Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ВВЕДЕНИЕ
В СТАТИСТИЧЕСКУЮ
РАДИО ① ИЗИКУ
И ОПТИКУ
Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР
в качестве учебного пособия для студентов физических специальностей высших учебных заведений
МОСКВА «НАУКА»
ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 1981
32.86+22.34
A 95
УДК 538.56 十 535
АХМАНОВ С. А., ДЬЯКОВ Ю. Е., ЧИРКИН А. С. Введение в статистическую радиофизику и оптику.——М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981
В книге изложены основы теории статистических явлений в колебательных и волновых процессах. В отличие от традиционных курсов статистической радиофизики, в предлагаемой книге большое внимание уделено задачам статистической оптики. Наряду с такими разделами, как основы теории случайных процессов и полей, шумы в линейных и нелинейных системах с сосредоточенными параметрами и т. п., рассмотрены временная и пространственная когерентность световых полей, статистика фотоотсчетов, флуктуации в лазерах, статистические явления в нелинейной оптике. Значительное внимание уделено новым теоретическим методам статистической радиофизики и оптики. Ряд разделов книги иллюстрируется экспериментальными данными.
Сергей Александрович Ахманов, Юрий Евгеньевич Дьяков, Анатолий Степанович Чиркин
ВВЕДЕНИЕ в СТАТПСТ11ЧЕСК5Ю РАДИОФИЗИКУ И ОПТИКУ
М.. 1981「.，640 стр. с илл.
Редактор //. А. Мамонтова
Технический редактор С. Я. ШкЛяр
Корректоры 〃. ". Боровика, £. В. Сидоркина
ИБ № 2440
Сдано в набор 13.06.80. Подписано к печати 10.02.81. Бумага бОХЭО'Дв. Тйп. №?
Литературная гарнитура. Высокая печать. Усл. иеч. л. 40. Уч.-изд. л. 43,01 раж 12 000 экз. Заказ. № 1382. Цена I р. 70 к.
Издательство «Наука»
Главная редакция физико-математической литературы
117071. Москва, В-71, Ленинский проспект, 15
Ордена Октябрьской Революции, ордена Трудового Красного Знамени Ленинградское производственно-техническое объедниеиие «Печатный Двор» имени Л. М. Горького Союзполиграфппома при Госуда рстзеннол： комитете СССР по делам издательств, полиграфии и книжной торговли. 197136, Ленинград, П-136, Чкаловский пр.. 15.
ААОтпечатано с матриц по 2d типографии пзд-на «Наука»,121099. Шубинский пер., 10. Зак. 281,Отпечатано с матриц по 2d типографии пзд-на «Наука»,121099. Шубинский пер., 10. Зак. 281,20405—031053(02)—81 83'81'20405—031053(02)—81 83'81'17040500001704050000© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, I98J© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, I98J
А
А
Отпечатано с матриц по 2d типографии пзд-на «Наука»,121099. Шубинский пер., 10. Зак. 281,
Отпечатано с матриц по 2d типографии пзд-на «Наука»,121099. Шубинский пер., 10. Зак. 281,
20405—031
053(02)—81 83'81'
20405—031
053(02)—81 83'81'
1704050000
1704050000
© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, I98J
© Издательство «Наука». Главная редакция физико-математической литературы, I98J
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие §
Введение. Статистические явления в радиофизике и оптике. Случайные колебания и случайные волны 13
Глава 1. Методы теории случайных функций в радиофизике и оптике 22
§ L Случайные процессы 22
Детерминированное н статистическое описание реальных процессов (22). Реализации случайного процесса： статистический' ансамбль (23). Статистическое усреднение (24). Разложение в ряд по моментам (26). Неравенство Чебышева (27) Кумулянты (28).
Многомерные статистические характеристики 30
Многомерные распределения вероятностей (30)- Многомерные моменты, кумулянты, характеристические функции (32). Условные распределения вероятностей; статистическая независимость (34). Распределение суммы независимых случайных величин; центральная предельная теорема (35). Многомерное нормальное распределение (37). Стационарные и нестационарные случайные процессы (38). Радиофизический пример: обнаружение сигнала на фоне шума; статисти ческие ошибки (40)
Корреляционные и спектральные характеристики случайных процессов 42
Корреляционная функция и коэффициент корреляции (42) Спектральное представление случайного процесса; спектральные амплитуды и спектральная плотность; связь между спектральной плотностью и корреляционной функцией (44). Примеры спектров и корреляционных функций (47).
Статистическое усреднение н усреднение повремени52
Эргодичность (52). О методах измерения статистических характеристик стационарных случайных процессов (55) Измерение сред, ннх (56). Измерение вероятностей (56).
Выбросы случайных процессов 6()
Длительность выбросов (61). Число выброеов (62). Энергия выбросов (62). Число пересечений порога (ь2). Максимумы н минимумы (62). Пересечение случайных кривых (66).
Стохастические дифференциальные уравнения в обыкновен. ных производных. Анализ случайных колебаний путем усреднения точного решения 68
Переходные прощ-ссы со случайными начальными условиями (70). Линейная система под воздействием случайных сил: функция Грина; интеграл Дюамеля (72). Линейные и нелинейные системы со случайно изменяющимися параметрами： двухуровневая квантовая система под действием шума (74).
Стохастические дифференциальные уравнения. Использование стохастических методов при неизвестном точном решении 77 Усреднение системы линейных уравнений со случайными С-корре лированиыми коэффициентами (77). Уравнение Фоккера — Плаика для функции распределения вероятностей (83). Линеаризация ле лине йного уравнения (91) Статистическая линеаризация (92). Уравнения Дайсона для средних (97).
!•
§8. Случайные поля§8. Случайные поля9999
§8. Случайные поля
§8. Случайные поля
99
99
Однородные и изотропные случайные поля (100). Спектры однородных и стационарных пространственно-временных случайных полей (101). Корреляционные функции трех мерного изотропного случайного поля (102). Двумерное изотропное случайное поле; случайная волна (103). Световые пучки; поперечная и продольная корреляция (106). Структурная функция; локально однородные и локально изотропные случайные поля (107). Когерентность： полностью и частично когерентные поля, коэффициент когерентност и пучка (108). Векторные случайные поля; случайная поляризация, поляризационная матрица (ПО) Полностью и частично поляризованные волны (112) Степень поляризации (113).
115115115115Глава 2. Модели случайных процессов и полей
115
115
115
115
Введение. Фнзнка возникновения случайных процессов и
полей и нх математические модели
Гауссовский случайный процесс 118
Распределение вероятностей; характеристическая функция; моменты ,(119). Функции распределения для производных по времени (122) Вычисление некоторых средних (123).
Узкополосный стационарный шум 123
Огибающая, фаза, квадратуриые компоненты (123). Корреляционные и спектральные характеристики квадратурных компонент (125). Статисти ческие свойства комплексной амплитуды узкополосного процесса (127)
Узкополосный гауссовский шум 128
Распределения огибающей и фазы (129). Распределение интенсивности (129). Двумерные распределеиия и корреляционные функции огибающей и фазы (130). Статистические характеристики производных по времени от огибающей н фазы (133). Примеры нестационарных узкополосных процессов (134). Корреляционные свойства комплексной амплитуды (138). Суперпозиция гармонического сигнала и гауссовского шума (139).
Негауссовские квазигармонические стационарные процессы 142
УииверсалМ[ость равномерного распределения фазы (142), Независимость р и(р (143). Связь характеристической функции процесса с распределением его огибающей (144) Распределение интенсивности (146). Двумерные распределения Q н 屮(147). Гауссовский процесс (150). Модель квази периодического процесса (150).
§ 6. Диффузионный (винеровский) процесс 151
Диффузия фазы (155). Приведение распределения вероятностей к интервалу периодичности (155).'
Колебания, модулированные шумом 158
Амплитудная модуляция (159). Фазовая модуляция (161). Частот- иая модуляция (164). Статистика уширения спектральных линий в опти ке(168).
Импульсные случайные процессы 174
Одиночный случайный импульс (176). Случайная импульсная последовательность (178). Квазипериодический импульсный процесс (184). Дробовой шум (186).
Фотоотсчеты в случайном световом поле 188
Распределение фотоотсчетов в случайном поле. Формула Манделя (189). Роль соотношения между временем корреляции поля и временем наблюдения (190) Статистика фотоотсчеТов в поле теплового и лазерного излучений (192). Обратная задача: нахождение статис- гйки поля из распределения фотоотсчетов (195).
Многомодовая модель случайного процесса
Статистика многомодового колебания; центральная предельная теорема для случайных колебаний (200). Моменты многомодового колебания (205). Многомодовая модель стационарного гауссовского шума (206). Когда многомодовое колебание можно считать гауссовским шумом? (209) Многомодовое лазерное излучение; частичная и полная синхронизация мод (210).
Глава 3. Шумовые колебания в линейных системах
Математическое описание линейных систем. Спектральный и временной подходы
Принцип суперпозиции (215). Вынужденные колебания; спектральное описание отклика линейной системы (216). Временной подход (217). Свободные колебания (219). Функция Грина линейных систем с сосредоточенными параметрами (219). Замена начальных условий эквивалентной внешней силой (221).
Отклик линейной системы на шумовое воздействие
Преобразованне корреляционных функций и спектров (223). Фильт- рацн я шума избирательными системами (224). /?С-фильтр (225). Колебательный контур (226). Анализ вынужденных колебаний с помощью укороченных уравнений(228). Установление шумовых колебаний в линейном осцилляторе — пример нестационарного случайного процесса (230). Линейная система как усредняющее устройство (232). Белый шум и «черный ящик» (корреляционная идентификация линейных систем) (232).
Распределение вероятностей на выходе линейной системы Действие на систему гауссовского шума (234). Нормализация флуктуаций в узкополосных системах (234).
Собственные шумы линейных систем. Тепловые шумы диссипативных линейных систем
Формула Найквиста в классической области (239). Спектр и корреляционная функция теплового шума (240).
Совместное действие сигнала и шума на линейную систему. Фильтрация
Отношение сигнал/шум в переходном режиме (244) Оптимальный лннейный фильтр; обнаружение сигналов конечной длительности *(245). Выделение сигнала из шума; уравнение Вциера— Хопфа (248)
Оптимальные фильтры и корреляторы(252).
Глава 4. Случайные волны в линейных средах
Введение. Корреляционные функции и спектры
Пространственная и временная когерентность. Методы измерения. Фурье-спектроскопия
Измерение пространствениой когерентности; поперечные корреляционные функции； интерферометр Юнга (260). Измерение временной когерентности; интерферометр Майкельсоиа (263). Схемы интерферометров; деление амплитуды и деление волнового фронта (264). Поляризационный интерферометр (264). Фурье-спектроскопия (266). Поперечная корреляционная функция и угловой спектр частично когерентного ограниченного светового пучка (268).
Метод медленно меняющихся амплитуд в теории распространения волн. Укороченные уравнения
Плоские шумовые волны; первое и второе приближения теории Дисперсии (273). Волновые пучки; учет дифракции； однородные и неоднородные среды (277). Общее уравнение для случайных воли (278). Пространственно-временная аналогия (279).
Плоские шумовые волны в диспергирующей среде
199215215223233237241255255259199215215223233237241255255259271280271280Влияние дисигргии на продольную корреляцию (28!). О прямых измерениях групповой скорости (284).
199
215
215
223
233
237
241
255
255
259
199
215
215
223
233
237
241
255
255
259
271
280
271
280
Дифракция случайных волн
Дифракционное изменение радиуса корреляции при распространении волны; теорема Ван Циттерта— Цериике (287). Дифракция ие- когерентной волны на отверстии; звездный интерферометр Майкедъ- соиа (290). Дифракция некогереитной волны на решетке (293). Влияние иемонохроматнчности волны на пространственную когерентность (294). Дифракция частично когерентной волны на одном и двух отверстиях (297). Дифракция в фокусе линзы (302). Распространение Случайных воли в оптических волокнах (308).
Дифракция случайных волн на трехмерных структурах. Динамическое рассеяние частично когерентного рентгеновского излучения в совершенных кристаллах
Дифракция регулярной волны на случайном экране ♦ ♦ . . ♦ Случайный фазовый экран (320). Дифрагированное поле во фраун- гоферовой зоне; решение по методу Рэлея (324).
Рассеяние света в статистически неоднородных средах . . * * Рэлеевское рассеяние; интенсивность н корреляционная функция рассеянного света (327). Расселине света полидисперсиымн средами； нахождение распределения частиц по размерам (331).
Тепловое излучение
Закон Кирхгофа (336). Тепловое излучение абсолютно черного тела (338). Когерентные свойства излучения абсолютно черного тела (340).
Глава 5. Нелинейные преобразования шума
Нелинейное безынерционное преобразование .♦..♦♦♦... Нелинейные характеристики (346). Умножение частоты (347). К- п. д. при гармоническом и шумовом возбуждениях (348). Статистический выигрыш (348). Корреляционные функции и спектры иа выходе умножителя частоты (350). Преобразование амплитудных н фазовых флуктуаций (356). Преобразонаиие распределения вероятностей (357). Оптический пример безыиерциоииого нелинейного преобразования: нерезоиансиая миогофотоиная ионизация атома (357).
Амплитудное детектирование шума Квадратичный детектор (362). Корреляционная функция и спектр на выходе детектора (363). Роль ниерциоииости детектора(§65).
Измерение слабых шумов Принцип действия радиометра (368). Компеисациоииый радиометр (369) Модуляционный радиометр (371). Чувствительность радиометра (373).
Нелинейные преобразования оптического шума Гетеродинирование света： использование в спектроскопии сверхвысокого разрешения (374). Прямое фотодетектирование; влияние пространственной некогереитиости сигнала иа процесс детектирования (377). Интерферометрия интеисивиости; эксперимент Брауиа — Твисса (380) Интерферометрия интсисивиости в лазерной оптике—регистрация сверхкоротких световых импульсов (383). Изме»- рение высших корреляционных функций (391).
Двухуровневая среда в сильном шумовом поле — пример инерционного нелинейного преобразования в оптике Одиофотонный и многофотоииый резонансы (392). Уравнения двухуровневой среды (393). Монохроматическое поле (394). Нутации (394). Действие на среду узкополосного оптического шума (адиабатическое прнближение) (395) Учет ииерцноиности среды для двух моделей оптического шума с конечной шириной спектральной линии (оптический белый шум, поле с диффузией фазы)(398). Шумовые мутации (402). резонансная генерация гармоник (403). Стационарная генерация гармоник; динамический выигрыш (403). Генерация гармоник; области статистического выигрыша(409). Оптимальная ширина спектра излучения при генерации гармоник (410). Корреляция флуктуаций в двухуровневой системе; о методах «шумовой» спектроскопии ⑷2).
Глава 6 Статистические явления в параметрических системах
286312320326335344346362368374392286312320326335344346362368374392416416416416§ 1* Параметрическое усиление и преобразование частоты
286
312
320
326
335
344
346
362
368
374
392
286
312
320
326
335
344
346
362
368
374
392
416
416
416
416
Преобразование сигнала и шума в параметрических усилителях колебаний 419
Одноконтурный параметрический усилитель (419). Двухкоитурный параметрический усилитель (422). Статистика амплитуды и фазы на выходе параметрических усилителей (425).
§ 3* Шумовая накачка в параметрических системах 427
Квазигармомическая иакачка (428). Накачка с диффундирующей фазой (431). Широкополосная иакачка (432)- Низкочастотная шумовая иакачка (433). Стохастическая нестабильность и стохастическая стабилизация (433). Простые оценки порога неустойчивости при шумовой накачке (434)
Зффекты насыщения 436
Двух контурный параметрический генератор (436). Амплитудные уравнения (436), Монохроматическая накачка (437). Шумовая накачка —метод уравнений Дайсоиа (437). Нелинейный эффект образования провала в спектре накачки (439). Установление колебаний в параметрическом генераторе (441).
Параметрическое усиление волн 441
Механизм параметрического взаимодействия воли (441). Амплитудные уравнения (442). Приближение заданного поля иакачки (444). Вырожденный пара метр и чес к и й усилитель; преобразование статистики амплитуды и фазы (446). Резонансная кривая параметрического усилителя (447).
Параметрическое усиление волн при немонохроматической иакачке 450
Вырожденный параметрический усилитель с шумовой накачкой, модулированной по амплитуде (450)- Вырожденный параметрический усилитель с шумовой накачкой, модулированной по фазе (454). Точное решение амплитудных уравнений при равенстве групповых скоростей накачки н одной из волн (457). Независимость усиления от ширины спектра накачки (460). Эффект повторения спектра и модуляции накачки (460). Взаимодействие встречных воли (461), Фоккер-планковское приближение в теории волновых процессов (462). Уравнения для средних амплитуд и средних интенсивностей (464). Корреляционные функции и спектры (465). Некогерентиые многофотонные параметрические процессы (4б(>),
Параметрические генераторы света 467
ширина спектральной линии генерации ПГС (481).Глава 7. Флуктуации в генераторах радио- и оптического диапазонов 484§ 1, Введение. Флуктуации амплитуды и фазы автоколебаний. Форма и ширина спектральной линии 484§ 2. Естественные флуктуации амплитуды и фазы в томсоновском генераторе в режиме развитой генерации 488Укороченные стохастические уравнения (489). Законы распределеширина спектральной линии генерации ПГС (481).Глава 7. Флуктуации в генераторах радио- и оптического диапазонов 484§ 1, Введение. Флуктуации амплитуды и фазы автоколебаний. Форма и ширина спектральной линии 484§ 2. Естественные флуктуации амплитуды и фазы в томсоновском генераторе в режиме развитой генерации 488Укороченные стохастические уравнения (489). Законы распределеВзаимодействие волн в резонаторе (467}. Преобразование уравнений (467). Двух резон аторный параметрический генератор света ( ГТГС) с немонохроматпческой накачкой (468). Нестационарная теория генерации—учет формы импульса многомодовой накачки (473). Одно- резонаториыи ПГС с немойохроматической иакачкон 4474}. Много- . модовая иакачка, согласованная с резонатором (477). Естественная
ширина спектральной линии генерации ПГС (481).
Глава 7. Флуктуации в генераторах радио- и оптического диапазонов 484
§ 1, Введение. Флуктуации амплитуды и фазы автоколебаний. Форма и ширина спектральной линии 484
§ 2. Естественные флуктуации амплитуды и фазы в томсоновском генераторе в режиме развитой генерации 488
Укороченные стохастические уравнения (489). Законы распределе
ширина спектральной линии генерации ПГС (481).
Глава 7. Флуктуации в генераторах радио- и оптического диапазонов 484
§ 1, Введение. Флуктуации амплитуды и фазы автоколебаний. Форма и ширина спектральной линии 484
§ 2. Естественные флуктуации амплитуды и фазы в томсоновском генераторе в режиме развитой генерации 488
Укороченные стохастические уравнения (489). Законы распределе
ния и моменты амплитуды (494). Спектр флуктуаций амплитуды (496). Флуктуации фазы (497). Спектральная плотность частотных флуктуаций (499). Спектр колебания; естественная ширина спектральной линии (499). О корреляции флуктуаций амплитуды и фазы (501)- Стационарные колебания вблизи порога самовозбуждения; анализ методом статистической линеаризации (502).
Установление колебаний в генераторе. Нестационарная статистика устанавливаюп!ихся колебаний 505
Статистические характеристики амплитуды в отсутствие флуктуационной силы (506). Влияние флуктуационной силы на статистические характеристики амплитуды (510).
О флуктуациях в генераторе с несколькими устойчивыми состояниями. Одноконтурный параметрический генератор 511 Вероятность возбуждения устойчипых состояний; квантование фазы (512). Флуктуационные переходы из одного устойчивого состояния В другое (514).
51852953354054655055155856258060661в51852953354054655055155856258060661в«Онтература ,,,,,.♦.,♦...,.,...,,,♦.,,,,,,,,,♦,,.,,631«Онтература ,,,,,.♦.,♦...,.,...,,,♦.,,,,,,,,,♦,,.,,631
518
529
533
540
546
550
551
558
562
580
606
61в
518
529
533
540
546
550
551
558
562
580
606
61в
«Онтература ,,,,,.♦.,♦...,.,...,,,♦.,,,,,,,,,♦,,.,,631
«Онтература ,,,,,.♦.,♦...,.,...,,,♦.,,,,,,,,,♦,,.,,631
Временная статистика колебаний одномодового лазера .・.. Спектр случайного источника; укороченные уравнения (520» Естественная ширина линии (523). Статистика фотоотсчетов； стационарный режим (524). Статистика фотоотсчетов; режим установления колебаний (526).
Временная статистика излучения многомодового лазера ... Временная статистика многомодового излучения с несинхроиизо- ванными модами (530). Синхронизованные моды; корреляционные методы определения формы светового импульса (531).
П ростр а н ствен н а я когерентность излучения лазера Многомодовые лазерные пучки; статистически независимые моды (535). Предельная простраиствеииая когерентность излучения одио- модового лазера (538).
Самовозбуждение автоколебательных систем и фазовые переходы 丁
Генерация лазера в терминах теории фазовых переходов; термодинамический потенциал, параметр порядка, критические индексы (542). Пространственная статистика в пороговой области; формирование пространственной когерентности лазерных пучков (545).
Флуктуации поляризации лазерного излучении. Деполяризация, обусловленная спонтанными переходами
Глава 8. Случайные волны в нелинейной оптике и нелинейной акустике
Приближенные уравнения нелинейной оптнкн. Классификация нелинейных эффектов
Преобразование шума в лазерном усилителе Временная статистика ——пространственный аналог задачи о флуктуационном установлении колебаний (559). Простраиствеииая статистика; обобщение теоремы Ваи Циттерта — Цериике иа усиливающие среды (560). Сужение спектральной линии усиливаемого шума (561).
Взаимодействие случайных волн в диспергирующей среде. Генерация второй оптической гармоники излучением с неполной временной и пространственной когерентнос;ью Квазистатический режим (564) Нестационарный режим генерации; когерентные н некогерентиые взаимодействия (569) Некогерентный режим удвоения частоты; уравнения для средних (571). Законы распределения： статистика фотоотсчетов (575} Пространственная статистика гармоники： генерация анизотропных оптических полей (577}. Дифракционные эффекты и эффекты дисперсионного расплывания (579).
Вынужденное комбинационное рассеяние в поле шумовой накачки
Основные уравнения и параметры (582}. Монохроматическая накачка (585). Немонохроматнческая накачка; влияние молекулярной релаксации иа вынужденное рассеяние (589). Насыщение ВКР при широкополосной иакачке (многомодовая модель) (593). Одио- времеииое проявление молекулярной релаксации и дисперсии среды (595). Уравнения для средних (фоккер-плаиковское приближение) (596). Общая теория ВКР широкополосной иакачки в диспергирующей среде (600).
Самовоздействие случайных волн. Самофокусировка и само- модуляция частично когерентных волн Физика самофокусировки регулярных и случайно модулированных пучков; основные параметры (608). Поперечная корреляциоииая функция самофокусирующихся случайных пучков (610). Неустойчивость плоской волны в фокусирующей среде； рассмотрение методом теории возмущений (613), Самомодуляция плоских шумовых волн(615}.
Статистика акустических волн в нелинейной среде Случайные простые волны; усреднение риманова решения (619). Функция распределения шумовых волн (62()).
ПРЕДИСЛОВИЕ
Курс статистической радиофизики в последние годы стал одним из основных в цикле университетских курсов для радиофизических специальностей.*
Хотя строгая регламентация этого предмета затруднительна, здесь можно выделить два подхода. Под статистической радиофизикой в узком смысле (статистической радиотехникой) понимают круг вопросов, связанных с флуктуациями и шумами в радиоустройствах и статистическими проблемами передачи и приема информации. Имеется много прекрасных руководств, где дано современное изложение этих вопросов.
В более широком смысле под статистической радиофизикой понимают круг задач, связанных с изучением статистических явлений в колебательных и волновых процессах, причем речь не обязательно идет об электромагнитных колебаниях и волнах.
Читаемый авторами в течение последних пятнадцати лет на физическом факультете Московского университета курс тяготеет скорее к статистической радиофизике в широком смысле.
Такая ориентация представляется совершенно естественной именно сейчас, когда после создания лазеров и быстрого прогресса физики нелинейных волновых процессов облик радиофизики существенно изменился. Прежде всего существенно возрос удельный вес волновых задач; это в первую очередь связано с тем, что практически все устройства лазерной техники являются волновыми системами. Такие разделы линейной и нелинейной статистической оптики, как интерференция и дифракция частично когерентного света, оптическая фильтрация, статистические явления в оптических преобразователях частоты и т. п., имеют для современной радиофизики не меньшее значение, чем традиционные задачи о фильтрации и преобразовании случайных сигналов в линейных и нелинейных системах с сосредоточенными параметрами.
Обращение к новым принципам генерации, усиления и преобразования колебаний привело также и к резкому росту
значения чисто физических задач в современной радиофизике. Достаточно сказать, что сейчас в радиофизике двухуровневая квантовая система заняла такое же важное место, как и классический колебательный контур. В теоретической радиофизике все шире используются методы квантовой теории поля, физической кинетики и т. п.
В предлагаемой книге сделана попытка отразить эти новые тенденции; в частности, мы старались в гораздо большей мере, чем это делалось раньше, учесть интересы радиофизиков, специализирующихся в области лазерной физики и техники. Необходимость ограничиться при этом более или менее стандартным объемом однотомного руководства поставила ряд трудных проблем, связанных с отбором материала.
Мы отчетливо понимаем, что в ряде пунктов наши решения окажутся спорными; естественно, что в определенной мере здесь проявилось и влияние собственных научных интересов авторов.
Положение в значительной мере облегчается, однако, двумя обстоятельствами. Имеющаяся в распоряжении нашего читателя учебная литература по статистической радиофизике весьма разнообразна и обширна; предлагаемый курс не претендует на универсальность, и в библиографии к его главам указаны руководства, в которых можно найти более детальные сведения по вопросам, входящим в традиционный курс статистической радиофизики. Такой подход к учебному пособию по спецкурсу, относящемуся к «горячему» разделу радиофизики, представляется нам наиболее разумным.
С другой стороны, сейчас система и содержание университетских курсов по математике, общей и теоретической физике таковы, что почва для изложения статистической радиофизики оказывается гораздо более подготовленной, чем несколько лет назад. Основы теории случайных функций излагаются в курсе математики; широко применяется этот аппарат в курсе статистической физики. В существенно модернизированном курсе «Физическая оптика», читаемом в рамках курса общей физики, дается достаточно детальное статистическое разъяснение понятий пространственной и временной когерентности. В современном курсе статистической физики все большее место занимают вопросы теории флуктуаций в классических и квантовых системах, теории излучения, физической кинетики.
Наконец, понятие об электрических шумах дается уже и в курсе общей радиофизики.
Главный акцент в предлагаемой книге сделан на рассмотрении случайных колебаний и случайных волн в линейных и нелинейных системах; подавляющее число рассматрива-
емых примеров связано с электромагнитными колебаниями и волнами.
В ряде случаев мы считали важным не ограничиваться схематическим описанием явления; поэтому в книге довольно много экспериментальных графиков и т. п.
Изложение теории случайных функций проведено на «физическом» уровне строгости и, учитывая сделаннь е выше замечания, довольно конспективно. Мы стремились изложить этот материал таким образом, чтобы, по возможности, облегчить читателю практическое его использование. Вместе с тем в книге значительное внимание уделено изложению теоретических методов, широко используемых в настоящее время, но недостаточно освещенных в учебной литературе, в особенности стохастических методов решения нелинейных дифференциальных уравнений в обыкновенных и частных производных. Помочь читателю активно овладеть этими методами —— одна из важных задач предлагаемого курса. Поэтому в книге детально рассматриваются модельные задачи; в ряде случаев одна и та же задача решается несколькими методами.
Мы надеемся, что деталь ное ознакомление с этими методами стимулирует читателя и к освоению более сложных стохастических методов (например, методов, основанных на функциональном подходе), интенсивно развиваемых в последние годы и не отраженных за недостатком места в этой книге.
При теоретическом исследовании случайных колебаний и волн в книге широко используется метод медленно меняющихся амплитуд； мы пользуемся им и в линейных задачах даже в тех случаях, когда возможно получение точных результатов. Такое описание имеет, на наш взгляд, серьезные педагогические преимущества, позволяя дать единую картину статистики колебаний и волн. На этапе рассмотрения так называемых укороченных уравнений для медленно меняющихся амплитуд удается выявить общность сильно различающихся на первый взгляд радиофизических явлений, проследить весьма наглядные пространственно-временные аналогии между колебательными и волновыми процессами.
Надо сказать, что разработка теории случайных волн в нелинейных средах — в основном дело последних 8——10 лет. Поэтому в разделах книги, относящихся к нелинейной оптике и акустике, особенно много ссылок на оригинальные работы, в том числе на работы, выполненные в Московском университете в Лаборатории нелинейной оптики им. Р. В. Хохлова.
Мы приносим искреннюю признательность нашим товарищам, совместные работы с которыми использованы в это/i книге; мы особенно благодарны Г. А. Ляхову, написавшему
по нашей просьбе § 6 главы 4, В. Г. Тункину и О. В. Руденко за сотрудничество и помощь.
Мы считаем своим приятным долгом выразить признательность С. М. Рытову и участникам руководимого им семинара по статистической радиофизике； многолетнее участие в этом семинаре оказало значительное влияние на формирование наших взглядов на статистическую радиофизику и ее преподавание.
Мы приносим благодарность рецензентам Ю. А. Кравцову и А. Н. Малахову, внимательно прочитавшим рукопись и высказавшим ценные замечания, учтенные при окончательной редакции книги.
Мы признательны Н. А. Мамонтовой и С. Ю. Никитину за большой труд по подготовке рукописи к печати.
С. А. Ахманов,
Москва, апрель 1980 г.Москва, апрель 1980 г.Ю. Е. Дьяков, А. С. Чиркин
Москва, апрель 1980 г.
Москва, апрель 1980 г.
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В РАДИОФИЗИКЕ И ОПТИКЕ. СЛУЧАЙНЫЕ КОЛЕБАНИЯ И СЛУЧАЙНЫЕ ВОЛНЫ
Во многих практически важных ситуациях наиболее адекватным описанием колебательных и волновых процессов оказывается статистическое описание; так, в радиофизике и оптике, наряду с регулярными, появляются случайные колебания и волны. Статистика в радиофизику и оптику приходит потому, что многие источники радио- и световых колебаний представляют собой, по существу, генераторы шума. Хаотически изменяются параметры систем, свойства сред, в которых распространяются радио- и световые волны. Особое место в радиофизике и оптике занимают задачи, связанные с эффектами электромагнитных флуктуаций материальной среды. «Собственные» электромагнитные флуктуации ставят флуктуационный предел ч у ветви тель ности приемников, точности измерений, оказываются причиной принципиальной невозможности генерирования строго монохроматических колебаний.
Статистика колебаний и волн в настоящее время представляет широкую и быстро развивающуюся область, включающую в себя как чисто физические проблемы, так и разнообразные прикладные вопросы. Исследования в этой области имеют долгую историю； в различные периоды удельный вес оптических и радиофизических задач здесь был существенно различен.
В конце XIX и в начале XX вв. главным «источником» колебательных и волновых статистических задач, несомненно, была оптика.
В ряду ранних работ по статистической оптике первыми должны быть, безусловно, названы работы по рассеянию света, связанные с именами Рэлея, а в более позднее время——Мандельштама и Бриллюэна; имеются в виду случайные волны, возникающие за счет хаотического изменения параметров среды. Надо сказать, что, несмотря на почти вековую историю, физика рассеяния волн в статистически неоднородной среде и по сей день остается, пожалуй, одним из наиболее бурно развивающихся разделов статистической радиофизики и оптики. '
Другой круг статистических задач, сформулированных в оптике в 20-е годы этого столетия, стимулировал разработку теории когерентности оптических полей. То обстоятельство, что обычные тепловые и газоразрядные источники света являются, по существу, генераторами случайных полей, было понято достаточно давно —— еще Рэлей в «Теории звука» рассмотрел классическую задачу о ело-
жении колебаний со случайными фазами. Выяснение особенностей протекания таких фундаментальных явлений, как интерференция и дифракция света в поле случайных волн, и является в основном предметом теории когерентности. Ряд фундаментальных результатов в этой области связан с именами Майкельсона, Верде, Лауэ, Цернике и др. (см. 11—4J) ).
В 30-е и особенно 40—50-е годы первенство в постановке и исследовании статистических задач, безусловно, должно быть отдано радиофизике. Разработка методов радиолокации, дальней радиосвязи, радионавигации остро поставила вопросы о шумах радиоприемных устройств, стабильности колебаний автогенераторов, о статистических явлениях при излучении и распространении радиоволн. Именно в эти годы было ясно понято, что факта чески на всех основных этапах передачи информации с помощью радиоволн, локации, навигации ——в процессах генерации, модуляции излучения, распространения и приема — статистические явления играют чрезвычайно существенную, а зачастую и решающую роль.
Одним из важнейших направлений стало исследование собственных электромагнитных флуктуаций в радиустройствах и поиск путей их уменьшения. Первые работы в этой области относятся еще к 1928——1930 гг., когда Найквист предложил формулу, описывающую спектральную плотность G (&) собственных шумов сопротивления R, связанных с тепловым движением электронов: G (①)=
2
= -kTR, которая затем была подтверждена экспериментально.
В 20-е годы были установлены и закономерности дробового шума электронных ламп, обусловленного статистическим характером электронной эмиссии [6]. Возникающие в радиоустройствах за счет теплового и дробового шума случайные э. д. с. невелики (речь идет о среднеквадратичных напряжениях 10 5——10 6 В)； однако именно они, как выяснилось в дальнейшем, определяют предельные чувствительности приемных устройств. За счет внутренних шумов приемника отношение интенсивностей сигнала и шума на выходе приемника меньше, чем на входе: (с/ш)вых <С (с/ш)„х； поискам путей уменьшения фактора F = (с/ш)вх/(с/ш)гых, который называют шум- фактором приемного устройства (для идеального, нешумящего приемника F — 1), были посвящены многочисленные исследования радиофизиков и радиоинженеров.
Радикальное решение проблемы удалось найти, обратившись к尸 принципиально новым методам усиления радиоволн. Открытие Басовым и Прохоровым в СССР и Таунсом в США принципов усиления и генерации электромагнитных волн в квантовых системах, позволило, в частности, создать так называемые квантовые пара-
пвЁДЕйне П5
магнитные усилители [7, 8], величина шум-фактора для которых сейчас составляет F = 1,01 ч- 1,1 ——в парамагнитном усилителе нет электронных ламп, а рабочая температура близка к температуре жидкого гелия. Возможность резкого снижения величины шум- фактора была главным стимулом и при разработке параметрических усилителей диапазона сверхвысоких частот [9], исследовании дробовых шумов в «длинных» электронных потоках ламп бегущей волны [6] и т. п.
В автоколебательных системах (автогенераторах) собственные электромагнитные флуктуации определяют минимальную (предельную) ширину спектральной линии. В установлении этого принципиального обстоятельства решающую роль сыграли выполненная в 1933 г. фундаментальная работа Понтрягина, Андронова и Витта [10], где впервые была решена задача о поведении динамической системы под воздействием случайных толчков, и последовавшие за ней работы Берштейна [11], в которых теоретически и эксперимента чьно были исследованы флуктуации колебаний лампового генератора.
Освоение радиотехникой все более коротковолновых диапазонов поставило новые задачи и перед теорией электрических флуктуаций. Так, возник новый раздел теории тепловых флуктуаций, связанный с изучением флуктуаций в неквазистационарных системах, в резонаторах и волноводах диапазона сверхвысоких частот — см. работы Рытова и Левина [5, 12]. В этих работах была установлена ясная связь между тепловыми шумами в квазистационарных цепях и тепловым излучением в оптической области.
Постановка статистических задач в теории распространения радиоволн в первую очередь была связана с распространением радиоволн в турбулентной атмосфере. Существенно стимулировали эти исследования относящиеся к 1950——1955 гг. эксперименты по сверхдальнему распространению ультракоротких волн; оказалось, что за пределами прямой видимости рассеянное атмосферными неоднородностями поле может намного превышать поле, связанное с дифракцией вокруг Земли [13, 14]. С тех пор теоретическая и экспериментальная активность в этой области неизменно возрастали; новый класс статистических задач возник здесь в последние годы в связи с изучением распространения лазерных пучков в турбулентной атмосфере.
Собственные шумы приемных устройств, флуктуации сигналов в процессе распространения, искусственные или естественные помехи, приходящие на вход приемника вместе с полезным сигналом, приводят к тому, что прием сигнала в реальных условиях становится принципиально статистической задачей. При наличии флуктуационных помех решение о наличии или отсутствии сигнала становится фактически статистическим решением; статистической оказывается и задача определения параметров сигнала.
Как оптимальным образом сформулировать процедуру обнаружения сигнала и уменьшить случайные ошибки при оценке его параметров?
Ответ на эти вопросы дает статистическая теория обнаружения сигналов, ряд фундаментальных положений которой был сформулирован в 40—50-е годы. Большую роль в ее формировании сыграли работы Котельникова [15]; в настоящее время детально разработанная теория обнаружения находит многочисленные применения в радиофизике и оптике (см. [16, 17, 30,39] и библиографию к гл. 3, 5).
Большое разнообразие задач статистической радиофизики стимулировало разработку новых приемов экспериментального исследования статистики радиосигналов (см. библиографию к гл. 1, 3, 5), создание эффективных теоретических методов решения згдач линейной и в особенности нелинейной статистической теории колебаний (см. [18—20] и библиографию к гл. 5, 7), статистической теории распространения волн (см. [13, 14] и библиографию к гл. 4, 6, 8). Все эти вопросы и составляют основу современной статистической радиофизики.
На фоне широкого размаха работ по статистической радиофизике достижения статистической оптики в 30——50-е годы выглядят скромнее. Следует подчеркнуть, однако, что и здесь был выполнен ряд важных работ.
В 1947 г. Гореликом был предложен [21], а в 1955 г. Форрестером и соавт. [22] осуществлен эксперимент по смешению световых волн на фотокатоде — так называемое «гетеродинирование» света. Фактически речь идет об эксперименте, в котором впервые наблюдалось нелинейное взаимодействие случайных световых полей.
Сильное влияние на развитие статистической оптики оказали опыты Брауна и Твисса, в которых для световых полей были измерены корреляционные функции интенсивности [23].
В работах, относящихся к 1961——1963 гг., были выполнены эксперименты по статистике фотоотсчетов — были разработаны методы измерения одномерных законов распределения светорых полей [24, 25]. Большое значение для статистической оптики имела разработка методов фурье-оптики —— это позволило, в частности, установить тесные связи между задачами фильтрации и преобразования сигналов в радиофизике и оптике (см. [26] и библиографию к гл. 4).
Наконец, крупные результаты были получены и в общей статистической теории оптических полей; особое значение имели работы, относящиеся к квантовой ее формулировке ——квантовой оптике [27]. Надо сказать, что многое здесь было сделано еще в 20~е годы; принципиальное значение имеют, в частности, ранние работы Шредингера, в которых были введены так называемые когерентные состояния. В работах же 1960—1965 гг. 61 развита эффективная квантовоэлектр оди нами ческа я методи ка описани я когер ентности
оптических полей, что позволило придать квантовой оптике завершенность и выявить ее связь со статистической теорией, использующей классическое описание поля.
Революция в оптике, связанная с созданием лазеров, коснулась всех ее разделов; в полной мере это относится и к статистической оптике. Создание лазеров повысило прежде всего интерес к изучению статистических явлений в источниках света. Теперь оптика получила в свое распоряжение широкий ассортимент источников с весьма разнообразными, в том числе негауссовскими, статистическими характеристиками.
Важной задачей современной статистической оптики является изучение флуктуационных явлений в лазерах различных типов и разработка методов уменьшения амплитудных и фазовых флуктуаций лазерного излучения. Существенно подчеркнуть, что сказанное относится не только к сравнительно маломощным лазерам непрерывного действия, но также и к мощным и, в особенности, сверхмощным импульсным лазерам [37].
Разумеется, проблемы, связанные с флуктуациями в лазерах, во многом аналогичны соответствующим проблемам, связанным с флуктуациями в автоколебательных системах радиодиапазона [28]; имеются, однако, и существенные особенности, обусловленные квантовым характером флуктуаций, распределенными взаи модействи я ми, многомодовостью и т. п. Новый класс статистических задач в этой области связан с изучением оптических генераторов со случайной обратной связью, генераторов, принцип действия которых ближе к принципу действия ядерного реактора, чем генератора радиодиапазона 129].
Работы по оптической связи и локации с помощью лазеров стимулировали детальные исследования чувствительности оптических приемников 130, 39] и исследования по распространению световых пучков в статистически неоднородных средах [31—33]. Интересные перспективы открылись н в изучении молекулярного рассеяния света; возможность выйти за пределы регистрации только спектров рассеянного излучения и использовать, в частности, статистику фотоотсчетов позволяет получить новую информацию о рассеивающей среде и процессе рассеяния [2].
Новым разделом статистической оптики, возникновение которого целиком обязано лазерам, является статистическая нелинейная оптика [34—36, 52]. Можно указать по меньшей мере два круга статистических задач, являющихся предметом многочисленных теоретических и экс пер и м е нтал ь ны х работ. Прежде всего это задачи, связанные со «статистикой излучения», т. е. с изучением влияния пространственной и временной когерентности излучения на протекание нелинейных оптических эффектов. Другой круг задач связан с изучением нелинейных эффектов в «охатистически неоднородных средах (нелин^*»ве имбт1ёкулярное рассеяние, генерация оптиче-
ISIS
IS
IS
©BE/IEHFfC
ских гармоник и параметрические явления в неоднородных кристаллах, нелинейная дифракция и т. п.) п с влиянием квантовых шумов на протекание нелинейных эффектов [^2].
Таким образом, статистические методы, статистпческие задачи проникли буквально во все разделы физической и прикладной оптики ——ситуация, во многом сходная с процессом, происходившим в радиофизике.
Заканчивая этот краткий вводный очерк, заметим, что с задачами, во многом сходными с задачами статистической радиофизики и оптики, приходится сталкиваться в гидродинамике, акустике и физике плазмы. Речь идет здесь о теории турбулентности (см. [40, 43]), физике линейных и нелинейных (см. [38]) случайных волн в акустике.
Многие важные вопросы нелинейного взаимодействия и самовоз- действия случайных волн были разработаны в физике плазмы (см. [41, 42]).
Для статистической радиофизики, как и для физики в целом, чрезвычайно важна интенсивно исследуемая в самое последнее время в связи с изучением механизма турбулентности проблема возникновения статистики в нелинейных динамических системах [44],
О структуре и содержании книги. Предлагаемая книга посвящена в основном случайным колебаниям и случайным волнам в линейных и нелинейных системах, в том числе в системах с переменными и случайными параметрами. Радиофизические, колебательные и оптические волновые задачи в этой книге практически равноправны; такое распределение материала связано с тем, что сейчас лазерная физика и техника для радиофизики не менее важны, чем традиционные «чисто» р ад и офи зи чес ки е проблемы.
Материал настоящей книги во многом основывается на ряде других университетских курсов: теории вероятностей, статистической физики, теории колебаний, теории волн и квантовой радиофизики. В качестве пособия по теории вероятностей и случайных функций для радиофизиков мы рекомендуем [45]. Кроме основного курса Ландау и Лифшица [46], по статистической физике мы рекомендуем [47]. Читаемый в Московском университете курс теории колебаний базируется на книге [48], теории волн —— на [49]. По квантовой радиофизике мы рекомендуем руководства [50, 51].
Мы не будем здесь характеризовать распределение материала книги по главам; читатель познакомится с этим по весьма подробному оглавлению. Разделение материала на основной шрифт и петит не следует рассматривать как классификацию по степени важности. В петит, кроме математических деталей, вынесены и современные задачи; их можно опустить при первом чтении, однако, как мы надеемся, они будут полезны для лип, собирающихся активно работать в области статистической радиофизики и оптики.
ЛИТЕРАТУРА
Рэлей (Стретт Дж, 8) Теория звука： Пер. с англ. / Под ред. С. М. Ры* това. — М.： Гостехиздат, 1955, т. 1.
Кросиньяни Б., Ди Порто /7., Бертолотти М. Статистические свойства рассеянного света; Пер. с англ. / Под ред. И. Л. Фабелинского. — М.: Наука, 1980.
Мандельштам 刀.Я. Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике / Под ред. С. М. Рытова. — М.: Наука, 1972.
Борн М., Вольф Э. Основы оптики: Пер. с англ. / Под ред. Г. П. Мотуле- вич. —М.: Наука, 1970.
Рытое С М. Теория электрических флуктуаций и теплового излучения,—— М.： Изд. АН СССР, 1953.
Шумы в электронных приборах / Под ред. Л. Смуллина и Г. Хауса： Пер. с англ. — М. — Л-： Энергия, 1964.
Карлов Н. В., Маненков А. А. Квантовые усилители / Под. ред. А. М. Прохорова. —М.: Изд. АН СССР, 1966.
Сигмен А. Мазеры： Пер. с англ. / Под ред. Т. А. Шмаонова. —М.: Мир, 1966.
Блекуэлл Л. Л,, Коцебу К. Л. Параметрические усилители на полупроводниковых диодах： Пер. с англ. / Под ред. А. Н. Выставкина. —М.: Мир, 1964.
Понтрягин Л. С., Андронов А. А., Витт А. А. О статистическом рассмотрении динамических систем. — ЖЭТФ, 1933, т. 3, с. 165.
Берштейн И. Л. Флуктуации в автоколебательной системе и определение естественной размытости частоты лампового генератора. —ЖТФ, 1941, т. 11, с. 305,
Рытое С. М., Левин Л4. Л. Теория равновесных тепловых флуктуаций в электродинамике. —М.: Наука, 1967.
Чернов Л. А. Распространение волн в среде со случайными неоднородностями. -М.: Изд. АН СССР, 1958.
Татарский В. И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. —М.： Наука, 1967.
Котельников В. А. Теория потенциальной помехоустойчивости, — М.： Гос- энергоиздат, 1956.
Вайнштейн Л. А., Зубаков В. А. Выделение сигналов на фоне случайных помех. —М.： Сов. радио, 1960,
Хе лет ром К. Статистическая теория обнаружения сигналов: Пер. с англ. / Под ред. Ю. Б. Кобзарева. —М.: ИЛ, 1963.
Стратонович Р. Л, Избранное вопросы теории флуктуаций в радиотехнике.— М.： Сов. радио, 1961.
Тихонов В, НМиронов М. А. Марковские процессы. —М.： Сов. радио, 1977.
Лившиц Н. Л., Пугачев В, Н. Вероятностный анализ систем автоматического регулирования. —М. ： Сов. радио, 1963.
Горелик Г. С. О демодул я ци о н н ом анализе света. — УФН, 1948, т. 34, с. 321.
Forrester А. Т., Gudmundsen R. 4, Johnson Р. О. Photoelectric mixing of incoherent light. —Phys. Rev.. 1955, v. 99, p. 1691.
Brown R. H., Twiss R. Q. Correlation between photons in two coherent beams of light. — Nature, 1956, v. 1977, p, 27.
Арекки Ф., Скалли А4., Хакен Г. и Зр. Квантовые флуктуации излучения лазера: Пер. с англ, / Под ред. А, П. Казанцева. —М.: Мир, 1974.
Спектроскопия оптического смешения и корреляция фотонов / Под ред. Г. Камминса и Э. Пайка: Пор, с англ. / Под ред. Ф. В. Бункина. — М.: Мир, 1978.
О' Нейл 3. Введение в ста i исти чес ку ю oi i ти ку: Пер. с англ./Под ред. П. ф. Паршина. —М.: Мир, 1966.
Клаудер Дж,, Сударшан 3. Основы квантовой оптики: Пер. с англ. / Под ред. С. А. Ахманова. — М,: Мир, 1970.
Малахов А, Н. Флуктуации в автоколебательных системах. — М.* Наука 1968.
Басов Н. Г., Летохов В. С. Оптические стандарты частоты, УФН, 1968, т. 98, с. 585.
Росс М, Лазерные приемники: Пер. с англ. / Под ред. А. В. Невского.— М.: Мир, 1969.
Прохор)в А. М., Бункин Ф. В., Гочелашвили К. С. и др. Распространение лазерного излучения в случайно неоднородных средах.——УФН, 1974, т. 114, с. 415.
Зуев В. £. Прозрачность атмосферы для видимых и инфракрасных лучей.—— М.: Сов. радио, 1966.
Гурвич А. С., Кон А. &., Миронов В. И. и др. Лазерное излучение в турбулентной атмосфере.——М.; Наука, 1976.
Ахманов С. А., Хохлов Р, В. Проблемы нелинейной оптики.—М.： Изд. АН СССР, 1964.
Ахманов С. Л., Чиркин А, С. Статистические явления в нелинейной оптике.—— М,: изд, МГУ, 1971,
Нелинейная спектроскопия / Под ред. Н. Бломбергена: Пер, с англ, / Под ред. С, А. Ахманова, — М.; Мир, 1979.
Сверхкороткие световые импульсы / Под ред, С. Шапиро: Пер. с англ, / Под ред, С. А. Ахманова, — М.: Мир, 1981.
Руденко О. 8., Солуян С. И. Теоретические основы нелинейной акустики,—— М.; Наука, 1975.
Кingston А，Н. Detection of Optical and Infrared Radiation. — Berlin — Heidelberg—N. Y, ： Springer-Verlag, 1978.
Монин А, С., Хг几0M A. M, Статистическая гидромеханика, —M.: Наука, 1965, чч. 1, 2.
Веденов Л. Л., Велихов Е. /7., Сагдеев Р. 3. — В сб,: Вопросы теории плазмы / Под ред. М. А. Леонтовича. — AL: Ато.миздат, 1963, вып. 3; 1964, вып. 4; 1973, вып, 7.
Кадомцев Б, Б, Коллективные явления в плазме, — М.: Наука, 1976.
Нелинейные системы гидродинамического типа / Под ред, А. М, Обухова,— М.: Наука, 1974,
Гапонов-Грехов А, В,, Рабинович М, И. Л. И. Мандельштам и современная теория колебаний и волн; К 100-летию со дня рождения Л. И. Мандельштама.—— УФН, 1979, т, 128, с. 579.
Левин Б, Р, Теоретические основы статистической радиотехники. — 2-е изд,, перераб. — М.； Сов. радио, 1974, кн. 1,
Ландау Л. 〃.，Лифшиц Е М, Статистическая физика. —М.: Наука, 1976, ч. 1,'
Хир К. Статистическая механика, кинетическая теория и стохастические процессы: Пер, с англ, / Под ред. Д, Н. Зубарева, — М.： Мир, 1976.
Мизулин В. В., Медведев В, 〃.，Мусте ль Е, Р., Парыгин В. Н. Основы теории колебаний. — М.: Наука, 1978.
Виноградова М. 5., Руденко О. В,, Сухоруков А. ". Теория волн. — М.: Наука, 1979.
Пантел Р., Путхоф Г, Основы квантовой электроники： Пер. с англ. / Под ред. Ю. А. Ильинского. — М.; Мир, 1972.
Ьр〃е Л. Квантовая электроника： Пер. с англ. / Под ред. Я. И. Ханина.— М,: Сов. радио, 1980.
Кльиико Д. Н. Фотоны и нелинейная оптика,——М.: Наука, 1980.
МЕТОДЫ ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ФУНКЦИЙ В РАДИОФИЗИКЕ И ОПТИКЕ
Математической основой статистической радиофизики и оптики является теория случайных функций.
Скалярная или векторная функция одной или нескольких независимых переменных называется случайной, если значения ее при произвольной последовательности выбора значений независимых переменных оказываются набором случайных величин.
Ниже, наряду с общим математическим понятием случайной функции, используются понятия: случайный (или стохастический) процесс (так называют случайные функции времени) и случайное поле (случайные функции точки в пространстве и, вообще говоря, времени).
Статистическая радиофизика занимается изучением стохастических явлений в колебательных и волновых процессах. В математическом плане дело сводится к решению линейных или нелинейных дифференциальных уравнений со случайными начальными (или краевыми) условиями, случайными параметрами (коэффициентами), случайными внешними силами — так называемых стохастических дифференциальных уравнений. К счастью, во многих случаях перечисленные источники стохастичности можно рассматривать по отдельности. Таким образом, возникают три класса математических задач:
задачи со случайными начальными (или граничными) условиями;
задачи со случайно изменяющимися параметрами;
задачи со случайными внешними силами
Решение стохастических дифференциальных уравнений — это нахождение средних и корреляционных функций для неизвестного случайного процесса или- поля. Указанные величины относительно просто определить, если решение уравнения известно.
Чрезвычайно примечательным оказывается, однако, то обстоятельство, что в аналитическом решении стохастических дифференциальных уравнений часто удается продвинуться гораздо дальше, чем в решении их динамических аналогов. С помощью так называемых стохастических методов вычислить средние удается н в том случае, когда сами решения неизвестны!
Случайные процессы
Детерминированное и статистическое описание реальных про цессов. Рассматривая какой-либо физический процесс, мы стремимся описать этот процесс математически. Математическое описание может быть детерминированным или статистическим * (вероятностным).
При детерминированном описании предполагается, по существу, что имеются все данные, чтобы точно предсказать временной ход процесса 居 т. е. решение задачи ищется в виде некоторой конкретной математической функции
尤= /(/)• (МЛ)
В основе детерминированного описания фактически лежит предположение, что при повторном воспроизведении процесса мы опять получили бы зависимость величины 尤 от времени вида (1) *).
Примером процесса, детерминированное описание которого невозможно, является брауновское движение. Измеряя траекторию частицы вдоль оси х, мы получим некоторую кривую х(11 (/). Если повторить наблюдение, поместив частицу в исходную точку/ то траектория х(2)(0 будет совершенно иной. Разброс траекторий связан с хаотическим тепловым движением очень большого числа молекул, и его непредсказуемый характер является очевидным.
В этом и других аналогичных случаях, когда процесс 尤 является случайным, вместо детерминированного описания (1) используется статистическое описание. Величина х (/) в момент / характеризуется при этом функцией распределения вероятностей 侬(х, /), которая определяет относительную вероятность различных значений 尤 в этот момент времени. Вероятность для 尤 принять значение, лежащее в некотором интервале, запишется через w (%, /) как
尸(/V%V%2, £)=\侬(尤，f)d%. (1.1.2)
Функции распределения вероятностей вводятся для вещественных случайных функций 居 т. е. с вероятностью, равной единице, —ooV%V8. Поэтому согласно (2) функция 侬(％, /) должна удовлетворять условию нормировки
，w (х, /) dx = 1. (1.1.2а)
— ОО
В радиофизике и оптике очень часто рассматриваются и комплексные случайные процессы вида
(1.1.3)(1.1.3)z «) = %(/)+ "(/)；
(1.1.3)
(1.1.3)
вероятностные свойства z определяются совместным распределением вещественной и мнимой компонент w (х, 払 /).
Реализации случайного процесса; статистический ансамбль. Возвращаясь к рассмотренному выше примеру, предположим, что одновременно и при идентичных условиях наблюдается движение большого числа N брауновских частиц. В результате мы будем
Рис. 1.1. Осциллограммы шума, спектр которого лежит в полосе частот от 100 Гц до 20 кГц:Рис. 1.1. Осциллограммы шума, спектр которого лежит в полосе частот от 100 Гц до 20 кГц:
Рис. 1.1. Осциллограммы шума, спектр которого лежит в полосе частот от 100 Гц до 20 кГц:
Рис. 1.1. Осциллограммы шума, спектр которого лежит в полосе частот от 100 Гц до 20 кГц:
а). 6) одна реализация; в) наложение трех реализаций; а) наложение около 100 реализаций; время развертки 0,5 мс.
иметь N различных кривых х(т)(/)(加=1, 2, ..., ^), которые называются реализациями случайного процесса х (/). Совокупность всех возможных реализаций называют статистическим ансамблем или набором реализаций (см. рис. 1.1, где отдельные реализации и набор многих реализаций приведены для радиофизического случайного процесса — электрического шума на сопротивлении).
Располагая достаточно обширной совокупностью реализаций, можно оценить вероятность (2) как
(1.1.4)(1.1.4)尸1 =尸(尤1 V% V/ + Ax, /) ^ ^l/^,
(1.1.4)
(1.1.4)
где ^1 — число реализаций, значения которых в момент / оказались лежащими в интервале 尤iV%W%i + Ax・ Статистическое описание возможно лишь при условии, что отношение N.N устойчиво, т. е. при N-> 8 оно стремится к определенному пределу, равному 尸i・
При достаточно малом Ах соотношение (4) позволяет произвести переход к плотности распределения вероятностей. Учитывая (2), можно написать
/)=』ТоЕ%^.(1丄5)
Функцию w (修 /) можно определить из массового опыта, пользуясь формулами (4), (5) ). Во многих случаях в этом довольно громоздком методе нет нужды, так как функцию w (х, /) удается найти теоретическим путем на основании модельных представлений о случайном процессе.
Функцию w (х, /) называют также одномерным распределением вероя тностей.
Статистическое усреднение. Используя распределения вероятностей, можно вычислить различные статистические средние, т. е. средние по ансамблю реализаций. Например, среднее значение случайного процесса х (/), равное
£ (/)
<х>= lim ——，(1.1.6)
находится как
〈尤〉=\ х w (х, /) dx.(1.1.7)
Действительно, группируя реализации х(т) (/) в (6) по интервалам 尤几 V % V 尤几 + Ах, получим*
/V
где Nn — число реализаций в 孔-м интервале. Умножив и разделив на Ах и учитывая (5), найдем.
〈x〉=lim Уlim У xnw (хл, /) Дх,
и в пределе при Ах->0 получим для〈» выражение (7). Кроме угловых скобок, статистическое усреднение далее обозначается также чертой сверху:
(X)м X.
В зависимости от удобства записи формул в этой книге используются оба символа статистического усреднения.
Среднее 无 имеет смысл регулярной, т. е. вполне предсказуемой, характеристики случайного процесса, который часто бывает удобно записывать в виде суммы регулярной составляющей 元(/) и флуктуационной компоненты (или просто флуктуации) х (/):
x(t) = x(t) + x(t).(1.1.8)
Из (8) непосредственно следует, что среднее значение флуктуации равно нулю:〈北(/)〉= 0.
Согласно (8) различные реализации случайного процесса различаются лишь флуктуациями, регулярные же компоненты для всех реализаций совпадают:
Xg (/)=£(/)+ 曲”)(/)•(1.1.9)
Эту запись можно еще несколько уточнить, выделив постоянную и переменную составляющие флуктуации:
尤g(Е)=瓦皿+自g(力(1.1.10)
Здесь ^о(т)— постоянный параметр, случайным образом меняющийся от реализации к реализации и равный в среднем нулю.
В соответствии с (9) и (10) вместо (8) можно написать
x(t) = x(t) + lQ + l(t).(1.1.11)
Среднее значение какой-либо функции 尸(х) случайного процесса определяется, аналогично (7), как
〈尸(％)〉= f w (х, /)F (x) dx.(1.1.i2)
Статистические средние случайного процесса в общем случае зависят от времени 2 В дальнейшем эта зависимость выделяется в формулах лишь в тех случаях, когда она имеет существенное значение для рассматриваемой задачи.
Пользуясь (12), можно записать выражения для различных средних: моментов
加几= "〃〉=\ ^ (^) dx (孔=1,2,3,...),(1.1.13)
центральных моментов'
n〃=〈(尤一元『〉=〈"〉，(1.1.14)
характеристической функции
8(〃) =〈з3〉.(1.1.15)
Последнюю можно также интерпретировать как фурье-образ распределения вероятностей:
0(и)=『el>xw (х) dx.(1.1.16)
Соответственно, зная характеристическую функцию, можно найти распределение вероятностей, выполнив обратное преобразование Фурье:
w(x) = -^ § 0 (ы) e-iux du.(1.1.17)
В отличие от распределения вероятностей w (х)* характеристическая функция, вообще говоря, комплексна. Она также ограничена по модулю:
|8(〃)|W , w (х) I еих I dx = J w(x)dx=l.
Среднее значение (12) произвольной функции 尸(％) можно выразить через 8 (〃)и фурье-образ функции 尸⑴，а именно:
〈尸(%)〉=，9 (и)^ (и) du,(1.1.18)
屮(〃)=差 j F(x)e^iuxdx.(1.1.19)
Как видно из определения (12) оператора статистического усреднения, этот оператор — линейный, коммутирующий с произвольным линейным оператором 丄，не зависящим от х, т. е.
В частности, среднее значение интеграла равно интегралу от среднего значения, а среднее производной — производной от среднего.
Разложение в ряд по моментам. Характеристическая функция 8 (〃)， распределение вероятностей ⑪(尤)и статистическое среднее общего вида (12) могут быть представлены в виде рядов, коэффициенты которых определяются моментами (13).
Разлагая экспоненту в ряд пр х. из (15) непосредственно находим
/)=£ 警加(1.1.20)
Отсюда видно, что моменты могут быть найдены дифференцированием характе].истической функции:
/""«幻к厂(1.1.21)
Подставив разложение (20) в выражение (17) для функции распределения вероятностей, получим
Е * j е-гих (iu)n du.
НоП=° У
壺 \ i『必)5 = (一1)”底)"6(*(1.1.22)
где 6 (х) — дельта-функция. Соотношение (22) можно доказать, интегрируя по частям выражение для 6-функции
6(х) = -^ ^ fTia-xdu.
Таким образом, представление w (х) в виде ряда по моментам будет иметь вид
侬(*)= I(『一俑(^) 6 (尤).(LL23)
"=0
Подставляя (23) в (12) и учитывая, что
j 尸⑨(負—х)* = (-1)“ (言"(х), (1.1.24)
находим также
(1.1.25)(1.1.25)
(1.1.25)
(1.1.25)
Последнее соотношение представляет собой просто результат усреднения ряда Тейлора для функции F (х). При F (х) =eiux (25) переходит в (20).
Нера вен ст во Чебышева. Момент второго порядка т2 = х2 определяет среднюю интенсивность случайного процесса. Особую роль при статистических оценках играет центральный момент второго порядка, или дисперсия (см. (14)),
J =阳=尤2 —(元产=j (л —х)2 w(x) dx. (i.i.26)
Этот параметр характеризует среднюю интенсивность флуктуаций. Под среднеквадратичным отклонением случайной величины (от среднего) понимают корень квадратный из дисперсии, т. е. вели
чину и.
Нетрудно получить неравенство, связывающее величину а с вероятностью того, что флуктуация 尤 будет больше, чем по (п — некоторое положительное число). Подынтегральное выражение в (26) неотрицательно, и можно написать
(
X—МОх-\- по со \
,+\+, (X — X)2 W (х) dx
—СО X — ПО %+ 几о/
(
X —几。со \
\ +\ 1(X — X)2 W (х) dx.
—СО %+ nQ'
В последних интегралах (х — х)2 ^ л2о2, и, следовательно,
(X — ПОсо \
025sM02 [ ,+, W (х) dx.(1.1.27)
\ —со х 十 /га/
Но согласно (2)
(
X— П0со \
\ + \ \ w (х) dx = Р (\ х X \ ^ no). (LL28)
—со г -|- па/
Подставив (28) в (27), получим искомое неравенство в виде
尸(I х —元 I А 〃о)=尸(I 尤I /ш) W ^(1.1.29
или
尸《х —元！ ^ £)V *•(1.1.30)
Более точная оценка для вероятности отклонения от среднего может быть получена, если известен центральный момент более высокого порядка. Выкладки, аналогичные приведенным выше, приводят к следующему результату:
Р(\х-Х\^п /5)V~^r・(L1.31)
При т= 1 (31) совпадает с (30).
Кумулянты. Используя разложение логарифма
1n (!+%)= e (-1尸?
и полагая 1 +% = 6 (и), получим
0(ы) = ехр 1
Подставив сюда из (20)
1=£陪恤〃 =1
и собирая в показателе экспоненты члены одного порядка по и, получим для характеристической функции следующее выражение:
0(«) = ехр J ^kn,(1-1.32)
% I
или
1m(")=e粤观.(1.1.33)
Коэффициенты kn называются кумулянтами. Между моментами и кумулянтами имеется однозначная связь, причем kn выражается через моменты до n-го порядка включительно [2—4]. Например, к\ = mк々2 =n2 = 0?, 自=n3，"4 =n4 一 3四，,I I 34)
% =阳- 1°n2n3，^6 = Ц(； - ^ 5g2g4 - 1 0g3 - 30g：2.*
Если ввести безразмерные нормированные кумулянты
% =瓦/о%(1.1.35)
то (33) примет вид
1П0(«)=2^^-
С помощью конечного числа моментов нельзя получить удобную аппроксимацию для распределения вероятностей: согласно (23) функция w (.г) определяется при этом как сумма 6-функции и ее производных. Напротив, конечное число кумулянтов определяет w (х) без каких-либо подобных особенностей. Например, зная первые два момента тг и д, предполагая, что остальные моменты равны нулю, и используя (23), мы получим для распределения вероятностей выражение
侬(％) = 6 (х) — tn^ (х) + ^ 加26" (х).
Если же предположить, что отличны от нуля только два первых кумулянта,瓦=加1 и 局=聡 т0 согласно (32) характеристическая функция будет
0 (〃)=8хр (%色—}〃202). (1.1.36) Подставив (36) в (17), получим
Распределение (37) имеет вид плавной колоколообразной кривой с максимумом в точке % = m「Это распределение называется гауссовским или нормальным.
Интересно, что случаем (36) исчерпываются все возможности представления 0 (и) с помощью конечного числа кумулянтов: согласно теореме, доказанной Марцинкевичем [9], преобразуя по Фурье функцию
8(吁 ехр 2 啓吼,(1.1.38)
мы можем получить неотрицательное распределение 侬(х)^0 лишь при ^ = 1, 2 или 2 = 8 (подробнее см. [6], с. 90).
Старшие кумулянты х„ (и = 3, 4, ...) дают количественную оценку отклонения произвольной функции распределения от симметричной гауссовской кривой (37); величину
次=& =也3 аз стз
называют коэффициентом асимметрии, а
_偽_u4一3度_因 Q
—коэффициентом эксцесса. При 乂4>° распределение w (x) в окрестности x = x является более острым и узким, а при z』V0, наоборот, более плоским, чем гауссовское. Интересно ([6], с. 41), что величины х3 и х4 не вполне независимы, так как должно выполняться неравенство 乂《一х； + 2^0 и, в частности, х4 — 2. Аналогичные соотношения могут быть получены и для других кумулянтов.
Многомерные статистические характеристики
Многомерные распределения вероятностей. Для описания совокупности нескольких случайных величин х, у, г (в частности, для выяснения связи между этими величинами) кроме одномерных распределений
w (х),⑪(у),⑪⑵，…(1.2.1)
нужно знать также двумерные распределения вероятностей
W(x, у), з(х, z),з®, г), ....(1.2.2)
трехмерные
и т. д. Многомерные распределения удовлетворяют условиям нормировки, аналогичным (1 1.2а), например：
,,w (х, y)dxdy=l,,,,侬(爲 У，г) dx dy dz = L (1.2.4)
Кроме того, должны выполняться условия соответствия типа
j j w (%, “，г) dy dz = j w (x, y)dy = w (x), , w (x, z)dx = w (г), —oo— 00— co
(1.2.5)
т. e., проинтегрировав многомерное распределение по одной или нескольким случайным переменным, мы должны получить распределение вероятностей для остальных случайных переменных.
Если х, у, г являются случайными процессами:
X = X (/),У = У (t),2 = 2 (%),
то время / войдет, вообще говоря, в распределения (1) — (3) как параметр. Если значения случайных переменных относятся к разным моментам времени:
х = х (/j), У — У (^2), • • • >(1.2.6)
то в многомерные распределения может войти зависимость от всех этих моментов, например：
侬(К, у)=®(招夕；4，为)、(1.2.7)
Очень часто нас интересует связь между значениями одного и того же процесса в разные моменты времени:
尤—尤("1)—尤1, У == % (‘2)尤2, N ^=尤(’3)—尤3・
Статистическая связь этих величин описывается многомерными распределениями вида
侬(修，尤2；九 为)， 侬(打,尤2,尤3；左，" 友),(1.2.8)
причем
lim w (хn尤2；儿 为)=侬(/，左)6(无2一修).
Предположим, что между величинами х и у имеется функциональная связь：
“ = F(x),х = <р ((/),
и распределение вероятностей w-^ (х) известно; найдем распределение 叫(//)' Если в интеграле
перейти к новой переменной интегрирования y = F (х), то мы получим
Р = j (х = <р ((/)) I -^^ I dy (у2 > У1).(1.2.10)
Отсюда следует, что
ш2 (у) = Ш1(X = ф ((/)) I~^-^(1.2.11)
Эта формула справедлива, если зависимость х от у является однозначной. Если 屮(у) многозначна и имеет несколько ветвей 屮也(у), то
wi(y) = ^iw1 (х = ф„ (у))\^~\-(1.2.12)
Особым является случай, когда кривая ^ =尸(尤) содержит отрезки, параллельные оси х:
У = У к、 。々 V 尤 V bh 伍=1,2,...).
Вероятность для ^ принять значение ^々 в этом случае конечна и равна вероятности пребывания 尤 в интервале (。々，匕々)，т. е.
Р® = %)= \ 侬 1 (х) dx.
ak
Плотность вероятности выразится через 6-функции； к общему выражению (12) в этом случае следует добавить сумму вида
bk
±6(9 — 勿)，3](x)dx.(1-2.13)
Полученные соотношения можно обобщить на случай двух и более случайных переменных. Например, если
勿=居(尤1,无2),必=尸2(尤1，尤2),
% 1 = Ф1(У1,%)，%2 =中2 ®1，%)，
то вместо (11) будем иметь
%)=31(石=6,也=学2)1^^I， (1.2.14)
I。(协，2)I
где。(屮1,屮2)/。()71， №)— якобиан преобразования от старых случайных переменных к новым.
Многомерные моменты, кумулянты, характеристические функции. Рассмотрим совокупность нескольких случайных величин
x小(1.2.15)
которая полностью описывается многомерным распределением вероятностей
^(хъ %).(1.2.16)
Как и в одномерном случае, можно определить характеристическую функцию совокупности：
0(«1;.... о=〈/(5+…+"“)〉=
=,.8. ,j("产f。， + ""*")3的,...，X") dxi …dx" (1.2.17)
Распределение вероятностей связано с 9 обратным многомерным преобразованием Фурье:
5 (^1» • • •» 尤〃)=(2л戸"j '' * \ 8 (〃1, • • •, 〃爾 X
х '(“产 1 + …+ иЛ)d%.・・ dun. (1.2.18)
Из (17) вытекает разложение характеристической функции по многомерным моментам
陶=(尤"…中〉，(1.2.19)
а именно：
8 (Uj, . . . , Un) = 1 |j ¥ Up〈尤р) + 21 ] ^^ 羯％〈尤/д〉+
Р = 1。，0=1
Л8
+ ^222 KpUqKr〔XpXqK“...= £ ^<S₽), (1.2.20)
q, r=Ip=0
где S = 〃6i + • • • + unxn.
Выражение (1.1.32) следующим образом обобщается на многомерный случай:
° (〃1,ил) = exp Ijj- ] "рКр + 4г У У UpUgKpq +...?. (1.2.21)
Iр, g=i丿
Здесь Кр — многомерные кумулянты:
Кр=Хр, /С12 =В12,^123=^123,
《1234 = ^1234 — ^12^34 — ^13^24 — ^14^23» И
Bp...s==〈(%p — Xp)... (х^ —无$)〉(1.2.23)
**■ Многомерные центральные моменты.
При р = ^ »=... = s функции ВР .. s и К” …§ совпадают с введенными ранее одномерными центральными моментами и кумулянтами
2 С. А, Ахманов и др.
случайной величины хр： н 卩〃 =〈(*р — "р)“〉，=焼
л разп раз
(СМ. (1.1.14) И (1.1.34)).
Условные распределения вероятностей; статистическая независимость. Рассмотрим две случайные величины 尤 и у. Будем говорить о событии Л, если а^х^а-\- Дх, и о событии В, если Ь^у^Ъ-\- \у. Пусть при ^ испытаниях событие Л произошло ^д раз, событие В — NB раз, а в Nав случаях из ^ имели место сразу оба события Л и В. Тогда при ^, ^л, ^в, ^лв->oo можно написать выражения для вероятностей:
P(A) = NaIN, P(B) = NbIN, Р(Л, B) = Nab/N;
последнее выражение определяет вероятность совместной реализации событий Л и В.
Отношение Nab/^a также можно трактовать как вероятность, а именно как условную вероятность осуществления события В при условии, что событие Л обязательно имеет место:
Nab/Na = P(B\A).
Аналогичную условную вероятность можно написать и для А;
Nab/Nb = P(A\B).
Поскольку
NАв _ NАВ "貝 _ NАВ Nв
то между условными и обычными (или безусловными) вероятностями имеет место следующее соотношение:
■尸(4 В) = Р(А\В)Р(В) = Р(В\А)Р (Л).(1.2.23а)
Если перейти к плотностям распределения вероятностей, то получим
w (х, у) ^w (х \ у) w (у) = w (у \ х) w (х).(1.2.24)
Таким образом, совместное распределение двух случайных величин (т. е. двумерное распределение) может быть найдено, если известно одномерное распределение для одной из этих величин и соответствующее условное распределение.
Следует иметь в виду, что, например, в условном распределении w(x\y) величина у играет роль параметра и нормировка для w(x\y) имеет обычный вид:
Фиксируя то или иное значение у, мы получим, вообще говоря, различные распределения вероятностей для х:
侬(无I勿)*侬(%丨%)*侬 W,
что и отражает статистическую связь, существующую между 尤 и у. Если значение одной из случайных величин никак не влияет на распределение вероятностей для другой, то эти величины называют статистически независимыми. В этом случае
w(x\y) = w (х), w(y\x) = w (у).(1.2.25)
Подставив (25) в (24), получим
侬(％, y) = w (х) w (у).(1.2.26)
Вообще, если имеется л независимых случайных величин
尤 1,尤2,专,(1.2.27)
то многомерное распределение равно произведению одномерных: йУ(хп xn) = w(x-i) ...w(xn).(1.2.28)
Подставив (28) в (17), получим, что многомерная характеристическая функция совокупности (27) независимых случайных величин равна произведению одномерных характеристических функций:
8(%,拠)=8 (〃i)・・・ 8 (〃J(1229)
Распределение суммы независимых случайных величин; центральная предельная теорема. Применим полученные результаты к анализу статистических свойств суммы
У =尤1 + 尤2+ ••• + %/!(1,2.30)
независимых случайных величин с различными распределениями вероятностей wa (尤《) и характеристическими функциями 0а (〃《) (а= 1, 2 …，п). Последние можно записать через кумулянты (см. (1.L32)):
8
0а(«а)=ехр 2 "^ 初 ％(1-2.31)
Характеристическую функцию для у получим, полагая в (17) и1 = и2 =. ^. = ип = и. Учитывая также (29) и (31), имеем
6 (ы) = (exp {iu (хх 4-... 4- %„)}> = exp £ ^^%， (1232) где
* = £ 々а,т・(1.2.33)
(Si +备)4 =冒+舄+ 6皆羽/昼+翳Пронормируем кумулянты на дисперсию (см. (1,1.35)):^a.m = % %t,m；(31) теперь можно переписать как%(w)=exp £ "У"(Si +备)4 =冒+舄+ 6皆羽/昼+翳Пронормируем кумулянты на дисперсию (см. (1,1.35)):^a.m = % %t,m；(31) теперь можно переписать как%(w)=exp £ "У"(1.2.34)(1.2.34)Формула (33)выражаег свойство аддитивности кумулянтов: кумулянт суммы (независимых случайных величин) равен сумме кумулянтов (одинакового порядка). Заметим, что моменты суммы независимых случайных величин свойством аддитивности отнюдь не обладают (исключение составляют моменты первого и центральные моменты второго и третьего порядка, совпадающие по величине с кумулянтами, — см. (1.1.34)). Действительно, например, для независимых ^ и &
(Si +备)4 =冒+舄+ 6皆羽/昼+翳Пронормируем кумулянты на дисперсию (см. (1,1.35)):^a.m = % %t,m；
(31) теперь можно переписать как
%(w)=exp £ "У"
(Si +备)4 =冒+舄+ 6皆羽/昼+翳Пронормируем кумулянты на дисперсию (см. (1,1.35)):^a.m = % %t,m；
(31) теперь можно переписать как
%(w)=exp £ "У"
(1.2.34)
(1.2.34)
(1.2.35)
Такие же коэффициенты можно ввести и для кумулянтов суммы: ^ = ^^炉=£ 泣.(1.2.36)
2=1
В результате характеристическая функция (32) примет вид
е(«) = ехр 2 ~f-^m.(1.2.37)
Из (33), (34) и (36) следует, что
…号…S・(1-2.38)
С ростом n числитель в (38) растет 〜孔,а знаменатель 〜 孔切笈, т. е.
*m 〜дт/2 —T(孔 > 1 %
Таким образом, при увеличении числа слагаемых в сумме (30) относительная роль кумулянтов старших порядков (т^З) падает. В предельном случае и->оо остаются лишь кумулянты первого и второго порядков, а выражение (32) принимает вид
6 (〃)= <ехр (ш (/+・•• + 品))〉=
= ехр [iukx —； 〃味2)=ехр [tug —；必炉)， (1.2.39)
так как (см. (33))
拓=£元а н д,亀=£呜=У® —员=и， аа
Характеристической функции (39) соответствует гауссовское распределение вероятностей (см. (1.1.37)).
Мы приходим, таким образом, к выводу, что сумма большого числа статистически независимых слагаемых, каждое из которых имеет произвольное распределение вероятностей, распределена по нормальному, или гауссовскому, закону (1.1.37). Это утверждение носит название центральной предельной теоремы (ЦПТ). ЦПТ имеет фундаментальное значение для физики; в силу ЦПТ подавляющее большинство реальных случайных процессов оказывается гауссовским.
Многомерное нормальное распределение. Разделим сумму (30) на две части:
У = % + %,
а=1а= I
Случайные величины % и у?, вообще говоря, статистически зависимы. Каждая из них является суммой независимых случайных величин и, следовательно, в пределе /г+ 8 является нормальной (т. е. имеет гауссовское распределение вероятностей), как и У = У\+У^ Отсюда видно, что сумма не только двух, но н произвольного числа нормальных случайных величин (зависимых или независимых, безразлично)
5==С]У1 +. <. 4~ ^тУт(1-2.40)
(с/ — неслучайные коэффициенты) также нормальна, и согласно (39)
<eI-s> = exp {iS-(S2-S2)/2}.(1.2.41)
Полагая в (40) R = 〃j и используя (41), находим многомерную характеристическую функцию для совокупности нормальных случайных величин 〃打у而
8(〃i〃m) =〈exp {I (и^ + ^. + и^Угп)}^
= ехр I ^ ирдр(1242)
где
Врч = {(Ур-Ур) (yq-y4))(1.2 43)
—двумерный центральный момент, или функция корреляции флуктуаций гауссовских случайных величин ур и yq.
Подставив (42) в (18) и выполнив интегрирование, найдем многомерное гауссовское распределение:
№ G/i» ■ • • > Ут) н/^摘小/彳万."2 exp — 24p? ®p — Ур) {Уд —，g) , (1244)
еде £>—детерминант корреляционной матрицы %д, Лр9 —элементы матрицы, обратной корреляционной. В частном случае /п= 1 выражение (44) переходит в (1.1.37).
Из сравнения (42) и (21) следует, что для совокупности гауссовских случайных величин многомерные кумулянты выше второго порядка равны нулю (как и одномерные) Согласно (22) отсюда вытекает простое правило вычисления многомерных центральных моментов: при гауссовском распределении (44) все моменты нечетного порядка равны нулю, а моменты четного порядка — сумме всех возможных комбинаций из моментов второго порядка. Например,
81234 — ^12^34 + В13В 24 + В 1《В 23, ( 1 .2.4 5)
^1234 56 =当2 (В34В&6 + 835846 十 ^36^64)+ % (^24^56 + 当5仇6 + ® 26^51) + + 殳4 (^32^56 + ^35^26 + ^36^52)+ ^1Б (/《々б + ^32^46 + ^36^52)+ + ^1в (83485 2 + 832854 +^35^42)'(1.2.46)
Число слагаемых в выражении для центрального момента 2п-го порядка равно (2м — 1)11 = 1 *3*5(2м — 1).
Стационарные и нестационарные случайные процессы. Пользуясь многомерными распределениями, можно определить и исчерпывающий способ задания случайного процесса х (/). Случайный процесс задан, если для любого числа п произвольно выбранных моментов времени известна /г-мерная функция распределения
(1.2.47)(1.2.47)С помощью указаннойС помощью указаннойфункции можно определить и вероят-функции можно определить и вероят-Рис. 1.2. Предполагаемая форма реализаций и оценка ее вероятностей с помощью п-мерного распределения случайного процесса.Рис. 1.2. Предполагаемая форма реализаций и оценка ее вероятностей с помощью п-мерного распределения случайного процесса.Вероятность последовательного попадания в трн заданных интервала определяется трехмерным распределением @g，*2, 4).Обобщая (5)Вероятность последовательного попадания в трн заданных интервала определяется трехмерным распределением @g，*2, 4).Обобщая (5),можно записать, очевидно,,можно записать, очевидно,ность того, что реализация процесса достаточно близка к заданной траектории:dP = w(xlt..dxn. (1.2.48) Формулу (48) можно рассматривать как «статистический аналог» записи (1.1.1) регулярной функции времени. Для случайного процесса (случайной функции) реализации испытывают флуктуационный разброс, однако, зная w (хп ...» xn； /lt ,乙)，можно рассчитать вероятность осуществления данной реализации (рис. 1.2).ность того, что реализация процесса достаточно близка к заданной траектории:dP = w(xlt..dxn. (1.2.48) Формулу (48) можно рассматривать как «статистический аналог» записи (1.1.1) регулярной функции времени. Для случайного процесса (случайной функции) реализации испытывают флуктуационный разброс, однако, зная w (хп ...» xn； /lt ,乙)，можно рассчитать вероятность осуществления данной реализации (рис. 1.2).^ (尤1，-^2» • • • » 尤几， 九 ^2» • • • » //!)•
(1.2.47)
(1.2.47)
С помощью указанной
С помощью указанной
функции можно определить и вероят-
функции можно определить и вероят-
Рис. 1.2. Предполагаемая форма реализаций и оценка ее вероятностей с помощью п-мерного распределения случайного процесса.
Рис. 1.2. Предполагаемая форма реализаций и оценка ее вероятностей с помощью п-мерного распределения случайного процесса.
Вероятность последовательного попадания в трн заданных интервала определяется трехмерным распределением @g，*2, 4).
Обобщая (5)
Вероятность последовательного попадания в трн заданных интервала определяется трехмерным распределением @g，*2, 4).
Обобщая (5)
,можно записать, очевидно,
,можно записать, очевидно,
ность того, что реализация процесса достаточно близка к заданной траектории:
dP = w(xlt
..dxn. (1.2.48) Формулу (48) можно рассматривать как «статистический аналог» записи (1.1.1) регулярной функции времени. Для случайного процесса (случайной функции) реализации испытывают флуктуационный разброс, однако, зная w (хп ...» xn； /lt ,乙)，можно рассчитать вероятность осуществления данной реализации (рис. 1.2).
ность того, что реализация процесса достаточно близка к заданной траектории:
dP = w(xlt
..dxn. (1.2.48) Формулу (48) можно рассматривать как «статистический аналог» записи (1.1.1) регулярной функции времени. Для случайного процесса (случайной функции) реализации испытывают флуктуационный разброс, однако, зная w (хп ...» xn； /lt ,乙)，можно рассчитать вероятность осуществления данной реализации (рис. 1.2).
切(％：!,•••,尤т，厶，♦ • ♦ , ^m)=
=、侬(犬1, ♦ ♦ •, %； G» • • •» 'Q dxmc ….dxn (tn <C 〃)(L2.49)
—младшие функции распределения могут быть определены из старших. Таким образом, старшие функции распределения содержат в себе всю ин^юрмацию о процессе, заключенную в распределениях более низкого порядка, плюс некоторая дополнительная информация. К счастью, для большинства практически важных задач ценность этой дополнительной информации быстро уменьшается с ростом и； поэтому ниже мы не будем, как правило, иметь дело с п^Ь. а в очень многих случаях вообще будем ограничиваться рассмотрением только одномерных и двумерных функций распределения. Выбор необходимого описания существенно зависит от типа случайного процесса, т. е. фактически от условий в физической системе, в которой рассматриваемый случайный процесс возникает. Далее особое значение будут иметь так называемые стационарные случайные процессы, для которых статистика определяется только разностью времен 厶一力 и не зависит от начала отсчета времени /0- Стационарным случайным процессом являются флуктуации некоторой физической величины, возникающие в системе, находящейся в равновесных условиях.
Сформулируем теперь и математическое определение стационарного процесса. Стационарным случайным процессом называют процесс, произвольная 孔-мерная функция распределения которого не изменяется при одновременном сдвиге всех точек 九…，/„ на оси времени на одну и ту же величину, иначе говоря — функция распределения не меняется со временем:
w (Xj, ■ • ■,尤几；^i, • • ■» ^п}(-^i> ■ ■ ■» %； /：1 + /,・・・, '〃 + ')* (1.2.50)
В соответствии с (50) одномерное распределение вероятностей стационарного процесса не зависит от времени вообще:
w (х, t) = w (х),(1.2.51)
а двумерное — зависит только от интервала т = & —勾：
w[x (/), %« + т)； /, « + т] =侬[招 xt, т],(1,2.51а)
где хг = х(/ + т). Процессы, для которых выполняются соотношения (51) и (51а), иногда называют стационарными в широком смысле.
В статистической радиофизике и оптике стационарные процессы занимают особенно важное место； условия их реализуемости осуществляются во многих экспериментальных ситуациях. Вместе с тем подчеркнем, чтз и нестационарные процессы, для которых (50) несправедливо, также играют важную роль： например, все переходные процессы, протекающие в присутствии флуктуаций, оказываются фактически нестационарными случайными процессами.
Радиофизический пример: обнаружение сигнала на фоне шума; статистические ошибки. В этой главе мы ограничимся лишь немногими примерами практического использования одномерных и многомерных законов распределения. Следующий ниже простой пример позволяет сформулировать некоторые важные понятия статистической чеории обнаружения сигналов на фоне шумов
Если отношение сигнал/шум невелико (интенсивность сигнала порядка или меньше интенсивности шума), то в распоряжении наблюдателя имеется фактически реализация некоторого случайного процесса х (f), представляющего собой либо а) шум, либо б) смесь сигнала S (f) и шума. Вынесение решения о наличии или отсутствии сигнала представляет собой в этом случае, очевидно, статистическую задачу (на основании измерения наблюдатель должен выбрать одну из гипотез (а) или (б)), а само решение неизбежно будет связано с ошибками. Рассмотрим одну из простейших задач обнаружения. Вероятность случая (а) обозначим через д. Число q можно интерпретировать как априорную, т. е. известную заранее, вероятность отсутствия сигнала Соответственно априорная вероятность наличия сигнала, или вероятность случая (б), равна p^ 1—q.
Задача обнаружения ставится так: сделано измерение процесса х, и получено, что 尤(fi) = %i. Требуется сказать, с какой из гипотез, (а) или (б), лучше согласуется этот результат измерения.
Распределение вероятностей для х в случае, например, гауссовской помехи имеет вид:
только шум
сигнал + шум(1.2.52)
^,e+m (") = [/下一 一 eхр — ~—С :)I (51 ='(厶)).
У о2а2]
Вывод о наличии или отсутствии сигнала в момент времени ^ можно сделать просто исходя из того, какое из распределений (52) да曰 для %】большую вероятность, т. е. при 侬山(.^) > ；сс+ш (хх) считать, что сигнала нет, а при йуш (尤 1) V йУс+ш (Xi) —сигнал обнаружен. Процедура обнаружения сводится здесь к тому, что 尤 1 сравнивается с некоторым порогом обнаружения хп, величина которого находится из уравнения
^ш (*п) ^ ^с+ш (*п)*(1.2.53)
Подставив (52) в (53), получим
хп = Sj/2.(1.2.54)
Порог (54) оказался, однако, не зависящим от р или д, и это позволяет предположить, что он выбран не лучшим образом, так как не использована вся априорная информация о сигнале.
Рассмотрим теперь более оптимальный выбор порога, который приводил бы к наименьшей вероятности ошибок (критерий идеального наблюдателя). Таких ошибок может быть две. Первая состоит в том, что 打 > *“ и мы делаем вывод 。наличии сигнала, хотя на самом деле сигнала нет (ложная тревога).
Условная вероятность такой ошибки будет
Р1 (尤1 > 尤 n I S = 0) = [ ^'ш (%) d爲
а полная вероятность согласно (23а) равна
P「q，оуш (х) dx.(L2.55)
Другая ошибка возникает, если сигнал есть, но 尤】< хи и мьг делаем вьшол об его отсутствии (пропуск сигнала). Аналогично (55) находим, что эта ошибка имеет вероятность
Pg = р I ^с+ш (*) d*.
Суммарная вероятность ошибки будет, следовательно,
P = Pi + 2 = g，йУш (尤)d*+ 〃，^с+ш (х) dx.(L2.56)
Приравнивая нулю производную。戶/。尤口，получим, что вероятность ошибки (56) будет наименьшей, если величина х^ определяется соотношением
9^ш (-^П)=Р^С+Ш (-^п)»(1.2.57)
которое совпадает с (53) лишь в частном случае " = q=l/2. Подстановка (52) в (57) дает
*吟).(1258)
Согласно (58) критерий обнаружения сигнала хх > хи можно представить в форме
尤 1& > 孩'—(J2 In ^.(1.2.59)
Разумеется, процедура вынесения решения о наличии или отсутствии сигнала по результатам одного измерения весьма груба. Точность можно повысить, переходя к серии измерений, проводимых в нескольких точках временной шкалы 左；для выбора оптимальной процедуры обнаружения в этом случае следует, очевидно, воспользоваться многомерными распределениями
9 (尤1, ■ ■ < » ^п ； f 1,・・♦ , ^л)*
Обратимся для простоты к случаю независимых измерений, когда многомерные распределения, в силу (28), можно заменить произведениями одномерных. Считая случайные величины *=%(%) статистически независимыми (физически эю условие означает, что интервал времени между последовтельными замерами намного превосходит так называемое время корреляции, см. § 3
зтой главы), вместо (57) и (59) получим, соответственно,
ggh% 饵)пph% 饵)пp^с+ш (%п)，^с+ш (%п)，]/&>^]Sf_°2 1 啖=：〃.]/&>^]Sf_°2 1 啖=：〃.(1.2.60)(1.2.60)
g
g
h% 饵)пp
h% 饵)пp
^с+ш (%п)，
^с+ш (%п)，
]/&>^]Sf_°2 1 啖=：〃.
]/&>^]Sf_°2 1 啖=：〃.
(1.2.60)
(1.2.60)
Схемная реализация условия обнаружения (60) показана на рис. 1.3 (так называемый корреляционный приемник). Порог Uo с увеличением числа замеров стремится к некоторому постоянному значению, равному средней интенсивности сигнала % £ S/, уменьшенной на величину а21п (р/д).
ЧТТ^ЧТТ^устройст&оустройст&о%%
ЧТТ^
ЧТТ^
устройст&о
устройст&о
%
%
「енератор 8f8i收наа「енератор 8f8i收нааГенераторстенала
「енератор 8f8i收наа
「енератор 8f8i收наа
Рис. 1,3. Схема корреляционного приемника.
Рассмотренная задача является одним из простейших примеров статистической процедуры обнаружения сигналов. В настоящее время статистическая теория обнаружения сигналов представляет собой хорошо разработанную дисциплину; мы отсылаем интересующегося читателя к многочисленным руководствам в этой области —см., например, [2, 4, 5]; см. также § 5 гл. 3.
Корреляционные и спектральные характеристики случайных процессов
Корреляционная функция и коэффициент корреляции. Статистическую связь между случайными величинами ур и уд характеризует корреляционная матрица (1.2.43)：
Врд = УрУ q %%•(1.3.1)
Значения Bpq полностью определяют, как мы видели, многомерное распределение вероятностей для нормальных случайных величин (1.2.44). Нормируя Вр「получим матрицу коэффициентов корреляциис
.驷=~,(1.3.2)
которая может служить мерой статистической зависимости, существующей между ур и %.
Как следует из ⑵，коэффициент корреляции ограничен по абсолютной величине:
一IVRp^V+l,(133)
причем Rp? = 0 для статистически независимых ур и yq. Согласно (3) Bpq также может иметь как положительные, так и отрицательные значения：
-<4% V Bw V(1.3.41
Если ур и % —значения одного и того же случайного процесса в разные моменты времени:
4р = % (/),% = % (' + т) =
то элементы Bpq корреляционной матрицы являются частными значениями корреляционной функции
В (/, т) = ххт — XXt>(1.3.5)
а именно:
Вpq = B" = tp, T = tp 一 ％).
Аналогично, элементы матрицы Rpq выражаются через коэффициент корреляции
R(f, т) = В (/, т)/О5>(136)
Если процесс х(/) стационарен, то в (5) и (6) остается лишь зависимость от т:
В (т) =xxx — x2 = o2R (т), R(t) =(xxt —х2)/а2,(1.3.7)
причем В (т) и R (т) — четные функции т:
В (— т) = В (т), R (— т) = R (т),
так как согласно (1) Bpq = Bqp, Максимальное значение функции корреляции соответствует т = 0:
В(т)тах = В(0) = а2.
При увеличении т статистическая зависимость между х и xt.становится все более слабой, хх^-^ xxt = х2, так что
8(8)= 0, R (оо) = 0.
Уменьшение функции В (т) с ростом т может быть монотонным или иметь осциллирующий характер (это зависит от вида частотного спектра случайного процесса, см. далее рис. 1.4). Аналогичным образом меняется и коэффициент корреляции.
Характерный интервал времени, на котором происходит заметный спад (в несколько раз) функций корреляции, называется временем корреляции тк.
Статистическую связь между значениями случайной функции в различные моменты времени характеризует и корреляционная функция
屮(f, т) =ххт = В (tt т) +元元г(1.3.8)
Однако, в дальнейшем мы обычно будем пользоваться корреляционной функцией 8(%, т). Кроме парных корреляционных функций случайного процесса 8(/, т) и 小(力 т), можно ввести в рассмотрение тройные (х (/) х (/ + ^1) ^ (^ + ^2)), четверные и т. п. корреляционные функции; они дают все более детальную информацию о случайном процессе.
В радиофизике и особенно в оптике большое значение имеют корреляционные функции высших порядков, записываемые для различных степеней р ассматр ив аемого случайного процесса 〈尤^(fjx^lf + T)〉, и, в частности, корреляционная функция интенсивности
〈"1 =〈炉工»(1.3.9)
Если случайный процесс нормальный, то корреляционные функции высших порядков всегда можно выразить через В (т). Используя (1.2.45), нетрудно убедиться, что
("» =02仪 + 2中 0, T) +炉羽 + 爲(？ +炉& +4訳Тв (力 T).(1.3.10)
Для гауссовского стационарного процесса х с нулевым средним это выражение упрощается:
〈"1=04+282(1；)=仪1 +2个(叫.(1.3.11)
Спектральное представление случайного процесса; спектральные амплитуды и спектральная плотность; связь между спектральной плотностью и корреляционной функцией. Для статистической радиофизики и оптики особое значение имеют спектральные представления случайных процессов. Речь идет об обобщении спектральных представлений, развитых в теории регулярных сигналов и полей (и их прохождения через линейные системы), на случайные сигналы и поля.
Запишем флуктуационную компоненту стационарного случайного процесса
l = x(t)-x(1.3.12)
в виде интеграла Фурье•
1(/)= i ids.(1.3.13)
*) Мы ие касаемся здесь математических вопросов существования и сходимости, связанных с записью (13). Читатель, интересующийся этим аспектом, может обратиться к руководствам [1, 2].
Спектральные амплитуды ^ будут по-разному зависезь от ① в различных реализациях случайного процесса, т. е. 1© — случайные функции (о, В соответствии с (13) для вещественных функций времени | (/) спектральные амплитуды комплексны, причем
Е-з = ?©•
Введем понятие спектральной плотности ) случайного процесса G((o), описывающей распределение средней интенсивности процесса по частотам:
〈р〉=宁 G®)d(L3」4)
Сама по себе формула (14) не определяет вид функции G((o), для однозначного ее нахождения нужны дополнительные данные (см. далее (18)).
Замечательным свойством стационарных случайных процессов является то обстоя тельство, что спектральная плотность G((o) оказывается фурье-трансформантой другой фундаментальной статистической характеристики процесса —его корреляционной функции (теорема Винера — Хинчина). Чтобы убедиться в этом, запишем выражение для корреляционной функции В (т), пользуясь (13). Имеем
В(т) =〈乐т〉= К dwd^(1^^+^^.(1.3.15)
Зависимость от / в (15) для стационарного процесса должна отсутствовать; это возможно лишь при условии, что спектральные амплитуды Es б-коррелированы, т. е.
〈e盛"' =/(①)5 (① + ⑴').(1.3.16)
Подставляя (16) в (15), нетрудно убедиться, что Л (w) = G((o) (поскольку В (0) = (I2)), а для G((o) и В (т) мы получаем пару преобразований Фурье:
В“)= i GWids,(1.3.17)
G®) =费 j В(т) e-^dx.(1.3.18)
Пользуясь (18) и учитывая четность корреляционной функции В (т), нетрудно убедиться, что G((o) также является четной функцией:
G (—(о) = G (со).(1.3.19)
Функция G((o) связана с измеряемым экспериментально энергетическим спектром G+ (①)(спектром, взятым по положительным частотам) соотношением:
八 (2G (①)，①0,
= {3Vo.(L3.19a)
Вследствие четности функций В (т) и G (①)соотношения (17) и (18) могут быть переписаны в виде
В(т)=2\ G (w)cos cord(u = G+ (w) cos(ord(o, (1.3.20) оо
G (①)=g J В (т) cos сот dr.(1.3.21)
о
Формулы вида (17) можно записать, очевидно, и для полной корреляционной функции 屮(т). Фурье-преобразование от 屮(т) будет содержать при этом как спектр флуктуационной компоненты, так и спектр среднего значения; в соответствии с (8) и (18)
6屮(①)=G (①)+国2 8 ®)
Таким образом, в полном спектре 6屮®), в отличие от спектра флуктуаций G/叫 имеется дискретная линия при ①=0; так на спектральном языке представляется среднее значение — регулярная постоянная составляющая процесса.
Соотношения (17), (18) (или (20), (21)) будут играть исключительно важную роль во всех последующих разделах' этой книги. Здесь же мы ограничимся кратким обсуждением некоторых общих следствий этих соотношений и рассмотрением ряда конкретных примеров наиболее часто встречающихся случайных процессов. Если ширину спектра случайного процесса G((o) обозначить через Асо, то в силу общих свойств преобразования Фурье
A(o = const/rK(1.3.22)
(величина постоянной в (22) зависит от конкретного определения Аз и q, а также от формы спектра) Таким образом, время корреляции 丁勺 характеризующее временной интервал, на котором
«распадается» статистическая связь ) между значениями случайного процесса, характеризует «скорость》 изменения случайной функции и распределение энергии процесса по спектру (ср. со спектральной теорией регулярных процессов, где соотношение типа (22) связывает характерную длительность процесса и ширину амплитудного спектра). Чтобы уточнить (22), приведем некоторые определения для величин А① и тк.
Часто пользуются понятием так называемой эффективной шумовой ширины спектра, определяемой как
A3'=『G®)d3/Gmax=°2/2Gmx‘A3'=『G®)d3/Gmax=°2/2Gmx‘(1.3.23)(1.3.23)
A3'=『G®)d3/Gmax=°2/2Gmx‘
A3'=『G®)d3/Gmax=°2/2Gmx‘
(1.3.23)
(1.3.23)
которая соответствует аппроксимации спектра G (со) в области (о>О эквивалентным прямоугольником. Возможны и другие оценки ширины спектра, например:
/оо\2
I f G (w) dw !
Асо" == 8上.(1.3.24)
j G? (со) dw 4 \ G2 (о) dw
Выражения (23) и (24) удобны в том отношении, что Aw^ и △©" можно выразить через корреляционную функцию. Если спектр интенсивности случайного процесса расположен в области ннзкнх частот и Gmax =6 (0), то, введя время корреляции
тк = 4 j R(T)dT,(1.3.25)
будем иметь
Асо w = 2儿(1,3.26)
В этом нетрудно убедиться, если использовать (17) и (18). В общем случае произвольного спектра, определяя время корреляции как
получим такжеполучим также(1327)(1.3.28)(1327)(1.3.28)案=2, R2(T)dT,о
получим также
получим также
(1327)
(1.3.28)
(1327)
(1.3.28)
△o)"t； = 2ji.
Примеры спектров и корреляционных функций. Рассмотрим некоторые часто встречающиеся аппроксимации спектров и соответствующие им корреляционные функции (рис. 1.4).
Прямоугольный низкочастотный спектр (рис. 1.4, а):
G(W)= {t ^>А, а2 = 2СЛ2) «Лоренцевский» спектр (рис. 1.4, б)：G®) =黑i，of/iG。，R(T)=eiG(W)= {t ^>А, а2 = 2СЛ2) «Лоренцевский» спектр (рис. 1.4, б)：G®) =黑i，of/iG。，R(T)=ei(1.3.29)(1.3.29)(1.3.30)(1.3.30)(1.3.31)(1.3.31)
G(W)= {t ^>А, а2 = 2СЛ
2) «Лоренцевский» спектр (рис. 1.4, б)：
G®) =黑i，of/iG。，R(T)=ei
G(W)= {t ^>А, а2 = 2СЛ
2) «Лоренцевский» спектр (рис. 1.4, б)：
G®) =黑i，of/iG。，R(T)=ei
(1.3.29)
(1.3.29)
(1.3.30)
(1.3.30)
(1.3.31)
(1.3.31)
Гауссовский спектр (рис. 1.4,8):
G(s) = Goe-a/2", d=GoA/^, R(r) = e~^^2. (1.3.32)
Треугольный спектр (рис. 1.4, г):
G (co)=
G°(l-|3【/2/i), |со|<2Л,
0,
R(T)=(・
I 31 > 2瓦
sin /гг『 ~^г 丿•
a2 = 2Gqh,
(1.3.33)
(1.3.34)
5) «Полосовой» шум с прямоугольным спектром (рис.
G吁幾：:二貶兰雹IG也
1.4, d):
(1.3.35)
n 、 sin
R ⑴=- COS (00T.
6) «Полосовой» шум с гауссовским спектром (рис.
G (①)=[е~«О- ®о)*/4^ _|_ g- (Ш-Ь <Л^/4КЧ
(1.3.36)
1.4, с):
(1.3.37)
Go=G(3()), е = е-"/庐，о』*：：%,R (т) = cos COoT.
7) Гармонический сигнал.
Устремляя в (36) или (38) ширину спектра Л к нулю
(1.3.38)
(Ю),
мы приходим к модели случайного гармонического сигнала с коэффициентом корреляции
R (т) = COS G)or.
Такой функции соответствует спектр G(co) = G06(o —соо), а сам процесс описывается гармонической функцией 尤(t) = a cos (co。，+ ф)
(1.3.39)
(1.3.40)
(1.3.41)
с постоянной (и неслучайной) амплитудой а н случайно распределенной фазой ф： w (ф) = 1/2л. Следует заметить, что такой процесс является существенно негауссовским.
«Белый» шум (гладкий спектр) (рис. 1.4,宛)：
G (①)=Go(— 8 V ① V 8),(1.3.42)
В(т) = 2лОо6 (т), 。2 = 8, R(t) = 1 (т = 0), 0 (т*0).(1.3.43)
Приведенные примеры соответствуют наиболее часто встречающимся в приложениях случайным процессам. Поскольку примеры проиллюстрированы графически, здесь мы ограничимся лишь кратким комментарием.
Гауссовский спектр (рис. 1.4, в) обладает следующим свойством: его корреляционная функция тоже оказывается гауссовской кривой.
Корреляционная функция «полосового» шума, спектр которого группируется вблизи некоторой частоты ①。(рис. 1.4, 0, с), осциллирует со средней частотой случайного процесса ①&
Это свойство «полосового» шума не является следствием конкретного выбора формы спектра. Нетрудно убедиться, что и в общем случае произвольного полосового спектра (не обязательно симметричного относительно «средней» частоты ①°)
R (т)=尸(т) cos <о()т + s (т) sin(оот.(1.3.44)
Действительно, полагая
G(3)=g(«)—3o),
можно записать для коэффициента корреляции
R(t) = ^ ,g(①一① o)cos ①rd ①=^2 , g(v) cos (v+① °)工厶.(1345) о—
Из (45) непосредственно следует (44), где
г(т) = ；2 , §r(v) cos vrdv, ： (т)=工 j ^(v) sinvrdv. (1.3.46) —働一So
Из (46) (как и из (36), (38)) видно, что, если относительная полоса спектра шума мала (九/ам《1 — узкополосный процесс), функции г (т) и s (т) в (44) медленно изменяются по сравнению с cos SoT и sin ①оТ. Общая формула (44) согласуется с (36), (38) для g(v) = g(—V), s(t) = 0.
Процесс с G (со) =G0 = const (рис. 1.4, ж) принято называть «белым» шумом. Хотя это название логически противоречиво («белый» свет, как известно, не обладает гладким спектром),
§ 3. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ И СПЕКТРАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 51 а сам такой процесс физически нереализуем, поскольку для него
化2〉= § G (①)ds -> 8,(1.3.47)
мы довольно широко будем пользоваться этой весьма удобной математической моделью (разумеется, надо помнить о (47)!).
Выбирая ту или иную аппроксимацию для В (т), нужно помнить, что ее фурье-образ (т. е. спектр G (①))не должен при- нимать отрицательных значений. Поэтому нельзя, например, представить В (т) в виде прямоугольника
””В。，)т <Т0,
В”
В”
О, ；т|>т0.
N
Функции типа ехр £ а„тп, например 6~『 также непригодны для аппроксимаций В (т), за исключением гауссовской кривой В (т)=е~ах2 (см. обсуждение формулы (1.1.38)).
Для комплексного случайного процесса вида (1.1.3)
z(t)=x(t) + iy (0，(1.3.48)
в отличие от действительного процесса, можно составить две парные корреляционные функции (zzt) и〈zz^〉. Для радиофизики и оптики особое значение имеют функции
屮(f, t) =〈zz^〉，В (/, t) =〈zz» —之乏工 (1.3.49) приводящие к вещественным среднеквадратурным значениям при т — 0-
Корреляционная функция комплексного процесса в общем случае оказывается комплексной:
В (/, г) = I В (/, т)! ехр /ф (/, т).(1.3.50)
Для комплексной корреляционной функции могут быть получены соотношения типа теоремы Винера — Хинчина, определяющие комплексную спектральную плотность, действительная и мнимая части которой являются преобразованием Фурье от действительной и мнимой частей корреляционной функции.
Комплексный случайный процесс, наиболее часто используемый в радиофизике и оптике, — это комплексная амплитуда квазигар- монических колебаний или волн. Для стационарного колебания в этом случае х и у в (48) некоррелированы, комплексная корреляционная функция 〈22\〉工0, а функция 〈22^〉 выражается через спектр G〉((o) самого колебания (см. (2.3.19) — (2.3.21)).
§ 4. Статистическое усреднение и усреднение по времени
Эргодичность. Рассмотрим результат усреднения по интервалу Т некоторой функции времени / (/). Если до усреднения
f(t)= t Mds,(1.4.1)
то усредненную функцию можно записать как /十гсо
7(0 J f(e)de= ,(1.4.2)
(временное усреднение мы будем обозначать волнистой линией). Из (2) следует, что при усреднении сильнее подавляется высокочастотная часть спектра, связанная с относительно быстрыми изменениями функции Д Иначе говоря, усреднение по времени сглаживает / (/).
Предположим теперь, что по времени усредняется стационарная случайная функция х (/), которую согласно (1.1.11) можно представить в виде суммы трех компонент：
尤⑴= £ + Eo + E(f)・(1-4.3)
Усреднение будет влиять только на величину переменной компоненты E(f); ее дисперсия с ростом времени усреднения Т будет стремиться к нулю:
呼=《毛)2〉f 0・(1.4.4)
В пределе 8 получим
工==% + 忌(1.4.5)
или, если & = 0,
'工=忆(1.4.6)
Процессы,длякоторых выполняется(6),называютэргодическими.Такимобразом,эргодическийпроцесспривременном
усреднении теряет случайный характер и стремится к некоторой постоянной величине, равной его среднему статистическому значению. Это обстоятельство, разумеется, значительно упрощает измерение статистических средних: вместо громоздкого массового опыта, состоящего в усреднении по большому количеству реализаций случайного процесса, в случае его эргодичности оказывается достаточным усреднение одной (но достаточно длинной) реализации.
Можно сказать, что в случае эргодического процесса ценность отдельной реализации резко возрастает, так как путем ее усреднения п。времени можно находить всевозможные статистические
характеристики случайного процесса, не обращаясь к усреднению по ансамблю.
Закон, по которому происходит уменьшение дисперсии (4) с ростом Т, зависит от вида спектра G (со) или корреляционной функции В (т) флуктуаций Е ⑴.Полагая в (2) / ")=占(%), возведя в квадрат и статистически усреднив, получим
吟=j G ⑻(包諾纣 ds =糸 j(7-T)B(T)dT (1.4.7)
—80
Согласно (7), если спектр в нуле конечен (0VG(0)V8), то асимптотически при больших Т
КО) j (喘”嘤“.(1.4.8)
В том случае, когда при со = О спектр также обращается в нуль, уменьшение будет происходить быстрее Полагая, например, в (7) G (со) = Goco2 (со2 + ft2)-1, найдем
б=祭(1-「7)〜击•S4.9)
Наименее благоприятным для усреднения является случай, когда в области малых со спектральная плотность флуктуаций неограниченно возрастает, т. е. G (0) -> оо. Полагая, например,
(Go' so/s 产，：①！ < «о,
I。，iI >(oo,
(спектр фликкер-шума — см. [7]), получим
Усреднение по времени вообще неэффективно и 吟 не зависит от 7\ если вся мощность флуктуаций сосредоточена в точке ⑴=0, т. е. если
G(co) = C6 (со).(1.4.10)
Подстановка (10) в формулу (7) дает
о} =С = const.
Спектр вида (10) как раз соответствует наличию в выражении (3) компоненты 氐娱 0 с дисперсией (^§) = С.
Заметим, что случайный процесс может быть эргодическим, но нестационарным, например;
% «)=戈 + а св(1410а)
где а — случайная постоянная (立= 0). В нестационарности легко убедиться, найдя дисперсию этого процесса
((х—х)2) = a2 cos2Qf,
которая оказывается зависящей от времени. Тем не менее соотношение (8) для процесса (10а) выполняется, н, усредняя, мы получим в пределе
x = 土.
Это свойство эргодичности может оказаться, однако, потерянным для функции процесса (10а). Взяв, например, у = %2, получим
у =元2 + 2ха cos Cf + a2 cos^Cf,V->^2 + fl2/2, ^ = х2 + а2 cos2 QZ =# у .
Более точно соотношение (8) записывается как
lim Т^ 兀(1.4.11)
где символ 尸 означает, что имеет место сходимость х к г по вероятности. Смысл этого термина иллюстрируется на рис. 1.5.
Временное среднее, взятое за конечное время усреднения, — величина случайная и характеризуется одномерным законом распределения wr(x). Однако вид этого закона, очевидно, зависит от величины времени усреднения Т. При 71 оо вероятность сколько-нибудь заметных отклонений х от 元 стремится к нулю и г^(х)->6(х —х). Заметим, что, независимо от вида w (х), распределение ⑵(⑥ при достаточно больших Т становится гауссовским.
Точность определения средних при временном усреднении; оценка необходимого времени усреднения. В реальных условиях время
усреднения Т конечно, и представляет интерес оценить, каким должен быть интервал Т, чтобы соотношения (8) или (9) выполнялись с достаточной точностью. Полагая
(1.4.12)
находим, учитывая (4) и (7)：
gg J G(co)(^^g2>pa)= 74r J(T-T)B(r)dT. (1.4.13) —ooО
Таким образом, при усреднении процесса х(/) = ^ + 5(0 необходимое для выполнения (12) время усреднения Т зависит от %, спектра (или корреляционной функции) флуктуаций ? (/), а также от величины е допустимого отклонения х от х. Например, если спектр флуктуаций лоренцевский (см. (1.3.31)), то неравенство (13)
принимает вид
(1.4.14)(1.4.14)2о2 erTh—\+Th 2 入
(1.4.14)
(1.4.14)
& ^ /戸戸，о = л^-
Из (14) видно, что необходимым условием малости е является достаточно большая величина произведения времени Т усреднения на ширину спектра флуктуаций:
(1.4.15)(1.4.15)ТЛ>1.
(1.4.15)
(1.4.15)
Если условие (15) выполняется, то вытекающая из (14) оценка для Т будет следующей:
(1.4.16)
е2х2'/
В случае гауссовского спектра (1.3.32) из (13) находим
金焉[wT^①偈I + L叫，0417) где
ф(х) = -^ j er^dt (Ф (oo)= 1)но
—интеграл вероятности, а2 = GA ]/2л. При выполнении условия АТ》1, имеющего тот же смысл, что и (15), неравенство (17) принимает вид, в точности совпадающий с (16).
О методах измерения статистических характеристик стационарных случайных процессов. Возможность извлечения статистических характеристик стационарного случайного процесса из одной его реализации представляет большой интерес для экспериментальной радиофизики и оптики. Ниже мы обсудим кратко бази-
рующиеся на этом свойстве методы измерения моментов, корреляционных функций и законов распределения. В перечисленных задачах использование операции временного усреднения дает существенные преимущества.
Измерение средних. На рис. 1.6 показана простая схема измерения среднего значения стационарного электрического шума х(/). После усилителя У, воспроизводящего х(/) без искажений, стоит простейший интегратор в виде /?С-фильтра (Tq=RC) и прибор, измеряющий напряжение ). Показани прибора
6-"丁。尤（/一8）成.6-"丁。尤（/一8）成.
6-"丁。尤（/一8）成.
6-"丁。尤（/一8）成.
При выполнении (15)и (16)величина y^kx. Таким образом, из* мерения средних осуществляются с помощью простого вольтаетра
Рис. 1.6. Схема измерения среднего значения стационарного электрического шума, использующая операцию временного усреднения.
постоянного тока. Аналогичная схема может быть использована и для измерения %2 и т. п.: в этом случае между усилителем и интегратором ставится соответствующий детектор; если детектор безынерционен, то оценки точности измерений можно провести по формулам (12) — (16).
Измерение вероятностей. Одномерные и многомерные распределения стационарных процессов могут быть определены также по одной реализации, путем операции усреднения по времени. В этом случае вероятность некоторого состояния определяется по относительному времени пребывания процесса в заданном состоянии. Такое определение вероятности представляется вполне естественным; для стационарного процесса оно может быть строго обосновано с помощью доказанной выше эргодической теоремы
Пусть для стационарного случайного процесса нас интересует вероятность Р (xj < х < х2) события, заключающегося в том, что реализация х (/) проходит в интервале [xi, х2]. Тогда указанную вероятность можно определить по относительному времени пребывания реализации в указанном интервале с помощью соотношения
(1.4.18)(1.4.18)
(1.4.18)
(1.4.18)
где 丁厶，玄=£厶厶，а Д/( — времена пребывания (рис. 1.7). Соотношение (18) непосредственно следует из (11). Действительно, если
Рис. 1.7. Реализация стационарного случайного процесса х (/) и построенная на ее основе реализация импульсного процесса 叮(f).Рис. 1.7. Реализация стационарного случайного процесса х (/) и построенная на ее основе реализация импульсного процесса 叮(f).
Рис. 1.7. Реализация стационарного случайного процесса х (/) и построенная на ее основе реализация импульсного процесса 叮(f).
Рис. 1.7. Реализация стационарного случайного процесса х (/) и построенная на ее основе реализация импульсного процесса 叮(f).
Площадь под кривой п (f) равна времени пребывания процесса х в интервале 打<*<力.
т] (х) является некоторой функцией рассматриваемой случайной величины х, то т] также представляет собой стационарный случайный процесс. В силу эргодичности rj (/)
соt + Т
т]= £ л (х) w(x)dx= lim f n [х (/)] dt = rf. (1.4.19)
也7" -*8 /,
Рассмотрим стационарный n(O = f[x(OJ={J*Рассмотрим стационарный n(O = f[x(OJ={J*процесс " (/) специального вида: Х1<Х< х2, х вне интервала [xi, x2J.
Рассмотрим стационарный n(O = f[x(OJ={J*
Рассмотрим стационарный n(O = f[x(OJ={J*
Для такого процесса (см. рис. 1.7)
Л = ^(Х1<х< х2), п = Т® 也/北(1.4.20)
Таким образом, соотношение (18) доказано.
Для оценки точности, с которой выполняется равенство Р = 二 Т%х RT* можно использовать соотношения (12) — (17卜 Для
электрических шумов измерение относительных времен пребывания нетрудно выполнить с помощью электронного осциллографа. Необходимое время усреднения Т может быть получено либо за счет инерционности люминофора трубки (в этом случае хорошее представление о распределении вероятности дает просто распределение яркости свечения по экрану), либо за счет выбора экспозиции при фотографировании с экрана трубки.
На рис. 1.8 приведены фотографии с экрана электроннолуче- вой трубки одномерных случайных
Рис. 1.8. Фотографии одномерныхслучайных разверток на экранеэлектронного осциллографа [8]:процесс *(f) = cos(p(f)(а»((р)= 1/2л):гауссовский случайный процесс.Рис. 1.8. Фотографии одномерныхслучайных разверток на экранеэлектронного осциллографа [8]:процесс *(f) = cos(p(f)(а»((р)= 1/2л):гауссовский случайный процесс.разверток, полученных в условиях, когда исследуемый случайный процесс подается на вертикальные пластины осциллографа.
Рис. 1.8. Фотографии одномерныхслучайных разверток на экранеэлектронного осциллографа [8]:
процесс *(f) = cos(p(f)(а»((р)= 1/2л):
гауссовский случайный процесс.
Рис. 1.8. Фотографии одномерныхслучайных разверток на экранеэлектронного осциллографа [8]:
процесс *(f) = cos(p(f)(а»((р)= 1/2л):
гауссовский случайный процесс.
Фотография рис. L8, а соот
ветствует случайному процессу х (/) = cos ф (f), где ф (f) — случайная фаза. Если w (ф) = 1/2л, согласно формулам (1.2.10), (1.2.11)
-7=-1<Х<1,
(1.4.21)(1.4.21)&>(%) = { лМ 1 —炉，
(1.4.21)
(1.4.21)
(0,1 V х V — 1,
—распределение яркости на фотографии соответствует (21). На рис. 1.8, б приведена случайная развертка для гауссовского процесса.
Для экспериментального определения двумерных распределений стационарных процессов с помощью электронного осциллографа следует получить двумерную случайную развертку; кривые равной яркости на экране осциллографа соответствуют, очевидно, условию
w(xt xt> т) = const(1.4*22)
(рис. 1.9).
На рис. 1.10 приведены фотографии, полученные описанным методом для стационарного гауссовского случайного процесса. При изменении времени задержки т между напряжениями, поступающими на горизонтальные и вертикальные пластины, может быть определен, очевидно, набор двумерных распределений w (х, Хт, т). В соответствии с (1.2.43), (1.2.44)
1(№ — 2R (т) ххт + х^
T) =exрI(L4.23)
где R (т) — коэффициент корреляции (см. (1.3.2)).
Пользуясь (23), нетрудно найти формы кривых равной яркости на экране электроннолучевой трубки. Они описываютсяПользуясь (23), нетрудно найти формы кривых равной яркости на экране электроннолучевой трубки. Они описываютсягауссовского процесса описываемая зована, таким образом, для быстрыхгауссовского процесса описываемая зована, таким образом, для быстрыхРис. 1.9. Схема измерения двумерного распределения стационарного случайного процесса w (无,xt, т) с помощью электронного осциллографаРис. 1.9. Схема измерения двумерного распределения стационарного случайного процесса w (无,xt, т) с помощью электронного осциллографа
Пользуясь (23), нетрудно найти формы кривых равной яркости на экране электроннолучевой трубки. Они описываются
Пользуясь (23), нетрудно найти формы кривых равной яркости на экране электроннолучевой трубки. Они описываются
гауссовского процесса описываемая зована, таким образом, для быстрых
гауссовского процесса описываемая зована, таким образом, для быстрых
Рис. 1.9. Схема измерения двумерного распределения стационарного случайного процесса w (无,xt, т) с помощью электронного осциллографа
Рис. 1.9. Схема измерения двумерного распределения стационарного случайного процесса w (无,xt, т) с помощью электронного осциллографа
уравнением
х2 — 2R (т) %/ + х| = const. (1.4.24)
При т < тк 7? (т) № 1 и мы имеем уравнение прямой:
(x — xt)2 = const.
Напротив, при т》Тк /? (т) = О и (24) сводится к уравнению окружности:
X24-Xx = const.
Для промежуточных значений т (24) является уравнением эллипса. Все эти случаи хорошо иллюстрируются осциллограммами ) на рис. 1.10； для
(X и У — входы вертикальной и горизон-тальной разверток).
схема может быть исполь- оценок времени корреляции.
Рис. 1.10. Изображение двумерного закона распределения стационарного гаус-совского процесса, измеренного с помощью схемы, приведенной на рис. 1.9.Различные фотографии соответствуют разным т. Величина задержки увеличивается от (а)К (0)； ДЛЯ (0) Т А%.
(1.4.25)(1.4.25)Пользуясь операцией временного усреднения, можно определить и корреляционную функцию В (т) стационарного процесса х (/). Вместо статистического усреднения
(1.4.25)
(1.4.25)
В (т) = U хх^ш (х, xt, г) dx dx%
в рассматриваемом случае можно написать
B(t)= lim f % (/)%(% +1)力，(1.4.26)
丁 f 8J
и это означает, что для экспериментального определения В (т) надо располагать линией задержки, перемножителем и интегратором.
Перечисленные методы измерения и анализа стационарных случайных процессов принято называть аналоговыми методами. Эти методы нашли достаточно широкое распространение. Вместе с тем широкие возможности цифровых ЭВМ делают во многих случаях более п редпочти тель ной цифровую обработку реализаций случайных процессов ).
Выбросы случайных процессов
Рассмотрим так называемые выбросы случайного процесса 无(Г), т. е. превышение этим процессом некоторого уровня С (рнс. 1.11, а). Математически выбросы определяются выражением
斗⑴= (—С)/(—6,(151)
где / (х) —функция, описывающая единичную ступеньку:
[1，无 >0，
/ (х) = < 1/2, х = 0,(1.5.2)
[о, х < 0.
Заметим, что
^了(左)=6(左)， *1 ⑺=5(%)戈.(1.5.3)
Преобразование х->х+ может осуществляться в нелинейном устройстве типа детектора, характеристики которого показаны на рис. 1.12, а. Нелинейное преобразование х^ 1 (х—С) реализует идеальный ограничитель (рис. 1.12,6).
Как функция времени процесс / (无一С) представляет собой случайную последовательность прямоугольных импульсов единичной амплитуды (рис. 1.11, в). Они синхронны с переходами функции 无 через уровень С, т. е. имеют ту же длительность, что и импульсы неправильной формы на рнс. 1.11, б, из которых состоит процесс 无+ (/).
Напишем выражения для некоторых характеристик выбросов на интервале времени (О, Г).
Длительность выбросов. Под длительностью t-ro выброса понимается величина интервала А4 = %+]——& между последовательными пересечениями кривой
7①0
；OnZZZZZZIL
I后心
Рис. 1.11. Выбросы случайного процесса х (/) над уровнем С:
а) реализация процесса %(/), пересекающая уровень С; б) участки реализации %⑴.лежащие выше уровня С; в) прямоугольные импульсы той же длительности, что и выбросы； а) импульсы, отмечающие переход через уровень С с положительной или отрицательной производной; d) импульсы, соответствующие переходу через уровень С с положительной производной; е) импульсы, соответствующие пересечению уровия G с производной любого знака.
无(Г) уровня С с положительной и отрицательной производной. Суммарная длительность всех выбросов на интервале (О, Т), равная 8=£ А%, совпадает с временем пребывания процесса х (/) в области %>С・ Ту же суммарную длительность 6 имеют, очевидно, и импульсы / (х—С) (рнс. 1.11, в), причем она равна просто их площади, поскольку эти импульсы неотрицательны и
Число выбросов. Дифференцирование по времени функции / (х — С) даетЧисло выбросов. Дифференцирование по времени функции / (х — С) даетряд 6-импульсов, положительных при 兑 N。 и отрицательных при х < Оряд 6-импульсов, положительных при 兑 N。 и отрицательных при х < ОРис. 1.12. Нелинейные характеристики, соответствующие переходу от процесса 无 к 无+= (х — С) х X 1 (х — С) (а) и от х к/а—С) д)・Рис. 1.12. Нелинейные характеристики, соответствующие переходу от процесса 无 к 无+= (х — С) х X 1 (х — С) (а) и от х к/а—С) д)・
Число выбросов. Дифференцирование по времени функции / (х — С) дает
Число выбросов. Дифференцирование по времени функции / (х — С) дает
ряд 6-импульсов, положительных при 兑 N。 и отрицательных при х < О
ряд 6-импульсов, положительных при 兑 N。 и отрицательных при х < О
Рис. 1.12. Нелинейные характеристики, соответствующие переходу от процесса 无 к 无+= (х — С) х X 1 (х — С) (а) и от х к
/а—С) д)・
Рис. 1.12. Нелинейные характеристики, соответствующие переходу от процесса 无 к 无+= (х — С) х X 1 (х — С) (а) и от х к
/а—С) д)・
имеют единичные амплитуды. Таким образом, длительность выбросов определяется выражением
8=] Цх—С) dt.(1.5.4)
о
(рис. 1.11, г). Введя фактор / (х), отсекающий отрицательные 6-импульсы, получим функцию 1 (х — С) 1 (л), которая представляет собой последовательность положительных 6-импульсов, число которых совпадает с числом выбросов (рис. 1.11, 0). Полное число выбросов за время Т равно, таким образом,
n = S / (X —Q / (盼 df = § 6(x—Q 戈 / (夕)d九(155) и и
Энергия выбросов. При наблюдении выбросов могут использоваться приборы типа калориметров, регистрирующие энергию. Энергия Q выбро-
сов определяется интеграломгг
Q=j [Х+ (Z)J« d/ = J (х - C)s /« (х - С) dt. (1.5.6) оо
Число пересечений порога. Функция |/(х-С)| = |6(х-С)Л=6(х-С)| х[
представляет собой временную последовательность положительных 6-импульсов, каждый из которых совпадает по времени с пересечением уровня С (рис. 1.11, е) т. е. интеграл
^=j 6(х-С) х 或(1.5.7)
и
определяет полное число пересечений как с положительной, так и с отрицательной производной. Это выражение очевидным образом обобщается на случай переменного порога С (/):
7
(1.5.8)(1.5.8)м = , 6(х-С)| х-(?|Л.и
(1.5.8)
(1.5.8)
Формула (8) определяет, таким образом, число пересечений двух произвольных функций времени х (/) и С (/) за время Т.
Максимумы и минимумы. Минимумы функции х (/) соответствуют тем моментам времени, когда £ = 0 и х > 0. (Следовательно, число минимумов равно числу выбросов производной 戈 относительно нулевого уровня.
Заменяя в формуле (5) х на х и полагая С = 0, получим выражение т
nmin = ^6(ji)xl (X)dt,(1.5.9)
определяющее суммарное число минимумов функции 无 на интервале (О» Т). Аналогичное выражение можно написать и для максимумов;
т
"max — , 6 ⑴ £ / (― £) dt.
О
Общее число экстремальных точек равно
"ext =nmin + "max = S 6 (£)[£/(£) — £/(—判]d，= S 8(x)\X\dt(1.5.10)
00
в соответствии с (7).
Полученные выражения в равной степени применимы как для случайных, так и для регулярных функций. Если х (/) — случайный процесс, то эти характеристики будут случайными величинами. Из приведенных формул видно, какая статистическая информация необходима для вычисления тех или иных стати- с*Й1ческих средних, характеризующих выбросы.
Рассмотрим, например, среднее значение суммарной длительности выбросов. Согласно (4)
J 7(х-С)(х-С)〉％(1.5.11)
Чтобы найти 〈/(无一С)〉，достаточно знать одномерное распределение вероятностей и (х, /). В результате получим
〈/(尤一С)〉= \ 1 (х —С) w (х, t) dx=^ ш (х, 0 dx = P (х > С, /), (1.5.12)
где Р (无 > С, /) — вероятность пребывания 无 над уровнем С в момент времени t. Подставив (12) в (11), найдем
5=j Р (х > Cf Г) df.(1.5.13)
В случае стационарного процесса г вероятность Р от времени зависеть не будет и согласно (13)
6=ТР (心 С), или
У =尸(心 О,(1.5.14)
т. ем как уже было показано выше, для стационарного случайного процесса относительное время пребывания в некотором состоянии (无 >С) равно —в среднем —вероятности эюго состояния.
Чтобы оценить отклонение 0 от 6, можно вычислить момент второго порядка
т
(1.5.15)(1.5.15)碎=,，成1 必〈7(*1-С) / (% —С)〉О
(1.5.15)
(1.5.15)
出 А ”р(х>С).出 А ”р(х>С).Действительно,Действительно,(1.5.16)(1.5.16)и найти дисперсию 辞一5*, причем для усреднения в (15) понадобится двумерное распределение вероятностей w (xlf 尤2；匕，%)• Однако, даже не конкретизируя вида функции (xlf 无*), нетрудно показать, что дисперсия случайной величины 6/Г с ростом Т стремится к нулю, а это значит, что сама величина 6/7 при достаточно больших Т очень мало отличается от своего среднего значения,
出 А ”р(х>С).
出 А ”р(х>С).
Действительно,
Действительно,
(1.5.16)
(1.5.16)
齐=-уг ] / (无一С) dr,о
т. е. случайная величина 8/Т является средним по времени значением процесса /(无一С), который эргодичеи, если эр годичен %, т. е. согласно (1.4.6) величина 8/Т с ростом Т асимптотически приближается к своему среднему значению.
Аналогично, предполагая эргодичность х, можно утверждать, что такие величины, как мощность выбросов (т. а энергия в единицу времени)
(1.5.17)(1.5.17)(1.5.18)(1.5.18)(1.5.19)(1.5.19)Р-%Т" §(X-C^l(x-C)dt,О
(1.5.17)
(1.5.17)
(1.5.18)
(1.5.18)
(1.5.19)
(1.5.19)
средняя частота пересечения порога С
『~^ =斤)b{x-C) \x\dtо
или средняя частота появления экстремальных точек
&х1=Г^ = Т ) В ⑴ / 因о
при увеличении Г сколь угодно мало отклоняются от своих с едних статистических значений, определение которых приобретает в связи с этим особый интерес
Статистическое усреднение полученных выражений дает
р=( а—с/⑪(无)(1.5.20)
ОО
(1.5.21)(1.5.22)(1.5.21)(1.5.22)Qc==2冗 § w (x»Cf i) I i ! di»
(1.5.21)
(1.5.22)
(1.5.21)
(1.5.22)
-oo
co
◎ext = 2л， w (%0,尤)| 引 d#.
В этих средних, кроме одномерного распределения w (х), фигурируют двумерные распределения w (х, х) и ⑪(戈，х).
Средняя частота пересечений двух случайных стационарных и, вообще говоря, статистически зависимых функций х (/) и С (/), равная согласно (8)
—=亍 У \ 6 (х—С) I х — С 丨 df
со
=2л §§з(х=С, х, С, С) I x-C\dxdCdC, (1.5.23)
выражается через четырехмерное распределение ⑪(х,戈，& С). При определенных условиях эти формулы упрощаются. Например, если процесс х стационарный, то / н 运一константы и из соотношений
〈以)巨寄⑺7 〈戏〉=；4■〈承〉=°
следует, что отсутствует корреляция между 无 н 北 н между £ н £ в одни и тот же момент времени. Если х—гауссовский процесс, то отсутствие корреляции будет означать также и статистическую независимость. При этом
◎(修 £)нд ⑴ д1(m)，w(x, ^ = wy (x) w2 (^)(1.5.24)
и согласно (21) и (22) со
Йс=2л^ (Q § wr (^)|i| dx = 2nw (С) I х |»(1.5.25)
-со
Qext = 2na)i (0)|Т|.(1.5.26)
Для гауссовского процесса
w (х) = exp I 产]，(1.5.27)
У 2л a L 2a2 J
*2 I
耽 a)=G7^—exp -—-,
今 6賈(1.5.28)
Подставив эти выражения в (25) и (26), находим
% = 2 筹 ехр[—^^], Gxt = 2^.(1-5.29)
Дисперсии флуктуаций случайной функции х и ее производных можно выразить через спектр интенсивности G (ш) или корреляционную функцию В (т) процесса х:
。2 =无2= ] G (g>) dco = В (0),
O2 = F-O2 = F-个=毋个=毋j G)2G(G))do)= -(^) R ⑴ I 0 =叫02,[3%(з)ап = -(^『"⑴к。=叫产・j G)2G(G))do)= -(^) R ⑴ I 0 =叫02,[3%(з)ап = -(^『"⑴к。=叫产・(1.5.30)(1.5.30)
O2 = F-
O2 = F-
个=毋
个=毋
j G)2G(G))do)= -(^) R ⑴ I 0 =叫02,[3%(з)ап = -(^『"⑴к。=叫产・
j G)2G(G))do)= -(^) R ⑴ I 0 =叫02,[3%(з)ап = -(^『"⑴к。=叫产・
(1.5.30)
(1.5.30)
. С. А. Ахманов н др.
Используя неравенство Коши — Буняковского, нетрудно показать, что
。；0。。2,① ii^ ① I.(1532)
Из (29) и (32) следует, что среднее число экстремумов не меньше среднего числа пересечений любого уровня:
Qext^%， NextN^u(1.5.33)
Если спектр интенсивности имеет прямоугольную форму:
0(т)= /0,+(1.5.34)
то
a2=4GA a? = a2 (噺 + Л2/3), af = a2 (同 + 2%步 + ^/5)
и согласно (29)
Если порог равен среднему значению (С =无)，то в предельном случае очень узкого спектра (①。》〃)
Q“a Qex 产 2g)0.
В обратном предельном случае, когда средняя частота спектра равна нулю (й)о = 0),
QN = 2h/V3,&「2 九隐^Q 1,5%,
т. e. частота появления экстремальных точек почти в полтора раза превышает частоту пересечения уровня С =元.
Пересечение случайных кривых. Рассмотрим два примера по оценке ^ —числа точек, в которых пересекаются две случайные кривые 无(/) и С (/) за время Т.
Пусть 无 и С —гауссовские случайные стационарные функции с нулевым средним, коррелированные, вообще говоря, между собой. Их разность у=х — С будет также гауссовской функцией. Двумерное распределение вероятностей Для “и * имеет вид.
з(у, y} = w(y)w1 (у),(1.5.35)
где OJ н g определяются выражениями (27), (28), причем
(й=/2 = а 十 С2 — “с.(1 536)
Очевидно, что число пересечений 无 и С равно числу пересечений кривой у нулевого уровня, т. е. согласно (29)
Qo =： 2aj/a, N = Toi/g.(1.5.37)
Цели х и С статистически независимы, то в (27), (28)
где ①卜 и ®1с—средние частоты спектров, определенные формулой (30). Согласно (37) в этом случае
我+已2，
т. е. число пересеченил определяется как частотами g)ic и ©j^, так и интенсивностями случайных процессов, причем средняя частота пересечений
201—=2201—=2明+崛1 -fct~明+崛1 -fct~(1,5.38)(1,5.38)
201
—=2
201
—=2
明+崛
1 -fct~
明+崛
1 -fct~
(1,5.38)
(1,5.38)
(1.5.40)(1.5.40)@ (p) v (p) dp =@ (p) v (p) dp =011。215d吗严011。215d吗严dAdp\ A —p\wx (A) U)(p)=dAdp\ A —p\wx (A) U)(p)=h我+仪；.h我+仪；.
(1.5.40)
(1.5.40)
@ (p) v (p) dp =
@ (p) v (p) dp =
011。21
5d吗严
011。21
5d吗严
dAdp\ A —p\wx (A) U)(p)=
dAdp\ A —p\wx (A) U)(p)=
h我+仪；.
h我+仪；.
меняется в пределах от 2g)[% до 2g)[c в зависимости от отношения интенсив
ностей а = СД2*
Рассмотрим пересечение огибающих Л (/) и р (Г) двух независимых нор、 мальннх квазигармонических процессов *)
无 0) = 4 (Г) cos [ш^ + ф (/)], С (/) =р (/) cos [^^+^ (')】，
В этом случае
◎ (р, 0, 4 >4) = и(р)%(0)叽用耽(百),
причем распределения вероятностей для огибающих и их производных имеют вид
4「/2 ]1-力2 ]
（吟=R唸=〈百2〉），
。（*之XP 卜聂］，^а?^eхрь 轰］（L5 39）
（Oil=C2,璃2 n〈02〉）'
Усреднение выражения (8) для числа пересечений дает
Итак, за время T огибающие двух гауссовских процессов пересекутся
в среднем
N = 7N = 7011021(*+0m011021(*+0mM。з+若2M。з+若2(1.5.41)(1.5.41)
N = 7
N = 7
011021
(*+0m
011021
(*+0m
M。з+若2
M。з+若2
(1.5.41)
(1.5.41)
раз. Если предположить, что корреляционные функции процессов имеют видххт = х2 а (т) cos G)0Tf С* = С^Ь ^) cos g)ot
(это значит, что их спектральные плотности симметричны относительно 例)，то в (39)
。"=垣，。狗=尸A打01=不，吗2 =承研e, где
◎ = — 0(0), Q；c = — % (0).
В случае узкополосных
процессов величина o)j определяется средней
勿*
частотой спектра и частота Qj — шириной спектра. Например, для прямоугольного спектра (34) имеем
。⑴=
sin ЛтЛт
叫=% + 胪/3, Q:=修/3.(1.5.42)
Согласно (41) средняя частота пересечения
огибающих равна Рис. 1.13. Средняя частота
пересечения огибающих двух2л^| ct (^f^ + aQ^J
независимых гауссовских ◎ = ~~ = 2冗"工赤—
процессов как функция от-L '十'
ношения их дисперсий ct=где, как и в (38), а = С2/х2 — отношение интен-
=。2/%2 при отношении по-сивностей. В отличие от частоты (38), частота
пересечения огибавэщих (43) стремится к нулю
как при ат0, так и при ctf 8 (рис. 1.13). Из (43) нетрудно получить.
1/2
1 , (1.5.43)
что частота Q максимальна при
Систематическое изложение теории выбросов случайных процессов и ее применения можно найти в монографиях 〔3, 10].
Стохастические дифференциальные уравнения
в обыкновенных производных. Анализ случайных колебаний путем усреднения точного решения
Математический анализ задач статистической радиофизики н оптики обычно сводится к решению линейных или нелинейных дифференциальных уравнений со случайными начальными (или краевыми) условиями, случайными параметрами, коэффициентами, случайными внешними силами, — так называемых стохастических дифференциальных уравнений.
В этом и последующем параграфах па примере линейных и нелинейных уравнений в обыкновенных производных мы проил-
люстрируем основные методы решения стохастических дифференциальных уравнений. Ниже мы убедимся, что решение наиболее интересных задач требует применения специфических, так называемых стохастических, методов решения. В известном смысле эти методы оказываются более мощными, нежели методы решения регулярных уравнений; найти средние для величин, описываемых стохастическими уравнениями, удается и в том случае, когда точные решения неизвестны.
Чтобы познакомиться с трудностями, которые могут возникнуть при анализе случайной функции, описываемой дифференциальным уравнением, рассмотрим простейший случай линейной системы первого порядка, когда уравнение для х имеет вид
戈+ а(£)% = /(/)・(1.6.1)
Здесь / (0 — внешняя сила, a (t) — изменяющийся во времени параметр системы. Для этого уравнения известно точное решение: если % (/ 0)== Xq, то
х (0 = х^ (^ + 5 e-ft ^b(ev (6) de, b(f) =，a⑼佩 (1.6.2) оо
Вид решения (2) показывает, что если случайными являются начальное значение х0 или внешняя сила /(/), от которых х зависит линейно, то усреднение х не вызывает особых трудностей. Например,
x = xQe-b^ 十,⑺十ь(е)#(»〉成，о
т. е. для определения 元 достаточно знать х0 и 〈/〉， Такой статистической информации заведомо недостаточно, если случайным является коэффициент уравнения а(£). В этом случае для определения х нужно уметь вычислять средние
(ехр [Ь (0 — b (6)]〉=卜хр，а (『)d『).
Это нетрудно сделать лишь при условии, что случайный процесс а(/) (а следовательно, и процесс 力(£) —Ь(6)) можно рассматривать как гауссовский; при этом согласно (1.1.16) и (1.1.36)
<ехр у〉= exp [д + ^ 便-歹明.
Решение в аналитической форме может быть записано и для некоторых нелинейных уравнений. Так, если
x + a(t)x=^f(t) хля(1.6.3)
то подстановка x^zil^^n) приводит (3) к уравнению
р2~ 2 + а (%) z == / (/)
вида (1). Усреднение точного решения здесь, очевидно, еще более затруднительно, чем в случае (2).
Таким образом, если случайная функция удовлетворяе! дифференциальному уравнению, для которого известно точное решение, то статистические характеристики можно, в принципе, найти путем статистического усреднения точного решения с учетом конкретной статистики начальных условий, внешнего воздействия или изменения параметров системы.
Наиболее прост учет статистики начальных условий. Усреднение по ансамблю реализаций внешней силы также не вызывает принципиальных трудностей, если дифференциальное уравнение линейно, но трудности резко возрастают для нелинейных уравнений. Наряду с нелинейностью, сложным является и учет случайно изменяющихся параметров системы.
Поэтому для наиболее интересных задач теории колебаний и теории волн решающую роль приобретает разработка методов вычисления средних (в ряде случаев — и распределения вероятностей) в условиях, когда точные решения неизвестны.
Ниже дана сводка наиболее употребительных методов； все они и ллюстр и руюте я в этой главе на примере решения уравнения первого порядка. В последующих главах мы применим их для решения более сложных задач.
“ Мы начнем с наиболее простых примеров, в которых вся необходимая статистическая информация может быть получена путем усреднения точного решения.
Переходные процессы со случайными начальными условиями. Следующий ниже пример иллюстрирует методику вычисления статистических характеристик существенно нестационарного случайного колебания, описываемого уравнением, допускающим точное решение. Речь будет идти об установлении .колебаний в генераторе, в котором начальная амплитуда колебаний в контуре определяется собственным шумом. Такая постановка задачи весьма близка к реальной, особенно для генераторов СВЧ и оптического диапазона, в которых регенерация включается импульсно; в этих условиях случайной становится такая важная характеристика, как время установления автоколебаний (см. гл. 7).
Рассмотрение простейшего варианта указанной задачи в этой главе диктуется, однако, скорее методическими соображениями. Мы сталкиваемся здесь с примером существенно нестационарного радиофизического случайного процесса, для которого статистическая информация может быть получена только из ансамбля
реализаций (рис. 1.14), а средние и распределения вероятностей существенно зависят от начала отсчета времени.
Рис. 1.14. Осциллограммы набора реализаций процесса установления амплитуды автоколебаний в отражательном клистроне [19]. а) Запуск от шумов автономного клистрона (из-за шумов размыт передний фронт импульса генерации). б) Одновременно с реализациями процесса установления в автономном клистроне показаны реализации процесса установления для клистрона, возбуждаемого регулярной внешней силой (флуктуации отсутствуют). Во всех случаях в соответствии с формулой (6) нет заметных флуктуаций уста нов ившегос я значения Mgl н заднего фронта импульса генерации.Рис. 1.14. Осциллограммы набора реализаций процесса установления амплитуды автоколебаний в отражательном клистроне [19]. а) Запуск от шумов автономного клистрона (из-за шумов размыт передний фронт импульса генерации). б) Одновременно с реализациями процесса установления в автономном клистроне показаны реализации процесса установления для клистрона, возбуждаемого регулярной внешней силой (флуктуации отсутствуют). Во всех случаях в соответствии с формулой (6) нет заметных флуктуаций уста нов ившегос я значения Mgl н заднего фронта импульса генерации.
Рис. 1.14. Осциллограммы набора реализаций процесса установления амплитуды автоколебаний в отражательном клистроне [19]. а) Запуск от шумов автономного клистрона (из-за шумов размыт передний фронт импульса генерации). б) Одновременно с реализациями процесса установления в автономном клистроне показаны реализации процесса установления для клистрона, возбуждаемого регулярной внешней силой (флуктуации отсутствуют). Во всех случаях в соответствии с формулой (6) нет заметных флуктуаций уста нов ившегос я значения Mgl н заднего фронта импульса генерации.
Рис. 1.14. Осциллограммы набора реализаций процесса установления амплитуды автоколебаний в отражательном клистроне [19]. а) Запуск от шумов автономного клистрона (из-за шумов размыт передний фронт импульса генерации). б) Одновременно с реализациями процесса установления в автономном клистроне показаны реализации процесса установления для клистрона, возбуждаемого регулярной внешней силой (флуктуации отсутствуют). Во всех случаях в соответствии с формулой (6) нет заметных флуктуаций уста нов ившегос я значения Mgl н заднего фронта импульса генерации.
Нарастание амплитуды колебаний в нелинейном осцилляторе (томсоновский генератор, одномодовый лазер) описывается уравнением с кубической нелинейностью (см. гл. 7)
Л-аЛ + рЛ3 = 0.Л-аЛ + рЛ3 = 0.Его решение имеет видЕго решение имеет видл (Ол (О(1.6.4)(1.6.5)(1.6.4)(1.6.5)
Л-аЛ + рЛ3 = 0.
Л-аЛ + рЛ3 = 0.
Его решение имеет вид
Его решение имеет вид
л (О
л (О
(1.6.4)
(1.6.5)
(1.6.4)
(1.6.5)
где Aq — начальное значение амплитуды, а Лда — установившееся значение, соответствующее /->8. Величину 厶 можно найти, полагая в (4) Л = 0:
/8 = /^о = а/0‘/8 = ±/а/0・(1.6,6)
Переходя к интенсивностям, получим из (5)
/(/) = —^__(/ = ", /° =用，т = 2м),(1.6.7)
или
/(%)=「+力 а==е* Ь — ~(ех~ 1).(1.6.8)
Предположим, что начальная интенсивность /0 — случайная реличина, имеющая распределение вероятностей 切。(厶).Значения
интенсивности / при этом также случайны. Используя формулу (1.2.11), можно найти распределение вероятностей для интенсивности в произвольный момент времени:
切(/，т)=叫(匚(二b/)2, 0 V / V /max=£ = 1 巴e (1.6,9)
Рис. 1.15. Изменение со временем функции распределения (9) нормированной интенсивности х=1/1оо,Рис. 1.15. Изменение со временем функции распределения (9) нормированной интенсивности х=1/1оо,неста ци он ар н ы x одномерных распределений (9) интенсивности автоколебаний; они построены для 切о (/()) к =ехр [ — /"/о]//。).
Рис. 1.15. Изменение со временем функции распределения (9) нормированной интенсивности х=1/1оо,
Рис. 1.15. Изменение со временем функции распределения (9) нормированной интенсивности х=1/1оо,
Пользуясь полученным распределением 切(/, т) (9), можно рассчитать поведение нестационарной дисперсии о(т), а также распределение времени достижения опреде-
Параметром кривых является безразмерноевремя т (см. (7)), отсчитываемое от момента за-пуска автогенератора： Z0//co= Ю-3-чальным условиям, может быть мого интеграла Дюамеля:% (f) = , Н (^, G) ср (6) dG = §Параметром кривых является безразмерноевремя т (см. (7)), отсчитываемое от момента за-пуска автогенератора： Z0//co= Ю-3-чальным условиям, может быть мого интеграла Дюамеля:% (f) = , Н (^, G) ср (6) dG = §ленного уровня интенсивности Wj (т) (см. §§ 3, 5 гл. 7).
Параметром кривых является безразмерноевремя т (см. (7)), отсчитываемое от момента за-пуска автогенератора： Z0//co= Ю-3-
чальным условиям, может быть мого интеграла Дюамеля:
% (f) = , Н (^, G) ср (6) dG = §
Параметром кривых является безразмерноевремя т (см. (7)), отсчитываемое от момента за-пуска автогенератора： Z0//co= Ю-3-
чальным условиям, может быть мого интеграла Дюамеля:
% (f) = , Н (^, G) ср (6) dG = §
Линейная система под воздействием случайных сил; функция Грина; интеграл Дюамеля. Процессы в линейной системе, находящейся под действием силы /, описываются уравнениями вида
L(t)x = M(t)f, (1.6.10)
где L(0 и M(t) — некоторые линейные операторы (дифференциальные, интегральные, разностные или смешанного типа). Введем обозначение
Ф(0=А1(0/. (1.6.11)
Решение уравнения (10), соответствующее нулевым на- записано в виде так называе-
"俏 /一6)中(/一6)血，(1.6.12)
где функция H(f, G), называемая функцией Грина, зависит от вида оператора L и не зависит от ср.
Если начальные условия отличны от нуля, т. е. в момент начала действия силы / на систему эта система не находилась в состоянии покоя, то к выражению (12) следует добавить соответствующее решение у однородного уравнения
L(t)y = O.(1,6,13)
Это решение всегда можно представить как линейную комбинацию линейно независимых функций уп (t)(九=1, 2, ...), описывающих свободные колебания рассматриваемой системы:
£/(0 = 2 СпУп (0, Сл = const, £ (/)勿(/) = 0.(1.6.14)
Физический смысл функции Н (f, f) состоит в том, что она описывает отклик системы в момент t на 6-импульс обобщенной силы ср, который подействовал на систему в момент У. Действительно, подставив в (12)
屮 «) = 6 (£ —，)，(1.6.15)
получим
%(/)= "(/, О-(1.6.16)
Если ф в (12) является случайной функцией, то, используя представление решения в виде интеграла Дюамеля, нетрудно получить связь между средними, характеризующими процесс х, и аналогичными средними, характеризующими силу 屮：
<х(0>= f Hit, e)<<p(e)>de,(1.6.17)
〈*(幻%(为)〉=，，曲1曲2"回 61)ц(^. 62)((p(0J)ф(e2)>,(1.6.18)
(X (幻 % (为)X 伯)〉=，，,成1 de2 d% X
X〃&, %)〃(为，％) "(%, 6з)<ф(61)ф(б2)ф(68)>(1.6.19)
И т. д.
В случае гауссовости процесса ф процесс х также будет гауссовским, так как связь между % н 屮，определяемая интегралом Дюамеля, линейна (см. § 2). При этом любое многомерное распределение вероятностей для х может быть выражено через среднее значение х и корреляционную функцию 々(幻尤闯〉 (см. (1.2.44)), т. е. выражениями (17) и (18) определяется, в принципе, самое полное статистическое описание процесса %(£),
Линейные и нелинейные системы со случайно изменяющимися параметрами; двухуровневая квантовая система под действием шума. Едва ли не важней шей радиофизической системой является осциллятор; поэтому свободные колебания осциллятора со случайными начальными условиями, вынужденные колебания осциллятора, находящегося под воздействием случайной силы, относятся к числу основных «эталонных» процессов, изучаемых в статистической радиофизике. Мы неоднократно будем обращаться к примеру линейного классического осциллятора (колебательного контура) и нелинейного классического осциллятора (томсоновского генератора) и обсуждать различные аспекты поведении этих систем.
В квантовой электронике в качестве аналога классического осциллятора можно рассматривать двухуровневую систему. Поведение двухуровневой системы, находящейся под воздействием электромагнитного поля Е, описывается системой двух дифференциальных уравнений для поляризации Р и разности населенностей ^ (см. [12], с. 58):
户+号广+叫Р = +争也展me, (1.6.20)
启— 言 Ре. (1.6.21) / 1 询0
Здесь ®о—частота перехода между двумя уровнями, jx12 —матричный элемент перехода, 7\, Т2— времена продольной и поперечной релаксаций, ^ — равновесное значение разности населенностей (^ = ^0 при Е=0).
Отклик двухуровневой системы на световое поле аналогичен отклику линейного осциллятора лишь для слабых полей, когда изменением разности населенностей можно пренебречь (^ * ^u); в этом случае можно ограничиться рассмотрением уравнения (20), которое аналогично уравнению линейного колебательного контура.
В относительно сильных световых полях отклик двухуровневой системы, описываемой уравнениями (20), (21), на световое поле становится существенно нелинейным, что приводит к разнообразным эффектам, таким, как эффект насыщения, генерация гармоник, смещение резонансной частоты под действием светового поля (оптический эффект Штарка). Особенно интересно поведение двухуровневой системы в модули ров а н ном поле; здесь возникают такие явления, как оптические нутации, самоиндуцированная прозрачность, световое эхо и т. п.
Естественно, возникает вопрос об особенностях поведения двухуровневой системы в случайном поле; детальному обсуждению возникающих здесь явлений посвящен § 5 гл. 5. Здесь же мы рассмотрим одни частный пример поведения двухуровневой системы в световом поле — задачу о воздействии ко* ротких шумовых импульсов с длительностью Тнмп《Т1, Т2 на двухуровневую систему. Здесь эта проблема будет интересовать нас как пример системы уравнений со случайно меняющимися параметрами, допускающей точное решение.
Записывая световое поле н поляризацию через комплексные амплитуды и учитывая в ^ только медленно меняющуюся компоненту:
Е(/) = —М(/)е'5' + к. с., Р1.П = р，а)е1^ + к. с.. _
N (。=九«)十...， %H九0= const,
получим, подставив (22) в (21), следующие приближенные («укороченные») уравнения:
7\九+ 九一％=W^ ЗА*+ к. с.),T»i + Pi=—“二^片丄九 4(1.6.23)
Перейдя к безразмерным полю а и поляризации р:
4(f) = aa(f), pi(f)= 0p(f), а булем иметь
Т^п^п—п0=р*а (0 + к* с., Т» + р=——~ па (/)•(1.6.24)
Считая для простоты функцию а ⑴ вещественной (амплитудно-модулироваиное поле) и учитывая условие Thim《Ti， Т& малой длительности светового импульса, уравнения (24) можно переписать как
九=，у^, Р,Л—■―“ 彳肾九 (° V f V Тнмп)・ (1.6.25)
До включения поля разность населенностей равна своему равновесному значению Ло, а поляризация отсутствует, т. е. уравнения (25) должны решаться при следующих начальных условиях;
九=%), р=0 (/ = 0).
Если включается монохроматическое излучение (рис. 1.16,а), то a^Oo^const и решение (25) дает
九(/) = ЛоС08ПМ P(f) = —^■九о р^学 sin QM・ (L6.26) Изменение 九 имеет периодический характер с частотой Ан “硫/За (так называемые нутации разности населенностей, см. рис. 1.16, 6).
Рис. 1.16. Спектр монохроматического излучения (а) и обусловленные им незатухающие нутации (6).Рис. 1.16. Спектр монохроматического излучения (а) и обусловленные им незатухающие нутации (6).
Рис. 1.16. Спектр монохроматического излучения (а) и обусловленные им незатухающие нутации (6).
Рис. 1.16. Спектр монохроматического излучения (а) и обусловленные им незатухающие нутации (6).
В общем случае переменной амплитуды поля, введя в уравнениях (25)
новую переменную 6 (0 = \ а (0 df, получим
2
汽再
dp 1
丽n — 万^‘
откудаоткуда(1.6.27)(1.6.27)Рис. 1.17. Спектр немонохроматического излучения (а) и затухающие нутации (б).Рис. 1.17. Спектр немонохроматического излучения (а) и затухающие нутации (б).Затухание нутаций обусловлено шумовой компонентой поля, имеющей сплошной спектр.Затухание нутаций обусловлено шумовой компонентой поля, имеющей сплошной спектр.
откуда
откуда
(1.6.27)
(1.6.27)
Рис. 1.17. Спектр немонохроматического излучения (а) и затухающие нутации (б).
Рис. 1.17. Спектр немонохроматического излучения (а) и затухающие нутации (б).
Затухание нутаций обусловлено шумовой компонентой поля, имеющей сплошной спектр.
Затухание нутаций обусловлено шумовой компонентой поля, имеющей сплошной спектр.
8(f)
九")= %сз后后•
Нас будет интересовать случай, когда модуляция поля имеет нерегулярный, флуктуационный характер. Случайными становятся при этом функции
n (0 и 8(f). Предположим, что a (/) — гауссовский стационарный случайный процесс следующего вида:
а (О = ао + | (0»&=%,ЦТ=В (т) = а2/? (т),
т. е. спектр излучения состоит из дискретной линии и непрерывного спектра G (ш), как показано иа рис. 1.17, а.
Обозначая
_ @丨.r精‘_ @丨.r精‘
_ @丨.
r精‘
_ @丨.
r精‘
получим ИЗ (27)
(1.6.28)(1.6.28)九(/)=К号严1〈鼠吟+ к.
(1.6.28)
(1.6.28)
где учтено, что
^gi^)=e 2^gi^)=e 2«'〉«'〉
^gi^)=e 2
^gi^)=e 2
«'〉
«'〉
так как процесс ф (f), линейно связанный с & (f), также будет гауссовским. Величина (ф2) выражается через функцию корреляции В (т) флуктуаций ±(f) амплитуды поля:
(1.6.29)(1.6.29)祁=)dfi j d%8 (& —%) = 2,0 —т)8 (т) dr.
(1.6.29)
(1.6.29)
Если, например, сплошной спектр иа рис. 1.17, а имеет лоренцевскую форму；
G (ш)=G (ш)=то 8(т)=сгУ° ито 8(т)=сгУ° иа2 D/л(0 一5阡加а2 D/л(0 一5阡加砂0^^ (Qf— 1 +©—")•砂0^^ (Qf— 1 +©—")•(1.6.30)(1.6.30)
G (ш)=
G (ш)=
то 8(т)=сгУ° и
то 8(т)=сгУ° и
а2 D/л
(0 一5阡加
а2 D/л
(0 一5阡加
砂0^^ (Qf— 1 +©—")•
砂0^^ (Qf— 1 +©—")•
(1.6.30)
(1.6.30)
В этом случае фактор ехр [——^■〈中?(/)〉] в (28) убывает со временем сначала медленно:
еТ"竺呉*" (DVD,
а затем более быстро:
_—〈炉〉—门 z
е 2 =е ° =e-nG«a0}t (Qf》l).(1.6.31)
В результате формула (28) для п (0 принимает вид
й {t)=，n^TnG ®М cos Йн (0 (Qf А 1).(1.6.32)
Статистический расчет показал, таким образом, что наличие у поля шумовой компоненты эквивалентно некоторым потерям и приводит к затуханию величины п (рис. 1.17, б). Из (28) и (30) следует также, что ширина D спектра флуктуаций g (0 поля при / > D1 перестает влиять на затухание, а существенное значение имеет лишь величина спектральной плотности G (ш0) на частоте перехода. Это, естественно, наводит на мысль, что, интересуясь временами f, большими по сравнению с обратной полушириной спектра флуктуаций поля Дш,
f》2/Асо,
можно при расчете заменять реальные флуктуации поля со спектром G (ш) белым шумом, т. е. полагать
|^т = В(т) = 2лО6 (т),(1.6.33)
выбирая постоянную G равной G (соо). Действительно, подстановка (33) в (29) дает
ф2 = 2лО/,J》"〉=6—冗◎
в соответствии с (31).
§ 7. Стохастические дифференциальные уравнения.
Использование стохастических методов при неизвестном точном решении
Усреднение системы линейных уравнений со случайными 6-кор- релированными коэффициентами. Во многих задачах, особенно нелинейных или связанных с системами с переменными параметрами, вид точного решения для дифференциального уравнения, определяющего случайный процесс, бывает неизвестен.
В теории случайных процессов разработан ряд специальных методов, которые позволяют отыскивать статистические характеристики, в принципе, и в этом случае. Эти методы называют иногда стохастическими, чтобы подчеркнуть, что в них с самого начала используется случайность (стохастичность) исследуемого процесса.
Используя стохастические методы, можно, исходя из дифференциального уравнения для х и минуя его аналитическое решение, получать уравнения (тоже дифференциальные) непосредственно для статистических характеристик — моментов хл, распределения вероятностей w (х, t) и т. п.
Ргссмотрим переход к уравнению для средних, если исследуемый случайный процесс описывается линейными дифференциальными уравнениями с 6-коррелированными случайными коэффициентами.
Чтобы пояснить сущность метода, возьмем простой случай одного уравнения первого порядка
尤+ [九 + 自(f)]х =中(/),(1-7.1)
Е = 0,聽т = 206 ⑺，(1.7.2)
с гауссовским случайным 6-коррелированным коэффициентом 三(f). Уравнение (1) допускает аналитическое решение; поэтому статистические характеристики х можно, в принципе, найти путем усреднения этого решения. Мы, однако, воспользуемся (1), чтобы проиллюстрировать метод вывода уравнений непосредственно для средних.
Усреднив (1) по ансамблю g, получим
х +九无+ *х =屮(f).(1.7.2а)
Если бы удалось выразить среднее 沃 через х, мы имели бы замкнутое дифференциальное уравнение для х. Покажем, что в р ассм атр и в аем ом случае это нетрудно сделать. Интегрируя (1) методом возмущений, получим решение в виде ряда
X = %0 + 打 + %2 + •…，
члены которого пропорциональны возрастающим степеням 己：
Хо (0 =，^л0(р (/ — 9) d9,
ОО
/(/)=—，e-^l {t-^x0(t-^ Мъ (1.7.3)
打伍)=,恤自(f 一 %) Xi (t - %) d% =
О
oo
7\e~h(仇+ 哂(t - %) g 代 一 ％ — Si) Хо (/ 一 ％ — Si)曲 т d& (1.7.4) 0
и т. д.
Заметим, что члены нечетного порядка являются чисто флуктуационными, а члены четного порядка имеют как случайную,
так и регулярную компоненты:
•^2n+1 =近2九+1,Х2尼=Х2尼 + 马融 (71 = 0, 1, 2, . . .)•
В частности,
角(0 = Х1 (/), х2 (0 =京dgd%e j(& + 铀尼(/ — %)&(/ — % —汨- 0
一三(£ — %)占(£ —。2 — Вт)]%。(£ — % — 80・(1.7.5)
Используя корреляционную функцию (2), находим, что
&(/)]& ⑼曲〉= о
z + e со
=—lim，曲，d0! e~fte> <g (0 g (0 — 0!)> x0 (6 - 6i)=
gf ° о 0
f+e 8
=—2Qlim £ 曲，d^e—«4)(0— 006(/-© + %),(1.7.6)
q о
В (6) 9i^ 0, а значит, обращение 6-функции в нуль может произойти только на интервале fVBVf^-£・ Интегрируя в (6) сначала по 9Ь а затем по 9, получим
/£ + е
〈己(f) \ &(8)d8〉= — Um2Dx0 (0 j jq g-h(e-n = о/
=—lim 2Dc。(0= 0.
e—0n
Далее, используя (4), можно показать, что 〈三(f)，& (8)d8〉= 0 о
и вообще〈三⑴，元厶⑼ 曲〉=0. Это значит, что о
〈貝/)%(6)成〉=0,(1.7.7)
о
но поскольку〈三(£)，无(8)曲〉三 0 и х = Х + %, то соотношение (7) о
можно переписать как
〈W(/)，x(9)de〉=0.(1.7.8)
о
Совершенно аналогично доказывается, что
〈а(/)=о.
G(/)K(e)x(e)de〉= D%(/).(1.7.9)
О
Вернемся к усредненному уравнению (1):
x +九无+仃=屮⑴，(1.7.10)
в котором, напомним, нужно выразить ^х через х, чтобы получить замкнутое уравнение, содержащее только 无.Такое представление для *х можно найти, если воспользоваться соотношениями (8) и (9). Действительно, поскольку (1) эквивалентно интегральному уравнению
%(/) =，[—浪(0) —自⑼Х® +(Р (8)] d% о
ТО
玩=-/1K ⑴"⑼ d0) 一 代(/),自(0) X (0)施〉，о0
или с учетом (8) и (9)
瓦=—。兄.(1.7.11)
Подставив (11) в (10), получим искомое уравнение для 元：
土+ (/i —D)兄=屮传)，(1.7.12)
из которого следует, что
ОО
元(£)=，^-(й—о)вф(/一e)d6 = %f d (ф = const). (1.7.13a) о
Этот результат можно проверить, прямо усредняя решение уравнения (1), вид которого известен:
ОО/
力(f) = \/厶8-%屮传一6)d8, Xе，己(/')"•О/—0
Считая ф = const, находим
ОО
х = ф 5 е-ле<е-х>сИ.(1.7.136)
Учитывая (2), нетрудно убедиться, что (%а) === 2DB, причем процесс у, линейно зависящий от гауссовского шума g, тоже является гауссовским. Следовательно,
Подставив это среднее в (136) и интегрируя, получим выражение, совпадающее с (13а).
В заключение подчеркнем, что замкнутое уравнение для 工 (уравнение (12)) мы получили, воспользовавшись предположением о 6-коррелированности флуктуаций параметров. Выше указывалось, что 6-коррелированный процесс физически нереализуем. Тем не менее этой моделью можно пользоваться, если ширина спектра флуктуаций существенно превышает характерную полосу пропускания системы； более подробно этот вопрос рассмотрен в § 3 гл. 6 (см. также обсуждение после формул (31), (32)).
Соотношения типа (8) и (9) справедливы 'i в общем случае системы произвольного числа уравнений первого порядка со случайными 6-коррелированными коэффициентами
N
^т= 2 ^а,пп(^ + ^m« W1 ^л4"ато (0 4"Smn (0(加=1, 2, ..., АГ), (1.7.14)
определяющими случайные функции 勺,与,...,xN. А именно, если |тп (0 — случайные, взаимно 6-коррелированные и, вообще говоря, нестационарные гауссовские функции времени:
(Smn) =^* (Smn (0 Spa (^)} — ^^mnpq (0 ^ V —‘‘)，(1.7*15)
го, аналогично (8) н (9),
收加《)，旳(ё)曲〉=0,(1.7.16)
О
(Smn (0，b«(8)"g (6) ^6) = Dmnpg (^) 土, (О»(1.7Л7)
О
так что, усредняя (14) и используя последние соотношения, нетрудно получить систему дифференциальных уравнений для средних хр х2, ..., xN.
Процедура вывода этих уравнений очень проста. Усредняя (14), имеем
土т = £ 0тп%г1 + £《Em/i今〉+。兩，(1.7.18)
nn
где, очевидно,
(Лтпхп) и〈E/nM/i》・
Однако, чтобы найти (|mn^rt), нам нужно знать не всю флуктуацию 尤九,а лишь ее компоненту, которая коррелирует с 己用修.Обозначим эту компоненту посредством 増)：
&nHa〉= &“户〉.(1.7.19)
Как следует иа (16), (17), уравнения для 义^)получим, оставив в правой части (14) только члены, пропорциональные gmn, заменяя прн этом коэффициенты при нх средними значениями:
4 *пК) = Уи (O«a + U (О-
Отсюда
或° ⑴=£ 叔(0 \ ^ (8)曲 +，gn0 (6)巡(1.7.20)
(1.7.21)(1.7.21)где с учетом 6-корреляции 三九左 функция 元左 вынесена из-под знака интеграла. Подставив (20) в (19), получим
(1.7.21)
(1.7.21)
(Лтпхп) = 2 'Q тппк + Dmnng
Подстановка (21) в (18) дает искомые уравнения для средних хт.
Соотношения вида (20) и (21) могут быть доказаны и для нелинейных стохастических уравнений. Например, если
£=а ⑴ + b Q) Е (f),磊〉=2Q6 (т)
(а, 6 — произвольные функции х), то
х<к>=е(х)〉£, £三 § &(е)曲и
〈喲=〈『〉= "⑴〉Q■
Эти соотношения следующим образом обобщаются на случай некоторой функции /(х) процесса х：
产=(片⑴Ь⑴)£(/，三帀仰｝(1.7.21a)
<f Wg> = <f (x)b(x))D.(1.7.216)
Приведенные соотношения строго доказываются с помощью уравнения Фоккера — Планка (см. следующий раздел), и метод расчета, основанный на модели 6-кор- релированных коэффициентов, иногда называют фоккер-планковским приближением.
Описанный подход применим для определения моментов произвольного (а не только первого) порядка по xv ..., xN^ так как, домножая (14) на функции xv ..., xN и комбинируя, всегда можно получить замкнутую систему линейных уравнений для величин ^夕,广=*卩％ ... хг. Усредняя эти уравнения,
придем к уравнениям для моментов произвольного порядка 〈^夕,...「〉• Например, умножив (1) иа 瑞 получим уравнение
^+2Л+2£ (0]^=2<р (0%,(1.7.22)
которое вместе с (1) образует для них2 систему уравнений вида (14). Усредняя с учетом (16) и (17), находим
募 +(2九—4D)a=2中")爲(1.7.23)
откуда
运=2；「3一4°e中" 一切元"一8)鸡
или, принимая во внимание (13а),
ОО
@2”=2，, d6 de^-(2h - 4D> е- (ft - D)е1ф (< _e)ф (<-6-80， (1.7.24) где индекс g при угловых скобках напоминает, что усреднение произведено по ансамблю g, т. е. на функцию ф оно не распространяется. Это означает, что ф (/) является либо регулярной (неслучайной) функцией времени, либо ф (О случайна, но статистически независима от 三(f).
Предположим, что имеет место последний случай, причем
Ф=0, (рфх^Вф (т).(1.7.25)
Усредняя (13) и (24) дополнительно по ансамблю ф и учитывая (25), получим
ОО
^-V=T=2D 卜一"-咏%⑺次.(1.7.26)
о
В частности, если 8屮(工)=仃红一 丫 仁「то средний квадрат х будет равен 〈"〉*▼=色一2D)^+y—D)・Q7.27)
Как известно, 6-корреляции соответствует неограниченный по ширине частотный спектр: если 8(t) = 2D6(t), то
ОО
G (ш) = 2^ \ В (т) ef®т Jt= — = const
—ОО
при любом значении со. Поэтому рассмотренную модель уравнений с дельта- коррелированными коэффициентами можно применять лишь в том случае, если случайные коэффициенты уравнений изменяются во времени достаточно быстро, т. е. их спектр значительно перекрывает спектр свободных колебаний, как усредненных, так и соответствующих «выключенным» флуктуациям параметров.
Отметим, что имеются случаи, когда на ширину спектра случайных коэффициентов не накладывается никаких ограничений и вместе с тем могут быть получены точные уравнения для средних (см. (5.5.44) —(5.5.49)).
Уравнение Фоккера — Планка для функции распределения вероятностей. Продолжим обсуждение вопроса об определении статистических характеристик процесса х(£), заданного обыкновенным (т. е. содержащим только производные по времени) дифференциальным уравнением, линейным или нелинейным, аналитический вид решения которого, вообще говоря, неизвестен. Случай ность %(£) обусловлена тем, что коэффициенты уравнения нли егс правая часть заданы как некоторые случайные функции времени.
Если эти функции времени являются 6-коррелированными шумами, то, как будет показано ниже, можно получить дифференциальное уравнение, решением которого' будет распределение вероятностей w (х, t) процесса х. Это уравнение известно как уравнение Фоккера — Планка. При известном решении 侬(*, /)
уравнения Фоккера — Планка определение одномерных статистических характеристик процесса % сводится к квадратурам. Перед тем, как приступить к выводу уравнения Фоккера — Планка, отметим некоторые свойства условных средних, которые непосредственно вытекают из уравнения для % и 6-корреляции его коэффициентов.
Чтобы сделать математические выкладки по возможности менее громоздкими, рассмотрим пока частный случай, когда х удовлетворяет уравнению первого порядка
x = a(x) + b(x)^(t)(1.7.28)
с одним случайным коэффициентом 三(f),
Е = 0, 諒= 2D3(t).(1.7.29)
В (28) а(х) и & (х) — произвольные функции х. Рассмотрим статистические характеристики разности
Ах = хт — х, х = х(0. хт = х (^+ т) (т^0)・(1.7.30)
Кроме обычных — безусловных — статистических моментов
<Ахл> =〈(％ — %尸〉=
при усреднении которых учитывается случайность как xt, так и %, можно рассматривать условные моменты
/Д^л^усл = ^усл (灯，
соответствующие фиксированному значению х. Эти условные моменты являются функциями х. Для дальнейшего нам понадобятся условные моменты приращения (30).
Переписав уравнение (28) в виде
Ax«)= j{a[x(/+e)]+H”+e)K(/ + e)}de,о
будем искать Ах методом последовательных приближений, полагаях(^ + 9) = х + Ах(9) (OwBVr), Ах= lim Ахп,
Л-Н»■
т. е. т
АХ!(T)= 5[a + &g (^ + S1)]de1,(1.7.31)
о
Д%2 (т) =，{& + &' А/ (02) + [& + &* А/(е2)]自(/ + %)} d&, (1.7.32) О
т
Д^з (т) =]{&+&' А%2 (®3)+ 彳罐 А居(％) + 0
+ [b + Ь，А%2 側)+ ^ bF居(呢]E (f + ©8)} d% (1.7.33)
и т. д.； штрихами обозначены производные функций а и & по х. Учитывая 6-корреляцию функции 三(f), находим, используя выражение (31),
〈Ахт〉уе = от +..., <Ах?>усл =匕2。工 + …，〈А務〉ус口 =.・.，
где многоточия означают члены второго и более высокого порядка по т. В следующем приближении согласно (32)
<Ах2>усл = (а + &&ZD)т +..., 〈Ах^усл =2匕2。工 + ・..，〈А居〉丫切=...
Третье приближение (33) и все приближения более высокого порядка не вносят изменений в члены порядка т, так что с этой точностью условные моменты приращения Ах равны
吗сл =〈А»усл =[仪(х) + Ь (х) Ь‘(％) D] т,
тусл = <Ах2>усл = 2&2 (х) От,(1.7.34)
т^ = (Дх«)усл =о (п = 3,4.
Обратимся теперь к общим соотношениям, связывающим двумерную, одномерную и условную вероятности (см. (1.2.24)):
w(xt f； /, t+x) — W(Xx, ^ + rix, t) w (x, f),
Г,л (1.7.35)
w f \ w (片，f 1 f) ® t) ax.
Относительно аргумента %匸 условное распределение w(xx | х) обладает всеми свойствами обычного распределения вероятностей. Можно ввести, в частности, условную характеристическую функцию [3]
ОО
©УЕ (% %)=，侬(％, ^+ т I х,(1.7.36)
— ОО
соответствующую случайному 工匸 и фиксированному х. Разлагая в (36) экспоненту в ряд по степеням Ах = хт —х, получим представление для бус口 в виде ряда по условным моментам:
ОО
©у。"(〃，％) = ± 衅吗广"(%)•(1.7.37)
*=0
Поскольку 0усл и w (хт I х) связаны преобразованием Фурье (36), то
w(%, / + 屮，/) = 2；，9усл («, x)e~lu^~x')du. (1.7.38)
Подставив сюда ряд (37) и учитывая (1.1.23), получим [3]
]8 уСЛ / '.8
々=0—со
=t%^(一/六施7).(1.7.39)
Подставив (39) в (35) и интегрируя по х, придем к соотношению
ООсо
叫%,5)=]訳一备)J /и/л(%)w(%, 9 з (%t — x) dx』 々=0—oo
oo
=⑫(％, /)+]}(_ 設)& 团凯"(％)⑫(％，/)，
которое можно переписать как
=2打(一丽) 一^ 一з(力，力.(1-7.40)
Устремим теперь т к нулю:
1面蛇g土七？色三'')・=^3(爲0.
т — 0т或
и согласно (34)
Пт 三勺(х) = а (х) + b (х)，(х) D, (1.7.41)
lim^—曰 Ka (x) = 2Db2(尤)，(1.7.42)
三爲(冷=0 (n = 3, 4,・・・).(1.7.43)
Таким образом, в пределе т->0 (40) принимает вид следующего линейного относительно w уравнения в частных производных:
雾=-备К及+呑备凡叫 (1744)
известного как уравнение Фоккера — Планка. Оно определяет зависимость одномерного распределения вероятностей w (х, t) как от х, так и от t Решение должно удовлетворять начальному условию
w (х, 0) = w0 (х), (1.7.45)
где Wq (х) — некоторое заданное распределение вероятностей в момент £ = 0・
Заметим, что уравнение (44) справедливо и в том случае, когда коэффициенты уравнения (28) а(х) и Ь (х), а также корреляционный фактор D в (29) являются функциями времени (регулярными). Коэффициенты интенсивности ^1 и %, определенные соотношениями (41) и (42), при этом будут зависеть не только ОТ X, но и от /:
Ki = KtU, t)^a(x, 0+&(х, t)bf(xt t)D(t),(1.7.46)
驳2 =驳2的 f) = 2D ⑴ b2 m /)(1.7.47)
(импульс шума, модулированный шум, система с изменяющимися во времени параметрами).
Если коэффициенты интенсивности от t не зависят, то нз уравнения Фоккера — Планка всегда можно найти стационарное распределение w (х), соответствующее £-> оо・ Начальное условие (45) прн этом несущественно, и в (44) можно положить 杀/。£ = 0・ В результате получим
-糸К曲 + ^爲К拙=。， откуда
—К迎 + ｝忠驳2酬=const.(1.7.48)
Из предположения, что w (х) достаточно быстро стремится к нулюпри х = ±оо, следует, что const = 0. Переписав (48) в форме言(“)一2霜思3=0
и интегрируя, находим
/(2з=c eхр 卜 0 3 dx ；
С — произвольная постоянная. Окончательное выражение для стационарного распределения вероятностей имеет следующий вид:
X
з(х)=1Й^ехр[2,据或， (1-7.49)
причем постоянная С определяется условием нормировки
,w (x)dx= 1.
Учитывая выражения (41) и (42) для Д\ и К2, можно переписать (49), выразив w (х) непосредственно через коэффициенты
динамического уравнения (28):
^W = WexP [H^mdx •(1.7・5°)
Марковские процессы. Рассмотрим теперь многомерное распределение вероятностей w^,хл) для процесса х, удовлетворяющего уравнению (28). Используя условные распределения (см. (1.2.24)), функцию w (%i... х„) можно представить в следующем виде:
w(x1..,xn) = w(xn\x1,.. x„-i) оу (厶...x„-i)=
=з I.必т) w (今т I /... х„_2) з(/...工т)=
=оу (必 I 修...&一1) w (x„_! |Х1...х„_2)...йУ(х2|х1)йУ (x0.(1.7.50a)
Будучи решением уравнения первого порядка, функция х определяется начальным значением при /= /0 и значениями процесса Е на интервале между / и %:
%(/) =尸Е(е), fovavf].
В частности,
^т = ^ [^т-Ъ Е (°)，//n-l W 8 V 6п]・
При произвольном виде корреляционной функции шума £ величина хт будет зависеть не только от хт^ъ но и от xm_2, хт_8 и т. д., поскольку значения Е на интервале tm^ < 9 < /т будут как-то связаны со значениями 己 на других интервалах. Однако, при 6-корреляции такая связь отсутствует и, следовательно, величина хт от значений х, предшествующих х^т, не зависит. Это значит, что
W(Xm I Xm-i, Хт-2, . . .) = ОУ (Xm I -^т-1)*(1.7.506)
Процессы, для которых выполняется условие (506), называются марковскими. Мы видим, что свойством марковости обладают все процессы, определяющиеся линейными или нелинейными уравнениями (или системами уравнений) первого порядка со случайными 6-коррелированными коэффициентами.'
Подставив (506) в (50а), получим
з (/ • • • %) = з (х„ I %т) w (工т I Х”2)• • • з (& I /) з(Х1),
т. е. многомерное стационарное распределение марковского процесса определяется стационарным одномерным распределением w (%1) вида (50) и так называемой вероятностью перехода
Ре = 3(Хл I ^т)>
которая может быть найдем^ как нестационар ное решение уравнения Фоккера — Планка (44), соответствующее начальному распределению (45) вида 6-функции: pnm = w(xt t) при хп = х, хт = х0 и йУ()(х) = 3(х —%о) (см. [1—4, 29, 30]).
(54a) для удовлетворяющих уравнению (51) колебаний х в параметрической си(54a) для удовлетворяющих уравнению (51) колебаний х в параметрической системе со случайной накачкой g (f).стеме со случайной накачкой g (f).3(х) — г(% к"3(х) — г(% к"(х^О),(х^О),(1.7.54)(1.7.54)
(54a) для удовлетворяющих уравнению (51) колебаний х в параметрической си
(54a) для удовлетворяющих уравнению (51) колебаний х в параметрической си
стеме со случайной накачкой g (f).
стеме со случайной накачкой g (f).
3(х) — г(% к"
3(х) — г(% к"
(х^О),
(х^О),
(1.7.54)
(1.7.54)
Пример, Поясним использование уравнения Фоккера ——Планка, обратившись опять к уравнению первого порядка, описывающему параметрическую систему со случайными параметрами (уравнение (1)):
夕+ m + E(/)]x = <P(/),^t = 2D6(T).(1.7.51)
Ранее мы решили задачу отыскания х для этого уравнения (см. (12) и (13а)). Теперь, используя уравнение Фоккера — Планка,
можно рассмотреть гораздо более общую задачу нахождения одномерной функции распределения w (х). Согласно (28) в этом случае
а(х, 0 = Ф (0 — ^х>
& (х) = — х, (1.7.52) так что одномерное распределение w (х, /) будет решением уравнения Фоккера — Планка (44) с коэффициентами интенсивности, равными
驳工=<р (/) — 2hx + Dx,
К2 = 2ОлА (1.7.53)
Чтобы воспользоваться ста-у=х/^, ^=^/d, v^h/d.
ционарным решением (50), предположим, что правая часть (51) постоянна: <р = const > 0. При этом, как следует из (51),
Подставив (52) в (50) и учитывая условие нормировки, имею
щее в рассматриваемом случае вид \ оу (х) dx = 1, получим
6
где Г(V)— гамма-функция. Распределение (54) зависит от двух параметров: ^ = ^/D и v = h/D, Нормируя % на 林，получим для случайной величины г/ = х/ц распределение вероятностей
3(9)=点" @为0)， (1754a)
зависящее только от одного параметра v; вид функции w (у) показан на рис. 1.18. Нетрудно определить наиболее вероятное, Т・ е, соответствующее максимуму w (у), значение 〃：
〃таx =]十v »
а также вычислить моменты
〈勿〉= 院）"= e一 i）（v一办…"一力。（1.7.55）
В этом примере распределение вероятностей имеет такой вид, что стационарное конечное значение имеют лишь моменты, порядок которых меньше v. При 〃>▽ формула (55) теряет смысл, а величина момента с n> v неограниченно возрастает и стремится к оо. Согласно (55)
元=元=Ф 九一6'Ф 九一6'(九—D)(九一2D) ,(九—D)(九一2D) ,(1.7.56)(1.7.56)
元=
元=
Ф 九一6'
Ф 九一6'
(九—D)(九一2D) ,
(九—D)(九一2D) ,
(1.7.56)
(1.7.56)
что совпадает с jc и х2, найденными ранее из уравнений для средних (см. (13а) и (27) при у= 0).
Нетрудно показать также, что и еами уравнения для средних могут быть получены непосредственно из уравнения Фоккера — Планка. Чтобы в этом убедиться, умножим (44) на произвольную функцию F (х) и проинтегрируем по х. Имеем
Далее находим
)(KtwY F dx= \ (FK及)'dx— , KrF'wdx =
—co—oo—oo
=FK迎J 一审=一审,
если считать, что интеграл от полной производной по х дает нуль из-за достаточно быстрого убывания функции распределения вероятностей при х = ±оо. Аналогично найдем, что
Таким образом, из уравнения Фоккера — Планка следует уравнение для средних
户=元戸十^兄戸.(1.7.57)
Полагая, например, в (57) F — x и F = ^t получим
左==Ki,(1.7.58)
矛=2К/ + Ку(1*7.59)
В частном случае уравнения (51), когда ^ и К^ даются выражениями (53), эти уравнения принимают вид
х = ф (/) — (Л — £>) J, * = 2(р% — 2 (九一2£>)務
в точности совпадая с уравнениями для средних (12) и (23), полученными другим методом.
Уравнения Фоккера — Планка для динамических уравнений, имеющих более сложный вид, чем (28), рассматриваются в [3, 4].
Несмотря на очевидные возможности метода анализа случайных процессов с помощью уравнения Фоккера — Планка, практически далеко не всегда удается им воспользоваться из-за ряда трудностей:
Часто задача описывается не одним, а несколькими связанными уравнениями типа (28) относительно неизвестных функций Xi，修，...» х„. В этом случае всегда можно написать уравнение Фоккера — Планка для многомерной функции распределения w (Xi, х2, •••, хл, t), однако его интегрирование сразу резко усложняется. Для многомерного случая неизвестен, например, аналог стационарного решения (50).
Коэффициенты уравнения, которому удовлетворяет х, иногда нельзя считать 6-коррелированными. Уравнение Фоккера — Планка при этом также может быть получено, но даже первоначально одномерная задача (т. е. описывающаяся одним уравнением первого порядка) становится при этом многомерной.
Нас обыкновенно интересуют не только моменты случайного процесса, но и его корреляционная функция и спектр. Существует, правда, принципиальная возможность определения двумерного распределения w (х, хт), а следовательно, и корреляционной функции из уравнения Фоккера — Планка (44), но для этого необходимо получить его нестационарное решение, учитывающее производную dwldt. Это удается сделать, однако, лишь в отдельных частных случаях.
Наконец, стационарное одномерное распределение (50) и тем более двумерное распределение w(x9 %) могут оказаться просто очень неудобными для вычисления статистических характеристик, приводя к очень громоздким или вообще небер ущимся интегралам.
Поэтому в статистических задачах часто используются различные приближенные, не всегда достаточно обоснованные, но зато сравнительно простые методы вычисления статистических характеристик. Некоторые из этих методов рассматриваются в следующих разделах.
Линеаризация нелинейного уравнения. Из приближенных методов прежде всего следует отметить метод линеаризации. Рассмотрим его на примере нелинейного уравнения
i + /W = U0- (1.7.60)
В области малых х можно аппроксимировать / (х) первыми двумя членами степенного ряда, что приводит к линейному уравнению
£ + % + %х = Е(/) (%《％х), (1.7.61) из которого легко найти % и его статистические характеристики. Если предварительный анализ (60) показывает, что значение % близко к некоторой величине х0» то функцию / (х) в (60) целесообразно разлагать не по степеням х, а по степеням разности х —х0- Линеаризованное уравнение для % будет при этом выглядеть следующим образом:
兑 + f (% + Г (хо) (х - %。) = Е (0 (|х-хо|<^о). (1.7.62)
Иногда можно предположить, что малы флуктуации 尤 величины х = % + х. Тогда нелинейное уравнение линеаризуется по флуктуациям, и из (60) мы получаем два уравнения:
左+ /(元) = 0, (1.7.63)
H/(x)x = U0 (1%1<1^1). (1.7.64)
первое из которых — существенно нелинейное — не содержит случайных функций и определяет среднее значение 元，а второе — линейное — флуктуации X(i).
Статистическая линеаризация. К разумным результатам может привести следующий способ упрощения нелинейного уравнения: все нечетные функции 犬 заменяются простейшей! нечетной функцией вида 4х, а все четные — простейшей четной, т. е. некоторой постоянной В. Параметры линеаризации 4 и В подбираются при этом таким образом, чтобы при замене соблюдалась определенная статистическая эквивалентность.
Рассмотрим некоторые рецепты выбора параметра А при аппроксимации нелинейной нечетной функции 尸(％) = — F (——％) с помощью линейной функции Дх, считая, что х—гауссовский случайны.! процесс с нулевым средним значением (х=0) и дисперсией о2. .
а) Равенство дисперсий 尸(х) и Ах:
(产(%))=/20.
(1.7.65)
При этом
Д = Л1=(Гг>1/2/а.
(1.7.66)
б) Минимум отклонения 4V от 尸(х) (в среднеквадратичном): 〈［/%—尸(%)产〉=min.
(1.7.67)
Прираииивая нулю производную от (67) по А, получим
4 N 力2 =〈尸(％) %〉/g
(1.7.68)
в) Определение 4 как среднего значения производной нелинейной функции:
Д = (Г (л)>.(1.7.69)
Учитывая, что распределение вероятностей w (х) гауссовского процесса удовлетворяет соотношению
①'(％)=—亲① W，(1.7.70)
находим СООО ОО
А = А8= ) ^ (х) w (л) dx=w (х) F (х) I — j Fwf dx =
—oo—oo —oo
co
Fxw dx = -^ (Fx) «= Л2,
-do
т. e. этот критерий совпадает с предыдущим.
Разумеется, можно предложить и другие варианты выбора А, например:
/ = 4 = (4 +4)/2(1.7.71)
или
4 = 4 =〈尸⑴/%〉•(1.7.72)
При линейной аппроксимации кубической параболы Г (х)=х3 получим, используя приведенные выше формулы:
Л1 = ]/Тб о® *%» 3,88о2, Лг = Л3 =3о2, Л5 —о2 -＜ Л1( Л2.(1.7.73)
При статистической линеаризации синусоиды F (х) = sin х имеем (sin2 х)= =~^ (1 — £-2")» (cos х) = е~ °*/2, так что
厶=医＞1—e-26, 4=4=L/2, 4＞公寫①阔.(1.7.74)
Следует отметить, что в области малых значений х статистическая линеаризация эквивалентна обычной: как видно из (74), при а2《1 все коэффици-
енты Л； стремятся к 1, т. е. sin х заменяется просто на х. В области больших о2 параметры Л/ могут значительно между собой различаться (рис. 1.19).
Приложение метода статистической линеаризации к анализу шумовых колебаний в нелинейной системе мы рассмотрим на примере уравненияПриложение метода статистической линеаризации к анализу шумовых колебаний в нелинейной системе мы рассмотрим на примере уравнения左+ № = &(/)(5 = 0, gt«2D6(T)),左+ № = &(/)(5 = 0, gt«2D6(T)),(1.7.75)(1.7.75)в котором шум J предполагается гауссовским и «белым», т. е. 6-коррелиро- ваиным. В этом случае моменты (хл) могут быть найдены из уравнения Фокв котором шум J предполагается гауссовским и «белым», т. е. 6-коррелиро- ваиным. В этом случае моменты (хл) могут быть найдены из уравнения Фоккера—Планка, т. е. можно сравнить точные значения женными значениями, получающимися при различных кой линеаризации.Согласно (73) в случае кубической нелинейностикера—Планка, т. е. можно сравнить точные значения женными значениями, получающимися при различных кой линеаризации.Согласно (73) в случае кубической нелинейностимоментов с их прибли-вариантах статистичес-моментов с их прибли-вариантах статистичес-=6* где 0一численный чим линейное уравнение=6* где 0一численный чим линейное уравнениенужно положить 4 =нужно положить 4 =коэффициент. Сделав в (75) замену 心-> 眦爲 полу-коэффициент. Сделав в (75) замену 心-> 眦爲 полу-戈+ 0о 旣==g（f）,戈+ 0о 旣==g（f）,(1.7.76)(1.7.76)из которого следует, чтоиз которого следует, что尤=0,尤=0,运-%一力1,运-%一力1,(1.7.77)(1.7.77)причем 炉=00* т 已 дисперсия образом выражаются через D н 0:причем 炉=00* т 已 дисперсия образом выражаются через D н 0:и время корреляции процесса х следующими время корреляции процесса х следующим1111(1.7.78)(1.7.78)
Приложение метода статистической линеаризации к анализу шумовых колебаний в нелинейной системе мы рассмотрим на примере уравнения
Приложение метода статистической линеаризации к анализу шумовых колебаний в нелинейной системе мы рассмотрим на примере уравнения
左+ № = &(/)(5 = 0, gt«2D6(T)),
左+ № = &(/)(5 = 0, gt«2D6(T)),
(1.7.75)
(1.7.75)
в котором шум J предполагается гауссовским и «белым», т. е. 6-коррелиро- ваиным. В этом случае моменты (хл) могут быть найдены из уравнения Фок
в котором шум J предполагается гауссовским и «белым», т. е. 6-коррелиро- ваиным. В этом случае моменты (хл) могут быть найдены из уравнения Фок
кера—Планка, т. е. можно сравнить точные значения женными значениями, получающимися при различных кой линеаризации.
Согласно (73) в случае кубической нелинейности
кера—Планка, т. е. можно сравнить точные значения женными значениями, получающимися при различных кой линеаризации.
Согласно (73) в случае кубической нелинейности
моментов с их прибли-вариантах статистичес-
моментов с их прибли-вариантах статистичес-
=6* где 0一численный чим линейное уравнение
=6* где 0一численный чим линейное уравнение
нужно положить 4 =
нужно положить 4 =
коэффициент. Сделав в (75) замену 心-> 眦爲 полу-
коэффициент. Сделав в (75) замену 心-> 眦爲 полу-
戈+ 0о 旣==g（f）,
戈+ 0о 旣==g（f）,
(1.7.76)
(1.7.76)
из которого следует, что
из которого следует, что
尤=0,
尤=0,
运-%一力1,
运-%一力1,
(1.7.77)
(1.7.77)
причем 炉=00* т 已 дисперсия образом выражаются через D н 0:
причем 炉=00* т 已 дисперсия образом выражаются через D н 0:
и время корреляции процесса х следующим
и время корреляции процесса х следующим
1
1
1
1
(1.7.78)
(1.7.78)
Таким образом, в зависимости от выбора параметра линеаризации
тк m力=孚=事=тк m力=孚=事=](15)1/4 ：Из.1](15)1/4 ：Из.1а 0,508а 0,508(』=4),(』=4),0,5750,575(/=4),(/=4),(4 = 4).(4 = 4).(1.7.79)(1.7.79)
тк m力=孚=事=
тк m力=孚=事=
](15)1/4 ：
Из
.1
](15)1/4 ：
Из
.1
а 0,508
а 0,508
(』=4),
(』=4),
0,575
0,575
(/=4),
(/=4),
(4 = 4).
(4 = 4).
(1.7.79)
(1.7.79)
к типук типупринадлежитпринадлежитС другой стороны, учитывая, что уравнение (75)
к типу
к типу
принадлежит
принадлежит
уравнений (28) с。(％)=—炉 и Ь(%) = 1, по формуле (50) находим для х точное стационарное распределение вероятностей:
,、一2" 1/4 一 3Согласно (80)@mh)=0, 〈炉吟=,、一2" 1/4 一 3Согласно (80)@mh)=0, 〈炉吟=卩 A* (― 8 W# W + 8).卩 A* (― 8 W# W + 8).(1.7.80)(1.7.80)-1/4 + 〃2) = 2叮(1/4 + 出2) d“2.Г (1/4) fl"" - Г (1/4)'-1/4 + 〃2) = 2叮(1/4 + 出2) d“2.Г (1/4) fl"" - Г (1/4)'(1.7.81)(1.7.81)В частности,吁川關， 3）= 0，〈岁〉=3仃2&В частности,吁川關， 3）= 0，〈岁〉=3仃2&(1.7.82)(1.7.82)оакудаоакуда(1.7.83)(1.7.83)
,、一2" 1/4 一 3
Согласно (80)
@mh)=0, 〈炉吟=
,、一2" 1/4 一 3
Согласно (80)
@mh)=0, 〈炉吟=
卩 A* (― 8 W# W + 8).
卩 A* (― 8 W# W + 8).
(1.7.80)
(1.7.80)
-1/4 + 〃2) = 2叮(1/4 + 出2) d“2.Г (1/4) fl"" - Г (1/4)'
-1/4 + 〃2) = 2叮(1/4 + 出2) d“2.Г (1/4) fl"" - Г (1/4)'
(1.7.81)
(1.7.81)
В частности,
吁川關， 3）= 0，〈岁〉=3仃2&
В частности,
吁川關， 3）= 0，〈岁〉=3仃2&
(1.7.82)
(1.7.82)
оакуда
оакуда
(1.7.83)
(1.7.83)
Таким образом, при статистической линеаризации уравнения (75) возникают следующие ошибки при определении о2: 25% (Д —ДО，15% (А = А^ и 48%
(4 = 4). Вычисление моментов четвертого и шестого порядков приводит к следующим результатам:
1
(точно),
■ 2,02
(точно),
〈吟.
0,78
(4 = 4),
1,95
(4 = 4),
(1.7.84)
D _
0,994
(4 = 4)，
炉/2 -
2,84
(4 = 4)，
3
(4 = 4),
15
И = 4)*
Заметим, что выражения (82) для〈х4〉и〈Xе〉можно получить сразу из (57), Стоит обратить внимание еще на одно обстоятельство. Упрощенное уравнение (76) определяет х как гауссовский случайный процесс (ввиду линейности (76) и гауссовости g), хотя в действительности распределение вероятностей w (%) (80) гауссовским не является. Между тем % действительно обладает некоторыми свойствами гауссовского процесса, в чем можно убедиться следующим образом.
Для произвольных гауссовских переменных х и ^, пользуясь общими формулами (1.2.45), (1.2.46) для моментов, можно получить такие соотношения:
麥=3麻乖，即=5麻汲 中=7强斤
и т. д., иначе говоря,
g炉"1〉=(2九 — 1)衣(不2—).(1785)
С другой стороны, пола гая в уравнениях для средних (57) F (х) = xM, получим
备〈叫=-2几 p+2〉+ D2n (2n - l)〈炉…〉
или в стационарном режиме
〈""2〉= d(2/i—1)〈？”t〉.(1.7.86)
Умножив уравнение (75) на 炉九-1 и усреднив, получим
〈炉仍 2〉=化炉〃(1.7.87) Сравнение (86) и (87) показывает, что
3 I) =D (2n- 1)〈炉门〉.(1.7.88)
Это совпадает с выражением (85), полученным только из гауссовости % и * если учесть, что согласно (88) gx = D.
Рассмотрим еще один подход к выбору параметра линеаризации р (Л = =ро2 = Лв) опять на примере уравнения (75). Прибавив к обеим частям уравнения ро®, перепишем его в виде
£十6炉上=e(力+卩@%(1.7.89)
где■
"(/)=眦%一%3.(1.7.90)
Считая функцию 卩(f) малой, будем искать решение (89) в виде ряда ng ртепеням 卩》полагая
#=3+В+В十….
где
焉+昵* =自()(1.7.91)
右 + В©% =固⑴=^0 (f)一确(f),(1.7.92)
自+0o旣2 =网(0 = В©%](/)_ xj(/)
и т. д. При этом параметр 0 подберем так, чтобы поправка к нулевому приближению %и была наименьшей. Если ограничиться вычислением только поправки /，то
运=码+丽?+再=需 1 + 2*°^± ¥(1.7.93)
и для определения р получаем условие
•竺咤丁磋 =min・(1.7.94)
Учитывая 6-корреляцию 匕(居t = 2D6(t)) и гауссовость %, находим из (91)
源=d =蒜，s^r^opude-BBE,(1.7.95)
Uot帮〉=3o2g (T),Xp^ = 95 (T) O《+ 6B3 (T),
麻。t = o4 (仗一60 +9) В(T)+ 6B3 (矶(1.7.96)
麻о = В (0 — 3).(1.7.97)
Согласно (92)
М = 0,(1.7.98)
彳L,e-M 丽 dT =乐(位一60+12).(1.7.99)
0
Комбинируя (91) и (92), можно получить следующие уравнения для средних:
亩(-^А) +2м2〈Y/j〉=〈不也〉+(Цa?» 成〈三:〉+2附2〈匿〉=2(н0/〉.
Из иих, принимая во внимание (97)—(99), находим, что в стационарном
режиме
(1.7.100)(1.7.101)(1.7.100)(1.7.101)2xqXj 0 — 3
(1.7.100)
(1.7.101)
(1.7.100)
(1.7.101)
琏 / 02—60 + 12甫h琼一
Если пренебречь в (94) величиной 琢 то согласно (100) получим
(1.7.102)
откуда 6 = 3 и Д6 = Д2 (см. (73)), т. е. условие (102) совпадает с критерием (67) минимума среднеквадратичного отклонения. Учитывая в (94) сразу оба слагаемых, получим согласно (100) и (101)
★号曜=^!P2-4P + 4l = min,
откуда р==2, что дает следующую величину дисперсии:
1
—0,706.(1.7.103)
Md /2
Сравнение (103) с точным значением (83) показывает, что ошибка в оценке о2 теперь составляет всего 5%.
Метод статистической линеаризации нашел применение при расчете систем автоматического регулирования (см., например, [13, 14]). К нему близок так называемый кумулянтный метод, развитый в [6]. Метод статистической линеаризации нами будет использован для анализа флуктуаций в нелинейном колебательном контуре (§ 3 гл. 7).
Уравнения Дайсона для средних. Познакомимся с еще одним методом приближенного определения статистических средних (см. [1], ч. 2, а также [16, 17]), частично использующим идею линеаризации и не связанньш с предположением о 6-коррелиро- ванности шума.
Рассмотрим колебания % некоторой, вообще говоря, нелинейной системы, описывающейся уравнением
Lx = N(x, 9 + 〃/),(1.7.Ю4)
где £ —линейный регулярный (т. е. не зависящий от случайных параметров) оператор, N — линейный или нелинейный оператор, | = Е (/) и / — заданные случайные функции. Полагая
х — х х,(1.7.105)
перепишем (104) в виде двух (точных) уравнений: уравнения для средних
LX = {N (х,日〉+ 0〉，(1-7.106)
уравнения для флуктуаций
£戈=齿一〈府〉+/一#〉.(1.7.107)
Флуктуационное уравнение (107), вообще говоря, нелинейное относительно флуктуаций х и ^, существенно' упростится, если его по этим флуктуациям линеаризовать. В полученное таким образом линейное относительно 戈 уравнение величина 元 будет входить в качестве параметра (вообще говоря, переменного). Решение линеаризованного уравнения (107) обозначим через 北＜"・
4 С. А. Ахманов и др.
Заменив теперь точное значение % =戈 +戈 приближенным х =元 + 十无⑴，найдем явную зависимость 〈А? от 元 н статистических характеристик флуктуаций 己 и f = f — f：
〈力化，х)〉=尸⑺.(1.7.108)
В результате после подстановки (108) в (106) получим приближенное уравнение для 兄 вида
£元=尸(元)+九(1.7.109)
Уравнение (109) аналогично уравнению Дайсона, записанному в приближении Бурре (см. [16, 17, 23]).
Описанный метод называют иногда «улучшенным» методом возмущений, и нетрудно убедиться (см. ниже), что уравнение (109) действительно дает гораздо более полное описание 无，чем то, которое можно получить, используя обычный метод возмущений.
В качестве примера рассмотрим опять уравнение (1):
北+ 仇 + e⑴]x = 5& = 6 鼠=B⑴.(1.7.Н0)
Сначала будем вычислять 元,используя обычный метод возмущений. Полагая %=£%〃,工九〜Е% получим цепочку уравнений
爲十九% =①，自+九修=一"(f)%, 备+力%2= -E(f)网
и т. д. Отсюда находим (при(р= 1)
%о =万，хх =—厶-)^""е屯(/—力)d%,元i = 0,
X2 = | Jd0j р02е-л<е.+е,)а(/_ 呢占(f 一 力一％),
так что 00~
х^ха + Хг= ^ 1 +-J-J е*ЛтВ(т)dr .(1.7.111)
- о-
Теперь определим 元,исходя из уравнения (109). В рассматриваемом случае
£=与+儿方=一也 f=i
и флуктуационное уравнение (167) после линеаризации по 己 н 戈 принимает вид
位+"户=一鼻
Отсюда находим
х = х^= — х\ e-hel(t-B)dG,
О
оо
〈力〉=—(ё文(D)=元、e~нв (t) dt =f⑺.(1.7.112)
о
Подстановка (112) в (106) дает
号-+九元=元 \ e~hxB (т) dr + 1.(1.7.113)
о
В стационарном режиме (х = 0) из (113) находим
ОО
兄= Е(1、а)・'а = Т j e'AtB(T)dT,(1.7.114)
Сравнение (111) и (114) показывает, что эти выражения совпадают лишь в предельном случае малой интенсивности параметрического шума (а《1), причем формула (111) не описывает параметрической нестабильности (т. е. обращения 元 в 8), возникающей согласно (114) при а=1. Заметим, что при 6-коррелиро- ванном шуме (^т == 206 (т)) формула (114), следующая из уравнения Дайсона (113) для 无，дает результат
совпадающий с точным (см. (13а)).
Для усиления метода уравнений Дайсона можно использовать его совместно с методом статистической линеаризации, применяя последний к флуктуационному уравнению (107) *).
Случайные поля
Обратимся теперь к случайным функциям нескольких независимых переменных — случайным полям.
Радиофизические и оптические примеры случайных полей многообразны. Случайным (гауссовским) является электромагнитное поле, излучаемое нелазерным источником света. Из-за внутренних флуктуаций в генераторе, флуктуаций параметров антенной системы как случайное во многих ситуациях следует рассматривать и поле излучения радиопередатчика. Модель случайного
♦) Более подробное изложение теории сюхасгических уравнений можио наГгги ь [1 j, ч. 2 и [15, 23—27].
4*
поля оказывается часто наиболее адекватной при описании излучения многомодового лазера.
Примерами случайных полей могут служить поле температуры, влажности, диэлектрической проницаемости в реальной турбулентной атмосфере； случайным становится и электромагнитиое излучение, распространяющееся в такой флуктуирующей среде.
Рис. 1.20 иллюстрирует один из таких примеров； здесь показано, как трансформируется распределение интенсивности / =ЕЕ* первоначально регулярного светового пучка после прохождения через турбулентную среду. Флуктуации диэлектрической проницаемости турбулентной среды приводят к тому, что однородное на входе распределение интенсивности по поперечному сечению
Рис. L20. Мгновенные распределения интенсивности в поперечном сечении лазерного пучка до (а) н после (6) прохождения его через турбулентную среду.
Видно, что после прохождения пучка через турбулентную среду распределение иитеи-сивности приобретает случайный характер [31].
пучка превращается в нерегулярное, случайное. Поэтому на выходе турбулентной среды интенсивность / и само электромагнитное поле Е становятся случайными функциями координат и времени: / (г, f), Е (г, 0， Естественно, подобно тому как мы делали для функции одной переменной, для случайных полей можно ввести законы распределения, средние, корреляционные функции.
Ниже статистические свойства случайных полей мы рассмотрим на примере напряженности переменного электромагнитного поля. Речь будет идти о пространственно-временном случайном поле Е, зависящем от г и t. Сначала мы ограничимся одной из компонент поля (фактически рассмотрим скалярное поле), а затем обратимся к векторным случайным полям.
Однородные и изотропные случайные поля. Введем средние значения и корреляционные функции для скалярного комплексного случайного поля £ (г, Z). Как правило, в радиофизике и
оптике среднее значение поля 〈Е〉=0 и корреляционная функция поля Е (г, /), являющаяся аналогом введенной в § 3 функции 3(九 ％), имеет вид (см. (1.3.49))
В(гь 九 г2, 4) = (Е (гъ /х)£*(г2, 4)). (1.8.1)
Для стационарных во времени полей
в (Гт，&,「2, %)=В(Гт，「2,友一幻.
Точно так же, как среди случайных процессов можно выделить класс стационарных процессов, для которых статистические характеристики не зависят от начала отсчета времени, средн случайных полей можно выделить класс однородных полей, для которых корреляционная функция зависит лишь от разности г2 — гх:
В (п,友，а, ^2)= В (г2 一 G,匕，友) (1.8.2)
(стационарности прн этом может и не быть). Однородное случайное поле называется изотропным, если корреляционная функция зависит лишь от абсолютного значения расстояния между двумя точками s = |r2 —Г!(. Для стационарных во времени и однородных в пространстве случайных полей корреляционная функция
В(Г1, &, 3, ^2) = В (г2 — гъ /2 — G) = B(s, т). (1.8.3)
Спектры однородных и стационарных пространственно-временных случайных полей. Обратимся теперь к спектральным представлениям для стационарных и однородных случайных полей. Аналогом разложения (1.3.13) здесь будет разложение по плоским волнам:
Е (г, f)= V 卷(з, k)dw-k门dsd吃， (1.8.4)
где d^k = dkx dky dk£t k — волновой вектор. Величины 卷(з, к) мы будем называть спектральными амплитудами пространственновременного случайного поля. Амплитуды 卷(з, к) по-разному зависят от со и к в разных реализациях случайного поля, т. е. 卷(з, к) — случайные функции(о и к.
Пользуясь рассуждениями, аналогичными приведенным в § 3, введем понятие спектральной плотности пространственно-временного случайного поля и установим связь ее с корреляционной функцией. Записывая выражение для корреляционной функции В (s, т) с помощью (4), из требования однородности и стационарности случайного поля получим
传(з, к)卷 *(о/, k)〉= G(3, к)3(з—сУ)6(к — к)； (1.8.5) где G (④，к) имеет смысл спектральной плотности пространственновременного случайного поля； G (ю, к) ^ 0 Отсюда непосредственно
следуют соотношения, являющиеся обобщением формул (1.3.17), (1.3.18):
со
B(s, т) = “ G (со, k)ez(WT~ks,d(dd3k,(1.8.6)
G(g), k)=-^jj jy В(т, s)e-f((0T-ks)dTd3s. (1.8.7)
В выражениях (6) и (7) пространственно-временная корреляционная функция и спектр случайного поля записаны в общем виде. При этом временной ход корреляционной функции зависит от пространственной координаты s и, наоборот, пространственные корреляции изменяются со временем т. Вместе с тем имеется класс задач статистической оптики, когда временную зависимость поля во всех точках пространства можно считать практически одинаковой. Тогда можно записать
E(r, t) = F(r)f(t).(1.8.8)
Из соотношения (8) непосредственно следует, что корреляционная функция (3) принимает внд
5(s, т) =В尸⑹斗⑴.(1.8.9)
Случайные поля, удовлетворяющие условию (9), иногда называют спектрально «чистыми» полями [18]. Вообще говоря, условие (9) слабее, чем (8).
Кроме того, существует специальный внд полей с так называемыми «замороженными» неоднородностями, когда напряженность электрического поля Е (г, t) = E (г —v/), где v — скорость перемещения неоднородностей (см. § 7 гл. 4, а также [15]). В этом случае корреляционная функция поля, очевидно, равна
В (s, t) = B(s —vt),(1.8.10)
т. е. пространственные н временные корреляции поля полностью взаимосвязаны между собой.
К оррел я ци он н ые функции трехмерного изотропного случайного поля. Далее в этом параграфе мы будем рассматривать только пространственные флуктуации случайного поля. Предположим, что случайное поле изотропно; его корреляционная функция В (s) зависит от модуля вектора |s|・ Введем в представление В (s) через волновой спектр G(k) сферические координаты s, 9, q>, отсчитывая угол 8 от направления вектора к:
G (к)=(2п)-з \ В (s) е*§ d3s = 2л л оо
= (2п)~7 d<р \ d8 \ 5 (s) е筑scosh sjn О s2 ds == ООО
=(2n2旬т, sB (s) sin ksds = G (k).(1.8.11)
Обращение формулы (11)дает соотношение
8(s)=V，G (k) ksinksdk.(1.8.12)
о
Функция В (s) является убывающей (рис. 1.21). Интервал s, на котором происходит значительное уменьшение В (s), называется радиусом корреляции гк ).
Рассчитаем корреляционные функции В (s) (12) для некоторых видов спектра G(女).Если волновой спектр равномерен в интервале [0,岛]:
ТО
5(s)= ?Go j k sin ks dk = 4ns~3 (sin ^os — k^ cos kos). (1.8.14)
В случае гауссовского спектра
G (用=Go exp {—伍/岛户}(1.8.15)
для пространственной корреляционной функции получаем
В (s) п【2 fegcoexp {—(2feoS)2}.(1.8.16)
Графики спектров (13), (15) и соответствующие им корреляционные функции (14), (16) изображены на рис. 1.21.
Двумерное изотропное случайное поле; случайная волна. Для радиофизики и оптики первоочередной интерес представляет специальный внд случайных полей — случайные волны.
Общие формулы, записанные выше для случайных полей, мы конкретизируем для случайных волн. Рассмотрение начнем с волны, близкой к регулярной плоской монохроматической волне.
Рассмотрим случайную волну вида
Е (г, z, t) = A(y)el^-k^.(1.8.17)
Речь пойдет, таким образом, о волне, распространяющейся вдоль оси z； будем считать, что комплексная амплитуда волны % (г) случайным образом зависит только от радиуса-вектора г, лежащего в плоскости, перпендикулярной оси z. Волну типа (17) можно рассматривать как «искаженную» плоскую волну. Поле вида (17), очевидно, возникает, если идеальную плоскую монохроматическую волну пропустить через безграничный плоский экран, прозрач-
ность и фазовый набег в котором случайным образом изменяются от точки к точке.
Рис. 1.21. Равномерное (а) и гауссовское (6) спектральные распределения G (也) и соответствующие им корреляционные функции b (s) для трехмерного (/) и двумерного (2) случаен. G (k) — G №)/G0,匕⑸=В (s)/B (0).
Волну (17) можно характеризовать поперечной пространственной корреляционной функцией
5丄 G —门)=〈/ (г" /*(№)〉•(1.8.18)
Для статистически однородного и изотропного поля Л (г) корреляционная функция (18) разлагается в двумерный интеграл Фурье:
ОО
В± (s = | г2 —гх I)— \ G (z) ^Xsd2x. (1.8.19)
Здесь х— поперечная компонента волнового вектора k,々=J/离斗乂岂 Ввиду изотропности поля в (19) G(z) = G(x) (см. (11))； переходя к полярным координатам, выражение (19) можно представить в виде
5丄(s) = 2n§ J0(sx)G(x)xdx；(1.8.20)
о
Jo U) — функция Бесселя от действительного аргумента. Формула обращения (20) имеет вид
G(x)=(2冗)1，J^(xs) В (s) s ds.(1.8.21)
Вычисляя поперечные корреляционные функции (20), получим: 1) в случае равномерного спектрального распределения (13)
В丄(s) = 2nGo ( Jo (SX) X dx = 2nGox5 AIM. ；(1.8.22)
0
в случае гауссовского спектра (15)
5丄(s) = 2nGo\ 丿0(尤s)尤l(x/%产dx = nGw沪(s%)"2. (1.8.23) о
Для расчета интеграла (23) использована формула 6.631 (ГР, с. 730) ). Графики корреляционных функций (22) и (23) показаны на рис. 1.21.
Введем угол 9 между направлениями векторов k^ = k0 и к; тогда х = fesin 6 и формула (20) принимает вид
Л/2
В丄(s) = n^z £ J0(^ssin 0) G (fesin 0) sin29 d0.(1.8.24)
о
Волновой спектр G(x) = G(fesin0) можно здесь интерпретировать как угловой спектр, определяющий среднюю интенсивность излучения под углом 0 к оси z (подробнее об этом см. § 1 гл. 4).
Учитывая соотношения между функциями Бесселя и гармоническими функциями
J—1/2 (Х)= (2/ПХ)〔/2 COS X,/1/2 (x)=(2/^x)1/2sinx,
формулы (11), (12) и (20), (21) можно представить в единой записи:
В(£)= 2nLs-2)" R t^i2J{n-2)/2 (抬)G 优)dk9
L(1.8.25)
G (用=2n々-5 - 2"2 j 5北/24 _ 2)"(抬)b ⑹ ds.о
Здесь индекс 九 означает размерность пространства, и, наряду со значениями 九=3 и 2, можно полагать м=1. В зависимости от значения 九 параметр k имеет смысл полного волнового числа или его поперечной проекции х. Нетрудно убедиться, что при 九=1 формулы (25) аналогичны формулам (1.3.17), (1.3.18), выведенным в § 3 для случайного процесса.
Соотношения(25) позволяют установить связь между характерным масштабом изменения пространственной корреляционной функции — радиусом корреляции гк (при s = rK функция В (s) спадает, например, вдвое) и эффективной шириной А/г волнового (углового) спектра изотропного случайного поля:
(1.8.26)(1.8.26)А^•гк 1
(1.8.26)
(1.8.26)
(ср. с (1.3.32)). Заметим, что для анизотропных полей, для которых радиусы корреляции по разным направлениям различны (с примерами таких полей мы столкнемся в гл. 8; см. рис. 8.10), вместо (26) следует писать:
△祖• 小〜1, А財•，g〜1, А財• &〜1 •
Рис. 1.22* Случайно модулированный в пространстве световой пучок.Рис. 1.22* Случайно модулированный в пространстве световой пучок.Световые пучки; поперечная и продольная корреляция. Волна вида (17) со статистически изотропной комплексной амплитудой является идеализированной моделью. Поэтому обратимся к более реальной модели ограниченного в пространстве светового пучка (рис. 1.22)
Рис. 1.22* Случайно модулированный в пространстве световой пучок.
Рис. 1.22* Случайно модулированный в пространстве световой пучок.
Е (г, г, t) = А (г, z, 0衣[觎一走。z]= =р(г, z, f)e"3-Hz+B(r‘ z,再.
(1.8.27)
Пунктирная линия — фазовый фронтпучка. П ример распределения ин-тенсивности такого пучка показан нарис. 1.20,6.Пунктирная линия — фазовый фронтпучка. П ример распределения ин-тенсивности такого пучка показан нарис. 1.20,6.Координата z направлена вдоль оси пучка; вектор г, как и ранее, расположен в плоскости, перпендикулярной оси z. Изменения комплексной амплитуды Л (или действительной амплитуды р и фазы
Пунктирная линия — фазовый фронтпучка. П ример распределения ин-тенсивности такого пучка показан нарис. 1.20,6.
Пунктирная линия — фазовый фронтпучка. П ример распределения ин-тенсивности такого пучка показан нарис. 1.20,6.
Ф)вдоль оси пучка предполагаются гораздо более медленными, нежели поперек пучка (см. гл. 4).
Наиболее существенные черты пространственной статистики поля типа (27) описываются поперечной корреляционной функцией (18) для некоторого сечения пучка z：
5丄(「1, Г2； 2)=〈七(口，Z, f)f*(「2, 2, /)〉=〈/(□, z, /)/*(「2, z, /)〉•
(1.8.28)
Помимо функции (28), пространственную статистику световых пучков можно характеризовать продольной корреляционной функцией
В (ги &； г)=〈Е(г, 2"Е*(г, q)〉=
=(1.8.29)
При описании процесса распространения случайно модулированных световых пучков удобным оказывается введение новых координат:
s = r2-「1,R=彳(「2+「1).(1.8.30)
При этом поперечная корреляционная функция (28) записывается в виде
В丄(г* г2; 2) = 8丄(s, R; z).(1.8.31)
Зависимость от координаты R является здесь следствием пространственной ограниченности светового пучка, распределение интенсивности которого в поперечном сечении дается функцией
/(R, 2) = 8丄(0, R; 2) = |Е(п, z, f)E・ (1.8.32)
Корреляционная функция В丄,вообще говоря, комплексна и от /? зависят как модуль, так и аргумент В丄.Предположение о независимости В丄 от R означает также ее независимость от z (см. уравнение (4.5.4));т. е. приводит к идеализированной модели поля (17).
Из сказанного следует, что поле реальных случайно модулированных световых пучков не подчиняется условиям статистической однородности и изотропности. Другими словами, поля световых пучков являются существенно неоднородными.
Соотношение между масштабами а и гк изменения корреляционной функции 5丄 соответственно вдоль радиусов-векторов R и s может быть, вообще говоря, произвольным. При 々fco приходим к пучку с регулярной пространственной модуляцией. Для исключения из рассмотрения регулярных или крупномасштабных неоднородностей полей можно использовать так называемую структурную функцию.
Структурная функция; локально однородные и локально изотропные случайные поля. Структурная функция случайного поля Е (г, t) определяется следующим образом:
D (「2, 「1)=
[e(0,幻一e心，为)]一[e(口，幻一e伯，左川〉2.(1.8.33)
Предположим, что /i = ^ = ^ (структурная функция при наличии временного сдвига (左更勾) рассмотрена, например, в [1, ч. 1]). Считая также для простоты, что Е = 0, для функции (33) имеем
少(К,门)=《七(「2, f) — E(8, f)E〉・(1.8.34)
Случайное ноле называется локально однородным, если
D (г2, г, = О (г? — с) = Q (s).(1.8.35)
В случае
D G — ri) = D (I % — 门 I) = D (s) (1.8.36) поле называется локально изотропным. Из сравнения (2) и (3) с (35) и (36) видно, что понятия локальной однородности и локальной изотропности поля для структурной функции аналогичны понятиям однородности и изотропности поля для корреляционной функции.
Когерентность; полностью и частично когерентные поля, коэффициент когерентности пучка. В оптике с коррелированностью случайных полей связывают понятие когерентности (см. также гл. 4). Определим нормированную корреляционную функцию следующим образом (ср. с (1.3.2)):
Y(j ri,ь幻= [7д,公)(^牖卩耳， (1837) Для стационарных полей
丫 = Y小，53"幻=7^^・(18第) Величина у называется комплексной степенью когерентности, поскольку корреляционная функция (1) в общем случае комплексна. Абсолютную величину у называют модулем степени когерентности или просто степенью когерентности. Нетрудно убедиться, что, как и коэффициент корреляции (§ 3), степень когерентности удовлетворяет неравенству
[y(Г2,口，T)1 V1.[y(Г2,口，T)1 V1.(1.8.39)(1.8.39)
[y(Г2,口，T)1 V1.
[y(Г2,口，T)1 V1.
(1.8.39)
(1.8.39)
Модуль величины :у； (38) при т = 0 дает значение степени пространственной когерентности, а при п = г2 — значение степени временной когерентности.
Заметим, что в (37) и (38) нормировка корреляционной функции производится не на значение интенсивности в какой-либо одной пространственной точке, а на среднее геометрическое значение интенсивностей в исследуемых точках поля. Такая нормировка позволяет в большинстве случаев исключить из у вклад регулярных изменений поля.
Для подтверждения сказанного обратимся к волновому пучку (27). Степень
пучка равна (т = 0)пучка равна (т = 0)丨8 丄(г2, г1； z) I丨8 丄(г2, г1； z) I(1.8.40)(1.8.40)пространственной когерентности между точками Г! и г2 в поперечном сечении
пучка равна (т = 0)
пучка равна (т = 0)
丨8 丄(г2, г1； z) I
丨8 丄(г2, г1； z) I
(1.8.40)
(1.8.40)
Из (40) и (28) следует, что в случае ^ = ^
8 丄(</» Гу； z) — I (Гу, z) (/ — 1» 2).
В координатах (30) степень когерентности | у | (40) записывается в виде lY(s; R, z)』，B丄(s, R； z"{/(R_ 3 z)/(R+ ”)}'".(1.8.41)
Предположим, что случайное поле £ (г, г, £)—— квазиоднородное!
I 8丄(s, R, z) I =月(s, z) / (R, z).
Тогда (41) принимает вид
；Y(s, R, z)'=B(s, z)/(R, z){/(R—}, z)/(R+ },叫 '/二(1.8.41a)
Регулярные изменения интенсивности поля не дают вклада в значение степени когерентности (41а), если
《R-备)/(R+N)""R)・(J-8-416)
При этом
丨丫 (龜 R; z)! = ^(s; z).(1.8.42)
Нетрудно убедиться, что соотношение (416) выполниется, если функция / (R) имеет вид / (R) = 70 exp {PiR —P2R2}, а радиус корреляции % поля значительно меньше радиуса пучка。= 6丁/'. Таким образом, в случае гауссовского профиля пучка при а》^к степень когерентности не зависит от значения средней интенсивности.
Другим примером, дающим результат (42), являетси, очевидно, случай, когда поле Е (г, z, f) (27) можно представить как
E(j z, f) = Ep(r, z, Г)(?фл (г, z, 0.
где £р — действительная регулярная функция, £фл——случайное однородное поле; &фл*薪=L 稣(「，九 z)hT(「，z).
Определенное значение степени когерентности ； у ' (40) является локальной характеристикой поля для заданных точек пространства с координатами 口 и г2. Поля с
I? (%「2, Т； Z)丨=1
для любых значений г】，г2 и т называются полностью когерентными. Если при 「1*「2 и (или) т*0
! V (И, j, т; z) =0,
то значения полей в разных пространс1венно-временных точках становятся статистически независимы； такие поля называются некогерентными. Промежуточные значения 0 V | у | V 1 соответствуют частично (или не полностью) когерентным полям.
В дальнейшем (§ 4 гл. 4) мы увидим, что хотя размеры (например, эффективный радиус пучка а), степень когерентности и радиус корреляции из-за дифракционных явлений меняются при распространении пучка,
a^a(zl Y = Y(z), rK = rK (z),
но инвариантным относительно г при определенных условиях является параметр
C=rK (z) / a (z) = const
(см. (4.5.566)), который можно назвать коэффициент ом когерентности, Полностью когерентному пучку соответствует С f 8,
Векторные случайные поля; случайная поляризация, поляризационная матрица. Для векторного случайного поля случайными являются не только амплитуда и фаза, но и состояние поляризации. Рассмотрим один из способов задания статистики поляризации электромагнитной волны. Пусть плоская случайная волна распространяется в направлении оси z. Обозначим через Ех и Еу две вещественные ортогональные компоненты вектора Е (z, Z) в плоскости z = const (旦= 0):
(1.8.43)(1.8.43)Ex (0 = рх (0 cos (sf 十办(Z)),旦⑴=P“⑴ cos (sf+ %«))・
(1.8.43)
(1.8.43)
Исключая из (43) sf, нетрудно получить соотношение
(品 У + (誌『一 ¥^r°s 今⑴=sin?今(f), (1.8.43a) где 0 (f) = %(/)-5 (f).
Уравнение (43a) является уравнением эллипса. Таким образом, в общем случае электрический вектор Е электромагнитного поля описывает в пространстве эллипс. Такая волна называется эллиптически поляризованной.
Рис. 1.23. Эллипс поляризации.Рис. 1.23. Эллипс поляризации.Эллипс может вырождаться в окружность либо в прямую линию. Волне с круговой поляризацией соответствуют р# = р“ и " = (2/n-j-1)п/2, линейно поляризованной волне —О1 = тл (т = 0, ±1, ...). Направление вращения вектора Е определяется знаком sin 6； при sin6>0 имеет место правовращающаяся поляризация, а при sin 6 V 0 一 левовращающаяся поляризация.
Рис. 1.23. Эллипс поляризации.
Рис. 1.23. Эллипс поляризации.
Для случайной волны (р； (/) и 叼(2)— случайные функции) определенный вид поляризации и ее параметры сохраняются в течение интервала времени, малого по сравнению с временем корреляции вол
ны (т<；тк). В противоположном случае (/》〈《) параметры поляризации и ее вид меняются случайным образом.
2Pxp4 cos ((рх —Фу)2Pxp4 cos ((рх —Фу)tgw=tgw=Рх-Р^Рх-Р^(1.8.44)(1.8.44)Основными параметрами эллиптически поляризованной волны являются: угол ориентации 屮 эллипса (угол наклона большой полуоси к оси х; см. рис. 1.23)：
2Pxp4 cos ((рх —Фу)
2Pxp4 cos ((рх —Фу)
tgw=
tgw=
Рх-Р^
Рх-Р^
(1.8.44)
(1.8.44)
и коэффициент эллиптичности, равный отношению длин малой полуоси к большой:
K =」；；：=tg%,(1.8.45а)
где х — вспомогательный угол,
sin 2% =sin 2% =2p*pg sin (q).v —фу)2p*pg sin (q).v —фу)Рх+РуРх+Ру(1.8.456)(1.8.456)
sin 2% =
sin 2% =
2p*pg sin (q).v —фу)
2p*pg sin (q).v —фу)
Рх+Ру
Рх+Ру
(1.8.456)
(1.8.456)
Как уже отмечалось, для случайной волны величины 2 н % флуктуируют во времени. Очевидно, что в случае пространственно- модулированных волн (р； = р； (г, Z) и 叼=中/(「，f)) параметры 屮 и % изменяются и в пространстве. Формулами (44) и (45) мы воспользуемся в § 9 гл. 7 для анализа деполяризации лазерного излучения. А сейчас перейдем к описанию поляризационных свойств волны с помощью величин, имеющих размерность интенсивности, которые можно непосредственно измерить в эксперименте.
Предположим, что ортогональные компоненты Ех и Еу волны представляют собой стационарные случайные процессы. Рассматриваемую волну можно охарактеризовать набором корреляционных функций
8" (T) =〈£；(/) f7(2+七)〉.
Здесь £； — уже комплексные функции; i, /=х, у- Образуем из В；； (т) матрицу
/=д(0)Вху (0)\⑼/八0丿
Диагональные элементы матрицы (46) суть средние интенсивности 1Х и /,； (// = В/； (0)) ортогональных компонент. Недиагональные элементы зависят как от амплитуд, так и от разности фаз компонент волны. Матрица (46) определяет, таким образом, интенсивность волны и ее поляризацию и поэтому называется поляризационной ). I
Образуем из элементов поляризационной матрицы так называемые параметры Стокса
So = Вхх (0) + ВуУ (0),S2 = ВХу (0) + ВуХ (0),So = Вхх (0) + ВуУ (0),S2 = ВХу (0) + ВуХ (0),S1 = &х (0) - Вуу (0),. „
So = Вхх (0) + ВуУ (0),
S2 = ВХу (0) + ВуХ (0),
So = Вхх (0) + ВуУ (0),
S2 = ВХу (0) + ВуХ (0),
S3=一，传山⑼一%⑼).(
Они имеют следующий физический смысл. Параметр So равен интенсивности эллиптически поляризованной волны. Параметр Si есть разность интенсивностей ортогональных компонент, он характеризует преимущественную горизонтальную (Si>0) или вертикальную (S】V0) поляризацию волны. Остальные параметры S2 и S3 зависят от корреляции между ортогональными компонентами. Можно показать [20J, что S2 равно разности интенсивностей волн в системе координат, повернутой относительно исходной на п/4, а параметр S3 — разность интенсивностей волн круговой поляризации с противоположным направлением вращения. Рас-
смотренное физическое содержание параметров Стокса показывает также способ их измерения.
Полностью и частично поляризованные волны. С помощью
вается в видевается в видепараметров Стокса (47) поляризационная матрица (46) записы
вается в виде
вается в виде
-(1.8.48)-(1.8.48)—丄/&)+ $1 S24-iS3\
-(1.8.48)
-(1.8.48)
2〈邑一i$ So — S、/'
Инвариантами мат[ иа (46) и (48) являются определитель
det J = {ВХХВУУ 一丨 Вху『} = } {S3 - $ - S务 一 S計 В 0 (1.8.49) и след матрицы
Sp J = Вхх 4- Вуу = So > 0.(1.8.50)
В случае полностью поляризованной волны коэффициент взаимной корреляции
% = Вху (0)”瓦*(0)%(0)=叫(1.8.51)
так что det / =0. Для неполяризованной волны все направления вектора Е в плоскости фазового фронта равновероятны (коэффициент взаимной корреляции уху = 0t Вхх = Вуу = /). Поляризационная матрица при этом имеет вид
/=《：)•(1852)
В промежуточном случае частично поляризованной волны OvU V1.
Частично поляризованную волну можно разложить на полностью поляризованную и полностью неполяризованную волны, т. е. матрицу (46) можно записать в виде
J =加。力+)睜叫(1.8.53)
где j п°* и /непол — матрицы полностью поляризованной и неполяризованной волн соответственно:
2 =例力，(о肋
Из сравнения (53) с (46) следует, что
ВХх = Л -|- В, Вуу = Л С, Bxy = D, В?х = D*.
Кроме того, det /пол = 0, т. е.
ВС - DD* = Л2 - (Вхх + Вуу) Л + det J =0.(1.8.54)
Решение уравнения (54) дает
力=；{^хх + ^уу 下 V(Вхх + Вуу)2 — 4 det J}.
Значение Л со знаком плюс перед корнем дает отрицательные значения величин В и С, поэтому его следует отбросить. Сумма величин 8 +С представляет собой интенсивность поляризованной волны：
/пол = 8 + С = {+ BQ2 一 4 det / }】/2.
Степень поляризации. Эта величина определяется как отношение интенсивности /пол к полной интенсивности волны 1О = ВХХ + + Вуу и обозначается через Р:
(1.8.55)'(1.8.55)'
(1.8.55)'
(1.8.55)'
поляризованной волныполяризованной волныРис. 1.24. Степень поляриза-Рис. 1.24. Степень поляриза-ции в лазерном пучке со случайной фазовой модуляцией^ прошедшем через канал с оптически активным элементом [22].ции в лазерном пучке со случайной фазовой модуляцией^ прошедшем через канал с оптически активным элементом [22].х — расстояние от центра пучка.х — расстояние от центра пучка.получимполучим1 -Р21 -Р2'2 ^ВххВуу\、В»+Вду /'2 ^ВххВуу\、В»+Вду /口 一；匕""口 一；匕""(1.8.58>(1.8.58>
поляризованной волны
поляризованной волны
Рис. 1.24. Степень поляриза-
Рис. 1.24. Степень поляриза-
ции в лазерном пучке со случайной фазовой модуляцией^ прошедшем через канал с оптически активным элементом [22].
ции в лазерном пучке со случайной фазовой модуляцией^ прошедшем через канал с оптически активным элементом [22].
х — расстояние от центра пучка.
х — расстояние от центра пучка.
получим
получим
1 -Р2
1 -Р2
'2 ^ВххВуу\
、В»+Вду /
'2 ^ВххВуу\
、В»+Вду /
口 一；匕""
口 一；匕""
(1.8.58>
(1.8.58>
Легко убедиться, что для полностью р = 1, для неполяризованной волны Р = 0. Частично поляризованная волна имеет значение 0 < Р < 1.
Соотношения (50) и (49) позволяют представить степень поляризации через параметры Стокса:
P=[S]+Sl + SH^Sol. (1.8.56)
В соответствии с физическим смыслом параметров Sf (см. выше) величину Р можно записать как
р = ур^^,匕= (Si+S犷/2S认
Pkp = S3/S(). (1.8.57) Здесь Рл и 「叩—соответственно степени линейной и круговой поляризации.
Покажем теперь, что коэффициент
взаимной корреляции у^ не может пре
вышать степень поляризации Р. Воспользовавшись (55), (50), (49),.
Поскольку (8匕2一闿夕у〉。，то из(58) следует
Р 2 1 Уху I*Р 2 1 Уху I*(1.8.59>
Р 2 1 Уху I*
Р 2 1 Уху I*
Величина Р (55) выражается через инварианты det J и Sp J н, следовательно, не зависит от выбора осей хну. Коэффициент же уху зависит от выбора осей координат, он имеет максимальное значение при ВХХ = ВУУ. Нетрудно показать, что всегда можно выбрать новые координаты Е и /, повернутые на угол 8
относительно осей хну, таким образом, чтобы
=线 2‘.(1.8.60)
В новой системе координат компоненты электрического поля:
Ем = Ех cos 8 + Еу sin 9, Еу‘ =—邑 sin 8 + Еу cos 9.
Вычислим величины В；『=(Е『Е；〉 и потребуем выполнения условия (60). При этом найдем, что угол 9 определяется выражением
tg 20 =詳工产.
Поскольку В/ = В?у, значение 9 действительное. В системе координат 尤'и у。степень поляризации Р волны равна коэффициенту взаимной корреляции | 丫*，歹 |. Это обстоятельство используется для измерения Р.
Проведенное выше рассмотрение ограничено случаем плоской случайной волны. Для случайно модулированных световых пучков степень поляризации может быть, вообще говоря, различна для различных точек пучка (рис. 1.24).
ГЛАВА 2
МОДЕЛИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ И ПОЛЕЙ
§ I. Введение. Физика возникновения случайных процессов и полей и их математические модели
Появление статистических задач в радиофизике и оптике связано с рядом обстоятельств.
Классические и квантовые флуктуации электромагнитного поля, электрические шумы приводят к тому, что реальные радиотехнические и оптические устройства постоянно испытывают воздействие случайных сил. Неконтролируемым, случайным образом изменяются и параметры этих устройств, комплексный показатель преломления сред, в которых распространяются радио- и световые волны.
Каковы статистические свойства этих случайных процессов? Это, несомненно, один из главных вопросов статистической радиофизики и оптики. Ответ на него позволяет предсказать статистическое поведение радиофизических и оптических систем, статистические свойства распространяющихся волн, — задаваясь статистическими свойствами случайных сил, флуктуационных изменений параметров, можно найти статистические характеристики «отклика» системы, распространяющегося в флуктуирующей среде излучения, И Т- п.
Несмотря на огромное разнообразие физических систем, в которых генерируются те или иные случайные процессы, подавляющее большинство последних удается описать сравнительно небольшим числом математических моделей.
В этой главе рассматриваются некоторые модели, представляющие особый интерес для радиофизики и оптики; отметим сразу же, что избранный далее порядок изложения не основан на строгой классификации и в ряде случаев выделенные модели соответствуют классификации по разным признакам (по виду распределения, спектра, характеру изменения во времени); наряду с моделями стационарных процессов, приведены и примеры моделей, описывающих нестационарность. Какие же данные использованы ниже для построения математических моделей?
Прежде всего это общие представления, фактически не требующие детального знания физического механизма (например, микроскопической картины) процесса. Наиболее яркий пример такого положения вещей — это ситуация, когда выполнены условия
применимости центральной предельной теоремы теории вероятностей (см. § 2 гл. 1). В этом случае процесс является гауссовским и можно сразу указать многие свойства многомерных распределений, моментов случайной функции и ее производных и т. п.
В силу центральной предельной теоремы гауссовские процессы занимают совершенно исключительное место в физике. Это, однако, не означает, что в статистической радиофизике приходится иметь Дело только с ними. Дело в том, что гауссовское распределение устойчиво только в линейных системах с постоянными или регулярным образом изменяющимися параметрами (см. § 4 гл. 3).
Рис. 2.1. Спектральная плотность уз- Рис. 2.2. Реализация узкополосного кополосного случайного процесса.случайного процесса-Рис. 2.1. Спектральная плотность уз- Рис. 2.2. Реализация узкополосного кополосного случайного процесса.случайного процесса-
Рис. 2.1. Спектральная плотность уз- Рис. 2.2. Реализация узкополосного кополосного случайного процесса.случайного процесса-
Рис. 2.1. Спектральная плотность уз- Рис. 2.2. Реализация узкополосного кополосного случайного процесса.случайного процесса-
В нелинейных же системах или линейных системах со случайными параметрами статистика процесса существенно трансформируется； поэтому, несмотря на гауссовский характер флуктуационных сил и случайных изменений параметров, очень многие радиофизические процессы оказываются существенно негауссовскими (см. также гл. 5, 7).
Чрезвычайно полезной оказывается также модель случайного процесса, базирующаяся на представлении реализации как колебания, близкого к синусоиде, со случайными амплитудой и фазой. Такое представление физически очень наглядно для так называемых узкополосных, или квазимонохроматических, процессов.
Действительно, пусть речь идет о случайном процессе, относительная ширина спектра которого мала:厶①/①。专 1 (рис. 2.1). Естественно ожидать, что по мере сужения полосы Д(о каждая отдельная реализация такого процесса будет все больше прибли* жаться по виду к гармоническому колебанию частоты ⑴伙 Отличие же реализации от точной синусоиды следует приписать наличию амплитудной и фазовой модуляции, тем более медленных — в масштабе средней частоты о)о, — чем уже ширина спектра До. Таким образом, возникает представление реализации случайного процесса в виде
己(f)=P(“ cos[w0/ +(p(0].己(f)=P(“ cos[w0/ +(p(0].(2.1.1)(2.1.1)
己(f)=P(“ cos[w0/ +(p(0].
己(f)=P(“ cos[w0/ +(p(0].
(2.1.1)
(2.1.1)
На рис. 2.2 приведена осциллограмма, иллюстрирующая высказанные соображения. В § 4 этой главы статистические характеристики р и ф определены для гауссовского процесса | (/). В § 5 эти результаты обобщаются на случай негауссовских процессов.
Тесно связана с указанной моделью и модель колебания, модулированного шумом (см. § 7 этой главы). Постановка задачи здесь, однако, обратная. Если в (1) по заданной статистике | (О следует определить статистические характеристики р и <р, то для колебания, модулированного шумом, исходными являются функции р и ф, а по ним находятся характеристики | (в первую очередь спектр такого колебания).
Модель колебания, модулированного шумом, имеет много приложений в радиофизике и оптике. Такая модель дает адекватное описание автоколебаний в реальном автогенераторе радиодиапазона и лазере; много применений она находит в задачах распространения волн через статистически неоднородную среду.
Картина случайной амплитудной и фазовой модуляции колебаний может быть положена и в основу статистической теории ширины спектральных линий в оптике； материал, относящийся к этой теме, читатель найдет в конце § 7. Здесь, однако, центр тяжести переносится уже на микроскопическую картину возникновения случайной модуляции, а общие формулы, связывающие статистику модуляции р, <р и вид спектра, используются для расчета уширения спектральных линий, классификации физических механизмов.
С определенной конкретизацией физического механизма генерации случайного процесса связана и рассмотренная в § 8 модель импульсного случайного процесса. Речь идет о случайных функциях, п р едета вл яющих собой суперпозицию импульсов, часто —— импульсов регулярного вида. В последнем случае статистика связана со случайностью появления таких импульсов. Ярким физическим примером импульсного случайного процесса может служить дробовой шум электронной лампы. При этом случайные изменения анодного тока есть результат случайного (за счет статистики электронной эмиссии) наложения идентичных по форме регулярных импульсов. С картиной хаотически появляющихся импульсов непосредственно связана и имеющая большое значение для оптики статистика фотоэлектронного тока, или, как ее принято называть, «статистика фотоотсчетов». Естественно, что, как и ток в анодной цепи электронной лампы с подогревным катодом, фототок содержит флуктуационную составляющую; в фотоэлектрод- ных приборах возникает дробовой шум.
Одпако в задаче о статистике фототока есть и другой интересный аспект: статистика фотоотсчетов может быть использована для получения информации о статистических свойствах излучения,
освещающего фотокатод. Прямые и обратные задачи, связанные с указанным обстоятельством, обсуждаются в § 9.
Весьма наглядная физическая модель случайного процесса рассмотрена в § 10; в нем речь идет о статистике процесса, представляющего собой суперпозицию гармонических колебаний со случайными фазами (а в общем случае — и амплитудами). Исследование этой модели восходит еще к классическим работам Рэлея； в его «Теории звука» (см. [13]) дано полное решение задачи о суперпозиции гармонических мод одинаковой частоты, но со случайными фазами.
Для современной оптики большое значение имеет модель оптического шума, представляющего собой суперпозицию эквидистантных по частоте гармонических колебаний со случайными фазами; такая модель хорошо описывает излучение многомодового лазера с несинхронизованными модами.
Говоря о формулировках математических моделей реальных случайных процессов, следует иметь в виду также н чисто вычислительные аспекты, связанные с решением конкретных задач.
Как мы убедимся в дальнейшем, лишь немногие статистические задачи радиофизики и оптики (сказанное в особенности относится к представляющим наибольший интерес нелинейным задачам) удается решить в общем виде; в связи с этим выбор модели процесса во многом определяет и успех математического решения задачи. Поэтому, наряду с необходимостью адекватного описания физики процесса, возникает и проблема удачного выбора модели, правильно учитывающей основные физические характеристики процесса и вместе с тем, по возможности, упрощающей математическую сторону дела. Основные параметры модели — среднее значение, средняя интенсивность, ширина спектра — должны, разумеется, соответствовать физическим представлениям о процессе.
Вместе с тем при выборе более детальных характеристик допустим известный произвол, второстепенные параметры могут подбираться из соображений удобства решения данной задачи. Например, без ущерба для смысла получаемых результатов процесс со сплошным спектром иногда можно заменить на процесс с эквивалентным по ширине н форме дискретным спектром (см. § 10)； часто используется и модель, процесса с диффундирующей фазой и т. п. На перечисленных моделях случайных процессов базируется и ряд моделей случайных полей, используемых в книге； с некоторыми мы уже познакомились в § 8 гл. 1.
Гауссовский случайный процесс
Мы начнем со сводки данных, относящихся к гауссовским случайным процессам： в значительной мере она носит справочный характер. К гауссовскому нормальному шуму приводят многие
физические механизмы, рассматриваемые ниже 11оэтому приведенные в этом параграфе соотношения используются очень широко.
Распределение вероятностей; характеристическая функция; моменты- Гауссовский, или нормальный, случайный процесс может принимать любые положительные и отрицательные значения.
刃引‘刃引‘Рис. 2.3. Функции распределения:Рис. 2.3. Функции распределения:
刃引‘
刃引‘
Рис. 2.3. Функции распределения:
Рис. 2.3. Функции распределения:
а) гауссовского процесса ( 1); 6) его огибающей (распределенне Рэлея (2.4.6))： в) фазы(2.4.5); г) интенсивности (2.4.8).
Одномерное распределение вероятностей (функция распределения)
w (X) = e- ("-"户/28(- 8 V无 V + 0о)(2.2.1)
И 2л а
имеет один максимум при х = х; а2 =х2 — № (рнс. 2.3), Согласно (1) отличны от нуля лишь четные центральные моменты:
_、 j 1 ・3・5•…•(〃一 l)o〃 = (/i—1)!!о〃 (п — четное),
<(х — х)〉=〈 _
I 0(п — нечетное).
(2.2.2)
Вероятность того, что значение х лежит в некотором интер
вале, равна
ь
Р (а^х^Ь) =
гдегде(2.2.3)(2.2.3)
где
где
(2.2.3)
(2.2.3)
—табулированная функция, называемая интегралом вероятности, или функцией ошибок, изменяющаяся в пределах от Ф (—оо)= =—i до ①(8)=L В частности,
_0,9(几=1,17),
尸(]х —引 V 〃丿2о) =①(几)=0,99 (n = 1,83),
.0,999 (n = 2,33).
Ширина эквивалентного прямоугольного распределения (см. рис- 2.3) равна
А/ = ]/2л2,51о,
причем
W(X = X± %AN) = UmaxC-S ~ ^ах • 0,455,
尸([无一引 V % Ax') ~ 0,79.
За оценку ширины пика гауссовской кривой иногда принимают мало отличающуюся от Ал/ величину
А/ = 2 ]/W^ о ~ 2,37о,(224}
которая соответствует уменьшению w (х) в два раза относительно 侬тах・
Если имеется несколько гауссовских случайных величин *心不,...,хл> то их совместное распределение вероятностей имеет внд (1.2.44)
w(X» • • • > х») =(2л)л/2д1/2 W {2 Е 2 "рдарТр"。— *。)}； (2.2.5}
J Лр9 J —матрица, обратная корреляционной матрице
Bpq =〈(%р —Хр) (Xq —Xq})=彳/夕一XpXq\
D ——определитель nxn элементов матрицы Bpg. Иногда удобно выражать Вр9 и Ард через коэффициенты корреляции Rpg и дисперсии 磋：
Многомерному распределению (5) соответствует характеристическая функция
6(U1, ...» ил) = <ехр i (UiXi +... + Unxn)> =
=ехр) У"рр-» 22 WpU^Bp^l •(2.2.6)
Если величины #i, x2l •・.,хл некоррелированы, то
B =(咤(吋办
Р? I 0(р*)
и согласно (6)
8(^1, ••・，〃/г) = В(1/0 * * * 8 (%).
Соответственно многомерное распределение (5) распадается на произведение одномерных:
г. е. некоррелированность гауссовских случайных величин эквивалентна их статистической независимости.
При п = 1 распределение (5) совпадает с (1). При 冷=2
w (Xi，砧=) exp (2R12+ 矍R (2.2.7)
(&=:现一芻，。:=〈比〉，一8WgiW + 8).
В случае стационарного гауссовского процесса
a2 = a^ = a2,х/=х,7?12 = R(t) = R(—т)(т = ^ —/2)
и выражение (7) несколько упрощается (см. (1.4.23)).
Как следует из (5), все статистические характеристики гауссовских флуктуаций & = / — & должны выражаться через 24Pq или Bpq, т. е. через элементы корреляционной матрицы. В частности, многомерные корреляции
Bp...s =〈Ep …％〉(228)
могут быть выражены через парные корреляции:
% …$=°,=(229)
2m+I^2пГ
Сумма в (9) охватывает все варианты парных сочетаний индексов.
Из общих соотношений (1.2.45), (1.2.46), в частности, следует, что
/?г у = /Х~Х^丄^&思 /т\ —ГГ~ Г 1 _1_ 9Р2 /т]1/9 9 1Па1
々11222 =〈炉叶〉=纷8 (2 + 6*("=叫9R ⑴+6R3 ⑼.(2.2.106)
Спектральные амплитуды (см. § 3 гл, 1) гауссовского процесса
линейно связанные с х, также будут при этом гауссовскими случайными веля- чинами. Для них справедливы соотношения, аналогичные (8) —(10):
〈％, “3产з,〉=〈％,%)〈％产3,〉+
+〈%,%,〉〈%/8〉+〈%产g〉〈3d〉.(2.2.11)
Если процесс х (/) стационарен, то в (11)
〈*皎%"^g(s) 6 (叱+(0力(2.2.12)
где G (со) — спектральная плотность процесса х(/).
Функции распределения для производных по времени. Если х(/) — стационарный шум, то средине〈"〉и〈产〉一постоянные величины я
房〈炉〉=2〈用=0, *产〉=2〈^〉=0,
т. е. х не коррелирует как с 彳,так нс* (если все тря величины берутся в один я тот же момент времени). Для гауссовскях х, i н ^ отсюда следует статистическая незавясимость х от х я х:
з(方，f, *) н 0y ")з(m £).
Днсперсяя случайной функция 彳 я ее производных равны:
〈/〉一〈彳〉2= § G (co) dat—u^f
-_oo
若=〈戈"=j G)26 ((d) do = —<j2R® (0)三"叫,
0=〈炉〉= j g0G ((d) d(d=^a^R(^ (0) =a2(ojb
где Rtni {G) = l(d/dx)n R (т)]м. Учитывая стационарность x, находим 〈#£〉=—〈产〉=—^〈#£〉=—再，
т. е. коэффициент корреляции между х я ^ равен
_〈我〉_
Поскольку всегда I R12 | W 1 (см. (L3.3)), то и；
OW?Wh ?=垣М
Иначе говоря, в (14)
叫 Vs”.
Таким образом, согласно (1) я (7) в (13)
w (х) =— exp (j,
/2Л6\2a?/
1f 1 「F 2Y叮，整 1)
з(/ £) = ■—：.■；. exp JI 二 H1|>
(2.2.13)(2.2.14)(2.2.13)(2.2.14)(2.2 15)(2.2.16)(2.2.17)(2.2/8}(2.2 15)(2.2.16)(2.2.17)(2.2/8}2лаа2 У^1 — y2 I 2 (1 —y2) La2 叫 G」/
(2.2.13)
(2.2.14)
(2.2.13)
(2.2.14)
(2.2 15)
(2.2.16)
(2.2.17)
(2.2/8}
(2.2 15)
(2.2.16)
(2.2.17)
(2.2/8}
Вычисление некоторых средних. Средние вида
А = {х^),(2.2.19)
где %] и х2 — гауссовские случайные величины, можно найти не обращаясь к двумерному распределению (7)・ Действительно, Л можно записать как
{=^"〈е"〉а-и，(2.2.20)
где y = ccq + %2・ Величина у, будучя лянейной комбинацией xt и х2> распреде* лена по нормальному закону, т. е.
тд〉=ехр {0十 ^ 1〈歹〉一户]卜(2.2.21)
Но
g = ct石 + 工 2,у2 = а2х| + 2axtx2+х|.(2222)
Подставив (21), (22) в (20), получим
〈/片〉=(石 +蒞一无r2)ехр |х2 + У Й-wj-(2223)
Напрямер, для стационарного процесса с нулевым средним значением я функцией корреляции В (т) находим, используя (23),
=〈延*T〉=В⑴产",
〈Ry*〉=_ Ge*。= © (т)产/2.
Этот простой прием очевидным образом обобщается на вычисление средних более сложного вида:
〈(£ixi)"'i(£“，“)'"” {+J“+i〉；(2.2.24)
при этом, как и в рассмотренном выше примере (23), интегрирование многомерного распределеняя заменяется дифференцярованием некоторой вспомогательно；! функции. В (24) m-i — целые положительные степени, 広一произвольные линейные операторы.
Узкополосный стационарный шум
Огибающая, фаза, квадратурные компоненты. В этом разделе, а также в §§ 4 и 5 мы займемся моделью узкополосного стационарного шума (2.1.1), детальным анализом статистических характеристик его огибающей и фазы.
Физически представление случайного процесса (2.1.1), спектр которого G+ (со) сосредоточен в малой области Асо вблизи некоторой частоты со。，
Аз《о)о
(см. рис. 2.1). в виде колебания, близкого к гармоническому, совершенно естественно. Ниже мы сосредоточимся на математических
аспектах задачи и покажем, как, зная статистику 占(/), найти статистические характеристики р и р
Особое внимание в §§ 3, 4 уделено случаям, когда Е (0 является стационарным гауссовским шумом или суперпозицией гармонического сигнала и стационарного гауссовского шума. Эти примеры в равной мере важны и для радиофизики, и для оптики. Для этих случаев удается получить практически исчерпывающую информацию о корреляционных функциях и законах распределения случайных огибающей, фазы и частоты. Учитывая важность для приложений, мы приводим здесь и значительный справочный материал; наряду с действительной, мы широко будем пользоваться и комплексной записью.
Более специальный характер носит материал § 5; здесь рассмотрены негауссовские квазигармонические процессы.
Вводя огибающую (амплитуду) р (/) и фазу ср (/), запишем
占⑴=Р (f) COS [о)о/ + 屮(3；(2.3.1)
вместо р и ср можно ввести так называемые квадратурные компоненты а (/) и b (0，тогда
Е (f) = а (/) cos gf — b (/) sin(2.3.2)
Для узкополосного процесса (Да> ^ <оо) записи (1) и (2) соответствуют выделению быстрых (cos <оо/, sin ш0/) и медленных (р,(р( а, Ь) функций времени. Заметим, что выражениями (1),(2) вместо одной случайной функции ^ (/) вводятся пара случайных функций: р (/) и ср (/) или @(f) и b(f). Естественно, что при этом возникает некоторая степень неопределенности в нахождении указанных функций. Весьма нагляден и физичен способ устранения этого «произвола» для дифференцируемого случайного процесса В (f), т. е. для процесса, у которого существует производная Н = dc/dt. Тогда для однозначного определения огибающей узкополосного стационарного шума можно воспользоваться формулой
Р «) = &/) +崛甘(川叱(2.3.2а)
где надо полагать | =——(Oopsin[co0/ +(p(0]； при вычислении производной узкополосного процесса производными огибающей и фазы пренебрегаем. Если записано выражение (2а), то однозначно определена и фаза (/).
Всюду далее при физической интерпретации результатов следует иметь в виду приведенные соотношения. Отметим вместе с тем, что при вычислении спектров и законов распределения функций р, ср, а, Ь необходимости в использовании соотношения (2а) не возникает. Огибающая, фаза и квадратурные компоненты имеют простой геометрический смысл (рис. 2.4) и связаны между
собой соотношениями
pn^az + bz, ср = arctg ~, a = pcos(p, b = psin(p・
В дальнейшем как сам шум 占，так и его амплитуда, фаза к квадратурные компоненты считаются стационарными случайными функциями времени. Можно показать (см.亠 условии представление в виде квазисинусоид (1) или (2) становится возможным лишь для определенного класса процессов Е, а именно для процессов с симметричным распределением вероятностей:
Очевидно, что чем уже спектр процесса | (/), тем медленнее движется изображающая точка А по плоскости ху (см. рис. 2.4); при этом изменение во времени случайных функций Р (力，屮 ⑴，@ (f) и b (/) также будет медленным ).
Корреляционные и спектральные характеристики квадратурных компонент. Статистические свойства функций а, Ь, р,屮 и 己 между собой определенным образом связаны. В этом разделе мы рассмотрим, какие выводы
Рис. 2.4. ГеометричеРис. 2.4. Геометрическийскийсмысл огибаюсмысл огибающей р (f), фазы qp.(O и квадратурных компонент a (f) н b (0 узкополосного случайного процесса.щей р (f), фазы qp.(O и квадратурных компонент a (f) н b (0 узкополосного случайного процесса.могут быть сделанымогут быть сделанытолько из того факта, что эти функции стационарны.
Рис. 2.4. Геометриче
Рис. 2.4. Геометриче
ский
ский
смысл огибаю
смысл огибаю
щей р (f), фазы qp.(O и квадратурных компонент a (f) н b (0 узкополосного случайного процесса.
щей р (f), фазы qp.(O и квадратурных компонент a (f) н b (0 узкополосного случайного процесса.
могут быть сделаны
могут быть сделаны
Рассмотрим стационарный шум (2) с | = 0. В этом случае
(2.3.3)(2.3.3)⑷…=0.
(2.3.3)
(2.3.3)
Используя (2), составим выражение для корреляционной функции В(т) = Ш：
В (т) = у (аах + b&) cos соот + ； (а/ — а%) sin шот +
+ ^(аах — bbj cos(2(o0/ +(o0t) — ； Qb +@儿)sin (2ш0^+ ①屮).
Из-за стационарности зависимость от времени здесь должна исче
зать； следовательно,
(aat) = (ЬЬ^ = о2р (т),(2.3,4)
"2〉=〈b2〉=。2=化2)，〈a%)= -〈аТь〉= 。2д(T).(2.3.5)
При этом
В (т) = и2P (т) cos шот — и2g (т) sin 询工=o2R (т),(2.3.6)
где R (т) — коэффициент корреляции:
R (т) = Р ⑴ cos ①餌一g ⑺ sin ①屮=г (т) cos [шот + 屮(т)],(2.3.7)
r(T) = W(т)+ д2 ⑺,屮(T)= arctg 爲.(2.3.8)
Корреляционную функцию В (т) можно также обычным образом выразить через спектр G+((o) (см. (1.3.19а)):
В (т) = J G (ш)d(o = J G+ (ш) cos ondco
—80
(239)
или, если ввести новую переменную Q =(o —з。,
В (т) = cos шот \ G+ (со。+ Q) cos Йт dQ — — (до
8
—sin шот j G+ (соо + Q) sin ЙтdQ.
Сравнивая (6) и (10)? находим, что
(2.3.10)
и2P (т)== \ G+(o)0 + Q)cos QxdQ,
(2.3.11)
и2g (т)= \ G+ (ш0 + Й) sin Qt dQ.
(2.3.12)
Из этих формул видно, что функция q (т) является функцией т:
д(—т) = —д(т).
нечетной
в частности, q (0) = 0, т. е. в совпадающие моменты
времени
квадратурные компоненты некоррелированы:
(ab) = и2g (0) = 0
(2.3.13)
(см. (5)). Мз (12) также видно, что если спектр G「(w/ симметричен относительно частоты ш0:
G+ (со。一 Q) = G+ (働 + Q), то 9(т) = 0 при любых т и согласно (6)
В (Т) = О2р (Т) COS UJqT.
Функция р (т) обладает всеми свойствами коэффициента корреляции стационарного процесса:
Р(0)=1， р(—т) = р(т).
Преобразуя по Фурье корреляционную функцию:
〈〃％〉=〈bbj = 0力(т) = \ G+ (й)о + С) cos QxdQ,
легко убедиться, что спектр интенсивности квадратурных компонент равен симметричной относительно соо части спектра G+ (ш) процесса Е：
Ga (s) = G(, (з) = ^ J р (т) е* dx = y [G+ (о)0 — s) + G+ (о)0 + з)].
—8(2.3.15)
При этом вид спектра квадратурных компонент существенно зависит от выбора частоты (рис. 2.5).
Статистические свойства комплексной амплитуды узкополосного процесса. Часто вместо вещественной записи (1), (2) через огибающую и фазу или квадратурные компоненты мы будем использовать и комплексное представление случайного колебания：
Е (0 = / 〃)施。，+ к. с.(2.3.16)
Вычислим статистические характеристики комплексной амплитуды Л (/). Из сравнения (16) и (1), (2) следует, что
4 (/) = а，”'》⑺=у р (/) е 绅⑴，(2.3.17)
a(/) = 4 (/) + 4* (/), b(t)^i(A*(t)-A(t)).(2.3.18)
Пользуясь формулами для корреляционных функций квадратурных компонент (4) и (5), нетрудно получить для комплексной амплитуды стационарного шума следующие соотношения:
〈/〉= 0,〈屋〉=〈44〉= О, <ДД*> =的2,(2.3.19)
〈4爲〉=^历")一切(叫=:J G+(3。 + Q)e-『Q =
—О)
Вco
匸 £心。| / j G+ (со) /'si d(o = ^^ J G (co) e~iayt dg (2.3.20) о0
где G (co) — спектральная интенсивность шума |,
& = “6(t)= \ G ((a) e~iWx d^.
—00
При(oVO функция G+ (ш) = О, т. е. G+((oo + Q) = O при Q V — з》 Поэтому выражение (20) можно переписать как<ЯЛ^>=4 j G+ (^ + Q)e-^dx9—8(2.3.21)и, следовательно,^G+® + a)= ^ j <ЛЛ?)^Чт, —8(2.3.22)т. е. корреляционная функция (А А*) комплексной амплитуды и смещенный на соо спектр по по-При(oVO функция G+ (ш) = О, т. е. G+((oo + Q) = O при Q V — з》 Поэтому выражение (20) можно переписать как<ЯЛ^>=4 j G+ (^ + Q)e-^dx9—8(2.3.21)и, следовательно,^G+® + a)= ^ j <ЛЛ?)^Чт, —8(2.3.22)т. е. корреляционная функция (А А*) комплексной амплитуды и смещенный на соо спектр по по-Рис. 2.5. Зависимость формы спек-тра квадратурных компонент отвыбора частоты(оо.Рис. 2.5. Зависимость формы спек-тра квадратурных компонент отвыбора частоты(оо.Спектр узкополосного случайного про-цесса G+ (со) во всех случаях один итот же.Спектр узкополосного случайного про-цесса G+ (со) во всех случаях один итот же.ложительным частотам связаны преобразованием Фурье.Как видно из (20),〈//» имеет, вообще говоря, как вещественную (четную по т), так и мнимую (нечетную по т) компоненты. Еслиложительным частотам связаны преобразованием Фурье.Как видно из (20),〈//» имеет, вообще говоря, как вещественную (четную по т), так и мнимую (нечетную по т) компоненты. Еслиспектр G+ (ш) симметричен относительно з。，то ^ (т) = 0 и функ ция (ЛЛ?) будет чисто вещественной:спектр G+ (ш) симметричен относительно з。，то ^ (т) = 0 и функ ция (ЛЛ?) будет чисто вещественной:
При(oVO функция G+ (ш) = О, т. е. G+((oo + Q) = O при Q V — з》 Поэтому выражение (20) можно переписать как
<ЯЛ^>=4 j G+ (^ + Q)e-^dx9
—8(2.3.21)
и, следовательно,
^G+® + a)= ^ j <ЛЛ?)^Чт, —8(2.3.22)
т. е. корреляционная функция (А А*) комплексной амплитуды и смещенный на соо спектр по по-
При(oVO функция G+ (ш) = О, т. е. G+((oo + Q) = O при Q V — з》 Поэтому выражение (20) можно переписать как
<ЯЛ^>=4 j G+ (^ + Q)e-^dx9
—8(2.3.21)
и, следовательно,
^G+® + a)= ^ j <ЛЛ?)^Чт, —8(2.3.22)
т. е. корреляционная функция (А А*) комплексной амплитуды и смещенный на соо спектр по по-
Рис. 2.5. Зависимость формы спек-тра квадратурных компонент отвыбора частоты(оо.
Рис. 2.5. Зависимость формы спек-тра квадратурных компонент отвыбора частоты(оо.
Спектр узкополосного случайного про-цесса G+ (со) во всех случаях один итот же.
Спектр узкополосного случайного про-цесса G+ (со) во всех случаях один итот же.
ложительным частотам связаны преобразованием Фурье.
Как видно из (20),〈//» имеет, вообще говоря, как вещественную (четную по т), так и мнимую (нечетную по т) компоненты. Если
ложительным частотам связаны преобразованием Фурье.
Как видно из (20),〈//» имеет, вообще говоря, как вещественную (четную по т), так и мнимую (нечетную по т) компоненты. Если
спектр G+ (ш) симметричен относительно з。，то ^ (т) = 0 и функ ция (ЛЛ?) будет чисто вещественной:
спектр G+ (ш) симметричен относительно з。，то ^ (т) = 0 и функ ция (ЛЛ?) будет чисто вещественной:
В (т) = а2р (т) cos com〈//計=y 02P(T)*(2.3.23)
Узкополосный гауссовский шум
Анализ статистических свойств огибающей и фазы случайного процесса с наибольшей полнотой может быть выполнен в том случае, когда а и b являются гауссовскими случайными функциями. Процесс 占，зависящий от а и b линейно, также будет при этом гауссовским. Ограничимся здесь рассмотрением случая, когда at b и I стационарны.
Согласно (2.3.3) процессы at b и I имеют нулевые средние значения и одинаковые дисперсии:
(2.4.1)(2.4.1)乙=方=e = 0,及="=0 = g2,т. е. их одномерные распределения идентичны:
(2.4.1)
(2.4.1)
ЬУ(Е) = J-e-导/竺w V 2л о
Распределения огибающей и фазы. Из гауссовости а и b и отсутствия корреляции между ними (см. (2.3.13)) следует, что в совпадающие моменты времени а и b статистически независимы, т. е. их совместное распределение вероятностей имеет вид
КУ (a, b) = w(a)w(b) =^ exp (-^i^J.(2.4.3)
Переходя в (3) к переменным р и ср:
a = pcos <р, b = psin(p,就訂^ = р, найдем совместное распределение огибающей и фазы квазигармо- нического гауссовского процесса:
з(р,(p) = g(a = pcos(p, .b = psin(p)|^^| = ^卷/А/2叫 ，(2.4.4)
Функцию (4) можно представить как w (р, (р) = з(р)и((р), где ю(<р)= const. Следовательно, подобно а н В, случайные величины р и ср в совпадающие моменты времени также статистически независимы. Прои нтегр и ров ав (4) по р (0VPV8), получим
w^=h'w^=h'лл切(<p)d(p= 1.切(<p)d(p= 1.(2.4.5)(2.4.5)
w^=h'
w^=h'
л
л
切(<p)d(p= 1.
切(<p)d(p= 1.
(2.4.5)
(2.4.5)
Таким образом, фаза ср имеет равномерное распределение и все ее значения в интервале (—л, л) равновероятны (рис. 2.3, в). В § 5 будет показано, что распределение (5) являете i универсальным, т. е. равномерным распределением обладает фаза любого (не только гауссовского) квазигармонического стационарного процесса.
Разделив (4)на w (ср) = 1/2л, найдем распределение огибающей гауссовского процесса:
切(Р)==書 222tl2 (р N 0).切(Р)==書 222tl2 (р N 0).(2.4.6)(2.4.6)
切(Р)==書 222tl2 (р N 0).
切(Р)==書 222tl2 (р N 0).
(2.4.6)
(2.4.6)
Это так называемое распределение Рэлея (рис. 2.3, 6). Моменты р равны:
〈р2”〉=2"僦产，〈р2”+1〉= |Л^.(2〃+ 1)!! 02n+1,(2.4.7)
/п721 厂而m，付k/п721 厂而m，付k(2.4.7а)(2.4.7а)
/п721 厂而
m，付k
/п721 厂而
m，付k
(2.4.7а)
(2.4.7а)
Распределение интенсивности. Интенсивность / узкополосногопроцесса связана с его огибающей соотношением / = р2/2, причем〈/〉=；8 =。2=宙〉.
b С. А. Ахманов н др. 1
Переходя в (6) к переменной /, нетрудно убедиться, что для гауссовсксго узкополосного процесса распределение интенсивности является экспоненциальным：
и (/) = и (р = /27) I §7-1 = 57 е-〃в =济ехр (-扮)(2.4.8)
рис. 2.3, г). Моменты интенсивности равны согласно (7):
</л> =费〈р2"〉=川。2" = nl〈/〉"•(2.4.9)
Двумерные распределения и корреляционные функции огибающей н фазы. Ранее были найдены средние значения квадратурных компонент (онн равны нулю — см. (2.3.3)) и парные корреляции между ними для двух моментов времени (см. (2.3.4), (2.3.5) и(2.3.11)» (2.3.12)). Поэтому, учитывая гауссовость а и 瓦 по общей формуле (225) можно получить распределение w (а,。中 久 互), а затем, произведя замену переменных, найтн четырехмерное распределение огибающей и фазы:
5(Р, Рт> 屮，ЧЧ)= 5(Р, Рт> Ф —Фт) =
黯中eхр {-今需鄒},(2.4/。)
где戸=户⑺+矿⑺，b =0⑴cos (tp 一牝)一？(t) sin (屮一屮J丨0|wL
Проинтегрировав (10) по ф и фх, получим двумерное распределение для огибающей:
а(Р，「丁)=読三^/о(п£т5*)ехр [一宜豈".(2.4,11)
Аналогично находится двумерное распределение для фазы;
,、1—Т 1 л/24-arcsin р П
° @ 中g(2.4.12)
а также условные распределения:
2 p8 噺="'。(3 明 exp [" дао,②4」3)
5(屮屮1=5累~用=2而(屮，屮)(2.4.14)
Заметим, чтоИз (11)Заметим, чтоИз (11)распределения (10), (11) и (14) зависят только от разности фаз,можно найтн функцию и коэффициент корреляции огибающейраспределения (10), (11) и (14) зависят только от разности фаз,можно найтн функцию и коэффициент корреляции огибающей(см. [1], с. 561):〈рр» = 02[2Е (1) — (1 —г2) К("]=由(1+喲上(см. [1], с. 561):〈рр» = 02[2Е (1) — (1 —г2) К("]=由(1+喲上雷п雷п"方+（打f品片+・・・+厂謂"方+（打f品片+・・・+厂謂
Заметим, что
Из (11)
Заметим, что
Из (11)
распределения (10), (11) и (14) зависят только от разности фаз,можно найтн функцию и коэффициент корреляции огибающей
распределения (10), (11) и (14) зависят только от разности фаз,можно найтн функцию и коэффициент корреляции огибающей
(см. [1], с. 561):
〈рр» = 02[2Е (1) — (1 —г2) К("]=由(1+喲上
(см. [1], с. 561):
〈рр» = 02[2Е (1) — (1 —г2) К("]=由(1+喲上
雷п
雷п
"方+（打f品片+・・・+厂謂
"方+（打f品片+・・・+厂謂
а такжеа также\РРт/\РРт/К("К("(2,.4.15а)(2,.4.15а)
а также
а также
\РРт/
\РРт/
К("
К("
(2,.4.15а)
(2,.4.15а)
Согласно (15) коэффициент корреляции равен
Rp⑴=Rp⑴=<РРт> —<Р2>〈Р2〉一〈Р〉2—<РРт> —<Р2>〈Р2〉一〈Р〉2—=3[("，卄開片+(吊)2，+)
Rp⑴=
Rp⑴=
<РРт> —<Р2>
〈Р2〉一〈Р〉2—
<РРт> —<Р2>
〈Р2〉一〈Р〉2—
= 0,921 г24-0,058М4- 0,014гв4-... ；(2.4.16)
Е н К — полные эллиптические интегралы. Ряды в (15), (16) быстро сходятся, и прн учете членов порядка ，《ошибка не превышает 2%・
Таким образом, с достаточно высокой степенью точности можно написать
Rp (т) 0 戸(т),
время корреляции Тр огибающей меньше времени корреляции т^ самого процесса； например, для процесса с экспоненциальной корреляционной функцией Тр = т^/2 (ширина спектра огибающей соответственно вдвое больше ширины спектра процесса). Вместе с тем время корреляции фазы т(р 〜т^, как следует нз приводимой ниже формулы (19а).
Не обращаясь к распределению (II), а используя просто правила представления высших корреляций через парные для гауссовских процессов» можно найти корреляционные функции четных степеней огибающей:
"啥*=〈(。2+庐产侬+吟吟.
В частности,
〈р2р» = 4(0 [ I + 戸(т)].(2.4,17)
Для сравнения укажем, что
〈¥ 毙〉=EU+2R2“)h
где
R^) = P (т) cos(оот— g (т) sin(оот=^^
—коэффициент корреляции процесса &• В общем случае ([1], с. 560)
〈pvp診=(2。2)"+3/2Г。6+1『3/2 + %(_^, _多，[,八⑴)，(2.4.18)
где F (а, р, у, z) — гнпергеометрическая функция. Так как ряд, которым выражается г н пер геометр нческ а я функция, обрывается при целых отрицательных а или 3 то
Приведем некоторые корреляционные характеристики фазы, которые могут быть найдены из распределения (12) ([I], с. 567, 570):
〈吸〉="(1+2y_4屮 + 勘， 研吊， (2.4.19а) / ⑺=贊=3(2Y一4Y2 + ^)'
<!ф-<рт » = " (1-4T), < ! <p -<рт |2〉="2(8Y* -4Y+^^)
<cos (gf + qp) cos (ш^ + 5T + %)〉=〈 sin (gf + qp) sin (①让 +(оот + qpt)> =
1 /,, 口 R“)E(r) — (I—")K(r)
=讶 <cos (шл+Фт-Ф)>— f8 ~—,
.-/、\P (r) E (r) — (1 —К (г)
(cos qp cos qpQ = (sin qp sin qpt) = у (cos (qp —qpt)) =^—~~~
В этих выражениях oo
Y (т)=涼 arcsin г (т), R = Q (г)=市±土，n⑴7，
Е и К—эллиптические интегралы, причем
»(丁工 jj爲『黑="+。,…吁"
(2.4.20)
Согласно (2311), (2,3.12) и (10) при малых т
「(“el —1 r»Q«,q (т) у т%,，(т) 11 —} r«R；,(2.4.21)
где
со
W ((о) ((о — 5)d(o,
о
G+ ((о) (со—®о)а ds,
Qs = Q| — Q| = ^. J G+ ((o) ((o—(oo—Qi)，d(oNO・ 0
(2.4,22)
Параметры Q1( #, 8( имеющие размерность частоты, характеризуют ширину спектра квазигармонического процесса и то, как этот спектр расположен относительно частоты Если выбрать
<о“=叫="^ § G+ (<о)(о d(o,о
(2.4.23)
то
% «= О,
со
G+ ((о)(о2 d(o —(о?*
(2.4.24)
Статистические характеристики производных по времени от огибающей и фазы. Если в (11) перейти к пределу tf 0, то, полагая Рт = р + т0 к используя (21), получим, домножив на якобиан J 当黑曾 I в J совместную функцию распределения огибающей и ее производной:
Р*/2О2— Ра/2<^й?
w(p, 0) = —(2.4.25)
Из (25) следует, что р и р статистически независимы (в совпадающие моменты времени), причем одномерная функция распределения вероятностей для р имеет вид гауссовской кривой
—尸/20aq] (-оо<р<оо) (2.4.26)
е дисперсией
〈声〉=阊;=8 Q:/2.
Рис. 2.6. Распределение вероятностей (27) для мгновенного значения частоты Ф.Рис. 2.6. Распределение вероятностей (27) для мгновенного значения частоты Ф.Тем же способом из (12) находится совместное распределение для фазы и ее производной:
Рис. 2.6. Распределение вероятностей (27) для мгновенного значения частоты Ф.
Рис. 2.6. Распределение вероятностей (27) для мгновенного значения частоты Ф.
W (ф, Ф)=ЬУ (ср) и (@)=歳 КУ (Ф),
3仰)=2[(©_%)2+例13/2 (оо >ф>оо —) или просто
w (叫=2仰2 + 磁产2 (3。= 5)，
(2.4.27) если считать, что средняя частота о)о выбрана в соответствии с (23).
Распределение (27) представлено на рис. 2.6. Характерная область наиболее вероятных значений ф определяется параметром Q2« В частности, | ф|^2й3 с вероятностью 0,9 и :叫 W7Q& с вероятностью 0,99. Тем не менее дисперсия ф не имеет конеч- ного значения:
<Фа) — § 心仲)ф2 dj = оо.
Этот результат показывает, что, говоря о фазе узкополосного случайного процесса как о медленно меняющейся величине (по сравнению, например, с cos ^t), следует соблюдать некоторую осторожность, так как при определенных условиях (вероятность их
осуществления уменьшается с уменьшением Q2> но остается конечной) фаза сколь угодно узкополосного квазигармонического процесса Е(/) может меняться быстро ). Рассмотрим теперь этот вопрос более подробно, используя найденные распределения вероятностей [2].
Предположим, что частота ш0 выбрана равной 叫(23), так что Qi —0. Из распределения (10) можно получить распределения для огибающей, фазы и их производных
и(Р，О, 9，ф) = ш((р)^(р) и(р, ®),
где w (ср) = 1/2л, w (р) имеет вид (26), а
и(р, ф) — f^ - exp — р"佻+ 2卜 (2.4.28)
Из этого выражения видно, что значение риф сильно коррели- рованы. Условное распределение для ф, соответствующее заданному значению огибающей р, будет
з 仲 I р)=導exp I — 窓 (2.4.29)5 (р) У 2兀电。 L 2cj2Q| J
В отличие от безусловного распределения (27) оно имеет вид гауссовской кривой и характеризуется теперь уже конечной дисперсией
В〉" * (2.4.30)
Из (30) видно» что скорость изменения фазы становится особенно большой при «замираниях» шума Н (0> когда его огибающая р (/), флуктуируя, падает до уровня, много меньшего, чем среднее значение р = л/2 и.
Примеры нестационарных узкополосных процессов. В радиофизике и оптике квазигармонические процессы формируются чаще всего при фильтрации шумов узкополосными системами; в этом случае % представляет собой среднюю частоту» a As—характерную полосу пропускания фильтра. Рядом специфических особенностей обладают параметрические фильтры — параметрические усилители и преобразователи различных типов (см. гл. 6); узкополосные шумы, возникающие на их выходе» оказываются нестационарными ). Ниже рассмотрены примеры нестационарных квазигармонических процессов; для этих процессов среднеквадратичные значения квадратурных компонент не равны друг другу.
Обратимся прежде всего к анализу случая, когда одна из квадратурных компонент в (232) (например, b ⑴)равна нулю:
& (f) =。(f) cos(о(/-(2.4.31)
Выражая (31) через огибающую» фазу и комплексную амплитуду, получим
Е (f) =р (f) cos [(о(/ + 屮(f)] = Л (f) 6庙。‘ + к. с.,(2.4.32)
p(f) = |a(f)|,屮(U 黑;北(24.33)
Модель (31) хорошо передает свойства реального шума на выходе параметрических усилителей оптического и СВЧ диапазонов прн вырожденном режиме работы и больших коэффициентах усиления (см. §§ 2, 5 гл. 6).
При гауссовости。(f) процесс (31) также будет гауссовским, но нестацио нарным： дисперсия (52) = (°2) cos2(o(/ и распределение вероятностей
1Гt2 "I
切怎 f)= 广 二exp= (2.4.34)
Г 2л (a2) j cos(о(/ J [2 (a2) cos2 gf J
в этом случае периодически меняются во времени (периодическая нестационар- ность).
Практический интерес представляют, разумеется, не мгновенные значения моментов, а величины, усредненные по периоду Т = 2л;/(о屮 Именно такие величины регистрируются в эксперименте. Операцию усреднения по времени некоторой функции f(f) обозначаем волнистой чертой (см. (1.4.2)),
Для (31) имеем: усредненная по времени дисперсия 〈士纟)=1/2〈о?〉, усредненная по времени корреляционная функция
7ШУ= J〈。％〉cos(оот,(2.4.35)
усредненный по времени спектр
G(3)=困 )(乐力ё一心°也(2.4.36)
Отсутствие в (35) члена, пропорционального sin дт, означает, что соответствующий (36) спектр по положительным частотам
沁 /2 ^7^), (о >0,
G®)= {o,3V0,(2437)
в рассматриваемом случае симметричен относительно ш0:
G* ®) = d+ (g + ◎) = G+ ® — Q).(2.4.38)
Как следует из (31), (32), распределение огибающей имеет вид гауссовской кривой：
@(Р)=—「2"叱Р>0(2.4.39)
К 2л a
В=〈р2〉=⑺)，
а распределение фазы выражается через 6-функции:
ю (qp) = у б (qp—л) 4- -g- в (ф 4- л) 4- б (qp) — л < ф < л). (2.4.40)
Рассмотрим теперь общий случай ——квазигармоническин гауссовский процесс
E(f).a(f)cos((od + %) —b (f"in ((od + qpo),(2.4.41)
для которого не выполнены условия стационарности (2.3.4), (2.3.5), т. е.
〈吟，(振〉，(/〉，0.(2.4.42)
Второе из этих условий несущественно, так как подбором фазы qp0 всегда можно добиться обращения в нуль 〈。5〉. Будем считать, что это сделано, и рассмотрим (41), предполагая, что
(а} = (Ь) = 0,〈曲〉=0,
〈М〉= н (1 +В),〈户〉=党(1 -₽)(2.4.43)
(-1<р<1, S〉，〈bz〉)，
где 若 и р —постоянные параметры.
Случайными функциями вида (41) описываются, например, шумы в параметрических усилителях, работающих в вырожденном режиме, причем величина § связана с коэффициентом усиления: прн малом усилении р =^ 0, при большом —I р I =s 1 (см. гл. 6). Усредняя & и учитывая (43), находим
<g> = 0,<^> = о2 (П=о? [1 + р cos 2 ^ +(р0)].(2.4.44)
При гауссовских и стационарных a (f) и 匕(f) распределение вероятностен для Е (/) тоже будет гауссовским, но зависящим от времени, т. е. в рассматриваемом случае процесс 匕(f) является нестационарным:
(2445)
При р =0 процесс (41) совпадает со стационарным шумом (2.3.1), а при р = 1 —с процессом, описываемым (31).
Из совместного распределения для 。н 匕
5 (0，Ь) = 5 (0)⑪(b)=
У 2ла0/Г+р е"[2蜕(1 + §) J/йта0/1—р ‘#[ 2ag (1 —р) J
можно получить совместное распределение для огибающей и фазы процесса (41):
切(р, ф) =£ , exp Г^- 1—Bcos2qp ].(2.4.46)
2g必1一产 L2骑1 一俨J 、)
Функция (46) не распадается иа произведение функций р и qp, т. е. в этом случае огибающая и фаза оказываются статистически связанными. Интегрируя (46) по 屮，найдем распределение огибающей:
侬(р) -ех]> 卜一 —卜/,(2.4.47)
内Р1一/ L 2源(1一炉)」〈2^(1 一俨)/丿
где /0 (х) — модифицированная функция Бесселя:
2л
Это распределение при различных значениях параметра 0 показано на рис. 2.7. В предельных случаях оно переходит в распределение Рэлея (0 = 0) или гауссовское распределение (39) (0 = 1)*
Рис. 2.7. Распределение (47) огибающей периодически нестационарного гауссовского процесса (41) при различных значениях параметра р (43).
Предельными являются рэлеевское распределение (pt = 0) н одностороннее экспонен-циальное распределение (₽S = I); 0<₽i<33 <₽4< I.
Интенсивность процесса (41) равна
/ = ^・(* + #)= % р2;(2.4.48)
переходя в (47) к переменной /, можно определить распределение вероятностен для /:
切(/)= _ 1 .. ехр Г— ] /о (—V (2.4.49)
骑h一炉L 酬(1一产)」旧(1一产)丿
Из (49) находим
〈/〉= Н，«2〉=8(2 + В 叽(Р>-(/}» = аН1+₽а).
Отсюда следует, что нестационариость приводит к заметному увеличению относительной дисперсии иитенсивиости:
=1+产(2-4.60)
Согласно (50) в предельном случае р = 1 относительные флуктуации интенсивности возрастают в два раза.
Проинтегрировав (46) по р, найдем распределение для фазы Н — У 1
山($)= _—而 一 j二к而521P.(—nvgvn). (2-4.51)
Оно имеет три максимума (при 屮=0, ± л; см. рис. 2.8) и в предельном случае р — 1 принмает вид (40); с уменьшением 0 распределение w (ф) стремится к равномерному: © (<р) = 1/2л.Оно имеет три максимума (при 屮=0, ± л; см. рис. 2.8) и в предельном случае р — 1 принмает вид (40); с уменьшением 0 распределение w (ф) стремится к равномерному: © (<р) = 1/2л.Рис. 2.8. Распределение вероятностей (51) фазы периодически нестационарного гауссовского процесса (41) при различных значениях параметра р (43).Рис. 2.8. Распределение вероятностей (51) фазы периодически нестационарного гауссовского процесса (41) при различных значениях параметра р (43).Предельными являются распределение типа б-функции (₽в == I) и равномерное распределение (储=0)： 0<р£<₽3<₽*<!.Предельными являются распределение типа б-функции (₽в == I) и равномерное распределение (储=0)： 0<р£<₽3<₽*<!.
Оно имеет три максимума (при 屮=0, ± л; см. рис. 2.8) и в предельном случае р — 1 принмает вид (40); с уменьшением 0 распределение w (ф) стремится к равномерному: © (<р) = 1/2л.
Оно имеет три максимума (при 屮=0, ± л; см. рис. 2.8) и в предельном случае р — 1 принмает вид (40); с уменьшением 0 распределение w (ф) стремится к равномерному: © (<р) = 1/2л.
Рис. 2.8. Распределение вероятностей (51) фазы периодически нестационарного гауссовского процесса (41) при различных значениях параметра р (43).
Рис. 2.8. Распределение вероятностей (51) фазы периодически нестационарного гауссовского процесса (41) при различных значениях параметра р (43).
Предельными являются распределение типа б-функции (₽в == I) и равномерное распределение (储=0)： 0<р£<₽3<₽*<!.
Предельными являются распределение типа б-функции (₽в == I) и равномерное распределение (储=0)： 0<р£<₽3<₽*<!.
Корреляционные свойства комплексной амплитуды. Сделаем некоторые замечания относительно статистических характеристик введенной в § 3 комплексной амплитуды узкополосного процесса применительно к рассматриваемым в этом параграфе гауссовским процессам. Представление (2.3.16) квазигармонического гауссов- с кого процесса через комплексную амплитуду:
(2.4.52)(2.4.52)}(/) = { (/) 6庙。7 + К. С.
(2.4.52)
(2.4.52)
(а не через огибающую и фазу), имеет определенные преимущества. В частности, из (2.3.17) следует, что статистика А в этом случае будет гауссовской, так что высшие корреляции А могут быть выражены через парные. Например, если процесс (52) стационарный, то в силу (2.3.19), (2.3.20)
〈厶4〉= о, 〈4代〉=^【р(т)-ig(T)：三Г(Т)・(2.4.53)
Тогда, используя (2.2.9), можно показать, что
(АпА^ = 0, (ЛлЛГ)=п!Г?(т) (п = 1,2,3, ...). (2.4.54)
При решении стохастических дифференциальных уравнений иногда бывает удобно заменить достаточно быстро меняющуюся случайную функцию Ап (/) эквивалентным белым шумом ri (/):
4"⑴一> П (0,〈你〉=0,〈中1» = 206 (т). (2.4.55)
Корреляционную постоянную D в (55) определяем, приравнивая интегралы по т от〈｛"/曾、и〈"曜〉：
п! , Гп (т) dx — 2D.(2.4.56)
Напомним, что если спектр G+ (со) процесса (52) симметричен относительно частоты о)о> то (^0 — а2р (т) cos шот, ^ (т) = 0 и Г (т)— =а2р (т)/2 — вещественная функция т.
Суперпозиция гармонического сигнала и гауссовского шума. Полученные в предыдущих разделах результаты позволяют рассмотреть чрезвычайно важную для приложений модель случайного процесса, представляющего собой суперпозицию статистически независимых сигнала и шума. Такая модель описывает процессы на выходе реальных приемных устройств, куда принимаемый сигнал неизбежно приходит вместе с шумами, генерируемыми в самом приемном устройстве; в ряде случаев аддитивный шум накладывается на сигнал и в процессе распространения сигнала от передатчика к приемнику. Иногда модель сигнала с аддитивным шумом неплохо описывает и излучение на выходе некоторых генераторов радио- и оптического диапазона, хотя в общем случае здесь ситуация сложнее: в автоколебательной системе из-за нелинейности шум модулирует сигнал по амплитуде и фазе.
Использование представлений об огибающей и фазе узкополосных процессов позволяет дать весьма наглядную картину искажений сигнала, обусловленных аддитивным шумом. Если в отсутствие шума мы имеем дело, например, с идеальным монохроматическим сигналом, функции распределения амплитуды и фазы которого представляют собой 6-функции:
切(а)〜5 (а — а0), и (叫 〜5 (ср —(р0)>
то шум приводит к флуктуационному размытию этих распределений.
Удобным математическим выражением этих интуитивных представлений является представление случайно модулированного колебания в виде суперпозиции сигнала и шума. Однако теперь, в отличие от стационарного шума, огибающая и фаза будут, очевидно, статистически связанными； в зависимости от соотношения интенсивностей сигнала и шума мы должны в предельных случаях получить формулы, описывающие только сигнал или только шум.
Итак, рассмотрим случайный процесс типа сигнал + шум:
=+(2.4.57)
Здесь S (/) — некоторая регулярная функция времени (сигнал), a g (/) — рассмотренный выше чисто флуктуационный (£ = 0) ста-
ционарный гауссовский случайный процесс (52) (шум). Записывая S(f) как
S (0 = % (f) cos G>0 f — bg (0 sin ©o^ = Ps ⑴ cos [30f + Ф5 (f)L (2.4.58)
Ps а 了 碾4~ 羯,ф5 = arctg(2.4.59)
'@£ — Ps COS Ф5, bs = ps sin <P5，
и используя (2.3.2), перепишем (57) в виде
х (/) = [а (/) + % (/)] cos ®о^ — [b ⑴ + bs (/)] sin 恤/ = ^p(/)cos[(o0^ + <P(0]» (2.4.60) где теперь
р — /(а + @s 产 + (b + 坛产，<p ^ arctg 石w *(2.4.61)
a ^ p cos ф — a5, Z? = psin(p —65.(2.4.62)
Рассмотрим вероятностные характеристики огибающей р и фазы <р процесса х (/). Как и выше, будем исходить из совместного распределения вероятностей для квадратурных компонент ю(a + а5> ь + 坛)=^51*("+")"叫(2*4.63)
Переходя в (63) к переменным р и <р и учитывая, что
получим
з(p,叫Н磊^卜~明幾l5)+刊(2.4.64) (р>0, — л<(р< л).
Проинтегрировав (64) по <р, получим распределение огибающей з(р)= § з(р, <P)rf<P = -§-/o(-^-)exp[--^-J^-j, (2.4.65) иногда называемое обобщенным распределением Рэлея. В (65) /0 (г)——модифицированная функция Бесселя. Вид распределения (65) зависит от величины параметра
M = pZf)/2d(2.4.66)
(рис. 2.9). Если S (/) и Е (/) — узкополосные процессы, то 卩名 характеризует так называемое отношение сигнал/шум, т. е. отношение
усредненной (по периоду высокой частоты с)о) интенсивности сигнала ps (0/2 к средней интенсивности (или дисперсии) шума
Рис. 2.9. Распределение вероятностей (65) для огибающей суммы сигнала и гауссовского шума.Параметром распределения является отношение сигиал/шум — цй; щ=0 (распределение Рэлея, 0<р.8<Цз<ц4).Рис. 2.9. Распределение вероятностей (65) для огибающей суммы сигнала и гауссовского шума.Параметром распределения является отношение сигиал/шум — цй; щ=0 (распределение Рэлея, 0<р.8<Цз<ц4).Рис. 2.10. Распределение вероятностей (67) для фазы суммы сигнала и гауссовского шума при различных отношениях сигнал/шум = ц2;0 = Н1<Н2<Нз V 闷.Рис. 2.10. Распределение вероятностей (67) для фазы суммы сигнала и гауссовского шума при различных отношениях сигнал/шум = ц2;0 = Н1<Н2<Нз V 闷.
Рис. 2.9. Распределение вероятностей (65) для огибающей суммы сигнала и гауссовского шума.
Параметром распределения является отношение сигиал/шум — цй; щ=0 (распределение Рэлея, 0<р.8<Цз<ц4).
Рис. 2.9. Распределение вероятностей (65) для огибающей суммы сигнала и гауссовского шума.
Параметром распределения является отношение сигиал/шум — цй; щ=0 (распределение Рэлея, 0<р.8<Цз<ц4).
Рис. 2.10. Распределение вероятностей (67) для фазы суммы сигнала и гауссовского шума при различных отношениях сигнал/шум = ц2;
0 = Н1<Н2<Нз V 闷.
Рис. 2.10. Распределение вероятностей (67) для фазы суммы сигнала и гауссовского шума при различных отношениях сигнал/шум = ц2;
0 = Н1<Н2<Нз V 闷.
g2=f〈占2〉・ Проинтегрировав (64) по р, получим распределение фазы процесса (60):
3(叫=盡6一屮{1 +Гп^[1 +Ф(2)]}(2.4.67)
(рис. 2.10).(рис. 2.10).Q =卩 cos (ф - ф5))Q =卩 cos (ф - ф5))
(рис. 2.10).
(рис. 2.10).
Q =卩 cos (ф - ф5))
Q =卩 cos (ф - ф5))
Нетрудно найти предельный вид распределений (65) и (67)； при малом отношении сигнал/шум (ц,21)
5 0)~*6-a/2。[1一炉 + 炉給)， (2.4.68)
5COS (ф - <ps) + 今 COS 2((p— <ps)； (2.4.69)
при большом отношении сигнал/шум (ц?》1)
5 (РК W7 ехр [- ^^^]'(2.4.70)
ьу (ф) «^ ^ ехр [— ц2 (<р - <ps)2].(2.4.71)
Гауссовские распределения (70), (71) нетрудно получить и непосредственно из (61): если a《&s и %《％s, то в выражениях для р и ф достаточно учесть члены, линейные по а и &:
a^a + b^b/ а b \
P^PsH匕- <₽^<₽s+ — sin(pscos(ps.
PsaS bs /
В этом приближении разности р —р^ и ср —(р5 линейно зависят от гауссовских случайных функций а (/) и b (/) и, следовательно, сами тоже обладают свойством гауссовости, причем их дисперсии равны
〈(P-Ps)2〉=o2, <(<₽-<₽s)2>=^2/Ps=2/H2
в соответствии с (70), (71).
Негауссовские квазигармонические стационарные процессы
В предыдущем параграфе для огибающей н фазы узкополосного гауссовского процесса мы получили ряд физически наглядных результатов. Возникает естественный вопрос: как изменится статистика огибающей и фазы, если процесс негауссовский? Этот вопрос имеет не только методический интерес; с негаус- совскимн процессами в нелинейных системах приходится встречаться часто. Математические результаты, приведенные ниже, позволяют глубже понять статистику узкополосных процессов.
Универсальность равномерного распределения фазы. Рассмотрим опять процесс вида (2.3」)：
Е ⑴=р ⑴ сое [о)М+ф (0],(2.5.1)
но теперь с произвольным (не обязательно гауссовским) распределением вероятностей 山化)([3], ч. 1, с 310; [4, 5]). Случайные функции g, р и ф в дальнейшем считаются стационарными. Это условие стационарности позволяет
сделать ряд общих выводов о статистических свойствах р и ср. Покажем, что независимо от вида w (己)распределение w (ср) является равномерным:
w (ф) = 1/2л,—л <; ср < л,(2.5.2)
как это было установлено раньше для частного случая гауссовского распределения 5(E) (см. (2.4.5)). Будем исходить из общего выражения для характеристической функции процесса (1):
со л
e(u) = (e/u^> = j dp § dtp-叩侬侬就+⑺切伯，ф)1(2.5.3)
о~ л
Здесь w (р, ф) — пока неизвестное совместное распределение р и ср, соответствующее некоторому заданному распределению w (日 квазигармонического процесса Е(/) =р(/) cos (coj + tp (/)). Учитывая, что рассматриваются значения фазы, принадлежащие интервалу —л<ф<л, это распределение можно написать в виде ряда Фурье:
切(Р，ф)= 2 乙(Р)油包(254)
В аналогичном виде представим также второй множитель в (3):
е/«рсо8ф= g Um (up) 叫(2.5.5)
中=恤g + 中，Um (aP)=沙 Jm ("P)，
Jm —функция Бесселя; заметим, что
J-m (Z) = /т (— Z)= ( — l)m Jm О(2.5.6)
Подставив (4) н (5) в (3) н интегрируя по ср, получим
е(и)-=2л 玄 i^in^ f Vn (p) J„ (up) dp.(2.5.7)
%=—80
Однако 6 (а) не должна зависеть от 厶 поскольку процесс g (/) предполагается стационарным. Это значит, что все Vп (р) в (4) равны нулю, кроме Ко (р), т. е.
з(р,(р) = %(р).(2.5.8)
Независимость совместного распределения (8) от ф означает, что ш (q)) = const;
учитывая нормировку § ® (ф) ^Ф = 1 > приходим к (2).
Независимость р и <р. Выражения (7), (8) можно теперь переписать как
6 (м)= j 切(Р) J()Зр) dp,(2.5.9)
切(p，中)二切(p)切(中)=切(p)击,(2.5.10)
где w (р) — распределение для огибающей. Согласно (10) значения р и ср статистически независимы (в совпадающие моменты времени). Из (2) также следует,
что
〈cos2〃+i(p〉= (sin2n+i(p> = 0,(2.5.11)
〈с°У 呷〉=〈加2 呷〉== J2^T-.(2・5」2)
〈lcos^+峥 |〉=〈| 6加2〃+1cp |〉= ^役黑;川.(2.5.13)
Учитывая статистическую независимость р и ср и (11)—(13), имеем следующие соотношения между моментами & | 三 | и р:
〈『"1〉= 0.〈守"〉=〈р2"〉^g^,飞.5.14)
《咨*〉=〈产+‘〉^謐需.(2.5」5)
Равенство нулю нечетных моментов g означает, что кривая распределения 切(Е) симметрична, а 6 (и) — вещественная четная функция и:
1 ?
ш (Й= — \ 6 (и) cos ug du = ю (—E),(2.5,16)
6(м) = 2 \ 切鱼)cos 〃E dE = 8 (—u) = 0* (u).(2.5.17)
.6
Связь характеристической функции процесса с распределением его огибающей. Так как распределение w (ф) для всех квазнгармонических стационарных процессов имеет один и тот же вид (2), то статистические свойства процесса ” и его огибающей р оказываются однозначно связанными между собой. Например, преобразуя по обычным правилам совместное распределение (10) к новым переменным g = p cos ip и т] = р sin ф 伸=о)1+(р), а затем исключив 外 интегрированием, получим
心 1 С J 切(р)丨1 f 切(р) dp
冗? р |рн昨而冗g уp2 一0
Выражением (9) непосредственно через 切(р) определяется характеристическая функция квазигармонического процесса. Заметим, что (9) является преобразованием Ганкели. Используя обратное преобразование, придем к соотношению
w (р)=р § Jo (up)e (a) u du,(2.5.19)
о
позволяющему иайти распределение огибающей ш (р), если известна характе* ристическая функция 8(a). Рассмотрим несколько примеров.
Гауссовскому распределению
@("Н V^u 串 (一8 V * v 8)
соответствует характеристическая функция 6 (u) = е—и，01^2. Условия четности (16), (17) при этом, очевидно, выполняются. Используя (19), получим для
огибающей распределение Рэлея (2.4.6):
(Р>0),
Для квазигармопического стационарного процесса с постоянной неслучайной амплитудой ро находим, полагая в (18), (19)切(р) = 6 (р —例)，
3 也)=[^而F (化丨 VP0), 8(a)=厶"砲0)(2.5.20)
'0 (位 |>Po),
Распределение (20) было получено нами раньше другим способом в предположении ср = const (см. (1.4.21)).
В случае равномерного распределения
^©=1/2^ (—goVEV 爲)
согласно (9) н (19)
8(а)нЛ!^,з(р)=…鳥у(0<р<Ы-(25.21)
Квазигармонический процесс, все значения огибающей и фазы которого равновероятны:
切(р)=1/ро (О<р<ро),ш((р)=1/2л;,(2.5,22)
имеет согласно (18) следующее распределение:
3(l)u±in(p$-&2 + Mp^-f + i)(|E|Wp).
Если распределение Е экспоненциальное:
3 阳=^№团，〈日2〉=器,
то характеристическая функция равна 8 (〃)= &2/似2 + 〃2), а распределение огибающей выражается через функцию Макдональда:
5(Р)= а2рКо@Р)，〈р〉=л/2а,41g(2.5.23)
в. Если огибающая распределена по гауссовскому (одностороннему) закону
叫沪吾7……,叫沪吾7……,(2.5.24)(2.5.24)
叫沪吾7……,
叫沪吾7……,
(2.5.24)
(2.5.24)
то 6 (а)»е—и，о，/4/0 (и2а2/4) и
"陶匸爲i%保）"陶匸爲i%保）(—8 VE V8)・(—8 VE V8)・
"陶匸爲i%保）
"陶匸爲i%保）
(—8 VE V8)・
(—8 VE V8)・
Для квазнгармонического процесса с распределением
3(9=爲门《2=8,
характеристическая функция имеет вид экспоненты 8(〃)=厂06丨“1； подставив это в (19), найдем распределение огибающей
Распределение иитеисиввости. Общие соотношения, связывающие распределения интенсивности / = р2/2 и огибающей р, имеют вид
=—з(Р)=РЗ(/"г = р，/2・(2.5.26)
Как следует из (14), моменты интенсивности выражаются через четные моменты процесса (1):
宙"〉=2"(統;"〈"〉•(2.5.27)
Используя (19) и (26),切(/) можно выразить непосредственно через характеристическую функцию квазигармонического процесса (1):
切(/) = \ Jo (u К2/) 6 (u) u du.(2.5.28)
о
Аналогично, по заданному распределению интенсивности ю (/) однозначно определяется характеристическая функция процесса (1)
(2.5.29)(2.5.29)6 ® =，切(/) Jo (и 吸7) d/
(2.5.29)
(2.5.29)
6
1 f 切(/) diQ M 口1 f 切(/) diQ M 口(2,5,30)(2,5,30)и его распределение вероятностей
1 f 切(/) diQ M 口
1 f 切(/) diQ M 口
(2,5,30)
(2,5,30)
切⑧=丄f dy\w(I)
О^=(^+П2)/2
—это непосредственно следует из (9), (18) и (26).
Используя (30), определим, например, статистику колебаний в автоколебательных системах (томсоновский генератор, лазер), находящихся под действием внутренних шумов. Распределение огибающей в этом случае имеет вид
切(р) = Ср ехр (— ар2 — Ьр4)
(а, b и С —постоянные параметры), так что согласно (26)
切(/) = С ехр (— 2а/ — 4&/2)
(см. далее (7,2.31) и (7.5.29)). Подставив последнее выражение в (30), получим
3伞Х旨厂3z句）， где3伞Х旨厂3z句）， где(2.5,30а)(2.5,30а)
3伞Х旨厂3z句）， где
3伞Х旨厂3z句）， где
(2.5,30а)
(2.5,30а)
卩=4丿6, д=е + 2纯2 , Z1&) = 2 С e-^-^dt.
Функция Zi ®) выражается через цилиндрические функции К1/4 и 厶“ (см. формулы (14,18) и таблицу значений Z】в [26]).
В качестве еще одного примера решения обратной задачи (т. е. восстановления статистики процесса по распределению его интенсивности) рассмотрим модель процесса, для которого все значения интенсивности принимаются
в некотором интервале равновероятными:
｛繼'｛繼'0< / <2о2, / > 2g0< / <2о2, / > 2g(2.5.31)(2.5.31)
｛繼'
｛繼'
0< / <2о2, / > 2g
0< / <2о2, / > 2g
(2.5.31)
(2.5.31)
здесь。2 =〈/〉(рис. 2.11, а). Согласно имеет при этом форму треугольника:здесь。2 =〈/〉(рис. 2.11, а). Согласно имеет при этом форму треугольника:(26) и (29) распределение огибающей(26) и (29) распределение огибающей
здесь。2 =〈/〉(рис. 2.11, а). Согласно имеет при этом форму треугольника:
здесь。2 =〈/〉(рис. 2.11, а). Согласно имеет при этом форму треугольника:
(26) и (29) распределение огибающей
(26) и (29) распределение огибающей
^р)=(Т^р)=(ТО V р V 2и, р>2иО V р V 2и, р>2и(2.5.32)(2.5.32)
^р)=(Т
^р)=(Т
О V р V 2и, р>2и
О V р V 2и, р>2и
(2.5.32)
(2.5.32)
(рис. 2.11, б), а хар актер ист ическая функция равна
2о"”)=表 J 厶(〃P)pdp = 2翳2о"”)=表 J 厶(〃P)pdp = 2翳(2.5.33)(2.5.33)
2о
"”)=表 J 厶(〃P)pdp = 2翳
2о
"”)=表 J 厶(〃P)pdp = 2翳
(2.5.33)
(2.5.33)
® V 2и, 化丨>2u® V 2и, 化丨>2u(2.5.34)(2.5.34)Подставив (31) в (30) (нли (32) в (18), или преобразуя (33) по Фурье), получим, что в случае (31) функция распределения вероятностей квазигармо- нического процесса имеет вид полуэллипса:
® V 2и, 化丨>2u
® V 2и, 化丨>2u
(2.5.34)
(2.5.34)
(рис. 2.11, в).
Рис. 2.11. Восстановление статистики негауссовского процесса g по распредеРис. 2.11. Восстановление статистики негауссовского процесса g по распредеДвумервые распределения р и ф. Рассмотрим теперь двумерный случай [5]. Покажем вначале, что распределение вероятностей ш (g, gt) и соответствующая
Рис. 2.11. Восстановление статистики негауссовского процесса g по распреде
Рис. 2.11. Восстановление статистики негауссовского процесса g по распреде
лению его интенсивности.
Равномерному распределеиию для интенсивности (а) соответствует треугольное распреде-ление для огибающей (б) н эллипсоидальное распределение (в) для самого процесса |(см. (31) —(34)).
характеристическая функция в (u, и) =〈exp i (我己 + 卩士工)〉 для процесса (1) являются периодическими функциями «быстрого» времени ①小：
3 陰&т)=玄 4m&R)i。*
(2.5.35)
причем коэффициенты Ат н Вт в этих разложениях связаны преобразованием Фурье:
Вт (% 3=仃 / 急 Ап& 短)严+(2.5.37)
^m ($» £)=7^й^ f f Вт 也,u) e '啡(°^т du dv. (2.5.38)
-co
Согласно (1)
®3, u) =〈exp [шр cos (o)o^+Ф) + ^Pt 006 (w(/+wo^+Фт)1 > =
ООЛ
= § § dp dPi S § d中壮屮т exP [i〃P cos (①就 + tp) +
+ 2PtCos((V +(o()t+(Pt)] 5(p, рт，r(pT).(2539)
Аналогично (4), совместное распределение w (p, pT, tp,中工)всегда можно записать как двойной ряд Фурье:
切(р, р* Ф，5)0 ^? 22м 乙，(Р, PT)eiIR. (2.5.40)
Подставив (40) в (39) н интегрируя по ср н 屮工，получим
8 (а, о) = 2 2 / 依+')з。' е〃®т Н dp 恥心(р, pj 厶(ар) 〃(叩《). (2.5.41) k, Z =— оо 0
В силу стационарности характеристическая функция (41) ие должна зависеть от £, а это значит, что отличными от нуля могут быть лишь функции 卩月？ с ^+/ = 0:
(2・8典(2・8典^AZ(Р» Рт)= ^-т» m(Р» Рт)тС/п(Р，Рт)
(2・8典
(2・8典
Р^(Р，Pl) = 0 段耍一/)•
Подставив (42) в (41), мы и получим (36). Отметим, что согласно (6)
8
Вщ (% О)н (—l)m，§ Cm (р, pt) Jт (〃P)』m (叩т) “P dpi? (2.5.43) 0.
Так как % (―%) 4 (—У)= 4 (%) 4 (у) (см. (6)), то согласно (43) Вт (—и, —u) = Bm (и, г)» откуда следует четность и вещественность харак* теристической функции (36)
6(—ut — и) = 8(% и) = 8*(弘 V)(2.5,44)
и распределения (35)
切(e,岳)二切(一e，一е工)，(2.5.45)
Из (40) н (42) имеем
切(Р，Рт，屮，5)==亲 工 Crn (Р，Рт)产(ND, (2.M6)
где коэффициенты Cm однозначно определяются коэффициентами Вт в (86)
с помощью преобразоваиня Ганкеля, обратного (43):
Ст (р, pj==(—1严 ррт ^Вт (% и) Jm (ар) % (叩т"и du dv.(2.5.47)
о
Выражения (46), (47) вместе с (35), (36) дают общее решение задачи об определении двумерных распределений р н ср процесса (1), если известны характеристическая функция 8 (а, и) или распределение вероятностей 切/,匕工)этого процесса. Ясно также, как получить решение обратной задачи: зная 切(р, рт，ср, ср) иайтн 8(% и) или ⑪化，氐).Для этого нужно подставить Ст в (43) и найти Вт1 а затем, используя (38), и Ат. Подставив результаты в (35) и (36), мы получим 6 (и, и) и 切(乱匕工)в виде разложений по гармоникам «быстрого» времени й)от.
После интегрирования (46) по ф н фт остается только нулевой член этого ряда, который и определяет двумерное распределение огибающей:
切(р, рт) = ^о(Р> Рт)=РРт 卩稣(％ и) J。(ар)厶(叩工)uv du 如.(2.5.48)
Пронитеп)нровав (46) по р н 氏，получим, соответствеино, двумерное распределение фазы
3(<Р, 5)=春 2 %(т)М(1",(2.6.49)
m н—оо
где
Dm (т) =寸 С〃, (р, рт) dp 恥工〈L加"Г)〉，Do= 1.(2.5.50)
Распределение разности фаз отличается от (49) множителем 2я:
ш (Ф — q)T) = 2лш (q)t фт)(—л< ф —q)t< л).(2.5.51)
Из приведенных выражений можно сделать ряд общих выводов, справедливых при любой статистике процесса (1). Согласно (46)
切(Р，Рт，中) = з(Р，Рт，Фт) = ^(р, Рт,屮 + 屮т)=蚩切(Р，Рт), з(<Р + <Рт)=1/2%⑵氏 52)
т. е. ср, q)T, а также суммарная фаза 屮+屮工 статистически независимы относительно р и рт. В частности, статистически независимы значения р и ср, причем как в совпадающие, так и в различные моменты времени:
5 (р,屮)=切(р, ФТ) = 2^-(Р).(2-5.53)
Однако разность фаз ф —q)T коррелирует, вообще говоря, как с р, так и с рт — это иепосредствеиио видно из (46). Полученные результаты могут быть обобщены на случай многомерных распределений, дающих описание процесса (1) в моменты времени 厶，片，...,%
Гауссовский процесс. Для гауссовского процесса(1) с нулевым средним
(2.5.54)(2.5.55)(2.5.54)(2.5.55)w (E, &)=，- 一 exp〈〉.
(2.5.54)
(2.5.55)
(2.5.54)
(2.5.55)
2g2m1一к2a2 (1-^2)/
в (u, u) = exp[——^ a2 (u2 + u2 -- 2uu7?)l
и условия четности и вещественности (44), (45), очевидно, выполнены. В этих выражениях
R = R (т) = г (т) cos [й)от+ф (т)](2.5.56)
—коэффициент корреляции квазигармонического процесса (см. (2.3.7)). Из (54)—(56) и разложения
e±acos?= £(±1严力犷呻(2.6.57)
m н—со
следует, что в (36)
%(", у) = (-1 )те-°(и*+^/21т ^гт)е^(，=，(т),屮=屮(丁))，(2.5.58)
а в (46), согласно (47),
…=肥占察…卜舟匐.
Р?+Р^^Л_户)Р?+Р^^Л_户)Используя (48), отсюда находим двумерное распределение огибающей РРт / г РРт\ 切(Р，Рт) = Со (р, Рт) = ^2(1—»)厶[1—72 庐丿 exp
Р?+Р^^Л_户)
Р?+Р^^Л_户)
полученное ранее другим методом (см. (2.4.11)).
Модель квазипериодического процесса |5]. Развитый выше подход может быть использован для описания случайных процессов более общего вида, чем (1), а именно квазипериодических стационарных процессов
e(/)=p(f)尸[铀/+中(力];Fmax=l, -Л<(р< я, р > 0,(2.5.59)
со стационарными «огибающей» р и «фазой» ф и периодической зависимостью функции 尸 от своего аргумента:
尸(屮+2г)=尸(哂，屮=<0(/ +中(力.,
Выражение (59) переходит в (1) при f (ф) = cosф.
В форме (59) можно представить, например, случайную последовательность импульсов. При этом функция 尸 будет описывать форму импульса, не искаженного флуктуациями, р —случайные вариации импульсов по высоте, а ф —случайную модуляцию по длигельности и времени появления. Статистические характеристики ”, р н 屮 будут при этом связаны соотношениями, подобными полученным выше для квазигармонического процесса (1).
Ограничимся здесь анализом одномерных характеристик. Используя стационарность 三 и разложение
^F <*>= £ Um (up) ^,(2.5.60)
ГПиж — СО
нетрудно получить связь между характеристической функцией 6 (и) = (е*и^) и распределением огибающей w (р):
ОО
(2.5.61)(2.5.61)е(”)=§ з (р) ии (up) dp,о
(2.5.61)
(2.5.61)
^^ = 2^^^ = 2^/""•(叨d屮./""•(叨d屮.(2.5.62)(2.5.62)
^^ = 2^
^^ = 2^
/""•(叨d屮.
/""•(叨d屮.
(2.5.62)
(2.5.62)
—Л
Исходя из (60), легко также доказать зависимость р и ф и получить закон равнораспределения для фазы:
5(p，中)=爲切(p)，
(2.5.63) будет опреде-(2.5.64)(2.5.63) будет опреде-(2.5.64)3仰)$
(2.5.63) будет опреде-
(2.5.64)
(2.5.63) будет опреде-
(2.5.64)
Отсюда следует, что соотношение между моментами р, g и | ^ ляться формой отдельного импульса, т. е. видом функции 尸：
〈p”g—_—
爲,Q(p)d屮^ ,1尸(w)产舛
В многомерных характеристиках вместо функций Бесселя (см. (41)) будут фи* гурировать функции Un из (60).
Примеры импульсных последов а тельносте л вида (59) рассматриваются в § 8.
§ 6. Диффузионный (винеровский) процесс
В этом параграфе мы рассмотрим важную модель существенно нестационарного случайного процесса, которая будет использована в дальнейшем, — случайный процесс, являющийся интегралом по времени от некоторой случайной функции.
Итак, рассмотрим процесс, описываемый выражением
i
Е(/)= §《)de.(2.6.1)
О
Функция (1) удовлетворяет уравнению
Е = т](»(2.6.1а)
Важным радиофизическим примером стохастического уравнения типа (1а) является уравнение, описывающее флуктуации фазы в автономном генераторе радиодиапазона или лазере, возникающие под действием собственного теплового, дробового или квантового шума (см. гл. 7).
В теории брауновского движения уравнение (1а) появляется в предельном случае «безынерционного» поведения брауновской частицы. Если
со
〈11〉= 0,〈唄〉=電，〈"％〉= So (т) = J Go («•) etot da, (2.6.2) —0а
то согласно (1)
〈Е〉= 0,(2.6.3)
i8
。2 = &〉= 2『(/ - т) В。(т) dr = 2『G。(з)(吗紀『d3. (264) оо
Отсюда видно, что дисперсия о2 зависит от времени:
i
62 = 2 \ & (т) dr, а2 = 2筑(/),б
т. е. процесс Е (£) нестационарен.
Нетрудно выяснить зависимость о2 от времени при малых и больших 厶 Для малых интервалов времени, на которых корреляционная функция Вп (т) практически постоянна, находим
瓦(т)弋嗚 о?=碌2(/《т0).(2.6.5)
Характерное время т0 в (5) (см. далее (7)) может быть порядка времени корреляции тк или периода осцилляций ToWTk функции Во (т), соответствующих эффективной ширине Аз 〜1/т\ спектра Go (о>) или частоте со 〜1/Т(), на которую приходится максимум спектральной интенсивности.
При больших /》тк, для которых функцию Во (/) можно считать равной нулю, полагая / = оо в верхнем пределе интеграла (4), получим
d = 2D(ff) (f》q),(2.6.6)
где'
D = nG0 (0) = \ 瓦(т) d% То = 5 雷瓦(т) dr/D. (2.6.7) оо
Рассмотрим некоторые частные случаи.
т] (/) ~ белый шум. При этом Go (со) = G, 5 H〈т)2〉= 8,
Во (t) = 2D6 (т), D — nG.(2.6.8)
Подставив (8) в (3), получим
(y2 = 2QZ,(2.6.8а)
т. е. дисперсия с линейно растет со временем.
Интеграл от белого шума называют иногда винеровским случайным процессом. Нетрудно найти его корреляционную функцию
'2Df
(Q0),
8（/,可）==〈筋Т〉=
2D(f — g)
(—t VtW。)，
(2.6.86)
0
ev-f)
и коэффициент корреляции
Н+т"
(心0),
Rd吁而器冃=
ут+^t
(—/VT&0), (269)
0
(TV-/)
(рис, 2.12). Из этих выражений видно, что корреляция между двумя значениями E(f) и Е(% + р винеровского случайного процесса всегда увеличивается со временем: при любом т^О коэф
Рис. 2.12. Коэффициент корреляции R (九 т) (9) винеровского процесса в зависимости от т".Рис. 2.12. Коэффициент корреляции R (九 т) (9) винеровского процесса в зависимости от т".фициент корреляции R становится сколь угодно близким к единице при достаточно больших 厶 На рис. 2.12 точка, соответствующая некоторому фиксированному значению т, с ростом t перемещается к вершине кривой.
Рис. 2.12. Коэффициент корреляции R (九 т) (9) винеровского процесса в зависимости от т".
Рис. 2.12. Коэффициент корреляции R (九 т) (9) винеровского процесса в зависимости от т".
Заметим, что выражение (86) находится в сог-
ласии с (6), так как в случае белого шума для всех t выполнено условие / ^ тк = 0 и согласно (7) т0 = 0.
D部/т
Спектр т| (/) — лоренцевский, Go (о))=石2+〔2・ При этом
Во (т)=仿е-也 Е,% = Dh = лЛСо (0)
и согласно (3) и (7)
(2.6.9а)(2.6.9а)02 =羊期-1+6一叱工。=^, или
(2.6.9а)
(2.6.9а)
(рис. 2.13, кривая /).
При гауссовском спектре Go (со) = Go (0) е~^^ имеем
Во ⑺=^^<\/ = Go (0) М乐九=Dh М茄，
02T居/叫羞)-1+小叫，Т。 = ]/農,(2.6.96)
ИЛИ
蟲=叫意T+L”，ХY
(рис. 2.13, кривая 2). Кривые /& 2(力 2%(рис. 2.13, кривая 2). Кривые /& 2(力 2%и 2 на рис. 2.13 иллюстрируют переход от квадратичного закона нарастания дисперсии (5) к линейному (6).Рассмотренные особенности характерны для тех случаев, когда спектральная интенсивность силы q ⑴ на нулевой частоте Go (0) имеет некоторое конечное значение. Если Go (0) = 0 или Go (0) = оо, то изменение дисперсии а2 сои 2 на рис. 2.13 иллюстрируют переход от квадратичного закона нарастания дисперсии (5) к линейному (6).Рассмотренные особенности характерны для тех случаев, когда спектральная интенсивность силы q ⑴ на нулевой частоте Go (0) имеет некоторое конечное значение. Если Go (0) = 0 или Go (0) = оо, то изменение дисперсии а2 соз 工冲q временем имеет другой вид.з 工冲q временем имеет другой вид.Рис. 2.13. Рост дисперсии диффузионногопроцесса (1) со временем.Кривые / — 3 построены для различных спектральных плотностей процесса л (О： / — лореи- цевский спектр, 2 ——гауссовский спектр, 3 — спектр с отфильтрованными низкими частотами (10). Пунктирные кривые—асимптоты.Рис. 2.13. Рост дисперсии диффузионногопроцесса (1) со временем.Кривые / — 3 построены для различных спектральных плотностей процесса л (О： / — лореи- цевский спектр, 2 ——гауссовский спектр, 3 — спектр с отфильтрованными низкими частотами (10). Пунктирные кривые—асимптоты.4. Go (0) = 0. Величина а2 стремится к конечному пределу. Предположим, например, что т] (/) — этс белый шум с отфильтрованными низкими частотами:4. Go (0) = 0. Величина а2 стремится к конечному пределу. Предположим, например, что т] (/) — этс белый шум с отфильтрованными низкими частотами:
(рис. 2.13, кривая 2). Кривые /
& 2(力 2%
(рис. 2.13, кривая 2). Кривые /
& 2(力 2%
и 2 на рис. 2.13 иллюстрируют переход от квадратичного закона нарастания дисперсии (5) к линейному (6).
Рассмотренные особенности характерны для тех случаев, когда спектральная интенсивность силы q ⑴ на нулевой частоте Go (0) имеет некоторое конечное значение. Если Go (0) = 0 или Go (0) = оо, то изменение дисперсии а2 со
и 2 на рис. 2.13 иллюстрируют переход от квадратичного закона нарастания дисперсии (5) к линейному (6).
Рассмотренные особенности характерны для тех случаев, когда спектральная интенсивность силы q ⑴ на нулевой частоте Go (0) имеет некоторое конечное значение. Если Go (0) = 0 или Go (0) = оо, то изменение дисперсии а2 со
з 工冲q временем имеет другой вид.
з 工冲q временем имеет другой вид.
Рис. 2.13. Рост дисперсии диффузионногопроцесса (1) со временем.
Кривые / — 3 построены для различных спектральных плотностей процесса л (О： / — лореи- цевский спектр, 2 ——гауссовский спектр, 3 — спектр с отфильтрованными низкими частотами (10). Пунктирные кривые—асимптоты.
Рис. 2.13. Рост дисперсии диффузионногопроцесса (1) со временем.
Кривые / — 3 построены для различных спектральных плотностей процесса л (О： / — лореи- цевский спектр, 2 ——гауссовский спектр, 3 — спектр с отфильтрованными низкими частотами (10). Пунктирные кривые—асимптоты.
4. Go (0) = 0. Величина а2 стремится к конечному пределу. Предположим, например, что т] (/) — этс белый шум с отфильтрованными низкими частотами:
4. Go (0) = 0. Величина а2 стремится к конечному пределу. Предположим, например, что т] (/) — этс белый шум с отфильтрованными низкими частотами:
с о со2 D г, /г2 ]
Во(t) = 2D6 (x)-Dhe^K
Подставив (10) в (3), получим
2D
。2 =牛(1—e书.(2.6.11)
В этом случае линейным является начальный участок кривой
F(f)= o2 ⑴(рис. 2.13, кривая 3).'
5. Go(O)= 8. Пусть, например,
5(3)= 偿『(0WVV1),
П1 朴(2.6.12)
R м - Pt0°1
0 {Ч — r(v) cosm/2(5T)LV •
Подстановка (12) в (4) дает
on
d = ^E"(3。尸.(2.6.13)
*) Спектр вида (12) отвечает реальному процессу —так называемому фликкер-шуму (см. [20]).
В этом примере закон изменения дисперсии со временем может меняться от линейного (v = 0) до почти квадратичного (v ^ 1). Случай v = 0 соответствует тому, что Т)(/) — белый шум (ср. (13) И (9)).
Согласно (13) зависимость Ino? от 1п / является линейной:
In(у2 = const+ (1 4-v) In /,(2.6.14)
причем наклон прямой (14) определяется только степенью v в спектре (12) ).
Диффузия фазы. В §§ 3——5 мы рассматривали фазу как случайную величину, изменяющуюся в ограниченных пределах:
—冗 V 屮(f) V 冗・(2.6.15)
Это было связано с тем, что фактически мы интересовались не самой фазой, а периодическими функциями cos ср или sin ср.
Однако при решении стохастических дифференциальных уравнений фаза обычно определяется как случайный процесс, меняющийся в бесконечных пределах:
—оо < ср (/) <оо.(2.6.16)
Например, при анализе действия шума на линейные или автоколебательные системы для фазы может быть получено уравнение вида (1а), что соответствует (16), а не (15). Между распределениями вероятностей фазы в обоих случаях имеется однозначная связь. Рассмотрим этот вопрос в общей постановке.
Приведение распределения вероятностей к интервалу периодичности. При усреднении периодических функций
^=f (х) = f (х-|-nL)S = 0, 土 1, 土 2,…)(2,6.17)
от некоторого случайного процесса % (f) вместо распределения вероятностей для % обычного вида
оу (х)(—8 Vx V8),(2.6.18)
заданных на бесконечном интервале, иногда удобно пользоваться распределением
со
wL (X) = £ 切(%+就)(/ -L/2Vx V 见+ L/2),(2.6.19)
«свернутым» к интервалу периодичности L. Так как согласно (17) все значения х, отличающиеся на целое число L, для у полностью эквивалентны, то их вероятности, определяемые (18), в (19) суммируются. Величина х0 в (19) произвольна Типичным примером является случай, когда х =(р (/) —фаза квазигармонического процесса
Распределение % (%) нормировано к L:
%о + L/2
?] wL (х) dx« 1.(2.6.20)
*© — L/2
Функция 切丄(х) обладает свойством периодичности:
wL (x+?nL) = £w(x-^tnl.-\-nL) = £切(％ + "2), (2.6.21)
〃 =—con' = — ОО
и, следовательно, ее можно представить в виде ряда Фурье
8Пл
叫(х)= £ ате-^, х = —,(2.6.22)
m =» — со
с коэффициентами
*0 + l/2
£7戸^ j wL (х) el^x dx=jj <eiwnx)L.(2.6.23)
xo — L/2
Подстановка (19) в (23) дает
co
am = J- j w(x) Ms* dx=~〈区皿〉,(2.6.24)
т. e. коэффициенты ряда Фурье (22) можно найти также преобразованием Фурье «развернутого» распределения (18). Согласно (24) формально можно записать решение обратной задачи:
со
и(%)=^ j ате~^х dm.(2.6.25)
Отметим два предельных случая, когда в рядах (19) и (22) остается по одному члену:
wL (х) ?5= w (л)(L》Ах),(2.6.26)
叱.(％)* 1/L(L《A%)、(2.6.27)
Здесь параметр A# 〜и по порядку величины равен корню из дисперсии и характеризует область наиболее вероятных значений % в соответствии с распределением (18). Таким образом, с уменьшением интервала L или с увеличением дисперсии а2 распределение 叫(х) стремится к равномерному (27).
Условие Ах 〜u》L реализуется, например, если х (0 —диффузионный процесс винеровского типа, поскольку согласно (6) дисперсия процесса в этом случае неограниченно возрастает со временем. Подчеркнем, что при этом несвернутое распределение w (х) соответствует нестационар ному процессу, а свернутое (27) 也(％)al/L — стационарному. Отсюда, в частности, следует, что процесс с ди力фузие/i фазы можно рассматривать как процесс с равномерным распределением фазы (см, также § 2 гл, 7) ^2л (ф)= 1/2л.
Рассмотрим два примера.
Если распределение (18) гауссовское:
(2.6.28)(2.6.28)
(2.6.28)
(2.6.28)
то согласно (24) и (22)
am н Т7 exp ,乂m元-^ 算2m2U2),
(2.6.29)(2.6.29)wL(x) = Y 14-2 Е 7mtcos2mv =^屯"，办
(2.6.29)
(2.6.29)
m n I
две-呪 ％”*,две-呪 ％”*,0 =冗(％—戈)/L,0 =冗(％—戈)/L,
две-呪 ％”*,
две-呪 ％”*,
0 =冗(％—戈)/L,
0 =冗(％—戈)/L,
r-(X-x)2/202A (X)=-~7=r-(X-x)2/202A (X)=-~7=где "^(и, ^)—тэта-функция. Заметим, что непосредственная подстановка (28) в (19) дает
r-(X-x)2/202
A (X)=-~7=
r-(X-x)2/202
A (X)=-~7=
1+2 £ 个 сое 咿Н叫%)备(比，。1), (2.6.30)
01 =厂丄*心， v^i — ix-X).
Выражение (30) можно получить и непосредственно из (29), проведя преобразование тэта-функции к новым аргументам. При LA。о^(х)р1/〃 так как в этом случае g》1 и в сумме (29) существенным будет лишь первый член. Обратный предельный случай, L《u, легче проанализировать с помощью (30). При этом Ci《1 н wL (х) ^ w (х). Оба эти результата находятся в согласии с соотиошеннямн (26), (27).
Если (18) — распределение Коши:
з(х)=謁％ (—8VXV8),(2.6.31)
то согласно (24)
а"-=^еТ"'"二(2.6.32)
Сумма (22) вычисляется в этом случае как геометрическая прогрессия;
со
T i+ 2m =T i+ 2m =工 е-рхт+£хтж =工 е-рхт+£хтж =рх I m I — Iwnx
T i+ 2m =
T i+ 2m =
工 е-рхт+£хтж =
工 е-рхт+£хтж =
g-₽xm-fxmjr +
.1 th %雁 i储 I
丄］cos Yx L 1 — p0 cos xx v u ch xp/'( • •)
ch呻
Моменты
十L/2
〈％吟上=§ wL (х) хп dx,
Т/2
соответствующие распределению (33), имеют конечное значение, хотя для исходного распределения (3!) они расходятся. Отметим сходство распределения (33) и распределения (2.4.5!) фазы нестационарного процесса на выходе параметрического усилителя; полагая в (33) L = 2n (х= 1) и x = q),' получим
叫e(中)=^^］一:85万(-h<ф<Л).(2634)
В отличие от (2.4.51) распределение (34) имеет один максимум (при q)= 0, если р0 > 0). Как (2.4.51), так и (34) относятся к распределениям вероятностей типа
®2Л (<р) = l-Potoswp 6=1, 2, 3, ...),(2.6.35)
нормировочная постоянная которых не зависит от п.
Колебания, модулированные шумом
Модель случайного процесса, обсуждаемая в этом параграфе, имеет большое значение для радиофизики и оптики. Albi рассмотрим случайный процесс, возникающий за счет случайной модуляции гармонического сигнала по амплитуде, фазе или частоте.
Математическая запись такого процесса аналогична (2.3.1), однако постановка задачи теперь обратная. Если в §§ 3 —— 5 мы отыскивали статистические характеристики случайной амплитуды и фазы по заданной статистике 占(/), то здесь речь будет идти об отыскании статистических характеристик функции 三(/) (и в первую очередь мы будем интересоваться ее корреляционной функцией и спектром) по заданным характеристикам случайных огибающей и фазы.
Реальные ситуации, соответствующие такой постановке задачи, разнообразны. Один из наиболее важных примеров — воздействие шума на радиогенератор или лазер; за счет нелинейности воздействие шума приводит к стохастической модуляции колебания генератора. Другой пример — уширение спектральных линий излучения и поглощения атомов или молекул. Частоты, амплитуды и фазы колебаний случайным образом изменяются при взаимодействиях —в этом фактически и заключается физика уширения спектральных линий.
Раздельное рассмотрение случайных амплитудной и фазовой (частотной) модуляций, проведенное ниже, позволяет выявить вклад каждой из них в спектр модулированного колебания.
Особое место занимают задачи о случайной частотной модуляции; такая модель описывает основные черты уширения спект-
ральных линий в радиофизике и оптике, поэтому ей уделено наибольшее внимание.
Обратимся теперь к рассмотрению различных видов модуляции.
Амплитудная модуляция. Амплитудно-модулированное (АМ) колебание описывается выражением
(2.7.1)(2.7.1)^ (/) =flo[l +л (/)]cos[^Qt + фо]-
(2.7.1)
(2.7.1)
Рассмотрим его статистические ную модуляцию Т)(/) стационарным случайным процессом (при этом огибающая р (f) = 1 + т] (f) А 0), а фазу фо ——случайнойпостояннойвеличиной с равномерным распределениемw (фо) = 1/2л(—л<фо<п). (2.7.2)Процесс (1) в целом будет при этом также стационарным (СМ. § 5).Предполагая, чтоп = о.находим& = о.Рассмотрим его статистические ную модуляцию Т)(/) стационарным случайным процессом (при этом огибающая р (f) = 1 + т] (f) А 0), а фазу фо ——случайнойпостояннойвеличиной с равномерным распределениемw (фо) = 1/2л(—л<фо<п). (2.7.2)Процесс (1) в целом будет при этом также стационарным (СМ. § 5).Предполагая, чтоп = о.находим& = о.характеристики, считая амплитуд-Рис. 2.14. При амплитудной модуляцииспектр процесса (непрерывная частьспектра) повторяет по форме спектр Go (со)модулирующей функции (см. (5)).характеристики, считая амплитуд-Рис. 2.14. При амплитудной модуляцииспектр процесса (непрерывная частьспектра) повторяет по форме спектр Go (со)модулирующей функции (см. (5)).ООт)Лг = Во (т) =，Go (з) ds,—ООООт)Лг = Во (т) =，Go (з) ds,—ОО(2.7.3)(2.7.3)В (т) = Йг = у [ 1 + Во (т)] cos(оот, (2.7.4)В (т) = Йг = у [ 1 + Во (т)] cos(оот, (2.7.4)
Рассмотрим его статистические ную модуляцию Т)(/) стационарным случайным процессом (при этом огибающая р (f) = 1 + т] (f) А 0), а фазу фо ——случайнойпостоянной
величиной с равномерным распределением
w (фо) = 1/2л
(—л<фо<п). (2.7.2)
Процесс (1) в целом будет при этом также стационарным (СМ. § 5).
Предполагая, что
п = о.
находим
& = о.
Рассмотрим его статистические ную модуляцию Т)(/) стационарным случайным процессом (при этом огибающая р (f) = 1 + т] (f) А 0), а фазу фо ——случайнойпостоянной
величиной с равномерным распределением
w (фо) = 1/2л
(—л<фо<п). (2.7.2)
Процесс (1) в целом будет при этом также стационарным (СМ. § 5).
Предполагая, что
п = о.
находим
& = о.
характеристики, считая амплитуд-
Рис. 2.14. При амплитудной модуляцииспектр процесса (непрерывная частьспектра) повторяет по форме спектр Go (со)модулирующей функции (см. (5)).
характеристики, считая амплитуд-
Рис. 2.14. При амплитудной модуляцииспектр процесса (непрерывная частьспектра) повторяет по форме спектр Go (со)модулирующей функции (см. (5)).
ООт)Лг = Во (т) =，Go (з) ds,—ОО
ООт)Лг = Во (т) =，Go (з) ds,—ОО
(2.7.3)
(2.7.3)
В (т) = Йг = у [ 1 + Во (т)] cos(оот, (2.7.4)
В (т) = Йг = у [ 1 + Во (т)] cos(оот, (2.7.4)
а спектр процесса (1) имеет вид
G (s) =^ [6 (<х>о — s) + 5 (о)о +(о) + G()(о?。一 s) + G()(g + o))]. (2.7.5)
Если спектр модуляции уже соо (G0(o) = 0 при | со | > ш0)» то соответствующий (5) спектр по положительным частотам АМ-коле- бания будет
G+ (о) =^[6 (<Оо —①)+ G()(to。一(о)].
Этот спектр симметричен относительно несущей частоты(оо-
G+(3o + Q)=G+(3o_Q)=^[6(Q) + Go(Q)], (2.7.6) и имеет две компоненты — дискретную и непрерывную (рис. 2.14). Дискретная компонента (а?/2) § ((оо —<о) расположена на несущей частоте, а непрерывная компонента (竭2)仇(д — со) повторяет по форме спектр модулирующего шума Go (s)・
Одномерное распределение и характеристическая функция AM-процесса определяются формулами (2.5.18) и (2.5.9):
я J Ря 2T
8
е (〃)=，/о («р) w (р) dp,
О
где w (р) — распределение огибающей, определяющееся статистикой амплитудной модуляции в (1).
Рассмотрим двумерную статистику AM-процесса. Так как при постоянной фазе(р0
з (фо, Фог) = 5 (фо) 5 (фог 丨屮о)=翌甘(фо - Фох),
то в рассматриваемом случае
5(р, Рт, Фо, Фог) = W (р, pt) W (фо, Фог) =
=5 (Р, Рт) 2^ в (фо - фот)- (2.7.7)
С другой стороны, согласно (2.5.46)
ОО
^(р, Рг, Фо, <₽ot)=i 2 С"(р, pje’m 伍-端.(2.7.8)
Учитывая разложение для 6-функции
ОО
6(%)=翌 2 @『m =» — оо
находим из (7), (8), что в рассматриваемом случае все функции Ст одинаковы и равны двумерному распределению огибающей:
Сот(р, pt) = ^(p, pt) (zn = O, ± 1, ±2,…).(2.7.9)
Из (9), (2.5.43) и (2.5.36) находим, что двумерная характеристическая функция AM-колебания имеет следующий вид:
ОО
0 (U, S = £ В"(〃，и)@"з叱(2.7.10)
m = оо
где
оо
В" («, и) = (— 1)" § § dp dpi w (р, pj Jm (up) Jm (up j =»
0
Q〈 J/n (”)J-/и W卩т〃・(2.7.11)
Фазовая модуляция. Рассмотрим теперь квазигармоническое колебание с постоянной амплитудой и случайной флуктуирующей фазой
х (0 = % cos [соо/ + 屮(/)],(2.7,12)
или, в комплексной форме,
х (/) = у % ехр + 屮(/)] + к * с. (2.7,12а)
В этом разделе мы считаем а。= const и вычисление среднего значения х и корреляционной функции 〈％%，фазово-модулирован- ного колебания сводится к вычислению средних вида
〈抑〉，〈/(1P±&)〉・
Например,
X =у а^^〈絃吟 + к. с.
Фазовая модуляция гауссовским шумом. Предположим, что Ф (/) — стационарный гауссовский процесс:
0 = 0, ФФХ = Во (т) ^ GqRq (т) =，Go (со) b’s du)・(2.7.13)
В этом случае
CD =eт/2,〈/(1±，Т))匸e-守卩士勺(口，
так что, усредняя (12), получим
х= %厂甯/2 cos (巾，(2.7.14)
o2 = ；；2 = ^[l + eYJcos 入(2.7.15)
Для флуктуационной компоненты l(t) = x (/) — х (/) фазово-модули- рованного (ФМ) колебания находим
В (九т)=龍工=^6一％ [『")一l][cos(оо^ —cos (2о0^+woT)]. (2.7.16)
Как видно из (14) — (16), в рассматриваемом случае ФМ-ко- лебание не будет стационарным случайным процессом, поскольку его статистические характеристики являются функциями времени (периодическими). Обычно представляют интерес средние по времени спектральные и корреляционные характеристики, так как именно они регистрируются приборами. Обо >пачая волнистой чертой усреднение по времени, имеем согласно (16)
/ГеГ) =^ е-°? [efiol1:, _ I] cos 0>0т.(2.7.17)
6 С. А. Алманов и др.
Таким образом, спектр ФМ-колебания, модулированного стационарным шумом, состоит из дискретной линии на несущей частоте So с интенсивностью
7дискр = ^е-%(2.7.18)
соответствующей (14), и непрерывного (при непрерывном спектре модуляции) спектра флуктуаций
^^ = Йне~а° j [或。") - 1][山8。一*+6-"8。+ 8)可 阮(2.7.19)
Непрерывному спектру соответствует интегральная интенсивность
7непр =〈詮=f [1 —e-叨.(2.7.20)
Заметим, что имеет место следующий «закон сохранения интенсивности»: при фазовой модуляции сумма интенсивностей дискрет
н—нн—нРис. 2.15. При фазовой модуляции спектр процесса G (со) отличается от спектра модулирующей функции Go (со).Рис. 2.15. При фазовой модуляции спектр процесса G (со) отличается от спектра модулирующей функции Go (со).ной и непрерывной компонент постоянна и равна интенсивности немодулированного колебания: /днскр + / непр = &/2*
н—н
н—н
Рис. 2.15. При фазовой модуляции спектр процесса G (со) отличается от спектра модулирующей функции Go (со).
Рис. 2.15. При фазовой модуляции спектр процесса G (со) отличается от спектра модулирующей функции Go (со).
Иначе говоря, модулируя фазу, можно изменять частотный спектр колебания, но не его среднюю ин- тенсивноаь. Это обстоятельство
не связано, разумеется, с гауссовостью модуляции; при любой статистике ф (/) не пос ре детве нно из (11) находим
\Z\Z4 \Z\Z4 \Z\Z4 \Z\Z4 ХЛЛI\Z\Z4 Ч/\Л \/\Л \Z\Z4 ХЛЛ \Z\Z4 ]
а2 =Оо cos2 (gf + 屮)=孑丄[1 + cos 2((о0/ + ф)]=
=у [1 + cos 2с)о^ cos 2(p — sin 2(0о^ sin 2ф]=贵.
Ввиду существенно нелинейной зависимости х от 屮 в (12) спектр ФМ-колебания имеет, вообще говоря, совершенно другую форму, чем спектр модул и рующего шума (рис. 2.15). Исключением является лишь случай очень слабой модуляции (I В。(工)IV &《1), когда выражение (19) можно переписать в виде
G ((о) = — ) Во (т) ^/шт ^т = "^ [^о (<о — So) + Ge (s + о?。)].
При этом флуктуации малы (/ni,1[p『aj/2) и их спектр повторяет по форме спектр фазовой модуляци!?.
В противоположном предельном случае глубокой фазовой модуляции (优》1) функция ехр Во(^) будет быстро убывать при отклонении т от нуля. Считая, что Ro (т) а^ 1 — а2т2/2, и полагая В (19)
『产—1Asi е+。訂 I-ар2* а2 = |Ао(0)|, (2.7.21)
получим
(2.7.22)(2.7.22)贫& =―也［е-^ 8)2/纽讶 + 0-(% + s)2/2aq］ 4aM2л 1
(2.7.22)
(2.7.22)
(小》1), т. е. ФМ-колебание имеет гауссовский спектр независимо от формы спектра самой фазовой модуляции.
Нетрудно убедиться, что спектр G(s) намного шире спектра Go (о). Действительно, согласно (21) можно написать следующие оценки:
Ла)о 〜a, As 〜ао0,Д(о/Дшо 〜о()> 1.
Заметим, что в том же предельном случае 酬》1 для коэффициентов корреляции R。 (т) вида Ro (т) = l011 —а|т|-|--..
вместо (21), (22) получим
^)=1?［両』研 + 5Л(2.7.23)
(gW》！)• В этом случае ФМ-колебание имеет спектр лоренцевской формы, причем расширение спектра еще более значительно, поскольку отношение полос пропорционально не 5b а 時
Дозо〜a, As〜а唸 As/Ag 〜晚》1.
Фазовая модуляция негауссовским шумом. Будем предполагать стационарность как флуктуации фазы 屮(/), так и всего ФМ-колебания (12) в целом. При этом 元=0, т. е. величина х является чисто флуктуационной (汇=自)，и в спектре ФМ-колебания (12) нет дискретной составлиющей.
Как было показано в § 5, одномерные и двумерные распределения фазы, приведенные к интервалу 2л, имеют следующий вид:
w (屮)=1/2л,
工 W ет^~^\(2*7.24)
т. е. одномерное распределение фазы является равномерным, а конкретная форма двумерного распределения определяется коэффициентами Dm (т). Двумерную характеристическу1о функцию и двумерное распределение вероятностей ФМ-колебання (12) можно найти, используя общие соотношения, приведенные в § 5.
Пусть, например, Dm = e~h'тх • 1>ычислив сумму в (24), получим
匕 (屮，ФT) ==1и а =.(2725)
4л I — a cos (ф — <pt)ch /it
Если интервал т увеличивается, то ch/rtf 8, а ^- 0 и, как и следовало ожидать, двумерное распределение (25) распадается на произведение одномерных:
im ш (ср, qT) = 1/4ла = © (ф) w (фх).
При этом время корреляции флуктуациГ: (р ⑴ можно приближенно оценить как 1/% т. е. в рассматриваемом примере ширина спектра фазовой модуляции примерно равна Асо。〜瓦
Чтобы оценить ширину спектра ФМ-колебания (12), напишем выражение для его корреляционной функции:
В (т)=硫(cos (eV + ф) cos («п/ + 硏用 + 屮撈=
=岑 I(cos (о)()т + (f t — (р)) + (cos (2(oof + (0GT + ф + qpt))].(2.7 26)
Ho ⑵(屮 + 屮工)=l/2n (см. (2.5.52)). так что второе слагаемое в (26) обращается в нуль и
8⑴ =g [cos 例1 cos (屮I —屮)+ sin /т sin (qpt —Ф)]-(2.7,27)
Согласно (24) при Dm=e~H 切『
cos (@т —屮)=「九 Е, sin (qpt — ф) =0.
В результате выражение (27) принимает следующий вид:
"⑴二^「五"kosev(2.7.28)
Оценивая отсюда п：нрнну спектра ФЛЬколебания, находим, что для распределения (25) она имеет тот же порядок, что и ширина спектра фазовой модуляции:
До)〜Ад 〜2h.
Частотная модуляция. Рассмотрим квазигармоническое колебание
модуляцию частоты по некоторому случайному закону. Фаза
屮(f) = \ “ (8)d6 является диффузионным случайным процессом, о
Ее дисперсия равна (2,6.4)：
(2,7.30)(2,7.30)Ф? = 2^ В。(т) dt — 2 \ тВ0 (т) dt = о含(/).оо
(2,7.30)
(2,7.30)
В установившемся режиме частотной модуляции (ff 8)дисперсия фазовых флуктуаций растет со временем по линейному закону (2.6.6):
а2 (0 〜2Df, D = nG0 (0). (2731)
Из факта неограниченнбго роста дисперсии о2 следует, что, независимо от вида статистики частотной модуляции, распределение w (ф), приведенное к интервалу 2л, с течением времени стремится к равномерному:
lim w (ф) = 1/2л (— л < ср < л) (2.7.32)
(см. (2.6.27)). Таким образом, частотно-модулированное (ЧМ) колебание (29) в установившемся режиме является стационарным процессом, а его одномерное распределение имеет вид (2.5.20):
I 0, 曰>00.
Как следует из (32), Е = 0, т. е. в спектре ЧМ-колебания нет дискретной составляющей на несущей частоте соо.
Эти результаты справедливы при любой статистике частотной модуляции, но при условии, что спектр модуляции отличен от нуля на нулевой частоте, G()(0)*0. (Это условие обеспечивает неограниченный рост дисперсии со временем, см. § 6.)
Модуляция частоты гауссовским шумом. Предположим, что процесс г] (/) является гауссовским. Гауссовскими будут при этом и фазовые флуктуации ф(/), так что при f->8
(吗=〃(屮 + %))= 0, (2.7.33)
(2.7.34)(2.7.34)
(2.7.34)
(2.7.34)
где о2 (т) — функция (30) при / = | т ;. Для дальнейшего удобно обозначить
гдегде
где
где
(2.7.35)(2.7.35)ip (т) = , т I $ &(8)dH— \ 饮()(8)dH・оо
(2.7.35)
(2.7.35)
Здесь Rq (т) — коэффициент корреляции, характеризующий форму спектра частотной модуляции, a og — дисперсия модуляции, характеризующая ее размах.
Учитывая (33) — (35), корреляционную функцию ЧМ-колеба- ния (29) можно записать как
в (Т)=写 е cos 30t.(2.7.36)
Как следует из (36), спектр ЧМ-колебания симметричен относительно соо (в общем случае негауссовской модуляции в спектре может появиться и асимметрия). Частотная модуляция, как и фазовая, не меняет интенсивности колебания:〈占2〉= 口力/2. Общее представление об изменении величины 屮⑴ дают кривые (。2(/)〜 〜㈠⑼ на рис. 2.13.
Функция 屮(工)при малых т меняется по квадратичному закону, а при больших — по линейному:
W(t) =W(t) =#/2, 或0t#/2, 或0tt<to>一陶，Т>тыt<to>一陶，Т>ты(2.7.37)(2.7.38)(2.7.37)(2.7.38)
W(t) =
W(t) =
#/2, 或0t
#/2, 或0t
t<to>
一陶，Т>ты
t<to>
一陶，Т>ты
(2.7.37)
(2.7.38)
(2.7.37)
(2.7.38)
(см. (2.6.5), (2.6.С)). Соответственно можно рассмотреть два пре- дельных случая.
Если интенсивность модуляции достаточно велика:
тП> 1,(2739)
то функция корреляции (36) успеет уменьшиться почти до нуля на квадратичном участке (37). В этом случае можно приближенно написать
6 (Т) = ^ е—。产2 cos Sot,(2.7.40)
т. е. спектр ЧМ-колебания имеет вид гауссовской кривой:
G (з) = л+ е~ g + 3。汽2。斗(2.7.41)
4J/ 2л a0[」•'
Ширину этого спектра можно оценить как Ад 〜 加.(2.7.42)
Считая %〜* 〜1/А%, сравним Асо и ширину спектра частотных флуктуаций Аз》 Из (42) и (39) находим
盡〜诛〜厂蟲〜丿褊》1 •(2743)
Следовательно, в этом случае ЧМ-колебание имеет более широкий спектр, нежели шум, модулирующий его частоту. Неравенство (39) можно при этом переписать как
Go (О)>Дсоп,(2.7.44)
т. е. спектр модуляций высокий и узкий (рис. 2.16, а).
а❹0а❹0Рис. 2.16. Форма спектральной линии частотно-модулированного колебании при различных спектрах Go (w) модулирующей функции.Рис. 2.16. Форма спектральной линии частотно-модулированного колебании при различных спектрах Go (w) модулирующей функции.
а❹0
а❹0
Рис. 2.16. Форма спектральной линии частотно-модулированного колебании при различных спектрах Go (w) модулирующей функции.
Рис. 2.16. Форма спектральной линии частотно-модулированного колебании при различных спектрах Go (w) модулирующей функции.
При не слишком интенсивной (или достаточно быстрой) модуляции частоты, когда выполняется неравенство
Отк<1,(2.7.45)
заметное уменьшение корреляционной функции (36) происходит на линейном участке (38) и можно принять
“ = ^e—ogcos3ot.(2.7.46)
В этом случае спектральная интенсивность ЧМ-колебания имеет вид лоренцевской кривой:
G (з) = *彳［》+(3—5)2 + £>2 +(s+g户］'(2.7.47)
а ширина спектра равна
Асо 〜£) = nGo (0).(2.7.48)
В отличие от (43) отношение полос в этом случае меньше еди ницы: согласно (45) и (48)
Асо/Ag)〜£)q《1.(2.7.49i
(2.7.50)(2.7.50)Условие (45) эквивалентно неравенству Go (0) < Дсоо,
(2.7.50)
(2.7.50)
которое означает, что спектр модуляции широкий и низкий (рис. 2.16, 6).
Интерполируя полученные результаты, можно представить общий характер изменения ширины и формы спектра ЧМ-коле-
Рис. 2,17. Зависимость параметров ЧМ-колсбания (ширины спектральной линии Асо и формы спектра) от параметров модулирующей случайной функции (ширины спектра Д«о, спектральной плотности Go (0) и дисперсии с^а ^Gq (0) AsJРис. 2,17. Зависимость параметров ЧМ-колсбания (ширины спектральной линии Асо и формы спектра) от параметров модулирующей случайной функции (ширины спектра Д«о, спектральной плотности Go (0) и дисперсии с^а ^Gq (0) AsJ
Рис. 2,17. Зависимость параметров ЧМ-колсбания (ширины спектральной линии Асо и формы спектра) от параметров модулирующей случайной функции (ширины спектра Д«о, спектральной плотности Go (0) и дисперсии с^а ^Gq (0) AsJ
Рис. 2,17. Зависимость параметров ЧМ-колсбания (ширины спектральной линии Асо и формы спектра) от параметров модулирующей случайной функции (ширины спектра Д«о, спектральной плотности Go (0) и дисперсии с^а ^Gq (0) AsJ
бания при различных вариантах изменения параметров частотной модуляции Дсоо, Go (0) и По (пунктирные кривые на рис. 2.17).
Статистика уширения спектральных линий в оптике. Вопрос о ширине спектральных линий — одна из фундаментальных проблем физической оптики. Результаты измерений формы и ширины спектров излучения, поглощения и рассеяния света оказываются одним из важнейших источников информации о веществе. Исследуя оптические спектры атомов или молекул, мы имеем дело с ансамблем частиц, поведение которых описывается законами ст苴-
тистической физики； естественно, что эти статистические закономерности должны отражаться и в спектрах,
В классической оптике отклик атомов и молекул на световое поле описывается с помощью модели гармонического осциллятора. Дипольный момент, связанный с колебаниями одного осциллятора хь
〃(£)=%(£),(2.7.51)
где е — элементарный заряд, а поведение %? описывается уравнением гармонического осциллятора：
尤 £ + 2% 血 + со 机JQ = f (f),(2.7,52)
f (0 — внешняя сила. В общем случае /(f) определяется внешним световым полем, носящим случайный характер, взаимодействиями и т. п.
Дипольный момент (поляризация) Р (f) единицы объема среды, содержащей ^ атомов (осцилляторов),
Р⑴=£%(/)= £〃(/).(2.7.53)
£ = Ifn I
Естественная ширина спектральной линии, Рассчитаем прежде всего ширину спектральной линии излучения в ансамбле идентичных гармонических осцилляторов; будем считать, что все(03 = =со。， си = сс Классическую картину спонтанного излучения света ансамблем атомов или молекул можно рассматривать как суперпозицию «вспышек» свободных колебаний случайным образом возбужденных гармонических осцилляторов.
Свободные колебания “го осциллятора, возбужденного в момент времени 友，описываются формулой
Xi (0 = ^0/ exp { 一々(/一 力)} cos [g (£ — £,•) +Wi], (2.7.54) где x0/ и (poi — начальные амплитуда и фаза. Соответственно и дипольный момент, связанный с колебанием /ко осциллятора,
Pi (0 = Рзехр{-а (/-/,)} cos[恤(f 一“) + 屮解]・(2.7.55)
В силу (55), (53) излучаемое ансамблем таких осцилляторов световое поле £ (f) будет иметь вид
/VN
£ ⑴=£ 旬 exp { — a (f — 切} cos [coo (f —幻 + 屮祖]=£ 旦.(2.7.56)
Если возбуждение осцилляторов носит стохастический характер, то моменты вспышек 友,начальные амплитуды а^ и фазы(р0/ — случайные числа. Поэтому суммарное поле излучения представляет собой случайный процесс. Если осцилляторы идентичны, для выявления основных его статистических характеристик достаточно
учесть случайность моментов времени 厶.В этом случае (56) представляет собой случайную импульсную последовательность — стохастический процесс, являющийся случайным наложением регулярных импульсов известной формы.
Подробному рассмотрению таких процессов посвящен следующий § 8. Если случайные импульсы — «вспышки» свободных колебаний — статистически независимы, то для спектральной плотности суммарного процесса G (со) имеет место весьма наглядный результат (см. формулу (2.8.44)):
G((o) =2лЙ|Ею |2.(2.7.57)
В (57) Q — средняя частота следования импульсов, а Еш —фурье- образ функции Е『(/), описывающей одиночный импульс рассмаг риваемой последовательности.
Таким образом, спектр всего процесса имеет тот же вид, что и спектр одиночного импульса, — происходит некогерентное наложение спектров импульсов. Записывая фурье-преобразование импульса вида (54), для Ge(co) получаем ) (см. формулу (3.2.26))
Ge (со) = —° л 2 2*(2.7.58)
Лоренцевская спектральная линия (58) имеет ширину
Ао)е = 2а.(2.7.59)
Величину А⑴е принято называть естественной шириной спектральной линии; она определяется скоростью затухания амплитуды (энергии) отдельного осциллятора. Ширины линий колебаний отдельного осциллятора и ансамбля осцилляторов здесь одинаковы. Принято говорить, что в этом случае ширина спектральной линии определяется процессами релаксации энергии. Однако ширина спектральной линии в ансамбле осцилляторов не об/ зательно связана только с процессами релаксации энергии. Ширины линий отдельного осциллятора и ансамбля осцилляторов могут, разумеется, существенно различаться.
Действительно, величина дипольного момента единицы объема Р (/) (53) представляет собой фактически усредненное по единице объема колебательное возбуждение. Поэтому, даже если амплитуды колебаний всех элементарных осцилляторов практически постоянны, а их фазы быстро изменяются во времени (за счет движения осцилляторов и их взаимодействия меняются собственные частоты), величина 〈夕 ⑴〉может обратиться в нуль за вре-
мена
Тф< 1/а.(2.7.60)
Естественно, это будет приводить к уширению спектральной линии, гораздо более значительному, нежели описываемое формулой (58). В этом случае принято говорить об уширении спектральной линии, обусловленном процессами дефазировки колебаний. Различие в физике релаксации энергии и дефазировки колебаний наиболее последовательно учитывается при квантовомеханическом описании. Времена релаксации 7\ и У2, входящие в уравнения двухуровневой системы (1.6.20), (1.6.21), характеризуют скорости затухания энергии и дефазировки.
В очень многих практически интересных случаях
Т2~%《T1(2.7.61)
и при расчете ширины спектральной линии процессы релаксации энергии можно вообще не учитывать ).
Далее, в пренебрежении процессами релаксации энергии, обсуждаются простейшие задачи об уширении спектральных линий за счет процессов дефазировки. В основу расчета в этом случае можно, очевидно, положить формулы, выведенные в трех предыдущих пунктах этого параграфа. Порядок же конкретного расчета следующий. Сначала на основе микроскопической модели движения и взаимодействия осцилляторов находят статистические свойства частоты (или фазы), а затем, пользуясь приведенными выше формулами, можно вычислить и контур спектральной линии.
Ниже приведены простые примеры； за подробностями мы отсылаем читателя к [21, 22], где изложена статистическая теория уширения спектров излучения и поглощения, и к [23], где можно найти данные и библиографию об уширении спектров рассеяния света.
Уширение спектральных линий в везе； допплеровская ширина. Простым и чрезвычайно важным механизмом уширения спектральной линии в ансамбле осцилляторов является эффект Допплера. Если осциллятор, собственная частота которого со((, движется относительно наблюдателя со скоростью ©, то наблюдатель регистрирует колебания на частоте
s = 5 +As(2.7.62)
Рис. 2.18, Картина допплеровского уширения спектральной линии в газе независимых осцилляторов.Рис. 2.18, Картина допплеровского уширения спектральной линии в газе независимых осцилляторов.В ансамбле осцилляторов (например, в газе атомов или молекул) скорости © случайны; в силу (62) случайно распределены и частоты излучения отдельных осцилляторов. Естественно, что это приводит к дополнительному к (59) уширению спектральной линии. На практике это уширение, так называемое допплеровское уширение спектральной линии, Асо©, часто оказывается очень большим, так что (см. рис. 2.18, где для случая
Рис. 2.18, Картина допплеровского уширения спектральной линии в газе независимых осцилляторов.
Рис. 2.18, Картина допплеровского уширения спектральной линии в газе независимых осцилляторов.
построены спектры отдельных осцилляторов и суммарный допплеровский контур спектральной линии).
Рассчитаем ширину допплеровского контура Асо© для случая Asd》^%，Световое поле представим в виде
Е (/) = % exp i ®£ + ф (ОБ(2.7.63а)
где в рассматриваемом случае
ф(9 =力/•(/),г (/) =，©(/')«〃(2.7.636)
б
(мгновенная частота описывается (62)). Переходя к проекции скорости на направление наблюдения и, формулам (63) можно придать вид (29), где i] (t)^kr (/). Таким образом, речь идет о случайной частотной модуляции； статистика случайной скорости определяется столкновениями молекул.
Если V (/) — гауссовский процесс, корреляционная функция колебания (63а) определяется коррелятором (см. (34))
〈"《-%)〉=〈№«)〉，《)=)и (Г) df. (2.7.64) t
Рассмотрим сначала разреженный газ, в котором столкновением молекул можно пренебречь. Тогда r(f) = ut и, используя для V максвелловское (гауссовское) распределение по скоростям, получим
叫。)=金"师吟(2765) Для корреляционной функции колебания £ (/) получим (см. формулы предыдущего раздела)
В ⑴=；或 exp {— : (^r)2| coscOoT, (2.7,66)
откуда для спектра (ср. (40), (41)) получаем
G6(3)=隅 ехр {-咲萨}(2-7-67)
(ср. формулу (41)); в (67)
△30 =々"=^(第"(2.7.68)
—допплеровская ширина спектральной линии.
Согласно (66), (68) время корреляции светового поля в рассматриваемом случае
ткя^ 1/ku(2.7.69)
определяется средним временем смещения осциллятора на расстояние порядка длины световой волны. Если давление газа повышается, в игру включаются столкновения, ограничивающие свободные перемещения осцилляторов. В результате время тк увеличивается, а ширина допплеровского контура сужается. Происходит столкновительное сужение допплеровского контура. Обзор статистических моделей столкновитедьного сужения можно найти в [22]. Можно показать (см. [22]), что в случае достаточно частых столкновений
В (т) = у 4Й exp ^- ^^- rj cos со„т,(2.7.70)
где vCT — средняя частота столкновений. Корреляпиокная функция (70) соответствует (см. формулы (46), (47)) лоренцевскому контуру линии. Таким образом, в условиях частых столкновений первоначально гауссовский контур допплеровской линии переходит в лоренцевский).
В проведенных расчетах эффекты, связанные с релаксацией энергии, не учитывалось； их учет не представляет, однако, труда, поскольку процессы, связанные с релаксацией энергии и хаотическим движением осцилляторов, можно считать статистически независимыми. Полный спектр тогда определяется сверткой спектров Ge и G〉
Уширение спектральных линий молекул в жидкости. В жидкости допплеровское уширение, разумеется, полностью подавлено. Процессы дефазировки обусловлены флуктуациями нормальных частот (собственных частот осцилляторов) при межмолекулярных взаимодействиях (см. рис. 2.19, который иллюстрирует сдвиги собственных частот при бинарных взаимодействиях двухатомных молекул).
Рис. 2.19. Качественная картина, характеризующая флуктуации частоты колебаний при взаимодействии двухатомных молек\ л в жидкости.Рис. 2.19. Качественная картина, характеризующая флуктуации частоты колебаний при взаимодействии двухатомных молек\ л в жидкости.
Рис. 2.19. Качественная картина, характеризующая флуктуации частоты колебаний при взаимодействии двухатомных молек\ л в жидкости.
Рис. 2.19. Качественная картина, характеризующая флуктуации частоты колебаний при взаимодействии двухатомных молек\ л в жидкости.
Теперь для того чтобы определить статистику случайной частотной модуляции, надо задаваться конкретным видом потенциала межмолекулярного взаимодействия (это позволяет рассчитать дисперсию флуктуаций частоты при межмолекулярных взаимодействиях), физическими представлениями о времени корреляции частоты. Поскольку флуктуации частоты в этой задаче гауссовские, для расчета контура линии можно пользоваться формулой (36).
Предельные случаи (39) и (45) соответствуют двум существенно различным физическим ситуациям. Если флуктуации частоты медленные (см. (39)), окружение молекулы практически можно рассматривать как статистическое. Процесс дефа- зировки определяется фактически различием собственных частот； форма спектральной линии гауссовская, к наблюдается картина уширения, ана
логичная картине допплеровского уширения. Напротив, если флуктуации частоты быстрые (см. (45)), все молекулы находятся в практически идентичных условиях и форма спектральной линии —лоренцевская (ср. с эффектом столкновительного сужения допплеровской линии).
Соответственно в указанных случаях говорят о неоднородном (с(Лк》1) и однородном (DrK <^ 1) уширении спектральной линии.
В качестве примера (более подробно см. [23]) укажем, что для молекулярных колебаний в жидкостях тк ^ 10~12 с (оно порядка времени между столкновениями) и имеет место однородное уширение.
Импульсные случайные процессы
Рассмотрим несколько моделей импульсных случайных процессов.
Одиночный случайный импулъс^ Представим себе импульс, форма которого известна и задана функцией F (/), а момент появления /0 случаен и меняется от реализации к реализации:
'x(/) = F(/-/0)(2.8.1)
(рис. 2.20, а). Другой полезной моделью является импульс со случайной субструктурой (рис. 2.20, 6):
(2.8.2)(2.8.2)尤(f) = F(f)E(f).
(2.8.2)
(2.8.2)
Здесь F (f) — заданная регулярная функция времени (плавная огибающая импульса), a £(f) ) — случайный процесс. В оптических задачах в качестве процесса &(£) в (2) часто рассматривается узкополосный оптический шум или его комплексная амплитуда (в так называемых укоро-.,
ченных уравнениях, ем. гл. 4).\[*中卜尸僧力卜尸伊书/
Таким образом, наглядной моде-(\\i\ .
лью импульсного процесса рас-_1」LA」扌
сматриваемого типа могут быть0)'
Рис. 2.20. Случайные импульсы: а) одиночный импульс со случайным временем появления; 6) импульс заданной формы со случайной субструктуройРис. 2.20. Случайные импульсы: а) одиночный импульс со случайным временем появления; 6) импульс заданной формы со случайной субструктуройи полное число импульсов п процесс. В этом случаеи полное число импульсов п процесс. В этом случае«вспышки» оптического шума.
Рис. 2.20. Случайные импульсы: а) одиночный импульс со случайным временем появления; 6) импульс заданной формы со случайной субструктурой
Рис. 2.20. Случайные импульсы: а) одиночный импульс со случайным временем появления; 6) импульс заданной формы со случайной субструктурой
и полное число импульсов п процесс. В этом случае
и полное число импульсов п процесс. В этом случае
Случайная импульсная последовательность. Этот процесс состоит из совокупности импульсов (1):
%«)= t尸"一切，(2.8.3) pul
Здесь 尸(/) — регулярная функция времени, описывающая форму одиночного импульса, причем случайными могут быть как время появления tp каждого импульса, так (рис. 2.21).
Квазиперио8ический импульсный
% (f) = Р (f) F(2),(2.8.4)
где F (2) — периодическая функция:
F 绅 +2тш) = F (2)(л = 0, ±1, ±2,…)，(2.8.5)
аргумент которой следующим образом зависит от времени:
2 = gf +(p 优).(2.8.6)
В частном случае постоянных р = рс и ср =cp0 выражение (4) определяет регулярную периодическую последовательность импульсов произвольной формы F (рис. 2.22, а). При флуктуирующих р (/) и ср (f) эти импульсы будут случайным образом искажены как по высоте, так и по длительности (рис. 2.22, 6).
Рассмотрим статистические характеристики перечисленных процессов.
Одиночный случайный импульс. Процесс (1) характеризуется средним значением и корреляционной функцией:
(2.8.7)(2.8.8)(2.8.7)(2.8.8)Х= f л W (/0)出0,—ОО
(2.8.7)
(2.8.8)
(2.8.7)
(2.8.8)
8
嬴=§ F (t—tn)F (t + т; -tn)w (/0) dt0.
矶力+夕仍矶力+夕仍°ис. 2.21. Случайная импульсная последовательность % (/),°ис. 2.21. Случайная импульсная последовательность % (/),Импульсы имеют одинаковую форму, но возникают в случайные моменты времени. В задаче о дробовом шуме диода (§ 8) такие импульсы тока %(/)=£(，)возникают прн пролете электрона от катода к аноду: моментн их появления случайны в снт、 глучайчости процесса термоэлектронной ia также Фптнэлрктглнчой. гм. § 9) эмиссг^;Импульсы имеют одинаковую форму, но возникают в случайные моменты времени. В задаче о дробовом шуме диода (§ 8) такие импульсы тока %(/)=£(，)возникают прн пролете электрона от катода к аноду: моментн их появления случайны в снт、 глучайчости процесса термоэлектронной ia также Фптнэлрктглнчой. гм. § 9) эмиссг^;В этих выражениях w (t^ — распределение вероятностей случайного момента /0 появления импульса
矶力+夕仍
矶力+夕仍
°ис. 2.21. Случайная импульсная последовательность % (/),
°ис. 2.21. Случайная импульсная последовательность % (/),
Импульсы имеют одинаковую форму, но возникают в случайные моменты времени. В задаче о дробовом шуме диода (§ 8) такие импульсы тока %(/)=£(，)возникают прн пролете электрона от катода к аноду: моментн их появления случайны в снт、 глучайчости процесса термоэлектронной ia также Фптнэлрктглнчой. гм. § 9) эмиссг^;
Импульсы имеют одинаковую форму, но возникают в случайные моменты времени. В задаче о дробовом шуме диода (§ 8) такие импульсы тока %(/)=£(，)возникают прн пролете электрона от катода к аноду: моментн их появления случайны в снт、 глучайчости процесса термоэлектронной ia также Фптнэлрктглнчой. гм. § 9) эмиссг^;
Рис. 2.22. Квазипериодический импульсный процесс:
а) неискаженная последовательность прямоугольных импульсов; б) те же импульсы, искаженные «амплитудными^ и «фазовыми^ флуктуациями.
Предположим, что импульс F (f) имеет максимум при f и характеризуется длительностью тимп, а «импульс» распределения 5(办)имеет длительность т0, причем максимум © 風)приходится на 加，Как видно из (7), в предельных случаях a) Thmu《Tr и б) %мп》5 выражение для 尤 будет следующим:
x^w(t-t') j F(9)d6,(2.8.9)
gF(f — %).(2.8.10)
Аналогичным образом упрощается и выражение (8):
а) ххт(t — f) \ 尸⑼尸(H+t)d6,(2,8,11)
6)汉t〜F (t -係)F (t+工一价(2-8.12)
Момент /" в (11) определ ется из условия, что при / = Г произведение F (l)F (/ + т) принимает максимальное значение.
Таким образом, рассма1риваемый одиночный импульс х (/)= = F(f —/()) является, вообще говоря, нестационарным случайным процессом (х и ххт зависят от времени), В частности, для импульса гауссовской формы и при гауссовском распределении /0, т. е, при
(^ИМП ~
‘ 1/a),
(2.8.13)
3佑）=券"叫，
(2.8.14)
из (7), (8) находим
卿2 办+炉
•叶，
(2815)
^ =得豆exp {-标%⑵咿+ 2%+ d (出+旳］}，
(2.8,16)
Однако если появление импульса равновероятно для любого момента на достаточно большом интервале
5 仇) = 1/Т, Т》/нмт(2817)
то среднее значение и корреляционная функция перестают зависеть от времени:
1 X = t1 X = tf F (6) de,f F (6) de,=, F (9) F (6 4-r) c?9.=, F (9) F (6 4-r) c?9.(2.8.18)(2.8.19)(2.8.18)(2.8.19)
1 X = t
1 X = t
f F (6) de,
f F (6) de,
=, F (9) F (6 4-r) c?9.
=, F (9) F (6 4-r) c?9.
(2.8.18)
(2.8.19)
(2.8.18)
(2.8.19)
Процесс x = F (t — to) в этом случае в пределах интервала Т может считаться стационарным.
Представим импульс F (/) в виде интеграла Фурье:
F (f) = \ ср (ю) 8® d(D. ф (— и) = ср* (и);(2.8.20)
подставив (20) в (19), получим после интегрирования по 9 (это дает 6-функцию)
ххт =祭，I ф ((D) 2©3咖 а», т. е. спектральная плотность стационарного случайного процесса типа одиночного случайного импульса равна
Отт
G(3)=筝 |<р(з)户.(2.8.21)
Однако коэффициент формы импульса F (f) процесса E：Однако коэффициент формы импульса F (f) процесса E：Ra (t)Ra (t)A(f)N 0 + Q —图一 с 心A(f)N 0 + Q —图一 с 心
Однако коэффициент формы импульса F (f) процесса E：
Однако коэффициент формы импульса F (f) процесса E：
Ra (t)
Ra (t)
A(f)N 0 + Q —图一 с 心
A(f)N 0 + Q —图一 с 心
Другим видом случайного процесса типа одиночного импульса является импульс вида (2):
(2.8.22)(2.8.22)A(t)=F(t)l(t),
(2.8.22)
(2.8.22)
где 尸(f) описывает огибающую импульса и является регулярной функцией времени, ^ (/) — модулирующий случайный стационарный процесс. Процесс (22) при этом нестационарен； например, его дисперсия и корреляционная функция со временем меняются:
磺⑴=尸(/)支 4(f)4(f + t) = F ⑴尸(f + t)^；.
корреляции процесса А не зависит от и совпадает с коэффициентом корреляции
Таким образом, по виду Ra (т) можно определить форму спектра G^ (со) случайной модуляции.
Аналогичный результат может быть получен и для пространственного импульса:
a a, 9)=f(x, 9)е(%, 9)
(например, для распределения поля в поперечном сечении лазерного луча)； пространственные коэффициенты корреляции для / н Е совпадают: RA = R^.
Случайная импульсная последовательность. Для простоты будем считать, что каждый импульс в сумме (3)
*(/)= w尸(/一％)Р=1*(/)= w尸(/一％)Р=1(2.8.23)(2.8.23)
*(/)= w尸(/一％)
Р=1
*(/)= w尸(/一％)
Р=1
(2.8.23)
(2.8.23)
возникает независимо от остальных. При этом времена появления tp (р= 1, 2, ..,, л) и число импульсов п являются статистически независимыми случайными величинами:
侬(几，匕，为，J)=侬(几)侬佐)…侬(f J(2.8.24)
где все распределения w (%) одинаковы, и средние
〈尸(f — f J〉=戸，〈尸(f + — %)〉= %,
—(2.8.25)
〈f(2 - %)f(2 + T — %))=f居
не зависят от индекса р. Усредняя (23) сначала по %, а затем
по п, находим
(2.8.26)
(2827)
盡=〈££尸(/一 ％)尸(f + T —%，)〉=
=〈£戸戸Т+£尸凡〉="配+ (宗一冷戸尸" (2.8.28) P=Pr今0'
В (т) = xxt — х хт = л F Ft + (п2 — n — n^FFx， (2.8,29)
Чтобы конкретизировать эти выражения, рассмотрим следующую модель.
Пусть тимп характеризует длительность каждого импульса, а Т — достаточно большой интервал времени, в течение которого импульсы появляются (Т》Тнмп)・ Будем считать, что появление каждого импульса в любой момент времени равновероятно:
侬(%) = 1/7\(2.8.30)
Поскольку Т^тимп, то в этом случае средние 尸 и FFX от времени зависеть практически не будут:
尸=最\尸(6)曲=A，尸尸、尸(6)尸(8+T)曲.
—8—8(2.8.31)
Найдем теперь статистику п, соответствующую этой модели. Как бы часто ни следовали друг за другом импульсы, всегда можно представить себе, что ось времени разбита на столь малые интервалы А/, что в каждом интервале либо появится всего один новый импульс (с вероятностью р), либо не появится ни одного (с вероятностью q= \ — р). Вероятность того, что за ^ интервалов появится п импульсов, дается в этом случае формулой Бернулли
(2.8.32)(2.8.33)(2.8.32)(2.8.33)Р (л) = p"qN "С% (л = 0, 1, ,.,, N), где
(2.8.32)
(2.8.33)
(2.8.32)
(2.8.33)
—биномиальные коэффициенты:
Так как N Nt = T, то в пределе А/т-0 в полученных соотношениях можно принять Nf 8, т, е, n^N. При этом согласно (32), (33) С% 〜NTn\ и
Р (r£)^pnqNNnln\, или с точностью до нормировочной постоянной
Р (п)〜с^/川(a = pN).(2,8.35)
Подставляя (35) в условие нормировки £ 尸(孔)=1, находим "9 0
окончательно
Р (и) ==е-аал/п! (孔=0, 1, 2,…)，(2,8,36)
Распределение (36) называют распределением Пуассона, Дляэтого распределения Л = а. В самом деле, дифференцируя по а ряд尹=2筹,
я — 0 получим
Z —曲-a乙川 '
так что
а = с-06 2 勺1 = й.
Аналогичным образом могут быть найдены и моменты п более высокого порядка. В частности, n2 = а(1 +^), так что дисперсия и среднее значение пуассоновской случайной величины п совпадают:
К ==〈紋〉—〈九〉2 = a =〈几).(2,8.37)
Согласно (36)
Р(п+1) = Р(п)^.，
Отсюда следует, что при целочисленных значениях a = zn+l (加= 0,1, 2, ,..) наибольшими являются вероятности двух значений п:
几1=加，几2=加+1，p(街)=p(门2)，
При нецелых 仪=加 + 1+ & (zn = 0, 1, 2, ,..; 0 <： е <： 1) максимальная вероятность соответствует значению п = т + 1. Таким образом, при а = л>1 зависимость Р (л) от п не является монотонной: вероятности сначала растут, а затем убывают (рис. 2.23, а). Если а< 1, то картина будет другой: вероятности уменьшаются с ростом п (рис, 2,23, б).
С увеличением а величина о〃/汽=1/]/сс = 1/丿用 стремитсяС увеличением а величина о〃/汽=1/]/сс = 1/丿用 стремитсяРис. 2.23. Дискретное распределение Пуассона при й > 1 (а) и й < 1 (6).Рис. 2.23. Дискретное распределение Пуассона при й > 1 (а) и й < 1 (6).узким и переходит в гауссовское. Действительно, используя формулу Стирлинга
С увеличением а величина о〃/汽=1/]/сс = 1/丿用 стремится
С увеличением а величина о〃/汽=1/]/сс = 1/丿用 стремится
Рис. 2.23. Дискретное распределение Пуассона при й > 1 (а) и й < 1 (6).
Рис. 2.23. Дискретное распределение Пуассона при й > 1 (а) и й < 1 (6).
加=（打恒"/加=（打恒"/и разложение логарифма
加=（打恒"/
加=（打恒"/
1п(1+х)= £
Р (п) 2Р (п) 2ехр {п — а — г/ In (孔/a)}V 2北汽ехр {п — а — г/ In (孔/a)}V 2北汽еXp ｛口 "—（1 +%）也（I 十尤）］｝еXp ｛口 "—（1 +%）也（I 十尤）］｝I 2ла (1 +尤jI 2ла (1 +尤jI 「炉 心 %4]/ 2ла (1 十尤)I 「炉 心 %4]/ 2ла (1 十尤),(2.8.38),(2.8.38)распределение Пуассона (36) можно переписать как
Р (п) 2
Р (п) 2
ехр {п — а — г/ In (孔/a)}V 2北汽
ехр {п — а — г/ In (孔/a)}V 2北汽
еXp ｛口 "—（1 +%）也（I 十尤）］｝
еXp ｛口 "—（1 +%）也（I 十尤）］｝
I 2ла (1 +尤j
I 2ла (1 +尤j
I 「炉 心 %4
]/ 2ла (1 十尤)
I 「炉 心 %4
]/ 2ла (1 十尤)
,(2.8.38)
,(2.8.38)
где х = (и — а)/а = (л —汽)/用—относительное отклонение п от среднего значения. Согласно (38)
Ртах = Р (fl == &) = 1 //2ЯСС.
Если ]/"а》1, то суптественным в (38) является лишь квадратичный по х член в экспоненте:
ах2/2(п —а)2/2〃
p W—=侬(初⑵8・39)
Мы приходим, таким образом, i： гауссовскому распределению дл5^п, причем п в (39)можно считать непрерывной переменной
(так как максимум гауссовского распределения (39) характеризуется шириной о〃 = ]/а》1 и в него попадает много линий дискретного распределения 尸(几))•
Распределению Пуассона соответствует характеристическая функция
9 (u) = (eian) = £ е打叩(几)= е-& £(“：?"= п=0п = О
=ехр (ае£и=ехр (ае£и(2.8.40)(2.8.40)
=ехр (ае£и
=ехр (ае£и
(2.8.40)
(2.8.40)
и, как видно из (40), все кумулянты имеют одну и ту же величину
кт = а (гп=1,2,…).(2.8.41)
Величина относительных кумулянтов будет, однако, зависеть от а н zn:
乂巾=^/力产=l/a""？-].
В частности, если ]/а》1,то xm^ 1 (zn = 3,4, •••) и (40) переходит в характеристическую функцию
9 (〃)=?一a(必一m/2),
соответствующую гауссовскому распределению (39). Подставив (31) и (37) в (26) и (29), получим выражения для среднего значения и корреляционной функции пуассоновской импульсной последовательности:
兄=Q ，F (9) d9,兄=Q ，F (9) d9,(2.8.42)(2.8.42)
兄=Q ，F (9) d9,
兄=Q ，F (9) d9,
(2.8.42)
(2.8.42)
(2.8.43)(2.8.43)В (т) = Й f F(9)F(9+r) d9
(2.8.43)
(2.8.43)
(формулы Кэмпбелла —ср. с (18), (19)). Здесь введена средняя частота следования импульсов Й = а/Т = п/Т. Корреляционной функции (43) соответствует спектральная плотность
G (со) = 2nQ I ср (со) |2, (2.8.44)
где ср (со) -фурье-образ функции 尸(f), описывающей одиночный импульс рассматриваемой последовательности (ср. с (18) — (20)).
Характеристическая функция импульсного процесса (23) равна
(2.8.45) n, a(2.8.46)(2.8.45) n, a(2.8.46)или, с учетом выражения (30), В (〃) = ©) где усреднение производится по ансамблю значений Г/2
(2.8.45) n, a
(2.8.46)
(2.8.45) n, a
(2.8.46)
р=力‘.
-Т/2
В случае пуассоновской статистики п имеем
©(“)=£ рп 守i =尹 e-и =
= exp Ш \ 呼尸力［.(2847)
Если длительность отдельного импульса мала (по сравнению с Т), то формулу (47) можно переписать как
е(м)=ехр!й £ (抑l)d《.(2.8.48)
(—8丿
Разлагая показатель экспоненты в ряд Тейлора по и, получим
М〃) = ехр卜 £ 黑
т. e. кумулянты импульсного пуассоновского процесса равны
% = Q ， 尸m(6)犯(2.8.49)
Величину кумулянтов (49) можно оценить как
hm QFтах°нмп,где тимп — длительность импульса» Fmax —его пиковое значение.Отсюда находим оценку для относительных кумулянтов:
хт =№(2.8.50)
咸/2 (йтимп)т/2-'I 丿
(2.8.51)(2.8.51)Итак, вид характеристической функции (48) импульсного процесса и, следовательно» распределение вероятностей определяются частотой следования импульсов и их формой. Оценка (50) показывает, что, если в течение времени, пока длится один импульс, появляется достаточно много новых импульсов, т. е. в предельном случае
(2.8.51)
(2.8.51)
停小产》1,
основную роль играют лишь два первых кумулянта и распределение вероятностей приближенно будет гауссовским. В общем случае w (х) имеет вид фурье-образа характеристической функции (48):
w(x)=* J expw(x)=* J expЙ j [е^^-\]М-шх^ du. (2.8.52)
w(x)=* J exp
w(x)=* J exp
Квазипериодический импульсный процесс [5|. Стационарную квазипериодн- ческую последовательность импульсов можно представить как
Е(/)=р(/)尸伸)，屮=屮(/) = (Dj +(Р (/),— л < ф (0 < л,где F (屮)=尸仰 + 2л)—регулярная периодическая функция ф, а р и чайные стационарные функции, которые, по аналогии с (2.3.1), можно «огибающей» и «фазой». В случае фиксированных р и ср процессЕ(/)=р(/)尸伸)，屮=屮(/) = (Dj +(Р (/),— л < ф (0 < л,где F (屮)=尸仰 + 2л)—регулярная периодическая функция ф, а р и чайные стационарные функции, которые, по аналогии с (2.3.1), можно «огибающей» и «фазой». В случае фиксированных р и ср процесс(2.8.53)(2.8.53)Ф—слу- иазвать Е имеетФ—слу- иазвать Е имеетОО~п~пб)б)Рнс. 2.24 Импуль с F绅)различной формы.Представлены без искажений, вно-симых флуктуациями.Рнс. 2.24 Импуль с F绅)различной формы.Представлены без искажений, вно-симых флуктуациями.тот же вид, что и периодическая функция 尸 (см. рис. 2.22, а). Если же р и ф флуктуируют, то эта картина будет случайным образом искажаться (см. рис. 2.22, 6).Общие соотношения, связывающие распределения вероятностей w 化),侬(р) и характеристическую функцию 0 (〃)=〈ехр 就)， были получены в § 5 (см. (2.5.69) —(2.5.74)). Отметим, что из стационарности (53) следует равнораспределение фазы： ：：» (ф) = 1/2л.Рассмотрим теперь одномерные статистические характеристики процесса (53), конкретизируя форму импульсов.1.尸 伸)一знакопеременная последовательность прямоугольных импульсов с длительностью цл (рис. 2.24, а). В этом случае U。(〃Р) = 1 —卩 + 卩 cos 〃р(0 < ц •< 1)(2.8.54)тот же вид, что и периодическая функция 尸 (см. рис. 2.22, а). Если же р и ф флуктуируют, то эта картина будет случайным образом искажаться (см. рис. 2.22, 6).Общие соотношения, связывающие распределения вероятностей w 化),侬(р) и характеристическую функцию 0 (〃)=〈ехр 就)， были получены в § 5 (см. (2.5.69) —(2.5.74)). Отметим, что из стационарности (53) следует равнораспределение фазы： ：：» (ф) = 1/2л.Рассмотрим теперь одномерные статистические характеристики процесса (53), конкретизируя форму импульсов.1.尸 伸)一знакопеременная последовательность прямоугольных импульсов с длительностью цл (рис. 2.24, а). В этом случае U。(〃Р) = 1 —卩 + 卩 cos 〃р(0 < ц •< 1)(2.8.54)
Е(/)=р(/)尸伸)，
屮=屮(/) = (Dj +(Р (/),— л < ф (0 < л,
где F (屮)=尸仰 + 2л)—регулярная периодическая функция ф, а р и чайные стационарные функции, которые, по аналогии с (2.3.1), можно «огибающей» и «фазой». В случае фиксированных р и ср процесс
Е(/)=р(/)尸伸)，
屮=屮(/) = (Dj +(Р (/),— л < ф (0 < л,
где F (屮)=尸仰 + 2л)—регулярная периодическая функция ф, а р и чайные стационарные функции, которые, по аналогии с (2.3.1), можно «огибающей» и «фазой». В случае фиксированных р и ср процесс
(2.8.53)
(2.8.53)
Ф—слу- иазвать Е имеет
Ф—слу- иазвать Е имеет
О
О
~п
~п
б)
б)
Рнс. 2.24 Импуль с F绅)различной формы.
Представлены без искажений, вно-симых флуктуациями.
Рнс. 2.24 Импуль с F绅)различной формы.
Представлены без искажений, вно-симых флуктуациями.
тот же вид, что и периодическая функция 尸 (см. рис. 2.22, а). Если же р и ф флуктуируют, то эта картина будет случайным образом искажаться (см. рис. 2.22, 6).
Общие соотношения, связывающие распределения вероятностей w 化),侬(р) и характеристическую функцию 0 (〃)=〈ехр 就)， были получены в § 5 (см. (2.5.69) —(2.5.74)). Отметим, что из стационарности (53) следует равнораспределение фазы： ：：» (ф) = 1/2л.
Рассмотрим теперь одномерные статистические характеристики процесса (53), конкретизируя форму импульсов.
1.尸 伸)一знакопеременная последовательность прямоугольных импульсов с длительностью цл (рис. 2.24, а). В этом случае U。(〃Р) = 1 —卩 + 卩 cos 〃р(0 < ц •< 1)
(2.8.54)
тот же вид, что и периодическая функция 尸 (см. рис. 2.22, а). Если же р и ф флуктуируют, то эта картина будет случайным образом искажаться (см. рис. 2.22, 6).
Общие соотношения, связывающие распределения вероятностей w 化),侬(р) и характеристическую функцию 0 (〃)=〈ехр 就)， были получены в § 5 (см. (2.5.69) —(2.5.74)). Отметим, что из стационарности (53) следует равнораспределение фазы： ：：» (ф) = 1/2л.
Рассмотрим теперь одномерные статистические характеристики процесса (53), конкретизируя форму импульсов.
1.尸 伸)一знакопеременная последовательность прямоугольных импульсов с длительностью цл (рис. 2.24, а). В этом случае U。(〃Р) = 1 —卩 + 卩 cos 〃р(0 < ц •< 1)
(2.8.54)
одномерные функции распределения и родномерные функции распределения и ри, как следует из (2.5.71) и (54), связаны соотношением
одномерные функции распределения и р
одномерные функции распределения и р
(2855)(2855)侬⑹=侬（一Е）=（1 —闻6⑸+ $侬（p） b g
(2855)
(2855)
Согласно (55) при отсутствии пауз между импульсами (ц= 1) распределение огибающей совпадает с распределением самого процесса (в области положительных значений); в этом случае в (2.5.70)
(2,8.56)(2,8.56)Uu (zzp) = cos 〃р,
(2,8.56)
(2,8.56)
Um Зр) = —i sin u^ - -^2—(加 卢 °)-
2. F (ф) — последовательность импульсов треугольной формы (рис. 2.24, б). При этом
(2.8.57)(2.8.57)Ug (ар) = ар (ар,二爲^ (：t m = 0,2, 4,...),
(2.8.57)
(2.8.57)
八，、 〃Р COS zzp ,, c 、
иm(”)=丁也乔二("砌7" (±m=l,3,…),
и (2.5.71) принимает вид синус-преобразования Фурье:
6也）〃6也）〃оо侬(p).—^- Sin 〃P dp.侬(p).—^- Sin 〃P dp.(2.868)(2.868)
6也）〃
6也）〃
о
о
侬(p).
—^- Sin 〃P dp.
侬(p).
—^- Sin 〃P dp.
(2.868)
(2.868)
Обратное преобразование дает
з(р)匸Рз(р)匸Р2 Г—I 6 (u) u sin up du nJо2 Г—I 6 (u) u sin up du nJо(2.8.69)(2.8.69)
з(р)匸Р
з(р)匸Р
2 Г
—I 6 (u) u sin up du nJ
о
2 Г
—I 6 (u) u sin up du nJ
о
(2.8.69)
(2.8.69)
процессапроцесса(ср. с (2.5.19)). Как следует из (59), для гауссовского импульсного
процесса
процесса
9注…9注…(2.8.60)(2.8.60)распределение огибающей ие будет рэлеевским: подставив в (59) 6 (и)= «« ехр (— у и*冰),получим
9注…
9注…
(2.8.60)
(2.8.60)
Характеристической функции (58) соответствует четная функция распределения вероятностей 侬 0)=侬(一g), причем
8ООСО
,「、1 f А J 1 С 屮(р) / f COS мВ sin МО , /с о А 八
Ki (J) = — I cos wg 0 (и) du= - \ dp \ ^ du. (2861)
о"о0
Ho
(^^L 也={ %> 3，(p, A 0).(2.8.62)
0
Подставив (62) в (61), получим, что для треугольных имп\льсов соотношение между распределениями самого процесса и его огибающей будет следующим: 侬阳=4 ,上* dp(2863)
(ср. с (2.5.18) и (55)). Нетрудно убедиться, что в случае 侬(р) вида (60) распределение (63) будет гауссовским. При распределении высот импульсов по закону Рэлея 侬(р) = ^- ехр (—рз/2о£) из (63) находим распределение импульсного процесса, выражающееся через интеграл вероятности:
Рис. 2.25. Схема диода (а) и распределение/ — в насыщенном диоде, 2—при ограничении токаРис. 2.25. Схема диода (а) и распределение/ — в насыщенном диоде, 2—при ограничении токаДробовой шум. Важным примером импульсного случайного процесса является дробовой шум электронных ламп. Анодный ток электронной лампы представляет собой случайную последовательность импульсов, обусловленную статист ическим характером электронной эмиссии. Расчет характеристик возникающего импульсного случайного процесса представляет собой, вообще говоря, весьма сложную задачу; в общем случае существенным оказывается взаимодействие между электронами. Имеется, однако, важный случай, для которого расчет статистики дробового шума не представляет труда, — задача о дробовом шуме диода, работающего в режиме насыщения. Здесь в за имодейств и я ми электронов в меж
Рис. 2.25. Схема диода (а) и распределение
/ — в насыщенном диоде, 2—при ограничении тока
Рис. 2.25. Схема диода (а) и распределение
/ — в насыщенном диоде, 2—при ограничении тока
потенциала в диоде (6): пространственным зарядом.
электродном промежутке можно пренебречь; статистика импульсов анодного тока полностью аналогична статистике термоэлектронной эмиссии. Поскольку последняя является пуассоновской (различные термоэлектроны эмиттируются независимо), определение статистики анодного тока сводится к расчету характеристик пуассоновских импульсов.
Рассмотрим плоский диод, разность потенциалов между электродами которого равна V; межэлектродное расстояние обозначим через d (рис. 2.25). Вероятность вылета одного термоэлектрона в интервале времени 力 равна '
dP = pdt, (2.8.65)
где р — вероятность вылета в единицу времени. Тогда вероятность вылета п электронов за время Т описывается распределением Пуассона с 龙= 07\ где Q = /0/е — среднее число электронов, эмит- тируемых катодом в единицу времени, /(. — средний ток и е —заряд электрона. Соотношение (44) сразу же дает нам выражение для спектра дробового шума:
G (со) = 2лЙ 11 (со) |2, (2.8.66)
и вычисление спектра сводится, таким образом, к определению фурье-образа i (со) импульса тока i (/), возбуждаемого в анодной
цепи отдельным электроном. Для расчета формы импульса тока можно воспользоваться следующими простыми соображениями.
При движении электрона от катода к аноду на отрезке пути ds внешнее поле Е совершает работу dW =eEds. В силу закона сохранения энергии можно записать
i (/)V dt = еЕ ds = еЕ dz
(учтено, что диод является плоским), откуда
"/)号 Е^= ； 〃(/),(2.8.67)
где и (/) — мгновенное значение скорости, V = Ed. Величину 〃 Q) можно найти из уравнения движения
mz = еЕ.
При достаточно высоком напряжении V тепловой скоростью электрона можно пренебречь： полагая, что при / = 0 2 = 0 и 2 = 0, для i (/) получаем
i(0 = 2е£ 工脑，тпр = 2md/eE1 0</<тпр, (2.8.68)
где тпр — время пролета электрона от катода к аноду.
Таким образом, анодный ток насыщенного диода представляет собой случайную последовательность импульсов треугольной формы вида (67) (см. рис. 2.21):
/⑴=］，V—館=£^(/ — /“)， о</-/„<%р, где /„ — моменты вылета электронов.
Фурье-образ импульса тока имеет вид
+ со%р
i W)= 2% ) i(/)е“з'出=哺 \ "‘旧力，
-°°"Ро(2.8.69)
I» ®) |2=(盍『【2 十户-26 sin 8 — 2 cos g 嵐'/ ⑼，
где 0 = сотпр — величина, которую в электронике принято называть пролетным углом.
Пользуясь (69), для спектральной плотности дробового шума насыщенного диода получим
G+(<о)=/(呜/°.(2.8.70)
Важно отметить, что частота входит в спектральную плотность в комбинации со временем пролета. Согласно (70) спектральная плотность дробового шума максимальна при 0 ->0 (сот-6). Раз-
лагая sin 6 и cos 0 в ряд, нетрудно убедиться, что
G+(O) = g/°. (2.8.71)
Эта формула носит название формулы Шоттки; ею пользуются обычно при расчете дробовых шумов низкочастотных электронных ламп. При Bf 8 G((o)f 0, т. е. при больших пролетных углах дробовой шум исчезает.
Отмеченное обстоятельство не следует рассматривать, однако, как рецепт повышения чувствительности усилителей на электронных лампах; при 8f 8 резко уменьшается и коэффициент усиления.
Добиться уменьшения уровня дробового шума можно, переходя от режима насыщения к режиму ограничения тока пространственным зарядом. В этом случае вблизи катода (см. рис. 2.25, 6) формируется минимум потенциала Vmm, глубина которого зависит от тока эмиссии, что приводит к уменьшению флуктуаций анодного тока. Этот эффект называется депрессией дробовых шумов.
С учетом эффекта депрессии формулу (71) следует записать в виде
G+(s) = r*/。， (2.8.72)
где Г — так называемый коэффициент депрессии. Результаты расчета коэффициента депрессии (в этом случае принципиальным становится учет распределения электронов по скоростям) можно найти в [25j. На низких частотах величина Г ^ 0,01, так что депрессия дробового шума оказывается достаточно сильной.
Учет взаимодействий между электронами на высоких частотах представляет собой трудную задачу; с проблемами теории высокочастотных дробсвых шумов в электронных лампах можно ознакомиться по монографии [25].
§ 9・ Фотоотсчеты в случайном световом поле
В этом параграфе мы обратимся к еще одному примеру импульсного случайного процесса — займемся исследованием статистики фототока, возбуждаемого световым излучением на фотокатоде (упрощенная схема фотоэлектрического детектора изображена на рис. 2.26). Эта задача аналогична, разумеется, задаче о дробовом эффекте, рассмотренной в предыдущем параграфе: элементарный акт фотоэмиссии является случайным, подобно элементарному акту термоэлектронной эмиссии (см. рис. 2.21).
Однако здесь мы рассмотрим новый аспект этой задачи, имеющий особое значение для статистики фотоэмиссии, а именно, рассмотрим статистику фотоэлектронного тока в условиях, когда катод
Рис. 2.26. Модель фотодетектора:Рис. 2.26. Модель фотодетектора:освещается источником света с флуктуирующей интенсивностью (в задаче о термоэлектронной эмиссии такой постановке соответствуют флуктуационные изменения температуры катода). Будем искать закон распределения Р (几)числа п фотоэлектронов, эмит- тированных фотокатодом в течение заданного интервала времени Т (числа фотоотсчетов).
Рис. 2.26. Модель фотодетектора:
Рис. 2.26. Модель фотодетектора:
/ —катод(фоточувствительиаяповерхность); 2—падающее световое излучение; 3~ эмиттирован- ные фотоэлектроны; ^ — коллекторный аиод, i(f)——выходной ток, R— нагрузочное сопротивление./ —катод(фоточувствительиаяповерхность); 2—падающее световое излучение; 3~ эмиттирован- ные фотоэлектроны; ^ — коллекторный аиод, i(f)——выходной ток, R— нагрузочное сопротивление.Мы убедимся, что в общем случае источника с флуктуирующей интенсивностью распределение Р (п), вообще говоря, отличается от пуассоновского и зависит от статистики интенсивности света. Таким образом, процесс фотодетектирования случайного света приводит к непуассоновским импульсным последовательностям. Измерение распределений Р (/г) может
/ —катод(фоточувствительиая
поверхность); 2—падающее световое излучение; 3~ эмиттирован- ные фотоэлектроны; ^ — коллекторный аиод, i(f)——выходной ток, R— нагрузочное сопротивление.
/ —катод(фоточувствительиая
поверхность); 2—падающее световое излучение; 3~ эмиттирован- ные фотоэлектроны; ^ — коллекторный аиод, i(f)——выходной ток, R— нагрузочное сопротивление.
быть использовано для определения одномерной статистики интенсивности светового' пучка. Этот факт широко применяется в современной статистической оптике.
Распределение фотоотсчетов в случайном поле. Формула Манделя. Выведем распределение числа фотоотсчетов Р (п) в поле светового источника с флуктуирующей интенсивностью. Согласно полуклас- сической теории фотоэффекта дифференциальная вероятность dP появления одного фотоэлектрона (фоюотсчета) в интервале времени dt определяется выражекпрм (ср. с (2.8.65))
dP@) = pdt, р = р /(/),(2.9.1)
где р — коэффициент, характеризующий чувствительность фотодетектора, а / (/) — интенсивность света [8].
Если источник света имеет постоянную интенсивность (на практике такой источник является хорошей моделью стабилизированного одномодового лазера непрерывного действия), то в силу (1) вероятность вылета фотоэлектрона прямо пропорциональна интервалу времени 7\ и, следовательно, статистика фотоэлектронов является пуассоновской (см. § 8), при этом вероятность появления п импульсов фототока за время Т дается формулой (2.8 36):
P(a)=L穿 (a=0, 1,2,…).(2.9.2)
Среднее число фотоэлектронов за время Т равно
а = (n) = 0Т/.(2.9.3)
Если интенсивность изменяется, то вместо (3) следует писать т
/ (t) dt =(2.9.4)
-о
где U = \ / (?) б// —энергия светового потока, прошедшего через о
поверхность детектора за время Т. Для случайного светового поля
Е (/)= р(/)cos[con/ + 屮(/)j(2.9.5)
функция /(/) = р2(/)/2 также имеет случайный характер, а энергия U случайно меняется от измерения к измерению. Вероятность (2) в этой ситуации следует, очевидно, интерпретировать как условную вероятность, соответствующую данному значению U：
P(n]U) = e~^^f-, 〈a〉|u=a = 0U.
Полную вероятность найдем, усреднив Р (n\U) при помощи функции распределения энергии ⑪(U):
Р (n) = j Р (n U) w (U) dU = \ ^^ е- 2⑪(⑺ dU,(2.9.6)
⑺= р〈и〉= р〈/〉т.
Выражение (6) называют формулой МанОе力兄.В резулыате усреднения по U распределение вероятностей числа фотоотсчетов, даваемое формулой Манделя (6), может существенно отличаться от первоначального пуассоновского. Это отличие проявляется, в частности, в величине дисперсии фотоотсчетов. При распределении п по Пуассону а„ = (п2) — (п)2 = (п) (см. (2.8.37)), в то время как согласно (6)
a-=〈燈〉一〈九〉2 = (П) + 02(〈u2)一 "〉2)=(力 + 02協，(2.9.7) т. е. дисперсия числа фотоотсчетов в случайном поле всегда больше (п). Поэтому случайные поля можно различать по превышению а2 над (п).
Роль соотношения между временем корреляции поля и временем наблюдения. Величина о» (7) существенно зависит от соотношения между временем корреляции поля тк и временем наблюдения Т. Действительно, в предельном случае Ек^Т статистика фотоотсчетов вообще не чувствительна к статистике светового поля. Согласно (4) при тк^Т в силу эргодической теоремы а〜 ~0Т〈/〉и статистика фотоотсчеюв будет пуассоновской независимо от распределения интенсивности света.
Для рассмотрения промежуточцьтх случаев и получения количественных оценок обратимся к случайному процессу (5). Корреляционная функция для стационарного поля (5) может быть записана как (Ef^ = а2г (т)cos [соот + ^ (т)] (см. (2.3.7)), причем
〈£2〉=〈/)=(у2 н〈/г〉=В(у2r. Если поле гауссовское, то согласно (2.4.17)
<//г>= *；<р2р?>=^[1+г2(т)].
Отсюда находим
通=04耳山I山2产(友一%) = 20寸(T 一工"2⑴d*
ОU
или
7
。『⑺ + S〉2 点，(Т —工)产(т) /.(2.9.8)
0
Возьмем 尸(т) в виде
г(т)=е-Е/%.
В этом случае согласно (8) дисперсия фотоотсчетов определяется
G?-勿分G?-勿分Рис. 2.27. Приведенное отклонение дисперсии фотоотсчетов от среднего числа фотоотсчетов (u%一元)/元3 ДЛЯ излучения с гауссовской статистикой в зависимости отРис. 2.27. Приведенное отклонение дисперсии фотоотсчетов от среднего числа фотоотсчетов (u%一元)/元3 ДЛЯ излучения с гауссовской статистикой в зависимости отвыражением
G?-勿分
G?-勿分
Рис. 2.27. Приведенное отклонение дисперсии фотоотсчетов от среднего числа фотоотсчетов (u%一元)/元3 ДЛЯ излучения с гауссовской статистикой в зависимости от
Рис. 2.27. Приведенное отклонение дисперсии фотоотсчетов от среднего числа фотоотсчетов (u%一元)/元3 ДЛЯ излучения с гауссовской статистикой в зависимости от
« =〈a〉+〈a〉2^q-2(e-2g — l+2q),
工.(2.9.9)
Из (9) следует монотонное уменьшение дисперсии с ростом времени измерения Т (рис. 2.27). В пределе ^>Т何《1)
，=⑺ + (n>2.
В другом крайнем случае, тк <Т, из (9) получаем
# =〈冷〉+〈冷〉2%7~〈『)(2.9.9а) при Тк^Т случайность поля не# =〈冷〉+〈冷〉2%7~〈『)(2.9.9а) при Тк^Т случайность поля невремени измерения Т.
# =〈冷〉+〈冷〉2%7~〈『)(2.9.9а) при Тк^Т случайность поля не
# =〈冷〉+〈冷〉2%7~〈『)(2.9.9а) при Тк^Т случайность поля не
% —время корреляци и излуче-
проявляется (величина дисперсии совпа
дает со значением дисперсии для нефлуктуирующего поля). На рис. 2.28 показана эволюция распределения Р (п) с ростом Т/тк и видно, что при тк < Г (“》1) распределение приближается к пуассоновскому.
Выражение (9) можно переписать как
近=6〉(1十6),『织i —l+2g).(2.9.96)
Параметр 6, называемый параметром вырождения (название заимствовано из статистической механики), характеризует увеличение дисперсии числа фотоотсчетов из-за флуктуаций поля (при отсут-
ствии флуктуаций 6 = 0). Согласно (96) величина 6 зависит как от соотношения между временем наблюдения и временем корреляции (7 = Т/тк), так и от интенсивности поля (〈冷〉〜〈/〉).
Для лазерного излучения 6 ~ 1014, в то время как для тепловых источников света 5<10-з. Эти оценки объясняют, почему экспериментальное изучение статистики фотоотсчетов было начато только после создания лазеров.
Рис. 2.28. Распределение фотоотсчетов лазерного излучения, рассеянного вращающимся матовым диском, при различных отношениях Т/тк — ^ [10].Рис. 2.28. Распределение фотоотсчетов лазерного излучения, рассеянного вращающимся матовым диском, при различных отношениях Т/тк — ^ [10].
Рис. 2.28. Распределение фотоотсчетов лазерного излучения, рассеянного вращающимся матовым диском, при различных отношениях Т/тк — ^ [10].
Рис. 2.28. Распределение фотоотсчетов лазерного излучения, рассеянного вращающимся матовым диском, при различных отношениях Т/тк — ^ [10].
Статистика фотоотсчетов в поле теплового и лазерного излучений. Предыдущее рассмотрение показало, чти для сохранения в статистике фотоотсчетов сведений о флуктуациях светового пиля необходимо, чтобы время корреляции тк излучения превышало время измерения Г. Мы будем считать это условие (тк ^> Т) выполненным. Тогда U = /Т, а формулу Манделя (6) можно записать в виде
Р(п)=^^-е-^^(1) dl.ОР(п)=^^-е-^^(1) dl.О(2.9.10)(2.9.10)
Р(п)=^^-е-^^(1) dl.
О
Р(п)=^^-е-^^(1) dl.
О
(2.9.10)
(2.9.10)
Рассмотрим несколько примеров.
Возьмем прежде всего случай, когда распределение w (/) имеет вид 6-функции:
(2.9.11)(2.9.11)⑪(/) = 5 (/ — /())•
(2.9.11)
(2.9.11)
Соответствующее распределение фотоотсчетов является пуассоновским：
где
万= 07V(), Gh = й.
(2.9.13)
Распределения (11) и (12) относятся к идеальной модели лазера, работающего в надпороговом режиме, соответствующая реальной модели лазера, в которой учитываются слабые амплитудные флуктуации, рассматривается в § 5 гл. 7.
2. Обратимся теперь к рассмотрев нию поля с гауссовской статистикой (тепловое излучение, лазерное излучение, рассеянное в неоднородных средах, и т. п.), имеющего (см. (2.4.8)) экспоненциальное распределение интенсивности：
⑪(/)=e6-"叫g2 = (/), (2.9.14)
где а2 —средняя интенсивность.
Подставив (14) в (10), получим
р(П) = Пп^\ + 万严％ причем
n = рта2, в=万(1+万). Распределение (15) отличается
(2.9.15)
(2.9.16) от пу
ассоновского (12) прежде всего тем, что с ростом п вероятности 尸(〃)всегда убывают, как видно из (16); дисперсия
тоотсчетов лазерного излучения (/) и излучения с гауссовской статистикой (2) [9].
Точки — экспериментальные значения, кривые — теоретические.
фотоотсчетов в этом случае может значительно отличаться от их среднего числа.
Распределения (12) и (15) измерялись экспериментально, и было получено удовлетворительное согласие с теорией (рис. 2.29).
3. В случае суперпозиции гармонического сигнала и гауссовского стационарного шума (см. (2.4.57) и (2.4.60))
Е = S (0 + Ш = Р(0 cos [①(/ + <Р(/)]・
Функция 侬(р) для такого поля имеет вид (2.4.65), так что
3 (/) = 5 e-。"/2嚥一 "。% 保偿/)
(2.9.17)
Задаваясь различными значениями отношения сигиал/шум z = a^/o2, можно проследить непрерывный переход (10) в распределение Пуассона (12) или в распределение (15), так как
，八(6(/ 一/J Zf8 (/0 = a2/2),
7 С. А. Ахманов и др.
Учитывая, что
jL ⑵吟)dx^^-e~yLn &)(2.9.18)
О
(см. ГР, с. 732), при помощи распределения (17) найдем моменты интенсивности
(2.9.19)(2.9.19)"=02n川l也(—z)(г-а2/2а2),
(2.9.19)
(2.9.19)
где L„ — полиномы Лагерра：
L" ® =騎团L" ® =騎团е-沙》—е-沙》—2々=02々=0
L" ® =騎团
L" ® =騎团
е-沙》—
е-沙》—
2
々=0
2
々=0
(2.9.20)(2.9.20)G 匂)=1 —У, G ®)=1 — 2у+у2/2.
(2.9.20)
(2.9.20)
Как следует из (19), (20) и (7),
/=d(i+z), /万=B2(l+2z + z2⑵=乃2 14G2j)f2,
潦=n [1+n/丰条}几= 077(2,9.21)
Формулы (21) обобщают полученные ранее выражения (16) и (13), с которыми оии совпадают в предельных случаях z« 1 или г > 1.
Подставив (17) в (10) и используя опять интеграл (18), получим следующее выражение для вероятности п фотоотсчетов:
р т)=(1+&)〃+1 exp (—Z у^'/^^-у^),(2.9.22)
где Ь — уТо2
4. Поле (5)——стационарным квазигармонический процесс (не обязательно гауссовский) с симметричным распределением вероятностей 心(£)=侬(——£) и характеристической функцией 0(〃)= 8(——〃)= &*(〃). Распределение интенсивности в этом cjyuae дается формулой (2.5.28), подставив которую в (10) получим, меняя порядок интегрирования,
р(п)= ^ j е-В" (077产d/ j Jo (иУ21)в (и) и du =
оо
=，8 5)以 dh，€一 炉抬叫1 j°(2x /у) dx, (2923) 'и0
где Vy=u/V^T* Интеграл по x в (23) совпадает с (18). Следовательно, (23) можно переписать в виде
₽(n) = -p^^ е- u^TLnв (и) и du eyLn{y^(VWy)dy， (2.9.24)
выразив, таким образом, Р (п) непосредственно через характеристическую функцию поля. В частнос'1 и, если ноле mmcci га) ссовскую статистику, то 6(〃)=
=ехр (—。2〃2/2) и согласно (24)
Р(п) =，е-勿L%(y)dy=(b —l)"b-nr(匕=1 + 附炉)
о
(см. ГР, с. 858) Легко убедиться, что полученное выражение совпадает с (15).
Обратная задача: нахождение статистики поля из распределения фотоотсчетов. До сих пор мы решали прямую задачу — определение статистики фотоотсчетов по заданному распределению интенсивности. Обратимся теперь к обратной задаче: определим, какую информацию о статистике регистрируемого поля можно извлечь, обладая сведениями о статистике фотоотсчетов. С математической точки зрения эта задача решается обращением формулы Манделя (6) или (10). Можно показать [11, 12], что распределение интенсивности однозначно определяется распределением фотоотсчетов.
Познакомимся с некоторыми методами решения обратной задачи.
Рассмотрим функцию
Q (s) = \ eisUw (U) l ви dU；(2.9.25)
о
ее фурье-преобразование дает
Q(s)e~isUds.(2.9.26)
Если разложить в (25) экспоненту eisU в ряд и использовать формулу Манделя (6), то получим
Q(S)= £ 停)”Р(*(2.9.27)
л=0
Это соотношение позволяет по распределению фотоотсчетов Р (п) найти функцию Q (s), фурье-преобразование которой (26) дает распределение (U).
Запишем распределение w ((/) в виде
皿(%) = Е кт1т (2曲)，х = U/Z7,(2.9.28)
е. как разложение по функциям Лагерра 1т (х), которые связаны с полиномом Лагерра (20) соотношением
/т W=e- x/2Lm (X)= е- */2 2 (：) Ц^- •(2.9.29)
,go '
7*
Функции Лагерра ортогональны и нормированы:
\ К (%)乙(%) d% = { [—(2.9.30)
Поэтому, умножая (28) на 1т (2пх) и интегрируя с учетом (30), получим, что коэффициенты разложения в (28) равны
Am = 2n w (х) 1т (2讶％) dx,(2.9.31)
о
или с учетом (30) и (6) ооm
^ = 2« ju>(x)e--2 („)T^ A = 0rt==O
=2元 £ ：(-2)“ P (а, Й).(2.9.32)
n=0
Подставив (32) в (28) и меняя порядок суммирования, получим решение обратной задачи в виде
©(%) = £ %(%)Р(% 亢)，(2.9.33)
где
a"(%) = 2h(一2)" 自(力〃(2収)=
т=п '
=2后(—2)" |] , / /"〃2耿).(2.9.34)
Чтобы воспользоваться приведенными выше методами, нужно иметь аналитическую запись распределения 尸(п). В некоторых случаях интерес может представлять более узкая постановка обратной задачи, а именно нахождение связи между кумулянтами (а следовательно и моментами) интенсивности и числа фотоотсчетов [12].
Логарифм характеристической функции распределения фотоотсчетов
8 («) = 2 eisnP (и)(2.9.35)
п=0
выражается через кумулянты km этого распределения：
J А 一 7 厶(‘S严/О Q
Подстановка (6) в (36) дает
h16 ⑸= 1И[,]依；：)北一6“(m du]= [0也=0丿
=In {(exp [p d 一 1) U]〉},(2.9.37)
где угловые скобки означают усреднение по распределению w (U).
(2.9.38)(2.9.38)В (37) в последнем равенстве под знаком логарифма стоит х ар актер ист и ческ а я функция распределения интенсивности от аргумента р (eis — 1). Обозначая кумулянты распределения интенсивности через 1, имеем
(2.9.38)
(2.9.38)
ш=1т=\
Сравнивая в разложении (38) коэффициенты при одинаковых степенях s, получаем связь между кумулянтами km и kmf.
kx = pfeu, fe2 = P^i/4-Р2^2/» ^з = Р^и + Зр2/?2/ + Р3^з/, •••(2.9.39)
Согласно формуле Манделя (10) вероятность того, что за время Т не произойдет ни одного фотоотсчета (при заданном среднем числе фотоотсчетов 龙=§77), равна
Р (0,用)=，(х)厶，尤=〃4(2.9.40)
о
где w (х) — распределение вероятностей для относительной интен* сивности х = ///.
Таким образом, величина Р (0, п) может рассматриваться как преобразование Лапласа функции ⑵(尤),и если зависимость Р (0, п) от 五 известна (например, из эксперимента), то соответствующее распределение интенсивности поля w (х) найдется, если применить к функции Р (0, й) обратное преобразование Лапласа.
Исходя из определенной таким образом функции w (х) или, что то же самое, w (/), можно, считая поле Е (%) стационарным квазимонохроматическим процессом, найти распределение вероятностей для огибающей поля (см. (2.5.26)):
您(р) = pw (/) |/=м/2；(2.9.41)
при этом w (р) однозначно определяет характеристическую функцию поля (см. (2.5.9))
6 (〃) = \ Jo (〃р) ^ (р) dp(2.9.42)
о
и, .следовательно, распределение вероятностей 如(£)・
Рис. 2.30. Распределения интенсивности (а), огибающей (6) и поля (в), соответствующие распределению фотоотсчетов (43).Рис. 2.30. Распределения интенсивности (а), огибающей (6) и поля (в), соответствующие распределению фотоотсчетов (43).(43) мы(43) мы(2.9.46)(2.9.46)
Рис. 2.30. Распределения интенсивности (а), огибающей (6) и поля (в), соответствующие распределению фотоотсчетов (43).
Рис. 2.30. Распределения интенсивности (а), огибающей (6) и поля (в), соответствующие распределению фотоотсчетов (43).
(43) мы
(43) мы
(2.9.46)
(2.9.46)
Таким образом, зная Р (0,几)как функцию й, можно, в принципе, решить обратную задачу и найти все статистические характеристики поля, обусловливающего фотоэффект ).
Рассмотрим пример решения обратно задачи. В случае гауссовской статистики поля имеем
(尤)=е~х
и, согласно (40),
Р(0,好备.
Теперь предположим, что убывание Р (0, п) с ростом п является более быстрым и
Р(0，尹)=辞可.(2.9.43)
Аналитическая аппроксимация функции Р (0,五)не может выбираться совершенно произвольно, так как из (40) видно, что эта функция должна удовлетворять следующим условиям：
(2.9.44)(2.9.44)Р (0, И = 0) = ^(х) dx = 1,
(2.9.44)
(2.9.44)
о
(2.9.45)
Подставив (43) в (44), (45), получим: а = 4, ft = 2, т. е. должны переписать как
Р(°，")=(1 +亢⑵^
По таблице обратных преобразований Лапласа находим, что в этом случае
w (х) = 4%/2*
(рис. 2.30, а), т. е. распределение интенсивности имеет вид
^ (/) = М е-2〃в“ =炉).(2.9.47)
Подстановка (47) в (41)дает следующий закон распределения для огибающей:
и)(р) = ^е-м/в(2.9.48)
(рис, 2.30, б).
Распределение вероятностей для самого поля можно получить непосредственно из (48), используя соотношение (2.5.18):
^)=^^(1 + w)=叫一e). (2.9.49)
Распределение (49) существенно отличается от гауссовского, оно имеет два максимума при Е = ±(у]Л2 и провал при Е = 0 (рис. 2.30,8).
Еще один пример: пусть
一 ой
Р(。，0 = L^-・
Учитывая условия (44), (45), находим а = Ь = 2, т. е.
Р(0,可=1-£七・(2.9.50)
Распределению (50) соответствует равномерное в некоторой области распределение интенсивности
(см. рис. 2.11), или(см. рис. 2.11), или(1/2, w(x) = [ 0(1/2, w(x) = [ 0/ 1/2°2' 叫/e01/ 1/2°2' 叫/e01о V% V2, 尤> 00V/V2* / > 2а2,о V% V2, 尤> 00V/V2* / > 2а2,(2.9.51)(2.9.51)
(см. рис. 2.11), или
(см. рис. 2.11), или
(1/2, w(x) = [ 0
(1/2, w(x) = [ 0
/ 1/2°2' 叫/e01
/ 1/2°2' 叫/e01
о V% V2, 尤> 0
0V/V2* / > 2а2,
о V% V2, 尤> 0
0V/V2* / > 2а2,
(2.9.51)
(2.9.51)
где а2 = /. Распределения огибающей и поля, соответствующие равномерному распределению интенсивности (51), были найдены раньше (см. (2.5.32) и (2.5.34)); они представлены на рис. 2.11.
Многомодовая модель случайного процесса
В этом параграфе мы рассмотрим случайный процесс, являющийся суперпозицией гармонических колебаний (мод), амплитуда и фаза которых случайны. Фактически такую модель впервые рассматривал Рэлей; именно применительно к этой задаче (рассматривалась суперпозиция колебаний одинаковой частоты, но со случайными амплитудами и фазами) Рэлей получил распределение, носящее его имя (см. формулу (2.4.6)). Ниже мы обратимся к более общему случаю, когда частоты мод различны.
Можно указать много физических примеров, приводящих к такой модели. В современной радиофизике и оптике одним из важнейших примеров такого процесса является излучение многомодового лазера; поскольку в общем случае фазы мод случайны, случайным процессом (в общем случае — нестационарным) оказы
вается и лазерное излучение.
Надо сказать, что этот источник статистики чрезвычайно важен в экспериментах с мощным лазерным излучением. Мощные лазеры обычно излучают много стати- wстически независимых мод, по
этому многомодовая модель оказывается одной из весьма распространенных моделей мощ-
—j J ""——口一——^一*нпго лазерного излучения. Вме-
“ сте с тем во многих случаях Рис. 2.31. Спектр многомодового ко- многомодовая модель оказывает- лебания.ся весьма удобной и при рас
смотрении случайных процессов со сплошным спектром； в этом случае речь идет о замене реального процесса со сплошным спектром некоторым эквивалентным случайным процессом с дискретным спектром. Оба эти аспекта рассматриваются ниже.
Статистика многомодового колебания; центральная предельная теорема для случайных колебаний. Рассмотрим случайный процесс g (/), представляющий собой суперпозицию N мод:
А'Л'
三(/)= £。/1cos (з/+ <р〃)= £ а〃 cos ①“，(2.10.1)
спектр которого показан на рис. 2.31.
Будем считать, что амплитуды мод ап постоянны, а фазы распределены равномерно：
您(屮/ = 1/2л,— л ^(рл ^ л,(2.10.2а)
и статистически независимы:
叫屮 1，ф2....,屮“)=Г[皿(<ь).(2.10.26)
п = 1
Обратимся сначала к случаю равных частот мод (coi =(о2 == =...=g)n = со。). В дальнейшем в этом разделе мы следуем классической работе Рэлея [13]. Полагая для простоты также амплитуды мод одинаковыми д = а), соотношение (1) запишем в виде
N
Е〃) = а 2 cos Фл = р cos (w0Z + ф) = р cos Ф. (2.10.3)
Рис. 2.32. Диаграмма суммирования мод с одинаковыми амплитудами и случайными фазами. Результирующее колебание имеет амплитуду р 〃)и фазу Ф(О.Рис. 2.32. Диаграмма суммирования мод с одинаковыми амплитудами и случайными фазами. Результирующее колебание имеет амплитуду р 〃)и фазу Ф(О.В декартовой системе координат колебание с заданными амплитудой р и фазой Ф изображается точкой (尤，у) (рис. 2.32):
Рис. 2.32. Диаграмма суммирования мод с одинаковыми амплитудами и случайными фазами. Результирующее колебание имеет амплитуду р 〃)и фазу Ф(О.
Рис. 2.32. Диаграмма суммирования мод с одинаковыми амплитудами и случайными фазами. Результирующее колебание имеет амплитуду р 〃)и фазу Ф(О.
х = р cos Ф, У = р sin Ф.
Вся совокупность возможных значений g (/) определяется некоторым распределением точек в плоскости 尤,у. Заметим, что величины 尤 и у аналогичны квадратурным компонентам случайного колебания (СМ. § 3).
Введем функцию распределения w (Л7;尤,у) для результирующего колебания с амплитудой р и фазой Ф при наличии N мод. По определению w(N\ х, y)dxdy есть вероятность того, что точка будет найдена в пределах бесконечно малой площадки dx dy. Добавим к ^ модам еще одну моду с фазой г|). Колебание, которое представляется точкой (尤,у), до прибавления моды должно, очевидно, изображаться точкой
=尤一a cos 叭 у，= у — а sin х|).
В силу случайности фазы х|) полная вероятность найти точку на площадке dxdy равна
2л
dxdy，w(N； V, у')^- о
Полученное выражение следует приравнять w(N +1\ 尤,у) dx dyt так что
2л•
切(川十1；尤，У)= j ^(^；尤'，yr) d^)l2n.(2.10.4)
о
Разложим w (N； %', у') в ряд Тейлора:
g(N； % —acos", у — a sin 2) = uj (尤，у) —a 装 cos^ —a 翁 sin2 +
+ ^a2[fJc°s22 + ^sin22 + 2^sin2cosW+...
Тогда
g嚅= w(N； x, 9)+犷農 + 誤|. 0
При большом числе N мод можно также использовать разложение
'5(乂+1； X, g) = w(N； X, д)+也%丄2
Таким образом, вместо интегрального уравнения (4) мы получаем дифференциальное
爲=4窝+貌・(2」。方)
Очевидно, что при N = 0 w (0； х, у) = 0, за исключением точки (无=0, // = 0). Решением уравнения (5), удовлетворяющим этому условию и условию нормировки
十8
屮叭N； x, y)dxdy=it
является двумерное гауссовское распределение
皿(М X, у) = (nNa2)-1 exp |- ^г~}(2.10.6)
с дисперсией o2=Na2/2. Уравнение (5) аналогично уравнению Фоккера — Планка (1.7.44), причем число мод ^ эквивалентно времени t* Результат (6) не является неожиданным, поскольку процесс В (%) рассматривался нами как совокупность статистически несвязанных и, следовательно, некоррелированных между собой колебаний (т. е. были выполнены условия ЦПТ ——см. § 2 гл. 1).
Напомним, что для функции распределения (6) и записи колебания в виде (3) огибающая р подчиняется распределению Рэлея (2.4.6):
w (р) = (p/а2) lM/2(j2 (р ^ 0).
Выражение (6) представляет собой асимптотическое распределение суперпозиции N мод с одинаковыми частотами при ^^>cю.
Покажем теперь, что и в общем случае разных частот мод функция распределения колебания (1) при М-> 8 сходится к гауссовской. Удобный способ нахождения функции распределения w (В) случайного процесса (1) основан на расчете его. характеристической функции
0 ®) =
Подстановка в это соотношение выражения (1) дает
8(и)=(ехр«и £ an cos ФЛ}= П〈exp {iua“cos ①“}〉= 口 8 (va„).
Здесь 6 (van) — характеристическая функция одной моды：
9 (van) = (exp {ivan cos ①也}〉= л
=^ j exp {ivan cos (<ол/ +(рл)} d<p„= J0(vany,
Jo (%)—— функция Бесселя нулевого порядка от действительного аргумента.
Таким образом, характеристическая функция случайного процесса Е (%) в целом равна
8(и)= П J0(van).(2.10.7)
1
Функция распределения w (三)находится из (7) с помощью фурье- преобразования：
ОО
— ОО
Для вычисления г^(Е) воспользуемся следующим приемом. Из (1) следует, что значения 三 лежат в интервале
1
Поэтому w (g) можно разложить в ряд Фурье:
ОО
皿阳=2 qexp(—i 竽 9，
где коэффициент л
小=吉 j 叫E)exp("9dE = £(exp(i^》.
Отсюда следует, что коэффициент сА с точностью до множителя (2/)-1 представляет собой значение характеристической функции процесса 三 для величины лй/4.
Для распределения w (^) в результате получаем
8N-|
联)=否1+2 2 喈g “瞽(2.10.8)
Изменение распределения t^(E) с изменением числа мод N показано на рис. 2.33. Из рисунка видно, что распределение суперпозиции двух мод существенно отличается от распределения для одной моды. С ростом числа мод N распределение ⑵收)стремится к гауссовскому.
Чтобы убедиться в этом, найдем сначала закон распределения функции
.Т]⑴= NT/2g(/).(2.10.9)
Для простоты опять считаем амплитуды мод одинаковыми, ал = а. Характеристическая функция случайного процесса “(/) при этом равна
% ®)= /，(硬 М».⑵ 1 о. 1 о)
Преобразуем функцию 0п (о), используя разложение функции Бесселя：
J^avlVN}= 1+У (-1=1 一迫 + 吧—
、‘ W2减 2在(总)24^64№
(2.10.11)
Переходя к пределу N》l, получаем
In 6n(v)^In 6n(v)^_丄Г十丽，_丄Г十丽，
In 6n(v)^
In 6n(v)^
_丄
Г十丽，
_丄
Г十丽，
или
%(0)~eхp {- 嘗} [1 一需]■
Отсюда следует, что функция распределения процесса (9) имеет вид
也2壷ёхp {_閉?口一备也制,
где Я4 W — полином Эрмита.
Рис. 2.33. Функции распределения ДЛЯ ОДНОМОДОВОГО поля и двухмодового ПОЛЯ со статистически независимыми модами [14].Рис. 2.33. Функции распределения ДЛЯ ОДНОМОДОВОГО поля и двухмодового ПОЛЯ со статистически независимыми модами [14].Рис. 2.34. Функция распределения случайного процесса q (/) = %т/2m (/)для N f -> 8 (/) и 府=5 (2)・Рис. 2.34. Функция распределения случайного процесса q (/) = %т/2m (/)для N f -> 8 (/) и 府=5 (2)・
Рис. 2.33. Функции распределения ДЛЯ ОДНОМОДОВОГО поля и двухмодового ПОЛЯ со статистически независимыми модами [14].
Рис. 2.33. Функции распределения ДЛЯ ОДНОМОДОВОГО поля и двухмодового ПОЛЯ со статистически независимыми модами [14].
Рис. 2.34. Функция распределения случайного процесса q (/) = %т/2m (/)для N f -> 8 (/) и 府=5 (2)・
Рис. 2.34. Функция распределения случайного процесса q (/) = %т/2m (/)для N f -> 8 (/) и 府=5 (2)・
Пунктирной кривой изображеногауссовское распределение.
Распределение w ⑺ симметрично. Однако при конечном числе N оно более плоское, чем гауссовское распределение (рис. 2,34). В пределе при Nf 8 распределения w (т]) и w (^)— гауссовские
(ср. С (6))：
3 忌ехр ｛一 嘉，…(2.10.12)
Этот результат, как и ранее полученная формула (6), является следствием центральной предельной теоремы, рассмотренной в гл. 1. Следует подчеркнуть, что функция распределения (12) получена без каких-либо ограничений на соотношение между частотами мод и, следовательно, применима как для узкополосного, так и для широкополосного спектра колебания (1).
Моменты многомодового колебания. Рассмотрим моменты случайного процесса (1). Для предельного случая N-> 8, т. е. для гауссовского распределения, расчет моментов дан в § 2 настоящей главы. Для конечного числа мод N моменты распределения (8) можно вычислить с помощью характеристической функции (7), при этом моменты процесса (1)
〈F〉= S^^Lo， m=l, 2,(2.10.13)
Вследствие симметрии функции распределения 酬(己)(8) нечетные моменты процесса § (/) равны нулю. Для расчета четных моментов воспользуемся характеристической функцией (7) в случае равных амплитуд мод и введем для иее обозначение
dN(v)=J^ (av).(2.10.14)
В соответствии с (13) и (14) моменты 〈gm〉 выражаются через производные от функции Бесселя J『(аи). Пользуясь разложением (11), находим
戒m + 〃0)=。，(2.10.15)
где m= 1, 2,
Первая производная от функции (14) равна 曲“(и) d% (ay)d" (aw)
NSnt(。)—•
Для четной производной на основании формулы Лейбница получаем 宀(。)2yl叫 _1 (。)m一а (да)
~— 乙] 初 dv^rn-p~，
"0=0
где С означает сочетания. Из последнего соотношения в силу (15) имеем
厶3”0=о- 乙 c2m-l dv^q 『一dvi<m-q> — o = 0*SU.Ib)
(7=0
Таким образом, согласно (16), (15) и (13) моменты случайного процесса (1) удовлетворяют рекуррентному соотношению
⑴m (N； /)〉= N 2 C第〈学(N - 1; ?)〉嘉^ [窑二案•(2・ 10・ 17)
Число N в аргументе случайной функции § (N; /) указывает на число мод, из которых образуется рассматриваемый процесс.
Из соотношения (17) следует, что высшие моменты случайного процесса определяются через моменты более низкого порядка для процесса с меньшим числом мод. Выпишем несколько моментов процесса (1):
〈守(N； /)) = | N^ = 7,^(N; /)〉=30—爲)"，
〈p〉= 3•5(1-為 +爲",〈p〉= 3•5(1-為 +爲",(2.10.18)(2.10.18)
〈p〉= 3•5(1-為 +爲",
〈p〉= 3•5(1-為 +爲",
(2.10.18)
(2.10.18)
десятипроцентное отклонениедесятипроцентное отклонениеРис. 2.35. Спектры стационарного шума (а) и многократно повторенной реализации длительности Т этого же шума (б). Интервал между частотами S2 = =2л/Г.Рис. 2.35. Спектры стационарного шума (а) и многократно повторенной реализации длительности Т этого же шума (б). Интервал между частотами S2 = =2л/Г.
десятипроцентное отклонение
десятипроцентное отклонение
Рис. 2.35. Спектры стационарного шума (а) и многократно повторенной реализации длительности Т этого же шума (б). Интервал между частотами S2 = =2л/Г.
Рис. 2.35. Спектры стационарного шума (а) и многократно повторенной реализации длительности Т этого же шума (б). Интервал между частотами S2 = =2л/Г.
〈？〉= 3 • 5 • 7 (1 -丽 + J^ -〃.
Как и следовало ожидать, значения моментов (18) при Nf 8 совпадают со значениями моментов для гауссовского случайного процесса (2.2.2). Однако при конечном числе мод /V различие значений высших моментов и соответствующих моментов гауссовского процесса растет с увеличением номера момента.
моментов〈耳〉и〈田〉(18) от значений для гауссовского процесса достигается соответственно при N = 5 и N*20. Сказанное означает, что интерпретация многочастотного колебания (1) с постоянными амплитудами и статистически независимыми фазами (2) как гауссовского случайного процесса зависит от числа мод колебания н номера момента. К этому вопросу мы еще вернемся. Сейчас обратимся непосредственно к гауссовскому процессу.
Многомодовая модель стационарного гауссовского шума. Пусть 三(/)— узкополосный стационарный гауссовский процесс:
三 С) = Р (/) cos[co0^ +(p (/)]. (2.10.19)
Частотный спектр этого процесса изображен на рис. 2.35, а.
Выделим из реализации рассматриваемого процесса отрезок, длительность которого Т значительно превосходит время корреляции тк, и
повторим его много раз. Таким способом мы получаем периодический случайный процесс. Физический смысл проделанной операции состоит в том, что реальный непрерывный спектр процесса мы представляем в виде «гребенки» мод (дискретного спектра), которая тем чаще, чем больше период Т (рис. 2.35, 6).
Действительно, периодическую функцию ^ (/) можно разложить в ряд Фурье:
ооТ
自(/)= 2 犷吗 8 =軍,自⑴"m山，(2.10.20) л^ — оо0
где. й = 2л/Т — частота межмодовых биений, и в силу вещественности g(/)
& =(2.10.20а)
Определим статистические свойства комплексных амплитуд Еп. Среднее значение ^п = 0, поскольку £ = 0. В соответствии с (20) величины 三几 линейно зависят от g и, следовательно, также подчиняются гауссовской статистике.
Рассчитаем значение корреляции между % и 三訂
&賊〉=靑，，《(哄(。)〉№"+小九也= о
т
=击]]В (о — 〃) exp i {mQ (о — 〃)一几Q〃 + mQu\ dv du =
rT-u
=—j ^^-nyujB(^)eim^Mdu^
0и
TGO
^^]°'Qgi",^(®)eim-^Mdu =
0— oo
=警 G (mC) ] QQ(m-〃)〃d〃,(2.10.21)
о
где G (mQ) — спектральная плотность на частоте mQ:
оо
G(mQ) = ^ , В (G)elmWM.
В (21) при расширении пределов интегрирования учтено, что корреляционная функция В (9) заметно отличается от нуля только на конечном временном интервале порядка q《T・ Если т = п, то, очевидно,
〈三武診=^G 仇Q) = QG (/г£2).(2.10.22a)
В случае m=/=n
0^) = 0,(2.10.226)
т. e. комплексные величины 三几 не коррелированы между собой.
Запишем / через вещественные величины:
匕—а 门 + »Вл*
Согласно (20)—(22)
〈1修仔〉Н崎+能， 〈鏡〉=或一筋+ i石嬴=0.
Отсюда следует, что а乩=0 и
а^ = р^ = у CG (и£2)=唸
Таким образом, распределение для гауссовских случайных величин ап, Рл имеет вид
s(a“，В”)=虛exp { —Если сл представить в видеs(a“，В”)=虛exp { —Если сл представить в виде然+様'然+様'2g2g(2.10.23)(2.10.23)
s(a“，В”)=虛exp { —
Если сл представить в виде
s(a“，В”)=虛exp { —
Если сл представить в виде
然+様'
然+様'
2g
2g
(2.10.23)
(2.10.23)
/=1匕廿% =a/%,
то согласно выводам § 4 амплитуда ап распределена по рэлеевскому закону
кЧ%)=^ехр{-Д-},(2.10.24)
а распределение фазы 屮几 равномерное:
w (屮爾=1/2л,—冗 V ср；2 V冗・
Из изложенного, таким образом, следует, что если случайный процесс гауссовский, то его спектральные компоненты некоррели- рованы и распределены также по гауссовскому закону. Верно и обратное утверждение. Если моды колебания (1) обладают гауссовским распределением, т. е. амплитуды мод отвечают распределению (24), то колебание (1) подчиняется, очевидно, гауссовской статистике независимо qt числа ^ мод. Действительно, усредняя характеристическую функцию (7) процесса (1) по распределению (24), получаем х ар актер истическую функцию гауссовского процесса:
一；絞 2 (4n= 1丿(2.10.25)一；絞 2 (4n= 1丿(2.10.25)в 仅)=U ［营 f Jo Wa) a〃eF/2磋 dan = exp
一；絞 2 (4
n= 1丿
(2.10.25)
一；絞 2 (4
n= 1丿
(2.10.25)
При вычислении (25) мы использовали формулу
J 炉+%一з jv(/)dx = ^^ exp ( 一 ?). о
Таким образом, статистика сложного колебания типа (1) является гауссовской при произвольном числе мод, если сами моды подчиняются гауссовской статистике. В случае нефлуктуирующих амплитуд мод гауссовская статистика колебания (1), как показано выше, имеет место только при бесконечном числе мод (%->8).
Для большого, но конечного значения N с гауссовскими значениями моментов совпадают только низшие моменты процесса (4).
Когда многомодовое колебание можно считать гауссовским шумом? Ответ на вопрос, поставленный в заголовке, в значительной мере связан с тем преобразованием, которому подвергается многомодовое колебание (1). Рассмотрение моментов многомодового колебания, например, показало (см. (18)), что если колебание (1) возводится в и-ю степень, то близость значения средней интенсивности нелинейного процесса к значению n-го момента гауссовского шума зависит как от числа исходных мод М так и от степени нелинейности процесса.
Чтобы проиллюстрировать еще раз, что замену многомодового колебания гауссовским процессом следует проводить с большой осторожностью, рассмотрим задачу об экспоненциальном преобразовании многомодового колебания
y(t)^e^\(2.10.26)
где 己⑴一многомодовое колебание. Сравним среднее значение такого процесса со средним значением экспоненциально преобразованного гауссовского шума с непрерывным спектром и найдем условие, когда указанные средние значения можно с хорошей степенью точности считать равными.
Вычислим сначала среднее значение процесса (26) у для шума с гауссовским распределением 占
НТ^ехр{-^^};
имеем
+ 8
Р= \ е徒s(&dE = exp{Ba° + ^(Bo)2}.(2.10.27)
Для многомодового колебания вида (1) вычисление среднего значения функции, определяемой формулой (26), представляет значительные трудности. Рассмотрим многомодовое колебание вида:
Е(/)=а°+2 £ a„cos(nQZ +(p„ (/)),(2.10.28)
П — 1
в котором моды попарно связаны. В (28) Q 一 частота межмоДовых биений, статистика фаз 屮几 определяется выражением (2).
Число мод процесса (28) равно ^0 = 2^+ 1. Средняя интенсив- ность колебания /=〈三?〉=另说十炉，где 炉=2£ а^.
п = 1
Подставляя (28) в (26), имеем
z/ = exp|p«o4-2p £ a” cos (aQ/ +$“(/))} =
N {81
= еВа。□ </0(2ра,)4-2 £ /т (2；^^ cos т (nQ/ +(p„)> "=1 Im = l丿
(In (x)——модифицированная функция Весселя丿. Отсюда, учитывая (2), получаем
N
歹=或м 。口 /о (20%, или 歹= е%"^(20〃)(2.10.29)
л = 1
для равных амплитуд мод (ап = aQ^ а; n= 1, 2, ..., У). При этом средняя интенсивность / = (1 +2^)^z2^o2.
В случае 20а《1 или (Ро)2 ^^^ (усиление для одной моды малое )), пользуясь разложением функции Бесселя /0 (х), находим
歹 ~ 两。［1 + (阳户 + "广^ exp {阿 + ；(阿2 — 需}• (2.10.30)
При 20〃》1 (большое усиление «на моду»), используя асимптотику функции /0 (х), получим
p=(4Л0a)-n/2 eхp {(2%+ 1) 0a}.
Из сравнения выражений (27) и (30) следует: многомодовое колебание вида (28) дает тот же результат, что и гауссовский шум, при условии
乂》(阿4/16.(2.10.31)
Таким образом, неравенство (31)является условием эквивалентности многомодового колебания и гауссовского шума при экспоненциальном преобразовании. Этими результатами мы будем пользоваться при обсуждении процессов усиления в радиофизике и оптике.
Многомодовое лазерное излучение; частичная и полная синхронизация мод. Важный пример многомодового колебания представляет собой излучение лазера. Многомодовый характер излучения лазера связан с многомодовостью спектра собственных колебаний
оптического резонатора. Оптический резонатор, например резонатор Фабри — Перо, обладает набором собственных частот
соп = 2л« (c/2L),q = L/(九/2),
где L —длина резонатора, с —скорость света,九—— длина волны, q — целое положительное число. Типичные значения: L~100 см и «〜1()6. Расстояние между соседними модами Aco? = co7+i —со7 = = jic/L = Q, т. е. моды рассматриваемого резонатора эквидистантны Практически эквидистантными являются и частоты, на которых происходит лазерная генерация в многомодовом резонаторе.
Напряженность электрического поля лазера можно записать в виде (1):
£(/) = 4 2к. с. ⑵ 10.32)
Здесь частоты сол удобно представить как
«л = соо+^(2п4-1—2V) Q.
Поскольку средняя частота излучения соо гораздо больше ширины спектра (乂— 1)Q, поле (32) можно представить в виде квази- монохроматической волнь匸
Е ⑴= V^77?Je"g，(f))+ K. с.,(2.10.33а)
где / (/) — мгновенная интенсивность излучения：
/(/) = %+/《)，
/а = ^ Е 嗚，(2.10.336)
п= 1
/ф (/) = y Е ад cos [(n - i) Q/ +(рп (/) - ф； (/)].
и, 1= 1 (n^i)
Если фазы(рл мод излучения статистически независимы и распределены равномерно на интервале (—л, л), то такие моды принято называть несинхронизбванными. Реализации интенсивности / (/) и фазы ф (/) излучения для этого случая показаны на рис. 2.36.
Определим моменты интенсивности / (/) для несинхронизован- ных мод с равными амплитудами (а1^=... = а^ = а). Воспользуемся соотношением (2.5.27) для квазигармонических колебаний
〈/吟=的竺丽后吟(2」°・34)
и полученным выше результатом (17) для моментов (^2т). Значения моментов〈/吟 сведены в табл. 2,1.
Т а б л н ц а 2.1
Моменты интенснвиости〈W〉многомодового излученияс несинхронизованными модами [18]
m
〈严〉/"严
2
3
4
5
6
2-1/W
6-9/N + 4/N2
24 - 27/N + 82/№ - 33/№
120 — 600NT + 1250NT _ 1225%-3 + 456g
720 -5400X-14-17 700^-2 -30 600^-34-27 031心4—9450ЛМ
Если фазы мод излучения связаны, например одинаковы, Ф1 — фз — • • • — Ф^ = Фо»(2.10.35)
то моды называются синхронизованными. Для синхронизованных
Рнс. 2.36. Временная зависимость ннтенснвностн / (/) н фазы ф (/) излученияс несннхроннзованнымн модами (N=101) [17].
Амплитуды мод а (з) = а〃 имеют рэлеевское распределение, фазы(р(з)=% распреде* леиы равномерно.
цию. В самом деле, в этом случае выражение (32) легко преоб
разовать, полагая а、= % =…^ cin = а:
£(/) = ； ае® ехр {«со。4
Ц^й]/} 2 "Е + к.
Из (36) следует, что интенсивность
Sin2 (AW2)血2饵"2)Sin2 (AW2)血2饵"2)(2.10.37)(2.10.37)
Sin2 (AW2)血2饵"2)
Sin2 (AW2)血2饵"2)
(2.10.37)
(2.10.37)
Рис. 2.37. Временная зависимость интенсивности излучения для синхронизованных мод.Рис. 2.37. Временная зависимость интенсивности излучения для синхронизованных мод.Г ^2л/Д, R — частота межмодовых биений.Г ^2л/Д, R — частота межмодовых биений.
Рис. 2.37. Временная зависимость интенсивности излучения для синхронизованных мод.
Рис. 2.37. Временная зависимость интенсивности излучения для синхронизованных мод.
Г ^2л/Д, R — частота межмодовых биений.
Г ^2л/Д, R — частота межмодовых биений.
представляет собой периодическую функцию, т. е. последовательность им пульсов с периодом Т = 2л/С межмодовых биений (рис. 2.37). Максимальная интен-〃
сивность импульсов в У раз боль* ше средней интенсивности, /тах=〃
=N /а； длительность импульсов占
Тнмп ~ 口/NQ
Если фазовые соотношения отличны от (2) и (35), то говорят о，
частичной синхронизации мод. Возможна, например, такая модель частичной синхронизации夕
мод: часть мод, занимающая цен-4
тральную область спектра и злу-之
Рнс. 2.38. Временная зависимость интенсивности для частично синхронизованных мод [19].
Фазы всех мод равномерно распределены в интервале (—(р0, ф0): а)(р0 = л/4： б) л/2： в) Зл/4 (Д/ = 31). Штрих-пунктиром изображена средняя интенсивность.
чения, полностью синхронизована, а моды в «крыльях» спектра несинхронизованы. Другая возможная модель: случайные фазы 屮北 флуктуируют на интервале меньшем, чем 2л:
w (<р“)= 1/2ф0)w (<р“)= 1/2ф0)—屮о V 5 V 屮о, Фо< л;.(2.10.38)
w (<р“)= 1/2ф0)
w (<р“)= 1/2ф0)
〈/(%)〉= /—〈«)〉,〈/(%)〉= /—〈«)〉,(2.10.39)(2.10.39)Для последней модели частичной синхронизации мод реализации интенсивности показаны на рис. 2.38. Пользуясь (33), нетрудно найти, что средняя интенсивность излучения в рассматриваемом случае определяется выражением
〈/(%)〉= /—〈«)〉,
〈/(%)〉= /—〈«)〉,
(2.10.39)
(2.10.39)
где
<^ф (0) =2 (a sin фо)2 £ С^_1 cosnQ/,
е. средняя интенсивность является периодической функцией времени. Таким образом, в случае частичной синхронизации мод (38) многомодовый процесс является периодически нестационарным ).
Проведенное выше рассмотрение относится к непрерывному излучению лазера. При работе лазера в режиме периодической модуляции добротности) процесс является почти периодически нестационарным. Действительно, в этом случае интенсивность лазерного излучения равна
N2
£。京偉幫+蝙，(2.10.40)
где 尸(/) — почти периодическая функция.尸(/) мало меняется за время Т = 2л/й, но она изменяется, вообще говоря, от импульса к импульсу лазерного излучения.
ГЛАВА 3
ШУМОВЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ
Нахождение отклика линейной колебательной системы (колебательного контура, линейного усилителя) на случайное воздействие представляет собой сравнительно простую задачу. Выполнение для линейных систем принципа суперпозиции позволяет широко использовать спектральные представления Поэтому корреляционно-спектральная теория случайных процессов играет исключительно важную роль при исследовании шумовых колебаний в линейных системах. Зная передаточную функцию (или функцию Грина) исследуемой линейной системы, можно записать универсальные соотношения, хар актер изующие преобразование спектров или корреляционных функций.
Вопрос о преобразовании законов распределения является более сложным. Однако во многих практически важных случаях распределение шума на выходе линейной системы с большой точностью оказывается гауссовским, независимо от закона распределения шума на входе; происходит, как говорят, нормализация случайного процесса. Фактически речь идет еще об одном важном следствии центральной предельной теоремы.
Разумеется, кроме определения закона преобразования шума в линейных системах возникают и другие важные вопросы, например, выбор фильтра или усилителя, имеющий целью оптимальным образом обнаружить или выделить сигнал, скрытый в шумах. Линейные системы предоставляют широкие возможности для осуществления указанных операций.
Превосходное изложение динамической теории колебаний в линейных системах можно найти в [1].
§ 1. Математическое описание линейных систем.
Спектральный и временной подходы
Принцип суперпозиции. Линейными называются системы или устройства, процессы в которых можно описать при помощи линейных уравнений. Линейные уравнения могут быть любыми: алгебраическими, дифференциальными (обыкновенными или в частных производных, с постоянными или переменными параметрами), интегральными, разностными и т. п.
Все линейные системы обладают следующим свойством: если на систему одновременно действует несколько внешних сил, то
на каждую она откликается независимо. Иначе говоря, если 尤m (%)—— отклик системы на силу /т (/), то при воздействии
/⑴= £%(/)
(3.1.1)
отклик будет
尤 С) = £ 尤m (%)•
(3.1.2)
Аналогично
% (%) = 2 毋尤巾(%),
(3.1.3)
если
f ⑴=£ "mfm (0»
(3.1.4)
где ат — постоянные. В этом состоит принцип суперпозиции.
Вынужденные колебания; спектральное описание отклика линейной системы. Рассмотрим случай, когда разложение (1) производится по гармоническим колебаниям. Предположим, что под действием силы
з0=評/(3.1.5)
система совершает колебание
Xm(f)=K(3m,(3.1.6)
Переходя в (3), (4) от суммы к интегралу, получим, что при действии силы произвольного вида
/(0= Г f^d^(3.1.7)
отклик системы будет со
х(/)=，/Л(®, /)兴叮3.(3,1.8)
Функция K(s, /), полностью характеризующая линейную систему, называется коэффициентом передачи или частотной передаточной функцией. Зависимость функции К (со, %) от времени связана с возможным изменением во времени самой системы (например, при модуляции ее параметров). При этом, очевидно, в спектре колебаний могут появиться такие частоты, которых нет в спектре внешней силы.
В случае систем с постоянными параметрами появление новых частот невозможно и коэффициент передачи от времени не зависит:
К (cd, f)=/C((o).(3.1.9)
Заметим, что в случае (9) выражение (8) может рассматриваться
как спектральное разложение вынужденных колебаний, совершаемых системой:
x(t) ==，/"С (s) * ds = \(3.1.10)
Временной подход. Рассмотрим теперь силу типа 6-импульса: (3.1.11) Отклик линейной системы на такую силу представим в виде
尤m⑴俏楠・(3.1.12)
Произвольную силу можно представить в виде разложения по 6-функциям:
/(/)= ，/(9) 6 (/-0) de.(3.1.13)
Отсюда на основании (3), (4) заключаем, что отклик линейной системы на воздействие /〃)может быть записан как
х«)=『〃е)〃а, e)da.(3.1.14)
Выражение (14) носит название интеграла Дюамеля, а "(厶 9)—— функции Грина.
Отметим следующие свойства функции Грина:
Поскольку отклик на 6-импульс не может возникнуть во времени раньше самого импульса (иначе был бы нарушен принцип причинности), то
Н (f, 0) = 0, если /< 9, или
b)^l(t-B)h(tt 9),(3.1.15)
где / (/—9) — функция единичного скачка (см. (1.5.2)), a h (/, 0)— непрерывная функция, которую также называют функцией Грина.
Если система не меняется (т. е. параметры ее постоянны), то все моменты времени эквивалентны, и отклик системы в момент /2 на 6-импульс, подействовавший в момент /ь должен быть одним и тем же для всех 左 и /2, соответствующих фиксированной величине интервала 勾一乙・ Иначе говоря, для систем с постоянными параметрами функция Грина зависит только от разности аргументов:
〃亿 8) = "«一叽 h (7, 8)=/iG-8).(3.1.16)
Принимая во внимание (15), интеграл Дюамеля (14) можно переписать так:
Х(О=，f (8) h (t, 8)d8 = Wh(t, /-6)/(/- 0) d6. (3.1.17) —8Q
В случае систем с постоянными параметрами, учитывая (16), имеем
Х(О= j /i(/-6)/(9)de=f/г(б)/(/-8) d6 =
—соО
(3.1,18)(3.1,18)=["(a)f(f — e)de.
(3.1,18)
(3.1,18)
Таким образом, если внешняя сила F (/) задана, то вынужденные колебания линейной системы определяются выражениями (18)
F(t)Вход>-F(t)Вход>-加неОннк система加неОннк система饮，勿Рис. 3.1. Линейная система.Функция Грина Н (九 0) и коэффициент передачи К (со, О определяют колебания x(f), возникающие в линейной системе под действием внешней силы饮，勿Рис. 3.1. Линейная система.Функция Грина Н (九 0) и коэффициент передачи К (со, О определяют колебания x(f), возникающие в линейной системе под действием внешней силыили(14丿.частотное и временное представления полностью эквивалентны (рис.
F(t)
Вход>-
F(t)
Вход>-
加неОннк система
加неОннк система
饮，勿
Рис. 3.1. Линейная система.
Функция Грина Н (九 0) и коэффициент передачи К (со, О определяют колебания x(f), возникающие в линейной системе под действием внешней силы
饮，勿
Рис. 3.1. Линейная система.
Функция Грина Н (九 0) и коэффициент передачи К (со, О определяют колебания x(f), возникающие в линейной системе под действием внешней силы
, однако частотное представление (8) иногда удобнее для описания колебаний в установившемся режиме, а временное (14) — при рассмотрении переходных процессов.
Между частотной функцией К (з, /) и функцией
Грина Н (/, 9) имеется однозначная связь. Чтобы ее установить, перепишем (14) в виде
Х(О = f H(t, t-Q)f(t-Q)M
и подставим сюда спектральное разложение (7) для /(/). В результате получим
х(/) = j 儲区①忆必 j "(f, t-B)e~M d0.(3：1.19)
Сравнивая (8) и (19), находим, что К (со, f) и Н (/, 6) связаны преобразованием Фурье:
К(з, t)= , H(f, ^-9)е-'ие d6,(3.1.20)
H(t, t — 8) = ^ j/<(s, f)ew6ds. (3.1.21)
-8
Согласно (16), (20) и (21) и в случае систем с постоянными параметрами
К (s) = j 九(0)产砒 d6,(3.1.22)
о
co
九步)=* J K(a)elaeda.(3.1.23)
Свободные колебания. Свободные колебания не связаны с внешними силами и определяются начальными условиями. Как будет показано далее, математически начальные условия всегда можно представить в виде эквивалентной силы (см., например, (45), (46)). В некоторых задачах такой подход имеет свои преимущества, давая возможность учитывать начальные (а также граничные) условия и внешнее воздействие в рамках единого описания.
Функция Грина линейных систем с сосредоточенными параметрами. Колебания в линейных системах с сосредоточенными параметрами описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, например:
£ а〃《)係)~ ⑴，(3-1.24)
n= 0-
а функция Грина может быть выражена через свободные колебания
勿(%),…，⑴，(3.1.25)
являющиеся линейно независимыми решениями соответствующего (24) однородного уравнения
2 В⑴偏)％"(3.1.26)
Чтобы убедиться в этом, рассмотрим сначала уравнение первого порядка
«1 (t)x + a0 (t)x = f(t)(3.1.27)
и будем искать его решение в виде
尤⑴= &(/)%(/),(3.1.28)
где Ci (/) — неизвестная пока функция, а ^ (/) — решение однородного уравнения
/(%)加 + 4()(力力=0.(3.1.29)
Подставив (28) в (27), получим
+ Ci (〃W工十"()％) = /(/),
результате получимрезультате получимС* (t)=С* (t)=费）林j费）林jили, если учесть (29), aCm = f, откуда имеем
результате получим
результате получим
С* (t)=
С* (t)=
费）林j
费）林j
(3.1.30)
(3.1.31)
функцию 力，описывающую свободные колебания:
'* )。1 (8) У! (6)'
(3.1.32)
Для уравнения второго порядка
& (0£+ 01⑴戈+ A0传)%=f (/)
(3.1.33)
решение ищем в виде
尤=& (%) Уг (0 + С2 (0 勿(О*
(3.1.34)
Дифференцируя (34), имеем
戈=e*y* + 爲//2 + CW1 + C2g2.
(3.1.35)
Из сравнения (17) и (31) следует, что для систем первого по
рядка функция Грина следующим образом выражается через
Выразив в (34) неизвестную функцию х через две новых (& и С2), мы можем задаться одним произвольным соотношением между & и С2. Пусть
0也1 十 爲y2 = 0-(3.1.36)
Тогда
戈=&况+e2加，%=0工况+ d2g2 + C1贝+e2%.(3.1.37)
получим (3.1.38)получим (3.1.38)Подставляя (34), (37) в исходное уравнение (33),。工况 + 02g2 = f/〃2・
получим (3.1.38)
получим (3.1.38)
Из (36), (38) следует, что
d = _ 也/的1 一一丽一h%'d = _ 也/的1 一一丽一h%'/%/%У1У2一况У2/%/%У1У2一况У2& (力=_& (力=_C也，曲J 。2 У1У2—У1У2C也，曲J 。2 У1У2—У1У2f bk deJ 。2 У1У2一У1У2f bk deJ 。2 У1У2一У1У2
d = _ 也/的
1 一一丽一h%'
d = _ 也/的
1 一一丽一h%'
/%/%У1У2一况У2
/%/%У1У2一况У2
& (力=_
& (力=_
C也，曲
J 。2 У1У2—У1У2
C也，曲
J 。2 У1У2—У1У2
f bk de
J 。2 У1У2一У1У2
f bk de
J 。2 У1У2一У1У2
и согласно (34) искомое решение уравнения (33) имеет вид
(3.1.39)(3.1.39)j /(°)场(°)У?")—城(°) Pi ⑺ /нJ 矶②力(0)％(8) — " 3) %而‘・
(3.1.39)
(3.1.39)
Сравнивая (17) и (39), находим функцию Гр ина для уравнения второго порядка:
(0)
九俏 $(3.1.40)
④⑻I弘(8)验(8)|
丨"⑼У2 (0) I
Рассуждая аналогичным образом, можно рассмотреть общий случай и показать, что функция Грина, соответствующая уравнению Мго порядка (24), следующим образом выражается через решения однородного уравнения (26) и их производные:
力(8) — yN(^)
厶仏ё)…厶仏ё)…(3.1.41)(3.1.41)个一2)(3)…園/-2)e) 力(/)…y#(f)
厶仏ё)…
厶仏ё)…
(3.1.41)
(3.1.41)
%⑼ …yN (0)
吋T饰欧Т®
При этом
(3.1.42)(3.1.42)О, m = 0, 1, 2, .... N-2, (次)用〃，叽-ё= —m = ^-l.
(3.1.42)
(3.1.42)
Как известно из теории линейных дифференциальных ний, изменение во времени вронскиана, стоящего в знаменателе выражения (41), определяется коэффициентами при двух старших производных уравнения (26)：
= А(/) = А(/о)ехр{_!等紛“.(3.1.43)
При ^ = 1 и ^ = 2 выражение (42) совпадает, соответственно, с (32) и (40).
Замена начальных условий эквивалентной внешней силой. Свободные колебания определяются как частное решение уравнения (26), соответствующее определенному начальному состоянию системы (начальным условиям). Обычно поступают так: находят общее решение для (26), содержащее ^ произвольных постоянных (^ — порядок дифференциального уравнения), а затем подбирают эти постоянные так, чтобы заданные начальные условия были удовлетворены.
Познакомимся с другим подходом к решению этой задачи, который иногда более удобен, чем традиционный. Он основан на том, что граничные условия вводятся в само дифференциальное уравнение как некоторая эквивалентная внешняя сила [2J.
Пусть, например, нас интересуют свободные колебания, описываемые уравнением
生⑴д + ао«)У = О(3.1.44)
с начальным условием у« = 6 = Уа Поскольку речь идет лишь о поведении у в области f>0, то вместо у достаточно рассмотреть функцию
夕⑴=? (%)УQ(3.1.45)
совпадающую с у при f>0 и равную нулю при /<0. В (45) / (/) —функция единичного скачка (1.5.2). Дифференцируя (45) и учитывая, что 1 (t) = 8 (/), получим
y+ = ^(t)y(t) + l(t)y(t) = 8(t)y0+l(t)y.(3.1.46)
Если умножить (44) на / (/), то с учетом (46) для заменяющей y(f) функции 4十 получим неоднородное уравнение
% (%)尹 + % ⑴厅=%" (0 Ь (%) = 〃 (0) %Ь ⑴，(3. L47)
правая часть которого учитывает начальное значение у0. Если исходное уравнение — второго или более высокого порядка, то его удобно заменить предварительно на систему уравнений первого порядка. Пусть, к примеру,
如(%) J/4-fli(0^ + "о (0 У = °,八t = 6 = У°, U (% = 0) = Уо (3.1.48) Полагая 侬=5, получим вместо (48)
$ = з, & (0 血 + & (%)侬 + 〃о ⑴ у = 0.(3.1.49)
Домножая (49) на / (/), для «односторонних» функций у+= 1 (t) yt w+ = 1 (t)w получим систему уравнений первого порядка
& (%)疝十 + 生⑴侬十 + “0 (%)夕=〃2 (0) Dob (%),
/-з+ = УоЬ.),
& (0 尹 4- & (%)尹 4- "о (0 夕=
=У^ (0 4-[«1 (О) Уо +。2 (О)九]6 (f).(3.1.50)
Преимущество уравнений (47) и (50) по сравнению с (44) и (48) состоит в том, что для их решения можно использовать интеграл Дюамеля или другие методы, развитые для анализа вынужденных колебаний.
Переход к односторонним функциям вида (45) может быть эффективно использован и в волновых задачах (см. § 6 гл. 6)・
Отклик линейной системы на шумовое воздействие
Преобразование корреляционных функций и спектров. Из результатов § 1 следует, что колебания x(t), совершаемые линейной системой под действием некоторой случайной силы
U0= Г &"зуз,(3.2.1)
можно непосредственно выразить через силу или ее амплитудный спектр:
%(/)=，気6)"(厶外成=(3.2.2)
—8
ОО
=,ЕзК(з, t｝收 da.(3.2.3)
Статистические характеристики процесса % на «выходе» системы (см. рис 3.1) можно получить, усредняя (2) или (3). Для простоты предположим, что рассматривается система с постоянными и вещественными параметрами *), когда
"伍 0) = "* 仏 0) = Я(/-0), K(s, f) = K(s) = K*(—s), (3.2.4) а внешняя сила ^ (/) на «входе» системы — стационарный шум, так что
Е = 0,爲=&х (Т) = f Gbx (①)NT ds, (3.2.5)
〈占盛d〉=〈几曰 M〉= GBx(s)b(s + s'),〈几〉=0.(3.2.6)
В этом случае процесс 尤(f) также стационарен и для него, по аналогии с (5), можно написать
尤右=5ВЫХ (т) =，Gbhx (s) е"®。ds.(3.2.7)
—8
С другой стороны, усредняя х и ххт с учетом (4), (6), получим
无Ввмх(т)= i Gx(S)丨 к (s) EL&Tds. (3.2.8)
Сравнение (7) и (8) показывает, что спектральные плотности на входе и выходе линейной системы с постоянными параметрами связаны через коэффициент передачи:
Gbhx(s) = GbJs)|K(s)卩.(3.2.9)
*J То есть постоянны и вещественны коэффициенты ап в (3.1.24).
Полная интенсивность, или дисперсия, флуктуаций на выходе системы равна
х2 = о2 в =，GBb】x(s)ds=，I K(s) EGbx (s) ds. (3.2.10)
В общем случае линейной системы с переменными параметрами эта дисперсия будет зависеть от времени:
о'вых = f I ^ (М, /) |2GBX (co) dm.(3.2.11)
Согласно (8) входному белому шуму со спектральной интенсивностью 1/2л соответствует на выходе корреляционная функция
В()(т) = £ j i К (s) ”如叮8・(3.2.11а)
Обратное преобразование Фурье дает
|^(ю) |2= j &(工)叁1打・(3.2.12)
Подставляя (12) и со
Gbx®) = R J Ввх(ю)е«иМт
в (8) и интегрируя по со, находим, что связь между корреляционными функциями шумов на входе и выходе линейной системы имеет интегральный вид:
8внх(т)= f 8о(т-т')8вх(т') =
—8
СО
=,8")%(т + т，)М,(3.2.13)
т. е. она сложнее, чем чисто алгебраическое соотношение (9) между спектрами.
Фильтрация шума избирательными системами. Согласно (9) при прохождении шума через линейную систему подчеркиваются те части спектра Gbx(s), которым отвечают наибольшие значения функции jK(s)|2*). в этом состоит эффект фильтрации. Об устройствах, изменяющих форму спектра шума, говорят как о фильтрах или избирательных системах.
Рис. 3.2 иллюстрирует два предельных случая. Если спектр Gbx (s) мало меняется в области максимума резонансной кривой |К(з)卩，то
GbuxW)〜|К(з)『(3.2.14)
и эффект фильтрации выражен наиболее сильно (рис. 3.2, а).
Рис. 3.2. Два предельных случая:Рис. 3.3. Схемы
резонансная кривая | К (со) I2 является болееRC-фильтров*
узкой (а) или более широкой (б), чем спектр (?вх (①)входного шума. Фильтрующие свойства линейной системы проявляются только в случае (а).
Наоборот, если функция | ^ (ю) I2 почти не меняет своей величины в пределах основной части спектра С1!Х (со), то фильтрующее действие системы практически не проявляется; при этом
Gbhx ⑹〜Gbx (⑴)(3.2.15)
(рис. 3.2, 6).
Рассмотрим некоторые часто встречающиеся линейные фильтры.
/?С-фильтр. Схемы таких фильтров, состоящих из последовательно или параллельно соединенных емкости и сопротивления, показаны на рис. 3.3. Используя закон Кирхгофа, получим для параллельной схемы
4十悬="/),(3.2.16)
где д —заряд на обкладках конденсатора, i—заданный ток. Последовательная схема описывается таким же уравнением с i = =S/R.
Соответствующее (16) уравнение свободных колебаний
у + ^у = О, a=\[RC, имеет решение
y(f)=e-a(f-叫(3.2,17)
где 1 /а = Г = RC — время релаксации.
'8 С. А. Ахманов и др.
Считая » «входом», a q «выходом» системы и подставляя (17) в (3.1.32), найдем функцию Грина:
%а — 8)=е-а(м).(3.2.18)
Интеграл Дюамеля (3.1.18) при этом запишется как
q(t) = \ е-ав 力« _ 0)曲.(3.2.18а)
о
Чтобы найти коэффициент передачи К (ю), нужно положить в (16) i (/) = 8* и q (t) = К (со) d叫 что дает
К(з) =』，1К(з)|2 = $.(3.2.19)
Мы видим, что величина |К®)У максимальна при s = 0, а с увеличением со функция jK(s)E плавно уменьшается. Таким обра
Рис. 3.5. Параллельная схема колебательного контура.Рис. 3.5. Параллельная схема колебательного контура.зом, /?С-фильтр обладает способностью выделять низкие частоты. Подставив (19) в (Па), найдем
Рис. 3.5. Параллельная схема колебательного контура.
Рис. 3.5. Параллельная схема колебательного контура.
Рис. 3.4. Последовательная схема колебательного контура.Рис. 3.4. Последовательная схема колебательного контура.В0(т) = е-а,Т|/2а.
Рис. 3.4. Последовательная схема колебательного контура.
Рис. 3.4. Последовательная схема колебательного контура.
Колебательный контур. Колебательный контур состоит из емкости С, индуктивности L и сопротивления R (рис. 3.4). Напряжение х на обкладках конденсатора описывается уравнением х + 2a上 + 嗎％ = s謠(/) = / (/),(3.2.20)
где 2a = R/L,噺=1/厶С. В параллельной схеме (рис. 3.5) заданным является сторонний ток i (/). Динамическое уравнение, описывающее изменение тока % = х через индуктивность, аналогично (20):
х + 2ak + 端％ =喘，⑴=/(/).(3.2.21)
Найдем функцию Грина колебательного контура. Из уравнения свободных колебаний
у4-2ау4-ю^ = 0
следует, чтоследует, что，工,2 = е-а/丄必叱со”二 jAoj —с?・，工,2 = е-а/丄必叱со”二 jAoj —с?・(3222)(3222)
следует, что
следует, что
，工,2 = е-а/丄必叱со”二 jAoj —с?・
，工,2 = е-а/丄必叱со”二 jAoj —с?・
(3222)
(3222)
Подставив (22) в (3.1.40), получимh ", 9) = /1 (/ — 0) = -i- g-a(f-8)§]口 3工(/ — 8).Подставив (22) в (3.1.40), получимh ", 9) = /1 (/ — 0) = -i- g-a(f-8)§]口 3工(/ — 8).(3.2.23)(3.2.23)Запись решения уравнений (20), (21) в виде интеграла Дюамеля (3.1.18) имеет видЗапись решения уравнений (20), (21) в виде интеграла Дюамеля (3.1.18) имеет видx(t)= -^- { /ан sin «iQ -f(t — B) d0.x(t)= -^- { /ан sin «iQ -f(t — B) d0.(3.2.24)(3.2.24)Полагая в (20), (21) 〃/) =宀叫 x(t) = ei<dtK (<о), найдем частотную передаточную функцию контураПолагая в (20), (21) 〃/) =宀叫 x(t) = ei<dtK (<о), найдем частотную передаточную функцию контураК 3 = ш§—(оа4-2га(оК 3 = ш§—(оа4-2га(о(3.2.25)(3.2.25)
Подставив (22) в (3.1.40), получим
h ", 9) = /1 (/ — 0) = -i- g-a(f-8)§]口 3工(/ — 8).
Подставив (22) в (3.1.40), получим
h ", 9) = /1 (/ — 0) = -i- g-a(f-8)§]口 3工(/ — 8).
(3.2.23)
(3.2.23)
Запись решения уравнений (20), (21) в виде интеграла Дюамеля (3.1.18) имеет вид
Запись решения уравнений (20), (21) в виде интеграла Дюамеля (3.1.18) имеет вид
x(t)= -^- { /ан sin «iQ -f(t — B) d0.
x(t)= -^- { /ан sin «iQ -f(t — B) d0.
(3.2.24)
(3.2.24)
Полагая в (20), (21) 〃/) =宀叫 x(t) = ei<dtK (<о), найдем частотную передаточную функцию контура
Полагая в (20), (21) 〃/) =宀叫 x(t) = ei<dtK (<о), найдем частотную передаточную функцию контура
К 3 = ш§—(оа4-2га(о
К 3 = ш§—(оа4-2га(о
(3.2.25)
(3.2.25)
и резонансную кривую
IK(S)I2 =(端—0)2)2+^2&(32 26)
(рис. 3.6).
Рис. 3.6. Вид резонансных кривых колебательного контура при различных значениях добротности Q=(oo/2a.Рис. 3.6. Вид резонансных кривых колебательного контура при различных значениях добротности Q=(oo/2a.
Рис. 3.6. Вид резонансных кривых колебательного контура при различных значениях добротности Q=(oo/2a.
Рис. 3.6. Вид резонансных кривых колебательного контура при различных значениях добротности Q=(oo/2a.
Анализ выражения (26) показывает, что наиболее сильный отклик контура соответствует резонансной частоте
8рез = /碇一2a2 V g V o)o.
При этом
|/<(®рез) |2=^(®) 1^х= 4^-.(3.2.27)
Уменьшение резонансной кривой в два раза по сравнению с мак симальным значением приходится на частоты
а площадь под кривой равна
8]|К(з)9 謁8]|К(з)9 謁(3.2.29)(3.2.29)
8
]|К(з)9 謁
8
]|К(з)9 謁
(3.2.29)
(3.2.29)
0 GH %0 GH %&")=歳&")=歳Корреляционная функция (На), соответствующая действию на контур белого шума, имеет вид
0 GH %
0 GH %
&")=歳
&")=歳
J (噺一0)2)2+ 4^2(02 —
cos дт+篇 sin o)iT)・ (3.2.30)cos дт+篇 sin o)iT)・ (3.2.30)—C—aui
cos дт+篇 sin o)iT)・ (3.2.30)
cos дт+篇 sin o)iT)・ (3.2.30)
-4a噺
С уменьшением параметра а, связанного с активными потерями в контуре, резонансная кривая делается более высокой и узкой. Из приведенных выше выражений с точностью до величин первого порядка по a/s()《l и при (о ?=«(орез находим
(0| J^ G)o ( 1 —(0| J^ G)o ( 1 —8рез 〜％ ( 1 —否)〜S(b8рез 〜％ ( 1 —否)〜S(b|K®)|max = £^,|K®)|max = £^,<o2.3 = woq=a.<o2.3 = woq=a.IK®)”备［号中IK®)”备［号中+ ® +叫产+a2+ ® +叫产+a2(3.2.31)(3.2.31)
(0| J^ G)o ( 1 —
(0| J^ G)o ( 1 —
8рез 〜％ ( 1 —否)〜S(b
8рез 〜％ ( 1 —否)〜S(b
|K®)|max = £^,
|K®)|max = £^,
<o2.3 = woq=a.
<o2.3 = woq=a.
IK®)”备［号中
IK®)”备［号中
+ ® +叫产+a2
+ ® +叫产+a2
(3.2.31)
(3.2.31)
Высокодобротный ) (Q》l) резонансный контур будет выделять из спектра входного шума ту область, которая расположена около резонансной частоты Зрез^% в пределах относительно узкой полосы, приблизительно равной
Абрез = g — g = 2а《со»Абрез = g — g = 2а《со»(3.2.32)(3.2.32)
Абрез = g — g = 2а《со»
Абрез = g — g = 2а《со»
(3.2.32)
(3.2.32)
Анализ вынужденных колебаний с помощью укороченных уравнений. Если узкополосный процесс х (/) на выходе контура записать через комплексную амплитуду Л (/) или квадратурные компоненты а (/) и b (/), то Л, а и & будут медленными функциями времени:
х (/) = Л (/) с心。'+ к. с. = а (/) cos sK — b (/) sin ю0^
(3,2.33)(3,2.33)
(3,2.33)
(3,2.33)
Представление узкополосного процесса в виде (33) широко используется в радиофизике и оптике, так как это обычно существенно упрощает математическое решение задачи. Дело в том, что для функций А, а и b могут быть получены приближенные (так
называемые укороченные) дифференциальные уравнения, более простые, чем уравнение для к, что связано с медленностью этих функций.
Иногда укороченные уравнения выписываются не для одной комплексной функции Я, а для однозначно связанных с ней двух вещественных функций: огибающей р и фазы ср или квадратурных компонент а и Ь:
А = ^е^ = a-\-ib.
Рассмотрим методику вывода укороченных уравнений на примере колебательного контура. Дифференцируя (33), находим
х = (Л + i^A) 6必"+ к. с.» % = (Л 4- 2心о% —噺А) е心。'+ к. с.» так что
х + 2ах4- ю^х = [А + 2а% + 2而о (Л +аА)] е1，йо/ + к. с. (3.2.34) Записав правую часть уравнений (20), (21) в виде, аналогичном (33):
f(t) = F (0 е心。/ + к. с.,(3,2.35)
подставив (34), (35) в (20), (21), получим точное уравнение для Л: Л + 2аЛ + 2応0 (% + aA) = F (/).(3.2,36)
Оно не проще, чем уравнения (20), (21), однако мы еще не воспользовались предполагаемой медленностью А (/). Учитывая это, приходим к следующим оценкам:
4 〜а/, % 〜№4, Л 4- 2аД ~а2Д, 2心()(А+&4)〜да4・ Следовательно, первые два члена в (36) в ю0/а ^> 1 раз меньше остальных и ими можно пренебречь. В результате получаем укороченное уравнение
…4=般，(3237)
порядок которого на единицу меньше порядка исходного уравнения, которому удовлетворяет функция х.
Корреляционные характеристики комплексной амплитуды F (/) в (37) связаны с характеристиками силы /(/) (35): если / (^ — вещественный стационарный квазигармонический случайный процесс, причем
#〉=0，〈产〉=。2，
<//т〉=〈疗» = ^[р (т) COS дт 十 g (т) sin 3刃， ТО
〈尸〉=0,〈尸居〉=0,〈尸尸〉=^吟(3.2.38)
<FF?) = 2 °2 [P ⑺一切(矶(3.2.39)
(см. (2.3.20)). Аналогичное соответствие существует между спектральными характеристиками F и /: если
(3.2.40)(3.2.41)(3.2.42)(3.2.40)(3.2.41)(3.2.42)/(/)=，％8d3,〈疗т〉= \ G(®L'8Td3,
(3.2.40)
(3.2.41)
(3.2.42)
(3.2.40)
(3.2.41)
(3.2.42)
〈AJm〉= G (з) 6 (з 十 з'), (/иА-> = G (з) 6 (з — со) ТО
F(f)= , F^^ d(dt〈FF^〉= , GF(s)eT&Tds,
〈凡f^〉= Gf (co) 8 ® 一 co/),〈凡儿，〉=0,
где Gf(s) = i/zG+(s()+s)— смещенный на ю0 спектр по положительным частотам силы / (см. (2.3.21)). Подобными же соотношениями связаны процесс х (/) и его комплексная амплитуда А.
Используем теперь эти соотношения при решении уравнения (37). Если представить Л и F в виде интегралов Фурье (41), то получим
2ai(oo (心 + a)
Отсюда согласно (42) следует соотношение между спектральными плотностями на входе и выходе контура
(3.2.43)(3.2.44)(3.2.43)(3.2.44)Gp (со)
(3.2.43)
(3.2.44)
(3.2.43)
(3.2.44)
G小 (s) — 4a礁(后+a弓.
В общем случае
G力(s) = |K(s) Г Gf(s),
где К (ю) — частотная передаточная функция, соответствующая укороченному уравнению.
Обратим внимание еще на одно обстоятельство. Если Gf(s) как функция s меняется медленнее, чем jK(s)『，то без большой погрешности можно заменить в (44) Gp (ю) на Gp (0), что эквивалентно замене F(f) в укороченном уравнении на 6-коррелирован- ный случайный процесс — белый шум. В частном случае (43) для такой замены необходимо, чтобы спектр Gf(s) мало менялся при изменении s на величину порядка а (т. е. в пределах резонансной кривой контура). Это же условие можно, очевидно, сформулировать иначе: время корреляции комплексной амплитуды входного шума должно быть достаточно малым по сравнению со временем релаксации свободных колебаний в контуре.
Установление шумовых колебаний в линейном осцилляторе — пример нестационарного случайного процесса. Для описания нестационарных эффектов, например случайных переходных процессов, удобно использовать временной подход и исходить
из (3.1.18):из (3.1.18):
из (3.1.18):
из (3.1.18):
%(/)=§/!(»〃/_ 6)de.(3.2.45)
0
Предположим, что стационарный шум 占 Q) (| = 0, ^т = Ввх (т)) начал действовать на систему в момент / = 0. Полагая в (45) /(/) = / (/)^ (/), получим
无传)=，似6)e(/一6)成. (3.2.46) о
Дисперсия шумовых колебаний на выходе системы в этом случае будет зависеть от времени: возводя (46) в квадрат и усредняя, найдем
Кнх (/)=曜=，，或成％ (9) h (『)Ввх (0 - 8) (3.2.47) О
Если линейная система устойчива, lim /i(0) = O, то с течением 8 т 8
времени дисперсия (47) будет приближаться к своему установившемуся значению:
&Х =，，质 de% (9) h (『)Ввх (9 -『)= о
со
=^ |К(ю) |2GBX(co)dco.(3.2.48)
со】 sin 2(о^—a cos 2(ox^со】 sin 2(о^—a cos 2(ox^(3.2.49)(3.2.49)Как пример рассмотрим эволюцию во времени дисперсии шума на выходе колебательного контура, на который при / = 0 начал действовать белый шум. Полагая в (47) Ввх (т) = ^лОвх8 (т) и h (0) = —g-a0sin cojO (см. (23)), получим
со】 sin 2(о^—a cos 2(ox^
со】 sin 2(о^—a cos 2(ox^
(3.2.49)
(3.2.49)
门纟 Z/\ 冗Gpx 冗备x p-2W ［丄
бвых⑴一2a叫2叫廿La
В случае контура с малыми потерями можно пренебречь малыми осциллирующими членами порядка a/s()《l; при этом
Вых (f) = o晶х (1 一/2*),(3.2.50)
где Овых — стационарное значение дисперсии (48):
…需•(3251)
Выражение (50) показывает, что время «установления стационарности» выходного шума — порядка времени затухания свободных колебаний (а-1).
Рис. 3.7. Иллюстрация условий эффективного сглаживания стационарного шума на спектральном языке.Рис. 3.7. Иллюстрация условий эффективного сглаживания стационарного шума на спектральном языке.Линейная система как усредняющее устройство. Рассмотренную в § 4 гл. 1 операцию временного усреднения можно интерпретировать как прохождение случайного процесса через линейный фильтр (идеальный интегратор) с частотной характеристикой
Рис. 3.7. Иллюстрация условий эффективного сглаживания стационарного шума на спектральном языке.
Рис. 3.7. Иллюстрация условий эффективного сглаживания стационарного шума на спектральном языке.
(см. (1.4.2)). Как было показано в § 4 гл. 1, дисперсия о声 флуктуаций на выходе этого интегратора уменьшается с ростом времени усреднения 7 и в пределе Т》Тк
|К(со) I2— частотная характеристика интегратора, G (со) —спектр шума. Флуктуации на выходе интегратора обусловлены спектральными компонентами шума, попадающими в заштрихованную область.|К(со) I2— частотная характеристика интегратора, G (со) —спектр шума. Флуктуации на выходе интегратора обусловлены спектральными компонентами шума, попадающими в заштрихованную область.o^ = 2jxG (0)/7, (3.2.52)
|К(со) I2— частотная характеристика интегратора, G (со) —спектр шума. Флуктуации на выходе интегратора обусловлены спектральными компонентами шума, попадающими в заштрихованную область.
|К(со) I2— частотная характеристика интегратора, G (со) —спектр шума. Флуктуации на выходе интегратора обусловлены спектральными компонентами шума, попадающими в заштрихованную область.
где G (s) — спектральная плотность флуктуаций входного шума, а тк — его время корреля
ции. На спектральном языке условие Т》Тк означает, что полоса пропускания интегратора гораздо уже, чем ширина спектра шума (рис. 3.7).
В общем случае, когда в качестве интегратора используется произвольный линейный фильтр с коэффициентом передачи К (со), дисперсия на выходе интегратора равна
6=宁 G(м)|^(<o)|2d(o.(3.2.53)
—ОО
Сравнивая (52) и (53), можно оценить эффективное время усреднения фильтра:
Лфф = ^^^(3.2.54)
j G (со) I К (<o) I2 d(o
Как следует из (54), величина Т皎ф зависит как от вида фильтра, так и от формы спектра шума. В частности, если входной шум можно считать белым и в качестве усредняющего устройства взять RC-фнльтр, то получим
Т.ФФ = 2Т\
где Т = RC — постоянная времени /?С-фильтра (см. (17)).
Белый шум и «черный ящик» (корреляционная идентификация линейных систем). Структура линейной системы полностью определяется коэффициентом передачи /< (со) или функцией Грина h (6).
Каждая из этих характеристик описывает реакцию системы на регулярное (неслучайное) воздействие определенного типа —гармоническое или 6-импульс. Для измерения этих характеристик могут быть использованы также чисто «шумовые» методы.
Рассмотрим линейную систему неизвестного вида («черный ящик»). Предположим, что на вход системы подан белый шум ^ (/), возбуждающий в системе вынужденные колебания х (/). Предположим сначала, что в этих условиях измерена корреляционная функция шума на выходе системы, т. е. (ххт) = В(т). Применив к В(т) преобразование Фурье, мы найдем спектральную интенсивность G (со), которая согласно (9) при 6-коррелированном шуме Е с точностью до постоянной совпадает с квадратом модуля коэффициента передачи:
G(s)~jK(s)R (3.2.55)
Таким образом, измеряя (ххт) или непосредственно спектральную плотность шума на выходе системы G(s), мы можем найти модуль комплексной функции K(s), но фаза ^ (ю) остается неопределенной.
Значительно более полную информацию о системе можно получить, если измерять корреляционную функцию (^хт). Чтобы в этом убедиться, запишем х в виде интеграла Дюамеля:
x(Z)=f/i(9)UZ-9).
О
(3256)(3256)Учитывая, что 化&〉= 2Qb (т), находим отсюда
(3256)
(3256)
I U, TV и,
т. е. корреляционная функция 〈占工七〉с точностью до постоянной совпадает с функцией Грина рассматриваемой линейной системы. Измерение〈占修〉полностью решает задачу идентификации системы. В частности, преобразуя функцию 传％〉по Фурье, можно найти как модуль, так и фазу коэффициента передачи ^ (со).
Этот метод представляет также большой интерес и в оптике, в задачах оптической спектроскопии (см. § 5 гл. 5).
§ 3. Распределение вероятностей на выходе линейной системы
Обратимся теперь к анализу факторов, определяющих распределение вероятностей на выходе линейной системы. Задача теперь ставится следующим образом: по заданному распределению вероятностей на входе мы должны определить распределение вероятностей на выходе системы.
Действие на систему гауссовского шума. Эта задача проще всего решается в том случае, когда шум на входе т) (/) = т) (/) + Т)(/) является гауссовским. Вследствие линейности системы шум на выходе также будет гауссовским в любой момент времени. Поэтому, определив (например, используя интеграл Дюамеля) два параметра: среднее значение процесса на выходе
х = , не)"(/, 9) de
и его корреляционную функцию флуктуаций
〈訳Т〉=，，de d『е (9)п (8')〉” G，9) H(t + r,『)，
мы можем по формуле (1.2.44) построить, в принципе, любое многомерное распределение для процесса х на выходе линейной системы.
Нормализация флуктуаций в узкополосных системах. Рассмотрим теперь случай, когда входной шум не является гауссовским. Чрезвычайно существенно, что во многих практически важных случаях распределение выходного шума оказывается очень близким к нормальному — независимо от закона распределения шума на входе.
Предположим, что спектр входного шума намного шире резонансной кривой линейной системы:
А 喏》А%ез(3.3.1)
(см. рис. 3.2, а). В этом случае входной шум допустимо рассматривать как белый, т. е. 6-коррелированный. Это дает возможность применить для определения w (х) аппарат уравнения Фоккера-Планка. В частности, если линейная система описывается дифференциальным уравнением первого порядка, то, подставив в общее выражение для w (х) (1.7.50)
а (х) = — ах, & (х) = 1, получим гауссовскую функцию распределения
w (х)〜exp (— а%2/2°).
Этот результат может быть обобщен на случай нескольких связанных линейных уравнений с 6-коррелированными правыми частями (см. [7], с. 100), иначе говоря, гауссовское распределение вероятностей (1.2.44) описывает шумовые колебания в любой линейной системе с сосредоточенными параметрами, находящейся под действием 6-коррелированных сил.
Условие (1) относится к режиму стационарных шумовых колебаний. Однако замена реального шума на 6-коррелированный возможна и при наличии переходных процессов, если кроме (1) выполняется условие
А喈 > 1//,(3.3.2)
где / — полное время действия внешнего шума на систему. Рассмотрим, например, действие на RC-фнльтр шума с характеристиками
Ввх ⑹=区к/ ВI т I, Gbx (з) = в籠2，
Wx = nPG0, Аз^ ^ р.(333)
Дисперсия шумовых колебаний на выходе этого фильтра с учетом переходных процессов будет равна согласно (3.2.18) и (3)
t
&ых ⑴=Кх \ \ 威 1 威 2 /а(也+瓦)-Pi 01-0*1 = О
а (а + Р) а (В—а) + (Р +а) (Р — а)]'(334)
С другой стороны, при действии на RC-фильтр белого шума с корреляционной функцией Ввх (т) = 2jxG06 (т)
0мх(/)=^(1—е-а/).(3.3.5)
Нетрудно видеть, что для совпадения (4) и (5) кроме неравенства 0》а, эквивалентного (1), необходимо выполнение неравенства 0/》1, соответствующего (2).
Эффект нормализации шумовых колебаний в линейной системе можно также наглядно пояснить, используя центральную предельную теорему. Запишем опять шумовые колебания в линейной системе в виде интеграла Дюамеля：
сотрел
%(/) =、九⑼ 9g — 8)或^ ， 九⑼ r)G-8)成， (8.3.6) оо
где
Тре* 〜1/АЗрез
—характерное время релаксации системы (т. е. время затухания свободных колебаний). Введя время корреляции входного шума
тк 〜1/а3富，
соотношение (1) можно переписать как
q《l/Азр*(3.3.7)
Будем считать, что условие (7) выполняется с большим запасом, и выберем интервал времени т такой, что
тк<т<трел.(338)
Представим теперь интеграл в (6) в виде суммы интегралов, в каждом из которых время интегрирования равно т. Имеем
xG) =»"传)，(3.3.9)
% = I где (л+ 1) тТ
х„ (/) ^ ， h (9) y](t-B)de^h (пт) \y](t-B)de (3.3.10)
AT0
и согласно (8)
2 = Трел/Т》L(3.3. 11)
Можно показать, что при условии тк^т корреляция случайных величин хт и хп (几辛向 очень мала (см. ниже), так что все хп можно приближенно считать статистически независимыми. Задача о распределении суммы N таких величин рассматривалась в гл. 1, где было показано, что распределение w (х) при 8 стремится к гауссовскому.
При больших, но конечных значениях N распределение шума на выходе линейной системы будет тем ближе к гауссовскому, чем меньше (по сравнению с единицей) величина относительных кумулянтов хп распределения w (х). В частности, согласно (1.2.38) для коэффициентов асимметрии и эксцесса можно написать
& = &с 〜1//М & = &кс 〜1/М(3312)
Оценивая корреляционную связь между различными хп, заметим, что она будет наибольшей для ближайших членов суммы (9), т. е. для хп и 工几+「 Если считать действующий на линейную систему шум чисто флуктуационным (Т]==0), то хп = 0 и коэффициент корреляции между хп и хп+1 будет равен.
，,d&i dO2BBX (т-|-92 一 &) =j. (3.3.13)
о
Это выражение не зависит от 门，и его нетрудно преобразовать к виду
JBbx(2T-9)e^+jBBX(e)0de
欠…三 R = ^^°.(3.3.14)
2 ' sBX е)(т-е)成
При большой величине параметра т/тк (см. (8)) имеем
5Ввх (2r-9)9d9<JTT0GBX(0),Тсо
^"х (8) 8 dg，&х (8) в de = nr(1GBX (0), оо
т
2,8вх(8)(т —8)d8~2jT(T —To)Gbx(O), - о
так что
Rj^To/2 (т —т0),(3.3.15)
где т0 ■"характерное время запаздывания (2.6.7) диффузионного процесса ,刀(0) d0.
систем. Тепловые шумысистем. Тепловые шумыВ интересующем нас случае т0^тк^ 1/А(о^ (см. (2.6.9а) и (2.6.96)). Учитывая (8), мы получаем из (15), что R =工”工^ 〜тк/2т《1.
систем. Тепловые шумы
систем. Тепловые шумы
Собственные шумы линейных диссипативных линейных систем
Случайные вынужденные колебания в реальных линейных системах возникают и в отсутствие внешних сил; они связаны
Рис. 3.8. К выводу теоремы Найквиста:Рис. 3.8. К выводу теоремы Найквиста:00с наличием принципиально неустранимых источников собственных шумов. Тепловое движение свободных электронов в проводниках приводит к тому, что даже в отсутствие внешней э. д. с. в системе течет «тепловой» ток ，丁 (/), носящий случайный характер.
Рис. 3.8. К выводу теоремы Найквиста:
Рис. 3.8. К выводу теоремы Найквиста:
0
0
а) эквивалентная схема проводника с комплексным сопротивлением Z учитывает флуктуационную э. д. с. &г (0, обусловленную тепловым движением электронов при температуре Г ： 6) схема двух полюсника в те рмостате.а) эквивалентная схема проводника с комплексным сопротивлением Z учитывает флуктуационную э. д. с. &г (0, обусловленную тепловым движением электронов при температуре Г ： 6) схема двух полюсника в те рмостате.Флуктуации электронной плотности, связанные с флуктуационными токами, приводят к появлению случайной разности потенциалов на концах проводника. Таким образом, любой двухполюсник Z, содержащий
а) эквивалентная схема проводника с комплексным сопротивлением Z учитывает флуктуационную э. д. с. &г (0, обусловленную тепловым движением электронов при температуре Г ： 6) схема двух полюсника в те рмостате.
а) эквивалентная схема проводника с комплексным сопротивлением Z учитывает флуктуационную э. д. с. &г (0, обусловленную тепловым движением электронов при температуре Г ： 6) схема двух полюсника в те рмостате.
сопротивление и находящийся при температуре 7, можно рассматривать как генератор случайной э. д. с.废丁(彳)(рис. 3.8, а).
Собственные тепловые шумы создают принципиально неустранимые флуктуационные помехи в любой радиотехнической системе；
поэтому первоочередной интерес представляют данные о статистических характеристиках случайного напряжения ^т(/) и случайного тока，т ⑴.
Рассчитать спектр (и коррелляционную функцию) случайной э. д. с. можно на основе весьма общих положений термодинамики и статистики — речь идет о флуктуациях в системе, находящейся в равновесном состоянии. 小
Действительно, выясним прежде всего, какие заключения относительно свойств 岔丁⑴ и iT (/) можно сделать из термодинамических соображений. Рассмотрим для этого замкнутую цепь, состоящую из двух двухполюсников с комплексными сопротивлениями (импедансами)工工卫二&窑 + 仄工⑵ изображенных на рис. 3.8,6. Пусть эта цепь помещена в термостат, находящийся при температуре Т.
Каждый из источников 岔屮，卷戸 вызывает ток в цепи; обозначим через 尸工2 мощность, отдаваемую источником 岔戸 в двухполюсник Z2, и соответственно через P2i — мощность, отдаваемую источником 岔产 в двухполюсник Z» Введя спектральную плотность напряжения теплового шума G『(3), запишем
% =]兄斗符 ds, Ai = l ^-^^d®, (3.4.1)
где Z = Zi + Z?. В силу второго начала термодинамики Р12 = ^21 и, следовательно ),
1 ®^^ d<o = l Ri^^^ds. (3.4.2)
Из (2) следует важное утверждение: если R/з)三 0 (п = 1,2), то и Gp((o) = O, т. е. если двухполюсник не поглощает (не содержит активного сопротивления), спектральная плотность э. д. с. теплового шума на нем тождественно равна нулю. ‘
Фактически в (2) можно приравнять и подынтегральные выражения. Действительно, представим себе, что между двухполюсниками включен чисто реактивный фильтр (не обладающий омическим сопротивлением) с сопротивлением Z3 = »Хз， Тогда соотношение (2) сохранит свой вид, однако в знаменателе надо записать вместо : Z^ величину : Z，『=：z+Z3 产.Поскольку (2) должно быть выполнено при этом для любой характеристики фильтра Хз(з), в (2) должны быть равны и подынтегральные выражения.
Поскольку выбор двухполюсников на схеме рис. 3.8 совершенно произволен, сказанное означает, что для любого двухполюсника
G$)(о))_ G罗(砌 __ G^(о))о
В силу (3) отношение спектральной плотности теплового шума к действительной части сопротивления, в котором он генерируется (отношение «излучательной» и поглощательной способностей двухполюсника), оказывается универсальной константой, зависящей от частоты и температуры, и (з, Т), т. е.
Gt (<о) = R (<о) и ((о, Т)三 Re Z (з) 〃(з, Т).(3.4.4)
Как же определить функцию и (з, Т)?
Универсальность 〃 (з, Т) позволяет для ее нахождения рассмотреть какую-нибудь простую «пробную» систему； полученный результат будет, очевидно, иметь общий характер.
Формула Найквиста в классической области. При кТ》九з (в классической области, здесь к~ постоянная Больцмана,九—— постоянная Планка), в соответствии с принципом равнораспределения энергии по степеням свободы, средняя энергия флуктуационных колебаний, обусловленных 窃丁〃)，в системе с N/2 степенями свободы *)
〈W〉= k7W/2(^ = 0, 1,2, ...).(345)
В качестве пробной системы рассмотрим высокодобротный колебательный контур RLC, настроенный на частоту(оо = 1 /]/LC. Рассчитаем GT (ш0), а следовательно, и и (ш0, Т). Итак, предположим, что полоса пропускания контура A(o = 2a = R/L является достаточно узкой, так что в ее пределах функцию GT можно рассматривать как постоянную： Gt((o)?=«Gt(3o). Если д —заряд на емкости, то
〈取〉=壶《2〉44 ⑺.(3.4.6)
Исходя из уравнения для q
Lq + RG + ^qf ⑦, получим + 8
〈g2〉= \ |к(3)仔6丁(3)血，гдек (з)=厶т(叫-g? + i2аз尸.
Учитывая, что полоса контура предполагается узкой, а также соотношение (3.2.29), находим
(3.4.7)
О + ОО
Ю= J 32 1K(3)|2GN3)d3 = ^^.(3.4.8)
Как следует из (7) и (8),
期〈炉〉=専g2〉= -^h，(3.4.9)
где мы теперь пишем(оо = «, так как частота ш0 выбиралась произвольной.
Подставив (6), (9) и ^ = 2 в (5), получим формулу Найквиста для G『(3)：
G『(з) = ^ kTR (з).(3.4.10)
Формула (10) описывает спектральную плотность напряжения теплового шума на чисто омическом сопротивлении ReZ = R0. В соответствии с (4) и (10)
«(3, Т) = ； кТ,
и, следовательно, для спектральной плотности теплового шума на произвольном двухполюснике
G『(3)= }кТ ReZ
и для спектральной плотности, определенной только в области положительных частот,
9，
Gt ((о) = кТ Re Z.(3.4.11)
Формула (11) была впервые получена Найквистом (1928 г.), который рассматривал, однако, в качестве пробной системы не колебательный контур, а двухпроводную линию.
Спектр и корреляционная функция теплового шума. Согласно (10), (11) в классической области форма спектра теплового шума определяется частотной зависимостью действительной части полного сопротивления. Речь фактически идет обо всем радиодиапазоне, поскольку при комнатной температуре (Т = 300 К) 九з^кТ при ^ = 3/2冗〜1013 「и. Поэтому тепловой шум, генерируемый омическим сопротивлением, в радиодиапазоне можно считать белым; приближение 6-коррелированного процесса с высокой степенью
точности выполняется практически для всех задач, связанных с изучением воздействия теплового шума на реальные радиотехнические системы.
Для конкретной оценки времени корреляции теплового шума на омическом сопротивлении можно пользоваться следующими соображениями.
В реальном сопротивлении всегда присутствует «паразитная» шунтирующая емкость. Поэтому наиболее реальней моделью сопротивления является параллельная /?С-цепочка, где С = СП —«паразитная» емкость. Действительная часть комплексного сопротивления такой цепочки
ReZ= i + ^nRF •(3.4.12)
Поэтому вместо (10) правильнее писать
1+(^曲，，(3・4」3а)
G 扌 ®)=；к&+(屍赤(3.4.136)
и время корреляции теплового шума, генерируемого реальным сопротивлением,
xK = RCn.(3.4.14)
Обычно эта величина не превышает тк^ 10~8 — 10-эс. В оптическом диапазоне (ш ^ 10й Гц) для описания теплового шума вместо (5) следует использовать распределение Планка. Однако в этом диапазоне частот гепловой шум носит уже характер теплового излучения. Последнее описывается, однако, не в терминах квазистационарных токов и напряжений, а в терминах напряженностей Ен" случайных электромагнитных полей ) (см. гл. 4).
Совместное действие сигнала и шума
на линейную систему. Фильтрация
В этом параграфе, пользуясь аппаратом теории флуктуаций в линейных системах, мы рассмотрим две простейшие задачи, связанные с приемом сигнала в присутствии шумов. Если интенсивность сигнала сравнима или меньше интенсивности шума
(речь может идти как о шуме, приходящем вместе с сигналом, так и о собственном шуме приемной системы), прием сигнала становится, по существу, сугубо статистической задачей.
В статистической теории приема сигналов на фоне шумов выделяют две группы задач — задачи обнаружения сигналов на фоне шумов и задачи выделения сигнала из шума. В первом случае наблюдатель не интересуется точным воспроизведением сигнала, а должен с максимальной надежностью вынести решение (статистическое решение) о наличии или отсутствии сигнала. Во втором речь идет о наилучшем (в смысле некоторого статистического критерия) воспроизведении сигнала, скрытого в шумах.
Если формы спектров сигнала и шума различаются, то для решения этих задач естественно обратиться к использованию линейных избирательных систем — линейных фильтров. В рассматриваемом случае можно, например, стремиться подобрать частотную характеристику фильтра таким образом, что он будет подавлять спектральные компоненты шума и одновременно «подчеркивать» спектральные компоненты сигнала.
Каков рецепт процедуры выбора такого, оптимального, фильтра? Как рассчитать частотную характеристику К(з) оптимального фильтра?
Для ответа на эти вопросы обратимся сначала к задаче обнаружения сигнала на фоне шума. В этом случае естественно стремиться к тому, чтобы фильтр, через который проходит смесь сигнала и шума, максимизировал отношение сигнал/шум.
Итак, пусть на вход линейной системы поступает случайное колебание 刀(/), представляющее собой смесь сигнала S (/) и шума EG)：
r|(0 = S(0 + U0-(3.5.1)
Чтобы пояснить основные понятия, рассмотрим сначала самый простой случай, когда входной сигнал гармонический: ,
Sbx = 〃 cos (з/ +屮J = ^6*(%'+ Фс^ + к- с., /вх =g・
Для выходного сигнала имеем
SBb^^K (叫 е"8 J + 外)+ к. с., /вых =争 К (Зс) I*.
Если G (ш) — спектральная плотность входного шума (/), то интенсивности шума на входе и выходе будут
а：х= , G (ш) d(o, о；нх = \ \К (<о) i2G((o) d(o.
Под отношением сигнал/шум понимают отношение соответствующих интенсивностей. Таким образом,
(с/ш)вх = ^ = /—,(3.6.2)
ВХ 4 j G (со) dco
0
(e/咻 "X =m‘包3社-，(3.5.3)
4，1 К (о)) )2 G (со) dco 0
1 К (о)с) |25 G((o)d(o
麼 нх 2.(3.5.4)
(c/m)Bx ?°'
]1 К (砌 У g ®) do
6
Выражение (3) показывает, каким требованиям должен удовлетворять фильтр, чтобы выполнялось условие (с/ш)вых^ 1. Во- первых, частота сигнала должна совпадать с резонансной часто-
той фильтра(oo：
®c = ®o；(3.5.5)
при этом числитель в (3) имеет максимальное значение. Во-вторых резонансная кривая 1K (з)Е должна быть значительно уже спектра шума G((o): чем с большим запасом будет выполнено
условие
А(0вх》Аз,(3.5.6)
тем меньше будет знаменатель в (3). В (6) А(овх — эффективная ширина спектра входного шума, А(о — ширина резонансной кривой фильтра.
Условие (6) обычно означает также, что спектральная плотность шума приблизительно постоянна в пределах резонансной кривой, так что в (3) функцию G((o) можно вынести за знак
интеграла:
(с/ш)вь1х = —_匕' "max •(3.5.7)
4G (s) § 1 X ((o)户 do
0
Здесь учтено, что согласно (5) | ^ (шс) | = ^((о) |тах. Заметим, что
отношение
co
j 1 К (co) I? dco
1К(3) kx Аз*(3.5.8)
определяет так называемую шумовую полосу пропускания фильтра; А(Оф близка по величине или несколько превосходит А(о. Интенсивность входного шума, приходящаяся на полосу частот Азф, равна
о2 = G ((о/ 2 Азф.(3.5.9)
Используя (8) и (9), выражению (7) можно придать вид (2):
(с/ш)вь1Х = а2/2о2.(3.5.10)
Таким образом, пересчет отношения сигнал/шум с входа на выход системы сводится просто к замене полной интенсивности шума интенсивностью (9). Если, по аналогия с (8), ввести эффективную ширину спектра входного шума
f G (со) d(o
a3山=^7(0(3，5.11) то (10) перепишется как
(3.5.12) {C/UIJbHX
Формула (12) дает возможность выбрать полосу фильтра Аз中 по заданному значению (с/ш)вх, требуемой величине (с/ш)вых и известной полосе входного шума А(ош.
Отношение сигнал/шум в переходном режиме. Рассмотрим кратко, как влияют переходные процессы на эффект фильтрации. Предположим, что на колебательный контур в момент / = 0 начинают действовать белый шум и гармонический сигнал. Полагая в (3.2.24)
。，У。，
1 a cos ((оо/ + фо)> / >0,
найдем, что интенсивности сигнала и шума на выходе контура, усредненные по периоду высокой частоты(оо> равны
/вых (0 = Л1Hх (1 —产們aLx (/) = Кнх (1 —丈2*)・(3513)
Как следует из (13), в начале переходного процесса (а/《1) /вых (0 〜产，O：bix (0 〜£
Это значит, что независимо от того, какова величина отношения сигнал/шум в установившемся режиме, в начале процесса установления шум по интенсивности всегда превосходит сигнал. Из (13) также видно, что стационарный режим для шума устанавливается примерно в два раза быстрее, чем для сигнала:
喑т 〜1/2а, §ст 〜1/а
Оптимальный линейный фильтр; обнаружение сигналов конечной длительности. Рассмотрим теперь более реальный случай, когда вместо гармонического сигнала (1) на линейную систему действует регулярный сигнал
S()(f)= \ sQ (си) ^ d(n(3.5.14)
—оо-
с произвольным спектром s0 (со), мгновенной интенсивностью
/о (0 = 5? (О(3.5.15)
и энергией
Qo= § /0 (/) dt = 2л f |s0(w) (Мео. (3.5.16)
Пусть вместе с сигналом So (f) на вход фильтра поступает стационарный шум с нулевым средним значением и спектральной плотностью G0(w). Поставим задачу найти передаточную функцию К (со) так называемого оптимального фильтра, отношение сигнал/шум на выходе которого будет наибольшим из всех возможных.
Согласно (14) сигнал на выходе фильтра имеет вид
S(f)= \ s()(①)К (з)夕公£ dco,(3.5.16а)
и его интенсивность и энергия равны
/8\2
/(/)= ( , SQ(^K(^ ^dwL(3.5.17)
Q = 2ji \ |^o(c0)^(c0))2dc0.(3.5.18)
Отсюда находим, что
(с/т)вих =飞———•(3.5.19)
j Go(©) I К (©) |2d©
Предположим сначала, что Go (со) = const, т. е. входной шум — белый. При этом Go выходит за знак интеграла в (19). Используя неравенство Коши — Буняковского, интенсивность (17) можно оценить как
/ (f) V ( f 0(з) 12 dз)(宁 \К (з) ；2dA (3520)
-\—00/ \—oo/
Подстановка (20) в (19) дает
j |s0(w)(2rf«(с/Ш)вых<=^—=急・(3.5.21)
Равенство в (20), (21) достигается при
К (со) = Копт (з) = as^ (со) е-庙f。= as0 (— со) 5的® (3.5.22) где а и /0 — произвольные постоянные. Частотная характеристика оптимального фильтра определяется, таким образом, выражением (22).
Формула (22) описывает частотную характеристику оптимального фильтра К (со), обеспечивающего максимальное значение отношения сигнал/шум. Как и следовало ожидать, частотная характеристика (22) близка к спектру сигнала (поэтому оптимальный фильтр называют также согласованным фильтром); заметим, что в (22) входит не спектральная амплитуда сигнала, а ее комплексно сопряженное значение. Именно такой фильтр и позволяет получить максимальное значение отношения сигнал/шум, хотя и не воспроизводит форму сигнала.
Подставив (17) и (22) в (19), получаем
2Л(『)s0 (0)电3"-切dg)
(С/Ш)вых - ———不^(3.5.23)
откуда видно, что величина (с/ш)вых принимает наибольшее значение (21) только в момент / = /0- Согласно (16) и (22) сигнал на выходе оптимального фильтра
(3.5.24)(3.5.24)S(f) = a , J s0 (со) |2e/fi> (^^o)dw,
(3.5.24)
(3.5.24)
Smax = S (f = ^o) = aQo/2jt,
представляет собой импульс, симметричный относительно / = /0» хотя форма импульса входного сигнала (14) может быть любой. Таким образом, при прохождении сигнала через согласованный с ним фильтр (22) его форма меняется. Это хорошо видно на примере прямоугольного входного импульса
：^<т0/2, 力 > т0/2.：^<т0/2, 力 > т0/2.
：^<т0/2, 力 > т0/2.
：^<т0/2, 力 > т0/2.
с энергией Qo = SqT0 и спектром
(3.5.25)(3.5.25)с л 8Л sin (што/2)同(3)—"^飞欣»~
(3.5.25)
(3.5.25)
Подставив (25) в (24), получим импульс треугольной формы:
.О,I f — А)i > т0.
Преобразуя заданный сигнал (14) в некоторый новый сигнал (24), оптимальный фильтр делает это таким образом, что новый сиг-
Рис. 3.9. Преобразование в согласованном линейном фильтре прямоугольного входного импульса SBX (/) в треугольный выходной импульс 5ВЬ1Х (/).
нал принимает при t = t0 значение, наибольшее из всех возможных, и тем самым наилучшим образом выделяется на фоне шума (рис. 3.9).
Рассмотрим теперь общий случай не 6-коррелированного входного шума: Go (©) у= const. Представив оптимальный фильтр состоящим из двух последовательно соединенных фильтров:
К ®)= К】(©) К2 («)»(3.5.26)
выберем первый фильтр таким образом, чтобы шум на его выходе был белым (6-коррелированным):
С
%= ,屮叫(3.5.27)
Mg°(3)
где С—произвольная постоянная, ф ((о) — произвольная действительная функция частоты. При этом на вход второго фильтра будет подаваться сигнал
Si(f)= j s0 (ю)d©
и белый шум со спектральной плотностью
Gi (о) = I К】(©) |2 Go (©) = | С |а.
Эта задача уже рассматривалась, и на основании (22) можно сразу написать выражение для оптимальной частотной характеристики второго фильтра:
尤(3)= aiKf (3)「‘8%=奇;*)威(со)厂е⑹厂，*.(3.5.28)
Подставив (27) и (28) в (26), найдем
-коп1 (w) = a2е-；м/", a2 = ai| С|«.(3.6.29)
Согласно (29) на форму частотной характеристики в общем случае влияет как спектр сигнала, так и спектральная интенсивность шума. Выражение (29) имеет простой смысл: фильтр подчеркивает участки спектра, где преобладает спектр сигнала, и подавляет те участки, где увеличивается спектр шума (sj (©) входит в (29) в числителе, a Go (©) — в знаменателе). При Go (©) = const (29) переходит в (22).
Выделение сигнала из шума; уравнение Винера — Хопфа. Обратимся теперь к примеру задачи о выделении сигнала из шума.
Во многих случаях реальный, несущий информацию, сигнал (например, радиосигнал, промодулированный человеческой речью) естественно рассматривать как стационарный шум |i (/). Будем считать, что и искажающая сигнал флуктуационная помеха также представляет собой стационарный шум & (О- Наша задача —— указать рецепт построения линейного фильтра, наилучшим образом воспроизводящего сигнал. Естественно, что для корректности постановки задачи надо сформулировать критерий, качества воспроизведения. Ниже в качестве такого критерия мы используем критерий минимума среднеквадратичной ошибки воспроизведения.
Итак, предположим, что имеются две стационарные, случайные, статистически взаимно независимые функции времени, одну из которых
£ (0 = \ Ай/" dco, £ = О,
мы считаем сигналом, а вторую
占2 (f) = \ Eacoe's'deo, 8 =。，
—помехой. Известны корреляционные функции Bi(t), В2 (т) этих процессов и соответствующие спектральные плотности «(со), G2 (со), причем для спектральных амплитуд имеем (см. (L3.16)) 隽砌〉=0(n= 1, 2),
п = т, п^т.К (з) = Кй)п = т, п^т.К (з) = Кй)(3.5.30)(3.5.30)фильтра,фильтра,(Gn(w)6(w +сол),
п = т, п^т.
К (з) = Кй)
п = т, п^т.
К (з) = Кй)
(3.5.30)
(3.5.30)
фильтра,
фильтра,
Требуется определить частотную функцию суммарный процесс на выходе которого
g(o= f K^^ + ^^da(3.5.31)
с некоторой задержкой /0 наилучшим образом воспроизводил Си входной сигнал 乱(f). Согласно этому критерию среднеквадра-
тичное значение 出名 ошибки воспроизведения сигнала
n(9 =自伍 +幻一&(2)(3.5.32)
должно быть минимальным. Учитывая (30), найдем
口 = 0， 出名=\ {I К1 — 1 户 Gi (з)+ | KJ Е G2 (з)} ds,
—со
где КА = Ай/*. Варьируя 卢 по ^, получим
8
6炉=，［(/Q — 1) Gi (з)+ KJG2 (з)］ bKAdco+ к. с. (3533)
В случае оптимального фильтра, когда 出2 имеет минимальное значение, величина 6*2 должна обращаться в нуль при любой 6К〔. Как следует из (33), это означает, что
(^ — 1) Gi (со) +KJG2 (з) = 0,
т. е. искомая частотная функция оптимального фильтра равна
KW)KW)= Gi (砌-Gi(o)+G2(«)= Gi (砌-Gi(o)+G2(«)(3.5.34)(3.5.34)
KW)
KW)
= Gi (砌
-Gi(o)+G2(«)
= Gi (砌
-Gi(o)+G2(«)
(3.5.34)
(3.5.34)
Приведем теперь решение этой же задачи во временном представлении. Вместо (31) можно написать (см. (3.1.18))
Е0)= i "(8)呂(/ — 9) +多(Z-9)：曲，—со
где Н (9) — функция Грина оптимального фильтра. Вычисляя дисперсию ошибки воспроизведения (32), теперь получим
◎ = fl "(°)"(『)1旦(9 一 0，) + & (8 —『)］成或，一
-00
ОО
-2 \ H^Br ^-t^d^+Bi (0),
—co
откуда
8
6/=2 , 6Я (9)х
—СО
х I f Я (У)［伉(9 一『)+ & (6 —『)］或‘ 一 В］ (6 — 4)| d6.
I—co丿
Из последнего выражения видно, что для обращения в нуль вариаций 5卩2 функция Н (9) должна удовлетворять уравнению
\ Н (9) i& (т — 6)十 ％ (т — 0〃 46 = & (т — %)?(3.5.35)
OQ
называемому уравнением Винера — Хопфа [4]. ' Учитывая, что Я (9) и /Сю, а также Вл (т) и бл (со) связаны преобразованием Фурье, можно убедиться, что (34) формально определяет решение уравнения Винера — Хопфа (35).
Согласно (3.1.16) и (3.1.21)
"®Т j К(3)宀8._0О"®Т j К(3)宀8._0О(3.5.36)(3.5.36)
"®Т j К(3)宀8.
_0О
"®Т j К(3)宀8.
_0О
(3.5.36)
(3.5.36)
Подставляя (34) в (36) и учитывая четность функций Gj (со) и G2 (со), получим
"(6)= "仇+” = ^ f忐寓血)…3 =
—8
=V J Gi 察К)cos мт ds.(3.5.37)
О
Функция Грина оптимального фильтра (37) симметрична относительно момента времени /0:
H(t^x) = H(tQ-x).H(t^x) = H(tQ-x).(3.5.38)(3.5.38)
H(t^x) = H(tQ-x).
H(t^x) = H(tQ-x).
(3.5.38)
(3.5.38)
ричный относительно 9 = /0ричный относительно 9 = /0висимости функции Грнна оптимального фильтра от времени б (см. (38), (39)).висимости функции Грнна оптимального фильтра от времени б (см. (38), (39)).
ричный относительно 9 = /0
ричный относительно 9 = /0
висимости функции Грнна оптимального фильтра от времени б (см. (38), (39)).
висимости функции Грнна оптимального фильтра от времени б (см. (38), (39)).
С другой стороны, для любого физически осуществимого фильтра достаточно выполнения условия временной отсечки (3.1.14), которое в рассматриваемом случае может быть записано в виде
(3.5.39)(3.5.39)Н (/о + т) = О, I т I > /0.
(3.5.39)
(3.5.39)
Выражения (38) и (39) определяют функцию Грина как симмет
импульс произвольной формы с длительностью, не превышающей 2/0 (см. рис. 3.10).
Обратим внимание на то, что функция Грина (37) формально имеет форму корреляционной функции, соответствующей спектральной плотности Gi(3)[Gi(3)+ G2(3)]t(2ji)「т. е.
она уменьшается и стремится к нулю при т->оо, причем можно ввести аналогичный времени корреля
ции параметр т0, характеризующий темп этого убывания. Таким образом, хотя, как правило, функция Грина (37) свойством (39) в чистом виде не обладает, всегда можно обеспечить выполнение (39) с любой наперед заданной точностью, выбрав время задержки достаточно большим (%》&)).
Согласно полученным результатам
F= Г G爲端黑d3V f Gn(«)d« = ^, (1, 2). (3.5.40)
Таким образом, минимальная ошибка восп рои зведен и я (40) не зависит от времени запаздывания /0> а также от того, какой из двух шумов £ и а? мы считаем сигналом, а какой — помехой.
Интенсивность сигнала, помехи и отношение сигнал/шум на выходе оптимального фильтра определяются выражениями
где согласно (34)次(3)卩4爲瑞両『•На входе фильтрагде согласно (34)次(3)卩4爲瑞両『•На входе фильтра壮=\ ® (з) I К («) |2 ds, d = \ & (з) j К (з) |2 dw,(С/Ш)вых = ОГ?/ОГп,
где согласно (34)
次(3)卩4爲瑞両『•
На входе фильтра
где согласно (34)
次(3)卩4爲瑞両『•
На входе фильтра
(c/iu)bx(c/iu)bxо； _ \ G] (о) do磴—j G2 (s) do
(c/iu)bx
(c/iu)bx
Рассмотрим характерные режимы фильтрации.
Сигнал большой, причем спектры Gx (со) и б2 (со) сильно перекрываются. При этом GX^G2 и j ^С (со) |2^ 1, так что
(с/ш)ВЬ1Х ^5(с/ш)вх> 1.
Оптимальный фильтр в этом режиме практически ничего нового не вносит.
Отношение (с/ш)вх имеет произвольную величину, но спектры G] (з) и G2 (со) не перекрываются. Теперь
№(3)个卜 a(3)声0,
I 0, Gz(3)方 0,
так что a?^at Qn^O и
(с/ш)ВЬ1Х> 1.
Оптимальный фильтр в этом режиме работает наиболее эффективно, обеспечивая почти полное подавление помехи, не искажая в то же время сигнала.
Сигнал относительно мал, причем спектры G】(з) и G2 (со) сильно перекрываются. Полагая Gi《G?, получим
酬〜\ G? (з) [Gi (w)/G2 (со)]2 dw,
d 7 Gi («) [Gj (w)/G2 (з)『dw《an.
(с/ш)вых 〜G11G2 〜(c/iu)“ M 1 •
В этом наименее благоприятном случае (как и в наиболее благоприятном случае (1)) любой линейный фильтр бесполезен, поскольку частотная селекция не в состоянии заметно повлиять на отношение сигнал/шум. Выход из этого положения может быть найден, если закодировать сигнал (промодулировав его по известному закону) (см. § 3 гл. 5).
Оптимальные фильтры и корреляторы. Рассмотренные выше методы обнаружения и выделения сигналов особенно эффективны, когда спектры сигнала и шума существенно различаются； именно в этой ситуации оптимальные фильтры обеспечивают минимальные ошибки при обнаружении и выделении сигналов.
俩俩夕伙夕优P0~^~TZ1——夕伙夕优P0~^~TZ1——
俩
俩
夕伙夕优P
0~^~TZ1——
夕伙夕优P
0~^~TZ1——
~£7J
Рис. 3.11. Схема коррелятора.
Однако если различаются спектры, то различаются и корреляционные функции сигнала и шума. Поэтому для обнаружения и выделения сигналов, наряду с оптимальными фильтрами, могут быть предложены и «сопряженные по Фурье» методы — методы, основанные на измерении автокорреляционных и взаимно-корреляционных функций.
Поясним сказанное на двух примерах. Пусть речь идет о рассмотренном на «спектральном» языке в начале этого параграфа обнаружении гармонического сигнала
S (f) = a cos (g)o^+ ф),⑪(ср) = 1/2л,
на фоне стационарного шума; сигнал и шум будем считать независимыми. Пусть суперпозиция сигнала и шума.
т] (f) = S (f) + 自(f) = a cos (з“ + ср) + E (О
подается на коррелятор (рис. 3.11). На выходе коррелятора имеем 斗⑴=5小〉=〈SSJ +〈S&〉+〈S& +〈谋〉・(3.5.41)
При〈S〉=〈E〉= O
〈S£〉=〈S& = 0.(3.5.42)
Согласно (1.3.39) (SSt) = у cos соот и
Bn (t) =y cos wot + B^ (t).(3.5.43)
Если шум E стационарен, то Вь (т)0 при т^> тк. ”
Таким образом, на выходе прибора, измеряющего корреляционную функцию Вл (т), при к》Ек В* (т) ~ у cos соот независимо от отношения сигнал/шум на входе. Это значит, что при больших задержках появляется возможность обнаружения сколь угодно слабого гармонического сигнала на фоне шума (рис. 3.12).
Аналогично (2) — (4), для корреляционного приема можно ввести и формулы, описывающие выигрыш в величине отношения сигнал/шум.
Записывая корреляционную функцию шума в виде Вл (т)= =а2г (т) cos соот (шум с симметричным спектром, расположенным вблизи частоты соо), имеем
(с/т)вх =摄，(с/т)вЫх = ^^ = (с/т)вх 备. (3.5.44)
Согласно (44) (с/ш)вых->-оо при т->-оо. Этот результат, разумеется, совершенно аналогичен следующему из (12) выводу об обращении отношения (с/ш)вь1Х в бесконечность при А(оф->- 0.
Таким образом, с принципиальной точки зрения методы обна
Рис. 3.12. Корреляционные функции гармонического сигнала 8§(т), суперпозиции сигнала и шума 8Tl ⑴ и шума 氏(т).Рис. 3.12. Корреляционные функции гармонического сигнала 8§(т), суперпозиции сигнала и шума 8Tl ⑴ и шума 氏(т).ружения гармонического сигнала на фоне шума с помощью узкополосного фильтра или коррелятора совершенно эквивалентны; выигрыш в отношении сиг
Рис. 3.12. Корреляционные функции гармонического сигнала 8§(т), суперпозиции сигнала и шума 8Tl ⑴ и шума 氏(т).
Рис. 3.12. Корреляционные функции гармонического сигнала 8§(т), суперпозиции сигнала и шума 8Tl ⑴ и шума 氏(т).
нал/шум получается за счет увеличения времени измерения; напомним, что постоянная времени фильтра Тф〜1/Азф.・
Практически же создание коррелятора с большими временами задержки часто оказывается более простым делом, нежели создание очень узкополосного фильтра. Корреляционным при-
емником можно заменить, разумеется, и оптимальный (согласованный) фильтр, предназначенный для оптимального обнаружения
импульсного немонохроматического сигнала.
Решение задачи обнаружения сигнала на фоне шума на «временном» языке фактически содержится в конце § 2 гл. 1 (см. формулу (1.2.60) и рис. 1.3). Переходя в формуле (1.2.60) от суммы к интегралу, заключаем, что вынести решение о наличии или отсутствии сигнала можно, сравнивая значение величины
т
у хВ・ f \ х (8) S (9) de = B*s ⑺(3.5.45)
о
с некоторым порогом.
Величина 8*§(Т) представляет собой функцию взаимной корреляции сигнала и суммы сигнал + шум. При f = T с BxS совпадает интеграл Дюамеля (31.18) вида
g(f) = ,/i(f-д)х (8) de,(3.5.46)
о
описывающий выход фильтра с функцией Грина, равной
/г (9) = 5(7-9).(3.5.47)
Действительно, поскольку
h(t-^ = S(T-t^^.
то
9(f)=\s(T — f + e)x(e)d6О
и у (Т) = Bxs. Функции Грина (47) соответствует коэффициент передачи фильтра
К (со) 2ns* (со) e~iaT9(3.5.48)
где
"з) = * j S(f)eT&fd3 = s* (—з).
В этом легко убедиться прямой подстановкой (48) в (3.1.23):
九(6)= \ s* (со) ei<Si{Q~T} dm= \ s* (—со)©—庙(e_T)dco =
=，s (co) efw (Г -e)d(t)= S (T — 9).
Выражение (48) совпадает с частотной характеристикой оптимального (согласованного) фильтра (22), если в (22) положить а=2л и fo = T. Можно сказать, что корреляционный приемник (см. рис. 1.3), построенный по критерию минимума вероятности ошибки, представляет собой согласованный с сигналом фильтр (22), дополненный порогом обнаружения UQ. Наличие порога позволяет однозначно выносить решение о наличии или отсутствии сигнала.
Таким образом, в рассмотренных задачах обнаружения и выделения слабых сигналов на фоне шумов методы, основанные на фильтрации по спектру, и корреляционные методы эквивалентны.
Следует иметь в виду вместе с тем, что мы рассмотрели здесь лишь простейшие постановки вопроса в статистической теории обнаружения и выделения сигналов на фоне шумов. Читателя, желающего более детально ознакомиться с вопросом, мы отсылаем к руководствам [3—5, 12— 15].
ГЛАВА 4
СЛУЧАЙНЫЕ ВОЛНЫ В ЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ
Введение. Корреляционные функции и спектры
В протяженной среде случайные источники возбуждают волны, амплитуды, частоты, фазы и волновые векторы которых случайны, —случайные волны. Случайные волны возникают и в результате рассеяния регулярных волн в средах с хаотически изменяющимися параметрами.
Каковы свойства случайных волн ), каковы закономерности их распространения, интерференции, дифракции? Эти вопросы важны для радиофизики и в особенности для оптики. Поэтому в настоящей главе большое внимание уделено рассмотрению оптических интерференционных и дифракционных задач, много специальной оптической терминологии. Так, пространственные и временные корреляции случайных волн описываются в терминах давно сложившихся в оптике понятий пространственной и временной когерентности, степени когерентности. В терминах оптики предметом настоящей главы в значительной мере является «линейная оптика частично когерентных волн». Вместе с тем ниже рассматриваются и проблемы, выходящие за пределы традиционной статистической оптики.
Широкий класс статистических задач возникает, в частности, в рентгеновской оптике; используемые в настоящее время источники рентгеновского излучения являются, по существу, источниками широкополосного «рентгеновского шума».
Ниже проанализирована одна из основных для рассматриваемого круга задач — задача о дифракции частично когерентной волны на идеальной трехмерной решетке.
Ряд задач, обсуждаемых в этой главе, можно рассматривать как аналоги задач, изложенных в гл. 3. Поэтому большое место, как и в гл. 3, занимает корреляционно-спектральная теория, однако здесь это корреляционно-спектральная теория случайных полей. Вместе с тем задачи о случайных волнах в распределенных линейных средах оказываются гораздо более сложными, нежели задачи о шумовых колебаниях в линейных системах с сосредоточенными параметрами.
Поэтому, если в гл. 3 приближенные методы, основанные на упрощении исходных уравнений (на использовании так называемых укороченных уравнений, см. § 2 гл. 3), вводились нами скорее из педагогических соображений, то в настоящей главе практически все основные результаты базируются на результатах анализа укороченных уравнений для медленно меняющихся комплексных амплитуд распространяющихся волн. Следует подчеркнуть, что переход к укороченным уравнениям связан не только с чисто вычислительными преимуществами, но имеет и несомненную эвристическую ценность. Оказывается, что ряд на первый взгляд принципиально различных нестационарных задач теории систем с сосредоточенными параметрами и задач о распространении волн описывается, по существу, одними и теми же укороченными уравнениями для комплексных амплитуд； переход от «временной» задачи к «пространственной» связан лишь с заменой независимой переменной. Последнее позволяет установить пространственно-временные аналогии в теории колебательных и волновых систем (см. также гл. 7 и 8).
Интересные пространственно-временные аналогии удается установить и в самой физике волновых явлений; здесь речь идет об аналогии явлений, наблюдающихся в поле волн, модулированных только во времени, с одной стороны, и только в пространстве, с другой (см. § 3 и гл. 8). Общность этих задач, на первый взгляд сильно различающихся, обнаруживается на этапе исследования укороченных уравнений.
Мы не занимаемся в этой главе анализом свойств случайных источников, возбуждающих стохастические волновые процессы; данные на этот счет содержатся в гл. 2 и 7. В оптике источниками гауссовского шума являются, по существу, все нелазерные источники света； часто такие источники оказываются хорошей моделью и для описания излучения многомодовых лазеров с не- синхронизованными модами (см. § 10 гл. 2).
Источник широкополосного гауссовского шума представляет собой, разумеется, и нагретое тело. Следует, однако, иметь в виду, что тепловое излучение нагретых тел имеет ту же природу, что и тепловой шум сопротивлений, рассмотренный в § 4 гл. 3. Тепловое излучение представляет собой электромагнитное поле, создаваемое теми же флуктуациями зарядов и токов, которые ответственны за возникновение теплового найквистовского шума. Поэтому тепловое излучение можно рассматривать и как принципиально неустранимый внутренний шум линейных сред, так же как тепловой шум сопротивлений в гл. 3 рассматривался в качестве внутреннего шума систем с сосредоточенными параметрами.
Именно под таким углом зрения включен в эту главу материал, посвященный тепловому излучению.
Основное внимание в этой главе мы уделим случайным полям специального вида — так называемым квазиплоским, квазигармо- ническим случайным волнам впда
Е = еЛ (х, у, z, f) ехр i (gZ—无о%), (4.1.1)
где Л (х, у, г, /) — комплексная амплитуда, медленно меняющаяся в масштабах среднего периода колебаний Т = 2л/соо и средней длины волны 入()н2л/无°; е — единичный вектор поляризации волны (об описании комплексных случайных функций см. §§ 1, 5 гл. 1). Поскольку для волн в линейных средах, точно так же как и для колебаний в линейных системах с сосредоточенными параметрами (см. гл. 3), справедлив принцип суперпозиции, основным аппаратом этой главы будет корреляционно-спектральная теория. В дальнейшем мы ограничимся рассмотрением полей с пространственно-временной корреляционной функцией
8(n, Z1, /1； r・2, z・2,，2)=〈E(r“ Z1, /1)Е*(г・2, Z2,为)〉，(4.1.2)
(вектор г расположен в плоскости ку), которая распадается на произведение пространственной и временной корреляционных функций：
В = В (『1，Z],「2'之2)В (厶，％2； Z1, 3)
(см. также формулу (1.8.9)).
Для полей с такими когерентными свойствами во многих случаях эффекты временной и пространственной когерентности можно рассматривать по отдельности. Дело в том, что пространci'Beнные масштабы, на которых проявляются эффекты временной и пространственной модуляции, сильно различаются. Поэтому далее мы пользуемся моделью плоской шумовой волны и моделью монохроматического частично когерентного волнового пучка (имеется в виду пучок со случайной поперечной структурой, изменение ноля во времени полагается гармоническим).
Для описания временной статистики рассматриваемых волн мы будем пользоваться моделями случайных процессов, разобранными в гл. 2. При описании п ростр а нстве н ной статистики квази- плоских случайных волн будем рассматривать пространственные корреляционные функции
в (п, Z1,「2, Z2)=〈E(j, Z1，t)E* (г2, Zz, /)〉. (4.1.2а)
В (2а) можно выделить корреляционные функции двух типов (см. § 8 гл. 1). Прежде всего это поперечная пространственная корреляционная функция (именно с этой функцией для волн типа (1) связывается ниже понятие пространственной когерентности) в 丄(П,「2； 2)==8丄(打，Xz, уъ у г，г) = (Д (гь г) А* (г2, г)), (4.1.3)
9 С А Ахманов и др. ' '
которая для статистически однородного случайного поля имеет вид
月丄=8丄(「2 —「i = s； z) = 8丄(s*, J； z) (4.1.4a) и для изотропного поля
月丄=в丄(S； z)・(4.1.46)
Для квазиплоской случайной волны (1) весьма наглядный смысл имеет и определяемая с помощью (4а), (46), зависящая, вообще говоря, от координаты z угловая спектральная плотность, или проао угловой спектр:
G (瓦，福，z)=捻 §,8丄(s*, Sg, z)/(/%+勺Sg) ds* ds，.(4.1.5)
Мы будем называть квазиплоской случайную волну, для которой ширина углового спектра мала:
А 居陶《1, Д^/йо < 1.
Таким образом, волновое поле (1) можно представлять как случайную суперпозицию плоских волн, волновые векторы которых расположены вблизи оси z и составляют с ней малые углы：
% = h』h«《1,力=岛/&о《1.
Поэтому далее мы будем обычно иметь дело с двумя спектральными распредеичениями одновременно: с угловым спектром G 仅)и частотным спектром G (оэ).
Заметим, что если для временной статистики рассматриваемых в этой главе процессов в большинстве случаев хорошо применима модель стационарного процесса, то в подавляющем большинстве практически интересных задач случайное поле волны в плоскости, перпендикулярной направлению распространения, оказывается существенно неоднородным. При этом неоднородность поля волны, как правило, связана с ее пространственной ограниченностью.
В ряде волновых задач, и в частности в задачах о случайных волнах в нелинейных средах (см. гл. 8), наряду с поперечными корреляциями мы будем интересоваться также и продольными корреляциями в случайных волнах:
乌i(z, z + s) = (A{xt у. z) Л*(х, у, z + s)〉・(4.1.6)
Несколько слов о плане предлагаемой главы.
Если говорить об общей классификации проблем, связанных с распространением случайных волн в линейных средах, то здесь можно выделить прежде всего задачи о преобразовании пространственно-временных корреляционных функций (и, соответственно, частотно-угловых спектров) случайных волн в процессе
распространения. К изменению временных корреляционных функций приводит зависящее от частоты поглощение (в этом смысле диспергирующая среда аналогична селективному фильтру, рассмотренному в гл. 3); причиной трансформации пространственных корреляций оказывается дифракция.
В задачах об интерференции и дифракции случайных волн две постановки вопроса представляют особый интерес для статистической радиофизики и оптики. С одной стороны, необходимы ясные представления о том, как изменяется характер интерференционных и дифракционных явлений, когда вместо регулярной волны мы имеем дело со случайными волнами. Этот аспект детально прослеживается в настоящей главе.
С другой стороны, ряд интерференционных и дифракционных схем можно использовать для спектроскопии излучения； временные и пространственные корреляционные функции, определяемые из интерференционных и дифракционных опытов, позволяют с помощью преобразования Фурье рассчитать частотный и угловой спектры волны. Такой метод получил название фурье-спек- троскопии； он широко используется при исследовании частотных спектров в оптике. Перечисленным вопросам посвящены §§ 2, 4—6.
Специальный § 3 посвящен изложению метода медленно меняющихся амплитуд в волновых задачах ).
В §§ 7, 8 речь идет о проблемах иного типа —о рассеянии регулярных волн в средах с хаотически изменяющимися параметрами. Это большая и быстро развивающаяся область статистической радиофизики и оптики. Мы же ограничимся здесь лишь рассмотрением некоторых простейших задач.
Наконец, в § 9 кратко рассмотрены основные характеристики теплового электромагнитного излучения.
Пространственная и временная когерентность.
Методы измерения. Фурье-спектроскопия
Чтобы сделать дальнейшее изложение более наглядным, мы рассмотрим кратко оптические методы экспериментального определения пространственных и временных корреляционных функ
ций, или, в терминах оптики, методы измерения пространственной и временной когерентности световых полей. Исторически
понятие когерентности возникло в оптике в связи с интерпретацией результатов интерференционных опытов. Классические интерференционные опыты Юнга и Майкельсона оказываются прямыми
методами измерения пространственных и временных корреляци
онных функций; распределение средней интенсивности в интер
ференционной картине непосредственно дает корреляционную функцию поля ). Одновременно эти опыты можно рассматривать как схемы» поясняющие физический смысл пространственных и временных корреляционных функций. Обратимся к их рассмотрению.
Измерение пространственной когерентности； поперечные корреляционные функции; интерферометр Юнга. Интерферометр Юнга представляет собой непрозрачный экран, в котором на некотором расстоянии s друг от друга вырезаны два отверстия 戶 1 н 尸2 c диаметрами, гораздо меньшими радиуса корреля
ции 盡 светового поля (рис. 4.1). Пусть на такой экран перпендикулярно падает случайная линейно поляризованная волна, поле которой £ (г, /) будем считать
стационарным и однородным. Волновые пучки, исходящие из отверстий Pi и 尸2, интерферируют на экране Q2» расположенном на некотором расстоянии от экрана Q>
Обозначим комплексное поле в точке Pj через £ (Ру, /), а расстояние между точкой Р} и произвольной точкой Р экрана Q& через lj = Р；Р. Суммарное электрическое поле в гочке Р от двух отверстий равно •
E(R £) = KiE (戶 1, t-J + KzE^z, f-切， (4.2.1)
где tj = If/о — время запаздывания (дисперсией среды пренебрегаем). Коэффициенты передачи Л\ и ^2 являются комплексными величинами, их абсолютные значения зависят от формы и размеров отверстий (см. § 5).
Для средней интенсивности в точке Р получаем
/(Р) = <|Е(Л+
+ KiK$〈E(Pi, t — h)E*(P2, / — %)〉+
+ К*2〈Е*(А, /-幻£(匕，f — %)〉, или
/(Р) = I К112 厶 +1 兄『厶 + 2 I ^1^a |ReB(s, т).(4.2.2)
Здесь В (s, т) — пространственно-временная корреляционная функция (1.8.1):
B(s, т) =〈Е(А, t-t^E^ (Р2,"幻〉，(4.2.3)
勾一匕=工，s — расстояние между точками /\ и Р2 на экране Qx; при этом учтена статистическая стационарность и однородность поля. Если открыто лишь одно из отверстий в экране Q1T то в точке Р интенсивность, очевидно, равна
/] =/1 (戶)=I К1『厶 либо /2 /2 (Р) = I ^2 |2 /2-
Пользуясь этими обозначениями, выражение (2) можно переписать в виде
/(P) = /1 + /2 + 2V7J2ReV(s, т),
(4.2.4) y(s, t)=8(s, t)/(/\/2)i/2,
где у (s, т) — комплексная степень когерентности (1.8.38).
Для электромагнитного поля вида (4.1.1) корреляционная функция (3) равна
В (s, т) == (А (г, /)%*(「+ §, /4-т)) expi(—(оот) = В± (s, T)^ iW»x.
Следовательно,
Y(s，t) = ；Y(s, T)!expi[a (s,工)一①用，(4.2.5)
где
a(s, t) = a「gB 丄(s, t).
Таким образом, выражение (4) принимает вид
/ (尸)n/i + /2 + 2K7J^Y(s, r)|cos [a (s, t)-6]. (4.2.6) Параметры т и 6 равны
=»6 =(0展==貧(厶一k),
Ao — средняя длина волны. При т < 工长 зависимость от т в (6) входит только через 6, так что максимальные и минимальные
значения интенсивности на экране Q2 (рис. 4.2丿 определяются выражением-
/т；х = /] + А 士 2 j/^厶厶 i Y (s) I，(4.2.7)
Контраст интерференционной картины, следуя Майкельсону, обычно характеризуют величиной
max min,.八
。=7—-(4.2.8)
max < mln
которую называют видностью. В соответствии с (7) для видности в окрестности точки Р имеем
о (Р) = 4Sv IY ⑻ 1 = 2 {(£厂 + (£广}一 IУ (s) I. (4.2.9)
Если интенсивности интерферирующих пучков одинаковы (/х = /2), то значение (9) максимально и
(s)|
u = lY ⑹丨=(4.2.10)
т. е. в^ность интерференционной картины просто равна степени пространственной когерентности. В общем случае видность (8) дает
Рис, 4.2. Распределение интенсивности в интерференционной картине для различных вндностеЙ @〜6〜t).Рис, 4.2. Распределение интенсивности в интерференционной картине для различных вндностеЙ @〜6〜t).Рнс. 4.3. Пространственные корреляционные функции излучения лазеров, измеренные с помощью интерферометра Юнга [38].Рнс. 4.3. Пространственные корреляционные функции излучения лазеров, измеренные с помощью интерферометра Юнга [38].
Рис, 4.2. Распределение интенсивности в интерференционной картине для различных вндностеЙ @〜6〜t).
Рис, 4.2. Распределение интенсивности в интерференционной картине для различных вндностеЙ @〜6〜t).
Рнс. 4.3. Пространственные корреляционные функции излучения лазеров, измеренные с помощью интерферометра Юнга [38].
Рнс. 4.3. Пространственные корреляционные функции излучения лазеров, измеренные с помощью интерферометра Юнга [38].
Кривые /—6 относятся к разным лазерам (s — расстояние между отверстиями интерферометра, 2а —днаметр лазерного пучка).
информацию о степени пространственно-временной когерентности. Если время задержки т 〜тк, то максимумы на рис. 4.2 будут иметь различную величину, т. е. видность будет зависеть от т:
〃 = u(t)=Hy(s, т)|.〃 = u(t)=Hy(s, т)|.(4.2.11)(4.2.11)
〃 = u(t)=Hy(s, т)|.
〃 = u(t)=Hy(s, т)|.
(4.2.11)
(4.2.11)
Таким образом, если временная задержка меньше времени корреляции (т《Тк)， то интерферометр Юнга позволяет определить поперечную корреляционную функцию (4.1.3). Примеры поперечных функций для лазерного поля, измеренных с помощью интерферометра Юнга, приведены на рис. 4.3.
Если мы хотим измерить не искаженную пространственной статистикой временную корреляционную функцию поля, следует
Рис, 4.4. Схема интерферометра Майкель- сона (а) и изменение интерференциоииого сигнала на экране Q (6).Рис, 4.4. Схема интерферометра Майкель- сона (а) и изменение интерференциоииого сигнала на экране Q (6).обратиться к другой интерференционной схеме—— интерферометру Майкель- сона.
Рис, 4.4. Схема интерферометра Майкель- сона (а) и изменение интерференциоииого сигнала на экране Q (6).
Рис, 4.4. Схема интерферометра Майкель- сона (а) и изменение интерференциоииого сигнала на экране Q (6).
Измерение временной когерен тн ости; ин терферо- метр Майкельсона. Понятие временной когерентности прямо связано с интерференционным экспериментом, схема которого изображена на рис.
4.4. Волна падает на наклонную полупрозрачную пластинку /7 интерферометра Майкельсона, формирующую два пучка. Эти пучки отражаются от зеркал 3】и 32. Затем один из них, пройдя через пластинку /7, а другой, отразившись от нее, поступают на экран Q, где интерферируют. В плоскости экрана расположен детектор, измерчюкшй интенсивность (например, фотодетектор, величина тока которого пропорциональна средней интенсивности).
Если напряженности электрических полей пучков Е± и £2, то поле на экране Q равно
Е (г,介= £\(r, % — ^i)^2(r> / — %), (4,2,12) где tj — 2/у/с, /у — расстояние от зеркала Зу до пластинки /7. Выражение (12) аналогично (1). Поэтому расчеты, подобные выполненным выше, приводят к выражению для средней интенсивности
/ = /1 + А + 2 у/ iy f21 у (т): cos [ос (т) 一 9()т], (4.2.13)
которое сходно с (6) (т = % —
Таким образом, изменяя временную задержку в схеме интерферометра Майкельсона от т = 0 до т->оо, из графика распределения средней интенсивности в интерференционной картине (интерферограмме) можно непосредственно определить временную корреляционную функцию светового поля.
Как и для интерферометра Юнга, для интерферометра Майкельсона можно ввести понятие видности интерференционной картины. В данном случае им удобно пользоваться, если волна квазимонохроматическая, As/g)o<1; для такой волны, используя (8), для видности интерференционной картины в ин терфер о-
метре Майкельсона вблизи заданного значения т при /х = /2 имеем
0=力⑴ I0=力⑴ IРис. 4.5. Временные корреляцлонные функции излучения инжекционного лазера для различных токов накачкн [37]:G'i」％op；⑴ Л/ор 区 ор_Пор。. ГОВЫЙ ток).Рис. 4.5. Временные корреляцлонные функции излучения инжекционного лазера для различных токов накачкн [37]:G'i」％op；⑴ Л/ор 区 ор_Пор。. ГОВЫЙ ток).корреляционные функции лазерного излучения, измеренные интерферометром Майкельсона.Схемы интерферометров; деление амплитуды и деление волнового фронта. Кроме интерферометров Юнга и Майкельсона существует большое число и других схем, используемых для измерения временной и пространственной когерентности оптических полей. Все многообразие интерферометров базируется на двух методах [1]: методе деления амплитуды и методе деления волнового фронта. В методе деления амплитуды исходный пучок делится на частично отражающих или частично пропускающих оптических элементах. В методе деления волнового фронта пучок, проходя через отверстия, делится на несколько пучков.Согласно такой классификации интерферометр Юнга — это интерферометр с делением фронта, интерферометр Майкельсона —интерферометр с делением амплитуды. Очевидно, интерфе-корреляционные функции лазерного излучения, измеренные интерферометром Майкельсона.Схемы интерферометров; деление амплитуды и деление волнового фронта. Кроме интерферометров Юнга и Майкельсона существует большое число и других схем, используемых для измерения временной и пространственной когерентности оптических полей. Все многообразие интерферометров базируется на двух методах [1]: методе деления амплитуды и методе деления волнового фронта. В методе деления амплитуды исходный пучок делится на частично отражающих или частично пропускающих оптических элементах. В методе деления волнового фронта пучок, проходя через отверстия, делится на несколько пучков.Согласно такой классификации интерферометр Юнга — это интерферометр с делением фронта, интерферометр Майкельсона —интерферометр с делением амплитуды. Очевидно, интерфе-большей светосилой, чем схемабольшей светосилой, чем схемарометр Майкельсона обладает Юнга.рометр Майкельсона обладает Юнга.Рассмотрим еще один — сравнительно новый — тип интерферометра, который используется для измерения поперечных корреляционных функций и базируется на методе деления амплитуды.Рассмотрим еще один — сравнительно новый — тип интерферометра, который используется для измерения поперечных корреляционных функций и базируется на методе деления амплитуды.(4.2.14)
0=力⑴ I
0=力⑴ I
Рис. 4.5. Временные корреляцлонные функции излучения инжекционного лазера для различных токов накачкн [37]:
G'i」％op；⑴ Л/ор 区 ор_Пор。. ГОВЫЙ ток).
Рис. 4.5. Временные корреляцлонные функции излучения инжекционного лазера для различных токов накачкн [37]:
G'i」％op；⑴ Л/ор 区 ор_Пор。. ГОВЫЙ ток).
корреляционные функции лазерного излучения, измеренные интерферометром Майкельсона.
Схемы интерферометров; деление амплитуды и деление волнового фронта. Кроме интерферометров Юнга и Майкельсона существует большое число и других схем, используемых для измерения временной и пространственной когерентности оптических полей. Все многообразие интерферометров базируется на двух методах [1]: методе деления амплитуды и методе деления волнового фронта. В методе деления амплитуды исходный пучок делится на частично отражающих или частично пропускающих оптических элементах. В методе деления волнового фронта пучок, проходя через отверстия, делится на несколько пучков.
Согласно такой классификации интерферометр Юнга — это интерферометр с делением фронта, интерферометр Майкельсона —интерферометр с делением амплитуды. Очевидно, интерфе-
корреляционные функции лазерного излучения, измеренные интерферометром Майкельсона.
Схемы интерферометров; деление амплитуды и деление волнового фронта. Кроме интерферометров Юнга и Майкельсона существует большое число и других схем, используемых для измерения временной и пространственной когерентности оптических полей. Все многообразие интерферометров базируется на двух методах [1]: методе деления амплитуды и методе деления волнового фронта. В методе деления амплитуды исходный пучок делится на частично отражающих или частично пропускающих оптических элементах. В методе деления волнового фронта пучок, проходя через отверстия, делится на несколько пучков.
Согласно такой классификации интерферометр Юнга — это интерферометр с делением фронта, интерферометр Майкельсона —интерферометр с делением амплитуды. Очевидно, интерфе-
большей светосилой, чем схема
большей светосилой, чем схема
рометр Майкельсона обладает Юнга.
рометр Майкельсона обладает Юнга.
Рассмотрим еще один — сравнительно новый — тип интерферометра, который используется для измерения поперечных корреляционных функций и базируется на методе деления амплитуды.
Рассмотрим еще один — сравнительно новый — тип интерферометра, который используется для измерения поперечных корреляционных функций и базируется на методе деления амплитуды.
Поляризационный интерферометр. 11оляризационны/( интерферометр (рнс. 4.6) обладает высоким пространственным разрешением и пригоден для регистрации малых изменений степени пространственной когерентности !у($)| (см. [39]). Предельное разрешение (минимальный измеряемый радиус корреляции) пэлярнзационного интерферометра обусловлено дифракцией и может достигать порядка 10 мкм. Заметим, что в схеме Юнга разрешающая способность ограничена размерами отверстий.
Для того чтобы измерить поперечную пространственную корреляционную функцию светового пучка, надо получить интерференционную картину от различных участков его поперечного сечення. В поляризационном интерферометре для этого используется расщепление исследуемого пучка в двулучепреломляю- шен пластине на два сдвинутых относительно друг друга параллельных пучка; величину сдвига можно плавно менять, что позволяет измерить значения поперечной корреляционной функции при различных значениях разности координат в поперечном сеченни.
Рнс. 4.6. Схемы поляризационных интерферометров [39]:
у — поляризатор, 2 —— кювета с иммерсионной жидкостью, 3 и 5 — двулучепреломляющие пластины, ^ —•четвертьволновая пластина, 5—анализатор, 7 —диафрагма, 3 — фоторегистрирующее устройство- При измерении пространственной корреляционной функции интенсивности вместо анализатора ставится нелинейный кристалл, в котором происходит удвоение частоты света.
В описываемом интерферометре исследуемый световой пучок, пройдя через поляризатор, попадает на плоскопараллельную двулучепреломляющую пластину. Оптическая ось пластины, вокруг которой она поворачивается, ориентирована перпендикулярно плоскости чертежа и образует некоторый угол О (〜45°) с направлением поляризации падающего пучка. В пластине исходный пучок делится на два пучка с взаимно перпендикулярными поляризациями —— обыкновенный (о) и необыкновенный (е). На выходе пластины электрическое поле равно
Е(г, Г, z) = Eo(r, 6 z) + Ee (r + s, f —% z),(4.2.15)
где E°. e(r, f, 2) — поле соответствующего пучка, причем ось z совпадает с направлением распространения исходного пучка.
Относительное смешение s образующихся пучков и приобретаемая временная задержка т зависят от толщины пластины, показателей преломления для обыкновеннон и необыкновенной волн (по и ие) и угла падения пучка на пластину Пластина помещается в иммерсионную жидкость с показателем ггре- ломлення п；, равным, например, пе. Испытав различные смещения в пластине, пучки проходят через анализатор, скрещенный с поляризатором.
На выходе анализатора оба пучка поляризованы одинаково и могут интер. ^)ерировать; суммарное электрическое поле имеет вид
£' (г, t, г) = д|Е(『，f, z) + E(『+s, £—储 z)].(4-2.16)
Здесь 七(r, f, z) — поле исходного пучка, коэффициент g=0,5sin28 учитывает изменение амплитуды пучков при проходе через анализатор.
Выражение (16) аналогично по структуре выражениям (1) и (12). С,зедо- вн【ссьпо, в области перекрытия пучков регистрируемая средняя иптенслвноаl
(Г (г, f, z)) = (I Е" (г, f> z)卩〉содержит сведения о пространственно-временной корреляционной функции случайного поля
В (г, r4-s, т; г) = (£" (г, f, z)£*(「+ s, / — т, z)).(4.2.17а)
Рис. 4.7. Нормированная пространственная корреляционная функция квазитсплового источника [39].Рис. 4.7. Нормированная пространственная корреляционная функция квазитсплового источника [39].Временную задержку т можно полностью компенсировать, используя четвертьволновую пластину, поворачивающую поляризацию на угол л/2, и пластину 5, аналогичную пластине 3, но вращающуюся в противоположном направлении (рис. 4.6, 6). Тип поляризации волны во второй пластине меняется, и относительное смещение s претерпевает уже другой пучок. При помощи такой схемы можно измерить пространственную корреляционную функцию вида В丄(「+ & г —s, 0; z)= =〈E(r-s, f, z) f* (r + s,九 z)〉，(4.2.176)
Рис. 4.7. Нормированная пространственная корреляционная функция квазитсплового источника [39].
Рис. 4.7. Нормированная пространственная корреляционная функция квазитсплового источника [39].
e. исследовать пространственную когерентность пучков с широким частотным спектром.
Кривые соответствуют разным угло-вым размерам 0О источника; /)3,6-10-»： 2) 4,4- Ю~3； 3) 5,2-10-»; 4)9,8-10~8. Квазитепловой источникпредставляет собой когерентное из-лучение, рассеянное вращающимсяматовым диском (см. § 8).Кривые соответствуют разным угло-вым размерам 0О источника; /)3,6-10-»： 2) 4,4- Ю~3； 3) 5,2-10-»; 4)9,8-10~8. Квазитепловой источникпредставляет собой когерентное из-лучение, рассеянное вращающимсяматовым диском (см. § 8).Следует еще отметить, что подстройку на максимум и минимум интерференции (величины /') можно производить небольшим поворотом пластины 3. При расположении фоторегистрирующего устройства в точке г = 0 согласно (17а) и (176) измеряются степени пространственной когерентности следующего вида:
Кривые соответствуют разным угло-вым размерам 0О источника; /)3,6-10-»： 2) 4,4- Ю~3； 3) 5,2-10-»; 4)9,8-10~8. Квазитепловой источникпредставляет собой когерентное из-лучение, рассеянное вращающимсяматовым диском (см. § 8).
Кривые соответствуют разным угло-вым размерам 0О источника; /)3,6-10-»： 2) 4,4- Ю~3； 3) 5,2-10-»; 4)9,8-10~8. Квазитепловой источникпредставляет собой когерентное из-лучение, рассеянное вращающимсяматовым диском (см. § 8).
〔Y(0,s, 0; z);,y(s,—s,O;z) . (4.2.18а, б)
Вращение двулучепреломляющих пластин позволяет легко измерить функции (18) в зависимости от s. Следует заметить, что в
схеме Юнга для этих целей необходимо иметь набор экранов с отверстиями. На рис. 4.7 показаны пространственные корреляционные функции квазитепло- вого источника, измеренные с помощью поляризационного интерферометра.
Фурье-спектроскопия. Поскольку вид интерференционной картины, как показано выше, полностью определяется корреляционной функцией поля, в силу теоремы Винера — Хинчина, пользуясь интерферограммой, можно найти спектральную плотность излучения. Такую методику называют фурье-спектроскопией [56].
Покажем это для общего случая. Возьмем преобразование Фурье от интерферограммы (13), которое, однако, запишем в виде (4), пригодном для излучения с произвольным спектром. Тогда имеем
壺 j /⑺ e-^dx =(厶 + /а) 6 (з) + G (з).
Сведения о спектре излучения содержатся во втором слагаемом,
+ со
G(3)=击(/“2产 J R ⑴(4.2.19)
где Rfr) = %［丫(幻 + y* ⑼一нормированная временная корреляционная функция действительного поля, равного % (Е + Е*)・ В случае четной функции R (т)
G (з) = ! (/“2)i/2 j R (т) cos сот dr.о
Для измерения R (т) можно использовать, напрнмер, интерферометр Майкельсона. Таким образом, фурье-спектрометр состоит
Рис. 4.8, Интерферограммы и соответствующие им с；1сктры.
из интерферометра с изменяемой временной задержкой т и устройства, вычисляющего интеграл (19). Примеры интерферограмм и соответствующие им спектры изображены на рис. 4.8.
В реальном эксперименте частотный спектр G (со) (19) может быть восстановлен, разумеется, лишь с определенной точностью.
Последнее связано с тем, что в реальном интерферометре максимальное время задержки т ограничено. Поэтому измеряемый спектр GH3M((o)y=G((o).
Предположим, что корреляционная функция R (т) измеряется на конечном временном интервале (— 7\ Г). Следовательно, в этом случае выражение (19) нужно записать как
6“)=支般 J R(T)ei.
Эту формулу можно представить в виде
+ 8
(4.2.20)(4.2.20)GhsmW)^1^ J 口⑴ R(T)/3dT,
(4.2.20)
(4.2.20)
где П (т) — прямоугольная функция:
—(1, JT£工vT,10, т V —Т, т>Т・
Подставляя в (20) фурье-преобразование, обратное (19), получаем
+ 8
Gh3“W)=，M(co-Q)G(Q)dQ,(4.2.21)
где М (со) — аппаратная функция:
八= 2； X 口⑴小‘次=^瞎■
Функция Л4 (со — со。) представляет собой отклик измерительной системы на монохроматическую волну (G (Q) = 6 (w0 — Q)j. Если исходить из критерия разрешения Рэлея (две линии(ot “ а% разрешены, когда максимум спектра одной приходится па нулевое значение другой), то согласно (21)можно разрешить линии, разделенные частотным интервалом
До)= л/Т или Д/ = 1/2Т.(4.2.22)
Практически можно реализовать Т = 2 (/2 — l^/с ^ 10~8 с и, следовательно, иметь разрешение по частоте \f ^ 108 Гц. Разрешающая способность фурье-спектрометра равна
入/А 入=2c77 入= 4(/2-l^/K(4.2.23)
г. е. пропорциональна максимальной разности хода. В видимом диапазоне 入/А入〜Ю7.
Поперечная корреляционная функция и угловой спектр частично когерентного ограниченного светового пучка. Точно так же, как результаты измерения временных корреляционных функций
используются в фурье-спектроскопии для определения частотных спектров, данные о пространственных корреляциях могут быть, вообще говоря, использованы для определения угловых спектров, т. е. угловой расходимости волны. Следует, однако, отметитьт что здесь ситуация оказывается более сложной. Дело в том, что, если модель стационарного случайного процесса хорошо описывает излучение многих источников света, случайные поля реальных световых пучков часто существенно отличаются от модели однородного случайного поля — пространственного аналога стационарного процесса. Угловые спектры реальных световых пучков определяются не только радиусом поперечной корреляции, но и геометрическими параметрами пучка, в частности распределением средней интенсивности в его поперечном сечении. Этот вопрос имеет большое значение для лазерной оптики; остановимся на нем подробнее. Итак, рассмотрим угловой спектр, соответствующий поперечной корреляционной функции неоднородного случайного поля.
Для фиксированной продольной координаты г поперечная корреляционная функция поля (1.8.28)
в丄(门，「2； z) =〈/(「］, z, о А* (г2, г, f)〉，(4.2.24)
или. в координатах г = г1~г2т R = (「i +「2)/2,
Si (rIt г2; z) = 8(「，R; 2),(4.2.25)
Фурье-спектр комплексной амплитуды Л (г, г) монохроматического поля равен
+ а
=^jr，/ (г, 2)М"Г2r佃*三左4 Xy^ky). (4.2.26)
Следовательно, угловой спектр статистически неоднородного случайного поля определяется выражением
G(x, г) = <|Дх(г)|2> =
+ 8 ■
=詰心⑷ j z) Z* 伯，^^'-^^d^.
Учитывая (24) и (25), имеем
G (к，z) = £ f 弋 8丄(r, R; z) e'xr d«r d^R.(4.2.27丿
Спектр (27) можно интерпретировать как спектр статистически однородного поля (1.8.19) с корреляционной функцией
ВТН (г;=В丄(г, R; г) d^R, (4.2.28а)
-gО+ 8
G (% z)=部 j ВТ (г; z) е'хг /，.(4.2.286)
Заметим, что для поперечной корреляционной функции, не зависящей от R, выражение (28а) дает бесконечное значение,
Рис. 4.9. Приведенная полуширина углового спектра А$ = А8/А% (Абд = =2/々а) ч астично когерентного светового пучка в зависимости от радиуса корреляции гк.Рис. 4.9. Приведенная полуширина углового спектра А$ = А8/А% (Абд = =2/々а) ч астично когерентного светового пучка в зависимости от радиуса корреляции гк.что связано в этом случае с однорвдностью поля (см. (1.8.5)).
Рис. 4.9. Приведенная полуширина углового спектра А$ = А8/А% (Абд = =2/々а) ч астично когерентного светового пучка в зависимости от радиуса корреляции гк.
Рис. 4.9. Приведенная полуширина углового спектра А$ = А8/А% (Абд = =2/々а) ч астично когерентного светового пучка в зависимости от радиуса корреляции гк.
Если рассматриваемое поле статистически изотропно, то для него можно воспользоваться соотношениями (1.8.25) для безграничной случайной волны. В частности,
G(X, 2)= (2л)Т \ 5丿0(Х6) В?"(5； 2)ds.
(4.2.29)
Для поля с узким угловым спектром х =自 sin 6 а 丸об (6 — угол между 乂 и к0). и, следовательно, угловой спектр поля
G (^06, z) = (2ji)t \ “о 他戸8) В?"(£； г) ds.
о
(4.2.30)
Преобразование, обратное (30), дается выражением (1.8.24).
В заключение рассмотрим, как изменяется угловой ' спектр пучка с изменением радиуса корреляции гк при постоянном радиусе пучка а. В качестве примера возьмем пучок с корреляционной функцией вида
8丄(「2, n； z) = /()exp{—^J^ — ^^}, или, в координатах г, R,
В丄(「， R; г) = /оехр{- -~^-},
где
(4.2.31а)(4.2.316)(4.2.31а)(4.2.316)(4.2.32)(4.2.32)гЭфф = Гк' + 〃Т/2.
(4.2.31а)
(4.2.316)
(4.2.31а)
(4.2.316)
(4.2.32)
(4.2.32)
В соответствии с (31) для (27) получаем
(4.2.33)(4.2.33)•空“н(「； 2)= ^Л,ехр{—£},
(4.2.33)
(4.2.33)
G(8; z) = ^exp{—例皿叫.
Согласно (33) полуширина углового спектра по уровню「
АвАв(4234)(4234)2/ 2 \1/2「2a2]1/2
Ав
Ав
(4234)
(4234)
R 方8фф =[黑炉 J I +%1
Изменение Аб в зависимости от радиуса корреляции гк изображено на рис. 4.9. Уменьшение значения гк приводит к сильному расширению углового спектра. При гк^а
(4.2.35)(4.2.35)А8 = 2/к,
(4.2.35)
(4.2.35)
т. е. угловой спектр пучка определяется исключительно значением радиуса корреляции. Если 〃> % Д9 = 2 (te)-1.
§ 3. Метод медленно меняющихся амплитуд в теории распространения волн. Укороченные уравнения
Для описания процесса распространения квазиплоских и квазимонохроматических волн можно использовать приближенные уравнения, получаемые из уравнений Максвелла:
rot Е = — — н, div D =0, /d(431)
г"Н=；嘗， divH=0,
D = E +4np.
В случае линейных сред уравнения (1) также линейны и для их решений выполняется принцип суперпозиции. Поэтому, хотя реальные поля, разумеется, всегда вещественны, при рассмотрении волн в линейных средах удобно использовать комплексную запись поля в виде (4.1.1) (подобно тому, как это делалось при рассмотрении колебаний в линейной системе с сосредоточенными параметрами — см. (3.1.5—8)).
В пренебрежении пространственной дисперсией поляризация п поле в случае линейной среды связаны соотношением
， P(r, t)=^ H(t', r)E(f—f', г) dt',(4.3.2)
о
аналогичным интегралу Дюамеля (3.1.18), где Н — тензор линей-
ной восприимчивости. Из (1) и (2) следует интегро-дифференциальное уравнение для напряженности поля：
g2 rot rot e + 要 + 4Л寫=0.(4.3.3)
Анализ задач о распространении случайных волн в линейной среде требует решения уравнения (3) со случайными краевыми условиями. В такой постановке аналитические результаты удается получить лишь в сравнительно простых случаях, поэтому большое значение, даже для линейных задач, приобретает разработка приближенных методов, базирующихся на упрощении исходных уравнений.
Ниже излагается один из наиболее эффективных приближенных методов упрощения волновых уравнений — метод медленно меняющихся амплитуд. Этот метод широко используется в линейной и нелинейной теории колебаний; в гл. 3 мы использовали его для рассмотрения шумовых колебаний в контуре. В физике волновых процессов метод медленно меняющихся амплитуд впервые был применен Леонтовичем в задачах распространения радиоволн [2] (метод параболического уравнения). Для решения линейных и нелинейных волновых задач метод медленно меняющихся амплитуд детально разработал Хохлов [4]. Подробное изложение этого метода можно найти в книге [3]; в [5] параболическое уравнение выведено для оптически анизотропных сред. В работе |8] параболическое уравнение использовано для описания распространения волновых пакетов в диспергирующих средах.
В теории волн, как и в теории колебаний, в основе метода медленно меняющихся амплитуд лежит естественное для волн типа (4.1.1) предположение о том, что комплексная амплитуда 4 волны изменяется медленно в масштабе средней длины волны л и среднего периода колебаний Т, т. е. | \АК | ^ | Л | и 'A/丁 卜: Л I，Условие медленности позволяет записать для амплитуды Л вместо (3) дифференциальное уравнение и одновременно понизить его порядок.
В довольно общем случае вместо интегро-дифференциального уравнения (3) удается записать дифференциальное уравнение параболического типа.
Проведем вывод приближенных уравнений *) для двух типов модулированных волн: для плоских квазимонохроматических волн и для квазиплоских монохроматических волн.
Плоские шумовые волны; первое и второе приближения теории дисперсии. Рассмотрим сначала распространение плоских квази- монохроматических волн в однородных линейных изотропных средах (восприимчивость ——скаляр, Н ~^Н (t)). Решение уравнения (3) в данном случае ищем в виде
'Е (г, /) = еД (г, ^您侬就一丸?}(4.3.4)
Направление г совпадает с вектором к0.
Существенным моментом при получении уравнения для амплитуды 4 является вычисление линейной поляризации среды (2):
P(z, t) = \ H(t')E(t-f,г)dt'=
О
=，〃(f')eZ(z,(4.3.5)
0
Используя условие медленности изменения амплитуды квазимоно- хрематической волны (| АЛГ| <<| Л |), разложим Д (z, / — f) в ряд Тейлора по аргументу Г:
л(Z, 1-П = А(г, 0+2 (-ОЛ^Ц^,(4.3.6)
и подставим ) в (5):
Р (%, 0 =
=е х (о) Л (г, 0+2 D 喙墻1 霊 川…+ к.с., (4.3.7)
ОО
где х (со) = ^ Н (f) е-^е df — восприимчивость среды на частоте со. о
В первом приближении при слабой дисперсии из (7) имеем
P(z, f)=e|x(8)若一嚼芻卜а“).(4.3.8)
Подставим (4) в (3), принимая во внимание (8). Для производной от поляризации получим
窮=е {— d”4 + 庙嚼* + й®х 符 d(35.(4.3.9)
Для других производных получаем точные выражения：
翳=е [ — 3乂 + ,・2з 粤 + 驚]d ⑷宀，(4.3.10а)
rot rotE= —AE = e[feM + i2k~ - ^^^-^.(4.3.106)
В нулевом приближении после подстановки (9) и (10) в (3) имеем дисперсионное соотношение:
со2 (1 4- 4лх (со)) — fe2c2 = 0, или сои (ш) = fee, (4.3.11) которое дает связь между волновым числом k и частотой со; n (со) = (1 -|-4лх (ш))1/2 — показатель преломления среды.
Если в уравнении (3) сохранить только первые производные амплитуды, то получим
打(4312)
где а — групповая скорость волны:
“=(為(4.3.13)
Общим решением уравнения (12) является
4(2, t) = AQ(t-z/u)t(4.3.14)
где вид функции До (/) определяется условиями на границе среды. Характер приближения, которому соответствует уравнение (12), легко выявить, если подставить 4 в виде
4 = exp t (Q/ —衣).(4.3.15)
Добавка q к волновому числу равна
а само волновое число на частоте (o' =(o + Q равно
丸(со + Q) = & (со) + q = & (со) + Q/〃.(4.3.16)
Таким образом, уравнение (12) справедливо в той области, где дисперсию среды можно считать линейной. Это соответствует первому приближению теории дисперсии.
Для монохроматических волн Д = 4 (г) уравнение (12) дает d4/dz = 0; Л = const. Последнее есть следствие того, что восприимчивость среды х (со) мы считали действительной величиной, т. е. фактически пренебрегали потерями. С учетом потерь среды амплитуда изменяется.
Принимая во внимание потери среды а (со), ее восприимчивость следует уже записывать в комплексном виде как х (со)—— —га(ш)/(о. Тогда, пользуясь (9), (10), для комплексной амплитуды монохроматической волны получим уравнение
^+а4 = 0,(4.3.17а)
где а = a)a((o)/2ft. Если речь идет о распространении квазимоно- хроматических волн в диспергирующей среде с потерями, то
в пренебрежении частотной зависимостью потерь получим, что дисперсионные и диссипативные члены в упрощенное уравнение входят аддитивно. Таким образом, для комплексной амплитуда имеем (ср. с (12) и (17а))
^ + 4"*+а“=0. (4.3.176)
Уравнение (17а) позволяет установить весьма плодотворную пространственно-временную аналогию в теории колебаний и волн. Действительно, уравнение (17а) аналогично уравнению, описывающему затухание свободных колебаний в колебательном контуре (см. (3.2.27)). Таким образом, временной колебательной задаче можно сопоставить волновую пространственную задачу-аналог. Независимой переменной f в пространственной задаче соответствует координата z, частоте (о — волновое число &, начальным условиям — краевые условия. Этой аналогией мы воспользуемся в гл. 8.
В тех случаях, когда линейной аппроксимации дисперсионного уравнения недостаточно, следует учесть старшие производные в разложении поляризации. Во втором приближении для поляризации (7) имеем
p/0) _ егх Д _ i
Вторая производная /р/。* равна
+ 4■嘉(*)端｝*3е.(4.3.18)
Подстановка в (3) выражения (18) и остальных производных из (10) приводит к следующему уравнению для комплексной амплитуды А
(4.3.19)(4.3.19)I d^k д-А \ I • 1 р2Л 1 д^АЛ _歹可丽)十Г ¥L^z? 一◎敬J =
(4.3.19)
(4.3.19)
Здесь полагаем потери а = 0. При выводе уравнения (19) применены те же операции, что и при получении (12). Уравнение (19) является точным в отношении учета изменения амплитуды А в пространстве, но приближенным в отношении учета дисперсионных свойств среды.
В рамках р ассматри ваемого приближения уравнение (19) можно упростить. Покажем, что член в квадратных скобках имеет более высокий порядок малости. В самом деле,
/£1。2,4 _/а\ д\! д . 1 л •
万豆一^ g = 1& -"开八方十方亓丿，~
2%隱(432。).
Пусть первые производные имеют порядок 卩 (卩《1), тогда второй сомножитель согласно (12) с точностью до ц2 равен нулю. Отсюда следует, что выражение (20) имеет по крайней мере порядок 卩з Поэтому уравнение (19) с точностью до ц3 можно записать как
дА . \ дА . 1 ^Л п .л q 01 х 冇+ —2 g而(4・3・21)
где параметр g = ^ =而伍)характеризует дисперсию групповой скорости.
К уравнению (21) можно прийти и более наглядным путем. В отличие от решения (14) уравнения (12), решение (19) зависит как от г, так и от t — ”u: Л (г, / —г/u), т. е. при учете дисперсии среды во втором приближении форма квазимонохрематической волны не сохраняется. Перейдем к системе координат
С ^^ 2， Л = ^ — Zfll^С ^^ 2， Л = ^ — Zfll^(4.3.22)(4.3.22)
С ^^ 2， Л = ^ — Zfll^
С ^^ 2， Л = ^ — Zfll^
(4.3.22)
(4.3.22)
связанной с распространяющейся волной, и будем полагать, что зависимость амплитуды Л от переменной 叶 является более быстрой (происходит переход через границу волнового пакета), нежели от переменной f
А = А^ л). (4.3.23)
Тогда, сохраняя в (19) члены одного порядка, приходим к параболическому уравнению:
дА泥一дА泥一2 5@Т|22 5@Т|2(4.3.24)(4.3.24)
дА
泥一
дА
泥一
2 5@Т|2
2 5@Т|2
(4.3.24)
(4.3.24)
Уравнения (24) и (21), в отличие от (19), приближенны в смысле учета как пространственных, так и временных производных.
Подставляя (15) в (21), найдем, что во втором приближении дисперсионные свойства среды аппроксимируются квадратичной зависимостью,
G (s + Q) = & (з) + 薦 Q +Т爲 Q2.(4.3.25)
Напомним, что уравнение (21) относится, к изотропной среде. Для анизотропной среды это уравнение принимает вид
[е [ке]]卜 А + s 羽—X g黎)=0. (4.3.26)
Здесь s = 5k/d(o — лучевой вектор (вектор направления потока энергии), |s| = 1/〃，g = ds/d(o. Вектор [е[ke]] коллинеарен вектору s; следовательно, уравнения (26) и (21) характеризуют пространственные изменения комплексной амплитуды А вдоль лучевых векторов.
Изложенным выше способом можно получить уравнения и в более высоком приближении. Однако с увеличением точности получаемое уравнение для комплексной амплитуды А усложняется.
Волновые пучки; учет дифракции; однородные и неоднородные среды. Здесь решение (3) следует искать в виде
Е = еЛ (х,弘 2)е，｛м-к「)(4.3.27)
В первом приближении изменение комплексной амплитуды Л вдоль всех координат имеет одинаковый порядок, при этом поле (27) можно записать как
Е (г, f) = е4 (「)d(H-k「)(4.3.28)
Подставляя (28) в точное уравнение (3) и учитывая (7), получаем [е[ке]| 7Л =0, или N4 =0.(4.3.29)
Общим решением (29) является (ср. с (14))
4 = 4([”]),(4.3.30)
т. е. амплитуда Л представляет со^он определяемую граничными условиями функцию координат в плоскости, перпендикулярной лучевому вектору s. Уравнение (29) и его решение (30) с@ответ・ сгвуют приближению геометрической оптики.
При распространении в среде волновых пучков вида (4.1.1) с узким угловым спектром изменения комплексной амплитуды поперек пучка происходят быстрее, чем вдоль, поскольку происходит переход в область тени [2]. Быстрые изменения волны вдои1ь направления распространения учитываются экспоненциальным множителем в (4.1.1).
Подставим выражение (4.1.1) в уравнение (3) и учтем условие медленности изменения комплексной амплитуды:
/ дА .
面詆》丽，
Получим следующее приближенное уравнение:
兽费 А丄4=0,(4.3.31а)
где А丄= ^г+^поперечный лапласиан. В более общем
случае уравнение (31а) следует записать как
s()V А -\- i ^^ А丄 Л — 0,(4.3.316)
где s0 = s/s — единичный вектор.
Параболические уравнения (31) учитывают дифракционные эффекты в так называемом квазиоптическом приближении. Для
выявления существа использованного приближения возьмем А в виде
В соответствии с (31а) имеем
2々园z +代+仿=。・ (4.3.32)
В то же время согласно точному уравнению (3)
(ko + q)2 = k§, или 2々0% + 砖 +优+ & = 0. (4.3.33)
Из (33) и (32) следует, что в квазиоптическом приближении сферическая поверхность заменяется параболоидом. Аппроксимация поверхности волновых векторов (33) параболоидом, ось которого совпадает с направлением среднего волнового вектора к0, очевидно, оправдана лишь для относительно узких угловых спектров (〃％《1). Параболическое уравнение (31а). обобщенное на неоднородные и нелинейные среды, используется для описания распространения волн в случайных средах [11] и нелинейного взаимодействия квазиплоских пучков [8 — 10] (см. также гл. 8).
В неоднородных средах линейная восприимчивость среды Н явно зависит от координаты г (см. (2)). Пусть изотропная недиспергнрующая среда обладает слабыми случайными неоднородностями:
а(г) = а+方(г), где [〈(//(r))2»L2〃-i<i.
Будем считать неоднородности среды крупномасштабными： характерный масштаб изменения восприимчивости среды /иеодн значительно превосходит длину волны X (Зеодн》％)・ В этом случае решение волнового уравнения (3) можно искать в квазиоптическом приближении. Описанная процедура упрощения дает
i2k(^A — ^1A —稣3(г) /=0, (4.3.34) где 归о — волновое число, связанное с постоянной частью диэлектрической проницаемости, 8 (г) — флуктуационная часть диэлектрической проницаемости; е(г) = 4лЯ (г).
Мы не имеем здесь возможности подробнее остановиться на условиях перехода от (3) к (34). Заметим только, что уравнение (34) не учитывает наличия волн, рассеянных неоднородностями среды в обратном направлении.
Общее уравнение для случайных волн. Выше получены приближенные уравнения, описывающие распространение в линейной среде волн, случайно модулированных только во времени или только в пространстве. Хотя на практике обычно приходится иметь дело со случайными волнами, модулированными одновременно в пространстве и времени, раздельное рассмотрение эффектов частичной пространственной и временной когерентности очень
часто вполне оправдано. Как будет видно из дальнейшего анализа, это связано с существенным различием в темпе проявления эффектов, связанных с временной и пространственной модуляциями. Вместе с тем для целого ряда задач оказывается необходимым одновременный учет обоих видов модуляций. Уравнение в этом случае можно записать, пользуясь уравнениями (31) и (21) (или (24)). Полагая, что производные в них одного порядка, имеем
s°(Y4+鏡力黎+《£，"(4.3.35)
Общее уравнение (35) записано в квазиоптическом приближении и во втором приближении теории дисперсии.
Пространственно-временная аналогия. В исходное уравнение (3) пространственная координата г и время f входят несимметрично; по времени, кроме дифференцирования, производится интегрирование в выражении (2) для поляризации вследствие частотной дисперсии. Линей ное волновое уравнение принимает симметричный вид, если среда обладает одновременно и пространственной дисперсией; при этом линейная поляризация среды записывается в виде
P(r, t)=J <U' ^d3r'H {f, r')E(t-t', Г —г').(4.3.36)
О
Однако при приближенном описании распространения воли, модулированных только в пространстве, и волн, модулированных только во времени, удается выделить важные частные случаи, которые описываются сходными уравнениями. Действительно, в квазиоптическом приближении распространение простран- ственно-модулированных еолн подчиняется параболическому уравнению (31а). Уравнением такого же типа во втором приближении теории дисперсии описывается распространение волн, модулированных во времени (см. (21) и (26)). Дисперсионному расплыванию волнового пакета можно уподобить дифракционное расширение пучка. Сказанное означает, [тто результаты решения временных задач могут быть в определенной мере перенесены на пространственные задачи и наоборот
Пространственно-временная аналогия распространяется на нелинейные волновые задачи |3, 8, 9] (см. также § 1 гл. 8), и ее можно обобщить на распространение волн в неоднородных и нестационарных средах. Ценность аналогии состоит в том, что она позволяет предсказать качественную картину поведения модулированной волны, если известны результаты, относящиеся к волне- аналогу. Вместе с тем следует себе ясно представлять ограниченность этой пространственно-временной аналогии. Так, в случае распространения модулированных волн в линейных средах возможно отличне временных задач от пространственных, и причины этого заключаются в следующем.
Прежде всего, следует иметь в виду различие п числе измерений: временные задачи — одномерные, а пространственные задачи — трехмерные, при-
чем направления, перпендикулярные направлению распространения волн* могут быть неравноправными.
Если во временных задачах во многих случаях процесс можно считать, стационарным, то в пространственных задачах принципиальное значение для большинства случаев имеют конечные пространственные размеры случайных пучков (статистическая неоднородность, см. § 8 гл. 1).
Наконец, следует отметить различие в виде исходных временных и пространственных корреляционных функций поля. Для симметричного спектра временные корреляционные функции являются действительными. Поперечные (пространственные) корреляционные функции даже для симметричного углового спектра в общем случае комплексны (см. § 5). Последнее обусловлено тем, что в угловом спектре положительные и отрицательные углы физически различимы, а в частотном спектре положительные и отрицательные частоты физически идентичны.
§ 4. Плоские шумовые волны в диспергирующей среде
В соответствии с предыдущими результатами распространение плоских квазимонохроматических волн во втором приближении теории дисперсии можно описывать уравнениями (4.3.21), (4.3.26) или (4.3.24) в бегущей системе координат (4.3.22).
Для выяснения особенностей поведения шумовой волны в диспергирующей среде воспользуемся уравнением (4.3.21) для изотропной среды:
- ё ^2\ л Л/Л л 1\
Условие на границе среды при г = 0 запишем как
A(t 2 = 0) = 4(f).(4.4.2)
Случайный процесс Ло(/) будем считать стационарным с корреляционной функцией вида
Во (т) =〈4 (0 為(/ + т)〉= /Q(九)2,(4.4.3)
где тк — время корреляции. Решением уравнения (1) с условием (2) является
/(/, z)= f A^)H(t-b, г) de,(4.4.4)
где Я —функция Грина:
Я(/— 0, z) = (i2ngz尸'2ехр {*二"黒-"?•(4.4.4а)
Покажем сначала, что временная корреляционная функция
В (т; г) = <Л (/, г) А* (/ + т, г)>(4.4.5)
стационарного случайного процесса при распространении в среде.
ПЛОСКИЕ ШУМОВЫЕ ВОЛНЫ В ДИСПЕРГИРУЮЩЕЙ СРЕДЕ 281 описываемой уравнением (1), остается неизменной. Запишем уравнение для корреляционной функции (5). Умножим (1) на А (/ь г) и сложим с уравнением для А* (九 г), умноженным в свою очередь на А (/, г); в результате получим
傷 + ；俱 + 尉-遇係-獄厶《' Z)4* (厶，Z)= 0. (4.4.6)
Усредним уравнение (6); вследствие стационарности процесса А (/, г) временные производные выпадут и получим
дВ (т; г)/дг — 0.
Отсюда следует, что корреляционная функция стационарного процесса остается неизменной:
В (т; г) = В (т; г —0) =В0 (т).(4.4.5а)
Полученный результат нетрудно понять, обратившись к спектру рассматриваемого процесса. Согласно (1) фурье-компоненты Лт (г) амплитуды А (^ г) изменяются как *)
A,(Z)= До (0) /"(% 2>, ф (з, z) = * + -；02卜，(4.4.7) т. е. при распространении у функции Аш (г) изменяется только фаза ф. Поскольку для исходного стационарного случайного процесса (см. (1.3.16))
〈4 (0)為，(0)> = Go ⑹ б (“ 一 电， (4.4.7а) спектральная плотность в среде G (о), г) не зависит от фазового набега и
G(s, г) = G0(«).
Переходя здесь к корреляционной функции, получим соотношение (5а).
Для нестационарного случайного процесса Ао(О соотношение (1.3.16) не выполняется и положение отличается от только что рассмотренного. Здесь мы не будем останавливаться на этой задаче, а только заметим в связи с пространственно-временной аналогией, что такая задача сходна с задачей о дифракции частично п ростр а нственно когерентной волны на отверстии, которая будет рассмотрена в § 5.
Влияние дисперсии на продольную корреляцию. Воспользовавшись решением (4), рассчитаем продольную корреляционную
функцию шумовой волны в диспергирующей среде
5i (z, z + s) =
ОО
=，，〈4 ®)爲(02)> 〃 « - Z)〃*(，_%「+ s) d% d02.(4.4.8)
Учитывая (3) и используя замену переменных
为=/为=/z + sz + s
为=/
为=/
z + s
z + s
выражение (8) можно записать в виде
5 I (z, z + s) = (2ng)T[z(z + s)『L2 /0Х
Х0ехр~#+% —勺产}弘也(449) Интегрирование в (9) нетрудно выполнить, используя формулу j ехр{—户炉土/}dx = _^exp {-鋼， (4.4.10) которой мы часто будем пользоваться в дальнейшем. В результате для продольной корреляционной функции получаем
в (s) = /в [ 1 - is/ir^2 exp {- i^l^}.(4.4.11)
В (11) введены характерные длины
爲=久％ /к1 = Тк /2^.(4.4.12)
В первом приближении теории дисперсии (g = 0, 偿 f 8) корреляционная функция (11) равна
В" (s) = /оехр (s/l^)2}t откуда видно, что характерная продольная длина /^ связана с эффектом переноса временной когерентности с групповой скоростью и (ср. с (3)).
Во втором приближении теории дисперсии в системе координат (4.3.22), распространяющейся вместе с волной со скоростью и (что эквивалентно и-1 = 0 в (1)), имеем
8、5) = /。"一阊管尸*
В этом случае конечное значение продольной длины /£ обусловлено дисперсионным расплыванием флуктуационных выбросов. Более сложная картина имеет место в общем случае (и-】，。, g 长 0), при этом модуль корреляционной функции (11) равен
14 (S) I = /о[ 1 + (S/& )2尸'exp {— т|^р}・(4-4.13)
На рис. 4.10 представлены графики нормированной функции (13) для различных отношений длин /『 и /£.
дольная корреляционная функция I 師 О)尸!斗(s) !/勺| (0) в зависимости от s//^'.дольная корреляционная функция I 師 О)尸!斗(s) !/勺| (0) в зависимости от s//^'.Рис. 4Л1. Приведенная продольная длина корреляции l^ = yi^ в зависимости от соотношения когерентных длин х = ^/^.Рис. 4Л1. Приведенная продольная длина корреляции l^ = yi^ в зависимости от соотношения когерентных длин х = ^/^.
дольная корреляционная функция I 師 О)尸!斗(s) !/勺| (0) в зависимости от s//^'.
дольная корреляционная функция I 師 О)尸!斗(s) !/勺| (0) в зависимости от s//^'.
Рис. 4Л1. Приведенная продольная длина корреляции l^ = yi^ в зависимости от соотношения когерентных длин х = ^/^.
Рис. 4Л1. Приведенная продольная длина корреляции l^ = yi^ в зависимости от соотношения когерентных длин х = ^/^.
Кривым соответствуют различные отношения когерентных длин 限7 优产 /) 0; 2) 0,1; 3) 1.
Значение продольной длины корреляции s = /|;, определенной по уровню из (13), удовлетворяет соотношению
《 "))[1 +(/ /偿)2广+%m卩 +(4/偿月=1. (4.4.14)
Наглядные выражения для / получаются лишь в предельных случаях. Если /『< /к » то после алгебраических операций получаем
/「4叩+%(県/便У].(4.4.15а)
Значение / растет с уменьшением длины 偿)(12), т. е. с увеличением дисперсии групповой скорости (рис. 4.11). При /£ V < /к1, преобразуя (14), имеем
% = ®[ехр{4[1 -(£)//”]} 一 1]叫(4.4.156)
В этом случае происходит уменьшение длины продольной корреляции, когда длина 偿 уменьшается.
В заключение полезно сопоставить поведение в диспергирующей среде временной корреляционной функции В (т) стационарного случайного процесса и продольной корреляционной функции Вн (s). В соответствии с (7) и (7а) продольная корреляция фурье- компонент амплитуды поля равна
= %(со)е"РЗ$)5(оГ — о))・(4.4.16)
Интегрируя (16) по do/ds, в первом приближении теории дисперсии, где фаза <p = ss/〃，получим
Ен(£/〃)=，Go((o) eMm/u)sd(o=，Go (ш) e/mT do)= В (т),
т. е. здесь отношение s/u играет роль времени т, а функция В1( (s) прямо выражается через В (т). Однако в случае ^=#0 из-за того, что фаза 屮(о), s) квадратично зависит от частоты(о (см. (7)), имеем
+ 8
/ (s) = , Go (з) ехр {is I 号一 + ； go?]} ds.
Здесь простой связи между 斗(s) и В (т) нет.
О прямых измерениях групповой скорости. Исследования прохождения шума через диспергирующую среду могут быть поло
Рис. 4.12. Схема интерферометра Майкельсона для измерения групповой скорости в образце 3.Рис. 4.12. Схема интерферометра Майкельсона для измерения групповой скорости в образце 3.жены в основу прямого «шумового» метода измерения групповой скорости ).
Рис. 4.12. Схема интерферометра Майкельсона для измерения групповой скорости в образце 3.
Рис. 4.12. Схема интерферометра Майкельсона для измерения групповой скорости в образце 3.
Групповая скорость световой волны — важный параметр вещества. Для ее определения в оптике обычно используется два метода:
групповую скорость можно вычислить, располагая результатами измерений фазовой скорости с помощью монохроматического излучения；
прямые измерения групповой ско-
рости в веществе можно осуществить на основе измерения времени запаздывания световых импульсов.
Нетрудно убедиться, что величину групповой скорости можно также найти
из корреляционных измерений, определяя взаимную корреляцию шумовой волны на входе и выходе исследуемой диспергирующей
среды.
В качестве примера рассмотрим интерферометр Майкельсона, в одно плечо которого помещен исследуемый образец 3 (рис. 4.12). Обозначим поле в этом плече через £\,2) Во втором плече интерферометра поле £2 (/ —т) испытывает временную задержку т (т = =”2(/2一厶)/0, где /「длина плеча / без длины образца 3).
Интерференционная картина описывается общим выражением (4.2.13); для ее расчета в данном случае следует принять во внимание дисперсию исследуемой среды. С ее учетом комплексная амплитуда Л1 (/) квазимонохроматического поля £\ (f) дается выражением
4(，，/)=，Ao(B)H(t~B, /) d6.(4.4.17)
Здесь Ао (/) — амплитуда исходного поля, функция /7 (/ — 6, /) определяется (4а), / — удвоенная длина исследуемой среды. Само поле Ei (f, г) имеет вид
&(f, z) = 4(f, /)宀8“一"—髓з(4.4.18}
где k и Ao — волновые числа в исследуемой среде и воздухе соответственно. Поле Еа (f, г) распространяется в среде без дисперсии, поэтому
Е2 (^ Z)= 4(/_工)
Корреляция между полями £\ и £?
8(т； /) =〈£«, г) Е： (/, ”=〈4(力 /)為(f —т)〉卢 5■初.(4.4.19>
Рассчитаем сначала значение (19) в первом приближении теории дисперсии (параметр g = 0)・ При этом согласно (17) амплитуда 41(厶 l) = %Q(t — l/u) и корреляционная функция равна
В (т； /) = (Ло (/ — 〃〃)4^ (7 — т)) dis工一砌=з力(т — 〃〃)dgti'}. •
Ее максимальное значение имеет место при временах задержки )5 т = 〃〃.(4.4.20)
Отсюда ясно, что, зная величины т и Z, можно определить групповую скорость в диспергирующей среде [12].
Рассмотрим теперь, не изменится ли полученный результат, если дисперсию среды учесть во втором приближении (g^= 0). Подставляем в (19) выражение (17) и выполняем необходимые операции:
十8
В(т； 1)=^^-к1>，(Ао (6) At(t-i))H (t-b, /)d6. (4.4.21)， -co
Для исходной корреляционной функции Во (т) вида (3) с помощью замены q = Z —//и —6 приходим к выражению
+苧
В (т； /) = ^ngl)-1^!^^-^ ) ехр
Выполняя интегрирование, получим
В (Т； /) = /о(1 + ?2尸/4 ехрВ (Т； /) = /о(1 + ?2尸/4 ехр(т—//и)2工打1+丹(т—//и)2工打1+丹Здесь введены обозначения:Здесь введены обозначения:2 = /倒■ (т) = ；arctgг- ^嘗;•2 = /倒■ (т) = ；arctgг- ^嘗;•(4.4.22)(4.4.23)(4.4.22)(4.4.23)
В (Т； /) = /о(1 + ?2尸/4 ехр
В (Т； /) = /о(1 + ?2尸/4 ехр
(т—//и)2
工打1+丹
(т—//и)2
工打1+丹
Здесь введены обозначения:
Здесь введены обозначения:
2 = /倒■ (т) = ；arctgг- ^嘗;•
2 = /倒■ (т) = ；arctgг- ^嘗;•
(4.4.22)
(4.4.23)
(4.4.22)
(4.4.23)
длина /к' определяется (12). На рис. 4.13 изображена интерферограмма (4.2.13), рассчитанная для корреляционной функции (22).
Рис. 4.13. Интерференционная картина в интерферометре, изображенном иарис. 4.12 [12]:
а) если g = 0 (первое приближение теории дисперсии), ширина корреляционной функции определяется временем корреляции исходной волны: 6} при g6 корреляционная функция уширяется (рисунок построен для g/==V3).
Максимам корреляционной функции достигается при временах задержки, удовлетворяющих условию (20), т. е. на это условие не влияет дисперсия групповой скорости (g，0). Однако время взаимной корреляции оказывается зависящим от дисперсионных свойств исследуемой среды.
Согласно выражению (22) измеряемое время корреляции равно
雷 m(Z)= Tk(1+£J，雷 m(Z)= Tk(1+£J，(4.4.24)(4.4.24)
雷 m(Z)= Tk(1+£J，
雷 m(Z)= Tk(1+£J，
(4.4.24)
(4.4.24)
т. е. оно зависит, вообще говоря, от дисперсии групповой ско- d /n
рости g = ^(L)・
§ 5. Дифракция случайных волн
Теперь мы перейдем к анализу дифракции случайных волн. Мы будем пользоваться при этом приближенным параболическим уравнением *), выведенным в § 3.
Дифракционное изменение радиуса корреляции при распространении волны; теорема Ван Циттерта—Цернике. Мы начинаем рассмотрение статистических дифракционных проблем с фундаментальной задачи о преобразовании поперечной корреляционной функции светового пучка в процессе распространения. Мы убедимся, что поперечный радиус корреляции частично когерентного волнового пучка в процессе распространения за счет дифракции увеличивается. Это обстоятельство имеет много важных приложений в физической и прикладной оптике; часть из них рассматривается в этой главе, об использовании указанного обстоятельства в лазерной технике см. § 2 гл. 8.
Мы рассмотрим сначала монохроматический волновой пучок со случайно^ поперечной структурой. Влияние временной некоге- рентности на дифракционное п реобразование поперечных корреляционных функций обсуждается в конце этого параграфа (см. формулы (37), (38)).
Распространение волны, обладающей неполной пространственной когерентностью, в квазиоптическом приближении описывается уравнениями (4.3.31) для комплексной амплитуды. Направим ось г вдоль направления распространения волны, тогда имеем
懐 + 咱 А丄)'(г，г)= °-(4.5.1)
Получим уравнение для поперечной корреляционной функции (4.1.3):
8丄(□, г?；刁=\力(「1, г) Л* (г2, г)),
поступив так же, как в § 4. Заменим в (1) координату г на Г1 и умножим уравнение на -4* (г2, г). Полученное таким образом уравнение сложим с этим же комплексно сопряженным уравнением, предварительно поменяв местами индексы 1 и 2. Выполняя статистическое усреднение, придем к уравнению для поперечной корреляционной функции：
{^ + 力 ^石0丄" 一А丄.2)} 8丄(门，г2；乙)= 0.(4.5.2)
В новых переменных
г = г1"Г2, R = %g + n)(4.5.3)
уравнение (2) имеет вид
伝万薪产丄(г，R； z)= 0・(454)
Из (4) видно, что для статистически однородного процесса (В丄 не зависит от R —см. (1.8.2)) поперечная корреляционная функция не зависит от г (ср. с результатом § 4 дл стационарного случайного процесса).
Чтобы найти решение уравнения (4), воспользуемся фурье- п реобр азов ан ием поперечной корреляционной функции В 丄(г, R； г). Для фурье-амплитуд функции В丄 получаем простые уравнения первого порядка:
係一&а巾丄(а, 0； z)=«0,(4.5.5)
+ 8
8丄(a,0；2)= (2冗厂4，в丄(г, R； 2)c"ar + 0R}炉厂 d2R. —co*
Решая (5), получим
В丄(а, Р； z) = B丄°(а, ₽)^\(4.5.6)
где В丄 о (а, Р) -фурье-образ корреляционной функции В1о (г, R) на границе ? = 0. Произведем обратное фурье-преобразование выражения (6):
+ 8
3丄(г, R； ?) = \\ В丄(а, 0； z)e-"ar+0R)d2ad% =
+ 8
—"8丄 с (а, Р) ^арг/А—z(«r + pR)rf2ad2p
(2冗)“，…,8丄 о (У, R，) exp i 传 оф — а (г - У) — 0 (R — %)} х
Xd2ad2P d^d2^.
Используя определение 6-функции:
(2")-2 , jexp {—“(r-r，)--j p]aJd1a = S(r-r,-|-₽),
и ее свойства, для поперечной корреляционной функции окончательно получаем
3丄(г, R； z)=
= 0(2), В 丄。(匕 R') exp {-i 4 (г - f) (R - R')} d^ d^R\
(4.5.7)
где C (?)=他/2冗?)8 =(九2)У Формула (7) в квазиоптическом приближении дает связь поперечной корреляционной функции в произвольной плоскости с ее значением в плоскости z = 0 (рис. 4.14).
Рассмотрим прежде всего важный частный случай выражения (7). Заменим корреляционную функцию В]。(r‘, R') реального поля в плоскости г — 0 на 6-функцию, т. е. будем считать, что поле создается 6-коррелированными в пространстве источниками:
8丄°『，^=^1(^)6^).(4.5.8)
Функция / (R‘) характеризует распределение средней интенси* ности поля, а коэффициент h определяется из условия
[В1о (г, R) d2r=hzI(R).
Для корреляционной функции (8) формула (7) принимает вид
8丄(г, R； z)=Cexp｛—1一 rR｝ J / (R‘) exp ｛峙rR，｝ tW, (4.5.9)
где C = h^Cr = (h/kz)2 = (hk!2nz^. Формула (9) выражает теорему Ван Циттерта — Цернике: поперечная корреляционная функция поля связана фурье-преобразованием с начальным распределением интенсивности.
Возвращаясь в (9) к старым переменным 门 и г2 (3), получаем
8丄g, S； z)=Cexp ｛喷储-硏*
Удобство расчета с помощью выражения (9) или (10) зависит от вида распределения интенсивности
Рис. 4.14. Расположение координат плоскости источника %'д' и произвольной плоскости наблюдения ху.Рис. 4.14. Расположение координат плоскости источника %'д' и произвольной плоскости наблюдения ху.Из (9) и (10) видно, что при г > 0 корреляционная функция поля отличается от начальной (8), а радиус корреляции уже не равен нулю. В формулы (9) и (10) входит отношение fe/г； поэтому при 便/?f 8 получаем одинаковый результат независимо от того, устремляем ли мы волновое число к бесконечности (k f со, приближение геометрической оптики) или полагаем 2 fo.
Рис. 4.14. Расположение координат плоскости источника %'д' и произвольной плоскости наблюдения ху.
Рис. 4.14. Расположение координат плоскости источника %'д' и произвольной плоскости наблюдения ху.
Если / (R) существенно уменьшается на масштабе порядка а (а —радиус пучка), то радиус Корреляции согласно (9) равен
.гк^ z/to.(4.5.11)
Ю С. А. Ахманов и др.
Таким образом, радиус корреляции линейно нарастает с пройденным расстоянием. Речь идет, действительно, о существенно дифракционном эффекте; он тем больше, чем больше длина волны X. Наглядное физическое объяснение полученного результата заключается в том, что по мере распространения фазовые фронты элементарных воли, па которые можно разложить поле пучка, совпадают между собой на все возрастающей с ростом г площади.
■ Расчеты корреляционной функции 8丄(г, R； г) и значения гк для ряда конкретных случаев выполнены ниже.
Дифракция некогерентной волны на отверстии; звездный интерферометр Майкельсона. Применим теперь полученные выше общие результаты для решения конкретных задач. Сначала рассмотрим дифракцию 6-коррелированной волны. Предположим, что отверстие имеет форму круга радиуса а с центром в точке 0 и распределение интенсивности вдоль отверстия равномерное:
/(« =「；’%：' (4.5.12)
Для расчета функции BL на расстоянии г от такого источника воспользуемся формулой (9), полагая 1\ = 0 и 「2 = s，0. Переходя к полярным координатам и обозначая угол между векторами s и R через 屮，имеем
а 2л
5丄(s； г)=С/0 ехр {— г у s2^ J dR , Rd(p exp {— i : Rs cos 屮} о о
»“丿。(警)dR = /Л|^ 厶偿} (4.5.13)
о
При выводе (13) использовано рекуррентное соотношение для функции Бесселя
^ (严厶 ”))=(vx).
Нормированная корреляционная функция (13) равна
I у (s) = I 8丄(s； z)/8丄(0; г) I = 2 j Л (圖/(萼)j.(4.5.14)
Функция (14) представлена на рис. 4.15. Первое нулевое значение |y(s)i принимает при 々as/z = 3,83, т. е. при
s = 5()= 0,61 入/6°,(4.5.15)
где 60 = а/г —так называемый угловой радиус источника излучения. Радиус, значение которого удовлетворяет условию j у (s) j = 0,88, будем считать радиусом корреляции (ср. с (11)):
厂丛二 0,16лг/а — О,16Х/бо.(4.5.16)
Видно, что радиус корреляции прямо пропорционален расстоянию г от источника излучения и обратно пропорционален размеру источника. При ат со излучение остается 6-коррелировап- ным.
Рассмотренная модель источника 6-коррелировэнного в пространстве излучения, ограниченного круглой диафрагмой, широко используется в астрофизике для описания собственного излучения звезд. Измерения радиуса корреляции приходящего от звезд излучения согласно (14) могут быть использованы для определения угловых размеров звезд (или диаметров звезд, если известно расстояние г).
Рис. 4.15. Степень пространственной когерентности I V (s) I пространственно некогерентного источника, имеющего форму диска радиуса а.Рис. 4.15. Степень пространственной когерентности I V (s) I пространственно некогерентного источника, имеющего форму диска радиуса а.Рис. 4.16. Схема звездного интерферометра Май- кельсона:31 — 34 — зеркала, Q—экранРис. 4.16. Схема звездного интерферометра Май- кельсона:31 — 34 — зеркала, Q—экран
Рис. 4.15. Степень пространственной когерентности I V (s) I пространственно некогерентного источника, имеющего форму диска радиуса а.
Рис. 4.15. Степень пространственной когерентности I V (s) I пространственно некогерентного источника, имеющего форму диска радиуса а.
Рис. 4.16. Схема звездного интерферометра Май- кельсона:
31 — 34 — зеркала, Q—экран
Рис. 4.16. Схема звездного интерферометра Май- кельсона:
31 — 34 — зеркала, Q—экран
Для измерения поперечной корреляционной функции излучения, приходящего от звезды, можно использовать звездный интерферометр Майкельсона (рис. 4.16), видность интерференционной картины в котором в точке наблюдения Р изменяется в соответствии с зависимостью, изображенной на рис. 4.15, при изменении расстояния между зеркалами 3】и 32. Если угловой радиус звезды 60^ Ю-7, то |y(s)j = O при расстоянии s = 4 м (fe= Ю3 см-1). Угловой радиус Солнца, наблюдаемый с Земли, 60а^ 0,0047; таким образом, для волн оптического диапазона радиус корреляции (16) принимает значение гк^ 0,02 мм. Практическое применение звездного интерферометра Майкельсона ограничено, однако, тем обстоятельством, что на измеряемую степень когерентности звезды сильное влияние оказывают флуктуации показателя преломления атмосферы. Эти флуктуации приводят лишь к фазовым искажениям, которые не влияют на измерения корреляционных функций интенсивности (см. § 3 гл. 5).
Заметим, что корреляционная функция (14) описывается точно таким же выражением, как и поле плоской монохроматической водны, дифрагированное на круглом отверстии. Действительно,
для амплитуды волны, дифрагированной на круглом отверстии, имеем [1]
М(Г, * = 产 А 偿)I，(4.5.17)
что аналогично (14); см. также рис. 4,17. Радиус дифрагированного когерентного пучка а (?) выражается формулой, аналогичной (15):
а(2)= 0,61 九2/а.(4.5.18)
До сих пор речь шла о дифракции 6-коррелированного излучения с равномерным распределением интенсивности по апертуре.
Рис. 4.17. Картина дифракции полностью когерентной волны на круглом отверстии (а) и соответствующее ей распределение интенсивности (б) [13].
Покажем теперь, что неравномерное распределение интенсивности, вообще говоря, изменяет вид поперечной корреляционной функции поля. В качестве примера рассмотрим распространение цилиндри- чески-симметричного пучка с плавным поперечным распределением интенсивности (дифракция на «мягкой» диафрагме), когда распределение интенсивности / (R) имеет вид
/ (R) = /Oexp { — 2R2/〃2}；(4.5.19)
здесь а — радиус пучка по уровню е".
В этом случае вместо выражения (13) дл т поперечной корреляционной функции имеем
8 丄(s; z) = 2лС /к 图2/zj Re- ZR"/。續)dR. (4.5.20) о
Интегрирование приводит к следующему результату (ср. с (13)):
8丄(s, z)=；炉СЛ,ехр{—啰у —学卜 (4.5.21)
Корреляционная функция (21) имеет гауссовский вид с радиусом корреляции по половинному уровню
гк = Хг /2/;гш.Дифракция некогерентной волны на решетке, относятся к дифракции иекогерентных волн на обратимся к более сложному объекту— дифракционной решетке и покажем, как изменяются когерентные свойства дифрагированной волны с изменением числа штрихов решетки. Для простоты рассмотрим одномерную решетку с шагом р, состоящую из щелей шириной d (рис. 4.18, а). Полная ширина решетки a = 2N" + d; число щелей решетки для упрощения дальнейшей записи принимаем равным 2N + 1 = М().гк = Хг /2/;гш.Дифракция некогерентной волны на решетке, относятся к дифракции иекогерентных волн на обратимся к более сложному объекту— дифракционной решетке и покажем, как изменяются когерентные свойства дифрагированной волны с изменением числа штрихов решетки. Для простоты рассмотрим одномерную решетку с шагом р, состоящую из щелей шириной d (рис. 4.18, а). Полная ширина решетки a = 2N" + d; число щелей решетки для упрощения дальнейшей записи принимаем равным 2N + 1 = М().(4.5.22)(4.5.22)f(x)f(x)Полученные выше результаты одном отверстии. Здесь мыПолученные выше результаты одном отверстии. Здесь мы5)Рис, 4.18. Дифракционнаярешетка (а) и ее передаточная функция (б).5)Рис, 4.18. Дифракционнаярешетка (а) и ее передаточная функция (б).Если передаточная функция по интенсивностиЕсли передаточная функция по интенсивностиоднойоднойщели (рис. 4.18, б)щели (рис. 4.18, б)
гк = Хг /2/;гш.
Дифракция некогерентной волны на решетке, относятся к дифракции иекогерентных волн на обратимся к более сложному объекту— дифракционной решетке и покажем, как изменяются когерентные свойства дифрагированной волны с изменением числа штрихов решетки. Для простоты рассмотрим одномерную решетку с шагом р, состоящую из щелей шириной d (рис. 4.18, а). Полная ширина решетки a = 2N" + d; число щелей решетки для упрощения дальнейшей записи принимаем равным 2N + 1 = М().
гк = Хг /2/;гш.
Дифракция некогерентной волны на решетке, относятся к дифракции иекогерентных волн на обратимся к более сложному объекту— дифракционной решетке и покажем, как изменяются когерентные свойства дифрагированной волны с изменением числа штрихов решетки. Для простоты рассмотрим одномерную решетку с шагом р, состоящую из щелей шириной d (рис. 4.18, а). Полная ширина решетки a = 2N" + d; число щелей решетки для упрощения дальнейшей записи принимаем равным 2N + 1 = М().
(4.5.22)
(4.5.22)
f(x)
f(x)
Полученные выше результаты одном отверстии. Здесь мы
Полученные выше результаты одном отверстии. Здесь мы
5)
Рис, 4.18. Дифракционнаярешетка (а) и ее передаточная функция (б).
5)
Рис, 4.18. Дифракционнаярешетка (а) и ее передаточная функция (б).
Если передаточная функция по интенсивности
Если передаточная функция по интенсивности
одной
одной
щели (рис. 4.18, б)
щели (рис. 4.18, б)
『I『I(4.5.23а)(4.5.23а)(4.5.236)(4.5.236)наблюдения междуслучая, когда паданаблюдения междуслучая, когда падаС учетом (25) после суммирования выражение для поперечной корреляционнойС учетом (25) после суммирования выражение для поперечной корреляционнойфункции (24)функции (24)принимает вид3 丄(5； z) = IqC dпринимает вид3 丄(5； z) = IqC dsin ^b6 sin (6d/p)sin 6 6d/psin ^b6 sin (6d/p)sin 6 6d/p(4526)(4526)
『I
『I
(4.5.23а)
(4.5.23а)
(4.5.236)
(4.5.236)
наблюдения между
случая, когда пада
наблюдения между
случая, когда пада
С учетом (25) после суммирования выражение для поперечной корреляционной
С учетом (25) после суммирования выражение для поперечной корреляционной
функции (24)
функции (24)
принимает вид
3 丄(5； z) = IqC d
принимает вид
3 丄(5； z) = IqC d
sin ^b6 sin (6d/p)sin 6 6d/p
sin ^b6 sin (6d/p)sin 6 6d/p
(4526)
(4526)
1, /|Wd/2,.0, I х| ^rf/2,
то пропускание всей дифракционной решетки
尸(%)= £ !(х — пр).
Найдем пространственную когерентность в плоскости симметрично расположенными точками 工1 =——х2 —s Д^я
ющая на дифракционную решетку волна имеет равномерное распределение интенсивности. Тогда подстановка (23) в (10) дает
I +a/2
В 丄(s;z) = C7o \ F(x)e3sx〃dx=
—а/2
Nа/2 — пр
= С/0 £ e3s“o/z \ f (Х) e'2^/Zdx.(4.5.24)
п = — N—а/2 — пр
В силу условий (23a) и а/2 — ^p d/2
а/2 — пр
f f (Х)产sx/z^j2(4.5.25)
JRS и/ Z
—а/2 — пр
где 6 = 6 (s) = ksp/z. Отсюда для степени пространственной когерентности имеем
б |sinMQsin(M/p)
Z)=|冗髙6 6d/p
Заметим, что вьфажение (27) аналогично выражению для распределения ампли- тудь( полностью когерентной волны, дифрагирующей на решетке.
Выражения (26) и (27) получены для одномерной дифракционной решетки. Одиако они справедливы и для двумерной решетки, если речь идет о пространственной когерентности между двумя точками, имеющими одинаковые координаты вдоль оси у (см. (10)). В общем случае для двумерной решетки корреляционная функция определяется произведением функций вида (26).
Из (27) для случая одной щели (^o= I) тнрнно* d==a следует 疇斗 (4.5.28)
Здесь, как и при дифракции на круглом отверстии (см. формулы (16) н (22)), радиус корреляции обратно пропорционален углу 8o = a/z, под которым щель видна нз плоскости измерения:
& = £z/2fon (々恥т (4.5.29)
Значение (29) определено по уровню , у (%； z)|=2/m На рис. 4.19 показана зависимость степени когерентности (27) от s для различного числа ^0 штрихов решетки.
]ГС$；М
Рис. 4.19 Нормированная пространственная корреляционная функция для различного числа ^0 штрихов решетки..
В формуле (27) второй множитель, аналогичный (28), представляет собой действие одной щели шириной d, а первый множитель учитывает результат действия всей дифракционной решетки. Если N§》I, радиус корреляции определяется первым множителем:
「к = лг/2kNop nz/2fea, (4530)
так как N0p = (2N -\- \)p = a-\-p — d^a. Таким образом, радиус корреляции рассеянной на дифракционной решетке некогерентнон волны такой же, как в случае дифракции некогерентной волны на щели, равной ширине дифракционной решетки.
Влияние немонохроматичности волны н • пространственную когерентность. Предыдущие результаты относятся к монохроматической волне. Рассмотрим
теперь, как неполная временная когерентность волны может влиять на пространственную когерентность [14J.
Физика эффекта аоючается в следующем. Как мы выяснили, анализируя теорему Ван Цнттерта—Церннке, изменение радиуса корреляции в процессе распространения связано с дифракцией пучка конечной апертуры. Естественно, что если мы имеем дело с немонохроматическим излучением, различные спектральные компоненты частотного спектра дифрагируют по-разному. Это приводит к отличию дифракционной картины от таковой для случая монохрома- тическо!! волны.
Здесь возникает и другой вопрос. Пусть пространственно-временная корреляционная функция поля источника распадается на произведение пространственной и временной корреляционных функций. Сохраняется ли это свойство в любой точке пространства для практически реализуемых параметров?
Итак, предположим, что в плоскости 2 = 0 пространственно-временная корреляционная функция поля распадается на произведение пространственной н временной корреляционных функций:
Зо(『，R； т) = 3丄Jr, R)3q(t)・(4.5.31)
Применив к (31) преобразование Фурье, получим
8。(『，R；⑴=G()((о) 3丄° (г, R),(4.5.32)
где функция 3丄0(『,R) дается выражением (8), Go ((о) — спектральная плотность. В случае стационарного поля для каждой спектральной компоненты на основе результатов § 4 можно записать
3(『，R,(о; z) = G0 (oj) В± (г, R; г).(4.5.33)
Предположим также для простоты, что среда неднспергирующая (々 =(о/с), а поле в плоскости источника излучения 6-коррелировано в пространстве. Тогда согласно (33) и (9) пространственно-временная корреляционная функция в среде равна
+ со
В (г, R, т； z)= В (г, R,(0； z) e^iGiX dw =
Н-(矗)2备」ds1伉(3)/")/用力r, (4.5.34)
где'-
f = ^r(R^-R)-T.
Для квазимонохроматнческого поля со средней частотой ю0 (G()@)・ ■ G()((o —со。))выражение (34) можно упростить:
8(г, И, т; г)--(-^7)2 j /(R，)。®。' j Go(Q)gd£2d2R. (4.5.35)
Для гауссовского спектра поля, т. е. временной корреляционной функции (4.4.3), последний интеграл в (35) равен
(Q)=矗％『е-т产“ + 叫Q
(через т0 обозначено время корреляции исходного излучения). Следовательно, выражение (35) принимает вид
в (г, R, т; 2)=(銹)2,(七)【"露 + '%2r.(4,5.36)
Отсюда следует, что при 2力0 запись корреляционной функции поля в виде произведения временной и пространственной корреляционных функций остается справедливой при условии
I / + 工 I =【г (R' — R)/cz ； ^ т0, которое в координатах гх, г2 (3) и при，i=0, f = s можно записать как
sa/z < сто, s2/z < ст0,(4.5.37а, б)
где а—размер источника.
Подстановка в (37) вместо текущей координаты s радиуса корреляции гк (например, выражения (16) для монохроматического поля) показывает, что условие (37а) выполняется всегда (%%》1 или соиТо》1), а для выполненья условия (376) необходимо, чтобы
Z《G, /0 =(砌0)2Ь1%*(g/As)①2(4.5.38)
Таким образом, неполная временная когерентность поля не влияет на пространственную когерентность при выполнении (38). Радиус корреляции при этом пропорционален пройденному расстоянию z (II).
Оценим характерную длину /п. Пусть радиус источника излучения а^= I см, Д(о/(оп 10-4 н /г= I05 см-1; тогда /0I09 см. Следовательно, в прак
тических случаях временная немонохроматнчность излучения не оказывает влияния на пространственную когерентность, а произведение временной и пространственной корреляционных функций дает пространственно-временную корреляционную функцию поля.
В другом предельном случае, z》/0, согласно (36)
В® т； Z)〜ехр{—；言} и радиус корреляции оценивается как
& 弋 2 (直同1/2,(4,5,39)
т. е. пропорционален корню квадратному из длины z (см. также рис. 4.20).
Временная некогерентность изменяет, таким образом, закои роста радиуса корреляции с увеличением расстояния. Естественно, что пространственная некогерентиость влияет в свою очередь на временную когерентность поля (см. (36)). Однако па этом вопросе здесь не будем останавливаться,
Рис. 4.20. Зависимость радиуса корреляции некогерентного излучения от расстояния z при различных временах корреляции т0 [14].Рис. 4.20. Зависимость радиуса корреляции некогерентного излучения от расстояния z при различных временах корреляции т0 [14].Радиус источника I мм.Радиус источника I мм.
Рис. 4.20. Зависимость радиуса корреляции некогерентного излучения от расстояния z при различных временах корреляции т0 [14].
Рис. 4.20. Зависимость радиуса корреляции некогерентного излучения от расстояния z при различных временах корреляции т0 [14].
Радиус источника I мм.
Радиус источника I мм.
Дифракция частично когерентной волны на одном и двух отверстиях. До сих пор мы считали, что исходная волна 6-корре- лирована в пространстве. В реальных условиях радиус корреляции случайной волны или источника шумового излучения всегда имеет конечное значение.
Решение задачи о дифракции частично когерентной волны дается общей формулой (7), определяющей изменение пространственной когерентности волны в процессе распространения. Мы, однако, изложим здесь другой метод, удобный для описания распространения гауссовских световых пучков, поперечная корреляционная функция которых также имеет вид гауссовской кривой.
В квазиоптическом приближении гауссовская форма пучка и форма корреляционной функции в процессе распространения остаются неизменными; с пройденным расстоянием г изменяются лишь параметры этих кривых. Это связано со следующим обстоятельством.
Согласно общему решению (7) в этом случае для произвольного расстояния г поперечная корреляционная функция представляет собой свертку функции 吕丄。(г\ R ) гауссовского вида (4.2.31) и функции отклика, имеющей вид экспоненты, показатель которой квадратичен по г— г' и R —— R'. В подобных случаях интегральное преобразование (7) сохраняет гауссовский вид функции 月」(см. примеры расчета спектров и корреляционных функций в §§ 3 и 8 гл. 1).
Для рассматриваемого гауссовского пучка дифференциальное уравнение в частных производных для корреляционных функций можно свести к уравнениям в обыкновенных производных для функций, описывающих ширину пучка, ширину корреляционной функции и т. п.
В этом разделе мы используем такой подход для рассмотрения преобразования радиуса корреляции в пучке. А1ы установим весьма важный факт, заключающийся в том, что для реальной модели пучка с ненулевым начальным радиусом корреляции коэффициент когерентности пучка (см. § 8 гл. 1) сохраняется в процессе распространения, т. е. является статистическим-инвариантом пучка. (В гл. 8 мы воспользуемся таким подходом для изучения самофокусировки световых пучков.)
Рассмотрим сначала дифракцию частично когерентной волны на одном отверстии. Пусть амплитудный коэффициент пропускания (передаточная функция) отверстия равен
М (г) = ехр {— (г/。)*} (4.5.40)
и падающее излучение статистически изотропно в пространстве и имеет экспоненциальную корреляционную функцию. Тогда непосредственно за отверстием поперечная корреляционная функция волны равна
8丄о (г2» ri)=〈4 (ri)齒 G)〉=
= /<>ехр {—联一^р^—守解一г；)},(4.5.41а)
где а —радиус пучка, г0 — радиус корреляции, параметр а0 характеризует фазу корреляционной функции. В переменных R и г (3) функция (41а) имеет вид
8丄o(R, г) = /°ехр {—若一^•-ia()Rr}, (4.5.416)
где гЭфф определяется формулой (4.2.32). Изменение корреляционной функции (416) в процессе распространения волны описывается уравнением (4). Его решение ищем в виде
/а (г) Rrl. (4.5.42)
Выражение (42) представляет собой обобщение формулы (416). Производные функции (42) равны
(4.5.43a)(4.5.43a)符=/。[f' -fs'^-fh'託 一 ifo/Rr] exp {...}, 呐/8Rr
(4.5.43a)
(4.5.43a)
,.,2r2 + tah —,.,2r2 + tah —(4.5.436)(4.5.436)В (43a) штрих означает производную по г. Подставляем (43) в (4)и приравниваем нулю коэффициенты перед различными степе-В (43a) штрих означает производную по г. Подставляем (43) в (4)и приравниваем нулю коэффициенты перед различными степе-нями R^r71 (m, n = 0, 1, 2). В результате получаем уравненийнями R^r71 (m, n = 0, 1, 2). В результате получаем уравненийсистемусистему2一五%2一五%ggkaf = — а24kaf = — а2428"貓Ф28"貓Фh!Тh!Т22hg.hg.(4.5.44)(4.5.44)
,.,2r2 + tah —
,.,2r2 + tah —
(4.5.436)
(4.5.436)
В (43a) штрих означает производную по г. Подставляем (43) в (4)и приравниваем нулю коэффициенты перед различными степе-
В (43a) штрих означает производную по г. Подставляем (43) в (4)и приравниваем нулю коэффициенты перед различными степе-
нями R^r71 (m, n = 0, 1, 2). В результате получаем уравнений
нями R^r71 (m, n = 0, 1, 2). В результате получаем уравнений
систему
систему
2一五%
2一五%
g
g
kaf = — а24
kaf = — а24
2
8
"貓Ф
2
8
"貓Ф
h!
Т
h!
Т
2
2
hg.
hg.
(4.5.44)
(4.5.44)
(4.5.45)(4.5.45)
(4.5.45)
(4.5.45)
Значения функций в (44) при г = 0 следующие:
f (°) = g (°)=九(°) = 1，01 (°) =
Из (44) легко видеть, что
f(z) = g(z) = h(z).(4.5.46)
Подставляя первое уравнение системы (44) в последнее, получаем уравнение для функции /:
.一步+ ^(广户餐尸.(4547)
С помощью замены f~u-2 приходим к уравнению
仅明фф)2・
(4.5.48)
Это
уравнение имеет интеграл
(优)2= -/2——
(丿(^9ФФ)2
+ ^0»
(4.5.49)
где
постоянная интегрирования
& = (?『 + /£,4 =
也0Гэфф
2w'
(4.5.50)
/д — дифракционная длина. Интегрирование уравнения (49) дает
炉=[(^)2+公卜+ 2?z+l.(4.5.51)
Наконец, пользуясь соотношениями (44), находим функцию
а⑵=^■粵.(4.5.52)
Запишем функцию (42) с учетом полученных результатов (46), (51) и (52) и перейдем к переменным 口 и г2 (3)：
в丄(□，г?; z)=
=/"2 exp {- 〃1|审 + 3叱 ~i 畠(吟‘(ri —切]}•(4.5.53)
Отсюда нетрудно найти распределение интенсивности пучка (「1 =「2 = R)
/(R, z) = “exp{-^} = W2exp{-^}(4.5.54)
и степень когерентности ($ = □ — г2)
]y(s; z)| = exp{—焉} = ехр{—".(4.5.55)
Из (54) и (55) следует, что радиус пучка а ⑵ и радиус корреляции /\ (г) изменяются по одному и тому же закону：
。(zj — uutг к (z) = г 卢・(4.5.56а)
Следовательно, коэффициент когерентности пучка (см. § 8 гл. 1)
С = гк (г)/а (г) = г^аС = гк (г)/а (г) = г^а(4.5.566)(4.5.566)
С = гк (г)/а (г) = г^а
С = гк (г)/а (г) = г^а
(4.5.566)
(4.5.566)
пучка и корреляциипучка и корреляцииРис. 4.21. Зависимость радиуса корреляции дифрагированной на круглом отверстии частично когерентной волны от расстояния до отверстия：Рис. 4.21. Зависимость радиуса корреляции дифрагированной на круглом отверстии частично когерентной волны от расстояния до отверстия：/) дельта-коррелированная исходная волна; 2) г0 = =「1(0) R 0, а。=。； 3) г。= =г, (0) > г^ (0), а0 = 0;4} % — г, (0)^0, а0 < 0./) дельта-коррелированная исходная волна; 2) г0 = =「1(0) R 0, а。=。； 3) г。= =г, (0) > г^ (0), а0 = 0;4} % — г, (0)^0, а0 < 0.£［（符+发『，£［（符+发『，(4.5.58)(4.5.58)
пучка и корреляции
пучка и корреляции
Рис. 4.21. Зависимость радиуса корреляции дифрагированной на круглом отверстии частично когерентной волны от расстояния до отверстия：
Рис. 4.21. Зависимость радиуса корреляции дифрагированной на круглом отверстии частично когерентной волны от расстояния до отверстия：
/) дельта-коррелированная исходная волна; 2) г0 = =「1(0) R 0, а。=。； 3) г。= =г, (0) > г^ (0), а0 = 0;
4} % — г, (0)^0, а0 < 0.
/) дельта-коррелированная исходная волна; 2) г0 = =「1(0) R 0, а。=。； 3) г。= =г, (0) > г^ (0), а0 = 0;
4} % — г, (0)^0, а0 < 0.
£［（符+发『，
£［（符+发『，
(4.5.58)
(4.5.58)
есть постоянная величина, определяемая начальным значением (статистический инвариант пучка).
Согласно (51) в случае расходящихся пучков (а0 > 0) радиусы
монотонно увеличиваются с расстоянием. Интересно, что при % = 0 (рис. 4.21) и @》Л)в дальней зоне частично когерентного пучка (на расстояниях z, больших дифракционной длины /д (50)) радиус пучка определяется начальным радиусом корреляции:
q (z) = 2 У2 2/舐°,(4.5.57а)
а радиус корреляции определяется первоначальным значением радиуса пучка:
『к (n) = 2 /2 z/ka = J/2 Хг/ла, (4.5.576)
т. а. так же, как при 6-коррелированной исходной волне (см. (22)). В ближней зоне пучка (z《/J при ао = 0 как радиус пучка, так и радиус корреляции согласно (56), (50) не меняются.
В случае дифракции сходящегося пучка (сс0 < 0) радиусы пучка и корреля
ции сначала уменьшаются с расстоянием, достигая минимума при
а затем увеличиваются. На расстоянии г = г0 значение функции и (51) равно
炉⑵)= [(£)%+『•(4-5.59)
Дифракционной длиной для частично когерентного пучка является величина /д = йаг9фф/2 }л2 (50). На расстоянии 之=/又 радиусы пучка и корреляции увеличиваются в 丿2 раз (при а,, =«0). Если исходный радиус корреляции г0->-оо, то величина 厶 стремится к величине дифракционной длины для полностью когерентного пучка (/д->&а2/2).
Другой характерной длиной, которая возникает в рассматриваемой задаче, является длина продольной корреляции /н. Для ее оценки воспользуемся пространственно-временной аналогией, отмеченной в § 3, и формулой (4.4.12). Аналогом времени корре-
ляции тк является радиус поперечной корреляции г^ а аналогом дисперсионного параметра g-1 — волновое число k. В соответствии с этим искомая длина продольной корреляции равна
(4.5.60)(4.5.60)厶尸砧/2.
(4.5.60)
(4.5.60)
Значения полей в поперечных сечениях пучка, продольное расстояние между которыми превосходит масштаб (60), не коррели- рованы между собой. Ясно, что при 仆 С а длина /；| < /д.
Рис. 4 22, Упрощенная схема дифрактометра.Рис. 4 22, Упрощенная схема дифрактометра.Перейдем теперь к анализу дифракции частично когерентной волны на двух отверстиях (рис. 4.22). Фактически мы вернемся к интерферометру Юнга (рис. 4.1), при рассмотрении которого в § 2 было введено понятие пространственной когерентности и обоснован метод измерения поперечной корреляционной функции поля. Теперь мы располагаем теоретическими основами для более строгого расчета интерференционной картины при дифракции световой волны на двух отверстиях.
Рис. 4 22, Упрощенная схема дифрактометра.
Рис. 4 22, Упрощенная схема дифрактометра.
В схеме, изображенной на рис. 4.22, частичная когерент
ность волны возникает вследствие распространения излучения от некогерентного источника ао линзы Лп расположенной перед экраном Q с отверстиями 尸］и Р2. За экраном располагается вторая линза 几(на рис. 4.22 не показана), в фокальной плоскости которой наблюдается интерференция от двух отверстий. Изменение расстояния s между отверстиями 尸】и Р2 приводит к изменению распределения интенсивности в интерференционной картине (см. рис. 4.23). Рассчитаем это распределение интенсивности.
Согласно формуле (13) комплексная степень когерентности между точками Р】и Р2 экрана Q равна
(4.5.61)(4.5.61)у (s; L) = I у I е~^° = 2」：也 6一 ‘也,
(4.5.61)
(4.5.61)
где и = kas/L,屮()=々(启一6)/2L, а —радиус источника излучения, L — расстояние от источника до линзы Лв г； — расстояние от Р/ до оси пучка.
Для симметрично расположенных относительно оси точек Р】 и Р2 фаза 屮о = 0. Последнее условие считаем выполненным. Будем также предполагать, что радиусы отверстий одинаковы и гораздо меньше радиуса корреляции гк (16) излучения в плоскости экрана. Тогда распределения интенсивностей /(D и /з)от каждого отверстия даются формулой Эйри (17) для дифракции полностью когерентной волны на круглом отверстии. Если точка наблюдения Р служит фокусом для лучей, дифрагировэнных под углом <р к нор-
мали экрана Q, то согласно (17) с точностью до нормировочного множителя имеем
/а)(р)= /(2)(р)= (Е^)2,在=6呻，(4.5.62)
где ср = г//2, /2 — фокусное расстояние линзы Л2, г — расстояние от сси до точки Р, а — радиус отверстий R и % Разность фаз для лучей, дифрагированных к точке Р от двух отверстий, равна (см. рис_ 4.22)
6 = kP2N = ks sin ф =启中=工〃и,Z = L/tea. (4.5.63)
Подставляя (61) — (63) в выражение (4.2.6), для распределения интенсивности в фокальной плоскости линзы Л2 получаем
/(s,中)=2(空竺)[1+]含竺cos(屮⑺一工"。)],(4.5.64) где
[л, Ji(u) v0.
Кривые, рассчитанные по формуле (64), приведены на рис. 4.23, где представлены и фотографии интерференционных картин для различных расстояний s между отверстиями /\ и Р2. Пунктирные кривые рис. 4.23 соответствуют огибающим
輔回中)=2(屮加士|中卜
Заметим, что при значении фазы 屮=冗(рис. 4.23, Г, Д) интенсивность в центре интерференционной картины имеет относительный минимум.
Дифракция в фокусе линзы. Рассмотрим применительно к случайной волне классическую задачу оптики о фокусировке светового пучка. Естественно сжндать, что неполная когерентность пучка будет ухудшать возможность концентрации энергии в фокусе.
Тонкая линза, через которую проходит падающая волна, задерживает ее фазовый фронт на величину, пропорциональную толщине линзы, в каждой точке, т. е. тонкая линза изменяет фазу падающей волны, трансформируя ее волновой фронт. Передаточная функция сферической линзы [13]
м(r) = eхp ]号产｝.м(r) = eхp ]号产｝.(4.5.65)(4.5.65)
м(r) = eхp ]号产｝.
м(r) = eхp ]号产｝.
(4.5.65)
(4.5.65)
Здесь / — фокусное расстояние линзы. Для собирающих лннз/>0, для рассеивающих линз /< 0.
Пусть источник излучения находится па расстоянии 1г от линзы Л (плоскость г«=0, см. рис. 4.24). Комплексная амплитуда
Рис. 4.23. ИнтерференцияРис. 4.23. Интерференциядвухдвухчастично когерентных световых пучков [1]:частично когерентных световых пучков [1]:(Л) s«0,6 см;| V (S) I = 0,593;(S) s » 0.8 см;I “ ($) I = 0,361：(В) s = l см： I y (s) I = 0.146：(Л) s«0,6 см;| V (S) I = 0,593;(S) s » 0.8 см;I “ ($) I = 0,361：(В) s = l см： I y (s) I = 0.146：ООО--=■w屮wООО--=■w屮wа) Наблюдаемые интерференционные интенсивности; s — расстояние между ках Pi и Р, —0,14 см, средняя длинаа) Наблюдаемые интерференционные интенсивности; s — расстояние между ках Pi и Р, —0,14 см, средняя длина(Г)s » 1,2см; I т (s)I = 0,015；i|)=■ л.
Рис. 4.23. Интерференция
Рис. 4.23. Интерференция
двух
двух
частично когерентных световых пучков [1]:
частично когерентных световых пучков [1]:
(Л) s«0,6 см;| V (S) I = 0,593;
(S) s » 0.8 см;I “ ($) I = 0,361：
(В) s = l см： I y (s) I = 0.146：
(Л) s«0,6 см;| V (S) I = 0,593;
(S) s » 0.8 см;I “ ($) I = 0,361：
(В) s = l см： I y (s) I = 0.146：
ООО
--=■
w屮w
ООО
--=■
w屮w
а) Наблюдаемые интерференционные интенсивности; s — расстояние между ках Pi и Р, —0,14 см, средняя длина
а) Наблюдаемые интерференционные интенсивности; s — расстояние между ках Pi и Р, —0,14 см, средняя длина
(Д)s п 1.7см：| у ($)! =0,123；@0 几
(Е)$ =*2.3см：| у ($)； = 0,035：ib = 0
картины； б) теоретические кривые распределения отверстиями экрана Q, диаметр отверстий в точ- волны X == 579 нм. По оси абсцисс отложето значение
излучения источника А (г, г = 0) = До (г). Процесс распространения волны от источника до линзы описывается параболическим уравнением (1). Амплитуда волны непосредственно перед линзой дается выражением
+ оо
где
儿(Г — %)=凝 ехр {—味(г — Г„)2|(4.5.66а)
—функция Грина уравнения (1). Непосредственно после линзы амплитуда волны с учетом передаточной функции /И (г) (65) равна
4 (г) =М (г) 4 (г).(4.5.67)
За линзой процесс распространения волны описывается опять
Рис. 4.24. Прохождение частично когерентного светового пучка через линзу (качественная картина).
уравнением (1) На некотором расстоянии /2 от линзы для амплитуды волны имеем
А (г) = , Д2 (г2) Н2 (г 一 г2)炉尸2・(4.5.68)
Подстановка в (68) выражений (67) и (66) дает значение комплексной амплитуды А (г) через ее исходное значение До (г):
+ 8
Л (г)= \ Ао(г^Н(г, rJdVv(4.5.69)
Здесь Я (г, Г1) —функция Грина, характеризующая весь процесс распространения:
十8
，^2 (Г — Г2) М (г2) ^! (г2 — rj d2r2.(4:5.70)
Выражение (70) можно преобразовать к виду
Н (г, rt)=
=-(2冗)2 厶为 w{-，0(厶 +/)} , вхр{—Е 2 死 + 庆hQd?"；
=(冗/也d尸eXp {- ty 化 + ：：)-芍 叫，(4.5.71) где
g= ) + /： — ；,h=；： + ；.(4.5.72)
В оптически сопряженных плоскостях (7 = 0) выражение (71) дает 6-функцию:
"(r,门)=(一由eXр{一诰化 + ^)}6(可.(4.5.73)
В геометрической оптике условие д = 0 известно как формула линзы
р + г = у*(4.5.74)
Подставляя (73) в (69), получаем
十со^"(—^expB^m J 4(Г1)ехр {—磕 г；}х
"'Gt+ jd2r1 =(- 三)4(-^exp{—沦田盅}.(4.5.75)
Видно, что в оптически сопряженных плоскостях комплексные амплитуды световых пучков связаны довольно простым соотношением. Значение амплитуды меняется в l.b раз, поперечный пространственный размер пучка изменяется в 0/厶 раз. Кроме того, изображение перевернуто относительно первоначального. При выводе соотношения (75) мы нигде не использовали когерентные свойства пучков, поэтому оно справедливо как для полностью, так и для частично когерентных световых пучков.
Пользуясь (75), нетрудно получить свя:：ь между корреляционными функциями в оптически сопряженных плоскостях:
8 丄(Г1, г2)=
= (£) b丄。(一竹2, 一 В гJeхp ,左(4吉")(r—研.(4.5.76)
Отсюда следует, что, помимо изменения масштаба когерентности пучка, при прохождении им линзы происходит изменение фазы корреляционной функции.
Для степени когерентности в оптически сопряженных плоскостях из (76) имеем
1?(5)=!Yo(W2)I-
В силу этого изменение радиуса корреляции при прохождении
через линзу определяется соотношением
(4.5.77)
Если исходный пучок находится на двойном фокусном расстоянии 21=2/, то расстояние 厶=2/ и радиус корреляции пучка остается неизменным: гк = г0. Следует, однако, подчеркнуть, что
фаза корреляционно!'! функции в этом случае изменяется: появляется дополнительный множитель вхр R 冴(г^ — r；)j (см. (76)), Рассмотрим еще один пример фокусировки сферической линзой частично когерентного светового пучка. Пусть пучок задан непосредственно перед линзой (/1^0), причем его поперечная корреляционная функция 8丄o(r, 「1) дается выражением (41а). Найдем минимальные размеры сфокусированного пучка и соответствующую интенсивность. Для такой постановки решение задачи фактически содержится в предыдущем разделе. Здесь только надо учесть изменение фазы корреляционной функции, вносимое линзой. Сразу же после линзы, в соответствии с (41а) и (65),
В(Г2, Г1) = 8丄〃Г2, Г0ехр 卜输①一圖｝.(4.5.78)
Из (78) и (41а) видно, что для использования результатов, следующих за формулой (41а), нужно произвести замену
а()~>• а。一々/厶(4.5.79)
Наиболее интересными являются результаты при а0<^/Д когда существует расстояние z()关 0, при котором радиусы корреляции и пучка минимальны. В соответствии с (58) расстояние до области перетяжки“
2。=什一 R + /升 (4.5.80)
Дифракционная длина 厶 частично когерентного пучка определяется (50). В геометрооптическом приближении (々一>сю, /д-> ->ос), как и следовало ожидать,
z； =/•(4.5.81)
Дифракция приводит к отличию значения г0 от /. При а0 = 0 расстояние до перетяжки
益=%1+(〃/『］(4.5.82)
меньше, чем фокусное расстояние линзы (рис. 4.25).
Для полностью когерентного пучка, полагая /д->оо, из (80) имеем
* =月//他—«о/)т(4.5.83)
т. е. при наличии регулярной кривизны волнового фронта 似()寸=0) z；>f・ В общем случае значение г0 для частично когерентных пучков определяется конкуренцией дифракционных эффектов и эффектов, связанных с фазой корреляционной функции. Зависимость положения области перетяжки пучка от фазы корреляционной функции можно использовать, очевидно, для определения величины а0-
Распределение интенсивности в области перетяжки согласно (54) равно
/(г, Zo) = A)〃-2(z0)exp{_^^},(4.5.84)
где 〃2(zo)определяется (59):
吗 Z°) = [l + (1—竿(4.5.85)
Здесь наличие а。# 0 эквивалентно изменению дифракционной длины /д, поэтому далее считаем ао = О.
Радиус пучка в области перетяжки
amg ⑵)=а〃 ⑸)={1 十(：)}2J・(4.5.86)
Интенсивность в центре пучка
/ Q Zo) = “l +件『卜(7)3。=(就城(4587)
Приближенные равенства в (£6) и (87) справедливы при 4》f.
Для случая регулярных гауссовских пучков в формулах (86) и (87) го нужно заменить на а/]/2. Таким образом, при фокуси
Рис. 4.25. Фокусировка частично когерентного светового пучка: /)I Ф^, ао=и： 2)| ->со, а0^о.Рис. 4.25. Фокусировка частично когерентного светового пучка: /)I Ф^, ао=и： 2)| ->со, а0^о.ровке частично когерентных световых пучков интенсивность в области перетяжки меньше, чем для когерентных пучков, в ^ = =а2/2г- раз; соответственно ео столько же раз увеличивается площадь пятна 6 перетяоюке. Величина ^ равна среднему числу неоднородностей в пучке.
Рис. 4.25. Фокусировка частично когерентного светового пучка: /)I Ф^, ао=и： 2)| ->со, а0^о.
Рис. 4.25. Фокусировка частично когерентного светового пучка: /)I Ф^, ао=и： 2)| ->со, а0^о.
Покажем теперь, что линзу можно применять в качестве эле-
мента, позволяющего измерить угловой спектр излучения. Обратимся к формуле (68), описывающей поле за линзой. Поскольку анализируемое излучение задано непосредственно перед линзой (厶=0), то согласно (68) имеем
十8
4(r)= J 4<)(Г1) exp {i^ri}〃(ri-r)d2ri
или, учитывая вид функции Грина (66а),
"⑴=為 § 人(口) еxр 卜 . ；:(Г - 口户 + i 2；4/I, (4.5.88)
где / — расстояние от линзы. В фокальной плоскости линзы, т. е. при Z = f, амплитуда поля
"(г)= ^ехр(-；；г2)/ 4(Г1)ехр(-,・/гГ1“2Г1 (4.5.89)
есть фурье-образ исходного поля. Отличие от точного фурье- спектра поля св зано с фазовым множителем, стоящим перед интегралом.
В соответствии с (89) распределение интенсивности в фокусе линзы
/依)=儒了齐8丄。伯，Г1) exp {咛 RS-rj} #/•"%•(4.5.90)
В координатах г и R (3) выражение (90) принимает вид
/ (R)=(銹 fj Sio (匸 R，) exp {—咛 Rr] * 関，(4.59)
— co
и с точностью до постоянного множителя совпадает со спектром (4.2.27) случайного поля, причем поперечной компоненте х волнового вектора соответствует величина k^/f. В связи с этим можно воспользоваться выводами § 2. Так, например, формула (4.2.34) и рис. 4.9 показывают зависимость углового спектра (фокального размера пятна A8=s/力 от параметров исходного пучка.
Распространение случайных волн в оптических волокнах. Задача о распространении случайных волн в оптических волокнах относится к классу задач о распространении волн в средах с регулярными неоднородностями. В общем случае такой процесс описывается уравнением
裝+ А 丄(г)Е —乎磊 Е = 0.(4.5.92)
Напомним, что ось z имеет направление распространения волны, Ai (г) — поперечный лапласиан, е (г) — диэлектрическая проницаемость, изменяющаяся в направлении, поперечном распространению.
Рассмотрим среду с квадратичным законом изменения диэлектрической проницаемости:
8(г)= &о{1 —д2「2}(4.5.93)
Параметр q определяет скорость изменения е (г) *).
Решение уравнения (92) для квазиплоских монохроматических волн ищем в виде
£(r, z)—Л (z, r)/®f-Az),(4.5.94)
♦) Далее для краткости такую среду будем называть средой с кеадрашч- ноН неоднородностью.
где волновое число /г0 =(о0 Ке0/с. В квазиоптическом приближении для комплексной амплитуды А получаем (см (4.3.34))
石' + z 力一Aj.4—y ^о92г2^ = О.(4.5.95)
Мы рассмотрим решение уравнения (95) с помощью разложения по модам. Решение уравнения (95) в виде разложения по модам [15, 16] имеет вид
т, я= О
X eхр {一 " ^力 + ig (1 +加+几)卜(4.5.96)
Здесь Нт © — полиномы Эрмита, а^ характеризует модовый размер пятна： Яо = (2/哂＞)1/2.(4.5.97)
Коэффициенты разложения Атп определяются условиями на границе при z = 0:
叫一冗若叩г!川J
X exp {一 ^^} "p,(4,5.98)
где 4()(p) = /(p, z = 0),吟)=壮己小|.
Подставляя Amn в (96), амплитуду Л (г, z) можно представить в виде
л (г, z)= § К (г, р) Ло (р) dp.(4.5,99)
Ядро К (г, р) определяется выражением
К (「，卩)=三溟"5 (匕 Е； z)S&, т|； z) ехр ■(一 吋 P, ,(4.5,100)
S(招自；z) = 2 統Hm 年"" ^). (4.5.101) m=0
Пользуясь формулой Me лер а [17]
гГ Нт (X) Hm{y)^{\-Z^2 ехр f 轡-二(尸疗)} ,(4.б.Ю2)
m=M)
выражение (101) можно сиернуть;
S(x, Е； z)=
ixP {贷1 -蜀⑵ sin g)T/2 exp {i 穹产 ctg g - i 察}.(4.5.103)
В результате функция (100) принимает вид
к k p) = i 怨;? exp * [屮(г. z)十4 (p, z)_ ；卩(z) rplj , (4.5.104)
где
<р (Г, г) =у ^ [р (г) cos ?г] r«, Р Q) = "^7.
Определим поперечную корреляционную функцию: + со
в丄 G,「2； z) =，\ К &, Pl) X*(Г2( р3) В丄о (Р2, Р1)眸1 眸2・(45105)
Пусть падающие пучок 6-коррелнрован в пространстве (см. (8)):
8 丄о (Р1，Р2)==〈4 (Pi)缉(Р2)〉= »/ (Pi) 6 (Pl Р2)・
Тогда корреляционная функция (105) дается выражением (см, также [16])
s± (口，Q； г) = (jj^^7『 exp {— i [<р (г” z)-<p (га, 2)]}X
X , / (p) exp |f₽^2 (ra- Г1) p} d»p. (4.5.106)
Пря g = 0 (p=l) нз (106) получаем результат (9) для однородной среды. Выражение (106) представляет собой, таким образом, обобщение теоремы Ван Циттерта—Цернике на среды с квадратичной неоднородностью в поперечном сечении. По существу, отличне (106) от случая однородной среды состоит в замене расстояния z на некеторое эффективное расстояние 29фф ===
=-L sin gz. Отсюда ясно, что когерентные свойства волны являются периодической функцией расстояния z. Это обусловлено тем обстоятельством, что среда с квадратичной неоднородностью действует как линза и, следовательно, на определенном расстоянии воспроизводит характеристики падающего излучения (см. (76)),
Если на рассматриваемую неоднородную среду падает пространственно некогерентный пучок радиуса а с равномерным распределением интенсивности, то, пользуясь формулой (14), можно сразу, не интегрируя (106), написать выражение для степени пространственной когерентности поля:
W(s; z)] = I 2/10)/；], где s==koaqs/^n qz.
Радиус корреляции равен (ср, с (16))
гк = 0,16Л I sin ^2 \/aq,(4.5,107)
Изменение гк с расстоянием в однородной и неоднородной средах показано на рис. 4,26.
Общая формула (105) допускает анализ распространения пучков с начальным ненулевым радиусом корреляции в средах с квадратичной неоднородностью, например пучков, имеющих корреляционную функцию вида (41), Однако 口』貝 анализа распространения частично когерентных пучков мы применим ме- год, изложенный в начале параграфа.
Из уравнения для корреляционной функции поля, следуя этой методике, получим уравнение вида (ср, с (4))
-汾炉Rr} 2丄(r, R; z) = 0.(4.5.108)
Решение уравнения (108), как и в случае однородной среды (д=0), ищем в виде (42):
{
2R2г2)
—g(z)3八⑵ 嗑ia (z) R1■卜(45109)
На границе среды (z = 0)
f (0) = g (°)=八(0) = 1,仪(。)=仪0， гэфф = ro2 + а"2^(4.5.110)
(а и г()—радиусы пучка и корреляции соответственно).
Рис, 4,26. Зависимостьрадиуса корреляции пер-воначально 6-коррелиро-ванного пучка от рас-стояния:/ — в однородной среде, 2 —всреде с квадратнчной неод-нородностью.Рис, 4,26. Зависимостьрадиуса корреляции пер-воначально 6-коррелиро-ванного пучка от рас-стояния:/ — в однородной среде, 2 —всреде с квадратнчной неод-нородностью.Рис, 4.27. Изменение в среде с квадратичной неоднородностью ра* диуса пучка и радиуса корреляции:/) q%V 1； 2) q%> I-Рис, 4.27. Изменение в среде с квадратичной неоднородностью ра* диуса пучка и радиуса корреляции:/) q%V 1； 2) q%> I-Подстановка (109) в (108) после приравнивания нулю коэффициентов перед различными степенями 穴加厂以 приводит к следующим уравнениям:Подстановка (109) в (108) после приравнивания нулю коэффициентов перед различными степенями 穴加厂以 приводит к следующим уравнениям:
Рис, 4,26. Зависимостьрадиуса корреляции пер-воначально 6-коррелиро-ванного пучка от рас-стояния:
/ — в однородной среде, 2 —всреде с квадратнчной неод-нородностью.
Рис, 4,26. Зависимостьрадиуса корреляции пер-воначально 6-коррелиро-ванного пучка от рас-стояния:
/ — в однородной среде, 2 —всреде с квадратнчной неод-нородностью.
Рис, 4.27. Изменение в среде с квадратичной неоднородностью ра* диуса пучка и радиуса корреляции:
/) q%V 1； 2) q%> I-
Рис, 4.27. Изменение в среде с квадратичной неоднородностью ра* диуса пучка и радиуса корреляции:
/) q%V 1； 2) q%> I-
Подстановка (109) в (108) после приравнивания нулю коэффициентов перед различными степенями 穴加厂以 приводит к следующим уравнениям:
Подстановка (109) в (108) после приравнивания нулю коэффициентов перед различными степенями 穴加厂以 приводит к следующим уравнениям:
产 g， 勿 2аT=g=方=一尼产 g， 勿 2аT=g=方=一尼M^-^+^i^-CW. (4.5.111)M^-^+^i^-CW. (4.5.111)
产 g， 勿 2а
T=g=方=一尼
产 g， 勿 2а
T=g=方=一尼
M^-^+^i^-CW. (4.5.111)
M^-^+^i^-CW. (4.5.111)
Заметим, что при g = 0 постоянный член в уравнении для а выпадает и мьл приходим к уравнению (44),
Из (111) для функции 〃 =厂"2 получаем (ср. с (48))
+啜=■(4.5.112)
\ Z /(&)"эфф)
Решение (112) с учетом условий (110) при а0 —0 дает
〃£ = cos2 gz +) sin2 qz.(4.5,113)
Дифракционная длина /д определяется выражением (50),
Изменение радиусов пучка и корреляции в процессе распространения определяется формулами (56а), Таким образом, в среде с квадратичной пеод-
нородностыо указанные параметры в общем случае изменяются периодически (рис. 4.27). Если же дифракционные эффекты уравновешиваются фокусирующей способностью среды(匕工广％ то параметры частично когерентного пучка остаются неизменными (〃 三 1),
Дифракция случайных волн на трехмерных структурах.
Динамическое рассеяние частично когерентного рентгеновского излучения в совершенных кристаллах
Интересные дифракционные явления возникают при рассеянии электромагнитных волн на трехмерных периодических структурах. Одни из наиболее важных примеров—дифракция рентгеновского излучения на кристаллической решетке совершейного кристалла. Если излучение обладает высокой степенью пространственной и временной когерентности, фазы вторичных волн, рассеянных различными атомами кристаллической решетки, жестко связаны.
Возникающие при этом когерентные взаимодействия многократно рассеянных волн приводят к разнообразным эффектам динамического рассеяния, таким, как «маятниковые биения», эффект Боррмана и др. (см, [28, 57]), Теоретическая интерпретация этих явлений основывается на модели взаимодействия двух связанных волн в кристалле, обменивающихся энергией при последовательных актах рассеяния на атомах решетки. Эффекты динамического рассеяния могут быть положены в основу весьма точных методов изучения кристаллов; в последние годы обсуждаются возможности их использования для создания резонаторов рентгеновских и гамма-лазеров.
Несовершенства, дефекты кристаллической структуры смазывают эффекты многократного рассеяния; в этом случае в рентгеновской оптике говорят о кинематическом рассеянии.
Естественно ожидать, что к - аналогичным явлениям будет приводить и неполная когерентность рентгеновского излучения. Как влияет неполная временная и пространственная когерентность рассеиваемого излучения на основные эффекты динамического рассеяния рентгеновского излучения в совершенных кристаллах? Этот вопрос рассматривается в настоящем параграфе на-при- мере дифракционных явлений, описываемых в так называемом двухволновом приближении). Как и при рассмотрении в § 5 оптических дифракционных задач, здесь возможна обратная постановка задачи — эффекты динамического рассеяния могут быть положены в основу методов измерения пространственных и временных корреляционных функций рентгеновского излучения,
В общем виде распространение электромагнитных волн в неоднородных средах описывается уравнением (4.3,3). Поляризация (4.3.2) для случая изотропной среды
Р(г, /) =，// (/', г) £(，一，'，г)山'；
О
при этом волновое уравнение имеет вид
02七d2P
c'AEf+4 當(46.1)
(А —оператор Лапласа). Для периодически неоднородных сред восприимчивость Н (г) можно разложить в ряд Фурье [28, 57]:
"(" Н е k九ei%r, x九二厂1 、 "(Г)於从既 (462a, 6)
Здееь V—объем элементарной ячейки кристалла, суммирование производится по векторам обратной решетки кл.
В двухволновом приближении решение уравнения (1) отыскиваем в виде (см. также [25—27])
£(г, £)=4。(г, /) ехр (―也「+ 心/) + 4九(г, /)ехр [—i(% + k/1H+ ®f],
(4.6,3) где 40 (г, 0 и 力九(г, 0 — амплитуды падающей и рассеянной волн,(оо~средняя частота спектра волны. Эффективное динамическое рассеяние имеет место, если приближенно удовлетворяется условие брэгговского отражения:
(ko + kjp 端.
Пользуясь методом медленно меняющихся амплитуд, в первом порядке по малому параметру ц (卩〜％=4冗乂《1) получаем (ср. с (4.3.29))
翁[(k0 + k九)V + *一 ^^ 4九=х九4。+ (左 + 26)人，
где 26 = 1 —k~- (kj + kft)2 —брэгговская расстройка. При выводе (4) для поляризации 尸 использовано разложение (4.3.8).
Экспериментально наблюдение эффектов динамического рассеяния реализуется либо в схеме Лауэ, либо в схеме Брэгга; для определенности рассмотрим симметричную геометрию (рис. 4.28); излучение падает на входную грань кристалла z = 0, при этом в схеме Лауэ к九丄 z, в схеме Брэгга кл z, В системе координат, изображенной на рис. 4.28, уравнения (4) имеют вид
^ fe-2f居^ fe-2f居疝"^ + с% " ^ + ^ ^) %。=加儿 + xM九，
^ fe-2f居
^ fe-2f居
001 ；\(465)
军或""爲 ± С°s"五 + 0五)"九="九"° +出+ 2°)"九
(верхний знак относится к геометрии Лауэ, иижний — Брэгга).
В рассматриваемом приближении эффекты дифракционного расплывания не учитываются (предполагается, что толщина кристалла z < /д (4.5.50)). Система (5) эквивалентна одному уравнению второго порядка и, так же как волновое уравнение, описывает эффекты интерференционного смешения, обусловленные переотражениями от кристаллических плоскостей. Отметим, что эти эффекты существенно двумерны; в используемом приближении проходя1ций и рассеянный пучки не претерпевают изменений по координате ортогональнрц
плоскости, в которой лежат векторы к0 и кл. Векторные же эффекты, связанные с поляризацией падающего излучения и анизотропией восприимчивости, малы в обычных кристаллах и становятся заметными лишь в сильно анизотропных кристаллах (пример для оптического диапазона—холестерические жидкие кристаллы) [26, 30].
Рис. 4.28. Геометрия динамического рассеяния: а) схема Лауэ； 6)схема Брэгга.Рис. 4.28. Геометрия динамического рассеяния: а) схема Лауэ； 6)схема Брэгга.
Рис. 4.28. Геометрия динамического рассеяния: а) схема Лауэ； 6)схема Брэгга.
Рис. 4.28. Геометрия динамического рассеяния: а) схема Лауэ； 6)схема Брэгга.
Решение уравнений (5) в квадратурах может быть найдено методом Фурье (см. § 3 гл. 3) или методом Рнмана. Приведем выражение для полной энергии, рассеянной кристаллом под брэгговским углом ):
з九(2) = \、d尤或 8/^3 炉，f,，，z), где корреляционная функция рассеянного излучения
в г1fl (К,炉，f,匕 2)Н〈乙(% f, z)臂(К 尸，z)).
Предположим, что корреляционная функция падающего на кристалл излу* чения имеет гауссовскую форму, Т- е.
Воо(/ х\ 么九 0)Воо(/ х\ 么九 0)叭叭ехрехр^имп^о^имп^о(Х-]-Х/)2 COS2 О (Х — £)2 COS2 b(Х-]-Х/)2 COS2 О (Х — £)2 COS2 b
Воо(/ х\ 么九 0)
Воо(/ х\ 么九 0)
叭
叭
ехр
ехр
^имп^о
^имп^о
(Х-]-Х/)2 COS2 О (Х — £)2 COS2 b
(Х-]-Х/)2 COS2 О (Х — £)2 COS2 b
[c(f + f') -(工 +炉)sin 0]2 [e (f 一尸)—(х一亡)sin 6]2(2小02：(叫户
(4.6.0)(4.6.0)+ 竇(炉一炉2) cos2 6 —洋[(cZ —xsin 6)2— (с尸一炉 Siu 6)2j|.
(4.6.0)
(4.6.0)
Корреляционная функция в (6) записана в наиболее общем виде: для ограниченного в пространстве и времени волнового пакета, испытывающего одновременно регулярную н случайную пространственно-временную модуляцию. В (6) а0— ширина пучка, /? —радиус кривизны волнового фронта, г0 —радиус корреляции, т0 —время корреляции, тим!1 — длительность импульса, Г — обратный
период частотной модуляции. Для геометрии Дауэ получим
叫（2）吃叫（2）吃^1 j^-~ r^ exp {— koz Irnxo cos 6}，daF^{z9 a) exp^1 j^-~ r^ exp {— koz Irnxo cos 6}，daF^{z9 a) exp尸Л(2，°)=(Z cos О)? sine尸Л(2，°)=(Z cos О)? sine｛為心+粤-曾炉『｛為心+粤-曾炉『(4.6.7)(4.6.7)
叫（2）吃
叫（2）吃
^1 j^-~ r^ exp {— koz Irnxo cos 6}，daF^{z9 a) exp
^1 j^-~ r^ exp {— koz Irnxo cos 6}，daF^{z9 a) exp
尸Л(2，°)=(Z cos О)? sine
尸Л(2，°)=(Z cos О)? sine
｛為心+粤-曾炉『
｛為心+粤-曾炉『
(4.6.7)
(4.6.7)
В формуле (7) имеющий размерность длины параметр 厂刀 определяется сооь
ношением
(гл sin 8)т = cos? 6 6 + (圖卜(響)2 jv + (『)) схеме Брэгга имеем
，da 尸^ Q, a) exp，da 尸^ Q, a) exp(4.6,8)(4.6,8)吋九（Z）=咼”五2% 一 8 储/2
，da 尸^ Q, a) exp
，da 尸^ Q, a) exp
(4.6,8)
(4.6,8)
/Q,T際Y+Q丁叫急［（喲/门tq.
где Q=a——左о (Хо + 6)/2, а аналогичный гл параметр гБ определяется соотно
шением-
（，В COS旷』叫6 + （讐川+ （響г卜叶（屮井
Полученные формулы позволят провести полный анализ влияния когерентности рентгеновского излучения на картину динамического рассеяния.
Далее главный акцент будет сделан на эффекты динамического рассеяния в геометрии Дауэ; следующее ниже рассмотрение основывается на анализе формулы (7). Заметим сразу, что параметры модуляции, радиусы временной и пространственной когерентности входят в (7) только через величину 5 Фактически величина 5 имеет смысл «эффективного» радиуса когерентности; с ана、 логичной ситуацией мы уже встречались, рассматривая дифракцию ограничен- иого светового пучка со случайной поперечной структурой (см. формулу (4.5.416)).
Выясним теперь, как влияет некогереитность излучения на проявление основных эффектов динамического рассеяния.
В «тонком» (слабопоглощающем, z -< (Ло Im Хол)-1) кристалле основной эффект рассеяния—это «маятниковые биения», т. е. периодический по координате распространения обмен энергией между проходящей и рассеянной волнами [28]. Для когерентного излучения (/■〃-> 8)этот обмен описывает простая формула (брэгговскую расстройку считаем малой, kQdz《1):
где чкетинкиионная длина Lskc = 2 (也(,| 乂无 |)一】；резкость маятниковой картины в координатах «энергия рассеяния—толщина кристалла» равна единице
Аналогичные решения можно записать для остальных корреляционных функции.
Для анализа рассеяния частично когерентного излучения поступим так же, как и выше (см. § 3) при переходе от волнового уравиения к параболическому в задачах дифракции оптических волн. Отыщем решение (12) в виде (15), считая коэффициенты С十(卩& 卩"+) функциями, медленно меняющимися на расстояниях порядка Лэкс. Здесь малый параметр 卩 порядка £экс/г0; предполагается также, что корреляционные функции быстро спадают при 己->8
Рис. 4.31. Изменение нормированной функции рассеянной волны с толщиной кристалла при различных значениях х/Лвжс:/} 2; 2) 4; 3) 8： 4) ОО. (b9Kcsme/r0)2«0,5.Рис. 4.31. Изменение нормированной функции рассеянной волны с толщиной кристалла при различных значениях х/Лвжс:/} 2; 2) 4; 3) 8： 4) ОО. (b9Kcsme/r0)2«0,5.
Рис. 4.31. Изменение нормированной функции рассеянной волны с толщиной кристалла при различных значениях х/Лвжс:
/} 2; 2) 4; 3) 8： 4) ОО. (b9Kcsme/r0)2«0,5.
Рис. 4.31. Изменение нормированной функции рассеянной волны с толщиной кристалла при различных значениях х/Лвжс:
/} 2; 2) 4; 3) 8： 4) ОО. (b9Kcsme/r0)2«0,5.
(переход в область тени при движении точки поперек пучка). Подставляя указанное представление амплитуд С+ в (14), приходим к параболическим уравнениям —
(± 以 ^ 一击)。± П " (4.6.16)
которые дают расплывание волнового пучка с ростом ； в поперечном сечении. С учетом граничных условий (6), упрощающихся для анализируемого- монохроматического излучения, согласно (16) получаем, например (рис. 4.31),
УллУлл2月九九（2,十一犬）% （0, 0）2月九九（2,十一犬）% （0, 0）= ехр= ехр(Х—£)2 COS2 6(Х—£)2 COS2 6扑+帰「叫（宀）+排也扑+帰「叫（宀）+排也z (л — Xf)- COS2 6 I r f (л—лл}3 COS2 и j 一&M統 l-(z/5叮/ eXP「國［1+(2/L睜闻■z (л — Xf)- COS2 6 I r f (л—лл}3 COS2 и j 一&M統 l-(z/5叮/ eXP「國［1+(2/L睜闻■(4.6.17)(4.6.17)
Улл
Улл
2月九九（2,十一犬）
% （0, 0）
2月九九（2,十一犬）
% （0, 0）
= ехр
= ехр
(Х—£)2 COS2 6
(Х—£)2 COS2 6
扑+帰「叫（宀）+排也
扑+帰「叫（宀）+排也
z (л — Xf)- COS2 6 I r f (л—лл}3 COS2 и j 一&M統 l-(z/5叮/ eXP「國［1+(2/L睜闻■
z (л — Xf)- COS2 6 I r f (л—лл}3 COS2 и j 一&M統 l-(z/5叮/ eXP「國［1+(2/L睜闻■
(4.6.17)
(4.6.17)
Определим здесь радиус корреляции как
+ 8一
（尤一X）（尤一£）2 I Bhh I2"上一P（I；）:瓦；？一
Из (17) можно получить довольно громоздкое выражение для rK (z), которое в пределе rQ-> 0 (некогерентное исходное излучение) дает
& (z)^(zL3KC)1/2 tg б.(4.6.18)
Угловая зависимость в (18) интерпретируется следующим образом. При 6«=0 имеется вырождение (论无=0), которое исключает перемешивание пучков, поэтому гк — 0. Отметим, что при Л9КС ->0 формула (18) неприменима, так как она получена в предположении L9KC》г0.
Формулу (18) можно рассматривать как аналог теоремы Ван Циттерта — Цернике для светового пучка, испытывающего динамическое рассеяние в трехмерном кристалле; как и в (4.5.11), радиус корреляции увеличивается с пройденным расстоянием. Одиако физика увеличения пространственной когерентности здесь иная： при динамическом рассеянии радиус корреляции увеличивается за счет иитерференциониого сложения воли при многократных переотражениях от атомных плоскостей; радиус апертуры в (18), в отличие от (4.5.11), вообще ие входит (напомним, что в уравнениях (5) поперечный лапласиан опущен; пучки считаются широкими, а/Д9КС》1).
Как уже отмечалось, векторный характер динамического рассеяния становится существенным, когда анизотропию хл нельзя считать малой. Такой пример в рентгеновском диапазоне отсутствует; в видимом и ближнем ИК*Диапа- зоиах указанная ситуация реализуется при наклонном падении волнового пучка на холестерический жидкий кристалл (ХЖК). Если ось ХЖК направлена вдоль оси х, его диэлектрическая проницаемость равна
/2о + 600\
2 = ( 0 е0 + 6 cos (^qx)— 6sin(2q%)},(4.6.19)
\ 0—3sin(2g%) £0 — 6 cos ^qx}j
где ^ — обратный шаг спирали, eQ= (е^-|-81)/2, 6 = (8“一2 丄)/2 (q； и ех — соответственно продольная и поперечная компоненты диэлектрической проницаемости) [30].
При 6^л/4 и точном выполнении условия Вульфа — Брэгга 2%； ? х X sin 0/c = i? распространение светового пучка в ХЖК описывается ур авне- ииями (5), где роль Ао и Аиграют амплитуды эллиптически поляризованных компонент проходящей и рассеянной волн:
40 九=4, Л) sin 6 +(4.6.20)
(оси q’a ') направлены перпендикулярно у к 岛，д). Решение уравнений для этих амплитуд, помимо уже проанализироваииого эффекта увеличения радиуса корреляции rK (z), дает также изменение степени поляризации проходящего и рассеянного пучков [26]. Определяя интегральную степень поляризации в функции %, как в [26J, находим, например, для проходящего пучка
Po=(1-Q(z))/(3 + Q(z)),(4.6.21)
Q ⑶ Т + 广 C0S + 2 arctg 昌•
Рассеивающимся под брэгговским yi лом пучок при ^том оказывается полностью поляр изова нным.
Дифракция регулярной волны на случайном экране
Здесь мы рассмотрим задачу, по постановке противоположную задачам § 5, в котором изучалась дифракция случайной волны. Проанализируем задачу о дифракции когерентного светового пучка на плоском экране со случайным пропусканием М (г). В общем случае функция М (г) является комплексной:
М(г) = т(г)仆),М(г) = т(г)仆),(4.7.1)(4.7.1)
М(г) = т(г)仆),
М(г) = т(г)仆),
(4.7.1)
(4.7.1)
где m (г) — амплитудный коэффициент пропускания, Ф (г) — фаза. Изменение т(г) связано с изменением прозрачности экрана, а изменение фазы Ф (г) — с изменением толщины или коэффициента преломления экрана. Эта задача представляет интерес как в статистической оптике, так и в статистической теории антенн [11, 18-23, 45].
Рис. 4.32. Фокусировка светового пучка на вращающийся матовый диск.Рис. 4.32. Фокусировка светового пучка на вращающийся матовый диск.Можно выделить весьма важный частный случай, когда т= 1 и, следовательно, М (г) = ^ф(г)； такой случайный экран называ^ ется фазовым. Модель рассеивающего объекта как случайного фазового экрана является довольно распространенной как в радиофизике, так и в оптике. Она успешно используется для изучения распространения волн в неоднородной ионосфере и межзвездной плазме, турбулентных средах.
Рис. 4.32. Фокусировка светового пучка на вращающийся матовый диск.
Рис. 4.32. Фокусировка светового пучка на вращающийся матовый диск.
Случайный фазовый экран достаточно подробно изучен и теоретически [42, 43, 46]. Поэтому ниже мы ограничимся рассмотрением лишь одного примера, заимствованно
го из оптики. Речь пойдет о модели так называемого квазитепло- вого источника света, реализующейся при рассеянии когерентной световой волны (например, от лазера) на вращающемся матовом диске [20 — 22]. Такой источник часто используется в экспериментах по статистической оптике, он детально изучался экспериментально, так что здесь возможно подробное сравнение теории и эксперимента.
Случайный фазовый экран. Пусть на движущийся фазовый экран нормально падает лазерный пучок с гауссовским профилем (мода ТЕМоо), предварительно прошедший через линзу (рис. 4.32). В плоскости экрана комплексную амплитуду пучка можно представить в виде
4 (г) = 4 ехр {- ^ - е},(4.7.2)
где а — радиус пучка на экране, коэффициент а характеризует расходимость пучка, значения & и cz определяются фокусным расстоянием линзы и расстоянием от линзы до экрана.
Непосредственно за случайным фазовым экраном имеем
А (г, 0 = Ло (г) d①г—W)= 4c exp {— ^ — ^ar2 + /Ф (г 一 vf)}, (4.7.3) где v — скорость движения экрана (экран с «замороженными» неоднородностями). Случайный процесс Ф (г) считаем статистически изотропным, дисперсия процесса Ф2 = <Тф, а коэффициент корреляции
Y①(s) =Ф(г)Ф(г + s)/o：d.(4.7.4)
Поскольку флуктуации Ф (г) связаны с изменением толщины экрана й (г):
2л Ап
то дисперсия 琏=(察了'， 近=庐，(4.7.5)
1 —длина волны излучения, An — разность показателей преломления материала экрана и окружающей среды.
Изменение дифрагированного поля на расстоянии / от случайного экрана до плоскости наблюдения дается выражением типа (4.5.66):
+ 8
A (г, /； 9= \ {()(Г0e例门一的"什一r0d%, 一8(4.7.6)
"(r-г1)=爆eхp {一育(r 一寸}.
Временная корреляционная функция рассеянного поля при этом записывается следующим образом:
В (г, /； т)= (Л (г, /； /)Л*(П /； f + t)〉=
=芬 4 (Г1) At (г2) Я (г — Г0 Я* (г - г2)义
X (exp i [①(口 — vi) — Ф (r2 — v (f + т))]) d2rl d2G.(4.7.7)
Под интегралом в (7) фигурирует структурная функция, представляющая собой двумерную характеристическую функцию процесса Ф (г). Если статистика поля Ф (г) гауссовская, то
СФ (г2 -门)=<ехр i [Ф(Г!)—①(г2)]) = ехр {—片[1 — у①(г2 — 口)]}
(4.7.8) и выражение (7) записывается как
В (г, /; т)=
十8
=\ \ 4 (ri)黒(R)Н (г — г】)Н* (г — Га) Сф(Гз — Г1 — vt) d2rl d%・
Г(4.7.9)
11 С. А. Ахманов и др.
Воспользовавшись выражением для функции Грина (6), представим (9) в виде
В (г, /； т)=
=儒了 j 4(u)C<D(u-VT)exp{—^(2r-u)u}d2〃，(4.7.10)
Л (u)= j Ao (Ui) Al (ux + u) exp ^ -° uu^ d2ur
Учиты-(4.7.11)Учиты-(4.7.11)Здесь произведена замена переменных rx = иъ u = ^ — r2. вая (2), для функции Л (и) имеем
Учиты-
(4.7.11)
Учиты-
(4.7.11)
4(u) = ^±eхp {-专一，律叫'
w = ^2а~2 +(2а + *；『球}〜“".
Вследствие этого корреляционная функция (10) приводится к виду в (r, /；T)=
4-СО
=(嘉У 哆 4 J Сф (u - vr) exp (- J - i ^f ru} d2u. (4.7.12)
Рассмотрим частный случай, когда коэффициент корреляции Y①(s) имеет гауссовскую форму:
yo(s) = exp {—(s/r0)2},
где г0 —радиус корреляции фазовых флуктуаций. Тогда функция (8) равна
С①(s) = exp {—Стф[1 - ехр {—(s/r0)2}]}.(4.7.13)
Однако для произвольных значений фазовых флуктуаций интегрирование (12) для функции Сф (s) (13) не удается выполнить. Наглядные аналитические результаты можно получить в предельных случаях сильных (о&》1) и слабых флуктуаций (吃《1)，
При больших значениях 唸 функция С①(s) очень быстро убывает от единицы до ехр {—唸} при изменении s от нуля до s^>rQ. Самое быстрое изменение С①(s) происходит при s < г0, и поэтому можно использовать приближение
ехр {— (s/亦} 2 I 一 (s/r0)2,
а Сф (s) заменить приближенным выражением (см. [21])
Сф (s) = ехр {—品} +[1 — ехр j —о方}] ехр {— о& (s/r0)2}. (4.7.14)
Используя (14), интеграл (12) легко вычислить:
8(% /; т)- /ре1 (г, 1) + ВФ (г, /； т),(4.7.15)
где
/рег (г, 0 = 4 (響『小 exp {—咻—(響仆，(4.7.16)
Be (г, /; т) =^gg.(1 - exp {— ст%}) x
Х?Цехр{— ^ \(k0rw/l)2 + (ctvt)2 + уст2^0йУ2угт](1 + ст2^2)-1^. (4.7.17)
Здесь введено обозначение
ст2 = Пф/Го-(4.7.18)
Функция /рег (16) описывает распределение интенсивности нерассеянной части пучка, дифрагирующего на собственной апертуре Очевидно, что при 協》i значение /рег мало.
Выражение (17) соответствует рассеянной части пучка. Первое слагаемое экспоненты ответственно за распределение интенсивности в поперечном сечении пучка, второе слагаемое — за временную когерентность поля и последнее — за допплеровское смещение частоты, которое равно нулю, когда направление наблюдения (вектор г) перпендикулярно скорости v.
Ширина рассеянного пучка в плоскости наблюдения
旬=為(1+。2或尸々 (4.7.19)
В реализуемых на практике условиях gw ^ 1, так как gw = =о①(侬"о),⑬》入 и о① >1). Поэтому в реальных условиях
ширина рассеянного пучка
(4.7.20)(4.7.20)ар2о7/月о = 2о.£)//々旷о
(4.7.20)
(4.7.20)
не зависит от первоначального значения, а определяется статистическими характеристиками случайного экрана (о① и 啕 и расстоянием / от экрана до плоскости наблюдения. Напротив, при условии ойУ》1 время корреляции излучения
(4.7.21)(4.7.21)тк = 2w/v
(4.7.21)
(4.7.21)
не зависит от характеристик случайного экрана.
Согласно (11) параметр w и, следовательно, время корреляции тк зависят от радиуса а и угловой расходимости (величины а) падающего пучка и расстояния 厶 На рис. 4,33 показано время корреляции для различных ширин пучка а. При tz2 = l/kQ ]/2 и а = 0 время корреляции достигает максимального значения
(4.7.22)
<z,%% T<z,%% TРис. 4.33. Зависимость времени корреляции рассеянного излучения от скорости вращения матового диска при различных фокусных расстояниях линзы [24]:Рис. 4.33. Зависимость времени корреляции рассеянного излучения от скорости вращения матового диска при различных фокусных расстояниях линзы [24]:/) 13,0 см; 2) 9,0 см; J) 2,3 см. Радиуссветового пучка на линзе во всех слу-чаях одинаков./) 13,0 см; 2) 9,0 см; J) 2,3 см. Радиуссветового пучка на линзе во всех слу-чаях одинаков.
<z,%% T
<z,%% T
Рис. 4.33. Зависимость времени корреляции рассеянного излучения от скорости вращения матового диска при различных фокусных расстояниях линзы [24]:
Рис. 4.33. Зависимость времени корреляции рассеянного излучения от скорости вращения матового диска при различных фокусных расстояниях линзы [24]:
/) 13,0 см; 2) 9,0 см; J) 2,3 см. Радиуссветового пучка на линзе во всех слу-чаях одинаков.
/) 13,0 см; 2) 9,0 см; J) 2,3 см. Радиуссветового пучка на линзе во всех слу-чаях одинаков.
Если падающий световой пучок рассеивается вращающимся
матовым стеклом, то скорость
(4.7.23)(4.7.23)V = QR,
(4.7.23)
(4.7.23)
где Й — угловая скорость вращения матового диска, /? — расстоя-
ние от оси вращения до центра пучка на диске. В этом случае имеются дополнительные возможности изменения времени корреляции за счет изменения значений Й и /?.
Следует отаетить, что статистика рассеянной волны становится гауссовской, когда ширина исходного пучка а гораздо больше радиуса корреляции г。неоднородностей рассеивающего экрана [11, 21, 22].
Теперь обратимся к случаю слабых флуктуаций фазы (стФ《1); здесь можно воспользоваться следующим приближением для функции (13):
Сф^ 1 — % +嗚 ехр {—(s/r0)2}.
(4.7.24) Соотношение (24) можно получить из выражения (⑷，если в экспонентах, в которых отсутствует па
раметр s, считать стф < 1, а при наличии s положить Стф = 1, т. е. в (18) принять <j2 = ri2. ПрИ таких предположениях можно использовать формулы (15) — (17) и (19), в которых, однако, нужно учесть новое значение ст2 = г^. При этом время корреляции- рассеянного излучения, определенное из (17),
9
(4.7.25)(4.7.25)Тк = -- [ 1 -|-炉或]"2 ~ 2w/v
(4.7.25)
(4.7.25)
совпадает с результатом (21) для сильных флуктуаций. Радиус же рассеянного пучка согласно (19)
"假)"+ '乎~/(4726)
и меньше, чем в случае сильных флуктуаций (20).
Дифрагированное поле во фраунгоферовой зоне; решение по методу Рэлея. Рассмотрим общий случай дифракции регулярной волны на плоском экране со случайным комплексным пропуска-
нием (1). В методе Рэлея дифрагированное поле разлагается на плоские волны. Разложение произвольного поля по плоским волнам дается формулой (1.8.4):
十00
£(R, Z)=，，窗(з, k)d(8-kR)dsd3財 (4.7.27)
где S (со, к) — амплитуда волны с частотой со и волновым вектором к.
Ограничимся рассмотрением монохроматических полей, тогда
目(со, к) = ^ (к) 6 (со —(о0) 6 (^ —(о/с).(4.7.28)
Появление в (28) функции 5(^ ——(о/с) связано с дисперсионным соотношением k =(о/c. Амплитуды волн, которые не удовлетворяют этому соотношению, равны нулю [11 ]. В этом случае
E(R, f) = E(R)勿叫
где
+ 8
£(R)= \ 器(k)5 他一g/c)e—續笃3財(4.7.29)
Представим kR в виде
kR =居乞 + kxx + kyy = kzz + xr,月2 =展 + 炉.
Интегрируя (29) no d左z, получаем
十со
E(r, z) = £(R)='，富(")？_(”• +Mz — b z)d2*. (4.7.30)
Разложение (30) состоит из суперпозиции волн двух типов. До тех пор, пока &2>乂2, это плоские бегущие волны. Значениям ^<^ соответствуют неоднородные волны, затухающие в направлении г.
Функция 卷(乂)определяется из условия на границе линейной среды при г = 0:
Е(г, г = О) = Ло(г)= \ § (х) txr d2x,
откуда
卷3 =表,4(Г)”d2r.
Следовательно,
£(r, z) = 4；2 j jAoge-Ux — a + U^^dZrid?%. (4.7.31)
Если характерный размер неоднородностей рассеивающего экрана порядка г0 и угловой спектр (4.2.35) рассеянной волны узок (Ах/^ = 2/&г()《1), то существенны лишь бегущие волны и в интеграле (31) можно использовать приближение
(胪-/尸/2 ~后一尤2/2也
после чего получаем
*+ ОО
e (г, 2)=爲ь’" ]4(口)6-我"一门产/2乜2人(4.7.32)
Выражение (32) аналогично выражению (4.5.66), вытекающему из решения параболического уравнения (4.5.1). Таким образом, задача о дифракции монохроматической волны на экране со случайным пропусканием оказывается аналогичной задаче о дифракции шумовой волны на регулярном препятствии. Физически эта аналогия вполне понятна. Случайный экран модулирует проходящую через него волну по амплитуде и фазе. В связи с этим нетрудно прийти к выводу, что результаты § 5 по дифракции случайных волн могут быть перенесены на задачи о дифракции волн на случайном экране.
Разумеется, полное перенесение указанных результатов возможно лишь в том случае, когда статистические характеристики случайной волны и случайного экрана одинаковы. Этим замечанием мы и ограничим анализ выражения (32). Следует также отметить, что формула (32), как и параболическое уравнение (4.5.1), применима только для крупномасштабных неоднородностей (月门》1). Общее же решение (31) получено без каких-либо ограничений на соотношение между длиной волны 入 и масштабом неоднородностей 几.
Рассеяние света в статистически неоднородных средах
Модель фазового экрана является одной из простейших моделей статис1ически неоднородной среды; как уже указывалось, она тем не менее хорошо описывает некоторые явления, связанные с прохождением радиоволн через неоднородную ионосферу. Надо сказать, что и среду с объемными неоднородностями также удается моделировать как последовательность случайных фазовых экранов. Однако, в особенности для оптики, наиболее естественной является модель среды с объемными неоднородностями. Физические ситуации, приводящие к такой постановке, весьма разнообразны; здесь можно назвать, например, рассеяние радиоволн и света в неоднородной атмосфере, рассеяние в дисперсной среде и, наконец, одну из принципиальных физических задач — задачу о молекулярном, или рэлеевском, рассеянии света.
Рассеяние электромагнитных волн в статистически неоднородных средах — огромная и быстро развивающаяся область физики. Для ознакомления с ней можно рекомендовать книги [11,36, 41, 44, 47, 48]. Из большого многообразия задач о распространении света в неоднородных средах в этом параграфе разберем всего две характерные проблемы, отличающиеся как методами анализа, так и областями приложения. Мы рассмотрим рассеяние света частицами и распространение света в средах с мелкомасштабными неоднородностями.
Рэлеевское рассеяние; интенсивность и корреляционная функция рассеянного света. Рассмотрим для простоты стационарную неоднородную недиспергирующую изотропную линейную среду. Оставляя в стороне вопрос о деполяризации рассеянной волны, процесс распространения электромагнитных волн в такой среде можно описать скалярным уравнением, являющимся следствием уравнений Максвелла (см. (4.3.3)):
”АЕ = ^ + 4啜，(4.8.1)
А — оператор Лапласа. Линейная поляризация среды
Р(г, /)=[хо + к (г)]Е(г, /) = £(г, Z)(£o- 1+司/4п,(4.8.2)
где индексом «О» отмечены регулярные, а волнистой чертой — случайные компоненты линейной восприимчивости 乂 и диэлектрической проницаемости е среды. В этом разделе вектор г трехмерный.
Будем предполагать рассеянное поле слабым, тогда в приближении однократного рассеяния или в борновском приближении поле в неоднородной среде можно представить в виде
Е(г, /) = £0 (г, /) + Ер (г, /).(4.8.3)
Здесь £0 (г» 0 — поле падающей волны, которую считаем плоской и монохроматической:
£0 (г, /) =(4.8.4)
Поле Ер (г, /) рассеянной волны согласно (1) определяется уравнением
ё (г)
A综一拯声=-"^炉4農心一k叫(4.8.5)
v = с//е0 — скорость волны.
Решением уравнения (5), удовлетворяющим условию излуче* ния [10], является
.Ер (Г, /)=-；" А,)弘 Г1)^-Ji]d3〃.(4.8.6)
—со
Интегрирование производится по объему рассеяния，，радиус гг определяет положение рассеивающей точки, г —точку наблюдения рассеянного поля (рис. 4.34).
Рис. 4,34. К анализу рассеяния света.Рис. 4,34. К анализу рассеяния света.Рис. 4.35. Геометрическая картина волновых векторов.Рис. 4.35. Геометрическая картина волновых векторов.
Рис. 4,34. К анализу рассеяния света.
Рис. 4,34. К анализу рассеяния света.
Рис. 4.35. Геометрическая картина волновых векторов.
Рис. 4.35. Геометрическая картина волновых векторов.
В дальней (фраунгоферовой) зоне рассеивающего объема можно принять
I Г — Гх IГ — FFi/r,
и, следовательно,
~ |г — Г1 |^^ог — kpfi,(4.8.7)
где kp = k^/r — волновой вектор рассеянного поля ).
Таким образом, при выполнении условий 厂》… н『》hr； выражение (6) принимает вид
Ер(г) = —-- А^^-^ j ё (rt) e~fKr* d3r. (4.8.8) Волновой вектор К равен
К = к0 — кр, или К = 2自sin— = ^ sin^,(4.8.9)
6 — угол между направлениями падающей и рассеянной волн, 6 = кокр (рис. 4.35).
Следует отметить, что при учете векторного характера поля в выражении (8) появляется зависящий от направления волн коэффициент
[kp [kpe0]] ko~ = sin ①，(4.8.10)
где Ф — угол между вектором поляризации е0 падающей волны и направлением рассеянной волны.
Согласно (8) интенсивность рассеянной волны равна
/р (К) = I £р |2 = Д /о J J В~ (г2, г0 eiK <^-r*)dr| drL(4.8.11)
7о — интенсивность падающей волны. Корреляционная функция约伍，口)=代伍)电(口)〉；
для статистически однородного поля 8 (г) зависит лишь от разности аргументов: В- (г2, 口)=纥(必一口)，В связи с этим при помощи замены переменных интегрирования (4.5.3) выражение (11) можно преобразовать к виду
/р(К)=Д/07Сг(К).(4.8.12)
Здесь V — объем рассеяния и
GNK) = §Be(r，)〃Kr，d3r，(4.8.13)
представляет собой пространственный спектр флуктуаций диэлектрической проницаемости.
Флуктуации е (г) могут быть связаны с флуктуациями плотности р и температуры Т. Если зависимостью 8 (г) от Т можно пренебречь, то
©8 =爆(4.8.14) и интенсивность рассеяния
/Р(К) = Д^0(|)>г(К),(4.8.15)
Gb (К)=^Вр (г,)е1，Кг，азг\(4.8.16)
Из последнего выражения следует, что распределение интенсивности рассеянной волны по углу 9, называемое диаграммой или индикатрисой рассеяния, зависит от вида корреляционной функции В- (г) и масштаба корреляции гк< р флуктуаций плотности.
Пространственная корреляционная функция рассеянной волны непосредственно связана с корреляционной функцией В^ (г). Действительно,
Bp(s) = Vp(K)e-'Ks d3R =
=磊儒)丁綜(r，) J к (rFd3K=篙儒у 牛(s). (4.8.17)
В случае однородных простых жидкостей и газов корреляционная длина х значительно меньше длины волны. При этом
коэффициент (16) равен
Ср (К) = G (0)=,毋(r，)d3「，,
а значение интенсивности /р (К) не зависит от направления рассеяния, т. е. индикатриса рассеяния изотропна.
Согласно термодинамическим расчетам [31],
6б(0) = Р；к7%т,(4.8.18)
и, таким образом,
4阳)=磊小儒m:仃5(4.8.19)
где /с — постоянная Больцмана, хг— изотермическая сжимаемость. Следовательно, в экспериментах по рассеянию света может быть определена величина хг- Для нулевого угла рассеяния (8 = 0, кр = к0) значение Хг можно найти при произвольном соотношении между радиусом корреляции гкр и длиной волны 入＞
Интенсивность света, рассеянного в единичный телесный угол, отнесенная к интенсивности падающего пучка и объему рассеяния, определяет коэффициент рассеяния
/?(К) = /Р(К) rW.(4.8.20)
Здесь г —расстояние от рассеивающего объема до точки наблюдения. Полный коэффициент рассеяния равен
/:= , R(K)dQ=£ ,/p(K)dC.(4.8.21)
В случае изотропного рассеяния, принимая во внимание поляризационные эффекты, определяемые квадратом множителя (10), для коэффициента h получаем
л л
(4.8.22)(4.8.22)h=da , sin2(D sin①d①=^R (0), и (I
(4.8.22)
(4.8.22)
где
8 G8 GPoK^Xr-PoK^Xr-
8 G
8 G
PoK^Xr-
PoK^Xr-
В этом разделе рассмотрено упругое рэлеевское рассеяние. Временная зависимость флуктуаций среды приводит к неупругому рассеянию света. При этом флуктуации давления, сопровождающиеся распространением звуковых воли, ответственны за i ассея- ние Мандельштама — Бриллюэна, а внутренняя динамика молекул —за комбинационное рассеяние света, ( татистические явления при комбинационном рассеянии света будут рассмотрены в § 5 гл. 8.
Рассеяние света полидисперсиыми средами； нахождение распределения частиц по размерам. Полидисперсные среды представляют собой неоднородные среды, в которых частицы так называемой дисперсной фазы (твердое тело, жидкость, газ) распределены в виде мелких частиц в окружающей сплошной среде.
К настоящему времени развита строгая теория рассеяния света частицами сферической формы (теория Ми), которая позволяет находить рассеянное поле при падении электромагнитной волны на сферическую поверхность, свойства которой отличаются от окружающей среды. Последовательное решение указанной задачи весьма громоздко [1, 32], и мы ие имеем возможности воспро* извести его здесь. Отметим лишь два момента этой теории.
Рис. 4.37. Фактор эффективности рассеяния для сферических частиц с 几=1,33 в зависимости от параметра р [1],Рис. 4.37. Фактор эффективности рассеяния для сферических частиц с 几=1,33 в зависимости от параметра р [1],Индикатриса рассеяния сильно зависит от параметра р = 2ла/Х, где а —— радиус частицы, X —длина волны (рис. 4.36), Сечение рассеяния частицы определяется произведением ее геометрического сечения ла2 иа функцию Ми 宓(р).
Рис. 4.37. Фактор эффективности рассеяния для сферических частиц с 几=1,33 в зависимости от параметра р [1],
Рис. 4.37. Фактор эффективности рассеяния для сферических частиц с 几=1,33 в зависимости от параметра р [1],
Рис. 4.36. Индикатриса рассеяния для сферических частиц с показателем преломления 几=1,33 и раз- личными p = 2jtfl/Z; 4,8, 15 и 20 [1]. Видно, что преобладает рассеяние в направлении падающего пучка.
изображенную на рис. 4.37. При больших значениях р функция 宓(р) асимп- зогически стремится к значению 2, т. е. сечение рассеяния частицы оказывается в два раза больше геометрического сечения.
Ниже проанализируем рассеяние света в малоугловом приближении для случая оптически тонкого слоя, что позволяет ограничиться анализом однократного рассеяния [33].
Чтобы упростить вывод формулы для индикатрисы рассеяния света, рассмотрим модельную задачу о дифракции светового пучка иа хаотически расположенных частично прозрачных круглых дисках. Диски, имеющие случайное распределение радиусов 窃八 расположены в плоскости, перпендикулярной оси пучка. Такую модель сферических частиц можно применить, если фазовый сдвиг, вносимый частицей, мал: 4ла (л — пср)/Х << 1 (лср и л —показатели преломления среды и частицы соответственно). Для рассеяния света изотропными сферическими частицами рассматриваемая модель может быть довольно хорошим приближением.
Поскольку нас интересует индикатриса рассеянного света, то, воспользовавшись результатами § 7 (см. (4.7.30)), запишем фурье-спектр светового поля
в видев виде£(х, z)=部 еТУ*"7 40 (r)m(r)eiHT d^.£(х, z)=部 еТУ*"7 40 (r)m(r)eiHT d^.(4.8.23)(4.8.23)
в виде
в виде
£(х, z)=部 еТУ*"7 40 (r)m(r)eiHT d^.
£(х, z)=部 еТУ*"7 40 (r)m(r)eiHT d^.
(4.8.23)
(4.8.23)
Здесь Ло (г) описывает поле падающего пучка. Введенная под интеграл (23) функция m (г) есть амплитудный коэффициент пропускания совокупности дисков, который можно представить в виде
(4.8.24а)(4.8.24а)m(r)= £ [1—(1—тд)//(г —п)],i = 1
(4.8.24а)
(4.8.24а)
где тл — коэффициент пропускания отдельного диска, i — иомер диска, N —
число дисков,число дисков,\r-ri\^ab "г In%\r-ri\^ab "г In%(4.8.246)(4.8.246)
число дисков,
число дисков,
\r-ri\^ab "г In%
\r-ri\^ab "г In%
(4.8.246)
(4.8.246)
〃一координата центра диска, а； — радиус диска, величины г/ и & — случайные.
С учетом (24) выражение (23) можно записать так:
Е 的 Z)=壶 "^^ z { , 4。(г) № 如-
—(I — %) S J 4 (г) % (г—*)/"如}.(4.8.26)
Первое слагаемое в (25) представляет собой угловой спектр падающего пучка, который далее не будет рассматриваться Остальные слагаемые определяют спектр рассеянного поля:
Ер 8=15^ 厂皿i г J ро (г) % (г — г,)幽г “г. (4.8.26)
Если радиус падающего пучка а гораздо больше радиуса диска ⑷，выражение (26) можно несколько упростить:
Ер(")= T^L九—〜2 Ао^е'т1 J fl(r)eimd^r. (4.8.27)f = 1
С интегралом вида (27) мы встречались в задаче о дифракции света на отверстии (см. § 5), поэтому воспользуемся полученным там выражением (4.5.13). Учитывая (246). имеем
ai2л
姦,厶 (Г)严如=急卜〃卜cos «加=• ио
ai
(4.8.28)(4.8.28)^^ \ г，и (乂г) dr — -~ J1 (乂0?)、
(4.8.28)
(4.8.28)
Подстановка (28) в (27) дает
Ер (吁盛ri”-"” 工 A^aie^Jr^i). (4.8.29) f== I
Таким образом, индикатриса рассеянного света определяется выражением
N12
/р (х) = <| £р (х) |2> =(*2]Т~ 工人⑺叩‘曰 J1(~)0. (4.8.30)
Угловые скобки означают усреднение по случайным величинам а» и Г/, которые разумно считать статистически независимыми. Принимая также статистически независимыми расположения различных дисков, имеем
/Р (х) = (2лх)-2 (1 — /Ид)2 N〈/(г,)%〈а打；(~)〉勺，(4.8.31)
где / (г；) — функция распределения интеисивиости света в падающем пучке.
Из (31) видно, что при сделанных предположениях полидисперсная индикатриса не зависит от формы падающего пучка, Для малых углов рассеяния (乂/々=sin 6 w 6)введем обозначения
С == (2лйр (1 - т^ ^ </ (ri)\eр = йа(4.8.32)
и запишем (31) в общепринятой форме:
/р (6) =С6т，⑵(Р) р2" (рб) dp.(4.8.33)
о
Здесь w (р) — плотность вероятности распределения частиц (дисков) по размерам, называемая часто спектром частиц.
Полученное выражение (33) является решением прямой задачи о рассеянии света полидисперсной средой, состоящей из сферических независимо рассеивающих частиц. В качестве примера рассчитаем индикатрису рассеяния (33) для рэлеевского спектра частиц:
w (р) = 2аре—ар，；(4.8.34а)
при этом средний радиус частиц равен
р=(л/4а)1/2.(4.8.346)
Подставим (34) в (33) и используем формулу
со
J ^e~ax2J 1 (6х) dx = (^^) е~г {^о (z)— A (z)},(4.8.35)
/2
где обозначено z ^ga в ^-(^Р)3, В результате для индикатрисы рассеяния получим выражение
/р (6) = С (4p)fe-z {/。⑶一厶(z)}(4.8.36а)
или, в нормированном виде,
,7P (6) =「{/о(Z) — /1 (z)}.(4.8.366)
Функция (366) изображена на рнс. 4.38. Ее полуширина по половинному уровню равна 8'=1,1р-1. Отсюда следует, что угловая расходимость рассеянного света Абр 〜九/л& определяется фактически дифракцией на частицах сред
него размера
С помощью обращения выражения (33) можно найти функцию распределения частиц по размерам w (р). Это обращение было установлено в работе [34]；
способ его получения изложен ниже.
рассеяния света в малоугловом приближении зля рэлеевского спектра частиц.рассеяния света в малоугловом приближении зля рэлеевского спектра частиц.а= 10 мкм,入=1 мкм.а= 10 мкм,入=1 мкм.Обращение основано на теории обобщенных преобразований Фурье. Исходными являются соотношения
рассеяния света в малоугловом приближении зля рэлеевского спектра частиц.
рассеяния света в малоугловом приближении зля рэлеевского спектра частиц.
а= 10 мкм,入=1 мкм.
а= 10 мкм,入=1 мкм.
『(*) =，е%* (xu)g (u) dut (4.8.37а) о
g (м) = J h (иу) / (у) %、(4.8.376)
о
Как известно, если в (37), например,
宓(х)=力(х) = М2/л cos X.
то имеем обычное преобразование Фурье. Однако если в формуле (37а)
第(吁学修)卜
то в (376) должно быть
力(尤)=一 н冗'
где N/(*)—функция Неймана /-го порядка. Следовательно, имеет место соотношение
f(x) = — 2л J Jf (xu) у (хи) udu ^~ {uJ^ W)} // (/) dt. (4.8.38)
Преобразуем теперь выражение (33):
^ Up (8) /СТ] = j ^ {叫(р8)} Р2^ (Р) dp-(4.8.39)
Из сравнения (39) и (38) следует, что
f (f)f рцу (р).
Поэтому функция з (р) определяется выражением
з(Р)= —|^，W1 (рО) А;> (р0)^[6'3/п (0)] d6.(4.8.40)
(1
Соотношение (40) лежит в основе метода измерения размеров частиц по рассеянию света в диапазоне малых углов (метод ма風х углов). Однако для определения w (р) необходимо дифференцировать эксперкментальную зависимость /р (6), что усложняет обработку результатов измерений. От этого недостатка свободна другая, несколько измененная, процедура нахождения w (р), предложенная в [35]:
w(p)= —^，/г(вр)Т(8)《3(4.8.41)
о
где
九(х)=—2л^1(^)[2^J0(冷一 J1(初一 4,
(4.8.42)
Т(6)= Р (6)一 Р(8), Р (6) = 63/р (6) S
В случае (41) нет необходимости в дифференцировании экспериментальной кривой /р (6).
Тепловое излучение
До сих пор при рассмотрении вопросов, связанных с частично когерентными электромагнитными волнами, мы не интересовались природой их возникновения. Частично когерентные световые пучки или случайные волны считались заданными в определенном сечении среды, и задача состояла в определении изменения их свойств в процессе распространения. Как указывалось во введении к этой главе, исключение будет сделано для теплового излучения ). В диапазоне сверхвысоких радиочастот и в оптическом диапазоне тепловое излучение является причиной «внутренних» шумов поглощающей среды.
Источником теплового излучения, как и рассмотренного в гл. 3 теплового шума, является хаотическое движение заряженных микрочастиц (электронов, ионов). Однако, в отличие от теплового шума в квазистационарных цепях, здесь речь будет идти не о случайном токе или напряжении, а о случайном электромагнитном поле [50, 51].
Порядок изложения материала в этом параграфе во многом аналогичен принятому в § 4 гл. 3. Мы начинаем с термодинамических соображений, которые позволяют вывести общие заключения, касающиеся спектральной плотности теплового излучения. Рассматривая условия термодинамического равновесия в системе нагретое тело — излучение, мы приходим к установлению фундаментального закона теплового излучения — закона Кирхгофа.
Помимо общей, «оптической», записи закона Кирхгофа, ниже введена также и полученная впервые Рытовым специальная фор
мулировка закона Кирхгофа, относящаяся к волноводным системам, — так называемая «волноводная форма» закона Кирхгофа [50, 51]. Главный результат термодинамического рассмотрения заключается в том, что спектральная плотность теплового излучения произвольного нагретого тела выражается через универсальную функцию — спектральную плотность излучения абсолютно черного тела. Вычисление последней и является ключевой проблемой физики теплового излучения.
Таким образом, общая структура теории теплового излучения аналогична структуре теории теплового шума в квазистационар- ных цепях. Следует вместе с тем еще раз подчеркнуть различия в описании этих процессов. Если тепловой шум описывается в терминах случайных токов и напряжений, т. е. в терминах теории случайных процессов, то в тепловом излучении мы имеем дело с генерацией случайных электромагнитных полей Е (г, /), Н (г, /) распределенными источниками. Поэтому здесь дело не ограничивается только определением спектральной плотности теплового излучения. В излагаемую ниже теорию входит также спектральная плотность излучения в единице объема (объемная спектральная плотность) и((о); естественно, что надо располагать и данными о пространственно-временных корреляционных функциях теплового излучения.
Закон Кирхгофа. В теории теплового излучения нагретое тело характеризуется его испускательной способностью / (со, В), равной интенсивности теплового излучения, испускаемого с единицы поверхности в частотном интервале со, s + ds и телесном угле В, B + d% Введем также поглощательную способность А (ю, В), определяемую как отношение энергии, поглощенной единичной площадкой тела в интервалах со, o)+ dco и 8, ■& + &&, к энергии падающего на тело излучения.
В теории теплового излучения особое место занимает тепловое излучение так называемого абсолютно черного тела, для которого
/“со, В)曰 1. (4.9.1)
Нетрудно убедиться, что отношение излучательной способности произвольного тела к его поглощательной способности /(со, ^)/Л (со, В) оказывается универсальной функцией частоты и температуры, — это и составляет содержание закона Кирхгофа. Речь идет, таким образом, о соотношении, совершенно аналогичном по структуре отношению спектральной плотности теплового шума к действительной части полного сопротивления, выведенному в § 4 гл. 3. Рассуждения, используемые для вывода закона Кирхгофа, во многом аналогичны рассуждениям гл. 3.
Рассмотрим замкнутую полость, стенки которой представляют собой абсолютно черное тело, находящееся при температуре Т.
Полость заполнена равновесным изотропий^ «черным» излучением с объемной спектральной плотностью \0 (ю). Пусть теперь площадка do черного тела заменена площадкой произвольного тела, находящегося при той же температуре. Условия теплового равновесия при этом не изменяются, и можно зависать баланс энергии:
/ (о), fl1) d(o d^ da = cu0 (co) A (co, fl1) cos ^ d(ad^ da, (4.9.2) где В —угол, отсчитываемый от нормали к рассматриваемой площадке. Таким образом,
(4.9.3)(4.9.3)/ (ю, В)/,4 (со, #) =cu0 (ю) cos ^,
(4.9.3)
(4.9.3)
и задача сводится к определению объемной спектральной плотности «черного» излучения и0 (со). Од
нако, прежде чем переходить к опреде-—^份4^ %
Рис. 4.39. Схема расположения излучателя М в волноводе.Рис. 4.39. Схема расположения излучателя М в волноводе.лению u0 (со), запишем еще одну формулировку закона Кирхгофа, занимающую «промежуточное» место между оптической формулировкой (3) и ее аналогом для квазистационарных цепей. Речь идет о формулировке, пригодной для описания тепловых шумов в волноводных системах — линиях передачи, радиоволноводах и т. п. Здесь мы выведем выражение для спектральной
Рис. 4.39. Схема расположения излучателя М в волноводе.
Рис. 4.39. Схема расположения излучателя М в волноводе.
плотности теплового излучения, посылаемого в 〃-ю моду волновода нагретым телом; подробный вывод см. в [11].
Будем характеризовать взаимодействие исследуемого тела М с n-й модой волновода коэффициентами поглощения 4^, отраже* ния 貶 и прозрачности 6 *); знаки《土》относятся к волнам, падающим на рассматриваемое тело соответственно слева и справа (рис. 4.39). Из закона сохранения энергии имеем
分+ 忠 +。^= 1, An + Rn + Dn = \.(4.9.4)
Пусть с обоих концов волновод перекрыт согласованными нагрузками, представляющими собой абсолютно черные тела с температурой Т. Обозначим через〈侬(со)〉среднюю энергию моды, излучаемой черным телом. Тогда мощность излучения в интервале частот со, o)+ dco равна
Pg ds = * (w (s)〉ds.(4.9.5)
Предположим, что Р蕊—спектральные плотности мощности, излучаемые вправо и влево телом на 九•济 волне.
Записывая выражение, описывающее баланс потоков энергии, можно написать (рис. 4.39)
壺(w (со)〉= Р厶 + 石〈叫со)〉(£)^ + RQ,
(4.9.6)
石 3 W)〉= Р^п +2^ 3 (з)〉(°- + R+)・
Умножая соотношения (4) на (w (з)/2л〉и вычитая из (6), получим
尸^"=而〈侬(3)〉(4 + Dn -0〃)，
P百"=而〈侬(3)〉(4 + ^^ - %)"
Если значения коэффициентов Dn не зависят от направления падения волны (£)J = Dnt выполняется принцип взаимности), то из последних соотношений получаем
叫=壺〈3 (з)〉а,尸薪=萤〈侬(з)〉/^(4.9.7)
Отсюда следует, что мощность, излучаемая телом М в волноводе на n-й волне направо (налево), определяется коэффициентом поглощения n-й волны, падающей справа (слева). Для абсолютно черного тела(Л^= 1) приходим, естественно, к выражению (5).
Тепловое излучение абсолютно черного тела. Обратимся теперь к определению объемной спектральной плотности излучения ио(со) абсолютно черного тела. Поскольку объемная спектральная плотность и0((о) не зависит от формы полости, рассмотрим для простоты полость в виде прямоугольного «ящика» со сторонами длиной L, В таком «ящике» поле излучения можно разложить по плоским волнам или модам (в тройной ряд Фурье):
2
Е亿 t) = L-^^ £ ектЛкт^'^-М. (4.9.8)
Здесь ekm — единичный вектор поляризации моды с волновым вектором к. Векторы eki и е® взаимно перпендикулярны и в силу поперечности электромагнитного поля перпендикулярны также вектору к, т. е.
Ск1 ^к^ = 0, 6ктк = 0.
Для проекций рассматриваемых векторов имеет место соотношение 每曲廿 + 6^% 犷 + kikfkz = 6//.(4.9.9)
Льп — амплитуда моды, соответствующая данному набору векторов ekm и к. Вектор к имеет координаты
k = {(2n/L) nxt (2n/L) nyt (2口/厶)％},
где nXi Пу, nz — целые числа. Волновое чиёло k удовлетворяет соотношению
月=s/с,月=(2n/L)(疋+ 隔 +呜户L(4.9.10)
В формуле (8) суммирование по к означает суммирование по набору чисел пу и nz.
Поле излучения черного тела изотропно и полностью не поляризовано; учитывая соотношения (1.8.5), (1.8.55) и (1.8.59), для корреляций амплитуд поля можно написать
〈4/4外=I 4『6/т6кк*.
Декартова компонента комплексного поля (2) равна
E,(r, f) =)3,2 £ £ ект1Акте1^-^.k т = I
Для пространственно-временной корреляционной функции поля получим выражение
By (s, т) = <£； (г, f)£>(r + s,仆工)〉=
2
£佻血人也|4宀|*3一后).(4.9.11)
k m= I
Устремим размеры полости к бесконечности (L->oo), при этом суммирование в (8) можно заменить интегрированием:
广3 £(•••) Е (2g-3 T (..”3 瓦k—8
Подставляя в преобразованное указанным образом выражение (11)соотношение (9), имеем
+8
%(s, т) = (2л)-з \ [ Дк ；2(6V - kikjk-2) ef(^-ks)d3k. (4.9.12)
Пользуясь (12), рассчитаем сначала объемную плотность энергии:
U()= *：E|2= j «о(co)dco,(4.9.13)
где учтено равенство электрической и магнитной энергий.
Объемная плотность энергии электромагнитного излучения в свободном пространстве с учетом изотропии поля равна
,3со
4 = М £в〃・(0, 0)=蒜 §〈3 伍)〉0財(4.9.14)
340340Гл. 4. случайные волны в линейных средах
340
340
где
〈侬伍)〉=I 4 (竹卩/4л(4.9.15)
—средняя энергия моды. Перейдем в выражении (14) от декартовых координат d^k = dkx dky dkz к сферическим координатам d3^ =月2 d月 sin ®d8 dф и проинтегрируем. Тогда получим
U。= 5 i炉〈5他)〉找о
Пользуясь дисперсионным соотношением (10), последнее соотношение можно представить в виде
Uq = \ р (ю)〈5 (ю)> d(o.(4.9.16)
о
Здесь 尸(со) = o)2/n2cз есть число мод в единице объема и в единичном частотном интервале.
Из сравнения (16) с (13) следует, что объемная спектральная плотность излучения абсолютно черного тела равна
以о (со)=(仆/歩炉)侬(ю)).(4.9.17)
В классической области 力з《кТ,〈切〉=长7\ и для объадлной спектральной плотности черного излучения получаем
〃。=蕊 кТ.(4.9.18)
Формула (18) в теории теплового излучения выражает закон Рэлея — Джинса. Расходимость полной энергии теплового излучения в (18), как известно, устраняется за счет перехода от закона равнораспределения классической статистики к распределению Планка
侬〉=8з/[М®/кт — 1].(4.9.18а)
Тогда вместо (18) приходим к выражению для и0 (ю), справедливому прн любых частотах:
〃о(砌=^i Js/kt」'(4.9.19)
Когерентные свойства излучения абсолютно черного тела. Вернемся к выражению (12). Поскольку мы знаем выражение (18) для средней энергии отдельной моды (15), теперь можно рассчитать пространственно-временную корреляционную функцию излучения абсолютно черного тела [52 — 55]. Принимая во внимание соотношения (18), (19), для корреляционной функции
поля имеем
В" (s.В" (s.Т)=而Т)=而工要尚…=盘3,工要尚…=盘3,+8(ACT — kS)+8(ACT — kS)
В" (s.
В" (s.
Т)=而
Т)=而
工要尚…=盘3,
工要尚…=盘3,
+8
(ACT — kS)
+8
(ACT — kS)
где а = Пе/кt, & =备总一6必, трехмерный оператор Лапласа.В сферических координатах ления вектора sгде а = Пе/кt, & =备总一6必, трехмерный оператор Лапласа.В сферических координатах ления вектора sSj — компонента вектора s, А — с полярной осью вдоль направ-Sj — компонента вектора s, А — с полярной осью вдоль направ-
где а = Пе/кt, & =备总一6必, трехмерный оператор Лапласа.
В сферических координатах ления вектора s
где а = Пе/кt, & =备总一6必, трехмерный оператор Лапласа.
В сферических координатах ления вектора s
Sj — компонента вектора s, А — с полярной осью вдоль направ-
Sj — компонента вектора s, А — с полярной осью вдоль направ-
%(S,T)YF §о%(S,T)YF §олfe ( sinлfe ( sin2ло2лоJ (Лет — Ь cos д)"二 1J (Лет — Ь cos д)"二 1d(p dB dk.d(p dB dk.
%(S,T)YF §
о
%(S,T)YF §
о
л
fe ( sin
л
fe ( sin
2л
о
2л
о
J (Лет — Ь cos д)"二 1
J (Лет — Ь cos д)"二 1
d(p dB dk.
d(p dB dk.
После интегрирования по угловым переменным получим
B"(s,"=^上炉B"(s,"=^上炉ооsin ks ©Ths s 产—Ffsin ks ©Ths s 产—Ffdk.dk.(4.9.20)(4.9.20)
B"(s,"=^上炉
B"(s,"=^上炉
о
о
sin ks ©Ths s 产—Ff
sin ks ©Ths s 产—Ff
dk.
dk.
(4.9.20)
(4.9.20)
проинтегри-проинтегри-(4.9.21)(4.9.21)Разложим под интегралом (20) знаменатель в ряд и руем; тогда
проинтегри-
проинтегри-
(4.9.21)
(4.9.21)
B"(s,工)=^4/ у /(〃； S, т),n = 1
/(%; s, т) = [(па — /ст)2 + s2]-1.
Выполняя в (21) дифференцирование, приходим к выражению
By (s,工)=芈 £ б///2 (n; s, т) + 2 (S/S； -s26/y) /3 (п; s, т). (4.9.22) л = I
Средняя интенсивность теплового излучения i■访 компоненты поля равна
8".(。，0)=尊 a-4 2("+1尸=*一噹・
Здесь сумма представляет собой обобщенную ^-функцию Римана:
С(Х, 9)= £ (" + 9)т, причем С (4, 1) = л«/90.л = 0
Нормированная пространственно-временная корреляционная функция (22) согласно (1.8.37) равна
R/(s，” =
=90厂也4 名{&力2佃；Sj т) + 2 (S/Sy — s2) 6l7/3 (n; s, t)}. (4.9.23)
Проанализируем сначала временную когерентность теплового излучения. Из (23) нетрудно получить, что при s = 0 недиагональные элементы поляризационной матрицы % (0, т) равны нулю:
Y/； (0, т) = 90л-4? (4,1 — icт/а)6/у. (4.9.24)
Диагональные компоненты матрицы (24) равны друг другу. Поведение временной корреляционной функции (24) показано на
меиной корреляционной функции излучения абсолютно черного тела [52] гмеиной корреляционной функции излучения абсолютно черного тела [52] г力z（°，T）■卜名名（°，Т） ехр т22（0. T）1，T = （kT/я）t.力z（°，T）■卜名名（°，Т） ехр т22（0. T）1，T = （kT/я）t.Рис. 4.41. Продольная Yzz(£，0)(/)н поперечная yZ2 (г, 0) ⑵ пространственные корреляционные функции излучения абсолютно черного тела [52]：Рис. 4.41. Продольная Yzz(£，0)(/)н поперечная yZ2 (г, 0) ⑵ пространственные корреляционные функции излучения абсолютно черного тела [52]：
меиной корреляционной функции излучения абсолютно черного тела [52] г
меиной корреляционной функции излучения абсолютно черного тела [52] г
力z（°，T）■卜名名（°，Т） ехр т22（0. T）1，T = （kT/я）t.
力z（°，T）■卜名名（°，Т） ехр т22（0. T）1，T = （kT/я）t.
Рис. 4.41. Продольная Yzz(£，0)(/)н поперечная yZ2 (г, 0) ⑵ пространственные корреляционные функции излучения абсолютно черного тела [52]：
Рис. 4.41. Продольная Yzz(£，0)(/)н поперечная yZ2 (г, 0) ⑵ пространственные корреляционные функции излучения абсолютно черного тела [52]：
2= (лкГ/Йс) 2, г = (лкТ/Пс)г.
рис. 4.40. Таким образом, время корреляции излучения абсолютно черного тела тк порядка tllKT, т. е. порядка среднего Периода излучения.
При т->8 модуль корреляционной функции (24) быстро спадает: I уп (0, т) I 〜ЗОп-%—, а ее фаза ф (т) = — arg уц изменяется
I 3 力 1
как - Т + 2 百 Г •
Обратимся теперь к пространственной когерентности теплового излучения. В соответствии с (23) для пространственной корреляционной функции имеем
Ту («, 0) = 90л-4 玄{ву[л2 + (в/а)а]-г +
п・1
十2k2 (恥/ 一 自严2)[九2 _|_ (s/a)2]-3}. (4.9.25)
Ряды в (25) удается просуммировать и выражение записать в виде 勿(s, 0) = (45/4s4) [С (s)6;/ + D (s)即声" (4.9.26) где s = (л/а) s и
С (х) — — х cth х —х2 sh~2x — 2x3 cth x sh-2x + 4,
D (x) = — 8 + 3% cth x + 3炉 sh-2x + 2x3 sh-2x cth x.
Из (26) видно, что пространственная корреляционная функция вещественна. Это согласуется с предположением об однородности и изотропности излучения абсолютно черного тела (см. § 8 гл. 1). Изменение продольной у22 (г, 0) и поперечной у^(г, 0) корреляционных функций (26) показано на рис. 4.41 (радиус-вектор г перпендикулярен направлению оси г). В обоих случаях радиус корреляции
々 2%/кТ.
В силу произвольности выбора оси г поведение остальных компонент матрицы совпадает с поведением угг (г, 0).
В заключ ние сделаем замечание о статистике излучения абсолютно черного тела. Его поле излучения представляет собой совокупность большого числа мод (плоских волн), статистически не связанных между собой (строго говоря, не коррелированных). Число мод излучения при устремлении размера полости к бесконечности растет. В этом случае, как было показано в § 10 гл. 2, статистика суп ерпозиции мод стремится к гауссовской. Следовательно, функция распределения интенсивности излучения черного тела является экспоненциальной.
ГЛАВА 5
НЕЛИНЕЙНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ШУМА
Нелинейные преобразования колебаний — детектирование, смешение, умножение частоты — играют исключительно важную роль в радиофизике； быстро растет их значение и в современной оптике. В этой главе речь пойдет о преобразовании шумовых колебаний в нелинейных системах с сосредоточенными параметрами. Закономерности преобразование случайных сигналов в нелинейных системах принципиально отличаются от рассмотренного в гл. 3 поведения случайных колебаний в линейных системах.
Прежде всего, в нелинейных системах происходит существенное изменение законов распределения (статистики флуктуаций). В частности, в отличие от линейных систем, гауссовское распределение теряет здесь устойчивость. Гауссовские флуктуационные силы, действующие на нелинейную систему, возбуждают в ней колебания, статистика которых может очень сильно отличаться от гауссовской.
Принципиально изменяются в нелинейных системах (по сравнению с линейными) и законы преобразования спектров и корреляционных функций. Причиной этого оказывается обстоятельство, имеющее фундаментальный характер: для колебаний в нелинейных системах перестает выполняться принцип суперпозиции. При нелинейных преобразованиях возникают новые спектральные компоненты шума и вся форма спектрального распределения, вообще говоря, кардинально меняется. Кроме того, в нелинейных системах закономерности преобразования спектров зависят от статистики процесса; напомним, что в линейных системах такой зависимости нет.
Хотя в большинстве случаев нелинейные преобразования оптического шума носят характер взаимодействия и самовоздействия волн (таким задачам специально посвящена гл. 8), имеются важные примеры, когда и в оптике можно говорить о нелинейном преобразовании шумовых колебаний. Сюда относятся, прежде всего, различные варианты детектирования и смешения световых волн на фотокатоде, задача о воздействии оптического шума на атомы и
молекулы («эталонной» здесь является задача о воздействии оптического шума на двухуровневую квантовую систему).
Подчеркнем еще один существенный аспект. С помощью нелинейных преобразований можно построить разнообразные схемы измерений высших корреляционных функций оптического шума. Такие измерения приобретают все большее значение в современной оптике. Прежде всего, при генерации света в современных лазерных устройствах, в ряде ситуаций при рассеянии света мы сталкиваемся с существенно негауссовскими шумами. В этом случае измерение набора корреляционных функций различных порядков дает важную информацию о физических процессах в системе, генерирующей негауссовский случайный процесс. Вместе с тем и при исследовании гауссовских процессов измерение высших корреляционных функций оказывается более выгодным, нежели измерение корреляционной функции первого порядка. Классическим примером такой ситуации служит интерферометрия интенсивностей в радиоастрономии, когда измерение корреляционной функции интенсивности позволяет избавиться от фазовых искажений приходящего сигнала'турбулентной атмосферой.
В практических задачах нас часто интересует эффективность или коэффициент полезного действия (к. п. д.) нелинейного преобразования. При этом естесгвенной становится постановка вопроса о сравнении к. п. д. при монохроматическом (регулярном) и шумовом возбуждениях. Мы неоднократно будем обращаться к такому сравнению в этой и последующих главах. Это приводит к интересным физическим выводам. Оказывается, например, что в безынерционных нелинейных системах к. п. д. преобразования шумового сигнала существенно превышает к. п. д. преобразования монохроматического сигнала, имеющего такую же среднюю интенсивность, поскольку нелинейность подчеркивает выбросы шума.
Теория нелинейных преобразований случайных функций — хорошо разработанная область; здесь развиты эффективные математические методы, обзор которых читатель найдет, например, в [2, 4 — 6]. В предлагаемой главе мы ограничимся рассмотрением сравнительно узкого круга задач, представляющих, на наш взгляд, наибольший физический интерес. Умножение частоты, детектирование и смешение случайных сигналов в радиофизике и оптике —— рассмотрением этих проблем в значительной мере исчерпывается содержание гл. 5. При этом большое внимание уделено приложениям перечисленных процессов в технике измерения радиошумов, для анализа сложных оптических сигналов. Специальный (и довольно обширный) § 5 посвящен подробному рассмотрению нелинейной задачи о воздействии глума на двухуровневую квантовую систему; для современной статистической оптики эта задача оказывается одной из главных.
Нелинейное безынерционное преобразование
Нелинейные характеристики. Безынерционным называется такое нелинейное устройство, в котором связь между процессом на входе х (0 и процессом на выходе у (/) является чисто алгебраической: у = /(х),(5.1.1)
характеристика электроннойхарактеристика электронноймомент времени определяется величиной % в тот же самый момент. Функция / (х) называется нелинейной характеристикой устройства. Нелинейные характеристики, или, как говорят, нелинейности различных видов, могут быть получены, в частности, на основе вольт-амперной характеристики электронной лампы (рис. 5.1). Например, в области 〃V〃i вольт-амперную ха-
характеристика электронной
характеристика электронной
лампы.рактеристику можно аппрок имировать
Рис. 5.2. Нелинейные характеристики:Рис. 5.2. Нелинейные характеристики:а) параболическийа) параболическийдетектор; 6)детектор; 6)«лииейный> детектор; в) ограничитель; е) идеальный ограничитель.«лииейный> детектор; в) ограничитель; е) идеальный ограничитель.Рис. 5・3. Симметричные и антисимметричные нелинейные характеристики.Рис. 5・3. Симметричные и антисимметричные нелинейные характеристики.односторонней параболой %-访 степени (рис. 5.2, а), а в области Ui << u < и2 — линейно-ломаной кривой
Рис. 5.2. Нелинейные характеристики:
Рис. 5.2. Нелинейные характеристики:
а) параболический
а) параболический
детектор; 6)
детектор; 6)
«лииейный> детектор; в) ограничитель; е) идеальный ограничитель.
«лииейный> детектор; в) ограничитель; е) идеальный ограничитель.
Рис. 5・3. Симметричные и антисимметричные нелинейные характеристики.
Рис. 5・3. Симметричные и антисимметричные нелинейные характеристики.
(рис. 52 6). Если и需 <и, то мы имеем характеристику ограничителя (рис. 5.2, е), и при u2 ^ и — характеристику идеального
ограничителя (рис. 5.2, г). Используя две лампы, можно получить симметричные или антисимметричные нелинейные характеристики (рис. 5.3).
Многие реальные нелинейные устройства нельзя считать безынерционными, но в то же время их можно представить в виде последовательно соединенных двух частей: безынерционного нелинейного элемента НЛ и линейного инерционного элемента — фильтра Ф (рис. 5.4), причем обе части этой схемы (линейную и нелинейную) с допустимой точностью можно считать развязанными,д д
т. е. ее элементы можно рассматри-/; ：№^&丿产
心(W心(WРис. 5.5. ЧастотнаяРис. 5.5. ЧастотнаяРис. 5.4. Типовое радиотех-ническое звено.Рис. 5.4. Типовое радиотех-ническое звено.характерисхарактеристика фильтра, выделяющего безискажения 加-ю гармонику.тика фильтра, выделяющего безискажения 加-ю гармонику.вать по отдельности.у鼠 \
心(W
心(W
Рис. 5.5. Частотная
Рис. 5.5. Частотная
Рис. 5.4. Типовое радиотех-ническое звено.
Рис. 5.4. Типовое радиотех-ническое звено.
характерис
характерис
тика фильтра, выделяющего безискажения 加-ю гармонику.
тика фильтра, выделяющего безискажения 加-ю гармонику.
(〃 = 2, 3,4,...),(〃 = 2, 3,4,...),(5.1.2)(5.1.2)
(〃 = 2, 3,4,...),
(〃 = 2, 3,4,...),
(5.1.2)
(5.1.2)
Это обстоятельство намного упрощает анализ таких схем, который, соответственно, проводится в два этапа: сначала рассматривается нелинейное преобразование у, а затем линейное преобразование у->z (по этой схеме дальше рассматривается преобразование шума в умножителе частоты и квадратичном детекторе).
Умножение частоты. Как в радиофизике, так и в оптике одним из наиболее часто встречающихся нелинейных преобразований является умножение частоты (генерация гармоник). Исследуем этот процесс, предполагая, что для получения m-й гармоники используется нелинейность п-й степени (п^т), т. е. зависимость (1) имеет вид
а исходное колебание, частота которого умножается, представляет собой квазигармонический случайный процесс:
х = р 传)cos[s"+(р ⑴]=力(0 絞心祖 + кс, А =，е? (5.1.3) с относительно узким частотным спектром. Для простоты считаем, что стоящий после нелинейного элемента фильтр Ф (рис. 5.4), настроенный на частоту т(о0, имеет достаточно большую полосу пропускания А(оф (рис. 5.5), так что инерционность фильтра никак не влияет на форму спектра m-й гармоники; роль такого фильтра сводится просто к выделению без искажения m-й гармоники и полному подавлению всех остальных.
Подставляя (3) в (2) и используя формулу бинома Ньютона, получим
у = (/с®。' 4- А 东с-心。屮=
= ]B力"一0?1*0m3。6-2。"= ^^ У c^1(л-2Рит./ + ф). (5.1.4) p = 00
Из этого выражения видно, что с помощью нелинейности четной степени можно генерировать только четные гармоники:
О, 2s(), 4so, ..., ад (п — четное),
а при нелинейности нечетной степени ~ только нечетные:
So, 3(Do, 5(Dn,孔Зо(п — нечетное).
К・ п. д. при гармоническом и шумовом возбуждениях. Согласно (4) m-я гармоника, образующая процесс на выходе фильтра, описывается выражением
z(f) = & 2(2 — 60J cos m (^t + ф (/)),(5.1.5)
где bom — символ Кронекера: 60m = 1 (加=0), 0 (m= 1, 2,...). Средняя интенсивность процесса (5) равна
嗚=g2〉= 2上-2叩叩 (р2Л),(5.1.6)
где
尸m” = (C丁丿(1 — 60m/2),(5.1.7)
〃宁)！(吋)J(5.1.8)
Форма интегрального спектра на выходе нелинейного безынерционного элемента, т. е. относительное распределение интенсивности процесса g по гармоникам, определяется зависимостью величин 0m от индекса т. Как видно из (6), от статистических свойств входного процесса (3) форма этого спектра не зависит; относительное распределение интенсивности по гармоникам 加①。 определяется фактором Fmn. Из табл. 5,1 следует, что относительная эффективность генерации m-й гармоники, пропорциональная Fmn, уменьшается с ростом m (при заданной степени нелинейности п).
Статистический выигрыш. Величина к. п, д, генерации гармоник, напротив, существенно зависит от статистических свойств входного процесса х, точнее — от статистики огибающей р этого процесса: согласно (6)
嗚〜⑺几〉 (т = п, п —2,'
Таблица 5.1
Значения фактора Fmn
ni
2
3
4
5
0
2
—
18
1
9
100
2
1
16
—
3
—
1
—
25
4
—
—
1
—
5
—
—
—
1
Обозначив среднюю интенсивность входного колебания через 炉=〈炉〉=〈р2〉/2, находим, например, что при гармоническом возбуждении (риф постоянны, причем величина огибающей неслучайна)
〈p2"o = W2〃， (5,1.8а) а при возбуждении стационарным гауссовским шумом с рэлеевским распределением амплитуды 侬(р)=泼
〈р2"=炉咤冷山 (5.1.9) (см. (2.4.7)). Из сравнения (8а) и (9) следует, что при одинаковых интенсивностях о2 входных колебаний к. п. д. генерации любой гармоники гауссовским шумом в
Н =〈р2"〉/〈р2"〉о =川 (5.1.9а) раз больше, чем при гармоническом возбуждении (л — степень нелинейности процесса). Подчеркнем, что факториальный выигрыш 〃！ отнюдь не является наибольшим возможным. Статистический выигрыш при генерации гармоник проявляется тем сильнее, чем медленнее спадают распределения вероятностей w (х) и 侬(р) на бесконечности. Взяв, например, экспоненциальное распределение для огибающей
д(р) = ^е-Р/о (5.1.10)
(оно спадает более медленно, чем рэлеевское), получим
〈р2” =卢(2初，
т. е. статистический выигрыш здесь еще более значителен, чем в (9). Распределению (10) соответствует распределение входного процесса
1 /丈八 0-元
(см. [1], с. 312), спад которого с ростом х является, очевидно, также не таким быстрым, как в случае гауссовского распределения.
Отметим, что статистический выигрыш, больший п!, получается и в том случае, когда гармоники возбуждаются с помощью гауссовского, но периодически нестационарного шума вида
x(t)=a (0 cos ①山〈尤2〉= © n % 唸无=〈吟，(5.1.11)
который формируется на выходе параметрических усилителей радио- и оптического диапазона при достаточно больших коэффициентах усиления (см. гл. 6). В (11) а (/) — относительно медленный гауссовский стационарный процесс:
〈а〉= 0, 5 (а)=念 ехр (—若).
В этом случае
〈р2以〉=〈@2以〉а2п (2п - 1)!! = о2л2л (2п - 1)!! (5.1.12) и статистический выигрыш по сравнению со стационарным гауссовским шумом (см. (9)) растет с увеличением степени нелинейности п:
（2及一 ！）"（2及一 ！）"1,5, % — 2, 2,5, % =
（2及一 ！）"
（2及一 ！）"
4,4, и-4,7,9, % = 5.
Корреляционные функции и спектры на выходе умножителя частоты. Рассмотрим теперь спектр G^ (s) m-й гармоники (рис. 5,5). Интегральная интенсивность, соответствующая этому спектру, определяется дисперсией (6):
2, Gm (<о)(1^ = ^ = 21-2nFmn (р2л).(5.1.13)
О
Как было установлено выше, зависимость о^ от m одинакова для всех процессов (3) на входе умножителя, однако величина с兀 и форма спектра ©加(&) зависят как от вида спектра G ((о) входного шума (3), так и от статистических свойств этого шума.
Предположим, что процесс (3) — гауссовский и стационарный с корреляционной функцией (ххт) = В (т) = g2R (т). Корреляционная функция (уУх) = (-^л^) на выходе нелинейного элемента может быть в этом случае представлена в виде конечного ряда по степеням В (т). Используя формулы •
；（2。）个（展）卢（一^，-^^审（。））
"%〉="%〉=（п — четное）,
"%〉=
"%〉=
^（2叫唄⑴『J+ '）户（1行"，Ly： 2:个⑴）
（% — нечетное）
(см. [2], с. 472) и представление гипергеометрической функции в виде ряда (ГР, с, 1053), получим
〈%"号)=@о + &R2 + a&R& + • • • + anRn (% — четное), (5.1.14)
〈%"吋〉=。次 + a3R3 + %个 + ・..+ anRn (% — нечетное), (5.1.15) где
!(m—1)1!(5.1.16)!(m—1)1!(5.1.16)2〃0^「2"+1、 n c 及 2(n -2)2 …(n一加+2)2
!(m—1)1!
(5.1.16)
!(m—1)1!
(5.1.16)
(m = 2, 4, , «),
a1 = |^2"。2 叩 20 + ^), am = aia1 = |^2"。2 叩 20 + ^), am = ai(n -1产(n -3)2 …(我一加 + 2)2(n -1产(n -3)2 …(我一加 + 2)22(т-1)/2/>Ц±1\1т112(т-1)/2/>Ц±1\1т11(5.1.17)(5.1.17)(m = 3, 5 ,.,,, п).Теперь учтем, что для квазигармонического процесса фициент корреляции может быть представлен какR(l：) — r (т) COS [⑴0七 +屮(t)] = 0(t) cos (D0T — ^ (r) sin (0“(cm. (2.3.7)) илиR“) = Q(t) eia^4-k.c., Q(t) = [p (r) + iq (r)]/2.Для четной степени c- согласно (4) и (19) имеемR$ = (Qe 心。т + Q*e—心。t)$ =(m = 3, 5 ,.,,, п).Теперь учтем, что для квазигармонического процесса фициент корреляции может быть представлен какR(l：) — r (т) COS [⑴0七 +屮(t)] = 0(t) cos (D0T — ^ (r) sin (0“(cm. (2.3.7)) илиR“) = Q(t) eia^4-k.c., Q(t) = [p (r) + iq (r)]/2.Для четной степени c- согласно (4) и (19) имеемR$ = (Qe 心。т + Q*e—心。t)$ =x коэф-x коэф-(5.1.18)(5.1.18)(5.1.19)(5.1.19)、s 一 m I s + m s — m]g 2 [Q 2 Q东 2+m ~ 0, 2,.、s 一 m I s + m s — m]g 2 [Q 2 Q东 2+m ~ 0, 2,.(5.1.20)(5.1.20)где 瓦加 имеет тот же смысл, что и в (5). Подставив (20) в (14), получим(%飞)=Z %Rs =s = 0, 2,где 瓦加 имеет тот же смысл, что и в (5). Подставив (20) в (14), получим(%飞)=Z %Rs =s = 0, 2,s — m Г s + m c~[Q~Q*s — m Г s + m c~[Q~Q*s = 0, 2, ... т = 0,2.s = 0, 2, ... т = 0,2.~едк + кс]。— ^}~едк + кс]。— ^}
a1 = |^2"。2 叩 20 + ^), am = ai
a1 = |^2"。2 叩 20 + ^), am = ai
(n -1产(n -3)2 …(我一加 + 2)2
(n -1产(n -3)2 …(我一加 + 2)2
2(т-1)/2/>Ц±1\1т11
2(т-1)/2/>Ц±1\1т11
(5.1.17)
(5.1.17)
(m = 3, 5 ,.,,, п).
Теперь учтем, что для квазигармонического процесса фициент корреляции может быть представлен как
R(l：) — r (т) COS [⑴0七 +屮(t)] = 0(t) cos (D0T — ^ (r) sin (0“
(cm. (2.3.7)) или
R“) = Q(t) eia^4-k.c., Q(t) = [p (r) + iq (r)]/2.
Для четной степени c- согласно (4) и (19) имеем
R$ = (Qe 心。т + Q*e—心。t)$ =
(m = 3, 5 ,.,,, п).
Теперь учтем, что для квазигармонического процесса фициент корреляции может быть представлен как
R(l：) — r (т) COS [⑴0七 +屮(t)] = 0(t) cos (D0T — ^ (r) sin (0“
(cm. (2.3.7)) или
R“) = Q(t) eia^4-k.c., Q(t) = [p (r) + iq (r)]/2.
Для четной степени c- согласно (4) и (19) имеем
R$ = (Qe 心。т + Q*e—心。t)$ =
x коэф-
x коэф-
(5.1.18)
(5.1.18)
(5.1.19)
(5.1.19)
、s 一 m I s + m s — m
]g 2 [Q 2 Q东 2+
m ~ 0, 2,.
、s 一 m I s + m s — m
]g 2 [Q 2 Q东 2+
m ~ 0, 2,.
(5.1.20)
(5.1.20)
где 瓦加 имеет тот же смысл, что и в (5). Подставив (20) в (14), получим
(%飞)=Z %Rs =
s = 0, 2,
где 瓦加 имеет тот же смысл, что и в (5). Подставив (20) в (14), получим
(%飞)=Z %Rs =
s = 0, 2,
s — m Г s + m c~[Q~Q*
s — m Г s + m c~[Q~Q*
s = 0, 2, ... т = 0,2.
s = 0, 2, ... т = 0,2.
~едк + кс]。— ^}
~едк + кс]。— ^}
(5.1.21)
Область значений m и ■, по которым проводится суммирование в (21), заштрихована на рис. 56 Изменив в (21) порядок суммирования, получим следующее выражение:
(5.1.22)(5.1.22)〈％/=2 Qm ⑴…" + К.С.,
(5.1.22)
(5.1.22)
/"= 0, 2,...
где
_门s—ms + ms — m
Qm ") = (1-夔)2 a,6尸-国(工)尸口*(切Т (5.1.23)
s= m.m+ 2....
с коэффициентами as из (16).
Аналогично можно показать, что при нечетном и
〈炉疗〉= £ Qm (т)+ КС, (5.1.24)
т —1, 3,、♦ ♦
где
s m s + ms — m
Qm«)=2asCn~[Q (r)]~[Q* (t)]~ (5.1.25)
s = m, m+ 2....
c as из (17).
Таким образом, корреляционная функция 加-й гармоники определяется выражением
Вт (т) =Qm (т) 85Е + к.с・，(5.1.26)
где Qm (т) вычисляется по формуле (23), если гармоника четная, или (25), если гармоника нечетная. Спектральную интенсивность гармоники Gm ((о) найдем, выполнив фурье-преобразование функции (26)・
Рис. 5.6. Область суммирования (заштрихована) в формуле (21).Рис. 5.6. Область суммирования (заштрихована) в формуле (21).
Рис. 5.6. Область суммирования (заштрихована) в формуле (21).
Рис. 5.6. Область суммирования (заштрихована) в формуле (21).
Полученные выражения дают возможность сделать некоторые общие заключения о структуре спектра m-й гармоники.
Предположим, что спектр G+(s) исходного колебания (3) симметричен относительно частоты (оо. Тогда в (19) д(т) = 0 н Q (т) = р (т)/2, т. е. Q (т) — вещественная функция. При этом в (23) и (25)
[Q W]~ [Q* (т)]~ = Q$ (т)=挚 (5-1.27)
Так как коэффициенты а$ и с£一⑺* в рядах (23) и (25) положительны, то функции Qm (т) вещественны, т. е. спектры гармоник также будут симметричны относительно частот /ng.
Функция р (т) имеет смысл коэффициента корреляции квадратурных компонент процесса (3) (см. (2.3.4)), т. е. —1 vp(t)vl・ Но в суммы (23) и (25) функция р (т) входит в степенях, больших или равных 加(m^s^n). Поэтому Qm (т) с ростом т будет
уменьшаться не медленнее, чем рт (т). Определяя время корреляции входного процесса (3) соотношением 嚟=\ | р (т) | dr, о
используем аналогичную оценку для времени корреляции т-й гармоники:
嘤='Q^oj— V，I p (T) I” dT,(5.1.28)
0
e.
吧)V 嚟.(5.1.29)
Знак равенства в (28) относится к гармонике самого высокого порядка, номер которой совпадает со степенью нелинейности (疗z = 〃)； при этом в рядах (23) и (25) остается по одному члену. Так как выражение (23) содержит лишь четные степени р (т), то (28) можно переписать как
лs —m8
£4cs 2 2-s ( p"T)dT
嘤=士小 m+2： (Л) m-четные). (5.1.30)
s= m, m
Если p (r) ^ 0, то аналогичное выражение можно написать и для нечетных гармоник.
При любом виде корреляционной функции р (т) величина интеграла \ I р (т) \т di; тем меньше, чем больше т. Таким образом, о
оценка (28) позволяет сделать вывод о том, что с ростом номера гармоники время корреляции уменьшается. Отсюда, в свою очередь, следует, что чем выше номер гармоники т、тем шире ее спектр Gm(s) (ширину спектра можно оценить как Д(от~ \1%^^9 Это расширение спектра сопровождается, напомним, уменьшением интегральной интенсивности гармоники о^ = 2, Gm ((о) d<aFmn (см. о
табл. 5.1).
Предположим, что известны ширина спектра входного гауссовского шума Д(овх~ 1/ТкХ» степень нелинейности % и номер гармоники т. Оценим по этим данным ширину частотного спектра гармоники.
На основании (29) можно утверждать, что спектр шума на выходе умножителя частоты будет более широким, чем на его входе：
С. А. Ахманов и др.
Однако количественно уширение может быть или большим, или, наоборот, незначительным, и это зависит от формы спектра входного шума G(s), т. е. от конкретного вида коэффициента корреляции р (т).
В качестве примера рассмотрим подробнее самую высокочастотную гармонику (т= п). Согласно (23)——(26) ее корреляционная функция имеет вид
Вл (t) = a；12f+%" (т) cos /г(о0т,(5.1.31)
где коэффициент а〃 определяется (16) или (17) в зависимости от того, является степень нелинейности и четной или нечетной. При этом колебание (3), частота которого умножается, имеет корреляционную функцию
8 (т) = 02P ⑺ cos(dot.(5.1.32)
Форма спектральной линии на входе умножителя определяется функцией (см. (2.3.15))
G+((Oo±s)~g(s) = ^ , р (т)产 di: = ； ^ р (т) cos cui di, (5.1.33) —соО
а на выходе — функцией
G^ (m(oo ± <о) ~gm (со) = ~ у рт(%)е1^ d%=^ — со со
=：j Р”(т) cos on dT. (5.1.34) и
Задаваясь конкретными выражениями для р (т), налодим.
1)"(t)= LZ g(® =之等^，
gm3)= ^譎j；(5.1.35)
2)"(t) = L>,g((o)= 2 黒 L",,
gm3)=万占(5.1.36) 3)"(T)= * g(3)=2a ch (л(о/2а) 1
gm (s)=gm (s)=2 m二品7：s：%3/况j П 儒+ # (m-четное), '~(5.1.37)
gm (s)=
gm (s)=
(m— 1 )/2
二謁石з/2а)П [S + ^f'JJ (〃一 нечетноеr=l
4)4)"⑺=需’g(s) =[必 2V"(5.1.38)
4)
4)
I 0, I s| >a.
Спектр gm(s) в этом случае находится по формуле (11) на с. 28 справочника [51].
Согласно (35) при лоренцевском спектре g(s) спектр гармоники gm (s) тоже лоренцевский и в m раз более широкий, чем
Рис. 5.7. Спектры на входе (а) и выходе (б) умножителя частоты.Рис. 5.7. Спектры на входе (а) и выходе (б) умножителя частоты.Приведенные кривые соответствуют следующим формулам / — (35), 2 — (36). 3—(37) 4 — (38)Приведенные кривые соответствуют следующим формулам / — (35), 2 — (36). 3—(37) 4 — (38)
Рис. 5.7. Спектры на входе (а) и выходе (б) умножителя частоты.
Рис. 5.7. Спектры на входе (а) и выходе (б) умножителя частоты.
Приведенные кривые соответствуют следующим формулам / — (35), 2 — (36). 3—(37) 4 — (38)
Приведенные кривые соответствуют следующим формулам / — (35), 2 — (36). 3—(37) 4 — (38)
g(s). Если спектр g(s) гауссовский, то, как следует из (36), спектр гармоники тоже будет гауссовским, но его уширение меньше — оно составляет ]/т (см. также § 3 гл. 8 и [45]).
На рис. 5.7 показаны рассчитанные по формулам (35)——(38) спектры на входе и выходе умножителя частоты для случая ге- 12*
нерации пятдй гармоники (〃z = 5). Видно, что спектр гармоники тем шире, чем медленнее спадают крылья спектра входного колебания.
Преобразование амплитудных и фазовых флуктуаций. К анализу флуктуаций при умножении частоты иногда удобно подойти с других позиций, а именно рассмотреть, как непосредственно связаны флуктуации амплитуды и фазы (или, соответственно, амплитудная и фазовая модуляции) на входе и выходе умножителя частоты.
Перепишем выражение (3) для входного шума, вьщелив амплитудные и фазовые флуктуации:
х (/) = р [1 +а (/)] cos [<о(/ + ф (0]>〈а〉=0,<ф>^0.(5.1.39)
В аналогичном виде запншетси и шумовой процесс, описывающий m-ю гармонику:
M0 = Pm [1 +Р (0) cos [т^ + ^ (/)],〈В〉=0,〈屮〉=0・(5.1.40)
Будем считать, что характеристика нелинейного элемента имеет вид (2). Тогда (40) совпадает с (5), т. е.
ip (0 = /п(р (0 (加三 1),(5.1.41)
Л - m
%П + В(/)] = С厂2r+i0〃U + a (/)]〃.(5.1.42)
Из (41), (42) видно, что амплитудные и фазовые флуктуации преобразуются независимо. Согласно (41) фазовые флуктуации увеличиваются в т раз.
Рассмотрим теперь амплитудные флуктуации 0 (/). Усредняя (42), получаем
(5.1 43)(5.1 43)声 <(1+а)^>.
(5.1 43)
(5.1 43)
Подставив (43) в (42), найдем
Р(0 =Р(0 =[+(如〈[+(?)「〉[+(如〈[+(?)「〉芯鄧["(/)—〈"〉]P=1п£М〈а。〉0= с芯鄧["(/)—〈"〉]P=1п£М〈а。〉0= с(5.1.44)(5.1.44)
Р(0 =
Р(0 =
[+(如〈[+(?)「〉
[+(如〈[+(?)「〉
芯鄧["(/)—〈"〉]
P=1
п
£М〈а。〉
0= с
芯鄧["(/)—〈"〉]
P=1
п
£М〈а。〉
0= с
(5.1.44)
(5.1.44)
или, поскольку。^=枕 и (а) =0,
па (0 + £ * [а「(f) —〈а。〉]
Р(0 ㈡"a(0+吗也 m(0 -в〉]+
+ 紋(彳-1)а(/) б + 〃("?)!" — 2)[аЗ(/)-〈аЗ〉]+…(5.1.45)+ 紋(彳-1)а(/) б + 〃("?)!" — 2)[аЗ(/)-〈аЗ〉]+…(5.1.45)1+£ е〈а。〉0= 2
+ 紋(彳-1)а(/) б + 〃("?)!" — 2)[аЗ(/)-〈аЗ〉]+…(5.1.45)
+ 紋(彳-1)а(/) б + 〃("?)!" — 2)[аЗ(/)-〈аЗ〉]+…(5.1.45)
амплитудные флуктуации для флуктуации на входе отиоси-(5,1.46)амплитудные флуктуации для флуктуации на входе отиоси-(5,1.46)Выражения (44) и (45) не зависят от 加,т. е, всех гармоник одинаковы. Если амплитудные тельно малы, а (/) < 1, то согласно (45)
амплитудные флуктуации для флуктуации на входе отиоси-
(5,1.46)
амплитудные флуктуации для флуктуации на входе отиоси-
(5,1.46)
В (f) = g (0
—амплитудные флуктуации в гармониках в п раз больше, чем в исходном колебании (п ——степень нелинейности).
Преобразование распределения вероятностей. При прохождении шума через нелинейную систему его распределение вероятностей меняет вид. По общей формуле (1.2.11) найдем, что распределению 呼 1(%) при у=^хп соответствует распределение
В частности, гауссовское распределение
吃("嘉ёхР(一通
переходит в существенно негауссовское распределение
也吁m而工t/〃 еХР (一詳)■
нуля:нуля:夕夕Рис. 5.3. Нерезонансная иони зация атома:Рис. 5.3. Нерезонансная иони зация атома:По сравнению с 呼】(％) функция W2 (у) медленнее стремится к нулю при у->8. Меняется и характер-“
нуля:
нуля:
夕
夕
Рис. 5.3. Нерезонансная иони зация атома:
Рис. 5.3. Нерезонансная иони зация атома:
а)а)конечным значениям 呼 1(0) соответствует U^2(0)==oa,
а)
а)
а) одиофотоииая (отрыв электронаот атома* происходит в результатепоглощения одного фотона)： 6) че*тырехфотоииая (отрыв электрона oiатома происходит в результатеодиовремеииого поглощения четы-рех фотоиов)а) одиофотоииая (отрыв электронаот атома* происходит в результатепоглощения одного фотона)： 6) че*тырехфотоииая (отрыв электрона oiатома происходит в результатеодиовремеииого поглощения четы-рех фотоиов)Оптический пример безынерционного нелинейного преобразования: нерезонансная многофотонная ионизация атома. Интересный пример безынерционного нелинейного преобразования оптического шума дает новый раздел оптики, связанный с изучением так называемых многофотонных процессов в атомах [21, 20J. В поле мощного лазерного излучения красной границы фотоэффекта не существует: фотоионизация атома происходит и в условиях, когда энергия кванта света меньше потенциала ионизации. В сильном свето
а) одиофотоииая (отрыв электронаот атома* происходит в результатепоглощения одного фотона)： 6) че*тырехфотоииая (отрыв электрона oiатома происходит в результатеодиовремеииого поглощения четы-рех фотоиов)
а) одиофотоииая (отрыв электронаот атома* происходит в результатепоглощения одного фотона)： 6) че*тырехфотоииая (отрыв электрона oiатома происходит в результатеодиовремеииого поглощения четы-рех фотоиов)
вом поле конечную вероятность имеет многофотонный процесс (рис. 5.8), в котором складываются энергии нескольких квантов. В этом случае вероятность фотоионизации пропорциональна уже не первой степени, как в обычном, однофотонном фотоэффекте (см (2.9,1)), а более высоким степеням интенсивности.
Для п-фотонного процесса вероятность ионизации атома в единицу времени Wп (/) = dPn (t)/dt равна (ср. с (2.9.1))
Рл (0 "(0 ~ ^п!п (0>(5.1.47)
где п — число поглощаемых фотонов, рл — сечение многофотонной ионизации, / (/) — интенсивность поля ).
В случае монохроматического поля интенсивность / есть величина постоянная (/ == /0) и вероятность
«^.о = 6"£・(6.1.48)
При действии на атом шумового поля (3) мгновенная интенсивность /(f)=p2(f)/2 и, следовательно, вероятность
呼〃 С) = 2г“р2” ⑴(5.1.49)
представляет собой величину, случайным образом изменяющуюся во времени.
Пусть огибающая поля р (/) подчиняется распределению Рэлея (статистика поля — гауссовская) со средней интенсивностью /0 той же, что и для монохроматического излучения. Тогда из (49), учитывая (9), для средней вероятности процесса получаем
汐〃 =2-簞〃 fdp = n| p„/^.(5.1.50)
0
Статистический выигрыш в рассматриваемом шумовом поле
^ =呼"呼2 0 =$(/)//；=川，(5.1.51)
т. е. такой же, как при возбуждении п-й гармоники шумом. Отметим, что результат (51) применим и для многофотонной эмиссии и люминесценции (ср. также с (9а)).
Таким образом, если многофотонная ионизация осуществляется гауссовским оптическим шумом, шумовое возбуждение в п! раз более эффективно, нежели монохроматическое.
Для реального лазерного излучения формулой (51) следует пользоваться с осторожностью; сначала надо убедиться в том, что критерий гауссовости (см. § 10 гл. 2) выполнен. Пусть оптический шум описывается многомодовой моделью (2.101). Возникает вопрос: каким должно быть число мод, чтобы можно было пользоваться формулой (51)? Ответ для одного случая фактически уже содержится в результатах гл. 2; обратимся к более детальному обсуждению ионизации атома многомодовым излучением*
Пусть световое поле имеет вид (2.10.1):
л/
х(0= 2 PmC0S(®mZ + Tm).(5.1.52)
где с)т = «о + mQ — частота моды (加=1, 2, ..., ^), фазы мод(рт считаем статистически независимыми и распределенными равномерно на интервале 2л (см. (2.10.2)), ^ — число мод.
Расчет статистического выигрыша в многомодовом поле (52) существенно зависит от того, определяется ли он для излучения с постоянными или с флуктуирующими амплитудами.
В случае непрерывного многомодового излучения амплитуды мод pm можно считать постоянными; поле излучения представляет собой стационарный случайный процесс. Если амплитуды рт для простоты считать равными, то для оценки статистического выигрыша
%=步产/步〃0=尸(勿/；
можно воспользоваться значениями моментов интенсивности многомодового колебания, полученными в § 10 гл. 2. При большом числе ^ мод, пользуясь формулами (2.10.34) и (2.10.17), можно записать [22]
%~m{1一齿評}。(5.1.53)
Точная зависимость п〃 от числа ^ до % = 6 включительно приведена в табл. 2.1.
В случае импульсного многомодового излучения в (52)
Pm = Pm ⑴=PmO f (f),fmax ~ 1,(5.1.54)
где pm0 — максимальное значение амплитуды. При этом, если амплитуды мод постоянны, то, очевидно,
/£〜产⑴и 〈/”(/)〉〜产(f).
Поэтому выражение (53) не меняется и остается справедливым для импульсного излучения.
Для излучения с флуктуирующими амплитудами мод статистический выигрыш иногда определяют по отношению к усредненной за время T》2ji/Q интенсивности?(/) [23——25]. Согласно (52) и (54)
f+「2Л/Л/
/(f) = 7 j 炉(/')"=/та/(f), 'max = 2 歹 P^o = £ /«.
f—T/2m = lm = I
(5.1.55)
Максимальная интенсивность /max в рассматриваемом случае является случайной величиной. Статистику мод будем считать гауссовской, а средние интенсивности мод— равными. Следовательно, 侬(%)=歳 exp {- 〃/8}，
Вероятность многофотонной ионизации атома для излучения с интенсивностью (55)
呼”(/) = % 产⑴ Мах・(5.1.56)
В случае многомодового излучения вероятность ионизации атома равна
呼广(/)=厶产⑴产而.(5.1.57)
Здесь, как и выше, волнистая линия означает усреднение по интервалу времени 工 / ⑴—мгновенная интенсивность:
Л/2
/⑴=4 £产。j喚+%.(5.1.58)
Согласно (56), (57) на величину
呼片(t)/Wn ⑴=7Л0//тах(5.1.59)
/ (/) не влияет. Усредняя (59), находим статистический выигрыш
ПЛ = <Г(0//тах>.(5.1.60)
При большом числе ^ мод величины /"(f) и /тах можно считать статистически независимыми, так как /тад (55), в отличие от / (/) (58), не зависит от фаз мод. В этом случае соотношение (60) можно записать izk (24, 28]:
М=〈О)〉/〈/2х〉・(5.1.61)
Поскольку в рассматриваемом случае статистика поля (52) гауссовская (таковой обладают отдельные моды, характеристическая функция поля (2.10.25)), то среднее
〈尸")〉=〈/'()〉=初(％喲。
Чтобы определить 〈/*'ах〉， найдем сперва функцию распределения W (/max)：
(/max) — ^ • • • J 6(/щах—三 / m i J~| W (! m) dl • di 00\丿
/ /V - 1
Следовательно,
"max〉-)(N — 1)!声。叩{—/тнх/5,} d/щах —^_^-[•(5. 1.62)
Таким образом, значение статистического выигрыша равно
М〃(М — 1)! п” = ” 笈+m—U『М〃(М — 1)! п” = ” 笈+m—U『(5.1.63)(5.1.63)
М〃(М — 1)! п” = ” 笈+m—U『
М〃(М — 1)! п” = ” 笈+m—U『
(5.1.63)
(5.1.63)
Рис 5.9. Интенсивность двухфотонной люминесценции /л в зависимости от квадрата средней интенсивности одномодового (/) и многомодового (^300) (2) лазерных полей |27].Рис 5.9. Интенсивность двухфотонной люминесценции /л в зависимости от квадрата средней интенсивности одномодового (/) и многомодового (^300) (2) лазерных полей |27].Рис. 5.10. Статистический выигрыш в зависимости от числа ^ мод лазера [25].Рис. 5.10. Статистический выигрыш в зависимости от числа ^ мод лазера [25].
Рис 5.9. Интенсивность двухфотонной люминесценции /л в зависимости от квадрата средней интенсивности одномодового (/) и многомодового (^300) (2) лазер
ных полей |27].
Рис 5.9. Интенсивность двухфотонной люминесценции /л в зависимости от квадрата средней интенсивности одномодового (/) и многомодового (^300) (2) лазер
ных полей |27].
Рис. 5.10. Статистический выигрыш в зависимости от числа ^ мод лазера [25].
Рис. 5.10. Статистический выигрыш в зависимости от числа ^ мод лазера [25].
Мы следовали методу расчета, изложенному в [24]. Более строгие, но и более громоздкие вычисления [25] также приводят к формуле (63). Следует отметить, что значения величин п〃，
Точки — экспериментальные значения,кривая рассчитана по формуле (63).
определяемые формулой (63) и приведенные в табл. 2.1, несколько различаются между собой. Это обусловлено различием как статистических свойств рассмотренных многомодовых процессов (постоянные и флуктуирующие амплитуды), так и способов определения коэффициента выигрыша п〃・
При числе мод ^ >» 1, но м2 < ^ формулу (63) можно привести к виду (ср. с (53))
П 宀 Мехр ｛一嘗/｝ ?^加｛1-弯評｝.(5.1.64)
Формулой (64) удобно пользоваться для оценки числа мод ^*, при котором статистический выигрыш с относительной точностью Дт]/т] = Ат] близок к предельному значению x\n—nl:
=% (% — 1)/2 Ат].
Как видно из табл. 5.2, величина ^* сильно зависит от п. Таким образом, в нелинейном процессе условия, при выполнении которых многомодовое излучение можно рассматривать как гаус совский случайный процесс, зависят от степени нелинейности (см. также гл. 8).
Таблица 5.2
Значения N* для 厶口 = 0,1 и различных п |26|
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
10
30
60
100
150
210
280
360
450
550
В заключение приведем некоторые экспериментальные данные о коэффициенте статистического выигрыша. На рис. 5.9 наглядно показан выигрыш в эффективности двухфотонной люминесценции в поле излучения многомодового лазера по сравнению с одномодовым; здесь с точностью до 0,1 значение т)2 = 2. Рис. 5.10 для одиннадцатифотонного процесса ионизации иллюстрирует рост статистического выигрыша с увеличением числа мод.
Амплитудное детектирование шума
Квадратичный детектор. Идеальным квадратичным детектором называют устройство с нелинейной характеристикой
у = ах2.(5.2.1)
Согласно (5.1,4) на выходе квадратичного детектора генерируются нулевая и вторая гармоники входного колебания (5.1.3):
У^ = Уо{^ + У^{^^
У^} = ^р2 ⑴，№ ⑴=f Р2 (0 cos [2з。/ + 2ф (/)].
С помощью квадратичного детектора можно измерять интенсивность / (/) = р2 (0/2 входного процесса х (/) = р (Z) cos [恤/十⑶(/)].
>~勿 ф ——»-
Рис. 5.11, Квадратичный параболический детектор.
Поставив после нелинейного элемента низкочастотный фильтр с соответствующим образом подобранной полосой пропускании
А(0ф (рис. 5.11), получим на выходе фильтра сигнал, пропорциональный мгновенному значению интенсивности:
2 〜％ 传)〜Р2 (0 〜/ (0 (Аз《АЗф), или ее среднему значению:
Z 〜О)〜\Р2 (0> 〜/ (0 (Аз > Азф)・
Здесь Асо —ширина частотного спектра процесса х, Корреляционная функция и спектр на выходе детектора. Корреляционная функция на выходе детектора
Wr =炉<炉脱〉
легко находится, если шум на входе — гауссовский и известна его корреляционная функция:
+ 8
无=0, ххт = Во (т) = MRq (т) = \ Go (со) dx. (522) 、—оо
Учитывая правило вычисления моментов гауссовского шума (см. (2.2.8), (2.2.10)), находим
g = ап?, уух = ◎ [о4 + 2筑(т)] = а2а4 [1 + 2G (т)]. (5.2.3)
Определим теперь выражение для спектра на выходе детектора:
G(s) = * J yyxe^dx.
Подставляя сюда (2) и (3) и интегрируя по т, получим
G (со) = а2а46 (з) + 2а2 \ Go (①。Go ® —①)dco】， (5.2.4)
где первое слагаемое описывает постоянную 【оставляющую д:
оо
\ G° (со) dco = ааа* = (^)2, G0 (со) = а2ст46 (со),(5.2.4а)
а второе — спектр флуктуаций 歹=у ——д：
со
Сфл (со) = 2а2 \ Go (coi) Go (则一①)do)i,
8 f(525)
，G®" (co) dco = 2aH.
Так как процесс x предполагается узкополосным и спектр Go(s) сосрадоточеи в узкой области частот 〜 Аз около со ^ ± о0» то
из структуры подынтегрального выражения в (5) видно, что 6фл (со) будет заметно отличаться от нуля лишь при з〜0 и со ± 2соо- Соответственно G®"®) можно представить в виде двух компонент:
6фл(со) = Снч(со) + 6вч (со), а именно, спектра низкочастотных флуктуаций
GH4 (со) = 2а2 \ Go(coi)Go((Oi —(o)doh (з~0) (5.2.6) и спектра высокочастотных флуктуаций
GB4 (<о) = 2аа J Go (з0 Go (со】一co) dg (з^±2(Оо), (5.2.7) причем интенсивности низкочастотных и высокочастотных флуктуаций одинаковы и равны интенсивности постоянной составляющей:
唸=\ СНч (з) dco =壮厂=g*
1(0 к (Oo
о% =\ GB4 (со) do)— do4 = g2
1«±2юо1<£Оо
(см. (4a)). Вид спектров (5)—(7) для частного случая прямоугольного спектра шума на входе детектора показан на рис. 5.12.
Оas&Оas&Подчеркнем, что полученное «равнораспределение» интенсивности по компонентам выходного шума постоянной, низкочастотной и высокочастотной,
Оas&
Оas&
歹：о% : о% = 1 ： 1 ； 1,(5.2.7а)
связано именно с гауссовостью входного шума. Напротив, универсальным является соотношение
(歹 + о%) ： о務= 2:1,
в согласии с табл. 5.1 (% =2;
加=0, 2). Например, если детектируется стационарный ФМ-шум
y = cos [①" +(р (/)]
(ьто — негауссовский процесс с распределением (2.5.20)), то
У — ал”? = j cos [ 2а)0/ + 2q)(/)],
и ясно, что низкочастотные флуктуации на выходе детектора воойце отсутствуют:
д = а/2,脸=0,脸= а〃8.
При этом «равнораспределение» (7а) уже не имеет места, но соотношение (76) по-прежнему выполняется:
矿：总=2 : 1.
Роль инерционности детектора. В часто встречающейся схеме детектора (рис. 5.13, а) между нелинейным элементом (диодом) и фильтром RC нет развязки. В этом случае фильтр оказывает влияние на режим работы диода (меняется так называемый угол
реального детектора.
«Коэффициент уширения» полосы пропускания детектора в зависимости от отношения сопротивления фильтра R к внутреннему сопротивлению диода Q.
отсечки — см. ниже), а диод шунтирует фильтр, расширяя его полосу пропускания. Последнее обстоятельство необходимо учитывать, чтобы правильно оценить ширину спектра флуктуаций на выходе детектора и их величину.
Уравнение, описывающее изменение напряжения на выходе инерционного детек!ора, имеет вид
2+ 急 z = ^7(x-z),(5.2.8)
где х — напряжение на входе детектора, г — напряжение на выходе, / — нелинейная функция, определяющая ток ，= /(〃) через диод в зависимости от управляющего напряжения и = х — г. Полоса фильтра выбирается достаточно малой:
Азф=1/КС《з。，(5.2.9)
так что г можно считать медленным процессом (по сравнению сх). Вследствие медленности г функцию f (х — г) можно заменить средним за период 7\ = 2л/5 значением, переписав (8) как
泛 3 = F 021°)
Предположим вначале, что шум отсутствует и детектируется гармонический сигнал
% == % cos (со。/ + ф0).(5.2.11)
Согласно (10) при этом г = г0 = const. Предположим, что характеристика диода является линейно-ломаной:
『(〃) = {『(〃) = {"/R0"/R0(心 0), (и<0)(心 0), (и<0)(5.2.12)(5.2.12)
『(〃) = {
『(〃) = {
"/R
0
"/R
0
(心 0), (и<0)
(心 0), (и<0)
(5.2.12)
(5.2.12)
(такой детектор называется «линейным»). Диод периодически «открывается» (т. е через него течет ток) на время
О<7о-9/л<7о/2,
где 0 — угол отсечки, определяемый соотношением
aocos8 = zo (О<0<л/2).(5.2.13)
Подставив (12) и (13) в (10), получим уравнение
л/у = tg 6 - 0 (y = R/R),(5.2.14)
показывающее, что угол 6 зависит от отношения сопротивления фильтра R к внутреннему сопротивлению диода 欠厂 В общем случае процесс на входе детектора квазигармонический:
х(0=р(0 cos[w0/ +(p(/)],
и уравнение (10) принимает сложный вид:
之十京=牆[sin arccos鳥一志arccos鳥].(5.2.15)
Чтобы упростить задачу, ограничимся анализом ситуации, когда на входе детектора имеется гармонический сигнал и аддитивный малый шум:
х (0 = «о cos (со0/ + фо) + g (0(己《。0).
При этом р (0 и z(f) будут испытывать слабые флуктуации:
Р«) = %[1+а(/)], 2(/) = %[1+〃3 伯彳《1).(5.2.16)
Подставляя (16) в (15) и линеаризуя по ^ и а, получим
С +舘= £а(/),(5-2.17)
т. е. для малых амплитудных флуктуаций инерционный детектор эквивалентен линейному фильтру с полосой пропускания 0 =BjRC. Постоянную
6 = 1 + -У о
можно назвать коэффициентом уширения полосы выходного /?С-фильтра. График зависимости В от у (рис. 5.13,6) показывает, что это уширение может быть значительным.
В заключение посмотрим, как меняется отношение сигнал/шум при прохождении сигнала и малого шума через детектор. Обозначив (ga) = а|х, имеем
(c/iu)bx =風/2原 х・(5.2.181
Согласно (16) интенсивность сигнала на выходе детектора равна z] а дисперсия шума 叫区х =%；〈？〉， т. е.
(с/ш)вых = 2*/(Гвых = 1/〈白2〉*(5.2.19)
Как следует из (17),
©〉= j缗體，(5.2.20)
где GW (co) — спектральная интенсивность флуктуаций а (/). Но а (f) = а (t)/aQt где а (/) — квадратурная компонента входного шума 己(6， дисперсия которой равна дисперсии g, (а2) = (^2) = а|х- Поэтому спектр GJ (со) должен удовлетворять нормировке
ООg
〈a*〉=,G^(s)d3 = ^.(5.2.21)
Для определенности предположим, что квазигармонический выходной шум 己⑴ имеет лоренцевский спектр шириной Асо —2Л. В соответствии с (21) в этом случае полагаем
G 弘 з)=謂(5222)
Подставляя (22) в (20) и интегрируя, получим с учетом (19) и (18)
霜产=2(1+22.(5-2.23)
Таким образом, минимальный выигрыш в отношении сигнал/шум равен двум (за счет того, что через амплитудный детектор вообще не проходят фазовые флуктуации, на создание которых приходится половина входной интенсивности шума). С уменьшением эффективной полосы пропускания р = B/RC этот выигрыш возрастает. В [9, с. 223] дан анализ прохождения широкополосного шума через детектор на основе стохастических методов； при этом условие малости шума несущественно.
§ 3. Измерение слабых шумов
Принцип действия радиометра. Результаты, полученные в § 5 гл. 3, показывают, что даже при использовании оптимальной линейной фильтрации эффективное выделение слабого случайного сигнала ^ на фоне сильного S2 возможно лишь в том случае, когда спектры шумов достаточно разнесены на оси частот. Если же спектры накладываются, причем Gi (со) <С ^2 (<°), то методы дискриминации по спектральному признаку не приводят к положительному результату и для выделения £ на фоне & нужно использовать какие-то другие признаки, различающие £ и &. Эта проблема становится практически важной при измерении очень слабых шумовых полей. Устройства, используемые для этой цели, называются радиометрами. Помехой при измерениях являются
в данном случае внутренние (в частности, тепловые и дробовые) шумы радиометра.
Для измерения £ на фоне £》Е1 в радиометрах используется то обстоятельство, что слабый шум ^ является внешним, так что, периоди
чески отключая приемную
Рис. 5.14. а) Схема компенсационного радиометра (Ай)з《Ад《厶电).6) Схема модуляционного радиометра (Асо? « Qq，A°h； Аоь V Ао)з《2jtQJ. в) Спектр процесса й3 на выходе первого детектора Д1 модуляционного радиометра.Рис. 5.14. а) Схема компенсационного радиометра (Ай)з《Ад《厶电).6) Схема модуляционного радиометра (Асо? « Qq，A°h； Аоь V Ао)з《2jtQJ. в) Спектр процесса й3 на выходе первого детектора Д1 модуляционного радиометра.
Рис. 5.14. а) Схема компенсационного радиометра (Ай)з《Ад《厶电).
6) Схема модуляционного радиометра (Асо? « Qq，A°h； Аоь V Ао)з《2jtQJ. в) Спектр процесса й3 на выходе первого детектора Д1 модуляционного радиометра.
Рис. 5.14. а) Схема компенсационного радиометра (Ай)з《Ад《厶电).
6) Схема модуляционного радиометра (Асо? « Qq，A°h； Аоь V Ао)з《2jtQJ. в) Спектр процесса й3 на выходе первого детектора Д1 модуляционного радиометра.
антенну, процесс 皂 можно модулировать или вообще выключать, не влияя при этом на большой внутренний шум Е2. Ниже рассматриваются два типа радиометров — компенсационный и модуляционный.
Радиометр можно упрощенно представить как стандартный приемник, основными элементами которого являются антенна, фильтр, детектор, фильтр низких частот и выходной измеритель^ ный прибор. Фильтр ⑦ 1 (рис. 5.14, а) заменяет элемент системьт реального приемника, состоящий из усилителя высокой частоты
(УВЧ), смесителя и усилителя промежуточной частоты (УПЧ); под полосой Аз】 следует понимать полосу УПЧ.
Прибор регистрирует сумму двух постоянных составляющих: малой, обусловленной измеряемым шумом £, и большой, связанной с внутренними шумами &• Разделение этих составляющих осуществляется следующим образом. В компенсационной схеме, выключив &1, измеряют составляющую, наведенную внутренними шумами, и компенсируют ее (рис. 5.14, а). Недостаток схемы в том, что неизбежные медленные изменения параметров приемного тракта (связанные, например, с флуктуациями внешней температуры) могут сделать точную компенсацию невозможной.
От этого недостатка свободна модуляционная схема (рис. 5.14,6). При периодической (с некоторым периодом 7。)модуляции шума 3 регулярная составляющая на выходе детектора, связанная с ^1( возникает не только на нулевой частоте, но и на частотах Qo, 2Q()и т. д. (Qo = 2n/7o), на которых нет конкурирующих регулярных составляющих, порожденных внутренним шумом S2. Поэтому, используя второй полосовой фильтр Ф2» настроенный на одну из частот 〃Qo, второй детектор Дз и второй фильтр низких частот Ф3, можно выделить на выходе радиометра постоянную составляющую, обусловленную в основном только измеряемым шумом 11- Влияние флуктуаций параметров подавляется, если ширина их частотного спектра 厶①口 专 Q [11].
Рассмотрим подробнее преобразование шумов в обеих схемах.
Компенсационный радиометр. Условно задавая шумы & и &2 на выходе фильтра ⑦【(рис. 5.14, а), получим, считая детектор квадратичным,
^1 ~ ?]> 〃2=占1 + 己2, 〃3 = а (Е1 + Е?)2*(531)
Предположим, что шумы & и 寂 являются гауссовскими и статистически независимыми, причем
〈3 = 0,〈置〉=5，B, (t) = $G, (co) e-^dw (i = l,2).(5.3.2)
В этом случае корреляционная функция флуктуаций
"з = 〃з —优 з,й3 = а(о； + &)
на выходе детектора равна
<й3йзт> = 2a2 [Bi (т) + В2 (т)『^ 2а2В1 (т).(533)
В (3) учтено, что Вг (т) ^В2 (т) ввиду предполагаемой малости измеряемого шума 皂.
Корреляционной функции (3) соответствует спектральная интенсивность
Оз (со) = 2а2 \ G3 (со。G2 (з — 30 do)i； (534)
ширина флуктуационного спектра (4) порядка Acoj — полосы фильтра Ф] (см., например, рис. 5.12). Для того чтобы показания радиометра были достаточно точными, полосу пропускания последнего низкочасютного фильтра Ф2 необходимо сделать узкой: Асо2 <С Д<^1 (см. (76)). При этом зависимость от (о в (4) становится несущественной и при дальнейшем анализе можно считать со = 0:
G3 (со) G3 (0) == 2а2 \ G；(3|)dg.
Таким образом, предполагая для простоты, что фильтр Фа имеет прямоугольную частотную характеристику:
IС Н VAg,
|K2(3)l=|o,H>A32,
получим для процесса и4 на выходе фильтра Ф2
“4 = %4 + 〃4,Й4 = Й3 = a(CTJ + ст.]),
2а2 f Gl(a)da, | со | < Дсо2,
G4 (со) = I Д2 (со) I2 G3 (з) =|б
0,|з|>Ай)2.
При выключенной антенне (£ = 0) вводится в действие показанная пунктиром на рис. 5.14, а цепь с фильтром Ф3 и в запоминающем устройстве ЗУ фиксируется постоянная составляющая на выходе детектора, равная й3 |^_о =аа|. Затем при включенной антенне эта составляющая подается на вычитающее устройство ВУ, так что
u5 — Qftrj, % = 〃4 — 〃5==^б+%，%=ао；, йс = й4.
Следовательно, интенсивность сигнала на выходе радиометра равна Й,- = а2СТ1, а интенсивность шума
〈麻〉=〈晟〉=G4 (0) 2Aсо? = 8a2 Aco? \ G・；(3) dw.
0
(5.3.5)фильтра 6(5.3.6)(5.3.5)фильтра 6(5.3.6)Теперь можно найти отношение сигнал/шум на выходе радиометра:
(5.3.5)
фильтра 6
(5.3.6)
(5.3.5)
фильтра 6
(5.3.6)
(с/ш)вых =碣=№.
88Д(о2 j Gf (со) dco
При прямоугольной частотной характеристике спектры шумов £ и & будут иметь вид
/&, I ①一⑴"V А⑴1/2,3@)- [ 0, g —(川>加叮/2.
(5.3.7)(5.3.7а)(5.3.7)(5.3.7а)д^ = 2(с/ш)вых^^ > 1,д^ = 2(с/ш)вых^^ > 1,(5.3.76)(5.3.76)
(5.3.7)
(5.3.7а)
(5.3.7)
(5.3.7а)
д^ = 2(с/ш)вых^^ > 1,
д^ = 2(с/ш)вых^^ > 1,
(5.3.76)
(5.3.76)
В этом случае
о； = 2G[ Ась, & = 2G2 Ась, \ G； (со) dco = Gl А® о
и выражение (5) примет вид
(С/Ш)в“х=爲(好
Относительная ошибка, возникающая при измерении £ и обусловленная 己2, равна величине, обратной (7а). Считая эту ошибку малой, находим из (7а)
как и предполагалось выше.
Модуляционный радиометр. В этой схеме (рис. 5.14,6)
u1 = m(t)h, 〃2 = т(/)£ + &2, 〃3 = afm")Ei + &F，
где /и(/) ^m(t-\-T^ — функция времени, описывающая периодическую модуляцию слабого шума £, осуществляемую модулятором М. Для процесса 〃з на выходе детектора 〃】находим, учитывая малость Wi по сравнению с ^2>
〃з =玄з+ 双，й3 = «[т2 (/) 5 +砌，(5.3.8)
〈乙3柒丿=2a2 [/n ⑴ /и (/ + т) Bi (т) + В2 (т)]2 ~ 2а2В^ (т). (5.3.9)
Последнее выражение совпадает с (3), т. е. спектр G3 (со) флуктуаций w3 дается формулой (4).
Представим периодическую функцию т2 (/) в виде ряда Фурье:
т2(/) =цо+ 2 卩г1cos (А山 + %).(5.3.9а)
Тогда регулярную компоненту проп.есса на выходе детектора можно записать как
况з =仪网0； + 5 + ao； £ mcos (Co〃Z +(pJ (5.3.10)
Дискретный спектр процесса (10) показан на рис. 5.14, в. Там же пунктиром показана частотная характеристика узкополосного (A(02《Q。) фильтра ⑦2, которую мы для простоты будем считать прямоугольной:
IК2（3）产=IК2（3）产=1,—nQn；^Aw2/2,
IК2（3）产=
IК2（3）产=
О, I— 〃I > Аз?/?.
Процесс 〃4 на выходе узкополосного фильтра Ф2 будет квазигар- моническим с регулярной составляющей
Й4 =。0 COS 仇Qof + 屮")®Q = ao汕г)(5.3.11)
и флуктуационной составляющей
厶= а«) cos (nQQt +(рл) — b (t) sin(5.3.12)
где a(t) и b (Z) — медленно меняющиеся случайные функции (см. (2.3.2)). Флуктуационный процесс /& имеет спектральную плотность
4a2『G3(co)d3, I со - «Йо I < А®2/2, G4 (®) = I /<2 (®) I Оз (®)о
О, I з — nfio I > А&2/2, и дисперсию
at = 4a22A(o2 \ G3 ((o)ds.о
В случае прямоугольной частотной характеристики фильтра ⑦i
成=8a2厶3必32GM(5.3.13)
Согласно (2.3.3), (2.3.5) и (13)
a = b = 0, a" = 6》=成=8cc2Att)iАз2G3.(5.3.14)
Как следует из (11) и (13), отношение сигнал/шум на выходе фильтра ⑦2 равно
(с/ш)выхФа =岑 ^^ (供)(5.3.15)
(ср. с (7а)). Полоса Аз? выбирается так, чтобы это отношение было большим:
(с/ш)выхФ2》* L(5.3.16)
Условие (16) означает малость флуктуационной составляющей (我4> 〃4). При этом процесс 〃^ на выходе квадратичного детектора Д2 %о*но представить как
〃5 = §3~В(或+ 2〃霜4)=粤+ §&&(/) + ... ; (5.3.17)
в (17) опущены члены, спектр которых лежит около частоты 2пй0 и которые не пропускаются низкочастотным фильтром Ф3.
Таким образом, после фильтра Ф3 имеется процесс
人=^ 必 + 力6’ "б В 窗/2,% =3 卩。0仪(/)•
Отношение сигнал/шум на выходе модуляционного радиометра будет, следовательно, равно
,,、(з)2 砒
или с учетом (11) и (14)
©т)м =手磊僧 У， (5-3.18)
т. е. оно в два раза меньше (15) и отличается лишь фактором рД/4 от выражения (7а), полученного для компенсационного радиометра.
В частности, при гармоническом законе модуляции
/и ⑴=cos (%/ + Фо)， m" (/) = ^ 卩 + cos 2 (%/ + Фо)1
и в (9а)卩0 =岷=1/2. Считая, что фильтр Ф2 настроен на частоту 2Q。，получим, подставив в (18) ц0= 1/2,
(с/т)м =击篇借卜(5319)
Выбирая частоту модуляции Q。достаточно большой (так, чтобы она лежала выше спектра флуктуаций параметров), мы можем избавиться от влияния медленных «уходов» параметров, которые на практике ограничивают чувствительность реального компенсационного радиометра.
Чувствительность радиометра. Предельная чувствительность радиометра условно определяется как величина Gimin, при которой отношение сигнал/шум на выходе равно единице. При этом, используя формулу Найквиста (3.4.10), спектральные плотности иногда выражают через эквивалентные шумовые температуры.
Как следует из (7а) и (19), для идеального компенсационного радиометра
Gimm = V2G2/7， Т imin =/2丁2/内(5.3.20)
а для модуляционного радиометра
Gimm = 4/ 2G2/7> Timin =4}/^丁2/9，(5.3.21)
где д = /Аз"Аз2》L Если бы для измерения Gj использовался обычный приемник (без компенсации или модуляции), то шум £ можно было бы надежно зарегистрировать лишь при
Glmin^G?, Т1 min ^ Т2» (5.3.22) т. е. чуветвительность у приемника была бы примерно в q раз меньше, чем у радиометра. Поэтому параметр q называют радиометрическим выигрышем. В современных радиометрах величина g достигает значений 104 — 105 [11 j.
§ 4. Нелинейные преобразования оптического шума
Нелинейные преобразования оптического шума стали сейчас столь же привычными, как и нелинейные преобразования радио
сигналов, хотя первые эксперименты по смешению световых волн были выполнены сравнительно недавно — лишь в 1955 г. [29] (см. также обзор [30]); им предшествовала дискуссия о принципиальной возможности подобных опытов [31 — 33].
Мы начнем исследование процессов нелинейного преобразования
оптического шума с эффекта смешения световых волн на фотокатоде. Если на элемент с нелинейностью вида (5.1.2) поступают два квазигармонических колебания со средними частотами g)i и g)2>
то, кроме генерации рассмотренных в § 1 гармоник, происходит
Рис. 5.15. Схема гетеродинного детектора.Рис. 5.15. Схема гетеродинного детектора.также генерация комбинационных частот 吸1±«32, где р и g—целые числа, не превышающие п. В схемах с фотокатодом (ФЭУ, квадратичное преобразование) возможно лишь исследование спектра вблизи разностной частоты g)i—
Рис. 5.15. Схема гетеродинного детектора.
Рис. 5.15. Схема гетеродинного детектора.
Спектроскопия оптическогоСпектроскопия оптическогоСмешение световых волн представляет значительный интерес и как метод спектрального анализа [34]. смешения оказывается одним из наи
Спектроскопия оптического
Спектроскопия оптического
высокого и сверхвывысокого и сверхвыболее эффективных методов спектроскопии
высокого и сверхвы
высокого и сверхвы
сокого разрешения.
Далее мы рассмотрим две задачи о смешении световых волн на фотокатоде: прямое фотодетектирование и гетеродинирование. Общим в указанных способах преобразования оптического шума является то, что в результате нелинейного преобразования спектр флуктуаций анализируемой волны переносится в область низких
частот, в диапазон радиочастот, где он измеряется радиотехни
ческими методами. '
Гетеродинирование света; использование в спектроскопии сверх， высокого разрешения. При гетеродинировании на детектор одновременно подается сигнальная волна и дополнительная, опорная, волна от генератора (гетеродина) (рис. 5.15). В экспериментах по рассеянию электромагнитных волн в качестве опорной волны используется, как правило, часть излучения генератора, которым зондируется исследуемый объект [34, 35].
Оставляя в стороне вопрос о влиянии неполной пространственной когерентности принимаемых световых волн на процесс регистрации [31] (см. ниже), будем считать сигнальную волну Ez (/) и опорную волну Ел (/) плоскими, т. е. детектор фактически предполагаем точечным. Суммарное поле запишем в комплексном
виде:
Е (0 = Ес (f) + Ео (f) = Ac(t)eia^ + А^', (5.4.1) где амплитуда Лс (/) — стационарная случайная функция, Ло — постоянная величина. Спектр поля (1) изображен на рис. 5.16,。・
Рис. 5.16. Спектр регистрируемых световых воли (а) и спектр фототока (б).
Предположим сначала, что световое излучение регистрируется безынерционным фотодетектором (влияние постоянной времени детектора на процесс фотосмешения мы обсудим несколько позже). Тогда в силу соотношения (2.9.1) число фотоэлектронов, регистрируемых в единицу времени, пропорционально интенсивности падающего света, т. е. ток фотодетектора (см. также (2.9.3))
i(t) = ^I(t)=^E(t)E^(t)t(5.4.2)
где р — квантовая эффективность детектора. Подстановка (1) в (2) дает
I С) = 1о + 1с (0 + 2р Re {人(f) Л/(%—%)'},
(5.4.3) где i(： и i0 — компоненты тока, обусловленные по отдельности сигнальной и опорной волнами. Для корреляционной функции тока (3) получаем с учетом дробового шума:
5・(т) = <t(0 i (f + т)〉+ е (% + &〉) 6 (т) =
=е (% + &〉) 6 (т) + ig + Вс (т) + 2t0<ic>Re 仇(т) е'%"}. (5.4.4)
Здесь Вс (т) — компонента корреляционной функции тока, обусловленная детектированием только сигнала (ее мы более детально рассмотрим в следующем разделе), ус (т) — нормированная корреляционная функция поля сигнала:
Yc (т) =〈反(т) / (f + 明/厶=〈4 G)父(f + т)〉宀ik
Первый член в (4) учитывает наличие дробового шума (см. § 8 гл. 2).
При условии /о》<с и, следовательно, %》〈厶〉，которое обычно выполняется в эксперименте, вместо (4) имеем
5•⑴=叽6(T)+ ^ + 2io〈；c〉Re Ye ⑴/吁(5.4.5)
Функция В； (т) линейно связана с корреляционной функцией поля сигнала ус (т), поэтому спектр тока детектора полностью воспроизводит спектр поля сигнала.
Пусть для простоты спектр сигнала симметричен, т. е. ус(т) = = %(T)e-'sj, где ус (т) — действительная функция. В этом случае спектральная плотность тока
G"3)=元％+ 淞(т) +元，о〈％〉\ Yc(T)cos[(w0—wc—w)TjdT (5.4.6) о
состоит из спектра дробового шума (первый член), постоянной составляющей на нулевой частоте (второй член) и спектра сигнала, смещенного с частоты (ос на частоту з。一 со, (третий член) (рис. 5.16, б).
Формула (6) наглядно показывает преимущества метода гетеродинирования как метода спектрального анализа оптических сигналов. Согласно (6) спектр сигнала вблизи разностной частоты —спектр фототока — повторяет спектр исследуемого сигнала в оптической области. При вы воде (6) мы не пользовались какими- либо предположениями относительно функции распределения поля Ес (/). Последнее означает, что полученный результат не зависит от статистики сигнальной волны.
Спектр фототока можно исследовать с помощью спектроанализатора или быстродействующего цифрового коррелятора. Поскольку средняя частота сигнала при этом понижается по крайней мере на 12—13 порядков, спектральное разрешение в методе оптического гетеродинирования R =(ос/А<ос достигает значений R^ 10м, совершенно недоступных традиционным методам оптической спектроскопии. Даже для оптических спектрометров сверхвысокого разрешения, использующих эталоны Фабри —Перо, R ^ 107.
Рассмотрим теперь ограничения, связанные с инерционностью фотодетектора; речь будет идти об ограничениях на ширину анализируемого спектра. С учетом конечного значения Т (постоянной времени фотодетектора) вместо (2) следует писать (инерционное фотодетекти рование)
1(0 = ^- j /(/)"•
Подставляя (1) в это выражение, имеем
i(f) = i° + ^ j 入(/')" +2》,Re4 (?)//(%-%)"". (5.4.7)
Если время корреляции тк сигнальной волны больше 7\ а раз-
ность частот сос — соо меньше 2л/Т, то выражение (7) для фототока приводится к виду (3) ).
В другом предельном случае, тс — ^^>2л/Т, ток фотодетектора
вообще не содержит интерференционного члена:
f+ Т/2
i(f) = i°+^ ，LU)"；(5.4.8)
扌一¥/2
эффект гетеродинирования исчезает.
настоящее время метод гетероди- для анализа рассеянного света,настоящее время метод гетероди- для анализа рассеянного света,Таким образом, возможность сохранения полной информации о регистрируемой сигнальной волне в процессе гетеродинирования существенно определяется инерционностью процесса фотодетектирования.
настоящее время метод гетероди- для анализа рассеянного света,
настоящее время метод гетероди- для анализа рассеянного света,
методом гетеродинирования [36].методом гетеродинирования [36].В заключение отметим, что в нирования широко используется имеющего частоту, смещенную по отношению к частоте зондирующей волны: рэлеевского рассеяния, рассеяния света брау- новскими частицами и турбулентными потоками жидкости и газа и т. п. Пример спектра света, рассеянного частицами в турбулентном потоке, представлен на рис. 5.17.
методом гетеродинирования [36].
методом гетеродинирования [36].
Прямое фотодетектирование； влияние пространственной неко- герентности сигнала на процесс детектирования. В этом методе преобразования оптического из
лучения на фотодетектор поступает только сигнальная волна (в формулах (3) и (4) следует принять i0 = 0) и первоочередное значение приобретает корреляционная функция Вс (т). Поскольку при этом флуктуации тока обусловлены флуктуациями интенсивности сигнала, информация о фазе и частоте сигнала теряется. Спектр флуктуаций тока прямо связан с оптическим спектром лишь в случае, когда статистика светового поля гауссовская (см. (5.2.4)).
Спектр тока фотодетектора имеет только низкочастотную составляющую, так как постоянная времени детектора всегда
гораздо больше периода оптических колебаний. Поэтому формулы § 2 .для низкочастотных флуктуаций на выходе квадратичного детектора полностью применимы и для оптических сигналов. Вместе с тем процесс детектирования в оптическом диапазоне имеет и определенную специфику, на которой мы остановимся в настоящем разделе.
Модель точечного фотодетектора, которой мы пользовались до сих пор, применима, если радиус корреляции гк излучения существенно больше размера d освещаемой площади 《отокатсща или диафрагмы, помещаемой перед детектором. В противоположном случае (rK^d) такая модель непригодна. Тогда детектор можно рассматривать, очевидно, как совокупность ^(d/rK)2
точечных детекторов, токи которых статистически независимы. На апертуре фотодетектора будет, по существу, происходить усреднение по пространству. Тем не менее относительная величина помех, обусловленных дробовым шумом, при изменении ^ остается, как будет показано ниже, неизменной.
Рассмотрим детально влияние неполной пространствен ной когерентности волны на процесс прямого фотодетектирования.
С учетом конечной площади фотокатода ток детектора следует записать в виде (ср. с (2))
«/) = 8，/(г，办壮2 厂(5.4.9)
Параметр р связан с квантовой эффективностью детектора р, р = p/nd2; d — радиус апертуры детектора. На величину среднего тока пространственная некогерентность излучения не влияет:
〈i(f)〉= 6\〈/(г, ty dh = pz.(5.4.10)
Распределение средней интенсивности в плоскости фотокатода принято равномерным.
Корреляционная функци фототока (9) с учетом дробового шума детектора
5 (т)=亙6 (т)+伊卩〈/з，，+ т)/(п, /)) d2r2 d2rl. (5.4.11) Если рассматривается излучение с гауссовской статистикой, то в силу (2.4.17)
</(Г2, / + т)/(и, /)〉=〈/(3〉〈/(")〉［1 + 1У(Г2-Г1, Т)闿，(5.4.12) где у (г2 —гь т) — степень пространственно-временной когерентности поля.
Для полей с разделяющимися пространственно-временными корреляционными функциями |у(г2 —гь т)!=丨 Y (г2 —「“ 11Y (т) |. Из (11) с учетом (12) получаем
= с小 (5.4.13)
Здесь
，『丫（「2 —「1） 12 d2口 d2G
(5.4.14)
Спектр, соответствующий корреляционной функции (13), равен (ср- с (6))
十8
G* (砌=〈i〉2 6 (cd) + ^ e〈i〉+ "〉2 (2л^)^I ( у (т) 12 cM 么 (5.4.15)
и состоит из спектра на нулевой частоте, спектра дробового шума и спектра, обусловленного флуктуациями сигнала.
Неполная пространственная когерентность излучения уменьшает в ^ раз величину, содержащую сведения о временных флуктуациях. Для статистически изотропных полей при d》/^
j I т (s) ,2 #s
В случае пространственной корреляционной функции поля вида I у ⑸ I = exp {— s2/废} имеем
N =2 (d/r^.
Однако гакая важная характеристика детектора, как чувствительность, не зависит от ^ Определим отношение сигнал/шум детектора как
(с/ш) = а. с (з) Аз/Gf. ш (со) Аз(5.4.16)
Спектры Gt, с (и>) и Gt, ш (<о) определяются соответственно последним и вторым слагаемым в (15)； Асо — полоса преддетекторного фильтра. Для частоты з~0 находим
(С/ш) = ь*<0 (2^)-1тк, Тк = J , Y (т)|2 dt.
Согласно (10) постоянный ток можно записать в виде
“〉н B%coN (dn/dt)^.
Здесь {dn/dt)K0[ — число фотонов, падающих на «площадь когерентности^ лгк в единицу времени. Таким образом,
(с/ш) = (2е尸力⑴О (d〃/d2)Ks %(5.4.17)
Отсюда следует, что регистрация широких световых пучков, в апертуре которых умещается несколько площадей когерентности, не приводит к улучшению отношения (17) по сравнению со значением для одной площади когерентности. Аналогичный эффект имеет место и при гетеродинировании [47].
Интерферометрия интенсивности； эксперимент Брауна—Твисса. Нелинейные преобразования оптического шума могут быть использованы для измерения корреляционных функций поля высших порядков. Фактически с этими функциями мы уже встречались, когда рассматривали процесс прямого фотодетектирования, в котором корреляционная функция тока непосредственно связана с корреляционной функцией интенсивности падающего излучения (11). Однако главный акцент при этом делался на исследование
спектра излучения.
Вместе с тем знание корреляционных функций поля высшего порядка представляет и самостоятельный интерес. Далее будут
рассмотрены два примера измерения корреляционных функций интенсивности. Первый пример, заимствованный из радиоастроно
Второй пример, взятыйВторой пример, взятыйизизоm 二оm 二no/iy/ifloapavffoe в駛no/iy/ifloapavffoe в駛мии, связан с проблемой измерения угловых диаметров звезд.
Второй пример, взятый
Второй пример, взятый
из
из
оm 二
оm 二
no/iy/ifloapavffoe в駛
no/iy/ifloapavffoe в駛
области лазерной физики, связан с исследованием сложных световых сигналов, возникающих в многомодовом
ИнтеграторИнтеграторРис. 5.18. Схема установки Брауна и Твисса для измерения корреляционной функции интенсивности.Рис. 5.18. Схема установки Брауна и Твисса для измерения корреляционной функции интенсивности.режиме генерации лазера.
Интегратор
Интегратор
Рис. 5.18. Схема установки Брауна и Твисса для измерения корреляционной функции интенсивности.
Рис. 5.18. Схема установки Брауна и Твисса для измерения корреляционной функции интенсивности.
Измерения корреляционной функции интенсивности впервые выполнили Браун и Твисс [37] Идея их эксперимента заключается в следующем. Значение корреляционной функции интенсивности определяется лишь флуктуациями амплитуды Поэтому, если исследуемое излучение
распространяется через среду, вносящую случайные изменений в фазу, то фазовые флуктуации никак не отразятся на виде корреляционных функций интенсивности. Это принципиальное преимущество интерферометрии интенсивности по сравнению с амплитудной интерферометрией. Применение
интерфер ометр и и интенсивности в радиоастрономии позволяет почти полностью исключить влияние состояния атмосферы на результаты измерений [38]. Вместе с тем, как уже отмечалось, для полей с гауссовской статистикой корреляционные функции поля и интенсивности содержат одинаковую информацию.
Упрощенная схема интерферометра Брауна — Твисса показана на рис. 5.18. Излучение от исследуемого источника делится на полупрозрачном зеркале на два пучка, которые падают на фотоумножители (ФЭУ). Перед ФЭУ расположены щели, вырезающие регистрируемые сигналы; одна из щеле仃 перемещается перпендикулярно направлению распространения пучка.
Сигналы, регистрируемые ФЭУ за время Г,
ип (М = Р \ 〃(％,(5.4.18)
где /п (гп, /) — интенсивность падающего излучения. Коррелятор дает величину С\ (幻。2(为)，среднее значение которой на выходе интегрирующего устройства
%(Г1, ", т) = 02\,〈/1(Г1, /')/2(Г2, т +1")) dt' df, (5.4.19)
где т = /2 — ^i — время задержки между сигналами.
Для стационарного случайного поля с гауссовской статистикой в силу (12) при т = 0 имеем
8и(Г], г?) = (0Ту//2{1+Е(Г1, г?)/?},(5.4.20)
г '
Е(Г1, Г2)= ^，(「一/') IyG, г2) /')【2*. О
Здесь I у (г1т г2, т) | — степень пространственно-временной когерентности исследуемого излучения (см. (1.8.38)). Если время задержки т = 0 и время корреляции 久》「，то выражение (20) сводится к пространственной корреляционной функции интенсивности (ср. с (1.8.26)):
Ви (г】，")=(BQ?//2 [1 + ： Y (г】，『2)『]•(5.4.21)
Формула (21) позволяет найти степень пространственной когерентности |у(『1, г2) |. Результаты измерения последней для газоразрядного источника представлены на рис. 5.19. Такая возможность определения |丫(口，г2) | с помощью интерферометрии интенсивности широко используется в астрофизике для измерения угловых диаметров звезд (рис. 5.20). В основе этих измерений лежат соотношения (4.5.13) и (4.5.15).
Влияние временной некогерентности излучения на измерение пространственной корреляционной функции несущественно при выполнении условия а》Т, т. Электрические фильтры, следующие за ФЭУ (на рис. 5.18 и 5.20 они не показаны), позволяют получить сигналы с временем корреляции тк = 1 /А/ 1 尸 с (А/ — полоса пропускания фильтров). Полагая полосу пропускания прямоугольной, для временной степени когерентности имеем (см. (1.3.30))
I Y⑴=1嘿對
Эта формула позволяет оцепить ослабление корреляции при наличии задержки т между поступающими на коррелятор сигна-
лами. Для т= 10-9 с, соответствующей разности хода 30 см, iу (х) ； уменьшается всего на 2%. В интерферометре интенсивно
сти достижение разности хода всего лишь в несколько сантиметров не представляет трудностей [38]. Что же касается звездного
интерферометра Майкельсонаинтерферометра МайкельсонаРис. 5.19. Степень пространственной когерентности излучения ртутной лампы в зависимости от расстояния между фотокатодами, измеренная с помощью установки Брауна и Твисса.Рис. 5.19. Степень пространственной когерентности излучения ртутной лампы в зависимости от расстояния между фотокатодами, измеренная с помощью установки Брауна и Твисса.(рис. 4.16), то из-за широкого спектра принимаемого сигнала (АХ^ 100 нм) для получения высокой точности измерения степени пространст-
интерферометра Майкельсона
интерферометра Майкельсона
Рис. 5.19. Степень пространственной когерентности излучения ртутной лампы в зависимости от расстояния между фотокатодами, измеренная с помощью установки Брауна и Твисса.
Рис. 5.19. Степень пространственной когерентности излучения ртутной лампы в зависимости от расстояния между фотокатодами, измеренная с помощью установки Брауна и Твисса.
Рис. 5.20. Схема звездного интерферометра интенсивности.Рис. 5.20. Схема звездного интерферометра интенсивности.Пунктир — теоретическая зависимость, рассчи-танная по формуле (1.3).
Рис. 5.20. Схема звездного интерферометра интенсивности.
Рис. 5.20. Схема звездного интерферометра интенсивности.
венной когерентности разность хода между интерферирующими пучками не должна превышать одной длины световой волны. Это накладывает чрезвычайно жесткие требования на механическую конструкцию интерферометра [38].
До сих пор мы рассматривали пространственные корреляционные функции интенсивности шумовых полей. Для временных корреляционных функций интенсивности в (19) надо положить Г1 = г2 = г, тогда .
8〃 (т)=炉耳〈/(/')/ (т + 产)〉dt'd尸.О
Если время корреляции поля q》T, то
Ви ⑴=(ВТ?〈 / ⑴ / 传+ 力〉(5.4.22)
или
Bu") = (0T)2/2{l + iY(t“2}(5.4.23)
для полей с гауссовской статистикой.
Измерение Ви (т) можно, очевидно, выполнить с помощью схемы (рнс. 5.18), содержащей два ФЭУ, вводя оптическую задержку в один из каналов регистрации. Однако на практике
такие измерения обычно проводятся с одним ФЭУ, работающим
в режиме счета фотонов, а задержка вносится после разделения электрического сигнала (см. [34]). Поскольку при использовании метода счета фотонов нетрудно реализовать большие времена за
держек, предельное разрешение интерферометра интенсивности
в этом случае может быть лучше 0,1 Гц. Минимальное время корреляции, которое удается измерить рассматриваемым способом.
определяется быстродействием элементов установки и может быть порядка 1 — 10 нс.
На рис. 5.21 показан типичный вид временной корреляционной функции интенсивности для рассеянного света.
В интерферометрии интенсивности измеряются время или радиус корреляции огибающей случайного поля. В случае же полей с гауссовской статистикой, исходя из соотношения (12), можно получить сведения о корреляционной функции поля. Поэтому соотношение (12) часто используется, чтобы проверить связь между корреляционными функциями поля и интен-
Рис. 5.21. Корреляционная функция интенсивно-Рис. 5.21. Корреляционная функция интенсивно-сти когерентного излучения, рассеянного в четыреххлористом углероде [39].сти когерентного излучения, рассеянного в четыреххлористом углероде [39].сивности и вынести суждение о статистике поля (см. следующий раздел).
Рис. 5.21. Корреляционная функция интенсивно-
Рис. 5.21. Корреляционная функция интенсивно-
сти когерентного излучения, рассеянного в четыреххлористом углероде [39].
сти когерентного излучения, рассеянного в четыреххлористом углероде [39].
Интерферометрия интенсивности в лазерной оптике — регистрация сверхкоротких световых импульсов. Физическая идея генерации сверхкоротких импульсов (она
Угол рассеяния 3°23', темпе-ратура 20 ЬС. Время корре-ляции по уровню L равно11,2 мкс.Угол рассеяния 3°23', темпе-ратура 20 ЬС. Время корре-ляции по уровню L равно11,2 мкс.была выдвинута в 1966 г. (см. [49])) про
Угол рассеяния 3°23', темпе-ратура 20 ЬС. Время корре-ляции по уровню L равно11,2 мкс.
Угол рассеяния 3°23', темпе-ратура 20 ЬС. Время корре-ляции по уровню L равно11,2 мкс.
ста и наглядна. Рассмотрим многомодовый лазер; его поле опи
сывается соотношением (2.10.1). Как уже указывалось в гл. 2, огибающая многомодового излучения в общем случае представляет собой случайный процесс. Однако, если моды эквидистантны, а
фазы связаны между собой (например, выполняется соотношение (2.10.35)), излучение состоит из последовательности импульсов длительностью тимп я« 1 /А/, где А/ — полная ширина спектра (рис. 2.35).
Таким образом, при одной и той же ширине спектра в зависимости от фаз мод имеем либо практически гауссовский случайный процесс, либо последовательность регулярных коротких им
пульсов.
Различить эти два процесса не представляет труда, если имеются достаточно быстродействующие регистрирующие устройства. К сожалению, прямая регистрация световых импульсов длительностью 10~12— 10~13 с оказывается трудной задачей. Поэтому для исследования сверхкоротких световых импульсов в оптике щи^окое распространение поручили косвенные методы, основан-
ные на измерении корреляционных функций высших порядков. Действительно, если фазы мод зависимы, то мы имеем дело с негауссовским случайным процессом и, следовательно, корреляционные функции интенсивности для многомодового излучения с синхронизованными и несинхронизованными модами должны отличаться. Когда же установлен факт синхронизации мод, корреляционные функции интенсивности различных порядков можно использовать для весьма точных измерений формы и длительности световых импульсов.
Рассмотрим прежде всего корреляционные функции поля и корреляционные функции интенсивности для двух моделей излучения: несинхронизованных мод и полностью синхронизованных мод.
Будем исходить из выражения (2.10.32) для эквидистантного спектра, полагая амплитуды мод равными. В этом случае комплексное электрическое поле с шириной спектра N® 〜NQ имеет вид
E(t) = ae"8LNa72v 三 /("。‘+中丿，(5.4.24)
几=0
где «о — центральная частота спектра, Q — частота межмодовых биений, N — число мод. Процесс (24) периодически нестационарный. Поэтому по аналогии с (2.4.35) запишем
В (т) == с^е1^—^^12^ 2=
_ а2е/(ы0-№/2)т，一！=炉或(恤-NQ/2}т 5也(“盘工⑵5《？§
/СТ—1sin(Qr/2) ' I ..丿
Члены, зависящие от /, при усреднении по времени регистрации T》2n/Q дают нулевое значение; сумма представляет собой геометрическую прогрессию. Для случая флуктуирующих фаз фл фактически предполагается, что они являются случайными величинами. Подчеркнем, что результат (25) не зависит от статистических свойств фаз(рп. Другими словами, корреляционные функции поля не несут информации о степени синхронизации мод.
Нормированная корреляционная функция (25) имеет вид
I ” 作)I I 8 (工)I - I 四(咂工/2 I,5 4 26)
IY(T" I В (0) I ~ sin (Йт/2) I'(3・4・/b)
Функция (26) — периодическая, ее график показан на рис. 5.22. Характерное время уменьшения корреляционной функции | у (т) | (время корреляции) равно
q= 2TmN,(5.4.27)
т. е. оно приблизительно в N раз меньше периода межмодовых биений (%>1)・ Вообще говоря, степень когерентности у(т丿 зави-
17 ml17 mlРис. 5.23. Нормированная корреляционная функция поля трехмодового излучения:Рис. 5.23. Нормированная корреляционная функция поля трехмодового излучения:JAMJAMРис. 5.22. Нормированная корреляционная функция поля многомодового излучения (N = 5) с равными интенсивностями мод.Рис. 5.22. Нормированная корреляционная функция поля многомодового излучения (N = 5) с равными интенсивностями мод.сит от соотношения амплитуд мод (рис. 5.23). В связи с этим изменяется несколько и время корреляции тк, однако характер зависимости тк от числа мод N сохраняется.
17 ml
17 ml
Рис. 5.23. Нормированная корреляционная функция поля трехмодового излучения:
Рис. 5.23. Нормированная корреляционная функция поля трехмодового излучения:
JAM
JAM
Рис. 5.22. Нормированная корреляционная функция поля многомодового излучения (N = 5) с равными интенсивностями мод.
Рис. 5.22. Нормированная корреляционная функция поля многомодового излучения (N = 5) с равными интенсивностями мод.
/) интенсивности мод равны (/х = /t ==/3)； 2) /1= /8 = 0.5/2； 3) /]U，8 =н 0,25厶.
Теперь рассчитаем корреляционные функции интенсивности B/(t)=〈T7^7(f + t)〉・ В соответствии с (24) интенсивность
/(/) = |£(/) |2 = а2 2(5.4.28)
Для синхронизованных мод фт —(р„ = 0 и интенсивность (28) является детерминированной функцией, задаваемой (2.10.37). Тем не менее корреляционную функцию В/ (т) здесь удобнее определить с помощью общего выражения (24), а не (2.10.37).
В общем случае имеем
〈//；〉=q4£ 〈exp《p — /)Qf +
р, Z, m, n — 0
+ (m — /г) Q 0 + т) + 屮夕一Ф/ — Фт 一 фп})-(5.4.29)
В случае синхронизованных мод при усреднении по времени Т》2n/Q в (29) остаются только члены, для которых р — / + -]-гп — п = 0. Среди них имеется： № членов с р = / и m = n; (2 — 1)2 членов с р — / = 1 и т — п =——1; (^ —2)2 членов ср —— ——/ =^ 2 и т — п =——2 и т. д. В результате для функции В/(т) получаем
В7(т) = а4|№ + 2 2 (N — J^cosJfeQt}.(5.4.30)
Хотя в (30) можно выполнить суммт-пование, окончательное выражение имеет довольно громоздкий вид. Нормированная
[3 С. А. Ахманов и др.
функция (30) равна
历⑴=牆=АП^ПУ 卜 + 2 2 /2 cos (N -/)Qt}・ (5-4.31)
График функции (31) изображен на рис. 5.24 (кривая /).
В случае несинхронизованных мод при усреднении выражения (29) по случайным фазам фп со статистикой, описываемой (2.10.2), остаются члены с р = 1 и т — п (их число №) и члены с р = п и 1 — т. В результате имеем
8/(т) ~1Г8/(т) ~1Г=№ +=№ +т.т.N2n*=l; т#〃N2n*=l; т#〃小他一几）0工=№ 一a7小他一几）0工=№ 一a7sin2 (^Qт/2)sin2 (Qt/2)sin2 (^Qт/2)sin2 (Qt/2)
8/(т) ~1Г
8/(т) ~1Г
=№ +
=№ +
т.
т.
N
2
n*=l; т#〃
N
2
n*=l; т#〃
小他一几）0工=№ 一a7
小他一几）0工=№ 一a7
sin2 (^Qт/2)sin2 (Qt/2)
sin2 (^Qт/2)sin2 (Qt/2)
График функции (32)График функции (32)Рис. 5.24. Нормированные временные корреляционные функции интенсивности многомодового излучения (^ = 5) с равными интенсивностями мод:Рис. 5.24. Нормированные временные корреляционные функции интенсивности многомодового излучения (^ = 5) с равными интенсивностями мод:7 — сиихроиизоваиные моды;2— несинхроиизованиые мо-ды.7 — сиихроиизоваиные моды;2— несинхроиизованиые мо-ды.
График функции (32)
График функции (32)
Рис. 5.24. Нормированные временные корреляционные функции интенсивности многомодового излучения (^ = 5) с равными интенсивностями мод:
Рис. 5.24. Нормированные временные корреляционные функции интенсивности многомодового излучения (^ = 5) с равными интенсивностями мод:
7 — сиихроиизоваиные моды;2— несинхроиизованиые мо-ды.
7 — сиихроиизоваиные моды;2— несинхроиизованиые мо-ды.
Отсюда следует, что нормированная корреляционная функция интенсивности равна
ВЛх) 1/sin2(№r/2H …
bl ^ = В^0)=屈—№俨一乂+ sin 2 g/2)}(5.4.32)
также показан на рис. 5.24 (кривая 2).
Нетрудно убедиться, что при числе мод М》1 корреляционные функции (26) и (32) удовлетворяют соотношению
历(Т)=4(1+”⑴产).(5.4.33)
Этот результат не является неожиданным. Ранее, в § 10 гл. 2, мы показали, что одномерный закон распределения колебаний при большом числе несинхронизованных мод становится гауссовским. Таким образом, выполнение соотношения (33) можно рассматривать как критерий не только гауссовской статистики процесса, но и статистической независимости фаз мод. Разумеется, следует иметь в виду, что в соответствии с выражением (33) о гауссовской статистике поля можно говорить только в рамках связи корреляционных функций поля и интенсивности.
Некоторые сведения о статистике излучения и статистике фаз
мод можно также получить, располагая только данными о корреляционной функции интенсивности Bj (т). Введем контраст функции В/(т)：
(5.4.34)
Рис. 5.25. Временные кор- реляционные функции интенсивности Не — Ne-ла* зера для режимов несинхронизованных (а) и самое иихронизованных (6) мод (41J.Рис. 5.25. Временные кор- реляционные функции интенсивности Не — Ne-ла* зера для режимов несинхронизованных (а) и самое иихронизованных (6) мод (41J.Точки — экспериментальные зиачеиия. Теоретические кривые построены для измеренного распределения ин- тенсивностей между модами: а) 0,26:0,61 : 1,0 : 0,61 : U,26 (статистически независимые случайные фазы); б) 0,63::1,0 ： 0,48 (равные фазы).Точки — экспериментальные зиачеиия. Теоретические кривые построены для измеренного распределения ин- тенсивностей между модами: а) 0,26:0,61 : 1,0 : 0,61 : U,26 (статистически независимые случайные фазы); б) 0,63::1,0 ： 0,48 (равные фазы).
Рис. 5.25. Временные кор- реляционные функции интенсивности Не — Ne-ла* зера для режимов несинхронизованных (а) и самое иихронизованных (6) мод (41J.
Рис. 5.25. Временные кор- реляционные функции интенсивности Не — Ne-ла* зера для режимов несинхронизованных (а) и самое иихронизованных (6) мод (41J.
Точки — экспериментальные зиачеиия. Теоретические кривые построены для измеренного распределения ин- тенсивностей между модами: а) 0,26:0,61 : 1,0 : 0,61 : U,26 (статистически независимые случайные фазы); б) 0,63:
:1,0 ： 0,48 (равные фазы).
Точки — экспериментальные зиачеиия. Теоретические кривые построены для измеренного распределения ин- тенсивностей между модами: а) 0,26:0,61 : 1,0 : 0,61 : U,26 (статистически независимые случайные фазы); б) 0,63:
:1,0 ： 0,48 (равные фазы).
Для излучения с несинхронизованными модами в соответствии с (32)
/?/ = (2^-l)/(^-l)(5.4.35)
и, как следовало ожидать, Q->2 при N->оо. В случае синхронизованных мод, пользуясь (31), имеем
(
N—■ 1\ —1
№ + 2 2 产 cos (№ — /)". (5.4.36)
Контраст (36) имеет значение больше 2 (см. также рис. 5.24), и при ^^^ 1 R/〜N, т. е. © растет с ростом числа мод.
На рис. 5.25 представлены результаты измерения [41] корреляционной функции интенсивности излучения непрерывного лазера, работающего в режимах несинхро- низованных и самосинхронизованных мод. В случае несинхронизованных мод экспериментальные данные и теоретическая кривая удовлетворительно согласуются между собой. Для режима самосинхронизованных мод между теорией и экспериментом имеет место отличие, выходящее за ошибку измерения. Это свидетельствует о том, что в исследованном режиме самосинхронизации мод, которому соответствует контраст R/ = 5, моды были синхронизованы не полностью.
Рассмотренные примеры иллюстрируют возможность получения информации о режиме работы лазера по корреляционной функции интенсивности. Как уже отмечалось, широкое распространение интерферометрия интенсивности в лазерной физике получила благодаря возможности измерения длительности сверхкоротких лазерных импульсов. Рассмотрим применяемые схемы интерферометров интенсивности и корреляционные функции, измеряемые с их помощью.
Чаще всего для измерения корреляционной функции интенсивности используется явление генерации второй оптической гар
моники. Предположим, что генерация второй гармоники происходит при ее возбуждении в нелинейном кристалле пучками ос-
новного излучения с различными поляризациями； напряженности полей пучков обозначим через Е* и £2- В этом случае поле второй гармоники (см. § 3 гл. 8)
邑,仏 2)=%田1 亿 г) £2 (/, 2). (5.4.37)
Параметр 02r определяется нелинейными свойствами кристалла и его длиной. Средняя интенсивность гармоники
，2г =限〈厶(£)厶(£)〉•
Схема, реализующая измерение /2г, показана на рис. 5.26. Исходное излучение на полупрозрачном зеркале расщепляется на два
Рис. 5.26. Схема измерения корреляционной функции интенсивности с помощью эффекта генерации второй гармоники:Рис. 5.26. Схема измерения корреляционной функции интенсивности с помощью эффекта генерации второй гармоники:Рис. 5.27. Схема установки для измерения корреляционной функции интенсивности 3/ (т) по эффекту двухфотонной люминесценции:Рис. 5.27. Схема установки для измерения корреляционной функции интенсивности 3/ (т) по эффекту двухфотонной люминесценции:
Рис. 5.26. Схема измерения корреляционной функции интенсивности с помощью эффекта генерации второй гармоники:
Рис. 5.26. Схема измерения корреляционной функции интенсивности с помощью эффекта генерации второй гармоники:
Рис. 5.27. Схема установки для измерения корреляционной функции интенсивности 3/ (т) по эффекту двухфотонной люминесценции:
Рис. 5.27. Схема установки для измерения корреляционной функции интенсивности 3/ (т) по эффекту двухфотонной люминесценции:
/ — четвертьволновая пластинка, 2 —прнзма, 3 ——оптически нелинейныйкристалл, П — полупрозрачные зер-кала./ — четвертьволновая пластинка, 2 —прнзма, 3 ——оптически нелинейныйкристалл, П — полупрозрачные зер-кала./ — полупрозрачное зеркало, 2—глу-хие зеркала, 3 — кювета с люмииесци*рующей жидкостью./ — полупрозрачное зеркало, 2—глу-хие зеркала, 3 — кювета с люмииесци*рующей жидкостью.
/ — четвертьволновая пластинка, 2 —прнзма, 3 ——оптически нелинейныйкристалл, П — полупрозрачные зер-кала.
/ — четвертьволновая пластинка, 2 —прнзма, 3 ——оптически нелинейныйкристалл, П — полупрозрачные зер-кала.
/ — полупрозрачное зеркало, 2—глу-хие зеркала, 3 — кювета с люмииесци*рующей жидкостью.
/ — полупрозрачное зеркало, 2—глу-хие зеркала, 3 — кювета с люмииесци*рующей жидкостью.
пучка, поляризация одного из них повернута на л/2, и между ними введена задержка т. Интенсивность гармоники определяет автокорреляционную функцию интенсивности
h^)=^{I(t)Ht-г)〉〜В】 (т).(5438)
Другой метод измерения функции Bj (т) основан на явлении двухфотонной люминесценции. Схема установки изображена на рис. 5.27. Интенсивность двухфотонного свечения вещества в соответствии с (5.1.47) равна
/2ф = р2Г = р2Е2£*2.(5.4.39)
Исследуемое излучение £ = У2 Ло (0 ^ на зеркале делится на два пучка.
Напряженность электрического поля между зеркалами пред- старлмет соСой сумму бегущих навстречу друг другу полей:
E(f, ?)=£\(f, z) + E2(t, ?)=
=4亿 2)川3一厶)+ 42(力 z)i(血+ /)(5.4.40)
Далее будем считать, что интенсивности полей одинаковы, центр образца находится в точке г = 0, длина двухфотонно-люминесци- рующего образца 2/. Тогда в первом приближении теории дисперсии для полей можно написать (см. § 4 гл. 4)
Ei 仏 z) = 4。« —叫
z ,(5-4.41)
邑俏砌，
где и —групповая скорость волны в жидкости. Подставляя (40) в (39), получим
/2ф = %{(Е1 + Е2)2(Е； +成)2} =
= ^{Н + 11 + 4// + 囱成卄 ЕГЕЦ +
+ 2(/1 + /2)(Е1£： + Е?Е2)}.(5.4.42)
Рассмотрим в (42) последнюю скобку:
£гЕ* + £*£2 = 2Д0 (/г) До (^2)cos kz.(5.4.43)
Усреднение по пространству, реализуемое при регистрации двухфотонной люминесценции на фотопленку (разрешение 100 мкм), обращает в нуль выражение (43). Учитывая сказанное и проводя статистическое усреднение (42), получаем
/2ф = Р2 {2/|+ 4В/ (т = 2г/«)}.(5.4.44)
Пространственный размер sn яркого пятна двухфотонной люминесценции определяется временем корреляции: sn = тки/2; в случае тк =4 пс sn = 0,6 мм.
Для анализа (44) удобно использовать нормированную функцию
/ (т) = / 2ф/2р2^о = 1 + 2Ь/ (т).(5.4.45)
Поведение функции /(т), как и Ь/ (т), сильно зависит от характера поля (рис. 5.28), Действительно, контраст функции А,= =/(0)//min для многомодового излучения с несинхронизованными модами R/= (1+2)/(1 + 1) = 1,5, тогда как в случае наблюдения двухфотонной люминесценции от излучения с синхронизованными модами Ь/(т>тимп) = 0 и 勺=3。
Наряду с временными корреляционными функциями интенсив ности значительный интерес для лазерной физики представляют пространственные корреляционные функции интенсивности. Зна-
ние последних позволяет судить о пространственной связи поперечных мод лазерных пучков. Для измерения пространственных корреляционных функций интенсивности можно также применять нелинейно-оптические методы. С этой целью в соответствующих схемах измерения пространственных корреляционных функций поля необходимо использовать двухфотонные детекторы, т. е. устройства, показания которых пропорциональны квадрату интенсивности [48].
Рис. 5.29. Нормированная пространственная корреляционная функция интенсивности многомодового лазера на алюмо-иттриевом гранате [40]:Рис. 5.29. Нормированная пространственная корреляционная функция интенсивности многомодового лазера на алюмо-иттриевом гранате [40]:Рис. 5.28 Iипы корреляционных функций интенсивности 力⑴ и треков люминесценции / (т), измеренных соответственно с помощью второй гармоники (ВГ) и двухфотонной люминесценции (ДФЛ\ для полей с различной статистикой; справа вверху приведены значения контрастов '52].Рис. 5.28 Iипы корреляционных функций интенсивности 力⑴ и треков люминесценции / (т), измеренных соответственно с помощью второй гармоники (ВГ) и двухфотонной люминесценции (ДФЛ\ для полей с различной статистикой; справа вверху приведены значения контрастов '52].л) для лазера с селек гором .юперечных мод (диафрагма диаметром 4 мм); б) для лазера без селектора поперечных мод. Точки — экспериментальные значения bj (s), сплошные кривые построены по формуле 尸⑸=(1 + ТдКСП ⑻ |2)/2-
Рис. 5.29. Нормированная пространственная корреляционная функция интенсивности многомодового лазера на алюмо-иттриевом гранате [40]:
Рис. 5.29. Нормированная пространственная корреляционная функция интенсивности многомодового лазера на алюмо-иттриевом гранате [40]:
Рис. 5.28 Iипы корреляционных функций интенсивности 力⑴ и треков люминесценции / (т), измеренных соответственно с помощью второй гармоники (ВГ) и двухфотонной люминесценции (ДФЛ\ для полей с различной статистикой; справа вверху приведены значения контрастов '52].
Рис. 5.28 Iипы корреляционных функций интенсивности 力⑴ и треков люминесценции / (т), измеренных соответственно с помощью второй гармоники (ВГ) и двухфотонной люминесценции (ДФЛ\ для полей с различной статистикой; справа вверху приведены значения контрастов '52].
Одной из возможных схем измерения пространственной корреляционной интенсивности В/ (s) является поляризационный интерферометр, сопряженный с удвоителем оптической частоты. Нетрудно показать, что если в схеме поляризационного интерферометра (рис. 4.6) вместо анализатора использовать удвоитель, то будет измеряться корреляционная функция В/ (s), представляющая собой пространственный аналог корреляционной функции В/ (т) (38).
На рис. 5.29 показаны пространственные корреляционные функции интенсивности для лазерного излучения со многими поперечными мотами Здесь же изображена функция, связанная с квадратом модуля пространственной корреляционной функции
поля. Видно, что данные рис. 5.29, б хорошо удовлетворяют соотношению (33), т. е. в этом случае пространственная статистика лазерного излучения в рамках корреляционной функции интенсивности является гауссовской, а фазы поперечных мод некорре- лированы.
Измерение высших корреляционных функций. Применение оптических преобразователей с нелинейными характеристиками высокого порядка позволяет измерить корреляционные функции интенсивности выше второго порядка. В частности, с помощью трехфотонной люминесценции и генерации третьей гармоники удается измерить корреляционную функцию вида
в『(т) =〈/2/(工)〉. (5.4.46)
Если в схеме, изображенной на рис. 5.27, кювета заполнена веществом, люми-
несцирующим при одновременном поглощении трех квантов света, то интенсивность свечения/睢=国/3=6/喈*3.(5.4.47)Принимая во внимание (40), (41) и проводя расчеты по аналогии с двухфотонной люминесценцией, для средней интенсивности (47) получаем 厶ф = 2%[В尸(0)十93产(т)]. (5.4.48)Возможен другой вариант измерении корреляционно；! функции интенсивности (46). Если наблюдается двухфотоиная люминесценция в ной волны и кванта света слабой вид (ср. с (40))несцирующим при одновременном поглощении трех квантов света, то интенсивность свечения/睢=国/3=6/喈*3.(5.4.47)Принимая во внимание (40), (41) и проводя расчеты по аналогии с двухфотонной люминесценцией, для средней интенсивности (47) получаем 厶ф = 2%[В尸(0)十93产(т)]. (5.4.48)Возможен другой вариант измерении корреляционно；! функции интенсивности (46). Если наблюдается двухфотоиная люминесценция в ной волны и кванта света слабой вид (ср. с (40))результате поглощения волны на удвоенно»£ (Л г)«Л1 (Л z) Z)十 4 «, 2)號2результате поглощения волны на удвоенно»£ (Л г)«Л1 (Л z) Z)十 4 «, 2)號2Рис. 5.30. Схема установки для измерения корреляционной функции № тенсивности третьего порядка：/ — удвоитель оптической частоты, 2 — оптический смеситель, 3 ——фотодетектор.кванта света силь-Рис. 5.30. Схема установки для измерения корреляционной функции № тенсивности третьего порядка：/ — удвоитель оптической частоты, 2 — оптический смеситель, 3 ——фотодетектор.кванта света силь-частоте, то поле имеет(皿十(5.4.49)частоте, то поле имеет(皿十(5.4.49)
несцирующим при одновременном поглощении трех квантов света, то интенсивность свечения
/睢=国/3=6/喈*3.(5.4.47)
Принимая во внимание (40), (41) и проводя расчеты по аналогии с двухфотонной люминесценцией, для средней интенсивности (47) получаем 厶ф = 2%[В尸(0)十93产(т)]. (5.4.48)
Возможен другой вариант измерении корреляционно；! функции интенсивности (46). Если наблюдается двухфотоиная люминесценция в ной волны и кванта света слабой вид (ср. с (40))
несцирующим при одновременном поглощении трех квантов света, то интенсивность свечения
/睢=国/3=6/喈*3.(5.4.47)
Принимая во внимание (40), (41) и проводя расчеты по аналогии с двухфотонной люминесценцией, для средней интенсивности (47) получаем 厶ф = 2%[В尸(0)十93产(т)]. (5.4.48)
Возможен другой вариант измерении корреляционно；! функции интенсивности (46). Если наблюдается двухфотоиная люминесценция в ной волны и кванта света слабой вид (ср. с (40))
результате поглощения волны на удвоенно»
£ (Л г)«Л1 (Л z) Z)十 4 «, 2)號2
результате поглощения волны на удвоенно»
£ (Л г)«Л1 (Л z) Z)十 4 «, 2)號2
Рис. 5.30. Схема установки для измерения корреляционной функции № тенсивности третьего порядка：
/ — удвоитель оптической частоты, 2 — оптический смеситель, 3 ——фотодетектор.
кванта света силь-
Рис. 5.30. Схема установки для измерения корреляционной функции № тенсивности третьего порядка：
/ — удвоитель оптической частоты, 2 — оптический смеситель, 3 ——фотодетектор.
кванта света силь-
частоте, то поле имеет
(皿十(5.4.49)
частоте, то поле имеет
(皿十(5.4.49)
Пользуясь (42), для средней интенсивности люминесценции можно сразу
написать
^гф (т) = 4р2/1/2=4р2р2г Оо^о (T = 2z/u)^ В/ (т).(5.4.50)
При получении последнего равенства в (50) принято во внимание, что Ла(Л z) = ^Al\t + z/u — llu).
На рис. 5.30 изображена схема нелинейного преобразователя для измерения двухточечной корреляционной функции интенсивности
В/ (т\,工2)=〈/(f)/ (f + 工1) / (f + 工2)〉・(5.4.51)
Знание этой функции необходимо для восстановления временной структуры импульса (см. § 6 гл. 7).
厶21 &，Z丿 J %亿 «• Z)上& — L> Z).厶21 &，Z丿 J %亿 «• Z)上& — L> Z).Прн умножении частоты исходного излучения реализуется преобразование вида (37) с BpcMcjiiioii задержкой т между возбуждаемнми вол нами, т. е. поле втор oii 1 армопикн
厶21 &，Z丿 J %亿 «• Z)上& — L> Z).
厶21 &，Z丿 J %亿 «• Z)上& — L> Z).
Га часть основного излучения, которая поступает на оптический смеситель, минуя удвоитель частоты, имеет задержку т2. В процессе смешения получаем поле на суммарной частоте
&(f, z) = BcGr(f，z)E(f — q, г), или с учетом (52)
&«，z) = Bc%rE(f，z)石(f — q, z)E(f —n，?)•
Отсюда средняя интенсивность на суммарной частоте равна
/с=(₽С₽2Г)2〈/ ⑴ / (/—q) / (/—q)〉，(5.4.53)
г. e. она пропорциональна корреляционной функции (51).
Приведем еще один пример. Если двухфотонная люминесценция наблюдается от поля излучения второй гармоники, то с помощью 〈44) можно найти корреляционную функцию интенсивности второй гармоники
b，2r(Т)=〈/2Г(‘)/玩(/+Т)〉,
г. е. корреляционную функцию интенсивности четвертого порядка основного излучения
В尸(0, т, т) =〈/а (0 /е (/ + т)).(5.4.54)
Наивысшая корреляционная функция, которая измерена к настоящему времени нелинейно-оптическими методами, является одноточечной корреляционной функцией интенсивности пятого порядка 〈/& (f)/(f 十 т)〉 [46].
Рассмотренные примеры показывают, каким образом нелинейно-оптическое преобразование шумового поля позволяет определить высшие корреляционные функции интенсивности, применяя преобразователи оптических частот и (или) хиюгофотонные детекторы
В заключение отметим, что корреляционные функции поля высшего порядка, в принципе, можно изучать, используя для регистрации систему из нескольких детекторов или разделяя сигнал после регистрации одним детектором на несколько каналов и вводя соответствующие временные задержки.
§ 5. Двухуровневая среда в сильном шумовом поле — пример инерционного нелинейного преобразования в оптике
Однофотоиный и многофотониый резонансы. Как известно, атомы и молекулы характеризуются квантовомеханическим спектром уровней энергии Ео, Еъ Е2, ..., которым соответствуют частоты перехода ①沌=(Е» — £\)/力.Если частота(п0 излучения, падающего на среду, близка к одной из частот перехода (①口^①汴)， то взаимодействие излучения с веществом носит резонансный характер: параметры распространяющегося излучения и динамика среды обнаруживают сильную зависимость от расстройки 3 工 = й)о ——(0/. Хорошо известный пример резонансного взаимодействия —появление в спектре прошедшего через вещество света резких линий поглО1цения, обусловленных возрастанием оптических потерь при 3 = 0. В сильных полях наряду с однофотонпыми
((d0№(D/ft) появляются также многофотонные резонансы (^(D0^(DZft, ^ = 2, 3,...).
Уравнения двухуровневой среды. Естественно предположить, что поле частоты о)о сильнее всего влияет на параметры только двух уровней, частота перехода между которыми ①沦 близка к(о0 (или Gu%). Эта простейшая двухуровневая модель резонансной среды описывается уравнениями [14, 16, 44, 53]
п + г(п-п^ =yJpiA* (t)k + ptA d)k], .\1(5.5.1)
0 +号+ 浴"1 = 一0/ 4(少%々=1,2,...,
в которых п — разность населенностей нижнего и верхнего уровней, Pi —поляризация, 4 (/) — комплексная амплитуда поля
E = A(t) к.с. (5 = ®J(5.5.2)
6 = о)о —(o/ft — частотная отстройка (в дальнейшем для простоты считаем 3 = 0), Т^з —времена релаксации, yk и ^k — постоянные параметры. При 々=1 уравнения (1) описывают наиболее изученный случай однофотонного резонанса [7, 8, 10, 15].
Уравнения (1) являются основными, определяющими изменение среды под действием произвольного немонохроматического поля при не слишком большой глубине г проникновения поля в среду (чтобы можно было пренебречь обратным влиянием среды на поле и считать Л (/) известной функцией времени).
Если положить
A(f) = a(f)喘,(5.5.3)
где /睜一так называемая интенсивность насыщения：
/нае = (71T2Y/?})1声(5.5.4)
(см. ниже (7)), то система уравнений (1) примет вид
T1n + n — nQ = p*ak (/) + к.с., T2p + p = — -^-ak (t)n. (5.5.5)
При k = 1 (однофотонный резонанс) уравнения (5) переходят в (1624).
Как видно из уравнений (5), когда под действием светового поля изменяется не только поляризация р, но и разность населенностей п, даже в случае однофотонного резонанса (々=1) отклик двухуровневой системы на световое поле оказывается нелинейным. В случае же п ^ const второе уравнение (5) фактически совпадает с укороченным уравнением для амплитуды колебаний в линейном контуре (см. § 2 гл. 3).
При взаимодействии сильного светового поля с двухуровневой системой возникает целый ряд нелинейных эффектов; они хорошо изучены для регулярных полей. В этом параграфе рассмотрены особенности такого нелинейного взаимодействия среды со случайным полем. Главный акцент сделан на трех эффектах. Прежде всего, это стационарный эффект насыщения; для шумового возбуждения определены средние мощности насыщения, флуктуации населенности и т. п. Большой интерес представляет исследование когерентных эффектов в случайно модулированном поле; здесь появляется возможность проследить за распадом когерентного взаимодействия и переходом к некогерентному режиму за счет конечного времени корреляции поля. Этот процесс прослежен ниже на примере оптических нутаций. Рассмотрена генерация гармоник в шумовом поле. Наконец, в последнем разделе этого параграфа рассмотрены возможности «шумовой» спектроскопии двухуровневой среды.
Монохроматическое поле. Если поле отсутствует, то
九=价，р = 0.(5.5.6)
Согласно (5) после включения поля с постоянной амплитудой а = const в пределе tf 8nHp принимают следующие постоянные значения：
〃(8)=备，Р(*)=；&， х = ；а巴 (5.5.7)
Таким образом, с ростом интенсивности поля % населенности выравниваются (п->0) и происходит насыщение перехода. Характерная интенсивность поля х, соответствующая уменьшению 〃 в два раза по сравнению с равновесным значением, равна единице или в размерном виде / = /иас, где /иас определяется выражением (4).
Нутации. Переход к стационарным значениям (7) описывается следующими решениями уравнений (5), написанными для начальных условий (6) (при / = 0) и a —const:
n (/)=九(8)[1 +/^^53-RX 一炉n (/)=九(8)[1 +/^^53-RX 一炉d — Rd — R- (а，+&)']‘- (а，+&)']‘p(0 ==。(8)[1+费爲 e гдеp(0 ==。(8)[1+费爲 e где>一 а - К) f_R (а* + R)八2R W — R “ J>一 а - К) f_R (а* + R)八2R W — R “ J11% =方，а2 = т~.11% =方，а2 = т~.аа%十备%十备" _a8 - a1 a = —2-" _a8 - a1 a = —2-(5.5.8)(5.5.9)(5.5.10)(5.5.8)(5.5.9)(5.5.10)
n (/)=九(8)[1 +/^^53-RX 一炉
n (/)=九(8)[1 +/^^53-RX 一炉
d — R
d — R
- (а，+&)']‘
- (а，+&)']‘
p(0 =
=。(8)[1+费爲 e где
p(0 =
=。(8)[1+费爲 e где
>一 а - К) f_R (а* + R)八
2R W — R “ J
>一 а - К) f_R (а* + R)八
2R W — R “ J
11
% =方，а2 = т~.
11
% =方，а2 = т~.
а
а
%十备
%十备
" _a8 - a1 a = —2-
" _a8 - a1 a = —2-
(5.5.8)
(5.5.9)
(5.5.10)
(5.5.8)
(5.5.9)
(5.5.10)
причем согласно (2) и (4) в (10)
ад 城=атад 城=ат-JF-= ?*₽*/*• / нас-JF-= ?*₽*/*• / нас(5.5.11)(5.5.11)
ад 城=ат
ад 城=ат
-JF-= ?*₽*/*• / нас
-JF-= ?*₽*/*• / нас
(5.5.11)
(5.5.11)
4AJ”4AJ”Рис. 5.31. Зависимость приведенного нутационного порога /д//Нас от отношения времен релаксации при Ьфо- тонном резонансном взаимодействии монохроматического поля с двухуровневой средой.Рис. 5.31. Зависимость приведенного нутационного порога /д//Нас от отношения времен релаксации при Ьфо- тонном резонансном взаимодействии монохроматического поля с двухуровневой средой.
4AJ”
4AJ”
Рис. 5.31. Зависимость приведенного нутационного порога /д//Нас от отношения времен релаксации при Ьфо- тонном резонансном взаимодействии монохроматического поля с двухуровневой средой.
Рис. 5.31. Зависимость приведенного нутационного порога /д//Нас от отношения времен релаксации при Ьфо- тонном резонансном взаимодействии монохроматического поля с двухуровневой средой.
Выражение (8) показывает, что при достаточно большой интенсивности падающего на среду света, т. е. когда
户〉珞三黑(или lk>^ (а)為)，‘ (5-5.12)
величина R мнима и изменение п (/) имеет вид затухающего колебательного процесса. Такое изменение разности населенностей называют нутациями [23]. Частота нутаций равна
Q=a"U^=T |R|,(5.5.13)
где N =х/хй = ///q — превышение нутационного порога (12). Декремент затухания нутаций равен а' — полусумме обратных времен релаксации. Согласно (10) и (11) в предельном случае Tlt2 —> оз нутации становятся незатухающими и происходят с частотой Q=]/PT^^・ Пороговая интенсивность, при которой возникают нутации, в зависимости от соотношения между временами релаксации может быть как больше, так и меньше интенсивности насыщения /Нас (рис, 5.31): согласно (12), 也f=並=(ae — ai)e =(1-7\/7\产
(5.5.14)
Действие на среду узкополосного оптического шума (адиабатическое приближение). Рассмотрим теперь, каким образом проявляется при резонансном взаимодействии с веществом случайность поля. Начнем с анализа наиболее простого случая, когда спектр поля настолько узок (AwTi 21), что среда, инер
ционность которой определяется временами релаксации 7\ н Т2, успевает пол
ностью отслеживать флуктуации поля. Этот предельный случай можно рассматривать адиабатически (или, как иногда говорят, квазистатпчески), т. е. можно пользоваться выражениями, полу- ченпыми выше для чисто монохром этического пол», по теперь считать входящую в них интенсивность падающего света % слу-
чайной величиной с некоторым распределением вероятностей W (х) *).
Под действием случайного поля разность населенностей тоже становится случайной, и ее можно записать как сумму среднего значения и флуктуаций: 〃 =无 +亢.
Оценим величину флуктуационной компоненты п. Используя (7), первый и второй моменты п можно записать как
ооВычислив их, найдем дисперсиюВычислив их, найдем дисперсию〈吟=〃d詳第о〈吟=〃d詳第о(5.5.15)(5.5.15)К =〈亢2〉=〈必〉一《у > о(5.5.16)К =〈亢2〉=〈必〉一《у > о(5.5.16)или относительную дисперсию%一两一⑺2 1 a 5или относительную дисперсию%一两一⑺2 1 a 5(5.5.17)(5.5.17)которая оценивает относительную величину флуктуаций Я около среднего значения п.Общие результаты можно получить для двух предельных случаев, когда средняя интенсивность поля много меньше (兄《1) или много больше (无》1) интенсивности насыщения.При 元《1 считаем, что функция w (х) заметно отличается от нуля лишь в области х《1. Поэтому множители при 切(х) в (15)которая оценивает относительную величину флуктуаций Я около среднего значения п.Общие результаты можно получить для двух предельных случаев, когда средняя интенсивность поля много меньше (兄《1) или много больше (无》1) интенсивности насыщения.При 元《1 считаем, что функция w (х) заметно отличается от нуля лишь в области х《1. Поэтому множители при 切(х) в (15)11111+冰，(1+/户1+冰，(1+/户(5.5.18)(5.5.18)можно разложить по степеням 户.В результатеможно разложить по степеням 户.В результате</n = «-W =</n = «-W =(叫—(/呼(叫—(/呼получим, ЧТО(5.5.19)получим, ЧТО(5.5.19)т. е. относительная дисперсия разности населенностей равна центральному моменту 2^-го порядка для интенсивности света.При 兄》1, наоборот, спад функции w (х) происходит, когда %》1, т. е. сходимость интегралов (15) фактически определяется множителями (18) (если 々廿 2). Полагая, соответственно, в (15) w(x)=w (0), найдем吟一=力吸.吗、心一L(5.5.20)пт 冗叫о) sin(я(й — 1)/^)' 丿т. е. относительная дисперсия разности населенностей равна центральному моменту 2^-го порядка для интенсивности света.При 兄》1, наоборот, спад функции w (х) происходит, когда %》1, т. е. сходимость интегралов (15) фактически определяется множителями (18) (если 々廿 2). Полагая, соответственно, в (15) w(x)=w (0), найдем吟一=力吸.吗、心一L(5.5.20)пт 冗叫о) sin(я(й — 1)/^)' 丿Например, для гауссовского стационарного поля распределение интенсивности имеет вид侬(х) =е—*/叫и”,= а2, G吟(5.5,21)Например, для гауссовского стационарного поля распределение интенсивности имеет вид侬(х) =е—*/叫и”,= а2, G吟(5.5,21))Аналогичный подход использовался при выводе формулы Маиделя (2.9,6),)Аналогичный подход использовался при выводе формулы Маиделя (2.9,6),
о
о
Вычислив их, найдем дисперсию
Вычислив их, найдем дисперсию
〈吟=〃d詳第о
〈吟=〃d詳第о
(5.5.15)
(5.5.15)
К =〈亢2〉=〈必〉一《у > о(5.5.16)
К =〈亢2〉=〈必〉一《у > о(5.5.16)
или относительную дисперсию
%一两一⑺2 1 a 5
или относительную дисперсию
%一两一⑺2 1 a 5
(5.5.17)
(5.5.17)
которая оценивает относительную величину флуктуаций Я около среднего значения п.
Общие результаты можно получить для двух предельных случаев, когда средняя интенсивность поля много меньше (兄《1) или много больше (无》1) интенсивности насыщения.
При 元《1 считаем, что функция w (х) заметно отличается от нуля лишь в области х《1. Поэтому множители при 切(х) в (15)
которая оценивает относительную величину флуктуаций Я около среднего значения п.
Общие результаты можно получить для двух предельных случаев, когда средняя интенсивность поля много меньше (兄《1) или много больше (无》1) интенсивности насыщения.
При 元《1 считаем, что функция w (х) заметно отличается от нуля лишь в области х《1. Поэтому множители при 切(х) в (15)
11
11
1+冰，(1+/户
1+冰，(1+/户
(5.5.18)
(5.5.18)
можно разложить по степеням 户.В результате
можно разложить по степеням 户.В результате
</n = «-W =
</n = «-W =
(叫—(/呼
(叫—(/呼
получим, ЧТО
(5.5.19)
получим, ЧТО
(5.5.19)
т. е. относительная дисперсия разности населенностей равна центральному моменту 2^-го порядка для интенсивности света.
При 兄》1, наоборот, спад функции w (х) происходит, когда %》1, т. е. сходимость интегралов (15) фактически определяется множителями (18) (если 々廿 2). Полагая, соответственно, в (15) w(x)=w (0), найдем
吟一=力吸.吗、心一L(5.5.20)
пт 冗叫о) sin(я(й — 1)/^)' 丿
т. е. относительная дисперсия разности населенностей равна центральному моменту 2^-го порядка для интенсивности света.
При 兄》1, наоборот, спад функции w (х) происходит, когда %》1, т. е. сходимость интегралов (15) фактически определяется множителями (18) (если 々廿 2). Полагая, соответственно, в (15) w(x)=w (0), найдем
吟一=力吸.吗、心一L(5.5.20)
пт 冗叫о) sin(я(й — 1)/^)' 丿
Например, для гауссовского стационарного поля распределение интенсивности имеет вид
侬(х) =е—*/叫и”,= а2, G吟(5.5,21)
Например, для гауссовского стационарного поля распределение интенсивности имеет вид
侬(х) =е—*/叫и”,= а2, G吟(5.5,21)
)Аналогичный подход использовался при выводе формулы Маиделя (2.9,6),
)Аналогичный подход использовался при выводе формулы Маиделя (2.9,6),
(см. (2,4,8), (2.4.9)) и согласно (19) и (20)
卩(2团1 一他!)2］0%味=I。2 Л SiQ (Jt/田 _I я sin (я (k — 1)/々)卩(2团1 一他!)2］0%味=I。2 Л SiQ (Jt/田 _I я sin (я (k — 1)/々)炉《1, d》L炉《1, d》L(5.5.22)(5.5.23)(5.5.22)(5.5.23)
卩(2团1 一他!)2］0%
味=I。2 Л SiQ (Jt/田 _I я sin (я (k — 1)/々)
卩(2团1 一他!)2］0%
味=I。2 Л SiQ (Jt/田 _I я sin (я (k — 1)/々)
炉《1, d》L
炉《1, d》L
(5.5.22)
(5.5.23)
(5.5.22)
(5.5.23)
Таким образом, с увеличением интенсивности поля относительная дисперсия о/ все время растет: сначала по степенному закону пропорционально〈％〉2仆 а затем, в области насыщения, более медленно — линейно по 〈％〉. Этот результат означает, что в достаточно сильном случайном поле флуктуационная компонента Я становится доминирующей и среднее значение и не дает представления о величине п *).
Выражения (20) и (23) не применимы к случаю однофотон' ного резонанса (々=1), так как интеграл (15), определяющий 〈〃〉，расходится, если в нем заменить w (х) на w (0). Однако для распределения вероятностей (21) интегралы (15) берутся аналитически: при k = 1
S〉/〃o =尸 92), (n2>/n§ = 1 —尸付2)/"匕(5.5.24)
片石=尸一2 (叫［1 一Ь2尸俨)］一 1,(5.5,25)
где
F(^)=—騎7咱(一 I/O2)
(Ei — интегральная показательная функция). Если и?》］, то Ei (— l/o2) ^С + In (l/o2) ~ — 1口 о2,尸(о2) о2 In о2,
и согласно (25)
0:质=(的1 口。2)2(d》1)，(5.5.25а)
Эта зависимость отличается от (23), и можно сделать вывод, что в однофотонном случае относительные флуктуации п увеличиваются с ростом интенсивности поля быстрее, чем в многофотонном.
При двухфотонном резонансе (々 = 2) и гауссовской статистике поля (21) средние также находятся аналитически: 曾=m(卩)，喺=多修例+m(间，竭躋一1,
(5.5.26)
где |л = 1/х = I/O2 и
Р (|л) = ci 卩 sin |л — si jxcos 卩，Q (卩)=ci 卩 cos 卩 + $i (isin 卩，(5.5.27)
Ря«& Q5n器(H< 1)； Р~М Q~± @>1)・
♦) Заметим, что при возрастании интенсивности поля как 五，так и Л по абсолютно；1! величине- уменьшаются. Увеличение дисперсии а；”】 просто означает, что п уменьшается быстрее, чем Л.
Как нетрудно соотношениямКак нетрудно соотношениямР= — Q, Q' = P—1/飓Р= — Q, Q' = P—1/飓(5.5.28)(5.5.28)
Как нетрудно соотношениям
Как нетрудно соотношениям
Р= — Q, Q' = P—1/飓
Р= — Q, Q' = P—1/飓
(5.5.28)
(5.5.28)
убедиться, функции Р (ц) и Q (ц) удовлетворяют
которые будут использованы в дальнейшем; в (28) штрих означает дифференцирование по ц.
На рис. 5.32 приведены кривые, рассчитанные по формулам (24) — (27), показывающие уменьшение 〃 и относительный рост флуктуаций п при увеличении средней интенсивности случайного
поля.
Учет инерционности среды для двух моделей оптического шума с конечной шириной спектральной линии (оптический белый шум, поле с диффузией фазы). В общем случае переменного случайного поля с амплитудой a(t) отыскание статистических средних, характеризующих двухуровневую среду (п, п2, о^-) или генерацию
гармоник, становится очень трудной задачей, так как точное аналитическое решение для исходных уравнений (5) неизвестно (один частный случай решения рассматривался в § 6 гл. 1, см.
Рис, 5.32. Среднее значение (а) и относительная дисперсия (б) разности насе- пенностей при ^-фотонном взаимодействии двухуровневой среды с узкополосным случайным гауссовским полем (土一средняя интенсивность поля).
также [43]). Естественно поэтому обратиться к стохастическим методам (см. § 7 гл. 1), которые дают возможность при определенных условиях найти уравнения для интересующих нас средних, минуя решение динамических уравнений (в данном случае уравнений (5)). Мы сделаем это, используя некоторые модели поля, рассмотренные в гл. 1 [14 — 17]).
3的3的§ 6. Двухуровневая срёда в сильном шумовом полё
3的
3的
1-я модель: оптический белый шум. Если поле (2) стационарно и гауссово, то его нормированная комплексная амплитуда а(/) удовлетворяет таким корреляционным соотношениям:
(5.5.29)(5.5.30)(5.5.29)(5.5.30)〈也匸〉=0，〈a忆^〉= 0,
(5.5.29)
(5.5.30)
(5.5.29)
(5.5.30)
〈0区•〉= a2fp0 (T)一切0 (工)],//a))=部用[ро (T)-仇(叫产
(см, (2.4.53), (2.-*,54)), где о2 = % = (а2^> — средняя интенсивность. Характерное время корреляции случайной функции a^(f), входящей в уравнения (5), можно определить как
Тк = f I Ро (т) - i^o (Т) i*dr = 5 [ро (т) + ^о(T)7,2dT. (5.5.31) оо
Напомним, что наличие нечетной относительно т функции ^0(т)= =—9о(— т) в (30), (31) связано с асимметрией частотного спектра поля (относительно его средней частоты «()). Часто для простоты спектр считают симметричным; при этом go(t) = O・
Использованное выше адиабатическое приближение применимо при условии, что время корреляции (31) достаточно велико:
”>7\, Тг*(5.5.32)
Теперь предположим, что выполняется обратное неравенство:
%《Ti，(5533)
Если время корреляции мало по сравнению с характерными временными параметрами задачи (в данном случае Т\.2)，то допустимо вообще положить его равным нулю, т. е. считать процесс комплексным белым шумом, для которого вместо (30) можно написать
”《屬〉=С5 (т).(5.5.34)
Корреляционная константа С в (34) определяется «условием эквивалентности» (34) и (30):
а2*^! ^ [ро (т) — i^o (т)]kdr = С.(5.5.35)
о
Если поле имеет симметричный спектр, так что ^0 (т) = 0, то, как следует из (31) и (35), время корреляции тк пропорционально постоянной корреляции С:
С ^ 2总炉气.(5.5,36)
Например, в случае лоренцевского спектра
Ро(т) =е—ае, тк= 1/fta, С = 2 (也一1)!о2/г/а,(5.5.37)
а в случае гауссовского —
⑴=С =(5.5.38)
После перехода к (34) задача отыскания статистических характеристик разности населенностей л (/) и поляризации p(f) становится стандартной. Усреднение системы линейных дифференциальных уравнений с 6-коррелированными коэффициентами рассматривалось в § 7 гл. 1. Применяя полученные там результаты к системе уравнений (5) и учитывая (29) и (34), находим следующую замкнутую систему уравнений для первых и вторых моментов:
九+% (1 +^5© " = cq几о, p + s (1 + ；а£)р = 0;(5,5.39)
и2 + 2al ,+4" a2c戸=2a]Cpp* + 2а1лой,
пр + (融 + g + "I 网竄纟⑦ пр = а 簿 op,(5.5.40)
次+ 2出(1+^网(?)户=0,
рр* + 2出(1 + ； а£)ор* = ^ 吗СМ,
在=孔0, m = 标,Р=p2 =班*=诟=0(/ = 0).(5541)
Из (39), (40) и начальных условий (41) следует, что
р =p2 = np = 0t п (/) = (п0 — п) exp -J — «! ^ 1 + ；&。)/} +冗，(5.5.42)
причем в установившемся режиме 0->8)причем в установившемся режиме 0->8)(5.5.43)(5.5.43)
причем в установившемся режиме 0->8)
причем в установившемся режиме 0->8)
(5.5.43)
(5.5.43)
2-я модель: поле с диффузией фазы. Теперь предположим, что поле постоянно по амплитуде, а его фаза случайным образом флуктуирует, образуя винеровский процесс, т. е. она является интегралом от белого шума:
а⑴= 0^®⑴т 叫(5.5.44)
где
Ф (0 =，I (6) d6, 〈Е〉=0, (ННт) = 2D 6 (т).(5.5.45)
В этом случае
(а) == 0, 〈аа» =x/DIti,(5.5.46)
где х = (\а^) = Iа|2 = Оо — неслучайная интенсивность поля. Согласно (46) это поле имеет спектр лоренцевской формы с полушириной D.
Эта модель удобна тем, что, введя в (5) новую функцию г (/), связанную с р(/) соотношением
р (/)=尸(£)«/[« ⑴ + 喲，(5.5.47)
мы получим для переменных лиг систему уравнений
п +^(11 — 11^=^^* + к.с., ? + [а2 + г^(01г =—；出"几，(5.5.48)
т. е. опять уравнения с 6-коррелированным коэффициентом, усреднение которых уже рассматривалось. Уравнения для первых моментов теперь имеют вид
方 + %("—几°) = a^r* + к.с., г + (ct2 + 胪Q)尸=—；а2аоп. (5.5.49)
Для вторых моментов уравнения будут следующими:
序 + 2alM = 2a1曲(лг + 〃*) + 2al 几 о",
行 + (% + 网 + k2D) nr =
=一^ &脸?2+a簿0厂+ a髙("* + 产)，(5.5.50)
产 + 2 (ct2 + 2胪D)产=-a2a証厂，厂厂* + 2%厂厂*=- ； a2ao(" + "*)•
Коэффициенты уравнений (49), (50) вещественны; поэтому моменты г, г2, пг и, разумеется, гг* можно считать вещественными функциями времени, что позволяет эти уравнения несколько упростить (однако сама случайная функция р (/) (47) комплексна и, например, 厂2#〃*).
Решение (49) дает
亢⑴=" _%产 丁) e"風丁)小*,(5.5.51)
где
小=一网+a产g ± у (出+"$+依'2 — %(% +胪0 +网产),
(5.5.52)
a h — стационарное значение 九(f), к которому эта функция стремится в пределе оо：
I。/"肃爲)•(5553)
Величина р (/) стремится к стационарному значению
У —寇%切肅(5.5.54}
При £) = 0 выражения (51), (53) и (54) переходят в (8) и (7).
Решение (50) в стационарном режиме, когда производными по времени можно пренебречь, дает
而一戸「1 I 依D a4a5 +a2似1 +a5)痰]е " g
PP 1十出a4a5 +似2% +aУ3)蒙]'
*=营T=偿)2а】％〉+ (а2a5+出网)戒，(5.5.56)
где Для сокращения записи мы обозначили
% = % +胪 2 % =%+02 +胪 D, %=m + 2 胪 D.(5.5.57)
Рассмотренные модели дают в области насыщения более быстрый рост о^, чем модель узкополосного гауссовского шума: согласно (43) и (56) с^加〜в то время как согласно (23) и (25а)嗚/方〜。2 или (o2/ln о2)2.
Шумовые нутации. Полученные результаты позволяют сделать вывод, что шумовое поле либо совсем снимает нутации (т. е. изменение й (/) перестает быть периодическим), либо ускоряет их затухание. Этот эффект связан с двумя факторами: 1) случайностью поля и 2) конечной шириной Аз частотного спектра поля. Нутации подавляются тем сильнее, чем больше величина Аз. Действительно, в предельном случае гауссовского оптического шума с очень широким спектром изменение 亙⑺ согласно (42) является чисто релаксационным.
В случае ФМ-шума выражение (51) позволяет определить вид нутаций для любой величины Aco = 2d. Согласно (52) нутации происходят с частотой
Q = j/"//千亭户亙王零三I/E：(5.5.58)
Как следует из (58), нутации могут возникнуть лишь при условии, что интенсивность света достигла порогового значения xq, определяемого соотношением
唸=+ [(宁У + Е2fL0 叫.(5.5.59)
Пороговая интенсивность Xq минимальна при Т1 = Т2 (ct1 = ot2). Однако при 7\ —7\-> 0 величина хй стремится не к нулю, как это было в случае монохроматического поля (см. (14)), а к некоторому конечному значению, ?авн ( тему от ширины спектра поля, 峪=削Q2T2/4(Т] = 7\ = Т).(5.5.60)
Кроме нутационного порога, из-за конечной ширины спектра поля увеличивается декремент затухания нутации. Согласно (52) этот декремент равен
—Re Х1>2 = % + “2 + 胪 D/2 • (5.5.61)
Из (61) видно, в частности, что доэавка к декременту характеризуется сильной зависимостью от кратности /г резонансного взаимодействия (~々2). На рис. 5.33 приведен ряд кривых п (/), соответствующих различной ширине спектра поля; видно, что с увеличением параметра 々晒北 нутации затухают быстрее, а их частота уменьшается.
резонансная генерация гармоник. Располагая решением для (1) или (5), можно рассмотреть возбуждение гармоник
Ет = Ат(()е1т^ +к. с.(5.5.62)
нсмонохроматического поля (2) при резонансном взаимодействии этого поля с двухуровневой средой. Если для простоты пренебречь различием скоростей распространения волн иа частотах (оо и /п(оо, то уравнение для Лт будет иметь вид [14, 17]
争 f m片1(f)内(:),(5.5.63)
где ymk——постоянная, пропорциональная нелинейной восприимчивости, г — расстояние, пройденное волной (62) в резонансной среде (ср. (63) с уравнением (8.3.24), описывающим генерацию второй гармоники в нерезонансных условиях). Как следует из (63), Am^y)nkzAm~k (^)Pi (0， т. е. интенсивность /п-й гармоники определяется выражениями
& = 丫訳(')％(/№，(5564)
/m = |4?j；2，/= # С)丄(5.5.65)
Подставляя (3) в (64) н обозначая безразмерную интенсивность основного излучения (2) как
尤= 3(f) I，(5.5.66)
получим
Sm = 4.Ef " 2,(5.5.67)
где ^т^^т!^nl ~ измеренная в отно 'ительных единицах
4T然増;
интенсивность m-й гармоники *).
Стационарная генерация гармоник; динамический вьнирыш. Подстановка (7) в (67) дает следующее вкра;кем® для относительной интенсивности 伍-й гармоники в стационарном режиме:
Sm(8)— (j ] а：%声'(5.5.69)
Рис. 5.33. Шумовые нутацнн и генерация гармоник при включении случайного поля с диффундирующей фазой.
Кривые построены на основе уравнений (49), (50) при фиксированном отношении времен релаксации TJTt= 1, заданной интенсивности поля х= х и различных значениях ширины спектра поля; = 500. Интенсивность т*й гармоники — I г I2 (см. qanee \67)).
График функции (69) при различных соотношениях между т и k показан на рис, 5.34. Если 2归>爪,то Sm сначала растет, а затем убывает, принимая максимальное значение
Рис. 5.34. Зависимость интенсивности Sm 〜рр* m-й гармоники от интенсивности х падающего на двухуровневую среду монохроматического по-
(^m)max
m\m/无 / 2々-m 、2
2々一m
2归l (5.5.70)
когда интенсивность падающего на среду излучения равна
/=
2k-m ) •(5・5.71)
ля при
<fe-фотон ном резонансе (а — =2归仰V 2).
Как ческого
следует из выражения (67)
В частности, если m = k, то 的=1 н (Sm)maxH 1/4・
Представляет интерес рассмотреть также генерацию гармоник в нестационарном режиме. Как будет видно из дальнейшего, при этом могут быть достигнуты пиковые значения Sg значительно превышающие стационарные (69). для Sm， при включении монохромати-
света (а (/) = const и х(^) == const при />0) максимум интенсивности
Sm гармоники приходится иа максимум величины р3 !, т. е. на тот момент £ =，q, при котором〉(fQ)= O. Дифференцируя (9), получим
方(f) = P(8)^a?^ + 喲・「a"
g— RfeRt ]
W-R 一屋"+ /?}
(5.5.72)
где величина R = ct" Ml — 2* =丿(仪"产一у而左№ может быть вещественной (N v 1) или чисто мнимой (^ > 1). В первом случае (ненутационный режим) из (72) находим для 仇 уравнение вида
纱。=|^笠， (5.5.73)
причем, как следует из (67) и (8),
Sm (幻=Sm(8)[1+^^^" еS^(8),(5.5.74)
где Sm (со) —стационарное значение интенсивности гармоники (69). Как видно из (74), интенсивность гармоники достигает наибольшей величины в нестационарном режиме. Чтобы оценить величину этого динамического выигрыша, преобразуем (74) с учетом (73). В результате получим
^пг (^о)^пг (^о)I к - . exp I ' a'I к - . exp I ' a'
^пг (^о)
^пг (^о)
I к - . exp I
' a'
I к - . exp I
' a'
(5675)
При малых интенсивностях света динамический выигрыш, как и следовало ожидать, незначителен:
Sm(8)[ at \ 4 / J'、，
Вблизи нутационного порога (Л/左=1—8, 8《1) согласно (75)
(5.5.76)(5.5.76)察叮(…)，
(5.5.76)
(5.5.76)
т. е. динамический выигрыш будет, например, большим при 7\>7\:
Sm (厶))__ Г ] 5m ^) ~~LSm (厶))__ Г ] 5m ^) ~~LStsSts
Sm (厶))__ Г ] 5m ^) ~~L
Sm (厶))__ Г ] 5m ^) ~~L
Sts
Sts
В случае ^ > 1 (нутационный режим)
a" + R = a" (1 + i K/Vft-1) = а"解/2/%,
где ф-0 = arctg Кл^* — 1, н согласно (72)
p (/)〜广"''sin (Qf _屮0).
Таким образом, первый и наибольший максимум величины | р* | приходится иа момент времени
(5.5.77)(5.5.77)—屮о — arctg КNk— 1
(5.5.77)
(5.5.77)
Lg _ a" 冲左一]_，
т. е. на первую четверть периода нутаций 9/0=5 Wh/2). Подставив (77) н (9) в (67), получим
Sm (6))Sm (6))Sm（8）Sm（8）1+計』-^七^片守 W# （5.4.78）1+計』-^七^片守 W# （5.4.78）
Sm (6))
Sm (6))
Sm（8）
Sm（8）
1+計』-^七^片守 W# （5.4.78）
1+計』-^七^片守 W# （5.4.78）
При N=1 (78) совпадает с (76). Как видно из формулы (78), с увеличением ^ динамический выигрыш также увеличивается. При значительном превышении нутационного порога согласно (78)
Sm仇)Sm(8)Учитывая, чтоSm仇)Sm(8)Учитывая, что1+廿歴/2/一上"\at〈 a" 2^ft/2 У1+廿歴/2/一上"\at〈 a" 2^ft/2 УW》l)・W》l)・(5.5.79)(5.5.79)NA=¥ =4NA=¥ =4х伟,(a )х伟,(a )
Sm仇)
Sm(8)
Учитывая, что
Sm仇)
Sm(8)
Учитывая, что
1+廿歴/2/一上"\
at〈 a" 2^ft/2 У
1+廿歴/2/一上"\
at〈 a" 2^ft/2 У
W》l)・
W》l)・
(5.5.79)
(5.5.79)
NA=¥ =4
NA=¥ =4
х伟,(a )
х伟,(a )
(79) можно переписать как
Sm(GSm(GSm（8）Sm（8）//2 exp —//2 exp —1 +1 +ла'ла'2|/^//22|/^//21212(今 1).(今 1).(5.5.80)(5.5.80)
Sm(G
Sm(G
Sm（8）
Sm（8）
//2 exp —
//2 exp —
1 +
1 +
ла'
ла'
2|/^//2
2|/^//2
12
12
(今 1).
(今 1).
(5.5.80)
(5.5.80)
Например, если 7\ = 7机 то
"ехр卜制2"ехр卜制2Sm (公
"ехр卜制2
"ехр卜制2
Sm(8)
н при достаточно сильном превышении порога насыщения динамический выигрыш будет
с~厂к弋М》].
Sfn (в)
Если 7\ > Та，то согласно (80)
Sm (4)Sm(8Sm (4)Sm(8=Ji +=Ji +22
Sm (4)
Sm(8
Sm (4)
Sm(8
=Ji +
=Ji +
2
2
Отсюда видно, что самый большой выполнении двух условий: TJT需》'Отсюда видно, что самый большой выполнении двух условий: TJT需》'динамический выигрыш достигается при н 炉》Т"Т& Б этом случаединамический выигрыш достигается при н 炉》Т"Т& Б этом случае
Отсюда видно, что самый большой выполнении двух условий: TJT需》'
Отсюда видно, что самый большой выполнении двух условий: TJT需》'
динамический выигрыш достигается при н 炉》Т"Т& Б этом случае
динамический выигрыш достигается при н 炉》Т"Т& Б этом случае
Sm %)Sm(8)Sm %)Sm(8)
Sm %)
Sm(8)
Sm %)
Sm(8)
Таким образом, изменение интенсивности генерации гармоник S^ ⑴〜 〜I 炉(f) I в нутационном режиме имеет импульсный характер, причем величина
Рис. 5.35. Изменение во времени разности населенностей п и интенсивности m-й гармоники Sm ~ рр* в нутационном режиме при различном соотношении между временами релаксации (монохроматическое поле).Рис. 5.35. Изменение во времени разности населенностей п и интенсивности m-й гармоники Sm ~ рр* в нутационном режиме при различном соотношении между временами релаксации (монохроматическое поле).
Рис. 5.35. Изменение во времени разности населенностей п и интенсивности m-й гармоники Sm ~ рр* в нутационном режиме при различном соотношении между временами релаксации (монохроматическое поле).
Рис. 5.35. Изменение во времени разности населенностей п и интенсивности m-й гармоники Sm ~ рр* в нутационном режиме при различном соотношении между временами релаксации (монохроматическое поле).
первого (и самого большого) импульса может намного превысить стационарное значение S^. Это хорошо видно на рис. 5,35, где гакже показано нутационное изменение и.
Генерация гармоник； области статистического выигрыша. Средняя интенсивность m-й гармоники при ^-фотонном резонансе в адиабатическом приближении находится путем статистического усреднения выражения (69):
(5.5.81)(5.5.81)Mxmw (%) dx
(5.5.81)
(5.5.81)
(1+油产•
В предельном случае очень слабого поля (эффекты насыщения ие проявляются) из (81) следует
5m = <^m>5m = <^m>(D(D(5.5.82)(5.5.82)
5m = <^m>
5m = <^m>
(D
(D
(5.5.82)
(5.5.82)
В частности, если поле гауссовское, то, подставив (21) в (81), получим
Sm — ml хт= m! и""Sm — ml хт= m! и""（d《l）.（d《l）.(5.5.83)(5.5.83)С другой стороны, для монохроматического очевидно, имеем из (69)Sm=xm^o2mС другой стороны, для монохроматического очевидно, имеем из (69)Sm=xm^o2mполя с малой интенсивностью мы,поля с малой интенсивностью мы,(а3<1).(а3<1).(5.5.84)(5.5.84)
Sm — ml хт= m! и""
Sm — ml хт= m! и""
（d《l）.
（d《l）.
(5.5.83)
(5.5.83)
С другой стороны, для монохроматического очевидно, имеем из (69)
Sm=xm^o2m
С другой стороны, для монохроматического очевидно, имеем из (69)
Sm=xm^o2m
поля с малой интенсивностью мы,
поля с малой интенсивностью мы,
(а3<1).
(а3<1).
(5.5.84)
(5.5.84)
Сравнение (83) и (84) показывает, что случайность (и гауссовость) поля приводит к тому, что средняя интенсивность гармоники увеличивается в т! раз: —
Sm/Sm~ml. (5.5.85)
Это выражение аналогично выражению (5.! .90), полученному для генерации гармоники на нелинейности n-й степени, так как в (63) величина 丫切厶 связана с нелинейной восприимчивостью порядка п=т.
Теперь рассмотрим сильное c〃yqa；iH。。 поле (土》丨，эффекты насыщения существенны). Здесь оказывается важным соотношение между 〃z и k:
Sm —'
-w (0)(加+ 1 _九)工炉 sin ((m + 1 —田 п/归)'
1,
ш С 2 归—1,
m = 2K
(5.5.86)
〈炉L2叽
m > 2財
т. е. в случае гауссовского поля и х —а2^ 1
(m+ 1 —电门/卧1
m V 2归一1,
(5.5.86a)
sin ((m + 1 —粉 л/归)а3 *
1,
m = 2玄
(5.5.866)
(m—2^)! a3(m-3fe>f
m > 2区
(5.5.86b)
Для сравнения напомним, что если поле не случайно, то при %=。2》丨 согласно (69)
1
m < 2А — 1,(5-5.87а)
Sm= 1,m = 2財(5.5.876)
nm一如m>2目(5.5,87b)
Таким образом, при больших интенсивностях, как н при малых, случапносц. поля Дао определенный выигрыш при i снерации гармоник.
Более детально процесс i енерации гармоник случайным полем иллюстрируют рис. 5.36 (стационарный режим, ширина спектра поля А(о = О), рис. 5.35 (переходный режим, Д(о = О) и рнс. 5.33 (переходный режим, AsW。).
Чтобы выяснить вопрос об эффективности геиерацнн гармоинк случайным полем в промежуточной области (尤 а 1), рассмотрим случай двухфо тонного резонанса (々=2), когда интеграл (81) берется точно. Из формулы (26) дли 〈#〉находим, что
j 拼^ "X N 尸豊-' (5.5.88)
где P=P(n) н Q «= Q (p,) — функции, определенные выражениями (27). Дифференцируя (88) по 卩，получим
『国〃=(-备『屮•(5589)
о
Если поле гауссовское, то S^ (81) выражается через интеграл (89):
Sm = g(—压)(Р + nQ),卩= } = ；•(5590)
Используя, наконец, соотношения (28), в (90) можно избавиться от производных и выразить Мт через Р, Q н 卩.В частности, выражения для средних интенсивностей гармоник при двухфотонном резонансном взаимодействии будут следующими:
5г=导(Р —М),Sb= (2Q + giP —1),
9(5,5.91)
= 3 (呎 +3户)，Ss= ^(1 + ；「4Q—
Зависимость Sm (91) от о? показана на рис 5,36, где для сравнения также приведены соответствующие кривые S^ (со) (69). Области, где кривые Sm идут выше кривых Sm，т. е. области статистического выигрыша, заштрихованы.
Оптимальная ширина спектра излучения при генерации гармоник. Рассмотрим генерацию А-п гармоники при 々-фотонном резонансе с учетом конечной ширины спектра излучения. Согласно (67) средняя интенсивность гармоники при зтом равна
Sk = Арр*. (5.5.92)
Если падающее на среду излучение можно считать оптическим белым шумом (см. критерий (33)), то, подставив (43) в (92),
2 一 j f 2Т；2 一 j f 2Т；(Б.5.93)(5.5.94)(Б.5.93)(5.5.94)получим
2 一 j f 2Т；
2 一 j f 2Т；
(Б.5.93)
(5.5.94)
(Б.5.93)
(5.5.94)
S左 где у = а2С/2. При
勿纟岳=62勿纟岳=622〃2〃44S 勿(х)- гаус- вторая гармо-S 勿(х)- гаус- вторая гармо-J 4J 4勿勿
勿纟岳=62
勿纟岳=62
2〃
2〃
4
4
S 勿(х)- гаус- вторая гармо-
S 勿(х)- гаус- вторая гармо-
J 4
J 4
勿
勿
Рнс. 5.36. Резонансная генерация гармоник в двухуровневой среде при двухфотонном -резонансе.
Сплошные кривые Sm (х\ соответствуют монохроматическому регулярному полю,
пунктирные кривые монохроматическому совскому полю； а) гармоинка. б) третья
ннка. в) четвертая гармоника. ㈢ пятая гармоника. 0) шестая гармоника.
интенсивность (90) имеет максимальное значение
(晶^ =石石行%^， (5.5.95)
которое лишь незначительно отличается от максимальной интенсивности (Sfe)max = 0,25 гармоники, возбуждаемой чисто монохроматическим излучением (0,2 < (5fe)max < 0,25, поскольку Т2 ^ А)-
Так как корреляционная постоянная С зависит как от интегральной интенсивности оптического шума о2, так и от ширины его спектральной линии Асо, условие (94) можно рассматривать двояко: как определяющее оптимальную интенсивность о2 (при фиксированной Аз) или оптимальную ширину спектра Део (при фиксированной а2). Следует иметь в виду, что расчет оптимальной полосы Асо по формуле (94) корректен лишь при условии, что время корреляции, соответствующее этой Асо, удовлетворяет неравенству (33).
Аналогичные результаты могут быть получены и для модели оптического излучения с диффундирующей фазой.
Корреляция флуктуаций в двухуровневой системе; о методах «шумовой» спектроскопии [50]. Исследование отклика двухуровневой системы на случайное поле может быть положено в основу методов «шумовой» оптической спектроскопии. Естественно, что статистические характеристики разности населенностей и поляризации двухуровневой системы несут информацию о характерных параметрах 丫々，伝，временах релаксации 7\, 7\, т. е. о величинах, представ л яющи х первоочередный спектроскопический интерес. Ниже мы покажем, в частности, что, измеряя корреляционные функции в возбужденной стационарным шумом двухуровневой системе, можно определять время релаксации Т2; обычно оно определяется, как известно, из спектральных измерений ). Напомним, что в гл. 3 эта задача уже обсуждалась применительно к линейной радиотехнической системе с сосредоточенными параметрами.
Для двух рассмотренных моделей шумового поля удается определить точный вид корреляционных функций, например: (пп^, 〈..^〉, 〈Р^〃〉・ Рассмотрим подробно, как находится корреляционная функция (ппх) в том случае, когда действующее на систему излучение можно считать оптическим белым шумом.
Заменив в (5) / на % + % будем считать т новой независимой переменной, а / — параметром. Поскольку
dn (f + T)/d 仅 + т) = dn (/ + T)/df = dnT/dr,
то (5) теперь можно переписать в виде
'1第+ 生 - % =広& +，。鸵，
(5.5.96) 北警+ % T^т,
где &м〃"/ + т), причем
&忌〉= С6(%—0),儡忌)= 0・
Умножив (96) на n = n(t)9 получим уравнения
тI4- ППт — »«о = пр能丁 + ПРт?т.
4T(5.5.97)
北陪 + 儿рт = 一 ^ МTа,
которые относятся к классу стохастических дифференциальных уравнений (относительно функций ;?佐，прх и м) со случайными S-коррелированными коэффициентами &. Усреднение уравнений такого типа нами уже рассматривалось (см. (39), (40) и § 7 гл. 1). В этом случае средние вида (пр^х) находятся как
〈叩国〉=〈(呐")鸵〉，
где согласно (97)
(ПРт)(к)= —2f；<««r> Вт (К三，Е ft')"), т. е
〈九 Рт 翌〉=Sp花力=一砧〈""〉(5.5.98)
Усредняя первое из уравнений (97) и учитывая (98), получим замкнутое уравнение для (ппт):
71 負 <nnT> + (1 + 条卜九％〉=〈九〉«о-(5.5.99)
Учитывая выражение (43) для (и), уравнение (96) можно переписать в виде
罢粤■ +伕 +譌Г” ⑴=&(5.5.100)
где В (т) = (ппт)——〈九〉2 — корреляционная функция флуктуаций разности населенностей.
Аналогично могут быть получены уравнения для 〈九切^工〉, (ртпг), (ртр*) и /心％〉(团=1, 2, ...). Как и в случае (99), интегрирование зтнх уравнений не представляет груда и приводит
к следующему результату (при т^О):
〈孔拉T〉-〈汽〉2〈点〉一S〉2〈"席〉_G%〉〈pp*〉_〈叩)〈孔拉T〉-〈汽〉2〈点〉一S〉2〈"席〉_G%〉〈pp*〉_〈叩)(5.5.101)(5.5.102)(5.5.101)(5.5.102)
〈孔拉T〉-〈汽〉2
〈点〉一S〉2
〈"席〉_G%〉
〈pp*〉_〈叩)
〈孔拉T〉-〈汽〉2
〈点〉一S〉2
〈"席〉_G%〉
〈pp*〉_〈叩)
(5.5.101)
(5.5.102)
(5.5.101)
(5.5.102)
Заметим, что из стационарности флуктуаций пир следует, что (прт) = (п_хр). Таким образом, если т = —| т | < 0, то
〈几Рт〉=〈几Р—Ei〉=〈冉七(Р)-
Это значит, что корреляционная функция 〈九р工〉определяется при т№ выражением (102), а при т ^ 0 — выражением (101):
〈哈〉〈叩)〈哈〉〈叩)呵{一 (兀 + "^7卜}(Q0),
〈哈〉〈叩)
〈哈〉〈叩)
1°、(5.5.103)
eхp{- (f? + 27厅総)1寸} " V0).
Согласно (101)—(103) с ростом интенсивности поля (постоянная С при этом также растет —см. (35)) время корреляций всех флуктуаций уменьшается, т. е. эти флуктуации становятся более быстрыми. В то же время спад с ростом т отношения
黑~уехр {—債一卦|т|}(5-5.104)
от интенсивности не зависит вообще.
Эти результаты показывают, что измерение корреляционных функций в двухуровневой системе позволяет, в принципе, получить оценку времен релаксации ^ и Та, а также интенсивности насыщения /иас, от которой зависит нормировка корреляционной постоянной С. Знание точного вида корреляционных функций является при этом весьма существенным ).
Согласно (35) С 〜炉左=“&С产；учитывая формулу (4) для /нас, находим, что С 〜ТЬ#. Таким образом, в предельном случае большой интенсивности излучения /, когда
4?1?227\72 y可
определяемое выражениями (101)——(103) время корреляции перестает зависеть от 7\ и 7\：
Рассмотрим одну из возможных схем наблюдения корреляционной функции Sw» (рис. 5.37, а). В случае однсфотонного
Рис, 5.37. а) Схема нзмереиня взаимной корреляциоииой функции 〈。。。^〉 полей иа входе и выходе двухуровневой системы.
6) Две компоненты функции〈。阕〉(см. (106)).
резонанса (々三 1) амплитуда а света, распространяющегося в двухуровневой среде вдоль оси г, определяется уравнением
患=%〃(5.5.105)
откуда
а 仏 z)= ao«, 2 = O)+aozp (0,
если слой вещества считать тонким (ao》aozp[ Таким образом, корреляция между полями на входе и выходе слоя двухуровневой среды определяется выражением
〈a0建〉=〈"战备〉+ a浜〈広 a〉(5.5.106)
где в данном случае согласно (34) и (102)
〈а()а^〉= CS (т),
〈曲&о〉= — ；*£ ехР U + 47\Т2) Т] " > 0), если учесть, что, как следует из (5) и (43),
〈gор*>=万伍一По)= 症瑞fj，
Несмотря на то, что второе слагаемое в (106) мало по сравнению с первым при очень малых т, оно будет выделяться благодаря своему более медленному спаду при достаточно больших т (рис. 5.37,6).
СТАТИСТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ
В этой главе речь пойдет в основном, о двух проблемах, представляющих особый интерес для радиофизики и оптики, — о преобразовании шумов колебательными и волновыми системами с регулярно изменяющимися параметрами и о колебаниях и волнах в системах, параметры которых изменяются случайным образом. Закономерности преобразования шумов параметрическими системами существенно отличаются от таковых для линейных систем с постоянными параметрами (см. гл. 3, 4). В параметрических системах, вообще говоря, шум становится нестационарным； специфический характер может носить и преобразование одномерных распределений огибающей и фазы.
В разделе, посвященном системам со случайно изменяющимися параметрами, главный акцент сделан на ситуациях, когда флуктуации параметров могут привести к неустойчивости. Такая постановка вопроса, наряду с практическим интересом (радио- и оптические параметрические генераторы с шумовой накачкой), важна и с принципиальной точки зрения. С параметрическими неустойчивостями мы имеем дело во многих физических системах, и важно располагать ясными представлениями об их развитии для случая, когда параметры изменяются хаотически. Каковы статистические характеристики параметрических колебаний, возбужденных случайной накачкой? Выяснение этого вопроса представляет трудную задачу, и в этой главе мы будем широко пользоваться арсеналом стохастических методов, изложенных в гл. 1.
Один из интересных физических вопросов, возникающих здесь, связан с возможностями использования параметрических процессов для преобразования энергии широкополосного шума в' достаточно узкополосные квазимонохроматические колебания. Особый интерес эта задача представляет для оптики. В определенном смысле параметрическая система может оказаться аналогом лазера с некогерентной оптической накачкой； наибольший интерес с этой точки зрения представляет такой параметрический процесс, как вынужденное рассеяние (см. гл. 8).
Параметрическое усиление и преобразование частоты
Параметрическими обычно называют системы, один или несколько параметров которых меняются во времени (или пространстве). Процессы в параметрических системах описываются
дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, причем сами уравнения могут быть как линейными, так и нелинейными, а изменение параметров — регулярным или случайным [1, 2,5-7, 12, 13].
О силе, модулирующей параметры системы, говорят как о накачке. Накачка может быть импульсной, непрерывной, шумовой, смешанной и т. п. Действие накачки на систему может проявляться по-разному. Отметим некоторые основные эффекты.
Если накачка гармоническая и ее частота сон выбрана произвольно, эффект является чисто модуляционным, т. е. при дейст
вии на параметр ическую систему входного сигнала с частотой со на выходе системы, кроме со, появляются различные комбинационные частоты
со士九й)н (九=1, 2, 3, •••), (6.1.1)
т. е. коэффициент передачи в (3.1.8) периодичен по времени с периодом накачки Тн = 2л/сон:
К(^ f) = K®, f + 7\)・
ОО=£ K“®)ef.П" — соОО=£ K“®)ef.П" — соРис. 6.1. Схема парамет- (6.1.2) рической системы с переменной емкостью.
ОО
=£ K“®)ef.
П" — со
ОО
=£ K“®)ef.
П" — со
При этом включение иакачки не может :累二«；产 система 尸„ работает как усилитель, при
менять характерные времена релаксации 厂％—皿 преобра- свободных колебаний, т. е. накачка не зователь частоты вверх, вносит в систему эффективных потерь —
ни положительных, ни отрицательных. Иными словами, в этом случае накачка не влияет на устойчивость системы.
Однако при специальном выборе сон накачка влияет на устойчивость. Рассмотрим, например, систему, состоящую из двух колебательных контуров, связанных через переменную емкость, величина которой меняется во времени под действием накачки (рис. 6.1). Если частота накачки равна суммарной частоте:
(6.1.3)(6.1.3)(0H ^=s (0工 + (l)2
(6.1.3)
(6.1.3)
((olt s — собственные частоты контуров), то происходит компенсация собственных потерь контуров за счет энергии, передаваемой от источника накачки (иногда при этом говорят о вносимых накачкой отрицательных потерях). С ростом амплитуды накачки (т. е. с увеличением Со) происходит сужение резонансной кривой системы. При некотором пороговом значении Со = Спор ширина резонансной кривой вообще обращается в нуль, а ее высота делается бесконечной, т. е. происходит потеря устойчивости (см., например, [13]).
14 С. А. Ахманор и др.
В области устойчивости (Со < Спор) схема, изображенная на рис. 6.1, используется как усилитель (двухконтурный параметрический усилитель). Отметим, что при усилении входного сигнала, частота которого близка, например, к резонансной частоте первого контура, Sc^Si， выходной сигнал параметрического усилителя может сниматься на двух частотах: сигнальной сос и разностной (ее называют также холостой) 0\ =必一8<：~例・
Если частота накачки равна разности частот:
сон = соя一①工， (6.1.3а)
то ее действие проявляется по-иному. Вносимые накачкой эффективные потери при этом положительны, резонансная кривая при увеличении амплитуды накачки расширяется. Полезным эффектом здесь является появление во втором контуре сигнала на суммарной частоте (ос + юн> т. е. устройство работает как параметрический преобразователь частоты вверх [13].
Параметрические усилители и преобразователи широко используются в диапазоне сверхвысоких радиочастот [2, 8, 9, 11, 13] и в оптике [3, 17, 27 — 29]. Другой класс параметрических устройств ——параметрические генераторы [29]. В двухконтурной схеме, изображенной на рис. 6.1, может происходить самовозбуждение колебаний на частотах со1О и со2о» Для которых имеет место точное равенство
со1О+(оао=(0н. (6.1.4)
Такие параметрические генераторы представляют особый интерес для оптики, поскольку на их основе удается создать оптические источники, перестраиваемые по частоте в широкой области видимого и инфракрасного спектров (разумеется, в качестве контуров здесь используются оптические резонаторы и процессы описываются в терминах полей и восприимчивостей). Помимо прикладных вопросов следует иметь в виду и обстоятельство более принципиального порядка. Параметрический процесс вида (4) играет фундаментальную роль не только в радиофизике и нелинейной оптике, но и в физике плазмы, теории турбулентности и т. п. [4, 30].
Статистические задачи, возникающие при анализе параметрических систем, связаны, во-первых, с рассмотрением случайных колебаний, возникающих под действием стороннего шума (при регулярной, например монохроматической, накачке), а во-вторых, с эффектами, обусловленными случайным характером самой накачки. “
Ясно, что представление о строго монохроматической накачке— лишь удобная модель. Спектр любой реальной накачки имеет некоторую конечную ширину Асои, и пренебрегать величиной Дсон допустимо лишь при достаточно большой ширине резонансной
кривой системы:
ASh ^С Аб-рез*
Во многих случаях это условие оказывается невыполненным из-за случайной модуляции амплитуды, фазы или частоты накачки； для анализа параметрических процессов при этом нужен статистический подход.
§ 2. Преобразование сигнала и шума в параметрических усилителях колебаний
C阳羽伊加什上cos瓦衣尤 叨｝C阳羽伊加什上cos瓦衣尤 叨｝Рнс 6.2. Схема одноконтурного параметрического усилителя (о)н~2%, o)q = =(ЬС0)-1/2).Рнс 6.2. Схема одноконтурного параметрического усилителя (о)н~2%, o)q = =(ЬС0)-1/2).Изменение емкости С (/) в параметрических усилителях (ПУ) радиочастотного диапазона можно получить, например, если модулировать напряжением накачки емкость р ——n-перехода полупроводникового диода. Отсутствие в ПУ источников дробового шума (электронных ламп) и возможность глубокого охлаждения позволяют получать относительно низкий уровень собственных шумов [2, 7 — 9, 13].
C阳羽伊加什上cos瓦衣尤 叨｝
C阳羽伊加什上cos瓦衣尤 叨｝
Рнс 6.2. Схема одноконтурного параметрического усилителя (о)н~2%, o)q = =(ЬС0)-1/2).
Рнс 6.2. Схема одноконтурного параметрического усилителя (о)н~2%, o)q = =(ЬС0)-1/2).
Одноконтурный параметрический усилитель. Одноконтурный ПУ (рис. 6.2) представляет собой обычный колебательный контур, емкость которого модулируется напряжением накачки с частотой,
близкой к удвоенной резонансной частоте контура, так что
С (/)«С0｛1 — т (/) cos [сон/ +(рн (/)]｝, сон^2соо. (6.2.1)
Область устойчивости одноконтурного ПУ с малыми потерями (2а《со()) соответствует малым значениям коэффициента модуляции, т^ 1. Поэтому приближенно можно принять
1 _J + /n(0cos [(oH^+(pH (fl]心 с с、
СТОС；•9.2.2)
Подставив (2) в (3.2.20), получим уравнение
近+ 2а〃+歸｛1 十团⑴ cos [со/+ 9H (川｝〃 =喘富")，(6.2.3)
описывающее процессы в одноконтурном ПУ； и — напряжение на постоянной емкости Со,富(/) — усиливаемый сигнал.
Коэффициент передачи. Найдем коэффициент передачи К (со, /), предполагая для простоты, что накачка является монохроматической и ее частота равна удвоенной резонансной частоте соо «холодного» контура, т. е. в (3)
т = const, (рн = const, сон = 2 g.(6.2.4)
Общее выражение для К (①,/) имеет вид ряда (6.1.2), но достаточно учесть лишь наиболее существенные резонансные члены, 14*
дающие при частоте внешнего воздействия ①〜士①。частоты, также близкие к 士 соо. Соответственно, задав сигнал в виде
富(/)= е吗со 〜соо,(6.2.5)
будем искать коэффициент передачи, полагая (см. (3.1,8))
К(з, /)〜Ко(з) + К1(з)е-'з『.(6.2.6)
При этом в спектре и имеются две частоты: сигнальная(ос =(о и разностная, или «холостая», сох = сон — со, т. е. решение для (3) ищем в виде
〃 (/) = К (з, 0 产=Ко (со) * + К1(3) е1^-^'.(6.2.7)
Подставив (5) и (7) в (3) и приравнивая члены, меняющиеся с одной и той же частотой (сигнальной или холостой), получим, учитывая (4) и малость отклонения со от ①出 два уравнения для определения Ко (①)и K，s)：
(6.2.8)(6.2.8)（恤一①+奴）儿+书即Ki = *,（CDO-CD +奴）产唄1 一货凡=0.
(6.2.8)
(6.2.8)
ВВрезультате находимрезультате находимКо (®)=Ко (®)=例/2例/2Sq—(«)+ la 卄Sq—(«)+ la 卄(0力加2/160О—0)+^а(0力加2/160О—0)+^а(6.2.9)(6.2.9)
В
В
результате находим
результате находим
Ко (®)=
Ко (®)=
例/2
例/2
Sq—(«)+ la 卄
Sq—(«)+ la 卄
(0力加2/160О—0)+^а
(0力加2/160О—0)+^а
(6.2.9)
(6.2.9)
(6210)(6210)Согласно (9) при резонансе (со = соо) коэффициент передачи равен
(6210)
(6210)
凡(① 0)= 2ia(l—(О 諸 16а2)*
Сравнение (10) с резонансным значением коэффициента передачи «холодного» контура (т. е. при т = 0) ^ (соо) = <»o/2ia показывает, что накачка частично компенсирует активные потери контура. Уменьшение потерь определяется фактором
(6.2.11)(6.2.11)
(6.2.11)
(6.2.11)
гдегдеЗначение тпор соответствует (10) при т = mnop величина (рис. 6.3). В области вблизиЗначение тпор соответствует (10) при т = mnop величина (рис. 6.3). В области вблизи
где
где
Значение тпор соответствует (10) при т = mnop величина (рис. 6.3). В области вблизи
Значение тпор соответствует (10) при т = mnop величина (рис. 6.3). В области вблизи
т”ор = ^ = ^® =芻一 Добротность). (6.2.12)
порогу устойчивости ПУ: согласно Ко (соо) обращается в бесконечность порога, когда
можно переписать какможно переписать какКо (со)=Ко (со)=仇/4й)0 - 0)+ 切2：仇/4й)0 - 0)+ 切2：и велико дополнительное усиление, обусловленное накачкой, (9)
можно переписать как
можно переписать как
Ко (со)=
Ко (со)=
仇/4
й)0 - 0)+ 切2：
仇/4
й)0 - 0)+ 切2：
В этом же приближении (е《1) находим из (8)
К】(со) = ————/必—5/2 у —(凡(co) е-Q.
z '(do—(d + tas mnopov 7тпОр
Полное выражение для коэффициента передачи (6) при е<1 будет следующим:
к(①，/)—彳， SHO, (6.2.14)
где
^o = Фн + n/2 + arg m.(6.2.14a)
Усиление сигнала. Согласно (14), если сигнал на входе одноконтурного ПУ является гармоническим, S (/) = ас cos (сос/ + Фс), то на выходе ПУ возникает сигнал на двух частотах:
®с — юо — 6, сох = сон —(ос = соо4~ 6,(6.2.15)
симметрично расположенных относительно соо (рис. 6.4). Резонансные кривые, соответствующие этим частотам, при е《1 почти
Рис. 6.4. Преобразование спектра сигнала в одноконтурном парамер рическом усилителе.Рис. 6.4. Преобразование спектра сигнала в одноконтурном парамер рическом усилителе.Рнс. 6.3 Коэффициент парамет-рического усиления К"у в за-висимости от коэффициента мо-дуляции т емкости контура(小y=口-冲%叩尸尸).Рнс. 6.3 Коэффициент парамет-рического усиления К"у в за-висимости от коэффициента мо-дуляции т емкости контура(小y=口-冲%叩尸尸).Прн уснленин гармоннческого колеба*ння с частотой % = %—б иа выходеусилителя возникают два гармониче*скнх колебания с частотами (Оо+б.Прн уснленин гармоннческого колеба*ння с частотой % = %—б иа выходеусилителя возникают два гармониче*скнх колебания с частотами (Оо+б.
Рис. 6.4. Преобразование спектра сигнала в одноконтурном парамер рическом усилителе.
Рис. 6.4. Преобразование спектра сигнала в одноконтурном парамер рическом усилителе.
Рнс. 6.3 Коэффициент парамет-рического усиления К"у в за-висимости от коэффициента мо-дуляции т емкости контура(小y=口-冲%叩尸尸).
Рнс. 6.3 Коэффициент парамет-рического усиления К"у в за-висимости от коэффициента мо-дуляции т емкости контура(小y=口-冲%叩尸尸).
Прн уснленин гармоннческого колеба*ння с частотой % = %—б иа выходеусилителя возникают два гармониче*скнх колебания с частотами (Оо+б.
Прн уснленин гармоннческого колеба*ння с частотой % = %—б иа выходеусилителя возникают два гармониче*скнх колебания с частотами (Оо+б.
идентичны (для холостой частоты резонансная кривая идет немного ниже из-за фактора 1 —е 工 i в (14)), причем максимальное усиление в е-1^> 1 раз больше, чем в «холодном» контуре, а область эффективного усиления соответственно во столько же раз уже:
(6.2.16)(6.2.16)&ону = 2ое = 2а(1 — jm |/%р).
(6.2.16)
(6.2.16)
Особо следует отметить случай, когда wc =(oo. Согласно (15) при этом сигнальная и холостая частоты одинаковы. В результате интерференции между колебаниями с сигнальной и холостой частотой возникает новый интересный эффект： зависимость усиления от фазы сигнала на входе. Используя (14) и (7), находим При (0с = (Оо
/) + к・ & =
n ^^ [vs^n (^с Т)'cos (ш°^ + E) + sE(s()/ + W —恥)]・(6.2.17)
Как видно из (17), при изменении фазы сигнала 屮,на л/2 амплитуда колебания и сильно изменяется (в е*1^ 1 раз).
Усиление шума. Если ^ (/) — стационарный шум, имеющий спектральную плотность G((o), то дисперсия шумовых колебаний и может быть найдена по общей формуле (3.2.11):
00
(6.2.18)(6.2.18)(6.2.19)(6.2.19)(и2) = 2, G (з) IК (з, /) I2 dw = Кнх (О-
(6.2.18)
(6.2.18)
(6.2.19)
(6.2.19)
Как следует из (14),
i /八 八 |2 _ 崂(1 — e/2)2 cos2 (s# + W/2) + (e/2)2 siM 侬“十屮偿)
I k (①，01 —彳(g—8户+公肝
Подставив (19) в (18), получим
0kx ⑴=号[(1 — b/2)2 cos2 ®oZ + 2/2) + (e/2)2 sin2 (gZ + 屮/2)] X
• (6220)
Зависимость дисперсии (20) от времени свидетельствует о том, что шумовые колебания в одноконтурном параметрическом усилителе с гармонической накачкой представляют собой нестационарный случайный процесс. В рассматриваемом случае ■ имеет место так называемая периодическая нестационарность: статистические параметры шума изменяются во времени с периодом, равным периоду накачки.
11右力,右力,Двухконтурный параметрический усилитель. Упрощенная схема двухконтурного ПУ представлена на рис. 6.1. Записывая динамические уравнения, удобно выбрать в качестве переменных величин
1
1
右力,
右力,
где flt 2 — токи через нагрузки /?工，驾・ При относительно малой емкости связи
С (0 = Со (О COS[(OHZ + <рн (0J < &, 2, СОн ~ 包 + 3驾，
получим уравнения
Ui 4" 2%厶 4"硏〃 1 —①;(〃i 4" 〃驾)团1 (，) cos [со/ 4" Фн (01 =
(6.2.21)(6.2.21)—研卷1 (0»
(6.2.21)
(6.2.21)
Us + 2aМ驾 +(0：〃驾一co； (〃i + 〃驾)/Па (f) cos [toH/ + фн (/)]=
=础卷芻(/),
где 2%=R/L,龙=&&尸，mi(t) = CQ(t)/Ci (i = l, 2).
по одному(6.2.22)(6.2.23)по одному(6.2.22)(6.2.23)Коэффициенты передачи. Двухконтурный ПУ имеет два входа (卷 1 н 卷2)и два выхода (〃】и 以2), так что при монохроматической накачке он описывается четырьмя коэффициентами передачи Kmn(①，0 (т, п= 1, 2) вида (6.1.2). Если предположить, что система не вырождена, т. е. частоты со】и со2 достаточно разнесены и резонансные кривые обоих контуров не перекрываются, то в (6.1.2) в каждом случае достаточно учесть лишь члену. Соответственно, если
по одному
(6.2.22)
(6.2.23)
по одному
(6.2.22)
(6.2.23)
爲⑴=标叫 扇⑴=0,то решение уравнений (21) ищем в виде以 1 = Ku (со) e'sf,со со.
〃2 = К12(з)е—加J+加'，3н-з~3з.
Для простоты считаем, что
^1,2 = const, фн = const,C0h = S1 + S2・
аналогич-аналогич-(6.2.24)(6.2.24)Подставив (22), (23) в (21), получим уравнения, ные (8):
аналогич-
аналогич-
(6.2.24)
(6.2.24)
(①1 _ ① + iaj) Ku — 1//01团修2H к】？ = Va^i, (tt)i — co + ia 驾)е'"н Кis + “①驾团2Kli = °，
из которых находимб (з)из которых находимб (з)«1/2«1/2吋3+吟攀僦.吋3+吟攀僦.(6.2.25)(6.2.25)
из которых находим
б (з)
из которых находим
б (з)
«1/2
«1/2
吋3+吟攀僦.
吋3+吟攀僦.
(6.2.25)
(6.2.25)
ссрезонанс-резонанс-Согласно (25) при частоте сигнала, совпадающей ной частотой первого контура,
с
с
резонанс-
резонанс-
Ku(3 = 30 =量百謳叵.(6.2.26)
Здесь, как и в случае одноконтурного ПУ, происходит компенсация активных потерь контуров за счет накачки, причем порог неустойчивости определяется равенством
(咿 2)по₽(咿 2)по₽16a1a2 一 416a1a2 一 4(6.2.27)(6.2.27)
(咿 2)по₽
(咿 2)по₽
16a1a2 一 4
16a1a2 一 4
(6.2.27)
(6.2.27)
где Qi,2^ 1 — добротности контуров. В области около порога неустойчивости, когда
е = 1е = 1тупя(加 i/n/opтупя(加 i/n/op(6.2.28)(6.2.28)
е = 1
е = 1
тупя
(加 i/n/op
тупя
(加 i/n/op
(6.2.28)
(6.2.28)
выражение (25) можно переписать как
К” (з)〜一, 丄=丄 + 丄. (6.2.29)
Аналогично находим
К】2(3宀缪1請К「3叫(623°)
Усиление сигнала. Используя полученные результаты, находим, что при входном гармоническом сигнале ^ = ac cos (сос/ 4~Фс) на выходе первого контура ПУ имеется сигнал на той же частоте
〃i=^J%‘+'%Ku(3c) + k. с.=
= Ж^^з(з°/ + <₽с7),(6.2.31)
а на выходе второго — сигнал на комбинационной (холостой) частоте (0н —(0с A=s(O2：
б(3j e-S + к. c.=
=|/(二:;+爲2竿 8s 卜5一3j / + 用 +中一^ 一取］,(6.2.32)
где ^ = arg (coi — сос + icxe). Мы видим, что вблизи порога нестабильности (когда е《1) обе резонансные кривые | Кп (со) |2 и I К1а (со) |2 двухконтурного ПУ имеют одинаковую форму; они идентичны резонансной кривой высокодобротного колебательного контура и характеризуются одинаковой полосой пропускания
Азцу = 2ае=一］,(6.2.33)
网 + %|_(mimJnop J''
которая стремится к нулю по мере приближения к порогу нестабильности. Заметим, что величина а определяется наименьшей из ПОЛОС контуров： амС^д^Саз), «2(0tl >啕・
В отличие от одноконтурного, в двухконтурном ПУ нет зависимости усилёния от фазы сигнала.
Усиление шума. Дисперсии флуктуаций в контурах ПУ, обусловленных шумовым напряжением 容，£), будут согласно (28),
(30) равны
〈谓〉=2，& (з) I К” (со)产 doo = 2Q；ae J 壮器;％,
L°(6.2.34)
〈磅=2 j & (з) I 6 (co)『doo =竿 2Q8§ 誡^黑証,. 0
где Gx (co) — спектральная плотность шума ^i (/)• Периодической не- стационарности (как в одноконтурном ПУ) здесь не возникает, т. е. шумовые колебания в контурах стационарны ).
Статистика амплитуды и фазы на выходе параметрических усилителей. Одноконтурный ПУ [14]. Периодическая нестационар- ность шума на выходе одноконтурного ПУ приводит к ряду особенностей статистики огибающей и фазы.
Рассматривая действие на ПУ стационарного шумового напряжения 卷(/), запишем решение уравнения (3) в виде квазигармо- нического процесса:
ц (/) = а (/) cos (соо/ — фо) — ft (/) sin (со。/ + <р0)=
=р (f) cos[(o0/4-(p0 4- <р (3，(6.2.35)
где ф0 — произвольная постоянная фаза. Возведем (35) в квадрат и, статистически усреднив, получим
〈炉〉=⑷〉cos2 (5% 4-фо) +
+〈从〉sin2 (coo/4-(po) — (ab) sin2 (соо^ + фо)-(6.2.36)
Сравним (36) с полученным ранее для (a2) =oLx выражением (20). Мы видим, что если выбрать q)0 = *ф0/2 (®о определяется формулой (14а)), то квадратурные компоненты a(t) и b (/) в /35) будут некоррелированными случайными процессами (〈ob〉=0), а их дисперсии будут равны
z —小2\/16 \а wo С G (о) do)
6 一〈”〉= (1 一玄)万)r。一可+戸营
8°(6.2.37)
М — /3、_ 干破_ C G(s)d(o
6"4万一8)2+以£2，о
где G (со) — спектр интенсивности входного шума 卷(/).
Различие дисперсий квадратурных компонент характеризуется параметром
В —К—Е _ (1—е/2)2—е2/4
Р° —叶+0 — (1—6/2)2 + 62/4'2"・J ⑴
Так что а? = ао(1 +₽0), 5 = 3(1—阮)，где 5 = (5+ 5)/2-среднее по времени значение дисперсии периодически нестационарного шума на выходе
〈炉〉=酬[1+BoCOS(23j + Wo)], (^=oj. (6.2.39)
Таким образом, характерным для одноконтурного ПУ является то, что при больших коэффициентах усиления (т. е. вблизи порога нестабильности) одна из квадратурных компонент относительно мала по интенсивности (о；》。；, если е《1, см. (37)) и приближенно шум на выходе усилителя можно считать «однокомпонентным» квазигармоническим процессом вида (2.4.31):
〃⑴=р (f) cos [①祖 + 屮⑴]~ a (f) cos (со/ + Wo/2). (6.2.40)
Предположим, что распределение вероятностей шума u(t) симметрично:
⑪(и,力=齿(一％ /).(6.2.41)
По обычным правилам можно найти одномерное распределение для о:
з(а) = |黑5("，0 1«=a cos(<jD0Z + W2) ~
= |COS(3of + Wo/2)〔5(〃，/) |u = acos(W + W2)-(6.2.42)
Это распределение также симметрично:
w(a) = w (— a),(6.2.43)
откуда следует, что фаза ф(/) в (40) принимает лишь два равновероятных значения： ф = *ф0/2 (а>0) и ф = *ф0/2 — л (а< 0). Таким образом, распределение для фазы процесса (39) имеет вид суммы двух 6-функций:
⑫(屮)=^"6 (①一貝 + ^6(9一* + ")，-n<(р< h. (6.2.44)
Учитывая (43), можно сразу записать и распределение для огибающей p(Z) = | a(t) |:
w (р) — 2@ (а)』р>0.(6.2.45)
Например, если распределение для u(t) гауссовское, то
—8 V〃V8,—8 V〃V8,「а»/20й (П
—8 V〃V8,
—8 V〃V8,
W (и, /) = г,
I J /2л а (О
причем согласно (39) здесь 炉(f) =5 [1 + 阮 cos (2gf + 收)]и при BoQ 1
a2 (0 2 2об cos2 (gf + Wo/2).
Используя (42), находим, что распределение вероятностей для а при этом также гауссовское:
w (a)— 8 V a v 8, 2Ул а0
а распределение (45) для огибающей описывается положительной ветвью гауссовской кривой:
w (р) =ё-^, р>о. (6.2.46)
Распределение вероятностей для огибающей и фазы гауссовского периодически нестационарного процесса нетрудно найти и в общем случае 0< | р0| < 1, т. е. при произвольных уровнях усиления одноконтурного ПУ (см. (2.4.47) и (2.4.51)). С ростом усиления w (ф) из равномерного трансформируется в сумму двух 6-функций (44), a w (р) — из рэлеевского в (46), причем <р и р становятся статистически связанными (см. рис. 2.7 и 2.8). Аналогичная картина имеет место и в параметрическом усилителе волн (вырожденном) *).
Двухконтурный ПУ. При усилении стационарного внешнего шума в обоих контурах ПУ при этом возбуждаются случайные колебания, которые стационарны и имеют постоянные дисперсии (34). Соответственно фазы этих колебаний будут распределены равномерно в интервале (—л, л), а распределение огибающих будет зависеть от статистики входного шума. При гауссовской статистике огибающие, очевидно, распределены по закону Рэлея.
§ 3. Шумовая накачка в параметрических системах
В §§ 1, 2 спектр накачки считался бесконечно узким, Дсои = 0 (гармоническая накачка). Используя эту модель, мы имели в виду, что на самом деле ширина спектра конечна, но она мала по сравнению с некоторыми характерными частотными параметрами задачи. Как вытекает из рассмотрения одноконтурного и двухконтурного ПУ, в качестве такого параметра естественно взять ширину полосы пропускания
Ао)пу = 2(X8(6.3.1)
(см. (6.2*16) и (6.2.33)). Однако е в (1) стремится к нулю по мере приближения амплитуды накачки к критическому значению. Следовательно, неравенство
А<Он《Азпу(6.3.2)
всегда нарушается в области, близкой к порогу неустойчивости ПУ.
.•) См. § 氏
Квазигармоническая накачка. Рассмотрим одноконтурный ПУ, считая накачку квазигармоническим случайным процессом вида (2,3,1), ширина спектра которого мала:
Азн《3о・(6.3.3)
Будем опять искать коэффициент передачи К (з, /) усилителя, полагая в (6.2.3)
窃⑴=d叫 〃 =К (з, /)或吗(6.3.4)
К(з, t)^KQ(^ f) + K】(3, t)^,
m(t) cos [юн/ +(pH (/)]=力(f) d" _|_ k.c.,
где, в отличие от (6.2.6), величины Ко(з, /) и Кг(^, f) теперь считаются случайным образом меняющимися. Учитывая (3), предполагаем, что изменение во времени величин Ко, Ki и 4 происходит достаточно медленно:
尤《3d (х = А, Ко, Ki).(6.3.5)
Подставив (4) в (6.2.3) и учитывая (5), получим для Ко и К】 следующие укороченные уравнения:
К° + [а_/(з°_з)] Ко + |А(О Ki =患，
(6.3.6)
Ki + [a-i(g-s)]Ki-£4*(f) К° = 0・
При монохроматической накачке, когда А =仪％/2 = const и Ro i = 0, система уравнений (6) совпадает с (6.2.8).
Из-за флуктуаций коэффициента передачи К (з, t) отклик (4) ПУ на гармонический сигнал будет теперь флуктуирующим: если §(Z) = acos (ю^+(р), то
"⑴=导戸"味(8, 9 + к.c.(6.3.7)
Из (7) видно, что среднее значение (и) выражается через моменты первого порядка л0* Ri； Для того чтобы найти дисперсию и, нужно знать моменты второго порядка
к, Е，网，两I，^лг,肉 (6.3.8) И т. д.
Если воздействие 窃(/) является шумовым, то дисперсия процесса
и (/) ^，К (з, f)窃届"ds, (S^S^) = GBX(w) 6 (co + co'),
может быть записана как
(6.3.8а)(6.3.8а)«и2» = 2 f Ж^ТЛ5 Gbx (З) ds・
(6.3.8а)
(6.3.8а)
В (8а) двойные угловые скобки означают усреднение по двум статистическим ансамблям: внешнего шума и накачки； ооХансамбля предполагаются независимыми; |К(з： /)卩 выражается <^ез последние три момента (8).
Мы приходим, таким образом, к задаче об определении моментов первого и второго порядка функций К。и Къ удовлетворяющих системе линейных дифференциальных уравнений (6) со случайно меняющимися коэффициентами 4(f) и A* (Z). Эта задача решается точно (причем для системы из произвольного числа уравнений), если можно предположить, что все случайные коэффициенты 6-коррелированы, т. е. что время корреляции коэффициентов А 〃)намного меньше, чем наименьшее из времен релаксации системы：
а《т^・(6.3.9)
В рассматриваемом здесь случае q 〜Аз記 ％* 〜а—, так что неравенства (3) и (9) можно переписать как
а《Азн《з(),(6.3.10)
т. е. спектр накачки должен быть намного шире резонансной кривой контура. Предполагая условия (10) выполненными, будем считать теперь в уравнениях (6) процесс A (f) комплексным белым шумом:
⑷=0, <ЛЛТ)=О, (АА?) = 2О6(т),(6.3.11)
где корреляционную постоянную D следует определить из соотношения
8
\ AA*dT = 2Dt
в левую часть которого подставляется истинная корреляционная функция комплексной амплитуды накачки.
Рассмотрим, например, как находятся первые моменты 冗 и Кх. Усреднив (6), будем иметь
皮о+[а — i(со。一 з)]《)+賞 4Ki ==第
(6.3.12)
皮i + [a — i(5 — з)] Ki — А*Ко = 0.
Чтобы решить (12), средние 4Kl и А*Ко нужно выразить через К。 и К】. Для этого, используя динамические уравнения (6), выделим ту компоненту, например Ко, которая линейна по интегралам от случайных коэффициентов уравнений (см. (1.7.20))
^=-^^(0，к俨=_翁к/, Л = 5A(e)de. (6.3.13)
Только эта компонента К。коррелирует со случайными коэффициентами А^) и Xf(O в (6). Используя (13), находим с учетом (11)
〈力*К°〉=〈力*К” = 一賞KQ(6.3.14)
Для функции ^1 находим аналогично
代吋=翁女。4 (A^) = W<K)) = ^W(6.3.15)
Подставив (14) и (15) в (12), получим замкнутые уравнения для первых моментов:
女 o+卜 —— j(Зо — з)]Ко =第
；2:(6.3.16)
Ri +[а —* D — j (со。— со)]% = 0,
из которых следует, что в установившемся режиме (女°「О)
К° = К(з, Jj—3+t器上如^)，女…(6317)
Согласно (4) и (17) сигнал на выходе ПУ будет следующим:
й = у 戸+2 К (з, /) + к.с,=
=Т ^а-1)^ cos(^ + ф + ^).(6318)
где
if = arg (со。一 з + iaej),
[—咂£4а(6.3.19)
4aОпор口 螺
Резонансная кривая для этого сигнала характеризуется шириной
Аз*& = 2叫，(6.3,20)
которая уменьшается с ростом спектральной интенсивности на- «ачки, пропорциональной D, и обращается в нуль при D = D^p, Величина D^p соответствует^ло/т^ре устойчивости, т. е. обращению в оо первых моментов и и К『
Заметим, что, в отличие от ПУ с монохроматической накачкой (см. § 2), здесь нет зависимости усиления от фазы <р сигнала. Это связано с отсутствием второй компоненты сигнала на холостой частоте (так как XI = 0). Можно сказать, что холостая компонента при шумовой накачке имеет чисто флуктуационный характер.
Линейные уравнения типа (16) могут быть получены для моментов любого порядка. Заметим, что характерные параметры еп,
DnSp и А①儡，вообще говоря, уменьшаются с ростам порядка момента.Накачка с диффундирующей фазой. Эта специальная\модельDnSp и А①儡，вообще говоря, уменьшаются с ростам порядка момента.Накачка с диффундирующей фазой. Эта специальная\модельпозволяет проанализировать параметрическое случайной квазигармонической накачки с произвольной шириной спектра (ср. с (10))2a 三 As《з().(6.3.21)Амплитуда и интенсивность накачки при этом постоянны и не случайны, апозволяет проанализировать параметрическое случайной квазигармонической накачки с произвольной шириной спектра (ср. с (10))2a 三 As《з().(6.3.21)Амплитуда и интенсивность накачки при этом постоянны и не случайны, афаза образует случайный ский процесс:фаза образует случайный ский процесс:винеров-винеров-Рис. I Gh (<о)Рис. I Gh (<о)65 Лоренцевский спектр I накачки с диффундирующей фазой.65 Лоренцевский спектр I накачки с диффундирующей фазой.усиление полеусиление поле4(f)=^e& ")4(f)=^e& "),т,тconst,const,(6.3.22)(6.3.22)恥М=，В (9) d9,儲，= 2&6(т).恥М=，В (9) d9,儲，= 2&6(т).(6323)(6323)Спектр накачки GH(w) может быть Уже (D0<a) нлн шире (Do>a) резонансной кривой «холодного» контура, показанной пунктиромСпектр накачки GH(w) может быть Уже (D0<a) нлн шире (Do>a) резонансной кривой «холодного» контура, показанной пунктиром
DnSp и А①儡，вообще говоря, уменьшаются с ростам порядка момента.
Накачка с диффундирующей фазой. Эта специальная\модель
DnSp и А①儡，вообще говоря, уменьшаются с ростам порядка момента.
Накачка с диффундирующей фазой. Эта специальная\модель
позволяет проанализировать параметрическое случайной квазигармонической накачки с произвольной шириной спектра (ср. с (10))
2a 三 As《з().(6.3.21)
Амплитуда и интенсивность накачки при этом постоянны и не случайны, а
позволяет проанализировать параметрическое случайной квазигармонической накачки с произвольной шириной спектра (ср. с (10))
2a 三 As《з().(6.3.21)
Амплитуда и интенсивность накачки при этом постоянны и не случайны, а
фаза образует случайный ский процесс:
фаза образует случайный ский процесс:
винеров-
винеров-
Рис. I Gh (<о)
Рис. I Gh (<о)
65 Лоренцевский спектр I накачки с диффундирующей фазой.
65 Лоренцевский спектр I накачки с диффундирующей фазой.
усиление поле
усиление поле
4(f)=^e& ")
4(f)=^e& ")
,т
,т
const,
const,
(6.3.22)
(6.3.22)
恥М=，В (9) d9,儲，= 2&6(т).
恥М=，В (9) d9,儲，= 2&6(т).
(6323)
(6323)
Спектр накачки GH(w) может быть Уже (D0<a) нлн шире (Do>a) резонансной кривой «холодного» контура, показанной пунктиром
Спектр накачки GH(w) может быть Уже (D0<a) нлн шире (Do>a) резонансной кривой «холодного» контура, показанной пунктиром
Здесь Dq — произвольная константа, имеющая размерность частоты. Такая накачка имеет лоренцевский спектр ширины До)н = 2О0, симметричный относительно частоты 2соо (рис. 6.5). Подставив (22) в уравнения (6) и полагая Кг = У^1^^ ^\ придем к системе линейных дифференциальных уравнений с 6-коррелированным коэффициентом $ (/):
底+(aт6)К。+醬广第
(6.3.24) U + [a-i6-i“/)卜一第 К° = 0,
где 6 = соо —со. Отсюда методом, использованным^в предыдущем разделе, можно получить точные уравнения для Яо и 队 Уравнение для Ко будет следующим:
応 + 卜—№ —嘴 ^^) К。=翁.(6.3.25)
Согласно (25) при нулевой расстройке (6 = 0) и стационарном режиме усиления (Ло = 0)
凡=患匸誌奇，(6.3.26)
где
m"°P = S(6327)
Сравнение выражений (6.2.12) и (27) для критического значения коэффициента модуляции показывает, что расширение спектра
накачки уреличивает тпор в У1 +DQ/a раз, где О0/а — отношение ширины спектра накачки к ширине резонансной кривой контура.
Широкополосная накачка. Проведенный выше анализ относился к узкополосной случайной накачке (Дюн ^(о()), спектры которой схематически представлены кривыми на рис. 6.5 и 6.6 (область 6). Используя в принципе ту же методику, можно рассмотреть и широкополосную накачку, для которой
А<Он><Оо；А<Он><Оо；(6.3.28)
А<Он><Оо；
А<Он><Оо；
ее спектр GH ((о) = const показан на рис. 6.6.
Рис. 6.6, Спектр 6-коррелированной накачки, GH(o) = D/n.Выделены стабилизирующая низкочастотная (а) н дестабилизирующая высокочастотная (б) части спектра. Пунктиром показана резонансная кривая «холодного» резонатораРис. 6.6, Спектр 6-коррелированной накачки, GH(o) = D/n.Выделены стабилизирующая низкочастотная (а) н дестабилизирующая высокочастотная (б) части спектра. Пунктиром показана резонансная кривая «холодного» резонатора
Рис. 6.6, Спектр 6-коррелированной накачки, GH(o) = D/n.
Выделены стабилизирующая низкочастотная (а) н дестабилизирующая высокочастотная (б) части спектра. Пунктиром показана резонансная кривая «холодного» резонатора
Рис. 6.6, Спектр 6-коррелированной накачки, GH(o) = D/n.
Выделены стабилизирующая низкочастотная (а) н дестабилизирующая высокочастотная (б) части спектра. Пунктиром показана резонансная кривая «холодного» резонатора
Будем теперь исходить не из укороченных уравнений (6), а из полного уравнения (623):
й + 2au + <0о[1 + 5 (0] 〃 = з議(/)»(6.3.29)
где теперь с учетом (28) функцию $ (/) можно считать вещественным белым шумом:
1 = 0, Ж = 2Об(т).(6.3.30)
Полагая и = х, перепишем (29) в виде двух уравнений первого порядка:
戈=з譯⑴—2ах — <oj [ 1 + & (f)] u, u = x. (6.3.31)
Система уравнений (31) того же вида, что и (6) или (24). Однако структура (31) такова, что коррелировать с 占 будет лишь компонента х, равная х(к) = (o^t, £ = §E(8)d6, a u(K) = 0. Поэтому
Е〃 = 0, так что, усредняя (31) по ансамблю Е, получим
?=—2成一(0訳+(0讖(f),立=元
или
应 + 2血 +(о 訳=(o 謁(f).(6.3.32)
Мы получили несколько неожиданный результат: согласно (32) накачка типа белого шума вообще не влияет на величину й. Это на первый взгляд не согласуется с полученной ранее картиной;
как выражение (18), так и (26), наоборот, показывают, что накачка существенно влияет на величину 辽，а при некотором критическом уровне приводит к потере устойчивости (辽一
Чтобы разобраться в этом парадоксе, рассмотрим еще один вид шумовой накачки — низкочастотную.
Низкочастотная шумовая накачка. В отличие от ранее рассмотренного случая Зн^2з(), предположим теперь, что
(он^0,(6.3.33)
т. е. спектр накачки В (0 расположен в области низких частот (рис. 6.6, область а). Условие (33) дает возможность от точного уравнения параметрической системы
& + 2cui + 喘[1 + Е ⑴]〃 =(О禍(О перейти к укороченному, полагая
窃=(з 弋(о。)，u = ^^К ((о, f)
и считая X (з, /) медленно меняющейся случайной функцией (К《铀К)・ В результате получим уравнение для К (<о, /) следующего вида:
K + [a-i6 + *(f)]K =患，6 = 5-3.(6.3.34)
Если спектр накачки значительно шире резонансной кривой контура, то процесс Е в (34) можно считать 6-коррелированным (罵=2£)6 ")). Тогда
к(k)= _翁k ,е(8)曲，京=师)一需OR.
Учитывая этот оезультат и усредняя (34), получим следующее уравнение для д:
“(а +罕 Т)К =翁.(6.3.35)
Мы видим, что действие низкочастотной накачки оказывается принципиально другим, чем высокочастотной: она создает положительную добавку к а, т. е. как бы увеличивает собственные потери контура. Можно сказать, что низкочастотная шумовая накачка стабилизирует систему, в то время как высокочастотная — ее дестабилизировала.
Заметим, что этот результат можно было бы предвидеть, так как в рассматриваемом случае 叫 удовлетворяет соотношению (6.1.3а) й)н Зд — (О О, а не (6.1.3) Зн ~ 5 + s 〜2(оо.
Стохастическая нестабильность и стохастическая стабилизация.
Теперь можно объяснить, почему широкополосная накачка не влияет на величину R (з, /)* хотя высокочастотная приводит к
росту 及 и даже к обращению К в 8 (см. предыдущий раздел). На рис. 6.6 показан спектр широкополосной накачки. Заметное влияние на К могут оказывать низкочастотная и высокочастотная области этого спектра, отмеченные на рис. 6.6 штриховкой. Но область @ дает положительную поправку зЗ^/4 к коэффициенту потерь а, а область б —такую же по величине, но отрицательную (см. (17) и (35)). В результате обе поправки взаимно компенсируются и не влияют на величину
Итак, изменение параметров системы по случайному закону может оказывать как стабилизирующее, так и дестабилизирующее влияние. Потеря устойчивости, обусловленная случайным изменением параметров системы, встречается во многих колебательных и волновых задачах (параметрическое взаимодействие, вынужденное комбинационное рассеяние света и т. п.). Это явление иногда называют стохастической нестабильностью.
По аналогии, в тех случаях, когда в результате случайной модуляции устойчивость возрастает, можно говорить о стохастической стабилизации.
Простые оценки порога неустойчивости при шумовой накачке. Нормированная резонансная кривая контура может быть записана как
^/[壮+®-СО0)%
Рассмотрим фильтр, настроенный на частоту накачки, но по форме резонансной кривой | К (w) ,2 идентичный с контуром：
I к(3))2 = а2/ [а2 一 (з — 2зо)2].
Если представить, что накачка $ (/), имеющая спектр интенсивности 6^(з), подана на вход этого фильтра, то средняя интенсивность процесса на его выходе будет равна
a2=jG^((l))l/<-((o)l2d(l).(6.3.36)
О
Наглядный смысл дисперсии (36) состоит в том, что она характеризует среднестатистическую величину интенсивности накачки в полосе частот, равной полосе пропускания контура.
На примере уравнения
и + 2аг>+(оЦ1 +B(/)]v = w§^ (О
оценим теперь критическую величину интенсивности (36), соответствующую потере устойчивости в одноконтурном ПУ для трех уже рассмотренных видов накачки:
гармонической
Е (f) = m cos (2з()/ + %);(6.3.37)
квазигармонической
'Е (/)=忆(/) cos[2co0^ + Th (01R 4 (f)020v + к. с., (6338)
спектр которой значительно шире резонансной кривой контура;
А/А 〜Д<он,а《Азц < со。；(6.3.39)
квазигармонической с диффузией фазы
|(0 = m cos [2ю0/ + фн (0].(6.3-40)
спектр которой может быть произвольной ширины:
а^ Аюн<ю0-
Для гармонической накачки (37)
GW(3)=等 6(ю —2ю0)
и согласно'(36) ® = №£ Подставив сюда т = /ипор = 2/Q, получим 近°p = 2/Q2(а).(6.3.41)
Спектр квазигармонической накачки (38) предполагался почти не меняющим своей величины при изменениях частоты порядка а (см. (39)), так что при интегрировании в (36) функцию GJ (со) можно считать постоянной:
a2 a^Gh (2ю0) 1/С(ю) |2dco = anG^ (2ю0).(6.3.42)
о
Учитывая (11), выражение (42) можно переписать как
<j2^2aD(6343)
Согласно (19) пороговое значение константы D равно
О^р = 4а/<(6.3.44)
Подстановка (44) в (43) дает величину
(г%р = 2aD*p н 2/Q2(б),(6.3.45)
совпадающую с (41).
Наконец, накачка с диффундирующей фазой (40) имеет спектр интенсивности
/ \ _ m“D()1
5(3)=/ +(8-2®0)2 -
Подставив это выражение в (36) и интегрируя, получим
о = ¥ l+R)/& •
Рис. 6.7. Схема параметрического генератора.Рис. 6.7. Схема параметрического генератора.В отличие от схемы параметрического усилителя (рнс. 6.1), закон изменения емкости С (0 теперь ааранее не известен: он определяется с учетом обратной реакции колебаний в контурах G)i，. на колебания в контуре нв- качкнВ отличие от схемы параметрического усилителя (рнс. 6.1), закон изменения емкости С (0 теперь ааранее не известен: он определяется с учетом обратной реакции колебаний в контурах G)i，. на колебания в контуре нв- качкнвремени;времени;4/4《明》•4/4《明》•(64*(64*
Рис. 6.7. Схема параметрического генератора.
Рис. 6.7. Схема параметрического генератора.
В отличие от схемы параметрического усилителя (рнс. 6.1), закон изменения емкости С (0 теперь ааранее не известен: он определяется с учетом обратной реакции колебаний в контурах G)i，. на колебания в контуре нв- качкн
В отличие от схемы параметрического усилителя (рнс. 6.1), закон изменения емкости С (0 теперь ааранее не известен: он определяется с учетом обратной реакции колебаний в контурах G)i，. на колебания в контуре нв- качкн
времени;
времени;
4/4《明》•
4/4《明》•
(64*
(64*
Но в этом случае согласно (27)
а°р = 犷可历й,・
так что опять
^ = ^^^ = ^(в)・(6.3.46)
Устойчивость результата о%р = 2/0 показывает, что нм, по- видимому, можно пользоваться для оценки критической интенсивности накачки для спектров GX(o) различной формы.
§ 4. Эффекты насыщения
Двухкоитуриый параметрический генератор. Если интеисивиость накачки превышает пороговое значение (6.3.46), то происходит потери устойчивости и система становится параметрическим генератором. Ограничение амплитуды
нарастающих колебаний (насыщение) происходит, очевидно, за счет обратной
реакции их на накачку. В этих условиях параметрические колебания на частотах 0)! и о? и колебания накачки становятся равноправными, и задача сводитси к исследованию взаимодействия колебаний иа трех частотах ^, о? и(03 = 5=81 + 82 на нелинейном элементе, например нелинейной емкости, заряд на которой равен
Рассмотрим колебания в схеме так называемого двухконтуриого параметрического генератора (ПГ), изображенного на рис. 6.7. Л1ы будем рассматривать его как нелинейный усилитель монохроматического сигнала %(/), настроенного в резонанс с частотой первого контура. Таким образом, в этом параграфе мы
будем считать, что генератор возбуждается от внешнего постоянно действующего
сигнала, а ие в результате некоторого начального отклонения от положения равновесия (см. § 6 гл. 1). Если сигнал относительно мал (〃^《强)，то обе модели возбуждения в области выше порога генерации дают примерно одинаковую картину колебаний, особенно при шумовой накачке, которая рассматри-
вается ниже.
Амплитудные уравнеивя. Считая контуры высокодобротными, будем предполагать, что каждое из колебаний являетси узкополосным случайным процессом:
(6.4.1)(6.4.1)un^An(f)eimnf+K. с“ п=1,2,3,
(6.4.1)
(6.4.1)
причем амплитуды характеризуются относительно медленным изменением во
Узость спектров колебаний (1) позволиет вместо точных уравнений для un(0 вида (6.2.21) использовать при описании рассматриваемой системы укороченные уравнения для Ап (/)» аналогичные (6.3.6) или (6.3.12):
■^iH"®i^iePt^8^* +仪1力10 (f),(6.4.3а)
4+<Хз4==6з443(6.4.36)
4+аМд=—~р8Л1Л8+азЛзо (/).(6.4.3в)
В этих уравнениях 4ю (/) и Л30 (/) являютси заданными функциями времени: 410 (/) описывает усиливаемый сигнал, а Л80 (0 — напряжение накачки. Постоянные ал равны полуширине частотной области резонанса л-го контура, коэффициенты при нелинейных членах 0冷〜8几・
Подстановка
"T躋汴"(鬻)嗑，ё(箫)嗔@4.4) приводит (3) к виду
Т1a1+ 的=的f1 扌 +/()0(6.4.5а)
7\a2+%=a3叶，(6.4.56)
Тдаи+^зи —。1%+^30 (0»(6.4.5b)
где 7\==аГ1
Монохроматическая накачка. Если накачка и входной сигнал иемодулирова- иы, a10t азо=const, то, полагая в (5) ап»0, получим
%=1-侬I%+!叫产.(&%6)
В области линейного усиления (!硏丨《1) согласно (6)
。产的0 /(1 — I 吟 I),(6.4.6а)
что соответствует (6.2.26). Таким образом, в принятой нормировке (4) пороговая интенсивность дли немодулированиой накачки равна единице:
/порн I/。|порв 1 •(6.4.7)
В области над порогом амплитуда выходного сигнала мало зависит от относительно слабого входного сигнала и, как следует из (6),
I a? I as I 例)I — 1.(6.4.8)
С той же точностью уровень колебаний в контуре иакачки в области над порогом остается постоянным:
I隽I 弋 1 — |ai()y/(@J — 1)р 1(649)
(эффект ограничения по накачке).
Шумовая иакачка — метод уравнений Дайсоиа. Рассмотрим теперь шумовую накачку, полагая, что в уравнении (5в) а^ (/) = g (/) — стационарны!! случайный процесс с нулевым средним и спектром G (<о). Амплитуду входного сигнала аю будем считать для простоты постоииной. Для получения приближенных уравнений для средних мы используем метод уравнений Дайсона, рассмотренный в гл. 1.
Как видно из структуры уравнений (5), амплитуда at является четной функцией g. а 。2 н (^―нечетными. Отсюда следует, что отличное от нуля среднее значение имеет лишь амплитуда 田
(21 = (21 +厶，a;(=％,^3==^3»
причем
厶=左产+困4)+…，^a^+^^-.... & = 4月+左俨+….
где верхний индекс означает порядох по &.
Будем искать。「Проведя усреднение уравнении (5а), получим
曲=@薦〉+%(6.4.10)
Учитывая, далее, в (56) и (5в) лишь флуктуационные члены первого порядка по &, получим два флуктуационных уравнения:'
「2方屮+明』猷а* Т3方F+词』一源明)+E(f).(6.4.11)
Подставляя в (11) выражения для а^} и Z?)в виде интегралов Фурье
2«'= j %犷加"(о,gn , g^®^d(o,
получим
2L (1工而T2)(1+心北)+ 1 曲卜'(6412)
〃(1 + 心T2)晶
^-(1+心 Т2)(1+йоТз) +丨曲仔・
Теперь можно найтн входящую в (10) величину
〈温力 ~〈冲%)*〉Н ,, ds ddJз-о" 0声输).(6.4.13)
Подставив (12) в (13) и учитывая, что〈已滿却〉nG (со) 8 (со—(о‘)，получим
(a3 力=曲 J I a+i叫)(1+心北)+ | a T(6414)
Подставив, наконец, (14) в (10), получим искомое уравнение для 。炉
ОО
曲=曲S I (1 +而北):?鳥3)+1厶户户+a*о.(6415)
-00
Рассмотрим два предельных случая. '
Узкий спектр накачки. В предельном случае бесконечно узкого спектра накачки имеем G (<0)=[県 18 (со). В результате уравнение (15) примет вид
(1 + 1 纵卩)2 +
Это уравнение, как легко убедиться, в точности совпадает с (6), если зам* нить средние величины на мгновенные:。】-> % | ajo | -> | а]0 |. Тямям образом,
при превышении2. Широкийпри превышении2. Широкийилиили△ + 不’1+1a”△ + 不’1+1a”Это выражениеЭто выражениепоказывает, что впоказывает, что вчина спектра накачки равнабпор = (Л + Г3)/лчина спектра накачки равнабпор = (Л + Г3)/л(6.4.17)(6.4.17)и值 1 в %()/(1 — Go/Gnop),Gq/G110P V 1»и值 1 в %()/(1 — Go/Gnop),Gq/G110P V 1»Gq/G110P > 1Gq/G110P > 1(6.4.18)(6.4.18)Таким образом, расширение спектраТаким образом, расширение спектранакачкинакачкисущественно изменяет зависимость средней ам・ плитуды °1 от интенсивности накачки. При узком спектре согласно (16)。1 〜恵‘；при широком спектре, как видно из (18),内〜 ~G?2〜爲.Нелниейный эффект образования провала в спектре накачкн. Как следует из (12), спектр колебаний в контуре накачкн имеет следующий вид:существенно изменяет зависимость средней ам・ плитуды °1 от интенсивности накачки. При узком спектре согласно (16)。1 〜恵‘；при широком спектре, как видно из (18),内〜 ~G?2〜爲.Нелниейный эффект образования провала в спектре накачкн. Как следует из (12), спектр колебаний в контуре накачкн имеет следующий вид:Рис. 6.8. Спектр G3 (со) модуляции емкости С (/) при широком спектре иакачки (см. (19)).Рис. 6.8. Спектр G3 (со) модуляции емкости С (/) при широком спектре иакачки (см. (19)).Gs(s)= Кз (<о) I2 G (со),(6.4.19)1 &(8)』|(1+心 7\)(1+коТ；)2 + & 円 |> (6.4.20)Gs(s)= Кз (<о) I2 G (со),(6.4.19)1 &(8)』|(1+心 7\)(1+коТ；)2 + & 円 |> (6.4.20)№=G0/GnOp — превышение спект* ром накачкн G。порогового зна* чения, соответствующего потере стабильности (в линейном приближении)： N' — значение ”. прн котором в спектре G. (ш) появляется провал — см. (27а).№=G0/GnOp — превышение спект* ром накачкн G。порогового зна* чения, соответствующего потере стабильности (в линейном приближении)： N' — значение ”. прн котором в спектре G. (ш) появляется провал — см. (27а).
при превышении
2. Широкий
при превышении
2. Широкий
или
или
△ + 不’1+1a”
△ + 不’1+1a”
Это выражение
Это выражение
показывает, что в
показывает, что в
чина спектра накачки равна
бпор = (Л + Г3)/л
чина спектра накачки равна
бпор = (Л + Г3)/л
(6.4.17)
(6.4.17)
и
值 1 в %()/(1 — Go/Gnop),Gq/G110P V 1»
и
值 1 в %()/(1 — Go/Gnop),Gq/G110P V 1»
Gq/G110P > 1
Gq/G110P > 1
(6.4.18)
(6.4.18)
Таким образом, расширение спектра
Таким образом, расширение спектра
накачки
накачки
существенно изменяет зависимость средней ам・ плитуды °1 от интенсивности накачки. При узком спектре согласно (16)。1 〜恵‘；при широком спектре, как видно из (18),内〜 ~G?2〜爲.
Нелниейный эффект образования провала в спектре накачкн. Как следует из (12), спектр колебаний в контуре накачкн имеет следующий вид:
существенно изменяет зависимость средней ам・ плитуды °1 от интенсивности накачки. При узком спектре согласно (16)。1 〜恵‘；при широком спектре, как видно из (18),内〜 ~G?2〜爲.
Нелниейный эффект образования провала в спектре накачкн. Как следует из (12), спектр колебаний в контуре накачкн имеет следующий вид:
Рис. 6.8. Спектр G3 (со) модуляции емкости С (/) при широком спектре иакачки (см. (19)).
Рис. 6.8. Спектр G3 (со) модуляции емкости С (/) при широком спектре иакачки (см. (19)).
Gs(s)= Кз (<о) I2 G (со),(6.4.19)
1 &(8)』|(1+心 7\)(1+коТ；)2 + & 円 |> (6.4.20)
Gs(s)= Кз (<о) I2 G (со),(6.4.19)
1 &(8)』|(1+心 7\)(1+коТ；)2 + & 円 |> (6.4.20)
№=G0/GnOp — превышение спект* ром накачкн G。порогового зна* чения, соответствующего потере стабильности (в линейном приближении)： N' — значение ”. прн котором в спектре G. (ш) появляется провал — см. (27а).
№=G0/GnOp — превышение спект* ром накачкн G。порогового зна* чения, соответствующего потере стабильности (в линейном приближении)： N' — значение ”. прн котором в спектре G. (ш) появляется провал — см. (27а).
порога генерации в соответствии с (8)
1«1 |2=«(/зо)1/2-1-(6.4.16)
спектр накачки. Полагая в (15) G (со) hG(j = const, получим
irGo。］
(Л+т^си-!^ 冷
Вид частотной функции К§ (<о) сильно зависит от величины。卜 т. е. в конечном счете от превышения накачки над порогом нестабильности Спектр G3 (со) при G (<o) = Gg = const показан иа рис. 6.8. Анализ выражения (20) показывает, что в области малых &, когда
|两 12Vpi+2В+2 伊一1(₽ = T2/T3),(6.4.21)
функция j Кз (<о) 2 имеет максимум в нуле. При
I «1 户>h+20+2俨一1)(6.4.22)
в нуле имеется минимум, а два симметричных максимума ( 1 К3 ((о) |2 —четная функция со) приходятся на частоты
伙 max 尸 ± 号z 1，R H Md)B 十 в 1 &1 产产一(1+3)2.(6.4.23)
440440ГЛ. 6 ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
440
440
Сами максимумы равны
I Kg {max =I Kg {max =Согласно (20)Согласно (20)R0+$}r—1)+[1+& 俨+^ (1—砌]R0+$}r—1)+[1+& 俨+^ (1—砌]I & |mlnI & |mln1 + 1。1 …1 + 1。1 …(6.4.24)(6.4.25)(6.4.24)(6.4.25)
I Kg {max =
I Kg {max =
Согласно (20)
Согласно (20)
R
0+$}r—1)+[1+& 俨+^ (1—砌]
R
0+$}r—1)+[1+& 俨+^ (1—砌]
I & |mln
I & |mln
1 + 1。1 …
1 + 1。1 …
(6.4.24)
(6.4.25)
(6.4.24)
(6.4.25)
е. провал частотной функции в нуле углублнется с ростом 。八 Прн боль* ших 叫 из (23) и (24) иаходим также
—8(тах) ~ 丸 I «3 |max ~ ( ] _^ 0 ) •(6.4.26)
Максимумы функции | К8 (<о) |® ие совпадают, вообще говоря, с максимумами спектра 63 (<о) (см (19)). Исключение составлиет случай G (<о) = Go = const, который мы и рассмотрим более подробно.
Интегральная интеисивиость флуктуаций й3
0
при увеличении G° также увеличивается, т. е. эффект ограничения интеисив- иости /3, имевший место при узком спектре накачки, в случае широкого спектра пропадает. Как следует из выражений (18) и (25), провал спектра 63 (<о) при(о = О углубляется по мере увеличения мощности накачки:
G3(0) = GSop/G0.(6.4.27)
Согласно (18) и (22) образование провала спектра в нуле имеет место лишь при достаточно большом превышении порога нестабильности, а именно когда G„/Gnop n $1+23+2俨=М.(6.4.27а)
Ширина A8 = 2(o(max)области провала с ростом мощности иакачки увеличивается, поскольку, как следует из (23),
伙2/卜寻Ж坏一rТ誌Г
(6.4.28)
ведениеведениеВ заключение отметим, что с увеличением Go остается постоянным произ*
ведение
ведение
°»тах ■ G»mln 匸 Gnop (f|j) =COnst
173 7ч т » /а = /з~* /宮=不一f・
9厶例 A + t3
%丨曲户a；G(s)%丨曲户a；G(s)仇(8)=仇(8)=Провал имеется также в спектре флуктуаций j Согласно (12)
%丨曲户a；G(s)
%丨曲户a；G(s)
仇(8)=
仇(8)=
(6.4.29)(6.4.29)! Si i2 丁2G (<о)
(6.4.29)
(6.4.29)
H 产8尸"(I +!或1eВT"；户
Если G==G()н G0/Gnop^(1 + Р8)/2Р，то спектр 6Я(<о) имеет минимум в нуле
G L I “1 F Gq 8行・ q 气mln(1 + 1。1 户产 可7 "oР
н два симметричных максимум»
备№二 + 6),法4严P(6430)
L Unop P J
Установление колебаний в параметрическом генераторе. Материал предыдущего раздела характеризует статистику установившихся колебаний в двух- коитурном параметрнческом генераторе.
Для того чтобы рассмотреть картниу установления параметрических колебаний, самовозбуждающихся при /н > /пор, уравнения следует решить с начальными условиями при АО;
Ат (0)0,т=1, 2*(6.4.31)
Надо сказать, что процесс самовозбуждении параметрического генератора обладает целым рядом особенностей по сравнению с самовозбуждением томсоновского генератора, рассмотренным в § 7 гл. 1. Например, если начальные амплитуды на обеих частотах 例，(о2 отличны от нуля, то процесс самовозбуждения зависит от соотношения между начальными фазами колебаний иа частотах о)1, о% н фазой иакачки. Некоторые следствия этого обстоятельства дли вырожденного режима <oi=(o2 = <oh/2 обсуждаются в § 4 гл. 7.
Для монохроматической накачки, Лдо=const, начальный этап процесса установления (пока амплитуду накачки можно считать ие изменившейся) описывается уравнениями (За), (36) (затуханиями для простоты пренебрегаем):
(6.4.32)(6.4.33)(6.4.34)(6.4.32)(6.4.33)(6.4.34)4 = ВМзо4#,^2 ~ Ря^зо^**
(6.4.32)
(6.4.33)
(6.4.34)
(6.4.32)
(6.4.33)
(6.4.34)
С учетом начальных условий (31) решение имеет вид 4(/)= 4 (0) ch 17 + Л* (0) /5。/仇他 sh Г/, 4 «) = 4 (0) ch 17 + 41 (0) /5。VMi Sh Г/, где 加。=4о/Мзо I,Г = MBi%〔 4嚣。声
Полученные выражения показывают, что нарастание во времени колебаний происходит по экспоиеициальиому закону:
Ат (0 〜exp Г/,(6.4.35)
причем инкремент временного усиления Г пропорцноиалеи корню из иитеи- сивиостн иакачки:
г 〜М(, /h=MsoR(6.4.36)
Параметрическое усиление волн
Механизм параметрического взаимодействия волн. При определенных условиях параметрическое усиление может быть получено в распределенных системах, например в длинной линии передачи,
если ее реактивные параметры, например распределенная емкость, меняются по закону бегущей волны:
С = Со [ 1 + m cos (сон/ — AHz)](6.5.1)
(ср. с (6.2.1)). Если величина т в (1) превышает характерное пороговое значение тпор, то в среде, описываемой (1), волны на частотах ①丄,(о2, удовлетворяющих условию ^ + со2 =(он, могут экспоненциально нарастать в пространстве:
Ат (z)〜exp fz.(6.5.2)
Этот процесс совершенно аналогичен экспоненциальному нарастанию во времени колебаний в двух контур ной системе при /н > /пор (см. (6.4.35)). Хотя такие процессы наблюдаются в диапазоне СВЧ на длинных линиях, нагруженных полупроводниковыми диодами с р — п-переходом, особое значение они имеют в оптике, и ниже основное внимание уделяется оптическим задачам [3, 17, 27 — 29].
В распределенных системах, точно так же как и в системах с сосредоточенными параметрами, модуляция реактивных параметров осуществляется обычно электромагнитной волной (волной накачки). В оптике бегущую волну типа (1) — здесь это, очевидно, должна быть «волна диэлектрической проницаемости»
g = % + “ cos (соJ — AHz)(6.5.3)
——можно получить, например, если на среду, действительная часть поляризации которой квадратично зависит от напряженности светового поля:
Р = х£ H-xf2, D — ^E — E~\- 4лР,(6.5.4)
падает интенсивная волна накачки
£н (/, z) = 4H cos (со J —论н2)・(6.5.5)
Ниже будут детально рассмотрены различные режимы параметрического усиления волн; особый акцент будет сделан на исследовании так называемой шумовой накачки, т. е. когда Ен(/, z)— плоская, случайным образом модулированная волна.
Амплитудные уравнения. Рассмотрим взаимодействие трех плоских модулированных волн в среде с квадратичной по полю нелинейностью. Полное поле в среде запишем в виде суперпозиции трех волн; нелинейность приводит к медленной (в масштабе длины волны и периода) зависимости комплексных амплитуд от координаты и времени:
£1.2 (<» 2)= 4.2«, г) exp I (coli2/ — кл2} + к. с.,(6.5.6)
Е耳(力 2)= Л4H (厶 2)exp i (铀匕一论")十 к. с. (6・5,7)
Медленно меняющиеся соотношениямМедленно меняющиеся соотношениямкомплексные амплитуды удовлетворяют ^<kmAm, m=l, 2, н; (6.5.8)комплексные амплитуды удовлетворяют ^<kmAm, m=l, 2, н; (6.5.8)индекс «н» соответствуетиндекс «н» соответствуетволне накачки. Все волны распростра-волне накачки. Все волны распростра-няются слева направо параллельно оси z (рис. 6.9). Падающие на нелинейную среду волны считаются известными, т. е. всеняются слева направо параллельно оси z (рис. 6.9). Падающие на нелинейную среду волны считаются известными, т. е. всеамплитуды задаются при z = 0 как некоторые функции времени:4nd Zu0) = 4no(f)・(6.5.9)амплитуды задаются при z = 0 как некоторые функции времени:4nd Zu0) = 4no(f)・(6.5.9)Задача состоит в том, чтобы найти амплитуды Ат (или их статистические характеристики) в области z > 0, заполненной нелинейной средой.Суммарное поле Е удовлетворяет волновому уравнениюЗадача состоит в том, чтобы найти амплитуды Ат (или их статистические характеристики) в области z > 0, заполненной нелинейной средой.Суммарное поле Е удовлетворяет волновому уравнению承 E1 ^£ 4h 承 p承 E1 ^£ 4h 承 pРис. 6.9. Схема параметрического взаимодействвяРис. 6.9. Схема параметрического взаимодействвя(6.5.10)(6.5.10)Исходя из (10) и используя (6) — (8), МОЖ- волн в нелинейной средеИсходя из (10) и используя (6) — (8), МОЖ- волн в нелинейной средено получить уравнения, описывающие непосредственно амплитуды Ат, — так называемые укороченные уравнения. Вывод этих уравнений рассматривается в § 1 гл. 8. В случае слабонелинейной квадратичной среды (4) уравнения для амплитуд имеют вид (см. (8.1.20))но получить уравнения, описывающие непосредственно амплитуды Ат, — так называемые укороченные уравнения. Вывод этих уравнений рассматривается в § 1 гл. 8. В случае слабонелинейной квадратичной среды (4) уравнения для амплитуд имеют вид (см. (8.1.20))裟+*争=阮44%'丝 騎+圭替=-"М*.裟+*争=阮44%'丝 騎+圭替=-"М*.(6.5.11a)(6.5.116)(6.5.11b)(6.5.11a)(6.5.116)(6.5.11b)
Медленно меняющиеся соотношениям
Медленно меняющиеся соотношениям
комплексные амплитуды удовлетворяют ^<kmAm, m=l, 2, н; (6.5.8)
комплексные амплитуды удовлетворяют ^<kmAm, m=l, 2, н; (6.5.8)
индекс «н» соответствует
индекс «н» соответствует
волне накачки. Все волны распростра-
волне накачки. Все волны распростра-
няются слева направо параллельно оси z (рис. 6.9). Падающие на нелинейную среду волны считаются известными, т. е. все
няются слева направо параллельно оси z (рис. 6.9). Падающие на нелинейную среду волны считаются известными, т. е. все
амплитуды задаются при z = 0 как некоторые функции времени:
4nd Zu0) = 4no(f)・(6.5.9)
амплитуды задаются при z = 0 как некоторые функции времени:
4nd Zu0) = 4no(f)・(6.5.9)
Задача состоит в том, чтобы найти амплитуды Ат (или их статистические характеристики) в области z > 0, заполненной нелинейной средой.
Суммарное поле Е удовлетворяет волновому уравнению
Задача состоит в том, чтобы найти амплитуды Ат (или их статистические характеристики) в области z > 0, заполненной нелинейной средой.
Суммарное поле Е удовлетворяет волновому уравнению
承 E1 ^£ 4h 承 p
承 E1 ^£ 4h 承 p
Рис. 6.9. Схема параметрического взаимодействвя
Рис. 6.9. Схема параметрического взаимодействвя
(6.5.10)
(6.5.10)
Исходя из (10) и используя (6) — (8), МОЖ- волн в нелинейной среде
Исходя из (10) и используя (6) — (8), МОЖ- волн в нелинейной среде
но получить уравнения, описывающие не
посредственно амплитуды Ат, — так называемые укороченные уравнения. Вывод этих уравнений рассматривается в § 1 гл. 8. В случае слабонелинейной квадратичной среды (4) уравнения для амплитуд имеют вид (см. (8.1.20))
но получить уравнения, описывающие не
посредственно амплитуды Ат, — так называемые укороченные уравнения. Вывод этих уравнений рассматривается в § 1 гл. 8. В случае слабонелинейной квадратичной среды (4) уравнения для амплитуд имеют вид (см. (8.1.20))
裟+*争=阮44%'丝 騎+圭替=-"М*.
裟+*争=阮44%'丝 騎+圭替=-"М*.
(6.5.11a)
(6.5.116)
(6.5.11b)
(6.5.11a)
(6.5.116)
(6.5.11b)
Постоянные 卩加 〜①加 в этих уравнениях определяются нелинейностью среды (см. (8.1.21))： так называемая волновая расстройка в (11) равна
А =^н =自一尼 2 (6.5.12а)
и зависит от волновых чисел % =卜加就 Из (11) видно, что эффективное взаимодействие между волнами и, следовательно, эффективное параметрическое усиление возможно лишь при условии, что величина А достаточно мала. Условие Д = 0, при котором
尼н =岛■ + 局 (6.5.126)
и взаимодействие волн наиболее эффективно, называют условием фазового синхронизма. Если же А велико, то правые части в
уравнениях (11) быстро осциллируют и волны в среднем практически не взаимодействуют.
Приближение заданного поля накачки. Система уравнений (11) является нелинейной. Однако если амплитуды Д1 и Д2 малы по сравнению с Дн, то их влиянием на 4H можно пренебречь, записав уравнение (11в) приближенно как
04H I 1 。力н л
Отсюда, учитывая граничное условие (9), находим при z>0
4H (% %) = "но (8),6 = £ — %/〃н・(6.5.13)
В этом случае амплитуда накачки в нелинейной среде является известной. Подставив (13) в (Па) и (116), мы получим теперь систему из двух линейных относительно 4t и Д2 уравнений:
蟄+ ；争=阮4。(8)禹/’丝(6.5.14а)
嗓十 ^陰=限4吨(0) 4:e-sz.(6.5.146)
Если волны не модулированы во времени и А=0, то уравнения (14) принимают следующий простой вид:
•^-=₽Мно^2>•^■ = % Aw 凿.(6.5.15)
Они являются пространственным аналогом уравнений (6.4.32), и их решение может быть записано на основании (6.4.33) как
4 (z) = 4。ch Гг + А*о/фио 丿価 sh Гг,。一。
. (6.5.16)
А2 (г) = 4。Ch Гг + 閉°е % М価 sh 门， где
JWho=4h7 Ано '，「=昨両К产.(6.5.17)
Выражения (16) описывают пространственное усиление волн на частотах ^ и(о2 Зависимость амплитуд волн от N экспоненциальна. Согласно (17) коэф- фициент пространственного усиления пропорционален корню из интенсивности иакачки (рис. 6.10):
g = rz=j/瓦闻 1AHe产〜以2.(6.5.17a)
Показав принципиальную возможность пространственного параметрического усиления, рассмотрим теперь более подробно математическое описание этого эффекта В уравнения (14) могут быть добавлены члены аь 2t учитывающие линейное затухание волн:
е^? * + 石4т^-+а1.э^1-э = Р1.2^ни(®) -^2.1е ・(6.5.18)
Используя подстановку Ат^Вт ехр (—iAz/2), уравнениям (18) можно придать вид
■^■ + 三^^+(叫2-込/2)8З2 = В324Ho 8)8，.(6.5.19)
При наличии группового синхронизма (〃1 = 〃2 = 〃н) или в случае монохроматической иакачки (А^ = Ано=const) уравнения (19) сводятся к системе из двух уравнений с постоянными коэффициентами.
Рис. 6.10. Зависимость коэффициента усиления g при монохроматической неслучайной иакачке от длины взаимодействия (а) и интенсивности накачки (б).Рис. 6.10. Зависимость коэффициента усиления g при монохроматической неслучайной иакачке от длины взаимодействия (а) и интенсивности накачки (б).
Рис. 6.10. Зависимость коэффициента усиления g при монохроматической неслучайной иакачке от длины взаимодействия (а) и интенсивности накачки (б).
Рис. 6.10. Зависимость коэффициента усиления g при монохроматической неслучайной иакачке от длины взаимодействия (а) и интенсивности накачки (б).
(6.5.20)(6.5.20)условиямусловиямпричемпричем/"о1 二/К/"о1 二/Ке^2-е^г］一m皿恤，е^2-е^г］一m皿恤，1 — tn^m^1 — tn^m^г «и + «22 (au —a2a)a 「32='2+ I/ J г a12a21)г «и + «22 (au —a2a)a 「32='2+ I/ J г a12a21)«21「1 —а^«21「1 —а^(6.5.21)(6.5.21)(6.5.22)(6.5.22)
(6.5.20)
(6.5.20)
условиям
условиям
причем
причем
/"о1 二/К
/"о1 二/К
е^2-е^г
］一m皿恤，
е^2-е^г
］一m皿恤，
1 — tn^m^
1 — tn^m^
г «и + «22 (au —a2a)a 「32='2+ I/ J г a12a21)
г «и + «22 (au —a2a)a 「32='2+ I/ J г a12a21)
«21
「1 —а^
«21
「1 —а^
(6.5.21)
(6.5.21)
(6.5.22)
(6.5.22)
Запишем используемые в дальнейшем решения таких уравнений. Рассмотрим систему связанных уравнений
~^~ = «11*1 + °4产2,~^~ = а21Х1 + «22 尤2,
Г! = Bj = 4 exp (iAz/2),% = B^ =力贽 exp (— iAz/2).
Общее решение для (20), удовлетворяющее при z = 0 граничным X1 = x10t r2 = x20t будет следующим:
Выражениями (21) описывается параметрическое усиление попутных волн. Кроме того, возможно также параметрическое усиление встречных волн. В последнем случае граничные условия разнесены: например, амплитуда первой волны задается при z=0t а амплитуда второй, которая бежит навстречу первой,一при n = L Решение, удовлетворяющее таким условиям, имеет вид
еГ"—户2 cxp (1\ —!\)，(户―J")恤 exp Ту
"1101 — /м^а ехр (Г 1 —「J，2‘1 — /М1/М2 exp (Г\ — Г2) / (6 5 23)
eAz — eQ'exp (I\ —1\)，丨」(户一加皿户?)exp 1\，
a ⑵_ io ］一%恤 exp (1\ _「2)‘十 窥 1 一恤S exp (I\-R)厂 ,
Заметим, что иногда (например, при расчете полосы пропускания параметрического усилителя — см. (43)) в (14) необходимо учесть дисперсию групповых скоростей в пределах спектра каждой из волн. Это сводится к добавлению членов со вторыми производными по времени (см. (8.1.20))
儀+ 上备干；初2祭"1.2 =九4。(8)窗伫丝(6.5.24) где ==丿3=%； 〃(3)一 грузовые скоро- сти на частотах(0 =例 2・
Вырожденный параметрический усилитель; преобразование статистики амплитуды и фазы. Рассмотрим случай, когда частоты ①】 и со? совпадают:
(01 = (02 = 5/2, Аг = А2 = А.(6.5.25)
Такой ПУ называется вырожденным. Согласно (16) при этом
л (г) = 4 (г) = До ch Гг + 岗产-° sh Гг.(6.5.26)
Записав До через квадратурные компоненты а0 и 氏：
40=6%</2 (a0+ib0),(6.5.27)
и подставив (27) в (26), получим
4⑵=62"2[a(2)+，方(2)], а (г) = аоgгг, ь (г) = до6-г2. (6.5.28)
Как следует из (28), вырожденный ПУ обладает следующей особенностью: в нем может усиливаться лишь одна из квадратурных компонент, а именно а0- Это означает также зависимость усиления от фазы входного сигнала Действительно, полагая До= I Аь\е^\ найдем
Д (z) = | До| 叁諸[ег? cos (ф0 — фн0/2) + ir Гг sin((p0- %о/2)* (6529)
т. е. 4 (%)〜cos (ср。一屮н"2)・ Напомним, что таким же свойством чувствительности к фазе сигнала обладает и одноконтурный ПУ, который может быть назван также вырожденным, поскольку для него выполнялось условие (25) (см. (6.2.17))*).
Будем теперь считать сигнал До случайным. Квадратурные компоненты а0 и 瓦 при этом случайны, и если сигнал стационарен, то 〈仪0〉=〈瓦〉=0, 〈Qj〉=〈阮〉=5о (см. (2.3.3), (2.3.5)), Согласно (28) статистические характеристики квадратурных
компонент на выходе вырожденного ПУ будут следующими:
⑷=〈及=0, ⑷〉=唸声z,(ь2)=唸/214(6.5.30)
Неравенство ⑷〉片〈产〉означает, что на выходе ПУ образуется периодически-нестационарный случайный процесс вида (2.4.41), у которого согласно (30) и (2.4.43)
毋=唸 sh 2Гг, Ro = th 2Гг.
Дисперсия поля £i (/, г) = Д exp i (a)i/ — kiz) + к. с. будет при этом меняться по периодическому закону (2.4.44) с частотой сон = 2a)i.
Предположим теперь, что входной сигнал
£i (/, О)=ро cos((oH//2 +(po)
имеет гауссовскую статистику и стационарен. В этом случае огибающая этого сигнала р0 распределена по закону Рэлея, а фаза (р0— равномерно. Выходной процесс
£i (/, z)^p cos (сон//2 + ф)
также будет гауссовским, поскольку преобразование (28) линейно. Однако периодическая нестационарность поля £\ (f, z) приводит к тому, что распределения огибающей р и фазы ф будут иметь вид (2.4.47) и (2.4.51) и будут отличаться, соответственно, от рэлеевского и равномерного. Это отличие растет вместе с усилением. В предельном случае большого усиления (Fz》l) распределение для р стремится к гауссовскому (2.4.49) на полуоси р = 0, а распределение для (р втягивается к 6-функциям (см. (2.4.40)). В этом предельном случае поле £\ имеет вид колебания со случайной гауссовской знакопеременной амплитудой и регулярной фазой:
£i (/, z}^a (г) cos (co^Z/2 +(рн0/2 — krz). а(г) = аоеГг. (6.5.31)
Такое изменение статистики огибающей и фазы является особенностью вырожденного ПУ.
Резонансная кривая параметрического усилителя. Усиление монохроматической волны в ПУ зависит от ее частоты. Определим эту зависимость. Рассмотрим граничные условия (9) вида
4о(/) = 4黯叫4o(f) = O, ^4зо = const, (6.5.32)
которые соответствуют усилению сигнальной волны £\ с частотой wc =(01 + co. Частота a)i пока произвольна, но в дальнейшем мы увидим, чему должна быть равна ①匕 чтобы она совпадала с центром резонансной кривой ПУ, когда усиление на частоте ①】максимально.
В результате взаимодействия сигнальной волны Ег и волны накачки Ён в нелинейной среде возникает также холостая волйа, цм^ющая частоту wx = сои — со^ = о)3 — о). Таким образом, решение
для уравнений (14) нужно искать в виде
4& z) = A)Ki®, z)d叫 4 &z)=為兄3一)ь叫(6.5.33) Здесь Ki и К2 — частотные коэффициенты передачи, аналогичные коэффициентам передачи К линейных колебательных систем. В случае волновых систем коэффициент передачи, описывающий усиление, дополнительно зависит от длины г области взаимодействия волн.
Подставив (33) в (14), получим после подстановки
& =元e4/2, 尤=尤0А"(6.5.34)
для 尤 1 и 尤2 уравнения вида (20):
芻 +'償—切 ％ = 0i"h%3, ^ + i 儀 + 4■卜2 = 02北叫•(6535)
Решение этой задачи дается выражениями (21), в которых согласно (22)
Г^ = -^ 偿 + 甘千 /F^ns, (6.5.36)
Г2 = ₽1₽2 I ^н0 I2, V= 1/〃L 1/〃2・(6.5.37)
За усиление ответственна вещественная часть Г2, равная
Re Г2nMR -71-小)2网.(6.5.38)
Таким образом, усиление максимально для сигнальной частоты (Oi0 =(Oi + A/v и, соответственно, холостой частоты со2о^со2 —A/v.
Определим теперь, какая волновая расстройка А соответствует резонансным частотам со1О и со2о* Согласно (12)
& =论(①h) 一论(①加一论(①20)~
k (①J 一 尼(① 1) 一 尼‘(①i)7 一 A (①2)+ 勿(g)' .
尼(①h)-尼(①1)-尼(①2)=々Н 一尼1 —尼2 = a, 尼'((00 = 1 /〃 1,尼'(tt>2)= 1/Us>尼(①h)-尼(①1)-尼(①2)=々Н 一尼1 —尼2 = a, 尼'((00 = 1 /〃 1,尼'(tt>2)= 1/Us>Но.
尼(①h)-尼(①1)-尼(①2)=々Н 一尼1 —尼2 = a, 尼'((00 = 1 /〃 1,尼'(tt>2)= 1/Us>
尼(①h)-尼(①1)-尼(①2)=々Н 一尼1 —尼2 = a, 尼'((00 = 1 /〃 1,尼'(tt>2)= 1/Us>
Таким образом,
т. е. максимальное усиление в ПУ достигается на тех же частотах, на которых происходит обращение в нуль волновой расстройки (точно выполняется условие фазового синхронизма Д = 0).
Считая, что частота w, совпадает с резонансной ((力二①⑪)， положим в (34) — (38) Д = 0. Используя (34), находим теперь,
что в случае большого усиления (zRe!\》l)
凡(з, - 吟=Ы-^ (i + П + МУ] z, |Ki(s, г)|2^~ехр2|/"г2-^г〜
«=42ехр(-^з2),"》1.(6.5.39)
Таким образом, резонансная кривая ПУ имеет форму симметричной гауссовской кривой. Из условия уменьшения величины |Ki『 в два раза относительно максимального значения получим следующее выражение для полосы пропускания ПУ:
А ①□у=1^М Г*А ①□у=1^М Г*(6.5.40)(6.5.40)
А ①□у=1^М Г*
А ①□у=1^М Г*
(6.5.40)
(6.5.40)
Резонансная кривая вырожденного ПУ. Выражение (40) дает в случае вырожденного ПУ (卫i = 〃2，v = 0) бесконечно широкую полосу усиления. В действительности Асо^у остается конечной, но ее величина определяется имеющейся зависимостью групповых скоростей от со. Формула (40) эту зависимость не учитывает.
Обратимся к более точным уравнениям (37). Полагая в них Д = 0, имеем
т+^Т-| /% = Мн^,!.(6.5.41)
Используя (33), получим для Ki и К2 следующие уравнения;
甞+寸 + ^"'叫长=阵11典，
^ + /(|-4 依炉)К2 = В4№
Эти уравнения того же вида, что и (20), и согласно (21) и (22) усиление связано с величиной
「2=_^ + М『一密）哼。
Из последнего выражения видно, что при большом усилении (Гг》1) резонансная кривая вырожденного ПУ дается формулой
|Ki(①，z)产〜2exp[ — n ".①&].(6.5.42)
Используя (42), ширину области усиления можно оценить как
аеhааеhаm 2r丿Z但")2・m 2r丿Z但")2・(6,5.43)(6,5.43)
аеhа
аеhа
m 2r
丿Z但")2・
m 2r
丿Z但")2・
(6,5.43)
(6,5.43)
16 С. А. Ахманов н др.
Полосы (40) и (43) дают оценку ширины спектра шума на выходе ПУ, если случайное поле на входе 4m()(/), m= 1,2, можно считать широкополосным случайным процессом. Заметим, что согласно (40) и (43) полоса частот, в которой происходит наиболее эффективное усиление, растет при увеличении отношения Г/г.
Параметрическое усиление волн
при немонохроматической накачке
До сих пор мы предполагали, что волна накачки является строго монохроматической и неслучайной. Эта простая модель, разумеется, не всегда соответствует реальным условиям. Теперь рассмотрим более сложную задачу определения характеристик параметрического процесса, который идет в поле случайной и немонохроматической накачки.
Вырожденный параметрический усилитель с шумовой накачкой, модулированной по амплитуде. В общем виде удается решить уравнение
芻+薔= 84。е) "*，(6.6.1)
описывающее вырожденный ПУ, накачка которого промодулиро- в£на только по амплитуде. Комплексную амплитуду в этом случае можно считать вещественной функцией:
Лно(О = ^о(О.(6.6.2)
Модуляцию сигнальной волны на входе ПУ будем считать произвольной: при г = 0
А = Д0(0=«о (0 + 也⑴.(6.6.3)
Полагая в (1)
A = a + ibt(6.6.4)
где q и Ь— вещественные функции, и переходя к новым переменным'
т] = /— z]u, 8 = f — z/〃h,(6.6.5)
мы получим два уравнения：
^ = 4 Лно(б)а, M = -g4o("b, v = ^ — ±,
которые легко решаются； учитывая граничные условия (3), находим
Q(8, n) = Qo(T])e* 6(8,刀)=氏(刀)《叫(666)
где о
g=叮儿。(力”(G.6.7)
Подстановка (6) и (7) в (4) дает решение задачи в следующем виде：
(6.6.8)(6.6.8)A = aQ (л)欣 + ib()(л) /Е.
(6.6.8)
(6.6.8)
Решение можно получить и в более общем случае неоднородной среды или пространственно неоднородного (например, затухающего или сфокусированного) поля накачки. Эти факторы можно учесть, умножив правую часть уравнения (1) на некоторую функцию
которая затем войдет под интеграл в выражении для 己(7).
Предположим теперь, что накачка промодулирована по амплитуде гауссовским шумом, т. е. Дн0 (6) — вещественный гауссовский процесс, причем
(Лн0 (6))=0, <Дно (0) Дно (0 +Т)> = Вн0 (Т) = I^R. (т). (6.6.9)
Величина Е в (8) будет при этом тоже случайной и гауссовской (последнее — ввиду линейности выражения (7), связывающего 工 и Лн0), так что
(A^la^^ + ib.^e^(6.6.10)
<ДД*> = [4(т]) + ^(П)]А(6.6.11)
где
9 = 2〈F〉= 2：： J jBH(e1-e2)de1de2 =
=4 与 j (I v I z — т) Вн (т) dx fG.6.12) о
—экспоненциальный коэффициент усиления интенсивности сигнальной волны. Сравнивая (12) и (6.5.39), можно ввести коэффициент статистического выигрыша
I V] 2
小=击=翡 J (I V I z - т) /?н (т) dx, (6.6.13) о
показывающий, во сколько раз экспоненциальный коэффициент усиления при гауссовской накачке больше коэффициента усиления 2Гг = 2)/р2/н0 г при неслучайной монохроматической накачке, которая имеет ту же среднюю интенсивность, что и случайная.
Предположим, например, что шумовая накачка имеет лорен- цевский спектр с шириной спектральной линии AwH = 2D. При
ЭТОМ
йно(т) = /нОехр(—О|т|)
(6.6.13a)
и согласно (12) и (13)
8 — “丄引(D 1 v 1 2)2/2»
(6.6.14)
宀 v]z_i + DMz厂
T]o —(D|v|z)2/2，/но.
(6.6.15)
В предельных случаях малой и большой Асон имеем
g = 2(「z)2, т]о = 1ЧD|v|z<l,
(6.6.16)
9= ОМ*小=而П，°Wz》l.
(6.6.17)
Заметим, что выражения (17) фактически соответствуют представлению накачки в виде 6-коррелированного процесса
〈4。(0 Лн0 (/ + т)) = 2лСн06 (т)(6.6.18)
со спектральной плотностью 6^ = /^/^^， соответствующей условию эквивалентности 2лбн0= \ Вн0 (т) dt = 2/н0/О. Действительно, —8
подставив (18) в (12), получим ^ = ^zlD\v\, что совпадает с (17). Выражение (14) указывает на следующую зависимость усиления от г: при малых г эта зависимость квадратична, а при больших-линейна, т. е. g〜扌， г</ког; д~г-/ког, г>/К0Г (рис. 6.11, а, сплошная кривая). Здесь
/ = 1 = 2ког— ! Vj D — I V ! Д(он
——так называемая когерентная длина.На этой длине между волнами % и (Он возникает запаздывание т порядка времени корреляции накачки q 〜1/厶(0氏 Если г ^ /ког (т^тк), то согласно ⑺己〜4仇 в усилении участвует весь спектр накачки (квази- ст ат и 4ecKJ^J?^m) и вместе с г растет и %. При г > /К0Г (т>тк) в (7) ^~ Д^ т. е. усреднение определяется усредненным по времени Г = г |vj > тк значением 4 Ho(%) (инерционный режим); при этом с ростом г в процесс вовлекается все (олее узкая часть спектра накачки, и увеличение т|о прекращается (гю^По(таХ)= =2Г/О |v| ^ 1, рис. 6.11, а). Сказанное относится также к процессу генерации гармоник в диспергирующей среде (ср., например, (7) и (8.3.25)).
Из выражения (15) для т)0 следует, что при малых интенсивностях накачки более эффективной для усиления является гар-
моническая накачка, а при больших интенсивностях — шумовая："OoVl, “V/i； "По>1, /нО>А・
Здесь 1г — интенсивность накачки, при которой оба режима эквивалентны. Она определяется условием /(>=1； при большом усилении
]/7； = D|v|/2p(6.6.20)
(рис. 6.11, б, пунктирная кривая).(рис. 6.11, б, пунктирная кривая).〃43〃Аз1t〃43〃Аз1tРис. 6.11. Зависимость коэффициента усиления g (сплошные линии) и статистического выигрыша “о (пунктир) вырожденного ПУ со случайной ампли- тудно-модулированной накачкой от расстояния (а), средней интенсивности (б), ширины спектра накачки (в).Рис. 6.11. Зависимость коэффициента усиления g (сплошные линии) и статистического выигрыша “о (пунктир) вырожденного ПУ со случайной ампли- тудно-модулированной накачкой от расстояния (а), средней интенсивности (б), ширины спектра накачки (в).
(рис. 6.11, б, пунктирная кривая).
(рис. 6.11, б, пунктирная кривая).
〃43〃Аз1t
〃43〃Аз1t
Рис. 6.11. Зависимость коэффициента усиления g (сплошные линии) и статистического выигрыша “о (пунктир) вырожденного ПУ со случайной ампли- тудно-модулированной накачкой от расстояния (а), средней интенсивности (б), ширины спектра накачки (в).
Рис. 6.11. Зависимость коэффициента усиления g (сплошные линии) и статистического выигрыша “о (пунктир) вырожденного ПУ со случайной ампли- тудно-модулированной накачкой от расстояния (а), средней интенсивности (б), ширины спектра накачки (в).
Рассмотрим теперь зависимость g и т)0 от Асон, Согласно (14) в рассматриваемом случае усиление равно
『朝％。奇е”7十纟,y = D\v\z, (6.6.21)
т. е. сначала g увеличивается пропорционально полосе: g 〜у 〜D = Асо"?,
но затем при достаточно больших полосах,
厶必 > ~р^у = А«н,(6.6.22)
происходит насыщение усиления и величина g стремится к некоторому максимальному значению
1 V|
(6.6.23)
от А①н не зависящему (рнс. 6.11, s, сплошная кривая). Статистический выигрыш при Аи)п2А(о； является наибольшим и стремится к нулю как в области малых, так и в области больших Дсон (рис. 6.11,% пунктирная кривая).
Вырожденный параметрический усилитель с шумовой накачкой, модулированной по фазе. Будем исходить из уравнения (1), записанного в переменных (5):
^ = ^ Дно(0)Л*.(6.6.24)
Считаем теперь, что
^но (6)= Лно^хр /ф (6), Дно = V^/ho = const, ф (6) = \ ^ (Qi) Mlt
—8(6.6.25)
причем 己⑴ является 6-коррелированным вещественным процессом：
©〉=0, <^t> = 2D6(T).(6.6.26)
В этом случае накачка имеет экспоненциальную корреляционную функцию
〈"но(8) 4之о(8 + т)〉= /н()ехр (— ОIтI),
которой соответствует лоренцевский спектр с шириной Асон = 2D. Если в (24) сделать подстановку Д = В exp (/ф/2), то для функции В получим уравнение.
в+|н(0)в=1в*, г = ₽д»0, v=l- А,
используя которое найдем уравнения, определяющие х = ВВ* н = и у = В2:
гог
⑶± = £伊+办(6) » +疋(8)广今工 (6.6.27)
Согласно (27) и (1.7.20) коррелирующая с ^(6) компонента у равна
у^ =iy^(0i)d0i-
Учитывая (26), находим
0=« / — г/«н
/(。力=化⑼*>〉=—切 20，6(9-01)d0p (6.6.28)
l\=»t — Z/U
Заметим, что 6>-q(uH>u) и 6 <т)(uH<u)； поэтому интеграл от 6-функции в (28) будет иметь разный знак в зависимости от того, какая из групповых скоростей, ин или и, является
наибольшей:
о(Р>0, 〃н>〃，
\6(8 — %)d&=(6.6.29)
п( — у, v<0, UH<U.
Подстановка (29) в (28) дает
^)y>= — iyD\v\lv.(6.6.30)
Усредняя уравнения (27) и учитывая (30), получим
%=不仅+9 )，У А^д=干х，
или, если 〃匸g + g*,
х=^Я, Я = ^Х--Ц^-Я.(6.6.31)
Если теперь вернуться к переменным / и г и рассматривать установившийся режим, когда все производные по / равны нулю, то уравнения (31) примут вид
(6.6.32)(6.6.32)$ = -Гй, -g- = 4rx-D|v|S.
(6.6.32)
(6.6.32)
Здесь величина 无=〈44*〉= /(之)равна средней интенсивности усиливаемой волны, а
т. е. при .
а = »2〉+ к. с. = (Д2ехр /ф (6)) + к. с., г = 0
Х = /(0), й = 0.(6.6.33)
Решая используя
(32) с учетом граничных условий (33), находим, (6.5.21),
/(z) = /(0)臼爲磔广,(6.6.34)
где
l\(2 = -DHI/2 + VWW+4T (Г^О, Г2>0). (6.6.35)
Выражение (34) показывает, что в ПУ с модулированной по фазе накачкой создается большое усиление, если
(6.6.36)(6.6.36)при этомпри этом/⑶〜/⑶〜/ (0) exp g 1一十(171\)2、/ (0) exp g 1一十(171\)2、g = Г2г = []/(DBW+4r - DIV |/2] г> 1,
(6.6.36)
(6.6.36)
при этом
при этом
/⑶〜
/⑶〜
/ (0) exp g 1一十(171\)2、
/ (0) exp g 1一十(171\)2、
В рассматриваемом случае в (35)
Г2 = р/и0-РлООи0,
(6.6.37)
где GHo — спектральная плотность накачки, соответствующая частоте (он == 2(о10.
Согласно (36) коэффициент статистического выигрыша при фазово-модулированной накачке равен
小=盒=]/"1 +小=盒=]/"1 +D I V I \2 D\v\丿 4Г-D I V I \2 D\v\丿 4Г-(6.6.38)(6.6.38)
小=盒=]/"1 +
小=盒=]/"1 +
D I V I \2 D\v\
丿 4Г-
D I V I \2 D\v\
丿 4Г-
(6.6.38)
(6.6.38)
Определяемую выражениями (36) и (38) зависимость g и т)0 от г, /н0 и Асон иллюстрируют кривые на рис. 6.12. &5ратнм внимание на то, что эта зависимость носит совершенно другой характер,
Рис. 6.12 Зависимость коэффициента усиления g (сплошные линии) и статистического выигрыша % (пунктир) вырожденного ПУ со случайной фазово- модулированной накачкой от расстояния (а), интенсивности накачки (б), ширины спектра накачки (s).Рис. 6.12 Зависимость коэффициента усиления g (сплошные линии) и статистического выигрыша % (пунктир) вырожденного ПУ со случайной фазово- модулированной накачкой от расстояния (а), интенсивности накачки (б), ширины спектра накачки (s).
Рис. 6.12 Зависимость коэффициента усиления g (сплошные линии) и статистического выигрыша % (пунктир) вырожденного ПУ со случайной фазово- модулированной накачкой от расстояния (а), интенсивности накачки (б), ширины спектра накачки (s).
Рис. 6.12 Зависимость коэффициента усиления g (сплошные линии) и статистического выигрыша % (пунктир) вырожденного ПУ со случайной фазово- модулированной накачкой от расстояния (а), интенсивности накачки (б), ширины спектра накачки (s).
чем при амплитудно-модулированной накачке (см. рис. 6.11). В частности, согласно (38) r)oVL Отметим и следующее сходство： при расширении спектра накачки величина g стремится к постоянному значению
8тах = 4嚅н°2 , Азн》^%, (6.6.39)
которое не зависит от Асон и совпадает с аналогичным значением gmax (23) при амплитудно-модулированной накачке. Характерная полоса частот равна
А й)н =А й)н =64 咿 Gh°64 咿 Gh°j"2 Gm&x = 8Gmax 厶叫,j"2 Gm&x = 8Gmax 厶叫,
А й)н =
А й)н =
64 咿 Gh°
64 咿 Gh°
j"2 Gm&x = 8Gmax 厶叫,
j"2 Gm&x = 8Gmax 厶叫,
т. е. Асо；》As； где А(Он — полоса частот (22), соответствующая насыщению усиления при амплитудно-модулированной накачке.
Точное решение амплитудных уравнений при равенстве групповых скоростей накачки и одной из воли. Уравнения (27) имеют точное аналитическое решение при любом виде функции Лн0 (б), если групповая скорость сигнальной или холостой волны совпадает с групповой скоростью накачки [19 — 21]. Мы будем считать, что
а = 〃Н，我2 V 〃н， (6,6.4。)
и примем для простоты А = 0 ). Перепишем (27) в виде
-祖 а-^1 -u1-ы+ +^^ ай-祖 а-^1 -u1-ы+ +^^ ай+ «1)^1 —^зо (В)磅R。， /(6.6.41)
-祖 а-^1 -u1-ы+ +^^ ай
-祖 а-^1 -u1-ы+ +^^ ай
十出)02 -。30 (0)a$=0,
где
а^иУ/Вн%' ^з = VPiPh ^2>。3 (B) = W§iB2 4Ho (B).(6.6.42)
Отыскивая для уравнений (41) решение, удовлетворяющее граничным условиям
ат (/, z = O)=amo (/),т=1,2,(6.6.43)
мы воспользуемся здесь методом, основанным на введении условий (43) непосредственно в сами уравнения (41) (аналогичный прием замены начальных условий эквивалентной внешней силой рассматривался в гл. 3), Для этого перейдем в (41) к новым функциям
唱(/' z) = % (/, г) / (Z) = { }(/，г)，；北 (6.6.44)
где / (n) неииягде / (n) неиияописывает единичный скачок. Подставив (44) в (41), получим урав
где / (n) неиия
где / (n) неиия
(6.6.45)(6.6.45)(石十 Й7 ^ + ai) а^~а^ (В) as* = aio (0 6(N)，
(6.6.45)
(6.6.45)
+ ~ »十0^) a2 一030 (0)若* =a20 (f) 6 (2)>
преимущество которых перед (41) заключается в том, что их решение, совпадающее с решением (41) при г > 0, будет автоматически удовлетворять граничным условиям (43).
После замены переменных б = / — z/u^ = / — z/ult т)=/ —z/iz3.
唠 f eхp［一审"^-訂，У齐齐。，（6.6.46）
уравнения (45) примут следующий вид:
V 侖十"зи (В)若=—vfi (9) 6(9 — n),
加(6.6.47)
v~^Q~a^ (В) % = vf2 (9) 6 3 — n),
где
fm (®) ^ ат о 3) ехр 2 ^—- В, пг = 1, 2.
Из (47) можно получить уравнение, содержащее только и3:
端 + Q 3)。2 = % (9) 6 (В — п)十 f 2 (в) Дб(б-п)，(6.6.48)
в котором Q(9) = i !а30 (9) |3, %3) = — ? а$о (В)疗⑼.
Применим к (48) преобразование Фурье, полагая
88
°2("3 =翌 j。*(0)加拆，б(8-я)= 2^ j eik ^-01 dk- (6・6.49)
Уравнение (48) перейдет при этом в уравнение вида (3.1.27) для и汕：
警+嚮。*= e-叫噜+0廿 IRL【R警+嚮。*= e-叫噜+0廿 IRL【R『同,『同,
警+嚮。*= e-叫噜+0廿 IRL【R
警+嚮。*= e-叫噜+0廿 IRL【R
『同,
『同,
которое решается точно:
°2А (8)= j ^Ц^+力(0 — 比)]exp [— ik e — OJ — g/yq do”(6.6.50)
где
0
S(9,瓦)= \ Q(%)d%・(6.6.51)
Подстановка (50) в (49) дает
3(B, n)=
=^ j 眾 I 面1 F，” + % 3 一玩)]exp [/(T] +玩一0) — ^^].
—oo0
(6.6.52) Интегрирование no 々 в (52) можно выполнить в общем виде. Рассмотрим функцию
1 了 Jk^-S/ik
D(3 S) = ^~ \ -~—d瓦(6.6.53)
С помощью функции D решение (52) может быть представлено как
S(d п)=S(d п)=(6.6.54)(6.6.54),[% (В — 91) D十昭 ％ (В — 9i)j d® о
S(d п)=
S(d п)=
(6.6.54)
(6.6.54)
где B = n+Bi —В, S = S (9, %), D = D(§, S). Согласно (53)где B = n+Bi —В, S = S (9, %), D = D(§, S). Согласно (53)dD\dp |sidD\dp |si= 6(8), т. e.= 6(8), т. e.дЮdpSдЮdpSWW
где B = n+Bi —В, S = S (9, %), D = D(§, S). Согласно (53)
где B = n+Bi —В, S = S (9, %), D = D(§, S). Согласно (53)
dD\
dp |si
dD\
dp |si
= 6(8), т. e.
= 6(8), т. e.
дЮdpS
дЮdpS
W
W
(6.6.55)(6.6.55)D (P， S) = —/ (— В) Jq(2 MPS),
(6.6.55)
(6.6.55)
где Jo —функция Бессели. Подстановка (55) в (54) дает
u2(% n)= 7 (自 一n){%(叫+
十 \ S% (8 - 玩)广1/1 (X)曲 1- § % (2一瓦)/。(X)dej, (6.6.56) bb丿
где /0 (х) и /г (х) — модифицированные функции Бесселя от аргумента
2 т /f
1/ (В — П —比)］；ази (б2) |2 dB2.(6.6-57)
У0-0!
Функция и】 находится из (56) дифференцированием в соответствии с (47). Переходя от ^, 2 к ах, 2, получим решение уравнений (41) в следующем виде： 01 = e一"，%10 (9) + т
+ %。(8) е— %z J е—入％ 卜^ (0 — 00 a* (8-8J ?⑺个:"】《)+ О
十若о (В — Н］)-°，)}曲1,(G.6.58)
0a=е-“％2о(通十-
+ ?—а/ § @—入色卜兜侬—9i) — Л (-^) + ^30(^—^Jа^0 (6一8J °W"l (6.6,59) о
где Х = (а2—«i)/v, T = vz.
При постоянных начальных амплитудах выражения (58) и (59) переходят в (6.5.16) Для простоты ограничимся случаем а^ —0. При этом согласно (6,5.16) и с учетом нормировки (42) имеем
。2 (2)=的战备 sh Гз/Г,Г = ' Азо |.(6.6.60)
С другой стороны, при am0= const формула (59) дает г
a2(z)=e—%zE^b § e-'^'Io (^ М(Т —比)力)d* о，
Если перейти к интегрированию по углу ф, связанному с 比 соотношением 91 = (Т/2) (l-|-cos ф), то получим
& (2)=。30。咨2 exp［一g 口2+a1)力 X
Л/2
X \ ch 2 (^2 — ai) г cos ф /0 (Гг sin ф) sin tp dtp =
(ГР, с. 757). или (ГР, с. 980)
Г 1Isin и1/2
% (%) =ехр I- — (а】+ а2) г| —^
*Г 1 / I \ ]sh 了「2十 @2 —《1)2/4 z 心
=%。啼 eXP 卜 5 旧 + aJ 寸 吓+(吋*/4 •М6)
В случае среды без потерь (at = а2=0 — формулы (6.5.16), из которых следует (60), были получены при этом предположении) (61) совпадает с (60).
Независимость усиления от ширины спектра иакачки. Используем (58) и (59), чтобы выявить основные особенности параметрического усиления воли при иемонохроматической накачке. Сравним два случая：
иакачка промодулироваиа только по фазе (или частоте): 4Ho (8)= =М^洞恥&；_
иакачка монохроматическая: 4 Ho = М / но*
Будем считать, что интеисивиость иакачки /^ в обоих случаях одинакова, усиление велико (Гг >> 1, Г = М瓦瓦匸工 а линейные потери отсутствуют (ах = а2 = 0). Принимая во внимание нормировку (42), находим из (58)
額，抑⑼=《6)=^ j 4ое—玩)2 勺％)А(х)巡,(6.6.62) где х=^ М(Т —&) h Как следует из (62), иитеисивиости воли на выходе ПУ в обоих случаях одинаковы. Учитывая результаты, полученные для ПУ с монохроматической накачкой (см., в частности, (6.5.39) и (6.5.40)), находим, что в обоих случаях
(4看)0(4砧〜产。
Таким образом можно сделать вывод, что, несмотря иа расширение из-за модуляции частотного спектра накачки, создаваемое ею усиление ие изменилось.
К такому же результату можно прийти и в случае накачки, модулированной произвольным образом (по амплитуде, частоте или фазе), если ее спектр достаточно широкий:
А8нА А①пу,(6.6.63)
где А①пу—полоса пропускания ПУ с монохроматической накачкой, эквивалентной шумовой по средней иитеисивиости. Для этой полосы были получены формулы (6.5.40) и (6.5.43). Выполнение условия (63) необходимо для того, чтобы в формулах (58) и (59) можно было пренебречь флуктуациями величины х (аналогичный вопрос в теории вынужденного комбииациоииого рассеяния света при иемонохроматической накачке рассматривается в § 4 гл. 8).
Эффект повторения спектра и модуляции иакачки. Как следует из (52), ширина спектра волны 4「)ие превосходит А①口炉
厶瞰£ А^пу.
Если переписать (62) в виде
4，)=Л1|в)е'№°,〜《0 (в) 4”
УСИЛЕНИЕ ВОЛН ПРИ НЕМОНОХРОМАТИЧЕСКОЙ НАКАЧКЕ 461 то можно заключить, что при достаточно широкополосной накачке, когда выполнено неравенство (63), амплитуда 4，)представляет собой произведение быстро изменяющейся во времени функции Лн0 (6) на относительно медленную функцию《〃 Но при этом частотный спектр《')будет иметь примерно
Рис. 6.13. Спектры воли иа выходе параметрического усилителя при узкопо- ло<ной (а) и широкополосной накачке (6) (ср. с рис. 8.12)
такую же форму, что и спектр накачки, и, в частности, ширина спектральной линии у сигнальной волны будет такой же, как у накачки:
А(о,)я» А(Он十厶①豊弋A%.
Для холостой волны Д2 получается другая оценка. Ее спектр слабо реагирует на расширение спектр а иакачки и остается узким:
A%三A①nу.
Таким образом, в процессе параметрического усиления та из волн, которая распространяется с групповой скоростью, близкой к скорости иакачки, воспринимает ее спектр (рис. 6.13)
Взаимодействие встречных волн. Приведенные результаты соответствуют ситуации, когда расстройки групповых скоростей для сигнальной и холостой волн сильно различаются по величине:
|vih i <| v2H I,(6.6.64)
V1h =v2h (6.6.65)
辽1 Ua«2
Ясно, что неравенство (64) всегда имеет место, если волны бегут в противоположных направлениях. Для попутной волны при этом v1H = I/% — 1/〃н，а для встречной v2H = 1/〃？+ l/uH. Поэтому можно ожидать, что широкий спектр накачки будет повторяться в спектре попутной волны, а спектр встречной волны будет оставаться узким. Такая картина действительно наблюдалась ^ксперимен-
(6.6.66а)(6.6.666)(6.6.67)(6.6.68)(6.6.69)(6.6.70)(6.6.71)(6.6.66а)(6.6.666)(6.6.67)(6.6.68)(6.6.69)(6.6.70)(6.6.71)
(6.6.66а)
(6.6.666)
(6.6.67)
(6.6.68)
(6.6.69)
(6.6.70)
(6.6.71)
(6.6.66а)
(6.6.666)
(6.6.67)
(6.6.68)
(6.6.69)
(6.6.70)
(6.6.71)
тально [15]. Теория встречного и попутного взаимодействия немонохроматических волн с учетом нелинейных эффектов рассматривалась в [16].
Фоккер-планковское приближение в теории волновых процессов [23]. Анализ вырожденного ПУ показал, что при определенных условиях (заметим, разных для амплитудно-модулированной и фазово-модулированной накачки) комплексную амплитуду волны накачки ЛнО(0) в укороченных уравнениях (31) можно считать 6-коррелированным процессом. Это обстоятельство наводит на мысль сразу принять для накачки 6-корреляцию, т. е. использовать для анализа параметрического волнового взаимодействия так называемое фоккер-планковское приближение (см. § 7 гл. 1).
Будем исходить из уравнений (31):
"+ ^г 绘+=国4。⑼為 е- AZ,"+ ±争+屮2 =瓦4。⑼费e一"
считая накачку 6-коррелированной и стационарной: (ЛНО(0)>=0, </но(б)ЛнО(0 + т)>=О,
<дн0(е)д*0(е+т))= 2лОн0б(т).
Перейдем в (66а) к переменным
%— z/〃l 0 =/ — z/〃h,
а в (666) к переменным
小—z/〃 2，8 = / —z/〃 н・
В результате получим
祭+ 5 =々人。⑼関eхр[一毁?， 祭+ ^4 = ^4。⑶関 expi-^^j, где'
Используя (70), по обычным правилам находим компоненту Ль коррелирующую с ЛнО(0) (см. (1.7.20)):
в
А"=与岗е—'AZ , 4°ei)d&.(6.6.72)
В зависимости от соотношения между групповыми скоростями и 〃導 может быть т]*>8 (при этом vx<0) или гц < е (при этом
Vj ^> 0). Мы автоматически учтем это обстоятельство, записав (72) в виде
=芸力能一，az4,o, A^^A^^^dG,(6.6.73)
и считая, что нижний предел интегрирования в (73) всегда меньше 0. Как следует из (73) и (67),
(Л,ЛнО(6)> = <Л<к，А1о(9)) = О,
〈&幽。(6)) =〈&к 吮。(б)> =弋 A?e-i^GH0.(6.6.74)
Аналогично доказывается, что
(Л2Л„о(9)) = О, 〈4/^(0)〉=缶掰e-MznGH。.(6.6.75)
Средние (74) и (75) описывают корреляцию комплексных амплитуд с накачкой в одной и той же точке пространства и в совпадающие моменты времени. Подобным же образом можно определить корреляцию с накачкой величин, квадратичных, кубичных и более высокого порядка по амплитудам 4 и 儿・
Рассмотрим, например, квадратичные комбинации амплитуд. Используя (70) и переменные 0, т]г и Лг» нетрудно получить для них уравнения (厶,2 = I 4,2 F — интенсивности волн)
竊+ 2^/|=§(44j*L，Az4°e)h + K.c.,
幫 + 2，2 =与儿。⑼(414)* L' AZ人。⑼ In, + K.C.,
醬 + 管 + S)44 =河lз4。(0儿+"/44。(»М из которых непосредственно следует, что
/洋=L'Az4o+k.c.,
直=嘉中5办2底o+k.c., 丨v2 !
(44)(。= (吕"侬+告 3弓篇。，
а значит,
〈厶4 标(©)〉=^^А*е~\^Сн0,(6.6.76а)
〈厶看 o(d)〉=焉布X'AznGHO,(6.6.766)
Уравнения для средних амплитуд и средних интенсивностей [23, 25]. Если статистически усреднить (66) и затем учесть соотношения (74) и (75), то мы получим замкнутую систему уравнений относительно первых моментов, т. е. средних амплитуд волн:
" + /" + (%— 嚟叫。)4= 0,• (6.6.77а)
(6.6.776)и уравне-(6.6.78)(6.6.776)и уравне-(6.6.78)第+ 〃:警+ (电一時叫№"
(6.6.776)
и уравне-
(6.6.78)
(6.6.776)
и уравне-
(6.6.78)
Используя (76в), подобным же образом можно найти ния для средних интенсивностей:
з/訪a/2一&з/訪a/2一&1。厶丄「9” Re(₽i₽t) 2^но 1 z 一 6#2^н“
з/訪a/2一&
з/訪a/2一&
& dt 十 1广网 口^J1 — -— %，
]。厶[I 2%Re (BiB£) 2jxGh；)] / = “ ,2 2jxGho /
Заметим, что в полученные уравнения для средних не вошла волновая расстройка А. Как следует из вывода, уравнения (77) и (78) остаются справедливыми и в том случае, когда спектральная плотность накачки Gh0 не постоянна, но меняется со временем:
(6.6.79)(6.6.79)GhO = Gho (6),
(6.6.79)
(6.6.79)
т. е. если накачка является нестационарным белым шумом, например, имеет вид шумового импульса.
Рассмотрим стационарные решения уравнений для средних. Для простоты будем считать, что линейные потери отсутствуют (包1.2 = °) и постоянные взаимодействия 0】и Р2 вещественны. Согласно (77)
Л1(г) = Л10ехр(Г1г), :°(6.6.80)
Д2(г) = Л20ехр (Г2г),厶=邑嘗吗
Мы видим, что сильнее усиливается амплитуда той волны,.групповая скорость которой больше отличается от скорости распространения накачки. Этот на первый взгляд странный результат станет понятен, если учесть, что усиление данной волны создается за счет взаимодействия накачки с другой волной, скорость которой в этом случае как раз оказывается более близкой к скорости накачки. Уравнения (78) для средних интенсивностей приводятся к виду (6.5.20):
/1 = %丿 1 + Ct12/2.厶=&/1 + Ct22^2*(6.6.81)
где штрих означает дифференцирование по г и
%i = PiPa^^Gno/i v2 I， ai2 = Р12ябно/! Vi I，
吃1 = Bg2jiGho/： v2 I， %2 = PiPq^^Gjjo/1 Vj |«
Используя (6.5.21), находим
(6.6.82)(6.6.83)(6.6.82)(6.6.83)厶⑵"。稻+/?右爲
(6.6.82)
(6.6.83)
(6.6.82)
(6.6.83)
厶⑵=А。^^ * + /гоТ^Г ' где
^ = |^|»「= PiP22nGH0(р^- + ^у) = 2(F] + !%)•
Таким образом, шумовая накачка (67) типа оптического белого шума создает в ПУ экспоненциальное пространственное усиление, коэффициент которого линейно зависит от г и от спектральной плотности накачки.
Как и следовало ожидать, в случае вырожденного ПУ (v1 = v2 = v, В丄= 02 = В) определяемое формулой (83) усиление
(6.6.84)(6.6.84)g=Fz = ^^z
(6.6.84)
(6.6.84)
совпадает с (23) и (39).
Корреляционные функции и спектры. Используя модель 6-кор- релированной накачки, можно найти также корреляционные функции сигнальной и холостой волн и соответствующие спектры [31].
Пусть 4g = 0 и Л2О=0=О. В этом случае согласно (80) и (82)
4 = 0, /] (z)==厶。患 1 工门，(6.6.85)
а корреляционная функция имеет вид
В1(т)==〈4(/' z)衝(% + т,之)〉=
'T| <г| vx|, m>£【vj'T| <г| vx|, m>£【vj(6.6.86)(6.6.86)(/ щ sh [Г Q—I t/v「)/2] =J 丿 sh (Гг/2)―
'T| <г| vx|, m>£【vj
'T| <г| vx|, m>£【vj
(6.6.86)
(6.6.86)
I 0,
Используя (86), находим время корреляции амплитуды 4】
J当⑴加=芈^^^^(6.6.87)
0
и ее спектральную плотность
Gi(s) =段 J Bi (丁) е^т di =
(6.6.88)(6.6.88)=‘1 ⑵ Г ch (Pz/2) —costoz M i
(6.6.88)
(6.6.88)
一石|Vi|sh(rz/分 f/1 V]:2产 +(02 —•
Ширину спектра (88) можно оценить как
А 2 _ Г sh(「z/2) f 2/z 卜「2 胃1, •厶例 F =^ГЖ^1 4 i F/E I，Гг >1.
Согласно (88) и (89) с увеличением г полоса Да)1 уменьшается и стремится к не зависящему от г значению
a"「三=^^(* +击)(%》2). (6.6.90)
При этом форма спектра Gx (со) приближается к лоренцевской:
G，3)=綜器爲 (”2).(6.6.91)
Некогерентные r иогофотонные параметрические процессы [32]. Исследование параметрических процессов представляет интерес в связи с проблемой создания генераторов света 、плавной перестройкой частоты. При многофо- тониом параметрическом взаимодействии, когда
①1 ~Н ① 2 ^=々①Н，左—2, 3,,
диапазон изменения частот со】и(о2 наиболее значителен:
0 V со2 V左①н/2 V①1 V左а)н・
В приближении заданного поля накачки многофотониый параметрический процесс описывается системой уравнений
+(8) л*- >e-iAZ, (6-6-92)
в которых 巴(8)=羅0(8), При использовании источников накачки ультрафиолетового или рентгеновского диапазона, когерентность которых невелика, процесс Е можно считать оптическим белым комплексным шумом, полагая
〈Е〉= о，〈生т〉=0，〈比»=С6(т).
Корреляционная постоянная С определяется из соотношения
С= f <[Лно(в) Лно(6 + т)]*></т.<6.6.93)
Для гауссовской шумовой накачки,
ОО
C = k\ \ в"。(т) di, 综。(т) =〈"но(')Во(' +6〉(6.6.94)
(см, (2,4.54)). В частности, если спектр накачки лоренцевский, то Вн0 (т)= 二厶产―"Е и согласно (94)
с=%^ % = 2/ (й-1)! D及一七片 1,(6.6.95)
где ОнС——спектральная плотность накачки на средней частоте юн. При k= 1 согласно (95) С = 2aGn!l в соответствии с (67).
Полученные ранее соотношения (74) — (9；) полноегью применись： для описания многофотонного процесса, если в них заменить 2aGH0 на С.
§ 7. Параметрические генераторы света
Рис. 6,14. Схема двухрезонаториого (а) и однорезонаторного (б) параметрического генератора света.Рис. 6,14. Схема двухрезонаториого (а) и однорезонаторного (б) параметрического генератора света.Взаимодействие волн в резонаторе. Проведенный в §§ 5, 6 анализ параметрического взаимодействия воли в открытом пространстве показал, что для эффективной перекачки энергии необходима достаточно длинная область взаимодействия или мощная накачка. Лишь при выполнении этих условий может быть получено большое усиление д>1；(6.7.1)
Рис. 6,14. Схема двухрезонаториого (а) и однорезонаторного (б) параметрического генератора света.
Рис. 6,14. Схема двухрезонаториого (а) и однорезонаторного (б) параметрического генератора света.
напомним, что при монохроматической иакачке
g = W81B2/н； L, (6.7.2а) а при случайной накачке
0 0 ₽1₽22яСн0 (ц + ~~т \ L 1 v2 I/
(6.7.26)
(см., например, (6.5.17) и (6.6.83)).
Для получения эффективного параметрического преобразования при ма
лых усилениях, д《1, нелинейную среду помещают в оптический резонатор (рис. 6.14), зеркала которого хорошо отражают излучение на частотах ①】，д. В этом случае мы имеем дело с оптическим генератором с обратной связью; введение последней существенно меняет структуру полей на частотах ①》 ю2
Отражаясь от зеркал, волны проходят через нелинейную среду не один раз (как это было в открытом пространстве), а примерно
раз, где R — коэффициент отражения, предполагаемый близким к единице； Соответственно эффективная длина взаимодействия волн с накачкой будет при этом значительно больше длины резонатора L:
При этом для получения высоких к. п. д. генерации достаточно небольшого усиления g《1 •
Устройства, в которых параметрическое возбуждение колебаний на частотах (о】и (о? происходит в нелинейной среде, помещенной в резонатор, назы~ ваются параметрическими генераторами света (ПГС) [24, 26]. В зависимости от того, сколько из трех частот ①力 ①乞 и юн отражается зеркалами, говорят об одно-, двух- или трехрезонаторном ПГС.
Преобразование уравнений. Допустим, что амплитуды Л — Ль Л2, резонирующих волн и амплитуды ... волн полностью пропускаемые зеркалами (нерезонирующих), описываются уравнениями общего вида (6.5,11)
или (6.5.18):
(土历 + £ 齐 + а，(==3 (4 /Г),(б.7.3а)
(± 我 + "石 +" j尿("，")，(6.7.36)
где « — групповые скорости, а — коэффициенты потерь, /л и fm —некоторые нелинейные функции амплитуд.
Нелинейные уравнения в частных производных необходимо решать с учетом отражения на зеркалах. Эта сложная задача, поддающаяся лишь численному решению, значительно упрощается, если сделать следующие предположения:
4 н 4’ пренебрежимо мало меняются за времена порядка времени пробега волн через резонатор; это значит, что можно пренебречь эффектами запаздывания;
амплитуды резонирующих воли Л мало изменяются по длине резонатора.
Эти условия, соответствующие резонаторам с хорошо отражающими зеркалами и ие слишком мощному и достаточно длинному импульсу иакачки, позволяют свести (3) к значительно более простым уравнениям, содержащим лишь производные по времени [33].
Условие (а) позволяет пренебречь в (36) производными dAm/dt. а условие (б) — считать амплитуды резонирующих воли (ио ие их производные по z) не зависящими от z. Таким образом, (36) можно заменить стационарными урав- иеииями
土历 + aj 4团=fm (4 Л ),(6.7.4)
из которых амплитуды 4 находятся как функции z и Л:
4 = 4 (z, Л).(6.7.5)
В силу условия (б) амплитуды Л входят в (4) и (5) как параметры, зависи- щие только от времени. Подставив этот результат в (За), получим
[土 М + 广五 + а, 4[4 屋(z. Л)].(6.7.6)
Поскольку зависимость Ап от z несущественна (см. (б)), то ее удобно вообще исключить, усредняя (6) по области OvzvL между зеркалами резонатора. Окончательный вид уравнений для амплитуд Ап будет следующий:
± 4 (L)i"(Q + 金房 4+3. =f. (4),(6.7.7)
где Fn (Л) = ~ J fn [A, % (z, Л)] dz. Разность An (L) — An (0) следует выра- o
зить через j], Я2, ... с учетом граничных условий конкретной задачи.
Двухрезонаториый параметрический генератор света (ПГС) с немонохроматической накачкой. Рассмотрим двухрезонаториый ПГС (рис. 6.14, а). Зеркала отражают в этом случае на частотах % и юа, а волна накачки свободно про-
ходит через зеркала резонатора (в генераторе с обычным — не кольцевым —резонатором стоячие волны на частотах 0)!， о)2 взаимодействуют с бегущей волной накачки). Для описания такого взаимодействия вместо уравнений для комплексных амплитуд трех бегущих в одном направлении волн рассмотренных в предыдущем параграфе, следует записать пять уравнений, описывающих поведение волн 4t ? иа частотах ①卜 ю2> бегущих в том же направлении, что и иакачка, волн Лр, 2, бегущих в обратном направлении, и
волны накачки 人：дгволны накачки 人：дг*)墻^ + a3 3=61. 2ЛН^r1.甘隐入=0，*)墻^ + a3 3=61. 2ЛН^r1.甘隐入=0，(6.7.8а)(6.7.8а)(6.7.86)(6.7.86)曲曲6н*"・6н*"・(6.7.8в)(6.7.8в)
волны накачки 人：
дг
волны накачки 人：
дг
*)墻^ + a3 3=61. 2ЛН^r1.
甘隐入=0，
*)墻^ + a3 3=61. 2ЛН^r1.
甘隐入=0，
(6.7.8а)
(6.7.8а)
(6.7.86)
(6.7.86)
曲
曲
6н*"・
6н*"・
(6.7.8в)
(6.7.8в)
Для простоты мы ограничились здесь рассмотрением ПГС с кольцевым резонатором (рис. 6.14); в этом случае обратные волны распространяются вне нелинейной среды и в правые части уравнений (8) амплитуды 4[, ? не входят. Мы не будем также учитывать линейные потери по накачке, считая их пренебрежимо малыми (ан=0).
С учетом условия (б) уравнение (8в) можно переписать как
^ = -₽нЛМ^-ММ2.(6.7.9)
где 4] и Л2 зависят только от f. Интегрируя (9), мы получим
ЛН(Л г) = Лн.(6.7.10)
где Лн0 (/) —заданная функция времени — амплитуда накачки на входе ПГС. Подстановка (10) в (8а) дает
^^ + (^厂)~^~+出川="Мно (f) — Рн^4M2z] Л|, (6.7.1 la)
一吟 + 廿+ ；)喻+出"；=6(6.7.116)
где иа основании (а) считаем 8 = /.
При отражении от зеркал происходит изменение знака амплитуд (фазы меняются на 冗),так что в (11) везде, кроме членов с производными по 2, можно положить Л^^ Аъ Л7 % —Лг. В результате уравнения (11) примут ВИД
^^_+网力1=81 [^но (0 — pH^1^2Zl "，
—ч}-I —X5 ^- "14 = 0.
В зтих уравнениях можно вообще исключить зависимость от 乙 усрс^ннв их по длине резонатора, что эквивалентно переходу от (6) к (7). Сложив затем
оба уравнения, получим
4回川中⑷一g。)+ I ^+2aMi = pi I 及⑺ f44 j]".
(6.7 12)
Пусть Rm — коэффициент отражения волны с частотой ю/ от зеркала Мд. Тогда в (12)
4； (L) * 4, Л; (0) а — 4，А^ (0) = — Ris占(0)弋 ％з4,
公(L) = ■-/?12/:(L) Q - /?12/1, так что
(6.7.13)(6.7.14a)(6.7.146)(6.7.13)(6.7.14a)(6.7.146)川(L) — 4扌(0) + 4f (L)—右(0)〜2 —Ri2 —Ris /
(6.7.13)
(6.7.14a)
(6.7.146)
(6.7.13)
(6.7.14a)
(6.7.146)
Подставив (13) в (12), получим
274+4=2一区「玄+位工回("呼4闻制，
Аналогичным образом можно преобразовать и уравнение (86):
27乩+ e 2 -%」之布电[人。("辱4闻件
В (14) точка означает дифференцирование по времени, времена релаксации равны
' = 2 —Ra—Ris+2aiL'厶
Амплитуда накачки внутри резонатора дается выражением (10), в которое нужно подставить 4 и Л2> найденные из (14).
Как следует из (14), генерация может возникнуть лишь при условии, что интенсивность накачки превысит пороговое значение, равное
(—(2— Rii — R13 + 20C1L) (2 — R?i — R23 + 20C2L)
порпорB1BQ
пор
пор
С целью дальнейшего упрощения (14) будем считать зеркало Af§ (рис. 6.14) идеально отражающим (©§=1), обозначим Rr = Ri и пренебрежем активными потерями волн (а； = 0). Учтем также, что уравнения (14) написаны для амплитуд Л, волн внутри резонатора. Вне резонатора волны, выходящие через зеркало Mlt будут иметь амплитуды А界х。/ i_r；& и 4『x = j/' i—R；/..
Нормируя 4；胃 на пороговую интенсивность накачки, перейдем в уравнениях (14) и (10) к относительным амплитудам
°1 = "т——"1，У /пор°1 = "т——"1，У /порГЛ] — 021。2=7^="/金， 固(/)=|<^~ /h0 (/)•ГЛ] — 021。2=7^="/金， 固(/)=|<^~ /h0 (/)•
°1 = "т——"1，У /пор
°1 = "т——"1，У /пор
ГЛ] — 021
。2=7^="/金， 固(/)=|<^~ /h0 (/)•
ГЛ] — 021
。2=7^="/金， 固(/)=|<^~ /h0 (/)•
Учитывая также, что 0『〜(Dj (см. (8.1.21)), получим
2rmi+。1 =2rmi+。1 =2Tad2 + a2 =2Tad2 + a2 =因G)因G)4 (/)—4 (/)—&仏k"。（"了款2「%&仏k"。（"了款2「%(6.7.15a)(6.7.156)(6.7.16)(6.7.15a)(6.7.156)(6.7.16)
2rmi+。1 =
2rmi+。1 =
2Tad2 + a2 =
2Tad2 + a2 =
因G)
因G)
4 (/)—
4 (/)—
&仏k"。（"了款2「%
&仏k"。（"了款2「%
(6.7.15a)
(6.7.156)
(6.7.16)
(6.7.15a)
(6.7.156)
(6.7.16)
Рассмотрим с помощью (15) и (16) некоторые характерные режимы работы ПГС.
ПГС с монохроматической накачкой. Согласно (15) и (16) в стационарном режиме генерации при немодулированной накачке интенсивности волн /7 = =i 勺『постоянны и равны
/；=翁(厂蔼―1),/； = ^(РХ —1),(6.7.⑺
/； (L) = | Qh (L)『=(2 — M/hq) •(6.7.18)
При этом к. п. д. параметрического генератора будет равен
乌幺4 嗯(6.7.19) /но/но
Зависимость 刀 от превышения накачкой порога показана на рис. 6.15, а (кривая /). При /；о = 4 величина к. п. д. достигает 100%, а интенсивность излу-
Рис. 6.15. Двухрезонаторны;! ПГС (схема с Q?i> 1) [34].
а) Завнснмость к. п. д. генерации п от /；° прн одномодовой(/) н многомодовой. N = П (2) накачке: 6) спектры генераиин прн многомодовой накачке.
чения накачки на выходе ПГС /н (L) обращается, соответственно, в нуль. Заметим, что интенсивность накачки равна при этом
/ —4/—4(1—Ri)(l —&)
/刖一4/пор-₽ip2L2•
при отсутствии зеркал такая накачка могла бы создать лишь незначительное усиление:'
9 = /₽1₽2/пор и = 2 У(l-ROa—Rj《1.
ПГС с многомодовой накачкой. Рассмотрим теперь более общий случай, когда амплитуда иакачки на входе двухрезонаторного ПГС определяется вьь ражением
Оо (/)=丿颠 2 а« ехр iQnt, Q《Q^3lb,(6 7.20)
в котором F (/) —функция, описывающая форму импульса накачки, £2рез(/) —интервал между собственными модами резонатора вблизи частоты о)/, i •= 1, 2 (см. (54)). Рассмотрим режим генерации, кома на одной из часют, напримор «!，спектр генерации значительно уже, чем спектр накачки (20) (рис. 6.15, б).
Проанализируем сначала стационарный режим, полагая в (20) F— 1 Решение уравнений (15) в этом случае можно представить как
(6.7.21)(6.7.21)啞，)=£ain exp iQM, i= 1, 2.
(6.7.21)
(6.7.21)
Узкий спектр генерации, например, на частоте ①】можно получить, если сделать достаточно большим соответствующее время релаксации:
ЛЙ>1.ЛЙ>1.(6.7.22)
ЛЙ>1.
ЛЙ>1.
При выполнении этого условия в спектре % будет существенна лишь одна мода:
“1 (0 5^6X10 = const.
Усреднив (15a) по периоду межмодовых биений (это усреднение обозначается волнистой чертой), мн получим
откудаоткуда(Dy福a】。0^，(Dy福a】。0^，_ г— ---^ ^^aю=十他2_ г— ---^ ^^aю=十他2/6=百蒲./6=百蒲.(6.7.23)(6.7.23)
откуда
откуда
(Dy
福a】。0^，
(Dy
福a】。0^，
_ г— ---^ ^^
aю=
十他2
_ г— ---^ ^^
aю=
十他2
/6=百蒲.
/6=百蒲.
(6.7.23)
(6.7.23)
略4)G),略4)G),订也+ [1+諾〈I “2 =订也+ [1+諾〈I “2 =Согласно (25)Согласно (25)Из (24) также следует, чтоИз (24) также следует, что2〃 1卄2〃 1卄H①2/5 4泳5H①2/5 4泳554(0]54(0]乂 +iQ/i2T 2乂 +iQ/i2T 2者 /；) +(Q〃2W者 /；) +(Q〃2W(((а*оОоа2* + к. с.).(а*оОоа2* + к. с.).6%4(Oi6%4(Oi(6.7.25)(6.7.25)(6.7.26)(6.7.26)(6.7.27)(6.7.27)
略4)G),
略4)G),
订也+ [1+諾〈I “2 =
订也+ [1+諾〈I “2 =
Согласно (25)
Согласно (25)
Из (24) также следует, что
Из (24) также следует, что
2〃 1卄
2〃 1卄
H①2/5 4泳5
H①2/5 4泳5
5
4(0]
5
4(0]
乂 +iQ/i2T 2
乂 +iQ/i2T 2
者 /；) +(Q〃2W
者 /；) +(Q〃2W
(
(
(а*оОоа2* + к. с.).
(а*оОоа2* + к. с.).
6%
4(Oi
6%
4(Oi
(6.7.25)
(6.7.25)
(6.7.26)
(6.7.26)
(6.7.27)
(6.7.27)
Подставив (23) в (156), получим для а2 уравнение
(6.7.24)
из которого можно найти связь между коэффициентами ап и а2п в (20) и (21)：
(6.7.28)(6.7.28)Комбинируя (23) и (27), получим соотношение Мэнли —Роу: 厶/① 2= /I/S1； подставив (28) в (26), получим уравнение
(6.7.28)
(6.7.28)
ГГ1+拱-+(Qn2T2)'1+拱-+(Qn2T2)'(6.7.29)(6.7.29)
Г
Г
1+拱-+(Qn2T2)'
1+拱-+(Qn2T2)'
(6.7.29)
(6.7.29)
которое вместе с (28) в неявной форме определяет интенсивности 1{ и /厶 генерируемых волн.
При /[ = 0 соотношение (29) принимает вид
1 к I т4瑞嚼彳(6.7.30)
и определяет порог генерации. Из (30) видно, что пороговая интенсивность многомодовой накачки зависит от расстояния Q между модами, времени релаксации Т2, а также от распределения интенсивности накачки по отдельным модам, т. е. от формы ее спектра. Поскольку
=2 а 0 2,1+Iq"^产
то
/пор = £ I % |пор 三 1,
т. е, порог генерации при многомодовой накачке всегда выше, чем при одномодовой.
Предположим для простоты, что число мод равно N н нх интенсивности одинаковы. Тогда (29) можно переписать как
(6.7.31)(6.7.31)(6.7.32)(6.7.32)
(6.7.31)
(6.7.31)
(6.7.32)
(6.7.32)
Из (28) и (31) находим
ШНWH
(6.7.33)(6.7.33)и
(6.7.33)
(6.7.33)
/но/нО
Эти выражения показывают, что при прочих равных условиях к. п. д. генерации при многомодовой накачке меньше, чем при одномодовой. Однако с ростом /но величина е стремится к единице, так что при больших мощно стях накачки многомодовый состав ее спектра не влияет на величину к, п. д. При уменьшении расстояния между модами Q происходит, очевидно, снижение порога и рост к. п. д. (рис. 6.15, а).
Нестационарная теория генерации — учет формы импульса миогомодовой накачки. В общем случае F (/)柒 1 амплитуды генерируемых волн ищем в виде
% (0 =。10 О ^2 (0 = ^] Огп (0 ехр 沁献.
считая а10 (/), а2п (О н F (/) функциями времени, медленными по сравнению с exp iQS Согласно (156) теперь
@2〃 (0 *(6.7.34)
1+鼠/:(/)+必 27\
и уравнение (15а) принимает вид
2Ti^io + 4g = М й)1/й)2 “皿^ —(①н/4(й2)/； (') “io,(6.7.35)
где волнистая черта по-прежнему означает усреднение только по относительно быстрым межмодовым биениям.
Как следует из (34),
口。若=Мз"5 F «)а10 w £ 1+ (Wh/^i) rt\t)-iQn2Tt'
厶⑴若尸(0 /； (0 工 °%，(6736)
так что (35) межно переписать в виде
271®ю + alo^ 尸“1» I7：~
1+鼠/2A
—т ^ &，乂 2 7И_•(6-7.37)
个1+訳+9"27/
После несложных преобразований получим следующее уравнение для /；:
Т^ + 1'^F (/) /； У ..(6.7.38)
亍+沫+(Q"2%)2
Если 尸(/)=1, то (32) переходит в (29). Согласно (32) в случае одномодовой накачки форма импульса генерации описывается уравнением
т嗇+ /； = 7,(6.7.S9)
.
в котором функция /но (0 дает мгновенное превышение импульсом иакачки стационарного порога.
Результаты интегрирования уравнений (38) и (39) на ЭВМ при различном числе мод накачки и гауссовской форме ее импульса
F (/)= ехр [ — (f— /0)2//имп ](6.7.40)
приведены на рис. 6.16■
Олпорезонат(»рнь!й ПГС с иемонохроматической накачкой. В этом случае зеркала отражают лишь волну па частою ⑴厶(рис. 6,14,6). Поступая так же,
как при анализе двухрезонаторного ПГС, получим уравнение
2rMi+4 =
8]/【IQ (f) 2юНЛ? 1-/?14-2^l
siM (M 丽TD，
(6.7.41)
При малых 4 (41) можно перепиПри малых 4 (41) можно перепи
При малых 4 (41) можно перепи
При малых 4 (41) можно перепи
в котором /「【А", A = t=r + 2ZZ；・
сать в виде линейного уравнения
2Mi+ 1-
阮氏/刖（f） u
(6.7.42)
2(1-R + 2(ZiL)
]4=0,
Рис. 6,16. Форма импульсов: накачки иа входе (/) и выходе (2), волн 他 (5) и 耽(《)при различном числе N мод в спектре накачки [35]:
а) 1; 6) 7: в) 11 (/^0 та№^> RT2H。，7，、匸？％)*
в случае однорезонаторного ПГС равна
『2(1-R + 2%L)
(6.7.43)
Остальные амплитуды выражаются через Лг = Л, (/)： 4H (乙 z) = 4hq(，)8sJ'62，/iZ,
力2 （'，Z）=
央 4H0(/)sin ГЖГг
(6.7.44)
(0 Vz vL)・ мированным
Переходя в (41) и (44) к амплитудам на выходе ПГС (z = L), норна /пор*
получим
1 — мт~ *У ' пор
4_ /八_/h0 ⑴
27\血1 +鱼
5 a⑴I
sin2
5盟，
01 2 L,
(67.45)
ан (0 —。0 (f) cos
/5
Интенсивности /；=]%『 можно выразить через функцию х, удовлетворяющую уравнению
Тхх + х= % (0 sin2 Нё,(6.7.46)
а именно:
/； = ~Х,厶=籌 ％ (f) Sin2 МВ /н«) = 〃<>(/) cos» 娱；(6.7.47) здесь /но (f) = | % (f) I". Для к. п. д. генератора имеем
n=21_tZ£ = sin»/J.(6.7.48)
7 но
Согласно (48)刀=100% каждый раз, когда величина х принимает значение л2/4. Как видно из (46), в стационарном режиме генерации при монохроматической накачке этому значению х соответствует /^0 = ла/4 (рис. 6.17). Для однорезонаторного ПГС характерен эффект насыщения: при больших /二。величина х перестает зависеть от /储
尤0"(4。》0-(6.7.49)
Рассмотрим теперь процессы в ПГС при импульсной многомодовой накачке, т. е. когда в (46)
Z；o(O = f(O2/»,mexp iQmt.(6.7.50)
В одномодовом случае при гауссовской форме импульса накачки
F(f) = exp[—(/ —份/冬 mJ(6751)
Рис. 6.17. Зависимость стационарного к. п. д. т] однорезонаторного ПГС от /но-Рис. 6.17. Зависимость стационарного к. п. д. т] однорезонаторного ПГС от /но-Импульсы генерации имеют вид, показанный на рнс. 6.18. Для сравнения приведен также симметричный импульс волны со】 (пунктир), соответствующий стационарному режиму генерации (&мп》 》7\). На этом рисунке заметна асимметрия между передними и задними фронтами импульсов, характерная для нестационарного режима генерации (в данном случае £цмп=137\).
Рис. 6.17. Зависимость стационарного к. п. д. т] однорезонаторного ПГС от /но-
Рис. 6.17. Зависимость стационарного к. п. д. т] однорезонаторного ПГС от /но-
При многомодовой накачке йас может интересовать, например, получение узкой линии генерации при щироком спектре накачки. Этого можно добиться за счет достаточно большой инерционности резонатора, выбрав время релаксации Т1 так, чтобы удов ле тв оря л ось условие Q7\》1. На рис. 6.19 показан
результат решения на ЭВМ уравнения (46) в случае трехмодовой накачки при двух значениях параметра Q7\. Видно заметное уменьшение глубины модуляций волнй со, при увеличении параметра Q7\ в пределах 3 < QTx < 20; глубина модуляций нерезонирующей волны со2 меняется прн этом незначительно,
Аналогичньь! результат может быть получен при любой величине Q7\, если взять достаточно мощную накачку (/[()> 1)， что связано с упоминавшимся эффектом насыщения.
Рис 6 18. Форма импульсов генерации в однорезонаторном Г.ГС при моно-хроматической накачке [36]:
/) накачка на входе; 2) накачка на выходе: 3) волна 3$; 4) волна з»
а)
勿
Рис. 6.19. Форма импульсов генерации в однорезонаторном ПГС при трехмодовой накачке [36]:
/)волна о)1； 2)волна з?； a) Q7i=3; б) Q7\ = 20.
Многомодовая накачка, согласованная с резонатором. В предыдущем рассмотрении, по существу, предполагалось, что центры спектров резонирующих волн совпадают с одной из собственных частот (мод) резонатора:
①厶/n =『〃Rpe3i = l, 2(6.7.52)
(他一целые числа), причем спектр накачки 5же интервала между этими модами:
Ай)н《Qpesd》.(6.7.53)
В (52)
Qpe3(力=nUj/L,(6754)
где vi = v ((0；) —фазовая скорость волны s? в нелинейной среде, /.—длина резонатора. При условии (52) соответствующие частотам ①乙 m длины волн %, m целое число раз укладываются на длине резонатора:
2叫 2L
Выполнение условий (52) и (53) необходимо для того, чтобы был равен нулю суммарный набег фазы при прохождении резонирующей волны через резонатор в прямом и обратном направлениях: Дф = 0
Метод описания процессов в резонаторе с помощью чисто колебательных, а не волновых уравнений вннз (15) или (45) можно обобщить на случай многомодовой накачки, согласованной с резонатором, когда моды накачки разделены тем же интервалом, что и моды резонатора Если пренебречь дисперсией, то согласно (54) Qpe3(u = ^рез<2)= Qpe3. Итак, пусть
Q=Qpe& А①н = "°рез. (6.7.55)
Рассматривая опять для простоты случай кольцевого резонатора, перепишем уравнения (8), описывающие двухрезонаторный ПГС. Пренебрегая линейными потерями и дисперсией скоростей, имеем
дг
0/； dt
• — р1ЛнЛ3'->
(6.7.56a)
@4 dz
弘1 况
=0,
(6.7.566)
34扌 dz
~дГ
(6.7.57a)
d4
—~дГ
дА. ~дГ
-=о,
(6.7 576)
дг
а人 dt
=—BhU 4 扌.
(6.7.58)
4H (f, г = 0)= Дно (0- Задаваясь накачкой на входе ПГС в виде
*。(?)=¥偿^)闸叫(6.7.59а)
где амплитуды мод Лн, т (0 меняются медленно по сравнению с exp »Qf, будем искать Лг и Ла в виде аналогичных разложений:
л' (f，Z)=审筑 „.(^3工叫(6.7Л96)
Подстановка (59) в уравнения (56)—(58) дает
卡=阮工人力+"蒔，(6760a)
дАх т 2 дАх m
—ае -°-9 ' z/〃，(6.7.606)
-^ =网)/"+m爲，(6761a)
ал； m 2 d& Е
—萨f a；' -。，gas
^^=ТнЕ 叶 p+諸去p・(6762)
В полученных уравнениях, так же как раньше в (8), мы будем считать амплитуды мод резонирующих волн мало меняющимися по длине резонатора; при этом интегрирование (62) с учетом (59) дает
Ан,т = А^т-^гУ]А1р+тА1р.(6.7.63)
Теперь следует подставить (63) в (60) и усреднить (60) по длине резонатора, учтя условия отражения, В результате мы получим следующие уравнения, являющиеся обобщением (12) (Л/,ш = Л^т=—4『团；i=l, 2):
27\4, пг + 4, пг =[已 & ] "；,p+/n^ BJ ] 4, р+т-Ме, г ^2,р (6.7.64а)
^2А2,т + ^2 m = J~^^ ]卜力+团一 2 '" 2 4’「+*川2" ^*p (6.7.646)
последних уравнений, рассмотрим нулевой, в волне(о1 подавлены *):последних уравнений, рассмотрим нулевой, в волне(о1 подавлены *):Чтобы упростить дальнейший анализ частный случай, когда все моды, кроме
последних уравнений, рассмотрим нулевой, в волне(о1 подавлены *):
последних уравнений, рассмотрим нулевой, в волне(о1 подавлены *):
4,团=4,о（加=о）；。（加*о）.
(6.7.65)
27\4, о + -^1.о =27\4, о + -^1.о =6, 1 — Ri6, 1 — Ri密 рн^^ъо^а I »密 рн^^ъо^а I »(6.7.66a)(6.7.666)(6.7.66a)(6.7.666)При этом уравнения (64) принимают следующий вид:
27\4, о + -^1.о =
27\4, о + -^1.о =
6, 1 — Ri
6, 1 — Ri
密 рн^^ъо^а I »
密 рн^^ъо^а I »
(6.7.66a)
(6.7.666)
(6.7.66a)
(6.7.666)
2з4,团 + 4,团 0 ]上R2 [/，I"4f o 2 8式人,mA
где /i = i Л1,о i8» ^2 = 2 I Лa>m p —средние (вернее, усредненные по межмодо-
(6-7.67)(6-7.67)(6-7.68)(6-7.68)(6.7,69а)(6-7,696)(6.7,69а)(6-7,696)модуляции накачки:модуляции накачки:]/ 吗/% a；哈 0t„]/ 吗/% a；哈 0t„(6-7.71)(6-7.71)
(6-7.67)
(6-7.67)
(6-7.68)
(6-7.68)
(6.7,69а)
(6-7,696)
(6.7,69а)
(6-7,696)
модуляции накачки:
модуляции накачки:
]/ 吗/% a；哈 0t„
]/ 吗/% a；哈 0t„
(6-7.71)
(6-7.71)
внм биениям) интенсивности волн. Из (66) уже можно найти стационарный
порог генерации: генерация начинается, когда средняя интенсивность иакачки
/叩=£ I ^н m |2 превышает величину
『 (1-^)(!-^)пор-，
совпадающую с (14).
Удобно провести перенормировку амплитуд, аналогичную (14а):
〃1 M/nopа2. m J^^nopс
/；=&|2,厶=£丨&,团吊 ^h0 = ^j I ан, m |2'
В результате получим
2Л = }/^件皿„，一辞眞叫,27必,①+％ „, = ]/^艮①建一 ^у^&,禽]
(加=0, ±1, ±2,…)
(ср. с (15)), Из (69) следует, что в стационарном режиме генерации средние интенсивности волн при многомодовой согласованной накачке равны
У 囂叫-1)，/，=氯/7-1)，(677。)
т. е, они имеют ту же величину, что и при одномодовой накачке (см. (17)). Согласно (69) в стационарном режиме волна(о2 воспроизводит спектр и форму
т. е, 4«) ~ 4Ho «)• Это аналогично эффекту повторения накачки прн параметрическом взаимодействии в открытом пространстве (см. (6.6.63а)).,
Согласно (65), (68), (71) и (63) амплитуды мод и средняя интенсивность
накачки в произвольном сечении 0 < z < L резонатора равны
аи.т^ = ан.таи.т^ = ан.тl + (l-2Z/L)(/7^-l)l + (l-2Z/L)(/7^-l)(6.7.72)(6.7.72)
аи.т^ = ан.т
аи.т^ = ан.т
l + (l-2Z/L)(/7^-l)
l + (l-2Z/L)(/7^-l)
(6.7.72)
(6.7.72)
〃 (Z) = [l + (1-2Z/L)(y7^-1)]2.
Для приложений важным является случай, когда накачка имеет вид цуга коротких высокочастотных импульсов, следующих через одинаковые интервалы времени:
4o(')= 4F%)玄 Ht-nT) = F^ (/)2 %/9皿(6.7.73) П =— QQ 0|
(П = 2л/Т). В этом выражении / (^) —огибающая отдельного импульса, F (/)— огибающая цуга, Т — период следования импульсов. Предполагается, что длительность импульса мала (^имп ^ Т) и функция 尸(f) мало меняется за время /инп. При этих условиих ширину спектра иакачки можно оценить как
Д(он = 2л/^имп.(6.7.74)
Подстановка (14) в (53) дает при L=3 см
，(шцС> 2L &мп》°，2 • 10*9 с =0,2 ис)«
Условие (55) можно, соответствен ио, переписать как
£ннцС V 2L «ими V 0,2 ис).
Таким образом, развитая здесь теория однорезонаторного и двухрезонаторного ПГС и уравнения (15), а также (24) и (38) применимы для описания генерации импульсов иаиосекуидиоЙ длительности, в то времи как уравнения двухрезоиаторного ПГС (69) — импульсов субиаиосекундного и пикосекундиого диапазона.
Естественная ширина спектральной лннни генерации ПГС. При интегрировании колебательных уравнений ПГС (в частности, при расчете импульсов генерации, представленных иа рис. 6.16, 6.18 и 6.19) необходимо было задать некоторое малое начальное значение хотя бы одной из амплитуд, играющее роль затравки всего процесса генерации, В реальных условиях такой затрав* кой явлиются спонтанные шумовые поля. Для параметрического генератора света основной вклад в эти поля вносит так называемая параметрическая люминесценция, связанная со спонтанным параметрическим распадом квантов накачки [29]. Параметрическая люминесценции приводит к появлению слабых полей на частотах ①卜 2- Воздействие этих полей на ПГС является одним из примеров воздействия собственных (<естественных>) флуктуаций на автоколебательную систему (см. также гл. 7).
Влияние спонтанных полей на интенсивность волн в режиме развитой генерации из-за их относительной малости пренебрежимо мало. Тем не менее благодаря им колебания, генерируемые в ПГС, всегда являются, в принципе, случайным процессом, который даже при идеально монохроматической накачке характеризуется малой, но конечной шириной спектра А(о. Величина Део ограничивает минимально достижимую ширину спектральной линии ПГС. Чтобы найти А(о, надо, как обычно, ввести в колебательные уравнения ПГС случайные источники. Рассмотрим здесь в качестве примера двухрезонатор- ныЙ ПГС, процессы в котором при одномодовой монохроматической накачке описываются вытекающим из (37) уравнением (^ = а10)
27\&i + 4 =7—~行・(6.7.75)
Если обозначить 匕办/强”“尸招 2ТХ = а-1, то (75) перепишется как
戈+ 3(f+|；犷(6776)
1$ С. А Ахманов и др.
В это уравнение нужно ввести случайные функцив, описывающие шумовые источник^, спектр которых лежит в области частот ①外(о2 и(он. Ограничимся здесь тем, что добавим в правую часть (76) 6-коррелированный шум 己(f), имеющий смысл комплексной амплитуды шумов с частотами, близкими к ①工
х + «х= @+|?下戸+砧(f)，(6.7.77)
где
G〉= o,〈蛙丿=0,《毙〉= 2D5(T).(6.7.78)
Выразим в (77) % через огибающую р и фазу ср, a g (0 — через статистические независимые квадратурные компоненты а и Ь:
〈а〉=〈6〉=0,〈ж%〉=〈6%〉=2£)5 (т).
Комплексное уравнение (77) распадется при этом на два вещественных:
р + ар=р + ар=а/нрР""2а/нрР""2+ а (а cos ср + d sin 屮),+ а (а cos ср + d sin 屮),(6.7.80a)(6.7.80a)
р + ар=
р + ар=
а/нрР""2
а/нрР""2
+ а (а cos ср + d sin 屮),
+ а (а cos ср + d sin 屮),
(6.7.80a)
(6.7.80a)
ф = — (Ь cos ф — а sin ф).(6.7.806)
После преобразований, полностью аналогичных приведенным в § 2 гл. 7, мы получим уравнения отдельно для р и ср:
叫声 a3D
0 + ар = ^^+ 丁+&(')，(6-7.81)
Ф = *(/),(6.7.82)
в которых
〈EiEiT〉=2。15 (т), Di = ct2Dt 〈Е2Е2Т〉= 2D&5 (т),D雪=3〈l/p〉*D.
Средняя интенсивность затравки а§ определяется как величина 〈х〉 при /н0=0: согласно (77)
Jo = Di/ct = aD.(6.7.82а)
Постоянная D может быть вычислена как эффективная спектральная плотность спонтанной параметрической люминесценции (см., например, [29], с. 362). Заметим, что экспериментально величину а§ можно оценить по запаздыванию импульса генерации, учитывая результаты § 6 гл. 1; согласно полученной в [33] оценке 源==10т*
Рассмотрим теперь режим развитой генерации (/^0 > 1). Полагая в (81) р = р+р, при р《р получим
kVV^^，6+4а(1 —1/У7^)*厶(，).(6.7.83)
Как следует из (83),
Мы видим, что компонента р действительно мала, а ширина ее спектра с ростом интенсивности накачки стремится к постоянной величине:
Да)р = 4а (1 — 1 /]Л^) ^ 4а.(6.7.83а)
Таким образом, вклад р в спектр излучения ПГС состоит в создании очень широкого, но малого по интенсивности «пьедестала» спектра (аналогично тому, как это имеет место в случае томсоновского генератора или лазера —см. рис. 7.5). Ширина спектра ПГС определяется, следовательно, фазовыми флуктуациями, и согласно (82) она равна (при 4°》1)
Аш = 2D2,
или
Аз = 4а2 /IVD^D = -^-《4а,\р/ р2 РХ —1
а1 п о г(6.7.84)
2л 2nL /4° —1
Подставив сюда L=»3 см, 1—/? + 2а1^^^ * ^-2> ^но=^( ао= Ю-14, получим А/=0,25 - 10 8 Гц.
Уравнение (83) является уравнением типа (1.7.28), так что распределение вероятностей w (р) в установившемся режиме генерации ПГС дается решением уравнения Фоккера — Планка (1.7.50):
Отсюда может быть найдено распределение интенсивности /J = (4ш1/(он) ： & 产= =(4(0!/Шн) р2：
W^ = 8^exp[-i(£^ + Ik；%/] (67・85)
Как следует из (85), наиболее вероятным является значение интенсивности, равное
/小也=警(1/^；-1).(6-7.86)
Интенсивность /{(тах ю) оказалась не зависящей от спектральной плотности спонтанного шума； она равна /； в отсутствие шума (см. (17)).
Подставив (85) в (2.5.30), можно найти также функцию распределения вероятностей w (Е0 самого генерируемого поля £]. Заметим, что с учетом (82а) и (86) формулу (84) можно записать в виде Д(о= 16 (g)i/(oh) a2^/^i(maxQyf» т- е. она аналогична формулам (7.2-54а) и (7.5.28) для ширины линий томсоновского генератора и лазера. В отношении же амплитудных флуктуаций такой аналогии нет; в ПГС ширина их спектра ограничена (ср. (83а) с (7.2.39а)).
ГЛАВА 7
ФЛУКТУАЦИИ В ГЕНЕРАТОРАХ РАДИО- И ОПТИЧЕСКОГО ДИАПАЗОНОВ
§ 1. Введение. Флуктуации амплитуды и фазы автоколебаний. Форма и ширина спектральной линии
Статистические задачи, связанные с флуктуациями и шумами в автоколебательных системах, весьма разнообразны. Неизбежные в реальных генераторах радиодиапазона и лазерах нестабильности параметров представляют собой по существу случайные процессы 己办(/). Спектры этих процессов 0я (<о) отличны от нуля лишь в узкой области вблизи нулевой частоты *)； эффективная ширина спектра G„ (<о) флуктуаций параметров не превышает обычно 102 — 103 Гц. Воздействие флуктуаций параметров на автогенератор проявляется поэтому обычно в виде медленной, квазиста- тической случайной модуляции амплитуды и частоты (фазы).
Колебания реального генератора, близкие к гармоническим, представляют собой случайный процесс вида
х (/) = р (/) cos ((о0/ + <р (/))-(7.1.1)
Статистические характеристики р (/) и <р (/) в рассматриваемом случае, разумеется, существенно отличаются от таковых для узкополосного гауссовского шума, рассмотренного в § 4 гл. 2, Амплитуда флуктуирует вблизи среднего значения р, определяемого динамическими свойствами системы； флуктуации амплитуды и фазы в общем случае коррелированы.
По известным статистическим характеристикам р (/) и <р (/) с помощью формул § 7 гл. 2 можно определить и Мрму спектральной линии. В соответствии с результатами гл. 2, если относительные флуктуации амплитуды невелики,
р(0=р+р(0.〈2《F，
форма и ширина спектральной линии в основном определяются квазистатическими флуктуациями частоты. Хорошим приближе-
♦) Среди низкочастотных флуктуациейиых процессов, приводящих к флуктуациям параметров, особое место занимают процессы типа фликкер-шума, для которых, как показывает эксперимент, вплоть до очень низких частот (〜10-2—1()т Гц) 風(со)〜о)т. Физика таких процессов с неиитегрируемым спектром до конца не ясна и по сей день. Принято считать, что речь идет о существенно нестационарных процессах [4]; обзор новых данных, относящихся к этой проблеме, содержится в [54]・
нием в этом случае оказывается модель медленных и сильных гауссовских флуктуаций частоты (см. (2.7.39), (2.7.44)). Тогда спектр автоколебаний имеет бид (см. (2.7.41))
G+(8)= 7fc exp {- ^^^}， (7丄2)
ОО
где а« — дисперсия частоты, /〜、G«((о)d(o. о
Ширину спектральной линии
А(от = %
называют технической шириной, подчеркивая этим, что причиной уширения линии в рассматриваемом случае оказываются факторы технического порядка, вклад которых зависит от конструкции генератора, стабилизации параметров и т. п.
Величина Д(от различна для генераторов разных типов; переход к высокостабильным системам, например таким, как лазеры, стабилизированные по сверхузким оптическим резонансам в атомах и молекулах, позволяет получить ширину спектральной линии 〜0,5 Гц.
Чем определяются предельные возможности сужения линии? Оказывается, что наряду с «техническими» флуктуациями имеются обстоятельства и более принципиального порядка. Даже в гипотетической автоколебательной системе с абсолютно стабильными параметрами генерирование идеальных монохроматических колебаний невозможно. Причиной этого являются принципиально неустранимые собственные шумы генератора, такие, как тепловой и дробовой шум в радиогенераторе и спонтанные переходы в лазере. Эти источники флуктуаций в генераторе следует рассматривать, очевидно, как случайные внешние силы, в спектре которых имеются и компоненты на частоте автоколебаний.
Как ведет себя автоколебательная система, находящаяся под воздействием случайной силы?
Оказывается, что и в этом случае дело сводится к случайным амплитудной и фазовой модуляциям； автоколебания описываются формулой (1). Статистические же характеристики возникающих под действием собственных шумов естественных флуктуаций амплитуды и фазы, разумеется, отличаются от технических； по-иному выглядит и спектр колебаний.
Для естественных флуктуаций частоты адекватной оказывается модель быстрых и слабых флуктуаций (2.7.45), форма спектральной линии становится лоренцевской (см. (7.2.51а)).
Естественная ширина ) спектральной линии Д(ое обычно гораздо меньше технической,厶^^盲厶①丁， однако для высокостабильных генераторов радио- и в особенности оптического диапазона [5], в технике предельных измерений [9], эффекты, обусловленные естественными флуктуациями, становятся существенными.
Большой круг статистических задач связан со статистикой многомодовых генераторов. Особенно актуальны эти задачи для оптики, поскольку лазер, если не приняты специальные меры, является принципиально многомодовым генератором.
Если речь идет о статистически независимых модах, для выяснения картины флуктуаций суммарного колебания достаточно довольно грубых представлений о статистике колебаний в отдельной моде. Случайная временная структура многомодового колебания определяется в основном величиной межмодового интервала и полным числом продольных лазерных мод. То же самое можно сказать и о случайной поперечной структуре излучения лазера, генерирующего несколько поперечных мод.
В этой главе мы ограничимся в основном рассмотрением трех проблем, относящихся к флуктуациям в автоко леб ательных системах, генерирующих колебания, близкие к гармоническим.
Прежде всего это классическая задача о естественных флуктуациях в слабонелинейной автоколебательной системе с высокодобротным контуром — в так называемом томсоновском генераторе. Близка к ней и задача об обусловленных спонтанными переходами естественных флуктуациях амплитуды и фазы в одномодовом лазере. Однако прямая аналогия прослеживается здесь лишь до тех пор, пока речь идет о временных флуктуациях амплитуды и фазы.
В лазере спонтанные переходы приводят и к флуктуациям в пространственном распределении генерируемого поля. Пространственным аналогом естественной ширины спектральной линии оказывается естественная ширина углового спектра, непосредственно связанная с определяемой спонтанными переходами предельной пространственной когерентностью излучения одномодового (по поперечным индексам) лазера ).
Стохастическим процессом оказывается во многих случаях и процесс самовозбуждения автоколебаний. Действительно, в автономном генераторе, если включение усиления или обратной связи не связано с возбуждением сигналов на частотах порядка средней частоты автоколебаний (именно с такой ситуацией приходится сталкиваться при самовозб ужден и и лазера), «затравку» для само- возбуждающихся колебаний создают собственные шумы. В этом случае процесс самовозбуждения можно рассматривать как процесс трансформации (во времени) собственного шума.
Ниже порога с амовозб ужден и я собственный шум радиогенератора или лазера представляет собой стационарный узкополосный гауссовский процесс； в режиме развитой стационарной генерации мы имеем дело с существенно негауссовским процессом. Каковы закономерности такой трансформации?
Этот вопрос представляет не только принципиальный, но и несомненный практический интерес； ниже мы обсуждаем его применительно к томсоновскому генератору и одномодовому лазеру. Флуктуационный характер процесса самовозбуждения автоколебаний приводит к тому, что случайной величиной становится и время установления автоколебаний, — обстоятельство, существенное для импульсных систем.
Особенно важны статистические явления при установлении колебаний в генераторах с несколькими ненулевыми устойчивыми состояниями； здесь выбор устойчивого состояния может в значительной мере определяться статистикой начальных условий. Последнее положено в основу методов исследования достаточно тонких характеристик случайных процессов. В § 4 эта задача рассмотрена на примере одноконтурного параметрического генератора.
Наконец, в §§ 6, 7 обсуждается и статистика многомодового излучения. Надо сказать, что многие результаты, относящиеся к временным характеристикам многомодового излучения, содержатся в § 9 гл. 2 и § 4 гл. 5. Поэтому ниже главное внимание уделено поперечным корреляционным функциям излучения лазеров, генерирующих несколько поперечных мод.
Математическая сторона теории флуктуаций в автоколебательных системах оказывается сложной, что связано с решением нелинейных стохастических уравнений.
Поэтому ниже будут широко использованы различные физические приближения.
В режиме развитой генерации малость собственных шумов позволяет линеаризовать стохастические уравнения. Так строится
теория естественных флуктуаций в томсоновском генераторе и одномодовом лазере в существенно «надпороговом» режиме.
Для исследования явлений вблизи порога генерации (этот режим представляет специальный физический интерес, поскольку именно здесь можно проследить, как происходит формирование когерентного негауссовского излучения из стационарного гауссовского шума) мы пользуемся методами уравнения Фоккера — Планка и статистической линеаризации； результаты хорошо согласуются между собой. Заметим наконец, что для описания закономерностей формирования когерентного излучения из шума при переходе через порог генерации плодотворным оказывается использование методов теории фазовых переходов.
Аналогия между самовозбуждением лазера и фазовым переходом детально прослеживается в § 8; мы используем методы теории критических явлений для расчета закономерностей формирования пространственной и временной когерентности одномодового лазера.
§ 2・ Естественные флуктуации амплитуды и фазы в томсоновском генераторе в режиме развитой генерации
Мы начинаем с рассмотрения естественных флуктуаций в томсоновском генераторе радиодиапазона. Общее уравнение, описывающее колебания в томсоновском гене
раторе, имеет вид
戈+(t)証=n/(招戈，/),(7.2.1)
где точка означает дифференцирование по времени. Малый параметр 卩(卩《1) подчеркивает слабое отличие колебаний от гармонических.
Рис. 7.1. Схема генера- Обратимся теперь к конкретной схеме, тора с колебательным рассмотрим генератор с колебательным контуром В анодной цепи контуром в анодной цепи (рис. 7.1), который имеет параметры L, С, R; М — коэффициент взаимной индукции катушек, /а — регулярный анодный ток, z — ток индуктивной ветви, /др — ток дробового шума, и — на
пряжение теплового шума сопротивления контура.
Приравнивая напряжения на индуктивной и емкостной ветвях колебательного контура, получаем уравнение
厶嘗 + &•⑴ Т，&(f) + ;-др (f)-z (f))" = u (/)• (722)
(7.2.3)(7.2.3)Напряжение на сетке лампы в отсутствие сеточных токов определяется наводимой электродвижущей силой:
(7.2.3)
(7.2.3)
〃к =用"•
Характеристику электронной лампы запишем в виде
ia = Su^l-~^, (7.2.4) где S — крутизна характеристики, х — коэффициент нелинейности. Вольт-амперная характеристика вида (4) соответствует так называемому мягкому режиму возбуждения генератора.
Дифференцируя (2) по времени и используя соотношения (3) и (4), придем к следующему уравнению:
备 + 哂=21(6 — а) — 卩时備丹 ~ + 喷(/)• (7.2.5)
Здесь (оо = (LC)~1/2 — собственная частота колебательного кои- тура, а = R/2L — величина, характеризующая затухание в контуре, 6 = ^SM/2 — отрицательные потери, вносимые обратной связью, параметр pnxSM^sj/g характеризует нелинейность генератора,
a«) = GpM) + sL〃(f)/L (7.2,6) Слагаемые правой части уравнения (5) обусловливают отличие колебаний от гармонических.
Укороченные стохастические уравнения. Для того чтобы изучить колебательный процесс, описываемый уравнением (5), получим укороченные уравнения, воспользовавшись методом, развитым в § 2 гл. 3 на примере линейного контура. Представим решение уравнения (5) в виде
i(t) = x(t)=^ A(t) е1^ + к. с (7.2.7)
Поскольку высокодобротный колебательный контур подавляет спектр, расположенный вне узкой полосы вблизи частоты (о0 (см. (3.2.32)), т. е. является полосовым фильтром, шум в контуре 占(/) можно представить как
КО = П (0 ехр [/ ((о0/ + л/2)] + к. с. (7.2.8)
(фаза л/2 добавлена для удобства дальнейшей записи). В (7) и (8) функции 4(f) и т] (/) являются медленными по сравнению с ехр (加“)•
Учитывая условия медленности изменения комплексной амплитуды Л (/) (3.2.33), из (5) получаем уравнение
芻 + [(а — 6) + р М 円力=5Tl ⑴， (7.2.9)
в котором опущены быстро осциллирующие члены. Последние выпадают при умножении (5) на ехр {—而咼 и усреднении по периоду колебаний Т0 = 2л/(о0. Уравнение (9) отличается от уравнения (3.2.37) линейного контура наличием нелинейного члена р|/|2 и отрицательных потерь 6.
Выразим комплексную амплитуду Л через огибающую р и фазу <р (4 = pd①)，а случайную силу т] (/) представим через квадратурные компоненты а и Ь:
"(/)= a + 通(7.2.10)
Разделяя в уравнении (9) вещественную и мнимую части, приходим к уравнениям
0 + [а — 6 + рр 可 р = 5 J,0 + [а — 6 + рр 可 р = 5 J,(7.2.11)(7.2.12)(7.2.11)(7.2.12)
0 + [а — 6 + рр 可 р = 5 J,
0 + [а — 6 + рр 可 р = 5 J,
(7.2.11)
(7.2.12)
(7.2.11)
(7.2.12)
Рис. 7.2. Зависимость установившейся амплитуды колебаний томсоновского генератора от параметра накач* ки 8 в отсутствие (/) и при наличии шума ⑵.Рис. 7.2. Зависимость установившейся амплитуды колебаний томсоновского генератора от параметра накач* ки 8 в отсутствие (/) и при наличии шума ⑵.
Рис. 7.2. Зависимость установившейся амплитуды колебаний томсоновского генератора от параметра накач* ки 8 в отсутствие (/) и при наличии шума ⑵.
Рис. 7.2. Зависимость установившейся амплитуды колебаний томсоновского генератора от параметра накач* ки 8 в отсутствие (/) и при наличии шума ⑵.
где
工р = а cos 屮 + b sin 屮，K = b cos 屮一а sin <р.(7.2.13)
Уравнение (9) и система уравнений (11), (12) являются укороченными уравнениями томсоновского генератора соответственно в комплексной и действительной записи.
В отсутствие флуктуаций (| = 0) уравнение (11) обстоятельно изучено в теории колебаний (см., например, [1]). Стационарному, или установившемуся, состоянию (р = 0) соответствует амплитуда колебаний
Роо = [(6 —а)/р『2(7.2.14)
Ясно, что в (14) должно быть 6>а, т. е. необходимо, чтобы вложение энергии, вносимое обратной связью генератора, превышало потери в контуре; пороговое значение бпор = а. Запишем формулу (14), вводя относительное превышение порога самовозбуждения 6 = еа (в теории лазера е будем называть параметром накачки, см. § 5):
Роо = Рг /е _.，Рг==(а/В)1/2, е = 6/а,
(7.2.15)
где рг — характерная амплитуда колебаний генератора: роо = рг при е = 2. Изменение р^ с ростом е показано на рис. 7.2 кривой /.
Из уравнения (12) при ф = 0 следует, что(рот = Фо» т. е. фаза сохраняет то значение, которое было в момент включения генератора (обратной связи). В автономном генераторе естественно считать(р0 случайной величиной с законом распределения
w (фо) = 1/2л,— n V(Ро V п・
Таким образом, в отсутствие шума стационарные колебания томсоновского генератора гармонические:
х(0 = PooC°s (s/+ 屮о)・(7.2.16)
При наличии шума колебания — квазигармонический процесс (7.1.1).
Относительно случайного процесса | (/) (6) можно принять, что он представляет собой 6-коррелированный шум с гауссовской статистикой:
& = 0, 练(т) =化&〉= 2л&6 (т).(7.2.17)
Отметим, однако, следующее. Хотя дробовой и тепловой шумы, дающие вклад в | (/), являются 6-коррелированными, в выражение (6) входит производная от напряжения теплового шума, вследствие чего спектральная плотность процесса & (/) зависит от частоты ох
6((0)= Одр (з) + (嘲厶尸 m GT (<й).
□др ((□) и Gt ((о) — спектральная плотность дробового и теплового шума соответственно. В пределах узкой области спектра Асо в окрестности частоты (о0 спектральная плотность
Gg (й)я«Сдр (з) +(3；l)b Gt (®) = Gg (<йо) н &(7-2.18)
практически постоянна. В этом случае применимо соотношение (17).
В укороченных уравнениях (9) и (11), (12) случайные функции т] (/), а (/) и b (/) можно также считать белым шумом в масштабе изменения величин Л, р и ф. При этом в соответствии с результатами § 3 гл. 2 и в силу постоянства, а, следовательно, симметрии спектра (18) относительно %,
Л «ж й ™ 0,(曲1=(生Ь)П 0,〈a生〉0〈6耳)=? Gg6 (T) (7.2.19a) и
开=0, 5%〉=0, 〈т]唠=吟6“).(7.2.196)
Обратимся вновь к уравнениям генератора (11) и (12). Поскольку в случайные силы Ср и 匕①，помимо квадратурных компонент шума a(f) и b(f), входит фаза <р, мы имеем дело с системой двух связанных стохастических уравнений. Эти уравнения можно, однако, упростить таким образом, что уравнение для случайной амплитуды р становится независимым от уравнения для фазы <р. Для этой цели в случайных функциях J и СФ выделим быструю и медленную компоненты.
Рассмотрим, например, процесс J； представим его как
隔⑴=a9(/) + 生(〃(7.2.20)
где медленная компонента |0 (/) имеет тот же характерный временной масштаб изменения тм? что и огибающая р, тр, а быстрая компонента |р (/) имеет временной масштаб тб, одинаковый с характерными временами процессов а (/) и b (/) (при сделанных выше предположениях Тб^О). Чтобы выделить |0 (/), усредним Ср по времени Т, значительно большему тб, но меньшему тм (工6«丁《 《Тм)：
占о (f) = Ср = а cos 屮 + 匕 sin <p. (7.2.21a)
Вследствие стационарности воздействующего на автономный генератор шума автоколебания в режиме развитой генерации представляют собой стационарный случайный процесс. Фаза такого процесса <р, приведенная к интервалу периодичности, стационарна и распределена равномерно:
(7.2.22)(7.2.22)w (ф) = 1/2л,— n V <р V %
(7.2.22)
(7.2.22)
независимо от статистики самого процесса (см. § 5 гл. 2). Подчеркнем вместе с тем, что фаза, рассматриваемая как случайный
процесс в интервале (—оэ, оо), оказывается существенно неста
ционарным процессом модели генератора мы нение (12).ционарным процессом модели генератора мы нение (12).с бесконечной дисперсией (§ 6 гл. 2); для убедимся в этом ниже, рассматривая урав-
ционарным процессом модели генератора мы нение (12).
ционарным процессом модели генератора мы нение (12).
В соответствии со сказанным случайные процессы cos(p и sin <р стационарны, и в силу свойства эргодичности (§ 4 гл. 1) временное усреднение в (21а) можно заменить статистическим усреднением по ансамблю быстрых флуктуаций а (/) и Ь (/) (фак
тически, таким образом, мы находим условные средние, которые сами являются медленно меняющимися случайными функциями):
Ео (/) =〈a cos ф) + (b sin <р>.
Представляя cos <р и sin(p в виде
cos(р = (cos(р)(к, + (cos(р)(нк), sin(p= (sin <р)(к)_]_ (sin ф)(нк\
где индексами «к» и «нк» отмечены компоненты функций, коррелирующие и некоррелирующие с квадратурными компонентами a(i) и b (/), можно, очевидно, записать
1о (0==〈a(cos 屮)⑺〉+ е (si口 屮产)〉，(7.2.216)
|р(/) = a(cos <р)(нк)+ ь (sin <р)(нк).(7.2.21b)
В силу соотношений (19а)
<|р> =乙((cos(р)(нк)〉+ 方((sin(р)(нк)〉= 0.
Чтобы найти, например, (cos(р)(к\ запишем уравнение для cos ф, умножив (12) на sin ср:
時"-41Psiп<р.(7.2.23)
Отсюда, принимая во внимание выражения (13) и (1.7.21а), получаем
(cos(p)(K)=—毕様〈(sin2(p)(HK)〉_d〈[(siii 仍к》〉｝,(7.2.24)
где
d = d (f) = \ a (P) df b — b (0 =、匕 С)", время 备 меньше f. С учетом (22) и соотношений (24), (19a)
〈a(cos »k)〉=駅〈a (0a(f)> ” =喏G&. Аналогично находим
e (sin (p)(k)〉=岩，〈Ь⑴Ь⑺〉"Н端 Gg.
Таким образом, значение |0 (/) (216) равно
自。(£)=款 Gg.(7.2.25)
Корреляционная функция процесса *р (21в) определяется выражением
8玩(А =〈EpEpJ〉=
=([a (cos(р)(нк)+ 匕(sin(р)Снк)][ат (cos(р),к)十九(sin 屮)乎)]〉. В силу соотношений (19а) и (22) получим
^PW=4^W-(7.2.26)
Расчеты, аналогичные только что проделанным, дают для медленной компоненты силы ^① |(ро = 0, а для быстрой ^ф
Вф = О,&瑟pQu^nGgh),〈瓦品〉=0.(7.2.27)
Теперь мы можем записать упрощенные уравнения *), соответствующие (11), (12):
0 + (а _ 6 + 瞅)р = * Gg + 3“ (0，(7.2.28)
@Т 品⑴.(7.2.29)
В уравнения (28), (29) входят случайные 6-коррелированные шумы |р (/) и 己屮传)・ Подчеркнем еще раз, что таковыми их можно считать, если время корреляции тк реальных источников шума
Рис. 7.3. Функция распределения w (р) приведенной амплитуды р = р№1/4 для значений параметра 彳= д"Т/2： /) —5, 2) О, 3) 5.Рис. 7.3. Функция распределения w (р) приведенной амплитуды р = р№1/4 для значений параметра 彳= д"Т/2： /) —5, 2) О, 3) 5.значительно меньше характерных времен изменения амплитуды тр и фазы тф. Условие q《tp, в соответствии с (28), эквивалентно неравенству (6 — a) q《1. Стохастическое уравнение (28) для амплитуды не содержит случайной фазы <р, и поэтому его следует решать в первую очередь.
Рис. 7.3. Функция распределения w (р) приведенной амплитуды р = р№1/4 для значений параметра 彳= д"Т/2： /) —5, 2) О, 3) 5.
Рис. 7.3. Функция распределения w (р) приведенной амплитуды р = р№1/4 для значений параметра 彳= д"Т/2： /) —5, 2) О, 3) 5.
Законы распределения и моменты амплитуды. Уравнение (28) принадлежит к уравнениям типа (1.7.28). Поэтому для функции распределения плотности вероятности ⑦(р) справедливо уравнение Фоккера — Планка (1.7.44):
°" *；" = -% [К殴(р,川 + ^^"[Kz⑦(р, »)]•(7.2.30)
В соответствии с (1.7.46, 47) функции К工 и /С2 для рассматриваемого случая (28) определяются выражениями
Ki=bw—рТр+^мк—2卩м
"=(к/4)噺GgRT,<7 = (6-а)/₽=р/р.
Стационарная функция распределения ⑦(р) (при /->оо) дается формулой (1.7.49), которая приводит к выражению
5 (Р) = Сор ехр {— Е；評"}.
8
Постоянная Со определяется из условия нормировки \ w (р) dp = 1; о
в результате имеем
叫 р)=-VnN [1+Ф(-2%•『Р ехр {一^^}. (7.2.31)
Графики функции (31) для различных значений q изображены на рис. 7.3. Для больших отрицательных значений q (в области значительно ниже порога генерации) распределение w (р) близко к рэлеевскому распределению (2.4.6):
⑦(Р)~ ；；ехр{-卜(7.2.32а)
где а§ = ^/j q j = judWGo/4 | р |. Значительно выше порога генерации распределение становится гауссовским (/q = p8 = pr・]/£—1):
⑪(РК 士ехр{—l^}.(7.2.326)
Из (32а) следует, что при наличии шума в генераторе среднее значение амплитуды р ниже порога генерации не равно нулю, р = (W2)i/2(j0 (см. рис. 7.2).
Дисперсии флуктуаций амплитуды ниже и выше порога генерации при одинаковых абсолютных значениях |р| почти равны:
2 —部貪 (ниже порога),2 —部貪 (ниже порога),у По (выше порога).у По (выше порога).
2 —部貪 (ниже порога),
2 —部貪 (ниже порога),
у По (выше порога).
у По (выше порога).
Относительные же флуктуации амплитуды сильно различаются: 0>35 (НИЖе П0Р°Га)> ■(7.2.32b)
[ио/2р8《1 (выше порога).
Пользуясь (31), можно точно рассчитать поведение моментов распределения w (р):
ОО8 -
〈р总〉==j р^1 ⑦(р) dp = С \ рА' ехр {— (ра — q)2/4N} dp, оо
e = 2 (叫7/"1 +①(勿2 КЖ1-
Отсюда с помощью замены х = р2 —q нетрудно получить соотношение со
〈ре?〉— q (ря> = у С ^ х (х + 9尸"ехр (―炉/4N)' dx.
Интегрирование по частям для случая- п>0 приводит к рекуррентной формуле
(ря+2) — q (ря) — %N (ря~2>.(7.2.33а)
Если п = 0, то из предыдущего соотношения получаем
<ра> - q + CNe~^\(7.2.336)
Пользуясь рекуррентной формулой,, находим момент четвертого порядка:
<р4> = 2N + ^ + CNEW(7.2.33b)
Общее выражение для произвольного момента огибающей
<р«) = C2S- "2+ 1/2Г(1 + П/2) х
X^{-q^N}D.{^nl2}(^q/\ 2N), (7.2.34)
где Г (т) — гамма-функция, D_m (z) — функция параболического цилиндра, и = 1, 2,...
Выражения (33) позволяют проследить за изменением средней интенсивности колебаний / = ^р2 и дисперсии флуктуаций интенсивности 5 = (А/2> = %© — (р2)2] с ростом параметра q (рис. 7.4). При этом величина / монотонно увеличивается, а относительные флуктуации интенсивности е// уменьшаются.
Рис. 7.4. Зависимость приведенной средней интенсивности колебаний 7 = =i[VR ⑺ и относительной дисперсии флуктуаций интенсивности а_// (2) от параметра q = q]VH・
Используя (31), (2.5.26) и (2.5.30), можно найти распределение w(I) интенсивности / = р2/2 (см. (7.5.29)) и распределение w (х) самого колебания х (7); функция w(x) имеет вид (2.5.32).
Спектр флуктуаций амплитуды. Ограничимся здесь рассмотрением спектра флуктуаций амплитуды 0 = р —р8 для режима выше порога генерации (6 >6Пор = а)- Как следует из предыдущего анализа, в этом случае относительные флуктуации амплитуды малы. Поэтому уравнение (28) можно линеаризовать:
3 + 2р0 = &&(/),(7.2.35)
где
р = 6 —а.(7.2.36)
Параметр р характеризует прочность предельного цикла; на устойчивом цикле р > 0.
Решение уравнения (35) при нулевом начальном условии:
0 (/) = 3。，Ер (/')「2Р(—，)“. о
Среднее значение (р) = 0. Корреляционная функция амплитудных флуктуаций равна
8б(т) =〈00，=嘤Че-2рт — е如"+門(7.2.37)
и зависит от текущего времени t. При выводе (37) учтено соотношение (26). При /-> оо амплитудные флуктуации становятся стационарными с корреляционной функцией
В- (т)=近*叫 Qp = л叫Gg/8P. (7.2.38)
Из-за линеаризации уравнения (37) полученные результаты справедливы при 睇《р* или Gg《So%Tp2, т. е. в области существенно выше порога генерации. Хотя мы предполагали источники шума 6-коррелированными, возможность использования метода линеаризации не зависит от этого ограничения. С помощью метода линеаризации можно получить результаты при наличии шумов с любым временем корреляции.
В соответствии с (1.3.31) спектр амплитудных флуктуаций имеет лоренцевскую форму:
% &)=謂备=电 (7.2.39) Согласно (39) ширина спектра флуктуаций огибающей
AQ = 2р = 2а(£— 1), (7.2.39а) т. е. при е = 2 ширина спектра флуктуаций огибающей совпадает с шириной полосы «холодного» контура (см. (3.2.32)). Правильность формулы (39) неоднократно проверялась экспериментально как для генераторов радиодиапазона, так и для лазеров. В соответствии с результатами § 2 гл. 5 для этой цели можно использовать схему прямого детектирования； согласно формуле (5.2.4) на выходе квадратичного детектора в радиодиапазоне или фотоумножителя в оптике можно непосредственно получить спектр случайной амплитудной модуляции. Естественно, в реальном эксперименте на выходе детектора наблюдается смесь спектров технических и естественных флуктуаций амплитуды. Чтобы разделить их, надо вести измерения на достаточно высоких частотах ◎ = & —д； при й/2л > 102 — 103 Гц вклад технических флуктуаций пренебрежимо мал. Уровень естественных флуктуаций амплитуды в генераторе, работающем в режиме развитой генерации, достаточно мал； согласно [51], для He —— Ne・ лазера У(р2) IO"2 — 10-4.
Флуктуации фазы. Флуктуации фазы колебаний описываются уравнением (29). В общем случае его анализ затруднителен, поскольку справа в знаменателе стоит случайная амплитуда. Однако, как уже подчеркивалось, в режиме развитой генерации флуктуации амплитуды р малы, и р в (29) можно заменить средним значением р, т. е. записать
Статистические характеристики ^ф (/) определяются (27). Так как в (40) случайная сила 占屮(/) 6-коррелирована, приращение (или набег) фазы за интервал времени т
А叭Т)=* J Е<₽Г)",
согласно результатам § 6 гл. 2, представляет собой случайный винеровский процесс. Дисперсия такого процесса линейно зависит от времени т:
片(т) =〈(А<р)2〉=От,。=攀6匕，(7.2.41)
где D— коэффициент диффузии фазы.
Функция распределения А ср на основе центральной предельной теоремы является гауссовской:
⑪ °6 =7^Г ехр {- ^].(7.2.42)
Полная фаза колебания равна
Фп (0 = Фо + (岩)§ 占①(‘‘)^Z =(Ро + ф (0-о
Ее моменты равны〈％ «)〉=屮齿 о2 ⑴=〈(“(f)—屮炉〉=£>f, т. e. (рп (/) представляет собой нестационарный случайный процесс. Функция распределения фазы (рп имеет вид
叽词=7^ехр{—^^}, -оо<(Рп<оо. (7.2.43)
Этот же результат можно получить, решая соответствующее (40) уравнение Фоккера — Планка.
Функция распределения (43) полной фазы в момент времени / = 0, имеющая вид 6-функции (6 ((рп — Фо))> при устремлении / к бесконечности принимает все более сглаженный вид. Причем фаза(рп имеет конечную вероятность сколь угодно значительно отличаться от начальной величины.
Абсолютные значения уходов фазы(рп существенны, если генератор используется в качестве эталона времени. В других случаях (например, нахождение функции распределения колебаний, фазовое детектирование и т. п.) оказывается не важным, имеет ли фаза колебаний значение(рп или(рп ± 2ил (и = 1, 2,...). Поэтому здесь обычно пользуются фазой(рп, приведенной к интервалу [—л, +丸],а колебания представляют в виде
i (/)= р (/) cos ((о/ + 屮(/)), —冗 V 屮 V л. (7.2.44)
Как показано в § 6 гл. 2, в интервале периодичности фаза 电 распределена равномерно.
Спектральная плотность частотных флуктуаций. Согласно (40) мгновенная частота колебаний равна
8(/) = 8。+ 魯=5+*ё(₽(/).
Флуктуации частоты
6®(0 = <о(0-®о=^1ф(/).
Частотный спектр, очевидно, равен
Geffl(Q) = l(^)2G5,(7.2.45)
т. е. спектральная плотность частотных флуктуаций является постоянной.
Однако здесь следует иметь в виду два обстоятельства. Во-первых, случайный процесс |ф (/) был принят 6-коррелированным в характерных масштабах изменения огибающей и фазы коле5а- ния. Во-вторых, как отмечалось выше, в реальных ситуациях в области низких значений Q частотный спектр будет маскироваться более интенсивными техническими флуктуациями (см. также § 5).
Можно ли тем не менее измерить малые естественные флуктуации частоты на фоне гораздо более сильных технических уходов? Впервые такой эксперимент выполнил в 1937 г. Берштейн. Для этой цели он использовал частотный дискриминатор на линии задержки и то обстоятельство, что спектры естественных и технических флуктуаций частоты сильно различаются； последние быстро спадают по мере увеличения частоты. С методами измерения частотных флуктуаций в радиодиапазоне можно ознакомиться по книге [4].
Спектр колебания; естественная ширина спектральной линии. Для определения формы спектральной линии вычислим сперва корреляционную функцию колебания х (/) = р (/) cos (ш0/ + <р (/)) в установившемся режиме:
8* (т) =〈X/〉=〈ppi cos (ш0/ + ф) cos (恤传 + 匂 + 屮1)〉・(7.2.46)
Здесь усреднение должно производиться по ансамблю статистически независимых случайных функций |р и ^ф (21), с которыми связаны амплитуда р (/) (28) и фаза ср (/) (29).
В соответствии с проведенным выше анализом в области, значительно выше порога генерации, флуктуации амплитуды р, 3 малы (0《р, р = р —р), а флуктуации фазы описываются уравнением (40). Вследствие этого функцию (46) можно представить в виде
В*(т) = $(Р2 + <Р^»<со8(®от + Дф)>.(7.2.47)
Корреляционная функция (ррт) амплитудных флуктуаций дается формулой (38). Согласно (42) (sin А(р〉= 0, a (cos А(р〉= ехр (—Dt/2). Поэтому
(cos ((dot +А(р)) = (cos А(р) cos(dot = e~ ds cos &0工・(7.2.48)
Таким образом, с учетом (48) и (28) корреляционная функция (47) принимает вид (т 0)
Вх (т) =~ (声十。記-k)l di/2 c0S ①隔.(7.2.49)
Соответствующий (49) спектр колебаний дается выражением
G (з)=翌 j 瓦⑴小т dt = Gi (з) + Gz(3),(7.2.50)
где согласно формулам (1.3.31)
Gi(s) =^^ [患)+(s-①口户],(7.2.51a)
©(3)=雾儀 +p)[(p+^y+3 -3。)『 心0. (7.2.516)
Спектр Gt ((«) обусловлен только флуктуациями фазы, а спектр G2 (①)связан как с амплитудными, так и с фазовыми флуктуациями. Вид спектра (50) показан на рис. 7.5.
В отсутствие флуктуаций (D = 0tap = 0) спектр колебаний представлял бы собой 6-функцию:
G (со) = Gi (со, 0) р% (со — в。).
В реальных условиях наличие шума и вследствие этого флуктуаций амплитуды и фазы приводит к размытию спектральной линии. Поскольку О®》而 и р》D, спектр (50) — (51) состоит из узкой спект
ральной линии шириной D и широкой более слабой линии (фона) шириной D + 2p (рис. 7.5). В окрестности узкой линии вкладом амплитудных флуктуаций можно пренебречь и для спектра колебаний пользоваться формулой
°(®)~ 8л [(D ⑵軍3-5)2].(7.2.52)
Коэффициент диффузии D (41) определяет естественную ширину А①尸 спектральной линии колебаний генератора. Выпишем явное выражение ддя Ао)@, пользуясь (18) и формулами для спектральных
плотностей теплового и дробового шумов (3.4.10) и (2.8.71):
А5 =攀我=嘉昆+ ^4(7.2.53)
Будем характеризовать действие шума эффективной шумовой температурой Т*:
Тогда (53) принимает вид
А(ое = 2kT*o?IR^.
Средняя мощность генератора, выделяемая на сопротивлении R, есть P = Rp2/2； ширина спектра невозбужденного колебательного контура А/к = а/л. Следовательно,
Ад =炉(U кТ*/Р・(7.2.54а)
Если воспользоваться выражением для добротности колебательного контура Qo =(о0/2л Д/к, то
^e = n2f^T^/QlP.(7.2.546)
Оценим естественную ширину линии колебаний. Возьмем Т* 〜19 к, Qo=100, /о = 105 Гц и Ря« 1 мВт. В этом случае Ай)е~3・10-'° Гц. Относительная ширина линии А/е//о^ 10 15. Из рассмотренного примера видно, что естественная ширина линии генератора чрезвычайно мала.
О корреляции флуктуаций амплитуды и фазы. В томсоновском генераторе в режиме развитой генерации флуктуации амплитуды и фазы, как следует из уравнения (40), не коррелированы. Однако существует важный класс автоколебательных систем, так называемых неизохронных генераторов, для которых частота колебаний непосредственно зависит от амплитуды. К таким генераторам относится, например, отражательный клистрон. В надпороговом режиме генерации клистрона укороченное уравнение для фазы имеет вид (см. [4], с. 469)
令=—^оР + (®о/р) ^ф (/),
где(70 — параметр неизохронности генератора. Флуктуации амплитуды р описываются уравнением (35).
В рассматриваемом случае флуктуации фазы ср содержат компоненту, связанную с амплитудными флуктуациями. Поэтому в корреляционной функции колебаний (46) амплитудные и фазовые флуктуации оказываются коррелированными. Данное обстоятельство приводит к несимметричному спектру колебаний. Этим замечанием мы здесь и ограничимся, подробное рассмотрение спектра колебаний неизохронного генератора можно найти в [4].
Стационарные колебания вблизи порога самовозбужд ения; анализ методом статистической линеаризации. Проведенный выше анализ естественной ширины линии колебаний выполнен в предположении, что в режиме развитой генерации (высоко над порогом) в фазовом уравнении (12) огибающую р можно заменить средним значением р. Чтобы получить более общий результат, включающий пороговую область, мы воспользуемся методом статистической линеаризации (см. § 7 гл. 1). Однако сначала покажем, что для средней интенсивности колебаний этот метод приводит практически к тем же результатам, которые следуют из изложенного в начале параграфа более строгого анализа. В рассматриваемом случае удобно исходить из уравнения (9) для комплексной амплитуды А.
Статистически линеаризованное уравнение (9) принимает вид (см. также (1.7.76))
箒 + (а — 6) / + 2哪炉/ = &0Tl ⑴，(7.2.55)
где а2 = / = (I Л |2)/2 — средняя интенсивность колебаний, т — подлежащий определению численный коэффициент. Перейдем к уравнению для средней интенсивности колебаний
警+ 2(а-6)o2 + 4mBd = ^3o〈r)(f) /* (/)〉+ к. с.
Среднее значение справа в полученном уравнении найдем подобно тому, как это было сделано при определении |р:
(Т] «)/*«)〉+ < с. =〈Т]/*(к)〉+ к. с.=
=g，⑺(О(，)〉df + к. с・=几
Здесь использовано соотношение (196). Таким образом, окончательно имеем
等 _2w2 + 4加阿=子3渔.(7286)
В методе статистической линеаризации величину т выбирают так, чтобы интенсивность а2 в случае большого превышения порога (р>0) совпадала со значением интенсивности, получаемым из строгого расчета. При этом автоматически получается правильное значение для 02 HB случае р <0, когда нелинейность вообще несущественна. Таким образом, коэффициент т подлежит определению из условия。2 =吃 при р > 0.
Стационарное значение а2 удовлетворяет уравнению
4m0of4 — 2Pо? = (л/2)啸Gg, откуда, учитывая (14) и (15), получаем:
。2 = (1/4т) (е — 1) рХ 1 土 /1 十 8m(е-1)-2<?}・(7.2.67)
Здесь знак минус соответствует ewl (ниже порога), а знак плюс —1 (выше порога) и введено обозначение
Q2 =几碇 G&/4Вр^・
При очень большом превышении порога
а2 = (е- 1) p/2m, Q/e<l.(7.2.58)
Ранее же 6Hqe показано, что гораздо выше порога генерации огибающая ко】е6аний описывается распределением (326), а ее флуктуации малы. Иначе говоря, при очень большом превышении порога интенсивность колебаний почти не флуктуирует и, следовательно (см. (15) и (336)),
а2 =〈р2〉/2 弋 р2/2 = р2/2 = р^(е— 1)/2.(7.2.59)
Сравнивая (58) и (59), находим, что т=\.
В соответствии с (57) средняя интенсивность колебаний в контуре, находящемся под воздействием шума, следующим образом зависит от параметра накачки:
о2 _
'0,5(1-е)[]/1+8(е—1)TQ2 _ 1]
(ниже порога, £V1),
(7.2.60)(7.2.60)M?Q(на пороге, е= 1),
(7.2.60)
(7.2.60)
0,5(е- 1) [H+8(e-l)TQ2 + "
(выше порога, 1).
На рис. 7.6 представлены две зависимости а2 от параметра е, одна из которых построена по формуле (60), а другая найдена с помощью (336). Можно констатировать хорошее совпадение обеих кривых. Это обстоятельство дает нам основание для использования метода статистической линеаризации при расчете других статистических характеристик колебаний.
Обратимся к корреляционной функции колебаний В (т)= =〈//*〉/2. Воспользуемся уравнением (55), принимая во внимание значение 1. Тогда можно получить
噌• + (200—)в(工)=о.
Отсюда находим
(7.2.61)(7.2.61)В (т)=炉exp {— (20。2 — p)\% |}.
(7.2.61)
(7.2.61)
Корреляционцрй функции соответствует лоренцевский спектр с шириной по половинному уровню
А(ое = 2 (2ра2 —р).
Подставив сюда (60), получим зависимость ширины линии гене
рации от параметра накачки:
(1-е) [”l+8(e-l)-2Q2 + 1 ]
(ниже порога, е^ 1),
(7.2.62)(7.2.62)2/2Q(на пороге, е = 1),
(7.2.62)
(7.2.62)
(£ — 1) М1+8(£—1『20 _ 1]
(выше порога, е^ 1).
Зависимость ширины изображена на рис.Зависимость ширины изображена на рис.венновеннопорогупорогулинии колебаний от параметра накачки & 7.7. В области, примыкающей непосредст-линии колебаний от параметра накачки & 7.7. В области, примыкающей непосредст-генерациигенерации(£^ 1), имеет место резкая, практически скачкообразная зависимость.Из (61) и (62) следует интересный факт: средняя интен-(£^ 1), имеет место резкая, практически скачкообразная зависимость.Из (61) и (62) следует интересный факт: средняя интен-=2a3/Qp2 колебаний автогенератора в зависимости от параметра накачки е.=2a3/Qp2 колебаний автогенератора в зависимости от параметра накачки е.Кривая / построена с помощью формулы (336). вытекающей из уравиеиия Фоккера— Плаика; кривая 2—по формуле (60), иай- деииой методом статистической линеаризации.Кривая / построена с помощью формулы (336). вытекающей из уравиеиия Фоккера— Плаика; кривая 2—по формуле (60), иай- деииой методом статистической линеаризации.Рис. 7.7. Относительная ширина спектраколебаний генератора Д(ое/Д(ое (&=0)в зависимости от параметра накачки е[53].Кривая соответствует значению Q*=5-10~*o.Рис. 7.7. Относительная ширина спектраколебаний генератора Д(ое/Д(ое (&=0)в зависимости от параметра накачки е[53].Кривая соответствует значению Q*=5-10~*o.
Зависимость ширины изображена на рис.
Зависимость ширины изображена на рис.
венно
венно
порогу
порогу
линии колебаний от параметра накачки & 7.7. В области, примыкающей непосредст-
линии колебаний от параметра накачки & 7.7. В области, примыкающей непосредст-
генерации
генерации
(£^ 1), имеет место резкая, практически скачкообразная зависимость.
Из (61) и (62) следует интересный факт: средняя интен-
(£^ 1), имеет место резкая, практически скачкообразная зависимость.
Из (61) и (62) следует интересный факт: средняя интен-
=2a3/Qp2 колебаний автогенератора в зависимости от параметра накачки е.
=2a3/Qp2 колебаний автогенератора в зависимости от параметра накачки е.
Кривая / построена с помощью формулы (336). вытекающей из уравиеиия Фоккера— Плаика; кривая 2—по формуле (60), иай- деииой методом статистической линеаризации.
Кривая / построена с помощью формулы (336). вытекающей из уравиеиия Фоккера— Плаика; кривая 2—по формуле (60), иай- деииой методом статистической линеаризации.
Рис. 7.7. Относительная ширина спектраколебаний генератора Д(ое/Д(ое (&=0)в зависимости от параметра накачки е[53].
Кривая соответствует значению Q*=5-10~*o.
Рис. 7.7. Относительная ширина спектраколебаний генератора Д(ое/Д(ое (&=0)в зависимости от параметра накачки е[53].
Кривая соответствует значению Q*=5-10~*o.
сивность н ширина линиисивность н ширина линииколебаний подчиняются соотношению
сивность н ширина линии
сивность н ширина линии
(7.2.63)(7.2.63)Аюе=лсо^/2п2,
(7.2.63)
(7.2.63)
которое не зависит от параметра накачки 8. Выражение (63) в режиме существенно выше порога генерации, когда имеет место соотношение (59), дает значение Ar в два раза большее, чем значение, определяемое (53).
Сравним еще выражение (63)для случая ниже порога генерации с результатом, полученным непосредственно из уравне-
ния (9). Полагая в (9) р = 0, для комплексной амплитуды Л получаем уравнение
号"+ рА = 80rl (О»
в соответствии с которым корреляционная функция В (т) равна
8“) = ^嘲 G&eT。工(7.2.64)
При выводе (64) учтено соотношение (196). Ниже порога генерации средняя интенсивность колебаний равна
/ =炉=击S2&，(7.2.65а)
а ширина спектра колебаний
А(ое = 21 р |.(7.2.656)
Следовательно, в этом случае
А(ое =冗碇 GJ2cA(7.2.66)
Выражение (66) в точности совпадает с (63). Таким образом, расчеты в приближении метода статистической линеаризации дают значение ширины линии колебаний, завышенное в два раза в области выше порога генерации 佃》1). Вместе с тем (62) позволяет достаточно точно оценить ширину спектра генерации вблизи (е~1) и ниже (е <С 1) порога генерации.
§ 3・ Установление колебаний в генераторе.
Нестационарная статистика устанавливающихся колебаний
Выше мы проанализировали установившиеся колебания в генераторе. В настоящем параграфе будет рассмотрен процесс установления колебаний. Если «затравкой» самовозбуждающихся колебаний служит собственный шум генератора, начальная амплитуда колебаний, возникающих при включении усиления или обратной связи, представляет собой случайный процесс. Случайной величиной оказывается и время достижения установившейся амплитуды автоколебаний [52]. Анализу статистических характеристик амплитуды и времени достижения заданного уровня амплитуды устанавливающихся колебаний и посвящен данный параграф.
Изменение огибающей в процессе установления колебаний в генераторе описывается уравнением (7.2.28):
р + [—p + Bp2]p = ^Gg +嗝⑴.(7.3」)
Статистические свойства случайной силы |р (t) (7.2.216) определяются (7.2.26); р = 6—а.
Для случая «запуска» генератора от шумов начальная амплитуда Ро = Р (^ = 0) является случайной величиной. Функцию распределения Wq (р0) естественно считать рэлеевской:
叫(Р°) = ^ехр {—舞},(7.3.2)
где а§ — интенсивность начального шума, т. е. соответствующего моменту времени / = 0.
Для выяснения физики изучаемого процесса решение уравнения (1) целесообразно разбить на два этапа;
сначала, полагая G^sO, исследовать статистические характеристики амплитуды устанавливающихся колебаний, связанные только с флуктуациями начальных условий;
далее рассмотреть возмущения вычисленных указанным способом амплитудных траекторий случайной силой |р (f).
Напомним, что, поскольку в настоящем параграфе рассматриваются существенно нестационарные случайные процессы, все усреднения понимаются в смысле усреднения по ансамблю реализаций.
Статистические характеристики амплитуды в отсутствие флуктуационной силы. В этом случае G^ = 0 и уравнение (1) оказывается аналогичным уравнению (1.6.4). Решение последнего (1.6.5) в обозначениях настоящего параграфа имеет вид
Р ⑴=Р8 [1 + 時-1 卜厂=F (р0),(7.3.3)
где т = pt/2t poo — установившееся стационарное значение амплитуды, вычисленное при G^ = 0 (см. также (7.2.14)):
Pw = р/Р(7.3.4)
(рассматриваем надпороговый режим генерации, р>0). Статистический ансамбль реализаций процесса установления амплитуды (3) показан иа рис. 1.14.
Функцию распределения амплитуды wt (р) найдем, воспользовавшись соотношением (1.2.11):
山,(0=叫[尸一】9川竺詳J,(7.3.5)
где F-1 (р) — обратная функция; p()= Qi(p). Интересно заметить, что она получается из (3) заменой р — р。и —七
Po=P8[l + (*—1 卜『'“ =F，(Р)・(7.3.6)
После преобразований с учетом (2) для нестационарной функции распределения амплитуды устанавливающихся колебаний получаем 2Kop⑶fК()р2、
耽(р) = {р2+(р£_ру}2 exp 卜-严蕊干可}，(737)
где Ко = р5о/2咻
Функция распределения (7) обладает следующими свойствами.
При т = 0 она, как и следовало ожидать, переходит в рэлеевскую функцию распределения (2). При т->оо
电(р)~ 2К°「^^ехр { — К°「』}.
Отсюда видно, что при Ko^'f 0 функция распределения становится все уже, превращаясь в пределе в 6-функцию, причем
Рис. 7.8. Распределение амплитуд устанавливающихся колебаний ^^(р/роф) для параметра Ко = 2・ 104 и различных зиачеииб безразмерного времени Т==р〃2.Рис. 7.8. Распределение амплитуд устанавливающихся колебаний ^^(р/роф) для параметра Ко = 2・ 104 и различных зиачеииб безразмерного времени Т==р〃2.экстремум имеет место при р = Роо. Сказанное иллюстрируется рис. 7.8, 7.9, откуда также следует, что нестационарная дисперсия амплитуды в процессе установления колебаний сначала нарастает, проходит через максимум и затем уменьшается.
Рис. 7.8. Распределение амплитуд устанавливающихся колебаний ^^(р/роф) для параметра Ко = 2・ 104 и различных зиачеииб безразмерного времени Т==р〃2.
Рис. 7.8. Распределение амплитуд устанавливающихся колебаний ^^(р/роф) для параметра Ко = 2・ 104 и различных зиачеииб безразмерного времени Т==р〃2.
Рис. 7.9. Распределение амплитуд Wf (р/роо) Для отражательного клистрона [11].Рис. 7.9. Распределение амплитуд Wf (р/роо) Для отражательного клистрона [11].Точки — экспериментальные данные для раэнцх моментов времени /: /) 520 и с; 5) 550 нс； 3) 590 нс; 4) 660 ис. Моменту 『6 Соответствует включенне генератора.
Рис. 7.9. Распределение амплитуд Wf (р/роо) Для отражательного клистро
на [11].
Рис. 7.9. Распределение амплитуд Wf (р/роо) Для отражательного клистро
на [11].
Для количественного исследования поведения дисперсии амплитуды вычислим среднюю р и среднеквадратичную р2 амплитуды
колебаний:
Р = \ pw(P)dp = \ 尸(ро)山(po)dpo,оо
М = j р?5 (р) dp = j 尸(p0) w (p0) dp。.
оо，
Подставляя сюда (2), (3) и пользуясь табличными интегралами 3.383 (ГР, с. 333), получим
Р = (1 —L)-/2“ ⑺/2«7т72f2(К ⑴)，(7.3.8)
标=2酸长2(1；)内研(一1, ^(T)).(7.3.9)
Здесь W_4^ i/2 U)—функция Уиттекера, Г (а, х) — неполная гамма-функция и введено обозначение
К (т) = р^/[2а§(ет-1)].(7.3.10)
В большинстве практических случаев отношение K()= p^o/2uj весьма велико (^~ 104— 106, а в ряде случаев ~ 109), так что для большей части процесса установления можно принять К(т;)》1. При этом формулы (8), (9) можно упростить. Так, для (9), воспользовавшись представлением Г (а. х) в виде непрерывной дроби:
「 /、хае~х
F (% %)=匚^-
十 2 一。
]十不二7
получаем
1+照/4力一1产l1+照/4力一1产l(7.3.11)(7.3.11)
1+照/4力一1产l
1+照/4力一1产l
(7.3.11)
(7.3.11)
Следует помнить, что выражение (11) справедливо для не слишком больших значений т в силу условия K(t)》1.
Пользуясь соотношениями для гамма-функций'
г (а, х)=Г(а)-у(а, х), Ly(a, х)= £ ^^ ,л —0
нетрудно убедиться, что при больших временах т^(т)< 1) независимо от величины начальных 4)луктуапи访 достигается одинаковое установившееся значение интенсивности колебаний р2 = р?о.
На рис. 7.10 показано временное поведение дисперсии амплитуды Qp ^ р2 — р2, на访денное с помощью (8) и (9). Интенсивность начальных флуктуаций。力 влияет на время /у достижения заданного уровня средней интенсивности. Если 卩'(2)/р£= 1 — %, £о《1.
то согласно (3)
2% = % = In (管 一 D 吋〜喷吋.(7.3.12)
Пользуясь (2) и (3), можно найти одномерную функцию распределения времени достижения определенного уровня амплитуды p(f)= p. Для этого время f необходимо рассматривать как функцию р0. Вычисления, подобные примененным для расчета (7), дают
叫⑴f雷耳俨｛一川+惟一 )e『｝. (7.3.13)
Распределение (13) показано на рис. 7.11. Детальный анализ статистических характеристик времени т на основе (13) возможен только с привлечением численных методов.
Рис. 7.10. Нестационарная относительная дисперсия амплитуды колебаний 幅=。許标=(声一рВ/р£ для параметра К。= 200 (/) и 2 - 104 (2).Рис. 7.10. Нестационарная относительная дисперсия амплитуды колебаний 幅=。許标=(声一рВ/р£ для параметра К。= 200 (/) и 2 - 104 (2).Рис. 7.11. Функция распределения времени достижения уровня ра (0 = ^Р^)*Рис. 7.11. Функция распределения времени достижения уровня ра (0 = ^Р^)*
Рис. 7.10. Нестационарная относительная дисперсия амплитуды колебаний 幅=。許标=(声一рВ/р£ для параметра К。= 200 (/) и 2 - 104 (2).
Рис. 7.10. Нестационарная относительная дисперсия амплитуды колебаний 幅=。許标=(声一рВ/р£ для параметра К。= 200 (/) и 2 - 104 (2).
Рис. 7.11. Функция распределения времени достижения уровня ра (0 = ^Р^)*
Рис. 7.11. Функция распределения времени достижения уровня ра (0 = ^Р^)*
Для значений т, при которых К(т)》1, генератор ведет себя как линейный контур с отрицательным сопротивлением. В связи со сказанным, полагая в (7) и (13) р《р8, нетрудно получить упрощенные выражения
(р) = ^ГехР [- 2^г].(7.3.14)
叫⑴=^ехр {-卜+矗L)}.(7.3.15)
На рассматриваемом линейном этапе функция распределения амплитуды (14)является рэлеевской с экспоненциально нарастающей
дисперсией
咏(0 = 0,5 (4 — л)喙т.
Функция распределения времени (15) — несколько несимметричная, с максимумом при
*пах = 1П р2/2(?6
(7.3.16)
(^тах = 2ттах/р — наивероятнейшее время достижения амплитуды р) и дисперсией
g = (0,64/p)2.
(7.3.17)
Влияние флуктуационной силы на статистические характеристики амплитуды. Наличие флуктуационных сил (правая часть уравнения (1)) вносит возмущение в рассмотренные выше амплитудные траектории. Прн проведении количественной оценки можно зафиксировать начальное значение амплитуды р0 и исследовать флуктуационное размытие выбранной амплитудной траектории, а затем воспользоваться статистическими характеристиками амплитуды р—
Рис. 7.12. Экспериментальная функция распределения ^0.5Роо (f) времени дости- ★ення амплитуды р, равной половине установившейся, в различных точках области генерации клистрона [11].
Параметром кривых является отрицательное напряжение иа отражателе %市 О 135,5 В (генерируемая мощность максимальна, Ртах);
2) 139 В： 3) 142 В： 4) 144 В (Р=0>4/5тах). *
Как было показано выше, флуктуации влияют на ее установившееся значение.
В общем случае флуктуации начальной амплитуды р0 и флуктуации внешней силы влияют неад- днтнвно на интенсивность колебаний. Вместе с тем в некоторых случаях исследование нестационарной статистики устанавливающихся колебаний при наличии флуктуационной силы угается свести к задаче исследования установления колебании в генераторе со случайной амплитудой [11]..
Следует подчеркнуть, что сказанное нельзя распространить на установившийся режим генерации, начальной амплитуды колебаний не В то же время, как следует нз § 2,
флуктуационная сила вызывает флуктуации амплитуды колебаний и в режиме развитой генерации.
Отметим, что экспериментальное исследование статистических характеристик амплитуды н времени для достижения определенного уровня амплитуды в процессе установления колебаний описано в [11], где получено согласие с теорией (см. также рис. 7.12). К вопросу о статистических свойствах колебаний в процессе установления мы еще вернемся в § 5.
§ 4. О флуктуациях в генераторе с несколькими устойчивыми состояниями. Одноконтурный параметрический генератор
Рассмотренный в предыдущих параграфах томсоновский генератор с мягким самовозбуждением (кубичной нелинейностью) является типичным примером генератора с устойчивой амплитудой и произвольным значением фазы. Характер установившегося движения в генераторах подобного типа определяется в основном динамическими силами системы. Иное положение для генераторов с несколькими устойчивыми состояниями, различающимися амплитудами или фазами, в которых выбор того или иного состояния определяется начальными условиями. В этих генераторах роль флуктуационных воздействий, в особенности воздействий на начальных этапах процесса установления колебаний, принципиальна: флуктуации существенно влияют на характер установившегося движения, определяя в ряде случаев выбор устойчивого состояния. Последнее обстоятельство представляет наибольший интерес при изучении флуктуационных явлений в таких генераторах [12 — 14]. Анализ особенностей процесса установления в генераторах с несколькими устойчивыми состояниями мы проведем на примере одноконтурного параметрического генератора, обладающего двумя устойчивыми состояниями, отличающимися фазой генерируемых колебаний.
Будем рассматривать одноконтурный параметрический генератор с переменной емкостью (см. рис. 6.2), в котором ограничение стационарной амплитуды колебаний происходит за счет нелинейного сопротивления с инерционной квадратичной характеристикой [1]: R = Ro + 20〃2 (усреднение производится по периоду колебаний). Колебания в таком генераторе описываются уравнением (ср. с (6.2.3))
〃 + 2(а + 20修)ii + 噺｛1 + 加 sin (sJ + Wh)｝ 〃 = 0, (7.4.1) где u — напряжение на постоянной емкости, соо —собственная частота контура, т — коэффициент модуляции емкости.
Если решение уравнения (1) искать в виде
и (0 = р(о cos (； з/ + ； <Рн — 屮⑴)，(7.4.2)
где р (/) и ср (f) — медленно меняющиеся амплитуда и фаза, то соответствующие укороченные уравнения параметрического генератора принимают вид
需=р [ — а + 喙 cos 2(р —瞅｝(7.4.3)
絹=Люн —賢^ sin 2(p.(744)
Здесь /i = [1/4o)h —(ooj/o)H ——относительная отстройка.
Для простоты будем считать й = 0 (сои = 2(оо). В этом случае
(7.4.5)(7.4.5)стационарные значения фазы определяются выражением sin 2фоо = 0.
(7.4.5)
(7.4.5)
Из (5) получаем четыре возможных значения фазы:
Фоо = 0, л/2,— л/2,Фоо = 0, л/2,— л/2,л.л.(7.4.6)(7.4.6)
Фоо = 0, л/2,— л/2,
Фоо = 0, л/2,— л/2,
л.
л.
(7.4.6)
(7.4.6)
Для фаз 屮8 =冗/2 и фоо =Для фаз 屮8 =冗/2 и фоо =Рис. 7.13. Области притяжения стационарных фаз одноконтурного параметрического генератора (разделены сепаратрисой С).Рис. 7.13. Области притяжения стационарных фаз одноконтурного параметрического генератора (разделены сепаратрисой С).
Для фаз 屮8 =冗/2 и фоо =
Для фаз 屮8 =冗/2 и фоо =
Рис. 7.13. Области притяжения стационарных фаз одноконтурного параметрического генератора (разделены сепаратрисой С).
Рис. 7.13. Области притяжения стационарных фаз одноконтурного параметрического генератора (разделены сепаратрисой С).
—л/2 (cos 2(poo = cos л = — 1) параметрические колебания подавляются. Фа- зы фоо = 0 и фоо = л (coscpoo == 1) соответствуют устойчивым параметрическим колебаниям, для этих значений фаз энергия накачки передается колебаниям.
Из (3) при р = 0 следует, что в параметрическом генераторе возможны два устойчивых состояния, которым соответствует одинаковое значение установившейся амплитуды и различные значения установившейся фазы, отсчитываемой от накачки, и которые сдвинуты друг относительно друга на л. Общее представление о характере переходных процессов в пара
метрическом генераторе может быть получено из рассмотрения фазовой плоскости системы (рис. 7.13), построенной в координатах у~р sin ср, х = р cos ср для общего случая 九 W 0.
Решение уравнения (4) при 九=0 имеет вид
(7.4.7)(7.4.7)<p = arctg[e-ro4g(р0], фо = ф(/ = О),
(7.4.7)
(7.4.7)
т. е. процесс установления фазы характеризуется временным масштабом
<7.4.8)<7.4.8)/ф = 1 /Г °,Г о = /ИСОн*
<7.4.8)
<7.4.8)
Подставляя (7) в (3) и полагая Рр2 <^а, найдем закон изменения амплитуды р (0 на линейном этапе процесса установления:
р (f) = р0 {cos2(ро + е-2Го/ sin2(po}i/2。(「。俘-口)厶(7.4.9)
Видно, что при t>t$ имеет место экспоненциальный рост амплитуды с инкрементом, равным Го/2 — а. Дальнейшее поведение амплитуды на нелинейном этапе совершенно аналогично таковому для томсоновского генератора (см. § 3).
Вероятность возбуждения устойчивых состояний; квантование фазы* Рассмотрим влияние флуктуационных начальных условий на возбуждение параметрического генератора. Статистик; начального «шума» естественно принять гауссовской, т. е. функции
ских колебаний для различных моментов времени T = Fd： 4 0； 2) 0,5; 3) 1,0; 4) 3,0.ских колебаний для различных моментов времени T = Fd： 4 0； 2) 0,5; 3) 1,0; 4) 3,0.распределения амплитуды и фазы начального колебания имеют ВИД
ских колебаний для различных моментов времени T = Fd： 4 0； 2) 0,5; 3) 1,0; 4) 3,0.
ских колебаний для различных моментов времени T = Fd： 4 0； 2) 0,5; 3) 1,0; 4) 3,0.
^о(Ро) = Д ехр {- Д}. g ®) = 1/2", -л<ф0<л. (7.4.10)
Пользуясь соотношениями (7), (10) и формулами преобразования функций распределения для функционально связанных величин (см. § 2 гл. 1, а также предыдущий параграф), для нестационарной функции распределения фазы находим
"明 2л cos2 ср -}-еГо^ sin2 ср
(7.4.11)
Графики функции распределения (11) приведены на рис.
7.14. Видно, что с ростом времени / вблизи стационарных фаз фоо = 0, л формируются два горба плотности вероятности. В пределе при f 一> оо плотность вероятности фазы ⑵8 (ср) = 0 всюду,
где 屮声屮в, и испытывает дельтообразные выбросы при ср = 0, л (см. также рис. 2.8 и с. 425 и 447).
В соответствии с (7) вероятность возбуждения устойчивых состояний определяется только функцией распределения начальной фазы:
Л/2— л/2
Л(Ф = °)=\ g (屮o)d<₽。，^2 (ф = л) = \ 叫(<po)d(Po. (7.4.12)
-л/2市2
Значениям (р0~± л/2 соответствует сепаратриса на фазовой плоскости (см. рис. 7.14).
В случае равномерной функции распределения фазы (10)
尸1 =p2 = 1/2,
т. е. вероятности возбуждения колебаний с фазой 0 или л равны. В общем случае для функции wQ (ф0), отличной от (10),尸】# 尸?• Если запуск параметрического генератора происходит от шумов, представляющих собой сумму гауссовского шума и регулярного сигнала uc = pccos (соо/Н-(рс), то согласно формуле (2.4.69)
1
(7.4.13а)(7.4.13а)侬(屮仆)+ cos(q>0 — фр).
(7.4.13а)
(7.4.13а)
17 С. А. Ахманов и др.
Теперь получим
Р. 2 = g 土 у丘 а соз<Рр・ (7.4.136)
Разность вероятностен возбуждения рассматриваемых фаз Ойл
АР(0) = Рх - Ра = 2 ^^- cos Фс (7.4.14) зависит не только ©т отношения начальных интенсивностей регулярного колебания и гауссовского шума, но и от фазы колебания. Знак А尸 позволяет при многократных запусках параметрического генератора определить, в какой интервал, ( —л/2, л/2) или (л/2, —л/2), попадает фаза (рс начального регулярного колебания. Знание величин АР и рс/а0 позволяет, очевидно, найти значение и самой фазы(рс (13), (14).
Таким образом, параметрический генератор производит, по существу, квантование фазы. В такой системе сигнал на выходе имеет строго постоянную амплитуду (реализуется «идеальное» амплитудное ограничение), а его фаза определяется фазой входного сигнала. При этом непрерывному множеству значений входной фазы в одноконтурном параметрическом генераторе сопоставляется два значения выходной фазы. Квантование фазы, в отличие от квантования амплитуды, представляет собой квантование «по интервалу»: область изменения фазы, приведенной в большинстве случаев к интервалу периодичности (0, 2л). делится на £ подынтервалов, заключенных между значениями фазы (屮匕 屮ц)・ При попадании фазы 屮 квантуемого сигнала в интервал (屮“屮t+i) квантующее устройство выдает сигнал с одной и той же фазой.
Обработка таким образом квантованного сигнала в фазовых системах позволяет преобразовать фазовую информацию в амплитудную. Для регистрации амплитудных сигналов уже можно использовать цифровые способы. Такой метод находит применение в технике фазовых измерений, в технике обнаружения слабых сигналов на фоне шумов [10, 14]. .
Флуктуационные переходы из одного устойчивого состояния в другое. В проведенном анализе учитывались только случайные начальные условия или предосцилляционные шумы. Весьма существенными для параметрических генераторов оказываются н эффекты, связанные с воздействием флуктуационных сил на процесс установления колебаний. Флуктуационные силы в параметрическом генераторе могут приводить к переходу фазы из одной области притяжения в другую [15].
Для исследования флуктуационных переходов в правую часть уравнения (1) необходимо добавить случайную силу(оо^ (f). Тогда фазовое уравнение (4) принимает вид (ср. с (7.2.29))
Рис. 7.15. Нормированная потенциальная функция U (q?) (17) силового поля:Рис. 7.15. Нормированная потенциальная функция U (q?) (17) силового поля:/) —O.Itp—cos2(p; 2) —cos2(p—О,5соч(р; 3)—cos2q)： 4) — cos2g)—2cosср. Кривая / построена для автономного параметрического генератора. Кривые 2, 4 построены для генератора, находящегося под воздействием внешней гармонической силы с частотой, равной частоте параметрических колебаний, и фазой, равной одной нз стационарных фаз автономного генератора./) —O.Itp—cos2(p; 2) —cos2(p—О,5соч(р; 3)—cos2q)： 4) — cos2g)—2cosср. Кривая / построена для автономного параметрического генератора. Кривые 2, 4 построены для генератора, находящегося под воздействием внешней гармонической силы с частотой, равной частоте параметрических колебаний, и фазой, равной одной нз стационарных фаз автономного генератора.
Рис. 7.15. Нормированная потенциальная функция U (q?) (17) силового поля:
Рис. 7.15. Нормированная потенциальная функция U (q?) (17) силового поля:
/) —O.Itp—cos2(p; 2) —cos2(p—О,5соч(р; 3)—cos2q)： 4) — cos2g)—2cosср. Кривая / построена для автономного параметрического генератора. Кривые 2, 4 построены для генератора, находящегося под воздействием внешней гармонической силы с частотой, равной частоте параметрических колебаний, и фазой, равной одной нз стационарных фаз автономного генератора.
/) —O.Itp—cos2(p; 2) —cos2(p—О,5соч(р; 3)—cos2q)： 4) — cos2g)—2cosср. Кривая / построена для автономного параметрического генератора. Кривые 2, 4 построены для генератора, находящегося под воздействием внешней гармонической силы с частотой, равной частоте параметрических колебаний, и фазой, равной одной нз стационарных фаз автономного генератора.
Статистическ：1с характеристики 三竹 определяются (7.2.27):
% =。，化展г・т〉= 1/2冗 Gg3"), (7.4.16) где G^ ——спектральная плотность 6-коррелированного случайного процесса ЕС). Уравнение (15) в общем случае является нестационарным, что обусловлено зависимостью от времени амплитуды р (/).
Можно дать наглядную интерпретацию флуктуационным явлениям при установлении фазы, если сопоставить движению фазы в параметрическом гене
раторе одномерное движение брау- новской частицы в силовом поле, потенциал которого
U (ср) = Л(он(р — ^ cos 2(р. (7.4.17)
График функции U (ср) изображен на рис. 7.15. Потенциальная функция U (ф) является периодической. Мии имумы U (屮)(потенциальные ямы) соответствуют устойчивым состояниям параметрического генератора, максимумы (потенциальные барьеры) — сепаратрисам.
В отсутствие флуктуационной силы (5(р = 0) процесс установления можно представить как скатывав ие в потенциальную яму изображающих точек, распределенных в момент времени / = 0 в соответствии с функцис；］ да0 (cplt). При наличии флуктуационной силы 三屮(£), наряду с движением в сторону потенциальной ямы возможны движения в сторону барьера. Иначе говоря, имеется определенная вероятность достижения барьера и перехода изображающей точки в другую область притяжения.
При этом возможные переходы
можно условно разделить на два ти
па: «краевые» и «глубинные». В первом случае (при временах ^<^(р) число точек, расположенных вблизи потенциального барьера, достаточно велико, а действие случайной силы g学(/)/р максимально. Поэтому вероятность «краевых» переходов велика. Во втором случае (f>f$), когда эффективное действие случайной силы 5(р (0/Р спадает как ехр { —(Г0/2—a)f}, подавляющее большинство изображающих точек находится вблизи потенциальной ямы, совершая малые колебания вблизи устойчивого состояния равновесия. Переходы через потенциальный барьер в 310M случае маловероятны,
Рассчитаем, следуя работе [15], влияние «краевых» переходов на вероятности Ргз (12). Поскольку в рассматриваемом случае фазовые траектории проходят в непосредственной близости от сепаратрисы, которой соответствует фаза Ф =(ргр (изображающие точки в момент Г = 0 расположены вблизи максимума потенциального профиля), уравнение (4) можно линеаризовать, представляя ср = ==Фгр + ®(0> |8|《1・
Для 6 имеем
^ + (m(oHcos2(prp) 6= у b(f)・(7-4.18)
При этом sin 2фгр = 2九/т. Поскольку cos 2(рго С 0 (см. также (6)), целесообразно ввести фазовый инкремент Г = — m(oH cos 2q)f р.
На рассматриваемом интервале времени (f V /$) амплитуда р приблизительно постоянна, поэтому из (18) имеем:■
0=[9о + ^(П]еГ/.(7.4.19)
где
во = в(< = 0),巾(/)= ^ , е~「％单(х) d*.о
Согласно (19) движение изображающей точки вблизи сепаратрисы является суперпозицией регулярного скатывания по закону 8P=8成°’ и случайных блужданий %/=*a)戸‘.
Для гауссовского случайного процесса 己学(f) условное нестационарное распределение w (力 6СЛ) (при фиксированном р = р0) является гауссовским:
尸”Ь^ехР {—爲},(7.4.2。)
с дисперсией о；, в соответствии с (19) равной
2Г/
吁 ^ет = -^-，卜- Г(*' +『)筛(V)^ (广)〉"dx".
о
С учетом соотношения (16).
吋端И(7421)
Примем для определенности, что область притяжения 1 соответствует 0<О, а область 2——8>0. Для условной вероятности перехода фазовой траектории, начинающейся с заданного значения 60, из области 1 в область 2 имеем
Р1т2(‘，8р)н，矶力 бел) ^^сл1(7.4.22)
Полная вероятность перехода из области 1 в область 2
讲 1 _*■ 2 (f) = \ ①(％) р] 2(，°р)"%，(7,4.23)
Вероятности перехода 卩，)一］и 沙2一］ даются формулами, аналогичными (22), (23)."
Очевидно, что, если функция распределения начальной фазы ^ (60) симметрична относительно сепаратрисы (таковым является и распределение ^ (0р)), вероятности ⑶］一2=环2一］ и краевые переходы не изменяют вероятностей Рь Р? возбуждения устойчивых состояний. Иная ситуация имеет место для условий, при которых функция 打(瓦)несимметрична относительно сепаратрисы.
Предположим, что запуск генератора происходит от суперпозиции регулярного сигнала и шума. При f = 0 разность вероятностей ДР (0) попадания фазы возбуждаемого колебания в область 1 или 2 дается формулой (14). В качестве меры влияния внешних сил на АР (0) удобно использовать величину (t > 0)
АР (0) _ АР (0)_ АР (0)/R (0
АР (f) = AP(0) — R ⑴ = APJR") — ］-
В статистическом ансамбле параметрических генераторов, самовозбуждающихся с начальным условием АР (0) =/= 0 и подверженных случайным воздействиям, флуктуационные переходы из одной области притяжения в другую будут приводить, очевидно, к выравниванию вероятностей Рг и Р2,「е. АР (f)-> 0 и, следовательно, Л1 (f ->со) ->со.
Для наиболее интересного случая максимального значения АР (0) функцию распределения (13а) вблизи сепаратрисы можно представить в виде ((pc =(prp= =л/2)
9。阳=^+歹悬际(7425)
Тогда, пользуясь (22).(23), (21) и (25), для t ^ ^ можно записать
Л/28
R(%, Pq)b2［鸣一2—砂］］2^_ f 瓦 £© 州亚嗨.(7426)
Отсюда, учитывая (14), получаем
ГЛ/2 со—1
_肃 叫二 3 < 00 ( e-x2dxM0 &4Q,(7.4.27)
L —л/2 86co」
где &)= 2po Mf7(o 匕t兔.
Для получения окончательного результата соотношение нужно усреднить по ансамблю реализаций, а именно по распределению teJ0(p0) (1。)、Тогда будем иметь
竺®.=»口 啤.(7.4.28)
R (f$)\ R (%, Po) /①伙
Величину pj нетрудно оценить, рассматривая колебания в невозбужденном контуре. Действительно, пользуясь линеаризованным уравнением (3) (р— 0), можно получить
р| = л(о26|/а.
Пользуясь формулой для величины Г и вводя добротность генератора Q0 = ©/2a, приходим к результату
^т^ a —8n2/nQo cos 2%р.
Полученный результат вполне понятен: с ростом коэффициента модуляции 加 уменьшается время установления фазы, т, е. увеличивается скорость скатывания изображающих точек в потенциальную яму, а с увеличением добротности Qo увеличивается роль начальных условий.
§ 5. Временная статистика колебаний одномодового лазера
В этом параграфе мы рассмотрим естественные флуктуации излучения квантовых генераторов оптического диапазона. Как мы убедимся ниже, эта задача оказывается во многом аналогичной задаче о естественных флуктуациях в томсоновском генераторе, рассмотренной в § 2.
Исходными уравнениями при полуклассическом описании процесса лазерной генерации являются уравнения Максвелла для электромагнитного поля и уравнение для матрицы плотности атомов среды. Электрическое поле внутри лазерного резонатора будем описывать уравнением (ср. с (4.3.3))
с?АЕ = 2а^+乔+ 4几而с?АЕ = 2а^+乔+ 4几而(7.5.1)(7.5.1)
с?АЕ = 2а^+乔+ 4几而
с?АЕ = 2а^+乔+ 4几而
(7.5.1)
(7.5.1)
Здесь эффективная проводимость а учитывает как активные потерн внутри резонатора, так и потери, обусловленные дифракцией и отражением на зеркалах-
Для анализа временных свойств лазерного излучения в большинстве случаев можно не рассматривать поперечную структуру лазерных пучков и учитывать изменение поля лишь вдоль оси резонатора (оси г). Решение уравнения (1) ищем, таким образом, в виде
E(f, z) = ^E9(t)Uq(z),QE(f, z) = ^E9(t)Uq(z),Q(7.5.2)(7.5.2)
E(f, z) = ^E9(t)Uq(z),Q
E(f, z) = ^E9(t)Uq(z),Q
(7.5.2)
(7.5.2)
где Uq (?) — собственные функции одномерного «резонатора»:
(7.5.3)(7.5.3)Ug (?)：= s i n kqZ, kq：= nq[I,
(7.5.3)
(7.5.3)
Z — длина резонатора, q — целое положительное число.
Подставим (2) в уравнение (1) и умножим на Uq (z). После интегрирования по г, учитывая ортогональность функций Uq (z), получим следующее уравнение для Eq (^):
(7.5.4)(7.5.4)d'%(/)d%(/)d^Pq (0
(7.5.4)
(7.5.4)
~d^ь 2a —^|- ®qEq == — 4л d"，
где 0q = c% и Pq (t) — пространственная фурье-компонента поляризации P(f, 2)：
(7.5.5)(7.5.5)Pg(f)= у f Р(^, Z)S\nkgZ 或.
(7.5.5)
(7.5.5)
Если процесс Р9 (/) квазимонохроматический со средней частотой со, то можно сделать замену
加 Pg2n
Выразим потери 2a через добротность Q§ g-й моды резонатора:
2a =(o/Qg.(7.5.6)
Тогда уравнение (4) принимает форму уравнения вынужденных гармонических колебаний:
d2Eq ① dEn г …
^^ = w A'(7.5.7)
Поле Eq (/) создается поляризацией Pg, которая в свою очередь создается атомами активной среды. Поэтому для решения самосогласованной задачи нужно произвести квантовомеханический расчет поляризации Р9, основанный на анализе поведения атомов в электрическом поле. Такой анализ выходит, однако, за рамки нашего рассмотрения. Поэтому здесь мы воспользуемся известными результатами. Пусть
Е (/) = Eq (/) = pcos (со/ + ср).(7.5.8)
Поляризация активной среды на частоте (о? при учете кубичной нелинейности может быть записана в виде [2, 16, 17, 19J
Pq (/) = [Rex + ReQ р2] р cos (co9f + 屮)+
+ [Imx+Im0 p2]psin(sj +(p).(7.5.9)
x и 9 — линейная и нелинейная восприимчивости среды, Re и 1ш означают соответственно действительную и мнимую части. Если предположить, что частота со。приходится на центр линии люминесценции активной среды (сод =(о0), то Imx = Re9 = 0. При этом уравнение (7) принимает вид, аналогичный (7.2.9)：
將一2(6一吁瞅借+嗚e=0, (7.5.10) где введены обозначения
6 =(о§ 1m х/2,0 =猊 Im 0/2.
Уравнение (10) описывает колебания в отсутствие шумового воздействия. Как и в томсоновском генераторе, собственные флуктуации в лазере приводят к появлению случайной внешней силы ” (/).
Естественными источниками шума в оптическом диапазоне являются тепловые шумы резонатора £ и спонтанное излучение атомов (молекул) активной среды ^сп; последнее играет особенно важную роль. С учетом шума лазера уравнение (10) следует записать в виде
際+ 2(а —6 + 瞅)洋 + 猊е = Е«), (7.5.11) где
三⑴=£«) + 2箱). (7.5.12)
Свойства феноменологически введенных 6-коррелированных случайных сил ^т (/) и ^сп (/) мы определим следующим образом. Спектральную плотность теплового шума в резонаторе лазера GT (со) можно непосредственно рассчитать, пользуясь результатами § 9 гл. 4. Что же касается спектральной плотности спонтанного шума Gcn (со) в инвертированной системе, то, как это обычно делается в квантовой электронике (см., например, [53], с. 236), мы определим ее вблизи порога генерации как «эквивалентный тепловой шум» среды с отрицательной температурой. Для этого в выражение для GT (со) надо ввести Определяемые инверсией отрицательную температуру и отрицательные потери.
Последовательное описание случайных источников в лазере должно базироваться на квантовой теории [24]. Отметим вместе с тем, что излагаемая ниже простая полуфеноменологическая теория правильно описывает такие основные характеристики, как ширина линии и уровень амплитудных флуктуаций лазера.
Спектр случайного источника； укороченные уравнения. Обратимся сначала к расчету тепловых флуктуаций в пассивном резонаторе (6 = р =0). при 5-том уравнение (11) принимает вид
泰+ 2時 + 猊Е = & (力 (7513)
Согласно (13) для спектральных амплитуд поля Е (/) имеем:
£(3)= *灣2s■£(3)= *灣2s■(7514)(7514)
£(3)= *灣2s■
£(3)= *灣2s■
(7514)
(7514)
Отсюда находим спектральную плотность флуктуаций поля：
Ge((o)Ge((o)(7.5.15)(7.5.15)Gt (①)= Gf (①)
Ge((o)
Ge((o)
(7.5.15)
(7.5.15)
O)5 — (О2 4- 2lW(Z 2 —(觴一0)2)2 千 4s2%2
Средняя энергия одной моды резонатора в окрестности частоты tu0
С 、1 ЛГ L
⑴(и)о)〉『)Ge (ut) ^^ 〜Д5ё^ qGiWu)* (7516)
В то же время энергия моды есть средняя тепловая энергия, равная (см. (4.9.18а))
(ш (со)) = Йсой = Й® ^p^^i,(7.5.17)
где й — среднее число фотонов в моде,力=九/2冗，h — постоянная Планка, к — постоянная Больцмана. Из (16) и (17) находим выражение для спектральной плотности тепловых флуктуаций:
Gt(5)=警広(7.5.18)
Воспользуемся соотношением (18) для нахождения спектральной плотности спонтанного шума лазера, работающего вблизи порога генерации. Заменим а на — 6 (отрицательное поглощение), а отрицательную температуру Т, которая соответствует системе с инвертированной населенностью, выразим через населенность ^2 верхнего и % нижнего уровней атомов:
e…"昔.常，(7.5.19)
где g„ —кратность вырождения уровней. Следовательно, получаем
Gi* 层綸小(7.5.20)
В соответствии с (18) и (20) для спектральной плотности флуктуаций шума £ (/) имеем
G&((o) =一当f+月(7.5.21) it LN2-(g2/g^Nx/
Здесь частота со близка к (оо и учтено, что вблизи порога генерации а~&
Теперь вернемся к уравнению (11). Будем искать его решение в виде (7.2.7):
£(/) = 1 Л (/) ег^ + к.с.;(7.5.22)
Л (^) — комплексная медленно меняющаяся амплитуда. Используя методику получения укороченных уравнений, придем к уравнению (ср. с (7.2.9))
% + (а - 5) А + 0 I А 户力=GV)(0，(7.5.23)
где "(/) удовлетворяет соотношению
S (/)=唠n (f) е'з" +"/2)+ кс(7.5.24)
Как и при рассмотрении флуктуаций в томсоновском генераторе, случайные силы g ⑴ и т]〃)будем считать 6-коррелированнымн:
Е = 0, (ВВт) 2лО^ (соо) 6 (т),(7.5.25)
П = 0，〈硏計之冗з60 (со。) 6 (т).(7.5.26)
Из сравнения (11) и (7.2.5) следует, что между случайными функциями и их спектрами имеет место соответствие
ё吁确(f),
(7.5.27)
Gs (g)o) (oJG^ (co)
С учетом этого соотношения для анализа флуктуаций в лазере можно полностью воспользоваться результатами § 3, вытекающими из решения укороченного уравнения (7.2.9), тождественного (23). Из сказанного, в частности, следует, что в надпороговом режиме
Рис. 7.16. Спектр частотных флуктуаций гелий-неонового лазера для различных знамени；! полной мощности генерации [211:
/) 1000, 2) 300 н 3) 80 мкВт (длина волны излучения 633 нм). Размерность спектра частотных флуктуаций Гц1/Гц.
генерации лазера амплитудные ) и частотные флуктуации излучения описываются соответственно выражениями (7.2.37) и (7.2.45), в которых надо учесть соотношение (27).
На рис. 7.16 показан спектр частотных флуктуаций лазера. В согласии с теорией спектральная плотность частотных флуктуаций уменьшается с ростом генерируемой мощности. Как уже отмечалось ранее, в области низких частот рост спектральной плотности обусловлен техническими флуктуациями. Заметим, что для измерения частотынх флуктуаций излучения лазера приме-
няют оптическое гетеродинирование (см. § 4 гл. 5), при этом задача исследования сводится к анализу спектра флуктуаций разностной частоты двух лазеров.
Естественная ширина линии. Обратимся теперь к вопросу о ширине линии лазерного излучения, связанной с принципиально неустранимыми шумами лазера, со спонтанным излучением.
Выше порога генерации лазера естественная ширина линии определяется выражением (7.2.53), где следует учесть соотношения (27) и (21). Примем также во внимание, что излучаемая средой средняя мощность Р = сср2 (Р включает как мощность на выходе лазера, так и мощность, идущую на компенсацию потерь). При этом для естественной ширины линии лазера получаем )
2ns(Avp)«/iv0 Г“2]/”94
П 克——, , \ " ,(7.5.28) e P L 丁 "2一依2他)"1」''
где Avp = а/л — ширина линии пассивного резонатора.
Формула (28) аналогична формуле (7.2.54а) для ширины спектра колебаний томсоновского генератора. Различие лишь в величине энергии шума, которая в томсоновском генераторе равнЗ кТ*} а в лазере
…。广Т 小一@闻)"」
Для квантовых генераторов формула (28) была получена впервые Шавловым и Таунсом [20].
Приведем два численных примера. Для излучения гелий-неонового лазера ), с длиной волны 633 нм, мощностью Р 〜1 мкВт, шириной Avp^ 106 Гц, при М/[М —(g2/gi) №]〜1,5,方 &1 согласно (28) естественная ширина линии Д(ое^ 10-2 Гц. Для лазера на Pbo.ssSno.iaTe, излучающего на длине волны 10,6 мкм, при мощности излучения Р~200 мкВт и Avp^ 108 Гц ширина линии Дсое^ 10 кГц (см. [57]). '
Зависимость ширины линии излучения лазера от параметра накачки Е = 6/а определяется выражением (7.2.60) и показана на рис. 7.7. На рис. 7.17 представлена экспериментальная зависимость ширины линии от мощности излучения лазера. Из этого рисунка следует, что при одной и той же мощности излучения двух лазеров и одинаковых энергиях шума лазер, работающий в надпороговом режиме, имеет ширину линии в два раза меньшую ширины линии лазера, работающего в подпороговом режиме. Этот вывод согласуется с теорией и соответствует переходу от
Рис. 7.18. Стационарная функция распределения приведенной интенсивности 7 = /Mn для различных значений параметра q = q/У N： /) — 5; 2) 0; 3) 5.Рис. 7.18. Стационарная функция распределения приведенной интенсивности 7 = /Mn для различных значений параметра q = q/У N： /) — 5; 2) 0; 3) 5.Рис. 7.17. Ширина спектральной линии лазера в зависимости от мощности излучения Р [22, 23].Рис. 7.17. Ширина спектральной линии лазера в зависимости от мощности излучения Р [22, 23].ш (/)=ш (/)=-1ехр-1ехр(7.5.29)(7.5.29)
Рис. 7.18. Стационарная функция распределения приведенной интенсивности 7 = /Mn для различных значений параметра q = q/У N： /) — 5; 2) 0; 3) 5.
Рис. 7.18. Стационарная функция распределения приведенной интенсивности 7 = /Mn для различных значений параметра q = q/У N： /) — 5; 2) 0; 3) 5.
Рис. 7.17. Ширина спектральной линии лазера в зависимости от мощности излучения Р [22, 23].
Рис. 7.17. Ширина спектральной линии лазера в зависимости от мощности излучения Р [22, 23].
ш (/)=
ш (/)=
-1
ехр
-1
ехр
(7.5.29)
(7.5.29)
формулы (7.2.53) к формуле (7.2.66). Последняя, приведенная к виду (28), имеет в числителе вместо 2 коэффициент 4.
Статистика фотоотсчетов; стационарный режим. В оптике для измерения одномерных законов распределения используется техника фотоотсчетов; в соответствии с результатами § 9 гл. 2, для
На пороге генерации (отмечено пунктиром) Р=2・10-8 Вт. В области выше порога генерации наклон кривой Аа)е в обычной зависимости от Р~г в два раза меньше, чем в области ниже порога.
того чтобы определить статистику фотоотсчетов для лазера с флуктуирующей амплитудой, следует найти одномерный закон распределения интенсивности.
В стационарном режиме генерации функция распределения действительной амплитуды, соответствующая уравнению (23) или (7.2.9), что одно и то же, дается формулой (7.2.31), откуда для функции распределения интенсивности / = р2/2 имеем
где g = p/B，N = (ji/4)BT(ojG& Графики распределения (29) показаны на рис. 7.18. Кривая /, соответствуют1aH подпороговому режиму генерации (gVO), имеет вид экспоненциального распределения; кривая 3, соответствующая надпороговому режиму (д>0), представляет собой фактически гауссовское распределение (ср. с рис. 7.3). Первые два момента распределения (29) определяются выражениями (7233). Теоретические кривые зависимости средней интенсивности и дисперсии флуктуаций интенсивности от параметра q изображены на рнс. 7. L
Если при исследовании статистики интенсивности время измерения Т меньше времени корреляции излучения, то функция распределения числа фотоотсчетов Р (и) связана с функцией распределения интенсивности ш(/) формулой Манделя (2.9.6)：
р ⑺=f 啥e—n/s(/)d/,(7.5.30)
б
где "=仇7\ Ро —квантовая эффективность фотодетектора.
Распределение фотоотсчетов, соответствующее распределению интенсивности (29), дается формулой (2.9.6), которая в нашем случае имеет вид
賢％р{—^+『)入“晋I，(7531)
где m = т]^I/2, 尼= М【/2д Вероятность появления % фотоотсчетов Р (и) подчиняется рекуррентному соотношению
2мР (и) = (km — m2) Р (и — 1) + m2P (п — 2),(7,5.32)
которое можно получить, если при расчете интеграла (30) поступить таким же образом, как при выводе (7.2.33а).
Выражение (32) позволяет найти связь между факториальными моментами 疝】распределения (31):
疝】=(и (и— 1)…(几 + 1 — р)； н V и (/г — 1)…(几 + 1 — °)р (и).
п — 0
Умножим (32) на (и — 1) (и — 2) ... (и + 1 — р) и просуммируем по всевозможным значениям и; в результате получим
2 献订=R/nn口 ~ 口 + (/ — 1) гл?戒一2].(7.5.33)
Отсюда следует, что распределение фотоотсчетов лазерного излучения можно полностью охарактеризовать двумя факториальными моментами (ср. с пуассоновским распределением).
Факториальные моменты 几口〕и 几⑫〕нетрудно найти, пользуясь формулами (2.9.7) и (7.2.33):
пШ^п^х]!^^-y]〈р2〉=^ 尼m+mCoe-胪/*(7.5.34а)
爪2] = М —冷=貝2〈/2〉= z 口2 /р4\
=2 m"+； (M2 + 4 々M&e— n/4,(7.5.346)
где Сс'нл;т/2[1 + ①(左/2". Таким образом, зная значения, параметров 左 и "?, можно рас( читать моменты 几卩】，〃同】и пользуясь (33), найти факториальные моменты любого порядка.
Удобной характеристикой распределения фотоотсчетов является приведенный факториальный момент, определяемый как
H^n^/in)1-!.(7.5.35)
Для пуассоновской статистики "/ = 0, поэтому значение Ht=^0 обусловлено флуктуациями интенсивности.
На рис. 7.19 показана зависимость приведенных факториальных моментов второго и третьего порядков от режима работы лазера. Видно, что теоретические зависимости хорошо согласуются
Рис. 7.19. Значения Н2 и //3 в зависимости от нормированного среднего числа фотоотсчетов п — п/п^ [24].
н0 —среднее число фотоотсчетов на пороге генерации лазера Кривые —теоретические, точки — экспериментальные значения.
с экспериментальными данными. В области значительно ниже порога генерации значения Я2 = 1 н "з = 5 соответствуют экспоненциальному распределению интенсивности. При прохождении порога генерации значения 也 и "з уменьшаются и в надпороговой области стремятся к нулю (амплитудно-стабилизированное излучение). Приведенные результаты относятся к статистическим характеристикам лазерного излучения в установившемся процессе генерации.
Статистика фотоотсчетов; режим установления колебаний. Теперь обратимся к анализу статистики переходного процесса в лазере. Как отмечалось в § 3, для исследования статистических свойств устанавливающихся колебаний, описываемых уравнением (7.3.1), можно исходить из уравнения, в котором случайная внешняя сила отсутствует. Учет роли внешней силы при этом сводится к переопределению интенсивности начал1лых колебаний. В силу сказанного можно пользоваться выражением (7.3.3), описы-
Рис. 7.20. Распределения вероятности времени достижения заданного уровня интенсивности 1g [吗") ■Aq 心==0,7 мкс) [25].Рис. 7.20. Распределения вероятности времени достижения заданного уровня интенсивности 1g [吗") ■Aq 心==0,7 мкс) [25].Кривые— теор ети чес кие, точ-ки —экспериментальные зна-чения.установлении колеба-Кривые— теор ети чес кие, точ-ки —экспериментальные зна-чения.установлении колеба-
Рис. 7.20. Распределения вероятности времени достижения заданного уровня интенсивности 1g [吗") ■Aq 心=
=0,7 мкс) [25].
Рис. 7.20. Распределения вероятности времени достижения заданного уровня интенсивности 1g [吗") ■Aq 心=
=0,7 мкс) [25].
Кривые— теор ети чес кие, точ-ки —экспериментальные зна-чения.
установлении колеба-
Кривые— теор ети чес кие, точ-ки —экспериментальные зна-чения.
установлении колеба-
вающим изменение во времени действительной амплитуды, и следующими из него функциями распределения амплитуды (7.3.7) и времени достижения заданного уровня амплитуды (7.3.13).
Распределение (7313) содержит квадрат действительной амплитуды,也 следовательно, им можно непосредственно пользоваться для расчета распределения времени достижения заданного уровня интенсивности Ш/ (/). Результаты измерений этой функции приведены в работе [25]; заимствованные из нее графики изображены на рис. 7.20. Экспериментальные данные на рис. 7.20, а хорошо согласуются с теоретической кривой, построенной по формуле (7.3.13) 'для измеренного значения интенсивности начального (предос- цилляционного) шума. Теоретическая кривая рис. 7.20, 6, в соответствии с условиями опыта, согласуется с экспериментальными данными только в предположении, что интенсивность «затравочного» шума равна сумме интенсивностей начального шума и шума, накопленного на начальном этапе процесса генерации.
Распределение интенсивности 叫(/) при ний подчиняется закону (см. также (1.6.9))
耽⑺=2{/ +("/)叫2 eхр卜_-/ +(/"“ }' (7.5.36) который легко получить из (7.3.7). В выражении (36) / = р?/2, Ко = 1^/0^ т = р"2. Временная эволюция распределения интенсивности (36) показана на рис. 1.15.
Изменение во времени средней интенсивности излучения определяется выражением (7.3.9), которое перепишем в виде
/ (т) = (1 — е-т)"[1 +к (т)еК ⑴ Ei (— К (т))] /го, (7.5.37) где К (т) = /oo/[aj (ет— 1)]. Расчет второго момента распределения интенсивности (36) приводит к выражению (К = К%))
〈/2(t)〉=(i_e》i;i+K + (2 + K)K“Ei(—K)]/g(7.5.38)
Пользуясь (37) и (38), рассмотрим нестационарное поведение дисперсии интенсивности ст； (т) = /2 (т) — Р (т) в устанавливающихся автоколебаниях. Результаты численного расчета а； (т) представлены на рис. 7.21. Видно, что о『сначала растет, а затем уменьшается, принимая в какой-то момент времени максимальное
5〃
Рис. 7.22. Временная зависимость среднего числа фотонов 〈几〉(а) и диспепсии числа фотонов〈А"〉(6 лазерного излучения [26, 27].
О
Рис. 7.21. Временная зависимость дисперсии интенсивности в переходном процессе генерации для различных значений /^/噺：/) 10;
2) IB； з)10竺 4)I» “ = 0/2).
%”力
0,5
n^lV!^h®, / — интенсивность излучения, V —объем резонатора лазера, ft —постояннаяПланка. Точки—экспериментальные значения, кривые—теоретические.
<^W>2<^W>2Рис. 7.23. Относительная дисперсия числа фотонов (Дл2}/(л}а в зависимости от параметра л (т) == (G/哨 X х(ет_])-1 [26].Рис. 7.23. Относительная дисперсия числа фотонов (Дл2}/(л}а в зависимости от параметра л (т) == (G/哨 X х(ет_])-1 [26].Рис. 7.24. Нестационарные распределения фотоотсчетов в переходном процессе генерации лазера при различных временных задержках f [26]:Рис. 7.24. Нестационарные распределения фотоотсчетов в переходном процессе генерации лазера при различных временных задержках f [26]:
<^W>2
<^W>2
Рис. 7.23. Относительная дисперсия числа фотонов (Дл2}/(л}а в зависимости от параметра л (т) == (G/哨 X х(ет_])-1 [26].
Рис. 7.23. Относительная дисперсия числа фотонов (Дл2}/(л}а в зависимости от параметра л (т) == (G/哨 X х(ет_])-1 [26].
Рис. 7.24. Нестационарные распределения фотоотсчетов в переходном процессе генерации лазера при различных временных задержках f [26]:
Рис. 7.24. Нестационарные распределения фотоотсчетов в переходном процессе генерации лазера при различных временных задержках f [26]:
Точки —экспериментальные значения, кри-вая—теоретическая.Точки —экспериментальные значения, кри-вая—теоретическая./) 2,6 мкс； 2) 3,7 мкс; 3) 4,3 мкс; 4) 5 мкс;5) 5,6 мкс： 6) 8,8 мкс. Кривые проведены по экспериментальным точкам; все раси「с- деления нормированы к равным площадям-/) 2,6 мкс； 2) 3,7 мкс; 3) 4,3 мкс; 4) 5 мкс;5) 5,6 мкс： 6) 8,8 мкс. Кривые проведены по экспериментальным точкам; все раси「с- деления нормированы к равным площадям-
Точки —экспериментальные значения, кри-вая—теоретическая.
Точки —экспериментальные значения, кри-вая—теоретическая.
/) 2,6 мкс； 2) 3,7 мкс; 3) 4,3 мкс; 4) 5 мкс;
5) 5,6 мкс： 6) 8,8 мкс. Кривые проведены по экспериментальным точкам; все раси「с- деления нормированы к равным площадям-
/) 2,6 мкс； 2) 3,7 мкс; 3) 4,3 мкс; 4) 5 мкс;
5) 5,6 мкс： 6) 8,8 мкс. Кривые проведены по экспериментальным точкам; все раси「с- деления нормированы к равным площадям-
значение. Анализ показывает, что максимальное значение дисперсии a/t тах = (0,24/а))* достигается при К (т) = 0,4, т. е. в момент времени
/тах = 41п(Ц-2,5^^2 1п2,5^,
который определяется линейным инкрементом р и отношением начальной и конечной интенсивности колебаний.
На рис. 7.22 показано экспериментальное и теоретическое временное поведение в переходном процессе средней интенсивности и дисперсии интенсивности излучения лазера, выраженных в числах фотонов. На рис. 7.23 представлена зависимость относительной дисперсии числа фотонов от параметра К (т). Здесь большим значениям К соответствуют малые значения т и, наоборот, малым К — большие значения т. Видно, что согласие между теоретическими и экспериментальными результатами на рис. 7.22 и рис. 7.23 хорошее-
Получение аналитического выражения для распределения фотоотсчетов в переходном процессе генерации лазера, т. е. соответствующего распределению интенсивности (36), представляет значительные трудности. Поэтому ограничимся иллюстрацией (рис. 7.24) экспериментальных результатов нестационарного распределения фотоотсчетов. Кривые этого рисунка интересно сравнить с распределениями амплитуды, показанными на рис. 7.9.
Временная статистика излучения многомодового лазера
Существенно многомодовая структура собственных колебаний оптических резонаторов приводит к тому, что наиболее типичным режимом генерации лазера оказывается режим многомодовой генерации, для которого напряженность электрического поля можно представить в виде разложения по продольным и поперечным модам:
Е(г, /)= 2 р〃т/®м' + 5д), (7.6.1) п, m, q
где р, ср и со — амплитуда, фаза и частота моды, и и т— поперечные индексы моды, q — продольный индекс, равный числу пол^7волн, укладывающихся на длине резонатора /.
Технические флуктуации параметров, спонтанное излучение приводят к флуктуациям амплитуд и фаз отдельных мод. Однако если речь идет о статистических свойствах многомодового излучения в целом, то они определяются в первую очередь степенью статистической связи между колебаниями в различных модах, межмодовыми интервалами и полным числом возбуждаемых мод.
Пространственно-временные корреляции поля (1) определяются в первую очередь статистикой 巾аз мод ^nmq (см. также § 10 гл. 2, § 3 гл. 5).
Временная статистика многомодового излучения с несинхрони- зованными модами. Обращаясь к временной статистике многомодового излучения, будем считать для простоты, что в (1) выделена одна поперечная мода; тогда (1) можно представить в виде
+ N
E(r, f) = p(r) £ р/[。尸％(”(7.6.2)
"=* "о
В (2) функция р(г) описывает распределение излучения в выбранной поперечной моде, р,——относительные амплитуды возбуждаемых продольных мод. Частота ^-й моды
где Q — частотный интервал между модами (частота межмодовых биений).
Если моды статистически независимы (несинхронизованы), многомерное распределение фаз равно
N
s (屮1,仇屮N)= и 5 (屮0),
» 1
и тогда мы приходим к детально обсужденной в § 10 гл. 2 задаче о сложении колебаний со случайными 巾азами. В этом случае флуктуации амплитуд мод прктически несущественны, так что
можно для- простоты полагать амплитуды мод равными
^L°oo0o° О°о^L°oo0o° О°оIII1[[ I t T 111tl.〃4方力 1,5 “% 4〃勿覃%Рнс. 7.25. Нормированная временная корреляционная функция интенсивности лазерного излучения с несинхроннзованными модами [31].III1[[ I t T 111tl.〃4方力 1,5 “% 4〃勿覃%Рнс. 7.25. Нормированная временная корреляционная функция интенсивности лазерного излучения с несинхроннзованными модами [31].Г 1, q^Sq N — 1,
^L°oo0o° О°о
^L°oo0o° О°о
III1[[ I t T 111tl.
〃4方力 1,5 “% 4〃勿覃%
Рнс. 7.25. Нормированная временная корреляционная функция интенсивности лазерного излучения с несинхроннзованными модами [31].
III1[[ I t T 111tl.
〃4方力 1,5 “% 4〃勿覃%
Рнс. 7.25. Нормированная временная корреляционная функция интенсивности лазерного излучения с несинхроннзованными модами [31].
I о, q*—N.
(7.6.3)
Корреляционные функции поля и интенсивности для модели (2) многомодового излучения были рассчитаны в § 3 гл. 5. Напомним Здесь основные результаты этого расчета.
Время корреляции тк многомодового излучения дается форму
лой (5.4.27), оно уменьшается с ростом числа мод ^, x^^T/N (Т = 2n/Q). Для большого числа несинхронизованных мод между корреляционными функциями поля и интенсивности имеет место соотношение (5.4.33), справедливое для излучения с гауссовской статистикой. В реальных случаях это соотношение выполняется вполне удовлетворительно (рис. 7.26): при t》q ^ (т)^0,5.
В обычных ситуациях межмодовый интервал Q》Аз — технической и естественной ширины спектральной линии отдельной моды; вклад последних во временные корреляции многомодового излучения с несинхронизованными модами пренебрежимо мал.
Модель (2) строго применима для описания излучения многомодового лазера, работающего в непрерывном режиме. Однако мощные многомодовые лазеры работают обычно в импульсном режиме, так что в (2) следует принять
p = p(r, f) = p(r)/⑴.
Поэтому случайный процесс (2) становится, вообще говоря, существенно нестационарным. Тем не менее, если длительность импульса /(/)
%мп》Тк 弋=7/2 (7.6.4)
(это условие обычно хорошо выполняется), вышеприведенными формулами можно пользоваться. Вместе с тем, особенно при исследовании нелинейных процессов высокого порядка, здесь надо соблюдать известную осторожность ).
Другой удобной моделью импульсного многомодового излучения может служить рассмотренная в § 8 гл. 2 модель импульсного излучения со случайной субструктурой.
Синхронизованные моды; корреляционные методы определения формы светового импульса. Если моды полностью синхронизованы (屮1 =屮9=.一 =屮川)и амплитуды мод одинаковы, для интенсивности излучения из (2) непосредственно
получаемполучаем/(А； Р?⑺/(А； Р?⑺sin? (ЛШ〃2)sin2 (Q//2)sin? (ЛШ〃2)sin2 (Q//2)(7.6.5)(7.6.5)
получаем
получаем
/(А； Р?⑺
/(А； Р?⑺
sin? (ЛШ〃2)sin2 (Q//2)
sin? (ЛШ〃2)sin2 (Q//2)
(7.6.5)
(7.6.5)
Соотношение (5) описывает последовательность световых импульсов длительностью Тнм"0 1/“а， следующих друг за другом через интервал 丁 = 2冗/^. Пиковая интенсивность импульса /тах = №р2/2. Разумеется, модель полностью синхронизованных мод является идеализацией; в реальном лазере возникают отклонения (в том числе флуктуационные) отточной синхронизации. Статистика этих отклонений зависит от используемого метода синхронизации мод ).
В твердотельных лазерах и лазерах на красителях при синхронизации мод генерируются очень короткие световые импульсы, импульсы длительностью до 10 12-10-13*
В заключение этого параграфа мы хотим обратить внимание на то, что косвенные, корреляционные методы исследования, базирующиеся на измерении высших корреляционных функций, могут быть использованы ие только для суждения о наличии самого эффекта синхронизации мод и измерения длительности импульса (см. § 3 гл. 5), но и для Достаточно тонких измерений формы сверхкоротких световых импульсов. В § 4 гл. 5 речь шла об информации, извлекаемой из корреляционных функций поля В (т) и интенсивности 8? (т).
Нетрудно убедиться, что, если речь идет о регулярных импульсах / (f), корреляционная функция интенсивности (в данном случае это фактически свертка интенсивности) не содержит информации о форме импульса.
Действительно, фурье-спектр интенсивности / (/) определяется выражением со
/ (з) = |/(з"鼠屮⑹ r ，/(f)gg'df,(7.6.6)
в то время как фурье-спектр корреляционной функции В1 (т) имеет вид
BJ (о) = j By (т) eZtot dx == j dt j / (/) / (/ + т) е/йТ dt >=
-co- co — co
=j /ft)/*% j /(t)e-m'dt = |/(3)R(7.6.7)
Здесь учтено, что / (/) — действительная функция. В (7) сведения о фазе 屮(со), необходимой для определения вида / (/), отсутствуют. Если же считать 屮(со)= =const, что равносильно предположению о симметричной форме импульса / (/), то
оо
/(/)« j ]/5衣J ff ds.
Вместе с тем оказывается [32], что форму / (/) можно восстановить с помощью корреляционной функции интенсивности третьего порядка вида в® (q, т2) = 8产(q, q)：
ОО
в⑶(q, q)R ，/(/"(t + Q/p + Qdf.(7.6.8)
Фурье-преобразование соотношения (8) содержит сведения о фазе 屮(①)： 8® (Зи 32)=，] В⑶(Tb т2) J 'sm + ❿m) dq dx2 =
=]/ (З1 + З2) /(3i) / @2): exp {"屮(g)+屮(32)—屮(31+耽)]}・(7.6.9)
Отсюда находим, что
h/竺.一ь 3i)J 8⑶⑷i，仆).(7.6.10)
Согласно (6) имеем со
甯 L 0加=噌 к о /(3 = 0)!.
Если принять 屮'(0) = 0, то должно быть
ОО
/=，tf(t)dt = O.
При этом время f следует отсчитывать от / и рассматривать 7 (/) как функцию ОО
распределения, т. е. считать, что j / (/) dt = 1 В этом случае в соответствии с (9) и (10) получаем
ОО
§ [ R 88ЗЕ 8⑶(q, f) dq d&
屮，®i) = •— ——•(7.6.11)
J) cos(3由)8 ⑶(q q) dti dq
Следовательно, фаза
屮(з) = § 屮‘ (ft)i) dcor
Таким образом, с помощью корреляционной функции 円⑵‘(工】，工?)можно найти 屮(со) я ] /(3〉； я точно восстановить форму огибающей / (/).
Заметим наконец, что при помощи методов нелинейной оптики сравнительно легко можно измерять одноточечные корреляционные функции вида (см. § 3 гл. 5)
Rg (T) = J /П-1(/) /(/ + т) df.
Очевидно, чем выше порядок Функции В'п' (т), тем ближе форма последней к форме / (т). Точный вид / (/) можно получить, если зондирующий импульс "т (/) является б-функцией.
Пространственная когерентность излучения лазера
Спонтанные шумы, статистика возбуждения многих поперечных мод приводят, очевидно, к тому, что поперечная структура реальных лазерных пучков становится случайной [57].
Чем определяются характерные масштабы поперечных корреляций лазерного излучения или, иными словами, его пространственная когерентность?
Мы кратко обсудим эту проблему для двух предельных случаев —многомодового по поперечным индексам лазерного пучка (эту задачу можно рассматривать как пространственный аналог залачи о временной статистике многомодового излучения) и одномодового и ^лучения. В последнем случае нрииципт^лЬии неустра-
нимым фактором, приводящим к невозможности генерировать пучки с идеальной пространственной некогерентностью, являются 6-коррелированные в пространстве источники спонтанного излучения. Таким образом, мы приходим к аналогу временной задачи о естественной ширине спектральной линии.
Обратимся прежде всего к исследованию многомодового лазерного пучка и оценим характерные масштабы пространственных корреляций, обусловленных возбуждением большого числа поперечных мод со статистически независимыми фазами. Будем предполагать, что возбуждаемые в лазере моды с различными поперечными индексами тип вырождены по частоте. Тогда многомодовое поле лазерного излучения можно записать в виде
Е (г, г, /)=，Лтл(г, z)expt{w(/-^z + <pm„}, (7.7.1)
где Атп и фщл — не зависящие от времени / комплексные амплитуды и фазы мод, z — координата вдоль направления-распространения пучка, отсчитываемая от области наименьшего радиуса (перетяжки) лазерного пучка. Амплитуда Атп (г, г) в общем случае является медленной функцией г.
Распределение амплитуд Атп зависит от типа оптического резонатора и формы зеркал. Наиболее простой вид амплитуды Атп имеют для плоского резонатора.
Пусть резонатор имеет прямоугольные зеркала; в этом случае [33]
(7.7.2)(7.7.2)(7.7.3)(7.7.3)^тл(Г)~ Лтп (%, у) = flmjт(X)fп(У),
(7.7.2)
(7.7.2)
(7.7.3)
(7.7.3)
где
г ,( cosитх, 1,3,
fm(X)= {.今{
[sinxmx, m = 2, 4,х = л{2а [1 +0,824 (1 +" (〃4&齊]尸.
Здесь / — длина резонатора, 2а —размер зеркал по оси х. В (2) hmn — весовые коэффициенты, определяемые распределением интенсивности по модам. Вид, аналогичный (3), имеет функция % (у).
В соответствии с (1.8.28) для пространственной поперечной корреляционной функции на выходе резонатора
В丄(s) =〈E(r, г, f)E*(r + s, г, /)> в случае статистически независимых фаз мод(р„г„ имеем
в丄(s)= 2〈Л„“(Г, z)4% (r + s, г)>.(7.7.4)
Рассчитаем корреляционную функцию (4) вблизи центра пучка (г = 0). Зададим смещение s вдоль оси г и Сунем считать, чю ьозбуждаются поперечные моды с индексами or 〃z=l до /〃 = %丄.
Пусть для определенности А/丄 нечетно и коэффициенты h^ одинаковы； тогда получаем
(% 丄+ 1)/2
В丄⑶=2£ cos х (2g— 1) s = sin[(N丄 + 1) xs]cosecx*s.
Многомодовые лазерные пучки; статистически независимые моды. Модуль степени пространственной когерентности при числе N丄》1 равен (ср. с (5.4.26))
sin (N .一
lv(^)l=(7.7.5)
Функция (5) является квазипериодической. В реальных случаях длина оптического резонатора /^а, а число Френеля to2/2n/ ^ 1. С учетом этого из (5) нетрудно получить следующее значение радиуса корреляции *):
rK^a/N(7.7.6)
Таким образом, для многомодовых лазерных пучков, возбуждаемых в плоском резонаторе с прямоугольными зеркалами, радиус корреляции обратно пропорционален числу возбуждаемых поперечных мод ^1. Формулу (6) можно рассматривать как пространственный аналог формулы (5.4.27) для времени корреляции многомодового излучения, генерируемого лазером с несинхрони- зованными модами.
Вместе с тем следует подчеркнуть, что (6) можно использовать лишь для довольно грубых оценок. Отличия экспериментально измеренных и рассчитанных по (6) значений радиусов корреляции могут быть связаны с неоднородностями (в том числе — статистическими) активной среды лазера, с неравномерностью распределения интенсивности по модам и т. п. Заметим, что при наличии неоднородностей даже для плоского резонатора более адекватной оказывается модель сферического резонатора.
Однако прежде чем перейти к анализу модели сферического резонатора, покажем, что приближенный расчет радиуса корреляции лазерного поля со статистически независимыми модами можно выполнить более простым способом, оценивая средний размер неоднородности по возбуждаемым модам. В соответствии с (3) размер неоднородностей по половинному уровню m-й моды можно оценить как гт^2а>т. Предположим, что возбуждается ^1 поперечных мод, причем N丄》L Тогда радиус корреляции поля
n丄N工
1 口2a 口 12a2a In .
天一tГm 〜干1 质~纤-(0,58+1口"丄)公；一".(7.7.7)
1丄丄丄
Выражение (7) дает практически такую же зависимость от числа поперечных мод N丄，что и выражение (6), полученное более строго.
Применим теперь только что изложенный способ для определения радиуса корреляции поля сферического резонатора. Поперечное распределение поля моды сферического резонатора с одинаковыми зеркалами круговой формы радиуса кривизны R дается выражением [33]
4m (Г, г) = Апт (р, <р, г) = hnmpm/2L^ (р) е- р/2 cos m<p. (7.7.8)
Здесь L^ — полиномы Лагерра, и и т — радиальный и угловой индексы,
ш2 (z) = ш2 (0) (1 + 4z26-2), ш2 (0) = Ьро/2自，
ш (z) — радиус моды на расстоянии г от ее перетяжки, Ь = =(2RI — Z2)1/2 — конфокальный параметр резонатора,
р0 = (т + 2и + 1) + [(2〃 + 1) (2加十2几+ 1)产・(7.7.8а)
В лазерах с квазиконцентрическими резонаторами число возбуждаемых поперечных мод N L может достигать ~ W— 105 [55]. В этом случае можно пользоваться асимптотикой функций L7 (р) при 几》1. Тогда распределение (8) принимает вид
4т~%т (歩p)-U%0,5g-
Отсюда следует, что по половинному уровню масштаб радиальных осцилляций (размер пятен) равен
гп ⑶=血(2)/3 (叩J】*.(7.7.10)
Число мод с индексом п определяется возможными значениями индекса т. Согласно (8а) индекс m изменяется от нуля до т0, mo = mo (几)=ро-[2ро (2〃 + 1)产.
Оценим радиус корреляции пучка как средний размер пятна по всем модам с индексом и:
「K(z…/ e 他0("""⑵•(7.7.11)
Здесь и^ах = (р0 — 2)/4 — максимальное значение л, найденное из (8а) при условии, что радиус моды равен радиусу пучка и т = 0.
Выразим величину N丄 через параметр р0; ^1 равно сумме всевозможных комбинаций пит, удовлетворяющих (8а), т. е.
吗lax—
^l= 2 叫⑺=2 "。⑺匸^^Й^^^十^(7712)
п = 0т — О
Для моды нулевого порядка р()= 2 и ^1 = 1.
Для расчета (11) заменим суммирование по и интегрированием； в приближении %少 1 (%丄》1), в котором только и имеет смысл проводимый расчет, для радиуса корреляции получим
(7.7.13) отличие зависимости мод для сферического(7.7.13) отличие зависимости мод для сферическогогк ~ ]/3 ш ⑶ ％； "У
(7.7.13) отличие зависимости мод для сферического
(7.7.13) отличие зависимости мод для сферического
Рис 7.26. Зависимость отношения диаметра пучка D = 2© к радиусу корреляции поля гк от параметра /0=(1/2) W (0) tg(pРис 7.26. Зависимость отношения диаметра пучка D = 2© к радиусу корреляции поля гк от параметра /0=(1/2) W (0) tg(pВыражение (13) показывает существенное радиуса корреляции от числа поперечных резонатора по сравнению с зависимостью (6) для плоского резонатора. Это обусловлено тем, что с увеличением номера радиального индекса и размер поперечных осцилляций в моде становится обратно пропорциональным /м (10).
Рис 7.26. Зависимость отношения диаметра пучка D = 2© к радиусу корреляции поля гк от параметра /0=(1/2) W (0) tg(p
Рис 7.26. Зависимость отношения диаметра пучка D = 2© к радиусу корреляции поля гк от параметра /0=(1/2) W (0) tg(p
В соответствии с (13) отношение /*к(2)/@(2) не зависит от расстояния z и определяется только числом поперечных мод. Зависимость (13) экспериментально подтверждена в работе J35] (см. рис. 7.2G). Для значения №丄 ~ 104 rjw 102； если радиус пучка @~10—1 мм, то радиус корреляции гк^ 10— 100 мкм.
0(0)— наименьший диаметр пучка, <р —угловая расходимость пучка в дальней зоне. Точки и линия / — экспериментальные значения, линия 2—теоретическая, рассчитанная по формуле( 13).0(0)— наименьший диаметр пучка, <р —угловая расходимость пучка в дальней зоне. Точки и линия / — экспериментальные значения, линия 2—теоретическая, рассчитанная по формуле( 13).Изменение вида поперечной корреляционной функции излучения лазера с уменьшением радиуса корреляции (ростом числа поперечных мод) иллюстрируется кривыми рис. 7.27. Видно, что при большом числе поперечных мод (кривая 3) поперечная корреляционная функция становится похожей на корреляционную функцию (4.5.13) d-коррелированного из
0(0)— наименьший диаметр пучка, <р —угловая расходимость пучка в дальней зоне. Точки и линия / — экспериментальные значения, линия 2—теоретическая, рассчитанная по формуле( 13).
0(0)— наименьший диаметр пучка, <р —угловая расходимость пучка в дальней зоне. Точки и линия / — экспериментальные значения, линия 2—теоретическая, рассчитанная по формуле( 13).
лучения, дифрагированного на круглом отверстии (см. также рис. 4.15). Для больших значений ^丄 пространственная статистика многомодовых пучков становится гауссовской (см. рис. 5.29).
Из анализа (8) следуют и другие особенности пространственной когерентности многомодовых пучков. Поскольку с ростом аргумента полинома Лагерра Ln (р) расстояние между нулями увеличивается, масштаб радиальных неоднородностей поля и, следовательно, радиус корреляции увеличиваются к краю пучка.
Кроме того, от расстояния г зависит масштаб неоднородностей поля по углу, г^^лг/т. Таким образом, многомодовые лазерные пучки, возбуждаемые в сферических резонаторах, являются
Рис. 7.27. Нормированная поперечная корреляционная функция излучения лазера на алюмоитгриевом гранате для различного числа поперечных мод
N丄：/) 45; 2) у 830; 3)弋1。4 (без селекции поперечных мод) [35]. статистически неоднородными. Эти выводы согласуются с экспериментальными результатами [35].
Предельная п рост ра нет вен на я когерентность излучения одномодового лазера. В § 5 нами были рассмотрены временные флуктуации одномодового лазера и установлено, что п р и с утствующее в лазере спонтанное излучение приводит к естественным флуктуациям амплитуды и фазы лазерного поля. Однако спонтанное излучение некоррелировано не только во времени, но и в пространстве, поэтому оно неизбежно вызывает и естественные пространственные флуктуации амплитуды и фазы лазерных пучков. В надпороговом режиме работы лазера естественные флуктуации лазерных пучков в пространстве и во времени являются слабыми.
В отличие от частотного спектра, угловой спектр, связанный с естественными пространственными флуктуациями лазерных параметров, не удается, однако, измерить непосредственно, поскольку он маскируется существенно более сильной дифракционной расходимостью. Вместе с тем при измерении поперечных корреляционных функций одномодовых лазерных пучков удается обнаружить слабые отличия пространственной когерентности от полной, вызываемые именно спонтанным излучением. Пример такой поперечной корреляционной функции показан на рис. 7.28. Вблизи центра пучка (s^jO) степень когерентности у' = 0,99997 -ь 土 1 loe При увеличении расстояния s между измеряемыми
точками профиля пучка значение 丨 у 丨 уменьшается, оставаясь довольно высоким (кривая 7). Для точек, в которых интенсивности составляют 1 • 10-1 и 1 • 10~3 максимальной величины, значения I у (s)! равны 0,9991 ± 1 -10^4 и 0,998 ± 1 • 10-3 [37, 39]. Для лазерного излучения с большей мощностью наблюдалась еще более высокая степень пространственной когерентности (рис. 7.29).
неонового лазера [39].неонового лазера [39].Длина волны излучения 633 им, мощность излучения около 1 мкВт. Превышение и ад порогом ге- иерацнн для кривой / больше, чем для кривой 2. Кривая 3—гауссовский профиль пучка / (s). Вертикальной чертой отмечено значение ：V (s) ； для кривой /, где / (s)//(0)= IC-3.Длина волны излучения 633 им, мощность излучения около 1 мкВт. Превышение и ад порогом ге- иерацнн для кривой / больше, чем для кривой 2. Кривая 3—гауссовский профиль пучка / (s). Вертикальной чертой отмечено значение ：V (s) ； для кривой /, где / (s)//(0)= IC-3.7-1川7-1川Рис. 7.29. Отличие степени пространственной когерентности излучения гелий-неонового лазера от единицы [37].Рис. 7.29. Отличие степени пространственной когерентности излучения гелий-неонового лазера от единицы [37].Мощность излучения лазераоколо 100 мкВт.
неонового лазера [39].
неонового лазера [39].
Длина волны излучения 633 им, мощность излучения около 1 мкВт. Превышение и ад порогом ге- иерацнн для кривой / больше, чем для кривой 2. Кривая 3—гауссовский профиль пучка / (s). Вертикальной чертой отмечено значение ：V (s) ； для кривой /, где / (s)//(0)= IC-3.
Длина волны излучения 633 им, мощность излучения около 1 мкВт. Превышение и ад порогом ге- иерацнн для кривой / больше, чем для кривой 2. Кривая 3—гауссовский профиль пучка / (s). Вертикальной чертой отмечено значение ：V (s) ； для кривой /, где / (s)//(0)= IC-3.
7-1川
7-1川
Рис. 7.29. Отличие степени пространственной когерентности излучения гелий-неонового лазера от единицы [37].
Рис. 7.29. Отличие степени пространственной когерентности излучения гелий-неонового лазера от единицы [37].
Поскольку к настоящему времени последов атель но й теории естественных пространственных флуктуаций в лазере не существует, для интерпретации данных рис. 7.28, 7.29 обратимся к простой модели, воспользовавшись аналогией с временными флуктуациями одномодового лазера. Поле одномодового излучения лазера выше порога генерации представим в виде
Е(г, ^, г)=р(г)[14-т(г)]ехр/ |(оо/-fe^ +(p (г)｝, (7.7.14)
где амплитуда р (г) и определяет регулярный профиль пучка, m (г) — случайный коэффициент амплитудной модуляции,屮(г)— флуктуирующая фаза, причем m = ф = 0.
В соответствии с (14) нормированная поперечная корреляционная функция (1.8.38) равна
y(s) =〈E(r, t, z)E*(r + s, f, z)〉x
x｛〈|E(r, f, z)户〉〈|E(r + s, f, z)E〉｝—i72
1+小2Ym(S)1 + /Л21+小2Ym(S)1 + /Л2b必屮⑴).b必屮⑴).(7.7.15)(7.7.15)Здесь A屮(s) =(p(「+ s)-(p(r) и ym (s) = <m (r) m (r + s)>/<m2>.
1+小2Ym(S)
1 + /Л2
1+小2Ym(S)
1 + /Л2
b必屮⑴).
b必屮⑴).
(7.7.15)
(7.7.15)
По аналогии с временными флуктуациями будем полагать, что 〈ехр [―込屮(s)]> = exp {— О丄s},
где Dt — коэффициент поперечной диффузии фазы. Для смещений s таких, что %n(s)~0 и D丄sVl, с учетом〈团?〉《1 выражение (15) преобразуется к виду
у (s) ?=« 1 —〈团2〉一。丄s.(7.7.16)
Отсюда следует, что
^(1 -y(s))^Dt.
Обработка данных» показанных на рис. 7.28, кривая 1. в соответствии с рассмотренной моделью дает
〈川〉^3-10-5,。丄 ~8・ 1Lсм-1.(7.7.17)
Приведенная оценка (т2) согласуется с данными по временным флуктуациям (см. § 3, а также [39]). С поперечным коэффициентом диффузии фазы £)丄,по аналогии с коэффициентом D во временной задаче, ответственным за естественную ширину линии, можно связать естественную угловую расходимость А9е:
Абе 丄/麻 ~ 10~7.(7.7.18)
Это значение существенно меньше дифракционной расходимости лазерных пучков Дбд ^ tja 10-3 — 10~4 (а — радиус пучка). Кривой, изображенной на рис. 7.29, соответствует значение 。丄=
Заметим, что естественная угловая расходимость лазерных пучков оказывается связанной с естественной шириной линии. Соответствующее рассмотрение, основанное на анализе усиления шума в резонаторе, приведено в работе [381.
Самов оз бужден ие автоколебательных систем
и фазовые переходы
Порог самоиозбуждения в томсоновском генераторе и лазере разделяет области, в которых поведение системы существенно различно. В идеальном автономном генераторе (флуктуационные внешние силы отсутствуют) ниже порога самовозбуждения амплитуда колебаний Л = 0; выше порога имеется ненулевое устойчивое состояние Амплитуда автоколебаний по мере превышения порога генерации нарастает либо плавно (такой режим в теории колебаний называют мягким режимом самовозбуждения; именно он рассматривался нами в § 2 применительно к томсоновскому генератору и в § 6 для лазера), либо скачком. Последний режим называют жестким режимом самовозбуждения; он реализуется в системах, для которых в укороченном уравнении (7 2 28), описывающем поведение амплитуды, следует добавить члены вида 炉(см., например, [17, 44j).
Особой точкой оказывается, как мы убедились в предыдущих параграфах, порог самовозбуждения и в отношении флуктуаций колебаний. В подпороговой области по мере приближения к порогу флуктуации быстро возрастают, а время корреляции увеличивается. Статистические характеристики колебаний ниже и выше порога самовозбуждения существенно различаются: ниже порога мы имеем дело со стационарным гауссовским шумом, а в надпороговой области процесс становится существен но иегауссовским.
Расчет статистики колебаний в припороговой области относится к числу наиболее трудных задач теории флуктуаций в автоколебательных системах. Поэтому здесь актуальна не только разработка новых методов расчета, ио и привлечение новых теоретических подходов.
В этом параграфе мы обсудим кратко возможности использования в теории флуктуаций и генераторах радиодиапазона и в особенности в лазерах методов теории критических явлений, разработанных при изучении фазовых переходов в физических системах.
Надо сказать, что даже при чисто внешнем сопоставлении самовозбуждения генератора и фазового перехода между этими явлениями обнаруживается много общего. В точке фазового перехода, как и при самовозбуждении генератора, скачкообразно изменяются свойства физической системы; во многом сходно и погедсмие флуктуаций вблизи критической точки (порога самовозбуждения, критической температуры). Насколько далеко простирается эта аналогия?
Ниже мы убедимся, что уравнения вида (7.5.23), (7.2.9), описывающие самовозбуждение лазера (или томсоновского генератора) в мягком режиме, совершенно аналогичны уравнениям, используемьгл для описания в приближении самосогласованного поля фазового перехода второго рода, например типа порядок ——беспорядок, в ферромагнетиках и сегнето 9 лектр и к а х. При этом аналогом фигурирующего в физике фазовых переходов параметра порядка для генератора оказывается комплексная амплитуда колебаний, а температуры — параметр накачки [41—43]. Для лазера, излучение которого слагается из вкладов отдельных атомов, образующих трехмерный ансамбль, этой аналогии можно сопоставить и довольно наглядный физический образ.
В далекой подпороговой области атомы активной среды излучают спонтанно и независимо друг от друга (для ферромагнитного фазового перехода этому соответствует хаотическая ориентация спинов в парамагнитной фазе). По мере приближения к порогу все большим становится вклад процессов вынужденного излучения, сохраняющих когерентность,——возрастают радиусы пространственной и временной корреляции суммарного поля (возрастает радиус корреляции флуктуаций параметра порядка при подходе к критической точке).
Наконец, в надпороговой области вынужденное излучение доминирует; формируется лазерное излучение с высокой пространственной и временной когерентностью —для ферромагнитного фазового перехода этому соответствует возникновение упорядоченной системы спинов в ферромагнитной фазе.
Разумеется, близость теоретического описания, наглядные соображения, приведенные выше, еще не свидетельствуют о полной идентичности явлений. ^Фазовый переход» в лазере следует отнести к так называемым неравновесным
фазовым переходам: лазер находится под воздействием источника накачки. Мы не будем обсуждать проблемы, связанные с критическими явлениями в системах, далеких от состояния теплового равновесия; интересующегося читателя отсылаем к книгам [59, 60] и обзору [48]
Ниже мы сформулируем теорию лазера в терминах теории критических явлений (для этого потребуется определить эквивалентные термодинамический потенциал F и свободную энергию) и продемонстрируем плодотворность такого описания иа примере исследования закономерностей формирования поперечной пространственной когерентности излучения лазера при подходе к порогу самовозбуждения.
Генерация лазера в терминах теории фазовых переходов; термодинамический потенциал, параметр порядка, критические индексы. Процесс генерации лазера описывается уравнением (7.5.23) для комплексной амплитуды Л:
力= (力(7.8.1)
где р = 6 —а и т] (/) — комплексный случайный процесс, удовлетворяющий соотношениям (7.2.8,196).
Уравнение для огибающей р (/) процесса Л (/) имеет вид (7.2.28). Соответствующее ему стационарное решение уравнения Фоккера — Планка (7.2.30) для функции распределения интенсивности / = р®/2 дается выражением (7.5.29):
3(/)= ^!N.(7.8.2)
Здесь
/(/) = ^仇一衿一(/— у 9)、(7.8.3)
f0——постоянная величина, определяемая из условия нормировки (2),
N - (л/4)Вт噺G%，д = р/В 二(a/卩)(£ - 1).(7.8.4)
Выразим (3) через комплексную амплитуду (/ = х/2 | Л |2):
/(тМ*) = %-2(а/В)(8-1)'4 2+^ ЛА(7.8.5)
В случае, если на лазер действует внешний регулярный сигнал s (/), то справа в (1) появляется дополнительный член и функция (5) принимает вид
〃4/*) = %-2 3小)(8-1)|412 + |4产—4(/)$*(力_4*a)S(力.(786)
Функция распределения (3) похожа на функцию распределения, например, магнитного момента М ферромагнетика [40, 42]:
ш (М) =С" ехр {一 Ф (М)ЛсТ},(7.8.7)
где к —постоянная Больцмана, Ф (М) — свободная энергия:
①(М) = ^К1(Т —Ткр)М2 + ~К2ТМ^-НМ.(7.8.8)
Здесь Ткр—критическая температура, Н ——напряженность внешнего магнитного поля, Ку —постоянные коэффициенты. В теории критических явлений величина М является параметром порядка.
Из сравнения (6) и (8) видно,' что комплексная амплитуда Л аналогична параметру порядка М, а параметр накачки е —температуре Т. При этом функцию f (ЛЛ*) (6) можно интерпретировать как некий «термодинамический потенциал» лазера. Действительно, амплитуда Л как параметр порядка должна удовлетворять релаксационному уравнению
dA ~dtdA ~dtdA*，dA*，(7.8.9)(7.8.9)
dA ~dt
dA ~dt
dA*，
dA*，
(7.8.9)
(7.8.9)
力 >0,/8，百8力 >0,/8，百8
力 >0,
/8，百8
力 >0,
/8，百8
которое с учетом (6) приводит к уравнению вида (1).
А = АСО удовлетворяет условиямА = АСО удовлетворяет условиямРавновесное значение параметра порядка
А = АСО удовлетворяет условиям
А = АСО удовлетворяет условиям
откуда, принимая во внимание (6), находим
(7.8.10)(7.8.10)
(7.8.10)
(7.8.10)
(р^=а/В)・ Этот результат в точности совпадает с (7.2.15), полученным непосредственно из уравнения (1) (или (7.2.9)). Неупорядоченной фазе соответствует значение параметра накачки 8V 1, упорядоченной ——8>1, пороговое значение е= 1 эквивалентно критической температуре.
Рис. 7.30. Зависимость термодинамического потенциала лазерного излучения от параметра порядка (комплексной амплитуды) I Л | для фазового перехода второго рода./) е < 1; 2) е= 1; 3) е > 1.Рис. 7.30. Зависимость термодинамического потенциала лазерного излучения от параметра порядка (комплексной амплитуды) I Л | для фазового перехода второго рода./) е < 1; 2) е= 1; 3) е > 1.Рис. 7.31. Зависимость средней интенсивности лазерного излучения ниже порога генерации от 1 — е; е —параметр иакачки [45].Рис. 7.31. Зависимость средней интенсивности лазерного излучения ниже порога генерации от 1 — е; е —параметр иакачки [45].
Рис. 7.30. Зависимость термодинамического потенциала лазерного излучения от параметра порядка (комплексной амплитуды) I Л | для фазового перехода второго рода.
/) е < 1; 2) е= 1; 3) е > 1.
Рис. 7.30. Зависимость термодинамического потенциала лазерного излучения от параметра порядка (комплексной амплитуды) I Л | для фазового перехода второго рода.
/) е < 1; 2) е= 1; 3) е > 1.
Рис. 7.31. Зависимость средней интенсивности лазерного излучения ниже порога генерации от 1 — е; е —параметр иакачки [45].
Рис. 7.31. Зависимость средней интенсивности лазерного излучения ниже порога генерации от 1 — е; е —параметр иакачки [45].
Рассматриваемый пример лазерной генерации, описываемой термодинамическим потенциалом с положительным коэффициентом р, относится к фазовому переходу второго рода (рис. 7.30): в 7очке перехода £=1 испытывает скачок обобщенная восприимчивость dA/ds |$т. Параметр же порядка Л является непрерывной функцией (см. рис. 7 2) В случае р с 0 для сшсапия процесса возбуждения колебаний необходим > чех члена в pd3JU/KcwiH термодинамичо
ского потенциала пропорционального 1 Л 卩. Это жесткий режим генерации, ои аналогичен фазовому переходу первого рода *). Его характерной особен- костью является наличие гистерезиса: пороги возбуждения и срыва генерации не совпадают. Реакую зависимость физических параметров системы от темского потенциала пропорционального 1 Л 卩. Это жесткий режим генерации, ои аналогичен фазовому переходу первого рода *). Его характерной особен- костью является наличие гистерезиса: пороги возбуждения и срыва генерации не совпадают. Реакую зависимость физических параметров системы от темРис. 7.32, Зависимости средней интенсив- ности (а) и дисперсии флуктуаций интенсивности (б) излучения лазера от параметра накачки е при проходе порога ге- нерации [46]. Зависимость (а) ср с рис.7.6.Рис. 7.32, Зависимости средней интенсив- ности (а) и дисперсии флуктуаций интенсивности (б) излучения лазера от параметра накачки е при проходе порога ге- нерации [46]. Зависимость (а) ср с рис.7.6.
ского потенциала пропорционального 1 Л 卩. Это жесткий режим генерации, ои аналогичен фазовому переходу первого рода *). Его характерной особен- костью является наличие гистерезиса: пороги возбуждения и срыва генерации не совпадают. Реакую зависимость физических параметров системы от тем
ского потенциала пропорционального 1 Л 卩. Это жесткий режим генерации, ои аналогичен фазовому переходу первого рода *). Его характерной особен- костью является наличие гистерезиса: пороги возбуждения и срыва генерации не совпадают. Реакую зависимость физических параметров системы от тем
Рис. 7.32, Зависимости средней интенсив- ности (а) и дисперсии флуктуаций интенсивности (б) излучения лазера от параметра накачки е при проходе порога ге- нерации [46]. Зависимость (а) ср с рис.7.6.
Рис. 7.32, Зависимости средней интенсив- ности (а) и дисперсии флуктуаций интенсивности (б) излучения лазера от параметра накачки е при проходе порога ге- нерации [46]. Зависимость (а) ср с рис.7.6.
пературы в окрестности точки фа- зового перехода принято характеризовать степенной зависимостью, при этом показатель степени носит название критического индекса. Проанализируем полученные в §§ 2, 5 результаты, касающиеся поведения лазера вблизи порога генерации, с точки зрения критических индексов. Согласно (7,2,65а) в области ниже порога генерации средняя интенсивность изменяется как
/ = (1/2)<1Л；») =
=(л/4)端魂(1 —е)-1 〜(1 —£)f, (7.8.11)
т. е. критический индекс р,= 1,0 Это теоретическое значение хоро- шо согласуется с экспериментальными данными (рис. 7.31). Что касается времени корреляции излуче- ния тк l/Ад, то в соответствии с (72656) оно равно
тк^2(1-е)-1 —(1-е)-\ (7.8.12)
и, следовательно, критический ин- деке v = l,0.
В надпороговом режиме гене- рации (£>1) средняя интенсив- ность амплитудных флуктуаций равна (см. (7237))
厶l一；〈沁П
=^S2a(8 — 1)Т〜(£— 1厂以，
(7.8.13)
*) К 」азср：「广 фазовым ncpexcqcM*) К 」азср：「广 фазовым ncpexcqcMпервого рода относятся лачеры с
*) К 」азср：「广 фазовым ncpexcqcM
*) К 」азср：「广 фазовым ncpexcqcM
нелинейно поглощающей ячейкой [17, 44] и лазеры на органических красителях.
т. е. с удалением от порога генерации значение /фл уменьшается, причем критический индекс = 1, 0.
В области выше порога генерации нефлуктуационная, постоянная часть амплитуды увеличивается с ростом параметра накачки в соответствии с (10). Таким образом, средняя интенсивность излучения при проходе через порог генерации растет с ростом е сначала в соответствии с (11), а затем — (10). Флуктуационная же часть интенсивности излучения нарастает при приближении к порогу генерации (11), достигает максимального значения на пороге и спадает при удалении от порога генерации (13). Такое поведение интенсивности лазерного излучения наблюдалось экспериментально [46] (см. рис. 7.32).
Простраиствеииая статистика в пороговой области; формирование пространств ей иой когерентности лазерных пучков. Простейшая теория пространственных флуктуаций излучения лазера может быть развита на основе идей феноменологической теории Ландау для фазовых переходов [18]. При таком подходе в выражение для плотности термодинамического потенциала лазера (6) следует добавить поперечный градиент V丄，учитывающий флуктуации параметра порядка Л (комплексной амплитуды) в плоскости хд, перпендик ул я рной направлению z распространения излучения (см. [18], с. 516):
/(4 Л*)=/о-2 (а/Р) А?+ \ A ；4 + (d/₽) I ?±Л |2.(7814)
Здесь считаем s(f)==O. По определению (см. § 5) амплитуда Л представляет собой величину, усредненную по длине I резонатора Поэтому полный «термодинамический потенциал»
F = V(4 Л*) dV=，口 (4 4*)d5(7.8.15)
Ниже порога возбуждения (в линейном приближении) изменение «термодинамического потенциала» на единицу объема равно
等=^2^ , (1 + 亦)Л ⑺ I2 d%(7.8.16)
где от амплитуды Л (г) мы перешли к ее фурье-образу Л (х):
Л (г) = ^ Л (х)е-/хг d2r,
Sq — площадь поперечного сечения пучка и, как будет показано ниже, ，к—радиус корреляции:
，к = [2^(1-е)]_"2.(7.8.17)
Плотность вероятности флуктуации Л (г) пропорциональна ехр {— AF/4VN},(7.8.18)
согласно (18) спектральная плотность параметра порядка
G ⑺=(I Л (х) |> 2 = С0 [(1 -8)(1 +г>2)]4
С0 = (л/4) ^sqG^
Для поперечной корреляционной функции
8丄⑸=〈4 (г) Л*(r + s)) = jG ㈣幽s d%(7.8.20)
[8 С. А. Ахманов и др.
Q 〜(1—£厂"2 = (1_&厂％Q 〜(1—£厂"2 = (1_&厂％(7824)(7824)где критический индекс у' = 0,5. Наблюдался резкий рост радиуса корреляциигде критический индекс у' = 0,5. Наблюдался резкий рост радиуса корреляциилазерного излучения прилазерного излучения приРис. 7.33. Зависимости средней иитеисивиости излучения (пунктир) и радиуса корреляции излучения (сплошная линия) от параметра q = 1 — е. Интенсивность / измерена в имп/с, а радиус корреляции % — в мкм [47].Рис. 7.33. Зависимости средней иитеисивиости излучения (пунктир) и радиуса корреляции излучения (сплошная линия) от параметра q = 1 — е. Интенсивность / измерена в имп/с, а радиус корреляции % — в мкм [47].
Q 〜(1—£厂"2 = (1_&厂％
Q 〜(1—£厂"2 = (1_&厂％
(7824)
(7824)
где критический индекс у' = 0,5. Наблюдался резкий рост радиуса корреляции
где критический индекс у' = 0,5. Наблюдался резкий рост радиуса корреляции
лазерного излучения при
лазерного излучения при
Рис. 7.33. Зависимости средней иитеисивиости излучения (пунктир) и радиуса корреляции излучения (сплошная линия) от параметра q = 1 — е. Интенсивность / измерена в имп/с, а радиус корреляции % — в мкм [47].
Рис. 7.33. Зависимости средней иитеисивиости излучения (пунктир) и радиуса корреляции излучения (сплошная линия) от параметра q = 1 — е. Интенсивность / измерена в имп/с, а радиус корреляции % — в мкм [47].
в соответствии с (19) получаем
В丄⑻・2兀仇県2 (l-eJ iK^s/rJ,(7821)
где Ко (х) — цилиндрическая функция от мнимого аргумента. При #>* гк имеем
В丄(з)〜「I/?ехр {— s〃J・(7.8.22)
Выражение (21) ие применимо для малых sfO. В случае $®«0 формула для среднеквадратичного значения параметра порядка (средней интенсивности излучения) имеет вид
(/) е 2лС*т (1 — е)~11п 论гк・(7.8.23)
Отсюда видно, что критический индекс для средней интенсивности точно такой же, как в случае временных флуктуаций (см. (И)).
Из соотношения (17) следует, что
подходе к порогу генерации, согласующийся с (24) [47], и получено экспериментальное значение vUcna=S!^»49 dt 0,05, а для средней интенсивности значение критического индекса было р,«= 0,9 ± 0,2 (рис. 7.33).
Согласие теоретических и экспериментальных результатов исследования пространствеииых флуктуаций лазера свидетельствует о плодотворности применения методов теории фазовых переходов для анализа процесса генерации лазера. Более строгая теория пространственных флуктуаций лазера вблизи порога возбуждения развита Стратоновичем [36], который получил трехмерный аналог формулы (3). В работе [30] методом теории скейлинга изучен переходный процесс в лазере. Режимы работы лазеров можно классифицировать с точки зрения фазовых переходов; выше были рассмотрены режимы — аналоги фазовых переходов второго и первого рода.
Вместе с тем автоколебательные системы могут представить интерес и для изучения фазовых
переходов, например для моделирования иестаци- оиариых фазовых переходов. В этом отношении интересен генератор Вина [49], который хорошо описывается феноменологической теорией Ландау.
Флуктуации поляризации лазерного излучения.
Деполяризация, обусловленная спонтанными переходами
Спонтанное излучение в лазере оказывается причиной не только естественных флуктуаций амплитуды и фазы, но приводит н к деполяризации генерируемого излучения.
Расчет «естественной деполяризации» лазерного излучения выполним на примере лазера с брюстеровским поляризатором. Будем считать, что такой поляризатор, помещенный внутрь резонатора лазера, практически ие вносит потерь в моду, поляризованную вдоль оси х, и в значительной мере подавляет моды, поляризованные ортогонально, вдоль оси у. О диако даже в том случае, когда для моды, поляризованной вдоль оси у, порог самовозбуждения ие превышен, в реальном лазере имеется спонтанное излучение иа этой моде. Последнее приводит к слабой деполяризации генерируемого излучения
Из-за флуктуаций амплитуд и фаз взаимно ортогональных компонент параметры эллипса поляризации флуктуируют во времени. Мы рассчитаем статистические характеристики угла ориентации 屮(1.8.44) эллипса поляризации и вспомогательного угла % (1.8.45), связанного с коэффициентом эллиптичности (см. рис. 1.23). Статистика указанных величии определяется статистикой амплитуд и фаз ортогональных лазерных компонент.
Напомним, что статистические свойства колебаний для произвольного значения параметра накачки е были изучены в § 2, результаты которого здесь будут использованы
Примем для определенности, что х-компоиеита лазерного поля возбуждается в иадпороговом режиме (%>1). При значительном превышении порога генерации флуктуациями интеисивиости 1Х можно пренебречь. Тогда функцию распределения огибающей рх= | Ах | и фазы ф^-= arg Ах в соответствии с результатами § 2 можно записать в виде
5(Рх,屮"楽 6(Р#-Р8)， (7-9.1)
где роо — установившееся значение амплитуды, р00 = [(а/р) (ех —1)]1/2.
С другой стороны, (/-компонента излучения лазера вследствие потерь, вносимых брюстеровскими окнами, находится в подпороговом режиме генерации (£у<1). При этом статистика поля излучения является гауссовской, в для функции распределения огибающей ру и фазы 屮乡 имеем
侬(рy,屮g)=攵* ехр ｛盡｝， (7.9.2)
где согласно (7.2.32а) о* ==几叫從/2 ] & |, Ру^^у — а = а(勿一1).
Разумно предположить статистическую независимость взаимно перпендикулярных компонент излучения лазера, т. е. что совместная функция распределения равна
3(Рх, Р” <₽*. <₽</) = ш(Рх, <Рх) ® (Ру,屮у) = -^^—6(р*-Р8)・(7.9.3)
Перепишем соотношения (1.8.44) и (1.8.456) в виде
「. 2Pxpgeos®*—皿)с
Ф=у arct8您二рц=/i (Рх. Ру, <Рх, <Р“，(7.9.4)
Двумерная функция распределения 屮 н % равна л оо
5 0b У)= , N , 0y(Р*，Ру，*₽*，屮力 6 (屮一九)6 (% —府)dp* dpg d^x d^y. (7.9.6) —л 0
Существует общий метод нахождения функции распределения (6) для числа случайных величии меиьшего, чем число преобразуемых случайных величин. Одиако для упрощения вывода мы сразу используем (3). Введя обозначение 8=屮#—屮у, вместо (6) имеем
СОЛ2 ,2
^^t %) = (2яа2)-1 *j dp^，е~Ру/ 6 仲一fi，o) 6 (% —%,о)或，(7.9.7) 0— л
где fn, 0 = ^ (poo, pg, 0). Пользуясь свойством д-фуикции
，尸(х) 6 (g-f(X)) dx=F (/Г ®)〃' (f-Цу)), из (7) получаем [50]
山仲，^ =缁黑#exp{—3P^(Sin22x + tg2 2，}.(7.9.8)
Из (8) следует, что в рассматриваемом случае параметры 屮 н % статистически независимы, причем
Роэ(1 р*]
оу 伸)=exp]tg2 2屮>(7.9.9)
/2л a cos2 2фI8 炉丿
P8 cos 2%f 1 P^o *1
®—W7~ exp 匕” 2j.(7.9.10)
Отметим, что в более общем случае, когда статистика «подпороговой» компоненты отличается от гауссовской, параметры 屮 н % оказываются статистически связанными [50].
На основе (9) и (10) находим, что средине значения
® =% = 0, а дисперсии
w2 = 1Ло -8м+严=卩0+4m+…(7.9.11)
зависят от отношения средних интеисивносте i компонент х и у:
卩0=/〃2/R=ет /рео,
Таким образом, в первом приближении по 阿
屮2 2严=阿=a2/pJo = ^IG^!^PX I Py h(7.9.12)
Если принять, ЧТО Px^\Py |> TO
可0可у JO叫Gg6/4后.
Рассчитаем теперь степень поляризации Р излучения, определяемую выражением (1.8.55) и имеющую смысл отношения интенсивности полностью поляризованного излучения к полной интенсивности излучения. В обозначениях
гл. 1 в рассматриваемом случае
В» = Р匐 2, В^, В〃(0)=0.
Поэтому согласно (1.8.55) и (1.8.49)
p = {1-[TЙ^4"'1-5 + 8阂一...,(7.9.13)
где учтено, что 卩q = o2/P^o《1 Полученные значения степени поляризации (13) и параметров эллипса поляризации (И) обусловлены спонтанным излучением, следовательно, выражения (13) и (И) дают предельные значения указанных величии: для Р — максимальное, для 屮2 и ^2 _ минимальные.
В заключение оценим величину ц0. Так как источником шума является споитаииое излучение лазера, его спектральная плотность ие зависит от направления поляризации Однако мощность шума ортогональных компонент различна из-за различия потерь 外少， вносимых брюстеровскими окнами Возьмем а//с〜3 • 10-2, (Xyl/с ^5 • 10 1 (/ — длина резонатора, с —скорость света), тогда отношение мощностей спонтанного излучения 卩屮 Сп/Рх. сп у 20. Согласно данным работы [39], при мощности генерации /% 〜1 мкВт мощность спонтанного излучения PXi сп 1=« 5 • 10-13 Вт. Следовательно, Ру> сп^ Ю-11 Вт и 固〜IO—* Такой же порядок имеет дисперсия углов 屮 н % (11), и отличие предельной степени поляризации лазерного излучения от полной степени поляризации, равной единице.
СЛУЧАЙНЫЕ ВОЛНЫ В НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКЕ И НЕЛИНЕЙНОЙ АКУСТИКЕ
В средах, свойства которых зависят от напряженности поля электромагнитной волны или переменного акустического давления, —нелинейных средах, — принцип суперпозиции нарушается. Волны разных частот или разных направлений в нелинейной среде взаимодействуют между собой. Возникают и эффекты само- воздействия, обусловленные зависимостью коэффициента поглощения, фазовой и групповой скорости от интенсивности волны.
С нелинейными явлениями взаимодействия и самовоздействия волн все чаще приходится сталкиваться в современной лазерной оптике, акустике, физике плазмы. Нелинейные эффекты оказываются весьма существенными и при распространении мощных радиоволн в ионосфере. В современной физике волновых процессов нелинейные волны играют не менее важную роль, нежели нелинейные колебания в физике колебаний систем с сосредоточенными параметрами.
Предметом настоящей главы является обсуждение некоторых статистических задач физики нелинейных волновых процессов. Как статистика приходит в физику нелинейных волн, с чем связана постановка статистических задач в нелинейной оптике, нелинейной акустике и т. п.?
Здесь можно выделить три группы проблем.
Прежде всего, представляют интерес задачи, связанные с изучением статистических явлений, обусловленных случайной модуляцией волн, возбуждающих нелинейную среду (статистика поля).
Большой круг статистических задач связан с изучением эффектов, возникающих вследствие статистической неоднородности нелинейной среды (статистика среды).
И наконец, следует указать на статистические явления, обусловленные наличием в нелинейной среде распределенных шумовых источников (статистика распределенных источников).
Перечисленные проблемы представляют значительный интерес для всех разделов физики нелинейных волн； отметим, что во многих физических задачах эффекты статистики поля, статистики среды и статистики распределенных источников проявляются одновременно. Однако ниже мы ограничимся лишь рассмотрением статистических явлений, обусловленных статистикой поля. В. чем отличие взаимодействий и самовоздействий случайных волн от взаимодействий и самовоздействий регулярных волн? Таков главный вопрос, на котором мы сосредоточим внимание в этой главе.
Основное внимание при этом мы уделим задачам нелинейной оптики — задачам о нелинейных волновых явлениях в сильно диспергирующих средах.
Одним из главных эффектов статистики поля здесь оказы- вается обусловленный дисперсией групповой скорости распад фазовых корреляций (декорреляция) взаимодействующих волн в процессе распространения. Декорреляция существенно снижает, вообще говоря, эффективность нелинейного взаимодействия и может привести к качественному изменению характера нелинейного эффекта； на смену когерентным взаимодействиям регулярных волн приходят некогерентные взаимодействия случайных волн. Эти явления детально прослежены ниже на примере таких фундаментальных волновых процессов, как генерация оптических гармоник и вынужденное рассеяние.
С другим классом нелинейных волновых взаимодействий —— взаимодействиями волн в слабо диспергирующих средах — связаны задачи нелинейной акустики. Закономерности искажения гармонической волны в нелинейной недиспергирующей среде были установлены еще Риманом. В § 6 этой главы аналогичные вопросы обсуждаются применительно к шумовым волнам. Надо сказать, что такая постановка задачи представляет не юлько принципиальный, но и практический интерес: во многих случаях мощные акустические генераторы являются источниками широкополосного акустического шума.
Рассматриваемые ниже статистические задачи теории нелинейных волн в математическом плане, несомненно, относятся к наиболее сложным задачам статистической радиофизики. Поэтому в этой главе мы в полной мере используем математический аппарат, изложенный в гл. 1 и 2. Наряду с усреднением аналитических решений ниже широко используются уравнения для средних, записанные в различных приближениях.
В этой главе можно найти и примеры целесообразного использования математических моделей случайных процессов. Так, в § 4 для решения нелинейной задачи о вынужденном рассеянии в поле шумовой накачки реальный процесс со сплошным спектром оказывается целесообразным заменить многомодовым процессом — процессом с дискретным спектром.
Приближенные уравнения нелинейной оптики.
Классификация нелинейных эффектов
Поведение интенсивных электромаг нити ых волн описывается нелинейным волновым уравнением, являющимся следствием уравнений Максвелла (ср. с (4.3.3)):
с rot rot Е + -帝 + 4兀 存 十 4兀— 0» (8.1.1)
Линейная поляризация среды Рл определяется соотношением (4.3.2). Нелинейную поляризацию Рал пассивной, слабо поглощающей среды можно представить в виде разложения по степеням напряженности £ макроскопического поля (параметр разложения 卩〜ЕЕ, £а — внутриатомное поле). Тогда i-я компонента нелинейного отклика среды без пространственной дисперсии запишется в виде
片"(г，t) = W\dt' М"нт@', /〃)Е/(г, t-t')Ek (г, / —，一/") +
О
+ 行，"山"df" H 協C t")目(r, t-f) X о
xEk (г, t-f-f) Ei (г, /_/_ 产—产)+ …(8.1.2)
Здесь 〃跟 и Нцм — компоненты тензоров третьего и четвертого ранга соответственно, £у — компонента электрического поля.
В недиспергирующей среде
"泓=%精(О 6 (f),W/=崂以6 (力6 (产)6 (广)
и соотношение (2) становится алгебраическим:
РГ(г, 0=<£7(г, t)Ek(r, 0 + </£/(r, t)Ek(r, /)Е/(г, /).
Используя разложение поля Е/ (г, /) по плоским волнам:
耳(г, /) =，，d(o dsk Е/ (з, к)占e，-kr),(8.1.3)
запишем спектральное разложение компоненты нелинейной поляризации:
&"(!■,/)= f da jd%Pf"(3,k) e'@jr).(8.1.4)
Спектральная компонента вектора нелинейной поляризации, связанная с тензором третьего ранга %炉左，равна
РГ (<0, к)=山3，0々％*(3, о/)目(3 — 3，，к —к，)ЕМ(У, к)
(8.1.5)
оо
左"(⑴，g =仃衣 (匕I")味"小3厂).(8丄6)
0
Отсюда следует, что спектральная компонента 尸?"(со, к) младшего в разложении нелинейной поляризации по полю члена возникает в результате взаимодействия спектральных компонент поля на частотах (о —о/, о/ с волновыми векторами к—— к', к'. Другими словами, соотношения между частотами и волновыми векторами фурье-компонент поля, взаимодействующих на нелинейности низшего порядка (квадратичной нелинейности), и фурье- компонент поляризации можно записать в виде
83 = 81 + 82, k3 = k1 + k2.(8.1.7а)
Поскольку в соотношениях (5), (6) величины з н h могут принимать отрицательные значения, кроме взаимодействий типа (7а) в рассматриваемой среде могут быть взаимодействия, например, вида
(о3 >=(о2 —(oltкз=к2 —%.(8.1.76)
Взаимодействия, удовлетворяющие соотношениям (7), в нелинейной оптике принято называть трехчастотными； к ним относятся: сложение частот (в вырожденном случае, в\ =(о2 = w, генерация второй гармоники), параметрическое усиление, линейный электрооптический эффект и т. п. (см. [1]).
Аналогично, спектральная компонента, связанная с тензором четвертого ранга bykit записывается в виде
&"(з, к) =，，d3'd3"d3&'d3*'8〃M(3, е")х —оо
义目((0 —(0‘，к — к')Е〃а/ — аД к"-к")£z(w\ к"),(8.1.8)
причем выражение для спектральной компоненты 8〃々2 аналогично (6). В соответствии с (8) соотношения между частотами и волновыми векторами фурье-компонент, взаимодействующих на кубичной нелинейности, имеют вид
+ «з» к4 = к1 + к2 + кз. (8.1.9а)
Помимо этого взаимодействия, в среде с кубичной нелинейностью могут протекать процессы с другими комбинациями частот и волновых векторов, например:
(04 == to】+ о)з — о)2,к《^ % + кз — к?.(8.1.96)
Эти взаимодействия принято называть четырехчастотными. Участие четырех волн в (9) приводит к большому разнообразию нелинейных эффектов. Ряд из них имеет много общего с эффектами, возникающими на квадратичной нелинейности, — речь идет об эффектах типа генерации третьей гармоники (①尸 削 (o4 = 3(o) и т. п.
Вместе с тем с поляризацией, кубичной по полю, связаны и принципиально новые эффекты, не имеющие аналогов среди эффектов, квадратичных по полю. В первую очередь это эффекты самовоздействия. Если в (96) ^ —(о2 = w3 = w, то за счет четырехчастотного взаимодействия возникает спектральная компонента поляризации на частоте(о:
(о =(о-]-(о —(о, k = k + k —к.
Последнее означает, что появляется добавка к комплексному показателю преломления на частоте распространяющейся волны (о, пропорциональная интенсивности. Символически это можно записать как
п — п0 + п2Е2.
Таким образом, интенсивная волна сама изменяет поглощение и дисперсию среды, в которой распространяется.
Для квазиплоских квазимонохроматических волн выражения (5) и (8) можно упростить, следуя методу, изложенному в § 3 гл. 4. Выделим в поле, наряду с быстрыми переменными г и /, медленные переменные 卩"，ц2г, где малые параметры у，!, 画《1 характеризуют относительные ширины частотного и углового спектров волн. В этом случае для поля £ = £ (р,2г,卩"，г, /) вместо разложения (3) можно ввести разложение
£у (ц2г, М, г, /)= \ 同①迺月七/^几卩"，叫 k)e“wir), (8.1.10) в котором фурье-амплитуды сами являются функциями медленных переменных («недоразложенный» спектр).
Если средние частоты взаимодействующих волн существенно различаются, то
当他厶卩力，г, /) = £ 4/Зг,卩/)/(3/j『)+ K. с. (8.1.11)
С учетом соотношения (11) нелинейная поляризация среды, например, для случая трехчастотного взаимодействия (5) принимает вид
Pf(8上) П £ X/"(8? = S/Я ± 8/1)//iJ (n2「，n")/加无(n2「，n1/)义 л, m
Xexp {/ (wm ±(o„) f — (km ± kn) г} + к. c. (8.1.12)
В выражении (12) нелинейный отклик среды учитывается квазистатически с помощью спектральных компонент %, взятых для средних частот.
Соотношение (12) становится точным в смысле учета дисперсии нелинейной поляризуемости среды, если речь идет о взаимодействии плоских монохроматических волн. Полное поле в
§ 1. ПРИБЛИЖЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОЙ ОПТИКИ В55 нелинейной среде при этом следует искать в виде
Е = §е“4Мг)е'(8/т“г)+к&(8.1.13)
Здесь ея —единичный вектор поляризации, а зависимость комплексной амплитуды Ап (цг) от пространственной координаты обусловлена нелинейным взаимодействием. Подставляя (13) в (1), в первом приближении по у, получим систему уравнений вида
[ея[кяея]]7Ля==Г„(Л1, .... 4“； г),(8.1.14)
где нелинейный член Fn имеет порядок 卩：
尸…号 3%1PH"(5).(8.1.15)
Обобщим нелинейные уравнения (14) на случай взаимодействия плоских квазимонохроматических волн. Напомним, что в первом приближении теории дисперсии изменение комплексной амплитуды Л описывается уравнением (4.3.12). В исходное уравнение (1) с учетом (12) нелинейные и дисперсионные члены входят аддитивно. Эта аддитивность сохраняется и в укороченных уравнениях. В первом приближении теории дисперсии
[e„[k„e„]]^„+s„^} = F„Hb %" г). (8.1.16)
В полуограниченной среде, направляя ось z по нормали к границе среды, систему можно преобразовать к виду
碧 + —二* F"(8.1.17)
«П cossnz0
где ze —единичный вектор вдоль оси г, F„(Аи Лу； г)= —(k cos knsn)-1 Гя (Аъ ...,力川；г). Система уравнений (16) или (17) значительно сложнее соответствующей системы (14) для не- модулированных волн. Это сужает круг задач о взаимодействии модулированных волн, допускающих аналитическое решение.
Вместе с тем в случае равенства групповых скоростей, ия cos s„z0 = =〃,уравнения (17) сводятся к системе уравнений вида (14).
Принято говорить, что в этом случае мы имеем дело с квази- статическим взаимодействием волн; картина взаимодействия здесь такая же, как и для немодулированных волн. Напротив, если групповые скорости волн отличаются, говорят о нестационарном взаимодействии волн. Заметим, что в конкретных задачах критерий квазистатики оказывается менее жестким. Поскольку нас интересует нелинейное взаимодействие в среде конечной длины /, нелинейное взаимодействие модулированных волн можно рассматривать как квазистатическое и при различающихся групповых
скоростях, если времена группового запаздывания т^ = / (и^1 — и*!) волн относительно друг друга малы по сравнению с характерным временным масштабом модуляции тм: т(* ^ тм (см. ниже).
Отметим еще раз, что в уравнениях (16), (17) дисперсия среды учтена в первом приближении. Во втором приближении теории дисперсии линейное распространение плоских шумовых волн в бегущей системе координат (4.3.22) описывается уравнением (4.3.22). Уравнения нелинейного взаимодействия шумовых волн принимают вид
[e„[k„e„]]pX„-i|^ = F„Mi. Лу； г). (8.1.18)
Уравнения (18) записаны в собственных бегущих координатах (4.3.22) волн, g„ = d2kn!d^h — дисперсия групповой скорости.
Конкретизируем уравнения (18) на примере трехчастотного взаимодействия (①工 + ©2 = 8з) в среде с квадратичной нелинейностью. В этом случае поляризация Р?л (соп), входящая в нелинейный член (15), дается соотношением (12). Будем рассматривать одномерные взаимодействия, т. е. считать, что волновые векторы волн коллинеарны и для них имеет место соотношение 自+ ^ = &з + А・(8.1.19)
Записывая три уравнения вида (18) в общей координатной системе, связанной с волной частоты ①工，
2, n = ni = ^-2/ub
получим следующую систему уравнений:
也dz也dzMadzMgdzMadzMgdz+-v3+-v3-i^a给=一暇4為終丝 醬一‘^出等=一暇4/衿丝 警一 i^g3 龄=_恥 44bA.-i^a给=一暇4為終丝 醬一‘^出等=一暇4/衿丝 警一 i^g3 龄=_恥 44bA.(8.1.20)(8.1.20)
也
dz
也
dz
Madz
Mgdz
Madz
Mgdz
+-v3
+-v3
-i^a给=一暇4為終丝 醬一‘^出等=一暇4/衿丝 警一 i^g3 龄=_恥 44bA.
-i^a给=一暇4為終丝 醬一‘^出等=一暇4/衿丝 警一 i^g3 龄=_恥 44bA.
(8.1.20)
(8.1.20)
Здесь ря — коэффициенты нелинейной связи:
Рз =Рз =2л （展马崂硏2几（翊歹/电）①？.2л （展马崂硏2几（翊歹/电）①？.r _ 2R (e或财/)明Р2 硬 »r _ 2R (e或财/)明Р2 硬 »(8.1.21)(8.1.21)
Рз =
Рз =
2л （展马崂硏
2几（翊歹/电）①？.
2л （展马崂硏
2几（翊歹/电）①？.
r _ 2R (e或财/)明
Р2 硬 »
r _ 2R (e或财/)明
Р2 硬 »
(8.1.21)
(8.1.21)
(8.1.22)групповое(8.1.22)групповое
(8.1.22)
групповое
(8.1.22)
групповое
vn —расстройки групповых скоростей:
% — 1/^л — 1/〃1・
В (20) члены с коэффициентами v2 и v3 описывают запаздывание взаимодействующих воли.
Нетрудно провести обобщение (14) и на случай взаимодействия квазиплоских монохроматических волн (волновых пучков со случайной поперечной структурой); при этом вместо (14) получаем уравнения
眇 + i 京 АL4 =乙(4,…，4； г), (8.1.23)
где А± — поперечный лапласиан. Уравнения (23) записаны в координатах, связанных с лучом, т. е. направление оси гп совпадает с направлением лучевого вектора. Разумеется, уравнения (23) можно также рассматривать как обобщение параболического уравнения (4.3.31а) на нелинейные среды.
Нелинейные взаимодействия световых волн эффективны, если выполнены так называемые условия фазового синхронизма (А = 0). Действительно, если в (20) А велико, члены в правых частях уравнений быстро осциллируют, взаимодействие практически исчезает и волны распространяются в линейной среде. Условия фазового синхронизма можно выполнить в анизотропной среде, например в одноосном кристалле (см. [1, 9]), если в нелинейном взаимодействии участвуют волны разной поляризации — обыкновенные и необыкновенные волны. В этом случае в приближенных уравнениях для комплексных амплитуд следует учесть различие направлений лучевого и волнового векторов необыкновенной волны.
Трехчастотное взаимодействие (со1-|-(о2= со3) квазиплоских волн, при котором волна на частоте о)з является необыкновенной, а остальные волны — обыкновенными (так называемое взаимодействие оо-> е), в системе координат, связанной с обыкновенными волнами, в соответствии с (23) описывается системой уравнений
^" +费A丄4 =一通4害決丝
礬 + 费 А丄4 =—他4&е‘丝 (8.1.24) 翁+屮請+壶А丄4 =一恥4/l"
где *ф — угол между волновым и лучевым векторами необыкновенной волны (屮= &§з 〜卩и?).
Уравнения (20) и (24) по отдельности учитывают эффекты временной и пространственной модуляции при взаимодействии волн. Нетрудно записать нелинейные уравнения, в которых одновременно принимаются во внимание пространственные и временные эффекты.
Сделаем краткое замечание о пространственно-временной аналогии в теории модулированных волн. В § 3 гл. 4 эта аналогия
рассматривалась применительно к линейной теории распространения модулированных волн. Однако ее можно перенести на нелинейную теорию волн. Ранее указывалось, что дисперсионному расплыванию волнового пакета можно сопоставить дифракционное расширение пучка. Из уравнений (20) и (24), кроме того, следует, что аналогом группового запаздывания в теории взаимодействия квазимонохроматических волн является боковой снос энергии при взаимодействии квазиплоских волн, обусловленный различием в направлениях луча и волнового вектора в анизотропных средах.
Преобразование шума в лазерном усилителе
Мы начинаем исследование нелинейных преобразований случайных волн с задачи о преобразовании статистики усиливаемой волны в лазерном усилителе. Здесь мы хотели бы специально подчеркнуть два аспекта этой задачи.
Преобразование волны в насыщающемся лазерном усилителе является одним из важных примеров самовоздействия световой волны. Ниже учитывается зависимость от интенсивности лишь коэффициента усиления, т. е. рассматривается самовоздействие, связанное с мнимой частью нелинейной восприимчивости； эффекты самовоздействия, обусловленные действительной частью восприимчивости, —самофокусировка и самодефокусировка — обсуждаются в § 5.
Другой аспект связан с физикой так называемых сверхлюминесцентных лазеров. Речь идет о лазерных системах, в которых по тем или иным причинам использование обратной связи (в виде открытого резонатора или распределенной обратной связи) невозможно. В этом случае выходное излучение представляет собой усиленный собственный шум. Каковы статистические характеристики этого излучения?
Ниже мы убедимся, что, если лазерный усилитель работает в нелинейном режиме, одномерный закон распределения интенсивности выходного излучения оказывается практически таким же, как и для генератора с обратной связью. Статистика усиливаемого стационарного шума преобразуется в пространстве точно так же, как статистика устанавливающихся колебаний в генераторе с обратной связью. В усиливающей среде быстро увеличиваются также время и радиус поперечной корреляции шума. Таким образом, при надлежащем подборе параметров излучение лазера, работающего в режиме сверхлюминесценции, может практически не отличаться от излучения лазера с обратной связью； при этом сказанное относится не только к расходимости и ширине спектральной линии (они прямо связаны с соответствующими
масштабами корреляции), но и к такой тонкой характеристике излучения, как одномерное распределение интенсивности.
Процесс распространения волн в среде с отрицательным поглощением будем описывать уравнением для комплексной амплитуды Л поля (ср. с (4.3.176)):
儀+ j + *Aj/ug4 (8・2・1) Коэффициент усиления £ зависит от интенсивности усиливаемой волны:
gП1露［九'(822)
где 7нас — интенсивность насыщения. Профиль линейного коэффициента усиления а (г, z) определяется накачкой. Остальные обозначения в (2) обычные.
Временная статистика — пространственный аналог задачи о флуктуационном установлении колебаний. В задаче о поведении временных флуктуаций в лазерном усилителе дифракционным членом в (2) будем пренебрегать, что равносильно предположению об усилении плоской шумовой волны. Кроме того, будем считать, что интенсивность волны | Ла | < /нас и коэффициент а (г, z) ■= ■ а = const. Тогда, ограничиваясь первым членом в разложении (2) по I Л 1а/7яае» уравнение (1) можно привести к виду (ср. с (7.5.23))''-
37 +—a^ + M*^a=E：0i(823)
где нелинейный коэффициент 卩・а//нас>0・
Перейдем в (3) к интенсивности / = | Л |2 и бегущим координатам z и ^^t — z/u^ тогда получим
爲-а/ + М』0.(8.2.4)
Граничное условие для (4):
/(“，г = О)=»7о (л).(8.2.5)
Решением уравнения (4) является
/(%2).石小保f(826)
Здесь G«=2az и величина Iw «® а/p ™ /нас — установившееся значение интенсивности. Полученное решение (6) аналогично решению (1.6.7) задачи об установлении колебаний в генераторе, рассмотренной в § 3 гл. 7. Аналогом приведенного коэффициента усиления G в (1.6.7) является приведенное время т.
Таким образом, мгновенная интенсивность усиливаемого в нелинейном лазерном усилителе сигнала ведет себя так же, как
интенсивность самовозбуждающихся колебаний в генераторе с обратной связью. Если /0 (/)——случайная функция, то с помощью (6) можно определить закономерности преобразования статистики в процессе усиления.
В соответствии с (6) одномерные законы распределения стационарного усиливаемого шума различны в разных сечениях усиливающей среды. Если исходная случайная волна имеет гауссовскую статистику (распределение интенсивности экспоненциальное), то с помощью замены т на G результаты анализа статистических характеристик интенсивности колебания / (/) (1.6.7) полностью переносятся на интенсивность / (刀,г) усиливаемой волны. Поэтому можно использовать и кривые рис. 7.8——7.12.
Из сказанного следует, что флуктуации интенсивности усиливаемой волны сначала нарастают, достигают максимального значения и затем, когда начинает проявляться нелинейность коэффициента усиления, происходит их уменьшение ). Из-за флуктуаций интенсивности волны на входе усиливающей среды расстояние, на котором достигается заданное значение интенсивности, также флуктуирует.
Пространственная статистика; обобщение теоремы Ван Циттерта—Цернике на усиливающие среды. Для анализа вопроса о формировании пространственной когерентности световых пучков в усилителях бегущей волны будем предполагать коэффициент усиления заданным, но учтем дифракционные эффекты. Коэффициент усиления, определяемый профилем пучка накачки, представим в виде
»(г, 2)=/(1-d/硝， (827)
где а0 — поперечный размер пучка накачки. Таким образом, будем исходить из уравнения
碧 + i a丄 4 - + ^ 产4=。. (8.2.8)
Замена Л = дает
露+磕А“+釘以" (&2・9)
Уравнение (9) отличается от уравнения (4.5.95) распространения волн в оптических волокнах с показателем вида (4.5.93) тем, что в первом случае коэффициент перед третьим членом действительный, а во втором случае — мнимый (в усиливающей среде создается активный оптический канал). В связи с этим можно
Рис. 8.1.硯/& (верхняя кривая) и qj/'a^ (нижияя кривая) в зависимости от расстояния z в линейном лазер ном усилителе [2J.Рис. 8.1.硯/& (верхняя кривая) и qj/'a^ (нижияя кривая) в зависимости от расстояния z в линейном лазер ном усилителе [2J.«о =а(г=0) — исходныйрадиус пучка.«о =а(г=0) — исходныйрадиус пучка.
Рис. 8.1.硯/& (верхняя кривая) и qj/'a^ (нижияя кривая) в зависимости от расстояния z в линейном лазер ном усилителе [2J.
Рис. 8.1.硯/& (верхняя кривая) и qj/'a^ (нижияя кривая) в зависимости от расстояния z в линейном лазер ном усилителе [2J.
«о =а(г=0) — исходныйрадиус пучка.
«о =а(г=0) — исходныйрадиус пучка.
воспользоваться решением (4.5.105), производя замену
— 'У 既2 = ^・(8.2.Ю)
В случае 6-коррелированной на входе волны поперечная корреляционная функция для произвольного сечения г равна
8丄(г2, □)=
=尸⑶eхр卜晦著-党普f )}•(8211)
Здесь Q(z),尸(z), a(z) и гк (г) — функции пройденного расстояния. Особый интерес представляют значения радиуса пучка а (г) и
радиуса корреляции rK (z), которые выражаются формулами (вывод см. в [2])
&-2 ⑵=_4[(Ref)2_(Reg)2]/Ref, rU(z) = —4[(Ref)2 + (Img产]/Ref, (}
где
/ = /е etg (2ег/^), g = ie cosec (2bz/月)，e = (i2a渡/闻 i/2.
Графики функций a-2 (z) и「讃(z) представлены на рис. 8.1. С ростом г радиус корреляции монотонно увеличивается, а радиус пучка — уменьшается. При 2》厶/了色 они асимптотически стремятся к одному значению, равному Od/2G?4 «又工值“炉厶=左区/2). Таким образом, в усиливающей среде, как и в лазере с обратной связью, излучение становится полностью пространственно когерентным ).
Сужение спектральной линии усиливаемого шума. До сих пор при рассмотрении усиления шума в лазерном усилителе мы счи-
тали коэффициент усиления а не зависящим от частоты, т. е. фактически мы предполагали, что (см. уравнения двухуровневой среды (5.5.1)) характерное время модуляции усиливаемой волны значительно больше времени релаксации Т2. На спектральном языке это означает, что ширина линии усиливаемого шума Асош значительно меньше ширины линии усилителя До^= 2/Т2 (Азш《Аз). Если это условие не выполнено, то отклик среды перестает быть квазистатическим. При условии 厶(0皿》厶3 по
мере усиления, очевидно, будет происходить сужение спектра усиливаемого шума.
Для описания таких процессов воспользуемся уравнением (3); запишем его для фурье-амплитуд Xw, опуская нелинейность (0=0). Тогда получим
魯+ (吟-
и, следовательно,
人⑶= Xw(z = 0) e(a-/w“)乙(8.2.13)
В интересующем нас случае коэффициент усиления а = а(со). Его конкретный расчет нетрудно провести, пользуясь уравнениями для двухуровневой системы; аналогичные расчеты выполнены в § 5.
Для однородно уширенной линии коэффициент а((о) имеет лоренцевскую форму：
а (со) =oto/(l +(0吋：).(8.2.14)
Таким образом, для спектра стационарного шума на выходе лазерного усилителя имеем
G((o) = Go((o)expI-|^-.(8.2.15)
Отсюда находим, что ширина спектра шума на выходе усилителя равна
АсОщ н 卡(5^) 7(2%之》1),(8.2.16)
т. е. она обратно пропорциональна квадратному корню из коэффициента усиления (см. также (8.4.20) и рис. 8.12, а).
Взаимодействие случайных волн в диспергирующей среде. Генерация второй оптической гармоники излучением с неполной временной и пространственной когерентностью
В этом параграфе мы проанализируем эффекты статистики поля на примере «эталонной» для нелинейной оптики задачи о генерации второй оптической гармоники в среде с квадратичной нелинейностью. Относительная простота исходных уравнений (заметим, впрочем, что даже в этой задаче общего аналитического решения для модулированных волн не существует) позволяет сформулировать на этом примере достаточно ясные представления о влиянии неполной временной и пространственной когерентности на процесс нелинейного взаимодействия электромагнитных волн в диспергирующей среде.
Умножение частоты шума в нелинейных цепях с сосредоточенными параметрами было рассмотрено в гл. 5. Что нового воз-
никает при умножении частоты шума в распределенной нелинейной среде?
Поскольку в распределенной среде процесс умножения частоты представляет собой взаимодействие волн, решающую роль, очевидно, должны играть фазовые соотношения между взаимодействующими волнами. Если умножается частота плоской монохроматической волны, со+(о = 2со, то волновое взаимодействие эффективно, если для волновых векторов выполняется соотношение
к； (со) + к； (со) = к2 (2со).
Это условие называют условием фазового синхронизма. Если же речь идет об удвоении частоты шумовой волны, то условие фазового синхронизма для всех спектральных компонент выполнить не удается. Картина взаимодействия шумовых волн осложняется и тем обстоятельством, что, помимо умножения частот спектральных компонент волны, возникают нелинейные взаимодействия между спектральными компонентами.
Ниже мы убедимся, что эта сложная картина становится физически прозрачной, если воспользоваться временным описанием. В дальнейшем будет показано, что влияние временной некоге- рентности волн на процесс нелинейного взаимодействия просто описывается в терминах группового запаздывания; основными параметрами при этом являются расстройка групповых скоростей и время группового запаздывания.
Начнем с анализа удвоения частоты излучения с неполной временной когерентностью, а затем рассмотрим возбуждение гармоники пространственно некогерентным излучением.
Генерация второй гармоники плоскими шумовыми волнами в первом приближении теории дисперсии описывается уравнениями типа (8.1.20):
也丄丄型1力十Ui dtd&丄10&bz 十 ％ dt也丄丄型1力十Ui dtd&丄10&bz 十 ％ dt-ФМ2Л^,-ФМ2Л^,-恥А/&.-恥А/&.(8.3.1а)(8.3.1а)(8.3.16)(8.3.16)
也丄丄型1力十Ui dt
d&丄10&bz 十 ％ dt
也丄丄型1力十Ui dt
d&丄10&bz 十 ％ dt
-ФМ2Л^,
-ФМ2Л^,
-恥А/&.
-恥А/&.
(8.3.1а)
(8.3.1а)
(8.3.16)
(8.3.16)
Здесь 41 и Л2 — комплексные амплитуды основного излучения и второй гармоники соответственно, А = 2自 —— 月2 ——волновая расстройка. Граничные условия для системы (1) в случае генерации гармоники следующие:
4 (f, z = 0) = Л10 (/), Ля (/, z = 0) = 0, (8.3.2)
где Аю (0 — случайная функция. В общем случае при ux=# и2 и учете обратной реакции волны второй гармоники на волну основной частоты систему уравнений (1) решить не удается.
Поэтому ниже мы будем основываться на анализе приближенных решений уравнений (1).
Весьма полное исследование статистических характеристик взаимодействующих волн удается провести в квазистатическом режиме, когда групповые скорости взаимодействующих волн совпадают [4-П]. В этом случае поле гармоники в некоторой пространственно-временной точке (/, г) определяется полем основной волны в той же самой точке.
Если взаимодействие перестает быть квазистатическим, аналитическое решение (1) удается записать лишь в довольно сильных предположениях о характере нелинейного взаимодействия: в приближении заданного поля основной волны (вид основной волны в нелинейной среде предполагается заданным, обратная реакция гармоники на основную волну вообще не учитывается) [4—12, 37] и в так называемом приближении заданной интенсивности основной волны (интенсивность основной волны предполагается заданной, но учитывается обратная реакция поля гармоники на фазу основной волны) [44].
Квазистатический режим. В этом случае предполагается, что и1 = и2 = и. Тогда в бегущей системе координат
之=z,^ = t — z!u
уравнения (1) записываются в виде
吗= —币4額，%"' 0 = _ 币々. (8.3.3)
В (3) для простоты принято, что А = 0 (01 = 02 = 0)； величина 刀 входит как параметр.
Уравнения (3) имеют такой же вид, как и уравнения для взаимодействия плоских монохроматических волн, получаемые из (1) при d/df = O. Переходя к действительным амплитудам р/ и фазам ср； (% =р『ехр ftp/)，收外 уравнений (3) с учетом условий (2) получаем известные решения (см. [1]):
Pi (% z) = р10 01) sech [Ррю (п) 2],(8.3.4а)
р2 (% Z)= Рю (П) th [ррю 01) г],(8346)
Ф1(П，г) = Фю(П)» ф2(п, г) = 2ф10(п)-^/2.(8・3.4в)
Отсюда видно, что между амплитудами и фазами взаимодействующих волн существуют алгебраические соотношения, т. е. преобразование является безынерционным.
Для расчета временных корреляционных функций поля основного излучения и второй гармоники в нелинейной среде, т. е. функций
в2 (т; z) =〈Р2P2工 ехр i 他一St)〉，(8.3.5a)
5i(т; г) = <Р1р1сехр z (фх-ф!^),(8.3.56)
где рл = рл (п, Z), рпх = рп (п + т，2), в общем случае необходимо знать четырехмерную функцию распределения огибающей и фазы исходной волны. Если падающая основная волна представляет собой случайный гауссовский процесс с симметричным спектром, то четырехмерное распределение согласно формуле (2.4.10) имеет вид )
侬(Р，Рт；屮，％)=
РРт(Р2 + Рт-2РР?cos (Ф-Фт) 1/QQQ
= #o4(i 一加 ⑴)exp (©(I—抹 ⑴)Г(836)
Здесь введены обозначения: р = р10 (0， Рт = Рю C + ^)f п2 = р2, Ь(Т)=〈РРт〉/р2*
В случае возбуждения второй гармоники излучением со стабилизированной амплитудой (например, одаомодовым излучением лазера, работающего высоко над порогом генерации) для расчета корреляционных функций (5) нужно знать лишь двумерную функцию распределения фазы (см. (2.5.49))
оу(Ф1, Ф1г) = (4л2)-1 2 exp |- ~ n^f (т)| cos т (<р1т - <₽!), (8.3.7)
где / (т) = От для излучения с лоренцевским спектром и / (т)= =^(^)? Для излучения с гауссовским спектром.
В рассматриваемом случае (Рю = Ро = const) для корреляционных функций после подстановки в них выражения (7) получаем 当(т； %) = /1 ехр {—/(т)/2}, В2 (т; г) = /2 ехр {—2/ (т)}, (8.3.8а, б)
где /] и /2— интенсивности основного излучения и второй гармоники соответственно：
Л = ро sech2(ppo2), /2 = p^th2 фрог). (8.3,9а, б)
Следует отметить, что точно такие же выражения для интенсивностей имеют место в отсутствие фазовых флуктуаций, т. е. для монохроматических волн. Согласно (9) интенсивность основного излучения может быть полностью преобразована в интенсивность второй гармоники (рис. 8.2).
Из (8) видно, что в процессе нелинейного взаимодействия волн вид корреляционных функций, а следовательно, я спектров не меняется. При этом для времен корреляций второй гармоники тк2 и основного излучения тк1 нетрудно получить следующие
Рис. 8.2. Зависимость интенсивности основного монохроматического излучения 厶(/) и интенсивности второй гармоники /2 ⑵ от приведенного расстояния в нелинейной среде ?//Нл.Рис. 8.2. Зависимость интенсивности основного монохроматического излучения 厶(/) и интенсивности второй гармоники /2 ⑵ от приведенного расстояния в нелинейной среде ?//Нл.соотношения:
Рис. 8.2. Зависимость интенсивности основного монохроматического излучения 厶(/) и интенсивности второй гармоники /2 ⑵ от приведенного расстояния в нелинейной среде ?//Нл.
Рис. 8.2. Зависимость интенсивности основного монохроматического излучения 厶(/) и интенсивности второй гармоники /2 ⑵ от приведенного расстояния в нелинейной среде ?//Нл.
Q = %/4, тк1 = 2/D(8.3.10а)
для лоренцевского спектра и
久2 = %т/2, тк1 — 2т()(8.3.1 Об)
для гауссовского спектра.
Из соотношений (10) следует, что в случае лоренцевского спектра ширина спектра второй гармоники в четыре раза больше ширины спектра основного излучения, т. е.
д(о(л)= 4А(о(л\(8.3.11а)
а в случае гауссовского спектра ширина спектра гармоники больше ширины спектра основного излучения в два раза, т. е.
Aco「= 2Acof)・ (8.3.116)
Полученные результаты, таким образом, показывают, что соотношения между ширинами линий взаимодействующих волн зависят от формы исходного спектра. Ниже будет установлено, что указанные соотношения зависят, кроме того, от статистики основного излучения.
Для исходной волны, представляющей собой случайный процесс с гауссовской статистикой, точные аналитические выражения для корреляционных функций (5) получить не удается. Поэтому ограничимся здесь рассмотрением предельных случаев для второй гармоники. Но прежде всего введем
；нл ^(pp0)-» — длина нелинейного взаи-модеЙствия, /ю— интенсивность основ-ного излучения на входе среды.；нл ^(pp0)-» — длина нелинейного взаи-модеЙствия, /ю— интенсивность основ-ного излучения на входе среды.характерную нелинейную длину /нл = (Рро)"1- Согласно (96) на этой длине для случая плоских монохроматических волн коэффициент преобразования во вторую гармонику /2/ро составляет около 60% (см. также рис. 8.2).
；нл ^(pp0)-» — длина нелинейного взаи-модеЙствия, /ю— интенсивность основ-ного излучения на входе среды.
；нл ^(pp0)-» — длина нелинейного взаи-модеЙствия, /ю— интенсивность основ-ного излучения на входе среды.
В соответствии с (4) имеем
_ ( ₽гр10 (л),г</ил>(8.3.12а)
⑺，г>/нл.(8.3.126)
Подставляя (126) и (4в) в (5а), для корреляционной функции второй гармоники получаем (на больших расстояниях)
& (т; z > /нл) = (рюрюг exp 口2 (%о —(p10t)]>.(8.3.13)
В выражении (13) усреднение следует производить по распределению (6). Воспользовавшись разложением
exp (b cos 屮)= У %(匕)cos 加屮，
после интегрирования по фазам получим
b2 (T; z) = 2аa2 J，后居厶伍工62)ё一a(г +玛)dxr dx2, (8.3.14) о
где х = p/а, а — {1 — ft2 (т)}'1, с =2ай(т), 1т (&) — функция Бесселя. Для интегрирования (14) воспользуемся формулами 6.643 и 7.621 (ГР, с. 734 и 873); в результате получим
"(Т； 2》К) = §^2(т)о2/^, ^_, з； Мт)],(8.3.15)
где 尸(1/2, 1/2, 3; х) — гипергеометрическая функция, изменяющаяся от 32/9л~1,13 до 1 при изменении аргумента х от 1 до 0. В (15) входит квадрат корреляционной функции основного излучения. Поэтому время корреляции гармоники меньше, чем время корреляции исходного излучения. Это связано (см. (13)) с большим вкладом фазовых флуктуаций во флуктуации поля гармоники по сравнению с их вкладом в поле основного излучения. Средняя же интенсивность гармоники равна средней интенсивности основного излучения:
厶(Z》厶 1Л)= ^10-
ДруГИМИ словами, в квазистатическом режиме взаимодействия волн возможно, в принципе, полное преобразование основного излучения во вторую гармонику.
На малых расстояниях (в приближении заданного поля) корреляционная функция второй гармоники в соответствии с (4в), (5а) и (12а) дается выражением
"(Т； г < /нл)==(阳户(plopior ехр 口2 (師一 <p10T)]> =
=(阿 2〈寸。4 院〉.(8.3.16)
В данном случае, чтобы найти среднее (16), удобно воспользоваться соотношением
<"(%)肥 2(小)〉=2〈4 (%)肥(电)尸=2 中(电一%),(8.3.17)
справедливым для случайной комплексной амплитуды Л с гауссовской статистикой. С учетом (17) для корреляционной функции (16) получаем
&(т； z<l^^^z?B^ (т).(8.3.18)
При этом средняя интенсивность второй гармоники равна
厶 к《4, =2(pz)2/%.(8.3.19)
Полученный результат интересно сравнить с данными о возбуждении второй гармоники монохроматическим излучением. Согласно (9) при 2《(рро)-1 между интенсивностями монохроматической гармоники и основного излучения имеет место соотношение
；Гн = (₽г)2(7^н)2-(8.3.20)
Из выражений (19) и (20) видно, что в обоих случаях зависимость интенсивности гармоники от расстояния одинаковая. Однако между этими выражениями имеется также важное различие: при одинаковых интенсивностях основного излучения интенсивность гармоники, возбуждаемой гауссовским излучением, вдвое больше, чем интенсивность монохроматической гармоники. Этот результат легко понять. В квазистатическом режиме можно воспользоваться результатами § 1 гл. 5; для излучения с гауссовской статистикой можно использовать выражение (5.1.14).
Напомним, что физическая природа обсуждаемого эффекта состоит в том, что в интенсивных выбросах поля основного излучения преобразование во вторую гармонику происходит наиболее эффективно (см. (12а)). В случае возбуждения второй гармоники многомодовым основным излучением эффективность генерации (см. табл. 2.1) оказывается больше, чем при одномодовом излучении той же интенсивности, в (2— l/^) раз (см. также гл. 5 и [5, 6]).
Несколько позже мы проанализируем статистику поля второй гармоники, сейчас же обратимся к ее спектру. Возьмем корреляционную функцию основного излучения в виде экспоненты:
Ao ⑴=厶ехр {—2 (In 2) (I т |/тк1)},(8.3.21)
и в гауссовском виде:
В10 (т) = /0 ехр {■~4 (In 2) (т/тк1)2}.(8.3.22)
В выражениях (21), (22) время корреляции tki определено по половинному уровню. Подставляя эти выражения в (18), получим следующие формулы для времени корреляции второй гармоники и ширины спектров:
4? = тк1/2, AcoV° = 2Ad? Ad? == (4 In 2)/% (8.3.23а) для корреляционной функции (21) и
4^ = Тк1/М2 А(о『=/2 Асо? Асо(卩《ж (8 In 2)/тк1 (8.3,236)
для корреляционной функции (22). Здесь, как и прн удвоении частоты фазово-модулированного излучения, ширина спектра вто-
рой гармоники зависит от вида исходного спектра (корреляционной функции). Однако в формулах для соответствующих видов
спектра коэффициенты пропорциональности, например для ширины спектра, оказываются иными (ср.
(23а) с (Па) и (236) с (116)).
С ростом длины нелинейного взаимодействия, или при увеличении эффективности преобразования основного излучения во вторую гармонику, корреляционная функция гармоники меняется незначительно: от вида (18) к выражению (15). Напротив, корреляционная функция основного излучения Bi(T；z) существенно зависит от обратной реакции гармоники； ее график в полулогарифмическом масштабе, полученный при помощи численного интегрирования (56), показан на рис. 8.3. Из этого рисунка видно, что форма спектрального распределения основного излучения модифицируется, а ширина
亚1mz)/%喇亚1mz)/%喇Рис. 83 Корреляционная функция основного излучения В】(т; z) дляРис. 83 Корреляционная функция основного излучения В】(т; z) дляспектра увеличивается по мере его перекачки в гармонику.
亚1mz)/%喇
亚1mz)/%喇
Рис. 83 Корреляционная функция основного излучения В】(т; z) для
Рис. 83 Корреляционная функция основного излучения В】(т; z) для
Нестационарный режим генерации; когерентные и некогерентнь1е взаимодействия. Обратимся теперь к анализу случая, когда групповые скорости основной волны
различных приведенных длин взаимодействияZ/K [11]：/) 0—экспоненциальная кри-вая; 2) 1： 3) 2.и гармоники различны:различных приведенных длин взаимодействияZ/K [11]：/) 0—экспоненциальная кри-вая; 2) 1： 3) 2.и гармоники различны:〃廿〃2 [4, 5, 7, 10, 12]. Тогда аналитические решения уравнений (1) записать не удается. Поэтому мы воспользуемся прибли
различных приведенных длин взаимодействия
Z/K [11]：
/) 0—экспоненциальная кри-вая; 2) 1： 3) 2.
и гармоники различны:
различных приведенных длин взаимодействия
Z/K [11]：
/) 0—экспоненциальная кри-вая; 2) 1： 3) 2.
и гармоники различны:
жением заданного поля, т. е. будем полагать
』i(f, z)=片 10(f-Z/"l),
а процесс генерации гармоники будем описывать линейным неоднородным уравнением 他=卩)
装十;礬=-‘0 &°(' 一 z/〃i) e-'k
Решение (24) имеет вид
4(/, z) = — ф j 4；о (/- z/〃2十 К) e-做也
О
(8.3.24)(8.3.24)(8.3.25)(8.3.25)"=±-± = 3卜2_%一m鬻+九赍)."=±-± = 3卜2_%一m鬻+九赍).(8.3.26)(8.3.26)где расстройка групповых скоростей
(8.3.24)
(8.3.24)
(8.3.25)
(8.3.25)
"=±-± = 3卜2_%一m鬻+九赍).
"=±-± = 3卜2_%一m鬻+九赍).
(8.3.26)
(8.3.26)
Отметим сразу же, что выражение (25) по своей структуре ана、 логично выражению (5.2.17), которым описывается прохождение
шума через звено «квадратичный детектор — фильтр»; роль постоянной времени фильтра в нелинейной диспергирующей среде играет время группового запаздывания tv= vz. Таким образом, рассматриваемое нелинейное оптическое преобразование является инерционным. Вследствие этого по сравнению с исследованным ранее безынерционным случаем генерации второй гармоники здесь возможно появление новых эффектов.
Теперь корреляционная функция поля гармоники определяется выражением (ср. с (16))
В2 (т； 2)=
-Р, 收凰(f' + T + К0 限(，+ 必)〉e込(…)喝心 (8.3.27) 0
где f'nf —7\； Т2 = z/u2 — время, за которое волна гармоники проходит расстояние z. В случае основного излучения с гауссовской статистикой, пользуясь (17), получим
в2(T； 2)= 2炉代8:。[T + V(0一盘)]…1，)也抬.(8.3.28) о
Из (28) для средней интенсивности второй гармоники с помощью замены переменных 电一蠱=& 备 + 匕=2电 и преобразований, учитывающих четность функции В10(т), нетрудно получить
厶⑶=402 j (Z — 9 8九(V» cos 厶白 d& (8.3.29) 0
Рассмотрим зависимость средней интенсивности гармоники от пройденного расстояния z, не конкретизируя пока вида В1в (т). Пусть время группового запаздывания tv меньше времени корреляции основного излучения тк1 (tv^tk1). Тогда в (29) корреляционную функцию В10 (v^) можно заменить иа В10 (0) = /10- Для средней интенсивности гармоники при этом имеем
厶⑶=2 [卩厶必 sine (Az/2)]2, (8.3.30) где sincx = ^~^・ Выражение (30) соответствует квазистатическому режиму генерации второй гармоники шумовой волны; в этом режиме зависимость интенсивности от z аналогична таковой для гармоники, возбуждаемой монохроматической волной. При фазовой расстройке А = 0 (30) переходит в (19).
Если время группового запаздывания tv значительно превосходит время корреляции тк1 (tv^tk1), то предел интегрирования в (29) можно заменить на бесконечность и средняя интенсивность гармоники оказывается равной
厶⑵=4隈 £ В；。(vg) cos A； dg =州2/i°G (&C)叽“，(8.3.31) 0
где
G (/КОГА)=，端(х) cos (/ког Дх) dx, 4or = %/v. (8.3.32) О
Таким образом, при т\》Тк1 средняя интенсивность гармоники /2 пропорциональна пройденному расстоянию независимо от фазовой расстройки А (，2 〜z). Такой режим принято называть некогерентным взаимодействием.
Нетрудно понять физический смысл полученного результата. Условие(》Тк1 можно переписать как z^> ZKOr. На таких расстояниях г полная интенсивность гармоники равна сумме интенсивностей гармоник, генерируемых слоями нелинейной среды длиной z' ^ /ког. На длине z>4or взаимодействующие волны некор- релированы; процесс генерации гармоники — некогерентный.
Мы проанализировали предельные значения средней интенсивности второй гармоники /2 для случая групповой расстройки w声0. Для детального же исследования изменения /2 возьмем корреляционную функцию В10 (т) в виде (21). Подстановка формулы (21) в (29) приводит к следующему выражению для средней интенсивности гармоники:
厶(z) = 4 (用 1。户便 + А2)-2 {(出 + аЙ) 以 一 (必 一 Д2)+
+ [(а2 — A2) cos Az — 2aA sin Az] ^raz\. (8.3.33)
где а = (4 In 2)//ког. При наличии фазового синхронизма (Д = 0) выражение (33) принимает вид
/2 (г) = 4(р/ю)2 йг2 {аг — 1 +产}・(8334)
Отсюда нетрудно получить предельные выражения (19) и (31).
Графики функции (33) для различных когерентных длин приведены на рис. 8.4. Видно, что на расстояниях г /ког пространственные биения в интенсивности гармоники /已 заметно уменьшаются и при 2》/ког интенсивность /乞 становится пропорциональной г, несмотря на то, что расстройка А#0, т. е. фазовые соотношения становятся несущественными.
Некогерентный режим удвоения частоты; уравнения для средних. Покажем, что на расстояниях z ^ /ког процесс удвоения частоты можно описывать уравнениями для средних. Перейдем от амплитудного уравнения (24) к уравнению для интенсивности /2= I Д |2：
需+ 击鲁=一‘04。(/一2/"1)為(/，z)/4 + k. с. (8.3.35)
В бегущих координатах C = z, “==f —之例 уравнение (35) принимает вид
4r = -J'Mio(n + v；) ЛН；, т|)е-^ + к. с. (8.3.36)
Произведем усреднение в уравнении (36). Для расчета среднего в правой части (36) воспользуемся методом, изложенным
Рис. 8.4. Зависимость приведенной интенсивности второй гармоники /超二/丿丁川, возбуждаемой гауссовским излучением с экспоненциальной корреляционной функцией, от расстояния z для фазовой расстройки А = 20 см~1 и различных когерентных длин:
/) QcL8： 2)"ксг =2In2 см.
в § 7 гл. 1 (см. также § 2 гл. 7). Выделим в амплитуде гармоники Л| (С, ч) части, которые коррелируют и не коррелируют с амплитудой %；о (т| + v^):
费(К П)= (题信 心严)+ (厶(&哂(нк).
Следовательно,
К=〈&°⑴+ 吨)4：化，m〉=〈4；°S + K)(4乳窘“))(”
Величину (黒(以 т]))(к, определим, пользуясь (24) (WvW)：
(公隽，『1))2=帀1餌(11 +喧)公，，％.
Таким образом, корреляционная функция、
К = / i〈街。⑴+啕A^箇+必)〉金& d盘= 二。
= i2pf 3；0"隽一&))絃纯"盘=20球州，B；0(vx)e^ dx. (8.3.37)
Усредненное уравнение (36) g учетом (37) принимает вид
-^- = 4рг j В^о (vx)^dx.(8.3.38)
В области справедливости выражения (38) интенсивность гармоники определяется (31).
Таким образом, результат (31) нами получен двумя способами: 1) как предельное значение усредненного динамического решения (25) и 2) как следствие прямого усреднения уравнения (35). Последний способ применим только в области некогерентного рассеяния (г ^> /ког) и соответствует приближению марковского случайного процесса (см. § 7 гл. 1). Именно эту методическую цель мы преследовали, излагая второй способ решения (24). То обстоятельство, что нелинейный оптический процесс на расстояниях %》Lor можно описывать как случайный марковский процесс, мы уже использовали в § 6 гл. 6 для анализа процессов параметрического усиления (см. также § 4 этой главы).
Проанализируем теперь спектр второй гармоники G2 (со; z) в некогерентном режиме. Для его нахождения применим к соотношению (28) теорему Винера — Хинчина:
G2 (со; Z) = — J 丛(т; z) d*
52 (т； 2)н，G2 (со；
Выполняя несложные преобразования (28), получим
G3 (со； г) = sine2 [(cov — A) z/2] G20 (ю),(8.8.39)
где G20 ((о) определяется сверткой:
G20 (со) - 2俨К f g10 (со 一 Q) Glo (Й) dQ, (8.3.40)
Сю (co) —спектр основного излучения. Распределение Gi0 (со) полностью определяет спектр второй гармоники только в когерентном режиме генерации. Как было показано выше, в этом случае корреляционные функции гармоники и основного излучения связаны между собой алгебраически (см. формулы (8), (15) и (18)).
В некогерентном режиме (之之 Ю форма и ширина спектра гармоники зависят от групповой расстройки v и длины z. Изменение спектра гармоники иллюстрируется кривыми, изображенными на рис. 8.5・ Видно, что с ростом длины z происходит сужение спектра гармоники. В существенно некогерентном режиме генерации (z ^> /ког) спектр второй гармоники полностью определяется функцией sine2 [(cov — A) z/2] (рис. 8.6). Ширина спектра гармоники по половинному уровню равна
Аз；к =嗜，или А 瑞 к = £^告，(8.3.41)
Х2 — длина волны второй гармоники. Таким образом, ширина спектра гармоники Аз『； оказывается обратно пропорциональной
времени группового запаздывания tv = vz, т. е. она определяется исключительно дисперсионными свойствами среды.
Для произвольного соотношения между длинами z и /ког ширину Асо2 при А = 0 можно найти приближенно, заменяя
Рис. 8.6. Спектральное распределение второй гармоники, возбуждаемой в нестационар ном режиме в кристалле KDP излучением лазера на неодимовом стекле [42].Рис. 8.6. Спектральное распределение второй гармоники, возбуждаемой в нестационар ном режиме в кристалле KDP излучением лазера на неодимовом стекле [42].Рис. 8.5. Спектральное распределение второй гармоники, возбуждаемой в нестационарном режиме основным излучением с гауссовской формой спектра, на различных длинах г:
Рис. 8.6. Спектральное распределение второй гармоники, возбуждаемой в нестационар ном режиме в кристалле KDP излучением лазера на неодимовом стекле [42].
Рис. 8.6. Спектральное распределение второй гармоники, возбуждаемой в нестационар ном режиме в кристалле KDP излучением лазера на неодимовом стекле [42].
/)zv’Kor： 2)2=%ог； 3) Н《)Z05?Kor・ Крнвне /—3 построены для Д = 0. 4 — AZKQr» —I，
в (39) sine2 х^ ехр {——0,36.г2}. Если форма спектра основного излучения гауссовская (корреляционная функция (22)), то свертка (40) принимает вид
G20 ®) ехр {— ®/А(02)2},
где Аи)2 определяется формулой (236). Тогда из (39) следует, что ширина спектра гармоники равна (А = 0)
Ag (z) = {(Ад)- + (As广尸}г? = Аз? {1 + 2 (г//ког)2}-1/2. (8.3.42)
Иногда ширину спектра гармоники (35) в нестационарном режиме генерации удобно определять по первым нулевым значениям модулирующей функции sinc2x, когда aprj мент х = ±л. При этом (ср. с (41))
А继(нк) = 4冗件z.
Заметим, что при фазовой расстройке А=#0 спектр гармоники имеет несимметричную форму (см. рис. 8.6), а его максимум приходится на частоту
з = — ? [1 + (А 然 к/As Jj
Напомним, что со есть отклонение от удвоенной средней частоты основного излучения.
Законы распределения; статистика фотоотсчетов. Помимо рассмотренных выше средней интенсивности и спектра (или корреляционной функции) второй оптической гармоники, определенный интерес может представить статистика поля гармоники, которая может быть измерена с помощью метода фотоотсчетов (см. § 9 гл. 2).
В случае гауссовского основного излучения распределение интенсивности подчиняется закону (2.9.14) и ему соответствует бозе-эйнштейновское распределение фотоотсчетов (2.9.15). Статистика же фотоотсчетов гармоники зависит как от статистики основного излучения, так и от режима генерации. Мы будем считать, что время измерения Т (время выборки) гораздо меньше времени корреляции гармоники тк2, и для нахождения распределения фотоотсчетов используем упрощенную формулу Манделя (2.9.10).
В квазистатическом режиме возбуждения гармоники (z < ZKOr) при малых коэффициентах преобразования (之《4』)согласно (12а) между мгновенными интенсивностями основного излучения /т = = & и второй гармоники /2 имеет место соотношение
厶=能" (р = р2).(8.3.43)
Этим же соотношением в отсутствие эффектов насыщения можно описывать различные двухфотонные процессы (ионизацию, детектирование, люминесценцию и т. п., см. § 1 гл. 5). При этом параметр В зависит от вероятности многофотонного процесса, а /2 есть либо интенсивность излучения, либо ток фотоэмиссии. Поэтому проводимый ниже анализ одноквантовых фотоотсчетов второй гармоники является в то же время анализом двухквантовых фотоотсчетов основного излучения ). Пусть основное излучение имеет распределение интенсивности (2.9.14)：
w (厶)=/о1 ехр {— /J/。},
/0— среднее значение интенсивности. Поскольку интенсивность второй гармоники определяется выражением (43), ее распределение дается формулой
w (() = W卜麻)必=丄叫眞画.(8.3.44) 也 2
В формуле Манделя (2.9.10) обозначим квантовую эффективность детектора через а и припишем величинам а и Р индекс 2, указывающий на то, что они относятся ко второй гармонике. Подставим в эту формулу распределение (44):
2(〃) = i exp {- а2Т/2- /7^}叫.
Для расчета интеграла произведем замену 12 = х2 и воспользуемся формулой 3.462 (ГР, с. 351). В результате для распределения фотоотсчетов второй гармоники получим выражение
D-{l+2n)D-{l+2n)(8.3.45)(8.3.45)(2^)1 ехр (1/4冗2)尸2⑺=„12" /五
D-{l+2n)
D-{l+2n)
(8.3.45)
(8.3.45)
Здесь й2 — 2а2рТ/? — среднее число фотоотсчетов гармоники, которое в два раза больше, чем при возбуждении гармоники монохроматическим излучением с интенсивностью /0.
Рис. 8.7. Распределения интенсивности (а) и фотоотсчетов (6) для излучения с гауссовской статистикой (/) и его второй гармоники (2), построенные для одинакового среднего числа фотоотсчетов.Рис. 8.7. Распределения интенсивности (а) и фотоотсчетов (6) для излучения с гауссовской статистикой (/) и его второй гармоники (2), построенные для одинакового среднего числа фотоотсчетов.
Рис. 8.7. Распределения интенсивности (а) и фотоотсчетов (6) для излучения с гауссовской статистикой (/) и его второй гармоники (2), построенные для одинакового среднего числа фотоотсчетов.
Рис. 8.7. Распределения интенсивности (а) и фотоотсчетов (6) для излучения с гауссовской статистикой (/) и его второй гармоники (2), построенные для одинакового среднего числа фотоотсчетов.
Распределение фотоотсчетов (45) (кривая 2 рис. 8.7, б) существенно отличается от распределения Бозе — Эйнштейна (2.9.15) (кривая / рис. 8.7, 6). Чтобы убедиться в этом, рассчитаем факториальный момент второго порядка (7.5.35):
"2 - {九^ - ^m —亢 m}/篦^, который в случае пуассоновского распределения (2.9.12) равен нулю, а для распределения Бозе — Эйнштейна (2.9.15) — единице. Учитывая (2.9.7), запишем Н2 через моменты интенсивности гармоники:
%6}/%(8.3.46)
Для распределения (44) значение ”2 = 5. Этот результат относится к квазистатическому режиму возбуждения гармоники. В нестационарном режиме генерации значение Н2 зависит от соотношения между расстоянием z и когерентной' длиной /ког (см. [14]). Очевидно, что при г ^> /ког согласно формуле (25) и центральной предельной теореме "纟-^ 1, а распределение фотоотсчетов второй гармоники стремится к распределению Бозе — Эйнштейна.
В заключение отметим, что статистика фотоотсчетов второй гармоники, возбуждаемой излучением с несинхронизованными модами, изучена в [13, 14].
Рис. 8.8. Относительные ориентации волновых и лучевых векторов основной волны (klt si и волны второй гармоники (kz，s2) для взаи- моде11ствия ио е.Рис. 8.8. Относительные ориентации волновых и лучевых векторов основной волны (klt si и волны второй гармоники (kz，s2) для взаи- моде11ствия ио е.Пространственная статистика гармоники; генерация анизотропных оптических полей. Как влияет неполная пространственная когерентность основного излучения на процесс удвоения частоты? Естественно, чтобы ответить на этот вопрос, следует рассмотреть эффекты дифракции. Однако имеются ситуации, когда в геометрооптическом приближении случайная поперечная структура пучка основного излучения может сильно повлиять на к. п. д. удвоителя частоты и статистические свойства излучения второй гармоники.
Рис. 8.8. Относительные ориентации волновых и лучевых векторов основной волны (klt si и волны второй гармоники (kz，s2) для взаи- моде11ствия ио е.
Рис. 8.8. Относительные ориентации волновых и лучевых векторов основной волны (klt si и волны второй гармоники (kz，s2) для взаи- моде11ствия ио е.
Ниже будет показано, что различие направлении лучевого и волнового векторов не- обык1；овенно:< волны в анизотропно；! среде, приводящее к различию направленн：! /тучевых векторов взаимодействующих волн (г. е. к сносу пучков), может, так же как н временная дисперсия среды, привести к некогерентному режиму удвоения частоты. Фактически речь будет идти об эффектах, во многом аналогичных эффектам групновою запаздывания
屮一уголдвулучепреломлениядля необыкновенной волны вто-рой гармоники.屮一уголдвулучепреломлениядля необыкновенной волны вто-рой гармоники.для плоских шумовых волн.для плоских шумовых волн.Различие направлений лучевых векторов——это один из случаев групповой расстройки.
屮一уголдвулучепреломления
для необыкновенной волны вто-рой гармоники.
屮一уголдвулучепреломления
для необыкновенной волны вто-рой гармоники.
для плоских шумовых волн.
для плоских шумовых волн.
池池О,О,您+"禁一您+"禁一ifM； (г, z) ТА'ifM； (г, z) ТА'(8.3.47)(8.3.47)Процесс взаимодействия пространственно некогереитных волн описывается системой уравнений (8.! 24). Без учета дифракционных эффектов для процесса генерации второй гармоники в приближении заданного поля имеем
池
池
О,
О,
您+"禁一
您+"禁一
ifM； (г, z) ТА'
ifM； (г, z) ТА'
(8.3.47)
(8.3.47)
Напомним, что рассматривается случай, когда обыкновенная волна основного излучения возбуждает необыкновенную волну второй гармоники;屮一угол двулучепреломления для волны гармоники (рис 8 8)
Граничные условия для системы (47):
(8348)(8348)3(J z=O)=4u(「)，4(г, 2=5=0.
(8348)
(8348)
JS & А. Ахманов к 2.
Рис. 89 Зависимость радиуса корреляции второй гармоники, возбуждаемой основным пучком с радиусом корреляции & Q а 30 мкм, от азимутального угла ф (рис. 8.8) [15]： а) непосредственно на выходе нелинейного кристалла (ближнее поле пучка); б) на расстояини 50 см от него； в) в фокальной плоскости линзы (дальнее поле пучка).Рис. 89 Зависимость радиуса корреляции второй гармоники, возбуждаемой основным пучком с радиусом корреляции & Q а 30 мкм, от азимутального угла ф (рис. 8.8) [15]： а) непосредственно на выходе нелинейного кристалла (ближнее поле пучка); б) на расстояини 50 см от него； в) в фокальной плоскости линзы (дальнее поле пучка).
Рис. 89 Зависимость радиуса корреляции второй гармоники, возбуждаемой основным пучком с радиусом корреляции & Q а 30 мкм, от азимутального угла ф (рис. 8.8) [15]： а) непосредственно на выходе нелинейного кристалла (ближнее поле пучка); б) на расстояини 50 см от него； в) в фокальной плоскости линзы (дальнее поле пучка).
Рис. 89 Зависимость радиуса корреляции второй гармоники, возбуждаемой основным пучком с радиусом корреляции & Q а 30 мкм, от азимутального угла ф (рис. 8.8) [15]： а) непосредственно на выходе нелинейного кристалла (ближнее поле пучка); б) на расстояини 50 см от него； в) в фокальной плоскости линзы (дальнее поле пучка).
В рассматриваемом геометрооптическом приближении уравнения (47) аналогичны уравнениям (1) временной задачи при Pi =0, причем аналогом групповой расстройки v (26) является угол ——屮. Поэтому, пользуясь (25), можно сразу написать решение уравнений (47) (д =0):
4 (г, z)=—期 j &о (х -屮& g)弱 (8.3.49) о -
и выражение для поперечной корреляционной функции гармоники, аналогичное выражению для временной корреляционной функции (28).
Из сказанного следует, что в случае поперечной корреляционной функции основной волны гауссовского вида (4.5.41а) полученные выше результаты для временной задачи можно перенести на пространственную задачу. Так, вдоль оси у радиус корреля-
ции гармоники определяется соотношением, аналогичным (236):
4 =儿=%//2.(8.3.50)
Что касается радиуса корреляции гармоники 片 вдоль оси х, то он равен (ср. с (42))
/=&{1+2(2/厶)2}1/2(8.3.51)
и существенно зависит от соотношения Длины г и поперечной когерентной длины /丄：
/丄=Го/屮.(8.3.52)
Характерная длина /丄 является аналогом когерентной длины /ког (32).
Таким образом, в условиях влияния на процесс генерации гармоники двулучепреломления кристалла (屮，0) значение радиуса корреляции второй гармо
ники зависит от направления, т. е. поле второй гармоники является статистически неизотропным (рис. 8.9). Изменение формы такого пучка в процессе его распространения иллюстрируется рис. 8.10. На выходе нелинейного кристалла пучок гармоники имеет симметричную форму. При
распространении радиус пучка и радиус корреляции изменяются таким образом, что их отношение а(2)/Гк(2)остается постоянным (см. (4.5.566)). Поэтому размер пучка становится больше в направлен и и оси у, где радиус корреляции в исходном пучке 6ы^
меньше. В дальнем поле значение радиуса корреляции гармоники не зависит от направления (кривая s рис. 8.9), но форма самого пучка имеет веретенообразный вид (рис. 8.10, в).
Рис. 8.10. Изменение формы пучка второй гармоники, возбуждаемой в нелинейном анизотропном кристалле частично когерентным симметричиым основным пучком [15]:
а) непосредственно на выходе кристалла; 6) на расстоянии 50 см от него; 8) в фокальной плоскости линзы- Оси координат хну совпадают с соответствующими координатами рнс, 8.8
Дифракционные эффекты и эффекты дисперсионного расплывания. Отметим еще раз, что в этом параграфе мы ограничились анализом процесса генерации втор ой оптической гармоники в геометрооптическом приближении н в первом приближении теории дисперсии. Эффекты пространственно-временной некоге- рентности, выявленные нами на примере генерации гармоники, могут проявиться и в процессах генерации суммарных и разностных частот, в процессе параметрического усиления (§§5 — 7 гл. 6)и различных процессах смешения.
Более сложными оказываются задачи, связанные с одновременным учетом эффектов пространственной и временной некоге- рентности взаимодействующих волн [12, 42], и задачи, в которых учитываются эффекты дифракции и дисперсионного расплывания. В нелинейных взаимодействиях частично когерентных в пространстве волн дифракционные эффекты необходимо учитывать, когда длина среды превосходит продольную когерентную длину % = kr：j2 (см. книгу [4], в которой приведена соответствующая литература). Эффекты дисперсионного расплывания в нелинейных волновых процессах проявляются на расстояниях, превышающих когерентную длину 管(4.4.12). Анализ генерации второй гармоники во втором приближении теории дисперсии выполнен в работе [43].
На спектральном языке учет в процессе генерации гармоник эффектов, связанных с конечными значениями характерных длин 4 и /к \ означает, что при анализе, соответственно, учитываются векторные синхронные взаимодействия между угловыми спектральными компонентами пучков и синхронные процессы смешения между частотными спектральными компонентами.
§ 4. Вынужденное комбинационное рассеяние в поле шумовой накачки
В этом параграфе мы обратимся к анализу эффектов статистики поля для, пожалуй, одного из важнейших нелинейных волновых процессов —для процесса вынужденного комбинационного рассеяния (ВКР)- Физику этого явления можно пояснить, пользуясь простой классической моделью взаимодействия света с молекулами.
Эффект комбинационного рассеяния связан с зависимостью электронной поляризуемости молекулы а от ядерной конфигурации, задаваемой координатами ядер д:
a(q)~a()+歯+ ...,矶=爲)内
Член c dajdq описывает модуляцию света молекулярными колебаниями; при этом в спектре поляризации молекулы появляются новые частотные компоненты, сдвинутые на частоту g колебаний ядер:
р = а(е)Е nccqE + &qE. (8.4.1)
В условиях, когда q определяется тепловыми движениями в среде, (1) описывает спонтанное комбинационное рассеяние. Если падающее световое поле имеет частоту о/, а молекулярные колебания совершаются со средней частотой ⑴°, в силу (1) в рассеянном молекулой световом поле возникают стоксова ((ос =(о —— —⑴о) и антистоксова (со 尸(о' +①о) компоненты. Однако Зависимость а = а(е) приводит не только к модуляции света молекулярными колебаниями, но одновременно оказывается и причиной обратного воздействия световых волн на молекулярные колебания.
Действительно, энергия взаимодействия молекулы со световой волной выражается с помощью (1) в виде
W = — рЕ = — а (д) £2,
и, следовательно, при а〔声0 в световом поле возникает сила, действующая на молекулярные колебания：
(8.4.2)(8.4.2)
(8.4.2)
(8.4.2)
Эта сила может привести к их резонансной раскачке, если поле содержит две спектральные компоненты с частотами g)i,电，разность между которыми о^ —со?^©。* В этих условиях на хаотические внутримолекулярные колебания, имеющие флуктуационный характер, накладываются регулярные вынужденные колебания, фазы которых определяются фазами световых полей.
Вынужденное комбинационное рассеяние — процесс, возникающий за счет оптического возбуждения внутримолекулярных колебаний; резонансный дублет возникает за счет стоксова рассеяния мощной лазерной волны (волны накачки).
Если внутримолекулярные колебания возбуждены светом, качественно меняется и картина рассеяния. На смену слабому нарастанию компонент рассеянного света в спонтанном рассеянии приходит носящее характер неустойчивости экспоненциальное нарастание рассеянных компонент в вынужденном рассеянии- В нелинейной оптике этим обстоятельством пользуются для эффективного преобразования частоты.
С эффектами типа вынужденного комбинационного рассеяния приходится сталкиваться не только в нелинейной оптике, но и в физике плазмы [39], при распространении радиоволн в ионосфере и т. п.
Как изменяется процесс вынужденного рассеяния, если мощная рассеиваемая волна (накачка) не регулярная, а случайная?
Обсуждению этой проблемы и посвящен предлагаемый параграф. Надо сказать, что математически задача о вынужденном рассеянии случайных волн оказывается весьма сложной. Для ее решения в выполненных к настоящему времени работах был применен практически весь арсенал стохастических методов [10, 16, 18 — 24, 35, 36, 40, 64]. Ниже мы ограничимся только рассмотрением вынужденного рассеяния плоских шумовых волн («шумовая» накачка); мы убедимся, что даже эта задача оказывается весьма многообразной и сложной.
Говоря о практическом значении задач о шумовой накачке в вынужденном рассеянии, следует отметить два аспекта. С одной стороны, представляет интерес реализация условий, при которых эффективность шумовой накачки (а она, вообще говоря, снижается из-за эффектов инерционности среды) приближается к эффективности гармонической накачки то访 же мощности. Такая постановка вопроса типична для нелинейной оптики, в частности оптики ультрафиолетового и рентгеновского диапазонов, где создание высокомонохроматических источников все еще наталкивается на значительные трудности.
С другой стороны, применительно к таким задачам, как лазерный нагрев плазмы, распространение радиоволн в ионосфере и т. п., вынужденное рассеяние является причиной вредных не- устойчивисчей мощной волны. В связи с этим представляет ин те-
рес отыскание способов модуляции мощной волны, способствующих ее стасилизации; шумовая модуляция оказывается в этом смысле одним из перспективных методов. Оба эти аспекта отражены в настоящем параграфе.
Основные уравнения и параметры [38]. Пользуясь (2), уравнение для молекулярных колебаний (эффектами изменения разности населенностей пренебрегаем) запишем в виде
91
д +元 а + з耨=』а任2,(843)
m — эффективная масса молекулы.
Рассмотрим взаимодействие волны накачки £н и стоксовой волны £с в среде, описнваемо访 уравнением (3). В этом случае
£ = J + Ес,
Ен = г У^2л/спп Лн (/, г) exp i (①/ —々0 + кс(8.4.4а)
ЕС = У2л/спс Ас (/, г) exp z ((ос/ — йсг) + к.с.,(8.4.46)
где ин> с— показатели преломления на частотах (он и(ос =(он —(о0. Амплитуды волн (4) нормированы таким образом, что величина ЛЛ* имеет размерность интенсивности световой волны. Уравнение (3) описывает действие поля на молекулярные колебания. В свою очередь колебания q создают в среде нелинейную поляризацию Р^ = Na'qE и, таким образом, оказывают обратное влияние на поле, что выражается уравнением
02е м尹е一4打尹尸通]
Согласно (1) резонансная кривая молекулярного осциллятора характеризуется шириной 6(о0 = 2/Т2. Эту величину называют также шириной линии спонтанного комбинационного рассеяния и обычно выражают в см":
°"。一玩一°"。一玩一爲[CM-.爲[CM-.
°"。一玩一
°"。一玩一
爲[CM-.
爲[CM-.
Рассматривая взаимодействие волн, близких к монохроматическим, запишем q в виде, аналогичном (4):
(8.4.6)(8.4.6)g = y'Q(Z, г) exp i ((о0/ — йог) + к-с«»理叁，岛=a,一乩，
(8.4.6)
(8.4.6)
считая амплитуды Лп, Лс н Q меняющимися относительно медленно во времени и пространстве.
Подставив (2) — (4) и (6) в основные уравнения (3) и (5), для комплексных амплитуд взаимодействующих волн получим
укороченные уравнения следующего вида:
像+(v = W，(847а)
(7^+l)Q = 4K,S = /-^,(8.4.76)
^4 = —瓚 4Q・(8.4.7b)
Параметрами этих уравнений являются: время релаксации 7\， групповые скорости ulitC = u (wHi с), а также определяющая оптическую нелинейность среды постоянная
(8.4.8)(8.4.8)4Л72"а'孤с V 2mncnH б)о
(8.4.8)
(8.4.8)
(табл. 8.1). При решении уравнений (7) должно быть учтено гра
ничное условие
(8.4.9)(8.4.9)4(厶 2 = °) = /нО(/),
(8.4.9)
(8.4.9)
где Лн0 (/) — комплексная амплитуда падающего на среду излучения накачки. Функция Лн0 (/) выбирается как регулярная или случайная функция времени, со
Ад——
Ат —
///////////
//////////
0zРис. 8.11. Схема ВКР вперед.0zРис. 8.11. Схема ВКР вперед.Заштрнхована область, заполненная комбинационно-акт){вным веществомЗаштрнхована область, заполненная комбинационно-акт){вным веществомответствующая модуляции, спектральным и статистическим свойствам накачки. Одного условия (9) для описания ВКР, однако, не
0z
Рис. 8.11. Схема ВКР вперед.
0z
Рис. 8.11. Схема ВКР вперед.
Заштрнхована область, заполненная комбинационно-акт){вным веществом
Заштрнхована область, заполненная комбинационно-акт){вным веществом
достаточно: при этом мы имеем тривиальное решение Аи (/, г)= =Лн0 (/ — z/〃н), 4 = Q = °, соответ-
ствующее отсутствию рассеяния. Чтобы получить ненулевое ре-
шение, в правой части уравне
ний (7а) и (76) нужно ввести сторонние силы, описывающие источники спонтанных флуктуаций полей Лс и Q [70J. Вместо этого
Таблица 8.1
Параметры комбинационно-активных сред (Лн—0,69 мкм, vH= 14 400 см-1)
Вещество
Агрегатное состояние
Vo = ©o/2JW,
6v0, см-1
А, нс
см/МВт
Водород
газ
р= 1 атм
4 161
5 • 10-3
2
0,05. IO'2
р= 100 атм
4 16}
100- 10-3
0,1
0,15 10-2
Сероуглерод
жидкесть
656
50 ■ Ю-з
0,2
10-а
Азот
жидкость
2 326
67 10-
0,16
1,6・ 10Т
Кальцит
твердое тело
1086
1」
(»,01
().6, 1()”
представим, что на среду вместе с волной накачки падает слабая стоксова волна (показана на рис. 8.11 пунктиром), т. е. добавить к (9) второе граничное условие:
Лс(/, 2 = 0) —Лс0(/).Лс(/, 2 = 0) —Лс0(/).(8.4.10)(8.4.10)
Лс(/, 2 = 0) —Лс0(/).
Лс(/, 2 = 0) —Лс0(/).
(8.4.10)
(8.4.10)
Вынужденное рассеяние имеет характер усиления этой волны, которая играет как бы роль затравки, инициирующей процесс ВКР. Такая модель ВКР-усилителя и будет рассматриваться в дальнейшем ).
Анализ уравнени й (7) показывает, что для интенсивностей волн
/с = |4Е, /н = Мн『， /q = IQ『
выполняются точные соотношения
假+ ±*人+侬+ ±詛噜=0,(8.4.11)
/c(z) + ^/n(z) = const,(8.4.12)
/；(z) = g，Q(z), %(z) = — g^/Q(z).(8.4.13)
Здесь штрих означает дифференцирование по г, а черта — усреднение (статистическое или по времени). Соотношения (12) и (13) относятся к установившемуся режиму ВКР, когда можно принять, что обращается в нуль среднее значение производной по времени от любой величины, характеризующей рассеяние. Как следует из (12) и (13), в установившемся режиме
厶 >0, /н<0,
т. е. рассеяние имеет необратимый характер: с увеличением длины г области рассеяния интенсивность стоксовой волны все время растет, изменяясь в пределах от /cniin = /со До /с тах = = /со + ^/но，а интенсивность накачки, наоборот, монотонно уменьшается и в пределе стремится к нулю. Эффективность п (или к. п. д・=п・1°0%) рассеяния для произвольного сечения z можно, таким образом, определить как
一 /с(Z)— sjc (Z)/3c7hu'c max1 + 卩0一 /с(Z)— sjc (Z)/3c7hu'c max1 + 卩0(8.4.14)(8.4.14)
一 /с(Z)— sjc (Z)/3c7hu'c max1 + 卩0
一 /с(Z)— sjc (Z)/3c7hu'c max1 + 卩0
(8.4.14)
(8.4.14)
(0 Vn V 1)・
Форма пространственного распределения интенсивностей по длине рассеивающей области зависит от статистических и спектральных свойств накачки (см. далее рис. 8.13 — монохроматиче-
Ская неслучайная накачка, рнс. 8.15 — монохроматическая слу" чайная накачка, рис. 8.16 — многомодовая накачка).
При “о<1 в рассеивающем объеме можно выделить две области: 1) область слабого рассеяния 0 с т] с 10 2, г •< /нл; 2) область сильного рассеяния или насыщения lO^Vnvi, 2>乙口. В первой области в стоксову волну перекачивается лишь небольшая часть энергии накачки (/с《/но)，хотя усиление может быть очень большим (/с》/со)・ Условие 1С^Ц^ позволяет вообще пренебречь изменением накачки за счет рассеяния. Подставив приближенное решение последнего из уравнений (7) Л(! (/, z)〜
Лп0 (0), 6 = / — z/wH в два первых, получим для описания ВКР систему из двух уравнений:
^z + v^)A^isA^)Q*, v = ± —^,(&4.15)
TQ + Q = Лн0(е) A*, Q ==dQ/d8・
Линейность уравнений (15) относительно Лс и Q, естественно, упрощает их решение. Описание ВКР в рамках (15) называется приближением заданного поля накачки.
В общем случае больших длин рассеяния пренебрегать изменением накачки нельзя, что делает всю задачу нелинейной. Некоторые оценки для характерной длины /нл приводятся ниже (см. далее (27)).
Монохроматическая накачка. Слабое рассеяние. В области слабого рассеяния ВКР-усилитель можно рассматривать как линейную систему с《входом» Лс0(/) и двумя «выходами» Лс (/, г) и Q (厶 г) и, соответственно, описывать его двумя коэффициентами передачи Кс(з, г) и Kq(s, г) (см. гл. 3). Полагая
A^{t) = Ac^, Лп0 = const, Лс = Лс0б,ш9^,
Q = AcOe-iu>eKQ, (8.4.15а) найдем
((з, z) = ехр (г^^ -心句，Г\『/но, (8.4.16)
Kq (з, N)= j d^W Kc ®, z)・(8.4.17)
Согласно (16) усиление максимально при резонансе (<o = 0). причем рост интенсивности монохроматической стоксовой волн】」 происходит по экспоненциальному закону
/с (z) 9 厶№「。“ = /с/'н产(8.4.17а}
с инкрементом Го = g,/I]0, линейным относительно /н0. При усилении немонохроматпческого стационарного стоксова из л； чення, имеющего при z = 0 спектральную плотность GcO(oj；,
спектральная плотность в сечении г будет
可奇爲.（8.4.18）可奇爲.（8.4.18）Gc(s, z)匸 Gco((o)| К,(①，z) ” Ge。(①)exp
可奇爲.（8.4.18）
可奇爲.（8.4.18）
Рассеяние обычно наблюдается при достаточно большом усиле-
21нии, когда r()z》l, и (18) можно пере-
/|^”4 Iписать в виде ,
/广 ПГ_I GJs, г) = Gc0 (co) ег°г exp (—「疤丁励?).
幻(8.4.19)
00ооКак следует из (19), вблизи точного резонанса (со = 0) частотный спектр стоксовой компоненты ВКР имеет форму гауссовской кривой. Ширину спектра можно оценить как
0
0
о
о
А@ - 2 К1п2/Л /Г = бзо /1п 2/Г0г,
Рис. 8.12. Спектры стоксовой волны (/) и молекулярных колебаний (2) при ВКР：а) случай монохроматической накачки при Гог> 1; 6) случай иакачки с широким спектромСогласно (17) при маломРис. 8.12. Спектры стоксовой волны (/) и молекулярных колебаний (2) при ВКР：а) случай монохроматической накачки при Гог> 1; 6) случай иакачки с широким спектромСогласно (17) при малом(8.4.20) где 6(оо — ширина линии спонтанного рассеяния, т. е. с увеличением г спектр ВКР сужается. При большом усилении (I\n》1) спектр Q будет тоже гауссовским с шириной Ao)Q=Ag (рис. 8.12, а), усилении спектр Q расширяется, при
Рис. 8.12. Спектры стоксовой волны (/) и молекулярных колебаний (2) при ВКР：
а) случай монохроматической накачки при Гог> 1; 6) случай иакачки с широким спектром
Согласно (17) при малом
Рис. 8.12. Спектры стоксовой волны (/) и молекулярных колебаний (2) при ВКР：
а) случай монохроматической накачки при Гог> 1; 6) случай иакачки с широким спектром
Согласно (17) при малом
нимает лоренцевскую форму и его ширина равна ширине линии спонтанного рассеяния: Ag)q = бо)о.
Интегрируя (19) по (о, получим при Gc0 (со) = const и Гог^> 1
/с (z) = G," Ад ]/"體 “。2 ~ Gg 八3卢。2,(8 4 21)
/q (z) = //c (n).
Насыщение ВКР Решение полной системы уравнении ВКР (7) при ^со (0 = 4旅心‘，#но = const ищем в виде
』с(/, z)=e心％c(z,❿，Q«, z) = e-心％ Q, s), Лн (^, г) = ан (г, to)
с не зависящими qt времени %, 0 и ан- Нетрудно получить следующие урав
нения для амплитуд:
(8.4.22)(8.4.22)..1 g/ц(Z),1 g'c(Z) _
(8.4.22)
(8.4.22)
% + ” = 2 IT砾 % % = 一 2 位匸砌? н
(штрих означает дифференцирование по г), из которых вытекают уравнения
для интенсивностей
(8.4.23)(8.4.23)g/lJc J _"，； g/tJc
(8.4.23)
(8.4.23)
「”看，/ " =一g1十⑴鸣
Используя закон сохранения (12), перейдем к уравнению, содержащему только одну из интенсивностей:
gТ+й№gТ+й№С = Liu (1 +Nu)・С = Liu (1 +Nu)・
g
Т+й№
g
Т+й№
С = Liu (1 +Nu)・
С = Liu (1 +Nu)・
Это нелинейное уравнение Бернулли, приводящееся к линейному подстанов
кой и=1〃с Окончательное решение имеет вид
гдегде/с(Z, з) = /СО/с(Z, з) = /СО%%（1+n。）/1车寿一（1+n。）/1车寿一/н (Z,⑴)=/ни/н (Z,⑴)=/ни('}~Т+^П\Ч^1('}~Т+^П\Ч^1"一 一(1 +闯g/心1+«2П '"一 一(1 +闯g/心1+«2П '1十阿1 +同户1十阿1 +同户(8.4.24)(8.4.24)Подставив (24) в (14), получим выражение для к. п Д・：Подставив (24) в (14), получим выражение для к. п Д・：
где
где
/с(Z, з) = /СО
/с(Z, з) = /СО
%
%
（1+n。）/
1车寿一
（1+n。）/
1车寿一
/н (Z,⑴)=/ни
/н (Z,⑴)=/ни
('}~Т+^П\Ч^1
('}~Т+^П\Ч^1
"一 一(1 +闯g/心1+«2П '
"一 一(1 +闯g/心1+«2П '
1十阿
1 +同户
1十阿
1 +同户
(8.4.24)
(8.4.24)
Подставив (24) в (14), получим выражение для к. п Д・：
Подставив (24) в (14), получим выражение для к. п Д・：
(8.4.25)(8.4.25)
(8.4.25)
(8.4.25)
叮1+M
Таким образом, эффект насыщения ВКР состоит в том, что при достаточно больших г экспоненциальный рост интенсивности стоксовой волны (17а) замедляется и /с (г) стремится к своему предельному значению {тах =
Рис 8.13 Пространственное распределение интенсивностей при ВКР.
По вертикальной осп отложены относительные интенсивност)! стоксовой волны / ^ (/), накачки /^ (2), молекулярных колебаний /q (3). По горизонтальной осн отложена велн~ чииа ^/1пц0. ^=(И-Н0)ё/н0г(1+ш«Г|)-1. Ц^^/^/ш^^.
=/со + ~ /ио- Одновременно уменьшается интенсивность волны накачки в соот- Зн
ветствии с законом сохранения (12) Что касается молекулярных колебаний, то следует отметить, что, в отличие от монотонных распределений /с (г) и /н (z), распределение /^ (г) имеет максимум (рис 8.13). Нетрудно показать, что максимальная интенсивность молекулярных колебаний равна
/ 一 /值0ftle (1 +也о)?
причем она приходится н@ %=1п 1/~廿，т.包，согласно (25, соогпетствует к, m % =50%.
(8.4.26)(8.4.26)Как следует из (25),
(8.4.26)
(8.4.26)
Х —— 1+32Tlin
Подставив сюда q= 10-2 (к. п. д. = 1%), получим следующую оценку для границы области насыщения:
(8.4.27)(8.4.27)1+%窃in空.g/HO卩 и
(8.4.27)
(8.4.27)
Например, при возбуждении ВКР в жидком азоте накачкой с длиной волны 入н = 0,69 мкм (g= 1,6 ■ Ю-2 см/МВт —см. табл. 8.1) и интенсивностью /如= =100 МВт/см2 получим при(й = 0 и 卩о= Ю-12, что /^ = 1 > см = 2]%. По формуле (26) находим при тех же условиях возбуждения г50^ = 18 см,勺。％ =« =19,5 см.
As^kpAs^kpОбозначим через Д(йВкР полосу пропускания ВКР-усилителя. Как следует из (24), резонансная кривая ВКР-усилителя при насыщении остается симметричной (/с (z, св) зависит от 叫，причем наибольшее усиление соответствует нулевой расстройке (ю = 0) Полагая в (26) , = 1)о/2, Ло = Л (to = ®) и (й = А(»Вкр/2，получаем
As^kp
As^kp
1По 仙，(8428)
(2^J
При малых & т. е. в области слабого рассеяния(Ло 0 厶幽н产《1), выражение (28) дает уменьшение полосы с ростом z:
Азвкр - Ч, У gJ?M2 ~ %М 黑 (8.4.29)
в соответствии с полученной раньше формулой (20) При больших z, когда 5=1, из (28) следует, наоборот, увеличение полосы:
аЗвкр …J磊(843。)
Таким образом, полоса As^kp как функция g/# ИМееТ минимум (рис. 8.14).
Можно приближенно определить, что
А^ВКРmi产 6%]/"ЙЙТ爲二ГУ(&4.31)
Например, если 卩尸 IO* то формула (31) дает максимальное сужение полосы Д(вВКр по сравнению с бз。в 4,4 раза.
Заканчивая рассмотрение случая монохроматической накачки, заметим, что полученные выше формулы применимы не только при постоянной, но и при медленно меняющейся величине Яно> если эти изменения малы в масштабах времени релаксации молекулярных колебаний 72 H времени запаздывании Tv = z I 1/〃н——1/辽с , например, если иакачка — гауссовский узкополосный случайный процесс с временем корреляции
1к А 丁2‘％》(8.4,32)
Рис. 8.14. Зависимость полосы пропускания (28) ВКР-усилителя от параметра х = д/н()2 при различных значениях относительной интенсивности затравки jiq.Рис. 8.14. Зависимость полосы пропускания (28) ВКР-усилителя от параметра х = д/н()2 при различных значениях относительной интенсивности затравки jiq.力%〃%，力%〃%，Рис. 8.15. Насыщение ВКР при неслучайной (сплошная линия, x = g)iiQz) и случайной гауссовскойРис. 8.15. Насыщение ВКР при неслучайной (сплошная линия, x = g)iiQz) и случайной гауссовской(пунктирная линия, х ==g7n02)узкополосной на-качке; 卩о= 10 12 [18].наклчке нстнххают(пунктирная линия, х ==g7n02)узкополосной на-качке; 卩о= 10 12 [18].наклчке нстнххают
Рис. 8.14. Зависимость полосы пропускания (28) ВКР-усилителя от параметра х = д/н()2 при различных значениях относительной интенсивности затравки jiq.
Рис. 8.14. Зависимость полосы пропускания (28) ВКР-усилителя от параметра х = д/н()2 при различных значениях относительной интенсивности затравки jiq.
力%〃%，
力%〃%，
Рис. 8.15. Насыщение ВКР при неслучайной (сплошная линия, x = g)iiQz) и случайной гауссовской
Рис. 8.15. Насыщение ВКР при неслучайной (сплошная линия, x = g)iiQz) и случайной гауссовской
(пунктирная линия, х ==g7n02)узкополосной на-качке; 卩о= 10 12 [18].
наклчке нстнххают
(пунктирная линия, х ==g7n02)узкополосной на-качке; 卩о= 10 12 [18].
наклчке нстнххают
Рассмотрим этот случай, предполагая, что время наблюдения ВКР значительно превосходит тк, т. е. выполняются условия эргодичности (см. § 4 гл. 1) и
средние по времени значения како!1-либо величины, характеризующей ВКР, можно вычислять как средние статистические.
Зная функцию распределения вероятностей интенсивности (см. (2.4.8)) и усредняя (17а), получим [18]
九(2)=(叫,而仆)厶:.84.33)
臬1-^ро2
Из (33) следует, что у. илелие в поле случайной гауссовской накачки может
существенно превысить усиление в поле неслучайной накачки тон же средней ннтен^нвиисги н, более того, 7c(z)f8 при f7HOz -> 1 (стохастическая нестабильность). Эта расходимость исчезает, если усреднять полное выражение для /с (z) (24). Результат показан пунктиром на рис. 8.15. Для сравнения там же сплошной линией нанесена не- усредненная кривая /「(z), соответствующая эквивалентной неслучайной накачке. Ход кривых на рис. 8.15 показывает, что пр“ случайно'; накачке насыщение ВКР наступает значительно раньше, т. е. при меньтнх длинах взаимодействии
Немонохроматическая накачка; влияние молекулярной релаксации на вынужденное рассеяние. Как видно из основных уравнений ВКР (7); при немпнпхромат'Уческоп
эффекты, связанные с ипетлтоппосгью молекулярггых птебаний (才含六 0), а также с различием групповых скоростей (〃把声 uGJ
■vy=0). Рассмотрим сначала влияние первого из этих факторов, считая среду недиспергирующей (v = 0).
В области слабого рассеяния ВКР описывается уравнениями (15). Полагая в них v = 0, получим
4 = ^-g4。(8)Q*, T2Q + Q= 4。(6)忘.(8.4.34а, б)
Даже не решая уравнений (34), можно сделать определенные заключения о виде частотных спектров Лс и Q при широком спектре накачки. Из вида левой части (346) следует, что спектр молекулярных колебаний характеризуется шириной
Asq 工 2/Т 2 = 6(оо.(8.4.35)
Переписав (34а) в виде
4(6, z) = %(е)+ ^纟厶口。(S) j Q* dz' (8.4.36) О
и учитывая (35), получим также оценку для ширины спектра стоксовой волны:
Д(осД(оср —р До)н -|- Д(о^.(8.4.37)
Если усиление велико (4匸》4(：0) и спектр накачки широкий (^^^^/Т^, то согласно (35) — (37)
Ao)q《 Д(он, Д(ос ~ Д(он,
причем, в отличие от случая монохроматической накачки, стоксово излучение имеет теперь широкий спектр, повторяющий по форме спектр накачки (ср. с рис. 8.12, а и б).
Для уравнений (34) можно получить точные решения [19, 66]
4 — 4。(8) +gTFz4o (9 / х
X § е~е“2 Лс0 (0 — 80 4но (8 — ®i) /1 (尤庐"d%,(8.4.38)
о
Q^T^e-似厶4。(8 -汨 4b © -力)/"%) d% (8.4.39) 0
Здесь /0 W и /1 (х) — функции Бесселя,
х= 1/ 2§гТГ j' /н0(6 -Q^M'.(8.4.40)
У 0■
Действительно, при
«11.К«2, Qi = Q Vgl^< a30=--4曲m应0笈
口2 О0, 口2 -0,a2〃2 —> T^j 1 j ОС]0
с (34) совпадают уравнения (6641), решения которых (6658), (6.6.59) принимают вид (38), (39).
Суммарную ширину спектра любого излучения можно оценить как
Дсоимп4-Дюмод,(8.4.41)
где первый член связан с конечной длительностью /имп импульса излучения (Д(оимп 〜/~мп)» а второй — с наличием стационарной внутриимпульсной амплитудно-фазовой модуляции.
Рассмотрим случай мощной широкополосной накачки типа стационарного шума
^4oZ > 1,Д<0н ₽« Дсоп, мод > 2/72.(8.4.42)
Ниже будет показано, что при этом в аргументе функции Бесселя в (38), (39) флуктуациями интенсивности накачки можно пренебречь и положить
— ]/攵成7^^7^.(8.4.43)
Подставив (43) в (39), получим выражение
Q = 7v f е— &/44н。(S - h)虑。(S - 61) /。晔纟厶俐/北)d61( (8.4.44) 6
приближенное для немонохроматической накачки и граничных условий
儿= 4iu(f), 4 = 4o(f), z = Q, (8.4.45a) но точное для эквивалентной монохроматической накачки, если Лнов = /нЬ2, 4产(/) = 4о(/)為。(/)/京"，z = 0. (8.4.456)
Таким образом, оба случая (45а) и (456) подобны в том смысле, что им соответствует одна и та же амплитуда молекулярных колебаний (44), интенсивность /q(n)=〈QQ*〉， а также интенсивность (но не спектр!) стоксовой волны /с (г) (7), поскольку /q(n) и /с (г) однозначно связаны вытекающим из (13) соотношением
/c(z) = /co + g，/Q(z)dz.(8.4.46)
О
Из (456) находим для корреляционных функций
8：кв⑴二筑。⑴"。⑴/京.(8.4.47)
Если» в частности, процесс 4co является 6-коррелированным, то, подставив Вс0 (т) = 2rtGc06 (т) в (47), получим, что процесс 或 тоже 6-коррелирован и имеет ту же спектральную плотность, что и Лс0. Отсюда следует, что формулы (21), полученные для монохроматической накачки, будут описывать и случай (45а), если
в них заменить /и0 на /п0. Следовательно, па инкремент Го про- страиственного усиления при ВКР ширина спектра накачки А(он не влияет; величина инкремента определяется интегральной средней интенсивностью накачки
^Q — gfno^g § Gho(® d(o.(8.4.48)
—8
Переход от х к у в (38), (39) обосновывается следующим образом. Учитывая условие (42) (「oZ》l), определим область, существенную при интегрировании (44). Предполагая, что в этой области у》1 (см. (51)), и используя известную асимптотику функций Бесселя 1rl (у)〜 枕/« 2叫/, получим
尸(6)= -/f0)~喳氤£庁/4,几=g电.(8.4.49)
Функция ср (0) = — 0/Т2 + ]/ 2Гог0/Т2 в (49) при увеличении 9 сначала растет, а затем уменьшается, принимая при 0 = 0О ^ =1\27\/2 максимальное значение(pmax = Гог/2. При отклонении 0 от 0О функция 尸(8) умень；иается тем быстрее, чем больше параметр Гог. Разлагая ср (0) в ряд Тейлора по 0 — 90 и ограничиваясь членами второго порядка, будем иметь
尸(б)^^^^ехр, а = Т2УТ\^.(8.4.50)
Таким образом, для интегрнрованпя б М4) существенна область, в которой величину у можно оценить как
у ~ у (Во) = V2g/hN^o/T2 = Гог》1,(8.4.51)
что находится в соответствии со сделанным выше предположением о величине у.
Введем теперь функцию q (/) = (/т；о (/) — /п0) /йб, описывающую относительные флуктуации интенсивности накачки. Отльчие 尤 от у определяется величиной усредненных за время % флуктуаций “⑴：согласно (40) и (43), если
01
e=京「(6 一0')处'，Е =0，(8.4.52)
ТО
х=“1 + Е・(8.4.53)
Из (53) видно, что замена 尤 на у возможна, если флуктуации | малы. Чтобы оценить 〈之？〉, предположим, что накачка — гауссовский оптический 1иум с лоренцевским спектром, т. е.
〈4но(0 4力(2 + T)〉- /hqR (T)，
где R(T)= r~Bр = Д(он/2. При этом (см. (2))
<W)= ^(T), Gn(s)=(2躋炉•(8.4.54)
Для 〈Е"〉согласно (1.4.6) имеем следующую оценку:
〈F〉V 餐 Gn(O).
Учитывая (50), время усреднения 8】в области, существенной для интегрирования в (38), (39), можно принять равным Bi = Во= =「必丁“2・ Учитывая также (54) и (42), в результате получим
〈耳〉《年仇(0)=舒备《1,
что и требовалось показать.
Насыщение ВКР при широкополосной накачке (многомодовая модель). Анализ ВКР удается провести наиболее полно, если предположить, что спектры падающих волн имеют дискретный многомодовый характер, причем расстояние между модами превышает ширину спонтанной линии [20, 21]:
4。(')= W 4。严R 人о С) = W ©С叫(8.4.55)
п〃
Т2Й> 1.(8.4.56)
Амплитуды волн в комбинационно-активной среде ищем в виде разложений, аналогичных (55), но с коэффициентами, зависящими ОТ Z：
4 В，Z)= у 4⑵е“2"б, 4 (6, z) = 3 a”(z)豳叫(8.4.57)
Решение уравнения для Q /346) представим, используя интеграл Дюамеля (3.2.18а), в форме
Q = ^- J е~^т^Аа (6 - %, z) А* (8 — вь г)曲i =
=2 1+切矶t ⑻唠f⑶， или, учитывая (56),
Q^=« £ 4“(?)崂伍).(8.4.58)
Подставив (57) и (58) в (15) и приравнивая коэффициенты при одинаковых экспонентах, получим систему уравнений, которые определяют амплитуды мод накачки Лл (г) и стоксовой
волны ап (г)：
а； + 1цпап - у gA„ У атА^ = 0,(8.4.59а)
4 + ^g^a”t 磷( = 0,4 + ^g^a”t 磷( = 0,(8.4.596)(8.4.596)
4 + ^g^a”t 磷( = 0,
4 + ^g^a”t 磷( = 0,
(8.4.596)
(8.4.596)
ц = vQ = Q (l/wc— l/wH)> 孔=0, ±1, ± 2,…
Интегрирование уравнений (59) при “ = 0 (недиспергирующая среда) с учетом граничных условий ап (z = 0) = дл0> Ап (г = 0) = Лл0 дает
传)-巾G"/Y)(iT而 X
x{«„o(l +^i"2)+ 4。]/"飄(l-f 2)}，(8460) 人⑶咚… =/修旺喘…，(8.4.61) 几(z) = ? 4(z)|2 = & •吨"° ° 一2篤*亚敗,(8.4.62)
где%=(1+“。)g/h 必，乙。=2小。r
Ло ~ ^ ! “TZO 产，Но == s/o/sJhO,
Qo = ± 4o成о,pQo = ± 4o成о,p_ M(1 -卩0产+如小1 +m0_ M(1 -卩0产+如小1 +m0七_四(1+0)一1+6У-1+Р-Цо(1-Р)七_四(1+0)一1+6У-1+Р-Цо(1-Р)(8.4.63)(8.4.63)
Qo = ± 4o成о,p
Qo = ± 4o成о,p
_ M(1 -卩0产+如小1 +m0
_ M(1 -卩0产+如小1 +m0
七_四(1+0)一1+6
У-1+Р-Цо(1-Р)
七_四(1+0)一1+6
У-1+Р-Цо(1-Р)
(8.4.63)
(8.4.63)
и введен «коэффициент ской затравкии введен «коэффициент ской затравкикорреляции» спектров накачки икорреляции» спектров накачки и『н Jco『н Jco14。户14。户о wKw 1.о wKw 1.стоксов-(8.4S4)стоксов-(8.4S4)
и введен «коэффициент ской затравки
и введен «коэффициент ской затравки
корреляции» спектров накачки и
корреляции» спектров накачки и
『н Jco
『н Jco
14。户
14。户
о wKw 1.
о wKw 1.
стоксов-
(8.4S4)
стоксов-
(8.4S4)
При относительно большой начальной интенсивности накачки (Ао《1) согласно (63) и (64)
Р^ 1 —2“0(1 — К)~ 1, у^|л0/С[1 + Ио(1 — ^)]№|Лo^.(8.4.65)
Выражение (60) показывает, что в режиме насыщения ВКР сохраняется свойство стоксовой волны воспроизводить частотный спектр широкополосной накачки:
&⑶〜4о, Nf 8,Выявляется и новая особенность: сильная зависимость зффектив~
ности рассеяния от коэффициента корреляции спектров ^. Например, если К = 0, то рассеяния нет вообще:
4(2)= /血 Л (^) = Ло*
В другом предельном случае К = 1 выражения (61), (62) совпадают с (24), т. е, ВКР происходит так же интенсивно, как и при монохроматической накачке. Чтобы лучше показать зависимость рассеяния от параметра К, перепишем (61), (62) с учетом (65):
(8.4.66)(8.4.67)(8.4.66)(8.4.67)/н ⑵=Т"/н ⑵=Т"/с (z) = Ло \ ；/： • X = g’HoZ,
(8.4.66)
(8.4.67)
(8.4.66)
(8.4.67)
/н ⑵=Т"
/н ⑵=Т"
Из (66) видно, что при любом сколь угодно малом, но не равном нулю К в стоксову волну перекачивается вся энергия накачки, но кривые насыщения сдвигаются по оси г на величину
а 1 11
=у ,
и чем меньше ^, тем большие длины рассеяния требуются для полной перекачки (рис. 8.16).
Величина К зависит от относительной фазировки мод накачки и затравки, т. е. от опыта к опыту она меняется случайно. Так
Рис. 8,16. Зависимость относительной интенсивности стоксовой BOJFibi от длины рассеяния при многомодовой накачке [21]. Кривые построены для случая 7^0 = = 0,1 МВт/см2, /п0=Ю МВт/см2, = 2.5,10Т cm/МВт (жидкш'1 азог), Xfi= 0.56 мкм, vo= 2326,5 см 1 и ра” личных значений К： /) 1; 2) 0.1;
10 я.
как обычно в эксперименте величина г фиксирована (г —длина образца или кюветы), то неизбежные флуктуации параметра К при повторных возбуждениях ВКР могут привести к сильным флуктуациям интенсивности стоксовой волны, несмотря на стабильные значения средних начальных интенсивностей /п0 и /с0. Ясно, что от этих флуктуаций, характерных именно для многомодовой накачки, можно избавиться, создав одномодовую затравку: как следует из (64), при атП 0, 〃*()= 0 (孔抬团， т — любое) величина К не флуктуирует:穴=1.
Одновременное проявление люл^чц ьциюй релаксации и дисперсии среды. Me ушпывая дисперсии, мы 'к-м самым предполагали, «по в уравнениях (7а) член, пропорциональный 丫 = 1/〃,一1/〃]汴
пренебрежимо мал:
(8.4.68)(8.4.68)潦》V涼，君》m涼■
(8.4.68)
(8.4.68)
Чтобы оценить производные в (68), используем результаты, полученные в предыдущем разделе. Поскольку частотный спектр стоксовой волны повторяет частотный спектр накачки, то
Согласно (66) и (67) при не слишком малых К
——— = ///u (Z).
1 +a0Ke hit
В результате (68) принимает вид
(8.4.69)(8.4.69)/”(2)》端=吗叽
(8.4.69)
(8.4.69)
Таким образом, дисперсию групповых скоростей при ВКР можно не учитывать, если локальная интенсивность накачки превосходит некоторый характерный уровень критическую интенсивность /кр.
Введя относительную дисперсию | vz | = | v ! с и выражая ширину спектра накачки в см*1 (AvH = Д(он/2лс), получим
(8.4.70)(8.4.70)7 2л I Vх I AvH/кр= ~
(8.4.70)
(8.4.70)
Например, при рассеянии в CS.? g = 0,02 см/МВт (см. табл. 8.1) и W | = 0,02・ Тогда при ширине спектра накачки AvH = 10 см-1 формула (70) дает /кр >® 130 МВт/см?.
При /н > /кр, когда дисперсия групповых скоростей несущественна, режим ВКР является когерентным (см. § 3). Основная особенность когерентного режима состоит в том, что, несмотря на широкий спектр накачки, инкремент усиления определяется ее интегральной интенсивностью (Г\=§7но), т. е. в усилении каждой спектральной компоненты стоксовой волны принимает участие весь спектр накачки.
Условие (69) всегда нарушается при достаточно больших г, так как интенсивность накачки с ростом г монотонно уменьшается. Предположим, что при z = 0 величина /п0 превосходит /кр в N раз. Нетрудно показать, что /п (г) упадет до уровня /кр на длинах, соответствующих эффективности перекачки:
Уравнения для средних (фоккер-плаиковское приближение) [16, 22]. При
冲冲(8.4.71)
冲
冲
происходит срыв когерентного р()кима рассеяния. Инкремент
пространственного усиления в этом случае меньше, чем Го. Режим ВКР, соответствующий (71), можно назвать некогерентным.
Предположим, что величина /п0 фиксирована. Тогда условие (71) будет выполняться тем лучше, чем шире частотный спектр накачки. Поэтому естественно попытаться рассмотреть иекогерент- ный режим ВКР, используя модель б-коррелированной накачк卄 и полагая
〈4川(0 Ло (/ + т)> = 2nGH06 ⑴.(8.4.72)
Постоянная Gh0 в (72) — спектральная плотность накачки — определяется условием
，Вн0 (т) dr = 2nGH0,(8.4.73)
где Вп0 (т) — истинная корреляционная функция комплексной амплитуды накачки, не являющаяся, разумеется, 6-функцией.
Подход, основанный на приближении (72), удается реализовать только для областей слабого рассеяния, и мы будем исходить из линейных уравнений ВКР (15), используя развитую в § 7 гл, 1 технику усреднения уравнений с 6-коррелированными коэффициентами. Предварительно необходимо перейти от уравнений в частных производных (15) к эквивалентным уравнениям в обыкновенных производных *). Это легко сделать, подставив в (15) комплексные амплитуды, записанные в виде пространственных интегралов Фурье:
4(8, z)= \ 〃(％ ^) e~ikzdkf Q* 亿 г) = \ д(8, й) e~ikxdk. (8.4.74)
В результате придем к уравнениям для фурье-амплитуд а и д: 一法〃 + & =%g，H(8)g,北。+g=^Wat
усреднив которые получим
-ika + vd^^^q), Т^ + q ={Ala).(8.4.75)
В фоккер-планковском приближении с амплитудой накачки коррелируют только главные компоненты флуктуаций а и д, равные
公)=2^!4(力)^- 少т =丈,4 (力)矶(8.4.76) (см. (1.7.20)). Как следует из (72) и (76),
(A,.q\^(A^^^ nGt；., “:⑺厂嗓 g. ' (8.4.77)
Подстановка (77) в (75) дает
-ika + va=^a, T^+q = ^q, или согласно (74)~
需+、，除=*儿，7/ + (1_彎"=0.(8.4.78)
Тем же методом можно получить уравнения для средних интенсивностей:
幣 + V 奮一啥厶=嗜1 /q，(8.4.79а)
7Vq + 2(1—哈)/q = */j(8.4.796)
Заметим, что в (78) и (79) параметр GH0 (спектральная плотность накачки) может быть задан не только в виде постоянной, но и как некоторая функция времени (неслучайная) ОнО(0), что соответствует нестационарному оптическому шуму, например накачке типа шумового импульса.
В стационарном режиме, когда параметры уравнений (78) к /79) от времени не зависят, нетрудно получить следующие решения:
儿⑵=4。ехр (骑г), /с ⑶=厶。eхр (酉胱£)• (8.4.80)
Рассмотрим пример накачки с лоренцевским спектром (см.
(1.3.31)). Подставив в，73)
получимполучим2/1 = Дй)н,
получим
получим
(8.4.81)(8.4.81)夕 —НО — . /но
(8.4.81)
(8.4.81)
“。—лее — (л/2)Д(ви *
Как следует из (69) и (81),
так что выражения (80) можно переписать в следующем виде:
儿(z) = 4°exp 譬，厶(?) = /“)ехр 吊，丸，(8.4.82) где Го = §7но — инкремент ВКР, соответствующий когерентному режиму, и
£ = 6о)о/До)н = 2/Т?А(о” W 1
-малый параметр, равный отношению ши{>инь( спонтанной линии к ширине спектра накачки.
Выражения (82) показывают, что в некогерентном режиме широкополосная накачка рассеивается намного слабее, чем в когерентном. Создаваемый ею инкремент усиления стоксовой волны равен (см. (81) и (82))
£「о = ^^ g/но = g 歹 6(ooGhO《Го,
т. е. можно сказать, что в усилении некоторой спектральной компоненты стоксовой волны на частоте (о принимает участие не весь спектр накачки, а лишь его небольшая область, приходящаяся примерно на интервал (оо + со ± 6(оо/2 ).
Согласно (82) пространственное усиление интенсивности стоксовой волны происходит с инкрементом
(8.4.83)(8.4.83)p __8f0_£g/ но
(8.4.83)
(8.4.83)
1一Тно〃кр 1 — Тно〃кр
который является нелинейной функцией /н0. Эта нелинейность проявляется тем сильнее, чем /н0 ближе к /кр. При /н0^ /Кр
Рис. 8.17 Зависимость инкремента ВКР от интеиеивности накачки в диспергирующей среде-Рис. 8.17 Зависимость инкремента ВКР от интеиеивности накачки в диспергирующей среде-In厶/IcgIn厶/IcgРис. 8.18. Экспериментальная зависимость инкремента ВКР Г ~ In (/с//с0) от интенсивности узкополосной (/) и широкополосной (2) накачки [23].Рис. 8.18. Экспериментальная зависимость инкремента ВКР Г ~ In (/с//с0) от интенсивности узкополосной (/) и широкополосной (2) накачки [23].Сплошная прямая соответствует монохро-матической накачке, пунктирная кривая—широкополосной шумовой накачке.
Рис. 8.17 Зависимость инкремента ВКР от интеиеивности накачки в диспергирующей среде-
Рис. 8.17 Зависимость инкремента ВКР от интеиеивности накачки в диспергирующей среде-
In厶/Icg
In厶/Icg
Рис. 8.18. Экспериментальная зависимость инкремента ВКР Г ~ In (/с//с0) от интенсивности узкополосной (/) и широкополосной (2) накачки [23].
Рис. 8.18. Экспериментальная зависимость инкремента ВКР Г ~ In (/с//с0) от интенсивности узкополосной (/) и широкополосной (2) накачки [23].
инкремент Г резко возрастает (рис. 8.17). Как следует из анализа когерентного режима, Г стремится при этом к Го； формула (83) описывает начальный этап этого перехода. Этот результат был подтвержден экспериментально (рис. 8.18). Согласно (796) эффек-
тивное время релаксации молекулярных колебаний
兀"；Т=^^ =匸й77Ks
при /но〃крТ 1 стремится к оо..
Чтобы полностью проследить переход некогерентного режима в когерентный, нужно развить более общую теорию ВКР, применимую при произвольной интенсивности широкополосной накачки 厶 V/叩. Это может быть сделано также с помощью многомодовой модели (55), (56).
Общая теория ВКР широкополосной накачки в диспергирующей среде [24]. Будем исходить из уравнений (59), не пренебрегая теперь членом с 卩,описывающим дисперсию. Ограничимся рассмотрением области слабого рассеяния (т]《1). Уравнение (596) дает при этом Ап = Ал0, а (59а) принимает вид
а； + щпап — \gAHQ ^атА'^ = 0, г^О, (8.4.84)
&("О) = @о,% /и = 0, ±1, ±2,
Как известно, решение системы однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами имеет вид суммы экспоненциальных функций. Поэтому можно написать, что в (84)
〃"(z) = _S 矶⑶，@fG) = &s”J・(8.4.85)
Согласно (58) амплитуда молекулярных колебаний при этом равна
Q* =2>“(2)4品=2/^%2, ^=^а^вП5. (8.4.86) пsm
Подставив (85) в (84) и приравняв коэффициенты при одинаковых экспонентах, найдем зависимость постоянных Bns от индекса и: 仆罟喘&(8・4・87)
Если теперь подставить (86) в (87), домножить на Л*о и просуммировать по и, то, сократив на RSt придем к уравнению, определяющему комплексные инкременты у$:
1-富力L°，/“=(。e・(8488)
Число корней уравнения (88) равно числу мод накачки, т. е. матрица
&小[注向(&4・89)
является квадратной. Таким образом, амплитуды мод стоксовой волны могут быть представлены как
а〃 ⑵=2 a〃sR，e"，(8.4.90)
где неизвестными пока остаются постоянные R$, определяющиеся граничными условиями. Полагая в (90) z = 0, получим для Rs уравнения
= £а〃$К§,(8.4.91)
откуда
R=不自解"。，(8.4.92)
где р^л — элементы матрицы, обратной (89).
При большом или даже бесконечном числе мод накачки применение обычных способов вычисления матрицы [卩§〃] представляется практически неосуществимой задачей. Интересно отметить, что в рассматриваемом случае все же могут быть получены точные выражения, определяющие в явном виде элементы р?„ обратной матрицы и постоянные Rs в (92).
Используя подход, развитый в § 1 гл. 6 для временных уравнений, перейдем в (84) к функциям (г) =д„(г) / (г):
a^ (z)，+ i固?a貝N)- ^ал0 У 编г ⑵ 4；,0 N 公/⑵.(8.4.93)
Уравнения (93) отличаются от (84) наличием свободного члена, который учитывает граничные значения амплитуд, Подставив в (93) представление для 碗 в виде
ап (г) = \ ап 肉无№,(8.4.94)
получим для фурье-амплитуд ап уравнение
а“ =_g”2 一 V amAU +,
из которого следует, что
. Г— ik + i 卩 ft
》"阮=^7~Ту工(8.4.95)
”—ik + i^m
Согласии 伐⑴ и (94)
I(г) ^«Л = \ ^а^л^е (8.4.96)
Подстановка (95) в (96) дает
/(z)Q*(z)=* J 尸(一/)e—3d电(8.4.97)
где
尸⑺=需=e爲，(8498)
S
①⑺=t编，屮(川J富缶，(8499) лm
причем y$ —корни уравнения (88) для инкрементов, которое можно написать как 屮(丫$) = 0・ Если умножить (98) на (丫一丫$) и перейти к пределу Y —Y$, то получим
&й吧屮f"⑺頂璽(LTJ^^h療，(&4」。。) где
屮(%)= d厂 1т = = 2 2 (y$ +以团)2 '(84101)
Подставив теперь (98) в (97) и проинтегрировав по h, будем иметь
СО
/(z)Q*(z)= [%$п j z^rp^d% =
=2%以蚩j与d% = /(z)2&ev『. (8.4.102)
Из сравнения (102) и (86) видно, что
Rs = F§ =
屮(Ys)
Г (Ys)
9а"0力应0
二％ +W
g弋 &
2 4缶+価评
(8.4.103)
матрицы, обратнойматрицы, обратнойИз (92) и (102) также следует, что элементы (89), равны
матрицы, обратной
матрицы, обратной
о —4?о1
Ps — ys +屮几卡(£Г
Мы получили, таким образом, точное решение уравнений (84):
Q'(Ys) *
(8.4.104)
Здесь а〃门 屮(〃)и 炉(уJ определяются, соответственно, выражениями (89), (99) и (101); уу — корни уравнения (88), число которых равно, вообще говоря, числу мод накачки.
Если, например, интенсивность накачки мала:
^g/sWlNl，(8.4.105)
то из (88) находим
Y$ = T g/$(l+3J —中s,s = 0, ± 1, ±2,(8.4.106)
где 5$ = ® +3s2 — малая комплексная поправка (| 6^ | <^ 1), причем
【т (m—s)2【т (m—s)2
【т (m—s)2
【т (m—s)2
Чтобы выяснить смысл условия (105), будем считать, что интенсивности всех мод накачки одинаковы, а полное число мод равно 22V + 1. Подставив в (105) Л(он == 2NQ и /но = (2% + 1)/$, получим, учитывая (69) и (71),
/но《2/кр,
т. е. инкременты (106) соответствуют некогерентному режиму. При этом
a"s~a"" = 装，屮(Y")2 "粤也，屮'(y")七/
и согласно (104)
& (г) ^ ап0 ехр& (г) ^ ап0 ехр^S^n~ i卩〃)г.^S^n~ i卩〃)г.(8.4.107)(8.4.107)
& (г) ^ ап0 ехр
& (г) ^ ап0 ехр
^S^n~ i卩〃)г.
^S^n~ i卩〃)г.
(8.4.107)
(8.4.107)
Этот результат находится в соответствии с полученными другим методом выражениями (82) и говорит о том, что при /н0 <^ /кр в усилении каждой стоксовой моды принимает участие лишь одна, резонансная по отношению к ней, мода накачки.
Если переписать (88) в виде уравнения по степеням у, то можно показать, что
ReysSsO, 2%仁^几'(8.5.108а, б)
где Го = gInQ = g ^ 1п — инкремент (для интенсивности) при когерентном режиме. Непосредственно из (88) видно, что с ростом интенсивности накачки один из инкрементов — обозначим его Yo — растет и стремится к Го/2. Это происходит при
Yo = Fq/2 言;卩孔max |・(8.4.109’
604ГЛ, 8. случайные волны в нелинейных средах
Взяв опять накачку с одинаковыми интенсивностями мод, получим, что (109) эквивалентно условию /,10 ^> /кр, т. е. соответствует когерентному режиму, Из (109) и (1086) следует, что при этом ReY$f 0 ($方0), т. е, в когерентном режиме усиление создается только за счет у。. Учитывая это в (104), имеем
a"⑶a„0职需т 7ог>1, где
£県觸0
%0=~^‘ Ф(То)2 — 一-,2’(Yo) ~―%,
/воg/ ниg/ но
т. е.
"ТЛ0/仇。"ТЛ0/仇。④⑶^④⑶^
"ТЛ0/仇。
"ТЛ0/仇。
④⑶^
④⑶^
Мы пришли к известному результату: при когерентном режиме усиление создается всеми модами накачки, так как 「。工且廿/入 Поскольку усиление при ВКР создается в основном за счет инкремента 丫。(исключение составляет лишь некогерентный режим), то определение величины у。во всем диапазоне изменения /н0 приобретает особый интерес. Эта задача упрощается, если спектр накачки симметричен (/.„ = /„). Тогда (88) можно переписать:
1=需十許^・(8.4.30)
При Iq^Q (ПО) имеет один вещественный корень Y = Yo, величина которого меняется от、lgl” при слабой накачке (некогерентный режим) до Yo,max =g ^ /〃/2= Го/2 при сильной накачке
(когерентный режим), Характер изменения ?()между этими крайними значениями зависз'т от формы спектра накачки (рис. 8.19, 8.20).'
Таким образом, использование многомодовой модели позволяет дать полную картину ВКР в поле заданной шумовой накачки, детально проследить зависимость инкремента от ширины и даже формы спектра. Заметим, что точно к таким же результатам приводит и использование метода уравнений Дайсона для накачки со сплошным спектром [18, 64]. Сказанное лишний раз убеждает в плодотворности удачного выбора модели процесса.
Независимость коэффициента усиления от ширины спектра накачки в среде без дисперсии, впервые обнаруженная экспериментально в [67J, была подтверждена в численных экспериментах [66], а также измерениями порога ВКР в водороде [68].
Рис. 8.19. Зависимость главного инкремента ВКР " от интенсивности мною модовой накачки, имеющей прямоугольный спектр.
/ =/。т=0, ±1, ±2土N), 7H0=(1 十2W)/「Acou=2№f /KD=2^Q/g; значения TV; /) 0： 2) 1； 3) 2： 4) 3; 5) 4.
Рис Я 20 Зависимость главного инкремента ВКР 丫。от интенсивности много-модовой иакачки, имеющей лоренцевский спектр.
；д= 十俨肉，-сс < n < со; 厶出工/⑺乙广 △⑴"=f(3)Q， /Kp = HI?*)vQ/g,■
■gO)gth〃/R Кривым /—4 соотиетствукл значення 仇 указанные на рисунке.
Как влияют поперечные корреляции накачки на процесс вынужденного рассеяния? Как преобразуются поперечные корреляции при вынужденном рассеянии?率)Эти вопросы стали особенно актуальными в самое последнее время в связи с работами по обращению волнового фронта. Сейчас еще преждевременно подводить какие-то итоги； интересующего читателя -мы отсылаем к [65].
§ 5. Самовоздействие случайных волн. Самофокусировка и самомодуляция частично когерентных волн
В § 2 мы рассмотрели простейший случай самовоздействия плоский шумовой волны, связанного с нелинейностью коэффициента усиления лазерного усилителя. Фактически речь шла об эффекте, обусловленном мнимой частью кубической восприимчивости среды.
Широкий круг явлений обусловлен действительной частью кубической восприимчивости, т. е. зависимостью фазовой скорости от интенсивности волны. Для ограниченных световых пучков эта зависимость приводит к явлениям самофокусировки и само- дефокусировки — за счет нелинейности распределение интенсивности по пучку влияет на поперечное распределение фазы [25 — 28]. В плоских амплитудно-модулированных волнах зависимость фазовой скорости от интенсивности приводит к эффекту фазовой самомодуляции световых волн — за счет нелинейности амплитудная модуляция трансформируется в фазовую (АМ 一 ФМ-кон- версия).
На спектральном языке эффекты самофокусировки н самоде- фокусировки можно трактовать как нелинейные искажения частотного и углового спектров； при самофокусировке происходит сужение пучка, при самодефокусировке— расширение пучка. Эффекты самомодуляции приводят, очевидно, к уширению частотного спектра волны.
В настоящем параграфе мы рассмотрим особенности самофокусировки, самодефокусировки и самомодуляции случайных волн. Заметим сразу же, что, если задача о самомодуляции плоской шумовой волны в первом приближении теории дисперсии оказывается простой, задача о пространственном самовоздействии, особенно о самофокусировке, относится, пожалуй, к числу наиболее сложных задач статистической нелинейной оптики. Дело в том, что для самофокусировки принципиальным является учет дифракции. Поэтому в настоящем параграфе мы ограничимся лишь двумя задачами, для анализа которых будут сделаны довольно
*) Заметим, что данные о формировании поперечных корреляционных функций первой стоксовой компоненты вынужденного рассеяния можно найти в [63].
сильные предположения. Мы рассмотрим преобразование поперечной корреляционной функции случайных пучков в пр иосевом приближении, а также задачу о поведении слабых случайных возмущений интенсивной плоской волны в фокусирующей среде.
В квазистатическом приближении нелинейная поляризация среды (8.1.8), ответственная за явление самовоздействия, имеет вид (ср. с (8.1.12))
Р^л ((о) == ВуМ ((о, —со, з) EjE^El,(8.5.1)
где Ej есть /-я компонента вектора электрического поля волны. Полная поляризация среды на частоте(о равна
Р ((о)= рл ®)+ Рнл((о),(8.5.2)
индукция электрического поля
D (s) = Е (со) + 4лР ((о) = е ((о)£ (со),(8.5.3)
где 8 (о)) — диэлектрическая проницаемость среды.
Предположим, что для линейной поляризации Р"((о) можно воспользоваться соотношением (ср. с (4.3.8)) Рл ((о) = х ((о)£ (со)； тогда в соответствии с (2) разложение диэлектрической проницаемости е (3) по степеням поля имеет вид
& = % + & ； Е『=% + % ； 4 产，(8.5.4)
где А — комплексная амплитуда волны, 80 и е2 —линейная и нелинейная диэлектрические проницаемости среды, 82 определяется тензором bijk£.
В общем случае параметры 80 и е2 представляют собой комплексные величины, мы же ограничимся рассмотрением случая, когда они являются действительными. Согласно (4) показатель преломления среды равен
п = Кв = УЧ)下吻 I 4 Е~% + 九21 4 円(8.5.5)
где ^ = 1^eOf n2 = n082/2e0. Физические механизмы нелинейности 82 (или 九2) довольно разнообразны: электронная нелинейность, электрострикция, керр-эффект и т. п. Случай е2 > 0 соответствует так называемой фокусирующей среде, а е2 < 0 — дефокусирующей среде.
Решение уравнения (8,1.1) с нелинейной поляризацией (1) (с нелинейным показателем преломления (5)) ищем в виде
Пользуясь уравнением (8.1.23) и принимая во внимание соотношения (8.1.15), (4), (5), для амплитуды А получаем уравнение 位 + 费 М"尸—iPMI"，(857)
庵=竽%，0 =饗.(8.5.8)
Уравнение (7) следует решать с граничным условием
4(П 2* = 0) = Ло (г), где Ло (г) представляет собой случайную функцию.
Прежде чем перейти к анализу уравнения (7) для частично когерентных пучков, рассмотрим явление самофокусировки качественно на примере полностью когерентных пучков.
Физика самофокусировки регулярных и случайно модулированных пучков; основные параметры. Элементарный анализ основных закономерностей явления самофокусировки можно провести, следуя работе Таунса и соавт. [27], в которой впервые был да1^ расчет самофокусировки когерентного светового пучка. Хотя этот анализ отнюдь не является строгим, но он наглядно характеризует физику явления и приводит к формулам, которые лишь коэффициентами отличаются от результатов последовательной теории.
Пусть в нелинейной среде с е2> 0 распространяется цилиндрический пучок радиуса а. Тогда в силу (5) вне пучка показатель преломления и = /г0, а внутри пучка
/ = +(8.5.9)
Лучи, составляющие пучок, на границе его совершают переход из среды, оптически более плотной, в среду, оптически менее плотную. Следовательно, при углах падения 屮,больших угла полного внутреннего отражения (р0,
^^-^АГ(8510)
лучи возвращаются внутрь пучка (屮>屮()).Критический угол(р0 соответствует лучу, наклон которого 60 к оси пучка равен (рис. 8.21)
cos 0o = sin Фо = ^о/(^о + ^21 Л『).(8.5.11)
Лучи с углом 0 > 0О (ф < фо) выходят наружу.
В пучке, фазовый фронт которого на входе в нелинейную среду плоский, максимальное значение угла 0О определяется дифракцией:
вд a a"F(8.5.12)
Относительный вклад нелинейной рефракции и дифракции в поведение пучка можно оценить, сравнивая углы 60 и 0Д. Можно выделить три случая.
При 0О<0Д пучок расплывается, однако темп этого расплывания меньше, чем в линейной среде.
При 0О= 0Д нелинейная рефракция полностью компенсирует дифракционное расплывание, при этом размеры и форма пучка остаются неизменными при распространении. Пучок создает
Рис. 8.21. К выводу формулы для критической мощности пучка 「《□ при самофокусировке в нелинейной среде.
Для себя своеобразный оптический волновод, по которому распространяется без расходимости. Этот режим называют режимом самоканализации волнового пучка. Определим мощность, при которой ои реализуется.
Для малых углов 60 выражение (И) можно представить в виде
1 —膝2 ~ zig/(孔о + % I 4『)•
Отсюда находим, что
0^2и2| Д |2/и0.(8.5.13)
Из условия 0О = 0Д определим критическую интенсивность пучка:
М 瓦= ^$・(8.5.14)
Критическая мощность самоканализирующегося пучка равна
/。=舞1/产з2 =論，(8515)
ла2 — площадь поперечного сечения пучка. Видно, что Ркр0 зависит лишь от нелинейности среды 九纟 и длины волны излучения.
При 90> 0Д (мощность пучка Р> Ркр0) лучи отклоняются к оси пучка — происходит самофокусировка, нелинейная среда действует как положительная линза, эквивалентное фокусное расстояние которой нетрудно оценить. Пользуясь выражениями (12) и (14), равенство 0О = 9Д можно представить как Z^K) = /нл0, где введена длина самофокусировки
工 0 = а М Па/(2& 141*)・(8・5.16)
20 С, А, Ахмано* и 屮
Дифракционную расходимость можно трактовать как результат действия расфокусирующей линзы с фокусным расстоянием 度).Тогда равенство /^к) = /нл0 соответствует обращению фокусного расстояния системы двух линз в бесконечность 卜丁 = /£力——(度)尸).
В пучках с мощностью Р》/\р фокусное расстояние гф№ /нл0, дифракционные эффекты почти не проявляются (/н』о《/，')，а по- ведег1ие пучка хорошо описывается приближением геометрической оптики.
Следует заметить, что к результатам (15) и (16) приводит также решение уравнения (7) для гауссовских пучков в квази- оптическом приближении [25].
Теперь воспользуемся изложенным здесь подходом для качественного анализа влияния неполной пространственной когерентности пучков на самофокусировку.
Для частично когерентных пучков, если &》/■(), «случайная» угловая расходимость определяется выражением (см. (4.2.35))
6СЛ = 2/岛尸()=1/лгопо. (8.5.17)
Для самоканализации рассматриваемого пучка следует потребовать выполр<ения условия 0О = 0СЛ. Из этого равенства, проводя преобразования, подобные преобразованиям, примененным при выводе (15), получим значение критической мощности для самоканализации частично когерентного пучка：
嘴。=諡仔)2 =(打 Ркр。. (8518) Видно, что критическая мощность возрастает в (а/г0)2 раз. Интересно отметить, что во столько же раз уменьшается интенсивность в фокусе линзы при фокусировке частично когерентного пучка (см. формулу (4.5.87)).
Поперечная корреляционная функция самофокусирующихся случайных пучков. Предыдущее рассмотрение позволило оценить весьма важный параметр самофокусировки — его критическую мощность. Для более же полного анализа динамики самофокусировки случайно модулированных пучков необходимо исходить из уравнения (7).、
Пользуясь обычной процедурой перехода от динамического уравнения к уравнению для корреляционной функции (см., например, § 5 гл. 4), в соответствии с (7) для поперечной корреляционной функции
В丄(「2, И； г) = <Л(гь г)Л*(г2, г)) (8.5.19) получаем уравнение
協+费(А丄I — А丄丄(「2,门;％)=
° 『一平 KH看窖〉-〈窖У/?〉]. (8.5,20)
Здесь введены обозначения
Ап = А(гп, г),^ln = д2/дxl + д2/дl/^
В правой части уравнения (20) фигурируют корреляционные функции поля четвертого порядка. Если записать уравнения для этих функций, то они оказываются зависящими от корреляционных функций поля шестого порядка, и т. д. Таким образом, в силу нелинейности уравнения (7) для корреляционных функций получается бесконечная цепочка связанных уравнений. Общепринятая методика приближенного решения подобной системы заключается в обрыве цепочки на основе определенных физических соображений.
Пусть на входе нелинейной среды случайное поле подчиняется гауссовской статистике, и предположим, что в нелинейной среде статистика поля слабо отличается от исходной. В связи с этим воспользуемся соотношениями (здесь / =〈/〉)
(414*Л!)=2/(n, z)S±(r2, n; г),
<ЛИГЛ1> = 2/ (r2) z)B 丄(rz, г1； г),
строго выполняющимися лишь для гауссовских полей. В новых координатах R = %(「2 +「i), г = п —г2 с учетом (21) уравнение (20) принимает вид
像+ /3)8丄(R, г; z)=
=—i2P {/(R+2，z) — /(R — g，z)} В 丄(R, г; 2).(8.5.22)
Предположим, что на границе линейной среды при 2 = 0 корреляционная функция В丄 определяется выражением (4.5.416):
в丄(R, г) = /оехр {—響一量一iaoRr},(8.5.23)
где а —радиус пучка, г0 —радиус корреляции и г；фф = го2 + (2a2)-1. Решение уравнения (22) ищем в виде (4.5.42):
В 丄(R, г, z) = /o/(z)exp{ — g(z)*-/i(z)€-ia(z) Rr}. (8.5.24)
Для пр иосевой части пучка (R《а) гауссовское распределение интенсивностей /(R±「/2, г) можно заменить параболическим:
/ (「L2, 2)= /о/(2)ехр { - g-^} ~ /j[l _g~^
При этом
/(R +千，z) — /(R—孑，z)^ — 4/g/。%(8.5.25)
Далее поступим так же, как в § 5 гл. 4: подставим (24) в уравнение (22), принимая во внимание (25). Приравнивая
20*
8 — 86自/（）8 — 86自/（）8。&8。&(8.5.27)(8.5.27)Рис. 8.22.Рис. 8.22.ЗависимостьЗависимостьотносительных радиусов пучка а ⑵& = и и корреляции 尸长(z)/r()= 〃 частично когерентного пучка с ао = О от приведенного расстояния г//нл при самофокусировке для различных отношений мощностей 尸/Ркр.относительных радиусов пучка а ⑵& = и и корреляции 尸长(z)/r()= 〃 частично когерентного пучка с ао = О от приведенного расстояния г//нл при самофокусировке для различных отношений мощностей 尸/Ркр.(8) и (5). Для пол(8) и (5). Для ползованы соотношениязованы соотношения
8 — 86自/（）
8 — 86自/（）
8
。&
8
。&
(8.5.27)
(8.5.27)
Рис. 8.22.
Рис. 8.22.
Зависимость
Зависимость
относительных радиусов пучка а ⑵& = и и корреляции 尸长(z)/r()= 〃 частично когерентного пучка с ао = О от приведенного расстояния г//нл при самофокусировке для различных отношений мощностей 尸/Ркр.
относительных радиусов пучка а ⑵& = и и корреляции 尸长(z)/r()= 〃 частично когерентного пучка с ао = О от приведенного расстояния г//нл при самофокусировке для различных отношений мощностей 尸/Ркр.
(8) и (5). Для пол
(8) и (5). Для пол
зованы соотношения
зованы соотношения
нулю коэффициенты перед различными степенями R^r71 (т, и =0, 1, 2, ...), получаем
7 = ^ = ^=一^，庵 a'= — a：+ 忌惦一響& (8.5.26) От системы (4.5.44) система (26) отличается тем, что в уравнении для функции а появился дополнительный член. Как и в линейной среде, имеют место равенства
〃z) = g ⑶三/l(z),
в силу которых указанные уравнения для а отличаются фактически лишь заменой
С учетом этого можно воспользоваться формулами § 5 гл. 4. В результате для функции 山=尸,определяющей изменение интенсивности и радиусов пучка а (г) и корреляции гк, имеем
炉=[⑶ 2 +(丁 一 /闻 z2 + 2 億)z +1.(8.5.28)
При этом
a (z) = 以(z) a。，(=『0以(z), ，д = 21/^"心心fк巾，乙Н=0(耶厶).(8.5.29)
РкрК) для самофокусировки пучка определяется ИЗ условия /д =/нл, из которого получаем, что
明"需(/。储粤=
=需粤翁薪，(853。)
где ^ -= а2/2го — среднее число неоднородностей в пучке. При выводе (30) исполь
ностью когерентных пучков параметр 2 = 1. Для частично когерентных пучков критическая мощность самофокусировки возрастает, таким образом, в ^ раз.
Эволюция параметров пучка при самофокусировке показана на рис. 8.22, Если мощность пучка Р<РКр &V，h.J，то пучок ведет себя так же, как в линей-
ной среде. Дифракционное расплывание лишь частично компенсируется эффектом самовоздействия (ср. (28) с (4.5.51)). При Р>А卩 仏 >'н』)на расстояниях, где t?(z)f 0, интенсивность в центре пучка / (0, г)->оо.
В настоящем параграфе мы ограничились анализом самофокусировки частично когерентных пучков. Вместе с тем полученные формулы допускают рассмотрение и процесса самодефоку- сировки, если он может быть описан уравнением (7) с нелинейным коэффициентом 0V。(и2<0). С учетом этого вместо соотношения (28) имеем
“2 =[倒2 +1 + 词炉 + 2 (?) z + 1， (8531)
где характерная длина 人』определяется формулой (29), в которой под коэффициентом 日 имеется в виду его модуль.
Из выражений (31) и (29) следует, что при самодефокусировке с ростом мощности частично когерентного пучка радиус корреляции и радиус пучка увеличиваются. Другими словами, нелинейная среда увеличивает эффективное дифракционное расплывание пучка.
Неустойчивость плоской волны в фокусирующей среде; рассмотрение методом теории возмущений. При теоретическом анализе модели пучка со случайной поперечной структурой, рассмотренной в предыдущем разделе, пришлось сделать предположение о расцеплении высшей корреляционной функции, физическая оправданность которого не всегда ясна. Поэтому такой анализ не позволяет дать полную картину самофокусировки случайного пучка. В этом отношении представляют интерес другие модели, позволяющие анализировать физику самофокусировки случайных волн. К интересному результату приводит, в частности, исследование самовоздействия случайной волны, представляющей собой суперпозицию интенсивной регулярной плоской волны и слабой случайно модулированной волны. Анализ самовоздействия такого поля можно выполнить методом теории возмущений. Полученные таким образом результаты позволяют сделать определенное заключение о самофокусировке случайной волны: подчеркивание неоднородностей случайного поля [28, 29].
Итак, рассмотрим случай, когда комплексная амплитуда падающей на нелинейную среду волны равна
4(r, z = O) = 4° + E(r), 1/^<|До|,(8.5.32)
где g (г) — случайная функция. Распространение волны в нелинейной среде описывается уравнением (7), решение которого будем искать в виде
(8.5.33)(8.5.33)4 (г, г) = Я (г) + ^(г, г).
(8.5.33)
(8.5.33)
Для амплитуды плоской волны имеем уравнение
旷 dz旷 dz=一中/4=一中/4
旷 dz
旷 dz
=一中/4
=一中/4
согласно которому
л ⑵ н Лоехр { -ФМ}, /о«|ЛоR (8.5.34) Таким образом, вследствие самовоздействня фазовая скорость интенсивной волны отличается от таковой в линейной среде; появляющаяся добавка к волновому числу равна Днл = р/0, Поведение случайной модуляции волны в первом приближении подчиняется уравнению
2 +1 ^~ д 1 g = - ф/о [2g + Г ехр { - i2^z}].
С помощью замены ^ = ^ ехр { —/Анлг} получим
^ £ + '厶丄红=—zP^o[?i + ?T]-(8.5.35)
Решение (35) ищем в виде разложения по плоским волнам (ср. с (4.7.30)):
十8
£ (Г, Z)=，£ е—，хг 曲=§ E》g L("+»)dkx 叫.
Для фурье-компонент 原 получаем
&⑶= [ch「他)z-向(в -^)shr (х)г]^(0)- -ij^yshr(x)2e*(O),(8.5.36)
где ^х(О) —значения на входе нелинейной среды при г = 0,
门%)=京例-炉产，片=4隔/。.(8.5.37)
Предполагая случайный процесс ^ (г, г = 0) изотропным и учитывая соотношения (1.8.5), (1.8.11), найдем угловое распределение, соответствующее (36):
G 的 2) = {1 4-2[р/0/Г (х)]2 sh2T (х)г}00 («)>(8.5:38)
Go (х) — угловое распределение интенсивности на входе среды.
В фокусирующей среде угловые компоненты с | х | ^х0 нарастают. При этом максимальный инкремент Гшах = %о/4^о имеют угловые компоненты с х^ах = ±Хо/Р^・ На достаточно больших длинах г угловой спектр случайной волны становится двугорбым, сосредоточенным около значений х±ах с полушириной
Ам = [(йоХо/2г) 1п 2]1/4,
которая уменьшается с ростом г. Таким образом, в случайной волн・ будут подчеркиваться неоднородности с поперечным размером
s丄〜l/^max = у 2/Xq.(8.5.39)
Расстояние, на котором этот эффект становится заметным, равно
/на ^Г*тах = 4左/J =(卩厶尸.(8.5.40)
В дефокусирующей среде нарастающие угловые компоненты случайной волны сосредоточены около компоненты х = 0, которая, согласно (38), растет пропорционально г2. Полуширина спектра при этом равна
Ах = 2-I/2 {罔 + (1,39 左 o/z)叩/2 一 啕 i/2(8.5.41)
и стремится к нулю при увеличении г. Таким образом, в дефокусирующей среде подчеркивается медленная модуляция.
В заключение следует отметить, что рассмотренный в фокусирующей среде эффект — нарастание возмущений плоской волны — может быть весьма важен для лазеров, где он приводит к мелкомасштабному разбиению лазерных пучков (см., например, [30, 31]).
Самомодуляция плоских шумовых волн. Как уже указывалось, распространение амплитудно-модулированной волны в среде с кубичной нелинейностью приводит к амплитудао-фазовой конверсии и связанному с этим уширению спектра.
Каковы особенности этого процесса для шумовой волны? Мы рассмотрим данный вопрос в первом приближении теории дисперсии [34, 35]. В этом приближении эффект самомодуляции для случая плоской шумовой волны описывается уравнением (ср. с (8,2.3) и (7))
芻+ ^* = —(&5・42)
где и — групповая скорость волны. Решение этого уравнения с граничным условием А (/, г = 0) = До (0 имеет вид
А (/, г) = AQ(t — z/u) exp {一 ф | До (/ — г/u) |2г}. (8.5.43)
Из (43) следует, что за счет нелинейности возникает случайная фазовая модуляция Р | Ло (/ — г/u) |2 г. Для расчета временной корреляционной функции процесса (43) перейдем от комплексной амплитуды к огибающей и фазе (4 = pexpi(p). Тогда получим
8(т; г) = (popot exp {i[^z (pgt - pg) +(p0 - Tot]}),(8.5.44)
где po = po it —z/u), pOt = po (t + x — z/u).
Предположим, что падающая на нелинейную среду волна представляет собой стационарный случайный гауссовский процесс. Четырехмерная функция распределения такого процесса w (р0, р^; Фо, фот) дается формулой (8.3.6). Расчеты, связанные с нахождением корреляционной функции (44), аналогичны расчетам, проделанным при получении (8.3,15). Пользуясь функцией распределения (8.3.6) и интегрируя (44) по фазам, приходим к
■выражению (ср. с (8.3.14))
8 (т； z) = d；；⑴ j，/皤/1 [(О +。*)瓦(Т) Xi/] X
О■
Хехр {— Dxl~~D*xi] dxidx2i (8.5.45) где xx = y,尤2 =禦，Q =，眦2 + 匚 力 旧,b0 (т) — нормированная корреляционная функция случайного процесса на входе нелинейной среды. Проинтегрируем (45), тогда для нормированной корреляционной функции в среде получим
〃 / 力В(G z) _°о (т)/о е л/?\
0 0，')=B(0,z) = [1工(m22户(1 一稣(T))2f• (OQ.4O丿
Время корреляции тк шумовой волны в нелинейной среде удовлетворяет соотношению
'1 + (陷2?)2(1 —历(久))2 = [2瓦 а)]"?.(8.5.47)
Для наиболее интересного случая ро??》]из (47)имеем
夙(久)=1一(/^一1)"2(配生尸.
Для определенности возьмем Ьо (т) в виде (8.3.22) и обозначим время корреляции исходной волны через т0:
瓦(т) = ехр {—4 In 2 (т/т0)2}.
В этом случае значение тк равно
Тк =(У2 - 1)1/4 (8B(r2z 1п 2)т/2т0.(8.5.48)
Таким образом, время корреляции уменьшается обратно пропорционально корню квадратному из интенсивности волны а2 = /0 и пройденного расстояния z. Соответственно ширина спектра волны увеличивается с ростом интенсивности и расстояния г. Заметим, что, в соответствии с выводами § 6 гл. 7, полученный результат можно использовать для интерпретации экспериментов, проводимых с многомодовыми лазерами.'
Для анализа явления самомодуляции во втором приближении теории дисперсии можно применить метод, изложенный в начале данного параграфа, т. е. произвести расчет временной корреляционной функции, предполагая, что статистика шумовой волны в нелинейной среде остается гауссовской. Подобные расчеты для гауссовского шума были выполнены авторами работ [32, 33].
§ 6. Статистика акустических волн в нелинейной среде
Задачи статистической нелинейной акустики, рассматриваемые в этом параграфе1, с\ ；1,сственно •н/пшаю'К'я от задач не.линейной ептнкн как по cbqbH постановке^ так н но методам их решения.
Физической причиной, лежащей в основе такого различия, является факт почти полного отсутствия дисперсии скорости звука в широком диапазоне частот [45 — 47]. Поэтому, даже если на входе в нелинейную среду задан узкополосный случайный процесс, в среде будет происходить синхронная генерация не только второй или третьей, но одновременно многих гармоник (их количество определяется величиной так называемого акустического числа Рейнольдса и в экспериментах может достигать нескольких десятков). Еще более сложная ситуация возникает при наличии источников интенсивного широкополосного шума, примерами которых могут служить реактивные двигатели, электрические разряды, взрывные устройства и др. Акустическая нелинейность приводит к весьма сложным процессам эволюции широких сплошных спектров [59, 60], которые, очевидно, в принципе нельзя описать конечным числом укороченных уравнений для комплексных амплитуд различных спектральных компонент.
Поэтому при изучении волновых взаимодействий в акустике используется другой подход. Он основан на предположении о медленности изменения формы бегущей звуковой волны с расстоянием при ее распространении в нелинейной среде [46, 47].
Рассмотрим уравнения динамики для сплошных идеальных (не обладающих вязкостью и теплопроводностью) сред. Система состоит из уравнения движения в форме Эйлера
P^ + p(uV)u = —Vp,(8.6.1а)
уравнения непрерывности
絹 + div ри =0(8.6.16)
и адиабатического уравнения состояния
。/% = (р〃)о)工(8.6.1В)
р0 — равновесное значение плот-р0 — равновесное значение плот-Здесь р (г, /) — плотность среды, р (г, /) — давление, и (г, /) — колебательная скорость возмущения. Для газов у = ср/су (отношение теплоемкостей при постоянном давлении и объеме), для конденсированных сред у и равновесное внутреннее давление
р0 — равновесное значение плот-
р0 — равновесное значение плот-
р0 — эмпирические постоянные; ности среды.
очень интенсивных акустических р，= р —Ро и давления рг ^р — р^ значений малы. Малым являетсяочень интенсивных акустических р，= р —Ро и давления рг ^р — р^ значений малы. Малым являетсяПри распространении даже сигналов отклонения плотности в волне от своих равновесных
очень интенсивных акустических р，= р —Ро и давления рг ^р — р^ значений малы. Малым является
очень интенсивных акустических р，= р —Ро и давления рг ^р — р^ значений малы. Малым является
и отношение колебательной скорости и к скорости звука & = «(уро/ро)1/? --так называемое число Маха М; его обычное экспериментальное значение М 〜lO-’—i。—2 Пользуясь тем, что
р7ро 〜р7ри 尸 и/Со а М 〜卩，
где ц — малый параметр, систему (1) можно упростить, сохранив в ней только линейные (по переменным р‘，р‘，〃)и квадратичнонелинейные члены. Система (1) в одномерном случае примет вид
ди . дрг ,ди
Р°»+ 衣=_р д1~р°идг'警+ ро^=-為(p'u)，
Р，=Ф，+^соР，2-
(8.6.2а)(8.6.26)(8.6.2в)(8.6.2а)(8.6.26)(8.6.2в)Пользуясь стандартным подходом теории нелинейных недиспергирующих волн — методом медленно изменяющегося профиля, т. е. полагая
(8.6.2а)
(8.6.26)
(8.6.2в)
(8.6.2а)
(8.6.26)
(8.6.2в)
u = и (т) = / — 2/с(), цг), (8.6.3)
ди五ди五ди с-а“ 而=0.ди с-а“ 而=0.(8.6.4)(8.6.4)можно свести систему (2) к уравнению простых волн
ди
五
ди
五
ди с
-а“ 而=0.
ди с
-а“ 而=0.
(8.6.4)
(8.6.4)
Здесь а = (у+1)/2百，т] — время в системе координат, движущейся вместе с волной («сопровождающая координата»). Решение уравнения (4), соответствующее произвольному движению границы z = 0 во времени
и (/» г = 0) =/ (/),(8.6.5)
имеет вид
и (т), г) = / (т) + аиг).(8.6.6)
Здесь коэффициентЗдесь коэффициентда да /"石—a 以石）=0戸，да да /"石—a 以石）=0戸，(8.6.7)(8.6.8)(8.6.7)(8.6.8)Для вязкой теплопроводящей среды аналогичный подход приводит к уравнению Бюргерса
Здесь коэффициент
Здесь коэффициент
да да /"
石—a 以石）=0戸，
да да /"
石—a 以石）=0戸，
(8.6.7)
(8.6.8)
(8.6.7)
(8.6.8)
₽ = b/2 国 Ро
описывает линейное затухание звука — высокочастотные потери в среде. Отношение нелинейного и диссипативного членов в уравнении (7) образует важный параметр подобия — акустическое число Рейнольдса:
(8.6.9)(8.6.9)а〃 dtilg о £оМо 6 d^u/dif ~— 6恤
(8.6.9)
(8.6.9)
(где «Л。， w0 — амплитуда и частота исходного сигнала), от величины которого зависит протекание нелинейных процессов в среде. При Re》l нелинейные эффекты выражены сильно, возмущение среды искажается вплоть до образования крутых участков一 ударных волн. При Re《l нелинейность выражена слабо и преобладают диссипативные процессы.
Распространение гармонических волн
f (/) = До sin ®“ + ф)(8.6.10)
в соответствии с (7) для Re》1 разбивается на следующие этапы:
искажение формы профиля волны, которое происходит по законам простой волны;
образование в волне разрывов и стабилизация профиля волны в результате конкуренции нелинейных и диссипативных эффектов, а также уменьшение амплитуды волны из-за нелинейных потерь;
вновь превращение волны в гармоническую волну, но с малой амплитудой, и распространение ее по законам линейной акустики.
На первом этапе распространения разложение решения (6) в спектр для случая первоначальной синусоидальной волны (10) приводит к формуле Бесселя — Фубини:
и = 2А0 £ [Ja(n?)/(n?)]sinnwor),(8.6.11)
где ^ = ай)0Л(>г, или ^ = г/гр, гр —длина образования разрыва:
4 = (ай)0Д0)-1.(8.6.12)
Формула (11) справедлива на расстояниях г^гр. В дальнейшем мы воспользуемся (11) для сравнения распространения регулярных и шумовых волн.
Случайные простые волны; усреднение риманова решения. Пусть на входе нелинейной среды при г = 0 задано случайное волновое поле g(/), т. е. теперь в нелинейной среде вместо (6) имеем
〃(巾 г) = 1(т] + аги (т), г)).(8.6.13)
Определить статистические характеристики функции 以(％ г), исходя непосредственно из неявного решения (13), не удается. Поэтому выражение (13) следует преобразовать к явной форме, т. е. 〃(％ г) представить как некую функцию от 自⑺.
Пользуясь свойством 6-функции, запишем тождество
〃(％ z)=歳，，〃⑴j z)宀ss-叫 dsdrf.(8.6,14)
Принимая во внимание (13), цолучим
以Ob2尸歳引自⑴'+g以⑴'，г))^^-^ ^/Ф^,. (8.6.15)
Произведем замену переменной rf:
(8.6.16)(8.6.16)т/= 8—«4 (9),
(8.6.16)
(8.6.16)
тогда
оо”
и (т), z)=翌 j j g (g)e心*9十3匕(叫 1 — аг^ (0)]d0 dw =
—00
8
=歳 § § ^ g ⑼ dm d<o de-庙 W- зЕ(«].
Интегрирование по частям последнего выражения дает
“(％ г)= _ ± j j 1 g (Q) е^ [n-e+azg(e)] dm d9. (8.6.17) —oo
Выражение (17) можно еще упростить, представив его в виде
оо
"(Т), z) = £，，3-2工(8, 3)egm-e+3&(e"d8d<0, (8.6.18) где введен дифференциальный оператор
L (0,(о)=瓦+ 而.(8.6.19)
Из (18) видно, что процесс нелинейного распространения акустических волн является инерционным: значение случайного боля 〃 (т), г) в момент времени q определяется значениями 自, взятыми в предшествующие и последующие моменты времени. Полученная формула (18) удобна для расчета статистических характеристик процесса и (% г), так как она сводит нахождение его моментов и корреляционных функций к расчету характеристических функций исходного процесса ^ (9) [48].
Вычислим корреляционную функцию процесса 〃(％ г):
В (т, г) = (« (т)4-т, г) u (т), г)),(8.6・20а)
или с учетом (18)
В (т; г) = (2лаг)-2，…，紡'呜(%,①2)£* (%, ®i) X
—8
x exp “①2n — «1 (т) + т)—①?％ + «161] X
х С(5, — «!)dg d(D] d& de】. (8.6.206)
Здесь через С обозначена двумерная х ар актер истическ ая функция процесса еs)：
С (明，—to。一〈・хр，az [9北他)一 8亚(0J]).(8621)
§ 6. СТАТИСТИКА АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН
\ Будем считать, что g (т]) — стационарный случайный гауссовский процесс с нулевым средним значением (Е = 0) и корреляционной функцией
〈E(n + QE(t)〉=o2R (т),〈E(n + QE(t)〉=o2R (т),(8.6.22)(8.6.22)
〈E(n + QE(t)〉=o2R (т),
〈E(n + QE(t)〉=o2R (т),
(8.6.22)
(8.6.22)
где R (т) — коэффициент корреляции, о* — интенсивность флуктуаций. Заметим, что, строго говоря, интенсивностью акустической волны является величина Po&oL Для стационарного гауссовского случайного процесса характеристическая функция (21) равна
С(5, — tt>i) = ехр I—2~ (aoz)* [呜 + 峭一2(02(0次(％ — %)]}. (8.6.23)
Подставляя (23) в выражение (206), получим
8(т; z)=
е»
=(2皿)-2，…§(5«h)T ехр {"com - Ml (т)+т)] — у «* M+®«)} X —oa
xF(g, wlt %, 61) d«i rf«2 de2deb (8.6.24)
где введены обозначения aaz=K и
es (仇,仇)， (8.6.25)es (仇,仇)， (8.6.25)尸(g, ®1. %, 91) = [®2®1 4- fo2 Д - t®l ^ + 5g^]
es (仇,仇)， (8.6.25)
es (仇,仇)， (8.6.25)
g (吼 81)0 炉铀仰r (82 - 61)-沁202 + 面 1%.
Расчет производных s (25) дает
外（仇.%）=Я卜七gi ~ R （92 - 60 +而J两瓦,仇）,彼 ® 斑）《э［炉（0拙1 篇 R（% — 91）-必2］决 也 01）,
鵰^…、熹侶七2仰為r e2 TI)+电林他•吋==
■ 1x20)2W1 加^& R (% -。1)+ [炉①2Gl 篇 R 他一%) + 心l] 乂
X [炉施5 苏R (02 — 61)—沁2]}擾"'" °".
В результате для функции (25) имеем выражение
尸=[х2®2®1 譌^ R 個一%) + (х2<»2®1)2^^]е« (仇，0*> =
-[^^e"'3m，R(e，-e，)]e-g£，+ '%e，.(8.6.26)
Таким образом, для корреляционной функции (24) аолучаем
выражение
в (T； 2)=(?2 (2n%)-2，…，(施①1尸 X
X ехр{心2rl -如I (r)+ T)-i®202 + 而也一^ 炉(邂 + 暗)} X
X % кп 俨'ssR (仇一Qi) dQ2 成1 do)2 do)i. (8.6.27)
Проведем упрощения в (27), интегрируя по времени:
К】=-^- С § ^—£о)2仇+ ?明电К】=-^- С § ^—£о)2仇+ ?明电3%d也3%d也厂 ®用5%r(е3-е,)_1] d% d^ =厂 ®用5%r(е3-е,)_1] d% d^ =
К】=-^- С § ^—£о)2仇+ ?明电
К】=-^- С § ^—£о)2仇+ ?明电
3%d也
3%d也
厂 ®用5%r(е3-е,)_1] d% d^ =
厂 ®用5%r(е3-е,)_1] d% d^ =
(8.6.28)(8.6.28)=登,,0)2幻1 [e""5gR 向一e"一1] ^-'5仇 +з向 d% d%.
(8.6.28)
(8.6.28)
Переходя в (28) к новым переменным
6 = 62 — 61( 6о = (% + %)/2
и учитывая, что интегрирование по 0О дает 6-функцию, для интеграла (28) получим
ОО
Ki = s；,[屮5产R(e)— 1]^-必田6 (о)】 —G)2)d8.(8.6.29)
Тогда выражение (27) принимает вид
8(т, z)=
=薄 § 拠書^"七‘ + 册 J е—ge[e("8'R⑹一1]或.(8.6.30)
Отсюда следует, что спектральная плотность случайного процесса определяется выражением [48, 49]
ОО.
G®，2)= йГ^^佃s' J 欢3”^)_1]L庙ё成=-
(XW)1 ，
= а2£ ) [e^R{Q)_ 1]COS G)6 de. (8.6.31)
0
В некоторых случаях более удобной может быть другая форма записи выражения (31), которая получается в результате интегрирования (31) по частям:
ОО
G®, z) = —杀—з| A(d)e3R⑼sinsdde. (8.6.32)
Выражения (31) и (32) позволяют проследить за искажением спектра исходной волны с произвольной формой и шириной.
А Пользуясь формулой (32), преобразуем выражение (30) для корреляционной функции:
；В(т, z)=—,急Ae)e-3W(a-'(eT3d3de, (8.6.33)
где^ р2(6) = х2[1 — /?(6)]. Заменим в (33)尸小丁)01 на 歹旧小幻❿,
тогда
db (т, z, g)=—
對
q^T) R (0) е-。’ *т)'/4б(0)de.
Интегрируя по q, а затем полагая д=1, находим
d8,(8.6.34)
где Ф(х) —функция ошибок.
Интенсивность случайного процесса в нелинейной среде, очевидно, равна
/⑵=-a2/⑵=-a2f ^(6)фГ—7^^=]^.f ^(6)фГ—7^^=]^.(8.6.35)(8.6.35)
/⑵=-a2
/⑵=-a2
f ^(6)фГ—7^^=]^.
f ^(6)фГ—7^^=]^.
(8.6.35)
(8.6.35)
Для широкополосного исходного шума, используя приближение 1 — R ⑼=А (。)尸/2, можно принять
R(8)」 Lx)/2FIo)J
В рассматриваемом случае интенсивность (35) оказывается равной 1(г)^о2Ф[(2н\Р(0) l)-1^].(8.6.36)
Величина | /? (0) | ^ А(о2 (А(о —ширина исходного спектра), и, следовательно, значение (36) определяется параметром хА(о = =ааг Aw. При х A(d < 1 (условие применимости полученных результатов) интенсивность шума в нелинейной среде уменьшается как
/ (г)^о2(1 — 2л1/2х Awexp {— (2х Aw)*1}).(8.6.37)
В качестве примера применения полученных общих формул рассмотрим случай первоначально квазимонохроматической волны,
т. е. когда коэффициент корреляции равен
R (г) =^ b (т) COS й)0Т,，
(о0 — средняя частота спектра, 6 (т)-— медленно меняющаяся функция на периоде 2л/(о0. В данном случае удобна формула (31). При этом воспользуемся разложением/
exp {(xw)2 b (6) cos w06} = W ^nlnV^^b (6)] cos п(о0б» (8.6,38) лот О
где е0= 1 и еп = 2 при п^О. Тогда формула (31) для спектра принимает вид
G(G), 2)=
=а2 ； /戸，J Е е"/к""力(6)] cos nw06 — 11 cos w6 的 (8.6.39) О (л = 0丿
В области низкие частот (几=0) спектр определяется выражением
—(хсо)« 洋
Gm(^ ^=^b^ {h[^b(0)]-l}cos^M. (8.6.40) 0
Остальные члены в (39) определяют спектральную плотность на возбуждаемой частоте(оо и ее гармониках п(оо, т. е.
(8.6.41)(8.6.41)G ®, z) = Gg ®, z) + W G〃(s, г),
(8.6.41)
(8.6.41)
9р~ (XS”
Gn (w, г)=冗個①产 а2 ) In[>^^b (6)]cos n(o09 cos w9 d8
о
Принимая во внимание узкополосность исходной волны, спектр на n-й гармонике можно представить в виде■
G〃(3, z)=得詳 J /„ [^b (0)] cos no)o0 cos <»9 d0.(8.6.42)
0
Поскольку спектральная плотность
Gn (co, 2)= ^]в〃(6, г) cosg)9d6,о
корреляционная функция n-й гармоники равна
Мо— (х<»о)8
8“ (т, г) =2 -у//炉3步(t)J cos nmoi. (8.6.43)
Интенсивность шумовых гармоник определяется выражением
尸(XWo)8
厶⑵=2。2气产//炉嚅].(8.6.44)
На рис. 8.23 показана зависимость интенсивности шумовых и монохроматических гармоник от расстояния г вплоть до длин образования разрыва гр в монохроматической волне; интенсивности первоначальных волн предполагались одинаковыми. Видно, что истощение основной шумовой волны происходит быстрее, чем монохроматической волны. На длинах г<гр возбуждаемые гармоники шума имеют большую интенсивность по сравнению
с монохроматическими гармониками.
Согласно выражениям (44) и (11) отношение интенсивности
几-宓 гармоники шума к интенсивности монохроматической гармоники при равных возбуждаемых интенсивностях (а2 = 4幫 2 = /о) определяется выражением
*■ 2-
к (?)=
/产⑷
* 产/学),.但645)
(w) Jn^2V^Q
На малых расстояниях ((а(оог)2 /0< 1)» пользуясь разложением функций Бесселя, имеем г]* 弋 〃！, т. е. генерация шумовых гармоник в 〃！ раз эффективнее, чем монохроматических гармоник. Напомним, что подобное явление имеет место при генерации шумовых оптических гармоник в приближении задан-
8.23. Зависимость ин-
Рис.
тенсивности первой (/), второй (2) и третьей (<?) гармоник в недиспергирующей нелинейной среде от приведенного расстояния соох (к = =aaz) при одинаковых интенсивностях /0 исходных волн.
ного поля (см. § 3).
Обсудим кратко условия применимости полученных результатов. Для монохроматической волны уравнение простых волн (7) справедливо до расстояний zVZp. Когда же речь идет о нелинейном распространении шума, в интенсивных выбросах (амплитуда больше среднего значения А) разрывы образуются на расстояниях, меньших гр. Однако уменьшение амплитуды разрыва нельзя описывать уравнением простой
Узкополосной шумовой волнесоответствуют сплошные крн-вь(е. монохроматической волне—пунктирные.
волны. Поэтому условие
применимости приведенных результатов можно определить, задавая вероятность разрывных выбросов. Возможно использование другого, энергетического способа. Он заключается в сравнении
с данными анализа, корректно учитывающего затухание выбросов после образования в них разрывов. Подобное сравнение с результатами численного расчета, выполненного в [50], показало, что для квазимонохроматических возмущений уравнением простых волн можно пользоваться вплоть до расстояний г ^ 0,7.?p.
Здесь мы ограничились рассмотрением случая исходной волны с гауссовской статистикой. Однако условие квазимонохроматичности исходного возмущения допускает анализ и для негауссовской статистики [52].
В настоящем разделе рассмотрено только поведение шумовых гармоник. В ряде случаев практический интерес представляет низкочастотная шумовая компонента, возникающая в результате эффекта детектирования в акустически нелинейной среде. Поведение низкочастотной компоненты для различных чисел Рейнольдса проанализировано, например, в [53 — 56].
Перейдем теперь к рассмотрению статистики шумовых волн в нелинейной среде.
Функция распределения шумовых волн. В общем случае для произвольных чисел Рейнольдса задача о нахождении функции распределения шумовых волн в нелинейной среде до сих пор не решена. Такую задачу можно решить для исходных квазимонохроматических волн и чисел Re->oo, пользуясь свойством эргодичности стационарных случайных процессов и тем обстоятельством, что в этом случае искажение волны на втором этапе (этапе образования разрыва и стабилизации его профиля) удобно описывать в параметрической форме (см. ниже (49)). Такой способ расчета функции распределения шумовых волн впервые предложен в работе [51], которой мы в основном будем следовать.
В соответствии с выражением (13) распространение исходной квазимонохроматической волны
и(Г). г = 0) = ^(Г)) =■ Л (л) sin (<й0П + ф(П))(8.6.46)
до момента образования разрыва описывается уравнением
〃0ъ г) = Л (6) sin(6 +(p(6)),(8.6.47)
где 8 =Т + 060)心〃(% z), 1=0)04
В силу узкополосности первоначальной волны выражение (47) в квазистатическом приближении можно записать в виде
〃何，г) = Л (т) sin (т + а(о0ги + <р (т)).(8.6.48)
При графическом анализе (48) удобно представить в форме
т<п) =arcsin (〃/4) — 06(0必〃一屮(8.6.49а)
для переднего склона волны и
工⑶=п — arcsin (и/А) — a^Qzu — <р (8.6.496)
для заднего склона волны. На периоде волны амплитуда Л и фаза <р являются, по существу, постоянными величинами. Поэтому изменением начала отсчета времени в (49) можно выбрать Ф = 0.
На рис. 8.24 приведены графики функции r = arcsin (и/А) и прямые линии т = а(о0ги. Очевидно, что до тех пор, пока
Рис. 8.24. К выводу закона преобразования Дт.Рис. 8.24. К выводу закона преобразования Дт.между прямой / и прямой 2.между прямой / и прямой 2.arcsin (u/A)>^oZUi, разрыв в волне отсутствует. Разрывы в волне имеют место при а(о0ги/ > arcsin (〃//), причем впервые разрыв возникает при т(п) =о, т. е. когда
Рис. 8.24. К выводу закона преобразования Дт.
Рис. 8.24. К выводу закона преобразования Дт.
между прямой / и прямой 2.
между прямой / и прямой 2.
arcsin (〃р//) =ай%г〃р・ (8.6.50)
При этом прямая т = ай)огир занимает положение /. Если
arcsin (〃//) Vacog" V
V л— arcsin (u/Л), (8.6.51)
то разрыв претерпевает только передний склон волны. В этом
задаваемой соотношениемзадаваемой соотношениемслучае прямая т = аа)ог〃 находится
задаваемой соотношением
задаваемой соотношением
(8.6.52)(8.6.52)а(о0гиг = л/2.
(8.6.52)
(8.6.52)
Когда aidoZUi > п/2, на разрыв «наплывают» точки заднего склона волны.
Согласно свойству эргодичности стационарных случайных процессов (см. § 4 гл. 1) относительное время пребывания случайного процесса и в интервале (以，的 + 厶〃)сходится по вероятности к одномерной функции распределения
w(Ui) Au = (ТUr и^^/Т).(8.6.53)
Поскольку мы рассматриваем полупериод волны, то в масштабе безразмерного времени Т = п. Величина Т%, %*区勺 равна сумме времен Ат(п, и Ат<3) пребывания волны в интервале (〃九 〃е + А〃》) соответственно на переднем и заднем склоне волны. Таким образом, соотношение (53) можно переписать в виде
5(〃，)=謚〈Ат ⑺+Ат ⑶〉=*•(8654)
Пока на полу пер иоде не образовался разрыв, в соответствии с (49)
——= 厂］—agz,二+ аоу (8.6.55а, б)
(〃fV/)・ Если при заданном значении щ образовался разрыв, например, на переднем склоне волны, то Ат(п)=0.
Можно показать, пользуясь (54) и (55), что для квазимоно- хроматической волны 占⑺)с функциями распределения амплитуды А и фазы <р
w (А) = (Д/а2) е~ ⑪(<р) = 1/2п,— nV屮 Vn (8656а, 6)
статистика шумовой волны не меняется, если разрывы в ней не образовались. В более общей форме этот вывод получен в [57, 58].
Вернемся к нашей основной задаче. Расчет функции распределения в нелинейной среде приходится производить по разным формулам в зависимости от того, какое положение занимает текущая прямая т = а(оог«г (рис. 8.24). Если она расположена между осью и и прямой 2 (52), то для всех значений А из области (“,и — u/sin (а(ооги)) разрыв еще не образовался; в этом случае в соответствии с (55)
Fi М) = А?)去也=2(炉一〃，尸/，.(8.6.57)
В области амплитуд (и, 8)на разрыв «наплывают» точки переднего склона, при этом AV# =g и F? (4) 0^^・ Следовательно, в рассматриваемом случае функция распределения (54) равна
(
и
J (A2-ua)-1/2w(A)dA +
+ у J {[А* - u2]-V2 + а(йог} да(Л)dд|.(8.6.58)
Для функции распределения (58) получаем формулу
w (“)=州北匸丄闻」{1 + ①句)+(2/л)1/2 (asgo) e-叫 е~а'^^ (8.6.59)
где q = (u/Y2 a) ctg.(а(о0 ги) и ①(夕)一функция ошибок.
Теперь рассмотрим случай, когда текущая прямая 工二仪①必〃 на рис. 8.24 занимает положение между прямыми 2 н 4. В этом случае точки всех передних склонов волны с амплитудами
Ak^v = u sin-1 (л — awo^/) = 〃Jsin (oudoZUi)
«наплыли» на разрыв и для них согласно (55а) Ат(п)=о. Полупериоды волны с начальными амплитудами А^ Ak затухают так, что их амплитуды оказываются меньше значения 〃入 В связи со сказанным функция ⑪⑷(54) находится из выражения
W ⑷=^ -^^ =翌 f {("2 一 "2)I" + аз#?} w (A)dA,
которое можно преобразовать к виду, подобному (58). Выражение (58) справедливо также и для 〃 v 0. Следовательно, область применимости формулы (58) а(о0г | и | ^ л.
Если ао)ог |«/1 ^ л, то из рис. 8.24 видно, что амплитуды всех полупериодов будут меньше значения 〃八 и, следовательно, a；(uj = 0. Таким образам, оказывается, что в нелинейной среде функция распределения ш (и) ограничена со стороны боль- лиих значений 〃•
Изменение гауссовской функции распределения случайной волны в нелинейной среде, рассчитанной на основе (59), показано на рис. 8.25. Рост плотности вероятности малых значений 〃
尸必尸必Рис. 8.25. Функция распределения узкополосной случайной волны в недиспергирующей сре-. це на различных расстояниях г = ао(а^ К2 /) 0; 2) л/2; 3) л.
尸必
尸必
Рнс. 8.26. Интегральная функция распределения узкополосного случайного процесса (Л = Л/а — приведенная амплитуда, и = = 0,54 В) в нелинейной распределенной линии типа фильтра ннжних частот с малой дисперсией [69].
/)Исходное распределение; 2) на выходе лиини нз 50 ячеек： 3) на выходе лииин из 100 ячеек. Кривые—теоретические значения, рассчитанные с использованием (59), точки — экспериментальные значения. Средняя частота сигнала 0.5 МГц, ширина спектра 0,1 МГц; частота отсечки линии 6,5 МГц. Кой>фнцненты поглощения равны: линейный — 0.440-4. нелинейный—0,4*10~* с/В на одну ячейку
поля волны обусловлен образованием разрывов и последующим их затуханием. На рис. 8.26 изображены интегральные функции распределения случайной волны в нелинейной среде. Видно, что согласие теоретических значений с экспериментальными хорошее.
В настоящем параграфе мы рассмотрели лишь две задачи, связанные с распространением квазимонохроматических шумовых волн в акустически нелинейных средах. В заключение отметим некоторые другие статистические аадачн нелинейной акустики.
Особый интерес для акустики представляют задачи об эволюции широкополосных спектров. В таких спектрах в нелинейной среде происходит как перераспределение энергии в сторону более высоких частот, так*и параметрическая подкачкя низкочастотной части спектра. Тенденция к «растеканию» энергии по всем частотам приводит в конечном итоге к установлению квазистационар- ных спектральных распределений [60 — 62].
Если в шумовом поле распространяется слабый регулярный сигнал, происходит его затухание. Процесс отбора энергии при взаимодействии сигнала с тепловыми шумами является одной из основных причин затухания звука в твердых телах. В последнее время избыточное поглощение акустических волн из-за нелинейного взаимодействия с шумом внешних источников широко исследуется в гидро- и аэроакустике.
В другой ситуации, действуя на слабый широкополосный шум интенсивным гармоническим сигналом, можно добиться нескольких различных эффектов. Так, если спектры регулярной и шумовой компонент разнесены и шум сосредоточен в области низких частот, происходит перекачка части его энергии вверх по спектру. Хотя при включении сигнала полная энергия волнового процесса увеличивается, активное подавление шума в области низких частот может представлять определенный интерес.
Когда спектры регулярной и шумовой волн перекрываются, может происходить интенсивное развитие сплошной части спектра. Вначале генерируются гармоники исходного сигнала. Затем в результате взаимодействия сигнала с шумом шумовой спектр воспроизводится в виде «пьедестала» у подножия каждой гармоники. Эти спектральные комплексы сливаются, образуя белый шум [59].
К главе 1
Рытое С. М. Введение в статистическую радиофизику. —М.: Наука, 1976, ч* 1. Случайные процессы*
Рытое С. М., Краевое Ю. Л., Татарский В: Я* Введение в статнстнческую радиофизику* — М.: Наука, 1978, ч. 2. Случайные поли.
Миддлтон Д* Введение в статистическую теорию связи: Пер. с англ./ Под ред* Б. Р. Левина.—М.: Сов. радио, 1961, т* 1.
Стратонович Р・ Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике.—М.: Сов. радио, 1961.
Тихонов В. Я. Статистическая радиотехника. — М.: Сов. радио, 1966.
Левин 5・ Р・ Теоретические основы статистической радиотехники. — 2-е изд., перераб. — М.: Сов. радио, 1974—76, кн. 1—3.
Малахов А. Я. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов н их преобразований. —М.: Сов. радио, 1978.
Малахов 4. Н. Флуктуации в автоколебательных системах. — М.: Наука, 1968.
8・ ВенчковскийЛ. £• В сб.: Автомат, управление.—М.: Изд. АН СССР, i960,с.279.
Marcinkewicz 丄一Math. Z・，1938, В. 44, S. 612.
Тихонов 8. Я. Выбросы случайных процессов* — М.: Наука, 1970.
Бендат Дж^ Пирсол А. Измерение и анализ случайных процессов: Пер. с англ. — М.: Мир, 1974.
Пантелл Р., Путхоф Г. Основы квантовой электроники： Пер. с англ./ Под ред. Ю. А. Ильинского.—М.: Мир, 1972.
Первозванский Л. Л. Случайные процессы в нелинейных системах автоматического регулирования. — М.: Физматгиз, 1962.
Пугачев В. С, Казаков Я. Е, Евланов Л. Г. Основы статистической тео「нн автоматических систем.—М.: Машиностроение, 1974.
Татарский В. Я. Распространение волн в турбулентной атмосфере.——М.: Наука, 1967.
Барабаненков Ю・ Я., Кравцов Ю* 4, Рытое С. М. u 8P. — УФН, 1970, т. 102, с. 3.
Ахманов С. Л., Дьяков Ю* Е. —Письма в ЖЭТФ, 1973, т. 18, с. 5.
Перина Я* Когерентность света: Пер. с англ.—М.: Мир, 1974.
Ахманов С. /., Антонов Г. Ф. — Изв. вузов. Радиофиз., 1960, т. 3, с> 405*
Шерклиф У. Поляризованный свет: Пер* с англ./ Под ред. Н. Д. Ж«ван- дрова. — М・：Мир, 1965.
Поздняк С 儿 Мели/пицкий В. А. Введение в статистическую теорию поляризации радиоволн^—М.: Сов. радио, 1974.
Курашов В. Н” Новодережкин В. 〃,，Хорошков Ю. В. — В сб.: Тез. докл. I Всесоюзн. конф. «Проблемы управления параметрами лазерного излучениям. —Ташкент, 1978, ч. 2, & 27.
Ахманов С* Л. — Изв* вузов. Радиофиз*, 1974, т. 17, с* 541.
Ахманов С. Л., Чиркин Л. С. Статнстическне явления в нелинейной оптике* —М*: МГУ, 1971*
25* Татарский В. Я. — Изв* вузов* Радиофиз., 1974, т. 17, с* 670.
Кляцкин 8. Я* Статистическое описание динамических систей с флуктуирующими параметрами. —М.: Наука, 1976*
27* Чернов Л. А. Волны в случайно-неоднородных средах. —М*: Наука, 1975.
Потехин В. /., Татаринов В. Н・ Теория когерентности электромагнитного поля. — М.： Связь, 1978.
Тихонов В. Я., Миронов М. 4. Марковские процессы. —М.: Сов. радио, 1977.
Казаков В. А. Введение в теорию марковских процессов и некоторые радиотехнические процессы.—М.: Сов. радио, 1973.
Агровский Б. С., Воробьев В. В., Гурвич А. С. и dp. — Квант, электрон., 1980, т. 7, с. 59.
К г л а в е 2.
Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи: Пер. с англ./ Под ред. Б. Р. Левина. —М.: Сов. радио, 1961, т. 1.
Жодзишский 4. Я., Кий А. 4. — Радиотехн. и электрон., 1968, т. 13, с. 366.
Рытое С. М. Введение в статистическую радиофизику. — М.: Наука, 1976, ч. I. Случайные процессы.
Рытое С. М., Кравцов Ю. 4・，Татарский В. Я. Введение в статистическую радиофизику.—М.: Наука, 1978, ч. 2. Случайные поля.
Blanc-Lapierre 4., Savelle М., Fortrat А. — Ann. Telecomm., 1954, v. 9, p. 237.
Дьяков Ю. E- — Вести. МГУ. Физ. и астр он., 1979, № 5, с. 17.
Тихонов В. Я. Статистическая радиотехника.—— М.: Сов. радио, 1966.
Левин Б. Р. Теоретические основы статистической радиотехники. — 2-е изд., перераб.—М.: Сов. радио, 1974, кн> 1.
Лоудон Р. Квантовая теория света: Пер. с англ./ Под ред. Г. В. Скроц- кого. — М.: Мир, 1976.
Pearl Р. R., Troup G. J. — Opto-electron., 1969, v. 1, p. 151.
Арекки ①.，Скалли М., Хакен Г. и др. Квантовые флуктуации излучения лазера： Пер. с англ-/ Под ред. А. П. Казанцева. —М.: Мир, 1974.
Клаудер Дж„ Сударшан 3・ Основы квантовой оптики: Пер. с аигл./ Под ред. С. А. Ахманова.—М.: Мир, 1970.
Перина Я* Когерентность света: Пер. с англ. —М.: Мир, 1974.
Рэлей (Стретт Дж. В.) Теория звука: Пер. с англ./ Под ред. С. М. Ры- това. —М.: Гостехиздат, 1955, т. I-
Мандель 〃.，Вольф 3. — УФН, 1965, т. 87, с. 491, ч. I; 1966, т. 88, с. 347, ч. 2; с. 619, ч. 3.
Гудзенко Л. И. —Радиотехн. и электрон., 1959, т. 4, с. 1062.
Бункин Ф'. В., Гудзенко Л. Я. — Радиотехн. н электрон., 1958, т. 3, с. 968.
Сверхкопоткие световые импульсы/ Под ред. С. Шапиро: Пер. с англ./ Под ред. С. А. Ахманова. — М.: Мир, 1981.
Томов И. В., Чиркин А. С. — В сб.: Квантовая электроника/ Под ред. Н. Г. Басова. —М.: Сов. радио, 1971, вып. I, с. 110.
Grutter А. 4., Weber Н. Р・，Dandliker &. — Phys. Rev., 1969, v. 185,.p. 629*
Малахов A. H. Флуктуации в автоколебательных системах. —М., 1968.
Собельман Я. И. Введение в теорию атомных спектров. — М.: Наука, 1977.
Раутиан С. Г.» Собельман И. Я. — УФН, 1966, т. 90, с. 209.
Ахманов С. 4・，Коротеев И. И. — УФН, 1977. т. 123, с. 405.
Рытое С. М. — ЖЭТФ, 1955, т. 29, с. 702.
Шумы в электронных приборах/ Под ред. Л. Д. Смуллина и Г. Хауса.— М.: Энергия, 1964.
К г л а в е 3
Мандельштам Л. Я. Лекции по теории колебаний. — М.: Наука, 1972.
Солодов А. В., Петров С. Ф. Линейные автоматические системы с переменными параметрами.—М.： Наука, 1971.
Тихонов В. Я. Статистическая радиотехника. — М.: Сов. радио, 1966.
Вайнштейн Л А., Зубаков В. Д. Выделение сигналов на фойе случайных помех.—М.： Сов. радио, I960.
Харкевич 4. Л/Борьба с помехами. — М.: Наука, 1965.
Левин 6. Р. Теоретические основы статистической'радиотехники.——2-е изд., перераб.—М.; Сов. радио, 1974, кн. I.
Малахов А. Н・ Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований. — М.: Сов. радио, 1978.
8・ Горелик Г. С* — УФН, 1951, т. 44, с. 33,
Гинзбург В. Л. — УФН, 1952, т. 46, с. 348,
Рытое С. М・ Теория электрических флуктуаций и теплового излучения.—— М.: Изд. АН СССР, 1953.
Левин М. Л., Рытое С. М, Теория равновесных тепловых флуктуаций в электродинамике. —М.: Наука, 1967.
Хелс/пром К. Статистическая теория обнаружения сигналов: Пер. с англ./ Под ред. Ю. Б. Кобзарева. — М.： ИЛ, 1963.
Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи: Пер. с англ./ Под ред. Б. Р. Левина. —М.: Сов. радио, 1961, т. 1,2.
Левин £• Р・ Теоретические основы статистической радиотехники. — 2-е изд., перераб. — М.: Сов. радио, 1975, кн. 2.
Лезин Ю・ С・ Оптимальные фильтры и накопители импульсных сигналов.— М.: Сов. радио, 1963.
Стратонович Р・ Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. —М.: Сов., радио, 1961.
К г л а в е 4
Борн М., Вольф Э. Основы оптики： Пер. с англ./ Под ред. Г. П. Мотуле- вич.—М.: Наука, 1973.
Леонтович М. А- — Изв. АН СССР. Физ., 1944, т. 8, с. 16.
Ахманов С. 4., Хохлов Р. В. Проблемы нелинейной оптики. — М., 1964.
Хохлов Р. В. —Радиотехн. и электрон., 1961, т. 6, с. 1116.
Сухоруков А. /7，, Хохлов Р. В. — Вести. МГУ. Физ. и астрон., 1966, № 3, с. 95.
Перина 兄 Когерентность света： Пер. с англ. — М.: Мир, 1974.
Ахманов С. 4., Сухоруков А. П., Хохлов Р. В. — УФН, 1967, т. 93, с. 19.
Литвак Л. Г., Таланов 8. Я. — Изв. вузов. Радиофиз., 1967, т. 10, с. 539.
Ахманов С. 4・，Чиркин А. С. Статистические явления в нелинейной оптике. —М.: МГУ, 1971.
Виноградова М. 5., Руденко О, В., Сухоруков А. /7. Теория волн. — М., 1979.
Рытое С. М., Кравцов Ю. А.. Татарский В. И. Введение в статистическую радиофизику.——М.; Наука, 1978, ч. 2. Случайные поля.
Danielmeyer Н. G,, Weber Н. Р. — Phys. Rev. А, 1971, v. 3, р. 1708.
Гудмен Дж. Введение в фурье-оптику: Пер. с англ./ Под ред. Г. И. Косоу* рова. — М.: Мир, 1970.
Курашов В. Н*, KuctM А. В., Хорошков Ю. В. — Квант, электрон., 1976, т. 3, с.
Маркузе Д, Оптические волноводы： Пер. с англ. — М.： Мир, 1974.
Agrawal G. Р., Ghatak А. К・,Mehta С. £. — Opt. commun., 1974, v. 12, p. 333.
Бейтман Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции, —М.: Наука, 1967.
Гурвич А. С, Кон 4. "., Миронов В.，.，Хмелевцов С. С. Лазерное излучение в турбулентной атмосфере.—М.: Наука, 1976.
Лобкова Л. 启* Статистическая теория антенн сверхвысоких и оптических частот. — М.; Связь, 1975.
Martienssen Spiller Е. — Amer. J. Phys., 1964, v. 32, p. 919.
Спектроскопия оптического смешения и корреляция фотонов/ Под ред.
Г. Камминса и Э. Пайка: Пер. с аигл./ Под ред. Ф. В. Бун кина. — М., 1978.
Кросиньяни Б., Ди Порто 〃.， Бертолотти М. Статистические свойства рассеянного светл; Пер. с иш.1./ Под р（、д. Н. /1. Фг1бе.1ииского. — М., 1980.
Estes L, ^arducci 厶，Tuft & —J. 0Pl. 5u& Amer., 1971. v. 61： p. 1301.
Аракелян С. М・，Нахалов В. 6., Чиркин А. С. — Опт. и спектр., 1976, т- 40, с. 1055.
. Ахманов С. А”「ришанин 6. А； Ляхов Г. Л., Пономарев Ю・ В. — Вестн. МГУ. Физ. н астрон., 1980, т. 21> № 6, с. 31, 38,
Ляхов Г. 4, Макаров В. Л. —Изв. вузов. Радиофиз., 1979, т. 22, с. 1453.
Takagi S. — Acta Cryst., 1962, v. 15, p. 1311.
Пинскер 3. Г. Динамическая теория рассеяния рентгеновских лучей в идеальных кристаллах. — М.: Наука, 1974.
Андреев А.反，Ильинский Ю^ А. — Письма в ЖЭТФ, 1975, т. 22, с. 462.
Де Жен /7. Физика жидких кристаллов: Пер. с англ./ Под ред. А. С. Сонина.—М.: Мир, 1977.
Ландау Л. Д.» Лифшиц Е. М. Статистическая физика. —М., 1976, ч. 1.
Ван де Хюлст Г. Рассеяние света малыми частицами: Пер. с англ. — М.: ИЛ, 1961.
Шифрин К・ С* Рассеяние света в мутной среде. —М.: Гостехиздат, 1951.
Шифрин К・ С. — Тр. Всесоюзн. заочн. лесотехнич. ин-та, 1956, № 2, с> 153>
Шифрин К・ С., Колмаков Н. 6. — Изв. АН СССР. Физ. атмосф. и океана, 1967, т. 3, с. 1271.
Кляцкин В. Я. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами. — М.: Наука, 1975
Введенский 友 С・，Логгинов Л. С・，Сенаторов К. С. — Квант, электрон., 1974, т. 1, с. 1232.
Долотко В. Я.» Кричевский В. 〃.，Шевченко В. В. — ПТЭ, 1973, № 4, с. 211.
Лрутюнян Л. Г., Тункин В.「，Чиркин 4 С. — В сб.: Квантовая электроника/ Под ред. Н. Г. Басова. —М.: Сов. радио, 1973, вып. 1, с. 111. Пахалов В. 5・，Чиркин А. С, Юсупов ①.М. — Квант, электрон., 1979, т. 6, с. 57.
Аракелян С. М., Арутюнян 4. Г., Ахманов С. А. и др. — Квант, электрон*, 1974, т. 1, с. 215.
Татарский В. Я. Распространение волн в турбулентной атмосфере. —М.: Наука, 1967.
Крмцо8 Ю。4・，Рытое С. М., Татарский В，И. — УФН, 1975, т. 115, с. 239.
Прохоров А. М・，Бункин Ф. В., Гочелашвили К・ С, Шииюв В. И. — УФН, 1974, т. 114, с. 415.
Зуев В. Е. Распространение видимых и инфракрасных волн в атмосфере.— М・：Сов. радио, 1970.
Шифрин 另.С. Вопросы статистической теории антенн.—М., 1970.
Денисов Н. Г. — Изв. вузов. Радиофиз., 1961, т. 4, с. 630.
Кляцкин В. И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах. — М., 1980.
Чернов Л. А. Волны в случайно-неоднородных средах. —М.: Наука, 1975.
Зверев В. А. Радиооптика. — М.： Сов. радио, 1975.
Рытое С. М・ Теория электрических флуктуаций и теплового излучения.—— М.: Изд. АН СССР, 1953.
Рытое С. М., Левин М. Л. Теория равновесных тепловых флуктуаций в электродинамике.—М・：Наука, 1967.
Вольф 3- Мандель Л. — У①Н, 1965, т. 87, с- 492, ч. 1; 1966, т. 88> с. 347, ч. 2; т. 88, с. 619, ч. 3.
Bourret R. С. — Nuovo Cim., 1960, v. 18, p. 347.
Kano У・，Wolf E. — Proc. Phys. Soc., I960, v. 80, p. 1273.
Mehta C. £., Wolf E・一Phys. Rev., 1967, v. 161, p. 1328.
Конн 木.一В сб.: Инфракрасная спектроскопия высокого разрешения! Пер. с англ./ Под ред. Г. Н. Жижина. — М.： Мир, 1972, с. 201.
Каули Дж. Физика дифракции: Пер. с англ./ Под ред. 3. Г. Пинскера.— 疝：Мир, 1979
Иденбом 8 Л. — Кристаллография, 1973, г. 18, с. 81L
К г л а в е 5
Рытав С. М. Введение в статистическую радиофизику. — М.： Наука, 1976, ч. 1. Случайные процессы.
Миддлтон Д. Введение в статистическую теорию связи: Пер. с англ./ Под ред. Б. Р. Левина. —М.: Сов. радио, 1961, т. 1.
Тихонов В. Я. Статистическая радиотехника. — М.: Сов. радио, 1966.
Левин Б. Р・ Теоретические основы статистической радиотехники. — 2-е изд., перераб.—М.： Сов. радио, 1974, кн. 1.
Малахов А. Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований. — М.: Сов. радио, 1978.
Деч Р. Нелинейные преобразования случайных процессов: Пер. с англ./ Под ред. Б. Р. Левина. —М.: Сов. радио, 1965*
Апанасевич П. Л. Основы теории взаимодействия света с веществом.— Минск: Наука и техника, 1977.
Пантел Р., Путхоф Г. Основы квантовой электроники: Пер. с англ./ Под ред. Ю- А. Ильинского.—М.: Мир, 1972.
Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике.—М.: Сов. радио, 1961.
Аллен Л., Эберли Дж. Оптический резонанс и двухуровневые атомы: Пер. с англ./ Под ред. В. Л. Стрижевского. —М.: Мир, 1978.
Есепкина Н. А., Корольков Д. В., Парийский Ю. Н. Радиотелескопы и радиометры-—М.: Наука, 1973.
Бонн'Бруевич А -府.，Пржибельский С. Г., Ходовой В. A^, Чигирь 从 А.— 1976, т. 70, с. 445.
Делоне Н. Б., Зон 5. А., Кра^ноз В. П. и др. — УФН, 1976, т. 120, с. 3.
Дьяков Ю- Е・，Искандеров Н. А. — В об-: Тез. докл. IX Всесоюзн. конф, по когерентной и нелинейной оптике.—М.: ФИАН, 1978, ч. 2, с. 95.
Дьяков Ю- Е., Искандеров Н. А. — В об.: Тез. докл. 7-й Всесоюзн. коиф. по когерентной и нелинейной оптике.—М.： МГУ, 1974, с. 218.
Дьяков Ю・ Е・，Искандеров "• А. — В сб.: Тез. докл. конф. «Нелинейные резоиансные преобразования частоты лазерного излучения».—— Красноярск, 1977, с. 85.
Дьяков Ю. Е., Искандеров Н. А., Нехаенко В. 4. — В сб.: Тез. докл. конф. «Нелинейное резонансное преобразование частоты лазерного излучениям.— Т яттттсрнт 1Q7Q р 4Q
Бурштейн А. У — ЖЭТФ, 1965, т. 48, с. 850.
Бурштейн А. И. — ЖЭТФ, 1965, т. 49, с. 362.
Рапопорт Л. /7“ Зон Б. А., Манаков Н. Л. Теория многофотонных процессов в атомах. —М.: Атомиздат, 1978.
Келдыш. Л. В. — ЖЭТФ, 1964, т. 47, & 1945.
Томов И. В・，Чиркин А. С., — В сб.: Квантовая электроника/ Под ред. Н. Г\ Басова. —М.： Сов. радио, 1971, с- 110.
Делоне Н. Б., Крайнов В. 〃. Атом в сильном световом поле. М“ 1978.
Sanchez 尸.一Nuovo Cim. В., 1975, v- 27, p. 305-
Масалов 4 В. — Квант, электрон., 1976, т. 3, с. 1667.
Делоне Н. £・，Коваре кий 8. А., Масалоз А. В., Перельман Н. Ф- — УФН, 1980, т. 131, с. 617.
Смирнова Т・ Н., Тихонов Е. А. — Квант, электрон., 1977, т. 4, с. 1105.
Lecompte С., Mainfrav G., Manus C^ et al. — Phys. Rev- A, 1975, v- 99, p. 1691.
9. Forrester A., Gudmundsen R., Johnson P. — Phys. Rev-, 1955, v- 11, p. 1009-
Боровицкий С. И・,Горелик 匚 С — УФН, 1956, т. 59, с. 543»
Горелик 1 С. — ДАН СССР, 1947, т. 58, & 45.
Forrester А. Т・,Parkins IT. Е., Gerjuoy Е. G. — Phys. Rev-, 1947, v. 72, p. 728.
Горелик Г. C. — УФН, 1948, т. 34, с- 321.
Спектроскопия оптического смешения и корреляция фотонов/ Под ред. Г. Камминса и 3. Пайка: Пер. с англ./ Под ред. Ф. В. Бункина. — М., 1978.
Ринкевичюс Б. С. Лазерная анемометрия. — Mj Энергия, 1978.
Bourke Р.丄，Butteworth 丄，Drain L. E. et al. — J. Phys. A, 1970, v- 3, p. 210.
7. Brown H. R., Twiss R. Q. — Nature, 1956, v. 177, p. 2 7.
Браун P・ X. — У①H, 1972, т. 108, e. 529.
Oliver C. J., Pike f. R.f Vanghan J. M. Coherence and Quantum Optics.— N. Y.: Plenum Press, 1972, p. 457.
Арутюнян 4. Г., Ахманов С. А. 〃 др. —*ЗТ①，1973, т. 64, с. 1511.
Арутюнян А. 「.，Ахманов С. А., Тункин В. Г„ Чиркин А. С. —ЖЭТФ, 1972, т. 62, с. 70.
Ernst Е. R. — J. Mag. Res., 1970, v- 3, p. 28*
Елютин /7. В. — Вести. МГУ. Физ. и астр он,, 1976, № 4, с. 496.
Бутшкин В* С, Хронопуло Ю. Г., Якубович Е. И. —ЖЭТФ, 1976, т. 71, с. 1712.
Ахманов С. А., Чиркин А. С. Статистические явления в нелинейной оптике. —М.: МГУ, 1971.
Auston D- Н. — Appl. Phys. Lett., 1971, v. 18, p. 249.
4 7. Бенедек Дж. — УФН, 1972, т. 106, с. 481.
Барашев /7. П. — Phys. Lett. А, 1970, v. 32, р. 291.
Сверхкороткие световые импульсы/ Под ред. С. Шапнро： Пер. с англ./ Под ред. С. А. Ахманова.—М.: Мир, 1981.
Дьяков Ю. Е. — В сб.: Тез. докл. конф., по нелинейной оптике. — Киев, 1980, с. 18.
Бейтман Г.,ЭрдейиА. Таблицы интегральных преобразований.——М.: Наука, 1969, т. 1.
Greenhow R. С., Schmidt A. J. In: Advances Quantum Electronics/Ed, D. W. Goodwin. — London — N. Y.: Acad, Press, 1974, v. 2, p. 157.
Дабрович К. "., Дубовик A. //,, Суровезин A. <77. — Изв. АН СССР, сер. физ., 1978, т, 42, с, 2580.
К главе 6
Мандельштам 〃. И. Лекции по теории колебаний. —М.: Наука, 1972.
Харкевич А. А. Нелинейные и параметрические явления в радиотехнике.— М.: Гостехиздат, 1956.
Ахманов С. /•, Хохлов Р. В. Проблемы нелинейной оптики. — М., 1964.
Нелинейные системы гидродинамического типа/ Под ред. А. М. Обухова.— М.: Наука, 1974.
Рытое С- М. Введение в статистическую радиофизику. — М.: Наука, 1976, ч. 1. Случайные процессы.
Мак-Лахлан ". В. Теория и приложения функций Матье. — М.: ИЛ, 1953.
Кравцов Ю. А. Теория стационарных колебаний в одноконтурных и двухконтурных параметрических генераторах и усилителях.—М.: Изд. АН СССР, 1963.'
Люиселл У. Связанные и параметрические колебания в электронике.— М.: ИЛ, 1963.
Эткин В・ С., Гершензон Е. М. Параметрические системы СВЧ на полупроводниковых диодах. — М.: Сов. радио, 1964-.
Ю. Виноградова М. 5., Руденко О. В., Сухоруков А. П. Теория волн. —М.: Наука, 1979.
Лопухин В. М.г Магалинский В. 6., Мартынов В・ /7. и др. Шумы и параметрические явления в электронных приборах сверхвысоких частот.— М.: Наука, 1966.
Евланов Л. Г., Константинов В・ М・ Системы со случайными параметрами.— М.: Наука, 1976.
Мигулин В. 8・，Медведев В. И., Мустель £. Р・，Парыгин В. Н. Основы теории колебаний.—М.: Наука, 1978.
Дьяков Ю. ?• — Радиотехн. и злектрон., 1963, т. 18, с. 1812; с. 2034.
Валян К・ 〃•，Горшков А- С. ~ Радиотехн. и электрон., 1973, т. 18, с. 2075.
Дьяков Ю. Е., Никитин & Ю. — Вести. МГУ. Физ. и астрон., 1979, т. 19, с. 3 и с. 38，
Бломберген ". Нелинейная оптика: Пер. с англ./ Под ред. С. А. Ахманова и Р. В. Хохлова. — М.: Мир, 1966.
Ахманов С. А., Хохлов Р. В. — Радиотехн. и электрон., 1961, т. 6, с- 1813.
Дьяков Ю- Е.——В сб.: Докл. 3-го Всесоюзн. симп. по нелинейной оптике.— МГУ, 1967, с. 37
Дьяков Ю・ Е — Письма в ЖЭТФ, 1969, т. 9, с. 489.
Carman R., Wang С. et。厶一Phys. Rev. A, 1970, v. 2, p. 60.
Дьяков Ю. E. — Кратк. сообщ- по физ. ФИАН, 1971, № 12, с. 41.
Дьяков Ю・ Е. — Кратк. сообщ. по физ. ФИАН, 1971, № 7, с. 49.
Ахманов С・ 4・，Хохлов Р. В. — УФН, 1966, т. 88, с. 439.
Ахманов С- 4.» Дьяков Ю. Е., Чиркин А. С. — Письма в *ЗТ①，1971, т, 13> с. 724.
Ахманов С. А., Хохлов Р. В・一ЖЭТФ, 1962, т. 43, с. 351.
Сущик М. М., Фортус В. М., Фрейдман Г. И. — Изв. вузов. Радиофиз., 1970, т. 13, с. 631.
Цернике Ф., Мидвинтер Дж. Прикладная нелинейная оптика: Пер. с англ./ Под ред. С. А. Ахманова. — М.: Мир, 1976.
Ярив А- Квантовая электроника: Пер. с англ./ Под ред. Я- И. Ханина.— М*: Сов. радио, 1980.
Клъаико Д. Н. Фотоны и нелинейная оптика.—М.: Наука, 1980.
Дьяков Ю. Е., Павлов Л. И. — В сб.: Нелинейные процессы в оптике.— Новосибирск: Наука, 1972, с. 367.
Дьяков Ю. Е., Павлов Л. И., Томов 〃. В. — Квант, электрон., 1979, т. 6, с. 1819.
Дьяков Ю. Е., Ковригин А, И. — В сб.: Квантовая электроника/ Под. ред. Н. Г. Басова. — М.: Сов. радио, 1972, № 4, с. 85.
Дьяков Ю. Е., Ковригин А. Я. — Квант, электрон., 1975, т. 2, с. 2243.
Джотян Г. П., Дьяков Ю. Е. — Квант- электрон., 1977, т. 4, с. 2338.
Джотян Г. /7., Дьяков Ю. Е. — Квант, электрон., 1978, т. 5, с. 331.
Хаяси Т. Вынужденные колебания в физических системах. — М.: Мир, 1968.
2.2.6.7.6.7.10.10.К главе 7Мигулин В. В., Медведев В. Я., Мустель Е. Р., Парыгин В. Н. Основы теории колебаний. — М.: Наука, 1978.Волновые и флуктуационные процессы в лазерах/ Под ред. Ю. Л. Климон- товича. — М.: Наука, 1974“Басов Н.「.，Летохов В. С. — У①Н, 1968, т. 96, с. 585.Малахов 4. Н. Флуктуации в автоколебательных системах. —М., 1968-Летохов В. С., Чеботаев В. /7. Принципы нелинейной лазерной спектроскопии,—М.： Наука, 1975.Летохов В. С, Маркин Е. П. — ЖЭТФ, 1965, т- 48, с. 770.Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. —М.: Сов. радио, 1961.Тихонов В. 〃.，Миронов М. А. Марковские процессы. — М., 1977.Брагинский В. 5.» Вятчанин С. П. — ЖЭТФ, 1978, т. 74, с. 828-К главе 7Мигулин В. В., Медведев В. Я., Мустель Е. Р., Парыгин В. Н. Основы теории колебаний. — М.: Наука, 1978.Волновые и флуктуационные процессы в лазерах/ Под ред. Ю. Л. Климон- товича. — М.: Наука, 1974“Басов Н.「.，Летохов В. С. — У①Н, 1968, т. 96, с. 585.Малахов 4. Н. Флуктуации в автоколебательных системах. —М., 1968-Летохов В. С., Чеботаев В. /7. Принципы нелинейной лазерной спектроскопии,—М.： Наука, 1975.Летохов В. С, Маркин Е. П. — ЖЭТФ, 1965, т- 48, с. 770.Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. —М.: Сов. радио, 1961.Тихонов В. 〃.，Миронов М. А. Марковские процессы. — М., 1977.Брагинский В. 5.» Вятчанин С. П. — ЖЭТФ, 1978, т. 74, с. 828-Ахманов С. 4., Рошаль А. С. — Изв. вузов. Радиофиз., 1961, т. 4, с. 203.Антонов Г. Ф., Ахманов С. А. — Изв. вузов. Радиофиз., 1960, т. 3, с. 405. Ахманов С. 4., Комолов В. П. — Изв. вузов. Радиофиз., 1962, т. 5, с. 1175. Ахманов С. А. — Изв. вузов. Радиофиз., 1961, т. 4, с. 769.Ахманов С. 4., Рошаль А. С. — Изв. вузов. Радиофиз., 1961, т. 4, с. 203.Антонов Г. Ф., Ахманов С. А. — Изв. вузов. Радиофиз., 1960, т. 3, с. 405. Ахманов С. 4., Комолов В. П. — Изв. вузов. Радиофиз., 1962, т. 5, с. 1175. Ахманов С. А. — Изв. вузов. Радиофиз., 1961, т. 4, с. 769.12.13.14.12.13.14.15.16.15.16.Комолов В. /7., Трофименко И. Т. Квантование фазы при обнаружении радиосигналов. — М.: Сов. радио, 1976.Ахманов С. А., Хохлов Р. В. — Радиотехн. и электрон., 1961, т. 6, с. 1813. Лэмб У,——В сб.: Квантовая оптика и квантовая радиофизика; Пер. с англ./ Под ред. О. В. Богданкевича н О. Н. Крохина. —М.; Мир, 1966, с. 281.Комолов В. /7., Трофименко И. Т. Квантование фазы при обнаружении радиосигналов. — М.: Сов. радио, 1976.Ахманов С. А., Хохлов Р. В. — Радиотехн. и электрон., 1961, т. 6, с. 1813. Лэмб У,——В сб.: Квантовая оптика и квантовая радиофизика; Пер. с англ./ Под ред. О. В. Богданкевича н О. Н. Крохина. —М.; Мир, 1966, с. 281.
2.
2.
6.
7.
6.
7.
10.
10.
К главе 7
Мигулин В. В., Медведев В. Я., Мустель Е. Р., Парыгин В. Н. Основы теории колебаний. — М.: Наука, 1978.
Волновые и флуктуационные процессы в лазерах/ Под ред. Ю. Л. Климон- товича. — М.: Наука, 1974“
Басов Н.「.，Летохов В. С. — У①Н, 1968, т. 96, с. 585.
Малахов 4. Н. Флуктуации в автоколебательных системах. —М., 1968-
Летохов В. С., Чеботаев В. /7. Принципы нелинейной лазерной спектроскопии,—М.： Наука, 1975.
Летохов В. С, Маркин Е. П. — ЖЭТФ, 1965, т- 48, с. 770.
Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. —М.: Сов. радио, 1961.
Тихонов В. 〃.，Миронов М. А. Марковские процессы. — М., 1977.
Брагинский В. 5.» Вятчанин С. П. — ЖЭТФ, 1978, т. 74, с. 828-
К главе 7
Мигулин В. В., Медведев В. Я., Мустель Е. Р., Парыгин В. Н. Основы теории колебаний. — М.: Наука, 1978.
Волновые и флуктуационные процессы в лазерах/ Под ред. Ю. Л. Климон- товича. — М.: Наука, 1974“
Басов Н.「.，Летохов В. С. — У①Н, 1968, т. 96, с. 585.
Малахов 4. Н. Флуктуации в автоколебательных системах. —М., 1968-
Летохов В. С., Чеботаев В. /7. Принципы нелинейной лазерной спектроскопии,—М.： Наука, 1975.
Летохов В. С, Маркин Е. П. — ЖЭТФ, 1965, т- 48, с. 770.
Стратонович Р. Л. Избранные вопросы теории флуктуаций в радиотехнике. —М.: Сов. радио, 1961.
Тихонов В. 〃.，Миронов М. А. Марковские процессы. — М., 1977.
Брагинский В. 5.» Вятчанин С. П. — ЖЭТФ, 1978, т. 74, с. 828-
Ахманов С. 4., Рошаль А. С. — Изв. вузов. Радиофиз., 1961, т. 4, с. 203.
Антонов Г. Ф., Ахманов С. А. — Изв. вузов. Радиофиз., 1960, т. 3, с. 405. Ахманов С. 4., Комолов В. П. — Изв. вузов. Радиофиз., 1962, т. 5, с. 1175. Ахманов С. А. — Изв. вузов. Радиофиз., 1961, т. 4, с. 769.
Ахманов С. 4., Рошаль А. С. — Изв. вузов. Радиофиз., 1961, т. 4, с. 203.
Антонов Г. Ф., Ахманов С. А. — Изв. вузов. Радиофиз., 1960, т. 3, с. 405. Ахманов С. 4., Комолов В. П. — Изв. вузов. Радиофиз., 1962, т. 5, с. 1175. Ахманов С. А. — Изв. вузов. Радиофиз., 1961, т. 4, с. 769.
12.
13.
14.
12.
13.
14.
15.
16.
15.
16.
Комолов В. /7., Трофименко И. Т. Квантование фазы при обнаружении радиосигналов. — М.: Сов. радио, 1976.
Ахманов С. А., Хохлов Р. В. — Радиотехн. и электрон., 1961, т. 6, с. 1813. Лэмб У,——В сб.: Квантовая оптика и квантовая радиофизика; Пер. с англ./ Под ред. О. В. Богданкевича н О. Н. Крохина. —М.; Мир, 1966, с. 281.
Комолов В. /7., Трофименко И. Т. Квантование фазы при обнаружении радиосигналов. — М.: Сов. радио, 1976.
Ахманов С. А., Хохлов Р. В. — Радиотехн. и электрон., 1961, т. 6, с. 1813. Лэмб У,——В сб.: Квантовая оптика и квантовая радиофизика; Пер. с англ./ Под ред. О. В. Богданкевича н О. Н. Крохина. —М.; Мир, 1966, с. 281.
Казанцев А. И., Раутиан С. Г・，Сурдутович Г. И. — ЖЭТФ, 1968, т. 54, с. 1409.
Ландау Л. Д., Лифишц Е. М. Статистическая физика. — М.: 1976, ч. 1.
Пантел Р., Путхоф Г. Основы квантовой электроники.: Пер. с англ./ Под ред. Ю. А. Ильинского.—М.: Мир, 1972, с- 218.
Schawlow А. £., Townes С. Я.— Phys. Rev., 1958, v. 112, p. 1940.
Зайцев Ю. Я.» Степанов Д. П. — Письма в ЖЭТФ, 1967, т. 6, с. 733; ЖЭТФ, 1968 т. 55, с. 1645.
Gerhardt Н., Welling Н., Guttner А. — Phys. Lett. А.( 1972, v. 40, р. 191.
Guttner A-t Welling Я., Gericke К. H. et al- — Phys. Rev. A, 1976, v. 18, p. 1157.
Арекки Ф. T・，Скалли M., Хакён Г. 〃 dp・ Квантовые флуктуации излучения лазера. — М・：Мир, 1974, с. 7.
Бакланов Е. В., Раутиан С. Г., Трошин Б. 〃.，Чеботаев В. П. — ЖЭТФ, 1969, т. 56, с. 1120.
Arecchi 尸.7\, Degiorgio V. — Phys. Rev. A, 1971, v. 3, p. 1108.
Arecchi 尸.T., Degiorgio V. — In: Laser Handbook. — Amsterdam: North Holland, 1972, v. 1, p. 191.
Зельдович Б.方.，Кузнецова T. И. — УФН, 1972, т. 106, с. 47.
Сверхкороткие световые импульсы/ Под ред. С. Шапиро: Пер. с англ./ Под ред. С. А. Ахманова. — М.: Мир, 1981.
Arimitsu Т,, Suzuki М. — Physica А, 1978, v. 93, р. 574.
Matieu Е・，Keller Я. — J. Appl. Phys. 1970, v. 41, p. 1560.
Blount E・ /., Klauder J. R, — J. Appl. Phys., 1969, v. 40, p. 2874.
Вайнштейн Л. А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. — М.: Сов. радио, 1966.
Сотский Б- 4., Гончаренко 4. М. — Опт. и спектр., 1965, т. 19, с. 788.
Арутюнян А. Г., Ахманов С. А. 〃 др. — ЖЭТФ, 1973, т. 64, с. 151L
Стратонович Р. Л. — Квант, электрон., 1977, т. 4, с. 2141.
Чиркин А. С. — Матер. 8-й Всесоюзн. школы по голографии. — Л.： ЛФТИ, 1976, с. 260.
Чиркин 4. С.— Квант, электрон., 1976, т. 3, с. 352,
Аракелян С. М., Ахманов С. 4., Тункин В, Г., Чиркин А, С. — Письма в ЖЭТФ, 1974, т. 19, с. 571.
Стенли Г. Фазовые переходы и критические явления: Пер. с англ./ Под ред. С. В. Вонсовского. —М.: Мир, 1973.
Graham R., Haken Н. — Z. Phys., 1970, v. 237, p. 31.
Degiorgio V, , Scully M. O, — Phys. Rev. A, 1970, v. 2, p. 1170.
Grosmann S., Richter P. H. — Z. Phys., 1971, v. 242, p. 458.
Лисицын В, H・> Чеботаев В. П. — Письма в ЖЭТФ, 1968, т. 7, с. 3； ЖЭТФ, 1968 т. 54 с. 419.
Corti М,, Degiorgio V. — Phys. Rev. Lett., 1976, v. 36, p. 1173.
Ахманов C. A., Нахалов В. 6，, Чиркин A. C. — In: Laser und ihre Anwen- dungen, 3. Intern. Tagung. — Dresden, 1977, K- 95, S. 275.
Ахманов С. 4・,Пахалов В, 6・,Чиркин A. C. — Письма в ЖЭТФ, 1976, т. 23, с. 391; Квант, электрон., 1977, т. 4, с. 1298.
Haken Я. — Rev. Mod. Phys., 1975, v. 47, p. 67.
Horn P. M.t Caruthess T,, Long M. T, — Phys. Rev. A, 1976, v. 14, p. 833.
Eichler H. J., Kleinschmidt f., Avnon G. — Z. Phys. B, 1976, v. 23, p. 395.
Зайцев Ю, Я. — ЖЭТФ, 1966, т. 50, с. 525.
Гоноровский И, С. — ДАН СССР, 1954, т. 94, с. 869.
兄"〃8 4. Квантовая электроника: Пер. с англ./ Под ред. Я. И. Ханина.— М・；Сов. радио, 1980.
Коган Ш. М, — УФН, 1977, т. 123, с. 131.
Ахманов С. 4., Голяев Ю. Д., Дмитриев 8. Г. ―■ *ЭТФ, 1972, т. 62, с. 132.
Ахманов С. A.t Ляхов Г. 4, —ЖЭТФ, 1974, т. .66, с. 96.
Тункин В, Г., Чиркин А. С. Дополи, к кн.： Перина Я- Когерентность света/ Пер. с англ.—М.: Мир, 1974, с. 324.
Суязов Я. В. — Квант, электрон., 1978, т. 5, с. 2445.
Хакен Г. Синергетика: Пер. с англ./ Под ред. Ю. Л. Климентовича и С. М. Осовепа. — М.: Мир, 1980.
Климонтович Ю.，. Кинетическая теория элеюромагнитных процессов.— М.: Наука, 1980.
К главе 8
Ахманов С, А., Хохлов Р. В. Проблемы нелинейной оптики. — М・，1964,
Клюкая И. Л.» Соколовский Р, Я. — ЖЭТФ, 1976, т. 71, с. 424.
Абдуллин У, А., Горшков В. А., Клюкач И. Л. 〃 др. — Квант, электрон., 1975, т. 2, с. 967.
Ахманов С. 4., Чиркин Л. С. Статистические явления в нелинейной оптике.—— М.: МГУ, 1971.
Ахманов С. 4., Ковригин А. И., Чиркин А. С., Чунаев О. Я. — ЖЭТФ, 1966, т. 49, с. 829.
Ducuing丄，Bloembergen N. — Phys. Rev.,1964, v. 133,p. 1493.
АхмановС.А.,Чиркин A. C. — Радиотехн.и электрон.,1966, т. 11, с.1915.
АхмановС.4,Хохлов Р. В. — Радиотехн.и электрон.,1961, т. 6, с.1813.
БломбергенН*Нелинейная оптика: Пер. сангл./ Под ред. С. А- Ахманова
и Р. В. Хохлова. — М.: Мнр, 1966.
Ахманов С. А. — Изв. вузов. Радиофиз., 1974, т. 17, с. 541.
Ducuing J., Armstrong J. А. — Electron. Quant. C. R・ Conf. Intern. P. — N.Y., 1964.
Фрейдман Г. И, — Изв. вузов. Радиофиз., 1966, т. 9, с. 550.
Тункин В. Г., Чиркин А. С. — ЖЭТФ, 1970, т. 58, с. 191.
Akhmanov S. A., Chirkin A. S・，Tunkin V- G. — Opto-electron., 1969, v. 1, p. 196.
Ахманов С. А., Голяев Ю. Д., Тункин В. Г., Чиркин А. С. — Квант, электрон., 1975, т. 2, с. 1171.
Ахманов С. 4” Дьяков Ю. Е., Чиркин 4. С. — Письма в ЖЭТФ, 1971, т. 13, с. 724.
Беспалов В. И., Пасманик Г. А.—ДАН СССР, 1973, т. 2Ю, с. 309,
Ахманов С. А., Дьяков Ю. Е., Павлов Л. И. — ЖЭТФ, 1974, т. 66, с. 520.
Дьяков Ю. Е. — Письма и ЖЭТФ, 1969, т. 9, с. 489; Докл. 3-го Всесоюзн. симпоз- по нелинейной оптике.—М-: МГУ, 1967, с. 37.
Ахманов С. 4., Дьяков Ю. Е, — Письма в ЖЭТФ, 1973, т. 18, с. 519.
Джотян Г. 〃.，Дьяков Ю. Е. — Вести. МГУ. Физ. и астрон., 1977, т. 18, с- 70.
Джотян Г. 〃•，Дьяков Ю. £., Зубарев И, Г. 〃 др. — ЖЭТФ, 1977, т. 73, с. 822.
Дьяков Ю. Е. Кратк. сообщ. по физ., ФИАН, 1971, № 7, с. 49.
Грасюк А. 3., Зубарев И.「.，Суяэов Я. В. — Письма в ЖЭТФ, 1972, т. 16, с. 237.
Джотян Г. П., Дьяков Ю. £. — Вести. МГУ. Физ и астрон., 1980, т. 21, № 5, с 12,
Ахманов С. А.г Сухоруков А. Л., Хохлов Р. В. — УФН, 1967, т. 93, с. 19.
Аскарьян Г. Л. — ЖЭТФ, 1962, т. 42, с. 1567.
Chiao R. У., Garmire Е； Townes С. Н. — Phys. Rev. Lett., 1965, v. 15, p. 1005.
Беспалов В. И., Таланов В, И. — Письма в ЖЭТФ, 1966, т. 3, с. 471.
Ляхов Г. А. — Опт. и спектр.» 1972, т. 33, с. 969.
Розанов Н. 〃.，Смирнов В/А. — *ЗТ①，1976, т. 70, с. 2060.
Campillo A, J“ Shapiro S,, Suydam В. — AppL Phys. Lett., 1974, v. 24, p. 178.
Ахманов C・ А., Ляхов Г. A. — В сб」Тез- докл. 7-й Всесоюзн. конф, по когерентной и нелинейной оптике. — М.; МГУ, 1974, с. 173.
33 Нас манил Г. А. — ЖЭТФ( 1974, т. 66, с. 490.
Бабенко В. 4., Зельдович 5. », Малышев В. 〃. и др, — В сб.: Квантовая электроника/ Под ред- Н. Г. Басова. — М.: Сов- радио, 1973, № 14, с. 19.
Ахманов С. А. — В кн.: Нелинейная спектроскопия/ Под ред. Н. Бломбер- гена: Пер. с англ./ Под ред. С. А. Ахманова. — М.: Мир, 1979, с. 347.
Беспалов В. И., Пас мани к Г, А. — Изв. вузов. Радиофиз., 1976, т. 19, с. 634.
СтрижизскиИ В.，. 一 Опт. и спектр., 1966, т- 20, с- 516.'
Платон^нко В. Т.. Хохлов Р. В. — *ЗТФ, 1964, т. 46, с- 555.
Кадомцев 5. 5. Коллективные явления в плазме. —М.: Наука, 1976.
Ахманов С. 4., Коротеев Н, “，一 УФН, 1977, т. 123, с. 405.
Бирмонтас 4., Куприс Р,, Пискарскас А. — Квант, электрон., 1980, т. 7, с. 391.
Орлов Р, Q)Усманов Т., Чиркин А. С. — ЖЭТф, 1969, т. 57, с. 1069.
Тагиев 3. А., Чиркин А. С. — Ж. прикл. спектр., 1976, т. 24, с. 611.
Тагиев 3. 4,, Чиркин А. С. — ЖЭТФ, 1977, т. 73, с. 1271.
Зарембо Л. К・，Красильников 8. А. Введение в нелинейную акустику, — М・： Наука, 1966.
Руденко О, В,, Солуян С. Я. Теоретические основы нелинейной акустики.— М.: Наука, 1975.
Виноградова М, Б； Руденко О. В” Сухоруков 4, П, Теория волн.—М.： Наука, 1978-
8. Руденко О. В., Чиркин А. С. — ДАН СССР, 1974, т. 214, с. 1045.
Саичев А. И, — Изв. вузов, Радиофиз., 1974, т. 17, & 1025.
РуденкоО, В.,ЧиркинА-С. — Акустич. ж., 1974, т. 20, с. 297.
РуденкоО.8,,ЧиркинА.С. — ДАН СССР, 1975, т. 225, с. 520.
РуденкоО. В,,ЧиркинА.С. — Радиотехн. и электрон., 1974, т. 19,с.2170.
НовиковБ.К・，Руденко О.8., Чиркин Л. С. — В сб.: 2-е Всесоюзн.научио-
техн. совещание «Нелинейная гидроакустика». — Таганрог, 1976, с. 15.
Гурбагпов С. Н., Малахов А. Н. — Акустич. ж., 1977, т. 23, с. 796,
Гурбатов С Н,, Шепелевич Л• Г. — Изв. вузов. Радиофиз., 1978, т. 21, с. 1627,
Гурбагпов С. Н・,Дубков А. Л., Малахов А- Я. — ЖЭТФ, 1977, т. 72, с. 456.
Малахов А.从，Саичев А. И. — Изв. вузов. Радиофиз., 1974, т. 17, с. 699.
Webster D. А,, Blackstock D- Т- — J* Acoust. Soc. Amer,, 1979, v. 6 5, p. 1053.
Руденко О. 8., Чиркин A. C. — ЖЭТФ, 1974, т. 67, с. 1903.
Наугольных К. А； Рыбак С. А. — ЖЭТФ, 1975, т. 68, с. 78-
Павлов В, И. — Акустич. ж., 1974, т. 28, с. 580.
Кадомцев 5. 5., Петвиашвили В, И. — ДАН СССР, 1973, т. 208, с. 494.
Арутюнян 4’ 匚，Ахманов С. А. и др.—水ЗТ①，1973, т. 64, с. 1511.
Дьяков Q, Е, — Кратк. сообщ. по физ. ФИАН, 1973, № 4, с. 23; № 5, с. 39/
Обращение волнового фронта оптического излучения в нелинейных средах/ Под ред. В, И. Беспалова, — Горький: ИПФ АН СССР, 1979,
Carman R* £., Shimizu Е, Wang С. S,, Bloembergen ^. — Phys. Rev., 1970, v. A2, p. 60.
Бочаров В, В,, Грасюк А, 3,, Зубарев И, Г、, Муликов В* Ф. — ЖЭТф, 1969, т. 56, с. 430.
Trutna IT. R*, Park Y, К*, Byer R* £. — IEEE J. Quant. Electronics, v. QE-16, № 7, p. 648.
Горшков A. Co Марченко В. Ф. u dp.—Изв вузов. Радиофиз., 1978, т.
21, с 450.
70. Луговой В. Н. Введение в теорию вынужденного комбинационного рассеяния.—М.： Наука, 1968,
1 У…(т)(2©产饷 (“WG
总=0
*) Надо сказать, что в литературе (см., например, [1, 6]) рассматриваемые в настоящем параграфе явления часто анализируются на основе волнового уравнения. Однако на этапе получения окончательных результатов применяют приближение, приводящее к тем же формулам, которые следует из параболи-
**) Специфические задачи, связанные с флуктуациями в лазерах, этим ие исчерпываются. Интересный класс статистических задач связан с изучением оптических генераторов с так называемой стохастической обратной связью, генераторов, принцип действия которых ближе к принципу действия ядер кого реактора, нежели генератора радиодиапазона [3]. В лазерной физике предложены и методы осуществления регулярной обратной связи, ие имеющие прямых аналогов в радиодиапазоне, — например, так называемой распределенной обрат* иой связи [56]; о флуктуациях в лазере с распределенной обратной связью см в [58] Заметим, наконец, что в оптике когерентные световые колебания, статистика которых практически аналогична статистике колебаний лазера
С. А. Ахманов Ю. Е. Дьяков А. С. Чиркин