Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
Введение11
Комплексные амплитуды (11). 1.2. Комплексные диэлектрическая и магнитная проницаемости (12). 1.3. Квадратичные величины (12). 1.4. Уравнения электродинамики н акустики (13). 1.5. Токи поляризации (14). 1.6. Волновые уравнения (15). 1.7. Плоские волны (】7).
Граница раздела (особые поверхности поля)18
Граница раздела диэлектриков (19). 2.2. Поверхность хорошего провод-
в акустике (24)・Особые точки поля25.3.1. Точечный источник. Лниейный источник (25). 3.2. Поток энергии нз источника (27). 3.3. Ребра н вершины (28). Х4. Бесконечно удаленные точки (32).Теорема единственности34в акустике (24)・Особые точки поля25.3.1. Точечный источник. Лниейный источник (25). 3.2. Поток энергии нз источника (27). 3.3. Ребра н вершины (28). Х4. Бесконечно удаленные точки (32).Теорема единственности34■ ника (20). 2.3. Поверхность идеального проводника (21 丿.2.4. Тела с границами раздела как частный случай непрерывных сред (23). 2.5. Граничные условия
в акустике (24)・
Особые точки поля25
.3.1. Точечный источник. Лниейный источник (25). 3.2. Поток энергии нз источника (27). 3.3. Ребра н вершины (28). Х4. Бесконечно удаленные точки (32).
Теорема единственности34
в акустике (24)・
Особые точки поля25
.3.1. Точечный источник. Лниейный источник (25). 3.2. Поток энергии нз источника (27). 3.3. Ребра н вершины (28). Х4. Бесконечно удаленные точки (32).
Теорема единственности34
Среда без особенностей (35). 4.2. Общий случай (37). 4.3・ Нарушение теоремы единственности (39). 4.4. Неявные способы задания стороннего ■ Мка (40).
Глава II
МЕТОД РАЗДЕЛЕНИЯ ПЕРЕМЕННЫХ
Дифракция на цилиндре- . . 43
Сохранение полярнзапнн и деполяризация прн дифракции на произвольном цилиндре (43). 5.2. Металлический круговой цилиндр; Д-поляризацня. ряд Релея (44). 5.3. Металлический круговой цилиндр; Я-поляризацня. ряд Редея (46). 5.4. Металлический круговой цилиндр; f-поляризация, ряд Ватсона (47). 5.5. Источник в виде линии тока, ряд Ватсона; падение плоской волны (50). 5.6. Импедансный цилиндр; скалярная задача (53). 5.7. Диэлектрический круговой цилиндр, ряд Релея (53). 5.8. Металлический эллиптиче* ский цнлнндр (56). 5.9. Круговой цилиндр； поле зависит от N (57). 5.10. Поля н токи при дифракции на круговом цилиндре (57).
Дифракция на шаре63
Акустическая задача, ряд Релея (63). 6.2, Электромагнитная задача： идеально проводящая сфера (бб). 6.3. Электромагнитная задача; диэлектрический шар (68). 6.4. Акустическая задача, ряд Ватсона (6S). 6.5. Поля и токи прн дифракции на шаре (71).
Дифракция иа клине 74
Дифракция на клине; ^-поляризация (74). 7.2. Интегральные представления полей дифракции плоской волны иа клине (77). 7.3. Поле вдали от ребра (79). 7.4. Поле вблизи границы свет—тень (79). 7.5. Поля при дифракции на клипе (80). 7.6. Дифракция на клине; Я-полярнзация (82k
Глава III
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Метод собственных частот84
Простой пример： возбуждение закрытого резонатора; метод разделения переменных (85). 8.2. Возбуждение закрытого резонатора; метод собственных частот (86). 8,3. Учет конечной проводимости стеиок (88)- 8.4. Резонатор с диэлектриком (89). 8.5. Применение метода собственных частот для внешних задач; непрерывный спектр (91).
Собственное значение — диэлектрическая проницаемость92
Диэлектрик а закрытом резонаторе (92). 9.2. Резонансный множитель (94).
Диэлектрик в резонаторе с нендеальиыми стенками или йзлуче- иием; тело с eft генерирует энергию (во вспомогательной задаче) (94).
Собственное значение еп входит в двустороннее граничное условие (95).
Пример: резонанс в днэлектрнческом цилиндре (97).
Собственное значение — импеданс стенки99
Собственный импеданс; задача дифракции с нулевым импедансом (99).
Импеданс в задаче дифракции отличен от нуля (101). 10.3. Внешняя задача (102). 10.4. Перенос математического аппарата на уравнения Максвелла (102). 10.5. Другие методы собственных .колебаний (103).
Глава IV
ФУНКЦИИ ГРИНА И ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
Функции Грина105
Определение функннн Грина; выражение для поля в пространстве через функцию Грина (106). 11.2. Выражение для поля на бесконечностя через функцию Грина (109). 11.3. Граничные задачи (111). 11.4・ Функция Грнна в векторной формулировке (112).
Интегральные уравнения для .поля в диэлектрике и тока на металле 114
Задачи с диэлектриком (115). 12.2. Снижение размерности интегрального уравнения (116). 12.3. Диэлектрик в волноводе (118). 12.4. Металлическое тело； Я-полярнзация; интегральное уравнение первого рода (119). 12.5. Металлическое тело： £ поляризация; интегральное уравнение аторого рода (121). 12.6. Металлическое тело; Я"-полярнзация; интегральное уравнение первого рода (122).
Металлическое тело; Н-полярнзация; интегральное уравнение второго рода (123). 12.8. Потенциал двойного слоя и производная потенциала простого слоя (123). 12.9. Возбуждение длинного тонкого аибратора (125).
Интегральные уравнения для электрического поля в отверстии экрана'128
Отверстие в плоском экране： Я-поляризация (128). 13.2. Отверстие в плоском экране; Я<поляризапня (131). 13.3. Уравнения первого и второго рода (132).
Векторная задача (134). 13.5. Индуктивная диафрагма в волноводе (135),
Глава V
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
Стационарный функционал для собственных значений. Метод Ритца 138
Собственная частота резонатора (138). 14.2. Метод Рнтца (141). 14.3. Естественные граничные условия (143). 14.4. Уравнения Максвелла (144). 14.5. Резонатор с диэлектриком (145), 14.6. Стационарный Функционал для собственного импеданса (146).
Стационарные функционалы для коэффициентов отражения и преобразования н для полей147
Коэффициент отражении от диафрагмы (147). 15.2. Матрица рассеяния от дйафрагмы (149), 15.3. Стационарный функционал для поля (151).
Гл а в а VI
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ПЛОСКОСТИКОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
Возбуждение импедансной плоскости (двумерный вариант) .... 154
Постановка задачи (154). 16.2. Разделеине переменных (156). 16.3. Разрезы на плоскости комплексной переменной (158). 16.4. Особенность функции F (й) Арн *・6 (158). 16.5. Дополнительное поле вблизи поверхности (160). 16.6. Возбуждение поверхностной волны (162). 16.7. Вычисление амплитуды поверхности Ной волны по заданным токам (164). 16.8. Цилиндрическая волна (166). 16.9. Разложение падающего поля иа плоские волны (16S).
Возбуждение диэлектрического слоя и диэлектрического цилйндра 170
Диэлектрический слой (171). 17.2. Вытекающие волны (173). 17.3. Диэлек* тричес кий цилиндр (174).
Метод Винера—Хопфа (метод факторизации)177
Интегральное уравнение (177). 18.2. Две вспомогательные функции и нх преобразования Фурье (178).18.3. Соетношеине между преобразованиями
Фурье (130). 18.4. Факторизация (180). 18.5. Дополнительные соображения (182). 18.6. Метод Джонса (184).
Глава VII
НИЗКИЕ ЧАСТОТЫ二
Дифракция на малых трехмерных телах и малых отверстиях . . . 186
Металлическое тело; формулировка статических задач (186). 19.2. Скалярные потенциалы (188). 19.3. Металлическая сфера; эллипсоид вращения (190).
Дифрагированное поле во всем пространстве (192). 19.5. Диэлектрическое тело (193). 19.6. Особые значения диэлектрической проницаемости (194). 19.7. Ма* лое отверстие в плоском экране; принцип двойственности (196).
Двумерные задачи. Дифракция на прямолинейных металлических цилиндрах и на частопернодических структурах199
f-поляризация； круговой металлический цилиндр (200). 20.2. Я-поляриза- цня; металлический цилиндр произвольного сечения (202). 20.3. Я-полярнзация;
частая гофра (205). 20.4. £Г"Полярнзация; решетка (^)7). 20.5. ^поляризация; кру* говой цилиндр (209). 20.6. Н-поляризация； цилиндр произвольного сечения; электростатический потенциал (211). 20*7. ^поляризация; решетка (215).
Глава VIII
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
Неоднородные среды218
Почти плоское поле (218). 21.2. Лучи и фронты (220). 21.3. Принцип Ферма (2 21). 21.4. Лучевые трубки (222). 21.5. Точка стационарной фазы (225).
Область влияния (227). 21.7. Условие применимости геометрической оптики (228). 21.3. Каустики (230). 21.9. Линейный слой (231). 21.10. Комплексные лучи (235). 21.11. Векторная геометрическая оптика (237).
Большие тела238
Структура поля (238). 22.2. Физическая оптика или днблнясенне Кирхгофа (239).欢.3. Принцип Вабнне (241). %4 Метод параболического уравнения (242). 22Л. Локальный характер высокочастотной дифракции (2启).22.6. Физическая теория дифракции; метод краевых воли (244). 22.7. Геометрическая теория дифракции (245). 22.8. Дифракция на гладком выпуклом теле(246).
Большие отверстия247
Лучевая структура (248). 23.2. Полутеневые зоны (248). 23.3. Дифракция Френеля и Фраунгофера (249). 23.4. Параксиальное приближение (251). 23-5. Фокальное пятно (253). 勲.6. Формирование изображения линзой (254).
Волновые пучки255
Источники в комплексном пространстве (256). 24.2. Свойства гауссова пучка (259). 24.3. Геометрическая оптика неоднородных воли (261). 24.4. Лиизо вая линия (263). 24.5. Собственные воЛиы линзовой лннни (265). 24.6. Открытые резонаторы (267)
Литература269
ПРЕДИСЛОВИЕ
Теория дифракции электромагнитных волн, по существу, состоит из двух частей. Во-первых, эта теория представляет собой совокупность методов решения уравнений Максвелла, т. е. способов теоретического нахождения полей, возникающих при помещении различных тел б поле заданных источников. Во-вторых, она есть совокупность результатов, т. е. качественных и количественных характеристик этих полей. Таким же образом теория дифракции акустических волн есть совокупность методов и результатов, относящихся к решению скалярного волнового уравнения.
Обе эти стороны теории — методы и результаты — связаны не только очевидным образом： методы позволяют решать задачи дифракции, т. е. получать результаты. Существует и заметная обратная связь — ожидаемые результаты, угадываемые по аналогии или из каких-либо приближенных расчетов, подсказывают методы решения задачи — такие приемы, которые позволяют получить эти результаты и их уточнения простейшим, естественным путем. Эта книга содержит в основном описание лишь методов теории дифракции, а результаты решения конкретных задач приведены в ней коротко^ Сформулированы только основные качественные черты решения, и только в той степени, в которой они могут помочь установлению этой обратной связи.
В каждом методе изложена в первую очередь его идея- Она проиллюстрирована самой простой задачей из тех, в которых применение этого метода целесообразно. Лишь затем рассмотрены—обычно очень коротко — более сложные задачи и более сложные варианты метода. Всюду, где это было возможно, вспомогательные математические преобразования опущены и заменены описанием этих преобразований. Теория дифракции, кото рая иногда рассматривается как глава математической физики, изложена в этой книге как совокупность нескольких простых идей, подсказанных, как правило, физической интуицией, т. е. не как математическая, а как физическая дисциплина.
Эта книга, разумеется, не содержит ни всех методов (их было бы трудно не только изложить, но даже просто описать и в более объемном учебнике), ни bcqx результатов (их, вероятно, вообще нельзя изло?кить даж& в многотомном курсе). Выбор материала определяется тем, что именно авторы считали основным- Цель книги — подготовить читателя к изучению современной журнальной и монографической литературы, посвященной различным вопросам теории дифракции или использующей эту теорию. Этой целью и определяется лаконичный стиль изложения. Предполагается, что общее представление о физическом смысле уравнений Максвелла и уравнений акустики читатели получили из учебников по физике.
Книга не содержит задач. Лучшим упражнением для закрепления материала является, вероятно, проведение всех выкладок, намеченных в тексте. Знаком (*) отмечены места, где рекомендуется проделать пропущенные выкладки.
В списке литературы указаны только монографии. Материал журнальных статей либо посвящен частным вопросам, либо быстро стареет, либо концентрируется в новых книгах.
Мы признательны нашим коллегам, исправившим ряд ошибок и неточностей в рукописи. Мы не называем их имен, чтобы не возлагать на них ответственность за неисправленные ошибки. Однако здесь нельзя не сказать о большой помощи, которую нам оказала рецензия В. И. Таланова; многие замечания из этой рецензии мы с благодарностью приняли.
Главы II—IV и VIII написаны Р. Б. Вагановым, главы I, V—VII Б. 3. Каценеленбаумом.
Авторы
Глава I
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
В этой главе будем рассматривать различные постановки задач дифракции. Особое внимание уделим тем идеализациям, которые, как показывает практика, всегда приходится вводить, чтобы решить какую-либо конкретную задачу. Упомянем некоторые дополнительные трудности, которые при этом возникают, и дополнительные условия, необходимые, чтобы эти трудности преодолеть.
Введение
В этом параграфе напомним лишь о некоторых основных понятиях, используемых во всей книге.
Комплексные амплитуды. Электромагнитные поля описываются двумя векторами — электрическим и магнитным, за~ висящими от координат х, у, z и от времени t Акустическое поле описывается вектором — переменной составляющей скорости и скаляром — переменной составляющей давления. Во всей книге будем рассматривать только так называемые монохроматические поля, т. е. примем, что поля содержат t только в множителе ，
cos (ю/ + а). (1.1)
Здесь з — циклическая частота колебаний — одинакова для всех компонент полей и во всех точках пространства, фаза а различна для различных компонент и зависит от 尤，у, n.
Для таких колебаний можно исключить t из уравнений, введя вместо полей их комплексные амплитуды. Электрическое поле характеризуется комплексной амплитудой Е (х, у, z), магнитное поле, соответственно, Н(%, у, n). Акустические поля характеризуются комплексными амплитудами скорости v(x. у. z) и давления р (х, у, 2). После нахождения комплексной амплитуды поле может быть получено по простой формуле, являющейся определением комплексной амплитуды. Например, электрическое поле равно
Re[£(x, у, z)^}. (1.2)
Эта книга, разумеется, не содержит ни всех методов (их было бы трудно не только изложить, но даже просто описать и в более объемном учебнике), ни bcqx результатов (их, вероятно, вообще нельзя изложить даже в многотомном курсе). Выбор материала определяется тем, что именно авторы считали основным- Цель книги — подготовить читателя к изучению современной журнальной и монографической литературы, посвященной различным вопросам теории дифракции или использующей эту теорию. Этой целью и определяется лаконичный стиль изложения. Предполагается, что общее представление о физическом смысле уравнений Максвелла и уравнений акустики читатели получили из учебников по физике.
Книга не содержит задач. Лучшим упражнением для закрепления материала является, вероятно, проведение всех выкладок, намеченных в тексте. Знаком (*) отмечены места, где рекомендуется проделать пропущенные выкладки.
В списке литературы указаны только монографии. Материал журнальных статей либо посвящен частным вопросам, либо быстро стареет, либо концентр и р уется в новых книгах.
Мы признательны нашим коллегам, исправившим ряд ошибок и неточностей в рукописи. Мы не называем их имен, чтобы не возлагать на них ответственность за неисправленные ошибки. Однако здесь нельзя не сказать о большой помощи, которую нам оказала рецензия В. И. Таланова; многие замечания из этой рецензии мы с благодарностью приняли.
Главы II—IV и VIII написаны Р. Б. Вагановым, главы I, V—VII Б. 3. Каценеленбаумом.
Авторы
Глава I
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
В этой главе будем рассматривать различные постановки задач дифракции. Особое внимание уделим тем идеализациям, которые, как показывает практика, всегда приходится вводить, чтобы решить какую-либо конкретную задачу. Упомянем некоторые дополнительные трудности, которые при этом возникают, и дополнительные условия, необходимые, чтобы эти трудности преодолеть.
Введение
В этом параграфе напомним лишь о некоторых основных понятиях, используемых во всей книге.
Комплексные амплитуды. Электромагнитные поля описываются двумя векторами — электрическим и магнитным, зависящими от координат х, у, z и от времени £ Акустическое поле описывается вектором — переменной составляющей скорости и скаляром ——переменной составляющей давления. Во всей книге будем рассматривать только так называемые монохроматические поля, т. е. примем, что поля содержат / только в множителе *
cos (со/ + а). (1.1)
Здесь со — циклическая частота колебаний — одинакова для всех компонент полей и во всех точках пространства, фаза а различна для различных компонент и зависит от х, у, w.
Для таких колебаний можно исключить t из уравнений, введя вместо полей их комплексные амплитуды. Электрическое поле характеризуется комплексной амплитудой Е (х, у, г), магнитное поле, соответственно, Н(х, у, w). Акустические поля характеризуются комплексными амплитудами скорости и(лг, “. w) и давления р(х, у, 2). После нахождения комплексной амплитуды поле может быть получено по простой формуле, являющейся определением комплексной амплитуды. Например, электрическое поле равно
Re[E(x, у, z)e'T. (1.2)
Комплексные диэлектрическая и магнитная проницаемости. В электродинамике среды, которые мы будем рассматривать, описываются двумя скалярными параметрами ——диэлектрической проницаемостью е и магнитной проницаемостью р,. Этим исключаются из рассмотрения два класса сред — анизотропные тела и тела с пространственной дисперсией. В первых & н 卩一 тензоры. Во вторых такие локальные характеристики, вообще говоря, не существуют, они могут быть введены только для плоских волн и зависят от направления этих волн.
Вообще говоря, для полей с произвольной зависимостью от времени не существует характеристик среды, которые играли бы роль проницаемостей. Для полей специального типа, монохроматических, которые мы только и рассматриваем, величины е и ц могут быть введены, и они зависят в общем случае от частоты.
В однородных средах & н 牍 не зависят от координат. Мы пользуемся гауссовой системой единиц, так что в вакууме е = 1, ц = 1. В неоднородных средах е = е(х, у, г), ц = ц(х, у, г). Обычно неоднородность состоит в том, что в пространстве непостоянно либо 8, либо Ц.
Введя комплексные амплитуды, можно среды с потерями характеризовать комплексными е и ц:
8 = 8，+ %〃， р, = Х + 加〃.8 = 8，+ %〃， р, = Х + 加〃.(1.3)(1.3)
8 = 8，+ %〃， р, = Х + 加〃.
8 = 8，+ %〃， р, = Х + 加〃.
(1.3)
(1.3)
Величины &", pt" описывают следующее свойство среды: электромагнитные поля в ней испытывают потери, пропорциональные квадрату электрического или магнитного полей соответственно. В таких средах &" V 0 или 卜"V 0. В средах без потерь = 0, у" = 0.
В акустике изотропная среда также характеризуется двумя скалярными параметрами — скоростью звука в среде с и плотностью р. В общем случае с и р — функции координат.
Квадратичные величины. При вычислении нелинейных величин нельзя, вообще говоря, пользоваться комплексными амплитудами, надо переходить к физическим полям по формуле (1.2). Однако наиболее интересные нелинейные характеристики поля — средние по периоду — можно вычислить непосредственно по комплексным амплитудам.
Средний за период поток мощности через единицу площади (мы будем называть его, по традиции, потоком энергии), т. е. средний поток вектора Пойнтинга, равен
(1.4)(1.4)5==^-Re [ЕЯ*],
(1.4)
(1.4)
где * — знак комплексного сопряжения. Средние плотности электрической и магнитной энергии в вакууме равны
急 IEF,靑 IFF.(1.5а)
Здесь I I —знак модуля комплексного вектора, который определен таким образом: если комплексный вектор Е разложен по ортам, Е = iEx + ]ЕУ + kEz, где Е#, Е力 Ег ——комплексные скалярные функции, то |Е|2 =|£，х|2 + |^|2 + |£，г|2.
Средние потери энергии (плотность потерь) равны соответственно
-許 e〃|EF,-診 X|HF.(1.56)
Вообще, среднее за период значение произведения двух любых физических величин, зависящих от f по закону (1.1), выражается через их комплексные амплитуды по формуле (*)
Ые(АВ*).(1.6)
Уравнения электродинамики и акустики. Уравнения Максвелла представляют собой систему двух векторных (т. е. шести скалярных) дифференциальных уравнений первого порядка
rot Н — ikeE^~i,
с(1.7)
rot Е + гйцЯ = О
для шести комплексных компонент векторов Е и Я. Здесь с — скорость света в пустоте, а величина k =(о/с, имеющая размерность см-1 ——так называемое волновое число. Мы всюду будем характеризовать частоту буквой k. Вектор / — плотность сторонних токов. В задачах дифракции / — заданная функция координат.
Акустические поля R, р удовлетворяют одному векторному и одному скалярному уравнению первого порядка:
grad р + /юри =尸，
divv + -^TP = 0,
т. e. четырем скалярным уравнениям для четырех скалярных функций — трех компонент вектора скорости v и давления ". Здесь 尸一заданная внешняя сила, имеющая тот же смысл, что / в (1.7).
В акустической волне средний поток мощности, т. е. среднее произведение давления на скорость, выражается через комплексные амплитуды р н и 口。 формуле» VaRefpv*). Если в области,
будетбудет1.5. Токи поляризации. Если в (1.7) во всем пространстве е = 1, ц = 1, то эти уравнения описывают поле, создаваемое источниками (т. е. величинами,1.5. Токи поляризации. Если в (1.7) во всем пространстве е = 1, ц = 1, то эти уравнения описывают поле, создаваемое источниками (т. е. величинами,Рис. 1.1. Дифракция как экранировка телом (а) и как возникновение индуцированного тока (6).Рис. 1.1. Дифракция как экранировка телом (а) и как возникновение индуцированного тока (6).все источники излучают в вакууме.все источники излучают в вакууме.
будет
будет
1.5. Токи поляризации. Если в (1.7) во всем пространстве е = 1, ц = 1, то эти уравнения описывают поле, создаваемое источниками (т. е. величинами,
1.5. Токи поляризации. Если в (1.7) во всем пространстве е = 1, ц = 1, то эти уравнения описывают поле, создаваемое источниками (т. е. величинами,
Рис. 1.1. Дифракция как экранировка телом (а) и как возникновение индуцированного тока (6).
Рис. 1.1. Дифракция как экранировка телом (а) и как возникновение индуцированного тока (6).
все источники излучают в вакууме.
все источники излучают в вакууме.
где нет источников и р = const, выразить & через * (и 〜grad р).
то с точностью до несущественных множителей поток энергии
(1.9)(1.9)Imfp V")
(1.9)
(1.9)
стоящими в (1.7) справа) в вакууме. Иногда удобен способ рассуждения, основанный на представлении общих уравнений (1.7) в аналогичной форме:
rot H — ikE^
= /(8—1)Е +警力
го1Е + ^Я = 0.(1.10)
Для простоты принято, что во всем пространстве ц = 1. Так как слева в (1.10) нет множителя е, то эти уравнения можно трактовать таким образом: поле создано источниками двух типов — сторонними токами / и индуцированной поляризацией
Г*Д = 4^(е-1)Е，(1.11)
причем — и это соображение является в приведенном рассуждении основным — Разумеется, переход от (1.7)
к (1.10) не решает задачу определения Е и Я, ибо в (1.10)
участвуют неизвестные источники, однако в некоторых случаях—например, при использовании аппарата интегральных уравнений — удобнее начинать не с (1.7), а с (1.10).
Различие в подходах к явлениям дифракции, основанных на (1.7) и на (1.10), можно проиллюстрировать рис. 1.1. Пусть в пространство, в котором & w 1,卜三 1 и где задан сторонний ток /, вводится тело V, в котором в #= 1. Изменение поля в какой-либо точке Гь согласно (1.7), описывается как изменение
условий, в которых поле передается от тока в эту точку (так как в некоторой области изменилось е), т. е. как некую экранировку, По (1.10) полное поле есть результат интерференции
первоначального поля и некоторого вторичного поля, возникшего при внесении тела. Первое создается сторонним током, второе — индуцированным током (1.10). Существенно, что оба поля — первоначальное и вторичное — создаются своими токами в вакууме.
Далее мы чаето будем производить разбиение всего поля на два слагаемых: на поле заданных токов в вакууме (будем называть это поле падающим) и на поле индуцированных токов в вакууме (это поле будем называть дифракционным).
1.6. Волновые уравнения. В областях пространства, где в и ц не зависят от координат, уравнения Максвелла (1.7) часто удобно привести к одному уравнению второго порядка, так называемому волновому уравнению. Его можно писать либо для Е, либо для Н, либо для каким-либо образом введенной вспомогательной функции (потенциала), из которой Е и К находят затем дифференцированием.
В однородной среде, свободной от токов (/ = 0), поля Е и Я удовлетворяют волновым уравнениям (*)
а) AE + 奴叫е==0, б) ^ + k2eiiH = 0.(1.12)
В этих формулах лапласиан Д действует на вектор. Примененный к любому вектору М, он определен формулой
АЛ = grad div М — rot rot M.(L13)
Декартовы компоненты вектора АМ, согласно этому определению, равны, как легко проверить, результату применения лапласиана к соответствующей декартовой компоненте вектора (*)
(AM)z = A(M)(1.14)
Для недекартовых компонент простая формула (1.14) несправедлива, AAf надо вычислять по (1.13)..
В декартовых координатах лапласиан (в применении к скалярной функции) равен
Выражение Д в других координатах будет приведено при решении соответствующих задач дифракции.
Уравнения (1.12) получены из (1.7), но не эквивалентны им. Из (1.7) следует также (в однородной среде и при отсутствии токов), что
a) div Е = 0, б) div Я = 0. (1.16)
Эти уравнения не следуют из (1.12). Совокупность уравнений (1.12) и (1.16) тоже не эквивалентна (1.7) — например, она допускает решение Е，0? ZT 三 0, не удовлетворяющее (1.7). Связь
полей Е и Я содержится только в (1.7). Поэтому, решив, например, (1.12а), следует решение подчинить еще условию (1.16а), а Н найти из (1.76). Уравнение (1.126) будет при этом удовлетворяться автоматически (*).
В точках пространства, где есть токи, волновые уравнения для полей содержали бы производные от токов. Проще иногда вводить потенциалы, которые удовлетворяют волновым уравнениям, содержащим, как и уравнения Максвелла, сами токи, а не производные от них, а затем поля находить дифференцированием потенциалов. Одним из таких потенциалов является электрический вектор Герца П, пропорциональный векторному потенциалу. Поля выражаются через него по формулам
Е = й2ецП + grad div П, Н = ike rot П, (1.17)
а сам он удовлетворяет простому волновому уравнению
ДП + й28цП =/^-/. (1.18)
Прямая проверка показывает, что если выполняется (1.18), то (при е = const, ц = const) поля (1.17) удовлетворяют уравнениям (1.7) (*), так что при использовании (1.18) не нужно требовать, чтобы поля удовлетворяли еще каким-либо уравнениям.
Таким образом в теорию электромагнитного, т. е. векторного, поля вводится волновое уравнение (с правой частью) для декартовых компонент, т. е. скалярных функций, которое запишем в виде
Ди + й2вм = /» (1.19)
где и — любая декартова компонента вектора Герца, Е или Н. Это уравнение справедливо в тех областях пространства, где в не зависит от координат и где 卩 口 1. Однако иногда мы будем рассматривать (1.19) в предположении, что е = е(х, у, 2). Во- первых, это уравнение в некоторых двумерных задачах справедливо и при е #= const. Во-вторых, оно описывает распространение акустических волн в среде с постоянной плотностью. Главная же причина, делающая целесообразным анализ решений уравнения (1.19) также и при переменном в, состоит в том, что оно описывает те качественные особенности распространения электромагнитных волн, которые не связаны с векторной природой поля. Иными словами, если при изучении дифракции электромагнитных волн на теле, т. е. на каком-то заданном распределении е в пространстве, не интересоваться изменением соотношения между различными компонентами поля, то многие качественные свойства дифрагированного поля и особенности различных методов его вычисления можно извлечь цз скалярного уравнения (1.19).
Используем, например, (1.19) для того чтобы проверить утверждение, что величина (1.9) может рассматриваться как среднее значение потока энергии в скалярной задаче. Преобразовывая дивергенцию этого вектора с использованием (1.19), получим (*)
div Im (u Vu*)=—左2/1 и Р — Im (〃*f)・(1.20)
В среде без потерь (&" = 0) в области, свободной от источников (/三0), дивергенция этого вектора равна нулю. Поэтому поток его через любую замкнутую поверхность равен нулю. Если / #= 0, то поток его одинаков для любых замкнутых поверхностей, содержащих данные источники. Как известно, вектор (1.4) обладает этими же свойствами — это легко доказать, используя (1.7) (*). При применении так называемых энергетических соображений к решению конкретных задач дифракции используют именно эти два свойства векторов (1.4) или (1.9) (см.» например, ниже п： 3.2).
Плоские волны. Проиллюстрируем применение комплексных амплитуд для описания физических свойств поля на примере простейшего решения уравнений Максвелла — плоской волны в однородной безграничной среде. Поле
Ех = e~inkzy Нд = 2^еТ"咏 Еу = Ez = Н х = Нг = 0, (1.21) где показатель преломления п и волновое сопротивление 而 равны
а) л 7&|х , 6) оу 7卩/£»(1.22)
представляет собой волну, идущую в направлении оси z, так как зависимость от 2 и f величины (1.2) будет даваться множите* лем cos(sf — n&z). Поле обратного направления будет иметь другой знак в экспоненте и другой знак в формуле для "屮
Сумма прямой и обратной волн образует стоячую волну. В ней зависимость от координат будет даваться вещественной функцией cos nkz или sin nkzy и при образовании физических величин по (1.2) этот множитель выйдет за знак Re.
Существует еще одно решение:
/Н х = —-i- e~inkz} £х = Ег — Ну = Н 2 = 0, (1.23)
—плоская волна того же, что и (1.21), направления, также линейно поляризованная, но с другим направлением поляризации, Любая линейная комбинация полей (1.21), (1.23) есть тоже плоская волна: ее поляризация определяется отношением коэффициентов этой комбинации. Если они вещественны, то эта комбинации — тоже линейно поляризованная волна. Если нк
отношение равно / или —/, то она представляет собой плоскую волну круговой поляризации. В более общем случае наложение обоих решений (1.21), (1.23) образует волну эллиптической поляризации. Все эти утверждения легко проверить образованием физических величин по (1.2) (*).
Плоская волна, направление распространения которой образует с осями координат углы а, 0, у, описывается множителем ехр {一 ZAn (х cos а + у cos р + w cos у)}.(1.24)
При cos2 а + cos2 р + cos2 у = 1 (1.24) удовлетворяет волновому уравнению. Заметим, что это утверждение справедливо также и в том случае, если, например, cos2 а > 1. При этом углы теряют свой простой геометрический смысл, становятся некоторыми комплексными величинами. Такие решения — так называемые неоднородные плоские волны — возникают при исследовании полного внутреннего отражения и в некоторых более сложных задачах.
Для того чтобы установить возможные соотношения между компонентами Е и 反 аналогичные (1.21), (1.23), надо использовать еще и уравнения (1.7). Очевидно, однако, что соотношение между амплитудами полей, следующее. из (1.21), (1.23):
д/ё" I Е I = д/|Г I Н I,(1.25)
справедливо при любом расположении осей координат относительно направления волны, т. е. для любой плоской волны.
Граница раздела (особые поверхности поля)
В теории дифракции, как и в любой другой физической теории, принят ряд идеализаций, т. е. рассматриваются некоторые математические модели, облегчающие анализ реальных объектов. Решения идеализированных задач близки к решениям реальных. Мы уже начали с такой идеализации ——с представления о монохроматических колебаниях (1.1). Решение задач в идеализированной постановке легче, чем при учете соответствующих точных (более точных) условий. В идеализированных задачах часто удается применить какие-либо вспомогательные приемы. Однако введение в теорию идеализированных объектов приводит и к некоторым усложнениям ——кроме уравнений Максвелла или соответствующих уравнений акустики искомые решения надо подчинять еще и дополнительным условиям. Иначе оказываются возможными решения, не близкие к решениям неидеализированных задач.
Примером такой идеализации является понятие о скачкообразном изменении свойств среды, т. е. о границе раздела, которое мы рассмотрим в этом параграфе. В следующем пара-
графе будут даны дополнительные условия, которые необходимо ввести в формулировку задачи дифракции при использовании других идеализаций.
Граница раздела диэлектриков. Во всех точках пространства, в которых & н 牍 непрерывны, поля Е и Н тоже непрерывны—это следует из уравнений Максвелла (1.7). Поверхность, на которой в н 牍 терпят разрыв, можно рассматривать как предельный образ тонкого слоя, в котором градиенты & и 牍 очень велики. На этой поверхности Е и Н не удовлетворяют уравнениям Максвелла и, вообще говоря, будут терпеть разрыв. Условия для тангенциальных и для нормальных компонент Е и Я на границе раздела диэлектриков оказываются различными. Условия эти получаем из рассмотрения тех связей между компонентами по обе стороны тонкого слоя, которые слабо меняются при предельном переходе от тонкого слоя к границе раздела. Утверждение о существовании таких условий означает, что предельная форма этих связей не зависит от того, как именно совершается этот предельный переход.
Как известно, тангенциальные к поверхности раздела компоненты Е и Н удовлетворяют условиям
а)珞)一或)|s = 0, 6) HP —hW|s = 0.(2.1)
Индексы / и 2 в (2.1) относятся к двум сторонам поверхности раздела. В (2.1) содержатся четыре скалярных условия ——для двух тангенциальных компонент Е и для двух тангенциальных компонент Я.
Нормальные компоненты Е и Я по обе стороны границы раздела, вообще говоря, различны, точнее, непрерывны произведения и цНм：
а) е⑴£釈一е⑵對 |s = 0, б)小力双 一 ^W Is = 0.(2.2)
Например, если при переходе через границу раздела изменяется только в, а 牍 непрерывна, то из шести компонент полей Е и Н пять компонент непрерывны, а разрыв испытывает только Е仙 Формулы (2.2) не независимы от (2.1) и не ставят дополнительных условий. Если по обе стороны S поля удовлетворяют уравнениям Максвелла с соответствующими значениями е и ц, а на S выполняются (2.1), то на S выполняются и (2.2). Таким образом, при решении задач о дифракции на диэлектрическом теле, т. е. на некотором объеме, ограниченном поверхностью S, внутри которого е = const =/= 1, а вне е = 1, надо удовлетворить уравнениям (1.7) для внешнего и внутреннего полей и условиям (2.1) на S.
Автоматическое выполнение (2.2) при этом непосредственно следует из (1.7). Например, написав (1.76) для нормальной
20 УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ [ГЛ. I к S компоненты, получим для 財“ выражение, содержащее только тангенциальные к S производные от £, и так как (2.1а) выполняется во всех точках S, то6 с обеих сторон равны друг другу не только Et, но и эти производные, откуда и следует (2.26). Точно так же из (2.16) и (1.7а) легко получить (2.2а) (*).
Равенство нулю левой части уравнения (2.16) означает, что на границе диэлектрика S не существует сторонних поверхностных токов, т. е. токов, сосредоточенных в бесконечно тонком слое на некоторой поверхности с конечной поверхностной плотностью. Действительно, если бы такие токи существовали, то, как известно, из (1.7) следует, что при переходе через такую поверхность тангенциальная к ней компонента % испытывала бы скачок, пропорциональный этой поверхностной плотности, что противоречит (2.16). Возможна аналогичная трактовка и условий (2.1а) как условия отсутствия поверхностных магнитных токов [см. (11.22)].
Введение поверхности, на которой не выполняются уравнения Максвелла, потребовало установления некоторого условия, означающего, что на ней нет «скрытых» сторонних токов. Подобные условия, дополнительные к уравнениям Максвелла, необходимо вводить при переходе к любым идеализациям, если при этом в каких-либо точках пространства уравнения Максвелла становятся неприменимыми. Только после их введения задача дифракции полностью сформулирована. Эти условия получаются из рассмотрения тех предельных переходов, результатом которых является появление идеализированных моделей.
Поверхность хорошего проводника. Частным случаем диэлектрического тела является хороший проводник ——тело, в котором —е"》L Электромагнитное поле проникает в такой проводник на расстояние порядка глубины скин-слоя
d == — (Alm V^lO < (2・3)
На глубине 2冗4, равной длине волны в проводнике, поле уже практически отсутствует. Оно убывает при удалении от границы внутрь тела по экспоненциальному закону ——локальному, т. е. не зависящему от структуры внешнего поля или от кривизны поверхности:
E(z)^E (0) e-(i+‘)z/d, Н Q) = Н (0) e-u+灯之色 (2.4)
Здесь г — ось местной системы координат — направлена в металл, г = 0 соответствует поверхности тела; для простоты записи принято, что —е"》е‘,卩"=0. Для металла, как известно, е" = —4ла/о), где а — проводимость, так что
На границе хорошего проводника тангенциальные компонен- ТЬ1 £ и 77, согласно граничному условию Леонтовича, пропорциональны друг другу:
Ех = wH yt Еу = —wH x (2.5) с коэффициентом пропорциональности — импедансом w (1.226), не зависящим от структуры внешнего поля и полностью определяемым свойствами проводника. Импеданс имеет порядок отношения толщины скин-слоя к длине волны:
ш =丄拦"цЫ. (2.6)
Индуцированный ток поляризации (1.11) сосредоточен в скин-слое. Подставляя в (1.11) выражения (2.4) и (2.5), получим для /инд выражение через тангенциальную компоненту магнитного поля на поверхности /Л(0). Например, для х-й компоненты объемной плотности тока получаем формулу
鹏⑶=”jo)_g. “仪 e-a+9 "* (2.7)
Эта формула понадобится в следующем пункте.
Поверхность идеального проводника. Формулы (2.5) и (2.7) удобны для рассмотрения еще одной идеализации ——идеального проводника, рассматриваемого как диэлектрик, в котором ——е"-> 8. Условия на границе металла можно получить, перейдя к пределу в формулах предыдущего пункта.
Поле внутрь металла не проникает, равно нулю, и поэтому, согласно (2.1а), на границе идеального проводника должно выполняться
々Ь = 0・ (2.8)
Эта формула, как в (2.1а), содержит два условия — обе тангенциальные компоненты электрического поля на границе металла равны нулю.
Далее, из (2.8) следует, что нормальная к поверхности компонента магнитного поля равна нулю:
\s 0. (2.9)
Это равенство так же, как и (2.2), не ставит дополнительных условий для поля. Оно автоматически выполняется, если поля вне S удовлетворяют уравнениям Максвелла, а на S — условиям (2.8), и это доказывается таким же рассуждением, какое было применено к (2.2) (*).
Тангенциальная компонента магнитного поля Ht, вообще говоря, отлична от нуля; она может быть вычислена после того, как задача дифракции на данной металлической поверхности
решена. Отлична от нуля и компонента E^ на S; она пропорциональна, согласно (1.7а), поверхностному ротору "% так что если ось а направлена в металл, то
需一鲁). (2」。)
Таким образом, второй предельный переход —е"~> 8 приводит к тому, что нарушено условие (2.16), выполнявшееся при первом предельном переходе. На поверхности идеального проводника тангенциальная компонента магнитного поля испытывает скачок. Причина этого состоит в том, что при переходе к идеальному проводнику толщина скин-слоя d-^О й одновременно объемная плотность индуцированного тока (2.7), содержащая множитель (е")1/2, становится бесконечной. Появляется поверхностный ток, т. е. ток с конечной ненулевой поверхностной плотностью. Он разделяет внутренние точки, в которых Н — 0t от наружных, в которых Н 耍 0. Точнее, при —е" f 8 d стремится к нулю как 1/VI е I, /ныд (2.7) растет как Vl 8 1> так что согласно J2.3)
©д(2)[〜|〃〃0)]；еТ/а. (2.11)
По определению, поверхностная плотность /иид равна току, протекающему через все сечение скин-слоя:
7"ад={ /Тд(г)^г. (2.12) о
При столь малых d, при которых справедливо (2.11), этот интеграл не зависит от d. В частности, при d-> 0 /инд остается конечной величиной, хотя /инд-*- оо：
岁"=一卷"八0)，/片=含"х(0). (2.13)
Полученное следствие применения теории скин-слоя к идеальному металлу является основным результатом рассуждения этого пункта. Разумеется, (2.13) представляет собой не граничное условие для Н, а выражение, позволяющее вычислить /инд по найденному из решения задачи дифракции полю Н.
Формулу (2.1-3) можно также получить, минуя результаты предыдущего пункта и рассматривая сразу обе идеализации — переход к границе раздела и к идеальному проводнику. Формулы (1.10) означают, что поле создается как сторонними токами /, так и индуцированными токами, которые становятся при этом поверхностными. Поля этих токов, интерферируя, гасят друг друга внутри тела.
Из (1.10а) следует, что при переходе через такую поверхность Ht испытывает скачок, пропорциональный /ннд； об этом следствии из уравнений Максвелла мы уже упоминали в п. 2.1.
Условия (2.8) накладывают на поле значительно более сильное ограничение, чем похожее на него условие (2.1а). Как будет показано в § 4, условие (2.8) полностью характеризует поверхность, а условие (2.1а) должно быть еще дополнено условием (2.16).
Тела с границами раздела как частный случай непрерывных сред. Если какое-либо свойство поля удается доказать для непрерывного распределения е(х, у, z) и 卩(尤,р, z) и это доказательство не требует конечности е,牍 или градиентов е и ц, то результат справедлив и для кусочно-постоянных или бесконечных е, т. е. для диэлектрических или металлических тел.
В качестве простого примера, иллюстрирующего это положение, рассмотрим дифракцию на телах с цилиндрической симметрией при симметричном возбуждении. Пусть относительно некоторой цилиндрической системы координат г, <р, z функции е (尸，z) и 眛(г, а) не зависят от угла 屮，и, кроме того, сторонние токи содержат только z-ю компоненту и тоже не зависят от угла, , = %(尸,之).В этом случае поле содержит только три компоненты 麻，Er, Ег, а три другие компоненты 七①，Нг, Нг равны нулю (*). Этот результат легко показать, записав (1.7) в цилиндрической системе координат. Уравнения для второй тройки компонент окажутся независимыми от уравнений для первой тройки и не будут содержать правых частей. Если не считать случаев, которые будут оговорены в п. 4.3, такие уравнения имеют только нулевые решения, что и доказывает наше утверждение. При доказательстве соображения о непрерывности и конечности е и ц не использовались; в процессе соответствующих предельных переходов новые компоненты полей не возникают, поэтому наше утверждение справедливо и для диэлектрических, и для металлических поверхностей, лишь бы все поверхности диэлектриков и металла были телами вращения. Достоинство такого метода доказательства состоит в том, что он не требует проверки также и граничных условий.
Заметим, что в этом примере поле выражается через одну скалярную функцию, удовлетворяющую волновому уравнению (1.19), где е и ц зависят от координат 尸，г. Действительно, прямая проверка показывает, что если принять
Пг == и (г, ф), Пг = 0, Пф = 0, (2.14) и выражать Н и Е через П по формулам (1.17), то уравнения Максвелла будут выполняться, если и удовлетворяет (1.19) (*). Напомним, что в общем случае трехмерной электродинамической задачи либо двумерной задачи, в которой поле зависит от
24 УРАВНЕНИЯ и ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ [ГЛ. I угла, (1.17) и (1.18) справедливы только в областях простран* ства, в которых в м 牍 не зависят от координат, а при в = =е(х, у, г) волновое уравнение сложнее, чем (1.19),
Граничные условия вв акустике. На поверхности, на кото-* рой терпят разрыв функции р или с, уравнения акустики (1.8) неприменимы. Предельным переходом от тонкого слоя с большими градиентами риск поверхности раздела получаем граничные условия, связывающие их значения по разные стороны поверхности раздела:
"⑴一р⑵ зо, 哨一噌 J = 0. (2.15)
В акустике удобно рассматривать две идеализированные среды, в которые акустическое колебание не проникает и в которых " = 0, о = 0. Существуют реальные среды, свойства которых близки к свойствам таких идеализированных сред. 46co. лют но мягким называют тело, в котором р2 = 0. На поверхности такого тела
рЬ = О. (2.16а)
Абсолютно жестким называют тело, в котором рс = оо. На его поверхности
и^(5 = 0. (2.166)
Граничные условия (2J5) и (2Л6) аналогичны граничным уело* виям (2.1) и (2.8) электродинамики.
Если скорость Е мала и в теле есть большие потери, точнее, если Im(s/d) велико, то вблизи его поверхности поле имеет структуру уходящей плоской волны, независимо от структуры поля снаружи. При этом условии величины р и ^ на поверхности приближенно удовлетворяют условию (^ направлено в тело)
р = рс^№ (2.17)
аналогичному условию Леонтовича (2.5) на границе проводника, в котором велико Im VeH • При [ рс |-> 0 это условие переходит в (2.16а). Если |p@|f 8 при сохранении требования малости 忻I，то (2.17) переходит в (2.166).
Этому условию можно придать вид граничного условия третьего рода для ", если с внешней стороны выразить и через р, vn ~ dp/dN:
"+ 如需=0. (2.18)
Коэффициент 5 (импеданс) зависит от соотношения параметров тела и наружной среды. Поверхность, на которой выполняется (2.18), будем называть импедансной. При 如=8 н 侬=О условие (2.18) принимает вид dp/dN = 0 и р = 0, что тождественно соответственно (2.166) и (2.16а).
Вообще говоря, w комплексно, з = о/+ »з". Если ш^ = О, то энергия в поверхность не уходит. Поток энергии на единицу поверхности, т. е. Im (р dp*/dN), равен —侬"|如/。№亿 и всегда “ W 0-
Особые точки поля
В этом параграфе мы продолжим описание идеализированных моделей, вводимых в теорию дифракции, и нахождение тех дополнительных условий, которые при этом приходится ставить. Начнем с представления о таких особых точках поля, в которых поля могут обращаться в бесконечность. В конце параграфа будут рассмотрены условия, возникающие при введении понятия о бесконечно удаленных точках поля.
Точечный источник. Линейный источник. Пусть размеры источника малы по сравнению со всеми размерами, участвующими в задаче, и, в частности, с- длиной волны 1 = 2л/й. Удобной идеализацией является представление о точечном источнике. По определению объем, им занимаемый, бесконечно мал, объемная плотность / бесконечно велика, а произведение объема и плотности тока конечно. Эти условия выполняются, если принять, что / пропорционален 6-функции: .
а)『(*, У，2)= 0бз(р), (3 [) 6)卜з (р) dU = 1, W = 4“р2 dp,
где а ——единичный вектор； р ——радиус-вектор сферической системы координат (р, 0, ф)> в центре которой расположен источник. Ток (3.1) называется эле мен тарным электрическим диполем, Мы снабдили б-функцию (3.16) индексом <3>, имея в виду, что далее мы будем применять б-функцию и для двумерных (62), и одномерных (6J уравнений.
Поле, создаваемое током (3.1), имеет особенность — обращается в бесконечность при р -> 0. Точнее, три отличные от нуля компоненты при Ар《1 имеют вид
^Ф« 2^-sin0> Ее Q —• "^ё sin 8, Е° к —^"2 cose. (3.2)
\|EFdU = 8, JlHpdV = оо.\|EFdU = 8, JlHpdV = оо.(3.3)(3.3)Далее, введем еще и другие особые точки, в которых поля тоже будут обращаться в бесконечность, и нам надо найти какое-либо свойство, характеризующее именно поле точечного источника. Таким свойством мог бы быть закон обращения в бесконечность (3.2). Однако достаточно, как увидим ниже, более простого свойства — плотность энергии (1.5) неинтегри- руема:
\|EFdU = 8, JlHpdV = оо.
\|EFdU = 8, JlHpdV = оо.
(3.3)
(3.3)
Это свойство непосредственно следует из (3.2), ибо dV 〜р2 dp, и подынтегральные функции в (3.3)аимеют при pf 0 неинтегри- руемые особенности. Оно не нарушается при внесении в поле каких-либо тел.
В скалярных задачах будем исследовать не систему уравнений акустики, а более простое волновое уравнение (1.19). Скалярным аналогом элементарного диполя будет точечный источник» для которого
f = 63 (р).(3.4)
Решение скалярного волнового уравнения с правой частью (3.4) проще, чем решение уравнений Максвелла с током (3.1); это решение есть сферическая волна
14л р
Скорость возрастания поля при р —> 0 значительно меньше, чем в электродинамике (3.2). Однако и здесь плотность энергии не- интегрируема:
Ji vu ?dv = 8,(3.6)
ибо |V〃|z имеет особенность pf
Если источник имеет конечную или большую длину, а в двух других измерениях его размеры малы, то для его описания удобно вводить понятие линейного тока. Для простейшего случая прямой бесконечной нити плотность тока следует задавать в виде
jz=&(r), 卜 2(r)dS=l,(3.7)
где г — радиус-вектор цилиндрической системы координат 尸，ф, г; dS = 2лг dr. Поле такого тока содержит две компоненты：
& =_哼"伊(砧， / = _ W *2)优) (3.8)
Обе они обращаются в бесконечность при г-> 0. Задача о поле прямого линейного тока двумерная. Для этого поля тоже имеет место свойство (3.3)——неинтегрируемость плотности энергии ，(|E|2 + |E |2)dS, нбо IEE 〜 1/г2, a dS 〜г dr. Это свойство сохраняется и в присутствии других тел, а также для непрямолинейного линейного тока.
Наконец, таким же образом можно ввести понятие линейного источника и в скалярной задаче. Если этот источник — прямая линия, так что вся задача двумерная, то / = 62(f) и решение есть цилиндрическая волна
u = ~H^(kr).(3.9)
Для него тоже выполняется условие (3.6) — неинтегрируемость плотности энергии, так как интеграл jl VufrfS расходится (*).
Поток энергии из источника. В этом параграфе существенную роль будет играть понятие потока энергии из источника. Вычисление потока представляет и самостоятельный интерес. В электродинамике этот поток есть интеграл от среднего по периоду значения вектора Пойнтинга, взятый по любой поверхности, окружающей ток.
Для диполя (3.1), расположенного в вакууме, этот поток равен (*)
^SNdS=-^-.(3.10)
Если его вычислять, взяв в качестве поверхности малую сферу, то пользоваться приближением (3.2) нельзя. Старшие члены в разложении Н^ и £е находятся в квадратуре и не дают вклада в поток энергии. Отличное от нуля слагаемое в Re [ЕН*] имеет порядок 1 /р2. Проще вычислять интеграл в (3.10) интегрированием по большой сфере, в волновой зоне, где Ее 〜ехр(——i右р)/р, 丸 ~ ехр(—/р)/р.
Для скалярной задачи роль вектора Пойнтинга играет Im(u Vu*) (1.9). Поток этой величины через любую поверхность, содержащую все источники, не зависит от поверхности и равен согласно (1.20) Im, u*f dV, где интеграл взят по всем источникам. Для элементарного источника, как легко получить из (3.5) (*),*
Im $ ul^rd5 = IT-(3」D
Для двумерной задачи надо вычислять поток на единицу длины, т. е. поток через любую замкнутую кривую на плоскости, перпендикулярной к току и окружающей ток. Для электромагнитного и скалярного полей будет соответственно (*)
a)、SwdS=芸，6)Im\〃^dS = *(3.12)
Поток!энергии от диполя или линейного тока изменится при помещении в его поле какого-либо тела. Это изменение потока, как мы сейчас покажем, выражается через значение дифракционного поля в точке, в которой расположен диполь. Проведем соответствующую выкладку ——она проиллюстрирует ту простоту вычислений, которая достигается введением этой идеализации, позволяющей использовать б-фуикцию.
Определим, уточняя пункт (1.5), понятие дифракционного поля, которым будем широко пользоваться дальше. Назовем его
% 力 в векторной задаче нив скалярной. Пусть £°, Н° (и соответственно «°) есть поле, созданное теми же сторонними токами / (теми же источниками /)• при отсутствии данного тела, а £■» Н (или и) —поле в его присутствии. По определению
Е = Е° + е, Я = ^° + Л, и = «° +о. (3.13)
Далее поля Е°, Я0, и0 будем называть падающими. Поля е, Л (или р) созданы индуцированной поляризацией (1.11), излучающей в вакууме.
Из уравнений Максвелла следует известное выражение divS = —i/2Re(/E*), аналогичное (1.20). Интегрируя его» получаем для потока энергии формулу—〔厶,Re(/E*)dV\ Пользоваться ею, например, для вычисления (3.10) неудобно, так как там, где / отлично от нуля, Е имеет особенность. Однако если подставить в эту формулу разбиение (3.13), то первое слагаемое будет невозмущенным потоком [оно было вычислено в (3.10) независимо], а второе легко вычисляется согласно свойству 6-функции (*):
\sNdS = ^-gRee*(0)a. (3.14а)
Это второе слагаемое и есть искомое изменение потока, создаваемого заданным диполем при внесении в его поле какого-либо тела. Например, если диполь расположен вблизи бесконечно большого идеального зеркала, то е есть поле зеркального изображения данного диполя, излучающего в вакууме, так что (3.14) дает простое явное выражение полного потока^
Скалярный аналог формулы (3.14а) согласно (1.20) имеет вид (*)
Im \ “* 需 dS =奈一Im и* (0). (3.146)
Такие же формулы леко получить в двухмерных задачах.
Вообще говоря, поток энергии из точечного источника — диполя или линейного тока ——отличен от нуля. Возможны, однако, особые случаи (закрытый резонатор, запредельный волновод), в которых второе слагаемое в (3.14) компенсирует первое, и поток равен нулю. Для дальнейшего существенно, что и в этих случаях свойство (3.3) или (3.6) сохраняется.
Ребра и вершины. Вернемся к вопросу о дополнительных условиях, которые надо ставить, принимая какие-либо идеализации. При введении идеальных объектов другого типа — вершин и ребер, т. е. поверхностей с бесконечной кривизной — возникают другие точки и линии, в которых поля также обращаются в бесконечность. Это обращение происходит, как будет показано ниже, медленнее, чем вблизи источников. А именно —
вблизи вершин и ребер плотность энергии интегрируема^ так что в векторных задачах
a) ^\E^dV < оо, 6) ,| "Ed" оо, (3.15)
а в скалярных, соответственно,
a), I" 12 dlz V 8, б) J| Vu|2d7<co.(3.16)
Эти условия ——так называемые условия Майкснера — противоположны условиям (3.3) и (3.6).
Найдем структуру поля при условии, что требования (3.15) и (3.16) выполняются. Оказывается, что некоторые характеристики этой структуры не зависят от падающего поля и определяются только геометрией тела и поляризацией поля. Определение этих характеристик имеет и самостоятельный интерес, однако в первую очередь нас будет интересовать вопрос о потоке энергии из ребра или из вершины. Подробно рассмотрим поле только вблизи ребра, так как для него все существенные характеристики поля можно изучать на / двумерной задаче, а для вершины толь- / ко сформулируем результаты.' /
Покажем, что при выполнении (3.15) /Х поток энергии из ребра будет равен нулю, / \ Это обстоятельство позволяет отличать/=
истинные источники от ребер (где поля тоже бесконечны) по просто проверяемо- му критерию интегрируемости энергии,尹工次
а в следующем пункте увидим, что рис 3 Клин, выполнение именно этого критерия до-''
статочно для формулировки задачи дифракции. Доказательство основано на том, что вблизи ребра можно в явном виде записать решения уравнений Максвелла. Так как условие (3.15) является локальным свойством окрестности особой линии, т. е. не зависит от кривизны ребра, то достаточно рассмотреть прямолинейное ребро (клин), свойства которого не зависят от координаты 2 вдоль ребра, и поля, для которых д/dz ^ 0. Мы подробно рассмотрим только металлический клин, для которого поля находятся в явном виде.
Совместим ось г с ребром: уравнения металлических поверхностей будут ф = 0 и ф = тл (рис. 3.1). Полуплоскости соответствует значение параметра т = 2; для всех клиньев т 2. Уравнения Максвелла при d/dz = 0 распадутся на две группы (подробнее см. п. 5.1). В одной из них отличны от нуля три компоненты fz,"中，НГ, во второй отлична от нуля тройка HZl Ё(р, Ег — аналогично ситуации, описанной в п. 2.4, где, однако,
выделенной координатой была не n, а угол ф. Рассмотрим обе поляризации отдельно..
Компонента Ez — декартова, вона удовлетворяет волновому уравнению*
А邑+ 奴邑=0,(3.17)
а Н^ и Hr получаем из Ez дифференцированием:
% =击醬，Нг = Т 啸.(3.18а)
Общее решение (3.17) имеет вид суммы:1
& = [Ат7т (kr) + ВтНт 优，)]sin (rap + а).(3.19)
Мы пользуемся здесь методом разделения переменных, который подробно изложен в гл. II. Согласно этому методу потребуем, чтобы граничное условие на металле при qp = 0, <р = тл
邑=0(3.20)
выполнялось почленно. Из (3.20) следует, что в (3.19) а = 0, а числа /п могут принимать значения из ряда 1/т, 2/т и т. д. Наименьшее из них назовем /По = 1 /т. В частности, для полуплоскости /л。= 1/2, для любого другого металлического клина Ото > */2.
Вблизи ребра клина 6『« 1. При малых значениях аргумента цилиндрические функции с точностью до несущественных множителей равны: функция Бесселя /т (kr) ^ (Ar)m и функция Ханкеля "^'(々г) да (々尸)一，
Если в разложении (3.19) присутствует член, пропорциональный функции Ханкеля, то интеграл (3.156) расходится. Действительно, даже для наименьшего допустимого /и, г. е. для tno, Ez 〜广т。, "ф 〜广(侬+D,"尸〜尸(侬+" и интеграл (3.156) имеет внд 、尸-(2/no+i)乙厂,т, е. расходится (*). Следовательно, условие (3.156) исключает возможность присутствия в поле второго слагаемого в (3.19).
Рассмотрим порядки величин полей, получающихся из (3.19) при Вт = 0. Старшие члены в полях соответствуют т = пг& Старший член в электрическом поле Ez 〜尸也八 В магнитном поле Нг и Н^ старшие члены согласно (3.18) имеют порядок 1/厂1一侬. Для любого выпуклого клина (т > I), т. е. при /л。V 1, магнитное поле имеет особенность. Соответствующая особенность в плотности энергии интегрируема, так как в ней подынтегральная функция после умножения на dS имеет вид 尸~"一27n“, т. е. она слабее, чем 1/г; тем более она интегрируема для слагаемых в (3.19) с m > So.
Наиболее сильная особенность поля имеет место вблизи полуплоскости. Компоненты магнитного поля Нг и //ф 〜1/<彳, плотность магнитной энергии 〜l/厂 Поверхностная плотность тока Iz имеет ту же особенность, что и Нг — при этой по 1яриза- ции (электрическое поле и ток параллельны ребру) она растет при приближении к ребру как 1/Vr ■
Теперь легко показать, что поток энергии через любую поверхность, окружающую ребро, равен нулю. Возьмем цилиндр малого радиуса, окружающий ребро. Входящие в радиальную компоненту вектора Пойнтинга компоненты полей Ez и "屮 пропорциональны соответственно rm° и 1 /г1 一侬,их произведение пропорционально 尸2ffl广】，интеграл по дуге радиуса 厂 имеет порядок r^m, т. е. стремится к нулю при г —>0. Вещественная часть этого интеграла, т. е. поток энергии, не зависит от радиуса цилиндра, следовательно, она равна нулю.
Таким образом, если в окрестности особой линии выполняется требование (3.15), то поток энергии из нее равен нулю. Обратное, вообще говоря, не имеет места ——в конце п. 3.2 были упомянуты ситуации, когда поток энергии равен нулю несмотря на наличие сильных особенностей, таких, при которых плотность энергии неинтегрируема. Поэтому нельзя различать поля, соответствующие линейным источникам, и поля, соответствующие ребрам, по тому, отличен ли от нуля поток энергии. Эта два типа особых линий поля отличаются характером интеграла от плотности энергии — сходится он или нет.
Для второй возможной поляризации (отличны от нуля только компоненты Нг, Ег, Е@) рассуждения почти полностью повторяются. Волновому уравнению удовлетворяет компонента HZt и она может быть представлена рядом (3.19), к которому надо еще добавить постоянное слагаемое. Компоненты Е- Еф получаем из 〃z дифференцированием по формулам, аналогичным (3.18а):
与=一金净，4 =/蹦(3・186)
Граничное условие (равенство Ег нулю при qp = 0 и при qp = тл) дает в (3.19) а = л/2, а для /и получаем тот же ряд возможных значений, начинающийся с /по = 1 /т. Слагаемое с функцией Ханкеля исключается условием (3.15а). Особенность при 0 имеет в этом случае электрическое поле, пропорциональное 1/尸|一7n°; плотность поверхностного заряда пропорциональна Ток, пропорциональный Нг, не имеет особенности. Например, для полуплоскости (加。= 1/2) при этой поляризации (магнитное поле параллельно р毁ру, ток ему перпендикулярен) /「〜 const + заряд 1/Vr * Токи, связанные с по-
стоянным слагаемым в HZt с обеих сторон направлены в противоположные стороны, так что в суммарный (по обеим сторонам поверхности) ток они не входят, и он пропорционален . Доказательство отсутствия потока энергии производится таким же методом.
Те же соображения позволяют утверждать, что и для скалярной задачи условия (3.16) гарантируют отсутствие потока энергии. Таким же образом, т. е, выписывая явное решение волнового уравнения, можно показать, что и для острия (вершина конуса или пирамиды) условия (3.15) и (3.16) обеспечивают отсутствие потока энергии. Фактически можно выписывать решение более простого, чем волновое, уравнения, получающееся при отбрасывании в (3.17) члена, пропорционального А2. Решения такого уравнения при малых значениях 左尸 близки к решению волнового уравнения, а наши построения использовали лишь вид поля при малых 后厂
Все это рассмотрение переносится на диэлектрический клин или на несколько клиньев из разного материала с общим ребром. Некоторое усложнение состоит в том, что граничные условия приводят для числа 俏о, определяющего порядок возрастания перпендикулярных к ребру (поперечных) компонент полей (пропорциональных l/r1"^0)» не к явной формуле то = 1 /т, а к некоторому трансцендеитному уравнению. Для простого случая одного клина оно имеет вид
sin 冗恤 士 :工;sin л/По(1 — т)==0, (3-21)
где два знака соответствуют двум поляризациям. Это уравнение может быть получено рассмотренном задачи о клине в длинноволновом пределе, т. е. методами электростатики. Переход к электростатике для диэлектрических тел рассмотрен ниже в п. 19.5. Требование конечности интегралов (3.16) вновь приводит к тому, что компоненты Ег и Hz при 0 остаются конечными. Уравнения, аналогичные (3.21), получаем и для случаев, если общее ребро имеют несколько клиньев. При этом поперечные компоненты могут при г->0 обращаться в бесконечность даже быстрее, чем для металлической полуплоскости, так как /л。 может оказаться меньше 1/2. Однако решение этого трансцендентного уравнения положительно, т. е. для любых диэлектриков и любых углов /по > 0, а этого достаточно, как мы выяснили, и для интегрируемости плотности энергии, н для отсутствия потока энергии.
Бесконечно удаленные точки. Если область пространства, в котором ищется поле, велика, а влияние далеко расположенных тел мало, то удобной идеализацией становится представление о бесконечно удаленной области пространства. Согласно
этой идеализации все токи и все тела расположены на конечном расстоянии от начала координат, а вне некоторой сферы конечного радиуса находится открытая бесконечная область. Отсутствие вне этой сферы сторонних и индуцированных токов означает, что на нее извне не могут приходить какие-либо волны. Точнее, если радиус сферы а порядка размеров тел, их расстояния друг от друга и длины волны, то требование ——вне этой сферы нет источников и тел — приводит к тому, что при р》《 должно выполняться асимптотическое равенство：
〃 = 尸(8, Ф)[1 +О(а/р)].(3.22а)
Для электромагнитного поля аналогично
Ее = -% = ^•凭(8, q))[l + O(a/p)J, …(3.23)
J = % = 丁" & (6, Ф)[1+О(а/р)].
Функции F,尸 1 и 尸2 не задаются этими условиями, они находятся из решения конкретной задачи.
Этим условиям иногда придают другую форму, математически эквивалентную, образуя такую комбинацию полей, которая быстро (быстрее 1/р) убывает с ростом р. Для скалярного поля условие (3.22а) может быть записано в форме (*)
lim р ®〃/0р + 决〃)=0,(3.226)
и аналогичным образом преобразуется (3.23).
Условия (3.22) и (3.23) называются условиями излучения Зоммерфельда, который впервые указал на необходимость формулировать условия на бесконечности. Эти условия исключают существование приходящих извне (из бесконечности) сферических волн, т. е. волн, поля которых имели бы вид exp(i^p)/p.
Простого требования, чтобы поле стремилось к нулю при р_> 8, недостаточно, чтобы исключить эти приходящие волны. Ситуация была бы проще, если бы идеализацию — все тела и токи расположены в конечной области ——дополнить условием, что вся остальная, безграничная область заполнена средой с потерями. При этом поле, созданное этими токами и телами, стремилось бы к нулю при р -> оо. Поля же, созданные бесконечно удаленными источниками, либо равны нулю в конечной области пространства, либо неограниченно возрастают при pf + оо. Таким образом, если бы в принятой идеализации бесконечной области бесконечная среда имела бы потери, то условие
Р. Б. Ваганов, Б. 3. Каценеленбаум
34 УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ [ГЛ. I обеспечивающее отсутствие полей, созданных бесконечно удаленными источниками, было бы просто:
lim и = 0. (3,24) 什8
Более удобным, чем введение безграничной среды с потерями, оказывается введение понятия комплексной частоты (точнее——комплексного волнового числа 月).Так как закон изменения фазы и амплитуды уходящих волн определяется множителем ехр (——i月 <&р), то вместо того, чтобы вводить комплексное в, проще считать комплексным 左：
月=版 +访"， A,z < 0. (3.25)
Тогда поле уходящей волны будет с ростом р убывать по закону ехр(6〃р) и будет удовлетворять (3.24), а поле приходящей волны не будет удовлетворять (3.24). Условие (3.24) при 0〃 V 0 называется принципом предельного поглощения. При его использовании вся задача дифракции сначала решается при 左〃 V 0, в частности, ставится требование (3.24), а затем совершается предельный переход 0.
Условие (3.24) исключает приходящие из бесконечности волны и при ситуациях несколько более сложных, чем описанные в начале этого пункта, и потому шире условия Зоммер- фельда (3.22), (3.23). Пусть какое-либо тело само уходит на бесконечность, как, например, в задаче о бесконечной импедансной плоскости. Тогда поле содержит не только уходящие сферические волны, но и уходящие плоские волны, и условие Зоммерфельда следует дополнить требованием, исключающим приходящие из бесконечности плоские волны. Условие же (3.24) не требует никакого расширения, ибо соображения о различном поведении приходящих и уходящих волн при 6" V 0 справедливы и для плоских волн, и при 力"V 0 условие (3.24) достаточно.
Далее будем пользоваться более простыми в конкретных задачах условиями Зоммерфельда (3.22а) и (3.23) и не будем считать А комплексным.
Теорема единственности
Задача, которая решается в теории дифракции, состоит в нахождении поля в заданной системе тел при заданных сторонних токах. Во многих методах решение сначала каким-либо образом конструируется, а затем производится проверка того, что это решение удовлетворяет всем условиям задачи. При этом возникают два вопроса. Во-первых, всегда ли задача разреши-
ма, т. е. всегда ли существует решение, удовлетворяющее этим условиям. Во-вторых, единственно ли это решение. Прежде, чем решать какую-либо конкретную задачу, нужно быть уверенным в положительном ответе на оба эти вопроса.
Первый вопрос ——о существовании решения ——означает: не слишком ли много поставлено условий, нет ли среди них лишних, противоречащих остальным. Второй ——о единственности — означает: не слишком ли мало поставлено условий, достаточно ли их, чтобы выделить решение.
Будем анализировать только теорему, отвечающую на второй вопрос — теорему единственности. Теорема существов ания — в простейшей формулировке ——состоит в том, что прн тех же условиях, которые сформулированы в теореме единственности, решение действительно существует, так что эти условия необходимы и достаточны для существования решения, притом единственного.
В последнем пункте параграфа рассмотрим вопрос о неявном задании сторонних токов, в частности, постановку так называемой граничной задачи. Вопрос этот логически близок к рассуждениям, приводящим к теореме единственности.
Среда без особенностей. Начнем с простейшего случая. Пусть 卩三 1, а в — непрерывная и всюду конечная функция, т. е. нет границ раздела, в том числе импедансных поверхностей или металла, нет ребер л вершин. Кроме того, пусть всюду е"*0, так что, в частности, поле не проникает в бесконечно удаленные области пространства. Это последнее предположение также существенно упрощает доказательство.
Таким образом, мы в этом пункте рассмотрим ситуацию, когда нет тех идеальных объектов, которые были введены в §§ 2, 3. Теорема единственности доказывается при этом совсем просто. Однако надо иметь в виду, что практически во всех конкретных задачах применяются какие-либо из упомянутых идеализаций.
Начнем со скалярного волнового уравнения (1.19). Достаточно доказать, что однородное уравнение
Ли + А2ви = 0 (4.1)
имеет только нулевое решение. Действительно, если бы неоднородное уравнение (1.19) имело бы два различных решения, то их разность удовлетворяла бы (4.1); доказав, что для (4.1) и = 0, покажем, что (1.19) не может иметь различных решений. Это рассуждение будет использовано и далее; вместо теоремы единственности будем доказывать, что однородное уравнение имеет только нулевое решение.
Доказательство теоремы единственности основано на рассмотрении соотношений, существующих между квадратичными
величинами полей, удовлетворяющих (4.1). Применим первую формулу Грина
J (V<P Vip + ф Alp) ЙУ — J ф 2±-dS = о (4.2)
к бесконечной области, положив <р = и, ф = —и*. Получим
^e\u^dV~^\4u^dV + \u^-dS = 0.(4.3)
Возьмем от этого равенства мнимую часть:
^'eQupdP + Im，〃舞dS = Q.(4.4)
Мы уже рассматривали соотношение этого вида в конце п. 1.6. Интеграл по бесконечно удаленной поверхности равен нулю, так как в среде с потерями поле на бесконечности убывает экспоненциально, т. е. быстрее, чем растет область интегрирования. Так как в объемном интеграле согласно нашему предположению е〃 ни в одной точке не равно нулю, то 以三 0, что и доказывает наше утверждение.
Формула (4.4) представляет собой запись закона сохранения энергии для решения уравнения (4.1). На бесконечность энергия не уходит, притока энергии нет, плотность потерь энер- гии»«л)и|2 равна нулю, и при е" ^= 0, и = 0.
Такой же вывод для однородных уравнений Максвелла для разностного поля
rot Н — i^&E = 0, rot Е + ihH = 0,(4.5)
основан на векторном аналоге формулы (4.2):
(<prot 屮一^ rot <р) dV — \ 伸屮]川 dS = 0.(4.6)
Положив -ф = Е, <р = —Я* и используя (4.5), получим
ik\e.\E^dV + ik^\H^dV + \ [EH*]N dS = 0.(4.7)
Возьмем от этого равенства вещественную часть:
月，e"| Е FdP + Re，[EH*]NdS = 0.(4.8)
Это есть запись закона сохранения энергии при отсутствии источников и при 卩"=0. Повторяя то же рассуждение, что и после (4.4), найдем, что Е = 0 и согласно (4.5) Н — 0, что и доказывает единственность решения уравнений Максвелла в этом простейшем случае.
Общий случай. Для того чтобы доказать, что разностные поля равны тождественно нулю и при наличии особых поверхностей, линий и т. д„ мы могли бы обобщить результаты предыдущего пункта, используя соображения, приведенные в п. 1.4, т. е. проследив за предельными переходами, приводящими к появлению этих особенностей. Проще, однако, провести доказательство непосредственно, т. е. предполагая, что идеализации уже приняты.
Мы должны доказать, что если функция и удовлетворяет в объеме однородному уравнению (4.1), на границах раздела —— условиям (2.15),
а) 〃⑴一严=0, б) dt/X}ldN — du^tdN = 0, (4.9)
на импедансных поверхностях S^ ——условию (2.18),
(4.10)(4.10)以 + ⑪ du/dN — 0
(4.10)
(4.10)
Рис. 4.1. Поверхности интегрирования S.Рис. 4.1. Поверхности интегрирования S.(TV направлено в тело), на ребрах и вершинах — условию Майкснера (3.16) и на бесконечности ——условию Зоммерфельда (3.22), то во всем объеме 以三 =0. Функция б" не обязательно отлична от нуля всюду, в частности—вне некоторой сферы достаточно большого радиуса е" = 0. Доказательство основано на анализе формулы (4・3).
Рис. 4.1. Поверхности интегрирования S.
Рис. 4.1. Поверхности интегрирования S.
Для того чтобы она имела смысл, поля либо не должны
иметь особенностей, либо особенности должны быть не слишком сильными: такими,
эти условия выбраны для отде- особенностей поля на ребрах иэти условия выбраны для отде- особенностей поля на ребрах ичтобы интегралы существовали. Это обеспечивается (3.16) и, по существу, служит оправданием того, что именно ления истинных источников от
эти условия выбраны для отде- особенностей поля на ребрах и
эти условия выбраны для отде- особенностей поля на ребрах и
вершинах.
Интегрирование в (4.3) производится по области (рис. 4.1), снаружи ограниченной Sr, внутри ——поверхностями, импедансными SWi металлическими《加』6 я ⑪=z ) и диэлектрическими Se. Кроме того, такой же интеграл надо взять по области, занятой диэлектриком и снаружи ограниченной поверхностью，Se. Применять (4.3) сразу ко всему объему нельзя, поскольку волновое уравнение справедливо только в областях, где 8 непрерывна. Затем надо сложить равенства (4.3), полученные при интегрировании по обеим областям. При этом поверхностный
интеграл по обеим сторонам поверхности раздела берется дважды. Множитель и в обоих интегралах согласно (4.9а) одинаков, множитель du*/dN имеетв согласно (4.96) противоположный знак, так как направление нормали с обеих сторон в (4.96) одно и то же, в (4.3)—противоположное. Поэтому оба интеграла компенсируют друг друга, т. е. условия (4.9) обеспечивают отсутствие интегралов по поверхности раздела.
Интегралы по поверхности металла (⑪=оо или 0) тоже выпадают. Мнимая часть (4.3) будет содержать объемный интеграл, интеграл по удаленной сфере Sr и интеграл по импедансной поверхности Sw:
—，奴s〃|“Fd卩+ Im\u 器 dS + Im \u 脸 dS = Q. (4.11) Sr s切
Сумма энергии, теряемой в области, уходящей на бесконечность и уходящей в импедансную поверхность, равна нулю. Согласно (3.22а) второе слагаемое равно $ \ | F I2 dQ, где dQ — элемент телесного угла; неотрицательность этого слагаемого следует из условия на бесконечности также и при записи этого условия в форме (3.226). Согласно (4.10) третье слагаемое равно —wrr ^ I du/dN pdS. Таким образом, все три слагаемых имеют
простой энергетический смысл, и все они неотрицательны.
Дальнейшее рассуждение основано на том, что если в поле есть какие-либо источники потерь, то в этой области поле равно нулю, а тогда ——и эту часть доказательства мы опускаем — поле равно нулю всюду. Например, если есть уходящие на бесконечность волны, то третье слагаемое в (4.11) обратится в нуль, если только участвующая в (3.22а) функция F тождественно равна нулю, т. е. поле убывает на бесконечности быстрее, чем 1/р. Это следует из (4.11) также и при записи условия Зоммерфельда в форме (3.226). Можно показать, что столь быстрое убывание поля на бесконечности возможно лишь, если и = 0.
Если есть импедансная поверхность, на которой (хотя бы в части ее) w" V 0, т. е. на ней происходит поглощение, то из (4.11) следует, что на ней du/dN = 0, а из (4.10)—что на ней также и и — 0. А тогда ——это мы не доказываем ——поле всюду тождественно равно нулю.
Наконец, если в некоторой области в"，0, то в ней и ^ 0, следовательно, и Vu = 0, так что можно провести поверхность, на которой равно нулю и поле, и его нормальная производная, и, следовательно, поле равно нулю всюду.
Таким образом, система условий, упомянутых в связи с формулами (4.9), (4.10), действительно обеспечивает единственность решения уравнений (1.19). Этот же результат получается, если заменить условия (3.22) условиями на бесконечности в виде (3.24), т. е. если сначала принимать k комплексным. При этом интеграл по Sr будет равен нулю, т. е. не будет участвовать в (4.11), но при взятии мнимой части от (4.3) в (4.11) войдет еще одно слагаемое (А2)// \ е'| 以 pdV, а равенство его нулю возможно только при 〃 = 0.
Наконец, докажем теорему единственности для уравнений Максвелла, т. е. покажем, что однородные уравнения Максвелла (4-5) при условиях: на границах раздела (2.1), на импедансных поверхностях (2.5), на бесконечности (3.23), на ребрах и вершинах (3.15), и при наличии в системе каких-либо потерь энергии имеют только нулевое решение Е = 0, Н = 0.
Доказательство основано на (4.7). Участвующие в нем объемные интегралы существуют согласно (3.15). Поверхностные интегралы по границе раздела двух диэлектриков взаимно компенсируются, так как в [ЕН*] участвуют только тангенциальные компоненты полей, которые согласно (2.1) непрерывны, а нормали ^ по обе стороны границы направлены в противоположные стороны. Интегралы по поверхности идеального металла равны нулю вследствие (2.8). Взяв от (4.7) вещественную часть, получим (при вещественном k)
-7e〃|EFdU + Re，[EH*]n dS + Re J | £Я* |w dS = 0, (4.12)
где Sw ——поверхность с импедансными свойствами (2.5).
Дальнейшие рассуждения тождественны тем, которые были приведены в скалярном случае по поводу формулы (4.11). Доказательство опять совершенно элементарно, если во всем объеме е"关 0. Если диэлектрические потери есть только в части объема, или есл工 потерн происходят на импедансной поверхности [应= 应' + »应〃，应" > 0; см. (2.6)], то существует поверхность, на которой Et 三 0, /Л 三 0, а тогда, как можно показать, во всем объеме Е 三 0, Н 三 0.
При уходе энергии на бесконечность доказательство тоже проводится таким же образом, как в скалярном случае, и таким же образом оно видоизменяется прн записи условия на бесконечности в форме принципа предельного поглощения.
43 Нарушение теоремы единственности. В замкнутом объеме без потерь, т. е. в закрытом резонаторе с идеально проводящими стенками, в (4.11) и в (4.12) интегралы по Sr отсутствуют, а остальные слагаемые могут быть равны нулю при
и ^ 0,(互，笈)暖 0, и это доказательство не может быть проведено. И действительно, однородное волновое уравнение и однородные уравнения Максвелла могут иметь ненулевое решение. При этом, очевидно, неоднородные уравнения будут иметь более одного решения, т. е. теорема единственности нарушается. Вообще говоря, нарушается и теорема существования, точнее — решение существует не при всяких сторонних токах. В теории колебаний эта ситуация известна как бесконечный резонанс в системе без потерь. Она возникает вследствие введения нескольких идеализаций, которые оказываются несовместимыми—строгая монохроматичность колебаний, заданная величина сторонних токов, полное отсутствие потерь. Происходит это в данной системе тел только на некоторых дискретных частотах или, при фиксированной частоте, при некоторых значениях параметров системы.
Эти особые сочетания частот и параметров представляют значительный интерес для теории дифракции именно потому, что при них существуют решения однородного уравнения, так называемые собственные колебания. Совокупность этих собственных колебаний — например, для упомянутых дискретных частот — при фиксированных параметрах системы образуют систему функций, используемых в одном из методов решения задач дифракции (гл. III). Задача дифракции при этом решается в обычных условиях, при которых решение существует и единственно (например, при другой частоте), но используются решения, соответствующие особым условиям, когда теоремы существования и единственности нарушены.
Всюду дальше будем полагать, что в системе есть какие- либо потери или что частота такова, что решение существует и единственно.
4.4. Неявные способы задания стороннего тока. Сторонние токи не обязательно задаются в виде явно входящих правых частей уравнений Максвелла (или волнового уравнения). Пусть, например, сторонний ток расположен далеко от тела, на котором происходит дифракция. Тогда условия возбуждения удобно представить в виде задания волны, падающей на это тело. Существование такой волны означает, что полное поле не удовлетворяет условию излучения (3.22). Этому условию удовлетворяет -только дифрагированное поле, которое получается, если из полного поля вычесть падающее. В такой ситуации сторонний ток задается неявно, в виде поля, которое надо вычесть из полного поля, чтобы удовлетворялось условие излуч-ения.
Таким же образом сторонний ток может быть сосредоточен в вершине или на ребре. Полное поле при этом не удовлетворяет условию интегрируемости (3.15) или (З.!6). Сторонний ток задается тем полем, которое надо вычесть из полного поля
вблизи ребра или вершины, чтобы оставшееся поле (дифрагированное) этим условиям удовлетворяло.
Условия непрерывности тангенциальных компонент поля на поверхности раздела двух диэлектриков (2.1) и соответствующие условия (4.9) в скалярной задаче, как мы уже отмечали, гарантируют отсутствие на этой поверхности скрытых сторонних токов. Тем самым создается возможность и поверхностные токи задавать не явным образом, а в виде значений скачка тангенциальных компонент Е или Н (или £ и Я) на какой-либо поверхности. Эта поверхность может и не быть поверхностью разрыва свойств среды.
Другой класс задач, в которых удобно пользоваться неявным способом задания токов, возникает, если поле ищется с одной стороны какой-либо поверхности, а источники расположены с другой. Неявное задание их состоит в том, что на этой границе—на поверхности области, в которой ищется поле ——задаются какие-либо граничные значения.
В скалярной задаче на замкнутой границе области может быть задано значение поля “
〃k =(D(S), (4.1 За) или значение производной
凱= y(S). (4.136)
В каждом из этих случаев теорема единственности гарантирует однозначность решения, так как разностное поле должно на границе удовлетворять условию и = 0 или du/dN = 0, т. е. условию, обеспечивающему отсутствие притока энергии в эту область. Разумеется, однозначность требует выполнения также и всех остальных условий, обеспечивающих отсутствие других скрытых токов и существование в поле каких-либо потерь энергии.
Одновременное задание на всей ограничивающей область поверхности и 配(S), и du/dN делает задачу, вообще говоря, неразрешимой, т. е. нарушает условия теоремы существования^ произвольно заданные функции ①(S) и ^(S) в (4.13) противоречат друг другу. Действительно, задав одну из них, мы однозначно задаем поле во всем объеме, а тем самым и вторую функцию. Можно, разумеется, задать ①(S) на части поверхности, а на дополнительной части ——функцию Т (S).
В векторной задаче на замкнутой границе области может быть задана тангенциальная компонента Е или тангенциальная компонента Н. 'Одновременное их задание также, вообще говоря, противоречиво, как одновременное задание и и du/dN.
Явные виды решения описанных в последних четырех абзацах граничных задач приведены в § 11.
Эта книга, разумеется, не содержит ни всех методов (их было бы трудно не только изложить, но даже просто описать и в более объемном учебнике), ни bcqx результатов (их, вероятно, вообще нельзя изложить даже в многотомном курсе). Выбор материала определяется тем, что именно авторы считали основным. Цель книги — подготовить читателя к изучению современной журнальной н монографической литературы, посвященной различным вопросам теории дифракции или использующей эту теорию. Этой целью и определяется лаконичный стиль изложения. Предполагается, что общее представление о физическом смысле уравнений Максвелла и уравнений акустики читатели получили из учебников по физике.
Книга не содержит задач. Лучшим упражнением для закрепления материала является, вероятно, проведение всех выкладок, намеченных в тексте. Знаком (*) отмечены места, где рекомендуется проделать пропущенные выкладки.
В списке литературы указаны только монографии. Материал журнальных статей либо посвящен частным вопросам, либо быстро стареет, либо концентрируется в новых книгах.
Мы признательны нашим коллегам, исправившим ряд ошибок и неточностей в рукописи. Мы не называем их имен, чтобы не возлагать на них ответственность за неисправленные ошибки. Однако здесь нельзя не сказать о большой помощи, которую нам оказала рецензия В. И. Таланова; многие замечания из этой рецензии мы с благодарностью приняли.
Главы II—IV и VIII написаны Р. Б. Вагановым, главы I, V—VII Б. 3. Каценеленбаумом.
Авторы
Глава I
УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ
В этой главе будем рассматривать различные постановки задач дифракции. Особое внимание уделим тем идеализациям, которые, как показывает практика, всегда приходится вводить, чтобы решить какую-либо конкретную задачу. Упомянем некоторые дополнительные трудности, которые при этом возникают, и дополнительные условия, необходимые, чтобы эти трудности преодолеть.
Введение
В этом параграфе напомним лишь о некоторых основных понятиях, используемых во всей книге.
Комплексные амплитуды. Электромагнитные поля описываются двумя векторами — электрическим и магнитным, зависящими от координат х, у, n в от времени £ Акустическое поле описывается вектором — переменной составляющей скорости и скаляром ——переменной составляющей давления. Во всей книге будем рассматривать только так называемые монохроматические поля, т. е. примем, что поля содержат / только в множителе *
cos (со/ + а). (1.1)
Здесь со — циклическая частота колебаний — одинакова для всех компонент полей й во всех точках пространства, фаза а различна для различных компонент и зависит от %, у, г.
Для таких колебаний можно исключить t из уравнений, введя вместо полей их комплексные амплитуды. Электрическое поле характеризуется комплексной амплитудой Е(х, g, w), магнитное поле, соответственно, H(xt у, г). Акустические поля характеризуются комплексными амплитудами скорости и(лг, “. w) и давления р(х, у, г). После нахождения комплексной амплитуды поле может быть получено по простой формуле, являющейся определением комплексной амплитуды. Например, электрическое поле равно
Re[E(x, у, z)e'T. (1.2)
Комплексные диэлектрическая и магнитная проницаемо* сти. В электродинамике среды, которые мы будем рассматривать, описываются двумя скалярными параметрами ——диэлектрической проницаемостью е и магнитной проницаемостью р,. Этим исключаются из рассмотрения два класса сред — анизотропные тела и тела с пространственной дисперсией. В первых & и ц — тензоры. Во вторых такие локальные характеристики, вообще говоря, не существуют, они могут быть введены только для плоских волн и зависят от направления этих волн.
Вообще говоря, для полей с произвольной зависимостью от времени не существует характеристик среды, которые играли бы роль проницаем остей. Для полей специального типа, монохроматических, которые мы только и рассматриваем, величины е и ц могут быть введены, и они зависят в общем случае от частоты.
В однородных средах е и ц не зависят от координат. Мы пользуемся гауссовой системой единиц, так что в вакууме е = 1, ц = 1. В неоднородных средах е = е(х, у, г), ц =ц(х, у, г). Обычно неоднородность состоит в том, что в пространстве непостоянно либо 8, либо Ц.
Введя комплексные амплитуды, можно среды с потерями характеризовать комплексными е и ц:
8 = 8’ + 抬"，Ц = Ц7 + 加〃. (1.3)
Величины &", pt" описывают следующее свойство среды: электромагнитные поля в ней испытывают потери, пропорциональные квадрату электрического или магнитного полей соответственно. В таких средах &" V 0 или 卜" V 0. В средах без потерь &" = 0, у" = 0.
В акустике изотропная среда также характеризуется двумя скалярными параметрами — скоростью звука в среде с и плотностью р. В общем случае с и р — функции координат.
Квадратичные величины. При вычислении нелинейных величин нельзя, вообще говоря, пользоваться комплексными амплитудами, надо переходить к физическим полям по формуле (1.2). Однако наиболее интересные нелинейные характеристики поля — средние по периоду — можно вычислить непосредственно по комплексным амплитудам.
Средний за период поток мощности через единицу площади (мы будем называть его, по традиции, потоком энергии), т. е. средний поток вектора Пойнтинга, равен
(1.4)(1.4)5==^-Re [ЕЯ*],
(1.4)
(1.4)
где * — знак комплексного сопряжения. Средние плотности электрической и магнитной энергии в вакууме равны
fief, eI"F・fief, eI"F・(1.5а)(1.5а)
fief, eI"F・
fief, eI"F・
(1.5а)
(1.5а)
Здесь I I —знак модуля комплексного вектора, который определен таким образом: если комплексный вектор Е разложен по ортам, Е = iEx + ]ЕУ + kEx, где Е#, £«, Ег ——комплексные скалярные функции, то |Е|2 =z\Ex\2 + \Ey\2 + |&р.
Средние потери энергии (плотность потерь) равны соответственно
-許 e〃|EF,-診 X|HF.(1.56)
Вообще, среднее за период значение произведения двух любых физических величин, зависящих от f по закону (1.1), выражается через их комплексные амплитуды по формуле (*)
% Re (/8)(1.6)
Уравнения электродинамики и акустики. Уравнения Максвелла представляют собой систему двух векторных (т. е. шести скалярных) дифференциальных уравнений первого порядка
rot Н — ikeE^~i,
с(1.7)
rot Е + ik^H = О
для шести комплексных компонент векторов Е н Н. Здесь с — скорость света в пустоте, а величина k =(о/с, имеющая размерность см-1 — так называемое волновое число. Мы всюду будем характеризовать частоту буквой k. Вектор / — плотность сторонних токов. В задачах дифракции / — заданная функция координат.
Акустические поля е, р удовлетворяют одному векторному и одному скалярному уравнению первого порядка:
grad р + /юри =尸，
с(1・8)
+=
т. е. четырем скалярным уравнениям для четырех скалярных функций — трех компонент вектора скорости 軍 и давления р. Здесь 尸一заданная внешняя сила, имеющая тот же смысл, что j в (1.7)・
В акустической волне средний поток мощности, т. е. среднее произведение давления на скорость, выражается через комплексные амплитуды р и V по формуле» VaRefpv*) . Если в области,
1.5. Токи поляризации. Если в (1.7) во всем пространстве е = 1, ц = 1, то эти уравнения описывают поле, создаваемое источниками (т. е. величинами,1.5. Токи поляризации. Если в (1.7) во всем пространстве е = 1, ц = 1, то эти уравнения описывают поле, создаваемое источниками (т. е. величинами,Рис. 1.1. Дифракция как экранировка телом (а) и как возникновение индуцированного тока (6).Рис. 1.1. Дифракция как экранировка телом (а) и как возникновение индуцированного тока (6).все источники излучают в вакууме.все источники излучают в вакууме.
1.5. Токи поляризации. Если в (1.7) во всем пространстве е = 1, ц = 1, то эти уравнения описывают поле, создаваемое источниками (т. е. величинами,
1.5. Токи поляризации. Если в (1.7) во всем пространстве е = 1, ц = 1, то эти уравнения описывают поле, создаваемое источниками (т. е. величинами,
Рис. 1.1. Дифракция как экранировка телом (а) и как возникновение индуцированного тока (6).
Рис. 1.1. Дифракция как экранировка телом (а) и как возникновение индуцированного тока (6).
все источники излучают в вакууме.
все источники излучают в вакууме.
где нет источников и р = const, выразить & через " (и 〜grad р), то с точностью до несущественных множителей поток энергии будет '
Im (р Vp*). (1.9)
стоящими в (1.7) справа) в вакууме. Иногда удобен способ рассуждения, основанный на представлении общих уравнений (1.7) в аналогичной форме:
rot H — ikE^
№(8—1)Е +警力
го1Е + ^Я = 0.(1.10)
Для простоты принято, что во всем пространстве ц = 1. Так как слева в (1.10) нет множителя е, то эти уравнения можно трактовать таким образом: поле создано источниками двух типов — сторонними токами / и индуцированной поляризацией
产Д=4^(е- DE, (1.11) причем — и это соображение является в приведенном рассуждении основным — Разумеется, переход от (1.7)
к (1.10) не решает задачу определения £ и Я, ибо в (1.10) участвуют неизвестные источники, однако в некоторых случаях —например, при использовании аппарата интегральных уравнений — удобнее начинать не с (1.7), а с (1.10).
Различие в подходах к явлениям дифракции, основанных на (1.7) и на (1.10), можно проиллюстрировать рис. 1.1. Пусть в пространство, в котором &三 1, р,三 1 и где задан сторонний ток /, вводится тело V, в котором в #= 1. Изменение поля в какой-либо точке Гь согласно (1.7), описывается как изменение условий, в которых поле передается от тока в эту точку (так как в некоторой области изменилось е), т. е. как некую экранировку, По (1.10) полное поле есть результат интерференции
первоначального поля и некоторого вторичного поля, возникшего при внесении тела. Первое создается сторонним током, второе — индуцированным током (1.10). Существенно, что оба поля — первоначальное и вторичное — создаются своими токами в вакууме.
Далее мы чаето будем производить разбиение всего поля на два слагаемых: на поле заданных токов в вакууме (будем называть это поле падающим) и на поле индуцированных токов в вакууме (это поле будем называть дифракционным).
1.6. Волновые уравнения. В областях пространства, где в и ц не зависят от координат, уравнения Максвелла (1.7) часто удобно привести к одному уравнению второго порядка, так называемому волновому уравнению. Его можно писать либо для Е, либо для Н, либо для каким-либо образом введенной вспомогательной функции (потенциала), из которой Е и & находят затем дифференцированием.
В однородной среде, свободной от токов (/ = 0), поля £ и Я удовлетворяют волновым уравнениям (*)
а) AE + 奴叫е = 0, б) ДЯ +&2ецЯ = 0.(1.12)
В этих формулах лапласиан Д действует на вектор. Примененный к любому вектору М, он определен формулой
АЛ = grad div М — rot rot M,(1.13)
Декартовы компоненты вектора согласно этому определению, равны, как легко проверить, результату применения лапласиана к соответствующей декартовой компоненте вектора (*)
(AJf)z = A(MJ(1,14)
Для недекартовых компонент простая формула (1.14) несправедлива, AAf надо вычислять по (1.13)..
В декартовых координатах лапласиан (в применении к скалярной функции) равен
Выражение Д в других координатах будет приведено при решении соответствующих задач дифракции.
Уравнения (1.12) получены из (1.7), но ие эквивалентны им. Из (1.7) следует также (в однородной среде и при отсутствии токов), что
a) div £ = 0, б) div Н = 0. (1.16)
Эти уравнения не следуют из (1.12). Совокупность уравнений (1.12) и (1.16) тоже не эквивалентна (1.7) — например, она допускает решение Е #= 0? Я ^ 0, не удовлетворяющее (1.7). Связь
полей Ен" содержится только в (1.7). Поэтому, решив, например, (1.12а), следует решение подчинить еще условию (1.16а), а Н найти из (1.76). Уравнение (1.126) будет при этом удовлетворяться автоматически (*).
В точках пространства, где есть токи, волновые уравнения для полей содержали бы производные от токов. Проще иногда вводить потенциалы, которые удовлетворяют волновым уравнениям, содержащим, как и уравнения Максвелла, сами токи, а не производные от них, а затем поля находить дифференцирова* нием потенциалов. Одним из таких потенциалов является электрический вектор Герца П, пропорциональный векторному потенциалу. Поля выражаются через него по формулам
Е = й2ецП + grad div П, Н = ik& rot П, (1.17)
а сам он удовлетворяет простому волновому уравнению
ДП + й28цП =/^-/. (1.18)
Прямая проверка показывает, что если выполняется (1.18), то (при е = const, ц = const) поля (1.17) удовлетворяют уравнениям (1.7) (*), так что при использовании (1.18) не нужно требовать, чтобы поля удовлетворяли еще каким-либо уравнениям.
Таким образом в теорию электромагнитного, т. е. векторного, поля вводится волновое уравнение (с правой частью) для декартовых компонент, т. е. скалярных функций, которое запишем в виде
Д« + й2вм = /» (1.19)
где и — любая декартова компонента вектора Герца, Е или Я. Это уравнение справедливо в тех областях пространства, где в не зависит от координат и где ц s 1. Однако иногда мы будем рассматривать (1.19) в предположении, что е = е(х, у, 2). Во- первых, это уравнение в некоторых двумерных задачах справедливо и при е #= const. Во-вторых, оно описывает распространение акустических волн в среде с постоянной плотностью. Главная же причина, делающая целесообразным анализ решений уравнения (1.19) также и при переменном в, состоит в том, что оно описывает те качественные особенности распространения электромагнитных волн, которые не связаны с векторной природой поля. Иными словами, если при изучении дифракции электромагнитных волн на теле, т. е. на каком-то заданном распределении е в пространстве, не интересоваться изменением соотношения между различными компонентами поля, то многие качественные свойства дифрагированного поля и особенности различных методов его вычисления можно извлечь из скалярного уравнения (1.19).
Используем, например, (1.19) для того чтобы проверить утверждение, что величина (1.9) может рассматриваться как среднее значение потока энергии в скалярной задаче. Преобразовывая дивергенцию этого вектора с использованием (1.19), получим (*)
div Im (u V«*)=—左2/1 и Р — Im (〃*f)・(1.20)
В среде без потерь (&" = 0) в области, свободной от источников (f s 0), дивергенция этого вектора равна нулю. Поэтому поток его через любую замкнутую поверхность равен нулю. Если / #= 0, то поток его одинаков для любых замкнутых поверхностей, содержащих данные источники. Как известно, вектор (1.4) обладает этими же свойствами — это легко доказать, используя (1.7) (*). При применении так называемых энергетических соображений к решению конкретных задач дифракции используют именно эти два свойства векторов (1.4) или (1.9) (см.» например, ниже п： 3.2).
Плоские волны. Проиллюстрируем применение комплексных амплитуд для описания физических свойств поля на примере простейшего решения уравнений Максвелла — плоской волны в однородной безграничной среде. Поле
Ех = Q-inkzy Jfy = ^Q-inkz9 Ед = En = Н & = Н^н， (1.21) где показатель преломления п и волновое сопротивление 而 равны
a) n = V8H » б) й» = “|1/в»(1.22)
представляет собой волну, идущую в направлении оси z, так как зависимость от z н 力 величины (1.2) будет даваться множите* лем cos(o^ — n&z). Поле обратного направления будет иметь другой знак в экспоненте и другой знак в формуле для Ну.
Сумма прямой и обратной волн образует стоячую волну. В ней зависимость от координат будет даваться вещественной функцией cos nkz или sin %左z, и при образовании физических величин по (1.2) этот множитель выйдет за знак Re.
Существует еще одно решение:
Еу = e"inliZ3 Н х =—春£х = £г = Ну == Н 2 = 0, (1.23)
—плоская волна того же, что и (1.21), направления, также линейно поляризованная, но с другим направлением поляризации. Любая линейная комбинация полей (1.21), (1.23) есть тоже плоская волна: ее поляризация определяется отношением коэффициентов этой комбинации. Если они вещественны, то эта комбинации — тож^ линейно поляризованная волна. Если нк
отношение равно / или ——£, то она представляет собой плоскую волну круговой поляризации. В более общем случае наложение обоих решений (1.21), (1.23) образует волну эллиптической поляризации. Все эти утверждения легко проверить образованием физических величин по (1.2) (*).
Плоская волна, направление распространения которой образует с осями координат углы а, 0, у, описывается множителем ехр {一 ikn (х cos а + 4 cos Р + z cos у)}.(1.24)
При cos2 а + cos2 р + cos2 у = 1 (1.24) удовлетворяет волновому уравнению. Заметим, что это утверждение справедливо также и в том случае, если, например, cos2 а > 1. При этом углы теряют свой простой геометрический смысл, становятся некоторыми комплексными величинами. Такие решения — так называемые неоднородные плоские волны — возникают при исследовании полного внутреннего отражения и в некоторых более сложных задачах.
Для того чтобы установить возможные соотношения между компонентами Е и Н, аналогичные (1.21), (1.23), надо использовать еще и уравнения (1.7). Очевидно, однако, что соотношение между амплитудами полей, следующее. из (L21), (1.23):
^ё\Е\=^\Н\,(1.25)
справедливо при любом расположении осей координат относительно направления волны, т. е. для любой плоской волны.
Граница раздела (особые поверхности поля)
В теории дифракции, как и в любой другой физической теории, принят ряд идеализаций, т. е. рассматриваются некоторые математические модели, облегчающие анализ реальных объектов. Решения идеализированных задач близки к решениям реальных. Мы уже начали с такой идеализации — с представления о монохроматических колебаниях (1.1). Решение задач в идеализированной постановке легче, чем при учете соответствующих точных (более точных) условий. В идеализированных задачах часто удается применить какие-либо вспомогательные приемы. Однако введение в теорию идеализированных объектов приводит и к некоторым усложнениям ——кроме уравнений Максвелла или соответствующих уравнений акустики искомые решения надо подчинять еще и дополнительным условиям. Иначе оказываются возможными решения, не близкие к решениям неидеализированных задач.
Примером такой идеализации является понятие о скачкообразном изменении свойств среды, т. е. о границе раздела, которое мы рассмотрим в этом параграфе. В следующем пара-
графе будут даны дополнительные условия, которые необходимо ввести в формулировку задачи дифракции при использовании других идеализаций.
Граница раздела диэлектриков. Во всех точках пространства, в которых е и ц непрерывны, поля Ен" тоже непрерывны——это следует из уравнений Максвелла (1.7). Поверхность, на которой 8 и ц. терпят разрыв, можно рассматривать как предельный образ тонкого слоя, в котором градиенты е и р. очень велики. На этой поверхности Е и Н не удовлетворяют уравнениям Максвелла и, вообще говоря, будут терпеть разрыв. Условия для тангенциальных и для нормальных компонент Е и Н на границе раздела диэлектриков оказываются различными. Условия эти получаем из рассмотрения тех связей между компонентами по обе стороны тонкого слоя, которые слабо меняются при предельном переходе от тонкого слоя к границе раздела. Утверждение о существовании таких условий означает, что предельная форма этих связей не зависит от того, как именно совершается этот предельный переход.
Как известно, тангенциальные к поверхности раздела компоненты Е и Н удовлетворяют условиям
a) E「一R2)|s = 0, 6) 〃?)一 〃俨 |s = 0. (2.1)
Индексы / и 2 в (2.1) относятся к двум сторонам поверхности раздела. В (2.1) содержатся четыре скалярных условия ——для двух тангенциальных компонент Е и для двух тангенциальных компонент Н.
Нормальные компоненты Е п Н по обе стороны границы раздела, вообще говоря, различны, точнее, непрерывны произведения еЕы и
а)評砚一产酬 |s = 0, б)卩⑴〃双 一 ^Н^ Is = 0. (2.2)
Например, если при переходе через границу раздела изменяется только е, а ц. непрерывна, то из шести компонент полей Е и Н пять компонент непрерывны, а разрыв испытывает только Е“.
Формулы (2.2) не независимы от (2.1) и не ставят дополнительных условий. Если по обе стороны S поля удовлетворяют уравнениям Максвелла с соответствующими значениями е и ц., а на S выполняются (2.1), то на S выполняются и (2.2). Таким образом, при решении задач о дифракции на диэлектрическом теле, т. е. на некотором объеме, ограниченном поверхностью S, внутри которого 8 = const =/= 1, а вне е = 1, надо удовлетворить уравнениям (1.7) для внешнего и внутреннего полей и условиям (2.1) на S.
Автоматическое выполнение (2.2) при этом непосредственно следует из (1.7). Например, написав (1.76) для нормальной
20 УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ [「工• I к S компоненты, получим для ц//^ выражение, содержащее только тангенциальные к S производные от £, и так как (2.1а) выполняется во всех точках S, то6 с обеих сторон равны друг другу не только &, но и эти производные, откуда и следует (2.26). Точно так же из (2.16) и (1.7а) легко получить (2.2а) (*).
Равенство нулю левой части уравнения (2.16) означает, что на границе диэлектрика S не существует сторонних поверхностных токов, т. е. токов, сосредоточенных в бесконечно тонком слое на некоторой поверхности с конечной поверхностной плотностью. Действительно, если бы такие токи существовали, то, как известно, из (1.7) следует, что при переходе через такую поверхность тангенциальная к ней компонента Ht испытывала бы скачок, пропорциональный этой поверхностной плотности, что противоречит (2.16). Возможна аналогичная трактовка и условий (2.1а) как условия отсутствия поверхностных магнитных токов [см. (11.22)].
Введение поверхности, на которой не выполняются уравнения Максвелла, потребовало установления некоторого условия, означающего, что на ней нет «скрытых》сторонних токов. Подобные условия, дополнительные к уравнениям Максвелла, необходимо вводить при переходе к любым идеализациям, если при этом в каких-либо точках пространства уравнения Максвелла становятся неприменимыми. Только после их введения задача дифракции полностью сформулирована. Эти условия получаются из рассмотрения тех предельных переходов, результатом которых является появление идеализированных моделей.
Поверхность хорошего проводника. Частным случаем диэлектрического тела является хороший проводник ——тело, в котором 一е"》1. Электромагнитное поле проникает в такой проводник на расстояние порядка глубины скин-слоя
d == — (Alm V^lO〈 (2.3)
На глубине 2nrf, равной длине волны в проводнике, поле уже практически отсутствует. Оно убывает при удалении от границы внутрь тела по экспоненциальному закону ——локальному, т. е. не зависящему от структуры внешнего поля или от кривизны поверхности:
E(z) = E (0) е-н+力 z/d, Н ⑵=Н (0) e-u+灯之修 (2.4)
Здесь г — ось местной системы координат — направлена в металл, 胃=0 соответствует поверхности тела; для простоты записи принято, что ——е"》е‘,从"=0. Для металла, как известно,
= —4ла/о), где а — проводимость, так что
На границе хорошего проводника тангенциальные компонен- тн Е н Н, согласно граничному условию Леонтовича, пропорциональны друг другу:
Ех = wH Еу = —wH х (2.5) с коэффициентом пропорциональности — импедансом w (1.226), не зависящим от структуры внешнего поля и полностью определяемым свойствами проводника. Импеданс имеет порядок отношения толщины скин-слоя к длине волны:
应=上:^三"从左d. (2,6)
Индуцированный ток поляризации (1.11) сосредоточен в скин-слое. Подставляя в (1.11) выражения (2.4) и (2.5), получим для /инд выражение через тангенциальную компоненту магнитного поля на поверхности /Л(0). Например, для х-й компоненты объемной плотности тока получаем формулу
修⑶=ни (0)亲“荻 e-a+D "* (2.7)
Эта формула понадобится в следующем пункте.
Поверхность идеального проводника. Формулы (2.5) и (2.7) удобны для рассмотрения еще одной идеализации ——идеального проводника, рассматриваемого как диэлектрик, в котором ——ez, -> оо. Условия на границе металла можно получить, перейдя к пределу в формулах предыдущего пункта.
Поле внутрь металла не проникает, равно нулю, и поэтому, согласно (2.1а), на границе идеального проводника должно выполняться
^ls = 0. (2.8)
Эта формула, как в (2.1а), содержит два условия ——обе тангенциальные компоненты электрического поля на границе металла равны нулю.
Далее, из (2.8) следует, что нормальная к поверхности компонента магнитного поля равна нулю:
HN |s = 0. (2.9)
Это равенство так же, как и (2.2), не ставит дополнительных условий для поля. Оно автоматически выполняется, если поля вне S удовлетворяют уравнениям Максвелла, а на S — условиям (2.8), и это доказывается таким же рассуждением, какое было применено к (2.2) (*).
Тангенциальная компонента магнитного поля "% вообще говоря, отлична от нуля; она может быть вычислена после того, как задача дифракции на данной металлической поверхности
решена. Отлична от нуля и компонента E^ на S; она пропорциональна, согласно (1.7а), поверхностному ротору Ht, так что если ось а направлена в металл, то
邑=而(-^ 而) (2」0)
Таким образом, второй предельный переход ——€”一>8 приводит к тому, что нарушено условие (2.16), выполнявшееся при первом предельном переходе. На поверхности идеального проводника тангенциальная компонента магнитного поля испытывает скачок. Причина этого состоит в том, что при переходе к идеальному проводнику толщина скин-слоя d-^О й одновременно объемная плотность индуцированного тока (2.7), содержащая множитель (е")"2, становится бесконечной. Появляется поверхностный ток, т. е. ток с конечной ненулевой поверхностной плотностью. Он разделяет внутренние точки, в которых Д = 0, от наружных, в которых J7 =/= 0. Точнее, при —е" f 8 d стремится к нулю как 1/V| е |, /НЫА (2.7) растет как Vl 6 1> так что согласно /2.3)
I货д3)[〜|/(0)]；e-z/a. (2.11)
По определению, поверхностная плотность /иид равна току, протекающему через все сечение скин-слоя:
Z"HA=f /Тд(г)^г. (2.12) о
При столь малых d, при которых справедливо (2.11), этот интеграл не зависит от d. В частности, при d-> 0 /инд остается конечной величиной» хотя /инд-*- оо：
岁"=一 卷 "У(0)，/片=含"х(0)■ (2.Г3)
Полученное следствие применения теории скин-слоя к идеальному металлу является основным результатом рассуждения этого пункта. Разумеется, (2.13) представляет собой не граничное условие для Я, а выражение, позволяющее вычислить /инд по найденному из решения задачи дифракции полю Н.
Формулу (2.1-3) можно также получить, минуя результаты предыдущего пункта и рассматривая сразу обе идеализации — переход к границе раздела и к идеальному проводнику. Формулы (1.10) означают, что поле создается как сторонними токами /, так и индуцированными токами, которые становятся при этом поверхностными. Поля этих токов, интерферируя, гасят друг друга внутри тела.
Из (1.10а) следует, что при переходе через такую поверхность Ht испытывает скачок, пропорциональный /ннд； 。6 этом следствии из уравнений Максвелла мы уже упоминали в п. 2.1.
Условия (2.8) накладывают на поле значительно более сильное ограничение, чем похожее на него условие (2.1а). Как будет показано в § 4, условие (2.8) полностью характеризует поверхность, а условие (2.1а) должно быть еще дополнено условием (2.16).
Тела с границами раздела как частный случай непрерывных сред. Если какое-либо свойство поля удается доказать для непрерывного распределения е(х, у, z) и м(х, р, а) 0 это доказательство не требует конечности е, ц или градиентов 8 и ц., то результат справедлив и для кусочно-постоянных или бесконечных е, т. е. для диэлектрических или металлических тел.
В качестве простого примера, иллюстрирующего это положение, рассмотрим дифракцию на телах с цилиндрической симметрией при симметричном возбуждении. Пусть относительно некоторой цилиндрической системы координат г, <р, z функции е (г, г) и р. (г, г) не зависят от угла 屮，и, кроме того, сторонние токи содержат только z-ю компоненту и тоже не зависят от угла, / = % (尸,z). В этом случае поле содержит только три компоненты 方隼，Er, En, а три другие компоненты 七①，"г, Нг равны нулю (*). Этот результат легко показать, записав (1.7) в цилиндрической системе координат. Уравнения для второй тройки компонент окажутся независимыми от уравнений для первой тройки и не будут содержать правых частей. Если не считать случаев, которые будут оговорены в п. 4.3, такие уравнения имеют только нулевые решения, что и доказывает наше утверждение. При доказательстве соображения о непрерывности и конечности в н 牍 не использовались; в процессе соответствующих предельных переходов новые компоненты полей не возникают, поэтому наше утверждение справедливо и для диэлектрических, и для металлических поверхностей, лишь бы все поверхности диэлектриков и металла были телами вращения. Достоинство такого метода доказательства состоит в том, что он не требует проверки также и граничных условий.
Заметим, что в этом примере поле выражается через одну скалярную функцию, удовлетворяющую волновому уравнению (1.19), где е н 牍 зависят от координат 尸,г. Действительно, прямая проверка показывает, что если принять
口之=以(尸，Ф), 口г三0, nф^0, (2.14)
и выражать Н и Е через П по формулам (1.17), то уравнения Максвелла будут выполняться, если и удовлетворяет (1.19) (*). Напомним, что в общем случае трехмерной электродинамической задачи либо двумерной задачи, в которой поле зависит от
24 УРАВНЕНИЯ и ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ [ГЛ. I угла, (1.17) и (1.18) справедливы только в областях простран* ства, в которых е и ц. не зависят от координат, а при е = =е(х, у, г) волновое уравнение сложнее, чем (1.19).
Граничные условия вв акустике. На поверхности, на кото-* рой терпят разрыв функции р или 2, уравнения акустики (1.8) неприменимы. Предельным переходом от тонкого слоя с большими градиентами риск поверхности раздела получаем граничные условия, связывающие их значения по разные стороны поверхности раздела:
p⑴ 一 "⑵ Is = 0,叫)一 u毋 J = 0. (2.15)
В акустике удобно рассматривать две идеализированные среды, в которые акустическое колебание не проникает и в которых " = 0, о = 0. Существуют реальные среды, свойства которых близки к свойствам таких идеализированных сред. 46co. лютно мягким называют тело, в котором pd = O. На поверхности такого тела
Р Is — 0- (2.16а)
Абсолютно жестким называют тело, в котором рс = оо. На его поверхности
^n Is == 0- (2.166) Граничные условия (2.15) н (2Л6) аналогичны граничным условиям (2.1) и (2.8) электродинамики.
Если скорость с мала и в теле есть большие потери, точнее, если Im((o/C) велико, то вблизи его поверхности поле имеет структуру уходящей плоской волны, независимо от структуры поля снаружи. При этом условии величины р и ^^ на поверхности приближенно удовлетворяют условию (У направлено в тело)
р = pcv№ (2.17)
аналогичному условию Леонтовича (2.5) на границе проводника» в котором велико Im д/8!1 • При | рс |-> 0 это условие переходит в (2.16а). Если |pd|f 8 при сохранении требования малости |^|, то (2.17) переходит в (2.166).
Этому условию можно придать вид граничного условия третьего рода для р, если с внешней стороны выразить и через р, v^ 〜dp/dN:
"+如需" (2.18)
Коэффициент w (импеданс) зависит от соотношения параметров тела и наружной среды. Поверхность, на которой выполняется (2.18), будем называть импедансной. При z^ = оо и ш = О условие (2.18) принимает вид dp/dN = 0 и р =0, что то ж де* ственно соответственно (2.166) и (2.16а).
Вообще говоря, w комплексно, w = wf + iw^. Если ш^ = О, то энергия в поверхность не уходит. Поток энергии на единицу поверхности, т. е. Im (р dp*/dN), равен —侬"|dp/dV| ?，и всегда “ W 0-
Особые точки поля
В этом параграфе мы продолжим описание идеализированных моделей, вводимых в теорию дифракции, и нахождение тех дополнительных условий, которые при этом приходится ставить. Начнем с представления о таких особых точках поля, в которых поля могут обращаться в бесконечность. В конце параграфа будут рассмотрены условия, возникающие при введении понятия о бесконечно удаленных точках поля.
Точечный источник. Линейный источник. Пусть размеры источника малы по сравнению со всеми размерами, участвующими в задаче, и, в частности, с- длиной волны 九=2冗/月.Удобной идеализацией является представление о точечном источнике. По определению объем, им занимаемый, бесконечно мал, объемная плотность / бесконечно велика, а произведение объема и плотности тока конечно. Эти условия выполняются, если принять, что У пропорционален 6-функции: .
/(х, у、2)= а6з(р), (3 °
63 (р) dV = 1, dV = 4лр2 dp,
где а — единичный вектор; р ——радиус-вектор сферической системы координат (р, 0, qp)> в центре которой расположен источник. Ток (3.1) называется элементарным электрическим диполем. Мы снабдили б-функцию (3.16) индексом «3>, имея в виду, что далее мы будем применять б-функцию и для двумерных (62), и одномерных ⑹)уравнений.
Поле, создаваемое током (3.1), имеет особенность — обращается в бесконечность при р -> 0. Точнее, три отличные от нуля компоненты при 右р《1 имеют вид
sin0> Е&* — 2论;％ sin 8, Е&^ — ~^2 cos0. (3.2)
Далее, введем еще и другие особые точки, в которых поля тоже будут обращаться в бесконечность, и нам надо найти какое-либо свойство, характеризующее именно поле точечного источника. Таким свойством мог бы быть закон обращения в бесконечность (3.2). Однако достаточно, как увидим ниже, более простого свойства — плотность энергии (1.5) неинтегри- руема:
\|EFdU = 8, JlHpdV = оо. (3.3)
Это свойство непосредственно следует из (3.2), ибо dV 〜р2dp, и подынтегральные функции в (3.3,имеют при pf 0 неинтегри- руемые особенности. Оно не нарушается при внесении в поле каких-либо тел.
В скалярных задачах будем исследовать не систему уравнений акустики, а более простое волновое уравнение (1.19). Скалярным аналогом элементарного диполя будет точечный источник, для которого
f = 63 (р).(3.4)
Решение скалярного волнового уравнения с правой частью (3.4) проще, чем решение уравнений Максвелла с током (3.1); это решение есть сферическая волна
1 р
Скорость возрастания поля при р -> 0 значительно меньше, чем в электродинамике (3.2). Однако и здесь плотность энергии неинтегрируема:
Ji v“ му = 8,(3.6)
ибо |V〃|z имеет особенность pf
Если источник имеет конечную или большую длнну, а в двух других измерениях его размеры малы, то для его описания удобно вводить понятие линейного тока. Для простейшего случая прямой бесконечной нити плотность тока следует задавать в виде
厶=& (г), [ б?(尸)dS = 1,(3.7)
где г — радиус-вектор цилиндрической системы координат 尸，ф, z; dS =2nzd尸.Поле такого тока содержит две компоненты:
& =一呼 Н伊他 r), /=-苧"产(々r).(3.8)
Обе они обращаются в бесконечность при г-> 0. Задача о поле прямого линейного тока двумерная. Для этого поля тоже имеет место свойство (3.3)—неинтегрируемость плотности энергии ，(I ЕI2 +1 Н I2)dS, ибо \ Н^ 1/г2, a dS 〜尸dr. Это свойство сохраняется и в присутствии других тел, а также для непрямолинейного линейного тока.
Наконец, таким же образом можно ввести понятие линейного источника и в скалярной задаче. Если этот источник — прямая линия, так что вся задача двумерная, то / = 62 (И и решение есть цилиндрическая волна
“ = £"伊优Г).(3.9)
для него тоже выполняется условие (3.6)—неинтегрируемость плотности энергии, так как интеграл р Vu f dS расходится (*).
32 Поток энергии из источника. В этом параграфе существенную роль будет играть понятие потока энергии из источника. Вычисление потока представляет и самостоятельный интерес. В электродинамике этот поток есть интеграл от среднего по периоду значения вектора Пойнтинга, взятый по любой поверхности, окружающей ток.
Для диполя (3.1), расположенного в вакууме, этот поток равен (*)
卜N必=畳.(3.10)
Если его вычислять, взяв в качестве поверхности малую сферу, то пользоваться приближением (3.2) нельзя. Старшие члены в разложении Н^ и £е находятся в квадратуре и не дают вклада в поток энергии. Отличное от нуля слагаемое в Re [FJ7*] имеет порядок 1 /р2. Проще вычислять интеграл в (3.10) интегрированием по большой сфере, в волновой зоне, где Ее 〜exp (——》右р)/р, 丸 ~ ехр(—/р)/р.
Для скалярной задачи роль вектора Пойнтинга играет Im(u Vu*) (1.9). Поток этой величины через любую поверхность, содержащую все источники, не зависит от поверхности и равен согласно (1.20) Im, u*f dVt где интеграл взят по всем источникам. Для элементарного источника, как легко получить из (3.5)*
(3.11)
Для двумерной задачи надо вычислять поток на единицу длины, т. е. поток через любую замкнутую кривую на плоскости, перпендикулярной к току и окружающей ток. Для электромагнитного и скалярного полей будет соответственно (*)
а)卜“dS=芸，6)Im\“芻dS = *(3.12)
FIoTOKtэнергии от диполя или линейного тока изменится при помещении в его поле какого-либо тела. Это изменение потока, как мы сейчас покажем, выражается через значение дифракционного поля в точке, в которой расположен диполь. Проведем соответствующую выкладку ——она проиллюстрирует ту простоту вычислений, которая достигается введением этой идеализации, позволяющей использовать 6-функцню.
Определим, уточняя пункт (1.5), понятие дифракционного поля, которым будем широко пользоваться дальше. Назовем его
% 力 в векторной задаче и у в скалярной. Пусть Е°, Я0 (и соответственно «°) есть поле, созданное теми же сторонними токами / (теми же источниками 力 при отсутствии данного тела, а 瓦 Н (или и) —поле в его присутствии. По определению
Е = Е° + е,反=印+ 五，м = «° + п. (3.13)
Далее поля Е°, Я0, и0 будем называть падающими. Поля е, Л (или у) созданы индуцированной поляризацией (1.11), излучающей в вакууме.
Из уравнений Максвелла следует известное выражение divS =—】/2Re(/E*), аналогичное (1.20). Интегрируя его, получаем для потока энергии формулу —】/?，Re(/E*)dP. Пользоваться ею, например, для вычисления (3.10) неудобно, так как там, где / отлично от нуля, Е имеет особенность. Однако если подставить в эту формулу разбиение (3.13), то первое слагаемое будет невозмущенным потоком [оно было вычислено в (3.10) независимо], а второе легко вычисляется согласно свойству 6-функции (*):
，SwdS =崇-^Reе*(0)a. (3.14a)
Это второе слагаемое и есть искомое изменение потока, создаваемого заданным диполем при внесении в его поле какого-либо тела. Например, если диполь расположен вблизи бесконечно большого идеального зеркала, то е есть поле зеркального изображения данного диполя, излучающего в вакууме, так что (3.14) дает простое явное выражение полного потока^
Скалярный аналог формулы (3.14а) согласно (1.20) имеет вид (*)
Im \“* 需 dS=奈一Imu*(0). (3.146)
Такие же формулы леко получить в двухмерных задачах.
Вообще говоря, поток энергии из точечного источника — диполя или линейного тока—отличен от нуля. Возможны, однако, особые случаи (закрытый резонатор, запредельный волновод), в которых второе слагаемое в (3.14) компенсирует первое, и поток равен нулю. Для дальнейшего существенно, что и в этих случаях свойство (3.3) или (3.6) сохраняется.
Ребра и вершины. Вернемся к вопросу о дополнительных условиях, которые надо ставить, принимая какие-либо идеализации. При введении идеальных объектов другого типа — вершин и ребер, т. е. поверхностей с бесконечной кривизной ——возникают другие точки и линии, в которых поля также обращаются в бесконечность. Это обращение происходит, как будет показано ниже, медленнее, чем вблизи источников. А именно ——
вблизи вершин и ребер плотность энергии интегрируема, так что в векторных задачах
а),|Е|2〃<8, б) J|//|2dy<oo,(3.15)
а в скалярных, соответственно,
а) ,|“ 12 dlz V оо, 6)，|V" fdOV оо.(3.16)
Эти условия — так называемые условия Майкснера — противоположны условиям (3.3) и (3.6).
Найдем структуру поля при условии, что требования (3.15) и (3.16) выполняются. Оказывается, что некоторые характеристики этой структуры не зависят от падающего поля и определяются только геометрией тела и поляризацией поля. Определение этих характеристик имеет и самостоятельный интерес, однако в первую очередь нас будет интересовать вопрос о потоке энергии из ребра или из вершины. Подробно рассмотрим поле только вблизи ребра, так как для характеристики поля можно изучать на двумерной задаче, а для вершины только сформулируем результаты.
Покажем, что при выполнении (3.15) поток энергии из ребра будет равен нулю, Это обстоятельство позволяет отличать истинные источники от ребер (где поля тоже бесконечны) по просто проверяемому критерию интегрируемости энергии, а в следующем пункте увидим, что выполнение именно этого критерия до
статочно для формулировки задачи дифракции. Доказательство основано на том, что вблизи ребра можно в явном виде записать решения уравнений Максвелла. Так как условие (3.15) является локальным свойством окрестности особой линии, т. е. ие зависит от кривизны ребра, то достаточно рассмотреть прямолинейное ребро (клин), свойства которого не зависят от координаты 2 вдоль ребра, и поля, для которых d/dz = 0. Мы подробно рассмотрим только металлический клин, для которого поля находятся в явном виде.
Совместим ось z с ребром: уравнения металлических поверхностей будут ф = 0 и ф == тл (рис. 3.1). Полуплоскости соответствует значение параметра т = 2; для всех клиньев т ^ 2. Уравнения Максвелла при d/dz = 0 распадутся на две группы (подробнее см. п. 5.1). В одной из них отличны от нуля три компоненты £z, "隼，НГ, во второй отлична от нуля тройка HZl Ftp, Er — аналогично ситуации, описанной в п. 2.4, где, однако,
волновому(3.17)(3.18а)(3.19)волновому(3.17)(3.18а)(3.19)30 УРАВНЕНИЯ И ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ УСЛОВИЯ ГГЛ. I выделенной координатой была не 当 а угол ср. Рассмотрим обе поляризации отдельно. .
волновому
(3.17)
(3.18а)
(3.19)
волновому
(3.17)
(3.18а)
(3.19)
Компонента Ez ——декартова, вона удовлетворяет уравнению *
A旦+奴邑=0,
а Н隼 н 乩 получаем из Ez дифференцированием: ik dr * "尸_ik ^ф .
Общее решение (3.17) имеет вид суммы:
Ez^^AmJtn (6г) + Вт睜(6r)] sin ⑺屮 + а).
Мы пользуемся здесь методом разделения переменных, который подробно изложен в гл. II. Согласно этому методу потребуем, чтобы граничное условие на металле при 屮=0, <р — тл
邑=0 (3.20)
выполнялось почленно. Из (3.20) следует, что в (3.19) а = 0, а числа /п могут принимать значения из ряда 1/т, 2/т и т. д. Наименьшее из них назовем /По = 1 /т. В частности, для полуплоскости /л。= 1/2, для любого другого металлического клина Ото > 1/2.
Вблизи ребра клина 6『« 1. При малых значениях аргумента цилиндрические функции с точностью до несущественных множителей равны： функция Бесселя /«(^r) ^ (Ar)m и функция Ханкеля Н^ (kr) а：(々尸)一，
Если в разложении (3.19) присутствует член, пропорциональный функции Ханкеля, то интеграл (3.156) расходится. Действительно, даже для наименьшего допустимого т, т. е. для По,旦〜尸Т "ф 〜「Tm+D, Нг〜尸(侬+" и интеграл (3.156) имеет вид ，/—(2^。+】)dr, т. е. расходится (*). Следовательно, условие (3.156) исключает возможность присутствия в поле второго слагаемого в (3.19).
Рассмотрим порядки величин полей, получающихся из (3.19) при Вт = 0. Старшие члены в полях соответствуют т = т^. Старший член в электрическом поле Ez 〜 гт^ В магнитном поле Нг и 77(р старшие члены согласно (3.18) имеют порядок ]〃i-叫 для любого выпуклого клина (т > 1), т. е. при /п0 V 1, магнитное поле имеет особенность. Соответствующая особенность в плотности энергии интегрируема, так как в ней подынтегральная функция после умножения на dS имеет вид 尸~"一27n“， т. е. она слабее, чем l/尸； тем более она интегрируема для слагаемых в (3.19) с m > So.
Наиболее сильная особенность поля имеет место вблизи полуплоскости. Компоненты магнитного поля Нг и Нф 〜 1/<彳, плотность магнитной энергии 〜1/г. Поверхностная плотность тока А имеет ту же особенность, что и Нг — при этой по1яриза- ции (электрическое поле и ток параллельны ребру) она растет при приближении к ребру как 1/Vr ■
Теперь легко показать, что поток энергии через любую поверхность, окружающую ребро, равен нулю. Возьмем цилиндр малого радиуса, окружающий ребро. Входящие в радиальную компоненту вектора Пойнтинга компоненты полей Ez и Н$ пропорциональны соответственно rm° и 1/г"叫 их произведение пропорционально r2mi-1, интеграл по дуге радиуса 尸 имеет порядок 产％ т. е. стремится к нулю при г->0. Вещественная часть этого интеграла, т. е. поток энергии, не зависит от радиуса цилиндра, следовательно, она равна нулю.
Таким образом, если в окрестности особой линии выполняется требование (3.15), то поток энергии из нее равен нулю. Обратное, вообще говоря, не имеет места — в конце п. 3.2 были упомянуты ситуации, когда поток энергии равен нулю несмотря на наличие сильных особенностей, таких, при которых плотность энергии неинтегрируема. Поэтому нельзя различать поля, соответствующие линейным источникам, и поля, соответствующие ребрам, по тому, отличен ли от нуля поток энергии. Эти два типа особых линий поля отличаются характером интеграла от плотности энергии — сходится он или нет.
Для второй возможной поляризации (отличны от нуля только компоненты Нг, Егг Е^ рассуждения почти полностью повторяются. Волновому уравнению удовлетворяет компонента HZt и она может быть представлена рядом (3.19), к которому надо еще добавить постоянное слагаемое. Компоненты £г, Еф получаем из 〃z дифференцированием по формулам, аналогичным (3.18а):
与=一金净，邑=击蹦(3/86)
Граничное условие (равенство Ег нулю при <р = 0 и при qp = тл) дает в (3.19) а = л/2, а для /и получаем тот же ряд возможных значений, начинающийся с /по = 1 /т. Слагаемое с функцией Ханкеля исключается условием (3.15а). Особенность при г->0 имеет в этом случае электрическое поле, пропорциональное 1/г"叱 плотность поверхностного заряда пропорциональна £\. Ток, пропорциональный Hz, не имеет особенности. Например, для полуплоскости (т0 = 1/2) при этой поляризации (магнитное поле параллельно ребру, ток ему перпендикулярен) 1Г 〜 const + V^ заряд 〜 1/Vr • Токи, связанные с по-
стоянным слагаемым в Hz, с обеих сторон направлены в противоположные стороны, так что в суммарный (по обеим сторонам поверхности) ток они не входят, и он пропорционален . Доказательство отсутствия потока энергии производится таким же методом.
Те же соображения позволяют утверждать, что и для скалярной задачи условия (3.16) гарантируют отсутствие потока энергии. Таким же образом, т. е, выписывая явное решение волнового уравнения, можно показать, что и для острия (вершина конуса или пирамиды) условия (3.15) и (3.16) обеспечивают отсутствие потока энергии. Фактически можно выписывать решение более простого, чем волновое, уравнения, получающееся при отбрасывании в (3.17) члена, пропорционального А2. Решения такого уравнения при малых значениях 左г близки к решению волнового уравнения, а наши построения использовали лишь вид поля при малых kr.
Все это рассмотрение переносится на диэлектрический клин или на несколько клиньев из разного материала с общим ребром. Некоторое усложнение состоит в том, что граничные условия приводят для числа /п0, определяющего порядок возрастания перпендикулярных к ребру (поперечных) компонент полей (пропорциональных l/r1"^0)» не к явной формуле mQ = 1 /т, а к некоторому трансцендентному уравнению. Для простого случая одного клина оно имеет вид
sin 冗恤 士 :二;sin л?по(1 -工)=0, (3.21)
где два знака соответствуют двум поляризациям. Это уравнение может быть получено рассмотрением задачи о клине в длинноволновом пределе, т. е. методами электростатики. Переход к электростатике для диэлектрических тел рассмотрен ниже в п. 19.5. Требование конечности интегралов (3.16) вновь приводит к тому, что компоненты Ег и Нг при 0 остаются конечными. Уравнения, аналогичные (3.21), получаем и для случаев, если общее ребро имеют несколько клиньев. При этом поперечные компоненты могут при г->0 обращаться в бесконечность даже быстрее, чем для металлической полуплоскости, так как т0 может оказаться меньше 1/2. Однако решение этого трансцендентного уравнения положительно, т, е. для любых диэлектриков и любых углов то > 0, а этого достаточно, как мы выяснили, и для интегрируемости плотности энергии, и для отсутствия потока энергии.
Бесконечно удаленные точки. Если область пространства, в котором ищется поле, велика, а влияние далеко расположенных тел мало, то удобной идеализацией становится представление о бесконечно удаленной области пространства. Согласно
этой идеализации все токи и все тела расположены на конечном расстоянии от начала координат, а вне некоторой сферы конечного радиуса находится открытая бесконечная область. Отсутствие вне этой сферы сторонних и индуцированных токов означает, что на нее извне не могут приходить какие-либо волны. Точнее, если радиус сферы а порядка размеров тел, их расстояния друг от друга и длины волны, то требование ——вне этой сферы нет источников и тел — приводит к тому, что при р》《 должно выполняться асимптотическое равенство：
〃 = 尸(8, Ф)[1 +О(а/р)].(3.22а)
Для электромагнитного поля аналогично
= —■ ^ ■尸 1 (8,屮)口 + О (a/p)J,
…(3.23)
J = % =&(e, ^[i+ош]-
Функции F,尸 1 и 尸2 не задаются этими условиями, они находятся из решения конкретной задачи.
Этим условиям иногда придают другую форму, математически эквивалентную, образуя такую комбинацию полей, которая быстро (быстрее 1/р) убывает с ростом р. Для скалярного поля условие (3.22а) может быть записано в форме (#)
lim р (du/dp + iku} = 0,(3.226)
и аналогичным образом преобразуется (3.23).
Условия (3.22) и (3.23) называются условиями излучения Зоммерфельда, который впервые указал на необходимость формулировать условия на бесконечности. Эти условия исключают существование приходящих извне (из бесконечности) сферических волн, т. е. волн, поля которых имели бы вид ехр (/Ар) /р.
Простого требования, чтобы поле стремилось к нулю при р —> оо, недостаточно, чтобы исключить эти приходящие волны. Ситуация была бы проще, если бы идеализацию — все тела и токи расположены в конечной области — дополнить условием, что вся остальная, безграничная область заполнена средой с потерями. При этом поле, созданное этими токами и телами, стремилось бы к нулю при р -> оо. Поля же, созданные бесконечно удаленными источниками, либо равны нулю в конечной области пространства, либо неограниченно возрастают при р + + оо. Таким образом, если бы в принятой идеализации бесконечной области бесконечная среда имела бы потери, то условие
Р. Б. Ваганов, Б. 3. Каценеленбаум
обеспечивающее отсутствие полей, созданных бесконечно удаленными источниками, было бы просто:
lim и = 0.(3,24)
什8
Более удобным, чем введение безграничной среды с потерями, оказывается введение понятия комплексной частоты (точнее——комплексного волнового числа 月).Так как закон измене
ния фазы и амплитуды уходящих волн определяется множителем ехр (——力月<8 р), то вместо того, чтобы вводить комплексное в, проще считать комплексным 左：
h = h' + 访"，月"< 0.h = h' + 访"，月"< 0.(3.25)(3.25)
h = h' + 访"，月"< 0.
h = h' + 访"，月"< 0.
(3.25)
(3.25)
Тогда поле уходящей волны будет с ростом р убывать по закону ехр(6〃р) и будет удовлетворять (3.24), а поле приходящей волны не будет удовлетворять (3.24). Условие (3.24) при 0〃 V 0 называется принципом предельного поглощения. При его использовании вся задача дифракции сначала решается при 左〃 < 0, в частности, ставится требование (3.24), а затем совершается предельный переход 0.
Условие (3.24) исключает приходящие из бесконечности волны и при ситуациях несколько более сложных, чем описанные в начале этого пункта, и потому шире условия Зоммер- фельда (3.22), (3.23). Пусть какое-либо тело само уходит на бесконечность, как, например, в задаче о бесконечной импедансной плоскости. Тогда поле содержит не только уходящие сферические волны, но и уходящие плоские волны, и условие Зоммерфельда следует дополнить требованием, исключающим приходящие из бесконечности плоские волны. Условие же (3.24) не требует никакого расширения, ибо соображения о различном поведении приходящих и уходящих волн при 6" V 0 справедливы и для плоских волн, и при 力" V 0 условие (3.24) достаточно.
Далее будем пользоваться более простыми в конкретных задачах условиями Зоммерфельда (3.22а) и (3.23) и не будем считать k комплексным.
Теорема единственности
Задача, которая решается в теории дифракции, состоит в нахождении поля в заданной системе тел при заданных сторонних токах. Во многих методах решение сначала каким-либо образом конструируется, а затем производится проверка того, что это решение удовлетворяет всем условиям задачи. При этом возникают два вопроса. Во-первых, всегда ли задача разреши-
ма, т. е. всегда ли существует решение, удовлетворяющее этим условиям. Во-вторых, единственно ли это решение. Прежде, чем решать какую-либо конкретную задачу, нужно быть уверенным в положительном ответе на оба эти вопроса.
Первый вопрос ——о существовании решения ——означает: не слишком ли много поставлено условий, нет ли среди них лишних, противоречащих остальным. Второй ——о единственности — означает: не слишком ли мало поставлено условий, достаточно ли их, чтобы выделить решение.
Будем анализировать только теорему, отвечающую на второй вопрос — теорему единственности. Теорема существования — в простейшей формулировке ——состоит в том, что при тех же условиях, которые сформулированы в теореме единственности, решение действительно существует, так что эти условия необходимы и достаточны для существования решения, притом единственного.
В последнем пункте параграфа рассмотрим вопрос о неявном задании сторонних токов, в частности, постановку так называемой граничной задачи. Вопрос этот логически близок к рассуждениям, приводящим к теореме единственности.
Среда без особенностей. Начнем с простейшего случая. Пусть ц s 1, а в — непрерывная и всюду конечная функция, т. е. нет границ раздела, в том числе импедансных поверхностей или металла, нет ребер л вершин. Кроме того, пусть всюду е"哪 О, так что, в частности, поле не проникает в бесконечно удаленные области пространства. Это последнее предположение также существенно упрощает доказательство.
Таким образом, мы в этом пункте рассмотрим ситуацию, когда нет тех идеальных объектов, которые были введены в §§ 2, 3. Теорема единственности доказывается при этом совсем просто. Однако надо иметь в виду, что практически во всех конкретных задачах применяются какие-либо из упомянутых идеализаций.
Начнем со скалярного волнового уравнения (1.19). Достаточно доказать, что однородное уравнение
Ли + А2ви = 0 (4.1)
имеет только нулевое решение. Действительно, если бы неоднородное уравнение (1.19) имело бы два различных решения, то их разность удовлетворяла бы (4.1); доказав, что для (4.1) 〃三 0, покажем, что (1.19) не может иметь различных решений. Это рассуждение будет использовано и далее; вместо теоремы единственности будем доказывать, что однородное уравнение имеет только нулевое решение.
Доказательство теоремы единственности основано на рассмотрении соотношений, существующих между квадратичными
величинами полей, удовлетворяющих (4.1). Применим первую формулу Грина
\ (V<₽V2 + <pAW)aU—\ ①需dS = 0(4.2)
к бесконечной области, положив (р = и,屮=—ц*. Получим
^^\u^dV ~^\4u^dV + \u^-dS = Q).(4.3)
Возьмем от этого равенства мнимую часть:
^’yiuEdP + Im,"舞 dS = Q.(4.4)
Мы уже рассматривали соотношение этого вида в конце п. 1.6. Интеграл по бесконечно удаленной поверхности равен нулю, так как в среде с потерями поле на бесконечности убывает экспоненциально, т. е. быстрее, чем растет область интегрирования. Так как в объемном интеграле согласно нашему предположению е" ни в одной точке не равно нулю, то 〃三 0, что и доказывает наше утверждение.
Формула (4.4) представляет собой запись закона сохранения энергии для решения уравнения (4.1). На бесконечность энергия не уходит, притока энергии нет, плотность потерь энер- гииа«л)и|2 равна нулю, и при е" =/= 0, 〃 = 0.
Такой же вывод для однородных уравнений Максвелла для разностного поля
rot Н ——iheE = 0, rot Е + ikH = 0,(4.5)
основан на векторном аналоге формулы (4.2):
(<prot 屮一^ rot <р) dV — \ 伸屮]a dS = 0.(4.6)
Положив ф = E, q> = —Л* и используя (4.5), получим
ik\&\E^dV + ik^\H^dV + \ [£JF]W dS = 0.(4.7)
Возьмем от этого равенства вещественную часть:
A J e^l £ pdy + Re J [EH*}n dS = 0.(4.8)
Это есть запись закона сохранения энергии при отсутствии источников и при 卩"=0. Повторяя то же рассуждение, что и после (4.4), найдем, что Е = 0 и согласно (4.5) Н = 0, что и доказывает единственность решения уравнений Максвелла в этом простейшем случае.
Общий случай. Для того чтобы доказать, что разностные поля равны тождественно нулю и при наличии особых поверхностей, линий и т. д., мы могли бы обобщить результаты предыдущего пункта, используя соображения, приведенные в п. 1.4, т. е. проследив за предельными переходами, приводящими к появлению этих особенностей. Проще, однако, провести доказательство непосредственно, т. е. предполагая, что идеализации уже приняты.
Мы должны доказать, что если функция и удовлетворяет в объеме однородному уравнению (4.1), на границах раздела — условиям (2.15),
а) 〃⑴一〃⑵=0, б) di/l]/dN — du^jdN = 0, (4.9)
на импедансных поверхностях S^ ——условию (2.18),
(4.10)(4.10)以 + ⑪ du/dN = 0
(4.10)
(4.10)
(7V направлено в тело), на ребрах Майкснера (3.16) и на бесконечности — (3.22), то во всем объеме 〃三 三0. Функция &" не обязательно отлична от нуля всюду, в частности—вне некоторой сферы достаточно большого ра-
и вершинах ——условию условию Зоммерфельда
диуса е"三 I основано на (4・3).
Для того смысл, ПОЛЯ
0. Доказательство анализе формулы
чтобы она имела либо не должны
иметь особенностей, либо особенности должны быть не слишком сильными: такими,
Рис. 4.1. Поверхности интегрирования S.
чтобы интегралы существовали. Это обеспечивается (3.16) и, по существу, служит оправданием того, что именно ления истинных источников от
эти условия выбраны для отде- особенностей поля на ребрах и
вершинах.
Интегрирование в (4.3) производится по области (рис. 4.1), снаружи ограниченной Sr, внутри — поверхностями, импедансными S®, металлическими (w= 0 и w — оо) и диэлектрическими Se. Кроме того, такой же интеграл надо взять по области, занятой диэлектриком и снаружи ограниченной поверхностью，Se. Применять (4.3) сразу ко всему объему нельзя, поскольку волновое уравнение справедливо только в областях, где 8 непрерывна. Затем надо сложить равенства (4.3), полученные при интегрировании по обеим областям. При этом поверхностный
интеграл по обеим сторонам поверхности раздела берется дважды. Множитель и в обоих интегралах согласно (4.9а) одинаков, множитель дС[dN имеетв согласно (4.96) противоположный знак, так как направление нормали с обеих сторон в (4.96) одно и то же, в (4.3) — противоположное. Поэтому оба интеграла компенсируют друг друга, т. е. условия (4.9) обеспечивают отсутствие интегралов по поверхности раздела.
Интегралы по поверхности металла (з = оо или 0) тоже выпадают. Мнимая часть (4.3) будет содержать объемный интеграл, интеграл по удаленной сфере Sr и интеграл по импедансной поверхности Sw:
—J ^&,r\u^dV + Im 5 u -^ dS + Im、〃需dS = 0. (4.11)
Сумма энергии, теряемой в области, уходящей на бесконечность и уходящей в импедансную поверхность, равна нулю. Согласно (3.22а) второе слагаемое равно -^ ^ | F р dQ, где dQ — элемент телесного угла; неотрицательность этого слагаемого следует из условия на бесконечности также и при записи этого условия в форме (3.226). Согласно (4.10) третье слагаемое равно —侬"、丨 du/dN I2dS. Таким образом, все три слагаемых имеют
простой энергетический смысл, и все они неотрицательны.
Дальнейшее рассуждение основано на том, что если в поле есть какие-либо источники потерь, то в этой области поле равно нулю, а тогда ——и эту часть доказательства мы опускаем — поле равно нулю всюду. Например, если есть уходящие на бесконечность волны, то третье слагаемое в (4.11) обратится в нуль, если только участвующая в (3.22а) функция F тождественно равна нулю, т. е. поле убывает на бесконечности быстрее, чем 1/р. Это следует из (4.11) также и при записи условия Зоммерфельда в форме (3.226). Можно показать, что столь быстрое убывание поля на бесконечности возможно лишь, если и = 0.
Если есть импедансная поверхность, на которой (хотя бы в части ее) з〃 V 0, т. е. на ней происходит поглощение, то из (4.11) следует, что на ней du/dN = 0, а из (4.10)—что на ней также и и — 0. А тогда ——это мы не доказываем ——поле всюду тождественно равно нулю.
Наконец, если в некоторой области е"，0, то в ней и = 0, следовательно, и Vu = 0, так что можно провести поверхность, на которой равно нулю и поле, и его нормальная производная, и, следовательно, поле равно нулю всюду.
Таким образом, система условий, упомянутых в связи с формулами (4.9), (4.10), действительно обеспечивает единственность решения уравнений (1.19). Этот же результат получается, если заменить условия (3.22) условиями на бесконечности в виде (3.24), т. е. если сначала принимать й комплексным. При этом интеграл по Sr будет равен нулю, т. е. не будет участвовать в (4.11), но при взятии мнимой части от (4.3) в (4.11) войдет еще одно слагаемое (左2)" ^ е7) u FdV, а равенство его нулю возможно только при 以=0.
Наконец, докажем теорему единственности для уравнений Максвелла, т. е. покажем, что однородные уравнения Максвелла (4.5) при условиях: на границах раздела (2.1), на импедансных поверхностях (2.5), на бесконечности (3.23), на ребрах и вершинах (3.15), и при наличии в системе каких-либо потерь энергии имеют только нулевое решение Е = 0, Н = 0.
Доказательство основано на (4.7). Участвующие в нем объемные интегралы существуют согласно (3.15). Поверхностные интегралы по границе раздела двух диэлектриков взаимно компенсируются, так как в [EH*]n участвуют только тангенциальные компоненты полей, которые согласно (2.1) непрерывны, а нормали ^ по обе стороны границы направлены в противоположные стороны. Интегралы по поверхности идеального металла равны нулю вследствие (2.8). Взяв от (4.7) вещественную часть, получим (при вещественном 左)
—珏 8"|EpdU + Re，[EH*]n dS + Re J | EH* |w dS = 0, (4.12)
где Sw — поверхность с импедансными свойствами (2.5).
Дальнейшие рассуждения тождественны тем, которые были приведены в скалярном случае по поводу формулы (4.11). Доказательство опять совершенно элементарно, если во всем объеме в" =/= 0. Если диэлектрические потери есть только в части объема, или если потери происходят на импедансной поверхности [应=应'+讷"，应"> 0; см. (2.6) ], то существует поверхность, на которой Et = 0, //f s 0, а тогда, как можно показать, во всем объеме Е 0, Н Ь.
При уходе энергии на бесконечность доказательство тоже проводится таким же образом, как в скалярном случае, и таким же образом оно видоизменяется при записи условия на бесконечности в форме принципа предельного поглощения.
Нарушение теоремы единственности, В замкнутом объеме без потерь, т. е. в закрытом резонаторе с идеально проводящими стенками, в (4.11) и в (4.12) интегралы по Sr отсутствуют, а остальные слагаемые могут быть равны нулю при
以关 О, (Е, Н) ^ 0, и это доказательство не может быть проведено. И действительно, однородное волновое уравнение и однородные уравнения Максвелла могут иметь ненулевое решение. При этом, очевидно, неоднородные уравнения будут иметь более одного решения, т. е. теорема единственности нарушается. Вообще говоря, нарушается и теорема существования, точнее —— решение существует не при всяких сторонних токах. В теории колебаний эта ситуация известна как бесконечный резонанс в системе без потерь. Она возникает вследствие введения нескольких идеализаций, которые оказываются несовместимыми——строгая монохроматичность колебаний, заданная величина сторонних токов, полное отсутствие потерь. Происходит это в данной системе тел только на некоторых дискретных частотах или, при фиксированной частоте, при некоторых значениях параметров системы.
Эти особые сочетания частот и параметров представляют значительный интерес для теории дифракции именно потому, что при них существуют решения однородного уравнения, так называемые собственные колебания. Совокупность этих собственных колебаний — например, для упомянутых дискретных частот — при фиксированных параметрах системы образуют систему функций, используемых в одном из методов решения задач дифракции (гл. III). Задача дифракции при этом решается в обычных условиях, при которых решение существует и единственно (например, при другой частоте), но используются решения, соответствующие особым условиям, когда теоремы существования и единственности нарушены.
Всюду дальше будем полагать, что в системе есть какие- либо потери или что частота такова, что решение существует и единственно.
Неявные способы задания стороннего тока. Сторонние токи не обязательно задаются в виде явно входящих правых частей уравнений Максвелла (или волнового уравнения). Пусть, например, сторонний ток расположен далеко от тела, на котором происходит дифракция. Тогда условия возбуждения удобно представить в виде задания волны, падающей на это тело. Существование такой волны означает, что полное поле не удовлетворяет условию излучения (3.22). Этому условию удовлетворяет только дифрагированное поле, которое получается, если из полного поля вычесть падающее. В такой ситуации сторонний ток задается неявно, в виде поля, которое надо вычесть из полного поля, чтобы удовлетворялось условие излуч-ения.
Таким же образом сторонний ток может быть сосредоточен в вершине или на ребре. Полное поле при этом не удовлетворяет условию интегрируемости (3.15) или (3.16). Сторонний ток задается тем полем, которое надо вычесть из полного поля
вблизи ребра или вершины, чтобы оставшееся поле (дифрагированное) этим условиям удовлетворяло.
Условия непрерывности тангенциальных компонент поля на поверхности раздела двух диэлектриков (2.1) и соответствующие условия (4.9) в скалярной задаче, как мы уже отмечали, гарантируют отсутствие на этой поверхности скрытых сторонних токов. Тем самым создается возможность и поверхностные токи задавать не явным образом, а в виде значений скачка тангенциальных компонент Е илн Н (или Е и Я) на какой-либо поверхности. Эта поверхность может и не быть поверхностью разрыва свойств среды.
Другой класс задач, в которых удобно пользоваться неявным способом задания токов, возникает, если поле ищется с одной стороны какой-либо поверхности, а источники расположены с другой. Неявное задание их состоит в том, что на этой границе——на поверхности области, в которой ищется поле ——задаются какие-либо граничные значения.
В скалярной задаче на замкнутой границе области может быть задано значение поля “
〃卜= <D(S), (4.13а) или значение производной
凱= y(S). (4.136)
В каждом из этих случаев теорема единственности гарантирует однозначность решения, так как разностное поле должно на границе удовлетворять условию и = 0 или 0〃/dW = 0, т. е. условию, обеспечивающему отсутствие притока энергии в эту область. Разумеется, однозначность требует выполнения также и всех остальных условий, обеспечивающих отсутствие других скрытых токов и существование в поле каких-либо потерь энергии.
Одновременное задание на всей ограничивающей область поверхности и 以(S), и du/dN делает задачу, вообще говоря, неразрешимой, т. е. нарушает условия теоремы существования^ произвольно заданные функции ①(S) и ^(S) в (4.13) противоречат друг другу. Действительно, задав одну из них, мы однозначно задаем поле во всем объеме, а тем самым и вторую функцию. Можно, разумеется, задать ①(S) на части поверхности, а на дополнительной части ——функцию Т (S).
В векторной задаче на замкнутой границе области может быть задана тангенциальная компонента Е или тангенциальная компонента Н. Одновременное их задание также, вообще говоря, противоречиво, как одновременное задание и и du/dN.
Явные виды решения описанных в последних четырех абзацах граничных задач приведены в § 11.
Глава III
СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ
Функции, по которым производилось разложение в методе Релея, сами удовлетворяют однородным волновым уравнениям. Мы находили эти функции разделением переменных и этим их свойством не пользовались. Однако, как будет показано в этой главе, в задачах, к которым метод разделения переменных неприменим, функции, в ряд по которым целесообразно разлагать искомые решения, можно определить именно из этого свойства, как собственные функции некоторых вспомогательных однородных задач. Ниже различным задачам дифракции сопоставим несколько таких однородных задач. Одному и тому же телу можно сопоставить различные системы собственных функций. Для каждой конкретной задачи дифракции один из возможных вариантов выбора этой системы дает наиболее удобное для исследования решение.
В задачах о возбуждении объемных резонаторов (т. е. в неоднородных задачах дифракции поля источника на резонаторе) коэффициенты разложения носят резонансный характер, и вблизи резонанса один или два члена ряда хорошо описывают все поле, особенно для высокодобротных систем. Поэтому иногда, особенно при качественном анализе, можно пренебречь остатком ряда (нерезонансным фоном), однако всегда можно численно суммировать ряд и получить значение поля при любом значении параметра, определяющего близость к резонансу.
Метод собственных частот
Начнем с известного из курсов высокочастотной 尸、；：「、】卜”」&н* намики метода собственных частот; собственные функции в нем являются решениями однородных задач, в которых роль собственного значения играет частота, точнее квадрат волнового числа
Простой пример: возбуждение закрытого резонатора; метод разделения переменных. Прежде чем детально излагать метод собственных частот, решим уже известным методом разделения переменных задачу о возбуждении изнутри полого металлического цилиндра. Для определенности выберем S-поляризацию, и = Ег, остальные компоненты поля получаем дифференцированием потенциала и. Решается граничная задача:
а) (А 十胪)〃 =f, б) и |rea = 0»(8.1)
причем токи f и свойства тела не зависят от координаты г. Задача сводится, как известно, к двумерной задаче о поле внутри окружности.
Поле представляется как ряд по функциям Бесселя; ни функции Неймана, ни функции Ханкеля использовать здесь нельзя, так как все они имеют особенность при г = 0. Полное поле ищем в виде
〃 =%。+ £ APJP (kr) cos р(р,(8.2а)
где и0——падающее поле, т. е. поле тех же источников в вакууме. На поверхности цилиндра решение удовлетворяет нулевым граничным условиям:
〃。+ Е Ар/р (左a) cos р(р = 0,(8.26)
откуда, используя ортогональность системы функций cos р(р, получаем
2л
ЛР = к(ГТ8»№)j м° cos Р屮"中・(8・2в)
Полученное таким образом решение содержит в знаменателе множитель Jp(ka), который на некоторых частотах kn обращается в нуль. На этих частотах неоднородная задача (8.1), вообще говоря, т. е. при произвольных источниках, решения не имеет. Физический смысл этого результата очевиден: мы пытались решить задачу о возбуждении колебательной системы без потерь на собственной ее частоте. Частоты, для которых неоднородная задача оказалась неразрешимой, являются характеристиками колебательной системы, в нашем примере ——внутренней области цилиндра. Одновременно именно на этих частотах имеет решение однородная задача. Использование решений однородной задачи и лежит в основе так называемого метода собственных колебаний. Мы упоминали об этом в п. 4.3.
82 Возбуждение закрытого резонатора; метод, собственных частот. Итак, решается неоднородная задача (8.1) возбуждения закрытого резонатора с идеально проводящими стенками. Сопоставим ей однородную задачу
а)(А + й„) ип = 0, б) ип |s = 0, .(8.3)
имеющую решение только при дискретном наборе собственных значений 左i,左2, ♦•♦, причем каждой собственной частоте соответствует собственная функция: 〃卜 u2, ... Собственные функции эти ортогональны (для простоты предполагаем, что нет вырождения, т, е. все собственные значения различны) в том смысле, что
unumdV = 0, 九，m,(8.4а)
где интеграл берется по объему резонатора. Эту формулу легко доказать, если умножить уравнение (8.3а) на 〃切，такое же уравнение, с заменой п на /л, умножить на и„, а затем вычесть оба получившихся равенства друг из друга, применить вторую формулу Грина
卜2 А(р — Ф A^)JV=勺(2"^ —① ^^) "S (8.5)
для ^)= ип н 中=〃小 и учесть граничное условие (8.36) и такое же условие для um (*). Функции 〃修 образуют полную систему.
Отметим, что при граничном условии (8.16) функции 〃门 всегда можно сделать вещественными. Поэтому очевидно, что из (8.4) следует также и эрмитова ортогональность:
^ unUmdV = 0, п * т.(8.46)
В однородной задаче (8.3) возможна любая нормировка собственных функций. Пронормируем их так, чтобы левая часть (8.4) была равна единице при 加=к, т. е. примем
，^n^m dP n= ^пт,(8.4в)
Функции ип и числа 左^ характеризуют тело и не зависят от того, какими источниками возбуждается поле, т. е. не зависят от /• Например, для двумерной задачи о возбуждении полого цилиндра его собственные частоты
kn = N“/a(8.6)
определяют из характеристического уравнения
厶(以) = 0，(8・7)
полученного из граничного условия (8.16); собственные колебания имеют вид произведения функции Бесселя на косинус или синус:
«п = MnJp (%〃а) cos РФ. (8.8)
Здесь п — двойной индекс, объединяющий азимутальный р и радиальный т индексы, и выписанные ниже суммы подразумевают суммирование по р и т; Мп ——нормирующий коэффициент, который получается при подстановке (8.8) в условие нормировки (8.4в).
.Вернемся к общему случаю. Решение задачи (8.1) ищем в виде ряда
以=Z 4〃%.(8.9)
п
Заметим, что в этом методе не производится выделение падающего поля, как в (8.2а). Разумеется, коэффициенты в этом ряде не совпадают с Лр в (8.2а); они зависят, в частности, от двух индексов, а не от одного, как в (8.2а). Ряд (8.9) почленно удовлетворяет граничному условию, т. е. для каждого слагаемого выполняется (8.36). Коэффициенты Ап находим из требования, чтобы ряд удовлетворял уравнению (8.1а).
Применяя к (8.9) почленно оператор А (законность этой процедуры может быть доказана) и используя (8.3а), получим функциональное уравнение, которое должно выполняться во всем объеме резонатора:
(8.10)(8.11)(8.10)(8.11)Z Ап (й2 —欣)〃“ =f, а используя условие (8.4а), найдем .
(8.10)
(8.11)
(8.10)
(8.11)
4 =在2二驚\ % "Р・
Формулы (8.9), (8.11) дают решение задачи (8.1).
Если в примере о возбуждении круга принять, что f — точечный источник в центре:
f = 62(r),(8•⑵
т. е. линейный источник, расположенный иа оси бесконечногд цилиндра, то в ряду (8.9) будут только симметричные слагаемые (р = 0):
4 = - (8.13)
так что ряд становится однократным и имеет вид
“^^ ""о(N"/°)・“^^ ""о(N"/°)・(8.14)(8.14)
“^^ ""о(N"/°)・
“^^ ""о(N"/°)・
(8.14)
(8.14)
Математический аппарат не изменится, если поле должно удовлетворять не условию (8.16), а условию
(du/ON) к = 0.(8.1в)
Тогда и собственные функции должны удовлетворять тому же условию
(du/dN) Is == 0.(8.3в)
Иными будут и собственные числа йд. Так, для круга собственные частоты будут находиться не из (8.7), а из
/р (瓦1a) = 0.(8.15)
Учет конечной проводимости стенок. Задача (8.1)——о возбуждении резонатора без потерь — не очень содержательна. Интереснее исследовать задачу о резонаторе с потерями, введя их, например, как потери в стенках, т. е. заменив (8.16) на граничное условие третьего рода (импедансное):
(u + w du/dN) |s = 0, Im t^ < 0.(8.1г)
Соответственно надо изменить и граничное условие (8.36) для собственных функций: в излагаемом методе ряд (8.9) должен удовлетворять граничным условиям почленно, т. е. для собственных функций тоже должно быть
(〃尼 + 侬 duJdN) |s = 0(8.3г)
с тем же значением w, что и в задаче дифракции. Если импеданс з зависит от частоты, то в двух последних формулах он должен быть взят на частоте возбуждающего поля (а не на собственной частоте). Условие ортогональности (8.4в) сохранится, сохранятся и формулы (8.11) для коэффициентов разложения. Однако числа kn будут комплексными:
左力=競+注工(8.16)
поэтому резонансный множитель
(公一忌)т(8.17)
ни на какой частоте не обратится в бесконечность. Если резонатор высокодобротный, т. е. потери малы, то 左Z《左% Если, кроме того, частота возбуждающих токов А близка к вещественной части собственной частоты 力工 то (8.17) может стать очень большим. Тогда в ряду (8.9)доминирующим будет один член, и частотная зависимость поля будет в основном описываться модулем (8.17), который пропорционален величине
[优一砲2+(硝2]T2.(8.18)
Найдем собственные частоты для круга с импедансным условием на окружности. Комплексное значение kn находится из трансцендентного уравнения
Jp (kna) = — wkJp(kna). (8.19)
Импеданс комплексный, поэтому и решение этого уравнения, т. е. собственная частота, должно быть комплексным. Найдем решение в предположении, что импеданс мал:
I ^w I С 1,
т. е. переход от (8.7) к (8.19) представляет собой малое возмущение. Обозначим kna = х, тогда 7Р (х)=——(w/a)x/p(x). По методу Ньютона х = р,л + б, откуда Jp (х) * Jp (卩尼)+ 6J$ (цп), где р.л удовлетворяет невозмущенному уравнению (8.7) /р(цп) = 0, так что б « —WiW/a и окончательно получаем (*)
*„ = (%/a)-(卩抻/a2) +。(*必/吟. (8.20)
Отсюда находится и сдвиг (по сравнению с идеальным металлом) резонансной частоты 加；一(цл/а) = — (цлйу7^2)> и мнимая часть собственной частоты k；=—(煤修侬"/а?). Заметим, что вещественная и мнимая части импеданса хорошего проводника равны между собой (2.6), так что смещение резонансной частоты при замене идеальных стенок металлическими равно мнимой части комплексной собственной частоты.
Формула типа (8.20) может быть получена в общем виде, т. е. для любой поверхности или контура S. Из сопоставления собственных функций задач (8.3а, б) и задач (8.3а, г) следует, что (*)
伤-(喲』…@爵栗dS 口 «X dS『，(8.21)
где индексом 《0》снабжена «невозмущенная> задача (8.3а, б). При \kw/a \ <С 1 справа можно заменить и^ и dun/dN на и^ и д凰&N, откуда и получается с учетом (8.4в) формула (*)
& =風一俞■§(■»%£ (8・22)
Для круга (8.22) переходит в (8.20).
Резонатор с диэлектриком. Метод собственных частот применим и для резонаторов с частичным заполнением диэлектриком. Для простоты будем считать, что диэлектрик однородный, т. е. 8 = const. Обозначим область, занятую диэлектриком, через Р+, остальную область между диэлектриком и стенкой
через V~ (рис. 8.1). Источник, для определенности, расположим в V-. Тогда в скалярной записи, т. е., по существу, для акустической задачи или для двумерной электродинамической задачи,
Рис. 8.1. Резонатор с диэлектриком.Рис. 8.1. Резонатор с диэлектриком.уравнения 4задачи возбуждения резонатора будут выглядеть следующим образом:
Рис. 8.1. Резонатор с диэлектриком.
Рис. 8.1. Резонатор с диэлектриком.
(Д + ^)« = 0 (U),
(△ + 后)1 (广),.
с граничными условиями на границе тела одного из двух типов:
3+ - «~) & = 0, (-^ —需)к = °*
(«+-«-)1зе = 0, (g 磊—需)[ = ()•
(8.24)
Граничные условия на поверхности резонатора будут, соответственно,
a) w Is = 0, или б) (duldN) | 5 == 0.(8.25)
Условия (8.24а), (8.25а) соответствуют двумерной задаче с Е-поляризацией (и = Ez), условия (8.246), (8.256)—с //-поляризацией (〃=%).
Вспомогательная однородная задача, которую мы формулируем, чтобы получить удобные собственные функции, описывается в этом методе уравнениями
(8.26)(8.26)а)(А + е^)«я = 0 (К),6)(△十底)^ = 0 (厂)
(8.26)
(8.26)
и теми же граничными условиями (8.24а), (8.25а) или (8.246), (8.256). Собственные функции, соответствующие различным собственным значениям 碌 ортогональны (*) в смысле
(8.27)(8.27)в \ unum dV + ^ ипит dV = 6“〃,
(8.27)
(8.27)
у+
и если искать решение в виде (8.9), то амплитуды будут
(8.28)(8.28)
(8.28)
(8.28)
Если в диэлектрике нет потерь, то резонанс бесконечный (т. е. при k — kn задача при произвольных источниках не имеет решения), если же &" V 0, то kn ——комплексно, и резонансная кривая снова описывается множителем (8.18).
Применение метода собственных частот для внешних задач; непрерывный спектр. Метод собственных частот применяют и при анализе высокодобротных открытых резонаторов, связанных с внешним пространством. Однако собственные функции внешней задачи в этом методе не только не подчиняются условию излучения, но даже возрастают на бесконечности. Так, в простейшем примере дифракции на цилиндре полное поле имеет вид ряда по функциям：
ил = Н^ (Алг) cos р(р,(8.29)
где р — целое число, а сами функции на границе удовлетворяют условию
Н(р} (kna) = 0, р = 0, 1, 2, ...(8.30)
В отличие от (5.18), где из этого же уравнения находился индекс, это условие определяет комплексные собственные частоты. Их мнимая часть оказывается такой, что Я^ (knr) -> оо, гт оо. Очевидно, что полное поле, даже если падающее поле и не удовлетворяет условию излучения, не может быть представлено в виде ряда по возрастающим функциям.
Неограниченное возрастание собственных функций имеет место для внешней задачи, т. е. если поле ищется в бесконечной области, при любой форме резонатора. Это математическое следствие уравнения (8.3а) и комплексности 左"имеет простое физическое объяснение. Собственное колебание с комплексной частотой описывает затухающий во времени процесс высвечивания. В точках, далеких от тела, поле было высвечено раньше, чем поле в близких точках, т. е. тогда, когда токи были больше. Поэтому дальнее поле больше ближнего. Система функций не полна, значит, решение задачи дифракции нельзя записать в виде (8.9).
Кроме того, ортогональность (8.4в) не существует, соответствующие интегралы расходятся. Ортогональность можно восстановить, вводя так называемое «комплексное пространством, т. е. полагая на больших расстояниях в интегралах (8.4в) радиус комплексной переменной.
Неполнота системы функций ип компенсируется тем, что к сумме в (8.9) добавляется интегральный член (интеграл по непрерывному спектру). Это слагаемое обеспечивает правильное условие на бесконечности для всего решения, т. е. интеграл тоже растет на бесконечности и компенсирует экспоненциальное увеличение слагаемых в (8.9). Внутри и вблизи резонатора интеграл невелик, и поэтому в этой области пространства сохраняются все достоинства, которые имеют решения, полученные методом собственных частот для закрытых резонаторов.
Мы не будем выписывать соответствующие формулы для открытых резонаторов, так как другие разложения, описанные в этой главе, не усложняются при переходе от закрытых резонаторов к открытым, и подтоку для открытых резонаторов предпочтительно пользоваться одним из этих методов, в которых не нужно вводить интеграл, а можно ограничиться рядом.
Собственное значение ——диэлектрическая проницаемость
В методах, описанных в этом и следующем параграфах, частота во вспомогательной задаче не является собственным значением, а равна частоте в задаче дифракции, т. е. частоте возбуждения. В качестве собственного значения в однородной задаче принимается какой-либо другой из параметров задачи дифракции.
В этом параграфе описан метод, в котором роль собственного значения играет диэлектрическая проницаемость. Такая постановка естественна, и соответствующий аппарат наиболее эффективен, если исследуется зависимость резонансных свойств системы от параметров диэлектрика, а также в задачах, связанных с измерениями диэлектрических свойств вешества.
Диэлектрик в закрытом резонаторе. Объясним метод на уже сформулированной задаче (&23), (8.24а), (8.25а) о закрытом резонаторе, содержащем диэлектрическое тело. Сопоставим данной задаче дифракции следующую вспомогательную однородную задачу, в которой сохраняются те же граничные условия (8.24а), (8.25а), а уравнения для ип в V+ и в V~ имеют вид
(А + ^2гп) tzn = 0 (*),
(A 十层)〃. = 0 (厂).
В такой постановке отличие от уравнений (8.26) метода собственных частот состоит только в том, что собственным значением является не й2, а е. При этом вне диэлектрика уравнение не содержит собственного значения.
Система собственных функций однородной задачи (8.24а), (8.25) ортогональна в том смысле, что (*)
，^t^m "丿 № 6"m (9.2)
где в отличие от (8.4) или (8.27) интеграл взят только по объему тела. Формулу (9.2) при п^= m легко доказать в предположении, что все собственные значения еп невырожденные, так же, как доказывалось (8.4). При п-m условие (9.2) вводит, как и (8.4), определенную нормировку собственных функций.
Система функций ип в отличие от системы, используемой в методе собственных частот, не полна, и, вообще говоря, по ней нельзя всюду разложить поле- сформулированной задачи дифракции. Можно показать, что эти собственные функции описывают поля, созданные токами поляризации (которые пропорциональны еп——1). Эти токи расположены в 広+, и вне диэлектрика они не передают поля, падающие на диэлектрик.
Если, однако, разлагать в ряд не полное поле, а только дифрагированное, то такое разложение всегда возможно. Точнее, обозначим через и0 поле, создаваемое теми же источниками / в пустом резонаторе. Это определение и。не совпадает с данным в гл. I определением падающего поля, которое было полем того же источника в вакууме. Поле и0 удовлетворяет уравнению и граничному условию
(厶十公)〃° = / (г- + У+),61s = 0.(9.3)
Тогда и — zz° можно разлагать по ип'
u = uQ+ £ Ллил.(9.4)
п
Этот ряд в V- (вне диэлектрика) удовлетворяет волновому уравнению (8.236), почленно удовлетворяет граничным условиям (8.24а) и (8.25а), ибо этим условиям удовлетворяет и 〃°, а коэффициенты Ап находим из требования о выполнении уравнения (8.23а). Подставляя (9.4) в (8.23а), получаем (*)
S (е — е„) и„ = (1 — е) м°.(9.5)
Это функциональное соотношение должно выполняться в V+, т. е. именно в том объеме, в котором имеет место ортогональность собственных функций, поэтому из него сразу получаем явное выражение для Ап:
5 u°undV.(9.6а)
Формулы (9.4) и (9.6а) решают поставленную задачу.
Последнюю формулу можно еще преобразовать так, чтобы она содержала не поле и0, а непосредственно создающие это поле источники / (*):
”"=(8а~Л)(；-е〃)土 S fundV.(9.66)
Вывод (9.66) из (9.6а) производят аналогично тому, как доказывается условие ортогональности, из сопоставления (9.1) с (9.3).
Резонансный множитель. Вблизи резонанса наибольшее значение в ряде имеет одно из собственных колебаний. Множитель, который выделяет в резонансных условиях одно слагаемое, в методе этого параграфа имеет вид
伯一%厂1. (9.7)
Он хорошо описывает изменение поля при изменении диэлектрической проницаемости тела, внесенного в резонатор. Если е —— вещественно, то возможна ситуация, при которой 8 == 8Л, и решение не существует, точно так же, как и при ^ = &п в методе собственных частот. Если меняется частота, то в зависимости от нее меняются числа еа = 2口 (左),и тот же знаменатель описывает и этот процесс. Вблизи резонанса поле хорошо описывается двучленной формулой
〃 а 〃。+ Апип. (9.8)
В этой формуле второе слагаемое определяет резонансную часть поля ——собственное колебание, близкое к резонансу, амплитуда которого очень велика.
Первое слагаемое в (9.8), поле 〃°, создается, как уже говорилось, источниками в пустом, без диэлектрика, резонаторе. В этом методе оно частично суммирует нерезонансный фон, т. е. излучение, наполняющее резонатор и пространство, помимо резонансного поля. Особенно существенно это слагаемое для представления полей вблизи источника.
Если диэлектрик обладает потерями (2 = £‘ + ；£〃, 2〃v0), то это никак не скажется на собственных значениях ert. Они по-прежнему будут вещественными (если, как в нашей задаче, других потерь кроме диэлектрических нет). Они вообще не зависят от в задачи дифракции ——эта величина не входит в формулировку вспомогательной задачи. При изменении е резонанс наступит при е'= еп, а резонансная кривая будет иметь вид
[(%一件+(8〃)2尸/2. (9.9)
В отличие от метода предыдущего параграфа комплексность в резонансный знаменатель здесь входит не в собственное значение Ап, а в параметр задачи дифракции (е).
Диэлектрик в резонаторе с неидеальными стенками или излучением; тело с £〃 генерирует энергию (во вспомогательной задаче). Ничего принципиально не изменится, если стенки резонатора будут неидеальными, т. е. если граничные условия будут не (8.25а), а (8.3г). То же граничное условие надо будет наложить и на ил, и на и0. Однако собственные значения ел уже
не будут вещественными, причем, как легко показать (*),
8п>0.8п>0.(9.10)
8п>0.
8п>0.
Напомним, что для поглощающих тел е" V 0 (1.3).
Если резонатор открытый (рис. 9.1), то и на решение 〃，и на собственные функции 〃门,и на поле и0 надо наложить еще условие излучения. В этом методе частота в условии излучения вещественна, соответствующие функции ип этому условию удовлетворяют, и именно с
этим, по существу, связано то обстоятельство, что / 〃Т\\
к ряду (9.4) не надо—/ /*、
как в методе § 8 — до-/( & /i .
бавлять интегралы. Все j4
эти соображения, а так- 、/( М
же и формулы, написан-е=/I е I
ные выше, сохраняются, если резонатора вообще一
нет, т. е. речь идет о ди~ Рнс. 9.1. Открытый резо- Рис. 9.2. Дифракции на диэлектрине- натор с диэлектриком. электрическое ском теле s вакууметело.
(рис. 9.2). Аппарат легко сообщается на случай, если источники расположены не только в V~, но и в самом диэлектрическом теле V+.
Собственные колебания имеют и самостоятельное физическое значение, хотя это и не используется при решении неоднородных' задач. Они описывают электромагнитное поле, колеблющееся с заданной частотой в заданной системе металлических и диэлектрических тел ——такое колебание возможно только при определенных значениях диэлектрической проницаемости. Формула (9.10) имеет простой физический смысл ——если в системе есть потери, например потери в стенках или на излучение, то незатухающие колебания при отсутствии источников возможны только при условии, что диэлектрик излучает энергию при помещении в поле, т. е. если мнимая часть его диэлектрической постоянно頁 положительна.
Собственное значение еп входит в двустороннее граничное условие. Сформулируем однородную задачу для собственных функций, пригодных для решения задачи дифракции, в которой на поверхности диэлектрика должны выполняться граничные условия (8.246), сами содержащие значение диэлектрической проницаемости. Однородная задача описывается теперь уравнениями (9.1) и граничными условиями
(党—Un)|se —0,
(1 5«+ 师)
(9.П)
в которые также вместо истинного е введено собственное значение е„. Граничное условие (8.25) на поверхности резонатора или условие излучения мы не выписываем ——им должны удовлетворять и функция 〃，и функциилип,汉°.
Собственные функции задачи (9.1), (9.11) ортогональны в смысле
(9.12)(9.12)в виде (/A +в виде (/A +)V〃/1V〃/n dP = 0,九-/~ т,
(9.12)
(9.12)
в виде (/A +
в виде (/A +
v+
что легко получить, записав уравнение (9.1а)
+胪)+胪)un = 0, произведя обычные преобразования с этим урав
+胪)
+胪)
нением и таким же уравнением с заменой п на m и воспользовавшись тождеством ит \ип = ^{ит V«n) — V«m Vw« (*).
Ряд (9.4) удовлетворяет уравнению (8.236) и первому из граничных условий (8.246) при любых значениях Лп. Эти коэффициенты находят из уравнения (8.23а) и второго граничного условия (8.246), которые дают, соответственно, в V+ условия (9.5), а на Se — функциональное соотношение
2 A"(；-±)翳=(1(9.13)
Из (9.5) и (9.13), учитывая условие ортогональности (9.12), можно получить
4=七‘二J \\ (v«„)2 dv] '.(9.14)
Для вывода этой формулы надо (9.5) и (9.13) умножить на 〃小, проинтегрировать, соответственно, по Р+ и по S8 и сложить полученные выражения. Преобразуя первый из этих интегралов, получим явное выражение (9.14) для Ап. Из числителя формулы (9.14) так же, как и из числителя формулы (9.6а), можно удалить и0, выразив Ап непосредственно через Д как в (9.66) (*).
Таким же образом, для того чтобы записать однородные уравнения, порождающие системы собственных вектор-функций, по которым можно разлагать дифрагированное поле для векторных задач, надо в уравнениях Максвелла и в граничных условиях задачи дифракции отбросить возбуждающие токи и заменить е на е„. Этот метод обобщается на задачи дифракции на неоднородном диэлектрике, на теле, в котором 从鼻 1, е = 1 (тогда, очевидно, надо ввести 从卄),и т. д.
Пример: резонанс в диэлектрическом цилиндре. В качестве примера рассмотрим задачу о диэлектрическом круге в вакууме. Собственные функции легко находятся в явном виде: а) 〃^ = /р (VMr) cos р<р, б) ип =包(甑？吟(々г) cos Р屮.
"候。)(9.15)
Здесь wn описывает поле внутри цилиндра, т. е. при г V а; 〃壊 —— поле вне цилиндра; п ——двойной индекс (р, т); множитель в (9.156) выбран таким образом, чтобы выполнялось первое из граничных условий в (8.24а) и (8.246) при г — а. Собственные числа е„ являются корнями трансцендентного уравнения; это уравнение, очевидно, различно для (8.24а) и (8.246). Например, для (8.246), т. е. для (9.11), оно имеет вид (*)
4 (V^a)/VMp (^„ka) = Hf (ka)/Hf (^a).(9.16)
Отметим, что уравнение для собственных частот kn в методе собственных частот получается такое же, но в нем следовало бы заменить частоту k на собственную частоту 々小 а е„ на в. Уравнение для 左"сложнее, чем уравнение (9.16) для ея, в котором правая часть есть заданное число. Это усложнение уравнения для kn по сравнению с уравнением для е„ связано с тем, что в волновое уравнение для ип вне тела собственное значение метода собственных колебаний kn входит (8.26), а собственное значение метода этого параграфа е„ не входит (9.16). Однако главное достоинство не в простоте уравнения, а в том, что все собственные функции удовлетворяют условию излучения и, в связи с этим, в том, что их система достаточна, чтобы представить дифрагированное поле без интегрального слагаемого.
Будем рассматривать собственные функции с невысокими азимутальными индексами р, т. е. колебания, при которых стоячая волна состоит из двух волн почти радиального направления.'
Мы будем рассматривать задачу дифракции при условии е» 1,(9.17)
когда существуют высокодобротные 《запертые》колебания. Поэтому будем искать большие по модулю значения £门.Положим р《々а д/ё?—
При больших \ka V8n I из (9.16) следует, что величина ka V^ близка к корню функции /；(2). Обозначим т-宜 корень через 匕(/р(Нп) = о) и положим
ka Ve^ = цл + d (g„ » 1, [ д К I).(9.18)
Ограничимся вычислением поправки б в старшем по l/卩江 порядке малости. Этого достаточно для грубого определения резонансных условий и для нахождейия добротности.
Подставим (9.18) в (9.16) и, отбрасывая члены старших порядков, найдем 6 = —Ь/цп, где b (*):
b = kaHf (ka^H^ 优а).(9.19)
Таким образом, мы нашли формулу для больших по модулю собственных значений:
е„ в 圖伊* — 2bMM伍а)?.(9-20)
Соответственно (9.10) вл в этой задаче комплексно.
Из (9.7) и (9.20) легко получить обычную резонансную кривую, т. е. зависимость множителя [е ——е〃(宜)]一】от k. Резонансная частота, при которой множитель (9.7) максимален, при условии слабой зависимости 8纟(左) от частоты, определяется уравнением
改他)一/=0,(9.21)
(9.22)(9.22)причем максимум этого множителя равен 体一2〃)Т.
(9.22)
(9.22)
Отсюда находим приближенное значение резонансной частоты (*)
厩У Re" 吟 Re GO'(9.23)
а максимальное значение множителя (9.2) приближенно равно (*)
(一笠—(9.24)
Оба слагаемых в скобке (9.24) положительны. Они соответствуют двум типам потерь — потерям на излучение (первое слагаемое) и потерям в диэлектрике (второе).
Несложно найти полуширину 3左 резонансной кривой. Она определяется из уравнения
I < (& + 6々)一е；(亂)| = * (&) - е"，(9.25)
откуда добротность диэлектрического резонатора (*)
С 无以 论"丨da 2 (左)/d左I/q ncЧ
(9.27)(9.27)Для нашего примера — цилиндра (*)
(9.27)
(9.27)
Q=专，(力户)+ M (亂叫咚
В этой формуле учтены только потери на излучение и в явном виде выписана Im 6. Добротность Q рассматриваемых колебаний имеет порядок диэлектрической проницаемости тела.
Можно получить и другую, несколько необычную, резонансную кривую, положив постоянной частоту. Если при 内 = const изменять диэлектрическую проницаемость е, то при некотором значении е = еп наблюдается резонанс. Продолжая изменять е, можно определить ширину резонансной кривой и, следовательно, величину, которую тоже можно назвать добротностью. Мы не будем выписывать соответствующих формул. Скажем только, что добротность Q& (при фиксированной частоте 左)и Q在(при фиксированной е) различны, причем первая в два раза меньше второй: Qk = 2Qg.
Мы р-ассматривали колебания с малыми р. В принципе, можно исследовать и колебания с высокими р, т. е. колебания «шепчущей галереи», состоящие из волн, обегающих цилиндрическую поверхность изнутри и отражающихся от границы под скользящим углом. Вне цилиндра это колебание убывает почти экспоненциально. Такие колебания могут быть высокодобротными и при небольших |в|, но при больших ka.
Собственное значение — импеданс стенки
В предыдущем параграфе при формулировке вспомогательной однородной задачи был введен собственный параметр — диэлектрическая проницаемость еп. Здесь рассмотрен еще один из возможных вариантов метода; в нем собственным значением является импеданс стенки. Исследуется дифракция при любом импедансе. Импеданс зависит от структуры стенки, его мнимая часть характеризует потери в поверхности неидеального проводника. Если частота k фиксирована и нужно проследить зависимость поля от импеданса, то наиболее подходящим является именно этот метод.
Собственней импеданс; задача дифракции с нулевым импедансом. Вернемся к первой задаче § 8 — о возбуждении закрытого пустого резонатора с идеальными стенками (8.1). Сопоставим ей вместо (8.3) другую однородную задачу:
а) (А + &2) ип = 0, б) (ип + wn duJdN) |s = 0. (10.1)
В этой задаче собственным значением является коэффициент в граничном условии третьего рода wn, или, что то же, импеданс стенки. Математические особенности такой однородной задачи для замкнутой области, когда собственным значением является коэффициент в граничном условии третьего рода, исследованы в работах В. А. Стеклова, и весь импедансный метод следует назвать методом Стеклова.
Функции ип ортогональны на поверхности (а не по объему). Из (10.1) следует, что (опять — при отсутствии вырождения)(总)
\ ипит d« =0,т.(10.2)
что доказывается так же, как и (9.2).
Дифрагированное поле во всем пространстве может быть разложено по системе функций %& Обозначим через “° поле тех же источников в вакууме, тогда и — и0 можно разложить в ряд по ил:
« = «° + Е Апип.(10.3)
В отличие от (8.9) и (9.4), где суммирование в трехмерной задаче производится по трем индексам, индекс и в (10.3)——двойной, а в двумерных задачах сумма в (10.3)——однократная. Это получается, по существу, потому, что функции определяются своими значениями на поверхности, а решения волнового уравнения определяются граничными значениями однозначно (4.13).
Ряд (10.3) удовлетворяет волновому уравнению (8.1а), и Ап находят из требования, чтобы ряд удовлетворял граничному условию (8.16) — ситуация противоположная той, из которой находят коэффициенты в (8.9); Напомним, что в методе собственных частот ряд удовлетворял граничному условию, а коэффициенты находят из требования, чтобы он удовлетворил уравнению.
Подставляя (10.3) в (8.16), получим функциональное урав- ненне
Апи^ |s = 0,(Ю.4)
справедливое на S. Собственные функции ип ортогональны именно на S, поэтому, умножая на ит и интегрируя по S, легко найти Ап. Несколько преобразуем получающуюся формулу, выражая un\s по (10.1) (*):
{dUnJd^dS
4 =*4^-•(1°・5)
Формулы (10.3) и (10.5) решают поставленную задачу (8.1).
Например, для двумерной задачи — круг радиуса а ——собственные функции (с произвольной нормировкой) равны
Пл = /р (々г) cos р(р,(10.6)
и (10.3) есть тот обычный ряд, который получился бы, если бы мы искали решение тривиальным для такой простой фигуры
методом разделения переменных, а условие ортогональности (10.2) просто означало бы ортогональность тригонометрических функций. В этой задаче явно выписывается и собственное значение -
Wn = — Jn (kd)/kJfn (to). (10.7)
Этот вариант в частном случае разделяющихся переменных дает ряды, тождественные рядам Релея, и может поэтому рассматриваться как обобщение метода Релея для задач, в которых переменные не разделяются.
Импеданс в задаче дифракции отличен от нуля. Собственные значения wn и функции ип не зависят от импеданса стенки в задаче возбуждения (дифракции), так как в уравнение (10.1), определяющее 3n и 〃门,импеданс ш не входит. Поэтому ряд (10.3) дает решение также и задачи (8.1а), (8.1г), только коэффициенты Ап будут определены не (10.5), а несколько более сложной формулой (*):
л : 1 \("°+3翳)9%/8""5
L回汕)2 ds
Если в знаменателе последней формулы разность wn ——w мала, т. е. собственный импеданс и импеданс в задаче возбуждения близки, то имеет место резонанс, и поле описывается двучленной формулой (9.8). Если w ——комплексное, то резонанс конечный, и резонансная кривая дается формулой
\w-wn(k) Г1. (10.9)
В закрытых резонаторах без потерь (или с потерями только в стенках) 5^(0) вещественно. Однако метод без каких-либо усложнений переносится на задачи, в которых есть и какие-либо другие потери, например, в материале диэлектрика или на излучение, если резонатор открытый. При этом, как легко показать (舞)，
Im wn > 0. (10.10)
Эта формула имеет тот же смысл, что и (9.10), и показывает, что однородная задача имеет самостоятельное значение, т. е. описывает физическое явление ——незатухающие колебания на заданной частоте данной системы тел. Если в этой системе есть потери, то они компенсируются выделением энергии в стенках, пропорциональной квадрату поля у стенки. .
Можно обобщить этот метод на задачи, в которых импеданс есть функция координат на поверхности.
Внешняя задача. Заметим, что применяя метод собственных колебаний в импедансной постановке для внешней задачи, получим то же решение, которое мы получили обычным разделением переменных—^разумеется, в простой задаче типа задачи о цилиндре, где переменные разделяются. Этот вариант метода собственных колебаний применим и к внешним задачам, т. е. поле дифракции может быть представлено в виде ряда. Из всех возможных методов собственных колебаний только в методе собственных частот возникают во внешних задачах, как мы уже говорили в § 8, трудности ——там приходится к ряду цо- бавлять еще интеграл.
Еще раз сформулируем задачу:
(А + ^2) и == f,« Is = 0-(10.11)
Решение ищется в виде разложения по собственным функциям
А〃“ + 奴〃"=0,(и„ + ш„ duJdN) |s = 0,(10.12)
но уже не внутренней, а внешней задачи. Такой (импедансный) метод применим и для сложных задач, где разделить переменные не удается. Единственная оговорка по сравнению с внутренними задачами — собственные функции должны удовлетворять условию излучения.>
В частном случае задачи о дифракции на цилиндре собственные функции и собственные значения имеют вид (*):
ип = Н{п (^r) cos n(p, wn = — ”^)(々仪)/々"黑(々а). (10.13)
Перенос математического аппарата на уравнения Максвелла. Как уже упоминали в начале главы, метод разложения полного (§ 8) или дифрагированного (§§ 9, 10) поля в ряд по собственным функциям легко переносится на уравнения Максвелла. Применение метода собственных частот к задачам о возбуждении закрытых резонаторов приводит к тройным рядам, причем коэффициенты разложения полей Е и Н различны, хотя и содержат один и тот же резонансный множитель, и к рядам еще надо добавлять некоторые градиентные слагаемые.
Для метода этого параграфа разложения несколько проще. Неоднородной задаче возбуждения открытого или закрытого резонатора (для простоты записи — пустого)
rotE + ikH — 0, rotif — ikE = ^-力(10.14)
с граничными условиями на стенках
(Et 一 庇儿)Is = 0,(邑 + 庇HQ к = 0,(10.15)
(где f, т — два перпендикулярных друг другу орта, касательных к S), и условием излучения (для открыты^ резонаторов) надо
сопоставить однородную задачу для собственных функций ел, Лп:
rot еп + ikhn == 0, rot% — iken = 0(10.16)
с граничными условиями на S:
%£ — 5/Л1t = 0, ел1 + wnhni = 0,(10.17)
и условием излучения, где / ——заданные токи； ш ——заданное число (импеданс поверхности), для идеального металла ® = 0. Здесь считается, что ш = const; несложно обобщить решение для переменного импеданса. Числа wn ——спектральный параметр однородной задачи, причем из закона сохранения энергии для однородной задачи следует, что Im wn 0 0; знак равенства имеет место для закрытых резонаторов (*).
Если Е°, Я0 — поля тех же токов / в вакууме, то решение дается рядами
Е = Е°+£4е“，Я = Я°+ 2 ЛЛЛ- (10.18)
В обоих рядах коэффициенты одинаковы, градиентные члены отдельно вводить не надо, они фактически включены в Е°, №. Собственные функции ортогональны на S (舞)в смысле
，(hnthmi + hnxhm^ dS = 0,压声 т, (10.19)
и для коэффициентов разложения находится явное выражение, имеющее ту же структуру, что и (10.8)(舞)：
\(E»“f-*JdS4 〃\(% + %dS\(E»“f-*JdS4 〃\(% + %dS(10.20)(10.20)
\(E»“f-*JdS
4 〃\(% + %dS
\(E»“f-*JdS
4 〃\(% + %dS
(10.20)
(10.20)
Здесь для простоты принято, что ш = 0; обобщение 必老 0 не составляет особого труда. Отметим, что решение представлено двойным, а не тройным рядом.
Другие методы собственных колебаний. Существует еще целый ряд возможностей сопоставить данной задаче дифракции какую-либо однородную задачу и воспользоваться порождаемой ею системой собственных функций для разложения дифрагированного поля в ряд. В качестве собственного значения в этих однородных задачах можно выбрать, например, элементы матрицы рассеяния. Для этого надо представить поле на больших расстояниях от тела (речь идет о возбуждении открытых резонаторов) в виде суммы приходящей и уходящей волн с совпадающими (с точностью до комплексного сопряжения) угловыми зависимостями и рассматривать отношение амплитуд этих
волн как собственное значение. Задача о возбуждении открытого резонатора, в котором нет иных потерь, кроме потерь из-за излучения, сводится к вещественнбму интегральному уравнению второго рода, и именно дЛя таких задач этот метод особенно удобен. Возможен еще вариант метода собственных колебаний, удобный при наличии бесконечно тонких экранов, в частности, полупрозрачных, не обязательно замкнутых, в котором прозрачность экрана рассматривается как собственное значение.
Если потери сосредоточены только в одной области (в диэлектриках, в стенке, на излучение) — целесообразно выбрать такую однородную задачу, в которой собственным значением является величина, ответственная за эти потери (8, ш, элементы матрицы рассеяния или прозрачность экрана), и тогда однородная задача будет вещественной.
Таким образом, метод собственных колебаний представляет поле задачи дифракции в виде рядов по собственным функциям. Особенно эффективен метод для высокодобротных закрытых и открытых резонаторов.
В заключение отметим, что любые численные методы решения задачи дифракции для высокодобротных резонаторов требуют в резонансной области выделения резонансного слагаемого. Если такое выделение не производить, то неоднородная задача неизбежно будет плохо обусловлена именно потому, что ее условия близки к условиям однородной задачи, имеющей нетривиальное решение. Плохая обусловленность означает практическую неразрешимость задачи. Описанные в этой главе аналитические методы производят такое выделение наиболее простым и естественным путем. Во всех этих методах зависимость амплитуды главного слагаемого от резонансного параметра имеет явный вид (8.11), (9.6), (9.14), (10.8), и простыми формулами описывается также его зависимость от возбуждающего тока.
Во многих методах весь нерезонансный фон в относительно широкой полосе частот хорошо суммируется слагаемым 卫°, и формулы типа (9.8) с высокой точностью решают задачу дифракции для высокодобротных резонаторов. Ряды типа (10.3) даже для б-возбуждения хорошо сходятся (хуже всего ——в методе собственных частот, где нельзя выделить член 〃°), и спектральные методы позволяют, вообще говоря, с любой точностью вычислить полное поле.
Глава IV
ФУНКЦИИ ГРИНА И ВЫВОДИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ
В начале этой главы вводятся функции Грина. Это вспомогательные функции, которые позволяют в некоторых простых ситуациях записывать явное решение задач дифракции. Однако их главная ценность в том, что с их помощью многие задачи дифракции, сначала формулируемые в терминах дифференциальных уравнений, удается свести к интегральным уравнениям. Перечислим задачи, которые будут рассмотрены в этой главе: дифракция на диэлектрическом теле (искомой величиной является поле внутри диэлектрика); дифракция на металлическом теле (определяется ток на поверхности металла); дифракция на отверстии в металлическом экране (находится поле на воображаемой поверхности, затягивающей отверстие). По полю в диэлектрике, току на металле, полю на отверстии дифракционное поле во всем пространстве выражается уже в явном виде. Свести задачу о решении волнового уравнения к интегральному удобно, в частности, потому, что ЭВМ, вообще говоря, легче находит решение интегрального уравнения, чем дифференциального уравнения в частных производных. Кроме того, интегральное уравнение иногда имеет меньшую размерность. Особенно незначительны затраты машинного времени, если масштабы тел или отверстий меньше длины волны или сравнимы с этой длиной.
Функции Грина
Начнем с определения функции Грина, формулировки ее свойств, в частности, теоремы взаимности. Формулы этого параграфа, как правило, не решают задач дифракции, а лишь дают выражения для искомых полей через заданные токи (или граничные значения) в виде интегралов, зависящих от координат точки наблюдения, как от параметра. Ядрами интегралов являются соответствующим образом введенные функции Грина. Эти интегральные выражения позволят нам далее написать интегральные уравнения для искомых полей.
волн как собственное значение. Задача о возбуждении открытого резонатора, в котором нет иных потерь, кроме потерь из-за излучения, сводится к вещественному интегральному уравнению второго рода, и именно дЛя таких задач этот метод особенно удобен. Возможен еще вариант метода собственных колебаний, удобный при наличии бесконечно тонких экранов, в частности, полупрозрачных, не обязательно замкнутых, в котором прозрачность экрана рассматривается как собственное значение.
Если потери сосредоточены только в одной области (в диэлектриках, в стенке, на излучение) —целесообразно выбрать такую однородную задачу, в которой собственным значением является величина, ответственная за эти потери (8, 5, элементы матрицы рассеяния или прозрачность экрана), и тогда однородная задача будет вещественной.
Таким образом, метод собственных колебаний представляет поле задачи дифракции в виде рядов по собственным функциям. Особенно эффективен метод для высокодобротных закрытых и открытых резонаторов.
В заключение отметим, что любые численные методы решения задачи дифракции для высокодобротных резонаторов требуют в резонансной области выделения резонансного слагаемого. Если такое выделение не производить, то неоднородная задача неизбежно будет плохо обусловлена именно потому, что ее условия близки к условиям однородной задачи, имеющей нетривиальное решение. Плохая обусловленность означает практическую неразрешимость задачи. Описанные в этой главе аналитические методы производят такое выделение наиболее простым и естественным путем. Во всех этих методах зависимость амплитуды главного слагаемого от резонансного параметра имеет явный вид (8.11), (9.6), (9.14), (10.8), и простыми формулами описывается также его зависимость от возбуждающего тока.
Во многих методах весь нерезонансный фон в относительно широкой полосе частот хорошо суммируется слагаемым 卫°, и формулы типа (9.8) с высокой точностью решают задачу дифракции для высокодобротных резонаторов. Ряды типа (10.3) даже для б-возбуждения хорошо сходятся (хуже всего — в методе собственных частот, где нельзя выделить член 叫，и спектральные методы позволяют, вообще говоря, с любой точностью вычислить полное поле.
Глава IV
ФУНКЦИИ ГРИНА И ВЫВОДИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИИ
В начале этой главы вводятся функции Грина. Это вспомогательные функции, которые позволяют в некоторых простых ситуациях записывать явное решение задач дифракции. Однако их главная ценность в том, что с йх помощью многие задачи дифракции, сначала формулируемые в терминах дифференциальных уравнений, удается свести к интегральным уравнениям. Перечислим задачи, которые будут рассмотрены в этой главе: дифракция на диэлектрическом теле (искомой величиной является поле внутри диэлектрика); дифракция на металлическом теле (определяется ток на поверхности металла); дифракция на отверстии в металлическом экране (находится поле на воображаемой поверхности, затягивающей отверстие). По полю в диэлектрике, току на металле, полю на отверстии дифракционное поле во всем пространстве выражается уже в явном виде. Свести задачу о решении волнового уравнения к интегральному удобно, в частности, потому, что ЭВМ, вообще говоря, легче находит решение интегрального уравнения, чем дифференциального уравнения в частных производных. Кроме того, интегральное уравнение иногда имеет меньшую размерность. Особенно незначительны затраты машинного времени, если масштабы тел или отверстий меньше длины волны или сравнимы с этой длиной.
Функции Грина
Начнем с определения функции Грина, формулировки ее свойств, в частности, теоремы взаимности. Формулы этого параграфа, как правило, не решают задач дифракции, а лишь дают выражения для искомых полей через заданные токи (или граничные значения) в виде интегралов, зависящих от координат точки наблюдения, как от параметра. Ядрами интегралов являются соответствующим образом введенные функции Грина. Эти интегральные выражения позволят нам далее написать интегральные уравнения для искомых полей.
ILL Определение функции Грина; выражение для поля в пространстве через функцию Грина. ^Функцией Грина G(r, Г]) волнового уравнения л
Au (г) + k2& (г) и (г) ==f (г) (11.1) называется вспомогательная функция, используемая при решении этого уравнения, которая сама удовлетворяет уравнению с той же левой частью и с б-функцией в качестве возбуждающего тока:
ДО (г, гх) + А2е (г) G (г, г0 = б3 (г - rt). (11.2) Это уравнение не определяет полностью функцию G, нужно поставить еще условия на границе области или условия излучения. Это можно делать различным образом, т. е. вводить для одного и того же уравнения (11.1) различные функции Грина; мы вернемся к этому существенному обстоятельству ниже.
Функция 6 зависит от координат точки г, по которой производят дифференцирование в (11.2), и точки гь в которой расположен возбуждающий элементарный диполь, точнее 6-источник. В (11.2) вектор 尸1 играет роль параметра. При любых граничных условиях функция G симметрична:
G(r2j rd = G(ru /*2), (U.3) что является простейшей записью теоремы взаимности: поле в точке 尸2, возбуждаемое источником, расположенным в точке и, т.. е. левая часть (11.3), равно полю в точке гь возбуждаемому источником, расположенным в точке г2, т. е. правой части (11.3). Заметим, что так как этот результат справедлив для любой функции 8(г), то он справедлив и для разрывных или бесконечных 8(г), т. е. и при наличии границ раздела, металлических поверхностей и т. д. Для доказательства формулы (11.3) надо переписать (11.2) с заменой 门 на г2, умножить (11.2) на 6(П, г2), а вновь написанное равенство — на 6(г2, Г0, вычесть второе равенство из первого, проинтегрировать по dV и преобразовать объемный интеграл по второй формуле Грина (8.5) в поверхностный. Поверхностный интеграл равен нулю, какие бы граничные условия, одинаковые, разумеется, для G(r, ri) и G(r, r2), ни были поставлены, откуда и получаем (11.3)(舞).
Использование функции Грина для решения уравнения (11.1) тоже основано на преобразовании объемного интеграла в поверхностный по второй формуле Грина. Умножая (11.2) на и(г) и (11.1)—на О (г, и), вычитая и интегрируя по области, содержащей точку 门，(рис. 11.1) получаем, используя основное свойство (3.16). бз-функции：
乒(尸 1)=卜⑺ G(r? r^dv + § (〃翳-G器)dS・(11.4a)
Область V ограничена поверхностью S. Внутри S 以 о ▽汉 непрерывны и содержится точка Гь В конкретных задачах S должно содержать поверхность металлических тел и внешнюю поверхность, которую в некоторых случаях мы будем устремлять в бесконечность. Эта формула — основная в дальнейших построениях параграфа. В обоих интегралах справа 尸1 является параметром, который входит в G; дифференцирование и интегрирование производят по г. Применение функции Грина обычно приводит, к представлению решения в виде интеграла, зависящего от параметра..
Для двумерной задачи, заменяя в (11.2) б3 на бг и используя (3.7), получим такую же формулу с заменой dV на dS и dS на ds.
Основная формула (11.4а) показывает, в частности, что для того чтобы получить значение функции 〃(尸1), т. е. решение волнового уравнения в какой-либо точке гь надо взять функцию Грина (11.2), порождаемую источником, расположенным именно в этой точке 尸卜 Далее мы часто будем применять различные варианты этого свойства функции Грина, иногда даже относя 门 в бесконечность.
Формула (11.4а) дает непосредственно решение (11.1)', только если G подчинить тем же условиям на границе области, которым должно удовлетворять и. Например, если на поверхности S, окружающей объем и содержащей все источники,
u|s = 0(11.5)
и функция G подчинена тому же условию:
Gb = O,(11.6)
то в (11.4а) будет только объемный интеграл
〃g)=\f(，)G(r,小匕(11.46)
что и является непосредственным выражением решения (11.3) через G. Эту формулу мы уже применяли в гл. II (5.35), получив ее там из простых физических соображений.
Если на S равна нулю нормальная производная от и, и О тоже выбрано таким образом, что
WL = °>(I")
то поверхностный интеграл вновь выпадает. Он выпадает также и в том случае, если и удовлетворяет на S импедансному условию (4.10),——для этого и G надо подчинить тому же условию. Наконец, если и удовлетворяет условию излучения, то и G
должно ему удовлетворять, тогда при любом поле и тоже будет выражаться через G по простой формуле (11.46). Действительно, из того, что и и G имеют одинаковые асимптотики:
〃=尸]ехр (―彘R)/R +。(UN),G = & exp (一 ％R)十 О (1/7?2),
следует, что поверхностный интеграл Q ... dS =O(1/R), а так как он не может зависеть от R, то он равен нулю. Если в области есть границы раздела, на которых и подчиняется граничным условиям (4.9), то и G должна подчиняться этим же условиям — в противном случае в (11.46) войдут еще интегралы по этим поверхностям. Должна G подчиняться также и условиям (3.16). Если Сии удовлетворяют условию излучения, то в (11.4а) S не содержит внешней ограничивающей поверхности.
Применение формулы (11.46) позволяет считать задачу с какими-либо граничными условиями решенной (сводящейся к квадратурам), если она решена для 6-источника.
Функции Грина в вакууме, т. е. для £ 三 1, удовлетворяющие условию излучения, будут, как известно, равны
а)б)в)а)б)в)G(x, %i) = —壶e-*if IG(x, %i) = —壶e-*if IG(r, r^ = ^H^k\r-rx\),G(r, r^ = ^H^k\r-rx\),G (p, Pi)=G (p, Pi)=] e-/fe 1 r-n I 4л" |r — rj I] e-/fe 1 r-n I 4л" |r — rj I(H.8)(H.8)
а)
б)
в)
а)
б)
в)
G(x, %i) = —壶e-*if I
G(x, %i) = —壶e-*if I
G(r, r^ = ^H^k\r-rx\),
G(r, r^ = ^H^k\r-rx\),
G (p, Pi)=
G (p, Pi)=
] e-/fe 1 r-n I 4л" |r — rj I
] e-/fe 1 r-n I 4л" |r — rj I
(H.8)
(H.8)
для, соответственно, одного, двух и трех измерений. Их можно получить, записав решение однородного уравнения, удовлетворяющее условию излучения. Для одного измерения имеет особенность (разрыв) производная функции Грина, для двух и трех измерений особенность (соответственно, вида 1п |г ——干/ и \г —— —ri]-1) имеет сама функция Грина — это различие мы уже отмечали при анализе рядов Ватсона для цилиндра и для сферы (см. п. 6.4). Коэффициенты при этих решениях, входящие в (11.8), можно найти, проинтегрировав (11.2), где 63 заменяется в соответствующих случаях на 62 или 6卜 по бесконечно малой области, содержащей и. Для одного измерения из (11.2) следует, что G непрерывна, a dG/dx испытывает при переходе через точку х =修 скачок, равный единице; отсюда следует (11.8а). Для двух и трех измерений при г — гх решения имеют особенности; сами решения будут интегрируемы, а градиент их будет настолько велик, что интеграл 、"^'dS, взятый по бесконечно малому кругу или сфере, будет равен единице; отсюда следуют (11.86, в) (*) .
Если в (11.4а) G — функция Грина в вакууме, то поверхность S содержит только поверхности тела, на котором происходит дифракция, а интеграл можно распространить по всему пространству. Тогда
GfdV = u°, (11.9)
так как это есть поле тех же источников в отсутствии тела, и формула (11.4а) примет вид
Ы (Г,) = МО(Г1) 4- ^ [м (г) 50 ^ Г1) — G (г,川当夕]dS, (11.4в) где S — поверхность тела. Интеграл в (11.9) отличен от (11.46), поскольку содержит другую функцию Грина и дает не и, а и0.
Выражение для поля на бесконечности через функцию Грина. Формула (11.46) примет иной вид, если искать выражение для поля на бесконечности (и тело, и источники f расположены на конечном расстоянии). При г-> оо поле имеет структуру уходящей волны (3.22а), а аналогом формулы (11.46) должно быть явное выражение для диаграммы излучения 户(8,屮).При 厂]-> 8 функция Грина создана бесконечно удаленным источником. Можно не вводить его явно и не переходить к пределу п-> оо (см. последний абзац этого пункта), а определить функцию Грина таким образом, чтобы она удовлетворяла не (11.2), а однородному уравнению (без 6-функции в правой части), но при этом нарушала бы условие излучения. В основной формуле (11.4а) будет отсутствовать левая часть, и формула примет вид
§ 0 爵- G謬)dS = _ 卜<? W・ (11.10)
Покажем, как из (11.10) получается аналог формулы (11.4).
Подобно тому, как для нахождения поля в точке ri надо именно в эту точку поместить источник функции Грина, для определения диаграммы направленности 尸(6卜屮。надо в качестве G в (11.10) принять поле, возбуждаемое плоской волной, приходящей из направления, характеризуемого углами 8卜 фь Тогда левая часть (11.10) будет пропорциональна искомому значению F(0i,屮i)・
Покажем это на примере двумерной задачи. Плоская волна, приходящая из направления 90, имеет вид ехр [гЛг cos (0 — 90)]. Если эту функцию вычесть из функции Грина, то разность будет удовлетворять условию излучения. Поэтому функция Грина G(0, 0о) представима в виде
G = ехр [zAr cos (0 — 00)] + G, (11.11)
где G удовлетворяет, как и 〃, условию излучения, и при подстановке (11.11) в поверхностный интеграл (для двумерной задачи—контурный) в (11.10) б выпадает. Подставляя в левую часть (11.10) первое слагаемое из (11.11) и выражение для искомого поля и его производной в дальней зоне
а) 〃二尸⑼^^-, б) — = — ikF (0) (11.12)
и вычисляя при krf g контурный интеграл в (11.10) 2л
i V^r е_/АГ J F (е) eikr cos(e-e,) [1 + cos (0 — 0О)] d0 (11.13) о
методом стационарной фазы, получим искомую формулу (*)
尸(°。)="^卜6d匕 (11/4)
Как известно (см., например ниже, п. 16.8 и 22.2), этот метод состоит в том, что множитель при ikr в экспоненте заменяется двумя членами разложения в ряд Тейлора около точки, в которой первая производная этого множителя равна нулю. В нашем случае этими точками будут корни уравнения sin(0 — Go) = 0, т. е. 0 == 0о и 0 = Go + л. Из этих двух точек только первая даст вклад в интеграл порядка 1/д/^г> а во второй этот вклад будет иметь более высокую степень малого параметра (1/kr), так как в этой точке равен нулю подынтегральный множитель 1 + cos (0 — 0q).
Для трехмерной задачи расчет, требующий двукратного интегрирования методом стационарной фазы, дает для 尸(8°,屮о) такую же формулу, только с другим численным множителем.
Формула (11.14) имеет по существу тот же смысл, что и (11.46). Она дает явное выражение для поля излучения, т. е. для функции 尸(8) из (11.12), через возбуждающие токи / и через поле G, создаваемое плоской волной, дифрагирующей на том же теле. Согласно этой формуле, если известно поле G, создаваемое в месте расположения источников f при дифракции плоской волны, падающей на тело с некоторого направления, то в этом направлении амплитуда цилиндрической волны, создаваемой источниками в присутствии тела, находится квадратурой.
Формулу (11.14) можно было бы получить и иначе, переходя к пределу 门-> 8 в (11.46), т. е. уже после того, как интеграл по бесконечно удаленной сфере будет отброшен. Левая часть (11.46), согласно (11.12а), пропорциональна 尸(Во). Цилиндриче-
ская волна, создаваемая далеким 6-источником, вблизи тела отличается от (11.11), кроме обычной зависимости 1/д/^> только постоянным множителем V//8л. Этот множитель легко может быть получен (*) из асимптотического представления функции Ханкеля типа (5.9). Таким способом формулу (11.14) получаем без вычислений по методу стационарной фазы, но логически этот способ сложнее. Он применим, разумеется, и для трехмерной задачи.
Граничные задачи. Зная функции Грина, подчиняющиеся условию (11.6) или (11.7), можно написать также явное решение соответствующей граничной задачи, т. е. задачи определения поля 以,удовлетворяющего волновому уравнению и условию, что на поверхности S либо и, либо du/dN принимает заданные значения и (г) или ди(г) /dN. Граничная задача, в которой задано и (г), имеет явное решение, содержащее функцию Грина, удовлетворяющую условию (11.6), ибо именно это условие обеспечивает отсутствие в явном выражении (11.4а) величины ди/dNf которая в этой задаче не задана. Полагая еще для простоты, что внутри области, ограниченной поверхностью S, f = 0, получим решение этой граничной задачи через функцию Грина, удовлетворяющую граничному условию (11.6): 、
〃(门)=§〃(/•)^p^ds. (11.15а)
Точно так же можно написать явное выражение для и во всем объеме через значение ди (г) /dN на границе области, если известна функция Грина области, удовлетворяющая на границе условию (11.7): .
ug) = _§_^±G(r, rJdS. (11.156)
Здесь вновь опущен первый интеграл в (11.4а), т. е. принято f м 0.
Формулы (11.46), (11.14) и обе формулы (11.15) дают решения волнового уравнения для различных способов задания возбуждающих токов, В (11.46), (11.14) участвуют явно входящие токи, в (11.15) — заданные значения на границе.
Легко написать через соответствующие функции Грина решение также для других способов задания источников. Например, если задан скачок функции и на какой-либо поверхности S, а ди/dN на S непрерывно, то G должно быть на этой поверхности непрерывной и иметь непрерывную нормальную производную, а на остальных поверхностях и бесконечности удовлетворять тем же условиям, что и искомое поле. Тогда, применяя
основную формулу (11.4а) к обоим объемам, примыкающим к S, и складывая обе формулы, получим
(11.16а)(11.16а)
(11.16а)
(11.16а)
——здесь опять принято, что /мО. Таким же способом, с помощью той же функции G записывается решение и в случае, когда ток задан скачком производной искомого поля
爵]GdS. (11.166)
В (11.16) нормаль ^ направлена от стороны поверхности S, соответствующей индексу 1, к стороне с индексом 2. Если на какой-либо поверхности задан скачок и самой функции и, и ее производной du/dN, то с помощью той же функции Грина —— непрерывной вместе со своей нормальной производной на этой поверхности ——поле вне этой поверхности представится суммой интегралов (11.16а) и (11.166) (прн/ = 0).
Поле может создаваться и каким-либо другим «скрытым источником», а не только скачком функции или скачком производной, например, источником на ребре клина или на бесконечности. Источник этот задается тем слагаемым, которое надо вычесть из полного поля, чтобы разность удовлетворяла, соответственно, условиям (3.16) и условию излучения. Для любой из этих задач можно получить решение через функцию Грина, которая должна быть выбрана таким образом, чтобы, соответственно, не имела особенности на ребре или удовлетворяла условиям на бесконечности.
Функция Грина в векторной формулировке. Функцию Грина уравнений Максвелла можно вводить двумя различными способами в зависимости от того, в какое из двух уравнений Максвелла вводится 6-источник, расположенный в той точке 片， в которой ищутся поля. Можно ввести 6-источник в (1.7а), т. е. назвать функцией Грина поле элементарного электрического диполя; обозначим это поле (Е^е\ Н^). Тогда, как сейчас будет показано, через эту функцию получается явное выражение для £(广1). Если же ввести 6-источник в другое уравнение Максвелла—этот источник называется элементарным магнитным диполем, а его поле обозначается E^tn\ Н(^)— то явное выражение получаем для Я(п). В первом варианте уравнения для поля Е{е\ Н⑺ элементарного электрического диполя имеют вид:
rot Н^ — ikeE^ = — аб (г - г)
с (11.17)
rotE⑻十/卩日⑷=0,
Во втором варианте функцией Грина является поле Е^, Я(т> элементарного магнитного диполя; уравнения для этого поля имеют вид
rot H^ — ikeE^ = О,
rot Е^ + ikaH^ =—等 Q6 (г — г I).⑴• 18)
Здесь принято вносить 6-источник с противоположным относительно (11.17) знаком. В обеих этих системах уравнений а — произвольный орт, т. е. векторные функции Грина зависят не только от того, куда помещен вспомогательный источник, но и от того, как он ориентирован.
Для того чтобы получить выражение для проекции вектора Е(ri) на этот орт, следует пользоваться функциями Грина (11.17). Применяя к (11.17) лемму Лоренца в интегральной форме, т. е. векторный вариант формулы Грина, получим
aE(r^ = \jE^ d，十言 § { [ЕН(% 一 [E^H^dS. (11.19а)
Аналогично можно получить аН(гi), если использовать функции Грина (11.18):
аН ⑴ J = —，jE^dV-展 § { [EH^]n —国⑺Н]〃} dS. (11.196)
Из формулы (11.19а) для векторной задачи получаются те же следствия, что и для скалярной задачи из (11.4а). Если тангенциальные компоненты Е⑹，Н⑹ подчинить на границе тем же условиям (2.1), (2.5) или (2.8), которым должны удовлетворять тангенциальные компоненты истинного поля Е, Я, то в (11.19а) поверхностного интеграла не будет. Интеграл по бесконечно удаленной сфере тоже будет равен нулю, если все токи расположены в конечной части пространства, а Е⑷，Н^ подчинены, как и искомые поля, условию излучения (*). То же относится К (1 1.196) И ПОЛЯМ E(m), H(g.
Как и в скалярном случае, формула (11.19а) позволяет получить явное решение граничной задачи, точнее, представление решения в виде квадратуры (интеграла). Если функция Грина подчинена условию
或 |$ = 0(П.20а)
на некоторой поверхности S, то (11.19а) дает явное выражение для поля Е (fi) через значение Ei на S:
aE(ri) = ^^[EH^]NdS.(И.21а)
Для простоты запрей вновь, принято, что внутри области токов нет, j 三 0. Явное выражение для Е(г0 внутри области через
граничное значение тангенциальных компонент магнитного поля на S,
aEg) = —*§ 冲岡“dS,(11-216)
получаем из (11.19а), если поля Е^е\ Н© на S подчинены условию
М* Is = о.(11.206)
Формулы (11.21) аналогичны (11.15), а условия (11.20)——-условиям (11.6), (11.7). Эти формулы лежат в основе многих методов решения задач дифракции.
Иногда используется такая терминология — при применении векторной функции Грина, удовлетворяющей (11.20а), говорят о металлизации поверхности S, а при использовании функции, удовлетворяющей (11.206) ——о замене поверхности S поверхностью идеального магнетика. Речь идет при этом, согласно предыдущему, о выборе вспомогательных функций (векторных функций Грина), удовлетворяющих уравнениям (11.17) или (11.18), т. е. о том, каким условиям их подчинить.
Заметим в заключении, что если на какой-либо поверхности испытывают скачок Ei и Hi, т. е. заданы поверхностные магнитные и электрические токи, то поле Е тоже находится в явном виде из (11.19а), При этом надо пользоваться полями Е® и 笈⑷ с непрерывными на S тангенциальными компонентами, а на всех остальных поверхностях удовлетворяющими тем же условиям, что и истинное поле Е, Н, в частности, — условиям излучения, если область незамкнута. Тогда, полагая еще / = 0, получим (*)
аЕ (г ° =捻 § { [Е⑴-Е⑵，"(％ -[硏)，Н^ - H^]N } dS,
(11.22)
где N направлено из (1) в (2). Эта формула аналогична (11.16).
Интегральные уравнения для поля в диэлектрикеи тока иа металле
Соотношения, полученные в предыдущем параграфе, по существу нельзя рассматривать как решение задач дифракции. Действительно, из полученных квадратур может быть определено поле дифракции только в том случае, если либо известна функция Грина при заданных граничных условиях, т. е. та же задача решена при простейшем возбуждении, либо если известно поле на поверхности тела. Ниже мы покажем, как можно свести дифракционные задачи к интегральным уравнениям с помощью простейших функций Грина ——полей точечных источни-
ков в вакууме. Решение этих интегральных уравнений, вообще говоря, требует применения ЭВМ и здесь не рассматривается. Упомянуты только некоторые приближенные методы, позволяющие получать явные результаты.
Задачи с диэлектриком. Ставится зада va о дифракции поля заданного источника f на диэлектрическом теле. Для упрощения записи распределение 8 будем считать непрерывным:
А以 + 尼％〃 = f ・ (12.1)
Вводя ток поляризации в правую часть уравнения, т. е. исключив диэлектрическую проницаемость из левой части, сведем (12.1) к задаче о полях в вакууме:
А以 + k2u = f — k2 (e — 1) и. (12.2)
Поле всюду в пространстве получается в виде интеграла типа (11.46), который остается от (11.4) после отбрасывания поверхностного интеграла. Интеграл по бесконечной сфере исчезает из-за того, что и для полей и для функции Грина выполняются условия излучения. Подставив в (11.46) вместо / правую часть уравнения (12.2), получим
м = м0 —jfe2 J(е_ i)GudV. (12.3а)
Формулу (12.3а) можно рассматривать как выражение для поля, созданного заданными источниками, причем первое слагаемое——результат возбуждения реальными токами в отсутствии тела, а второе — возбуждение индуцированной поляризации (см. п. 1.5).
Для точек внутри тела (12.3а) представляет собой интегральное уравнение, в котором неизвестное поле внутри диэлектрика участвует и в свободном члене и под интегралом. Для точек вне тела (12.3а) — уже не интегральное уравнение, а выражение для поля вне диэлектрика через поле в диэлектрике.
Согласно соображениям п. 2.4, интегральное уравнение (12.3а) справедливо и тогда, когда е испытывает разрыв на границе тела. В простейшем случае, когда е внутри некоторого объема V, т. е. внутри тела, постоянно, (12.3а) принимает вид
u = u° — k2(s—l)^GudV. (12.36)
Для диэлектрика с диэлектрической проницаемостью, мало отличающейся от единицы,
8— 1《1, (12.4)
можно найти явное решение для поля всюду в пространстве с помощью известного приближения Борна, т. е. принимая, что
116 ФУНКЦИИ ГРИНА И ВЫВОД ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ [ГЛ. IV поле в диэлектрике (поле и под интегралом), не отличается от поля источников в свободном пространстве:
и = и° — 1^^(е— l)u°GdV. (12.5)
Можно продолжить итерационный процесс и получить для и ряд Неймана по возрастающим степеням малой величины (е — 1). Во втором приближении под интеграл в (12.3) подставляется поле первого приближения (12.5) и т. д. Надо иметь в зиду, что сходимость полученного ряда тем хуже, чем больше (ка), где а ——порядка линейных размеров тела.
Иногда применимо' приближение, не требующее, чтобы (е—1) было очень мало. Пусть тело достаточно 《плоское》 и перпендикулярно к этой плоскости падает почти плоская волна. Тогда поле внутри тела может быть записано в. виде произведения падающего поля 〃° на фазовый множитель, учитывающий набег фазы волны при распространении внутри тела. Если 以° ——поле, которое было бы в отсутствии тела на расстоянии z от передней поверхности тела, то н°exp (r^z) ——поле на поверхности тела (здесь мы учли только набег фазы в вакууме). Теперь определим поле в точке внутри тела, но учтем набег фазы при внесении диэлектрика: u° exp (ZAz)exp (—£左 «£ w)・ Подставив найденное приближенное выражение для поля под интеграл в (12.3), получим искомое поле
И = ы0 — fe2 J uoe-ilt^—\)GdV. (12.6)
где ^― k (V8 — 1)N・ Это выражение имеет внутри тела большую точность, чем и ^ и0ехр(:—力屮)，и дает значение поля также и вне тела. Небольшое усложнение, учитывающее преломление, позволяет таким же образом приближенно определить и в диэлектрике через 〃° при наклонном падении почти плоской волны на почти плоское тело.
Мы ограничиваемся получением интегрального уравнения (12.3). Кроме этих простых приближений, мы не рассматриваем процесс нахождения его решения ——это задача прикладной математики. Скажем лишь, что трехмерная задача сегодня еще практически нерешаема, но двумерные задачи решаются эффективно, особенно если тела не очень велики по сравнению с длиной волны.
Снижение размерности интегрального уравнения. Для задачи о дифракции на теле с постоянным е можно свести задачу к интегральным уравнениям с размерностью, меньшей, чем у исходной задачи. Последнее обстоятельство облегчает проведение численных расчетов.
Проиллюстрируем метод на- двумерной задаче; пусть свойства тела и поля не зависят от w. Для определенности выберем ^-поляризацию, для //-поляризации сложнее будет только формальный аппарат. Полное поле и удовлетворяет уравнению (8.23) (внутри тела поле пометим знаком《十》,вне тела знаком «—》；и 三 £z)：
а) Дн_ + ^иГ = /, б) Дм+ + k4u+ — f. (12.7)
Введем, кроме функции Грина О (г, rj) свободного пространства, удовлетворяющей уравнению
А£т + 左2^г =%(尸—у,,(12.8а)
еще и функцию Грина пространства, равномерно заполненного диэлектриком с проницаемостью е:
AG+ 十左％(?+ =必尸一fi).(12.86)
Очевидно, что G- определяется формулой (11.86), a G+ ——той же формулой с заменой k на k д/Т-
Теперь попытаемся преобразовать выражение (12.3)
М = И° —А2^ (g— l)G~u+dV,(12.9)
заменив интеграл по объему интегралом по поверхности. В двумерной задаче эта замена означает переход от интеграла по площади к интегралу по контуру. Преобразуем подынтегральное выражение, используя волновые уравнения (12.7) и (12.8) (*):
Z：2(£—1)G-〃+ = A〃+F—u+aF,(12.10)
где 尸=G+—G-. Правая часть (12.10) имеет форму, позволяющую применить формулу Грина (8.5). Так получим (*):
"(八)=公(门)一、[^■尸(门，r)-〃(r)^q^A]dS. (12.11)
Если теперь поместить точку наблюдения на контур, то соотношение (12.11) становится интегральным уравнением. Значки 《+» и «——》для полей здесь уже писать не надо, так как эти поля и их производные берутся на контуре, где они вследствие граничных условий непрерывны, и+ = иг, 3/[GN = dur/dN. Так как (12.11) справедливо при любом положении 片 относительно контура, то это равенство можно дифференцировать по Г\. Продифференцируем обе части соотношения (12.11) по нормали к поверхности в точке наблюдения л：
ди (ri) ди° (л) 质「3〃(г) dF (гь г) . , . d2F (rlt г) I^q ,19 19ч 勺 ^“ ⑺ F 0N丄二I dS. (12.12)
Здесь d/dN\ означает производную по нормали в точке л. Если теперь и в (12.12) точку наблюдения ri поместить на контур, то и это уравнение станет^ интегральным. Здесь необходима именно пара уравн-ений, так как неизвестных два: поле и и его производная du/dN. Это приводит к удвоению числа уравнений, но размерность уравнений ниже, чем у исходного.
Диэлектрик в волноводе. Если в поле есть и другие тела, кроме того тела» дифракция на котором исследуется, то надо, если это возможно, вводить функции Грина, удовлетворяющие условиям на границах этих тел. Таким образом появляются функции Грина, отличающиеся от функции Грина вакуума. В частности, в волноводах, т. е. в полых металлических трубах, аналогом функции Грина вакуума являются собственные волны.
Вспомним в этой связи, как решаются задачи о возбуждении волновода заданными источниками. При вычислении поля заданных токов, для того чтобы получить явную формулу типа (11. 46), надо пользоваться функцией Грина, удовлетворяющей тем же условиям на стенках, что и искомое поле. При этом применялся тот же прием, что и в п. 11.2 — источник функции Грина неявно относится на бесконечность. Как в п. 11.2 используется приходящая из бесконечности плоская волна, так и в волноводе используется приходящая из бесконечности собственная волна.
Далее в этом пункте, находя поле в волноводе при дифракции на диэлектрическом теле, мы под и0 будем понимать поле гех же источников в волноводе без диэлектрика.
Пусть, например, решается задача с нулевым граничным условием на поверхности волновода:
Аи° + 央淤=尢 以° Is = 0・ (12.13)
Введем функцию Грина с тем же граничным условием
А& + k2Gn = 0, G%k = 0 (12.14) без источников в конечной части пространства, но нарушающую условие излучения. Такой функцией Грина является собственная функция волновода, идущая из z = 8 к началу координат
G“ = 〃“(x, у)е'У, (12.15)
где hn — волновое число n-й собственной волны. Она позволяет найти амплитуду волны того же номера п, возбужденную заданным источником. Это рассуждение аналогично использованному в п. 11.2. Формула Грина (11.10) записывается в виде
§ (“° 醤一 Gr^)dS^-\fGndV, (12.16)
в ней нет внеинтегрального члена, так как в (12.14) справа нет 6-функции. Полное поле всех источников в волноводе ищется в виде суперпозиции волн всех номеров:
〃°= Е Апип (х, у) (12.⑺
Подстановка (12.17) в (12.16) позволяет получить формулу для амплитуды Дп волны номера п. При этом поверхностный интеграл по металлу выпадает из-за нулевых граничных условий. Интеграл по поверхности слева от токов также выпадает, так как здесь и собственная волна [функция Грина 6П (12.15)], и поле (12.17) распространяются справа налево, т. е. имеют одно направление (*). Поэтому интеграл по поперечному сечению равен нулю либо вследствие ортогональности собственных волн, либо вследствие компенсации двух слагаемых. Это — аналог исчезновения интеграла по бесконечно удаленной сфере, если и и, и G удовлетворяют условию излучения. Остается только поверхностный интеграл по поперечному сечению справа от области, занятой токами, и объемный интеграл по области токов. Окончательно формула для амплитуды Лп волны номера п в (12.17) имеет вид (*)
4 =誌^ \ fGndV. (12.18)
Вернемся теперь к задаче о диэлектрике в волноводе. Ищется поле с нулевым граничным условием как решение уравнения
А〃 + 胪е〃 =九 и Is = 0- (12.19)
Повторяя выкладки, приведшие от уравнения (12.1) к (12.2), вновь сведем задачу о дифракции на диэлектрическом теле к задаче об излучении в волноводе без диэлектрика, но к источникам f добавятся поляризационные токи —々2(е — 1)и. Таким образом, поле в волноводе удовлетворяет уравнению
〃 =〃°_兴2备(\(g_ \)uGndV)un{x, 4)е-'%. (12.20)
Если применить это уравнение к точкам в диэлектрике, то (12.20) представляет собой интегральное уравнение. Как и в предыдущем п. 12.1, иногда можно использовать приближение Борна (12.5) или более точное приближение фазового корректора (12.6) и получить приближенное решение в явном виде.
Металлическое тело; Е-поляризация; интегральное уравнение первого рода. Теперь перейдем к задаче о дифракции ца идеально проводящем металлическом теле. Ограничимся дву-
мерной ситуацией. Для ^-поляризации требуется найти скалярную функцию и из волнового уравнения
А〃斗胪〃 ==f(12.21а)
с нулевым граничным условием
u |s = 0.(12.216)
Из (11.4в) и (12.216) получаем интегральное соотношение для поля всюду в пространстве через производную поля на поверхности тела:
〃(L)= 〃o(rJ—\G(r, rO^ldS,(12.22)
где G ——функция Грина вакуума.и интеграл взят по поверхности тела. В электродинамических терминах и — электрическое поле, du/dN ——магнитное, а поскольку на поверхности металла магнитное поле испытывает скачок, то du/dN пропорциональна поверхностному электрическому току (2.13). По аналогии с теорией потенциала можно сказать, что выражение (12.22) есть представление поля с помощью «простых источников^ с поверхностной плотностью du/dN.■
Из (12.22) несложно получить интегральное уравнение для этого тока. Поле w в свободном члене слева в (12.22) определено в любой точке г\ пространства; будем эту точку приближать к поверхности металла. Поместив точку наблюдения 门 на поверхность, и еще раз воспользовавшись граничным условием (12.216), получим искомое интегральное уравнение первого рода для поверхностного тока:
M°(r>)= f^rG(r' r^dS- (12.23)
Такие уравнения в математическом смысле некорректны. Связано это по существу с тем, что при малом изменении левой части, т. е. электрического поля источника на поверхности тела в отсутствие этого тела, искомый ток du/dN изменяется сильно. Непосредственное решение некорректных задач на ЭВМ, вообще говоря, связано со значительными трудностями. Иногда пользуются предварительной регуляризацией уравнения. Один из' способов регуляризации состоит в том, чтобы превратить уравнение первого рода в уравнение второго рода, добавив к правой части искомую функцию в виде слагаемого с некоторым коэффициентом:
公(ri)= a^^+\"^G(r, n)dS・ (12.24)
Это уравнение уже не является некорректным. Оказывается, что
если выбрать последовательность а^, стремящуюся к нулю, то соответствующая последовательность решений уравнения (12.24) стремится к решению (12.23). Существуют и другие способы регуляризации.
Металлическое тело; Е-поляризация; интегральное уравнение второго рода. Уравнение (12.23) получено переводом точки наблюдения 口 в (12.22) на поверхность металла; особенность в ядре очень слабая, и единственное осложнение состоит в том, что уравнение первого рода некорректно, для его решения, вообще говоря, следует производить регуляризацию. Сейчас мы получим для того же тока на металле корректное уравнение второго рода, в котором неизвестная функция du/dN находится не только под интегралом, но и в свободном члене. Для этого продифференцируем обе части соотношения (12.22) по нормали к некоторой поверхности Si, которая почти совпадает с поверхностью металла S, находится от нее на малом расстоянии. Затем совместим поверхность Si с S, т. е. поместим точку наблюдения г{ на металл. Тогда в свободном члене окажется та же функция du/dN, что и под интегралом:
ди (ri) ди° (ri) 3 С
Чтобы получить интегральное уравнение второго рода, введем дифференцирование по нормали под интеграл:
0〃 (п) „ 加° 6) f dG (г, 口)ди (г) j。/тс се
Ядро dG/dN имеет сильную особенность, и для численного анализа уравнение (12.25) следует преобразовать, произведя фактическое интегрирование в малой области, окружающей особенность. Это преобразование можно сделать для металлического тела, не имеющего вершин или ребер. Уравнение второго рода может быть переписано таким образом, чтобы особенности под интегралом не содержалось. Оказывается, что интегральный член в (12.25) может быть представлен в виде
GG (二川ди (r)片①^dS,GG (二川ди (r)片①^dS,a I1 ^« (n) I f
GG (二川ди (r)片①^dS,
GG (二川ди (r)片①^dS,
所)G6门)^^必-一£^-+十
(12.27)
где перечеркнутый интеграл взят в смысле главного значения, г. е. точка г = гь в которой функция dG(r, r{)/dNi имеет сильную особенность, исключена из области интегрирования. Соотношение (12.27) мы получим в п. 12.8; подставим его в (12.25).
Таким образом, интегральное уравнение второго рода для тока на поверхности гладких металлических тел имеет вид.
.1 6〃 6)2"~длТ".1 6〃 6)2"~длТ"(12.28)(12.28)6〃° (尸 1) — Г 3G (吟 门)ди (г) ^о一方汇；m _ J 一丽;丽Lg.
.1 6〃 6)
2"~длТ"
.1 6〃 6)
2"~длТ"
(12.28)
(12.28)
Металлическое тело; Zf-поляризация; интегральное уравнение первого рода. Задача сводится, как известно, к скалярной, в которой нормальные производные поля равны нулю на поверхности тела:
a) ^ + k2u^f, б)醤Ь = 0.(12.29)
Напомним, что переход от векторной задачи к скалярной возможен, если задача двумерная, а тело и поле не зависят от координаты z. Поле и пропорционально Н&, так что производная du/dN\s может быть названа электрическим полем, касательным к металлу. На поверхности тела и пропорционально току на металле.
При условии (12.296) из формулы Грина (11.4в) получаем соотношение для магнитного поля всюду в пространстве:
“ g) = “。6) + \ 〃 (г)而為')ds. (12.30)
Интеграл берется по поверхности тела.
Попытаемся теперь получить интегральное уравнение пер* вого рода для тока на металле. Для этого устраним неизвестную функцию и(г\) из свободного члена тем же приемом, какой мы применили для вывода уравнения первого рода в предыдущем случае f-поляризации. Именно, нужно перевести точку ri на поверхность металла (^if f/s) и воспользоваться граничным условием. Но на этот раз в граничном условии равно нулю на поверхности не поле и, а его производная. Поэтому схема вывода интегрального уравнения несколько меняется. Сначала, введя поверхность Si, близкую к 5, возьмем нормальную производную от обеих частей (12.30):
ди (г0d〃°(h) I d f GG Q,门)* /icon
Переведем точку 门 на поверхность и внесем дифференцирование под интеграл. Учитывая условие (12.296), получим
-喘=，〃⑺嘴芻"dS・(12.32)
На этот раз уравнение первого рода не только некорректно, как и любое интегральное уравнение такого типа, но в отличие от (12.23), где особенность под интегралом была очень слабой.
здесь особенность под интегралом очень сильная, неинтегрируе- мая, и формально правая часть (12.32) не существует. Это есть следствие незаконного введения производной по ^l под знак интеграла. Тем не менее, мы выписали здесь уравнение (12.32), имея в виду, что иногда, например в вариационных методах, в процессе преобразований возникают двойные и тройные интегралы, в которых неинтегрируемые особенности становятся интегрируемыми.
От неинтегрируемой особенности в (12.32) можно избавиться, вынося оба дифференцирования под интегралом за знак интеграла. Учитывая, что функция uG dS удовлетворяет при г ^т\ волновому уравнению и вводя эту вспомогательную функцию, можно вместо одного интегрального уравнения получить два — дифференциальное и интегральное уравнения первого рода. Здесь мы этого делать не будем.
Металлическое тело; ff-поляризация; интегральное уравнение второго рода. Чтобы получить из соотношения (12.30) уравнение второго рода, т. е. оставить неизвестный ток на металле 〃 в свободном члене, достаточно точку наблюдения ri перевести на поверхность:
"(川="。5)+ \"6 嘴严 dS. (12.33)
Это уравнение второго рода, оно корректно. Под интегралом — сильная особенность такого же типа, как в (12.26).
Для гладких тел можно убрать особенность из ядра интегрального уравнения (12.33). Для этого воспользуемся соотношением (см. следующий пункт)
\ и (г)丝紹• dS = 4■“ (rO + f M (r)坦嗑・川 dS, (12.34)
в котором, аналогично (12.27), интеграл с сильной особенностью заменялся интегралом в смысле главного значения, где особая точка г = г\ исключена из области интегрирования, и выделена в виде свободного члена регулярная в этой точке функция —— сомножитель перед ядром интеграла. Подставим (12.34) в (12.33). Получаем интегральное уравнение второго рода для тока на поверхности гладкого металлического тела
4 U (г.) = «° (Г !)+ f И (Г) ^2^1 dS. (12.35)
Потенциал двойного слоя и производная потенциала простого слоя. Формула (12.27) представляет собой, по существу, известное из теории потенциала соотношение между пре- яелом, к которому стремится производная потенциала простого
sСправа первый того по кругуsСправа первый того по кругуРис. 12.1. К выводу формулы (12.39).Рис. 12.1. К выводу формулы (12.39).99ИнтегрированиеИнтегрирование也ds= -纟idr0也ds= -纟idr0(12.37)(12.37)
s
Справа первый того по кругу
s
Справа первый того по кругу
Рис. 12.1. К выводу формулы (12.39).
Рис. 12.1. К выводу формулы (12.39).
9
9
Интегрирование
Интегрирование
也ds= -纟idr
0
也ds= -纟idr
0
(12.37)
(12.37)
слоя при приближении к поверхности в какой-либо ее точке, и значением плотности простого слоя в этой точке. Приведем схему вывода этой формулы, например, для трехмерной задачи.
Для любой гладкой фуцкции Ф имеет место очевидное соотношение
(12.36)
интеграл есть предел при Qf 0 интеграла, взя- радиуса а с центром в упомянутой точке О, Ф(0)——значение Ф в этой точке, а второй интеграл взят в смысле главного значения — он есть предел при ат0 интеграла, взятого по всей поверхности, за исключением круга радиуса о.
В первом интеграле можно функцию Грина (11.8в) заменить функцией Грина уравнения Лапласа, G = —1/4jiR /? = |г—门|, a поверхность — плоскостью. Обозначим цилиндрические координаты на этой плоскости
dS = г dr dp; на ней z = 0 и R?= г2, где zi отсчитывается по нормали к
поверхности. Очевидно, что d/dN\ =d/dzi (рис. 12.1), и поэтому d(l/R)/d“i =—之/审.
.по ф дает множитель 2л, и для первого инте
грала в (12.36) будет
При Zif 0 эта величина принимает неопределенный вид 0-оо.
Неопределенность эта легко раскрывается, так как j (r/7?3) dr
=—\d(l/R). При нижнем пределе г = 0 эта величина равна ——1/| г) I，Значение при верхнем пределе входит во второй интеграл в (12.36). Произведение — 3i/2 на —1/|之1| равно —1/2 или +1/2 в зависимости от знака zi. Отсюда, в частности, следует известный результат о скачке нормальной производной потенциала простого слоя при переходе через поверхность; при %1 т0 и zi—>+0 значения этого слагаемого отличаются на единицу.
Таким образом, при 右0
Отсюда следует, что
，①謊 dS = - 4•①(0) + f ①券dS. (12.39)
Во втором интеграле можно просто положить zi = 0. Для плоской поверхности он равен нулю. Полагая в (12.39) Ф = du/dN, получим (12.27).
Для доказательства формулы (12.34) надо сначала функцию Грина с R2 =产+(z — 2]产 продифференцировать по г и лишь затем положить г = 0. Так как d/dz =—d/dz\, то мы вновь получим тот же интеграл (12.37), только с противоположным знаком, и, по аналогии с (12.39), переходя к пределу zi~>—0, будем иметь (*)
、①爵dS = %①⑼+ f①需dS. (12.40)
Это известное соотношение между пределом, к которому стремится потенциал двойного слоя при приближении к поверхности в какой-либо ее точке, и значением плотности двойного слоя в этой точке ①(0). Положив в (12.40) Ф = а, получим (12.34).
Формулу (12.38) — точнее, такую же формулу для dG/dN с изменением знака — можно получить, не используя явный вид функции G (帝)・ Для этого надо провести сферу радиуса а с тем же центром 0 и проинтегрировать уравнение Лапласа, определяющее G, т. е. уравнение AG = дз(г —旷1), по области, ограниченной кругом на поверхности S и полусферой, лежащей при 2 < 0. Так как точка 片 лежит в этой области, то объемный интеграл равен единице. Поверхностный интеграл состоит из интеграла от dG/dN, взятого по площади круга, и интеграла от dG/dN, взятого по полусфере. Последний интеграл равен 1/2, так как [см. текст после (11.8) ] интеграл по всей сфере от dG/dN равен единице. Поэтому интеграл по площади круга равен 1/2. Так получается формула (12.40), и, с учетом того, что д/дг\ = —d/dz, формула (12.39). Достоинство этого способа вывода известных формул (12.39) и (12.40) состоит в том, что он почти без изменений переносится на двумерную задачу.
Возбуждение длинного тонкого вибратора. Рассмотрим задачу, в которой удается продвинуться в исследовании решения интегрального уравнения довольно далеко. Задача состоит в исследовании. распределения тока на тонком вибраторе; строгая постановка приводит к интегродифференциальному уравнению для тока, содержащему в правой части внешнее (падающее, по нашей обычной терминологии) электрическое поле. В уравнении наряду с производными от тока есть еще интегральный член от распределения тока; этот интеграл учитывает влияние на ток излучения и отражения от всех точек вибратора.
Тонкий вибратор представляет собой цилиндр радиуса а и длины А, причем длина цилиндра много больше радиуса, а радиус—много меньше длины волны?
а/£《1, ka < 1.(12.41)
Решается система уравнений Максвелла, причем решение находится через вектор Герца П, удовлетворяющий неоднородному волновому уравнению
(Д + ^2)П = -^/.(12.42)
Компоненты поля получаются дифференцированием вектор-потенциала.
Для получения уравнения для тока найдем электрическое поле, вызванное этим током. Затем на поверхности вибратора приравниваем нулю сумму этого поля и поля падающего：
便+月)h=0.(12.43)
Второе условие, которому должен удовлетворять ток — равенство нулю его продольной компоненты на концах проводника:
厶 &±〃2 = 0・(12-44)
Очевидно, для выполнения этой программы необходимо связать ток с полем. Предполагая, что распределение тока по окружности проводника равномерно, и оставляя всюду только компоненту /2, определим продольную составляющую вектора Герца (остальные компоненты имеют порядок а/£):
А = _ 員 iz^^dS,(12.45)
где R =、/(z — а)?+ 尸2. Здесь П2 выражена через интеграл от произведения /2 — поверхностного тока — на функцию Грина трехмерной задачи (с точностью до коэффициента). Электрическое поле, после удержания только членов старших порядков (по параметру а/Ц т. е. для тонкого проводника), имеет на поверхности также только продольную компоненту, связанную с вектор-потенциалом соотношением
邑=(备+ 胪)口Z.(12.46)
Покажем, что в выражении для 口之 можно выделить большой параметр, равный логарифму отношения поперечного размера вибратора к длине волны：
Членами порядка отношения поперечных размеров к длине волны и к длине вибратора будем последовательно пренебрегать.
Преобразуем П2 (12.45), предварительно заметив следующее: величина вектора К есть расстояние между точкой наблюдения и точкой интегрирования; для случая, когда обе точки находятся на поверхности вибратора, приближенно можно считать, что под интегралом будет «пинцетная» функция, которая выделяет из-под интеграла значение функции-сомножителя в данной точке. Можно вынести особенность (она оказывается довольно слабой, логарифмической) за знак интеграла. Для того чтобы произвести это выделение, запишем интеграл в виде суммы двух интегралов так, чтобы первый из них не имел особенности при уменьшении толщины вибратора до нуля, а второй после интегрирования дал логарифм от ka:
Jz"f T^+kz 聲.
Таким образом, выражение для П2 имеет форму
n2 = ^[/2(z)] + 24/2(z) InAa.(12.48)
Интеграл (12.45) расходится при а = 0, но эту расходимость удалось выделить в члене с In ka, поэтому в операторе U можно уже полагать а = 0.
Подставив (12.48) в (12.46) и воспользовавшись граничным условием (12.43), получим интегродифференциальное уравнение для тока на поверхности вибратора:
厂⑵ + 胪/ (z) = -у- -^ (V и (г)] + Е。)，(12.49)
где оператор V — результат действия на оператор U оператором (d2/dz2 + 胪)，Е。=段.
Решение этого уравнения ищется в виде разложения по обратным степеням In ka (так называемое экспоненциальное приближение) :
/ = /о + хЛ+ %2为+ • •(12.50)
где %=1/21п 月а. Здесь малой величиной является не 1/左@, a 1/ln ka; а так как логарифм ——очень медленная функция, то это значит, что рассматриваются чрезвычайно тонкие проволочки. Продвинуться дальше аналитически не удается, реальные тонкие (ka《1) провода приходится рассчитывать с помощью ЭВМ. Итак, если j%|《1, то ток ищем в виде (12.50); подставляя этот ряд в основное уравнение и приравнивая коэффициенты
при одинаковых степенях %, придем к системе дифференциальных уравнений и граничных условий:
厶+ 々% = 0，,‘j。(±L/2) = 0,
* + 居厶=讪 W [4] + 仆)，/1 (士 L/2) = 0,(12.51)
必 + 胪％ =泡У 口J，为(± L/2) = 0,
Применим изложенный метод к простому случаю настроенного диполя:
kL = пк;(12.52)
длина вибратора равна или кратна целому числу полуволн. Из первого уравнения и граничного условия (12.51) следует, что распределение тока вдоль вибратора не зависит от падающего поля; ток имеет вид
/0 = /о cos kz(12.53)
при п нечетном. Амплитуда /0 находится из требования, чтобы полученное решение было ортогонально к правой части уравнения первого порядка:
\ (V [/о] + W) cos kz dz = 0.(12.54)
Учитывая, что V [/0] = /0У [cos kz]t получим
/0 = — , £* cos 々wdz口 V [cos kz] cos kz dz^ .(12.55)
Амплитуда тока зависит от падающего поля; как было сказано выше, структура тока от него не зависит.
Более сложна ситуация, в которой вибратор не настроен, kL #= пл. Тогда нулевой ток (12.50) равен нулю, /0 = 0; ток имеет порядок 1/1п^а, и структура его сильно зависит от падающего поля.
Интегральные уравнения для электрического поляв отверстии экрана
Отверстие в плоском экране; f-поляризация. Иногда проще вводить в качестве неизвестной функции не ток на металле, а поле на отверстии. Так часто поступают в антенных задачах. В радиолокационных антеннах энергия подводится по волноводу к облучателю, который посылает излучение на поверхность вогнутого отражающего зеркала. Найти ток на криволинейной поверхности зеркал труднее, чем определить поле на апертуре антенны, т. е. на плоскости, затягивающей контуры зеркала, а уже затем по этому полю — поле в дальней зоне.
Здесь мы рассмотрим более простую задачу о плоском безграничном металлическом экране с отверстием^ Справа и слева от экрана имеются некоторые источники; поле этих источников при наличии экрана без отверстия найти нетрудно. Это поле возмущено отверстием в экране; наша цель — найти полное поле.
Схема построения интегрального уравнения такова: в качестве неизвестной скалярной функции и принимаем электрическое поле в плоскости отверстия. Предполагаем (эта логика всегда лежит в основе вывода интегральных уравнений), что это поле известно; и так как, кроме того, известно поле 以=Е на металлической поверхности экрана (оно равно нулю), то задано поле по всей плоскости. Решается граничная задача — по электрическому полю на плоскости находим поле во всем пространстве слева и справа от плоского экрана. По этому полю находим магнитное поле, т. е. нормальные производные 0〃/0N, в частности, на отверстии. Приравнивая нормальные производные поля слева и справа отверстия, получаем искомое интегральное уравнение для электрического поля на отверстии.
Проделаем эти действия. Сформулируем предварительно задачу: ищется решение волнового уравнения с заданными источниками и нулевом граничным условием на экране:
а) Да + Л2ц = Д б) и |5о = О,(13.1)
где So ——плоский металлический экран с отверстием. Поле и его нормальные производные должны быть непрерывны в плоскости отверстия. Введем функцию Грина полупространства, ограниченного заметаллизированным экраном (отверстие в котором закрыто металлом) с граничным условием
G Ь = 0,(13.2)
где S ——заметаллизированная поверхность (сплошная металлическая плоскость). Такая функция Грина, как нетрудно получить из соображений о замене экрана изображением источника в нем, имеет вид (при z > 0)
G =(13.3)
где R — расстояние от точки интегрирования до точки наблюдения (т. е. до координаты 6-источника функции Грина), a R'— расстояние от точки интегрирования до зеркального изображения точки наблюдения. Эта функция Грина удовлетворяет уравнению, при 2 > 0 (ось z перпендикулярна плоскости экрана) имеет лишь одну особенность (при ^ = 0) и равна нулю на поверхности. Разумеется, столь простая форма функции Грина получается только для бесконечного экрана без отверстий.
В формуле Грина для (11.4а) интеграл по бесконечной полусфере выпадает из-за того? что и роле и функция Грина удовлетворяют условию излучения, а в интеграле по поверхности экрана второй член исчезает из-за граничного условия (13.2), а в первом остается! только интегрирование по отверстию из-за граничного условия (13.16); кроме того, остается и объемный интеграл — поле 以 + источников, расположенных при г > 0, которое эти источники создавали 6ь£, если бы не было отверстия. Поле при г > 0 равно:
〃 = 〃++ \ 〃_^Lds.(13.4)
Здесь G+——функция Грина (13.3), созданная точечным источником, рнеположенным справа от полностью заметаллизирован- ного плоского экрана; S — So — поверхность отверстий в экране. Ищем таким же способом поле и слева от экрана. Вследствие изменения знака нормали
и — и^— \ и^^Г dS,(13.5)
So
Здесь, аналогично (13.4), G~——функция Грина, созданная точечным источником, расположенным слева от экрана S; 〃一— поле сторонних источников, расположенных в том же полупространстве. Заметим, что и — это полное поле, определенное в (13.4) справа от экрана и на отверстии, в (13.5) — слева от экрана и на том же отверстии. В (13.4) и (13.5) и под интегралами——одна и та же функция, ибо и непрерывно на отверстии.
Теперь потребуем, чтобы нормальна兄 производная от полей (13.4) и (13.5) на отверстии справа и слева была также одной и той же функцией, т. е. поставим условие непрерывности нормальной производной. Получаем, таким образом, соотношение [式端-喻dS.(13.6)
Здесь, так же как и в (12.32), строго говоря, нельзя ввести производную под интеграл ——из-за сильной особенности в ядре интеграл при этом расходится. Уравнение (13.6) обычно сводят к двум, дифференциальному и интегральному. Если все же ввести нормальную производную под интеграл, получим интегральное уравнение первого рода:
。〃十 ди~ С d2G+ d2G~
"аТТ；) " 1ам а犷— м dN)3,
Это уравнение, с очень сильной особенностью в ядре, иногда называется, так же как и уравнение первого рода (12.32) для
тока на металле (//-поляризация), псевдоинтегральным. Заметим, что слева в (13.6) стоит разность магнитных полей на отверстии, которые возникли бы из-за излучения источников справа и слева от экрана при условии, что отверстие закрыто металлической пленкой. Таким образом, для составления интегрального уравнения задачи об определении электрического поля на отверстии в металлическом экране достаточно знать производные функции Грина и поля источников на экране в отсутствии отверстия.
Отверстие в плоском экране; Я-поляризация. В задаче с другими граничными условиями
а) Д« + й2и = Л б) -~\s =0(13.8)
неизвестной функцией, которую можно будет определить, решая интегральное уравнение, является также электрическое поле в отверстии, на этот раз оно пропорционально ди/дЫ. Введем функцию Грина
а) AG 十 4G = 6, б) 需 |s=°・(13.9)
Для плоского экрана функция Грина полупространства, удовлетворяющая (13.8), имеет вид
6=-而(-^-4(13.10)
Поле справа от экрана (и на самом отверстии) равно
« = - \ G+廉 dS +時，(13.11)
поле слева от экрана (и на самом отверстии)
J G-^-dS + u^(13.12)
S — So
В (13.11) и (13.12) подразумевается, что производная поля du/dN под интегралами есть одна и та же функция. Обеспечим теперь непрерывность полей и на отверстии:
以扌—〃о =，•嘉■ (G+ — G~) dS.(13.13)
SY
Таким образом, получено интегральное уравнение первого рода、 где неизвестной величиной является du/dNy т. е. электрическое поле на отверстии. В левой части уравнения ——разность 〃况——以？ магнитных полей справа и слева экрана при закрытом металлической пленкой отверстии. Это уравнение в отличие от (13.7) имеет очень слабую, интегрируемую, особенность в ядре.
В задачах о дифракции на отверстии всегда ищется электрическое поле, так как задача об определен ни магнитного поля в отверстии оказывается более слоенной, ибо неизвестно магнитное поле на продолжении отверстия.
Уравнения первого и второго рода. Подытожим сказанное об интегральных уравнениях для магнитного поля (тока) на поверхности металлического тела и для электрического поля в отверстии плоского экрана.
Получены уравнения первого рода, в которых неизвестная функция и (г) (или ди (г) /dN) находится под интегралом, а свободный член 尸(门)一известные поля источников:
^(/•1)=5 Л (Г, r^u^ds.(13.14)
Для тока на металле при f-поляризации и для электрического поля на отверстии при /7-поляризации ядро имеет при г = ri слабую особенность [см. (12.23), (13.13)]. Для тока при /^-поляризации и для поля на отверстии при f-поляризации ядро неинтегрируемо, особенность г =片 очень сильная [см. (12.32), (13.7)].
Для тока на металле получено уравнение второго рода: 〃(/•])==尸g) + \KG, r^u(r)dS,(13.15)
в котором неизвестная функция и (г) (или ди/dN) находится не только под интегралом, но и в свободном члене. Для Е~ и /7-поляризаций ядро имеет б-образную особенность при 广=广】 [см. (12.26), (12.33)]. Для гладких тел эту особенность можно устранить из-под интеграла, взяв интегралы в смысле главного значения [см. (12.28), (12.35)].
Для наглядности сведем эти интегральные уравнения вместе. Получается следующая схема:
А. Е-поляризация, а]з = О
Металл:
u(r1) = «°(r1)-$C(r,门)弯/ds.(12.22)
Функция Грина свободного пространства. Переносим 片 на поверхность: r->ri|s, используем граничное условие
“o(n) =，G(r, 々)^^dS.(12.23)
Уравнение первого рода, слабая особенность.
Выразим слева ту величину, которая стоит под интегралом, т? е, возьмем нормальную производную. Переносим 广i на по
верхность. Вносим производную под интеграл:
。在(ri) ди° (п)。在(ri) ди° (п)e 6G (r,门)6以⑺J ~'д?ЛdN~e 6G (r,门)6以⑺J ~'д?ЛdN~、(12.26)、(12.26)
。在(ri) ди° (п)
。在(ri) ди° (п)
e 6G (r,门)6以⑺
J ~'д?ЛdN~
e 6G (r,门)6以⑺
J ~'д?ЛdN~
、(12.26)
、(12.26)
Уравнение второго рода, 6-образная особенность. Отверстие:
u(川=公(川 +，« (r)叫3 '' dS.
Функции Грина полупространства. Обеспечиваем непрерывность нормальной производной поля на отверстии. Вносим производную под интеграл:
(13.7)(13.7)0〃+диГ f /、( /G*62Gl 、
(13.7)
(13.7)
■^dNT = ) 口 6 V^F^MdNdN\ 丿
Уравнение первого рода, очень сильная (неинтегрируемая) особенность.
Б. Я-поляризация, (du/dN) |5 = О
Металл:
«(г0 = Ы° (ГО + J ^pLu{r} dS. (12.30)
Функция Грина свободного пространства. Дифференцируем по нормали, переносим 了1 на поверхность, используем граничные условия, производную вносим под интеграл:
-^Г1=S ^^~um dS. (12.32)
Уравнение первого рода, очень сильная, неинтегрируемая особенность.
Переносим точку наблюдения 广i на поверхность. Сразу получаем
и (го = «°(Г1) + $ ^р1«(г) dS.(12.33)
Уравнение второго рода, 6-образная особенность.
Отверстие:
«(Г1)=淤(门)-$ ^" G (Г，门)dS.
Функция Грина полупространства. Обеспечиваем непрерывность поля на отверстии
〃+ (г) _ 〃-(门)=\ "患立[G+ (г, г() - G- (г, Q]dS. (13.18)
Уравнение первого рода, слабая особенность.
Таким образом, для обеих поляризаций получаются интегральные уравнения всех трех упомянутых типов.
Векторная задача.^В векторном варианте интегральные уравнения получаются из леммы Лоренца теми же приемами, что и скалярные уравнения. Граничное условие на металле Ef|s = 0 используется сначала для получения из общей формулы (11.19) выражения для поля всюду в пространстве через интеграл по поверхности металла:
(13.16)(13.16)а)。七(П) = * (勺)—產 § [Е^ (г, п) Я(г)к dS,б) «Я (门)=аЕ。(％) + 粉 § [Е^ (г,门)Я ⑺儿 dS.
(13.16)
(13.16)
Функции Грина Е^ есть в векторном случае решение уравнений Максвелла с электрическим диполем в правой части,后(小)— с магнитным диполем.
Теперь, как обычно делалось выше, поместим точку наблюдения ri на поверхность металла. Получим связь между полем на поверхности и интегралом от того же поля по той же поверхности, т. е. интегральное уравнение. Направим единичный вектор 0 по касательной к поверхности металла. Получим уравнение первого рода (13.17) и уравнение второго рода (13.18) для касательного магнитного поля Ht на металле, с точностью до множителя и направления, совпадающего с поверхностным током:
аЕ° (п)=轰 § [Е(е)(г, г；) Я ⑺筋 dS, (13.17) аН (rj = аН° (г 1) + -^- $ [Е^ (г, r^H^dS. (13.18)
Интегральное уравнение для электрического поля Е на отверстии 8 металлическом, экране получаем из той же леммы Лоренца, в которой используют функции Грина полупространства с плоским экраном. Интегрирование производится на плоскости экрана, получаем в результате магнитное поле слева или справа от экрана в виде интеграла по отверстию:
аН^ (/-О = аЯ? (J-i) - -^ $ [Ж^ =■= (г, r^E (r)L dS. (13.16в)
Переносим точку наблюдения rj на поверхность, затягивающую отверстие, и обеспечиваем непрерывность магнитного поля на отверстии, приравнивая 日十(广» и 履一(广i)； при этом единичный вектор 0 направляем по касательной к плоскости отверстия.
В результате получаем интегральное уравнение первого рода для электрического поля в отверстии:
П含\[№""，/)一 "吁 6 %))ё(明"依(13.19)
Индуктивная диафрагма в волноводе. Рассмотрим при
мер получения интегрального уравнения для электрического
поля на отверстии тонкого металлического экрана, на этот раз в волноводе. Отличие от задачи, рассмотренной в п. 13.1, состоит в том, что вместо функции Грина полупространства (13.3) возникает функция Грина волновода. .
Рис. 13 丄 Индуктивная диафрагма в волноводе.Рис. 13 丄 Индуктивная диафрагма в волноводе.Векторная задача может быть сведена к скалярной, например, в простом случае прям оугольного волновода с индуктивной диафрагмой (края экрана параллельны узкой стенке волновода) и падающей на экран волны типа Н^, у ко
Рис. 13 丄 Индуктивная диафрагма в волноводе.
Рис. 13 丄 Индуктивная диафрагма в волноводе.
торой имеется единственная компонента электрического поля ЕУу параллельная краям экрана (рис. 13.1). Геометрия за-
дачи такова, что никаких других компонент электрического поля не возникает, под полем и можно понимать 七屮
Пусть экран расположен в поперечном сечении 2 = 0. Слевз на диафрагму, т. е. на экран с отверстием, падает одна из соб' ственных волн волновода; обозначим ее индексом «нуль》.В конкретном случае, рассматриваемом нами, волна с этим индексом есть Яю. Результатом решения этой задачи должно быть определение амплитуды волноводных волн, возникающих при дифракции падающей волны на экране, справа и слева от диафрагмы.
Поле слева от экрана представляет собой сумму падающей волны и волн, которые возникли при дифракции на отверстии и идут во встречном направлении:
(.13.20)(.13.20)и = Иое~£Л°2 + Z AnuneihnS.
(.13.20)
(.13.20)
Справа поле есть сумма прошедшей с коэффициентом прохождения D волны 以о и собственных волн волновода, идущих от препятствия вперед:
u^D^ih^2+ £ Anune~ih^.(13.21)
1
Совпадение коэффициентов в (13.20) и (13.21) объясняется тем, что дифракционные поля, уходящие в противоположных
направлениях от диафрагмы, возбуждаются одним и тем же источником—электрическим полем 以，установившимся на отверстии экрана. Иными слЪвами, равенство амплитуд волн, рассеянных диафрагмой вперед и назад, обеспечивается непрерывностью поля на отверстии (для бесконечно тонкого экрана).
Следует отметить, что отличие (13.20), (13.5) не только в том, что вместо функции точника) используется собственная волна п. 12.3), но и в том.
(13.21) от (13.4), Грина (поле 6-ис- функция Грина — волновода (ср. что берутся соб-(13.21) от (13.4), Грина (поле 6-ис- функция Грина — волновода (ср. что берутся соб-Емкостная волноводе.Емкостная волноводе.Рис. 132 диафрагма вРис. 132 диафрагма вфрагмы вфрагмы всвободномсвободномственные волны регулярного волновода, бегущие в одном из двух направлений, а не стоячие волны, возникающие при металлизации отверстия в экране, как надо бы взять, если бы мы полностью следовали логике п. 13.1. Некоторое упрощение аппарата по сравнению со случаем диапространстве связано с возможностью
(13.21) от (13.4), Грина (поле 6-ис- функция Грина — волновода (ср. что берутся соб-
(13.21) от (13.4), Грина (поле 6-ис- функция Грина — волновода (ср. что берутся соб-
Емкостная волноводе.
Емкостная волноводе.
Рис. 132 диафрагма в
Рис. 132 диафрагма в
фрагмы в
фрагмы в
свободном
свободном
использовать ортогональность собственных волн волновода.
/д === \ м以n dS, л — 1, 2,.../д === \ м以n dS, л — 1, 2,...Z) = ) uuq dS, D = 1 + Л().(13.22)Z) = ) uuq dS, D = 1 + Л().(13.22)Можно выразить коэффициенты разложения полного поля в волноводе через и на отверстии, используя упомянутые свойства ортогональности
/д === \ м以n dS, л — 1, 2,...
/д === \ м以n dS, л — 1, 2,...
Z) = ) uuq dS, D = 1 + Л().
(13.22)
Z) = ) uuq dS, D = 1 + Л().
(13.22)
Теперь воспользуемся условием равенства нормальных производных поля на отверстии, т. е. магнитного поля Нх. Продифференцируем (13.20) и (13.21) по г и приравняем результаты при n = 0; получим соотношение
一 Ло^Л0 = Z hnunAn.一 Ло^Л0 = Z hnunAn.(13.23)(13.23)
一 Ло^Л0 = Z hnunAn.
一 Ло^Л0 = Z hnunAn.
(13.23)
(13.23)
Выразим Ап через неизвестное поле 以 на отверстии. Учитывая (13.22), получаем интегральное уравнение первого рода:
尸(4)=，〃(х) к(X, у) dx,(13.24)
где F(y) = ho «0 (г/), а ядро (*)
U, У)=Х, hn ип {у) ип (х).(13.25)
за
Оно имеет очень сильную особенность в точке у =尤，ряд (13.25) в этой точке расходится. Это соответствует общей схеме и формуле (13.7).
Если бы мы рассматривали задачу о емкостной диафрагме (рис. 13.2), то ситуация была бы проще. Поскольку все поля зависят от у по одному и тому же закону (пропорциональны sin пу/а или cos лу/а), то задача сводится к //-поляризации при замене 々 на 〃胪一炉便. Для /7-поляризации мы получили бы уравнение того же типа (13.24), но величина Лп в ядре входила бы в каждое слагаемое не в числителе, как в (13.25), а в знаменателе. Это обеспечивает сходимость ядра во всех точках, даже при у = %, т. е. ядро не будет иметь особенности, согласно общей схеме и формуле (13.13).
Г л а в a V
ВАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ
В этой главе на нескольких простых примерах проиллюстрирована идея одного из наиболее мощных приближенных методов, применяемых в теории дифракции — вариационного метода. В большей части § 14 этот метод применяется к задаче об определении собственной частоты закрытого резонатора. Именно для этой частной задачи вариационный аппарат разработан наиболее подробно. В § 15 изложен способ, позволяющий применить вариационные методы в основной задаче дифракции, т. е. Для определения поля, дифрагированного на каком-либо теле.
Основная идея вариационного метода состоит в том, что для искомой величины (например, собственной частоты) находится такая формула, выражающая эту величину в виде интеграла от какой-либо функции (например, от поля собственного колебания), которая, во-первых, дает точное значение искомой величины, если в нее подставить точное значение функции, и, во-вторых, при подстановке приближенного значения функции дает для искомой величины приближенное значение с существенно меньшей погрешностью, чем погрешность подставляемой функции. Такие выражения (функционалы ——они дают число в результате операций, производимых над функцией) называются стационарными функционалами. В § 15 будут рассмотрены стационарные функционалы от двух функций.
Зная стационарный функционал, можно свести задачу о приближенном вычислении искомой величины к вычислению нескольких интегралов, а при более точном расчете — к решению алгебраического уравнения, коэффициентами которого также являются интегралы от известных функций.
Стационарный функционалдля собственных значений. Метод Ритца
Собственная частота резонатора. Начнем с простейшей задачи об определении собственной частоты k скалярного волнового уравнения
△у 十左2〃 = О (14Д а)
для внутренней области объемного резонатора, ограниченного поверхностью S, на которой должно выполняться граничное условие
務 Is = °・(14・16)
Искомым собственным значением будет квадрат собственной частоты, т. е. А2.
Построение вариационного метода начинается с нахождения стационарного функционала, удовлетворяющего двум условиям, сформулированным во введении в эту главу. В задаче (14.1) такой функционал, как мы сейчас проверим, имеет вид
К5) = \旧а^y/""^忆(14.2)
Для упрощения дальнейших выкладок предположим, что все рассматриваемые функции вещественны, так что К(以)можно записать в виде
K(u}=\^ii)2dV/^dV.(14.3)
Результаты, полученные ниже для функционала (14.3), справедливы и для (14.2), т. е. принятое ограничение (以=以*) не необходимо.
Покажем, что (14.3) удовлетворяет обоим условиям. Обозначим решение задачи (14.1) через 以# Нам понадобится первая формула Грина (4.2), которую запишем в виде
\ VnVw dV + \ и Дю dV =§и鵠dS.(14.4)
Полагая в ней v = и0, ш = и0 и учитывая (14.1), получим, что первое условие действительно выполняется, т. е. что
К3о) =央.(14.5)
Стационарность (14.3), которую мы сейчас будем проверять, означает, что если функция и близка к 以о：
и == «о + цФ, N《h(14.6)
где пока на функцию Ф не наложено никаких ограничений, то отличие К(以)от А2 имеет более высокий порядок малости, чем
Именно, к (以。+ n①)=火{1 + 0(炉)}(14.7)
Доказательство очень просто. Подставив (14.6) в (14.3), получим
((v〃o)2 dv + ^\ v«0 7Фау +о(炉)
к («О + цф) = /—— ■(14.8)
\ *dV + 2卩 \ «0Ф dy + О (ц2)
Первый член числителя, согласно (14.3), (14.5), в А2 раз больше первого члена знаменателя. Покажем, что так же относятся и вторые члены числителя и знаменателя. Это следует из (14.4), если принять ш = и0, и =① и учесть, что 〃о удовлетворяет волновому уравнению и условию (14.16). Именно вследствие этого условия исчезнет поверхностный интеграл в (14.4) при преобразовании второго члена в числителе (14.8), и будет (*)
J V«o VO dV = k2^ щФ dV.(14.9)
Таким образом,
必 ( *" + 2出紋 f «по dp + 0(/
К («о + 卩①)=—Л-”!，(14.10)
)*# + 2卩｝ иоф dP + О (的
откуда и следует основная формула (14.7).
В этом доказательстве на функцию Ф не накладывалось никаких ограничений, кроме того только, чтобы участвующие в (14.3) интегралы существовали. Следовательно, стационарность оператора К достигается на искомой функции 〃о при любых близких к 〃о функциях и. Функции и ——так называемые функции сравнения — не обязаны при этом удовлетворять какому-либо определенному уравнению или каким-либо определенным граничным условиям. Они должны лишь быть непрерывными, иначе не будет, вообще говоря, выполняться (14.9).
Для доказательства основного равенства (14.7) надо было использовать только (14.1). Граничное условие (14.16) обладает тем свойством, что если ио удовлетворяет ему, то для выполнения (14,7) не надо накладывать никаких условий на функции сравнения. Такое граничное условие называется естественным для данного функционала. Условие (14.16) естественное для (14.3). В п. 14.3 мы рассмотрим более сложную ситуацию.
Зная свойство (14.7) для функционала (14.3), можно найти приближенное значение собственной частоты задачи (14.1), подставив в (14.3) какую-либо функцию, приближенно решающую эту задачу.
Например, для двумерной задачи о круге единичного радиуса решение (14.1) с наименьшим значением собственной частоты как известно, есть
以о = /［但г) cos qp,(14.11)
а значение ka равно 1,84. Согласно (14.5), К(〃о) = (1,84产，что можно было бы проверить прямым вычислением интегралов, входящих в (14.3), при подстановке в них (14.11) и замене dV на dS = rdr dq)・
Для того чтобы проиллюстрировать (14.7), подставим в (14.3) и = Ar cos ср ——очень грубое приближение к 〃о (14.11). Так как (14.3) однородно относительно и, то множитель Л не существен. Вычисляя интегралы, найдем К(") = 4, т. е. полученное значение ka = 2 отличается от правильного значения ka = 1,84 всего лишь на 8%. Часто удается из каких-либо вспомогательных соображений, например, из решения электростатической задачи с той же симметрией, найти лучшее приближение к 以о 讨 тем самым с высокой точностью вычислить k2.
Метод Ритца. Можно, однако, значительно эффективнее использовать то обстоятельство, что функционал (14,3) стационарен. Изложим основы метода, позволяющего в принципе найти 左2 с любой точностью. Запишем функцию и в виде ряда по системе функций ип
« = S(14.12)
Функции vn должны обладать некоторыми простыми свойствами—их, грубо говоря, должно быть достаточно много. Существенно, что на них не налагается требование удовлетворять уравнению (14.1а) или граничному условию (14.16). Например, в задаче о круге такими функциями могут быть ил = гл cos /гф.
Подставим (14.12) в (14.3). Производя несложные преобразования, получим явное выражение для функционала К(口) как функции коэффициентов ап:
Z X Хтпа^ат
КЗ) = г .，(14.13)
乙 Z ^птапатга т
где Хпт и Ynm ——интегралы от известных функций (*)
Хм= \ Wn^vmdV, Ynm = \ vnvmdV,(14.14)
т. е. известные числа.
Если коэффициенты ап выбраны таким образом, что (14.12) равно 〃о, то все частные производные от ^ по аь а?…равны нулю. Действительно, (14.7) означает, что любое отклонение и от 以о вызывает изменение К, квадратичное по этому отклонению. В частности, если это отклонение состоит в том, что а\ вместо правильного значения, при котором ряд (14.12) равен 〃о, принимает другое, близкое значение, то К должно измениться на квадрат разности этого правильного и близкого значения “卜 а это и значит, что
£ =算=0,…(14.15)
dat ' оа2
где последующие уравнения написаны по аналогии.
Таким образом, ап могут быть найдены из (14.13) и (14.15), а найдя ап, можно найти по (14ЛЗ) и «экстремальное значение К, т. е. искомое собственное значение 胪.
Фактически находить ап не надо, форма функции (14.13) такова, что определение ^2 не требует предварительного определения коэффициентов ап. Найдем уравнение для 胪，заменив сначала нахождение стационарного значения отношения (14.13) двух квадратичных форм от ап эквивалентной задачей — нахождением стационарного значения числителя при знаменателе, равном единице, т. е. условного экстремума квадратичной формы £ £ Хптапа!п при условии, что переменные ап не независимы, п т а связаны уравнением
S Z Упт.апат— 1.(14.16)
Как известно, эта задача, в свою очередь, применением метода Лагранжа сводится к определению безусловного экстремума функции
R = £ £ Xг1m。也爪 L £ Z(14•⑺
Таким образом, вместо системы (14.15) для аь а2, ... можно решать относительно аь 做，…и буквы L совокупность уравнения (14.16) и уравнений
晋貶…(14.18)
Уравнения эти имеют вид системы однородных линейных уравнений относительно ап'
SJV„ma„-A?E^m«n = 0,(14.19)
При этом значение числа L, которое получается из системы (14.18), (14.16), и есть искомое экстремальное значение функции (14.13), т. е. то значение ее, которое она принимает при подстановке величин 厘卜 аг, являющихся решением уравнения (14.15) или, что то же, уравнений (14.19). Мы уже использовали это, заменив в (14.19) L на.^2.
Равенство L = k2 следует из того, что эти уравнения (их иногда называют уравнениями Ритца — Галеркина) могли бы быть получены непосредственно из (14.15), без обращения к аппарату условных экстремумов и множителей Лагранжа. Для этого следует умножить равенство (14.13) на сумму, стоящую в знаменателе, и продифференцировать по 厘卜 аг ..., учитывая (14.15), т. е. считая К= const Мы получили (14.19) из (14.17),
так как в литературе стационарные функционалы часто приводят в форме, аналогичной (14.17). .
Таким образом, значение ^2 находится раньше, чем значения ай, 〃2, •••, которым оно соответствует； ^2 есть корень уравнения
Det|X^ — "〃ml = 0, (14.20)
которое должно выполняться, чтобы система (14.19) для аь 02, . -. имела нетривиальные решения. Найдя из (14.20)在2, можно из (14.19) найти отношения ак а2: .,., а из (14.12)— собственную функцию (с точностью до нормировки).
Вычисление А2 по (14.14) и (14.20) требует разумного выбора функций ил ——так, чтобы ограничиваясь небольшим числом членов в бесконечном детерминанте (14.20), мы получили бы хорошее приближение к истинному значению ^2, быстро сходящееся к нему с ростом числа строк и столбцов, сохраняемых в детерминанте.
Естественные граничные условия. Во всем этом аппарате для доказательства экстремальности функционала К не накладывалось никаких ограничений на функции сравнения и (кроме непрерывности). Стационарность К обеспечивалась свойствами функции 〃о, в том числе граничным условием (14.16). Эта стационарность достигается на любых функциях сравнения, в частности при любом выборе функций vn в методе Ритца.
Ситуация будет иной, если мы . будем искать собственное значение другой задачи
a) Aw + k2u — 0, б) %Ь = 0, (14.21)
отличающейся от (14.1) другим граничным условием. Простая проверка показывает, что функционал (14.3) обладает, по-прежнему, свойством (14.5), но стационарен он, вообще говоря, не будет, т. е. для него не будет выполняться основное свойство (14.7), Действительно, при преобразовании второго слагаемого в числителе (14.8) по (144) вместо (14.9) получим
\vuoV①^ =钾\询①dU+§①需必. (14.22)
Для того, чтобы К было стационарно на 以о, нужно, чтобы второе слагаемое в (14.22) было равно нулю. При граничном условии (14.16) это выполнялось при любой функции Ф, при граничном условии (14.216)——только при функциях Ф, которые сами удовлетворяют этому условию* Поэтому и функции рп в методе Ритца для задачи (14.21) должны удовлетворять граничному условию (14.216). Необходимость предварительно получить достаточно богатый набор функций, удовлетворяющих
граничному условию, существенно затрудняет использование метода.
Граничное условие*(14.216) не является, такнм образом, естественным для функционала (14.3). Можно так изменить этот функционал, чтобы сделать и граничное условие (14.216) естественным. Действительно, простая проверка показывает (弟),что функционал
K3) = [j(V〃)2dU-2§u -1^-118^1^dV (14.23)
будет стационарен на решении задачи (14.21) для любых непрерывных функций сравнения. При подстановке и = и0 + цф второе слагаемое в (14.23) дает член, пропорциональный ц, который сократится с контурным интегралом, возникающим, согласно (14.22), от первого слагаемого. Таким образом, к (14.23) можно уже применять, например, метод Ритца с любыми функциями Um. При этом коэффициенты детерминанта (14.20) будут даваться формулами, отличными от (14.14); эти формулы легко получить из (14.23).
Уравнения Максвелла. Перенесение всего этого аппарата на векторную задачу не требует привлечения новых идей. Рассмотрим задачу о нахождении собственной частоты закрытого резонатора с идеальными стенками, т. е. значения А, при котором уравнения
rot Н — ikE = 0, rotE + /а = 0,(14.24а)
с граничным условием
В = 0(14.246)
на замкнутой поверхности имеют внутри этой поверхности ненулевые решения. Функционалы зависят теперь не от скалярной функции, а от вектора. Простейший стационарный на решении задачи (14.24) функционал имеет вид
д-(Я)= J (rotHYdv/^H2dV.(14.25)
Для упрощения записи мы ограничились вещественными функциями. Все дальнейшие рассуждения сохранятся, если допустить комплексные вектора Н и заменить в (14.25) квадраты векторов произведениями их на комплексно сопряженные.
Если &о ——решение задачи (14.24), то функционал (14.25) обладает свойством, которое является основным во всех построениях этой главы:
К (К。+=奴[1 十 о(卩明，(14.26)
где Ф ——любой непрерывный вектор, для которого интегралы в (14.25) существуют. Другими словами, функционал (14.25)
стационарен на решениях задачи (14.24), и граничное условие (14.246) для него естественное.
Доказательство (14.26) повторяет доказательство свойства (14.7) и основано на формуле, заменяющей (14.4):
ArotadV — ^arotAdV — §\^A\NdS. (14.27)
Подставив в (14.25) 反。+卩① и отбросив члены второго порядка по pi, получим (14.26), если покажем, что
, (rot H^dV =彦 \ 矶 dV,
Сс(14.28)
\ rot a。rot © dU =.胪 \ Я0ФdV.
Оба эти равенства получаются из (14.27), если в нем принять А = Ео и заменить 国 и rotEo по (14.24а), а под а понимать 瓦 для (14.28а) или Ф для (14.286) (*). Существенно, что согласно (14.246) поверхностный интеграл в (14.27) равен нулю.
Для другого функционала
^(Е) = ^(то1Е)2ау/^ E^dV(14.29)
граничное условие (14.246) не является естественным, и он стационарен на решениях задачи (14.24), только если все функции сравнения удовлетворяют этому граничному условию.
И здесь можно так изменить функционал, чтобы граничное условие (14.246) было для него естественным. А именно, легко проверить, что бункцяонал・
((rot £)2 dP 十 2 6 [rot Е ЛЬ dS
К (Е)=上р (14.30)
\ Л2 dV обладает свойством
-K(% + n ①)=火" +0(n2)](14.31)
для любых Ф, если Ео — решение (14.24). К функционалам этого пункта применимы методы, описанные для функционалов (14.3), (14.23), в частности, метод Ритца, требующий, разумеется, задания системы векторных функций для разложения Н или Е.
Резонатор с диэлектриком. Можно написать стационарные функционалы, дающие квадрат собственной частоты для закрытых резонаторов, частично заполненных диэлектриком. Проще всего полагать е(х, у,之)непрерывной функцией координат, тогда не надо будет обеспечивать выполнение условий (2.1)
на границе, диэлектрика. В реальных задачах, в которых 8 есть кусочно постоянная функция, легко потом перейти к пределу разрывного 8.<
Функционал, стационарны^ на решениях уравнений
rot И — ik^E = 0, rot Е + ikH = 0(14.32)
с граничным условием (14.246) на металле, будет
Д- == J -1 (rot H^ dV/J Я2 dv.(14.33)
В стационарных точках он принимает значение «* Это легко проверить таким же методом, как мы проверяли стационарность (14.25) и (14.29) (*). Из этой проверки следует также, что граничное условие (14.246) естественное для (14.33). Можно записать К и для резонатора с отличной от единицы магнитной проницаемостью, с тензорным заполнением и т. д.
Стационарный функционал для собственного импеданса. Как мы отмечали в § 10, решение задачи дифракции можно представлять в виде ряда по собственным функциям однородных задач; в которых собственным значением служит не частота, а поверхностный импеданс. В скалярной записи однородная задача запишется так:
а) Ди + ^2w = 0, б)(以 + 侬 ~^~) к = 0・(14.34)
Величина w ——собственное значение этой задачи ——играет в рядах (10.3) примерно ту же роль, что и k2 — собственное значение задач (8.3) или (14.1), так что зная w как функцию частоты» можно в резонансных условиях определить частотную зависимость амплитуды. Поэтому существенно, что можно написать функционалы, стационарные на решениях задачи (14.34) и принимающие в стационарных точках значения ш. Простейший такой функционал имеет вид
Г (u) = J иМг/J [v2u2 — {ktif\ dV. (14.35)
Используя (14.22) и граничное условие (14.346), легко проверить (*), что, действительно,
К(的 + 模①)=3[1 + 0 (n2)].(14.36)
Так как искомое собственное значение входит в граничное условие, то подчинить этому условию функции сравнения нельзя, и могут быть использованы только функционалы, для которых оно естественно.
Задача (14.34) имеет смысл и для внешних задач дифракции, когда ш комплексная величина. При этом надо либо добав^
лять к. интегралам в (14.35) еще слагаемые, либо, что проще, полагать k слегка комплексным; это обеспечивает их сходимость. В отличие от функционалов для А2, в рассмотренных выше внутренних задачах дифракции без потерь, функции % в (14.35) теперь обязательно комплексны. Функционал w принимает комплексные значения и на Uq достигает не экстремума, а именно стационарного значения. Для формального применения, например, метода Ритца, этого достаточно, и весь формализм (14.12) — (14.20) применим к (14.35) и для внешних задач, однако вопросы, связанные со сходимостью решений уравнения (14.20), в этом случае значительно сложнее.
§15. Стационарные функционалы для коэффициентовотражения и преобразования й для полей
Коэффициент отражения от диафрагмы. Выше вариационный аппарат применялся для определения собственных значений нескольких однородных задач, которые (гл. III) являются вспомогательными для задач дифракции. Однако его можно использовать и непосредственно для задач дифракции, т. е. для нахождения коэффициентов отражения, прохождения и, вообще, полей, являющихся решениями неоднородных уравнений.
Проиллюстрируем эту идею на задаче о коэффициенте отражения от диафрагмы в волноводе, для которой она и была сначала применена. Для прямоугольного волновода и индуктивной или емкостной диафрагмы задача эта сводится к скалярной. Мы в общем виде сформулируем ее как скалярную, чтобы не усложнять запись.
Электрическое поле % на отверстии диафрагмы удовлетворяет интегральному уравнению первого рода (13.14). Для индуктивной диаграммы ядро в прямоугольном волноводе в явном виде выписано в (13.25). Мы запишем это уравнение в виде
\%{%)K(%, Xi) dx — F (xj. (15.1)
Здесь как х, так и 尤i, вообще говоря, являются совокупностью двух координат (к, у) и (尤i,yi); интеграл взят по отверстию в диафрагме;尸(修)——магнитное поле падающей (с одной стороны) волны; w (х) — электрическое поле. Для //-поляризации оно было раньше обозначено du/dN, но в этом пункте мы не уточняем характер поляризации и сохраняем для электрического поля это обозначение. Ядро К(尤，尤i) выписано в общем виде в (13.7) и (13.13), а в векторной записи — в (13.19). Существенно, что оно симметрично; это является выражением принципа взаимности. В гл. IV показано, что уравнение для и(х) нельзя (например, для 5-поляризации) записать в виде (15.1),
ибо нельзя производить дифференцирование под знаком интеграла, которое может быть необходимым для получения не ин- тегродифференциального, а именно интегрального уравнения (15.1). Но так как в окончательные выражения войдут только двукратные интегралы от К(尤，尤i), то мы сохраним запись (15.1), ибо формальное введение производных под знак интеграла, приводящее к расходягцемуся ядру, с последующим двукратным почленным интегрированием приводит к верным результатам. В векторной форме ядро 〃(加)，вообще говоря, имеет слишком сильную особенность, и применять (13.19) к точкам в отверстии нельзя. Однако и здесь можно формально совершить предельный переход (точка наблюдения помещается в отверстии) под знаком интеграла, также имея в виду, что возникающее расходящееся ядро будет в окончательных формулах стоять под знаком двукратного интеграла.
Коэффициент отражения R от диафрагмы получается из 〃“)интегрированием, и с точностью до несущественных множителей
1 + /? = J U(X)F (х) dx.(15.2)
Таким образом, для того чтобы найти R, надо найти 口〃з (15.1) 〃 вычислить интеграл (15.2). Вторым множителем в интеграле является правая сторона уравнения для 〃.
(J«(x)F(x)dx)(J«(x)F(x)dx)Оказывается ——и эта идея лежит в основе всех построений этого параграфа—что можно написать функционал
(J«(x)F(x)dx)
(J«(x)F(x)dx)
(15.3)
\ \ К (х, Xi) « (х" (хО dx 5
который при подстановке вместо 〃 решения (15.1) даст 1+R и стационарен иа этом решении. Если обозначить решение (15.1) через Wo, то утверждается, что
L (〃о + 卩⑺=(1 + R) [1 + О (吟]・(15.4)
Доказательство при ц = 0 очевидно — из (15.1) следует, что при этом числитель равен квадрату знаменателя, так что L (м0)— —^ u^Fdxt а это, согласно (15.2), есть искомая величина. Стационарность доказывается стандартным способом, подстановкой в (15.3) и = и0 + цф и разложением числителя и знаменателя по ц с сохранением только членов порядка ц. Числитель при этом будет равен
(、的F dx)* + 2卩,UqF dx、q)F dx9(15.5a)
а знаменатель
К (х, X!)u0 (x)u(x^dx dxx + ц \ ^(x^dx{ \ К (х, х{)и0 (х) dx +
+ р, \ Ф (х) i/x \ /< (х, x^Uq (%!)dxP (15.56)
Первый член числителя в (1+R) раз больше первого члена знаменателя (*). Для того чтобы доказать, что это справедливо и для слагаемых, пропорциональных р,, надо в (15.56) заменить внутренние интегралы по (15.1). При этом используется симметрия К(尤,Xi) (*).
Таким образом, определение R можно производить, минуя вычисление и из (15.1). Достаточно для этого применить к (15.3), например, метод Ритца или подставить в (15.3) функцию и, найденную каким-либо приближенным способом. Именно таким образом и определяются часто коэффициенты отражения от препятствий в волноводах.
Матрица рассеяния от диафрагмы. Коэффициент отражения R получается, согласно (15.2), интегрированием и, умноженного на ту же функцию F, которая стоит в уравнении для 〃. От неоднородности не только отражается падающая волна, но и рассеиваются волны других номеров. Вычисление их амплитуд представляет собой интерес для широких волноводов, где некоторые из этих рассеянных волн являются незатухающими. Для того чтобы по полю на отверстии вычислить амплитуду какой-либо другой волны, рассеянной от диафрагмы, надо, согласно теории возбуждения волноводов, вычислить интеграл от произведения и на магнитное поле Ф(х) этой рассеянной волны:
Д = ^ w (х) Ф (х) dx. (15.6)
Оказывается, что и для нахождения этих величин не нужно предварительно определять и из (15.1) и затем производить фактическое вычисление интеграла (15.6). Можно и для Л найти функционал, который будет стационарен на решении уравнения (15.1) и будет давать при этом искомый коэффициент рассеяния.
Для построения этого функционала надо ввести, одновременно с w, еще функцию и (%), удовлетворяющую уравнению
、К (尤，^^^(х!) dxi = Ф,(15.7)
Ядро этого уравнения совпадает с ядром уравнения (15.1), а правой частью является функция, входящая в интеграл (15.6)
для искомой величины Л. Функционал для А зависит от двух функций и равен.
、尸(#) и ") d# • R Ф (х)玄(л) dx
L («, и) = %^.(15.8)
\ \ К (к, X])玄(х) о(Xi) dx d*i
Обозначим решения уравнений (15.1) и (15.7), соответственно, 卫о и ?о и покажем, что действительно функционал (15.8) обладает основным свойством
(15.9)(15.9)“〃о + ЦФ, “ + 卩屮)=4 口 +。也2)],
(15.9)
(15.9)
ядро, тоядро, тогде ф и 屮——произвольные функции. Умножим1 для этого (15.1) на Vq и проинтегрируем, а затем умножим (15.7) на 〃о и проинтегрируем. Так как в (15.1) и (15.7) участвует одно и то же
ядро, то
ядро, то
(15.10)(15.10),Fvq dx~^ ①〃° ^尤 n , , KuWo dx dxb
(15.10)
(15.10)
откуда следует, что подстановка в функционал (15.8) функций 〃о и г\» действительно придает ему значение А. Стационарность, т. е. свойство (15.9), доказывается из сравнения членов, пропорциональных 卩 в числителе
N , ФuQdx \ ^pF rfx + Ц ^ 尸〃о Jx j qp①％с (15.11а)
и в знаменателе (*)
"\屮(/)“ ,k(*,"\屮(/)“ ,k(*,X,) Ио (х) dx + nX,) Ио (х) dx + nТ а (х) dx \ к (х.Т а (х) dx \ к (х.X])%(Xi)g.(15.116)X])%(Xi)g.(15.116)
"\屮(/)“ ,k(*,
"\屮(/)“ ,k(*,
X,) Ио (х) dx + n
X,) Ио (х) dx + n
Т а (х) dx \ к (х.
Т а (х) dx \ к (х.
X])%(Xi)g.
(15.116)
X])%(Xi)g.
(15.116)
Внутренние интегралы в последней строчке согласно интегральным уравнениям для и0 и и。 равны, соответственно, F(尤i) и Ф(х), т. е. вся строчка (15.11а) равна строчке (15.116), умноженной на ^ Фм0dx. Отсюда и из (15.10) и следует (15.9).
Таким образом, и для вычисления коэффициентов рассеяния можно применить вариационный аппарат. Для каждой из рассеянных волн магнитное поле выражается своей функцией Ф, так что ?о зависит от того, амплитуда какой именно из рассеянных волн вычисляется. Формулы предыдущего пункта являются частным случаем формул этого пункта, когда рассеянная волна имеет тот же вид, что и падающая, т* е•①曰 F, а потому и функция и совпадает с 以.
Функция V имеет простой физический смысл, вытекающий из сравнения уравнений (15.1) и (15.7). Подобно тому, как 〃(尤)' является электрическим полем на отверстии, возникающем при
§ 181 ФУНКЦИОНАЛЫ ДЛЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ОТРАЖЕНИЯ 151 падении основной волны (с магнитным полем 尸)，функция о —— электрическое поле на отверстии, создаваемое падением волны с магнитным полем Ф. Согласно первому равенству в (15.10), амплитуда волны второго типа, возникающая при падении первой волны, равна амплитуде первой волны, возникающей при падении на то же препятствие второй волны. Это есть частный случай теоремы взаимности; этим же объясняется и симметрия оператора (15.8) относительно полей обеих волн.
Стационарный функционал для поля. Схема построения стационарного функционала для амплитуды волн рассеяния от диафрагмы в волноводе может быть обобщена практически на любую задачу теории дифракции. Покажем — опять в скалярной записи, как строится функционал типа (15.8) для задачи о дифракции на теле» на поверхности S которого выполняется граничное условие
〃ls = °・ (15.12)
Примем, что источником служит б-диполь, т. е. ищем функцию Грина этой задачи.
При этом будем применять весь аппарат не к электрическому полю на отверстии (а, а затем и), как в предыдущих пунктах, а к магнитному полю на металле. Соответственно правыми частями интегральных уравнений, аналогичных (15.1) и (15.7), будет не магнитное, а электрическое поле падающей волны. Можно было бы и в волноводной задаче оперировать не с полем на отверстии диафрагмы, а с током на диафрагме. Применяя в общем случае несколько иной вариант, мы подчеркиваем гибкость всего метода.
Обозначим точку, в которой расположен источник, знаком 门，точку, в которой хотим найти поле, г* а точки на поверхности тела через х или у, и, соответственно, через dx и dy — элементы поверхности S около этих точек. Введем функцию Грина вакуума G (§ 11). Поле в точке наблюдения выражается через ток на поверхности S ——так мы назовем функцию 8卅'、［bN. Здесь индекс (1) означает, что ток этот создан источником, расположенным в гь Поле в гг равно сумме поля, создаваемого в 尸2 в отсутствие тела, и поля, создаваемого током (12.22):
ы (Г2) = G (r„ г2) - J G (г2, х) ^^- dx. (15.13)
Функция Ga/GN находится из интегрального уравнения первого рода, которое получаем, если в последнем равенстве положить точку 尸2 на поверхность. Обозначим эту точку буквой у. Используя (15.12), получим
\ G(尤，y)^^Md% = G(c，力 05.14)
Это интегральное уравнение в других обозначениях записано в (12.23). Сопоставим (15.14) с (15.1). Неизвестная функция, обозначенная в (15.1) через и, в (15?14) обозначена du^/dNt ядро и правая часть имеют вид?
К (%, Z/) = G(x, у),尸(“) = G (门，у).(15.15а)
Надо вычислить дифрагированное поле, т. е. второе слагаемое в (15.13). Этой величине можно придать вид (15.6), если положить
Ф (х) = — G (/*2, х).(15.156)
Следовательно, схема предыдущего пункта — решить уравнение (15.1) и от решения взять интеграл (15.6)——имеет место для любой задачи дифракции на металлическом теле. Поэтому и здесь можно получить стационарный функционал, дающий в своих стационарных точках искомую величину — дифрагированное поле.
Согласно схеме предыдущего пункта, надо ввести на S еще одну функцию и(х), удовлетворяющую уравнению
\ <?(х, у) и (х) dx = — G&2, х).(15.16)
Из сравнения с (15.14) следует, что функция и только знаком отличается от тока, возникающего на S под .действием б-источ- ника, расположенного в г2, так что в очевидных обозначениях
и (х) = — d口⑵(尤)/мд(15Л5в)
Таким образом, функционал, дающий дифрагированное поле, создаваемое в точке гг источником, расположенным в rj [второе слагаемое в (15.13)], согласно (15.8) и (15.15), будет иметь вид
J G (rb x) —^― dx j G (r2> x)―赤「dx
~、加⑴⑴au⑵①)" "-(/)
\ ) G(招 У)—丽dN — d# dy
Как и должно быть, он симметричен относительно перестановки индексов 1 и 2. Напомним, что G — функция Грина вакуума.
Для фактического применения (15.17) надо обе варьируемые функции dW>JGN и du^/dN либо найти в каком-нибудь приближении, либо разложить в ряд по какой-либо полной на S системе функций и применить метод Ритца. При этом L окажется отношением двух билинейных форм от коэффициентов этих рядов, и уравнения типа (14.15) приведут к двум системам однородных уравнений для зтнх коэффициентов, аналогичным (14.19). Условие существования нетривиального решения приведет опять к уравиеншо типа (14.20), в котором неизвестной вели чи ной является искомое дифрагированное поле.
Метод полностью применим и для определения характеристики рассеяния плоской волны. Вместо точек 尸i и 门 надо при этом ввести направление, из которого приходит возбуждающа я волна, и направление, в котором ищется рассеянное поле. Функции G(r\, х) и G(「2, х) заменятся своими асимптотическими формами (т. е. полем плоских волн), которые, например, для двумерной задачи даются первым слагаемым в (11.11) с заменой 0о на 01 и 02, соответственно. Функционал (15.17) дает стационарное выражение для диаграммы рассеяния волны, приходящей из направления 01, в направлении 8%
Метод может быть обобщен для дифракции на диэлектрических телах, для векторных задач и т. д. Основная его идея состоит в вычислении интегралов типа (15.2), (15.6) [в частности, (15.13)] от решения интегральных уравнений первого рода (15.1) [в частности, (15.14)]. без фактического решения этих уравнений.
Глава VI
ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ПЛОСКОСТИКОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
В этой главе рассмотрены методы, основанные на представлении искомого поля в виде интеграла Фурье. После того как формальное решение в этом виде получено, его исследование производится путем деформации контура интегрирования в плоскости комплексной переменной. Подробно рассмотрены математические приемы, связанные с такой деформацией, в частности——выделение однозначной ветви многозначной функции путем проведения разрезов и др. Основным результатом являются приближенные формулы для поля на большом расстоянии от источника и для амплитуд поверхностных волн. Метод применяется к телам бесконечным (§§ 16, 17) и полу бесконечным (§ 18). Для бесконечных тел решение в виде интеграла Фурье находится легко, центральной задачей исследования является получение приближенных выражений.
Возбуждение импедансной плоскости(двумерный вариант)
Постановка задачи. Простейшей задачей этого типа является нахождение скалярного поля 〃(尤,г), возникающего при возбуждении импедансной плоскости х = 0, т. е. плоскости, на которой выполняется граничное условие
(〃_ 侬詳儿=0 = “ (16.1)
где импеданс w — постоянная (не зависящая от z> величина. Предполагается, что источники расположены в конечной области пространства, вблизи начала координат.
Электродинамическая задача сводится к указанной двумерной задаче, если источники содержат только у-ю компоненту электрического или магнитного токов, притом не зависящие от у; тогда и = Еу или и = Ну.
В двух частных случаях, соответствующих идеальному металлу (⑵=0, если 口=£产；ш = оо, если и = Нд), задача при любом возбуждении имеет простое решение — поле равно сумме полей, создаваемых (в вакууме) заданными и отраженными источниками. Простое решение задача имеет и в другом частном случае ——при падении плоской волны; при любом w возникает только отраженная плоская волна. Это обстоятельство будет положено в основу метода, намеченного в § 16.9. В общем случае структура решения сложнее.
Условие излучения，которое надо поставить, чтобы задача была сформулирована и имела однозначное решение, было получено в § 3 в предположении, что дифракция происходит на теле конечных размеров. Для задачи о бесконечном теле оно требует некоторого обобщения. Это вызвано тем, что если поверхность тела уходит на бесконечность, то из бесконечности могут, при некоторых условиях, приходить не только объемные волны (в двумерной задаче цилиндрические), но и поверхностные. Обычное же условие возбуждения (3.22) гарантирует отсутствие только приходящих объемных волн. Мы упоминали об этом в п. 3.4.
Прежде, чем сформулировать это обобщение, приведем формулу для поля поверхностной волны, распространяющейся вдоль импедансной поверхности:
unoB(x, z)==e-i-V^^xe-ih<,zt(16.2)
При любом 仇 эта функция удовлетворяет однородному волновому уравнению. Граничное условие (16.1) дает уравнение ДЛЯ Ло!
—i 7 左 2—‘%卡—i/w = о,(16.3)
причем надо выбрать тот знак корня, при котором поле (16.2) убывает при х-> оо (т. е. поверхностная волна существует):
Im V^2 —Ао< 0-(16.4)
Далее для простоты записи примем ⑵ вещественным. Из (16.3) и (16.4) следует, что поверхностные волны могут распространяться вдоль импедансной поверхности, если 3 Vo.
Таким образом, при ш > 0 поверхностные волны не распространяются, а при ⑵ V 0 могут распространяться две поверхностные волны, поля которых убывают с х по закону ехр (х/ш) с волновыми числами h — 土/z。：
(16.5)(16.5)无О = «胪 + 1/w2-
(16.5)
(16.5)
Требуемое обобщение условия излучения состоит в том, что поле не должно содержать также приходящих к началу координат плоских волн с волновыми числами 土力0・
Сформулируем теперь задачу дифракции, введя вместо полного поля и дифрагированное поле обычным условием р = =以 ——u°, где «° ——поле заданных источников в вакууме. Поле о есть решение волнового уравйения
дх2 十 az?十 & °5дх2 十 az?十 & °5(16.6)(16.6)
дх2 十 az?十 & °5
дх2 十 az?十 & °5
(16.6)
(16.6)
удовлетворяющее упомянутому условию излучения и граничному условию при х = 0, следующему из (16.1):
(農-》儿=。7(2),(16.7)
где /(z);—известная (т. е. определяемая только падающим полем) функция:
H^)= (-< + i«°)L-(1&8)
Дифрагированное поле удовлетворяет однородному уравнению и неоднородному граничному условию.
Разделение переменных. Решение уравнения (16.6) будем искать в виде суперпозиции частных решений, имеющих вид произведения
e-g-弋% = “胪—力2.(16.9)
Выбор множителя ехр (—ihz) в этом частном решении определяется применяемым аппаратом интеграла Фурье. Второй множитель находится при подстановке функции X (х) ехр (—i无z) в (16.6) и решении получающегося уравнения для Х(х). Для более сложного, чем (16.6), волнового уравнения этот множитель был бы сложнее — с этим мы встретимся в следующем параграфе.
При любом значении h функция (16.9) удовлетворяет уравнению (16.6). Величина й есть постоянная разделения для решения (16.9), аналогичная, например, постоянной разделения т в задаче дифракции на цилиндре (§ 5). Однако в задаче дифракции на бесконечном теле постоянная разделения может принимать (в отличие от т) любое значение, и поэтому общее решение следует искать не в виде суммы, как в (5.10), а в виде интеграла:
о(х, 2)= § 尸(/г)еТ^еТ3d瓦(16.10)
Контур С в основном совпадает с вещественной осью, его положение мы уточним ниже.
Интеграл (16.10) удовлетворяет волновому уравнению для любой функции F(й), для которой он существует (*). Подобно
тому, как коэффициенты рядов Релея (5.10) определялись из функционального уравнения, следующего из граничного условия, функция 尸(无)находится из уравнения, получающегося подстановкой (16.10) в (16.7):
' ，尸(九)｛一春一现｝63如=〃2). (16.11) С
Это уравнение должно выполняться для всех г. Поэтому оно решается элементарным образом, по формуле обращения интеграла Фурье
尸色)==(鬪)(16.⑵ где g (九)一фурье-сопряженная от известной функции / (之), (16.8), то есть известная функция от Л:
g(〃)=嘉 \ f(z)eihzdz. (16.13)
При этом мы не учитывали некоторого отличия контура С от вещественной оси. Можно показать, что это отличие не нарушает правила обращения интеграла Фурье.
Формулы (16,10), (16.12) должны быть дополнены определением значения на контуре С входящей в них двузначной функции 乂 = “廖一渉.При Л > й и й < —左，т. е. в области в которой подкоренное выражение отрицательно, знак 乂 определяется из требования сходимости интеграла (16.10); множитель ехр(——ixx) должен убывать при 无一> ±8. Для этого следует принять
Imх < 0 при 无 V ——左 и h> k. (16.14а)
В интервале —А < Л < А 乂 вещественно. Поведение 'всего интеграла (16.10) при х-> оо определяется знаком 乂 в этом интервале, так как в остальной части интеграла множитель ехр(—ixx) при 尤f 8 быстро убывает согласно (16.14а) (*). Дифрагированное поле (16.10) должно при х—> оо представлять собой уходящую волну, и это будет иметь место, если
Re х > 0 при —k < h < k. (16.146)
Формулы (16.14) определяют значение двузначной функции, входящей в (16.12), при вещественных й.
Контур С, вообще говоря, не совпадает всюду с вещественной осью, так как на нем подынтегральная функция может обратиться в бесконечность и интеграл не будет иметь смысла. Действительно, знаменатель функции 尸(无)совпадает с левой частью уравнения (16：3). При w < 0 существуют два корня
этого уравнения (16.5). Они лежат в той части вещественной оси, в которой радикал определен по (16.14а), и в них радикал (16.4) определен таким же образом.*Следовательно, при 3 Vo на вещественной оси существует два полюса Л = 士九口 функции F(h). Положение контура С относительно вещественной оси вблизи этих полюсов будет определено нами в п. 16.6 таким образом, чтобы выполнялось не использованное еще условие — отсутствие поверхностных волн, приходящих к началу координат ИЗ 2 = 士ОО.
Разрезы на плоскости комплексной переменной. Далее мы будем преобразовывать интеграл (16.10) деформацией контура С в плоскости fi = Н + ih". Это требует выбора на всей плоскости определенной ветви двузначной функции х, входящей
в подынтегральное выражение.
Точки ветвления этой функции расположены на вещественной оси при й =——А и й = А. Для того чтобы сделать функцию 乂 однозначной всюду в плоскости й} надо из этих точек провести разрезы. Только после этого можно производить деформацию контура. Как увидим в п, 16.5, в некоторой части пространства
Рис. 16.1. Разрез в плоскости Л.Рис. 16.1. Разрез в плоскости Л.именно существование этих разрезов в плоскости комплексной переменной определяет структуру поля.
Рис. 16.1. Разрез в плоскости Л.
Рис. 16.1. Разрез в плоскости Л.
Условия (16.14), которым выбранная ветвь функции 乂 должна удовлетворять на вещественной оси плоскости Л, задают направление обоих разрезов, т. е. определяют, в какой полуплоскости (верхней или нижней) должен располагаться каждый из них.
Из точки Л = А разрез должен быть проведен в нижнюю полуплоскость. Это следует из того, что непрерывный переход от Л =
=Л + 0 к h = k — 0, который возможен только с выходом в комплексную плоскость, согласно (16.14) должен происходить В верхней полуплоскости (*). Из точки ветвления Л =——А разрез следует проводить в верхней полуплоскости (рис. 16.1).
Разрезы должны уходить на бесконечность. Положение разрезов (между точками Л =—々 и Л = хоо и точками й = А и h =——ioo) можно выбирать различным образом. Каждому положению разрезов соответствует свое определение ветви $унк・ ции х= д/^2 ——力2 so всей плоскости й. Мы проведем разрезы параллельно мнимой оси, это облегчит нам в п. 16.5 вычисление некоторых интегралов, входящих в приближенные формулы
для поля.
Особенность функции F(力)при -х — 0. Как уштдим, поведение Фурье-сопряженной функции от поля при 力一* 土左 связано с асимптотикой поля при [г|->оо вблизи поверхности^
Так как все источники расположены вблизи начала координат, то падающее поле и0(х, г) при 犬=0, |z|fco асимптотически пропорционально ехр(— ik\z\)l^/\z |. Зная эту асимптотику, найдем особенность фурье-сопряженной от м°(0, 2)при 頁一> 士玄 а затем, используя (16.8), (16.13) и (16.12), и особенность 尸(左). В следующем пункте по этой особенности найдем асимптотику полного поля при со.
Разложим и(0, г) и производную 0〃(无,г)/дх. взятую при х = 0, в интеграл Фурье:
(16.15)(16.15)〃° (0, «г)=、尸。(й) e^ihzdh9
(16.15)
(16.15)
а嘤 ” =\ zxF° (Л) е-т?dh.
Первая из этих формул является определением функции 尸。(九). Вторая получается из неё, если учесть, что согласно волновому уравнению, разложение Фурье для 〃°(%,之)при малых х, х ^ 0, получается из (16.15а) добавлением под интегралом множителя exp(ixx) (*). Здесь в экспоненте следует брать другой знак по сравнению с множителем в (16.10), так как поле и0 создано источниками, расположенными выше плоскости х = 0, и потому должно вблизи этой плоскости иметь аналитическую форму, обеспечивающую удовлетворение условиям излучения прй ктсо [а не при со, как (16.10)].
Обратив (16.15а), получим
P°W = -^ J и0 (0, Z)^hedz.(16.16)
Особенности F0 (Л) могут быть вызваны только расходимостью этого интеграла при больших |n|. Асимптотика подынтегрального выражения есть
£…■ (2 VO), — (z>0).(16.17)
При всех й, кроме й =——А и Л = А, (16.17)——знакопеременная убывающая функция, и интеграл (16.16) сходится. При h — k и при Л =——А подынтегральное выражение в (16.16) имеет асимптотику 1/VM- Т. е. знакопостоянно и убывает медленно, интеграл расходится,尸°(九)имеет при этих значениях h особенность. Легко показать, что эту особенность можно получить, непосредственно подставляя в (16.16) асимптотику (16.17), т, е.
нто разность между 尸(//) и интегралом с подынтегральным выражением (16.17) конечна при всех 力(*). Интеграл от (16.17) вычисляется в явном виде; он равен 1/х.
Таким образом, *
曰(出=①⑺回.(16.18)
Здесь 屮(无)一конечная при всех й функция, определяемая уже явным видом 叫％, г).
Теперь мы можем найти, т. е. выразить через эту же функцию 屮(应)，и остальные участвующие в наших расчетах функции от h. Согласно (16.8), (16.13) и формулам (16.15) (•»)
g (й)=严(й)(- i乂 + l/g)・(16.19)
Согласно (16.12) и (16.19) (*).
F伍)匸产伍)三駐器.(16.20)
В следующем пункте нам понадобится фурье-сопряженная функция от полного поля и = м° + ^ при х — 0. Назовем её Fu(Л); она равна 尸。(力)+ 戶(力).Согласно (16.20) (*)
FYh)iF。也)1^7^.(16.21)
В отличие от F° (А) и 尸(九)，функция Fu (й) остается конечной при 乂 = 0.
Для того чтобы функции F(h) и Fu (й) были однозначны во всей плоскости й, проведем те же разрезы, что и в предыдущем пункте.
Формулы (16.21), (16.18) и (16.20) будут использованы в следующем пункте.
Дополнительное поле вблизи поверхности, В этом пункте мн проведем преобразование решения (16.10), которое позволит получить явное приближенное выражение при 尤=0,力2》1 и оценку в области пространства внутри параболы 左％2 =之,точнее, в области
а)左之》1, б)々х2《а.(16.22)
Преобразование это состоит в деформации контура С, а именно, в переводе его в бесконечно удаленную полуокружность плоскости h. Для различных точек пространства надо производить различные деформации контура. Оно должно быть таким, чтобы множитель ехр(——ihz) в (16.10), (16.15) обеспечивал равенство нулю предела интеграла на полуокружности с ростом ее радиуса. Выбор этой полуокру?кности ——в верхней или нижней полуплоскости комплексной плоскости А ——зависит от знака г.
Будем исследовать поле в точках, расположенных в области (16.22) при z > 0. В этом пункте будем искать не дифрагированное поле а, а полное поле 〃. Деформируем контур в бесконечно удаленную полуокружность в нижней полуплоскости. Модуль функции ехр(—ihz) равен ехр(/г”2), в нижней полуплоскости 九"< 0, и при 2 > 0 интеграл по полуокружности стремится к нулю с ростом ее радиуса. Согласно основному свойству интегралов в плоскости комплексной переменной, при деформации контура интеграл изменяет свое значение только при прохождении контуром полюса; интеграл по новому контуру равен интегралу по старому контуру плюс вычет в этом полюсе.
' Решающую роль в этой деформации контура играет вопрос об однозначности подынтегральной функции. Только в области однозначности возможно это преобразование. Однозначность была нами обеспечена произведением разрезов, в частности, разреза из точки й = А в нижнюю полуплоскость. При деформации контура он не должен пересекать разрез; он окружает разрез петлей. Интеграл по этой петле равен интегралу, взятому вдоль разреза от разности значений подынтегральной функции по двум берегам разреза.
Таким образом, интеграл, которым выражается поле 〃(*, г), равен сумме интеграла по разрезу и вычетов в полюсах, лежащих между первоначальным контуром С и разрезом.
В этом пункте мы выведем приближенную формулу для интеграла по разрезу. Положим сначала х = 0, т. е. найдем формулу для полного поля на самой импедансной плоскости. Поле, описываемое этим интегралом, назовем дополнительным, имея в виду, что если в полном поле содержится еще слагаемое, равное вычету, то старшим будем именно оно. Это слагаемое мы найдем в следующем пункте.
Вдоль разреза множитель ехр (—ihz) при 左之》1 быстро убывает. С этим связаны и малость этого интеграла и свойство, упомянутое в начале предыдущего пункта — значение интеграла в основном определяется поведением подынтегральной функции в малом интервале^ примыкающем к точке h = k. Покажем это.
Введем вместо й безразмерную переменную интегрирования / формулой h — k — ikt. При выбранном положении разреза t ——вещественная переменная, меняющаяся от / = 0 в точке ветвления до / = оо. Интеграл по разрезу, с точностью до постоянного множителя, равен
/==Ле-/*г J AFa(h)e~ktzdt, (16.23) о
где А尸“(九)——разность значений функции Fu (й) на берегах раз* реза. Если обозначить значение н на одном берегу разреза через
х+, то значение этого корня на другом берегу разреза будет —х-н Явное выражение 厶尸“(力)зависит от 屮(应)，т. е. от вида возбуждения, но, согласно (16.21), при малых х (*)
△尸一я/疗， (16.24)
что достаточно для дальнейших оценок.
При 左2》1 (16.22а) в интеграле (16.23) существенна только область малых /, / < i/kz. При этих / 乂 тоже малая величина, 乂2 = 2ikPi. Если импеданс w не очень велик (точнее, если а》左⑵2), то выражение (16.24) имеет порядок <p(k)ktl/2w2t а весь интеграл (16.23)——порядок (*)
I 〜0也廿 w&~ikz!^,(16.25)
что является основным результатом этого пункта. Пополнительное поле при условии (16.22а) мало и убывает^ как l/z3/?.
Заметим, что оба слагаемых, входящих в дополнительное поле — падающее поле 〃° и дифрагированное поле 口一 убывают медленнее, как l/zI/2, однако старшие члены в их разложении компенсируются. Закон убывания для 。,。〜1/之"2, следует из того, что AF(h} имеет, согласно (16.20), порядок l/乂 (при малых х), и подынтегральное выражение в интеграле, аналогичном (16.23), есть t"l/2 exp (—kzt). Для падающего поля закон убывания ~1/之1/2 был положен нами в основу всего рассмотрения; разумеется, AT^fft) имеет вблизи точки ветвления тот же порядок 1/х (16.18).
Покажем теперь, что и при 尤片：0, но в области (16.226), интеграл по разрезу тоже может быть оценен — именно это обстоятельство и делает для этих точек целесообразным применение описанного преобразования контура.
Зависимость и(х, г) от х в разложении Фурье определяется в основном множителями ехр(гхх) и ехр(—/хх), согласно (16.10) и замечанию после (16.156). Точные формулы зависят от расположения источников, нам они не нужны.
В существенной части интеграла вдоль разреза х2 = 2Z&2/, и на одном из берегов разреза в подынтегральном выражении всегда будет присутствовать возрастающий с х множитель ехр (左尤 V厂).Так как при этом »V1/^n, то именно в области (16.22), при 左％，17^《1，зт°т множитель близок к единице.
т. е. не велик.
Таким образом, в области (16.22) дополнительное поле убывает с z по закону 小/2, распространяется с фазовой скоростью с и возрастает, оставаясь малым, при удалении от поверхности.
Возбуждение поверхностной волны. Подынтегральное выражение (16.18) для падающего поля, очевидно, не имеет полюсов, поэтому поверхностные волны могут содержаться только
в дифрагированном поле (16.10), (16.20). При ⑵ >0 полюсов
нет, т. е. вдоль импедансной поверхности няются, и все поле в области (16.22) выражается интегралом по разрезу. Контур С совпадает с вещественной осью.
При ⑪ V 0 существуют два полюса 力= 土力о (16.5); оба лежат на вещественной оси. Контур С должен огибать полюс й =——九о снизу, а полюс й = й0 сверху (рис. 16.2). Любое другое его по-
волны не распростра-волны не распростра-Рис. 16.2. Положение полюса в плоскости Л.Рис. 16.2. Положение полюса в плоскости Л.ложение относительно полюсов, как мы сейчас покажем, дает решение, нарушающее условие излучения. При описанной в предыдущем пункте деформации кон-
волны не распростра-
волны не распростра-
Рис. 16.2. Положение полюса в плоскости Л.
Рис. 16.2. Положение полюса в плоскости Л.
2捕g(@)$e財% 一丝2捕g(@)$e財% 一丝(16.26)(16.26)тура возникает, кроме интеграла по разрезу, еще слагаемое, равное вычету в корне й = й0：
2捕g(@)$e財% 一丝
2捕g(@)$e財% 一丝
(16.26)
(16.26)
где N равно производной по й от знаменателя 尸(九)，взятой в корне этого знаменателя:
N = £ (т 小—(16.27)
Поле (16.26) представляет собой поверхностную волну (16.2), идущую в сторону положительных 2, т. е. уходящую от источника. Ее амплитуда равна 2mg(h^/N; определенная формулой (16.27) величина ^ равна, как легко проверить,如九。(*).
Если бы контур С проходил не под полюсом h =——й0, а над ним, то возник бы вычет также и в этом полюсе. Зависимость поля от z в этом слагаемом была бы ехр(гй0^). Оно представляло бы собой волну, идущую из бесконечности (2=+оо) к началу координат, и было бы нарушено условие излучения, сформулированное после формулы (16.5). Так же доказывается, что контур С не должен проходить под полюсом h = Ло； если бы это имело место,то слагаемое(16.26) возникло бы при деформации контура в верхнюю полуплоскость. А так как такую деформацию можно производить для точек z V 0, то при таком расположении С относительно полюса h — h^ поле слева от источников содержало бы слагаемое, описывающее поверхностную волну, идущую слева направо, т. е. из бесконечности (2 = —оо) к источникам, что исключено условием излучения.
Таким образом, вблизи плоскости — в области (16.22)— поле состоит из поверхностных волн, расходящихся от начала
164 ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ГЛ- VI координат (их нет при ⑵ >0), и дополнительного поля, убывающего при удалении от начала координат по закону (16.25)..
Вычисление амплитуды поверхностной волны по заданным токам. Формула (16.26) позволяет вычислить амплитуду поверхностной волны по полю 以°, создаваемому возбуждающими токами в вакууме. Существует другой способ вычисления этой амплитуды, при котором получается формула, содержащая непосредственно эти токи. Способ этот проще, он не требует интегрирования в плоскости комплексной переменной. Его недостаток состоит в том, что он не позволяет оценить дополнительное поле и указать область, где оно мало и где поэтому полное поле имеет в основном структуру поверхностной волны. Этот способ состоит в использовании леммы Лоренца для искомого и вспомогательного поля； в качестве вспомогательного поля надо взять поле встречной поверхностной волны. Этот способ — аналог вычисления поля токов с помощью функции Грина (п. 12.3), роль которой играет вспомогательное поле. Изложим этот метод, опуская математическое доказательство законности проделываемых преобразований.
Так как мы хотим получить выражение для амплитуды поверхностной волны не через “°, а через сторонние токи /, то рассматривать надо уравнение, содержащее эти токи, т. е. неоднородное уравнение для полного поля:
書 + 泰 + 火〃 =/• (Х, Z).(16.28)
Поле и удовлетворяет граничному условию (16.1) и условию излучения, которое легко сформулировать, зная условие излучения ДЛЯ V — и — u°.
Вспомогательное поле a(D введем формулой
/)(*,力=产飞叱(16.29)
Это поле удовлетворяет однородному волновому уравнению и тому же граничному условию (16.1). Обычным способом, применяемым при выводе формулы Грина, получим формулу
$ G")舒一氏芻)亦=5 i^'dV. (16.30)
Интеграл распространим на все верхнее полупространство х 2> 0. Поверхностный интеграл по плоскости х = 0 равен нулю, так как и и 〃⑴ удовлетворяют одному и тому же граничному условию (16.1) (*). Интеграл по части поверхности, далекой от плоскости х = 0, равен нулю, так как поле и11) экспоненциально убывает с ростом х. Интеграл по частям поверхности, примы-
кающим к плоскости л = 0, можно вычислять, заменяя эти части плоскостями 之=——d н z = d н затем устремляя d к бесконечности. В этих интегралах поле можно заменять полем плоских волн, так как дополнительное поле убывает при |z|f оо・ Все эти утверждения можно строго обосновать.
Интеграл (16.30) по плоскости 之=—d равен, как легко проверить, нулю, так как слева от источника поле и состоит только из такой же волны, как (16.29), идущей притом в том же направлении. Таким образом, для вычисления поверхностного интеграла в (16.30) надо производить интегрирование по плоскости z = d н подставлять вместо и поле плоской волны Л ехр(——ihQz + x/w)t где Л ——искомая амплитуда;⑪ V 0. Интеграл этот легко вычисляется. Оказывается, что он только множителем г отличается от величины ^, введенной в (16.27) как производная знаменателя коэффициента Фурье. Таким образом,
А==~ПТ^^ y^ihaz+XlwdV. (16.31)
Можно, разумеется, проверить, что (16.31) дает ту же амплитуду, что и (16.26). Для этого надо выразить 〃° через / по формуле (11.9), где функция Грина G равна
(i/4)H^)[а "(% — /)2 +(2 - /)2’ ],
и воспользо в а ться табличным интегралом:
,硏 0 夕军戸)e'Az dz = v^g^. e-*JB X,九 > 瓦(16.32)
Из (16.31) следует, в частности, что амплитуда поверхностной волны, возбуждаемой заданным током, убывает с увеличением расстояния этого тока до поверхности, так как с ростом 尤 убывает (по закону exp (x/w), 5 V 0) поле поверхностной волны.
Сделаем - два замечания, обобщающие полученные результаты. Для всех поверхностных волн в любой направляющей системе имеет место полученная для нашей задачи и формулированная в (16.31) пропорциональность между производной знаменателя коэффициента Фурье (16.27) и интегралом (16.30), взятым по поперечному сечению для этой поверхностной волны и такой же встречной волны.
Второе замечание относится к закрытым волноводам. При возбуждении открытых ляний полное поле не является суммой только поверхностных вблн. Оно сложнее, и в области (16.22) содержит еще убывающее с 2 дополнительное поле. Для закрытых волноводов ситуация проще. Дополнительное поле не возникает, поле равно сумме волноводных волн типа (16.2). С этим
166 ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ (ГЛ. VI связано то обстоятельство, что в плоскости комплексной переменной не возникает неоднозначностей и не надо поэтому проводить разрезы. Поэтому задача о возбуждении закрытых волноводов могла быть полностью решена в п. 12.3 без интегрирования в плоскости комплексной переменной.
Цилиндрическая волна. Деформация контура С, произведенная в п. 16.5, разбивает полное поле на сумму поверхностных волн (их может и не быть) и интеграл по разрезу. Это разбиение справедливо для любых точек пространства, однако пользоваться им целесообразно только для тех точек, для которых интеграл по разрезу мал, как в области (16.22). В области
а)力n》＞ 1, б)左尤2》z (16.33)
имеет место противоположная ситуация: этот интеграл не мал. В этой области поле имеет другую структуру. Для того чтобы при (16.33) приближенно вычислить поле, надо произвести другое преобразование интеграла (16.10).
Вдали от импедансной плоскости поле должно представлять собой уходящую из начала координат объемную (цилиндрическую) волну. Это подсказывает, что следует перейти к цилиндрическим координатам
x = r sin qp, z = rcosqp. (16.34)
Запишем интеграл (16.10) в виде
О (г,(р)=，尸仍)е-'^Е 仇)d居 (16.35) где через гр (Л) обозначена функция, играющая основную роль в дальнейших построениях этого пункта:
•ф (й) = У cos ф + У sin ф. (16.36)
Для дальнейшего решающим является присутствие в фазе подынтегрального выражения (16.35) большого параметра kr. Так как 々г》1, то подынтегральное выражение быстро меняет знак вдоль пути интегрирования, т. е. его фаза меняется на л при малом изменении Л. Это приводит к почти полной компенсации значений интеграла в близких участках интегрирования. Весь интеграл (16.35) при 左г》1 мал. Можно было бы попытаться получить старший член разложения этого интеграла по l/kr интегрированием по частям. При этом мы нашли бы, что весь интеграл убывает не медленнее, чем 1/Аг. Однако при этом под интегралом возник бы знаменатель г|/ = d^/dh. Очевидно, что если где-либо на контуре интегрирования этот знаменатель обращается в ноль, то интегрирование по частям недопустимо. При интегрировании в окрестностях этих точек происходит
менее быстрая компенсация значений интеграла в соседних участках, ибо в этих областях множитель ехр [—ikr^(h)] меняется медленнее, чем в интервалах, в которых нет корней уравнения
^ (й) = 0. (16.37)
Интегрирование в окрестностях корней этого уравнения вносит в интеграл слагаемое порядка 1/д/力尸，т. е. много большее» чем весь остальной интеграл. Поэтому весь интеграл (16.35) приблизительно равен интегралу, взятому в окрестностях этих точек.
Это рассуждение можно сделать строгим и показать, что если уравнение (16.37) имеет корень h = hs на контуре интегрирования, то старший член асимптотического разложения интеграла (16.35) по степеням (左尸)-1" можно получить, ограничившись интегрированием в малой окрестности этой точки. Точнее, можно положить
a) F{h) = F (hs), 6)w(九)=w(％) + y у(坛)伍-九期，(16.38) а затем вновь распространить область интегрирования до бесконечности. При этом, очевидно, будет
v(r,屮)=尸(九5)「*B0S) \ ехр [— J kr^th^ (й — As)2] dh.
(16.39) Оставшийся интеграл легко вычисляется (*):
и (，，＜р) = (1/g) е』Е(2尸伍s)/“-旷仇s). (16.40)
Корни уравнения (16.37) называются точками стационарной фазы,. Если таких точек на контуре несколько, то интеграл (16.35) приближенно равен сумме интегралов (16.40), взятых около всех таких точек. Вообще говоря, применение этого метода вычисления интегралов с большим параметром в фазе (так называемого метода стационарной фазы) требует предварительной деформации контура интегрирования, так чтобы он проходил через все точки "s, притом в направлении, в котором р (力)меняется быстрее, чем в соседних направлениях. В нашей задаче это имеет место уже для первоначального контура —— точка h — hs лежит на вещественной оси, и именно вдоль вещественной оси ф(й) меняется быстрее всего.
Применим метод стационарной фазы к нашей задаче, в которой 2(九)дано в (16.36). Точка стационарной фазы согласно (16.37)
hs — k cos ф. (16.41) В этой точке и — k sin ф.
Положение существенного участка интегрирования на плоскости h определяется координатой 屮 той точки пространства^ для которой производится вычисление* поля. С аналогичной ситуацией мы встретились в п. 16.4. Для области (16.22) существенной была окрестность точки h — k. Заметим, что хотя метод этого пункта, согласно (16.336), не применим при ф = 0, но формально (16.41) при 屮 = 0 дает ту же точку h — k. Это совпадение не случайно. Если перейти к плоскости комплексной переменной 乂 (вместо 无),то поле и в области (16.22) вычислялось бы методом стационарной фазы. Это преобразование мы делать не будем.
Вернемся к формуле (16.40). В точке h = hs
2 伍s)=l, @"(^s) = —1/(左2 sin?屮)，так что (*)
а) V (г,屮)=(D((p)—=-,б)①(<р)=左 sin 屮尸仅 cos 屮).(16.42)
ykr
Этот расчет основан, в частности, на замене фазы 叩 по (16.386). Существенной является область интегрирования, в которой второй член в разложении kr^(h) имеет порядок единицы. Эта область тем меньше, чем больше ^г, точнее, она имеет порядок
(h ——hs) & A sin ф/д/^- (16.43)
Формула (16.386) справедлива, если во всей этой области первый отброшенный член W'〃(/is)(无一hs)3/G мал по сравнению с сохраненным квадратичным членом. Это приводит к требованию sin qp д/^г 》1 (*), эквивалентному (16.336). Условие 左尸》1, на котором основан весь метод стационарной фазы, совпадает с (16.33а).
Таким образом, в области (16.33) дифрагированное поле представляет собой цилиндрическую волну с диаграммой (16.426). Полная диаграмма получается интерференцией цилиндрических волн (16.42) и а0.
Разложение падающего поля на плоские волны. Возможен другой метод рассуждения, приводящий к таким же инте* гралам в плоскости комплексной переменной, но основанный на менее формальной процедуре, чем произведенное в п. 6.2 разложение в интеграл Фурье. Это рассуждение основано на том, что при падении плоской волны на импедансную поверхность возникает только одна плоская отраженная волна.
Если падающее поле разложить в интеграл по плоским волнам, то дифрагированное поле выразится в виде интеграла по отраженным волнам. Волна, падающая на плоскость под углом скольжения а, т. е. поле /
(а) = f论％sina (16 44)
порождает отраженное поле
〃°тр (а) = R (а) Q~^zcosa-Uxsina^
(16.45)
Коэффициент отражения для импедансной плоскости легко находится по (16.1) (#):
с 、1 — ikw sin a -
R (a) ：тт：
' '—1 — ikw sin a
[ср. второй множитель в (16.20)].
Таким образом, если представить падающее поле
и° (х, 2)= \ У (а) е-伍zcos a+/xslna da,
то дифрагированное поле будет равно
V (х, z) = \ У (a) R (a) e-^cosa-^xs|n« da.
L
Нам надо установить вид- контура L в плоскости
(16.46)
в виде
(16.47)
(16.48)
а и найти
функцию Т(а). Проще всего это сделать, положив в тождестве
(16.47) х = 0. Тогда
u°(0, z) =，4f (а) е-优z88adet.
(16.49)
Введем вместо а переменную интегрирования h — k cos а. Мы вновь пришли к интегралу Фурье типа (16.15а)
照I
寸川®
I I
“° (0,
Контур С в (16.10), т. (с точностью есть участки, но, контур £
z)= —%\ 総 е』”九(16.50) С
в (16.50) должен быть тем же, что е. совпадать с вещественной осью
Рис. 16.3. Контур в плоскости а.
до малых дуг около полюсов). На этом контуре на которых |Л| >А, т. е. | cos a| > 1. Следователь-
этом контуре
в плоскости а не совпадает с вещественной осью.
Он идет.(рис. 16.3) параллельно мнимой оси из точки 仪=冗+»8 до точки а = л; (Л меняется от 九=—оо до 九=——左)，затем по вещественной оси от а = л; до а = 0 (九 меняется от Л =——k до
h = k) няется (16.47)
,а затем вдоль мнимой оси от а = 0 до а = »8 (Л ме- от h = k до 九=8). Это означает, что в разложении произвольного поля по плоским волнам участвуют так-
же и такие волны
(16.44), в которых cos2а > 1, sin2а < 0 (так
называемые неоднородные плоские волны).
Функция Т (a) /sin а определяется по а0 (0, 2) из (16.50) по той же формуле обращения интеграла Фурье, по которой Л(й) в (16.12), (16.13) находится по f(z) из (16.11). Например, если
〃° цилиндрическая волна, создаваемая единичным током, рас* положенным в точке г = 0, х = х0, т. ел если
U(o)(x, z) = (〃4) 〃俨 G “(х - №尸 + 公), (16.51) то из (16.50) следует, с использованием (16.32),
у Q)=—伍/4几)e^«3lna. (16.52)
Функция Т (а) не имеет полюсов, возможные полюсы подынтегральной функции в (16.48)—полюсы R(a)・ Эти полюса всегда комплексны, согласно (16.46) они определяются из условия cos q = %/月，где Ло дано в (16.5). При вещественных же а и принятом у нас условии вещественности w |/?(а) | = 1. Для полюсов а == а0 всегда sin2 а < 0, так что Т(а) (см. (16.52)) экспоненциально убывает с ростом расстояния х0 источника до плоскости. Это обстоятельство уже было отмечено в связи с формулой (16.32). Множители ехр(%/@) в (16.31) и exp(fxosina) при а = ао совпадают.
Используя (16.8), можно, разумеется, доказать и в общем виде тождественность двух полученных решений — формулы (16.48) с R(a) из (16.46) и формулы (16.10) (*). Мы привели этот способ рассмотрения, чтобы описать возможную физическую трактовку корней знаменателя в (16.12), вычеты в которых определяют поверхностные волны. В этих корнях обращается в бесконечность коэффициент отражения^ т. е. поверхностные волны представляют собой вычеты в полюсах (всегда комплексных) коэффициента отражения.
Этот результат позволяет исследовать методом этого пункта задачи о возбуждении плоскостей со свойствами, более сложными, чем свойства, описываемые условием (16.1). Если для какой-либо плоскости удается найти коэффициент отражения R9) плоской волны для любого а, то можно найти значения а = ао, для которых 衣 = 8, а затем и фазовую постоянную поверхностных волн Ao = ^ cos ао и их амплитуду. Такой метод удобен, например, для задачи о возбуждении плоскослоистой структуры. Полное исследование интеграла (16.48) как в об^ ласти существования поверхностных волн (16.22), так и в волновой зоне (16.33), также может быть произведено без перехода в плоскость Л, т. е. в плоскости комплексного угла а.
§17. Возбуждение диэлектрического слояи диэлектрического цилиндра
В первых двух пунктах этого параграфа рассматривается двумерная задача о возбуждении бесконечного диэлектрине- ского слоя. Применение интеграла Фурье приводит к такому же аппарату, что и в задаче § 16, и ниже будут описаны только те
выкладки, которые отличают эти две задачи. В п. 17.1 будет развит формальный аппарат, аналогичный пп. 16.1——16.4 и 16.8—16.9.
Пункт 17.2 посвящен так называемым вытекающим волнам, существование которых связано с комплексными корнями дисперсионного уравнения, аналогичного (16.3). Появление этих волн представляет собой основное отличие поля над слоем от поля над импедансной плоскостью. В последнем пункте описаны некоторые особенности аппарата» возникающие при переходе к трехмерной задаче.
Диэлектрический слой. Слой с диэлектрической проницаемостью е занимает область —а < х < а, —оо < г < оо, т. е. имеет ширину 2a. Он возбуждается токами /(х, г), имеющими только у-ю компоненту и расположенными вблизи начала координат. Искомая скалярная функция u(x, z), описывающая полное поле, равна либо Еу (если j — электрический ток), либо Ну (если / — магнитный ток). Она удовлетворяет уравнениям
Ди + А2еи ^/, J х | < а;
Ди + k2u = /, I г J > а.(17.1)
На границах слоя х = ±а непрерывны и(х, z) и du/dx (если и = Еу) или и и (\/^du/dN (если и = Ну); эти условия легко получить, выразив через Еу или через Ну тангенциальные к границе компоненты полей (соответственно, Нг или Ег). Далее будем полагать для определенности, что и = Еу.
Падающее поле и°(х, n) при |х| < а определим, как поле токов, стоящих справа в (17.1а), создаваемое ими в безгранич- ном диэлектрике^ а при \х\> а — как поле токов, стоящих справа в (17.16), создаваемые ими в вакууме. При таком определении 〃° диафрагированное поле v = и — и0 удовлетворяет однородным волновым уравнениям
Av + 左％и =0, I х J < a; Au + k2v == и неоднородным граничным условиям при х и 3 + 0, 2)— у (а — 0, 2)=, ди (а + 0, z) 0и (а — 0, г) дхдх
|х|>а
(17.2)
=а
%⑵.
(17.3)
Такие же условия при х =——а мы не выписываем, полагая, для простоты записи, что токи (и потому и поля u°, V и и) симметричны относительно плоскости х = 0. Функции 厶(n) и %(n) в (17.3) выражаются через скачок u°(x, n) и ди°/дх при х ~ а по очевидным формулам, т. е. являются известными функциями.
Поверхностные волны описываются собственными функциями краевой задачи^ состоящей из уравнений (17.2), однородных
граничных условий, получающихся из (17.3) при /1 = /2 ^ 0, и условия .исчезновения поля при |х|-> оо. Эти функции имеют вид (х > 0, при х < 0 поля симметричны)
ипов (х, г) == Л1 CQ^xnx^ih^9 г <а;(17 4)
产七%, z) = 4e-'3e-",“ > %'
где
тП =行% -底， * =齡一底.(17.5)
Собственное значение этой задачи Ал удовлетворяет уравнению тл sin %а —厶比几 ccs тла == 0,(17.6)
которое получается исключением Л1 и Л2 из граничных условий. Это дисперсионное уравнение играет далее ту же роль, что уравнение (16.3) в задаче об импедансной плоскости.
Решения уравнений (17.3) будем искать в виде (х > 0)
и (х, z)=，尸13) cos Tre"fAzdA, х < а, т2=左电一h2t
「(17.7)
и (г, n)===)尸2 (А) $7*尾7浜 dht х > а, %2 = k2 — А2.
Функции 尸 1(左) и 尸2(九)находятся из системы линейных уравнений, которые получаются при подстановке (17.7) в (17.3) и обращении интегралов Фурье (弟)：
£2e-zxa —尸 cos та = gi (九)， 一/х^е-^ + 匸尸i sin та = g2 (й),
(17.8)
где g\ (A), g2(九)——фурье-сопряженные функции от 厶(n) и %(n). Явные формулы для Fi и А, которые мы не выписываем, содержат в знаменателе левую часть дисперсионного уравнения (17.6).
Функции 尸i(/z) и Fa (Л) имеют точками ветвления не только h = 土月，но и й = ± ^ Vs，ибо в fi (г) и %(之)входят слагаемые как с асимптотикой ехр (— /1 z |)/〃ТП, так и с асимптотикой ехр(——£左 “е I z |)/VT^T・ Однако в разложении Фурье для полного поля u(x, z) в точках h = ±k V8 ветвления не происходит. Поэтому в плоскости комплексного переменного для полного поля достаточно провести только те же разрезы, что и в задаче § 16 ——от А = 士左 к Л =干？8. Заметим, что если бы по обе стороны пластинки находились бы бесконечные среды с различным & (при х > а е = 81, при х V —а е = 8г), то существовали бы две пары точек ветвления, при 九=土 左，з и при й —
Исследование полей вдали от начала координат производится по той же схеме, что в задаче § 16. Приближенные выражения вблизи слоя в области (16.22) получаются деформацией контура в петлю вдоль разреза, а для поля в волновой зоне (16.33)——интегрированием вблизи точек стационарной фазы.
В области (16.22) будут еще волны, получающиеся как вычеты в полюсах 戶i(/i) и 尸2(九)，лежащих между мнимой осью 〃 разрезом. Рассмотрим их подробнее.
Вытекающие волны. Уравнение (17.6) —левая часть его стоит знаменателем в F\ (h) и 尸2(九)——имеет бесконечную дискретную совокупность корней. Положение каждого корня на плоскости h зависит от частоты. При очень высокой частоте корень лежит на вещественной оси вблизи точки h = k V^； мы здесь и ниже не будем упоминать о симметричных относительной мнимой оси корнях при Re /г < 0. С уменьшением' частоты корень смещается вдоль вещественной оси к /г =左.При некоторой частоте kni зависящей от номера корня (критической частоте для волны данного номера), корень совпадает с 左,т. е. при k — kn h = h.
И при k <Z kn соответствующий корень дисперсионного уравнения существует, однако для него Im 乂 >0 и, вообще говоря, он лежит не на вещественной оси. Вычеты в корнях, лежащих в области
Im /г < 0, 0 < Re Л < й (17.9)
на листе Im 乂 > 0, дают слагаемые, называемые вытекающими волнами. Их зависимость от х, n при г > 0, х > а дается множителем
а) е-т“％-Чг, б) Rehn < k, Im hn < 0, Im н„ > 0. (17.10)
Эти поля убывают вдоль оси г и возрастают при удалении от слоя. Их фазовая скорость больше с. Напомним, что выделение в полном поле поверхностных (Im hn = 0, Im ип < 0) и вытекающих (17.10) волн имеет смысл только в области не очень больших х (16.22), в которой дополнительное поле — интеграл по разрезу — мало (и убывает с г по алгебраическому закону).
Существенный вклад в поле вносят не все вытекающие волны, а только те из них, которые соответствуют корням, близким к вещественной оси (|1т/г%|《^); для остальных очень мал первый множитель в (17.10а). Такие корни возникают из каждого вещественного корня, соответствующего поверхностной волне, при понижении частоты до некоторого значения, меньшего kn. При частоте, лишь немногим меньшей 左%, вытекающие волны с малым 11тЛп| не образуются.
Существование бесконечного множества корней уравнения (17.6) позволяет получить представление полного поля в слое
174 ИНТЕГРИРОВАНИЕ В ПЛОСКОСТИ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ [ГЛ. VI и вблизи него в виде бесконечного ряда, т. е. без интегрального слагаемого. Основная идея такого разложения основана на том, что стоящие под интегралом мноя^тели при ехр (——ihz) являются целыми функциями переменной х. Все подынтегральное выражение не обладает этим свойством, однако двузначность содержится только в множителе ехр(——/Лг), так как Л =V^2 ——^2 • Целые функции разложимы в ряд по простейшим дробям
尸 1 伍)cos 七乂 = Z 4 (x)/(x — хл), (17.11)
где хп ——все корни знаменателя, т. е. все корни дисперсионного уравнения, р а с см атриваемого как уравнение относительно х. Очевидно, «п = V^2 ~ Лд . Коэффициенты Лл (х) можно найти по (17.11), зная явное выражение для Fi (Л).
Подставляя (17.11) в (17.7), получим выражение для и(х, г) тоже в виде ряда. Вновь произведя в каждом члене преобразование контура в бесконечную полуокружность в плоскости комплексной переменной h, получим искомое дискретное представление (|х| <； а)
и(х, n)= £ Сп cos х^х^Г^ + Z Dn cos тпхФ(г, нп)9 (17.12) где Сл и Dn можно найти по Ап (х). Эта формула точная, и она не содержит интегрального слагаемого^ В первой сумме участвуют все поверхностные (左 < Лл < ^ V8 ) н вытекающие (17.10) волны, а вторая охватывает все корни уравнения (17.6).
Функции Ф(з, хл) не совпадают с ехр(—ihr^), так что вторая сумма не удовлетворяет волновому уравнению почленно. Легко получить выражение для ①(n, х%) в виде интеграла и, в частности, асимптотическую формулу, справедливую при kz》1. Однако основное достоинство дискретного ряда (17.12) состоит в том, что по нему поле сравнительно просто вычисляется с любой степенью точности всюду (в слое), в том числе и при конечных kz. Использование же интегрального представления для численных расчетов при конечных kz приводит к большим трудностям.
Представление поля в виде ряда (17.12) можно получить не только для точек внутри слоя, но и вблизи него, при \х\ <； 2а.
Диэлектрический цилиндр. Задача о возбуждении кругового диэлектрического цилиндра решается теми же методами, которые применяются в задаче о диэлектрическом слое. Ограничимся сначала задачей о симметричном возбуждении, когда токи и поля не зависят от угла ф цилиндрической системы координат (n, г, qp). При этом можно ввести в качестве потенциалов скалярные функции Ez(n, г) и 〃n(n, г). Так как поля, связанные с этими потенциалами, возбуждаются независимо друг
от друга, то мы рассмотрим лишь случай, когда возбуждаются только поля, связанные с Ez (симметричные электрические волны). Задача о возбуждении симметричных магнитных волн решается таким же точно методом.
Функции cos тх и ехр (—ixx), которые описывают поле внутри и вне диэлектрического слоя, должны быть заменены соответственно, на функции /。(七尸)и Н^(х尸). Они обладают требуемыми свойствами ——их произведения на ехр(——ihz) являются решением волнового уравнения, при г = 0 7о(тг) конечно, при гт 8 ”言)(乂厂)исчезает, если 乂 определено, как в (16.14).
Дифрагированное поле и (г, n) (и s Ez) запишем в виде
и (г, z) = \ 尸I 仇)厶(тг) в-*心 dhy г < a;
；(17.13)
и (г, N)=、尸2 (无)Hq} (xr) rT'n d儿r > a,
где a — радиус цилиндра. Граничные условия состоят в том, что скачок Ег и //ф в дифрагированном поле должен компенсировать скачок этих компонент в падающем поле. Для выбранной симметрии полей легко показать, что (*)
„1 дЕг j1 дЕг
Hv= — tke—^ г < а； Яф = —r>a.
(17.14)
Граничные условия приводят к двум функциональным уравнениям, в которых справа стоят известные функции, выражающиеся через и0. Обращение по Фурье этих уравнений, выполняющихся при всех n, приводит к двух линейным уравнениям для 尸 1(无)и 尸2(无)・ Явные выражения для Fi(Л) и 户2(无)содержат в знаменателе левую часть дисперсионного уравнения для поверхностных Еод-волн:
т70 (то) Н^} (ха) — ex7j (та) Н^ (ха) = 0.(17.15)
Основное отличие трехмерной задачи от двумерной состоит в том, что в точках ветвления Л = 士左 возникает не двузначная функция х= «左2 —九2 , а бесконечнознаиная функция In ха. Это приводит к некоторому отличию в структуре поля в области 々n S 1, kr2 <^ г, в которой поле выражается в виде суммы вычетов и дополнительного поля — интеграла, взятого по разрезу от △尸 в области малых х. Поверхностные волны соответствуют корням (17.15), лежащим в интервале ^ < Л < < А <8, вытекающие ——корням в интервале (17.106). Движение каждого корня с уменьшением частоты от высокой (々q，8——1 》1) до критической происходит таким же образом,
как и для слоя, однако вытекающие волны с малой Im hn возникают уже при частоте, лишь немногим меньшей критической. Поведение AF при малых 乂 иное; расчет дает, что А尸 〜х2, и потому дополнительное цоле убывает, как 1/г2. Напомним, что для слоя А戶〜乂 (16.24), и дополнительное поле убывает, как 1 /г3/2.
Так как 戶 содержит 1пха, то оно не есть целая функция от 乂, и дискретное представление поля, основанное на разложении целой функции в ряд по простейшим дробям, не существует для этой задачи — и, вообще говоря, для трехмерных задач о бесконечных цилиндрах.
В волновой зоне (々р》1,左尸2》纟)применением метода стационарной фазы получаем асимптотическое представление поля в виде сферической волны
О(Г, е)= Ф(е)-4—-,Ф(е)-^2(A!cos9),(17.16)
где р, 0, qp ——сферические координаты. Эта формула получается заменой в (17.136) Н^ (иг) на асимптотическое представление (5.9). После перехода к сферическим координатам z = р cos 0, г = р sin 0 подынтегральное выражение приобретает фазу
—ikp^ (6), *ф (9) = у cos 9 + -^ sin 9(17.17)
с той же, что в (16.41), точкой стационарной фазы h — k cos 0. Сделаем некоторые замечания о решении той же задачи о круговом диэлектрическом цилиндре, когда возбуждающие токи / зависят от ф. Надо разложить / в ряд Фурье по ф и в таком же виде искать дифрагированное поле
0 (г,爲屮)=2 cos 也中 \ 戶疆(")厶(订)e~~ihz d力，r < a (17.18)
(для простоты записи считаем / четной функцией от ф). Такое же разложение пишется при г > а. Задача для каждого п независима от других. В каждой из них надо пользоваться двумя потенциалами, например Ez и HZi так что для каждого л возникает четыре линейных уравнения для четырех функций F.
Общие свойства решений будут такими же, как и для симметричных волн. Однако дополнительное поле при 几耍 0, вообще говоря, иначе убывает с N, чем при /г = 0, ибо разность AF на разрезе при малых 乂 иначе зависит от х.
Существуют, например, тип волны (один из двух типов с п = 1), для которых △戶〜1/lnxa, и для них дополнительное поле убывает, как 1/zln2z. Для этого типа (как и для волн в C40eJ, вытекающие волны с малым Im h не существует при ча-
стотах, очень близких к критической частоте соответствующей поверхностной волны.'
При возбуждении диэлектрического цилиндра некруглого сечения возникающее дифрагированное поле имеет те же общие свойства. Вдали от цилиндра образуется сферическая волна. Дисперсионное уравнение записывается в виде равенства нулю бесконечного детерминанта. Вблизи цилиндра поле состоит из поверхностных и вытекающих волн и дополнительного (убывающего с n) поля. В наиболее общем случае дополнительное поле и вытекающие волны имеют вблизи критических частот те же свойства, которые перечислены в предыдущем абзаце для одного из типов волн круглого волновода.
Заметим в заключение, что в задаче о некруглом волноводе целесообразно в качестве потенциальных функций выбирать не Ег и HZi а какие-либо две поперечные декартовы компоненты, например, Нх и Ну. При этом продольное волновое число не входит в .граничные условия, что существенно упрощает формулировку и исследование задачи.
Метод Винера — Хопфа (метод факторизации)
В первых двух параграфах этой главы рассматривались задачи дифракции на телах, занимающих всю бесконечную ось г (—оо V n V оо). Для этих задач легко строится решение в виде интеграла в плоскости комплексной переменной, и мы в основном излагали способы исследования этого решения. В этом параграфе описывается метод решения задач дифракции на полубесконечных (О V n V оо) телах. В таких задачах уже первый этап ——получение решения в виде интеграла — довольно сложен. Этот интеграл может быть затем исследован теми же методами, которые выше применялись для более простых задач.
Интегральное уравнение. Будем решать одномерное интегральное уравнение первого рода
J G(z-^i(^d^f^,z>0,(18.1)
О
для функции /(g) (С > 0). Ядро G в (18.1) зависит не от z н 之 в отдельности, а только от разности аргументов. Вид ядра и правой части f определяются, соответственно, формой тела и падающим полем, т. е. характером возбуждения.
В этом пункте расшифруем вид функций G и f в (18.1) для простейшей двумерной задачи ——идеально проводящая полуплоскость х = 0, z > 0 нулевой толщины помещена в поле, содержащее только компоненту Е沙；поля не зависят от у. Искомое дифрагированное поле и(х, z) удовлетворяет однородному вол-*
новому уравнению, условию излучения, условию (3.16) вблизи ребра и граничному условию
u =-以0,磋=0, г > о,u =-以0,磋=0, г > о,(18.2)(18.2)
u =-以0,磋=0, г > о,
u =-以0,磋=0, г > о,
(18.2)
(18.2)
которое получается из требования, чтобы полное поле и=и° + и исчезало на металле. Функция и(х, г) всюду непрерывна, а ее нормальная производная испытывает на металле скачок, который обозначим /(г):
/ЗХ^Н—о-^к+о，z>0・ (18.3)
Эта функция пропорциональна скачку компоненты HXt т. е. у-й компоненте индуцированного тока.
Для того, чтобы получить уравнение для /(2), выразим и(х, z) через /(г) по формуле для дифрагированного поля [аналог первого слагаемого в (11.4)]
。(尤，z)=，Gjd&(18.4)
О
где G — функция Грина вакуума (11.86) от аргумента [г — г01, H = J н I г I = Vх2 + С2 > и поместим точку наблюдения (х, г) на полуплоскости л = 0, г > 0. Получим, согласно (18.2), уравнение (18.1), где f(z)==—и°(г), т. е. с точностью до знака
значение падающего поля на экране (при его отсутствии), G = (〃4)〃俨(左I z — С |)・ Найдя из (18.1) ток /(g), можно затем по (18.4) найти дифрагированное поле во всем объеме. Мы уже
получали такое уравнение для любого металлического тела (12.23).
Для любых полубесконечных тел интеграл берется в тех же пределах (0, оо), ядро — функция Грина — всегда зависит от разности аргументов (даже только от модуля этой разности), так что к уравнению (18.1), или к линейной системе таких уравнений сводятся, например, задачи о дифракции на открытом конце волновода, на эквидистантной решетке полуплоско
стей и многие другие задачи о полубесконечных структурах. Ниже мы опишем идею решения уравнения (18.1). Уточнения, которые были бы необходимы при строгом доказательстве, будут упомянуты в п. 18.5.
Две вспомогательные функции и их преобразования Фурье. Введем две вспомогательные функции, определенные на всей оси г. Во-первых, введем функцию, равную искомой функции /(г) при 2 > 0 и равную нулю при 2 Vo. Эту доопределенную нулем при г < 0 функцию тоже будем обозначать j(N), что ре может вызвать недоразумения, так как при г < 0 нет ме-
талла, функция и (力，г) непрерывна вместе со своей производной и ток (18.3) равен нулю.
Вогвторых, введем функцию и (а), определенную при NV0 формулой
，G(z—Qj©典=。3),z<0(18.5)
О
и равную нулю при 之 > 0. При 乏 V 0 эта функция равна дифрагированному полю на продолжении полуплоскости. Однако при г 5> 0 она не равна интегралу, стоящему в (18.1), т. е. не имеет этого физического значения. Обе введенные таким образом функции определены на всей оси; одна из них равна нулю на отрицательной полуоси z, вторая ——на положительной.
Обозначим фурье-сопряженную от функции /(а) через /(九)
/ (九)=\ / (z) e-mz dz.(18.6а)
о
Здесь уже учтено, что при г < 0 /(г) = 0. Мы будем искать функцию /(九)；найдя ее, восстановим j(z) по формуле обращения:
/(г) = -^- J J(h)Qthzdh.(18.7)
Функция /(Л) в плоскости комплексной переменной обладает свойством, вытекающим из того» что в (18.6а) участвуют только положительные значения г——в нижней полуплоскости т, е. при Im 九 V 0, она аналитична и стремится к нулю при I 九 |т оо. При некоторых предположениях о / (г) это следует из того, что при Im Л <： 0 множитель ехр (—ihz) обеспечивает сходимость интеграла (18.6а) и всех его производных. Обратно, из этого свойства /(九)легко получить, что определенная формулой (18.7) функция /(г) равна нулю при г < 0. Для этого достаточно деформировать в (18.7) контур интегрирования в полуокружность бесконечного радиуса в нижней полуплоскости — при z V 0 множитель exp (i应а) при Im Л < 0 на ней равен нулю, а /(Л) не имеет в этой полуплоскости полюсов или разрезов.
Введем для функций от 瓦 аналитичных в нижней полуплоскости и исчезающих в ней при |九|f оо, значок 《——》.Тогда
/ (Л) = /_ (А).(18.8а)
Это свойство окажется в дальнейшем решающим.
Очевидно, что фурье-сопряженная V(h) от второй вспомогательной функции ?(z) выражается формулой
С£
Р 伪)=j。⑵ е i dz.(18.66)
Она не имеет особенностей и стремится к нулю при \h\-> со в верхней полуплоскости, так что в очевидных обозначениях
V(h)= У+ (й).(18.86)
То обстоятельство, что уравнение (18.1) содержит интеграл только по положительным g и должно выполняться только при положительных 2 — записано уравнениями (18.8) в виде аналитических свойств фурье-сопряженных от двух вспомогательных функций.
Соотношение между преобразованиями Фурье. Из (18.1) следует соотношение между /-(Л) и V+(h)t которое мы получим в этом пункте. Уравнение (18.1) справедливо при г > 0; умножим его на ехр(—ihz) и проинтегрируем от z = 0 до z = со. Определение (18.5) справедливо при z V 0; умножим его на ехр(—ihz) и проинтегрируем от z = —оо до z = 0. Сложим оба результата. Сумма содержит интеграл от величины, стоящей слева в (18.1) и в (18.5), взятый уже 几。всей оси z. Это позволяет использовать то обстоятельство, что G зависит только от разности аргументов. Переставив в этом двойном интеграле порядок интегрирования и введя во внутреннем интеграле вместо (г — g) новую переменную интегрирования Е, представим его в виде произведения (*)
，/ © е-‘矶 ^^О (/) e-加 dt.(18.9)
0—оо
Введем очевидные обозначения
F(A)=J f(z)Q-lhzdz, Г(Л)= J б(0е-шЛ. (18.10) 0— оо
Обе эти функции считаются известными, так как функции f и G заданы.
Таким образом получим искомое функциональное уравнение (*)
喙 3) + 尸 3) = г (А) Л (А).(18.11)
Факторизация. Решение уравнения (18.11) с двумя неизвестными функциями У+(力)и /-(Л) основано на упомянутых аналитических свойствах этих функций в двух полуплоскостях
плоскости 九， имеющих общую границу — вещественную ось Im 九=0.
Покажем сначала на более простом примере, как из одного функционального уравнения могут быть найдены значения двух функций в некоторых частях комплексной плоскости. Пусть две функции ①+(九)и Ф-(Л) с упомянутыми аналитическими свойствами равны друг другу на вещественной оси, Ф+(Л) = Ф-(Л). Тогда в соответствующих полуплоскостях и, в частности, на вещественной оси, они равны нулю. Это следует из того, что можно ввести функцию, по определению равную на вещественной оси обеим функциям ①+(九)и Ф_(Л), в верхней полуплоскости равную Ф+(Л), в нижней равную ①一(九)・ Эта функция Ж аналитична во всей плоскости, и будет исчезать при оо. По теореме Лиувилля такая функция всюду равна нулю. Следовательно, функции ①+(九)и Ф_(Л) равны нулю в соответствующих полуплоскостях и, в частности, на вещественной оси (см. уточнения в п. 18.5).
Оказывается, уравнение (18.11) можно привести к форме ф+(/г) == ф_(/г) и затем из равенства нулю обеих сторон найти искомую функцию /_(Л). Основная процедура, которую для этого надо произвести, состоит в том, чтобы факторизовать функцию Г(Л), введенную в (18.10), т. е. представить ее в виде произведения двух функций, аналитических и стремящихся к нулю при |/z|f оо, соответственно, при Im Л>0 и при Im Л<0, т. е. в виде
Г(Л) = Г+(Л)Г_(Л).(18.12)
Предположив, что мы это сделали, подставим выражение (18.12) в (18.11) и разделим на Г+(Л). Возникшее слева отношение F(A)/Г+(А) надо будет затем представить в виде суммы двух функций с такими же свойствами:
/^■ = T+(h) + T_(h).(18.13)
Тогда основное функциональное уравнение (18.11) примет форму (*) Ф+(/1)= Ф-(Л):
-^^- + Т+ (Л) = Г_ (й) 7_ (й) - Т_ (й),(18.14)
которая позволяет применить теорему Лиувилля. Если обе стороны равенства (18.14) стремятся к нулю в своих полуплоскостях, то они в них и на оси Im Л = 0 равны нулю, и для искомой функции /_(九)получим (*)
/-W = T^T, Im/iWd(18.15)
Это и есть формальное решение уравнения (18.11). Подставляя его в (18.7), получим искомое решение /(z) интегрального уравнения (18.1). *
Опишем прием, позволяющий по известной функции Г(Л) найти обе функции「+(九)и Г-(无)в (18.12) и по известной левой части (18.13) найти 丁+(九)и T-(h). Первая из этих задач легко сводится ко второй, так как для факторизации Г(й) достаточно представить функцию In Г (九)в виде суммы
1пГ+ (Л) + 1пГ_ (Л).
Эта задача решается применением формулы Коши, дающей значение аналитической функции через ее значение на контуре. Формула
Е「+(吁姦 j 嵯绊 da, (18.16)
где для точек й, р неположенных в верхней полуплоскости, интеграл взят по вещественной оси, а если Im й = 0, то полюс a = Л должен быть обойден снизу ——дает, при некоторых дополнительных условиях на поведение функции Г(九)при ]й|-^ооэ функцию с требуемыми свойствами в верхней полуплоскости. Функция In Г-(А) дается такой же формулой с противоположным направлением интегрирования и противоположным правилом обхода полюса при 1mA = 0. Сумма двух таких интегралов при Im Л = 0 равна вычету в точке а = ^, т. е. равна 1пГ(/1).
После того, как Г+(л) найдено по (18.16), левая часть (18.13) известна, и ее разбиение на две функции производится по той же схеме.
Таким образом, для решения интегрального уравнения (18.1) надо вычислить фурье-сопряженные ядрй и правой части этого уравнения по (18.10), факторизовать Г(Л) по (18.16), с использованием той же формулы найти 丁一(九) из (18.13), вычислить фурье-сопряженную искомой функции по (18.15) и обратить ее по (18.7). .
Дополнительные соображения. Метод решения уравнения (18.1), просуммированный в последнем абзаце, требует ряда уточнений. Приведенный вывод не является доказательством, он содержит лишь основную идею. Упомянем некоторые из уточнений, которые надо было бы сделать, чтобы оправдать этот формальный аппарат. Последовательное проведение этих уточнений привело бы к существенному усложнению всего изложения.
Волновое число k следует положить комплексной величиной, и мнимую его часть устремить к нулю лишь 6 окончательном
решении. Тогда общей областью аналитичности обеих частей функционального уравнения (18.14) будет не ось Im Л =0, а полоса в плоскости Л, содержащая эту ось. Интеграл в (18.16) берется не по вещественной оси, а по линиям, еб параллельным, лежащим в этой полосе и различным для 1п Г+(Л) и 1п Г-(Л). Если в этой полосе Г (Л) имеет нули, то по (18.16) факторизуется не Г(Л), а функция, получающаяся после выделения в ней обращающихся в нуль биноминальных множителей.
В (18.14) обе стороны стремятся при |Л|-> оо не к нулю, а к некоторому полиному от Л, и коэффициенты этого полинома находятся из дополнительных соображений о поведении искомого тока j(z) и поля v(z) вблизи ребра полуплоскости, т. е. при 之->+6 и Nf—0, соответственно. Основное функциональное уравнение (18.11) эквивалентно первоначальному интегральному уравнению (18.1) лишь при некоторых дополнительных предположениях о характере искомого решения j(г) при zf+0, эквивалентных условию (3.16) и неявно использованных при выводе (18.11).
Во многих задачах самая сложная часть — факторизация (18.12) функции Г (Л)——производится без обращения к общему методу (18.16). Например, для задачи о полуплоскости функция
Г 仇)=4：^于， (18.17a)
что легко получить, вычисляя интеграл в (18.10) при подстановке вместо G функции Ханкеля от k\i\ [ср. (16.32)], а эта функция легко факторизуется непосредственно:
「+(后)=春工1〒，Г_(Л)=-(18.176)
Если ток /(г) протекает в закрытом объеме, то функцию Г(Л) обычно тоже удается факторизовать без привлечения общей формулы (18.16). Например, в задаче о разветвленном плоском волноводе [и в аналогичных задачах, которые сводятся к системе уравнений типа (18.1)] функция Г(й) не имеет разрезов и может быть представлена в виде произведения бесконечного числа множителей типа (Л — h^±x (где йп — собственные значения некоторой краевой задачи), а такое произведение легко записать в форме (18.12). При этом и функция /_(й) также не имеет разрезов во всей плоскости Л, и интеграл для тока (18.7) деформацией контура в верхнюю полуплоскость преобразуется в сумму, каждый член которой есть ток, соответствующий волноводной волне. Для открытых же систем функции Г(/г) и /_(й) имеют разрезы, как в (18.17), и поле не представцмр в виде дискретной суммы волн：
Метод Джонса. Основное функциональное уравнение (18.11) можно различными методами получить, минуя составление интегрального уравнения (18.1). В этом пункте мы на том же простом примере (полуплоскость, граничное условие Дирихле) опишем схему одного из таких методов； в нем преобразование Фурье применяется непосредственно к дифференциала ному уравнению 6 частных производнъьх для искомой функции v(x, z).
Уравнение (18.11) представляет собой соотношение между фурье-сопряженными от функций и (z) и / (z), т. е. от 〃(爲 0) при 2 V 0, дополненной нулем при z > 0, и от разрыва производной dv (х, г) /дх при х == 0, z > 0, дополненной нулем при 2 Vo. Для установления этой связи введем фурье-сопряженную от V (х, г) при всех х, а не только при х = Q, как выше. Эта функция зависит и от х, и от h
V (х,九)=\ ? (%,研伫-皿 dz.(18.18)
Для V(х. Л), как функции от х, легко получить уравнение (*) 窘+(胪—无2)0 = о,(18.19)
умножив для этого волновое уравнение для и (力,г) на ехр(——ihz) и проинтегрировав по г от —оо до +8. Интеграл от d2v/dx2 равен д2V/dx2f а интеграл от ¥и]33 после двукратного интегрирования по частям даст член —й2У, так как можно показать, что обынтегрированные члены равны нулю.
Решение уравнения (18.19) есть
И(х, Л) = V (0,九)ехр(士 力“胪一胪矶(18.20)
где верхний знак относится к области х ^ 0, нижний ——к % 0 0; при этом использовано условие излучения для и(力,г). В (18.20) использована геометрия этого конкретного примера: так как индуцированный ток, создающий дифрагированное поле, протекает на плоскости х = 0, то поле и (%,乞)——а потому и функция И(х, N)—симметричны относительно этой плоскости.
Дифференцируя (18.20) по х и полагая % = 士0, получим требуемое соотношение между разрывом производной функции V(x, h) и значением этой функции при х = 0 (*):
L +o = -2zV^=^ V (0, ft). (18.21)
До сих пор й рассматривался как параметр. Теперь рассмотрим зависимость именно от 九.Слева в (18.21) стоит фурье- сопряженная от тока (18.3), т. е. функция /_(Л) (18.6а), (18.8а).
Стоящая справа функция V(0, /г) есть интеграл по z от —оо до 十8 от и(0, z). Часть его, а именно интеграл от —оо до О, есть У+(й) (18.65), (18.86). В оставшейся части ——в интеграле от 0 до оо, согласно граничному условию (18.2) для поля, у(0, 2)= —u°, и интеграл, согласно (18.10), равен F(h). Таким образом, в введенных раньше обозначениях (18.21) имеет вид (*)
/_ (й) = - 2f，庐二奴[V+ (й) + 尸(Л)].(18.22)
Согласно (18.17а), множитель справа равен 1/Г(Л), так что мы действительно получили то же основное уравнение (18.11), только с расшифрованным значением Г(Л).
Дальнейшее его исследование производится по той же схеме с использованием, разумеется, формулы (18.176).
Глава VII
НИЗКИЕ ЧАСТОТЫ
В двух параграфах этой главы рассмотрены методы, которые применимы при дифракции на телах, размеры которых малы по сравнению с длиной волны. Наличие в задаче параметра малости ka (а ——упомянутый линейный размер) позволяет использовать прием, основанный на близости задачи дифракции к задачам электростатики и магнитостатики. Поля вблизи тела определяются в статическом (月=0) приближении, а затем продлеваются во все пространство по волновым законам. Центральными являются, тем самым, два вопроса: формулировка статических задач и правила продления поля. Оказывается, что оба этих вопроса решаются в трехмерных и двумерных задачах не вполне одинаково. Поэтому в § 19 изучена задача о дифракции на малых трехмерных телах и на малых отверстиях в плоских экранах; двумерные задачи ——цилиндры и периодические поверхности с малым периодом — выделены в § 20.
Дифракция на малых трехмерных телахи 號апых отверстиях
Металлическое тело; формулировка статических задач. Малое металлическое тело помещено в поле Е°(г), Я0(г). Наибольший линейный размер тела а мал по сравнению с длиной волны
ka < 1. (19.1)
Поместим начало сферической системы координат (р, 6, 叫 где-либо внутри тела. Неравенство (19.1) означает, что существует такая область, где р удовлетворяет условиям
Q《p《:2n/比 (19.2)
т. е. область, размеры которой велики по сравнению с размерами тела и малы по сравнению с длиной волны. Для статических задач, к которым мы сейчас сведем задачу дифракции, такие значения р — бесконечно большие, В задаче дифракции
эти же значения р — бесконечно малые. Существование таких р, гарантированное условием (19.1), есть следствие наличия в задаче двух разных масштабов — размера тела и длины волны.
Во всей области, где 力р《1, в уравнениях Максвелла члены rot Я, rot£, имеющие порядок R/р, Е/р, велики по сравнению с членами hE, kH. В нулевом порядке по частоте эти уравнения могут быть заменены статическими уравнениями (в точках, свободных от сторонних токов):
a) rotE = 0, б) rot_ff = 0・ (19.3)
Эти уравнения можно рассматривать как уравнения для нулевых членов разложений Е и Д по степеням малого параметра k. К ним надо добавить уравнения (1.16)
a) divE = 0, б) div" = 0. (19.4)
Эти уравнения ——следствия строгих уравнений Максвелла; так как (1.16) не содержат параметра А, то они сохраняются во всех порядках по k. Эти уравнения не являются следствием (19.3), они могли бы быть получены из уравнений для первых членов разложений Е и Н по k (*).
Граничные условия на поверхности тела S (идеальный металл) имеют вид
а)弓=0, б) Н# = 0・ (19.5)
Первое из них ——обычное условие на металле. Второе справедливо при любых частотах (2.9). Оно, также как (19.4), может быть получено из уравнений первого по 月 порядка (*). Условие (19.55) не является прямым следствием условия нулевого порядка (19.5а), точнее — оно может быть получено из него только с привлечением уравнения (19.36).
При удалении от тела на расстояния, большие по сравнению с Q, поля Е, Я должны переходить в падающие поля Е°, Я0:
a) Ef Е。，б) Hf 砂 при pf 8, (19.6)
причем бесконечность понимается в статическом смысле, т. е. для р, удовлетворяющих (19.2). Формулы (19.6) получаются при разложении Е(г), Н(г) в ряд Тейлора и сохранении нулевых членов. Они справедливы, если вблизи тела падающие поля мало меняются на расстояниях порядка а. При помещении малого тела в нуль поля или вблизи источника условия на статической бесконечности формулировались бы иначе.
Однако условий (19.6) недостаточно, чтобы поставить соответствующие статические задачи. Существует еще условие, определяющее скорость убывания дифрагированного поля при
больших (в смысле (19.2)) р. Оно состоит в том, что при дифракции на 〃ю50M конечном теле 9丁。тело не приобретает суммарного поверхностного заряда, так что
а)，七“dS = O, б) ф HNdS = 0.(19.7)
Второе из этих условий — отсутствие суммарного поверхностного магнитного заряда — содержится, разумеется, уже в (19.56) и выписано для симметрии.
Первое, как мы сейчас покажем, является следствием условия излучения и уравнения (19.4а). Проинтегрируем (19.4а) по объему, лежащему между поверхностью тела S в поверхностью сферы радиуса роо, где р<»》2л/^, так что на этой сфере применимы условия излучения. Интеграл, стоящий слева в (19.7а), равен по формуле Гаусса интегралу по поверхности сферы от Ер. Применяя (19.4а) к точкам на этой сфере и подставляя для тангенциальных компонент выражения (3.23), получим
£р =依 р? sin 8 e-‘叫备(sin %)十-^ ] +。(评)・(19.8)
Элемент поверхности сферы равен dS = р2 sin 0 d0 dtp, и интеграл j Eq dS равен, с точностью до несущественных множителей,
，4 dS = е-«₽ U [啬(sin*D 十需]de 加 +。(孑.(19.9)
Первое слагаемое в (19.9) является интегралом по периоду от периодических функций, т. е. равно нулю. Так как левая часть (19.9) не зависит от р<», то она равна нулю.
Таким образом, поле вблизи малого металлического тела (при р《2л/々)находится из двух независимых задач — из электростатической задачи (19.3а), (19.4а), (19.5а), (19.6а), (19.7а) и из магнитостатической задачи (19.36), (19.46), (19.56), (19.66), (19.76).
Скалярные потенциалы. Каждая из этих задач сводится к нахождению скалярных функций — электростатического потенциала Ф в магнитостатического потенциала 4r. Согласно (19.3), поля можно искать в виде
а) Е = —У①，б) Я = — VY.(19.10)
Оба потенциала удовлетворяют» согласно (19.4), уравнению Лапласа
а) А①=0, б) А屮=0.(19.11)
Граничные условия для них, согласно (19.5), имеют вид
а)① Ь = “ б) OBjdN = 0(19.12)
Мы не рассматриваем особую ситуацию, когда тело состоит из нескольких тел (неодносвязно), так что Ф на каждом теле может принимать свое постоянное значение, и приравниваем левую часть (19.3) к нулю, так как добавление постоянного слагаемого к Ф не меняет, согласно (19.10а), поля Е.
Условия на бесконечности (19.6) проще всего записать, направив в каждой из двух задач ось сферической системы координат по соответствующему вектору Е°(0) или Н°(0). Если, например, связать систему координат с £°(0), то условие (19.6а) для Ф будет
① f —£*°(0)р cos0 при pf 8.(19.13)
Это условие надо уточнить, используя (19,7а). Согласно (19.7а) ряд по обратным степеням р, который асимптотически представляет электростатический потенциал дифрагированного поля Ф + £О(О)Р cos 0, т. е. разность потенциала полного поля Ф и падающего поля, равного —£"°(0)pcos В> должен (после постоянной) начинаться с члена порядка 1/р2.
Член, пропорциональный 1 /р, который был бы старшим в разложении потенциала заряженного тела, не может присутствовать в статической задаче, возникшей из задачи дифракции. Действительно, слагаемое, пропорциональное 1/р, согласно (19.11а), не зависит от углов (так как 1/р — решение уравнения Лапласа), поэтому если в Ф содержится такое слагаемое, то интеграл ^ Е^ dS9 взятый по сфере большого [в смысле (19.2)] радиуса, отличен от нуля. Однако он равен левой части (19.7а) — это вновь получается при интегрировании (19.4а) по области между S и этой сферой — и поэтому должен быть равен нулю (*).
Следующий член, убывающий как 1/р2, пропорционален cos 9/р2, ибо именно так зависит от 0 решение уравнения Лапласа, пропорциональное 1/р2. Для простоты записи предположим, что Е°(0) направлено некоторым определенным образом относительно тела, в общем же случае угол 0 в этом слагаемом не совпадает с 0 в (19.13). Коэффициент при этом члене должен быть пропорционален возбуждающему полю в (19.13). Таким образом, условие на статической бесконечности для потенциала имеет вид
ф=- £0(0){pcos9 +С-рв-^-} +О (-р-),(19.14)
где С — несущественное для дальнейшего постоянное слагаемое. Вводимое таким образом число Ре — коэффициент электрической поляризуемости тела при данном направлении вектора Е°(0)—определяет, как увидим в п. 19.4, также и дифрагированное поле. Вообще говоря, р& — тензор, и только для некою-
рых направлений Е°(0) не происходит деполяризации и условие (19.14) записывается таким простым образом.
Так же записывается формула для асимптотического поведения V и вводится коэффициент магнитной поляризуемости р〃.
Задача, состоящая из уравнения (19.11а) и условий (19.12а) и (19.14) (причем в последней формуле рЕ не задано, а само находится из этой задачи), однозначно определяет функцию Ф. Как и в электродинамике, для того чтобы это показать, достаточно убедиться в том, что разность двух решений Ф тождественно равна нулю. Применим формулу
\^dV = ^^-dS-^ ^^ds,(19.15)
ss.
которая очевидным образом получается из формул Ф УФ == =(V①)2 +(DA① и (19.1 la), к области между S и сферой Sp большого радиуса, на которой применимо (19.14). Первый интеграл справа исчезает вследствие (19.12а), второй — вследствие (19.14), так как ⑪〜С+О(1/рЗ), дФ/dN^O (1 /р3), ФдФ/dN^ =О(1/р3), и интеграл имеет порядок не ниже 1/р. Интеграл от неотрицательной величины (VO)2 может неограниченно стремиться к нулю с ростом области интегрирования, только если V&wO, что и доказывает однозначность сформулированной электростатической задачи. Так же доказывается однозначность (с точностью до несущественного постоянного слагаемого) магнитостатической задачи.
Металлическая сфера; эллипсоид вращения. Общим методом, позволяющим для трехмерного металлического тела решать задачи, сформулированные в предыдущем пункте и, в частности, найти рЕ 口 〃丛 является метод интегральных уравнений. Эти уравнения составляются таким же образом, что и интегральные уравнения в задачах электродинамики, но ядром в них является более простая, чем в электродинамике, функции l/|ri —— 尸2丨——функция Грина уравнения Лапласа.
Для эллипсоида задача решается значительно проще, разделением переменных. Мы решим задачу для шара, а для эллипсоида вращения приведем только некоторые результаты.
Частные решения уравнения Лапласа, не зависящие от угла qp, в сферической системе координат имеют вид
рпрп (cos е), р^п^рп (cos е)»(19.16)
где Prt(cos 0) — полиномы Лежандра; P0(cos 0) = 1, Pi (cos 0)= =cos 0; другие полиномы (см. п. 6.1) нам не понадобятся.
Решение уравнения (19.11а) ищем в виде
Ф = — £° (0) { р cos е — рв • ^- }.(19.17)
Для_ шара первые члены асимптотического разложения (19.14) дают точное решение. Действительно, (19.17) удовлетворяет граничному условию (19.12а) на поверхности шара радиуса а при
Ре =歩.(19.18а)
В том же виде (19.17) с заменой 卩衣 на рн записывается решение магнитостатической задачи для 屮，и из граничного условия (19.126) получается
ря = — дЗ/2.(19.186)
Разумеется, для шара Ре и рн—не тензоры, а скаляры.
Для эллипсоидов Ре в ря — тензоры. Главные значения этих тензоров — это те значения коэффициентов поляризуемости, которые получаются из соответствующих статических задач, если поля Е° или Н° направлены по одной из осей эллипсоида. Явные формулы, не содержащие интегралов, получаются только для эллипсоидов вращения. Например, для вытянутого эллипсоида вращения, если поле Е° направлено вдоль большей оси эллипса,
Рн=^а%2( — 1 + 登 Е '； 士 ： )，(19.19а)
где а — большая полуось эллипса, е — его эксцентриситет. При ет0 (19.20) переходит, разумеется, в (19.18а).
Для очень вытянутого эллипсоида, при ет 1,
Ре =言 in [2/(1 — е)] '(19.196)
Поляризуемость имеет порядок а3. Она несколько меньше, чем для шара радиуса а, но значительно больше, чем для шара того же объема, что и объем эллипсоида; для такого шара рЕ = а3(1 — е2). Если же вытянутый эллипсоид помещен в поле, перпендикулярное к его большой оси, то Ре ^ 2/за^2» где b — малая полуось.
Для сплюснутого эллипсоида вращения мы приведем только результаты, относящиеся к предельному случаю, когда одна ось много меньше двух других (круглый диск). Если электрическое поле направлено по оси вращения (перпендикулярно к диску), то ре имеет порядок объема диска, т. е. дипольный момент мал. Если электрическое поле лежит в плоскости диска, то коэффициент электрической поляризуемости пропорционален кубу ра-
диуса диска, который мы обозначим а:
р£ = ^ а3. < (19.20a)
Магнитный момент имеет тот же порядок, если магнитное поле перпендикулярно к диску; коэффициент магнитной поляризуемости равен
Рн = _ 备絞 (19.206)
Он мал, порядка объема диска, если магнитное поле лежит в его плоскости.
Дифрагированное поле во всем пространстве. Основным полученным выше результатом является формула (19.14) и формулировка задачи, из которой определяется 〃七,и соответствующая формула для 4r. При этом статические потенциалы дифрагированного поля на статической бесконечности
а)①"Нф = ?"Е°(0)^^, б) ^* = ^/7°(0)^- (19.21) [угол 0 в обеих формулах отсчитывается от разных направлений, см. замечание перед (19.13)]. Формулы (19.21) дают старшие члены разложения по малому параметру а/p. Согласно (19.21) и (19.10), на статической бесконечности металлическое тело действует как совокупность электрического и магнитного статических диполей с моментами 〃еЕ°(0) и 〃屈。(0) соответ： ственно. Для простоты мы рассматривали поляризуемости Ре и рн как скаляры, однако последние формулы записываются таким же образом и для тензорных рЕ и рн・
Регулярный способ, позволяющий использовать решение статических задач для решения электродинамической задачи дифракции, состоит в том, чтобы вычислить из статики индуцированный ток, или ——для диэлектрических тел — индуцированную поляризацию (1.11), а по нему дифрагированное поле во всем пространстве. Однако за исключением некоторых двумерных задач (см. п. 19.6), всегда можно применить какой-либо более простой прием. Для трехмерных задач таким приемом является сшивание полей на поверхности, лежащей в области (19.2). Для этого надо, вообще говоря, по (19.21), (19.10) найти тангенциальные компоненты Е и Я на сфере большого (р》а) радиуса, а затем по ним вычислить вне этой сферы поле, удовлетворяющее волновым уравнениям и условиям излучения. Однако фактически и 9ту краевую задачу можно решить, не производя никаких вычислений, а просто сшивая на какой-либо сфере радиуса, лежащего в промежуточной области (19.2), поле статического диполя и поле элементарного диполя (3.2).
Сопоставление формул показывает, что тангенциальная компонента поля Е электрического статического диполя, получаемого из (19.21) и (19.10а), и элементарного электрического диполя с дипольным моментом
面比В° ⑼ (19.22а) совпадают. Так же совпадает тангенциальная компонента поля Н магнитного статического диполя рн и элементарного магнитного диполя с магнитным моментом
的加日0(0). (19.226)
Поэтому сшивание полей на сфере промежуточного радиуса (19.2) производится автоматически. •
Таким образом, малое металлическое тело, помещенное в поле Е°, Н°, создает во вне поле двух элементарных диполей——электрического с моментом (19.22а) и магнитного с моментом (19.226).
Диэлектрическое тело. Сформулируем электростатическую задачу, к которой сводится электродинамическая задача о дифракции падающего поля Е°, _Н° на малом диэлектрическом теле. Примем сначала е непрерывной функцией; вне некоторой сферы радиуса a (ka《1) & 三 L
Нулевой член разложения поля Е по степеням k удовлетворяет уравнениям
a) rot Я = 0, б) div (в£) = 0. (19.23)
Второе из них может быть получено либо из разложения по k уравнений Максвелла в первом по k порядке, либо из уравнения (1.7а); оно аналогично уравнениям (19.4а) и (19.5а) (*). В диэлектрике, при дифракции не возникает локального электрического заряда, поэтому не возникает и суммарного заряда, и уравнение типа (19.7а) есть простое следствие (19.236). Условия на статической бесконечности для диэлектрического тела такие же, как для металлического, т. е. это тело действует как электростатический диполь с моментом /7я£°(0). Повторяя соображения предыдущего пункта, можно утверждать, что дифрагированное поле всюду есть поле элементарного электрического диполя с тем же моментом (19.22а).
Диэлектрическое тело не возбуждает магнитного диполя, т. е. для него рн = 0. Это следует из того, что уравнения (19.36) и (19.46) справедливы по всей области 々р《1, так как в статическом приближении решение есть просто Н = Н°(0). В следующем пункте мы упомянем условия, когда это утверждение становится неверным.
Определение рЕ из электростатической задачи производится разными методами, в общем случае ——применением интегральных уравнений.
Если тело ограничено поверхностью 5, внутри которой £ == =const =/= 1, а вне е = 1, то задача легко сводится к скалярной введением потенциала Ф по (19.10а). Этот потенциал можно вводить, разумеется, и при*е = е(г), однако для Ф получается сложное уравнение
А①+ У① У 1пе = 0. (19.24)
Для тела с постоянным в потенциал и внутри, и вне тела удовлетворяет уравнению Лапласа (19.11а), а на S — граничным условиям
а» 喘=需|$' 6)О>+ =①「Is， (19.25)
где Ф+, Ф~ —значения Ф внутри и вне тела (*). Первое из них есть предельная форма (19.236), второе — предельная форма тангенциальной к S компоненты векторного уравнения (19.23а). Точнее, из (19.23а) следует непрерывность тангенциальных компонент [это справедливо в любом порядке по k; см. (2.1а)], а (19.256) учитывает еще несущественность аддитивного слагаемого в Ф.
Методом разделения переменных электростатическая задача решается, как и для металлического тела, не только для шара, но и для эллипсоида. В статике при этом не возникает трудностей, специфических для электродинамической задачи о диэлектрическом эллипсоиде и связанных с различием волновых уравнений внутри и вне диэлектрика.
Ограничимся вычислением поляризации Ре для диэлектрического шара. Потенциал при р > а записывается в виде (19.17), при pVa ——в виде решения уравнения Лапласа с той же угловой зависимостью
Ф+« —£°(0) Др cos 6. (19.26)
Условия (19.25) дают для двух коэффициентов А и рЕ два уравнения, из которых следует
а) 4 ="® М 声，6) рЕ == а3 ^^ ■ (19.27)
Таким образом, при помещении диэлектрического шара в электромагнитное поле возникающее дифракционное поле вне шара равно полю элементарного электрического диполя с моментом (19.22а), где рЕ дано в (19.276), а поле внутри шара постоянно по величине и направлению и равно Л£о(0), где Л дано в (19.27а).
Особые значения диэлектрической проницаемости. Диэлектрическая проницаемость в статической задаче (19.11а), (19.25), (19.14) возникла из электродинамической задачи и мо-
жет быть поэтому отрицательной или комплексной. В двух случаях возникает особая ситуация, при которой условие (19.1) недостаточно для применимости статического приближения.
Если £ + 2 = 0, то электростатическая задача для шара не имеет решения. Значение е — —2 можно рассматривать как собственное значение однородной задачи, состоящей из (19,11 а), (19.25) и условия Ф*~ = О(1/р2). Электростатическая задача — неоднородная (Е°(0) #= 0), и при этом она, как видно из (19.27), не имеет решения. Такое исключительное значение е (их может быть несколько) существует для тел любой формы.
Электродинамическое решение переходит в электростатическое, если ka мало по сравнению со всеми участвующими в задаче величинами. Анализ электродинамического решения, которое для шара находится методом разделения переменных, показывает, что оно переходит в электростатическое (19.27) при условии
< I в + 2 |1/2. (19.28)
Это условие, заменяющее при в, близком к —2, условие (19.1), гарантирует также на расстояниях 々р《1 малость члена Ре/^ в (19.14) по сравнению с первым членом, описывающим падающее поле.
Электродинамическая задача имеет решение и при в = —2, но она не сводится к электростатической задаче, как бы мал ни был шар. При приближении е к этому значению сколь угодно малый шар становится электродинамической ловушкой. Его внутреннее поле и поляризация становятся большими (но, разумеется, конечными) и зависят от частоты.
При увеличении {в| статическое приближение тоже становится неприменимым. Условие его применимости состоит не только в (19.1), но также в том, что а должно быть мало по сравнению с длиной волны в диэлектрике^
々а“Т7Т《1. (19.29)
Если это условие нарушено, а условие (19.1) выполнено, то поле только вне тела удовлетворяет уравнениям электростатики, а внутри тела оно должно удовлетворять уравнениям Максвелла или волновому уравнению (1.12).
Тем не менее в пределе, при ]е|т 8, электростатическая задача о диэлектрическом теле переходит в электростатическую задачу о металлическом теле. Действительно» при |е|-> оо (19.25а) дает (дФ^/dN) |« = 0, а решение уравнения Лапласа внутри замкнутого объема с таким граничным условием тождественно равно нулю — это следует, например, из уравнения (19.15), примененного к внутреннему объему (*). Из (20.256) при Ф+ = 0 следует граничное условие (19Л2а) для Ф*~, так
ято Ф~ совпадает с потенциалом в задаче о металлическом Тёле. В частности, рЕ для диэлектрика при |е|->оо переходит в 卩左 для металла, что для^ шара видно непосредственно из сравнения (19.276) с (19.18а).
Однако в таком предельном переходе не получается правильного значения магнитной поляризации Утверждение, что она равна нулю для диэлектрического тела, справедливо лишь при выполнении условия (19.29). При нарушении этого условия электрическое поле внутри тела вызывает магнитное, так что возникает отличное от нуля 卩日・
Покажем, что и поляризуемость рн для металлического тела можно найти из электростатической задачи о диэлектрическом теле, если в выражении для рЕ такого тела положить е = 0.
Существует связь между значением рн для тела с отличной от единицы магнитной проницаемостью р. и значением рн для металлического тела. Если ц =И= 1, то рн находится из магнитостатической задачи, в которой потенциал 4r удовлетворяет тем же условиям (19.25), что и Ф в электростатической задаче с в =И= 1, с заменой в на 卩.Эта задача переходит в задачу о металлическом теле, если формально положить в ней 卩=0, ибо тогда граничное условие, аналогичное (19.25а), переходит в граничное условие (19.126) в задаче о металле (*). Например, рн для шара с 卩声 1 равно, по аналогии с (19.276),
ря = а3(ц-1)/(и + 2) (19.30)
и при 卩=0 это выражение переходит в рн для металлического шара (19.186).
Рис. 19.1. Отверстие в плоском экране.Рис. 19.1. Отверстие в плоском экране.Малое отверстие в плоском экране; принцип двойственности. Для определения поля, возникающего при прорезании малого отверстия в плоском экране, воспользуемся аналогией
Рис. 19.1. Отверстие в плоском экране.
Рис. 19.1. Отверстие в плоском экране.
Рис. 19.2. Диск, допол-няющий экран с отвер-стием до сплошной пло-скости.
между этой задачей (рис. 19.1) и задачей о дифракции на металлическом диске, форма которого повторяет форму отверстия (рис. 19.2). Эта аналогия — так называемый принцип двойственности—состоит в том, что задаче об отверстии можно сопоста-*
вить такую задачу о диске» что полное поле, проникающее в нижнее полупространство в первой задаче, равно дифракционному полю во второй задаче. Этот принцип легко обобщается при возбуждении поля с обеих сторон, не ограничен малыми отверстиями, но справедлив только для плоских экранов.
Его доказательство основано на двух простых идеях. Во- первых, на том, что тангенциальная составляющая магнитного поля Ht в какой-либо точке плоскости не искажается при металлизации не содержащей этой точки части плоскости, т. е. равна Н? в падающей волне. Это свойство есть следствие того, что магнитное поле токов, индуцированных на плоской поверхности (S2 на рис. 19.1 и Si на рис. 19.2), не содержит компонент, расположенных в той же плоскости. Поэтому в задаче об отверстии (см. рис. 19.1) Ht на Si совпадает с "? в отсутствии экрана, а в задаче о диске (см. рис. 19.2) //； на S2 совпадает со значением Н?, где Е。，Н°—падающее поле в задаче о диске, которое мы ниже свяжем с £°, /Г.
Вторая идея состоит в том, чтобы рассматривать поле в нижнем полупространстве как созданное компонентами Et и Ht на плоскости, точнее — как решение следующей смешанной граничной задачи: на металле задано Et, на части плоскости, свободной от металла, задано Ht. На бесконечности поля удовлетворяют условию излучения.
В задаче о диске дифрагированное поле (е, й) — т. е. разность полного и падающего поля — создано следующими граничными значениями:
et =■—方？ на Si, ht = 0 на 5г- (19.31) В задаче об отверстии полное поле создано граничными значениями
Ht = Ht на Si, £7 = 0 на S2. (19.32)
Следовательно, если мы задаче о дифракции падающего на отверстие поля £°, Я0 сопоставим задачу о дифракции падающего на диск поля £°, Я0» такого, что
» = —W, 揖=—Е。， (19.33)
то в нижнем полупространстве полное поле (£, Я) в задаче об отверстии может быть получено из дифрагированного поля (е, h) в задаче о диске заменой е на —Н и й на —Е. Ниже мы ограничимся нормально падающей плоской волной.
Для вычисления дальнего поля в задаче о круглом отверстии мы можем воспользоваться приведенным в (19.20а) значением коэффициента электрической поляризуемости круглого
диска. Дипольный момент элементарного электрического диполя, поле которого равно полю диска, равен, согласно (19.22а), 1(арЕЕ^, т. е., согласно принципу двойственности (19.33), равен ——，0>夕七"°. Этот дипольный момент пропорционален магнитному полю падающей волны：. Магнитный дипольный момент плоского диска, согласно тексту после (19.206), равен нулю (поле лежит в его плоскости).
Таким образом, поле малого круглого отверстия радиуса а есть поле элементарного магнитного диполя [напомним о замене полей, отмеченной после (19.33) ] с моментом
—£й>"^-оЛН°. (19.34)
Эта формула позволяет, в частности, найти поток энергии через отверстие. Диполь с моментом (19.34) излучает энергию, равную квадрату модуля этого момента, умноженному на 々？/6с (3.10). Коэффициент этот равен половине коэффициента в (3.10), так как мы вычисляем энергию,, излучаемую только в полупространство. Энергия эта пропорциональна а6.
Удобной характеристикой электродинамических свойств отверстия является так называемый коэффициент прохождения т, равный отношению прошедшей энергии к энергии, падающей на отверстие. Падающая энергия равна (с/8л) \HQ\2na2, так что (*)
t = 2^2" (19.35)
Разумеется, фактическое вычисление коэффициента поляризуемости диска (19.20а) потребовало бы решения такой же задачи электростатики, что и прямое определение электрического поля на отверстии (что позволило бы решить задачу рис. 19.1 без обращения к задаче рис. 19.2). Обе эти задачи для круглого диска или круглого отверстия решаются разделением переменных в эллиптических координатах. Для отверстий (дисков) некруглой формы потребовались бы более сложные методы теории потенциала. В принятом выше методе вычисления т подчеркивается, что электрическое поле в отверстии пропорционально магнитному полю падающей волны (его тангенциальной компоненте) .Это объясняется просто тем, что удвоенное магнитное поле падающей волны равно току, протекающему по плоскости, а возмущающее действие отверстия тем больше, чем больше отверстие нарушает протекание тока.
В этом рассуждении существен еще и векторный характер Я0. Например, в длинном отверстии (щели), прорезанном поперек тока, т. е. сильно его возмущающем, возникнет большое
электрическое поле, и просачивание энергии будет велико, а в щели, параллельной току, возникнет слабое поле. Это можно рассматривать как следствие принципа двойственности и полученных в следующем параграфе свойств металлических лент. Там будет показано, что если электрическое поле падающей волны параллельно ленте, то на ней возникнут большие токи. Согласно принципу двойственности, в щелк возникнут большие электрические поля, если она параллельна магнитному полю падающей волны, т. е. перпендикулярна к направлению тока, протекающего по плоскости. Если же электрическое поле перпендикулярно к ленте, то лента слабо рассеивает, поэтому малым будет просачивание через щель, перпендикулярную к магнитному полю (т. е. параллельную токам).
Малое значение коэффициента т (19.35) для круга связано с тем, что ток на плоскости легко обтекает малое отверстие, и в отверстии не возникает значительного электрического поля.
Если бы Е° содержало нормальную к плоскости компоненту £^/, то такую же компоненту содержало бы магнитное поле в эквивалентной задаче о диске, Н^ = — £%, и в поле присутствовало бы еще слагаемое, созданное электрическим дипольным моментом —心卩萨卜 Для круга рн дано в (19,206).
Двумерные задачи. Дифракция на прямолинейныхметаллических цилиндрах
и на частопериодических структурах
В этом параграфе рассмотрены двумерные низкочастотные задачи дифракции. Одно из измерений тела, на котором происходит дифракция, бесконечно велико. Всюду, кроме предпоследнего пункта, мы ограничимся металлическими телами. Кроме того, чтобы не усложнять запись, примем, что поля не зависят от координаты 2, вдоль которой тело бесконечно.
Выделение двумерных задач в отдельный параграф связано с двумя обстоятельствами. Во-первых, для одной из поляризаций (при Ez #= 0) задача при сколь угодно низкой частоте не сводится к статической. Решение имеет такой вид, как будто на цилиндре образуется заряд, зависящий от частоты. Поэтому и условия на бесконечности для уравнения Лапласа зависят от частоты.
Во-вторых, в двумерном случае задача, разумеется, сводится к решению двумерного уравнения Лапласа, и мы в этом параграфе сможем пользоваться универсальным методом решения этого уравнения ——конформными преобразованиями.
Как было показано в п. 5.1, если форма тела и падающее поле не зависят от z, то имеет место разделение поляризаций.
Компонента Ez в падающем поле порождает поле, содержащее только 瓦，Ну [ср.318а)]:‘
% =一击需，/ =金票，邑="•(2。」)
Компонента Нг в падающем поле порождает поле, содержащее только H2i Ех, Еу [ср. (3.186)]:
j=击器，Е尸一击罂,团="•(2。・2)
Поэтому можно отдельно решать задачу для f-поляризации (£*% 关 0, "% = 0) и для //-поляризации (fz 曰 0,"之県 0), а если в падающем поле отличны от нуля и £z, и HZi то решение будет суммой решений двух независимых задач.
Потенциальной функцией в обоих случаях можно выбрать и. Так как это — декартова компонента поля, то и удовлетворяет волновому уравнению, а при 々/*《1 (г2 = х2 + у2) уравнению Лапласа
厶〃 =0. (20.3)
В этом параграфе, не вводя специального обозначения, будем в отличие от § 19 всюду пользоваться двумерным оператором Лапласа, который в декартовых и цилиндрических координатах имеет, соответственно, вид
32 d2 321dl. *
цилиндра функция и удовлетворяетцилиндра функция и удовлетворяетЕ-поляризация; круговой металлический цилиндр. На
цилиндра функция и удовлетворяет
цилиндра функция и удовлетворяет
контуре С металлического условию
(20.5)(20.5)u\c~G.
(20.5)
(20.5)
Задача об определении и (г, ф) из (20.3) и (20.5), как мы уже отмечали, не сводится полностью к задаче электростатики. Формально это связано с тем, что интеграл ф -^- ds, взятый вдоль контура сечения С, отличен от нуля. Поэтому в решении присутствует член In г, не стремящийся к нулю при г-> оо, и условие на статической бесконечности не состоит в том, что поле должно перейти в невозмущенное падающее поле. Программа, осуществленная в первых пяти пунктах предыдущего параграфа, здесь не может быть проведена. По существу, это есть следствие того простого физического факта, что при помещении в электростатическое поле вдоль его силовых линий бесконечно длинного идеально проводящего цилиндра по цилиндру пойдет бесконечный ток, электростатическое поле разрушится. Поэтому электростатическая задача (20.3), (20.5) приобретает смысл,
только если условия на бесконечности в ней будут носить неэлектростатический характер, т. е. содержать частоту.
Чтобы определить структуру поля при низких частотах, воспользуемся решением (5.10), (5.12а), справедливым при всех частотах, и в нем положим ka <С 1. Как легко показать (*), основываясь на (5.12а), коэффициенты ряда (5.10) при любой структуре падающего поля имеют порядок Ат (ka)2m (/л = =1, 2, ...), /о 〜1/ln ka, в частности, для специального вида падающего поля это следует из (5.13а). Поэтому при всех 工 в ряде (5.10) надо сохранить только два члена:
А m (0) 〜 仙。(0) (2"6) 0 Н^ (Аа) 2/ In ka *
Здесь мы еще заменили падающее поле 以° его значением м°(0) на оси цилиндра. Это приводит к ошибке того же порядка (々а) 2, что и отбрасывание остальных членов полного ряда. На статических расстояниях .
u = uo(O)-uO(o)^L. (20.7)
Это и есть искомое решение. Оно — электростатическое в том смысле, что удовлетворяет уравнениям электростатики (20.3), (20.5). Оно может трактоваться как решение задачи о заряженном цилиндре, хотя, разумеется, никакого заряда на поверхности не образуется, ибо Е「三 0. Эффективный заряд, согласно (20.7), равен
§瑞-需* (20.8)
Эта формула представляет собой основной результат анализа задачи о круглом металлическом цилиндре (^-поляризация) при низких частотах. Стоящий слева интеграл определяет коэффициент при логарифмическом члене в статическом решении для электрического поля £г.
Этот эффективный заряд пропорционален току, протекающему по цилиндру. На поверхности цилиндра существует азимутальная компонента магнитного поля 口導=不 и полный ток, протекающий по цилиндру, отличен от нуля и равен
『* §警ds. (20.9)
Явное выражение (20.7) для поля, вблизи металлического цилиндра кругового сечения, полученное непосредственно из анализа ряда Релея при 々а《1, позволит нам решить и задачу О цилиндре некруговом.
^-поляризация; металлический цилиндр произвольного сечения. Задача состоит в решении уравнения (20.3) с граничным условием. (20.5) на произвольном замкнутом контуре С. В частности, надо найти коэффициент при логарифмическом слагаемом в этом решении, которое является главным членом в асимптотике при 尸》а. Зная этот коэффициент, можно затем найти дифрагированное поле вдали по формуле (20.6), если вблизи, на расстояниях порядка длины волны, нет других тел.
Решение этой задачи основано на сведении ее к задаче предыдущего пункта путем замены координат (х, у) на другие координаты (玄 т), в которых контур С переходит в окружность, уравнение Лапласа и граничное условие сохраняются, и которые на больших (статически) расстояниях переходят в (х, у). Эта замена координат осуществляется конформным преобразованием. ,
Введем две комплексные величины Z и W формулами
Z = x + iy, W = t + ix.(20.10)
т. е. две плоскости с декартовыми координатами (х, у) и (/, т), соответственно. Затем введем некоторую функцию
Z^F(W)f(20.11а)
правила выбора которой мы определим ниже. Разделяя в (20.11а) вещественную и мнимую части, получим
% = %(/, т), у == у (/, т),(20.116)
Рис. 20.1. Преобразование эллипса в круг.Рис. 20.1. Преобразование эллипса в круг.скость 眩 переходила в Z. Тем самым кон由овмное (если 尸一аналитическаяскость 眩 переходила в Z. Тем самым кон由овмное (если 尸一аналитическаятак что (20.11а) есть сокращенная запись уравнения перехода от координат (/, т) плоскости W к декартовым координатам (х, у) плоскости Z. Пусть при движении точки (% т) по некоторой окружности радиуса аЭф точка (х, у) по (20.116) движется по заданному контуру С. Потребуем, чтобы при t2 + -|~ т2 —> оо координата t переходила в 尤,а т — в у, т. е. чтобы вдали от начала координат пло- мы осуществим требуемое функция) преобразование
Рис. 20.1. Преобразование эллипса в круг.
Рис. 20.1. Преобразование эллипса в круг.
скость 眩 переходила в Z. Тем самым кон由овмное (если 尸一аналитическая
скость 眩 переходила в Z. Тем самым кон由овмное (если 尸一аналитическая
плоскостей, переводящее окружность в заданную кривую С.
Например, если С есть эллипс с полуосями а【и Ь\ (рис. 20.1), то, как известно, искомая функция (20.11а) есть а? 一 1
2 = ^++二历・(20.12)
Действительно, параметрическое уравнение окружности 户 + 4- т2 = аэф в плоскости W есть
f = аэф cos 屮，т = ^эФ sin 屮.(20.13)
Разделяя, согласно (20.12), действительную и мнимую части, получим на контуре С (*)
X = m” + -^^jcos2,sin Ф. (20.14a)
Разумеется, г|)——полярный угол в плоскости (f, т)——не есть полярный угол ф в плоскости (х, у).
Уравнение (20.14а) есть параметрическое уравнение эллипса с полуосями
а； — Ь；а? — Ь；
й^ + 4аэф > ° 坤4аэф '(20.146)
Из требования, чтобы эти полуоси были а【и 6卜 находится a3中(*):
a酒="寸L.(20.15)
Мы проверили, что преобразование (20.12) переводит окружность радиуса а^ф в плоскости W в требуемый эллипс в плоскости Z. Очевидно, что на бесконечности обе переменные совпадают, так как согласно (20.12), при | W\^ оо Z-^-W, и внешняя по отношению к окружности область в плоскости W переходит во внешнюю по отношению к эллипсу область плоскости Z.
Так как (20.12)——аналитическая функция, то при переходе к новым переменным лапласиан (двумерный) сохраняет свою форму, приобретая только общий множитель (*):
翡十嶽=(祭+黑)1备『• (20.16а)
Поэтому в переменных (/, т)——т. е. в плоскости W——искомая функция 以(力 т) вблизи цилиндра удовлетворяет уравнению Лапласа (20.3), а вдали, в волновой зоне, где второй множитель в (20.16а) равен единице ——правильному волновому уравнению. Сохраняется и граничное условие (20.5), которое в плоскости W поставлено на окружности радиуса аЭф (20.15).
Таким образом, решение задачи о дифракции на малом эллиптическом цилиндре получается, если в решении (в координатах f, т) задачи о дифракции на малом круговом цилиндре заменить а на аЭф, а координаты (/, т) выразить через (х, у) по (20.12). В частности, вместо г в (20.6), (20.7) надо подставить (步 + 工2)1". При 俨工 т2》&力(t2 + т2) 1/2г, так что вдали
поле при дифракции на эллиптическом цилиндре совпадает с полем при дифракции на круговом “цилиндре радиуса (20.15).
Этот вывод позволяет обойтись без указанной в п. 19.4 процедуры——определения поля вдали по току. Его справедливость основана на двух дополнительных обстоятельствах, имеющих место только для задачи о ^-поляризации.
Во-первых, при этом делается ошибка, состоящая в неучете отличия множителя |dW/dZ\2 от единицы вблизи тела. Для волнового уравнения в координатах (我 т) этот множитель, согласно (20.16а), эквивалентен существованию эффективной диэлектрической проницаемости
Q^ = \dZ/dW р. (20.166)
Эта величина отлична от единицы вблизи цилиндра и только при (/2 -|- т2)1/2 » аЭф стремится к единице. Задача о дифракции на произвольном металлическом круговом цилиндре тождественна задаче о дифракции на металлическом круговом цилиндре, помещенном в среду с 8 = 8Эф, и 8Эф отлично от единицы в области порядка аЭф. При 々а?力《1 пренебрежение дифракцией на этом неоднородном диэлектрическом теле приводит к ошибке порядка (々а?力)？， т. е. малой по сравнению с дифракционным полем, которое, как и для кругового цилиндра, имеет порядок 1 /In ka^
Во-вторых, при этом существенна инвариантность суммарного тока (суммарного эффективного заряда), т. е. левой части равенства (20.8). Плотность тока, т. е. ди/dN, неинвариантна, так как, в очевидных обозначениях
当I (20.17а)
Однако растяжение плоскости при конформном преобразовании, т. е. при переходе от (/, т) к (х, у) по (20.11), одинаково во всех направлениях, и подынтегральное выражение в токе ди/dN ds при этом переходе не изменяется. Поэтому выражение для эффективного заряда, вычисленное в (20.8) из задачи о круговом цилиндре, справедливо для любого цилиндра при замене cl на а?中.
Для эллиптического цилиндра аЭф дано в (20.15). В частности, для ленты (61 = 0) аэ力=。1/2・ Узкая лента ширины 2al возмущает поле при г 9 а【как цилиндр радиуса ai/2. Плотность тока на ленте вычисляется по (20.17а). Согласно (20.12) dZ/dW = 1—а?/4ТГ2, на ленте (|х| < аь у = 0), как легко проверить, Г = х/2 + i (а；—廿严/2, и (*)
侬」76)
На краях ленты, при 尤f 士а】, ток (параллельный краю ленты) имеет, разумеется, особенность, которая из общих соображений была получена в (3.3).
Существуют регулярные (точные или приближенные) методы нахождения функции (20.11а), осуществляющие конформное преобразование окружности в заданный замкнутый контур С таким образом, чтобы при | 呼->8 Zf I取，и, тем самым, регулярный способ решения сформулированной в этом пункте задачи. В общем случае основная формула — выражение для а?力 через параметры контура С — не столь проста, как формула (20.15) для эллипса.
тт^-поляризация; частая гофра. В основе метода, применяемого при решении задачи о двумерных периодических структурах, тоже лежит введение, вместо (尤,у), таких координат, в которых на больших расстояниях сохраняется волновое уравнение, а на малых — уравнение Лапласа. Основной идеей метода является перевод сложного контура в плоскости (х, у) в простой контур в плоскости (力 т)・ Метод по существу основан на формуле (20.16а).
т
т
Мы рассмотрим сначала задачу о поле вблизи неглубокой частопе
риодической гофры. Сечение гофры Рнс. 20.2. преобразование гоф- плоскостью 2 = const есть перибди- рнрованной 霏хностн вплб- ческая линия С, близкая к прямой.*
Период этой линии а и отклонение ее от прямой малы по сравнению с длиной волны. При отражении от такой поверхности' поле на расстояниях, больших по сравнению с а, будет асимптотически таким же, как при отражении от некоторой плоской поверхности. Все мелкие (с масштабом а) возмущения будут существовать лишь на расстояниях порядка а — аналогично тому, что поле вблизи эллиптического цилиндра только на расстояниях, малых или сравнимых с аЭф, отличается от поля вблизи кругового цилиндра. Вдали от гофры мелкомасштабные возмущения затухнут, сгладятся, и в этой области характеристикой гофры является положение упомянутой эквивалентной плоскости, которое мы и будем искать.
Введем опять две комплексные величины (20.10), т. е. две плоскости с декартовыми координатами (居 у) и (/, т), и будем искать такую аналитическую функцию (20.11а), которая переводила бы кривую С в плоскости (尤,у) в прямую / = 0 в плоскости (/, т) (рис. 20.2). Такую функцию всегда можно найти, но нельзя подчинить ее дополнительному условию, чтобы при /-> оо преобразование (20.11) переходило в тождественное.
Однако это условие и не является необходимым для того, чтобы вдали от поверхности искомая функция u(t, т) удовлетворяла обычному волновому уравнению с гэф = 1. Достаточно потребовать, чтобы при t -> оо 2^и W отличались постоянным слагаемым, т. е.
W Z + L при /->8.(20.18а)
Растяжение вдоль оси С должно быть локализовано вблизи линии ^ = 0, так что один период линии С в плоскости (х, у) должен переходить в отрезок такой же длины линии f = 0. При (20.18а), очевидно, | dW/dZ\ будет стремиться к единице, и, согласно (20.16), волновое уравнение сохранится при f》a и в координатах (/, т). Вещественное число L само находится из этого преобразования. Оно является единственной характеристикой мелкопериодической гофры на расстояниях, больших по сравнению с периодом. Любая задача дифракции на гофре (при f-поляризации) заменой переменных (20.12) сводится к решению волнового уравнения в переменных (/, т) с граничным условием 〃 = 0 (20.5) на прямой / = 0.
Например, если в падающем поле д/ду м 0 (нормальное падение плоской волны), то уравнение Лапласа с этим граничным условием имеет простое решение и = Л/(х, у). В области промежуточной, при 々尤《1, х》а решение волнового уравнения должно перейти в это решение. Но при 尤》a t = х —厶 согласно (20.18). Следовательно, вдали от гофры она действует как плоская металлическая поверхность, смещенная на расстояние 乙
этого отно-перейти те-(20.186)этого отно-перейти те-(20.186)Этот результат может быть сформулирован как существование некоторого эквивалентного импедансного граничного условия, справедливого на несмещенной поверхности, т. е. при х = 0. Чтобы его получить, надо исключить коэффициент Л, который зависит от падающего поля. Составим для шение 〃： ди/дх. При 尢》а оно равно х + L. Если перь в этом отношении к х->0, то мы получим
этого отно-перейти те-
(20.186)
этого отно-перейти те-
(20.186)
ди/дх
Если решать уравнение электродинамики с этим граничным условием при х = 0 (т. е. на несмещенной поверхности), то получим решение, которое при 々尤《1 будет иметь правильный вид Л(х+ ^)- Таким образом, для получения эквивалентного граничного условия следует в статическом решении положить 尤一>8, а затем установить соотношение, не зависящее от внешнего поля, и в этом соотношении положить х = 0. Смысл этого приема состоит в том, что существует область, в которой одновременно 尤》а,々х《1, и в этой области производится сшивание статического и электродинамического решений.
что поле надо斗ОРис. 20.3. Ре-шетка.что поле надо斗ОРис. 20.3. Ре-шетка.£-по ля риз ация; решетка. Решение более сложной задачи о частопериодической решетке производится по той же схеме. Отличие от задачи о гофре состоит в том, находить по обе стороны от решетки. Мы ограничимся рассмотрением решеток, провода которых имеют две оси симметрии — ось х = 0 и линии, параллельные оси у = 0 (рис. 20*3).
что поле надо斗
О
Рис. 20.3. Ре-шетка.
что поле надо斗
О
Рис. 20.3. Ре-шетка.
Нам понадобятся два разных решения уравнения Лапласа в переменных (% т). Оба решения обращаются в нуль на той части прямой f=0, которая в плоскости (х, у) соответствует поверхностям цилиндров, образующих решетку. Через ту часть прямой / = 0, которая соответствует отрезку между цилиндрами, одно из них (назовем его «О продлевается четным образом, второе (以 2)— нечетным.
)@®)@®))иия для ^-поляризации.иия для ^-поляризации.Начнем с более простого построения функции 〃2(%, ")• Требование о нечетном продлении означает, что на отрезке между цилиндрами 〃2 обращается в ноль. Следовательно,以2 есть решение задачи об отражении от линии / = 0, при условии, что на всей этой линии «2 — 0. Решение (опять для простейшего случая, когда нормально падает плоска兄 волна) есть 以々= = ^2 (х, у), и для того, чтобы найти ^2 (х, у), надо перевести линию, содержащую [в плоскости (%,")] половину контуров цилиндра и отрезки между ними, в линию / = 0 (рис. 20.4).
)@®
)@®
)
)
иия для ^-поляризации.
иия для ^-поляризации.
Рис. 20.4. К построению нечетногорешения для 5-поляризации.
Четное продление означает, что на отрезке между цилиндрами ди\/дх = 0・ Решение также получается простым, если применить конформное преобразование, переводящее ту же линию в плоскости (х, у) в гофру, состоящую из линии / =： 0 и отрезков линий т = const (рис. 20.5). На линии / = 0 функцию и： надо подчинить условию 乂】=0, на отрезках т = const — условию дщ/dN — 0. Следовательно, это конформное преобразование должно переводить поверхность цилиндров в отрезки оси
/ = 0 (заполняющие всю ось), а промежутки между цилиндрами—в отрезки линий т = con§t. Если такое преобразование построено, то, очевидно, функция, решающая уравнение Лапласа для гофры с упомянутыми смешанными граничными условиями, будет (для нашего примера, когда в падающем поле д/ду 三 0) удовлетворять требованиям, поставленным для четного решения.
Оба упомянутых конформных преобразования, позволяющие построить функции Ui и %?, обладают свойством (20.18а), со своими значениями постоянного слагаемого. Получение этих слагаемых составляет основной результат решения конкретных задач.
Решения Uj (х, у) и 以2(%, “) легко строятся и для более общего случая, когда в падающем поле д/ду =^ 0, и решения асимптотически должны содержать также и т (х, у}.
После того, как найдены два решения уравнения Лапласа, легко построить и общее решение и связать между собой асимптотические значения" полей по обе стороны решетки. Наметим соответствующие выкладки, аналогичные образованию отношения (20.186) в более простой задаче о гофре.
Обозначим компоненты полей, параллельные решетке, т. е, Ez и Ну, соответствующие первому решению, (Е\, Ну), а соответствующие второму обозначим (巨2, 〃2)・ Для первого решения (£i, Hi), полученного из четной функции иь предельные статические, т. е. соответствующие %》а и %《一а, значения Ez совпадают (в очевидных обозначениях Et = ЕГ\ а предельные значения Ну отличаются знаком {Н{=——77丁)・ Для второго решения предельные значения Ez отличаются знаком (£扌= =-呂)! а значения Ну совпадают (〃扌==〃£)•
Независимо от амплитуды падающего поля, в статической области поле может быть представлено линейной комбинацией этих двух решений:
邑=АЕХ + В£2, Ну = АН{ + В%, (20.19)
где коэффициенты А, В зависят от задачи дифракции.
Образуя предельные (в статическом смысле) значения полей Ez и Ну по обе стороны решетки, мы найдем, что между суммой и разностью этих предельных значений существуют соотношения (*)
а)球-亥= а(—")
6) 度+或=3(骑一工), ■)
в которых коэффициенты а н В &е зависит от 4 и 5. Эти коэффициенты определяются только структурой решетки, точнее —
асимптотическими свойствами (при %》а) четного и нечетного решений уравнения Лапласа (*)
а = Е7H 工 3 = Е『/Н" (20.21)
Согласно соображениям, приведенным после формулы (20.19), в последних формулах следует положить х = 0, так что а и Р будут пропорциональны линейным комбинациям постоянных слагаемых в формуле (20.18а) для обоих конформных преобразований.
Формулы (20.20) — так называемые условия сопряжения — являются усредненными граничными условиями на частопериодической решетке для задач электродинамики. Вычислив из задач статики аир, мы затем в задачах электродинамики можем заменять решетку плоскостью, на которой выполняется (20.20). Как и в начале § 19, используется основная идея этой главы ——расстояния, бесконечно большие для статических задач [для этих расстояний и получены (20.20)], для электродинамических задач могут рассматриваться как бесконечно малые.
Величины аир, вообще говоря, имеют порядок отношения периода решетки к длине волны. Это следует из того, что в статике д/дх 〜 1/а, и из (20,1). В нулевом порядке по этому отношению решетка, ориентированная по электрическому полю, действует как идеально отражающая плоскость, на обеих сторонах которой Ег = 0:
£j =0, Е? = 0. (20.22)
Сильное влияние решетки вызвано появлением токов вдоль проводов. Лишь при стремлении к нулю относительного заполнения решетка перестает эффективно экранировать поле. Коэффициент 0 при этом стремится к бесконечности, а а — к нулю, так что и Ez, и Нд непрерывно переходят через плоскость решетки,
Я-поляризация; круговой цилиндр. Всюду, кроме конца п. 20.6, мы ограничимся металлическими телами. В ситуации, описываемой формулами (24.2), электрическое поле расположено в плоскости поперечного сечения, и граничное условие состоит в равенстве нулю тангенциальной компоненты Es на контуре сечения. Для потенциальной функции и — Hz это дает
務 |с = 0・ (20.23)
На цилиндре не образуется эффективного заряда, как в случае F-поляризации (20.8), поле не содержит при 左广《 1 логарифмического слагаемого (20.66), и при г》а оно должно переходить в падающее поле. Нет существенного для Е-поляризации явления дальнодействия, так что имеют место те же условия, что и в общем случае трехмерной задачи.
В статической окрестности цилиндра 〃(％, у) есть решение уравнения Лапласа с граничным условием (20,23) на контуре сечения и с условием на (статической) бесконечности, аналогичным (19.14):
n =〃。+ /号^ + 0(%), (20.24)
где 〃° — падающее поле. Предполагая, для простоты записи, симметрию задачи относительно плоскости <р = 0, мы не выписали в (20.24) второе убывающее как 1/广 решение уравнения Лапласа sin(p/广.
Для круга, как и в случае шара, два первых члена асимптотики дают полное решение. Действительно, при соответствующем выборе направления осей х, у, т. е. начала отсчета угла <р
必亿 屮)=必(°)+ ■^'[ Qr cos(p. (20.25)
Поэтому 3W/dN 〜cos qpj согласно (20.23) , других функций угла решение не должно содержать, т. е. должно иметь вид
а) и = + А^^-, б) 4 = /学 I , (20.26)
где (20.266) получено подстановкой (20.26а) и (20.25) в (20.23) (*). Участвующая в двух последних формулах производная du^/dx\r=Q пропорциональна, согласно (20.2), значению Е： падающего поля, взятому в начале координат, то есть ^ (0).
Вычислим ток, протекающий по цилиндру. Так как отлична от нуля только 2-я компонента магнитного поля, то ток будет содержать только азимутальную составляющую, равную, с точностью до множителя с/4冗 (2.13), значению и при г ^ а. Согласно (20.25), (20.26)
〃 |г=а = Hz (0) — 2决оЕ； (0) cos <р. (20.27)
Разумеется, это совпадает с результатом, который для частного случая падающего поля в виде плоской волны получается из (5.176), если положить ka <С 1 (*)• Первое слагаемое в (20.27)——кольцевой ток, второе ——так называемый дипольный ток.
Дипольный ток на порядок меньше кольцевого, однако, как мы сейчас покажем, в дальнем поле оба эти тока дают слагаемое одного порядка. Физическая причина этого состоит в том, что элементы кольцевого тока, расположенные по разным концам одного диаметра, имеют противоположное (в декартовой системе координат) направление, и поля, ими создаваемые, интерферируя, почти полностью компенсируют друг друга. Для дипольного же тока поля складываются почти точно в фазе.
Имея явное выражение (20.27) для индуцированного тока, полученное в статическом приближении, можно по этому току вычислить дальнее поле. Разумеется, можно было так поступить и в трехмерных задачах, и в двумерной задаче о ^-поляризации, но примененный там метод сшивания полей в промежуточной зоне приводил к требуемому результату несколько проще.
Выражение для поля через ток в достаточной для двумерной задачи скалярной форме дано в (11.41а). Напомним, что эта формула содержит функцию Грина вакуума. Поэтому интеграл от f есть падающее поле и0. Согласно (20.23) дифрагированное поле выражается интегралом
§〃瑞赤， (20.28)
где 〃 дано в (20.27). Для дальнего поля dG/dN можно разложить в ряд по 左а, и в нулевом порядке dG/dN будет содержать слагаемые, пропорциональные cos <р или sin qp. При интегрировании в (20.28) по окружности интеграл от произведения членов нулевого порядка в w и в dG/dN окажется равным нулю, и интеграл (20.28) от первого и от второго слагаемого (20.^7) будет одного порядка, а именно, порядка (&а)2.
Этот результат, разумеется, следует и из точного решения, полученного в (5.3). Так как симметрия дифрагирован того поля сохраняет симметрию создающего его индуцированног》тока, то кольцевой ток создает поле, пропорциональное Но^ (/ г), а дипольный——пропорциональное cos ц)Н{^} (kr). Амплитуда соответствующих слагаемых дана в (5.136), и из этой формулы следует, что и при т = 0, и при т = 1 Ат 〜(左а)2, и лишь при т > 1 Ат имеет меньший порядок, 〜(左а)2m (*). Дифрагированное поле Hz при /7-поляризации сложнее, чем Ег при £-полЯ' ризации, когда в старшем порядке поле симметрично. Кроме того, оно значительно меньше — порядка (^а)2, а не 1 /In ka, как при Е-поляризации (20.6).
Я-поляризация; цилиндр произвольного сечения; электростатический потенциал. Решение уравнения Лапласа с условиями (20.23) на С и условием (20.24) на статической бесконечности для любого контура С, т. е. для цилиндра любого сечения, может быть найдено, например, методом конформных преобразований. Из этого решения можно найти ток на поверхности цилиндра, и затем, подобно тому, как мы это наметили в конце предыдущего пункта, по этому току вычислить дальнее поле.
Более простой метод сшивания статического и электродинамического решений^ которым мы пользовались для Е-поляриза- ции, для задачи этого пункта неприменим. Как отмечено в
п. 20.2 [см. текст после формулы (20.166) ], мы при этом пренебрегали полем, возбуждаемым индуцированной поляризацией, пропорциональной еЭф — 1, где 8Эф дано в (20.166). Однако при //-поляризации поле, возбуждаемое индуцированным на металле током, имеет тот же порядок, и это пренебрежение приводит к ошибке того же порядка, что и вычисляемое дифрагированное поле. Поэтому при этой поляризации статическим решением можно пользоваться только в непосредственной близости к цилиндру, точнее, только для определения тока. Определение поля по токам должно производиться по волновым законам, т. е. с использованием формулы (20.28).
Как и для кругового цилиндра, в дальнем поле Hz содержит два слагаемых, симметричное и пропорциональное cos <р, имеющих, вообще говоря, одинаковый порядок (左а)2. Для нахождения каждого из них можно применять вспомогательный прием, позволяющий избегнуть фактического вычисления интеграла (20.28).
Симметричное, пропорциональное //о (kr), слагаемое в Hz порождается кольцевым током, т. е. постоянным вдоль контура слагаемым в и|с. Это постоянное слагаемое равно, с достаточной точностью, значению 叫0), т. е. магнитному полю падающего поля в месте, где расположен цилиндр [ср. первое слагаемое в (20.27)], Вынесем его в (20.28) за знак интеграла и применим формулу Гаусса, преобразующую контурный интеграл от dG/dN в интеграл по площади от лапласиана. Использовав затем точное {волновое) уравнение для функции Грина, получим для этого слагаемого выражение (*)
—k2u°(0) J G dS, (20.29)
где интеграл взят по сечению цилиндра. Так как малый параметр 左2 стоит перед интегралом множителем, то в этом интеграле можно — для дальнего поля — вынести значение G в некоторой средней точке за знак интеграла. Таким образом, подставив еще выражение для двумерной функции Грина (11.86), получим явное выражение для симметричного слагаемого в компоненте Hz дальнего поля (*)
^^SHfXkr), (20.30)
где S — площадь сечения. Для кругового цилиндра S = на?, и (20.30) дает то же выражение, что и метод разделения переменных при ka《1. При дифракции на малом теле с нулевой площадью сечения, например, на ленте, симметричное слагаемое не возникает.
Для определения дипольной слагающей дифракционного поля удобно пользоваться двумерным электростатическим потенциалом Ф (х, “)，аналогичным функции Ф, введенной в трехмерных задачах в п. 19.2. Сопоставляя (19.10а) с (20.2), найдем связь и(х, у) с Ф(х, у):
(20.31)(20.31)ЭФ —Id% G ①1 ди
(20.31)
(20.31)
дх — ik ду * dy — ik дх
С точностью до множителя ik эти функции связаны соотношением Коши — Римана.
Граничное условие на С, согласно (20.23), для ф будет
噜с = °・(2°・32)
Оно обеспечивает, в частности, однозначность функции Ф, ибо 《需ds = 0.
Не теряя, по существу, в общности [см. замечание после (19.12)], мы заменим это условие другим:
① 1с = 0,(20.33)
чтобы получить совпадение граничного условия для Ф(х, ') с условием (19.12а) для скалярного электростатического потенциала в трехмерной задаче.
Так как аддитивная постоянная в Ф не дает слагаемого в Ех, /，a Hz не связано непосредственно с Ф, то” с введением вместо и = Hz потенциала Ф мы потеряли решение, которое в статической области имеет вид и — const [первое слагаемое в (20.27) ] и порождает кольцевой ток. В трехмерной задаче эта часть решения была бы связана с магнитным потенциалом 4r. В нашей двумерной задаче 4r просто равно —u°(0), но вводить этот потенциал не надо, так как созданное кольцевым током поле Hz уже найдено в общем виде в (20.30).
В двумерной электростатической задаче, записанной для потенциала <р, выполняется условие отсутствия эффективного заряда, то есть условие
©務 ds = 0.(20.34)
Оно следует из того, что, согласно (20.31), дФ/dN пропорционально du/ds, и интеграл в (20.34) равен § ~^ ds, т. е. нулю, так как и есть однозначная функция. Следовательно, условие для статической бесконечности для Ф не содержит логарифмического члена и имеет вид, аналогичный (19.14)
①二―兄(0) {rsintp — % 哼9} + О(%).(20.35)
В соответствии с (20.27) мы расположили систему цилиндрических координат таким образом, что £^(0) = 0.
Задачей, состоящей из уравнения Лапласа, условия (20.33) на С и условия (20.35) при г-> оо мы ввели двумерный коэффициент электрической поляризуемости р& Соображения, приведенные после (19.14) о тензорном характере ре в трехмерной задаче, относятся и к двумерной задаче. .
Для круга первые два члена асимптотического разложения (20.35) дают полное решение, и рЕ получается равным а?, в согласии с (20.266). Для произвольного контура С Ре может быть получен любым методом электростатики, например, для эллипса применим метод разделения переменных.
Можно применить и метод конформных преобразований, преобразовав С в круг. Однако при этом Ре не инвариантно, т. е. нельзя, найдя ре для круга, найти 卩七 для данного контура. Найдя решение уравнения Лапласа, надо найти значение d0]dN на контуре, а затем вычислить "七 по формуле (*)
Ре = § 9 醤 ds・ (20.36)
Формула имеет такой простой вид, только если ось у и поле ^(О) направлены по одной из главных осей тензора поляризуемости. Эта формула, как и ее полная тензорная запись, могут быть найдены из слагаемого
§G 需ds (20.37)
в (11.4а); второе слагаемое 勺①器*△$ выпадает вследствие (20.33). В нашей статической задаче G — функция Грина двумерного уравнения Лапласа, т. е. G = ln|ri—г21/2л. Для точек, далеких от цилиндра, для которых справедливо (20.35), надо разложить G в ряд по малому параметру г(ф)/г, где г = г((р) есть уравнение контура С. Нулевой член этого разложения выпадет при вычислении (20.37), вследствие (20.34). Член, пропорциональный 1/г, равен второму слагаемому в (20.35), откуда и следует (20.36).
Вычислив каким-либо способом рЕ, можно затем таким же образом, как это сделано в п. 20.4, произвести сшивание поля электростатического диполя с полем элементарного электрического диполя iaypEE0^).
Заметим в заключение, что дипольное слагаемое в дифрагированном поле может быть найдено таким же образом и для диэлектрического цилиндра. Соображения, приведенные в п. 19.5, полностью переносятся на двумерную задачу; в частности, сохраняются гра-ничные условия (19.25). Остаются справедливыми и результаты п. 19.6.
(20.38)(20.38)Для диэлектрического кругового цилиндра РЕ = а? (в — 1)/(е + 1),
(20.38)
(20.38)
а внутреннее поле постоянно и равно 2£°(0) /(е + 1). Особым значением е, при котором задача не сводится к статической, является 8 =——1. При 8f 8 (20.38) переходит в выражение
для ре металлического цилиндра.
нанаэтой линииэтой линииЯ-поляризация; решетка. Эта задача аналогична соответствующей задаче о ^-поляризации (п. 20.4), но сложнее ее; как мы уже убедились, определение дифрагированного поля для этой поляризации всегда сложнее. По существу, это связано с тем, что весь эффект дифракции при 77-поляризации слабее, и поэтому при его вычислении надо обеспечивать большую абсолютную точность и нельзя делать тех приближений, которые были допустимы для f-поляризации.
на
на
этой линии
этой линии
Наметим только основные идеи, применяемые при решении. Как и в п. 20.4, надо построить два решения уравнения Лапласа, четным 〃 нечетным образом продлив их за линию, соединяющую провода решетки. Это продление будет обеспечено, если для четного
в нуль нормальная производная, а для нечетного — сама функция. На самом металле должно выполняться условие (20.23). Четное решение 〃i(x, у) есть просто постоянная. Для получения нечетного решения и2(х, у) можно использовать конформное преобразование. Надо перевести линию С в ось /=0 с горизонтальными отрезками т = const, расположёнными на расстоянии а друг от друга (рис. 20.6). В отличие от преобразования, позволяющего получить четное решение для Е-поляризации (см. рис. 20.5), надо преобразовать промежутки между решетками в отрезки оси / = 0 (без промежутков), а участки контура проводов—в отрезки т = const. Тогда искомое нечетное решение,
опять для простейшего случая нормального падения плоской волны, будет 〃2 = /2(%, У) (*). Разумеется, это преобразование не совпадает с преобразованием, которое использовалось для нахождения четного решения для f-поляризации.
Однако пользоваться статическим решением для этой поляризации можно только для вычисления токов. Определение дальнего поля по токам должно, как и в задачах двух предшествующих пунктов, производиться по точным формулам, при-
чем должны быть использованы функции Грина волнового уравнения. Функциями Грина при этом служат поля плоских встречных волн, аналогично тому* как это имеет место при вычислении полей, созданный токами в волноводе (п. 12.3) или амплитуды волн на бесконечности (п. 11.2).
Найдя по токам поля в дальней (статической) области, можно затем установить соотношения, аналогичные (20.20), т. е, справедливые на промежуточных расстояниях от решетки, в областях |%|》&, \kx\ <С 1. Зная эти условия сопряжения, можно в задачах электродинамики заменять решетку поверхностью, по обе стороны которой поля связаны этими соотношениями. Они имеют вид (при д/ду = 0):
,一 / ： ： (20.39) б) £+-£- = 6 (Ht + Z/7).
Четное решение Uj (х, у) связано с кольцевыми токами на проводах решетки. Эти кольцевые токи вызывают скачок Еу (20.396), т. е. эквивалентны в среднем некоторому магнитному току, текущему в направлении оси 2. Как известно, кольцевой ток при малой площади кольца эквивалентен магнитному диполю. Для решетки из лент этот магнитный ток отсутствует.
Нечетное решение иг(х, ，) связано с дипольными токами, эквивалентным в среднем электрическому току, текущему перпендикулярно к направлению проводов и вызывающему скачок Н2 (20.39а). .
Коэффициенты у я 6 зависят от формы и густоты решетки. Они имеют, как и а и Р в (20.20), порядок ka. В нулевом порядке
Hi — Нг = о, Е^ — Еу= 0. (20.40)
В отличие от Е-поляризации (20.22), в старшем порядке решетка для //-поляризации полностью прозрачна, т. е. дифрагированное ею поле в этом приближении равно нулю. Это — результат отсутствия дальнодействия, т. е. аналог относительной малости поля, дифрагированного одиночным цилиндром.
Подобно тому, как коэффициенты а и 0 (20.20) описывают малую прозрачность решетки для Я-поляризации, коэффициенты у и 6 в (20.40) описывают слабую экранировку решеткой для //-поляризации. Лишь при переходе к очень плотному заполнению решетка начинает очень сильно экранировать поле. В пределе, при сплошном заполнении (т. е. для гофры) у становится большой величиной, точнее, 丫一>——1/8. Как легко показать (*), это действительно означает полную экранировку. Гофра эквивалентна непрозрачному плоскому экрану с чисто мнимым импедансом Еу/Нг = 6, т. е. идеально проводящей плоскости, смещенной на расстояние |6|Д. Эта величина имеет порядок а.
Глава VIII
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
Здесь будут рассмотрены методы решения задач дифракции в ситуациях, когда характерный размер задачи (масштаб неоднородности среды, размер тела или отверстия в экране, ширина области, занимаемой полем) много больше длины волны. Эти методы позволяют найти основные свойства поля, не прибегая к значительно более трудоемким строгим методам, которые к тому же часто и неприменимы к реальным телам из-за ограниченных возможностей современных ЭВМ. Все высокочастотные методы получены на основе эвристических соображений, т. е. догадок, на которые наталкивает накопленный опыт решения подобных задач. При нахождении высокочастотных" дифракционных полей широко используются результаты, полученные строгими методами в эталонных задачах дифракции，простых полей на простых телах (цилиндре, шаре, клине и т. п.).
Сначала, в § 21, рассматривается лучевая структура полей в средах, свойства которых медленно изменяются в пространстве. Лучевое строение поля рассмотрено двумя способами. Волновые фронты и нормали к ним, т. е. лучи, можно построить, если решить дифференциальное уравнение эйконала. Показано, что лучи, имеющие разную амплитуду и идущие параллельно друг другу, обмениваются энергией. Мы можем также получить лучи, препарируя интегральное представление поля, определяя поле в точке наблюдения методом стационарной фазы. Этот подход позволяет сформулировать условие применимости геометрической оптики.
В § 22 рассмотрена дифракция на больших телах, с ребрами или гладких, в § 23 — дифракция на больших отверстиях в экране. Приближение Кирхгофа (физическая теория дифракции) дает возможность определить поля всюду, кроме, иногда несущественной, области глубокой тени или больших углов дифракции. Предложенная Келлером геометрическая теория дифракции, в которой постулируется лучевая структура дифракционных полей также и в тени, позволяет существенно уточнить структуру высокочастотных полей и расширяет область применимости геометрической оптики.
чем должны быть использованы функции Грина волнового уравнения. Функциями Грина при этом служат поля плоских встречных волн, аналогично тому* как это имеет место при вычислении полей, созданных токами в волноводе (п. 12.3) или амплитуды волн на бесконечности (п. 11.2).
Найдя по токам поля в дальней (статической) области, можно затем установить соотношения, аналогичные (20.20), т. е. справедливые на промежуточных расстояниях от решетки, в областях \х\^ а, |々尤|《1. Зная эти условия сопряжения, можно в задачах электродинамики заменять решетку поверхностью, по обе стороны которой поля связаны этими соотношениями. Они имеют вид (при д/ду ^ 0):
а)空一(与十勺 (20.39)
Четное решение 〃i(%, у) связано с кольцевыми токами на проводах решетки. Эти кольцевые токи вызывают скачок Еу (20.396), т. е. эквивалентны в среднем некоторому магнитному току, текущему в направлении оси г. Как известно, кольцевой ток при малой площади кольца эквивалентен магнитному диполю. Для решетки из лент этот магнитный ток отсутствует.
Нечетное решение 〃2(%, У) связано с дипольными токами» эквивалентным в среднем электрическому току, текущему перпендикулярно к направлению проводов и вызывающему скачок Hz (20.39а). .
Коэффициенты у н 6 зависят от формы и густоты решетки. Они имеют, как и а и р в (20.20), порядок ka. В нулевом порядке
Н” 0, £+ — £- = 0. (20.40)
В отличие от ^-поляризации (20.22), в старшем порядке решетка для //-поляризации полностью прозрачна, т. е. дифрагированное ею поле в этом приближении равно нулю. Это — результат отсутствия дальнодействия, т. е. аналог относительной малости поля, дифрагированного одиночным цилиндром.
Подобно тому, как коэффициенты аир (20.20) описывают малую прозрачность решетки для f-поляризации, коэффициенты у н 8 в (20.40) описывают слабую экранировку решеткой для //-поляризации. Лишь при переходе к очень плотному заполнению решетка начинает очень сильно экранировать поле. В пределе, при сплошном заполнении (т. е. для гофры) у становится большой величиной, точнее, у—> ——1/6. Как легко показать (*), это действительно означает полную экранировку. Гофра эквивалентна непрозрачному плоскому экрану с чисто мнимым импедансом Ey/Hs = 6, т. е. идеально проводящей плоскости, смещенной на расстояние |6|/々.Эта величина имеет порядок а.
Глава VIII
ВЫСОКИЕ ЧАСТОТЫ
Здесь будут рассмотрены методы решения задач дифракции в ситуациях, когда характерный размер задачи (масштаб неоднородности среды, размер тела или отверстия в экране, ширина области, занимаемой полем) много больше длины волны. Эти методы позволяют найти основные свойства поля, не прибегая к значительно более трудоемким строгим методам, которые к тому же часто и неприменимы к реальным телам из-за ограниченных возможностей современных ЭВМ. Все высокочастотные методы получены на основе эвристических соображений, т. е. догадок, на которые наталкивает накопленный опыт решения подобных задач. При нахождении высокочастотных- дифракционных полей широко используются результаты, полученные строгими методами в эталонных задачах дифракции простых полей на простых телах (цилиндре, шаре, клине и т. п.).
Сначала, в § 21, рассматривается лучевая структура полей в средах, свойства которых медленно изменяются в пространстве. Лучевое строение поля рассмотрено двумя способами. Волновые фронты и нормали к ним, т. е. лучи, можно построить, если решить дифференциальное уравнение эйконала. Показано, что лучи, имеющие разную амплитуду и идущие параллельно друг другу, обмениваются энергией. Мы можем также получить лучи, препарируя интегральное представление поля, определяя поле в точке наблюдения методом стационарной фазы. Этот подход позволяет сформулировать условие применимости геометрической оптики.
В § 22 рассмотрена дифракция на больших телах, с ребрами или гладких, в § 23 ——дифракция на больших отверстиях в экране. Приближение Кирхгофа (физическая теория дифракции) дает возможность определить поля всюду, кроме, иногда несущественной, области глубокой тени или больших углов дифракции. Предложенная Келлером геометрическая теория дифракции, в которой постулируется лучевая структура дифракционных полей также и в тени, позволяет существенно уточнить структуру высокочастотных полей н расширяет область применимости геометрической оптики.
В § 24 рассказывается о квазиоптике волновых пучков, широких по сравнению с длиной волны и длинных по сравнению с шириной. . *
Неоднородные среды
В этом параграфе исследуется распространение поля в области, не содержащей диэлектрических или металлических тел; неоднородность состоит в том, что диэлектрическая проницаемость плавно меняется в пространстве. Поле представляется в форме локально плоской волны. В приближении геометрической оптики амплитуда этой волны не зависит от частоты, а частота, которая считается большой величиной, входит только в фазовый множитель. Построение лучевой структуры поля само показывает, где это приближение не применимо: в тени, где нет лучей геометрической оптики; далее, в областях с большим градиентом поля, например там, где происходит «скачок» поля или его производных; наконец, в точках, куда сходятся лучи и где схлопываются так называемые лучевые трубки. Из интегрального представления поля следует, что поле на луче зависит не только от полей на этом же луче, но и от полей в некоторой окрестности луча, размером 仪尸.Условие применимости геометрической оптики состоит в том, чтобы показатель преломления п среды менялся медленно, причем и и, и поле должны оставаться почти постоянными в области порядка а г. Далее рассматривается один конкретный случай структуры поля, при которой геометрическая оптика неприменима, хотя п меняется медленно ——каустика. Затем кратко говорится о комплексной геометрической оптике и о векторной геометрической оптике.
Почти плоское поле. В однородной (〃 = const) среде простейшее решение волнового уравнения — плоская волна (см. и. 1.7)
u = Ae~iknz. (21.1)
Фаза ее постоянна на плоскостях г = const, т. е. фазовые фронты плоские. Нормали к фронтам параллельны.
Пусть показатель преломления среды есть функция координат
п — п (г), (21.2) однако выполнены условия, которые мы ниже сформулируем, и поля в среде близки к плоским волнам. Амплитуда Л становится функцией координат. Волновые фронты уже не плоские, и нормали к ним не параллельны, но близки к параллельным. Все характерные масштабы изменения и амплитуды поля, и показателя преломления среды велики по сравнению с длиной
волны Х(Х = 2л/А). Если I ——наименьший из этих масштабов, то предполагается, что выполнено неравенство
口 =靑《1・(21・3)
Это неравенство — не самое сильное (см. п. 21.7) условие применимости лучевой или геометрической оптики, законы которой мы ниже сформулируем. Мы иногда будем говорить, что «частота А велика», понимая под этим выполнение (21.3).
Решение ищем в виде почти плоской волны
〃 = /(左，了)li在sg.(21.4)
Здесь A (A, r) —амплитуда волны; AS(f) —фаза; величина S(r) называется эйконалом. Термин «почти плоская волна» оправдан тем, что' в области порядка 2几/左九 поле имеет вид (21.1).
Амплитуду А и эйконал S будем искать из требования, чтобы решение, записанное в форме (21.4), удовлетворяло волновому уравнению, и при этом используем условие, что 左 велико. Это можно сделать несколькими способами. Простейший из них состоит в том, чтобы искать Л в виде лучевого разложения по обратным степеням А:
百电 r) = Z 矗*•(21.5)
Фактически это разложение проводится по возрастающим степеням безразмерного малого параметра 卩(21.3).
Подставляя (21.4), (21.5) в волновое уравнение
Д« + 左2〃2〃 = о(21.6)
и приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях А, получим в нулевом приближении уравнение эйконала
(VS)2 = n2»(21.7)
а в следующих приближениях — систему рекуррентных уравнений для амплитуд
2 V4 VS + 4)AS = 0,(21.8)
2 “ VS + 4 As = — АЛо,(21 £)
которые называются уравнениями переноса.
Приближение, при котором в (21.5) сохраняется только нулевой член, называется геометрооптическим приближением, Поля в этом приближении, т. е. поля геометрической оптики.
и = Ао (г) e~/AS ⑺，(21.10)
содержат частоту только множителем в фазе. В отличие от (21.4), в (21.10) До уже не есть функция частоты.
Лучи и фронты. В этом и следующем пунктах мы будем исследовать уравнение (21.7). Решение задачи по определению поля в неоднородной сре^е (да *и вообще любой высокочастотной задачи) следует начинать с нахождения эйконала S. Зная эту функцию, можно построить волновые фронты: они задаются уравнением 5 = const.
Следует заметить, что вообще эйконал в большей степени определяет высокочастотное поле, чем амплитуда Ло (?). Это объясняется тем, что перед S (А, г) стоит большой множитель k. Поэтому все изменения и при малом изменении координат определяются главным образом изменением S, а не Ло.
Уравнение (21.7) решается в наиболее общем виде с помощью метода характеристик. Этот метод сводит уравнение в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Обозначим VS = р, введем параметр т вдоль направления р, связанный с длиной дуги о условием 〃工—do/n. Вектор г определяет точку на луче, а вектор dr/dx—касательный к лучу. Уравнение (21.7) выглядит в новых обозначениях как I р I = п. Можно показать, что оно переходит в систему уравнений
а)黑=〃 6)翁(21.11)
先一齡(21.12)
Уравнения (21.11) определяют лучи
г = г (т), р = р (т),(21.13)
т. е. координаты г и направления р луча в точке с параметром т (этот параметр пропорционален времени прохождения волны вдоль луча). Очевидно, что касательный к лучу вектор (21.11а) параллелен VS, т. е. перпендикулярен к волновой поверхности. Таким образом, в рассматриваемой задаче луч есть нормаль к поверхности равной фазы.
Вектор р, определяющий направление луча, изменяется вдоль луча, согласно (21.116), в направлении градиента показателя преломления. Иными словами, преломление или рефракция криволинейного луча в неоднородной среде происходит в область возрастания п. Пример расчета луча в неоднородной среде приведен в п. 21.9.
В частном случае однородной среды Vn 三 0, так что р ==. —const, и лучи являются прямыми линиями.
Для эйконала из (21.12) получаем
$ = S(T())+ \ %2 dp.(21.14)
Здесь S (то) — значение эйконала при т = то； интегрирование ведется вдоль геометрооптического луча. Заметим, что в геометрической оптике физическое значение имеет лишь разность эйконалов S — S (то), а не величина S.
Для однородной среды
S — S(То) + 步(七一то).
Выбрав направление оси z вдоль луча, умножив затем эйконал——его часто называют «оптиче- ческий путь》——на частоту 々，получим привычное выражение для фазы плоской волны kn(z—2“，так как, очевидно, в данном случае пт = z.
Для построения лучей и фронтов удобно пользоваться системой лучевых координат (рис. 21.1). Такими координатами являются две координаты & Т)на поверхности любого, принятого за начальный волнового фронта S(то), характеризующие данный луч и постоянные
вдоль луча, и длина дуги а, отсчитываемая вдоль луча, либо вместо в — введенный выше параметр т (время).
Принцип Ферма. Известно, и здесь мы это не будем доказывать, что траектории, определяемые из (21.11), соответствуют экстремальному значению функционала
\ ng(21.15)
Это утверждение — математическая формулировка принципа Ферма.
Оптическая длина (21.15) между двумя точками экстремальна именно на луче; она, как правило, минимальна, хотя может быть и максимальна, а также и равна оптической длине на соседних с данным лучом. Простой пример равенства оптических длин ——источник в одном из фокусов зеркала, имеющего форму эллипсоида вращения, а поле наблюдается в другом фокусе. Этим же свойством лучей (таутохронизмом) обладает линза ——все лучи, исходящие из точки в плоскости《предмета», собираются в одной точке в плоскости «изображения». Существуют и плавно неоднородные среды, обладающие таким свойством.
Необходимое условие, которому должна удовлетворять кривая —экстремаль, в терминологии вариационного исчисления выглядит следующим образом; первая вариация интеграла
равна нулю
d п ^су = 0.- (21.16)
Принцип Ферма определяет лучевую структуру поля не только в плавно неоднородной среде. Луч, соединяющий две точки г0 и гь выделяется из всех кривых, проходящих через эти точки, тем, что эйконал S(rj — S"o) (21.14) экстремален. Из принципа экстремальности может быть выведен закон зеркального отражения (*)
Ф1 = Фз(21.17)
и закон преломления (*)
sin q)i/sin 屮2 =九У%1(21.18)
на резкой границе между двумя плавно-неоднородными средами. Здесь ni — показатель преломления среды, из которой на границу падает луч. Он преобразуется в два луча — отраженный и преломленный в среду «2. Углы q)i,屮2, фз ——соответственно углы с нормалью падающего, преломленного и отраженного лучей. Все три луча и нормаль к поверхности расположены в плоскости падения. Хотя эти законы получены для случая падения плоской волны на плоскую границу раздела однородных сред, они выполняются и для неплоской границы между плавно неоднородными средами, - если поле сохраняет лучевую структуру (21.10). В § 22 мы увидим, что в некоторых областях пространства и дифракционное поле имеет лучевую структуру, причем оказывается, что дифракционные лучи также подчиняются принципу Ферма.
Лучевые трубки. Перейдем от лучевой структуры .поля, т. е. системы волновых фронтов S = const и лучей VS, к определению амплитуд. В лучевых координатах W, Т), т уравнения переноса (21.8), (21.9) сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, и можно выписать в общем виде их решения.
Решение уравнений переноса для двух первых членов ряда (21.5) имеет вид:
4日)=4(%)|瑞^广，(21.19)
4(т) = 4(%)[4^Г —^][牆『А4阮(21.20)
Здесь
D^ = ^t^(21.21)
якобиан перехода от декартовых координат к лучевым; параметр то, вообще говоря, произволен. Якобиан (21.21) легко вычисляется, если известны уравнения семейства лучей.
Рис. 21.2. Лучевая трубка, поверхность s(s) бескоРис. 21.2. Лучевая трубка, поверхность s(s) бескоНапример, цилиндрическая волна есть геометрооптическое поле, если исключить область порядка 九 вблизи начала координат. Лучи совпадают с радиусами: под лучевыми координатами g, п,七 следует понимать <р, г, г /п. Тогда О(т)= nr; и, например, До (т) = Ло (т0) д/^^ ^ ^} . Разумеется, цилиндрическая волна может распространяться только в аксиально симметричной среде (в частности, в среде с постоянным и). В плоскослоистой Среде, где п зависит от 爲 в направлении г может распространяться плоская волна, для нее。(七)= =п. В сферически симметричной среде распространяется сферическая волна, т = pn, Z)(t) = 〃p2, здесь координата р отсчитывается от центра волны, так что радиус кривизны волнового фронта 7? = р. В общем случае поверхности с двумя главными радиусами кривизны D g = tiR'R%
Рис. 21.2. Лучевая трубка, поверхность s(s) беско
Рис. 21.2. Лучевая трубка, поверхность s(s) беско
Определим теперь понятие лучевой трубки. На начальном волновом фронте т = то возьмем исходную
отношениюотношениюнечно малого размера (рис. 21.2). Лучи, выходящие с контура поверхности, образуют стенки лучевой трубки. Величина D(t) /D (то) пропорциональна“
отношению
отношению
也（т） S （Е）几（八） S （八）'也（т） S （Е）几（八） S （八）'(21.22)(21.22)ной лучевой трубки:
也（т） S （Е）
几（八） S （八）'
也（т） S （Е）
几（八） S （八）'
(21.22)
(21.22)
и может быть названа расходимостью лучей. Отсюда для нулевого, т. е. геометрооптического, приближения из (21.19), (21.22) получаем
4(t) = 4(t°)[”累)：(謬Г・(21.23)
Таким образом, в геометрической оптике амплитуда на луче определяется только амплитудой на том же луче в любой точке, откуда этот луч пришел, геометрической расходимостью лучевой трубки и изменением п вдоль луча. Формула (21.19), таким образом, означает, что в лучевой трубке сохраняется поток энергии
4訴s = const. (21.24)
Все лучевое поле можно себе представить состоящим из тонких трубок, причем в каждой трубке распространяется та энергия, которая была в ее начале. Распространение энергии в
трубке происходит независимо от соседних. Геометрическая оптика, которая ограничивает ряд (21.5) первым членом, допускает, что на протяжении преизвольно длинной границы между лучевыми трубками 七 разной интенсивностью и, в частности, на границе между освещенной областью и теневой — не будет никакого обмена энергией. -
幻刃幻刃Рис. 21.3. Сферическая волна с лучевой структурой (а) п плоская волна с заметной поперечной диффузией (6).Рис. 21.3. Сферическая волна с лучевой структурой (а) п плоская волна с заметной поперечной диффузией (6).Предположение о том, что взаимодействие между лучевыми трубками пренебрежимо мало, может оказаться грубо неверным при продвижении вдоль трубки. Действительно, уже для первого коэффициента лучевого разложения Д i (21.20) кроме слагаемого, учитывающего геометрическую расходимость лучей, есть еще интегральное слагаемое, которое содержит производные амплитуды предыдущего приближения Ло. Если бы Л1 и Ло были величинами одного порядка, то влияние 41 на суммарное поле, как это следует из лучевого разложения (21.5), было бы в 左 раз меньше, чем влияние Ло. Но эффект взаимодействия между лучевыми трубками из-за интегрального, накапливающегося характера /1 на достаточно длинном пути может существенно превзойти изменение Ло, связанное с изменением сечения трубки или показателя преломления п вдоль луча.
幻刃
幻刃
Рис. 21.3. Сферическая волна с лучевой структурой (а) п плоская волна с заметной поперечной диффузией (6).
Рис. 21.3. Сферическая волна с лучевой структурой (а) п плоская волна с заметной поперечной диффузией (6).
Взаимодействие между лучевыми трубками иначе называется диффузией амгьгитуды. Ниже, в п. 22.4, будет пояснено, почему процесс обмена энергией между трубками назван именно так. Диффузия пропорциональна ДЛ0 т. е. тем меньше, чем меньше изменение амплитуды нулевого прибли
жения как по фронту волны, так и вдоль луча. Если сечение трубки растет с длиной о, то в пределе а—> оо значение лапласианов стремится к нулю. Простым примером столь быстрого убывания взаимодействия, что эффект диффузии несуществен, является сферическая или цилиндрическая волна (рис. 21.3, а). Все члены в лучевом разложении при 月р—> оо и йг—> оо убывают быстрее, чем накапливается эффект поперечной диффузии. В результате остается лишь нулевой член разложения Ло, пропорциональный 1/^р для сферической и 1/"斤 для цилиндрической волн. Иными словами, эти волны имеют геометрооптическую структуру поля, по крайней мере достаточно далеко от источника (см. рис. 21.3, а).
Если же сечение трубки неизменно или меняется медленно, то эффект диффузии накапливается. Так происходит, например, если распространяется неоднородная плоская волна (рис. 21.3, б). Деформация этой волны при распространении вы-
звана ее неоднородностью (зависимостью амплитуды от поперечных координат) при г = 0, поэтому для простоты можно принять п = I. В качестве лучевых координат можно выбрать декартовы х, у, г. Лучи направлены вдоль оси г. Якобиан 力(2) перехода от декартовых к лучевым координатам тождественно равен единице. Рассмотрим процесс нарушения геометрооптиче* ских условий несколько подробнее.
Пусть на начальном волновом фронте г =0 задано поле «(х, у, 0), амплитуда которого не зависит от частоты, т, е. Ло(О) = и(х, “，0), 4(0)= 4(0)= … =0. Тогда 4(z) = =«(х, yt 0), т. е. в геометрооптическом приближении поле передается без изменения. Далее, согласно (21.20),
Л1 (г) = — у Au (х, у, о)й?г = —-| Дхи(х, у, 0) г, (21.25) о
где Дх = д2/д^ + д^/ду2. Таким образом, диффузионная добавка накапливается с ростом z и может сильно исказить начальное распределение поля. Очевидно, что в геометрооптическом приближении нужно знать только амплитуду и направление луча в начальной точке и расходимость лучей. Определение амплитуды поля с учетом взаимодействия лучевых трубок требует знания не только расходимости лучей, но и амплитуды в окрестности луча.
Геометрическая оптика не дает правильного решения не только в случае, если член лучевого разложения Л1/А становится сравнимым с геометрооптическим членом 4о — случай, проиллюстрированный в этом пункте. Геометрическая оптика не может также ничего сказать о поле в области тени, куда не проникают лучи. Наконец, упомянем третий случай отказа геометрической оптики.
Пусть выделенная на заданном волновом фронте лучевая трубка при подходе к некоторой точке схлопывается, т. е. площадь трубки s(t) становится равной нулю. При этом нулевой член лучевого разложения (21.23) становится бесконечно большим. Это означает, что структура поля локально не близка к плоской волне. В ряде случаев ——каустика, фокус ——переход к иным, не экспоненциальным, как при рассмотрении почти плоских волн, функциям позволяет построить асимптотические разложения, в которых уже нулевой член хорошо описывает поле.
Точка стационарной фазы. До сих пор в этом параграфе мы исходили из волнового уравнения, т. е. из дифференциальной записи уравнений поля. Используя функцию Грина (см. § 11), можно записать эти уравнения в интегральной форме. Применение к этой форме записи асимптотического приближения 々т8 позволяет несколько иначе подойти к понятию луча.
Известно, что поле в точке 门 может быть записано в форме интеграла. Полагая, что в объемев1/ нет источников, получим из (11.4а)瓜 ’
〃(川= §[〃(/•)^gpL — G(г, L)^^]dS, (21.26)
где интегрирование проводится по некоторой поверхности S. Пусть теперь поле имеет форму (21.10). Кроме того, функция Грина G — поле точечного источника,- помещенного в точке наблюдения гь может вследствие свойства взаимности (11.3) считаться полем источника, помещенного в точку г поверхности S. Таким образом, мы приходим к такому истолкованию (21.26): поле в некоторой точке есть суперпозиция полей вторичных источников, помещенных на S, амплитуда которых пропорциональна полю и его производной на той же поверхности.
Пусть, таким образом, как поле 〃，так и функция Грина G имеют геометрооптическую структуру (21.10). Тогда
〃(L)= V^\g(L，r)efs(〃")dS. (21.27)
Коэффициент, пропорциональный д/左，в двумерном варианте формулы (21.27) возникает в результате дифференцирования G н 〃 (появляется 月)，и, кроме того, асимптотика функции Грина (11.96) дает ^-и?. Предположение о лучевой форме функции и и G может быть и излишним, если интегральное представление (21.27) есть точное решение какой-либо задачи.
Основной вклад в поле 以(门)дает окрестность так называемой точки стационарной фазы г = rv. Она определяется из уравнения
dS"[, r)/rfx = 0,(21.28)
где х ——декартова координата г и производная берется вдоль S. Фаза вблизи стационарной точки rv квадратично зависит от расстояния до этой точки:
S(r(, r)«S(rb r^) + ^^ I (x — rv)2.(21.29)
xv
Оставляя фазу в этом виде и расширяя пределы интегрирова- ннх, получим поле
и (rj Л (гъ rv) o~tkS ^v r^,(21.30a)
где (*)
Л(гьr^^S/dx^12.(21.306)
Точка стационарной фазы может быть не одна, тогда поле (21.30) будет иметь вид суперпозиции полей того же вида (о методе стационарной фазы см. п. 16.8). Из (21.30) следует.
что функция S (и, rv) удовлетворяет уравнению эйконала, а амплитуда Л(гь rv)——уравнению переноса. Таким образом, (21.30) есть луч (21.10), пришедший в точку наблюдения 片 из ТОЧКИ「v・
Для неоднородных сред также возможны интегралы типа (21.27) и подобное же истолкование асимптотических выражений. Эти соображения позволяют нам в следующих пунктах уточнить условия, при которых справедлива геометрическая оптика.
Область влияния. Окрестность точки стационарной фазы представляет собой ту область влияния, которая формирует поле в точке наблюдения. Область влия
ния, светящееся пятнышко, которое можно наблюдать, если глаз поместить в точку 门，можно назвать первой зоной Френеля. Уточним это понятие.
Предполагается, что вблизи точки стационарной фазы падающее поле имеет форму сферической волны с радиусом кривизны R. Найдем разность эйконалов вдоль луча из rv в ri и вдоль луча.
испускаемого в ту же точку 尸1 точечным на поле в точке г, около источником, мысленно помещенным на точки стационарной фа- волновую поверхность на краю зонызы 仆
Френеля в точке 小 + 仪尸(рис. 21.4). По
определению, будем считать а? размером первой зоны Френеля, если эта разность эйконалов, умноженная иа А, равна по мо
дулю ш
(21.31)(21.31)й |5 (rv + а尸，г О — 5 (rv, rj I = л.
(21.31)
(21.31)
Особенно просто определить область влияния в однородной среде. В параксиальном приближении
。尸《max(| R I, г),。尸《max(| R I, г),(21.32)(21.32)
。尸《max(| R I, г),
。尸《max(| R I, г),
(21.32)
(21.32)
оставляя в (21.31) только квадратичные по 4尸 члены, получим явную формулу для радиуса первой зоны Френеля
⑵.33)⑵.33)
⑵.33)
⑵.33)
где z—расстояние вдоль луча от точки стационарной фазы до точки наблюдения. Радиус кривизны волнового фронта считаем положительным (R > 0) для расходящейся волны, отрицательным (R V 0) для сходящейся.
Область влияния изменяется при изменении расстояния от выбранной точки на луче до точки наблюдения 门 (рис, 21.5),
Если Nf 0, то светящееся пятнышко стягивается в точку, т. е. практически передача идет по геометрической оптике, которая не учитывает никаких нелокальных воздействий. Величина ар при данном R > 0 максимальна при отнесении z на бесконечность и равна при этом
@f = «九R/",2 f оо.@f = «九R/",2 f оо.(21.34)(21.34)
@f = «九R/",2 f оо.
@f = «九R/",2 f оо.
(21.34)
(21.34)
Если R == оо, т. е. фронт в районе точки стационарной фазы плоский, то размер области влияния
«尸=“Kzjn»(21.35)
Если R V 0, волна сходящаяся, то
a了=(^1；一由1 ) •(2L36)
Рис. 21.5. Уменьшение первой зоны Френеля с приближением точки наблюдения к выбранному <Ьа- зовому фронту.Рис. 21.5. Уменьшение первой зоны Френеля с приближением точки наблюдения к выбранному <Ьа- зовому фронту.нем. что только плоскаянем. что только плоскаяОчевидно, что на расстоянии z = |R| все лучи сходятся в точку. При 2f |R| размер светящегося пятна растет и заполняет всю поверхность. Таким образом, на поле в фокусе влияет вся светящаяся поверхность. При 2foо размер пятна стремится к тому же пределу (21.34): а戶f f 〃П?瓦 как и для расходящейся волны. Заметим, что лишь для плоской волны такого предела не существует — пятно растет неограниченно с увеличением z (21.35). Это связано с уже отмеченным свойством плоской волны — накапливанием эффекта взаимодействия между лучевыми трубками. В следующем пункте мы еще раз подчерк- волна, ограниченная чем-либо по
Рис. 21.5. Уменьшение первой зоны Френеля с приближением точки наблюдения к выбранному <Ьа- зовому фронту.
Рис. 21.5. Уменьшение первой зоны Френеля с приближением точки наблюдения к выбранному <Ьа- зовому фронту.
нем. что только плоская
нем. что только плоская
своему фронту, не может оставаться геометрооптическим полем как угодно далеко (при 2foо).
В более общем случае неоднородной среды и двух радиусов кривизны волнового фронта в выбранной на луче точке rv также существует область вокруг луча, влияющая на формирование поля в точке 力. Форма этой области, которая находится двумерным методом стационарной фазы, может быть довольно сложной.
Условие применимости геометрической оптики. Интегральная форма поля (21.27) переходит в геометрооптическое поле (21.30) только в том случае, если мы сможем увеличить
пределы интегрирования, причем в этих пределах свойства среды и поля если и изменяются, то слабо. Поэтому потребуем, чтобы вблизи луча на расстоянии, много большем линейного размера первой зоны Френеля, не было резких изменений ни свойств среды, ни свойств поля. Если обозначить поперечный масштаб изменения этих свойств (точнее, наименьший из масштабов) через /丄,то условие применимости геометрической оптики запишется в виде неравенства
“F < /丄. (21.37)
Это условие намного более жесткое, чем условие (21.3) превышения масштабов среды и поля над, длиной волны. Так, если волна почти плоская, то а尸 r «九z/zz, а этот размер в V^An больше длины волны, и при z—> оо становится как угодно большим. Растет до бесконечности область влияния и при приближении к фокусу: Nf |R|, R V 0. Поэтому в реальной ситуации, когда нельзя обеспечить неизменные свойства среды на бесконечной поверхности, излучение плоского поля при достаточно больших 2 теряет лучевую структуру. В окрестности фокуса (а не только в фокальной плоскости) поле также принципиально не может быть геометрооптическим.
Область влияния для сходящихся или расходящихся лучей при n->8 приближается к конечному пределу (21.34), поэтому, в отлипие от плоской волны, они могут быть описаны в представлениях геометрической оптики, если только выполнено условие (21.37) (подробнее см. § 23).
При фиксированной точке наблюдения, расположенной на луче, можно провести огибающую первых зон Френеля, так называемый френелевский объем. Если, например, точка наблюдения расположена на расстоянии L от светящейся поверхности (волнового фронта) с радиусом кривизны R, то радиус вытянутой поверхности, ограничивающей френелевский объем,
аР (z)=(叫窗^~产广， (21.38)
где 2 отсчитывается от точки наблюдения вдоль луча (рис. 21.6). Эта формула получена из (21.33) очевидной заменой в ней R, т. е. радиуса кривизны на расстоянии 2 от точки наблюдения, на L-р R — г (*).
Френелевский объем выделяет ту часть пространства, которая может считаться областью локализации физического луча и внутри которой для справедливости (21.10) среда и поле должны быть постоянными или очень медленно меняться.
Мы вернемся к эвристическому условию (21.37) в п. 23.2. Там будет показано, как оценивать границы области, где геометрическая оптика отказывает.
В следующих пунктах будет подробно разобрано поле в окрестности каустики.
Каустики. Поверхность (или линия), огибающая систему лучей, называется каустикой (рис. 21.7). Для плоской волны каустики нет. Каустика цилиндрической волны вырождается в
Рис. 21.6. Френелевский объем (огибающая первых зон Френеля) для луча, соединяющего точки г0 и г с а) луч криволинейный; 6) луч — прямая линия.Рис. 21.6. Френелевский объем (огибающая первых зон Френеля) для луча, соединяющего точки г0 и г с а) луч криволинейный; 6) луч — прямая линия.
Рис. 21.6. Френелевский объем (огибающая первых зон Френеля) для луча, соединяющего точки г0 и г с а) луч криволинейный; 6) луч — прямая линия.
Рис. 21.6. Френелевский объем (огибающая первых зон Френеля) для луча, соединяющего точки г0 и г с а) луч криволинейный; 6) луч — прямая линия.
фокальную линию (ось системы координат). Каустика сферической волны вырождается в точку——фокус. Каустика может сформироваться как в неоднородной среде (см. п. 21.9), так и в однородной. Пример каустики в однородной среде приведен на
Рис. 217 Каустика в неоднородной среде.Рис. 217 Каустика в неоднородной среде.Рис. 21.3. Каустика лучей — нормалей к волновой поверхности близ максимума ее кривизны.Рис. 21.3. Каустика лучей — нормалей к волновой поверхности близ максимума ее кривизны.
Рис. 217 Каустика в неоднородной среде.
Рис. 217 Каустика в неоднородной среде.
Рис. 21.3. Каустика лучей — нормалей к волновой поверхности близ максимума ее кривизны.
Рис. 21.3. Каустика лучей — нормалей к волновой поверхности близ максимума ее кривизны.
рис. 21.8, где лучи— нормали к волновому фронту, который несколько отличен от сферического. Здесь мы рассмотрим свойства двумерной простой каустики, вдали от особых точек, например, от точек возврата, фокусов или фокальных линий.
На каустике пересекаются бесконечно близкие лучи, поперечный размер лучевой трубки уменьшается до нуля, и лучевые разложения (21.5) поэтому не могут быть использованы, так как все коэффициенты 4/ на каустике обращаются в бесконечность. 一一
Каустика разделяет часть пространства, заполненную лучами, от каустической тени. В освещенной части через каждую точку проходит два луча ——один из них уже коснулся каустики, другой еще нет. При подходе к каустике со стороны освещенной зоны наблюдается рост амплитуды поля, локальный максимум; прн переходе через каустику и удалении от нее в область тени поле спадает. В направлении нормали к каустике поле в освещенной части имеет, из-за интерференции двух лучевых полей, характер стоячей волны. Вдоль каустики поле имеет характер бегущей волны.
плоское, поэтому местоплоское, поэтому местоРис. 21.9. Показатель преломления линейного слоя.Рис. 21.9. Показатель преломления линейного слоя.При пересечении каустики происходит быстрое изменение свойств поля. Это поле локально ие экспоненты в разложении поля должна занять другая функция; вид этой функции можно найти из простой задачи, в которой лучевые конфигурации образуют каустику. В следующем пункте мы рассмотрим такую эталонную задачу.
плоское, поэтому место
плоское, поэтому место
Рис. 21.9. Показатель преломления линейного слоя.
Рис. 21.9. Показатель преломления линейного слоя.
Линейный слой. Пусть слева, со стороны пространства п = 1, падает на плоскую границу раздела z = 0 плоская волна (рис. 21.9). В об
ласти z > 0 среда имеет линейно убывающую с ростом z диэлектрическую постоянную r^(z):
絞⑵=2^子，(21.39)
где 2q — характеристика среды, та плоскость, на которой /г = 0. Предположим сначала, что плоская волна падает перпендикулярно к линейному слою. Тогда волновое уравнение
窘+ 胪〃2〃 = °(21.40)
после замены переменных
/ = Л71/3(г-2о)(21.41)
принимает вид (*)принимает вид (*)(21.42)(21.42)
принимает вид (*)
принимает вид (*)
(21.42)
(21.42)
Решение уравнения (21.42) пропорционально функции Эйри u(f), которая определяется интегралом
(21.43)(21.43)и (/) = ^\ cos ("^—Ь /%) dx.
(21.43)
(21.43)
Искомое поле
u(t) = Av (/),(21.44а)
причем коэффициент пропорциональности определяется из требования непрерывности поля" и его производной прн f = %, где to — значение / (21.41) при z — 0:
Л = 2[о (/о) - г (々2о)тз『(/°)「.(21.446)
Предполагается, что амплитуда падающего поля равна единице. Вид функции Эйри приведен на рис. 21.10. Значение функции вблизи нуля, порядка единицы, и(0) = 0,63, максимум
несколько сдвинут в сторону освещенной области и достигается при / к? —1 :и(—2,02) = 0,95. Слева от точки 2 = 2。(т. е. при
Рис. 21.10. Поле при пересечении каустики [см. (21.58)].Рис. 21.10. Поле при пересечении каустики [см. (21.58)]./ V 0) эта функция ведет себя при больших значениях аргумента (]力|》1) как геометрооптическая стоячая волна:
Рис. 21.10. Поле при пересечении каустики [см. (21.58)].
Рис. 21.10. Поле при пересечении каустики [см. (21.58)].
и (/) а (- /)i Sin [4 (- /严 + 引.
(21.45а)
Так как / 〜央冷，(—£)-"4 〜й~1/6, но при больших |/о|, как можно
от плоскости 2 =备 неот плоскости 2 =备 неполучить из (21.446), величина Л в старшем порядке по k пропорциональна й1/6, так что амплитуда поля [коэффициент при синусоиде в (21.44а) ] вдали
от плоскости 2 =备 не
от плоскости 2 =备 не
z = No функция Эйри при аргумента (£>0, f》l)z = No функция Эйри при аргумента (£>0, f》l)быстро спадает:быстро спадает:и “) * У^~1/4ехР (— Т 产)и “) * У^~1/4ехР (— Т 产)(21.456)(21.456)зависит от частоты. Справа от точки больших положительных значениях
z = No функция Эйри при аргумента (£>0, f》l)
z = No функция Эйри при аргумента (£>0, f》l)
быстро спадает:
быстро спадает:
и “) * У^~1/4ехР (— Т 产)
и “) * У^~1/4ехР (— Т 产)
(21.456)
(21.456)
Коэффициент при экспоненте при больших / также не зависит от частоты, но показатель линейно растет с частотой, поэтому поле в теневой области спадает тем быстрее, чем выше частота. Поведение поля на самой каустике (при z = z0) при увеличении частоты определяется зависимостью от нее амплитуды Л — так как в (21.44а) функция v{t) при / = 0 порядка единицы:
u^o ~ 仅％ 严. (21.46)
Рост амплитуды наблюдается в области, масштаб которой определяется расстоянием между плоскостью 2 = 2。и первым максимумом функции Эйри. В линейных единицах этот масштаб имеет порядок
I z - % g月一叱产. ⑵.47)
Таким образом, с ростом частоты поле вблизи плоскости w = 之。 растет как й1/6, его протяженность в теневой области быстро падает, а в освещенной поле имеет характер стоячей волны, причем размер области, где поле велико, и масштаб осцилляции уменьшаются как &~2/3.
Теперь рассмотрим наклонное падение плоской волны на линейный слой (21.39) под углом падения 0. Решение волнового уравнения имеет в этом случае вид (*)
u = Av [&2/3г71/3 (г — %：)] ехр (— ikx sin 0),(21.48)
где аргумент функции Эйри принимает нулевое значение при 2 = zc, причем
zc = 2q cos2 0,(21.49)
т. е. каустика приближается к плоскости 2 = 0.
Решение, полученное для нормального падения, слегка видоизменилось. Добавилась экспонента ——волна в линейном слое бежит вдоль оси х с фазовой скоростью c/sin 0. В амплитуде Л (21.446) добавился сомножитель (cos0)-1 во втором слагаемом в квадратных скобках.
Решим теперь ту же задачу о наклонном падении в терминах геометрической оптики. Лучевую структуру поля легко найти из уравнений (21.11). На плоскость 2 = 0 падает поле с эйконалом
S = % sin 8 + n cosQ.(21.50)
Лучи в слое будем характеризовать их координатой в плоскости 2 = 0, обозначив в этой плоскости х через & Таким образом, на плоскости z = 0 заданы начальная амплитуда /(占，0)= 1 и эйконал S (g) = g sin 0. Уравнения геометрической оптики имеют в данном случае вид (*)
dxdz吵1
右=厶，衣=p2,希П0,希=-(21.51)
Из определения р = VS и параметрического задания начальной плоскости следуют начальные условия
х (0) = §» n (0) = 0, Рх(0)= sin 9> Pz(°) = cos8・ (21.52)
Решение уравнений (21.51), (21.52) имеет вид (*)
%(т) = Е + т sin 0, г (т) = т cos 0 一 去"，(21.53а)
рх (т) = sin 0, 厶(т) = cos 0 — -~.(21.536)
Соотношения (21.53а) дают координаты луча в зависимости от точки 占 входа в линейный слой и от параметра т (напомним, что
dx = dc/n). Соотношения (21.536) определяют направление луча в тех же координатах. Из (21.536) следует, что луч с ростом т постепенно заворачивает, пр» 〃(〈)= 0 он направлен параллельно оси х. Затем луч возвращается к начальной плоскости 2 = 0. «Точка поворота» 2С = Zq cos2 0 (*) и определяет положение каустической поверхности. Таким образом, каустика, возникающая при наклонном освещении линейного слоя (21.39) плоской волной, есть плоскость (21.49). В следующем пункте мы выпишем эйконал для точек освещенной области (xi, zi) и амплитуду поля в этих точках (21.60).
Вблизи каустики и на каустике поле не может быть описано с помощью геометрооптических лучей. На каустике ——потому, что сечение лучевой трубки обращается в нуль, коэффициент расходимости (21.22) равен нулю, и все амплитудные коэффициенты в лучевом разложении неограниченно растут. В окрестности каустики лучевое разложение неприменимо потому, что лучи становятся неразличимыми, так как разность эйконалов двух пересекающихся лучей, один из которых коснулся каустики, а другой еще нет, меньше 九/2.
Отметим, что аргумент функции Эйри f связан с кривизнами лучей и кривизной каустики. Из (21.53) следует, что кривизна луча в точке касания им каустики равна
'7?r = 22osin0.(21.54)
Учитывая (21.54), (21.39), (21.48), получаем (*)
/ =庐3(2冠_^_)"3(2_%).(21.55)
В общем случае, если отличны от нуля как кривизна луча, так и кривизна каустики, аргумент функции Эйри будет равен
t = ^3 (^2n? I □- ± -^-1 )1/3 (z - zc),(21.56)
где Rc — радиус кривизны каустики, причем знак плюс берется, если луч и каустика находятся по разные стороны от общей касательной, знак минус ——в противоположном случае. В однородной среде 1 /Rr = 0 (лучи прямолинейны), так что
t =俨3(2足 7^7)"3(z - %).(21.57)
Вспомним, что (см. рис. 21.10) ширина прикаустической зоны определяется условием | f | = 1 и оценим эту ширину, положив |"= 1 в (21.56):
л = й"2/3(2гас I -^- ± -^-1 )~1/3 -(21.58)
Таким образом, хотя поле вблизи каустики и нельзя описать с помощью геометрической оптики, удалось оценить ширину за-
претной для геометрической оптики зоны с помощью чисто лучевых характеристик, кривизн лучей и каустики.
Подобно тому, как из простейшего решения ——плоской волны в однородной среде ——было получено решение в виде лучевого разложения для почти плоских волн в плавно неоднородной среде, простое решение для поля вблизи плоской каустики в линейном слое подсказывает форму каустического разложения, в котором амплитуда перед произведением функции Эйри на экспоненту разлагается по обратным степеням 月.Почти очевиден эвристический критерий применимости этого разложения: масштаб изменения показателя преломление среды и параметров волны должен быть много больше характерного размера прикаустической зоны Л (21.58). '
Комплексные лучи. Оказывается, можно использовать геометрооптическое решение и там, где лучей нет, а именно, в каустической тени. Для этого проанализируем полученное в и. 21.9 решение геометрической оптики, в котором допустим существование комплексных лучен, т. е. лучей в пространстве о комплексными координатами. Поясним, что имеется в виду.
Комплексные лучи определяются как решение уравнений геометрической оптики, но они описывают поля в таких точках пространства, куда обычные вещественные лучи, идущие в пространстве с вещественными координатами, не проникают. Поставим в соответствие точке наблюдения ri в вещественном пространстве точку (Е, 0) на начальной волновой поверхности. Если в ri попадает геометрооптический луч, то координаты (g, 0) существуют и они вещественны. Если же точка наблюдения выбрана там, где обычных вещественных лучей нет, например, в каустической тени, то вещественной координаты g не существует. Однако если мы формально все же попытаемся найти точку ъыхода «луча» из начальной плоскости, то она окажется комплексной. Комплексными будут и все координаты точек на «луче», но конечная его точка Г\ окажется вещественной. Поле в этой точке и будет найдено таким способом. Итак, при 尸=0 координата выхода луча & =己，+ £占"комплексна, при изменении т от нуля до Т(Г1) координаты луча г — rf + irf/ также комплексны. Координата гь в которой мы ищем поле, вещественна.
лучами до их пересечения в точке наблюдения:S (1, 2) = ^! — т(1, 2) sin 0,電(1, 2)« 2г0 [cos 8 干 «cos? 0 二芝丿2 Jлучами до их пересечения в точке наблюдения:S (1, 2) = ^! — т(1, 2) sin 0,電(1, 2)« 2г0 [cos 8 干 «cos? 0 二芝丿2 J(21.69)(21.69)Продемонстрируем этот прием на примере линейного слоя. В каждую точку (%i, 2i) здесь приходят два луча. Из (21.53а) находим координаты 占(1) и 占(2) выхода лучей из начальной плоскости 2 = 0 и два «расстояния» т(1) и т(2), пройденные
лучами до их пересечения в точке наблюдения:
S (1, 2) = ^! — т(1, 2) sin 0,
電(1, 2)« 2г0 [cos 8 干 «cos? 0 二芝丿2 J
лучами до их пересечения в точке наблюдения:
S (1, 2) = ^! — т(1, 2) sin 0,
電(1, 2)« 2г0 [cos 8 干 «cos? 0 二芝丿2 J
(21.69)
(21.69)
Если z < го cos2 0, т. е. точка наблюдения находится в заполненном лучами полупространстве, то величины g(l, 2) и т(1, 2) вещественны, они соответствуют двум обычным лучам вдали от прикаустической зоны. Если г > го cos2 0, то точка наблюдения находится в каустической тени, и все величины (21.59) комплексны.
Сопоставим лучевой картине в каустической тени лучевую картину в освещенной области. Слева от каустики в точку (尤ь Ni) придут два луча. Амплитуда и эйконал ——они получаются из (21.19) и (21.12)—того из них, который еще не коснулся каустики (падающего луча), равны
° 93/2(21.60а)
S(l) — x{ sine + ~^ [cos30 — (cos?。一俳)]- Соответствующие параметры луча, который уже коснулся каустики (отраженного луча), равны
42) = [1_^Т『"еТ*,
S ⑵==X] sin 9 + 争[cos3 0 + (cos2 0 —券)豌].化 L^"
Множитель exp(—fn/2) появился после «отражения» луча от каустики. Подобные множители появляются и в других ситуациях, при которых луч проходит область, где сечения лучевых трубок обращаются в нуль. Так, после прохождения фокального пятна (геометрооптического фокуса линзы) луч приобретает дополнительный сдвиг фаз, равный л. Формально дополнительный сдвиг л/2 после каустики возникает из-за изменения знака коэффициента расходимости в отраженной от каустики волне.
Правее каустики, при Z\ — z©% N、в точку наблюдения также приходят два луча. На этот раз эти лучи комплексные. В решении следует оставить один из них, неоднородную почти плоскую волну с параметрами (*)
с 小 • Q 丄 2?л ЗА • 2之1， 2 nNl、3/2(21.60b)
S(1) = Xj Sin0 + -у cos30 — I -y ^cos20 — — J ,
затухающую в направлении, перпендикулярном к каустике. Второй луч откидываем, так как он соответствует волне, возрастающей при удалении точки наблюдения (хь Ni) от каустики в сторону тени.
Асимптотики строгого решения задачи (21.44), (21.45) в областях вдали от прикаустической зоны совпадают с (21.60).
Векторная геометрическая оптика. Для геометрооптического описания векторного поля, например электромагнитного, используются те же приемы, что и для скалярного (уравнение эйконала в изотропной среде, которой мы только и ограничиваемся, такое же, как и в скалярной задаче; лучевые разложения, примененные к каждой компоненте поля, те же, и т. д.). Уравнения переноса для коэффициентов Ео, % (аналог скалярного коэффициента Ло) в дебаевских разложениях
Е=£1^е『 Я= £т>е-^ (21.61) т・0 /п«0
показывают, что в нулевом (т. е. геометрооптическом) приближении вектора электрического и магнитного полей ортогональны к
лучу, т. е. волны являются поперечными, локально плоскими.
Луч в среде, параметры которой зависят от координат, может представлять собой довольно сложную пространственную кривую. В векторной ситуации кроме общих со скалярной задачей свойств поля (лучевой структуры, т. е. лучей и волновых фронтов, зависимости амплитуд полей от координат) надо знать еще закон изменения направления вектора Ео (или Яо), т. е. особенности изменения линейной поляризации поля. С каж
к лучу, & — бинорк лучу, & — бинордой точкой пространственной кривой связан трехгранник: Z—
к лучу, & — бинор
к лучу, & — бинор
Рис. 21.11. Изменение ориентации вектора поля для криволинейного луча.Рис. 21.11. Изменение ориентации вектора поля для криволинейного луча.единичный вектор вдоль луча, л ——нормаль маль к лучу. Введем угол 0 между вектором Е и нормалью к лучу л. Для угла 0 получено уравнение
Рис. 21.11. Изменение ориентации вектора поля для криволинейного луча.
Рис. 21.11. Изменение ориентации вектора поля для криволинейного луча.
d8/d(T= 1/7,(21.62)
где do — элемент дуги вдоль луча; Т — ра-
диус кручения луча. Из (21.62) следует, что ориентация векторного поля (Ео, Но) относительно нормали к лучу не остается постоянной. Скорость вращения иоляриза-
ции (вектора Ео относительно луча), т. е.
приращение d8, отнесенное к элементу дуги da, равно кручению луча 1/Т. Если луч — плоская кривая (Г = оо), то d^/dc = О,
т. е. угол плоскости поляризации с нормалью не меняется, хотя из-за кривизны луча ориентация векторов (Е% Но)； разумеется, не остается постоянной в пространстве (рис. 21.11). В частном случае однородной среды лучи — прямые линии, вдоль которых
ориентация векторов поля постоянна.
Векторные поля поперечны только в нулевом, геометрооптическом приближении. Следующие члены лучевого разложения, (Ei, Я1), (Е2, Яг) и т. д„ могут иметь и продольные компоненты. Мы уже говорили, что эти члены учитывают такие эффекты, как
перетекание энергии из лучевой трубки в соседнюю. Нетрудно видеть, что это явление обмена энергиями между лучевыми трубками ——или поперечная диффузйя амплитуды — связаны с появлением продольных компонент поля. Действительно, поток вектора Пойнтинга в чисто поперечном поле направлен вдоль луча; только возникновение продольной компоненты ведет к поперечной добавке к этому потоку.
Для векторных полей к условиям применимости геометрической оптики — медленности, точнее, плавности изменения свойств среды и полей — добавляется условие плавности изменения поляризации волны.
Большие тела
Тела, рассмотренные в этом параграфе, и отверстия в экранах, о которых пойдет речь в § 23, названы большими, так как они велики по сравнению с длиной волны, условие (21.3) выполняется, причем в нем под / следует понимать характерный размер тела или отверстия. Окружающее пространство считается однородным, так что лучи в нем —
ВИЙ®пРямые линии-
Ш ШПоследовательнорассматриваются
'aWWWасимптотические методы: приближение
；卜^^^-Кирхгофа или физическая оптика, метод
|»^\параболического уравнения, физическая
^^Z]теория дифракции, геометрическая теория
与尸7&/дифракции.
J 夕22.1. Структура поля. Чтобы разобрать
ся в полях, возникающих при дифракции на теле, следует выделить отдельные обла- '^^сти, в которых структура поля примерно
^^известна. Рассмотрим дифракцию поля тор 221 и 由чечного источника или плоской волны на
наС' большо^Ф1^^ непрозрачном теле произвольной формы зрачном теле. (рис. 22.1). Прежде всего, попытаемся представить себе геометрооптическую структуру поля. За телом возникает тень, повторяющая его контуры; в тень лучи не проникают. В точку наблюдения и, которая находится в освещенной части пространства, лучи могут приходить либо непосредственно от источника, либо отразившись от поверхности тела. Разумеется, луч приходит в у】 только в том случае, если выполнено условие применимости геометрической оптики: размер первой зоны Френеля на поверхности тела много меньше характерного масштаба тела. При этом отраженные лучи могут образовать каустические поверхности. Лучи могут пересекаться на одной линии или в одной точке — о полях вблизи фокуса см. п. 23.5. Геометрическая оптика не может
описать поля црикаустической зоны и фокального пятна, поля в этих областях дифракционные.
Дифракция вносит и другие поправки в геометрооптическую картину. На границе между светом и тенью возникают зоны сильного градиента амплитуды, полутеневые переходные зоны. Эти зоны на рис. 22.1 выделены редкой штриховкой; они расширяются по мере того, как точка наблюдения удаляется от вершины Л или точки касания В гладкого выпуклого участка. В этих зонах происходит поперечная диффузия света из области света в область тени; поля полутеневых зон описываются интегралом Френеля.
Поперечная диффузия в окрестности границ свет — тень является основным механизмом проникновения поля в область геометрической тени. В диффузной зоне острой кромки Л возникают дифракционные или краевые лучи. Эти лучи как бы порождаются источником, расположенном на ребре (см. ниже пп. 22.6 и 22.7).
В тень за гладким участком тела проникает так называемая волна соскальзывания, порождающая лучи соскальзывания (см. ниже п. 22.8). Особая зона дифракции возникает в районе точки касания В, где накладываются зона полутени и зона волны соскальзывания.
Подобное расчленение полного поля на отдельные зоны в ряде случаев полезно; однако мы начнем параграф с методов, позволяющих дать общее, хотя и приближенное, представление о поле.
Физическая оптика или приближение Кирхгофа. Определить поле, дифрагированное на большом теле, становится затруднительным, если для точки наблюдения размер зоны влияния на поверхности тела становится сравнимым с характерным масштабом, либо лучи в совокупности образуют очень сложные каустические поверхности, либо полутеневые зоны накладываются друг на друга. В этих и подобных случаях полезно иметь единое выражение для поля во всем пространстве. Получим формулы, которые обычно называются соотношениями физической оптики.
Для полей, возникающих при дифракции на металлическом теле, удобно воспользов аться интегральным соотношением. Поле в любой точке наблюдения 口 выражается интегралом по поверхности тела от тока. Приближение Кирхгофа заключается в том, что вместо точного значения тока,, для определения которого нам пришлось бы решать задачу дифракции, под интегралом подставляется вместо тока du/dN величина 26叫6N, определенная в приближении геометрической оптики：
“(е-2，器GdS. (22.1)
Формула получается из (11.156), если граничное условие на поверхности 〃|$ = 0； G — функция Грина свободного пространства; dt^fdN — нормальная производная падающего поля, взя
тая на освещенной поверхности тела в отсутствие тела; источников в окрестности тела нет (/ = 0). Произведенная в (22.1) замена под интегралом истинного тока на поверхности током, полученным в приближении геометрической оптики, называется приближением Кирхгофа. Под интегралом ——сравнительно грубое приближение, однако интегралы типа (22.1) дают хорошую точность для полей как в геометроопгтической области, где лучевые поля могут быть выделены, если вычислить интеграл с помощью метода стационарной фазы, так и в переходных зонах, где интеграл представляет собой не- Iкоторую специальную функцию. Прибли-
Iжение Кирхгофа дает хорошие результаты
一 .丁 при расчетах полей, представляющих собой
излучение в сравнительно узком интервале Iуглов. Однако расчет в этом приближе-
Iнии излучения, сильно отклоненного пре-
方)方)Рис. 22.2. Дифракция на отверстия (а) и диске (6).Рис. 22.2. Дифракция на отверстия (а) и диске (6).пятствием, приводит к неправильным результатам.
方)
方)
Рис. 22.2. Дифракция на отверстия (а) и диске (6).
Рис. 22.2. Дифракция на отверстия (а) и диске (6).
полем 〃° аналогично тому, как в (22.1) мы ток на металле, неизполем 〃° аналогично тому, как в (22.1) мы ток на металле, неизТеперь получим другое интегральное выражение для поля. Это приближенное соотношение, в котором интеграл берется не по поверхности тела, а по отверстию, обычно применяется в антенной технике и оптике. Пусть на плоский зкран падает поле н°, например, плоская волна или сфокусированное линзой излучение. Воспользуемся соотношением (11.15а). Неизвестное поле 〃 под интегралом заменим падающим
полем 〃° аналогично тому, как в (22.1) мы ток на металле, неиз
полем 〃° аналогично тому, как в (22.1) мы ток на металле, неиз
вестный нам, заменили удвоенно访 производной падающего
поля:
Ы(X, у, z)=^ ы° (Е, %。嗡• dS.(22.2)
Здесь функция Грина подчинена условию G = 0 при ^ = 0, т. е. G — функция Грина плоского экрана без отверстия. Ищется поле за экраном при z > 0 (рис. 22.2). Интегрирование идет по плоскости z=0, не занятой металлом (по отверстию в экране или, как на рис. 22.2,6, по плоскости вне ограниченного экрана). На теневой стороне экрана поле принимается равным нулю. В принципе (22.2) можно уточнить, если вместо поля и0 подставить поле с учетом дифракционных эффектов.
Функция Грина полупространства, ограниченного заметал- лизированной плоскостью г — 0, имеет вид
G = ^T——(22.3)
Здесь г — расстояние от точки п(х, z/, z), где ищется поле (рис. 22.3), до точки (自力 D；『——расстояние от зеркально
отраженной в плоскости ^ = 0 точки (х, у, —z) до той же точки (g,外，^). На плоскости g = 0
zdr2
力="a一自)2 + з一⑴2 +22. (22.4)
В выражении для dG/dN мы опустим из двух слагаемых то, которое получает
ся дифференцированием знаменателя, такся дифференцированием знаменателя, таккак оно в 左飞 раз меньше оставшегося. Получается формула, справедливая на расстояниях, много больших длины волны:
ся дифференцированием знаменателя, так
ся дифференцированием знаменателя, так
：h С„ — ifefn
〃(& У, N)=崇)必危 ％ ^^-^dS.(22.5)
В приближении Кирхгофа (22.5) неразличимы дифракционные поля в направлении, совпадающем с направлением падающего
поля, от тел, проекция которых на перпендикулярную плоскость одинакова (ряс 22.4). Действительно, в приближении геометрической оптики поле на теневой стороне непрозрачных тел равно нулю. Никак не сказываются особенности геометрии близ точки касания крайним лучом
поверхности, скруглена ли поверхность или имеет ребро. Ускользают при этом детали, связанные с локальным взаимодействием падающего поля с краем экрана, и все различия, обязанные поляризации поля.
Принцип Бабине. Этот принцип—приближенная и потому имеющая большую область применимости формулировка принципа двойственности, коротко изложенная в п. 19.7. В принципе Бабине не участвуют, в частности, решающие для принципа двойственности соотношения
Рис. 22.4. В приближении Кирхгофа дифракция для тел а) и 6) неотличима.Рис. 22.4. В приближении Кирхгофа дифракция для тел а) и 6) неотличима.между поляризацией падающих полей в двух сопоставляемых
Рис. 22.4. В приближении Кирхгофа дифракция для тел а) и 6) неотличима.
Рис. 22.4. В приближении Кирхгофа дифракция для тел а) и 6) неотличима.
задачах.
Сравним два опыта по дифракции: на отверстии в экране и на том кусочке экрана (плоском диске в конкретном случае плоского экрана), который пополняет экран ло сп*тотгтттой мс-
таллической поверхности (рис. 22.5). Обозначим поля дифракции гм и а, соответственно. В (22.5) одно поле получено при интегрировании по отверстию S, другое — по остальной поверхности. В сумме эти поля дают поле, которое получится, если интегрировать по полной поверхности, в отсутствии экрана; но интеграл по всей по-
Iверхности от падающего поля 〃° = %(0)
•"/ есть падающее поле 〃° = 〃(之)на расстоя- 1н：ии % от плоскости 2 = 0：
'% =(22.6)
'Это значит, что поля при дифракции на
дополняющих друг друга экранах дополняют друг друга до невозмущенного поля.
I。Поэтому результаты, которые будут полу-
%zчены в § 23 для задачи о дифракции на от-
斤верстии в экране, сразу переносятся с по
мощью принципа Бабине на случай ди- Рис. 22.5. К выводу фракции на плоском большом теле. Заме- принципа Бабине. там, что принцип Бабине в этой формулировке——геометрооптический, так как поле 红° на отверстии только в геометрооптаческом приближении равно полю падающей волны.
Метод параболического уравнения. Пусть поле изменяется в пространстве таким образом, что можно выделить направление N, вдоль которого эти изменения происходят быстрее,
чем в перпендикулярном направлении, т. е. имеют вид ехр(—ikz). Тогда поле может быть записано в виде произведения этого быстроменяющегося множителя на медленноменяю-
щуюся амплитуду
(22.7)(22.7)u = A(k, х, у, z)e~ikz.
(22.7)
(22.7)
Это — отход от геометрооптического приближения (21.10), здесь А ищется при больших k немного точнее, ибо оно зависит от частоты.
Подставляя 〃 в волновое (эллиптическое) уравнение
д2ид2ид2и .讨十д2и .讨十0,0,(22.8)(22.8)
д2и
д2и
д2и .
讨十
д2и .
讨十
0,
0,
(22.8)
(22.8)
Теперь предположим, что ным координатам и вдоль волны и 'различны. ЕслиТеперь предположим, что ным координатам и вдоль волны и 'различны. Если
Теперь предположим, что ным координатам и вдоль волны и 'различны. Если
Теперь предположим, что ным координатам и вдоль волны и 'различны. Если
получим для A{k, х, у, z) уравнение
寸 +初 + 謚■-2庆 н = 0.(22.9)
масштабы, изменения Л по попереч- оси n велики по сравнению с длиной масштаб Zz》/修 у, то вторая произ-
водная по г в (22.9) может быть отброшена, и мы придем к параболическому дифференциальному уравнению второго порядка
(22.10)(22.10)дМ , д2АдА с
(22.10)
(22.10)
"3^+斫一2/石"=0■
Для того чтобы было выполнено условие 4：》lXt ^, направление оси z а в неоднородных средах направление а, лучше всего выбирать вдоль лучей. Две другие координаты лежат на поверхности волновых фронтов. Решение параболического уравнения в лучевых координатах значительно проще, чем исходного волнового.
Явление диффузии, например, тепла или концентрации примесей в жидкостях, также описывается параболическим уравнением, в котором есть вторые производные от координат и первая производная от времени. Поэтому изменение Л вдоль волновых фронтов можно трактовать как диффузию амплитуды вдоль волновых фронтов. Происходит эта диффузия не во времени, а с изменением координаты г. С этой точки зрения расплывание градиентной зоны близ границы свет ——тень, как уже упоминалось выше, является диффузионным процессом. Поведение поля в пограничной зоне соответствует требованиям к амплитуде в (22.7) — поперек границы (ее и можно принять за координату г) амплитуда изменяется значительно
быстрее, чем вдоль г. Поэтому, так же Рис. 22.6. Волна иад по- как и поле при распространении над глощающей поверхно- поглощающей поверхностью (рис. 22.6),ствю・
а также поля в процессе расплывания ограниченных в поперечном направлении волновых пучков (рис. 24.1), поле в переходной зоне может быть найдено из решения параболического уравнения (22.10). Параболическое уравнение остается эффективным аппаратом при переходе к нелинейным задачам квазиоптики (которые мы здесь не рассматриваем).
Локальный характер высокочастотной дифракции. Вернемся к рис. 22.1. Используя методы физической оптики, можно найти поле слева от тела, интегрируя в (22.1) по освещенной поверхности тела; можно также найти и поле справа от тела, интегрируя в (22.2) по поверхности, представляющей собой проекцию тела на плоскость, перпендикулярную к оси z, и вычитая полученное поле из падающего согласно принципу Бабине. Однако при этом будут допущены неточности: неправильно найдены поля в тени, волны от острой кромки, волны соскальзывания, дифракционные поля, уходящие над большими углами и т. д.
Уточнить поля в этих областях можно, если использовать соображения о локальности взаимодействия поля с телом. Будем, например, полагать, чтол поле при дифракции на реальной кромке Л, представляющей собой, вообще говоря, пространственную кривую, почти не отличается от полей дифракции на прямолинейном ребре металлического клина. Ток, возникающий около точки касания крайним лучом тела, практически тот же, что и ток при дифракции плоской волны, соответствующей этому лучу, на цилиндре, имеющем тот же радиус кривизны, что и реальное тело в точке В. Подобные предположения позволяют широко использовать результаты решения модельных задач в конструировании полей дифракции на сложных телах. Соответствующие методы получили общее название физической теории дифракции.
Физическая теория дифракции; метод краевых волн. Рассматривая результаты строгого решения задачи о падении плоской волны на клин, мы уже видели, что кроме геометрооптического поля (падающая и отраженная волны, тень), переходных зон между ними, описываемых функцией Френеля, существуют еще цилиндрические волны от ребра клина. Они проявляются и в освещенной, и в теневой областях. Приближение Кирхгофа, т. е. физическая оптика, тоже дает волны от ребра, но как оказывается, очень неточно. Нужна была какая-то дополнительная идея, позволяющая исправить результаты физической оптики. Эта уточняющая приближение Кирхгофа мысль состоит в том, что при определении поля вдали по току на ме~ талле кроме тока в геометрооптическом приближении в (22.1) нужно учесть ток, обусловленный дифракцией. Таким образом, полный ток представляется в виде = 2 万旷 + 1-^-1 , суммы токов геометрооптического (равномерной части тока) и дополнительного (неравномерной части тока). В том варианте приближения Кирхгофа, в котором поле ищется по току на металле, обычно используется только равномерная часть тока. Она представляет собой, по определению, ток на бесконечной плоской поверхности, касательной к телу в рассматриваемой точке. Неравномерная часть тока обусловлена возмущениями, которые создаются отклонениями формы поверхности от бесконечной плоскости. Например, эта часть тока может возникнуть на геометрических неоднородностях типа ребер.
Практически точно выделить неравномерную часть тока и взять от нее интеграл типа (22.1) не удается, однако можно выразить этот интеграл через функции неравномерного поля, рассеянного клином или полуплоскостью. Эти функции получены в модельной задаче о металлическом клине. Таким обра-
зом, в ряде задач дифракции на металлических телах с ребрами удается получить поправку к полю физической оптики.
Геометрическая теория дифракции. Краевые цилиндрические волны, возникающие в модельной задаче о падении плоской волны на клин, могут трактоваться как особого вида лучевое поле, как мы уже упоминали в начале параграфа. Лучи от ребра клина порождаются лучами, падающими на ребро. Эти новые лучи, носящие название дифракционных^ ведут себя после своего возникновения точно так же, как обычные геометрооптические лучи. Отличие заключается в законах, которым подчиняется образование дифракционных лучей.
Постулируется, что дифракционные лучи порождаются не всеми лучами падающего поля, а только некоторыми: во-первых, лучами, которые попали на неоднородности тела: вершины, линии разрыва кривизны поверхности, ребра, а во-вторых, лучами, которые касаются тела. Другими словами, дифракционные лучи头
как бы возникают из падающих на тело «крайних луней» геометрической оптики — разграничивающих J'
свет и тень, участки пространства, в которых лучевое поле имеет раз-Д
ную расходимость, и т. д./1
Каждый такой геометрооптиче-'
ский луч порождает целый веер ди- Рис- 22.7. Дифракция иа ребре, фракционных лучей. Если луч попал на вершину, то возникают дифракционные лучи, уходящие от вершины по всем направлениям. Если луч попал на ребро, то возникает конус дифракционных лучей с вершиной в точке падения луча на ребро и с углом раствора ^, равным углу *&( между лучом и касательной к ребру (рис. 22.7):
(22.11)(22.11)*0у =今『•
(22.11)
(22.11)
Этот закон есть обобщение закона геометрической оптики (21.17): угол падения равен углу отражения. При этом добавлялось, что оба луча лежат в одной плоскости. К правилу (22.11) подобного добавления нет——лучи веером расходятся от ребра. Если 8『= эт/2, как это было в модельной задаче (см. § 7), то и все лучи дифракции перпендикулярны к ребру. Они расходятся от прямолинейного ребра, образуя цилиндрическую волну; их амплитуды не одинаковы, они зависят от направления ухода дифракционного луча. В общем случае амплитуда дифракционных лучей
пропорциональна амплитуде 〃° падающего луча, включает в себя обычную для геометрооптических лучей экспоненту ехр (——ikS)f где S — эйконал ^фракционного луча, D (т)——якобиан перехода от декартовых координат к лучевым. Величина С (Z, Zo) называется коэффициентом дифракции, она зависит от направления 而 н Z падающего и дифракционного лучей, соответственно. Находится коэффициент дифракции из решения соответствующей модельной задачи; он определяется локальными особенностями падающего поля и геометрии тела в окрестности падающего луча..
Рис. 22.8. Дифракция на диске. Заметно, как смыкаются полутеневые зоны.Рис. 22.8. Дифракция на диске. Заметно, как смыкаются полутеневые зоны.Смысл коэффициента дифракции для ребра заключается в том, что ребро после падения на него геометрооптического луча становится вторичным источ«ником, но для ди*фракционных лучей, имеющих различное направление, амплитуда этого источника различна.
Рис. 22.8. Дифракция на диске. Заметно, как смыкаются полутеневые зоны.
Рис. 22.8. Дифракция на диске. Заметно, как смыкаются полутеневые зоны.
Раздел высокочастотной теории дифракции волн, в котором рассматриваются лучевые структуры во всех областях пространства, кроме переходных зон, носит название геометрической теории дифракции (ГТД). Интерференцией падающей волны с лучами от края и можно объяснить мелкую интерференци
онную рябь при дифракции на краю экрана, например, на полуплоскости. Так как дифракционные лучи уходят по всем направлениям, лимитируемым лишь условием (22.11), то эта рябь присутствует и перед диафрагмой.
Дифракционные лучи проникают и в область глубокой тени (рис. 22.8). В полутеневых зонах дифракционных лучей нет.
Дифракция на гладком выпуклом теле. Теперь коротко опишем поведение дифракционных лучей при касании лучом точки на поверхности гладкого тела. Возбуждение проникает в область тени. Его называют волной соскальзывания, соответствующий луч ——лучом этой волны, или ползущим лучом. Обобщенный принцип Ферма позволяет определить путь луча волны соскальзывания в любую точку в тени, образованной телом (см. рис. 22.1). От точки касания первичным лучом тела дифракционный луч идет по геодезической линии поверхности, а затем отрывается по касательной. Все лучи соскальзывания касаются поверхности тела, так что она является каустикой, а прилегающая к поверхности зона — каустической зоной, где геометрооптическая теория не дает правильного решения. В задаче есть еще две переходные зоны: близ границы свет — тень полутеневая зона и в окрестности точки касания — область пересечения первых двух зон.
Луч, соответствующий волне соскальзывания при огибании гладкого тела по геодезической, экспоненциально затухает, а после отрыва от поверхности подчиняется обычным законам геометрической оптики.
Попробуем качественно пояснить возникновение убывающей экспоненты в ползущем луче. Рассмотрим дифракцию на двух изломах (рис. 22.9). Волна рассеивается,
сначала на первом ребре, ее амплитуда убывает, на второе ребро попадает —一 скользящий вдоль поверхности луч и снова дифрагирует, причем он идет по экстремали, ПОДЧИНЯЯСЬ обобщенному Рис. 22.9. Дифракция па принципу Ферма. Теперь перейдем к т многограннике, граням. Если 屮——общий угол, на который повернулась обегающая тело волна, то на элементарном угле ф//п происходит уменьшение поля на величину а((р/т) Д пропорциональное этому углу и амплитуде падающего поля. К следующему ребру подходит волна с амплитудой 4(1 ——а(р//п), после этого ребра амплитуда становится равной А( 1——aqp//n)2, а после т граней Л(1——a(p//n)m. В пределе, при mf 8, получаем экспоненту /ехр(—aqp).
Эталонные задачи о дифракции на круговом цилиндре и шаре, решение которых было получено в форме рядов Ватсона (§§ 5, 6), также указывают на эту форму дифракционного поля — обегающие гладкую поверхность волны, затухающие при этом экспоненциально. Показатель экспоненты в соскальзывающей волне может быть взят из решений этих эталонных задач.
Большие отверстия
На простом примере отверстия в плоском экране и нормального падения плоской или сферической волны демонстрируются методы высокочастотной теории дифракции, изложенные выше. В поле выделяются зоны с различным характером дифракции. Есть зоны, где поле лучевое, например, в той части освещенного через отверстие пространства, в которой выполняется условие применимости геометрической оптики. Другими свойствами обладают поля в полутеневых зонах между освещенной областью и глубокой тенью, а также промежуточная область между освещенной лучевой зоной и дальним полем. В этих частях пространства отличительной особенностью поля является наличие заметных градиентов； по мере распространения они сглаживаются. Наконец, есть область, где поле представляет собой в некотором масштабе фурье-сопряженную от исходного поля. К таким полям относится поле в фокальной плоскости сходящейся волны, а также в дальней зоне (при падении почти пло-
ской волны). В этой зоне сферическая волна снова принимает лучевой характер, там нет обмена м*ежду лучевыми трубками (см. п. 21.4), причем происходит геометрооптическая передача не лучей исходного поля, а поля дальней зоны. В конце параграфа кратко разобран вопрос о формировании изображения конечной линзой.
Лучевая структура. При падении плоской волны на отверстие справа от экрана возникает световой пучок параллельных лучей, повторяющий контуры отверстия (рис. 23.1, а).
Слева от э-крана отраженный от плоскости экрана свет интерферирует с падающим, возникает стоячая волна всюду, кроме части пространства, ограниченного тем же контуром (рис. 23.1,6).
方）方）Рис. 23.1. Дифракция на большом отверстии в экране, эффекты в прямом (а) и отраженном (6) полях.Рис. 23.1. Дифракция на большом отверстии в экране, эффекты в прямом (а) и отраженном (6) полях.Дифракция возмущает эту геометрооптическую картину. На границе между освещенной областью справа от экрана и тенью появляются зоны полутени, заштрихованные на рис. 23.1, q. Такие же зоны возникают и в отраженном поле. В областях вне полутеневых переходных зон имеют место дифракционные лучи, как бы излученные краем экрана. Краевые лучи интерферируют с падающими и отраженными лучами; те и другие вместе составляют лучевую структуру поля. В областях 4 ——лучи падающие, отраженные и лучи от краев, нижнего и верхнего; в областях В, С — лучи падающие и краевые; в D — только краевые дифракционные лучи.
方）
方）
Рис. 23.1. Дифракция на большом отверстии в экране, эффекты в прямом (а) и отраженном (6) полях.
Рис. 23.1. Дифракция на большом отверстии в экране, эффекты в прямом (а) и отраженном (6) полях.
Эта структура может быть названа первичной. Ее можно уточнить введением так называемой вторичной дифракции: дифракционные лучи, уходящие от
верхнего края, дифрагируют на нижнем крае, и наоборот, лучи от ниж<него дифрагируют на верхнем. Лучи вторичной дифракции расходятся веером во все стороны, в том числе и в зоны полутени, интерферируя с полутеневым полем, и в направлении от нижнего края к верхнему и наоборот, возбуждая дифракционные лучи третичные и т. д. Таким образом, геометрическая теория дифракции позволяет проследить весь процесс формирования дифракционного поля, чего нельзя ожидать, например, от метода физической оптики.
Полутеневые зоны. Поле с большим градиентом вблизи границы свет — тень, как мы выяснили в п. 7.5 при рассмотре-
Рис. 232 К определению границы полутени.Рис. 232 К определению границы полутени.на том же луче, находя-на том же луче, находя-Рис. 23.3. Отношение размера отверстия к первой зоне Френеля определяет характер поля: Л — поле геометрооптическое; В — френелевское; С — фр аунгоферовское.Рис. 23.3. Отношение размера отверстия к первой зоне Френеля определяет характер поля: Л — поле геометрооптическое; В — френелевское; С — фр аунгоферовское.(23.2)(23.2)
Рис. 232 К определению границы полутени.
Рис. 232 К определению границы полутени.
на том же луче, находя-
на том же луче, находя-
Рис. 23.3. Отношение размера отверстия к первой зоне Френеля определяет характер поля: Л — поле геометрооптическое; В — френелевское; С — фр аунгоферовское.
Рис. 23.3. Отношение размера отверстия к первой зоне Френеля определяет характер поля: Л — поле геометрооптическое; В — френелевское; С — фр аунгоферовское.
(23.2)
(23.2)
нии дифракции плоской волны на клине и в частности на полуплоскости, расширяется пропорционально V^z. Можно указать на простой способ определять границу полутеневого слоя в более общем случае. Для этого воспользуемся условием примени
мости геометрической оптики. Пусть на край экрана падает сферическая волна (рис. 23.2). Если двигаться вдоль какого-либо луча, например Огь то, как видно из (21.33),
&f = */2(i/夠一 1/|R])T2, (23.1)
т. е. размер а尸 первой зоны Френеля в плоскости начального поля растет. Будем по определению считать, что точка наблюдения fi находится на границе
между лучевой областью и полутеневой зоной, если светящееся пятно aF коснется края экрана. Дальше двигаться вдоль луча мы уже не имеем права, так как при больших 窃 геоме-
трическая оптика отказывает. Точки щиеся ближе к начальной плоскости, расположены еще в зоне геометрической оптики, так как для них размер первой зоны Френеля меньше, чем для пограничной точки Гь и выполняется условие (21.37). Можно условно считать, по аналогии с рассмотренной в § 7 эталонной задачей, что полутеневая зона симметрична относительно луча, который коснулся края экрана. Вне полутеневой зоны поле вновь имеет лучевую структуру; краевые лучи как бы выходят от края, проникая сквозь полутень.
Дифракция Френеля и Фраунгофера. Проследим за осевым лучом падающей на отверстие сфе-
рической волны (рис. 23.3) и сравним размер отверстия в экране с размером первой зоны Френеля. Как обычно, будем считать, что при
а/аР》1
выполняются условия геометрической оптики (точка А на оси).
Если нельзя пренебречь влиянием краев диафрагмы, т. е.
(23.3)(23.3)0/а戶 а 1,
(23.3)
(23.3)
R V0as/zkM/l R 1 A》1〜1《I》1ABCBAлл•〜1лвсвв《1лвсR V0as/zkM/l R 1 A》1〜1《I》1ABCBAлл•〜1лвсвв《1лвсТаблица 2Таблица 2френелевской дифракции отка-френелевской дифракции отка-a^zk》1—1《1》1Aл〜1Вв《14Всa^zk》1—1《1》1Aл〜1Вв《14ВсТаблица 1 «Таблица 1 «R>0R>0Рис. 23.4. Дифракция на отверстии сильно расходящейся (а) и сильно сходящейся (б)Рис. 23.4. Дифракция на отверстии сильно расходящейся (а) и сильно сходящейся (б)ВОЛН.ВОЛН.叫IRI九》1(23.6а)叫IRI九》1(23.6а)
R V0
as/zk
M/l R 1 A
》1
〜1
《I
》1
ABCBA
л
л
•〜1
л
всв
в
《1
л
в
с
R V0
as/zk
M/l R 1 A
》1
〜1
《I
》1
ABCBA
л
л
•〜1
л
всв
в
《1
л
в
с
Таблица 2
Таблица 2
френелевской дифракции отка-
френелевской дифракции отка-
a^zk
》1
—1
《1
》1
A
л
〜1
В
в
《1
4
В
с
a^zk
》1
—1
《1
》1
A
л
〜1
В
в
《1
4
В
с
Таблица 1 «
Таблица 1 «
R>0
R>0
Рис. 23.4. Дифракция на отверстии сильно расходящейся (а) и сильно сходящейся (б)
Рис. 23.4. Дифракция на отверстии сильно расходящейся (а) и сильно сходящейся (б)
ВОЛН.
ВОЛН.
叫IRI九》1(23.6а)
叫IRI九》1(23.6а)
то поле в этих условиях назовем френелевским и обозначим соответствующую точку В.в
Очевидно, что именно в зоне зывает, по предыдущему пункту, геометрическая теория дифракции и начинается область полутени. В точке 8 рис. 23.3 границы нижней и верхней полутеневых зон пересекаются. Если
же первая зона Френеля намного больше отверстия, т. е.
Q/а尸《1, (23.4) то поле назовем фраунгоферовским и обозначим буквой С. Из (23.1) следует, что
а I а2 . а2 产 -ч 号=| 衣+ • (23・5)
Здесь появились два безразмерных параметра a2/Rk и а2/г%. Рассмотрим табл. 1 и 2, в которых буквами Л, 8, С показан характер поля при различных значениях этих параметров.
Вертикальные столбцы показывают, как меняется поле при удалении точки наблюдения от экрана. Сильно расходящееся поле или сильно сходящееся поле
(см. первые столбцы в таблицах) на любом расстоянии от отверстия вблизи оси является геометрооптическим； на него накладываются, разумеется, дифракционные лучи от краев. Это значит, что полутеневые зоны относительно узкие и вдали от фокуса не пересекаются (рис. 23.4). Только около фокуса (рис. 23.4, 6)
(23,7)
где параметры a2/Rk и a2/zk сравнимы по величине и противоположны по знаку, поле в области, называемой фокальным пятном, из геометрооптического (Л) меняется на френелевское (В), в фокальной плоскости оно фраунгоферовское (С), затем снова френелевское (В) и геометрооптическое (Л) (см. табл. 2), т. е. a/aF переходит от больших значений к малым и затем снова становится большим.
Умеренно расходящееся или сходящееся поле
q2/|R|九^ 1(23.66)
Рис. 235 Квазиоптический случай дифракции на отверстии.Рис. 235 Квазиоптический случай дифракции на отверстии.(см. вторые столбцы в таблицах) вблизи линзы при z《 а2/% геометрооптическое (Л), затем становится френелевским (В) всюду, даже очень далеко от начальной плоскости. Лишь в фокальной плоскости сходящейся волны поле, как и в предыдущем случае, фраунгоферовское (С). Полутеневые зоны, как видно из рис. 23.5, смыкаются. Выделять их имеет смысл лишь недалеко от апертуры; начиная с некоторого расстояния полутень неразличима с основным полем. Область около фокуса, достаточно четко выделен
Рис. 235 Квазиоптический случай дифракции на отверстии.
Рис. 235 Квазиоптический случай дифракции на отверстии.
ная в предыдущем случае, здесь как бы размазана вдоль z. Расходимость полутеневых зон смещает наиболее узкую часть пучка, его перетяжку, от плоскости (23.7) к экрану. Необычные свойства поля при условии (23.66) заставляют как-то выделить его; иногда такие поля называют квазиоптическими.
Наконец, слабо расходящееся или сходящееся поле, к которому принадлежит и прожекторный пучок 1 //? = О,
а2/|/?|ХС 1(23.6в)
(см. третьи столбцы в таблицах) вблизи от отверстия геометрооптическое (Л), затем становится френелевским (В), потом — фраунгоферовским (С). Область при z》а2/% называется дальней зоной. При условии (23.6в) поле в дальней зоне будет фраунгоферовским. Расходимость поля очень сильная; фокальная плоскость (23.7) никак не выделена. Перетяжка практически совпадает с плоскостью экрана.
Параксиальное приближение. Для того чтобы уяснить себе некоторые особенности фраунгоферовского поля (23.4), воспользуемся интегральной формулой (22.5), взяв ее в двумерном варианте:
〃 (х, z) = д/塞卜。& 0) ^- dS. (23.8)
Для полей дифракции в точках, близких к оси г 酬《1, %/z《l, (23.9)
ординат к N：ординат к N：ГоГоможно упростить (23.8), заменив в знаменателе г0 на г и вынося множитель 1/V^ из-под интеграла. Кроме того, в экспоненте разложим го по обратным степеням отношения поперечных ко
ординат к N：
ординат к N：
Го
Го
(23.10)
Получаем приближенную формулу (帮)
«(X, N) = д/2- е-в \ 公(&，0) ехр { _ 叢(х _ 济}恋.(23.11 а)
В трехмерной задаче та же формула имеет вид (*)
〃(招 y, z)=
=臺e-血，wo區 ％ о)ехр {—憂[(х- g)2 + (у-仍}虑九 (23.116)
Нас интересует случай, когда на отверстие падает цилиндрическая волна
公值，0)=1 必(W, о)|ехр{-靄}.(23.12)
Подставив (23.12) в (23.11а), получим
〃(*,力0〃矗 exp{i(z十^)}Х
Xj|a°(§, O)|exp{-/¥(； + *)}exp{i^}d&. (23.13)
Теперь подставим (23.5) в (23.13) (*):
и(X, N)= л/5ехр{—(2+£)}х
(23.14)(23.14)X JI «° (о) I exp I — I [л (т^-)2 о2 — ^^-] } dv.
(23.14)
(23.14)
Полученная формула обычно используется при расчетах в теории оптических инструментов.
Очевидно, что первым слагаемым в фазовом множителе, оставшемся под интегралом, нельзя пренебречь при условиях (23.2) и (23.3), т. е. в случаях геометрической оптики и френелевской дифракции. В случае же фраунгоферовской дифрак-
ции (23.4) его можно отбросить, тогда поле становится, в некотором масштабе, фурье-образом начального распределения. Фазовый фронт поля ——цилиндрический, с радиусом кривизны, равным расстоянию z — это следует из вида фазового множителя перед интегралом, если, конечно, сам интеграл не дает функцию, фаза которой зависит от координаты х.
В дальней зоне, где выполняется условие
(23.15)(23.15)г》а2Д
(23.15)
(23.15)
и условие (23.6в), формируется сферическая волна, распреде
23.6. К определе- размера- фокального пятна.23.6. К определе- размера- фокального пятна.ление амплитуды в которой зависит только от углов 尤/z. Передача сформированного поля — фурье- образа исходного — идет при этом по законам геометрической оптики, энергия не передается из одной лучевой трубки в соседнюю (см. п. 21.4).
23.6. К определе- размера- фокального пятна.
23.6. К определе- размера- фокального пятна.
Фокальное пятно. В фокальной
|R|. Это обстоя|R|. Это обстояплоскости (23.7) поле, так же как и в рис дальней зоне, фраунгоферовское. В част- нию ности, оно расходящееся, причем кривизна его волнового фронта равна фокусному расстоянию, точнее, начальной кривизне
|R|. Это обстоя
|R|. Это обстоя
тельство отмечено на рис. 23.4 и 23.5.
Распределение амплитуды в плоскости (23.7)——знакопере
менные полосы в двумерной ситуации и кольцевая структура в осесимметричной трехмерной (кольца Эйри). Из (23.13) при |〃。(自，0)| 曰 1 сразу получаем (*)
и (х, I 7? I)=
-"齊ехp{-(®十爲+书}空屮
(23.16)
Амплитуда поля в фокусе, т. е. центре дифракционной картины, при х = 0 равна
|и(0, |/? |)|=2 л/НтШГ- '(23.⑺
Очевидно, что с ростом частоты амплитуда растет как 々】*.
В трехмерном случае амплитуда пропорциональна а2/|7?|^.
Оценим размер фокального пятна. Из (23.16) находим удвоенное расстояние от оси г до ближайшего нуля:
(23.18)(23.18)lx = \R\k/a,
(23.18)
(23.18)
Продольный размер пятна проще определить из рис. 23.6. Представив себе пятно в форме вытянутого объема, получим из очевидных геометрических соотношений (*)
% = |Rmd・ (23 Л 9)
Это и есть размер зоны, отмеченной в табл. 2 как ВСВ. Оценка (23.19) получается столь же элементарно и из соотношения (23.3), (23.1): начало фокальной области в точке В (см. рис. 23.3), для которой размер первой зоны Френеля совпадает с размером отверстия (秸).
Строго говоря, максимум интенсивности светового поля не совпадает с точкой (0, |R|j, в которой формально пересекаются геометрооптические лучи. Это обстоятельство можно установить из (23.13), если положить х = 0, продифференцировать по s и приравнять результат нулю. Максимум поля (перетяжка пучка) оказывается сдвинутым в направлении экрана на относительную величину (*)
^zl\R\^{\R\Kl^. (23.20)
Очевидно, что в случае (23.6а) этот эффект мал; однако для
умеренно сходящихся полейумеренно сходящихся полейРис. 23.7. Изображение щели в экране с помощью конечной линзы.Рис. 23.7. Изображение щели в экране с помощью конечной линзы.(23.66) он становится определяющим. Еще раз к вопросу о положении перетяжки светового пучка мы вернемся в следующем параграфе [см. (24.30)].
умеренно сходящихся полей
умеренно сходящихся полей
Рис. 23.7. Изображение щели в экране с помощью конечной линзы.
Рис. 23.7. Изображение щели в экране с помощью конечной линзы.
Формирование изображения линзой. Рассмотрим для определенности щель в экране, на которую слева падает плоская волна. Дифракционные эффекты, возникающие при этом, разобраны выше достаточно подробно (рис. 23.7, а). Линза расположена на расстоянии 厶 от щели, т. е. от поля 〃о(尤),изображение которого мы пытаемся получить. Сначала предполо
жим, что линза не ограничена по оси X. Тогда справа от лтазы, на расстоянии 乙々，связанном с фокусным расстоянием 尸 геометрооптически-м соотношением
(23.21)(23.21)1 I 11
(23.21)
(23.21)
"2 (%2)= j 7"0 (Ц"%2)exp {——ik (L1 + 乙2"2 (%2)= j 7"0 (Ц"%2)exp {——ik (L1 + 乙22 d -2 d -可)}•可)}•(23.22)(23.22)возникает поле, подобное исходному и перевернутое (%)
"2 (%2)= j 7"0 (Ц"%2)exp {——ik (L1 + 乙2
"2 (%2)= j 7"0 (Ц"%2)exp {——ik (L1 + 乙2
2 d -
2 d -
可)}•
可)}•
(23.22)
(23.22)
Это соотношение легко получить, если применить интегральное преобразование (23.11а), из поля 〃2(%) получить поле на расстоянии z = Li слева от линзы, затем умножить полученное поле на фазовый множитель exp (ikx2/2F), характеризующий
действие линзы, а затем снова применить (23.11а), интегрируя в бесконечных пределах, к передаче на расстояние z = L2. Таким образом, неограниченная линза компенсирует в нашем приближении физической оптики все дифракционные эффекты. Квадратичное искажение фазового фронта при z =乙2 можно устранить, поместив в плоскость 之=厶 еще одну линзу с фокусным расстоянием 乙2 ——F.
Как уже было неоднократно сказано, дифракцию в приближении Кирхгофа можно себе представить таким образом, что каждая точка поля и0(х) испускает цилиндрическую волну (рис. 23.7,6). Линза переводит расходящуюся волну в сходящуюся, так что на расстоянии 丄2 от линзы снова возникает светящаяся точка. Цилиндрические (в двумерной задаче) или сферические волны представляют собой геометрооптические объекты; именно поэтому все построения при расчетах оптических приборов от плоскости «предмета》 以о(尤)до плоскости изображения 〃2(尤2)выполняются с помощью лучей.
Дифракционные искажения изображения происходят потому, что реальная линза ограничена, например, краями отверстия в непрозрачном экране. Интегрирование при пересчете поля с выхода линзы на плоскость z — L2 приходится производить в конечных пределах, поэтому идеальное изображение (23.22) уже не получается. Светящаяся точка трансформируется в дифракционную картину, которая уже была разобрана выше [см. (23.16) ], куда вместо |R| следует подставить L% Действительно, линза превращает излучение от каждой точки в плоскости 《предмета》в сходящуюся сферическую волну с радиусом кривизны R =——Л2, ограниченную экраном. Протяженность дифракционного изображения не позволяет различить, одна или две точки наблюдаются в плоскости изображения, если расстояние между ними меньше поперечного размера фокального пятна ХЬг/а (23.18). Отсюда легко получаем предел углового разрешения
a0/Li ^ 九/q, (23.23) где ао ——расстояние между светящимися точками.
Если в поле 以о(尤i) имеются резкие скачки амплитуды, как в нашем примере со светящейся щелью, то они будут переданы с искажением, сглажены, появятся слабые осцилляции поля около изображения края экрана. Область сильного градиента в дифракционном изображении имеет тот же масштаб 九£2/〃 (23.18).
Волновые пучки
В волновых пучках поле сосредоточено главным образом в окрестности некоторой прямой линии ——оси пучка. Пример таких пучков уже рассматривался в предыдущем параграфе —
пучок формировался с помощью отверстия в непрозрачном экране, вырезавшего из падающей волны ограниченный в поперечном направлении участок.“
Здесь мы сначала изучим Свойства гауссова пучка. Амплитуда его экспоненциально быстро спадает при удалении точки наблюдения от оси. Гауссов пучок удобен для анализа тем, что в любой зоне — геометрооптической, френелевской, фраун- гоферовской — он описывается одной формулой. Гауссов пучок можно исследовать разными способами: например, а) использовать интегральную формулу в параксиальном приближении (23.11), подставив в нем вместо и°(§, 0) гауссову функцию; б) получить гауссов пучок как решение параболического уравнения (23.10); в) представить гауссов пучок как интеграл по плоским волнам, направления которых мало отличаются от направления оси пучка, и т. д. Здесь мы воспользуемся несколько искусственным приемом: получим поле гауссова пучка из точного решения волнового уравнения, цилиндрической или сферической волны, поместив источник волны в точку с комплексными координатами. Затем кратко излагается геометрическая оптика неоднородных волн, к которым относится, в частности, гауссов пучок.
В периодических линиях из одинаковых линз, расположенных на одинаковых расстояниях друг от друга, могут распространяться волновые пучки, поле которых повторяется на каждом периоде. Линзовые линии и их аналог — открытые резонаторы—рассмотрены в конце параграфа.
Источники в комплексном пространстве. Поместим источник цилиндрической волны, т. е. функции Грина (11.86) свободного пространства
G = ^H^\k\r~r^(24.1)
в точку с координатами
.r1 = r(g = 0, g =(0)).(24⑵
Здесь 丿(0)——комплексное число, имеющее размерность длины V (0)=丿，(0) + W (0),(24.3)
свойства линейного источника и волны от координаты у не зависят. Тогда «длина» вектора г — ri [аргумент в (24.1)] имеет вид
А (г-「1) = 3 + [z + W (0)]2 严，(24.4)
т. е. комплексна.
Пусть координаты х, в которых поле (24.1), (24.4) имеет заметное значение, малы по сравнению с |之 + "(0)|：
不《1之十义(0)1.(24.5)
В таком параксиальном приближении
厶(r-ri)QW(z)-謠Р(24.6)
где
V (г) = V (0) — хг.(24.7)
Теперь исследуем лучевую структуру волны (24.1), взяв асимптотику функции Ханкеля для больших значений аргумента
G 勺段{；丝空}成.(24.8)
〃§JT «々厶(г — Г1)
Формально это геометрооптическое поле расходящейся цилиндрической волны, в котором, однако, источник помещен в комплексное пространство, а лучи имеют комплексную длину, так что и амплитуда и эйконал комплексны. В п. 21.10 мы уже рассматривали лучи, которые начинались и шли в комплексном пространстве, а вещественное пространство пересекали в области каустической тени. Здесь то же самое, однако вещественные прямолинейные лучи в отличие от окрестностей каустики совсем отсутствуют — весь гауссов пучок в каком-то смысле «каустическая тень》. Поля, имеющие такую лучевую структуру в комплексном пространстве, в обычном, вещественном пространстве дают неоднородные плоские волны.
В параксиальном приближении волна (24.8) есть гауссов пучок. Для того чтобы подробнее познакомиться с его свойствами, подставим (24.6) в (24.8), В экспоненте мы оставим в разложении (24.6) два члена, а в знаменателе — один (*):
GS = 7ЙГ ехр {-决 О + 岳)} •(24・9)
Несущественный множитель мы отбросили. Знаменатель показывает, как меняется амплитуда пучка по мере распространения ПО ОСИ Z («):
I «g (z) I , ^^ + ^^ Vмis、
I "^7斫 I = t [W (0)]2 + [% ⑼ - z]2 j .(24.10)
Наибольшая амплитуда пучка наблюдается в плоскости
n = C〃(0)・(24.11)
На оси z (при х — 0) фаза гауссова пучка изменяется по закону (*)
屮=奴 + ^ arctg 夕將二•(24.12)
Наконец, при удалении от оси поле пучка изменяется по гауссову закону. Введем обозначения для вещественной и мнимой частей выражения 1/V(O) и J/V(г):
V (0) kxl (0) R (0) ' V (г) 左尢& (г) 丁 & (z)
Подставив (24.13), (24.7) в (24.9), получим (*)
(24.14)(24.14)(.kx2X2 ]
(24.14)
(24.14)
〜exp 2z — 5— 5 ・
g 12K (z)2x|(N)J
Таким образом, R(z)—радиус кривизны фазового фронта, а Xs(z) можно условно назвать шириной пучка: на расстоянии х — xs (г) от оси амплитуда пучка уменьшается в «е раз. Очевидно, что R(0) и Xs (0)——радиус кривизны фронта и ши； рина пучка в плоскости z = 0. При распространении вдоль оси меняется и та, и другая величина, причем простое соотношение (24.7) позволяет связать R(z) и 尤s(z) с параметрами пучка в начальной плоскости.
Точечный источник трехмерной функции Грина (11.8в)
ехр {- ikL (р - р;)}
G = _ 而L^^) (24」5)
также можно поместить в комплексное пространство
Pi = р (0, 0, 一屮⑼).(24.16)
Тогда длина вектора р ——pi равна
L (р - Р1){х2 + y2 + [z + iV (0)]2}1/2.(24.17)
В параксиальном приближении
(24.18)(24.19)(24.18)(24.19)Г = 7“ 扌 « I z + 〃 ⑼ I2, длина (24.17) имеет вид
(24.18)
(24.19)
(24.18)
(24.19)
厶(Р — Pi) = 〃 3)才(/，
где комплексная величина /(г) снова связана с начальной координатой источника соотношением (24.7). Подставляя (24Л9) в (24.15) и откидывая несущественный множитель, получим-
G иё= /⑶ exp { — ik (w + 2p(zj~) } •(24.20)
Амплитуда пучка меняется вдоль оси z по закону (*)
I %⑶I (『(0)产+『(0)产 严(24
|-^7(оГ| — 1 [КЧ0)12 + [ГЧ0)-2]2 J
наибольшая амплитуда ——в той же плоскости z — V"(0) (24.11), как и в случае двумерного пучка, а фаза на оси гауссова трехмерного пучка равна (*)
屮=左2 + arg tg “ )^f‘ •(24.22)
242 Свойства гауссова пучка. Рассмотрим подробнее соотношения (24.7) и (24.13), т. е. изучим, как изменяется ширина и кривизна его волнового фронта в зависимости от расстояния z (рис. 24.1). При этом попытаемся связать полученные формулы с обычными законами геометрической оптики.
Для определенности рассмотрим пучок после собирающей линзы, т. е. R(0) V О,
R(0) = -|R|.(24.23)
Из (24.3), (24.13), (24.23) получаем
а)片⑼=тфг I R(°)I，6)卩〃 (0) = ^у I R (0) I, (24.24)
где введен параметр (*)
(24.25)(24.25)с = ^(0)/|/? (0)|.
(24.25)
(24.25)
При рассмотрении дифракции на отверстии параметр a2/\R\% содержал размер отверстия, здесь входит поперечный размер пучка; оба параметра пропорциональны площади, занятой полем. Далее из (24.3), (24.7), (24.13) получаем (*)то)<о/?=加仞/
a)左庆⑶=Г (0) +(Q2(产片,——
R ⑶=z 一 У" (0) + J2聲).•
(24.26)Рис. 24.1. Пучок.
Очевидно, что в плоскости (24.11) кривизна волнового фронта равна нулю (поле имеет плоский фронт), а размер пучка минимален и равен
%s (丿")=尤s (0)/"戸丁. (24.27)
Таким образом, задание в начальной плоскости V(0) (24.3) сразу определяет и положение перетяжки (24.11) и ширину пучка в ней (24.27). Пучок симметричен относительно плоскости (24.11). При 2 V R" пучок сходящийся (R V 0), при w> V"— расходящийся (R > 0). В плоскости
之=IR(0)l, (24.28) которая в геометрооптическом смысле является фокальной, ширина пучка в с раз меньше начальной, а радиус кривизны
положительный (волна расходящаяся) и равен по модулю начальному радиусу кривизны (*):屛.、
a) xs = xs tO)/c, 6) R = I R (0) |.(24.29)
Последнее свойство ——общее для всех сфокусированных пучков (см. п. 23.5).
Перетяжка пучка (24.11), в которой амплитуда поля максимальна, отстоит от фокальной плоскости (24.28) на расстояние
R(0) —『'(0) = 7^rrIR(0)|.(24.30)
При с》1 эта величина по порядку совпадает с (23.19) — сдвигом максимума фокального пятна при дифракции сходящейся сферической волны на отверстии в экране. Из (24.30) следует, что смещение перетяжки может быть значительным; так, при с = 1 максимум амплитуды пучка (перетяжка) в два раза ближе к линзе, чем фокальная плоскость.
Ширина пучка, как это следует из (24.26а), меняется вдоль 2 по гиперболическому закону. Ширина пучка и радиус кри
визны линейно зависят от расстояния до перетяжки, если
I ”(0) - 2]/片(0)» 1. (24.31)
Для точек, достаточно далеких от перетяжки (24.11), это неравенство справедливо, причем масштаб, с ко
торым следует сравнивать расстояние, есть нормированная ширина пучка в самом узком месте, 丿(z =0 ).
Рассмотрим два предельных случая. Для сильно сфокусированного пучка
Рис. 24.2. Сильно (а) и слабо。(6) сфокусированные пучки. минимальный размер пучка в перетяжке (24.27) много меньше размера в начальной плоскости, а перетяжка (24.11) почти совРис. 24.2. Сильно (а) и слабо。(6) сфокусированные пучки. минимальный размер пучка в перетяжке (24.27) много меньше размера в начальной плоскости, а перетяжка (24.11) почти совО 1, (24.32)
Рис. 24.2. Сильно (а) и слабо。
(6) сфокусированные пучки. минимальный размер пучка в перетяжке (24.27) много меньше размера в начальной плоскости, а перетяжка (24.11) почти сов
Рис. 24.2. Сильно (а) и слабо。
(6) сфокусированные пучки. минимальный размер пучка в перетяжке (24.27) много меньше размера в начальной плоскости, а перетяжка (24.11) почти сов
падает с фокальной плоскостью (24.28), так что смещение
максимума поля невелико. В зоне, близкой к перетяж
дольный размер порядкадольный размер порядкаке, свойства пучка меняются особенно быстро; можно назвать эту зону, по аналогии с п. 23.5, фокальным пятном (рис. 24.2,а). Эта зона фокального пятна, как видно из (24.26а), имеет про
дольный размер порядка
дольный размер порядка
(24.33)(24.33)”收⑼论,
(24.33)
(24.33)
что согласуется с размером фокального пятна сферической волны (23.19). Вне фокального пятна, при условии (24.31), поперечные размеры пучка изменяются линейно с расстоянием от фокуса, т. е. по законам геометрической оптики. Условие (24.32) соответствует условию (23.6а).
Для слабосфокусированноао пучка
с《 1, (24.34)
минимальный размер поля (24.27) почти равен размеру поля в начальной плоскости, а перетяжка с точностью до величин порядка с2 совпадает с плоскостью 2 = 0. Размер поля в фокальной плоскости в 1/с раз больше поля в начальной плоскости. Условие (24.34) соответствует условию (23.6в). Геометрооптическая фокусировка при этом не осуществляется (рис. 24 2,6). Расширение пучка происходит линейно с расстоянием от плоскости z=0.
Промежуточной между (24.32) и (24.34) является ситуация, которую можно назвать квазиоптичес кой, Поле характеризуется необычными с точки зрения геометрической оптики свойствами. Так, при
с = 1 (24.35)
размер пучка в фокальной плоскости равен размеру пучка в плоскости г = 0; а перетяжка пучка расположена на расстоянии |R|/2, причем размер пучка в “2 раз меньше размера в начальной плоскости.
Геометрическая оптика неоднородных волн. Гауссов пучок является примером «почти плоской» неоднородной волны: волна бежит вдоль одного направления, а ее амплитуда убывает (иногда говорят: затухает) в перпендикулярном направлении. Простейшей волной такого типа является неоднородная волна с комплексным эйконалом
〃 =ехр[——z (kxx + 论(24.36)
где kx = i\kx\. Такая волна возникает, если kz > ^п, так что kx = 方«房二月%2; она распространяется вдоль оси 2 и экспоненциально затухает вдоль оси х. Существует много примеров неоднородных волн: поверхностные и вытекающие волны, поля в менее плотной среде при полном внутреннем отражении, поля в каустической тени, волновые пучки, поля в сильно поглощающих средах, полутеневые поля, волны соскальзывания, проникающие в геометрическую тень за гладким выпуклым телом и т. д.
Почти плоские неоднородные волны могут быть представлены в форме, аналогичной почти плоским однородным волнам,
т. е. в виде и = Лехр(—i^S). Отличие будет состоять в том, что эйконал становится комплексцьш:,
S』S‘ + iS",(24.37)
где S' и S〃 ——вещественны. Потребуем, чтобы (24.37) удовлетворяло уравнению (21.7). Разделяя вещественную и мнимую части, получим два уравнения
a) (VS) — (VS〃)2 = n2, 6) VSZ VS〃 = 0,(24.38)
из которых следует, что кривые S'= const, S/z — const взаимно ортогональны (рис. 24.3). Первые из этих кривых естественно
назвать эквифазными поверхностями, или волновыми фронтами.
Рис. 24.3. Линии равной амплитуды (квазилучи) S"= =const и линии равной фазы S' = const.
Нормали к волновым фронтам иногда называют квазилу此ами. В каждой точке квазилучи параллельны вектору VS'. Квазилучи оказываются криволинейными даже в среде с постоянным п. Это необычнее свойство отличает траекторию ква- зилучей от обычных геометрических лучей, которые в однородной среде прямолинейны. Искривление квази-
лучей происходит в том случае, если градиент затухания VS" непостоянен вдоль волнового фронта. Непостоянство VS" приводит к тому, что разные участки волнового фронта распространяются с разной скоростью (*). Очевидно, что для волны с постоянным VS" лучи прямолинейны, поэтому волна (24.36), kx = const, с экспоненциальным умень
шением амплитуды в направлении, перпендикулярном к направлению распространения, имеет лучевую структуру, не отличающуюся от структуры однородной плоской волны.
Гауссов пучок представляет пример неоднородной волны с переменным градиентом. В плоскости равной фазы пучок (24.9)
имеет вид
ug ~ ехр (—— 尤2/2%^).
(24.39)
Очевидно, что мнимая часть эйконала S" пропорциональна квадрату поперечной координаты, а градиент S" — первой степени х:
|VSM| = x/fex|.
(24.40)
Из (24.38а) следует, что градиент вещественной части эйконала
I VS']=公 +
1/2
(24.41)
растет при удалении точки % от оси, т. е. периферийная часть
гауссова пучка движется с меньшей скоростью, чем приосевая. Это отставание скажется в том, что пучок из плоской волны (24.39) по мере удаления от плоскости перетяжки 2 = V/z(0) превращается в расходящийся.
Из квазилучей можно сформировать лучевые трубки, но энергия в таких трубках не сохраняется. Существуют энергетические траектории, слегка отличные от квазилучей; в образованных из них трубках сохраняется энергия при распространении неоднородной волны и, в частности, гауссова пучка.
В заключении этого пункта отметим, что в неоднородной среде пучок может не расширяться, если показатель преломления среды, уменьшается от оси к периферии. Очевидно (24.41), что фазовый градиент | VSZ | не изменяется на всем фронте волны, если сумма n2(x) +1 VS/Z|2 постоянна (*): “
п2 (х) +1 VS" F =公(0). (24.42)
Если поле в плоскости z = 0 описывается экспонентой
^ Л ехр [——左5〃(尤)],то градиент затухания dSf//dx и «согласованный» с волной профиль показателя преломления среды связаны соотношением
紋(万=紋(0) —I需『. (24.43а)
В конкретном случае гауссова пучка (24.40) согласованный профиль имеет параболическую зависимость от поперечной координаты (*):
畤吁宀叩一(。(。鳥(。))) (24.436)
В такой среде фронт гауссова пучка в любом сечении г = const плоский. Дифракционная расходимость, т. е. поперечная диффузия, заставляющая фазовые траектории отгибаться в сторону от оси, скомпенсирована в линзоподобной среде (24.43) фокусирующим действием неоднородного диэлектрика,
Линзовая линия. Компенсация расходимости может быть не непрерывной, а дискретной. На пути волнового пучка, который имеет кривизну фазового фронта 1/R-, помещается тонкая линза с оптической силой 1/F (рис. 24.4). Кривизна фронта на выходе линзы 1/R+ может быть получена из геометрооптического соотношения («формулы линзы»)
% (2444)
Учитывая (24.13), получаем формулу
★ = Л (24・45)
которая определяет свойства пучка после прохождения линзы. Теперь зададимся целью повторить распределение поля гауссова пучка. Формируется пучок с таким параметром V(0), что после прохождения расстояния L его поперечный размер
восстанавливается, а радиус кривизны меняет знак (из сходящейся волны пучок становится расходящейся волной, но модуль радиуса кривизны фазового фронта не изменяется), т. е.
V (L) = V ⑼一辽=片(0). (24.46)
Используя определение параметра V(n) (24.13), получаем из (24.46) уравнение для начального радиуса кривизны волнового фронта пучка; его решение (*)
R (0) = — ” (0) 士 V(^2tyZ7 ] (24.47) дает связь кривизны фронта с шириной пучка и расстоянием, на которое мы его передаем. Если на пути пучка при w = £ поставим линзу с фокусным расстоянием F = |^(0) |/2, то знак кривизны фазового фронта изменится на противоположный (24.44), и поле пучка полностью восстановится. Соотношение (24.46) связывает поперечные размеры пучка &х| и расстояние между линзами с оптической силой линзы, которая требуется, чтобы пучок повторился. Два знака соответствуют двум возможным вариантам линзы, короткофокусному и длиннофокусному. Если L > kx^ (0), то не удается подобрать линзу, которая бы повторила распределение поля, так как на таких расстояниях поперечный размер пучка уже превысит начальный. Максимальное расстояние, на которое можно передать световое гауссово пятно без изменения его размера, равно L = h% при этом |/^(0) I = L. Начальный пучок как бы сфокусирован в центр линзы, хотя, разумеется, в этом квазиоптическом случае (24.36) не осуществляется геометрическая фокусировка, в частности, перетяжка пучка оказывается на расстоянии L/2.
Если использовать не одну линзу, а установить много линз на общей оси, причем расстояние между соседними линзами выбрать L, а оптическую силу линз подобрать согласно (24.47), то получится линзовая линия с периодической коррекцией фазового фронта пучка. Пучок будет повторяться в каждом промежутке между линзами. Если в линзовую линию с данным расстоянием L и линзами 尸 попадает гауссов пучок, не удовлетворяющий соотношению (24.46), то такой «несогласованный» пучок не будет повторяться, а его размеры и кривизна волнового фронта будут меняться от линзы к линзе. Несложно проследить за этими изменениями с помощью (24.7), (24.45). Точно так же, если в линзоподобную среду (24.43) попадает несогласованный волновой пучок, то его сечение не будет сохраняться неизменным: пучок пульсирует вдоль 2 с периодом, равным лП (0)左尤^.
Собственные волны линзовой линии. При рассмотрении линзовой линии с гауссовым пучком предполагалось, что размеры линз велики по сравнению с шириной Хз пучка. Реальные линзы помещены в отверстие непрозрачного экрана. Поле пучка, который падает слева на такую диафрагмированную линзу, может в общем случае занимать площадь, большую площади отверстия. Часть энергии пучка, попадающая на экран, теряется; доля, которую составляет потерянная часть от всей энергии, переносимой пучком, называется дифракционными потерями. Действительно, эти потери объясняются дифракционным эффектом—расползанием волнового пучка из-за поперечной диффузии. Параметр, который определяет потери ——отношение размера отверстия к размеру поля волнового пучка 〃/%$; чем больше это отношение, тем меньше потери.
Экран не только вносит дополнительные потери (к потерям в диэлектрике линз, в среде и т. д.), но и фокусирует оставшееся в линзовой линии излучение. В процессе р а спростр а нения поля по линии из данных линз в ней устанавливается повторяющийся пучок ——собственная волна линии с наименьшими возможными для данной геометрии и частоты потерями.
Повторяющиеся волны могут существовать в периодической системе и вообще без линз. Если на первое отверстие в экране направлена плоская волна (рис. 24.5), то на второе отверстие придет участок плоской волны (прожекторный пучок) с полутеневыми полями по краям, так что на границе свет — тень амплитуда оказывается равной лишь половине амплитуды падающей плоской волны. Таким образом поле поджимается к оси; через несколько переизлучений пучок почти перестает меняться по форме от отверстия к отверстию, т. е. устанавливается собственная волна. Для установления необходимо диафрагмирование, т. е. устранение из поля «лишних» составляющих.
В линзовых линиях могут использоваться не только сферические линзы, преобразующие сферический (в параксиальном приближении) фронт падающей волны в сферический фронт ,прошедшей. Линзы могут
I ]быть достаточно произволь-
*ной формы： конусные ша-
…почки, тарелки, даже колеч- —勺ки. Единственное требова
ние — иметь ограниченные
Рпоперечные размеры и пе-
Iриодически повторяться
Рис. 24.5. Диафрагменнаялиния.ВДОЛЬ ОСИ пучка. В любом
случае после ряда линз возникнет пучок ——собственнаяволна, дифракционные потери кото
рой будут зависеть от того, насколько разумно выбрана форма линзы и размер отверстия.
Получим уравнения для собственных волновых пучков. По полю 〃(£,“，6) на выходе линзы определим в параксиальном приближении (23.11) поле на расстоянии z — L, на входе следующей линзы. Затем используем идею о фазовой коррекции почти плоского диэлектрического тела при падении на него почта плоской волны (см. п. 12.1). Поле на входе в точке (尤,у, L — d), где d ——толщина линзы, равно полю на выходе (х, у, Л), отличаясь лишь набегом фазы 屮(尤，у):
и (х, у, L) = u (х, g, L — d) exp [—йр(%, z/)].(24.48)
Фазовая коррекция 2(%, у) равна оптическому пути, отсчитываемому по прямой, параллельной оси линзы:
(х, y) = k \ п (х, у, г) dz.(24.49)
Приближение фазовой коррекции не учитывает, на первый взгляд, преломления на поверхностях раздела. Однако основные свойства линзы передаются правильно. Так, если на линзу со сферическими поверхностями, радиусы которых равны %, падает плоская волна, то поверхность равных фаз на выходе — сфера г = п ^ 1 (х2 + у2), нормали к которой пересекутся на расстоянии F = Ь/2(п——1) (*). Таким образом получается верная формула для фокусного расстояния линзы. Фазовая коррекция сферических линз имеет вид (歸)
屮(х, у) = ~ ^募"(24.50)
Свяжем теперь с помощью (23.11) и (24.48) поле 以(Е,", 0) на выходе первой лпнзы с гтол°м 〃(尤，〃，L) на выходе второй, и
потребуем, чтобы было выполнено условие повторяемости поля с точностью до постоянного комплексного множителя：
以(尤，у, L) = %u (х,弘 0).(24.51)
Требование повторяемости поля приводит нас к однородному интегральному уравнению Фредгольма второго рода ^•ехр{ —力[左厶 +屮(х, g)}\u 怎 ％ 0) X
X exp ^ — r -^ [(x — g)2 + (x — T])2] j dg dri = %«(x, y, 0).(24.52)
Уравнение имеет счетную последовательность собственных значений %л и соответствующую им совокупность собственных функций ип(х, у). Собственное значение определяет как потери энергии 1 — I %п 12 при попадании части пучка на экран, так и набег фаз arg %% при прохождении пучка от линзы к линзе.
Собственная волна с минимальными потерями 1—1%1|? имеет на выходе линзы распределение поля щ (х, у). Именно эта волна устанавливается в линии после многократного переизлучения начального распределения поля.
Наименьший размер пучка на линзе и, поэтому, наименьшие дифракционные потери при заданном L достигаются в так называемой _ конфокальной линии ——(24.50) при F = L/2 Полуширина пучка на линзе при этом равна xs — ^/L/k ,
Рис. 246 Открытые резонаторы с плоскими (а) и изогнутыми (6) зеркалами.Рис. 246 Открытые резонаторы с плоскими (а) и изогнутыми (6) зеркалами.Открытые резонаторы представляют собой систему из двух параллельных друг другу плоских или фокусирующих изогнутых зеркал (рис. 24.6). Колебательный процесс в открытом резонаторе близок к процессу распространения в линзовой линии. Волновой пучок в резонаторе при отражении от изогнутого зеркала испытывает ту же фазовую коррекцию, т. е. исправление фазового фронта, что и волновой пучок линзовой линии при прохождении через линзу. Между зеркалами пучок распространяется
Рис. 246 Открытые резонаторы с плоскими (а) и изогнутыми (6) зеркалами.
Рис. 246 Открытые резонаторы с плоскими (а) и изогнутыми (6) зеркалами.
так же, как и между линзами. В открытом резонаторе часть пучка при отражении проходит мимо зеркала, имеющего конечную площадь ——так же, как и в линзовой линии часть пучка проходит мимо отверстия с линзой и попадает на экран. Собственные колебания и собственные частоты открытого резонатора указанного типа описываются тем же интегральным уравнением (24.53).
В открытом резонаторе фазовая коррекция обеспечивается за счет прогиба зеркала А(х, д),屮尸 2左А.
Для сферических поверхностей*с радиусом кривизны Ь прогиб равен'
А (х, у)= — (炉 + 徜/2瓦(24.53)
так что фазовая коррекция имеет вид (24.50), где 尸= 6/2 (*). Этот результат совпадает с известным из геометрической оптики соотношением： фокусное расстояние изогнутого зеркала равно половине радиуса кривизны. Минимальный размер поля пучка на зеркале при заданном расстоянии между зеркалами снова обеспечивается при выполнении соотношения F = L/2. Вообще, размер пятна на корректоре (24.50) в линии из периодически повторяющихся корректоров или в открытом резонаторе зависит от частоты и геометрии задачи следующим образом:
Xs =[丄偿 “(2 — v) v ]"2, v = L/2F. (24.57)
При q/尤s》1 потери из-за дифракции малы, при a/xs《 1 они очень велики. Из (24.57) очевидно, что на корректорах с оптической силой V и 2 — V дифракционные потери одинаковы. Пример мн уже приводили (п. 24.5): v = 0 (диафрагменная линия или плоскопараллельные зеркала) и v = 2 (линзы или зеркала с фокусным расстоянием, равным 1/4 расстояния между корректорами).
Аналогом дифракционной линии среди открытых резонаторов является резонатор из двух плоских зеркал. Фокусировки здесь нет, а потери тем меньше^ чем больше отношение размера зеркала а к величине первой зоны Френеля 〃К£, т. е. чем ближе все поле внутри резонатора к геометрооптическому и меньше доля полутеневого поля в процессе установления колебания.
Существует аналогия между колебаниями открытого резонатора с плоскими зеркалами и задачей об излучении волн из волновода, составленного из плоскопараллельных плоскостей. В открытом резонаторе мы представляем себе, что волна попеременно отражается от правого и левого зеркал, часть энергии при этом теряется на излучение. Однако тот же процесс можно представить себе иначе: по волноводу идет волна с коэффициентом, близким к единице, отражается от открытого конца волновода, идет обратно, снова отражается и т. д. Анализ отражения от открытого конца волновода показал, что для волноводных волн, частота которых близка к критической, коэффициент отражения близок к единице. Эта аналогия позволила вычислить, не прибегая к интегральному уравнению (24.52), дифракционные потери и найти распределение поля собственных колебаний резонатора с плоскими зеркалами и диафрагменной линии.
ЛИТЕРАТУРА
Ниже приведен краткий список литературы по теории дифракции. В него включены только вышедшие сравнительно недавно монографии на русском языке. Он не содержит учебников и учебных пособий, книг по общим вопросам электродииамики, а также монографий, посвященных специальным вопросам, ие упомянутым в настоящей книге.
Бабич В. М” Булдырев В. С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн; метод эталонных задач. — М.： Наука, 1972. — 456 с.
Изложены методы построения высокомастотной асимптотики решений задач дифракции. Исследованы собственные функции различных типов, соответствующие высоким собственным частотам, и структура решения при возбуждении точечным источником, расположенным вблизи гладкой поверхности.
Борн М., Вольф 3., Основы оптики: Пер. с англ./Под ред. Г. П. Ма- тулевич. — М.: Наука, 1973.——720 с.
Систематический и полный курс оптики. Изложены законы гео метр ической оптики и ряд вопросов высокочастотной теории дифракции на некоторых телах. Рассмотрен вопрос о частичной когерентности.
Боровиков В. 4., Кинбер В. £. Геометрическая теория дифракции.一 М.: Советское радио, 1978. — 248 с.
Последовательное изложение геометрической теории дифракции на телах с ребрами и экранах. Обычная геометрическая теория дифракции дополнена введением полутеневых полей. Приведен целый ряд приложений ГТД — к теории нерегулярных волноводов, антенным нзмеренням, иалучающим апертурам со сложным контуром и т.д.
Бреховских Л. М. Волны в слоистых средах. 2-е изд. — М.: Наука, 1973. —342 с.
Теория плоских и сферических воли, падающих на среду, свойства которой непрерывным или дискретным образом зависят от декартовой координаты. Прн падении сферической волны задача решена интегрированием в плоскости комплексного волнового числа, и это решение тщательно исследуется для различных случаев.
Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. — М.: Советское радио, 1957. — 580 с.
Широко применяемое пособие по высокочастотной электродинамике. Подробно рассмотрены плоские, цилиндрические и сферические волны вдоль открытых и периодических систем, свободные н вынужденные колебания закрытых резонаторов, некоторые аадачи высокочастотной дифракции.
Вайнштейн Л. А. Открытые резонаторы и открытые волноводы.——М..: Советское радио, 1966. — 470 с.
Систематическое изложение методов, используемых в теории открытых резонаторов, и анализ физической картины работы различных типов открытых резонаторов. Даиа теория возбуждения открытых резонаторов, построенная с привлечением функций непрерывного спектра.
Войтович Я. Я., Каценеленбаум В. 3., Сивов А. Я. Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции.——М.: Наука, 1977.——416 с.
Изложение метода, осиоваиного на разложении дифрагированного поля по дискретной системе собственных функций вспомогательных однородных задач, в которых собственным значением выбрана не частота, а какой-либо другой электродинамический параметр. В дополнении, написанном Аграновичем М. С., строго доказана законность использования таких разложений.
В открытом резонаторе фазовая коррекция обеспечивается за счет прогиба зеркала Д(х, у),屮=2^А.
Для сферических поверхностей*с радиусом кривизны Ь прогиб равен *
А (х,"= 一 (炉 + 力)侬， (24.53)
так что фазовая коррекция имеет вид (24.50), где 尸= 6/2 (*). Этот результат совпадает с известным из геометрической оптики соотношением： фокусное расстояние изогнутого зеркала равно половине радиуса кривизны. Минимальный размер поля пучка на зеркале при заданном расстоянии между зеркалами снова обеспечивается при выполнении соотношения F — L/2. Вообще, размер пятна на корректоре (24.50) в линии из периодически повторяющихся корректоров или в открытом резонаторе зависит от частоты и геометрии задачи следующим образом:
XS = [L/k 7(2 —v)v ]1/2, v = 〃2F. (24.57)
При а/尤s》1 потери из-за дифракции малы, при a/xs《1 они очень велики. Из (24.57) очевидно, что на корректорах с оптической силой V и 2 ——V дифракционные потери одинаковы. Пример мы уже приводили (п. 24.5): v = 0 (диафрагменная линия или плоскопараллельные зеркала) и v = 2 (линзы или зеркала с фокусным расстоянием, равным 1/4 расстояния между корректорами).
Аналогом дифракционной линии среди открытых резонаторов является резонатор из двух плоских зеркал. Фокусировки здесь нет, а потери тем меньше^ чем больше отношение размера зеркала а к величине первой зоны Френеля 〃К£, т. е. чем ближе все поле внутри резонатора к геометрооптическому и меньше доля полутеневого поля в процессе установления колебания.
Существует аналогия между колебаниями открытого резонатора с плоскими зеркалами и задачей об излучении волн из волновода, составленного из плоскопараллельных плоскостей. В открытом резонаторе мы представляем себе, что волна попеременно отражается от правого и левого зеркал, часть энергии при этом теряется на излучение. Однако тот же процесс можно представить себе иначе: по волноводу идет волна с коэффициентом, близким к единице, отражается от открытого конца волновода, идет обратно, снова отражается и т. д. Анализ отражения от открытого конца волновода показал, что для волноводных волн, частота которых близка к критической, коэффициент отражения близок к единице. Эта аналогия позволила вычислить, не прибегая к интегральному уравнению (24.52), дифракционные потери и найти распределение поля собственных колебаний резонатора с плоскими зеркалами и диафрагменной линии.
ЛИТЕРАТУРА
Ниже приведен краткий список литературы по теории дифракции. В него включены только вышедшие сравнительно недавно монографии на русском языке. Он не содержит учебников и учебных пособий, книг по общим вопросам электродина мики, а также монографий, посвященных специальным вопросам, не упомянутым в настоящей книге.
Бабич 6. М., Булдырев В. С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн; метод эталонных задач. — М.: Наука, 1972. — 456 с.
Изложены методы построения высокочастотной асимптотики решений задач дифракции. Исследованы собственные функции различных типов, соответствующие высоким собственным частотам, и структура решения при возбуждении точечным источником, расположенным вблизи гладкой поверхности.
Борн М., Вольф 3., Основы оптики: Пер. с англ./Под ред. Г. П. Ма- тулевич. — М.: Наука, 1973. — 720 с.
Систематический и полный курс оптики. Изложены законы геометрической оптики и ряд вопросов высокочастотной теории дифракции иа некоторых телах. Рассмотрен вопрос о частичной когерентности.
Боровиков В. 4., К以咒бер В. £. Геометрическая теория дифракции. 一 М.: Советское радио, 1978. — 248 с.
Последовательное изложение геометрической теории дифракции на телах с ребрами и экранах. Обычная геометрическая теория дифракции дополнена введением полутеневых полей. Приведен целый ряд приложений ГТД — к теории нерегулярных волноводов, антенным измерениям, иалучающим апертурам со сложным контуром и т.д.
Врехозских Л. М. Волны в слоистых средах. 2-е изд. — М.: Наука, 1973. —342 с.
Теория плоских и сферических волн, падающих иа среду, свойства которой непрерывным или дискретным обрааом зависят от декартовой координаты. Прн падении сферической волны задача решена интегрированием в плоскости комплексного волнового числа, и это решение тщательно исследуется для различных случаев.
Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны.——М.: Советское радио, 1957. — 580 с.
Широко применяемое пособие по высокочастотной электродинамике. Подробно рассмотрены плоские, цилиндрические и сферические волны вдоль открытых и периодических систем, свободные и вынужденные колебания закрытых резонаторов, некоторые задачи высокочастотной дифракции.
Вайнштейн Л. А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. — М.: Советское радио, 1966. — 470 с.
Систем этическое изложение методов, используемых в теории открытых резонаторов, и анализ физической картины работы различных типов открытых резонаторов. Даиа теория возбуждения открытых резонаторов, построенная с привлечением функций непрерывного спектра.
Войтович Н. Я., Каценеленбаум В. 3.» Савов А. Н. Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции.——М.: Наука, 1977.——416 с.
Изложение метода, основанного иа разложении дифрагированного поля по дискретной системе собственных функций вспомогательных однородных задач, в которых собственным значением выбрана не частота, а какой-либо другой электродинамический параметр. В дополнении, написанном Аграновичем М. С., строго доказана законность использования таких разложений.
Гринберг Г. А. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. — М.: Изд-во АН СССР, 1948. — 727 с.
Изложение некоторых математических методов решения уравнений Лапласа, Пуассона, волнового уравнения в призматических, цилиндрических и сферических областях. Подробно исследован, в частности, предложенный автором вариант метода разделения переменных, где функции, по которым производится разложение, удовлетворяют однородным граничным условиям — независимо от граничных условий для искомого решения. Большое внимание уделено электростатике, в частности, впервые установлен характер поля на ребре диэлектрических клиньев. Исследованы некоторые нестационарные задачи, фокусировка электронных пучков с учетом пространственного заряда и т. д.
Каценеленбаум В. 3. Высокочастотная электродинамика.——М.: Наука 1966. —240 с.
Очень сжатое изложение теории простейших систем — волноводов, открытых линий, в том числе квазиоптических, резонаторов, антенн. Может служить введением в материал дайной книги.
Кинг Р., У Тай-Цзунь, Рассеяние и дифракция электромагнитных волн: Пер. с англ./Под ред. Э. Л. Бурштейна.——М.： ИЛ, 1962.——190 с.
Многочисленные графики полей и токов при дифракции на цилиндре, сфере и некоторых более сложных телах. Большое внимание в книге уделено экспериментальному определению дифрагированных полей.
Кравцов Ю. /., Орлов Ю. И. Геометрическая оптика неоднородных сред. — М.: Наука, 1980. — 304 с.
С помощью геометрооптических методов исследованы волновые поля в неоднородных средах. Систематически изложены как традиционные вопросы (геометрическая оптика монохроматических волн), так н ряд обобщений, в том числе пространственно-временная геометрическая оптика нестационарных волновых полей, произвольно зависящих от времени, геометрическая оптика импульсных полей в диспергирующих средах, обратные задачи геометрической оптики, новые варианты теории возмущений для лучей и др. Впервые сформулировано достаточное условие применимости геометрической оптики, опирающееся иа волновые представления.
Марков Г. Т., Васильев Е. Я. Математические методы прикладной электродинамики. — М.: Советское радио, 1969.— 120 с.
Приведены методы, применяемые в теории дифракции, классифицируются задачи, решаемые этими методами. Указаны книги н оригинальные работы, в которых можно подробнее ознакомиться с данным методом. Методы изложены на конкретных примерах. Во внутренних задачах применены： метод собственных функций, метод интегральных преобразований, вариационные методы, интегральные уравнения； во внешних задачах — методы собственных функций и интегральных преобразований, интегральные уравнения, асимптотические методы, в том числе лучевые, метод фазовых интегралов (метод ВКБ) и метод эталонных уравнений. Рассмотрены методы синтеза антенн.
Марков Г. Т., Чаплин А. Ф. Возбуждение электромагнитных волн.—— М.: Энергия, 1967, — 376 с.
Последовательное применение метода разделения переменных н методов, связанных с интегрированием в плоскости комплексной переменной. Рассмотрены задачи о дифракции на плоской границе раздела, иа цилиндре, клине и шаре, о волноводах и резонаторах.
Менцер1 Дж. Р. Дифракция и рассеяние радиоволн: Пер. с англ./Под ред. Л. А. Вайнштейна.——М.: Советское радио, 1958.— 144 с.
Краткое -введение в теорию дифракции. В основном рассмотрены методы разделения переменных н физической оптики. Приведены результаты экспериментального определения полей для нескольких задач.
Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов: Пер. с англ./Под ред. Г. В. Воскресенского.——М.: Мир, 1974.——328 с.
Основное содержание книги — метод Винера — Хопфа в применении к волноводным задачам н развитие приближенных методов, также использующих теорию аналитических функций для более сложных задач (например, связь волноводов через щель, разветвленный волновод с диэлектрическим заполнением).
Нефедов Е. И., Сизов Л. Н. Электродинамика периодических структур.—М.: Наука, 1977. — 209 с.
Теория перноднчсскх структур на низких частотах, даны вывод и примеры применения эквивалентных граничных условий. Исследованы также периодические структуры, образованные цепочкой открытых резонаторов.
Нефедов Е. И. Дифракция электромагнитных волн на диэлектрических с I руктурах. — М.: Наука, 1979. — 272 с.
Основным объектом исследования является диэлектрический клин. Приведены различные методы решения задач дифракции на клине в свободном пространстве и в волноводе, а также на полупрозрачных пластинках； дан подробный анализ результатов.
Никольский В. В. Вариационные методы для внутренних задач электродинамики.—М.: Наука, 1967. — 460 с.
Наиболее полное на русском языке изложение вариационных методов для определения собственных частот резонаторов, постоянных распространения волноводов н амплитуд волн, возникающих на локальных неоднородностях в волноводах. Большое внимание уделено выбору базиса, т. е. системы функций, используемой в прямых методах типа метода Ритпа.
Папулис А. Теория систем и преобразований в оптике. — М: Мир 1971. —496 с.
Книга содержит полезные сведения о различных преобразованиях, выполняемых в линейных системах： свертках, преобразованиях Фурье н Ханкеля. Много внимания уделено применению теории преобразований в оптике. Рассмотрены дифракционные поля в приближении физической оптики на отверстиях, освещенных сферической и плоской волной при различной степени когерентности излучения. Описан дифракционный процесс формирования оптического изображения конечной линзой. Многочисленные примеры помогают освоить аппарат. Изложены принципы, на которых основано объяснение процес* сов когерентной оптики: голографии, оптической фильтрации, аподизации и т. д.
Потехин А. И. Некоторые задачи дифракции электромагнитных волн. — М.: Советское радио, 1948. — 136 с.
Разобраны эталонные задачи - по дифракции электромагнитных волн. Дифракция волн на щели и полуплоскости, цнлнндре н шаре рассмотрена методами геометрической н волновой оптики, а также строгими методами.
Стреттон Дж. А. Теория электромагнетизма: Пер. с англ./Под ред. С. М. Рытова. — М.: Гостехиздат, 1948. — 540 с.
Последовательное изложение электродииамнкн, начинающееся с уравнений Максвелла и их общего анализа. После электростатики и магнитостатики рассмотрены плоские, цилиндрические н сферические волны и задачи дифракции, использующие метод разделения переменных и интегрирование в плоскости комплексной переменной.
Уфимцев П. Н“ Метод краевых волн в физической теории дифракции.—М.: Советское радио, 1962. — 240 с.
Исследована высокочастотная асимптотика в аадаче о падении плоской волны на идеально проводящее тело с изломами поверхности. Кроме основного тока, соответствующего геометрооптическому приближению, возникает еще- составляющая тока, убывающая при удалении от изломов. Оиа порождает в дифрагированном поле краевые волны, представляющие собой главную дифракционную поправку.
Уэйт Д. Р. Электромагнитное излучение из цилиндрических систем: Пер. с англ./ Под ред. Г. В. Кисуиько. — М.: Советское радио, 1963. — 236 с.
Методом разделения переменных решены задачи о поле, возбуждаемом различными токами при падении на цилиндры, в том числе диэлектрический, клин, полуплоскость. Приведены точные н приближенные формулы и многочисленные графики.
Фельд Я- Я. Основы теории щелевых антенн. — М.: Советское радио, 1948. — 158 с.
Сформулированы граничные задачи электродинамики в общем виде н да ио их фор* мальное решение. Установлены интегральные уравнения для поля в узких щелях, про* резанных в стенках резонатора нли волновода, и найдено распределение поля вдоль щелей н их амплитуда при возбуждении произвольными источниками.
Фельсен 〃., Маркувиц Н. Излучение и рассеяние волн: Пер. с англ./ Под ред. М. Л. Левина. — М.： Мир, 1978, т. 1 —546 с., т. 2 — 550 с.
Подробно изложено распространение волн от заданных источников в неоднородных средах со сложными свойствами (плазма, анизотропные среды) и задачи дифракции на цилиндре и шаре. Решение основано на методе собственных функций, используемом в весьма широкой формулировке. Результаты представлены, как правило, в терминах тео-< рнн цеп(. Л. ■ ■ ' •
Фок В. А. Проблемы дифракции и распространеиия электромагнитных волн. — М.: Советское радио. 一 1970. 一 520 с.
В первой части монографии раввита $еорня дифракции на выпуклом хорошо проводящем теле； использован установленный автором принцип локальности тока вблизи границы свет — тень. Во второй части рассмотрены некоторые задачи о распространении волн в слоистой атмосфере при учете сферичности Земли.
Хёнл X., Мауэ Л., Вестфаль К. Теория дифракции: Пер. с ием./Под ред. Г. Д. Малюжинца. — М.: Мир, 1964. — 428 с.
Наиболее полное изложение теории дифракции иа русском языке. Начинается с уравнений Максвелла и их общих свойств. Подробно рассмотрены вывод и исследование интегральных уравнений для тока н другие типы интегральных уравнений. Рассмотрены ряды Релея н Ватсона для цилиндра и сферы, большое внимание уделено ннзкаастог* ным предельным случаям для эталонных задач.
Хюльст Г. ван de. Рассеяние света малыми частицами: Пер. с англ./ Под ред. В. В. Соболева. — М.: ИЛ, 1961. — 536 с.
Снстемагическое изложеиие задач дифракции на сфере н цилиндре при различных значениях отношения радиуса к длине волны н комплексной диэлектрической проиицае- мостн. Развита также теория для малых по сравнению с длиной волны тел произвольной формы. Рассмотрены применения в химии, метеорологии, астрономии. Много конкретных результатов.
Швингер Ю. Неоднородности в волноводах (конспект лекций).— Зарубежная радиоэлектроника, № 3: Пер. с англ./Под ред. П. Ш. Фридберга.—М.: Советское радио, 1970.— 104 с.
Теория сосредоточенных элементов (металлический н диэлектрический стержень, диафрагма, скачок сечення) в прямоугольном волноводе. Метод интегральных уравнений и вариационные методы.
Шевченко В. В. Плавные переходы в открытых волноводах. Введение в теорию. — М.: Наука, 1969. — 190 с.
Для открытых волноводов построена полная система собственных функций； спектр содержит дискретную и непрерывную части. Использование разложения по этой системе позволяет решать задачу о возбуждении линий простыми методами, применяемыми для закрытых волноводов. Найдена н исследована система ннтегродифференцнальиых уравнений для нерегулярных линий.
Шестопалов В. /7., Литвиненко Л. Н., Масалов С. 〃，Сологуб В. Г. Дифракция волн на решетках. —Харьков: Изд-во Харьковского университета, 1973. —287 с.
Монография содержит строгую теорию дифракции на одномерных периодических структурах при любых отношениях периода к длине волны. Приведен богатый фактический материал.
СОВРЕМЕННЫЕФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЕПРОБЛЕМЫ
Серия вылускаетсяпод общим руководством
РЕДАКЦИОННОГО СОВЕТАМОСКОВСКОГОФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКОГО ИНСТИТУТА
Р. Б. ВАГАНОВ, Б. 3. КАЦЕНЕЛЕНБАУМ
ОСНОВЫ
ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ
МОСКВА «НАУКА»ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ1982
22Л1 В 12
УДК 535.4
ВАГАНОВ Р. 6” КАЦЕНЕЛЕНБАУМ Б. 3. Основы теории дифракции.— М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1982.— (Современные фнзико-техническне проблемы). — 272 с.
В книге дано систематическое изложение математических методов решения задач дифракции монохроматических волн (электродинамика, акустика). Представлены как точные методы (разделение переменных, интегрирование в плоскости комплексной переменной, метод собственных колебаний), так н приближенные (вариационные, низкочастотная и высокочастотная асимптотики). В каждом методе описаны в первую очередь его идея, область применения, связь с другими методами. Затем изложен, в наиболее простой постановке, аппарат метода и приведены примеры его применения. Книга может служить введением в теорию дифракции и облегчить переход к чтению более узкоспециальных монографий н журнальных статен.
Для специалистов в области радиофизики, распространения радиоволн, оптики, акустики и математической физнкн, а также аспирантов н студентов уннверснтетов, физнко-техническнх н инженерно-физических институтов.
Рис. 77. Табл. 2. Библ. 31 назв.
Роальд Ворисович ВагановБорис Захарович КаценеленбаумОСНОВЫ ТЕОРИИ ДИФРАКЦИИ(Серия «Современные физико-технические проблемы»)Редактор А. 4 Петрунина
Техн, редактор Е. В. МорозоваКорректор Л. Я. Назароеа
ИБ № 11819
Сдано в набор 19.12.81. Подписано к печати 31.08.82. Т-16739. Формат 60х90%б・ Бумага тип. № 1. Литературная гарнитура. Высокая печать. Условн. печ. л. 17. Уч.-кзд. л. 16,71. Тираж 4700 экз. Заказ № 2. Цена 2 р. 50 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы117071, Москаа, В-71, Ленинский проспект, 15
Ленинградская типография № 2 головное предприятие ордена Трудового Красного Знаменн Ленинградского объедниеиня «Техническая книга» им. Евгении Соколовой Союзполнграфпрома при Государственном комитете СССР по делам издательств, полиграфии и кинжной торговли. 198052, г. Ленинград, Л-52, Измайловский проспект. 29
1704050000-125 …℃ В —053(02)-82 — °4"821704050000-125 …℃ В —053(02)-82 — °4"82© Издательство «Наука». Главная редакция фнзнко-математическоА литературы, 1982© Издательство «Наука». Главная редакция фнзнко-математическоА литературы, 1982
1704050000-125 …℃ В —053(02)-82 — °4"82
1704050000-125 …℃ В —053(02)-82 — °4"82
© Издательство «Наука». Главная редакция фнзнко-математическоА литературы, 1982
© Издательство «Наука». Главная редакция фнзнко-математическоА литературы, 1982
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 9
Глава I