Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
Глава 1. Основы квантовой теории процесса излучения 12
Логические основы аппарата квантовой теории 12
Уравнения движения 13
Соотношение неопределенностей 18
Координатное представление 21
Взаимодействие квантовой системы с излучением 23
Взаимодействие атомного электрона с электромагнитным полем 23
Динамика квантовой системы, взаимодействующей с излучением 26
Пакетное представление поля излучения 31
Распределенное представление поля 31
Локализованный волновой пакет 32
Электромагнитное поле как совокупность квантованных волновых пакетов 35
Пример 37
Литература 40
Глава 2. Гармонический осциллятор 41
Классический гармонический осциллятор 41
Диффузия фазы 41
Квантовый гармонический осциллятор 44
Гамильтониан квантового гармонического осциллятор44
Когерентное состояние 45
Когерентное состояние с медленно диффундирующей фазой47
Теорема Глаубера 47
Диффузия фазы 49
Сжатые состояния 50
Основные свойства сжатых состояний 50
Возбуждение сжатых состояний. Параметрический резонанс 59
Возбуждение сжатых состояний — эксперимент 65
Возможные применения сжатого света 68
Заключение 77
Литература 77
Глава 3. Элементарные излучательные процессы 79
Спонтанное излучение в свободном пространстве и метод резольвенты 79
Теория возмущений для резольвенты 79
Спонтанное излучение возбужденного атома в свободном пространстве 86
Форма гамильтониана и начальные условия в излучательных задачах 99
Введение 99
Преобразование электрического поля 102
Мгновенное возбуждение атома, природа поля F (г, х) 107
Каноническое преобразование Пауэра и Циенау 112
Спектры фотонов при расчетах с разными гамильтонианами, результат Лэмба-Резерфорда 114
Заключение 118
Перенос возбуждения между атомами 119
Постановка задачи 121
Характеристическая функция электромагнитного поля 124
Перенос возбуждения между атомами 134
Энергия атома-детектора 136
Заключение 139
Излучение в резонаторах и волноводах 141
Спонтанное излучение в резонаторе 142
Непрерывный спектр 145
Квантование электромагнитных волн в волноводе 146
Распад возбужденного состояния атома в волноводе 148
Предельный переход от дискретного спектра к непрерывному 155
Заключение 161
Спонтанное излучение в средах с полосным спектром 162
Периодическая структура 163
Спонтанное излучение в периодической структуре 170
Распад возбужденного состояния 170
Динамическое состояние 175
Распределение электромагнитной энергии в динамическом со
стоянии177
Энергия динамическогосостояния 180
Заключение 181
Приложение 1. Свободные колебания упругого диполя, расположенного в периодической структуре 184
Литература 194
Глава 4. Когерентные явления 198
Особенности интерференции неклассических световых пучков . . . 198
Зависимые и независимые световые пучки 198
Когерентность 204
Суперпозиционные атомы и лазерная генерация 207
Введение 207
Интенсивность генерируемого излучения и среднее значение напряженности электрического поля 210
Модель 210
Вклад отдельных атомов в полевую матрицу плотности 211
Суммирование вкладов в полевую матрицу плотности от многих атомов 215
Стационарное решение, нулевой порядок 216
Недиагональные матричные элементы 218
Суперпозиционный атом и внешнее поле 224
Заключение 227
Приложение 1. Коммутаторы, следы коммутаторов, матричные элементы 227
Приложение 2. Синфазные и противофазные активные атомы . . . 231
Происхождение суперпозиционных атомов и квантовое состояние кулонова поля 235
Введение 235
Условие Лоренца 238
Базисные состояниякомпонентпотенциалов 244
Квантовое состояниекулонова поля 248
Заключение 254
Приложение 1. О калибровках 255
Приложение 2. Релятивистское преобразованиеполей 256
Приложение 3. Координатное представление для состояния |〃〉. • 258
Приложение 4. Условие Лоренца как результат эволюции 260
Приложение 5. Об определении вакуума свободного электромагнитного поля 265
Сжатый свет, коэффициенты сжатия, невырожденный режим .... 266
Невырожденный параметрический генератор 267
Буферное возбуждение параметрического генератора 277
Литература 285
Глава 5. Детектирование излучения 287
.Фотоотсчеты и кулонова неустойчивость электронного потока в вакуумных приемниках излучения 287
Фотоотсчет как физическое явление, проблема фотоотсчетов с современных позиций 288
Фотон с точки зрения квантовой электродинамики 290
Фотоэффект и локализация электронов 293
Фотоотсчеты как проявление кулоновой неустойчивости слабого электронного потока 296
Возможности экспериментального наблюдения одноэлектронных сгустков в вакуумных устройствах 302
Лазерное детектирование оптических сигналов 305
Лазерное детектирование — принцип действия 305
Малое время отклика детектора на внешний сигнал — релаксация несущественна 307
Большое время отклика детектора на принимаемый сигнал, учет фазовой релаксации 315
Заключение 319
Приложение 1. Сферически симметричный разлет электронного сгустка 320
Приложение 2. Движение электронного волнового пакета в электромагнитном поле 322
Литература 329
Глава 6. Неклассический (сжатый) свет и квантовое описание движения макроскопических тел 331
Квантовое описание движениямакроскопических тел 332
Равномерное и прямолинейное движение макроскопического тела массы т в свободном пространстве со скоростью м . . . 332
Механический осциллятор 333
Макроскопическое тело в гравитационном поле 335
Макроскопические тела в распределенных состояниях и невозмущающее измерение их положения 337
Особенности наблюдения 337
Квантовое зондирование макроскопических тел 338
Почему нет макроскопических тел в распределенных состояниях. . 342
Заключение 347
Литература 348
Глава 7. Дробный заряд, дробный фотон — новые тенденции в фундаментальной электронике 349
Обзор публикацийподробным зарядам и дробным фотонам 350
Рассеяние света продуктами диссоциации молекулярного иона Я^ 364
Литература 379
Введение
В последние десятилетия лазерная физика получила бурное развитие. Расширилось применение лазеров, особенно в медицине. Появились новые типы лазеров. Физика в целом как наука также испытала и испытывает на себе влияние этого развития. По существу в физике не осталось областей, где не применялись бы лазеры или лазерные методы. Это обусловлено, конечно, теми качествами, которыми обладает лазерное излучение. Приведем для примера такие параметры —характерное время когерентности «хороших» лазеров составляет секунды, а соответствующие длины когерентных цугов достигают астрономических величин, равных примерно расстоянию от Земли до Луны. Импульсы, генерируемые в лазерных устройствах, достигли предельно коротких длин, составляющих 1-2 длины волны. При этом напряженности полей в таких импульсах на много порядков выше напряженностей полей, скажем, в атомах.
Лазерная физика потребовала в свою очередь углубленного понимания проблематики, определяемой как взаимодействие излучения с веществом и лежащей фактически в основе самой лазерной физики. В связи с развитием лазерной физики потребовалось углубленное понимание всех сторон этого взаимодействия — элементарных излучательных процессов, коллективных и когерентных явлений, процессов детектирования излучения и т. п. Появились даже некоторые новые направления, например, квантовая оптика, в рамках которой открыты так называемые сжатые состояния света. Думается, что можно говорить о появлении отдельной области исследований, которую можно характеризовать как лазерную электродинамику.
Разумеется, предлагаемая книга не охватывает всего, что можно отнести к этой области.
Первые две главы книги — методические. В первой главе излагается теория взаимодействия электромагнитного поля с нерелятивистской квантовой системой, в качестве которой используется простая модель атома. Приводятся известные сведения из квантовой теории излучения, однако этой теории придана форма, удобная для использования в последующих главах.
Гармонический осциллятор в квантовой электродинамике занимает особое место. Вследствие линейности уравнений Максвелла произвольное электромагнитное поле может быть представлено в виде
суммы полей гармонических осцилляторов. Отметим, что совокупность состояний квантового гармонического осциллятора гораздо шире, чем совокупность состояний классического гармонического осциллятора. В квантовом гармоническом осцилляторе имеются состояния, не имеющие классического аналога. Что особенно важно и интересно, среди них есть макроскопические квантовые состояния, т. е. состояния с большой энергией, не имеющие классического аналога. Поэтому во второй главе дается обзор возможных состояний гармонического осциллятора.
В третьей и четвертой главах рассматриваются собственно лазерные излучательные процессы. При этом в третьей главе основное внимание уделено элементарным процессам излучения. Дано изложение теории возмущений в рамках метода резольвенты как наиболее эффективного в ряду других методов теории возмущений. Обсуждены различные используемые калибровки полей и формы гамильтонианов взаимодействия. Показано, в частности, что переход от одной калибровки к другой эквивалентен изменению физического содержания начального состояния системы без изменения формы этого состояния. Рассмотрена также проблема причинности в связи с задачей переноса возбуждения между атомами. Показано, что средние значения динамических переменных запаздывают должным образом. Что же касается фермиевского матричного элемента, которым обычно характеризуют перенос возбуждения, то, как выяснилось, он, строго говоря, не является локальной величиной, т. е. по существу, не характеризует перенос возбуждения. Поэтому от него нельзя требовать запаздывания, и он действительно должным образом не запаздывает.
Исследовано также спонтанное излучение в различных условиях — в свободном пространстве, в резонаторах и волноводах, а также в фотонных кристаллах или периодических структурах. Отметим, что спонтанное излучение в системах с полосным спектром или, что то же самое, в фотонных кристаллах или периодических структурах впервые было исследовано в работах автора данной книги. Показано, что предельный переход от излучения в системах с дискретным спектром к излучению в системах с непрерывным спектром имеет любопытные особенности.
В четвертой главе рассматриваются коллективные и когерентные явления. Обсуждаются классическая и квантовая когерентность, связь когерентности с интерференционными явлениями, квантовая интерференция зависимых и независимых световых пучков.
Дана квантовая теория возникновения когерентности в лазерном излучении. Показана важная роль активных атомов, находящихся в суперпозиционном состоянии, при возникновении лазерной когерентности. Рассмотрена роль «синфазных» и «противофазных» атомов и показана возможность улучшения когерентных характеристик лазерного излучения при накачке лазеров специально сфазированными суперпозиционными атомами.
Исследованы причины малых коэффициентов сжатия при параметрической генерации. Показано, что причина обусловлена малой добротностью параметрического осциллятора. Обсуждаются схемы эффективного спектрального сужения параметрического излучения, подобные тем, которые реализуются при лазерной генерации. Такие схемы позволят добиться более высоких коэффициентов сжатия, чем существующие.
В пятой главе рассматриваются принципиальные основы процесса детектирования оптических сигналов. Появление высококогерентных лазерных источников света требует нового подхода к явлению фотоотсчетов. Спектр лазерного излучения на много порядков уже спектра сигнала на выходе детектора. Это означает, что в процессе детектирования появляются новые частоты. Следовательно, существенную роль в детектировании играют нелинейные явления. В пятой главе показано, что фотоотсчеты отражают проявление кулоновой неустойчивости слабого электронного потока, возникающего в детекторе. Соответственно, их можно избежать, если в оптических детекторах использовать не свободные электроны, но электроны, связанные в ионах, атомах или молекулах. При этом оказываются возможными лазерные методы детектирования оптических сигналов, обладающие высокой чувствительностью и низким уровнем шумов. В пятой главе обсуждаются принципиальные особенности подобных схем.
В шестой главе рассматриваются вопросы, хотя и не относящиеся непосредственно к лазерам, но вызванные к жизни самим существованием лазеров и лазерных методов. Так, экспериментальное обнаружение сжатого света позволяет по-новому взглянуть на проблему квантового описания движения макроскопических тел. С точки зрения квантовой механики макроскопическим телам не запрещено находиться в нелокализованных состояниях. Однако такие состояния никогда не наблюдались. Считалось, что каждый раз при наблюдениях происходит коллапс волновой функции и макроскопическое тело оказывается в сосредоточенном состоянии. Современные лазерные методы, в частности те, которые используются при наблюдениях сжатого света, позволяют произвести неразрушающее (т.е. без коллапса волновой функции) измерение распределенных состояний макроскопических тел, дисперсия которых сравнима с длиной волны зондирующего излучения или даже с геометрическими размерами тела. Поэтому необходимо как-то современно объяснить отсутствие распределенных состояний макроскопических тел. Как показано в шестой главе, сосредоточенность состояний макроскопических тел можно объяснить, если принять во внимание возможность гравитационной самофокусировки их волновых пакетов, которая является прямым аналогом известной оптической самофокусировки.
Из изложенного ясно, что лазерные методы представляют собой мощное средство наблюдения различных физических явлений. В связи
с этим обсуждаются новые тенденции в электронике, связанные с возможностью наблюдения дробных зарядов.
В заключении намечены перспективы дальнейших исследований в области лазерной электродинамики.
Текст книги состоит из семи глав. В главах имеются разделы. В разделах —пункты. В некоторых пунктах имеются подпункты. В каждом разделе имеется своя нумерация формул. Ссылки на формулы из других разделов той же главы дополняются номером соответствующего раздела. Если формула из другой главы, то в ссылке указывается также и номер главы. Нумерация рисунков своя в каждой из глав. Ссылки на литературные источники также даны по главам, список ссылок дается в конце каждой главы.
В разное время и по разным поводам автор обсуждал проблематику, отраженную в книге, с коллегами. За эти полезные обсуждения, а также за поддержку автор приносит свою благодарность: А.М. Прохорову, Ф.В. Бункину, В. Л. Гинзбургу, Е.М. Дианову, Ю.В. Гуляеву,В. И. Конову, Н. В. Карлову, Ю. В. Копаеву, В.И. Татарскому, И. А. Щербакову, М.В. Федорову, А.А. Рухадзе, Д. Н. Клышко, Н.Б. Делоне, С.А. Ахманову, Б.А. Векленко, Л.А. Кулевскому, Ж. Лошаку, В.А. Исакову, В.П. Крайнову, Б.М. Болотовскому, В. А. Щеглову, В. И. Манько, А.В. Масалову, В.П. Карасеву, И.И. Тугову, Ю.Я. Юшину и др.
Центр Естественно-Научных Исследований
Института Общей Физики
Российской Академии Наук
Глава 1
ОСНОВЫ КВАНТОВОЙ ТЕОРИИ ПРОЦЕССАИЗЛУЧЕНИЯ
Основой исследования различных особенностей процесса излучения атомов является квантовая теория взаимодействия излучения с веществом.
В первом разделе главы даются основы квантовой теории, приспособленные, в частности, к тем проблемам, которым посвящена данная книга.
Во втором разделе приводятся основные положения теории взаимодействия излучения с веществом и излагаются методические аспекты теоретического исследования процесса излучения. Рассматриваются также различные приближения, к которым прибегают, чтобы упростить исследование сложного процесса излучения [1-3].
В третьем разделе излагаются основные идеи так называемого пакетного представления электромагнитного поля [4, 5].
Логические основы аппарата квантовой теории
Становление квантовой механики было героическим периодом в развития физики. Такие периоды не единичны в истории науки. Как правило, они бывают связаны с такими ситуациями в науке, когда накопившиеся противоречия в существующих воззрениях требуют обобщений, выходящих за рамки этих воззрений. Необходимый при этом переход от частных противоречий к общим законам, как и всякий переход от частного к общему, обычно бывает очень трудным. Подобные революционные периоды сменяются более продолжительными периодами спокойного развития, периодами получения из установленных законов различных частных следствий. Разумеется, подобное разделение на периоды в значительной мере
условно; периоды взаимопроникают. Каждое время характеризуется как получением более общих законов из накопившихся противоречий и новых экспериментальных фактов, так и изучением частных следствий из уже установленных законов. По существу, более точно утверждение, что между этими двумя направлениями работы проходит граница между фундаментальными и прикладными исследованиями, столь часто обсуждаемая в последнее время.
Нам нет необходимости детально повторять ход становления квантовой механики. Мы будем опираться на уже установленные законы. Однако мы покажем как преемственность квантовой механики по отношению к классической, так и ее отличие от последней. Важно подчеркнуть, что квантовую механику нельзя вывести из классической; классическую же механику посредством некоторого предельного перехода получить из квантовой можно, хотя такой переход не прост (см. Гл. 6).
Уравнения движения. Сопоставление квантовой механики и классической удобно делать в гамильтоновой форме. Важным достоинством гамильтоновой формы механики является то, что из небольшого числа характеристических функций Гамильтона или гамильтонианов может быть получено описание колоссального числа явлений, по существу, вся физика. В перспективе может быть удастся свести всю физику, образно говоря, к одному гамильтониану. Наиболее важным отличием квантовой механики от классической является то, что главные величины классической механики — координаты и импульсы, характеризовавшиеся в ней числами, — заменяются в квантовой механике операторами. Термины оператор и матрица мы будем считать синонимами. Таким образом, импульсы и координата в квантовой механике характеризуются наборами чисел — матрицами. Это ставит ряд вопросов о соотношении теории с экспериментом; при измерениях получается одно число, а не набор чисел. Эти вопросы мы обсудим в дальнейшем.
Основные уравнения, которым подчиняются импульс р и координата q механической системы, — уравнения движения — имеют в квантовой механике следующий вид:
dq гdt 方dq гdt 方[Hq - qH],[Hq - qH],⑴⑴dp гdt 方dp гdt 方[Яр - pH},[Яр - pH},⑵⑵
dq г
dt 方
dq г
dt 方
[Hq - qH],
[Hq - qH],
⑴
⑴
dp г
dt 方
dp г
dt 方
[Яр - pH},
[Яр - pH},
⑵
⑵
где H (q,p) — функция Гамильтона рассматриваемой механической системы. Функция Н (q,p) в квантовой механике является оператором, который называют гамильтонианом. Уже в записи основных уравнений отразилась важнейшая математическая особенность аппарата кванто-
вой механики — некоммутативность фигурирующих в ней величин — операторов. С точки же зрения математики это свойство в известной степени тривиально; некоммутативность матриц есть их довольно известное математическое свойство. Операторы координаты и импульса в квантовой механике подчиняются дополнительному коммутационному соотношению
qp — pq = ih,(3)
где Ti — постоянная Планка (力=Д/2тг). Это чрезвычайно важное соотношение, так как из него следует, как мы в дальнейшем увидим, существеннейшее как для теоретических выводов, так и для экспериментальных основ квантовой механики соотношение неопределенностей Гейзенберга. Наличие соотношения неопределенностей является принципиальным свойством квантовой теории — оно должно выполняться для всех объектов и, в частности, для любых моментов времени. Возникает вопрос, не противоречит ли коммутационное соотношение (??), из которого следует соотношение неопределенностей, уравнениям движения (??), (??). Действительно, уравнения движения (??), (??) определяют развитие q и р во времени; представляется возможным, что это развитие приведет к нарушению коммутационного соотношения (??) даже, если оно выполнялось в начальный момент времени. Для проверки вычислим производную по времени левой части соотношения (??)
凉(qp — pq) = qp + qp-pq-pq.
Для производных по времени q и р используем уравнения движения
^ (q夕一夕 q) = E[(Hq - ^я)夕 + q (Hp - pH)-
—(Нр — pH) q — р (Hq — qH)] = iH (q夕一夕 q) — г (q夕—pq) H = О
и убеждаемся, что эта производная равна нулю. Аналогично можно показать, что и высшие производные (??) по времени равны нулю. Таким образом, левая часть коммутационного соотношения постоянна во времени и, если она в начальный момент времени равна 分力，то и во все последующие моменты времени она будет равна iTi. Следовательно, требование, чтобы коммутационное соотношение и следующее из него соотношение неопределенностей выполнялись во все моменты времени, не противоречит уравнениям движения.
Теперь рассмотрим вопрос о соотношении квантовых и классических уравнений движения. Для этого в нескольких словах обсудим, что собой представляет коммутатор какой-либо функции с q. Функции от операторов, фигурирующие в квантовой механике, представляют собой обычно функции, разложимые в ряд, то есть они являются суммами произведений операторов q и р. С суммами все ясно — нужно вы-
числять коммутатор q с каждым слагаемым в отдельности. Слагаемые представляет собой произведения операторов q и р, причем порядок сомножителей может быть произвольным, например,
Р 8* = qqpqppqqqp.
Вычисляя первый член коммутатора q и P(q,夕)，следует по возможности пронести q вправо; если удастся q пронести вправо до конца, то полученное выражение сократится со вторым членом коммутатора. Оператор q коммутирует с такими же операторами q, входящими в P(q,p), поэтому его можно пронести до самого левого множителя 夕. Полученный на месте левого р сомножитель qp можно заменить на pq + 分力.Таким образом, возникло два слагаемых, в первом q пронесено через левый множитель 夕，во втором слагаемом на месте левого р возник множитель 分力.В первом слагаемом можно пронести q дальше вправо, до следующего рис ним проделать ту же операцию и т. д. В конце концов, оператор q окажется справа от P(q,夕)и возникает столько новых слагаемых, сколько сомножителей р было в P(q,夕). Произведение Р («,〃)•« сократится со вторым членом коммутатора. Следовательно, для приведенного примера имеем
q・ р@р) — P(q,p〉q =
=гП (qq • qppqqqp + qqpq^pqqqp + qqpqp • qqqp + qqpqppqqq),
где точкой отмечено положение исчезнувшего сомножителя р. С другой стороны, легко убедиться, что выражение в скобках есть просто производная от P(q,夕)по 夕，точнее обобщение этой производной на некоммутирующие операторы. Действительно, вспомним, что
旦• ххх +力.力力 +力力./ + ххх. = 4/3,
то есть обычные производные могут быть получены по тому же самому правилу. Следовательно,
Р(%?)] = /"^Р),(4)
где слева написан коммутатор q и P(q,夕)в кратком обозначении. Аналогично можно показать, что
⑸⑸
⑸
⑸
Учитывая эти соотношения, уравнения движения (??, ??) можно записать
в виде обычных уравнений Гамильтона
dp = _dH
dt 9夕' dt 9q '
то есть в квантовой механике уравнения движения имеют точно такой же вид, как в классической теории. В этом и состоит преемственность квантовой механики по отношению к классической или, как обычно говорят, принцип соответствия.
Теперь вернемся к оставленному нами вопросу о соотношении расчетов и измеренных величин. Как известно, матрицы могут умножаться на векторы. Если вектор, как сомножитель, стоит справа от матрицы, то это вектор-столбец; если слева — то это вектор-строка.
По дираковской терминологии первые
an\ ••• /
называются кет-векторами, вторые
（"=（仇，历，Ь3,…"…）
—бра-векторами. В квантовой механике такие векторы применяются исключительно в нормированном виде
£=£瓦『=1，⑺
（если только они не равны тождественно нулю） и описывают состояния исследуемой системы.
Каждой наблюдаемой величине Q соответствует свой оператор Q（q,夕），являющийся функцией канонических переменных — координаты q и импульса р. В результате анализа многочисленных экспериментальных ситуаций установлено следующее соответствие наблюдаемых и расчетных величин. Результатом отдельного измерения величины Q всегда является собственное значение оператора Q（q,夕）. Отсюда, в частности, следует, что физически наблюдаемым величинам соответствуют эрмитовы операторы, ибо все их собственные значения вещественны. Результаты измерений в разных экспериментах с одинаково приготовленными начальными состояниями системы могут быть различными собственными значениями оператора Q（q,夕）.В этом проявляется статистическая природа квантовомеханических законов. Среднее значение измеренной величины Q по многим экспериментам
с одинаково приготовленными начальными состояниями вычисляется по правилу
〈Q) =〈"Q(q,〃)丨⑴，(8)
где (Q) — обозначение среднего значения Q и \2) — состояние системы (состояние〈⑦ I описывает то же самое состояние, но в эрмитово сопряженной форме
I ⑴+ = (“， 仰 =(硏，硏码a* .
Возникает, конечно, вопрос — что значит измерение величины Q? Как узнать, что в том или ином эксперименте измеряется величина Q, а не Q'? Ответ такой: эксперимент ставится так, как будто измеряется классическая величина Q. В этом проявляется незамкнутость квантовой механики — для измерения квантовых величин требуются классические приборы. Иногда это положение абсолютизируется и считается, что квантовая механика принципиально не может обойтись без классических приборов.
По мнению автора данной книги дело просто в том, что в настоящее время отсутствует пока квантовая теория измерений. Измерение — это всегда большой отклик на малое (измеряемое) возмущение, а такие эффекты возможны лишь в неравновесных системах. Квантовая теория таких систем только развивается (хотя и бурно); как результат этого развития несомненно появится и квантовая теория измерений.
То, что изложено выше, называется гейзенберговской формой квантовой механики. Она характеризуется постоянством во времени состояний системы и изменением операторов в соответствии с уравнениями движения (1), (2), имеющими форму, аналогичную классическим уравнениям движения. Гейзенберговскую форму квантовой механики удобно применять в том случае, когда желательно явно продемонстрировать сходство или различие квантовых и классических движений. Имеется другая, шредингеровская форма квантовой механики, в которой операторы остаются неизменными, а состояния меняются со временем. Переход от гейзенберговской формы квантовой механики к шредингеровской происходит посредством унитарного преобразования состояний и операторов
I eiHt/h =I；
Ош = eiHt/n- (9)
I 如1)=e-沮""I 断)，
так, чтобы сохранялись средние значения операторов, ибо с ними связываются экспериментально наблюдаемые величины, независимые от формы теории. Действительно,
(。)=(断 I。ГI肌)=
=〈断 I eiHt^h e—沮〃万 Op eiHt/he-iHt/h J 断)=(Ю)
=(^ш I Ош I V7!!!) •
Покажем, во-первых, что уравнения движения (??), (??) в этом случае тождественно удовлетворяются, и, во-вторых, найдем уравнения, описывающие изменение 2ш) со временем. Операторы 勿 и 夕「，очевидно, имеют вид
Qr = e近""gш e一沮〃万，
рг = e?Ht/h pm £-山订九.
Справедливость уравнений (1), (2) при постоянных «ш и рш очевидна. Найдем теперь уравнение, описывающее изменение во времени |如!)・ Для этого продифференцируем соотношение
m) = ё-山〃"1断)
при постоянном IV^p). В результате получим
—хорошо известное уравнение Шредингера. Исторически уравнение Шредингера было найдено независимо и лишь впоследствии была доказана эквивалентность двух форм теории.
Размерность матриц q и р определяется рассматриваемой задачей и до некоторой степени картиной, в которой происходит рассмотрение. Матрицы q и р могут быть конечномерны, счетно бесконечны и даже континуально бесконечны.
Соотношение неопределенностей. Покажем теперь, что из коммутационного соотношения (3) следует соотношение неопределенностей. Неопределенность некоторой величины в квантовой механике определяется так же, как в статистике, то есть как среднеквадратичное отклонение. Для координаты и импульса неопределенности задаются соотношениями
Для упрощения формул введем операторы
Q = q—〈q), 8 = р —⑺, подчиняющиеся такому же, как (3), коммутационному соотношению
[а; /3] = Иг.
Средние значения этих операторов равны нулю. Рассмотрим произведение квадратов неопределенностей
△q2 •△夕2 =〈回 q2 I "俨 I
Воспользовавшись так называемым неравенством Шварца,
(夕 •(X | X)》心 I X)『，(12)
где I 夕) и |х) — произвольные векторы (доказательство см. ниже), получим
△q2 • △夕2》II I .
Производя тождественное преобразование
Q/3 = — (ct/З + /За) + — (ct/3 — /За) = — (а/З + /За) + — iTi, приходим к неравенству
△『• △夕2》；I“ q/3 + /За I⑴+汤『.
Так как оператор q0 + /За эрмитов, то его среднее значение С = =(^ I (оф + /За) I ⑦)вещественно, и, следовательно,
△q2 • Ар2》；+ ")》；'2 или
Aq • Ар > - П.
Это соотношение неопределенностей вытекает из большого числа экспериментальных фактов и может рассматриваться как их обобщенное выражение. Вывод этого соотношения из теории является важнейшим достижением квантовой механики.
Покажем для примера, как физически прозрачно можно объяснить устойчивость атома, если исходить из соотношения неопределенностей. Электрон в атоме находится в сферически симметричной, бесконечно глубокой потенциальной яме (см. рис. 1). По классической теории электрон, двигаясь в этой потенциальной яме, излучает и занимает
все более низкие по энергии положения, пока не оказывается на ядре, в результате чего атом как бы самоликвидируется. По квантовой теории электрон также стремится занять наинизшее положение, но при
Рис. 1Рис. 1стремлении его к ядру уменьшается неопределенность его положения, то есть координаты, а, следовательно, должна возрастать неопределенность его импульса. При этом будет возрастать его кинетическая энергия, а вместе с ней и полная энергия электрона. Поэтому минимум полной энергии электрона будет соответствовать некоторой оптимальной неопределенности его поло
Рис. 1
Рис. 1
жения и конечной глубине залегания соответствующего уровня.
Выше было использовано неравенство Шварца. Проще всего его доказать, если векторы | 夕）и | х） расписать в координатах. Тогда
левая часть неравенства имеет вид
（夕冲 1 夕衿2，夕з ・・）（х：Х1 Х；Х2 Нхз =
=夕 2ix：xi + 夕 2ix；X2 + 夕 21Нхз +
夕部 2Х：Х1 + 夕部 2Х；Х2 + 夕部 2HХЗ +
，夕 ЗХ：Х1 + 夕衿 ЗХ；Х2 + 夕衿 зНхз +
Правая часть неравенства имеет вид
1（夕；Х1 +^2X2 + ^зХз+）|2 =
=夕；Х1 夕 1Х； + 夕；Х1 夕 2Х； + 夕；Х1 夕 3骏 +
廓Х2夕1右+夕;Х2夕2Х； +夕;Х2夕3骏+
，Хз夕1右 + QX3 夕 2Х； + ^зХз^зХз + …
Вычитая из левой части правую, замечаем, что диагональные члены таблиц сокращаются, а симметричные члены дают выражение
£ 1（乂夕卜一н仍）『》°・г, к
Таким образом, левая часть действительно больше правой. Равенство правой и левой частей возможно лишь при
lx) = s1 0)，
где s — число.
(13)(13)Координатное представление. Введем формально собственные состояния оператора координаты
(13)
(13)
q\g = d \ д •
(14)(14)Соответственно, эрмитово сопряженное состояние 〈q'| подчиняется соотношению
(14)
(14)
3\q = d 33
Для изучения свойств этих собственных состояний полезен оператор
смещениясмещенияQ^ = exp ?Q^ = exp ?(15)(15)
смещения
смещения
Q^ = exp ?
Q^ = exp ?
(15)
(15)
Название этого оператора обусловлено тем, что в результате его действия на состояние |q) получается также собственное состояние оператора q), но с иным собственным значением, равным q + £, т.е. состояние I q + £)• Действительно, так как
(16)(16)qQ-Qq = ih^,
(16)
(16)
то
qQ \ q\ = <qQ —\q) + Qq \q)=
Q \ q) +qQ \ q) = (q + ^Q \ q)-,Q \ q) +qQ \ q) = (q + ^Q \ q)-,(⑺(⑺
Q \ q) +qQ \ q) = (q + ^Q \ q)-,
Q \ q) +qQ \ q) = (q + ^Q \ q)-,
(⑺
(⑺
таким образом вектор Q(£) |q) действительно является собственным вектором оператора q с собственным значением (q + g). Так как этот вектор нормирован, если нормирован вектор |q), то можно написать
|q + C=@(0 Н)・ (18)
Все собственные векторы оператора q могут быть выражены через единственный его собственный вектор | 0) с помощью оператора
смещениясмещения
смещения
смещения
(19)(19)WQ ⑺ 10).
(19)
(19)
Координатным представлением 2(q), (иначе, волновой функцией) состояния I ⑦)называется его проекция на собственное бра-состояние оператора координаты q ((q[ q = d\)
⑦⑷=S I⑴.(20)
Рассмотрим производную ⑦(q) no q. Очевидно, имеем
В соответствии со свойствами оператора смещения имеем
⑷| =〈q|Q+ =〈q|exp(*)v〈q| {+ 罕)=
(22)
при малых & = q' — q. Следовательно, получаем важное соотношение
* = ⑷(23)
которое лучше записать в виде
〈q| р =—九％ SI …，(24)
где многоточием обозначено любое, произвольное состояние системы. Соотношение (24) можно сформулировать как правило проноса слева направо состояния 〈 q | через оператор р — при таком проносе появляется дифференциальный оператор —ih 丁, действующий далее на ко- oq
ординатное представление рассматриваемого состояния. Соотношение (14) может быть названо правилом проноса состояния (q | слева направо через оператор q. Поскольку любой квантовомеханический оператор может быть выражен через операторы q и р, то, следовательно, можно сформулировать правило проноса состояния 〈q| слева направо через любой квантовомеханический оператор 。(«,夕)
{q\ О {q,p)= О (q,—访^)
где многоточием обозначен произвольный кет-вектор.
Это соотношение позволяет указать стандартный источник волновых функций в квантовой механике. Для этого приведенное выше уравнение Шредингера (11) умножим слева на состояние {q\. Воспользовавшись далее сформулированным правилом проноса этого вектора через произвольный оператор, приходим к уравнению Шредингера
в стандартной форме (следует обратить внимание на частную производную по t — теперь ⑦ является функцией двух переменных). Именно это уравнение и служит стандартным источником волновых функций в квантовой механике.
Кроме собственного состояния координаты (??) можно ввести также собственное состояние импульса
夕 I “ ) = “ I").
Для него правила проноса слева направо имеют следующий вид:
〈"I q…, (pf\ p =pf (pz|
Следовательно, проектируя произвольное состояние | ⑦)на (q | или {р I，получаем соответственно координатное или импульсное представления.
Взаимодействие квантовой системы с излучением
Взаимодействие атомного электрона с электромагнитным полем. Взаимодействие атомного электрона с электромагнитным полем описывается гамильтонианом
⑴⑴
⑴
⑴
где p, f — импульс и координата электрона; N п 夕一векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля; Hf — гамильтониан электромагнитного поля. Если из скалярного потенциала выделить часть U (叫，связанную с полем ядра, то становится возможным описание атомного электрона и его взаимодействия с полем:
Н=^ [р - I А (г)]2 + eU (г) + е^ (г) + Яр(2)
В излучательных задачах спин электрона, как правило, играет незначительную роль; в гамильтонианах (??) и (??) электрон предполагается бесспиновым.
Задачу об излучении той или иной квантовой системы обычно решают методами теории возмущений. Для этого в гамильтониане (??) выделяют невозмущенную часть %, равную сумме гамильтонианов атома
Ha = ^p^eU{r)⑶
и поля Hf.
HQ = Ha + Hf.(4)
Остальные слагаемые в (2) — возмущение
2
^1 = - 9 (万才 ++ 92 № + е»(5)
2тс \丿
или гамильтониан взаимодействия.
В задачах об излучении связанных зарядов используется кулоновская калибровка (см. также гл. 3, разд. 2)
divA = 0.(6)
В этой калибровке оператор импульса электрона коммутирует с оператором векторного потенциала, и гамильтониан взаимодействия принимает вид
Н{=- — рА+-^А^(7)
тс 2m
(скалярный потенциал в этой калибровке целиком связан с кулоновским взаимодействием ядра с электроном, поэтому 夕=0).
В оптической области длина волны излучения, как правило, много больше размеров излучающей системы (атома, молекулы и др.), поэтому можно воспользоваться так называемым дипольным приближением, когда зависимостью потенциалов от пространственных координат в пределах атома пренебрегают и они принимаются равными своим значениям на ядре. В этом случае гамильтониан взаимодействия оказывается равным
Hi =一才(0).(8)
тс
Член, пропорциональный А2, может быть опущен, так как в дипольном приближении он никакого взаимодействия не описывает. Существует вторая форма гамильтониана взаимодействия атомного электрона с электромагнитным полем, в котором возмущение в дипольном приближении имеет вид
где Ё — оператор напряженности электрического поля на ядре атома;
d = ef(10)
—оператор дипольного момента. Как показано в [6], две формы гамильтониана соответствуют несколько различным начальным условиям в излучательных задачах (см. Гл. 3, раздел 2), однако в большинстве случаев разница невелика и ею можно пренебречь. В дальнейшем будут использованы обе формы гамильтониана.
Во многих случаях частота поля, взаимодействующего с атомом, совпадает с частотой перехода между одной парой уровней атома. Тогда хорошей идеализацией является предположение о наличии в атоме всего двух уровней. Если верхнему уровню соответствует состояние I 6), а нижнему — | а), то гамильтониан двухуровневого атома можно записать в виде
Ha = Wb\b){b\ + Wa |а)〈а|,(Н)
где Wb, Wa — энергии соответственно верхнего и нижнего атомных состояний. Тот же гамильтониан можно представить в виде
k Wb + Wa
23,(")
где so = (Wb — Wa) /九一частота атомного перехода и
аз = \Ь){Ь\-\а){а\(13)
—оператор инверсии. С помощью состояний |Ь) и | а) можно выразить все динамические переменные атомного электрона, в частности, вектор координаты атомного электрона принимает в этих обозначениях вид
r = fba \ b) {a\+fab\a) {b\.(14)
Электромагнитное поле выражают через операторы рождения а+ и уничтожения а фотонов:
月=£或(成砧+Ekak),(15)
k
где индексом k отмечены величины, относящиеся к различным модам резонатора или свободного пространства, 备—вектор поляризации соответствующей моды, 石卜—комплексный множитель, описывающий пространственное распределение поля в моде. При исследовании лазерного излучения в разложении (15) иногда ограничиваются одним слагаемым (одномодовый режим), так как лазерный резонатор обеспечивает заметные различия типов колебаний.
Подставляя операторы (14) и (15) в гамильтониан взаимодействия (9) для случая одномодового поля в дипольном приближении получаем
Н\=д С+ + о—)(Е*а+ + Еа) ,(16)
где
д = -\гЬаё\(17)
—константа взаимодействия; а^ и а_ — повышающий и понижающий атомные оператора:
。+ = е"£ I b)〈 а I| а) (6 |,(18)
< =arg (fbae)(19)
(£ — фаза проекции дипольного момента атомного перехода на направление поляризации электромагнитного поля).
В некоторых случаях гамильтониан (??) еще больше упрощают, оставляя в нем только следующие слагаемые:
Н\ = д 9+口 + о_а+) ;(20)
такое приближение называют приближением вращающейся фазы — термин, заимствованный из радиоспектроскопии. Первое слагаемое в этом гамильтониане описывает переход атомного электрона вверх, с нижнего уровня на верхний с поглощением одного фотона из полевой моды, а второе слагаемое описывает обратный процесс — переход электрона с верхнего уровня на нижний с излучением одного фотона в рассматриваемую моду поля. Те слагаемые (??), которые не вошли в (??), соответствуют нерезонансным, виртуальным процессам, а именно переходу электрона вверх с излучением фотона или переходу электрона вниз с поглощением фотона; в теории возмущений эти слагаемые дают малые вклады и, как правило, ими можно пренебречь (см. далее).
В лазерных и некоторых других задачах (см. Гл. 3, разд. 4) используется промежуточный между одно- и многомодовым случаями вариант. Конкретно считается, что собственные волны системы — плоские (хотя они и имеют ограниченную поперечную протяженность), т.е. пренебрегается поперечными модами и предполагается, что эти волны распространяются в одном и том же направлении, хотя и с разными частотами и волновыми векторами.
Динамика квантовой системы, взаимодействующей с излучением. Динамика квантовой системы в шредингеровской картине описывается уравнением Шредингера для вектора состояния системы I⑦力
访屮=Н|⑴(21)
или уравнениемили уравнением
или уравнением
или уравнением
(22)(22)для матрицы плотности системы а. Зависимость от времени в шредин- геровской картине сосредоточена, как известно, в векторе состояния, а операторы наблюдаемых величин от времени не зависят.
(22)
(22)
|2(“= ехр|2(“= ехр13,13,(23)(23)При не зависящем от времени гамильтониане решение уравнения (21) имеет вид
|2(“= ехр
|2(“= ехр
13,
13,
(23)
(23)
где I ⑦(0)) — начальное состояние системы; соответственно решение уравнения (22) имеет вид
а ⑴=ехра ⑴=ехра (0) ехра (0) ехр(24)(24)
а ⑴=ехр
а ⑴=ехр
а (0) ехр
а (0) ехр
(24)
(24)
12(”，12(”，Точное вычисление выражений (23) и (24) возможно лишь в редких случаях, поэтому обычно для их вычисления прибегают к теории возмущений. При этом переходят к представлению взаимодействия, в котором состояние системы описывают вектором
12(”，
12(”，
(25)
где Hq — невозмущенная часть полного гамильтониана системы (4) и I ⑦(方))一вектор состояния в шредингеровской картине. Шредин- геровскому оператору С в представлении взаимодействия ставится в соответствие оператор
G = ехрG = ехрС ехрС ехр(26)(26)
G = ехр
G = ехр
С ехр
С ехр
(26)
(26)
Как видим, в представлении взаимодействия от времени зависят как состояния системы, так и операторы наблюдаемых. Для того чтобы различать в дальнейшем гейзенберговские операторы и операторы в представлении взаимодействия, у последних независимую переменную 方 будем писать в виде индекса, а не в виде обычной функциональной зависимости.
(27)(27)Подставляя (25) в уравнение (21), получаем
(27)
(27)
где 九匕—гамильтониан взаимодействия Hi в представлении
взаимодействия:
力%=exp力%=expHi expHi exp(28)(28)
力%=exp
力%=exp
Hi exp
Hi exp
(28)
(28)
Уравнение (27) сводится к интегральному уравнению
t
丨办)=1耽)+ (T)1次)，(29)
о
учитывающему также и начальное условие для состояния |^). (Для упрощения обозначений под знаком интеграла вместо индекса 方i использован только индекс временной переменной, т.е. единица.) Применяя к этому уравнению итерации, получим ряд теории возмущений
"ttй_
I 次)=1 + (T)必 1Н + (T)2 必 1(T)近2v1心 +…I 耽).(30)
_ооо_
Учитывая (23) и (25), получаем разложение оператора эволюции
U(U=exp(—亨)(31)
в ряд теории возмущений
U ⑴=expU ⑴=expn=0n=0ооdt ] dt^ ...оdt ] dt^ ...оtn— 1tn— 1dtnV\V^Vnо.dtnV\V^Vnо.• (32)• (32)С помощью этого разложения для чаем рядС помощью этого разложения для чаем рядматрицыматрицыа ⑴=expа ⑴=expЕнг n=0Енг n=0х [Vi；泾;... ％;сг(О)]..』х [Vi；泾;... ％;сг(О)]..』Иногда удобнее использовать другой эволюции:Иногда удобнее использовать другой эволюции:плотности системыплотности системыполу-полу-U ⑴=expU ⑴=expt1 + (—〃)dt\V\-\-o tt'+ (—々У d方 2 dt 1 V\ V2 +0力2.t1 + (—〃)dt\V\-\-o tt'+ (—々У d方 2 dt 1 V\ V2 +0力2.
U ⑴=exp
U ⑴=exp
n=0
n=0
о
о
dt ] dt^ ...
о
dt ] dt^ ...
о
tn— 1
tn— 1
dtnV\V^Vn
о.
dtnV\V^Vn
о.
• (32)
• (32)
С помощью этого разложения для чаем ряд
С помощью этого разложения для чаем ряд
матрицы
матрицы
а ⑴=exp
а ⑴=exp
Енг n=0
Енг n=0
х [Vi；泾;... ％;сг(О)]..』
х [Vi；泾;... ％;сг(О)]..』
Иногда удобнее использовать другой эволюции:
Иногда удобнее использовать другой эволюции:
плотности системы
плотности системы
полу-
полу-
U ⑴=exp
U ⑴=exp
t
1 + (—〃)dt\V\-\-
o tt'
+ (—々У d方 2 dt 1 V\ V2 +
0力2.
t
1 + (—〃)dt\V\-\-
o tt'
+ (—々У d方 2 dt 1 V\ V2 +
0力2.
по сравнению с (32) в этом ряде несколько изменен порядок интегрирования по времени.
Динамику квантовой системы можно описать также в гейзенберговской картине, в которой зависимость от времени сосредоточена, как известно, в операторах наблюдаемых величин, а вектор состояния от времени не зависит. Развитие операторов во времени определяется гейзенберговскими уравнениями движения
汤^|^ = Q⑴；可；(35)
независимая переменная t в гейзенберговских операторах указывается, как уже говорилось, обычным функциональным образом.
Важной чертой гейзенберговского подхода является то, что уравнения (35) после вычисления коммутатора в правой части оказываются подобными по форме соответствующим классическим уравнениям, т. е. в данной книге — подобными уравнениям Максвелла и уравнениям движения электрона.
Для независящего от времени гамильтониана решение уравнения (35) можно написать в виде
С ⑴=exp (孚)• С (0) • exp (-孚)，(36)
где С (0) — начальное значение оператора С, совпадающее с шрединге- ровским оператором. Учитывая разложение (32), оператор С (方)можно представить в виде ряда теорий возмущений
=亡(—炉 必j[dtn [...[[G； Vi]； ^]；...Кг](37)
n=0 о о 0
или, учитывая (34), в виде ряда
。⑴=£ (—炉必吁i...必 1吟]・(38)
П=00 tn力 2
Из приведенных выше выражений видно, что при определении поведения системы во времени важную роль играет оператор взаимодействия 匕，поэтому рассмотрим его несколько подробнее. При вычислении Vt с помощью выражения (28) заметим, что в дипольном приближении гамильтониан взаимодействия представляет собой произведение полевых и атомных операторов. Поскольку невозмущенный гамильтониан Hq можно разбить на два коммутирующих слагаемых,
На и Hf, вычисления для полевых и атомных множителей в Н\ можно провести независимо.
Для примера рассмотрим гамильтониан взаимодействия Hi (16), описывающий взаимодействие одной моды поля с дипольным моментом атома. Для этого гамильтониана получим
廿+ + сг_) exp廿+ + сг_) expхх(39)(39)хх(Е*а+ + Еа) ехр(Е*а+ + Еа) ехр
廿+ + сг_) exp
廿+ + сг_) exp
х
х
(39)
(39)
х
х
(Е*а+ + Еа) ехр
(Е*а+ + Еа) ехр
Гамильтониан атома используем в виде (12) и воспользуемся известным в теории матриц Паули операторным соотношением
eхp (分(73以0方)0± eхp (—5(73Go方)=0± eхp (±分以0方)•(40)
Гамильтониан поля одной моды имеет вид
Hf = ho)а*а.(41)
Используя операторные соотношения
ехр & а+а) а+ ехр (—г^ а+а) = а+ ехр &),
(42)
ехр (〃§ а+а) а ехр (—г^ а+а) = а ехр (—г^),
в выражении (39), получим
Vt = д [(а+ ехр (沁出 + а_ ехр (—й＜；о方))]х
х [(Е*а+ ехр {iut) + Еаехр {—iut)^ . (43)
Как видим, в 匕 есть слагаемые, быстро меняющиеся с частотой (содержащие ехр [±"s + ⑷)廿)，и слагаемые, которые меняются медленно по сравнению с первыми (содержащие ехр [±〃 (s — а。)力， I s — so I «s + so|)・ При интегрировании по времени в соответствии с теорией возмущений быстро меняющиеся слагаемые дадут пренебрежимо малый вклад по сравнению с медленно меняющимися. Это позволяет перейти от выражения (43) к выражению
Vt = д [(Е*о+аехр [г (so — 5 廿 + Ео_а+ ехр [-г (а。一 5 巾]• (44)
Именно такое выражение для Vt принимается в приближении вращающейся фазы (??), которое, таким образом, получает свое фактическое
обоснование. Более строгое обоснование приближения вращающейся фазы автору неизвестно.
Отметим, что, когда частота моды точно совпадает с частотой атомного перехода (s = so), зависимость от времени в гамильтониане 匕 (44) пропадает и вычисления рядов теории возмущений упрощаются.
Пакетное представление поля излучения
При описании квантованного электромагнитного поля (фотонов) в квантовой электродинамике прибегают к так называемому распределенному представлению, т.е. представлению фотонов как плоских волн, занимающих все пространство. Однако возможно другое, так называемое пакетное представление фотонов, когда они оказываются до некоторой степени пространственно локализованными. Иногда такое представление фотонов лучше соответствует физической природе того или иного рассматриваемого процесса.
Распределенное представление поля. При описании фотонов в квантовой электродинамике обычно вводят некоторый большой кубический резонатор со стороной Бис периодическими граничными условиями на его гранях. Квантованные собственные волны такого резонатора имеют вид
Е (г) = гЕ (г) = гaeikr-^t _^е-гкг^шЛ ,aeikr-^t _^е-гкг^шЛ ,⑴⑴
Е (г) = г
Е (г) = г
aeikr-^t _^е-гкг^шЛ ,
aeikr-^t _^е-гкг^шЛ ,
⑴
⑴
где
⑵⑵а = а\ё\ + a2 查,
⑵
⑵
&1, &2 ——операторы уничтожения соответствующих поляризаций,瓦，杳 —единичные векторы этих поляризаций. Волновой вектор к и частота s удовлетворяют соотношениям
(3)(3)統= 2тг^, & = 27Г^,居= 2тг^,，=/ (碎+写+ 砌，
(3)
(3)
где I, т, п — целые числа. Поле, операторы a, cq, &2, векторы вь 杳， волновой вектор к и частота s, вообще говоря, должны нести соответствующие индексы, однако для простоты они опущены.
Суммарное поле всех осцилляторов является суммой полей всех
осцилляторовосцилляторов⑷⑷где индекс 八 заменяет собой три упомянутых выше индекса. Введем плотности операторов а+, агде индекс 八 заменяет собой три упомянутых выше индекса. Введем плотности операторов а+, а⑸⑸
осцилляторов
осцилляторов
⑷
⑷
где индекс 八 заменяет собой три упомянутых выше индекса. Введем плотности операторов а+, а
где индекс 八 заменяет собой три упомянутых выше индекса. Введем плотности операторов а+, а
⑸
⑸
где интегрирования производятся по элементарной ячейке пространства волновых векторов (объем такой ячейки равен Л3 = (2тг/1/)3) с центрами, соответственно, в точках к分.Так как операторы рождения и уничтожения а〃，удовлетворяют коммутационному соотношению
то операторы а+ ( V ), a (kj соответственно удовлетворяют коммута-
ционному соотношению
⑹⑹
⑹
⑹
Учитывая, что на интервал dk приходится
⑺⑺-£3dkу
⑺
⑺
(2外з
колебаний, то, переходя от суммы к интегралу при Е — оо, получим
е(Г,方)=嘗£ dk^j队(0原(0貝力-%力)+ э.c..⑻
Нетрудно понять, что в любом квантово-механическом состоянии (однофотонном, многофотонном, когерентном, сжатом и т.п.) плотность энергии в такой волне будет равномерно распределена по всему пространству. Следовательно, обычным образом введенные фотоны никакой локализации не имеют.
Локализованный волновой пакет можно построить на основе стандартного распределенного представления [4,5]. Действительно, введем новые операторы рождения и уничтожения
А =£ dkWx ctA Ш,А=1,2」
4+ = £ dkW{Ш,А=1,2」
где W\ — некоторая нормированная спектральная функция
£ 矶 2 = 1,(10)
определяющая, как мы увидим далее, спектр пакета, и а{ (^), ад (^) — плотности операторов рождения и уничтожения, входящие в приведенное выше выражение (1) для оператора электрического поля свободного пространства. Можно убедиться, что операторы А и А+ подчиняются коммутационному соотношению
[А; А+] = 1.(Н)
В соответствии с этим соотношением операторы А и 4+ порождают систему стационарных состояний | 八)таких, что
Д + п
1八)=下10), 410)=0.(12)
Произвольное же состояние такого пакета можно представить в виде
13) = tw^ 1八).(13)
n=0
Можно показать, что все средние выражаются через единую функцию, которую можно назвать формой квантового волнового пакета. Среднее значение электрического поля в состоянии (13) равно
\n=0/
+ $*(尸，方)•N力.
\n=0/
2 В.П. Быков
В этом выражении функция
Ф (尸，方)=* £ 以у^М (0 队(0 ei(kf-ckt) (14)
как раз и есть упомянутая выше функция, описывающая форму волнового пакета.
Среднее значение квадрата поля, пропорциональное плотности электрической энергии, также выражается через ту же форму волнового пакета
(月2 (元方))=回元"2.£八|麻|2 +
+ $2 (元方)• £，5 + 1)(八 + 2)党％+2 + К.С. • (15)
Можно показать, что вообще средние значения всех степеней поля также выражаются через функцию (14).
Следовательно, функция Ф (尸,方)описывает распределение поля в любом квантовом состоянии поля. Можно сказать, что при пакетном представлении фотон является пространственно локализованным объектом. Когда состояние однофотонное, функцию Ф (г, t) можно назвать формой фотона. В случае многофотонного состояния нет, однако, никакого пространственного разделения пакета на какие-либо однофотонные части, поля всех фотонов распределены единообразно в соответствии с функцией Ф (г, t).
Отметим одно важное обстоятельство, характеризующее локализацию построенного пакета. Из соотношения (14) можно сделать вывод, что величина
есть просто Фурье-спектр волнового пакета Ф (г, t). Как известно, длина пакета L и ширина его Фурье-спектра Аш подчиняются соотношению
с
Следовательно, никаких образований существенно более коротких, чем характерная длина пакета L, не может быть; в частности, длина фотона Ephot = Ь может быть только больше характерной длины пакета, определяемой соотношением
Ecoh = д~,Т. е. Ephot》EcohEcoh = д~,Т. е. Ephot》Ecohс
Ecoh = д~,Т. е. Ephot》Ecoh
Ecoh = д~,Т. е. Ephot》Ecoh
Длину волнового пакета можно считать равной характерной длине когерентности заключенного в нем излучения. Если это соотношение применить к фотонам, генерируемым в высококогерентных лазерах, то можно заключить, что при временах когерентности порядка секунды фотоны имеют астрономическую длину, порядка расстояния от Земли до Луны. Эти соображения понадобятся нам при рассмотрении природы фотоотсчетов в главе 5.
Электромагнитное поле как совокупность квантованных волновых пакетов может быть представлено на основе обобщения предыдущих соображений. Для этого рассмотрим полную систему ортогональных функций W^ (^), удовлетворяющую условию
£叮仔)m⑨=科卄-爾)• (16)
Как и раньше оператор уничтожения пакетного фотона определим в виде
однако теперь этот оператор несет индекс j, так как имеется много подобных пакетов. Умножая это равенство слева на W^ ^V^ и суммируя по 7， получим
т.е. ” (0 = ^2 wx 卄)*j
Подставив это выражение в оператор электрического поля (1.1), получим
月(尸，方)= ^2^(r,t)-A^+s.c.,(19)
где"
和",方)=* £ 底旧W^ ^ 己(0 e^kf-ckt) (20)
—форма j-го волнового пакета. Тем самым оператор электрического поля оказывается выраженным через операторы рождения и уничтожения пакетных фотонов, т. е. электромагнитное поле распалось на совокупность квантованных волновых пакетов. Можно убедиться, что
и другие наблюдаемые электромагнитного поля могут быть выражены через эти операторы и функции $^ (尸,方).
Функцию W^ 住)можно выразить через форму волнового пакета (20)
W{ (к)=—V京和•* (尸，方).(21)
' 丿(2тг).
Аналогичное вычисление может быть проделано с векторным потенциалом поля. Оператор векторного потенциала имеет вид
A (r,t) = ^^ ] * 豆 0) е'(次+ э.с..(22)
Оператор а можно представить в виде
万=£队" =£队們*如.(23)
Следовательно,
А (冗方)=£ A^ F^f,方)+ э.с.,(24)
з
где
Fj^t)=樓^ # J ^ ，队(9 WX 0)冢力.(25)
Нетрудно заметить, что
$w二A„".(26)
с ot
Вычислим квантово механическую неопределенность электрического поля пакета, находящегося в когерентном состоянии. Среднее значение поля равно
〈月⑺〉=2 • $ ⑺ + 2* • $* (尸).(27)
Квадрат поля равен
月2 ⑺=$2厶2 + |ф|2 ЛЛ+ + |ф|2А+А + Ф^2А+2.(28)
Следовательно, квантово механическая неопределенность поля равна IФ (г) J . Эта неопределенность различна в различных точках пакета и, кроме того, изменяется с течением времени. Вне пакета эта неопределенность равна нулю.
Магнитное поле имеет следующий вид:
Я （冗方）=* £ 泯《 kxex ” （0 風力+ э.с.,（29）
n
где — единичный вектор направления к. Подставляя сюда （18）, получаем
я （元方）=£ 拠",方）.亦 + э.e.,（30）
где
& （尸，方）=* £ 泯m5 Йх еЛ （0 m* （0 e2他 j）.（31）
Квадрат электрического поля равен
e2 （尸,方）=£ 和方.4?% + £ 和*g . л^'+аЧ
+ £ 和•&* • ^А1^ + £ 和*g* •（32）
Усреднение по вакууму дает
X £ W^ ^^ 財（爾）=2тг，e dku •以从=4тг九疯• s. （33）
Здесь, несмотря на расходимость интеграла （впрочем, совершенно обычную）, главное это независимость квадрата поля от 尸 п 方一вакуумные флюктуации одинаковы во всех точках. Именно так и должно быть при усреднении по вакууму.
Среднее по вакууму квадрата магнитного поля имеет ту же величину.
Пример. Чтобы построенная схема не выглядела слишком абстрактной, продемонстрируем возможность построения полной системы спектральных функций W на примере функций параболического
цилиндра. Пусть одна из спектральных функций, определяющих волновой пакет, имеет следующий вид:
*•⑨=a"•⑨=%•%⑴也)嗟)(%)直&),(34)
где индекс j = (Z, m, n) заменяет собой при необходимости три индекса. Функции Vn (х) — функции параболического цилиндра
Уп (〃)=Уп (〃)=V八! 2几%/^V八! 2几%/^(35)(35)
Уп (〃)=
Уп (〃)=
V八! 2几%/^
V八! 2几%/^
(35)
(35)
Эти функции ортонормированы
• ^п (”) ^т (”)= 5пт(36)
и удовлетворяют условию полноты
(37)(37)
(37)
(37)
Функция (34) определяет спектр лишь одной из поляризаций пакета. Вторая поляризация, относящаяся к тому же пакету, имеет тот же спектр, но другую амплитуду
^ р)=仿%⑴(統)曉)(&) KP)(居)；(38)
при этом
hl2 + l/3|2 = 1.(39)
Следовательно, пакет определяется двумя функциями — W( (^) и 呵(^). Существует также пакет с ортогональной поляризацией
*+ (0 =伊*加(0 ,
(40)
Значком плюс здесь отмечено то обстоятельство, что соответствующий пакет отличается от предыдущего лишь поляризацией.
Функции W^ (Q ортонормированы
£［疯nr(Qw《(Q =м・(41)
A J
и составляют полную систему функций
£ W^ ^ 仞⑨=М 代-爾)；(42)
суммирование в (??) производится по всем j, включая J+. Как показано ниже, эти условия действительно справедливы. Тем самым построение ТУ-пространства можно считать завершенным.
Для проверки условия полноты (??) разделим его на три условия.
Первое — имеет вид
£ 叫* ⑹ W{ (k^ = 8 , В левую часть входит сумма
W^⑹用⑨+ W^w =加*凉* @) .c^wi E + 伊凉* (/ =(Q 2 + /3 2)凉* (爾)凉 Q) = 1 и, следовательно,
=£%⑴*阳)£嘘)* 1m
х£^з)*(Е)КР)&) = 8
Второе условие полноты (??) имеет вид £**k)呵(0 =
В левую часть входит сумма
W^ ^何⑨+*+*仔) =g＞凉* к).伊凉C-伊凉* (#
彳一迎).(43)
7) •伊*凉(0 =
/*仔)凉(0(44)
爾)* (0 =
闻嘘)(%)x
(k - k^ .(45)
=0.(46)
們+0)=
)• &戸凉(0 = 0,(47)
равная, очевидно, нулю. Таким образом, вместе с (??), вся сумма в (??) обращается в нуль. Третье условие полноты доказывается так же, как первое. Следовательно, условия полноты действительно имеют место.
Ортогональность функций W
£ dkW^ (0 屮弋(0 = 1(48)
доказывается элементарно. Суммируя
=ar*wr* (^ ■ arwr (9 + /3r*wr* 仔)■ /3rwr (冃=
=(依叩 + 1Г12) W 仔)『=W 0)『，(49)
получаем
£ dkW^ (0 屮弋卄)= &|wr (° j = L (5。)
Таким образом, функции W^ (k) действительно ортогональны.
Разумеется, построенное представление электромагнитного поля в виде системы волновых пакетов не является единственным. В зависимости от условий той или иной конкретной задачи можно строить другие, более удобные системы волновых пакетов.
Литература
Боголюбов Н.Н., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей — М.: Наука, 1984.
Берестецкий В. Б., Лифшиц Е. М, Питаевский Л.П. Квантовая электродинамика — М.: Наука, 1980.
Лю и селя У. Излучение и шумы в квантовой электронике — М.: Наука, 1972.
Bykov V.P., Tatarskii V.I. // Phys. Lett. 1989. A136(l,2). P. 775.
Быков В.П., Татарский В. И. // ЖЭТФ. 1989. Т. 96, Вып. 2. С. 528.
Быков В.П. 〃 УФН. 1984. Т. 143, Вып. 4. С. 657.
Глава 2
ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР
Данная глава — методическая и посвящена анализу соответствия между состояниями квантового и классического линейных (гармонических) осцилляторов. Хотя в математическом отношении квантовый линейный осциллятор (не говоря уже о классическом линейном осцилляторе) хорошо исследован, некоторые вопросы соответствия состояний квантового и классического осцилляторов до последнего времени оставались неясными [1-3].
Напомним основные элементы теоретического описания классического и квантового гармонических осцилляторов.
Классический гармонический осциллятор
⑴⑴Диффузия фазы. Теория классического гармонического осциллятора основана на функции Гамильтона вида
⑴
⑴
где р и q — импульс и координата осциллятора; т — масса колеблющегося тела; к — коэффициент упругости пружины, возвращающей тело к положению равновесия. Разумеется, р и q могут быть обобщенными импульсом и координатой, тогда тик будут некими обобщенными параметрами рассматриваемой системы — ее эффективными массой и коэффициентом упругости. Из функции Гамильтона (1) следуют уравнения движения
a =一рт
или в ньютоновой форме
q + u2q = 0, и2 = к/т.（2）
Решение этого уравнения очевидно:
q（t） = A cos ut -\- Bsin ut,（3）
где s — частота гармонических колебаний и А и В — амплитуды, определяемые начальными условиями.
Состояние осциллятора, описываемое （??）, является сильно идеализированным; будем называть его идеально когерентным. Более реалистичны состояния, в которых фаза медленно меняется со временем.
Рассмотрим случай, когда медленное изменение фазы возникает в результате большого числа маленьких толчков, обусловленных механизмом возбуждения осциллятора. Формально такое движение осциллятора описывается неоднородным уравнением （??）, однако мы рассмотрим не математическую [4], а лишь физическую сторону вопроса.
Пусть механизм возбуждения осциллятора таков, что в осцилляторе равномерно, 7Vo раз в секунду, возникают затухающие импульсы со случайной фазой
% = Q exp [-А （方一方1）] cos Q 方 + ⑦），
Амплитуда импульса равна Q,方i — момент его возникновения, до момента 方i величина ⑺（方）=0. Колебания осциллятора до момента 方i описываются выражением
q ⑴=Q exp （-А 方）cos （s 方 + 夕），
где амплитуда Q и фаза 夕 определяются в результате сложения всех не затухших к моменту 方i предыдущих импульсов.
Полная амплитуда осциллятора после момента 方i равна сумме q + + %：
Qexp （—At） cos （s方 + 夕）+ Qexp [—A （t — ti）] cos （s方 + ⑦）=
=Qi exp [—A （t — ti）] cos （s方 + 夕1）,
где Qi — новая амплитуда;夕i — новая фаза после момента 方i. Приравнивая друг другу отдельно члены, пропорциональные cos （s 方 + 夕） и sin （s 方 + 夕），получим два равенства:
Qexp （—A ti） + Qcos （⑦一夕）=Qi cos Л, 夕]—夕=△,
Q sin （⑦一夕）=Qi sin Л.
Потребуем, чтобы амплитуда в среднем не менялась, т. е. пусть режим возбуждения будет стационарным. Это возможно, так как предыдущие импульсы затухают, и каждый следующий импульс компенсирует это затухание. Тогда, считая A ti и Л малыми (импульсы следуют очень часто), из первого уравнения при условии Q = Q{ получаем
⑷⑷Ati = ； А2；
⑷
⑷
при этом принято во внимание, что второй член первого уравнения вследствие случайности ⑦ в среднем равен нулю. Так как
灯=1/No,
то соотношение (??) определяет дисперсию а величины Л:
аа⑸⑸
а
а
⑸
⑸
Из второго соотношения при том же условии (Q = Qi), если прене
бречь флюктуациями Q и Q,
Отсюда также можноОтсюда также можно•т~Q=Q-△•т~Q=Q-△(6(6определить дисперсиюопределить дисперсиюЛ:Л:
Отсюда также можно
Отсюда также можно
•т
~Q=Q
-
△
•т
~Q=Q
-
△
(6
(6
определить дисперсию
определить дисперсию
Л:
Л:
ст2 = Л^ = 即・ sin2 侬—夕)£ =旦p(7)
Соотношения (??) и (7) дают возможность выразить среднюю амплитуду всего процесса Q через среднюю амплитуду отдельных импульсов
Q =^Q2NqT, (8)
где Т = 1 /А. Это равенство выражает известный факт, установленный еще Рэлеем, что при наложении N = 7voТ синусоид со случайными фазами складываются их мощности или квадраты амплитуд.
За время t》N&' фаза сместится на величину
g £ Вsin (%-死)•
Так как величина у представляет собой сумму большого числа независимых случайных величин, то она также является случайной величиной и вследствие центральной предельной теоремы [5] подчиняется
распределениюраспределениюw匂）=w匂）=1СГ\/27ГП1СГ\/27ГП
распределению
распределению
w匂）=
w匂）=
1
СГ\/27ГП
1
СГ\/27ГП
где W (g) dy — вероятность того, что у попадает в интервал от у до у + dy, а — дисперсия Л, n = tN^ — общее число суммируемых △^. Видно, таким образом, что дисперсия у (или, что то же самое, среднеквадратичное изменение фазы)
возрастает пропорционально у^ • 口° аналогии с броуновским движением или процессами диффузии, в которых диффундирующие частицы смещаются пропорционально у^, говорят обычно о диффузии фазы, а соответствующее состояние осциллятора называют слабо некогерентным с диффундирующей фазой.
Следовательно, пренебрегая малыми флюктуациями амплитуды, состояние осциллятора можно описать соотношением
q ⑴=Qo cos,q ⑴=Qo cos,⑼⑼
q ⑴=Qo cos,
q ⑴=Qo cos,
⑼
⑼
где 夕(方)—случайная функция, в среднем растущая со временем пропорционально дЛ. Среднеквадратичное смещение фазы за время Т = 1/А (равное длительности отдельного импульса) равно тг. Таким образом, время Т в этом процессе играет роль времени когерентности.
Квантовый гармонический осциллятор
Гамильтониан квантового гармонического осциллятора по форме совпадает с функцией Гамильтона классического осциллятора (1.1), однако теперь р и q — операторы, подчиняющиеся коммутационному соотношению
qp — pq = jh. (1)
Интересующие нас электромагнитные осцилляторы соответствуют осцилляторам единичной массы. Поэтому их гамильтониан имеет вид
Н =；(夕2 + Jq2).
С помощью операторов уничтожения и рождения
⑵⑵
⑵
⑵
он приводится к видуон приводится к видуН = ПшН = Пш(3)(3)
он приводится к виду
он приводится к виду
Н = Пш
Н = Пш
(3)
(3)
Стационарные состояния этого гамильтониана хорошо известны [6]; они образуют эквидистантный энергетический спектр. Амплитуды вероятностей ⑦(q) тех или иных значений координаты изображены на рис. 1 а и, как известно, описываются функциями, представляющими собой произведение полиномов Эрмита на гауссову экспоненту
麻(q) =「q"2 • Яп (q),
гдегдеНп (q)=Нп (q)=
где
где
Нп (q)=
Нп (q)=
Рис. 1. Волновые функции стационарных (а) и когерентного (6) состояний гармонического осциллятораРис. 1. Волновые функции стационарных (а) и когерентного (6) состояний гармонического осциллятора
Рис. 1. Волновые функции стационарных (а) и когерентного (6) состояний гармонического осциллятора
Рис. 1. Волновые функции стационарных (а) и когерентного (6) состояний гармонического осциллятора
(Для электромагнитного осциллятора роль координаты может играть, например, электрическое поле; поэтому на рис.1 на оси абсцисс показаны q и Е). Как видно из рис.1 а, среднее значение координаты или электрического поля равно нулю в любом стационарном состоянии — это следует из симметричности или антисимметричности амплитуд вероятностей. Обращение в нуль среднего значения координаты или электрического поля ниже обсуждается более подробно.
Когерентное состояние. Среди нестационарных состояний важную роль играет когерентное состояние °)
представляющее собой специально подобранную суперпозицию стационарных состояний. Комплексная величина 2 является параметром состояния, зависящим от времени по гармоническому закону 2 = =2ое~2"力.Амплитуда вероятности для
°) Термин «когерентное состояние» является общепринятым, и мы будем также его придерживаться, хотя он и не очень удачен. В частности, следует понимать, что когерентное в квантовом смысле состояние может быть некогерентным в классическом смысле.
когерентного состояния показана на рис. 1 6. Положение максимума амплитуды вероятности меняется со временем по гармоническому закону, следовательно, среднее значение электрического поля в этом состоянии, как и в классическом, равно
(e)=&)cos Q 方 + 0)， &)=%/s g1, 0=arg 2.
Важным свойством когерентного состояния является то, что произведение неопределенностей координаты (электрического поля) и соответствующего импульса является минимальным из допускаемых соотношением Гейзенберга. Справедливо считается, что именно это свойство, наряду с независимостью этих неопределенностей от времени, дает основание рассматривать когерентное состояние как наиболее близкое к классическому. Разумеется когерентное состояние наиболее близко к идеально когерентному (1.3), так как оба состояния бесконечно долго сохраняют фазу постоянной.
В связи с этим возникает вопрос, какому классическому состоянию соответствует стационарное состояние квантового осциллятора. Этот вопрос существенен по той причине, что как в стационарном, так и когерентном состоянии может быть запасена значительная энергия, и в этом смысле оба состояния являются макроскопическими. Действительно, средние числа фотонов в стационарном и когерентном состояниях могут быть равны 八° = |n『. Если к тому же эти величины большие, так что соответствующая энергия равняется, скажем, 1 Дж, то оба состояния макроскопичны. Иногда считается, что стационарному состоянию квантового осциллятора в классике соответствует все то же идеально когерентное состояние (1.3). Такая точка зрения проводится, например, в известном учебнике [7] на том основании, что при больших 八 огибающая распределения вероятности напоминает зависимость (рис. 2)
классическогоклассического—1осциллятора, которая—1осциллятора, котораяРис. 2. Поверхностное сходство среднего распределения вероятности 叭q)『в стационарном состоянии осциллятора и величины dt(q)/dq классического осциллятораРис. 2. Поверхностное сходство среднего распределения вероятности 叭q)『в стационарном состоянии осциллятора и величины dt(q)/dq классического осциллятораопределяет время, проводимое классическим осциллятором на малом отрезке своей траектории и которую иногда считают классической вероятностью обнаружения осциллятора в той или иной точке (что, конечно, неверно — классический процесс вполне детерминирован и ни о какой вероятности не может быть речи). Однако для соответствия этих двух состояний подобного сходства явно недостаточно. Прежде всего в стационарном
классического
классического
—1
осциллятора, которая
—1
осциллятора, которая
Рис. 2. Поверхностное сходство среднего распределения вероятности 叭q)『в стационарном состоянии осциллятора и величины dt(q)/dq классического осциллятора
Рис. 2. Поверхностное сходство среднего распределения вероятности 叭q)『в стационарном состоянии осциллятора и величины dt(q)/dq классического осциллятора
Когерентное состояние с медленно диффундирующей фазой. 47 квантовом состоянии нет гармонической зависимости координаты от времени. Да и удивительно было бы, если одному и тому же классическому состоянию соответствовали бы два столь разных квантовых состояния.
К изложенной точке зрения близка другая, заключающаяся в том, что стационарному состоянию квантового осциллятора в классике соответствует слабо некогерентное состояние вроде описанного в первом параграфе. В этом случае равенство нулю среднего значения поля в стационарном состоянии трактуется иногда как результат усреднения поля в классике по большему интервалу времени — из-за диффузии фазы среднее по времени обратится в нуль. По нашему мнению, эта точка зрения также неверна. Например, слабо некогерентное классическое состояние характеризуется таким параметром, как время когерентности, и этот параметр отсутствует в стационарном состоянии квантового осциллятора. Главное же возражение против этого сопоставления заключается в том, что можно построить такое состояние квантового осциллятора, которое очевидным образом близко соответствует слабо некогерентному классическому состоянию и нисколько не похоже на стационарное состояние квантового осциллятора. К построению этого состояния мы и перейдем.
Когерентное состояние с медленнодиффундирующей фазой.
Теорема Глаубера. Для построения состояния, соответствующего классическому слабо некогерентному состоянию, рассмотрим возбуждение квантового осциллятора внешним неквантовым источником. Как показано Р. Глаубером [8], в этом случае всегда возникает когерентное состояние, и, подбирая закон возбуждения специальным образом, можно будет получить нужное состояние. Повторим вывод Глаубера в несколько иной форме.
Итак, пусть возбуждение квантового гармонического осциллятора описывается уравнением
汤 = [^а+а + (а+ + а) / (切 | (1)
где функция / (方)характеризует внешний источник; в механическом осцилляторе она описывает зависимость от времени возбуждающей силы, в электромагнитном осцилляторе — зависимость от времени классического тока, возбуждающего осциллятор. Перейдем к представ-
лению взаимодействия
I ⑦ ⑴)=exp (-zcj 方a+а) 1 0⑴)，
тогда состояние | 夕(方))подчиняется уравнению
Оператор эволюции, определяющий решение уравнения (??), равен [9, 10]
S ⑴=exp [—г (厶1 + 厶2 + 厶3 +,(3)
где
ttt[
41=[必1W1,42 = ^ [必1 [必2[w1；%],
— сю—сю—сю
Подставляя W в А\, получим
t
4 ⑴= 必 1 (а+е""” + ае~гш^^ • / (ti)=
tt
=a+dtie^tl f (ti) + a dtie~^tl f (ti).
Коммутатор, входящий в 厶2, равен
[w（力）；W （方2）] = -2炉（3）/ （方2）sins （3一方2）；
он не является оператором, в силу чего все последующие члены в разложении (3) обратятся в нуль. Член 厶2, равный
t t[
42 =- 必1必2/（力）/（方2）Sins （3一方2）,
определяет лишь малосущественный фазовый множитель состояния.
Если начальное состояние — вакуумное (| 夕(0)) = | 0)), то
I 夕⑴)=S(" I 0) = ехр(-гА2) exp {-г [a+①⑴ +。①* (切} |0), (4)
гдеt
①⑴=必1 exp 3 方i） / （方i）.（5）
Легко видеть, что состояние （??） есть когерентное состояние осциллятора, и это подтверждает вывод Глаубера.
Диффузия фазы. Зададим теперь функцию / ⑴ в специальном виде:
/⑴=£ exp [-А （t -芍）]cos 图（t - G）] В （方-G）-入"（方-G）〕，（6）
где tj — некоторые случайные моменты времени; ясно, что / （方）теперь некоторая случайная функция. Функция Ф （方）в этом случае имеет вид
tt
Ф （t） =dti exp （zcj ti） / （t） = ^2^1 exp [zcj tj — A （ti — tj）\x
X COS [a （方 1 — tj）] [8 （方 1 — G）—入"（方 1 — tj）]=
=£"（方-G）exp[〃f -入（方-G）]・⑺
Возвращаясь к шредингеровскому представлению, убеждаемся, что параметр когерентного состояния равен
2 = eXр （т以 方）Ф ⑴=£еXp [-zcj （t -芍）一入（方-^）]" （力_G）
=exp [-汕方+分0⑴].（8）
Следовательно, он является суперпозицией большого числа затухающих импульсов, возникающих в случайные моменты времени, и может быть представлен экспонентой с медленно меняющейся фазой （1.9）.
Так как среднее квантовомеханическое значение координаты осциллятора или электромагнитного поля полностью определяется вещественной частью параметра когерентного состояния, то оно будет точно таким же, как для слабо некогерентного состояния классического осциллятора. Это обстоятельство, а также то, что построенное состояние является когерентным, т. е. обладает минимальной квантовомеханической неопределенностью, говорит о физической близости （или соответствии） его классическому слабо некогерентному состоянию. Можно произвести и чисто формальный переход к пределу 力—О, зафиксировав 2. Так как неопределенность когерентного состояния
не зависит от 2, но лишь от 力，то она устремится к нулю и состояние строго перейдет в слабо некогерентное, классическое.
Таким образом, в данном пункте построено квантовомеханическое состояние осциллятора, соответствующее классическому слабо некогерентному состоянию.
Сжатые состояния
Основные свойства сжатых состояний. Сжатые состояния были теоретически открыты Столером в 1970 г. [11], хотя фактически в научной литературе они фигурировали, начиная с работы К. Хусими [12] (1956). Как отмечалось выше, распределение вероятностей в начальный момент может быть произвольного вида. Для когерентного состояния оно гауссово с дисперсией, равной дисперсии вакуумного состояния. Поэтому правомерен вопрос, как будет развиваться состояние, описываемое, подобно когерентному состоянию, гауссовым распределением, но с другими параметрами.
Немалую роль в популяризации сжатых состояний и, в конечном счете, — в их экспериментальном наблюдении сыграл изящный математический аппарат, также предложенный Столером. Согласно этому предложению сжатое состояние определяется как собственное состояние некоторого оператора b
=(1)
связанного (вместе с сопряженным оператором b+) с операторами уничтожения а и рождения а+ соотношениями
b = i^a +, b+= г/*а + 从*а+,(2)
где°°
|〃| —財=1.(3)
Нетрудно убедиться, что подобно операторам а и а+ операторы b и b+ удовлетворяют перестановочному соотношению
[b;b+] =bb+ —b+b= 1.(4)
В связи с введением операторов 6 и b+, вполне аналогичных операторам а п а+, возникает соблазн трактовать состояние |q) как когерентное состояние некоторого другого осциллятора — осциллятора с другой частотой s' # Однако такая трактовка оказывается верной лишь, если воспользоваться представлением об осцилляторе с комплексной частотой. Особенно ясно это видно, если перейти к координатному представлению. Сначала построим координатное представление для когерентного состояния. По определению имеем
⑸⑸а I 2)= 2 I 2),
⑸
⑸
где 2 — произвольное комплексное число и
⑹
Умножая слева равенство (??) на вектор 〈 q | ——собственный для оператора q, получим уравнение
力力s = д/2 以j,dqs = д/2 以j,dq吼=吼(q) =〈 q I 2).吼=吼(q) =〈 q I 2).⑺⑺
力
力
s = д/2 以j,
dq
s = д/2 以j,
dq
吼=吼(q) =〈 q I 2).
吼=吼(q) =〈 q I 2).
⑺
⑺
Разрешая его, получим
吼(q) = A exp吼(q) = A exp⑻⑻
吼(q) = A exp
吼(q) = A exp
⑻
⑻
где А — нормировочный множитель. Обратим внимание, что в этом выражении комплексным может быть только член, вычитаемый из q, в то время как коэффициент при круглой скобке всегда отрицателен 3 > 0).
Теперь построим координатное представление для сжатого состояния. Умножая слева равенство (??) на тот же вектор (q\, получим уравнение
⑼⑼力(从 —z/) ^^ + s (从 + z/) q认=д/2力s q 认.
⑼
⑼
Разрешая его, получаем
映⑷=4 exp映⑷=4 exp2П2П(10)(10)
映⑷=4 exp
映⑷=4 exp
2П
2П
(10)
(10)
где A — также нормировочный множитель. Для сжатого вакуума (q = =0) нормировочная константа равна
А=(IM + 岡『/7rq •
Как видим, поскольку 从 п ^ — комплексные числа, то множитель перед круглой скобкой также комплексный, и это сильно отличает выражение (??) от (??). Как будет видно далее, фазы параметров 从 п могут изменяться со временем. Поэтому определим условие, при котором
множитель (从 + г/) / (〃 一 z/) может быть вещественным. Представляя этот множитель в виде
从 +］从1 + m ё—汕 _ ］从1 + m cos% - г I ^1 sin耽e一汕
从一〃］从1 -心| 碑0］从］ - 心| cos?/；0+ И ^1 sin^oe_分觇，
где
耽=屮n-.(12)
Аргумент ⑦ выражения (??) определяется соотношением
,,,/ + 岡 sin% I . 財 sin% 、
=-2 1从1 .m sin 耽.
Таким образом, условие вещественности отношения (11) имеет вид
^q = П7Г, п = 0, 1,2,.(14)
При выполнении этого условия сжатое состояние, определяемое равенством (??), может быть представлено как когерентное состояние некоторого осциллятора, отличного от исходного (с частотой s).
Рассмотрим теперь развитие во времени сжатого состояния, определяемого соотношением (??). Для этого примем его в качестве начального и исследуем, во что оно превращается со временем. В момент 方
ВИДВИДполучающееся таким образом состояние имеет
ВИД
ВИД
|s(U) = e~^ta+a |0 =「必力/%—(1/2)丨寸
l°b)=l°b)=(1/2)|d「心宀£］к ^^ ^ ^a^rn e^ta+ae_^ta+a
l°b)=
l°b)=
(i/2)ld£^ k 5*「如*++ "*ё2"%)］б「2"儿+。10b).(15)
Отсюда видно, что состояние | S (方))сохраняет свой смысл, как сжатого состояния, поскольку оно остается когерентным в некотором новом базисе У, Ь'+: действительно, изменяются лишь коэффициенты 从 п ^
“=〃”力，J = ие~гш1“=〃”力，J = ие~гш1(16)(16)
“=〃”力，J = ие~гш1
“=〃”力，J = ие~гш1
(16)
(16)
при сохранении соотношения (??).
Состояние
106)=「如儿"]06),(17)
фигурирующее в (??), есть вакуумное состояние для операторов Ь'+ и У. Очевидно, имеем
У I 0〃)= (“а + /а+)「如儿+а I 0ь) = У I 0〃)=
=「必力а+а (“а + /а+)е必力/%—必力а+а |0Q =
=е—必力а+°Ь I 0^ = 0;(18)
это доказывает, что | 0〃 ) — вакуумное состояние для операторов Ь'+ и У.
Вычислим далее дисперсию сжатого состояния и ее зависимость от времени. Дисперсия определяется равенством
02 = (q2)_(g)2 = ^ 卜(小 +a)2 _〈(小+公户)卜(19)
Так как
(а+ + а)? = 1 + (а+2 + а? + 2а+а)(20)
и
а+?=从2b+? + 川俨—2〃 ^Ь^Ь -从丿，
а2 = "ь+? + 乩*2a - 2〃》b+b -从*厶
a+а =-卩 ub+2 -从》*庐 + (14『+ 同В b+b + m2，(21)
то усредняя по | q) оператор а+? + а? + 2а+а, получим
(а+2 + а? + 2а+а)=
[(从-^) s* + (从* -丿)sf+ 2 I ^I2 - a"* -从》. (22)
Нетрудно видеть, что выражение в квадратных скобках есть просто среднее значение оператора а+ + а, т. е. при вычитании в (??) квадратная скобка исчезнет. Отсюда ясно, что дисперсия сжатого состояния такая же, как дисперсия вакуумного состояния в базисе Ь. Таким образом, квадрат дисперсии равен
02 = ^ )从12 + 岡2 -2|从|W|cos/.(23)
Припомним теперь, что 从 п ^ изменяются со временем в соответствии
с (??). Тогда для квадрата дисперсии получаем выражение
[|〃『+ \у\2 -2 |/1| \y\cos{2ut + ^Q^ .(24)
Таким образом, дисперсия принимает минимальные значения
財『(25)
два раза за период в моменты времени, определяемые соотношением
(26)(26)тД) + 2s 方=2п7г,
(26)
(26)
и максимальные значения
<ах = ^(1м1 + 1И)2<ах = ^(1м1 + 1И)2(27)(27)
<ах = ^(1м1 + 1И)2
<ах = ^(1м1 + 1И)2
(27)
(27)
также два раза за период при
2о + 2s 方=2 (八 + 1) 7г.2о + 2s 方=2 (八 + 1) 7г.(28)(28)
2о + 2s 方=2 (八 + 1) 7г.
2о + 2s 方=2 (八 + 1) 7г.
(28)
(28)
Отметим, что моменты минимальной и максимальной дисперсии совпадают с теми моментами (??), когда сжатое состояние |q) может рассматриваться как когерентное состояние некоторого осциллятора. Частоты этих осцилляторов равны
(29)(29)M +財УM +財У■' = 3 (1м1 + 財『
(29)
(29)
M +財У
M +財У
С〃 j“ 財У
Как видим, минимальной дисперсии соответствует большая частота ГУ, а максимальной дисперсии — малая частота С〃：
(30)(30)?lf > ш > С〃.
(30)
(30)
Как будет видно в дальнейшем, именно зависимость (??) определяется экспериментально и свидетельствует о наличии сжатых состояний, так как минимальная дисперсия может быть меньше, чем дисперсия вакуумного и когерентного состояний. Приведем выражение для среднего значения поля
（石）=m [|从|cos （%一映）一同 COS（% 一映）].（31）
Зависимость от времени в этом выражении можно учесть, если вместо ⑦从 подставить 屮乩 + 3 t и вместо ⑦“ подставить ⑦“一s 方.
Таким образом, зависимость среднего значения от времени является гармонической. Из соотношения (??) видно, что максимальная и минимальная дисперсии могут приходиться на любую фазу гармонических колебаний электрического поля. Действительно, пусть ⑦从=—^ = ^, тогда
|〃| cos|〃| cosQtt -认)-同 cos Qtt + 认)Qtt -认)-同 cos Qtt + 认)(32)(32)
|〃| cos
|〃| cos
Qtt -认)-同 cos Qtt + 认)
Qtt -认)-同 cos Qtt + 认)
(32)
(32)
так как здесь есть свободный параметр ^, то при фиксированной разности ⑦从—тДу, определяющей положение максимальной и минимальной дисперсии, фаза поля может произвольно меняться.
Обычно сжатое состояние характеризуют коэффициентом сжатия
K =+(33)
厶minV 厶min
Этот коэффициент меняется от единицы для когерентного состояния (|М = 0) до больших значений (в принципе, до бесконечности) для сильно сжатых состояний (心| — оо). Однако имеются энергетические ограничения на этот коэффициент, т. е. при данной средней энергии колебаний осциллятора коэффициент сжатия не может принимать значений, больших некоторого максимального. Для отыскания этого максимального значения коэффициента сжатия вычислим среднее число фотонов в сжатом состоянии
N = «| а+а I С =
=К『［(1м1 + 財『sin2 ⑦ + (|〃| —財)2 cos2 曰 + 財2 . (34)
Как видно из (??), сжатие тем больше, чем больше \v\. При заданном числе фотонов N величина |z/| будет максимальной при |q『=0, т.е. в состоянии сжатого вакуума. Тогда
\v^ =N(35)
и
Kmax = (N+ I)"? + N1/2；(36)
это и есть максимально достижимое значение коэффициента сжатия. Приближенно при больших N》1 имеем
Ктах 更 2N1/2.(37)
В оптическом диапазоне при энергии порядка одного джоуля, запасенной в резонаторе, коэффициенты сжатия могут достигать значений порядка 1010. Это драматически не совпадает с тем, что достигнуто в экспериментах; в настоящее время реализованы коэффициенты сжатия
ММввРис. 3. Амплитуды колебанийи дисперсии в когерентном (а),сжатом (6) состояниях и состо-янии сжатого вакуума ⑹Рис. 3. Амплитуды колебанийи дисперсии в когерентном (а),сжатом (6) состояниях и состо-янии сжатого вакуума ⑹герентном состоянии поля; негерентном состоянии поля; неот нескольких процентов более единицы до нескольких единиц. Относительно причины подобного расхождения см. глава 4, раздел 3.
М
М
в
в
Рис. 3. Амплитуды колебанийи дисперсии в когерентном (а),сжатом (6) состояниях и состо-янии сжатого вакуума ⑹
Рис. 3. Амплитуды колебанийи дисперсии в когерентном (а),сжатом (6) состояниях и состо-янии сжатого вакуума ⑹
герентном состоянии поля; не
герентном состоянии поля; не
Отметим, что максимальное значение коэффициента сжатия достигается, как отмечено выше, при ® = О, т. е. в случае, когда колебания поля отсутствуют,〈石)=0. Такие состояния обычно называют сжатым вакуумом. Следует иметь в виду, что сжатый вакуум имеет мало общего с вакуумным (наинизшим) состоянием; сжатый вакуум может быть высоковозбужденным, высокоэнергичным состоянием.
Изложенные данные приводят к следующей наглядной картине (рис. 3). На рис. 3 а изображены колебания при ко- изменяющаяся со временем дисперсия
передана толщиной линии. Как обычно при макроскопической энергии, дисперсия невелика по сравнению с амплитудой. На рис. 3 6 изображены колебания при сжатом состоянии поля. Здесь уже толщина линии сравнима с амплитудой колебаний и изменяется со временем. Точка с наименьшей дисперсией может иметь любую фазу относительно колебаний поля. На рис. 3 в изображены «колебания» в состоянии сжатого вакуума. Слово колебания взято в кавычки, так как теперь колебаний с основной частотой s фактически нет. Есть только изменения дисперсии с удвоенной частотой.
U ⑶=exp ； (2a2 - 2*a+2U ⑶=exp ； (2a2 - 2*a+2(38)(38)При вычислениях со сжатыми состояниями важную роль играет оператор унитарного преобразования когерентного состояния в сжатое, введенный Д. Столером. Этот оператор имеет вид
U ⑶=exp ； (2a2 - 2*a+2
U ⑶=exp ； (2a2 - 2*a+2
(38)
(38)
где 2 — произвольное комплексное число. Нетрудно показать, что операторы уничтожения и рождения преобразуются с помощью этого оператора следующим образом:
(39)(39)У = U(2)aU+(2)= a ch 广 + a+e-^sh г,= U ⑶。+。+ ⑶=а е碑sh г + а+ch
(39)
(39)
где г = |^| и ф = arg 2. Как видим, это преобразование есть частный
случай преобразования (2), приводящего к сжатым состояниям и соответствующим
脈=О-
То, что оператор U ⑶ преобразует когерентное состояние в сжатое, видно из следующего рассуждения. Пусть | а) есть когерентное состояние, т. е. собственное состояние оператора а. Записав равенство (39) в виде
и(2)а = Уи(2),
легко убеждаемся (U {z) а \ а) = aU {z) | о) = bfU (2) | a)), что состояние I a) = U(2)I a) является собственным для оператора У, т. е. сжатым состоянием.
Отметим некоторые важные особенности, вносимые сжатыми состояния в поляризационную структуру света [13]. Пусть в плоской волне
Ё(г)=А \ех (。+「涼尸 + з.с.) + еу ^е~^ + з.с.)](40)
осцилляторы а и 6 находятся в когерентных состояниях | £, 〃) с параметрами соответственно £ н 〃• Тогда поле Е (г) можно выразить через поляризационные векторы
71 = (£*备 + 〃*弓)N,『2 = (—〃 4 + £ 弓)N,
двух ортогональных, в общем случае эллиптических поляризаций -
Е(г) = А [卜―疾％+『1 + 9.С.) + 卜―疾％+ 石 + 9.С.)] ,(42)
где
с+ =怎 a+ + 〃 b+) N, d+ = (—〃*a+ + £*b+) N, (43)
—операторы рождения фотонов эллиптических поляризаций. Нетрудно убедиться теперь, что исходное когерентное состояние является собственным дл операторов уничтожения с и d с собственными значениями I |£| + |〃| ) и 0. Это означает, что в случае, когда состояния поляризационных осцилляторов когерентные, суммарное поле можно свести к одному возбужденном осциллятору, причем поля в этом случае складываются по известному правилу параллелограмма.
Совершенно иная картина имеет место в случае, когда осцилляторы поля находятся в состоянии сжатого вакуума. Чтобы убедиться в этом, снова воспользуемся выражением (??) для поля, считая, однако, что и ту теперь никак не связаны с состоянием поля, а являются просто
параметрами, определяющими представление поля в форме (??). Обычно состояние поляризации анализируют с помощью фазовой пластинки и поляризатора: фазовая пластинка превращает эллиптическую поляризацию в линейную, которая легко распознается поляризатором. Рассмотрим, насколько эта процедура эффективна в случае, когда осцилляторы поля находятся в состоянии сжатого вакуума. После прохождения фазовой пластинки волна (??) примет вид
Е(г) = + 9.С.) + 5 d+ Э.С.)]，(44)
где 8 — фаза, вносимая в поляризацию с фазовой пластинкой. Волну, прошедшую через поляризатор, получим, спроектировав (??) на направление пропускания поляризатора, определяемое вектором
ci = е^ cos а — & sin q，ci = е^ cos а — & sin q，(45)(45)
ci = е^ cos а — & sin q，
ci = е^ cos а — & sin q，
(45)
(45)
где а — угол между 瓦 и осью х,
石1 = 4 {卜—涼『+?%+ (£* cos а — 〃* sina) + o.c.]—
-[с—"力d+ ⑺ cosq + £ sina) + o.c.] } N. (46) Интенсивность прошедшего света равна
I = 42уу2{(с+с + сс+) [|^|2 cos2 а + | 〃『sin2 а -
—(§*〃 + § 〃*) sin Q cos а] +
+ (d+d + dd+)卜§『sin2 a + |〃『cos2 a + (£*〃 + £ 〃*) sin a cos a]- -2 ^c^d (£* cos a -〃* sin a) (〃* cos a + £* sin a) + э.с.] }.(47)
При усреднении по сжатому вакууму нужно принять во внимание, что оператор c+d(c = 〃:(У - глс'+, d =応d! - ^2^'+) из состояния сжатого вакуума производит состояние, ортогональное ему, поскольку операторы с+ и d действуют на разные составляющие состояния |0,0). Таким образом, среднее значение последней квадратной скобки в (47) оказывается равным нулю. Следовательно, интенсивность света, прошедшего через поляризатор, равна
{I) = A2N2 ^(2 |/『 + 1)х
X I"图2 cos2 а + |〃『sin2 a - (£*〃 + £ 〃*) sina cos a +
+(2 I 也『+ 1) х
х [图2 sin2 а + |〃『cos2 a + (£*〃 + £ 〃*) sin Q cos q] }(48)
и не зависит от фазы 8, вносимой фазовой пластинкой. Интересно, что при равных числах фотонов в осцилляторах end
|^1|2 =心2『=№『(49)
исчезает также зависимость от угла поворота поляризатора а
а)= *(2 lY + 1)，(50)
т. е. сигнал, прошедший через поляризатор, не зависит от его угла поворота. Такое же положение имеет место при круговой поляризации обычного света, но там имеет место зависимость от 8; после изменения 5 восстанавливается и зависимость от а. В сжатом же свете никаким изменением 5 нельзя восстановить зависимость от а. Ситуация похожа на ту, которая существует в неполяризованном свете. Однако это сходство имеет место лишь при измерениях на длительных интервалах времени, больших времени когерентности неполяризованного света. На временах, меньших времени когерентности, поляризационная структура обычного света обязательно проявляется. Таким образом, поляризационная ситуация со сжатым светом совершенно необычна. В литературе такой свет получил, возможно, не очень удачное название —«скалярный свет» [13]. Важным следствием этого рассмотрения является то, что в сжатом свете нельзя два поляризационных осциллятора свести к одному и, в частности, оказывается несостоятельным правило параллелограмма. Отметим также, что возможны и другие неклассические поляризационные состояния [13].
Возбуждение сжатых состояний. Параметрический резонанс. Основным способом возбуждения сжатых состояний электромагнитного поля является параметрическое возбуждение осциллятора. Вследствие важности этого процесса рассмотрим сначала соответствующую классическую, т. е. неквантовую задачу.
Классическая задача. Рассмотрим комбинированное возбуждение осциллятора. Этот процесс описывается гамильтонианом
Н =；(夕2 + q2 ⑴ q2)— g . / ⑴.(51)
Уравнения Гамильтона имеют вид
= -d y + /⑴.(52)
Дифференцируя первое из этих уравнений и подставляя в него второе, получаем
禦一便⑴y + /⑴.(53)
Это уравнение как раз и показывает, что возможно двоякое возбуждение осциллятора — прямое, посредством внешней силы / (方)и параметрическое, посредством изменения со временем параметра (собственной частоты Q (t)). В дальнейшем наиболее важным будет случай, когда / (t) = 0 и собственная частота осциллятора зависит от времени периодически. Конкретно будем полагать
Q2⑴=/(1 + Qsin 以方).(54)
В этом случае уравнение (53) является уравнением Матье, которое ниже исследуется. Для аналитического решения будет важен случай, когда величина а представляет собой малый параметр а « 1.
Уравнение Матье. Уравнение Матье имеет вид
F + Q2(l+asin^t)F = 0.(55)
Так как это есть уравнение с коэффициентом, зависящим от времени периодически, то согласно теореме Флоке решение этого уравнения может быть представлено в виде
F⑴=eu⑴，(56)
где и (方)—периодическая функция с частотой s и 》(&,&) — некоторый параметр, который будет определен ниже.
Пусть внешняя частота s близка к удвоенной частоте осциллятора
= 2Q + △&.(57)
Искомое решение представим в виде
歹⑴=eiAt [Аёш^В] ,(58)
где А предполагается близким к —Q.
Почему нужно взять такое А? Чтобы понять это рассмотрим возбуждение осциллятора внешней силой. Оно эффективно в том случае, когда внешняя сила содержит резонансные частоты, т. е. частоты, близкие к собственной частоте осциллятора. Если выражение
aCl2 ' F ⑴
перенести в правую часть и рассматривать как возбуждающую силу, то важную роль будут играть те компоненты этого выражения, которые
попадают в резонанс с невозмущенным осциллятором. Именно поэтому А должно быть близким к —Q. Поэтому положим
А = -Q - I Л^ + ЛА.(59)
В этом случае решение (??) можно представить в виде
歹⑴=е"△入力 Ае V 2 J + Be У 2 丿.(60)
Нетрудно видеть, что умножение этого выражения на sins方 будет переводить положительно частотное слагаемое в отрицательно частотное и наоборот.
Подставляя это выражение в уравнение (55) и пренебрегая нерезонансными членами, получим уравнение
^(呉3 +口仆+4+以+
— АЛ丿 +(61)
1◊ / 分(t—iI Q+^— △入)力、
+ -zaQ2 Be V 27 - Ae V 27=0.
Приравнивая нулю отдельно положительно и отрицательно частотные части, получим систему
4+ ；〃аСМ = 0,
(62)
Детерминант этой системы должен быть равен нулю и тогда имеем
△入=±；々j} Q2a2 —(63)
Если |Лс<;| < ictQ, то имеется два решения (60), одно из которых является затухающим со временем, другое — нарастающим. Наличие нарастающего решения, как раз и означает, что имеет место параметрический резонанс. Если 〔△以| > | ctQ, то оба решения ограничены. При точном резонансе Лс<; коэффициенты А п В связаны соотношением
4 =干石(64)
и решение (60) имеет вид
ь⑴=4 • e干"Q力（C4力±「4力）.ь⑴=4 • e干"Q力（C4力±「4力）.(65)(65)
ь⑴=4 • e干"Q力（C4力±「4力）.
ь⑴=4 • e干"Q力（C4力±「4力）.
(65)
(65)
Обобщенная теорема Глаубера. Рассмотрим теперь соответствующую квантовую задачу. Гамильтониан осциллятора, возбуждаемого комбинированно, т. е. как внешней классической силой (или током), так и параметрически, как и прежде, имеет вид
Н = ； >2 + Q2 ⑴円—q . / ⑴.(66)
Соответствующее уравнение Шредингера
=一亍方2+亍便⑴q2@一f⑴q@.(67)
имеет решение
4 iF Л
3(«，и = ^щехр — Q2 + - Q + Ф ,(68)
где F (方)удовлетворяет уравнению
F + Q2 (t) • F = 0(69)
и
.力t2
△ = △0 + ^ 而歹(丁)/(丁)， Ф (t) = Фо + I гП dr [y^jj，О。) оо
где А — нормировочный множитель
Для проверки этого достаточно производные
ЭФ 4ЭФ 4F
ЭФ 4
ЭФ 4
2歹 З/2 +
exp [...],exp [...],12 Ар —△户
exp [...],
exp [...],
+2 力歹2q + -q +
aw a (if]
iF存+存力戸iF存+存力戸exp [...],exp [...],
iF
存+存力戸
iF
存+存力戸
exp [...],
exp [...],
подставить в уравнение (67). Символом [...] в производных обозначена квадратная скобка в (68).
Подчеркнем, что функция (68) описывает именно сжатое состояние, так как коэффициент при q2 в показателе экспоненты в (68), определяющий, как известно, дисперсию состояния, является функцией времени. Отметим также, что волновая функция (68) является точным решением квантовой задачи (67). Т. е. наиболее важная, квантовая часть задачи решена точно. Последующие приближения делаются лишь в рамках решения дифференциального уравнения (69), которое при 你⑴=Q2(1 +а • sincjt) становится хорошо исследованным уравнением Матье.
Если начальное состояние осциллятора вакуумное, то функция F (方) должна удовлетворять начальному условию
户0 = 4用，(71)
где индексом 0 отмечены начальные значения соответствующих величин и Q = Q(0).
Квадрат модуля волновой функции (68) равен
А2WехрА2WехрQ G 2 Re [△⑴ь*⑴]方尸(力2尸⑴『Q G 2 Re [△⑴ь*⑴]方尸(力2尸⑴『(72)(72)
А2
Wехр
А2
Wехр
Q G 2 Re [△⑴ь*⑴]
方尸(力2尸⑴『
Q G 2 Re [△⑴ь*⑴]
方尸(力2尸⑴『
(72)
(72)
где
G= ^(FF* —F*F).(73)
Можно убедиться, что производная G по времени равна нулю
—FF* — FF*—FF* — FF*dG _ гdG _ г
—FF* — FF*
—FF* — FF*
dG _ г
dG _ г
=—MF("*歹—尸尸*) = 0; (74)
и, следовательно, величина G постоянна и равна
G=U(用司一ь"。)■(75)
Так как коэфициент при q2 в показателе экспоненты в (72) при любом начальном условии должен быть отрицательным, то величина G — положительна. При начальном вакуумном состоянии, т. е. при условии (71) 2
G=Fo|2. (76)
Из (72) можно заключить, что дисперсия состояния (68) равна
炉(77)
а при условии (71)
Среднее значение координаты в состоянии (68) равно
⑷二况R(79)
и при условии (71)
⑷二。卢(80)
Первое из соотношений (70) и соотношение (79) показывают, что среднее значение координаты может нарастать по двум причинам. Во- первых, если среднее значение координаты отлично от нуля при t = =0; во-вторых, если есть внешняя возбуждающая сила /(t) # 0. Для дальнейшего наиболее интересен случай, когда внешней силы нет, т. е. /(t) = 0, и начальное состояние вакуумное, в котором среднее значение координаты равно нулю. Тогда △(" = 0, и можно также положить ①(£ = 0.
В любом случае главной причиной, определяющей дисперсию сжатого состояния, является |F(t)|2. Изложенное решение квантовомеханической задачи в несколько иной форме дано во многих литературных источниках [14].
Воспользуемся решением уравнения Матье, полученным выше по теории возмущений. Для этого нужно образовать комбинацию решений (65), удовлетворяющую начальному условию (71). Эта комбинация имеет следующий вид:
(81)(81)F{t) = e-^aQt ^cos^t+ M-^je^^^sinQt
(81)
(81)
Соответственно, квадрат дисперсии сжатого состояния пропорционален 尸⑴ |2= }aQLcOsfU+^/aQ 力・sinfu) + ^。"力• sil? Q 九(82) Максимальные значения дисперсии достигаются при cos2 Q t = =0, sin2 Q t = 1
尸 Еах=(1 + ^)・е№^・ (83)
Минимальные значения дисперсии достигаются при cos2 Q t = =1, sin2 Q t = О
尸eЕ=「m^(84)
Таким образом, коэффициент сжатия
(85)(85)К=卡尸Нах/尸
(85)
(85)
возрастает со временем по экспоненциальному закону. Разумеется, следует иметь в виду, что всегда есть те или иные процессы насыщения, которые ограничат коэффициент сжатия. Так, например, выше показано, что на коэффициент сжатия имеются энергетические ограничения.
Возбуждение сжатых состояний — эксперимент. Идеи, изложенные в предыдущем пункте, были реализованы в экспериментах [15, 16]. Схема установки, использованной в [16] показана на рис. 4.
Рис. 4. Схема наблюдения сжатого света группой проф. Кимбла. 1 — неодимовый лазер с внутрирезонаторным удвоением частоты, 2 — призма, отделяющая первую гармонику от второй, 3— параметрический генератор, 4 — опорный пучок первой гармоники, 5— зеркало, 6 — детекторы, 7 — устройство сравнения сигналов детекторовРис. 4. Схема наблюдения сжатого света группой проф. Кимбла. 1 — неодимовый лазер с внутрирезонаторным удвоением частоты, 2 — призма, отделяющая первую гармонику от второй, 3— параметрический генератор, 4 — опорный пучок первой гармоники, 5— зеркало, 6 — детекторы, 7 — устройство сравнения сигналов детекторов
Рис. 4. Схема наблюдения сжатого света группой проф. Кимбла. 1 — неодимовый лазер с внутрирезонаторным удвоением частоты, 2 — призма, отделяющая первую гармонику от второй, 3— параметрический генератор, 4 — опорный пучок первой гармоники, 5— зеркало, 6 — детекторы, 7 — устройство сравнения сигналов детекторов
Рис. 4. Схема наблюдения сжатого света группой проф. Кимбла. 1 — неодимовый лазер с внутрирезонаторным удвоением частоты, 2 — призма, отделяющая первую гармонику от второй, 3— параметрический генератор, 4 — опорный пучок первой гармоники, 5— зеркало, 6 — детекторы, 7 — устройство сравнения сигналов детекторов
3 В.П. Быков
Схема состоит из трех главных частей. В левом верхнем углу показан генератор излучения накачки, представляющий неодимовый лазер с внутрирезонаторным удвоением частоты. В средней части показан собственно параметрический генератор, в котором вторая гармоника
лазерного излучения модулирует оптическую длину параметрического резонатора, параметрически возбуждая тем самым первую гармонику.
Рис. 5. Зависимость дисперсии от фазы опорного сигнала 少Рис. 5. Зависимость дисперсии от фазы опорного сигнала 少Следует отметить, что в этих частях схема возбуждения принципиально не отличается от использовавшейся в ранних экспериментах [17, 18]. Отличие заключается в дополнительном устройстве (правый нижний угол рисунка), которое анализирует состояние света, генерируемое в параметрическом резонаторе.
Рис. 5. Зависимость дисперсии от фазы опорного сигнала 少
Рис. 5. Зависимость дисперсии от фазы опорного сигнала 少
На рис. 5 даны результаты наблюдений. Как видим, дисперсия параметрически возбуждаемого сигнала осциллирует дважды за период
светового поля; период изменения тг, а не 27r. Видно также, что при некоторых значениях фазы ” сигнала дисперсия становится меньше той, которая соответствует вакуумному состоянию (пунктирная линия). Это как раз и говорит о том, что свет находится в сжатом состоянии. Коэффициент сжатия К составлял примерно К = 1,5 [15, 16], а впоследствии был доведен до величины К^б [19].
Покажем, что объяснение явлений, происходящих в подобном устройстве, действительно сводится к теории гармонического осцилля
тора.
Вывод уравнений. Уравнения Максвелла при распространении волн вдоль оси 2 сводятся к уравнению
(86)(86)Э2Е п2 Э2Е _ 47r д2Рп9/2 С2 9 方2 。2 а 力2 '
(86)
(86)
где Рп — нелинейная поляризация среды, равная Рп = у Е2.
Пусть поле Е представляет собой сумму поля накачки Е и параметрически возбуждаемого поля Е\
(87)(87)Е = Е + 石1.
(87)
(87)
Поле накачки Е будем считать заданным и удовлетворяющим уравнению
》Е _ п2 92е.д z1 da#’
поле Ei будем считать много меньшим поля накачки Е. Тогда для Ei получаем уравнение
万丁= 丁乔（E +2EE1 +万丁= 丁乔（E +2EE1 +(89)(89)
万丁= 丁乔（E +2EE1 +
万丁= 丁乔（E +2EE1 +
(89)
(89)
В круглой скобке можно пренебречь малым слагаемым Е，. Слагаемое Е2 нерезонансно как по частоте, так и по пространственному распределению. Следовательно, главным является слагаемое 2ЕЕ>
Вторая производная имеет вид
乔（EEi） =苏石1+2丽订+ Ew乔（EEi） =苏石1+2丽订+ Ew(90)(90)
乔（EEi） =苏石1+2丽订+ Ew
乔（EEi） =苏石1+2丽订+ Ew
(90)
(90)
Наибольшим из этих слагаемых является первое, так как величина Е наиболее высокочастотная.
Величину Ei представим в виде
(91)(91)石1 = е (方)• sin kz.
(91)
(91)
Очевидно, величина Е\ подчиняется уравнению
Э2Е1д z2Э2Е1д z2=—ME，=—ME，(92)(92)
Э2Е1д z2
Э2Е1д z2
=—ME，
=—ME，
(92)
(92)
Поэтому уравнение для Е\ можно представить в виде
п2 Э2е .п2，.
F -7—7 Sin 卜2 Н5— е Sin 卜2 —
C2少方/C2
32"产 e sin к? • E cos 2kz • sin 2G 方=0. (93)
Умножаем это уравнение на sin kz и интегрируем по 2 от —L до L
L
、1
dz • sin2 kz • cos 2kz = - L.
—L
Таким образом имеем
(94)(94)+ j (1 + a sin 2s 方)е = 0,
(94)
(94)
т. е. уравнение Матье, где
з*з*n2n2
з*
з*
n2
n2
Таким образом амплитуда параметрически возбуждаемого поля действительно подчиняется уравнению Матье. Можно убедиться, что это уравнение является следствием гамильтониана (66), если амплитуду поля е (方)принять в качестве координаты осциллятора; поэтому переход к квантовому случаю происходит просто посредством замены в гамильтониане координаты и импульса операторами, подчиненными соответствующему коммутационному соотношению, т. е. к квантовой задаче, описываемой уравнением (67).
Возможные применения сжатого света. Ниже для иллюстрации даны два примера применений сжатого света, касающиеся интерференционных измерений [20] и нелинейных явлений [21, 22]. Учитывая многообразие форм интерференционных измерений, проявлений нелинейных явлений и видов информационной связи, речь может идти именно о простых примерах, которые, однако, выявляют принципиальные преимущества применения сжатого света. Более подробно о возможных применениях сжатого света можно узнать из обзора [23].
Подавление шумов в интерферометре Маха-Цендера. Принципиальная схема интерферометра показана на рис. 6. В обычном режи-
Рис. 6. Схема интерферометра Маха-ЦендераРис. 6. Схема интерферометра Маха-Цендераферометра а. Прохождениеферометра а. Прохождениеме, т. е. без подавления шумов с помощью сжатого света, в интерферометр по каналу b поступает монохроматический свет (например, свет от лазера, находящийся в когерентном состоянии). Полупрозрачным зеркалом mi он расщепляется на два луча, которые распространяются по плечам интерферометра до полупрозрачного зеркала 加2・ Оптические длины плечей интерферометра различны, разность набегов фаз в этих плечах создается обычно исследуемым объектом и является измеряемой величиной. Пройдя через полупрозрачное зеркало 加2, пучки попадают на детекторы 歹 n G; токи фотодетекторов усиливаются и подаются на разностную схему.
Рис. 6. Схема интерферометра Маха-Цендера
Рис. 6. Схема интерферометра Маха-Цендера
ферометра а. Прохождение
ферометра а. Прохождение
Сжатый свет, посредством которого можно подавлять шумы в этом устройстве, подается в свободный канал интерпучков света через полупрозрачное (50 %-
ное) зеркало описывается соотношением
где а, Ь, с, d — операторы уничтожения фотонов в соответствующих пучках света (рис. 6). Нетрудно видеть, что если забыть об операторном смысле этих величин, то соотношение (96) имеет простой смысл классического соотношения, связывающего поля по обе стороны от зеркала. В этом соотношении опущен несущественный общий набег фазы полей на зеркале и учтена лишь разность их фаз 2р. Несущественный общий набег фаз опускается и в последующих соотношениях.
Амплитуды с и d при прохождении по плечам интерферометра приобретают дополнительные фазы ⑦ и —⑦，что описывается соотношением
Прохождение световых пучков через полупрозрачное зеркало 加2 описывается соотношением
аналогичным соотношению (??); величины д и f — операторы уничтожения фотонов в соответствующих плечах. Перемножая матрицы, получаем для g н / следующие выражения:
д = ек (在叩 sin о • а + cos о •,
(99)
/ = с—"' (cos о • а + ге~гр sin о • b),
гдеI
S 己伉一0)，
I(ЮО)
。=q (p +0+ 2啰•
Токи в детекторах пропорциональны числам фотонов в плечах ри/; для операторов числа фотонов получаем выражение
Nf = /+/ =
=а+а cos2 о + 5 (а+Ъе~1р — ab+e"°) sin а • cos а + b+b sin? а,
(Ю1)
Ng = д^д =
=а+а sin2 а — г (а+Ъе~1р — ab+e"°) sin а • cos а + b+b cos? а.
Разность же чисел фотонов равна
AN = Nf — Ng =
=(а+а - b+b) cos2а + 2г(6一"°a+b - еграЬ^ sin2а.(102)
Для усреднения этих и других операторов по сжатому состоянию света в плече а введем операторы А и 4+ (см. (2)):
а+ =生4+ - z/4, а+ = -zM+ + 心，|〃『-財？ = 1, (ЮЗ) где коэффициенты 从 п ^ характеризуют сжатое состояние | q) в плече а. Теперь, учитывая, что свет в плече а находится в состоянии сжатого вакуума (q = 0), а свет в плече b в когерентном состоянии I z), находим средние значения различных операторов
(а+а)=財 2，〈 а?〉=〈 а*?)=丿，
/、(1°4)
〈b+b) = |2『，｛a^aa^a)=心『(2 |〃『+ 財•
Таким образом, интерференционная картина, определяемая как зависимость разности средних чисел фотонов в плечах р и / от фазы а, описывается выражением
=〈/+/ — g+g〉=(財2 —匕|2) cos2a, (105)
(см. рис. 7). Поскольку интенсивность сжатого света всегда мала, то №『 « |2『 (№『，|2『 — средние числа фотонов в плечах а и 6) и на интерференционную картину сжатый свет практически влияния не оказывает. Совершенно иная картина в шумах.
Интенсивность шумов тока пропорциональна величине
D =〈△М〉—心疗.(106)
Согласно (102), имеем
△N? = ^аа^а - 2a+ab+b + b+bb+b) cos2 2о-
-(様叩。2b+2 — e-2z%+2b2 — 2a+ab+b —。+。— b+b) sin2 2u (107)
Усредняя это выражение по начальным состояниям и вычитая из него 〈A7V К，получим
О =(2 |〃『財2 +〔2『)cos2 2о +
+ |2『 ^\у\21^|-2 + 2 \у\2 + 1 + 2|〃| 岡 cos V；^ sin2 2a, (108) где
ф = 2р + 2фг-ф^ + Vv
Учитывая зависимость от времени, следует иметь в виду, что ⑦之 содержит слагаемое —a)t,⑦从—слагаемое —s 方 п ⑦“ 一слагаемое s 方； таким образом, фаза ⑦ не зависит от времени и является свободным параметром, регулируемым по произволу наблюдателя посредством, например, задержки сжатого света по сравнению с когерентным.
Рассмотрим шумы в точках, где интерференционная картина (105) имеет нули, т. е. при cos2o = 0. Первое слагаемое в (108) в этом случае равно нулю и роли не играет. Во втором слагаемом sin2a = =±1 и, следовательно, величину шумов можно уменьшить, подбирая в коэффициенте при sin2 2о соответствующим образом фазу 认 Поскольку первые три слагаемых в этом коэффициенте положительны, то он, очевидно, минимален при cos 2 = —1. Тогда круглая скобка в этом коэффициенте может быть представлена в виде
гдегдеS =S =+ (I屈一岡『=+ (I屈一岡『=(Ю9)(Ю9)
где
где
S =
S =
+ (I屈一岡『=
+ (I屈一岡『=
(Ю9)
(Ю9)
Рис. 7. Квантовые неопределенности интерференционной картины без сжатого света (а) и при наличии сжатого света (6)Рис. 7. Квантовые неопределенности интерференционной картины без сжатого света (а) и при наличии сжатого света (6)в плече а мощность шумов одив плече а мощность шумов оди
Рис. 7. Квантовые неопределенности интерференционной картины без сжатого света (а) и при наличии сжатого света (6)
Рис. 7. Квантовые неопределенности интерференционной картины без сжатого света (а) и при наличии сжатого света (6)
в плече а мощность шумов оди
в плече а мощность шумов оди
—коэффициент сжатия света в плече а (отношение дисперсии вакуумного состояния к минимальной). Коэффициенты 心『и К? связаны соотношением
Поэтому с увеличением К первое слагаемое в S увеличивается, а второе — уменьшается. Величина S достигает минимума при К2 = =2 |^|； при ЭТОМ Smin = 1/ |n|. Поскольку в отсутствие сжатого света в плече а, т. е. при ^ = 0, S = =1, то видно, что мощность шумов уменьшается в |^| = л/N раз, где N — число фотонов в плече Ь. При этом оптимальное число фотонов в плече а равно
накова во всех точках интерференционной картины. В случае же, когданакова во всех точках интерференционной картины. В случае же, когдаТаким образом общая картина шумов при интерференции показана на рис. 7. В отсутствии сжатого света
накова во всех точках интерференционной картины. В случае же, когда
накова во всех точках интерференционной картины. В случае же, когда
сжатый свет имеется в плече а, должным образом сфазирован и оптимизирован по амплитуде, мощность шумов вблизи нулей интерференционной картины значительно уменьшена, что позволяет более точно измерять расстояние между нулями, а следовательно, и разность фаз двух пучков. Эти соображения были проверены в работе Кимбла и его сотрудников [24]. В примененной ими схеме измерение мощности шумов производилось на частоте 1,6 МГц при спектральной ширине канала 100 кГц. С частотой 50 Гц включалась и выключалась высокочастотная (1,6 МГц) модуляция фазы в одном из плеч интерферометра. При включенной модуляции сигнал попадал в приемный тракт. Результаты измерений представлены на рис. 8 а, 6. Рис. 8 а соответствует случаю, когда сжатого света в плече а нет; видно, что шумы на уровне вакуумных флуктуаций (пунктирная линия). Рис. 8 б соответствует случаю, когда в плече а имеется свет в состоянии сжатого вакуума; видно, что шумы существенно снизились, а отношение сигнал/шум возросло.
Рис. 8. Результаты экспериментов по использованию сжатого света в интерференционных измерениях
Сжатый свет в нелинейных явлениях. Генерация световых полей в сжатых состояниях может оказать большое влияние на нелинейную оптику. Чтобы показать это, рассмотрим нелинейную поляризацию вещества в поле, находящемся в сжатом состоянии [21, 22].
Как известно, поляризация вещества является нелинейной функцией поля и ее можно представить в виде ряда
Р (石)=a1石+ a2炉+电炉+…=£(НО)
где an — некоторые коэффициенты, характеризующие используемую нелинейную среду. Будем интересоваться 27У-ой гармоникой этой поляризации. Эта гармоника может возникнуть из члена
P2N В) = Q2nE?N(111)
приведенного выше разложения. Поле для простоты будем считать одномодовым; тогда напряженность поля равна
Е = /3 (а+ + а).
Таким образом, для вычисления 2TV-ой гармоники необходимо знать величину
〈E?n ) =〈 q\E2N I С ^〈 U (а+ + of" I С = p2N,
где I S) — сжатое состояние. Поскольку операторы а+ п а связаны с операторами b+ n b соотношениями (2), то
偌n = Q [(〃—" + (〃* ~*)b『N©(112)
зависимость сжатого состояния от времени будет учтена, если параметры 从，и взять в виде
4护力，沙「4力.
Поскольку сжатое состояние |q) является собственным для оператора Ь, то усреднение в выражении (112) можно легко выполнить, если произвести нормальное упорядочивание операторов b+ n b в операторе
=[(从+ (从* —丿)b『N =(7 6+ +T*b『N ,(113)
где 7 =从 e"Q力—v e~^t^ Среднее значение нормально упорядоченного выражения (113) равно просто 2TV-ой степени выражения
夕1 = д)ь+ + т*1С =
=7S* + 7*S =
=@ [(〃С-汕-z/*e汕)e通力+ (从* e汕-『屮)e j叫, где 夕=argq.
Оператор Вм можно представить в виде нормально упорядоченного ряда
Вм =(7 b+ + т*Ь 严=
=：(7 b+ + 7*Ь)М : +Х^7*7 : (т b+ +)*Ь严-？ ： +
+Х储*2)2 ：+ 7*严貝：
где
,М!
Х^ = 0, 2/〉М.
Это разложение нетрудно проверить непосредственно при малых М, например,
Bi =)b+ + 7*6,
В2 =: ()b+ +т*Ь『：+7*7，
Вз =:(7 b+ + 7*Ь)3 : +3)*7(7 b+ +)*Ь)
и т. д.; при больших же М его можно доказать по индукции. Усредняя 石2N по сжатому состоянию, получим
〈石2N ) = « I B2N 丨 С = £ X几(7*分夕;(NT).(114)
J=o
Обратим внимание, что в когерентном состоянии (т. е. без сжатия) 2TV-ая гармоника может возникнуть только в первом члене разложения (114), так как в этом случае 7*7 не зависит от времени (|〃| = 1, ^ = =0), а параметр pi зависящий от времени, во все члены, кроме первого, входит в степенях, меньших 2N. В сжатом же состоянии множитель 7*7 гармонически зависит от времени и, следовательно, 2TV-ая гармоника возникает во всех членах разложения (114). Как мы увидим далее, в состоянии сжатого вакуума наиболее важным будет не первый, а последний член разложения (114).
Выразим величины 7*7 и pi, входящие в (114), через параметр сжатия К. Как легко убедиться,
м = I (к + кт)с
J {К - К-^е-^^.
Тогда
1212(К + К-2)(К + К-2)1414
1
2
1
2
(К + К-2)
(К + К-2)
1
4
1
4
夕I = g © [(К + К—1)护外冲 _ (К — К—1)护1旷 + К.С.],
где
少=% 一映，少=% 一映，
2 =%一Vv
Следовательно, 〈 B^n ) принимает следующий вид:
〈石2N ) =〈 S 丨(7 b+ + 7*b)丨 С =
=£X；n -(衣2 + к—2)_ , «2 — к—2)卜24 也 + к.с.) X
+ (К — K—l) 6通力+汕'+ K.C.]2(N—7).+ (К — K—l) 6通力+汕'+ K.C.]2(N—7).
+ (К — K—l) 6通力+汕'+ K.C.]2(N—7).
+ (К — K—l) 6通力+汕'+ K.C.]2(N—7).
Выделим в этом выражении члены с частотой 27VQ:
2(DX2(DX〈石2N)2NQ〈石2N)2NQ
2(D
X
2(D
X
〈石2N)2NQ
〈石2N)2NQ
/ d \ сж.вак.\ &2N)2NQ/ d \ сж.вак.\ &2N)2NQ= (2N-1)!!卩= (2N-1)!!卩
/ d \ сж.вак.
\ &2N)2NQ
/ d \ сж.вак.
\ &2N)2NQ
= (2N-1)!!卩
= (2N-1)!!卩
х е^жи+з^ + к.с.}. (115)
Рассмотрим случаи: когерентного состояния (К = 1) и сжатого вакуума (К =，N + 1 + y/N, © = 0). Очевидно, в первом случае в (115) останется лишь первый член; имеем:
<B2N)2N^ = \^N『…NJ к.0 •
В состоянии сжатого вакуума в (115) останется лишь последний член:
1 N
ВеличиныВеличины|1 н ； (小|1 н ； (小К~2) можно выразить через средние числаК~2) можно выразить через средние числа_ К-2)(С2外^+2外2 + к.c.).
Величины
Величины
|1 н ； (小
|1 н ； (小
К~2) можно выразить через средние числа
К~2) можно выразить через средние числа
фотонов в резонаторе
= По， ； (к? - 2)=八о・
Таким образом, при одном и том же среднем числе фотонов в резонаторе (иными словами, при одной и той же запасенной в резонаторе энергии) 2TV-ая гармоника в состоянии сжатого вакуума генерируется в (2N — 1)!! раз эффективнее, чем в когерентном состоянии [22].
Этот результат может иметь большое значение для нелинейной оптики и, в частности, для техники генерирования высших гармоник. В настоящее время получены гармоники до ^ ЗОО-ой [25]. Следовательно, выигрыш в эффективности их генерирования может быть довольно велик. Разумеется, следует иметь в виду, что коэффициенты cln быстро убывают с ростом номера N. Что окажется более существенным —отмеченный выигрыш от сжатого состояния или убывание коэффициента а^, можно решить лишь после соответствующих экспериментов. Напомним, однако, что с генерированием высших гармоник связывались определенные надежды на получение когерентного излучения в коротковолновой области вплоть до мягкого рентгена. Использование сжатого света может возродить некоторые из этих надежд. Это особенно актуально в связи с генерированием в последнее время аттосекундных импульсов.
В работе [21] было исследовано многофотонное поглощение света, находящегося в сжатом состоянии. Как известно [19], это поглощение пропорционально 〈。+~。№〉. Авторы работы [21] показали, что в состоянии сжатого вакуума эта величина в (2N — 1)!! больше, чем в когерентном состоянии — результат, похожий на приведенный выше.
В связи с выигрышем, который дает применение сжатого света в нелинейных явлениях, например, при генерации гармоник, необходимо сказать несколько слов о соотношении классических и квантовых явлений. Дело в том, что в случае классических полей, когда поле немонохроматично и вследствие этого при случайных фазовых соотношениях между компонентами — стохастично, также имеется выигрыш в генерации гармоник по сравнению с монохроматическим светом в ml раз, где т — номер гармоники. Поэтому есть соблазн рассматривать сжатый свет как своего рода стохастический свет. Этому способствует и сложившаяся терминология, когда квантовомеханические неопределенности полей называют шумом. Однако это лишь поверхностная аналогия. Между сжатым светом и стохастическим светом имеется существенное различие. Сжатый свет может иметь место в рамках одного осциллятора (или моды), в то время как стохастический свет —это неизбежное наложение нескольких мод с разными частотами и случайными фазами.
Заключение. Таким образом, сжатые состояния света, а также многочисленные другие неклассические макроскопические состояния света представляют собой новые важные объекты квантовой оптики. Свойства света, находящегося в подобных состояниях, а также его взаимодействие с веществом имеют значительные особенности и могут сильно изменить лицо оптики. Важным событием могло бы стать наблюдение сжатых и вообще неклассических состояний в акустике и механике.
Литература
Быков В.П., Шепелев Г. В. // Депонир. в ВИНИТИ 07.05.81, №2036-81.
Быков В.П., Шепелев Г. В. // Квант, электр. 1982. Т. 9, вып. 9. С.1844.
Амелькин С. В., Архангельский Н. В., Ораевский А.Н. // Квант, электр. 1984. Т. 11, вып. 1. С. 31.
Ахманов С. А., Дьяков Ю. Е., Чиркин А. С. Введение в статистическую радиофизику и оптику — М.: Наука, 1981.
Рытое С.М. Введение в статистическую радиофизику — М.: Наука, 1966.
Люиселл У. Излучение и шумы в квантовой электронике — М.: Наука, 1972.
Шпольский Э. В. Атомная физика: Т. 1 — М.: Наука, 1974. — 575 с.
Глаубер Р. В кн.: Квантовая оптика и квантовая радиофизика — М.: Мир, 1966. - С. 91.
Magnus W. // Comm. Pure and Appl. Math. 1954. V. 7, No. 4. P. 649.
Дыхне A.M., Юдин Г. Л. // УФН 1978. Т. 125, вып. 3. С. 377.
Staler Я Ц Phys. Rev. D 1970. V. 1. Р. 3217; 1971. V. 4. Р. 1925.
Husimi К. // Progr. Theor. Phys. 1956. V. 9. P. 381.
Карасев 8〃 Kp. сообщ. физ. ФИАН СССР. 1991. №6. С. 17; Препринт ФИАН 1990. №137; Чиркин А. С., Orlov А. А., Паращук D. Yu. // Квантовая электроника. 1993. Т. 20. С. 99; Chirkin A. S., Орлов A. A., Paraschuk Д. Ю. // Quantum Electronics. 1993. V. 23. Р. 870.
Базь А. И., Зельдович Я. Б., Переломов А.М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике — М.: Наука, 1971.; Додонов В.В., Манъко В. И. 〃 Тр. ФИАН. 1987. Т. 183. С. 351.
Slusher R.E., Yurke В. // Lightwave Techn. 1990. V. 8. Р. 466.
Min Xiao, Ling-An Wu, Kimble H.J. // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59. P. 278.
Ахманов C.A., Хохлов P.B. // ЖЭТФ. 1962. Т. 43. С. 351.
Giordmine J.A., Miller R.C. // Phys. Rev. Lett. 1965. V. 14. P. 973.
Breitenbach G., Miller T., Pereira S.F. et al. // J.Opt.SocAm. B. V. 12. No. 11. P. 2304.
Caves C.N. 〃 Phys. Rev. D. 1981. V. 23. P. 1693.
Jansky J„ Yushin Y. 〃 Phys.Rev.A. 1987. V. 36. P. 1288.
Bykov V.P. in: Intense Laser Phenomena and Related Subjects 1991. / Singapore, World Scientific. P. 330.
Тайш M.K., Салю S3.4. 〃 УФН. 1991. T. 161, вып. 4. С. 171.
Min Xiao, Ling-An Wu, Kimble H.J. // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59. P. 278.
Agostini P. In: Book of Abstracts of \3th International Laser Physics Workshop LPHYS,04, Trieste, 2004. P. 2 7.
Глава 3
ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ИЗЛУЧАТЕЛЬНЫЕПРОЦЕССЫ
Спонтанное излучение в свободном пространствеи метод резольвенты
При исследовании спонтанного излучения ниже используется метод резольвенты, который является развитием методов Вигнера-Вайскопфа [1, 2], Гайтлера-Ма [3], Бриллюэна-Вигнера [4], и отличается от последних тем, что является последовательным методом теории возмущений.
Теория возмущений для резольвенты. Метод резольвенты [5] отличается от других вариантов теории возмущений тем, что позволяет проследить поведение системы на сравнительно протяженных интервалах времени. Важным элементом метода резольвенты является оператор эволюции — оператор, который выражает состояние | ф (t)) в произвольный момент времени t через состояние 〔⑦。)в начальный момент времени:
|⑦⑴)=U (方,t0)1耽)•
Тривиальной формой оператора эволюции является форма
U (方，方о) = exp [-iH (t - t0) /川，(1)
что легко проверить прямой подстановкой | ⑦(方))в уравнение Шредингера. Другой, более важной в дальнейшем формой оператора эволюции является (считаем 方о = 0)
1 f 7 еXр（一分2方/方）--dz•1 f 7 еXр（一分2方/方）--dz•27r г с27r г сz-Hz-H⑵⑵и（“ =и（“ =Рис. 1. Контур интегрирования в операторе эволюцииРис. 1. Контур интегрирования в операторе эволюцииконтур интегрирования С изображен на рис. 1. ОператорН（2）= 1/（2 — Н）（3）контур интегрирования С изображен на рис. 1. ОператорН（2）= 1/（2 — Н）（3）называется оператором резольвенты. Он является обратным по отношению к оператору z — Н, т. е.называется оператором резольвенты. Он является обратным по отношению к оператору z — Н, т. е.
1 f 7 еXр（一分2方/方）
--dz•
1 f 7 еXр（一分2方/方）
--dz•
27r г с
27r г с
z-H
z-H
⑵
⑵
и（“ =
и（“ =
Рис. 1. Контур интегрирования в операторе эволюции
Рис. 1. Контур интегрирования в операторе эволюции
контур интегрирования С изображен на рис. 1. Оператор
Н（2）= 1/（2 — Н）（3）
контур интегрирования С изображен на рис. 1. Оператор
Н（2）= 1/（2 — Н）（3）
называется оператором резольвенты. Он является обратным по отношению к оператору z — Н, т. е.
называется оператором резольвенты. Он является обратным по отношению к оператору z — Н, т. е.
（2 — Н） R（2）= R（2）（2 — Н） = /,
где I — тождественный оператор °）. С точки зрения матричного исчисления оператор R（2） есть просто матрица, обратная матрице 2 — —Н. Элементы этой матрицы выражаются, в частности, через детерминант матрицы z — Н, входящий в знаменатель соответствующих выражений. Поэтому оператор R （^） определен при всех значениях 2 （в том числе комплексных）, кроме значений, равных собственным значениям гамильтониана Н. Действительно, в последнем случае одно из собственных значений матрицы z — Н обратится в нуль, а вместе с ним обратится в нуль детерминант матицы z — Н, равный произведению собственных значений этой матрицы. Если гамильтониан Н представить в диагональном виде:
h = £e入山）⑷ А
где |2入）—собственные состояния гамильтониана Н к Е入一соответствующие им собственные значения, то оператор резольвенты примет вид
（5）
Действительно,
（2 — Н）Н（2）= £（2 —斗）I脈乂％I £ ES?-Ex =MA
A
°） Вообще говоря, оператор z-H следует писать в виде z • I - Н. Однако отсутствие в этом выражении тождественного оператора не может привести к недоразумениям.
Покажем теперь, что состояние
⑹⑹I⑦⑴)=U⑴I耽)，
⑹
⑹
где оператор U(方)определен равенством (??), удовлетворяет уравнению Шредингера. Тем самым будет показано, что U (方)(??) действительно является оператором эволюции. Разложим | ⑦。) по собственным состояниям I ф^\
Тогда получим
04
ё 一分2力/万
Вычисляя далее интеграл по теореме Коши, получим
I ⑦⑴)=£ axe~iExt/h I 心)=£ axe~iHt/h || b
AA
Отсюда ясно, что состояние | ⑦(方)) удовлетворяет уравнению Шредингера и при t = 0 обращается в состояние l^o). Следовательно, оператор U (方)，выраженный через резольвенту (??), действительно является оператором эволюции.
Как обычно, предположим, что гамильтониан состоит из невозмущенной части и возмущения:
H = Hu + V.(8)
Используем в качестве реперных собственные состояния невозмущенного гамильтониана 丑о； тогда оператор z — Н в матричном виде равен
2 — Hqq-Ии—И)2—И)3-吒02 - Яп-h2-Vi3z-H =-^202 -%2-唸3-^31一心22 -死32 — Hqq-Ии—И)2—И)3-吒02 - Яп-h2-Vi3z-H =-^202 -%2-唸3-^31一心22 -死3⑼⑼
2 — Hqq
-Ии
—И)2
—И)3
-吒0
2 - Яп
-h2
-Vi3
z-H =
-^20
2 -%2
-唸3
-^31
一心2
2 -死3
2 — Hqq
-Ии
—И)2
—И)3
-吒0
2 - Яп
-h2
-Vi3
z-H =
-^20
2 -%2
-唸3
-^31
一心2
2 -死3
⑼
⑼
Оператор, обратный z — Н, строится по ния обратных матриц:Оператор, обратный z — Н, строится по ния обратных матриц:известным правилам построе-известным правилам построе-（4004014024034104141241342042142242343041432433（4004014024034104141241342042142242343041432433（2 — Н）Т = Л-1（2 — Н）Т = Л-1（Ю）（Ю）
Оператор, обратный z — Н, строится по ния обратных матриц:
Оператор, обратный z — Н, строится по ния обратных матриц:
известным правилам построе-
известным правилам построе-
（400
401
402
403
410
41
412
413
420
421
422
423
430
41
432
433
（400
401
402
403
410
41
412
413
420
421
422
423
430
41
432
433
（2 — Н）Т = Л-1
（2 — Н）Т = Л-1
（Ю）
（Ю）
— детерминант матрицы z — Н; Aj^ — алгебраические дополнения к элементам этой матрицы. Алгебраические дополнения 厶^卜，как известно, также являются детерминантами, но на единицу более низкого порядка, нежели z — Н; из z — Н они получаются вычеркиванием j-й строки и k-ro столбца и умножением полученного детерминанта на （-1
Как видим, для любого матричного элемента резольвенты полюса одинаковы, так как они определяются нулями детерминанта Л; о них обычно говорят как о полюсах резольвенты. Однако вычеты в этих полюсах для разных матричных элементов могут быть различны, так как зависят от 47k. Например, нули тех или иных А^ могут быть близки к каким-то полюсам резольвенты; тогда вклад этих полюсов в полную амплитуду будет невелик.
Детерминанты △ и детерминанты, определяющие алгебраические дополнения, могут быть разложены по степеням К Для детерминанта △ имеем
= 口（2 — -%讣匂）口（2 —可2）• （11）
I • j,k
Алгебраические дополнения равны
4m ==II（2 — HQ —
—眩 zn/k 口（2 — H〃）+ …，（12） k,ml^n,k,n
9Vmn9Vmn=~~^nm ] [ （2 — H"） +l^n,m
9Vmn
9Vmn
+，2 （%2k險м —匕zzn險k） 口 （2 —+ ….（13）
• kl^n,m,k
Следует обратить внимание на то, что числитель и знаменатель в операторе резольвенты разлагаются в ряд независимо друг от друга. Эти разложения можно и даже следует делать с разной точностью, так как результаты этих разложений оказывают влияние на различные стороны изучаемого процесса. Корни знаменателя определяют собой показатели экспонент в вычетах, в то время как числители дают лишь предэкспоненциальные множители. Следовательно, для того чтобы интервал времени, в течение которого полученное решение близко к точному, был побольше, нужно корни знаменателя определять поточнее. Для целей данной главы хорошая точность получается, если корни знаменателя вычислять во втором порядке теории возмущений, а алгебраические дополнения — в первом или даже нулевом порядке теории возмущений.
Если исходное состояние, как это часто бывает, является собственным состоянием невозмущенного гамильтониана | т), то для амплитуд вероятности переходов в состояния〈八 | (также собственных для невозмущенного гамильтониана) имеем выражения
Umm = 0 г X
х гexp(T2〃力)2：
=-X27r г
dzdzсс(Упт + …)exp(—izt/R)(Упт + …)exp(—izt/R)(15)(15)
dz
dz
с
с
(Упт + …)exp(—izt/R)
(Упт + …)exp(—izt/R)
(15)
(15)
Эти формулы определяют вероятности переходов в дискретном спектре под действием постоянного возмущения.
Рассмотрим важный случай, когда возмущение связывает какой- либо отдельный уровень с системой уровней, не связанных друг с другом, т. е. пусть матричные элементы Vqp отличны от нуля, а матричные элементы Vsp равны нулю при s,夕# 0. Тогда знаменатель в выражении (14) можно приближенно представить в виде
(16)(16)
(16)
(16)
Корни этого выражения можно определить графически. На рис. 2 линия, наклоненная к оси 2 под углом 45°, представляет собой график
выражения 2 — Ноо, котангенсоподобные же линии есть не что иное,
(⑺(⑺как график суммы
(⑺
(⑺
р z~ Нрр
Рис. 2. Графическое решение характеристического уравненияРис. 2. Графическое решение характеристического уравнения
Рис. 2. Графическое решение характеристического уравнения
Рис. 2. Графическое решение характеристического уравнения
Корни F(2) определяются пересечением этих двух графиков. Как видим, всего корней столько же, сколько уровней у невозмущенного гамильтониана, и все они вещественны. Таким образом, если F~x (2) рассматривать как функцию комплексного переменного 2, то ясно, что функция 歹—1(2)однозначна во всей комплексной плоскости и имеет в качестве особенностей лишь полюса (по математической терминологии является мероморфной функцией 2), лежащие на вещественной оси. Величина вычетов определяется производной F，⑶ в корнях 歹(2). Причем, если корень находится недалеко от Ноо, то производная F' (2) определяется первым слагаемым 2 — Hqq в 歹(2) и по порядку величины равна единице; если же корень удален от Ноо, то производная F'(2)определяется вторым слагаемым в 歹(2) и велика по абсолютной величине — вычет соответственно мал. Можно показать, что при большой плотности корней вычеты в них вблизи Hqq распределены приближенно по лоренцеву закону. Аналогичные рассуждения можно провести для недиагональных элементов (15).
У некоторых динамических систем, например у электромагнитного поля в вакууме, спектр оказывается непрерывным. Его можно рассматривать как предельный случай дискретного спектра. Для этого полагают, что электромагнитное поле находится в некотором большом резонаторе, и в результате спектр поля становится дискретным. После проведения вычислений с таким дискретным спектром объем большого резонатора устремляют к бесконечности. Основой таких вычислений являются соотношения (14)-(16).
К вычислению этих выражений удобно применить методы теории функций комплексного переменного. Действительно, сумма (17) при
сгущении спектра переходит в интеграл типа Коши:
(18)(18)①（2）=必
(18)
(18)
В общем случае взятый по контуру L в комплексной плоскости 方 и рассматриваемый как функция комплексного переменного 2, этот интеграл имеет разрез по линии в плоскости 2, точно повторяющий контур L в плоскости 方.Из математики известно, что на берегах этого разреза функция Ф(2) принимает следующие значения:
①+(2 -方0)=访0(方0) + 0•夕.d方"("，(19)
J t - to
①-(2 一方0)=-访夕(方o) +。•售 d方"("，(20)
J t - to
где обозначение v.p. указывает на то, что интеграл следует брать в смысле главного значения. Соотношения (19), (20) называются формулами Сохоцкого-Племеля [6]. Во многих случаях функция ①(2) может быть аналитически продолжена за разрез и сделана таким образом многозначной. Обычно контур интегрирования L является отрезком, лежащим на оси абсцисс. Тогда интеграл
ь
(21)
Im?、之 版 力 RefРис. 3. К формулам Сохоцкого-ПлемеляIm?、之 版 力 RefРис. 3. К формулам Сохоцкого-Племеляопределяет аналитическую функцию комплексного переменного q, не имеющую особенностей и однозначную во всей комплексной плоскости этой переменной и убывающую при ® — —оо. При приближении q к отрезку (а, Ь) сверху (рис. 3) функция /©, согласно (19), стремится к предельному значению
Im?、
之 版 力 Ref
Рис. 3. К формулам Сохоцкого-Племеля
Im?、
之 版 力 Ref
Рис. 3. К формулам Сохоцкого-Племеля
bb
lim dw 歹(5 = Z7tF,(22)
a << b a"
Imq〉0
где so принадлежит отрезку (a, b), лежащему на вещественной оси, и интеграл в правой части понимается в смысле главного значения.
При стремлении q к тому же значению а。снизу (Imq < 0) предельное значение интеграла будет иным — знак перед мнимой единицей станет отрицательным.
Таким образом, функция / (q) имеет разрез вдоль отрезка (а, Ь), по которому производится интегрирование. Строго говоря, для выполнения соотношений Сохоцкого-Племеля необходимо, чтобы функция F (cj) удовлетворяла некоторому специальному условию [6]; однако для всех функций, встречающихся в излучательных задачах, это условие выполняется с избытком. Для многих простых функций 歹(s) интеграл (21) может быть вычислен в явном виде (например, при F (cj) = 1); в подобных случаях функция / (q) может быть легко аналитически продолжена за разрез. Тот лист римановой поверхности этой функции, на котором она стремится к нулю при |q| — оо называют физическим листом, остальные — нефизическими. В рассматриваемом нами случае контур интегрирования в операторе эволюции лежит целиком на физическом листе (отсюда и название — физический лист). Однако, как мы увидим далее, особенности функции /(s), лежащие на нефизических листах, могут оказывать влияние на величину интеграла, взятого по контуру на физическом листе.
Спонтанное излучение возбужденного атома в свободном пространстве. Как уже отмечалось, электромагнитное поле в свободном пространстве обладает непрерывным частотным спектром, т. е. в его спектре могут присутствовать волны любых частот. Системы с непрерывным спектром рассматриваются в данном разделе как предельный случай систем с дискретным спектром, в которых спектр в зависимости от того или иного параметра становится все более частым. Поэтому будем считать, что в излучательных задачах электромагнитное поле и излучающий объект (в данном случае — излучающий атом) помещены в некоторую полость (резонатор), достаточно большого объема, имеющую резонансные свойства, т. е. обладающую дискретным спектром. Использовав затем соотношения для дискретного спектра, устремим объем полости к бесконечности, переходя таким образом к непрерывному спектру. Взаимодействие поля каждой отдельной моды (резонанса) с атомом при этом уменьшается, так как падает доля этого поля, находящаяся в объеме атома, но число мод, с которыми атом взаимодействует, увеличивается так, что взаимодействие с полем в целом остается конечным [7].
Наиболее прост резонатор, имеющий форму куба, собственные поля которого подчиняются так называемым периодическим граничным условиям. Такой резонатор неоднократно описан в литературе, где рассматриваются излучательные задачи [8], и, в частности, при описании излучения абсолютно черного тела [9], поэтому напомним кратко лишь основные факты, связанные с описанием такого резонатора.
Оператор векторного потенциала квантованного электромагнитного поля кубической полости со стороной L имеет вид (У = L3)
4⑺=£(d「^ + ase戒』)备4⑺=£(d「^ + ase戒』)备(23)(23)
4⑺=£(d「^ + ase戒』)备
4⑺=£(d「^ + ase戒』)备
(23)
(23)
2Kms 2тг nsL 5 L2Kms 2тг nsL 5 Lгде индексом s нумеруются собственные колебания (или осцилляторы) полости, волновые векторы которых принимают значения
2Kms 2тг ns
L 5 L
2Kms 2тг ns
L 5 L
(24)
при целочисленных ls, ms и ns частота собственных волн определяется условием
3 s3 s碎+底+嗚.碎+底+嗚.(25)(25)
3 s
3 s
碎+底+嗚.
碎+底+嗚.
(25)
(25)
Собственные волны могут отличаться друг от друга не только частотой и направлением волнового вектора к, но и поляризацией. Каждой частоте и волновому вектору соответствуют две поперечные и взаимоортогональные поляризации (кулонова калибровка)
瓦,2 ^ =。， ei в2 = 0.瓦,2 ^ =。， ei в2 = 0.(26)(26)
瓦,2 ^ =。， ei в2 = 0.
瓦,2 ^ =。， ei в2 = 0.
(26)
(26)
По всем таким осцилляторам и производится суммирование в соотношении (23).
Операторы рождения и уничтожения фотонов а+ и as подчиняются коммутационному соотношению
К；吟］=♦(27)
нормировочная константа в векторном потенциале выбрана так, чтобы энергия поля равнялась
8/ = £力5吟牝.(28)
Состояния атомного гамильтониана На будем считать известными и, не конкретизируя их, примем для них буквенное обозначение |д). Таким образом, стационарные состояния невозмущённого гамильтониана полной системы атом + электромагнитное поле можно представить в виде
⑺=1%•；(29)
где первый буквенный индекс pj указывает состояние атома, и целое
число 丿 равно числу фотонов в к-м осцилляторе; энергия такого состояния равна
Ej = Egj + ^^п：)Тшк・(30)
к
Процессу спонтанного излучения соответствует начальное состояние
10 = |Ь； 0,0,0,...) = |Ь,0)(31)
т.е. в начальный момент времени атом находится в возбужденном состоянии |Ь), и фотоны во всех осцилляторах отсутствуют 10)= =I 0,0,0,...).
Возмущение в гамильтониане состоит из двух слагаемых
Hf = V + W.(32)
Первое слагаемое определяет взаимодействие квантовой системы (в данном случае — атома) с электромагнитным полем и имеет вид
2
V = - — pA^ + А2 (г);(33)
тс2 加 *
ниже основная роль принадлежит первому члену в этом слагаемом, второй же будет опускаться (обсуждение роли второго члена можно найти, например, в [9, 10]).
Второе слагаемое в возмущении (32) представляет собой так называемый контрчлен перенормировки и имеет вид
т. е. имеет ту же самую структуру, что и кинетическая энергия электрона. Включение такого слагаемого в (32) есть начальный этап процесса перенормировки массы. Необходимость этого процесса возникает из- за того, что взаимодействие атома с поперечным электромагнитным полем (33) приводит к большим поправкам к энергии состояний атомов, которые, однако, имеют структуру кинетической энергии и поэтому могут быть интерпретированы как изменение массы электрона. Часто применяют такую терминологию. Величину М, определяемую соотношением
1 1
=+ --м m n
называют затравочной массой электрона, а массу т — истинной или наблюдаемой массой электрона. Какой следует выбрать величину 从 будет ясно далее.
Полная программа перенормировок включает также перенормировку заряда и может быть последовательно выполнена лишь в рамках релятивистской квантовой электродинамики. Здесь мы ограничимся лишь начальным этапом перенормировки массы в рамках нерелятивистской теории; к счастью, для этого необходимо заимствовать из релятивистской теории лишь один параметр, а именно, параметр обрезания или предельную частоту, до которой электрон эффективно взаимодействует с электромагнитным полем. Впервые такая нерелятивистская перенормировка была проведена в работе Бете [10].
Теперь имеются все необходимые сведения для исследования процесса спонтанного излучения атома в свободном пространстве. Закон распада состояния (31) описывается матричным элементом
Ub(W ⑴=〈b,0| U⑴ |Ь,。)，(36)
где U (方)—оператор эволюции системы. Для этого матричного элемента согласно (14) имеем выражение
г
Ub0,b。⑴=L dze-^n • RbQ,b0 ⑶，(37)
где, согласно (12),
дА/д 14о,ьо/эоч
4о,ьо =д•
Исследуем сначала знаменатель этого выражения, равный, согласно (11)，
△⑶=口—耳。)一£ 險k 口(2 -砂)+
+ 勇 £ (VkkVjj - VkjVjk) 口(2 —石，)+ .... (39) • k,jl^k,j
Как уже говорилось, возмущение в гамильтониане состоит из двух слагаемых. Далее будет показано, что возмущение V имеет недиагональные матричные элементы, пропорциональные константе взаимодействия (равной корню квадратному из постоянной тонкой структуры е?/力с), а возмущение W имеет диагональные матричные элементы, пропорциональные квадрату константы взаимодействия (1/〃^ e2/Tic). Если в выражении (39) ограничиться членами второго порядка по константе взаимодействия, то оно примет следующий вид:
где первый член нулевого порядка по константе взаимодействия, а второй представляет собой сумму двух слагаемых второго порядка по той же константе. Таким образом, знаменатель выражения (38) может быть приближенно представлен в виде
△⑶叫卜+ e"力.(40)
Для числителя в Ньо,ьо, согласно (12), имеем выражение
Следовательно, матричный элемент (37) оказывается равным
] f g一分況/万
Ubu,bu (t) = 6―； dz——-—,(42)
где
=+(43)
Как видим, все сомножители знаменателя (40), кроме одного, сократились с соответствующими сомножителями числителя. По этому поводу необходимо сделать два замечания. Во-первых, это сокращение является приближенным, так как в числителе имеются, строго говоря, другие члены, более высокого порядка по константе взаимодействия. Если бы они были учтены, то сокращены не были бы и нужно было бы учесть полюса подынтегрального выражения (37), обусловленные другими сомножителями в △(?); однако вычеты в этих полюсах были бы малыми, так как главный член числителя (41) равен нулю ввиду наличия в нем таких же сомножителей, как в знаменателе. Это и оправдывает произведенное выше сокращение.
Во-вторых, заметим, что оставшийся после сокращений сомножитель Л50(2) характерен именно для задачи о спонтанном излучении; при другой задаче, например, при исследовании индуцированного излучения основную роль играли бы другие сомножители в △(?).
Обратимся теперь к вычислению и исследованию знаменателя (43) в подынтегральном выражении (42). Первый член в круглой скобке в (43) представляет собой диагональный матричный элемент второго слагаемого в возмущении (32). Учитывая (34), получим
Vbo,bo = (b,O\W\b,O) = ^{b\p2\b)-,(44)
заметим, что этот матричный элемент не зависит от состояния поля. Матричный элемент квадрата импульса представим в виде
{b\p2\b) = ^2<b\p\g)(g\p\b) = ^^9\2
и для И)о,ьо получим выражение
W = ^ElP^|2.(45)
М g
Для отыскания второго слагаемого в круглой скобке в (43) необходимо знать недиагональные матричные элементы оператора
--рА(г).(46)
тс
Для матричного элемента VbQ,gj получаем выражение
=；(47)
легко видеть, что эти матричные элементы отличны от нуля лишь в том случае, когда в кет-состоянии в одном из осцилляторов (в j-м) содержится один фотон, так как взаимодействие линейно по операторам рождения и уничтожения фотонов.
Обсудим вопрос о дипольном приближении. На первый взгляд кажется, что в сумме
mV0 也（z - Eg -方巧）mV0 也（z - Eg -方巧）(48)(48)
mV0 也（z - Eg -方巧）
mV0 也（z - Eg -方巧）
(48)
(48)
экспонента становится существенной при увеличении частоты, начиная с длин волн, сравнимых с боровским радиусом (~ 10-8 см). Иными словами, представляется, что дипольное приближение, при котором экспонента в выражении (47) заменяется единицей, становится непригодным при длинах волн, короче боровского радиуса. Однако по отношению к выражению (48) это не так.
Действительно, во-первых, заметим, что в (48) существенны лишь те значения д, для которых близки энергии Еь и Ед, так как по мере увеличения Ед по сравнению с Еь матричные элементы (47) довольно быстро убывают, поскольку состояния \д) становятся все
более широко распределенными. Тем самым Ед не может принимать слишком больших значений.
Во-вторых, так как частоты, соответствующие длинам волн, меньшим боровского радиуса, столь велики, что Tiuj примерно в 104 раз больше, чем Ед, то в знаменателе выражения (48) можно пренебречь слагаемым Ед по сравнению с Тьз; следовательно, знаменатель становится независимым от индекса р и в числителе получается выражение
。=£ ((喝=^b\^ ^\д){д\е-^Црё^ \b).
Так как суммирование по д дает тождественный оператор, то для а получаем выражение
(ь1(万亏)С员"「凉"(万亏)1b)=(ь1(万亏)С员"「凉"(万亏)1b)=
(ь1(万亏)С员"「凉"(万亏)1b)=
(ь1(万亏)С员"「凉"(万亏)1b)=
Следовательно, при всех значениях s экспонента в выражении (48) может быть опущена и это выражение оказывается равным
加卜分- Eg -方巧）加卜分- Eg -方巧）(49)(49)
加卜分- Eg -方巧）
加卜分- Eg -方巧）
(49)
(49)
В этом выражении предполагается суммирование по всем осцилляторам поля, в том числе по тем, которые не отличаются по энергиям Е*, а только по направлению распространения соответствующих волн и по их поляризациям. Поэтому просуммируем квадраты модулей (47) по поляризациям и направлениям
£%。"今\Pbg\2kdk = з；：з)2 \Pbg\2^du.
поляриз., направл.
Учитывая, что энергия состояния \д,])Учитывая, что энергия состояния \д,])получаем для слагаемого S выражениеполучаем для слагаемого S выражениеравна 即=Ед + 力巧,равна 即=Ед + 力巧,
Учитывая, что энергия состояния \д,])
Учитывая, что энергия состояния \д,])
получаем для слагаемого S выражение
получаем для слагаемого S выражение
равна 即=Ед + 力巧,
равна 即=Ед + 力巧,
(50)(50)°^max
(50)
(50)
g о
Как уже упоминалось, взаимодействие электрона с полем описывается матричным элементом (47) лишь до некоторой предельной частоты
&тах, а далее быстро уменьшается; поэтому интегрирование в (28) проводится до частоты cjmax. В работе Бете [10] показано, что эта частота соответствует комптоновской длине волны
при энергияхпри энергиях“max“max力 “шах = тс?力 “шах = тс?(51)(51)
при энергиях
при энергиях
“max
“max
力 “шах = тс?
力 “шах = тс?
(51)
(51)
электрон становится релятивистской частицей, так что естественно, что нерелятивистские соотношения делаются непригодными. Параметр &тах ——единственный, который нужно заимствовать из последовательной релятивистской теории для того, чтобы в нерелятивистской теории получать, разумные результаты.
Объединим теперь S и %о,ьо, полагая в последнем
丄丄2е2З?г頂m22е2З?г頂m2^maxо^maxо(52)(52)
丄
丄
2е2
З?г頂m2
2е2
З?г頂m2
^max
о
^max
о
(52)
(52)
В результате получим
(
^тах^тах\
ds + ds I ,
JJ q —3
о о/
где a = e2/Tic — постоянная тонкой структуры, q = 2/力，и Q^ = Eg/H. Объединяя интегралы в скобках, получим для этой суммы выражение
^тах
吆…=$ £J(53)
9о
Нетрудно видеть, что интеграл в (53) логарифмически расходится при &тах т 00, в то время, как интеграл в (50) при том же условии расходится линейно, т. е. более сильно. Это обстоятельство, а также предположение, впоследствии оправдавшееся, что в релятивистской теории интеграл в (53) станет сходящимся, послужили для Бете побудительным мотивом для введения в возмущение члена W (34) при 从，определяемом соотношением (52), что явилось первым шагом перенормировки массы.
Вернемся к исследованию интеграла в (53)
(54)
о
Этот интеграл как функция комплексного переменного q имеет разрез
вдоль отрезка (Q^, Q^ + cjm), лежащего на вещественной оси. При вещественных q V 电 эта функция равна
-(55)
и при больших по модулю и отрицательных q убывает приближенно, как
В интервале 0д < q < 0д + шт на верхнем берегу разреза (Imq = +0), эта функция равна
4W=^ + lnf^--lV(56)
ее значение на нижнем берегу отличается от (56) лишь знаком при мнимой единице. При q〉Cg + 3m функция (54) равна
=-為)(57)
и при больших по модулю q убывает примерно как
Таким образом, учитывая (56), получаем для Л^о в интервале 0 < < ^ < 力следующее выражение:
хх访"(Eb - Eg) + In访"(Eb - Eg) + In11(58)(58)
х
х
访"(Eb - Eg) + In
访"(Eb - Eg) + In
1
1
(58)
(58)
Покажем теперь, что это выражение обращается в нуль при некотором значении 2, лежащем на нефизическом листе римановой поверхности △ьо(2) вблизи значения 2 = Е^. Искомое значение 2 положим равным
2b =石60 + AEb — ^Г 5,2b =石60 + AEb — ^Г 5,(59)(59)
2b =石60 + AEb — ^Г 5,
2b =石60 + AEb — ^Г 5,
(59)
(59)
где АЕь и Гь — малые величины, подлежащие определению. Подставим это значение 2 в Л^о(2) и приравняем его нулю, при этом в первом слагаемом в Ао ⑶ удержим поправки △瓦 и Г^, а во втором
слагаемом (второго порядка по константе взаимодействия) достаточно положить 2b =石60・ Тогда, приравнивая отдельно нулю вещественную и мнимую части, получим
△еЬ = -^ £ 叵^(e6 -石9)ln△еЬ = -^ £ 叵^(e6 -石9)lnh3 mEb — Egh3 mEb — Eg11(60)(60)
△еЬ = -^ £ 叵^(e6 -石9)ln
△еЬ = -^ £ 叵^(e6 -石9)ln
h3 m
Eb — Eg
h3 m
Eb — Eg
1
1
(60)
(60)
r. = |E，i^i2^i^, (61)
причем в последнем соотношении суммирование производится лишь по тем состояниям |д), для которых Еь > Ед, т. е. лежащим ниже состояния \Ь) по энергии, так как для остальных состояний /д (s) не содержит мнимой части (см. (55)).
Величина ХЕь определяет смещение по энергии состояния и обычно называется лэмбовским сдвигом; исходя из соотношения (60), Бете получил следующее приближенное выражение для лэмбовского сдвига уровня
(62)(62)
(62)
(62)
где Зь (0) — амплитуда волновой функции состояния \Ь) на ядре и
среднсредн
средн
средн
—среднее по всем состояниям |д) значение логарифма. Из этого выражения следует, что в принятом приближении лэмбовский сдвиг отличен от нуля лишь для s-состояний, у которых волновая функция не обращается в нуль на ядре.
Для 23-состояния атома водорода
%⑼=%⑼=m3e687r П6m3e687r П6
%⑼=
%⑼=
m3e6
87r П6
m3e6
87r П6
и среднее значение логарифма по определению Бете равно
生 7,63;生 7,63;
生 7,63;
生 7,63;
соответственно, для лэмбовского сдвига 2з-состояния получается вы
ражениеражение△e2s△e2s7, 63 е10т7, 63 е10т(63)(63)
ражение
ражение
△e2s
△e2s
7, 63 е10т
7, 63 е10т
(63)
(63)
Будучи выраженным в частотных единицах, этот лэмбовский сдвиг оказывается равным примерно 1040 Мгц, что очень близко к экспериментальному значению.
Коэффициент затухания 2Г/力(он имеет смысл также вероятности перехода в единицу времени) можно представить в виде
2Г _ 4 e2Qt,iJ%iS|2 _ 4 е2 2 c
где использовано известное соотношение
Pba =〈 ° I 夕 I ")=分加Cba〈 Ь I 广 I。)=分тСба^Ьа
и предполагается, что ниже состояния |Ь) лежит лишь одно состояние |а). Величина 力/2Г есть не что иное, как период полураспада возбуждения.
Итак, установлено, что подынтегральное выражение в (42) имеет полюс при некотором z = Zb (рис. 4). Обратим внимание, что этот полюс лежит на нефизическом листе римановой поверхности функции △ьо(2). Действительно, Im2b = —гГ^ < 0, в то время как при составлении уравнения А^о(2)= 0 использовалось значение Ig (q), относящееся к верхнему берегу разреза; это означает, что функция △ьо(2) аналитически продолжалась за разрез, т. е. на нефизический лист.
Imz木
Рис. 4. Контур интегрирования в случае излучения в свободном пространстве
Полюс при 2 = 2ь — не единственная особенность подынтегрального выражения в (42); оно имеет кроме этого точки ветвления там же, где такие точки имеются у интегралов ((方/力).Возвращаясь к матричному элементу (2.73)
] г e~izt/n u60力0 ⑴ = 5r dz—,(65)
27r 2 J do
обратим внимание прежде всего на то, что нижняя часть контура С может быть перемещена вниз по комплексной плоскости, где из-за наличия экспоненты подынтегральное выражение быстро убывает, и, следовательно, интеграл по нижней части контура С (рис.1) просто равен нулю. Верхняя часть контура С может быть деформирована
лишь к виду, показанному на рис. 4, так как при перемещении вниз она встречает точки ветвления, между которыми движется уже по нефизическому листу римановой поверхности, где встречается также полюс при 2 = 2»
Основной вклад в матричный элемент U^q^q (方)дает вычет в полюсе при 2 = 2ь
〃0,Ь0 ⑴=〃0,Ь0 ⑴=(噥)(噥)exp,一"(еЬo + △瓦)方]exp,一"(еЬo + △瓦)方](66)(66)
〃0,Ь0 ⑴=
〃0,Ь0 ⑴=
(噥)
(噥)
exp,一"(еЬo + △瓦)方]
exp,一"(еЬo + △瓦)方]
(66)
(66)
Как видим, этой частью матричного элемента описывается экспоненциальный распад возбуждения. Производная
\ д zЗтг т2с2
\/ Z = Zbg
XXZ7T + InZ7T + Ine6 一 Ege6 一 Eg
X
X
Z7T + In
Z7T + In
e6 一 Eg
e6 一 Eg
близка к единице. Не вычисляя ее подробно, отметим лишь, что во втором члене кроме малого параметра а (постоянной тонкой структуры) присутствует малый параметр
m2c2m2c2
m2c2
m2c2
приближенно равный квадрату отношения боровского радиуса к длине излучаемой волны. Отсюда ясно, что вклады от интегралов по контурам С〃 и С'〃 невелики.
Интеграл по контуру С〃 представляет собой то небольшое отклонение закона распада от экспоненциального, которое впервые было отмечено Л. А. Халфиным [11] и которое неоднократно обсуждалось в литературе [12]. Хотя эта часть мала по сравнению с единицей, при больших t она убывает медленно, по степенному закону и становится больше части U^q &о убывающей экспоненциально. Интеграл по контуру С〃 можно представить в виде разности
(
СЮ сю \
T(67)
где р — модуль s (о =—火)на контуре С〃， (Д) — значение А^о(2) на левой части контура С" и △(" (Д) — значение той же функции на правой части этого контура. При больших t в этих интегралах
4 В.П. Быков
достаточно учесть лишь значения △累(0)и A*(。) при малых р. В этом случае разность
(0) - △累(0) = ^ 熱
пропорциональна р, а произведение A*⑵• △力川 стремится при 2 — 0 к постоянной Ejo，равной
凡о =瓦0 + ^ £ 也Г Е9 访"(瓦-Eg) + hl + 1 ；
индексом а выделено основное состояние атома, энергия которого равна нулю.
Следовательно, часть матричного элемента и^ьо(方)(67), обусловленная контуром С〃，
TtП 〜 Q m ba I力
(68)
действительно при больших t убывает по степенному закону.
Контур С〃 обходит точку ветвления слагаемого в △ьо, соответствующего д = а. Другие слагаемые, соответствующие другим д, также имеют точки ветвления при z = Ед. Одна такая точка ветвления при z = Ед вместе с контуром С'〃，охватывающим ее, показана на рис. 4. В большинстве случаев интеграл по контуру С'〃 мал. Он может стать существенным, когда Ед близко к 石仇 т. е. при пересечении уровней; однако этот случай, хотя может быть легко рассмотрен методом резольвенты, все же является частным случаем и здесь рассматриваться не будет.
Интегралы, входящие в △ьо, берутся по конечному отрезку вещественной оси, от Ед до Ед + 力&м； соответственно, как функции 2 они имеют точки ветвления не только на левом конце отрезка интегрирования, но и на правом его конце. Одна такая точка ветвления и охватывающий ее контур интегрирования С〃〃 показаны на рис. 4. Интегралы по этим контурам практически во всех случаях пренебрежимо малы; что еще существеннее, учет этих интегралов выходит за пределы применимости нерелятивистской теории. Действительно, правый конец отрезка интегрирования соответствует таким энергиям, при которых движение электрона становится релятивистским, и требует для своего описания квантовой электродинамики в полном объеме. К счастью, эти поправки в интересующих нас в данном случае оптических вопросах невелики.
Хотя в этом разделе уделено много внимания вычислению лэмбов- ского сдвига (в основном это сделано для того, чтобы показать, что в этом вопросе нет ничего сложного), лишь в редких случаях знание
этого сдвига бывает существенным; в большинстве оптических задач лэмбовский сдвиг может быть положен равным нулю.
Форма гамильтониана и начальные условия визлучательных задачах
Введение. Квантовая электродинамика развивалась в основном как теория рассеяния, т. е. начальные условия в ней ставились при t — —оо. Однако имеется довольно широкий круг задач, в которых начальное условие необходимо поставить в некоторый определенный момент времени, например t = 0. Роль начальных условий в задачах об излучении атомов и молекул, или, более широко, в задачах квантовой электродинамики, изучена недостаточно. В данном разделе мы обратим внимание на один из аспектов этой проблемы, который оказывается связанным с выбором гамильтониана взаимодействия атомов с полем в двух различных формах [13].
Первая форма гамильтониана имеет вид
H=^-^+u^+^\dv^+s2> ⑴
основной (линейный по е) член взаимодействия атома с полем в кулоновской калибровке равен
-~pA{rY(2)
т
Вторая форма гамильтониана, которую мы пока не будем выписывать полностью, имеет вид
牙=^声+。(尸)+ ^ dV(Е2 + Я2) -6^ + ....(3)
Как видим, в этой форме невозмущенная часть такая же, как и в первой, а член взаимодействия атома с полем равен
-егЕ^.(4)
Еще в 1931 г. М. Гепперт-Майер [14] рассмотрела каноническое преобразование гамильтониана (1), приводящее к взаимодействию атомов с полем вида (4). Это преобразование было произведено лишь в дипольном приближении и при неквантованном поле. В дальнейшем оно рассматривалось в работе [15], где отмечались преимущества второй формы, выражающиеся в устранении некоторых низкочастотных рас-
ходимостей. Позже, в работе [16] уже в рамках квантовой теории было установлено унитарное преобразование, соответствующее классическому каноническому преобразованию:
Hf = S"S, (5)
где S — оператор преобразования (см. ниже). Существовала полная уверенность в эквивалентности двух форм гамильтониана, базировавшаяся на существовании канонического преобразования от одной формы к другой и на том, что из обеих форм следуют уравнения Максвелла и уравнения движения электрона, когда в 1947-1948 гг. В. Лэмб в известном цикле работ [17], посвященных измерению лэмбовского сдвига, показал, что некоторые измеренные им спектральные распределения лучше описываются теоретически, если гамильтониан взаимодействия взять в форме (4). Тем самым было впервые показано, что две «теоретически эквивалентные» формы гамильтониана при обычных квантово-механических вычислениях, например при вычислениях формы спектральной линии, приводят к разным результатам, и лишь для одной из форм, а именно, для формы (3), эти результаты совпадают с экспериментальными. По существу возник парадокс, повлекший за собой ряд работ [18-20], в которых был высказан широкий спектр мнений о природе этого парадокса.
Парадокс легко раскрывается по крайней мере в том случае, когда и поля, и атомы описываются квантово-механически. Действительно, в квантовой механике гамильтониан описывает изменение состояния во времени:
丨△⑴ ^^Н|2о)， (6)
где I 2()) — начальное состояние системы; пока рассматривается, как в данной статье, спонтанное излучение, под | ⑦。)=|b, °) понимается возбужденное состояние атома |Ь) и вакуумное состояние поля, т. е. ноль фотонов I 0). Для того чтобы соотношение (6) было справедливо на больших интервалах времени △方，обычно как гамильтониан, так и состояния берут в представлении взаимодействия. Однако для наших целей это обстоятельство несущественно, и мы не будем обращать на него внимание.
Амплитуды вероятностей переходов получатся, если соотношение (6) умножить слева на состояния (п |, принадлежащие какому-либо полному набору ортогональных состояний:
М = {n\ △办 ^ ^(八 I 8 I 耽). ⑺
Очевидно, амплитуды вероятностей переходов М не изменятся, если все равенство (7) подвергнуть унитарному преобразованию:
М = {п I △办 — {n\SS-iHSS-i\^Q) = —{nf\Hf\^).(8)
Как видим, при унитарном преобразовании, описываемом оператором S, подвергать преобразованию следует не только гамильтониан (5), но и состояния
丨砲)= $Т| ⑦ о),(nz I = (n I 5.⑼
Это и раскрывает парадокс, так как обычно состояния, в частности начальное состояние \^фо), не преобразуются согласно (7) (см. [17]) и берутся непреобразованные состояния. Естественно, при этом унитарная эквивалентность гамильтонианов нарушается, и результаты вычислений оказываются различными.
Однако, раскрытие парадокса не исчерпывает всех вопросов. Действительно, нежелание преобразовывать состояния, в частности начальное состояние, можно понять следующим образом. Так как оператор S, как далее будет видно, содержит операторы рождения и уничтожения фотонов, то преобразованные состояния соответствуют присутствию фотонов в начальном состоянии, но не вакуумному состоянию. Так как исследуется спонтанное излучение, т. е. процесс рождения фотонов, то кажется нелогичным присутствие фотонов в начальном состоянии. Наоборот, кажется естественным взять в качестве начального вакуумное состояние поля, т. е. непреобразованное начальное состояние.
Использование непреобразованных состояний с преобразованным гамильтонианом означает вычисление величины
ЛГ 51Hs) = ^6|S"S|耽〃附風)，(10)
где
丨心‘)=51晩)，(八〃1 = 5f—1,(n)
т. е. можно считать, что используется старый гамильтониан с новыми начальными условиями. Поэтому вопрос о представлении гамильтонианов в двух формах свелся к изменению начальных условий, и важно выяснить, что такое состояние S | ⑦。)и чем оно отличается от \^q).
Второй вопрос, представляющий интерес, это — как интерпретировать фотоны в состоянии I %〉，которое эквивалентно состоянию | 耽)， не содержащему фотонов? Как мы увидим, оба эти вопроса имеют, по существу, один ответ. В следующем разделе мы исследуем состояние \^q ). Для этого нам придется найти среднее значение электрического поля в этом состоянии.
Преобразование электрического поля. Представителями состояний I V7。） и I фо） будем считать средние значения тех или иных наблюдаемых в этих состояниях. В частности, нас будут интересовать средние значения электрического поля Ё. Естественно, средние значения наблюдаемых ни в коей мере не исчерпывают состояний 丨⑦；） и IV7。）. Например, знание среднего значения поля еще ничего не говорит о среднем значении квадрата поля и т. д. Однако, как мы увидим, уже средние значения поля ясно продемонстрируют различие состояний 丨⑦；）и IV7。）.
Как всегда в кулоновской калибровке, электрическое поле состоит из поперечной月丄（月） и продольной EН亿元） частей （продольная часть, кроме точки наблюдения 月,является также функцией координат электрона г. Сначала рассмотрим поперечное поле в состоянии I ⑦；）.Его среднее значение равно
（F丄（近）） = （^0 I史（近）I向）=（耽I ST月丄（左）5 I耽）
следовательно, можно сначала преобразовать поле
月丄/ = Sт月丄S
и затем усреднить его по старому состоянию | ⑦。）.Унитарный оператор S имеет вид [16]
S = exp ге dx Р （г, х） А （х） ,（12）
где
户俨，可=尸 「^卜十）+；（尸十y-…8⑺（13）
（дифференцирование V по ж） и А （х） — векторный потенциал. Вид оператора S получен в [16] из условия, что преобразование （5） дает тот же результат, что и каноническое преобразование Гепперт-Майер [14]. Векторное поле 戸（尸，F）, зависящее от радиуса-вектора электрона г, как от параметра, можно представить в виде
户（元可=亨1户（元可=亨1
户（元可=亨1
户（元可=亨1
=司『（冗习-V（f,x-f）] ,（14）
где г — единичный вектор направления г и У （г, х） определяется
условиемусловием（г十）卜（尸，可=8（可.（г十）卜（尸，可=8（可.
условием
условием
（г十）卜（尸，可=8（可.
（г十）卜（尸，可=8（可.
Для V (г, х) имеют место также представления
V (г, х)=V (г, х)=ггггdkdkйк] + 辽йк] + 辽£〉0£〉0
V (г, х)=
V (г, х)=
гг
гг
dk
dk
йк] + 辽
йк] + 辽
£〉0
£〉0
Рис. 5. «Функция F (г, х)Рис. 5. «Функция F (г, х)砂卜，月）=-47герН卜，文）砂卜，月）=-47герН卜，文）(15)(15)
Рис. 5. «Функция F (г, х)
Рис. 5. «Функция F (г, х)
砂卜，月）=-47герН卜，文）
砂卜，月）=-47герН卜，文）
(15)
(15)
и
V (г, х) = " О 8 何丄),
где
x = ^ + ^,刘I忆牙丄丄尸.
Последнее выражение для V (尸,ж) позволяет дать простое физическое описание поля Р (г, ж), дающее возможность производить вычисления, не прибегая к мульти- польным разложениям. Поле Р (г, х) оказывается отличным от нуля (равным бесконечности) в узкой трубочке (бесконечно узкой), направленной из начала координат в точку, где расположен электрон, и направлено вдоль трубочки (рис. 5). Это поле следует понимать как обобщенную функцию х; в окончательных выражениях оно
может фигурировать лишь под знаком интеграла по/.
Поле Р (г, х), как и вообще всякое поле, можно разложить на вихревую и потенциальную части. Важным свойством поля Р (г, х)
является то, что его потенциальная часть с точностью до множителя —4тг е совпадает с суммарным кулоновским полем ядра и электрона, когда первое находится в начале координат, а второй — в точке г:
Для выделения продольной части поля Р (尸，х) воспользуемся известным соотношением
p^卜,月）=而%g-月）q （尸,X）,
где
北g一月）=北g一月）=1 》—l47r dxxRdx^R L_ Д1 》—l47r dxxRdx^R L_ Д—так называемая продольная интегрируя по частям, получим—так называемая продольная интегрируя по частям, получим5-функция. Подставляя сюда (13) и5-функция. Подставляя сюда (13) иРис. 6. «Функция Р^ (г, х)Рис. 6. «Функция Р^ (г, х)i3"(f^) = -igrad^+1I1что как раз и совпадает с точностью до множителя —4тг е с кулоновским полем ядра, расположенного в начале координат, и электрона, расположенного в точке г (рис. 6). Теперь мы имеем достаточно сведений для того, чтобы произвести преобразование поля:= ST 后丄 S.i3"(f^) = -igrad^+1I1что как раз и совпадает с точностью до множителя —4тг е с кулоновским полем ядра, расположенного в начале координат, и электрона, расположенного в точке г (рис. 6). Теперь мы имеем достаточно сведений для того, чтобы произвести преобразование поля:= ST 后丄 S.Для этого воспользуемся известным операторным соотношением еАВе~А = В + [А; В] + 1 [А; [А; В]] + ； [А; [А; [А; В]]] + …(16)Для этого воспользуемся известным операторным соотношением еАВе~А = В + [А; В] + 1 [А; [А; В]] + ； [А; [А; [А; В]]] + …(16)и вычислим в нем первый коммутатор для рассматриваемого случая:и вычислим в нем первый коммутатор для рассматриваемого случая:—ге dx戶(г, х) А⑺;月丄—ге dx戶(г, х) А⑺;月丄= ie^2e^ dx PA (r, f)丛⑺;= ie^2e^ dx PA (r, f)丛⑺;dtdt
北g一月）=
北g一月）=
1 》—l
47r dxxRdx^R L_ Д
1 》—l
47r dxxRdx^R L_ Д
—так называемая продольная интегрируя по частям, получим
—так называемая продольная интегрируя по частям, получим
5-функция. Подставляя сюда (13) и
5-функция. Подставляя сюда (13) и
Рис. 6. «Функция Р^ (г, х)
Рис. 6. «Функция Р^ (г, х)
i3"(f^) = -igrad^+
1I1
что как раз и совпадает с точностью до множителя —4тг е с кулоновским полем ядра, расположенного в начале координат, и электрона, расположенного в точке г (рис. 6). Теперь мы имеем достаточно сведений для того, чтобы произвести преобразование поля:
= ST 后丄 S.
i3"(f^) = -igrad^+
1I1
что как раз и совпадает с точностью до множителя —4тг е с кулоновским полем ядра, расположенного в начале координат, и электрона, расположенного в точке г (рис. 6). Теперь мы имеем достаточно сведений для того, чтобы произвести преобразование поля:
= ST 后丄 S.
Для этого воспользуемся известным операторным соотношением еАВе~А = В + [А; В] + 1 [А; [А; В]] + ； [А; [А; [А; В]]] + …(16)
Для этого воспользуемся известным операторным соотношением еАВе~А = В + [А; В] + 1 [А; [А; В]] + ； [А; [А; [А; В]]] + …(16)
и вычислим в нем первый коммутатор для рассматриваемого случая:
и вычислим в нем первый коммутатор для рассматриваемого случая:
—ге dx戶(г, х) А⑺;月丄
—ге dx戶(г, х) А⑺;月丄
= ie^2e^ dx PA (r, f)丛⑺;
= ie^2e^ dx PA (r, f)丛⑺;
dt
dt
Так как коммутатор в последнем выражении с точностью до множителя 4тг г равен так называемой поперечной 5-функции 5j^ (x — Rj, то
—4тг е £ d牙8 （尸,牙）岐从卜一玄）=
=_4тте户丄亿月）=-4тге ［户卜可_同亿元）］；
Рис. 7.①ункцня 戸丄(г, х)Рис. 7.①ункцня 戸丄(г, х)поле 戶丄(尸,月) изображено на рис. 7. Отсюда видно, что все последующие коммутаторы в (16) обратятся в нуль, и преобразованное поле, следовательно, имеет вид
Рис. 7.①ункцня 戸丄(г, х)
Рис. 7.①ункцня 戸丄(г, х)
月丄’=月丄(月)-
-47Г [户卜，月)一问卜,月)卜(17)
Рассмотрим теперь кулоновское поле. Кулоновское поле не описывается гамильтонианом. При квантовании
оно исключается еще при переходе
от лагранжева описания к гамильтонову [21], как не являющееся настоящей гамильтоновой переменной (сопряженный кулоновскому потенциалу импульс оказывается равным нулю). Однако исключение
кулоновского поля из гамильтонова аппарата вовсе не означает, что этого поля физически не существует. Фактически уравнения, следующие из гамильтониана, должны быть дополнены независимым уравнением для скалярного потенциала
△夕=4тг 0
или, если электрон предполагается точечным,
目I (r,R\ = — grad夕=e grad^ ,e grad^
где первый член представляет собой кулоновское поле электрона и второй — кулоновское поле ядра. Кулоновское поле атома (оно же среднее полное поле в непреобразованном состоянии), находящегося в p-состоянии, показано на рис. 8 а. Так как это поле зависит лишь от координат электрона и поэтому коммутирует с показателем экспоненты в (12), то при преобразовании
月m卜，月)=ST月"卜，月)S =月卜，左) (18)
Рис. 8. Кулоново поле в состояниях | Ь, 0〉 (а) н S | Ь, 0〉 (6)Рис. 8. Кулоново поле в состояниях | Ь, 0〉 (а) н S | Ь, 0〉 (6)
Рис. 8. Кулоново поле в состояниях | Ь, 0〉 (а) н S | Ь, 0〉 (6)
Рис. 8. Кулоново поле в состояниях | Ь, 0〉 (а) н S | Ь, 0〉 (6)
оно остается неизменным. Согласно (15)
砂卜，月）砂卜，月）=-4тг ерИ 卜,月)=-4тг ерИ 卜,月)
砂卜，月）
砂卜，月）
=-4тг ерИ 卜,月)
=-4тг ерИ 卜,月)
складывая (17) и (18), получим преобразование полного поля
月/亿，月)=ST月卜，月)S =月丄(月)一47те户卜,月). (19)
Усредняя это поле по вакууму и по возбужденному состоянию атома (скажем, по p-состоянию), получим картину поля, показанную на рис. 8 6.
Среднее поле в непреобразованном состоянии, как уже сказано, равно кулоновскому полю (рис. 8 а), так как вследствие линейности по операторам рождения и уничтожения 〈 Е± ) = 0.
Таким образом, мы видим, что средние поля в состояниях | ⑦。)= =I b, 0), (рис. 8(2)и I ⑦；)=S| Ь, 0) (рис. 8 6) существенным образом отличаются. Фактически рассматриваемое преобразование уничтожает внешнюю часть кулоновского поля, а оставшаяся часть поля трансформируется так, чтобы выполнялась теорема Гаусса. Следует отметить, что оператор S по отношению к операторам。厶 и а^д имеет вид
e代ah+ 2*aк入)，
т. е. из вакуумного состояния он порождает когерентное состояние поля, что совершенно естественно, так как порождаемое поле должно скомпенсировать неквантованное продольное поле. Следовательно, излучение при начальном состоянии IV7；) = S|b, 0) начинается с неравновесного кулоновского поля, в отличие от начального состояния I 2о) = |Ь, 0), при котором кулоновское поле стационарно. Положение здесь такое же, как при свободном движении электрона. В. Л. Гинзбургом [22] было показано, что если в качестве начального условия для свободного электрона берется равновесное поле, то электрон не
излучает; при неравновесном же поле в начальный момент электрон излучает, «обрастая» равновесным полем. В рассматриваемом нами случае электрон излучает и в том и в другом случае, однако излучает по-разному, как будет показано в пункте 5.
Таким образом, основное отличие состояний | ⑦。） и \^q） = S \ ^q） выявлено, и ответ на первый вопрос, поставленный в конце пункта, ясен. Ясен также и ответ на второй вопрос. Действительно, состояние I %） = S~i I 耽），эквивалентное состоянию |耽），должно содержать пакет фотонов, образующий вихревое поле, которое совместно с полем —4тг еР приводит к стационарному кулоновскому полю, такому же, как в состоянии I 耽）с непреобразованными операторами.
Мгновенное возбуждение атома, природа поля Р （元 W）. Рассмотрим задачу о мгновенном возбуждении атома. Это исследование позволит выяснить природу поля Р （г, х）. Пусть атом, находившийся в основном состоянии |а） в момент t = 0, испытывает сильное ударное воздействие, в результате которого он возбуждается и в дальнейшем излучает, снова переходя в состояние | а）. Гамильтониан системы атом+поле+источник мгновенного воздействия зависит от времени:
Н=Н+К⑴，
где Н — часть гамильтониана, не зависящая от времени и описывающая атом, электромагнитное поле и их взаимодействие （1）, К （尸，方） —часть гамильтониана, описывающая воздействие внешнего поля на электрон атома. Перейдем к представлению
W（t） = е沮〃万К ⑴ e~iHt/n.
Тогда оператор эволюции имеет вид [23]
G ⑴=「〃（К+К+.・），
где tt t[
У1（"= \dtxW^ к⑴=/[必 1 [必 2u1；*],Wa = w（ta）.
Придадим оператору К （方）конкретный вид
К （方）= —т （诉）, grad^ К （方）= —mu , и = const.
Рис. 9. Зависимость возбуждающего потенциала от времениРис. 9. Зависимость возбуждающего потенциала от времениПоле, создаваемое внешним возмущением в окрестности атома, является пространственно однородным и от времени зависит как производная по времени от 8 (^-функции (рис. 9). Величина Н (方)легко вычисляется:
Рис. 9. Зависимость возбуждающего потенциала от времени
Рис. 9. Зависимость возбуждающего потенциала от времени
t
У1 (t) = dtxWx =
г
t
J"方1
=zm [Я; иг] = М (万一- А (г )^ .
G = ехp [-泡(万-§ N(尸))].G = ехp [-泡(万-§ N(尸))].(20)(20)Вычисляя 心，получим бесконечно большую величину, которая, однако, является не оператором, а С-числом и дает вклад лишь в несущественную фазу состояния. Пренебрегая последующими членами, получим, что оператор эволюции, обусловленный «мгновенным» воздействием, имеет следующий вид:
G = ехp [-泡(万-§ N(尸))].
G = ехp [-泡(万-§ N(尸))].
(20)
(20)
Рассмотрим состояние системы после мгновенного воздействия, но до начала излучения. Как и раньше, будем характеризовать его средними значениями тех или иных величин в этом состоянии. В частности, вычислим среднее значение электрического поля. Для вычисления «среднего» значения величины О в состоянии
\^)=G\a,0)
необходимо величину О преобразовать по правилу
6G = G~idG
и усреднить полученное выражение по исходному состоянию
{dG) = {a^\G~{dG\a^}.
Рассмотрим преобразование различных операторов под действием унитарного оператора G. Сначала рассмотрим преобразование координаты электрона:
га = ехр (р- -А (г • ехр (р- §才(尸М
Это преобразование легко получается, если воспользоваться разложением (16) и учесть, что оно обрывается на втором члене, так как уже в нем получается С-числовой вектор и:
[泡(万一“(尸))；寸 =公£电"入= £电"入以4=м,
обращающий в нуль все последующие коммутаторы. Таким образом, мгновенное воздействие приводит к смещению распределения зарядов на вектор и; этим раскрывается физический смысл вектора и. Векторный потенциал в точке наблюдения R не изменяется при рассматриваемом преобразовании, так как он не зависит от координат электрона и, следовательно, коммутирует как с р, так и с А (г).
Наиболее интересно преобразование поперечного поля Ё (玄).Снова воспользуемся разложением (16) и рассмотрим второй его член
г \и (万一k (尸))；月丄(初=
Коммутатор компонент векторного потенциала и его производной по времени известен и равен так называемой поперечной 8丄(尸一月)- функции, умноженной на 4тгг. Следовательно,
i [五(万--Ai [五(万--Af-Rf-R(21)(21)
i [五(万--A
i [五(万--A
f-R
f-R
(21)
(21)
Все последующие коммутаторы в разложении (16) теперь легко вычисляются с помощью соотношения
=г [up; F (г)]==г [up; F (г)]=АА9F=9F=9十)e9十)e
=г [up; F (г)]=
=г [up; F (г)]=
А
А
9F
=
9F
=
9十)e
9十)e
Для первого члена из (21) все коммутаторы разложения (16) можно
представить в виде
一号五1 + ；（衣）+；（衣）中-月）.
Заменяя дифференцирование по г дифференцированием по 玄,получим
= -^P^R-r^= -^P^R-r^—знакомое уже нам поле Р. Представив это выражение в виде—знакомое уже нам поле Р. Представив это выражение в виде一号戶依'反一尸）=一号戶依'反一尸）=—竽/［『（М,А —尸）-V （^u,R-f-^ ,—竽/［『（М,А —尸）-V （^u,R-f-^ ,Рис. 10. Область, где поле 户（或 月—' отлично от нуляРис. 10. Область, где поле 户（或 月—' отлично от нулягде й — единичный вектор направления М, легко убедиться, что поле 戶（五，玄一尸） отлично от нуля лишь в области, отмеченной штриховой линией на рис. 10.Второй член в （21） можно выразить через кулоновское поле электронагде й — единичный вектор направления М, легко убедиться, что поле 戶（五，玄一尸） отлично от нуля лишь в области, отмеченной штриховой линией на рис. 10.Второй член в （21） можно выразить через кулоновское поле электронаесли учесть, чтоесли учесть, чтоУ 砂卜,月）=止£以"从* к人小沃。 =У 砂卜,月）=止£以"从* к人小沃。 =
= -^P^R-r^
= -^P^R-r^
—знакомое уже нам поле Р. Представив это выражение в виде
—знакомое уже нам поле Р. Представив это выражение в виде
一号戶依'反一尸）=
一号戶依'反一尸）=
—竽/［『（М,А —尸）-V （^u,R-f-^ ,
—竽/［『（М,А —尸）-V （^u,R-f-^ ,
Рис. 10. Область, где поле 户（或 月—' отлично от нуля
Рис. 10. Область, где поле 户（或 月—' отлично от нуля
где й — единичный вектор направления М, легко убедиться, что поле 戶（五，玄一尸） отлично от нуля лишь в области, отмеченной штриховой линией на рис. 10.
Второй член в （21） можно выразить через кулоновское поле электрона
где й — единичный вектор направления М, легко убедиться, что поле 戶（五，玄一尸） отлично от нуля лишь в области, отмеченной штриховой линией на рис. 10.
Второй член в （21） можно выразить через кулоновское поле электрона
если учесть, что
если учесть, что
У 砂卜,月）=止£以"从* к人小沃。 =
У 砂卜,月）=止£以"从* к人小沃。 =
—4тг е—4тг е£己"〃此卜-江）.£己"〃此卜-江）.
—4тг е
—4тг е
£己"〃此卜-江）.
£己"〃此卜-江）.
Тогда сумма коммутаторов разложения （16） для второго члена из （21） имеет вид
111 + （衣）+^ （衣 了 + ；（衣 J +…U X
1
1
xEll卜，月）=月u亿，月）- Ell卜+或月）.
Следовательно, поперечное поле преобразуется следующим образом:
月吉=月丄(А) -4тгерм,月一尸)- EН卜+或月)+砂卜,玄).
Продольное поле преобразуется, очевидно, так:
［砂卜,月)+ <01 (间G =型卜+或玄)+现d 3) •
Таким образом, полное поле после преобразования принимает вид
Eg亿,月)=<lci (月)+月"卜,月)+月丄亿元)-4ьe户(6尸一月)•
Усредняя это выражение по состоянию | а, 0), убеждаемся, что среднее поле в состоянии G|a,0), получившемся из | а, 0) в результате мгновенного воздействия, состоит из кулоновского поля, соответствующего исходному состоянию I а, 0), и некоторого дополнительного поля, отличного от нуля лишь на траектории движения заряда. Физически совершенно естественно, что изменения в поле произошли лишь на тра
ектории движения заряда, так как изменения в точки вне траектории доходят от точек траектории с конечной скоростью, а сама траектория возникает мгновенно °). В целом среднее по состоянию G|a,0) поле имеет вид, показанный на рис. 11.
Рис. 11. Электрическое поле в возбужденном состоянии G I а, 0) (|а) — основное состояние атома)Рис. 11. Электрическое поле в возбужденном состоянии G I а, 0) (|а) — основное состояние атома)полем 戶.Естественно, такойполем 戶.Естественно, такойРассмотренная задача позволяет интерпретировать поле -4тг еР (й, R - г\ как электрическое поле, возникающее при мгновенном перемещении заряда из точки 尸 в точку г + и.
Рис. 11. Электрическое поле в возбужденном состоянии G I а, 0) (|а) — основное состояние атома)
Рис. 11. Электрическое поле в возбужденном состоянии G I а, 0) (|а) — основное состояние атома)
полем 戶.Естественно, такой
полем 戶.Естественно, такой
Возвращаясь теперь к состоянию
I 砚)= S|b, 0), рассмотренному в пункте 2, можно сказать, что поле в этом состоянии (19), изображенное на рис. 8 б, можно считать возникшим в результате мгновенного, с бесконечной скоростью перемещения заряда из ядра в распределение, соответствующее |Ь), так как прямолинейные силовые линии этого поля определяются как раз
°) Перемещение заряда со скоростью, большей скорости света в вакууме, в частности, с бесконечно большой скоростью, не противоречит теории относительности. Такое перемещение может происходить, например, при рождении на траектории совокупности электронно-позитронных пар с последующей аннигиляцией электронов и позитронов с соседними, соответственно, позитронами и электронами.
процесс не может происходить реально, хотя бы потому, что электрон в силу принципа неопределенности не может быть сосредоточен в ядре. Поэтому начальное состояние | ) = S|b, 0) может лишь с той или иной степенью достоверности отражать практически реализуемые начальные состояния. Кроме того, такое мгновенное перемещение электрона из ядра в распределение |Ь) — не единственный способ возникновения состояния 〔⑦曰).
Каноническое преобразование Пауэра и Циенау. Найдем теперь полностью вторую форму гамильтониана. Для этого необходимо, кроме преобразования электрического поля, выполнить также преобразование магнитного поля и оператора скорости электрона:
Что касается магнитного поля, то следует заметить, что при рассматриваемом преобразовании векторный потенциал не меняется, так как он коммутирует с показателем экспоненты в (12); вместе с ним не изменяются и все его пространственные производные, в частности, не изменится магнитное поле
Я = rot А.
Для преобразования оператора скорости электрона снова воспользуемся разложением (16) и вычислим в нем первый коммутатор, приняв во внимание, что векторные потенциалы, взятые в один и тот же момент времени, коммутируют:
dx Р (г, А(х); р =—Vr dx Р (г,А(х). т JJ m v
Так как это выражение зависит лишь от векторного потенциала и координат электрона, то все последующие коммутаторы в разложении (16) обратятся в нуль. Следовательно,
=— p--A(f) + -^r dx Р (г, х) А (х).
m сс J
Усреднение по состоянию |Ь,。)как преобразованного, так и непре- образованного оператора скорости дает нуль. Аналогично можно убедиться, что средние значения преобразованного и непреобразованного операторов тока в этом состоянии одинаковы. Однако, как указывалось выше, среднее значение оператора не исчерпывает всех характеристик
Форма гамильтониана 〃 начальные условия 6 излучательных задачах 113 состояния — могут различаться средние значения степеней этих операторов. Эти различия также могут выявлять несходство состояний | ⑦曰)
Используя первые члены мультипольного разложения 户(尸，牙)(13)
才⑺=才⑼+卜十)才⑼+
для оператора скорости можно получить приближенное выражение
+訂卜艮口⑺L」U+訂卜宙(0)卜
Произведем теперь каноническое преобразование Пауэра и Циенау (5). Сначала преобразуем атомную часть гамильтониана. Для этого заметим, что потенциальная энергия электрона U(г) не изменяется при преобразовании (5), а для преобразования части, содержащей импульсы, достаточно выражение (22) возвести в квадрат и умножить на т/2 :
1 гл-I 2
-— р - - А (г) + - Vr dx Р (г, А . 2т сс J
Для преобразования полевой части гамильтониана достаточно в ней под интегралом заменить поле Ё (f, Rj выражением (19). В результате получим
dRE^ ^P(f,R^ +27ге2 dA
Средний член как раз и дает взаимодействие атомного электрона с электрическим полем в форме (3). Действительно, оставляя в (13) первые два члена, получим
dRE^ ^ Р (г, R^
丄⑼-*gr) 口丄仅))匹。 + .…
В целом гамильтониан принимает следующий вид:
Я7 = S-^HS = 2^ Р - 1^4 (^) + eW dxP(f,x)A(x) + U (尸)+
+品以严（可+讲（引一
—e—edRE^dRE^P(f,R] +27ге2 dRP2P(f,R] +27ге2 dRP2(23)(23)
—e
—e
dRE^
dRE^
P(f,R] +27ге2 dRP2
P(f,R] +27ге2 dRP2
(23)
(23)
Приближенно же, с использованием указанных выше мультипольных разложений, гамильтониан равен
〃 == ^Z + 。 ⑺ + ^ ® 产(可 + 寻 0)卜
—е尸月丄(0) —c£Q№V》rE^r=o—
22p
+訂卜词+2+J即(*，(24)
гдеI
e Q№ = 2
—недиагонализованный квадрупольный момент электрона, п £ = =[г, р] — орбитальный момент электрона. Такая форма гамильтониана интересна тем, что полное взаимодействие атома с полем расщепляется на взаимодействия с полем элементарных моментов: электрического дипольного, электрического квадрупольного, магнитного дипольного и т. д.
Еще раз подчеркнем, что гамильтонианы (1) и (23) эквивалентны лишь в том случае, когда все состояния подвергнуты преобразованиям (9).
Спектры фотонов при расчетах с разными гамильтонианами, результат Лэмба-Резерфорда. Рассмотрим спонтанное излучение возбужденного атома, используя разные формы гамильтониана. Как явствует из предшествующего текста, физически различие между гамильтонианами сводится к различию в начальных условиях. Сейчас нас будет интересовать, к чему приводят эти различия.
Итак, рассмотрим систему, характеризуемую гамильтонианом
Я = Яо + ^,
где Но — невозмущенная часть гамильтониана и V — возмущение. Оператор эволюции системы можно представить в виде
dzdzсс^izt/hz-H^izt/hz-H
dz
dz
с
с
^izt/hz-H
^izt/hz-H
где 兄⑶=(2 — Н)т — оператор резольвенты [24], и контур проходит несколько выше вещественной оси. Начальное условие возьмем в виде |Ь, 0) и будем интересоваться вероятностью возникновения фотона с волновым вектором и поляризацией А и перехода атома в основное состояние I а). Эта вероятность характеризуется амплитудой
_ 1 г
"(方)=(a,以口(方)也0) = ^ d2「切"(a,以1r⑶ 1b,0). (25)
Матричный элемент R(2) можно приближенно представить в виде ~^a,kX,b,Q
Вторая скобка в знаменателе этого выражения приближенно равна
2 -力 Go + -汤7, где
и имеет, таким образом, полюс в нижней полуплоскости (лэмбовским сдвигом в данном случае пренебрегаем, считая его малым). При вычислении интеграла в (25) вычет следует взять лишь при 2 =力s, так как вычет во втором полюсе затухает со временем. В результате получим
|М^оо|2 =|М^оо|2 =|%,kX;b,O『/方2
|М^оо|2 =
|М^оо|2 =
- ^о)2 + (1/4)72
Квадрат модуля матричного элемента V принимает разные значения при гамильтонианах в формах (1) и (3). В первом случае он равен во втором
Рис. 12. Распределения по частотам фотонов, излученных при различных начальных условиях, описываемые соотношениями (26) и (27)Рис. 12. Распределения по частотам фотонов, излученных при различных начальных условиях, описываемые соотношениями (26) и (27)Второе выражение получается из первого, если его умножить на отношение @/&о)2. Собственно, к этому множителю и сводится в основном различие в распределениях фотонов по частотам; есть еще пренебрежимо малое отличие в константах затухания (или вероятностях переходов), на котором мы останавливаться не будем. В окончательном виде распределения фотонов по частотам имеют вид (рис. 12): для гамильтониана (1)
Рис. 12. Распределения по частотам фотонов, излученных при различных начальных условиях, описываемые соотношениями (26) и (27)
Рис. 12. Распределения по частотам фотонов, излученных при различных начальных условиях, описываемые соотношениями (26) и (27)
р(5 恋=
Зтг—以0)2 + (1/4)Зтг—以0)2 + (1/4)(26)(26)для гамильтониана (3)
Зтг—以0)2 + (1/4)
Зтг—以0)2 + (1/4)
(26)
(26)
P^d^ = ^^(27)
3灰 c (s - а。)+ (1/4) 72
Легко видеть, что последнее выражение (27) не убывает при s — —оо. Это не должно нас удивлять; ведь начальное условие в этом случае соответствует такому невероятному процессу, как внезапное, с бесконечно большой скоростью появление распределения |Ь) из ядра. Тот или иной реальный физический процесс может лишь приближенно соответствовать такому начальному состоянию. Поэтому распределение (26) следует обрезать при частотах, несколько больших а。， и ввести соответствующий нормировочный множитель.
Следует отметить, что распределения (26) и (27) приведены в работе Пауэра и Циенау [16]; причем первое из них характеризовалось как неправильное, второе — как правильное. Как видно из изложенного, это утверждение Пауэра и Циенау неверно; оба распределения правильные —они лишь соответствуют различным начальным условиям. Можно сказать, что первое распределение соответствует излучению из состояния с установившимся кулоновским полем; второе — излучению из состояния с неустановившимся кулоновским полем.
Выбор гамильтониана или соответствующего начального условия в той или иной конкретной физической ситуации может быть произведен лишь посредством анализа процесса возбуждения атомов. Если начальное условие требуется знать точно, то процесс возбуждения следует включить в рассматриваемую квантово-механическую задачу; это вернет, нас, разумеется, к теории рассеяния. Во многих экспериментальных ситуациях это сделать довольно трудно.
Следует отметить, что при узких спектральных линиях вопрос о форме гамильтониана вообще несущественен. Действительно, при узких линиях (в подавляющем большинстве случаев естественная ширина линий в относительных единицах меньше 10-7-10-8) множитель (cj/cjo)2 с высокой степенью точности равен единице. Однако могут быть и исключения. В этом плане интересно рассмотреть эксперимент Лэмба-Резерфорда [17].
К сожалению, проведенное в данном разделе исследование непосредственно к анализу эксперимента Лэмба-Резерфорда неприменимо. Действительно, выше принималась в расчет лишь двухуровневая система, в то время как в эксперименте Лэмба-Резерфорда использовалась трехуровневая система. Они работали с индуцированным, а не спонтанным излучением. Наконец, в исследованной ими схеме существенную роль играл спин. Поэтому из нашего исследования можно извлечь лишь намеки на то, почему теоретическое объяснение их результатов требует использования гамильтониана в форме (3).
Во-первых, почему вообще их эксперимент оказался чувствительным к форме гамильтониана? Это легко понять, если учесть, что они исследовали низкочастотный переход 3 — 2 (рис. 13), ширина которого определяется малым временем жизни уровня 2, так как переход 2 — 1 разрешенный. Оказывается, что относительная ширина перехода 3 — —2 порядка 0,1 (рис. 12). Естественно, что множитель (s/so)? может давать в этом случае поправки до 20%, что в аккуратном эксперименте Лэмба-Резерфорда было уже заметной величиной.
Рис. 13. Схемауровнейв экспериментеЛэмба-РезерфордаРис. 13. Схемауровнейв экспериментеЛэмба-РезерфордаВо-вторых, можно думать, что при возбуждении состояния 3 электронным ударом в их эксперименте кулоновское поле могло не успевать устанавливаться. Действительно, время электронного удара порядка 10-15-10-16 сек, что много меньше интересующего нас периода 10-9 сек (соответственно в кулоновском поле существенны компоненты длиной в десятки сантиметров). В-третьих, возбуждение состояния 3 происходит из основного 1s-
Рис. 13. Схемауровней
в экспериментеЛэмба-
Резерфорда
Рис. 13. Схемауровней
в экспериментеЛэмба-
Резерфорда
состояния, тесно прилегающего к ядру.
При образовании распределения, соответствующего возбужденному состоянию 3, атомный электрон как бы из ядра выбивается внешним электроном. Эти обстоятельства указывают на преимущества гамильтониана в форме (3) при описании эксперимента Лэмба-Резерфорда. Напомним, что эти авторы как раз и отметили, что гамильтониан (3) лучше подходит для описания экспериментальных результатов. Вот, собственно, и все, что можно сказать про эксперимент Лэмба- Резерфорда. Разумеется, было бы желательным исследовать его подробнее.
Заключение. В данном разделе исследована роль начальных условий в излучательных задачах, когда и атомы, и электромагнитное поле описываются квантово-механически. При этом исследована та сторона вопроса, которая оказывается связанной с двумя формами гамильтониана взаимодействия атомов с электромагнитным полем, наиболее часто используемыми в теоретических расчетах.
Показано, что переход от одной формы гамильтониана к другой не меняет характера физического процесса лишь в том случае, когда такой переход сопровождается соответствующим изменением состояний, и, в частности, начального состояния. Стоит подчеркнуть, что это изменение лишь формы начального состояния, — физическое содержание его остается неизменным. Использование разных форм гамильтониана с одним и тем же по форме начальным состоянием эквивалентно рассмотрению процесса излучения с физически различными начальными условиями.
Показано, что при начальном состоянии |Ь, 0) гамильтониан (1) описывает излучение из состояния с равновесным кулоновским полем; при том же по форме начальном состоянии гамильтониан (3) описывает излучение из состояния с неравновесным кулоновским полем. Положение дел здесь совершенно эквивалентно тому, которое имеет место при свободном движении электрона и которое было впервые рассмотрено В.Л. Гинзбургом [22]. Вообще говоря, оба состояния с той или иной степенью точности могут реализовываться на практике. Выбор между этими состояниями может быть произведен лишь в результате физического анализа условий возбуждения. При узких линиях излучения различия в форме гамильтониана мало сказываются на их форме.
Не следует думать, что состояние с установившимся кулоновским полем чем либо выделено. Само возбужденное состояние атома не является стационарным, и требование, чтобы оно сопровождалось установившимся кулоновским полем, не имеет логических оснований.
Следует отметить, что имеется бесконечное число унитарных операторов, преобразующих гамильтониан к той или иной форме. Среди них оператор Пауэра и Циенау выделяется лишь простотой истолкования соответствующего начального условия.
Вообще говоря, возможны случаи, когда результаты расчетов с разными гамильтонианами не зависят от того, изменены или нет используемые состояния. Это имеет место для тех величин, для которых несущественна ширина уровня или которые относятся к центру линии. Для этих величин входящую в них частоту фотона можно заменить частотой перехода атома или молекулы. Пример такой величины имеется и в данной работе — это вероятность перехода из возбужденного состояния в невозбужденное или постоянная затухания верхнего уровня. Существование величин, нечувствительных к изменению состояний, не является случайным — оно обусловлено тем, что матричные элементы обоих гамильтонианов совпадают, если частота фотона равна частоте перехода. Один из таких важных частных случаев рассмотрен
в работе Ф. В. Бункина [25]. Им показано, что вероятность двухквантового распада возбужденного состояния может быть вычислена в дипольном приближении с помощью любого из гамильтонианов без изменения состояний (использование гамильтониана (3) имеет в этом случае лишь вычислительные преимущества). Для выявления подоб
ных частных случаев существенны как полнота системы невозму
щенных состояний, так и учет в ряде случаев квадратичного члена е2 -
А2 в гамильтониане (1). Имеются и другие работы, посвящен
ные аналогичным частным случаям, но их разбор выходит за рамки
данного исследования. Это именно частные случаи; в общем случае использование неизмененных состояний при разных гамильтонианах будет приводить к разным результатам — на это и обращено внимание
в данном разделе.
Различие форм гамильтониана может привести к различным физическим результатам и в классике, если преобразование формы гамильтониана не сопроводить преобразованием формы начального условия. Например, пусть при одной форме гамильтониана начальный импульс системы равен нулю. При каноническом преобразовании меняются также импульсы, и новый импульс не обязательно равняется нулю в том же состоянии. Следовательно, форма начального условия при каноническом преобразовании должна быть изменена.
Разумеется, те же соображения о начальном состоянии системы справедливы и при рассмотрении индуцированного излучения, т.е. изменение гамильтониана без изменения начального состояния и в этом случае эквивалентно физическому изменению начальных условий. Однако в этом случае имеется вопрос, который мы не затрагивали и который заслуживает особого рассмотрения, — это вопрос о представлении взаимодействия атомов с неквантованным и макроскопическим электромагнитным полем. Этому вопросу посвящен ряд опубликованных работ [20]. По нашему мнению, этот вопрос может быть разрешен на основе предельного перехода от квантованного поля к неквантованному, а какие-либо искусственные рецепты или догадки вряд ли
приведут к цели.
Перенос возбуждения между атомами
Одним из простейших материальных тел, расположенных вблизи излучающего атома и оказывающих влияние на его излучение, может быть невозбужденный атом. Взаимодействие возбужденного и невозбужденного атомов много раз исследовалось, однако некоторые тонкие вопросы в теоретическом описании этого взаимодействия до недавнего времени оставались неясными [26, 27, 31-34].
Так как электромагнитное поле распространяется в вакууме с ограниченной скоростью, то явлениям излучения должна быть свойственна характерная особенность — запаздывание, которое в самом общем виде формулируется так: причина должна опережать следствие на время 方=//с, если они разделены пространственно расстоянием I. Эти эффекты запаздывания исследовались еще на заре квантовой электродинамики [26, 27], так как требование запаздывания (или причинности) представляет собой удобный, внешний по отношению к теории, критерий ее правильности.
В известной работе [26], посвященной развитию квантовой электродинамики, Э. Ферми исследовал распространение возбуждения от одного атома к другому. Атомы располагались на расстоянии I один от другого, причем один из атомов — атом-излучатель — находился при t = 0 в возбужденном состоянии, второй — атом-детектор — в основном состоянии; электромагнитное поле считалось невозбужденным, т. е. предполагалось, что фотоны отсутствуют. Таким образом, состояние системы в начальный момент времени можно обозначить вектором \ЬаО), где первая буква показывает, что атом-излучатель возбужден, вторая — что атом-детектор не возбужден и нуль — что фотоны отсутствуют. Для описания переноса возбуждения Э. Ферми использовал квадрат модуля матричного элемента оператора эволюции
М =〈曲0 I exp {—iHt/K) | ЬаО),
представляющий вероятность обнаружить систему в момент t > 0 в состоянии I аЬО), в котором атом-излучатель невозбужден, атом- детектор возбужден и фотоны, так же как в начальном состоянии, отсутствуют. Физическая картина, стоявшая за матричным элементом М, заключалась в том, что атом-излучатель испускал фотон, который затем поглощался атомом-детектором. Эта картина выявлялась во втором порядке теории возмущений, где производилось суммирование по промежуточным состояниям и этими состояниями как раз и являлись состояния, в которых оба атома были в основном состоянии, а в электромагнитном поле имелся один фотон с той или иной энергией и импульсом. Матричный элемент М использовался как мера переноса возбуждения в большинстве последующих работ [28-30, 3], где этот вопрос обсуждался.
Ферми показал [26], что матричный элемент М равен нулю до момента t = 1/с. Однако этот результат был получен приближенно, а при более точном вычислении [31-34] стало ясно, что в матричном элементе М имеется небольшая дополнительная часть, не равная нулю до момента t = 1/с. Так как от любой величины, характеризующей перенос возбуждения, можно требовать запаздывания на 1/с и это является элементарным следствием теории относительности, то наличие в М даже небольшой незапаздывающей части требует объяснения.
В данном разделе, основанном на работах [34-36], выясняется физическая картина переноса возбуждения от одного атома к другому через электромагнитное поле и показывается, что перенос возбуждения происходит запаздывающим образом. Отсутствие запаздывания в матричном элементе М объясняется тем, что этот матричный элемент, строго говоря, не является мерой переноса возбуждения между атомами и поэтому от него и нельзя требовать запаздывания. Достаточно полно процесс переноса возбуждения характеризуется изменением средних квантовомеханических значений динамических переменных электрона атома-детектора, таких, как координата, скорость, энергия электрона и др.
Постановка задачи. Так же как в работе Э. Ферми [26], в данной главе исследуется перенос возбуждения от атома-излучателя к атому-детектору через электромагнитное поле. Однако основное внимание при этом уделяется не матричному элементу М, а изменению средних значений динамических переменных различных частей исследуемой системы. Предполагается, что в начальный момент времени t = 0 система находится в состоянии | ЬаО), т. е. атом-излучатель (первый символ) возбужден, атом-детектор (второй символ) невозбужден и фотоны (нуль) отсутствуют. Физическая картина процесса, как будет показано далее, состоит в следующем.
Хотя вначале возбужден лишь атом-излучатель, оба атома являются центрами излучения электромагнитного поля. Излучение атома- излучателя не требует пояснений, так как он в начальный момент находится в возбужденном состоянии; второй же атом — атом-детектор — представляет собой источник излучения в силу того, что его начальное состояние является собственным состоянием невозмущенного гамильтониана, но не полного гамильтониана. С самого начала атом-детектор начинает взаимодействовать с колебаниями вакуума, переходя в нижележащее основное состояние системы атом+поле, «обрастая» равновесным полем и излучая. Естественно, излучение атома-детектора много меньше излучения атома-излучателя. Подобный процесс обрастания электрона равновесным полем, сопровождающийся излучением, описан в работах В. Л. Гинзбурга [22].
Ниже будет показано, что фронты излучения являются резкими —их размытость порядка размеров атома, а распространение этих фронтов происходит со скоростью света запаздывающим образом. При достаточно малых временах, пока эти фронты не пересеклись, электромагнитное поле в пространстве между ними находится в том же невозбужденном состоянии, что и в начальный момент. Отсюда следует, что никакие физические изменения в это время еще не могли быть переданы от одного атома к другому; отличие от нуля матричного элемента М в эти моменты времени может быть обусловлено лишь какими-то другими причинами, но не переносом возбуждения от одного атома к другому. Именно это обстоятельство и показывает, что
матричный элемент М не может быть мерой переноса возбуждения между атомами.
Ниже будет показано, что возбуждение атома-детектора, исходно невозбужденного, происходит по нескольким причинам. Сразу, без какого-либо запаздывания, атом-детектор взаимодействует с колебаниями вакуума, а также с кулоновским полем атома-излучателя, существующим при t = 0, вообще говоря, во всем пространстве. Это взаимодействие приводит к некоторому развитию состояния атома- детектора и появлению в нем примеси возбужденного состояния. Атом- детектор взаимодействует также с полем излучения атома-излучателя. Это поле излучения распространяется в вакууме, как уже говорилось, со скоростью света запаздывающим образом, поэтому и возбуждение атома-детектора, обусловленное его взаимодействием с полем излучения атома-излучателя, как мы увидим, является строго запаздывающим.
То обстоятельство, что состояния обоих атомов изменяются начиная с момента времени t = 0, объясняет незапаздывание матричного элемента М. Действительно, в этот матричный элемент через гамильтониан Н входят координаты обоих атомов, т. е. он является характеристикой сразу двух мест системы, причем в обоих этих местах изменения начинаются с момента времени t = 0. Соответственно и матричный элемент М начинает изменяться с момента времени t = =0.
При исследовании состояния электромагнитного поля в той или иной точке пространства возникает вопрос, какой величиной можно характеризовать это состояние. Знать гейзенберговский оператор напряженности поля еще недостаточно, так как в нем не учитывается состояние системы. Также недостаточно знать и среднее значение гейзенберговского оператора напряженности, ибо неопределенными остаются среднее значение квадрата напряженности поля и вообще средние значения степеней напряженностей. Удобно описывать поле в той или иной точке пространства так называемой характеристической функцией
С (?‘万)=(ЬаО I ехр ^E(p,t) + 河月(万,川 | baO), (1) где Ё (Д t) и Я (Д 方)—операторы полей в гейзенберговском представлении в точке наблюдения Д; £ и ту — произвольные векторы. Ценность этой функции заключается в том, что если она известна, то, дифференцируя ее по £入 и 〃入 должное число раз и полагая затем £ =万= =0, можно найти средние значения в состоянии \ЬаО) всех степеней 玖京方)и玄0,方)(a= 1,2,3) и их произведений. Таким образом, характеристическая функция содержит все параметры поля в данной точке пространства. Естественно считать, что если характеристическая функция в некоторой точке пространства такая же, как в вакуумном состоянии, то электромагнитное поле в этой точке не возбуждено.
Итак, рассмотрим систему из двух атомов, разнесенных на расстояние I. Будем считать (см. гл. 1), что атомы содержат по одному бесспиновому нерелятивистскому электрону. Гамильтониан системы атомы плюс поле имеет следующий вид:
Н = Hr + Н。+ % + Я\Н = Hr + Н。+ % + Я\⑵⑵
Н = Hr + Н。+ % + Я\
Н = Hr + Н。+ % + Я\
⑵
⑵
где первые три слагаемых
(3)(3)Hr =+ V {qR), Hd =帀爲 +『(to)，
(3)
(3)
представляют собой гамильтонианы соответственно атома-излучателя (R), атома-детектора (О) и электромагнитного поля (/) и в сумме составляют невозмущенную часть % полного гамильтониана. Гамильтониан взаимодействия состоит из следующих частей:
⑷⑷Hf = R + Rf + D + Df + Q + Vr + Vd где
⑷
⑷
2
Q = F= Ip VR = - IЙ VD =1
\rR-rD\ \rRD\\rR\\l-fn\
rR = l + qR, rD = qD, fRD = fD -fR.(6)
Рассматриваемая система в начальный момент времени находится в состоянии \ЬаО), представляющем собственное состояние невозмущенного гамильтониана Hq В подобного рода задачах это есть обычно принимаемое начальное условие.
Иногда центром тяжести дискуссии о переносе возбуждения является как раз выбор начального состояния и предполагается, что при удачном его выборе матричный элемент М будет должным образом запаздывать. Однако перенос возбуждения может происходить при различных начальных условиях, но не при каких-то исключительных. Разумная мера переноса возбуждения должна быть пригодна для широкого класса начальных условий, в том числе и для принятого выше.
Как указывалось в главе 1, для гейзенберговского оператора С （方） имеет место следующее разложение:
t
C（U = G+ С 卜力 +
+ （一为） 必2 必 1 [[G;留];h] + •⑺ 0 力2
где Hfa （a = 1,2, 3,...） — гамильтониан взаимодействия в представлении взаимодействия и индекс а обозначает время, от которого зависит гамильтониан; G — оператор С в представлении взаимодействия, зависящий от времени 方.В соответствии с тем, что исследуется задача с начальным условием при t = 0, нижний предел интегрирования в этом разложении положен равным нулю.
Характеристическая функция электромагнитного поля. В этом пункте исследуется запаздывание электромагнитного поля в рамках квантовой теории. Однако прежде чем исследовать запаздывание в квантовомеханической картине, напомним как обстоят дела с запаздыванием в классике.
Классические электрическое и магнитное поля подчиняются уравнениям Максвелла. Общее решение этих уравнений можно написать в виде
月（尸，方）=df\ [Do （尸一科,方一ti） roUHi {ri^i）-
Coti
+4^c dtf dff。（尸I，）十頂丁）+ ^Jb，，）乔加 頂丁），⑻
Я （r, t） = -dfi po （r - n,t -方/ rot戍⑺力）+
+4тг dtf drfDr （万,t） rot』;/ （尸'），（9）
В этих соотношениях поля в момент времени t выражаются через источники — плотности зарядов а (гz, tz) и токов 7(尸'，')，которые предполагаются заданными на интервале времени от начального момента ti до момента 方，в который определяются поля; на всем этом интервале времени плотности зарядов и токов должны удовлетворять уравнению непрерывности
+ divrfj = O.(Ю)
Начальные поля 月分(齊，%) и Hi (т\, t^, подчиняющиеся уравнениям Максвелла, также могут рассматриваться как источники полей в момент 方.Запаздывание полей в момент t относительно источников определяется двумя сингулярными решениями волнового уравнения: 。0(万,丁) и Dr (Д г). Функция 。0(万,丁) удовлетворяет однородному волновому уравнению
и имеет вид
Д)(万,7)=专 田("⑺ -8(0+ ⑺］； (ID как можно убедиться, она удовлетворяет также следующим начальным условиям:
А 頂丁)Uo =分 j = °，貉 L=o= c80)•(12)
Функция Dr (万，г) удовлетворяет неоднородному волновому уравнению
Д с 1乎Dr _1
и имеет вид
DrWG =⑺"⑺，(13)
где ” — ступенчатая функция Хевисайда. При г > 0 функции О。(万,丁) и Dr (万，г) равны друг другу и являются запаздывающими, так как 5-функция отлична от нуля лишь при р = ст.
Соотношения (8) и (9) говорят сами за себя и ясно указывают на запаздывающий характер полей. Однако имеет смысл рассмотреть один простой частный случай, а именно случай, когда источник излучения, конкретно заряд, является точечным, а начальное поле есть стационарное кулоновское поле этого заряда. Соотношения (8) и (9)
в этом случае показывают, что кулоновское поле можно с их помощью представить как бегущее поле.
Итак, начальное кулоновское поле точечного заряда имеет следующий вид:
及5，方2)(14)
где вектор fb описывает положение заряда, которое, вообще говоря, меняется со временем. Примем это поле в качестве начального в соотношении (8). Первое слагаемое в (8) дает:
闻（元方）=一：十Г。df；闻（元方）=一：十Г。df；(15)(15)
闻（元方）=一：十Г。df；
闻（元方）=一：十Г。df；
(15)
(15)
Учитывая (11) и переходя к новым переменным р = fi — f, R = г —
—而，получим
1чP\P + R\1чP\P + R\8 S — ст).8 S — ст).
1
ч
P\P + R\
1
ч
P\P + R\
8 S — ст).
8 S — ст).
Интегрируя по углу между R и ниюИнтегрируя по углу между R и ниюД и модулю Д приходим к соотноше-Д и модулю Д приходим к соотноше-
Интегрируя по углу между R и нию
Интегрируя по углу между R и нию
Д и модулю Д приходим к соотноше-
Д и модулю Д приходим к соотноше-
(16)(16)月（尸，方）=一十［尸:川."（I尸一外1 一 С （方一方力.
(16)
(16)
Если источником начального поля является не точечный заряд а некоторое распределение заряда 。(尸'，%), то электрическое поле в момент t описывается соотношением
月俨，方)=-十『］d尸/^^・"(1尸一子1 - e(方一％)),(17)
получающимся из (16) в результате простого обобщения.
Соотношения (16) и (8) допускают следующее физическое истолкование. Каждая точка начального кулоновского поля является источником волны излучения вида
*^•8(1—"—)),(18)
в результате интерференции таких волн при не слишком больших временах (t — ti < \г — fol /с) в каждой точке образуется то же самое поле, которое существовало в начальный момент в этой точке. При больших временах (方一办 > \r — fb| /с) результат интерференции оказывается иным, а именно поле становится равным нулю. Это естественно, так как при t — ti > |r — fb| /с в точку наблюдения уже приходит сигнал
от другого источника — непосредственно от точечного заряда, и теперь этот новый сигнал определяет поле в точке наблюдения. В частности, если заряд, создавший начальное поле (14), остается в дальнейшем в покое, то и при t — ti > \r — г()\ /с в точке наблюдения будет существовать прежнее, начальное кулоновское поле, но теперь оно возникает как поле излучения заряда и описывается вторым слагаемым правой части соотношения (8). Действительно, полагая во втором слагаемом (8)
。(尸「，)=е8(尸/ —%),(19)
получим
Е О =е dr dt 5 (г —『о) • ▽』р=
九(20)
=—е十г ^4^ •"("* —%)—尸一3).
Видно, что выражения (17) и (20) совместно приводят просто к постоянному во времени кулоновскому полю. Как видим, постоянное кулоновское поля, согласно приведенной картине, представлено как поле, бегущее от заряда к бесконечности.
Однако если заряд, создавший начальное кулоновское поле, в дальнейшем начинает двигаться, то при 方一右 > \г — г^\ /с возникает новое кулоновское поле, соответствующее новому положению заряда; кроме того, в этом случае возникает и некоторое вихревое поле, или поле излучения [37, 38].
Вернемся теперь к исследованию квантового случая. В классике, как мы убедились, описание всех явлений, связанных с запаздыванием, исчерпывается соотношениями (8) и (9). В квантово-механической теории соотношения (8) и (9) также справедливы, хотя поля и плотности зарядов и токов в них являются в этой теории операторами, подчиняющимися определенным перестановочным соотношениям. Действительно, в силу линейности уравнений Максвелла, справедливых и в квантовой теории, перестановочные соотношения между операторами полей и плотностей зарядов и токов не играют никакой роли при проверке соотношений (8) и (9), например, при подстановке Ё (f, t) и 方(尸，方) в уравнения Максвелла. Поэтому соотношения (8) и (9) справедливы как в классике, так и в квантовой теории.
Однако в квантовой теории, по крайней мере по двум причинам, этих соотношений недостаточно, чтобы в полной мере продемонстрировать запаздывание полей. Так как эти соотношения являются соотношениями между гейзенберговскими операторами, то они не учитывают состояний системы. Действительно, первоначальное возбуждение может быть сосредоточено на одном атоме или на другом или может быть
локализованным где-то в стороне от атомов возбуждением электромагнитного поля — все это разные случаи, и они никак не отражены в соотношениях (8) и (9). Эти соотношения указывают лишь на запаздывание гейзенберговских операторов относительно начальных значений операторов источников, но не на запаздывание каких-либо реальных характеристик поля относительно реальных характеристик источников.
Эту недостаточность соотношений (8) и (9) можно было бы исправить, если их усреднить по начальным состояниям, как это обычно и делается в гейзенберговской картине. Однако эта мера, являясь необходимой, все же не исчерпывает вопроса. Таким способом можно продемонстрировать запаздывающий характер лишь средних значений полей; так как в квантовой электродинамике поля являются операторами, то среднее значение поля слабо связано со средним значением квадрата поля или другой какой-то степени поля. Поэтому запаздывание поля еще не означает, что запаздывает также и та или иная степень поля.
Следовательно, необходимо иметь такую характеристику поля, которая учитывала бы все возможные частные его характеристики, такие, как степени полей. Этому условию удовлетворяет упомянутая выше характеристическая функция поля (1). Действительно, так как она является усреднением по начальному состоянию характеристического оператора, то начальное состояние в ней должным образом учтено. С другой стороны, дифференцирование характеристической функции по параметрам £入 и 〃入 позволяет найти из нее среднее значение любой степени поля и среднее значение любого произведения компонент полей друг на друга. Соответственно, имея эти сведения, можно с помощью рядов найти среднее значение любой другой функции полей. Как уже указывалось, далее считается, что характеристическая функция со всей возможной полнотой описывает поле в рассматриваемой точке пространства.
Таким образом, если бы удалось показать, что характеристическая функция поля должным образом запаздывает относительно источников поля, то это и означало бы, что распространение сигналов в квантовой электродинамике происходит в соответствии с требованиями теории относительности со скоростью света. К сожалению, прямое вычисление характеристической функции на данном этапе затруднительно. Мы поступим следующим образом. Разложим в ряд экспоненту, фигурирующую в определении характеристической функции, и покажем, что каждый член получившегося ряда после усреднения по состояниям запаздывает должным образом.
Итак, исследуем характеристическую функцию (1), подставляя в нее поля в виде (8) и (9). Как можно видеть, получающееся выражение оказывается довольно громоздким; для того чтобы несколько облегчить его исследование, введем некоторые дополнительные обозначения.
Электрическое поле представим в виде
月(元方)=月丄+月"+月S,(21)
где
月丄(尸，方)=d* [00 (尸一科,方)rob且⑴,0)-
-J 也m全'园(務⑼，(22)
=:務⑴闻I ⑴,0)(23)
C J
и поле Es определяется вторым слагаемым в соотношении (8). Здесь и далее полагается t» = 0. Поля 月卢(齊，0) и 月？ (*,0) — соответственно вихревая и потенциальная части начального поля. Необходимость разбиения начального поля на такие части диктуется тем обстоятельством, что при квантовомеханическом рассмотрении в кулоновской калибровке эти части имеют несколько различный вид; в частности, квантуется лишь вихревая часть электромагнитного поля. Поле Es также можно разбить на две части:
Es = Д + Е^(24)
определяемые соответственно зарядами:
瓦=47гс df dffa (乙，)^r>DR (万,г)(25)
о
и токами:
屏=^卜叶d戸亍俨'，')华 У")■(26)
о
Ниже оператор плотности заряда 。(尸'，，)удобно будет разложить в ряд теории возмущений (7). Тогда поле Еа можно представить в виде
Еа = Ёао + Ёа\ + 月 о2 + …，(27)
где числовой индекс показывает, какой порядок теории возмущений для а (гz, tz) использован в (7). Разбиение, аналогичное (21), можно произвести и для магнитного поля:
h (元方)=后丄+ Hs(28)
5 В.П. Быков
Следовательно, характеристическая функция электромагнитного поля в точке с радиус-вектором г в момент времени t имеет вид
e(6 办=(baO I exp 口(月丄 + 月"+ 瓦)+ 万(后丄 + 风)]| baO) (29)
? = 0? = 0полей, — имеют видполей, — имеют вид-出•exp-出•exp]亏，(30)]亏，(30)Для ЕН имеем, очевидно, соотношение (17) — оно сохраняется и в квантовой теории. Рассмотрим выражение для 月丄.Вихревые поля в начальный момент — это не что иное, как шредингеровские операторы
? = 0
? = 0
полей, — имеют вид
полей, — имеют вид
-出•exp
-出•exp
]亏，(30)
]亏，(30)
где kj — единичный вектор направления к小 Подставляя эти выражения в (22) и выполняя необходимое интегрирование, можно убедиться, что в момент времени t из полей Д и 且 возникает электрическое поле
力丄（元方）= 一е3力丄（元方）= 一е3exp— ikjf^exp— ikjf^一旬 exp一旬 exp（-分巧方+质网）］司；（32）（-分巧方+质网）］司；（32）
力丄（元方）= 一е
3
力丄（元方）= 一е
3
exp— ikjf^
exp— ikjf^
一旬 exp
一旬 exp
（-分巧方+质网）］司；（32）
（-分巧方+质网）］司；（32）
т. е. из шредингеровских операторов электрического и магнитного полей возникает оператор электрического поля в представлении взаимодействия. Аналогично можно убедиться, что возникающее в момент времени t магнитное поле есть просто оператор магнитного поля в представлении взаимодействия.
Теперь имеется все необходимое для исследования характеристической функции. Рассмотрим сначала те члены, которые происходят от полей,月"，Е^,疗丄， например,(现『砂.Заметим, что 月丄 зависит только от полевых переменных, а Ё^ — только от электронных. Следовательно, имеем
〈baO I {Е^кЕ\\\ МО) = (0|(Е^к | 0)〈 Ьа | 凤 | Ьа) (33)
В первом сомножителе отличны от нуля лишь члены вида (О I а^а+т I 0), где т < к. Так как а+ всегда входит с множителем е~力，а а^ — с множителем е""^力，то эти множители, очевидно, сократятся. Следовательно, отличные от нуля члены первого сомножителя имеют точно такие же значения, как и в начальный момент времени, и этот сомножитель постоянен во времени. Второй сомножитель также практически постоянен до момента времени (0о — а)/с, где 0о — расстояние от ядра атома до точки наблюдения и а — размер атома. Отличие второго сомножителя от константы до этого момента времена объясняется, как это видно из выражения (17), лишь некоторой размытостью электронной волновой функции 2r®):
{ьа\Ё^ (尸，方)\ ba) = -e^ dfb ⑦方伍)x
x ]]尸：)."(I尸一rf\ - Ct) 2r (fb)=
=-eV J drz 忆才"(I尸一子| — Ct),(34)
причем амплитуда этой волновой функции вне сферы радиуса а экспоненциально убывает и соответственно, отличия второго сомножителя в (33) от константы экспоненциально малы, а главное — физически понятны и естественны. В соотношении (34) учтена лишь часть кулоновского поля, обусловленная электроном атома-излучателя; часть поля, обусловленную электронами атома-детектора, можно получить из (34), если в нем волновую функцию ⑦尺 заменить на фп，
Таким образом, члены разложения характеристической функции, содержащие произведения компонент ЕН,月丄，月丄 в различных степенях, не зависят от времени и равны своим начальным значениям при t = 0. Изменения характеристической функции могут произойти поэтому только от членов, содержащих Es или Hs или обе эти величины. Такие члены исследуются ниже.
Рассмотрим величину Ёа. Разложим входящую в нее плотность заряда электрона излучающего атома в ряд теории возмущений (1.2.37):
t
Sr⑴=0力+ （一百）心1 E；吒］+
.2 t 力
+ （一五）必2必1 ［匕力；『1］；/+…，（35）
0力2
где at = eb （尸一亦（"）•
Подставляя нулевой член этого ряда в соотношение (25), получим
〈) = -ecVr dfQ ⑦方保)x
J J\r-rf\
Lo」
x2r (陶=-eW [dff I岁” I尸—尸 1);(36)
зависимость at от времени пропадает, так как справа и слева в (36) фигурирует одно и то же состояние. Складывая это выражение с (34), получим
(创力。-e0J dr'
следовательно, в нулевом приближении кулоновское поле не изменяется. Соответственно не изменяются те члены характеристической функции, которые содержат степени кулоновского поля и его произведение на компоненты 月丄 и 疗丄.К изменениям в характеристической функции приводят лишь члены первого порядка в разложении (35).
Член первого порядка в а (方) фактически содержит несколько слагаемых, так как гамильтониан возмущения V (4) сам содержит несколько слагаемых. Рассмотрим для примера слагаемое
ге2mhге2mht
ге
2mh
ге
2mh
必1卜力；｛麻才(风川•(37)
о
Непосредственное усреднение этого члена по начальному состоянию обращает его в нуль, так как он линеен по операторам рождения и уничтожения фотонов, а начальное состояние поля вакуумное. Однако этот член может входить в разложение характеристической функции в произведении с другим членом, также линейным по операторам рождения и уничтожения фотонов, например с 月丄；тогда усреднение по начальному вакуумному состоянию поля не обратит его в нуль, а необходимая для запаздывания локализация заряда будет определяться как раз электронной частью слагаемого (37).
Как видно из соотношения (25), вклад в поле в точке г в момент времени t дают лишь те области зарядового распределения, которые лежат внутри сферы с центром в точке наблюдения и радиуса ct (рис. 14). Следовательно, наибольший интерес представляют моменты времени, близкие к 方=0о/& где 0о ——расстояние от ядра атома R
Рис. 14. Вклад в поле в точке г в момент времени t дают те области зарядового распределения, которые лежат внутри сферы радиуса ct с центром в точке наблюденияРис. 14. Вклад в поле в точке г в момент времени t дают те области зарядового распределения, которые лежат внутри сферы радиуса ct с центром в точке наблюдениявсе операторы можно брать не в представлении взаимодействия, а провсе операторы можно брать не в представлении взаимодействия, а продо точки наблюдения, ибо именно в эти моменты в точку наблюдения прибывает сигнал от атома. Поэтому в выражении (37) достаточно рассмотреть малые времена порядка а/с, где а — боровский радиус; за такое время световой сигнал пробегает расстояние порядка размеров атома. Электроны в атоме движутся на несколько порядков медленнее света, и их смещением за это время можно пренебречь. Это означает, что в (37)
Рис. 14. Вклад в поле в точке г в момент времени t дают те области зарядового распределения, которые лежат внутри сферы радиуса ct с центром в точке наблюдения
Рис. 14. Вклад в поле в точке г в момент времени t дают те области зарядового распределения, которые лежат внутри сферы радиуса ct с центром в точке наблюдения
все операторы можно брать не в представлении взаимодействия, а про
все операторы можно брать не в представлении взаимодействия, а про
сто считать их шредингеровскнми операторами.
Тогда легко видеть, что усреднение (37) по начальным состояниям электронов не изменит локализации электрона, но лишь несколько деформирует его начальное распределение. Действительно, действие оператора импульса на волновую функцию сводится лишь к ее дифференцированию и не меняет локализации ее в пределах атома с экспоненциально резкими границами; множитель егкг, входящий в векторный потенциал, также не меняет локализации электрона, так как этот множитель по модулю равен единице. Таким образом, поправки первого порядка к плотности заряда оказываются локализованными внутри атома и электромагнитный сигнал от них в точке 尸 будет нарастать в интервале времени от 仇一а) /с до 仇 + а) /& что, конечно, естественно при неточечном источнике, размытом до размеров атома.
Аналогичным образом можно рассмотреть и другие члены как в Ё, так и в Я, входящие в характеристическую функцию. Всегда запаздывающие функции, фигурирующие в (8) и (9), будут обеспечивать должное запаздывание этих членов, если только источник локализован с точностью до размеров атома. Локализация же зарядов и токов с такой точностью легко доказывается с помощью разложения (7) и аналогичного ему разложения для плотности тока.
Отметим, что в данном исследовании эффекты запаздывания демонстрируются лишь с точностью до размеров атома. Этого достаточно для того, чтобы утверждать, что незапаздывание матричного элемента М не связано с размытостью источника, так как размытость фронта М порядка длины волны излучения, т. е. много больше размеров атома. Исследование эффектов запаздывания с большей точностью также возможно, но значительно труднее, так как требует более детального изучения движения электронов в атоме и привлечения релятивистской теории этого движения.
Таким образом, исследование, проведенное в данном параграфе, показывает, что картина излучения атомов в некоторых отношениях оказывается близкой к классической: излучающий атом является центром
сферической волны с резким фронтом, размытым не более чем размыт источник излучения — в данном случае излучающий атом; атом- детектор также является центром аналогичной сферической волны, которая возникает вследствие того, что атом-детектор с самого начала, до прихода какого-либо сигнала от атома-излучателя взаимодействует с флюктуациями вакуума и кулоновским полем возбужденного атома. В точках, расположенных между этими сферическими фронтами, поле находится в том же состоянии, как и в начальный момент времени. Следовательно, через эту часть пространства ничто не передается в моменты времени, близкие к началу излучения; поэтому отличие от нуля матричного элемента М в эти моменты времени не может объясняться передачей возбуждения от атома-излучателя к атому-детектору. Таким образом, матричный элемент не может быть мерой переноса возбуждения от атома к атому.
Перенос возбуждения между атомами. Подобно тому как полное описание состояния поля возможно посредством функции (1), полное описание состояния атома возможно с помощью характеристической функции
С (g 万)=〈baO I exp (疟办 + 河无)| baQ). (38)
В качестве меры переноса возбуждения между атомами можно принять изменение характеристической функции (38), обусловленное этим переносом. Однако сопоставить характеристическую функцию с известными результатами трудно, поэтому вычислим среднее значение энергии электрона атома-детектора. Как будет далее видно, изменение этой энергии, обусловленное переносом возбуждения, приближенно (только приближенно и при временах t > //с) равно произведению I財2 на разность энергий возбужденного и невозбужденного состояний. Это объясняет, почему использование \М^ в качестве меры переноса долгое время не приводило к трудностям.
При вычислении энергии атома-детектора D будут встречаться члены трех типов. Во-первых, члены, не содержащие координат атома- излучателя R. К ним не применимо требование запаздывания; в соответствии с физическим смыслом этих членов их следует называть членами «самодействия». Подробно они рассматриваться не будут. Члены второго типа — запаздывающие, обусловленные излучением атома- излучателя R. Наконец, члены третьего типа связаны с начальным кулоновским полем атома-излучателя. Физически излучатель может оказать влияние на атом-детектор до момента времени t > I/с только своим начальным кулоновским полем, которое с начального момента времени t = 0 стационарно существует во всем пространстве. Члены, обусловленные кулоновским полем, должны сгруппироваться в конце
концов так, чтобы в них координаты второго атома входили лишь в начальный момент времени t = 0.
Следует заметить, что в начальный момент времени кулоновское поле атома-излучателя может быть и нестационарным, сосредоточенным больше в атоме или около него, а не во всем пространстве. Именно такое нестационарное и сосредоточенное в атоме поле имеет место в начальный момент, если взаимодействие атома с полем принять в форме —eEd, где ed — дипольный момент атома [32]. В этом случае члены, связанные с начальным кулоновским полем, в изменении энергии атома-детектора не возникают [33].
Так как атом-детектор не является изолированной системой, то его энергия не является интегралом движения, она может быть определена лишь приближенно, с точностью до энергии взаимодействия. При этом возникают два варианта:
eD=4而 +u(五) (39) и
• Q Ed = e^ + UGd)・ (40)
Для того чтобы сделать правильный выбор между этими вариантами, обсудим вопрос о локальности и нелокальности переменных.
Локальные переменные характеризуют ту или иную конкретную точку рассматриваемой системы, в то время как нелокальные переменные характеризуют всю систему в целом или какую-то ее протяженную часть. Соответственно от локальных переменных можно требовать запаздывания при распространении сигналов в системе; к нелокальным же переменным требование запаздывания не применимо или применимо с теми или иными ограничениями. Сказанное можно иллюстрировать на примере связанных, пространственно разнесенных механических осцилляторов. Как известно, такую систему можно описывать двояко: либо с помощью координат и импульсов отдельных осцилляторов —это, очевидно, будут локальные переменные, либо через нормальные колебания, их амплитуды и соответствующие обобщенные импульсы. Нормальные колебания характеризуют систему в целом, их амплитуды и сопряженные им импульсы нелокальны, хотя и являются каноническими гамильтоновыми переменными. От них нельзя, очевидно, требовать запаздывания при распространении сигналов в системе.
При квантовополевом подходе амплитуды полей считаются по определению локальными переменными. Отсюда, в частности, возникает условие обращения в нуль коммутатора таких амплитуд, взятых в точках, разделенных пространственно подобным интервалом.
Обратимся к переменным rjj и rjj. Видимо можно считать, что переменная 办 является локальной; интуитивно это кажется ясным, хотя какие-либо доказательства этого отсутствуют. Тогда скорость 办
также следует считать величиной локальной. Рассмотрим канонический импульс рр； как известно, он равен
Pd =加办 + - A(rD).с
Первое слагаемое в этой сумме является локальным, второе же — векторный потенциал 4(办) в кулоновской калибровке — нельзя считать локальной величиной. Действительно, так как электрическое поле
e=-— grad0c ot
является запаздывающей величиной, в то время как скалярный потенциал в кулоновской калибровке — величина, мгновенно изменяющаяся во всем пространстве, т. е. незапаздывающая, то векторный потенциал также неизбежно содержит мгновенную составляющую компенсирующую мгновенное изменение 夕.Следовательно, векторный потенциал 4(办)не запаздывает и не может быть локальной переменной, так как в нем содержится характеристика кулоновской окрестности атома D. О том же свидетельствует наличие мгновенной части в коммутаторе компонент векторного потенциала. Эта особенность кулоновской калибровки хорошо известна и отмечалась как в классике, так и в квантовой теории [33, 34, 37]. Следовательно, обобщенный импульс рЪ так же, как и различные функции от него, не может считаться локальным; соответственно от таких величин нельзя требовать и запаздывания. От величин же гр и fp и различных функций от них естественно требовать запаздывания.
Изложенные соображения приводят к выводу, что в качестве энергии атома-детектора следует взять выражение (40), являющееся функцией локальных переменных fp и rjj.
3.4. Энергия примем равной3.4. Энергия примем равнойEd =；加君+ U （无）,Ed =；加君+ U （无）,(41)(41)атома-детектора. Итак, энергию атома-детектора
3.4. Энергия примем равной
3.4. Энергия примем равной
Ed =；加君+ U （无）,
Ed =；加君+ U （无）,
(41)
(41)
где fp и Fp — электрона атома в представлениигде fp и Fp — электрона атома в представлениии второго порядка по е, получаем в нулевом порядке лишь постоянныйи второго порядка по е, получаем в нулевом порядке лишь постоянный
где fp и Fp — электрона атома в представлении
где fp и Fp — электрона атома в представлении
и второго порядка по е, получаем в нулевом порядке лишь постоянный
и второго порядка по е, получаем в нулевом порядке лишь постоянный
гейзенберговские операторы координаты и скорости D. Используя разложение (7) и учитывая, что Ер взаимодействия содержит члены нулевого, первого
t
член Hd・ Оба члена первого порядка, (―^) , dti [Яр； D\\ и 。力，
являются, очевидно, членами самодействия. Во втором порядке, отбрасывая члены самодействия, имеем
.2 t 力
0 必2 必1+
(42)(42)+ (一百)必 1 [ЯB； Qu] + (一百)必 1 [Dt； R\].
(42)
(42)
7 о7 о
Используя тождество
[HD-Dr]=汤01 -
где точка над символом оператора обозначает частную производную по времени 方i, входящему в операторы рождения и уничтожения фотонов в представлении взаимодействия, первый член выражения (42) представим в виде двух слагаемых:
.2 t 力
(—百) 必2 ^1 H^D', D\] ； R^\ =
0 力2
tt t
=V 必 2[01；必]+必 2 必 1 [方 1；r2卜(43)
0' 0力2
Первое слагаемое в (43) сокращается с последним слагаемым в (42).
4方m2 e24方m2 e2Коммутатор во втором слагаемом в (43) можно представить в виде
4方m2 e2
4方m2 e2
х
X # ｛或;｛端国）（办）$）”）］｝｝•（44）
взятых в разные мо-можно разбить на двевзятых в разные мо-можно разбить на двеКоммутатор компонент векторного потенциала, менты времени и в разных точках пространства,
взятых в разные мо-можно разбить на две
взятых в разные мо-можно разбить на две
части: мгновенную
5…认/;5…认/;L 1L 1(45)(45)
5…认/;
5…认/;
L 1
L 1
(45)
(45)
и запаздывающую
寸力一三吗寸力一三吗”(ст — р)”(ст — р)РР-47гг^с25дм5 (万),-47гг^с25дм5 (万),(46)(46)
寸力一三吗
寸力一三吗
”(ст — р)
”(ст — р)
Р
Р
-47гг^с25дм5 (万),
-47гг^с25дм5 (万),
(46)
(46)
гдегде刃№ =8№△厂西М，刃№ =8№△厂西М，7 =方1 一方2,Д =尸O1 -尸R2■7 =方1 一方2,Д =尸O1 -尸R2■
где
где
刃№ =8№△厂西М，
刃№ =8№△厂西М，
7 =方1 一方2,Д =尸O1 -尸R2■
7 =方1 一方2,Д =尸O1 -尸R2■
Подставляя в (44) мгновенную часть коммутатора Kznst, получим
回必辰;I]] =
где Q12 = е?/I无 1 —忌2丨・ Интегрируя это выражение по 方，согласно (43) получим
ttt
必2 [必= £ 1必i(Ed；Qu] 一户D；0。])■(47)
j j1 a力2几
0力2О
Первое слагаемое в этом выражении, как можно видеть, сокращается со вторым слагаемым в (42). Таким образом, во втором порядке теории возмущений для изменения энергии имеем выражение
力力力(48)
X 必2 [必 1 £ ｛万型；｛<;必"｝ 一 [必1 [ЯР； Q10],
4丿2№0
где первое слагаемое запаздывающее, а второе — мгновенное. Однако мгновенное слагаемое содержит координаты электрона атома- излучателя R, взятые лишь в нулевой момент времени, и описывает действие на атом-детектор начального кулоновского поля атома- излучателя. Поэтому наличие этого члена не нарушает, как указывалось выше, запаздывающего характера движения электрона атома D.
В третьем порядке теории возмущений все члены при усреднении по вакуумному состоянию обращаются в нуль, так как они содержат лишь нечетные степени векторного потенциала. Вычисления в четвертом порядке показали, что изменение энергии электрона атома-детектора при О < t < 1/с так же, как и во втором порядке, определяется начальным кулоновским полем атома-излучателя и самодействием. При t > 1/с к этим членам добавляются запаздывающие слагаемые, обусловленные излучением атома-излучателя. При больших расстояниях между атомами Z >> А и в дипольном приближении (А》а, где А — длина волны излучения и a — боровский радиус) эти слагаемые упрощаются и запаздывающая часть изменения энергии атома-детектора оказывается
равной
(49)(49)（一I或）,0 力2
(49)
(49)
或；或）-e产，或；或）-e产，•У•У” (ст — ") + ^ст5\^5 (万)” (ст — ") + ^ст5\^5 (万)где
或；或）-e产，
或；或）-e产，
•У
•У
” (ст — ") + ^ст5\^5 (万)
” (ст — ") + ^ст5\^5 (万)
—функция, определяющая запаздывающий характер изменения энергии атома-детектора. При вычислении этого изменения нужно пренебречь всеми слагаемыми, спадающими с расстоянием быстрее, нежели 1//2. Подробные, довольно громоздкие вычисления до четвертого порядка теории возмущений можно найти в работе В.П. Быкова и А. А. Задерновского [36].
Если разности энергий уровней в обоих атомах одинаковы (石]；)= =Е^ =九С , т. е. имеет место резонансный случай, то запаздывающее изменение энергии атома-детектора, обусловленное переносом возбуждения от атома-излучателя, становится равным
х 0 - 0 k 0 ~ 0'(50)
где а — постоянная тонкой структуры; I = //卜卜 豆а — матричный элемент координат электронов. Это изменение энергии совпадает с произведением 九С, на квадрат модуля матричного элемента М, вычисленного в [34-36] в области Q-1《t — I] с《td,tr, где гр и tr —времена жизни атомов в возбужденном состоянии. Однако такое совпадение является случайным; в отличие от (50) матричный элемент М, введенный впервые Э. Ферми [26], не запаздывает, следовательно, этот матричный элемент не может служить в качестве меры переноса возбуждения.
Заключение. В данном разделе описана физическая картина переноса возбуждения между атомами [34]; при этом установлено, что процесс переноса возбуждения имеет запаздывающий характер. Из физического смысла матричного элемента М видно, что этот матричный элемент не может быть мерой переноса возбуждения от атома к атому,
и поэтому от него нельзя требовать запаздывания; то, что в нем имеются незапаздывающие части, является, таким образом, естественным обстоятельством. Фермиевский матричный элемент М (方)характеризует две пространственно разнесенные части системы, а именно атом- излучатель и атом-детектор, так как в нем содержатся координаты электронов обоих этих атомов; запаздывания же можно требовать только от величины, характеризующей лишь одно место пространства. Исследование характеристической функции электромагнитного поля показывает, что в процессе развития состояния системы около каждого атома образуются сферические волновые фронты, причем пространство между этими фронтами находится в том же состоянии, что и до начала излучения. Это означает, что физически ничто не было передано от атома-излучателя к атому-детектору до этого момента времени; изменения же матричного элемента в это время обусловлены, как показано выше, изменением состояния атома-детектора и поля около него.
Приращение энергии атома-детектора, обусловленное переносом возбуждения от атома-излучателя, изменяется запаздывающим образом. Для этого приращения в четвертом порядке теории возмущений получается практически то же выражение, что и для квадрата модуля матричного элемента М (方)，только умноженное на 九С и, разумеется, запаздывающее.
Следует, однако, отметить, что приращение энергии атома, обусловленное переносом возбуждения, отлично от нуля уже во втором порядке по е (см.(48)), в то время как по теории Ферми вероятность переноса возбуждения является величиной четвертого порядка по е. Правда, если длина волны излучения достаточно велика (больше размеров атома), то это приращение невелико — в дипольном приближении оно равно нулю.
Перенос возбуждения во втором порядке по е может быть большим, если атомы в начальный момент взять в суперпозиционном состоянии. При этом оказывается важным новый фактор — фазы суперпозиционных состояний; при усреднении (48) по этим фазам приращение энергии во втором порядке обращается в нуль. Тем не менее, выражение (48) указывает на возможность определенных сильных когерентных эффектов при переносе возбуждения в тех случаях, когда фазы суперпозиционных состояний атомов не случайны.
В количественном отношении незапаздывающая часть фермиевского матричного элемента невелика. Следует однако иметь в виду, что слабые в обычных условиях эффекты при наличии усиливающей, лазерной среды могут становиться сильными и яркими эффектами. Например, слабый зоммерфельдовский предвестник в усиливающей среде становится интенсивным импульсом, способным распространяться со скоростью, большей скорости света в вакууме. Как показано в данном разделе, незапаздывающую часть фермиевского матричного элемента нельзя считать подобным предвестником. Поэтому никакого
превращения его в интенсивный наблюдаемый эффект при наличии лазерной среды не может быть.
4. Излучение в резонаторах и волноводах
Разделы 4 и 5 посвящены исследованию спонтанного излучения в тех случаях, когда среда, окружающая квантовую систему, обладает спектральными особенностями. Можно выделить две большие группы спектров: а) спектры с лоренцевыми особенностями — резонансами; таким спектром обладают открытый резонатор, объемный резонатор с потерями, спектр объемного резонатора без потерь также представляет собой частный случаи спектра с лоренцевыми особенностями; б) полосные спектры, в которых частотные интервалы, где осцилляторы поля вообще отсутствуют, соседствуют с интервалами, где осцилляторы поля имеют непрерывный спектр; таким спектром обладают периодические структуры, среды с отрицательной диэлектрической проницаемостью и др. По-видимому, таким спектром могут обладать лишь бесконечно протяженные системы, так что такой спектр, вообще говоря, лишь аппроксимирует спектр реальных объектов. Наиболее полно исследовано поведение возбужденной квантовой системы, находящейся в объемном резонаторе [39, 40]. В этом случае как спектр молекулы, так и спектр резонатора дискретны. Поэтому и спектр полного гамильтониана дискретен. В силу этого движение системы во времени будет периодическим или квазипериодическим (см. ниже).
Широко исследован случай, когда резонатор обладает потерями [39-44]. Для описания потерь каждое собственное колебание резонатора связывают с системой осцилляторов с непрерывным спектром, которые являются средой, диссипирующей электромагнитную энергию. Спектр всей системы становится непрерывным, причем состояния этого непрерывного спектра частично представлены электромагнитным полем и частично — осцилляторами с непрерывным спектром. Доля электромагнитного поля сильно зависит от частоты и имеет максимум вблизи собственных частот резонатора. В этом случае на периодическое движение системы накладывается затухание, вносимое потерями [42-44].
Спектр открытого резонатора очень похож на спектр объемного резонатора с потерями. Однако есть и различия. В спектре открытого резонатора сильно представлен непрерывный фон, т. е. в этом случае определенным затуханием обладает не только резонатор, но и молекула (благодаря спонтанному излучению). Если ширина линии излучения молекулы много меньше ширины спектральной полосы резонатора, то излучение происходит так же, как в резонаторе с потерями. Если же эти ширины сравнимы или у молекулы больше, то излучение будет
происходить иначе. Исследованию этих вопросов посвящен первый пункт данного раздела.
В спектре электромагнитных осцилляторов можно произвести гораздо более сильные изменения, нежели описанные выше. В этом спектре, по крайней мере в принципе, можно создать полосы частот, в которых электромагнитных осцилляторов вообще нет. Приведем несколько примеров. В волноводе при частотах ниже критической нет волн, распространяющихся без затухания, и, следовательно, нет осцилляторов электромагнитного поля. Другой пример — периодическая структура. Как известно, в такой структуре имеются полосы (или зоны) непрозрачности, где нет незатухающих волн и, следовательно, нет осцилляторов электромагнитного поля.
Такой полосный спектр является достоянием не только одномерных структур. Действительно, если вещество обладает в какой-либо части спектра отрицательной диэлектрической проницаемостью, то осцилляторы поля в этой части спектра отсутствуют. Примером такого вещества является плазма при частотах ниже плазменной. Можно думать, что трехмерные диэлектрические периодические структуры также должны обладать зонами непрозрачности для электромагнитных волн.
Наиболее интересным является случай, когда частота перехода молекулы попадает в зону непрозрачности окружающей среды или близка к ней (см. раздел 5, пункт 3). Когда частота перехода молекулы находится вдали от запрещенной зоны, излучение мало меняется по сравнению с излучением в среде с непрерывным спектром. Для сравнения в данной главе рассмотрено излучение классического диполя в той же самой периодической структуре.
Спонтанное излучение в резонаторе. Исследование излучения квантовой системы в резонаторе начнем с некоторых соображений общего порядка, касающихся резонатора без потерь [45]. Резонатор без потерь имеет дискретный частотный спектр; так как спектр квантовой системы также дискретен, то в первом порядке теории возмущений спектр полного гамильтониана системы атом плюс электромагнитное поле также дискретен. При введении взаимодействия между полем и атомом дискретные уровни этих двух подсистем испытывают некоторый сдвиг, но спектр в целом остается дискретным. Дискретным значениям энергии Еп этого спектра соответствуют стационарные состояния системы |八).Произвольное состояние системы можно представить в виде суперпозиции стационарных состояний:
в частности, в таком виде можно представить и то состояние, в котором атом в начальный момент возбужден и фотоны отсутствуют.
Вообще говоря, при достаточно высоких частотах спектр любой системы, будь то атом или резонатор, становится непрерывным. Будем, однако, считать — это наиболее интересно, — что в системе возбуждены лишь нижние энергетические уровни и непрерывный спектр не затронут. В силу этого сумма в (1) взята не просто по дискретному набору состояний, но она вообще конечна. В этом случае можно подобрать такой энергетический интервал ЛЕ =力△&, что
Еп - Eq = 7iMnA^,
где Мп — целое число и аппроксимация справедлива с любой наперед заданной точностью. Тогда состояние
I =expCo 丨0) + £ Cn exp\ n)
описывает периодическое движение системы с периодом 2tt/Acj. Движение системы с таким периодом называют циклом Пуанкаре. Среднее значение любой наблюдаемой, характеризующей систему, представляет собой отрезок ряда Фурье, т. е. разложение некоторой периодической функции. Эта периодичность развития состояния квантовой системы, находящейся в резонаторе, является весьма важной чертой процесса. Она означает, что система бесконечно долго «помнит» начальные условия и, следовательно, начальные условия выдвигаются на первый план — важнейшую роль в этом случае играет процесс возбуждения квантовой системы.
Хотя такое поведение системы характерно для любого резонатора, тем не менее в количественном отношении большой и маленький резонаторы сильно отличаются. В небольшом резонаторе, сравнимом по размерам с длиной волны излучения квантовой системы, число мод невелико и, следовательно, период цикла Пуанкаре 2тг/Аш мал. В большом же резонаторе, где имеется огромное число мод, величина весьма мала и начальные условия будут восстанавливаться лишь через огромные промежутки времени. Таким образом, излучение в большом резонаторе почти апериодично и в этом отношении подобно излучению в свободном пространстве. Ниже будет рассматриваться излучение квантовой системы в средах с полосным спектром. Там движение системы также будет апериодичным, но в ряде других отношений оно будет сильно отличаться от движения системы в большом резонаторе.
Отметим еще одно интересное обстоятельство. То, что говорилось выше, касалось главным образом поведения квантовой системы в первом порядке теории возмущений. Интересно исследовать поведение такой системы в более высоких порядках, чем первый. Действительно, во втором порядке все частоты системы дадут комбинационные тона; в третьем порядке эти вновь возникшие частоты будут комбинироваться
с частотами первого приближения и т. д., т. е. спектр будет становиться все более частым и в пределе непрерывным. Насколько нам известно, предельное состояние возбужденной системы при 方—оо никем исследовано не было.
Рассмотрим теперь излучение возбужденной квантовой системы в открытом, т. е. лазерном резонаторе. Электродинамический спектр открытого резонатора, кроме непрерывного фона, обусловленного свободным пространством, содержит лоренцевские особенности, являющиеся резонансами такого резонатора. Распад возбуждения квантовой системы описывается матричным элементом 次,。(1.14). Знаменатель подынтегрального выражения в (1.14) имеет вид
歹(2)= 2 —力С — dw歹(2)= 2 —力С — dwMo,ak『0(5z — ТьшMo,ak『0(5z — Тьш⑵⑵
歹(2)= 2 —力С — dw
歹(2)= 2 —力С — dw
Mo,ak『0(5z — Тьш
Mo,ak『0(5z — Тьш
⑵
⑵
Все \VbQjakf можно разбить на две группы. В первую группу включим |I4o,ak|；, обусловленные колебаниями свободного пространства. Так как открытые резонаторы, применяемые на практике, являются «сильно открытыми» системами, то эти матричные элементы близки к тем, которые имеются в отсутствие открытого резонатора. Тогда интегрирование в (2) по первой группе матричных элементов дает просто затухание возбуждения в свободном пространстве:
/1 = — dw/1 = — dwI %0,ak к Р (52 一方GI %0,ak к Р (52 一方G(3)(3)
/1 = — dw
/1 = — dw
I %0,ak к Р (5
2 一方G
I %0,ak к Р (5
2 一方G
(3)
(3)
⑷⑷Во вторую группу включим матричные элементы |%о,ак|^, которые связаны с высокодобротными колебаниями открытого резонатора. Их зависимость от частоты определяется соотношением
⑷
⑷
+ 写
где величина Др характеризует величину резонансного электромагнитного поля в месте расположения квантовой системы; р — номер резонанса; 5 — его собственная частота; Гр — затухание. Интегрирование в (2) по матричным элементам второй группы дает
-у7Т /ip
А = _* Е⑸
Следовательно, для F (Е) получаем выражение
F +〜£一上 ％),(6)
где 7 — константа затухания возбужденного состояния атома. Если ограничиться случаем одной моды, то для определения нулей функции F ⑶ получим уравнение
（2 -E/）（2 -石〃）=7Д（2 -E/）（2 -石〃）=7Д⑺⑺
（2 -E/）（2 -石〃）=7Д
（2 -E/）（2 -石〃）=7Д
⑺
⑺
где 石'=力（С —分7）,石〃 =Ть （а。— гГр）, ту2 = тг Д^. Нетрудно убедиться, что оба корня, 21 =力（Ci — zxi） и ^2 =力（^2 —分〃2） этого уравнения имеют отрицательные мнимые части. Возвращаясь к матричному элементу Uqq ⑴,получаем
Uo,o ⑴-Uo,o ⑴-
Uo,o ⑴-
Uo,o ⑴-
［出一5—（发-二）］厂4"汝力［出一5—（发-二）］厂4"汝力⑻
［出一5—（发-二）］厂4"汝力
［出一5—（发-二）］厂4"汝力
Таким образом, из |Uo,o ⑴『，следует, что перекачка энергии из осциллятор и обратно.Если по каким-либоТаким образом, из |Uo,o ⑴『，следует, что перекачка энергии из осциллятор и обратно.Если по каким-либозакона распада, определяемого функцией помимо затухания колебаний происходит квантовой системы в электромагнитный
Таким образом, из |Uo,o ⑴『，следует, что перекачка энергии из осциллятор и обратно.
Если по каким-либо
Таким образом, из |Uo,o ⑴『，следует, что перекачка энергии из осциллятор и обратно.
Если по каким-либо
причинам квантовая система не связана с
модами свободного пространства, то 7 = 0 и из （8） получается закон распада возбуждения в закрытом резонаторе с потерями.
Впервые спонтанное излучение в резонаторах было рассмотрено в работах [39, 40].
Непрерывный спектр. Как уже упоминалось, некоторые динамические системы, в частности, электромагнитное поле в свободном пространстве, обладают непрерывным спектром. Дальнейшее изложение будет посвящено исключительно электромагнитному полю, его взаимодействию с атомами, молекулами, ионами и, вообще, квантовыми объектами [46].
Непрерывный спектр часто рассматривают как предельный случай дискретного спектра. Для того чтобы спектр электромагнитного поля стал дискретным, его, т. е. поле, мысленно помещают в некоторый большой резонатор, где находятся также и излучающие объекты. Тогда можно воспользоваться выведенными выше формулами для дискретного спектра и затем в них объем резонатора устремить к бесконечности. Полученные пределы, в частности, для матричных элементов （1.14） дадут соответствующие выражения для непрерывного спектра.
Не следует думать, что непрерывный спектр приводит только к усложнениям; в вычислительном отношении дело даже упрощается, поскольку многие суммы заменяются интегралами. К вычислению последних, как будет видно в дальнейшем, можно применить теорию функций комплексного переменного.
Сначала будет рассмотрен один из простейших примеров излучательной задачи — излучение двухуровневого атома в волноводе. На этом примере можно хорошо проследить за предельным переходом от дискретного спектра к непрерывному и понять все его особенности.
Затем будет построена теория собственной ширины спектральной линии спонтанного излучения, свободная от той непоследовательности, которая присуща теории Вигнера-Вайскопфа и теории затухания.
Квантование электромагнитных волн в волноводе. Будем считать, что в рассматриваемом волноводе в интересующем нас диапазоне распространяется лишь один основной тип волн. Если взять в качестве примера волновод прямоугольного сечения (рис. 15 а), то в нем критические частоты волн основного и следующего за ним типа
Рис. 15. Примеры волноводов
отличаются не очень сильно — всего лишь вдвое. Однако в СВЧ- технике известны приемы, посредством которых критическая частота волн основного типа может быть значительно понижена. Например, если волновод взять такого вида, как показан на рис. 15 б и при этом поперечные размеры его сделать много меньше длины волны, то критическая частота волны основного типа может быть сделана много меньше частоты перехода излучающей системы, а критические частоты волн высших типов будут много больше частоты перехода. Волновод при этом еще сохранит свой макроскопический характер, поскольку даже в оптике длина волны излучения на четыре порядка превосходит атомные размеры. Для простоты мы отвлекаемся, разумеется, от дисперсии и поглощения материала, из которого изготовлен волновод.
Волну основного ТЕ-тгша в волноводе будем описывать векторным потенциалом
A = G (а+е^。+戸(力,g),(9)
где а+ и а — операторы рождения и уничтожения фотонов в рассматриваемой волне. Так как векторный потенциал при калибровке div А = =0 должен удовлетворять уравнению
△才+k2才=0(10)
(к = 31c = 2тг/А), то для вектора поляризации 戸(力，у)丄邑 получается уравнение
△丄m + (к2-储)m=0,(11)
при условии div丄 戸=0. Кроме того, вектор 戸(так же, как и векторный потенциал А) должен удовлетворять граничному условию
工 ас=。(12)
на поверхности волновода. Такая задача имеет решения лишь при дискретном наборе положительных значений круглой скобки в (11) [6]. Наименьшее из этих значений обозначим — поле ё^ соответствующее этому значению 龙，описывает поперечное распределение основной ТЕ-тгша волны в волноводе. Имеем, следовательно, соотношение
/с2 = х2 + 壮，(13)
которое определяет зависимость частоты з = ск основной волны от параметра ее распространения х = 2тг/АВОлн, обратно пропорционального волноводной длине волны. Условие х = 0 определяет критическую частоту волны
&с = с〃с・(14)
Так как уравнение (11) линейно относительно вектора ё^ то этот вектор можно подчинить условию
曲•戸2 = s,(15)
1/2•(16)1/2•(16)где интегрирование производится по поперечному сечению волновода; тем самым считается, что среднее по сечению волновода значение квадрата вектора s равно единице. Тогда нормировочная постоянная в векторном потенциале G определяется из условия, что полная энергия волны равна 力sa+a,
1/2
•(16)
1/2
•(16)
/27г Пс2\
Как уже говорилось, для того чтобы начать исследование излучения с дискретного спектра, необходимо ограничить объем, занимаемый полем. Будем считать, что длина рассматриваемого волновода конечна и равна L, поля на концах волновода подчиним периодическим граничным условиям. Тогда параметр распространения принимает следующие значения
(⑺
где 八—целое число, принимающее значения п = 0, 1, 2, .... Очевидно,
соседние значения хп отличаются на Лх = 2tv/L, т. е. имеет место равенство
，Ах = 1.(18)
Наложение периодических граничных условий превращает волновод в резонатор с дискретным спектром и это еще будет обсуждаться нами ниже; однако, учитывая, что в дальнейшем длина L будет устремлена к бесконечности, имеет смысл сохранить термин волновод. Учитывая все сказанное, приходим к выводу, что поле в волноводе описывается векторным потенциалом
方 1/2
N(力,2)= ^ ?出.(19)
Этим исчерпываются основные, необходимые в дальнейшем сведения о распространении квантованных волн в волноводе.
Распад возбужденного состояния атома в волноводе. Обратимся теперь к интересующей нас задаче об излучении атома [46]. Будем считать, что в начальный момент атом находится в возбужденном состоянии I Ь) и фотоны отсутствуют, т. е. все собственные волны или осцилляторы находятся в основном, вакуумном состоянии I 0). Все остальные состояния атома предполагаются лежащими выше по энергии состояния |Ь). Гамильтониан взаимодействия
昨——pа (20) тс
связывает исходное состояние |Ь, 0) с набором состояний ( ft, j |, в которых атом находится в основном состоянии, и в j-м осцилляторе имеется один фотон. Можно вычислять разные характеристики процесса излучения; остановимся на законе распада, определяемом квадратом модуля диагонального матричного элемента оператора эволюции (см. соотношения (1.2) и (1.14))
Ubo,bo = 5г dz • 2tRbu,bu・ (21)
Как показано во втором пункте первого раздела, при вычислении диагонального матричного элемента наибольшими по амплитуде являются вычеты в полюсе 石匕。 и соседние с ним (отстоящие от него на расстояние порядка 『).Нетрудно понять, что в рассматриваемом случае все такие полюса будут учтены, если кроме полюса в 石匕。 в F ⑶ будут оставлены также полюса в Eaj, соответствующие по энергии состояниям \a,j), в которых атом находится в основном состоянии и
в j-м осцилляторе имеется один фотон. Таким образом, функцию 1 —
—F ⑶ следует записать в виде
гдегде4「％0,а/4「％0,а/4o2 -瓦04o2 -瓦0(22)(22)(23)(23)
где
где
4「％0,а/
4「％0,а/
4o
2 -瓦0
4o
2 -瓦0
(22)
(22)
(23)
(23)
(24)(24)(25)(25)(26)(26)Еьо = Еь,
(24)
(24)
(25)
(25)
(26)
(26)
Eaj = Еа + Tlidj.
Таким образом, (22) приводим к виду
—歹= 1 — V
^(z-Eb0Hz-Eajy
Согласно (1.12)
OF ⑺ у 1 .
9 吆О,ьо2 -瓦о
В разложениях (23) и (24) учтены только члены, дающие главный вклад в оператор эволюции, и именно эти члены учитываются эвристически в методе Вигнера — Вайскопфа. В методе резольвенты при необходимости эти разложения могут быть уточнены и даже все ряды могут быть выписаны полностью (раздел 1, (1.14)—(1.15)).
Итак, в рассматриваемом случае получаем
®ь。=亲卜宀他卜-^）-E'（27）
где положено Еа = 0.
В гамильтониан взаимодействия V входит оператор импульса атомного электрона. Диагональные элементы этого оператора, соответствующие переходам без изменения энергии, равны нулю, поэтому для двухуровневого атома он имеет вид
P = Pq(j, где а = \ Ь) {а\ + \а) {Ь\.(28)
Для простоты принято, что параметр ро — вещественен, направлен вдоль в в месте расположения атома и равен по модулю mQ г, где г — модуль матричного элемента координаты для перехода b — а п
Q = (Еь — Еа) /力一частота этого перехода. Тогда учитывая (19), (20) и (24), получим
V = _де (巧包厂1/2+出0,V = _де (巧包厂1/2+出0,(29)(29)
V = _де (巧包厂1/2+出0,
V = _де (巧包厂1/2+出0,
(29)
(29)
(30)(30)где
(30)
(30)
Следовательно, для матричного элемента, связывающего состояния I Ь, 0) и {a,j\ в дипольном приближении, при котором пренебрегается изменением поля в пределах атома, получаем выражение
(31)(31)%,ьо = (^, j \ У \ Ь,0) =/，
(31)
(31)
3jL
При предельном переходе Е — оо сумма в подынтегральном выражении (27) с учетом (18) переходит в интеграл
丁 1%，Ь0『今/ = 乙 2 — TbUj丁 1%，Ь0『今/ = 乙 2 — TbUjоо27r 2 —万G27r 2 —万G(32)(32)
丁 1%，Ь0『今/ = 乙 2 — TbUj
丁 1%，Ь0『今/ = 乙 2 — TbUj
о
о
27r 2 —万G
27r 2 —万G
(32)
(32)
как видим, зависимость интеграла от длины волновода пропадает и тем самым предельное значение интеграла при Е — оо получается автоматически
济 27r济 27rоо1(2 -力5 •1(2 -力5 •(33)(33)Этот интеграл Вклад каждого с ростом L, ноЭтот интеграл Вклад каждого с ростом L, ноописывает взаимодействие атома с осцилляторами,осциллятора, пропорциональный \Vaj^ уменьшаетсяописывает взаимодействие атома с осцилляторами,осциллятора, пропорциональный \Vaj^ уменьшаетсячисло осцилляторов на единичном интервалечисло осцилляторов на единичном интервалеветственно увеличивается так, что суммарное взаимодействие конечным.Учтем зависимость s от 〃 (13)ветственно увеличивается так, что суммарное взаимодействие конечным.Учтем зависимость s от 〃 (13)х, соот- остаетсях, соот- остаетсяX = с-1 л/cj2 — CJq , Шс = CXc, dx =X = с-1 л/cj2 — CJq , Шс = CXc, dx =(34)(34)
济 27r
济 27r
о
о
1
(2 -力5 •
1
(2 -力5 •
(33)
(33)
Этот интеграл Вклад каждого с ростом L, но
Этот интеграл Вклад каждого с ростом L, но
описывает взаимодействие атома с осцилляторами,осциллятора, пропорциональный \Vaj^ уменьшается
описывает взаимодействие атома с осцилляторами,осциллятора, пропорциональный \Vaj^ уменьшается
число осцилляторов на единичном интервале
число осцилляторов на единичном интервале
ветственно увеличивается так, что суммарное взаимодействие конечным.
Учтем зависимость s от 〃 (13)
ветственно увеличивается так, что суммарное взаимодействие конечным.
Учтем зависимость s от 〃 (13)
х, соот- остается
х, соот- остается
X = с-1 л/cj2 — CJq , Шс = CXc, dx =
X = с-1 л/cj2 — CJq , Шс = CXc, dx =
(34)
(34)
и введем безразмерные частоты
sЗсзzsЗсзz(35)(35)
sЗсзz
sЗсзz
(35)
(35)
где Q — частота перехода атома; тогда интеграл (33) примет вид
(36)(36)7 лdu
(36)
(36)
27r 力C、(S - ^) /济一咫
При вычислении этого интеграла следует учитывать, что q не есть вещественное число, так как оно лежит на контуре С (см. рис. 1). Интеграл (36) вычисляется стандартными методами
/- in、
27r 力Q ,q2 —7S — Uc —+ %
Можно убедиться, что выражение, стоящее под знаком логарифма при Uc # 0, ни при каких конечных q не обращается в нуль или бесконечность; следовательно, точки ветвления логарифма не играют никакой роли. Точки ветвления корней существенны; правильный выбор листа римановой поверхности для корней определяется условием, вытекающим из вида интеграла (36), а именно, при вещественных s V % интеграл должен быть вещественным, отрицательным и должен убывать по модулю при q — —оо. Исследование показывает, что выражение (37) имеет лишь одну точку ветвления при q = ус и разрез при вещественных q > ис. Выявление этих обстоятельств из выражения (37) представляет собой довольно громоздкое дело, но они сравнительно легко вытекают из формы интеграла (36); действительно, этот интеграл представляет собой интеграл тина Коши, а римановы поверхности этих интегралов, как известно [6], имеют разрез вдоль контура интегрирования, а концы этого контура являются точками ветвления интеграла, рассматриваемого как функция комплексного переменного q.
Действительно, интеграл (36) не имеет особенностей при вещественных q < ис п при комплексных q, если Im q # 0. Следовательно, он представляет собой аналитическую функцию q на всей плоскости за исключением разреза от q = % до q — оо вдоль вещественной оси.
На верхнем берегу разреза (Im s ] 0) интеграл принимает следующее значение (Req > %)
= б ] L дА + % + дА —乙
если в этом выражении знак перед i поменять на обратный, то получится значение интеграла на нижнем берегу разреза (Imq [ 0). Соотношение (38) представляет собой частный случай формул Сохоцкого- Племеля [6] для интегралов типа Коши. Во многих излучательных задачах, в частности в рассматриваемой нами, интеграл I может быть аналитически продолжен за разрез. Это позволяет широко применять в вычислениях теорию функций комплексного переменного.
При вещественных q < % интеграл принимает следующие значе
ния:
(39)(39)
(39)
(39)
_ д?] ]口，К1 + % +，© - “с27r 力С- ^ a/M +-乙，
Вернемся к исследованию матричного элемента оператора эволюции (27); представим его в виде
dq力/ь© (41)
и напомним, что интегрирование производится по контуру С (см. рис. 1). Как установлено выше, интеграл /, а вместе с ним и подынтегральное выражение в (21) имеет разрез от ис до оо вдоль вещественной оси. Этот разрез охватывается контуром С. Разделяя интегрирование в (21) по верхней (“) и нижней (d) частям контура С, получим
%0力0⑴=方^ ] dz%0力0⑴=方^ ] dzg 一分2力/万g 一分2力/万127H127Hdzdzё 一分2力/万ё 一分2力/万
%0力0⑴=方^ ] dz
%0力0⑴=方^ ] dz
g 一分2力/万
g 一分2力/万
1
27H
1
27H
dz
dz
ё 一分2力/万
ё 一分2力/万
Знаменатели △(,) и △(*, согласно (38), можно представить в виде
△严)=2 -瓦-△耳⑶ 土分r(2),
где
△瓦⑶《△瓦⑶《1 In1 In，2 + 九 CJc + д/^ — ^ ^c，2 + 九 CJc + д/^ — ^ ^c22 一 方2%22 一 方2%
△瓦⑶《
△瓦⑶《
1 In
1 In
，2 + 九 CJc + д/^ — ^ ^c
，2 + 九 CJc + д/^ — ^ ^c
22 一 方2%
22 一 方2%
Г⑶=—4Г⑶=—422 一方乙^22 一方乙^
Г⑶=—
4
Г⑶=—
4
22 一方乙^
22 一方乙^
Следовательно, матричный элемент Ubo,bo(方) можно представить в виде
-1-1dzdzг(2). L“г(2). L“（2 -耳—△耳（2）『+w⑶'（2 -耳—△耳（2）『+w⑶'
-1
-1
dz
dz
г(2). L“
г(2). L“
（2 -耳—△耳（2）『+w⑶'
（2 -耳—△耳（2）『+w⑶'
в такой форме хорошо выявляется спектральная структура матричного элемента. В частности видно, что закон распада не является строго экспоненциальным; если бы ЛЕ^ и Г^ не зависели от 2, а нижний предел равнялся бы —оо, то закон распада был бы строго экспоненциальным. Как, однако, будет видно далее, отклонения закона распада от экспоненциального малы.
Контур интегрирования С может быть разными способами деформирован на римановой поверхности подынтегрального выражения; благодаря этому матричный элемент 九0力0 (方)может быть представлен в разных формах. Один из способов такой деформации заключается в следующем. Так как функция F © не имеет нулей в нижней полуплоскости и экспонента "°‘力 быстро убывает при Imq — —оо (方 > 0), то перемещая нижнюю часть контура С вниз (рис. 16) можно убедиться, что интеграл по этой части контура равен нулю. Попытка так же перемещать верхнюю часть контура С не приводит к успеху, так как при Req > Uc контур будет двигаться по другому листу
Рис. 16. Деформация контура интегрирования в операторе эволюции при излучении атома в волноводе
римановой поверхности функции 歹«) (рис. 16); эта функция так же, как и входящий в нее интеграл I, имеет точку ветвления при q = %. Верхнюю часть контура С можно деформировать лишь к контуру,
состоящему из двух частей (рис. 16); контуру С, охватывающему нуль функции 歹(s), т. е. полюс подынтегрального выражения в (42), и контуру С〃，охватывающему точку ветвления функции F© при q = =
Следует подчеркнуть, что полюс подынтегрального выражения в (42) (или нуль F (О лежит на другом листе римановой поверхности, нежели нижняя часть контура С; поэтому нижнюю часть контура С можно было переместить вниз, не «задев» за полюс при q = %. То, что функция F(S) имеет нуль, лежащий несколько ниже вещественной оси, легко увидеть, если эту функцию представить в виде
F© = «-1)
— J(43)
Второе слагаемое в этом выражении будем рассматривать как возмущение, тогда невозмущенное значение q, при котором F © = 0, равно единице, а в первом порядке по возмущению значение q можно искать в виде
«о = 1 + △，+ п，
(44)(45)(46)(44)(45)(46)где △，и 7 — малые величины. Подставим это значение q в уравнение F(S)= 0; причем в член с круглой скобкой, являющийся возмущением, можно подставлять невозмущенное значение q, т. е. единицу:
(44)
(45)
(46)
(44)
(45)
(46)
g2e2 r2
47r (九C)2加32s.
Отсюда получаем
7tR.
Обратим внимание, что величина 7 — отрицательна, т. е. корень
лежит ниже вещественной оси. Однако этот корень лежит на другом листе римановой поверхности функции 歹(5), нежели нижняя часть контура С, так как при его отыскании использовалось выражение F (q) для верхнего берега разреза — оно аналитически продолжалось за разрез. В данном случае, так как применялась теория возмущений, аналитическое продолжение заключалось в том, что возмущение в (42) считалось таким же, как на верхнем берегу, т. е. считалось, что возмущение практически не меняется при смещении q вниз на малую
величину 7. Для оценок положим
二=10-2, г2 = 10-16см2,
5 А2 10-8 см2, 乙生 ICT?, 产生1； тогда
Н*0,5・ 10—1°, Л<; ^3,5- IO-10, 7^ -1,6- IO-10.
Как будет видно в дальнейшем, интеграл по контуру С〃，охватывающему точку ветвления, описывает малые отклонения закона распада от экспоненциального; однако эти отклонения малы, много меньше того, что доступно экспериментальному наблюдению. Основной вклад в t4o,bo (方)дает таким образом вычет в точке ^ = ^р
UbQ,bQ ⑴ ~ ехр ЬС方 + 5(1+ △«) Qt],(47)
т. е. закон распада возбужденного состояния атома оказывается с высокой точностью экспоненциальным.
Задача о распаде возбужденного состояния атома, расположенного в волноводе, тем самым решена. Следует обратить внимание на важную черту этого решения, ради которого оно и приведено. Эта черта заключается в том, что теперь резольвента, представленная функцией 歹—1 (q), имеет более сложные особенности, чем в случае дискретного спектра; теперь резольвента является многозначной функцией q (или 2), имеет точки ветвления и полюса, лежащие не на вещественной оси. В следующем параграфе возникновение этих особенностей будет прослежено более детально.
Предельный переход от дискретного спектра к непрерывному. Проследим на разобранном примере, как возникают более сложные особенности резольвенты, в частности, ее многозначность при переходе от дискретного спектра к непрерывному. Для этого снова рассмотрим знаменатель подынтегрального выражения в (27) для случая, когда волновод предполагается ограниченным по длине, а спектр всей системы, соответственно, дискретным.
Знаменатель подынтегрального выражения в (27) представим в виде
где D = XR/L. На рис. 2 показаны графики первого и второго слагаемого из квадратной скобки (27). Пересечения этих графиков соответствуют корням функции У ©
у (…о. (49)
Как видим, корни функции У (q) расположены исключительно на вещественной оси, а сама функция У (q) однозначна. Следовательно, подынтегральное выражение в (27) также является однозначной функцией q и имеет только полюса, все расположенные на вещественной оси.
Риманова поверхность зависимости У «) как у всякой однозначной функции, однолистна; причем эта однолистность сохраняется на любом этапе предельного перехода Е — оо, т.е. при любой густоте спектра собственных частот волновода и «частокола» полюсов подынтегрального выражения в (27) на вещественной оси. Выше мы видели, что при бесконечной длине волновода функция, являющаяся предельным значением У©, многозначна, a F © ее риманова поверхность многолистна; следовательно, многозначность F (q) и многолистность ее римановой поверхности возникают скачком «в конце» предельного перехода Е — оо. Обычно тот лист римановой поверхности функции F ©, который получается после предельного перехода из единственного листа римановой поверхности функции У «), называют физическим листом. Дополнительные же листы, которые можно получить после предельного перехода, аналитически продолжая функцию F (q) за разрез, называют нефизическими листами. Таким образом можно сказать, что нефизические листы римановой поверхности возникают при предельном переходе скачком; соответственно и полюс на одном из нефизических листов при s = q@ возникает скачком.
Скачкообразные изменения в процессе предельного перехода в физике исключительны; обычно для таких изменений имеются специальные основания, что относится и к рассматриваемому нами случаю. Покажем, что физические величины в рассматриваемом случае без скачков переходят в свои предельные значения. Скачок происходит лишь в вычислительной части, в математическом аппарате.
Итак, снова обратимся к матричному элементу (41). Основной вклад в него дают вычеты в корнях, близких к q = 1. Действительно, величина вычета определяется производной dY/dq, взятой в соответствующем корне знаменателя; производная дУ/д^ представляет собой сумму производных первого и второго слагаемых в (48). Производная первого слагаемого равна единице; производная второго слагаемого в корне У (q) стремится к бесконечности по мере удаления корня от q = 1, как видно из рис. 2. Следовательно, вычеты, взятые в корнях У(S), значительно удаленных от s = 1, будут малыми и не дадут заметного вклада в результат.
Первый сомножитель под знаком суммы в (48), частота мало меняется при изменении j в той области z^ q = 1, которая дает основной вклад; поэтому положим его равным единице. Функция У (5) примет следующий вид
(50)(50)
(50)
(50)
В области “j ^ q = \ резонансные частоты волновода расположены практически равномерно, так что можно принять
(51)(51)4 = 1 + j + р j = 0, ±1, ±2,,
(51)
(51)
соответственно для У (q) получаем выражение
у© = (—)“£ (—)-у© = (—)“£ (—)--1-1(52)(52)
у© = (—)“£ (—)-
у© = (—)“£ (—)-
-1
-1
(52)
(52)
Складывая попарно члены, соответствующие j и —7 — 1, получим
У © = « — 1) — D g2(" 1)_ =
_ 1)2 —(入/l)2 0 + j
1)—vrRtg "(「), (53) так как [47]
=1 + 7Г2H{1 +tg2=1 + 7Г2H{1 +tg2
=1 + 7Г2H{1 +tg2
=1 + 7Г2H{1 +tg2
Вычислим производную У (q) — как указывалось, она определяет величину вычета в корне У (q) в интеграле (27)
Ю（—）
поскольку второй член пропорционален L, то при Е — оо первой
единицей в этом выражении можно пренебречь. Окончательно, таким образом, получаем
так как в корнях, согласно (49) и (50) имеет место равенство
где n — номер корня. Следовательно, после интегрирования в (27) по контуру С получим
]e-iQqnt
п= —ОС '/7 s —Sn
R、 e-i^nt
=+ (斤R)2；()
как видим, спектр матричного элемента Ugbu (方) имеет лоренцеву форму. Точнее сказать, лоренцеву форму имеет подынтегральное выражение в интеграле
f dn力
1)2 + (加r)2‘
для которого сумма в (52) является интегральной суммой и которому она, следовательно, приближенно равна при больших L.
Обратимся снова к рис. 2 и рассмотрим положение корней У «), т. е. пересечений двух графиков на этом рисунке. Если корень расположен далеко от q = 1, то он близок к соответствующему резонансу волновода %; это имеет место при \j\ > tv RL/X. Соответственно, в этих областях расположение корней почти строго эквидистантно. При приближении корней к q = 1 расстояние между ними постепенно уменьшается и становится минимальным, когда корни близки к s = 1. При этом, как нетрудно видеть, в области
7г RL . 7г RL
набегает один лишний корень по сравнению с числом резонансов волновода Vj в этой области; поэтому среднее расстояние между корнями в этой области отличается от расстояния между корнями вне этой области примерно на
К [2 不 RI}
—величину второго порядка малости по параметру Х/L. Это наводит на мысль, что матричный элемент 九0力0 (方)можно вычислить, считая корни qn эквидистантными, а малые отклонения от эквидистантности учесть как возмущение.
Итак, пусть корни зквпдпстантнн:
^п = ^п=(56)
очевидно, нулевой корень соответствует So = 1・ Тогда имеем
expexp+ (兀r)2+ (兀r)22c方2c方「 exp [—2тг met]「 exp [—2тг met](57)(57)
exp
exp
+ (兀r)2
+ (兀r)2
2c方
2c方
「 exp [—2тг met]
「 exp [—2тг met]
(57)
(57)
Можно убедиться, что сумма
°°^—гптг t/T^ (而)2 + ")2°°^—гптг t/T^ (而)2 + ")21 eг(力-Т) +「(力—Т)
°°^—гптг t/T
^ (而)2 + ")2
°°^—гптг t/T
^ (而)2 + ")2
ГТе「т — е-「7叩“ ° < У 2Т, (58)
т. е. является разложением в ряд Фурье периодической функции, совпадающей на периоде 2Т с цепной линией (рис. 17). Следовательно, для Ubo,bo (方)при 0 < t < 2Т получаем выражение
p — iQt—Т) _|_ р —r(t —Т)
%。,ь。⑴=r 户 I '(59)
где
Г = 7гСН.(60)
2с
В пределе Т — оо (Е 一 оо), при конечном t получаем,
UbO,bO ⑴二占eTtrm,(61)
как и раньше, экспоненциальный распад.
Рис. 17. Зависимость от времени матричного элемента Ubo,bo (^) при излучении в волноводеРис. 17. Зависимость от времени матричного элемента Ubo,bo (^) при излучении в волноводе
Рис. 17. Зависимость от времени матричного элемента Ubo,bo (^) при излучении в волноводе
Рис. 17. Зависимость от времени матричного элемента Ubo,bo (^) при излучении в волноводе
Дадим теперь оценку тех поправок, к которым приводит небольшое отклонение расположения корней У (q) от эквидистантного. Рассмотрим разность между точным и приближенным выражениями (52)
△UbO,bO ⑴=^q х
ё一 4G九力ё一 4G俨力
二 4-1)2 + (^)2一 9。)_ 1y+ (^)2
Предэкспоненциальный множитель в первом слагаемом разложим в ряд по малым отклонениям корней от эквидистантного расположения и ограничимся первым приближением
DD△Ubo,bo ⑴△Ubo,bo ⑴-2在（"2）q夂"sin-2在（"2）q夂"sin(63)(63)Так какТак как22maxmax/凡/凡
D
D
△Ubo,bo ⑴
△Ubo,bo ⑴
-2在（"2）q夂"sin
-2在（"2）q夂"sin
(63)
(63)
Так как
Так как
2
2
max
max
/凡
/凡
то при конечном t числитель первого слагаемого оказывается величиной порядка (A/L)2. Так как числитель второго слагаемого пропорционален величине того же порядка малости △srz, то оба слагаемых являются величинами второго порядка малости относительно параметра X/L.
Так как в сумме (51) число существенных слагаемых примерно равно 2тг RL/X, то эта сумма оказывается порядка X/L. Следовательно, поправки к экспоненциальному закону (61), обусловленные неэк- видистантностью спектра, убывают обратно пропорционально L при увеличении длины волновода.
Таким образом, особенности функции F~x ©, приводящие к экспоненциальному распаду, такие, как существование нефизических листов римановой поверхности, полюс на этой поверхности и др., проявляют себя еще до конца предельного перехода Е — оо, когда спектр уже очень частый, но как и исходно, дискретный, а функция У-1 «) однозначна. Действительно, как мы видим, в процессе предельного перехода закон распада постепенно приближается к экспоненциальному, а спектр его становится лоренцевым. Лоренцев спектр ведь и означает, что рядом с вещественной осью лежит полюс. Выражаясь фигурально, «частокол» полюсов функции У-1 (q) по мере его сгущения в процессе предельного перехода Е — оо становится постепенно прозрачным и за ним проявляется нефизический лист римановой поверхности функции F~{ (О с лежащими на нем особенностями этой функции.
Вместе с тем следует отметить, что допредельное и послепредель- ное поведение матричного элемента 九0力0 (方) качественно различны. До перехода к пределу 九0力0 (方) ведет себя квазипериодически, т.е. в частности, приблизительно периодически повторяет свое начальное значение, равное единице, с любой наперед заданной точностью. Это означает, что возбуждение квазипериодически сосредотачивается в атоме, в его возбужденном состоянии. Такое квазипериодическое поведение системы есть проявление известного цикла Пуанкаре для квантовых систем. При сгущении спектра длительность цикла Пуанкаре возрастает и в пределе Е — оо становится бесконечной — возбуждение никогда уже не возвращается на атом. Иными словами, при Е — оо исчезает «обратимость», которая имеется при любом конечном L. Это характерная черта непрерывного спектра, качественно отличающая его от дискретного спектра. Естественно поэтому, что математическое описание допредельного и послепредельного поведения 九0力0 (方)сильно отличаются.
Заключение. Рассмотренные в данном разделе задачи об излучении в резонаторе и волноводе показывают, что метод резольвенты весьма эффективен для решения излучательных задач, особенно в сочетании с методами теории функций комплексного переменного. Он может быть применен к задаче о пересечении уровней с учетом
затухания, к задаче об открывании новых каналов распада, к исследованию индуцированного излучения в сложных случаях, к задаче о взаимодействии излучающих атомов и другим. По нашему мнению метод резольвенты является самым эффективным методом решения нестационарных задач квантовой электродинамики из тех, которые основаны на теории возмущений.
Одной из насущных задач развития самого метода является включение в него последовательной процедуры перенормировок.
5. Спонтанное излучение в средах с полоснымспектром
Спонтанное излучение возбужденных атомов и молекул происходит благодаря взаимодействию их электронов с электромагнитными осцилляторами свободного пространства. Спектр этих осцилляторов непрерывен. Объемная и спектральная их плотность равна р = с<;2/27г2сЗ, где s — частота осциллятора, рад/с; с — скорость света в вакууме. Амплитуда нормированной функции непрерывного спектра свободного пространства не зависит от координат.
Если в пространстве, окружающем квантовую систему, имеются какие-либо макроскопические объекты — проводники, диэлектрики и т. п., то спектр электромагнитных осцилляторов может быть сложнее. В то же время амплитуда нормированной функции непрерывного спектра становится зависящей от точки расположения излучающего объекта. Все эти изменения в спектре влекут за собой изменения в характере спонтанного излучения.
Наиболее радикален случай так называемого полосного спектра, когда в спектре электромагнитных осцилляторов среды, окружающей возбужденный атом имеются полосы непрозрачности, т.е. полосы частот, в которых электромагнитных осцилляторов вообще нет. Приведем несколько примеров. В волноводе при частотах ниже критической нет волн, распространяющихся без затухания, и, следовательно, нет осцилляторов электромагнитного поля. Другой пример — периодическая структура. Как известно [48], в такой структуре имеются полосы (или зоны) непрозрачности, где нет незатухающих волн и, следовательно, нет осцилляторов электромагнитного поля.
Такой полосный спектр является достоянием не только одномерных структур. Действительно, если вещество обладает в какой-либо части спектра отрицательной диэлектрической проницаемостью, то осцилляторы поля в этой части спектра отсутствуют. Примером такого вещества является плазма при частотах ниже плазменной. В настоящее время известно, что трехмерные диэлектрические периодические структуры также обладают зонами непрозрачности для электромагнитных
волн [49]. Данный раздел посвящен исследованию спонтанного излучения возбужденного атома, расположенного в периодической структуре.
Наиболее интересным является случай, когда частота перехода молекулы попадает в зону непрозрачности окружающей среды или близка к ней (см. пункт 3). Когда частота перехода молекулы находится вдали от запрещенной зоны, излучение мало меняется по сравнению с излучением в среде с непрерывным спектром. Для сравнения в данном разделе рассмотрено излучение классического диполя в той же самой периодической структуре (см. Приложение).
Периодическая структура. Исследуем конкретный пример периодической структуры образованной двухпроводной линией, заполненной регулярно расположенными однородными диэлектрическими шайбами. Все свойства такой линии можно (и удобно) исследовать в аналитическом виде, не прибегая к тем или иным упрощающим предположениям. Основная мода двухпроводной линии не обладает собственной дисперсией, не обусловленной периодической структурой; в этом ее преимущество перед волноводом.
Итак, рассмотрим распространение электромагнитных волн в двухпроводной линии произвольного сечения (рис. 18), заполненной периодически расположенными диэлектрическими шайбами. Так как собственные волны двухпроводной линии с однородным заполнением известны, то собственные волны линии с шайбами можно найти, сшивая на границе диэлектрик-вакуум решения для вакуумной и диэлектрической линий. Вообще говоря, рассматриваемая периодическая структура в математическом отношении аналогична модели Кронига-Пенни [50] для электрона в периодическом поле и сводится к частному случаю уравнения Хилла [51]. Эти вопросы мы изложим кратко и в удобной для нас форме.
区w
照
氐・注・纪・纪・：••:•注••：•：•：•：•：•：•： ：•注•：•：•：•：•：•：♦立•注・：・：♦：・ ・：・£・£・£・£・£・£・£・：МЖ工
Рис. 18. Периодическая структура в двухпроводной линии
Примем зависимость от времени в виде ""力.Тогда электрическое поле волны вакуумной линии имеет следующий вид:
良# = ёА(±)е±『(1)
где знаки «+» и « —» относятся к волнам, бегущим вправо и влево соответственно, е = grad П; П （力，у） — функция, удовлетворяющая уравнению
⑵⑵Э2П Э2П
⑵
⑵
дх2 ду2
и граничным условиям П = П1 на внешней поверхности Si и П = П2 на внутренней поверхности S2 （рис. 18）. При этом предполагается, что
e^dS = dS [grad П （力,у）『=s,（3）
т. е. вектор 守（力，у） считается единичным в среднем по сечению линии.
Вообще говоря, в двухпроводной линии существуют волноводные типы волн, ограниченные снизу по частоте. Далее считается, что эти волны начинаются с достаточно больших частот, и поэтому ими можно пренебречь. Такое предположение верно, если поперечные размеры линии много меньше длины волны излучения. При малых длинах волн, например, оптических, соответствующих электронным переходам в атомах или молекулах, двухпроводная линия все же сохраняет свой макроскопический характер, так как даже в оптическом диапазоне длина волны на четыре порядка превышает атомные размеры. Таким образом, вкладом волноводных типов волн в излучение можно пренебречь. Предполагаем также, что дисперсия в диэлектрике и металле, образующих линию, отсутствуют или, по крайней мере, что существенные дисперсионные особенности лежат при высоких частотах, много больших частоты излучения.
Электрическое поле волн диэлектрической линии имеет вид
月*=м5±）ё±泳*（4）
где 八 — показатель преломления диэлектрика; к = ш/с. Для того чтобы все ячейки были эквивалентными, необходимо вместо координаты 2 ввести координату 《，отсчитываемую от начала ячейки и связанную с 2 соотношением
S = 2 — （q — 1）（〃 +。），（5）
где и — расстояние между шайбами, о — толщина шайб и q — номер ячейки.
Сшивание электрического и магнитного полей при q = 〃/2 позволяет выразить коэффициенты В（士） через коэффициенты 4（士）：
В^ = ^ e干/几"/2 [5 ± 1）题+）W"/2 + （八干 1）题一）「泳^/2] . （6）
При q > (1/2)〃 +。 поля, очевидно, имеют вид (1) только с другими коэффициентами Af^ (отметим их штрихом). Тогда сшивание полей при q = (1/2)〃 +。позволяет выразить эти коэффициенты через 珞士)
4；土)= I exp 干泳(；〃 + о) x
хх±(n ± \)В^ exp ikn \^и + v±(n ± \)В^ exp ikn \^и + v干(八干 1)5 j exp —ikn干(八干 1)5 j exp —ikn干干•⑺•⑺
х
х
±(n ± \)В^ exp ikn \^и + v
±(n ± \)В^ exp ikn \^и + v
干(八干 1)5 j exp —ikn
干(八干 1)5 j exp —ikn
干
干
•⑺
•⑺
Так как при q = 〃 + о происходит переход к (q + 1)-й ячейке с новой координатой ，= q — (〃 + о), то следует положить
<1<1⑻⑻
<1
<1
⑻
⑻
Соотношения (6-8) позволяют выразить 4；+< через禺土丿.Эти соотношения линейны, а их коэффициенты составляют матрицу ||а^-||:
а” =研2 = ^ е泳[⑺ + I)2 …— 5—1)2 e~lknvj ,
几⑼
旬2 =a21 =- e )•
Нетрудно убедиться, что детерминант матрицы ||а^-|| равен единице. Собственные векторы этой матрицы определяют такие волны, которые при переходе от ячейки к ячейке лишь умножаются на некоторый фазовый множитель — собственное значение матрицы ||а^-|| (в трехмерном случае подобные волны называются блоховскими). Собственные значения матрицы \\aij\\ равны
g,2 = Z±〃，l—Z2 =е±^g,2 = Z±〃，l—Z2 =е±^(Ю)(Ю)
g,2 = Z±〃，l—Z2 =е±^
g,2 = Z±〃，l—Z2 =е±^
(Ю)
(Ю)
где 2Z — след матрицы ||а^|| и
cos k(u + m?) — (n — I)2 cos k (u — m;)] . (11)
Величина х называется параметром распространения собственной волны периодической структуры (в теории твердого тела эта величина пропорциональна квазиимпульсу).
Зависимость частоты s от 〃 называется дисперсионной зависимостью периодической структуры и имеет две ветви (рис. 19а). Видно, что имеются частотные интервалы, в которых распространение волн без затухания в периодической структуре невозможно. Эти частотные интервалы называются зонами непрозрачности (запрещенными зонами, зонами запирания). Нижняя и верхняя границы их определяются условием cos х = ±1.
Согласно (11), запрещенные зоны соответствуют комплексным значениям х. Так, в первой запрещенной зоне имеем
х (s) = 7г + гх (s), где величина 无(s) определяется уравнением
сДх (5 = —Z (5 .(12)
При изменении частоты в запрещенной зоне от ее нижней границы до верхней параметр х (g) сначала возрастает от нуля до максимального значения, соответствующего приблизительно середине запрещенной зоны, и затем уменьшаются снова до нуля.
Удобно ввести следующие обозначения:
Ср = (п + 1) COSQ1 + (п — 1) COS&2,
以=(八 + 1) COSCq —(П — 1) COS&2,
(13)(13)Sp = (n + 1) sincq + (n — 1) sinQ2,
(13)
(13)
5冷=(八 + 1) sinoq — (n — 1) sinQ2,
где
k (〃 + m?)k(u — m?)
Полезны также формулы
Z=l —^S°S几Z=l —^S°S几sin x =sin x =(14)(14)
Z=l —^S°S几
Z=l —^S°S几
sin x =
sin x =
(14)
(14)
Границы запрещенных зон соответствуют обращению одного из С или S в ноль. В зоне прозрачности С n S вещественны. Коэффициенты 4；+)и 4『，соответствующие собственным волнам, могут быть
приняты равными
гдегде
где
где
(15)(15)р = ЗА? +(ад)1/2, n = (&sj/2 —(&s)/2.
(15)
(15)
Вторая пара значений этих коэффициентов получается при замене 力 1 в последних соотношениях на 力2； она определяет решение на второй ветви дисперсионной зависимости.
Таким образом, собственная волна имеет вид
员=2ё*аеТ(зГ 团回(16)
где q — номер ячейки периодической структуры. Разумеется, волна имеет такой вид лишь на интервале —и/2 V q V 〃/2. Вне этого интервала коэффициенты (15) следует изменить в соответствии с (6).
Электромагнитная волна, взаимодействующая с возбужденным атомом, должна быть вещественной. Такая волна может быть легко получена, если волну (16) умножить на 力 и сложить ее с комплексно сопряженной
Eq = zeG ^ае-^1-^尹* + Ne~ik^ -
-力限 + Neikq^ / (4八).(17)
Волна, соответствующая разности комплексно сопряженных величин может быть опущена, поскольку она отличается от (17) лишь множителем, чей модуль равен единице. Коэффициент G — нормировочный множитель.
При исследовании взаимодействия диполя или молекулы с полем удобно считать, что объем, занимаемый полем, конечен. В частности, в нашем случае будем предполагать, что линия содержит конечное число ячеек, и лишь в окончательных результатах устремим объем к бесконечности.
На границах конечной периодической структуры собственные волны подчиним периодическим граничным условиям. Тогда, очевидно, необходимо потребовать 巧==j^/Q, где 7 = 0, 1,2,... (2Q — 1) и 2Q —полное число ячеек. Таким образом, собственные значения эквидистантны по постоянной распространения х и, следовательно, в силу зависимости cj от х (см. рис. 19 а) не эквидистантны по частоте. Плотность собственных волн по параметру распространения х равна
G =G =т. е. на интервале с/х имеется dN = (Q/тг) dx колебаний. Для квантования электромагнитного поля Eq (17) величины ае~гшг и a*ewt заменяются соответственно операторами уничтожения а и рождения а+ фотонов, а нормировочная константа G выбирается так, чтобы энергия волны равнялась Тьо)а+а. Можно показать, что нормировочную константу G следует положить равной
G =
G =
(19)
где
Veff = 2QL® • S и=—--—.
Таким образом, волна (17), будучи проквантованной, принимает следующий вид:
Ёд = zeG \a^q>c (Ре湫 + Ne~% _
—a+e+ Ne泳)]/ (4八)，(20) где временные экспоненты опущены, как обычно в шредингеровской картине. Если q = 0, то
Eq = zeG "染"-小「切[Л,Eq = zeG "染"-小「切[Л,(21)(21)
Eq = zeG "染"-小「切[Л,
Eq = zeG "染"-小「切[Л,
(21)
(21)
где Л = y/CnSp / (2八).При том же условии оператор магнитного поля имеет вид
Hq =氾/ G "施"-a+e一切[Л,(22)
где А = ^/CpSn / (2八)и еz = —icy + jcx.
В дальнейшем нам понадобится знать аналитические свойства дисперсионной зависимости s или к = ш/с от х (11). Эта зависимость является многозначной. Для неявной функции ⑦(х, к) = 0 точки ветвления определяются условием дф/дк = 0, Э^/Эх # 0. В рассматриваемом нами случае уравнение
即дк即дк+ 1)2 (〃 + ?w) sin к (〃 + ?w)—+ 1)2 (〃 + ?w) sin к (〃 + ?w)—
即
дк
即
дк
+ 1)2 (〃 + ?w) sin к (〃 + ?w)—
+ 1)2 (〃 + ?w) sin к (〃 + ?w)—
имеетимеетмам правой части дисперсионного соотношения (11). Нетрудно убедиться, что комплексные корни у этого уравнения отсутствуют. Все корни этого уравнения, за исключением к = 0, соответствуют значе-мам правой части дисперсионного соотношения (11). Нетрудно убедиться, что комплексные корни у этого уравнения отсутствуют. Все корни этого уравнения, за исключением к = 0, соответствуют значе--(п - I)2 (и - m?) sin к(и — т;)] = 0 (23) вещественные корни, соответствующие максимумам и миниму-
имеет
имеет
мам правой части дисперсионного соотношения (11). Нетрудно убедиться, что комплексные корни у этого уравнения отсутствуют. Все корни этого уравнения, за исключением к = 0, соответствуют значе-
мам правой части дисперсионного соотношения (11). Нетрудно убедиться, что комплексные корни у этого уравнения отсутствуют. Все корни этого уравнения, за исключением к = 0, соответствуют значе-
ниям правой части дисперсионного соотношения по модулю большим единицы. Поэтому все точки ветвления соответствуют комплексным значениям
Рис. 19. Дисперсионная зависимость периодической структуры (а). Контур интегрирования по постоянной распространения (6)Рис. 19. Дисперсионная зависимость периодической структуры (а). Контур интегрирования по постоянной распространения (6)
Рис. 19. Дисперсионная зависимость периодической структуры (а). Контур интегрирования по постоянной распространения (6)
Рис. 19. Дисперсионная зависимость периодической структуры (а). Контур интегрирования по постоянной распространения (6)
Как уже говорилось, дисперсионная зависимость s от 〃 имеет разрешенные и запрещенные зоны (рис. 19а). Разрезы римановой поверхности дисперсионной зависимости показаны на рис. 19 6. Вдоль этих разрезов, расположенных при х = ттг, где т = 1,2, 3,... и т. д., различные листы римановой поверхности склеены друг с другом. Физический лист римановой поверхности с разрезами показан на рис. 19 б; другие листы подобны физическому, но сдвинуты относительно него вдоль оси х на величину, кратную 27r.
В дальнейшем для сравнения будет рассмотрен случай, когда периодическая структура отсутствует. В этом случае собственная волна имеет вид
где L — длина линии и норма волны равна единице. Плотность состояний по х равна
…事(25)
и имеются две ветви дисперсионной зависимости
(26)(26)к = % к = —х.
(26)
(26)
Спонтанное излучение в периодической структуре. Пусть в одной из ячеек периодической структуры в плоскости 2 = 0 расположена возбужденная молекула. Гамильтониан системы молекула плюс электромагнитное поле в дипольном приближении имеет вид
H = Ha + Hf + W,(27)
где*
%(28)
—гамильтониан атома, р и q — импульс и координата электрона,
Hf = £ Tiujja^ aj(29)
j
—гамильтониан поля,
W = d^^(30)
—гамильтониан взаимодействия, и d = —eq — дипольный момент атомного электрона. Электрическое поле £^ Eq в месте расположения электрона представляет собой сумму полей отдельных собственных волн (21). Следует понимать, что величины G, к, а, а+, L (cj) , Л в (21) теперь несут индекс j, нумерующий полевые осцилляторы или нормальные волны периодической структуры. Параметр Lj (g) отражает зависимость нормы собственной волны от частоты; параметр Л^ отражает зависимость гамильтониана от положения атома в периодической структуре. Эти величины определены выше для периодической структуры, рассмотренной в предыдущем пункте.
Задача заключается в определении зависимости состояния квантовомеханической системы от времени при условии, что в начальный момент времени молекула находится в возбужденном состоянии, а излучение отсутствует [52-55].
Распад возбужденного состояния. В результате взаимодействия возбужденного атома с осцилляторами поля начальное состояние |Ь, 0) принимает вид
2 ⑴)=%。,6。⑴h0)+ Ugj,b。⑴ 1gj ),(31)
где
UbO,bO = QГUbO,bO = QГ
UbO,bO = QГ
UbO,bO = QГ
%'Ь。=-言%'Ь。=-言L W9j,boe-^/hL W9j,boe-^/h(33)(33)
%'Ь。=-言
%'Ь。=-言
L W9j,boe-^/h
L W9j,boe-^/h
(33)
(33)
—матричные элементы оператора эволюции (см. 1.14-15),
歹⑶——М(34)
И
Wb^gj = {b,O\d^^ I g, Q =—在(血刁 Gj” (35) k
Сначала исследуем распад возбужденного состояния. Закон распада определяется величиной
0⑴= М(w(36)
Таким образом, особенности подынтегрального выражения в (32) определяют закон распада возбужденного состояния атома (и, как мы увидим, все другие характерные особенности спонтанного излучения). Фактически аналитические свойства функции F ⑶ наиболее важны.
Если периодическая структура содержит конечное число ячеек, то подынтегральное выражение имеет только полюса, что видно из графического решения уравнения
2 —(37) J丿
данного на рис. 20. Легко видеть, что все корни, кроме одного, лежат в полосах прозрачности периодической структуры. Один корень лежит в области непрозрачности и определяет некоторое стационарное динамическое состояние; причем такой корень имеется всегда, независимо от того, где лежит резонансная частота перехода атома или молекулы. (Вещественные корни функции F ⑶ имеются во всех запрещенных зонах, но мы принимаем во внимание лишь корень в зоне непрозрачности, ближайшей к частоте перехода излучающей системы.)
Отметим, что из рис. 20 как будто бы следует, что динамическое состояние образуется, лишь если частота перехода больше нижней границы запрещенной зоны. Это заключение требует некоторого уточнения. Если бы рассматриваемая молекула не находилась в симметрич
ном положении при s = U, то зависимость X(2)=〉 — имела
бы другой вид, показанный на рис. 20 пунктиром. Тогда динамическое состояние возникло бы при любой частоте перехода.
Рис. 20.Рис. 20.2-Q,2-Q,Запрещенная зонаЗапрещенная зонаГрафическое решениеГрафическое решениехарактеристического уравнения при наличиихарактеристического уравнения при наличиипериодической структурыпериодической структуры
Рис. 20.
Рис. 20.
2-Q,
2-Q,
Запрещенная зона
Запрещенная зона
Графическое решение
Графическое решение
характеристического уравнения при наличии
характеристического уравнения при наличии
периодической структуры
периодической структуры
Таким образом, требование, чтобы частота перехода была больше нижней границы запрещенной зоны, является «случайным», вы
текающим из специального, симметричного расположения молекулы в периодической структуре, принятого в рассматриваемой задаче. По
добный случай имеет место, когда молекула расположена посередине диэлектрика, при q = ^ (〃 + о). Тогда динамическое состояние будет возникать, лишь когда частота перехода меньше верхней границы запрещенной зоны. Во всех остальных случаях динамическое состояние будет существовать независимо от расположения частоты перехода
относительно полосы непрозрачности.
Каждому корню уравнения (37) соответствует полюс подынтегрального выражения в (32). Полюс, лежащий в полосе непрозрачности, отличается от остальных тем, что при переходе к бесконечному числу ячеек и, следовательно, к непрерывному спектру он остается изолированным и лежащим на вещественной оси. Таким образом, он дает некоторую незатухающую часть в закон распада, в то время как остальные
полюса после перехода к непрерывному спектру дают затухающую часть. В дальнейшем динамическое состояние, соответствующее полюсу в полосе непрозрачности будет подробно исследовано. Корень уравнения (37), лежащий в полосе непрозрачности, определяет энергию динамического состояния.
Если частота перехода молекулы много меньше низкочастотной границы полосы непрозрачности, то энергия динамического состояния, выраженная в единицах 力，близка к низкочастотной границе полосы непрозрачности, но несколько выше ее. Частота перехода молекулы и
энергия динамического состояния в этом случае сильно различаются. Подобное же положение имеет место, если частота перехода молекулы много больше высокочастотной границы полосы непрозрачности. Теперь уже энергия динамического состояния лежит вблизи высокочастотной границы полосы непрозрачности, но несколько меньше ее. Если частота перехода молекулы лежит примерно в середине зоны непрозрачности, то энергия динамического состояния близка к энергии возбужденного состояния молекулы. Ниже динамическое состояние исследуется более подробно.
Рассмотрим свойства F(2)как функции комплексного переменного 2. Перейдя в ней от суммирования к интегрированию по х (Q 一 оо), получим для F выражение (歹(2)歹(？))
歹(2)= 2 — М2 — 1 (38)
где
^\^ъ^\ CnSp
и интегрирование проводится по всем ветвям дисперсионной кривой, соответствующим положительным частотам s.
Функция F(2) как функция комплексного переменного 2 имеет разрезы вдоль разрешенных зон на вещественной оси. В запрещенных зонах F ⑶ принимает вещественные значения. На границах разрешенных и запрещенных зон функция F(2) имеет точки ветвления. При t > 0 вклад в матричный элемент (32) дает лишь часть контура С (рис. 1), лежащая выше вещественной оси Im ^ > 0. Поэтому будем интересоваться лишь значениями F(2) на верхнем берегу разреза. В выражении (38) можно от интегрирования по всем вещественным и положительным (s > 0) ветвям дисперсионной зависимости перейти к интегрированию по контуру G изображенному на рис. 19 6. Дополнительные части контура не дадут вклада в интеграл, так как на каждой симметричной паре таких добавок частота принимает положительные и одинаковые значения, а проходятся эти дополнительные части контура в противоположных направлениях.
Так как мнимая часть 2 положительная (верхняя часть контура С), то подынтегральное выражение в (32) имеет полюс в некоторой точке в комплексной плоскости х, лежащей выше контура интегрирования, для которой Re х > 0 определяется из дисперсионной зависимости (11). Подынтегральное выражение в (32) быстро убывает при 〃 — + + г оо. Поэтому от интегрирования по х можно перейти к интегрированию по частотам s по контуру, лежащему немного выше вещественной
оси. Тогда, согласно формулам Сохоцкого-Племеля (1.22), на этом контуре имеем
歹⑶=2 z [亢， (39)
где в коэффициентах Сп, Ср, S^, Sp, частота s заменена на 2/九 и х > 0 определяется из дисперсионной зависимости s = s (х) при s = =2/加
Последний член в выражении (39) является чисто мнимым и положительным по знаку. Это означает, что, если частота перехода Q лежит в разрешенной зоне, то на нефизическом листе римановой поверхности F(2)при ^ = ^ (Q — 27), где
имеется нуль функции F (2) и соответственно полюс подынтегрального выражения в (32). Из рис. 20 ясно также, что в каждой запрещенной зоне имеется нуль функции F (^), расположенный на вещественной оси. Кроме того, необходимо учитывать, что границы разрешенных и запрещенных зон являются точками ветвления функции F ⑶.
Производя интегрирование в матричном элементе (32), контур интегрирования можно деформировать к виду, показанному на рис. 2\а.
Рис. 21. Деформация контура интегрирования в операторе эволюции при наличии периодической структуры
Соответственно матричный элемент (32) распадается на три компоненты, две из которых, U^bQ, и U^bQ, соответствующие вычету в полюсе, лежащем на нефизическом листе, и интегралу по разрезу, затухают со временем. Третья компонента u]^^。， соответствующая вычету в корне, расположенном в запрещенной зоне на вещественной оси, постоянна по амплитуде. Таким образом, закон распада возбуждения имеет вид, изображенный на рис. 22 (а — частота Q в разрешенной зоне, 6 —частота Q в запрещенной зоне).
Рис. 22. Распад возбужденного состояния, а — когда частота перехода атома находится вдали от зоны непрозрачности периодической структуры; 6 — когда частота перехода атома находится в зоне непрозрачности периодической структурыРис. 22. Распад возбужденного состояния, а — когда частота перехода атома находится вдали от зоны непрозрачности периодической структуры; 6 — когда частота перехода атома находится в зоне непрозрачности периодической структуры
Рис. 22. Распад возбужденного состояния, а — когда частота перехода атома находится вдали от зоны непрозрачности периодической структуры; 6 — когда частота перехода атома находится в зоне непрозрачности периодической структуры
Рис. 22. Распад возбужденного состояния, а — когда частота перехода атома находится вдали от зоны непрозрачности периодической структуры; 6 — когда частота перехода атома находится в зоне непрозрачности периодической структуры
Как видим, спонтанное излучение при наличии периодической структуры и соответственно разрешенных и запрещенных зон в спектре происходит иначе, нежели в свободном пространстве. Во-первых, распад начального состояния происходит не полностью, а только до некоторого стационарного уровня, после чего он прекращается. Как будет видно далее, этот стационарный уровень соответствует стационарному динамическому состоянию, образованному возбужденным атомом и излучением. Во-вторых, распад нестационарной части начального состояния происходит по закону, в котором присутствует неэкспоненциальная часть U胤°. По мере приближения частоты перехода Q к запрещенной зоне доля этой неэкспоненциальной части, а также вероятность образования динамического состояния возрастают. Когда частота перехода Q попадает в запрещенную зону, корень функции F ⑶,расположенный на нефизическом листе римановой поверхности, пересечет контур С" (см. рис. 21 б) и экспоненциальная часть закона распада будет представлена слабо; вероятность образования динамического состояния приблизится к единице. Таким образом, периодическая структура существенно изменяет характер спонтанного излучения.
Динамическое состояние. Состояние квантовой системы в произвольный момент времени может быть представлено в виде
(40)(40)12(“= Ub0,b0 丨 b，° ) + £ Ug九Ь0 19, Q，
(40)
(40)
3
где амплитуды Ugba ⑴，Ubo,g7 (方)определяются соотношениями (32) и (33). Все амплитуды в этом выражении содержат части, соответству-
ющие особенностям функции F ⑶:незатухающий вычет в нуле F ⑶, лежащем на вещественной оси в запрещенной зоне, затухающий вычет в нуле F (^), лежащем ниже вещественной оси, и интеграл по разрезам, охватывающим точки ветвления F ⑶.Амплитуды Uggj имеют еще дополнительный вычет в полюсе подынтегрального выражения, лежащем на вещественной оси при 2 =以力 п не связанном с функцией
Выделим из состояния (40) незатухающую часть, связанную с полюсом в запрещенной зоне:
1他("=0儿0也。)+ £ aQ，(4i)
где
^—iEjjt/h
(42)
очевидно, эта часть описывает упоминавшееся нами выше динамическое состояние системы. Другая незатухающая часть состояния (40), связанная с вычетами в полюсах в разрешенных зонах, описывает излучение системы, происходящее в процессе установления динамического состояния. Квадрат модуля амплитуды состояния (41) — нетрудно убедиться, что он равен
Pd =〈2d ⑴ I 他⑴)=|U危 0『+ £ IC^ol2 = (If) : (43)
—определяет вероятность возбуждения динамического состояния. Зависимость этой величины от частоты перехода можно хорошо представить исходя из рис. 20. Если Q лежит примерно в середине зоны непрозрачности, то производная д Х/д z мала и вероятность образования динамического состояния
Pd =Pd =(44)(44)
Pd =
Pd =
(44)
(44)
практически равна единице. По мере приближения Q, к границам зоны непрозрачности и вне этой зоны производная дХ/д z нарастает и соответственно уменьшается вероятность образования динамического состояния. Если Q далеко вне области непрозрачности, то производная д Х/д z велика и по сравнению с ней единицей можно пренебречь; вероятность образования динамического состояния очень мала.
Распределение электромагнитной энергии в динамическом состоянии. Как мы увидим, электромагнитная энергия динамического состояния сосредоточена вблизи возбужденного атома и плотность ее экспоненциально спадает при удалении от последнего. Вместе с тем, усредняя приводимые ниже выражения для полей по динамическому состоянию (41), можно убедиться, что средние значения этих полей равны нулю. Таким образом, электромагнитное поле динамического
состояния является существенно квантовым, а его энергия есть энергия квантовых флюктуаций поля. Это сильно отличает динамическое состояние атома от стационарного состояния диполя, рассмотренного
в дополнении.
Согласно (21) и (22) электрическое поле j-ro осциллятора в начале q-ой ячейки равно
(45)(45)(46)(46)Eqj = ~ieJ ；j!j Aj [a+ exp 的巧)-旬 exp (—旬巧力，
(45)
(45)
(46)
(46)
a 力-ая компонента магнитного поля имеет следующий вид:
Hxqj = —%.；：!? & [at exp 的芍)-旬 exp (—紀芍)],
где величина Aj характеризует зависимость Hxqj, от координаты 2； для конкретной линии, описанной выше, и начала q-ой ячейки Л = =y/CpSn / (2п). Компонента магнитного поля, направленная вдоль оси у, отличается лишь наличием множителя —е力 вместо множителя •
Плотность электромагнитной энергии равна сумме квадратов компонентов электрического и магнитного полей, деленной на 87r. При вычислении этой величины следует иметь в виду, что члены, содержащие произведения двух операторов уничтожения или двух операторов рождения, могут быть опущены, так как их матричные элементы для интересующего нас состояния равны нулю. Таким образом, оператор плотности электромагнитной энергии в начале q-ой ячейки имеет вид
^eZ g)= J月2 =
О7Г
& GnGmAnAm \a^ame-^~^ + 時。洞心广死叫• (47)
Выражение (47) интегрируем по поперечному сечению и первое слагаемое в нем усредняем по динамическому состоянию
/=時• V GnKnane^-).(48)
Это линейная плотность электрического поля в начале q-той ячейки. После усреднения первый сомножитель принимает вид
F（2）乙F（2）乙2 — h3rn2 — h3rn(49)(49)
F（2）乙
F（2）乙
2 — h3rn
2 — h3rn
(49)
(49)
От суммирования по m перейдем к интегрированию по х
Л2 •九;dZ/dkЛ2 •九;dZ/dk2 —"2 —"(5。)(5。)
Л2 •九;
dZ/dk
Л2 •九;
dZ/dk
2 —"
2 —"
(5。)
(5。)
Можно убедиться, что подынтегральное выражение имеет полюс в верхней части комплексной плоскости х. Вычет в этом полюсе дает
г 、 4тг пег 、 4тг пе(血硝 AL/*e"(血硝 AL/*e"(51)(51)
г 、 4тг пе
г 、 4тг пе
(血硝 AL/*e"
(血硝 AL/*e"
(51)
(51)
2тге/(2)=亦2тге/(2)=亦cv=z/hcv=z/hdwdxdwdxс • sin хdZ/dk •с • sin хdZ/dk •(53)(53)
2тге
/(2)=亦
2тге
/(2)=亦
cv=z/h
cv=z/h
dw
dx
dw
dx
с • sin х
dZ/dk •
с • sin х
dZ/dk •
(53)
(53)
丿宀/方5丿宀/万
Очевидно, имеем также
(52)
так как
Далее, согласно (49), имеем
_ ге(^е)力一chS_ ге(^е)力一chSdzdz^^—izt/h^iqxz^^—izt/h^iqxz(54)(54)
_ ге(^е)
力一chS
_ ге(^е)
力一chS
dz
dz
^^—izt/h^iqxz
^^—izt/h^iqxz
(54)
(54)
В этом интеграле примем во внимание только полюс, лежащий в запрещенной зоне и соответствующий динамическому состоянию
(55)(55)? = 2ье(血刁旭。"万一吻lcnSp
(55)
(55)
1 chs(a歹⑶、у CpSn ш=еп/п
卜 92 J z=Ed
где xo = Im x и cos 〃 = Z. В первой зоне 石о определяется соотношением
Таким образом
(57)дает(57)дает=1(血硝『灰石务 «nSKCpSn)3=EDm2无。q
(57)
дает
(57)
дает
一S 。方 屮2)2
В этом выражении второе слагаемое в (47) также учтено; оно такой же вклад, что и первое слагаемое.
Подобный же вклад дает магнитное поле
О7Г
(58)(58)=_ 1(血刁『ке^ 8凤4S力3 = eDm 2天。q.
(58)
(58)
_ S
единственное отличие — величина в круглой скобке в числителе обратна той, что имеет место в выражении для электрического поля. Таким образом полная плотность энергии равна
(G = /I (G + ^mag (q) = 了1 吁：=
О7Г
_ 丨(血刁『7r 石务 f CnSpCpSn \. —2 无。|q|.
S ch a F ⑶ 20s冷CnSp) 3=ed“
величина
(59)(59)1
(59)
(59)
如=、
есть характерный размер динамического состояния. Экспонента в (59) определяет основную зависимость w от q (пунктирная линия на рис. 23). Из-за диэлектрических дисков в периодической структуре распределение энергии несколько отличается от простого экспоненциального (жирная линия на рис. 23).
Чтобы учесть многозначность частотной зависимости от х, добавим к контуру интегрирования небольшие вертикальные части, отмеченные на рис. 19 6. При этом все части контура интегрирования на римановой поверхности объединяются в одну линию. Можно видеть также энергии Ed и Е^. Энергия Е^ также имеется на верхней части
Рис. 23. Распределение электромагнитной энергии в динамическом состоянии римановой поверхности, но она лежит за разрезом; аналогичная ситуация с энергией Ed на нижней части римановой поверхности.
Выбор контура интегрирования определяется экспонентами е±"。* и е±2。*'. При q〉0 в первом члене интеграл по xz должен браться по верхнему контуру, показанному на рис. 19 6, и это дает нуль. Интегрирование по х должно производиться по контуру, лежащему ниже вещественной оси, и это также дает нуль. Во втором члене эти контуры меняются местами и результат интегрирования оказывается отличным от нуля и равным
2^eW (丄CnSp + CpS
-加2s2c2 \dz)z=ED 2CpSn
Отметим, что при q <0 первый член в (47) не равен нулю, но равен нулю второй член и как раз благодаря этому в (59) следует использовать \q\ вместо q. Величина 融 в (59) определяется дисперсионным уравнением (11)
сДхо = (-1)" Z (5 ,
где N — номер запрещенной зоны; при этом правая часть этого соотношения в запрещенной зоне положительна.
В приведенном вычислении интеграл по разрезу, идущему вдоль мнимой оси от нуля до —оо, опущен. Можно показать, что этот интеграл очень мал, хотя он содержит неэкспоненциальную зависимость плотности энергии от Q.
Динамическое состояние является долгоживущим. Продолжительность его существования определяется слабым поглощением электромагнитной энергии в диэлектрике, а также двух- и многоквантовыми распадами. В последнем случае сумма энергий квантов, на которые распадается динамическое состояние, равна энергии последнего.
Энергия динамического состояния. Энергия динамического состояния определяется характеристическим уравнением (37). Суммирование в правой части характеристического уравнения производится по электромагнитным осцилляторам системы. Так как периодическая
структура при некоторой большой частоте шд теряет свои оптические свойства, то при з〉也 суммирование в правой части характеристического уравнения следует производить по электромагнитным осцилляторам свободного пространства. Однако вклад высоких частот в энергию динамического состояния невелик. В свободном пространстве он приводит к так называемому лэмбовскому сдвигу, который в нашей задаче можно считать пренебрежимо малым. Кроме того, вклад высоких частот в энергию динамического состояния не зависит от положения частоты перехода относительно полосы непрозрачности, в то время как вклад частот, близких к резонансным, зависит от этого положения.
Эти два обстоятельства позволяют при определении зависимости энергии динамического состояния от частоты перехода производить суммирование в правой части характеристического уравнения, а после предельного перехода Q — оо производить интегрирование по осцилляторам периодической структуры в предположении, что свойства последней сохраняются вплоть до самых высоких частот. В этом случае вычисление соответствующего интеграла значительно упрощается.
ТТПравую часть характеристического уравнения можно представить в виде
Т
Т
(60)(60)Х% =
(60)
(60)
где Q/tt — плотность состояний по х периодической структуры. Интегрирование следует производить по всем положительным по частоте (s > 0) ветвям дисперсионной кривой (см. рис. 19а). Оно будет произведено автоматически, если интеграл (60) вычислять по контуру, показанному на рис. 19 6. При этом X ⑶ оказывается равным вычету подынтегрального выражения в точке Тьо)= 2:
4тге2 |(^е)|2 fCnSp^^
*-(61)
где правая часть вещественна.
Зависимость X ⑶ показана на рис. 20, где дано также графическое решение характеристического уравнения. Из этого решения видно, что величина Ed всегда лежит в запрещенной зоне, независимо от того, где лежит частота перехода.
Заключение. Спонтанное излучение в средах со спектральными особенностями обладает рядом характерных черт. Особенно интересно спонтанное излучение возбужденных атомов и молекул, находящихся в среде с полосным спектром. В данном разделе рассмотрен частный случай такой среды — периодическая структура. Показано, что в таких условиях спонтанное излучение происходит с образованием
динамического состояния. Последнее представляет собой суперпозицию возбужденного состояния молекулы и невозбужденного ее состояния с примесью «облачка» фотонов, неспособных распространяться в периодической структуре. Количественно исследованы закон распада возбужденного состояния, вероятность образования динамического состояния, распределение энергии в динамическом состоянии, его полная энергия и т. д.
Нетрудно уловить сходство в поведении атома и диполя, расположенных в периодической структуре (см. приложение 1). Действительно, очень похожи законы распада атомного возбуждения и затухания свободных колебаний диполя, характер распределения энергии в динамическом состоянии атома и стационарном состоянии диполя и др. (ср. рис. 22 и 26). Имеются, однако, и различия; так, поле динамического состояния сильно отличается от классического — его среднее квантовомеханическое значение равно нулю.
Атомное возбуждение может распадаться посредством двухквантовых и вообще многоквантовых распадов; в этом отношении аналогия с диполем могла бы быть полнее, если бы последний был нелинейным.
Наиболее интересным качественным выводом является вывод о возможности воздействовать на спонтанное излучение, и, в частности, подавлять его в большом объеме. Вообще говоря, на спонтанное излучение можно воздействовать, помещая излучающую молекулу в объемный резонатор. Однако эволюции состояния атома в периодической структуре и резонаторе существенно различаются. Если резонатор мал по сравнению с длиной волны, то на спонтанное излучение он оказывает сильное влияние, но практически позволяет подавить спонтанное излучение лишь в малом объеме. Если резонатор велик по сравнению с длиной волны, то существенную роль в нем играет поглощение. Энергия возбуждения молекулы быстро перейдет в электромагнитное излучение и долго будет находиться в этом состоянии. При этом даже малое поглощение в стенках резонатора приведет к затуханию излучения.
В случае же периодической структуры и динамического состояния электромагнитное излучение не уходит далеко от возбужденной молекулы. Фактически в форме электромагнитной энергии находится лишь малая доля полной энергии возбуждения, а именно,
△石〜経 e 1儿『〜IM-9 . IM-10.
следовательно, роль поглощения будет в соответствующее число раз снижена.
Зоны непрозрачности или запрещенные зоны могут существовать не только в решетках, но и в других средах. В плазме, например, также имеется запрещенная зона при частотах ниже плазменной. Запрещенная зона, образованная электронной плазмой металлов, простирается
до видимого диапазона. Запрещенные зоны могут иметь место в газах и твердых телах вблизи сильных спектральных линий [64, 65]. Режим возбуждения генерации, рассмотренный в [55] открывает возможность использования металлов в качестве лазерных сред.
Подавление спонтанного излучения может оказать существенное влияние на работу лазера. Действительно, пусть в активной среде оптического квантового генератора имеется трехмерная периодическая структура и пусть эта структура обладает такими анизотропными свойствами, что на частоте перехода молекулы имеется узкий конус направлений, разрешенных для распространения электромагнитных волн, в то время как остальные направления являются запрещенными. Тогда порог генерации в такой среде (в разрешенном направлении) будет много ниже, чем в среде без периодической структуры, так как спонтанное излучение в большинстве направлений будет подавлено; во многих случаях именно спонтанное излучение определяет порог генерации.
Имеется и другой режим работы генератора в среде с полосным спектром, когда запрещенными на частоте перехода являются все направления и в системе, таким образом, отсутствует электродинамический резонанс. Лишь в результате накачки и последующего изменения оптических свойств среды такой резонанс появляется и становится возможной генерация электромагнитного излучения [55].
Первые попытки экспериментального воздействия среды на спонтанное излучение были отмечены в [57, 58]. К сожалению, рассмотренные в данной главе способы воздействия на спонтанное излучение с помощью диэлектрических тел или металлических поверхностей применимы лишь в оптической области спектра. В более коротковолновой области все диэлектрические проницаемости довольно быстро стремятся к единице. Однако самым «элементарным диэлектриком» можно считать отдельный атом (или даже отдельное ядро атома для мессбауэровского излучения). Если вблизи возбужденного атома поместить другой, невозбужденный атом с близкой частотой резонансного перехода, то его присутствие окажет сильное влияние на характер спонтанного излучения возбужденного атома; в частности, сильно изменится направленность этого излучения. Если вблизи возбужденного атома имеется несколько таких невозбужденных атомов, то они могут образовать аналог известной в СВЧ-технике директорией антенны; при этом энергия, запасенная в возбужденном атоме, будет излучаться в узкий конус направлений вблизи рабочего направления. Разумеется, изготовление таких систем — по существу, создание новых веществ — довольно затруднительно и, видимо, является делом будущего.
Фотонные кристаллы. Наибольший интерес представляют, несомненно, искусственно созданные трехмерные периодические структуры. В последние годы созданию таких структур, получивших название «фотонные кристаллы», уделялось огромное внимание (см. [66-72]).
Э. Яблонович с коллегами [49] показал наличие запрещенных зон в периодических трехмерных структурах. Эти структуры были образованы диэлектрическими материалами с малыми диэлектрическими потерями. Структуры получались в результате специальной обработки (сверление, ионная бомбардировка и т. п.). Исследование показало, что обычно используемая для описания электронов в твердых телах скалярная теория [60], не согласуется с экспериментами с электромагнитным полем. Поэтому некоторое время назад была развита векторная теория [60, 61], согласующаяся с экспериментом. Эта теория показала, что в простых решетках имеет место вырождение валентной зоны и зоны проводимости в некоторых точках зоны Бриллюена. Это означает, что в решетке образуется не полностью запрещенная зона, но так называемая псевдозона. В работе [62] это затруднение было впервые преодолено. Были предложены решетки с симметрией типа алмаз, где отмеченное выше вырождение было снято. Такие решетки были реально созданы [62] и было продемонстрировано существование в них запрещенных зон для всех направлений. Распространение волн в фотонных кристаллах исследовалось в [70].
Другой путь состоит в том, чтобы использовать коллоидальные кристаллы, образованные маленькими полистиреновыми шариками [63]. Было известно, что в них имеет место сильное брэгговское рассеяние видимого света. Такие устройства были изготовлены в виде монокристаллов и использовались для создание распределенной обратной связи в лазерах видимого диапазона. В экспериментах [63] наблюдалась люминесценция красителей в таких решетках, причем было зафиксировано увеличение времени жизни возбужденных молекул.
Приложение 1. Свободные колебания упругого диполя, расположенного в периодической структуре. Для сравнения рассмотрим свободные колебания упругого диполя в той же периодической структуре. Как увидим, эти две задачи имеют много общего.
Свободные колебания упругого диполя, расположенного в периодической структуре, обладают рядом особенностей [73]. Рассмотрим эти колебания на конкретных простых моделях периодической структуры и диполя. Описанная выше двухпроводная экранированная линия, заполненная периодически расположенными диэлектрическими шайбами, является примером периодической структуры. Основной наиболее низкочастотный тип волн в такой линии — чисто поперечный и не обладает дисперсией, не связанной с периодической структурой; такая периодическая структура допускает исследование полностью в аналитическом виде.
Диполь представляет собой объемно заряженный жесткий шар, способный под действием сторонних механических сил колебаться около своего положения равновесия. Заряд шара может быть скомпенсирован, например, зарядами противоположного знака на охватывающей его
неподвижной сфере, или нескомпенсирован — это не имеет большого значения. Простота этой модели — в наличии у диполя только одной степени свободы.
Принятие этих моделей есть лишь вопрос удобства. Общий характер движения сохранится и при других предположениях о природе периодической структуры и диполя. Количественные характеристики также могут быть распространены на другие случаи, так как они выражаются через общие свойства, такие, как дисперсионная зависимость для периодической структуры и собственная частота для диполя.
Метод исследования состоит в следующем. Вначале считается, что периодическая структура имеет конечную длину, причем на ее концах предполагаются периодические граничные условия. В этом случае спектр линии дискретен. Движение диполя отыскивается с учетом того воздействия, которое на него оказывает излученное им электромагнитное поле. После предельного перехода к бесконечной линии для вычисления возникших интегралов используются аналитические свойства дисперсионной зависимости.
Порядок решения следующий. Сначала решается задача об электромагнитном излучении заданного тока. Затем исследуется движение диполя с учетом действия на него электромагнитного поля. Потом исследуется движения диполя без периодической структуры и при ее наличии. В заключение обсуждаются полученные результаты.
Излучение заданного тока. Вследствие уравнений Максвелла электрическое поле подчиняется уравнениям
戸 £ Э2Ее 47r dj 1八
Эти уравнения можно записать также в виде
а 戸 £ Э2Д 47r dj-
div 月= —Ee grads/s.
Электрическое поле можно разделить на две части. Первая - это поле излучения Ё, которое ниже разлагается по собственным модам периодической структуры. Вторая Eioc — это локальные поля — кулоновское и поля высших (волноводных) мод, которые сосредоточены вблизи диполя и синфазны с ним. Поле излучения подчиняется уравнению
а 尸 £ д2Ё д J
где эффективный ток J определяется условием
IF grad (А°с"“£/£)- М
Найти какое-либо аналитическое выражение для тока 了 затруднительно. Поэтому в дальнейшем будем его представлять в виде
了 (元方)=出.户⑺，(63)
где F (г) трудно определимый форм-фактор тока; ток J пропорционален поляризации и, следовательно, скорости смещения диполя х — эта зависимость в (63) выделена.
Электрическое поле Ё и ток J можно разложить по модам периодической структуры
月⑴⑴瓦， 了⑴=£后加⑴瓦，(64)
где Ёш удовлетворяет уравнению
△瓦+£к^瓦=0(65)
и имеет вид (17) основного текста.
Учитывая ортогональность
dV • £月”月以 = 此%/"
мод 月з, относящихся к разным s, для коэффициентов 〃以(方) можно получить выражения
Гтт
где
Подставляя (64) в (62), получим уравнение 弋 +^2^ = -47Г 力
определяющее коэффициенты % и, согласно (64), излучаемое электрическое поле. Решение этого уравнения имеет вид
t
47r「
必о •兀(方о) sins (方-t0) •必о •兀(方о) sins (方-t0) •(66)(66)%⑴一复 о
必о •兀(方о) sins (方-t0) •
必о •兀(方о) sins (方-t0) •
(66)
(66)
Диполь. Диполь будем представлять в виде жесткого шара с равномерным распределением зарядов (рис. 24). Будучи связанным со стенками линии механическими силами, этот шар способен колебаться с собственной частотой &о・ Кроме механических сил на шар действуют поле излучения Ё и локальные поля, сосредоточенные вблизи диполя (диэлектрическая проницаемость шара £ = 1). Рассмотрим движениеДиполь. Диполь будем представлять в виде жесткого шара с равномерным распределением зарядов (рис. 24). Будучи связанным со стенками линии механическими силами, этот шар способен колебаться с собственной частотой &о・ Кроме механических сил на шар действуют поле излучения Ё и локальные поля, сосредоточенные вблизи диполя (диэлектрическая проницаемость шара £ = 1). Рассмотрим движениеодного элементарного заряда из всего Уравнение его движения имеет видодного элементарного заряда из всего Уравнение его движения имеет вид元=—fi T月 hEoc，元=—fi T月 hEoc，ттттттгде fi — силы, ментарный заряд сферы. Составимгде fi — силы, ментарный заряд сферы. Составимдействующие на эле- со стороны материала аналогичные уравне-действующие на эле- со стороны материала аналогичные уравне-сферического распределения.сферического распределения.Рис. 24. Классический диполь в периодической структуреРис. 24. Классический диполь в периодической структурения для других элементарных зарядов и просуммируем левые и правые части этих уравнений. В результате получимния для других элементарных зарядов и просуммируем левые и правые части этих уравнений. В результате получим(67)(67)
Диполь. Диполь будем представлять в виде жесткого шара с равномерным распределением зарядов (рис. 24). Будучи связанным со стенками линии механическими силами, этот шар способен колебаться с собственной частотой &о・ Кроме механических сил на шар действуют поле излучения Ё и локальные поля, сосредоточенные вблизи диполя (диэлектрическая проницаемость шара £ = 1). Рассмотрим движение
Диполь. Диполь будем представлять в виде жесткого шара с равномерным распределением зарядов (рис. 24). Будучи связанным со стенками линии механическими силами, этот шар способен колебаться с собственной частотой &о・ Кроме механических сил на шар действуют поле излучения Ё и локальные поля, сосредоточенные вблизи диполя (диэлектрическая проницаемость шара £ = 1). Рассмотрим движение
одного элементарного заряда из всего Уравнение его движения имеет вид
одного элементарного заряда из всего Уравнение его движения имеет вид
元=—fi T月 hEoc，
元=—fi T月 hEoc，
т
т
т
т
т
т
где fi — силы, ментарный заряд сферы. Составим
где fi — силы, ментарный заряд сферы. Составим
действующие на эле- со стороны материала аналогичные уравне-
действующие на эле- со стороны материала аналогичные уравне-
сферического распределения.
сферического распределения.
Рис. 24. Классический диполь в периодической структуре
Рис. 24. Классический диполь в периодической структуре
ния для других элементарных зарядов и просуммируем левые и правые части этих уравнений. В результате получим
ния для других элементарных зарядов и просуммируем левые и правые части этих уравнений. В результате получим
(67)
(67)
Из-за жесткости шара смещения всех зарядов одинаковы, и все внутренние силы при суммировании сокращаются. Смещения зарядов направлены вдоль единичного вектора 瓦.Внешние силы предполагаются упругими и пропорциональными смещению. В уравнении (66) они учтены членом s^ х. Кулоновские и локальные поля при малых смещениях линейно зависят от смещения. Они могут лишь несколько сместить положение равновесия и немного изменить собственную частоту з°. Будем полагать, что соответствующие изменения в начале отсчета смещения х и в частоте а。уже учтены в уравнении (67).
Нормальные моды. Так как диполь и поля, с которыми он взаимодействует, вместе представляют собой линейную систему, то эта система имеет нормальные моды, когда все величины зависят от времени по закону £—2° 力.Для отыскания нормальных мод разложим поле Ё и ток J по модам периодической структуры
月Q = £m瓦厂4力， 了Q = J^e-im = £e •优瓦ь4力，(68)
где суммирование производится по всем собственным модам периодической структуры 瓦 частоты s, подчиняющимся уравнению (65) и в явном виде представленным соотношением (17) основного текста; значок Q сверху означает, что соответствующая величина относится
к нормальной моде частоты Q и
戒=± dV- e мДе =一笠/，
瓦=dV ■ г EuF(f).
где N3 — нормировочная константа. Мода (17) используется далее в виде (а = а* =々=1, t = 0)
瓦(G = ie[e^q (P尹* + N「R) - e一分"(P*「限 + N*尹)]/4八，
квадрат нормы этой моды равен
_ cQS dZ
Для нормальных мод из (66) следует
о 二 4兀 4 о =B3F呪
Подставляя (68) в (67), получим
/ (宙-停)=£人日，(70)
где
Подставляя в (70) выражение для 喇 (69) и сокращая на 力。，получим характеристическое уравнение
3…=4
корни которого Qn (п — номер корня) являются собственными частотами нормальных мод системы. Такая форма характеристического уравнения удобна для его графического решения. В частности, можно понять, что корни этого уравнения имеются как в разрешенных, так и в запрещенных зонах. Однако в разрешенных зонах корни сгущаются при увеличении числа ячеек периодической структуры, в то время как единственный корень в каждой из запрещенных зон остается при этом изолированным. Как увидим, наличие такого корня означает, что существуют стационарные колебания диполя.
Далее важную роль играет функция
月(Q) =Q2-^+4^Q2^2 堂个.
Индекс «fin» означает, что эта функция относится к случаю, когда периодическая структура содержит конечное число ячеек; предполагается в дальнейшем перейти к бесконечно длинной периодической структуре и тогда этот индекс будет опущен. Характеристическое уравнение теперь имеет вид
Ffin (С) = 0.
Свободные колебания диполя, расположенного в двухпроводной линии с периодической структурой. Смещение диполя можно разложить по нормальным модам системы
R0GR0G127r г127r гdCV4 力dCV4 力R0)4n⑼R0)4n⑼
R0G
R0G
1
27r г
1
27r г
dCV4 力
dCV4 力
R0)
4n⑼
R0)
4n⑼
где интегрирование производится по контуру С, показанному на рис. 25. Интегрирование очевидным образом сводится к суммированию вычетов в корнях функции Ffin (Q). Подбирая соответствующим образом функцию R (Q), можно удовлетворить начальным условиям. Начальные условия не так существенны, главные особенности колебаний диполя и излучаемого им поля определяются свойствами функции (◎)•
Теперь удобно перейти к бесконечной периодической структуре. Тогда сумма в Ffin (Q) превратится в интеграл
F (Q) = Q - ^о ^宓一F (Q) = Q - ^о ^宓一(71)(71)admittadmitt
F (Q) = Q - ^о ^宓一
F (Q) = Q - ^о ^宓一
(71)
(71)
admitt
admitt
а сама эта функция теряет индекс «fin». Интегрирование в этом выражении проводится по всем разрешенным зонам периодической
структуры одной ветви дисперсионной зависимости (см. рис. 7). Вторая ветвь дает точно такой же вклад, как и первая, поэтому в последнем слагаемом в (71) добавлена двойка.
Из теории функций комплексного переменного известно, что интегралы типа, используемого в (71), как функции комплексного переменного Q имеют разрез вдоль контура интегрирования, т. е. в данном случае вдоль разрешенных зон.
Если частота Q находится в разрешенной зоне на верхнем берегу разреза, то в соответствии с формулами Сохоцкого-Племеля
F(Q) = Q2-^2-
167r nQ2167r nQ2.ВШБШ/ sinx.ВШБШ/ sinx.8穴2八g.8穴2八gadmittadmittBqDqsin 刃 cj=QBqDqsin 刃 cj=Q
167r nQ2
167r nQ2
.ВШБШ/ sinx
.ВШБШ/ sinx
.8穴2八g
.8穴2八g
admitt
admitt
BqDqsin 刃 cj=Q
BqDqsin 刃 cj=Q
Если частота Q находится в запрещенной зоне, то
F ⑼=Q2 - ^ -F ⑼=Q2 - ^ -167r nQ2Sc2167r nQ2Sc2dwadmittdwadmittВШБШ/ smx/ВШБШ/ smx/
F ⑼=Q2 - ^ -
F ⑼=Q2 - ^ -
167r nQ2
Sc2
167r nQ2
Sc2
dw
admitt
dw
admitt
ВШБШ/ smx
/
ВШБШ/ smx
/
и F (Q) там принимает вещественные значения. Нули функции F (Q) расположены следующим образом: один на нефизическом листе римановой поверхности ниже разреза и по одному в каждой запрещенной зоне на вещественной оси. Кроме того, эта функция имеет точки ветвления на границах между разрешенными и запрещенными зонами.
Смещение диполя после перехода к бесконечной линии имеет вид
(72)(72)сс
(72)
(72)
с
с
Деформируя контур интегрирования С (см. рис. 9) к показанному на рис. 25,力(方)можно разбить на три части:
/⑴=/1⑴+/2⑴+/3⑴，(73)
где
/1 (方)=/1 (方)=[R力+?(2)产r[R力+?(2)产r(74)(74)
/1 (方)=
/1 (方)=
[R力+?(2)产r
[R力+?(2)产r
(74)
(74)
и Qi — корень функции F (Q), расположенный в запрещенной зоне на вещественной оси. Вообще говоря, такие корни существуют во всех запрещенных зонах, однако для простоты оставлен лишь один из них, расположенный в запрещенной зоне, наиболее близкой по частоте к собственной частоте диполя. Другие колебания, соответствующие
корням в остальных зонах, будут возбуждаться с гораздо меньшими амплитудами, чем оставленное. Как видим, корень Qi дает незатухающую со временем компоненту в смещении диполя. Второе слагаемое в (73) равно
/2⑴=/2⑴=r（出）r（出）
/2⑴=
/2⑴=
r（出）
r（出）
где С? = С —々С” комплексный корень функции F (Q), расположенный на нефизическом листе римановой поверхности ниже разреза. Этот корень дает экспоненциально затухающую компоненту в смещении диполя.
Наконец, третье слагаемое 力з (方)—его контуры интегрирования Сг и С” показаны на рис. 25. Оно описывает компоненту смещения диполя колеблющуюся с частотой, соответствующей границе зоны, и затухающую при больших t по степенному закону. Степенное затухание 力з (方) можно определить из следующих соображений. При больших t в интегралах по разрезам (рис. 25) основную роль играют значения F (Q) вблизи границы зоны. Граница запрещенной зоны Qi является точкой ветвления функции F (Q) и вблизи этой точки она может быть приближенно представлена в виде F (Q) = В/Q — Qi , где В некоторый коэффициент. Вычисляя интегралы по контурам Cf и С”，при больших t для 力з (方)получаем приближенное выражение
力3 (力)—е + к.с.
В зависимости от положения собственной частоты диполя а。 по отношению к запрещенной зоне относительная роль разных членов в (73) будет различной. Вдали от запрещенной зоны наибольшую амплитуду будет иметь член 力2 (方)；остальные будут малыми. Глубоко в запрещенной зоне наибольшую амплитуду будет иметь х\ (方).При этом член 力2 (方) будет вообще отсутствовать, так как корень функции F (Q), расположенный на нефизическом листе римановой поверхности, пересечет контур С. Не следует, однако, думать, что при пересечении корнями контуров в отклонении х (方)имеются скачкообразные изменения при плавном изменении s。. Когда корень функции F (Q) при изменении а。 только приближается к контуру С, и потом, когда он пересечет контур С, он оказывает влияние на величину интеграла по С〃，т. е. на 力з(方).Поэтому все изменения в 力(方)при изменении so происходят плавно. Траектория комплексного корня функции F (Q) при постепенном увеличении а。 изображена штриховой линией на рис. 25. Зависимости х (方)изображены на рис. 26 в отсутствие периодической структуры (а) и при а。 в разрешенной (б) и в запрещенной (е) зонах.
Рис. 26. Зависимость амплитуды колебаний диполя от времени в отсутствие периодической структуры (а) и при собственной частоте осциллятора в зоне прозрачности (6) и в зоне непрозрачности (б) периодической структуреРис. 26. Зависимость амплитуды колебаний диполя от времени в отсутствие периодической структуры (а) и при собственной частоте осциллятора в зоне прозрачности (6) и в зоне непрозрачности (б) периодической структуре
Рис. 26. Зависимость амплитуды колебаний диполя от времени в отсутствие периодической структуры (а) и при собственной частоте осциллятора в зоне прозрачности (6) и в зоне непрозрачности (б) периодической структуре
Рис. 26. Зависимость амплитуды колебаний диполя от времени в отсутствие периодической структуры (а) и при собственной частоте осциллятора в зоне прозрачности (6) и в зоне непрозрачности (б) периодической структуре
Электрическое поле. Согласно (64) поле в начале q-ой ячейки (q = =0) можно записать в виде
月(q，方)=£ % ⑴•瓦(q) + к.с.=
гдегде瓦瓦(q) '瓦瓦(q) '3處J3處Jd方о •石(to) sins (t — to) + k.c.,d方о •石(to) sins (t — to) + k.c.,瓦⑷=瓦⑷=iee^^P + N)iee^^P + N)4n4n
где
где
瓦瓦(q) '
瓦瓦(q) '
3處J
3處J
d方о •石(to) sins (t — to) + k.c.,
d方о •石(to) sins (t — to) + k.c.,
瓦⑷=
瓦⑷=
iee^^P + N)
iee^^P + N)
4n
4n
Переходя к бесконечной периодической структуре и интегрированию по х по контуру, изображенному на рис. 19 6, получим
月(q，方)=£ %⑴•瓦⑷+ к.с.=
=—8тгп—、d方°(方о) sins (方о) + к.с. (75)
ш S (dZ/аш) J
ко
Согласно (74),
х = -Qf (^Ae~iQlt + к.с.),
интеграл по времени в (75) равен
「「1Q1 — ш1Q1 — ш11—I + к.с. + ...Qi—I + к.с. + ...Qi
「
「
1
Q1 — ш
1
Q1 — ш
1
1
—I + к.с. + ...
Qi
—I + к.с. + ...
Qi
где многоточием обозначены слагаемые, содержащие 力 и 力， ответственные за процесс установления полей и в дальнейшем несущественные.
Можно убедиться, что на контуре интегрирования по х (рис. 19 6) частота s получает положительную мнимую добавку, так что контур интегрирования по s оказывается лежащим выше вещественной оси. При этом два полюса при s = Ci n s = —Qi оказываются лежащими ниже контура интегрирования. Так как при положительных q экспонента входящая в 月**, затухает в нижней полуплоскости, то она даст вклад от этих полюсов вида &±2°"一°", где х определяется соотношением (12). Такой же вклад даст слагаемое в (75), содержащее 月при интегрировании по второй ветви дисперсионной зависимости.
При отрицательных q амплитуды Е^ и поменяются местами и зависимость от q станет вида е±"。7r+。死，т. е. тоже будет затухающей с ростом теперь — q. Следовательно, зависимость полей от номера ячейки q можно представить в виде Таким образом амплитуда стационарного поля, окружающего диполь и колеблющего с частотой Qi (запрещенная зона) экспоненциально спадает при удалении от диполя.
Другие составляющие смещения диполя (力2 и 力2)при подстановке в (75) дадут поля излучения, уходящие от диполя.
В этом дополнении рассмотрены свободные колебания упругого диполя, расположенного в периодической структуре. Эти колебания сопровождаются электромагнитным излучением. Однако они не являются затухающими в обычном смысле. Они затухают лишь до определенного стационарного уровня. Частота устанавливающихся в конце концов колебаний всегда расположена в запрещенной зоне. Любопытно, что процесс установления происходит, таким образом, независимо от того, расположена ли собственная частота диполя в запрещенной или разрешенной зонах. Если собственная частота диполя лежит в запрещенной зоне, то амплитуда установившихся колебаний мало отличается от первоначальной амплитуды колебаний. Если же частота диполя лежит в разрешенной зоне, то амплитуда установившихся колебаний составляет малую долю первоначальной амплитуды.
Отметим, что при сужении запрещенной зоны (например, при стремлении 八—1) интегралы по разрезам в (72) будут компенсировать друг друга и их вклад будет стремиться к нулю, аналогично вклад корня, расположенного в запрещенной зоне будет также стремится к нулю. Останется в конечном счете лишь компонента 力2 (方)， описывающая экспоненциальное затухание колебаний диполя в линии без периодической структуры.
При установившемся режиме диполь окружен электромагнитным полем, колеблющимся в фазе с ним и в среднем экспоненциально убывающим при удалении от диполя. Как видим, эти черты сохраняются и при излучении возбужденного атома в периодической структуре.
Однако между этими двумя процессами имеется существенное различие. При излучении атома электромагнитное поле находится в существенно квантовом состоянии, когда его среднее значение равно нулю, в то время как плотность энергии поля отлична от нуля. При излучении классического диполя отличны от нуля и поле и плотность энергии.
Решенная задача имеет интересные аналоги в теории твердого тела. Так, установившиеся колебания диполя с частотой в запрещенной зоне вполне подобны локальным колебаниям примесных атомов в кристаллической структуре.
Литература
Weisskopf 匕 Wigner Е. // Ztschr.Phyz. 1930, Bd.63, Hl/2.
Weisskopf V„ Wigner E. // Ztschr.Phyz. 1930, Bd.65, Hl/2.
Heitler 眩，Ma S.T. 〃 Proc.Roy.Irish.Acad. 1949. V. 52, No. 9. P. 109-125.
Займан Дж. Современная квантовая теория — М.: Мир, 1971.
Кролль Н. В кн. Квантовая оптика и квантовая радиофизика — М.: Мир, 1972, С. 9.
Мусхелишвили Н.М. Сингулярные интегральные уравнения — М.: Наука, 1968.
Люиселл У. Излучение и шумы в квантовой электронике — М.: Наука, 1972.
Шпольский Э. В. Атомная физика — М.: Наука, т1, 1974.
Гайтлер В. Квантовая теория излучения — М.: ИЛ, 1956.
Bethe Н.А. Ц Phys.Rev. 1947. vV. 72. Р. 339.
Халфин Л. А. 〃 ДАН СССР. 1957. Т. 115. С. 339; ЖЭТФ, 1958. Т. 33. С. 1371.
Базъ А. И., Зельдович Я. В., Переломов А.М. Рассеяние, реакции и распады в нерелятивистской квантовой механике — М.: Наука, 1971.
Быков В.П. 〃 УФН, 1984. Т. 143 вып. 4. С. 657.
Goeppert-Mayer М. // Ann.d.Phys. 1931. Bd. 9, S. 273.
Richards Q/.〃 Phys. Rev. 1948. V. 73. P. 254.
Power E.A., Zienau S. // Phil. Trans. Roy. Soc., 1959. V. 251. P. 427.
Lamb W.E., Retherford R. C. 〃 Phys. Rev., 1950. V. 79. P. 549; Lamb 眩E 〃 Ibid., 1952. V. 85. P. 259.
Fried Z 〃 Ibid., Ser. A, 1973. V. 8. P. 2835; Yang K.H. 〃 Ann. Phys., 1976. V. 101. P. 62; Forney J. J., Quattropani A., Bassani P. // Nuovo Cimento, Ser. B, 1977. V. 37. P. 78, Olaeiu S., Popescu /., Collins C.B. 11 Phys. Rev., Ser.D, 1979. V. 20. P. 3095; Lai C.S., Lo S.上〃 Phys.Lett., Ser. A, 1981. V. 87. P. 5.
Kobe D.H., Smirl A.L 〃 Amer. J. Phys., 1978. V. 46. P. 625. Kobe D.H. 〃 Phys. Rev. Lett., 1978. V. 40. P. 538. Kobe D.H., Wen E.C.T. 11 Phys. Lett., Ser. A, 1980. V. 80. P. 121.
Aharonov Y., Au C.K. // Phys. Rev., Ser. A, 1979. V. 20. P. 1553; Phys. Lett. Ser.A, 1981. V. 86. P. 269.
Шифф 〃. Квантовая механика — M.: ИЛ, 1959.
Гинзбург В. Л. 〃 ДАН СССР, 1939. Т. 23. С. 773; там же Т. 23, вып. 9. С. 896; там же Т. 24, вып. 2). С. 130.
Magnus W. // Comm. Pure and Appl. Math, 1954. V. 7. P. 649. Дыхне A.M., Юдин Г. Л. 11 УФН, 1978. T. 125. С. 377.
Кролль ". В кн. Квантовая оптика и квантовая радиофизика — М.: Мир, 1966. с. 9.
Бункин Ф.В. // ЖЭТФ, 1966. Т. 50. С. 1685.
Fermi Е. // Rev. Mod. Phys. 1932. V. 4, No. 1. P. 87.
Kikuchi S. // Ztschr. Phyz. 1930. Bd. 66, H7/8, s. 558.
Breit G. 11 Rev. Mod. Phys. 1933. V. 5, No. 2. P.91.
Hamilton，Proc. Phys. Soc. 1949. V. 62. A No. 1. P. 12.
Milonni P.眩，Knight P.L. 11 Phys. Rev. A 1974. V. 10, No. 4.
Fierz 7И. 〃 Helv. Phys. Acta. 1950. Bd.23, H6/7, s. 731.
Ferretti B. In: Old and new problems in elementary particles. — N.Y., Acad.Press, 1968. P. 108.
Широкое М.И. 11 УФН. 1978. T. 124, №.4. C. 697-716; Широкое М.И. " ЖЭТФ. 1981. T. 81. (4), C. 1210.
Быков В.П., Задерновский A. A. // ЖЭТФ. 1981. T. 81(1), C. 37.
Быков В.П., Задерновский A. A. // Опт.спектр. 1980. T. 48(2). С. 229.
Быков В.П., Задерновский А. А. // Деп.ВИНИТИ 28.08.79, №393279.
L О.Brill, Goodman В. // Amer. Journ. Phys. 1967. V. 35(9). P. 832.
Болотовский B.M., Давыдов В. А., Рок В.Е. УФН. 1978. Т. 126(2), С. 311; УФН 1982, Т. 136(3). С. 501.
Бункин Ф. В., Ораевский А.Н. // Известия ВУЗ'ов, Радиофизика. 1959. Т.2(2). С. 181.
Файн В.М. Квантовая радиофизика. Т. 1. Фотоны и нелинейные среды. — М.: Сов.радио, 1972.; Fain V.M., Khanin Ua.I. Quantum radiophysics. — M.LT.Press, Camb., Mass, 1969.
Senitsky I. R. 11 Phys. Rev. 1958. V. 111(1), P. 3; ibid 1959. V. 115(2). P. 227.
Газазян 4". 〃 ЖЭТФ. 1966. T. 51(6). C. 1863.
Shirley J.H. // Amer. Journ. Phys. 1968. V. 36(11). P. 949.
(то же самое, что в ссылке 43) Файн В.М. Квантовая радиофизика 1972, Москва, Сов.радио, Т. 1, Фотоны и нелинейные среды, 472 с.
Быков В.П., Шепелев Г. В. Излучение атомов вблизи материальных тел. — М.: Наука, 1986.
Быков В.П., Татарский В.И. 〃 УФН. 1991. Т. 161(2). С. 125.
Градштейн И. С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов. — М.: Физматгиз, 1962.
Бриллюэн Л., Пароди М. Распространение волн в периодических структурах. — М.: Изд. Иностр. Лит., 1959.
Yablonovich Е. // Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. Р. 2059; Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67. P. 2295; Phys. Rev. Lett. 1991. V. 67. P. 3380.
Ландау Л.Д., Лифшиц E.M.. Квантовая механика. — М.: Гостех- теориздат, 1948.
52.53.54.55.52.53.54.55.Быков В.П.Быков В.П.Быков В.П.Быков В.П.Быков В.П.Быков В.П.Быков В.П.Быков В.П.Мак-Лаклан ". Теория и приложения функций Матье. — Москва, 1955.
52.
53.
54.
55.
52.
53.
54.
55.
Быков В.П.
Быков В.П.
Быков В.П.
Быков В.П.
Быков В.П.
Быков В.П.
Быков В.П.
Быков В.П.
〃 ДАН СССР. 1972. Т. 206(5). С. 1078.
〃 ЖЭТФ, 1972. Т. 62(2). С. 505.
// Квантовая электроника, 1974. Т. 1(7). С. 1557.
〃 ЖЭТФ. 1972. Т.63(4), С. 1226.
Kleppner D. Ц Phys. Rev. Lett. 1981. V. 47, P. 233.
деМартини Ф., Кей Р., Сеттембре 7И. / В кн.: Тезисы докл. 12 Всес. Конф, по когер. и нелин. оптике. — Москва, 1985. ч. 1. С. 90.
Salphathy S., Zhang Z., Salehpour M.R. // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 64. P. 1239; Leung K.M., Liu 上尸.〃 Phys. Rev. B. 1990. V.41. P. 10188; John S., Rangarajan R. // Phys. Rev. B. 1988. V. 38. P. 10101; Economu E.N., Zdetsis A. // Phys. Rev. B. 1989. V. 40. P. 1334.
Ohtaka K. // Phys. Rev. B. 1979. V. 19(10). P. 5057.
M. Lenug S.K., Liu Y.F. // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 65. P. 2646; Zhang Ze., Salpathy S. // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 65, P. 2650; Но K.M., Chan С T., Sokoulis CM. 〃 Phys. Rev. Lett. 1990. V. 65, P.3152.
Martorell /., Lawandy N.M. // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 65. P. 1877.
Luck 眩，Klier 7И., Wesslau ". // Naturwissenschaften. 1963. V. 50. P. 485.
Martorell，，Lawandy N.M. in Proceedings of the International Conference on Quantum Electronics, 1990, Tech.Dig.Ser.8, (Opt.Soc.Am., Wash., DC, 1990), P. 176.
Wood A.眩 Physical optics, McMillan, N.Y. (1934).
Фриш С. 3. Оптические спектры атомов. — M.: Физматгиз, 1963.
Ohtaka К. Ц Phys. Rev. В. 2000. V. 61, No. 8. Р. 5267.
Joannopoulos J.D., Meade R.D., Winn J.N. Photonic Crystals. — Princeton Univ.Press, 1995.
Zoorob M.E., B. Charlton M.D., Parker G.J. et al. // Nature. 2000. V. 404. P. 40.
Romanov S. G., Sotomayor Torres C.M. in «Handbook of Nanostruc- ttired Materials and Nanotechnology» 2000. V. 4. P. 231.
Chigrin D.N. / Thesis «Electromagnetic waves propagation in photonic crystals with incomplete photonic bandgap» Wuppertal, 2005.
Samoilovich 7И./., Belyanin A.F., Kleshcheva S. M, et al Nanostructures and Photon Crystals / Monographic collection based on the plenary reports of the 10th Conference «High Technology in Russian Industry», Russia, Moskow. 2004. Press of CNITI, 2004. P. 195.
Gaponenko S. V., Bogomolov V.N., Petrov E.P., et al // Journal of Lightwave Technology. 1999. V. 17, No. 11. P. 2128; Gaponenko S.上〃Phys. Rev. B. 2002. 65(140303(R)).
Быков В.П. 11 ЖТФ. 1978. T. 48, №. 5. C. 873.
Глава 4
КОГЕРЕНТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ
Когерентность лазерного излучения — одна из фундаментальных его особенностей. Действительно, характерные времена когерентности «хороших» лазеров достигают секунд, а соответствующие длины когерентных цугов — астрономических величин, равных примерно расстоянию от Земли до Луны. Эти параметры поражают воображение.
Когерентность лазерного излучения породила многочисленные исследования, уточняющие само понятие когерентности, а также его происхождение, возможности его применения и т. п. Некоторые из этих вопросов рассматриваются в данной главе.
Особенности интерференции неклассическихсветовых пучков
Свет в неклассических состояниях (сжатых, стационарных, псевдо- когерентных и т. п.), будучи явлением макроскопическим, т. е. проявляясь, в частности, при больших интенсивностях, обладает нетривиальными интерференционными свойствами [1-3].
Зависимые и независимые световые пучки. В классической теории описание интерференции независимых и зависимых, полученных, например, посредством расщепления единого исходного пучка на два интерферирующих, пучков одинаково. При квантованных же полях эти два случая совершенно различны. Рассмотрим две ситуации, изображённые на рис. 1 и 2. При этом предположим, во-первых, что оба пучка макроскопические, т. е. большой интенсивности, и, во-вторых, что длины волн обоих пучков одинаковы. Для простоты предположим
также, что поля поляризованы перпендикулярно плоскости чертежа. Тогда операторы полей могут быть представлены в виде
石1(广，方)= а1е^-^г + э. с.,石2(几方)=a2e^2t-ik2r + э. с.,(1)
где опущены множители, несущественные для дальнейшего рассмотрения. Соответственно, интенсивность света в различных точках экрана равна
/(力，方)=:[E1(Ж, t) + e2(力,方)产：=
(2)
=a+ 心。2 + (。1。^eb{^t-^kxx) + э j,
Рис. 2. Интерференция зависимых световых пучковРис. 2. Интерференция зависимых световых пучковесли пренебречь членами, осциллирующими с удвоенной световой частотой. Нетрудно видеть, что при усреднении по состояниям независимых пучков (рис. 1) первые два слагаемые (операторы чисел фотонов) окажутся выраженными через диагональные элементы соответствующих матриц плотности, а третий член, будучи линейным относительно операторов рождения и уничтожения независимых пучков, после усреднения будет выражен через недиагональные элементы матрицы плотности, ближайшие к главной диагонали.
Рис. 2. Интерференция зависимых световых пучков
Рис. 2. Интерференция зависимых световых пучков
Рис. 1. Интерференциянезависимых световыхпучков
В случае зависимых пучков (рис. 2) оба поля являются частями общего сложного по конфигурации осциллятора, а операторы ai и 。2 пропорциональны оператору уничтожения а этого сложного осциллятора
аI —— aa, a? ^― ^a, (3)
где a и /3 определяются свойствами разделительного зеркала М. Нетрудно видеть, что теперь все члены выражения (2) пропорциональны оператору числа фотонов общего сложного осциллятора и, следовательно, после усреднения по состояниям будут выражены лишь через диагональные элементы матрицы плотности.
Эта разница в описании интерференции независимых и зависимых пучков приводит, как мы увидим, к исчезновению интерференции неза-
висимых пучков, так сказать, по квантовым причинам, в то время как зависимые пучки интерферируют всегда. Следует, правда, оговориться, что пучки, получаемые расщеплением первичного пучка, всегда дают интерференционную картину лишь при разности путей, меньших длины когерентности. С длиной когерентности обычно связывают объём рассматриваемого осциллятора. Поэтому при разности хода большей, чем длина когерентности, интерферируют, по существу, независимые осцилляторы и дело сводится таким образом к первому случаю.
Итак, рассмотрим несколько состояний первого из интерферирующих пучков, а именно, а) стационарное |八)，содержащее 八 фотонов, б) когерентное , причём |^i |2》1, в) смешанное псевдокогерентное, описываемое матрицей плотности
27r
「 如|2乂21,(4)
0
где 2 — параметр когерентного состояния п 夕=arg 2, г) когерентное, у которого фаза параметра 2 медленно диффундирует под действием малых импульсов классического тока, возбуждающего осциллятор, д) сжатый вакуум с параметрами сжатия // и ^. Второй пучок будем считать находящимся в когерентном состоянии с параметром 2, т.е. он является как-бы эталонным — первый пучок с ним сравнивается посредством наблюдения интерференционной картины. Пучки будем считать полностью независимыми — в этом случае матрица плотности двух пучков вместе представляет собой прямое произведение матриц плотности отдельных пучков и усреднение (2) по состояниям можно производить отдельно для каждого из пучков:
) ехр[гЛЙ • г}} ехр[-гЛЙ • г].(5)
Для перечисленных выше случаев имеем:
а) 〈/)0 • ехр[гЛ^ • г] + 0 • ехр[-гЛ^ • f] = 0;
б)• 2ехр[〃/Х^ •尸]+ 21 • 2* exp—込^ •河=
=2 |^|2 COSA^ • Г 7^ 0,21=2；
0 • ехр[гЛ^ • г] + 0 • ехр[-гЛЙ • г ] = 0,
〈/)2； • 2ехр[〃△左•尸]+ 21 • 2* ехр[-〃△左•河=
= ①*⑴• 2ехр[〃△房• г] + ①⑴• 2* ехр[—гЛЙ •尸]=
=2 |n| • I①⑴I • cos[A^ • f-0⑴]市0,=arg①⑴；
〈/)0 • ехр[гЛ^ • г] + 0 • ехр[-гЛЙ • f] = 0,
Особенности интерференции неклассических световых пучков 201 где Ф (方)—случайная функция, у которой медленное изменение (диффузия) фазы определяется многочисленными малыми толчками возбуждающего внешнего классического тока.
Как видим, в случаях а), в) и д) интерференционная картина исчезает, так как равно нулю среднее значение напряжённости поля первого пучка. В случае б) на экране имеется неподвижная интерференционная картина, так как фазы когерентных состояний постоянны.
В случае г) также имеется интерференционная картина, но интерференционные полосы в ней медленно перемещаются; светлые и тёмные полосы меняются местами в среднем за время, равное времени когерентности первого светового пучка (второй пучок имеет бесконечное время когерентности, т. е. фактически его время когерентности должно быть много большим времен когерентности всех остальных пучков). Если результаты наблюдений интерференционной картины в случае г) усреднить за время, большее времени когерентности, то интерференционная картина исчезнет и внешне картина будет такой же, как в случаях а), в) и д). Однако при малых временах измерения случай г) кардинально отличается от случаев а), в) и д) — в трёх последних случаях интерференции нет и при временах наблюдения, меньших времени когерентности, в то время как в случае г) интерференция имеется. Следует отметить, что эти утверждения относятся к достаточно интенсивным пучкам, так чтобы интерференционная картина могла быть в принципе зафиксирована при рассматриваемых малых временах наблюдения. Все пучки, упомянутые выше, не имеют никаких ограничений по интенсивности. Времена когерентности также не имеют принципиальных ограничений сверху и для лазерного излучения уже сейчас достигают 1 сек.
Как сказано выше, длины волн обоих пучков предполагаются равными. Длина волны отдельного пучка может быть определена в независимом эксперименте по самоинтерференции, когда исходный пучок расщепляется с помощью полупрозрачного зеркала на два пучка, которые далее интерферируют друг с другом (рис. 2). В этом случае, согласно (3), интерференционный член описывается выражением
I ~ a^a+aexp[iAk • f- ikL] + э. с. (7)
где L — разность хода пучков. В этом выражении операторы рождения и уничтожения фотонов не имеют индекса, так как оба пучка являются частями одного и того же сложного осциллятора. Нетрудно видеть, что при усреднении (7) по квантовомеханическому состоянию пучка окажутся задействованными лишь диагональные элементы матрицы плотности, всегда отличные от нуля и положительные. Иными словами интерференционный член в этом случае отличен от нуля всегда, когда отлично от нуля среднее число фотонов. Таким образом самоинтер-
ференция наблюдается во всех пяти перечисленных выше случаях и позволяет определять длины волн пучков.
Складывается, таким образом, парадоксальная с классической точки зрения картина, когда два световых пучка, несущих макроскопическую энергию, не интерферируют друг с другом, хотя их длины волн совпадают, что может быть подтверждено независимыми самоинтерфе- ренционными экспериментами. Однако парадоксальность этой картины лишь кажущаяся — эта картина, как видим, является следствием известных физических законов и может быть описана следующими словами: макроскопический световой пучок, находясь в квантовом состоянии, при котором среднее значение напряжённости поля равно нулю (стационарном, псевдокогерентном, сжатый вакуум и т. д.), воспринимает другие пучки, равной длины волны, как потоки частиц и не интерферирует с ними; пучки же в когерентном состоянии воспринимают друг друга как волны и дают интерференционную картину.
В связи с изложенным возникает важный теоретический вопрос о квантовомеханическом усреднении по ансамблю. Как известно, квантовомеханические предсказания экспериментально реализуются при наблюдениях над ансамблем одинаково приготовленных квантовых систем. Наблюдения над разными элементами ансамбля могут давать различные значения определяемой величины и лишь усреднённые по ансамблю экспериментальные значения совпадают с предсказываемыми квантовой механикой средними значениями. Это положение является основой статистической интерпретации квантовой механики.
Последовательные (или одновременные) наблюдения над одним и тем же объектом в общем случае непригодны для определения средних квантовомеханических величин, поскольку каждое такое измерение неконтролируемым образом изменяет или, как часто говорят, разрушает квантовое состояние объекта. Однако это утверждение не абсолютно, поскольку существуют неразрушающие измерения [4, 5], позволяющие, очевидно, производить последовательные измерения над одним и тем же квантовым объектом.
Особенности оптических измерений, в частности, над неклассическими состояниями света определяются макроскопическим характером этих состояний, т. е. связанной с ними большой интенсивностью света и широкой протяженностью соответствующих световых цугов, которые собственно и являются объектами наблюдения, и их высокой направленностью. Действительно, известно, что измерения, производимые в разных точках пространственно временной поверхности, являются независимыми; отсюда, как известно, следует обращение в нуль коммутаторов наблюдаемых, относящихся к разным точкам такой поверхности.
Итак, представляется очевидным, что протяжённые квантовомеханические объекты, подобные цугам лазерного излучения допускают множественные независимые наблюдения над одним таким объектом. Возникает вопрос, можно ли ансамбль полученных таким образом
наблюдательных данных использовать в качестве ансамбля квантовых измерений. Иными словами вопрос заключается в том, будет ли наблюдаемая величина, усреднённая при таких измерениях, соответствовать наблюдаемой квантовомеханической величине, вычисленной по правилам квантовой механики с использованием усреднения по квантовомеханическому состоянию.
Строго говоря, нельзя дать ответ на этот вопрос в рамках сложившихся квантовомеханических рецептов или этот ответ будет отрицательным. Действительно, в квантовой механике считается, что после одного наблюдения (или измерения) квантовомеханическое состояние объекта оказывается разрушенным и для проведения следующего наблюдения нужно снова приготовить объект в исходном состоянии. В рассматриваемом случае оптического измерения внутри лазерного цуга это означает, что нужно дождаться другого, подобного первому цуга излучения и над ним произвести следующее измерение. Однако, в том то и суть дела, что измерение внутри лазерного цуга лишь локально, «в тени детектора» разрушает его состояние и это разрушение не может сказаться на измерениях в соседних точках (на пространственно подобной поверхности) и особенно на измерениях в последующие моменты времени, поскольку локальное разрушение в лазерном цуге со световой скоростью удаляется от места первоначального измерения.
Проиллюстрируем сказанное на примере фотографирования интерференционной картины фотопластинкой (или тем или иным матричным датчиком). Экспозицию положим много меньшей времени когерентности пучков; это возможно, поскольку пучки предполагаются достаточно интенсивными. Фотопластинка представляет собой набор кристалликов хлористого серебра, каждый из которых может считаться независимым детектором. Действительно, если такой микродетектор и возмущает поле, то лишь в небольшой области вблизи своей собственной тени, и это возмущение не может никак повлиять на соседние микрокристаллики хлористого серебра. Отметим также, что образование скрытого изображения в отдельном микрокристалле продолжается, невидимому, в течение временного интервала, равного времени релаксации в твёрдом теле, т. е. примерно в течение 10-13-10-14сек. Таким образом объём, где состояние поля возмущено, представляет собой цилиндр с поперечным сечением, равным поперечному сечению микрокристалла, и длиной в 10100 длин волн. Этот возмущённый объём удаляется от места измерения со скоростью света, но уходит недалеко, поскольку обычно свет, прошедший сквозь фотоэмульсионный слой, поглощается подложкой.
Таким образом интерференционная картина фиксируется на фотопластинке множеством независимых детекторов (микрокристалликов). Хотя эти детекторы расположены в разных точках поля, среди них можно выделить те, которые лежат в узкой полосе (более узкой, чем интерференционная полоса), параллельной интерференционным
иполосам (рис. 3), вдоль которой
состояние поля определённо не изменяется (например, в полосе между двумя стрелочками на всей высоте интерференционной картины, рис. 3). Усреднение по таким детекторам должно I ■описываться средними по coil：стоянию поля интенсивностями
в соответствующих точках Рис. 3. К усреднению наблюдений по картины.
интерференционной картинеСледует отметить, что,
несмотря на приведённые нами физические доводы в пользу возможности множественных измерений над протяжёнными цугами светового излучения, они всё же выходят за рамки общепринятой измерительной рецептуры квантовомеханических измерений. Поэтому несомненно желательны эксперименты по наблюдению интерференционной картины, образованной световым пучком, находящимся в состоянии сжатого вакуума, и световым пучком, находящимся в когерентном состоянии, при условии, что их длины волн одинаковы, а измерение производится при достаточно больших интенсивностях за времена, меньшие времён когерентности пучков. Если эксперимент подтвердит теоретическое предсказание об отсутствии интерференции таких пучков, это поставит на твёрдую почву квантовомеханические измерения над протяжёнными объектами, но, что более важно, покажет, что состояние сжатый вакуум (и другие неклассические состояния) действительно является новым макроскопическим квантовым объектом, у которого обычная фаза принципиально отсутствует, но не ещё одной разновидностью полуклассического излучения со случайной фазой.
1.2. Когерентность. Обратим внимание на два обстоятельства. Первое касается принятой терминологии, а именно, следует различать понятия когерентности в классической и квантовой теориях. По существу, два совершенно разных понятия названы одним и тем же термином. Второе обстоятельство касается известного явления диффузии фазы. Это явление часто привлекается для интерпретации неклассических световых состояний. В частности, обращение в нуль среднего значения поля в таких состояниях как сжатый вакуум, TV-фотонное, псевдокогерентное и др. объясняют именно диффузией фазы. Фактически при этом квантовомеханическое усреднение по состоянию трактуют как усреднение по времени. Эта интерпретация неверна. Оказывается можно построить когерентное квантовомеханическое состояние с диффундирующей фазой. Оно радикально отличается от состояний с нулевым средним полем, отмеченных выше. Экспериментально это
отличие будет проявляться при измерениях за времена, меньшие времени когерентности соответствующих пучков.
Для построения квантового когерентного состояния с диффундирующей фазой воспользуемся элегантной теоремой, установленной впервые Глаубером [6]. Эта теорема утверждает, что внешний классический источник (например, неквантовый, классический ток в случае электромагнитного осциллятора, или внешняя классическая сила в случае механического осциллятора) возбуждает в гармоническом осцилляторе квантовое когерентное состояние; при этом зависимость внешнего источника от времени может быть произвольной. Подбирая эту зависимость специальным образом, можно построить когерентное состояние с диффузией фазы.
Итак, пусть возбуждение квантового осциллятора описывается гамильтонианом
Н = Тьш а+а + 力(а+ + а)歹⑴，(8)
где 歹(方)—амплитуда внешнего источника. Состояние осциллятора определяется уравнением Шредингера
i 9；；)= р а+а + (а+ + а)歹⑴]| ⑦).(9)
Если начальное состояние осциллятора вакуумное, то это уравнение имеет решение следующего вида
Ш) = е~^\г^),(Ю)
где
.t
c⑴=^ 必‘(①* Ф-Ф *①)，2⑴=-/①厂加力 (11) о
①⑴=必N(，)e必(12)
о
Как легко видеть это решение представляет собой когерентное состояние с некоторым фазовым множителем, который не слишком важен.
Как уже отмечалось, подбирая F(t), можно получить когерентное состояние с диффундирующей фазой. Пусть F(t) имеет вид
歹⑴=У"(方-t0)e-7 (力Т。)coss(方-t0) + X8(方-方/(13)
где X и У — вещественные коэффициенты и ti > 方°. Выполняя интегрирования в выражениях (11) и (12), получаем
exp(2zcjt -- - exp(zcjto) e一”力一-力o) +
— 77J
+Хехр(й^1)"& — 3) + ^У - Н；(14)
чтобы члены неисчезающие со временем сократились, потребуем обращения в нуль их суммы при 方 1 > to- Тогда получаем уравнение
X ехp - to)] +;R =0，(15)
определяющее величину 方> Нетрудно видеть, что 方i — to составляет малую часть периода высокочастотных колебаний.
В выражении (14) существенен лишь второй член, поскольку он в (2g/t) раз больше первого. Таким образом для ①(方) получаем выражение
-1
①⑴=—y^(t - t0)exp [z^t0 — 7(方—方о)](16)
и для 2(方)—выражение
2⑴=^ У"(方一方о) exp [-7 (方-t0)—汕(方一t0)].(17)
Среднее значение координаты равно
〈2 I (а+ +а)|2)=2*+ 2= -Y^ (t - to)e-7(力一力)sin [s (t -方 °)] • (18) 7
Таким образом импульсная сила (13) возбуждает когерентное состояние, у которого среднее значение координаты экспоненциально убывает со временем. Учтём теперь, что среднее значение координаты представляет собой линейную функцию 2(方) и, следовательно, F(t). (Только несущественная фаза С(方)является нелинейной функцией 歹(方)).Благодаря этому, расчёт может быть обобщен на случай, когда внешняя сила представляет собой последовательность случайных импульсов, подобных (13). В этом случае среднее значение координаты есть также последовательность затухающих импульсов, подобных тем, которые образуют классический осциллирующий сигнал с диффузией фазы.
Тем самым построено квантовое когерентное состояние с диффузией фазы, соответствующее (в смысле принципа соответствия) классическим колебаниям с диффузией фазы. Соответствие же колебаний с диффузией фазы с неклассическими состояниями света очевидно неправомерно.
Построенный пример ясно показывает, что понятие когерентности в классической и квантовой теориях совершенно различны. С квантовой точки зрения построенное состояние является строго когерентным,
в то время как с классичесой точки зрения это состояние тем менее когерентно, чем больше параметр 7.
Суперпозиционные атомы и лазерная генерация
Введение. Исследование квантовомеханического состояния лазерного излучения было начато с проверки известного утверждения Дирака о том, что фотон интерферирует только сам с собой [7]. Появление лазеров позволило проверить это утверждение экспериментально [8, 9]. Выяснилось, что пучки независимых лазеров способны интерферировать. Отсюда был сделан правильный вывод о том, что лазерное излучение находится в когерентном состоянии, точнее — в состоянии, близком к когерентному. Что касается теоретических исследований, то, несмотря на многочисленные публикации в этом направлении [10, 11], в квантовомеханическом описании когерентности остаются неясные вопросы [12-16]. Особенно эти неясности обострились после открытия и экспериментального наблюдения макроскопических, существенно квантовых состояний, подобных сжатым состояниям [17].
До наблюдения сжатых состояний (т. е. до появления квантовой оптики) возникновение когерентности при лазерной генерации объяснялось следующим образом. Когда накачка, увеличиваясь, становится выше пороговой для некоторой моды, поле этой моды начинает возрастать. При этом наиболее интенсивно возрастают центральные частоты спектра моды (из-за резонаторных потерь мода имеет некоторую спектральную ширину и, следовательно, излучение в этой моде состоит из спектральных компонент), поскольку именно для них превышение усиления над потерями наиболее велико. При достаточно большой интенсивности поля центральной частоты резервуар активных (возбужденных) атомов истощается, усиление в результате насыщения соответствующего перехода уменьшается. Это в первую очередь сказывается на частотах поля, соседних с центральной. Усиление их становится меньше потерь и они затухают. Центральная частота в конце концов стабилизируется на некотором стационарном уровне. Спектральный состав ее очень узок именно из-за «выедания» частот, соседних с центральной, и определяется флюктуациями амплитуды и фазы. В рамках теории, оперирующей с неквантованным излучением, узкий спектр означает, что излучение высококогерентно.
Этот механизм возникновения когерентности не мог бы вызвать возражений, если бы поле той или иной частоты могло находиться в единственном квантовомеханическом состоянии, скажем, когерентном. Однако, сейчас известно, что поле даже отдельного (строго монохроматического) осциллятора в принципе может быть в различных квантовомеханических состояниях. Среди этих состояний есть и такие
(например, состояние сжатого вакуума), у которых среднее значение поля равно нулю при макроскопической средней энергии поля (т.е. при числе фотонов 八》1). Среднее значение поля непосредственно связано, как мы увидим, с когерентностью и, следовательно, сужение спектра генерации не эквивалентно когерентности.
С современной точки зрения проблема описания когерентности заключается в следующем. Взаимодействие активного, т. е. возбужденного атома с модой электромагнитного поля можно представить в виде
I G 伍+厂 + аа^ , (1) где а+, а — операторы рождения и уничтожения фотонов, а+, а~ — повышающий и понижающий атомные операторы и G — константа взаимодействия. Если в начальный момент времени атом находится в возбужденном состоянии \Ь) и фотоны отсутствуют, т. е. электромагнитное поле моды находится в вакуумном состоянии |0), то взаимодействие (1) породит состояние
I 生[1 + 汨必(a+厂 +ао+)] |b,0) = |b,0) + 汨必 |g, 1), (2) где I g) — основное состояние атома и | 1) — однофотонное состояние моды. Среднее значение поля в состоянии (2) равно нулю:
〈Е) ^〈 “ (а+ + а) I ⑴=
=〈b,。I (а+ + а) |6,0) + iGdt [(^>,0 | (а+ +а)|д,1)-
-(р, 1 I (а+ + а) \b,Q)] + G2 紹(р, 1 | (а+ + а) | р, 1) = 0; (3) поле обращается в нуль либо потому, что усредняется по стационарному состоянию самого поля, либо вследствие ортогональности различных атомных состояний. Последующее применение взаимодействия (1) к начальному состоянию (2) не приводит к отличному от нуля среднему значению поля.
Можно показать, что этот результат, т. е. равенство нулю среднего значения поля, не изменится ни при уточнении вида взаимодействия (1), ни при учете высших порядков теории возмущений, ни при учете многомодовости электромагнитного поля.
Лишь если предположить, что активный атом исходно находится не в стационарном возбужденном состоянии, но в суперпозиционном состоянии [12]
I VW} = Р\Щ + ^\д}, ⑷ взаимодействие (1) порождает состояние
I 少)[1 + iGdt (。+厂 + аа+)] I %up,。)=
= |^sup,0)+^^|p,l), (5)
в котором среднее значение поля отлично от нуля:
〈石)^〈沙 I (а+ + а) I 少)=iGdt (%* - /3*7) ^ 0. (6)
Когерентность и среднее значение поля взаимно связаны (если, конечно, оставить в стороне когерентность более высокого порядка, которая связана со средними значениями тех или иных степеней поля, и проявляется, например, при интерференции второго и более высоких порядков [18]). Так, при обычной (первого порядка) интерференции, которая и есть проявление когерентности, главную роль играет именно среднее значение поля. Применительно к лазерам полученный выше результат (3) означает, что при возбуждении лазерного излучения активными атомами, находящимися в чисто возбужденном состоянии, среднее значение поля остается равным нулю, хотя среднее число фотонов в той же моде становится большим. Лишь, если активные атомы, все или некоторая их часть, находятся в суперпозиционном состоянии (4), среднее значение генерируемого поля может быть отличным от нуля.
Отсюда следует важный вывод о том, что когерентность в лазерном излучении не возникает в нем самопроизвольно при установлении генерационного режима, но привносится в него активными атомами, находящимися в суперпозиционном состоянии. При этом однократное, эпизодическое появление среди активных атомов нескольких суперпозиционных атомов не решает проблемы, т. е. недостаточно для стационарного возбуждения когерентности. В [10] показано, что в лазерных условиях среднее значение электрического поля затухает, т.е. именно режим с отсутствием когерентности является устойчивым. Для появления когерентности необходимо, чтобы накачка постоянно поставляла суперпозиционные атомы. В [12] показано, что в этом случае лазер является гигантским усилителем когерентности, что проявляется в увеличении на несколько порядков характерного времени когерентности. При этом среднее значение поля излучения имеет стационарную амплитуду, фаза же этого излучения испытывает «диффузию» под действием толчков от отдельных атомов. Подобная диффузия фазы характерна, как известно, для любых генераторов и определяет ширину спектра генерации.
Согласно [12], стационарная амплитуда, устанавливающаяся в этом случае, оказывается существенно меньшей своего классического значения, т. е. значения, соответствующего, например, когерентному состоянию. Поэтому проблема возникновения когерентности остается актуальной. Суперпозиционные атомы обладают фазой и переменным дипольным моментом. В данном разделе нами более подробно, чем прежде, исследована роль синфазных и противофазных атомов.
Как показано ниже, вклад синфазных и противофазных атомов в недиагональные элементы матрицы плотности, ответственные за когерентность, оказывается различным. Небольшой разницы в этих вкладах оказывается достаточно, чтобы затухание среднего значения электрического поля, отмеченное в [10], превратить в нарастание.
Таким образом когерентность не возникает автоматически при лазерной генерации, но привносится в нее суперпозиционными активными атомами, при этом происходит гигантское увеличение этой когерентности.
Интенсивность генерируемого излучения и среднее значение напряженности электрического поля. При неквантовом, классическом рассмотрении интенсивность излучения пропорциональна квадрату напряженности электрического поля. При квантовом рассмотрении связь между этими величинами не столь однозначна. Действительно, интенсивность пропорциональна среднему числу фотонов:
J 〈 Nphot〉= S夕[(а+а)"=〉:八• рn,n, (7) n=0
и определяется элементами главной (нулевой) диагонали матрицы плотности рп^п. Напряженность же поля пропорциональна среднему значению оператора а+ + а:
^Sp [(а+ +а)川=£ 而(Pn-i,n + Рп-\,п)， (8) n=0
и определяется элементами матрицы плотности, принадлежащими первой диагонали, соседней с главной. Таким образом разница между этими величинами может быть значительной. Так, в состоянии сжатого вакуума интенсивность может быть большой (макроскопической), в то время как среднее значение напряженности поля равно нулю, так как равны нулю элементы первой диагонали полевой матрицы плотности.
Невозбужденные (пассивные) атомыНевозбужденные (пассивные) атомыВозбужденные (активные) атомВозбужденные (активные) атомМодель. Физическая картина лазерного возбуждения, рассматриваемая ниже, заключается в следующем (рис. 4). Двухуровневые активные атомы, в общем случае находящиеся в суперпозиционном состоянии, в некоторые случайные моменты времени вступают во взаимодействие с полем моды и, спустя некоторое время Г, отдав часть своей энергии полю, выходят из этого взаимодействия. Для опи-
Невозбужденные (пассивные) атомы
Невозбужденные (пассивные) атомы
Возбужденные (активные) атом
Возбужденные (активные) атом
Рис. 4. Мазерная модель лазерной сания неизбежных потерь резона- генерациитора предполагается, следуя [10],
что подобным же образом с полем взаимодействуют некоторые другие, пассивные атомы, находящиеся в основном, невозбужденном состоянии. Унося из резонатора часть запасенной в нем энергии, пассивные атомы позволяют полю быть в том или ином стационарном режиме.
В начале взаимодействия атома с полем состояние системы атом+ +поле описывается прямым произведением матриц плотности атома и поля, причем, как правило, матрица плотности атома известна, а матрица плотности неизвестна и должна быть в дальнейшем определена из тех или иных физических предположений, например, из предположения о ее стационарности. Затем на протяжении интервала времени Г происходит когерентная эволюция состояния системы в соответствии с уравнением Шредингера. Поскольку состояние атома после взаимодействия с полем несущественно, то в конце этой эволюции берется след полной матрицы плотности по атомным переменным и определяется тем самым новая полевая матрица плотности. Так, последовательно можно учесть вклады многих атомов.
Такую модель лазерной генерации обычно называют «мазерной» моделью, так как в аммиачном мазере активные молекулы именно как описано выше взаимодействуют с полем резонатора. Однако фактически эта модель должным образом отражает и процессы, происходящие при лазерной генерации. Действительно, активный атом начинает взаимодействовать с полем резонатора с момента своего появления на верхнем рабочем уровне и этот момент времени условно можно считать моментом его появления в резонаторе. В течение некоторого времени атом когерентно взаимодействует с полем — это, как бы время его пребывания в резонаторе. Затем атом под действием того или иного процесса уходит с нижнего рабочего уровня и этот момент можно считать моментом его ухода из резонатора. Последующие взаимодействия тех же активных атомов с полем можно рассматривать как взаимодействие с полем новых атомов.
Вклад отдельных атомов в полевую матрицу плотности. Для отыскания матрицы плотности электромагнитного поля в лазерных условиях, рассмотрим, следуя [10, 14], взаимодействие этого поля с двухуровневым суперпозиционным атомом, т. е. атомом, находящимся в начальный момент в суперпозиционном состоянии (4).
Квантовая система атом+поле описывается гамильтонианом
H = Hu + H\=Hat + Hf + H\, (9) при этом гамильтониан двухуровневого атома равен
Hat = Wb\b){b\+Wg\g){g\, (Ю)
где |Ь) — возбужденное и \ д) — невозбужденное состояния атома,
гамильтониан одномодового электромагнитного поле в резонаторе равен
Hf = Ва+а,(11)
где s — собственная частота резонатора, и взаимодействие атома с одномодовым электромагнитным полем в дипольном приближении и приближении вращающегося поля описывается гамильтонианом
Н\ = hGv,и = сг+а +(7一а+,(12)
где G — константа взаимодействия, о+, а~ — повышающий и понижающий атомные операторы, а+, а — операторы рождения и уничтожения фотонов в резонаторе. Константа взаимодействия определяется соотношением
где fbg — матричный элемент оператора координаты электрона, е — единичный вектор поляризации поля и У — объем полевой моды.
Для простоты принято, что резонансная частота поля совпадает с частотой атомного перехода (% —明)/力；в этом случае гамильтониан взаимодействия даже в представлении взаимодействия не зависит от времени.
Матрица плотности квантовой системы атом+поле в представлении взаимодействия подчиняется уравнению
(13)
Решение этого уравнения имеет вид
о (Т) = о。+ (-汨丁) [и ; сг0] + ^у (-/GT)2 [и; [и; а0]] +
+ 戮(TGT『[^； [^； [^；^0]]] +(14)
+ ^y (-zGT)n [и ;[v;[v;[v; сг0]]], где
сто = ст (0) = 0 ⑼• pat ⑼；(15)
в случае принятого состояния (4) начальное значение атомной матрицы плотности равно
Pat ⑼= l/f|b)〈b|+/3*T|g)〈b|+%*|b)〈g| + b|2|g)〈g|.
Полевая матрица плотности, являющаяся следом а (Г) по атомным переменным, имеет следующий вид:
Р (Т) = Spat 匕(Л]=
gа(^~>Т、2?2+1(16)
=0 (0) + £ (Т 厂 T^fS2L 2 £(―1 厂(2 八+])!$2 几+1，
где
Sn = SpaKn(17)
и Кп = [и;[v;\v; а]]] — n-ый коммутатор в (14). Начальное зна- 八 коммутаторов
чение полевой матрицы плотности 0о = 0(。) пока неизвестно — его предполагается определить из условия стационарности генерируемого излучения.
Коммутаторы Кп, их следы по атомным переменным Sn могут быть вычислены, а ряды в (16) — просуммированы (см. [14] и приложение 1). В результате для приращения элемента полевой матрицы плотности получаем выражение
^pk,k+l (^)=岡2 0k—l,k+2—lSkSk+2 + \P^ pk,k+l (c^+iCfc+z + i - 1) +
+ |?|2 Pk,k+l {ck^k+l — 1) — |7『0k + l,k+2 + lSk+iSk+2 + i —
+i(3^рк^1^х8к+1+хск+х - i^^рк+х^18к+хск+1^х,(18)
где
sn = sin (GTy^)， cn = cos (GTy^)(19)
и T — продолжительность взаимодействия атома с полем.
Можно видеть, что приращение элемента pk,k+L полевой матрицы плотности (принадлежащего /-ой диагонали) зависит как от элементов той же диагонали, так и от элементов двух соседних с m-ой диагоналей. Зависимость от элементов той же диагонали описывается первыми двумя строчками выражения (18), зависимость же от элементов соседних диагоналей — вторыми двумя строчками того же выражения. Заметим, что фаза атома, фигурирующая в множителях /3*7 и )*/3, входит лишь во вклады соседних диагоналей.
Далее будем рассматривать только элементы нулевой и первой диагоналей. Как отмечено ранее, элементы нулевой диагонали определяют среднее число фотонов в моде (или интенсивность излучения), элемен-
ты же первой диагонали определяют среднее значение напряженности поля.
Приращение элементов главной (или нулевой, I = 0) диагонали равно
△°к,к (Т) = |/3『 PS* - |/3|2 Pk,kSk^ - |?|2 Pk,kSk~
-bl0к+1,к+15k+1 — 101 0k-1,к5кСк + 5/3 7 0k,k—15kСк +
+分炉7 0к,к+15卜+1。卜+1 — i(3 "У p^-\-\ ^S^-\-\C^-\-\.(20)
Приращение элементов соседней с главной, первой диагонали (/ = 1) равно
△°к,к+1 (Т) = |С『0к—l,kSkSk + i - \Р^ 0k,k+i (1 -以+1。卜+2)-
—|?|2 0к,к+1 (1 —以以+1) — |?|2 Pk^\,k^k+\Sk^~
— i/3q* Pk—\,k~\~\SkCk~\~\ + »В*1 Рк,к$к~\~\Ск +
(21) ^rip^pk^sk^ck+x - 2/3*70k+i,k+iSk+i〃+2.
Для описания потерь, всегда имеющихся в резонаторе, предполагается, что кроме активных (т. е. возбужденных) атомов в резонатор поступают другие атомы, находящиеся в невозбужденном состоянии — пассивные, которые после взаимодействия с полем уносят из него энергию. Вклады пассивных атомов в элементы полевой матрицы плотности можно учесть с помощью того же соотношения (18), если положить /3 = 0, )=1. Вклад отдельного пассивного атома в соответствующие элементы равен
^рк,к = -Pk,kS* + р^д-\^д-\8^^у,
^Рк,к^\ = —0k,k+1 (1 - СкСк + 1) + 0к+1,к+2$к + 15к+2・
Так как в случае пассивных атомов величина GfTf очень мала, то возможно приближение
Sn = sin {GT仄、生 G'/y^, cn = cos {GT而)=1 - | {GfTf^ n и, следовательно,
(22)(22)^pk,k = — (G，7)2 [pk,k • k — 0k + l,k+l • (k + 1)]，
(22)
(22)
х рк,к+\ * ^ ^ 2) - 0к + 1，к+2 •，(к + 1) (к + 2) • (23)
Поскольку потери не имеют насыщения, то их вклад достаточно учитывать лишь во втором порядке теории возмущений.
Суммирование вкладов в полевую матрицу плотности от многих атомов. Суммируя вклады многих атомов, следует учесть, что разные члены в (20) и (21) складываются по-разному. Для членов, среднее значение суммы которых отлично от нуля, их сумма заменяется средним значением, умноженным на число атомов, и пренебрегается флюктуациями, т. е. малыми отклонениями от среднего. Для членов же, среднее значение которых равно нулю, сумма оставляется в полном виде. По существу эти члены также представляют собой флюктуации, но эти флюктуации в данном случае играют основную роль, так как разыгрываются на нулевом фоне. Кроме того, при таком суммировании пренебрегается членами пропорциональными элементам всех диагоналей кроме нулевой и первой.
Основное уравнение для элементов нулевой диагонали имеет следующий вид
匕庆Rk—l,k—1 ・5工一0k,k・sK + i) - С [рь,к'к - Pk^\,k^\'(k + 1)]-
—分〉]Bmlm(0k—l,k * sk^k —，5卜+1。卜+1)—
—〉:CmOW(0k,k—1 • Sk，k — Pk-\-\,k • 5卜 + 1。卜 + 1) • 8 (方一^m) •(24)
m_
где
C = J (GT『，
и, и — числа, соответственно, активных и пассивных атомов, вступающих во взаимодействие с полем в единицу времени. Для простоты амплитуду суперпозиции
£ = \^\(25)
считаем одинаковой для всех активных атомов. Фаза же активных атомов
2k = arg (或 mJ
есть случайная величина.
Основное уравнение для элементов первой диагонали имеет следующий вид:
勺；+1 =[рк-\,к • SkSk+1 — 0к,к+1 • (1 - С/с+1С/с+2)]-
рк,к^\ * ^ ^ 2) - 0к+1，к+2 •，(к + 1) (к + 2) +(26)
+分 e 后^6"2力(0k,к • 5k + 1Ск-/9k + 1,k+1 • 5k + 1Ск+2)8 (方一^m) • m
Соотношения (24) и (26) составляют сложную систему уравнений, в которых нулевая и первая диагонали полевой матрицы плотности взаимно связаны. В общем виде решение этой системы вряд ли возможно. Есть, однако, возможность применить теорию возмущений, так как имеется малый параметр £ « 1 (отметим, что для реализации инверсии необходимо, чтобы £ < 1 /д/2).
При £ = 0, т. е. в нулевом порядке теории возмущений уравнение (24) имеет стационарное решение. Уравнение (26) имеет в этом случае лишь нулевое стационарное решение. Как станет ясно далее, в первом порядке теории возмущений уравнение (26) также имеет стационарное решение, которое, однако, имеет флюктуационный характер. В следующем порядке теории возмущений в правой части (24) возникают члены, пропорциональные недиагональным матричным элементам, которые привносят некоторый шум в стационарное решение этого уравнения. Далее этот шум следует учесть в правой части уравнения (26). Вообще говоря, члены в последней строке уравнения (26) также шумовые. Поэтому на первый взгляд кажется, что в (26) следует учитывать лишь стационарную составляющую диагональных матричных элементов. Однако, шумовая составляющая диагональных матричных элементов коррелирована с шумом, вносимым последней строкой уравнения (26). Вследствие этой коррелированности в последней строке возникают постоянные (или, может быть, медленно меняющиеся, секулярные члены). Как показано ниже, из-за таких членов в решении уравнения (26) возникают нарастающие слагаемые.
Стационарное решение, нулевой порядок. Рассмотрим случай, когда суперпозиционные атомы отсутствуют, т. е. 7 = 0. Тогда система уравнений для диагональных матричных элементов имеет следующий вид:
匕永=. 5工-Рк,к . S^+i)-
—С [рк,к • к — 0к+1,к+1 • (к + 1)] • (27)
Детерминант правой части этой системы, как нетрудно убедиться, равен нулю. Это означает, что одно из собственных значений этой матрицы равно нулю. Следовательно, система (27) имеет стационарное решение. Это стационарное решение имеет вид
Рк,к = ZРк,к = Zт=0т=0(28)(28)
Рк,к = Z
Рк,к = Z
т=0
т=0
(28)
(28)
—нормировочная константа.
Можно показать, что при небольших к (к = 1,2, 3,...) множитель
2Skак = сТ~2Skак = сТ~八GT『к и {GT)2Ск == "1八GT『к и {GT)2Ск == "1(29)(29)
2
Skак = сТ~
2
Skак = сТ~
八GT『к и {GT)2
Ск == "1
八GT『к и {GT)2
Ск == "1
(29)
(29)
Рис. 5. Распределение диагональных матричных элементов полевой матрицы плотности выше и ниже порогаРис. 5. Распределение диагональных матричных элементов полевой матрицы плотности выше и ниже порога
Рис. 5. Распределение диагональных матричных элементов полевой матрицы плотности выше и ниже порога
Рис. 5. Распределение диагональных матричных элементов полевой матрицы плотности выше и ниже порога
почти не зависит от к, но с ростом к постепенно уменьшается, так как sin2(G7v^) растет медленнее, чем к. Поэтому при различных интенсивностях накачки ^ возможны два разных режима возбуждения. Если 。1 V 1, то матричные элементы р^^ с ростом к уменьшаются.
Если же сц〉1, то матричные элементы рк,к сначала возрастают с ростом к, а затем начинают уменьшаться, когда множитель 。卜 становится меньше единицы (рис. 5). Если。1 « 1, то соответствующий режим называют люминесценцией. Если ai < 1, то говорят о режиме суперлюминесценции. В случае же 。1 > 1 имеет место режим генерации.
Условие сц = 1 или
% sin2 (GT) = С
определяет пороговую интенсивность накачки %) или просто порог генерации. Хорошим приближением для пороговой интенсивности накачки uq является условие
% = C/(GT『，(30)
поскольку во всех практических случаях GT « 1.
Решение (28) позволяет приближенно определить среднее число фотонов в резонаторе в стационарном режиме. Распределение матричных элементов рк,к имеет узкий максимум, поэтому среднее число фотонов к。приближенно соответствует максимальному значению рк,к・ Матричный элемент рк,к достигает максимума при 。卜=1, так как предшествующие р^,ь умножаются на 。卜〉1, т. е. возрастают, последующие же рк,к умножаются на а^ < 1 и, следовательно, убывают.
Таким образом среднее число фотонов к° определяется условием а^ = =1, т. е.
* sin2 (GTv^)=卜0・* sin2 (GTv^)=卜0・(31)(31)
* sin2 (GTv^)=卜0・
* sin2 (GTv^)=卜0・
(31)
(31)
Это уравнение можно проанализировать графически (рис. 6). Можно
видеть, что возможны три характерных режима в зависимости от интенсивности накачки и. При небольшом превышении накачки над пороговым значением % = С/ (GT『
左,書 sin2(GTVk)для среднего числа фотонов имеет
/место приближенное выражение
制число фотонов примерно пропорцио
нально г/
回生*'回生*'(33)(33)Рис. 6. Графическое определениесреднего числа фотонов
回生*'
回生*'
(33)
(33)
так как квадрат синуса в этом случае равен примерно единице. При больших значениях увеличение числа фотонов замедляется и число фотонов приближается к своему предельному значению
2
(34)(34)Г1 =
(34)
(34)
это указывает на падение эффективности накачки в этой области.
Отметим, что в области под порогом 0 < %)) уравнение (31) имеет единственное решение к° = 0. Однако фактически среднее число фотонов в этом случае не равно нулю. Просто в этом случае данное выше определение числа фотонов как соответствующее максимуму 0卜,卜 несправедливо.
Таким образом система (24) для диагональных элементов полевой матрицы плотности и ее решение (28) описывают главную особенность лазерной генерации — существование порога генерации.
Недиагональные матричные элементы. Исследуем теперь элементы первой, соседней с главной диагонали полевой матрицы плотности (26) в нулевом порядке теории возмущений, т. е. при 7 = 0
'小+ = [рк-I,к8к8к^! 一 0k,k+l (1 -0к + 10к+2)]一
0k,k+i 卜 + q ) — 0k+i,k+2Vz(k + 1) (k + 2) .(35)
Напомним, что элементы первой диагонали определяют среднее значение электрического поля в резонаторе.
В отличие от системы (27), детерминант правой части системы (35) не равен нулю. Поэтому система (35) не имеет стационарного решения. Однако система (35) мало отличается от системы
^Рк,к-\-1 — г1
—C 尿卜+1 •卜—0k + l,k+2 •(卜 + 1)］，(36)
которая таким свойством обладает. Соответственно, эта система имеет стационарное решение
т=1
Соответствующий вектор-строка равен 乐卜+i = 1.
Систему (35) можно представить в виде
^ = М - Д М = М0 + М1,(37)
где 万—вектор-столбец с элементами рк,к+1, Мэ — матрица системы (36) и Mi — разность матриц систем (35) и (36). Уравнения в системах (35) и (36) будем нумеровать первым индексом производных dpk,k^\/dt\ соответственно элементы рк,к^\ вектор-столбца Д также будем нумеровать их первым индексом. Тогда в k-ой строке матрицы 吒 лишь два элемента отличны от нуля:
"l;k,k = —^ (1 — Sk+iSk+2 —。卜 + 1以+2)— - С, (38)
罔;…=С “(k+l)(k + 2) — (k + 1)).
В соответствии с теорией возмущений собственное значение матрицы М приближенно равно
=(39) РР
где Mi матрица возмущения и р — собственный вектор-строка матрицы Mq, соответствующий тому же нулевому собственному значению. Можно убедиться, что компоненты этого бра-вектора равны единице:
Рк,к+\ = 1・(4。)
Используя (38, 39, 40), получаем
从{-(1 - Sk + iSk+2 — Ск+1Ск+2-) + qC Ок,к+1 +
+С [\/(^ + 1) (А: + 2) — (А; + 1)] oa+la+z} / (£ Pk.k+i^ ■(41)
Так как распределение рк,к^\ имеет узкий максимум вблизи к = к°, а все коэффициенты в (41) являются медленно меняющимися функциями к, то рь,к+\ можно считать общим множителем в этом выражении, а коэффициенты считать не зависящими от к, полагая в них к = к°. В результате получаем
“ 徧(42)
Именно такое значение было получено в работе [10]. Можно показать, что все другие собственные значения матрицы М много больше 从.
Таким образом, нулевое решение является единственным стационарным решением для элементов первой диагонали полевой матрицы плотности. Соответственно, стационарное значение средней амплитуды поля также равно нулю, в то время как средняя энергия поля в резонаторе, равная
1У =力以• к。，
может быть макроскопической. Это означает, что подобное состояние является существенно квантовым. Напомним, что в таком существенно квантовом состоянии, как сжатый вакуум имеет место как раз подобная ситуация — среднее поле равно нулю, а средняя энергия существенно отлична от нуля. Иногда такие состояния интерпретируют как когерентное состояние с диффузией фазы. Однако, явление диффузии фазы описывается совершенно иначе (см. глава 2, раздел 3). Поэтому такая интерпретация является неверной. Для такого состояния электромагнитного поля можно предложить название — фотонная лавина, подчеркивая тем самым отсутствие когерентности в этом состоянии.
Следовательно, в отсутствие суперпозиционных атомов нельзя объяснить, как уже отмечалось, все особенности генерационного режима. Практика лазерных исследований (например, опыты по интерференции независимых лазерных пучков) показывает, что при лазерной генерации возникает состояние, близкое к когерентному, и среднее значение поля близко к классическому. В рассмотренном же выше случае среднее значение поля оказывается равным нулю, т. е. состояние поля является существенно квантовым, неклассическим. Как уже отмечалось в начале раздела, среднее значение поля может быть отличным
от нуля, лишь если принять во внимание суперпозиционные состояния активных атомов.
Рассмотрим в связи с этим недиагональные элементы полевой матрицы плотности в первом порядке теории возмущений. В этом случае следует воспользоваться уравнением (37), при этом в последнем слагаемом в правой части входящие в него диагональные элементы нужно взять в нулевом приближении. Тогда уравнение (37) для недиагональных элементов станет неоднородным:
勺：+1 =[рк-\,к • SkSk+1 — 0k,k+i • (1 - Cfc+lCfc+2)]-
. (k + g) _ 0k+l,k+2 .，(k + 1) (k + 2) +(43)
• sk^\ck — 4)i,k+i • Sk + iCk+2)8 (方一tm). m
Для решения этого уравнения столбец Д =(0卜,卜+1) разложим по собственным столбцам матрицы М
p =〉:(力)• ри
и ограничимся лишь одним главным слагаемым, соответствующим собственному значению 从，т. е. положим
р = a⑴•瓦)•
Можно показать, что остальные слагаемые в Д являются малыми.
В неоднородном слагаемом в (43) можно положить
Sk + l (〃 - 〃+2)• 4°^ 仝"石• /к,к，
так как коэффициент при 0?^ представляет собой медленную функцию индекса к и может считаться постоянным (= х) при значении индекса, равном среднему числу фотонов к。. Приближенно коэффициент х можно представить в виде
2
” =Sk + l (以—Ck+2)— 塩
V^O
Вектор-столбец 春 близок к основному вектор-столбцу матрицы М и, следовательно, коэффициент В близок к единице.
Учитывая все сказанное, для а (方)получаем уравнение
^ =—開・а +迂貝Bfe^mb (方一方 “)；(44)
т
нулевой индекс при а (方)опущен, так как далее интерес представляет лишь главный коэффициент а&).
Уравнение первого порядка
yf + f(tyy = g ⑴(45)
имеет решение [19]
у ⑴=exp ( - dt • / (t) j % + 必• g ⑴ exp ( dt f (t)\ . (46) \ to 丿Vo / J
Подставляя сюда значения функций, соответствующие уравнению (44)
/⑴=〃， g⑴=反"б£』"5 (方一tm),m
получим
Q⑴=辽〃б• /3⑴，
где
т
Таким образом, решение уравнения (44) имеет следующий вид:
Рк,к =辽％В/3 (t) • 4Т
Среднее значение координаты осциллятора (пропорциональной напряженности электрического поля) равно
〈(а+ + а) ) = Sp [р (а+ + а)] = £ д/k + 1 ,k+i + *i,k)=k=Q
=гехВА [/3 ⑴-к.с.] £ д/k + 1 р^к.
k=Q
Приближенно можно положить，k + 1 = д/Ж • Следовательно, имеем
〈(а+ + а) ) = гехВА [/3 ⑴-к.с.] \/^・(47)
Эта величина представляет собой последовательность затухающих импульсов (рис. 7).
Рис. 7. При небольшом превышении над порогом среднее значение поля лазера представляет собой наложение многих затухающих экспонент, т. е. поле с диффундирующей фазой
Чтобы найти среднеквадратичное по времени значение поля, возведем это выражение в квадрат. После усреднения полученного выражения по фазам и времени получаем
((a+ + a) )2 = y 諸52к0^/
Далее, учитывая соотношения (32) и (42), получаем
((a++a))2 = 2s2B%•
Так как коэффициент В = 1 и коэффициент 3、и" также можно считать порядка единицы, то приближенно имеем
J〈 (а+ + а) У =，2ко •
Если бы состояние излучения было когерентным, то имело бы место соотношение
J〈 (а+ + а) К =，2ко .
Таким образом, среднее значение напряженности поля пропорционально параметру суперпозиции £. Если £ = 0, то среднее значение напряженности поля равно нулю при отличной от нуля, макроскопической энергии поля. Важно, однако, отметить, что, хотя состояние поля все еще существенно отличается от когерентного, в нем благодаря эффекту накопления появляется макроскопическая компонента, имеющая классические черты. Конкретно они проявляются в отличии среднего значения поля от нуля. В связи с этим представляет интерес рассмотреть влияние классического поля на активный атом.
Как увидим, при дальнейшем увеличении накачки и поля характер взаимодействия атома с полем изменяется. В частности, при достаточно большой накачке поле всем суперпозиционным атомам «навязывает»
свою фазу, и все они оказываются должным образом сфазированными с полем. Это приводит к нарастанию среднего значения поля примерно до того значения, которое соответствует когерентному состоянию поля. Это происходит при некотором конечном превышении накачки над порогом. Можно сказать, что существует второй порог лазерной генерации, выше которого лазерное излучение становится в полной мере когерентным.
Суперпозиционный атом и внешнее поле. Флюктуационное поле, генерируемое активными атомами в лазерных условиях, частично имеет классический характер, поскольку его среднее значение не равно нулю. Его взаимодействие с суперпозиционным атомом изменяется, так что все атомы становятся сфазированными специальным образом с полем. Для того чтобы понять, как происходит переход от флюктуационного поля к когерентному, рассмотрим поведение суперпозиционного атома во внешнем классическом (неквантованном) поле. Пусть в месте расположения суперпозиционного атома внешним источником создается импульсное поле длительностью т. Для простоты нарастание и последующее уменьшение поля пусть описывается гауссовой экспонентой.
Гамильтониан взаимодействия двухуровневого атома с электромагнитным импульсом в приближении вращающейся фазы и в представлении взаимодействия имеет вид
『⑴=一众[p+ло (Q + p-A^ ⑺й20-5口 厂廿片:(48)
где а = e/2mc. При точном резонансе и в дипольном приближении имеем
W) = —^ Ило + р~^] f =
(49)
Начальное (в момент времени /) состояние атома — суперпозиционное
|“)= /3 |Ь) +7 |д) •(50)
В конечный момент времени t атом оказывается в состоянии
I次）=I次）=
I次）=
I次）=
夕+|g)=夕历，夕+|b) =。， P~ \b) =p^\g), p~\g) = o, (52)
呐)=①卜+ ?e1⑴pЛ-7-⑵%⑴IpI21Л12" +
+⑦7+^石1⑴夕*禹・/3-")2石2⑴储|4『・) ,(53)
где
石1 (方)=必1「甘/~14e2⑴=必1「甘/~必26一名"1
Максимальное значение Е\ (方)(при t — оо) равно Е\ (оо) = т^.
Можно видеть, что в первом порядке теории возмущений как амплитуда состояния |Ь), так и амплитуда состояния |д) зависят от фазы активного атома.
Недиагональный элемент атомной матрицы плотности равен
012 =即 e-千石1 ⑴ q (1/3|2 - ь『)0觇* +
+⑵2项⑴『J"。* _ 2 (疗石2⑴,+⑵2项⑴『J"。* _ 2 (疗石2⑴,(54)(54)
+⑵2项⑴『J"。* _ 2 (疗石2⑴,
+⑵2项⑴『J"。* _ 2 (疗石2⑴,
(54)
(54)
где
£e诬=寸仇凉觇=04),(55)
т.е.⑦—фаза атома n ⑦。一 фаза поля. Величину 石2 (方) можно преобразовать:
e2(方)=必1「甘"2 dh =
=近2eт"~ 必 1「甘/~=必 1「甘/~ dt2 e-^/T2;
поэтому 2石2 (方)=石,(方)• Таким образом для 012 получаем выражение
012 = ^ £ — ^ Ei ⑴ q(|/3|2-|7|2) &耽*—
—(犷爵⑴"'О — 卜(56)
8 В.П. Быков
Второе слагаемое в (56) показывает, что синфазные и противофазные атомы дают разный вклад.
Диагональные элементы матрицы плотности равны
ри = \[3\2^-^^2 Е2 ⑴《2
-—El (t) qe ^е~^-^ - ~3厂叫 +-—El (t) qe ^е~^-^ - ~3厂叫 +（疗马⑴产7广，（疗马⑴产7广，(57)(57)
-—El (t) qe ^е~^-^ - ~3厂叫 +
-—El (t) qe ^е~^-^ - ~3厂叫 +
（疗马⑴产7广，
（疗马⑴产7广，
(57)
(57)
022 =（方）石？⑴『同2 +
+ ^е1⑴*卜Т"。一2）-不"。一*）+
+ Ы2 1—2 停『石2 ⑴《2 • (58)
Слагаемые расположены по степеням |)|. Можно убедиться, что уменьшение населенности верхнего уровня равно увеличению населенности нижнего уровня. Как видим, имеется уменьшение населенности верхнего уровня, независящее от фазы (первые два слагаемых) и дополнительное изменение этой населенности, зависящее от фазы, т. е. это уменьшение может быть больше или меньше в зависимости от фазы атома по отношению к фазе поля.
Так как в рассматриваемом нами случае параметр суперпозиции £ мал, а также мало поле (пропорциональное q), то можно ограничиться лишь членами первого порядка по этим параметрам
P12 = ££碑一分P12 = ££碑一分(59)(59)
P12 = ££碑一分
P12 = ££碑一分
(59)
(59)
Нетрудно убедиться, что при малом поле \у/тт ат q/Ti\ «£ фаза атома случайна и такова, какой она создается системой накачки. В противоположном случае, при \у^ат q/1\\》£ все атомы оказываются сфазированными с полем. При этом, как можно убедиться, эта фаза такова, что атом максимально отдает энергию полю.
Так как амплитуда поля пропорциональна，2ко • £, то приведенные выше неравенства позволяют определить то значение накачки (или к。)，при котором происходит фазировка активных атомов. Это значение следует считать лишь оценочным, так как использованная в этом пункте модель достаточно груба. В частности, эта модель не позволяет определить критическое значение параметра суперпозиции £ (в приведенных выше неравенствах £ сокращается).
Рис. 8. Переход от квантового к классическому режиму генерации вблизи порога генерацииРис. 8. Переход от квантового к классическому режиму генерации вблизи порога генерацииВ случае, когда все активные атомы так сфазированы с полем, что в максимальной степени отдают свою энергию, происходит быстрое нарастание недиагональных матричных элементов. При этом теория возмущений, использованная выше, становится неприменимой. Нарастание недиагональных матричных элементов ограничивается, когда их
Рис. 8. Переход от квантового к классическому режиму генерации вблизи порога генерации
Рис. 8. Переход от квантового к классическому режиму генерации вблизи порога генерации
величина приближается к величине
недиагональных матричных элементов когерентного состояния, а среднее значение поля приближается к своему классическому значению (рис. 8).
Заключение. Таким образом показано: а) источниками когерентности в лазерном излучении служат активные атомы накачки, находящиеся в суперпозиционном состоянии, б) выше порога лазерной генерации имеется интервал интенсивностей накачки, в котором лазерное излучение находится в существенно квантовом состоянии, когда число фотонов велико, но среднее значение поля генерируемого излучения много меньше соответствующего классического значения, в) на верхней границе этого интервала при дальнейшем возрастании накачки происходит переход излучения в состояние, близкое к когерентному, г) когерентность лазерного излучения может быть существенно повышена, если накачка производится сфазированными суперпозиционными атомами.
Приложение 1. Коммутаторы? следы коммутаторов, матричные элементы. При произвольном 八 четный коммутатор равен
к2n = \ЬЦЪ\ |/3|2£ 戏片(аа^п~т р (。小广-
—〉^ С羽т (。。+厂 Ш аРа+ {сьа^т 1 +
m=l_
e С；；Т ("а+『 т ара (а+а)т一’ +
+ |g)〈b| 门工离 Sa)ip(myn_
—%*£c翁T(a+a『f a+仆+(aa+广T , (60) m=l_
аналогично нечетный коммутатор равен
K2n^ = \b){b\ /3*7 £。爲 1 (aa+『f 碇(аа^т -
f+
+ m)(小户7* £e鋼 1 (a+a广％+0(。+。广一 _m=0
+ ①(如 1?I2 寸 °翁 1 (aa+)n-m ap (Ga广一
2£區"(。。+广7。(。+。广 +
+ Ь)〈 〃 図2 £ °爲 1 (а+а)п~т а+р (aa+广-
器*(小。广7。+(小广•(61)
При 八=0 и n = 1 они совпадают с коммутаторами, полученными прямым вычислением. Их справедливость при произвольных 八 доказывается методом индукции.
Следы этих коммутаторов по атомным переменным равны
S2几=SpaK2n = l/f £。羽{аа^п~тр (аа+广-
—〉~^ C羽тm a*pa (a+a)771 1 —
—|7|2 $^ C；；t m dpa^ (aa+)m 1 —
-ZC2n^^r~mp (。+。广• (62)
S2几+i = Ж^2п+1 = /3*7 £。翁 1 {aa^n~map (aa+广-
m=0_
一力* £戏门办)—>+(办广-
-£0篇］3。广入+。(。+。广•(63)
Вычисляя матричные элементы следов (62) и (63) для состояний (к\ и \к + I), получим
Ык,м = I/3I2 Р21 £c^VkT\^mVkTTT\^- _m=0
-ы2 Pk^w £ c^-1 Vk + i 2-2-+1 vmn1 -
-PkM E c^Vk^mVkTi^m
х
рк,к+1
+ 1 + 7 k + / + 1 ) + (y/k + 1 — 7 k + / + 1 )
~Рк-\,к^1-\
1 I |2 ~2Ы
Рк-\-\,к-\-1-\-\
+ 1 + 7 k + / + 1 )
+ 1 - д/^ + Z + 1 )
И
~Рк,к^1
(64)
[*^2п+1]к,к-\-1[*^2п+1]к,к-\-12m2m= /3*7 0к+1,к+2 te爲 1^/^27“+"k + / + 1 _m=0
[*^2п+1]к,к-\-1
[*^2п+1]к,к-\-1
2m
2m
f£ 戏M2iA/Fn2"
-s* ^,k+2+i £ ^1vm2n-2mvrnTi2m+i
—Ркц £ c^Vk^-MVkTi2m
=0к+1,к+2
Далее, используя разложения
00 si…
получаем соотношение (18).
Приложение 2. Синфазные и противофазные активные атомы. В разделе 8 показано, что суперпозиционные активные атомы возбуждают в резонаторе поле, имеющее до некоторой степени классический характер. Т.е. среднее значение этого поля оказывается неравным нулю, хотя все еще значительно меньшим своего классического значения. В свою очередь это поле делает неэквивалентными вклады в поле синфазных и противофазных атомов, что и приводит в конечном счете к нарастанию среднего значения поля до своего классического значения.
В некоторых случаях, например, в твердотельных лазерах, где имеет место, так называемая фазовая (или поперечная) релаксация, и характерное время этой фазовой релаксации много меньше полного времени взаимодействия активного атома с полем, именно эта фазовая релаксация может приводить к неэквивалентности вкладов в генерацию синфазных и противофазных атомов.
Рассмотрим, что происходит с активным атомом после того, как он оказался в резонаторе в суперпозиционном состоянии. В этот момент фаза суперпозиционного состояния случайна, то есть синфазные и противофазные активные атомы имеют равные вероятности появления в резонаторе.
Взаимодействие атома с полем без внешних влияний продолжается в течение небольшого периода времени, равном в среднем времени Т фазовой (или поперечной) релаксации. В течение этого периода активный атом отдает полю только малую часть своей энергии. При этом противофазные атомы отдают полю большее количество энергии, чем синфазные атомы. К концу интервала времени Г основное состояние в противофазных атомах представлено с большей амплитудой, чем в синфазных атомах. Можно сказать, что противофазные атомы находятся в основном состоянии в течение более длительного времени чем синфазные. Но в лазерной среде вследствие необходимости достичь инверсии условия таковы, что время распада основного состояния активного атома меньше времени распада возбужденного состояния. Это ведет к двум следствиям. С одной стороны время распада противофазных атомов становится меньшим времени распада синфазных атомов и соответственно их число также становится меньшим. С другой стороны формируется постоянный поток от синфазных атомов к противофазным атомам при поперечной (или фазовой) релаксации, потому что число противофазных атомов меньше числа синфазных атомов. Следовательно, в единицу времени противофазные атомы появляются
чаще, чем синфазные и это делает вклад противофазных атомов в поле больше вклада синфазных.
Рассмотрим эту ситуацию более подробно. Сначала вычислим разность населенностей синфазных и противофазных состояний атомов, начинающихся с одинаковых начальных состояний. Это позволит оценить различие между временами распада этих атомов. Тогда, с помощью кинетического уравнения можно будет определить различие в скоростях накачки этих атомов. Наконец, можно будет вычислить среднее значение электрического поля, генерируемого в лазере, когда синфазные и противофазные атомы имеют различные скорости накачки.
Чтобы вычислить разность населенностей сделаем расчет, подобный тому, что выполнялся в предыдущем разделе, но с начальной матрицей плотности атомов в виде
где величина 1 — А не может быть маленький, и только величина В, как и прежде, порядка £.
Это начальное состояние необходимо, так как при излучении населенность основного уровня возрастает, но амплитуда суперпозиции В изменяется мало. После вычисления полной матрицы плотности системы в момент времени Т, найдем след этой матрицы плотности относительно полевых переменных, подобно тому, как в предыдущем разделе был найден след относительно атомных переменных. Верхний левый элемент атомной матрицы плотности, полученный таким образом, есть населенность верхнего уровня. В результате получаем выражение
Ou = £ {s^+i [(1 - 4) • Pn+i,n+i - 4 • Рп,п]-
—分s^+ic^+i (_В • Pn+l,n — В • Pn,n+1)} , (67)
которое содержит зависимость от фазы активных атомов. Эта фаза есть просто аргумент коэффициента В, фаза поля определяется аргументами рп^\ (см. глава 2, раздел 2, пункт 7).
Наибольшее различие населенностей синфазных и противофазных состояний равно
△〃 1 = 2〃〉: 5n+icn+i {В • Рп-\-\,п — В • Pn,n+i)•(68)
п
Около порога синус может быть заменен его аргументом и косинус —единицей, кроме того, число фотонов 八 может быть заменено средним числом фотонов по (так как распределение рп^\ имеет
острый максимум). Тогда, после суммирования по 八 мы получаем некоторую мгновенное значение wo (t). Средне квадратичное значение этой величины определяется соотношением
Iw (力2 = ^^ £ 厂24。(一⑨=Iw (力2 = ^^ £ 厂24。(一⑨=沙様(GT)28 八о〃о •沙様(GT)28 八о〃о •
Iw (力2 = ^^ £ 厂24。(一⑨=
Iw (力2 = ^^ £ 厂24。(一⑨=
沙様(GT)2
8 八о〃о •
沙様(GT)2
8 八о〃о •
Принимая во внимание значение ^ koi = s/Vs6,Принимая во внимание значение ^ koi = s/Vs6,и пороговое условие (30), получими пороговое условие (30), получим8 = /3*/3 — 7*7,8 = /3*/3 — 7*7,(69)(69)Подставляя эти выражения в (68) равным £, получаемПодставляя эти выражения в (68) равным £, получаеми предполагая \В\ приближеннои предполагая \В\ приближенно
Принимая во внимание значение ^ koi = s/Vs6,
Принимая во внимание значение ^ koi = s/Vs6,
и пороговое условие (30), получим
и пороговое условие (30), получим
8 = /3*/3 — 7*7,
8 = /3*/3 — 7*7,
(69)
(69)
Подставляя эти выражения в (68) равным £, получаем
Подставляя эти выражения в (68) равным £, получаем
и предполагая \В\ приближенно
и предполагая \В\ приближенно
(7。)(7。)(71)(71)w(+) +次㈠=2 (黑+一片)号+ ^w(+) +次㈠=2 (黑+一片)号+ ^
(7。)
(7。)
(71)
(71)
w(+) +次㈠=2 (黑+一片)号+ ^
w(+) +次㈠=2 (黑+一片)号+ ^
Для вероятностей ухода активного атома из взаимодействия с полем и для соответствующих времен распада будем использовать следующие интерполяционные выражения
屮(士) -]- £111 + 1 —。产
—т(±)—乳 + т9
где плюс относится к синфазным атомам и минус — к противофазным атомам; р^ — населенности верхних уровней этих атомов. Тогда получаем уравнения
w(+) - 1У(-)= Арпw(+) - 1У(-)= Арп
w(+) - 1У(-)= Арп
w(+) - 1У(-)= Арп
где Л/)ц = р中—0；；) — разность населенностей верхних уровней синфазных и противофазных атомов и рп =-(厶丁 -。『)・ Так как в процессе взаимодействия активные атомы постоянно отдают свою энергию полю, то среднее значение рц находится в интервале от 1/2 до 1.
В лазерных условиях для создания инверсии необходимо чтобы время распада основного состояния было меньше времени распада возбужденного состояния (Тд < 〃). Следовательно, в соответствии с (71) имеем неравенство W^ < W^. Таким образом, противофазные атомы распадаются более быстро, чем синфазные. Поэтому между двумя резервуарами имеется обмен со средним временем Т,
т. е. появляется постоянный поток от синфазных атомов к противофазным. Эта ситуация может быть описана балансными уравнениями
N (士)=干^N(±)± wN^ - W^N^ + ；沙,
где N^ — числа, соответственно, синфазных и противофазных атомов, взаимодействующих с полем в момент времени t, w — вероятность их взаимных переходов, и ^ — скорость появления активных атомов (скорость накачки). Легко видеть, что эти уравнения имеют стационарные решения
(72)(72)
(72)
(72)
Число синфазных атомов больше числа противофазных. Для скоростей появления атомов обоих видов получаем выражения
приводящие к обратному неравенству z/+)< Л Это означает, что имеется постоянный поток от синфазных атомов к противофазным. В выражении, определяющем среднее значение поля, фигурируют как раз величины М士). Их разность равна
Az/ =Az/ =小-)—")=小-)—")=(74)(74)
Az/ =
Az/ =
小-)—")=
小-)—")=
(74)
(74)
скобки в числителе и Вернемся теперьскобки в числителе и Вернемся теперьатомаатомаи (夕)=^ + J △^ . sin 夕,и (夕)=^ + J △^ . sin 夕,(75)(75)
скобки в числителе и Вернемся теперь
скобки в числителе и Вернемся теперь
атома
атома
и (夕)=^ + J △^ . sin 夕,
и (夕)=^ + J △^ . sin 夕,
(75)
(75)
знаменателе определены в соотношениях (71).
к соотношению (47), определяющему среднее
значение поля, возбуждаемого в генераторе и примем во внимание разность в скоростях появления синфазных и противофазных атомов. Пусть скорость появления активных атомов является функцией фазы
где Az/ определяется соотношением (74). Тогда, для среднего значения поля имеем выражение
力 27r
石(力)= 2；gT)dtf d0(〃+ g △夕• sin 夕)sin 夕•力一，)=
—оо 0
= V2e (GT) ZizV (4仰)• (76)
Подставляя сюда параметры Л^, определенные соотношениями (70), (71), (74), и 从°, получаем
e=e3*/2厂3/2S， (77)
где q = (〃 一 Tg) / (〃 + Tg) и 5 = /3*/3 - 7*7 (5 = 1). Во многих случаях, например, в случае четырехуровневой схемы генерации Tg «Ть и, следовательно, q 1. Таким образом среднее значение поля 〈石) достигает классического значения, равного д/й^, примерно при
по = £—3/2. (78)
Описанный механизм появления среднего значения поля подобен механизму генерирования электромагнитного поля в вакуумных микроволновых приборах; в обоих случаях имеются синфазные и противофазные электроны, но в одном случае, они являются свободными, в другом — они связаны в атомах. Это подобие естественно, поскольку речь идет о генерировании классических полей.
Как следует из (77), около порога (то есть при малых 八°,八о < < по) амплитуда поля мала, меньше классического значения. Но она растет с накачкой и, следовательно, с увеличением числа фотонов. При условии по = по, являющимся вторым порогом лазерной генерации, амплитуда поля становится приблизительно равной классической величине. Кубическая зависимость 〈石 К от по (77), найденная по теории возмущений, изменяет свой характер с ростом накачки, так как квадрат амплитуды поля не может превышать 八°. Различие между этими величинами с дальнейшим ростом накачки исчезает. Следовательно, зависимость (Е)2 от Л^ = и — uq при некоторой величине накачки F имеет перегиб (Рис. 8), который может называться вторым порогом лазерной генерации. Вблизи этой точки среднее значение поля приблизительно достигает своего классического значения. Это также означает, что в генерируемом излучении появляется когерентность, так как именно среднее значение поля является носителем фазы. Фактически, положение второго порога определено не очень строго, поскольку поле постепенно нарастает в небольшой области вблизи F (» — Ц)' С矶⑶.
Происхождение суперпозиционных атомов иквантовое состояние кулонова поля
Введение. В предыдущем разделе было показано, что источником когерентности при возникновении лазерной генерации являются активные атомы, находящиеся в суперпозиционном состоянии. Такие состояния могут возникнуть при прохождении этих атомов через
классическое поле, т. е. поле, не имеющее квантовомеханических неопределенностей по определению.
Данный раздел посвящен исследованию квантовомеханического состояния кулонова электрического поля. Оказалось, что кулоново поле всегда находится в бесконечно сжатом состоянии, когда квантовомеханические неопределенности отсутствуют. Фактически кулоново поле «классично» и поэтому может быть источником суперпозиционных атомов.
Хотя стимулом для исследования квантового состояния кулонова поля было определение источника суперпозиционных активных атомов, а в конечном счете источника когерентности при возникновении лазерной генерации, реально исследование квантового состояния кулонова поля далеко вышло за эти пределы.
В результате этого исследования, например, установлено, что используемое обычно определение вакуума свободного электромагнитного поля неверно в том смысле, что поле соответствующее этому определению, не может быть построено. Предложено новое состояние, описывающее вакуум свободного электромагнитного поля. Показано, что конструкция с индефинитной метрикой является, вообще говоря, излишней. И т. д.
Итак, рассмотрим особенности квантования кулонова поля.
При возникновении квантовой электродинамики выяснилось, что при квантовании продольной компоненты векторного потенциала и скалярного потенциала, иными словами, при квантовании кулонова поля возникают определенные трудности [20]. Тогда же были предложены и способы преодоления этих трудностей. Можно сказать, что к настоящему времени эти трудности в принципе преодолены [21, 22]. Однако возникшие в конечном итоге методы квантования кулонова поля имеют несколько формальный, математизированный характер и полной ясности не оставляют. Изложение этого вопроса обычно сопровождается таким количеством «исторических», часто неверных и никчемных подробностей, что истинный смысл предмета ускользает от читателя. Можно констатировать, что этот вопрос не получил пока достаточно простого и ясного изложения.
Как правило, в излучательных задачах применяют кулонову калибровку °) [23], при этом кулоново поле исключается из рассмотрения как не являющееся настоящей гамильтоновой переменной и не квантуется. Хотя в количественном отношении такой подход, невидимому, удовлетворителен [24, 25], с точки зрения стройности теории он не выдерживает критики, в частности, потому, что разделение поля на продольную и поперечную части релятивистски неинвариантно. В связи с этим в данном разделе принята лоренцева калибровка полей, в которой
°) В данном контексте речь идет о «практической» кулоновой калибровке (см. приложение 1).
все компоненты поля — продольные и поперечные — рассматриваются с единой точки зрения.
Кулоново поле является важной составной частью современных физических исследований. В этой связи можно вспомнить, например, о процессе вигнеровской кристаллизации, полностью определяемом кулоновским взаимодействием и существенном во многих твердотельных и поверхностных явлениях.
Кулоново поле необходимо учитывать также в различных атомноизлучательных процессах — при возбуждении атомов и их излучении, при ионизации и рекомбинации и т. п. [26, 27]. Интересны, в частности, и квантовые свойства кулонова поля. Квантовые свойства поперечных составляющих электромагнитного поля находятся в настоящее время в центре внимания исследователей в связи с наблюдением сжатых и других, существенно квантовых состояний света. В какой мере эти квантовые идеи можно перенести на кулоново поле? Ведь электромагнитное поле едино — как отмечено выше, разделение полей на поперечное и продольное не является релятивистски инвариантным.
Обычно, при квантовании электромагнитного поля отмечают три типа трудностей: 1). Из общепринятой, релятивистски ковариантной функции Лагранжа и соответствующего гамильтониана не следуют уравнения Максвелла; 2). Релятивистски ковариантные коммутационные соотношения для компонент потенциалов приводят к отрицательной энергии скалярных фотонов, что представляется физически неприемлемым; 3). Релятивистская ковариантность теории совместно с процедурой квантования приводит к появлению в гильбертовом пространстве, порождаемом гамильтонианом электромагнитного поля, состояний с «индефинитной метрикой», с «отрицательной или нулевой нормой», «ненормируемых состояний» и т. п.
Как известно, первая трудность снимается введением дополнительного условия (в данном случае — условия Лоренца в форме Ферми) или так называемой связи [20-22]. Таким образом квантование электромагнитного поля становится квантованием со связью.
Одним из важных моментов данной статьи является осознание того, что энергия скалярных фотонов может быть отрицательной. Хорошо известно, что энергия электронов в атоме отрицательна — чтобы освободить их из атома, нужно затратить некоторую энергию. Отрицательность этой энергии не составляет никакой трудности. Подобно электронам в атоме, скалярные фотоны всегда выступают в качестве объектов, связанных с зарядом. Поэтому вторая трудность заключается не в отрицательности энергии скалярных фотонов, как это обычно полагают, а в неограниченности снизу этой энергии. Как будет видно далее, эта трудность также снимается введением условия Лоренца — оно не позволяет энергии скалярных фотонов становиться слишком большой по модулю, хотя и оставляет эту энергию отрицательной.
Третья трудность, связанная с появлением в гильбертовом пространстве различных вычурных состояний, является трудностью
надуманной, обусловленной излишним требованием, чтобы гильбертово пространство, соответствующее скалярному потенциалу, было тождественно подобно гильбертову пространству, соответствующему той или иной компоненте векторного потенциала [22]. Гильбертовы пространства, порождаемые компонентами векторного потенциала и скалярным потенциалом, не обязаны быть тождественно подобными, релятивистская ковариантность этого не требует. В данной статье дана простая, полная, обычным образом нормируемая и ортогональная система состояний, образующая гильбертово пространство скалярного потенциала, позволившая в конечном счете построить состояние кулонова поля зарядов, которое является основой для всех остальных состояний электромагнитного поля. Главное — построенное состояние удобно при вычислениях, учитывающих продольное, т.е. кулоново поле.
В приложении 4 статьи обсуждается природа условия Лоренца (или условия Ферми).
Для данного исследования полезной оказалась работа Л. В. Прохорова [22], содержащая обширную библиографию, на которую мы в дальнейшем ссылаемся.
Цель данного раздела состоит в идейном упрощении процедуры квантования кулонова поля с тем, чтобы сделать ее доступной для более широкого круга исследователей.
Условие Лоренца. Теория квантованного электромагнитного поля строится [22], исходя из простейшей релятивистски инвариантной плотности функции Лагранжа
19
= 2一— 2 (944“) ，(0
где — компоненты 4-вектора электромагнитного потенциала (индексы 从，и пробегают значения 0,1,2,3). Обычным образом переходя к гамильтонову формализму, получим функцию Гамильтона электромагнитного поля в виде
Н= [dfHf(A^),
где.
Hph (4从，口") = 口44从-Lph
ис
= д^-д^-д^дуАу.
В гауссовых единицах плотность гамильтониана имеет вид
ЯМ (4 u,户，口) = ； 4启户2⑺+ _L'otnбy — 4启口2⑺]+
+ cU (г) div 戶(г) - сП (尸)div A (尸).(2)
Поскольку в дальнейшем для нас существенны источники поля, то ниже используется полная плотность гамильтониана в виде
Я = 卡 ］伉一:n仍））8（尸一刃 + 8（尸一刃（万一:才（尸））］+
+ eU （г）5（г-^）+ЯЛ （3）
где р, q — импульс и координата электрона, подчиняющиеся, как обычно, коммутационному соотношению
qp — pq = Пг\（4）
нерелятивистский характер части гамильтониана, относящейся к источникам поля, не помешает нашему исследованию, не говоря уже о том, что возможно ее релятивистское обобщение. Так как плотность гамильтониана （3） не зависит от времени, то рассматриваемая система консервативна, т. е. ее энергия сохраняется при ее эволюции во времени. Благодаря этой независимости, операторы, фигурирующие в （2） и （3）, могут быть отнесены к любому моменту времени и, в частности, к начальному. Вообще же отметим, что в тексте используется гейзенберговское представление, в котором операторы являются функциями времени; это, разумеется, не мешает использованию в ряде случаев их начальных значений.
Кроме гамильтониана важны также коммутационные соотношения компонент полей. В релятивистски инвариантной форме они имеют вид
［44 （元方）；r （叉t）］=汤8» （尸一子）.
Следует обратить внимание на метрический тензор в правой части этого условия ［22］; так как левая часть имеет тензорный характер, то и правая часть также должна быть тензором. Но имеется лишь единственный тензор, а именно, метрический тензор д^, который может быть использован для придания правой части тензорного характера. Напомним, что метрический тензор д^ имеет лишь диагональные элементы вида （1, — 1, — 1, — 1）. Временная компонента метрического тензора отличается знаком от остальных компонент и это определяет нестандартность условий квантования скалярного потенциала; эти нестандартные условия диктуются, как видим, релятивистской ковариантностью теории и, как будет видно далее, являются источником тех трудностей, о которых говорилось выше и которые являются предметом обсуждения в данном разделе.
В гауссовых единицах коммутационные соотношения выглядят следующим образом:
4 （元方）;2『,t）］=汤 （尸-/）,
（5）
\U （尸,方）;П （尸,方）］=-汤8 （尸-尸‘）.
Представим потенциалыПредставим потенциалы(s = |^|)(s = |^|)⑹⑹戶⑺戶⑺-^Ы^ ^^ - к万+ (^)) с—凉］,-^Ы^ ^^ - к万+ (^)) с—凉］,в виде аи «)в виде аи «)口⑺=口⑺=интеграловинтеграловудовлетворяют коммутационным соотношениямудовлетворяют коммутационным соотношениям⑻⑻
Представим потенциалы
Представим потенциалы
(s = |^|)
(s = |^|)
⑹
⑹
戶⑺
戶⑺
-^Ы^ ^^ - к万+ (^)) с—凉］,
-^Ы^ ^^ - к万+ (^)) с—凉］,
в виде аи «)
в виде аи «)
口⑺=
口⑺=
интегралов
интегралов
удовлетворяют коммутационным соотношениям
удовлетворяют коммутационным соотношениям
⑻
⑻
и аи и а^ коммутируют с а и а+.
Потенциалы (6) и сопряженные им плотности импульсов (7) отнесены к начальному моменту времени. В таком виде они могут быть подставлены в гамильтониан (2), так как последний не зависит от времени. Тогда, с учетом коммутационных соотношений (8), гамильтониан поля принимает вид
⑼⑼
⑼
⑼
Здесь проявляется одно из тревожных обстоятельств, а именно, энергия поля, связанная со скалярным потенциалом (скалярными фотонами), может быть отрицательной. Отрицательность этой энергии является следствием знака минус во втором коммутационном соотношении (8), который в свою очередь является следствием особенности в коммутационном соотношении для скалярного потенциала и сопряженного ему импульса. Таким образом отрицательность энергии скалярных фотонов является следствием релятивистской ковариантности теории.
Имеется и второе такое обстоятельство. Из гамильтониана (3) в качестве уравнений Гамильтона-Гейзенберга следуют уравнения
-т— = -4тгс2П - с div А, = -с div 戶一Q,
-7— = 4тгс2Р - с grad U,(10)
ot
a戶 1-i -
= — -— rot rot A — c grad П H——J,a 方 47rc
где
Q = еб (尸—q),
8 (f - q) 8 (f - q)8 (f - q) 8 (f - q)
8 (f - q) 8 (f - q)
8 (f - q) 8 (f - q)
Ё =- gradU,с otЁ =- gradU,с otП =-П =-1 /1 dU 4тгс \с dt1 /1 dU 4тгс \с dt+ div А+ div Аan _ 1dt 47ran _ 1dt 47rdivE-Q,divE-Q,
Ё =- gradU,
с ot
Ё =- gradU,
с ot
П =-
П =-
1 /1 dU 4тгс \с dt
1 /1 dU 4тгс \с dt
+ div А
+ div А
an _ 1
dt 47r
an _ 1
dt 47r
divE-Q,
divE-Q,
—операторы плотностей заряда и тока, подчиняющиеся, как можно показать, уравнению непрерывности. При введении Е и Я согласно формулам
户=一」反 Я = rot Д
4тгс
где Е и Я — электрическое и магнитное поля, соответственно, эти уравнения переходят в систему
-1 дЕ 47г -
rot Я = ——1J - 47rcgradII,
c ot с
которая не является системой уравнений Максвелла. В частности в ней, как можно видеть, не справедлив закон Кулона. Для того чтобы эта система стала системой уравнений Максвелла, необходимо еще дополнительно выполнение калибровочного условия Лоренца
с ot
Но в операторной форме его выполнение невозможно, так как левая часть этого равенства пропорциональна каноническому импульсу П |Wphys) = 0, а последний не коммутирует, согласно (5), с потенциалом U [21, 22].
От обеих трудностей можно избавиться [20-22], если несколько ограничить пространство возможных состояний гамильтониана (3) и рассматривать в качестве физических, т. е. наблюдаемых реально, лишь состояния, для которых это условие
U|Wphys)=。(И)
выполнено. Это и есть дополнительное условие (в форме Ферми), которое вводится в теорию в качестве постулата при квантовании электромагнитного поля.
Очевидно условие (11) должно выполняться в произвольный момент времени, т. е.
口 ⑴ |Wphys ⑼)=。，
(12) n(t) = e 山"万 口0e一山〃万，
где По = П (0) — начальное значение оператора П (0). Оператор П (t) можно представить в виде
П (t) = По - I [Я; По] + f [Я; [Я; По]] -.(13)
Прямым вычислением можно убедиться, что первые два члена этого разложения имеют вид
口⑴=口 +方卜8 (尸一Q + e divr户⑺],
а остальные члены обращаются в нуль. Обращение в нуль третьего члена не случайно — можно убедиться, что двойной коммутатор в третьем члене пропорционален левой части уравнения непрерывности
+ div『(匕=0
и обращается в нуль вследствие этого уравнения. Это влечет за собой обращение в нуль и всех остальных членов разложения (13). Отметим, что по тем же причинам оператор
c⑴=eb (尸一守⑴)+ e • divr户(r,方)
является константой, т. е. С (t) = С (0) = Cq.
Таким образом физическое состояние должно удовлетворять двум условиям
口 ⑺ |Wphys ⑼〉=。，口 ⑺ |Wphys ⑼〉=。，I wphys ⑼)=。，I wphys ⑼)=。，
口 ⑺ |Wphys ⑼〉=。，
口 ⑺ |Wphys ⑼〉=。，
I wphys ⑼)=。，
I wphys ⑼)=。，
эквивалентным единому условию (11). Операторы По (г),戸(尸) и q отнесены к начальному моменту времени, т. е. представляют собой начальные значения соответствующих гейзенберговых операторов. Очевидно условия (14) выполняются и в произвольный момент времени
口(元川 Wphys ⑼)=0，
卜 div 户(元 U + e8(尸一*))]1%hys ⑼)=0，(⑷)
Используя разложение (7), получим условия
(а。(0 - aA (°) |Wphys(а。(0 - aA (°) |Wphysece~^kq2ece~^kq2I WphysI Wphys(15)(15)H)I Wphys )=H)I Wphys )=I Wphys )，I Wphys )，
(а。(0 - aA (°) |Wphys
(а。(0 - aA (°) |Wphys
ece~^kq
2
ece~^kq
2
I Wphys
I Wphys
(15)
(15)
H)I Wphys )=
H)I Wphys )=
I Wphys )，
I Wphys )，
где
Вследствие (14‘) соотношения (11) будут справедливы и в случае зависимости операторов а。，а^ и q от времени.
Следует отметить, что магнитное поле и поперечная часть электрического поля выражены через поперечные составляющие операторных векторов а и а+. Продольная часть электрического поля выражена через комбинации
du — cl а и (1ц —
которые можно рассматривать как одну из поляризаций в двумерном пространстве, образуемом двумя поляризациями — продольных и скалярных фотонов. Вообще говоря, в этом пространстве имеется вторая, линейно независимая поляризация, представляемая комбинациями
°и +。厶 и а 力 + а，.
Однако эта поляризация не представлена в наблюдаемых, т. е. в электрическом и магнитном полях. Поэтому квантовомеханическое состояние этой поляризации несущественно (см. приложение 3) °).
Условия (15) определяют физическое состояние кулонова поля в присутствии источников поля. К сожалению, они введены формально и не просматривается их физический смысл. Поэтому для того, чтобы построить состояние, удовлетворяющее этим условиям, имеет смысл рассмотреть условия (15) отдельно и более подробно.
Базисные состояния компонент потенциалов °). Пусть имеется основной объем квантования L3 с периодическими условиями Борна-Кармана на его границах [23]. Каждый пространственный осциллятор этого объема имеет четыре поляризации, описываемые потенциалами
“(16)
U (г) = J：； Que疾尸 +涼。
и канонически сопряженными им импульсами
(⑺(⑺
(⑺
(⑺
°) Вторая поляризация представлена в гамильтониане. Поскольку гамильтониан определяет эволюцию операторов, в том числе операторов наблюдаемых, то можно подозревать, что вторая поляризация через гамильтониан оказывает влияние на наблюдаемые. Однако это не так. Из уравнений Гамильтона- Гейзенберга (10), определяющих эволюцию операторов, можно видеть, что потенциалы А и U фигурируют в этих уравнениях лишь в виде комбинаций
/ дА11
+ с div А и + с grad и .
dt\/
Простые вычисления показывают, что эти комбинации выражены только через операторы
а。— а а и 若—а?
относящиеся к первой поляризации.
°) Все рассмотрение в данном разделе отнесено к нулевому моменту времени 力=0. Однако, вследствие невыделенности начального момента времени все построения могут быть повторены в произвольный момент времени.
Разумеется волновой вектор к и частота s удовлетворяют соотношениям
厶 厶 厶
---——，
，=/ (碎+写+ 砌，
где I, m, n — целые числа, и, вообще говоря, должны нести соответствующие индексы, однако для дальнейшего это неважно, поскольку рассматривается один конкретный осциллятор, и поэтому индексы далее опущены.
Подставляя выражения (16) и (17) в плотность гамильтониана (2) и интегрируя по основному объему, убеждаемся, что энергия поля равна
Ef = ^ Тьш [((5(5+ +(5+(5) — (аиОу + а^а。)] ,(18)
т.е. три пространственных осциллятора, соответствующие трем компонентам векторного потенциала, имеют положительную энергию. Четвертый же, соответствующий скалярному потенциалу, имеет отрицательную энергию. Отрицательность энергии квантовой системы, вообще говоря, не приводит к трудностям. Например, энергия электронов в атоме отрицательна (для ионизации атома нужно затратить энергию), но это не приводит ни к каким трудностям. Трудность однако состоит в том, что в отличие от атома энергия скалярного потенциала не ограничена снизу. В этом случае возможность использовать приведенный выше гамильтониан может быть обеспечена лишь тем или иным запретом на возрастание по модулю отрицательной энергии скалярного потенциала. В дальнейшем мы увидим, что роль такого запрета в квантовой электродинамике выполняет условие Лоренца.
Отрицательная энергия четвертого осциллятора ограничена сверху. Это можно показать, исходя из коммутационных соотношений. Вся система стационарных базисных состояний обычного осциллятора (например, осциллятора, соответствующего поперечной компоненте векторного потенциала) строится на основе коммутационного соотношения
qq+ — q+q = 1
для операторов рождения и уничтожения [23]. При этом построении совершенно не затрагивается и не играет никакой роли энергия базисных состояний. Система образованных таким образом базисных состояний является ортонормированной и включает в себя основное состояние, определяемое соотношением
и возбужденные состояния, определяемые соотношением
Так как для скалярного осциллятора при соответствии
(20)(20)
(20)
(20)
коммутационное соотношение
OlyOlu — OluOly = 1
笠4追厶笠4追厶由 0)=0,(21)由 0)=0,(21)имеет тот же самый вид, что и для обычного осциллятора, а знак энергии не важен, то ясно, что тем же способом может быть построена система ортонормированных базисных состояний, включающая в себя некоторое исходное состояние 10 )^, определяемое соотношением
笠4追厶
笠4追厶
由 0)=0,(21)
由 0)=0,(21)
и другие состояния, определяемые соотношением
полной и ничто не мешает использовать ее в качестве базиса для представления любых состояний скаляр- |0)и нельзя называть основным илиполной и ничто не мешает использовать ее в качестве базиса для представления любых состояний скаляр- |0)и нельзя называть основным или
полной и ничто не мешает использовать ее в качестве базиса для представления любых состояний скаляр- |0)и нельзя называть основным или
полной и ничто не мешает использовать ее в качестве базиса для представления любых состояний скаляр- |0)и нельзя называть основным или
Рис. 9. Стационарные состояния компонент векторного (А, 4, Аз) и скалярного U потенциалов ного осциллятора. Состояние
V八！
Вследствие соответствия (20) эта система состояний является
вакуумным, поскольку оно соответствует не минимуму энергии, а ее максимуму. Это состояние вместе с обычными вакуумными состояниями компонент векторного потенциала (рис. 9) образует некоторое исходное состояние, порождающее все остальные базисные состояния пространственного осциллятора. Далее оно называется порождающим
состоянием.
Отметим, что описание как построенных базисных состояний, так и их линейных комбинаций возможно в координатном представлении, т. е. посредством волновых функций. При этом для базисных состояний получаются обычные волновые функции, представляющие собой произведение полиномов Эрмита на гауссову экспоненту. Смысл волновой функции, несмотря на отрицательность энергии состояния, остается обычным. В атоме, как известно, смысл волновой функции электрона ⑦(尸)заключается в том, что \^ф (г)|2 АУ есть вероятность при измерениях найти координату электрона, примерно (в пределах АУ) равной г. Аналогично, в случае скалярного потенциала смысл волновой функции V7 (U) заключается в том, что \ф (t/)|2 At/ есть вероятность найти
значение скалярного потенциала, примерно (в пределах At/) равным U.
Все эти базисные состояния обычным образом нормированы и образуют полную систему состояний. Здесь просто нет места каким- либо вычурным состояниям с отрицательной или нулевой нормой, а тем более — с индефинитной метрикой. Такие состояния появляются, если требовать полного сходства (тождества) состояний векторного и скалярного потенциалов. Но такое требование является завышенным. Именно различие этих состояний, как видно из вышеизложенного, диктуется теорией относительности. Пространство теории относительности является псевдоевклидовым, а не просто евклидовым. Четвертая координата этого пространства — время — несколько отличается от собственно пространственных координат. В той же мере четвертая компонента электромагнитного поля — скалярный потенциал — отличается от компонент векторного потенциала.
Кажущиеся затруднения связаны с трактовкой номера состояния п, как числа фотонов (фиксируемых экспериментально). Однако следует иметь в виду, что для скалярного потенциала U номер состояния п имеет смысл числа фотонов, которые необходимо потратить, чтобы состояние осциллятора перешло с уровня, соответствующего отрицательной энергии, на нулевой уровень.
На первый взгляд кажется, что операторы а^ и а。 могут быть названы, соответственно, операторами уничтожения и рождения, т. е. дело как будто сводится просто к переименованию операторов. Однако это не так. Дело в том, что природа этих операторов двойственна. Оператор а。 увеличивает номер состояния, и в этом отношении он подобен оператору рождения а+ обычного осциллятора, но он уменьшает энергию осциллятора вследствие ее отрицательности. Соответственно, оператор уменьшает номер состояния, но увеличивает энергию состояния. Поэтому неудачными оказались попытки просто переименовать операторы а。и 党，т. е. оператор а。называть оператором рождения, а оператор а^ — оператором уничтожения. Таким образом уровни энергии осцилляторов четырех поляризаций могут быть представлены в виде, изображенном на рис. 9.
Сделаем некоторые замечания о требованиях к построенной картине базисных состояний со стороны теории относительности. Естественное условие, чтобы средние значения операторов электродинамических наблюдаемых преобразовывались в соответствии с преобразованиями Лоренца при переходе от одной системы отсчета к другой, автоматически выполняется, так как операторы, благодаря их релятивистски ковариантной форме, именно так и преобразуются. При этом состояния, т. е. волновые функции не должны меняться, так как их изменение только нарушило бы преобразование Лоренца для средних, обеспечиваемое операторами. Поскольку состояния, т. е. волновые функции не изменяются при изменении систем отсчета, то гильбертовы пространства отдельных компонент потенциалов не преобразуются
друг через друга и могут быть совершенно независимыми. Это касается, в частности, тех базисов, которые выбираются для представления волновых функций. Эти базисы могут быть совершенно различными для разных компонент потенциала. Они построены выше лишь исходя из соображений простоты и удобства.
Эти базисные состояния построены в некоторой лоренцевой системе отсчета и при переходе к другим системам отсчета не изменяются, изменяются лишь операторы электродинамических наблюдаемых. Тем самым в приведенном построении как бы присутствует неявно выделенная система отсчета. Однако фактически это построение может быть выполнено в любой лоренцевой системе отсчета, если оно выполнено в одной из них, и это делает все лоренцевы системы отсчета эквивалентными (см. приложение 2).
Квантовое состояние кулонова поля. В данном разделе строится состояние, удовлетворяющее соотношениям (15). Для этого, как и раньше, рассмотрим один из пространственных осцилляторов с двумя поляризациями — продольной (&厶)и скалярной (а。) — и исследуем подробно одно из его важных состояний
1") =，1 - m 崂 |0),(22)
где состояние | 0) — порождающее состояние (см. пункт 2) — удовлетворяет условиям
I。)=。，Q^ I 0) = 0.
(Следует различать операторы рождения-уничтожения а+, а п спектральные плотности операторов рождения-уничтожения а+, а. Связь между ними — см. ниже). Так как
m 方烈……,(2з)
т. е. это состояние нормировано °). Как нетрудно убедиться, состояние |〃) удовлетворяет соотношениям
(az - £&u) I 〃)=(£а^ац I 〃)= 0.
°) Состояние (23) есть модификация состояния Ф из раздела 5.2 книги [28]. Однако там не раскрыт смысл этого состояния при £ т 1, поскольку оно было сочтено ненормируемым.
Линейные комбинации в круглых скобках последних выражений при £ — 1 переходят в соответствующие комбинации в выражениях (15). Поэтому далее будем интересоваться также состоянием
\^} = lim I 〃)= lim，1 — F j0),(24)
Это состояние имеет важные особенности. Во-первых, среднее значение поля в этом состоянии равно нулю. Поля, согласно (7), выражены через комбинации но
lim (仪4 - £qu)⑺=0，
lim (^I kW -崂)⑺=0,
и, следовательно, их средние значения действительно равны нулю. Но равны нулю также и дисперсии этих полей
lim ① I [34-аи) + (w-a切2 ⑺=0.
Следовательно, состояние (24) описывает сосредоточенный объект — поле отдельного пространственного осциллятора, которое имеет нулевую дисперсию. Иными словами, это поле является точно определенным, не имеющим квантовомеханической неопределенности. Важно подчеркнуть, что такой объект естественным образом возникает в рамках теории квантованного электромагнитного поля как следствие релятивистской ковариантности теории, более конкретно, вследствие нестандартности коммутационного соотношения для скалярного потенциала и сопряженного ему импульса. Из этих нестандартных коммутационных соотношений следуют соотношения (8) и, соответственно, вывод о сосредоточенности поля продольного осциллятора. При этом, разумеется, выполняется и соотношение неопределенностей Гейзенберга, так как канонически сопряженная полю величина становится полностью неопределенной.
Следовательно, отмечаемые иногда трудности [22, 28] с нормировкой состояния I i) возникают как раз из-за необходимости описывать строго локализованные (без квантовомеханических неопределенностей) объекты в квантовой механике. В классике подобные объекты описываются с помощью 5-функций. Но 5-функция не годится в качестве волновой функции, так как ее квантовомеханическая норма неопределенна. В квантовой механике для описания локализованных объектов нужно, чтобы 5-функцией было распределение |Ф|2, т. е. в качестве Ф лучше всего подходит распределение, которое можно назвать корнем квадратным из 5-функции. Это, подобно случаю 5-функции, ко-
локолообразное распределение, ширина которого △ стремится к нулю, в то время как его максимальное значение стремится к бесконечности как 1/д/^ (в случае 8 — функции максимальное значение распределения стремится к бесконечности как 1/А). В приложении 2 показано, что, если перейти к координатному представлению состояния (24) (точнее, импульсному, так как поля пропорциональны каноническим импульсам), то получится естественное определение корня квадратного из 5-функции. Из этого рассмотрения видно, что введение параметра в < 1 в состояние |〃) или | ^) притупляет распределение, поскольку, согласно (22), снижает роль высоколежащих состояний осцилляторов, описывающих наиболее острую часть распределения, соответственно несколько расширяет его и трудности с нормировкой пропадают. В конечном же результате нужно перейти к пределу £ — 1.
Подвергнем теперь состояние (24) операции сдвига по величине скалярного потенциала. Такой сдвиг описывается оператором
О(〃)=+S),
где 从—комплексное число или оператор, коммутирующий как с так и с &厶，
Нетрудно убедиться, что состояние 丨⑦)=D (^) \ р) удовлетворяет условиям
(ОС4 --辽“)I ⑴=觴—W + 〃〃)I ⑴=0,(25)
и его можно представить в виде
1⑴=宀0),
где
Е = (£Q^ + 分〃)(&и + ф*) + - |〃|2 + In，1 - F .
Состояние, обобщающее построенное выше на все осцилляторы поля, имеет вид
V〉=F”|o)=expgEn) |0),(26)
где произведение экспонент и сумма в показателе экспоненты берутся по всем пространственным осцилляторам поля, причем
Е冷=(£吋冷 + фп) Gun + Фп) + g 卜小 + in a/i -戸•(27)
Это состояние при £ — 1 удовлетворяет соотношениям
(&4 — QU — “)V)=(崂—W + Ф) 1^) =0-(28)
Введем плотности операторов а+, а
где интегрирования производятся по элементарной ячейке пространства волновых векторов (объем такой ячейки равен Л3 = (2tt/L)) с центрами, соответственно, в точках к分 и kj, и плотность величины 从
Затем, учитывая, чтоЗатем, учитывая, что(29)(29)
Затем, учитывая, что
Затем, учитывая, что
(29)
(29)
приходим к непрерывному спектру и состоянию
|Ф) = lim exp|Ф) = lim exp+ zm+ zm
|Ф) = lim exp
|Ф) = lim exp
+ zm
+ zm
+ 3 卜(矶 + m，i -戸卜。)’ (зо)
которое, в соответствии с (25), при
iece^q
m =/
удовлетворяет условиям (15) и, соответственно, описывает продольноскалярное, т. е. кулоново поле.
В математическом отношении состояние (30) не тривиально, поскольку содержит предельный переход к непрерывному спектру и требует предельного перехода £ — 1 после его использования для усреднения того или иного оператора. Тем не менее работать с этим состоянием легко и удобно. Вычислим для примера среднее значение продольного поля при сосредоточенном заряде. Согласно (7), оператор кулонова поля пропорционален величине
гдегде戸1(尸)=户(尸)+户+(尸)，(31)戸1(尸)=户(尸)+户+(尸)，(31)
где
где
戸1(尸)=户(尸)+户+(尸)，(31)
戸1(尸)=户(尸)+户+(尸)，(31)
Усредняя последнее выражение по состоянию (30) и по электронному распределению вида \ф (q)|2 = 5 (Q, получим
〈戶U \grad [ е泳尸
\/ 1О7Гб J J
Вычисляя интеграл и учитывая связь pH и Е, приходим к обычному выражению для электрического поля сосредоточенного заряда
〈力⑺〉=—е grad
Состояние (23) при £ — 1, т.е. состояние (24), как уже отмечалось, имеет нулевую дисперсию, иными словами, описывает сосредоточенный объект, хотя и построено в рамках квантовой механики. Оператор сдвига, вообще говоря, не изменяет дисперсии. Однако в данном случае он содержит в себе оператор координаты заряда. Следовательно, при вычислениях с кулоновым полем может возникнуть дополнительная неопределенность, обусловленная неопределенностью координаты заряда, так как квантовомеханические усреднения предполагаются по всем независимым переменным, в том числе — по координатам заряда. Рассмотрим это обстоятельство более подробно, именно вычислим среднее значение кулонова поля и его дисперсию в произвольный момент времени и в случае, когда заряд не является сосредоточенным.
Действуя оператором
на состояние |^phys ) и учитывая, что соотношения (15) справедливы и в случае, когда операторы а。 и ал зависят от времени, получаем
戶(尸,方)№phys〉= £ ] ^ l团力=
T(33)
=grad J || e-佩虱| $phys .
Так как
] "k —ik^ — r^ —]
27r 2 ,『一尸「
TO
戶(尸,方)丨 Wphys ) = — g^ c grad^ 尸—虱力 I Wphys ) •(34)
Так как | V^hys ) = е° | 0) и оператор О содержит лишь координату электрона q и не содержит импульса электрона р, то состояние I V^hys ) можно пронести налево и при дальнейшем проектировании на состояние ^ ^phys | оно сокращается. Поэтому далее выражение grad^ (1/I尸一Л) следует усреднять лишь по состоянию электрона. 力-ая компонента выражения gradr {\/ \г — q(t)\) может быть приближенно представлена в виде
1 ГЗж (г q (t))1 ГЗж (г q (t))广2广2(35)(35)
1 ГЗж (г q (t))
1 ГЗж (г q (t))
广2
广2
(35)
(35)
Первый член этого выражения, как и положено, убывает с ростом г как г2. Важно, что он не зависит от q. По этой причине ни квадрат первого члена, ни его удвоенное произведение на второй член не дадут вклада в дисперсию этого выражения. Вклад в дисперсию даст лишь квадрат второго члена. Так как второй член убывает с ростом г как г3, то дисперсия будет убывать также как г3, т. е. быстрее, чем убывает поле. Следовательно, на больших расстояниях от зарядового распределения практически в кулоновом поле будет отсутствовать неопределенность, т. е. оно будет иметь классический характер. Можно сказать, что на больших расстояниях от заряда кулоново поле находится в бесконечно сжатом состоянии. Это резко отличает его от поперечных компонент электромагнитного поля. По этой причине для него невозможны состояния типа обычных сжатых состояний и тому подобных.
Вблизи от зарядового распределения неопределенность продольного поля будет определяться неопределенностью координаты заряда, но не неопределенностью самого продольного поля, как самостоятельной независимой переменной.
Отметим, что при m = 0 состояние (30) переходит в состояние
|Фо ) = exp I dk 卜 W + In，1 — F } |0), (36) в котором равно нулю как среднее значение кулонова поля, так и его дисперсия. Можно сказать, что это состояние соответствует отсутствию кулонова поля, так как все его средние значения в этом состоянии равны нулю. В приложении 4 это состояние будет использовано для описания возможного начального состояния кулонова поля.
Тем самым выражение (30) решает проблему описания кулонова поля в рамках квантовой электродинамики при лоренцевой калибровке. Основная особенность этого описания заключается в том, что вдали от зарядового распределения кулоново поле не обладает квантовомеханическими неопределенностями. Эта особенность есть следствие ковариантности теории, а именно, следствие ковариантных коммутационных соотношений (5) и условия Лоренца.
Резкое отличие кулонова поля от поперечных компонент электромагнитного поля требует какого-то объяснения. В приложении 4 обсуждено возможное происхождение условия Лоренца и, как следствие, особого состояния кулонова поля при эволюционном подходе. Показано, что при естественных предположениях о начальных состояниях полей от условия Лоренца как от постулата теории можно отказаться - оно возникает в результате релаксации полей к современному состоянию. Показано также, что при такой релаксации происходит излучение поля, описываемого оператором И (尸,方).Это излучение может существовать в настоящее время в форме некоторого реликтового излучения, поиски которого возможно имеют смысл.
3.5. Заключение. В данном разделе проанализированы физические причины трудностей, возникающих при квантовании электромагнитного поля. Построена простая, полная, обычным образом нормируемая система ортогональных базисных состояний скалярного потенциала. Показано, что кулоново поле на больших расстояниях от зарядового распределения является точно определенной величиной, не имеющей квантовомеханических неопределенностей. Существование подобных объектов в рамках квантовой механики является следствием релятивистской ковариантности теории. Построено простое выражение для основного состояния электромагнитного поля в присутствии заряда, удобное для расчетов, учитывающих его кулоново поле.
Показано, что теоретическая конструкция, связанная с индефинитной метрикой, является излишней. Показано также, что отрицательная энергия состояний, соответствующих скалярному потенциалу, не является трудностью теории. Реальное уменьшение полной энергии системы ограничено условием Лоренца (в изложенном контексте — условием Ферми).
В связи с важной ролью условия Лоренца (или условия Ферми), как условия дополнительного к лагранжеву или гамильтонову формализмам, в приложении 4 обсуждено возможное его происхождение при эволюционном подходе. Показано, что при естественных предположениях о начальных состояниях полей от условия Лоренца (или условия Ферми) как от постулата теории можно отказаться — оно возникает как результат релаксации полей к современному состоянию. При такой релаксации происходит излучение поля, описываемого оператором П (尸,方).Это излучение может существовать в настоящее время в форме некоторого реликтового излучения, поиски которого возможно имеют смысл.
Выводы.
Показано, что продольное поле является точно определенной величиной, т. е. не имеет квантовомеханических неопределенностей. Существование подобных объектов в рамках квантовой механики является следствием релятивистской ковариантности теории. Построена
простая, полная, обычным образом нормируемая система ортогональных базисных состояний скалярного потенциала. Построено простое выражение для основного состояния электромагнитного поля в присутствии заряда, удобное для расчетов, учитывающих продольное поле заряда.
Показано, что отрицательная энергия состояний, соответствующих скалярному потенциалу, не является трудностью теории. Реальное уменьшение полной энергии системы ограничено условием Лоренца.
Основным преимуществом изложенного подхода является то, что дополнительное условие (т. е. условие Лоренца) при таком подходе не постулируется, но естественным образом возникает как результат релаксации системы к соответствующему состоянию.
Состояния, считавшиеся ранее нефизическими, имеют некоторый физический смысл или имели его, по крайней мере, на ранних этапах после возникновения системы (см. приложение 4). В связи с этим поиски специфического реликтового излучения, связанного с излучением продольных и скалярных фотонов (поля 口(尸，方))，могут представлять интерес.
Исходная функция Лагранжа и условие Лоренца основаны на определенных законах симметрии. Представляет интерес выяснение тех нарушений симметрии (может быть, слабых), которые могли бы привести к возможности генерирования поля П (г, t). Возможно ли такое нарушение симметрии в реальном мире?
Приложение 1. О калибровках. Потенциалы в различных калибровках связаны друг с другом известным градиентным преобразованием. Это преобразование не изменяет электрического и магнитного полей, поэтому различные калибровки являются эквивалентными. Учет квантовой природы электромагнитного поля, т. е. переход к КЭД, вносит новый элемент — процесс квантования. Этот процесс может быть неперестановочен с градиентным преобразованием, т. е., фиксируя калибровки и затем производя квантование в разных калибровках, можно, вообще говоря, получать результаты, не эквивалентные по отношению к градиентному преобразованию. Реально так и получается. Квантование в лоренцевой калибровке приводит к некоторому квантовомеханическому состоянию продольного поля, в то время как квантование в кулоновой калибровке оставляет продольное поле неквантованной, классической величиной, которой не соответствует никакого состояния. Никаким градиентным преобразованием нельзя квантовомеханическое состояние перевести в отсутствие состояния.
Кулонову калибровку с последующим квантованием имеет смысл назвать «практической» кулоновой калибровкой, поскольку именно она используется во многих практических расчетах. Ее следует отличать от «истинной» кулоновой калибровки, которая получится, если
результаты квантования в лоренцевой калибровке подвергнуть соответствующему градиентному преобразованию. Эпитет «истинная» в данном случае уместен, поскольку такой путь сохраняет такие важные теоретические элементы как релятивистская ковариантность и калибровочная эквивалентность.
Что касается количественных результатов расчетов при использовании практической кулоновой калибровки, то они во многих случаях будут правильными. Действительно, хотя в истинной кулоновой калибровке имеется, как уже отмечено, квантовомеханическое состояние, оно — это состояние — имеет нулевые квантовомеханические неопределенности, т. е. по существу, продольное электрическое поле является классической величиной. Всегда ли расчеты в практической кулоновой калибровке будут давать правильные результаты? — это пока вопрос открытый.
Приложение 2. Релятивистское преобразование полей. При релятивистском преобразовании квантованных полей основное требование заключается в том, чтобы средние квантовомеханические значения полей преобразовывались в соответствии с преобразованием Лоренца.
Это требование удовлетворено, поскольку операторы полей при переходе к новой системе отсчета (скажем, движущейся вдоль оси х со скоростью У) испытывают преобразование Лоренца
Uf = yU + gAx, Afx = gU + yAx,
где В = V/c, 7 = 1 /\J\ — . Используя для U а Ах разложения (6), видим, что новые потенциалы выражаются через старые операторы рождения и уничтожения
才丄(戸)=才丄(F) , xf = ух, yf = g, z' = 2,才丄(戸)=才丄(F) , xf = ух, yf = g, z' = 2,Uf (/) = 7Uf (/) = 7ац (k) pax kац (k) pax k
才丄(戸)=才丄(F) , xf = ух, yf = g, z' = 2,
才丄(戸)=才丄(F) , xf = ух, yf = g, z' = 2,
Uf (/) = 7
Uf (/) = 7
ац (k) pax k
ац (k) pax k
+(4
Поскольку в этих соотношениях уже использовано лоренцово преобразование операторов, то лоренцево преобразование средних обеспечено
при квантовомеханическом усреднении по состояниям, принадлежащим прежним гильбертовым пространствам. Никакого преобразования этих гильбертовых пространств не требуется.
Заметим, что исходная система отсчета оказывается при этом выделенной, поскольку именно в ней построено пространство состояний, по которым производится усреднение операторов полей во всех других системах отсчета.
Однако, можно показать, что такое же построение можно произвести в любой системе отсчета. Для этого обратим внимание на то, что плотности операторов рождения и уничтожения преобразуются к новой системе координат по правилу
yVa£=7x/^ （au+ 炉a力），x47。£+ = （au + 炉碇），
yVa； = 7VcJ （Bau +。力）， 用瞋十=（口吨 + а+）, причем новые операторы подчиняются тем же перестановочным соотношениям, что и старые,
Для того чтобы построить систему базисных состояний в новой системе отсчета, достаточно построить в этой системе порождающее состояние, определяемое равенствами
叱+ I。‘）=成 I 0,） = Ч I。‘）= a； I。‘）
или
（W + /За^） I （У ） = 0, （0аи + &力）|。‘）= 0.
Используя соотношения
aх （#）ё0w=e0建（a力（爾）+夕8«一爾）），
<4 （R） е『аи = JQU （^и （"） +河仔一爾）），
где p s г могут быть операторами, коммутирующими, соответственно, с а^ н &и, убеждаемся, что искомое порождающее состояние имеет следующий вид:
Можно убедиться, что это состояние нормировано.
9 В.П. Быков
Тем самым показано, что вся схема построения гильбертовых пространств является релятивистски ковариантной, даже при том, что гильбертовы пространства скалярного и векторного потенциалов отличаются друг от друга.
Приложение 3. Координатное представление для состояния
|»)・ Как показано в основном тексте, важную роль играет состояние
=，1 - m esauaA\o^
где исходное состояние | 0) определяется соотношениями
&4 I。)=。， Q^ I 0 ) = 0.
Состояние |») удовлетворяет соотношениям
(az — £&и) |») = 0,(а^ - т^) |^)=0,(37)
которые ниже рассматриваются как определения состояния | F). Поле pW состоит из двух частей
V 8+卜V 8+卜Ри = гС (ац - а吉),Ра = -гС (ад - а財,(с =
V 8+卜
V 8+卜
27r方e2『27r方e2『Этим двум частям соответствуют сопряженные координаты
27r方e2『
27r方e2『
U = D (аи + 崂)，А = D，(。=
Отсюда получаем выражения
С гС л г
「宀交无 аА = ЙА^2СРА'
Так как определением состояния 了〉 являются соотношения (37), то
2С22С2⑺=°，⑺=°，e4+酒…u-赤e4+酒…u-赤⑺=°・⑺=°・
2С2
2С2
⑺=°，
⑺=°，
e4+酒…u-赤
e4+酒…u-赤
⑺=°・
⑺=°・
Наблюдаемой (величиной, пропорциональной электрическому полю)
является канонический импульс 戶，поэтому далее используем импульсное представление; при этом
办 一 力，а-ри т и，охоу办 一 力，а-ри т и，охоу⑺一①（力,g）.⑺一①（力,g）.
办 一 力，а-ри т и，
охоу
办 一 力，а-ри т и，
охоу
⑺一①（力,g）.
⑺一①（力,g）.
Следовательно, получаем уравнения
1 а1 а①(力,g) = 0,①(力,g) = 0,
1 а
1 а
①(力,g) = 0,
①(力,g) = 0,
Решение этой пары уравнений имеет вид
(38)(38)①(力,у) =—2",
(38)
(38)
V 2 7ГС
где
402(—2)，202(1 —F)・
Все полевые наблюдаемые выражены через разность Ра — Ри (см. (7) основного текста), и нигде не фигурирует сумма Ра + Ри• Поэтому в решении (38) следует перейти к переменным
£ =圭("一“)，〃=圭("+ ")•(39)
Тогда функция Ф (力，у) факторизуется
①£ (0 =①〃(〃)=①£ (0 =①〃(〃)=① 0, g) = % (f) •①〃切， причем
①£ (0 =
①〃(〃)=
①£ (0 =
①〃(〃)=
е е(一)'
и переменной Рд — Ри соответствует волновая функция ①§ (£).
Нетрудно убедиться, что |①§(£)『 при £ — 1 является одним из возможных представлений 8 (^)-функции Дирака. Следовательно, 9*
волновую функцию ①§ (£) при £ — 1 следует назвать корнем квадратным из 5-функции. Нетрудно заметить, что ее ширина △ уменьшается пропорционально，1 — £ при £ — 1, в то время как амплитуда при
растет пропорционально 1/步1 — £, т. е. как 1/VS, и это естественно для корня квадратного из 5-функции. Эта волновая функция в рамках квантовой механики описывает сосредоточенный объект, т. е. объект, не имеющий квантовомеханической неопределенности. Как видим, возможность и необходимость подобного объекта в рамках квантовой электродинамики непосредственно вытекает из требования релятивистской ковариантности теории.
Волновая функция ①〃 (〃)при £—1, оставаясь обычным образом нормированной, бесконечно расширяется, т. е. дисперсия переменной Ра + Ри стремится к бесконечности. Однако эта переменная не входит в наблюдаемые, поэтому ее поведение, вообще говоря, несущественно (см. замечание после соотн. (15) основного текста).
Следовательно, состояние |z/) = lim |») является состоянием, в котором средние значения всех наблюдаемых равны нулю. Такое состояние естественно считать соответствующим отсутствию поля. Это состояние можно назвать бесконечно сжатым состоянием поля.
Приложение 4. Условие Лоренца как результат эволюции. В рамках основного текста построена простая схема квантования куло- нова поля с обычным образом нормируемыми состояниями. При этом выяснилось, что кулоново поле есть не вполне обычный объект квантовой электродинамики, поскольку оно не обладает квантовомеханическими неопределенностями. Причем эта особенность возникает в рамках квантовой электродинамики и является следствием (или, если хотите, требованием) релятивистской ковариантности. Она является как бы повторением на новом теоретическом витке той совершенно неудовлетворительной особенности практической кулоновой калибровки, когда кулоново поле вообще не квантовалось.
Так как источником такой особенности кулонова поля, делающей его непохожим на поперечные компоненты поля, является условие Лоренца, вводимое в теорию дополнительно к лагранжеву или гамильтонову формализмам, то естественно проанализировать природу дополнительного условия, в данном случае, условия Лоренца в форме Ферми.
Как видно из основного текста, квантовая теория электромагнитного поля строится на основе симметрийных соображений. Выбранная функция Лагранжа является простейшей релятивистски инвариантной функцией Лагранжа, описывающей векторное поле. Однако при построении теории на основе этой функции выясняется, что теории не получается, если только не ввести дополнительного условия, а именно, условия Лоренца. С позиций исходного лагранжева или гамильтонова подхода это условие произвольно. Оно вводится для того, «чтобы
теория получилась»! Это выглядит как подгонка задачи под ответ. Аналогично выглядит и обращение к уравнениям Максвелла. Теория строится так, чтобы в той или иной форме получались уравнения Максвелла. При этом сами уравнения Максвелла рассматриваются как обобщенное выражение большой совокупности экспериментальных фактов, т. е. также являются обобщенным экспериментальным фактом. Но при дедуктивном построении теории обращение к экспериментальным фактам является инородным элементом такой теории, снижающим ее эстетическую привлекательность. Если проявить последовательность, то нельзя не признать, что не обоснованное логически введение дополнительных условий это существенный недостаток дедуктивного построения теории на основе исходных симметрийных принципов.
При построении теории на основе симметрийных принципов для появления дополнительных условий желательно найти внутренние для теории стимулы, которые приводили бы в конечном счете к правильному описанию реальности и, в частности, к уравнениям Максвелла. Тогда появляется шанс узнать кое-что новое о природе электромагнитного поля. Далее приводятся доводы в пользу эволюционного происхождения дополнительного условия.
Дополнительные электродинамические условия обычно трактуются как связи. Связи впервые возникли в классической механике. Там связи всегда вторичны, так как движение со связями это всегда частный случай движения без связей. Иными словами, само наличие связей указывает на возможность движения без связей. При определенных условиях связи можно «разорвать» и перейти таким образом к движению более общего вида. Например, движение автомобиля по поверхности земли есть движение со связями. Сила тяжести, действующая на автомобиль, уравновешивается силой реакции со стороны земли и автомобиль оказывается фиксированным на ее поверхности. Однако известно, что при достаточно большой скорости на горбатом мосту автомобиль может подпрыгнуть и выйти таким образом за пределы движения со связью. По существу, такое положение имеет место всегда при движении со связями — при тех или иных условиях движение выходит за пределы связи и становится движением более общего вида.
Эти соображения являются намеком на то, что для лучшего понимания дополнительного условия ( т. е. электродинамической связи) нужно от него отказаться и рассмотреть движения более общего вида.
В последние годы в физике широко представлен эволюционный взгляд на природу. Согласно ему, природа, которую мы видим вокруг себя, есть результат ее эволюции (в самом широком смысле этого слова) от некоего большого взрыва, происшедшего много миллиардов лет назад, до наших дней. Такой взгляд многое проясняет. Его можно применить и к рассматриваемому нами вопросу [29-31].
Рассмотрим эволюцию состояния модельной электродинамической системы, начиная с некоторого начального момента. При этом откажемся от какого-либо дополнительного условия и будем считать,
что в начальный момент имеет место состояние поля (36), т. е. поле находится в состоянии, соответствующем отсутствию поля; заряды же пусть существуют в виде совершенно одинаковых положительного и отрицательного распределений (для простоты полагаем эти распределения гауссовыми) и идеально компенсируют друг друга (это необходимо, поскольку из гамильтониана вытекает уравнение непрерывности, т. е. сохранение заряда). Это означает, что электромагнитное поле отсутствует, а заряды еще не разделились и не могут генерировать поле. После возникновения зарядов на электронное распределение пусть действует внешний потенциал К (方)[25]
обусловленный какими-то сторонними силами и смещающий электронное распределение на вектор и. Следовательно, этот потенциал мсдельно описывает процесс разделения зарядов. Итак, исходное состояние имеет вид
\Е让)=|е,夕,％), (40)
где \е,р) — электронное и протонное распределения, заряды которых, как уже сказано, точно компенсируют друг друга, | %) — состояние поля (36), соответствующее его отсутствию.
Далее отыскивается состояние системы в некоторый произвольный, достаточно отдаленный от начального, момент времени. Состояние системы после действия потенциала К (方)имеет вид [25]
I b) = G I , (G = exp 卜泡仿—k⑺)/叫.
Предполагается, что обратное действие порождаемого поля на заряды отсутствует, т. е. после разделения заряды покоятся. Это можно учесть в расчетах, если считать эти заряды достаточно массивными. Это, конечно, серьезная идеализация, но, как нам представляется, отказ от нее лишь затруднит вычисления, не изменив конечных выводов из исследования. Поэтому дальнейшее развитие состояния (40) определяется гамильтонианом
H = eU@) — eU®+Hf, (»/=力 dku^a-aua^ ,
где q и Q — координаты, соответственно, электрона и протона. Следовательно, в произвольный момент времени состояние системы имеет вид
Экспоненциальный оператор разделяется на две коммутирующие друг с другом части
где
Wud） = е-^и^-еи^Ни]^ Wa^ =е-^НА
И
Ни =—力 dk з аиНи =—力 dk з аи
Ни =—力 dk з аи
Ни =—力 dk з аи
Следовательно, полный оператор эволюции имеет вид
W ⑴=Wy ⑴• WA ⑴• G.
Представим оператор Лоренца в гейзенберговской форме 口（元方）=1yT⑴口⑺!У⑴
и исследуем состояние |①（方）），порождаемое им из вакуума. Используя соотношения
%⑴aцWu（U =
G-Wj ⑴ Ы 伍）WA ⑴ G =
и сопряженные им, получаеми сопряженные им, получаем£p — ikq — iut f —ikuV£p — ikq — iut f —ikuV口（元方）=口（元方）=гдегдеко = £ко = £巫ге 凉仔一О） —iat巫ге 凉仔一О） —iat
и сопряженные им, получаем
и сопряженные им, получаем
£p — ikq — iut f —iku
V
£p — ikq — iut f —iku
V
口（元方）=
口（元方）=
где
где
ко = £
ко = £
巫ге 凉仔一О） —iat
巫ге 凉仔一О） —iat
+ ^k^r-q-u） _ e分曲尸一子）_九^ + e分曲尸一A逹）_ c c
Первое интегральное слагаемое, действуя на начальное состояние, дает нуль. В К （尸，方）члены, не содержащие времени, обращаются в нуль, так как
Таким образом для К （г） получаем следующее выражение:
e47r01ce47r01cК （尸，方）=［巫卜网〜⑦…力一ё凉=
e
47r01c
e
47r01c
卜（卜一QI 一 c方）一8 （卜一QI +e方）］—
-ф^ ［（8 （К-g— ^1 - Ct）-8 （I 尸一q-u\ + ct））］,
где
0 =卜-q| ,偌=I尸-q - u\.
Соответственно, при t > 0 имеем
к内）=馬6（卜_品
Производя усреднение по распределениям зарядов, можно убедиться, что при достаточно больших временах t величина К （г,方）равна
К = 6^° e-（r~ct）2/Qo_ e~（\r-u\~ct）2/Q^
' 4сг4с\г - и\'
где Qo — ширина зарядового распределения. В окрестности же этого распределения К （尸，方）обращается в нуль. Соответственно условие
口（元方）1%）=0
при достаточно больших t также оказывается выполненным в окрестности зарядового распределения. Как видим, условие （11） основного текста оказывается результатом релаксации системы от некоторого естественного начального состояния, но не искусственно вводимым требованием, как при традиционном подходе.
Таким образом от условия Лоренца (или условия Ферми) как от постулата теории можно отказаться — оно возникает как результат релаксации полей к современному состоянию. При такой релаксации происходит излучение поля, описываемого оператором П (г, t). Это излучение может существовать в настоящее время в форме некоторого реликтового излучения, поиски которого, возможно, имеют смысл.
Приложение 5. Об определении вакуума свободного электромагнитного поля. Обычно в литературе используют следующее определение вакуума для свободных полей [22, 32, 33]:
(41)(41)(42)(42)\vac} = ^(Зт\т^ .\vac} = ^(Зт\т^ .(43)(43)
(41)
(41)
(42)
(42)
\vac} = ^(Зт\т^ .
\vac} = ^(Зт\т^ .
(43)
(43)
где ai — отрицательно-частотные амплитуды электромагнитного поля и символ 4 соответствует скалярной поляризации фотонов.
Покажем, что последнему равенству
&4Iоас) = О
удовлетворить невозможно. Для простоты воспользуемся дискретным импульсным представлением ([32], стр. 40). Тогда операторы а〃， переходят в операторы а〃，а^, подчиняющиеся перестановочным соотношениям
1, а= 1,2,3,
а^ [к] at ( к
Для пространственных компонент можно провести стандартную процедуру построения состояний. Для скалярной поляризации оператором, порождающим состояния, согласно той же процедуре, является оператор сц
Ia4 ) =1。4 ),a j I04 )=0.
Эта система состояний является ортонормированной и полной в обычном смысле этих слов ( т. е. как для других осцилляторов). Состояние I °4) не идентично состоянию | vac), которое предположительно удовлетворяет условию (41).
Поскольку построенная система состояний (42) полна, то искомое состояние I vac) можно разложить по этой системе состояний:
Чтобы удовлетворить условию (41), подействуем на состояние (43) оператором сц
«4 I о。。)= £ An \/^4 + 1 I пц + 1).(44)
т
Если в разложении (43) хотя бы один коэффициент отличен от нуля, то и в разложении (44) тоже хотя бы один коэффициент будет отличен от нуля. Это означает, что
сц I vac)市 О
в противоречии с требованием (41).
Следовательно, обычно используемое определение вакуума нуждается в уточнении. Отметим, что обычно используемое определение вакуума приводит к необходимости введения так наз. индефинитной метрики. Отказ от (41) делает ненужным введение индефинитной метрики.
Сжатый свет, коэффициенты сжатия,невырожденный режим
Основные решения, относящиеся к параметрическому возбуждению сжатых состояний света, были рассмотрены в четвертом разделе второй главы. Они показали возможность генерирования сжатых состояний и даже указали на возможность достижения больших коэффициентов сжатия. Именно эти решения были стимулом первых экспериментов по наблюдению сжатого света.
Однако теория и эксперимент сильно разошлись в коэффициентах сжатия. Теория предсказывала коэффициенты сжатия до 1О9-1О10, в то время как эксперимент давал коэффициенты сжатия в пределах одного десятка.
В данном разделе сделана попытка проанализировать это расхождение и указать по возможности пути увеличения коэффициентов сжатия. Как показали расчеты, изложенные ниже, важную деструктивную роль играют потери параметрического резонатора, которые не учитывались в решениях, данных в четвертом разделе второй главы. Хотя эти потери невелики, они приводят к уширению спектральной линии параметрического резонатора и кардинально изменяют режим параметрического возбуждения сжатого света, делая его невырожденным. В результате проведенного исследования показано, что имеются некоторые пути сужения генерируемой спектральной линии и, соответственно, увеличения достижимых коэффициентов сжатия.
Невырожденный параметрический генератор. В приведенных в четвертом разделе второй главы решениях параметрической задачи резонатор параметрического генератора считался идеальным, т. е. не имеющим потерь или, другими словами, обладающим бесконечно узкой спектральной линией.
Ширина спектральной линии оптических резонаторов обычно невелика. Относительная ширина спектральной линии резонатора определяется потерями и равна
△e〜笳
Q 2тт 八'
где п — число полуволн, укладывающихся в резонаторе между образующими его зеркалами,
2
*4R
и R — коэффициент отражения зеркала, на котором происходят потери энергии в резонаторе. Реально, при коэффициенте отражения 99 % и n = 104 относительная ширина спектральной линии резонатора з 1.5 • 10一8
На первый взгляд кажется, что столь малая ширина спектральной линии не может оказать значительного воздействия на параметрическое возбуждение сжатого света. Однако, как станет ясно, наличие потерь в резонаторе и, соответственно, некоторой конечной ширины спектральной линии качественно изменяет характер параметрического возбуждения сжатого света.
Учет потерь в рамках квантовой механики является трудоемким делом. Правильный путь такой. Непрерывный спектр моды резонатора (лоренцева спектральная линия моды) возникает в результате взаимодействия этой моды с некоторой подсистемой (термостатом), обладающей непрерывным спектром. Интересующий нас осциллятор, подобный описанному в гл. 2, взаимодействует с термостатом. При этом все осцилляторы, как выделенный, так и осцилляторы термостата должны рассматриваться квантово-механически. Тогда возбуждение выделенного осциллятора в соответствии с квантовыми законами постепенно переходит к осцилляторам непрерывного спектра. При этом автоматически учитывается обратная реакция осцилляторов термостата на выделенный осциллятор [34].
Применительно к рассматриваемой нами задаче о параметрическом возбуждении изложенный выше последовательный подход пока реализовать не удалось. Ниже используется упрощенный подход, когда из всех мод непрерывного спектра учитываются лишь две моды. Предполагается при этом, что собственные частоты этих мод различны,
а их сумма равна частоте накачки. В этом случае параметрический генератор называется невырожденным.
Невырожденный параметрический генератор. В невырожденном параметрическом генераторе физические явления происходят несколько иначе, чем в вырожденном. В частности, в невырожденном генераторе как максимальная, так и минимальная неопределенности поля возрастают со временем, в то время как в вырожденном параметрическом генераторе максимальная неопределенность поля возрастает, а минимальная —убывает. Эта особенность является ключом к пониманию малых коэффициентов сжатия в реальном параметрическом генераторе, так как из-за конечной спектральной ширины резонанса генерация в нем представляет собой сложную суперпозицию вырожденного и невырожденного режимов.
В данном разделе приведены основные положения, относящиеся к невырожденному режиму параметрического возбуждения [35]. Сначала исследуется решение уравнения Шредингера в форме гауссова волнового пакета. При этом показано, что такой волновой пакет точно удовлетворяет уравнению Шредингера, если его параметры удовлетворяют некоторой системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Эти уравнения нелинейны, но сводятся к линейным уравнениям с коэффициентами, периодически зависящими от времени, т. е. к уравнениям, составляющим систему Флоке. Приближенное решение этой системы отыскивается с помощью теории возмущений. На основе этого решения находятся параметры гауссова волнового пакета, упомянутого выше. Дисперсия электрического поля, представляющего собой сумму электрических полей возбуждаемых мод, вычисляется посредством квантово-механического усреднения по этому состоянию.
Показано, что как максимальная, так и минимальная дисперсии экспоненциально возрастают, а их отношение стремится к некоторому предельному значению и это есть главный результат учета потерь, т. е. в данном случае — учета невырожденности параметрического генератора. Именно экспоненциальное возрастание минимальной дисперсии, как сказано выше, объясняет малость коэффициентов сжатия при реальной параметрической генерации.
Гауссов волновой пакет как решение уравнения Шредингера для двух осцилляторов при параметрическом возбуждении. Параметрическое возбуждение двух электромагнитных мод описывается гамильтонианом
= 2 (石届 + "1 心)+ 2 (石场 + "2届)+ 从⑴• %q2, (1) где
М (^) = Mo sinQt, t > Ои 〃⑴=0, t < 0. (2)
Хотя в работе используются традиционные квантово-механические обозначения р и q для канонически сопряженных наблюдаемых, следует иметь в виду, что они пропорциональны соответственно электрическому полю и векторному потенциалу моды в некоторой выделенной точке электромагнитного резонатора. Для размерностных проверок в вычислениях сохранена масса т.
Гауссов волновой пакет
W (%，«2,"=
=a ⑴ exp (一%心-28 %生一72^2 + 7% + 强生 + ①⑴)，(3) физически соответствующий гауссову перепутанному состоянию, является точным решением уравнения Шредингера
⑷⑷ЭФ
⑷
⑷
при условии, что функции времени )1,8,72, £1，£2 удовлетворяют уравнениям
— 亭=22Ие,(5)
от2 ат
где
D =D =UHUH竭丿竭丿
D =
D =
UH
UH
竭丿
竭丿
j2(6)
Решение (3) представляет собой естественное обобщение решения (2.4.68) для одного осциллятора.
Из начального вакуумного состояния осциллятора возникает состояние сжатого вакуума, поэтому полагаем £ = 0. Дисперсия состояния (3) равна
Первое из уравнений (5) является матричным уравнением типа Рикатти, т. е. нелинейным матричным дифференциальным уравнением. К счастью, оно сводится к системе линейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. Решением
уравнения (5) является произведение
⑻⑻М = /・ут,
⑻
⑻
где X и У — матрицы 2x2, удовлетворяющие линейным уравнениям
W=DY,学=—X.ататW=DY,学=—X.атат⑼⑼
W=DY,学=—X.
атат
W=DY,学=—X.
атат
⑼
⑼
Эту систему можно представить в виде
(10)(10)dU
(10)
(10)
U (г) — блочный столбец,U (г) — блочный столбец,где А (г) — блочная матрица и
U (г) — блочный столбец,
U (г) — блочный столбец,
4丁）=4丁）=(П)(П)
4丁）=
4丁）=
(П)
(П)
I — единичная матрица. Поскольку коэффициенты этой системы зависят от времени периодически (с периодом Г = 2тг/С), то это система Флоке. Хотя система (10) — линейная, решение ее не слишком просто и возможно лишь в рамках теории возмущений, когда величина 从(方)— мала. В начальный момент времени матрицы X п У примем равными
(匂0(匂0/ 1 0S о 1/ 1 0S о 1
(匂0
(匂0
/ 1 0
S о 1
/ 1 0
S о 1
что соответствует вакуумным начальным состояниям обоих осцилляторов. Начальные значения столбцов U (г) имеют следующий вид:
(—is、_0/0)=]\ 0丿(—is、_0/0)=]\ 0丿E0)=E0)=0 、0 、— 2^2о— 2^2о\ 1 /\ 1 /(12)(12)
(—is、
_0
/0)=]
\ 0丿
(—is、
_0
/0)=]
\ 0丿
E0)=
E0)=
0 、
0 、
— 2^2
о
— 2^2
о
\ 1 /
\ 1 /
(12)
(12)
(13)(13)Система уравнений (10) имеет четыре линейно независимых решения, которые ниже называются реперными и которые, согласно теореме Флоке, можно представить в виде
(13)
(13)
где U = 力〃(方)，—периодическая (четырехкомпонентная, как и U (方)) функция времени с тем же периодом Т = 2tt/Q, что и функ-
ция 〃(方)，и х — функция частоты накачки Г = 2тг/С,. Решения, удовлетворяющие начальным условиям (12), будут в дальнейшем представлены как суперпозиции реперных решений.
Для и (方)имеем уравнение
и ⑴ + ixu ⑴=A (t) и ⑴.и ⑴ + ixu ⑴=A (t) и ⑴.(14)(14)
и ⑴ + ixu ⑴=A (t) и ⑴.
и ⑴ + ixu ⑴=A (t) и ⑴.
(14)
(14)
Матрицу А (г) представим в виде
где
(00*
0 \
/ООО 1 \
ООО
0 0 10
4 =
=
(16)
-100
0
0 0 0 0
\ 0 -1 0
0)
、0 0 0 0 丿
Уравнение (14) умножим слева на
и
справа на V,
где
/ 1
10 0 \
/1
0 —2、0 \
11
1
0 гш] 0
『=
0
01 1
；(17)
_ 2
0 10 -ZCJ2
-"匂0 0丿
、0 102 ,
А (г) = Ао + А • /о sin г,
(15)
можно убедиться, что матрица 4° при таком преобразовании приводится к диагональному виду. Уравнение (14) преобразуется к виду
(18)(18)牛 = г (Во + В/о sin 丁) •dr
(18)
(18)
гдегдеv (т) = V~xu (т)v (т) = V~xu (т)(19)(19)ии00000,石=-zV-000-g2丿(001/^2— 1 /&2、1001/^2 —1/^221/^1-1/匂00\ 1/&100,00000,石=-zV-000-g2丿(001/^2— 1 /&2、1001/^2 —1/^221/^1-1/匂00\ 1/&100,ООООООм0 =м0 =(20)(20)
где
где
v (т) = V~xu (т)
v (т) = V~xu (т)
(19)
(19)
и
и
0
0
0
00
,石=-zV-
0
0
0-g2丿
(0
01
/^2— 1 /&2、
1
0
01
/^2 —1/^2
2
1/^1
-1/匂
00
\ 1/&1
00,
0
0
0
00
,石=-zV-
0
0
0-g2丿
(0
01
/^2— 1 /&2、
1
0
01
/^2 —1/^2
2
1/^1
-1/匂
00
\ 1/&1
00,
О
О
О
О
О
О
м0 =
м0 =
(20)
(20)
Начальные значения вектора и (г)
/ 一2)О1\。// 一2)О1\。// -^1、Оо\ О // -^1、Оо\ О /行=『т行=『т/ О \оI 1 // О \оI 1 // О \о—^2\。/(21)/ О \о—^2\。/(21)
/ 一2)
О
1
\。/
/ 一2)
О
1
\。/
/ -^1、
О
о
\ О /
/ -^1、
О
о
\ О /
行=『т
行=『т
/ О \
о
I 1 /
/ О \
о
I 1 /
/ О \
о
—^2
\。/
(21)
/ О \
о
—^2
\。/
(21)
Приближенное решение уравнения (18). Рассмотрим случай, когда частота накачки Q близка к сумме частот параметрических резонаторов, т. е. расстройка q мала
(22)(22)(1 -- &2)« ]
(22)
(22)
и параметр х близок к —⑨，т. е.
А/ = —+ А, (△ « 1).А/ = —+ А, (△ « 1).(23)(23)
А/ = —+ А, (△ « 1).
А/ = —+ А, (△ « 1).
(23)
(23)
Воспользуемся при этом так называемым двухволновым приближением, когда в и (г) учитываются лишь два главных слагаемых
(24)(24)V (г) = и。+ 5е".
(24)
(24)
При этом в vq и vi важны лишь компоненты v^ и и『). Для них из (18) получаются уравнения
(25)(25)
(25)
(25)
Приравнивая нулю детерминант этой системы, для △ получаем уравнение
(26)
и, следовательно,
△=△=г/ехр (—2汕)г/ехр (—2汕)4 Vzsw24 Vzsw2гдегде广=《0 sin ⑦=J燼—《2 ,⑦=± ( ^ + arcsin广=《0 sin ⑦=J燼—《2 ,⑦=± ( ^ + arcsin(28)(28)
△=
△=
г/ехр (—2汕)
г/ехр (—2汕)
4 Vzsw2
4 Vzsw2
где
где
广=《0 sin ⑦=J燼—《2 ,⑦=± ( ^ + arcsin
广=《0 sin ⑦=J燼—《2 ,⑦=± ( ^ + arcsin
(28)
(28)
(нулевой расстройке s = 0 соответствует ⑦=±тг/2). Наличие в △ мнимой части указывает на существование нарастающих решений
системы (14) (и, соответственно, уравнения (18)), т. е. условие
-Со < С < Со
МоМо4m,g1g24m,g1g2< AQ << AQ <МоМо4m,g1,2，4m,g1,2，△С = Q —— з?△С = Q —— з?(29)(29)
Мо
Мо
4m,g1g2
4m,g1g2
< AQ <
< AQ <
Мо
Мо
4m,g1,2，
4m,g1,2，
△С = Q —— з?
△С = Q —— з?
(29)
(29)
как раз и есть условие параметрического резонанса.
Согласно (25) компоненты 戒) и и；" при нулевой расстройке можно положить равными
(30)(30)
(30)
(30)
Соответственно, для первого выраженияСоответственно, для первого выраженияи второго реперных решении получаеми второго реперных решении получаем
Соответственно, для первого выражения
Соответственно, для первого выражения
и второго реперных решении получаем
и второго реперных решении получаем
产%士 （丁）产%士 （丁）0 \/ 0дМ土00。丿\ 00 \/ 0дМ土00。丿\ 0e干"e干"(31)(31)
产%士 （丁）
产%士 （丁）
0 \
/ 0
дМ
土
0
0
。丿
\ 0
0 \
/ 0
дМ
土
0
0
。丿
\ 0
e干"
e干"
(31)
(31)
Нетрудно видеть, что разность между первым и вторым реперными решениями, будучи умноженной на — 5V/ё^/2, удовлетворяет второму начальному условию (21)
/0\
分,句以2 sh(rr) . e一2"17
一心)ch(rr) • e如2T .(32)
0
'/
Вернемся к уравнению (18) и найдем вторую пару решений. Компонентами нулевого порядка в этом случае являются и；丿，丿 при
Q =匂 + 以2 + 2，，X" =-以2 + △,(33)
где С и Л, как и раньше, малые величины. Уравнения, определяющие (1)(4)
компоненты и；丿，丿，составляют систему
^^ и，+ zAuq4^ = 0, “△ + 2Q и，+ ^^ uf = 0.(34)
Ее характеристическое уравнение совпадает с (26), а решение при нулевой расстройке имеет вид
Тогда в нулевом приближенииТогда в нулевом приближенииимеем вторую пару реперных решений
Тогда в нулевом приближении
Тогда в нулевом приближении
-/ 0 \ОО е-/ 0 \ОО еОО(36)(36)ОО
-/ 0 \
О
О е
-/ 0 \
О
О е
О
О
(36)
(36)
О
О
Разность этих двух решений, будучи умноженной на — 5V/ZJT /2, удо
влетворяет первому начальному условию
/—汕1 ch(rr) . У" \
(37)(37)О
(37)
(37)
О
%"3\3) Sh(LT). £一232丁
Умножая (32) и (37) слева на удовлетворяющие соответственно виям,/-心、ch(rr) .\“з\з)sh(LT). £_如2丁 ch(rr) • e如17 ,Умножая (32) и (37) слева на удовлетворяющие соответственно виям,/-心、ch(rr) .\“з\з)sh(LT). £_如2丁 ch(rr) • e如17 ,V, получим решения системы (14),первому и второму начальным усло-V, получим решения системы (14),первому и второму начальным усло-/ “з\з)sh(LT). е~гШ1Т—гш2 sh(rr) . d32T/ “з\з)sh(LT). е~гШ1Т—гш2 sh(rr) . d32T也 sh(rr) . e一如27 以2也 sh(rr) . e一如27 以2//喳 sh(rr) . £—2""ch(rr) • e汝2丁喳 sh(rr) . £—2""ch(rr) • e汝2丁(38)(38)
Умножая (32) и (37) слева на удовлетворяющие соответственно виям,
/-心、ch(rr) .\
“з\з)sh(LT). £_如2丁 ch(rr) • e如17 ,
Умножая (32) и (37) слева на удовлетворяющие соответственно виям,
/-心、ch(rr) .\
“з\з)sh(LT). £_如2丁 ch(rr) • e如17 ,
V, получим решения системы (14),первому и второму начальным усло-
V, получим решения системы (14),первому и второму начальным усло-
/ “з\з)sh(LT). е~гШ1Т
—гш2 sh(rr) . d32T
/ “з\з)sh(LT). е~гШ1Т
—гш2 sh(rr) . d32T
也 sh(rr) . e一如27 以2
也 sh(rr) . e一如27 以2
/
/
喳 sh(rr) . £—2""ch(rr) • e汝2丁
喳 sh(rr) . £—2""ch(rr) • e汝2丁
(38)
(38)
Таким образом для матрицТаким образом для матрицX иX иУУполучаем выраженияполучаем выраженияX =X =У =У =—zcji ch(rr) •—zcji ch(rr) •\"3\3) Sh(LT). e一2327\"3\3) Sh(LT). e一2327ch(rr) •ch(rr) •也 sh(rr) . e一如27 以2也 sh(rr) . e一如27 以2分，匂以2 sh(rr) . е~гШ1Т分，匂以2 sh(rr) . е~гШ1Т-心2 ch(rr) • e231丁-心2 ch(rr) • e231丁—sh(rr) • £—2"" '81—sh(rr) • £—2"" '81ch(rr) . ё132Tch(rr) . ё132T(39)(39)
Таким образом для матриц
Таким образом для матриц
X и
X и
У
У
получаем выражения
получаем выражения
X =
X =
У =
У =
—zcji ch(rr) •
—zcji ch(rr) •
\"3\3) Sh(LT). e一2327
\"3\3) Sh(LT). e一2327
ch(rr) •
ch(rr) •
也 sh(rr) . e一如27 以2
也 sh(rr) . e一如27 以2
分，匂以2 sh(rr) . е~гШ1Т
分，匂以2 sh(rr) . е~гШ1Т
-心2 ch(rr) • e231丁
-心2 ch(rr) • e231丁
—sh(rr) • £—2"" '
81
—sh(rr) • £—2"" '
81
ch(rr) . ё132T
ch(rr) . ё132T
(39)
(39)
Детерминант матрицы У равен
det У = ch2(rr) •- sh2(rr) • е~1Т
Матрица У' равна
У'У'ch(rr) • У2Tch(rr) • У2T也 sh(rr) • 2T ch(rr) • eW1T也 sh(rr) • 2T ch(rr) • eW1T(41)(41)
У'
У'
ch(rr) • У2T
ch(rr) • У2T
也 sh(rr) • 2T ch(rr) • eW1T
也 sh(rr) • 2T ch(rr) • eW1T
(41)
(41)
Таким образом матрица M равна
М =
( 匂 e27 ch2(丁7)+e-27 sh2(丁7)2 £沂 ch2 (гт) — £_沂 sh2(rr)( 匂 e27 ch2(丁7)+e-27 sh2(丁7)2 £沂 ch2 (гт) — £_沂 sh2(rr) sh(rr) • ch(rr) \—、з\з)—^e"c九2(丁7)一e一27 sh2(rr) sh(rr) • ch(rr) \—、з\з)—^e"c九2(丁7)一e一27 sh2(rr)
( 匂 e27 ch2(丁7)+e-27 sh2(丁7)
2 £沂 ch2 (гт) — £_沂 sh2(rr)
( 匂 e27 ch2(丁7)+e-27 sh2(丁7)
2 £沂 ch2 (гт) — £_沂 sh2(rr)
sh(rr) • ch(rr) \
—、з\з)—^
e"c九2(丁7)一e一27 sh2(rr)
sh(rr) • ch(rr) \
—、з\з)—^
e"c九2(丁7)一e一27 sh2(rr)
sh(rr) • ch(rr)eiT ch2 (rr)—e~iT sh2(rr)sh(rr) • ch(rr)eiT ch2 (rr)—e~iT sh2(rr)&2 e" ch2(rr)+e-ZT sh2(rr)&2 e" ch2(rr)+e-ZT sh2(rr)2 eiT ch2(rr)— e-iT sh2(rr)2 eiT ch2(rr)— e-iT sh2(rr)
sh(rr) • ch(rr)eiT ch2 (rr)—e~iT sh2(rr)
sh(rr) • ch(rr)eiT ch2 (rr)—e~iT sh2(rr)
&2 e" ch2(rr)+e-ZT sh2(rr)
&2 e" ch2(rr)+e-ZT sh2(rr)
2 eiT ch2(rr)— e-iT sh2(rr)
2 eiT ch2(rr)— e-iT sh2(rr)
Дисперсия параметрически возбуждаемого состояния. Для определения дисперсии состояния согласно (7) нужно знать вещественные части элементов матрицы М
с si ch(2广丁)сch(2г/cost
尺e% = 7—， 尺6)2 = ,尺ё8 = 一，匂g2(43)
/// Zj/
и
Z = sh4(rr) + ch4(rr) - 2 sh2(rr) ch2(rr) • cos 2r =
=ch2(2rr) - sh2(2rr) • cos2 t.(44)
Минимальное значение Z равно 1 при cos 2т = 1; максимальное значение。
Zmax = ch2 (2т).(45)
Знаменатель в (7) равен
(46)(46)(47)(47)&1&2
(46)
(46)
(47)
(47)
Числитель в (7) равен
22 卜%丁（匂 + 2，以心2 COST + 以2）+
+ё-2"7(以1 - 2VzecW2 COST + 以2)].
Таким образом, для дисперсии получаем выражение
2
Disp2 = [e2г7 (以1 + “3\3)COST + 以2)+
+2『7 (以1 - 2，以心2 COST + 以2)].
(49)(49)(5。)(5。)「4"》「4"》(д/EZJT + л/^2 )2(д/EZJT + л/^2 )2(51)(51)
(49)
(49)
(5。)
(5。)
「4"》
「4"》
(д/EZJT + л/^2 )2
(д/EZJT + л/^2 )2
(51)
(51)
При cost = 1 имеем
Disp2 = Е 卜2" (^ + 心2 +「2".
При cost = — 1 имеем
Disp2 =贵产(^ —心2 +「2"(^ +^)2].
При малых г, когда
для минимальной и максимальной дисперсий имеем выражения
Dis^ - 2е-2-Dis^ - 2е-2-O〃S夕 ^ах = 2е2『「O〃S夕 ^ах = 2е2『「(7^7 + у^)2SW2(у^Г +^1^2(7^7 + у^)2SW2(у^Г +^1^2(52)(52)
Dis^ - 2е-2-
Dis^ - 2е-2-
O〃S夕 ^ах = 2е2『「
O〃S夕 ^ах = 2е2『「
(7^7 + у^)2
SW2
(у^Г +
^1^2
(7^7 + у^)2
SW2
(у^Г +
^1^2
(52)
(52)
(53)(53)Коэффициент сжатия в этом случае равен К =手^生
(53)
(53)
ведетведетэто означает, что при малых временах невырожденный генератор себя так же как вырожденный.
ведет
ведет
При больших г, когда
「4" <「4" <(л/^~ +(л/^~ +(54)(54)
「4" <
「4" <
(л/^~ +
(л/^~ +
(54)
(54)
дисперсии равны
Dis^ - 2е2-Dis^ - 2е2-句以2句以2/喘aх/喘aх(55)(55)
Dis^ - 2е2-
Dis^ - 2е2-
句以2
句以2
/喘aх
/喘aх
(55)
(55)
Коэффициент сжатия в этом случае
К = ^j,^ = 2 (匂 + &2),
уменьшается и становится со временем меньшим единицы. Это означает, что свойства невырожденного генератора в этом случае резко отличны от свойств вырожденного генератора и что никакого сжатия при этом нет.
Переход от сжатия к его отсутствию (в этот момент минимальная дисперсия - минимальна, т. е. сжатие максимально) происходит при
Tcrit — ^ In (4^ср/Л^). (57) Как видим, время максимального сжатия зависит от разности частот, т. е. для разных параметрических пар максимальное сжатие происходит в разные моменты времени. Это дополнительно увеличивает совокупную, от многих параметрических пар минимальную дисперсию.
Тем самым показано, что даже небольшие потери параметрического резонатора могут кардинально изменить процесс параметрической генерации и существенно ограничить достижимые коэффициенты сжатия.
Буферное возбуждение параметрического генератора. Отметим существенное различие между параметрической генерацией и обычной лазерной генерацией. Лазерная генерация начинается со спектрально широкого спонтанного излучения и вначале спектрально формируется резонатором. Можно сказать, что вначале спонтанное излучение заполняет собой спектральную линию резонатора. Однако, позднее, из-за того, что индуцированное излучение в центре резонаторной линии более интенсивно, нежели излучение на соседних частотах, спектр лазерного излучения резко, на несколько порядков сужается. Из-за флюктуационных процессов, прежде всего из-за дробового эффекта это сужение происходит не до нулевой ширины, но все-таки оно очень значительно; в «хороших» лазерах спектральная линия сужается примерно на восемь порядков.
Отметим, что усиление вблизи максимума лоренцевой линии резонанса квадратично, т. е. не сильно зависит от частоты. И этой несильной зависимости «хватает» для резкого, на много порядков сужения линии лазерного излучения, отмеченного выше.
Эта картина лазерной генерации резко контрастирует с картиной параметрической генерации. Действительно, форма линии параметрического резонатора вблизи ее максимума такая же, как и у лазерного резонатора, т. е. квадратичная. Казалось бы, параметрическая генерация на центральной частоте по сравнению с соседними имеет те же преимущества, что и при лазерной генерации. Следовательно, должно было бы происходить столь же значительное сужение спектра, как и при лазерной генерации. Соответственно, должен был бы увеличиться и коэффициент сжатия. Однако этого не происходит.
Объяснить такое различие можно следующим образом. При лазерной генерации имеет место сильное обратное воздействие генерируе-
мого излучения на источник излучения, которым в лазерах являются активные атомы (или ионы). При возрастании интенсивности лазерного излучения населенность верхнего рабочего уровня активных атомов быстро снижается настолько, что усиление превосходит потери лишь в центре спектральной линии. В результате боковые частоты возрастать не могут и линия сужается до флюктуационного предела, отмеченного выше.
Иная картина при параметрической генерации. Коэффициенты нелинейного преобразования реальных сред, используемых при параметрической генерации, очень малы, порядка 10-8. Из-за этого обратное воздействие параметрически генерируемого излучения на нелинейную поляризацию среды, которая в этом случае является источником излучения, оказывается незначительным. Практически нелинейная поляризация среды от генерируемого излучения не зависит и определяется лишь интенсивностью накачки на удвоенной частоте. В этих условиях интенсивность боковых, соседних с центральной частот успевает существенно возрасти прежде, чем начинается обратное воздействие генерируемого излучения на нелинейную поляризацию.
Из сказанного можно сделать вывод о том, что для увеличения коэффициента сжатия при параметрической генерации необходимо сужать спектральную ширину генерируемого излучения. Для этого в свою очередь желательно тем или иным способом перенести на параметрику тот механизм автоматического спектрального сужения линии генерации, который реализуется при лазерной генерации. Как ясно из сказанного выше, для этого нужно усилить обратное воздействие параметрически генерируемого излучения на нелинейную поляризацию среды.
Возможным путем к этой цели является предлагаемое в данном пункте «буферное возбуждение» параметрического излучения. Идея буферного возбуждения проста — между параметрическим генератором и источником накачки следует поместить высокодобротный буферный резонатор. Такой резонатор сравнительно медленно возбуждается и медленно же восполняет потери от источника накачки. С другой стороны этот резонатор вследствие своей высокой добротности будет чувствителен к потерям, вносимым в него нарастающим параметрическим излучением. В нем имеется высокая напряженность поля, достаточная для начала нелинейного процесса возбуждения параметрических колебаний, но запасено относительно мало энергии. Нелинейная поляризация будет уменьшаться не непосредственно из-за параметрического излучения, но из-за уменьшения амплитуды накачивающего излучения, запасенного в буферном резонаторе. Благодаря этому развитие генерации на центральной паре частот приведет к падению амплитуды запасенного в буферном резонаторе излучения и к невозможности развития генерации на боковых частотах. В конечном счете это будет означать сужение спектральной области параметрической генерации и, как следствие, увеличение коэффициента сжатия.
Физически буферный резонатор и резонатор параметрического генератора могут занимать один и тот же объем. В качестве буферного резонатора может быть одна из мод того же резонатора параметрического генератора, но настроенная на частоту накачки (см. например, схему работы [18] литературы к Гл. 2, рис. 4 Гл. 2).
Подробный расчет такого устройства пока не реализован из-за его сложности. Ниже приводится численно промоделированное решение упрощенной классической (неквантовой) задачи, ориентированной главным образом на то, чтобы продемонстрировать увеличение конку-
ренции между боковыми и центральными частотами. Рассматриваются две пары невырожденных параметрических осцилляторов (рис. 10). Сумма резонансных частот каждой пары равна частоте накачки. Частоты одной из пар — внутренней — ближе к центру линии параметрического резонатора, чем частоты другой — внешней — пары. Вследствие этого эффективность возбуждения внутренней пары несколько (немного, 1 — £ = 1 — —/З/а « 1) выше, чем внешней пары. Как будет видно далее при некоторых условиях буферного возбуждения совсем небольшой разницы в эффективностях параметрического возбуждения достаточно, чтобы возбуждалась лишь внутренняя параметрическая пара.
Гамильтониан рассматриваемой системы имеет следующий вид:
ВнешняяВнешняяпарапараРис. 10. Внешние и внутренние параметрические пары осцилляторовРис. 10. Внешние и внутренние параметрические пары осцилляторовН = —(Z+? + С+2#+2)+ _(Z_2 + Q_2/_2)+ & Qx^X— +
Внешняя
Внешняя
пара
пара
Рис. 10. Внешние и внутренние параметрические пары осцилляторов
Рис. 10. Внешние и внутренние параметрические пары осцилляторов
+ q (夕十2 + ^+2q+2^ + -(夕—2 +2q_2)+ [3Qq+q_ +
+ |(P2 + Q2Q2)
где Z± — импульсы и x± — координаты внутренней пары осцилляторов, соответственно,夕土 — импульсы н q土一 координаты внешней пары осцилляторов, Р — импульс и Q — координата буферного резонатора, В (方)—внешняя накачка системы, С± и s± частоты параметрических резонаторов, Q — частота буферного резонатора, а, /3 — коэффи-
циенты нелинейности, коэффициент £ введен для того, чтобы все координаты и В (方)были одинаковой размерности.
Гамильтоновы уравнения движения осцилляторов имеют следующий вид:
= Z+，= —◎+ 力+ —
Соответственно, уравнения движения параметрических осцилляторов имеют вид
医e 2с d?x- С 2е
力+ = —qQ/一，一^- +
+ ^+2Q+ = -/3Qq_,+&_2q_ = —pQq^.
Уравнение движения буферного осциллятора имеет следующий вид:
—h Q2q = g • g (方)-q /+/_ - (3 q^q一.
При наличии потерь эти уравнения имеют следующий вид:
彦力+ 必2
d?x_ dt2
+ 7+ —л—^ + 力+ = —Q Qx-,
dx_
+ Q_2x_ = —a Qx+
(58)
必2
+ “《+ = -CQq—,
(59)
и
cPq_ dt2
■ +8一2g一 =-/3 Qq+
也 dQ
+ a^Q =，
' В (t) — a 力+力_ — /3 q+q_.
Как можно видеть, параметрические осцилляторы (58), (59) возбуждаются не непосредственно от источника накачки В (t), но от излучения в буферном осцилляторе Q&).
Напомним, что коэффициент затухания связан с добротностью соотношением
Далее предполагаются условия резонанса
Q_|_ + Q_ = Q, с<?+ += Q.
Используем метод медленно меняющихся амплитуд, т. е. полагаем 力土 = g±£—力 + с.с., q± =广±£—力 + c.c.,
Q = Re~im + c.c., В = ；SeFt + c.c.,
где g±，广土 и R как раз и есть амплитуды, медленно меняющиеся со временем, n S — вещественная величина. В произведении
Qz_ = Ry*e70f-)t + &_「"Q+Q-" + c.c.
оставляем лишь подчеркнутый член и комплексно ему сопряженный, так как у них подходящая зависимость от времени.
Производные х+ по времени равны
ж =—々С+у+е—分Q+力 + g e-iQ+t + c.c.,
i = (-- 24+ ? + 力 ё+ c.c..
Подставляя эти выражения в уравнения (58) и (59) и пренебрегая вторыми производными д±,广土 и R по времени, а также мнимыми поправками к частоте, получим
• s 沁ip 1 cR =一而"2Q^-一兄耳-• s 沁ip 1 cR =一而"2Q^-一兄耳-
• s 沁ip 1 c
R =一而"2Q^-一兄耳-
• s 沁ip 1 c
R =一而"2Q^-一兄耳-
Величина ^/Q2, определенная ранее, равна
$ = 2^0 -г(7г/2+а0)
Q2 П7Г
Характерные параметры исследуемой системы уравнений имеют следующий вид:
s =s =
s =
s =
где Sq — характерное поле нелинейного процесса, примерно равное полю протона на боровском радиусе, 丁 — характерное время передачи возбуждения от буферного резонатора к параметрическому, s — характерное поле, позволяющее все поля сделать безразмерными ы go = |С1- Далее положим
方=т方 0, g±=s 歹±， l±=s 尸±， R = sR.
Тогда исследуемая система уравнений принимает следующий вид:
方 + = -2»+反夕_* - G+夕+，方—=-2»—А夕+* - G_y_,(60)
尸 + = -2分£»+h尸_* - G+r+,
_(61)
r_ = -2辽》—方±* - G_F_,
二 1—
R =-立-^У^У- - 3 尸+ 尸—-gR.(62)
Здесь
Q _ Q
G± = ；7±丁， G± = :了±丁，£ =；,
и жирная точка означает, что дифференцирование производится по переменной 方°・
Коэффициенты затухания можно представить в виде
Подставляя в (63)гдеАналогичнополученные ранее 7 = и=——，получимV П7Гугу_ So1 г - а3_/ П7гр2\Подставляя в (63)гдеАналогичнополученные ранее 7 = и=——，получимV П7Гугу_ So1 г - а3_/ П7гр2\
Подставляя в (63)
где
Аналогично
полученные ранее 7 = и=——，получим
V П7Гугу
_ So
1 г - а3_/ П7гр2\
Подставляя в (63)
где
Аналогично
полученные ранее 7 = и=——，получим
V П7Гугу
_ So
1 г - а3_/ П7гр2\
Величина, обратная добротности, равна
1 = 2)=就
D Q 2п7г
Итого имеется пять уравнений (60)-(62). Поскольку зависимые переменные комплексны, то эта система эквивалентна системе из десяти уравнений. Расчеты в соответствии с этими уравнениями производились посредством программы MathCAD [36].
Рис. 11. Добротности буферного и параметрических резонаторов примерно одинаковы. Амплитуды полей внешней и внутренней пар осцилляторов примерно одинаковы. Конкуренция мод практически отсутствуетРис. 11. Добротности буферного и параметрических резонаторов примерно одинаковы. Амплитуды полей внешней и внутренней пар осцилляторов примерно одинаковы. Конкуренция мод практически отсутствуетРис. 12. Добротности буферного резонатора много выше добротности параметрических резонаторов. Амплитуды полей внутренней пары осцилляторов значительно больше амплитуды полей внешней пары осцилляторов. Конкуренция мод налицоРис. 12. Добротности буферного резонатора много выше добротности параметрических резонаторов. Амплитуды полей внутренней пары осцилляторов значительно больше амплитуды полей внешней пары осцилляторов. Конкуренция мод налицо
Рис. 11. Добротности буферного и параметрических резонаторов примерно одинаковы. Амплитуды полей внешней и внутренней пар осцилляторов примерно одинаковы. Конкуренция мод практически отсутствует
Рис. 11. Добротности буферного и параметрических резонаторов примерно одинаковы. Амплитуды полей внешней и внутренней пар осцилляторов примерно одинаковы. Конкуренция мод практически отсутствует
Рис. 12. Добротности буферного резонатора много выше добротности параметрических резонаторов. Амплитуды полей внутренней пары осцилляторов значительно больше амплитуды полей внешней пары осцилляторов. Конкуренция мод налицо
Рис. 12. Добротности буферного резонатора много выше добротности параметрических резонаторов. Амплитуды полей внутренней пары осцилляторов значительно больше амплитуды полей внешней пары осцилляторов. Конкуренция мод налицо
На рис. 11 и 12 приводятся результаты расчетов в соответствии с этими уравнениями. На рис. 11 показаны амплитуды полей внутренних и внешних осцилляторов в случае, когда коэффициенты отражения зеркал, образующих параметрический и буферный резонаторы, примерно одинаковы и велики (рекордные, отличие коэффициента отражения от единицы составляет примерно 10-5). Видно, что обе пары параметрических осцилляторов возбуждаются примерно до одинакового уровня. На рис. 12 показаны амплитуды полей внутренних и внешних осцилляторов в случае, когда коэффициенты потерь зеркал, образующих параметрический резонатор, примерно в сто раз хуже (отличие коэффициента отражения от единицы составляет примерно 10-3), чем коэффициенты потерь зеркал, образующих буферный резонатор. Можно видеть, что возбуждение первой, внутренней пары осцилляторов увеличилось, а возбуждение второй, внешней пары параметрических осцилляторов резко, на несколько порядков уменьшилось, хотя разли-
чие в эффективности обеих пар невелико(£ = 0, 995). Таким образом, в случае, когда добротность буферного резонатора существенно выше добротности параметрических резонаторов, конкуренция между центральными и боковыми частотами усиливается.
Заключение. Подведем итоги. При параметрическом возбуждении имеются существенные ограничения на коэффициент сжатия. Они обусловлены конечностью спектральной ширины параметрического резонатора. Из-за этого параметрическое возбуждение происходит не по схеме вырожденного генератора, но по схеме невырожденного генератора. В результате уменьшение минимальной дисперсии происходит лишь в течение ограниченного времени; позднее же минимальная дисперсия начинает возрастать. Из-за диффузии фазы в излучении накачки коэффициент сжатия устанавливается на некотором невысоком уровне.
Естественным путем увеличить коэффициент сжатия является сужение по возможности спектральной ширины параметрически генерируемого излучения. Возможности пассивного сужения линии, посредством увеличения добротности параметрического резонатора, по-видимому, исчерпаны или близки к таковым.
В связи с этим представляет интерес активное сужение спектральной линии, происходящее при лазерной генерации. Хотя между лазерной генерацией и параметрической есть некоторое сходство, процесс сужения линии при параметрической генерации не происходит. Анализ этого вопроса показал, что аналогичный процесс при параметрической генерации можно организовать в рамках буферного возбуждения параметрических колебаний. Этот процесс проанализирован и промоделирован численно. Показано, что в этих условиях процесс сужения линии действительно имеет место.
Следует отметить, что даже при возможном существенном сужении спектральной линии генерации параметрического генератора все же эта линия будет иметь, хотя и малую, но конечную ширину. Следовательно, и в этом случае будет происходить несфазированное наложение многих частотных пар и, таким образом, возрастание средней минимальной дисперсии излучения. Однако это наложение будет происходить за относительно большие интервалы времени. В течение такого интервала средняя минимальная дисперсия может быть измерена. С помощью дополнительной обратной связи параметры генератора могут быть подправлены так, что уменьшение минимальной дисперсии излучения продолжится, а коэффициент сжатия продолжит возрастание; однако это уже предмет последующего исследования.
Таким образом, проведенное исследование открывает некоторые новые пути увеличения коэффициентов сжатия параметрического света.
Напомним, что при действии света в состоянии сжатого вакуума на нелинейную среду высокие гармоники этого света возбуждаются значительно эффективнее [37, 38], нежели при действии обычного лазерного света, находящегося в когерентном состоянии. Поскольку
высокие гармоники излучения играют важную роль в генерировании аттосекундных импульсов [39], то проблема возбуждения сжатого света приобретает в настоящее время дополнительную актуальность.
Литература
Быков В.П., Шепелев Г. В. Квантовый и квазиклассический режимы генерации лазера // КЭ, 1982. Т. 9, №9. С.1844.
Быков В.П., Шепелев Г. В. Излучение атомов вблизи материальных тел — М.: Наука, 1986.
Bykov V.P. Radiation of atoms in a resonant environment — 1993, World Scientific, Singapore.
Брагинский В.Б., Воронцов Ю.И., Халили Ф.Я. Квантовые особенности пондермоторного измерителя электромагнитной энергии // ЖЭТФ, 1977. Т. 73, №4. С. 1340; Ораевский А.Н. 〃 Известия ВУЗ'ов, Радиофизика. 1959. Т. 2(2). С. 181.
Braginsky V.B., Vorontsov Yu. I., Thorne К. S. Quantum nondemolition measurement // Science, 1980. V. 209, №4456. P. 547-557.
Glauber R. Optical coherence and the photon statistics / Quantum optics and electronics, ed. C.deWitt, A.Blandin, C.Cohen-Tannoudji, N.Y.-L.-P., Gordon a. Breach, 1965.
Дирак /7. Принципы квантовой механики — М.: Наука, 1979.
Pfleegor R.L., Mandel L. // Phys. Rev. 1967. V. 159. P. 1084.
Javan A., Ballik E.A., Bond W.J. // J. Opt. Soc. Amer. 1962. V. 52. P. 96.
Скалли M. Квантовая теория лазера — проблема неравновесной статистической механики / в сб. Квантовые флуктуации излучения лазера. — М.: Мир, 1974.
Хакен Г., Вайд лих В. Квантовая теория лазера / в сб. Квантовые флуктуации излучения лазера — М.: Мир, 1974.
Быков В.П., Шепелев Г. В. Излучение атомов вблизи материальных тел. — М.: Наука, 1986.
Амелькин С.В., Архангельский Н.Б., Ораевский А.Н. // Квантовая электроника. 1984. Т. 11, вып. 1. С. 31; Ораевский А.Н. // Изв. АН СССР. Сер. физ. 1984. Т. 48, вып. 8. С. 1600.
Bykov V. Р. Radiation of Atoms in a Resonant Environment / World Scientific. 1993.
Быков В.П. Второй порог лазерной генерации: возникновение когерентности // Письма в ЖЭТФ. 1990. Т. 51. С. 256.
Ораевский А.Н. Второй (квантовый) порог лазера // Письма в ЖЭТФ. 1990. Т. 51. С. 259.
Быков В. П. Основные особенности сжатого света // УФН. 1991. Т. 161, №.10. С. 145.
Глаубер Р.В. В кн.: Квантовая оптика и квантовая радиофизика — М.: Мир, 1966.
Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. —М.: Наука, 1965.
Fermi Е. // Rev. Mod. Phys. 1932. V. 4, №. 1. Р. 87.
Бьеркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая теория. Т. 2. - М.: Наука, 1978.
Прохоров Л. В. // Успехи физических наук. 1988. Т. 154, №2. С. 299.
Люиселл В. Излучение и шумы в квантовой электронике. — М.: Наука, 1972.
Lamb W.E., Retherford R.C. // Phys. Rev. 1950. V. 79. P. 549.
Быков В.П. 11 УФН. 1984. T. 143, №4. C. 657.
Федоров M. В. Электрон в сильном световом поле — М.: Наука, 1991.
Делоне Н. Б., Крайнов В. П. Атом в сильном световом поле. — М.: Энергоатомиздат, 1984.
Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика.— М.: Наука, 1969.
Bykov V.P. // Annales Fondation L. de Broglie. 1997. V. 22, No. 4. P. 423.
Быков В.П. // Известия РАН, сер. физическая. 1997. Т. 61, №. 12. С.2409.
Bykov V.P. // Journ. Russ. Laser Res. 1998. V. 19, №.6. P. 550.
Боголюбов H.H., Ширков Д. В. Введение в теорию квантованных полей. — М.: Наука, 1984.
Weinberg S. the Quantum Theory of Fields. — Camb. Univ. Press, 2000.
Быков В.П., Татарский В.И. // УФН. 1991. Т. 161, №.2. С. 125.
Быков В.П. // Квантовая электроника. 1997 Т. 24, №. 11. С. 973; Bykov V.P. Ц Laser Phys. Lett. 2005. V. 2(5). Р. 223.
Быков 8〃 〃 УФН. 1991. Т. 161, №. 10. С. 145.
Bykov V. Р. Radiation of atoms in a resonant environment. — World scientific, 1993.
Agostini P. / in «Book of Abstracts» 13力厶 International Laser physics Workshop, 2004.
Глава 5
ДЕТЕКТИРОВАНИЕ ИЗЛУЧЕНИЯ
Появление лазеров в той или иной степени оказало влияние на многие физические проблемы. В частности, оно заставляет с новых позиций взглянуть и на проблемы детектирования излучения. Этим проблемам посвящена данная глава.
Фотоотсчеты и кулонова неустойчивостьэлектронного потока в вакуумных приемникахизлучения
Детектирование света — один из наиболее фундаментальных физических процессов, играющий важную роль как в природе, так и в технике. В природе этот процесс обеспечивает возможность зрения и, следовательно, возможность познания окружающего нас мира. В технике многочисленные фотодетекторы позволяют сделать процесс обнаружения оптических сигналов количественным и расширить спектр принятого излучения.
Несмотря на существенные успехи в разработке фотодетекторов, понимание фундаментальных процессов фотодетектирования основано на представлениях более чем пятидесятилетней давности. Эта часть физики оказалась как бы в тени огромных успехов лазерной физики и не привлекала к себе внимание исследователей. Однако создание лазерных световых источников высокой когерентности приводит к некоторой несогласованности в прежних подходах к явлению детектирования и делает это явление даже немного таинственным.
Представления о фотоотсчетах и о фотонах как пространственно локализованных частицах тесно связаны между собой. Считается, что пространственно локализованная частица — фотон, попадая в фотоде-
тектор, поглощается там с высвобождением электрона, который, проходя по цепи детектора, порождает в этой цепи всплеск тока, назывемый фотоотсчетом.
Эти представления оставались долгое время практически неизменными, хотя как в экспериментальных возможностях физики так и в теоретических представлениях об электромагнитном поле произошли за это время колоссальные изменения. Так, экспериментальные возможности физиков невероятно расширились благодаря изобретению лазеров. Что же касается теории, то за то же время возникли такие теории как квантовая механика и квантовая электродинамика. В настоящее время можно считать, что квантовые закономерности в природе твердо установлены. Квантовая же электродинамика вообще считается самой точной теорией в физике, ее следствия проверены с точностью до многих знаков после запятой. Однако если сопоставить представления о фотонах, свойственные квантовой электродинамике, с представлениями о фотонах как причинах фотоотсчетов, то выясняется большое различие в этих представлениях. Далее эти различия обсуждаются.
Фотоотсчет как физическое явление, проблема фотоотсчетов с современных позиций. Упомянутая выше таинственность фотоотсчетов выявилась после создания высококогерентных, лазерных источников света и может быть проиллюстрирована схемой, изображенной на рис. 1 а. Приемник на этом рисунке изображен в виде заштрихованного прямоугольника. На входе приемника имеется высококогерентное излучение, т. е. излучение, амплитуда которого плавно зависит от времени. При этом характерное время изменения амплитуды в хороших лазерах составляет секунды. На выходе же приемника имеется последовательность импульсов (фотоотсчетов) с характерным временем порядка 10-8 секунды. Естественно поставить вопрос — что является причиной этих фотоотсчетов. Такой вопрос не мог быть поставлен в долазерную эпоху, так как свет тепловых и люминесцентных источников был хаотичен (рис. 1 6) и доставлял достаточно причин для возникновения фотоотсчетов.
Тот же вопрос можно поставить несколько иначе. До появления лазеров ширина спектра оптических сигналов, поступавших на катод фотодетектора от тепловых и люминесцентных источников, составляла 生 1012-1015 герц и была много больше характерных ширин спектра выходного сигнала детектора = 108 герц, которая как раз и определяется длительностью импульсов тока в выходном сигнале — фотоотсчетов. Спектры же лазерных источников много уже 108 герц и в рекордных лазерах доходят до 1 герца. Переход на детектирование когерентных, лазерных сигналов по существу никак не отразился на характере выходного сигнала. Он, по-прежнему, представляет собой последовательность случайных импульсов — фотоотсчетов, длительностью =10-8 сек. Следовательно, при детектировании высококогерентного сигнала в спектре выходного сигнала детектора появляются новые
ИмпульсныйИмпульсныйРис. 1. (а) Что является причиной импульсного отклика детектора при воздействии на него плавного сигнала? (6) Хаотический свет в долазерное время доставлял достаточно причин для импульсного откликаРис. 1. (а) Что является причиной импульсного отклика детектора при воздействии на него плавного сигнала? (6) Хаотический свет в долазерное время доставлял достаточно причин для импульсного отклика
Импульсный
Импульсный
Рис. 1. (а) Что является причиной импульсного отклика детектора при воздействии на него плавного сигнала? (6) Хаотический свет в долазерное время доставлял достаточно причин для импульсного отклика
Рис. 1. (а) Что является причиной импульсного отклика детектора при воздействии на него плавного сигнала? (6) Хаотический свет в долазерное время доставлял достаточно причин для импульсного отклика
частоты в отличие от детектирования оптических сигналов в долазерное время. Новые частоты могут появиться лишь вследствие того или иного нелинейного процесса. Спектр лазерного сигнала не может измениться при его распространении в вакууме, так как вакуум есть существенно линейная среда. Единственным источником нелинейности является сам детектор и уширение спектра сигнала при детектировании однозначно показывает, что причина фотоотсчета находится в детекторе, но не в принимаемом свете.
По фотоотсчетам и их статистике имеется обширная литература (см., например, [1-3]). Однако вопрос о происхождении и природе фотоотсчетов в ней обычно не затрагивается или затрагивается вскользь [4]. Как правило, делаются вычисления с теми или иными величинами, характеризующими поле и плавно зависящими от времени, — результат же объявляется относящимся к потоку импульсов — фотоотсчетов. Природа фотоотсчетов, причины их возникновения фактически игнорируются.
Что касается ответа на поставленный выше вопрос, то обычно подразумевается три возможных ответа на него. Обычно полагают, что в излучении и, в частности, в когерентном излучении имеются пространственно локализованные образования, называемые фотонами, которые при взаимодействии с фотокатодом и вызывают появление фотоотсчетов. Так, при исследовании статистики фотоотсчетов часто говорят о статистике фотонов, имея в виду как раз упомянутые
выше пространственно локализованные образования. Можно встретить в литературе обсуждение вопроса о том, куда летит фотон после взаимодействия с делительным зеркалом и т.д.
Другие исследователи полагают, что причина фотоотсчетов заключается в дискретной природе электронов. Предполагается, что дискретные электроны, взаимодействуя с волной, амплитуда которой плавно зависит от времени, привносят свою дискретность в реакцию приемника на излучение °).
Наконец, есть исследователи, которые связывают фотоотсчеты с так называемой «редукцией волнового пакета», характерной для квантовомеханических измерений.
Ниже показано, что ни одна из этих точек зрения не выдерживает критики с современных позиций. Предлагается интерпретировать фотоотсчеты как следствие кулоновой неустойчивости слабых электронных потоков, возникающих в приемнике в результате действия на него принимаемого излучения. Пока это единственный подход, свободный от противоречий и объясняющий широкий круг явлений, связанных с фотоотсчетами.
Показано, что отмеченной выше кулоновой неустойчивости можно избежать, если в фотодетекторах перейти от использования свободных электронов к использованию электронов, связанных в атомах, ионах или молекулах. Предложены лазерные детекторы оптического излучения, основанные на этой идее (см. раздел 2).
Фотон с точки зрения квантовой электродинамики. Что такое фотон. Обсудим этот вопрос, основываясь на тех представлениях, которые дает нам современная квантовая электродинамика, точнее, на представлениях, которые следуют из математического аппарата квантовой электродинамики. Как отмечено выше, квантовая электродинамика является высоконадежной теорией.
Обычно, при интерпретации как теоретических, так и экспериментальных результатов прибегают еще и к другим представлениям, таким, например, как «редукция волнового пакета», дополнительным
°) Отметим, что в литературе термином «фотоотсчет» иногда обозначают различные физические эффекты, обусловленные реакцией фотодетектора на внешнее оптическое воздействие. В частности, иногда любую реакцию фотодетектора на тот или иной сигнал называют фотоотсчетом, вплоть до реакции детектора на импульсный оптический сигнал, поступающий по волоконнооптическим линиям связи. В данной главе термин «фотоотсчет» понимается в узком смысле слова, когда в поступающем на детектор сигнале не содержится никаких причин для его импульсной реакции. В этом смысле рассматриваемая в статье причина фотоотсчетов является дополнительной по отношению ко всем другим причинам, приводящим к всплескам тока во внешней цепи фотодетектора.
к математическому аппарату квантовой электродинамики. Эти дополнительные представления мы пока оставим в стороне.
Существенной особенностью фотона, следующей из КЭД, является его многоликость, т. е. его способность проявляться в различных представлениях. Ниже рассматриваются два представления фотона — распределенное и пакетное. Цель — определить, в какой мере фотон может рассматриваться как пространственно локализованное образование.
Распределенное представление фотона. При описании фотонов в квантовой электродинамике обычно вводят некоторый большой кубический резонатор, в котором модами являются плоские волны, имеющие дискретный набор собственных частот и волновых векторов. С квантовой точки зрения такая мода является осциллятором и может находиться в состояниях с различным числом фотонов, а также в других возможных состояниях осциллятора (когерентном, сжатом и т.п.). Если этот осциллятор находится в однофотонном состоянии, то поле фотона равномерно распределено по всему объему резонатора. Так как в конечном счете при квантовании поля объем большого резонатора устремляется к бесконечности, то поле фотона оказывается равномерно распределенным по всему бесконечному пространству. Совершенно ясно, что такой фотон не может служить причиной фотоотсчета, так как он пространственно не локализован. При многофотонном состоянии также не происходит локализации фотонов — их суммарное поле равномерно распределено по всему объему резонатора и, соответственно, по всему пространству после упомянутого выше предельного перехода. Таким образом, можно сделать вывод, что так введенные фотоны совсем не локализованы и не могут быть причиной фотоотсчетов.
Так как такая процедура квантования электромагнитного поля описана во всех учебниках по квантовой электродинамике, то мы ее не будем развивать и позаимствуем из нее лишь оператор электрического поля, имеющий следующий вид
矶元方)=欣(0 ” (0 е<^-сМ +э.с.,⑴
где суммирование производится по двум поляризациям и а+ (^), — плотности операторов рождения и уничтожения, подчиняю
щиеся коммутационному соотношениющиеся коммутационному соотношению⑵⑵
щиеся коммутационному соотношению
щиеся коммутационному соотношению
⑵
⑵
Фотон как волновой пакет. Для пакетного представления [5, 6] введем операторы рождения и уничтожения (см. гл. 1, разд. 3)
4 = £ dkWx (0 ад (0,厶十=£ dkW^ (0 " (0, (3) 入=1,2」入=1,2」
где W\ — некоторая нормированная спектральная функция
£= 1,⑷
入=1,2」
определяющая, как мы увидим далее, спектр пакета и а+(^), а (^) — плотности операторов рождения и уничтожения, входящие в приведенное выше выражение (1) для оператора электрического поля свободного пространства. Можно убедиться, что операторы А и 4+ подчиняются коммутационному соотношению
[ЛА+] = 1.⑸
В соответствии с этим соотношением операторы А и 4+ порождают систему стационарных состояний таких, что
Л+п
И) = —I Oh 4 I 0)=0.⑹
Произвольное же состояние такого пакета можно представить в виде
丨3)=亡…).⑺
n=0
Можно показать, что все средние выражаются через единую функцию, которую можно назвать формой квантового волнового пакета. Среднее значение электрического поля в состоянии (7) равно
石（元方））=①（尸,方）■石（元方））=①（尸,方）■\n=0/\n=0\n=0/\n=0
石（元方））=①（尸,方）■
石（元方））=①（尸,方）■
\n=0/\n=0
\n=0/\n=0
В этом выражении функция
ф (尸,方)=^ £ dk^j ту； (° 队(° e^kf-ckt) ⑻
как раз и есть упомянутая выше функция, описывающая форму волнового пакета.
Среднее значение квадрата поля, пропорциональное плотности электрической энергии, также выражается через ту же форму волнового пакета
(月2 (元方))=回元"2.£八|麻|2 +
+ Ф2 (冗方)• £，(八 + 1)(八 + 2) C^n+2 + K.C. •
Можно показать, что вообще средние значения всех степеней поля также выражаются через функцию (8).
Следовательно, функция Ф (尸,方)описывает распределение поля в любом квантовом состоянии поля. Можно сказать, что при пакетном представлении фотон является пространственно локализованным объектом. Когда состояние однофотонное, функцию Ф (г, t) можно назвать формой фотона. В случае многофотонного состояния нет однако никакого пространственного разделения пакета на какие-либо однофотонные части, поля всех фотонов распределены единообразно в соответствии с функцией Ф (г, t).
Из соотношения (8) можно сделать вывод, что величина
есть просто Фурье-спектр волнового пакета Ф (г, t). Как известно, длина пакета L и ширина его Фурье-спектра Аш подчиняются соотношению
с
Следовательно, длина фотона Lphot = Ь может быть только больше характерной длины пакета (равной длине когерентности), определяемой соотношением
с с
Lcoh =八⑴， т. е. Lphot 》Lcoh =八⑴•
Если это соотношение применить к фотонам, генерируемым в высококогерентных лазерах, то можно заключить, что при временах когерентности порядка секунды фотоны имеют астрономическую длину, порядка расстояния от Земли до Луны. Совершенно ясно, что такие фотоны не могут быть причиной фотоотсчетов.
Такова точка зрения квантовой электродинамики на локализацию фотона. Иногда полагают, что в излучении, даже когерентном, содержатся некие локализованные объекты, не описываемые математическим аппаратом К ЭД — именно их то и следует якобы называть фотонами. Нам такая точка зрения представляется наивной. Квантовой электродинамике более полусотни лет. Она хорошо проверена экспериментально. Наивно думать, что такая теория могла пропустить некие локализованные образования.
Фотоэффект и локализация электронов. Фотоэффект. Рассмотрим теперь две другие точки зрения, относящие причину дискретности выходного сигнала детектора к дискретной природе самого
электрона. Принципиальная схема вакуумного °) приемника излучения изображена на рис. 2. Согласно теории фотоэффекта, плоская электромагнитная волна взаимодействует с плоской блоховской электронной волной валентной зоны полупроводника, образующего катод. В результате этого взаимодействия в зоне проводимости возникает плоская блоховская электронная волна. Так как ее энергия существенно больше, чем энергия волны в валентной зоне, то она относительно легко проникает в вакуум, преодолевая потенциальный барьер. Таким образом до этого момента электрон рассматривается как волна, не имеющая никакой пространственной локализации °). Процесс возбуждения электронной волны в зоне проводимости под влиянием непрерывной электромагнитной волны происходит непрерывно и, следовательно, на этом этапе никаких указаний на возможность дискретных выходных сигналов нет.
времявремя
время
время
Каким образом электронная волнапревращается в частицу?
Рис. 2. Принципиальная схема детектирования
Если такое описание электронной волны, именно как волны, продолжить до анода, то никаких всплесков тока, т. е. фотоотсчетов так и не возникнет, поскольку с одной стороны непрерывная волна никаких всплесков тока вызвать не может, с другой — хорошо известно, что фотоотсчеты возникают как раз при прохождении электроном катод- анодного промежутка и, следовательно, если они не возникли к моменту достижения волной анода, то они уже вообще не возникнут. Разумеется, такое описание будет противоречить наблюдениям, так как
°) Проявления неустойчивостей, подобные рассмотренным ниже, должны проявляться и в полупроводниковых детекторах. Однако из-за наличия среды они существенно труднее для теоретического рассмотрения.
°) Следует отметить, что все законы фотоэффекта реализуются на этом предварительном этапе взаимодействия волны с фотокатодом. Поэтому развиваемые далее представления о фотоотсчетах ни в коей мере не затрагивают этих проявлений и являются дополнительными к ним.
существование фотоотсчетов есть хорошо установленный экспериментальный факт.
Редукция волнового пакета. Обычно выходящую из катода в вакуум электронную волну интерпретируют как амплитуду вероятности обнаружить локализованный электрон вблизи катода. При этом ссылаются на «редукцию волнового пакета», происходящую при квантовомеханических измерениях, т. е. при взаимодействии микроскопической квантовой системы с макроскопическим прибором. Поскольку электрон становится случайным образом локализованной частицей, фотоотсчет естественным образом возникает, как результат прохождения частицы через катод-анодный промежуток.
Однако подобное применение редукции волнового пакета неправомерно. Оставляя в стороне все современные дискуссии о редукции волнового пакета, сошлемся на такого авторитетного автора как фон Нейман [7]. Он справедливо указывает, что представление о редукции волнового пакета будет применимо лишь в том случае, когда воображаемую поверхность, отделяющую квантовую систему от прибора, можно переносить, включая в квантовую систему весь прибор или его части; при этом картина, воспринимаемая наблюдателем не должна изменяться, так как поверхность, отделяющая квантовую систему от прибора, является воображаемой, а от воображаемой поверхности ничто не может зависеть. Фон Нейман приложил большие усилия, чтобы показать, что такие измерения возможны.
Но это не тот случай, который используется для объяснения фотоотсчетов посредством редукции волнового пакета. Как сказано выше, перенесение границы между системой, рассматриваемой квантовомеханически, и прибором, рассматриваемым классически, от катода к аноду решительно изменяет наблюдаемую картину — фотоотсчеты исчезают. Поэтому редукцию волнового пакета, если она существует, следует отнести на более поздний этап взаимодействия квантовой системы с прибором.
Отметим, что концепция редукции волнового пакета в настоящее время представляется несколько сомнительной в самой своей основе. Действительно, она исходит из того, что наблюдение это взаимодействие микроскопической квантовой системы с наблюдателем или прибором, которые считаются обязательно классическими и макроскопическими. В настоящее время ясно, что макроскопический объект может быть в той же мере квантовым, что и микроскопический объект. Примером такого объекта может служить, например, свет в состоянии сжатого вакуума. Наблюдение также может быть взаимодействием двух квантовых объектов. Действительно, сейчас интенсивно разрабатываются квантовые компьютеры. Если компьютер рассматривать как модель разума, то взаимодействие квантового объекта с квантовым компьютером можно рассматривать как наблюдение. Такое наблюдение будет осуществляться целиком в рамках квантовой механики.
Таким образом следует признать, что существующие представления о процессе детектирования оптических сигналов не дают объяснения фотоотсчетам, т. е. дискретному отклику фотодетектора на непрерывный принимаемый сигнал.
Фотоотсчеты как проявление кулоновой неустойчивости слабого электронного потока. Вигнеровская неустойчивость. Как видно из предыдущего, фотоотсчетам необходимо дать физическое объяснение, не основанное на чудесном превращении волны в частицу. В данной работе полагается, что причиной фотоотсчетов является кулоновская неустойчивость слабого электронного потока, возникающего в детекторе под действием принимаемого излучения. В результате этой неустойчивости поток распадается на отдельные одноэлектронные сгустки, которые при своем движении от катода к аноду наводят всплески тока во внешней цепи детектора. Эти всплески воспринимаются наблюдателем как фотоотсчеты.
Неустойчивость слабого электронного потока легко понять, если вспомнить о хорошо известной вигнеровской кристаллизации [8, 9]. Как известно, система электронов при низкой плотности распадается на систематически расположенные одноэлектронные сгустки, которые Вигнер как раз и называл электронами. В этой кристаллизации можно выделить две стадии. Первая — это неустойчивость равномерного или квазиравномерного электронного распределения (ее можно назвать вигнеровской неустойчивостью) и начало распада на сгустки. Вторая —это собственно вигнеровская кристаллизация или самоорганизация электронного распределения в стационарных вигнеровских условиях.
В случае вакуумного приемника электромагнитного излучения электроны под действием принимаемого излучения переходят из области с высокой плотностью заряда внутри катода в область с малой плотностью заряда в вакууме. Соответственно, при этом должна проявиться тенденция к распадению квазиоднородного электронного распределения на сгустки. Однако, в силу нестационарности условий в детекторе в целом конечная стадия — регулярная кристаллизация —не проявляется и может осуществиться лишь распад на более или менее хаотические сгустки °).
Именно эти сгустки, двигаясь в катод-анодном пространстве, возбуждают хаотические всплески тока во внешней цепи приемника, которые наблюдателем воспринимаются как фотоотсчеты. Эта точка зрения в настоящее время является единственным объяснением фотоотсчетов, свободным от заметных противоречий. Она выражена нами в публикациях [11-24]. Далее приводятся доводы в пользу этой точки зрения.
°) Впрочем следует отметить, что при некоторых специальных условиях в электронном потоке возможна и самоорганизация [10].
Распад электронного облака на сгустки. Чтобы проиллюстрировать распад электронного облака на сгустки при малых электронных
плотностях, нами рассмотрена система из двух электронов, расположенных в квадратичной потенциальной яме и взаимодействующих друг с другом по кулоновскому закону [11, 12]. При этом расчеты стационарных волновых функций системы и соответствующих им энергий проводились безбазисным вариационным методом [16, 23]. Результаты этих расчетов представлены на рис. 3 и 4. На рис. 3 показана зависимость энергии двухэлектронного облака от ширины потенциальной ямы. Электронное облако может находиться в состояниях с одним 1 и двумя 2 максимумами зарядовой плотности. В широкой потенциальной
яме энергетически предпочтительно состояние с двумя максимумами, а в узкой — состояние с одним максимумом. Как видим, изменяя параметр потенциальной ямы, можно управлять электронной плотностью рассматриваемой системы и определить момент, когда электронное облако начинает распадаться на одноэлектронные сгустки. Как видим, при уменьшении электронной плотности облако распадается на два электрона. Таким образом, вигне- ровский распад электронного облака на отдельные сгустки происходит и в специфических условиях потенциальной ямы.
Рис. 3. Энергии симметричного и несимметричного состояний электронов в зависимости от параметра потенциальной ямы, обратно пропорционального ширине ямыРис. 3. Энергии симметричного и несимметричного состояний электронов в зависимости от параметра потенциальной ямы, обратно пропорционального ширине ямыПонятно, что подобный процесс распада на одноэлектронные сгустки должен происходить при выходе электронной волны малой плотности из катода в вакуум. Однако, как видно из рис. 4, полученному в результате расчетов, подобные одноэлектронные сгустки представляют собой довольно размазанные образования, вряд ли способные давать резкие импульсы тока во внешней цепи фотодетектора, подобные фотоотсчетам. Поэтому должен существовать какой-то механизм обостре
Рис. 3. Энергии симметричного и несимметричного состояний электронов в зависимости от параметра потенциальной ямы, обратно пропорционального ширине ямы
Рис. 3. Энергии симметричного и несимметричного состояний электронов в зависимости от параметра потенциальной ямы, обратно пропорционального ширине ямы
Распад электронного облака на два сгусткаРаспад электронного облака на два сгусткаРис. 4. Распределение электронной плотности в несимметричном состоянииРис. 4. Распределение электронной плотности в несимметричном состоянииния этих сгустков.
Распад электронного облака на два сгустка
Распад электронного облака на два сгустка
Рис. 4. Распределение электронной плотности в несимметричном состоянии
Рис. 4. Распределение электронной плотности в несимметричном состоянии
Механизм обострения сгустков. Кулоново поле обладает фокусирующими свойствами. Это свойство кулонова поля не вполне очевидно. Чтобы продемонстрировать его, нами в рамках классической (неквантовой) картины рассмотрены два примера разлета заряженных пакетов: радиальный разлет сферически симметричного гауссова пакета и разлет цилиндрического гауссового пакета, распределенного вдоль оси цилиндра [13-14]. Было показано, что при таком разлете возникают максимумы плотности заряда, которые в математической литературе обычно называют катастрофами [25]. Развитие временной катастрофы- обгона из-за кулоновского расталкивания в многоэлектронном пакете при его движении в электронно-оптическом преобразователе, регистрирующем пикосекундные лазерные импульсы, рассматривалось также в [26, 27].
Разлет сферически симметричного гауссова распределения заряда. Сферически симметричный случай удобен тем, что уравнение движения слоев заряженного пакета интегрируется на временном интервале от начала движения до начала обгона. Благодаря этому обра- плотности может быть исследовано в аналитическом виде. Подробное изложение расчетов дано в приложении 1. На рис. 5 показано, как исходно гауссово распределение плотности заряда изменяется со временем под действием собственного кулонова поля распределения. Можно видеть, что в некоторый момент времени в облаке возникает бесконечный максимум зарядовой плотности на первый взгляд без всяких причин. Это означает, что электрическое поле сосредоточенного заряда обладает определенными фокусирующими свойствами. Физическое объяснение этого результата очень просто и может быть понято из рис. 6. Из-за
зование максимумов электроннойзование максимумов электроннойПлотностьПлотностьРис. 5. Разлет электронного сгустка под действием его собственного кулонова поляРис. 5. Разлет электронного сгустка под действием его собственного кулонова полясимметрии зарядового распределения электрическое поле в центре равняется нулю. В соответствии с законом Кулона это поле мало также на периферии зарядового распределения. Следовательно, имеется максимум поля на склоне распределения. Слои распределения на склоне ускоряются и начинают опережать слои на периферии и из-за этого появляется максимум на склоне распределения, упомянутый выше. Математика называет подобные ситуации катастрофами. Острый максимум на рис. 5 имеет бесконечную амплитуду. Однако, если принять
зование максимумов электронной
зование максимумов электронной
Плотность
Плотность
Рис. 5. Разлет электронного сгустка под действием его собственного кулонова поля
Рис. 5. Разлет электронного сгустка под действием его собственного кулонова поля
Рис. 6. Слои из наклонной части распределения обгоняют слои из периферической части распределения — образование катастрофы обгонаРис. 6. Слои из наклонной части распределения обгоняют слои из периферической части распределения — образование катастрофы обгонаПлотностьПлотностьРис. 7. Образование катастрофы при линейном распределенииРис. 7. Образование катастрофы при линейном распределенииво внимание волновую природу электрона, то этот максимум будет большим, но конечным. Можно думать, что благодаря подобной фокусировке несколько размытые сгустки, образовавшиеся в результате вигнеровской неустойчивости, станут обостренными. Как показали дальнейшие расчеты уже в рамках квантовой механики, это действительно так (см. ниже).
Рис. 6. Слои из наклонной части распределения обгоняют слои из периферической части распределения — образование катастрофы обгона
Рис. 6. Слои из наклонной части распределения обгоняют слои из периферической части распределения — образование катастрофы обгона
Плотность
Плотность
Рис. 7. Образование катастрофы при линейном распределении
Рис. 7. Образование катастрофы при линейном распределении
Разлет заряженного сгустка распределенного вдоль оси по гауссову закону. Как и в сферическом случае приведем лишь результаты расчетов (подробнее, см. [11-13]). Как можно видеть из рис. 7, картина в целом напоминает сферически симметричный случай. Так же как и в сферическом случае со временем формируется максимум электронной плотности. Однако теперь можно проследить зависимость от поперечного размера распределения. Видно, что формирование неоднородностей происходит тем раньше, чем меньше диаметр распределения, т. е. чем выше в нем плотность заряда. Отсюда можно сделать важный вывод. Так как движение электронного пакета в межэлектродном пространстве вакуумного прибора происходит в фокусирующем статическом поле, то велика вероятность того, что мак
симальное сжатие сгустка в продольном и поперечном направлениях произойдет почти одновременно. Это в свою очередь еще более обострит импульс, наводимый сгустком во внешней цепи детектора.
Продольное сжатие одноэлектронного сгустка при его движении в катод-анодном поле и одновременно в кулоновом поле другого такого же сгустка fквантовомеханическая задача). Многие квантово-механические задачи, касающиеся движения волновых пакетов в медленно меняющихся полях различной конфигурации, могут
быть решены с помощью метода, разработанного нами в [17] (см. приложение 2). При этом волновой пакет предполагается гауссовым
3(尸,方)=c⑴exp { - 0,百力+ ^価⑴,万)+ E(t)]},⑼
где p = f — vq (t), и величины 而 ⑴ и 标⑴ подчиняются классическим гамильтоновым уравнениям
丁 =——，к = —gradU ^o ,(Ю)
at me at
где U (f) — потенциал, в котором движется волновой пакет. Действительная часть комплексной матрицы F (方)определяет распределение модуля волновой функции в пространстве, а мнимая ее часть определяет распределение фазы волновой функции в пространстве. Как показано в приложении 2, изменение матрицы F (方)с течением времени описывается нелинейным матричным уравнением типа уравнения Рикатти:
2fЕ +汴2,(n)
at те 2
где U〃 — матрица вторых производных потенциальной энергии в центре волнового пакета, появляющаяся при разложении потенциальной энергии в ряд Тейлора в окрестности центра пакета:
1
Wgrad + -(万,U〃万)+(12)
Этот метод пригоден, если в потенциале (12) можно пренебречь кубическими членами и членами более высоких степеней малости. В [17] показано, что нелинейное уравнение (11) сводится к системе линейных уравнений и во многих случаях может быть сравнительно легко решено. Согласно (11) видно, что динамика параметров пакета, определяющих его размеры, определяется матрицей вторых производных потенциала поля по пространственным координатам в точке соответствующей центру пакета.
Этим методом рассмотрено прохождение электронного сгустка через катод-анодный промежуток. В одномерном случае и при однородном катод-анодном поле (U〃 = 0) уравнение (11) можно проинтегрировать. Полагая в начальный момент времени параметр Fq чисто вещественным, нетрудно получить зависимость продольной полуширины пакета от времени:
та^та^(13)(13)
та^
та^
(13)
(13)
丁 — характерное время расширения пакета и ао — начальная полуширина пакета. Время пролета электрона между катодом и анодом порядка
(14)(14)2ml
(14)
(14)
to = V^F
(15)(15)где I — расстояние между катодом и анодом, U — напряжение между ними. Для того, чтобы пакет не успел существенно расшириться за время пролета от катода к аноду, г и to должны быть одного порядка. Существует характерный размер пакета:
(15)
(15)
\ еит
Если бы размер пакета был много меньше, чем характерный размер (15), то он быстро расплывался бы и не давал резкого всплеска тока в цепи детектора (фотоотсчета). Следовательно, можно заключить, что размер реальных пакетов в вакуумных приборах порядка характерного размера А. Отметим, что характерный размер А слабо зависит от параметров устройства U о I.
Обычно расстояние между катодом и анодом порядка одного сантиметра, а напряжение примерно 100 вольт, тогда, согласно (15)
(16)(16)4 = 6 • I。—' см.
(16)
(16)
Как видим, характерный размер относительно велик, около одного микрона. Соответственно, размеры электронного пакета в вакуумном фотодетекторе должны быть порядка, больше или даже много больше характерного размера А, чтобы пакет не успевал сильно измениться в своих размерах за время движения от катода к аноду. При этом размеры пакета должны быть ограничены сверху, т. е. он должен быть много меньше характерных расстояний между катодом и анодом, чтобы давать резкий импульс тока во внешней цепи фотодетектора.
Реально электронные волновые пакеты движутся не только в катод-анодном поле, но и в кулоновом поле друг друга. Этот случай также был рассмотрен упомянутым выше методом. Однако решение уравнения (11) в этом случае возможно лишь численным способом. На рис. 8 показана зависимость ширины одноэлектронного сгустка от расстояния при его движении в катод-анодном поле и одновременно в поле другого такого же сгустка. Можно видеть, что неоднородное поле второго сгустка сильно фокусирует движущийся сгусток так, что его продольный размер уменьшается на несколько порядков. Такой сгусток способен возбудить во внешней цепи приемника острый всплеск тока, весьма похожий на фотоотсчет.
Таким образом кулоновская неустойчивость квазиоднородного электронного распределения позволяет объяснить основные черты картины
Рис. 8. Зависимость длины электронного волнового пакета от расстояния при его движении в однородном поле и одновременно в кулоновом поле другого электрона при различных начальных скоростях — электронный сгусток обостряется
фотоотсчетов, возникающей при детектировании слабых оптических сигналов. В настоящее время это единственное непротиворечивое объяснение этой картины.
Возможности экспериментального наблюдения одноэлектронных сгустков в вакуумных устройствах. Рассеяние импульсного лазерного излучения электронным волновым пакетом. Так как размеры электронного пакета сравнимы с типичными оптическими длинами волн, то естественным способом наблюдения такого пакета является зондирование его интенсивным лазерным импульсом и детектирование излучения, рассеянного им. Поэтому предположим, что на пути между фотокатодом и анодом электронный пакет пролетает через интенсивный импульсный лазерный луч.
Для оценки рассеиваемой энергии рассмотрим случай, когда размеры пакета много меньше длины волны. Тогда интенсивность рассеянного излучения (томсоновское рассеяние) определяется дипольным приближением [18]:
2е2a2 где а — ускорение пакета, равное
eе⑴a =т
и Е (t) — напряженность поля лазерного излучения. Эта напряженность связана с энергией W лазерного импульса соотношением:
47rlyст S
где 丁 — длительность импульса n S — поперечное сечение пучка в месте пролета пакета. Число фотонов, рассеянных электронным пакетом, равно
卄 ri 4a2hXW九； 3m2c3S '
где а — постоянная тонкой структуры ( ^ 1/137 ) и А — длина волны лазерного излучения.
Известно, что в настоящее время интенсивность сфокусированного лазерного излучения достигает /о ~ Ю21 Вт/см2 при длительности импульса около 10-12 сек, то есть W/S = 丁/o ~ Ю16 эрг/см2. Оценка в соответствии с (20) показывает, что один электронный волновой пакет рассеивает 7V ^ 4 • 103 фотонов. Эта величина достаточно велика и, следовательно, рассеянное излучение является чувствительным индикатором присутствия электронного волнового пакета. При размерах пакета, меньших длины волны, угловое распределение рассеянного излучения является дипольным. По мере уменьшения длины волны угловое распределение рассеянного излучения все более отличается от дипольного, это отличие содержит информацию о размерах и форме электронного пакета. В частности, с уменьшением длины волны интенсивности рассеяния вдоль лазерного луча и перпендикулярно к нему все более различаются.
Отклонение электронного волнового пакета от прямолинейной траектории импульсом лазерного излучения. Оценим давление, оказываемое лазерным импульсом на электронный пакет. Так как фотоны рассеиваются электронным пакетом в равной мере вперед и назад вдоль лазерного луча, то можно считать, что они в среднем останавливаются и передают свой импульс электронному пакету. Поскольку каждый фотон несет импульс Ии/с, то составляющая скорости электронного пакета вдоль лазерного луча после взаимодействия с ним оказывается равной
Nhu _ 87va2h2Wтс Зт3с35 *
Подставляя сюда приведенное выше значение W/S, получим
V 3 • 108 см/с,(22)
то есть составляющая скорости пакета вдоль лазерного луча сравнима с его начальной скоростью. Следовательно, пакет отклоняется от свое-
го начального направления движения на угол порядка единиц радиан. Это отклонение, как и рассеянный свет, может быть индикатором прохождения волнового пакета через детектор. По мере того, как длина волны лазерного излучения уменьшается и делается сравнимой или даже меньше размеров пакета, фотоны все больше рассеиваются вперед и отклонение пакета уменьшается. Это уменьшение позволит оценить размеры волнового пакета.
Электростатическая дефокусировка одноэлектронных волновых пакетов. Рассмотрим движение электронного волнового пакета к центру макроскопического шарового электрода под отрицательным потенциалом (рис. 9). Имея достаточно большую начальную скорость,
ЭкранЭкранРассеивающий электродРассеивающий электродРис. 9. Схема эксперимента по дефокусировке электронного сгусткаРис. 9. Схема эксперимента по дефокусировке электронного сгустка
Экран
Экран
Рассеивающий электрод
Рассеивающий электрод
Рис. 9. Схема эксперимента по дефокусировке электронного сгустка
Рис. 9. Схема эксперимента по дефокусировке электронного сгустка
волновой пакет останавливается вблизи шарового электрода и относительно долго находится в сильном неоднородном электростатическом поле, дефокусирующем его в поперечном направлении. Отметим, что в окрестности точки остановки центра электронного пакета зависимость его потенциальной энергии от продольной и поперечной координат имеет вид седла. В продольном направлении — фокусирующий приблизительно квадратичный потенциал, в поперечном —дефокусирующий, тоже приблизительно квадратичный потенциал. Такой вид потенциальной энергии в окрестности точки остановки центра электронного пакета и определяет последующую динамику волнового пакета.
Расчеты показывают, что в рассматриваемом случае волновой пакет из микроскопического, в начальный момент времени, превращается в существенно макроскопический; поперечные размеры пакета, после рассеяния на потенциале шара, достаточно быстро, примерно на полуметровой траектории достигают размера порядка сантиметра.
Отметим, что возможность электронов находиться в состоянии с макроскопическими размерами волнового пакета является хорошо установленным фактом. Примером являются, так называемые, ридберговские атомы — сильно возбужденные атомы с большими значениями главного квантового числа. Методами космической радиоспектроскопии было показано, что в разреженной межзвездной среде атом может существовать в состояниях с большим значением главного квантового
числа, когда линейные размеры электронного облака достигают величин порядка миллиметров. В лабораторных условиях были получены ридберговские атомы, диаметр которых приближается к сотой доле миллиметра, что в 105 раз больше, чем диаметр атома в основном состоянии.
Проведение экспериментов по существенному расширению электронных волновых пакетов могло бы иметь принципиальное значение. Так, например, заранее нельзя сказать, будет ли широкий волновой пакет (^ 1 см) вызывать свечение всей, накрываемой им площади экрана, или только одной маленькой точки; следует иметь в виду, что энергии пакета достаточно для излучения ^ 1000 фотонов.
Лазерное детектирование оптических сигналов
Главный вывод, который можно сделать из исследования природы фотоотсчетов, изложенного в предыдущем разделе, заключается в том, что фотоотсчеты не есть какое-то абсолютное явление, на которое невозможно как-либо повлиять. Фотоотсчеты это явление, связанное с некоторым типом неустойчивости электронного потока, а именно с его кулоновой неустойчивостью. Следовательно, этого явления можно избежать, если тем или иным способом стабилизировать электронную систему детектора. Это важный вывод, поскольку отсутствие фотоотсчетов означает значительное подавление дробовых шумов в детекторе.
Так как отмеченная выше кулонова неустойчивость сильно проявляется в устройствах, где электроны свободны, иными словами, если в электронной системе имеется сильное вырождение, то естественным путем избежать этой неустойчивости является переход от свободных электронов к связанным. Действительно, электронные системы в атомах (ионах, молекулах и т.д.) хорошо стабилизированы кулоновским полем ядер и поэтому в них невозможны какие-либо неустойчивости, связанные с коллективными движениями электронов. Ниже дается описание некоторой схемы детектирования оптических сигналов, основанной на использовании связанных электронов. Поскольку в этой схеме существенно используется лазерное излучение, имеет смысл назвать этот способ детектирования лазерным детектированием.
Лазерное детектирование — принцип действия. Проблема детектирования оптических сигналов оптическими же средствами впервые была поставлена, по-видимому, Н. Бломбергеном [28]. Однако серьезного развития эта идея не получила. Чувствительность схем прямого усиления оптических сигналов при их прохождении через усиливающую среду сильно ограничена шумами, обусловленными собственным спонтанным излучением усиливающей среды [29]. В работе
[30] было показано, что отношение сигнал — шум может быть улучшено при использовании нелинейных детекторов излучения, в которых преобразование сигнала начинается с поглощательного перехода.
В первом разделе было показано, что в традиционных приемниках излучения имеет место сильная кулоновская неустойчивость слабого электронного потока, возникающего в приемнике под действием детектируемого сигнала. Эта неустойчивость обусловлена использованием в этих устройствах свободных электронов. Иными словами, электронная система этих устройств сильно вырождена. Как известно, сильно вырожденные системы особенно легко перестраиваются под влиянием внешних воздействий, поскольку для этого требуются незначительные затраты энергии. В упомянутых выше приемных устройствах вырожденность электронной системы приводит к распаду слабого электронного потока на сгустки под влиянием возмущающего кулонова взаимодействия. Это наводит на мысль использовать в детекторах не свободные электроны, но связанные в атомах, ионах или молекулах, где они хорошо стабилизированы сильным кулоновским полем ядер и поэтому в них невозможны какие-либо неустойчивости, связанные с коллективными движениями электронов.
Ниже описана возможная схема детектирования слабых оптических сигналов [31-35], основанная на использовании связанных электронов. Поскольку в этой схеме существенно используется лазерное излучение, имеет смысл назвать этот способ детектирования лазерным детектированием.
Мода накачкиМода накачкиВыходная модаВыходная модаСигнальная модаСигнальная модаРис. 10. Схема уровней лазерногодетектора излученияРис. 10. Схема уровней лазерногодетектора излученияОснову схемы составляет система трехуровневых атомов (рис. 10). Предполагается, что эти атомы находятся в специально сконструированном оптическом резонаторе, в котором имеется резонансная, сигнальная мода на частоте s перехода |0) j 11 а также две резонансные моды на частоте Q перехода | 1) ^ | 2). В отсутствие населенности на уровнях 11) и I 2) две последние моды вырождены по частоте и не связаны друг с другом (они могут, например, отличаться поляризацией и иметь практически одинаковое про
Мода накачки
Мода накачки
Выходная мода
Выходная мода
Сигнальная мода
Сигнальная мода
Рис. 10. Схема уровней лазерногодетектора излучения
Рис. 10. Схема уровней лазерногодетектора излучения
странственное распределение). При этом одна из этих двух мод (мода накачки) возбуждена, т. е. содержит сильное монохроматическое поле накачки, задаваемое внешним источником. Вторая мода предназначена для возбуждения выходного сигнала — в дальнейшем она называется выходной. В начальном состоянии, т. е. до прихода сигнала, она не возбуждена и никаких полей не содержит.
Принцип действия детектора заключается в следующем. До прихода сигнала в сигнальную моду атом, не будучи в резонансе с полем накачки и практически с ним не взаимодействуя, остается в состоянии I0). После прихода сигнала на частоте s на уровне |1) появляется некоторая населенность. При этом под действием сильного поля накачки начинаются переходы между уровнями | 1) и | 2) и возникает осциллирующий дипольный момент на частоте Q, который возбуждает поле в выходной моде. Задача состоит в том, чтобы показать, что выходной сигнал может быть существенно больше входного. Кроме того необходимо определить характерное время нарастания выходного сигнала. Исследование проводится в так наз. полуклассическом приближении, когда процессы в атомах исследуются в рамках квантовой механики, в то время как все поля считаются классическими.
Следует отметить сходство лазерного и обычного способов детектирования оптических сигналов. В обоих случаях электрон после прихода детектируемого сигнала переходит в возбужденное состояние и получает доступ к источнику энергии. В традиционном детекторе это постоянное катод-анодное поле, при лазерном детектировании источником энергии является интенсивное лазерное поле. В обоих случаях детектируемый сигнал преобразуется по частоте. В традиционном детекторе характерная частота на выходе порядка 108 герц, в то время как при лазерном детектировании характерная частота на выходе, хотя и отличается от частоты детектируемого сигнала, но все же принадлежит к тому же самому оптическому диапазону.
Малое время отклика детектора на внешний сигнал — релаксация несущественна. Сначала рассмотрим случай, когда время нарастания выходного сигнала меньше времени фазовой (поперечной) релаксации активных атомов в среде.
Состояние трехуровневого атома изменяется под действием трех полей: сигнального поля, поля накачки и исходно неизвестного поля выходной моды. Поле выходной моды возбуждается поляризационным током системы атомов. Учет эволюции атомов и возбуждения выходной моды приводит к самосогласованной задаче. Ее решение позволяет найти поле в выходном резонаторе и определить время нарастания выходного сигнала.
Возбуждение поля в резонаторе внешним током. Поля в резонаторе при кулоновой калибровке описываются уравнениями
— ^2 а 力2 =—工 Jc, div grad U = —4тгр, (1)
где
—вихревой ток. В резонаторе имеется набор мод 仔（尸），подчиняющихся уравнениям
△仔 + k2v = 0, div 仔=0, необходимым граничным условиям и ортонормированных
dfvk （г） VI （г） = 8胱.
Первое из уравнений （1） умножим на распределение vo （^）, соответствующее выходной моде, и проинтегрируем по объему резонатора. Вычисляя далее интеграл по частям, получим
卄⑴+便。⑴=4兀0•⑴， где
。（方）=dfvo（f） A（r^, 〃方）=dFIG）jcC，t）, （2）
и Q — собственная частота моды. Можно показать, что часть интеграла j （方），содержащая grad U （尸），равна нулю; поэтому в определении j （方） фактически можно использовать полный ток, а не вихревой.
Далее амплитуду поля U （方）будем считать медленно меняющейся функцией времени и выделим в ней отрицательно-частотную часть
U（i ⑴=〃⑴ е~^.
Тогда, пренебрегая второй производной амплитуды и （方） по времени, приводим уравнение возбуждения выходной моды к следующему виду
где / （方）—амплитуда отрицательно частотной части тока j （方） также считающаяся медленно меняющейся функцией времени.
Таким образом амплитуду поля в выходной моде можно определить, если известен ток, возбуждающий эту моду. Этот ток складывается из элементарных токов отдельных атомов, взаимодействующих с тремя полями.
Динамика активных атомов под действием трех полей. Поскольку далее предполагается принять во внимание фазовую （или поперечную） релаксацию, то состояние трехуровневых атомов, взаимодействующих с полями трех мод, будем описывать матрицей плотности
0 = 00 丨。)〈。丨 + 001 丨。)〈1 丨 + 002 I。)〈 2 I + +010 丨 1 )〈。丨 +
(4)
+。1 丨 1)〈 1 丨 + 0121 1)〈 2 I + 020 I 2)〈 0 I + 021 I 2)〈 1 I + 021 2)〈 2 I •
Эволюция трехуровневого атома, взаимодействующего с полями
трех мод, описывается гамильтонианом
Н(" = % +『("，(5)
где
Ho = "io|l)〈l| +九 Qio + g21)|2)〈2|,(6)
『⑴=(a21 |2)( 1 1ё-421 力 + a；] I 1)(216421 力)+
+ (go I 0(0 I丨。)〈1 I ^Qt) +⑺
+(721 (t) I 2 )〈 1 I e—通2" + 嚙⑴ I 1 )〈 2 I e^).
и С。，&0 ——частоты, соответственно, накачки и сигнала (в дальнейшем рассматривается резонансный случай Qo = С, &о = &)•
Первый член в V (方)описывает взаимодействие атома с модой накачки. Второй член в V (方)описывает взаимодействие атома с выходной модой. Третий член в V (方) описывает взаимодействие атома с сигнальным (детектируемым) полем на частоте шю, равной резонансной частоте s перехода |0) — | 1). Поскольку амплитуда поля выходной моды, пропорциональная 721 (方)，медленно меняется со временем, то это поле не является монохроматическим. Его средняя частота фиксирована равной 心・
В представлении взаимодействия матрица плотности подчиняется уравнению
где
Wi(t) =万 1У (方)〃万=
(9)
= [.(t)|2Hl|+^W|lH2|] + [/3|lH0|+/3*|0Hl|]
и
Q ieuuiVi(方)ro
7W =^
—величины, описывающие взаимодействие атома с модами поля, и, 〃分，ио (方)—отрицательно-частотные амплитуды векторного потенциала, соответственно, мод накачки, сигнала и выходной,
丁=仔(0)滝1, 々=心(0)尸10, Го = 4 (0) r21(n)
проекции матричных элементов координаты электрона г на амплитуды 仔，心，vo нормированных мод накачки, сигнала и выходной в месте расположения атом红 т. е. в начале координат (вследствие нор- мированности моды, где v2 = 1 /V и V — объем моды). Величины, относящиеся к моде накачки, не несут никакого индекса, величины же, относящиеся к сигнальной и выходной модам, отмечены индексами i (分八)и о (out).
Оператор плотности тока атома равен
J (元 Q = -рЗ (尸一Q .т
Для тока перехода | 1) j |2) в представлении взаимодействия имеем выражение
I冗方)=^ (〈2|万8(尸一G|l))e^|2)〈l|+3. с.
Поляризационный ток j (方)，возбуждающий выходную моду, в дипольном приближении имеет вид
j = n drvo (r)亍(尸,方)=—nvo (0) (2 I p I 1〉I 2 И 1 I + э. с.= Jm
=zen a『oe"Q" I 2) (1 I + э. c.,
где n — число активных атомов, tq = vo (0)滝1 n 力1 — матричный элемент координаты электрона перехода | 2) — | 1).
Среднее значение тока возбуждения выходной моды в момент времени t равно
0⑴)=Sp 0⑴р⑴)=ienQe0p\2/g一吟р；2ь加D •(12)
где 012 (方)——элемент матрицы плотности атома, единственно важный для определения тока.
Поле выходной моды. Пока рассматривается случай, когда время приема сигнала меньше времени фазовой релаксации; при этом релаксацией можно вообще пренебречь. Тогда из (8) для элементов матрицы
плотности следуют уравнения
t
0。⑴=0。⑼一分必1 （C*曲1 （方1）-e001 （方1））,о
t
аh ⑴=аm （0）一分必 1 （少*01 （方 1） - B*pa （方 1） - S0O2 （方 1））,о
t
002 ⑴=002 （。）一分 dt\ （3*p\2 （力）一S*0O1 （力）），
0
t
01 ⑴=01 （。）一分必 1 （0001 （方 1）-，曲 1 （方 1） +«*0:2 （方 1） - S012 （方 1））, 0
t
012 ⑴=0 2 （。）- г 必 1 （/3002 （方 1） + s*02 （力）-s*01 （方 1））,
0
t
P2 ⑴=02 （0） - г 必 1（W2 （方 1） — s*0；2 （力 1）） •（13）
0
Будем считать, что детектируемый сигнал является слабым и на всем интересующем нас интервале времени населенность нижнего уровня изменяется мало и остается примерно равной единице. Тогда элемент 012 （方）матрицы плотности возникает в третьем порядке теории возмущений и равен
t
012 ⑴=г |/3|2 t 必1 • 3 （а* + 7* （方i）） •（14）
о
Следовательно, согласно （3）, （12） и （14） поле выходной моды определяется уравнением
t
и ⑴=—2тг i еспг* |/3『方 必i •力（а +）（方i））.
о
Для того чтобы от 〃 （方） перейти к ）（方），умножим это уравнение, согласно （10）, на —ie^lro/hc
t
7 = -<2t 必 1 "i （а + т（方i））,（15）
о
где
= 27r FC几产。|2 店］2Tic
Учитывая, чтоn
где N — число фотонов в сигнальной моде, получаем для ^2 выражение
?=(27T)2協浒〔广Кё0限^2八n.(⑺
Поделив уравнение (14) на t и продифференцировав полученное равенство по 方，приходим к уравнению
S —7+§2*7 + §2*q = Q(18)
Общее решение этого уравнения имеет следующий вид
7⑴7⑴+ В cos+ В cos(19)(19)
7⑴
7⑴
+ В cos
+ В cos
(19)
(19)
в чем можно убедиться прямой подстановкой этого выражения в уравнение. Так как в момент прихода сигнала 7 (0) = 0 и 7 (方)/力力=о = =0, что видно, например, из уравнения (4), то 4 = 0 и В = а. Следовательно, реакция системы на приходящий сигнал описывается соотношением
(20)(20)
(20)
(20)
Таким образом, после прихода внешнего сигнала, т. е. поля 〃分 в выходной моде за время 丁 =，2тг/§ нарастает поле, приближенно равное полю накачки, много большему, чем сигнальное поле. Это характерное время 丁 реагирования детектора должно быть меньше или равно времени фазовой релаксации т°・ Величине ^2 можно придать следующее выражение
(27ГС)4 卜о『|々|2(27ГС)4 卜о『|々|2N八,N八,(21)(21)
(27ГС)4 卜о『|々|2
(27ГС)4 卜о『|々|2
N八,
N八,
(21)
(21)
где 八—число атомов, взаимодействующих с модами, N — число фотонов в сигнальной моде, 匕，匕一объемы сигнальной и выходной мод, A i, А о — длины волн сигнала и выходного излучения. Если положить г = 7о, то эта формула определяет то минимальное число фотонов, которое должно присутствовать в сигнальной моде, чтобы
за время приема порядка то амплитуда поля в выходной моде могла дорасти до своего максимального значения. Тем самым этим параметром определяется чувствительность рассматриваемой схемы по отношению к величине принимаемого сигнала.
Оценки. Далее предполагается, что время фазовой релаксации составляет 丁 = 10-8 сек — такого времени поперечной релаксации можно, невидимому, добиться, охлаждая активную среду до азотной температуры.
полагая 户=(2灰)2/丁力, находим, что при числе фотонов в сигнальной моде, равном
元儿 •匕%
где £ — постоянная тонкой структуры, поле в выходной моде за время 7о увеличится до своего максимального значения. Для оценок примем, что поперечные размеры моды порядка длины волны А, а продольный ее размер порядка 102 • А. Размеры обеих мод предполагаются примерно одинаковыми. Время 弋，как уже сказано, порядка 10-8 сек. Концентрация активных атомов по = 5 • 1019 ат/см3, а их полное число равно п = по • V. Матричные элементы |广『=2 • 10-19 см2 [36]. Тогда, согласно (21), при числе фотонов в сигнальной моде, равном N = 10-8, поле в выходной моде увеличится до своего максимального значения за время то = 10-8 сек. Как отмечено выше максимальное значение поля в выходной моде примерно равно полю в моде накачки. В моде накачки возможно иметь, например, десять фотонов. Следовательно, энергетический коэффициент усиления сигнала может достигать значительных величин. Разумеется, реализация подобных чувствительно- стей потребует серьезных экспериментальных усилий и теоретического учета квантовой природы детектируемого сигнала.
Оценка показывает, что число паразитных фотонов в сигнальной моде на частоте s, возникших, например, в результате нерезонансного релеевского рассеяния или в результате нерезонансного комбинационного рассеяния, по крайней мере на два порядка меньше приведенного выше значения N.
Отметим одно важное обстоятельство. В соотношении (16) неявно предполагалось, что все активные ионы расположены в одном и том же месте резонатора. Однако моды в оптических резонаторах пространственно распределены и, в частности, их фаза меняется от точки к точке. При этом выходная мода и мода накачки могут быть в одних точках синфазными, в других — противофазными. При однородном пространственном распределении в резонаторе активные ионы, следуя при своей эволюции за фазой моды накачки, могут в одних местах возбуждать выходную моду, в других — подавлять уже имеющееся возбуждение, делая суммарное взаимодействие между модами крайне
слабым. Поэтому распределение активных ионов не должно быть однородным. Активные ионы должны находиться только в тех местах резонатора, где выходная мода и мода накачки синфазны.
Поясним сказанное на простом примере. Рассмотрим диэлектрический цилиндрический резонатор (рис. 11). В качестве выходной моды и моды накачки примем так наз. моды «шепчущей галереи», т. е. моды, скользящие по окружности вдоль цилиндрической поверхности резонатора. Поля таких мод описываются функциями Бесселя высокого порядка.
Пусть для определенности выходная мода описывается распределением (夕—азимут точки поля)
етп (广，夕)=Jm ^mnr) • sin 加0，
при этом вследствие граничного условия на цилиндрической поверхно
сти должно выполняться условие
^тпТс = Ртп->
Рис. 11. Элемент лазерного детектора излученияРис. 11. Элемент лазерного детектора излучениягде ртп — п-ый корень производной функции Бесселя J^ {ртп) = 0. Понятно, что фаза этого поля зависит от азимута. Аналогично мода накачки пусть описывается подобным же распределением с другими значениями тип. Резонансные частоты этих мод могут совпадать при некоторых избранных значениях тип.
Рис. 11. Элемент лазерного детектора излучения
Рис. 11. Элемент лазерного детектора излучения
Если для определенности принять диаметр резонатора равным 0,01 см (100 мк), а его высоту - равной 0,001 см (10 мк), то нетрудно показать, что выходная мода с индексами т = 314, n = 1 и мода накачки с индексами mz = 325, nz = 0 вырождены, т. е. имеют одинаковые резонансные частоты (соответствующие длине волны порядка 1 мк).
Нетрудно понять, что объем резонатора, прилегающий к его цилиндрической поверхности, разделится на Am = mf — т
(11=325-314) секторов (рис. 11). При этом в одной половине каждого такого сектора моды будут в фазе, в другой - в противофазе. Активные ионы должны быть распределены только там, где выходная мода и мода накачки синфазны, т. е. так, как показано на рис. 11. Следует также учитывать, что выходная мода меняет знак в зависимости от радиуса, поэтому глубина распределения ионов не должна превышать величины
△=『с△=『сQ/nl \ Pm\ /Q/nl \ Pm\ /
△=『с
△=『с
Q/nl \ Pm\ /
Q/nl \ Pm\ /
При заданных выше параметрах резонатора эта величина равна примерно 1,7 мк; на большей глубине выходная мода меняет знак и оказывается в противофазе с модой накачки. Показанное на рис. 11 распределение активных ионов позволяет сделать взаимодействие между модами эффективным. Разумеется это лишь один из возможных вариантов резонатора для лазерного детектирования слабых оптических сигналов.
Выводы. Таким образом показано, что детектирование оптических сигналов возможно лазерными средствами по крайней мере в отсутствие фазовой релаксации. Как видим, подобные схемы весьма чувствительны.
Большое время отклика детектора на принимаемый сигнал, учет фазовой релаксации. Как будет видно ниже при приеме сигналов важную роль играет время фазовой релаксации Т, т. е. время когерентного взаимодействия атома с полем (эту релаксацию называют также поперечной). При больших временах фазовой релаксации весь прием сигнала (импульсного) может произойти за время т, меньшее Т. Этот случай рассмотрен в предыдущем пункте (см. также [31, 32]). При коротких же временах фазовой релаксации ситуация может быть обратной, т. е. время приема сигнала 丁 может быть большим Т. Поэтому рассмотрим случай, когда прием сигнала происходит за время, много большее времени фазовой релаксации [33, 34, 35].
Динамика активных атомов при фазовой релаксации. Фазовую релаксацию учтем как обычно, сшивая решения на отдельных когерентных интервалах, на которых релаксация несущественна. При этом в начале каждого такого интервала будем полагать все недиагональные элементы матрицы плотности активных атомов равными нулю, а все диагональные элементы — непрерывными при переходе от интервала к интервалу. Иными словами фазовую релаксацию сосредоточим на бесконечно малом временном интервале между отдельными когерентными интервалами. Отметим также, что фазовой релаксации подвержены лишь активные атомы, но не поля. Времена релаксации для полей предполагаются существенно большими, чем все характерные времена рассматриваемой задачи.
Исследуем в связи с этим решение системы (13) при ненулевых начальных диагональных элементах
00 ⑼=Pq/^^。1 (°)=访 # °，02 ⑼=卩2 # °，
считая, что они изменяются мало на когерентном временном интервале.
Тогда
02 ⑴=—F ⑶一М） "， Ooi ⑴=—/* （М —俞）"（23）
“— |/3|2 （访—卩°）方2 + ®2_ 访）
△02 = - ®2（3 2-历）/，（24）
△00 = - 1/312（0）/,
где чертой отмечены величины практически постоянные на когерентном интервале и медленно изменяющиеся на интервалах времени, много больших характерного времени когерентности Т. Для диагональных элементов матрицы плотности можно ввести так наз. медленные или сглаженные производные
曾=\（3\2T（pi - 00）,
竽=-К ⑴『т（02 -01）,（25）
* = — I- 0o） + К ⑴『7（02 - 01） •
Ток возбуждения резонатора. Плотность тока атома пропорциональна импульсу электрона
J（f,q） = -рб （r-qYт
Соответственно, для тока перехода | 1） j | 2） в представлении взаимодействия имеем выражение
亍（尸,方）=常（〈2|万8（尸一办 1））ё^|2）（1|+3. e.
Среднее значение тока перехода | 1） j | 2） равно
。（尸，方）〉=V（〈 2 I рЦг-q） |1）） 02 ⑴抖力 + к. с. （26）
Следовательно, для определения тока, возбуждающего выходную моду, единственно важным элементом матрицы плотности является 012（方）.
Выражение （26） для тока перехода атома и решение （23） позволяют найти амплитуду отрицательно частотной части тока
了 = ^|（1|万8（尸一Q12）Y（g-出）九
Далее, учитывая, что
Pni = ^^ Qn/rnz,(八 > /),
и интегрируя по 尸 в соответствии с (24), получаем
/⑴=сТга限(卩2 -卩1)方,/⑴=сТга限(卩2 -卩1)方,(27)(27)
/⑴=сТга限(卩2 -卩1)方,
/⑴=сТга限(卩2 -卩1)方,
(27)
(27)
где учтено, что в резонаторе имеется 八 одинаковых активных атомов.
Поле выходной моды. Приращение отрицательно частотной части амплитуды поля на когерентном интервале, согласно (25) и (27), равно
△“ = i^necT^ (% - &) Г2.
Домножим это соотношение на —庇^广。/九с, чтобы перейти к 7, и введем для 7 сглаженную производную
7 ⑴=S (卩2i)(Q +7 ⑴)，
где
S = 7T£ \ro^ c^lTn C = |-) •(28)
Учитывая, что а = const, приходим к уравнению
^(t^S^-^^.(29)
Следовательно, для q получаем следующее выражение:
- 力〃-
S ⑴=so exp -S 必1 (卩1 (方1)—卩2 (力))•(30)
Заметим, что интеграл в (30) можно распространить на интервал времени от момента поступления сигнала в систему и до текущего момента времени, так как показатели от отдельных когерентных интервалов аддитивны
■t_
S«)=aexp -S 必1 (В (方1)—卩2 (方1)) •(31)
_о_
Следовательно,
必 1(02 (力)-01 (方 1))必 1(02 (力)-01 (方 1))- t
必 1(02 (力)-01 (方 1))
必 1(02 (力)-01 (方 1))
7 ⑴=—Q 1 — exp7 ⑴=—Q 1 — exp(32)(32)S
7 ⑴=—Q 1 — exp
7 ⑴=—Q 1 — exp
(32)
(32)
_ о
Динамика населенностей активных уровней и поле на выходе.
Теперь систему (25) можно представить в виде
^ = В(Р1 - 00),
-4Z(02 - 01),(33)
呼=-В з - 00)+ 4Z(02 - 01), где
В = \f3^T, 4 = |а|2 Т, Z = Il Г.(34)
Величины А и В имеют размерность сек-1 и равны, соответственно,
4 = 27Г£ \r\2NcClT,
(35)
В = 2тг£ |г^|2 NiCuT,
где N к № — числа фотонов, соответственно, в моде накачки и сигнальной. Величина Z (t), равная
■t■
Z (t) = exp —2S dti (pi (й) - p2 (ti))
_о.
согласно (32), является мерой возбуждения выходной моды. При Z = 0 выходная мода оказывается возбужденной до уровня моды накачки.
Как видно из уравнений (33), развитие Z (方)со временем определяется параметрами А, В и S. Поэтому для дальнейшего важно знать их примерные значения для практически реализуемых сред. Отметим, что параметры А и В пропорциональны числам фотонов, соответственно, в моде накачки и сигнальной и в условиях эксперимента могут несколько меняться. Положим число фотонов в моде накачки равным 100, это число не должно быть слишком большим, чтобы не вызвать сильных нелинейных нерезонансных явлений в среде. Число фотонов в сигнальной моде положим равным одному, чтобы продемонстрировать высокую чувствительность рассматриваемого устройства.
Оценки. Параметр S пропорционален числу активных атомов в среде, заполняющей резонатор; в условиях эксперимента он является заданной величиной. Далее, для оценок полагаем, что активной средой является гранат с неодимом [36], в котором плотность активных ионов составляет = 2 • 1019 ионов/см3 и |广21『—2 х х 10-19 см2. Объем всех трех мод положим примерно одинаковым
и равным = 103А3 = 10-9 см3. В этом случае параметры А, В и S оказываются равными
А 4 • 104 сек"1, В 4 • 102 сек"1, 5^2 - 1012 сек-1.
Положим в системе (33)
pf = р\ - Оо, / = 02 — 01・
Тогда она сводится к двум уравнениям
彳=—2 石〃 + AZp\
* =石“ —^AZp"
Z ⑴=exp 2s 必 1/ (方i).
_ о_
Для целей данной работы достаточно рассмотреть лишь начальный временной интервал, пока амплитуда основного состояния остается практически неизменной, т. е. pf (t) = — 1 = const. При этом во втором уравнении достаточно учесть лишь первое слагаемое в правой части. Действительно, второе слагаемое может стать примерно равным первому слагаемому лишь за время порядка 1/24 (= 10-5 сек) при Z = 1. Однако за гораздо меньшее время Z (方)обратится практически в нуль. Действительно, на начальном этапе
р" = —Bt и Z ⑴仝 exp (—S石方2).
Таким образом Z (方) уменьшается по гауссову закону с характерным временем
г = \/VSB 仝 3・ КГ® сек;
за это время величина рг изменится лишь примерно на 10-7.
Следовательно, под влиянием слабого сигнала уровень возбуждения выходной моды за время 丁 достигает уровня возбуждения моды накачки. Таким образом рассмотренная схема обладает большим усилением. В присутствие релаксации процесс детектирования происходит примерно также как и в ее отсутствие (см. выше). Времена же реагирования детектора на сигнал при наличии релаксации несколько больше, чем при ее отсутствии, что впрочем вполне естественно.
Заключение. В первом разделе исследована природа фотоотсчетов и показано, что их причиной может быть неустойчивость слабого электронного потока, возникающего в детекторе под действием
принимаемого излучения. Такой подход объясняет основные черты фотоотсчетов.
Представленная во втором разделе возможная схема детектирования оптических сигналов лазерными средствами устойчива по отношению к процессам фазовой релаксации в среде. Показано, что подобные схемы могут оказаться весьма чувствительными.
Самая поразительная особенность рассмотренных схем лазерного детектирования заключается в их способности фиксировать порции энергии, составляющие малые доли кванта принимаемого излучения. Если эта их особенность будет практически реализована, то ситуация в квантовой теории измерений может кардинально измениться.
Важной особенностью лазерных детекторов слабых оптических сигналов является их способность работать без фотоотсчетов, поскольку электронное возбуждение в них распределено по многим активным атомам, причем электронные системы в этих атомах хорошо стабилизированы сильным кулоновским полем ядер. Это означает, что дробовые шумы в лазерных детекторах сильно подавлены. Их физическая природа совершенно иная, нежели в обычных приемниках излучения.
Приложение 1. Сферически симметричный разлет электронного сгустка. Пусть в начальный момент задано сферически симметричное распределение зарядовой плотности а (г) и при этом сгусток покоится, т. е. скорости во всех точках сгустка равны нулю. Тогда электрическое поле Е (R) на сфере радиусом R равно
где Q (R) — полный заряд, заключенный в этой сфере:
R
Q ⑶=4тг dr • г2а (г).
о
Отметим, что до момента начала обгона величина Q (R) представляет собой константу, т. е. Q (R) = Q(Ro), если Rq — начальное значение R. Таким образом, закон движения зарядов, лежащих на сфере радиусом R, имеет вид
Предположим далее, что в начальный момент распределение заряда является гауссовым:
где Qo ——полный заряд распределения. Тогда интегрирование этого уравнения приводит к зависимости
гдегде("00产 + "/2 #/2("00产 + "/2 #/2(36)(36)RqRq=6=600 =— 广000 =— 广0dp. d expdp. d exp
где
где
("00产 + "/2 #/2
("00产 + "/2 #/2
(36)
(36)
Rq
Rq
=6
=6
00 =— 广0
00 =— 广0
dp. d exp
dp. d exp
Рассмотрим теперь, как с течением времени изменяется плотность заряда о(Н). Для этого заметим, что до начала обгона полный заряд, заключенный в тонком сферическом слое толщиной dR, сохраняется с течением времени. Поэтому имеет место равенство
a (R) В2 dR = a {Rq)加 dR()
илиили。⑶=。（凡）歩幣。⑶=。（凡）歩幣(37)(37)
или
или
。⑶=。（凡）歩幣
。⑶=。（凡）歩幣
(37)
(37)
Из этого соотношения видно, что плотность заряда может стать бесконечной, только если производная dR()/dR обратится в бесконечность или, что то же самое, производная dR/dR()обратится в нуль.
Производную dRQ/dR можно найти, продифференцировав по Rq соотношение (36):
1 '
R = р- q (”1) +
+ (-门П(("以"用^.(38)
Зависимость R от Rq была рассчитана с помощью ЭВМ. Посредством (37) и (38) была вычислена плотность заряда в зависимости от R. Эта зависимость показана на рис.5 статьи для разных моментов времени.
В точке, где производная dR/dRQ впервые обращается в нуль, та зависимость R от Rq имеет перегиб и ее можно представить в виде
R = В £ (Но — 4)3 + …,
где А и В — некоторые константы. Тогда Rq зависит от R следу-
11 В.П. Быков
ющим образом:
Но =厶 +
Производная dR/dR()вблизи этой точки имеет вид:
響=Зе (Но -=3s1/2 (R - В)2/3.
Таким образом, зависимость плотности заряда от R вблизи точки, где она обращается в бесконечность, имеет вид
。5)=；。(4)丁1/2(^)(R _石厂2/3.
В начальный момент времени R и Rq совпадают. Затем начинается разлет сгустка, при этом наибольшие скорости и, соответственно, наибольшие смещения приобретаются зарядами на склоне зарядового распределения. Вследствие этого предшествующие слои догоняют последующие. Например, смещения при Но 1,5 значительно превосходят смещения при Rq 2,0 [12-14]. При 方=2,77 значения R, соответствующие 1,5 < 2? < 2,0, выравниваются и это означает начало обгона и обращение плотности заряда в бесконечность. На рис. 5 видно формирование максимума плотности зарядового распределения и его обострение со временем вблизи R 3,65. При 方=2, 77 плотность зарядового распределения в максимуме почти на четыре порядка выше, чем в центре распределения. Она обращается в бесконечность, если не учитывать волновые свойства электрона.
Приложение 2. Движение электронного волнового пакета в электромагнитном поле. В основном тексте показано, что в вакуумных фотоприемных устройствах (таких, например, как фотоумножители) отдельные электронные волновые пакеты имеют относительно большие размеры и, следовательно, могут наблюдаться современными средствами. Там же обсужден вопрос о природе и механизме образования таких волновых пакетов, при этом показано, что причиной их образования является кулоновская неустойчивость квазиоднородного электронного потока низкой плотности.
В связи с этим представляет интерес рассмотреть движение электронных волновых пакетов в электромагнитных полях достаточно общего вида при единственном условии (всегда выполненном в упомянутых выше приборах), что характерные размеры пространственного изменения этих полей значительно превышают характерные размеры пакетов. В этом случае поля внутри пакета и в его окрестности могут быть разложены в ряд и в расчетах учтены лишь члены нулевого, первого и второго порядков по отклонениям точек пакета от его центра.
Оказывается, что в этом приближении центр пакета описывает классическую траекторию, а матрица параметров пакета подчиняется матричному уравнению типа Рикатти. Ниже дан вывод этого уравнения, отмечены его особенности и рассмотрен простой пример движения пакета в однородном магнитном поле. В работах [19-22] рассмотрены частные случаи этого уравнения.
Гамильтониан, описывающий движение волнового пакета, имеет следующий вид
Н =Н =
Н =
Н =
где р, г — импульс и координата электрона и A (f, t), U (г,方)— соответственно, векторный и скалярный потенциалы поля, являющиеся заданными функциями координат и времени. Как известно, из этого гамильтониана следуют обычные классические уравнения движения точечного электрона
6=一^炉^9—：4俨）了6=一^炉^9—：4俨）了—egrad U (尸)，—egrad U (尸)，(39)(39)
6=一^炉^9—：4俨）了
6=一^炉^9—：4俨）了
—egrad U (尸)，
—egrad U (尸)，
(39)
(39)
которые в ньютоновской форме имеют вид
mг = e 月俨,方)+ g [r x Я (尸,方)], где
—斫grad U (г,方),
Я (尸,方)=rot а (r,方)，
—электрическое и магнитное поля соответственно.
Рассмотрим движение волнового пакета в электромагнитном поле в том случае, когда характерный размер неоднородности поля значительно превышает размеры этого пакета. С этой целью решение уравнения Шредингера будем искать в виде гауссова волнового пакета
Ф(r,^)=Сехр -旧歹力+ ^保⑴万+石⑴)
С =С =det ReF (0)det ReF (0)1/41/4(40)(40)
С =
С =
det ReF (0)
det ReF (0)
1/4
1/4
(40)
(40)
где F (t) — комплексная симметричная Зх 3 матрица, и и*
万=尸一fb⑴；
параметры % （方）и ро （方）описывают движение центра волнового пакета. При кулоновой калибровке
div А （г,方）=О, A U （г,方）=О,
уравнение Шредингера имеет вид
声+ ёи（尸）一（尸）力+笛（尸）］W.
ot \_2ттс2加屛 J
Подставив в это уравнение волновой пакет （40） и поделив его потом на то же самое выражение （40）, получим в левой части уравнения Шредингера выражение
汤卜 ^p,F^+2^Q,F^ +（ЙД-Р^ + ^）］，
в котором можно видеть члены, независящие от 万，а также линейные и квадратичные по р. Правую часть уравнения Шредингера, учитывая для скалярного и векторного потенциалов разложения
и ⑺生 и （%） + （万十）U （公）+ ^ （万十了 u （%） + •••,
m⑺-A（fb） + （万十）N（外）+ J （^V）2A（fb） + …,
также можно представить в виде суммы членов, как не зависящих от Д так и линейных и квадратичных по р. Собирая члены, не содержащие Д получим уравнение, определяющее функцию Е （方）
Аналогично, собирая члены первого порядка по Д получим для параметров fo （^）, R）（方）гамильтоновы уравнения （39）, и это означает, что центр волнового пакета движется по классической траектории. Члены второго порядка малости по Д дают
一汤伍ь万）=^ g产万）+ ；С （万十了 U保）-
一T（G十）4国））Р万一
^伍-尸保））（”）%（"!
+
+為（内*。）［
Придавая всем членам этого выражения стандартный вид
где
ное
М — некоторая Зх 3 матрица, получим для матрицы F нелиней- уравнение типа Рикатти
吗=『、; « ^^F + FdT （4伍）））一
—^{Л^УаТ {A^-^eD2U^+（41）
+ ^ （外 . °2才（外）），
где
,024保），020保）
матрицы, определяемые про
странственными производными потенциалов
по компонентам 而,
/
дАх дх
а 4 дх
а、
дх
д Ах
а Ау ду
dAz
d @保））=
ду
ду
д Ах
а Ау
dAz
д z
д z
д z
/
/ Э2 А
дх1
дхду
дхд z
讨才
Э2 А
024（亦）=
дудх
ду2
dydz
抬
д zdx
д zdy
d z1
/ д2и
д2и
дх2
дхду
дхд z
乎и
д2и
д2и
020(〜
дудх
ду2
дуд z
》и
д2и
д zd у
д zd у
дх2
丿
и верхний индекс Т означает операцию транспонирования. Эти матрицы являются функциями времени, так как в соответствии с уравнением (39) fb = Л) (^)- Вводя вместо F новую матрицу Ф
[ m不 ж 2力
получим
(42)(42)
(42)
(42)
Заметим, что можно отказаться от кулоновской калибровки потенциалов; для этого достаточно в последнем члене уравнения (42) вместо векторного потенциала A (fo) использовать вихревую, т.е. поперечную часть этого потенциала N (公)(div a (公)=0).
Хотя матричное уравнение типа Рикатти (42) является нелинейным, его можно свести (для произвольной n х п размерности) к системе линейных уравнений. Для этого рассмотрим линейную систему уравнений
н = 4Х + А2У, — = А3х + 4У, (43)
at at
где X, Y — n-компонентные векторы и Ai — п х n-матрицы, являющиеся произвольными функциями времени. Эта система имеет п линейно независимых решений, которые можно считать столбцами матриц X, Y. Потребуем, чтобы в начальный момент времени матрица У была единичной, а матрица X совпадала с Ф (0) = Фо. Разрешая систему (43) (что не всегда просто) при указанных начальных условиях, получим п х п матрицы X (t) и У (方).Эти матрицы, также как и векторы X, Y, удовлетворяют уравнениям (43). Матрицу ①(方)
определим посредством равенства
(44)
матрица ①(方)имеет, очевидно, начальное значение, равное Фо. Дифференцируя это выражение по времени и используя уравнения (43), убеждаемся, что матрица Ф (方)подчиняется уравнению
Ф =-①43①+41①-①44 +42；Ф =-①43①+41①-①44 +42；(45)(45)
Ф =-①43①+41①-①44 +42；
Ф =-①43①+41①-①44 +42；
(45)
(45)
т. е. нелинейному матричному уравнению типа Рикатти. Таким образом, определив решения линейной системы (43), можно с помощью соотношения (44) найти решение нелинейного матричного уравнения (45).
Нетрудно убедиться, что изучаемое нами уравнение (42) для Ф принадлежит как раз к уравнениям типа (45) и переходит в него при п = 3 и
41 = - d тс41 = - d тс
41 = - d тс
41 = - d тс
A3 = —il, А4 =产.mе \/
Можно показать, что решение (44) для матрицы Ф (方)все время остается симметричным, если только симметрична начальная матрица Фо.
В качестве иллюстрации рассмотрим движение волнового пакета в продольном однородном и постоянном магнитном поле, описываемом векторным потенциалом
А{г) = ^Н (-у,力,0) (div А (г) = 0).
В этом случае матрица d (才(亦)) равна
/ 0 1 0 \
d(A{r^=^H-100
\ о о о /
и 。2才(亦)=°2° (再)=0. Можно видеть, что продольное распределение пакета ведет себя как в свободном пространстве. Для поперечных же компонент имеем уравнение
(46)(46)г^ = ф2 + Ш (сгФ + 不戸)-Q2/,
(46)
(46)
где Ф — 2 х 2 матрица,
и Q = еН/2тс — частота ларморовой прецессии.
В частном случае, когда волновой пакет осесимметричен относительно своей прямолинейной траектории, матрица Ф может быть пропорциональна единичной
Ф = ^{т)Г,
при этом
\ О I
и W (г) подчиняется уравнению
Wf = гWf = ггде штрихом отмечено дифференцирование по т. Это уравнение имеет решениегде штрихом отмечено дифференцирование по т. Это уравнение имеет решениеW(t)=W(t)=(1 ^W^e^ - (1 -Wo)e~mt(1 +Wo)e〃Q% + (l — %)£—^力(1 ^W^e^ - (1 -Wo)e~mt(1 +Wo)e〃Q% + (l — %)£—^力где Wq — начальное значение W (方).Вещественная часть W (方)равнагде Wq — начальное значение W (方).Вещественная часть W (方)равнаReW ⑴=ReW ⑴=W2 sin Qt)2 + W^ sin2 Qt]W2 sin Qt)2 + W^ sin2 Qt]где Wi, W2 — соответственно, вещественная и мнимая части %.где Wi, W2 — соответственно, вещественная и мнимая части %.Таким образом, поперечные размеры волнового пакета осциллируют сТаким образом, поперечные размеры волнового пакета осциллируют судвоенной ларморовой частотой. Максимальное и минимальное значеудвоенной ларморовой частотой. Максимальное и минимальное значения Re W (方)равныния Re W (方)равныЖ иЖ и(1+圖)(1+圖)叫叫Если Wo равно единице, то решение стационарно, т.е. волновой пакет с поперечными размерамиЕсли Wo равно единице, то решение стационарно, т.е. волновой пакет с поперечными размерами
Wf = г
Wf = г
где штрихом отмечено дифференцирование по т. Это уравнение имеет решение
где штрихом отмечено дифференцирование по т. Это уравнение имеет решение
W(t)=
W(t)=
(1 ^W^e^ - (1 -Wo)e~mt
(1 +Wo)e〃Q% + (l — %)£—^力
(1 ^W^e^ - (1 -Wo)e~mt
(1 +Wo)e〃Q% + (l — %)£—^力
где Wq — начальное значение W (方).Вещественная часть W (方)равна
где Wq — начальное значение W (方).Вещественная часть W (方)равна
ReW ⑴=
ReW ⑴=
W2 sin Qt)2 + W^ sin2 Qt]
W2 sin Qt)2 + W^ sin2 Qt]
где Wi, W2 — соответственно, вещественная и мнимая части %.
где Wi, W2 — соответственно, вещественная и мнимая части %.
Таким образом, поперечные размеры волнового пакета осциллируют с
Таким образом, поперечные размеры волнового пакета осциллируют с
удвоенной ларморовой частотой. Максимальное и минимальное значе
удвоенной ларморовой частотой. Максимальное и минимальное значе
ния Re W (方)равны
ния Re W (方)равны
Ж и
Ж и
(1+圖)
(1+圖)
叫
叫
Если Wo равно единице, то решение стационарно, т.е. волновой пакет с поперечными размерами
Если Wo равно единице, то решение стационарно, т.е. волновой пакет с поперечными размерами
при движении в продольном магнитном поле сохраняет эти размеры. Имеется также менее симметричное стационарное решение уравнения
Литература329
(46), описывающее сплюснутые в поперечном направлении волновые пакеты,
_/ 1 + Z zZ \
Ф = ^,
- Z 丿
где Z — произвольное комплексное число (|Z| < 1). Это решение поворотом осей на угол 夕/2, где 夕=arg Z, можно привести к более простому виду
一 / 1 + |Z| 2|Z| \卜 2|Z|1-|Z| ；
когда сплюснутость видна непосредственно.
Таким образом, эволюция волнового пакета в электромагнитном поле достаточно общего вида описывается нелинейным матричным уравнением (42) или (45) типа Рикатти. Уравнение применимо к описанию эволюции волновых пакетов в широком классе вакуумных приборов. Рассмотрена эволюция волновых пакетов различного вида в постоянном магнитном поле.
Литература
Глаубер Р. Оптическая когерентность и статистика фотонов / в кн. Квантовая оптика и квантовая радиофизика. — М.: МИР, 1966.
Лоудон Р. Квантовая теория света. М.: МИР, 1976.
Перина Я. Когерентность света. — М.: МИР, 1974.
Scully М. О., Zubairy N.S. // Quantum Optics, Cambridge 1997.
Bykov V.P., Tatarskii И/. 〃 Phys. Lett. 1989. A V. 136, No. 1,2.
P. 77.
Быков В.П., Татарский В. И. // ЖЭТФ. 1989. Т. 96, вып. 2. С. 528.
Фон Нейман Дж. Математические основы квантовой механики.— М.: Наука, 1964.
Wigner Е 〃 Phys. Rev., 1934. V. 46. Р. 1002.
Wigner Е. Ц Trans. Far. Soc. 1938. V. 34. Р. 678.
Ривлин Л. А. Ц Письма в ЖЭТФ. 1971. Т. 13. С. 362.
Быков В.П., Герасимов А. В. // ДАН. 1993. Т. 328, вып. 1. С. 50.
Быков В.П., Герасимов А. В., Турин В. О. // УФН. 1995. Т. 165, вып. 8. С. 955.
Bykov V.P., Gerasimov А. V., Turin V. О. // Ann. Lui de Broglie. 1995. V. 20, No.3. P. 331.
Bykov V.P., Gerasimov A. V., Turin V. О. // Laser Physics. 1995. V. 5, No. 4. P. 841.
Bykov V.P. 11 J. Russ. Laser Res. 1997. V. 18, No. 3. P. 260.
Bykov V.P., Gerasimov A. V. / Preprint ICTP. 1992. IC/92/194, P. 117.
Быков 8〃 〃 Письма в ЖЭТФ. 1996. Т. 64, вып. 8. С. 515.
Bykov V.P., Прохоров А.М., Турин В. О., Чин С. Л. // Письма в ЖЭТФ. 1996. Т. 63, №. 6. С. 408.
Bykov V.P., Turin V.O. 〃 Laser Physics. 1997. V. 7, No. 4. P. 984.
Bykov V.P., Turin V.O. 〃 Laser Physics. 1998. V. 8, No. 5. P. 1039.
Bykov V.P. Ц SPIE. 1999. V. 3516, part 2. P. 412.
Bykov V.P., Turin V. O. // Proc. SPIE. 1999. V. 3736. P. 151.
Bykov V. P. Безбазисный вариационный метод // ДАН СССР. 1988. Т. 300, вып. 6. С. 1353.
Bykov V.P., Gerasimov А. V., Turin V. О. // Laser Physics. 1995. V. 5, No. 4. P. 841.
Арнольд В. И. Теория катастроф —М.: Едиториал УРСС, 2004.
Degtyareva V.P., Kulikov Yu. V., Monastyrsky M.A. et all // SPIE.
1992. V. 1655. P. 27.
Монастырский M.A. // Прикладная физика. 1996. №3. С. 7.
Bloembergen N. // Phys. Rev. Lett. 1959. V. 2, No. 3. P. 84-85.
Карлов H. В., Маненков А. А. Квантовые усилители. — M.: ВИНИТИ 1966. Итоги науки. Радиофизика 1964-1965 гг.
Быков В.П., Дубрович В. К. // Краткие сообщения по физике. 1989. №9. С. 11.
Bykov V.P. 〃 Laser Physics. 1999. V. 9, No. 4. P. 923.
Быков В.П. // Квантовая электроника. 1999. T. 29, №. 3. С. 258.
Быков В.П. // Краткие сообщения по физике. 1999. №7. С. 10.
Быков В.П. / Препринт ИОФАН. 1999. №6. С. 2.
Быков 8〃 〃 УФН. 2005. Т. 175, № 5. С. 495.
Зверев Г.М., Голяев Ю.Д. Лазеры на алюмоиттриевом гранате с неодимом. — М.: Радио и связь, 1985.
Глава 6
НЕКЛАССИЧЕСКИЙ (СЖАТЫЙ) СВЕТИ КВАНТОВОЕ ОПИСАНИЕ ДВИЖЕНИЯМАКРОСКОПИЧЕСКИХ ТЕЛ
В данном разделе обращается внимание на те следствия для квантовомеханического описания движения макроскопических тел, которые вытекают из факта наблюдения сжатого света. Это наблюдение явилось, несомненно, одним из важнейших достижений оптики за последние годы, которое будет иметь многочисленные научные продолжения и практические применения. Однако, как нам представляется, наиболее важным следствием наблюдения сжатого света является изменение квантовомеханического описания движения макроскопических тел, требуемое фактом такого наблюдения. По существу, при наблюдении сжатого света произошли радикальные изменения в измерительной процедуре параметров макроскопических квантовых состояний, причем произошли незаметно.
Ниже, в первом пункте первого раздела дается простой пример квантовомеханического описания прямолинейного и равномерного движения макроскопического тела и вводится представление о сосредоточенных и распределенных волновых пакетах таких тел. Во втором и третьем пунктах на примерах механического осциллятора и тела, движущегося в гравитационном поле, показывается, что сосредоточенные и распределенные волновые пакеты возникают всегда при переходе к макроскопическим телам. Обращается внимание на то, что распределенные волновые пакеты требуют статистической или ансамблевой интерпретации, в то время как для сосредоточенных волновых пакетов она не обязательна.
Во втором разделе обсуждается сжатый свет. Обращается внимание на нестандартность измерительной процедуры сжатого света и показывается, что его наблюдение есть наблюдение единичного объекта —поля выделенной моды оптического резонатора параметрического генератора, находящегося, в частности, в распределенном состоянии (широкий волновой пакет). Отмечается, что из тождественности описания механического и электромагнитного осцилляторов следует принци-
пиальная возможность наблюдения отдельного механического объекта в распределенном квантово-механическом состоянии, т. е. возможность наблюдения отдельного механического объекта без коллапса волновой функции. Поскольку с теоретической точки зрения сосредоточенные и распределенные волновые пакеты равноправны, то ставится вопрос, почему в окружающем нас мире макроскопические тела в распределенном квантово-механическом состоянии не наблюдаются. Исследуется отражение электромагнитного импульса от макроскопического тела (зеркала), находящегося в распределенном состоянии. Это исследование показывает, что дисперсия квантовомеханического состояния отдельного макроскопического тела может быть невозмущающим образом определена теми же средствами, которые развиты для наблюдения сжатого света.
Таким образом, показано, что наблюдение сжатого света указывает на возможность наблюдения отдельных макроскопических тел в распределенных квантовомеханических состояниях и требует объяснения отсутствия таких тел в окружающем нас мире.
В третьем разделе обращается внимание на существенное расхождение в квантовомеханическом описании макроскопических объектов в оптике и механике и обсуждается возможный способ преодоления этого расхождения.
Квантовое описание движениямакроскопических тел
Итак, обратимся к квантовомеханическому описанию движения макроскопических тел. Под макроскопическими телами будем иметь в виду тела значительной массы (например, 1 г; далее возможная оценка этой величины будет уточнена). Таким образом, рассматривается квантовомеханическое описание движения тел, которые, как известно, подчиняются законам классической механики.
Равномерное и прямолинейное движение макроскопического тела массы т в свободном пространстве со скоростью v. Оно описывается волновым пакетом 1] вида
田exp⑴
с характерным размером а, связанным с временем расплывания пакета 丁 соотношением
2
Для макроскопического тела (m = 1 г) при характерном размере пакета порядка размера атома (а = 10-8 см) пакет (1) описывает хорошо определенную прямолинейную траекторию на большом временном интервале 丁 = 1011 с (= 3 • 103 лет).
Однако квантовая механика не запрещает больших значений параметра а, сравнимых, скажем, с оптической длиной волны или даже с геометрическими размерами макроскопического тела при любой его массе. Узкие волновые пакеты, много меньшие геометрических размеров тела или меньшие даже характерной оптической длины волны (=10-4 см), естественно приписать макроскопическим классическим объектам, поскольку в этом случае существованием пакета можно вообще пренебречь, приняв его за точку. Но чему соответствуют широкие волновые пакеты? Никаких макроскопических классических объектов с большой неопределенностью положения в окружающем нас мире пока не замечено. Если бы такие объекты существовали, то не было бы такой науки, как классическая механика с ее строго определенными траекториями. Это обстоятельство, характерное для квантовой механики, было давно замечено и отразилось на принятой интерпретации распределенных решений уравнения Шрёдингера. Эти решения получили ансамблевую, т. е. статистическую, интерпретацию. Было принято, что при измерениях координаты конкретного тела, описываемого, например, пакетом (1), может быть получено любое ее значение, но, если такие измерения произвести над многими телами в одинаково приготовленных состояниях, распределение вероятности получения в эксперименте того или иного значения координаты описывается квадратом модуля волновой функции Ф (г, t). Так, например, в учебнике А. Мессиа [2] при обсуждении распределенных решений уравнения Шрёдингера говорится: «В классическом приближении функция Ф описывает «жидкость» из классических невзаимодействующих частиц массы т (статистический ансамбль)...». Аналогичная трактовка распределенного решения дается в учебнике Л. Шиффа [1].
В данном разделе обращается внимание на некоторый разрыв в квантовомеханическом описании макроскопических объектов в оптике и механике, выявляющийся при анализе экспериментов со сжатым светом.
Механический осциллятор. Механический осциллятор, как и любой другой осциллятор, описывается гамильтонианом [3] (см. гл. 2)
Рис. 1. Механический осцилляторРис. 1. Механический осцилляторОсциллятор может (рпс.2а), которое при уравнения Шрёдингера волновой функциейОсциллятор может (рпс.2а), которое при уравнения Шрёдингера волновой функцией^coh 匂)=厶 exp^coh 匂)=厶 exp⑹⑹
Рис. 1. Механический осциллятор
Рис. 1. Механический осциллятор
Осциллятор может (рпс.2а), которое при уравнения Шрёдингера волновой функцией
Осциллятор может (рпс.2а), которое при уравнения Шрёдингера волновой функцией
^coh 匂)=厶 exp
^coh 匂)=厶 exp
⑹
⑹
где т — масса их— жесткость возвращающей силы осциллятора (рис. 1). При квантовомеханическом описании канонически сопряженные переменные Р, Q считаются операторами и подчиняются перестановочному соотношению
QP-PQ =(4)
В переменных р = Р/д/m, q = Qy/m гамильтониан имеет более общепринятый вид
находиться в когерентном состоянии 12) 2 = 2о£—"а 力 является решением временного и в координатном представлении описывается
Рис. 2. Состояния осцилляРис. 2. Состояния осцилляторатора⑺⑺
Рис. 2. Состояния осцилля
Рис. 2. Состояния осцилля
тора
тора
⑺
⑺
Координатное распределение для этого состояния показано на рпс.2а; с течением времени оно гармонически перемещается вправо-влево с частотой s.
Поскольку ширина этого распределения, равная
мала по сравнению с амплитудой колебаний при |n|》1 (q 生 1см, △〃《 = 10-14), то это состояние является типичным сосредоточенным состоянием и естественным образом описывает классические колебания механического осциллятора.
Однако существуют также стационарные состояния осциллятора | 八)(рис. 2 6; 八—целое), представляющие собой собственные состояния оператора числа частиц (числа возбуждений осциллятора)
а+а I 八)=п\п), где 八 —целое число. Состояние
I八⑴)=「山力1八)
также является решением временного уравнения Шрёдингера и в координатном представлении описывается волновой функцией
где Нп — полином Эрмита n-й степени. Неопределенность координаты в этом состоянии при достаточно большой энергии Е = пТьз (八》1) велика: △« = у/Е/та^, порядка амплитуды колебаний в когерентном состоянии при той же энергии (п = |^|2).
Таким образом, стационарные состояния — это типичные распределенные состояния. Они макроскопичны, поскольку могут обладать большой энергией (八》1) и соответствовать осциллятору большой массы т. В классике нет движений отдельных объектов, соответствующих таким состояниям и поэтому они требуют ансамблевой, статистической интерпретации, о которой говорилось выше.
Макроскопическое тело в гравитационном поле. Движение материальной точки массы т в гравитационном поле V (г), медленно меняющемся в пространстве, можно описать гауссовым волновым пакетом [4, 5] (см. приложение 2 к главе 5)
W(元方)=e⑴・eхp 一(万,ь万)+ ^(万标⑴+石⑴)， (9) где р = г — vq (t), и величины 而 ⑴ и 标⑴ подчиняются классическим гамильтоновым уравнениям
(10) 沦=—grad^ U (公);
величина F (方) представляет собой симметричную матрицу размерности 3 х 3 с комплексными элементами, зависящими от времени, причем вещественная часть матрицы F (方)определяет геометрические размеры волнового пакета.
Пока размеры волнового пакета столь малы, что в потенциальной энергии несущественны члены третьей и более степеней, он движется по классической траектории (10). При этом матрица F (t), определяющая, в частности, размеры пакета, должна удовлетворять матричному
уравнению
=变ь2_^u〃，(n)
т 2
где U" — матрица вторых производных потенциальной энергии вблизи центра пакета. Так как в случае гравитационного поля потенциальная энергия пропорциональна массе (U〃 ~ т), то нетрудно понять, что F (方) также пропорциональна массе. Следовательно, размер пакета (9) обратно пропорционален массе. С увеличением массы пакет все более сосредотачивается вблизи классической траектории (10). Таким образом волновой пакет (9) естественным образом в рамках квантовой механики описывает движение макроскопического тела.
Однако это не единственный способ перехода к описанию классического движения макроскопических тел в рамках квантовой механики. Другой способ связан с широко распространенным методом эйконала [2], или, иными словами, с уравнением Гамильтона-Якоби. При достаточно больших т и, следовательно, при малых длинах волн деБройля А = 7i/v2mE ( — энергия состояния) стационарное решение уравнения Шрёдингера можно искать в виде
Ф (г, t) = А ⑺ expФ (г, t) = А ⑺ exp(12)(12)
Ф (г, t) = А ⑺ exp
Ф (г, t) = А ⑺ exp
(12)
(12)
где S (叫 —функция координат, мало меняющаяся на расстояниях порядка длины волны, называемая эйконалом и подчиняющаяся урав
нениюнению(grad S (尸))2 = 1 -(grad S (尸))2 = 1 -(13)(13)
нению
нению
(grad S (尸))2 = 1 -
(grad S (尸))2 = 1 -
(13)
(13)
Рис. 3. Состояния осциллятораРис. 3. Состояния осциллятора
Рис. 3. Состояния осциллятора
Рис. 3. Состояния осциллятора
Функция А (г) также мало меняется на длинах порядка А и подчиняется уравнению
(grad S (尸)• grad 4 (尸))+ ； 4 • △$ = 0.(14)
Можно показать, что для гравитационного поля U п Е пропорциональны т, и тогда S не зависит от т. Линии, ортогональные к волновым поверхностям S (г) = const, представляют собой классические траектории материальной точки. Функция эйконала S (г) является широкой как в продольном, так и в поперечном (по отношению к траекториям) направлениях. В поперечном направлении она может быть ограничена лишь возможными каустическими поверхностями. На рис.3 схематически показано эйкональ- ное решение, описывающее движение макро-
скопического тела в центрально-симметричном гравитационном (ньютоновском) поле. Эйкональная функция занимает область между двумя концентрическими окружностями, и на ширину этой кольцевой области нет, по существу, никаких ограничений. Если подобное распределенное решение рассматривать как относящееся к одному конкретному телу, то в классической механике соответствующих ему движений не существует.
Таким образом, при квантовомеханическом описании движения макроскопического тела в гравитационном поле, как и в предыдущих рассмотренных случаях, возможны как сосредоточенные решения естественно переходящие в решения классической механики, так и распределенные решения, которые для соответствия с классикой требуют статистической, ансамблевой интерпретации.
В заключение раздела отметим, что переход к классике в квантовой механике не столь автоматичен как, скажем, в теории относительности. Там достаточно отношению скорости тела к скорости света сделаться малым, чтобы из релятивистской механики возникла механика классическая. В квантовой механике только часть состояний (а именно, сосредоточенные волновые пакеты) переходит в классические движения при увеличении массы тела. Другая же часть состояний —распределенные решения — переходит в классические движения только в статистическом, ансамблевом смысле.
Макроскопические тела в распределенныхсостояниях и невозмущающее измерение ихположения
Особенности наблюдения. Основные сведения, касающиеся сжатых состояний света, изложены во второй и четвертой главах. Здесь мы обратим внимание на нестандартность измерительной процедуры при наблюденях сжатого света. Измеряется непосредственно параметр состояния — его дисперсия; при этом измерение происходит невозмущающим (или неразрушающим) образом. Действительно, измерения производятся над пучком, выходящим из резонатора параметрического генератора, и этот пучок в резонатор не возвращается независимо от того, производятся над ним измерения или нет. Если такие измерения производятся, то информация об этом никак в резонатор поступить не может и, следовательно, состояние поля в резонаторе измерением не возмущается. Вместе с тем по результатам измерений над выходящим из резонатора пучком можно судить о состоянии поля в этом резонаторе.
Отметим, что вследствие динамического равновесия между накачкой и потерями состояние поля в резонаторе параметрического генератора стационарно. Следовательно, сделав один раз измерение, можно быть уверенным, что поле в резонаторе находится в состоянии, скажем, сжатого вакуума и час, и два спустя после измерения. Итак, наблюдение сжатого света показывает, что имеется макроскопический (число фотонов велико) квантовомеханический объект, а именно, электромагнитное поле выделенной моды резонатора, дисперсию состояния которого можно измерить, оставив сам объект в том же состоянии, в котором он был до измерения.
Наибольшее внимание исследователей сжатого света привлекли моменты времени, когда его дисперсия меньше дисперсии когерентного состояния. Это естественно, так как квантовомеханические неопределенности, подобно шумам, мешают точным измерениям соответствующих величин. Чем эти неопределенности меньше, тем точнее может быть измерена соответствующая величина, и в этом достоинство состояний с малой дисперсией в сжатом свете. Однако с исследовательской точки зрения наиболее интересны состояния с большой дисперсией; они менее «классичны» и более «квантовомеханичны». Для предмета данного раздела эти состояния важны, поскольку их наблюдение, учитывая сказанное выше об измерениях сжатого света, свидетельствует о возможности измерения дисперсии распределенного состояния отдельного объекта без разрушения этого распределенного состояния. Иными словами, возможны измерения без коллапса волновой функции.
Естественно, если подобные измерения возможны над электромагнитным осциллятором, они возможны и над механическим осциллятором; эту мысль мы прокомментируем в следующем разделе.
Таким образом, в экспериментах со сжатым светом показано нечто большее, чем просто возможность их генерирования. Показано также, что квантовомеханическое состояние одного конкретного макроскопического объекта (например, поля некоторой выделенной моды резонатора) может быть определено невозмущающим образом. В частности, может быть выяснено, что этот объект находится в распределенном состоянии с большой, макроскопической, неопределенностью координаты, равной примерно амплитуде колебаний в когерентном состоянии при равных энергиях обоих состояний. При этом подобное наблюдение возможно без коллапса распределенного состояния в состояние с малой неопределенностью.
Квантовое зондирование макроскопических тел. Если невозмущающее определение состояния возможно в случае электромагнитного осциллятора, то оно возможно, конечно, и в случае механического осциллятора и даже в случае свободно движущегося в пространстве тела, поскольку оно есть частный случай осциллятора,
соответствующий его нулевой частоте. Подобное заключение, естественно, следует из одинаковости теоретического описания электромагнитного и механического осцилляторов, однако ниже возможность невозмущающего наблюдения состояния механического осциллятора демонстрируется более прямо. Можно спросить, почему макроскопические тела в распределенных состояниях не наблюдаются в окружающем нас мире. Квантовая механика не запрещает таких состояний (см. раздел 1), а в некоторых случаях они даже более предпочтительны.
Одно из возможных и распространенных объяснений этого заключается в утверждении, что при каждом наблюдении тела в таком состоянии происходит его локализация, т. е. переход из распределенного состояния в сосредоточенное (редукция, т. е. коллапс волнового пакета). Как мы увидим, рассмотренная ниже задача об отражении электромагнитного сигнала от зеркала с большой квантовомеханической неопределенностью его координаты не подтверждает этого утверждения [6, 7] и сводит задачу исследования состояния макроскопического тела к тем же измерениям, которые делаются со сжатым светом.
В полном объеме теоретическое описание отражения довольно сложно, и мы рассмотрим простейший вариант, когда предполагается, что зеркало обладает лишь двумя степенями свободы (рис. 4). Одна — поперечный осциллятор — описывает движение отрицательных зарядов (связанных электронов) вдоль зеркала (смещение Q, сопряженный импульс Р, поверхностная плотность массы р, поверхностная плотность заряда а. Движение отрицательных зарядов вдоль зеркала и приводит,
Детектор-анализаторДетектор-анализаторОтраженный сигналОтраженный сигналОпорный сигналОпорный сигналЗондирующий импульсЗондирующий импульсРис. 4. Схема невозмущающего зондирования механического осциллятора оптическим импульсомРис. 4. Схема невозмущающего зондирования механического осциллятора оптическим импульсомМеханический осциллятор в распределенном состоянии
Детектор
-анализатор
Детектор
-анализатор
Отраженный сигнал
Отраженный сигнал
Опорный сигнал
Опорный сигнал
Зондирующий импульс
Зондирующий импульс
Рис. 4. Схема невозмущающего зондирования механического осциллятора оптическим импульсом
Рис. 4. Схема невозмущающего зондирования механического осциллятора оптическим импульсом
собственно, к отражению электромагнитного сигнала. Вторая степень свободы — продольный осциллятор — описывает движение зеркала
вдоль направления распространения излучения (координата q, сопряженный импульс 夕，поверхностная плотность массы 〃). Предполагается также, что имеются только волны нормального падения на зеркало. Зеркало считается бесконечно тонким и ориентированным перпендикулярно оси 2, вдоль которой распространяются электромагнитные волны. Электрическое поле и смещение зарядов Q направлены вдоль оси х. Область пространства, занятая полем, имеет такую же форму, что и зеркало; площадь зеркала равна s. Тогда квантовая система зеркало + поле описывается гамильтонианом
Н =Н =、21 с(«)) + 2 sKQ +、21 с(«)) + 2 sKQ +:了+4"併47r \ о z:了+4"併47r \ о z12121212⑴⑴
Н =
Н =
、21 с
(«)) + 2 sKQ +
、21 с
(«)) + 2 sKQ +
:了+4"併
47r \ о z
:了+4"併
47r \ о z
1212
1212
⑴
⑴
где К и x — жесткости, соответственно, поперечного и продольного осцилляторов, А(2) — векторный потенциал электромагнитного поля и II(2)— канонически сопряженный ему импульс.
Осцилляторы поля (плоские волны) в начальный момент находятся в когерентных состояниях, сфазированных так, что поле образует прямоугольный импульс, заполненный высокой частотой:
⑵⑵{Ein(2,方))=Eosin^o^- п (丁0,冃，
⑵
⑵
где П(2)— функция, описывающая прямоугольную форму импульса длительностью 2To = 4тгпо/щ (2по — число периодов в импульсе), t = t — t — (2/с) и t — момент прибытия импульса в начало координат. Поперечный осциллятор в начальный момент находится в основном вакуумном состоянии, а продольный осциллятор — в сжатом состоянии, описываемом волновой функцией
W (G =(2e)W (G =(2e)— 1/4exp— 1/4exp(3)(3)
W (G =(2e)
W (G =(2e)
— 1/4
exp
— 1/4
exp
(3)
(3)
где q2 =力/К — коэффициент сжатия. Дополнительный параметр в волновой функции (3) — коэффициент сжатия — позволит в дальнейшем изменять параметры 从，и продольного осциллятора без изменения его распределения (3); в частности, станет возможным переход к движению в свободном пространстве 标—0).
〈Er (2,方))=石0 exp〈Er (2,方))=石0 exp• sin [Q (t -矶,• sin [Q (t -矶,Исследование этой задачи полностью в рамках квантовой механики показывает, что среднее значение поля отраженного сигнала в стационарном режиме и при резонансе (Q = 5) равно
〈Er (2,方))=石0 exp
〈Er (2,方))=石0 exp
• sin [Q (t -矶,
• sin [Q (t -矶,
⑷
где К = А/2тг = c/Q п 丁 =方 + (n/c), в то время как среднее значение квадрата поля отраженного сигнала, пропорциональное плотности энергии электрического поля в нем, равно
Как можно видеть, при малой неопределенности положения зеркала (歹 « К) отраженный сигнал сохраняет свойства когерентного света; в частности,〈石尺)？ ~〈石%〉・ Когда же неопределенность положения зеркала велика (歹》К), среднее значение поля близко к нулю, в то время как среднее значение квадрата поля сохраняет конечное значение; только осцилляции плотности энергии поля удвоенной частоты близки к нулю. Можно сказать, что амплитудный коэффициент отражения стремится к нулю по мере роста неопределенности положения зеркала, в то время как коэффициент отражения по мощности сохраняет конечное значение. Это означает, что отраженный сигнал находится в существенно квантовом состоянии, хотя и является макроскопическим, так как только в таком состоянии возможно неравенство {Е )2 «〈石2〉・
Можно показать также, что длина отраженного сигнала примерно на 歹 больше длины падающего сигнала.
Следствием этого исследования является вывод, что имеется экспериментальная возможность наблюдать распределенное квантовомеханическое состояние макроскопического тела (зеркала) посредством зондирования этого тела электромагнитным импульсом без существенного изменения состояния этого тела. Действительно, как мы видели, отраженный импульс несет информацию о распределенности состояния зеркала и, будучи макроскопическим, может быть проанализирован существующими экспериментальными средствами, подобными тем, которые используются для анализа сжатого света. Вместе с тем можно показать [5], что процесс отражения не приводит к существенному изменению квантовомеханического состояния зеркала. Действительно, явление отдачи, сопровождающее отражение импульса от зеркала, приводит к небольшому смещению продольного распределения как целого, но в первом порядке теории возмущений не сказывается на его ширине, т. е. дисперсии. Следовательно, если повторно зондировать зеркало световым импульсом, то измеренное значение дисперсии окажется таким же, как и при первом зондировании. Это более всего убеждает, что никакой редукции волнового пакета при зондировании зеркала не происходит. Возможность же наблюдать единичный объект (зеркало) в распределенном состоянии противоречит обычной интерпретации такого состояния, как описывающего ансамбль объектов [1, 2].
Следует обратить также внимание на удлинение отраженного импульса (Ед) по сравнению с падающим, обусловленное частичным отражением падающего импульса от различных слоев распределения
продольной координаты зеркала. Человеческий глаз с его небольшим временным разрешением не может, конечно, заметить такое удлинение (примерно на 歹) импульса. Однако при наклонном падении света от точечного источника на зеркало частичное отражение от различных слоев продольного распределения перейдет в угловое распределение лучей (рис. 5). Поскольку угловое разрешение человеческого глаза
Зондирующий сигнал
Наблюдатель
Рис. 5. Удлинение импульса при отражении от зеркала, находящегося в распределенном состоянии
достаточно высоко, то тело с большой квантовомеханической неопределенностью будет выглядеть просто как несколько расплывшееся. Следовательно, если бы тела с большой квантовомеханической неопределенностью существовали в окружающем нас мире, то они были бы видны буквально невооруженным глазом.
Почему нет макроскопических тел враспределенных состояниях
Итак, с одной стороны, квантовая механика не запрещает макроскопическим телам находиться в широко распределенных состояниях —изложенное в последнем разделе указывает на возможность неразрушающего наблюдения отдельных единичных макроскопических тел в подобных состояниях, например, теми же средствами, которые используются в экспериментах со сжатым светом, или даже просто
невооруженным глазом. С другой стороны, макроскопические тела в широко распределенных состояниях никогда никем не наблюдались, из-за этого широко распределенные решения уравнения Шрёдингера истолковывались как описывающие ансамбль тел, а не отдельные, единичные их экземпляры. Главная цель данного рассмотрения заключается в том, чтобы привлечь внимание к этому разрыву в описаниях макроскопических объектов в оптике и механике. Вопрос этот не только умозрительный; для его прояснения очень полезны могли бы быть экспериментальные попытки возбуждения механических осцилляторов в неклассическое, широко распределенное состояние. Как ясно из изложенного, наиболее перспективный способ такого возбуждения —параметрический резонанс. В качестве механического осциллятора в подобных экспериментах можно было бы использовать, например, микропылинку, левитирующую в полях, образованных осцилляцион- ным потенциалом.
Отсутствие макроскопических тел в широко распределенных состояниях можно было бы попытаться объяснить тем, что они в какой-то начальный момент образовались в сосредоточенном состоянии и с пор постепенно расплываются. Однако не видно причин, по которым они в начальный момент могли образоваться именно в сосредоточенном состоянии.
Объяснить сосредоточенность волновых пакетов макроскопических тел не может и учет их взаимодействия с теми или иными полями. Действительно, поскольку тела состоят из заряженных частиц, они должны взаимодействовать с электромагнитным полем. Однако такое взаимодействие приведет лишь к образованию сопровождающего (неизлучаемого) поля, так как такие поля имеются у всех частиц при равномерном прямолинейном движении. Аналогичные соображения относятся и к другим полям. Во всех случаях волновой пакет (1.1) будет описывать движение центра инерции макроскопического тела и сопровождающих его полей, и, следовательно, вопрос о больших значениях параметра а в (1.1) и о возможности распределенных состояний макроскопических тел не может быть снят таким образом.
Не претендуя на окончательность суждения, опишем один из возможных способов разрешения этого вопроса. Он основан на простых физических соображениях. Выше уже говорилось о взаимодействии тела с различными окружающими и сопровождающими его полями. В этом отношении гравитационное поле составляет исключение [6, 7]. Действительно, согласно общей теории относительности гравитационное поле, создаваемое телом, можно рассматривать как деформацию пространства, его отклонение от евклидовости, причем такая деформация имеет место как в области, занятой телом, так и в его окрестности. Если масса, связанная с какой-то частью волнового пакета, деформирует пространство, то остальные части пакета движутся в этом деформированном пространстве. Вообще любая часть волнового пакета движется в пространстве, деформированном как самой этой частью,
так и всеми остальными его частями. Следовательно, имеет место действие волнового пакета самого на себя, или самовоздействие волнового пакета, обусловленное его взаимодействием с гравитационным полем. Как показано ниже, это самовоздействие приводит к образованию потенциальной ямы, находясь в которой, волновой пакет стационарно сохраняет свой сосредоточенный вид. Более того, образование такой потенциальной ямы, очевидно, энергетически выгодно, и это объясняет сосредоточенность волновых пакетов макроскопических тел.
Поскольку в данном случае речь идет о макроскопических телах обычной плотности (порядка 1 г/см3), то гравитационный потенциал является слабым, и, следовательно, при вычислениях достаточно поль
зоваться ньютоновским выражением для потенциала.
Рассмотрим однородное шарообразное тело радиуса R с плотностью гл Так как далее вычисляется гравитационное действие одной
части волнового пакета начасти волнового пакета наРис. 6. К расчету гравитационной самофокусировкиРис. 6. К расчету гравитационной самофокусировкидругую, а размеры волнового пакета много
части волнового пакета на
части волнового пакета на
Рис. 6. К расчету гравитационной самофокусировки
Рис. 6. К расчету гравитационной самофокусировки
меньше геометрических размеров тела, то предварительно мы рассмотрим притяжение двух взаимопроникающих массивных шаров, центры которых смещены на расстояние s, много меньшее R. Как видно из рис. 6, для вычисления силы притяжения между шарами достаточно учесть притяжение к первому шару слоя толщиной 2s, покрывающего половину поверхности первого шара. Учитывая лишь проекцию сил притяжения элементарных масс на линию, соединяющую центры шаров, получаем для силы притяжения шаров следующее выражение:
F = 1^ G/R3sd"sin"cos" = ^|^ G/R3s(1)
о
Следовательно, потенциальная энергия взаимодействия двух шаров равна
⑵⑵/3=与 G/R3.
⑵
⑵
Учитывая это выражение, приходим к следующему уравнению Шрёдингера, описывающему волновые пакеты макроскопических тел:
（元方）+ U （门Ф （元方），（3）
гдегдеU (尸)=/3 d尸’(尸-尸’/ 1W (尸,t)12 .U (尸)=/3 d尸’(尸-尸’/ 1W (尸,t)12 .⑷⑷
где
где
U (尸)=/3 d尸’(尸-尸’/ 1W (尸,t)12 .
U (尸)=/3 d尸’(尸-尸’/ 1W (尸,t)12 .
⑷
⑷
Из этого уравнения видно, что эффект гравитационного самовоздей- ствия волнового пакета макроскопического тела аналогичен оптическому эффекту самофокусировки. Разница состоит только в том, что самофокусировка происходит в двух направлениях, перпендикулярных направлению распространения волн, в то время как гравитационное самовоздействие происходит во всех трех направлениях.
Найдем стационарное и сферически-симметричное решение уравнения (3). При Ф = Ф (г) и Im Ф = 0 согласно (4) имеем
U (尸)=а + /3 г2,(5)
芷丄g 2m г2 dr芷丄g 2m г2 dr+ /Зг2Ф = ЕФ.+ /Зг2Ф = ЕФ.где а = /3 J drf |Ф (尸')『 —некоторая несущественная константа. Таким образом, для определения Ф (叫 имеем уравнение
芷丄g 2m г2 dr
芷丄g 2m г2 dr
+ /Зг2Ф = ЕФ.
+ /Зг2Ф = ЕФ.
⑹
Решение этого уравнения имеет вид
гдегде
где
где
есть характерный размер волнового пакета, обусловленный гравитационным самовоздействием. Подобный сосредоточенный волновой пакет может рассматриваться как солитонное решение уравнения Шрёдингера (3). В нижеследующей таблице приведены некоторые оценки. В колонках даны соответственно масса, геометрический размер макроскопического тела при плотности = 1 г/см3 и размер его волнового пакета. В третьей строке таблицы приведены данные для типичного макроскопического тела (т = 1 г). В первой строке приведены данные для тела с массой порядка массы земного шара. В последней строке —данные для массы 10-15 г, для которой геометрические размеры примерно сравниваются с размерами волнового пакета. Размер, соответствующий условию rcrit = vq = R, можно определить из (8):
ю/
V 32G内加
Таблица
т, г
凡ем
Го, СМ
1028
1,3- 109
1,25 • 1(Г26
1012
6,2- 103
1,25 • 10—8
1
0,62
1,25 • IO»
10~12
6,2 • 10-5
1,25 • 10~6
10-15
6,2 • 1(Г6
4・ 1(Г5
Условие (9) дает количественный критерий для разделения тел по их размерам на макроскопические и микроскопические. Из (9) можно получить также критерий подобного разделения по массам. Тела с массой больше
ю/327rzy 力 6 следует считать макроскопическими.
Таким образом, для масс, больших 10-12 г, размеры волнового пакета пренебрежимо малы не только по сравнению с геометрическими размерами этих масс, но и по сравнению с типичной оптической длиной волны (10-4-10-5 см). Приведенные соображения объясняют отсутствие в окружающем нас мире макроскопических тел, находящихся в состояниях с большой квантовомеханической неопределенностью их центра масс. Однако это объяснение получено дорогой ценой, а именно, посредством отказа от принципа суперпозиции и линейности уравнения Шрёдингера [7], что можно видеть из уравнения (3). Следует, правда, отметить, что нарушение принципа суперпозиции не является очень сильным. В частности, оно совершенно не затрагивает область микроскопических, атомных явлений — главной области применения квантовой механики.
Кроме того, отказ от принципа суперпозиции может оказаться временным. После того, как квантовая теория будет объединена с гравитацией, приведенные в этом разделе соображения могут оказаться чем-то вроде полуклассической теории в квантовой электродинамике, когда среда описывается квантовомеханически, а поле — классически. При квантовомеханическом описании как гравитации, так и вещества принцип суперпозиции может восстановиться.
Отметим также, что потенциальная яма, о которой говорилось выше, не является очень глубокой. Поэтому, затратив некоторую энергию, макроскопическое тело можно перевести в распределенное состояние
с большим размером волнового пакета. Наблюдение и исследование распределенных состояний макроскопических тел имело бы первостепенное научное значение.
Заключение
Итак, наблюдение сжатого света ясно показало, что имеется практическая возможность установить распределенность квантовомеханического состояния отдельного макроскопического объекта. В сжатом свете таким объектом является поле избранной моды оптического резонатора. Однако тождество теоретических описаний электромагнитного и механического осцилляторов, а также описанная выше конкретная схема зондирования распределенного зеркала показывают, что распределенность квантовомеханического состояния отдельного макроскопического тела также может быть установлена. По нашему мнению этот вывод является главным следствием экспериментального наблюдения сжатого света.
Этот вывод приводит к вопросу: почему макроскопические тела не наблюдаются в окружающем нас мире в распределенных состояниях, но только в сосредоточенных, волновые пакеты которых движутся по законам классической механики? В заключение мы предложили возможное объяснение этого факта, из которого следует важная роль гравитации при переходе от квантовомеханического описания движения макроскопических тел к классическому.
Изложенные соображения показывают также, что макроскопические тела могут быть переведены в распределенное состояние, и важно было бы наблюдать подобные состояния экспериментально. Макроскопические тела в таких состояниях представляют собой новый объект физического исследования. Естественным способом получения таких состояний является параметрическое возбуждение механического осциллятора.
Нетрудно понять, почему распределенные состояния впервые наблюдались для электромагнитного поля, а не в механических системах. Масса электромагнитного поля невелика при обычных интенсивностях и не может заметно деформировать пространство, не говоря уже о том, что пространство состояний поля есть не обычное трехмерное пространство, а абстрактное гильбертово пространство. Поэтому сосредоточенное состояние поля не имеет никаких преимуществ перед распределенным.
В связи со всем вышеизложенным справедливо упомянуть статью А. Эйнштейна [8], в которой впервые был поставлен вопрос о правильном квантовомеханическом описании движения макроскопических тел. Основные идеи данной главы изложены в [9].
Литература
Шифф Л. Квантовая механика. — М.: ИЛ, 1959.
Мессиа А. Квантовая механика. — М.: Наука, 1978, Т. 1, 220 с.
Лю и селя У. Излучение и шумы в квантовой электронике. — М.: Наука, 1972.
Быков В.П. 〃 Письма в ЖЭТФ. 1996. Т. 64, № 8. С. 515-520.
Быков В.П. // Известия АН СССР, сер. физич. 1991. Т. 55(2). С. 308.
Быков 8〃〃 Доклады АН СССР. 1989. Т. 308(5). С. 1112-1114.
Bykov V.P.// J. Sov. Laser Res. 1991. V. 12, No. 1. P. 35.
Einstein A. Scientific Papers presented to Max Born. — Edinburgh, Oliver and Boyd, 1953.
Быков 8〃〃 УФН 1993. T. 163(9). C. 89-99; Bykov V.P. «Radiation of Atoms in a Resonant Environment» // World Scientific, 1993.
Глава 7
ДРОБНЫЙ ЗАРЯД, ДРОБНЫЙ ФОТОН 一НОВЫЕ ТЕНДЕНЦИИ В ФУНДАМЕНТАЛЬНОЙ
ЭЛЕКТРОНИКЕ
«.. .И Бор и Эйнштейн были выдающимися физиками. Так кто же из двоих был прав?
Кажется, что, согласно общепринятым идеям атомной теории, прав Бор. Вероятностная интерпретация, основанная на волновой функции Шрёдингера,— лучшее, что удалось придумать. Делалось много попыток усовершенствовать теорию, чтобы получать с ее помощью не только вероятности. Однако все эти попытки провалились! В соответствии с современной квантовой механикой вероятностная интерпретация, которую отстаивал Бор, правильна. Но у Эйнштейна был все-таки один козырь. По его словам, добрый Бог не играет в кости. Эйнштейн верил в то, что физика должна быть причинной по своему характеру.
Я не исключаю возможности, что в конце концов может оказаться правильной точка зрения Эйнштейна, потому что современный этап развития квантовой механики нельзя рассматривать как окончательный. В этой теории существует немало нерешенных проблем, о которых я расскажу позже, в связи с современной квантовой механикой.»
□ АМ.Дирак ^Воспоминания о необычайной зпохе», Собрание научных трудов, т. 1, Москва, Физматлит,
2002.
В первом разделе главы дан краткий обзор сравнительно недавних теоретических и экспериментальных исследований, свидетельствующих в пользу возможности существования электронных объектов с зарядом, составляющим долю элементарного электронного заряда ((1/3) е, (1/2) е, и т. д.). Затронут также родственный вопрос о возможности наблюдения доли кванта оптического излучения. Эти вопросы имеют фундаментальный, но до некоторой степени дискуссионный характер, так что пока нельзя сказать, что они полностью
разрешены. Поэтому в названии раздела использовано слово «тенденция» —именно на уровне тенденции имеет смысл обратить внимание на это направление исследований. Второй раздел посвящен исследованию рассеяния света продуктами диссоциации иона Н^. Теория допускает образование фрагментов с зарядом (1/2) е при диссоциации иона Н^ . Исследование показало, что наблюдение таких фрагментов возможно в специальных корреляционных опытах.
1. Обзор публикаций по дробным зарядам и дробнымфотонам
Обратимся к некоторым фактам, связанным с электронами. Отме
тим, что речь пойдет о вещах, строго говоря,
известных.известных.“(F) =cos t?“(F) =cos t?Рис. 1. 2р-состояние атома водородаРис. 1. 2р-состояние атома водородаНа рис. 1 изображено так называемое 2夕 состояние атома водорода. Если говорить, скажем, о переходе из 2夕 состояния в 1s состояние, то это хорошо известная головная линия серии Лаймана в водороде. Эти состояния хорошо исследованы, много раз наблюдались и, соответственно, никого не удивляют. Тем не менее, как видим, волновая
известных.
известных.
“(F) =cos t?
“(F) =cos t?
Рис. 1. 2р-состояние атома водорода
Рис. 1. 2р-состояние атома водорода
функция этого состояния разделена на две части; если подходить формально, то можно говорить, что в верхней части распределения содержится половина заряда электрона и вторая половина — в нижней части распределения.
В литературе волновые функции с несколькими максимумами, относящиеся к одному электрону, широко обсуждаются. Иногда их называют состояниями типа «шредингеровского кота», хотя в общем-то это к первоначальной работе Шредингера имеет мало отношения.
На рис. 1 можно видеть сечение волновой функции, а также квадрат модуля волновой функции в том же сечении. Приведено также выражение для волновой функции. Можно видеть, что благодаря зависимости от косинуса полярного угла, амплитуда волновой функции обращается в нуль при ” = 7г/2 и происходит разделение волновой функции на две части.
Если верхнюю половину волновой функции тем или иным способом отодвинуть вверх, скажем, на сантиметр, потом, аналогично нижнюю половину отодвинуть вниз на сантиметр и дать, таким образом, этим половинам, каждой с зарядом (1/2) е, возможность существовать самостоятельно, то это скорее всего вызовет возражение исследователей.
Почему это может вызвать возражение? Приведем в связи с этим выдержку из известного учебника Д.И. Блохинцева по квантовой механике, где написано: «В самом деле, частица всегда действует как целое, и обнаруживается в приборе вся частица, а вовсе не ее доля», и еще «.. .В том, что простейшие частицы всегда действуют как нечто целое, и заключается атомизм, наблюдаемый в явлениях микромира. Поэтому представление о частицах как об образованиях из волн де Бройля противоречит атомизму и должно быть отвергнуто».
Собственно говоря, так думает большинство физиков. Для примера процитирован учебник Д. И. Блохинцева, поскольку в нем основная идея ясно выражена. А вообще-то все так думают за исключением небольшой группы «диссидентов», к которой, правда, принадлежал Эйнштейн. Пожалуй, Д. И. Блохинцев отличается от других авторов тем, что он все же по этому поводу выразил удивление, другие ту же мысль излагают как факт, не вызывающий никакого удивления. (Свое удивление Д. И. Блохинцев выразил не в процитированном учебнике, но в отдельно изданных лекциях по квантовой механике).
В приведенном отрывке из Блохинцева выделено слово «всегда». Всегда ли!? — собственно говоря, именно об этом ниже идет речь.
Рассмотрим сначала некоторые низкотемпературные эксперименты с жидким гелием. Жидкий гелий не типичный объект для электронных исследований. Но далее речь пойдет о вещах, довольно простых.
Жидкий гелий, как известно, переходит в сверхтекучее состояние где-то в районе 2-х градусов Кельвина и теряет при этом вязкость. Менее известно другое его свойство — в сверхтекучем состоянии он не терпит никаких примесей — все растворенные в нем примеси при переходе в сверхтекучее состояние сразу высаживаются на стенки
сосуда, где он содержится. Исключением является изотоп гелия Не3 — он до некоторой степени может содержаться в сверхтекучем гелии. Таким образом, сверхтекучий гелий — это одно из самых чистых веществ на свете. В свое время это обстоятельство привлекло внимание известного нашего ученого Александра Иосифовича Шальникова. (Автору книги довелось быть в аспирантуре под руководством А. И. Шальникова. В связи с этим автору приятно его вспомнить и отметить его выдающийся вклад в науку).
Он задался таким вопросом — жидкий гелий не терпит никаких атомных или молекулярных примесей, а как он себя поведет, если в качестве примеси окажутся электроны. Ввести электроны в жидкий гелий нетрудно. Для этого достаточно рядом с жидким гелием поместить радиоактивный источник; электроны, пройдя через стенки сосуда, окажутся в жидком гелии.
часть жидкого гелиячасть жидкого гелияОтвет на этот вопрос оказался довольно простым, оказалось, что жидкий гелий верен своим принципам. Он, т. е. жидкий гелий, выделил каждому электрону маленький пузырек, иными словами, некоторое свободное пространство, где электрон и сосредоточился. Основная же осталась чистой.
часть жидкого гелия
часть жидкого гелия
^(r) =А - sin Аг/гРис. 2. Пузырь в жид-ком гелии как потен-циальная яма^(r) =А - sin Аг/гРис. 2. Пузырь в жид-ком гелии как потен-циальная ямаС физической точки зрения пузырь в гелии для электрона представляет собой потенциальную яму, глубиной примерно один электронвольт (рис. 2). Нетрудно найти основное, сферически симметричное решение уравнения Шредингера для такой ямы
^(r) =А - sin Аг/г
Рис. 2. Пузырь в жид-ком гелии как потен-циальная яма
^(r) =А - sin Аг/г
Рис. 2. Пузырь в жид-ком гелии как потен-циальная яма
В связи с этими заряженными пузырями образовалось целое научное направление. Стали
измерять подвижность этих пузырей, для чего всю систему помещали в переменное электрическое поле. Оказалось, что они ведут себя как частицы с довольно большой массой, порядка двухсот масс атома гелия. Удалось определить диаметр пузыря, он оказался равным 38 ангстремам.
Потом в сверхтекучем гелии, содержащем подобные заряженные пузыри, возбуждали ультразвуковое поле, и оказалось, что у таких пузырей имеются деформационные резонансы. Последовали также теоретические работы в этом направлении. В целом теоретические выводы и экспериментальные наблюдения хорошо соответствовали друг другу.
Поскольку пузырь представляет собой потенциальную яму, то в ней должны быть кроме основного также и возбужденные состояния. Эти возбужденные состояния оказалось возможным наблюдать с помощью лазерных источников излучения.
Что касается теории, то в первую очередь исследователей интересовали размер и форма пузырей. В идейном отношении теория проста:
Обзор публикаций по дробным зарядам 〃 дробным фотонам 353 размер и форма пузырей определяются условием минимальности полной энергии, хотя отыскание этого условия в ряде случаев является весьма трудоемкой задачей.
Энергия пузыря состоит из трех частей — энергии электрона, поверхностной энергии и энергии, связанной с изменением объема пузыря; ее можно записать в виде
Е = Eei + a dS+ dV • Р,
где Eei — энергия электрона, отыскиваемая как решение соответствующего уравнения Шредингера, а — поверхностное натяжение, Р — давление, S — площадь поверхности пузыря и У — объем. В сферически симметричном случае этот функционал имеет следующий вид:
方2 4
Е =+ 4兀岳a + -兀我~
В этом случае отыскание минимума функционала тривиально, и для диаметра сферически симметричного пузыря дает как раз приведенное выше значение 38 ангстрем, определенное из экспериментов.
В общем, вокруг этих заряженных пузырей возникла некоторая наука, основы которой, как сказано выше, были заложены академиком А. И. Шальниковым, и довольно много народу оказалось в нее втянуто. Среди этих людей оказался известный специалист в этой области, профессор X.Марис из Брауновского Университета (США), о работе которого следует сказать особо. Эта работа [1] под названием «Properties of Electron Bubbles in Liquid Helium» опубликована в солидном журнале «Journal of low temperature physics» в 1998 году.
Профессор X. Марис задался вопросом о форме пузыря в том случае, когда электронное состояние в нем — возбужденное состояние, т. е. состояние, потерявшее сферическую симметрию. Естественно, что отсутствие сферической симметрии у электронного состояния должно было сказаться и на форме пузыря. Первое возбужденное электронное состояние в потенциальной яме, которой является пузырь, напоминает возбужденное 2夕 состояние атома водорода, показанное на рис. 1.
Хотя теоретически проблема остается, по-прежнему, в минимизации приведенного выше функционала, однако теперь она гораздо труднее. Действительно, процесс решения теперь состоит последовательно в решении уравнения Шредингера при заданной форме потенциальной ямы, затем форма потенциальной ямы (т. е. пузыря) несколько деформируется и выясняется, уменьшается ли полная энергия пузыря или увеличивается. Уменьшение полной энергии пузыря означает, что форма пузыря деформирована в нужном направлении. И так происходит несколько раз до тех пор, пока полная энергия не стабилизируется на некотором минимальном уровне. Форма пузыря, соответствующая
этой энергии и есть равновесная форма пузыря при избранном возбужденном состоянии электрона.
Результаты расчетов X. Мариса показаны на рис. 3. Даны равновесные формы пузырей, соответствующих различным электронным состояниям. Первым показано основное, сферически симметричное 1s состояние. Естественно, форма пузыря в этом случае также сферическая. Затем — 2夕 состояние (по терминологии X. Мариса это 1р состояние, так как в его работе используется осевая симметрия, а не сферическая, как обычно в атомном случае). Фактически оно очень похоже на водородное 2夕 состояние (рис. 1). Ему соответствует волновая функция, показанная выше. Показано также сечение в поперечном направлении. Как можно видеть на рис. 3, волновая функция оказывается немного вытянутой в вертикальном направлении, соответственно и пузырь тоже вытягивается в этом направлении. Есть еще более вытянутая волновая функция, соответствующая еще более высоко по энергии лежащему состоянию, пузырь тоже сильно вытягивается в том же направлении.
20 А
Рис. 3. Формы пузырей в жидком гелии при различных электронных состояниях и различных давлениях
Можно видеть другое сферически симметричное, 2s состояние, пузырь в этом случае также сферически симметричен, но его размер несколько больше, чем в случае 1s состояния.
X. Марис обратил внимание на то, что у пузыря, соответствующего 1р состоянию электрона, имеется небольшая перетяжка. Она совершенно естественна, поскольку соответствует нулю волновой функции и это отражается на форме пузыря.
Далее он задал себе вопрос, что произойдет, если увеличить давление. В расчетах это было сделать довольно просто. Формы пузырей, рассчитанные им, показаны на рис. 3 в нижнем ряду, под ними показаны соответствующие давления.
Левое изображение — это форма в точности такая же, что и 1р верхнее, только немного в другом масштабе. Подчеркнем, что эти картинки есть результат очень сложного расчета, поскольку изменяются как форма ямы, так и волновая функция и эти изменения взаимно связаны. Несмотря на простоту функционала, расчет довольно сложный.
Как видим, при увеличении давления до 5 атмосфер глубина перетяжки увеличилась, при давлении 10 атмосфер она увеличилась еще больше, а при еще большем давлении пузырь просто распался на два отдельных пузыря меньшего размера. Подчеркнем, что заряд каждого маленького пузыря составляет (1/2)е, т. е. половину элементарного заряда электрона.
Фактически X. Марис реализовал (теоретически, конечно, мсдельно) ту ситуацию, о которой говорилось вначале, когда обсуждалась гипотетическая возможность разделить 2夕 состояние атома водорода на две части так, чтобы каждая из частей имела заряд (1/2) е. После образования маленькие пузыри расходятся в жидкости, существуют далее независимо друг от друга и могут наблюдаться, например, в опытах по рассеянию света. Следует подчеркнуть, что эта картина получается в результате квантовомеханического расчета и квантовой механике ни в коей степени не противоречит. Однако, она кардинально противоречит тем взглядам, которые отражены в приведенных выше выдержках из Блохинцева.
Можно всю эту картину списать на то, что это все теория, а как фактически обстоят дела может показать только эксперимент. X. Марис предполагает соответствующие эксперименты сделать, однако пока сведений о таких экспериментах нет. Тем не менее, все же мы живем в такой век, когда уже никаких сомнений в квантовой механике нет. Фактически, как квантовая механика предсказывает, так и бывает. Что касается работы X. Мариса, то она сделана очень аккуратно и полностью в рамках обычной квантовой механики. Поэтому все это представляется довольно серьезным и, как говорится, есть над чем подумать. Фактически распад пузыря на две части показывает, что волновая функция описывает реально существующую волну в противоречии с утверждениями, заимствованными из учебника Д.И. Блохинцева и приведенными выше.
Теперь обратимся к другой работе, из другой области, хотя также из области низких температур. Речь пойдет о двумерных электронных системах. Соответствующие исследования опубликованы в трех работах, за которые в 1998 году была присуждена Нобелевская премия. Это работы по так называемому дробному Холл-эффекту. Одна статья экспериментальная, принадлежащая Тсуи, Стормеру и Госсарду [2], и две — теоретические, принадлежащие Лафлину [3].
Образец, который использовался в экспериментах, устроен сложно. Он образован несколькими тонкими слоями различного состава и показан на рис. 4. Некоторое количество электронов собирается на границе между двумя слоями и образует двумерный электронный газ, так как в этом месте для них имеет место потенциальная яма. Иными словами, электроны не могут двигаться в направлении, перпендикулярном слоям. В направлении же вдоль слоя электроны совершенно свободны.
ZZZZ^^200 Si + GaAs
600 Si + AlQ3GaQjAs
500 AIq^Gqq qAs y— 2D Электронный газ
10000 GaAs
GaAs
Структура слоев образца
Рис. 4. Структура слоев образца для наблюдения Холл-эффекта; числа —толщины слоев в ангстремах
Однако перпендикулярно к этим слоям приложено сильное магнитное поле. На графике (рис. 5) оно изменяется вплоть до 200 килогаусс, т. е. до значительных величин. При измерениях через образец пропускается электрический ток; из-за большого поперечного магнитного поля, приложенного к образцу, возникает Холл-эффект, т. е. поперечная разность потенциалов.
В слое, где находятся электроны, образующие двумерный электронный газ, при относительно слабых магнитных полях происходит обычный Холл-эффект, т. е. отклонение электронов с их прямолинейной траектории и возникновение холловского «поперечного» напряжения. Оно растет пропорционально магнитному полю. Результаты измерений Холл-эффекта показаны на рис. 5.
В двумерном электронном газе при достаточно большом поперечном магнитном поле имеют место состояния Ландау. Они имеют определенный размер и можно посчитать, сколько на заданной площади укладывается состояний Ландау. Когда число электронов совпадает с числом состояний Ландау, то в образце происходит электронная конденсация (или кристаллизация) (рис. 6). То есть в слое образуется
своего рода электронное твердое тело, которое сдвинуть в поперечном направлении магнитным полем трудно и из-за этого появляется плато на зависимости холловского напряжения от магнитного поля (рис. 5). Впервые такое плато на зависимости холловского напряжения от магнитного поля было обнаружено Клитцингом, за что в 1985 году ему была присуждена Нобелевская премия. На рис. 5 это левое нижнее плато.
Фактор заполнения v
Рис. 5. К наблюдению эффекта Холла
Фактически Клитцинг получил Нобелевскую премию за открытие отмеченной выше электронной конденсации, иными словами за открытие электронного кристалла (рис. 6). В экспериментах Тсуи, Стормера и Годдарда это происходит при поле 50 килогаусс.
Рис. 6. Электронная кристаллизацияРис. 6. Электронная кристаллизацияРис. 7. Электронная кристаллизация —число электронов втрое меньше числа состоянийРис. 7. Электронная кристаллизация —число электронов втрое меньше числа состояний
Рис. 6. Электронная кристаллизация
Рис. 6. Электронная кристаллизация
Рис. 7. Электронная кристаллизация —число электронов втрое меньше числа состояний
Рис. 7. Электронная кристаллизация —число электронов втрое меньше числа состояний
Что произойдет дальше, если увеличить магнитное поле? При увеличении магнитного поля состояния Ландау уменьшаются в размере и появляется свободное пространство между ними (рис. 7). Из-за теплового движения эта структура разрушается, и снова имеет место обычный Холл-эффект. Однако, при втрое большем магнитном поле между этими состояниями может поместиться еще одно состояние Ландау.
Легко понять, что полное число состояний в этом случае утраивается и оказывается, что снова возникает возможность образования электронного кристалла, иными словами, жесткого электронного твердого тела. Поскольку число электронов осталось прежним, а число состояний утроилось, то теперь уже каждое состояние заполнено лишь на одну треть. Заряд каждого такого маленького состояния Ландау составляет одну треть элементарного электронного заряда. Соответственно, при втрое большем магнитном поле на зависимости холловского напряжения от магнитного поля снова появляется плато. И это плато было обнаружено в экспериментах Тсуи, Стормера и Госсарда.
Так в физике впервые появилось представление о дробном заряде (если оставить в стороне кварки, не имеющие к данному вопросу никакого отношения). Более того, как уже сказано, за эти работы была присуждена Нобелевская премия 1998 года. К графику на рис. 5 стоит отнестись с уважением — за него были присуждены две Нобелевские премии.
В литературе вопрос о подобных образованиях с зарядом 1/3 обсуждался, т. е. он вызвал некоторое удивление в теоретических кругах. В целом явление сочли коллективным эффектом и, значит, фактически это проявление квази-частиц. Заряд же квази-частиц может и не совпадать с элементарным зарядом.
Позже, однако, появилась исследовательская группа, которая с таким подходом, по-видимому, не согласилась и пошла дальше. Конкретно, это была группа из Израиля, две ее работы опубликованы в журнале «Nature»: де-Пикиотто Р., Резников М., Хайблум М., Уманский В., Бунин Г., Махалу Д. «Прямое наблюдение дробного заряда» Nature (1997) [4]; Резников М, де-Пикиотто Р., Гриффитс Т.Г.,
Хайблум 7И., Уманский В. «Наблюдение квазичастиц с зарядом одна пятая электронного» Nature (1999) [5] (курсив ВБ).
Исследуемый ими образец имел конфигурацию схожую с тем, что было в предыдущих опытах. Но они не стали исследовать эффект Холла, они уже знали, что там образуется электронный кристалл. Зато они сделали так называемые квантовые ворота (рис. 8) —так они их называют. Это электроды, наложенные сверху на образец, на которые можно подавать отрицательный потенциал. Образовавшийся электронный кристалл не может пройти через эти ворота, не разрушившись. На этих воротах электронный кристалл разрушается, и дальше электронная плазма идет просто как обычный хаотичный ток.
Исследователи измерили шумы такого тока. Шумы токов измерялись давно и давно известно, что они пропорциональны, во-первых, самому току, а во-вторых, они
Проводимость (S)Проводимость (S)Рассеянный ток, 1в (рЛ)Рассеянный ток, 1в (рЛ)Рис. 8. Наблюдение дробных зарядов при разрушении электронного кристаллаРис. 8. Наблюдение дробных зарядов при разрушении электронного кристаллапропорциональны заряду элементарного носителя тока. Благодаря этому измерение
Проводимость (S)
Проводимость (S)
Рассеянный ток, 1в (рЛ)
Рассеянный ток, 1в (рЛ)
Рис. 8. Наблюдение дробных зарядов при разрушении электронного кристалла
Рис. 8. Наблюдение дробных зарядов при разрушении электронного кристалла
шумов тока стало одним из стандартных способов определения элементарного носителя тока. В обычных металлах таким носителем является элементарный электронный заряд е.
Израильские исследователи измерили эти шумы и показали, что в их случае элементарным носителем тока является заряд е/3. Это можно видеть на графике (рис. 8). Экспериментальные точки ложатся на зависимость, соответствующую заряду е/3, зависимость же, соответствующая заряду е лежит выше. Эти графики являются функциями параметра t — прозрачности квантовых ворот, который определяется приложенным к ним потенциалом. Авторы работы называют это прямым наблюдением дробного заряда. Слова «прямое наблюдение» следует понимать, конечно, лишь в сравнении с предыдущими опытами, где дробность заряда была, так сказать, «замазана» коллективностью
эффекта. А в их опыте это уже не замазано. Практически та же группа показала, что при немного других условиях могут быть также элементарные носители тока с зарядом е/5.
Таким образом, имеются как теоретические, так и экспериментальные указания на существование образований с дробным зарядом.
Рис. 9. Потенциальная яма для атома азота в молекуле аммиакаРис. 9. Потенциальная яма для атома азота в молекуле аммиакаЕще раз напомним, что объектов с волновыми функциями, разделенными на части, в физике довольно много, в частности, таким объектом является, например, молекула аммиака. Известно, что потенциал иона азота имеет два минимума (рис. 9). На лабораторном жаргоне такой потенциал иногда называют «шляпой Лифшица». Два минимума потенциала означают, что ион азота может находиться как с одной стороны от плоскости, образованной водородами, так и с другой стороны (рис. 9).
Рис. 9. Потенциальная яма для атома азота в молекуле аммиака
Рис. 9. Потенциальная яма для атома азота в молекуле аммиака
Как известно, в этой ситуации имеется так называемый инверсионный спектр, т. е. в молекуле аммиака имеются симметричное и антисимметричное состояния иона
азота. Стоит напомнить, что первый прибор квантовой электроники, так называемый аммиачный мазер, работал как раз на переходе между этими симметричным и антисимметричным состояниями. Это еще раз говорит о том, что, строго говоря, эти эффекты в принципе известны.
Что, собственно говоря, делал X. Марис, если к нему вернуться ненадолго. Он рассматривал довольно простую систему, это две потенциальные ямы, разделенные некоторым пространством. Как и в моле
куле аммиака здесь тоже возможны симметричное и антисимметричное состояния. И все это полностью укладывается в рамки обычной квантовой механики.
Можно ли найти что-нибудь попроще, чем то, что он рассматривал? Попроще — это молекулярный ион Н^ . Он много раз исследовался. Известно, что с теоретической точки зрения это сравнительно простая система; например, в шредингеровском уравнении для электрона в поле двух разнесенных протонов переменные разделяются. Можно сказать, что в молекулярной спектроскопии ион Н^ , благодаря своей простоте, играет ту же роль, что атом водорода в атомной спектроскопии.
Ион Н^ это тоже система с двумя потенциальными ямами — этими ямами являются кулоновское поле около одного протона и кулоновское поле около другого протона.
Рис. 10. Симметричное и антисимметричное электронные состояния в системе с двумя протонами
Эта система — два протона и один электрон — исследована в работе В.П. Быкова и Е. Нахвифард «Рассеяние света продуктами диссоциации молекулярного иона Н2b» [6]. Во втором разделе данной главы дано изложение этой работы и мы отсылаем к нему читателя. Здесь же отметим, что в системе из двух протонов и одного электрона при больших расстояниях между протонами возможны разные электронные состояния — стационарные (симметричные и антисимметричные) (рис. 10), когда волновая функция электрона разделена между протонами, а также нестационарные (несимметричные) (рис. 11), когда вся волновая функция сосредоточена на одном из протонов. И те, и другие состояния ни в коей мере не противоречат квантовой механике.
Рис. 11. Нестационарные электронные состояния в системе с двумя протонами
Стоит отметить, что переход между этими состояниями, поскольку мы имеем дело, скажем, с расстоянием между протонами порядка 1 микрона, занимает по времени примерно 104000 лет, что намного порядков больше времени жизни Вселенной. Иными словами, такой переход фактически невозможен.
Вопрос — можно ли посредством какого-либо физического эксперимента различить эти состояния. Это и есть, собственно говоря, главный вопрос. Обычно молчаливо предполагается, что эти состояния неразличимы.
В нашей статье [6] (см. второй раздел этой главы) показано, что простые эксперименты (например, эксперименты по рассеянию лазерного излучения) не позволяют эти состояния различать. Однако, в более тонких, корреляционных экспериментах эти состояния вполне различимы. Дело таким образом в том, чтобы экспериментально поискать симметричное и антисимметричное состояния в диссоциирующей системе 国".Напомним, что каждый фрагмент системы на рис. 10 несет заряд (1/2) е. Соответственно, существование таких объектов возможно и поддается наблюдению.
Было бы интересно исследовать ситуацию, когда в тех же условиях наблюдается интерференция интенсивностей, возможно ее наблюдение будет проще в экспериментальном отношении. Соответствующую оценку может быть удастся сделать позже.
Таким образом, имеются как теоретические, так и экспериментальные указания на существование электронных образований, несущих дробный заряд. Что может дать для практики научное направление, связанное с дробными зарядами? Прежде всего, освоение области дробных зарядов может оказать влияние на электронику в целом, поскольку вся современная электроника основана на целочисленном заряде. Если говорить более конкретно, то освоение области дробных зарядов проявится в снижении шумов электронных устройств, что эквивалентно увеличению чувствительности многих приборов. Фактически это уже проявилось, на рис.8 видно снижение шумов тока.
Следует отметить, что целочисленный заряд е, проявляющий себя в качестве константы взаимодействия электронного поля с электромагнитным полем, остается совершенно неизменным. Соответствующие расчеты (в рамках, скажем, квантовой электродинамики) не меняются из-за наблюдения дробных зарядов. Заряд некоторого образования — это одно, а константа взаимодействия полей — это совсем другое.
Положение с фотонами не менее драматично! В пятой главе подробно рассмотрено возможное объяснение фотоотсчетов с современных позиций, свободное от серьезных противоречий. Выяснилось, что прежнее представление о фотоотсчетах — прилетает фотон (корпускула) и выбивает из фотокатода электрон (корпускулу), который, проходя по цепи детектора, вызывает в нем всплеск тока, называемый фотоотсчетом, —не выдерживает критики. Простые соображения показывают,
что причина фотоотсчетов не в принимаемом излучении, но в самом детекторе.
В результате ряда модельных расчетов показано, что источником фотоотсчетов является кулоновская неустойчивость слабого электронного потока, возникающего в детекторе в результате воздействия на него принимаемого излучения.
Таким образом, статистика фотоотсчетов не является статистикой фотонов, но отражает главным образом статистические свойства процесса распада слабого электронного потока на отдельные сгустки, что как раз и является проявлением отмеченной выше неустойчивости. Пока это единственный подход, свободный от противоречий и объясняющий широкий круг явлений, связанных с фотоотсчетами.
Предлагаемый лазерный способ детектирования оптических сигналов, как выяснилось, позволяет фиксировать порции энергии, составляющие малые доли кванта 力s. Это перекликается с тем, что сказано выше о возможности наблюдения дробных электронных зарядов. Здесь также возможно снижение шумов детекторов, ибо работа без фотоотсчетов означает подавление дробовых шумов.
Рис. 12. Связанные маятники как модель лазерного детектирования оптических сигналов
Несмотря на некоторую кажущуюся сложность процессов, происходящих в лазерном детекторе, принцип его действия может быть проиллюстрирован простым примером. На рис. 12 изображены два маятника, причем слева эти маятники не связаны друг с другом, справа же они связаны посредством некоторой связи. Левые маятники, один из которых возбужден, а другой покоится, имитируют несвязанные первоначально между собой моды приемного элемента (см. пятую главу). Связь между маятниками имитирует приходящий оптический сигнал. После возникновения связи между маятниками начинается перекачка энергии от одного маятника к другому, имитирующая перекачку энергии от моды накачки в выходную моду. Важнейшей особенностью системы из двух связанных колебательных систем является то, что энергия от одного маятника к другому перекачивается полностью, независимо от величины связи между системами. Т. е. энергия перекачивается
полностью при сколь угодно малой связи. На введение связи между колебательными системами не требуется или почти не требуется никакой энергии. Во всяком случае, эта энергия никак не связана с целочисленностью кванта принимаемого излучения. Именно это приводит к возможности приема доли кванта и высокому коэффициенту усиления подобного устройства.
Как уже отмечалось в начале раздела, нельзя сказать, что вопрос о дробности заряда и фотона окончательно прояснен. Нужны, главным образом, новые эксперименты. Наличие указаний на дробность зарядов и фотонов, возможно, позволит создавать в будущем более чувствительные и менее шумящие приборы.
Проблема дробных зарядов и дробных фотонов, обсуждаемая выше, генетически связана с известной старой дискуссией Бор-Эйнштейн. Однако, на наш взгляд, более интересны те возможности, которые в связи с изложенными идеями открываются перед электроникой по повышению чувствительности приборов и снижению их шумов.
Рассеяние света продуктами диссоциациимолекулярного иона Н^
Молекулярный ион Н2b является одной из простейших квантовомеханических систем. Для молекулярных исследований его роль подобна роли атома водорода в исследованиях атомов. Неудивительно поэтому, что исследованию иона Н^ посвящено большое число работ [7]. Новый импульс эти исследования получили после создания источников мощных лазерных импульсов. Под действием таких импульсов ион Н^ может диссоциировать и ионизоваться. В настоящее время эти процессы уже неплохо исследованы; в частности, им посвящен прекрасный обзор [8].
В данном разделе [6] теоретически исследуется состояние фрагментов, на которые ион Н2b распадается при диссоциации в результате воздействия на него короткого интенсивного лазерного импульса. Под действием такого импульса ион Н^ переходит в возбужденное (антисимметричное) отталкивательное состояние и расстояние между протонами начинает увеличиваться. За короткое время (~ 10-12 сек) расстояние между протонами становится порядка длины волны А (^ 1 мк) рассеиваемого излучения. По отношению к электронному состоянию иона процесс разлета его фрагментов можно считать адиабатическим. Это означает, в частности, что электронная волновая функция все это время, т. е. как при малых, так и при больших расстояниях между протонами остается антисимметричной. Такое состояние нельзя отождествлять с состоянием, когда имеется свободный протон и атом
водорода. Для краткости такое состояние иона ниже называется диссоциирующим ионом (ДИ).
При больших расстояниях между протонами симметричное (s, +) и антисимметричное (а, —) электронные состояния иона Н2b (рис. 10) хорошо описываются линейной комбинацией водородных функций
W (尸)=e± I® (尸)士 耽,(0
где
^1,2 (^) = ае~aг1'2,(4 =⑵
—водородные функции основного состояния и
f2=f+ -R.
Согласно [9], разность энергий этих состояний при больших расстояниях между протонами равна
△Е = Еа — Es△Е = Еа — Es⑷⑷
△Е = Еа — Es
△Е = Еа — Es
⑷
⑷
® 6=0+ 2s ⑺ + а ⑺],
(5)
W〃 = D_ [Ф5 ⑺-% ⑺],
когда электронная волновая функция полностью сосредоточена вблизи одного из протонов (рис. 11). Такие состояния можно отождествить с тем, что подразумевается под обозначением Н + Н+, часто используемым в литературе для конечного, после диссоциации, состояния иона. Проникая через потенциальный барьер, образованный кулоновскими полями протонов, электрон может переходить от одного протона к другому. Характерное время такого перехода равно
где ЛЕ определяется соотношением (4). Оценка показывает, что при расстоянии между протонами порядка длины волны оптического излучения (^ 1 мкм) время 丁 составляет примерно Ю4000лет, что на много порядков больше времени жизни Вселенной, т. е. фактически переход электрона от одного протона к другому невозможен. Следовательно, состояние В。(г) (или Ф5 (г)) существенно отлично от состояния, обозначаемого символом Н + Н+. Отметим, что в литературе обычно
не различают эти состояния. Так, например, в обзоре [8] приводится рисунок, воспроизведенный нами под номером 13. Верхняя потенциальная зависимость, соответствующая отталкивательному антисимметричному состоянию, слева вверху имеет надпись 2рои, что как раз и означает антисимметричное электронное состояние Фа (г), а справа имеет надпись Н + Н+, что, как отмечено выше, следует отождествить с состоянием V (尸)(или W〃(尸)).Однако перемещение вдоль верхней потенциальной кривой есть процесс адиабатический по отношению к электронному состоянию иона Н^ , и, следовательно, электронное состояние иона не может измениться при разбегании протонов.
Рис. 13. Термы молекулярного иона, соответствующие симметричному и антисимметричному электронным состояниям
Поэтому в данном разделе [6] исследуется вопрос, возможны ли какие-либо наблюдения, различающие эти состояния. Конкретно рассматриваются: поляризуемость ДИ, его основное и возбужденное состояния, а также его взаимодействие с излучением, резонансное рассеяние света ДИ, спонтанное излучение возбужденного ДИ, квантовооптические корреляции в излучении возбужденного ДИ. Показано, что только эксперименты последнего типа дают возможность различить
между упомянутыми выше состояниями ДИ, хотя имеется принципиальная возможность различить эти состояния, измеряя поляризуемость продуктов диссоциации.
Низкочастотная поляризуемость диссоциирующего иона и свободного протона. Наиболее просто продемонстрировать различие между двумя состояниями Н^ можно, подействовав на продукты диссоциации иона Н^ относительно низкочастотным полем и определив поляризуемость такой среды в этом поле. Нетрудно убедиться, что вклады различных состояний в поляризуемость сильно различаются. Действительно, при ограниченных размерах волнового пакета свободного иона его движение во внешнем квазиоднородном поле является классическим [11]. Частотная компонента движения диссоциирующего иона во внешнем однородном низкочастотном поле имеет амплитуду
g = —(6)
где М — масса протона. Для свободного же протона соответствующая
амплитуда равнаамплитуда равна/ _ еЕ0/ _ еЕ0⑺⑺
амплитуда равна
амплитуда равна
/ _ еЕ0
/ _ еЕ0
⑺
⑺
Il IIеетIl IIеетРис. 14. Возбужденные состояния диссоциирующего ионаРис. 14. Возбужденные состояния диссоциирующего иона
Il IIеет
Il IIеет
Рис. 14. Возбужденные состояния диссоциирующего иона
Рис. 14. Возбужденные состояния диссоциирующего иона
Следовательно, вклады в низкочастотную поляризуемость среды ДИ и свободных протонов различаются вдвое при их равной концентрации. Если бы эти вклады могли быть аккуратно измерены, то соответствующие эксперименты могли бы свидетельствовать в пользу той или иной альтернативы.
Однако рассматриваемая среда содержит обычно также электроны, и их вклад в поляризуемость среды много больше вкладов ДИ и протонов. Поэтому последний трудно выделить на общем фоне. Желательно найти какие-то другие способы различить ДИ и пару атом водорода- свободный протон по их физическим свойствам.
Диссоциирующий ион в резонансном поле. Будем предполагать, что в области, где происходит диссоциация ионов под действием интенсивного лазерного импульса, имеется также лазерное излучение, резонансное по отношению к водородному переходу Is j 2夕. В результате разлета каждый из фрагментов ДИ оказывается в резонансных полях. В связи с этим рассмотрим возбужденные состояния ДИ. Кроме двух, практически вырожденных основных состояний
ДИ имеет возбужденные состояния, которые схематично изображены на рис. 14. Каждой из этих картинок соответствуют два состояния —симметричное и антисимметричное, образованные водородными 2р- состояниями.
Для простоты предполагаем, что возбуждающее излучение распространяется сверху вниз. При этом возможны две поляризации — одна в плоскости чертежа, другая нормально плоскости чертежа. Ни одна их этих поляризаций не может возбудить состояние 2. Поляризация в плоскости чертежа возбуждает состояние 1. Поляризация, нормальная плоскости чертежа, возбуждает состояние 3. Эти состояния практически вырождены, т. е. имеют одну и ту же энергию. Разность энергий возбужденных и основных состояний практически совпадает с разностью энергий 2夕 и 2s состояний атома водорода.
Отметим, что направление разлета (направление вектора q) определяется, как показано в [10], поляризацией излучения, вызывающего диссоциацию. Поэтому это направление можно считать заданным.
Разлетаясь на достаточно большое расстояние, фрагменты ДИ оказываются в резонансном поле. При этом отдельные фрагменты ДИ попадают, вообще говоря, в различные по амплитуде и фазе поля. При вычислении состояния, в которое переходит ион, будем пользоваться приближением, которое можно назвать полудипольным. Смысл его заключается в том, что для каждого из фрагментов иона приближение является дипольным, однако для иона в целом приближение нельзя считать дипольным, так как поля, действующие на отдельные фрагменты иона, различны как по фазе, так и по амплитуде.
Задача заключается в том, чтобы найти эффект, чувствительный к этому различию. Особенно важно найти эффект, чувствительный к различию этих полей по фазе. Поскольку в данном разделе исследуется лишь принципиальная возможность различить отмеченные выше состояния (1) и (5), то далее предполагается, что эффектами, обусловленными движением фрагментов ДИ, можно пренебречь.
Возбуждение диссоциирующего иона. Рассмотрим возбуждение ДИ коротким лазерным импульсом, описываемым векторным потенциалом
А ®,方)=；[No ®,方)+ 4 ®,方)产4 • ⑻
В приближении вращающегося поля гамильтониан взаимодействия имеет вид
『⑴=-^ 卜+40(刃+夕一4力(刃e_9一"耳「廿/广 (9)
Переход из начального состояния | 3。) в конечное 〈 Ф | описывается
матричным элементом
t
M(t) = -必i〈W|『⑴ |%) =
г
t
［必1・L次+297力［阳・4(Q・帀⑺夕+%®). (10)
Далее будем интересоваться временами 方，много большими т, т. е. состоянием ДИ после прохождения оптического импульса. В этом случае интеграл по времени легко вычисляется:
Е (△, г) = dti •廿/'+〃△力=«т • е-Д2т2/4,(Н)
где Л = Q - cj; при нулевой расстройке Е (△, г) = д/тг г.
В случае возбуждения ДИ начальное состояние |Фо) представляет собой антисимметричное состояние (1), (а,—), возникающее в результате диссоциации молекулярного иона Н^. Возбужденных состояний может быть несколько, как это показано выше.
Рассмотрим возбуждение состояний третьего типа
帀士(帀 1 士帀2),(12)
где Ф1 2 — водородные 2夕 состояния. Основное состояние ДИ представляет собой два водородоподобных фрагмента, разошедшихся на расстояние порядка длины оптической волны или более. Поля в месте расположения фрагментов различны. Далее они предполагаются равными соответственно Ni = 4(品)и А2 = 4(必).Тогда в упомянутом выше полудипольном приближении матричный элемент, описывающий возбуждение состояний 3, имеет вид
4Е (△ • 丁)х
х Ai dq •山0+皿干4 阳• ％夕+32 =
=^^0±e-石。・丁)夕(4干42),(13)
2mcTi
где р — матричный элемент оператора импульса, описывающий переход в атоме водорода из 1s состояния в состояние 2夕.
Таким образом, в результате действия на ДИ возбуждающего
излучения возникает состояние
№) = Ma—sWs + Матана =
=蕊心［°+ (4-4)1 吼〉+
+D_(A+&)%〉］ Е(14)
Полагая далее С_ = D+ = О_ = 1/д/5, получим
即 = / A (必 + 帀。)t2(必-帀。)］/△ • Т)=
(15)
=*М 画巫］
Полная вероятность возбуждения ДИ в состояние 3 пропорциональна величине |厶1『 + |厶2『，т.е. эта величина не чувствительна к относительной фазе 41 и А^. Нетрудно убедиться, что полная вероятность возбуждения состояния третьего типа равна полной вероятности возбуждения атома водорода. Действительно, используя соотношение (10) можно найти амплитуду перехода атома водорода в возбужденное состояние
(16)(16)(⑺(⑺罔S-20 = г А)Е (△，丁) dq^2P^i =
(16)
(16)
(⑺
(⑺
Полная населенность верхнего уровня равна
/ ерА0Е(Л,т)\2
N® = \ 2mсП
Таким образом, вероятность возбуждения атома водорода и ДИ примерно одинаковы. Для сравнения укажем, что вероятность возбуждения ДИ, у которого лишь один фрагмент попадает в поле, согласно (15) равна
т. е. эта вероятность вдвое меньше.
Спонтанное излучение диссоциирующего иона. Рассмотрим спонтанное излучение ДИ после его возбуждения оптическим импульсом. Согласно предыдущему разделу, в начальный момент после действия
этого импульса он находится в состоянии
I W ) = Ma—sWs + Матана,I W ) = Ma—sWs + Матана,(19)(19)
I W ) = Ma—sWs + Матана,
I W ) = Ma—sWs + Матана,
(19)
(19)
где коэффициенты определяются соотношениями (16) и состояния определяются соотношениями (15).
Затухание или время жизни возбужденного состояния определяются суммой
£(20)
а,кА
где
тстс(21)(21)
тс
тс
(21)
(21)
—гамильтониан взаимодействия ДИ с квантованным полем. Вектор- потенциал равен
n(尸)瓦； (22)
индекс п отмечает электромагнитные моды резонатора большого объема V. В начальном состоянии
1且0)(23)
фотоны отсутствуют, что отмечено нулем. Конечные состояния иона имеют вид
|3(刃)=0з1(刃土吹®)],(24)
а конечные состояния системы ион+поле имеют вид
I Ф (刃,U ^ или 〈3 (刃,U j .(25)
Матричный элемент возмущения имеет вид
2灰阮22灰阮2d(^Ме-^Фт (Q =d(^Ме-^Фт (Q =27r 力e227r 力e2咖⑺土咖⑺土±耽（刃卜力「泳击±耽（刃卜力「泳击(Ma^s + Ma^a) . (26)(Ma^s + Ma^a) . (26)
2灰阮2
2灰阮2
d(^Ме-^Фт (Q =
d(^Ме-^Фт (Q =
27r 力e2
27r 力e2
咖⑺土
咖⑺土
±耽（刃卜力「泳击
±耽（刃卜力「泳击
(Ma^s + Ma^a) . (26)
(Ma^s + Ma^a) . (26)
Круглую скобку справа можно представить в виде
M—s (帀 1 + 帀2)+ М—а (帀 1 —帀2)= 帀 1 +帀2,(27)
где
M± = Ma^s ± Ma^a.(28)
Следовательно, в полудипольном приближении интеграл в матричном элементе принимает вид
dq^pxeikqxM^{ 士 dq^2pxeikqxM_^2 =
=(M^eikqi 土p. (29)
Полагая для простоты е”"品=—е”"必=1, для суммы квадратов модулей матричных элементов получаем следующее выражение:
也 + +м_|2 + |М+ -М_|2 =4(IM1f |2 + |2И—12).(30)
Таким образом фазы коэффициентов, фигурирующие в (26), не существенны.
Рассеяние света диссоциирующим ионом. Рассеяние света ДИ происходит одновременно с возбуждением ДИ, поэтому описывается вторым порядком теории возмущений. Гамильтониан системы имеет вид
я = Яо ——^万Л)——^万4 (刃 + * 1гшпа^ап,(31)
тете
где
Л m，t) = I [a (G + A^q) £如口 L* (32)
—векторный потенциал внешнего возбуждающего поля, и
Л(^)= Е У * (畸厂涼子 + W 4(33)
—квантованный вектор-потенциал, обеспечивающий рассеяние излучения.
Во втором порядке теории возмущений имеем
t
丨屮⑴)=2(，))+ . dtxW^^^^
++11（2疗J（2疗J力/力/dtiW(ti)必刃(方2)13(/))+ 一..dtiW(ti)必刃(方2)13(/))+ 一..Две части гамильтониана взаимодействия имеют вид%⑴=——^ С近。""^0⑴e -由0〃万,тсДве части гамильтониана взаимодействия имеют вид%⑴=——^ С近。""^0⑴e -由0〃万,тс(34)(34)W\ (方)=———£2%〃"^4*1 £—2%〃万. тсW\ (方)=———£2%〃"^4*1 £—2%〃万. тс(35)(35)
+
+
1
1
（2疗J
（2疗J
力/
力/
dtiW(ti)必刃(方2)13(/))+ 一..
dtiW(ti)必刃(方2)13(/))+ 一..
Две части гамильтониана взаимодействия имеют вид
%⑴=——^ С近。""^0⑴e -由0〃万,
тс
Две части гамильтониана взаимодействия имеют вид
%⑴=——^ С近。""^0⑴e -由0〃万,
тс
(34)
(34)
W\ (方)=———£2%〃"^4*1 £—2%〃万. тс
W\ (方)=———£2%〃"^4*1 £—2%〃万. тс
(35)
(35)
Во второй порядок эти части входят дваждн:
.卬од）•叫（方2）,
（36）
.叫（方1）・％（方2）.
Нетрудно убедиться, что в первом случае рассеяние идет через виртуальное состояние {е,к\ и это означает, что амплитуда соответствующего рассеяния мала. Во втором случае рассеяние идет через реальные состояния
(рЛ| - |е,0)〈е,0|- |д,0),(37)
где |д) и |е), соответственно, основное (ground) и возбужденное (excited) состояния изучаемой системы. Введем обозначение
Вк ⑺=〈^ |Л(Q) I 0) = Ai к,о =Вк ⑺=〈^ |Л(Q) I 0) = Ai к,о =(38)(38)
Вк ⑺=〈^ |Л(Q) I 0) = Ai к,о =
Вк ⑺=〈^ |Л(Q) I 0) = Ai к,о =
(38)
(38)
Рассмотрим рассеяние в направлении, перпендикулярном направлению разлета фрагментов ДИ, так что k±q. Тогда фазы В^ ⑺ можно считать одинаковыми и равными нулю.
Амплитуда рассеяния равна
2h ⑴=)(9*力4(刃］С,0)",01万4(办9，0)・石(方)，(39)
N \ ТП/С /
где
t力1
Е ⑴= 必 1 &—“а—以)力1 必2 e~爲П-з)д.(40)
В качестве промежуточного примем симметричное состояние третьего типа (при излучении сверху на рис. 14 поляризация перпендикулярна
плоскости чертежа)
&) = ± (回)+ №〃)•(41)
Начальное состояние возникает в результате воздействия на ион Н2b инициирующего импульса, и, как отмечено выше, является антисимметричным
\ga) = ^^r)-Wl(42)
Второй сомножитель в (39) равен
(41矶(刃1%)二(宮1 + "1)矶(刃(&) 一 m))=
I(43)
+ q0(4T一4)，
где Ar, 4% — абсолютные значения векторного потенциала зондирующего поля в областях, соответственно, правого и левого фрагментов ДИ. Полагаем, что слева в (39) стоит антисимметричное состояние (да\. Тогда первый сомножитель равен
〈％ I 万4 ⑺= | ((^1-(^1) pB(q)^r) + \^ =
(44)
= #(& 一e)，
где
Br = ^r I 石⑺ I WQ , B^^^B ⑺ I 电).(45)
В целом матричный элемент (39) равен
" ⑴=g (Kmc) m『(马-向)(4 - 4) ，e⑴.(46)
Имеется также второй канал для того же процесса, при котором в матричном элементе (39) в качестве промежуточного используется не симметричное состояние &), но антисимметричное (также третьего типа)—
&)= * (回〉-(47)
В этом случае матричный элемент равен
=^ (鳥У I肝(® + е)(4 + 4)・Е("・(48)
Теперь исследуем случай, когда в результате рассеяния возникает （т. е. слева в （39） стоит） симметричное состояние
仇=*（"「1 +凿1）■（49）
При симметричном и антисимметричном промежуточных состояниях амплитуды рассеяния равны
y加2 （以+e）（4 - 4） •e⑴（50）
и
=^ （^）2Ip12 （马一廿）（4 + 4） •e⑴•（51）
В сумме имеем
=^ （^）2IpI2 （马4 -e4） •e⑴.（52）
Следовательно, при рассеянии вперед （А/ = Ar = А и Bi = Вг = В） отлична от нуля лишь амплитуда （48）
"（"黄訖了小瓦E⑴- （53）
Сравним эту амплитуду с амплитудой рассеяния излучения атомом водорода. В случае атома водорода последовательность состояний следующая:
〈д,目—|е,0）〈е,0| — |g,。），（54）
где в качестве состояний |д） и | е） выступают, соответственно, 1s и 2夕 состояния атома водорода. Амплитуда рассеяния равна
"⑴=（ 9,目万3⑺匕。）（С，0IPЛ⑺|g,0）•e⑴=
=；Ю 2 sge 瓦）.伍在）.矶（55）
При рассеянии вперед имеем
=；（总）1夕"4瓦矶方），（56）
т. е. совершенно ту же величину, что и при рассеянии зондирующего излучения ДИ.
Рассмотрим теперь рассеяние зондирующего излучения в сторону (рис. 15). Для этого в предыдущее рассмотрение достаточно внести некоторые изменения. Во-первых, нужно сделать замены
Bl 一 Вг 一 Bre~ikq.
Во-вторых, при антисимметричном состоянии слева достаточно учесть лишь второй канал (т. е. при антисимметричном промежуточном состоянии), поскольку при симметричном промежуточном состоянии второй сомножитель в (39) равен нулю. Второй канал дает
\р^ АВ cos(Ajq) • 1%, 1。). (57)
В случае симметричного состояния слева достаточно в качестве промежуточного состояния взять антисимметричное состояние (при симметричном -второй множитель в (39) равен нулю). Это дает
(58)(58)г \р^ АВ sin(A；Q)• |柒，1。).
(58)
(58)
Поскольку эти каналы генерируют разные состояния, то для определения полной вероятности излучения фотона 11@) следует сложитьПоскольку эти каналы генерируют разные состояния, то для определения полной вероятности излучения фотона 11@) следует сложить
Поскольку эти каналы генерируют разные состояния, то для определения полной вероятности излучения фотона 11@) следует сложить
Поскольку эти каналы генерируют разные состояния, то для определения полной вероятности излучения фотона 11@) следует сложить
квадраты модулей коэффициентов в (57) и (58). Таким образом получаем
Рис. 15. Схема корреляционных наблюдений при рассеянии светаРис. 15. Схема корреляционных наблюдений при рассеянии светаР= ^^В^, (59) т. е. то же самое, что и в случае атома водорода.
Рис. 15. Схема корреляционных наблюдений при рассеянии света
Рис. 15. Схема корреляционных наблюдений при рассеянии света
Следовательно, процесс рассеяния не отличает ДИ от атома водорода.
Корреляции 6 сеете, рассеянном диссоциирующим ионом. Рассмотрим теперь корреляции в свете, рассеянном ДИ. Для этого исследуем, как фотоны, рассеянные вперед и в сторону интерферируют друг с другом (рис. 15).
Согласно предыдущему разделу, при рассеянии вперед (индекс f, forward) возникают состояния
［（马-向）（4 - 4）+ в + 向）（4 + Л）］ \ga,kf） （бо）
и
[(马 + 向)(4 — Ai) + (Br —向)(4 + Ai)] \gs, kf) •(61)
Соответственно, при рассеянии в сторону (индекс р, perpendicular) возникают состояния
[(вге—沐q _ в〔е沐q)(4 — 4)+
+ (马厂/q + ее叫(4 + л)] I ga,kp ) (62)
и
[{Вге~гк^ Bte^ (4 — 4) +
+ (Вге-^ - Be泳Q) (4 + Az)] \gs,kp). (63)
В случае Ar = Ai = А и Br = Bi = В при рассеянии вперед имеем состояние
4AB\ga,kf)(64)
и при рассеянии в сторону — состояния
4 АВ cos {kq) • \ga,kp) и Ai АВ sin (kq) ' \gs,kp).(65)
Пусть поля, соответствующие этим состояниям, интерферируют на некотором экране. Вычислим интерференционный член
I = EfE»(66)
где
Ef = i (咛№ -afe-^f},、丿(67)
Ер = i (若e岭p - аре-г^).
I = EfEp a+ape^ + afa^e~^,(68)
где 夕=夕/ —夕0 — разность фаз двух полей — величина, меняющаяся вдоль интерференционной картины. Второе из состояний (65) в интерференции не участвует из-за ортогональности состояний | да ) и \ gs). Следовательно, имеем
I ~ 16А2В2 cos (kq) • cos 夕.(69)
Основная особенность этой интерференционной картины выявляется, если предположить, что величина q (смещение фрагмента иона) слабо (по сравнению с оптическими частотами) зависит от времени. При этом изменяется амплитуда интерференции, в то время как интерференционная картина остается на месте — в частности, остаются на месте ее нули. Положение интерференционной картины в целом определяется фазой 夕.Отмеченная особенность интерференционной картины резко
отличает ее от интерференционной картины, возникающей при рассеянии света атомами водорода.
Корреляции 6 свете, рассеянном атомом водорода. При рассеянии излучения атомом водорода последовательность состояний следующая: 〈д,目-|е,0)〈е,0|-|д,0),(70)
где в качестве состояний |д) и | е) выступают, соответственно, 1s и 2夕 состояния атома водорода. Амплитуда рассеяния равна
；(今)2〈9‘目"4®)1С,0乂С,01万&®) |g,0) •e⑴=
Итого имеем состояния
\^)^G^Bf\g,kf)+Bp\g,kp)y(72)
где символ ^ означает, что полное состояние | Ф), наряду с другими, содержит состояния, указанные в (72) справа, и
G = 几(73)
Усредним интерференционный член
EfEp 寸а/夕 + afa^e~^(74)
по этому состоянию. При Bf = В^ и Вр = \Вр \ е~求° имеем
G2 ^BJ{g,kf\+B；{g,kp\^ (а+арв^ + ауа+е-^) х
х (В/ 丨 9’ 衣/ ) + Bp \ д, кр^ =
=G2 (巧斗е* +=
、丿(75)
=2 G?Bf \ВР\ cos (夕-旬);
Заключение. Диссоциация иона Н2b в результате воздействия на него интенсивного лазерного импульса происходит через антисимметричное состояние 2раи (рис.13). Поскольку разлет фрагментов иона Н^ после перехода его в состояние 2раи есть процесс адиабатический
по отношению к электронным состояниям, то антисимметричное состояние 2раи сохранится и после разлета фрагментов. Антисимметричное состояние 2раи при большом расстоянии между фрагментами отличается от состояния Н + Я+, которое в литературе обычно рассматривается как конечное при диссоциации иона Н『・ Можно полагать, что эти состояния рассматриваются как идентичные, о чем, в частности, свидетельствует рис. 13. Поэтому в данном разделе исследована возможность различить эти состояния при каких-либо наблюдениях. Показано, что эксперименты, в которых эти состояния могут быть различены, возможны. В частности, такими экспериментами являются эксперименты по определению корреляций в излучении, рассеянном диссоциирующим ионом Н2b под разными углами (рис. 15).
Было бы интересно исследовать ситуацию, когда в тех же условиях наблюдается интерференция интенсивностей, возможно ее наблюдение будет проще в экспериментальном отношении. Может быть удастся сделать соответствующую оценку позже.
Таким образом, при диссоциации иона Н^ под действием интенсивного лазерного импульса сначала возникает антисимметричное состояние 2раи, остающееся таковым и при больших расстояниях между фрагментами. Лишь позже это состояние в результате какого- то процесса, по-видимому, переходит в состояние Н + Н+ — об этом свидетельствуют эксперименты, в которых определенно наблюдаются ионы Н+. Таким процессом может быть взаимодействие ДИ со свободными электронами или дополнительное взаимодействие с полем, вызывающим диссоциацию, в результате которого состояние 2раи разрушается.
Следует отметить, что состояние 2раи при больших расстояниях между протонами с теоретической точки зрения является вполне возможным и было бы интересно наблюдать его экспериментально. При этом наиболее интересен вопрос, до какой степени два фрагмента этого состояния, удаляясь друг от друга, могут стать самостоятельными физическими сущностями.
Отметим работу [6], послужившую толчком для данного исследования.
Литература
Maris H.J., £оз，〃 Temp. Phys. 2000. V. 120. No. 3/4. Р. 173.
Tsui D. С., Stormer H.L., Gossard A. C. //Phys. Rev. Lett. 1982. V. 48. P. 1559.
Laughlin A.8 〃 Phys. Rev. B. 1981. V. 23. P. 5632; Laughlin A.8 〃 Phys. Rev. Lett. 1983. V. 50. P. 1395.
de-Picciotto R. et al. // Nature 1997. V. 389. P. 162.
Reznikov M., de-Picciotto R., Griffiths T. G., Heiblum M., Umansky 上〃 Nature. 1999. V. 399. P. 238.
Bykov V.P., Nahvifard E. // Laser Physics. 2003. V. 13, No. 4. P. 501.
Старые работы по иону Н^" отражены в книге: Слэтер Дж.— Электроная структура молекул. — М.: Мир, 1965. Релятивистское приближение дано в работе: Ярунин ВС. // Вестник ЛГУ, серия физики и химии. 1966. №4, Вып. 1; arhiv:cond-mat/0108260, 16 Aug 2001.
Giusti-Suzor A., Mies F.H., DiMauro L.F., Charron E., Yang B. // J. Phys. B: At. Mol. Opt. Phys. 1995. V. 28. P. 309.
Gasiorowicz S. — Quantum Physics, New York:Wiley 1974.
Bucksbaum P.H., Zavriev 4, Muller HG, Schumacher D. W. // Phys. Rev. Lett. 1990. V. 64. P. 1883.
Быков В.П. // Письма ЖЭТФ. 1996. T. 64. №. 8. С. 515.
Научное издание
БЫКОВ Владимир Павлович
ЛАЗЕРНАЯ ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Редактор В.С. ЯрунинОригинал-макет: Т.Н. Савицкая
Подписано в печать 11.01.06. Формат 60x90/16. Бумага офсетная.Печать офсетная. Ус л. печ. л. 24. Уч.-изд. л. 28,8. Тираж 700 экз.
Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивовв ОАО «Чебоксарская типография № 1»428019, г. Чебоксары, пр. И. Яковлева, 15
ISBN 5-9221-0665-1
УДК 32.86 ББК 535.1
Б 95
Быков В. П. Лазерная электродинамика. Элементарные и когерентные процессы при взаимодействии лазерного излучения с веществом.— М.:①НЗМАТЛНТ, 2006. - 384 с. - ISBN 5-9221-0665-1.
© ФИЗМАТЛИТ, 2006© В. П. Быков, 2006© ФИЗМАТЛИТ, 2006© В. П. Быков, 2006Цель книги — дать углубленное понимание свойств лазерного излучения, условий его возникновения и взаимодействия его с веществом. В целом эту проблематику можно характеризовать словами «лазерная электродинамика». В предлагаемой книге рассмотрены две основные темы — элементарные излучательные процессы, связанные с начальными этапами возникновения лазерного излучения, и коллективные явления, связанные с формированием когерентности, а также с генерацией различных макроскопических квантовых состояний излучения. Рассмотрены также некоторые вопросы, связанные с появлением высококогерентного лазерного излучения, — детектирование слабых сигналов, движение макроскопических тел, дробные заряды и фотоны и др. Книга может быть полезна для специалистов в области лазерной физики, а также для студентов и аспирантов, ориентированных на лазерную физику и близкие вопросы.
© ФИЗМАТЛИТ, 2006
© В. П. Быков, 2006
© ФИЗМАТЛИТ, 2006
© В. П. Быков, 2006
ISBN 5-9221-0665-1
ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение 8