правой границе среды) волны. В работе [13], в частности, отмечается,
Рис. 3.14Рис. 3.14
Рис. 3.14
Рис. 3.14
что такая однонаправленная передача осуществляется независимо от соотношения интенсивностей взаимодействующих волн; более того, волны накачки ^1,9 могут быть слабее сигнальной волны S3, важно только то, что обращенная волна Е4 отсутствует на правом входном (£ = 1) конце нелинейной среды. В пределе возможна полная передача энергии между попарно-попутными волнами (1 3, 2 4).
Процесс ЧВВ в существенно нелинейном режиме (с учетом перекачки между волнами и самовоздействия) исследован в работе [4] в рамках динамической голографии. Напомним, что голографическая интерпретация ЧВВ состоит в том, что каждые две волны записывают в кубически-нелинейной среде динамическую голограмму, которая в силу безынерционности и локальности нелинейного отклика среды совпадает с интерференционной картиной световых полей; третья волна рассеивается на этой динамической голограмме, образуя четвертую волну. При этом оказывается, что интерференционная картина дифрагирующих (рассеиваемых) на этой голограмме волн сдвинута, по фазе относительно этой записываемой голограммы на. угол, близкий к тг/2. Нетрудно видеть, что этот сдвиг на языке четырехволнового взаимодействия
волн означает не что иное, как оптимальную обобщенную фазу взаимодействия (напомним, что даже в существенно нелинейном режиме эта фаза не слишком уходит от ее оптимального значения, см. п. 3.5.4 и рисунки 3.11, 3.12). На языке голографии оптимальное (по энергии) считывание происходит именно благодаря наличию этого фазового сдвига.
Поясним этот процесс более подробно [13]. Попарно-встречное взаимодействие четырех волн обусловлено процессами записи и считывания динамических голограмм, совпадающих с интерференционной структурой для попарно-интерферирующих волн. В результате такой сложной интерференции возникают четыре голограммы:
Таблица 3.2
Номер голограммы
Интерферирующие (записывающие) поля
Г-1
Ei, Ез
Г-2
Е2, Е4
Г 3
Е2, Ез
Г-4
Ei,E4
Для дальнейшего целесообразно разобраться, как образуется голограмма; ограничимся случаем записи голограммы двумя плоскими волнами [15].
Пусть две световые волны Eip с комплексными амплитудами Ai = = ai exp (jpi) интерферируют в среде, распространяясь в ней под углом 20 симметрично относительно оси х (рис. 3.15). При |ki?2| = к имеем ki 2г = = ±Atshi0 — Ах cos 0. Суммарная интенсивность интерференционной
И В. Г. Дмитриев
картины в среде равна:
J = JeE* = -Т- {Л, exp [j (2wt - 2kir)] + А^ exp [j (2wf - 2k2r)] + 4тг107Г I
+ k.c. квадраты + 2Л1Л2 exp {j \2ш1 — (ki + k2) r]} + k.c. ++ 2А1А*1+2А2А2 + 2А1А1,ехр^ (ki - k2) г]+2АМз exp [j (k2 - k^r]).
(3.43)
Нетрудно видеть, что первые шесть членов представляют собой бегущие волны на удвоенной световой частоте и, следовательно, не дают вклада в среднюю (за период световых колебаний) интенсивность. Члены типа сЛ^Л*/8тг = Ji суть средние парциальные интенсивности волн, т.е. общий фон Цх + JJ) интерференционной картины. Собственно интерференционную структуру дают члены типа 241,2^ 2 exp [±j (Ад — Ь2)].
Отметим (см. рис. 3.15), что плоскости равных фаз перпендикулярны направлениям распространения волн и образуют волновые фронты, причем поверхности ВФ являются поверхностями постоянной фазы, соответствующими положительным максимумам поля. На вертикальных линиях, положение которых обозначено жирными точками, амплитуды волн в этих точках складываются — это точки максимальной результирующей амплитуды света, а соединяющие их вертикальные линии делят пополам угол 20 между волнами. Эти плоскости локализованы там, где частота вертикальной штриховки максимальна. Рассматривая треугольник на рис. 3.15, нетрудно получить связь между периодом интерференционной картины d. длиной волны А и углом схождения О в виде 2d sin О = А. С возрастанием О период уменьшается; при 0 = 0 период становится бесконечно большим.
Поскольку мы имеем дело с волнами, то точки, где результирующая амплитуда поля максимальна, перемещаются по вертикальной линии, где частота штриховки максимальна. Скорость их перемещения отличается от скорости света в среде в cos О раз. Если усреднить по времени квадрат результирующей амплитуды, то мы получим интенсивность, величина которой максимальна уже на всей вертикальной полосе, соединяющей жирные точки. Глаз или любой другой инерционный прибор увидит в среде неподвижные вертикальные линии интерференции (линии максимумов), расстояние между которыми равно d. Если мы хотим зафиксировать интерференцию в фотослое, то разрешение фотоэмульсии должно быть не хуже 1/d линий на единицу длины (например, при А = 0,633 мкм, О = 30° имеем d = А = 0,633 мкм, при О = 15° d = 1,22 мкм, рис. 3.16).
Из (3.43) следует (для простоты положим О = тг/4):
J = Ji + J2 + ^«1^2 cos ^2V2A^ + 9^2 — ^i^) •(3.44)
Выражение (3.44) описывает косинусоидальную пространственную модуляцию интенсивности интерференционной картины. В частности, при г = 0 имеем
Э = Э1 + Э2 + 2 у/Ji J2 cos (922 — 9^1).
При равенстве фаз (^i = р^ получаем Л = (VJi + УЛ^У — сложение амплитуд полей, при р2 — Pi = тг/2 имеем Л = Лх + Л? — сложение интенсивностей (максимум), при р^ — рх = тг имеем вычитание полей, т.е. Л = (V^i ~ УЛ?)" (минимум). В общем случае когерентных полей (р^ — — рх = const) изменение постоянной разности фаз приведет лишь к сдвигу всей интерференционной картины по оси г, поэтому без ограничения общности МОЖНО принять Рх = Р2, так что
(3.45)
Период интерференционной картины, т.е. расстояние между максимумами интенсивности, будет равен d = 2тг/(V2A:) = A/V2.
Несколько слов о записи в среде полученной интерференционной картины, т.е. о записи голограммы. Для фотослоя вопрос ясен; фотоэмульсия реагирует на интенсивность, т.е. на средний квадрат результирующей амплитуды, поэтому после обработки фотослоя голограмма имеет вид, представленный на рис. 3.16. Если мы имеем дело со средой, которая реагирует на электрическое поле световой волны только через безынерционную (электронную) кубическую нелинейность: напомним, что время релаксации этой нелинейности составляет < 10™16 с, что много меньше периода световых колебаний. Таким образом, безынерционная кубически- нелинейная среда реагирует на поле через добавку к показателю преломления
вида п = по + п^Е2. Нетрудно видеть, что если Е = Ех + Е^, то добавки вида ipЕхЕ^ = п^а2 и п^Е^Е^ = п^аУ где «1,2 — действительные амплитуды, приводят к сдвигу величины п на постоянную (т.е. зависящую от интенсивности и не содержащую быстро осциллирующих световых множителей) величину. В то же время члены вида, например, П2Е2 2 осциллируют с двойными световыми частотами, а пространственно-временная структура интерференционных членов типа п^ЕхЕ^ зависит от соотношений между частотами, волновыми векторами и, естественно, фазами интерферирующих волн. Здесь важно отметить, что голограмма, т.е. запись интерференции двух волн, в безынерционной кубически-нелинейной среде является существенно динамической: голограмма перемещается по среде с высокой (почти световой) скоростью. В терминах рис. 3.15 жирные точки перемещаются по вертикальным линиям, но при этом нет механизма, который помнил бы о максимальном значении результирующего поля в данной точке после того, как этот максимум из данной точки ушел. Фотопленка и вообще любая инерционная среда, время отклика которой много больше периода световых колебаний, осуществляет это запоминание, благодаря чему в среде записываются линии, образованные перемещением жирных точек —
это стационарная голограмма. По сути дела, кубически-нелинейный механизм инерционной среды интегрирует квадрат амплитуды по времени. Фотопленка есть пример кубической среды, причем весьма инерционной, а, например, кристаллы LiNbOa или СаСОз — примеры безынерционной кубически-нелинейной среды. Читатель, разумеется, понимает, что когда мы говорим о «точках», «линиях», «плоскостях» — это все абстракции; на самом деле пространственное распределение интерференционной картины на рис. 3.15 имеет синусоидальный характер по интенсивности, и вместо «линии» более правильным было бы говорить о полосе некоторой ширины по определенному уровню интенсивности.
Отметим, что процесс ЧВВ соответствует процессу одновременной записи и считывания именно динамических голограмм.
Итак, волны Ei и Е3 образуют динамическую голограмму Г-1; обмен энергией между этими волнами, естественно, отсутствует, однако, фазы их изменяются вследствие самовоздействия. Встречная волна накачки Е^ дифрагирует на динамической голограмме Г-1 и рождает дифрагированную (рассеянную) волну Е4. Из элементарной теории дифракции и голографии [14] следует, что рассеянная волна Е4 комплексно-сопряжена волне Е3 и сдвинута по фазе на тг/2 относительно волны Е^ (напомним, что голограмма Г-1 — чисто фазовая; сдвиг по фазе отсутствовал бы, если голограмма Г-1 была бы амплитудной). Другими словами, интерференционная картина волн Е^ и E4s т.е. их динамическая голограмма Г-2, сдвинута относительно Г-1 на тг/2. В свою очередь, волны Ei и Е3 дифрагируют на голограмме Г-2. Взаимная дифракция приводит к обмену энергией между четырьмя волнами, причем если волна Е4 на входной грани среды (при ^ = 1) отсутствует, то трансформация энергии идет от волн Е3, Е^ к волнам Е3, Е4.
Очень часто волны накачки Е3 и Е^ образуются от одного и того же источника; например, Е^ может быть образована отражением Еу от зеркала. Поэтому волну Е^ можно считать когерентной с волнами Ei, Е3. В силу этого надо учесть еще две голограммы: волн Е^ и Е3 (Г-3) и волн Ei и Е4 (Г-4); естественно, учет этих голограмм полностью произведен в уравнениях (3.20)-(3.23).
В работе [13] в приближении заданных полей накачки получены формулы для случая неравных (несимметричных) амплитуд накачки «1)2. В частности, для волны Е3 получено уравнение второго порядка:
^ - 3 и (0) - ^ (1)] ^ + а2аз^ (0) а2 (1) = 0. (3.46)
Для случая симметричных волн накачки, т.е. при «1(0) = «2(1) = 1, соответствующие решения были получены ранее в п. 3.5.1. При «1(0) ^ ^ «2(1) характеристические корни (3.46) таковы, что величины R и G не обращаются в бесконечность при cos а = 0, т.е. генерация на распределенной обратной связи не возникает; с другой стороны, величины R и G максимальны именно при симметричной накачке.
Сделаем еще ряд замечаний. Рассмотрим систему уравнений (3.24)™ (3.28). При <5=0 система имеет ряд интегралов:
(3.47)(3.47)а^ ™ «4 = а^ (0) = Ji, «2 + «1 = °! (!) = ^2,а1 + а2 = °Г (0) + а2 (1) “ ^12, «з + «3 = «з0 = /з
(3.47)
(3.47)
(естественно, не все интегралы, выписанные в (3.47), являются независимыми). Использование интегралов (3.47) позволяет свести (3.24)-(3.28) к одному уравнению, например для <24 [13], являющемуся уравнением Якоби [16]. Решения его суть сложные комбинации эллиптических функций Якоби. Следовательно, зависимость амплитуды «4 от приведенной длины в общем случае будет периодической, т.е. интенсивности волн а3?4, как и величины R и G, на выходе нелинейной среды будут осциллировать при изменении ее толщины (длины) I. Как и в случае ГВГ [2], фазовые соотношения на входах среды (^ = 0; 1) не влияют на процесс ЧВВ, если хотя бы одна из волн (в нашем случае <24) на входе отсутствует. Фаза этой рождающейся волны (в нашем случае ^4)0 неизбежностью устанавливается такой, что Ф (1) = —тг/2, что соответствует оптимальному усилению.
В случае же «4 (1) ^ 0, «зо ^ 0 фазовые соотношения на входах нелинейной среды становятся определяющими. Однако и здесь многое зависит от самих величин «4(1), а3д. Если, например, «4(1) не сильно отличается от нуля, а граничная фаза ^(1) такова, что <(1) неоптимальна для роста «4 (например, худший случай Ф (1) = +тг/2,т.е. при^ = 1 имеем da^/ d^ > 0, что соответствует уменьшению «4 вдоль отрицательного направления 0, то процесс ЧВВ быстро переходит через нуль величины «4, а затем фаза Ф становится оптимальной (—тг/2), и амплитуда <24 начинает нарастать. Если же величина <24(1) достаточно велика, а фаза <(1) не оптимальна, то на всей длине I может происходить процесс лишь уменьшения а3д, так что R <С 1, G <С 1. Наконец, заметим, что существуют среды, в которых голограммы записываются уже в сдвинутом на тг/2 виде относительно интерференционной картины записывающих полей [17]. Процесс ЧВВ в таких средах, очевидно, будет весьма неэффективным, так как он требует возникновения дополнительного сдвига на тг/2 для оптимального усиления (дифракции), а в данном случае этот сдвиг будет полностью или частично
компенсироваться сдвигом за счет механизма записи.
В качестве последнего замечания отметим, что до сих пор мы оперировали терминами плоских волн. При наличии пространственной модуляции по поперечным координатам (например, для квазиплоских полей со сложной пространственной структурой, или при рассмотрении пучков, сфокусированных полей и т.п.) в процесс ЧВВ может существенным образом вмешаться дифракционное расплывание пучков или неоднородностей пространственной структуры. В этом случае оператор d/dz должен быть
<9 7
заменен на — ± где — лапласиан по поперечным координатам. Вопрос об энергетический эффективности ЧВВ для этого случая рассмотрен в ряде работ (см., например, [18]).
Вырожденное четырехволновое взаимодействие в среде с инерционной нелинейностью. Выше мы рассматривали кубически- нелинейные среды с безынерционной (электронной) нелинейностью. Вместе с тем, во многих средах имеет место поглощение оптического излучения. Учет коэффициентов линейных потерь в амплитудных уравнениях (3.24)-(3.27) прямым образом, т.е. без учета вторичного эффекта тепловыделения в среде, не приведет к заметному качественному изменению свойств процесса ЧВВ; количественные изменения иллюстрируются графиками рисунков 3.13, 3.14. Однако более важно учесть нагрев среды поглощенным оптическим (лазерным) излучением, который приведет к неоднородному по пространству изменению коэффициента преломления, и, следовательно, к существенному влиянию этого изменения на фазовые характеристики (а через них — и на амплитудные) процесса ЧВВ. В качестве примера важности учета тепловых самовоздействий на нелинейные взаимодействия световых волн укажем на процесс ГВГ, энергетические характеристики которого во многом определяются тепловыми процессами в нелинейных кристаллах [2].
Поглощенная в единице объема мощность (тепловыделение) q пропорциональна коэффициенту поглощения по мощности 2J и интенсивности света J (напомним, что 5 — коэффициент поглощения по амплитуде): q = 25 J.
Рассмотрим тепловую картину в среде, вызванную пространствен- но-модулированной интерференционной структурой вида (3.45). Тепловыделение в среде также оказывается промодулированным в пространстве; характерный масштаб этой тепловой неоднородности, естественно, близок к длине волны света. Вместе с пространственной модуляцией тепловыделения возникают и соответствующие профили температуры, плотности и показателя преломления. На языке голографии можно считать, что световые волны, частично поглощаясь в нелинейной среде, создают в ней динамические голограммы (фазовые решетки). Установившиеся амплитуды таких решеток определяются нестационарным уравнением теплопроводности (см., например, [19]):
2-ДТ = VV2 (ДТ) + — (3.48) Ot Срр,
где V2 = д2 jдх2 + Э2/ду2 + д2/dz2 — лапласиан, АТ — пространственный профиль температуры, Ад — аналогичный профиль тепловыделения, t — время, и1 — коэффициент температуропроводности, р — плотность, ср —удельная теплоемкость. Естественно, мы считаем, что амплитуды волн меняются по продольной координате z медленно по сравнению с пространственным периодом тепловой голограммы.
В общем случае профиль тепловыделения Ад является функцией амплитуд Ai взаимодействующих волн, которые, в свою очередь, являются функциями параметров голограммы (тепловой фазовой решетки), этими же волнами и создаваемой. Таким образом, задача, вообще говоря, является самосогласованной, и уравнение (3.48) следовало бы решать совместно
с уравнениями для медленно меняющихся амплитуд (3.20)-(3.23). Случай ЧВВ облегчается тем, что условие синхронизма выполняется автоматически и роль тепловыделения сводится лишь к созданию тепловой динамической решетки, а не к нарушению фазового синхронизма, как при ГВГ [2]; поэтому уравнение теплопроводности можно решать независимо, правильно задавшись дополнительным тепловыделением Ад.
Очевидно, что при бесконечной теплопроводности неоднородность в пространстве интерференционной картины полей не приведет к температурной неоднородности и, следовательно, не приведет к появлению фазовой решетки коэффициента преломления. Так как теплопроводность все же конечна, то «решетка» АТ приведет к появлению «решетки» Ап = (dn/dT)AT. Если длительность импульса светового излучения существенно превышает характерное время установления теплового режима, то в среде устанавливается квазистационарный режим теплового поля (напомним, что это характерное время обратно пропорционально скорости звука в среде, густ кХ/у где и — скорость звука; при А = 10“4 см и v = 105 см/с туст 10™9 с) и, следовательно, устанавливается квазиста- ционарная тепловая «решетка» (голограмма). Слово «квазистационарная» здесь следует понимать в том смысле, что голограмма квазистатически отслеживает огибающую импульсов световых волн, следя за мгновенной интенсивностью результирующего поля /(/). Но тогда можно решать стационарное уравнение теплопроводности:
xV2T (г) = -g.(3.49)
Так как интерференционная структура (3.45) зависит только от координаты z. уравнение (3.49) имеет вид
И=-|Л W2 + 2VT^cos(V2fcg|25. (3.50)
Общее решение уравнения (3.50) имеет вид
Л г2В
ТИ = -—Ы^—РЛкрС,. (3.51)
где Л = 25(Ji + J2)/x, В = 2/)са1а2/(4тгх). Так как dT/ dz\z=0 = 0 (это следует из симметрии тепловой задачи), то СЧ = 0. Постоянная С2 определяется граничными условиями.
Из (3.51) видно, что периодический (по ^) вклад в поле температур вносит лишь член вида
АТ (^) = ^^ cos(V2A:^).(3.52)
Итак, вследствие интерференции двух плоских волн в поглощающей среде в ней возникает периодическое температурное поле АТ(^) с периодом решетки A/V2. Соответственно возникает и периодическая решетка показателя преломления или диэлектрической проницаемости:
dede В / г— х
Учитывая, что для кубически-нелинейной среды S2 = Зтгх^, мы можем сопоставить тепловой нелинейности эффективную кубическую нелинейность:
_ 6с de _ дсп dn
Хэф “ 12тг2х/г2 dT 6тг2х/г2 dT’(" ’
которая, очевидно, тем больше, чем больше потери в среде и de/dT и чем меньше теплопроводность х (последнее очевидно, так как при бесконечно большой теплопроводности решетка температуры мгновенно выравнивается и периодичность исчезает).
Нестационарная теория процесса ЧВВ на тепловой нелинейности рассмотрена в работе [20] (напомним, что решения (3.51), (3.52) получены в стационарном режиме).
В дальнейшем, следуя [20], вычислим амплитуду обращенной волны «4 в приближении заданных полей остальных трех волн (накачку считаем симметричной, ах = а^). Полагая tga ^ а, имеем «4 (0) ~ «зоа, а для коэффициента ОВФ-отражения:
R « а2 = ^ .(3.54)
У СП6 /
Подставляя (3.53) в (3.54), имеем
что с точностью до п2 совпадает с результатом, полученным в работе [20] предельным переходом из решения нестационарного уравнения теплопроводности. Отметим сильную зависимость эффективности ОВФ R от коэффициента теплопроводности среды.
В качестве примера рассмотрим Н2О, для которой 8 = 0,15 см™1 (А = = 1,06 мкм), dn/ dT ~ 10™4град™1, х = 6,4 • 10™3 Дж/(см-страд). Получим R 2 • 10™14/2/2.
Для J ^ 106 Вт/см2 (достигается даже в непрерывном режиме лазера), / = 2 см имеем R = 8 %. Напомним, что формула (3.55) справедлива лишь в области малых R, т.е. в заданных полях волн накачки и сигнала.
Таким образом, тепловая нелинейность может обеспечить заметные (~ 0,1) значения эффективности ОВФ. В заключение заметим, что вследствие достаточной инерционности тепловых процессов пространственная структура волн накачки и сигнала не должна существенно меняться за время релаксации тепловой фазовой решетки. При рассмотрении, например, ОВФ на электронной кубической поляризуемости в поглощающей среде необходим совместный учет двух процессов ОВФ — теплового и нетеплового.
Обращение волнового фронта в процессе четырехволнового вырожденного взаимодействия с пространственно-модулированными волнами
До сих пор мы рассматривали процесс ЧВВ в приближении плоских волн. Однако явление ОВФ для плоских волн (напомним, что в процессе ЧВВ рассеянная волна Е4 является комплексно-сопряженной исходной волне сигнала) особого практического интереса не представляет; вместе с тем, параметрические процессы в нелинейной среде — ТВВ, ЧВВ — обращают ВФ плоских волн, в то время как в явлении вынужденного рассеяния процесс ОВФ плоских волн места не имеет (см. гл. IV).
В этом параграфе мы рассмотрим ОВФ при ЧВВ, когда исходная сигнальная волна несет изображение (или любую другую пространственную информацию). В этом случае сигнальная волна уже не является плоской, а содержит целый набор плоских волн, интеграл которых по пространственным поперечным компонентам волновых векторов образует исходное изображение (ранее мы обсуждали этот вопрос в связи с ОВФ при ТВВ).
Общие соображения. Функция разброса для неограниченного по поперечным координатам объема взаимодействия. Пусть по- прежнему «1,2 — амплитуды плоских волн накачки, а^ — сигнальной и «4 — обращенной волн. Если все волны плоские, то в приближении заданных полей накачки имеем (см. § 3.5)
= з . ЗтгхА:,= з ■ Зтгх/с-.
dzп,dzп.
Полагая 7 = Зтгх^! (0) Л| фф1\ имеем
-^ = -З^А4.(3.56)
dzdz
Решением (3.56) является выражение:
A4(O) = -Mno)tg(7(),(3.57)
эквивалентное ранее полученному решению вида а4 (0) = а30 tg а при а = pl и справедливому для плоских или квазиплоских волн при неограниченном по поперечной координате р = {ж; ?/} объем взаимодействия. Соответственно коэффициент нелинейного отражения равен
R =R =1ДД<Дз(0)|21ДД<Дз(0)|2= tg2 (7О •= tg2 (7О •
R =
R =
1ДД<Дз(0)|2
1ДД<Дз(0)|2
= tg2 (7О •
= tg2 (7О •
Поскольку выражение (3.57) не зависит от пространственной координаты р = 1х + ту. то фурье-образ коэффициента пребразования К = Л4(0)/Л* (0) = ™jtg(y/), т.е. функция разброса преобразователя,
характеризующая разрешающую способность преобразователя по поперечным координатам, имеет вид
г (р) = -jtg(7Z)5(p),
где 8 (р) — дельта-функция (см. гл. II). Это означает, что преобразованное изображение находится в той же плоскости по оси z, что и исходный объект, и является его точной комплексно-сопряженной копией [21]. Естественно,
Веер обращенныхВеер обращенныхволн Е4волн Е4Рис. 3.17Рис. 3.17Нелинейная средаНелинейная среда^ S3 (г)^ S3 (г)
Веер обращенных
Веер обращенных
волн Е4
волн Е4
Рис. 3.17
Рис. 3.17
Нелинейная среда
Нелинейная среда
^ S3 (г)
^ S3 (г)
амплитуда поля обращенной волны отличается от амплитуды сигнального поля в соответствии с (3.57). С первого взгляда, ОВФ при ЧВВ отличается от ОВФ-ТВВ только видом этой формулы (3.57), т.е. коэффициентом преобразования. Однако существенным отличием этих двух процессов является принципиальная угловая некритичность синхронизма при ЧВВ при наличии двух встречных коллинеарных плоских волн накачки. В этом случае для любого направления распространения сигнальной волны найдется встречно-коллинеарное направление обращенной волны, так что волновые векторы всех четырех волн образуют ромб, наличие которого означает выполнение синхронизма (рис. 3.17).
Таким образом, каждой угловой составляющей углового спектра сигнальной волны найдется соответствующая угловая составляющая углового спектра обращенной волны, замыкающая ромб синхронизма. Другими словами, в отличие от случая ОВФ-ТВВ, ЧВВ-преобразователь при наличии коллинеарно-встречных волн накачки не фильтрует угловой спектр сигнальной волны при обращении ее волнового фронта, а точно вопроизводит этот угловой спектр в обращенной волне (в связи с этим, напомним, что ТВВ- преобразователь является пространственным фильтром именно из-за наличия угловой зависимости синхронизма, так что на угловой спектр сигнала при его преобразовании в обращенную разностную волну в процессе ТВВ накладывается угловая зависимость амплитуды этой обращенной волны).
Заметим, что как и в случае ЧВВ при колинеарно-попутном распространении плоских волн накачки (см. рис. 3.5), модули волновых векторов для слабых волн (в нашем случае это £3,4) получают нелинейную добавку, т.е. £3,4 > kiy = к. Это не снимает вышеописанной некритичности синхронизма при встречно-коллинеарных плоских волнах накачки (рис. 3.17), так как эта добавка чуть удлиняет противоположные стороны ромба (Азд),
превращая ромб в параллелограмм, весьма близкий к ромбу; синхронизм при этом практически не нарушается.
Иное дело — в случае синхронизма при попутно-коллинеарном распространении плоских волн накачки (см. рис. 3.4). Угол синхронизма а и соответствующая угловая зависимость синхронизма при отходе от этого угла не позволяют обращать произвольный угловой спектр сигнальной волны — в этом смысле попутно-коллинеарное распространение волн накачки при ЧВВ аналогично ТВВ (кстати, вторая аналогия — необходимость возвратного зеркала для обращения и продольной составляющей к — здесь также имеет место). Таким образом, при таком ЧВВ на угловой спектр обращаемой волны накладывается угловая зависимость синхронизма, или, другими словами, ЧВВ-преобразователь при коллинеарно-попутных волнах накачки является пространственным фильтром. В таком ЧВВ-преобразователе, по сути дела, достаточно иметь только одну мощную волну накачки.
Возвращаясь к коллинеарно-встречным волнам при ЧВВ, в заключение отметим, что в случае, когда существенным оказывается влияние дифракции, вместо уравнений (3.20)43.23) следует использовать параболические уравнения.
Поскольку волна Е4 комплексно-сопряжена волне Е3, то с помощью ОВФ осуществляется полная компенсация фазовых искажений, внесенных в квазиплоскую сигнальную волну аберратором, если обращенную волну Е4 снова пропустить через аберратор (см. гл. П). Для того чтобы использовать выражения для плоских волн, естественно, необходимо, чтобы внесенные аберрации не требовали бы учета дифракционных явлений.
Итак, пусть на выходе аберратора имеется волна Е3, образовавшаяся из первоначально плоской волны, волновой фронт которой промодулирован по р аберратором, и эта модуляция описывается множителем exp \jp (р)]:
Ез (°) = | Ыз (0) exp [j (wt - k3r + 7 (р))] + к.с.}.
Обращенная ЧВВ-преобразователем волна Е4 имеет вид
е4 (0) = | {-М (0) j tg (7/) exp- k4r - p (p))] + k.c.}
и при вторичном прохождении через аберратор превращается в плоскую волну:
е4 = | pjA3 (0) tg (7Z) exp \j (wt - k4r)] + K.c.}
с амплитудой «4, отличающейся от a3(0) в tg(yZ) раз. Отметим, что уже в приближении заданных полей волн накачки получается, что амплитуда обращенной волны может быть значительно большей, чем амплитуда сигнальной световой волны, а как мы видели в § 3.5, при pl = тг/2 коэффициент ОВФ-отражения становится бесконечно большим (этот эффект генерации имеет место лишь для симметричных волн накачки).
Если же исходная волна (до входа в аберратор) несла информацию, записанную в виде квазиплоского изображения (т.е. допускающего пренебрежение дифракцией), то в процессе прохода через аберратор, нелинейную среду и обратно через аберратор изображение полностью «очистится» от аберраций (в процессе ЧВВ в среде изображение перекладывается с волны Ез на обращенную волну Е4 — это хорошо известный эффект кросс™ модуляции, имеющий место в любой нелинейной системе).
Из приведенных соотношений следует, что, вообще говоря, процесс ЧВВ отличается от процесса ТВВ лишь некритичностью (в ряде случаев) синхронизма и коэффициентом преобразования (в приближении заданных полей, разумеется), а остальные рассуждения, сделанные в гл. II относительно ОВФ-ТВВ, остаются в силе и для случая ОВФ-ЧВВ. Вместе с тем, в нелинейном режиме, когда нельзя считать поля накачки заданными, эти процессы сильно различаются; например, для симметричных встречных волн накачки в процессе ЧВВ может возникнуть характерный для систем с распределенной обратной связью эффект генерации (а = тг/2, так называемая абсолютная неустойчивость), нс имеющий аналога в процессе ТВВ.
Функция разброса при ограниченном взаимодействии по поперечным координатам. Объем нелинейного взаимодействия, как правило, ограничен. На пути взаимодействующих волн могут быть пространственные фильтры, например диафрагмы; наконец, сами волны могут быть пространственно-ограниченными (например, гауссовыми пучками). В качестве примера влияния такого ограничения рассмотрим влияние гауссовой диафрагмы, расположенной на входе (с = 0) нелинейной среды и имеющей коэффициент пропускания [21] Т (р) = exp (—р2/р^), где рх — радиус диафрагмы по уровню 1/е пропускания. В этом случае функция разброса преобразователя зависит от р, т.е. становится неидсальной:
г (р) = -3 tg (70 М) 1 ехР [- (! - ЭР&/рО Г/ро] ,
где ро = 2co/(pi^), со — расстояние от плоскости объекта до гауссовой диафрагмы. Пусть первоначально плоская волна сигнала проходит через аберратор с коэффициентом прозрачности exp [jp (р)]. Тогда коэффициент восстановления волнового фронта (или, другими словами, степень компенсации внесенных аберраций) можно оценить как отношение амплитуд падающей и обращенной (восстановленной) плоских волн, равное
7 £в^г^) аР
где В (р) = exp [j(^ (р) р (0))]. В отсутствие диафрагмы (pi = 00) т = = 1; обычно в теории ОВФ принимается, что восстановление волнового
фронта можно считать удовлетворительным при \т\ ^ 0,7. С использованием этого критерия построен рис. 3.18 (см. [21]), где в безразмерных ко
ординатах представлена зависимость предельно допустимых поперечных масштабов восстанавливаемых аберраций от величины ро) рх-
Из рис. 3.18 видно, что с уменьшением радиуса входной диафрагмы (или, что то же, апертуры преобразователя) величина Pq/Pi = 2c0/^Pi растет, а в соответствии с графиком величина р/ро = kpxp^z® падает. Следовательно, с уменьшением рх возрастает величина той минимальной пространственной неоднородности (вносимой аберра- тором в волновой фронт первоначально плоской сигнальной волны), которую в процессе ОВФ-ЧВВ еще можно полностью скомпенсировать. И наоборот, с ростом рх возможна компенсация все более мелких аберраций.
Таким образом, в процессе ЧВВ с коллинеарно-встречными волнами накачки угловой спектр обращаемых компонент сигнала определяется лишь входной апертурой преобразователя, что естественно, если вспомнить
Выходная плоскость тонкого аберратораВыходная плоскость тонкого аберратораНелинейнаяНелинейнаясредасредаПолный угловой спектр сигналаПолный угловой спектр сигналарис. 3.17 и сопутствующие ему рассуждения о некритичности в этом случае синхронизма ЧВВ к угловому спектру обращаемой (сигнальной) волны. Физика здесь тоже весьма проста: диафрагма, точнее, входная апертура ЧВВ- преобразователя не пропускает ту часть углового спектра сигнала, которая
Выходная плоскость тонкого аберратора
Выходная плоскость тонкого аберратора
Нелинейная
Нелинейная
среда
среда
Полный угловой спектр сигнала
Полный угловой спектр сигнала
Диафрагма
Заштрихована часть углового спектра, попадающая в ЧВВ-преобразователь
Рис. 3.19
нс попадает в диафрагму (рис. 3.19). Немалую роль тут играет и расстояние с0 от плоскости объекта (в данном случае от выходной плоскости тонкого аберратора) до входной плоскости (д = 0) нелинейной среды. Действительно, чем ближе аберратор к преобразователю (те. чем меньше до), тем меньше ро/Рх
(при pi = const), т.е. тем больше р/р®, и, следовательно, тем меньше тот минимальный поперечный размер неоднородности, вносимой аберратором, который полностью может быть скомпенсирован в процессе ОВФ-ЧВВ.
Очевидно, что чем ближе преобразователь к аберратору, тем более мелкие неоднородности волнового фронта могут быть скомпенсированы. Таким образом, учет ограниченности преобразователя по р приводит к неиде- альности преобразователя даже для встречных коллинеарных волн накачки — диафрагма придаст ему характеристики пространственного фильтра с определенной полосой пропускания.
Влияние расходимости волн накачки. В § 3.5 (п. 3.5.3) мы рассмотрели влияние волновой расстройки А на эффективность преобразования при ЧВВ в плоских волнах и показали, что исходная амплитуда обращенной волны определяется формулой, которую можно переписать в виде
<3.58)
cos а
где sine ж = 8шж/ж, у = ^1 + [AZ/(2a)]2. Решение (3.58) является точным в приближении заданных полей накачки и при таких значениях приведенной нелинейности а, при которых cos а отличается от единицы. Однако если коэффициент отражения обращенной волны R <С 1, решение уравнений (3.40) можно получить при дополнительном допущении щ (€) азо, т.е. дополнительно и в приближении заданного поля сигнальной волны. Тогда из (3.40), (3.41) следует
dtt4. тт . I cos а . I_ _
—г ~ оазо sin W, cosW^—Аа4 (3.59)
2аазо2аа3о.
Решение (3.59) очевидно:
sin [Д/(1 — £)/2]
«4 (О - «азо,
и при £ = 0 получаем
«4 (0) = аазо sine (AZ/2).
При этом выводе мы полагали а <С 1, cos а ^ 1. При этом А = 0, и последняя формула переходит в решение
04 (0) и аазо,
которое, в свою очередь, следует из решения 04 (0) = а3о tg а при о <^ 1.
Несколько слов о расстройке А. Как и в случае ТВВ, А = Аг, где Аг — с-компонента вектора А = ki + k2 — k3 — к4. Интересно отметить, что при плоских, но неколлинеарных встречных волнах накачки (точнее, квазико ллинеарных, так как величина А мала), волновая расстройка по осям ж и у (т.е. по координате р) компенсируется за счет поворота вектора к4;
поэтому Mi + м2 = х3 + и4 (напомним, что х = iAy + ш^ — поперечная составляющая волнового вектора к, где i, m — орты по осям ж, у). Этот поворот к4 относительно направления к3 приводит к смещению обращенного изображения в поперечной плоскости.
Полное выражение для комплексной амплитуды обращенной волны имеет вид (в приближении заданных полей трех волн) [21]:
А4 (0, х4) = —jaA^ (0, х3) exp (—j AZ/2) sine (AZ/2).(3.60)
Решение (3.60) позволяет в явном виде найти зависимость фазы Ф от продольной координаты ^ (для нахождения этой зависимости можно воспользоваться также и решениями уравнения (3.59):
(3.61)(3.61)cos Ф (£) = — sin [AZ (1 £)/2] .
(3.61)
(3.61)
Используя полученные ранее решения (3.41), (3.42), справедливые в приближении заданных волн накачки (т.е. учитывающие и изменения амплитуды «з(ОХ нетрудно получить более общее решение, чем (3.61):
cos Ф (£) = ™AZ/(2a) sin [ay (1 — £)] [у2 — sin2 (ay (1 — ^))] ,
где у2 = 1 + (AZ/(2a))2. Из выражения (3.61) следует, что созФ (0) = = sin (AZ/2) ^ ™AZ/2, т.е. при малых AZ косинус фазы линейно уменьшается с ростом AZ.
Итак, мы убедились, что расстройка в выполнении строгого синхрониз
ма ki + k2 = k3 + k4 = 0, т.е. в выполнении строгой коллинеарности волн накачки, приводит к существенному падению коэффициента ОВФ™ отражения; в частности, из (3.58) следует R = sine2 (ay)/cos2 а, а в приближении трех заданных полей Ин о? sine2 (AZ/2). Эти выражения можно назвать кривыми синхронизма ЧВВ.
Вспоминая, что в этом приближении при
строгой коллинеарности волн накачки R = = а2, получаем, что в простейшем приближении коэффициент ОВФ-отражения падает с ростом расстройки как фактор sine2 (AZ/2). Интересно отмстить, что такой же фактор имеет место в процессе ГВГ в выражении для интенсивности второй гармоники при наличии расстройки [21] (рис. 3.20).
Итак, мы убедились, что расстройка в кол
линеарности встречных волн накачки может оказать значительное влияние на процесс ЧВВ. Действительно, уже при AZ/2 = тг/2 величина R падает вдвое. Это означает, что уже при А = тг/Z, т.е. при Z 3 см А н 1 см™1, или А/fc^lO™5 (это соответствует углу расстройки порядка 3 • 10 ™3 рад., или около 10 угл. мин.) эффективность ОВФ падает вдвое, а при А = 2тг/Z —до нуля. Таким образом, расходимость одной из волн накачки (при условии, что другая волна накачки—плоская) резко снижает эффективность ОВФ. Появление в теории кривых синхронизма R означает, что ЧВВ-преобразователь
становится пространственным фильтром — функция разброса преобразователя имеет конечную ширину, даже если изображение формируется непосредственно на входной грани нелинейной среды. Это естественно, так как при строго коллинеарных встречных волнах накачки, как мы видели, в частности, из обсуждения рис. 3.17, угловой спектр обращенной волны всегда будет соответствовать угловому спектру сигнала. Если же та же мощность (энергия) накачки «разбросана» по углам (т.е. волна накачки имеет расходимость), то на угловой спектр сигнала наложится кривая синхронизма, искажающая (ограничивающая) угловой спектр преобразованного сигнала обращенной волны.
Пусть, в частности, волна накачки Е2 имеет плоский фронт [20] Л2 (х2) = = Л25 (х2), a Ei имеет конечный равномерный угловой спектр в пределах |xi| ж0:
Л|(х,) p'/^L
I 0,Xi > xq.
Используя выражение (3.60) и произведя фурье-преобразование, для функции разброса получим
г (р) = /^^Р0^ [ехР UxoP2/p6 ~ ехР (ЖоР] , Р <6?^
(О,р > р0.
где ро = ж0/Д. Вид функции (3.62) показан на рис. 3.21.
Итак, влияние расходимости накачки проявляется в том, что, так
как мощность ее теперькак мощность ее теперьраспределяется по угловым составляющим спектра (например, равномерно), то эффективно участвуют во взаимодействии только компоненты, лежащие в центральном максимуме кривой синхронизма Я(Д) (см. рис. 3.20), а вся остальная мощность накачки преобразуется неэффективно.
как мощность ее теперь
как мощность ее теперь
Небезынтересно отмстить, что если обе волны имеют расходимость, то может оказаться, что так как попарно-коллинеарные угловые составляющие спектра обеспечивают синхронизм для произвольного углового спектра сигнала, то расходимости волн накачки будут взаимно компенсироваться. Полная взаимокомпенсация, очевидно, будет
иметь место при симметричных волнах накачки, т.е. обладающих одинаковым равномерным угловым спектром, так что для каждой угловой составляющей одной волны всегда найдется коллинеарная ей встречная пара. Подробнее об этом см. п. 3.7.3.
О влиянии дифракции на процесс ОВФ-ЧВВ. До сих пор при исследовании ОВФ-ЧВВ мы ограничивались рассмотрением плоских или квазиплоских волн сигнала, т.е. пренебрегали дифракционными явлениями. В соответствии с этим, мы использовали укороченные уравнения, не содержащие дифракционных членов, а аберратор считали тонким.
Влияние дифракции в процессе ОВФ-ЧВВ может проявиться двояко.
Во-первых, при прохождении первоначально плоской сигнальной волны через аберратор в процессе самого этого прохождения на расстояниях порядка длины аберратора могут развиться дифракционные явления — т.е. дифракционное расплывание неоднородностей, внесенных аберрато- ром; в этом случае аберратор и внесенные им искажения уже не могут быть охарактеризованы экспоненциальным множителем ехр [799 (р)], т.е. аберратор не может считаться тонким; другими словами, искажения, вносимые аберратором, уже не могут считаться чисто фазовыми, как в случае тонкого аберратора, а вследствие дифракции («перемешивания») фазовые искажения на выходе аберратора частично или полностью превращаются в амплитудные; для тонкого аберратора связь полей сигнала на входе Е3 (р) и выходе Ef3 (р) аберратора дается выражением (см. гл. П):
Ез (р) = Ез (р) ехр \зф (р)], (3.63)
в то время как для протяженного аберратора, т.е. в общем случае произвольной неоднородной среды с учетом, естественно, дифракции, эта связь осуществляется через функцию Грина аберратора G (р, р'):
ЕРр) = рз(р)Щр,р') dp' (3.64)
(физический смысл функции Грина обсуждался в гл. П); соответственно, учет дифракции необходим и при повторном прохождении (теперь уже обращенной) волны через аберратор, так что восстановленное поле на выходе аберратора имеет вид
Е4 (р) = G Ы- рЦ Г (pi, р2) G* (р2, Рз) Е'*з (р3) dpi dp2 dpa, (3.65)
где Г (pi, р2) — функция разброса преобразователя.
Из (3.65) с очевидностью следует, что восстановление водного фронта в случае протяженного аберратора принципиально не может быть полным; при анализе общего случая (3.64) наибольшую трудность вызывает определение конкретного вида функции Грина;
Во-вторых, дифракционные явления могут иметь место и в самом ЧВВ- преобразователе, в связи с чем в укороченные уравнения следует ввести дифракционные члены; в параболическом приближении в уравнениях (3.20)(3.23) оператор d/dz следует заменить на оператор d/dz — jA^/(2fc), где А± — лапласиан по поперечным координатам.
12 В. Г. Дмитриев
Первый аспект влияния дифракции, связанный с протяженностью абср- ратора, рассмотрен в ряде работ, например в [22]. Полученная в этой работе зависимость коэффициента восстановления плоской волны от толщины (протяженности) аберратора L приведена на рис. 3.22.
Таким образом, протяженность аберратора и, как следствие, проявление дифракционного расплывания приводит к сильному падению величины коэффициента восстановления плоской волны после прохода по каналу: аберратор-ЧВВ-преобра- зователь-аберратор. Нетрудно понять и физическую причину этого явления, которая непосредственно связана с физической природой функции Грина аберратора, входящей в (3.63), (3.64) и обсужденной в гл. П. Здесь мы лишь кратко повторим основные аспекты этой природы.
В тонком аберраторе, искажения волнового фронта в котором описываются формулой (3.63), по
перечная структура волны сигнала при прохождении через аберратор полностью сохраняется, только в каждой точке р = {ж; у^ аберратор вносит набег фазы р (р). Этот набег меняется от точки к точке, но важно то, что поле на выходе аберратора в некоторой точке р полностью определяется полем на входе аберратора в той же точке р и сдвигом фазы опять же в той же точке р. Нетрудно видеть, что изложенное соответствует случаю геометрической оптики, причем для прямых (нерассеянных) лучей.
В протяженном аберраторе ситуация меняется. Прежде всего отмстим, что неоднородности показателя преломления, которые в тонком аберраторе привели бы только к фазовым искажениям, в протяженном аберраторе могут привести и к амплитудному перераспределению поля в поперечной плоскости, причем как за счет преломления света на неоднородностях (это явление можно также описать в рамках геометрической оптики), так и за счет дифракции на неоднородностях. В обоих случаях поле в некоторой точке pi в выходной плоскости аберратора будет, вообще говоря, определяться полем на входной плоскости в некоторой другой точке р^ или даже во многих точках входной плоскости. Это и определяется двойным интегралом (3.64), а при двойном прохождении через аберратор (после ЧВВ-преобразователя) — шестикратным интегралом (3.65). Естественно, в общем случае нс приходится говорить о полном восстановлении первоначального поля (см. также гл. II).
Теперь кратко обсудим влияние дифракции непосредственно на сам процесс ЧВВ. В приближении заданных полей накачки в уравнения типа (3.56) следует ввести лапласиан по поперечным координатам р = {ж; уУ.
dA^А4dz2] кdA^А4dz2] к2 _ △ . —£ dz 2jk2 _ △ . —£ dz 2jk= Й^4,= Й^4,(3.66)(3.66)
dA^А4
dz2] к
dA^А4
dz2] к
2 _ △ . —£ dz 2jk
2 _ △ . —£ dz 2jk
= Й^4,
= Й^4,
(3.66)
(3.66)
где 7 = Этгу^Л^ (0) А2 (0)/п2. Перейдем к фурье-образам амплитуд, т.е. к разложению неоднородного поперечного распределения в угловой спектр
по плоским волнам (см., например, [23]):
At (р, 0 = ~Z7TAt (р, 0 = ~Z7TSi (х, z) exp (jxp) dx.Si (х, z) exp (jxp) dx.(3.67)(3.67)
At (р, 0 = ~
Z7T
At (р, 0 = ~
Z7T
Si (х, z) exp (jxp) dx.
Si (х, z) exp (jxp) dx.
(3.67)
(3.67)
Подставляя (3.67) в (3.66) и учитывая, что х3 = — х4, dx3 = — dx4, х2 = х2 = х2, получаем, приравнивая подынтегральные выражения (/3 = = x2/(2fc)):
- -ИS*3,^ " З38*3 = -nS4 -(3.68)
dzdz
Граничные условия: S3 (0) = 530; S4 (Z) = 0.
Напомним, что величины Si можно рассматривать как амплитуды парциальных плоских волн углового спектра, распространяющихся под углом а и х/к к направлению волн накачки.
Можно, конечно, сразу решать уравнения (3.68), например, следующим образом. Вводя обозначения и = S4 exp (j0z), и = S3 exp (^j^z), вместо (3.68) получаем
дади*
— = -jyv* exp О23Ц ,— = -J7«exp (-j23O •
Итак, в этих уравнениях имеются экспоненциальные члены с расстройкой А = 2/3 = х2/^. Дальнейшее решение уравнений ведется традиционными методами.
Переходя к действительным амплитудам и фазам углового спектра с помощью формулы Si = Ui exp ^jpiY где гц = \8Д, получаем
du4. тdn3. т
—— = ™^U3 sin Ф,—— = yu4 sin Ф,
azdz
X(3.69)
dф( U4из\'
= -—2/3 + 7 I — — — ) cos Ф.
az\ U3U4)
Как и ожидалось, мы получили уравнения для плоских волн типа (3.40). Любопытно заметить, что роль расстройки здесь играет член 2/3 = х2/^, описывающий, как нетрудно видеть, дифракцию и появившийся вследствие наличия лапласианов в (3.66).
Используя интеграл вида и2 (с) + и^ (z) = U3 (0) + и2 (0) = и^, где нам известна только величина п3(0), а п4(0) должна быть вычислена, из (3.69) имеем (см. [2])
dФ dadФ dad cos Фsin Ф dad cos Фsin Ф daA + (2a2 - 1)A + (2a2 - 1)COS ФaVl ™ a2COS ФaVl ™ a2[V1 ™ a2 sin ф] ,(3.70)[V1 ™ a2 sin ф] ,(3.70)12*12*
dФ da
dФ da
d cos Фsin Ф da
d cos Фsin Ф da
A + (2a2 - 1)
A + (2a2 - 1)
COS ФaVl ™ a2
COS ФaVl ™ a2
[V1 ™ a2 sin ф] ,
(3.70)
[V1 ™ a2 sin ф] ,
(3.70)
12*
12*
где а = 114/ио, А = —2р/у. Интегрируя (3.70) относительно cos#, полу™ чаем
cos# =cos# =До72^С— а2До72^С— а2
cos# =
cos# =
До72^С
— а2
До72^С
— а2
Так как а(1) = 0, то постоянная (7 = 0, поэтому
(3.71)(3.71)cos # = А а / (2 V1 — а2) •
(3.71)
(3.71)
Уже из выражения (3.71) видно, что влияние дифракции приводит к то™ му, что фаза # отходит от оптимальной # (Z) = —тг/2, причем на малых расстояниях от правой (с = I) границы среды, когда можно пренебречь под корнем (3.71) величиной а2< 1, имеем
АаАаX2ll42укиоX2ll42укио
Аа
Аа
X2ll4
2укио
X2ll4
2укио
Таким образом, косинус обобщенной фазы линейно с амплитудой обра™ щенной волны и 4 отходит от оптимального значения cos # = 0, причем тем быстрее, чем больше ж (т.е. чем мельче детали изображения или просто пространственной модуляции сигнальной волны).
Подставляя (3.71) в (3.69) и интегрируя уравнение для п4, получим
(3.72)(3.72)и4 = (Wp) sin [др (I - с)],
(3.72)
(3.72)
где р = Jx + ж4/(472Р). Вычисляя 114(0) из (3.72) и решая полученное
уравнение относительно п4(0), имеем
гМ (0) = |S^4 (0)| = |^*0|гМ (0) = |S^4 (0)| = |^*0|(3.73)(3.73)sin (ypZ)
гМ (0) = |S^4 (0)| = |^*0|
гМ (0) = |S^4 (0)| = |^*0|
(3.73)
(3.73)
\Jр2sin2 (ypZ)
Используя (3.73), можно определить ио. и тогда (3.72) запишется в виде
। с ।। с* । sin hP 0 ^)]
Р4| - Рзо1 у , 9
Jp2 sin2 (у pl)
Коэффициент преобразования в обращенную волну равен
, ™h”') (3.74)
I 30' у р2 — sin2 (уpl)
Из (3.74) нетрудно получить частные случаи. Если дифракцией можно пренебречь, то р = 1, и из (3.74) следует К (0) = tg (yl).
При малых yl, когда можно пренебречь членом sin2 (у pl) <К р2 под корнем (3.74), имеем К (м, 0)yl sine (уpl).
Таким образом, учет дифракции для случая pl <^Х сводится к умножению коэффициента преобразования по амплитуде на величину sine ^у/1, т.е. к быстрому уменьшению эффективности ОВФ с ростом х (т.е. с уменьшением характерного размера неоднородности в поперечном сечении сигнальной волны).
В частности, К = 0 при ypl = тг, откудар = тг/у/ = у/Г^-х4^^ х4/ (4у2^2) = тг2/ (у2/2) — 1, и для максимально допустимого угла дифракции а = и/к получаем
аа4 _ 4у2 ТГ24 _ 4у2 ТГ2р2 ^рр2 ^р- 1.- 1.
а
а
4 _ 4у2 ТГ2
4 _ 4у2 ТГ2
р2 ^р
р2 ^р
- 1.
- 1.
Для 7Z 0,1; Z = 5 см; к = 6 • 104 см 1 имеем
а4 ^ 4, 4 - 1О~10 или а ^ 16угл.мин.
Таким образом, мелкие детали изображения, соответствующие дифракционному углу порядка или более 16 угл. мин., уже не воспроизведутся в обращенной волне, т.е. не произойдет и восстановление до плоской волны после вторичного прохождения аберратора. Отметим, что угол 16 угл. мин. соответствует размеру d 1/х = 3,5 • 10 ™3 см ^ 35 мкм.
Функция разброса ЧВВ-преобразователя Г (р), являющаяся фурье-образом коэффициента преобразования (3.74) и характеризующая качество обращения волнового фронта, естественно, не будет при этом однородной. В частности, изображение точки размоется в таком преобразователе в пятно, а восстановление плоской волны будет тем более неполным, чем меньшими размерами неоднородности волнового фронта характеризуется прошедшая через аберратор первоначально плоская волна.
Итак, дифракция света в аберраторе и в ЧВВ-преобразователе ухудшает качество восстановления мелких пространственных структур в поперечном распределении сигнала после его вторичного прохода аберратора. Это связано как с протяженностью аберратора, так и с дифракционными явлениями в ЧВВ-преобразователе. Если первоначальная сигнальная волна несла регулярное изображение (т.е. еще до выхода в аберратор имела по™ лезную пространственную модуляцию), и аберратор внес дополнительную шумовую (паразитную) модуляцию, то снятие этой паразитной модуляции, т.е. восстановление исходного изображения методом ОВФ и вторичного прохождения через аберратор, будет тем более неполным, чем меньшие детали изображения и аберраций имеют место, т.е. чем сильнее проявляется дифракция.
В заключение заметим, что дифракция не проявляется на расстояниях £ ^ Ядиф = kd?/2, где Ядиф — характерная дифракционная длина. Так, для вышеприведенного примера при d = 35 мкм, к = 6 • 104 см™1 имеем Едиф ^0,7 см, что существенно меньше I = 5 см, т.е. дифракция здесь оказывается существенной.
Почему дифракция приводит к появлению расстройки? Проследим решение этого вопроса на примере распространения гауссова пучка, имеющего на входе (2 = 0) среды плоский волновой (фазовый) фронт и гауссово поперечное распределение амплитуды [24]:
A^=AQexpUf—L(3.75)
Здесь р2 = ж2 4- у2, а — характерная ширина (радиус) пучка при 2 = 0 по уровню е™1 амплитуды.
Уравнение параболического приближения имеет вид
ял
2jk— + А±Л = 0.(3.76)
02
Решение (3.76) при граничном условии (3.75) имеет вид
Л (р, 2) = В (р, 2) exp (jk<).(3.77)
Действительные амплитуда и фаза в (3.77) равны
г( О2 Г
Ж О = Ао [1 + (Я-йд) ] ехр 1 " ^ Г + (г/Яд) J Г ’ (3-78)
кФ (р, г) = p^z /27?, /| + (г/Лд)2^ - arctg (г/Дд), (3.79)
где Яд = ка2 ^ — характерная дифракционная длина, или волновой параметр, играющий большую роль в теории дифракции. Мы уже отмечали, что при //Яд <С 1 влияние дифракции пренебрежимо мало, это же следует и из уравнений (3.77)-(3.79): в этом случае А (р, 2) 22 А (0), т.е. гауссов пучок распространяется в среде без изменения.
Если же условие Z /Яд <С 1 не выполняется, гауссов пучок претерпевает значительные изменения. Из (3.78), в частности, видно, что ширина пучка растет с ростом 2 по закону а2 (2) = а2 [1 + (2/Яд)2], а амплитуда падает
Г . 2-|-1/2
как Ло 1 + (2/Яд) . Рассмотрение фазы пучка показывает (3.79), что если на входе (2 = 0) среды фазовый фронт плоский, т.е. Ф (р, 0) = 0, то при 2 > 0 фазовый фронт значительно искривляется. Исследуя полученные решения, можно показать, что по мере распространения от 2 = 0 до значений 2 таких, что (2/Яд) /> 1, пучок претерпевает изменение от квазиплоской волны до сферической.
Такие изменения пучка приводят к двум следствиям. Пучок расширяется, и, следовательно, падает плотность мощности излучения в среде. Кроме
того, изменяется и фаза пучка: например, на его оси (р = 0) от нуля при z = 0 до (—тг/2) при z -Л ос. Нетрудно видеть, что оба этих факта при ЧВВ в гауссовых пучках приведут к сильному изменению характеристик ОВФ.
Угловой спектр распространяющегося излучения изменяется в фазовом смысле [24]:
S (кж, ку, о) = S (кх, ку,0) exp ^j V^2 ~ x2z^ ,(3.80)
где х2 = к2 + к2. Другими словами, это изменение связано со сдвигом фаз между различными парциальными составляющими, т.е. плоскими волнами, распространяющимися под разными углами к оси о и имеющими, вследствие этого, разные величины х и kz = Vk2 — х2. Итак, фаза каждой парциальной компоненты изменяется с z, что, вообще говоря, и означает не что иное, как наличие расстройки чисто дифракционного типа (фаза уходит от оптимальной, и эффективность ОВФ падает по сравнению со случаем отсутствия дифракции). Заметим, что при х С к
Д f _ р
~V V к)
и из (3.80) имеем
S (х, z) = S (х, 0) ехр < jkz — jS (х, z) = S (х, 0) ехр < jkz — jх2
S (х, z) = S (х, 0) ехр < jkz — j
S (х, z) = S (х, 0) ехр < jkz — j
Это и есть та самая расстройка /3 = х2/2к, появляющаяся вследствие учета дифракции.
На падение эффективности ОВФ, естественно, влияет и падение плотности мощности из-за расширения пучка, но этот фактор действует слабее, чем фазовый.
Оптические схемы ЧВВ-ОВФ. Оптические схемы ЧВВ немногим отличаются от таковых для ТВ В. Например, в схеме с попутным взаимодействием реализуется обращение волнового фронта только для попереч-
Рис. 3.24Рис. 3.24
Рис. 3.24
Рис. 3.24
ных составляющих волнового вектора, и для полного обращения требуется отражение обращенной волны от зеркала (рис. 3.23).
В обычной встречно-коллинеарной (по волнам накачки) схеме реализуется полный процесс ОВФ (рис. 3.24). Встречная волна Е^ может быть введена в нелинейную среду двумя путями — независимо (рис. 3.25 а) и за счет отражения волны Ei возвратным зеркалом (рис. 3.25 б). Об особенностях использования этих схем, см. п. 3.7.3.
Рис. 3.26Рис. 3.26
Рис. 3.26
Рис. 3.26
С их учетом можно использовать схемы ОВФ-ТВВ, описанные в гл. II.
Приведем также схему ЧВВ с кольцевым резонатором, приведенную в [22] (рис. 3.26). Сигнал Е3 заводится в резонатор через полупрозрачное зеркало 1. Зеркала 1, 2, 3 резонатора создают положительную обратную
связь как по сигнальной, так и по обращенной волне, что дает значительный выигрыш по эффективности ОВФ; при определенных условиях он может составлять, по оценкам, несколько порядков. При этом может возникнуть и четырехфотонная параметрическая генерация.
Так же, как и при ОВФ-ТВВ, в схемах с ЧВВ могут быть использованы
однопроходовые схемы, в которых волна сигнала проходит через аберратор и преобразуется в комплексно-сопряженную (обращенную) волну в поле накачки, также прошедшей через аберратор; вторая волна накачки должна быть плоской. Однако вырожденность волн в процессе ЧВВ по частоте позволяет реализовать однопроходную схему ЧВВ, в которой используется прохождение через аберратор только сигнальной волны, которая потом делится на два пучка: один является собственно сигналом, а второй (после прохождения оптимального пространственного фильтра) является накачкой; другая волна накачки выбрана плоской. Анализ такой схемы приведен в [25].
§ 3.7 Некоторые дополнительные вопросы четырехволновых взаимодействий
Еще раз о механизмах ОВФ в голографическом изложении. Как уже указывалось, процесс ЧВВ при встречно-коллинеарных волнах накачки можно рассматривать как голографический. Интерференция попутных волн ах и <23 (г) записывает в среде голографическую решетку коэффициента преломления или диэлектрической проницаемости вида 8е (г) = = Х13А1А3. Считывание этой голограммы встречной волной накачки А2 дает слагаемое в поляризованности вида Х13А1А2А3. С другой стороны, интерференция встречных волн А2 и А3 (г) дает голограмму 8 с (г) = = Х2зА2А3, а считывание ее волной накачки Ai дает слагаемое в поляризованности вида Х2зА1А2А3. Кроме того, для случая безынерционной нелинейности взаимодействие встречных плоских волн накачки приводит к однородной по пространству модуляции е с удвоенной оптической частотой
Зе (г, t) = Х12 [AiA2 exp (^2jwt) + AJ А2 exp (2jwt)]. (3.81)
Рассеяние сигнального поля А3 (г) на этих возмущениях дает вклад в по- ляризованность на частотах Зш и ш; при этом член на частоте ш имеет вид Х12 Ai А2 А3 • В результате суммирования этих трех процессов возникает поля- ризованность на частоте ш вида х^ Ах А2А3 (г), где х^ Х12 + Ххз + Х23- Для взаимно-сопряженных волн накачки пространственная зависимость этой поляризованности, возбуждающей волну А4, соответствует комплексно-сопряженной по отношению к волне сигнала, т.е. Е4 Е^ [26, 27].
Важно отметить, что первые два процесса, связанные с записью и считыванием голограмм вида Ах А3 (волной А2) и А2 А3 (волной Ах) являются медленными по отношению к быстрым осцилляциям светового поля:
EipE* - А1;2А* exp [j (к1)2 - кз) г] А1/2 А| (г), (3.82)
причем выражение (3.82) справедливо при |kli2| = |к3|. В то же время третий процесс (3.81) содержит модуляцию параметров среды на частоте второй гармоники (2ш), т.е. возможен лишь для безынерционных сред (например, для случая безынерционной кубической электронной нелинейности). Следует обратить внимание, что проведено разделение быстрых (с оптической частотой 2ш) и медленных (по сравнению со световым периодом — сверхмедленных) процессов ОВФ. Быстрый процесс можно назвать параметрическим в том смысле, что две встречных волны накачки создают модуляцию коэффициента преломления (или диэлектрической проницаемости, воприимчивости) на удвоенной оптической частоте, т.е. на частоте второй гармоники: и = х0 exp (2jujt). Заметим, что здесь отсутствует пространственное изменение, т.е. в поле двух встречных волн накачки восприимчивость меняется во времени как целое (т.е. сразу, одновременно, в фазе — по всему объему взаимодействия волн накачки). Для создания такой чисто временной модуляции x(t) требуется кубическая нелинейность
среды, но эта нелинейность нужна лишь как средство создания такой модуляции. Дальнейший процесс ОВФ «быстрого» типа позволяет «забыть» нелинейность и обе волны накачки, и процесс ОВФ можно рассматривать как происходящий в линейной среде, но с переменным во времени параметром х, т.е. в линейной среде с переменными параметрами. Если в эту среду входит волна с частотой ш, то возникает чисто параметрический (линейный!) процесс генерации разностной частоты:
Р = х^Ез = х0 exp(2jwt) ■ |{А3 exp \j (wt - kz)] +
+ Лз exp [—J (wt — fez)]}. (3.83)
Из (3.83) следует, что в линейной поляризованности возникает член вида Х0Л3 exp [j (ut + А12)], полностью комплексно™сопряженный волне сигнала Е3 (изменился знак и у кг, и у фазы). Следовательно, возникает и волна Е4, обращенная по фазе по отношению к сигнальной волне Е3. Итак, налицо процесс ОВФ, происходящий на безынерционной кубической электронной поляризуемости, причем эта нелинейность лишь обеспечивает модуляцию диэлектрической восприимчивости на частоте второй гармоники.
Все три механизма дают вклад в одну и ту же обращенную волну Е4. Если волна сигнала имеет частоту шз, отличающуюся от ш, то обращенная волна Е4 возникает на частоте Ш4 = 2ш — ш-i (невырожденное ЧВВ). Для полноты картины укажем, что волны накачки также могут быть невырожденными, т.е. иметь разные частоты шх, ш^. В этом случае кубическая нелинейность приводит к пространственно-временной модуляции х вида (напомним, что волны ЕА^ встречно-коллинеарны):
= Х12(Л1Л2ехр{-^[ш0< + <M - М2]} + К.С.),
где ид=ид + ид.
Если частоты ид и ид близки, то Ад — Ад <С Ад р, период пространственной модуляции значительно больше А (Т 1/(Ад — Ад) >> А = 2тг/Ад), и все вышесказанное о вырожденном случае сохраняет силу. Естественно, случай существенно разных Ад р приводит к достаточно частой пространственной модуляции и должен быть рассмотрен особо.
Наконец, вспомним, что при ЧВВ для плоских встречно-коллинеарных волн накачки условие синхронизма выполняется автоматически для любого направления волны сигнала (мы видели, что характеристики такого преобразователя определяются лишь апертурными эффектами, например апертурой нелинейного преобразователя). Если же процесс ЧВВ не вырожден по частотам взаимодействующих волн, то синхронизм уже не может быть выполнен автоматически, а выполняется лишь при определенной геометрии взаимодействия для заданных частот и направлений двух волн накачки и волны сигнала. Об этом полезно поговорить особо.
О выполнении условий синхронизма при невырожденном ЧВВ. Рассмотрим случай невырожденного по частотам ЧВВ, в котором частоты ид, ш2 и направления волновых векторов кь к2 волн накачки фиксированы. Условие синхронизма для невырожденного ЧВВ имеет вид
u)i + ид = ^з 4" ид, ki + к2 = к3 + к4.
Если заданы также и направление волнового вектора к3, и частота шз сигнальной волны, то вследствие кубической нелинейности возникает по- ляризованность среды на частоте ид = ид 4- ид — W3 вида
Р4 (г, i) = 2х(3) Ж Л2 Л3 exp \-jwt + j (ki + k2 - k3) г],(3.84)
но, в отличие от вырожденного по частоте ЧВВ и вследствие дисперсии среды, т.е. зависимости к(ш), вектор ki + k2 — k3 может не совпадать с вектором к4, определяемым дисперсией среды. Точнее, если взять произвольно заданную геометрию векторов ki)2;3 (рис. 3.27), то вектор k4 = q — к3
Вырожденное ЧВВВырожденное ЧВВНевырожденное ЧВВНевырожденное ЧВВРис. 3.27Рис. 3.27
Вырожденное ЧВВ
Вырожденное ЧВВ
Невырожденное ЧВВ
Невырожденное ЧВВ
Рис. 3.27
Рис. 3.27
по модулю совершенно не обязан совпасть с величиной собственного, т.е. определяемого дисперсией среды, вектора
&4°б = иДП (ид)/с.
По аналогии с ГВ Г и ТВВ, вектор k4 = q — к3 можно назвать вынужден™ ним вектором, ибо именно с этим вектором распространяется вынуждающая волна поляризованности (3.84). Очевидно, что условие синхронизма будет состоять в равенстве собственного и вынужденного векторов к4, т.е.
|кх 4- к2 - к3| = ш4н (сс4)/с.
Таким образом, произвольная геометрия векторов волн накачки и сигнала не обеспечивает синхронизма при невырожденном ЧВВ, и это справедливо в том числе и для встречно-коллинеарных (невырожденных по частоте) волн накачки. Процесс ОВФ в этом случае характеризуется, таким образом, необходимостью выполнения синхронизма и наличием угла а между обращенной и обращаемой волнами (так называемое ОВФ с поворотом, см. [26] и рис. 3.27а).
В работе [26] показано, что для фиксированных направлений и частот волн накачки поверхность синхронизма (рис. 3.27 а) образует эллипсоид вращения с фокусами, расположенными в начале и конце вектора q = ki + + k2 = k3 + k4 (это справедливо для среды с малой дисперсией). За счет геометрии эксперимента можно осуществлять настройку синхронизма на другую частоту сигнальной волны, а также управлять углом поворота обращаемого сигнала; то же самое, естественно, можно делать и за счет изменения частот—даже при вырожденных по частоте волнах накачки. Очевидно, что такой преобразователь может выполнять роль селективного по частоте фильтра. Наконец, заметим, что поляризация обращенной волны определяется как поляризацией сигнальной волны, так и поляризацией волн накачки и геометрией взаимодействия; изменяя эти параметры, можно варьировать поляризацию обращенной волны. В частности, можно обеспечить полное пространственно-поляризованное ОВФ, т.е. как пространственное ОВФ, так и сохранение поляризации сигнальной волны, что необходимо, например, для компенсации неоднородностей оптически анизотропных аберрато- ров. Вопросы, связанные с поляризацией при ОВФ-ЧВВ, рассматривались в ряде работ, например, [28-31].
О связи ЧВВ с самофокусировкой света в кубически- нелинейных средах. Хорошо известным фактом является неустойчивость распространяющихся в кубически-нелинейной среде мощных плоских волн к самофокусировке, появлению «нитей» излучения, характеризующихся весьма высокой плотностью мощности, и, вследствие этого, к разрушению прозрачных нелинейных и активных сред, а в отсутствие разрушения — к ухудшению качества ОВФ.
Теория этого явления достаточно сложна. Здесь мы ограничимся полука- чественными соображениями, которые позволят, тем не менее, установить прямую связь явлений ЧВВ и самофокусировки света в кубических средах.
Рассмотрим кубически-нелинейную среду, на которую слева и справа падают две встречно-коллинеарных мощных плоских волны одной частоты ш:
Е = | {Л1 exp [j ^ut - kz)] + Л2 exp [j ^wt + kz)^ + к.с.} . (3.85)
Как показывает опыт, такая ситуация весьма характерна, например для активных элементов твердотельных лазеров, двухпроходовых усилителей; та же картина, естественно, имеет место в ЧВВ-ОВФ-преобразователях. Уже на основе вышеизложенного материала по ЧВВ нетрудно сообразить, что полное поле в среде отнюдь нельзя представить только в виде (3.85). Действительно, мы видели, что при наличии слабой волны сигнала Ез той же частоты ш возникает четвертая волна (обращенная) Ер при этом обе волны Езд усиливаются в поле встречных волн накачки (такое усиление в приближении полей последних описывается уравнениями (3.31), (3.32)). Из вида этих уравнений следует, что волны Е^д не возникают, если а30 = = 0, т.е. при этом пзд = 0. Но с другой стороны, очевидно, что даже если волна сигнала не подается извне на среду, то достаточно малейшего рассеяния одной из мощных волн накачки на неизбежных неоднородностях среды (или даже на неоднородностях воздуха, окружающего среду) для того, чтобы создать эту волну сигнала. В общем случае рассеянное поле можно представить в виде интеграла по всем возможным направлениям распространения с некоторой функцией распределения М (к):
(3.86)(3.86)Е3 ~ М (к) exp [j (cot — кг)] dk.
(3.86)
(3.86)
Процесс вырожденного ЧВВ, как нам известно, характеризуется автоматическим выполнением условий синхронизма. Другими словами, в отсутствие апертур, дифракции и других ограничивающих факторов (т.е. для случая плоских волн в бесконечной по ж, у нелинейной среде) любая, из компонент сигнального поля (3.86) будет усиливаться в поле встречных волн накачки в равной степени (по крайней мере, в приближении заданных полей накачки). Сказанное хорошо иллюстрируется параллелограммами синхронизма на рис. 3.17.
Пусть 3 (х) — коэффициент рассеяния мощной волны накачки Ех, так что сигнальная волна, распространяющаяся в некотором направлении, характеризующемся вектором ж = {кж;ку^ имеет амплитуду ^зо (>^) = 3 (>^) Ах (0) (рассеянием волны Е^ для простоты пренебрежем). Дальнейший расчет в приближении заданных полей накачки полностью эквивалентен ранее проведенному для плоских волн; в частности, из (3.32)
имеемимеем«з (х,0 = «30 (х)«з (х,0 = «30 (х)cos [се (1 — £)]cos аcos [се (1 — £)]cos а(3.87)(3.87)где ^ = z/l, а — приведенная нелинейность среды (коэффициент нелинейной связи), пропорциональная произведению амплитуд полей накачки и, вообще говоря, также зависящая от х, т.е. от угла 0 между сигнальной волной и волнами накачки, 0 ~ cos(kik3). В малоугловом рассеянии величину а можно считать постоянной.где ^ = z/l, а — приведенная нелинейность среды (коэффициент нелинейной связи), пропорциональная произведению амплитуд полей накачки и, вообще говоря, также зависящая от х, т.е. от угла 0 между сигнальной волной и волнами накачки, 0 ~ cos(kik3). В малоугловом рассеянии величину а можно считать постоянной.
имеем
имеем
«з (х,0 = «30 (х)
«з (х,0 = «30 (х)
cos [се (1 — £)]
cos а
cos [се (1 — £)]
cos а
(3.87)
(3.87)
где ^ = z/l, а — приведенная нелинейность среды (коэффициент нелинейной связи), пропорциональная произведению амплитуд полей накачки и, вообще говоря, также зависящая от х, т.е. от угла 0 между сигнальной волной и волнами накачки, 0 ~ cos(kik3). В малоугловом рассеянии величину а можно считать постоянной.
где ^ = z/l, а — приведенная нелинейность среды (коэффициент нелинейной связи), пропорциональная произведению амплитуд полей накачки и, вообще говоря, также зависящая от х, т.е. от угла 0 между сигнальной волной и волнами накачки, 0 ~ cos(kik3). В малоугловом рассеянии величину а можно считать постоянной.
Таким образом, из (3.87) следует, что любая из компонент углового спектра поля Ез усиливается в поле встречных волн накачки. Одновременно, в соответствии с (3.31), усиливаются и соответствующие компоненты поля Е4. Другими словами, угловой спектр как волны Ех (за счет угловых
компонент Ез), так и волны Е^ (за счет угловых компонент Еу) расширяется- по мере роста £ (для ЕА или (1 — 2) — для Е^. В существенно нелинейном режиме амплитуды волн Езд могут быть сравнимы по величине с амплитудами волн накачки.
К чему же приводит уширение углового спектра волн накачки за счет возникновения новых угловых составляющих Езу? Очевидно, к появлению пространственной модуляции этих волн. Действительно, рассмотрим интерференцию двух плоских волн с равными амплитудами, распространяющихся в среде под равными и противоположными по знаку углами а к нормали к входной грани среды:
Е = A exp [j (cot — kzz — А:ж ж)] + A exp [j (cot — kzz + Ьс ж)] =
= 2Л cos (кжх) exp [j (wt — b^)].
Итак, две угловые компоненты, интерферируя, образуют квазиплоскую
волну, распространяющуюся по оси z и пространственно-модулированнуюволну, распространяющуюся по оси z и пространственно-модулированнуюРассеянное поле от Ех (т. е. сигнал Е^ /Рассеянное поле от Ех (т. е. сигнал Е^ /Соответствующий спектр обращенной волны Е4Соответствующий спектр обращенной волны Е4Рис. 3.28Рис. 3.28по поперечной координате с пространственным периодом 2тгм~1, где х = = {кр ку} (рис. 3.28).Если волна Ei (или ЕА ограничена по пространству на входе среды, то так как по мере распространения угловой спектр расширяется, то характерный поперечный размер волны сужается. Налицо самофокусировка вследствие процесса ЧВВ. В определенном смысле эти два процесса идентичныпо поперечной координате с пространственным периодом 2тгм~1, где х = = {кр ку} (рис. 3.28).Если волна Ei (или ЕА ограничена по пространству на входе среды, то так как по мере распространения угловой спектр расширяется, то характерный поперечный размер волны сужается. Налицо самофокусировка вследствие процесса ЧВВ. В определенном смысле эти два процесса идентичны
волну, распространяющуюся по оси z и пространственно-модулированную
волну, распространяющуюся по оси z и пространственно-модулированную
Рассеянное поле от Ех (т. е. сигнал Е^ /
Рассеянное поле от Ех (т. е. сигнал Е^ /
Соответствующий спектр обращенной волны Е4
Соответствующий спектр обращенной волны Е4
Рис. 3.28
Рис. 3.28
по поперечной координате с пространственным периодом 2тгм~1, где х = = {кр ку} (рис. 3.28).
Если волна Ei (или ЕА ограничена по пространству на входе среды, то так как по мере распространения угловой спектр расширяется, то характерный поперечный размер волны сужается. Налицо самофокусировка вследствие процесса ЧВВ. В определенном смысле эти два процесса идентичны
по поперечной координате с пространственным периодом 2тгм~1, где х = = {кр ку} (рис. 3.28).
Если волна Ei (или ЕА ограничена по пространству на входе среды, то так как по мере распространения угловой спектр расширяется, то характерный поперечный размер волны сужается. Налицо самофокусировка вследствие процесса ЧВВ. В определенном смысле эти два процесса идентичны
и неразличимы, поскольку уменьшение диаметра пучка или появление пространственной модуляции эквивалентно расширению углового спектра.
Естественно, дифракция в определенных случаях сильно разрушает процесс ЧВВ (как было показано выше) и препятствует самофокусировке. Укажем, что во многих случаях могут развиваться затравочные возмущения поперечной первоначально однородной структуры поля за счет дифракции поля на апертурах и на локальных неоднородностях среды — так называемые дифракционные выбросы поля. В этом смысле дифракция играет возбуждающую роль при самофокусировке и последующих разрушениях среды (см. [32]).
Все вышеизложенное позволяет утверждать, что вследствие ЧВВ мощные встречные волны в кубически-нелинейной среде неустойчивы по отношению к генерации угловых спектров, т.е. к самофокусировке. Нетрудно видеть, что если процесс ЧВВ используется для ОВФ, то наряду с самим процессом, как таковым, ОВФ, возникает генерация паразитных (т.е. отсутствующих в угловом спектре сигнала) угловых компонент и, как следствие, — самофокусировка. Тем самым, качество ОВФ неизбежно падает.
Для повышения эффективности ОВФ необходимо повышать мощность плоских встречных волн накачки или нелинейность среды, но в этом случае
возникает опасность самофокусировки. Одна из возможностей устранения самофокусировки состоит в использовании для накачки пространственно™ модулированных («кодированных») волн накачки, т.е. волн накачки Ei^ (г) сложного вида [33]. Взаимодействие волн накачки и сигнала ЕЗ^з (г) приводит к появлению поляризованности вида
Р4 (г) = хЕ1 (г) Е2 (г) Е^ (г) .
Пусть волна Ei (г) имеет сложную структуру в поперечном сечении; тогда, если волна Е^ (г) содержит часть, обращенную (по поперечным координатам) по отношению к Е-^ (г), то произведение Ei (г) Е^ (г) содержит ненулевое среднее по пространству значение (EiE^. При этом поляризо- ванность Р4 возбуждает обращенную волну
Е4 (г) - ^1^2)^з (г) •
Смысл использования «кодированных» волн состоит в том, что такие волны более устойчивы к слабым возмущениям пространственной структуры, т.е. более устойчивы к самофокусировке, чем плоские волны накачки. Естественно, наилучший результат получается в случае, когда в качестве волн накачки используются встречные сильно неоднородные взаимосопря- женные волны. Методы «приготовления» таких волн могут быть разнообразными — например любой метод ОВФ, или метод амплитудных масок (для «кодирования») с последующим обращением зеркалом; обратим внимание и на тот факт, что согласно [33], распространяющиеся в резонаторе лазера встречные волны (для произвольной моды резонатора) являются взаимно-сопряженными1. В последнем случае для моды с высокими поперечными индексами встречные волны будут иметь необходимую пространственную модуляцию. В работе [33] количественно (теоретически) показано, что применение взаимно-сопряженных пространственно-моду- лированных волн накачки позволяет достичь коэффициентов отражения Д > 1 для обращенной волны без ухудшения качества ОВФ из-за самофокусировки. Схема ОВФ-ЧВВ с такими волнами накачки представлена на рис. 3.29.
Нам осталось обсудить, почему пространственно-модулированные волны накачки более устойчивы к самофокусировке, чем плоские волны. Это нетрудно понять, основываясь на том факте, что в этом случае угловой спектр волн накачки уже сформирован и не может быть существенно деформирован за счет генерации новых угловых компонент.
В связи с влиянием самофокусировки на процесс ОВФ отметим соображения, высказанные в [28], касающиеся способа введения в нелинейную среду волн накачки — независимо или за счет отражения одной волны возвратным зеркалом. В схеме с возвратным зеркалом (см. рис. 3.25 б) са- мофокусировочные искажения, возникшие на прямом и обратном проходах,
^то утверждение было, по-видимому, впервые высказано В.С. Зуевым.
складываются; в схеме с независимыми пучками накачки (см. рис. 3.25 а) эффекты само- и взаимодействия (при равных амплитудах) не приводят к пространственной модуляции коэффициента связи.
ОВФ при резонансных четырехфотонных взаимодействиях. Коэффициент кубической нелинейности прозрачных диэлектрических сред, как правило, весьма мал. Поэтому вполне естественным представляется обращение исследователей к резонансным взаимодействиям,
соответствующим случаю совпадения одной или нескольких частот взаимодействующих волн с частотами резонансных переходов в атомах.
Рассмотрим простую двухуровневую модель с частотой перехода в центре линии ш0 [33, 34]. Восприимчивость такой системы можно записать в виде
X (Я = -2а0 и + 6) к-1 (1 + 52 + |5/Ен|2) . (3.88)
Здесь 5 = 2(w — ш0)/(Аш) — нормированная на ширину линии Аси отстройка частоты от резонанса (т.е. от центра линии), Ен — поле насыщения, «о — коэффициент поглощения или усиления по амплитуде в центре линии. Множитель (j + 5) соответствует поглощению (мнимая часть) и дисперсии (действительная часть); заметим, что действительная часть равна нулю в центре линии. Поляризованность среды имеет вид
Р = ^ох(Е)Е. (3.89)
Поскольку восприимчивость перехода содержит член, пропорциональный \Е\2 (это нетрудно проверить, разлагая (3.88) в ряд по степеням коэффициента |^/^н|2), то и поляризованность (3.89) будет содержать член, пропорциональный Е |^|2, что, как мы уже знаем, соответствует кубической нелинейности среды. Таким образом, резонансная среда может рассматриваться как кубически-нелинейная, причем механизм этой нелинейности связан с насыщением резонансного перехода. Пусть Е-у^ как и раньше, соответствуют мощным плоским встречно-коллинеарным волнам накачки
с частотами ш^р и волновыми векторами ki,2, поле Е^ — волне сигнала (ш3, к3), поле Е4 (ш3, к4) — обращенной волне.
Выпишем соотношения для частот и волновых векторов:
(3.90)(3.90)UJx + ^2 — ^3 + ^4 ~ 2с^о, (ki + к2 - к3 - к4) г < 1.
(3.90)
(3.90)
Последнее соотношение в (3.90) означает малость волновой расстройки; будем считать режим почти вырожденным, что подчеркнуто первым уравнением (3.90).
В приближении заданных полей накачки решение уравнений дает следующее выражение для коэффициента отражения обращенной волны:
ЕД1)Ег (0)ЕД1)Ег (0)4 sin (7Z)
ЕД1)
Ег (0)
ЕД1)
Ег (0)
7 cos (pl) + о sin (pl)
где a, P, p — коэффициенты, пропорциональные «о и зависящие от 8, Ен и интенсивностей волн накачки, при этом р = ^//З2 ™ а2.
При |/3|2 > |а|2 параметр р веществен, и величина R оказывается синусоидальной; когда же выполняется обратное неравенство, |/3|2 < |а|2, параметр р становится мнимым, а параметр R выражается через гиперболические функции. Нетрудно видеть, что при |/3|2 > |а|2 и при выполнении условия tg(pl) = —p/а знаменатель обращается в нуль и R = оо. Это означает, что наступает генерация (абсолютная неустойчивость) в том же смысле, в каком мы обсуждали аналогичный эффект при рассмотрении эффекта ОВФ в кубически-нелинейной непоглощающей среде. Если |/3|2 < < |а|3 условие генерации имеет вид th (pl) = —р /а.
При «о > 0 (поглощающая среда) условие генерации может быть выполнено при pl > тг/2, а при «о < 0 (усиливающая среда) — при pl < тг/2. Условие th (pl) = —p/а может быть выполнено только при «о < 0, т.е. только в усиливающей среде.
Читателя, интересующегося количественными результатами расчета коэффициента отражения R, мы отсылаем к статье [35]. Полезно также обратить внимание на работы [36—38].
В заключение отметим, что в резонансном ЧВВ-ОВФ не наблюдается появления характерных для самофокусировки мелкомасштабных неоднородностей, в связи с чем нет и соответствующих искажений процесса ОВФ.
ГЛАВА IV
ОБРАЩЕНИЕ 1ОЛНО1ОГО ФРОНТА ПРИВЫНУЖДЕННЫХ РАССЕЯНИЯХ СВЕТА
Введение
Вопросам ОВФ при вынужденных рассеяниях (ВР) света посвящено неисчислимое количество работ. И это неудивительно, ибо именно в процессе ВР проявились наиболее полно основные физические и технические аспекты ОВФ и были реализованы первые эффективные практически пригодные системы с ОВФ. В другой стороны, именно открытие ОВФ дало значительный толчок к развитию и практическому использованию таких, например, явлений, как ВР Мандельштама-Бриллюэна (ВРМБ), вынужденное рассеяние крыла линии Рэлея (ВРКЛР) и др., в то же время как вынужденное комбинационное рассеяние (ВКР) в сочетании с методами активной спектроскопии (АСКР, КАРС) успешно использовалось и ранее в спектроскопии комбинационного рассеяния.
В данной главе мы изучим основные физические особенности самих процессов ВР света в веществе, а затем рассмотрим аспекты процесса ВР-ОВФ.
Эффекты вынужденных рассеяний и самовоздействий световых волн привлекают в последнее время все большее внимание исследователей. Этот интерес объясняется прежде всего тем фактом, что распространение в веществе интенсивных световых (лазерных) лучей неизбежно сопровождается воздействием вещества на свет (поглощение, рассеяние, сдвиг длины волны), а во многих случаях и воздействием света на вещество (изменение показателя преломления, возбуждение характерных собственных колебаний в веществе). Весьма часто прохождение интенсивного света через вещество приводит к одновременному возникновению не одного, а целого ряда нелинейных эффектов. Характерной особенностью является воздействие одного нелинейного эффекта на другой; так, возникновение самофокусировки света приводит к резкому возрастанию роли ВКР, а последнее, в свою очередь, может подавить ВРМБ.
Другой причиной повышенного интереса исследователей к указанным явлениям является возможность получить значительный объем информации о строении вещества, который невозможно получить другими способами (например, наблюдение рамановских спектров жидкостей и твердых тел). Попутно заметим, что в большинстве случаев возбуждение упомянутых эффектов не связано с такими специфическими свойствами вещества, как существование заданного направления синхронизма, наличие анизотропии и т.д. Явления вынужденных рассеяний и самовоздействий интенсивных световых волн возникают и в жидкостях, и в изотропных твердых телах, и в кристаллах с произвольной симметрией; исключение составляют отдельные виды процессов вынужденного рассеяния в кристаллах, протекание которых существенно определяется симметрией кристаллов.
Эффекты рассеяния световых волн являются одним из интереснейших объектов исследования в современной нелинейной оптике и в связи с фактом наличия ОВФ при ВР света. Действительно, как мы увидим, при ВР неизбежно возникают световые рассеянные компоненты, комплексно-сопряженные падающему на среду исходному полю.
Условимся подразделять эффекты рассеяния света на спонтанные и вынужденные эффекты. Под термином «спонтанное» рассеяние света мы будем понимать чисто параметрический процесс модуляции световых волн на частоте какого-либо другого процесса в веществе. Поясним этот термин на конкретном примере. Пусть в среде возникла волна давления (плотности) флуктуационного происхождения:
Q = Qo exp [j (Ш - qr)],
где О = gv3B — частота волны (частота звука), гзв — скорость распространения волны сжатия и разрежения (волны звука), q — волновой вектор звука. Под действием этой волны в веществе возникает волна изменения коэффициента преломления или диэлектрической поляризуемости:
х = м0 {1 + ТП (Qo) exp [j (Ot - qr)]} + к.с.,
где m(Qo) — коэффициент модуляции величины х флуктуационной звуковой волной с амплитудой Qo •
Подставляя выражения для электрического поля световой волны и для диэлектрической поляризуемости в формулу для линейной диэлектрической поляризации, имеем
рлин _= м0 {[1 + m^Qo) exp (j(Ot — qr))] + к.с.} х
х [рЛ exp [j(^ ™ kr)] + к.с.] =
= x^m (Qo) P-4 exp [j (из + O) t (k + q) r] +
+ x^m* (Qo) рЛ exp [J (w - O) t - (k - q) r] + ... , (4.1)
где p — единичный вектор поляризации светового поля. (В выражении (4.1) мы записали только члены новых частот.)
Итак, в спектре прошедшего через вещество света возникли новые спектральные составляющие с частотами ш ± О, излучение которых распространяется в направлениях, определяемых векторами k ± q, соответственно. Таким образом, рассеянный веществом свет претерпевает изменения как по частоте, так и по направлению распространения. При дальнейшем взаимодействии возникнут спектральные составляющие на высших комбинационных частотах из ± sO, где s = 1, 2, 3,... Спектральные компоненты рассеянного света, частота которых уменьшается по сравнению с частотой падающего света (т.е. компоненты с частотами uj — О, из — 20, из — 30,...), принято называть стоксовыми компонентами (так, составляющая на частоте из — О называется первой стоксовой компонентой, на частоте из — 20 — второй стоксовой компонентой и т.д.); компоненты с частотами из + sO соответственно называют антистоксовыми компонентами.
в*
Рассмотренный выше процесс рассеяния света, сопровождающийся возникновением боковых (стоксовых и антистоксовых) частот под действием тепловых (звуковых) волн флуктуационного происхождения называется процессом спонтанного рассеяния Мандельштама-Бриллюэна. Этот процесс является «спонтанным» в том смысле, что колебания давления (звука) в среде, вызвавшие появление рассеянных компонент, возникли спонтанно, сами по себе, под действием малых флуктуаций давления в некоторой области вещества.
Сделанное нами предположение о существовании флуктуации давления на единственной частоте О является, естественно, грубым приближением. В общем случае в среде существует целый спектр флуктуаций давления и, соответственно, целый спектр рассеянных частот. Здесь мы лишь отметим, что при рассеянии света должен выполняться закон сохранения импульса, так что каждая из спектральных компонент рассеянного света наблюдается в определенном направлении (т.е. под определенным углом к направлению распространения падающего света).
Источником «модуляции» световых волн могут служить флуктуационные волны и колебания самой различной физической природы (колебания атомов и молекул при комбинационном, или рамановском, рассеянии, волны ориентации молекул при рассеянии Рэлея, волны тепла при тепловом рассеянии, смешанные электромагнитно-механические волны при рассеянии на поляритонах и т.п.). В конечном счете, эти флуктуации приводят к флуктуациям диэлектрической поляризуемости и, следовательно, к появлению комбинационных спектральных составляющих.
В большинстве случаев О удовлетворяет соотношению О <^ ш, так что частоты стоксовых и антистоксовых компонент ближнего порядка оказываются сравнимыми с частотой падающего света: w ± sO ^ ш (исключение составляет эффект комбинационного рассеяния и дальнее крыло при РКЛР).
Под термином «вынужденное» рассеяние света мы будем понимать сложный процесс нелинейного взаимодействия световых волн и колебаний неэлектромагнитной природы, например, механических (звуковых) колебаний и волн. Наиболее характерным для вынужденного процесса является обратное воздействие световых волн на вещество, а именно, когерентная раскачка спонтанных, например, механических колебаний атомов в решетке. В качестве нелинейного эффекта, обеспечивающего такое воздействие, могут служить квадратичные по полю эффекты, такие, как эффект Керра, электрострикция и т.д. Так, в рассмотренном выше примере вследствие электрострикции (этот эффект заключается в появлении в веществе дополнительного давления, пропорционального квадрату приложенного к веществу электрического поля) возникает компонента давления на первоначальной частоте флуктуации:
Q Е2 = Hi exp [j (wt — kr)] Л| exp {— j [(w — О) t — (k — q) r]} + ... =
= Л1Л2 exp {j - qr]} + ... .
Это, в свою очередь, приводит к возрастанию амплитуды флуктуационной звуковой волны за счет перекачки в нее энергии из волны падающего света и, следовательно, к возрастанию амплитуды первой стоксовой экспоненты А2, снова к увеличению амплитуды давления (звука) Q и т.д. В результате происходит интенсивное нарастание в пространстве амплитуд волн звука Q и первой стоксовой компоненты Ai, а в ряде случаев может возникнуть нарастание указанных амплитуд во времени (генерация). Одновременно возникает возбуждение первой антистоксовой и высших комбинационных спектральных составляющих.
Перейдем к последовательному рассмотрению основных процессов спонтанных и вынужденных рассеяний света.
4.2 Общая характеристика процесса взаимодействия электромагнитных волн с колебаниями
решетки кристаллов
Ниже мы рассмотрим взаимодействие электромагнитных (световых) волн с механическими колебаниями решетки в кристаллах. В литературе такие взаимодействия часто называют фотон-фононными взаимодействиями (фонон-квант поля колебаний кристаллической решетки, по аналогии с фотоном-квантом электромагнитного поля).
В отсутствие каких-либо внешних сил атомы (или ионы) в кристалле закреплены в узлах решетки кристалла и могут колебаться около своих положений равновесия под действием тепловых флуктуаций. Атомы (ионы) очень прочно связаны друг с другом, так что нельзя рассматривать тепловые колебания отдельно взятого, независимого атома или иона; колебательные движения атомов носят коллективный характер, в нем принимают участие все атомы одновременно [1,2].
Рис. 4.1
Для более четкого представления о характере таких свободных (тепловых) колебаний в кристалле воспользуемся моделью кристалла в виде одномерной цепочки одинаковых атомов, расположенных на расстояниях а друг от друга (рис. 4.1). Пусть £п — смещение n-го атома относительно
положения равновесия и и ^п) — потенциальная энергия n-го атома в точке ^п. Атом с номером п будет отталкиваться от соседнего (п + 1)-го атома и притягиваться соседним (п — 1)-м атомом. Так как межатомные силы быстро убывают с расстоянием, то взаимодействием n-го атома с другими (п ± 2, п ± 3, ...) атомами можно пренебречь. В результате воздействия (п — 1)-го и (п + 1)-го атомов на n-й атом действует сила [2]
Разложим потенциальную энергию п(£п)в ряд по степеням £п:
х9а .1 92а
U — П (0) + 7-—" €n + X "Д7У • £,п + • ' •
6г=0Z ^=0
Оставляя члены порядка не более второго и учитывая, что в точке ^п = 0 величина п(£п) имеет минимум (положение равновесия), т.е. <9п/«9^п|^=0 = 0, получаем
где и = d2u/d^2|^ =0 — так называемая упругая постоянная кристалла. Откуда следует, что
(4.2)
Выражение (4.2) получено в предположении, что при смещении п-го атома соседние атомы остаются в покое. Однако из-за взаимодействия между атомами (п + 1)-й атом смещается (отталкивается) на величину ^n+i, а (п — 1)-й притягивается на величину £п-ь Полное изменение расстояния между n-м атомом и соседними равно (£n+i - 6J + (€n^i - ^ = €n+i + + €n-i ™ 2^п; при этом, в соответствии с (4.2), на n-й атом будет действовать сила
^п —(^п+1 + £п-12^п) .
Уравнение движения n-го атома с массой т имеет вид
т-^ = -х (£„+1 +- 2^).(4.3)
at"
Смещение (п + 1)-го атома приведет к смещению (п + 2)-го атома и т.д., т.е. под действием первоначального смещения n-го атома вся цепочка придет в движение. Так как номер п был выбран нами произвольно, то для изучения движения всей решетки достаточно исследовать движение п-го атома. Граничные условия выберем в предположении, что через каждые Ж атомов картина движения повторяется (условие периодичности):
Будем искать решение уравнения (4.3) в виде бегущих волн:
^„ = л exp [j (wf - kz^ ,(4.4)
где z = па — текущая координата. Подставляя (4.4) в (4.3), имеем
mw2^n = х (2£п - £n exp (jka) - Р exp (-jka)),
ИЛИ
тш2 = 2х [1 — cos (Zea)] = 4м sin2 (Zea/2).
Отсюда для частоты волн, способных распространяться в цепочке атомов, получаем
си = 2 у7и)т sin (Zea/2).(4.5)
Из условия периодичности с учетом (4.4) имеем: exp(jZeaiV) = ±1, откуда
ki = Бгтг/aN,(4.6)
где г = 1, 2, 3,... ,2V.
Соотношение (4.6) дает значения волновых чисел ki волн, распространяющихся в системе. В соответствии с (4.5), частоты этих волн равны
ар = 2 у7я/т sin (A^a/2).(4.7)
Таким образом, частоты и волновые числа волн, способных распространяться в системе, пробегают дискретный ряд значений. Однако, так как число N весьма велико, то расстояние между соседними волновыми числами равно
Nk = кгрх — ki = 2тг/(а2У) <^ кр
так что величины Wi и ki можно в первом приближении считать непрерывно изменяющимися. Зависимость ш(к), т.е. дисперсионная характеристика цепочки атомов, представле
на на рис. 4.2. Значения к изменяются в пределах:
тг/а = ктхп к ктах = -Хтг/а.
Зону изменений волнового числа на отрезке [—тг/a;+тг/а] называют первой зоной Бриллюэна; значениям к, выходящим за пределы этой зоны, в силу (4.7), соответствуют те же частоты. Частота колебаний ограничена сверху значением
^тах — 2 у7х/ ПЪ.
Всего в цепочке имеется 2N бегущих волн (половина волн, соответствующая положительным значениям ki, бежит в сторону z > 0, другая половина — в сторону z < 0). Длины волн определяются соотношением:
Xi = 2^/ki = 2Na/i.
Самая длинная волна, Ai = 2Na, соответствует случаю г = 1 (на всей цепочке атомов длиной Na укладывается одна полуволна колебаний). Значениям г = 2,3,... соответствуют более короткие волны, но при этом на
цепочке всегда укладывается целое число полуволн. Подчеркнем, что для данного номера колебаний I (не путать с номером атома п) все атомы цепочки колеблются с одинаковой частотой ^, не зависящей от номера атома п.
Скорость распространения г-й волны равна
Ша 2 Ги . / Ъа\
==81П — L
т \ 2 )
Для малых скоростей, т.е. для весьма длинных волн (А^ >> а, к^а <^ 1) скорость распространения на всех типах колебаний одинакова:
~= aVх/т.(4.8)
В формуле (4.8) справа стоит не что иное, как скорость распространения упругих (звуковых) волн в веществе (скорость звука). Таким образом, скорость распространения длинных колебаний атомов совпадает со скоростью звука; дисперсионное уравнение (4.7) при этом имеет вид
ш.[ akt ^х)т =
(прямая на рис. 4.2).
Самая короткая длина волны Kn = 2а соответствует случаю г = N (на всей цепочке атомов длиной Na укладывается N полуволн). Этой длине волны соответствуют максимальные значения частоты wmax и скорости распространения
Ушах = (2a/7r)V^/^ = З^о/тГ <
Таким образом, более короткие волны распространяются медленнее, чем более длинные; здесь проявляется дисперсия скорости звука.
Перейдем к рассмотрению одномерной цепочки неодинаковых атомов. Такой переход правомерен в связи с тем, что кристаллы, построенные из одинаковых атомов (молекул), в природе встречаются весьма редко. В состав решетки обычно входят атомы с разными массами, разной химической природой и т.д.
Рассмотрим цепочку из поочередно расположенных на одинаковом расстоянии атомов с массами mi и т^ и одинаковой упругой постоянной и (рис. 4.3).
Уравнения движения в этом случае имеют вид
= х(2£п - г)п -,(4.9)
(4.10)
где £,п и тщ — смещения атомов от положения равновесия.
Ищем решения уравнений (4.9), (4.10) в виде
^ = A exp[j - kvn.ap
(4.И)(4.12)(4.И)(4.12)Рис. 4.3Рис. 4.3-q^ = Bi exp[J (wit - к4па)У
(4.И)
(4.12)
(4.И)
(4.12)
Рис. 4.3
Рис. 4.3
Подставляя (4.11), (4.12) в уравнения (4.9), (4 Л 0) и исключая амплитуды
Ai, В^, получаем дисперсионное уравнение:
4 sin2 (kia)4 sin2 (kia)трггщтрггщ(4ЛЗ)(4ЛЗ)
4 sin2 (kia)
4 sin2 (kia)
трггщ
трггщ
(4ЛЗ)
(4ЛЗ)
Как и для случая цепочки одинаковых атомов, дискретный ряд частот и волновых чисел здесь можно считать непрерывным. Дисперсионная кривая представлена на рис. 4.4. Она имеет две ветви. Поведение нижней ветви практически не отличается от поведения дисперсионной кривой для случая цепочки одинаковых атомов (рис. 4.2); эту ветвь называют акустической.
Рис. 4.5Рис. 4.5
Рис. 4.5
Рис. 4.5
Верхняя ветвь обнаруживает совершенно иное поведение и лежит в области значительно более высоких частот, чем акустическая ветвь; верхнюю ветвь называют оптической ветвью.
При малых ki (kia^ 1) дисперсионная акустическая ветвь соответствует формуле:
од £3 к а
(прямая на рис. 4.4). При к -У 0 мы здесь имеем шх 0. Для оптической ветви при малых ki получим
~= «2x(l/mi + l/m2).
Нетрудно видеть, что
ш?ах » <ах = УЩУн+тр
Минимальная частота оптической ветви равна ш™1П = р~Щт\, и если _771-2, то се2ж .
Дисперсионная кривая для цепочки неодинаковых атомов в случае длинных волн (ki а <С1) представлена на рис. 4.5. Характерным является тот факт, что в этой области частота оптических колебаний решетки постоянна и не зависит от величины к.
Вместо терминов «оптическая ветвь», «акустическая ветвь» часто используют термины «ветвь оптических фононов», «ветвь акустических фононов». В том и другом случае речь идет о колебаниях решетки (фононах), однако если максимальная частота акустических фононов лежит в диапазоне 1010-^ЮпГц (гиперзвуковой диапазон), то частота оптических фононов составляет величину 1012 V1013 Гц и лежит в диапазоне, совпадающем по частоте с ИК-диапазоном световых волн.
Движение соседних атомов с массами mi и т^ при акустических колебаниях происходит в близких фазах и в одном направлении; при оптических колебаниях соседние атомы с массами mi и т^ движутся навстречу друг другу
До сих пор мы рассматривали одномерную цепочку, колебания атомов в которой могут происходить только в одном направлении — вдоль цепочки. Такие колебания целесообразно назвать продольными; соответственно, мы имеем продольные акустические и продольные оптические колебания атомов.
В реальном трехмерном кристалле кроме продольных волн возможны поперечные волны; в этом случае смещения атомов происходят в перпендикулярном направлении. Соответственно должны появиться поперечные акустические и поперечные оптические колебания атомов.
Очевидно, что величина упругой постоянной х для поперечных и продольных волн (xt и хр соответственно, от английских слов transverse — поперечный и longitudinal — продольный) будет различной, xt ^ х;. В кристалле могут распространяться несколько типов волн: продольные акустические, продольные оптические, поперечные акустические и поперечные оптические. Соответственно, дисперсионная кривая будет иметь несколько ветвей. Поперечные волны часто совпадают (в таком случае говорят о вырожденных поперечных волнах); типичный случай показан на рис. 4.6.
В литературе часто используются термины «продольные оптические фононы», «поперечные акустические фононы» и т.п.
Перейдем к рассмотрению взаимодействия электромагнитных (световых) и механических колебаний. Сразу же оговоримся, что наибольший
интерес для нас будут представлять длинноволновые фононы с длиной порядка длины волны света (ka < Ю-3); дисперсионные кривые фононов для этого случая были показаны на рис. 4.5. Физический смысл интереса именно к длинноволновым фононам может быть выяснен на базе следующих достаточно простых рассуждений. Вся первая зона Бриллюэна содержит волновые числа колебаний от нуля до значения 2тг/а ^ 108 см™1, что соответствует Л = 2тг • 10™8 см £з 6 А. В то же время волновое число света с А ^з 10™4 см =
= 1 мкм равно к ~ 6 • 104 см х. Из общих соображений ясно, что волно
вые распределения могут эффективно взаимодействовать лишь при близких значениях пространственных частот, т.е. при близких значениях волновых чисел. Именно поэтому нас будут интересовать лишь длинноволновые области фононных дисперсионных ветвей, представленные на рис. 4.5.
Очевидно, что прямое воздействие электромагнитных колебаний на механические возможно только в том случае, когда колебания атомов в ре
шетке сопровождаются изменением дипольного момента, т.е. изменением диэлектрической поляризованности. Этот случай реализуется, когда соседними частицами в решетке оказываются противоположно заряженные ионы (в качестве примера можно привести решетку кристалла NaCl); колебания ионов в решетке здесь приводят к их сильному взаимодействию с электромагнитным полем, если частота последнего совпадает с частотой собственных колебаний ионов. В этом случае на этой частоте наблюдается ИК-линия поглощения поля веществом. Наиболее сильно взаимодействуют с электромагнитным полем оптические фононы, так как движения соседних ионов здесь происходят навстречу друг другу; движения соседних ионов на акустических частотах направлены в одну сторону, и изменение дипольного момента здесь практически отсутствует.
Если же в узлах решетки закреплены нейтральные атомы, то при их движении изменение дипольного момента не происходит, и прямое взаимодействие света с такими колебаниями полностью исключено как для акустических, так и для оптических фононов. Другими словами, такие колебания не проявляются в ИК-спектрах поглощения вещества.
В обоих случаях тепловые флуктуационные колебания частиц (атомов или ионов) в решетке приводят к модуляции коэффициента преломления вещества во времени на частотах акустических и оптических фононов. Световая волна, распространяясь в веществе с переменным коэффициентом преломления, рассеивается на изменениях коэффициента преломления со
сдвигом частоты — появляются стоксовы и антистоксовы спектральные компоненты. В таком случае говорят, что «фотон рассеивается на фононе». Такая чисто модуляционная трактовка процесса рассеяния соответствует случаю спонтанных рассеяний.
Спонтанное рассеяние световых волн на акустических фононах называется спонтанным рассеянием Мандельштама-Бриллюэна (СРМБ), а спонтанное рассеяние света на оптических фононах — спонтанным комбинационным рассеянием (СКР); последнее часто называют также рамановским рассеянием.
Если созданы условия для когерентного взаимодействия световых и механических тепловых колебаний, то последние значительно усиливаются: возникают мощные волны колебаний ионов (атомов) на частотах акустических и оптических фононов. Такие процессы, как уже указывалось, называются вынужденными процессами рассеяния: вынужденное рассеяние Мандельштама-Бриллюэна (ВРМБ) и вынужденное комбинационное рассеяние (ВКР).
В случае, когда колебания на частотах оптических фононов сопровождаются изменением дипольного момента (в таком случае говорят, что эти колебания являются оптически активными), в вынужденном процессе рассеяния света участвуют не только мощные механические колебания, но и электромагнитная (ИК-световая) волна на частоте оптических фононов. Такой процесс называется вынужденным поляритонным рассеянием (поляритон — квант смешанного электромагнитно-механического поля колебаний оптических фононов).
Перейдем к рассмотрению отдельных видов вынужденных рассеяний света.
4.3 Вынужденное комбинационное рассеяние света
Колебания атомов в молекулах, не приводящие к изменению дипольного момента (поляризованности) вещества, первоначально носят флуктуационный (тепловой) характер и модулируют во времени коэффициент преломления среды на частоте оптических фононов. Рассмотрим этот механизм более подробно. Поскольку коэффициент преломления на частоте видимого света определяется электронными колебаниями, то влияние колебаний атомов на показатель преломления может возникнуть только при учете нелинейного взаимодействия атомов и электронов в молекуле (в линейном приближении атомные и электронные колебания совершаются независимо).
Пусть у — смещение электрона, а ^ — смещение атома относительно их положений равновесия. Потенциальная энергия для изотропной молекулы с учетом нелинейного взаимодействия электронных и атомных колебаний имеет вид
и ~ ^у + ^Г + а«3 + «гГ + азУу + а4£,У + • • • (4.14) (х и у — упругие постоянные атомов и электронов соответственно).
Члены с коэффициентами «1, а^ определяют нелинейную ионную и электронную квадратичную поляризуемость, члены с коэффициентами «з, «4 описывают нелинейное взаимодействие атомных и электронных колебаний. Нас интересует член сг^2, определяющий эффект комбинационного рассеяния, поэтому остальными членами третьего порядка в (4.14) мы пренебрежем.
Уравнения движения атомов с массой М и электронов с массой т при наличии светового электромагнитного поля имеют вид
2(4.15)
+ ^47 + м€ + «4^/2 = 0, at2 at
здесь R — параметр затухания.
При написании (4.15) мы учли, что световое поле на атомы непосредственно не действует.
Пусть в среде под действием флуктуаций возникли колебания атомов на частоте оптических фононов шз:
€ W = | Ко exp (зш2^ + к.с.].
Световое поле Е = | [Лехр^'шоЭ + к.с.], где шо — частота света, раскачивает оптически активные электроны на внешней боровской орбите атома, так что в отсутствие нелинейности (а4 = 0) электроны совершают колебания по закону:
У (0 = I [у0 ехр ЦшоО + К.с.].
В нелинейной среде из-за наличия нелинейного взаимодействия, описываемого членами 2«4^ в первом уравнении системы (4.15), возникают новые спектральные компоненты колебаний электронов:
2о4'у = |«4 {уо^о ехР К (шо - w2) t\ + уоСо exp [J (w0 + w2) i] + к.с.} .
Оптически активные колебания электронов на стоксовой и антистоксовой частотах (шо ± W2) приводят к появлению электромагнитного светового поля на этих частотах — в спектре рассеянного света появляются стоксова и антистоксова компоненты.
Описанный процесс является известным в линейной оптике процессом спонтанного комбинационного рассеяния (СКР). В процессе СКР тепловые колебания в веществе модулируют световые волны, однако обратное воздействие света на вещество пренебрежимо мало.
Указанное обратное воздействие возникает из-за той же нелинейной связи колебаний электронов и атомов и описывается членом сод2 во втором
уравнении системы (4.15). Теперь в спектре колебаний электронов содержатся три частоты — световая, стоксова и антистоксова:
уР = ^{уо ехр ^шЩ + У1 ехР \_3 Уо - шг) ^] +
+ у2 ехр [J (ш0 + ш2) £] + к.с.}.
Нелинейный член «4 у2 примет вид
«4У2 = ^«4 (уоУ? ехр (J [ш0 - (шо - шг)] <) + ...} =
= ^a4{yoyi*exp(jw2i) + ---} (4.16)
(остальные члены в (4.16) нас не интересуют). Итак, во втором уравнении (4.15) появилась вынуждающая сила на частоте ш2 колебаний атомов. Вследствие этого, последние начинают когерентно раскачиваться, амплитуда ^о возрастает во времени, что приводит к росту амплитуд стоксовой и антистоксовой компонент. В свою очередь, это приводит к возрастанию амплитуды вынуждающей силы (4.16), к еще более быстрому нарастанию амплитуды £0 и т.д. Описанный процесс является уже вынужденным процессом комбинационного рассеяния (ВКР).
Рассмотрим процесс ВКР более подробно. Пусть на вещество падают две световые волны — накачки на частоте шн и стоксова компонента на частоте шс = шн — ш^, где ш2 — частота атомных колебаний:
Е = Ен + Ес = | {рнЛн ехр \j yat - kHr)] +
+ рсЛс ехр [j yct - kcr)] + к.с.},
где рн,с — единичные векторы ориентации электрического вектора волн.
В результате вывода укороченных уравнений имеем
Pc—V = Зс (РнРс) рнЛ*ЛсЛн,(4.17)
az
dA
Рн—V =(РнРс) РЛД:^,(4.18)
az
где 3c, 3h — коэффициенты нелинейной связи, пропорциональные параметру нелинейности «4. Интересно отметить, что уравнения (4.17), (4.18) не содержат множителей с волновой расстройкой:
Zk — kH kc кф,
где кф — волновой вектор волны оптических фононов. Это связано с тем обстоятельством, что дисперсионная двумерная поверхность сэ(^, ку) представляет собой плоскость, параллельную плоскости кгку и отстоящую от нее на расстояние Шф = ш™ах (эта плоскость представлена на рис. 4.7, см. также рис. 4.5). Поясним рис. 4.7 более подробно.
Дисперсионная поверхность электромагнитных волн ш^ в пространстве ш, kzs ky представляет собой конус ш = ск/п. Частоте ОЕ = = си = син соответствует некоторый вектор накачки ОВ, называемый
дисперсионным вектором накачки. Его проекции на плоскость kzky дают составляющие вектора кн (на рис. 4.7 |кн| = к* = ОС, к^ = = 0).
Пусть мы наблюдаем рассеянную стоксову волну в некотором произвольном направлении, соответствующем волновому вектору DC = kc. Условие синхронизма состоит в том, чтобы нашелся вектор OD = кф волны оптических фононов, который по частоте Шф = шн — шс замкнет треугольник OCD. Но так как частота Шф не зависит от вектора кф, то такой вектор найдется всегда. Другими словами, стоксово излучение распространяется в любом направлении в синхронизме; таким образом, А = 0 независимо от направления наблюдения.
При коллинеарном распространении волн
накачки и стокса (наблюдение «вперед») в приближении заданного поля накачки (Лс (г) Ан (0)) из уравнения (4.17) имеем
(0)|2Лс.
az
Решение этого уравнения имеет вид
Ас (0 = Лс (0) ехр (/?с |ЛН (0)|2 г) . (4.19)
Из формулы (4.19) видна сильная зависимость амплитуды стоксовой компоненты от интенсивности накачки. Если учесть потери на стоксовой частоте, то экспоненциальное нарастание будет иметь место лишь при условии:
|Лн(0)|2 > |Лн(0)|^ор =
Экспоненциальный закон роста амплитуды стоксовой волны (4.19) позволяет создать генератор на вынужденном комбинационном рассеянии; для этого исследуемое вещество помещается в интерферометр Фабри- Перо. Для нахождения стационарных решений для такого генератора приближение заданного поля неприменимо, необходимо решать полную систему уравнений (4.17), (4 Л 8) с учетом граничных условий на зеркалах интерферометра.
Простейшие формулы, написанные выше, призваны только пояснить основные характеристики процесса ВКР. В реальных условиях ситуация осложнена целым рядом факторов, в том числе генерацией стоксовых и антистоксовых компонент высшего порядка. Для исследования процесса ВКР
в целом необходимо решать систему связанных уравнений. Ниже мы кратко рассмотрим влияние на процесс ВКР генерации первой антистоксовой компоненты.
Пусть дополнительно к полю Е генерируется волна на антистоксовой частоте:
Еа = I {РаЛ exp Vj W - kar)] + к.с.}.
Укороченные уравнения в приближении заданного поля накачки (т.е. Аа (г), Ас (г) А (0)) имеют вид
ДА
= ЯЛ {АЛ exp 0А1Г) + ЛА} ,(4.20)
аг
= {АЛ ехр 0А1Г) + АЛ) ,(4.21)
аг
где Ai = кс + ка — 2кн — вектор волновой расстройки.
Полагая ус = Я |Л (0)|2, 7а = Я |Л (0)|2, Ai = 0, перепишем уравнения (4.20), (4.21) в виде
ДА
- 7с (А + ла),(4.22)
аг
ДА
-^ = -7а(Л + Л).(4.23)
аг
Из уравнений (4.22), (4.23) получаем, что амплитуды стоксовой и антистоксовой компонент имеют инкремент, или показатель нарастания:
g = 7с ™ 7а < 0
(так как шс < ша). Следовательно, при выполнении синхронизма усиление этих компонент ВКР отсутствует, что является следствием весьма сильной нелинейной связи между стоксовой и антистоксовой акомпонентами. Пороговая мощность накачки в на
Г правлении точного синхронизма в реальных условиях не может быть достигнута.
При отходе от направления синхронизма (рис. 4.8) усиление быстро возрастает, а порог падает. Излучение антистоксовой компоненты характеризуется наличием темного кольца в направлении । д т । точного синхронизма и яркими кольцами в направ- !► лениях, смещенных относительно направления синхронизма.
Рис. 4.8Интересно отметить, что описанное явление ис
чезает, если в рассмотрение включить еще одну волну (например, вторую стоксову компоненту). При этом оказывается, что радиус кольца излучения зависит от частоты антистоксовой волны. В заключение заметим, что реальная картина процесса КР оказывается намного сложнее (см. ниже).
Вынужденное рассеяние Мандельштама™ Бриллюэна
Вынужденное рассеяние Мандельштама-Бриллюэна (ВРМБ) возникает
как взаимодействие электромагнитных волн (фотонов) с акустическими колебаниями решетки (акустическими фононами). Рассматривая дисперсион
ные кривые ВРМБ, мы должны взять нижние ветви первой зоны Бриллюэна (см. рисунки 4.5, 4.6). По-прежнему рассматриваем случай длинноволновых фононов.
Дисперсионные поверхности электромагнитных и гиперзвуковых волн представлены на рис. 4.9. Световая волна по-прежнему распространяется по оси г. В отличие от случая ВКР, здесь частота гиперзвука зависит от волнового вектора (конус М на рис. 4.9), и наблюдение стоксовой волны заданной частоты шс = шн — О, где О — частота гиперзвука, возможно лишь в определенном направлении, определяемом условиями синхронизма.
Перейдем к рассмотрению основных принципов СРМБ и ВРМБ.
Тепловые флуктуации на частоте гипер
звука возникают и релаксируют во времени;
например, возникшая флуктуация давления рассасывается со скоростью распространения упругого возмущения. Временные изменения неоднородностей приводят к временным изменениям в интенсивности рассеянного света; другими словами, изменение неоднородностей среды во времени приводит к мо
дуляции рассеянного света.
Рассмотрим изотропную среду (жидкость). Если среда предоставлена самой себе, в ней существуют дебаевские флуктуации давления Ар. Такое тепловое поле давления можно представить набором волн:
^р^рA (pq, О) ехр У (Ш - Qqf)] dQ dq^,
^р
^р
где О, qq — частота и волновой вектор акустических фононов, т.е. волны давления, qa = Пи0 1, vq — скорость звука в среде на частоте О; A (q^, О) — функция распределения интенсивности волн давления.
Диэлектрическая оптическая проницаемость среды складывается из невозмущенной части so и малой добавки As, вызванной флуктуациями давления:
гдегде(4.24)(4.24)s — sq Т As,
где
где
(4.24)
(4.24)
14 В. Г. Дмитриев
А. Эйнштейн показал, что вторым членом в (4.24) можно пренебречь, в связи с чем диэлектрическая проницаемость е среды равна:
ds .
е so + —dp гр
Соответственно, для вектора поляризованности среды Р = хЕ имеем
(so - 1) Е 1 8е _ лР -К — ЕАр.
4тг 4тг up Т
Для монохроматической волны, падающей на среду,
Е = pl {Лн ехр У yHt - kHr)] + к.с.} ,
вектор поляризованности Р содержит компоненты боковых (комбинационных) частот шн ± О; следовательно, те же компоненты появятся и в спектре рассеянного света. При этом данные комбинационные частоты будут усиливаться только при выполнении условия синхронизма (условия Брегга):
кШи±о =kH±qQ.(4.25)
Условие (4.25) можно также трактовать как закон сохранения импульса при взаимодействии двух фотонов (возбуждающего рассеянного света) и акустического фонона.
Поскольку Ю < шн, то, пренебрегая небольшим изменением волнового вектора при рассеянии и полагая |kWH±Q| ^з |кн|, получаем (рис. 4.10):
илио
о 2v0 . 0
О = шн sin—,(4.26)
^СВ 2
где г0 и гсв — скорости звука и света в среде. Соотношение (4.26) показывает, что данному углу наблюдения О при заданной частоте возбуждающего света шн соответствует определенная частота звуковых колебаний (частота гиперзвука) О; наибольшее смещение световой частоты будет наблюдаться при О = 180°, т.е. когда смещенная световая компонента распространяется в направлении, обратном направлению распространения возбуждающей волны света. Направления распространения возбуждающего света и гиперзвука в этом случае совпадают (рис. 4.10).
Частота О имеет порядок 2-109 1011 Гц; волны звука с такими высокими частотами названы «гиперзвуковыми».
Фактически, здесь мы имеем дело со своеобразным эффектом Доплера; частота света меняется при отражении от бегущей упругой волны, как от движущегося зеркала. В спектре рассеянного света появляется дублет Мандельштама-Бриллюэна (рис. 4.11); можно показать, что полуширина линий дублета 5ш пропорциональна sin (0/2). С ростом коэффициента поглощения гиперзвука величина 8ш линейно возрастает.
Наблюдение смещенных компонент в явлении СРМБ в направлениях О = 0 и 180° весьма затруднительно из-за паразитного света накачки, а в направлении О = 0° и из-за того, что частота смещения при этом равна нулю; как правило, наблюдение СРМБ производится под углами 20-160° к направлению распространения возбуждающего света.
Рис. 4.10Рис. 4.11
Итак, под спонтанным рассеянием Мандельштама-Бриллюэна следует понимать рассеяние света на флуктуациях диэлектрической проницаемости, вызванных, в свою очередь, флуктуациями давления (волнами гиперзвука) с частотами 109™10и Гц; рассеяние при этом носит «модуляционный» характер, а обратное воздействие света на звуковые волны пренебрежимо мало. Явление СРМБ реализуется для слабых световых волн.
Перейдем к рассмотрению явления вынужденного рассеяния Мандельштама-Бриллюэна (ВРМБ). Основным отличием ВРМБ от СРМБ является обратное влияние световых волн на флуктуации давления (плотности); результатом такого влияния является когерентное нарастание амплитуды волны гиперзвука. ВРМБ реализуется в сильных световых полях лазеров и, в отличие от СРМБ, носит пороговый характер.
Механизм обратного влияния света на звук связан с явлением электро™ стрикции, т.е. с изменением объема (деформацией) тела под действием электрического поля [3]. При электрострикции деформация пропорциональна квадрату электрического поля, в отличие от так называемого обратного пьезоэффекта, линейного по полю.
Электрострикция характеризуется коэффициентами электрострикции — в общем случае тензорами 4-го ранга; последние являются коэффициентами связи между тензором напряжения tij и тензором квадрата напряженности электрического поля:
^ijmn^m^n •
Электрострикционная деформация не зависит от знака электрического поля и имеет место для всех диэлектриков — твердых, жидких, газообразных. Коэффициенты электрострикции hijmn весьма малы (^ 10”12 СГСЭ), в связи с чем высокочастотная электрострикция проявляется лишь в интенсивных лазерных световых полях.
Избыточное давление в среде под действием поля Е, названное электро стрикционной деформацией, равно [3]:
1 де1 деЕ2,Е2,(4.27)(4.27)
1 де
1 де
Е2,
Е2,
(4.27)
(4.27)
где р — плотность вещества, значок s характеризует адиабатические (изо™ тропийные) флуктуации плотности.
Для сфокусированного солнечного луча (Е ю5 В/см) избыточное давление достигает примерно 5 • 10™3 кг/см2, в то время как в сфокусированном лазерном луче (Е ~ 108—109 В/см) р ~ 5 • 10+5 кг/см2!! Видно, что луч лазера способен вызвать гигантские импульсы давления в среде, так что электрострикция, не играющая роли в обычных условиях, здесь становится определяющим явлением.
Рассмотрим грубую модель ВРМБ. Под действием случайных флуктуаций плотности вещества световое поле содержит несмещенную компоненту рнЛнехр [j (ajHt — kHr)] и две смещенных компоненты — стоксову рсЛс exp{j [(ссн — О) t — kcr]} и антистоксову раЛаехр{Д(сс0 + ПД— —kar]}. Напомним, что смещенные по частоте компоненты с амплитудами Лс и Аа возникли в результате рассеяния света под углом Брэгга, т.е. в результате модуляции света звуковой волной с частотой О и волновым вектором q^. Итак, поле Е в формуле (4.27) для электрострикционного давления имеет три частотные компоненты: ащ и шн ± fl Подставляя эти компоненты в (4.27) и производя возведение в квадрат, получаем, что давление р в среде складывается из составляющих на частотах ссн, 2ссн, Q, 2Q. Звуковые волны на частотах шн и 2ссн распространяться не могут; поэтому можно записать:
1 / Эе \
р = — р— (рнрсАнЛ1 exp у [Qi - (kH - kc) г]} +
отг \ dp )g
+ ААехрЦ [Qi - (ka - kH) r]} + АсЛаехрЦ [2Qi + (kc - ka) r]}).
Здесь, в силу условия Брэгга, kH — kc = qn, т.е. в результате электрострикции усиливается волна гиперзвука той же частоты и фазы, что и звуковая волна, которая вызвала стоксову волну рассеянного света; антистоксова компонента здесь не усиливается.
Полная и последовательная классическая теория ВРМБ в жидкости может быть дана на основе совместного решения системы уравнений Максвелла и гидродинамики. Далее, как и в рассмотренных нами ранее случаях генерации гармоник, параметрической генерации света и т.п., следует вывести укороченные уравнения для амплитуд взаимодействующих волн. Рассмотрим приближение заданного поля возбуждающего света (изменением поля Ан по длине z в направлении распространения можно пренебречь). Для случая наблюдения в интервале 0^0^ 90° (рис. 4.12, проекции волновых векторов q^ и ki = кШн_^ на ось 2 имеют одинаковое направление — случай «прямых» волн) получаем два уравнения для амплитуд
давления и поля стоксовой компоненты:
d Адо*
рс М + ^сРн Л (0) р* = 0,—jo-QpcpHЛсЛ* (0) = 0,(4.28)
azaz
где
деЭрдеЭр1 Эр pdp1 Эр pdpдеде2 cos(kcz)2 cos(kcz)<tq = р— др<tq = р— др16тг cos (qHz)"16тг cos (qHz)"
де
Эр
де
Эр
1 Эр pdp
1 Эр pdp
де
де
2 cos(kcz)
2 cos(kcz)
<tq = р— др
<tq = р— др
16тг cos (qHz)"
16тг cos (qHz)"
Решение системы (4.28) при граничных условиях Лс(0) = 0, р(0) = ро имеет вид (не путать давление р с векторами поляризации рс!):
[Л (г)]2 = (ТсСТрр^ sh2 [Лн (0) V^cO-Q 2] ,
Р2 У = Ро ch2 [Л (0) ММ г] .
Итак, интенсивности стоксовой компоненты светового поля и давления (волны гиперзвука) для случая 0^0^ 90° растут экспоненциально с расстоянием (рис. 4.12). Для возбуждения генерации такую среду следует заключить в резонатор.
Рис. 4.12Рис. 4.12Рис. 4.13Рис. 4.13
Рис. 4.12
Рис. 4.12
Рис. 4.13
Рис. 4.13
При наблюдении рассеянного света в интервале углов 90 ^ О ^ 180° (рис. 4.13) проекции волновых векторов qq и kc = k^H_Q на ось z противоположны по направлению (случай «обратной» стоксовой волны), и решение укороченных уравнений имеет вид (Ас(1^ = 0, р(0) = ро):
^ОрРо^ОрРоsin2 [Лн (0) V<jcan (г - 0]
^ОрРо
^ОрРо
COS2 [Л(о)«^
2 ( \2Р М =Р02 ( \2Р М =Р0cos2 [Дн (0) V^c^Q ^]cos2 [Дн (0) V^c^Q ^]cos2 [Лн (0) уасап (z ™ /)]
2 ( \2
Р М =Р0
2 ( \2
Р М =Р0
cos2 [Дн (0) V^c^Q ^]
cos2 [Дн (0) V^c^Q ^]
Зависимостир2 и Л2 от z показаны на рис. 4.13. Существенно подчеркнуть, что при
,кр 2V^^H (0)
система становится неустойчивой во времени и без резонатора, возможна генерация гиперзвуковой волны и волны стоксовой частоты (абсолютная неустойчивость). Термин «абсолютная неустойчивость» противопоставляется здесь термину «конвективная неустойчивость», которому соответствует обычное экспоненциальное усиление волн по длине и обычная «лазерная» генерация при помещении такой среды в резонатор.
Взаимодействие стоксовой и антистоксовой волн с одной и той же упругой волной возможно только при малых углах рассеяния. Действительно, в этом случае имеем
(4.29)(4.29)kc + qn = кн, кн + qQ = к.
(4.29)
(4.29)
Если qq — здесь один и тот же вектор, то, складывая почленно (4.29), имеем условие синхронизма для четырех световых волн:
кс + ка — 2кн,
что возможно, ввиду близости кс,а и кн, лишь при малых углах (рис. 4.14), определяемых дисперсией света в среде.
Учитывая затухания на частотах света и гиперзвука 5С и д^, заметим, что на практике всегда реализуется случай 5q >• дс, т.е. затухание гиперзвука
при комнатных температурах существенно
Рис. 4.14Рис. 4.14превосходит потери света. Так, для жидкости 5q 104см”1, для кристаллов 5q
Рис. 4.14
Рис. 4.14
102-103)см”1 при 4 < 1см”1. Поэтому порог генерации (абсолютной неустойчивости) при наблюдении назад (180°) оказывается весьма большим; например, для бензола
при освещении гигантским импульсом рубинового лазера порог абсолютной неустойчивости при ВРМБ равен ~ 7 • 105 МВт/см2 = 700ГВт/см2, что на много порядков больше, чем порог обычной генерации ВРМБ (~ 10 МВт/см2).
Такие высокие пороги объясняются высокими коэффициентами погло
щения гиперзвука в средах при комнатной температуре и требуют применения лазеров с весьма короткими гигантскими импульсами излучения, однако, при этом ВРМБ будет происходить в существенно нестационарном режиме. Для получения гиперзвуковой генерации в режиме абсолютной неустойчивости необходимо уменьшение коэффициента потерь гиперзвука 5q. На рис. 4.15 показана зависимость 5^ от температуры для кварца. При температуре жидкого гелия пороговая интенсивность «абсолютной неустойчи
вости» может быть достигнута для лазеров в режиме свободной генерации
и даже для непрерывного режима.
Естественно, что при генерации интенсивных гиперзвуковых и стоксовых волн приближение заданного поля возбуждающего света может оказаться неприменимым, необходимо учитывать изменение поля Лн в пространстве и времени. Следует в целом подчеркнуть сходство математических аппаратов ВРМБ и параметрического усилителя света (прямой и обратной волн).
Явление ВРМБ в твердых телах имеет свои особенности: 1) здесь могут быть не только продольные, но и поперечные звуковые волны; 2) из- за анизотропии компоненты ВРМБ в определенных направлениях могут пропадать; 3) из-за двулучепреломления сдвиг частоты появляется и при рассеянии вперед (О = 0°); 4) могут наблюдаться более сложные эффекты — ВРМБ на магнонах (спиновых волнах в ферромагнетике), плазмонах (электронах проводимости) и т.д.
Резюмируя, отметим, что основными отличиями ВРМБ от СРМБ являются: 1) появление в ВРМБ обратного воздействия световых волн на акустические через эффект электрострикции; 2) когерентное нарастание гиперзвуковой и стоксовой волн с расстоянием.
Экспериментальное исследование ВРМБ производится, как правило, под углами О = 180°. Частотный сдвиг регистрируется при помощи интерферометра Фабри-Перо; при этом на пленке регистрируются кольца как возбуждающего света, так и стоксовой компоненты. Лазер должен иметь одну высоко стабильную продольную моду, в противном случае картина на интерферометре замазывается. Если не принять мер предосторожности, возникают паразитные линии в спектре рассеянного света, затрудняющие интерпретацию результатов. Эти паразитные линии появляются в результате усиления лазером стоксовой компоненты и возбуждения ею новой (второй) стоксовой компоненты со сдвигом 2Q и т.д. Например, при ВРМБ в сероуглероде CS2 наблюдается до 16 компонент, укладывающихся в линию усиления рубина. Следует применять различные развязки между лазером и образцом или использовать скоростную фоторегистрацию. Хорошим примером полной развязки является использование для возбуждения ВРМБ второй гармоники лазера.
С рассеянием Мандельштама-Бриллюэна часто связывают разрушение твердых диэлектриков под действием интенсивного светового излучения. Действительно, этот эффект может играть определенную роль в процессе разрушения, так как довольно значительные мощности светового импульса перекачиваются в волну гиперзвука, которая сильно поглощается, вызывая напряжения взрывного характера. Такие напряжения способны вызвать разрушения или создать первоначальные условия, необходимые для разрушения твердого тела.
ВРМБ в различных веществах часто конкурирует с вынужденным комбинационным рассеянием (ВКР); при превышении низшего порога (либо ВКР, либо ВРМБ) начинается соответствующее рассеяние. При дальнейшем повышении мощности и достижении порога для второго рассеяния, первое, как правило, подавляется.
Вынужденное рассеяние света на поляритонах
Как уже указывалось, в некоторых кристаллах в узлах решетки находятся ионы — отрицательно или положительно заряженные атомы. Примером таких ионных кристаллов является NaCL При распространении в ионном кристалле волн оптических колебаний решетки (оптических фононов) происходит изменение дипольного момента молекул, а, следовательно, и поля- ризованности кристалла.
В результате этого явления оптические фононы в ионных кристаллах сильно взаимодействуют с внешним электромагнитным полем на частоте оптических фононов или возбуждают соответствующее электромагнитное излучение. Частота возбуждаемых электромагнитных волн попадает в ИК-диапазон; принято говорить, что такие механические колебания решетки ИК-оптически активны. Оптическая активность фононов приводит к тому, что фононные линии проявляются в спектрах поглощения вещества. На этих же фононах происходит и комбинационное рассеяние света. Можно, таким образом, утверждать, что описываемые колебания решетки ионных кристаллов являются одновременно и оптически-активными, и комбинационно-активными, они проявляются как в спектрах поглощения, так и в комбинационных спектрах вещества.
Мы видим, что в среде на частоте оптических фононов наблюдаются как механические, так и электромагнитные колебания, существует смешанное электромагнитно-механическое поле колебаний. Квант такого смешанного поля принято называть поляритоном. а смешанное комбинационно-параметрическое рассеяние света —рассеянием света на поляритонах.
При воздействии на такую среду лазерного излучения с длиной волны, лежащей, например, в видимом диапазоне, возникает комбинационное рассеяние на оптических фононах, т.е. возникает стоксова компонента света. Одновременно с механическими колебаниями решетки на частоте оптических фононов ссф возникает низкочастотная электромагнитная волна на той же частоте ссф. Эта волна взаимодействует с волной накачки на частоте шн и стоксовой волной на частоте сщ = ссн — ссф уже прямым образом — через квадратичную нелинейность среды, т.е. параметрически. Вследствие этого, для эффективного протекания процесса ВКР необходимо выполнение синхронизма для трех световых волн на частотах ссф, ссн, сэс:
кн = кф + кс (4.30)
В этом состоит одно из важнейших отличий поцесса рассеяния света на поляритонах от обычного процесса комбинационного рассеяния. Точно так же можно сказать, что отличие процесса рассеяния света на поляритонах от обычного (комбинационно-неактивного) процесса параметрической генерации света состоит в необходимости учета комбинационных членов, проявляющихся через кубическую нелинейность среды.
Следует отметить, что вследствие сильной связи между механическими и электромагнитными волнами на частоте оптических фононов нарушение
синхронизма (4.30) приведет к резкому ослаблению, а часто и к полному подавлению не только параметрического, но и комбинационного процессов.
Таким образом, для рассеяния на поляритонах в укороченных уравнениях следует учитывать как квадратичные (по полю) параметрические члены, так и члены третьего порядка, описывающие комбинационное рассеяние.
Запишем суммарное электрическое поле в кристалле в виде
Е = |{РнЛ exp У (шн1 - kHr)] + РсЛ exp [j (wct - kcrc)] +
+ рфЛф exp [j y^t - кфг)] + к.с.},
где Лф — амплитуда электрического поля световой (ИК) волны на частоте оптических фононов ссф. В приближении заданного поля (Лф(г), ДД2) С <С Лно) в отсутствие волновой расстройки для амплитуд Лф и Лс имеем
, + 7°"сЛн0Лф + зЗс | Лно | Лс = 0,(4.31)
7°"фЛН0Л* + 5фЛф = 0,7°"фЛН0Л* + 5фЛф = 0,(4.32)(4.32)
7°"фЛН0Л* + 5фЛф = 0,
7°"фЛН0Л* + 5фЛф = 0,
(4.32)
(4.32)
где ас,ф — коэффициенты нелинейной параметрической связи, пропорциональные тензору квадратичной поляризуемости; Зс — коэффициент нелинейной связи процесса комбинационного рассеяния, пропорциональный
тензору четвертого ранга. В уравнении (4.31) мы пренебрегли затуханием стоксовой волны, но не имеем права пренебречь затуханием волны на частоте оптических фононов (уравнение (4.32)). Это связано с тем обстоятельством, что электромагнитная волна на частоте ссф распространяется вблизи области поглощения кристалла (5ф — коэффициент поглощения).
Мы не ставим здесь задачу дать теорию вынужденного рассеяния света на поляритонах. Поэтому перейдем непосредственно к рассмотрению дисперсионных характеристик процесса.
Дисперсионные характеристики по
ляритонов, т.е. связанных электромагнитных волн и механических колебаний решетки, оказываются значительно более сложными, чем таковые для процессов комбинационного рассеяния и параметрической генерации (рис. 4.16).
На частотах, много меньших частоты оптических фононов, световое излучение (дальний ИК™диапазон) распространяется со скоростью гН4 = = с/у7^, где £ст — диэлектрическая постоянная в статическом электри-
ческом поле. На этих частотах решетка может колебаться под действием низкочастотного электромагнитного поля. Однако, так как эти частоты далеки от резонанса, то смещения ионов и энергия механических колебаний малы, большая часть всей энергии сосредоточена в электромагнитном поле. Другими словами, поляритон на этих частотах ведет себя подобно низкочастотному фотону (участок О А. см. рис. 4.16).
В области частот, близких к частоте поперечных оптических фононов ш^ световая волна не распространяется (групповая скорость ггр = Эш (Эк = 0), имеет место сильное поглощение света, почти вся энергия сосредоточена в механических колебаниях решетки. Итак, на частоте оптических фононов поляритон ведет себя как фонон (участок ВС).
В промежуточной области частот (участок АВ) энергия поля сосредоточена как в электромагнитном поле, так и в колебаниях решетки. Это промежуточное состояние системы и соответствует поляритонам — своеобразной смеси фотонов и фононов.
В запрещенной области частот между частотами поперечных ар и продольных ар оптических фононов электромагнитные волны не могут распространяться и поглощаться — в этой области свет полностью отражается.
На частотах продольных оптических фононов ар (участок DE) снова вся энергия сосредоточена в механических колебаниях решетки, поляритоны являются здесь продольными фононами. На промежуточном участке ЕЕ мы имеем смешанное фотон-фононное (поляритонное) состояние, а на частотах ш >• ар (ближний ИК™ и видимый диапазоны) поляритон выступает как высокочастотный фотон (участок ЕС). Заметим, что скорость распространения высокочастотного электромагнитного излучения больше, чем низкочастотного. Это связано с тем, что на низких частотах (участок О А) вклад решетки в поляризуемость, а, следовательно, и в диэлектрическую проницаемость, велик, а на высоких частотах решетка уже не успевает следить за быстрыми изменениями поля, ее вклад в поляризуемость мал (поляризуемость здесь носит, в основном, электронный характер); поэтому:
с с с
евч = 7== ™ = = Унч •у ^вч у ^СТ
В заключение отметим, что вынужденное рассеяние света на поляритонах весьма перспективно для создания эффективных перестраиваемых генераторов видимого света и перестраиваемых преобразователей дальнего ИК™излучения в видимый диапазон.
Вынужденное рассеяние света в крыле линии Рэлея
При изучении вынужденного рассеяния Мандельштама-Бриллюэна (ВРМБ) мы видели, что в спектре света, рассеянного веществом (изо™ тропной жидкостью или кристаллами), наблюдается тонкая структура ли™ нии рэлеевского рассеяния — так называемый дублет Мандельштама- Бриллюэна. Этот дублет не разрешается в обычных спектрографических
исследованиях и может быть обнаружен лишь при достаточно узкой линии возбуждающего излучения (около 0,1см™1) с помощью интерферометра Фабри-Перо. ВРМБ проявляется как взаимодействие света с акустическими фононами (частота порядка 1010 Гц), в связи с чем сдвиг стоксовой компоненты РМБ не превышает, как правило, величины примерно 0,2 см™1.
Экспериментальные исследования Рамана и др. в 1928 г. показали, что рэлеевская (несмещенная) компонента рассеянного света заметно уширена по сравнению с возбуждающей линией; это расширение линии свойственно всем жидкостям и носит название «крыла линии Рэлея». Интенсивность рассеянного света в крыле Рэлея монотонно спадает в обе стороны от рэлеевской линии (укажем, что сдвиг линии при РМБ составляет 0,2 см™1, при комбинационном рассеянии 1000 см™1, см. рис. 4.17).
Рис. 4.17. Линия Рэлея с тонкой структурой (7), компоненты дублета Мандельштама-Бриллюэна од , Ш2 (2), крыло линии Рэлея (3) и линии шзд комбинационного рассеяния (не в масштабе) (4)
Крыло Рэлея значительно деполяризовано (примерно на 80-85 %). Высказывалось много предположений о природе линии Рэлея — гипотезы Рамана и Кришнана (комбинационное рассеяние на анизотропных молекулах жидкости), Кабанна (столкновение молекул в жидкости, подобно ло- ренцевскому уширению линии излучения в газе из-за столкновений молекул), Гросса (рассеяние на вибрациях деформационных остатков кристаллической структуры жидкости). Наиболее рациональная точка зрения на природу крыла принадлежит Ландау и Плачеку (релаксационные явления в среде); в этой гипотезе ширина крыла обратно пропорциональна времени релаксации дипольного момента. Остальные вышеупомянутые теории в основном не выдержали критики и сравнения с экспериментом.
Старунов и Фабелинский развили гипотезу Ландау-Плачека. Было показано, что участок крыла, простирающийся на 15-25 см™1 от несмещенной рэлеевской компоненты, обусловлен перескоками молекул жидкости из одного положения равновесной ориентации в другое (так называемая поворотная диффузия). Более быстрые апериодические качания молекул
в промежутках времени между перескоками ориентации приводят к появлению в спектре рассеянного света более далекой области крыла (до 200 см”1 и более). Нетрудно видеть, что вышеуказанные повороты и качания молекул вызывают изменения (флуктуации) анизотропии жидкости, в связи с чем рассеяние света в крыле линии Рэлея часто называют рассеянием света на флуктуациях анизотропии.
Итак, рассеяние на флуктуациях анизотропии является рассеянием на нерегулярностях в ориентации молекул жидкости (газа). В жидкости молекулы очень сильно взаимодействуют между собой; здесь не существует какого-либо свободного вращения молекулы, которое обладало бы дискретными уровнями энергии. Поэтому вращение молекул, как и всякое другое движение, связанное с изменением их взаимного расположения, вносит вклад в создание общей сравнительно широкой линии рассеяния (крыла Рэлея). Время релаксации т этих движений существенно связано с вязкостью жидкости.
Два вышеупомянутых движения молекул жидкости (поворотная диффузия и качание молекул) обладают разными временами релаксации. Часть крыла Рэлея, примыкающая на 15—25 см”1 к центральной (несмещенной) линии и обусловленная перескоками ориентации молекул, характеризуется большим временем релаксации; так для бензола ту ^з 3 • 10”12 с и соответствующая ширина крыла составляет примерно 101 х—1012 Гц (на 1-2 порядка шире, чем смещение в рассеянии Мандельштама-Бриллюэна). Далекая область крыла (200 см”1 и более) связана с быстрыми апериодическими качаниями молекулы и характеризуется малым временем релаксации; для бензола это время равно Т2 2,5 • 10”13 с (на порядок меньше, чем тД с соответствующей шириной крыла порядка 1012-1013 Гц.
Еще более далекая область крыла линии Рэлея может быть связана со сдвиговыми деформациями; время релаксации последних (фактически это время релаксации внутреннего трения, или вязкости) составляет, например, для бензола величину 9 • 10”14 с.
Таким образом, крыло линии Рэлея простирается до частот ~ 1013 Гц.
Рассеяние слабого света в крыле линии Рэлея (на флуктуациях анизотропии) носит, таким образом, чисто модуляционный характер — флуктуации анизотропии жидкости модулируют возбуждающий свет по частоте, вызывая появление стоксовой и антистоксовой частей крыла линии Рэлея. Такое рассеяние, когда проявляется только влияние флуктуаций анизотропии на свет и нет обратного влияния на анизотропию вещества, мы назовем спонтанным рассеянием крыла линии Рэлея (СРКЛР).
Феноменологическая теория СРКЛР в жидкости дана М.Л. Леонтовичем; следует отметить, что спонтанное рассеяние Мандельштама-Бриллюэна (СРМБ) в этой теории проявляется как частный (резонансный) случай СРКЛР. Вдали от дублета СРМБ интенсивность компоненты СРКЛР зависит от частоты по закону:
Коэффициент деполяризации имеет характерное распределение по спектру (рис. 4.18). Видно, что компонента Мандельштама-Бриллюэна полностью поляризована, в то время как вдали от линии РМБ степень деполяризации крыла линии Рэлея быстро возрастает.
Перейдем к исследованию вынужденного рассеяния света в крыле линии Рэлея (ВРКЛР). Мы уже видели, что если в среде распространяется волна света с частотой шц, то флуктуации анизотропии со временем
релаксации т вызывают модуляцию световой волны, так что появляются смещенные компоненты. Для центральной частоты Q = т-1 смещенные компоненты имеют частоты
<^1,2 = ^0 i ^
Пусть в среде распространяются основная волна света и стоксова компонента wi = ujq — Q. Если интенсивность света на частоте шо достаточно велика (лазерный луч), то под действием электрического поля световой
волны молекулы ориентируются по полю. Степень ориентации сильно падает, если частота поля больше т™1 = Q. Нетрудно видеть, что для воздействия света на среду с частотой Q необходимо наличие квадратичного по полю эффекта; тогда член типа Е0Е^ даст вклад в частоту Q.
Таким эффектом является хорошо известный эффект Керра, заключающийся в появлении анизотропии в оптически изотропном теле (жидкости) под действием электрического поля. Благодаря этому эффекту при распространении в среде двух волн с разностью частот Q в среде возникают «вынужденные волны анизотропии» на частоте Q, т.е. усиливаются начальные флуктуации анизотропии. Далее, усиливается стоксова компонента, что приводит к дальнейшему усилению волны анизотропии и т.д.
Теория ВРКЛР дает экспоненциальное усиление стоксовой компоненты (в приближении заданного поля света Eq):
Еу (г) = Е^ (0) ехр [5 р) г].
Инкремент g(W) имеет следующую зависимость от частоты О:
Нетрудно видеть, что усиление максимально при О = т™1, где т — время релаксации анизотропии, и прямо пропорционально интенсивности возбуждающего света. В спектре рассеянного света должны возбуждаться линии на частотах Qx = тД1 и Q2 = т^1 (о временах релаксации Tip мы уже говорили ранее).
При экспериментальном наблюдении ВРКЛР в спектре стоксова крыла иногда действительно наблюдались максимумы интенсивности. В большинстве же исследований наблюдается не линия на частоте Q = т”1, а сплошной непрерывный фон со стоксовой стороны от линии возбуждающего света. Было замечено, что линии ВРКЛР проявляются лишь при интенсивностях света, не превышающих определенное значение; при повышении интенсивности растут линии ВРМБ, линии ВРКЛР меняются слабо, затем появляется непрерывное ВРКЛР в стоксовой области.
Одной из возможных причин, вызывающих непрерывный фон ВРКЛР, является насыщение, при котором молекулы выстраиваются так, что направление их максимальной поляризуемости почти не отклоняется от направления поляризации света. Такое выстраивание происходит уже при плотности мощности 5 • 1011 Вт/см2 и приводит к уменьшению коэффициента усиления прежде всего на частоте Q = т-1.
Дальнейшее увеличение интенсивности приводит к росту линий ВРКЛР на частотах Q ^ т™1, т.е. при полях Ео > 107 В/см (в фокусе луча лазера), в спектре рассеянного света наблюдается широкий непрерывный фон ВРКЛР. Теория показывает, что насыщение наступает тогда, когда интенсивность крыла Ei ~ Eq.
Высказанная причина не полностью объясняет явление фона ВРКЛР. Так, в экспериментах Фабелинского с сотрудниками было показано, что широкие крылья ВРКЛР наблюдаются и при существенно меньших полях (порядка 106 В/см), когда насыщение не должно возникать.
Было сделано предположение, что при больших коэффициентах усиления в ВРКЛР формируются сверхкороткие импульсы излучения с длительностью ти т (т — время релаксации анизотропии); при этом ти и и 10™11™10™13 с. Спектр ВРКЛР в этих случаях должен быть уширен на величину AQ ~ тф1 и даже более, если имеет место вторичное рассеяние. Действительно, указанные сверхкороткие импульсы в ВКР были экспериментально обнаружены.
При достаточно интенсивном вынужденном комбинационном рассеянии (ВКР) световое поле ВКР способно создавать вынужденное крыло Рэлея, что осложняет интерпретацию эксперимента.
До сих пор мы касались лишь той стороны явления, когда отсутствует взаимодействие возбуждающей, стоксовой и антистоксовой волн; это реализуется при достаточно больших углах наблюдения 0 по отношению к направлению возбуждающего света. При вынужденном рассеянии под малыми углами
следует учитывать возможность взаимодействия четырех фотонов — двух лазерных, стоксова и антистоксова. При этом должно выполняться условие синхронизма (рис. 4.19):
2k0 — кх + к2-
Вследствие слабой дисперсии это условие удовлетворяется лишь под малыми углами; оптимальный угол соответствует максимальному усилению для данной частоты Q. Наибольший коэффициент усиления реализуется при Q = О — случай так называемого вырожденного по частоте четырехфотонного взаимодействия (невырождение по направлению остается!). Подчеркнем, что даже для вырожденного случая (Q = 0), когда, казалось бы, волновые векторы должны быть равными кх = к^ = ко. и, следовательно, треугольник на рис. 4.19 должен вытянуться в линию, на самом деле волновые векторы слабых волн — стоксовой и антистоксовой — оказываются большими, чем волновой вектор сильной возбуждающей волны.
(Для понимания этого явления вспомним, что вследствие эффекта Керра п = по +п2^2, и для добавки Ап на частоте возбуждающего света (сильная волна) следует взять слабый член в нелинейной поляризации типа Е1Е2Е5. а для добавки на стоксовой частоте (слабая волна) — член типа Е^Е^. При этом Е^Е^ А> ExE2Eq. т.е. слабая волна получает заметную нелинейную добавку в Ап, в то время как нелинейной добавкой для сильной волны можно пренебречь.)
Эксперименты подтвердили, что максимум интенсивности при четырехфотонном взаимодействии совпадает с частотой возбуждающего света. С увеличением угла наблюдения 0 антистоксова область крыла исчезает.
В реальных условиях происходит конкуренция процессов ВРКЛР и ВКР; при этом они часто подавляют друг друга. Более детальные сведения по различным видам ВР света можно найти, например, в монографиях [6-8].
Механизм ОВФ при вынужденных рассеяниях света
Механизм ОВФ при вынужденных рассеяниях света носит принципиально иную природу, чем в случае параметрических ТВВ- или ЧВВ-вза- имодействий. Для сравнения и более глубокого понимания этих отличий вспомним, что, например, при ТВВ-ОВФ-взаимодействии двух волн — на удвоенной частоте 2ш — поля E^ A^ exp [J (2wt — кзГз)] и на основной частоте — поля Ех (г) ~ Ах (г) exp [j (wt — kxr)] — возникает поляризо- ванность квадратично-нелинейного диэлектрика вида (см. гл. II)
Р(шр ~ х^МА^ (г)ехр{Дш<- (k3 -kJ г]},
которая при выполнении условия синхронизма:
к2 = к3 - кх
эффективно возбуждает волну разностной частоты с волновым вектором к2
^2 (г) ~ у(2) ЛзЛх (г) exp [j (wt - к2г)], (4.33)
т.е. Л2 (г) Ах (г). Напомним, что процесс ТВВ возможен в нелинейных кристаллах, не обладающих центром инверсии, а для выполнения синхронизма необходимы использование анизотропии кристаллов и различные поляризации взаимодействующих волн.
Из (4.33) следует, что волна разностной частоты оказывается комплексно-сопряженной исходной волне (по поперечным координатам). Для полного ОВФ необходимо отразить волну Е2 дополнительным зеркалом.
В кубически-нелинейной среде (см. гл. III) при встречных взаимно комплексно-сопряженных волнах накачки Ехр взаимодействие последних с пространственно-неоднородной волной сигнала Ез (г) рождает поляризо- ванность диэлектрика вида (для частотно-вырожденного случая, т.е. ЧВВ):
Р У, г) ~ х(3)Е1Б2Б* (г) - «3) |5Х|2 Б* (г)
и, следовательно, волну Е4 (г):
Е4(г)~Х(3)|^1|2Е3Чг),
точно обращенную (уже по всем трем координатам) волне Е3 (г). Метод ЧВВ может быть проинтерпретирован и на голографическом языке (см. гл. III) как рассеяние (дифракция) одной из волн накачки (например, Е2) на динамической голограмме, созданной взаимодействием другой волны накачки, например, Ех, и волны сигнала Е3 (г).
Методы ТВВ-ЧВВ-ОВФ, с одной стороны, требуют использования волн накачки высокого дифракционного качества, т.е. практически плоских волн [4]. Действительно, если в методе ТВВ волна накачки Ез(2ш) пространственно-неоднородна, то эта неоднородность будет тут же «переложена» на разностную волну Е2, и ОВФ будет неполным и некачественным. То же самое относится и к методу ЧВВ, где исключением является случай хоть и пространственно-неоднородных, но зато полностью комплексно-сопряженных волн накачки: Ех = Е^ (заметим, что в случае, когда обе волны накачки — плоские, то их комплексное сопряжение выполняется автоматически; поэтому требование полного комплексного сопряжения волн накачки при ЧВВ является общим. С точки зрения устранения самофокусировки, как мы видели в гл. III, пространственно-неоднородные волны более устойчивы, чем плоские).
С другой стороны, ТВВ-ЧВВ-ОВФ-методы с успехом обращают нс только пространственно-неоднородные, но и плоские волны сигнала, что не реализуется при ОВФ за счет ВР света.
Теперь рассмотрим ОВФ при ВР света. Уже из вида уравнений для комплексных амплитуд, например, для стоксовой компоненты,
+ Д±Ас2- = 5 4 ын|2 А, (4.34) dz 2 2 I hi с, v у
где g — коэффициент усиления, зависящий от природы ВР, видно, что автоматического выполнения комплексного сопряжения в стоксовой компоненте по отношению к волне накачки не происходит; в этом проявляется глубокое принципиальное отличие ОВФ-ВР от ОВФ при параметрических (ТВВ, ЧВВ и т.д.) взаимодействиях (см. также [9]).
Физический механизм ОВФ при ВР света весьма наглядно дан в обзоре [4]. Для понимания этого механизма вспомним, на чем базируется ВР света.
Пусть в среде распространяются две световые волны: накачки ЕД (г) и стою сова, или сигнала, Ес, причем разность их частот О = шн™шс близка к частоте По собственных колебаний среды (для ВКР По — частота собственных колебаний атомов или ионов, для ВРМБ — в зависимости от направления наблюдения — это та частота звукового волнового возбуждения, волновой вектор которого замыкает треугольник синхронизма, см. гл. III). Сама стоксова волна может и не подаваться на вход нелинейной среды; она возникает вследствие наличия флуктуационной модуляции коэффициента преломления (диэлектрической проницаемости) на частоте По, поэтому в этом случае всегда И = По, поскольку шс = шн — По. Далее, интерференционный член вида Л*Лсехр [j (Hot — qr)], где q = kH — kc, раскачивает собственные колебания среды на частоте По. В случае ВРМБ эта раскачка осуществляется за счет электрострикции, при ВКР — за счет кубической нелинейности потенциальной энергии молекулы, при ВРКЛР — за счет эффекта Керра. Можно интерпретировать этот механизм ВР и с голографической точки зрения: в результате взаимодействия волн Ен и Ес возникает динамическая решетка, на которой рассеяние той же волны Ен дает слагаемое в поляризованности среды на частоте шс, пропорциональное | Лн (г) |2 Лс (г) и эффективно (т.е. в синхронизме) возбуждающее волну на стоксовой частоте. В приближении заданного поля накачки (Лс (О « А (0) to А (г)) и пренебрежении дифракцией из (4.34) следует, что
фй«ехр [Ул„(0)|22 .(4.35)
В обзоре [4] указывается, что порог регистрации ВР наступает при
ехр[| A (0)|Д «e25«10n;
соответствующая интенсивность накачки называется пороговой. Если стоксова волна не подается на вход (а обычно это именно так), то ВР развивается из спонтанных шумов с весьма низкой амплитудой. Примем порог обнаружения по плотности мощности 10“z Вт/см2, что соответствует амплитуде поля 7 • 10 “3 В/см; тогда амплитуда спонтанных колебаний на частоте стоксовой волны Лс(0) ге 7 • 10“14 В/см.
В стационарном режиме наступает насыщение, что соответствует усилению по амплитуде порядка е30 и 1013; при таком усилении амплитуда стоксовой волны по порядку величины сравнивается с амплитудой накачки Лн(0).
Если в формуле (4.35) |ЛН (0)|2 выразить в МВт/см2, длину среды I — в см, то коэффициент усиления g/2 выразится в см/МВт. Для ВРМБ назад (0 = 180°) обычно g 101 -У 10“2 см/МВт при весьма малом сдвиге частоты. Принимая д/2 ОД см/МВт и |ЛН (0)|2 1д/2 гс 30,I 5 см, имеем |ЛН (0)|2 to 60МВт/см2.
Можно сказать, что в основе механизма ОВФ при ВР лежит факт экспоненциального усиления и большая величина инкремента | Лн(0)|2 ^/2,
15 В. Г. Дмитриев
пропорционального квадрату амплитуды поля накачки. Нетрудно видеть, что из-за экспоненциального усиления изменение инкремента, например вдвое, увеличивает усиление, например, с е15 до е30, т.е. в 106 раз! Другими словами, небольшое изменение инкремента может качественно изменить ход процесса ВР. Заметим, что при ТВВ и ЧВВ ничего подобного не происходит, там усиление в приближении заданного поля пропорционально длине среды и растет линейно с амплитудой накачки (ТВВ) или с квадратом ее (ЧВВ).
Если волна накачки при ВР — плоская, то процесс ОВФ не имеет смысла, как следует из самого вида уравнений (4.34), (4.35). Если же волна накачки существенно пространственно-неоднородна, то картина резко меняется. Пространственное распределение интенсивности накачки |ЛН (0, р)|2, а вместе с ним и показателя экспоненты в (4.35), становится в этом случае также весьма неоднородным по пространству. Существенную роль начинает играть и дифракция. Если излучение содержит поперечные неоднородности с характерным размером а, то им соответствует нерегулярная дифракционная расходимость 0о ~ Х/а, причем излучение за счет дифракции диффундирует из одной неоднородности в другую на характерной длине дифракции Rg ^ А/бд- Такая сложная интерференционная картина может быть названа спекл-структурой [4, 5].
Таким образом, локальный коэффициент усиления для стоксовой компоненты (4.35), определяемый локальной (т.е. в том же месте!) интенсивностью накачки, весьма неоднороден по пространству. Совершенно очевидно, что при «ВР назад» (0 = 180°), а именно такая геометрия, очевидно, наиболее интересна для ОВФ, наибольшее усиление получит такая пространственная конфигурация поля стоксовой волны, которая совпадает с таковой для волны накачки, т.е. наиболее усилится стоксова волна, полностью пространственно-коррелированная с волной накачки. Единственной возможностью осуществить такую корреляцию между двумя встречными волнами накачки и стокса является их взаимное комплексное сопряжение, т.е.
Ес (г) = const • Е* (г).
В этом и только в этом случае интерференционная структура (спекл- структура) обоих полей будет совпадать, причем в процессе дифракции оба поля согласованно меняют свою спекл-структуру [5].
Как же происходит ОВФ при ВР? Первоначально спонтанно-рассеянная стоксова компонента имеет весь набор пространственных конфигураций своего поля, среди которых обязательно имеется затравка поля, полностью комплексно-сопряженная волне накачки. Именно эта комплексно-сопряженная спекл-структура и «выживает», так как имеет гораздо большее усиление, чем остальные составляющие, пространственно-некоррелированные с волной накачкой. Как показали детальные расчеты, инкремент для такой стоксовой волны, интерференционные максимумы которой совпадают с таковыми для волны накачки, в два раза выше, чем для других, некоррелированных, компонент этой волны [5]. А такое различие, как мы видели ранее, приведет к резкому подчеркиванию стоксова поля с обращенным по
отношению к волне накачки волновым фронтом. Заметим, что в «линейном» режиме (т.е. в приближении заданного поля накачки) все компоненты стоксова поля (и коррелированная, и все другие) нарастают по длине среды независимо, но с различными (до двух раз) инкрементами; например, коррелированная компонента имеет коэффициент усиления е25, а все остальные е12 ... е13, т.е. примерно в 105 ... 106 раз меньше. В нелинейном режиме конкуренция этих компонент резко возрастает, так как «сильная» (полностью обращенная) компонента подавляет волну накачки, и коэффициент усиления для «слабых» (некоррелированных) волн еще более падает.
Из рассмотрения вышеизложенного уже с очевидностью следует тот факт, что при возбуждении ВР пространственно-неоднородной накачкой «в генерацию выходит» лишь обращенная компонента стоксовой волны, а все некоррелированные с накачкой компоненты остаются на много порядков ниже по интенсивности. Налицо «дискриминация» некоррелированных стоксовых полей и «наибольшее благоприятствие» коррелированному полю. Усиление последнего в режиме насыщения примерно в е15 раз больше, чем для некоррелированного поля. Поэтому на выходе (с = 0) среды и возникает практически только обращенная стоксова волна, а «необращенный» фон пренебрежимо мал [5].
Следуя [4, 5], можно окончательно сформулировать механизм ОВФ при ВР:
«Физический механизм ОВФ-ВР состоит в преимущественном усилении обращенной конфигурации рассеянного поля за счет того, что локальные максимумы ее спекл-структуры совпадают с локальными максимумами коэффициента усиления во всем объеме взаимодействия».
В заключение подчеркнем, что все вышеизложенное в равной степени относится ко всем видам ВР (ВКР, ВРМБ, ВРКЛР, ВТР и т.п.). Меняются при этом лишь механизм ВР и величина инкремента. Заметим также, что пространственно-неоднородная накачка есть по сути дела накачка от существенно многомодового (по поперечным индексам) лазера.
Наиболее благоприятная ситуация для ОВФ-ВР — в равномерно освещенном световоде, где одновременно присутствует огромное количество поперечных мод, создавая хаотическое (по фазе), но равномерное в среднем (это очень важно) освещение (накачку). Но, будучи в среднем равномерным, это излучение одновременно очень сильно пространственно-неоднородно и обладает ярко выраженной спекл-структурой. Чем больше пространственных (поперечных) мод содержится в этом поле, тем меньше характерный размер пятен (спеклов) интерференции. Если сказать то же другими словами, радиус поперечной корреляции такого излучения стремится к нулю. Совершенно аналогичная ситуация возникает в лазере с большим количеством поперечных мод, см. [10], где получено исключительно равномерное пятно с большим (^ 4 • 103!) числом поперечных мод при практически полном отсутствии когерентности по пятну (мелкоструктурная спекл-структура, не разрешаемая обычными методами). Излучение такого лазера, по-видимому, было бы чрезвычайно благоприятным для ОВФ.
Качественная теория ОВФ при ВР света (общие соображения)
В приближении заданного поля накачки дифракция и стоксово усиление обратной (0 = 180°) волны описываются уравнениями:
С/ X/Z А/уС/ X/Z А/у^_М^Ас(рЩ =О z z ^с^_М^Ас(рЩ =О z z ^с| Дн Щхр Ас У, О-| Дн Щхр Ас У, О-(436)(436)
С/ X/Z А/у
С/ X/Z А/у
^_М^Ас(рЩ =
О z z ^с
^_М^Ас(рЩ =
О z z ^с
| Дн Щхр Ас У, О-
| Дн Щхр Ас У, О-
(436)
(436)
В (436) учтена дифракция волн вВ (436) учтена дифракция волн впараболическом приближении, что
В (436) учтена дифракция волн в
В (436) учтена дифракция волн в
вполне применимо для узконаправленных полей [11]. Здесь в соответствии с [4] волна накачки распространяется в направлении (^с), а волна стоксова сигнала — навстречу ей (+с).
Отметим, что в отсутствие ВР-усиления (д = 0) уравнения (436) являются комплексно-сопряженными, т.е. решению Ан можно сопоставить комплексно-сопряженное решение Лс (р, с) = const • Л* (р, с), и это решение является точным решением второго уравнения (436) при д = 0, ^с = ^н (последнее соотношение для модулей волновых векторов особенно хорошо выполняется для ВРМБ). Ниже мы будем полагать кс ~ кн; случай кс < кн (ВКР) будет рассмотрен позже.
Очевидно, что при наличии пространственно-неоднородного ВР-усиления (д ф 0) комплексно™сопряженное решение уже не может быть точным решением, однако, вследствие усреднения действия достаточно мелких неоднородностей обращенная волна с амплитудой вида
Ас (р, 0 = К Щ А* (р, г)Ас (р, 0 = К Щ А* (р, г)(437)(437)
Ас (р, 0 = К Щ А* (р, г)
Ас (р, 0 = К Щ А* (р, г)
(437)
(437)
является приближенным решением второго уравнения (436), причем с достаточной точностью. Покажем это, следуя [4, 5]. Представим правую часть второго уравения (436) в виде
|АН Щ г)|2 Ас Щ 0 = (ЛА:) Ас + (АНАС) а: + (А^ Ан + F Щ О ,
где угловые скобки означают усреднение по поперечному сечению. Если стоксово поле сильно коррелировано с полем накачки, т.е. если выполняется (437), то
ммг=к
С другой стороны, встречные волны накачки и стокса с очевидностью дают нулевой коррелятор: (Л* Лс) и 0. Пренебрегая слагаемым F (р, с), характеризующим случайно модулированную по пространству составляющую, получаем с учетом (437):
|АН|2 Ас « (Ан|2^ Ас + К Щ <|Ан|2>А: = Ж Щ (I ЛТК. (4.38)
Подставляя (4.38) во второе уравнение (4.36), получим
откуда
К (с) = const ■ exp ^|Ан|2^с] .
В то же время из (4.36) непосредственно следует, что коэффициент усиления для необращающих конфигураций вдвое меньше (р(|Ан|2^/2).
Итак, мы приходим (путем довольно качественных рассуждений) к очень важному выводу, обосновывающему дискриминационный ха™ рактер ОВФ-ВР: обращенная конфигурация стоксова поля усиливается с инкрементом, вдвое большим, чем необращенные (т.е. некоррелирован™ ные с интерференционным полем накачки) компоненты стоксова поля. А мы уже видели, что эта двойка вносит принципиальное отличие в меха™ низм усиления: «выживает» именно обращенная (по отношению к накачке) конфигурация стоксова поля, а остальные, некоррелированые, дискрими™ нируются (е30 и е15 соответственно). Заметим, что эта принципиально важная двойка в экспоненте была впервые получена в работах [9, 12].
Физической основой всех этих расчетов является тот факт, что спекл™ структура полей получается в результате интерференции большого числа практически независимых компонент поля, и поэтому общее поле обладает статистикой гауссова процесса.
Итак, неоднородности в среде в нашем случае созданы пространствен™ но-неоднородным полем накачки |АН (р, с) |2; стоксова волна Ас (р, с) обла™ дает весьма характерной и необычной структурой, которую авторы работ [4, 5] предложили назвать спеклоном. Согласно (4.37) пространственная струк™ тура этой рассеянной волны, т.е. спеклона, согласована с неоднородностями среды, причем дифракция спеклона на этих неоднородностях не разрушает этой согласованности. Можно говорить, что спекл он находится в пространственном резонансе с неоднородностями среды. Именно этот резонанс уве™ личивает вдвое инкремент по сравнению с таковым для некоррелированных компонент, не находящихся в таком резонансе.
Заметим, что при попутном распространении стоксова поля и простран™ ственно-неоднородной волны накачки компонента стоксова поля воспроиз™ водит поле накачки без комплексного сопряжения.
Рассмотрим качественно пространственную структуру ОВФ-ВР более подробно. В поперечном сечении мы увидим хаотическое распределение интерференционных пятен; в другом сечении интерференционная структура, естественно, будет совершенно другой. Можно утверждать, что в про™ цессе распространения по среде эти пятна прочерчивают в среде изогну™ тые «трубки поля», причудливо (вследствие дифракции) переплетающи™ еся между собой. Фактически мы имеем дело с усиливающими криво™ линейными волноводами, «змейками» (по терминологии Б.Я. Зельдовича) (рис. 4.20).
Характерная длина одного колена такого волновода равна Rg ^ А/О§, где 0о A/а, а — характерный размер пятна спекл-структуры. При достаточно большом усилении, т.е. при GRg > 1, где G = 2у(|Ан| ^ — коэффициент усиления спеклона по интенсивности, рассеянная (стоксова) волна захватывается ближе к оси такого волновода, поскольку усиление
Плоская волна (или квазиплоская, несущая изображение)
ВР на его оси значительно больше, чем на периферии. Поэтому соотношение (4.37), необходимое для качественного ОВФ, нарушается уже на длине одного колена длиной порядка Rg (подробнее см. [13]).
Для выхода из этой ситуации, т.е. для обеспечения качественного ОВФ, необходимо потребовать обратного соотношения, т.е. gRg <1. Другими словами, перемешивание спекл-структуры должно производиться на расстояниях, существенно меньших, чем длина, на которой усиление станет заметным. А далее вступает в силу тот факт, что ВР-усиление стоксова сигнала идет когерентно, а искажения, вызванные «захватом» («пленением») стоксовой волны волноводом, — некогерентно, т.е. по интенсивности, в силу случайного характера таких искажений. Поэтому пространственные «шумы» (авторы [4, 5] называют их «змеечными искажениями»), вызванные захватом стоксовой волны, оказываются тем меньшими, чем лучше выполняется условие GRg С 1, т.е. чем более мелко-неоднородна по пространству волна накачки. Оценим влияние «змеечных искажений» на качество ОВФ при ВР света.
Введем относительные интенсивности спеклона S (z) = \К (Ф) |2 и пространственных шумов, или змеечных искажений, N^z). Очевидно, отношение NS-1 будет характеризовать качество ОВФ-ВР. Шумы N^ можно ввести феноменологически из следующих простых соображений. Скорость
(точнее, темп роста по 2) интенсивности шумов пропорциональна как самой этой интенсивности, так и интенсивности спеклона 5(2). Однако коэффициенты пропорциональности, естественно, различны: спеклон рождает шумы с некоторым коэффициентом экстинкции (его величину мы определим позднее, а пока обозначим ее через М), а сами шумы усиливаются в пространственно-неоднородной усиливающей ВР-среде с коэффициентом усиления по интенсивности:
в=р = у(Дн|2),
равным среднему по поперечному сечению коэффициенту усиления по интенсивности; с таким инкрементом усиливаются пространственно-нерезонансные конфигурации стоксова поля, в то время как спеклон усиливается с коэффициентом усиления (по интенсивности), равным
G = 2g(|A,|2) = 2Gcp.
Используя сказанное, получаем следующие уравнения для изменения относительных интенсивностей спеклона и искажений:
(4.39)
(4.40)
Уравнения (4.39), (4.40) записаны в приближении «заданного поля» спеклона, т.е. не учитывают обратного влияния создаваемых спеклоном пространственных искажений на сам спеклон. Решения (4.39), (4.40) имеют вид
S (2) = S (0) exp (G2),
JV (2) = JV (0) ехр -^- +JV (2) = JV (0) ехр -^- +2MS(0) Г
JV (2) = JV (0) ехр -^- +
JV (2) = JV (0) ехр -^- +
- exp (Gz) - ехр -у .
При Gz ^> 1 граничные шумы Ж(0) «забываются» (точнее, дискриминируются):
ехр (Gz),ехр (Gz),
ехр (Gz),
ехр (Gz),
а относительная доля этих «змеечных искажений» выходит на постоянный (стационарный) уровень:
- S (z,) _ стац- S (z,) _ стац2М _ М2М _ М
- S (z,) _ стац
- S (z,) _ стац
2М _ М
2М _ М
Итак, эта доля, характеризующая качество ОВФ-ВР, определяется отношением коэффициента экстинкции к среднему по пространству коэффициенту усиления.
Для оценки коэффициента М воспользуемся следующими соображениями. Мы видели, что при выполнении условия GRg <С 1 пространственные искажения спеклона, по всей видимости, будут минимальными; при этом
GRg2GRg2
GRg
2
GRg
2
т.е. относительная амплитуда искажений оказывается порядка GRg/2. На полной длине взаимодействия укладывается число «змеечных участков» («колен») порядка lRg\ а полная интенсивность искажений равна
IRp (GRg/2f = Ml,
где М = ^G)^ Rg — коэффициент экстинкции, характеризующий темп возбуждения (возникновения) змеечных искажений. Поскольку Rg^X^^s где 0о — ширина углового спектра накачки, то
М =М =22А ttG2А ttG2
М =
М =
2
2
А ttG2
А ttG2
Итак, мы приходим к выводу, что коэффициент экстинкции обратно пропорционален квадрату ширины углового спектра накачки, т.е. прямо пропорционален квадрату характерного размера пятна неоднородности волны накачки в поперечном сечении. Далее имеем
(4.41)(4.41)"Аф)! ttG
(4.41)
(4.41)
Соотношение (4.41) еще раз показывает, что качество ОВФ-ВР определяется шириной углового спектра накачки, т.е. минимальными характерными размерами пространственных неоднородностей накачки. Чем неоднороднее накачка, тем больше 0О, т.е. тем меньше влияние пространственных искажений и тем выше качество ОВФ, поскольку при этом тем лучше выполняется соотношение (4.37).
Как уже указывалось, в режиме ВР-насыщения дискриминация искажений усиливается за счет истощения накачки. Этот вывод подтверждается многими теоретическими работами (см. [4, 5] и библиографию к этим работам).
Все вышеизложенное, а также более детальное рассмотрение процесса ОВФ-ВР, изложение результатов которого выходит за рамки данной книги, позволяет с учетом изложенного выше сформулировать три дискриминационных механизма (процесса), протекающих при ОВФ-ВР и обеспечивающих высокое качество ОВФ:
спонтанные конфигурации стоксова поля, некоррелированные с пространственно-неоднородным полем волны накачки, усиливаются с инкрементом, вдвое меньшим, чем инкремент для спеклона; тем самым, некоррелированные конфигурации дискриминируются;
возбуждаемые спеклоном пространственные искажения также дискриминируются из-за отставания в темпе усиления по продольной координате;
ОВФ-поля стоксовой волны, распространяющиеся с поворотом на некоторый угол, также являются спеклонами, однако, инкремент для таких полей падает по сравнению со случаем строго обратного спеклона; тем самым спеклон устойчив к угловому сдвигу, а угловые (наклонные) компоненты дискриминируются — это приводит к постепенному выравниванию огибающей ОВФ-волны (так называемый эффект поперечной когерентиза- ции огибающей, более подробно см. [14]).
Заметим, что учет обратного влияния «змеечных искажений» на спеклон сводится к учету подчеркивания усиления стоксовой волны на оси «змееч- ного волновода» (см. работу [13]); поэтому общий коэффициент усиления спеклона увеличивается, а именно, на величину порядка относительной доли «змеечных искажений» (4.41):
Сэф = <?(1+2^)'
В работе [15] исследован режим сильного затягивания стоксовой волны в сердцевину ВР-волновода, реализующийся при GRg > 1.
4.9 Особенности ОВФ при ВКР
До сих пор мы полагали кси кн, что хорошо выполняется при ВРМБ (Qo ~ 109-10иГц 1014Гц). Вынужденное комбинационное рассеяние (ВКР) характеризуется значительно большим сдвигом частоты стоксовой компоненты, поскольку для ВКР Qq ~ Ю12—1013 Гц. Вследствие сильного различия волновых векторов Ас, Ан законы дифракции для стоксовой волны и волны накачки оказываются различными, что приводит к рассогласованию полей Ес и Е*, даже если они и совпали в некоторой плоскости. При д = 0 из уравнений следует, что при Ас ^ = Ан изменяется масштаб одного поля по отношению к другому в число раз, равное АСАН-1. Из сказанного, на первый взгляд, следует, что в случае ВКР согласование спекл-структур полей Ес и Е* невозможно. Рассогласование полей происходит на расстояниях порядка [4] Lpacc ^
А/ («0^), где 0Н — расходимость накачки (ширина углового спектра), а а — относительный сдвиг частоты а = ujh)ujc — 1. При ВКР а и 0,01-0,3. Полагая А = 0,5 мкм; а = 0,1; 0Н ~ 1°, имеем Lpacc м ^ 1,8 см; таким образом, длина рассогласования оказывается весьма заметной.
Возможность ОВФ при ВКР связана, тем не менее, именно с этим. Если характерная длина усиления обращенной конфигурации, т.е. спеклона, меньше длины рассогласования, то спеклон будет успевать подстраивать свою структуру под структуру накачки [16]; это условие можно записать в виде Гусил (G — Gcp)™1 = 2/G < Lpacc (здесь мы учли дискриминацию
в усилении необращенных компонент по отношению к спеклону). Итак, мы
имеемимеем2 АG < И™2 АG < И™2а02XG2а02XG< 1.< 1.(4.42)(4.42)
имеем
имеем
2 А
G < И™
2 А
G < И™
2а02XG
2а02XG
< 1.
< 1.
(4.42)
(4.42)
Очевидно, что чем меньше параметр 2a0H/(AG), тем лучше будет качество ОВФ при ВКР. Перепишем (4.42) в виде:
(2тг) 1 &а£усил©2 < 1(2тг) 1 &а£усил©2 < 1(4.43)(4.43)
(2тг) 1 &а£усил©2 < 1
(2тг) 1 &а£усил©2 < 1
(4.43)
(4.43)
(в работе [16] (27г)”1 потеряно). Соотношение (4.43) было впервые получено в работе [9]. Отсюда для допустимой величины а, при которой еще сохраняются эффекты ОВФ, получаем
ot V 2тг (А:Г/уСИЛ0^ .
Учитывая, что в реальных условиях наблюдения ВР величина показателя экспоненты равна GI 25-30, т.е. G = 25/Z = 2/Бусил, получим а < 12,5А/ (Z02).
Полагая А = 0,5 мкм, I = 50 см, 0Н ^ 10”2 рад, имеем а < 0,125.
Таким образом, требование высокого качества ОВФ-ВКР накладывает ограничение на разность частот Дш = шн — шс; в нашем примере а < < 0,125, т.е. /Хи < 2000 см”1. Большинство сред имеет меньшие сдвиги (так, для кислорода /Хи = 1552 см”1), так что условия ОВФ для них будут еще лучше.
Более детальный анализ устойчивости спеклона (т.е. воспроизводящей ВФ конфигурации стоксова поля), данный в работах [4, 13], приводит к более слабому, чем (4.42), условию существования ОВФ-ВКР:
afc^e4 - (е2)2 + G + к^afc^e4 - (е2)2 + G + к^(4.44)(4.44)
afc^e4 - (е2)2 + G + к^
afc^e4 - (е2)2 + G + к^
(4.44)
(4.44)
02 =02 =где 0 = кж^)к — угол наклона парциальной составляющей углового спектра накачки к оси г; правое неравенство в (4.44) означает уже известное нам условие малости простанственных шумов («змеечных искажений»). Усреднение в (4.44) проводится по угловому спектру интенсивности накачки, например:
02 =
02 =
5Н(©Ж,0У). (02 + 02) d@xd^y,
где 5Н (0Ж, Оу) — нормированный на единицу угловой спектр интенсивности накачки.
В работах по ОВФ-ВР часто пользуются понятием «доли обращения ВФ», выражаемой через интеграл перекрытия полей Лс и Лн*:
и А (а «А (р,0 d2p\2
Ж12 rf^-/ЩСГ d?P
При отсутствии ОВФ отсутствует и корреляция (перекрытие) полей А* и Лс, т.е. Л = 0; наоборот, если точно выполняется (4.37), т.е. имеет место полное ОВФ, Н = 1. При выполнении (4.44) имеем
Дополнительные замечания по ОВФ-ВР
Об ОВФ-ВР с неполной пространственной модуляцией накачки. Ранее указывалось, что ВР света не позволяет обратить волновой фронт плоской или квазиплоской волны накачки или вообще накачки со слабой пространственной (в поперечном сечении) неоднородностью. Вместе с тем, такой эффект ОВФ наблюдался рядом исследователей экспериментально при возбуждении ВР одномодовым лазером (см., например, [17]), а в работе [18] обсуждался именно такой случай — задача ВР в поле накачки, состоящем из плоской волны и малой по интенсивности примеси флуктуационных искажений, возникающих, например, при дифракции плоской (квазиплоской) волны на апертурах, что имеет место при попытках возбудить ВР плоской волной — из-за ее дифракции на апертурах неизбежно возникают «крылья» слабой интенсивности, создающие пространственнонеоднородное (интерференционное) поле накачки, в котором возможно, как минимум, частичное ОВФ. В этой работе показано, что, например, при доле интенсивности «крыльев» в мощной плоской волне ~ 5 % инкремент рассеянного поля, скоррелированного с полем накачки, т.е. спеклона, возрастает в 1,25 раза по сравнению с инкрементом для некоррелированных решений. А это, как мы видели, при инкрементах 20-25 весьма существенно «подчеркивает» спеклон (примерно в 150 раз!) Величина Н при 5 % равна 0,61. Сказанное относится как к ВРМБ, так и к ВКР. Ситуация с ОВФ-ВР, когда волна накачки не обладает стопроцентной хаотической модуляцией по пространству (см. последний абзац § 4.7), количественно рассчитана в работе [19]. 1
О голографической интерпретации ОВФ-ВР. Эффект ОВФ- ВР является таким эффектом, который следовало бы назвать эффектом «са- мообращения» ВФ. Здесь фактически есть только одна волна, несущая изображение или просто пространственную модуляцию, — это волна накачки. Никаких «сигнальных» волн, как при ТВВ-ЧВВ, здесь нет. Стоксова (как правило, обратная) волна, несущая восстановленный фронт, образуется из спонтанных затравок самых разнообразных пространственных конфигураций, из которых за счет дискриминационных механизмов выживает лишь обращающая ВФ конфигурация (спеклон).
В ОВФ-ВР, с точки зрения голографии, волну накачки можно одновременно рассматривать и как «опорную», и как «предметную». Можно представить себе, что «голограмма» (естественно, динамическая) записывается в нелинейной среде как интерференционная структура двух полей:
поля плоской волны накачки, прошедшей через предмет (или аберратор) без отклонения (опорная волна), и поля дифрагировавших на неоднородностях аберратора угловых компонент (предметная волна). Другими словами, голограмма в данном случае есть интерференционная структура (спекл- структура) самой волны накачки. «Считывание» такой голограммы производится стоксовой волной ВР со всеми вытекающими отсюда последствиями, касающимися различия длин волн записывающего и считывающего излучений (для ВРМБ эти различия не проявляются, а при ВКР — за счет заметного ВКР-сдвига — могут оказаться заметными).
При ОВФ-ВР восстанавливается действительное изображение объекта (предмета), ориентированное так же, как и объект, что свидетельствует о сохранении фазовых соотношений, т.е. об ОВФ.
ОВФ-ВР в сфокусированных пучках накачки. Мы убедились, что при возбуждении ВР света полем накачки с сильной поперечной пространственной неоднородностью возможно эффективное ОВФ накачки стоксовой волной (спеклоном). В этом случае накачка имеет расходимость, определяемую минимальными характерными размерами спекл-структуры накачки. Однако поскольку эти пятна возникают, распространяются и взаимодействуют нерегулярно, хаотически, то и эта расходимость (точнее, ширина углового спектра накачки) носит нерегулярный, хаотический характер. Авторы [20, 21] называют такую расходимость «серой», в отличие от регулярной расходимости, придаваемой излучению линзой при фокусировке его в среду В этом случае излучение в среде имеет регулярную (плавную) огибающую амплитуды и фазы.
В реальных ситуациях при возбуждении ВР используется именно фокусировка излучения в нелинейную среду, так как в ряде случаев не хватает плотности мощности для достижения пороговой интенсивности ВР или для получения требуемой величины эффективности преобразования. Поэтому значительный интерес представляет исследование эффективности ОВФ в таких условиях [20, 21]. Основная задача — выяснить, сохраняется ли соотношение точного ОВФ (см. (4.37)) в условиях фокусировки накачки с мелкоструктурными неоднородностями в нелинейную среду
Из общих соображений ясно, что (4.37) не должно выполняться во всех сечениях 2. Действительно, фокусировка излучения в безграничную среду приводит к тому, что вместо «серой» (однородной в среднем по сечению) интенсивности накачки, как в рассмотренных выше случаях, здесь мы имеем явную зависимость средней по сечению интенсивности (|SH (р, 2)|) от продольной и поперечных (р) координат. Эта зависимость описывает изменение в пространстве интенсивности излучения, сфокусированного линзой. Следовательно, и огибающая локального коэффициента усиления стоксовой компоненты (как спеклона, так и некоррелированных компонент) также зависит от 2 и р. Таким образом, из-за поперечной неоднородности усиления соотношение (4.37) неизбежно нарушается, даже если в некотором сечении 20 оно и выполнялось.
Анализ рассматриваемой ситуации, проведенный в работах [20, 21] в приближении заданного поля накачки, показал, что в этом приближении ОВФ-ВР сфокусированного излучения практически не имеет места. Величина Н (доля воспроизведения, см. § 4.9) оказывается вблизи порога весьма малой (Л £3 0,1-0,2). Этот анализ показал три источника такой малой эффективности ОВФ. Во-первых, рассеянное (стоксово) поле, воспроизводящее мелкоструктурные неоднородности (т.е. спеклон), имеет другой (меньший по сравнению с накачкой) гауссов параметр углового спектра; это поле стягивается к приосевой области из-за преимущественного усиления приосевой части волны. Во-вторых, стоксово поле после вторичного (обратного) прохождения линзы и аберратора обладает суммой «серой» (нерегулярной) и сферической (регулярной) расходимостей, в то время как исходная плоская волна накачки ими, естественно, не обладала (рис. 4.21). И, в-третьих, в восстановленном поле присутствует доля пространственных шумов, связанных с некоррелированными (с накачкой) шумами.
Рис. 4.21
В этих же работах указывается, что регулярную сферическую составляющую можно устранить, поставив на пути рассеянного поля собирающую линзу с определенным фокусным расстоянием, зависящим от параметров опыта, а амплитудное несоответствие можно устранить, расширяя стоксов пучок телескопом. Однако все это требует наличия дополнительных оптических корректирующих элементов в тракте стоксовой волны, что не всегда возможно (например, следует учесть трудности разделения пучков накачки и встречного рассеянного поля).
В режиме насыщения ситуация может кардинально измениться. Эффект насыщения (нелинейный режим) в первую очередь проявится на приосевой части пучка, что ослабит стягивание стоксовой волны к оси и, следовательно, улучшит качество ОВФ.
О возможности ОВФ с использованием антистоксовой компоненты ВКР. При рассмотрении ВКР нами обсуждалась возможность генерации антистоксовой компоненты. В приближении заданного поля уравнения для амплитуд стоксовой Ас и антистоксовой Аа компонент имеют
вид (здесь рассматривается попутное взаимодействие, см. рис. 4.14):
= |у= I А|2 А= Is^hA ехР 0Аг) ,
Л 11(4-45)
"77 = " 2^ I А|2 Ас + -gaA2A*c exp UM ,
где g^ — коэффициенты нелинейной связи, А = /са + кс — 2кн — волновая расстройка. В отсутствие расстройки, полагая уа?с = ус,аЛ^(0)/2 и считая амплитуду накачки вещественной, мы имеем
ЯД*
(4.4б>
Учитывая, что из (4.46) следует равенство 7* Ас—7С A =const=7* Ас (0), т.е. А* = у* [А - А]/7с. получаем
^ = 7с (А " [А " А (0)] | = (7с - 7а) Ас + 7а* А (0) •
Поскольку [yd < |у* |, инкремент для стоксовой волны оказывается отрицательным — в отсутствие расстройки нарастание стоксовой и антистоксовой компонент невозможно. Поэтому следует рассматривать уравнения (4.45) только с расстройкой.
В работе [22] показано, что уравнения (4.45) можно привести к виду
^ + 15ас = «с + а*аА^, ^ - 3-5< =- асА*\
22
где аСЛ, £, 5 — приведенные (нормированные) комплексные амплитуды, расстояние и расстройка соответственно. Нас здесь не интересуют нормировочные множители. В результате решения этих уравнений получаем
Ea (z) = РА* (0) A2 exp [j (wat - kaz + /)] + к.с.
При отражении от дополнительного зеркала, обращающего продольную компоненту, получаем окончательно, что антистоксово поле оказывается комплексно-сопряженным входному стоксову полю (величины (3 и / суть функции волновой расстройки, длины среды, ВР-нелинейности, интенсивности накачки и т.п., вид которых мы здесь не рассматриваем). Полное ОВФ происходит, естественно, в поле плоской волны накачки (Лц = const) и со смещением частоты на 2Q0, где По — частота собственных колебаний среды.
Естественно, здесь мы не имеем дело с самообращением накачки, как при обычном ВКР, и здесь не работают дискриминационные механизмы ВР-ОВФ. Здесь имеет место существенно параметрический процесс, причем поле антистоксовой волны является комплексно-сопряженным по отношению к стоксову Однако в отличие от обычных ЧВВ-процессов, процесс ОВФ-АВКР (антистоксово ВКР) является резонансным параметрическим процессом, так как он использует молекулярные колебания среды на их собственной частоте
По, что приводит к увеличению эффективности преобразования. По изложенным причинам большой сдвиг частоты для восстановленного поля (2П0) здесь несуществен для качества ОВФ, а ограничения на последнее — по сути дела, те же, что и для обычных параметрических ОВФ-процессов; однако, этот вопрос требует дополнительных исследований.
О нестационарных процессах ВР. Поскольку достижение больших интенсивностей накачки, требуемых для эффективного ОВФ-ВР, возможно от лазеров, работающих в существенно импульсном режиме (тп ~ 10™ 8 с и менее), а времена релаксации таких видов ВР, как ВРМБ и ВТР (вынужденное температурное, или энтропийное, рассеяние) оказываются того же порядка или более, то влияние не стационарности процесса ВР при таких временах возбуждения становится весьма существенным. Далее, при возбуждении ВР пико секундными или субпикосекундными импульсами пространственный размер импульса lu = tudtv может оказаться меньше длины I ВР-среды, в связи с чем влияние границ среды на протекание ВР становится несущественным. В этом случаем обратное ВР (затравка стоксовой волны) начинается не с задней (г = Z) границы среды, а с переднего фронта импульса накачки. Нестационарный режим ВР света и ОВФ-ВР рассматривался в целом ряде работ, из которых можно указать [23-29].
Отметим, что в нестационарном режиме следует использовать более полные, чем ранее выписанные, уравнения колебаний в среде, т.е. использовать уравнения не только для полей Е = ^E^ и поляризованности среды, но и, например, для случая ВКР, — для молекулярной координаты Q (смещение атома из состояния равновесия, ранее мы обозначали его через у) и для населенности п первого колебательно-возбужденного состояния. Выпишем эти уравнения и поясним их физический смысл:
d-^E _= 4тг / Да\ dM^E)_
АЛ Л АН Л \AQ) АН '' 7
d2Q 1 dQ1 / da\ 9 хч
((4Л8)
dn 11 f da \ о dQл
Iп = е2 —.(4.49) dt то 2ЯПо у dQ) di
Уравнение (4.47) есть волновое уравнение со второй производной по времени от нелинейной поляризованности среды, пропорциональной da/dQ — зависимости поляризуемости а от молекулярной координаты. Уравнение (4.48) описывает колебания осциллятора с собственной частотой Qq и временем релаксации т, возбуждаемого внешней силой в правой части (4.48), пропорциональной квадрату поля. Специально подчеркнем, что колебания молекул когерентны, т.е. Q является амплитудой когерентных колебаний. Время т в этом смысле есть время фазовой памяти. Уравнение (4.49) есть уравнение населенности п первого возбужденного состояния со временем жизни т0; как правило, т0 > т, т.е. населенность
возбужденного состояния сохраняется и после полной расфазировки молекулярных колебаний. Уравнения (4.47)-(4.49) были исследованы в работах [31, 32].
На рис. 4.22 показано изменение амплитуды молекулярных колебаний Q
от времени при гауссовом импульсе возбуждающего излучения [23].
Отметим два обстоятельства, которые, возможно, выпали из предыдущих рассмотрений ВКР.
В стационарном режиме мы рассматриваем лишь уравнения для полей, считая колебания Q стационарными и пренебрегая уравнением для движения населенностей (последнее
Рис. 4.22 вполне справедливо для интенсивностей меньше 1-10ГВт/см2).
В уравнении (4.48) отсутствует производная по с, и это вполне естественно, так как атомы закреплены в решетке (структуре) вещества, и волн, как таковых, в системе нет, есть только колебания атомов во времени. В случае ВРМБ необходимо также записывать уравнение для волны гиперзвука [24].
В случае последовательности пикосекундных импульсов (период следования Т 10—8—10—10 с) может возникнуть еще один эффект, связанный с конечным временем релаксации колебаний. Например, для ВРМБ время затухания акустических колебаний порядка нескольких наносекунд. К мо
менту прихода следующего импульса акустическое возмущение, вызванное предыдущим импульсом, еще не успеет затухнуть; поэтому, вообще говоря, возможно накопление акустических возмущений от импульса к импульсу вплоть до насыщения [25].
Отметим, что для ВКР и ВРКЛР (для дальнего крыла) аналогичное накопление возмущений в поле последовательности импульсов вряд ли возможно, так как соответствующие времена релаксации весьма малы. Вместе с тем, для ВТР (ВЭР) этот эффект накопления (в данном случае — температурных возмущений) вполне возможен, так как в этом случае т ^ 10™ 8 с.
Вынужденное температурное (энтропийное) рассеяние. В последнее время этот тип вынужденного рассеяния успешно применяется для ОВФ, поэтому следует сказать несколько слов об его физическом механизме.
Прежде всего отметим, что все виды ВР связаны с изменением диэлектрической проницаемости е или коэффициента преломления п. Для правильного и последовательного описания ВР необходимо учитывать изменение ряда параметров, характеризующих термодинамическое состояние вещества, которое в конечном счете приводит к изменению е и к появлению рассеяния. Такая полная и последовательная теория до настоящего времени не создана. Для описания того или иного вида рассеяния мож-
но пользоваться тем известным фактом, что во многих случаях один вид рассеяния превалирует над другим, и только в некоторых случаях они конкурируют и должны рассматриваться совместно.
ВТР было впервые описано в работе [32] и состоит в том, что взаимодействие мощной исходной волны света и рассеянной на температурных неоднородностях среды волны приводит к возникновению в среде мощных температурных (тепловых) волн и к перекачке энергии возбуждающей световой волны в стоксову (рассеянную) волну. Теория ВТР дана в работе [26].
ВТР проявляется, таким образом, в нагреве нелинейной среды поглощаемым лазерным излучением. Поглощение света вызывает выделение тепла (см. также [3]):
14тг14тгISn-cE"ISn-cE"de\ т dE1г)р °Е1тde\ т dE1г)р °Е1т(4.50)(4.50)
1
4тг
1
4тг
ISn-cE"
ISn-cE"
de\ т dE
1г)р °Е1т
de\ т dE
1г)р °Е1т
(4.50)
(4.50)
Здесь 5 — коэффициент поглощения по амплитуде, То — равновесная абсолютная температура среды, производная de)dT берется при постоянном давлении Р (влиянием ВРМБ, тем самым, пренебрегаем; удельная теплоемкость в связи с этим будет принята в виде Ср); первый член в (4.50) описывает истинное поглощение, второй — так называемый электрокало- рический эффект [3].
Количественные характеристики ВТР изучаются при совместном решении волнового уравнения и нестационарного уравнения температуропроводности среды:
1 d2E с2 dP1 d2E с2 dP+ rot rot Е = —+ rot rot Е = —d2 (EAT) dPd2 (EAT) dPdtdt- xVl (ДТ) = -T,- xVl (ДТ) = -T,(4.51)(4.52)(4.51)(4.52)
1 d2E с2 dP
1 d2E с2 dP
+ rot rot Е = —
+ rot rot Е = —
d2 (EAT) dP
d2 (EAT) dP
dt
dt
- xVl (ДТ) = -T,
- xVl (ДТ) = -T,
(4.51)
(4.52)
(4.51)
(4.52)
где AT = T (r ,t) — To — отклонение температуры от равновесного значения, р — плотность среды, у — температуропроводность, Ах — лапласиан по поперечным координатам.
В связи с различием вкладов разных эффектов в тепловыделение (4.50) различают ВТР™ 1 (из-за электрокалорического эффекта) и ВТР-2 (из-за прямого поглощения света). Время установления температурной волны для жидкостей ~ 10™8 с, и для коротких (< 10™8 с) и тем более пикосекундных импульсов света явления ВТР-1 и ВТР-2 не успевают развиться. Как было установлено, в таком существенно нестационарном режиме основную роль в ВТР начинает играть еще один процесс (назовем его ВТР-3), состоящий в изменении е при постоянной плотности (изобарические флуктуации е) вследствие возбуждения внутренних степеней свободы молекул при поглощении света с существенно меньшим, чем 10™8 с, временем установления.
16 В. Г. Дмитриев
Стационарная теория ВТР применима для времен t ^ тт (а для ВРМБ — при t ^> тф), где времена установления температурного равновесия в температурной волне тт = (2уд2) 1 и жизни акустических фотонов Тф = ^cw)^1 определяются коэффициентами температуропроводности X и поглощения гиперзвука а, скоростью гиперзвука и и его волновым вектором q = k0 — ki, где кОд — волновые векторы возбуждающего (накачка) и стоксова излучений.
В работе [26] ВТР рассматривается совместно с ВРМБ, для чего к уравнениям (4.51), (4.52) добавляется уравнение гидродинамики для плотности среды.
В приближении заданного поля накачки из (4.51), (4.52) получаем
\ЕХ (0)|2еХрИОЦ],
где — приведенная координата вдоль среды, ^(П) — стационарный коэффициент усиления (Q = шо cui), сложным образом зависящий от параметров задачи и имеющий два максимума — на частоте Q = 0 (т.е. рассеяние без сдвига частоты) и при О = Qo, где По — частота мандельштам- бриллюэновских акустических фононов. Наиболее существенным здесь оказывается тот результат, что коэффициент усиления для ВРМБ получает заметную поправку, связанную с учетом ВТР.
Как и во всех видах ВР, здесь нет прямого комплексного сопряжения взаимодействующих волн. Эффект ОВФ здесь возникает так же, как и для ВРМБ и ВКР, вследствие дискриминации некоррелированных с пространственно-неоднородным полем накачки компонент стоксовой волны и преимущественным усилением коррелированной конфигурации (спеклона). Преимуществом ОВФ-ВТР является практическое отсутствие смещения частоты обращенной компоненты. Явление ОВФ-ВТР наблюдалось в работах [33, 34]. Наряду с преимуществом отсутствия сдвига частоты при ОВФ, ВТР обладает очевидным недостатком — большим временем установления.
Явление ВТР часто интерпретируют как вынужденное энтропийное рассеяние (ВЭР), обусловленное флуктуационными отклонениями энтропии от равновесного значения (см. [25]).
В заключение заметим, что для «замыкания» цепи ВР, как известно, требуется эффект, квадратичный по полю, т.е. пропорциональный Е2 и в том числе члену Е0Е^, дающему вклад на частоте собственных колебаний среды. В случае ВТР таких эффектов три — это прямое поглощение света, электрокалорический эффект и возбуждение внутренних степеней свободы молекул при поглощении света.
Заметим, что для жидкостей с достаточно большим коэффициентом поглощения 5 ж 0,1-0,01 см™1 влиянием электрокалорического эффекта можно пренебречь. Оценки показывают, что ВТР (ВЭР) даже в полях наносе- кундных импульсов — существенно нестационарный процесс.
О поляризационных свойствах ОВФ-ВР. Аберраторы многих типов, в том числе, например, активные элементы твердотельных лазеров, могут вносить не только фазовые, но и поляризационные искажения. Поэтому очень важным является вопрос о возможности полного, т.е. пространственно-поляризационного ОВФ-ВР [4].
Система уравнений (4.36) в векторном виде имеет вид
6?7\
(4.53)(4.53)-у + у Д± енЛ (р, О = 0, az2кн)
(4.53)
(4.53)
ij ссАс (р, г)д (енес) ен | Ан| Ас.
Из (4.53) следует, что обращенная стоксова волна может быть записана в виде
есАс (р, г) = const • енА* (р, г),
т.е. здесь мы имеем ОВФ пространственной структуры и воспроизведение поляризации накачки (без комплексного ее сопряжения!). Тем самым, в части поляризации ВР-преобразователь действует как обычное зеркало, превращающее, например, правополяризованное излучение при отражении в левополяризованное:
(еж - jey) exp (-jkz) (еж - jey) exp (+jkz).
Если накачка деполяризована, т.е. вектор поляризации накачки неоднороден по поперечному сечению, то наибольшим инкрементом будет обладать тот спеклон, поляризация которого совпадает с поляризацией наиболее сильной компоненты возбуждающего излучения, так что спеклон оказывается полностью поляризованным — налицо явление нелинейной поляризационной селекции. Однако в целом пространственно-неоднородная по поляризации накачка (именно в таком смысле понимается здесь деполяризованная накачка, а не как обычно — переменная во времени поляризация) ухудшает характеристики ОВФ по сравнению со случаем однородной поляризации. В случае ВРМБ полного пространственно-поляризационного ОВФ не происходит, поскольку при этом возбуждаются три волны с разным состоянием поляризации и одинаковым инкрементом. В случае ВРКЛР при деполяризованной накачке возникает практически полное пространственно-поляризационное ОВФ в силу дискриминации некоррелированных с накачкой (в том числе и по поляризации) конфигураций, см. также [35].
К истории открытия эффекта ОВФ. История открытия эффекта ОВФ неразрывно связана с историей открытия и исследований вынужденных рассеяний (ВР) света. Поэтому будет нелишним привести здесь важнейшие исторические даты открытия спонтанных и вынужденных рассеяний света:
— спонтанное комбинационное (рамановское) рассеяние света (1928 г.; Раман, Индия; Л.И. Мандельштам и Г.С. Ландсберг, СССР);
— спонтанное рассеяние Мандельштама-Бриллюэна (1918г.; предсказано Л.И. Мандельштамом, Россия; 1926 г., независимо и повторно исследовано Л. Бриллюэном, Франция);
— спонтанное рэлеевское рассеяние (XIX век; лорд Рэлей; 1908 г., М. Смолуховский; 1910 г., А. Эйнштейн);
— вынужденное комбинационное рассеяние (1935 г.; предсказано Г. Плачеком, Германия; 1962 г., Вудбери и Нг, США, экспериментальное обнаружение; 1962 г., Хелвортс, США, правильная интерпретация как стоксово ВКР; 1963 г., Терхьюн, США, антистоксово ВКР);
— вынужденное рассеяние Мандельштама-Бриллюэна (1964 г.; Чиао, Стойчев, Таунс, США);
— вынужденное рассеяние крыла линии Рэлея, или вынужденное рэлеевское рассеяние (1965 г.; В.С. Старунов и И.Л. Фабелинский, СССР);
— вынужденное тепловое рассеяние (1967 г; В.С. Старунов и И.Л. Фабелинский, СССР).
Именно исследования ВР света привели к открытию ОВФ. Еще в 1965 г. Бревером (США) было обнаружено, что при ВРМБ расходимость отраженного назад стоксова света близка к расходимости возбуждающего излучения лазера. В 1967 г. Ранк (США) для ВРКЛР и в 1970 г. М.М. Сущин- ский (СССР) для ВКР наблюдали аналогичный эффект. Однако, как указал Н.Г. Басов в 1986 г. в работе [36], «... вопрос о том, с какой точностью направленность вынужденного рассеянного света соответствует направленности возбуждающего света (т.е. вопрос о взаимном соответствии их волновых фронтов), долгое время вообще не ставился. Впервые такой вопрос был поставлен в 1971 г. в лаборатории квантовой радиофизики (КРФ) ФИАН. Осуществленные в лаборатории КРФ эксперименты привели к открытию в 1971 г. явления самообращения волнового фронта при ВР света (авторы — В.В. Рагульский, В.И. Поповичев, Ф.С. Файзуллов).»
Первая официальная публикация, содержащая и предварительную теоретическую интерпретацию эффекта само-ОВФ относится к 1972 г. [37]. В книге [4] Б.Я. Зельдович с соавторами подчеркивает, что « ... вопрос о связи сложной структуры волновых фронтов падающего и рассеянного излучений впервые был поставлен В.В. Рагульским в 1971 г. Он предложил и, работая в ФИАН СССР, осуществил с сотрудниками эксперимент, в котором было обнаружено само-ОВФ при ВР света.».
Соображения, которыми руководствовался В.В. Рагульский, задумывая и реализуя эти эксперименты, содержатся в его монографии [38], а в работе [39] ему с сотрудниками впервые удалось получить пучок лазерного излучения с дифракционной, т.е. предельной, расходимостью от лазера с оптически-неоднородной активной средой. Заметим, что идея такого применения была сформулирована О.Ю. Носачем и В.В. Рагульским в одном из научных отчетов ФИАН в 1971 г. (его краткое изложение опубликовано В [40]).
Столь подробное изложение истории открытия ОВФ здесь приводится в связи с тем, что в последнее время имели место определенные попытки ее пересмотра. В частности, в 1997 г. Оптическое общество Америки наградило Б.Я. Зельдовича (работающего уже долгое время в США) медалью Макса Борна за « ... основополагающие вклады в открытие и теоретическое понимание оптического фазового сопряжения»; это создало несколько искаженное впечатление об истории открытия ОВФ. Из вышеизложенного ясно, что честь экспериментального открытия ОВФ принадлежит советским ученым В.В. Рагульскому, В.И. Поповичеву и Ф.С. Файзуллову, а Б.Я. Зельдовичу удалось блестяще (теоретически) интерпретировать открытое явление на базе «полуколичественного» [39] соображения о преимущественном усилении или дискриминации некоторых рассеянных волн, развитое впоследствии им с сотрудниками в цикле работ (см. [4, 5,13-14,16,18-21,27,35,37 и т.д.]). Справедливости ради следует отметить, что это предположение выдвигалось еще в 1964 г. Бломбергеном и Шэном, однако, разумеется, тогда они, как и многие последующие исследователи ВР света, ни разу (до экспериментов В.В. Рагульского с сотрудниками) не сделали вывода о том, что указанная дискриминация в усилении может привести к ОВФ; этот вывод был в явном виде сформулирован только в отчете ФИАН 1971 г. (см. [40]) и через год в [37].
Подробнее об истории ВР света и ОВФ см. работы [38, 41—42].
Методы определения качества ОИФ-ИР и практические схемы
В физических экспериментах [4] для создания пространственно-неоднородной волны накачки используется обычно аберратор в виде тонкой фазовой пластины. Она приготавливается из стеклянной плоскопараллельной пластины травлением в плавиковой кислоте, в результате чего пластина приобретает случайное изменение толщины /3 (р) = h (р) — h®. Набег фазы (ее пространственно-неоднородное изменение) равен Sp = к (п — 1) (3 ^р\ Обычно выбирают /3 (р) таким, чтобы (Зр > 2тг, в противном случае нерегулярная часть излучения будет иметь незначительную амплитуду Расходимость, вносимая такой пластиной, имеет порядок 6 ~ A/d, где d — характерный поперечный размер неоднородности (обычно 6 ^ 102 рад ^> Ф ^диф)-
Фазовую пластину можно использовать и как анализатор состояния обращенного поля. Действительно, обращенная компонента при вторичном прохождении через аберратор даст исходную плоскую волну, а необращенные компоненты — расходящийся пучок. В фокусе линзы (т.е. в дальнем поле) плоская волна даст яркое дифракционное пятно, а необращенные компоненты — размытый ореол, вследствие чего эти компоненты могут быть легко удалены друг от друга, например, диафрагмой. За диафрагмой может быть установлен измерительный прибор, с помощью которого можно измерить энергию ОВФ-компоненты и тем самым — долю воспроизведения (обращения) Н. Недостатком этого простого метода является его чувстви-
тельность к флуктуациям оси лазерного пучка, так как размер диафрагмы соответствует точно дифракционной расходимости и весьма мал.
Более удобным оказался метод измерения яркости лазерного пучка накачки и отраженной волны в дальней зоне (отраженная волна — после прохождения аберратора) с помощью зеркального клина и фотоматериалов. Прежде всего, энергии лазерного импульса накачки и импульса восстановленной отраженной волны (собранной в широком телесном угле!) измеряются калориметрами (за одну «вспышку»). Одновременно часть излучения накачки и восстановленной волны направляется на зеркальный клин, состоящий либо из двух полупрозрачных зеркал, либо из одного 100 %-го и другого полупрозрачного (рис. 4.23 а, б соответственно).
Нетрудно видеть, что такой клин дает серию подобных пучков с последовательным ослаблением интенсивности в геометрической прогрессии. Среди этих пучков всегда найдутся несколько попадающих в линейный участок кривой почернения фотоматериала. Это позволяет сравнить яркости и угловые распределения обоих излучений без влияния типа фотоматериала, режима проявления, флуктуаций и т.п.
Если отраженная (восстановленная) волна является точно обращенной по отношению к накачке, то отношение яркостей Вс стоксовой волны и Вн накачки должно совпадать с отношением энергий ес и ен этих же волн. В этом случае, очевидно, доля обращения Н = 1. Если же в отраженной волне содержится необращенная часть излучения, то указанные соотношения не совпадают. В этом случае Н = еиВс/(есВн) 1.
Полезно рассмотреть практическую схему эксперимента, с помощью которой было обнаружено явление ОВФ-ВРМБ [27]. Излучение накачки (А = 0,69 мкм) с £н ~ 0,14 Дж, тп = ПО ней 0^10“4 рад регистрировалось калориметром и фотоаппаратом методом зеркального клина и поступало на фазовую пластину ФП (рис. 4.24), после прохождения которой приобретало нерегулярную расходимость ~ 3 • 10-2 рад, т.е. в 300 раз большую, чем начальная (практически дифракционная) расходимость накачки. С помо-
щью линзы изображение ФП переносилось на вход светопровода сечением 4x4 мм и длиной ~ 1 м, заполненного метаном под давлением ~ 130 атм.
В процессе распространения по светопроводу различные угловые компоненты накачки интерферируют, образуя спекл-структуру с равномерным освещением световода. В светопроводе (в сжатом метане) возникало ВРМБ с коэффициентом отражения (преобразования) по энергии Ес/Еп ^ 0,25.
Рис. 4.24
Сопоставление яркостей накачки и отраженного (восстановленного после прохождения ФП) излучения также дало отношение 0,25 ± 15%. Таким образом, с приемлемой точностью можно полагать Н ^ 1, т.е. полагать, что в этом случае идет полное пространственное ОВФ.
Интересно отметить, что в отсутствие ФП ОВФ не происходит, хотя сохраняется высокий коэффициент ВРМБ-преобразования. Очевидно, что в этом случае условие существования спеклона не выполнено.
В целом ряде работ измерялся инкремент для стоксовой волны в условиях ОВФ (см. библиографию к [4]); с достаточной точностью он оказался вдвое большим, чем для некоррелированных
МощныйМощныйВР- кювета (светопровод)ВР- кювета (светопровод)Слабый пучок, ВФ которого требуется обратитьРис. 4.26Слабый пучок, ВФ которого требуется обратитьРис. 4.26волн, что находится в весьма хорошем согласии с теорией.
Мощный
Мощный
ВР- кювета (светопровод)
ВР- кювета (светопровод)
Слабый пучок, ВФ которого требуется обратить
Рис. 4.26
Слабый пучок, ВФ которого требуется обратить
Рис. 4.26
Схема с ОВФ-ВР и фокусировкой излучения накачки в среду приведена на рис. 4.25, см. [43]. Весьма простая схема, позволяющая обратить ВФ слабых пучков света, интенсивность которых лежит ниже порога ВР, исследована в [44] и показана на рис. 4.26. Аналогичная схема для светопровода была предложена в [45]. В обычных схемах нельзя обратить ВФ полей, интенсивность которых ниже
пороговой для ВР. Однако если использовать возбуждение ВР специальным мощным пучком с интенсивностью выше пороговой, то в его поле слабые пучки также хорошо обращаются (рис. 4.27 из работы [43]). Угловое рас
пределение интенсивности исходного лазерного пучка показано в левом круге, рис. 4.27 а с расходимостью ~ 1,5 • 10~4 рад (по полувысоте). После прохождения этого пучка через ФП толщиной 1 мм и неоднородностями
глубиной 1 мкм излучение приобретает «серую» расходимость, в 25 раз большую по сравнению с начальной (5), рис. 4.27 б. После ОВФ-ВРМБ и вторичного прохождения через ФП рассеянная волна вновь приобретает
практически ту же исходную расходимость, т.е. происходит практически полное ОВФ — рис. 4.27 в в правом круге. Все распределения даны в одном масштабе. Тот факт, что исправление ВФ происходит с помощью того же аберратора, который испортил ВФ первоначально плоской волны, означает, что ВФ падающего и рассеянного излучений совпадают, т.е. происходит ОВФ. ВРМБ проводилось в кювете с эфиром.
Наличие практически полного ОВФ при сфокусированном пучке накачки означает существенное влияние нелинейного режима (напомним, что при фокусировке и ВРМБ в приближении заданного поля накачки ОВФ практически не имеет места).
Это следует из того факта, что при ОВФ-ВР можно записать Ас (р) = = К А* (р), при этом, если Ан = А^ + А^, где А^ > А^, то Ас (р) = = К [А^о) (р)] * А К [А^ (р)] *, т.е. одинаково эффективно обращаются как сильная, так и слабая компоненты накачки, причем коэффицент преобразования К определяется мощной компонентой. Физика здесь тоже ясна: мощная компонента возбуждает ВР, т.е. мощные собственные колебания среды на частоте Qo (например, мощные звуковые волны при ВРМБ), а слабый пучок, распространяясь по такой «приготовленной» среде, эффективно рассеивается в стоксову компоненту с ОВФ. Заметим только, что поскольку некоррелированные накачкой компоненты усиливаются в режиме, близком к насыщению, причем усиление составляет е12,5 ^ 3 • 105 раз от спонтанных шумов, а спеклон (обращающая компонента) усиливается в е25 раз, то яркость шумов в 3 • 105 раз меньше, чем пучка К [А^] *. Поэтому мощность слабого сигнала Pi должна быть в пределах ~ 10™5Рпор < Рх < РПор, в противном случае обращенный слабый пучок будет невозможно выделить на фоне пространственных шумов, некоррелированных с накачкой.
Очевидно, что такое беспороговое ОВФ можно осуществить и для слабого сигнала, длина волны которого не совпадает с таковой для сильного сигнала (накачки), если только сдвиг по длине волны не выйдет за пределы, устанавливаемые требованиями к точности ОВФ, например при ВКР, см. § 4.9 и работу [24].
На рис. 4.28 представлена зависимость коэф
фициента отражения слабой волны от ВРМБ-кюветы на стоксовой частоте от ее интенсивности I в присутствии сильной волны (30 МВт/см2, кривая 7) и в ее отсутствии (кривая 2). Видно, что сильная волна обеспечивает практически беспороговое ВРМБ с ОВФ.
В работе [46] предложена схема четырехволнового параметрического взаимодействия с использованием ВРМБ при встречных пучках накачки.
Рассмотрим эту схему подробно, поскольку порог возбуждения в ней оказывается в несколько раз меньшим, чем для ВРМБ с одной волной накачки.
Пусть в среде возбуждается ВРМБ под действием волны накачки ш+ = = ш™ + По и пусть в направлении, почти встречном к волне накачки, распространяется вторая волна накачки си™. Взаимодействие волн ш+ и ш ™ (стоксово почти обратное рассеяние) возбуждает звуковую волну на частоте По, на которой рассеивается встречная волна накачки си™, излучая антистоксову волну с частотой = ш™ + По.
Векторные соотношения имеют вид
к+ = к™ + q, к+ = к™ + q.
При неравенстве частот ш+ и ш ™ и полностью встречно-коллинеарных волнах накачки имеем
k+ + k™ - к™ - к+ = Дк.
Из диаграммы рис. 4.29 видно, что при По <С си, как при ВРМБ, направление антистоксовой волны противоположно таковому для стоксовой волны, а амплитуда антистоксовой волны удовлетворяет условию Аа ~ А*, т.е. здесь происходит четырехволновое ОВФ. Существенным параметром при этом является расстройка Дк. Уравнения для описания этого ЧВ-взаи- модействия имеют вид
( А + Д ) Л = дс Д+|2 Ас + усЛ+Л”Л* exp(j'Akr),
(А-А)Аа = 9а 2 Аа + даА+A” A* exp (jДкг).
Из этих уравнений уже видно, что волны стоксовой и антистоксовой частот взаимно комплексно-сопряжены. Оказалось, что полное ОВФ наблюдается лишь для встречно-коллинеарных волн накачки и его качество резко падает при перекосе коллинеарности встречных qпучков. Поэтому встречную волну накачки про
ще всего получить отражением прямой волны от ^5——^^ зеркала. Антистоксова волна отражается точно сантиколлинеарно стоксовой. Недостатком это
го метода является необходимость «приготовле- Рис. 4.29ния» стоксовой волны на частоте шс = ш+ — По.
Интересной особенностью ВРМБ в поле встречных волн накачки является возможность возникновения абсолютной (т.е. во времени) неустойчивости (нарастания) рассеянного поля, в отличие от ВРМБ в поле только одной волны, когда неустойчивость (нарастание) рассеянного поля возможно только по координате (конвективная неустойчивость) [28], причем возникновение такой неустойчивости возможно только при наличии определенной расстройки (например, за счет различия частот ш^), которая обеспечивает требуемую фазировку волн.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
К главе I
Слюсарев ГТ. О возможном и невозможном в оптике. — М.: Физматгиз, 1960.
Claus AC. On Archimedes’ burning glass // Appl. Opt. 1973. V. 12. P. A14.
Харди Дж. У. Активная оптика: новая техника управления световым пучком // ТИИЭР. 1978. Т. 66, № 6. С. 31.
Адаптивная оптика / Сб. статей. Пер. с англ, под ред. Э.А. Витриченко. — М.: Мир, 1980.
Оптические телескопы будущего / Под ред. Ф. Пачини, В. Рихтера, Р Вильсона; Пер. с англ. — М.: Мир, 1981.
Дмитриев ВТ., Тарасов Л.В. Адаптивная оптика//Природа. 1982. Т. 10. С. 89.
Басов Н.Г Состояние, перспективы и проблемы лазерного термоядерного синтеза в энергетике будущего // Природа. 1978. № 6. С. 26.
Летохов В.С., Устинов НД Мощные лазеры и их применение. — М.: Сов. радио, 1980.
Басов Н.Г, Зубарев ИТ. Эффект обращения волнового фронта оптического излучения в нелинейных средах / Сб. научных трудов под ред. В.И. Беспалова. — Горький, 1979 и 1982.
Борн М, Вольф Э. Основы оптики. — М.: Наука, 1970.
Ландсберг Г. С. Оптика. — М.: Наука, 1976.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука, 1982. '
Дмитриев ВТ, Тарасов Л.В. Прикладная нелинейная оптика. — М.: Радио и связь, 1982.
Королев Ф.В. Теоретическая оптика. — М.: Наука.
Ананьев Ю.А. Оптические резонаторы и проблема расходимости лазерного излучения. — М.: Наука, 1979; см. также Ананьев Ю.А. Оптические резонаторы и лазерные пучки. — М.: Наука, 1990.
Зельдович Б.Я., Шкунов В.В. Влияние пространственной интерференции на усиление при ВР света // Квантовая электроника. 1977. Т. 4, № 11. С. 23532359.
Ахманов С А., Хохлов РВ. Проблемы нелинейной оптики. — М.: ВИНИТИ, 1964.
Гудмэн Дж. Введение в фурье-оптику — М.: Мир, 1970.
Папулис А. Теория систем и преобразования в оптике. — М.: Мир, 1971.
Быков В.П. Излучение и собственные колебания в открытых электромагнитных системах // Дис. д-ра физ.-мат. наук. — М., 1974.
К главе II
Адаптивная оптика / Сб. статей. Пер. с англ, под ред. Э.А. Витриченко. — М.: Мир, 1980.
Дмитриев ВТ, Тарасов Л.В. Прикладная нелинейная оптика. — М.: Радио и связь, 1982.
Басов НТ, Зубарев ИТ. Эффект обращения волнового фронта оптического излучения в нелинейных средах / Сб. научных трудов под ред. В.И. Беспалова. — Горький, 1979 и 1982.
Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Проблемы нелинейной оптики. — М.: ВИНИТИ, 1964.
Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции / Пер. с нем. под ред. ЛИ. Седова — М.: Наука, 1977.
Воронин Э.С., Петникова В.М., Шувалов В.В. Использование вырожденных параметрических процессов для коррекции волновых фронтов (обзор) // Квантовая электроника. 1981. Т. 8, № 5. С. 917—935.
Ильинский Ю.А., Янайт Ю.А. Преобразование изображений при генерации суммарной частоты // Изв. вузов: Радиофизика. 1970. Т. 13, № 1. С. 37-43.
Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. — М.: Наука, 1990.'''
Копылов С.М. Генерация суммарной частоты в поле многомодового лазерного излучения // Квантовая электроника. 1981. Т. 8, № 7. С. 1526-1531.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука, 1982.'
Воронин Э.С., Ивахник В.В., Петникова В.М., Соломатин В.С., Шувалов В.В. Компенсация фазовых искажений при вырожденном четырехчастотном взаимодействии // Квантовая электроника. 1979. Т 6, № 9. С. 2009.
Ивахник В.В. Исследование восстановленного поля при параметрическом обращении волнового фронта // Дис. канд. физ.-мат. наук. — М.: МГУ, 1980.
Ивахник В.В., Петникова В.М., Соломатин В.С., Шувалов В.В. Компенсация искажений ВФ в толстой неоднородной среде // Квантовая электроника. 1980. Т. 7,№З.С. 652-655.
Воронин Э.С., Ивахник В.В., Петникова В.М., Соломатин В.С., Шувалов В.В. Компенсация фазовых искажений при трехчастотном параметрическом взаимодействии // Квантовая электроника. 1979. Т. 6, № 6. С. 1304.
К главе III
Ахманов С.А., Хохлов Р.В. Проблемы нелинейной оптики. — М.: ВИНИТИ, 1964.
Дмитриев ВТ., Тарасов Л.В. Прикладная нелинейная оптика. — М.: Радио и связь, 1982.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука, 1982. '
Степанов БИ., Ивакин ЕИ, Рубанов А.С Н ДАН СССР. 1971. Т. 196. С. 567.
Зельдович Б.Я., Пилипецкий Н. Ф., Шкунов В.В. ОВФ при ВР света // УФН. 1982. Т. 138, Вып. 2. С. 249 288.'
Белъдюгин ИМ, Семиногов В.Н., Земсков Е.М. И Квантовая электроника. 1979. Т. 6,№З.С. 638.
Гринь Ю.Г, Карамзин ЮЛ., Сухоруков АЛ. Об интегралах движения нелинейного четырехфотонного взаимодействия // Квантовая электроника. 1977. Т 4, № 3. С. 700-703.
КарамзинЮЛ., Сухоруков АЛ. //ЖЭТФ. 1975. Т. 68. С. 835.
Власов С.Н., Петрищев В. А., Таланов ВЛ. И Изв. вузов: Радиофизика. 1971. Т. 14. С. 1353.
ВинецкийВ.Л., КухтаревН.В., Одулов С.Г, Соскин М. С. Динамическая самоди- фракция когерентных световых пучков // УФН. 1979. Т. 129, вып. 1. С. 113-137.
Большое Л. А., Власов Д.В., Гараев РА. О пространственном резонансе при четырехфотонном взаимодействии попутных волн в кубичной среде // Квантовая электроника. 1982. Т. 9, № 1. С. 83-91.
Yao Jian-quan, Zhou Guosheng, Siegman A.E. Large Signal Results for Degenerate Four™Wave Mixing and Phase Conjugate Resonators // Appl. Phys. B. 1983. № 1. P. 11-18.
Соскин M. С., Хижняк АЛ. О встречном взаимодействии четырех плоских волн в среде с безынерционной кубической нелинейностью // Квантовая электроника. 1980. Т. 7, № 1. С. 42-49.
Yariv A., Pepper D.M. И Optics Letts. 1977. V. 1. Р. 16.
Кольер Р, Беркхарт К, Лин Л. Оптическая голография / Пер. с анг. — М.: Мир, 1973.
Янке Е., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции / Пер. с нем. под ред. ЛЛ. Седова. — М.: Наука, 1977.
Соскин М.С. / В сб.: Фундаментальные основы оптической памяти и среды. — Киев, 1978. Вып. 9. С. 3.
Лазарук А.М., Рубанов А. С. Энергетическая эффективность ОВФ при вынужденном четырехволновом параметрическом рассеянии // Квантовая электроника. 1980. Т. 7, № 9. С. 1992-1995.
Юдаев Б.Н Теплопередача. — М.: Высшая школа, 1973.
Васильев Л.А., Галушкин М.Г., Серегин А.М., Чебуркин Н.В. ОВФ при ЧВ-взаи- модействии в среде с тепловой нелинейностью // Квантовая электроника. 1982. Т. 9, №8. С. 1571-1575.
Воронин Э. С., Ивахник В.В., Петникова В.М., Соломатин В. С., Шувалов В.В. И Квантовая электроника. 1979. Т. 6, № 9. С. 2009.
Воронин Э.С, Петникова В.М., Шувалов В.В. Использование вырожденных параметрических процессов для коррекции волновых фронтов (обзор) // Квантовая электроника. 1981. Т. 8, № 5. С. 917-935.
Гудмэн Дж. Введение в фурье-оптику — М.: Мир, 1970.
Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков АЛ. Теория волн. — М.: Наука, 1990.■
Барашков М.С, Матвеев ИЛ., Петникова В.М. и др. Компенсация фазовых искажений в однопроходной схеме ОВФ при вырожденном четырехфотонном взаимодействии // Квантовая электроника. 1982. Т. 9, № 11. С. 2340-2341.
Гюламирян А.Л., Зельдович Б.Я., Мамаев А.В., Пилипецкий Н.Ф., Шкунов В.В. Четырехволновое обращение фронта с селекцией и управлением сигналом / В сб.: Эффект ОВФ оптического излучения в нелинейных средах; под ред. ВЛ Беспалова. — Горький, 1982. С. 91—110.
ВинецкийВ.Л., КухтаревН.В., Одулов С.Г., Соскин М.С. Динамическая самоди- фракция когерентных световых пучков // УФН. 1979. Т. 129, вып. 1. С. 113—137.
Зельдович Б.Я., Шкунов В.В. ОВФ излучения в нелинейных средах // ИПФ АН СССР. Горький, 1979. С. 23-43.
Зельдович Б.Я., Шкунов В.В. Пространственно-поляризованное ОВФ при четырехфотонном взаимодействии // Квантовая электроника. 1979. Т. 6, № 3. С. 629-631.
Большов Л.А., Бункин Ф.В., Власов Д.В. О компенсации нелинейных искажений пучков с произвольным состоянием поляризации // Квантовая электроника. 1980. Т. 7, №9. С.2057-2059.
Беспалов В.И., Бетин А. А., Кулагина С.Н., Пасманик Г. А., Шилов А.А. ОВФ излучения с пространственно-неоднородным состоянием поляризации при четырехволновом комбинационном взаимодействии // Письма в ЖЭТФ. 1980. Т. 6, вып. 21. С. 1288-1291.
Баранова Н.Б., Быковский Н.Е., Зельдович Б.Я., Сенатский Ю.В. Дифракция и самофокусировка излучения в усилителе мощных световых импульсов // Квантовая электроника. 1974. № 11. С. 243 5-245 8.
Блащук В.Н., Зельдович Б.Я., Шкунов В.В. Четырехволновое ОВФ в поле кодированных опорных волн // Квантовая электроника. 1980. Т. 7, № 12. С. 25592567.
Зельдович Б.Я., Яковлева ТВ. Влияние линейного поглощения и отражения на характеристики четырехволнового ОВФ // Квантовая электроника. 1981. Т. 8, №9. С. 1891-1898.
Lind КС, Steel D.G., Dunning GJ. Phase conjugation by resonantly enhanced degenerate four-wave mixing // Optical Engineering. 1982. V. 21, № 2. P. 190-198.
Ораевский АЛ. О возможности применения резонансно-возбуждаемых сред для ОВФ // Квантовая электроника. 1979. Т. 6, № 1. С. 218-224.
Беспалов ВЛ., Бетин А.А., Дятлов АЛ и др. ОВФ при четырехквантовых процессах в условиях двухквантового резонанса//ЖЭТФ. 1980. Т. 79, вып. 2(8). С.378-390.
Зельдович Б.Я., Пилипецкий Н.Ф., Шкунов В.В. Обращение волнового фронта. — М.: Наука, 1985. С. 247.
К главе ТУ
Пантел В, Путхоф Г. Основы квантовой электроники. — М.: Мир, 1972.
Борн М., Кунъ X. Динамическая теория кристаллических решеток. — М.: ИЛ, 1958.'
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред. — М.: Наука, 1992. '
Зельдович Б.Я., ПилипецкийЛ Ф., Шкунов В.В. ОВФ при ВР света // УФН. 1982. Т. 138, вып. 2. С. 249-288.'
Зельдович Б.Я., Пилипецкий Н.Ф., Шкунов В.В. Обращение волнового фронта. — М.: Наука, 1985.
Фабелинский И.Л. Молекулярное рассеяние света. — М.: Наука, 1965.
Келих С. Молекулярная нелинейная оптика. — М.: Наука, 1981.
Сущинский М.М. Комбинационное рассеяние света и строение вещества. — М.: Наука, 1981; см. также Сущинский М.М. Вынужденное рассеяние света. — М.: Наука, 1985.
Белъдюгин И.М., Галушкин МТ, Земсков Е.М., Мандросов В.И. О комплексном сопряжении полей при ВРМБ // Квантовая электроника. 1976. Т 3, № 11. С.2467-2470.
Ахманов С А., Голяев Ю.Д., Дмитриев ВТ. И ЖЭТФ. 1972. Т. 62, № 1. С. 13.
И. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. — М.: Наука, 1990.■
Сидорович ВТ И ЖТФ. 1976. Т. 46. С. 2168
Зельдович Б.Я., Шкунов В.В. О границах существования эффекта ОВФ при ВР света//Квантовая электроника. 1978. Т. 5. С. 36-43.
Баранова Н.Б., Зельдович Б.Я. И Квантовая электроника. 1980. Т. 7. С. 229.
Сидорович ВТ, Шкунов В.В. // ЖТФ. 1979. Т. 49. С. 81.
Зельдович Б.Я., Шкунов В.В. О воспроизведении ВФ при ВКР света // Квантовая электроника. 1977. Т. 4, № 5. С. 1090-1098.
Бреховских ГЛ., Кудрявцева А.Д., Соколовская А.И. Восстановление ВФ световых пучков при ВКР // Квантовая электроника. 1978. Т. 5, № 8. С. 1812-1815.
Зельдович Б.Я., Шкунов В.В. Влияние пространственной интерференции на усиление при ВР света // Квантовая электроника. 1977. Т. 4. № 11. С. 23532359.
Зельдович Б.Я., Яковлева ТВ. Мелкоструктурные искажения при ОВФ пучка с неполной пространственной модуляцией // Квантовая электроника. 1980. Т. 7, №2.0.316-325.
Баранова Н.Б., Зельдович Б.Я., Шкунов В.В. ОВФ при ВР-света в сфокусированном пространственно-неоднородном пучке накачки // Квантовая электроника. 1978. Т. 5, №5. С. 973-985.
Баранова Н.Б., Зельдович Б.Я. ОВФ сфокусированных пучков (ВРМБ назад, теория) // Квантовая электроника. 1980. Т. 7, № 5. С. 973-982.
Белъдюгин И.М., Земсков Е.М., Клушин В.Н., Семиногов В.Н. Эффект ОВФ на основе антистоксова ВКР // Квантовая электроника. 1979. Т. 6, № 11. С. 2481— 2483.
Кайзер В. Нестационарное ВР света. Времена релаксации молекулярных колебаний // Квантовая электроника. 1974. № 9. С. 2036-2042.
Ефимков В. Ф. и др. // ЖЭТФ. 1979. Т 77, вып. 2(8). С. 526-536.
Беспалов В.И., Тасмании ГА. //ЖЭТФ. 1970. Т. 58, вып. 1. С. 309-323.
СтаруновВ.С. //ЖЭТФ. 1969. Т. 57, вып. 3(9). С. 1012-1023.
Зельдович Б.Я., Поповичев В.И., Рагулъский В.В., Файзуллов Ф.С. И Письма в ЖЭТФ. 1972. Т. 15. С. 160.''
Беспалов В.И., Бубис Е.Л. и др. ВРМБ в поле встречных световых волн // Квантовая электроника. 1982. Т 9, № 12. С. 2367-2372.
Пасманик Г.А. Воспроизведение ВФ сложных сигналов при обратном ВР // Письма в ЖЭТФ. 1978. Т. 4, вып. 9. С. 504-507.
Ахманов СА., Драбович К.Н., Сухоруков А.П., Чиркин А.С. //ЖЭТФ. 1970. Т. 59, №2. С. 485.--
Carman R.L., Shimizu F, Wang CS., Bloembergen N. H Phys. Rev. 1970. V. A2. P. 60.
Зайцев Г.И., Кызыласов Ю.И., Старунов В.С., Фабелинский И.Л. И Письма в ЖЭТФ. 1967. Т. 6. С. 802.'
Кривощеков ГВ., Стунан М.Ф., Тимофеев ТТ И Письма в ЖТФ. 1981. Т. 7.
С. 506.'
Белоусов В.Н., Большов Л. А., Ковальский НГ, Низиенко Ю.К И ЖЭТФ. 1980. Т 79. С. 2119.
Зельдович Б.Я., Яковлева ТВ. Пространственно-поляризационное ОВФ при ВР крыла линии Рэлея // Квантовая электроника. 1980. Т. 7, № 4. С. 880-887.
Басов НГ И Труды ФИАН. 1986. Т. 172. С. 6.
Зельдович Б.Я., Поповичев В.И., Рагулъский В.В., Файзуллов Ф.С. И Письма в ЖЭТФ. 1972. Т. 15, вып. 3. С. 160; там же, Т. 15, вып. 6. С. 3 63.
Рагулъский В.В. Обращение волнового фронта при вынужденном рассеянии света. — М.: Наука, 1990.
Носач О.Ю., Поповичев В.И., Рагулъский В.В., Файзуллов Ф.С. И Письма в ЖЭТФ. 1972. Т. 16, вып. 11. С. 617.'
Носач О.Ю., Рагулъский В.В. И Оптика и спектроскопия, 1998. Т. 85, № 6. С. 999.
Дмитриев В.Г. История нелинейной оптики. / В кн.: Современная радиоэлектроника (50-е-80-е годы). — М.: Наука, 1993. С. 91-118.
К истории открытия эффекта ОВФ // Оптика и спектроскопия. 1998. Т 85, № 6. С. 997.
Блащук В.И, Зельдович Б.Я., Мельников НА., Пилипецкий Н. Ф., Поповичев В.И., Рагулъский В.В. ОВФ при ВР сфокусированных световых пучков // Письма в ЖТФ. 1977. Т. 3, вып. 5. С. 211-215.
Рагулъский В.В. ОВФ слабых пучков при ВР света // Письма в ЖТФ. 1979. Т 5, вып. 4. С. 251-254.
Басов НГ, Зубарев И.Г и др. ОВФ слабых сигналов при беспороговом отражении от бриллуеновского зеркала // Квантовая электроника. 1979. Т. 6, № 2. С. 394-397.
Беспалов В.И., Бетин А. А., Пасманик ГА., Шилов А.А. ОВФ при комбинационном преобразовании стоксовой волны в поле встречных пучков накачки // Письма в ЖТФ. 1979. Т. 5, вып. 4. С. 242-246.
1 Г)
1 - fc2 [(ф)]2 + 2Л W - fc2 (Ф2) + • • • , (1-23)
ИЛИ
НеЯ(Р) = 1 - А;2[((Ф))2 - (Ф2)] = 1 - /с2(ДФ)2,
где (ДФ)2 — среднеквадратичная деформация волнового фронта.
Таким образом, при малых (Ф С R) аберрациях волнового фронта фактор Штреля нс зависит от вида аберраций, а определяется лишь волновым числом (или длиной волны) и величиной среднеквадратичной деформации волнового фронта:
Я(Р) to 1 - (2тг/А)2 (ДФ)2.
Пользуясь (1.24), можно оценить влияние аберраций на уменьшение интенсивности в точке Р. Например, при (ДФ)2 аз (ОДА)2, т.е. при среднеквадратичном отклонении реального волнового фронта от идеального сферического всего на одну десятую длины волны получаем Н(Р) = 0,6, что соответствует уменьшению интенсивности почти вдвое. В работе [3] отмечается, что зачастую такая потеря интенсивности на практике недопустима, что еще раз подчеркивает исключительно высокую критичность параметров изображения к аберрациям волнового фронта. Нетрудно видеть, что наибольшее влияние оказывают деформации волнового фронта
УДК 535^ рИздание осугцествлено при поддержке
Д53г* <тт> И Российского фонда фундаментальных
ББК 22.343ХГисследований по проекту 00-02-30048
Дмитриев В.Г. Нелинейная оптика и обращение волнового фронта — М.: Физматлит, 2003. — 256 с. — ISBN 5-9221-0080-7.
Монография посвящена изложению основ процесса обращения волнового фронта (ОВФ) лазерного излучения методами нелинейной оптики. Рассмотрены основные физические эффекты и особенности процесса ОВФ при вырожденном трехволновом взаимодействии в квадратично-нелинейной среде, вырожденном четырехволновом взаимодействии в ку биче ски-нелинейных средах, при вынужденных рассеяниях света (ВКР, ВРМБ и т.п.). Даны необходимые сведения из физической оптики, в том числе по оптическим аберрациям и возможностям их компенсации с помощью процесса ОВФ, а также основные аспекты фурье- оптики. Кратко изложены методы определения качества ОВФ, даны некоторые практические схемы ОВФ и кратко обсуждается история открытия ОВФ.
Книга предназначена для специалистов, работающих в области лазерной физики, квантовой электроники, оптического и оптико-электронного приборостроения, а также для студентов и аспирантов соответствующих специальностей.
Научное издание
ДМИТРИЕВ Валентин Георгиевич