ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ТОМУ

Самый успешный путь обучения — проделать все самому и учиться на собственных ошибках. Лучше этого пути нет. Еще один хороший путь — наблюдать как кто-то проделывает это. Третий путь — слушать лекции о том, как и что делать; и последний стоящий путь — прочитать об этом.

Р. Компфнер

Во втором томе книги «Лекции по сверхвысокочастотной электронике для физиков» сохранен стиль первого тома. Чтобы подчеркнуть единство книги, авторы сочли возможным сохранить в качестве эпиграфа к этому предисловию эпиграф к предисловию первого тома.

В этом томе книги рассматриваются такие современные области и следований в электронике сверхвысоких частот, как взаимодействие криволинейных электронных потоков с электромагнитными волнами (мазеры на циклотронном резонансе), лазеры на свободных электронах, сверхизлучение в электронных потоках, плазменная сверхвысокочастотная электроника, сверхмощные релятивистские генераторы высокочастотного излучения, синхронизация в распределенных системах СВЧ-электроники, вакуумная микроэлектроника.

Многие вопросы впервые излагаются в систематизированном виде и с достаточно полным охватом материала, включая описание экспериментальных результатов и некоторых технических деталей новых устройств. В частности, это относится к лекциям по сверхизлучению в СВЧ-электронике, плазменной электронике, проблеме генерации сверхмощного излучения электронными потоками с виртуальным катодом. Новой и современной проблемой является изучение синхронизации в распределенных системах сверхвысокочастотной электроники. Этим вопросам посвящена отдельная лекция.

Приоритет решения ряда задач, рассматриваемых в этом томе, принадлежит авторам данной книги.

При написании книги мы старались построить изложение таким образом, чтобы читатель мог получить достаточно полное представление о том или ином разделе, не прибегая к другим источникам (в то же время каждая глава снабжена достаточно подробным списком литературы, так что читатель при необходимости сможет легко обратиться к первоисточникам). Как и в первом томе, в Предисловии нет краткого изложения каждой лекции, поскольку дано расширенное оглавление, повторяющееся перед текстом каждой из лекций.

В связи с тем, что второй том является продолжением первого, и материал, изложенный в нем, тесным образом связан с материалом

первого тома, мы придерживаемся двойной нумерации лекций. Первый номер — это текущий номер лекции в данном томе, в скобках — номер лекции с учетом первого тома. При ссылках на лекции, формулы или рисунки указывается только текущий номер. Если необходима соответствующая ссылка на материал первого тома, то рядом с ней указывается номер тома.

Лекции предназначены для физиков различных специальностей, интересующихся процессами взаимодействия электронов с электромагнитными полями (в том числе для тех, кто ранее не изучал СВЧ- электронику), для научных работников, аспирантов и инженеров, проводящих исследования в области вакуумной СВЧ-электроники, радиофизики, радиотехники и физики плазмы. Они могут заинтересовать студентов старших курсов соответствующих специальностей.

Авторы хотят выразить искреннюю признательность Российскому Фонду Фундаментальных Исследований, программе «Университеты России — Фундаментальные исследования», Саратовскому учебнонаучному центру «Волновая электроника, микроэлектроника и нелинейная динамика» на базе Саратовского государственного университета, Саратовского филиала Института радиотехники и электроники РАН и Государственного учебно-научного центра «Колледж» (поддерживаемого ФЦП «Интеграция»), научно-образовательному центру «Нелинейная динамика и биофизика» при Саратовском госуниверсите- те (грант REC-006 of U.S. Civilian Research & Development Foundation for the Independent States of the Former Soviet Union (CRDF)), фонду некоммерческих программ «Династия» и Международному центру фундаментальной физики, без финансовой поддержки которых данная книга вряд ли бы увидела свет.

В заключение заметим, что отбор материала, включенного в книгу лежит целиком на совести авторов и вряд ли может понравиться всем. Чтобы как-то защитить себя, сошлемся на авторитет В.Л. Гинзбурга, который в своей книге «О науке, о себе и о других», М.: Физматлит, 2001, в статье «Какие проблемы физики и астрофизики представляются наиболее важными и интересными в начале XXI века?» пишет на с. 47 следующее:

«Весть мой проект — составление «списка» и его комментарии в качестве некоторой педагогической или образовательной программы и, в известной мере, руководства к действию не всем по душе. Некоторым не понравятся также манера и стиль изложения. Это естественно. Я могу защищать лишь право иметь и излагать свое мнение, что не мешает уважать иные мнения. Надеюсь, настоящая статья принесет пользу».

Мы также смеем надеяться, что книга принесет пользу.

Д.И. Трубецков

А.Е. Храмов

Лекция 1 (16)ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХЭЛЕКТРОННЫХ ПОТОКОВС НЕЗАМЕДЛЕННЫМИЭЛЕКТРОМАГНИТНЫМИ ВОЛНАМИ;ГИРОПРИБОРЫ; ПЕНИОТРОН

Гиротроны являются электровакуумными СВЧ-приборами, в которых имеет место когерентное излучение электромагнитных волн потоками электронов, вращающихся во внешнем однородном магнитном поле, на частотах, близких к циклотронной частоте электронов или ее гармоникам.

Гироприборы. Горький, ИПФ АН СССР. 1989. С. 7.

Гироприборы: история создания и особенности конструкции. Резонаторы гиротронов. Собственные и вынужденные колебания резонаторов гиротронов. Уравнения стационарных колебаний. Укороченные уравнения автоколебаний в гиромонотроне. Интегрирование укороченных уравнений автоколебаний в гиромонотроне fтеория слабого сигнала). Пусковой режим гиромонотрона. Мазеры на циклотронном авторезонансе (МЦАР). Другие разновидности гироприборов. Взаимодействие винтовых электронных пучков с незамедленными электромагнитными волнами в волноводе (гиро-ЛВВ и гиро-ЛБВ). Пениотрон — эталонная модель распределенной системы с силовой группировкой электронов.

Вся история сверхвысокочастотной электроники, начиная с самого начала (двадцатые годы) — это, в первую очередь, поиск путей повышения частоты и мощности генерируемого электромагнитного излучения. До 60-х годов электровакуумные электронные СВЧ-приборы использовали преимущественно излучение электронов, движущихся прямолинейно. Даже если траектории частиц и не были строго прямолинейны, то это отличие не являлось существенным для механизма излучения. Несмотря на постоянное совершенствование приборов, их выходная мощность падала с ростом частоты. Так, наиболее коротковолновые генераторы того времени — ЛОВ О-типа — в диапазоне длин волн

короче одного миллиметра (до 0,2 мм) имели выходную мощность от одного до долей милливатта.

Дело в том, что с точки зрения теории излучения приборы, соответствующие первым четырем основным идеям, лежащим в основе СВЧ-электроники (см. том 1, лекцию 1), основаны на использовании переходного индуцированного излучения (клистроны) и черепковского индуцированного излучения (магнетрон, ЛОВ, ЛБВ). Переходное излучение имеет место при движении электронов около неоднородностей, размеры которых порядка или менее длины волны (в клистроне неоднородности —сетки резонатора или стенки, если зазор бессеточный). Если же электрон движется вблизи поверхности среды с показателем преломления более единицы, то, когда расстояние от поверхности не превышает по порядку величины длину волны, возникает черепковское излучение (роль среды в магнетроне играет анодный резонаторный блок — периодическая структура с периодом порядка длины волны, а в ЛБВ и ЛОВ — замедляющая система). Таким образом, в вышеуказанных типах приборов всегда присутствуют электродинамические структуры с размерами порядка длины волны генерируемого или усиливаемого сигнала, причем электронный поток проходит близко к ним. В этом и состоит основное препятствие для получения больших мощностей на коротких — миллиметровых и субмиллиметровых — длинах волн.

Естественны поэтому поиски других принципов индуцированного излучения электронов, использование которых позволило бы при продвижении во все более коротковолновый диапозон отказаться в СВЧ-генераторах и усилителях от мелкоструктурных замедляющих систем и резонаторов. В конце 50-х — начале 60-х годов внимание было обращено на электронные пучки, в которых электроны движутся по непрямолинейным периодическим траекториям. Хорошо известно, что заряженная частица, траектория которой имеет ненулевую кривизну, излучает при любом соотношении между ее скоростью и фазовой скоростью волн в данной среде. Очевидно, что если траектория периодична в однородной среде, то и излучение должно быть периодическим во времени. Однако это еще не решает проблем получения мощного СВЧ-излучения. Дело в том, что, во-первых, излучение электронов должно быть когерентным: только в этом случае оно имеет какую-то ценность для дальнейшего его применения. Во-вторых, поскольку пространственный период траектории по крайней мере при субрелятивистских энергиях мал по сравнению с длиной волны излучения, то не так просто создать фокусирующие и электронно-оптические системы, элементы которых имели бы большие размеры в масштабе длины волны. В противном случае, трудности, о которых шла речь выше, переходят из электродинамики в электронную оптику, по-прежнему ограничивая объем активной среды.

Решающими для создания нового класса мощных приборов сверхвысокочастотной электроники, использующих криволинейные электронные пучки, стали идеи А.В. Гапонова-Грехова и частично Р. Твисса

и Дж. Шнайдера. Подробнее они будут рассмотрены в следующем разделе лекции. Пока же только заметим, что первая основная идея состояла в применении однородного магнитного поля для создания периодических траекторий. При этом в значительной степени снимаются электронно-оптические проблемы. Вторая идея состоит в трактовке криволинейного периодического электронного пучка как ансамбля возбужденных классических осцилляторов.

Электрон в атоме, как известно, является осциллятором с существенно неэквидистантным энергетическим спектром, и в присутствии электромагнитного поля с частотой g вынужденные переходы совершаются практически только между парой уровней, разность энергий которых ДИ/ ^ 方g. Поэтому для получения индуцированного излучения достаточно поместить вещество в высокодобротный резонатор и создать инверсную населенность в указанной двухуровневой системе. Значительная величина энергии ДИ/ в оптическом диапазоне и высокая плотность активной среды, которую легко создать, ввиду нейтральности атомной структуры, и образуют принципиальные основы получения больших мощностей излучения лазеров.

Электроны в криволинейных электронных пучках с квантовой точки зрения также являются осцилляторами с бесконечным спектром, но весьма малыми расстояниями между соседними энергетическими уровнями по сравнению с колебательными энергиями частиц. Поэтому поведение таких осцилляторов практически неотличимо от классических. Энергетический спектр классических осцилляторов является слабо неэквидистантным. Это приводит к неоднозначности воздействия высокочастотного поля на указанную систему: вынужденные энергетические переходы с каждого уровня могут совершаться как вниз (излучение), так и вверх (поглощение). Вместе с тем при определенных условиях [1] возможно организовать преимущественно излучающие переходы, причем между многими парами уровней. В результате каждый электрон может совершать большое число последовательных переходов вниз и, несмотря на малость энергии кванта, передать полю значительную часть своей энергии.

Приборы, использующие индуцированное излучение классических электронных осцилляторов, называют электронными мазерами. Как видно из вышесказанного, по своему принципу действия электронные мазеры занимают промежуточное положение между классическими вакуумными СВЧ-приборами и квантовыми генераторами (лазерами). Именно это и позволило в коротковолновом диапазоне преодолеть вышеуказанные специфические трудности и создать уникальные по своим энергетическим характеристикам приборы.

Гироприборы: история создания и особенностиконструкции

Как уже отмечалось во введении к лекции, проблема генерации мощного излучения в миллиметровом диапазоне привела к поиску новых принципов индуцированного излучения электронов. Здесь особый интерес вызывает использование индивидуального излучения электро-

на, колеблющегося в статическом электромагнитном поле — излучение ускоренно движущегося заряда. В первую очередь это связано с тем, что при этом отпадает необходимость использования мелкоструктурных замедляющих систем и резонаторов. Как поведет себя ансамбль таких классических возбужденных электронов-осцилляторов? К 1958 г., который является во многом точкой отсчета в истории мазеров на циклотронном резонансе, ответа на этот вопрос не было. Хотя заметим, что СВЧ-электроника начинается именно с электронных мазеров — генератора Баркгаузена-Курца (1920 г.) [2] и магнетрона Жачека (1928 г.) [3], генерирующего на циклотронной частоте х).

Остановимся чуть подробнее на механизме колебаний, обнаруженных немецкими физиками Баркгаузеном и Курцем в 1919 г. при исследовании обычных триодов, в которых сетка находилась под положительным потенциалом по отношению к аноду и катоду (рис. 1.1). Независимо С.И. Зилитинкевич [4] в Ленинграде обнаружил аналогичные колебания в усилительных лампах с сетками. Баркгаузену принадлежит и первое объяснение механизма колебаний в таком генераторе. Вылетевшие из катода электроны ускоряются сеткой, но, пройдя ее, возвращаются обратно тормозящим полем в пространстве сетка-анод; проскакивают сетку в обратном направлении, разворачиваются, вновь ускоряются сеткой, проходят ее, вновь тормозятся и т. д. Такие колебания электрона около сетки происходят до тех пор, пока он не попадет на нее (траектория 1 на рис. 1.1). Таким образом, каждый электрон подобен маятнику, совершающему в общем случае нелинейные колебания, обусловленные статическими полями между электродами. По современным воззрениям совокупность таких нелинейных электронов- осцилляторов (классических осцилляторов) проявляет свойства «универсальной» активной среды, способной поддерживать электромагнитные колебания без электродинамических систем с размерами элементов порядка длины усиливаемой или генерируемой волны.

Именно возможность использовать, так называемое, индуцированное излучение возбужденных классических осцилляторов (в нашем случае электронов-осцилляторов) и утвердило за подобными приборами название «электронные мазеры». Напомним, что maser — аббревиатура словосочетания microwave amplification by stimulated emission of radiation. Как следует из расшифровки аббревиатуры, термин не обязательно относится к среде из квантовых осцилляторов: среда может быть и классической.

Группирование электронов-осцилляторов под действием переменного поля определяется их неизохронностью, т. е. зависимостью их собственной частоты 幻。от энергии 2. Если частота g внешнего воздействия в точности равна g° (резонанс) и осцилляторы изохронны (dcjo/d£ = 0), то половина электронов будет отдавать энергию вы-

) Практически Жачеком был создан электронный мазер со скрещенными полями на циклотронном резонансе (!), так как частота генерируемых колебаний была близка к циклотронной частоте шс-

Рис. 1.1. Схема генератора Баркгаузена-КурцаРис. 1.1. Схема генератора Баркгаузена-КурцаРис. 1.2. Образование сгустканеизохронныхэлектронов-осцилляторов на фазовой плоскостиРис. 1.2. Образование сгустканеизохронныхэлектронов-осцилляторов на фазовой плоскости

Рис. 1.1. Схема генератора Баркгаузена-Курца

Рис. 1.1. Схема генератора Баркгаузена-Курца

Рис. 1.2. Образование сгустканеизохронных

электронов-осцилляторов на фазовой плоскости

Рис. 1.2. Образование сгустканеизохронных

электронов-осцилляторов на фазовой плоскости

сокочастотному полю («правильнофазные»), а половина — забирать («неправильнофазные»). Поэтому для получения эффекта индуцированного излучения электронов-осцилляторов нужно «убрать» неправильнофазные электроны из пространства взаимодействия — нужен механизм фазовой рассортировки. В схеме тормозящего поля таким механизмом является поглощение электронов анодом или сеткой (траектории 2, 3 на рис. 1.1).

Рассмотрим теперь резонансную раскачку неизохронных электронов-осцилляторов (dcjo/d£ 济 0), используя для наглядности фазовую плоскость (①,勿),где х — смещение осциллятора, а 勿一 его скорость. На рис. 1.2 жирная фазовая траектория соответствует движению электронов-осцилляторов в отсутствие переменного поля. Чаще всего dcjo/d£ < 0, т. е. частота уменьшается с ростом энергии. При этом ускоренные электроны-осцилляторы колеблются медленнее (на фазовой плоскости это соответствует переходу на внешнюю по отношению к начальной траектории; относительное движение их показано стрелкой В), а заторможенные начинают колебаться быстрее (переход на внутреннюю по отношению к начальной траекторию; относительное движение — стрелка А). В результате образуется «фазовый сгусток» (на рис. 1.2 он заштрихован). Аналогичная «фазовая группировка» имеет место и при dcjo/d£〉0, но сгусток образуется в фазе, сдвинутой на тг по отношению к предыдущему случаю. Образовавшийся сгусток может поддерживать колебания определенной фазы, т. е. можно сказать, что имеет место индуцированное излучение классических электронных осцилляторов, которое характеризуется возможностью весьма широкой перестройки частоты, поскольку последняя определяется напряженностью статических полей в пространстве взаимодействия.

В данной лекции будем обсуждать особый класс таких мазеров — мазеров на циклотронном резонансе (МЦР). Историю этого класса приборов обычно начинают с 1958 г., указывая на работу австралийского астрофизика Р. Твисса. Когда прошло немногим более двадцати лет с момента появления этой работы, библиографический указатель литературы, вышедший в 1983 г. и охватывавший период с 1958 по 1980 гг.,

содержал уже 444 ссылки [5]. Заметим, что предыдущий аналогичный указатель, вышедший в 1974 г., содержал лишь 178 ссылок [6]. Несомненно, что сейчас число публикаций еще более возросло. Активные исследования ведутся в России, США, Франции, КНР, Великобритании, Австралии, ФРГ, Швеции и других странах. В мире продолжается «гиротронный бум», который начался более тридцати лет назад с публикацией на Западе кратких обзоров результатов, достигнутых в СССР по мощным генераторам миллиметровых длин волн — гиротронам — одной из разновидностей МЦР. Обычно в таких обзорах приводился график мощность-частота, на котором ближе к правому верхнему углу красовалась одинокая точка с надписью «Soviet gyrotron».

Итак, в 1958 г. Р. Твисс [7] первым указал на возможность усиления электромагнитной волны системой неравновесных электронов- осцилляторов на циклотронной частоте. Как отмечается в [8, с. 527], в более ранней работе [9] уже имеется упоминание о механизме усиления, подробно описанном Твиссом в [7]. В связи с чем в [8] делается вывод: «Можно безусловно предположить, что он понимал циклотронные мазеры перед 1958 г.» [8, с. 527]. Твисс вывел формулу для коэффициента поглощения среды, показав возможность отрицательного поглощения. Некоторые исправления расчетов Твисса были приведены позднее в [10].

В 1959 г. независимо от Твисса и друг от друга А.В. Гапонов- Грехов [11,12] и Дж. Шнайдер [13] теоретически показали возможность индуцированного излучения в потоке электронов, вращающихся в магнитном поле. Практически одновременно с теоретическими работами появились сообщения об экспериментальном наблюдении индуцированного циклотронного излучения [14-16], В работе [14] был описан эксперимент с усилителем, в котором винтовой пучок в однородном продольном магнитном поле взаимодействовал с волной Hi о прямоугольного волновода.

Подход Шнайдера был основан на квантово-механических представлениях, подход Гапонова-Грехова был классическим. Квантовый подход [13] основан на том, что электрон, вращающийся в однородном магнитном поле, ведет себя как ангармонический осциллятор, энергетический спектр которого неэквидистантный. Поэтому переходам под действием внешнего поля с населенного уровня р на уровень р + п (поглощение) и на уровень р — п (излучение) соответствуют разные, хотя и близкие частоты пшо (g° — собственная частота осциллятора, п — целое, положительное число). На частотах, близких к 71Gо, осциллятор подобен трехуровневой квантовой системе: он поглощает энергию на частоте перехода cjn+p?p и излучает — на шр^п_р. Таким образом, если Шнайдер и думал о мазере на циклотронном резонансе, то исходил из аналогии с соответствующей квантовой системой.

В работе [11] изложена линейная теория распространения электромагнитных волн в гладких волноводах, пронизываемых тонким трохоидальным или винтовым электронным потоком. Основной результат рассмотрения различных механизмов взаимодействия непрямолинейных пучков с незамедленными электромагнитными волнами — дока-

зательство существования пространственной группировки электронов (инерциальной и силовой), а также анализ усиления и генерирования СВЧ-колебаний в таких системах. Нет сомнения, что самой важной работой для дальнейшего развития мазеров на циклотронном резонансе, по крайней мере в СССР, оказалось письмо в редакцию журнала «Изв. высш. уч. заведений. Радиофизика» А.В. Гапонова-Грехова [12]. В нем подчеркивалось, что при рассмотрении взаимодействия непрямолинейного пучка с электромагнитной волной необходим учет релятивистских эффектов. Эти эффекты приводят в новому механизму группирования электронов — «азимутальной группировке» (впоследствии закрепился термин фазовая группировка), которая возникает из-за того, что «... циклотронная частота Зс зависит от скорости... ...» [12] 1). А.В. Гапонов-Грехов пишет в [12], что на данное обстоятельство его внимание обратил В.В. Железняков. Замечу, что авторы [8], отмечая этот факт, задают риторический вопрос: «Можем ли мы предположить, что доктор Железняков понимал мазер на циклотронном резонансе в 1959 г.?» [8, с. 527]. На вопрос можно ответить так: да, группа горьковских исследователей уже тогда понимала физику мазеров на циклотронном резонансе. Дело в том, что цитированные статьи были отражением результатов лишь части исследований, которые велись под руководством А.В. Гапонова-Грехова по созданию приборов миллиметрового и субмиллиметрового диапазона длин волн. Постепенно перебирались один возможный механизм за другим, одна конструкция за другой. Так, по разным причинам были «забракованы» после подробных исследований лампы с поперечным током [18], электромагнитная линза [19], приборы с сортировкой электронов [20], приборы с электростатической фокусировкой [21] и с трохоидальными потоками [22]. Во всех исследованиях всегда в качестве конечной цели ставилось создание мощного коротковолнового прибора с КПД не менее 50%. Заметим, что В.В. Железняковым в то же время были опубликованы результаты исследования неустойчивости неравновесной магнитоактивной астрофизической плазмы по отношению к высокочастотному электромагнитному излучению [23, 24] и совместная с А.В. Гапоновым-Греховым работа [25], касающаяся как ансамбля электронов-осцилляторов в магнитном поле, так и неравновесной магнитоактивной плазмы ). В 1984 г. В.В. Железнякову Президиумом АН СССР была присуждена премия имени А.А. Белопольского за цикл работ «Циклотронное излучение в астрофизике». При этом его роль в создании мазеров на циклотронном резонансе отмечается в [27, с. 142] следующим образом: «Результаты его работ по теории циклотронного излучения приобрели также важное прикладное значение в области электроники больших мощностей».

1) «Релятивистский вариант» работы [11] был дан в статье [17].

В конечном счете горьковчане остановились на способе усиления и генерирования электромагнитных колебаний, основанном на взаимодействии потока электронов, движущихся по винтовым траекториям, с незамедленной электромагнитной волной, т. е. на механизме индуцированного излучения возбужденных классических осцилляторов [1]. Выбор пал на электроны, вращающиеся с циклотронной частотой в однородном магнитном поле, которыми можно заполнить большой электродинамический объем (однородное магнитное поле в принципе можно создать в очень большом объеме). Таким образом можно накопить в электродинамическом объеме большую энергию и использовать ее для получения мощных электромагнитных колебаний на коротких длинах волн. Приборы, в которых реализуется такое взаимодействие, и получили название мазеров на циклотронном резонансе (МЦР). В вакуумной электронике термин «cyclotron resonance maser», по-видимому, впервые появился в работе [28], хотя ранее его ввел Лэке, предложив МЦР на полупроводниках (см. [5, с. 4]).

Описывая этот этап развития СВЧ-электроники, американский физик Осепчук [29] особо подчеркивает роль горьковских физиков в создании МЦР. «Открытие фазовой фокусировки, которая является результатом релятивистской зависимости массы электрона, объясняет интерес к лампе такого типа [11-13] 1). Это позволило назвать такие приборы «электронно-циклотронными мазерами» [28]. В США в 60-х гг. [30] возлагали большие надежды на появление эффективных источников миллиметровых волн. Но не получив поддержки, ученые США утратили интерес к разработки этих приборов. А в это время советские ученые сумели объяснить процессы, происходящие во всех циклотронно-резонансных приборах. Например, работа Гапонова 1967 г. [31] содержала обзор мощных миллиметровых приборов и заложила основы их серьезного развития. В последующие годы в СССР интенсивно проводились обширные работы, результат которых был отражен в написанных на высоком уровне статьях по СВЧ-лампам, в основном посвященных приборам на циклотронном резонансе» [29, с. 15-17].

Каков же механизм фазовой группировки и в чем его отличие от механизмов, рассмотренных нами в предыдущих лекциях? Для объяснения данного механизма обратимся к механической аналогии, следуя работе [32].

В качестве модели ансамбля электронов-осцилляторов, взаимодействующих с электромагнитным полем, рассмотрим систему легких маятников, прикрепленных к упругой балке, качающихся вразнобой и взаимодействующих с ее колебаниями. Напомним, что простой маятник, состоящий из невесомой нити длиной /, один конец которой закреплен, а ко второму прикреплен «точечный» груз с массой т, в общем случае представляет собой нелинейный осциллятор. Маятник колеблется в заданной плоскости, а его положение целиком

1) Ссылки, приведенные в [29] даны в нашей нумерации.

определяется углом J — углом отклонения маятника от вертикали, причем по второму закону Ньютона

产 + 届sinJ = 0,(1.1)

где а。= g/I — собственная частота колебаний линейного осциллятора (угол 0 — мал и sin J ^ J, g — ускорение свободного падения). В слабонелинейном случае просто показать, что колебания неизохронны, и их период зависит от амплитуды колебаний:

77。(1 +俏/16),(1.2)

где То = 2tt/cjo — период колебаний линейного осциллятора, J。— максимальное угловое смещение маятника. Частота колебаний, очевидно, в этом случае меняется по закону

G GO (1 —俏/16).(1.3)

Если сначала все маятники покоятся, а балка совершает малые колебания, то с течением времени она раскачает их в такт с собой. Забирая энергию колебаний у балки, точно также раскачиваются и слабо (т.е. с малой амплитудой, а следовательно, с постоянной частотой Go) качающиеся маятники. Этот случай соответствует вынужденным колебаниям линейных осцилляторов, собственные колебания которых изохронны. Ситуация кардинально меняется, если начальный размах колебаний маятников настолько велик, что частота их колебаний подчиняется закону (1.3) и колебания становятся неизохронными. Предположим, что в начальном состоянии маятники качаются вразнобой, но с одинаковой большой амплитудой (тогда для частот их колебаний справедливо соотношение (1.3)). В этом случае переменная сила, вызванная колебаниями балки, ускоряет те маятники, скорости которых большую часть времени совпадают по направлению с переменной силой, и тормозит те, у которых направления скорости и силы противоположны. Вспомним, что маятники неизохронны. Поэтому, как своеобразно пишут авторы [32], у более «энергичных» маятников период колебаний возрастает, а у менее «энергичных» — падает (см. соотношение (1.2)). Из-за неизохронности одна часть маятников подстраивается под другую, маятники начинают качаться в такт и образуется так называемый, «фазовый сгусток». В [32] есть запоминающийся образ фазового огустка. Если вспомнить истории о солдатах, шагающих по мостам и страницам книг по теории колебаний, то в нашем случае в отряде солдат, идущих по мосту, значительная часть солдат в разных местах строя пошла «в ногу» — образовался фазовый сгусток. Для того чтобы маятники в «сгустке» когерентно отдавали свою энергию балке (мост сам «синхронизовал» солдат и раскачивался [32]), нужно выполнение неравенства 幻^〉幻。при ge ^ g。, где ge — частота балки (имеется определенная аналогия с ЛБВ, где скорость волны 少小 близка к скорости электронов 少°, но для нужного энергообмена 少° должна быть больше 少小).

Если теперь вернуться от механической аналогии к системе электронов-осцилляторов, взаимодействующих с электромагнит

ным полем, то, заменив маятники классическими электронами- осцилляторами, а колебания балки — переменным электромагнитным полем, можно сохранить все наглядные рассуждения работы [32]. Строгий анализ механизма фазовой группировки был изложен нами в томе 1, лекции 1 (см. также [1, 31, 33]). Следует, однако, заметить, что, по-видимому, впервые фазовая группировка электронов-

осцилляторов, неизохронность которых связана не с релятивистскимиосцилляторов, неизохронность которых связана не с релятивистскимиРис. 1.3. Плоский периодический пучок в строфотроне. Распределение потенциала вдоль оси ж параболическое или квазипараболиче- ское. Электроны совершают боль-Рис. 1.3. Плоский периодический пучок в строфотроне. Распределение потенциала вдоль оси ж параболическое или квазипараболиче- ское. Электроны совершают боль-эффектами, а с конфигурацией статических полей, была подробно исследована теоретически в работе Агдура [34]. Более того, был создан СВЧ-генератор — строфотрон (рис. 1.3), который работал как в режиме отсортировки неправильнофазных электронов, так и в режиме фазовой фокусировки (строфотрон был предложен в 1950 г. Аль- фвеном и Гомелем; см., например, [35, Т. 2, с. 92-118]). В режиме чистой отсортировки строфотрон может работать лишь в том случае, когда распределение электростатического потенциала вдоль оси ж (см. рис. 1.3) параболическое. Этот режим нас не интересует. Чтобы доказать приоритет Агдура в описании фазовой фокусировки, процитируем его статью [35, Т. 2, стр. 95]. «Рас-

осцилляторов, неизохронность которых связана не с релятивистскими

осцилляторов, неизохронность которых связана не с релятивистскими

Рис. 1.3. Плоский периодический пучок в строфотроне. Распределение потенциала вдоль оси ж параболическое или квазипараболиче- ское. Электроны совершают боль-

Рис. 1.3. Плоский периодический пучок в строфотроне. Распределение потенциала вдоль оси ж параболическое или квазипараболиче- ское. Электроны совершают боль-

шое число колебаний в высокочастотном поле между анодом (Д) и отражателем (/?)смотрим теперь случай, когда период колебаний электрона зависит отшое число колебаний в высокочастотном поле между анодом (Д) и отражателем (/?)смотрим теперь случай, когда период колебаний электрона зависит отамплитуды. Это имеет место, когда распределение потенциала вдоль оси х непараболическое... Электрон, стартующий с отбором энергии от высокочастотного поля, увеличивает амплитуду своих колебаний, и поэтому период его колебаний изменяется. Фаза электрона, стартующего с отдачей энергии высокочастотному полю и уменьшением амплитуды колебаний, рано или поздно изменится так, что электрон начнет накапливать энергию. Амплитуда колебаний электронов будет

шое число колебаний в высокочастотном поле между анодом (Д) и отражателем (/?)

смотрим теперь случай, когда период колебаний электрона зависит от

шое число колебаний в высокочастотном поле между анодом (Д) и отражателем (/?)

смотрим теперь случай, когда период колебаний электрона зависит от

поэтому изменяться в некоторых пределах, определяемых распределением постоянного электрического поля вдоль оси ж, высокочастотным потенциалом и соотношением между периодом колебаний электрона в случае отсутствия высокочастотного поля и периодом высокочастотных колебаний. Поскольку при больших амплитудах скорость изменения фазы должна быть большей, чем при малых, то можно ожидать, что электроны будут большую часть времени колебаться при малых амплитудах. Этот механизм обмена энергией мы назовем режимом фазовой фокусировки. В этом режиме можно добиться того, чтобы электроны, покинувшие катод, достигали коллектора с кинетической

энергией, в среднем меньшей, чем та, которую они получили от постоянного поля с момента вылета из катода».

Вернемся к МЦР, в которых имеет место индуцированное излучение в активной среде, состоящей из электронов, вращающихся в магнитном поле. Такое излучение естественно называть индуцированным циклотронным излучением, поскольку оно имеет место на циклотронной частоте или одной из ее гармоник. Обсудим качественно причину неизохронности таких осцилляторов, их группировку и взаимодействие с ВЧ-полем. Рассмотрим релятивистское движение электрона в высокочастотном электрическом поле Е и магнитном поле В (В — сумма индукций статического и высокочастотного магнитного поля), которое описывается уравнением для скорости v:

4 , V 一 =工(Е + [vB])

где в и то ——заряд и масса покоя электрона. После преобразований, вводя обозначение

&—。2儿2(1.5)

то

получим вместо (1.4) с учетом (1.5)

+1 一。2了{e + ^ (沔)卜 (L6)

С погрешностью v2 /с2 правую часть в (1.6) можно заменить выражением (в/mo)E и считать, что，]—少2/с? ^ 1 —少2/(2。2). Если пренебречь в (1.5) высокочастотным магнитным полем и считать, что Е = 0, то с указанной погрешностью, например, для ж-составляющей скорости получаем уравнение нелинейного осциллятора

而^ +(1 - ^2/c2) vx = 0,(1.7)

где Зс = (е/т0)В.

Можно обойтись и без математики. Известно, что если электрону в однородном продольном магнитном поле В сообщить скорость, перпендикулярную полю, то он будет вращаться по окружности с частотой Qc = (е/т)В = (е/тпо)6，1 —少2儿2 . При 少《с, когда т ^ mo, Qc = =Зс = const. С ростом энергии, например, когда—少2/с? ^ 1 — —V2/(2с2), Qc ^ Gc (1 —少2/(2с2)), частота вращения электрона уменьшается, поскольку он становится тяжелее. Таким образом, благодаря релятивистскому эффекту (зависимость массы частицы от ее скорости) электрон в магнитном поле оказывается неизохронным осциллятором. Предположим теперь для простоты, что кольцо электронов, вращающихся в однородном магнитном поле В (продольное движение не учитываем), взаимодействует с переменным монохроматическим полем Е = Re {Eoe^f}, которое однородно и линейно поляризовано в плос-

Трубецков, Храмов

Рис. 1.4. Стадии взаимодействия электронов с ВЧ-полем в режиме циклотронного резонанса: а — начальная модуляция орбитальных скоростей; 6 — образование фазового сгустка; в — торможение сгустка

кости, перпендикулярной магнитному полю В. Частота вращения электрического поля почти синхронна с частотой движения электронов в магнитном поле — ш ^ Qc. Электроны, попавшие в разные фазы поля, получают разные приращения энергии (разные v2/с2). Сначала происходит модуляция орбитальных скоростей электронов: у тех электронов, которые попадают в тормозящую фазу поля, энергия уменьшается, а у тех, которые попадают в ускоряющую — увеличивается (рис. 1Ла). Далее из-за релятивистской зависимости частоты от энергии электроны начинают вращаться с разными циклотронными частотами и, смещаясь друг относительно друга по фазе, образуют сгусток (рис. 1.4 б). Если теперь g〉幻^ У электронов, попавших сначала в тормозящую фазу, угловая скорость |cj — Qc| относительно поля Е уменьшается (из- за релятивистского эффекта увеличивается Qc), и они задерживаются в этой фазе. У электронов в ускоряющей фазе величина Qc уменьшается, т. е. увеличивается |cj — Qc|, и они переходят в тормозящую фазу. Таким образом, сгусток образуется в тормозящей фазе поля (рис. 1.4 в), и результат энергообмена оказывается весьма эффективным. Заметим, что если высокочастотное поле Е неоднородно в поперечном к магнитному полю В направлении, то возможно эффективное взаимодействие этого поля с электронами не только на основной циклотронной частоте, но и на ее гармониках (g ^ nQc, п = 1,2,3...).

Уже в 1960 г. В.К. Юлпатовым была развита нелинейная теория взаимодействия кольца электронов, вращающихся в однородном магнитном поле с собственной модой резонатора [36]. Было показано, что при условиях, близких к оптимальным (оптимальное время взаимодействия, не слишком большая неизохронность, подходящая структура электромагнитного поля), электроны-осцилляторы могут отдавать ВЧ-полю порядка 70% своей первоначальной энергии. Позднее аналогичная теория была построена для МЦР с попутной волной [37, 38]. Надо сказать, что релятивистский механизм фазовой группировки был не сразу понят специалистами по электронике СВЧ как у нас, так и за рубежом. Однако в 1967 г. можно было подводить итоги

первого этапа развития МЦР. Эти итоги и были подведены в статье А.В. Гапонова-Грехова, М.И. Петелина и В.К. Юлпатова [31], в которой уже фигурировали главные элементы наиболее эффективного МЦР — гиротрона. В этом же году группе горьковских радиофизиков — И.И. Антакову, М.И. Петелину, В.А. Флягину, В.К. Юлпатову во главе с А.В. Гапоновым-Греховым была присуждена Государственная премия за теоретические и экспериментальные исследования индуцированного циклотронного излучения электронов, приведшие к созданию нового класса приборов — мазеров на циклотронном резонансе. С 1967 г. начинается и история гиротрона, когда была предложена его конструкция [39] и А.В. Гапонов-Грехов ввел сам термин. Любопытно в связи с этим замечание того же Дж. Осепчука [29, с. 18]: «Необходимо подчеркнуть, что изобретение гиротрона — результат программы, принятой в 50-х годах Академией Наук СССР [40], официально одобрившей разработку мощных источников миллиметровых и субмиллиметровых волн. Обширная работа, которая проводилась в этом направлении, отражена в большом количестве публикаций [41]».

Что же представляет собой такой тип мазеров на циклотронном резонансе как гиротрон? На рис. 1.5 приведена схема гиротрона [42]— генератора с открытым резонатором, пронизываемым электронным потоком с винтовыми траекториями.

Поскольку частота излучения практически совпадает с циклотронной частотой, из определения циклотронной частоты следует, что напряженность магнитного поля Н [кЭ] = 110/А [мм], А — длина волны излучения. Для достижения больших магнитных полей (при измене-

Рис. 1.5. Схема гиротрона: 1 — катод; 2 — анод; 3 — резонатор; / — коллектор; 5 — выходной волновод; 6 — выходное окно; 7 — соленоид. Штриховая линия — силовая линия магнитного поля, волнистая линия — траектория электрона, ломаная линия — траектория лучей, образующих рабочую моду. Внизу график распределения статического магнитного поля В вдоль продольной координаты z

Рис. 1.6. Схема магнетронноинжекторной пушки (МИП) гиротронаРис. 1.6. Схема магнетронноинжекторной пушки (МИП) гиротронании длины волны от 10 до 1 мм требуются поля от 11 до ПО кЭ) оказалось энергетически выгодно использовать соленоиды из сверхпроводящих сплавов, помещенных в криостаты с жидким гелием. Один из важнейших элементов гиротрона — электроннооптическая система. Самой удобной оказалась «адиабатическая» магнетронная инжекционная пушка (МИП) [43], схема которой приведена на рис. 1.6. МИП состоит из осесимметричных катода и анода, соосных магнитному полю. Электрон, вылетевший из катода, движется в плавнонеоднородных скрещенных статических электрическом и магнитном полях, приобретая на входе в резонатор продольную скорость и циклотронное вращение. Траектория движения электрона в МИП описывается квази-трохоидальными траекториями. Компонента электрического поля, параллельная магнитному полю обеспечивает инжекцию частиц в переходную область, следующую после пушки (см. рис. 1.5), находящейся в относительно слабом поле рассеяния соленоида Вк, которое, согласно рис. 1.6, наклонено к поверхности катода под острым углом д. Благодаря этому возрастает начальная вращательная энергия, приобретаемая электронами в пушке; кроме того, по мере движения электронов в более сильное магнитное поле идет перекачка энергии продольного движения в энергию вращения.

Рис. 1.6. Схема магнетронноинжекторной пушки (МИП) гиротрона

Рис. 1.6. Схема магнетронноинжекторной пушки (МИП) гиротрона

На языке квантовых мазеров МИП представляла собой эффективную систему накачки осцилляторной энергии. Заметим, что в первых зарубежных работах для «накачки» применялся специальный элемент —«штопор» {corkscrew) — бифилярная спираль, по которой протекал ток, создающий поперечное магнитное поле [28,44].

Чрезвычайно важной на первом этапе создания гиротрона оказалась работа [45], в которой были определены условия, когда МЦР-уси- лители и генераторы малокритичны к разбросу электронов по скоростям. При достаточной однородности высокочастотного поля индуцированное излучение возникает только как результат квадратичной группировки в окрестности циклотронного резонанса, т. е. с учетом эффекта Доплера:

- Vd/Уф

Здесь Vd ——скорость дрейфа ведущих центров вдоль магнитного поля. Эта скорость зависит от условий формирования и в принципе не одинакова для разных электронов пучка. Следовательно, излучение в разных направлениях происходит на частотах, сдвинутых на доплеровскую поправку, разную, если есть разброс по скоростям. Очевидно, что нельзя сформировать односкоростной поток, поэтому было важно понять к чему приведут разброс электронов по частотам излучения из-

за эффекта Доплера и из-за разных полных энергий (разные полные энергии — разные циклотронные частоты). Первое впечатление было неутешительным. Казалось, что частотные области проводимости активной среды, соответствующие разным скоростным группам электронов, могут сместиться по частоте так, что область с отрицательной проводимостью перекроется областью с положительной проводимостью, и индуцированного излучения просто не будет [46, с. 22]. Но доплеровского смещения нет при любой продольной скорости, если ограничиться излучением электромагнитных волн в направлении, перпендикулярном поступательному движению электронов 1), т. е., если использовать резонансную электродинамическую структуру (например, длинный цилиндрический резонатор), в которой возбуждается мода с частотой, близкой к критической соответствующего волновода [31, с. 1445]. В большинстве гиротронов поэтому применяются открытые цилиндрические резонаторы (отрезки слабонерегулярных волноводов), поперечное сечение которых при рабочей длине волны близко к критическому, так что 少小》с, а, следовательно, и 少小》。&, м различие по скоростям дрейфа ведущих центров (см. формулу (1.8)) оказывается несущественным. Открытые резонаторы были выбраны в первую очередь из-за того, что увеличивая поперечное сечение пространства взаимодействия, можно увеличить мощность гиротрона. Но тут же возник вопрос: «Можно ли обеспечить возбуждение одной рабочей моды в многомодовых резонаторах, не теряя в к.п.д прибора (не ограничивая сечение)?» Ответ оказался положительным и были разработаны эффективные методы электродинамической [46, с. 62] и электронной селекции мод [46, с. 77].

Первые эксперименты, подтверждающие правильный выбор конструкции данного типа МЦР и возможность получения высоких к.п.д (порядка 50 % — как и задумывалось при выборе направления), были изложены в докладах на 5-й Межвузовской конференции по электронике СВЧ (Саратов, 1966), а позднее опубликованы в работе [47]. Любопытно, что, несмотря на впечатляющие результаты, полного понимания МЦР как принципиально нового класса электронных приборов СВЧ еще не было у широкого круга электронщиков ). Показательно в этом смысле, что на упомянутой выше конференции 1966 г. все доклады по МЦР были вынесены первоначально на теоретическую секцию и лишь по настоянию А.В. Гапонова-Грехова перенесены на приборную секцию. Однако уже в 1967 г. расширилось число групп, занимающихся МЦР, а в периодической литературе появилось четкое признание МЦР

Упомянутый разброс электронов по полным энергиям можно практически ликвидировать, если использовать эквипотенциальный катод и принять меры к тому, чтобы в пространстве взаимодействия не было статических полей.

как нового класса мощных приборов ведущими специалистами-электронщиками [40] (О присуждении Государственной премии мы уже упоминали). В частности, в [48, с. 50] отмечено: «... был создан новый класс мощных электронных приборов СВЧ. Практическая неограниченность пространства взаимодействия позволяет применять в них квазиоптические открытые резонаторы. Это, в свою очередь, позволило получить в приборах этого класса наивысшие значения мощности в коротковолновой части сантиметрового и в миллиметровом диапазоне длин волн при высоких значениях электронного КПД, достигающих 40% (без рекуперации)».

Последующие за 1967 годы характеризуются значительной активностью работ по гиротронам, главным образом в СССР: если посмотреть в библиографический указатель[5], то в 1968-1974 гг. зарубежных работ практически нет (всего четыре работы в 1969 г., одна работа в 1970 г., одна работа в 1971 г., одна работа в 1973 г. при общем числе работ — более 100). Дж. Осепчук, рассуждая о работах по МЦР в СССР, свидетельствует: «... реальную оценку данные исследования не получили в США до 1974 г., когда в советском техническом журнале были опубликованы ошеломляющие результаты [49], достигнутые на гиротроне. На гиротроне в непрерывном режиме была получена мощность 12 кВт на длине волны 2,8 мм при КПД 31 % и 1,5 кВт на длине 0,9 мм при КПД 6% » [29, с. 17-18]. Именно этим «ошеломляющим» результатам соответствует, как мы уже указывали, одинокая точка с надписью «Soviet gyrotron» около нее. Пожалуй, именно эта публикация послужила пусковым механизмом последовавшего затем «гиротронного» бума на Западе. В 1977 г. американцы публикуют краткую историю МЦР [8], в которой легко обнаружить некоторую обиду на самих себя («Ведь как хорошо начинали, а бросили»). Во всех последующих обзорах, даже в весьма необъективных по отношению к советской СВЧ-электронике (см., например, обзор [50]), признается приоритет горьковской группы в создании гиротрона от идеи до наиболее удачной конструкции.

В этом разделе мы часто упоминали имя академика Андрея Викторовича Гапонова-Грехова. Он родился в Москве 7 июня 1926 г. В 1949 г. окончил радиофизический факультет Горьковского университета. А.В. Гапонов-Грехов — ученик А.А. Андронова, у которого учился в аспирантуре (1949-1952). В 1955 г. он защитил кандидатскую диссертацию по теории электромеханических систем, по результатам защиты которой ему была присуждена ученая степень доктора физикоматематических наук. С 1952 по 1955 гг. работал в Горьковском политехническом институте. С 1955 г. Андрей Викторович — зав. отделом, зам. директора НИРФИ, с 1977 г. — директор известного сейчас во всем мире Института прикладной физики (Нижний Новгород). Диапазон его исследований широк: физика плазмы и высокочастотная электроника, электродинамика и теория электромагнитных излучателей, теория нелинейных колебаний и волн. А.В. Гапонов-Грехов и его сотрудники дважды становились лауреатами Государственной премии СССР (1967 и 1984 гг.).

Дальнейшее изложение материала лекции, посвященного гиротронам, будем вести, следуя книге Цимринга Ш.Е. «Мазеры на циклотронном резонансе» [33].

Резонаторы гиротронов

Обсудим кратко некоторые особенности конструкции резонаторов гиротронов (рис. 1.7) и наиболее очевидные требования к ним, следующие из характера группировки и излучения электронов-осцилляторов.

Рис. 1.7. Резонатор гиромонотронаРис. 1.7. Резонатор гиромонотронаОсевая симметрия. Применение резонаторов с осевой симметрией имеет ряд технологических и конструктивных преимуществ. Так она оптимальна для магнитных систем (в частности, соленоидов), и уже по этой причине предпочтительна для электронно-оптических систем.

Рис. 1.7. Резонатор гиромонотрона

Рис. 1.7. Резонатор гиромонотрона

Условие 少小》с делает необходимой конструкцию резонатора в виде отрезка волновода, каким-то образом закрытого на торцах, с поперечным сечением, близким к критическому. Условие квазикритичности:

h =，k2 一正2《k, ae k,(1.9)

где ае и /г — соответственно поперечное и продольное волновое число выбранного типа волны.

Поперечные размеры резонатора должны быть велики в масштабе длины волны, т. е. во всяком случае

(1.10)(1.10)Rp/X〉1.

(1.10)

(1.10)

Это условие важно, чтобы иметь большой объем активной в коротковолновом диапазоне среды и возможности рассеяния на достаточно большой поверхности тепла, выделяющегося на стенках резонатора из- за джоулевых высокочастотных потерь.

Длина L резонатора должна быть достаточной для развития квадратичной группировки. Вспомним условие индуцированного излучения при квадратичной группировке, полученное в лекции 1 (том 1, формулы (1.42) и (1.43)). Тогда

(1.11)(1.11)

(1.11)

(1.11)

где g =。丄/少|| — питч-фактор, характеризующий угол намотки винтовой траектории.

Из результатов нелинейной теории известно, что приемлемые КПД гиромонотрона получаются при 〃 〜10, тогда при /丄=0,3 и g = 1,7 длина резонатора L/A = 6. Этим данным соответствует U。= 30 кВ.

Использование ТЕ-мод. Использование взаимодействия электронов винтового пучка с полем ТМ-моды при слаборелятивистских энергиях малоэффективно из-за разгруппировывающего действия продоль-

ного электрического поля. Будем интересоваться собственными колебаниями цилиндрических резонаторов. Они помечаются тремя индексами: азимутальным т, радиальным п (поперечные индексы) и продольным индексом q. Каждый из индексов является целым числом, равным числу вариаций поля по соответствующему направлению (т. е. числу полуволн, укладывающихся по каждому масштабу). Таким образом, интересующие нас колебания обозначаются как TEmnQ.

Слабая нерегулярность волновода. Основная (низшая мода круглого волновода) Яц характеризуется отношением Rp/А ^ 0,3. Выполнение условия (1.10) требует использование высоких мод, у которых, как правило, один или оба поперечных индекса существенно больше единицы. Но высокие моды требуют осторожного с собой обращения: любое резкое изменение поперечного сечения сразу же (за редким исключением) ведет к трансформации данной моды в другие, что радикально меняет параметры резонатора и характеристики самого излучения.

Селекция мод. Дифракционный вывод энергии. Число N собственных колебаний произвольного резонатора в некотором диапазоне длин волн А определяется известным соотношением N ^ V/X3, где V — объем резонатора. Из условий (1.10), (1.11) понятно, что резонаторы гиротронов обладают плотным спектром. Если в полосу циклотронного резонанса попадают две или большее число мод, то возникающее их нелинейное взаимодействие, как правило, существенно ухудшает и эффективность гиротрона, и монохроматичность, и когерентность излучения. Отсюда следует необходимость селекции мод.

С электродинамических позиций селекция колебаний возможна двумя способами: 1) разряжение спектра мод в какой-то узкой рабочей области за счет сгущения в другой; 2) разрежение спектра добротных мод путем создания условий для диссипации энергии мешающих колебаний с соответствующим понижением вероятности их возбуждения.

Один из наиболее действенных способов селекции — использование открытых резонаторов, когда диссипация энергии громадного числа мешающих колебаний достигается за счет их беспрепятственного излучения.

Рассмотрим чуть более подробно селекцию колебаний по продольному индексу, которая наиболее существенна, принимая во внимание большйе значения величины L/X. Оценим длины волн колебаний как функцию продольного индекса. При продольном индексе q на длине резонатора L укладывается q волноводных полуволн Ав. Таким образом, длина волны в свободном пространстве, соответствующая Ятп^-моде, равна:

入二 У_^кр = / М =, где Акр = Акр(т,п). (1.12) (登)2 管 У

Отсюда видно, что А максимальна при q = 1 и быстро уменьшается с ростом q. Для мод с небольшим q, когда AKp/2L《1:

入 Акр 1 - -у (禦)，(1.13)

т. е. длины волн первых колебаний весьма близки к критическим. В качестве рабочей наиболее интересна мода ТEmni^ для которой фазовая скорость максимальна.

Если создать небольшое сужение на выходном (левом на рис. 1.7) конце волновода, то можно так подобрать его размеры, что он окажется закритическим для этой моды и докритическим для мод eg〉 > 1, которые имеют меньшую длину волны. В результате мода ТEmni отражается от сужения и оказывается запертой, тогда как остальные моды свободно излучаются и соответствующие добротности малы (Qte^/Qte^ = 1/(2 十 3); при Q > 3 все добротности (кроме QTEmnJ пренебрежимо малы). Общее число мод с различными q равно примерно 2L/A, т. е. указанный метод селекции разряжает спектр в 2L/A раз.

При малой длине сужения имеет место частичное просачивание мощности излучения в выходной волновод. Подбор геометрии сужения позволяет тогда одновременно использовать его и как вывод энергии («дифракционный» вывод энергии), и как корректор добротности резонатора, при котором обеспечивается оптимум КПД.

Собственные колебания резонаторов гиротронов

Исходными уравнениями для рассмотрения колебаний резонаторов гиротронов являются уравнения Максвелла:

(1.14)(1.14)rot Н = e。耽"+ j

(1.14)

(1.14)

rot E = 一40万p

Пусть E, H и j — периодические функции времени. Представим плотность тока в виде ряда Фурье:

= Re Е(L15)

где jn(r, g) — комплексные амплитуды плотности тока, определяемые обратным преобразованием Фурье:

27r

jn(r,cj) = - j(r,d(3t).(1.16)

7Г、0

Будем в дальнейшем интересоваться только первой гармоникой плотности тока:

27r

jl(r,G)= -*厶方)6-*方次g力)三 j(r").(1.17)

7Г ,

О

Если j(r,力)—вещественная функция, то согласно выражению (1.16)

j(r,力)=Rej(r,幻)£川.(1.18)

Используя соотношение (1.17) и аналогичные соотношения для Е и Н, приходим к уравнениям Максвелла для комплексных амплитуд E(r, g) и H(r, G)：

rot Н = j +7geoE,

(1.19) rot Е = —^G〃oH.

Рассмотрим собственные колебания резонатора, т. е. положим j = 0: rot Н = ^geoE,

(1.20) rot Е = —/g〃oH.

Из уравнений (1.20) непосредственно следует уравнение Гельмгольца, которое для поля Н имеет вид

rot rot Н - k2H = 0,(1.21)

где к = g，£0〃0 = g/&

Из общих соображений ясно (строгое обоснование приведено в монографии [51]), что в каждом поперечном сечении слабо неоднородного волновода электромагнитное поле имеет такую же структуру, что и поле в регулярном волноводе такого же сечения (последний называется волноводом сравнения). Для волноводов с прямолинейной осью z (см. рис. 1.7) и волнами ТЕ отличны от нуля Hz, Нх, Ну, Ех, Еу. Из уравнения (1.21) следует, что:

dz2 ду2 дх2dz2 ду2 дх2+ k2Hz = 0.+ k2Hz = 0.(1.22)(1.22)

dz2 ду2 дх2

dz2 ду2 дх2

+ k2Hz = 0.

+ k2Hz = 0.

(1.22)

(1.22)

Если в поперечных сечениях 〃？(/, у〉z) имеет такую же структуру, что и в регулярном волноводе, то его можно представить в виде

"?(/,g,z)=。⑶7 ⑶(/,g),"?(/,g,z)=。⑶7 ⑶(/,g),(1.23)(1.23)

"?(/,g,z)=。⑶7 ⑶(/,g),

"?(/,g,z)=。⑶7 ⑶(/,g),

(1.23)

(1.23)

где T^ (ж, у) — мембранная функция, удовлетворяющая уравнению:

尹7⑶尹7⑶ду2 дх2尹7⑶尹7⑶ду2 дх2+ ¥7 ⑶=0.+ ¥7 ⑶=0.(1.24)(1.24)

尹7⑶尹7⑶

ду2 дх2

尹7⑶尹7⑶

ду2 дх2

+ ¥7 ⑶=0.

+ ¥7 ⑶=0.

(1.24)

(1.24)

Для ТЕ-волны при идеальной проводимости стенок резонатора на контуре поперечного сечения должно выполняться граничное условие:

В каждом сечении контур различен, поэтому ае = ae(z). Ненулевые решения уравнения (1.24) при условии (1.25) существуют при дискретных значениях ае, образующих спектр критических волновых чисел собственных мод волновода сравнения.

Для Т⑺(х)у) известно следующее интегральное представление (см., например, [33]):

27r

7⑶(/,g) = Р®产^ cos 宀 sin ⑺ d”(1.26)

О

Тогда, согласно выражению (1.23) имеем

27r

НМ吃 п,2)=%(6 …cos 夕+沙 si”)(1.27)

0

где 丸® z)=。⑶Р(з).

Функция Р(з) выбирается такой, чтобы выполнялось условие (1.25). Как показано для осесимметричного волновода (все контуры — окружности) [33]

丸("Z)=*(夕+万/2),m = 0, 1, 2,...(1.28)

Поле Hz выражается через функции Бесселя, т. е.

ЯДг,九 z) = С ⑺ JmSr)e",(1.29)

где 厂，吵 и z — цилиндрические координаты, m — азимутальный индекс моды. Подставляя выражение (1.23) в уравнение (1.22) и используя соотношение (1.24), находим

堂目 + 后0=0.(1.30)

dz

Последнее уравнение отличается от аналогичного уравнения для регулярного волновода тем, что для последнего h? = к?—宙=const, тогда как в нашем случае h2 = к2 — ае2(2；) — заданная функция z. Уравнение (1.30) является уравнением неоднородной струны.

Поскольку нас интересуют собственные колебания, то на концевых сечениях резонатора z = zi и z = ?2 (см. рис. 1.7) поля должны иметь вид уходящих волн:

В дифференциальной форме условия излучения (1.31) запишутся в виде

(1.33)(1.33)Нетривиальные решения уравнения (1.30) при условиях излучения (1.31) или (1.32) существуют при некоторых дискретных комплексных g = Gi + 7G2, образующих спектр собственных частот резонатора, причем 幻2 = Ima〉0 (колебания затухают). В результате решения краевой задачи, как правило численными методами, находят резонансную частоту (т. е. g и 幻2)и добротность резонатора, связанную с излучением (дифракционную добротность):

(1.33)

(1.33)

Зная HZ(3C> у〉2, легко определить остальные компоненты полей по известным формулам для поля ТЕ-волны в регулярных волноводах (в данном случае — в регулярных волноводах сравнения):

h丄=-^▽丄"？， e丄=嘗昆▽丄"",h丄=-^▽丄"？， e丄=嘗昆▽丄"",(1.34)(1.34)

h丄=-^▽丄"？， e丄=嘗昆▽丄"",

h丄=-^▽丄"？， e丄=嘗昆▽丄"",

(1.34)

(1.34)

「де ▽丄= L^+ig^■; i%,用 и i? — единичные векторы по соответствующим направлениям.

Вынужденные колебания резонаторов. Баланс энергиипри стационарных колебаниях

Вернемся к неоднородным уравнениям Максвелла (1.19). Умножим первое уравнение на Е* dr и проинтегрируем по объему резонатора между сечениями z — z\^ z — z^ (рис. 1.7):

E*rot Hdr= >£0 |E『dT+ jE* dr.

Учитывая, что E*rot H = H rot E* - [E*H] = >*/z0HH* - [E*H], а также используя второе уравнение (1.19) и применяя теорему Остроградского-Гаусса, получим

GEo |Е|2 dr -|Н|2 dT = j o[E*H]n da + j jE* dr. (1.35)

VVVVVV

V

V

V

V

V

V

Здесь поверхностный интеграл взят по замкнутой поверхности резонатора. Приравняем отдельно действительные и мнимые части данного уравнения, учитывая, что g = g + 7G2・ Тогда

gi£o J |E|2 加-gi〃o J |H|2 加=-Im J [E*H]n do — Im J jE* dr. VVSV

(1.36)

G2£o ] |E|2 dr + G2〃o ] |H|2 dT = Re ] [E*H]九 do + Re ] jE* dr. VVSV

В последнем выражении мы кроме всего перешли от интегрирования по замкнутой поверхности к интегрированию по торцам, подразумевая под S суммарный интеграл по сечениям волновода при z = zi и z = =?2, так как на боковых поверхностях омические потери считаются равными нулю.

Рассмотрим два частных случая.

Свободные колебания, j = 0 (будем отмечать все величины, относящиеся к этому случаю, индексом 0). Интеграл J [E*H]n dcr при s

действительной частоте можно считать вещественным, так как на торцах колебания имеют вид чисто бегущих волн, для которых Е и Н находятся в фазе. Тогда из первого уравнения (1.36) получаем

Wo = } ] £о|Е|2 dr = ^ Ло|Н|2 dr.(1.37)

Последнее означает, что средняя за период запасенная электрическая энергия равна магнитной. Это известное свойство закрытых резонаторов, не имеющих омических потерь. Выражение (1.37) справедливо приближенно и для комплексных частот, если добротность резонатора велика.

Из второго уравнения (1.36) для свободных колебаний с учетом (1.37) следует, что

4G2w0 = 2居，(1.38)

где 居=^ Re J [EgHo]n do — средняя мощность дифракционных потерь за счет излучения через торцы. По определению добротности Q = =giWo/R. Комбинируя это определение с (1.38), получаем выписанное ранее соотношение Q = cji/2cj2-

Вынужденные стационарные колебания при фиксированной структуре поля. Пусть теперь j ^ 0, но режим стационарен, т. е. установился баланс энергий — поступающей из пучка и излучаемой из резонатора. Для таких колебаний ^2 = 0, cji = cj, где g — частота вынужденных колебаний. При достаточно высокой добротности резонатора гиротрона можно считать, что

Е = МЕ。， Н = МН°.(1.39)

Добротность Q будем считать ВЫСОКОЙ, когда Q/Qmin》1, где Qmin = =47r (L/A)2 — добротность «резонатора», образованного отрезком ре-

гулярного волновода длины L, согласованного с нагрузкой. Легко показать, что М = ^М

Подставив выражение (1.39) в уравнение (1.36), и полагая 幻2 = 0 и cji = cj, получаем:

|М|2d{ео|Ео|2—о 目[но, dv =

(1.40)(1.40)Im|M|2号[ESH0]n da - Im jE* 狂

(1.40)

(1.40)

SV

0 = Re |M『号 [E*H0]n d(j + Re jE* dr.

SV

Учтем теперь, что - J [E^H。]九 с/ст = -Re J [E^H。]九 do = P。〉а также 2 s2 s

соотношения (1.37) и (1.38), тогда

Im丿竺1历⑼?da =也R = 绰Wo.公 J LJ n33

Is

Подставив полученный результат в первое уравнение (1.40), получаем

-Im jE* dr.-Im jE* dr.

-Im jE* dr.

-Im jE* dr.

Так как |g — g/《g, to окончательно имеем

(1.41)(1.41)2(幻0 — cdQi)W = —- Im jE* "т,

(1.41)

(1.41)

где W = \M\2W0.

Уравнение (1.41) выражает собой баланс реактивных мощностей. Аналогично из второго уравнения (1.40) с учетом (1.37) и (1.38) найдем выражение для баланса активных мощностей:

1「2^2^ = -- Re jE* dr.1「2^2^ = -- Re jE* dr.(1.42)(1.42)

1「

2^2^ = -- Re jE* dr.

1「

2^2^ = -- Re jE* dr.

(1.42)

(1.42)

Здесь в правой части стоит активная мощность, излучаемая потоком в объеме резонатора, а в левой — величина, выражающая мощность дифракционных потерь.

Преобразуем объемный интеграл, введя в него j(r,力),вместо комплексной амплитуды тока (см. соотношение (1.16)):

27r

Р = —5 jE* dr =j(r,力)Е*е—*%@力)dj (1.43)

V0 V

где Р — комплексная мощность, которую отдает электронный поток. Окончательно

2^2^ = Re Р,(1.44)

2(g — g(h)W = ImP.(1.45)

Если плотность возбуждающего тока j(г,力)задана, то правые части последних двух уравнений могут считаться известными. В приближении фиксированной структуры поля известны также распределения полей. Аналогичное приближение делалось в теории оротрона (см. том 1, лекция 15), в котором также используется открытый резонатор.

Тогда из уравнения (1.44) можно определить амплитуду поля, входящую в W, а из (1.45) — отстройку частоты g стационарных колебаний от собственной частоты резонатора. Однако в задаче об автоколебаниях в гиромонотроне плотность тока (точнее ее переменная составляющая) не является заданной величиной и определяется возмущением движения электронов под воздействием высокочастотного поля неизвестной амплитуды. Поэтому соотношения (1.44) и (1.45) могут рассматриваться только как решение первой части общей самосогласованной задачи. Вторая ее часть состоит в нахождении j(r,力),что опирается на анализ движения частиц в гармоническом поле. Последняя задача существенно упрощается за счет усреднения движения и перехода к укороченным уравнениям.

Укороченные уравнения автоколебанийв гиромонотроне

Уравнение движения электрона в статическом поле Bq и высокочастотном поле Е и В имеет вид

-^ = —еЕ — в [v, В + Bq] ,(1.46)

где В = 〃оН, Bq =匕石0, Bq = const. На частотах, близких к критическим /г/ае《1, и согласно (1.34) имеем соотношение

H± =一竺▽丄ае

откуда следует, что

В± « 0, ае

с

Таким образом, высокочастотное магнитное поле, как и статическое, направлено вдоль оси z, и уравнение движения принимает вид

■^ = —еЕ — е(В0 + В) [v, i" ,(1.48)

илиили-^ = —еЕ - в(В0 + 6) [v丄，i",

или

или

(1.49)(1.49)(1.50)(1.50)Сохранение продольного импульса (соотношение (1.50)) является прямым следствием использования квазикритических волн, фазовая скорость которых少小》&

(1.49)

(1.49)

(1.50)

(1.50)

^" + eBq [v_l, i" = —eG,^" + eBq [v_l, i" = —eG,(1.51)(1.51)Перепишем уравнение (1.49) в виде

^" + eBq [v_l, i" = —eG,

^" + eBq [v_l, i" = —eG,

(1.51)

(1.51)

где G = Е + 6 [v_l, i" — высокочастотная сила Лоренца, действующая на единичный положительный заряд. Перейдем в (1.51) к независимой переменной z, используя, что

d d dr 丄 p_L

dt Vz dz， dt pz

Тогда уравнение (1.51) можно преобразовать к виду

dp丄 I в Bq「.]厶石+小丄上]dp丄 I в Bq「.]厶石+小丄上]eGmeGmmm

dp丄 I в Bq「.]

厶石+小丄上]

dp丄 I в Bq「.]

厶石+小丄上]

eGm

eGm

m

m

Окончательно приходим к системе уравнений:

-^- +[p±, i"-^- +[p±, i"emGemGPzPz(1.52)(1.52)dr丄 dz dt dzdr丄 dz dt dz_ р±PzтШо_ р±PzтШо(1.53)(1.53)(1.54)(1.54)Ш = 1- °2/с2pz = const.Ш = 1- °2/с2pz = const.(1.55)(1.55)(1.56)(1.56)

-^- +[p±, i"

-^- +[p±, i"

emG

emG

Pz

Pz

(1.52)

(1.52)

dr丄 dz dt dz

dr丄 dz dt dz

_ р±Pzт

Шо

_ р±Pzт

Шо

(1.53)

(1.53)

(1.54)

(1.54)

Ш = 1- °2/с2pz = const.

Ш = 1- °2/с2pz = const.

(1.55)

(1.55)

(1.56)

(1.56)

Здесь hc = eBo/pz =幻^/少之 ——постоянная распространения волны частоты а。бегущей с фазовой скоростью vz; hc = const. Величина hc имеет также смысл угла поворота электронов на ларморовской окружности при дрейфе вдоль оси z на единицу длины.

Прямое решение полученной системы представляет значительные трудности, учитывая, что сила Лоренца G, входящая в правую часть уравнения (1.52), сложным образом зависит от времени и координаты частицы, движущейся по многопетлевой траектории. Однако, это движение является почти периодическим, что позволяет упростить уравнения путем их усреднения по быстро меняющейся переменной.

В уравнениях (1.52), (1.53) неизвестными функциями являются ж,

у, рж,加 Введем новые переменные следующим образом:

(1.57)(1.57)①=X + 厂丄 cos 仇 У — У + r± sin ^,Px = —P± sin ^,py = p± cos ^,9 = kz + W•

(1.57)

(1.57)

Новыми переменными являются X, У, p丄,W. Величина 厂丄 выражается через р丄 как

Q = Pr/hcpz.(1.58)

заменимзаменим(1.59)(1.59)^ следую-^ следую-Рассмотрим ж-компоненту уравнения (1.52):

заменим

заменим

(1.59)

(1.59)

^ следую-

^ следую-

azvz

Дифференцируя третье из соотношений (1.57), щим образом:

dpxdpr .dO , . .,厶

——=Sin и — p± COS d丁 = ~P\ Sin d — hcPn — p丄 W cos 仇

azazaz

В результате уравнение (1.59) примет вид

sin J + р丄歐 cos J =竺(1.60)

Для ^/-компоненты (1.52) имеем

р] cos J — р丄W‘sin J =-.(1.61)

Аналогично для пары уравнений (1.53) получаем

X' + cos 0 — г±Фх sin ^ = 0,(1.62)

(1.63)(1.63)У' + 厂i sin 0 + 厂丄W‘ cos J = 0.

(1.63)

(1.63)

Исключим J из левых частей (1.60) и (1.61). Для этого умножим уравнение (1.60) на sin 仇 а уравнение (1.61) — на cos J и сложим их. Получим выражение вида

pl = —Go, Go = Gx sin0-Gy cos6>.(1.64)

Теперь домножим уравнение (1.60) на cos 仇 а уравнение (1.61) на sin 0 и вычтем второе из первого. Получим

р^Ф7 = —Gz, Gz = Gx cos0 Gy sin 0.(1.65)

Исключим J из уравнений (1.62) и (1.63). Из формулы (1.58) имеем

az hcpz azhcpz

3 Трубецков, Храмов

Теперь, используя соотношения (1.64) и (1.65), находим

丁1 =?, 丁丄w’ =.

VzhcPzvzhcpz

С учетом этого из уравнений (1.62) и (1.63) получаем следующие соотношения:

X，=(1.66)

DQVZ

BOVZ °

В чем смысл новых переменных? Пусть высокочастотная сила G = =0. Тогда уравнения (1.52) и (1.53) описывают движение электрона по винтовой линии (рис. 1.8). На рисунке величинами X。и Уд обозначены поперечные координаты ведущего центра (оси винтовой линии),厂丄° — радиус ларморовской окружности. Координаты и импульс частицы равны:

/=X0+ 厂丄0 cos J,/=X0+ 厂丄0 cos J,g = Yq +厂丄О sin仇g = Yq +厂丄О sin仇

/=X0+ 厂丄0 cos J,

/=X0+ 厂丄0 cos J,

g = Yq +厂丄О sin仇

g = Yq +厂丄О sin仇

(1.68)

рЖ0 = т^ = -р丄о sin 仇рЖ0 = т^ = -р丄о sin 仇Руо = ту = 一。丄о cos 仇

рЖ0 = т^ = -р丄о sin 仇

рЖ0 = т^ = -р丄о sin 仇

где J = 3 ct + Фо = hcz + Фо — угол поворота электрона около ведущего центра,厂丄° =少丄о/^со =。丄о/е^о,夕丄о — осцилляторный импульс, X。， К, Р丄о,屮。есть постоянные величины. Сравнение уравнения (1.68)

Рис. 1.8. Параметры электронной траекторииРис. 1.8. Параметры электронной траекториис уравнениями (1.57) и (1.58) свидетельствует об их эквивалентности, т. е. X и У можно считать координатами ведущего центра, р丄— поперечным импульсом электрона, 丁丄—ларморовским радиусом, Ф — фазой. В отличие от невозмущенных новые величины являются пе

Рис. 1.8. Параметры электронной траектории

Рис. 1.8. Параметры электронной траектории

ременными. При включении высокочастотного поля траектория уже не будет винтовой линией, но указанные величины изменяются медленно, т. е. очень мало за циклотронный период (иначе будет нарушаться условие синхронизма, и будет невозможен резонансный механизм взаимодействия).

Заметим также, что несмотря на то, что новые переменные являются медленными, у них не исключены быстрые, но мелкие пульсации, которые вызваны тем, что компонента высокочастотной силы G явно и неявно (через координаты вращающихся электронов) зависит от быстрой переменной J. Учет этих пульсаций не должен влиять

в рамках резонансного механизма на интегральные характеристики индуцированного излучения. Поэтому адекватным методом в данном случае является усреднение правых частей уравнений (1.54)—(1.67) по быстрой переменной 仇 т. е. выделение в них медленно меняющихся,

но максимальных по модулю составляющих. При этом мы приходим к «укороченным» уравнениям, существенно более простым, чем предыдущие.

Средняя величина G(r,力)равна (с учетом того, что G(r,力) = =ReG(rj)eW)

1 27r1〈G(r")〉屮[G(r,t) ^ = — 27r JZ7T01 27r1〈G(r")〉屮[G(r,t) ^ = — 27r JZ7T027r27rRe ^x.y.z)^^] d9,(1.69)оRe ^x.y.z)^^] d9,(1.69)о

1 27r1

〈G(r")〉屮[G(r,t) ^ = — 27r JZ7T

0

1 27r1

〈G(r")〉屮[G(r,t) ^ = — 27r JZ7T

0

27r

27r

Re ^x.y.z)^^] d9,(1.69)

о

Re ^x.y.z)^^] d9,(1.69)

о

где G(①,g,z) — комплексная амплитуда. Поскольку x и у периодически зависят от J (см. первые два уравнения (1.57)), то G также периодическая функцмя 仇 Ее разложение в ряд Фурье имеет вид

G(c,g,z)= £ G^XYnV 叫(1.70)

где амплитуда гармоник выражается как

27r

Gm(X, К z) =[ GE g, z)a”° d仇(1.71)

0

Подставим выражение (1.70) в уравнение (1.69). Это дает

1卞

(1.72)(1.72)(G(r,t)) = Re £ — От(Х,У,г^г)е^~твиО.

(1.72)

(1.72)

7П= —ОСq

Однако величина Gm не зависит от 仇 Поэтому усреднение сводится к вычислению интегралов вида

1方о1方о27rе心i°)do.27rе心i°)do.(1.73)(1.73)

1

方

о

1

方

о

27r

е心i°)do.

27r

е心i°)do.

(1.73)

(1.73)

Экспоненциальный множитель exp [J (cjt — m3)] в общем случае сильно меняется на интервале 0 -4- 2тг, и интегралы (1.73) малы. Но если предположить, что для некоторого m = п фаза (幻力—тО) остается примерно одинаковой, то соответствующий интеграл дает основной вклад в соотношение (1.72). Условие постоянства фазы есть

~^(з1 一 пЗ^ = 0,

или с учетом определения J = hcz + Ф

g — nhcvz — пФ7 = 0.

Но Ф меняется медленно, поэтому величина W' мала, и

g — пзе 0.(1.74)

Последнее выражение есть условие циклотронного резонанса. Если электрон дрейфует со скоростью vz, это условие справедливо в системе

з*

отсчета, связанной с ведущим центром. При переходе в лабораторную систему отсчета следует записать среднее от силы G как

27r

〈G(r")〉= ± Re 叵心i)] do.о

Поэтому в интегралах (1.73) показатели в экспоненциальных членах заменяются на (幻力—hz — пО) и резонансным условием будет

g — hvz ^ пзе〉(1.75)

т. е. появляется доплеровская поправка.

Таким образом, в уравнении (1.72) есть только один член, содержащий интеграл

27r

—[deе以3ts

0

Тогда

(G(r,t))«Re (G^i),(1.76)

где через 斤 обозначена медленная фаза

斤=—3t + пО = —g力 + nhcz + пФ.(1.77)

Заменяя в правых частях уравнений (1.64)—(1.67) компоненты Gg, Gr, Gx и Gy их средними значениями, а также W на 斤‘/几,приходим к укороченным уравнениям:

Pi = -- Re (G^e—М) ,(1.78)

/4 (俨 + ^ —几酿)=* Re (Grne"") ,(1.79)

X/= ± Re @九i)，(1.80)

H = -± Re(G"M).(1.81)

Определим физический смысл величины 斤.Для этого найдем ее производную:

d" , т G ПЗс — G т ,—=nhc + пФ7=h 几屮.

azvz vz

Отсюда видно, что скорость изменения фазы зависит от разности {пз — —Gc) и скорости изменения медленной фазы Ф в результате действия высокочастотного поля. В свою очередь и первый фактор содержит динамическую составляющую: помимо кинематического изменения фазы электрона относительно поля, вызванного начальным рассинхрониз- мом g и пЗс〉вклад дает неизохронность вращения, т. е. зависимость Зс от энергии. В целом 斤 определяет фазу вращения электрона относительно фазы высокочастотного поля.

Найдем теперь правые части укороченных уравнений. Для этого необходимо вычислить коэффициенты Фурье G®九,Grn, Gxn, Gyn. Подставим выражение (1.34) с учетом (1.9) в выражение для комплексной амплитуды G = Е + [v丄,\ZB^.

G = ^[▽丄,i" 6? + [v 丄,i" Bz,

так что G。Ge, Gx и Gy содержат под знаком интеграла линейные комбинации Bz, ^^ , ^^ , а также

и cos J, так как 少丄/ = vx sin J, v_\_y = vy cos J.

Тогда вычисление коэффициентов ряда Фурье сводится к расчету интегралов вида

27r27r27r

J Bzejne do, J Bz cos Ode, J Bz sinOdO, 27r J27r J27r J

000

1127r

1

1

1 、

0

Вычислим BznВычислим Bzn(1.9):(1.9):[27r* J Bze^e d仇/7Г 0[27r* J Bze^e d仇/7Г 0используя соотношения (1.27) ииспользуя соотношения (1.27) и

Вычислим Bzn

Вычислим Bzn

(1.9):

(1.9):

[27r

* J Bze^e d仇

/7Г 0

[27r

* J Bze^e d仇

/7Г 0

используя соотношения (1.27) и

используя соотношения (1.27) и

1127r27r

1

1

[[^H(^, z)ejk^x cos sin ^jne d^p de.

о о

Здесь x и у — координаты электрона на винтовой траектории, определяемые соотношениями (1.68). Окончательно

27r27r

Bzn = |\о丸(”z)e汴(Xcos°+ysi”)dgJ f ejkr^c^o-^jnede^

J27r、

о0

(1.82)

Внутренний интеграл выражается через функцию Бесселя Jn(kr丄) и поэтому

27r

Bzn = jnJn{kr^ 丸(”z)e办(Xcos4+ysi”)+7・"d”(1.83)

о

Для вычисления последнего интеграла учтем, что

27r

凡(X, К Z)=〃0丸® z)e汴(Xcoso+Vsi“)d”

о

Применим оператор Р = ^ ^^^ + 7 挥^) к этому интегралу, дифференцируя под знаком интеграла. Тогда

27r

0&(X,Y,z)= ; 〃о丸(”z)e外(Xcos4+ysi“)+7•夕 d”

о

n-кратное применение оператора Р дает:

27r

0九凡(X, К z) = Г 〃о丸(3 z)e汴(Xcoso+У si”)+7•” d”

о

Окончательно

Вzn =J九(к丁丄)l九(X, y, Z),

где

Ln(X,Y,z)=VnBz(X,Y,z).(1.84)

Аналогично определяются и другие фурье-компоненты. В результате

(1.85)

「о丄 dJn dLп「 。丄 dJn dLn

где § = к/厂丄.При выводе формул (1.85) величина /丄=少丄/с полагается равной ^/п, что точно справедливо при g = пшс.

Укороченные уравнения можно записать в более симметричной форме, близкой к уравнениям Гамильтона в механике. Для этого, используя связь энергии и импульса

£ = ШС2 =(党。4 + р2c2) 1/2 ,,2 =近 + 吸 (1.86)

введем в качестве одной из функций энергию £ (вместо р丄),которая вместе с фазой 斤 образует канононически сопряженные величины.

Из выражения (1.86) следует, что 2’ =。丄р[・ Умножим уравнение (1.78) на 少丄 и учтем соотношение (1.85). Тогда

。丄/4 =Re(G®九е"少), Qgn = jc ^^L

^ = e Re (-jH), где H = c ^^Lne~^.(1.87)

Pz

Поскольку 佛=-jHПоскольку 佛=-jHтото£f = е Re£f = е ReПравая часть уравнения (1.79) р丄 содержит выражение ｛子證Правая часть уравнения (1.79) р丄 содержит выражение ｛子證—n—nRe [Grne~^Re [Grne~^e&o丄 de&o丄 d.Заметим, что 證=i^-^ =.Заметим, что 證=i^-^ =.Тогда правая часть соотношения (1.79) равна.Тогда правая часть соотношения (1.79) равна—ер丄 Re^^. Аналогично можно показать, что правые части уравнений (1.80) и (1.81) равны соответственно—ер丄 Re^^. Аналогично можно показать, что правые части уравнений (1.80) и (1.81) равны соответственноииОкончательно получаем следующую систему преобразованных уравнений:

Поскольку 佛=-jH

Поскольку 佛=-jH

то

то

£f = е Re

£f = е Re

Правая часть уравнения (1.79) р丄 содержит выражение ｛子證

Правая часть уравнения (1.79) р丄 содержит выражение ｛子證

—n

—n

Re [Grne~^

Re [Grne~^

e&o丄 d

e&o丄 d

.Заметим, что 證=i^-^ =

.Заметим, что 證=i^-^ =

.Тогда правая часть соотношения (1.79) равна

.Тогда правая часть соотношения (1.79) равна

—ер丄 Re^^. Аналогично можно показать, что правые части уравнений (1.80) и (1.81) равны соответственно

—ер丄 Re^^. Аналогично можно показать, что правые части уравнений (1.80) и (1.81) равны соответственно

и

и

£' = е Re£' = е Re(1.88)

£' = е Re

£' = е Re

(1.89)

(1.90)

(1.91)

Пары уравнений (1.88), (1.89) и (1.90), (1.91) обнаруживают сходства с уравнениями Гамильтона. Функция 丸(формула (1.87)), зависящая от координат, импульса, фазы, играет в этих уравнениях роль функции Гамильтона.

Комплексная мощность Р выражается через обычные, а не через медленные переменные, т. е. Р тоже нужно усреднить. Преобразуем выражение (1.43), используя, что jE* = j±E* = jz^—~- Тогда

Pz

27r27r

p = —^ ] ] j(r, t^e-^d^t)加=^ ]卜/修川％@力)du 0 V0 V

(1.92)

Предположим, что пучок тонкий, т. е. скорости электронов и ВЧ-по- ле не меняются по поперечному сечению пучка. Тогда интегрирование по поперечному сечению в уравнении (1.92) сводится в приближении

тонкого пучка к замене jzn^J = ^jz da и^ dr на J dz. Следовательно,

S

27r厶

P = —±d^) dr.(1.93)

J J Pz о о

При получении последнего соотношения (1.93) использован также закон сохранения заряда Jdt = /о d力°, где 力° и /° — соответственно время влета электрона в пространство взаимодействия и входной ток. Используем равенство р丄Е* = р丄G® и запишем среднее от выражения (1.93) в виде

27r 厶27r

Р〉=[ d(Go力)[。丄Gd仇

J JZ7T J

о 00

Интеграл no J имеет такой же вид, как среднее от правых частей дифференциальных уравнений (1.64)—(1.67) при выводе укороченных уравнений. Процедура усреднения также аналогична: разлагаем G； в ряд Фурье и выделяем резонансный член с медленно меняющейся фазой. Опуская расчеты, которые ничем не отличаются от предыдущих, получаем, что

27r厶27r厶

〈p〉=-^^。丄G/e'" dz d(G力о) =—^；^^-dzd&. (1.94)

о оо о

Здесь 斤=nhcz + пФ — g力一медленная фаза (уравнение (1.77)), "о = =nW。— g力о — начальное значение 斤.

Получим интеграл энергий укороченных уравнений. Для этого найдем активную мощность, отдаваемую винтовым электронным пучком в среднем за период:

27r厶27r厶

Re仍＞=卷J J瑞厶他=寸J ]Re (器)dz d死.о оо о

Подынтегральная функция является правой частью уравнения (1.88), поэтому:

27r 厶27r

Re (P)=[^dz ^o =[仔(。)-£(D] d&. (1.95)

2тге J J dze 2乃 J

о о0

Физический смысл уравнения (1.95) ясен: активная мощность, передаваемая пучком высокочастотному полю в среднем за период, равна усредненной по начальным фазам убыли энергии электронов пучка за единицу времени.

Интегрирование укороченных уравненийавтоколебаний в гиромонотроне(слаборелятивистское приближение)

Полученная нами система укороченных уравнений достаточно сложна даже для численного ее решения. Поэтому обычно рассматриваются некоторые частные случаи, которые имеют важное значение для практической реализации гиротрона и понимания общих закономерностей в таких системах. Данный раздел посвящен рассмотрению аксиально-симметричного гиротрона в слаборелятивистском приближении.

Перейдем в этом случае к цилиндрическим координатам ведущего центра:

X = RcosW, Y = RsinW.(1.96)

A联=1 ReA联=1 ReУравнения (1.88) и (1.89) не изменятся, а уравнения (1.90), (1.91), как можно показать, примут вид [33]

A联=1 Re

A联=1 Re

(1.98)

Преобразуем функцию ?/, используя тот факт, что магнитное поле ТЕ-волн в круглом волноводе выражается через функцию Бесселя:

Bz = Af(z)Jm(kR)e-^,(1.99)

где /(z) — соответствующим образом нормированное продольное распределение поля. Применим к Bz оператор Рп = р^ ^^^ +7^^) и учтем выражение (1.96). Тогда получим

Ln = VnBz = Af(z)Jm_n(kR)e-^m~n^. (1.100) Подставляя полученное соотношение в выражение для 丸(1.87), находим

丸=A/(Z)C标*/…(кr)6-力(")5+叨. (1.101) Выпишем окончательно полную систему укороченных уравнений аксиально-симметричного гиротрона, которая имеет вид

6 = eRe (L102)

(1.103)(1.104)(1.103)(1.104)

(1.103)

(1.104)

(1.103)

(1.104)

AW' = 1 Re公60AW' = 1 Re公60(1.105)

AW' = 1 Re

公60

AW' = 1 Re

公60

H = Af(z)c ^^Jm_n(kR)e-j^m~n^^\(1.106)

27r厶

(1.107)(1.107)u〉= -市J

(1.107)

(1.107)

О о

Полная система уравнений, кроме интеграла энергии, имеет простой интеграл движения. Действительно, из уравнения (1.101) с учетом того, что 为于 = —7丸，следует:

dн…/

—=

Тогда из уравнений (1.97) и (1.88) находим

~n)w

(1.108)

R*=；g = -%：Re(^)

_ m — n ^i eo?Bo '

(1.109)

и,следовательно,

2 一 2(0)=一

' 丿2(m - n) L

-刑（o）］.

(1.110)

Если n > т, то отдача энергии электроном сопровождается уменьшением R (радиальным смещением ведущего центра) и наоборот. Например, если взаимодействие осуществляется на волне 〃(д, то на всех гармониках электроны по мере излучения приближаются к оси. Для волны Нц на основном циклотронном резонансе радиус не изменяется, а на второй гармонике ведущие центры приближаются к оси и т. д.

2H(0)(R —R(0)) ^2H(0)(R —R(0)) ^2 [2 — ^(0)] (n — m)2 [2 — ^(0)] (n — m)Для слаборелятивистских энергий указанное изменение радиуса незначительно. Действительно, из уравнения (1.110) находим, учитывая, что g =几

2H(0)(R —R(0)) ^

2H(0)(R —R(0)) ^

2 [2 — ^(0)] (n — m)

2 [2 — ^(0)] (n — m)

R(0) (A -冗(0)) ^広—2(°H 几^ — m) 工 2 了(°厶2, где£о = “2.

Окончательно получаем

Тогда при m = 0: R(0) ~ X и £ — 2(0) = 100 кэВ, а энергия покоя 2。= =500 кэВ. В результате даже при п = 3 △R/Но ^ 0,05 — достаточно малая величина.

Найденный интеграл движения позволяет свести систему укороченных уравнений аксиально-симметричного гиротрона к двум уравнениям. Введем для этого новую фазу

(1.П2)(1.П2)^ = ^ + (т — п)Ф

(1.П2)

(1.П2)

и образуем выражение, аналогичное левой части уравнения (1.89):

^ + — — nhc = —е ReVz^ + — — nhc = —е ReVzгде полная производнаягде полная производная++дН da?3刑d£дН da?3刑d£.Функция 丸 следующим.Функция 丸 следующим

^ + — — nhc = —е Re

Vz

^ + — — nhc = —е Re

Vz

где полная производная

где полная производная

+

+

дН da?

3刑d£

дН da?

3刑d£

.Функция 丸 следующим

.Функция 丸 следующим

Используя теперь уравнения (1.110) и (1.89), находим

(1.113)

образом выражается через новую фазу 仇

丸=A/(z)c bL^^ljm_n(kR)e~^.

Производная по старой и по новой фазе одинакова, т. е.

дН _ дН丽-加

В итоге, укороченные уравнения (1.102) и (1.103) становятся такими:

(1.П4)

^ + ^-* = -eRe (醬). (1.П5)

Эти уравнения образуют полную систему, так как 丸 не зависит от Ф, а входящий в 丸 радиус R однозначно связан с энергией интегралом (1.110).

Заметим, что в традиционных схемах гиротрона, т. е. при синхронизме g = П3с> высокий КПД возможен, когда изменение энергии электрона при взаимодействии с высокочастотным полем несущественно меняет их массу и, следовательно, циклотронную частоту. В противном случае, нарушается условие синхронизма. Поэтому энергия электронов должна быть такой, чтобы (2 — 2。) /2。《1. Данное неравенство фактически есть условие слабого релятивизма и полностью эквивалентно условию V/с《1. Это условие справедливо для большинства практически используемых конструкций гиротронов. Поэтому будем в дальнейшем рассматривать именно слаборелятивистское приближение для анализа выведенных нами укороченных уравнений.

Выведем укороченные уравнения для слаборелятивистского случая, исключив уравнения для ведущих центров (смещения центров малы). Поэтому при вычислении 丸 можно в качестве координат ведущих центров выбирать их начальные значения.

Введем следующие безразмерные переменные: безразмерная слаборелятивистская осцилляторная энергия

W 車 W 1;(1.116)

безразмерная продольная координата

С = »С = »(1.П7)(1.П7)

С = »

С = »

(1.П7)

(1.П7)

(1.118)(1.118)относительные осцилляторная и дрейфовая скорости на входе в пространство взаимодействия

(1.118)

(1.118)

сс

Заметим, что в рассматриваемом приближении /丄 и /? — малые величины. Параметр § = к厂丄.

В слаборелятивистком приближении при синхронизме g ^ пшс и не слишком высоких п

пзe_ пзe 夕丄 。丄。сс еВо 。丄 °mпзe_ пзe 夕丄 。丄。сс еВо 。丄 °m沁—5《1.(1.П9)沁—5《1.(1.П9)В силу этого, производнуюВ силу этого, производнуюd J пd J пвходящую в 丸，можно заменить пер-входящую в 丸，можно заменить пер-

пзe_ пзe 夕丄 。丄。

сс еВо 。丄 °

m

пзe_ пзe 夕丄 。丄。

сс еВо 。丄 °

m

沁—5《1.(1.П9)

沁—5《1.(1.П9)

В силу этого, производную

В силу этого, производную

d J п

d J п

входящую в 丸，можно заменить пер-

входящую в 丸，можно заменить пер-

вым членом степенного ряда:

(1.120)(1.120)^^п (€)〜П^п 1

(1.120)

(1.120)

Таким образом, функция 丸 принимает следующий вид:

п —1п —1

п —1

п —1

七7比 W“"e"" •歹，(1.121) 4e%七7比 W“"e"" •歹，(1.121) 4e%где F называется параметром поля, и имеет видгде F называется параметром поля, и имеет вид

七7比 W“"e"" •歹，(1.121) 4e%

七7比 W“"e"" •歹，(1.121) 4e%

где F называется параметром поля, и имеет вид

где F называется параметром поля, и имеет вид

р = е 几S九-4 1 f р jте^ 2п~2п1Р1- к" \ дХр = е 几S九-4 1 f р jте^ 2п~2п1Р1- к" \ дХ(1.122)(1.122)

р = е 几S九-4 1 f р j

те^ 2п~2п1Р1- к" \ дХ

р = е 几S九-4 1 f р j

те^ 2п~2п1Р1- к" \ дХ

(1.122)

(1.122)

входящую в уравнениевходящую в уравнение

входящую в уравнение

входящую в уравнение

Преобразуем теперь величину (1.89):

——nhc = —―― — nhc + g

Oz0式0)

=? [m — m(0)] +- nhc. (1.123)

pz〃N〈U丿

Заметим, что разность масс пропорциональна разности энергий. Тогда с учетом (1.116) и того, что W (0) = 1:

m - m(0) = ^ 仔-2(0)] = ” - 1) •(1.124)

При выводе последнего соотношения используется разложение в ряд энергии в виде

(1.125)(1.126)(1.127)(1.125)(1.126)(1.127)Окончательно имеем

(1.125)

(1.126)

(1.127)

(1.125)

(1.126)

(1.127)

где безразмерная расстройка частоты

д _ 2心-по?с(0)]

Параметр

L

имеет смысл безразмерной полной длины (ср. с (1.117)). Ранее эта величина использовалась как мера квадратичной группировки электронов в магнитном поле и была названа параметром неизохронности (см. том 1, лекция 1). Таким образом, укороченные слаборелятивистские уравнения гиротрона имеют следующий вид:

费=為 Re (以〃…。),(1.128)

^| + △ + W =—詣 Re (Wn/2Fe~j^ .(1.129)

В левой части уравнения (1.129) содержится энергия, влияющая на фазу вращающихся электронов относительно волны, т. е. на фазовую группировку. Это слагаемое непосредственно связано с релятивистской неизохронностью осцилляторов (ср. формулы (1.123) и (1.124)) и определяет инерционную группировку, которая может прогрессировать на участках дрейфа, где отсутствует высокочастотное поле (например, в гироклистронах). Наоборот, правая часть уравнения (1.129) пропорциональна амплитуде поля и определяет силовую группировку.

Для получения активной мощности в слаборелятивистском приближении заменим разность 2(0) — £(L), входящую в (1.95), на (Р± -吐)/2д. Тогда

Re р〉=仔(0) — £(L)]如。=。丄[ (1 — W) e Z7TZ7T J

0°

т 2

где 产丄о =— осцилляторная мощность, вносимая пучком в ра

е 2те

бочую область. Тогда поперечный электронный КПД

27r

(1.130)(1.130)〃丄(1-W)&.

(1.130)

(1.130)

尸丄о 27r J О

Преобразуем укороченные уравнения к виду, удобному для численного интегрирования. Введем комплексную переменную

(1.131)(1.131)b = VW е~^/п.

(1.131)

(1.131)

Очевидно, что модуль |b| = VW равен осцилляторному импульсу, отнесенному к своему начальному значению. Найдем

竺二丝一^e-j^/n^_

и подставим в полученное выражение производные ^^ и 赁 из уравнений (1.128) и (1.129). Тогда

=叫位二 Re(Wn/.Fe-3.\ _

d£ 2vW 3"、/

1 -П1 -П.(1.132).(1.132)△-許 2△-許 2

1 -

П

1 -

П

.(1.132)

.(1.132)

△-許 2

△-許 2

Рассчитаем фигурирующие в соотношении (1.132) производные:

^ Re (川九/?歹£田)=Re ^-jbnFe~j^1~1/n^ ==Re ^-jWn/2Fe~j^ ,

誥 Re (Wn/2Fe~j^ = Re (nW71^-1 Fe~j^/2^ .

Тогда

2几徒-2“ [△ + |b|2 - 1]=几exp^/n) Re ^_jWn/2Fe-j^ +

+ 2jVWe~^/n Re (nW71^-1 Fe~j^ =

一几exp (m/制)小九/2ьsin"+ j・，^e一/少/九方九/2一1ьcos斤=

jnW/ 2 F $队3—\) / 脸=jnb^F.

Рис. 1.9. Равномерное (а) и треугольное (б) распределение безразмерной силы

В итоге приходим к комплексному уравнению, заменяющему пару исходных укороченных уравнений.

2几徒-2jb [△ + |b|2 - 1] = jn (屮TQ .(1.133)

Уравнение (1.133) должно интегрироваться при начальном условии (b)S=o = (^ • e""“)Lo = £号阮/〈(1.134)

где начальная фаза может принимать любые значения в интервале О W W "о W 27r. Интегрирование (1.129) по достаточно полному набору фаз позволит табулировать функцию \Ь\ = |6”0)卜=厶 и затем вычислить поперечный КПД по формуле (1.130), которая с учетом (1.131) принимает вид

27r27r

^?± = —(1 - l^l2)(/^0 = 1-—|b『d&.(1.135)

Z7T JZ7T v

00

Значения начальной фазы обычно задаются в N равноудаленных точках. Далее для каждой фазы "о получаем в результате интегрирования уравнений (1.133) свое значение 6^(L), а затем по формуле (1.135), которая превращается в сумму

N

к=1 находим среднее значение 仇丄.

В таблицах 1.1 и 1.2 приведены оптимальные параметры гиромонотронов, вычисленные для двух простейших распределений высокочастотного поля в резонаторе (рис. 1.9) [33]. Для равномерного распределения F = Fq (рис. 1.9 а), для треугольного — F = (рис. 1.9 б). Как видно из данных таблиц, эффективность энергообмена при равномерном распределении поля существенно меньше, чем при треугольном. Основной причиной является то, что при большом поле на начальном участке рабочего пространства, где имеет место линейная группировка, электроны интенсивно поглощают энергию. Особенно сильно это проявляется при работе на второй и более высоких гармониках гирочастоты. Треугольное распределение, согласно табл. 1.2,

Т а б л и ц а 1.1

п

〃丄

从

△

|Fo|2-102

1

42%

7,5

0,60

8

2

30%

8,0

0,55

6

3

22%

10,0

0,40

2

4

17%

12,5

0,35

1

Т а б л и ц а 1.2

п

〃丄

从

△

|Fo|2-102

1

71%

14,0

0,55

16

2

64%

14,0

0,55

25

3

56%

20,0

0,40

9

в значительной мере лишено этих недостатков: КПД существенно выше и медленно спадает с ростом п.

Отметим, что треугольное распределение является сильной идеализацией и его невозможно реализовать. Расчеты, проведенные с рядом других распределений, показывают, однако, их некритичность, если они сохраняют основные особенности треугольного распределения: слабое поле на начальном участке и сильное поле в области энергообмена, где в результате квадратичной группировки формируются плотные фазовые сгустки. В табл. 1.3 приведены характеристики гиромонотрона при гауссовом распределении поля F = Fq exp [―3(2§〃 — I)2], которое достаточно близко к реальным распределениям поля в открытых резонаторах.

Если теперь произведен расчет оптимального поперечного КПД, то следующим этапом необходимо отыскать такие характеристики прибора, как параметры электронного пучка А。,少丄,17ц,幻^ или, вместо 少丄, V||, ускоряющее напряжение Vo и питч-фактор g. Необходимо также выбрать параметры, характеризующие электромагнитное поле: тип колебаний (поперечные индексы ТЕтппх моды), продольное распределение высокочастотного поля, добротность Q и собственную частоту cjqi резонатора; определить профиль резонатора, включая конфигурацию дифракционного вывода энергии, геометрические параметры выходной части прибора, включая область коллектора и окно вывода энергии. Определение всех этих факторов представляет собой задачу, не имеющую однозначного решения. Здесь следует также учитывать ряд дополнительных факторов (устойчивость колебаний на рабочей моде

Т а б л и ц а 1.3

n

〃丄

从

△

1

72%

17

0,50

2

71%

16

0,55

3

55%

22

0,40

по отношению к конкурирующим модам, устойчивость электронного пучка, тепловые эффекты и т. п.). Данные факторы играют разную роль на различных участках миллиметрового диапазона и при разных требованиях к энергетическим характеристикам прибора. Поэтому традиционно при проектировании гиротронов приходится отказываться от условия оптимума КПД и прибегать к компромиссным решениям.

Пусть задана длина волны излучения, номер гармоники п циклотронной частоты, тип рабочей моды TEmn, параметры электронного пучка /丄,/3Z (а значит и ускоряющее напряжение %). Предполагается также, что должен достигаться оптимум поперечного КПД, т. е. известны значения расстройки Д, параметра неизохронности 〃 и параметра поля F (при простейшем однородном распределении поля).

Циклотронная частота определяется из выражения (1.126) для расстройки △.

Магнитная индукция находится по формуле [33]

Во 黑(1 + 0,002%),(1.136)

где Ас = 2тгс/шсп и измеряется в миллиметрах. Ускоряющее напряжение Vo измеряется в киловольтах, Bq — в килогауссах.

Радиус пучка в резонаторе (средний радиус ведущих центров), как правило, выбирается из условия максимума фактора F как функции R. Тогда оптимум |茂| будет достигаться при минимально запасенной энергии поля в резонаторе, что создает преимущества рабочей моды по отношению к паразитным и обеспечивает минимальные высокочастотные потери в резонаторе. Из выражения для параметра поля (1.122) и формулы (1.100), применимой для круглых резонаторов, следует:

F =.(1.137)

Таким образом, радиус пучка определяется из условия

质=入(1.138)

где Хтр ——один из нулей производной функции Бесселя Jm-n(x). Чаще всего из бесконечного множества нулей выбирается наибольшее значение при условии, что вращающиеся электроны не касаются стенок резонатора.

Длина L рабочего пространства находится из соотношения (1.127), исходя из значений /丄,/3Z и оптимального значения параметра неизохронности (см. табл. 1.1).

Добротность резонатора и ток пучка связаны с отношением, вытекающим из уравнения баланса активных мощностей (1.44), которое можно записать в виде

2G02W « ^ = Re (Р)=。丄0〃丄=，手匿〃丄.(1.139)

4 Трубецков, Храмов

Запасенная энергия (ср. с формулой (1.100) при /(z) = 1)

2 L Rp

W =击 I \BZ\2 dr = Ц^〃о I I J^kr^r drdz =

Vо 0

I Л.『7г Rpe3LI Л.『7г Rpe3L2〃o2〃o[j^(kRp)- J^dkR^J^kRp)] • (1.140)[j^(kRp)- J^dkR^J^kRp)] • (1.140)

I Л.『7г Rpe3L

I Л.『7г Rpe3L

2〃o

2〃o

[j^(kRp)- J^dkR^J^kRp)] • (1.140)

[j^(kRp)- J^dkR^J^kRp)] • (1.140)

Амплитуда поля А вычисляется путем приравнивания \F\ из выражения (1.137) оптимальному значению Fq (см. табл. 1.1) при учете (1.138) и /(z) = 1. Следовательно, уравнение (1.139) позволяет определить только произведение /qQ. Это означает, в частности, что для достижения оптимального КПД следует понижать добротность с увеличением тока пучка и наоборот. Физически это объясняется необходимостью поддержания оптимального действующего на электроны высокочастотного поля. Отклонения в любую сторону от этой величины ухудшают условия фазовой группировки и энергообмена частиц и поля, поскольку время взаимодействия задано однозначно через /3Z и L. Отметим, что ток пучка в принципе может задаваться выходной мощностью, связанной с ускоряющим напряжением и поперечным КПД соотношением

Рвых = 〃/0% = 〃丄/о% 併В：併

(в пренебрежении омическими потерями в резонаторе). Тогда формула (1.139) позволяет определить дифракционную добротность Q.

Таким образом (с учетом упрощающих предположений), возможно определить практически все параметры, необходимые для проектирования электронно-оптической и электродинамической систем и выбора электрического режима.

Интегрирование укороченных уравненийавтоколебаний в гиромонотроне(теория слабого сигнала)

В случае, когда амплитуда поля мала, малыми величинами являются параметр поля R приращение энергии и динамическая поправка к медленной фазе. С учетом (1.77), (1.117), (1.125)—(1.127) представим энергию W и фазу 斤 в следующем виде:

W = W(0) + W1 = l + W1,

斤=—G力 + nhcz + пФ = z斤=—G力 + nhcz + пФ = z—+ uh) + пФ = —△，+ 斤° + "1.

斤=—G力 + nhcz + пФ = z

斤=—G力 + nhcz + пФ = z

Здесь W\ и % — соответственно приращения энергии и фазы, обусловленные высокочастотным взаимодействием. В линейном приближении W\《1 и 斤1《1 (斤〜7г). Линеаризуем укороченные уравнения

(1.129), удерживая в правых и левых частях члены первого порядка по F, W± и %. Тогда

請=-Re ^Fej^~^ ,(1.141)

%=_恥-^ Re 卜^心一阮)].(1.142)

Подставив 丸 из (1.121) в уравнение (1.94), получаем

27r 4

Р〉=—产丄。^ ] ] Wn^F^e^ d& d"(1.143)

о о

Рассмотрим произведение Wn^2e^, входящее в подынтегральное выражение, в линейном приближении:

Wn/2ej^=^ + ^wj(1+/山)U•(阮-△SA ° + ^i + J^i) U•(阮-

(1.144)

Отбросим постоянное слагаемое («единицу»), поскольку при подста- 27r

новке в интеграл соответствующий член J е^"° d"° обратится в нуль, о

Физически это означает, что если фазы вращающихся электронов не меняются, т. е. если нет группировки, то распределение по фазам остается равномерным и средняя мощность равна нулю. Таким образом, с учетом выражения (1.144) имеем

27r 4

Р〉=尸丄о^ [ [ —瑞Wi) U®-△£)d& d" (1.145) о о

Интегрируем выражение (1.141) непосредственно:

恥(。)=—〃 Re “oU(k-阮)/0/)]小 (1.146) о

Здесь вместо § и △ введены безразмерные переменные — соответственно а = ^//л = z/L и(/? = △• 〃. Кроме того, функция 歹(§)= 歹⑺ представлена в виде 歹(сг) = Fb/(cr), /(ст) — соответствующим образом нормированное продольное распределение поля.

Интеграл уравнения (1.142) имеет вид

必 С) = —〃 w^) daf - ^ Re y^-^Fof^)^ d^. (1.147) оо

MMРис. 1.10. График функции М(屮)для однородного распределения поляРис. 1.10. График функции М(屮)для однородного распределения поля

M

M

Рис. 1.10. График функции М(屮)для однородного распределения поля

Рис. 1.10. График функции М(屮)для однородного распределения поля

Подставив в первый из интегралов выражения (1.147) W\ (ст) из соотношения (1.146), получим двойной интеграл. Если теперь образовать разность ("1 — 7^Wi) и подставить ее в выражение (1.145) для комплексной усредненной мощности, то последняя окажется суммой тройного и четырехкратного интегралов, которые в общем случае не берутся. Однако если ограничиться вычислением только активной мощности, то результат может быть выражен через сравнительно простой однократный интеграл:

1122Jf ⑺ do .оJf ⑺ do .о(1.148)(1.148)

1

1

2

2

Jf ⑺ do .

о

Jf ⑺ do .

о

(1.148)

(1.148)

Из последней формулы следует, что в формуле Re (Р) знак может быть положительным (система электронов-осцилляторов излучает) только за счет слагаемого

о

и при достаточно больших 〃. Это слагаемое происходит от слагаемого —Wi в уравнении (1.142), которое (см. комментарий к формуле (1.129)) непосредствено связано с неизохронностью циклотронного вращения электронов и инерционной группировкой.

Рассмотрим случай однородного распределения высокочастотного поля /(ст) = 1, 0 ^ z ^ L, т.е. 0 ^ а ^ 1. Интегральный член выражается следующим образом:

ej^af(a)daej^af(a)da=М,=М,

ej^af(a)da

ej^af(a)da

=М,

=М,

=[g — ncjc(0)] Т представляет собой=[g — ncjc(0)] Т представляет собойVzVzЛ 心-ПЗс(О)] где величина g = Z\/z-亠1

=[g — ncjc(0)] Т представляет собой

=[g — ncjc(0)] Т представляет собой

Vz

Vz

набег фазы вращающегося электрона относительно поля за время пролета Т. Полученная функция изображена на рис. 1.10. Области с отрицательным наклоном кривой соответствуют положительному вкладу слагаемого 〃^^ в величину Re (Р). Наибольший интерес, естественно,

вызывает область 0 < g < 2тг, где производная отрицательна и максимальна по модулю. Относительная полоса частот для этой области

(1.149)(1.149)△公—(g)max — 27r — Tcз зТ зТ пТ

(1.149)

(1.149)

совпадает с частотой циклотронного резонанса, т. е. с шириной полосы циклотронного резонанса, равной ширине полосы циклотронного поглощения при линейной группировке, когда параметр неизохронности мал, и величина Re (Р) в выражении (1.148) определяется первым слагаемым.

Пусковой режим гиромонотрона

Пусковые условия автогенератора фактически представляют собой условия баланса энергий в режиме малых колебаний. Будем исходить из уравнения баланса активных мощностей (1.44). Это уравнение пригодно при любых амплитудах. Если теперь воспользоваться выражением (1.148) для линеаризованной активной мощности, то, поскольку и запасенная энергия и величина Re (Р) пропорциональны квадрату амплитуды поля, последняя сократится, и равенство (1.44) даст непосредственно пусковой ток.

Запишем уравнение (1.44) с учетом соотношения (1.148) в виде

2G02川罟=Re 0〉—。丄。£^q(g),(1.150)

X2

где q(g) = (几 + 〃^^) J e^a f(a) da . Рассмотрим аксиальносимметричный гиромонотрон. Для этого случая согласно выражениям (1.137) и (1.140)

Ее" 2 П!

w =圈;；У [j^kR^- J^kR^J^kR^ .

Подставляя эти значения в уравнение (1.150) и сокращая на |А|2, получаем пусковой ток:

—7rmeCV Rp(nl)24n— Jm-l(k Rp)Jm + l(k Rp)^(

nyCK =

Для гауссова распределения поля в резонаторе минимальный пусковой ток (в Амперах), соответствующий оптимальному углу пролета

g, равен:

(1.152)(1.153)(1.152)(1.153)丿〜17 522飞加)2l

(1.152)

(1.153)

(1.152)

(1.153)

МИН〜

где параметр

丫 — Jm—n(kR。)

(X焉-m2)J^(kRp)

называется структурным фактором.

Расчеты показывают, что оптимальные значения расстройки д, соответствующие минимальной величине пускового тока, не совпадают со значениями 夕(〃丄),соответствующими максимальному КПД. Более того, пусковой ток, отвечающий 夕(ту丄)，может превышать рабочий ток в режимах с приемлемыми значениями КПД. Это означает наличие режима жесткого возбуждения автоколебаний в гиромонотроне. Последнее является фактором усложняющим эксплуатацию генераторов в импульсном режиме. Отметим также, что область жестких режимов при работе на гармониках циклотронной частоты существенно выше, чем при работе на основном циклотронном резонансе n = 1.

Согласно соотношению (1.151) пусковой ток (или произведение ^Пуск02п-2)быстро возрастает с увеличением п (в первую очередь за счет /1 в знаменателе). Присутствие этого сомножителя, а также фактора Jm-n(kRo) связано с тем, что интенсивность взаимодействия на гармониках гирочастоты определяется неоднородностью высокочастотного поля на ларморовской орбите. При размерах неоднородностей порядка длины волны излучения эффективное поле имеет величину (^) ,〈Е2〉, где〈В?〉— среднее поле. Следствием этого и является повышение тока с ростом п. Фактор Jm-n(kRo) связан с выделением из полного высокочастотного поля спектральной компоненты, соответствующей n-й гармонике циклотронной частоты, которая дает вклад в среднее поле. Из вышесказанного понятно, почему пусковые токи гиромонотрона на гармониках уменьшаются с ростом энергии частиц. Отметим также, что пусковой ток при работе на основном гирорезонансе растет с увеличением энергии за счет /3Z в числителе выражения (1.151), что вызвано уменьшением времени взаимодействия.

Мазеры на циклотронном авторезонансе (МЦАР).Другие разновидности гироприборов

Как уже отмечалось в начале этой лекции очень важной проблемой с практической точки зрения является задача повышения мощности генерируемого СВЧ-излучения. Очевидно, что повышение энергии электронов — наиболее действенный способ этого, так как ресурсы наращивания мощности за счет тока пучка ограничены эффектами пространственного заряда. Однако в рамках гиротронного механизма попытка прямого увеличения ускоряющего напряжения наталкивается

на принципиальные ограничения. Легко убедиться в том, что КПД ультарелятивистского гиротрона должен быть достаточно малым. Действительно, если начальная осцилляторная энергия электронов £丄°》 》2°, то при электронном КПД порядка единицы, относительное изменение циклотронной частоты в процессе взаимодействия

=^^ 1.(1.154) Шс тп С С

Это явно противоречит условию синхронизма. Единственным выходом здесь видится уменьшение числа оборотов электрона в рабочем пространстве, чтобы набег фазы вращающегося электрона относительно высокочастотного поля оставался близким к тг. Требуемое число оборотов оценивается следующими равенствами:

N=^ ©二(L155)

с учетом соотношения (1.154) оно оказывается близким к единице. Однако при этом не работает в достаточной мере механизм квадратичной группировки, и КПД все равно остается малым. Компромиссом является использование субрелятивистских энергий пучков (200 4- 400 кэВ). В последнем случае возможно поддержать поперечный КПД на уровне 20 4- 30 %, но тенденция падения КПД с ростом ускоряющего напряжения сохраняется.

Некоторым выходом из создавшегося положения может быть применение неоднородного по длине резонатора магнитностатического поля (спадающего к выходному сечению) для компенсации ухода циклотронной частоты. Значительные трудности на этом пути связаны с существенно жестким возбуждением колебаний. Действительно, в режиме малого сигнала изменение массы частиц незначительно и неоднородное магнитностатическое поле нарушает синхронизм. В результате «стартовая» эффективная длина области взаимодействия окажется существенно меньшей, чем «рабочая» длина.

Другой выход из создавшегося положения — это использование мазеров на циклотронном резонансе, которые в отличие от гиротрона работают на бегущих волнах, фазовая скорость которых близка к скорости света с. В этом случае отлична от нуля поперечная компонента магнитного поля волны, и высокочастотная сила Лоренца имеет продольную составляющую. В результате при энергообмене меняется не только осцилляторная, но и продольная скорости частиц. Можно показать, что в процессе энергообмена при этом автоматически поддерживается синхронизм между вращающимися электронами и электромагнитной волной (циклотронный авторезонанс) за счет компенсации ухода циклотронной частоты доплеровским сдвигом, обусловленным изменением продольной скорости.

Рассмотрим излучение электронных осцилляторов в поле электромагнитной волны, бегущей вдоль магнитостатического поля с фазовой скоростью 少小.Запишем квантовые законы сохранения энергии и им-

пульса при испускании одного фотона:

(1.156)(1.157)(1.158)(1.156)(1.157)(1.158)△ шс?=方

(1.156)

(1.157)

(1.158)

(1.156)

(1.157)

(1.158)

△〃N =方k.

Отношение приращений запишется как

△тс?〜dgc?) _ 艺

△〃z ~ d(pz) k

Оно не зависит от постоянной Планка, и, следовательно, соотношение (1.158) справедливо в классическом пределе. Таким образом, получаем следующий закон сохранения:

-^ — n'z 2 = 7 (1 — /小员)—G — const. (1.159) me kmec

(1.160)(1.160)Скомбинируем это соотношение с доплеровским условием синхронизма

(1.160)

(1.160)

G = Я7，

1 - Vz v^

полагая в обеих формулах /Зф = Уф/с = 1 (точный авторезонанс). Правая часть оказывается константой:

(G(?H = 3С、,(G(?H = 3С、,ПЗс _ ПЗс _ ПЗсн

(G(?H = 3С、,

(G(?H = 3С、,

1 - 0//0小1 - /3Z G

т. е. синхронизм сохраняется независимо от изменения энергии электрона в процессе взаимодействия с высокочастотным полем. При указанном строгом авторезонансе вращающиеся электроны вообще не меняют фазу относительно волны. Но тогда нет фазовой группировки и отсутствует индуцированное излучение. Если, однако, немного отстроиться от авторезонанса, приняв /小 > 1, то появляется слабая неизохронность и,следовательно, излучение.

Особенностью МЦАР является и то, что в процессе энергообмена уменьшается не только осцилляторный, но и продольный импульс, что следует непосредственно из формулы (1.158), т. е. энергия черпается из дрейфового движения осцилляторов. Более того, теоретические оценки [52, 53] показывают, что электронный КПД порядка единицы возможен при 1 — /±《7о~2 и v±/vz《1, т. е. когда дрейфовое движение является главным источником энергии излучения. Важным достоинством таких режимов является большое (при 70》1) доплеровское преобразование частоты, что открывает возможность получения коротковолнового излучения при относительно слабых магнитных полях. Действительно, полагая, например, в уравнении (1.160)少小= =с (1 + е%"，и учитывая, чтос^о = ^сн/)。и 员 1 - -70-2, находим g ^ П7о^сн- Частота колебаний при п = 1 оказывается в 70 раз больше нерелятивистской циклотронной частоты.

Использование в МЦР электромагнитных волн с 少小 ^ с влечет за собой существенные изменения электродинамической системы МЦР от

Т а 6 л и ц а 1.4 (из работы [5, с. 6])

МЦР

Эффекты, обеспечивающие индуцированное циклотронное излучение

Релятивистская зависимость циклотронной частоты от энергии электронов

Продольная неоднородность высокочастотного поля

Сильная поперечная неоднородность высокочастотного поля

Сильная продольная неоднородность магнитостатического поля

Поперечная неоднородность магнитостатического поля

Трохотрон

+

Гиротрон

+

Пениотрон

+

Мазер на циклотронном авторезонансе

+

+

Секционированные МЦР с продольно-неоднородным магнитным полем

+

МЦР с поперечно-неоднородным магнитным полем

+

Направления «продольное» и «поперечное» отнесены здесь к направлению магнитостатического поля.

резонаторов гиротронов. В частности, приходится отказываться от бесполезного в данном случае дифракционного вывода энергии, и использовать системы, в которых резонатор формируется за счет брэгговского отражения от периодических структур типа гофрированных волноводов или на квазиоптические резонаторы. Более жесткие требования в МЦАР предъявляются и к разбросу скоростей электронов.

Обсудим кратко другие типы мазеров на циклотронном резонансе, отличные от гиротромонотрона. Как специально отмечается в тематическом указателе [5] все МЦР подразделяются на группы — по механизму группировки электронного потока и по виду статических полей (см. табл. 1.4) и типы — по характеру используемых неустойчивостей (абсолютная, конвективная) и по конфигурации электродинамических систем [54]. Так в 1966 г. на 5-й межвузовской конференции по электронике СВЧ (Саратов, 1966) в обзорном докладе А.В. Гапонова-Грехова было отмечено, что практически каждому СВЧ-электронному прибору О-типа соответствует его МЦР-аналог [5]. Различные типы таких аналогов приведены на рис. 1.11, взятом из [5, с. 7]. Теория одного из таких приборов — гироклистрона — была впервые изложена в докладе [55], где показано, что «поперечный» КПД двухрезонаторного гирокли-

Рис. 1.11. МЦР-аналоги классических приборов 0-типа: а — гиромонотрон; 6 — гироклистрон и гиротвистрон; в — гиротрон-усилитель бегущей волны (гиро-ЛБВ); г — гиротрон-генератор на встречной волне (гиро-ЛВВ)

строка составляет 34%. Гироклистрон с параметрами, аналогичными приведенным в работе [93], был создан в Горьком в 1967 г. [5] (сноска на с. 13). В настоящее время гироклистрон и его разновидность — гиротвистрон — активно исследуются в Мэриленском университете [5664].

Взаимодействие винтовых электронных пучковс незамедленными электромагнитными волнамив волноводе (гиро-ЛВВ и гиро-ЛБВ)

В конце предыдущего параграфа отмечалось, что практически каждому прибору О-типа соответствует его МЦР-аналог. Особый интерес среди них вызывают гиро-ЛБВ и гиро-ЛВВ (см. рис. 1.11), в которых реализуется взаимодействие винтовых электронных потоков с бегущими волнами волноводов в режимах усиления сигнала или генерации с перестраиваемой частотой излучения. Разработке экспериментальных установок и теоретическому анализу подобных приборов уделяется очень большое внимание [65-81], поэтому расмотрим МЦР с бегущими волнами более подробно.

При выполнении условия синхронизма электромагнитной и электронной волн

G —仇少|| ^ Зс(1.161)

имеет место эффективное взаимодействие винтового пучка с электромагнитными волнами волноведущей структуры. Здесь /о — постоянная распространения волны, 17ц — продольная (вдоль направления магнитного поля Bq) скорость движения электронов. Если пучок взаимодействует с одной ТЕ-модой регулярного волновода, а вектор Bq направлен

Рис. 1.12. Дисперсионные характеристики винтового электронного пучка и волноводной моды для различных характерных случаев взаимодействияРис. 1.12. Дисперсионные характеристики винтового электронного пучка и волноводной моды для различных характерных случаев взаимодействия

Рис. 1.12. Дисперсионные характеристики винтового электронного пучка и волноводной моды для различных характерных случаев взаимодействия

Рис. 1.12. Дисперсионные характеристики винтового электронного пучка и волноводной моды для различных характерных случаев взаимодействия

-1,-1,仇=土结 с仇=土结 свдоль оси волновода, то

-1,

-1,

仇=土结 с

仇=土结 с

(1.162)

где о；кр ——критическая частота данной моды. При данных 幻。^кр и 17ц дисперсионные соотношения (1.161) и (1.162) определяют в общем случае два значения частоты, вблизи которых реализуется эффективное взаимодействие пучка и поля (рис. 1.12).

В первом случае (рис. 1.12 а) дисперсионная характеристика пучка пересекает обе ветви дисперсионной характеристики волноводной моды, одна из которых соответствует прямой волне (/о > 0), а другая — встречной (/о < 0). Во втором случае (рис. 1.12 б) обе точки пересечения (в частном случае — точка касания cjKac (рис. 1.12 в)) лежат на «прямой» ветви. С учетом знаков потоков мощности ясно, что в первом случае возможно усиление сигнала с частотой, близкой к G](少「p(Gi)= = > 0), и генерация колебаний на частоте 幻2 (少гр(^2)< 0).

Второй случай более сложен. Если пучок ультрарелятивистский (V|| ^ с), то частоты gi и 幻2 достаточно отличаются от критической частоты о；кр волноводной моды, поэтому в согласованном на частотах gi,2 волноводе возможно только усиление сигнала с частотами примерно равными G] и 幻2 (vrp(^i,2)〉0). Если же пучок слаборелятивистский, то v^/c2《1, и из-за близости частоты 幻2 к cjKp возможно не только

усиление сигнала с частотами g « ^1,2, но и самовозбуждение системы вблизи критической частоты даже при хорошем согласовании волновода.

Описанные ситуации характерны для любого вида взаимодействия винтового электронного пучка с бегущими волнами независимо от типа группировки. Наиболее удобно их анализировать отдельно. Рассмотрим два типа группировки: фазовая группировка за счет релятивистской зависимости массы электрона от его энергии и фазовая сортировка электронов вследствии поперечной неоднородности ВЧ-поля. Первый тип группировки имеет место в гиро-ЛБВ и гиро-ЛВВ и рассматривается в этом разделе, второй тип группировки является основным в пениотроне, который будет изучаться в следующем разделе лекции.

В отсутствие ВЧ-поля траектория электрона в продольном магнитном поле описывается уравнениями

z = q 也 Z = а + /е^с 力，(1.163)

где Z = ж + jy, ж и у — поперечные координаты, z — продольная координата, а — комплексная координата ведущего центра электрона, /3 = г exp [j^],r — радиус ид — фаза вращения электрона относительно ведущего центра. Для описания динамики электрона в присутствии ВЧ-поля используем, как и в теории гиротрона, метод усреднения, который применим, когда изменение энергии электрона из-за взаимодействия с ВЧ-полем за время 力〜2tt/gc невелико. Поэтому соотношения (1.163) сохраняют свой вид и для взаимодействующего электрона, однако а и / будут медленно меняющимися (по сравнению с exp [j(vct]) функциями времени. Уравнения, описывающие их изменение во времени или по продольной координате, получаются усреднением уравнения движения релятивистского электрона

^^ = —e(E + [vB]/c),(1-164)

и в слаборелятивистском приближении без учета влияния пространственного заряда и ВЧ-магнитного поля имеют вид [83]

用=r•也n石)(1.165)

~т~ = -网2户 + 〈E exp [—j(vct]) •(1.166)

az 2c f||

Здесь

E = Ex+ jEy = E+(z, z\t)ej^ + E~{z, z*,力)汝\ (1.167) (后〉=£石+","+九斤/*"+"2^/。" +£后一"九,№"九/*%-2^/。"， "=04=0

(1.168)

〈еeхр[-加力= £『","+，斤夕"+九一%入屮"+

+ £ Eh,B+i#e—5\,(1.169)

4 = 0

1 d^E^^a.a^t)

где Acj = g — а。〈…〉обозначает усреднение по времени 2気 13c.

Система уравнений (1.165)-(1.170) учитывает эффекты, связанные с неизохронностью электронов-осцилляторов и неоднородностью поперечного ВЧ-электрического поля (последнее позволит построить теорию пениотрона— МЦР с неоднородным ВЧ-полем, которая будет рассматриваться далее в лекции). Изменение фазы вращения электронов вследствии неизохронности описывается первым членом в правой части уравнения (1.166), а от характера неоднородности зависит, какие из членов сумм в выражениях (1.168) и (1.169) окажутся превалирующими.

Начальные условия для уравнений (1.165),(1.166) зависят от вида электронного пучка. В частности, для нитевидного винтового электронного пучка a(z = 0) = а0 = const, /(2 = 0) = /。= =го exp [j^o] = const, го ——ларморовский радиус; для трубчатого винтового пучка a(z = 0) = а0 = const, ^(z = 0) = /° = го exp [J^o], 夕о G [0, 2тг]; для аксиально-симметричного поливинтового пучка a(z = =0) = Н° ехр [7"о], "о С [0, 2тг], Н° — радиус окружности, на которой расположены центры вращения электронов, / (z = 0)=厂° exp [/g。], So С [0, 2тг].

Для самосогласованного анализа взаимодействия пучка с полем к уравнениям движения электрона необходимо добавить уравнение возбуждения для поля Е. Если рассматривается взаимодействие винтового электронного пучка отдельно для прямой и встречной волны, то уравнение возбуждения имеет вид (см. том I, лекция 1)

27r

^ = ±± J j 丄寓 dS- = ^\^\^Ke~^ 陋，

S±S±0

(1.171) где E = Re {C(z)Es(①，g) exp [/(g力一仇/)]}, E$(①，g) — собственная функция взаимодействующей с пучком моды, Ns — норма колебаний, причем в отсутствии потерь Ns ^ Р, Р — поток мощности в волноводе, Зо =户0(公1,2)・ Верхний знак в уравнении (1.171) соответствует прямой волне, нижний — встречной. Интеграл в правой части уравнения возбуждения (1.171) может быть выражен через величины а и /, однако его конкретный вид зависит от типа пучка и собственной функции.

Рис. 1.13. Примеры взаимодействия винтового (поливинтового) электронного пучка с модами круглого и прямоугольного волновода

Начальные условия для уравнения (1.171) следующие: для прямой волны C(z = 0) = Свх, где Свх — амплитуда входного сигнала; для встречной волны C(z = L) = 0 в режиме генерации и C(z = L)= =Свх в режиме регенеративного усиления, где L — длина пространства взаимодействия.

Будем далее в этом разделе рассматривать взаимодействие слаборелятивистского трубчатого пучка с поперечным электрическим полем одной из ТЕ-мод волновода в условиях, когда пучок расположен в области максимального поля (максимума функции Е$(①,д)) и ларморовский радиус электронов достаточно мал для того, чтобы в области взаимодействия поле можно было бы считать однородным. Для однородного поля {Е) = 0, а〈石 ехр (―^幻^力)〉~ 石十 ^ 0 в случае резонанса g =幻丁 Именно этот случай и будет исследоваться в этом разделе 1). Рассматриваемые ниже модели являются простейшими моделями, представляющими взаимодействие аксиально-симметричного поливинтового пучка с полями, например, мод TEqi и ТЕц круглого волновода (рис. 1.13 а, б) и моды ТЕю прямоугольного волновода (рис. 1.13 г), а также трубчатого винтового пучка с полями тех же мод (рис. 1.13 仇 d).

Напомним, что поле в области пучка может быть представлено в виде суперпозиции двух циркулярно-поляризованных компонент с противоположным направлением вращения, с одной из которых вин-

1) Неоднородность поля в этом случае вносит несущественные поправки в основное движение электронов, определяемое однородной компонентой поперечного поля, и не будет учитываться далее.

товой пучок эффективно взаимодействует. Таким образом, задача сводится к анализу взаимодействия кольца неизохронных электронов- осцилляторов с циркулярно-поляризованным однородным поперечным электрическим полем.

Рассмотрим вначале усиление сигнала на прямой волне — в гироусилителе бегущей волны (см. рис. 1.12 a, g = Gi). Для описания процессов в гиро-ЛБВ из уравнений (1.165), (1.166) и (1.171) с учетом соотношений (Е) = О, (Е exp (—j(vct)) ~ 石+ можно получить систему стационарных уравнений в безразмерных переменных, описывающую взаимодействие прямой электромагнитной волны с винтовым электронным пучком:

27r

"歹=/, / = -^ ] 3麻0, (1.172) S о

B『B = F・ (1.173)

Уравнение (1.172) есть уравнение возбуждения прямой волны электронным потоком, уравнение (1.173) — уравнение движения электронов слаборелятивистского винтового пучка.

Уравнения (1.172), (1.173) решаются со следующими граничными и начальными условиями:

歹亿= 0) = FBX, 3(£ = 0) = до е [0,2^]. (1.174)

Здесь £ = Р = л ————-_2—— — параметр взаимо- V 4Vo

действия, 〃 = V||/ (Pc) — параметр неизохронности, b = = (g —/о°н — Gc)/(衣0少||) — параметр рассинхронизма, К = =|Es(q°)|2/(2A;2A^) — сопротивление связи, к = ш/с,歹 ~ С — нормированная амплитуда волны, Зх — начальная амплитуда входного усиливаемого сигнала, величина комплексного радиуса электрона / нормирована на невозмущенный начальный радиус 『о вращения электрона вокруг ведущего центра.

В уравнениях (1.172)-(1.174) предполагается, что возможное самовозбуждение системы вблизи частоты 幻2 (см. рис. 1.12) каким-либо образом предотвращено. Заметим, что уравнение для а отсутствует, поскольку при взаимодействии с однородным полем дрейфа ведущего центра не происходит. Поэтому в гирорезонансном взаимодействии главную роль играет изменение комплексного радиуса /.

Впервые физическая модель, соответствующая системе уравнений (1.172)—(1.174), была изучена В.К. Юлпатовым в 1964-1967 гг. (см, например, [37,38]).

Система нелинейных уравнений (1.172)-(1.174) по смыслу аналогична системе уравнений, описывающих ЛБВ типа О в рамках простейшей нелинейной модели (см., например, [83], а также том 1, лек-

ция 10). Однако есть и существенная разница, связанная с наличием дополнительного параметра 〃, который имеет смысл коэффициента эффективности преобразования энергии пучка в энергию поля (именно параметр //, а не параметр Р, который соответствует параметру Пирса в теории ЛБВО). Параметр 〃 является отношением двух малых параметров v\\/c и Р и может принимать, вообще говоря, произвольные значения.

Для режима усиления слабого сигнала (\F\ 《1) из уравнений (1.172)-(1.174) следует система линейных уравнений гиро-ЛБВ:

(1.175)

dF—

7,

(1.176)

歹 S=0 =歹вх,

7di

=一歹 BX, S=o

(1.177)

где F = F exp СМ» 户=户 exp (j心

Система линейных уравнений (1.175)-(1.177) приводит к дисперсионному уравнению (歹 ~ ехр (—/〃§)) следующего вида:

〃2(〃 + Ь) 一 〃一〃 = 0,(1.178)

которое было подробно исследовано в книге Л.А. Вайнштейна и В.А. Солнцева [83]. Из его решения вытекает, что при 〃 = 0 экспоненциальное усиление сигнала невозможно (для всех трех корней уравнения (1.178) имеет место Im 勿=0). При 〃》1 дисперсионное уравнение гиро-ЛБВ заменой ту = —jS ^//7, b = 川陷^ приводится к виду, в точности совпадающему с дисперсионным уравнением ЛБВО, и следовательно, имеет место решение, описывающее процесс усиления. При произвольных значениях 〃 также для одного из корней (пусть для определенности 〃i) Im〃i > 0, и по аналогии с ЛБВ можно определить асимптотический коэффициент усиления (том 1, лекция 10) в виде

G[^B] = —4 +出 Тттп] •£,(1.179)

где А — параметр начальных потерь.

При анализе нелинейной стадии взаимодействия следует учесть, что система уравнений (1.172)-(1.174) имеет интеграл движения, являющийся по смыслу законом сохранения энергии:

27r

尸|2 _ %|2 = 1 [网2 М = 〃丄，(1.180)

О

где 〃丄一коэффициент эффективности преобразования поперечной кинетической энергии пучка в энергию поля. Заметим, что полный КПД гиро-ЛВВ определяется соотношением ту = 〃丄(少丄о/°||)/(1 + 少丄о/°||)・

Рис. 1.14. Линии равного КПД 〃丄 на плоскости параметров (〃, 6) (а) и распределения амплитуды поля вдоль длины пространства взаимодействия для различных значений 〃 (б), построенные в результате численного расчета нелинейных уравнений гиро-ЛБВ (из работы [82])

Из закона сохранения (1.180) следует, что увеличение амплитуды поля определяется уменьшением радиусов вращения большего числа электронов кольца.

Результаты численного интегрирования системы стационарных нелинейных уравнений (1.172)-(1.174) приведены на рис. 1.14 [82]. Из представленных на плоскости параметров (〃, 6) линий равных значений поперечного КПД 〃丄,максимально достижимых при данных значениях 〃 и Ь, видно (см. рис. 1.14 а), что величина КПД может достигать большйх значений (〃丄 ~ 0, 6 4- 0, 7) в достаточно широкой области изменения параметров. Оптимальные значения параметра 〃 лежат в интервале 〃 G (1,10). Величина оптимальной безразмерной длины пространства взаимодействия ^£ОПТ, определяемая по длине, на которой наблюдается насыщение мощности | 歹『(§), при разумных значениях поперечного КПД и коэффициента усиления составляет, как следует из представленных на рис. 1.14 5 распределений амплитуды поля вдоль пространства взаимодействия, величину порядка《厶 опт ~ 〜2 + 10.

Рассмотрим теперь взаимодействие винтового электронного пучка со встречной бегущей волной в волноводе — гироусилитель или гирогенератор со встречной волной (гиро-ЛВВ) (см. рис. 1.12 a, g = 公2)・ Система уравнений для этого случая получается из системы уравнений (1.172)-(1.174) заменой знака в правой части уравнения возбуждения:

27r

— jbF = —/, / = —— /dgo, (1.181) о

樂+tМ网23=艮 (1.182)

5 Трубецков, Храмов

Дю/шоДю/шо0,80,80,40,4v 23456789&°6卩v 23456789&°6卩

Дю/шо

Дю/шо

0,8

0,8

0,4

0,4

v 23456789&°

6卩

v 23456789&°

6卩

Рис. 1.15. Амплитудно-частотные характеристики гироусилителя со встречной волной в режиме усиления малого сигнала, построенные для различных значений параметра неизохронности 〃 (а); зависимости максимального коэффициента усиления G и ширины полосы пропускания △公/公。от параметра неизохронности (б). Сплошные линии 1 построены для режима усиления малого сигнала (из работы [86])

Граничные и начальные условия уравнений гиро-ЛВВ (1.181) и (1.182) в режиме регенеративного усиления записываются в следующем виде:

歹(£ = %)=歹вх,3(€ = 0) = а%。， р0 е [0, 2тг],(1.183)

в режиме генерации —

歹亿=А) = 0,3(£ = 0) = U。。, до е [0, 2力 (1.184)

где А — безразмерная длина пространства взаимодействия гиро-ЛВВ. Рассмотрим сначала режим регенеративного усиления в гиро-ЛВВ, предполагая внешнее воздействие (1.183) гармоническим FBX = F^e^1 [85,86].

На рис. 1.15 а представлены зависимости коэффициента усиления G от частоты g, построенные для режима усиления малого сигнала (|Fb|《1), для различных значений параметра неизохронности 〃. Отрицательные значения частоты определяются тем, что в используемой нормировке частота g представляет собой поправку к частоте «холод-

Рис. 1.16. Зависимости эффективности преобразования энергии поперечного движения электронов-осцилляторов винтового пучка в энергию встречной электромагнитной волны при различных параметрах неизохронности 〃, построенные в результате численного расчета нелинейных уравнений гиро-ЛВВ (из работы [82])

ного» синхронизма. Видно, что максимальный коэффициент усиления растет с увеличением параметра неизохронности.

На рис. 1.15 5 (сплошные линии) показаны зависимости ширины полосы △g/go усиления и коэффициента усиления G в режиме усиления малого сигнала от параметра неизохронности 〃, где частота g° соответствует максимальному усилению. Из рисунка видно, что коэффициент усиления быстро растет с ростом параметра неизохронности и достигает величин порядка 20 дБ. В свою очередь, ширина полосы Acj/cjq уменьшается с ростом параметра неизохронности. Полосу пропускания можно достаточно легко сдвигать в широкой полосе частот за счет изменения величины продольной скорости электронов q〔 или магнитного поля Bq. Учитывая узость полосы пропускания, гироусилитель со встречной волной можно рассматривать как активный узкополосный фильтр миллиметрового диапазона длин волн.

На рис. 1.15 5 (штриховые линии) также представлены характеристики гироусилителя встречной волны при усилении внешнего сигнала с конечной амплитудой как функции параметра неизохронности 〃 для двух значений амплитуды внешнего сигнала: Fq = 0,05 и Fq = 0,3. В первом случае зависимости △g(〃) и G(〃) существенно отличаются от результатов линейной теории только при большйх параметрах неизохронности 〃〉6,0. Это связано с тем, что параметр неизохронности определяет величину фазовой нелинейности гиролампы с бегущей волной (〜〃(1 — |/『)3). Поэтому при больших значениях 〃 нелинейные эффекты начинают сказываться при меньшей амплитуде ВЧ-поля. Во втором случае (Fq = 0,3) вид зависимостей существенно отличается от результатов малосигнальной теории: коэффициент усиления резко падает, одновременно имеет место значительное расширение полосы пропускания лампы. Таким образом, меняя амплитуды входного сигнала в достаточно широких пределах возможно эффективно перестраивать ширину полосы пропускания гироусилителя (активного фильтра).

Рассмотрим теперь генерацию СВЧ-сигналов при взаимодействии винтового электронного пучка со встречной волной. Численное решение системы уравнений (1.181)-(1.184) показывает, что поперечный КПД гирогенератора со встречной волной в режимах стационарной генерации имеет значения 〃丄max ^ 0,2 (см. рис. 1.16), что значительно меньше, чем при взаимодействии винтового пучка с прямой волной. Причина в инерционном характере фазовой группировки: промодули- рованный по поперечной скорости на входе в пространство взаимодей-

ствия сильным полем выходного сигнала винтовой электронный пучок быстро группируется. Электроны-осцилляторы образуют фазовый сгусток, который затем также быстро разгруппировывается, и электроны не успевают отдать полю значительную часть своей поперечной энергии. Поэтому эффективность гирогенератора на встречной волне существенно меньше, чем гиротрона. Преимущество гиро-ЛВВ в возможности перестройки частоты генерации при изменении величины магнитного поля или ускоряющего напряжения 1).

При взаимодействии винтового пучка со встречной электромагнитной волной с ростом длины системы А и параметра неизохронности 〃 наблюдается генерация не только монохроматического сигнала, но и сложных хаотических колебаний с узкополосным спектром. Описание таких режимов необходимо вести в рамках нелинейных нестационарных уравнений гиро-ЛВВ.

Нестационарную теорию гиро-ЛВВ можно строго построить воспользовавшись нестационарным уравнением возбуждения волновода (см. том 1, лекция 1), как это было сделано при построении теории лампы обратной волны О-типа. Однако учитывая методику вывода нестационарных уравнений ЛОВО, получить соответствующие уравнения гиролампы со встречной волной можно феноменологически путем замены оператора d/dz новым оператором, а именно

d8

dzdzfrPdt'

или, переходя к переменной § = kVz,

dд__1

d§ —夾 ％pk0 dt'

Тогда, делая такую замену в уравнении (1.181), переходя от времени t к новой переменной г = 幻0(力—z/q|)(l + q|/Wrp|)~i и положив b = =0, после соответствующих преобразований приходим к уравнениям нестационарной нелинейной теории гиро-ЛВВ, которые записываются в виде

27r

dF dF1 f

赤一存=/,/ =—方 J 户"go,(1.185)

о

B =(L186)

歹(£, 丁 = 0)=严⑹，3 (§ = 0) = exp OVo) , 9о е [о, 2тг], (1.187)

i) В лекции 7(22) будет обсуждаться возможность повышения КПД гиро- ЛВВ путем использования в качестве электродинамической системы связанных волноведущих систем.

где /° — функция, характеризующая начальное распределение поля по координате.

Рассмотрим особенности нестационарной динамики модели гиро- ЛВВ, описываемой уравнениями (1.185)—(1.187) при изменении управляющих параметров. Заметим, что механизм взаимодействия электронной и электромагнитных волн в гиро-ЛВВ инерционный и с точки зрения нелинейной динамики имеет ряд схожих черт с аналогичным механизмов ЛОВ типа О. При большйх величинах параметра 〃 все результаты, полученные при анализе нестационарных процессов в ЛО- ВО, качественно справедливы для гиро-ЛВВ, причем совпадение тем более точнее, чем больше параметр неизохронности [84].

При малых значениях 〃 в системе превалирует не «интегральный» механизм ограничения амплитуды колебаний из-за перегруппировки электронов, а другой механизм, связанный с фазовой нелинейностью электронов-осцилляторов винтового пучка. Он заключается в том, что сформировавшийся в пучке фазовый сгусток с небольшим разбросом энергий при малом 〃 на некотором участке пространства взаимодействия может вести себя подобно одному «большому» электрону- осциллятору. В этом случае ограничение амплитуды колебаний определяется главным образом нарушением фазы между электронной волной, образованной такими сгустками, и электромагнитной волной, а не «разрушением» (разгруппировкой) электронных сгустков, как в ЛОВО.

На рис. 1.17 а представлена карта режимов колебаний гиро-ЛВВ на плоскости управляющих параметров (4,〃). Кривая 1 на рис. 1.17 а соответствует бифуркационной линии возникновения стационарного режима генерации, когда амплитуда выходного поля после переходного процесса становится не равной нулю и |歹(§ = 0, т)| = const, что соответствует одночастотному режиму генерации МЦР со встречной волной на частоте а。. Кривая 2 — линия потери устойчивости одночастотного режима. При переходе через нее амплитуда выходного сигнала 尸(§ = 0, т)| начинает зависеть от времени — возникает режим автомодуляции. В этом случае выходной сигнал содержит сложный набор спектральных компонент. Вблизи линии 2 имеет место одночастотная автомодуляция. В этом случае в спектре выходного сигнала содержатся базовая высокочастотная спектральная составляющая Go и частоты а。土 2тг/д, /д — частота автомодуляции. На линии 3 происходит усложнение выходного сигнала: имеет место удвоение периода автомодуляции. Кривая / соответствует возникновению сложнопериодической модуляции выходного сигнала. Кривая 5 — линия перехода к режимам хаотической автомодуляции, когда зависимость 尸(§ = 0, т)| ведет себя существенно нерегулярно, а спектр генерации становится сплошным, хотя и остается достаточно узкополосным.

Иллюстрацией наблюдающихся в гиро-ЛВВ переходов между колебательными режимами являются рис. 1.17 5;в, на которых представлены бифуркационные диаграммы колебаний медленно меняющейся амплитуды выходного поля \F(^ = 0, т)| с изменением параметра неизохронности 〃 при двух значениях безразмерной длины системы А = 3,0 (рис. 1.17 6) и А = 4,0 (рис. 1.17 в). На рисунках отложены

Рис. 1.17. Области реализации различных состояний гиро-ЛВВ на плоскости параметров (//, А) (а); бифуркационные диаграммы колебаний поля на выходе лампы £ = 0 соответственно при А = 3,0 и А = 4,0 (5;в) (из работ [84,87])Рис. 1.17. Области реализации различных состояний гиро-ЛВВ на плоскости параметров (//, А) (а); бифуркационные диаграммы колебаний поля на выходе лампы £ = 0 соответственно при А = 3,0 и А = 4,0 (5;в) (из работ [84,87])3,0 4,2 5,4 6,6 7,8 卩

Рис. 1.17. Области реализации различных состояний гиро-ЛВВ на плоскости параметров (//, А) (а); бифуркационные диаграммы колебаний поля на выходе лампы £ = 0 соответственно при А = 3,0 и А = 4,0 (5;в) (из работ [84,87])

Рис. 1.17. Области реализации различных состояний гиро-ЛВВ на плоскости параметров (//, А) (а); бифуркационные диаграммы колебаний поля на выходе лампы £ = 0 соответственно при А = 3,0 и А = 4,0 (5;в) (из работ [84,87])

положения максимумов Fmax амплитуды выходного сигнала \F(^ = =0, т)| в зависимости от параметра 〃. С увеличением неизохронности электронов-осцилляторов в системе наблюдается возбуждение автоколебаний с постоянной амплитудой (режим стационарной генерации). При некотором 〃 = 〃кр возникает периодическая автомодуляция. Максимумы поля на бифуркационных диаграммах откладываются, начиная с этого значения параметра неизохронности 4Kp • С дальнейшим ростом параметра неизохронности имеет место удвоение периода автомодуляции, и далее генератор переходит в режим хаотической автомодуляции выходного сигнала.

Характерными особенностями пространственно-временной динамики гиро-ЛВВ являются, во-первых, возникновение устойчивых одночастотных режимов колебаний с «многогорбыми» распределениями амплитуды электромагнитного поля вдоль координаты пространства взаимодействия (в численном моделировании были зафиксированы двух- и трехгорбые распределения) и, во-вторых, бифуркационная линия потери устойчивости одночастотного режима генерации (линия 2 на рис. 1.17 а) оказывается сложно устроенной, поскольку переход в режим периодической автомодуляции может происходить из режимов с различными пространственными распределениями поля 1).

Исследованные простые модели гиро-ЛБВ (уравнения (1.172)(1.174)) и гиро-ЛВВ (стационарные уравнения (1.181)-(1.184) и нестационарные уравнения (1.185)—(1.187)) сильно идеализированы

1) Аналогичная картина была обнаружена для нерелятивистской лампы обратной волны О-типа (см. том 1, лекция 13), а также наблюдалась в гиро- ЛВВ со связанными волноведущими системами (см. лекцию 7(21)).

в том смысле, что в реальных гироприборах с бегущими волнами для эффективной перестройки частоты генерации, расширения ширины полосы усиливаемых частот и увеличения КПД генерации часто вводят одновременное изменение геометрии волновода и величины магнитного поля вдоль длины пространства взаимодействия 1), и таким образом учитывают вышесформулированные модели.

Впервые способ широкодиапазонной перестройки частоты в гироприборах (гиромонотроне с нефиксированной структурой поля), основанный на использовании электродинамической системы в виде волновода с плавно расширяющимся в направлении коллектора сечением, был предложен в 1976 г. в работах [89,90]. В таком гиромонотроне автоколебания возникают на том участке волновода, где критическая частота близка к гирочастоте; соответственно при изменении магнитного поля изменяется и частота генерации. Преимуществом такой схемы является возможность перестройки частоты генерации без необходимости механического перемещения охлаждаемых деталей в ваккуме. В работе [90] рассматривался гиромонотрон с электродинамической структурой, представляющей собой конический переход между регулярными волноводами. Было показано, что при задании линейного закона изменения радиуса волновода и при варьировании величины магнитного поля в гиромонотроне возможно увеличение ширины полосы перестройки частоты генерации примерно в 5 раз.

Рассмотрим конструкции и особенности работы гироусилителей и гирогенераторов с бегущими волнами с неоднородными по сечению электродинамическими структурами и соответственно профилированными магнитными полями. На рис. 1.18 представлены схематические изображения соответствующих приборов. Обычно в качестве электродинамических систем в таких гиро-ЛБВ и гиро-ЛВВ используются цилиндрические волноводы конической формы.

В случае гиро-ЛБВ (рис. 1.18 а) с неоднородной электродинамической системой, расширяющейся к коллекторному концу лампы, входной усиливаемый сигнал вводится либо распределенным образом (каждая частота в свое сечение, которое соответствует критической частоте, близкой к частоте сигнала), либо посредством циркулятора с выходного конца лампы и последующего отражения от критического сужения (для каждой частоты сигнала — своего). Теоретические исследования неоднородной гиро-ЛБВ, проведенные в работах [70,91], показали возможность расширения полосы усиливаемых частот, в которой реализуются уровень усиления и эффективность энергообмена, сопоставимые с аналогичными параметрами одночастотного режима, в несколько раз.

В работе [70] была исследована широкополосная с большим коэффициентом усиления гиро-ЛБВ, в которой входная и выходные секции были выполнены в виде конических волноводов. Для предотвращения

1) Известно, что при использовании нерезонансной регулярной в поперечном сечении электродинамической системы (волновода) полоса усиления не превышает 2-3 % (полоса циклотронного резонанса).

Гиро-ЛБВГиро-ЛБВГиро-ЛВВ

Гиро-ЛБВ

Гиро-ЛБВ

Рис. 1.18. Схематическое изображение гиро-ЛБВ (а) и гиро-ЛВВ (б) с коническими волноведущими системами и профилированным магнитным полемРис. 1.18. Схематическое изображение гиро-ЛБВ (а) и гиро-ЛВВ (б) с коническими волноведущими системами и профилированным магнитным полем

Рис. 1.18. Схематическое изображение гиро-ЛБВ (а) и гиро-ЛВВ (б) с коническими волноведущими системами и профилированным магнитным полем

Рис. 1.18. Схематическое изображение гиро-ЛБВ (а) и гиро-ЛВВ (б) с коническими волноведущими системами и профилированным магнитным полем

самовозбуждения лампы (как и в ЛБВО с локальным поглотителем (см. подробнее том I, лекция 10)) в систему была введена секция с большими потерями (~ 100 дБ), которая позволила развязать вход и выход лампы. Рассматривалась система с током пучка 3,5 А и внешним магнитным полем 12,65 < Bq < 12,75 кГс. Выходная мощность в эксперименте составляла 93 кВт, что соответствовало коэффициенту усиления 70 дБ и КПД 〜26,5 %. Максимальная ширина полосы усиления лампы составляла 3 ГГц (или соответственно 8,6 % от центральной частоты, которая равнялась 33,2 ГГц).

В гирогенераторе со встречной волной использование конического волновода и профилированного магнитного поля (см. рис. 1.18 б) также позволяет существенно улучшить выходные характеристики гиролампы. В этом случае используется электродинамическая система, расширяющаяся в сторону инжектора винтового электронного пучка (т. е. в сторону вывода высокочастотной мощности).

В работах [92] и [69] отдельно исследовались влияние изменения геометрии волновода или величины магнитного поля на выходные характеристики генерации гирогенератора со встречной волной.

Влияние изменения магнитного поля вдоль длины системы теоретически изучалось в работе [92]. Рассматривалось взаимодействие винтового электронного пучка с ТЕц-модой круглого волновода неизменного сечения. Параметры исследуемой модели были следующие: энергия пучка Vo = 50 кВ, релятивистский фактор 70 = 1,098, ток пучка /о = ЗА, питч-фактор g = 1,5, радиус регулярного волновода rw = 0,113 см.

Внешнее магнитное поле задавалось в виде [92]

В = ~^Bq£вГГо + Во [1 + EgZZo] , (1.188)

Рис. 1.19. Зависимости поперечного КПД гиро-ЛВВ в случае постоянного и профилированного в соответствии с формулой (1.188) магнитного поля (из работы [92])

где Bq = 45 кГс, z° и г° — единичные векторы в продольном и поперечном направлении в пространстве взаимодействия, eg — коэффициент линейного изменения магнитного поля (величина магнитного поля |В| линейно растет от выхода гиро-ЛВВ z = 0 к коллекторному концу лампы).

На рис. 1.19 представлены временные зависимости эффективности генерации в гиро-ЛВВ, рассчитанные в соответствии с формулой (1.180), для случая отсутствия профилирования магнитного поля ^в — =0) и случая &b「w = 0,003. Видно, что во втором случае наблюдается значительный рост «поперечного» КПД 〃丄(более чем в три раза). Одновременно имеет место увеличение частоты генерации системы в 0,0014о；кр раз, где о；кр — критическая частота для ТЕц-моды круглого волновода.

Исследуем механизм повышения КПД генерации при изменении магнитного поля вдоль длины лампы, для чего рассмотрим распределения электрического поля ВЧ вдоль длины системы и фазовые портреты электронного пучка на плоскости параметров «фаза J электрона- осциллятора относительно волны — координата z» для случая постоянного и профилированного внешнего магнитного поля (рис. 1.20).

Фаза J есть угол между вектором поперечной скорости электрона v_l и вектором электрического поля Е, действующего на электрон винтового пучка. Очевидно, что электрон будет отдавать энергию ВЧ-по- лю, если J С (0,7г) и, наоборот, забирать энергию у поля, если J С С(7г, 2тг). Фаза электрона определяется из решения уравнения

伙Z)= 9о + Зс/) - Go - 仇qi) z/q|o,(1.189)

где до — начальная фаза электрона. Фазовый сдвиг J электрона относительно волны складывается из кинетической составляющей (которая определяется расстройкой относительно циклотронного резонанса (1.161))

(1.190)(1.190)% = (^с/7о — Go —仇少||0)z/v\\o

(1.190)

(1.190)

и динамической составляющей (которая определяется взаимодействием электронов с электромагнитным полем)

Jd = - ((^с/?о)Л7о + 仇△qi) z/q〔o, (1.191) где △)и △q〔 — изменения релятивистского фактора и продольной скорости электрона в результате взаимодействия с ВЧ-полем.

В случае внешнего постоянного магнитного поля (см. рис. 1.20 а) фазовый портрет пучка демонстрирует, что значительная часть электронов пучка находится в «неправильной» фазе электромагнитного поля или имеет фазу ^ « тг, в которой энергообмен мал. Как видно из рисунка, на длине пространства взаимодействия z ^ 1 см формируется фазовый сгусток, который быстро разрушается, и в системе наблюдается фазовая перегруппировка электронов-осцилляторов, причем часть электронов «выходит» из тормозящей фазы ВЧ-поля. Заметим также, что вторичный фазовый сгусток в области z ^ 2,0 4- 2,5 см слабо сформирован, и следовательно, малоэффективно отдает энергию ВЧ-полю. В результате возникает двугорбое распределение электрического поля вдоль оси z, и эффективность генерации не велика.

Другая ситуация складывается при оптимально подобранной неоднородности магнитного поля (см. рис. 1.20 б). В этом случае в системе не наблюдается «вредного» разрушения электронного сгустка и дальнейшей перегруппировки электронов. В результате распределение поля

Рис. 1.20. Характерные распределения полей вдоль длины системы для различных моментов времени (сверху) и фазовое пространство винтового пучка на плоскости параметров «фаза электрона-осциллятора относительно волны 夕—координата z» (снизу) для постоянного (а) и профилированного (б) магнитного поля; фазовый портрет на рис. а построен при 公。力=750, б— 850 (из работы [92])Рис. 1.20. Характерные распределения полей вдоль длины системы для различных моментов времени (сверху) и фазовое пространство винтового пучка на плоскости параметров «фаза электрона-осциллятора относительно волны 夕—координата z» (снизу) для постоянного (а) и профилированного (б) магнитного поля; фазовый портрет на рис. а построен при 公。力=750, б— 850 (из работы [92])"弓 нном'"弓 нном'

Рис. 1.20. Характерные распределения полей вдоль длины системы для различных моментов времени (сверху) и фазовое пространство винтового пучка на плоскости параметров «фаза электрона-осциллятора относительно волны 夕—координата z» (снизу) для постоянного (а) и профилированного (б) магнитного поля; фазовый портрет на рис. а построен при 公。力=750, б— 850 (из работы [92])

Рис. 1.20. Характерные распределения полей вдоль длины системы для различных моментов времени (сверху) и фазовое пространство винтового пучка на плоскости параметров «фаза электрона-осциллятора относительно волны 夕—координата z» (снизу) для постоянного (а) и профилированного (б) магнитного поля; фазовый портрет на рис. а построен при 公。力=750, б— 850 (из работы [92])

"弓 нном'

"弓 нном'

демонстрирует структуру с одним максимумом. Плотный электронный сгусток формируется в оптимальной фазе для передачи энергии ВЧ-по- лю J = 7г/2, и КПД системы резко увеличивается.

Это связано с тем, что в системе с увеличивающейся к коллекторному концу величиной постоянного магнитного поля |В| условие циклотронного резонанса (1.161) меняется вдоль длины лампы. Это в свою очередь, как следует из соотношения для динамического фазового сдвига Jd (1.191), приводит к тому, что величина изменения фазового сдвига AJd увеличивается для электронов, которые находятся в ускоряющей фазе ВЧ-поля, и наоборот, уменьшается для электронов в тормозящей фазе поля. Поэтому на длине пространства взаимодействия формируется достаточно плотный электронный сгусток, и число электронов, находящихся в тормозящей фазе ВЧ-поля, существенно больше, чем в случае однородного магнитного поля.

Рассмотрим теперь, к чему приводит плавное изменение поперечного сечения гиролампы со встречной волной и однородным магнитным полем.

В работе [69] теоретически исследовалось взаимодействие винтового электронного пучка со встречной волноводной модой ТЕц (см. рис. 1.13 б). Геометрия системы совпадает с представленной на рис. 1.18 5. Параметры электродинамической системы были следующие: радиус выходного для СВЧ-излучения сечения Явых = 3 мм, радиус входного сечения Явх = 2,4 мм, длина регулярной секции электродинамической структуры 厶° = 1,5 см, длина конического волновода L = 5,0 см. Критическая частота ТЕц моды, соответствующая сечению большего радиуса, была равна 29,3 ГГц, меньшего радиуса — 36,6 ГГц. Параметры пучка были следующие: ток /о = 2 А, питч-фактор g = 1,4, радиус ведущего центра 1,05 мм.

На рис. 1.21 представлены выходная мощность гиро-ЛВВ и частота генерации в зависимости от внешнего однородного магнитного поля В. Как видно из рис. 1.21 а максимальная выходная мощность системы в случае однородного по сечению волновода (сплошные точки на графике) составляет 16,8 кВт, что соответствует КПД 10,5 %. При этом наблюдается незначительное уменьшение мощности генерации при увеличении величины приложенного магнитного поля.

Применение волновода с плавным измененим радиуса сечения приводит к резкому увеличению выходной мощности гирогенератора. Численный расчет показывает, что в системе с неоднородным сечением волновода при прочих равных параметрах максимальная выходная мощность увеличивается в 2,5 раза, т. е.爲Ых = 42 кВт при КПД 26%. При этом с ростом магнитного поля имеет место почти линейный рост мощности генерации. Одновременно с ростом мощности генерации имеет место и увеличение частоты ВЧ-изучения при возрастании магнитного поля. Последнее определяется условием, что для передачи энергии от электронов-осцилляторов встречной электромагнитной волне необходимо выполнение условия (g + ^о^ц —幻^)〉0, поэтому с увеличением магнитного поля частота генерации увеличивается. Механизм увеличения эффективности генерации при изменении сечения

Рис. 1.21. Зависимости выходной мощности (а) и частоты генерации (б) от внешнего магнитного поля в гиро-ЛВВ с конической волноведущей структурой. Магнитное поле нормируется на величину Во, которая соответствует точному циклотронному резонансу (1.161) при радиусе волновода R = 3 мм (из работы [69])

волновода подобен описанному выше для системы с изменяющимся магнитным полем (подробнее см. [69]).

В заключение раздела остановимся на обсуждении нестационарной динамики в гиро-ЛВВ с изменяющимся поперечным сечением электродинамической системы. В работе [81] численно с помощью электромагнитного кода MAGY [88], предназначенного для исследования физических процессов в электронных приборах с длительным взаимодействием, анализировалась нестационарная динамика в гиро-ЛВВ с входной и выходной секцией в виде волноводов конического сечения, геометрия которого представлена на рис. 1.22 а. Заметим, что аналогичная электродинамическая система использовалась в обсуждаемой выше работе [70] для создания широкополосной с высоким коэффициентом усиления гиро-ЛБВ. Геометрические параметры исследуемой гиролампы приведены на рис. 1.22 а, величина внешнего магнитного поля составляла В = 14,52 кГс.

Исследование нестационарных процессов проводилось при изменении тока пучка /° и степени неоднородности электродинамической системы (радиуса выходного волновода R力).Результаты численного моделирования представлены на рис. 1.22 5, на котором на плоскости параметров (R%/о) нанесены области отсутствия колебаний, стационарной и нестационарной генерации в гиро-ЛВВ.

При малых токах пучка пусковые условия не выполнены, и колебания в гиро-ЛВВ не возбуждаются. С увеличением радиуса выходного волновода Rt эта область на карте режимов незначительно расширяется. С ростом тока пучка имеет место установление режима стационарной генерации, когда амплитуда колебаний выходного ВЧ-сигнала не меняется с течением времени. Дальнейшее увеличение тока приводит

Рис. 1.22. а — геометрия исследуемой гиро-ЛВВ с входной и выходной секцией в виде волноводов конического сечения. Первая секция лампы представляет собой волновод диаметром Rt и длиной 1 см, далее располагается ссуживающийся конический волновод длиной 1,27 см; следующая секция — регулярный волновод длиной 10 см и в конце пространства взаимодействия располагается выходная секция, симметричная с входной секцией; б— характерные режимы колебаний гиро-ЛВВ с переменным сечением волновода на плоскости параметров «радиус входного волновода Rt — ток пучка То» (из работы [81])

к возникновению автомодуляции выходного сигнала гиро-ЛВВ. Однако при Rt 〉 2,69 十 2,77мм и токе пучка 1 А < /0 < 10 А наблюдается вторая область стационарной генерации. Последнее означает, что путем подбора степени неоднородности электродинамической системы возможно подавление автомодуляции выходного сигнала при больших токах пучка, а следовательно, получение одночастотной генерации с высокой выходной мощностью. Возникновение автомодуляции между двумя зонами стационарной генерации при изменении тока пучка и степени неоднородности в работе [81] связывается с возможностью одновременного возбуждения в электродинамической структуре двух мод с различными распределениями поля вдоль пространства взаимодействия. Характер автомодуляции, во многом, определяется отражением встречной волны от входа системы и взаимодействием в области регулярного волновода с винтовым пучком.

В заключение этого параграфа приведем некоторые характеристики экспериментально реализованных гироприборов с бегущими волнами.

В Мэрилендском университете (США) создан экспериментальный макет гироусилителя бегущей волны, внешний вид и схематическое устройство которого представлено на рис. 1.23. Он представляет собой многосекционную лампу со значительной выходной мощностью и значением ширины полосы усиливаемых частот порядка 3 %. Винтовой электронный пучок формируется магнетронно-инжекторной пушкой 1 и далее проходит последовательно через три секции. В первой секции 3 имеет место взаимодействие пучка с ТЕо2-модой круглого волновода.

Рис. 1.23. Внешний вид и схематическое устройство двухсекционной гиро- ЛБВ. Здесь 1 — магнетронно-инжекторная пушка, 2 — ввод ВЧ-энергии, 3 — первая секция, работающая на моде ТЕ02, 4 — дрейфовая секция, в которой располагается поглотитель ВЧ-мощности, 5 — вторая секция, в которой происходит преобразование моды ТЕ02 в моду ТЕоз волновода, частота которой выше в два раза, 6 — коллектор отработанных электронов с водяным охлаждением, 7— выходное окно для мощного СВЧ-излучения (также с водяным охлаждением) (из доклада В.Л. Гранатстейна на конференции по вакуумной электронике (Монтерей, Калифорния, 1 мая 2000 г.))

Вторая секция (на рис. 1.23 отмечена цифрой 4) — это пространство дрейфа пучка с поглотителем высокочастотной мощности, предназначенная для развязки входа и выхода лампы (ср. с ЛБВ типа О с поглотителем ВЧ-мощности, обсуждаемой нами в лекции 10 первого тома). В этой секции происходит фазовая группировка винтового электронного пучка, промодулированного внешним сигналом, подаваемым на вход лампы 2. В третьей секции 5 происходит взаимодействие хорошо сгруппированного винтового пучка с возбуждаемым им полем ТЕ02- моды. Последняя преобразуется вдоль длины пространства взаимодействия в ТЕоз-моду волновода, излучение которой и выводится из вакуумного окна 7. За счет такого преобразования удается осуществить усиление на второй гармонике циклотронной частоты. Соответственно частота усиленного выходного сигнала удваивается по сравнению с частотой входного поля. Отработанный электронный пучок осаждается

на коллектор 6, который имеет водяное охлаждение. Типичные рабочие характеристики гиро-ЛБВ, приведенной на рис. 1.23, следующие.

Напряжение пучка

48 кВ

Ток пучка

22 А

Частота входного сигнала

16-16,5 ГГц

Частота выходного сигнала

32-33 ГГц

Ширина полосы (по уровню 3 дБ)

3%

Максимальная выходная мощность

120 кВт

Коэффициент усиления

36 дБ

КПД

12%

Величина внешнего магнитного поля

6,41 кГс

Более высокочастотный гироусилитель (гиролампа бегущей волны W-диапазона, соответствующего частотам порядка 100 ГГц) разработан фирмой Вариан (в настоящее время — фирма CPI) [74, 94]. В лампе используется электродинамическая структура с постоянным поперечным сечением и неизменным вдоль лампы магнитным полем, что делает прибор достаточно узкополосным, как и лампа, характеристики которой представлены выше. В качестве источника электронов используется пушка Пирса с вигглером, обеспечивающим движение электронов по винтовым траекториям. Винтовой пучок взаимодействует с ТЕц модой круглого волновода. Приведем основные рабочие характеристики лампы.

65 кВ5,6 А95 ГГц95 ГГц2% (1,9ГГц)28 кВт31 дБ8%33 кГс65 кВ5,6 А95 ГГц95 ГГц2% (1,9ГГц)28 кВт31 дБ8%33 кГсНапряжение пучка

65 кВ

5,6 А

95 ГГц

95 ГГц

2% (1,9ГГц)

28 кВт

31 дБ

8%

33 кГс

65 кВ

5,6 А

95 ГГц

95 ГГц

2% (1,9ГГц)

28 кВт

31 дБ

8%

33 кГс

Ток пучка

Частота входного сигнала

Частота выходного сигнала

Ширина полосы (по уровню 3 дБ) Максимальная выходная мощность Коэффициент усиления

КПД

Величина внешнего магнитного поля

Как уже говорилось выше, для расширения полосы частот гироламп с бегущей волной необходимо использовать в качестве электродинамических структур волноводы с коническим сечением с одновременным изменением ведущего магнитного поля вдоль длины лампы. Характеристики экспериментального образца подобной гиро-ЛБВ, разработанной в военно-морской лаборатории США [95], представлены в следующей таблице.

Напряжение пучка33 кВ

Ток пучка1,6 А

Частота входного сигнала33ГГц

Частота выходного сигнала33ГГц

Ширина полосы (по уровню 3 дБ) 33 %

Максимальная выходная мощность 5 кВт

Коэффициент усиления> 20 дБ

КПД11%

Величина внешнего магнитного поля 12 кГс (изменяется вдоль пространства взаимодействия)

Из таблицы видно, что путем введения неоднородности магнитного поля и геометрии волновода удалось расширить полосу усиливаемых частот гироприбора более, чем в 10 раз. Аналогичные результаты были получены в этой же научной лаборатории при разработке многосекционных гиро-ЛБВ [96,97].

Пениотрон — эталонная модель распределеннойсистемы с силовой группировкой электронов

Наряду с гиротронами и гироприборами с бегущими волнами большой интерес вызывает и другой МЦР — пениотрон. Этот СВЧ-усилитель был предложен в середине 60-х годов японскими исследователями [98]. Его конструкция отличается от конструкции гиротрона существенной неоднородностью высокочастотного поля. Электродинамическая структура пениотрона представляет собой прямоугольный волновод с двумя парами выступов (рисунки 1.24а, 1.25). Электрическое поле ТЕ-волны сосредоточено в основном между выступами (области I, III на рис. 1.25, а в области II поле практически отсутствует). Тонкий полый цилиндрический электронный пучок движется в постоянном магнитном поле Bq, направленном вдоль оси волновода. Электроны пучка вращаются с циклотронной частотой Зс по винтовым линиям, оси которых совпадают с осью симметрии поперечного сечения волновода. Пучок взаимодействует с быстрой волной TEqi в условиях допле-

ровского резонанса на какой-либо из четных гармоник циклотронной частоты:

g — hv\\ — 2рЗс = 0, (1.192) где р = 1,2,3,... будем называть порядком резонанса, g — частота входного сигнала, h — постоянная распространения волны на частоте cj, V|| — продольная составляющая скоростей электронов. Размеры поперечного сечения волновода и радиус ларморовской орбиты выбираются так, что невозмущенная электронная орбита пересекает все три области (I, II, III; см. рис. 1.25).

На рис. 1.25 а стрелки соответствуют фазе высокочастотного поля, при котором электроны в области I тормозятся, а в области III — ускоряются. Когда частицы проходят половину окружности и попадают в область III, фаза поля меняется на целое число 2тг, и в области III электроны ускоряются. В начале эти воздействия одинаковы. Однако следует учитывать еще и дрейф ведущего центра в скрещенных полях, который для указанной на рисунке фазы направлен влево. Поэтому вращающиеся электроны все большее время проводят в области I (рис. 1.25 б) и радиус орбиты уменьшается, а энергия передается высокочастотному полю. При обратной фазе поля тормозятся уже правые электроны. Но и направление дрейфа меняется на противоположное, так что торможение опять превалирует, и орбиты стягиваются к правому «фокусу» (рис. 1.25 в). Как видно, здесь неизохронность не играет принципиальной роли, и группировка является силовой и пространственной.

К достоинствам пениотрона следует отнести следующее.

Требуемое магнитное поле существенно меньше, чем в гиротроне: в 2 раза при работе на резонансе первого порядка (р = 1), в 4 раза — на резонансе второго порядка (р = 2) и т. д.

Параметры волновода нетрудно выбрать так, чтобы в нем могла распространяться в интересующем диапазоне длин волн только одна рабочая мода, а следовательно, проблемы конкуренции мод, достаточно важной для гиротрона, не существует.

Простота электродинамической структуры и легкость ее согласования.

Расчеты демонстрируют возможность достижения КПД близких к единице.

Рис. 1.25. Схема группировки в пениотронеРис. 1.25. Схема группировки в пениотронеЛ////Л//////////

Рис. 1.25. Схема группировки в пениотроне

Рис. 1.25. Схема группировки в пениотроне

Л////

Л////

///

///

6 Трубецков, Храмов

Главными недостатками пениотрона являются малый объем активной среды в масштабе длины волны и весьма жесткие требования к электронной оптике.

Изложим здесь, следуя работам [99,100], простейшую теорию пениотрона, которая рассматривает «почти идеальный» пениотрон, учитывая из всех паразитных факторов только релятивистскую неизохрон- ность циклотронного вращения электронов.

Предположим, что распределение поля рабочей моды волны в области пучка такое же, как для ТЕМ-волны в четырехпроводной линии передач (см. рис. 1.24 б) [99]:

Е = ЕХ+ jEy = W(z*)Re 忆⑶ exp [->(t - z/q川], (1.193) где

(1.194) Z = x+ jy, Z1,2 = 土S ±3'd,

gk = ,1 + s2/gP sin [(2k + 1) arctg (d/s)].

Отметим, что выбор функции W в виде (1.194) обусловлен лишь желанием сделать постановку задачи более конкретной. На самом деле для дальнейших выкладок существенна лишь возможность представления поля в виде аналитической функции от (z*)?. Такая возможность обусловлена, во-первых, малостью геометрических размеров s и с/ по сравнению с длиной волны 2тг/А (см. рис. 1.24 а), и, во-вторых, симметрией профиля волновода относительно поворота на угол тг. Поэтому дальнейшее рассмотрение применимо не только к волноводу, представленному на рис. 1.24 а, но и для другой конфигурации ребер, удовлетворяющих указанным условиям 1).

Поскольку рассматривается нерезонансная электродинамическая структура — волновод, то можно полагать, что высокочастотное поле не будет слишком сильным, и за один оборот электрон сможет отдавать ему лишь незначительную часть энергии. Так, в работе [101] рассматривается пениотрон, в котором электроны совершают за время пролета не меньше 20 оборотов. Поэтому, как и в теории МЦР (гиротронов, гироламп бегущей и встречной волны), для пениотрона применим метод усреднения, в рамках которого движение электрона в поле волны (1.193) в слаборелятивистском приближении описывается уравнениями

При s и d много меньших 2тг/А в уравнении Гельмгольца △丄W + ае2Ф = =0, которому подчиняется мембранная функция, в области между ребер можно пренебречь членом ае2Ф. Тогда приходим к уравнению Лапласа, решение которого, представляющее интерес в данном случае, является аналитической функцией W(z*).

(1.165), (1.166) (см. также [83]), которые запишем в следующем виде:

z = N + ^e~^ct, z = V||(t —力 °),

分强①九京=^|耳冋2 +强坦g"分强①九京=^|耳冋2 +强坦g"(1.195)(1.195)

分强①九京=^|耳冋2 +强坦g"

分强①九京=^|耳冋2 +强坦g"

(1.195)

(1.195)

z\t=to = о, ^\t=t0 = rQej^Q. (1.196) Напомним, что й определяет положение ведущего центра электронной орбиты (ж = Re й, у = Im S — декартовы координаты центра), / — радиус \/3\ и фазу arg^ циклотронного вращения по орбите;厂° и 夕。一 полярные координаты электрона в момент 力° его влета в пространство взаимодействия; 〈. . .〉означает усреднение по «нерелятивистскому» периоду циклотронного вращения 2开/幻丁 Первый член в правой части уравнения для / (1.195) отвечает единственному учитываемому здесь релятивистскому эффекту — зависимости массы электрона от скорости, приводящей к необходимости внесения поправки к циклотронной частоте.

Подставляя соотношения (1.194) в уравнения (1.195) с учетом выражения (1.192), несложно увидеть, что после усреднения ненулевой вклад внесут члены ряда (1.194) с номерами к》р. В дальнейшем будем учитывать только первые неисчезающие после усреднения члены ряда (1.194). Строго говоря, вклад следующих членов несущественен при Гд/ (s2 + d2)《1; величина этого отношения будет определять порядок величины допускаемой ошибки. Практически, однако, общий характер распределения поля описывается достаточно правильно, что позволяет использовать это приближение и в тех случаях, когда неравенство и не является сильным. С учетом последнего предположения и после усреднения уравнения движения принимают вид

(1.197)(1.197)

(1.197)

(1.197)

Уравнения движения необходимо дополнить уравнением возбуждения рабочей волноводной моды:

* =—卓 J 厶exp 卜端2), (1.198)

S丄

]27r

где ja = — 「jee^f dt — первая гармоника плотности тока сгруппи- 7r о

рованного пучка, К — сопротивление связи (поток мощности волны

Р связан с амплитудой электрического поля в начале координат соотношением Р = \Е^/(2h^K)\ E)s — вектор с компонентами E^_s x = =ReW(z*) и E^s y = ImW(z*), h — волновое число.

Система уравнений (1.197) и (1.198) описывает самосогласованную задачу. Чтобы ее решить, необходимо эти уравнения записать через одни и те же переменные. Для этого, во-первых, заменим в уравнении (1.197) производную d/dt на v^d/dz (в соответствии со вторым соотношением в (1.195)), и, во-вторых, выразим правую часть уравнения (1.198) через й и /3.

Предположим вначале, что электроны влетают в пространство взаимодействия не непрерывно, а компактными сгустками заряда /。7 с начальным азимутом 夕。в моменты времени 力=力。+ пТЬ, п = =0, ±1, ±2, где Т = 2tt/g, /о — средний ток пучка. Создаваемая ими плотность тока будет определяться выражением

je = -①e)b(g - Je)b(力- to - пТ - z/q|). (1.199)

—oo

Здесь же, уе которой ve^xЗдесь же, уе которой ve^x—координаты сгустка, ve =Re q3阪83)Ve y =—координаты сгустка, ve =Re q3阪83)Ve y =—его скорость, компоненты—его скорость, компонентыфурье-компоненты плотности тока имеемфурье-компоненты плотности тока имеемIm &Зс13еВзс). Отсюда дляIm &Зс13еВзс). Отсюда для

Здесь же, уе которой ve^x

Здесь же, уе которой ve^x

—координаты сгустка, ve =Re q3阪83)Ve y =

—координаты сгустка, ve =Re q3阪83)Ve y =

—его скорость, компоненты

—его скорость, компоненты

фурье-компоненты плотности тока имеем

фурье-компоненты плотности тока имеем

Im &Зс13еВзс). Отсюда для

Im &Зс13еВзс). Отсюда для

（L2。。）

Подставив полученное выражение в соотношение (1.198), правую часть уравнения возбуждения запишем как

locjch2 К8。||locjch2 К8。||3 [W(z*)『3 [W(z*)『

locjch2 К

8。||

locjch2 К

8。||

3 [W(z*)『

3 [W(z*)『

членамиполучимчленамиполучимPgph^cPgph^c11f II TV ($2 + J2)P 27rf II TV ($2 + J2)P 27r27rI 耳2夕 Qdgo.027rI 耳2夕 Qdgo.0(1.201)(1.201)

членамиполучим

членамиполучим

Pgph^c

Pgph^c

1

1

f II TV ($2 + J2)P 27r

f II TV ($2 + J2)P 27r

27r

I 耳2夕 Qdgo.

0

27r

I 耳2夕 Qdgo.

0

(1.201)

(1.201)

Используя теперь представление функции W(z*) в виде ряда (1.194)

и пренебрегая, как и раньше, нерезонансными членами и степени выше 2р, после усреднения по переменным 夕。и g力° уравнение возбуждения в виде

начальными условияминачальными условиями(1.202)(1.202)

начальными условиями

начальными условиями

(1.202)

(1.202)

Уравнения (1.197) и (1.201), дополненные (1.196) и условием

£|ао=£(О),

полностью определяют задачу об усилении сигнала в пениотроне.

Введем безразмерные переменные и параметрь匸 а = л/^р —е2^^0, 〜

/ = —е~^°, F = 2/(260%) — нормированная амплитуда высокочастотного поля, § = hVz — продольная координата, b =

= (cj — hv\\ — 2p(Vc) /(hDv\\) — параметр рассинхронизма, е =

= ш^г^/(2c2v\\hV) — параметр, характеризующий относительную величину релятивистской неизохронности циклотронного вращения

электронов, Р =электронов, Р =第1 + Wn丿0 \ q〔第1 + Wn丿0 \ q〔параметр взаимодействия,параметр взаимодействия,

электронов, Р =

электронов, Р =

第1 + Wn丿0 \ q〔

第1 + Wn丿0 \ q〔

параметр взаимодействия,

параметр взаимодействия,

(1.203)(1.203)Кр = К [(s2 + d2)P /gp\, Vo — ускоряющее напряжение. В новых переменных система уравнений принимает вид

(1.203)

(1.203)

察=几网2/ +ь优夕严：(1.204)

—= —a/2 夕(1.205)

с начальными условиями

a|s=o, 3k=o = 1,歹 k=o =歹о,(1.206)

где Fq всегда будем считать действительным.

Отметим, что благодаря замене а ~ ае2^^0 и / ~ /^一^夕。зависимость от начальной фазы 夕。исчезает из уравнений и начальных условий, так что движение всех электронов, рассматриваемое как изменение «новых» координат а и /, происходит одинаковым образом. Поэтому в уравнении (1.201) можно убрать усреднение по начальным фазам, как это и сделано при записи уравнения возбуждения в форме (1.205). Такое упрощение связано с тем, что мы задали фиксированным поперечное распределение переменного поля в форме Ф (z*) ~ (z*)2P. Очевидно, что при более общем законе распределения Ф (z*) зависимость от начальных фаз 夕。сохраняется.

В линейном режиме (т. е. |а|《 1, \F\《 1, / ^ e^®*) из системы уравнений (1.203)-(1.205) следует, что

也=—FeTP吒Если искать решение в виде к дисперсионному уравнению也=—FeTP吒Если искать решение в виде к дисперсионному уравнению^- _ jbF = -ае1^^- _ jbF = -ае1^(1.207)(1.207)F 〜e'S, а 〜е(б—2зб£)£, то приходимF 〜e'S, а 〜е(б—2зб£)£, то приходим

也=—FeTP吒

Если искать решение в виде к дисперсионному уравнению

也=—FeTP吒

Если искать решение в виде к дисперсионному уравнению

^- _ jbF = -ае1^

^- _ jbF = -ае1^

(1.207)

(1.207)

F 〜e'S, а 〜е(б—2зб£)£, то приходим

F 〜e'S, а 〜е(б—2зб£)£, то приходим

6[6-j(b-2p£)] = 1.(1.208)

Решая уравнения (1.207) с начальными условиями (1.206), находим зависимость амплитуды сигнала \F\ = А от длины § в виде

А = Fo ch 〃代，” =Jl-(b/2 —ре)? .(1.209)

Область значений управляющих параметров, где реализуется усиление, определяется неравенством

(1.210)(1.210)2(ре - 1) < 6 < 2(ре + 1).

(1.210)

(1.210)

(1.2П)(1.2П)Получим первые интегралы (законы сохранения) системы (1.203)(1.205). Умножим уравнение (1.203) на а*, а (1.204) — на /* и сложим их с комплексно сопряженными выражениями и между собой. После интегрирования с учетом соотношения (1.206) будем иметь

(1.2П)

(1.2П)

|М| + 仍=i-

Аналогичным образом, умножая уравнение (1.204) на /* и (1.205) на 歹*, находим

尸『+网2 = ^ + 1(1.212)

—закон сохранения энергии. Наконец, если в правую часть соотношения

^Im 仍*a/夕)=Im^Im 仍*a/夕)=Imа/2р + 歹 *£/2 夕 + 2P 歹*а/2 夕-1

^Im 仍*a/夕)=Im

^Im 仍*a/夕)=Im

(1.213) подставить выражения для производных из (1.203)—(1.205), то следующее интегрирование дает

Im 仍*a*) + g网2 —号网4 = Ц££.(1.214)

Как видно из выражения (1.205), амплитуда А должна удовлетворять уравнению

浜=—|a||/|20 cos 九(1.215)

где 吵 =arg(F*a俨p) . Выразим |q|, |^| и cos ^ через А = \F\ из формул (1.212), (1.214) и подставим в соотношение (1.215). В результате получаем дифференциальное уравнение первого порядка относительно А с разделяющимися переменными. Интегрируя его, можно получить соотношение, которое определяет в неявном виде зависимость амплитуды волны А от координаты:

Fo

_(a2 - ^o) g +рe -}d°.(1.216)

В частном случае р = 1, 6 = 0, е = 0 в результате вычисления интеграла имеем

氏5…ch，/^ + l氏5…ch，/^ + l(1.217)(1.217)

氏5…ch，/^ + l

氏5…ch，/^ + l

(1.217)

(1.217)

Из последнего соотношения и рис. 1.26, на котором показаны зависимости А(§) для различных значений 凡,видно, что при § —> оо амплитуда

Рис. 1.26. Зависимости амплитуды поля А от продольной безразмерной координаты £ для различных значений &ир = 1,Ь = 0, 8 = 0

поля стремится к，1 + 储.С учетом закона сохранения (1.212) это означает, что в пределе § —> оо вся кинетическая энергия циклотронного вращения электронов передается высокочастотному полю, т. е. КПД преобразования 〃丄 стремится к единице.

Анализ полученных уравнений и их решений позволяет рассмотреть механизм фазировки в пениотроне. Приведенная ниже трактовка механизма фазировки аналогична методу усреднения, и в ней также находит отражение возможность достижения 100 %-го асимптотического КПД. Для определенности ограничимся случаем основного резонанса р = 1.

Рассмотрим электрон, вращающийся по циклотронной орбите, центр которой находится в центре координат (рис. 1.27). Проследим за изменением фазы поля за время одного оборота. Нетрудно видеть, что силы, тормозящие и ускоряющие движение электрона на различных участках его орбиты в точности сбалансированы (на рис. 1.27 эти силы показаны стрелками в тех точках орбиты, где проекция вектора электрического поля на направление движения электрона максимальна по абсолютной величине). Поэтому скорость вращения электрона по орбите сначала меняться не будет, однако, ведущий центр начнет смещаться перпендикулярно направлению средней за период силы (на

Рис. 1.27. Механизм фазировки в пениотроне

рис. 1.27 а — влево). При этом из-за неоднородности высокочастотного поля баланс между ускоряющей и тормозящей силой нарушается в пользу последней, и электрон начинает отдавать энергию полю. Если электрон попал в другую начальную фазу (см. рис. 1.27 6, в), то направление смещения ведущего центра будет другое, но оно приведет к тому, что вращение по орбите опять начнет замедляться высокочастотным полем. Интенсивность воздействия поля на электрон оказывается не зависящей от начальной фазы, если W(z*) ~ (?*)? (см. начало раздела); все электроны находятся в равных условиях. Это можно видеть и непосредственно из рис. 1.27. Рисунки 电 б, в переходят друг в друга простым поворотом вокруг начала координат. Таким образом, если удалось полностью отобрать энергию вращения у одного электрона, то она будет полностью отобрана и у остальных: поперечный КПД 〃丄 составит 100 %. Для других порядков резонанса картина фазировки в общих чертах останется такой же.

На рис. 1.28 показано, как меняется вид пучка в поперечном сечении в процессе взаимодействия. Такие изящные и сложные формы возникают в результате того, что смещение ведущих центров и вращение по орбитам определенным образом сфазированы для различных электронов. При построении рис. 1.28 использовалась вытекающая из соотношений (1.195), (1.211) и (1.212) формула для поперечных координат электронов (Fq《1)

z — и•(夕。-Т .

Отметим, что с течением времени картина вращается с частотой Gc/(2p + 1), так что за период 2тг/зс любой электрон успевает побывать в каждой точке петли.

Рассмотрим теперь вопрос самовозбуждения пениотрона на встречной волне, что позволит использовать данный МЦР не только как усилитель, но и как генератор СВЧ-излучения. Для простоты ограничимся случаем р = 1, е = 0, Ь = 0.

Рис. 1.28. Вид пучка в поперечном сечении в процессе взаимодействия

Частоты, при которых справедливо условие синхронизма (1.192), могут быть найдены графически. Им соответствуют точки пересечения дисперсионной характеристики волновода g? — о^ = h2c2 и прямой линии g = hv\\ + 2gcP, где g° — критическая частота волновода. Как

видно из рис. 1.29, на котором представлена соответствующая диаграмма Бриллюэна, при 2шср〉g° условие (1.192) выполняется для прямой волны на частоте G], а для встречной волны на частоте 幻2, причем g° < < 幻2 < ^1- Поэтому для колебания с частотой g ^ 幻2 в пениотроне будет существовать распределенная обратная связь, как и в лампе обратной волны, и возможно возникновение генерации.

Взаимодействие встречной волны с электронным пучком описывается уравнениями (1.203)-(1.205), где, однако, нужно изменить знак перед правой частью уравнения возбужде-

Рис. 1.29. Дисперсионная характеристика волновода, поясняющая возникновение в пениотроне распределенной обратной связи на встречной волнеРис. 1.29. Дисперсионная характеристика волновода, поясняющая возникновение в пениотроне распределенной обратной связи на встречной волнения.ния.В определении безразмерных

Рис. 1.29. Дисперсионная характеристика волновода, поясняющая возникновение в пениотроне распределенной обратной связи на встречной волне

Рис. 1.29. Дисперсионная характеристика волновода, поясняющая возникновение в пениотроне распределенной обратной связи на встречной волне

ния.

ния.

переменных и параметров следует понимать под 幻 частоту самовозбуж- дающихся автоколебаний g ^ 幻2,九(幻)< 0. Первый интеграл (1.212) принимает вид (как и раньше, Fo = F(0))

网2.尸_(1.218)

а формулы (1.211) и (1.214) остаются неизменными.

Условие генерации определяется отсутствием сигнала на коллекторном конце прибора

F\^l = О-(1.219)

&“ —理 COS“-稣 £&“ —理 COS“-稣 £(1.220)(1.220)Как видно из соотношения (1.214), при е = 0 условие (1.219) может выполняться только, если 6 = 0. Проводя вычисления, аналогичные проведенным выше, получим зависимость амплитуды поля от расстояния при генерации на встречной волне (рис. 1.30 а) в виде

&“ —理 COS“-稣 £

&“ —理 COS“-稣 £

(1.220)

(1.220)

(1.221)(1.221)Уровень выходного сигнала Fo и безразмерная длина прибора §厶 связаны соотношением (см. рис. 1.30 б)

(1.221)

(1.221)

Рис. 1.30. Зависимость амплитуды поля А в пениотроне от расстояния £ при генерации на встречной волне (а); зависимость уровня выходного сигнала Fq от безразмерной длины прибора £厶(р = 1, 6 = 0, € = 0) (б)Рис. 1.30. Зависимость амплитуды поля А в пениотроне от расстояния £ при генерации на встречной волне (а); зависимость уровня выходного сигнала Fq от безразмерной длины прибора £厶(р = 1, 6 = 0, € = 0) (б)

Рис. 1.30. Зависимость амплитуды поля А в пениотроне от расстояния £ при генерации на встречной волне (а); зависимость уровня выходного сигнала Fq от безразмерной длины прибора £厶(р = 1, 6 = 0, € = 0) (б)

Рис. 1.30. Зависимость амплитуды поля А в пениотроне от расстояния £ при генерации на встречной волне (а); зависимость уровня выходного сигнала Fq от безразмерной длины прибора £厶(р = 1, 6 = 0, € = 0) (б)

При §厶一> оо и 1^)—> 1 КПД генератора при увеличении длины приближается к 100 %. Пусковое условие генерации получается из соотношения (1.221) при &| —> 0: &уск = 7г/2.

Таким образом, пениотрон может использоваться в качестве генератора, причем с достаточно высоким КПД С другой стороны, для пениотрона-усилителя самовозбуждение на встречной волне становится весьма неприятным паразитным эффектом. Дело усугубляется тем, что на частоте о?2 сопротивление связи больше, чем на частоте о；]. Это означает, что предельно допустимая безразмерная длина усилителя даже меньше тг/2. Оценим ее величину, предполагая, что частоты G], 幻2 и 2рЗс близки к критической частоте 1).

Аппроксимируем дисперсионную характеристику волновода параболой

,2 2

31 九 С

=]+0-

а зависимость сопротивления связи от частоты — выражением

(1.223)

Тогда можно определить частоту 幻2, благоприятную для паразитной генерации, и отношение сопротивлений связи K(cj2)/K(gi) через величины а。и cji, предполагаемые заданными, следующими формулами:

1) Такой выбор соотношения частот обусловлен стремлением обеспечить более высокое сопротивление связи [101].

(1.224)

где S = g/gi — 1, п = c/v||. Таким образом, на рабочей частоте G] условие самовозбуждения паразитной генерации дается выражением

Взяв значения параметров пениотрона, описанного в [101]: S = 1/9, п = 11,3, для пусковой длины получаем значение ^пуск = 1,24. Это очень маленькое значение, которое позволяет получить коэффициент усиления в линейном режиме не более 5,5 дБ.

Вместе с тем существуют и некоторые факторы, которые улучшают вышеописанную ситуацию. Во-первых, на паразитном колебании, более близком к критической частоте, должны сильнее сказываться потери в волноводе. Во-вторых, возможно использование прибора как усилителя на встречной волне, подобного ЛОВ-усилителю. В-третьих, возможно выбрать 2幻内 < 幻。так, чтобы дисперсионная характеристика пучка проходила как штриховая линия на рис. 1.29. Заметим, что при этом вопрос о характере неустойчивости — конвективной или абсолютной — становится нетривиальным и требует для своего корректного решения учета ряда других факторов, в первую очередь учета пространственного заряда. И наконец, естественно попытаться сделать прибор секционированным, т.е. разделенным на несколько электродинамически не связанных друг с другом согласованных на концах отрезков волноводов.

В последнем случае многосекционного прибора для расчета коэффициента усиления необходимо воспользоваться следующей методикой. Для первой секции используются соотношения (1.211)-(1.217). Далее для последующих секций величины а и /, характеризующие состояние электронного пучка, задаются такими, какими они получаются на выходе предыдущей секции, а амплитуда сигнала предполагается равной нулю.

Результаты расчетов [99] свидетельствуют о том, что КПД секционированного пениотрона существенно меньше, чем односекционного (величина 〃丄 не превышает 20 %) и слабо зависит от увеличения числа секций. Коэффициент усиления растет с ростом числа секций и составляет величину порядка 20 дБ для случая шести секций с безразмерной ДЛИНОЙ секции ^секции = 1,2.

Видимо, простое секционирование пениотрона не очень удачно, так как фазировка электронов-осцилляторов происходит одновременно с энергоотбором. Поэтому, если на входе в секцию пучок хорошо сгруппирован, то он уже обладает небольшим запасом энергии вращения. И наоборот, если запас энергии еще велик, то мала амплитуда высокочастотного тока, а значит и возбуждаемого им поля.

Список литературы

Гапонов А.В. О неустойчивости системы возбужденных осцилляторов по отношению к электромагнитным возмущениям Ц ЖЭТФ. 1960. Т. 39. С. 326.

Barkhausen Н., Kurz К. Die kiirzesten, mit Vacuumrohren herstellbaren Wellen Ц Phys Zs. 1920. V. 21, No 1. P. 1.

Zacek A. Nova metoda k vytvoreni netlumenych oscylaci Ц Cas. peestov. mat. a fys. V Praze. 1924. Roc. 53. S. 378.

Зилитинкевич С.И. Колебательный электронный режим внутри триода “ ТиТбП. 1923. № 18. С. 2.

Мазеры на циклотронном резонансе. Тематический указатель литературы (1958-1980). - Горький: ИПФ АН СССР, 1983. 56 с.

Федоров В. Т., Шаронова Г.М. Мазеры на циклотронном резонансе. Препринт N@ 77. — Горький: НИРФИ, 1974. 39 с.

Twiss R.Q. Radiation transfer and the possibility of negative absorption in radio astronomy Ц Austral. J. Phys. 1958. V. 11, No 4. P. 564.

Hirshfield J.Z., Granatstein V.L. The electron cyclotron maser — an historical survey “ IEEE Trans, on Microwave Theory and Techniques. 1977. V. MTT-25, No 6. P. 522.

Twiss R.Q., Roberts J.A. Electromagnetic radiation from electron rotating in an ionized medium under the action of uniform magnetic field “ Austral. J. Phys. 1958. V. 11. P. 424.

Bekefi Y., Hirshfield J.Z., Brown S.C. Cyclotron emission from plasmas with non-Maxwellian distributions Ц Phys. Rev. 1961. V. 122, No 4. P. 1037.

Гапонов А.В. Взаимодействие непрямолинейных электронных потоков с электромагнитными волнами в линиях передачи Ц Изв. вузов. Радиофизика. 1959. Т. 2, N@ 3. С. 450.

Гапонов А.В. К статье: «Взаимодействие непрямолинейных электронных потоков с электромагнитными волнами в линиях передачи». Письмо в редакцию Ц Изв. вузов. Радиофизика. 1959. Т. 2, № 5. С. 836.

Schneider J. Stimulated emission of radiation by relativistic electrons in a magnetic field Ц Phys. Rev. Lett. 1959. V. 2, No 12. P. 504.

Гапонов А.В. Ц Доклад на сессии научно-технического об-ва радиотехники и электроники им. А.С. Попова. М., июнь 1959.

Pantell R.H. Electron beam interaction with fast waves Ц In: the Proc. Symp. on Millimeter waves. Polytechnic Inst, of Brooklin, N.Y.: Politechnic Press, 1959. V. 9. P. 301.

Pantell R.H. Backward-wave oscillattions in an unloaded waveguide “ In: the Proc. IRE. 1959. V. 47, No 6. P. 1146.

Гапонов А.В. Релятивистские дисперсионные уравнения для волноводных систем с винтовыми трохоидальными электронными потоками “ Изв. вузов. Радиофизика. 1961. Т. 4, № 3. С. 547.

Doehler О., Mourier J. Theory of two-dimensional travelling wave tube. — Miinchen: Microwellenrohren, 1960. P. 97.

Цейтлин М.Б., Фурсаев M.A., Бецкий О.В. Сверхвысокочастотные усилители на скрещенных полях. — М.: Сов. радио, 1978. С. 185.

Тетельбаум С.И. Фазохронный генератор обратной волны Ц Радиотехника и электроника. 1957. Т. 2, № 6. С. 705.

Боков В.М., Гапонов А.В. О взаимодействии типа О в системе с центробежной фокусировкой Ц Изв. вузов. Радиофизика. 1959. Т. 2, № 5. С. 831.

Антаков И.И.)Боков В.М., Васильев Р.П., Гапонов А.В. Взаимодействие трохоидального электронного пучка с электромагнитными волнами в прямоугольном волноводе Ц Изв. вузов. Радиофизика. 1960. Т. 3, № 6. С. 1033.

Железняков В.В. О неустойчивости магнитоактивной плазмы относительно высокочастотных электромагнитных возмущений. I “ Изв. вузов. Радиофизика. 1960. Т. 3, N@ 1. С. 57.

Железняков В.В. О неустойчивости магнитоактивной плазмы относительно высокочастотных электромагнитных возмущений. II “ Изв. вузов. Радиофизика. 1960. Т. 3, N@ 2. С. 180.

Gaponov А. V., Zheleznyakov V. V. On coherent radiation of excited oscillator system (irrecti-linear electron beams, magnetoactive plasma) Ц Report submitted to URSI. London, 1960. Proc, of the XIIIth General Assembly URSI, Commission VII on Radioelectronics, 1960. V. XII, part 7. P. 109.

Schneider J. Negative electrische leitfahigkeiten “ Zeitschrift for Naturforschung. 1960. V. 15a, No 5/6. P. 484.

Премия имени А.А. Белопольского В.В. Железнякову Ц Вестник АН СССР. 1985. № 3. С. 141.

Hirshfield J.Z. Wachtel J.М. Electron cyclotron maser Ц Phys. Rev. Lett. 1964. V. 12, No 19. P. 533.

Osepchuk J.M. Life begins in forty: microwave tubes Ц Microwave J. 1978. V. 21, No 11. P. 51.

Kulke A, Veronda C.M. Millimeter-wave generation with electronbeam devices Ц Microwave J. 1967. V. 10, No 10. P. 45.

Гапонов А.В., Петелин М.И., Юлпатов В.К. Индуцированное излучение возбужденных классических осцилляторов и его и с-

пользование в высокочастотной электронике Ц Изв. вузов. Радиофизика. 1967. Т. X, № 9-10. С. 1414.

Гапонов-Грехов А.В., Петелин М.И. Мазеры на циклотронном резонансе Ц В кн.: Наука и человечество. — М.: Знание, 1980. С. 283.

Цимринг Ш.Е. Мазеры на циклотронном резонансе. — Горький: Изд-во Горьк. гос. ун.-та, 1988.

Agdur В. Strophotron — a new electron device “ Ericsson Techn.. 1957. V. 13, No 1. P. 3.

Электронные сверхвысокочастотные приборы co скрещенными полями. — М.: ИЛ, 1961 (в двух томах).

Юлпатов В.К. К вопросу о нелинейной теории взаимодействия электрических осцилляторов с электромагнитными полем Ц Доклад на 4-й Всесоюзной конференции МВССО СССР по радиоэлектронике, Харьков, 1960 (из [5, с. 10]).

Юлпатов В.К. Нелинейная теория взаимодействия непрямолинейного периодического электронного пучка с электромагнитным полем. Часть I. Вывод основных уравнений Ц Вопросы радиоэлектроники. Сер. 1. Электроника, 1965, № 12. С. 15.

Гольденберг В.Н., Ежевская Н.А., Жислин Г.М., Оржеховская М.Н., Юлпатов В.К. Нелинейная теория взаимодействия непрямолинейного периодического электронного пучка с электромагнитным полем. Часть II. Численные результаты Ц Вопросы радиоэлектроники. Сер. 1. Электроника, 1965, № 12. С. 24.

Гапонов А.В., Гольденберг В.Н., Петелин М.И., Юлпатов В.К. Прибор для генерации электромагнитных колебаний в сантиметровом, миллиметровом и субмиллиметровом диапазоне длин волн “ А.с. 223931 (СССР). Заявл. 24.03.67, опубл. 25.03.76.

Девятков Н.Д., Голант М.Б. Пути развития электронных приборов миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов длин волн “ Радиотехника и электроника. 1967. Т. 12, № 11. С. 1973.

Hibben S.J. Open millimeter-band resonators: resent progress in the USSR “ Microwave J. 1969. November. P. 59.

Гольденберг B.H., Нусинович Л С. Мощные коротковолновые гиротроны “ В кн.: Итоги науки и техники. Электроника, Т. 17. М.: ВИНИТИ, 1985. С. 3.

Гольденберг А.Л., Панкратова Т.Б., Петелин М.И. Электронная пушка магнетронного типа “ А.с. 226044 (СССР). Кл. НО1 3/02. Заявл. 16.06.67, опубл. 31.05.72.

Wingerson R. Corkscrew — a device for changing the magnetic moment of charged particles in magnetic field “ Phys. Rev. Lett. 1961. V. 6, No 5. P. 446.

Гапонов А.В., Петелин М.И. К вопросу о распространении электромагнитных волн в волноводах, заполненных неравновесной магнитоактивной плазмой Ц Доклад на 4-й Всесоюзной конферен-

ции МВССО СССР по радиоэлектронике, Харьков, 1960 (из [5, с. 12]).

Гиротрон: Сб. научных трудов. — Горький: ИПФ АН СССР. 1981.

Гапонов А.В., Гольденберг А.Л., Григорьев Д.П., Панкратова Т.Б., Петелин М.И., Флягин В.А. Экспериментальное исследование гиротронов диапазона сантиметровых волн Ц Изв. вузов. Радиофизика. 1975. Т. 18, № 2. С. 280.

Гельвин Э.А. Мощные генераторы и усилители электромагнитных колебаний свервысоких частот Ц В. сб.: Электронная техника. Сер. Электронные и квантовые приборы. — М.: ЦНИИ ТЭИНИ, 1967. С. 37.

Зайцев Н.И., Панкратова Т.Б., Петелин М.И., Флягин В.А. Гиротроны диапазона миллиметровых и субмиллиметровых волн Ц Радиотехника и электроника. 1974. Т. 19, № 5. С. 1056.

Doring Н. 100 Jahre Electronenrohren Ц NTZ: Nachrachtentechn Z. 1983. V. 36, No 10. P. 644.

Каценеленбаум Б.З. Теория нерегулярных волноводов с медленно меняющимися параметрами. — М.: Изд-во АН СССР, 1961.

Братман В.Л. и др. Циклотронные и синхротронные мазеры Ц В кн.: Релятивисткая высокочастотная электроника. — Горький: ИПФ АН СССР, 1979. С. 157.

Братман В.Л., Денисов Г.Г., Офицеров М.М. Мазеры на циклотронном авторезонансе миллиметрового диапазона длин волн Ц В кн.: Релятивисткая высокочастотная электроника. — Горький: ИПФ АН СССР, 1983. С. 127.

Петелин М.И., Юлпатов В.К. Мазеры на циклотронном резонансе Ц Лекции по электронике СВЧ и радиофизике (3-я зимняя школа-семинар) — Саратов: Изд-во С арат, госуниверситета. 1974, Кн. 4, С. 95.

Гапонов А.В., Гольденберг А.Л., Юлпатов В.К. Мазер на циклотронном резонансе с двумя резонаторами (МЦР-клистрон) “ Доклад на 5-й Межвузовской конференции по электронике СВЧ.— Саратов, 1966.

Nusinovich G.S., Saraph G.P., Granatstein V.L. Scaling Law for Ballistic Bunching in Multicavity Harmonic Gyroklystrons “ Phys.Rev.Lett. 1997. V. 78, No 9. P. 1815.

Nusinovich G.S., Walter M. Theory of the inverted gyrotwystron Ц Phys.Plasmas. 1997. V. 4, No 9. P. 3394.

Nusinovich G.S., Latham P.E., and Dumbrajs O. Theory of relativistic cyclotron masers Ц Phys. Rev. E. 1995. V. 52. P. 998.

Hezhaong Guo, Shiaw-Huei Chen, Granatstein V.L., Rodgers J., Nusinovich G.S., Walter M. T., Zhao J., Chen W. Operation of a High Performance, Harmonic-Multiplying, Inverted Gyrotwystron Ц IEEE Trans. Plasma Sci. 1998. V. 26, No 3. P. 451.

Nusinovich G.S., Wenjun Chen, Tripathi V.K. Linear Theory of a Gyrotwystron with Stagger-Tuned Cavities “ IEEE Trans. Plasma Sci. 1998. V. 26, No 3. P. 468.

Nusinovich G.S., Levush B., Danly B.G. Theory of Multibeam Stagger-Tuned Gyroklystrons Ц IEEE Trans. Plasma Sci. 1998. V. 26, No 3. P. 475.

Chen W., Nusinovich G.S., Granatstein V.L. Nonlinear Theory of Gyrotwystrons with Stagger-Tuned Cavities Ц IEEE Trans. Plasma Sci. 1999. V. 27, No 2. P. 429.

Zhao J., Nusinovich G.S., Guo H., Rodgers J.C., Granatstein V.L. Axial Mode Locking in a Harmonic-Multiplying, Inverted Gyrotwystron “ IEEE Trans. Plasma Sci. 2000. V. 28, No 3. P. 597.

Zhao J., Guo H., Nusinovich G.S., Rodgers J.C., Granatstein V.L. Studies of a Three-Stage Inverted Gyrotwystron “ IEEE Trans. Plasma Sci. 2000. V. 28, No 3. P. 657.

Дмитриев А.Ю., Трубецков Д.И., Четвериков А.П. Нестационарные процессы при взаимодействии винтового электронного пучка со встречной волной в волноводе Ц Изв. вузов. Радиофизика. 1991. Т. 34, № 9. С. 595.

Furuno D.S., McDermott D.B., Кои C.S., Luhmann N.C., Vitello Р. Theoretical and experimental investigation of a high-harmonic gyrotraveling-wave-tube amplifier Ц Phys. Rev. Lett. 1989. V. 62. P. 1314.

Дмитриев А.Ю., Четвериков А.П. Усиление многочастотных сигналов в гирорезонансном усилителе со встречной волной Ц Радиотехника и электроника 1993. Т. 38. N@ 3. С. 517.

Wang Q.S., McDermott D.B., Luhmann N.C. Demonstration of Marginal Stability Theory by a 200-kW Second-Harmonic Gyro-TWT Amplifier “ Phys. Rev. Lett. 1995. V. 75. P. 4322.

Kou C.S., Chen C.H., Wu T.J. Mechanism of efficiency enhancement by a trapered waveguide in gyrotron backward wave oscillator Ц Phys. Rev. E. 1998. V. 57, No 6. P. 7162.

Chu K.R., Chen H.Y., Hung C.L., Barnett L.R., Chen S.H., Yang T. T. Ultrahigh gain gyrotron traveling wave amplifier “ Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81, No 21. P. 4760.

Denisov G.G., Bratman V.L., Cross A. W., He W., Phelps A.D.R., Ronald K., Samsonov S. V., Whyte C.G. Gyrotron Traveling Wave Amplifier with a Helical Interaction Waveguide “ Phys. Rev. Lett. 1998. V. 81. P. 5680.

Nusinovich G.S., Walter M., Zhao J. Excitation of backward waves in forward wave amplifiers “ Phys. Rev. E. 1998. V. 58. P. 6594.

Nusinovich G.S., Walter M. Linear theory of multistage forward-wave amplifiers “ Phys.Rev.E. 1999. V. 60, No 4. P. 4811.

Felch K.L., Danly B.G., Jory H.R., Kreischer K.E., Lawson W., Levush B., Temkin R.J. Characteristics and applications of fast-wave gyrodevices // Proc, of the IEEE. 1999. V. 87, No 5. P. 752.

Yang Y., Ding W. High efficiency and wideband gyro-traveling-wavetube amplifier Ц Phys. Rev. E. 2000. V. 61. P. 4450.

Chen S.H., Chu K.R., Chang Т.Н. Saturated Behavior of the Gyrotron Backward-Wave Oscillator “ Phys. Rev. Lett. 2000. V. 85. P. 2633.

Rodgers J., Guo H., Nusinovich G.S., Granatstein V.L. Experimental Study of Phase Deviation and Pushing in a Frequency Doubling, Second Harmonic Gyro-Amplifier “ IEEE Trans, on Plasma Sci. 2001. V. 48, No 10. P. 2434.

Nusinovich G.S., Chen W., Granatstein V.L. Analytical theory of frequency-multiplying gyro-traveling-wave-tubes “ Phys. Plasmas. 2001. V. 8, No 2. P. 631.

Nusinovich G.S., Sinitsyn О. V., Kesar A. Linear theory of gyrotraveling-wave-tubes with distributed losses “ Phys. Plasmas. 2001. V. 8, No 7. P. 3427.

Трубецков Д.И., Храмов A.E. Синхронизация автоколебаний в распределенной системе «винтовой электронный поток — встречная электромагнитная волна» Ц Письма в ЖТФ. 2002. Т. 28, № 18. С. 34.

Nusinovich G.S., Vlasov A.N., Antonsen Т.М. Nonstationary Phenomena in Tapered Gyro-Backward-Wave Oscillators Ц Phys. Rev. Lett. 2001. V. 87, No 21. P. 218301-1.

Дмитриев А.Ю., Коневец A.E., Пищик Л.А., Трубецков Д.И., Четвериков А.П. Обзорные лекции по теории взаимодействия слаборелятивистских винтовых электронных пучков с электромагнитными волнами в волноводе Ц Лекции по электронке СВЧ и радиофизике. 7-я зимняя школа-семинар инженеров. Кн. 1.— Саратов: Изд-во С арат, ун-та, 1981. С. 61.

Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. — М.: Сов. радио, 1973.

Трубецков Д.И., Четвериков А.П. Автоколебания в распределённых системах «электронный поток — встречная (обратная) электромагнитная волна» Ц Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1994. Т. 2, N@ 5. С. 3.

Короновский А.А., Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Влияние сигнала сложной формы на колебания в активной среде «винтовой электронный поток — встречная электромагнитная волна» Ц Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2002. Т. 10, № 4. С. 3.

Храмов А.Е. Усиление сигналов в гиролампе со встречной волной “ Письма в ЖТФ. 2003. Т. 29, №11. С. 56.

Короновский А.А., Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Влияние внешнего сигнала на автоколебания в распределенной системе «винтовой эектронный пучок — встречная электромагнитная волна» Ц Известия вузов. Радиофизика. 2002. Т. XLV, N@ 9. С. 773.

Botton М. “ IEEE Trans. Plasma Sci. 1998. V. 26. P. 882.

Гапонов А.В., Гольденберг А.Л., Петелин М.И., Юлпатов В.К. Прибор для генерации электромагнитных колебаний в см-, мм- и субмм-диапазонах длин волн. Авторское свидетельство № 223931 с приоритетом от 24.03.1967 г. / Официальный бюллетень КДИО при СМ СССР, 1976. №11.

Братман В.Л., Новожилов С.Л., Петелин М.И. Перестройка частоты в гиромонотроне с электродинамической системой в виде конического волновода Ц Электронная техника. Сер. I. Электроника СВЧ. 1976. №11. С. 46.

Четвериков А.П. Широкополосное усиление электромагнитных волн в волноводе винтовым электронным пучком Ц Лекции по электронке СВЧ и радиофизике. 8-я зимняя школа-семинар инженеров. Кн. 2. — Саратов: Изд-во С арат, ун-та, 1989. С. 43.

Lim А. Т. Mechanisms of efficiency enhancement in gyrotron backward-wave oscillators with trapered magnetic field Ц Phys. Rev. A. 1992. V. 46, No 8. P. 4516.

Состояние разработок гиротронов за рубежом Ц Электронная техника. Сер. 1. Электроника СВЧ, N@ 12. 1978. С. 121.

Eckstein J.N., Latsshaw D. W., Stone D.S. 95 GHz gyro traveling wave tube “ Varian Assoc., Inc., Final Rep. Contract DASG60-79-C-005 (BMDATC), 1983.

Park G.S., Park S. Y., Kyser R.H., Armstrong C.M., Ganguly A.K., Parker R.K. BroadBand operation of a Ka-band tapered gyrotraveling wave amplifier Ц IEEE Trans. Plasma Sci. 44. V. 22, No 10. P. 536.

Park G.S., Choi J.J., Park S. Y., Armstrong C.M., Kyser R.H., Ganguly A.K., Nguyen К. T., Parker R.K. Experimental investigation of two-st age tapered gyro-traveling wave amplifier Ц Proc. 19th Int. Conf. Infrared and Millimeter Waves. October 1994. P. 417.

Park G.S., Choi J.J., Park S. Y., Armstrong C.M., Kyser R.H., Ganguly A.K., Parker H.K. Experimental investigation of two-st age tapered gyro-traveling wave amplifier “ Phys. Rev. Lett. 1995. V. 74. P. 2399.

Shoichi Ono et al Ц Proc. 14th Int. Cong. Microwave Tubes, Scheveningen, September 3-7 1962, P. 355.

Кузнецов С.П., Моносов Г.Г., Трубецков Д.И., Четвериков А.П. Некоторые вопросы теории пениотрона Ц Лекции по электронике СВЧ и радиофизике (5-я зимняя школа-семинар) — Саратов: Изд- во С арат, госуниверситета. 1981, Кн. 1, С. 8.

Кузнецов С.П., Трубецков Д.И., Четвериков А.П. Нелинейная аналитическая теория пениотрона Ц Письма в ЖТФ. 1980. Т. 6, № 5. С. 1164.

Dohler G., Gallagher D., Moats R. “ International Electron Device Meeting, 1978, Washington, D.C., December 4-6, P. 400.

ЛАЗЕРЫ НА СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНАХ

ЛАЗЕР НА СВОБОДНЫХ ЭЛЕКТРОНАХ, генератор когерентных электромагнитных колебаний оптического диапазона длин волн (ИК, видимого), принцип работы которого основан на взаимодействии пучка свободных релятивистских электронов с пространственнопериодическим электрическим или магнитным полем. Относится к приборам релятивистской электроники...

Электроника: энциклопедический словарь. М.: Сов. энциклопедия, 1991. с. 242.

История создания лазера на свободных электронах. Семейство ЛСЭ: от микротрона до накопительных колец. Нерелятивистские предшественники ЛСЭ fпараметрические усилители О- и М-типа). Основные принципы лазеров на свободных электронах. Элементарная теория ЛСЭ. Нестационарные уравнения ЛСЭ. Методика и результаты численного моделирования нестационарных процессов в ЛСЭ. ЛСЭ, основанные на излучении электронов в периодических статических полях и рассеянии волн электронными потоками: подход, основанный на введении сил Миллера.

Одними из наиболее перспективных и интенсивно исследуемых приборов релятивистской электроники являются мазеры и лазеры на свободных электронах 1) (МСЭ и ЛСЭ). В библиографическом указателе [1], посвященном мазерам и лазерам на свободных электронах, дается следующее определение этих приборов. «МСЭ и ЛСЭ — это генераторы и усилители электромагнитных колебаний, действие которых основано на излучении электронов, колеблющихся под действием внешнего электрического и (или) магнитного поля и перемещающихся с релятивистской поступательной скоростью в направлении распространения излучаемой волны» [1, с. 3]. Главное в этом весьма широком определении

1) В.Л. Гинзбург в монографии [2] отмечает, что хотя и имеется некоторая аналогия с лазером, термин ЛСЭ «... вряд ли удачен (достаточно сказать, что основной целью создания лазеров на свободных электронах является отнюдь не генерация света, прекрасным источником которого служат обычные лазеры)».

то, что частота относящихся к данному классу электронных генераторов и усилителей из-за эффекта Доплера сильно превосходит частоту колебаний электронов. В работах [3,4] такие генераторы были названы доплертронами. Термин доплертрон применяется к устройствам, основанным как на индивидуальном, так и индуцированном излучении классических (свободных) электронов. Те доплертроны, которые используют индуцированный процесс, и являются МСЭ и ЛСЭ. Заметим, что под определение ЛСЭ не попадают гиротроны и те релятивистские приборы, в которых преобразование частоты из-за эффекта Доплера отсутствует, мало или происходит «вниз» (частота излучения меньше частоты колебаний электронов).

Строго говоря, электрон в ЛСЭ не является «свободным», поскольку испытывает действие электромагнитного поля, которое заставляет его излучать, но он «свободен» в том смысле, что не связан в атоме, как в случае обычного лазера. Излучение в ЛСЭ, как правило, возникает при прохождении электронов через магнитное устройство, называемое ондулятором или вигглером, в котором электроны движутся по периодической осциллирующей в пространстве траектории. Ондуляторное движение может вызываться винтовым магнитным полем, создаваемым током бифилярной спиральной обмотки (в таком ондуляторе электроны движутся по траекториям, близким к спиральным), или же линейно-поляризованным полем, создаваемым последовательностью магнитов переменной полярности. Ондулятором может быть также некоторое электростатическое устройство или оптическая волна большой интенсивности. Движение электронов в ЛСЭ происходит, как правило, в вакууме, но возможно также и использование диэлектрических структур; в последнем случае важную роль может играть эффект Черенкова (электроны движутся в среде со сверхсветовой скоростью). Предшественниками ЛСЭ были нерелятивистские малошумящие параметрические ВЧ-усилители, активно разрабатываемые в 60-70годах. На них подробнее остановимся в специальном параграфе лекции.

Следует подчеркнуть, что В.Л. Гинзбург еще в 1947 г. указал на возможность получения когерентных колебаний в коротковолновом диапазоне длин волн при сверхсветовом движении в среде [5—7]. Было, в частности, показано, что, если излучатель (заряженная частица, осциллятор и т. п.) движется в среде с показателем преломления п, то из-за эффекта Доплера в системе отсчета, связанной с неподвижной средой, излучение имеет частоту [5,6] (см. также том 1, лекция 1)

3(0)=eF (2」)

где а。— частота излучения в системе координат, в которой излучатель покоится, / = оо/с, о。— скорость излучателя, 0 — угол между вектором скорости v° и направлением наблюдения. При /Зп〉1 эффект Доплера называют нормальным, при /Зп < 1 — аномальным (или «сверхсветовым»). В работе [7] показано, что в потоке электронов-осцилляторов (даже невозбужденных), движущихся со сверхсветовой скоростью, имеет место неустойчивость, связанная с аномальным

эффектом Доплера. Типичный пример — прямолинейный электронный поток, сфокусированный продольным магнитным полем и взаимодействующий с поперечным электрическим током ВЧ [8]. Однако от идеи до ее воплощения в МСЭ и ЛСЭ прошло много времени.

Можно выделить три больших группы приборов среди всех МСЭ и ЛСЭ.

МСЭ и ЛСЭ, основанные на вынужденном тормозном излучении электронов. К ним относятся убитроны 1), в которых имеет место ондуляторное излучение частиц, совершающих колебания в пространственно-периодическом магнитостатическом или электростатическом поле и строфотроны (нерелятивистский строфотрон обсуждался в лекции 1(16)).

МСЭ и ЛСЭ, основанные на рассеянии волны накачки электронным потоком.

МСЭ и ЛСЭ, в которых используется вынужденное излучение Смита-Парселла и переходное излучение частицы в пространственнопериодических средах.

Отметим, что иногда все указанные приборы называют ЛСЭ, а иногда под ЛСЭ понимают лишь приборы второй группы. Так, например, в книге [9] дано следующее определение: «Лазер на свободных электронах представляет собой устройство, в котором на «свободных» частицах релятивистского электронного пучка осуществляется вынужденное обратное рассеяние низкочастотной волны». В связи с этим еще раз подчеркнем, что главным в ЛСЭ является значительный сдвиг в сторону высоких частот рассеянного в обратном направлении излучения (частота рассеянного излучения, как покажем ниже, примерно в)2 = 1 /(1 —(少о/c)?) раз больше частоты падающего излучения) и принципиальная возможность перестройки частоты излучения в широких пределах (например, за счет изменения скорости электронного пучка).

На рис. 2.1 приведена классическая схема ЛСЭ, в котором установлены два зеркала, образующие резонатор Фабри-Перо. Этот ЛСЭ был разработан в Станфордском университете в 1977 г. и предназначен для работы в генераторном режиме. Между зеркалами резонатора расположен ондулятор из N периодов; длина каждого периода d. Внутрь системы вводится ультрарелятивистский электронный пучок со скоростью 少° ^ с ()》1). При определенных значениях энергии пучка, расстояния между зеркалами резонатора и других параметров устройство будет генерировать когерентное излучение, частоту которого можно оценить следующим образом.

Убитрон — фирменное название Дженерал Электрик. Оно объединяет словосочетание undulator beam interaction — взаимодействие волнообразного пучка — где под ондулятором понимается устройство, в котором реализуется периодическое в пространстве статическое поле, например, знакопеременное магнитное (ондулятор — от французского Conde — волна).

Спиральный магнитСпиральный магнит(период 3,2 см)(период 3,2 см)Электронный пучокЭлектронный пучокЗеркалоЗеркалорезонаторарезонатора5,2 м12,7 м5,2 м12,7 м(43 МэВ)-■ ] Зеркалорезонатора(43 МэВ)-■ ] Зеркалорезонатора

Спиральный магнит

Спиральный магнит

(период 3,2 см)

(период 3,2 см)

Электронный пучок

Электронный пучок

Зеркало

Зеркало

резонатора

резонатора

5,2 м

12,7 м

5,2 м

12,7 м

(43 МэВ)

-■ ] Зеркалорезонатора

(43 МэВ)

-■ ] Зеркалорезонатора

Рис. 2.1. Схема Станфордского лазера на свободных электронах, работающего в режиме генератора [10]. Вблизи зеркал, кроме поля ондулятора, использовалось ведущее поле для ввода и вывода электронного пучка (из монографии [11])

Частота колебаний электрона, движущегося по периодической траектории в ондуляторе, равна z/q = vo/d. В системе координат, движущейся со скоростью электронного потока 少°, частота колебаний электрона становится равной vs =少o/ds, где из-за релятивистского сокращения длины период d ондулятора уменьшился в 7 раз, т. е. ds = =d/y. Отсюда иs = с%Id = z/q7- Следовательно, в собственной системе координат электрона частота его колебаний в 7 раз больше, чем в лабораторной. Тогда частота излучаемых им волн с учетом эффекта Доплера

у ==.

7(1 — (fo COS ^)/с) 1 — (fo COS 6)/c

В ультрарелятивистском случае 72 = | ^1 — —^. Тогда в направле

нии движения электронного пучка (^ = 0), в котором частота максимальна, получим, что

и = 2)2%».(2.2)

Приближенное соотношение (2.2) иногда называют резонансным соотношением —в ЛСЭ частота излучения пропорциональна величине 2)2. Так, если период ондулятора равен 1 см, а 7 « 10, т. е. энергия электронов приблизительно равна 5 4- 10 МэВ, то длина волны излучения будет лежать в ИК диапазоне.

Длинноволновая граничная длина волны для ЛСЭ примерно равна 1 мм. Диапазон, перекрываемый ЛСЭ, простирается за видимую область спектра и проникает в область рентгеновского диапазона. В любой конструкции ЛСЭ перестройка частоты ограничивается возможностями электронного ускорителя, но можно утверждать, что без особых конструктивных изменений перестройка частоты ЛСЭ возможна в пределах декады.

Настоящая лекция ставит своей целью дать элементарное введение в физику лазеров и мазеров на свободных электронах, систематизировать основные принципы классических МСЭ и ЛСЭ, изложить основы теории приборов данного класса. Лекция построена следующим образом. В начале лекции излагается история создания ЛСЭ, основываясь, в первую очередь, на книге Т. Маршалла [11]. При этом подробно рассматривается история создания первого ЛСЭ — убитрона.

В этом же параграфе обсуждаются различные представители семейства ЛСЭ, классификация режимов работы и некоторые области применения МСЭ и ЛСЭ. Далее обсуждаются нерелятивистские предшественники ЛСЭ — малошумящие параметрические усилители О- и М- типа. Остальная часть лекции посвящена изложению теории лазеров и мазеров на свободных электронах, которое во многом основывается на лекциях В.Л. Братмана, Н.С. Гинзбурга и М.И. Петелина, прочитанных на 5-й Зимней школе-семинаре инженеров по СВЧ-электронике и радиофизике (Саратов, 1981) [4].

История создания лазера на свободных электронах.

Семейство ЛСЭ: от микротрона до накопительныхколец

Еще в 1933 г. П.Л. Капица и П.А.М. Дирак [12] теоретически проанализировали вынужденное рассеяние фотонов на электронах. Однако результаты не нашли практического применения вплоть до 50-х годов, когда попытки продвинуться в более коротковолновый диапазон натолкнулись на ограничения технологии электронных приборов. Уменьшение их геометрических размеров с уменьшением длины волны оказалось неблагоприятным с точки зрения точности изготовления, допусков и мощности; кроме того, исследование таких приборов должно проводиться, как правило, при низкой энергии электронов (< 10кэВ). Результаты не были обнадеживающими, и с созданием в 60-х годах лазера интерес исследователей переместился в область квантовой электроники. Однако в 1951 г. X. Мотц исследовал ондуляторное излучение — высокочастотное излучение электронного потока в периодическом в пространстве статическом поле [13]. Статья [13] начинается фразой, кратко суммирующей сделанное: «Электрон, движущийся через последовательный ряд электрических или магнитных полей разной полярности, излучает. Частотный спектр испускаемого излучения зависит от скорости электрона. Как показано ниже, весь спектр электромагнитного излучения от сверхвысоких частот до жестких рентгеновских лучей может быть легко получен при использовании электронов с энергиями в интервале от 1 до 100 МэВ». Работа проводилась в Станфордском университете. Экспериментально полученные значения выходной мощности и спектр излучения сравнивались с результатами расчетов по формулам классической электродинамики для излучения одного электрона. Эксперименты [14] проводились в оптическом и миллиметровом диапазонах длин волн. В 1959 г. Мотц и Накамура [15] показали, что подводимые извне электромагнитные волны могут усиливаться устройством с такой ондуляторной структурой.

Позднее в 1960 г. Р.Н. Филлипс описал в работе [56] убитронный усилитель (первый лазер на свободных электронах), в котором реализовано индуцированное ондуляторное излучение. В одном из вариантов убитрона [57] электронный пучок, формируемый магнетронной пушкой, встреливается в круглый волновод с рабочей модой TEqi. В вол-

поводе размещены чередующиеся стальные и медные диски, поэтому при помещении его в поле соленоида образовывались как периодическое, так и постоянное магнитные поля, обеспечивающие фокусировку и пульсации электронного пучка (колебания электронов в периодическом магнитном поле с баунс-частотой ge = (2тп；о)/d, где d — шаг периодической магнитной системы,少° — продольная скорость пучка). Была получена импульсная выходная мощность 1,6 МВт на частоте 16 ГГц и 150 кВт на частоте 54 ГГц. Во втором случае ток пучка был 35 А при напряжении пучка 70 KB. Как отмечается в монографии [11], другие устройства обеспечивали примерно такую же большую мощность на этих частотах, и разработка убитрона как СВЧ-прибора была временно приостановлена в связи с созданием гиротрона. История создания убитрона подробно изложена самим Р.Н. Филлипсом в работе [58]. Остановимся на ней подробнее.

Убитрон обязан своим изобретением исследованиям, которые проводились Р.Н. Филлипсом для объяснения, почему происходит самовозбуждение ЛБВ ЦСР с периодической магнитной фокусировкой электронного пучка, и не происходит при фокусировке пучка постоянным магнитным полем соленоида. Самое значительное различие между этими двумя способами фокусировки заключалось в поведении пучка: в первом случае электроны пучка совершали колебания, а во втором — двигались по спиральным траекториям. Филлипс предположил, что пучок оказывается сильно связан с TEqi-модой, если имеет место условие синхронизма, заключающееся в том, что электрическое поле меняет направление на обратное в тот же момент времени, когда меняется направление и скорость электрона.

Как оказалось, причина возбуждения ЛБВ была совсем в ином (связанные резонаторы возбуждались на щелевой моде, которая зависит не от колебаний пучка, а от его среднего диаметра), однако, когда это было установлено, Р.Н. Филлипс уже работал над созданием нового прибора, который бы использовал обнаруженное им взаимодействие электронов-осцилляторов с незамедленной электромагнитной волной. Проведенные им в течении семи лет исследования позволили создать новую лампу (убитрон), которая перекрывала весь частотный диапазон от 3 до 60 ГГц и позволила установить новые рекорды по мощности генерации, которые продержались в течении следующих двух десятилетий.

Результаты по созданию первого убитрона были доложены Филлипсом на 17-й конференции по исследованиям электронных приборов (17th Electron Tube Research Conference) в Мехико, где они вызвали значительный интерес среди тех, кто смог оценить их значение. Как вспоминает Филлипс [58]: «Одним из заинтересовавшихся моими результатами был организатор конференции профессор Паул Колеман, который являлся ведущим специалистом в использовании мегавольт- ных электронных пучков для генерации милиметровых и субмиллиметровых волн. Другим был председатель конференции профессор Марвин Чодоров из Станфордского университета. Третьим был М.Б. Го- лант из Советского Союза, который подошел ко мне и сказал, что он

и его коллеги делали подобную «быстроволновую» работу в институте в Москве... и были очень заинтересованы моей работой. Он предложил обменяться информацией. Работой, на которую он ссылался, были, вероятно, более ранние русские эксперименты с гиротроном. Излишне говорить, что State Department не разрешил никакого обмена информацией. ..».

Дальнейшие исследования убитрона нашли поддержку в лице Армии США для создания на его основе сверхмощного СВЧ-оружия. Предполагалась разработка убитрона, который бы давал мощность 1 МВт в сантиметровом диапазоне длин волн. В результате была создана лампа, выходная мощность которой составляла 1,2 МВт при полном КПД 10 %. Ширина полосы частот Acj/g 〜30 %. Коэффициент усиления убитрона в режиме малого сигнала составлял 13 дБ.

Эти результаты были представлены в работе [56], опубликованной в октябре 1960 г. Одновременно путем введения неоднородности в ондулятор (заключавшейся в 10 % уменьшении периода магнитной системы к концу пространства взаимодействия лампы) удалось достигнуть КПД порядка 13 %.

К этому моменту Армия США отказалась от попытки создания СВЧ-оружия, однако убитроном заинтересовались военно-воздушные силы США для создания прибора с максимально возможной выходной мощностью на частоте 1 мм. В результате была разработана и принята многолетняя программа, состоящая из серии испытаний убитрона сначала на 16 ГГц, затем на 60, 120 и 300 ГГц.

Как пишет Филлипс, она не была выполнена до конца. В начале был создан убитрон, который имел выходную мощность 1,65 МВт на частоте 15,7 ГГц при КПД приблизительно 6 %. Однако при реализации 60 ГГц- части программы возникли сложности, связанные с дополнительным условием, которое наложили инженеры ВВС США на конструируемую лампу. Так как предполагалось использование убитрона на самолетах, то потребовалось сделать действующее ускоряющее напряжение как можно более низким, и ни в коем случае не превышающим 100 кВ. Это потребовало принципиальной переработки конструкции лампы, так как имеющаяся схема для работы на частоте 60 ГГц требовала ускоряющего напряжения по крайней мере 0,5 МэВ. В результате был разработан прибор с ускоряющим напряжением 70 KB. Убитрон давал выходную мощность порядка 150 кВт на частоте 54 ГГц с максимальным КПД 6 %. Пиковое усиление имело место вблизи частоты отсечки волновода и составляло 30 дБ. Полученная таким образом мощность генерации убитрона была на порядок выше зарегистрированной ранее в этом частотном диапазоне. Однако ВВС США отказались от выполнения дальнейшей 120 ГГц-части программы по разработке убитрона.

Таким образом, при поддержке различных военных ведомств США был создан первый прототип лазера на свободных электронах — убитрон. Результаты, полученные группой Р.В. Филлипса, свидетельствовали, что убитрон был способен создавать мощность большую, чем любой другой источник СВЧ-излучения миллиметрового диапазона того времени.

И все же отсчет истории ЛСЭ следует вести от работы [59], датированной 1968 г. Ее авторы впервые предложили использовать вынужденное рассеяние на релятивистском электронном пучке для генерации излучения сверхкоротких длин волн (именно предложение использовать релятивистский пучок было главным для создания ЛСЭ). В работе было предложено устройство, аналогичное тому, которое разработал Мотц, но теперь к нему были добавлены зеркала и ондулятор. Уже в первых экспериментах с ЛСЭ было установлено, что имеют место процессы рассеяния волны на частице (комптон-эффект) и рассеяние волны на волне (комбинационное рассеяние). В Станфордских экспериментах было получено индуцированное комптоновское рассеяние с мощностью порядка 10 МВт в инфракрасном диапазоне. Позднее были проведены эксперименты по вынужденному комбинационному рассеянию.

В конце 60-х-начале 70-х гг. появилось современное название нового устройства — лазер на свободных электронах. Около 1970 г. Дж. Мейди под руководством профессора Шветтмана начал исследования устройства, которое и было названо им впоследствии лазером на свободных электронах (free electron laser; FEL) [16]. На возможность создания ЛСЭ на базе ускорительной техники впервые указал Пэлмер [17]. Первые эксперименты на релятивистских энергиях пучка по получению вынужденного рассеяния были выполнены в Станфорде, а в 1976 г. Элиас и др. [18] на слаботочном электронном пучке линейного ускорителя (/ = 70 мА, Vo = 24 МВ) реализовали усилитель, который имел максимальный коэффициент усиления равный 7 % на длине волны А = =10,6 мкм. В ЛСЭ использовался спиральный ондулятор с магнитным полем 2,4 кГс. Позже аналогичный эксперимент (но в генераторном варианте) выполнили Дикон и др. [10], которые получили импульсную мощность 7 кВт с длиной волны излучения А = 3,4 мкм, используя тот же режим накачки, но при более высоких значениях интенсивности и энергии электронного пучка (/ = 2,6 A, Vo = 43MВ). Выходная мощность 7 кВт составила 0,01 % мощности пучка. Поскольку усиление здесь было обусловлено интерференционными процессами, коэффициент усиления сильно зависел от длины ондулятора ЛСЭ. Первоначальное рассмотрение ЛСЭ велось на основе квантовомеханических представлений [16,19,20]. Однако как показали последующие теоретические исследования, классическая теория процесса вынужденного рассеяния также дает удовлетворительные результаты по описанию физических процессов в лазерах на свободных электронах [21-23].

Примерно в это же время проводились исследования по получению излучения на сильноточных электронных ускорителях (1 4- 10 кА/см2, 1 十 2 МэВ). Нейшен [24, 25], а также Фридман и Херндон [26] исследовали излучение релятивистских электронных потоков, взаимодействующих с замедленными электромагнитными волнами периодических электродинамических структур или системами с пространственно периодическими магнитными полями. В Научно-исследовательской лаборатории ВМС США [27, 28] изучалось мощное излучение в субмиллиметровом диапазоне, которое объяснялось вынужденным рассе-

янием. В Колумбийском университете была проведена первая серия экспериментов на ондуляторе со статическим магнитным полем для возбуждения комбинационного рассеяния. Эфтимион и Шлезингер [29] получили генерацию с большим уровнем мощности на длинах волн ~ 0,3 4-6 см и показали, что физический механизм основан на связи волноводных мод с циклотронной волной отрицательной энергии и волной пространственного заряда, играющих роль холостых волн [30]. Маршалл и др. [31] модифицировали этот эксперимент, используя интенсивное поле накачки, и получили излучение с мощностью несколько мегаватт в диапазоне длин волн А = 1 4- 3 мм. В эксперименте использовался электромагнитный ондулятор, в котором была предусмотрена возможность изменять поле накачки, что позволило получить линейную зависимость инкремента от амплитуды накачки, свидетельствующую о том, что взаимодействие осуществлялось в режиме вынужденного комбинационного рассеяния [32]. Гильгенбах и др. [33] провели детальный спектральный анализ излучения в миллиметровом диапазоне. Мак-Дермотт и др. [34] сообщили о реализации ЛСЭ-генератора на комбинационном рассеянии, работающего в режиме коллективного взаимодействия. В этом устройстве (эксперимент проводился совместно сотрудниками Колумбийского университета и Научно-исследовательской лаборатории ВМС США) использовался квазиоптический резонатор, обеспечивающий оптическую обратную связь, а для уменьшения разброса электронного пучка по импульсам вблизи катода создавалась специальная область с сильным магнитным полем. Выходная мощность ЛСЭ составила 1 МВт при А = 400 мкм, при этом наблюдалось сужение линии излучения до 2 %. Усовершенствование диодной системы и улучшение качества электронного пучка [35] позволили группе из Научно-исследовательской лаборатории ВМС США получить генерацию в ЛСЭ на комбинационном рассеянии с эффективностью ~ 7%. Чтобы продемонстрировать различные возможности применения ЛСЭ, Уолш [36] провел серию экспериментов по совместному действию вынужденного черепковского эффекта и комбинационного рассеяния: в соответствующем устройстве для возбуждения вынужденного комбинационного рассеяния использовался ондулятор с диэлектриком, что позволило получить дополнительный сдвиг частоты вверх.

В связи с упомянутыми выше экспериментами был проведен ряд теоретических исследований. Первоначально теория разрабатывалась как квантовомеханическая [16]. Однако Колсон [21] показал, что двухволновый ЛСЭ можно описать в динамическом режиме с помощью уравнения маятника. Такая модель, в частности, полезна для понимания процессов в неоднородных ондуляторах и эффектов насыщения (см., например, [11]). Позже Л.А. Вайнштейн провел сравнение квантового и классического подхода в случае однуляторного излучения в открытый резонатор [37]. Спрэнгл и др. [32] впервые вычислили инкременты для режима малой амплитуды накачки процесса комбинационного рассеяния, а последующий нелинейный анализ позволил вычислить инкременты и эффективности для всех экспоненциально нарастающих процессов [38]. Линейное приближение, которое применили

Кролл и МакМуллин [39], позволило рассчитать инкременты в режиме большого усиления и объяснить режим малого усиления двухволнового процесса рассеяния. Хасегава [40] сообщил о дальнейшей работе, посвященной системам с большим усилением, включая учет влияния разброса пучка по импульсам, в то время как Бернштейн и Хирш- фильд [41] решали эту проблему как краевую задачу усиления бегущей волны. Используя метод крупных частиц, Кван и др. [42] численно рассмотрели нелинейную стадию усиления. Лин и Доусон [43] показали, что высокую эффективность порядка 25 % можно получить соответствующим профилированием пространственного периода и амплитуды накачки. В дальнейшем эти идеи использовали Спрэнгл и Танг [44], а также Кролл, Мортон и Розенблют [45], применительно, в частности, к двухволновому ЛСЭ. Последняя из этих теорий оказалась весьма полезной для установления взаимосвязи теории ускорителей и физических процессов, происходящих в ЛСЭ [46].

С начала 80-х годов количество работ по ЛСЭ значительно увеличивается; появились сообщения об экспериментах по захвату частиц и получению повышенной эффективности в ЛСЭ-усилителях [47—49]; получено усиление в видимой области спектра на накопительном кольце [50]; предпринята разработка ЛСЭ дальнего ИК диапазона фирмой «Бэлл лэборэтриз» [51,52] и Национальным центром комитета по ядерной энергии (ENEA) во Фраскати (Италия) [53] на базе модернизированного компактного ускорителя микротронного типа; создаются ЛСЭ с использованием накопительных колец во многих лабораториях мира, имеющих дело с ускорительной техникой; среди них АСО во Франции, ADONE в Италии, в Брукхейвенской лаборатории и в Стан- фордском университете в США. На французском накопителе АСО создан ЛСЭ-генератор на длине волны 6400 А [54], а в Станфордском университете ЛСЭ-генератор работал на третьей гармонике основной частоты (〜0,5 мкм) [55]; в обоих этих экспериментах были использованы неоднородные ондуляторы для повышения эффективности генерации, а следовательно, и выходной мощности генераторов.

Остановимся кратко на основных конструктивных особенностях ЛСЭ.

Наиболее важным физическим компонентом ЛСЭ является ускоритель. Энергия электронного пучка, создаваемого ускорителем, лежит в области релятивистских энергий электронов и может превышать величину 1000 МэВ. Ток ускорителя является импульсным с длительностью импульса от нескольких микросекунд до нескольких пикосекунд. Ускорители могут работать в режиме либо одиночных импульсов, либо повторяющихся импульсов с частотой повторения до 1 кГц. Электроны ускоряются в диодном промежутке или электронной пушкой, которые включают в себя «горячий» или «холодный» катод, фокусирующие элементы и соленоид (обычно сверхпроводящий), создающий ведущее магнитное поле.

При увеличении энергии электронов в соответствии с резонансным условием (2.2), ЛСЭ будет генерировать (или усиливать) излучение на все более возрастающей частоте. Из рис. 2.2 видно, какие из суще-

Длина волны瑜

0」мкм 1 мкм 10 мкм 100 мкм 1000 мкм

Электронноенакопительноекольцо

Линейныйускоритель

Электростатический ускоритель

Микротрон

Импульснаялиния

Рис. 2.2. Диапазон длин волн ЛСЭ и соответствующие ускорители электронов(из монографии [11])

ствующих ускорителей, разработанных за предшествующие несколько десятков лет, могут быть использованы для создания ЛСЭ в различных областях спектра электромагнитных волн [11].

Другим параметром, характеризующим электронный пучок, является его собственный разброс по продольным импульсам. В идеальном случае энергия всех электронов, вылетающих из ускорителя, должна быть одной и той же, но из-за конструктивных особенностей ускорителя и системы транспортировки у электронов имеется не равный нулю разброс по импульсам в поперечном и продольном направлениях. Он описывается параметром, называемым эмиттансом пучка, который характеризует яркость электронного потока. Для ЛСЭ нужны яркие электронные потоки с малым разбросом по продольным импульсам. В обычных лазерах излучение на выходе тоже является ярким (т. е. в дополнение к высокому уровню выходной мощности оптический пучок имеет очень малую расходимость и, следовательно, может быть сфокусирован до размера дифракционно ограниченного пятна).

Следующим конструктивным элементом ЛСЭ является устройство, которое обеспечивало бы осцилляторное движение электронов. Это, например, может осуществляться путем искривления траектории электрона в периодическом поперечном магнитостатическом поле, создаваемом ондулятором. Большинство разработанных в настоящее время ондуляторов представляют собой либо спиральные токовые обмотки, либо линейную цепочку из постоянных дипольных магнитов. Подробнее на способах создания осцилляторного движения электронов пучка остановимся позже. Здесь же отметим, что типичный период ондулятора равен примерно 3 см, а типичное значение индукции магнитного

поля порядка 1 кГс. Такое поле создается импульсным или постоянным током (последнее возможно в сверхпроводнике) или ондулятор состоит из постоянных магнитов (таких как самарий-кобальтовые магниты). Простейшие конструкции ондуляторов имеют фиксированные значения периода и амплитуды поля, за исключением коротких участков на входе и выходе, где поле адиабатически увеличивается, чтобы обеспечивать плавный переход электронов в новую область взаимодействия. Однако часто разрабатываются неоднородные ондуляторы, которые позволяют улучшить характеристики ЛСЭ.

Важным элементом ЛСЭ являются зеркала резонаторов. Здесь существует важная технологическая проблема совершенствования качества зеркал в соответствии со следующими техническими требованиями.

Во-первых^ это требование к коэффициенту отражения зеркал, которое является решающим для ЛСЭ с малым усилением, особенно в видимом и ультрафиолетовом диапазонах. Необходимо, чтобы зеркала имели устойчивое широкополосное покрытие. Достижение коэффициента отражения R 〜0,9995 в видимом диапазоне возможно благодаря использованию многослойных (с числом слоев порядка 20) интерференционных пленок, а в диапазоне длин волн порядка 100 А коэффициент отражения удается сделать порядка R〉0,50.

Во-вторых^ в случае работы ЛСЭ на накопителе, энергия электронов которого составляет 100 4- 200 МэВ, мощное ультрафиолетовое синхротронное излучение будет очень быстро приводить к разрушению покрытия зеркал с высоким коэффициентом отражения. Поэтому разработка устойчивых к ультрафиолетовому излучению зеркальных покрытий с высоким коэффициентом отражения представляет собой необходимое условие успешной разработки мощных ЛСЭ, использующих энергию накопительного кольца.

В-третьих, в ЛСЭ с большим уровнем мощности в коротковолновом диапазоне диссипация энергии на зеркале может привести к разрушению его поверхности. Например, выходную мощность ЛСЭ, равную 10 МВт, при 1 %-ном коэффициенте пропускания зеркала не следует рассматривать как очень высокую, хотя в резонаторе она будет около 1 ГВт. Небольшая доля этой мощности должна рассеиваться подложкой зеркала без прогрессирующего поверхностного разрушения. Хотя в резонаторе импульсная мощность 1 ГВт не вызывает каких-то осложнений при существующей технологии, некоторые ускорители создают электронные пучки очень высокой мощности, что неизбежно приводит к соответствующим трудностям при создании оптических систем для сверхмощных ЛСЭ.

Характер взаимодействия электронного пучка с электромагнитными модами оптического резонатора можно описать методами квантовой электроники. Между зеркалами резонатора Фабри-Перо благодаря многократному отражению оптического пучка устанавливаются поперечные и продольные моды — такой процесс впервые описали Фоке и Ли. В резонаторе Фабри-Перо полные потери складываются

из дифракционных потерь на краях зеркал, потерь за счет диссипации излучения на поверхности зеркал и потерь, обусловленных наличием связи (через отверстие, неустойчивый резонатор или частично пропускающее зеркальное покрытие). Электронный пучок будет возбуждать только те моды, взаимодействие с которыми является сильным (т. е. обеспечена сильная связь электронного пучка с оптической структурой) и потери для которых малы. Поскольку линия излучения ЛСЭ шире, чем у традиционного лазера, в резонаторе, если в него не внесены фильтры, могут возбуждаться многие резонаторные моды. В некоторых типах ЛСЭ в данный момент времени в резонаторе может присутствовать один электронный сгусток диаметра около 1 мм и длины лишь несколько миллиметров. В этом случае оптическая волна будет опережать медленно распространяющийся электронный импульс и возникает эффект, названный лазерной летаргией [11]. В этом случае на выходе ЛСЭ будет наблюдаться последовательность очень коротких импульсов, возникающих за счет синхронизации мод.

Заметим, что МСЭ и ЛСЭ могут работать в различных режимах, для которых справедливы различные физические принципы. Кратко рассмотрим режимы работы ЛСЭ и соответствующую их классификацию, следуя книге [11].

Если ток электронного пучка мал и энергия пучка высока (более 10 4- 20 МэВ), а длина волны излучения лежит в коротковолновом (ИК) диапазоне, то ЛСЭ работает в режиме, который называется по-разному: комптоновский, двухволновый, интерференционный или режим одночастичного взаимодействия. В этом случае существует очень близкая аналогия между ЛСЭ и линейным ускорителем: увеличение (уменьшение) энергии частиц соответствует затуханию (усилению) энергии электромагнитного поля. Оптимальное усиление ЛСЭ зависит от величины энергии пучка и длины ондулятора. К ЛСЭ в общем случае неприменимо положение лазерной физики, согласно которому чем больше объем среды, тем больше усиление и выходная мощность.

Лазеры на свободных электронах, в которых имеет место экспоненциальное нарастание волн и которые напоминают традиционные лазеры с накачкой, работают в длинноволновом режиме (А〉100 мкм) при низкой энергии (обычно менее 5 МэВ) и при высоких плотностях тока пучка (/〉1 кА/см2); эти ЛСЭ представляют собой компактные устройства с высоким коэффициентом усиления. Если пучок холодный (т. е. разброс электронов по импульсам невелик), а амплитуда поля накачки ондулятора мала, то имеем ЛСЭ на комбинационном рассеянии (рамановский ЛСЭ)). При увеличении поля накачки ондулятора коэффициент усиления возрастает, и возникает режим большой амплитуды накачки с оптимальными значениями усиления и эффективности (режим осциллирующей двухпотоковой неустойчивости). Если пучок имеет большой разброс по импульсам, то коэффициент усиления и выходная мощность ЛСЭ уменьшаются, но сигнал все еще экспоненциально нарастает вдоль ондулятора. Такой режим называют комптоновским с разбросом по импульсам. Уменьшение коэффициента

усиления связано с тем, что ЛСЭ на комбинационном рассеянии — это трехволновое параметрическое устройство (волна накачки, сигнал и холостая волна), в котором в качестве холостых волн могут выступать либо волны в плазме, либо волны пространственного заряда. В случае электронов с разбросом по импульсам, когда холостая волна затухает вследствие бесстолкновительного эффекта (за счет затухания Ландау), ЛСЭ снова переходит в режим малого усиления 1).

Между одночастичными ЛСЭ и ЛСЭ, в которых существенную роль играют коллективные эффекты, приводящие к экспоненциальному нарастанию мощности волны, можно провести довольно простую границу. ЛСЭ действуют в коллективном (многочастичном) режиме, когда система имеет достаточно большую длину, а пучок — достаточно высокую плотность, так что вдоль системы укладывается несколько плазменных длин волн. Это накладывает верхний предел на энергию пучка и нижний предел на длину волны. Другим весьма важным эффектом является взаимодействие между силой, которая группирует электроны пучка (пондеромоторная сила), и расталкивающими силами пространственного заряда. Пондеромоторная сила определяется амплитудами ондуляторного поля и сигнала, в то время как силы пространственного заряда — плотностью тока и энергией пучка. Из-за этой конкуренции группировки/разгруппировки пучка коэффициент усиления ЛСЭ в некоторых случаях возрастает, а в некоторых — уменьшается.

Как и традиционные лазеры на атомных переходах, ЛСЭ могут работать и как усилители когерентного излучения, и как генераторы (при использовании резонатора с зеркалами). Последние устройства при очень большом коэффициенте усиления могут давать мощное частично когерентное излучение.

Нерелятивистские предшественники ЛСЭ (параметрические усилители О- и М-типа)

Предшественниками ЛСЭ, использующими параметрическое усиление СВЧ-колебаний, являются параметрические усилители на волнах пространственного заряда, лампа Адлера, параметрические усилители М-типа [60,61]. Интерес к подобным приборам связан с возможностью получения низкого уровня шумов, что делает лампы этого типа незаменимыми в качестве входных усилителей.

Р. Адлер предложил прибор [62-64], который был назван параметрическим усилителем. Во входной и выходной секциях усилителя (лампы Адлера) должно использоваться взаимодействие поперечного электрического ВЧ-поля с электронным пучком, в котором возбуждаются циклотронные волны, а возрастание поперечных ВЧ-смещений элек-

1) Заметим, что для работы всех разновидностей ЛСЭ требуется, чтобы электронный пучок был достаточно «холодным», т.е. разброс по импульсам электронов должен быть малым

тронов достигается путем применения внешнего источника энергии, работающего на частоте накачки 33. Частота G3 должна быть выше частоты сигнала G]. Необходим также вспомогательный резонансный элемент, работающий на частоте 幻2 =幻3 —公1 (за исключением особого случая, когда G3 = 2GQ.

Прибор представляет собой устройство с поперечным полем, в котором в качестве входной и выходной секций применены резонаторы, через которые движется поток электронов, фокусируемый однородным магнитным полем. Напряженность поля выбрана так, что циклотронная частота равна частоте сигнала. Параметрическое усиление происходит в квадрупольной системе электродов (квадрупольная система настраивается четырьмя катушками, связанными между собой для обеспечения работы на колебании тг-вида), к которой приложен сигнал накачки, изменяющийся с удвоенной циклотронной частотой. В таком приборе периодически меняющимся параметром является кинетическая энергия электронов, движущихся по спиральной траектории. Сигнал, подаваемый в первый резонатор, приводит к возникновению поперечных ВЧ-смещений электронов (электроны движутся по расширяющейся спирали). Длина входной секции выбирается такой, чтобы на ее выходе имело место полное подавление входного сигнала, а следовательно, поперечные ВЧ-смещения электронов были максимальны (энергия входного сигнала полностью переходит в энергию поперечных колебаний электронов пучка).

Квадрупольная секция, которая помещается между входным и выходным резонаторами (рис. 2.3 а), предназначена для постепенного увеличения амплитуд поперечных ВЧ-смещений электронов (радиуса электронных траекторий). Степень возрастания последних характеризует коэффициент усиления прибора.

В квадрупольной секции, показанной на рис. 2.3 5, поле на оси отсутствует и при удалении от оси возрастает линейно с расстоянием; чем больше радиус окружности, по которой движется электрон, тем большей кинетической энергией он обладает.

Электроны, которые при движении по спиральной траектории попадают в ускоряющий полупериод поля, естественно назвать правильнофазными, а электроны, попадающие в отрицательный полупериод,— неправильнофазными. Синхронизм электронов и ВЧ-поля в квадрупольной системе обеспечивается условием равенства частоты сигнала циклотронной частоте. В среднем, результирующий выходной сигнал будет больше входного, так как экспоненциальное возрастание всегда преобладает над экспоненциальным ослаблением.

Из квадрупольной секции пучок поступает в выходной резонатор. Электроны, движущиеся по спирали, наводят в нем токи, и если резонатор правильно нагружен, то результирующее поле вызывает движение электронов по суживающейся спирали и, следовательно, полную отдачу их кинетической энергии. Такой усилитель является малошумящим, поскольку первый резонатор, правильно нагруженный источником сигнала с омическим внутренним сопротивлением, поглощает шумовую

мощность, содержащуюся в пучке. В идеальном случае шумы в пучке полностью подавляются [63,64].

В экспериментальной лампе [64] коэффициент усиления зависит от мощности накачки. Так, например, был получен коэффициент усиления до 20 дб при мощности накачки в несколько милливатт; коэффициент шума составлял 1,3 дБ, причем 0,4 дБ авторы относят на счет потерь во входном резонаторе. Коэффициент шума отличен от нуля из-за нерегулярностей в электронном пучке, вторичной электронной эмиссии и ряда других явлений, не имеющих решающего значения, так что полученный коэффициент шумов может быть снижен при подавлении подобных нерегулярностей. Лампа Адлера является полностью однонаправленным и чрезвычайно стабильным усилителем. Она имеет полосу усиливаемых частот 10 %, причем широкополосность определяется в основном входной и выходной секциями и, следовательно, может быть увеличена.

Рассмотрим простейшую теорию усилителя Адлера. В лампе Адлера принцип параметрического усиления используется для получения нарастающей быстрой циклотронной волны. Усиление на быстрой циклотронной волне выгодно с точки зрения получения низкого уровня шумов. Процесс собственно параметрического усиления происходит в об-

ВходнойСигналВыходнойВходнойСигналВыходнойпушкапушкаааРис. 2.3. Схема лампы Адлера (а), схема квадрупольной системы лампы Адлера (6〉в)Рис. 2.3. Схема лампы Адлера (а), схема квадрупольной системы лампы Адлера (6〉в)

ВходнойСигналВыходной

ВходнойСигналВыходной

пушка

пушка

а

а

Рис. 2.3. Схема лампы Адлера (а), схема квадрупольной системы лампы Адлера (6〉в)

Рис. 2.3. Схема лампы Адлера (а), схема квадрупольной системы лампы Адлера (6〉в)

ласти резонатора, называемого резонатором накачки. Электрические поля в резонаторе, как уже указывалось, должны быть такими, чтобы радиусы орбит электронов увеличивались после того, как электроны покинут входной элемент связи, а следовательно, чтобы увеличивалась энергия электронов. Резонаторы, которые пригодны для этой цели, могут представлять собой отрезок квадратного волновода, в котором возбуждается ТЕц-волна, или отрезок круглого волновода при возбуждении в нем ТЕ21-ВОЛНЫ. Такие резонаторы создают квадрупольную систему электрического поля. Другая возможность состоит в применении синусоидального поля, которое возникает в прямоугольном волноводе при ТЕ2о-типе колебаний.

Рассмотрим систему накачки, создающую квадрупольные электрические поля вида

& = —(Vb/a) 2ж cos cjpt, Еу = (Vb/a?) 2y cos cjpt, (2.3)

где Vq и a — постоянные i).

Предположим, что амплитуда поля накачки велика по сравнению с амплитудой поля сигнала и остается постоянной, так что можно пренебречь обратным влиянием пучка на поле накачки. Таким образом, поле накачки будет входить в уравнения движения электронов как заданная вынуждающая сила.

Тогда с учетом сделанных предположений и соотношений (2.3) линеаризованные уравнения движения электронов в области взаимодействия можно записать как

^у + ”。^^ + Зс而п = а?五(e^pt +,(2.4)

岩 + "。步—"”“ =Q2^ (e'W +吗，(2.5)

где ?ж, vy, ж и у — переменные составляющие скорости и смещения электронов в ж- и g-направлениях соответственно; Q2 = (e/me)Vo/a2, 少о — постоянная составляющая скорости вдоль оси z.

Решение системы уравнений (2.4) и (2.5) будем искать в виде [65]

刃=£ vxn{z)ej^nt, %у = f vyn(z)ej^n\ (2.6) п= — ооп= — ОО

где G九=ПЗр + G.

Подставляя выражения (2.6) в уравнения (2.4) и (2.5), и полагая, что все переменные величины изменяются вдоль оси z по гармониче-

скому закону ехр（—/z）, ограничиваясь случаем п = 0, —1 [65], легко получить следующую систему уравнений:

（7幻一少。/）少/O + GcOg0 —x万 ^ж-1 = О,

Г Q2 ]

д ^жО + （7（幻—幻。）—少оЗ） ^ж-1 + ^с^у-1 = О,

%0%0JO； - vop_.у

%0

%0

^cVx-1 + 0（幻-*）-伙）3） %-1 = 0.

Из условия совместности полученной системы уравнений находится дисперсионное уравнение анализируемой схемы

= （沁一户巾＜仇 一仇）一例+段1

-（沁-0巾.（仇-仇）-例[（沁-«）2 +附｛ё仇-仇）-例2 +龙｝'

⑵7） где введены стандартные обозначения: ^е = g/少。,/夕=幻夕/少。и ^с = =Gc / 少0 •

Будем искать решение дисперсионного уравнения （2.7） предполагая, что фазовая скорость искомой нарастающей волны близка к фазовой скорости быстрой циклотронной волны пучка, т. е.

仇）一（生A，QB）

где слагаемое （0^3/v（）（vc） есть малая величина.

С учетом выражения （2.8） дисперсионное уравнение （2.7） значительно упростится и примет вид

6） = 1,（2.9）

61,2 = "J I ±61,2 = "J I ±Из уравнения （2.9） следует, что

61,2 = "J I ±

61,2 = "J I ±

⑵10）

Как видно из последнего соотношения, для того чтобы существовала нарастающая парциальная волна, необходимо выполнение условия

I — I 1 или —< 2 —.

I 2 Iз с

Максимальное значение действительной части 5 достигается при Q2 6 = 0, т. е. при 3» = 2gc・ В этом случае 5 = ±1 и Re/ = 土, а асимптотическая формула для коэффициента усиления на частоте сигнала (п = 0) и на так называемой холостой частоте (n = —1) имеет вид

-6，02+ 8,68 (生)

где L — длина секции накачки 1).

Более строгое решение задачи требует провести анализ для входного элемента связи, секции накачки и выходного элемента связи [61,67].

Помимо многочисленных исследований лампы Адлера было предпринято несколько попыток создания аналогичных приборов М-типа [68—70]. В работе [70] описан вырожденный параметрический усилитель с коэффициентом усиления 40 дБ и коэффициентом шума 5 дБ, причем собственные шумы пучка составляли всего 3,2 дБ. Усилитель работал при токах луча несколько микроампер и напряжении луча несколько десятков вольт. Преимуществом варианта со скрещенными полями являются высокий КПД и малый зазор магнита.

Теоретическому исследованию параметрического усиления циклотронных волн в приборах типа М посвященны работы [71-73].

Схематическое изображение параметрического усилителя циклотронных волн со скрещенными полями представлено на рис. 2.4. В первой секции (входном элементе связи) электронный пучок взаимодействует с прямой замедленной электромагнитной волной вида exp [j(g力—/3()х)], где g — частота усиливаемого сигнала, /о — постоянная распространения волны сигнала в линии передачи без пучка. Про- модулированный на частоте g электронный пучок входит во вторую секцию — секцию накачки. Третья секция (выходной элемент связи) служит для выделения выходного сигнала.

Во входном элементе связи осуществляется возбуждение в пучке одной из циклотронных волн, что можно достичь путем выполнения условий синхронизма между фазовой скоростью волны в линии передачи и фазовой скоростью одной из циклотронных волн. При введении

Можно считать, что на входе в область накачки в пренебрежении шумами выполняются следующие граничные условия: амплитуды синхронных волн и амплитуда быстрой циклотронной волны на холостой частоте равны нулю [66]. Формула (2.11) получена с учетом того, что в двухволновой теории при 6 = 0 амплитуды парциальных волн в секции накачки равны между собой и каждая равна половине соответствующего значения переменной на входе.

Входной элемент связиВходной элемент связиСекция накачкиСекция накачкиВыходной элемент связиВыходной элемент связиРис. 2.4. Схема параметрического лучевого усилителя циклотронных волн со скрещенными параметрамиРис. 2.4. Схема параметрического лучевого усилителя циклотронных волн со скрещенными параметрами

Входной элемент связи

Входной элемент связи

Секция накачки

Секция накачки

Выходной элемент связи

Выходной элемент связи

Рис. 2.4. Схема параметрического лучевого усилителя циклотронных волн со скрещенными параметрами

Рис. 2.4. Схема параметрического лучевого усилителя циклотронных волн со скрещенными параметрами

пучка, в котором распространяются циклотронные волны, в поляризованное в плоскости распространения поле волны накачки волна сигнала будет параметрически усиливаться.

Теория параметрического лучевого усилителя М-типа изложена в работах [61,71—73], и здесь на ней не будем останавливаться.

Основные принципы лазеров на свободных электронах

В данном параграфе рассматриваются основные кинематические соотношения, описывающие излучение релятивистского электрона, движущегося по периодической траектории, дается классификация механизмов излучения, а также обсуждаются особенности индуцированного излучения потока релятивистских электронов-осцилляторов. При изучении этого круга вопросов будем использовать классические соотношения, для справедливости которых необходимо, чтобы энергия излучаемых квантов была существенно меньше энергии электрона:

方G《771С27,(2.12)

что для МСЭ и ЛСЭ, как правило, выполняется.

Рассмотрим кратко различные типы излучения релятивистских осцилляторов, используемые в МСЭ и ЛСЭ.

Эффект Доплера. Пусть электрон колеблется с частотой Q и при этом перемещается с поступательной скоростью V||. Такой осциллятор излучает электромагнитные волны Е = Re {Eoe'("*-kr)} с частотами G, которые вследствии эффекта Доплера

g — kv|| = Q(2.13)

отличаются от частоты Q.

Излучение в вакууме. Согласно соотношению (2.13) наибольшую частоту g = Q/(l — 3|卩,где /|| = ^ц/с, осциллятор излучает в направлении своего поступательного движения, т. е. при k ТТ V||. Если поступательная скорость является ультрарелятивистской, то, как было показано выше (см. формулу (2.2)), для коэффициента преобразования частоты Г = cj/Q получаем выражение

Г = 272.(2.14)

Последнее соотношение справедливо, если осцилляторная скорость электрона

1/7.(2.15)

Уже при кинетической энергии электронов около 1 МэВ (7 ^ 3,0) частота излучения более чем на порядок превышает частоту колебаний. Следует отметить, что большой частотный выигрыш сохраняется, пока угол g между направлением излучения и скоростью электрона остается в пределах g < I/7.

Излучение на гармониках. Большое преобразование частоты Г 〜 ~ 72 сохраняется и при осцилляторных скоростях / 〜I/7, существенно превышающих значения, определяемые условием (2.15). При этом наряду с излучением на основной доплеровской частоте s = 1 становится эффективным также и излучение на гармониках s》2, для которых выполняется условие синхронизма вида

g — kv|| = sQ,(2.16)

которое обобщает соотношение (2.13).

При дальнейшем увеличении осцилляторной скорости до значений

В》1/7(2.17)

поступательная скорость электрона (при фиксированной энергии) снижается. Но это не является препятствием для получения высоких частот. Более того, при переходе к большим осцилляторным скоростям (2.17) спектральный максимум излучения даже перемещается в область еще более высоких частот

^мах~)%.(2.18)

Это так называемое синхротронное излучение [74].

Излучение в среде и электродинамической структуре. В замедляющей диэлектрической среде, как видно из формулы (2.13), при приближении фазовой скорости волны к поступательной скорости электрона коэффициент преобразования частоты Г также может существенно превзойти величину (2.14) и ограничивается лишь дисперсионными свойствами среды.

Если же фазовая скорость волн, распространяющихся в среде, меньше поступательной скорости электрона 少小 < 少卜 то, как обсуждалось выше, наблюдается аномальный эффект Доплера, при котором излучение сопровождается не затуханием, а раскачкой осциллятора, причем последняя наблюдается даже при равной нулю начальной осцилляторной скорости частицы. В условиях синхронизма (2.16) аномальным доплеровским частотам соответствуют отрицательные номера гармоник s. Существенные особенности в излучении появляются и при помещении электронов в неоднородную среду. Так, при движении в волноведущей системе (например, цилиндрической металлической трубе) осциллятор может излучать лишь счетное число собственных волн (мод) с дискретными частотами.

㊀㊉㊀㊉0㊉㊀㊉㊀㊉0㊉Флиматрон (I)Q^Флиматрон (I)Q^Флиматрон (II)

㊀㊉㊀㊉0㊉

㊀㊉㊀㊉0㊉

Флиматрон (I)

Q^

Флиматрон (I)

Q^

£] £2 £1 £2 £] £2

㊀丄奧:豊丄用

Ж ■■

У битрон (Я)У битрон (Я)Рис. 2.5. Способы создания осцилляторного движения в различных вариантах ЛСЭРис. 2.5. Способы создания осцилляторного движения в различных вариантах ЛСЭДля того чтобы электрон излучал, необходимо тем или иным способом заставить его осциллировать. Существуют различные способы создания осцилляторного движения в ЛСЭ, представленные на рис. 2.5. Так, можно воспользоваться магнитным полем (рис. 2.5 а); поперечно-неоднородным (рис. 2.5 б) или пространственно-периодическим (рис. 2.5 в) статическим полем; можно придать осцилляторное движение, воздействуя на электрон интенсивной электромагнитной волной (рис. 2.5 3); можно позволить электрону двигаться равномерно и прямолинейно, а его изображение заставить колебаться в периодически изогнутой металлической стенке (рис. 2.5 е) или в слоистой диэлектрической структуре (рис. 2.5 м).

У битрон (Я)

У битрон (Я)

Рис. 2.5. Способы создания осцилляторного движения в различных вариантах ЛСЭ

Рис. 2.5. Способы создания осцилляторного движения в различных вариантах ЛСЭ

Соответствующие механизмы излучения охватывают все основные типы излучения классических заряженных частиц: в первых трех случаях наблюдается различное тормозное излучение (циклотронное, строфотронное или ондуляторное), в четвертом случае имеет место параметрический процесс (комптоновское рассеяние), а два последних являются вариантами черепковского и переходного излучения. Рассмотрим системы, изображенные на рис. 2.5, более подробно.

Циклотронное излучение (рис. 2.5 а). Как обсуждалось в лекции 1(16) в однородном магнитном поле электрон осциллирует с циклотронной частотой Q = шс. Возникающее при этом излучение было предсказано еще в 1898 г. Льенаром и эффективно используется в мазерах на циклотронном резонансе (см. лекцию 1(16)). Однако пучки, используемые в МЦР, слаборелятивистские, поэтому доплеровский сдвиг частоты весьма мал, а в наиболее распространенном МЦР — гиротроне —реализуется квазипоперечное распространение волн kv|| = О, когда доплеровское преобразование частоты в принципе отсутствует. Однако при ультрарелятивистских энергиях электронов МЦР также может работать в режиме доплертрона [75,79].

Строфотронное излучение (рис. 2.5 б). При движении в поперечно-неоднородном поле релятивистский электрон колеблется с частотой, зависящей от вида потенциала и энергии электрона. В параболической яме 1/(①)=k/2/2 частота колебаний равна Q =，衣/ш). Излучение слаборелятивистских осцилляторов данного типа используется в стро- фотроне, поэтому соответствующий тип излучения называется строфотронным. В качестве потенциального желоба для релятивистских частиц может служить внутреннее поле кристалла— среднее поле, созданное атомными цепочками или плоскостями. Инжектированный под достаточно малым углом к оси такого канала электрон в нем удерживается —канализируется, совершая поперечные колебания. С учетом эффекта Доплера, как показал Кумахов [80], канализируемые электроны могут излучать в направлении своего поступательного движения рентгеновские и гамма-волны.

Ондуляторное излучение (рис. 2.5 в,г). Траектория движения электрона в ондуляторе с периодом d может быть в зависимости от структуры поля как пространственной, так и плоской. Электрон в ондуляторе колеблется с баунс-частотой Q =幻^ = 27rqi/d. Ондуляторное излучение — это тип излучения, наиболее часто используемый в ЛСЭ. Заметим, что поскольку поле кристалла обладает периодичностью, то в нем наряду со строфотронным излучением частица может испускать еще более коротковолновое — ондуляторное излучение [81].

Комптоновское рассеяние волн (рис. 2.5 3). В поле волны накачки Е〃 = Re {Eoi exp [j(cj^t — k^r)]} электрон колеблется с доплеровски смещенной частотой Q = cj^ — k^V||. В томсоновском пределе, когда в системе отсчета, связанной с движущимися электронами, энергия налетающего фотона много меньше энергии электрона и, соответственно, в лабораторной системе отсчета выполнено условие (2.12), частота излучения определяется классической формулой (2.13). Как уже говорилось, впервые индуцированное комптоновское рассеяние было рассмотрено в работе [12], однако первое предложение о генерации с помощью него коротковолнового излучения было сформулировано в более поздней работе [59].

Черенковское и переходное излучение (рис. 2.5 е〉ж). Электрон, находящийся вблизи металлической поверхности или внутри диэлектрика, перераспределяет в первом случае свободные заряды, во вто-

ром — связанные. В первом случае поле электрона и заряда, наведенного на металлической поверхности, совпадает с полем диполя, образованного электроном и его «позитронным» зеркальным отображением в стенке. Во втором случае электрон оказывается частично экранированным окружающими его зарядами. В обоих случаях при равномерном движении электрона эффективный источник поля периодически меняет свои параметры с баунс-частотой Q = ge (мигающий диполь или, соответственно, мигающий заряд) и излучает волны, частота которых подчиняется формуле Доплера.

Излучение, схематически представленное на рис. 2.5 е, носит название излучения Смита-Парселла, оно подробно обсуждалось нами в первом томе книги, лекция 15 (см. также работу [82]). Во втором случае (рис. 2.5 ж) мы имеем дело с разновидностью переходного излучения [83]. И в том и другом случае соотношение (2.13) можно рассматривать как условие черепковского синхронизма между равномерно движущимся электроном и медленной пространственной гармоникой с фазовой скоростью 少小=cj/(k + 2?r/d) одной из собственных волн периодической структуры 1). Чтобы выделить черепковские ЛСЭ (до- плертроны) из общей массы черепковских и «переходных» приборов (ЛБВ, ЛОВ, клистрон, магнетрон, оротрон и т. д.), в работе [4] введен новый термин флиматрон (от англ: flickering image — мигающее изображение).

Выше были рассмотрены типы индивидуального (спонтанного) излучения частиц. Как обсуждалось нами в первом томе книги (лекции 1 и 6), в СВЧ-электронике эксплуатируется индуцированное излучение заряженных частиц. Действительно, в любом классическом сверхвысокочастотном приборе электронный поток, поступающий на вход в пространство взаимодействия с высокочастотным полем, стационарен (флуктуации плотности и других макроскопических параметров потока не учитываем), а потому создает непосредственно лишь статическое поле. Энергообмен между этим потоком и ВЧ-полем может иметь место только как индуцированный коллективный процесс, когда первичное («затравочное») поле возбуждает в потоке макроскопический высокочастотный ток, излучение которого складывается с «затравкой». Макроскопический высокочастотный ток возникает в стационарном потоке вследствии того, что из-за возмущения движения электронов они собираются в сгустки. Эти сгустки могут либо поглощать ВЧ-энер- гию, либо увеличивать ее — в зависимости от того, попадают ли они в ускоряющее или тормозящее поле.

При этом имеет место два основных типа группировки электронов —силовой и инерционный. Силовая группировка происходит только в присутствии переменного тока, как только поле «выключается», ее развитие останавливается. Так, если в случае циклотронного резонанса пренебречь неизохронностью осцилляторов, то после выключения поля

Данный факт свидетельствует об условности границ между различными типами излучения.

электроны будут вращаться с одинаковыми частотами и их взаимное расположение не изменится. Инерционная группировка в отличие от силовой может развиваться и при «выключенном» ВЧ-поле.

Если поток электронов, совершающих свободное поступательное движение, промодулировать ВЧ-полем, а затем это поле выключить, то взаимное положение частиц вследствии разности их скоростей будет продолжать изменяться 1). Возможны ситуации, когда одновременно реализуется оба типа группировки. В этом случае всегда можно подобрать достаточно большое время взаимодействия электронов с переменным полем, так чтобы инерционная группировка преобладала над силовой.

Оба элементарных механизма группировки действуют и в ЛСЭ. Причем, по типу механизмов группировки все ЛСЭ можно разбить на две группы. Первую группу составляют флиматрон, скаттрон и убитрон, где частота колебаний линейно зависит от его продольной координаты, и поэтому соотношение (2.13) можно рассматривать как условие черепковского резонанса электрона с медленной комбинационной волной V|| =少小,где 少|| — продольная скорость электрона,少小=(幻一 —幻勿)/(衣 + 衣勿)—фазовая скорость комбинационной волны, а 幻勿,衣勿一 частота и волновое число накачки для скаттрона и 幻勿=0,衣勿=2?r/d для флиматрона и убитрона. В этих ЛСЭ действует такой же механизм реактивной группировки, что и в прямолинейном потоке электронов, находящихся в поле медленной электромагнитной волны.

Вторую группу ЛСЭ составляют МЦР и строфотрон, где частота колебаний является функцией его энергии Q = Q(£), и поэтому условие резонанса (2.13)

cj — kv|| = Q(£) (2.19) не сводится к черепковскому виду. В этих ЛСЭ кроме реактивной группировки действует также и группировка, основанная на неизохрон- ности колебаний электронов ).

Опираясь на представлении о группировке частиц, нетрудно получить оценку эффективности ЛСЭ и МСЭ [84]. Проанализируем для этого, с какой точностью должно выполняться условие (2.13) резонанса электронов с волной.

Вследствие конечности времени Т пребывания в пространстве взаимодействия электрон может эффективно обмениваться энергией с волной и при наличии относительно нее некоторого фазового смещения

т

0 = (cj — kq〔 — 口)dt + Oq, о

если величина этого смещения не превышает 27r. Фазовое смещение может обуславливаться двумя причинами — кинематической (начальной расстройкой резонанса):

%ин —(g-用少1|0 一 a0)7,%ин —(g-用少1|0 一 a0)7,(2.20)(2.20)

%ин —(g-用少1|0 一 a0)7,

%ин —(g-用少1|0 一 a0)7,

(2.20)

(2.20)

и динамической (изменением энергии электрона в процессе взаимодействия с волной):

小〜2小(1 V)手,小〜2小(1 V)手,⑵21)⑵21)

小〜2小(1 V)手,

小〜2小(1 V)手,

⑵21)

⑵21)

弘费+赛)弘费+赛)

弘费+赛)

弘费+赛)

где 〃 =где 〃 =—параметр группировки, TV = ^qT/2тг —

где 〃 =

где 〃 =

число осцилляций электрона в пространстве взаимодействия. Вторая

из этих причин (динамическая) приводит к группировке электронного

потока.

Эффективный отбор энергии у пучка будет обеспечен, если образующиеся в процессе группировки электронные сгустки, во- первых, будут достаточно компактными и, во-вторых, попадут в тормозящую фазу поля. Первое требование обеспечивается, если

динамическое смещение электронов составляет в среднем величину

(2.22)(2.22)|^ДИН I ~ 2тг,

(2.22)

(2.22)

а второе, если начальная расстройка резонанса удовлетворяет условию |%ин| 〜》,(2.23)

причем ее знак должен быть противоположен знаку параметра группировки 〃.

Из условия (2.22) следует оценка величины характерного изменения энергии электронов в процессе группировки

1

7о |〃|「N

Отбор энергии у сгустка осуществляется до тех пор, пока он не переместится из тормозящей фазы поля в ускоряющую. При этом, если торможение сгустка производится однородным в продольном направлении полем волны, допустимое изменение его фазы определяется соотношением (2.23). Соответственно формула (2.24) позволяет найти электронный КПД ЛСЭ ту = ()о — *)/()о — 1) (7 — текущий релятивистский фактор электронов), который определяется усредненным по фазам влета частиц изменением их кинетической энергии. В ультраре- лятивистском случае КПД определяется выражением

(225)

Таким образом, КПД ЛСЭ в общем случае обратно пропорционален коэффициенту преобразования частоты, но зависит еще от числа колебаний электрона в пространстве взаимодействия N и параметра

группировки 〃. Для ЛСЭ наибольший интерес представляют резонансные режимы, когда число колебаний велико N》1 и принимает максимально возможное значение. Последнее облегчает пусковые условия и способствует сужению линии активного вещества. Однако, как следует из формулы (2.25), увеличение N ведет к снижению электронного КПД.

Выясним теперь, какие значения может принимать параметр группировки 〃.Для флиматрона продольная скорость и энергия связаны простым соотношением)= (1 —囱) .Тогда, как не сложно показать [4], параметр группирования 〃 ~ I/72, и соответственно КПД ЛСЭ в режиме большого преобразования частоты (Г ~ )?) может быть оценен как

〃〜^・ (2・26)

Для остальных типов ЛСЭ необходимую для вычисления параметра группировки связь между изменением продольной скоростью и энергией можно найти из законов сохранения энергии и импульса. Наиболее просто это сделать из квантовых соотношений для элементарного акта излучения / поглощения:

△2 =方(g — g/ △*〔=方(k + &).

Здесь для скаттрона з” ki — частота и волновое число накачки, для флиматрона и убитрона 幻勿=0,衣勿=2?r/d, для МЦР и строфотрона, где накачка осуществляется однородными в продольном направлении статическими полями,幻勿=0,衣勿=0.

Отношение приращений энергии и продольного импульса электрона

(2.27)(2.27)△2/△*〔=0小

(2.27)

(2.27)

не содержит постоянной Планка и равно в общем случае фазовой скорости комбинационной волны. Для скаттрона, убитрона и флиматрона, в соответствии с условием резонанса (2.13) фазовая скорость комбинационной волны примерно равна поступательной скорости электронов 少小 ^ 少||0・ Поэтому с учетом выражения (2.27) и соотношения /)ц = =£少||/。2 находим выражение для параметра группировки:

к + к{к + к{

к + к{

к + к{

и следовательно, для КПД ЛСЭ будет справедлива та же оценка (2.25), что и для флиматрона.

В режиме небольшого преобразования частоты (Г《)？) КПД флиматрона, скаттрона и убитрона могут иметь значения порядка единицы, если число колебаний удовлетворяет условию %пт ~ 72/Г. Соответственно оптимальная длина L пространства взаимодействия ЛСЭ определяется соотношением L ~ 72А.

Для МЦР и строфотрона величина 少小 совпадает с фазовой скоростью излучаемой волны, являющейся независимым параметром. Кроме

ЛЛ〃 =~— 1 ,〃 =~— 1 ,того, параметр группировки 〃 для них зависит не только от производной dq/d£, но и от производной dC/d£. Частота колебаний Q в этих ЛСЭ убывает с ростом энергии. Поэтому связанная с неизохронностью электронов-осцилляторов группировка частично компенсирует реактивную группировку. Соответственно для МЦР

Л

Л

〃 =~— 1 ,

〃 =~— 1 ,

а для строфотрона

В МЦР при равенстве фазовой скорости волны скорости света (/小= =1) параметр группировки 〃 обращается в нуль, и происходит полная компенсация группировок (так называемый, авторезонанс). Аналогичное явление возможно и в строфотроне.

Таким образом, благодаря компенсации группировок параметр 〃 для МЦР и строфотрона может быть сколь угодно малым и, в частности, возможно выполнение неравенства |〃|《7-2. Тогда и при большом доплеровском преобразовании частоты колебаний Г ~ 72 КПД может быть порядка единицы при числе осцилляций электрона %пт ~ ~)-2/|〃| [79]. В генераторах особо коротковолновых диапазонов этот режим требует очень высокой плотности тока и потому трудно реализуем. В этих условиях, по-видимому, более важное значение имеет «стандартный» режим, в котором |从| ~ 7-2.

Соотношение (2.23) позволяет определить ширину полосы частот волн, находящихся в синхронизме с заданным электронным пучком (так называемая, полоса отрицательной реабсорбции) [4]:

Из сравнения формул (2.28) и (2.26) следует, что в «стандартном» режиме работы полоса и максимальный электронный КПД ЛСЭ близки друг к другу по порядку величины.

Из формулы (2.23) нетрудно найти допустимый начальный разброс параметров пучка. В частности, для начального разброса энергии электронов имеем [4]

(2.29)(2.29)△)01

(2.29)

(2.29)

Элементарная теория ЛСЭ

Как было показано в предыдущем параграфе, в узкополосных ЛСЭ при большом преобразовании частоты колебаний изменение энергии электронов относительно не велико, что позволяет существенно упростить уравнения ЛСЭ и представить их в асимптотической форме, универсальной для всех приборов.

Пусть электрон движется в поле волны

Е = Re {Ew exp [j{ut — ^ц^)] } • (2.30) Тогда изменение энергии электрона в любом ЛСЭ описывается уравнением

警=-e(vE) (2.31)

и содержит ряд гармоник. Для флиматрона, где электрон движется прямолинейно, а в отсутствии волны и равномерно, гармоники содержатся в поле периодической электродинамической структуры в соответствии с теоремой Флоке. Для ЛСЭ с криволинейными траекториями электронов гармоники могут появляться как вследствие несинусои- дальности колебаний электрона в поле накачки, так и пространственной неоднородности поля волны.

Условие резонанса (2.13) позволяет отбросить в правой части уравнения (2.31) все слагаемые, кроме одного, содержащего медленную “азу 0 = a)t — k\\z — J Q c/t. Для простоты ограничимся случаем дипольного взаимодействия (формула (2.15)) и будем рассматривать резонанс на основной гармонике s = 1. Пользуясь малостью изменения энергии в множителе перед экспонентой положим в формулах (2.30) и (2.31) скорость электрона равной ее невозмущенному значению. В экспоненте ехр (/J) это делать нельзя, так как даже небольшие изменения энергии могут привести на большей длине к значительному фазовому сдвигу. Для фазы 0 следует записать отдельное уравнение

= з 一 /м|IV11 一 Q (2.32)

с правой частью, зависящей от энергии. Но благодаря малому изменению энергии правую часть уравнения можно линеаризовать по величине w = l — 7/70-6 результате приходим к универсальным асимптотическим уравнениям движения электрона в ЛСЭ [4]

^- = ае Re {ае'"} , (2.33)

—=S + ^w (2.34) с начальными условиями

w(0) = 0, 伙0) = %, % G [0,2тг], (2.35) где 力/ = g力 а = eE^/(тсшуо) — безразмерная амплитуда волны, 3 = =(cj — ^||^|| — 口0)/幻 ——начальная расстройка резонанса, 〃 — введенный в предыдущем разделе параметр группировки, ае — параметр связи электрона с волной, характеризующий величину проекции вектора скорости электрона на электрическое поле волны.

В ЛСЭ с криволинейными траекториями электронов (рис. 2.5 а- 3) параметр связи ае пропорционален невозмущенному волной питч- фактору электронов /丄° (коэффицент пропорциональности имеет величину порядка единицы и зависит только от поляризации волны).

Для флиматрона с электродинамической системой в виде полоскового гофрированного волновода (рис. 2.5 е) величина ае =不g]d> где g — глубина гофрировки, для флиматрона с электродинамической системой в виде плоского диэлектрика (рис. 2.5 м) ае = (Ae/<scp) sin -0, где △е — перепад диэлектрических проницаемостей в слоях, £ср ——средняя диэлектричесая проницаемость,吵—угол между направлением распространения волны и нормалью к структуре.

Уравнения (2.33)—(2.35) были получены впервые для скаттрона и убитрона, а их обобщение на случай произвольного ЛСЭ было проведено в работе [84].

При постоянной амплитуде волны уравнения (2.33)—(2.35) сводятся к уравнению маятника

凉^ = 〃aeasinJ. (2.36)

Периоду колебаний маятника 7/〜1/，|〃аеа| соответствует длина △z ~ (|〃аеа|)-1/2 少||/幻,на которой электроны смещаются относительно волны на расстояние порядка ее периода, образуя сгустки и обмениваясь энергией с волной.

Простейший случай, описываемый уравнением маятника (2.36), соответствует ЛСЭ-генератору с высокодобротным резонатором типа Фабри-Перо или ЛСЭ-усилителю с очень маленьким усилением. При большом усилении необходим учет изменения амплитуды волны под влиянием электронного потока [4].

Перейдем теперь к расмотрению элементов стационарной теории основных вариантов ЛСЭ: генератора с высокодобротным резонатором и усилителя попутной волны 1).

Если резонатор ЛСЭ-генератора обладает высокой добротностью Q 》cjL/orp, где L — протяженность резонатора,少「р — групповая скорость волн, образующих поле рабочей моды, то структуру ВЧ-поля в нем можно считать фиксированной, не изменяющейся при введении электронного потока. Амплитуда поля в режиме стационарной генерации определяется в этом случае балансом мощности, вносимой в резонатор электронным потоком, и мощностью, выводимой из резонатора ВЧ-полем:

『()。-1)〃 =号， (2.37)

где / — ток пучка, 〃 一 электронный КПД, W — энергия, запасенная в объеме резонатора.

При фиксированной структуре поля в уравнениях движения (2.33)— (2.35) можно считать, что a(z) — действительная положительная

Заметим в связи с такой классификацией, что любой ЛСЭ-усилитель можно превратить в автогенератор путем введения обратной связи (например, за счет отражения волн от нерегулярностей электродинамической структуры), а ЛСЭ-генератор в регенеративном режиме будет работать как усилитель.

функция, если учитывать все возможные фазовые изменения в расстройке b(z). Тогда уравнения (2.33)—(2.35) заменой переменных и = =尸叫斤=J sgn〃，§ = y\^\t\ △=(川〃 1)-% sgn〃，〃 =，aeamax/|〃| (c^max — максимальное значение амплитуды волны) приводятся к виду

盡= Re{/(af % = " +(2.38)

"(0)=0 斤(о) = &,&е[0,2тг].(2.39)

Уравнения (2.38) содержат только две независимые функции /(§)= =а/Qmax И △(§).

Электронный КПД ЛСЭ-генератора с фиксированной структурой поля равен 27r

п =而, 万=- [ "(&,&)d&,(2.40)

Z7T J

О

где £厶—безразмерная длина пространства взаимодействия.

Для режима малого сигнала (|и|《1,步一斤°|《1), представляя переменную расстройку как △ = △()+ △(§), с помощью метода последовательных приближений получаем выражение

⑵41)⑵41)гдегде^(△о)=^(△о)=/(£)ехр/(£)ехр2応2応1 dg

⑵41)

⑵41)

где

где

^(△о)=

^(△о)=

/(£)ехр

/(£)ехр

2

応

2

応

—мощность спектра ВЧ-силы, действующей на электрон при пролете через резонатор.

伙=伙=В простейшем и наиболее важном случае постоянной структуры поля /(§) = 1, А(§) = 0 при § С [0, ^l], которая аппроксиммирует распределение поля попутной волны в двухзеркальном резонаторе, «линейный» КПД равен

伙=

伙=

(2.42)

где 0(") = (1 — cos")/2"2,斤=^Д. Основная зона усиления, где производная d0/d" отрицательна и при 斤=0,8тг достигает своего максимального значения (d0/d")max = —0,065, имеет ширину △斤= =2тг, что совпадает с оценкой (2.23), проведенной нами из других соображений.

Подстановкой выражения (2.42) в уравнение баланса (2.37) находим пусковой ток генератора

(2.43)(2.43)Т _ me3 7о 15

(2.43)

(2.43)

пуск = —г^дм^ЖёР5

9 Трубецков, Храмов

где S — площадь зеркала резонатора ЛСЭ. С ростом числа осцилляций электрона в пространстве взаимодействия N пусковой ток уменьшается пропорционально 1/А^3. Последнее связано с тем, что добротность резонатора пропорциональна его длине и числу осцилляций. Однако такая зависимость имеет место лишь до тех пор, пока при заданном энергетическом разбросе электронов Д70 разброс углов △斤 остается меньше 2тг, что эквивалентно ограничению

(2.44)(2.44)N W 7о/А?

(2.44)

(2.44)

—так называемая гидродинамическая стадия взаимодействия. При достаточно большом разбросе, когда △斤》27r (кинетическая стадия взаимодействия), величина пускового тока с увеличением N уменьшается, но по закону /пуск ~ 1/N [4].

Следует отметить, что в полосу отрицательной реабсорбции попадает очень много продольных мод резонатора ЛСЭ:

LAcj/tTC ~ )2》1,LAcj/tTC ~ )2》1,⑵45)⑵45)

LAcj/tTC ~ )2》1,

LAcj/tTC ~ )2》1,

⑵45)

⑵45)

поэтому вышеизложенная стационарная теория справедлива только в случае, когда обеспечена эффективная селекция паразитных мод резонатора.

Проведем теперь стационарный анализ схемы ЛСЭ, представляющего собой усилитель попутной волны. ВЧ-поле в такой системе описывается волновым уравнением

ДЕ =ДЕ =⑵46)⑵46)

ДЕ =

ДЕ =

⑵46)

⑵46)

в котором электронный ток j сам определяется воздействием поля Е

на пучок.

В случае резонансного взаимодействия между электронным потоком и электромагнитной волной, групповая скорость которой совпадает с направлением движения электронов (условие конвективной неустойчивости), в режиме малого изменения энергии электронов уравнение (2.46) можно преобразовать к универсальному для всех типов ЛСЭ виду 1)

(2.47)(2.47)да 1 да

(2.47)

(2.47)

3父 + % 分У '

где а — медленно меняющаяся комплексная амплитуда волны, z‘ = 27r

= gz/c, J = ^ J £-^“ dJ。— синхронная с волной гармоника вы-

2万公 Q

сокочастотного тока, g夕一плазменная частота электронного потока. Фазы электронов относительно волны подчиняются уравнениям (2.33)— (2.35).

Данное уравнение будет строго выведено дальше в лекции.

Для стационарных режимов {др/dt' = 0) заменой переменных (для простоты величина 6 считается константой)

§ =(訂)° " = Jsgn〃，行^sgn〃，

где С = (|〃|ае2崎/а/)"' — обобщенный параметр Пирса, система самосогласованных уравнений (2.47) и (2.33)—(2.35) сводится к уже рассмотренным уравнениям стационарной теории ЛБВ без учета пространственного заряда (см. том I, лекция 10):

27r

—+ jSF = - e—^d也(2.48)

о

岁= Re“}(2.49)

с граничными условиями

歹(W = 0) =歹о,"(§ = 0) = &--= 0,%е[0,2тг].

W S=o

(2.50) Поэтому для анализа работы ЛСЭ-усилителя с попутной волной можно воспользоваться всеми результатами, полученными в теории ЛБВ типа О.

КПД ЛСЭ-усилителя пропорционален отношению параметра Пирса к параметру группировки:

27r

О I厶

Нестационарные уравнения ЛСЭ

В предыдущем параграфе рассматривались режимы стационарной генерации и усиления. Однако хорошо известно, что в распределенных автоколебательных системах сверхвысокочастотной электроники при сильном превышении тока пучка над пусковым значением генерация может стать нестационарной. Для ЛСЭ, который возбуждается короткими импульсами тока (см., например, [11,85]), анализ нестационарной динамики тем более актуален. В обоих случаях существенно, что в соответствии с соотношением (2.45) в ЛСЭ с резонатором Фабри-Перо полоса активного вещества включает большое число эквидистантных мод резонатора. Поэтому модовое описание нестационарных процессов в ЛСЭ оказывается малоэффективным и более предпочтителен 9*

пространственно-временной подход, аналогичный тому который применялся в первом томе книги при построении нестационарной теории приборов О-типа с длительным взаимодействием.

Подход, положенный в основу нестационарных уравнений, заключается в методе, который учитывает, что при близких к единице коэффициентах отражения от зеркал заметная эволюция огибающей ВЧ-поля происходит лишь при большом числе оборотов отраженной волны внутри резонатора [86].

Тогда взаимодействие электронов-осцилляторов с синхронной им волной Е = Re {En(t, z) exp /(g力—kz)]} на ее n-м обороте в резонаторе ЛСЭ-генератора, как и в ЛСЭ-усилителе попутной волны, описывается самосогласованной системой уравнений для поля (2.47) и уравнений движения электронов (2.33) и (2.34). В этих уравнениях безразмерная амплитуда волны ап = еЕп/(тешу) является медленно меняющейся функцией безразмерного времени 力/ и координаты 〃. Если от переменных 力/ и z‘ перейти к новым переменным ^ = t1 — z/^гр и z- то уравнение для медленно меняющейся амплитуды волны

дап _

легко проинтегрировать вдоль характеристики волны § = const. С учетом граничного условия, характеризующего отражение волны от границ системы

ап+1(0,е)= Я1Я2ап(Ь,е),(2.53)

где А],2 — коэффициенты отражений от зеркал, L — длина резонатора, приходим к уравнению

С^п+1 (0, £) — ^п (0, £) = —(1 —冗1止2)&九(0, W) + ] Jn |^=const dz .

0

⑵54) В последнем уравнении предполагается, что длина пространства взаимодействия, где высокочастотный ток отличен от нуля, равна длине резонатора L.

При высокой добротности резонатора Q = cjL/vrp(l — R\R?))пользуясь малостью изменения огибающей волны на одном обороте, перейдем от дискретной переменной п к непрерывному времени г = =n2cjL/vrp, а следовательно, от отображения (2.54) к дифференциальному уравнению. Одновременно можно пренебречь явной зависимостью а от координаты z в уравнениях для электронов (2.33) и (2.34). Переходя к безразмерным переменным

不一竺 D —不一竺 D —2,2 \ 1/3

不一竺 D —

不一竺 D —

1 - Ml m2 0?2 丿'

приходим к системе нестационарных уравнений, описывающих ЛСЭ с высокодобротным резонатором (тильду над новыми переменными опускаем)

(2.55)(2.55)да f

(2.55)

(2.55)

о

(灰 + 石丿 J = Re {а exp(汨} .(2.56)

Граничное условие (2.53) в новых переменных записывается следующим образом:

&(£〃)= а(£ + 7『〃)，(2.57)

где Tr =(vtrD/3\\/3rp/(/5ц + /гр), tr = 2L/vrp — период обращения волны. Для электронного потока граничными условиями являются условия отсутствия модуляции на входе в пространство взаимодействия, которые имеют вид

岭=册，像+⑵58)

Полученные уравнения справедливы при стационарной инжекции электронного потока в резонатор ЛСЭ. Режим стационарной инжекции означает, что величина электронного тока и параметры резонатора не зависят от времени. Однако часто в ЛСЭ применяется режим периодической инжекции (см., например, [85]), при работе в котором период tr обращения волны в резонаторе синхронизирован с периодом ti следования коротких (△力《 力『)токовых импульсов.

Для описания такого режима удобно перейти от переменной § к новой переменной《=^ — ет, где

—параметр тактового рассинхронизма. Тогда граничные условия для электронов будут задаваться на фиксированном интервале О < С < < ДТ, где AT = g△力。(/『1 — ^^1), уравнения для электронов (2.56) сохраняют свою форму, а уравнение для амплитуды поля (2.55) примет вид

да да公

■^7 一J 一 z)Jk=const dz.(2.59)

о

Здесь введена функция g, характеризующая форму токового импульса. В простейшем и наиболее важном случае функция g является константой на промежутке《G (0, △7).

Важно подчеркнуть [4], что при синхронной инжекции электронов генерация возникает только тогда, когда период следования токовых

Рис. 2.6. Режим периодической инжекции электронов: характеристики волнового уравнения (2.59) на плоскости (《,т) и характеристики уравнения движения электронов на плоскости (《,z), а также стационарная форма электромагнитного импульса |а(《)|. Волна и электронный поток взаимодействуют на интервале 0 < ^ < ДТ + L

импульсов несколько превышает период обращения волны 1) е〉О и когда соответственно возмущения переносятся электронами и волной в противоположных направлениях (рис. 2.6). Благодаря этому в ЛСЭ в режиме периодической инжекции формируется обратная связь, аналогичная лежащей в основе действия генератора обратной волны (кар- синотрона).

Методика и результаты численного моделированиянестационарных процессов в ЛСЭ

Рассмотрим методику численного моделирования уравнений нестационарной теории ЛСЭ [87], сформулированной в предыдущем разделе. Для построения численной схемы введем на плоскости (《,z) прямоугольную сетку с шагами △《и △/, причем положим △《=△/ = =h. Значения медленно меняющейся амплитуды поля а определяются только в узлах сетки.

Для моделирования динамики электронного потока воспользуемся методом крупных частиц, который сводит решение уравнений движения электронов (2.56) к решению N 义 N、обыкновенных дифференциальных уравнений, которые интегрируются вдоль характеристик на плоскости (7,z), направление которых обозначим вектором 1:

Nj丁 = } Re {a exp [jOkm]} , (2.60)

i) В отсутствии генерации при точном синхронизме 8 = 0 можно убедиться аналитически, сведя линеаризованную систему уравнений (2.56) и (2.59) к однородным интегральным уравнениям Волтерра, которые имеют лишь тривиальные решения [4].

= 2"(\ 1), 吟^ =九 k = L …№ т = L …〉N， z z=0

⑵61) где TV — число крупных частиц, движущихся вдоль одной траектории, 7Vl — число траекторий (число точек пространственной сетки по оси Q・

Далее будем опускать индексы кит, так как для фиксированных кит рассматривается только одно уравнение движения. Интегрирование вдоль характеристики 1 означает, что шаг интегрирования уравнений движения необходимо выбрать равным Д/ = \/2 h.

В правые части уравнений (2.55), (2.56) и (2.59) переменная J входит только под знаком экспоненты. Поэтому для интегрирования системы нестационарных уравнений удобно перейти к новой переменной

9 = 91 + ；＞2 = exp [j0] . (2.62) Тогда уравнение (2.60) с граничными условиями (2.61) относительно новой переменной g принимает вид

0 -。2夕* — |；V Re {ag} = 0, (2.63)

夕(0) = exp U(2?r(k - 1)/N)] , S(0) = «Мк9(0). (2.64) Новая переменная позволяет существенно уменьшить объем вычислений и снизить погрешность расчетов благодаря отсутствию необходимости численно рассчитывать большое число экспонент.

Полученные уравнения интегрируются стандартными численными методами решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Для проверки корректности расчетов можно воспользоваться очевидными соотношениями

9； + 9^ = 1, 9101 + 9202 = 0. (2.65)

Дважды проинтегрировав уравнение (2.60) на интервале [0, Д/] получаем следующее уравнение (символ Л определяет значения переменных в начальной точке интервала, V — в конечной):

百= # + } Re {ае*}山， (2.66) о

g = 0+ 屈/ + } (△/ — /) Re {a/} dl. (2.67) о

Введем следующее обозначение:

^ = ^i + 7^2 = exp J©Z\« . (2.68)

ТогдаТогда

Тогда

Тогда

01 + »2 = (01 + 汴2)(血 + 抠)exp01 + »2 = (01 + 汴2)(血 + 抠)exp2 I (△/ - /) (a191 - a292)dl ,0-

01 + »2 = (01 + 汴2)(血 + 抠)exp

01 + »2 = (01 + 汴2)(血 + 抠)exp

(2.69)

XXXX]p

^i + J^2 = (^i + J^2)exp -jAl (ai(/?i - «2^2)dl .(2.70)

- о-

Интегралы в правых частях уравнений (2.69) и (2.70) рассчитываются численно с использованием схемы четвертого порядка точности, т. е. с точностью О(Д/3) и О(Д/4) сответственно. Поэтому для расчета первого интеграла используется линейная интерполяция функции (%i 夕1 — —%2夕2), а для расчета второго — метод трапеций. Тогда уравнения (2.69) и (2.70) принимают следующий вид:

01 + »2 = (01 + 汴2)(血 + 抠)X

X 1 + ^^6101—友2 0 2)+ (0101— 0 2 02)+。(厶/4) , (2.71)

◎1 +；^2 =(血 + 泞 2)◎1 +；^2 =(血 + 泞 2)XX

◎1 +；^2 =(血 + 泞 2)

◎1 +；^2 =(血 + 泞 2)

X

X

X 1 + *"南01-运02)+ (0101 -心02)+0(4屋),(2.72)

Вводя обозначения с + ^d = (0i + «У02)(血 + 7^2), АЬ = Д/2/12, F = =%1夕1 — %2夕2, получаем, что выражения для искомых функций 0】 и 02, а также 耽 и 吵2 записываются как

01 =01 =e + △l(02 - 2dR) 0公/4)l + AL(c02 + dGi) < he + △l(02 - 2dR) 0公/4)l + AL(c02 + dGi) < h02 =02 =d + △厶(a]+ 2cь) 1 + △厶(C02 + d&i)d + △厶(a]+ 2cь) 1 + △厶(C02 + d&i)+ 0("+ 0("(2.73)(2.73)

01 =

01 =

e + △l(02 - 2dR) 0公/4)

l + AL(c02 + dGi) < h

e + △l(02 - 2dR) 0公/4)

l + AL(c02 + dGi) < h

02 =

02 =

d + △厶(a]+ 2cь) 1 + △厶(C02 + d&i)

d + △厶(a]+ 2cь) 1 + △厶(C02 + d&i)

+ 0("

+ 0("

(2.73)

(2.73)

血=0 — 3AL^(F + 声)+ О(Д/4),

(2.74)

力2 =而 + 34L0(戸 + 庐)+ О(Д/4).

Заметим, что

0: +溺0: +溺=1 + О(Д/4),=1 + О(Д/4),1 + 2AL(c02 + dG0 + O(M)(l + AL(c02 + dGi))2

0: +溺

0: +溺

=1 + О(Д/4),

=1 + О(Д/4),

т. е. полученное нами численное решение с точностью О(Д/4) удовлетворяет условию 夕彳 + 夕^ = 1, которое автоматически следует из определения (2.62). Аналогичное условие в соответствии с формулой (2.68) имеет место и для переменной 沙 吵？ + т/^ = 1.

При расчете уравнений движения на каждом шаге будет появляться некоторая ошибка (оцениваемая величиной О(Д/4)), которая накапливается и может приводить к неустойчивостям разностной схемы. Для предотвращения этого в работе [87] предложена процедура коррекции решения уравнений движения. Ее идея заключается в следующем (рис. 2.7). Полученные в результате численной процедуры (2.73) величины 01 и 02 лежат вне (или внутри) единичной окружности на плоскости (夕小 夕2)・ Процедура коррекции заключается в «возвращении» их на единичную окружность вдоль радиус-вектора, который отмечен на рис. 2.7. Очевидно, что таким образом происходит лишь приближение скор-

Рис. 2.7. Процедура коррекции решения уравнений движения электронов. Здесь 01 и & — нескорректированные величины, 01九 и 02九—скорректированные величины, 01е И 02е — точное значениеРис. 2.7. Процедура коррекции решения уравнений движения электронов. Здесь 01 и & — нескорректированные величины, 01九 и 02九—скорректированные величины, 01е И 02е — точное значениеректированного значения к точному.

Рис. 2.7. Процедура коррекции решения уравнений движения электронов. Здесь 01 и & — нескорректированные величины, 01九 и 02九—скорректированные величины, 01е И 02е — точное значение

Рис. 2.7. Процедура коррекции решения уравнений движения электронов. Здесь 01 и & — нескорректированные величины, 01九 и 02九—скорректированные величины, 01е И 02е — точное значение

^1п =^1п =，0彳+0扌，0彳+0扌S2九=S2九=0202⑵75)⑵75)Процедура корректировки описывается преобразованием

^1п =

^1п =

，0彳+0扌

，0彳+0扌

S2九=

S2九=

02

02

⑵75)

⑵75)

Очевидно, что скорректированные значения удовлетворяют условию 03 + 0^九=1・ Легко показать, что 01九=。^ + О(Д/4), 。2九=。2 + + О(Д/4).

Аналогичная процедура коррекции проводится при расчете величин -01 и -02, так что скорректированные значения 吵1九 и 吵2九 также удовлетворяют условию ^Jn + ^2n = 1.

Вышеописанная процедура используется для расчета интегралов 127r 厶

/ = -— J exp [~j0] dOo и В = ^ I dz в нестационарных уравнениях 27ro о

лсэ.

Рассмотрим теперь методику численного решения уравнения для распространяющейся в резонаторе ЛСЭ волны, т. е. уравнения (2.55) в случае стационарной инжекции и уравнения (2.59) в случае периодической инжекции. Будем полагать в этих уравнениях, что величина В известна из решения уравнений движения.

Будем интегрировать уравнения (2.55) и (2.59) вдоль характеристик 《+ ет. Тогда случаи с различным типом инжекции практически не различаются. Единственное отличие заключается в том, что в режиме стационарной инжекции (уравнение (2.55)) направление характеристик совпадает с направлением оси переменной г, что позволяет произвольно, независимо от величины h выбрать размер шага по времени Дт. В случае периодической инжекции шаг по времени должен удовлетворять условию Дт W h.

Производя замену переменной Е = а ехр [г], преобразуем уравнение (2.55) к более удобному для численного интегрирования виду

Е = В ехр [г],(2.76)

где точка над переменной означает дифференцирование вдоль направления характеристики волнового уравнения.

Запишем одну из возможных разностных схем третьего порядка точности для уравнения (2.76). Так:

△△

石九+i = Еп + тВеТ dr = Еп + г [вп + Впт + Вт2/2^ ет dr = оо

△

= En + Bn(e^ - 1)+ [ г+ тет dr^B [ dr =

J L2」J 2

ОО

= Еп + 6九(£厶丁 -1)++ △tQ「) + О(Ат3),

(2.77) где ri — номер шага во времени. Возвращаясь к переменной а, получаем следующую вычислительную схему для нахождения величины поля на (п + 1)-м шаге по времени:

a九+1 = a九e + вН 1 —Т - Bn-i I 1 -д

(2.78) Вычислительная ошибка такой схемы может быть оценена как [88]

£1 = ^(%п+%/4тЗ + О(Ат4).

В случае периодической инжекции электронов вычислительная схема (2.78) также применима к уравнению (2.59), но при выборе шага по времени, равного величине Дт = h/e.

Рассмотрим результаты, полученные при анализе нестационарных уравнений ЛСЭ.

Исследуем вначале случай стационарной инжекции электронов. В случае малых амплитуд поля можно найти аналитическое решение

Рис. 2.8. Зависимость от параметра L диапазона углов пролета, при которых имеет место генерация (а); переходный процесс установления одночастотной одномодовой генерации (L = 3,6, Тг = 21,6) (б)

системы уравнений (2.55) и (2.56). Линеаризовав уравнение движения электронов, нетрудно получить уравнение для амплитуды наведенного тока:

Учитывая граничные условия (2.57) и (2.58), решение можно представить в виде разложения по модам с однородной в пространстве амплитудой и эквидистантным спектром

Здесь Д^ = 2тгk/Tr. Амплитуды этих независимых мод подчиняются уравнениям:

,к + &k (1 —歹(办))=0,(2.80)

ат

где 歹(办)=L3^~3 [I (办U” - 1) - @班—i)],办=△〃 — угол пролета электронов относительно k-й моды. Согласно уравнению (2.80), амплитуда мод экспоненциально растет, если для нее выполнено условие самовозбуждения Re F^^) 〉 1. Наименьшее значение безразмерной длины системы L, в соответствии с выражением для пускового тока /пуСк (2.43), удовлетворяющее условию возбуждения ЛСЭ, равно LnycK = 2,5. На рис. 2.8 а представлена область на плоскости параметров (丄,斤店),где имеет место самовозбуждение ЛСЭ-генератора. При L > 4 ширина зоны генерации близка к 27r. В этой зоне одновременно нарастает примерно Tr/L ~ 70 мод открытого резонатора.

При больших амплитудах поля уравнения (2.55) и (2.56) необходимо интегрировать численно с помощью вышерассмотренной разностной

Рис. 2.9. Стационарная самосинхронизация мод: структура ВЧ-поля (а) и спектр (б), построенные при управляющих параметрах L = 5,0, Тг = 12,5Рис. 2.9. Стационарная самосинхронизация мод: структура ВЧ-поля (а) и спектр (б), построенные при управляющих параметрах L = 5,0, Тг = 12,5

Рис. 2.9. Стационарная самосинхронизация мод: структура ВЧ-поля (а) и спектр (б), построенные при управляющих параметрах L = 5,0, Тг = 12,5

Рис. 2.9. Стационарная самосинхронизация мод: структура ВЧ-поля (а) и спектр (б), построенные при управляющих параметрах L = 5,0, Тг = 12,5

схемы. Результаты удобно интерпретировать на модовом языке, разлагая огибающую а в ряд Фурье. Как показывают расчеты, с ростом тока пучка ЛСЭ проходит следующую последовательность режимов генерации [4].

При относительно небольшом превышении тока пучка над минимальным стартовым значением устанавливается режим стационарной генерации. При одинаковых начальных условиях в результате конкуренции выживает мода с наибольшим инкрементом (см. рис. 2.8 б).

При токах, превышающих оптимальное по стационарной теории значения / = 3/пуСк, одномодовая генерация становится неустойчивой и возникает периодическая автомодуляция волны (рис. 2.9 а), т. е. самосинхронизация мод. Амплитуды мод в этом режиме постоянны (рис. 2.9 6). При дальнейшем росте тока пучка или увеличении числа мод в полосе активного вещества (увеличении параметра Тг) амплитуды мод начинают меняться во времени сначала периодически, а затем и хаотически. В результате поведение амплитуды поля а становится нерегулярным. Интересно, что в этих режимах средний электронный КПД оказывается даже большим, чем в режимах стационарной генерации, однако излучаемая мощность распределена по большому числу мод в полосе частот, в несколько раз превышающей полосу активного вещества (отмечена штриховой линией на рис. 2.9 б).

Изучим теперь режим периодической инжекции электронов. Учитывая, что в этом режиме реализуется обратная связь, аналогичная имеющей место в лампе обратной волны (см. рис. 2.6), смена режимов генерации ЛСЭ с синхронной инжекцией электронов напоминает смену режимов в ЛОВ типа О (см., например, работы [91-93], а также первый том книги, лекцию 13). По мере превышения тока пучка пускового значения ЛСЭ-генератор проходит три стадии (рис. 2.10):

Генерация со стационарной формой импульса (рис. 2.11 а).

Генерация с периодической формой имульса (рис. 2.11 б).

Генерация со стохастической формой импульса (рис. 2.11 в).

Рис. 2.10. Границы области самовозбуждения и автомодуляции ЛСЭ с периодической инжекцией электронов на плоскости управляющих параметров (L, Тс) при е = 2,5

Рис. 2.11. Пространственно-временная динамика поля в резонаторе ЛСЭ с периодической инжекцией электронов в различных случаях: а — генерация одинаковых импульсов (L = 3,0, Тс = 5,0, е = 2,5); 6—автомодуляция формы импульса (L = 6,5, Тс = 5,0, е = 2,5); в — стохастическая автомодуляция = 10,0, Тс = 6,0, е = 1,0) (из работы [87])

ЛСЭ, основанные на излучении электроновв периодических статических полях и рассеянии волнэлектронными потоками: подход, основанный навведении сил Миллера 】)

В предыдущих разделах лекции была изложена элементарная теория различных модификаций ЛСЭ. Однако для убитронов и скат- тронов существует более последовательная и универсальная теория, базирующаяся на релятивистском обобщении широко использумого в физике плазмы метода усредненной высокочастотной силы Гапонова- Миллера [89, 90]. В этом случае с самого начала учитывается, что пондеромоторное воздействие на электрон оказывает лишь синхронная с ним волна, частота и волновой вектор которой равны разностным частотам и волновым векторам волны накачки и сигнала. Комбинационная волна аналогична по своей пространственно-временной структуре обычным волнам, что позволяет, в принципе, любому прибору классической электроники поставить в соответствие убитронный или скаттронный аналог.

Концепция комбинационной волны. Поле в пространстве взаимодействия убитрона и скаттрона представляет собой сумму двух волн:

А = Re {As(r_L, z, t)e^6s + A〃(r丄，z,力”泅} .(2.81)

Здесь A〃,s и %/ = (^i,st — ki s \\z) — амплитуды и фазы (заданных в кулоновской калибровке) вектор-потенциалов накачки (г) и сигнала (s). Убитрону соответствует накачка с нулевой частотой 幻勿=0 и волновым числом ki II = 2?r/d, где d — период статичского поля.

Воздействие каждой из волн на электроны, которые совершают в их поле большое число колебаний

N = & у №》L(2.82)

является не синхронным и не может привести к накапливающемуся эффекту. Но синхронизм

ujc = kcv^ I, зс = з$ —幻勿， ^с = ks 11 — k^ 11(2.83)

и накапливающееся воздействие возможны в поле комбинационной волны, амплитуда которой определяется произведением амплитуд ASA*, а фаза 0 = 0s — 0i — разностью фаз волн. Тогда естественно представить динамические переменные в виде суммы плавно меняющихся (дрейфовых) и быстро осциллирующих переменных и провести усреднение уравнений движения электрона. Наиболее просто это сделать при

1) При написании данного раздела были использованы материалы лекции В.Л. Братмана, Н.С. Гинзбурга и М.И. Петелина на 5-й зимней школе- семинаре по СВЧ-электронике и радиофизике (Саратов, 1981) [4].

использовании канонической формы уравнений движения [4]:

穿=(cP + еА)， 雾=-у ▽ (РА)-费▽ А{ (2.84) dr сdr с/с

где Р = р — (е/с)А и р = m^v — канонический и механический импульсы электрона.

Для энергии электрона £ =、vr^d + (cP + еА)2 удобно воспользоваться отдельным уравнением

警号》Ра) +昼祟.警号》Ра) +昼祟.(2.85)(2.85)

警号》Ра) +昼祟.

警号》Ра) +昼祟.

(2.85)

(2.85)

Считая, что наряду с соотношениями (2.82) и (2.83) выполнено условие малости амплитуд волн, так что ВЧ-осцилляции координаты электрона существенно меньше длин волны накачки и сигнальной волны, т. е.

Т〜Iз (2.86)

проведем усреднение уравнений (2.84) и (2.85) по явно входящим комбинациям exp [jOs^i]. Тогда получаем уравнения

d方-2 ' dt - 2(^)v \/5 dt - 2(^) at 5

(2.87)

в которых

(А2) = Re {AsA*exp(^)} + |(|AS|2 + |A『).

Поскольку дрейфовые части механического и канонического импульса совпадают: (Р) = (р), правая часть второго уравнения (2.87) представляет собой выражение для усредненной силы

2

F = -(2.88)

при этом осциллирующая часть механического импульса определяется динамикой вектора-потенциала А, т. е.

(2.89)(2.89)е ар 〜=-А.

(2.89)

(2.89)

с

Можно показать [4], что уравнения (2.87) сохраняют канонический вид с гамильтонианом

(2.90)(2.90)丸=〈2〉= i/m2^ + с2 (р2) + в2 (А2).

(2.90)

(2.90)

С квантовой точки зрения переход от уравнений (2.84), (2.85) к уравнениям (2.87) означает, что в соответствии с условием синхронизма (2.83) в гамильтониане опущены ответственные за однофотонные процессы слагаемые, пропорциональные первой степени А и оставлены ответственные за двухфотонные процессы слагаемые, пропорциональные А2.

Рис. 2.12. Неколлинеарное рассеяние волн

Согласно третьему уравнению (2.83) при постоянных во времени амплитудах волн из трех слагаемых, входящих в〈А?〉и усредненную силу (2.88), на энергообмен влияет лишь первое, отвечающее комбинационной волне.

Отметим, что начальные условия для медленно меняющихся величин отличаются от невозмущенных значений го, Ро и £(). Соответствующие поправки можно найти с помощью первого улучшенного приближения метода усреднения [4]. Указанным отличием можно пренебречь при плавном нарастании или достаточно малой интенсивности полей, когда безразмерные амплитуды волн а$,勿=eAs^ /(mc27o) малы: \^s,i\《L

Неколлинеарное рассеяние волн. Наряду с рассмотренным выше коллинеарным рассеянием, когда падающая волна распространяется навстречу электронам, а рассеянная — в направлении их поступательного движения, важное значение имеет также случай неколлинеарного рассеяния. В ряде случаев такая геометрия (рис. 2.12) проще в конструктивном отношении. Кроме того переход к неколлинеарному рассеянию позволяет управлять частотой и эффективностью ЛСЭ.

Из условия синхронизма (2.83) ясно, что доплеровское преобразование частоты электрона

Г = ^ = ——— (2.91) 1 — рц cos

в убитроне и скаттроне остается большой величиной 「〜)^ и при отклонении сигнальной волны от направления движения электронов на углы 3s < 1/70- Изменение же направления накачки в скаттроне довольно слабо сказывается на изменение частоты колебаний Q = =幻勿一k^V||. При переходе от встречной (k^V|| = —衣勿胃卩 к поперечной (k^V|| = 0) накачке частота Q уменьшается в два раза.

При неколлинеарной геометрии направление комбинационной волны kc = ks — к^, вообще говоря, отличается от направления движения электронов. Так при большом преобразовании Г ^ 72, когда |ks|》|k^|, это направление близко к направлению сигнальной волны. Поэтому под действием комбинационной волны электроны смещаются не только

вдоль, но и поперек своего невозмущенного движения. Для плоских волн As,勿(г•丄,z,力)= As,〃 exp [―/ks,〃r丄]это обстоятельство легко иллюстрируется поперечной частью интеграла системы уравнений (2.87):

кс〈2〉— Зс (р) = const. (2.92)

В случае малых амплитуд полей (|а$,勿 |《 1) и соответственно малых изменений энергии электронов (|w|《1), используя (2.92) и вводя комбинационную фазу 0с = 3ct — kcr, нетрудно привести уравнения (2.87) к виду системы уравнений (2.33) и (2.34). Для неколлинеарного рассеяния линейно поляризованных волн параметры группировки и связи, входящие в уравнения (2.33) и (2.34), определяются выражениями

〃 = f + 9s， 卍=I h I • (2・93)

Пользуясь соотношениями (2.93) для неколлинеарного рассеяния, как и для коллинеарного получаем, что в режиме большого преобразования частоты, электронный КПД пропорционален ширине полосы отрицательной реабсорбции и сравнительно невелик.

Рассеяние в условиях доплеровских синхронизмов пучка с комбинационной волной. При поперечной фокусировке пучка, обеспечиваемой либо наложением однородного магнитостатического поля, либо использованием подходящих поперечно-неоднородных полей накачки, наряду с черенковским синхронизмом (2.83) при рассеянии возможен и доплеровский синхронизм (как нормальный, так и аномальный) колеблющихся с частотой Q_l электронов с комбинационной волной, который определяется следующем условием:

Зс — kcv^ = 土口丄. (2.94)

При таком синхронизме взаимодействие электронов с комбинационной волной аналогично их взаимодействию с обычными волнами в соответствующих однофотонных приборах — МЦР, строфотроне и т. д. В частности, при нормальном доплеровском синхронизме (знак « + » в формуле (2.94)), когда фазовая скорость комбинационной волны больше скорости света, электроны могут отдавать свою энергию сигнальной волне лишь при наличии у них первоночальной колебательной энергии. При аномальном доплеровском синхронизме (знак « —» в формуле (2.94)), когда фазовая скорость комбинационной волны меньше скорости света, начальная колебательная энергия у частиц может отсутствовать. Излучая волны, такие предварительно невозбужденные осцилляторы, движущиеся со сверхсветовой поступательной скоростью, переходят на более высокие осцилляторные энергетические уровни.

Рассмотрим для определенности случай, когда группировка электронов осуществляется благодаря поперечной неоднородности поля накачки. Необходимый потенциальный рельеф образуют, в частности, периодическая система аксиально-симметричных магнитов в уби- троне (рис. 2.13 а) или цилиндрическая аксиально-симметричная волна накачки (например, волна Hqi) в скаттроне (рис. 2.13 б). Вектор-

НЫ0ЫНЫЫ

ынняыяы

Рис. 2.13. Схема убитрона (а) и скаттрона (б) с фокусирующими полями накачкиРис. 2.13. Схема убитрона (а) и скаттрона (б) с фокусирующими полями накачки

Рис. 2.13. Схема убитрона (а) и скаттрона (б) с фокусирующими полями накачки

Рис. 2.13. Схема убитрона (а) и скаттрона (б) с фокусирующими полями накачки

потенциал А〃 для таких полей вблизи оси симметрии системы можно приближенно представить в виде

Ах = у Ai cos Oi^ Ау = —xAi cos Az = 0.(2.95)

Усредненное движение электрона в фокусирующем поле (2.95) и поле сигнальной волны описывается уравнениями (2.87). Считая для простоты сигнальную волну плоской циркулярно-поляризованной и распространяющейся вдоль направления поступательного движения электронов

+ j А$п = —j As exp [7'^s], уравнения (2.87) представляются в виде (знак усреднения опущен)

_ сР+

= 一金閥％"+ + AsAikie'D ,(2.96)

=(2.97)

(2.98)(2.98)где r+ = ж + 7沙，尸+ = Px + $Py)方小=шс/kc. Уравнения (2.96) и (2.97) имеют интеграл, аналогичный интегралу (2.92), а именно

(2.98)

(2.98)

Как отмечалось выше, при резком включении полей значение константы С должно определяться с помощью первого улучшенного приближения метода усреднения. Производя соответствующие вычисления, получим, что [4]

0 = 2。—- (m2c2 + Рjo + |J〈A2〉) I,(2.99)

где Го, p_lo — начальные координата и поперечный импульс электрона-осциллятора.

В отсутствии сигнала (As = 0) энергия и продольный импульс электрона постоянны, а поперечные колебания в поле усредненного потенциала, создаваемого накачкой, представляют в данном случае суперпозицию двух вращений в противоположные стороны с угловой частотой Q_lq = eAikic/y/2S():

% = Qi exp (7a丄力)+ g2 exp (一^a丄力),(2.100)

2

) =[-内 exp 0a丄方)+ 42 exp (一^a丄方)],(2.101)

где амплитуды qi* определяются из начальных условий.

Считая, что при наличии сигнала (As 济 0) выполнено условие доплеровского синхронизма (2.94) между комбинационной волной и поперечными дрейфовыми колебаниями, будем искать решение уравнений (2.96), (2.97) в виде (2.100), (2.101), где амплитуды qi,2 теперь есть функции времени. Предполагая, что число поперечных вращений, совершаемых электроном в пространстве взаимодействия, велико: 7V丄= =Q丄7/2тг, произведем дополнительное усреднение уравнений по периоду 2тг/а丄.Переходя от независимой переменной t к продольной координате z, приходим к системе уравнений вида

44ёхp (汕， 步=0,

策=土 片c Re {q*4 exp Os)},V 2 cp z

где q = qi,2, p = Q2,i, 3 = J ± J 口丄 d力.Первая пара индексов и знак « —» в фазе g и во втором уравнении (2.102) относятся к нормальному доплеровскому рассинхронизму, когда в резонансе с волной оказывается компонента поперечного движения электрона, которой соответствует вращение в ту же сторону, что и направление вращения сигнальной волны. Вторая пара индексов и знак « + » относятся к аномальному доплеровскому синхронизму, при котором резонансная компонента q поперечного движения вращается в сторону, противоположную направлению вращения сигнальной волны.

Уравнения (2.102) имеют интеграл, связывающий квадрат импульса резонансной компоненты поперечных вращений с изменением энергии ю*

электрона-осциллятора 1):

(2.103)(2.103)q?=欣 ± ^^ (£ — £о) £о・

(2.103)

(2.103)

ЗсС

В соответствии с этим соотношением торможение электрона в условиях нормального эффекта Доплера (знак « —») сопровождается уменьшением поперечного импульса, а в условиях аномального эффекта Доплера (знак « + ») — его увеличением.

Используя интегралы (2.98) и (2.103) и вводя безразмерные переменные z' =(Gc/c)z, Qs = eAs/(\/2mc^^^ q' = "(me)。)，p'= =р/(тсуо), приведем усредненные уравнения (2.102) к двум уравнениям для энергетической переменной w = 1 — 2/2。и фазы 扌=屮一 —arg q, которые записываются в виде (штрихи над безразмерными переменными опускаем):

dw _ asq CQS^ (2.104)

az 1 - w

++П丄оa$2шс q(l — w)П丄оa$2шс q(l — w)sin仇sin仇(2.105)(2.105)

+

+

П丄оa$

2шс q(l — w)

П丄оa$

2шс q(l — w)

sin仇

sin仇

(2.105)

(2.105)

Здесь b = (1—麻1 +)尸/2 + 就 + 届 一 Q丄o/gc — Qsqosin&) — начальная расстройка относительно условия синхронизма, q =

=，嗚-(a 丄 o/gc)攸•

Если электроны обладают отличной от нуля начальной поперечной скоростью, то граничные условия уравнений движения (2.104) и (2.105) имеют вид

仅(0) = 0,^(0) = ^о е [0,2тг].(2.106)

В случае первоночально прямолинейного пучка граничные условия модифицируются:

仅(0) = 0,"(0) = 0.(2.107)

Рассмотрим случай рассеяния в условиях нормального эффекта Доплера. Хотя в описывающих этот случай уравнениях (2.104)-(2.106) присутствуют члены, ответственные как за силовую, так и за инерционную группировку, именно последняя определяет основные характеристики процесса индуцированного излучения. Однако по сравнению с убитронами и скаттронами, основанными на черепковском синхронизме с комбинационной волной, к инерционной группировке приводит здесь не только эффект отдачи, но и неэквидистантность энергетических уровней электрона, колеблющегося в усредненном потенциальном рельефе, т. е. зависимость Q丄=口丄(2) (неизохронность электронов- осцилляторов). Причем при фазовой скорости комбинационной волны,

равной скорости света, (/小=1), группировки полностью компенсируют друг друга 1) (случай авторезонанса). Следовательно, параметр группировки 〃 = ^ф — 1) может быть сделан сколь угодно малым: |〃|《 1 /7q , а это означает, что высокое преобразование частоты в скат- тронах и убитронах, использующих нормальный доплеровский синхронизм, может быть совместимо с высоким КПД 2) (при однородной продольной структуре поля максимальный КПД составляет величину 〃тах 0,2).

В случае рассеяния в условиях аномального эффекта Доплера, когда начальная осцилляторная энергия электронов отсутствует (q丄° = 0), в системе доминирует силовая группировка электронов, при которой движение и энергообмен для всех электронов происходит совершенно одинаково. В этом случае нельзя приблизиться к авторезонансу вплотную, так как фазовая скорость комбинационной волны меньше скорости электронов и, тем более, меньше скорости света. В результате КПД такого ЛСЭ не велик: ту 〜1/N.

Влияние однородного магнитостатического поля на эффективность индуцированного рассеяния. В присутствии однородного магнитного поля "oZo раскачка электронов полем падающей волны существенно облегчается. Действительно, осцилляторная скорость электрона определяется в этом случае величиной [4]

д _ eAi 3i + kiV\\0mc27o 3 + 例。1|0 - ^co '

которая резко возрастает при приближении к циклотронному резонансу, когда

3i + &q|o ^ g「 (2.108)

Другой важной особенностью подобного режима является то, что при выполнении условия (2.83) черепковского резонанса для комбинационной волны условие циклотронного резонанса

Gs — ksv\\0 ^ Зс (2.109)

оказывается выполненным и для сигнальной волны (так называемый двойной резонанс).

Рассмотрим простейший для анализа случай коллинеарного встречного рассеяния циркулярно-поляризованных волн постоянной амплитуды с фазовыми скоростями, равными скорости света, на ультрарелятивистском электронном пучке. Считая относительные изменения

энергии электронов малыми, представим уравнения движения электронов в присутствии магнитного поля в виде [4]

如+如+=Re {а8р^едвз},=Re {а8р^едвз},(2.110)(2.110)风_ k w 1p+『风_ k w 1p+『dOiwdOiwгде 2 = Gsz/(c嘴)—безразмерная координата,夕十=)(丛 + 7%)— безразмерный поперечный импульс, as = Qs)o, 8s,i =(公$,勿力 + kSyiZ —где 2 = Gsz/(c嘴)—безразмерная координата,夕十=)(丛 + 7%)— безразмерный поперечный импульс, as = Qs)o, 8s,i =(公$,勿力 + kSyiZ —-J^c d力)，SSyi-J^c d力)，SSyi=（号（l + 3向-置）嘴-=（号（l + 3向-置）嘴-циклотронные фазы элекциклотронные фазы электрона и начальные расстройки циклотронного резонанса в полях сигтрона и начальные расстройки циклотронного резонанса в полях сигнала и накачки. Для электронов прямолинейного и односкоростного на входе пучка граничные условия к уравнениям (2.110) имеют виднала и накачки. Для электронов прямолинейного и односкоростного на входе пучка граничные условия к уравнениям (2.110) имеют вид攸(0) = 0, /)+(0) = 0, 忆⑼=9s,2 Js,eo е [о, 2тг),攸(0) = 0, /)+(0) = 0, 忆⑼=9s,2 Js,eo е [о, 2тг),а электронный КПД определяется кака электронный КПД определяется как27r 27rту = - 2 攸(〃)d^sO d%o • 4万J Jо о27r 27rту = - 2 攸(〃)d^sO d%o • 4万J Jо о(2.П1)(2.П1)Рассмотрим два возможных случая — нерезонансное и резонансное магнитное поле.Если величина магнитного поля далека от резонансного значения и соответственно набег циклотронных фаз на длине пространства взаимодействия достаточно велик (5勿内2k》1), уравнения (2.110) могут быть существенно упрощены. Приближенно интегрируя второе уравнение системы (2.110), представим поперечный импульс электрона в видеРассмотрим два возможных случая — нерезонансное и резонансное магнитное поле.Если величина магнитного поля далека от резонансного значения и соответственно набег циклотронных фаз на длине пространства взаимодействия достаточно велик (5勿内2k》1), уравнения (2.110) могут быть существенно упрощены. Приближенно интегрируя второе уравнение системы (2.110), представим поперечный импульс электрона в виде/)+ = I 件 аа + ^1 ё泅]+ const./)+ = I 件 аа + ^1 ё泅]+ const.(2.112)(2.112)Подставляя последнее выражение в уравнения для энергии и вводя медленную фазу 3 = 3S — 3i, после усреднения получим систему уравненийПодставляя последнее выражение в уравнения для энергии и вводя медленную фазу 3 = 3S — 3i, после усреднения получим систему уравненийdwdw=wsm^=wsm^(2.113)(2.113)dw

如+

如+

=Re {а8р^едвз},

=Re {а8р^едвз},

(2.110)

(2.110)

风_ k w 1p+『

风_ k w 1p+『

dOiw

dOiw

где 2 = Gsz/(c嘴)—безразмерная координата,夕十=)(丛 + 7%)— безразмерный поперечный импульс, as = Qs)o, 8s,i =(公$,勿力 + kSyiZ —

где 2 = Gsz/(c嘴)—безразмерная координата,夕十=)(丛 + 7%)— безразмерный поперечный импульс, as = Qs)o, 8s,i =(公$,勿力 + kSyiZ —

-J^c d力)，SSyi

-J^c d力)，SSyi

=（号（l + 3向-置）嘴-

=（号（l + 3向-置）嘴-

циклотронные фазы элек

циклотронные фазы элек

трона и начальные расстройки циклотронного резонанса в полях сиг

трона и начальные расстройки циклотронного резонанса в полях сиг

нала и накачки. Для электронов прямолинейного и односкоростного на входе пучка граничные условия к уравнениям (2.110) имеют вид

нала и накачки. Для электронов прямолинейного и односкоростного на входе пучка граничные условия к уравнениям (2.110) имеют вид

攸(0) = 0, /)+(0) = 0, 忆⑼=9s,2 Js,eo е [о, 2тг),

攸(0) = 0, /)+(0) = 0, 忆⑼=9s,2 Js,eo е [о, 2тг),

а электронный КПД определяется как

а электронный КПД определяется как

27r 27r

ту = - 2 攸(〃)d^sO d%o • 4万J J

о о

27r 27r

ту = - 2 攸(〃)d^sO d%o • 4万J J

о о

(2.П1)

(2.П1)

Рассмотрим два возможных случая — нерезонансное и резонансное магнитное поле.

Если величина магнитного поля далека от резонансного значения и соответственно набег циклотронных фаз на длине пространства взаимодействия достаточно велик (5勿内2k》1), уравнения (2.110) могут быть существенно упрощены. Приближенно интегрируя второе уравнение системы (2.110), представим поперечный импульс электрона в виде

Рассмотрим два возможных случая — нерезонансное и резонансное магнитное поле.

Если величина магнитного поля далека от резонансного значения и соответственно набег циклотронных фаз на длине пространства взаимодействия достаточно велик (5勿内2k》1), уравнения (2.110) могут быть существенно упрощены. Приближенно интегрируя второе уравнение системы (2.110), представим поперечный импульс электрона в виде

/)+ = I 件 аа + ^1 ё泅]+ const.

/)+ = I 件 аа + ^1 ё泅]+ const.

(2.112)

(2.112)

Подставляя последнее выражение в уравнения для энергии и вводя медленную фазу 3 = 3S — 3i, после усреднения получим систему уравнений

Подставляя последнее выражение в уравнения для энергии и вводя медленную фазу 3 = 3S — 3i, после усреднения получим систему уравнений

dw

dw

=wsm^

=wsm^

(2.113)

(2.113)

где S = (bs — Si) — начальная расстройка относительно условия комбинационного синхронизма. Уравнения (2.113) могут быть получены [95,96] и непосредственно из выражения для усредненной пондеромо- торной силы в присутствии нерезонансного магнтного поля.

Заменой переменных § = ,^^ 2, △ =，^^- J и и = у ^^у w эти уравнения сводятся к универсальному виду (2.38), причем по- прежнему КПД определяется соотношением (2.25). Следовательно, нерезонансное магнитное поле не влияет на величину максимально достижимого КПД, однако приводит к снижению оптимальных напряженностей полей сигнала и накачки asai < 3i/N2. Кроме того, при фиксированной интенсивности волны накачки наложение нерезонансного магнитного поля в (25勿)一？ раз уменьшает пусковой ток по сравнению с величиной, определяемой соотношением (2.43).

В случае резонансного магнитного поля при выполнении условий циклотронного резонанса (2.108) и (2.109) необходимость дополнительного усреднения уравнений (2.110) отсутствует. Нетрудно видеть, что в этом случае формирование компактных сгустков электронов и их торможение полем сигнальной волны будут обеспечены при выполнении следующих условий:

6i,sN《仆出,sWN—3/2,|W|7V<^,|p+|2 < N-1.(2.114)

Из них следует, что оптимальные напряженности высокочастотных полей в присутствии резонансного магнитного поля уменьшаются в V^ раз. В то же время для КПД остается справедливой та же оценка ту ~ ~ 1/7V, что и в случае отсутствия резонансного поля.

Решая уравнения (2.110) в приближении малого сигнала (а$《1), найдем КПД в линейном приближении. В случае точного синхронизма электронов с накачкой (5勿=0) электронный КПД равен

2〜2

伙=号 {一9(友к)+ 〃0(友k)} .(2.115)

Здесь 9sk = bs^k, функция 屮卜кк) описывает циклотронное поглощение сигнальной волны в отсутствие накачки, а слагаемое 〃①(％к) ответственно за индуцированное излучение, и = а；2^/8. При больших параметрах и согласно формуле (2.115) индуцированное излучение преобладает над индуцированным поглощением. Тогда стартовое условие для скаттрона и убитрона с резонатором Фабри-Перро представляется в виде [4]

/пуск = 17,03 •/пуск = 17,03 •(1-R1R2)S 327Г7о а? ^ 犬巾(仇3)(1-R1R2)S 327Г7о а? ^ 犬巾(仇3)[кА],[кА],(2.116)(2.116)

/пуск = 17,03 •

/пуск = 17,03 •

(1-R1R2)S 327Г

7о а? ^ 犬巾(仇3)

(1-R1R2)S 327Г

7о а? ^ 犬巾(仇3)

[кА],

[кА],

(2.116)

(2.116)

где

ф") = Iф") = I"3"3ddоо00

ф") = I

ф") = I

"3

"3

d

d

о

о

0

0

Если зафиксировать интенсивность волны накачки и длину пространства взаимодействия (а следовательно, и максимальный КПД 〃 ~ ~ 1/N), то как следует из сравнения выражений (2.116) и (2.43), при

резонансном условии (2.108) пусковой ток в N2 раз меньше, чем в отсутствии магнитного поля.

Индуцированное ондуляторное излучение в интенсивном поле накачки. Генерация высших гармоник баунс-частоты. До сих пор в этом параграфе рассматривался случай относительно слабых полей накачки а〃《1 /7о, в которых размах осцилляций электрона мал по сравнению с длиной излучаемой волны. В таких полях излучение электрона носит дипольный характер.

Рассмотрим теперь случай недипольного излучения электронов в поле очень интенсивной накачки, когда

М》1/70,(2.П7)

и размах осцилляций сравним с длиной излучаемой волны. Соответственно в этом случае в спектре излучения электрона представлены высшие гармоники

1 _询cos吵

Рассмотрим возможности получения эффективного индуцированного ондуляторного излучения на гармониках.

Заметим, что при нарушении условия (2.86) процедура усреднения уравнений движения электронов существенно усложняется. Рассмотрим ее на простейшем примере, когда излучение сигнальной волны происходит в направлении поступательного движения электронов

As = Re {Asx0 exp [j^st - ksz)]} ,(2.П9)

а накачка осуществляется периодическим магнитным полем с вектор- потенциалом

А〃 = Ах。sin&z.(2.120)

В выражениях (2.119) и (2.120) считается, что оба поля линейно поляризованы. В этих полях поперечная составляющая канонического импульса электрона сохраняется и, следовательно, для нее можно записать выражение вида

p_L = -А + const,(2.121)

где А = As + А〃. Константу в этом соотношении можно считать пренебрежимо малой, если инжекция осуществляется в нули вектор- потенциала А〃, а амплитуда поля сигнала не слишком велика.

Используя выражение (2.121) и выражая продольный импульс электрона через его энергию и поперечный импульс

сведем уравнения движения к двум уравнениям

£ 咨(2」23) dz2Pze2 dt dz c2pz

где за независимую переменную принята координата z электрона.

Для дальнейшего упрощения уравнений (2.123) сделаем ряд дополнительных предположений.

Во-первых^ поперечный импульс электрона в поле сигнальной волны будем считать слаборелятивистским р丄$《тс, или соответственно &s《1/7о- Относительно накачки будем считать, что в соответствии с условием (2.117) приобретаемый электроном в ее поле поперечный импульс является релятивистским р丄勿 W тс, но все же много меньшим поступательного импульса рц. Это означает, что выполняется условие

娟 W М《1.(2.124)

Эти ограничения позволяют упростить соотношение (2.121), приводя его к виду

厶冶(1 —圭 ”с4 + е2A2)) ,(2.125)

где можно положить А2 =sin2

Во-вторых, относительное изменение энергии электронов w = 1 — —2/2。невелико:

I刨《1.(2.126)

Тогда, с учетом выражений (2.125) и (2.126) преобразуем уравнения (2.123) к следующему виду:

^昱 1 +勃争^昱 1 +勃争空=-asai Re {; exp [j((vst - ksz)]} sin kiZ,(2.127)

^昱 1 +勃争

^昱 1 +勃争

+ a.(2.128)

Добавки, обусловленные интенсивной накачкой, сравнимы с основными слагаемыми в правой части уравнения (2.128) при а；〜1/7q.

Решение уравнения (2.128) естественно искать в виде суммы 力=т + + §, в которую входят плавно меняющаяся величина г, удовлетворяющая уравнению

dr 1dz сdr 1dz с1 + ^ +*+ (^ + "力攸1 + ^ +*+ (^ + "力攸⑵ 129)⑵ 129)

dr 1

dz с

dr 1

dz с

1 + ^ +*+ (^ + "力攸

1 + ^ +*+ (^ + "力攸

⑵ 129)

⑵ 129)

и осциллирующая добавка §, которая описывается выражением

(2.130)(2.130)§ = —* sin 2&z.

(2.130)

(2.130)

4用£

Именно осциллирующее слагаемое £ в фазовом множителе уравнения (2.127) порождает гармоники баунс-частоты:

exp [—jqsin2kiz] = £ Jr(Q)exp (—2jrkiZ).

Здесь q = q〃Gs/(4c&), J『(q) — функция Бесселя порядка г. Соответственно уравнение для энергии приобретает вид

^ = ^QsM Re £ J「(q) {exp 匕(叫丁 一 (ks + &" + 2rkiZ)]-

-exp U(GsT -⑸-&)z + 2『&z)]} . (2.131)

Из последнего уравнения следует, что в поле линейно поляризованной накачки (2.120) в направлении поступательного движения электроны излучают лишь на нечетных гармониках

/ = 1 + 2г,『=0, ±1, ±2, . . .(2.132)

Будем считать выполненным условие синхронизма

Gs -к5。]1 ^ /Q, Q = &少11(2.133)

на /-й гармонике и отбросим в уравнении (2.131) все нерезонансные слагаемые. В результате получим усредненные уравнения движения электрона в поле интенсивной накачки, записанные относительно новой независимой переменной Z = 3szic:

= aez Re {as exp。刃)}, 粤=必 + 〃彼.(2.134)

Здесь

—коэффициент связи 1) (величина ае определяет интенсивность /-й гармоники в спектре индивидуального излучения электрона в ондуляторе [4]),

= 7о2 + ^г _ ф (2.136)

—начальная расстройка синхронизма, 〃 = а； + 7^"2 — параметр группировки. Увеличение параметра группировки с ростом интенсивности накачки определяется уменьшением эффективности продольной массы частиц.

Полученные уравнения (2.134) по форме совпадают с асимптотическими универсальными уравнениями ЛСЭ (см. формулы (2.33) и ⑵ 34)).

В случае малой интенсивности накачки, когда q《1, и выполнении условия дипольного приближения уравнения (2.134) для первой гармоники баунс-частоты (/ = 1) полностью переходят в ранее полученные уравнения ⑵33) и ⑵34).

Заменой переменных

C = z/z 厶,F = bpiZ^as, " = 4z厶攸,①=

где Z厶=3sLic — безразмерная длина пространства взаимодействия, уравнения (2.134) приводятся к виду

灭二歹cos仇 笈=@ +生灭二歹cos仇 笈=@ +生(2.137)(2.137)универсальному для всех гармоник. В этих переменных электронный КПД ЛСЭ определяется выражениямиуниверсальному для всех гармоник. В этих переменных электронный КПД ЛСЭ определяется выражениями1人1人27rZ7T、О27rZ7T、О(2.138)(2.138)в которых величина приведенного КПД ту не зависит от номера гармоники /. В то же самое время величина полного КПД ту при фиксированном числе периодов ондулятора N убывает с ростом I.Используя уравнение баланса мощностей (2.37) и линеаризованное решение уравнения движения (2.137), определим пусковой ток для генерации на /-й гармоникев которых величина приведенного КПД ту не зависит от номера гармоники /. В то же самое время величина полного КПД ту при фиксированном числе периодов ондулятора N убывает с ростом I.Используя уравнение баланса мощностей (2.37) и линеаризованное решение уравнения движения (2.137), определим пусковой ток для генерации на /-й гармонике/限K/限Kme3 S 1 — R1R2下 167r2d2 1p：m ①⑦(①)/d①)me3 S 1 — R1R2下 167r2d2 1p：m ①⑦(①)/d①)(2.139)(2.139)где 0(Ф) = (1 — cos Ф)/2Ф2, d — период ондулятора. Согласно выражению для пускового тока, самовозбуждение генератора возможно, когда угол пролета Ф находится в интервале 0 < Ф < 2тг. Соответственно полоса отрицательной реабсорбции определяется выражением [4]:где 0(Ф) = (1 — cos Ф)/2Ф2, d — период ондулятора. Согласно выражению для пускового тока, самовозбуждение генератора возможно, когда угол пролета Ф находится в интервале 0 < Ф < 2тг. Соответственно полоса отрицательной реабсорбции определяется выражением [4]:△包 <才、Tn△包 <才、Tn(2.140)(2.140)в которомв котором仞 а- + 1/7о仞 а- + 1/7о(2.141)(2.141)—частота точного синхронизма. С ростом номера гармоники / относительная ширина полосы △g//g% сужается, причем между величиной ширины полосы и величиной КПД сохраняется соотношение 〃 ~ ~ △仞/仞.Величина пускового тока (2.139) определяется, в первую очередь, значением аргумента функций Бесселя q, который по порядку величины равен отношению размаха продольных осцилляций электрона, вызванных накачкой, к длине излучаемой волны. При слабой накачке,—частота точного синхронизма. С ростом номера гармоники / относительная ширина полосы △g//g% сужается, причем между величиной ширины полосы и величиной КПД сохраняется соотношение 〃 ~ ~ △仞/仞.Величина пускового тока (2.139) определяется, в первую очередь, значением аргумента функций Бесселя q, который по порядку величины равен отношению размаха продольных осцилляций электрона, вызванных накачкой, к длине излучаемой волны. При слабой накачке,

灭二歹cos仇 笈=@ +生

灭二歹cos仇 笈=@ +生

(2.137)

(2.137)

универсальному для всех гармоник. В этих переменных электронный КПД ЛСЭ определяется выражениями

универсальному для всех гармоник. В этих переменных электронный КПД ЛСЭ определяется выражениями

1人

1人

27r

Z7T、

О

27r

Z7T、

О

(2.138)

(2.138)

в которых величина приведенного КПД ту не зависит от номера гармоники /. В то же самое время величина полного КПД ту при фиксированном числе периодов ондулятора N убывает с ростом I.

Используя уравнение баланса мощностей (2.37) и линеаризованное решение уравнения движения (2.137), определим пусковой ток для генерации на /-й гармонике

в которых величина приведенного КПД ту не зависит от номера гармоники /. В то же самое время величина полного КПД ту при фиксированном числе периодов ондулятора N убывает с ростом I.

Используя уравнение баланса мощностей (2.37) и линеаризованное решение уравнения движения (2.137), определим пусковой ток для генерации на /-й гармонике

/限K

/限K

me3 S 1 — R1R2

下 167r2d2 1p：m ①⑦(①)/d①)

me3 S 1 — R1R2

下 167r2d2 1p：m ①⑦(①)/d①)

(2.139)

(2.139)

где 0(Ф) = (1 — cos Ф)/2Ф2, d — период ондулятора. Согласно выражению для пускового тока, самовозбуждение генератора возможно, когда угол пролета Ф находится в интервале 0 < Ф < 2тг. Соответственно полоса отрицательной реабсорбции определяется выражением [4]:

где 0(Ф) = (1 — cos Ф)/2Ф2, d — период ондулятора. Согласно выражению для пускового тока, самовозбуждение генератора возможно, когда угол пролета Ф находится в интервале 0 < Ф < 2тг. Соответственно полоса отрицательной реабсорбции определяется выражением [4]:

△包 <

才、Tn

△包 <

才、Tn

(2.140)

(2.140)

в котором

в котором

仞 а- + 1/7о

仞 а- + 1/7о

(2.141)

(2.141)

—частота точного синхронизма. С ростом номера гармоники / относительная ширина полосы △g//g% сужается, причем между величиной ширины полосы и величиной КПД сохраняется соотношение 〃 ~ ~ △仞/仞.

Величина пускового тока (2.139) определяется, в первую очередь, значением аргумента функций Бесселя q, который по порядку величины равен отношению размаха продольных осцилляций электрона, вызванных накачкой, к длине излучаемой волны. При слабой накачке,

—частота точного синхронизма. С ростом номера гармоники / относительная ширина полосы △g//g% сужается, причем между величиной ширины полосы и величиной КПД сохраняется соотношение 〃 ~ ~ △仞/仞.

Величина пускового тока (2.139) определяется, в первую очередь, значением аргумента функций Бесселя q, который по порядку величины равен отношению размаха продольных осцилляций электрона, вызванных накачкой, к длине излучаемой волны. При слабой накачке,

когда а〃《1/)о, величина q мала, и с ростом номера гармоники значение коэффициента связи ае/ быстро падает, а пусковой ток — растет. При интенсивной накачке, когда а〃 》1/)о, с увеличением номера гармоники / величина коэффициента связи спадает очень медленно и остается достаточно большой вплоть до / 〜)^ [4]. Однако реализация индуцированного ондуляторного излучения на высокой гармонике налагает очень жесткие требования к качеству пучка и поля накачки, что затрудняет практическое использование режима генерации на высших гармониках.

Важно отметить, что при изменении напряженности периодического поля ондулятора изменяется средняя скорость поступательного движения электронов и, следовательно, частота излучения (см. формулу (2.141)). Поэтому таким образом можно осуществлять перестройку частоты генерации.

Рассеяние на частицах а на волнах. Выше при рассмотрении индуцированного рассеяния и индуцированного ондуляторного излучения пренебрегали пространственным зарядом электронных сгустков, сформировавшихся под действием поля комбинационной волны. Такое приближение заведомо справедливо для оптического и более кортко- волновых диапазонов, где при существующей плотности электронных пучков в объеме ~ А3 содержится весьма малое число частиц (А — длина излучаемой волны). Однако в более длинноволновых диапазонах пространственный заряд может играть существенную роль, и в них вместо рассеяния на отдельных частицах может иметь место рассеяние на коллективных колебаниях электронной плазмы.

Проследим за такой сменой на примере встречного рассеяния циркулярно-поляризованных волн относительно небольшой амплитуды (a〃,s《1) в однородном безграничном электронном потоке, где все электроны имеют одинаковые невозмущенные скорости, а невозмущенный пространственный заряд скомпенсирован ионным фоном.

Тогда задача сводится к одномерной, поскольку комбинационная сила F является чисто продольной, а следовательно, плотность заряда

〃 =(1 + Re t psejse^ , 八=J ] e"se 個 (2.142)

и обусловленное этим зарядом продольное квазистационарное электрическое поле

Ez = ~^\^pdz (2.143)

не зависят от поперечных кординат.

Дополним уравнение движения электрона (2.87) полем Ez (2.143), в котором ограничимся только учетом первой гармоники, и перейдем к новым переменным ^ = 0 + jz^ а； = as exp [jOz], p's = pi exp [jOz], z‘ = kcz. Тогда, опуская штрихи над новыми переменными, запишем

уравнение движения электрона как

(2.144)

где g夕н = cjp/70 — «продольная» плазменная частота.

Выделяя с помощью выражений (2.89) и (2.142) в поперечных компонентах плотности переменного тока j = — pv комбинационные слагаемые с частотами 3s и 幻勿

jcHHxp = -^ Re {A^iUR + A“；U仇}

(2.145)(2.145)и подставляя это выражение в волновое уравнение (2.46), получим усредненные уравнения для медленно меняющихся амплитуд полей

(2.145)

(2.145)

字 + jSas = jGspai, 学=-jGip*as,

(2.146)(2.146)где коэффициент G$,勿=G^/(4kcCGs,〃)・ Из полученных уравнений следует закон сохранения числа квантов поперечных волн:

(2.146)

(2.146)

(vs\as\ —(Vi\ai\2 = const.

(2.147)(2.147)Самосогласованная система уравнений (2.144) и (2.146) описывает различные варианты индуцированного рассеяния волн как на частицах, так и на волнах. Граничные условия к этой системе уравнений имеют стандартный вид:

(2.147)

(2.147)

^(0) = ^о, 丁 = 0, Qs(0) = Qso, м(〃)= а沁.(2.148) z=o

Рассмотрим вначале простейший случай, когда амплитуда комбинационной волны мала. Тогда движение электронов может быть описано в линейном приближении " = "()+ ",步|《1, в рамках которого уравнение (2.144) приобретает вид 1)

В приближении заданной накачки а〃 = const уравнения для as и р становятся линейными, и их решение следует искать в виде qs, р 〜exp (—jkz). В результате приходим к дисперсионному уравнению

[4,94]

++^skcc^skcc22^pII^pII|q『=о,|q『=о,(2.150)(2.150)

+

+

^skcc

^skcc

2

2

^pII

^pII

|q『=о,

|q『=о,

(2.150)

(2.150)

которое легко сводится к хорошо известному (см., например, [61]) дисперсионному уравнению обычной ЛБВ типа О

(^ - △)(必-Q2) + 1 = 0,(^ - △)(必-Q2) + 1 = 0,(2.151)(2.151)где k = k/C, Д = 6/С, q = с； — параметр пространственного за- 1/з сС—параметр, аналогичный параметру Пирсав приборах с длительным взаимодействием О-типа.где k = k/C, Д = 6/С, q = с； — параметр пространственного за- 1/з сС—параметр, аналогичный параметру Пирсав приборах с длительным взаимодействием О-типа.Р吟 ° =Р吟 ° =Исследуем случай малого пространственного заряда, т. е. случай, когда в соответствии с уравнением (2.151) величина q2《1. При заданной плотности пучка это условие ограничивает снизу интенсивность накачки: а〃》2y4J^7^Z・ В этом случае инкремент сигнальной волны достигает максимума:Исследуем случай малого пространственного заряда, т. е. случай, когда в соответствии с уравнением (2.151) величина q2《1. При заданной плотности пучка это условие ограничивает снизу интенсивность накачки: а〃》2y4J^7^Z・ В этом случае инкремент сигнальной волны достигает максимума:/~ /2\ 1/3= 鼻词)(2.152)/~ /2\ 1/3= 鼻词)(2.152)Рис. 2.14. Инкремент рассеянной волны, максимизированный по расстройке синхронизма, в зави-Рис. 2.14. Инкремент рассеянной волны, максимизированный по расстройке синхронизма, в зави-при 5 = 0.С увеличением параметра пространственного заряда и при фик- сированном параметре Пирса С инкремент нарастания сигнальной волны уменьшается (рис. 2.14).При большом параметре пространственного заряда q2》1, когда частотный разнос между волнами пространственного заряда превышает величину инкремента нарастания волны, максимальное значение инкрементапри 5 = 0.С увеличением параметра пространственного заряда и при фик- сированном параметре Пирса С инкремент нарастания сигнальной волны уменьшается (рис. 2.14).При большом параметре пространственного заряда q2》1, когда частотный разнос между волнами пространственного заряда превышает величину инкремента нарастания волны, максимальное значение инкремента卩m ©max =卩m ©max =⑵ 153)⑵ 153)симости от параметра простран-ственного заряда q (параметрПирса С фиксирован)симости от параметра простран-ственного заряда q (параметрПирса С фиксирован)достигается при нулевой расстройке (△ — q = 0) между комбинационной волной и медленной волной пространдостигается при нулевой расстройке (△ — q = 0) между комбинационной волной и медленной волной пространственного заряда, которая обладает отрицательной энергией. В этом случае уравнения (2.146) и (2.149) заменойственного заряда, которая обладает отрицательной энергией. В этом случае уравнения (2.146) и (2.149) заменой

(^ - △)(必-Q2) + 1 = 0,

(^ - △)(必-Q2) + 1 = 0,

(2.151)

(2.151)

где k = k/C, Д = 6/С, q = с； — параметр пространственного за- 1/з сС

—параметр, аналогичный параметру Пирса

в приборах с длительным взаимодействием О-типа.

где k = k/C, Д = 6/С, q = с； — параметр пространственного за- 1/з сС

—параметр, аналогичный параметру Пирса

в приборах с длительным взаимодействием О-типа.

Р吟 ° =

Р吟 ° =

Исследуем случай малого пространственного заряда, т. е. случай, когда в соответствии с уравнением (2.151) величина q2《1. При заданной плотности пучка это условие ограничивает снизу интенсивность накачки: а〃》2y4J^7^Z・ В этом случае инкремент сигнальной волны достигает максимума:

Исследуем случай малого пространственного заряда, т. е. случай, когда в соответствии с уравнением (2.151) величина q2《1. При заданной плотности пучка это условие ограничивает снизу интенсивность накачки: а〃》2y4J^7^Z・ В этом случае инкремент сигнальной волны достигает максимума:

/~ /2\ 1/3

= 鼻词)(2.152)

/~ /2\ 1/3

= 鼻词)(2.152)

Рис. 2.14. Инкремент рассеянной волны, максимизированный по расстройке синхронизма, в зави-

Рис. 2.14. Инкремент рассеянной волны, максимизированный по расстройке синхронизма, в зави-

при 5 = 0.

С увеличением параметра пространственного заряда и при фик- сированном параметре Пирса С инкремент нарастания сигнальной волны уменьшается (рис. 2.14).

При большом параметре пространственного заряда q2》1, когда частотный разнос между волнами пространственного заряда превышает величину инкремента нарастания волны, максимальное значение инкремента

при 5 = 0.

С увеличением параметра пространственного заряда и при фик- сированном параметре Пирса С инкремент нарастания сигнальной волны уменьшается (рис. 2.14).

При большом параметре пространственного заряда q2》1, когда частотный разнос между волнами пространственного заряда превышает величину инкремента нарастания волны, максимальное значение инкремента

卩m ©max =

卩m ©max =

⑵ 153)

⑵ 153)

симости от параметра простран-ственного заряда q (параметрПирса С фиксирован)

симости от параметра простран-ственного заряда q (параметрПирса С фиксирован)

достигается при нулевой расстройке (△ — q = 0) между комбинационной волной и медленной волной простран

достигается при нулевой расстройке (△ — q = 0) между комбинационной волной и медленной волной простран

ственного заряда, которая обладает отрицательной энергией. В этом случае уравнения (2.146) и (2.149) заменой

ственного заряда, которая обладает отрицательной энергией. В этом случае уравнения (2.146) и (2.149) заменой

Р = -；арехр ㈠言 %Р = -；арехр ㈠言 %Mi ^р ㈠*%Mi ^р ㈠*%

Р = -；арехр ㈠言 %

Р = -；арехр ㈠言 %

Mi ^р ㈠*%

Mi ^р ㈠*%

где ар — медленно меняющаяся амплитуда медленной волны пространственного заряда, приводятся к стандартным трехволновым уравнениям распада

言 + 7 G —言Z)必=GsMa^,

= Gia[叫)(2.154)

—}— = 9asМ，dz

где коэффициент Gp = kcC/(27qCJp||). Уравнения вида (2.154) были детально исследованы в работах [98-100].

Обсудим в заключение данного раздела механизмы насыщения усиления ЛСЭ. Из уравнений (2.144) и (2.146) следует, что насыщение обуславливается либо истощением накачки, либо захватом сгустков волной.

Первый механизм ограничивает в соответствии с законом сохранения числа поперечных квантов (2.147) амплитуду сигнальной волны величиной

『〜Мо『/4^・(2.155)

При достижении этого уровня значительная часть квантов накачки преобразуется в сигнальные кванты.

Для исследования второго механизма в «чистом» виде необходимо считать накачку заданной. Тогда уравнения (2.144) и (2.146) сводятся к нелинейным уравнениям ЛБВ. Максимальная амплитуда сигнала в этом случае равна [4]

小『〜俏 м|1/з(^)"з.(2.156)

Сравнивая выражения (2.155) и (2.156), условие преобладания первого или второго механизма насыщения можно представить в виде

旧|2《g： ИЛИ旧J》®：

соответственно, где характерное значение амплитуды волны накачки определяется выражением [4]

Как показывают оценки, в большинстве практически интересных случаев насыщение усиления определяется нелинейным смещением электронных сгустков в тормозящую фазу поля (ср. с механизмами ограничения мощности в ЛБВ (первый том книги, лекция 10)), а квантовый выход и истощение накачки малы.

В заключение лекции кратко остановимся на важной проблеме, которая является центральной при создании ЛСЭ с малой длиной волны излучения — проблеме формирования электронных пучков, обладающих одновременно высокой плотностью и малым разбросом параметров. Воспользовавшись формулой (2.44) в сочетании с требованием, налагаемым на энергетический разброс электронов (см. формулу (2.29)) △)о/)о W 1/N (однородное уширение линии), можно сформулировать критерий [4]

亢"》Х^；(号)[С • см—3],(2.157)

позволяющий судить о пригодности того или иного инжектора релятивистских электронов для построения ЛСЭ определенного частотного диапазона. Здесь пе — средняя по сечению пучка плотность электронов, г — характерное время процесса, равное минимальной из двух величин: длительности электронного импульса тс и времени переходного процесса Q/g (для инжектора, работающего в режиме периодического следования импульсов тс равно полной длительности электронного цуга), А — длина излучаемой волны, ае — коэффициент связи электронов с волной.

Согласно критерию (2.157) для создания высокоэффективных ЛСЭ могут быть использованы как слаботочные инжекторы (линейные ускорители, накопительные кольца и т. д.), так и сильноточные. Первые обеспечивают малый разброс параметров Д70/7о W0J 4-0,01% и высокую частоту следования импульсов, вторые — высокую плотность пучков. Заметим, что при генерации на высших гармониках требования к качеству пучка резко возрастают.

Список литературы

Лазеры на свободных электронах. Тематический указатель литературы (1968-1985). - Горький: ИПФ АН СССР, 1986.

Гинзбург В.Л. О физике и астрофизике. — М: Наука, 1985.

Granatstein V.L. “ Physics of Quantum Electronics. V. 5. Novel sources of coherent radiation / Eds. by Jacobs S.F., Sargent M. Addison-Wesley. P. 273.

Братман В.Л., Гинзбург H.C., Петелин М.И. Теория лазеров и мазеров на свободных электронах Ц Лекции по электронике СВЧ и радиофизике (5-я зимняя школа-семинар инженеров). Саратов: Изд-во С арат, ун-та, 1981. Книга 1. С. 69.

Гинзбург В.Л. Об излучении радиоволн и их поглощении в воздухе “ Изв. АН СССР. Физика. 1947. Т. 11, № 2. С. 165.

Гинзбург В.Л. Об излучении электронов, движущихся вблизи диэлектрика “ ДАН СССР. 1947. Т. VI. С. 145.

Гинзбург В.Л. Некоторые вопросы теории излучения при сверхсветовом движении в среде Ц УФН. 1959. Т. 19, N@ 4. С. 537.

Безручко Б.П., Трубецков Д.И., Четвериков А.П. Электронные приборы СВЧ с поперечным взаимодействием Ц Обзоры по электронной технике. Серия I. Электроника СВЧ. Вып. 9(383). ЦНИ- ИИ «Электроника», М., 1976.

Миллер Р. Введение в физику сильноточных пучков заряженных частиц. — М., 1984.

Deacon D.A. G., Elias L.R., Madey J.МЛ., Ramian G.J., Schwettman H.A., Smith T.J. First Operation of a Free-Electron Laser “ Phys. Rev. Lett. 1977. V. 38. P. 892.

Маршалл T. Лазеры на свободных электронах. — М.: Мир, 1987.

Kapitza P.L., Dirac P.A.M. The reflection of electrons from stunding light waves “ Proc. Cambridge Phil. Soc. 1933. V. 29. P. 297.

Motz H. Application of the radiation from fast electron beams “ J. Appl. Phys. 1951. V. 22, No 5. P. 527.

Motz H., Thon W., Whitehurst R. W. Experiments on radiation dy fast electron beam 力 J. Appl. Phys. 1953. V. 24. P. 826.

Motz H., Nakamura M. “ Annals of Physics. 1959. V. 7. P. 84.

Madey J.M.J. Stimulated emission of bremsstrahlung in a periodic magnetic field “ J. Appl. Phys. 1971. V. 42, No 5. P. 1906.

Palmer R.B. Interaction of a relativistic particles and free electromagnetic waves in the presence of a static helical magnet “ J. Appl. Phys. 1972. V. 43. P. 3014.

Elias L.R., Fairbank W.M., Madey J.M.I., Schwettman H.A., Smith T.J. Observation of Stimulated Emission of Radiation by Relativistic Electrons in a Spatially Periodic Transverse Magnetic Field Ц Phys. Rev. Lett. 1976. V. 36. P. 710.

Madey J.M.J., Schwettman H.A., Fairbank W.M. Ц IEEE Trans. Nucl. Sci. 1973. V. NS-20. P. 980.

Sukhatme V.P., Wolff P.A. Stimulated Compton scattering as a radiation source-theoretical limitations Ц J. Appl. Phys. 1973. V. 44. P. 2331.

Colson W.B. “ Phys. Quan. Elect. 1977. V. 5. P. 152.

Hopf F.A., Meystre P., Scully M.O., Louisell W.H. Classical Theory of a Free-Electron Laser “ Phys. Rev. Lett. 1976. V. 37. P. 1215.

Hopf F.A., Meystre P., Scully M.O., Louisell W.H. Strong-Signal Theory of a Free-Electron Laser “ Phys. Rev. Lett. 1976. V. 37. P. 1215.

Nation J.A. On the coupling of an high-current relativistic electron beam to a slow wave structure Ц Appl. Phys. Lett. 1970. V. 17. P. 491.

Carmel Y., Ivers J., Kribel R.E., Nation J.A. Intense Coherent Cherenkov Radiation Due to the Interaction of a Relativistic Electron Beam with a Slow-Wave Structure Ц Phys. Rev. Lett. 1974. V. 33. P. 1278.

Friedman М., Herndon М. Emission of Coherent Microwave Radiation from a Relativistic Electron Beam Propagating in a Spatially Modulated Field “ Phys. Rev. Lett. 1972. V. 29. P. 55.

Granatstein V.L, Herndon M., Parker R.K., Schlesinger S.P. Strong submillimeter radiation from intense electron beams “ IEEE Trans. 1974. V. MTT-22. P. 1000.

Granatstein V.L, Schlesinger S.P., Herndon M., Parker R.K., Paso- ur J.A. “ Appl. Phys. Lett. 1977. V. 30. P. 384.

Efthimion P., Schlesinger S.P. Stimulated Raman scattering by an intense relativistic electron beam in a long rippled magnetic field “ Phys. Rev.A. 1977. V. 16. P. 633.

Manheimer W.M., Ott E. Parametric instabilities induced by the coupling of high and low frequency plasma modes “ Phys. Fluids. 1974. V. 17. P. 1413.

Marshall T.C., Talmadge £〉Efthimton P. Ц Appl. Phys. Lett. 1977. V. 31. P. 320.

Sprangle P., Granatstein V. L., Baker L. Stimulated collective scattering from a magnetized relativistic electron beam “ Phys. Rev. A. 1975. V. 12. P. 1697.

Gilgenbach R.M., Marshall T.C., Schlesinger S.P. “ Phys. Fluids. 1979. V. 22. P. 971.

MrDermott D.B., Marshall T.C., Schlesinger S.P., Parker R.K., Granatstein V.L. High-Power Free-Electron Laser Based on Stimulated Raman Backscattering “ Phys. Rev. Lett. 1978. V. 41. P. 1368.

Parker R.K., Jackson R.H., Gold S.H., Freund H.P., Granatstein V.L., Efthimion P.C., Herndon M., Kinkead A.K. Axial Magnetic- Field Effects in a Collective-Interaction Free-Electron Laser at Millimeter Wavelengths “ Phys. Rev. Lett. 1982. V. 48. P. 238.

Walsh J.E. “ Phys. Quan. Elect. 1980. V. 7. P. 255.

Вайнштейн Л.А. Спонтанное и индуцированное излучение свободных электронов “ ЖЭТФ. 1988. Т. 94, N@ 5. С. 40.

Sprangle Р., Drobot А. Т. “ J. Appl. Phys. 1979. V. 50. Р. 2652.

Kroll N.M., McMullin W.A. Stimulated emission from relativistic electrons passing through a spatially periodic transverse magnetic field “ Phys. Rev. A. 1978. V. 17. P. 300.

Hasegawa A. “ Bell. Sy st. Tech. J.. 1978. V. 57. P. 3069.

Bernstein I., Hirshfield J.L. Amplification on a relativistic electron beam in a spatially periodic transverse magnetic field “ Phys. Rev. A. 1979. V. 20. P. 1661.

Kwan T., Dawson J.M., Lin A. T. “ Phys.Fluids. 1977. V. 20. P. 581.

Dawson J.M., Lin A. T. High-Efficiency Free-Electron Laser “ Phys. Rev. Lett. 1979. V. 42. P. 1670.

Sprangle Р., Tang С.М “ IEEE Trans. Nucl. Sci. 1981. V. NS-28. P. 3346.

Kroll N.M., Morton P., Rosenbluth M.N. Ц IEEE J. Quan. Elect. 1981. V. QE-17. P. 1436.

Morton P. “ Phys. Quan. Elect.. 1982. V. 8. P. 1.

Edighoffer J., Boehmer H., Caponi M.Z., Fornaca £〉Munch J., Neil G.R., Saur A, Shih。“ IEEE J. Quan. Elect. 1983. V. QE-19. P. 316.

Slater J.M., Adamski J.; Churchill T.L., Nelson L. Y., Carter R.E. “ IEEE J. Quan. Elect. 1983. V. QE-19. P. 374.

Warren R.W., Newnam B.E, Winston J.Q., Stern W.E., Young L.M., Brau C.A. “ IEEE J. Quan. Elect. 1983. V. QE-19. P. 391.

Deacon D.A., Robinson K.E., Madey J.M.J., Bazin C., Biltardon M., Elleaume P., Farge Y., Ortega J.M., Petroff Y., Velghe M.F. Ц Opt. Comm. 1982. V. 40. P. 373.

Shaw E.D., Patel C.K. “Phys. Quan. Elect.1980.V.7.P.665.

Shaw E.D., Patel C.K. “Phys. Quan. Elect.1980.V.9.P.671.

Dattoli G., Fiorentino E,Letardi T., MarinoA., RenieriA.“ IEEE

Trans. Nucl. Sci. 1981. V.NS-28. P. 3133.

Billardon M., Elleaume P., Ortega J.M., Bazin C., Bergher M., Velghe M., Petroff Y., Deacon D.A.G., Robinson KE, Madey J.M.J. First Operation of a Storage-Ring Free-Electron Laser “ Phys. Rev. Lett. 1983. V. 51. P. 1652.

Edighoffer J.A., Neil G.R., Hess CE, Smith T.I., Fornaca S. W., Schwettman H.A. Variable-wiggler free-electron-laser oscillation “ Phys. Rev. Lett. 1984. V. 52. P. 344.

Phy Hips R.N. The ubitron, a high-power travelling-wave tube based on a periodic beam interaction in unloaded waveguide Ц IRE Tran. ED. 1960. V. 7. P. 231.

Эндбери С.И., Филлипс P.M. Убитронный усилитель — мощная ЛБВ миллиметрового диапазона “ ТИИЭР. 1965. N@ 10. С. 1848.

Phy Hips R.N. Hystory of the ubitron Ц Nuclea Instruments and methods in physics research. 1988. V. A272. P. 1.

Pantell R.H., Soncini Y., Puthoff H.E. Stimulated photon-electron scattering “ IEEE Quantum Electronics. 1968. V. 4, No 11. P. 905.

Шевчик B.H., Шведов Г.Н., Соболева А.В. Волновые и колебательные явления в электронных потоках на сверхвысоких частотах.— Саратов: Изд-во С ГУ, 1963.

Шевчик В.Н., Трубецков Д.И. Аналитические методы расчета в электронике СВЧ. — М.: Сов. радио, 1970.

Adler R. Paramteric amplification of the fast electron wave Ц Proc. IRE. 1958. V. 46, No 6. P. 1300.

Adler R., Hrbek G., Wade G. A low-noise electron-beam paramteric amplifier “ Proc. IRE. 1958. V. 46, No 10. P. 1756.

Adler R. et al The quadrupole amplifier, a low-noise parametric device “ Proc. IRE. 1957. V. 47, No 10. P. 1713.

Johnson С. C. Theory of fast-wave parametric amplification Ц J. Appl. Phys. 1960. V. 31, No 2. P. 338.

Люиселл У Связанные и параметрические колебания в эектронике / Пер. с англ, под ред. А.Н. Выставкина. — М.: Изд-во иностранной литературы, 1963.

Железовский Б.Е. Электроннолучевые параметрические СВЧ- усилители. —М: Наука, 1971.

Kluver J. W. An M-type fast cyclotron wave coupler Ц Internal. Microwellenrohren, Munchen, 1960. S. 367.

Сэкингер. Параметрический усилитель М-типа, имеющий квадрупольную систему со статическими полями Ц ТИИРИ. 1963. No 7. С. 1066.

Kluver J. W. A low-noise M-type parametric amlifier “ IEEE Trans. 1964. V. ED-11, No 5. P. 204.

Kluver J. W. Parametric coupling between the transverse waves O- and M-type beams “ J. Appl. Phys. 1961. V. 32, No 6. P. 1111.

Гурзо В.В., Стальмахов В. С., Трубецков Д.И. К теории параметрического усиления циклотронных волн в лучевых приборах со скрещенными полями Ц Радиотхника и электроника. 1965. Т. 10, № 12. С. 2251.

Куликов М.Н., Стальмахов В. С. К расчету электронно-волнового усилителя типа М с тонким лучом Ц Радиотхника и электроника. 1964. Т. 11, № 2. С. 252.

Синхротронное излучение. Сб. ст. / Под ред. Соколова А.А., Тернова И.М.. — М.: Наука, 1966.

Петелин М.И. К теории ультрарелятивистских лазеров на циклотронном авторезонансе “ Изв. вузов. Радиофизика. 1974. Т. 17, № 6. С. 902.

Гапонов А.В. О неустойчивости системы возбужденных осцилляторов по отношению к электромагнитным возмущениям Ц ЖЭТФ. 1960. Т. 39, № 2(8). С. 326.

Давыдовский В.Я. О возможности резонансного ускорения заряженных частиц электромагнитными волнами в постоянном магнитном поле “ ЖЭТФ. 1962. Т. 43, № 3⑼.С. 886.

Коломенский А.А., Лебедев А.Н. Авторезонансное движение частицы в плоской электромагнитной волне Ц ДАН СССР. 1962. Т. 145, № 6. С. 1259.

Братман В.Л., Гинзбург Н.С., Нусинович Г.С., Петелин М.И., Юлпатов В.К. Ц Релятивистская сверхвысокочастотная электроника / Под ред. А.В. Гапонова-Грехова. Горький: Изд-во ИПФАН СССР, 1979.

Kumakhov М.А. “ Phys. Lett. 1976. V. 57, No 1. Р. 17.

Тер-Микаэлян М.Л. Рассеяние сверхбыстрых волн в кристалле Ц ЖЭТФ. 1953. Т. 25. С. 289.

Smith S.J., Purcell Е.М. Visible Light from Localized Surface Charges Moving across a Grating “ Phys. Rev. 1953. V. 92, No 4. P. 1069.

Файнберг Я.Б., Хижняк H.A. Потери энергии заряженной частицей при прохождении через слоистый диэлектрик Ц ЖЭТФ. 1957. Т. 32, № 4. С. 883.

Bratman V.L., Ginzburg N.S., Petelin МЛ. “ Optics Commun. 1979. V. 30. P. 409.

Deacon D.A.G., Elias L.R., Madey J.M.J., Ramian G.J., Schwettman H.A., Smith T.I. First Operation of a Free-Electron Laser Ц Phys. Rev. Lett. 1977. V. 38, No 16. P. 892.

Братман В.Л., Гинзбург H.C., Петелин М.И. Лазер на свободных электронах: перспективы продвижения классических электронных генераторов в коротковолновые диапазоны Ц Известия АН СССР. Сер. физич. 1980. Т. 44, № 8. С. 1593.

Bogomolov Ya.L., Yunakovsky A.D. Numerical simulation of nonstationary processes in free electron lasers Ц J. Comput. Phys. 1985. V. 58. P. 80.

Рихтмайер P., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. — М.: Мир, 1972.

Гапонов А.В., Миллер М.А. О потенциальных ямах для заряженных частиц в высокочастотном электромагнитном поле Ц ЖЭТФ. 1958. Т. 34, № 1. С. 242.

Миллер М.А. Ускорение плазменных сгустков высокочастотными полями “ ЖЭТФ. 1959. Т. 36, № 6. С. 1909.

Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Нестационарные нелинейные явления при взаимодействии электронного потока, движущегося в скрещенных полях, с обратной электромагнитной волной Ц Изв. вузов. Радиофизика. 1977. Т. 20, N@ 2. С. 300.

Трубецков Д.И., Четвериков А.П. Автоколебания в распределенных системах «электронный поток—встречная (обратная) электромагнитная волна» Ц Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1994. Т. 2, № 5. С. 9.

Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Стохастические автоколебания в системе электронный пучок — обратная волна / в сб.: «Нелинейные волны. Стохастичность и турбулентность».— Горький: ИПФ АН СССР, 1980, С. 29.

Братман В.Л., Гинзбург Н.С., Петелин М.И. Нелинейная теория вынужденного рассеяния волн на релятивистских электронных пучках “ ЖЭТФ. 1979. Т. 76, № 3. С. 930.

Мирошниченко В.И. Вынужденное когерентное рассеяние электромагнитной волны релятивистским электронным пучком в магнитном поле “ Физика плазмы. 1976. Т. 2, N@ 5. С. 789.

Мирошниченко В.И. Нелинейная теория вынужденного когерентного рассеяния электромагнитных волн релятивистским электронным пучком (РЭП) в магнитном поле Ц Физика плазмы. 1980. Т. 6, № 3. С. 581.

Альтеркоп Б.А., Волокитин А.С., Шапиро В.Д., Шевченко В.И. “ Письма в ЖЭТФ. 1973. Т. 13. С. 46.

Sprangle Р., Granatstein V.L. " Appl. Phys. Lett. 1974. V. 25, No 7. P. 377.

Калмыков A.M., Коцаренко Н.Я., Кулиш В.В. Возможность параметрической генерации и усиления электромагнитных волн с частотами, выше частоты волны накачки, в электронных приборах Ц Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1977. Т. 20, N@ 10. С. 76.

Кулиш В.В., Силин Р.А. К теории параметрических электронных мазеров. Ч. 1. Малосигнальный и нелинейный анализ Ц Электронная техника. Сер. I. Электроника СВЧ. 1980. N@ 1. С. 3.

Лекция 3 (18)СВЕРХИЗЛУЧЕНИЕ В ВАКУУМНОЙ

СВЧ-ЭЛЕКТРОНИКЕ

В данной работе исследована фазировка электронов в отсутствии каких-либо внешних полей под действием их ближнего поля, причем показано, что классическое кооперативное излучение во многом отличается от квантового. Показано также, что индуцированное излучение осциллирующих электронов в резонатор, может имитировать свойства кооперативного излучения.

Л.А. Вайнштейн, А. И. Клеев. Кооперативное излучение электронов-осцилляторов. ДАН. 1990. Т. 311, №4. С. 499.

Сверхизлучение Дике на примере возбужденных двухуровневых атомов. Ближнее поле элементарного электрического диполя. Кооперативное излучение осциллирующих электронов (линейная теория, численные результаты). Индуцированное излучение, имитирующее кооперативное. Теоретическое “ экспериментальное исследование генерации импульсов сверхизлучения. Циклотронное и черенковское сверхизлучение. Феноменологическая модель электронной турбулентности.

В квантовой электронике кооперативное излучение (или, как его еще называют, коллективное спонтанное излучение, сверхизлучение Дике) хорошо изучено как теоретически, так и экспериментально [1-3]. Простейшей теоретической задачей здесь является задача об излучении возбужденных двухуровневых атомов, заполняющих объем, все размеры которого малы по сравнению с длиной волны. В этой задаче учитывается только однородное в пространстве фазирующее электрическое поле. При этом особенно существенные для малых объемов дефазирующие поля во внимание не принимаются.

В первой части лекции будет рассмотрена полуклассическая теория кооперативного излучения и получено решение вышесформули- рованной задачи. Поскольку кооперативное излучение происходит за короткий промежуток времени, другими релаксационными процессами (индивидуальным спонтанным излучением (см. том 1, лекции 1 и 4), столкновениями) с самого начала можно пренебречь. Далее в лекции

будут изложены результаты классической теории кооперативного излучения электронов-осцилляторов. В заключение этой лекции рассматривается феноменологическая модель электронной турбулентности, связанная с взаимодействием электронных структур, под которыми понимаются малые ансамбли электронов-осцилляторов, для которых имеет место сверхизлучение, а также некоторые экспериментальные работы, посвященные наблюдению эффектов сверхизлучения в электронных потоках.

Сверхизлучение Дике на примере возбужденныхдвухуровневых атомов

Пусть в небольшом объеме V, размеры которого малы по сравнению с длиной волны А = 2ttc/g, в начальный момент находится N возбужденных атомов. В процессе излучения атомы переходят в невозбужденное состояние, излучая энергию 方G. Обозначим через N* число возбужденных атомов в момент времени 力,через N_ — число атомов в невозбужденном состоянии. Тогда энергию всей системы можно представить в виде £ = △%方g/2, где △% = N* — N_. В начальный момент времени, когда все атомы ансамбля возбуждены, энергия максимальна (£max = N方g/2). В момент времени, когда все атомы отдали свою энергию, равную Nfl3)энергия ансамбля минимальна (£min = — N%g/2). Полуклассическая теория, которая используется здесь, применима при условии, что в момент времени 力=0 уже существует электромагнитное поле Е и Н, которое можно трактовать классически, т. е. излучено SN фотонов, где \《6N《N. Этому полю соответствует энергия £ = =(N - 25N)方g/2.

Обозначим через р дипольный момент объема V. Под величиной р понимается векторная сумма всех атомных дипольных моментов, вызванных переходом |+〉1 |—). В полуклассическом приближении вектор р удовлетворяет уравнению

Р 2

B + G2P = —

где Е — электрическое поле, создаваемое переходами и предполагаемое однородным в объеме V, коэффициент / (0 < / < 1) — это так называемая сила осциллятора, связанная с дипольным моментом перехода d соотношением / = 2mз心［Qh. В классической теории дисперсии для системы упруго связанных электронов используется уравнение

2

В + #р = —土 N『E, (3.2) т

где Nr — число электронов с собственной частотй g『.При наличии возбужденных атомов с частотой перехода g величина Nr заменяется на /(N+ - AG) = f^N.

В уравнении (3.1) величина Е есть поле, создаваемое самими атомами в объеме V, в то время как в уравнении (3.2) Е — поле распространяющейся волны. Иначе говоря, в уравнении (3.1) поле Е есть поле, создаваемое током поляризации с плотностью] = АР/3力,где Р — вектор поляризации, т. е. дипольный момент единицы объема. Поэтому величина

jE=^E

есть плотность мощности, отдаваемой полем атомной системе. Если считать поле Е однородным в пределах объема V, то интегральная мощность будет равна рЕ.

Обозначив через W электромагнитную энергию в объеме, можем записать энергетический баланс в виде

匠=-pE-S,(3.3)

где

(3.4)

(3.5)(3.5)—мощность излучения из объема V. Здесь величину р можно заменить на —/р, так как правая часть уравнения (3.1) достаточно мала. Тогда

(3.5)

(3.5)

Вместе с тем очевидно, что полный энергетический баланс может быть выражен как

(3.6)(3.6)匠+ £ = —X.

(3.6)

(3.6)

Отсюда вытекает важное соотношение £ = рЕ. Оно показывает, что поле Е, возникшее из-за переходов |+〉1 |—), индуцирует дальнейшие переходы, изменяя величину △%.

Из уравнения (3.1) следует тождество

(3.7)(3.7)

(3.7)

(3.7)

связывающее между собой величины X и 2. Используя тождество

I (|р| +^2Р2) = /(Р2),

где《••〉означает усреднение по периоду 2tt/g, выражение (3.7) можно представить в виде

Зшс3Я

Усредняя аналогичным образом уравнение (3.6) и пренебрегая слагаемым W (этот момент будет рассмотрен ниже), получим соотношение

£ = —〈X〉.(3.9)

Усреднение величин X, W и р? ликвидирует у них вторые гармоники (с частотой 2g), приводя к рассмотрению медленно изменяющихся величин. У энергии гармоник нет, поэтому〈2〉= 2.

Введем беразмерные функции

〔制，2 =霏）（3」。）

и параметры

。弋片""瑞，Зh）

имеющие размерность [Т]-1. Тогда уравнения (3.8) и (3.9) можно переписать в более простом виде

e = 一80) 万=(3.12)

причем из второго выражения следует, что

止 + 空 6T = 72 = const, 72 = 1 + —,(3.13)

aa

поскольку e = ст = 1 при 力=0. Первое уравнение принимает вид

и подстановка е

= — ()2 —т = ^,(3.14)

=7 th и приводит к соотношениям

夕7 и = 7(т - г),(3.15)

ат

где т — постоянная интегрирования. В итоге получаем

2

£ = )thu,(3」6)

так что при и = 0, г = т реализуется максимальная мощность излучения и наиболее быстрое уменьшение энергии атомной системы (рис. 3.1).

Выясним физический смысл величин а, / и ^, входящих в решение (3.16). Прежде всего ясно, что при 力一＞ оо энергия должна стремиться 2 т —Nhu/2 и е т —1/ (1 — 2SN/N). Отсюда следует, что 7^1, и приближенно

G =

丁a《阳）=1 +丁， 7 = 2也丽，（3.17）

Рис. 3.1. Зависимости мощности излучения и энергии ансамбля от величины иРис. 3.1. Зависимости мощности излучения и энергии ансамбля от величины и

Рис. 3.1. Зависимости мощности излучения и энергии ансамбля от величины и

Рис. 3.1. Зависимости мощности излучения и энергии ансамбля от величины и

поэтому момент времени 力 когда излучение максимально, выражается как

(3.18)(3.18)1 ! N

(3.18)

(3.18)

力一一In .

a SN

Величина a определяет временной масштаб процесса. В частности, в начале высвечивания, когда е ^ 1, величина а ^ е2т = е°*. Последнее следует как из решения уравнения (3.16), так и непосредственно из соотношений (3.12). При обычном спонтанном излучении, когда каждый атом излучает сам по себе, а = e~ytгде и = 4G3d2/(ЗЯс3). Подставляя в первое выражение (3.11) значение /, находим

a = (7V — 257V) и ^ иN)a = (7V — 257V) и ^ иN)(3.19)(3.19)

a = (7V — 257V) и ^ иN)

a = (7V — 257V) и ^ иN)

(3.19)

(3.19)

т. е. кооперативное излучение изменяется во времени в N раз быстрее, чем спонтанное. Возвращаясь к размерным величинам и делая аналогичные аппроксимации, получим для кооперативного излучения

?⑴=3N63thu,(Х(方)〉==：h£' " =学(?一力)，(3・20)

в то время как при спонтанном излучении той же системы было бы

£⑴=NHu (с」〃力-j) , ^t) = N〃方ае」£(3.21)

т. e. при кооперативном излучении максимальное значение 夕 в 7V/4 раз больше, чем при спонтанном. Максимальная мощность излучения, пропорциональная N2, свидетельствует о том, что излучение всех атомов

сфазировано.

ссВ уравнении (3.9) мы пренебрегли слагаемым по сравнению £. Оценивая (W), предположим, что в объеме V величины Е и Р

с

с

одного порядка (здесь под Е понимается полное поле, а не только фазирующее). Тогда

(3.22)(3.22)

(3.22)

(3.22)

где = у —— — кооперативная частота атомной системы. Обычное < 1, и слагаемым〈匠〉действительно можно пренебречь.

Выше было введено однородное в объеме V поле Е, которое в дальнейшем было исключено и которое фазирует излучение атомов в данной системе. В классической теории осциллирующих электронов, которая будет рассмотрена дальше, это фазирующее поле фигурирует явно, вместе с тем появляются и дефазирующие поля.

Ближнее поле элементарного электрического диполя

Рассмотрим классическую задачу об излучении элементарного диполя р, направленного вдоль оси z. Опуская временной множитель е^“* можно вычислить поле диполя, исходя из вектора Герца с единственной составляющей

Пг ==,(；+/& — ｝衣"-^Зг2 + ...

На малых расстояниях г от диполя, при кг《\ (к = 2тг/А), можно ограничиться только выписанными слагаемыми. Составляющая Ez получается при к厂《1 в виде

EzEz也dz2也dz22n…2n…十^k2=兰 + ^1 + . . ) .(3.23)十^k2=兰 + ^1 + . . ) .(3.23)

Ez

Ez

也dz2

也dz2

2n…

2n…

十^k2=兰 + ^1 + . . ) .(3.23)

十^k2=兰 + ^1 + . . ) .(3.23)

Первое слагаемое в скобке при к —> 0 дает статическое поле диполя, при 厂一> 0 оно пропорционально 1/г3. Второе слагаемое пропорционально 1/г и в 1/(к厂)2 раз меньше первого. Третье слагаемое постоянно и, в отличие от первых двух, которые имеют реактивный характер, является активным, а именно находится в противофазе с током диполя. При использовании комплексных обозначений мощность, излучаемая током с плотностью j, равна

<^ = -| Re]j*EW,<^ = -| Re]j*EW,(3.24)(3.24)

<^ = -| Re]j*EW,

<^ = -| Re]j*EW,

(3.24)

(3.24)

где Е — комплексная амплитуда создаваемого этим током электрического поля. В данном случае] = —JcjpJ(r), поэтому согласно формулам (3.23) и (3.24)

4

что согласуется с соотношением (3.4), если учесть связь между средним

значением квадрата физической величины и ее комплексной ампли

тудой. В уравнения (3.1) и (3.3) входит полученное здесь однородное

активное поле Ez чинам имеет видактивное поле Ez чинам имеет видкоторое при переходе к физическим вели-

активное поле Ez чинам имеет вид

активное поле Ez чинам имеет вид

(3.26)

При △% = —1 и Nr = /, когда имеется один упруго связанный электрон, уравнения (3.1) и (3.2) принимают вид

Р + 幻2P = р.(3.27)

Правую часть уравнения можно записать в виде —z/p, где и — коэффициент затухания осциллирующего электрона по энергии, который равен

" _ 2九232 _ 433黯Зшс3 ЗЯс3

В квантовой электронике основным дефазирующим полем является первое слагаемое в формуле (3.23) — квазистатическое дипольное поле (диполь-дипольное взаимодействие между атомами, силы Ван дер Ва- альса (см. [3])), которое гораздо сильнее (в 1/(kr)3 раз) фазирующего поля (3.26). В малых объемах влияние этого поля сказывается в смещении частот различных атомов (в зависимости от их расположения в объеме), а при симметричном расположении атомов — в смещении частоты атомной системы как целого [3]. В больших объемах все атомы находятся в одинаковых условиях (за исключением относительно малого числа атомов в приповерхностном слое толщиной А), однако при этом необходимо учитывать распространение волн. В полуклас- сической теории дефазирующие поля автоматически отбрасываются, поскольку при усреднении величины рЕ, фигурирующей в формулах (3.3) и (3.7), по периоду 2tt/g они дают нуль.

В вакуумной электронике дефазирующие поля имеют другую природу, что будет рассмотрено далее.

Кооперативное излучение осциллирующих электронов(линейная теория, численные результаты)

Рассмотрим систему электронов-осцилляторов в малом объеме V. Электроны осциллируют с частотой g в направлении оси z, их энергия велика по сравнению с величиной 方g, поэтому классическая теория полностью применима.

По аналогии с формулой (3.23) ближнее поле каждого электрона представляется как сумма трех слагаемых

cos" 1 +cos? ,2,

где z (力)—мгновенное положение электрона, г — расстояние точки наблюдения до него,斤—угол между осью и направлением от электрона к этой точке. Выражение (3.29) строго выводится из потенциалов Льенара-Вихерта [4], но в нашем случае достаточно воспользоваться соотношением (3.23), заменяя в нем комплексные амплитуды физическими величинами, полагая р(力)=ez(力)и, кроме того, учитывая в первом слагаемом отличие поля заряда от поля диполя. Первое слагаемое — это просто квазистатическое кулоновское поле, пропорциональное 1/г2. Второе слагаемое, пропорциональное 1/厂,есть поле электромагнитной индукции и дает электромагнитную поправку Am к массе электрона. После интегрирования по объему электрона (предполагаемому конечным) получается инерциальное слагаемое — —Am^(t)/в. Третье слагаемое, в соответствии с формулами (3.23) и (3.26), имеет вид

= ^牙⑴，(3.30)

а уравнение движения электрона под действием этого поля имеет вид

分 + © Z =力(3.31)

где

te =箜=6,27 • 10-24 с, г。= £ = 2,82 • 10—13 см 岱.32)

3mc 3cme

—классический радиус электрона. Вследствии малости времени te в правой части уравнения (3.30) 'z можно заменить на —幻？乞，после чего общее решение уравнения (3.30) примет вид

z = ае-""2 COS (g0力 + 9),"2力g0 =，g2 -(〃/2)2

(3.33) где а и 夕一постоянные интегрирования. Формула (3.33) показывает, что энергия электрона уменьшается как e~yt вследствие высвечивания, что дает так называемую естественную ширину линии.

В системе электронов-осцилляторов, заполняющих объем V, кулоновское поле каждого электрона дает нам поле постранственного заряда, которое в вакуумной электронике учитывается только тогда, когда оно явно и сильно влияет на фазировку, например, в приборах с прямолинейными электронными пучками или в приборах магнетронного типа. Фазировка осцилляторов не сопровождается образованием сгустков (см. лекцию, посвященную приборам с криволинейными электронными потоками), поэтому пространственный заряд в расчетах можно не учитывать.

Поле электромагнитной индукции в нерелятивистской вакуумной электронике вообще не принимают во внимание, поскольку оно значительно слабее — имеет порядок v2/c2 = ш2а2/с2, где v = ша — максимальная скорость электрона. Однако здесь необходимо учитывать, что, во-первых, это поле, как и поле пространственного заряда,

является реактивным, и, во-вторых, возрастает по мере фазировки (оно пропорционально N〈分〉=—з?N〈z〉). Его влияние сложно учесть.

Здесь существенно, что дефазирующие поля определяются не парными взаимодействиями (т. е. столкновениями, которыми в вакуумной электронике можно пренебречь), а усредненным распределением зарядов и токов в объеме V. Учет дефазирующих полей крайне осложняет теорию, поэтому не будем их рассматривать, как это и делается в по- луклассической теории и в теории индуцированного излучения.

Остается только поле, обусловленное излучением. Для одного электрона оно определяется соотношением (3.30), а для N электронов

Е% = N〈勿))⑶k = 1, 2,. . ., TV. (3.34)

Поскольку поле (3.30) не зависит от расстояния (при g厂/с《1), то будем учитывать только это третье — фазирующее — поле, пренебрегая первым и вторым, которые являются дефазирующими.

Учитывая только фазирующее поле (3.34), для ансамбля N электронов можно записать систему уравнений

zk+^2zk = —N〃〈盼，(3.35)

из которой следует, что величина〈z〉, определяющая дипольный момент электронной системы, удовлетворяет уравнению

⑶ +幻2 ⑶=-Ny{z} ,(3.36)

т. e. релаксирует по закону e-N“*/2 тем быстрее, чем больше электронов. Здесь уже проявляется кооперативный эффект, однако при этом не происходит эффективного превращения колебательной энергии электронов в электромагнитное излучение: начальная модуляция быстро исчезает, после этого〈z〉= 0, и каждый электрон колеблется независимо от других в соответствии с формулой (3.33).

Иные результаты получаются для слабонелинейных осцилляторов, у которых частота колебаний зависит от энергии (неизохронные осцилляторы) и имеются сравнительно слабые высшие гармоники. Неизохронность можно ввести, добавляя в правую часть уравнения (3.35) кубическую нелинейность, т. е. рассматривая систему уравнений вида

況 + g2〃 + 从必=⑶.(3.37)

Введем вместо величин Zk комплексные безразмерные переменные с^ по формуле

〃 =a Re (cke-^Qt) ,(3.38)

где а — начальная амплитуда колебаний (как и в формуле (3.33)),幻。— начальная частота, которая зависит от амплитуды а. Затем частота изменяется вместе с изменением |с^| (|с^| = 1 при 力=0). В выражении (3.38) не учтены высшие гармоники, нас не интересующие. Принимая

во внимание малость нелинейности и затухания, а также медленность изменения с^, с помощью либо метода усреднения, либо метода разделения частот [5] нетрудно преобразовать уравнения (3.37) к виду

放 + j^kck = -；N^〈。,⑹=^7 £ 以， (3.39)

где Acj^ = aecjo (|c^ |2 — 1) — смещение частоты из-за нелинейности, ае = =3/za2/(8cJq) — коэффициент неизохронности. В соотношении (3.38) выделен множитель e~3^Qi с начальной частотой 幻。(тогда △幻店=О при |с^I = 1). Если же выделить множитель ^一^必*, то уравнения (3.39) будут применимы, но в последнем случае △幻店=卍回以产(тогда △з —> —> 0 при 〃 —> 0).

Вводя безразмерные параметры

t = ；N〃力，J =爵，(3.40)

уравнения (3.39) можно переписать в более простой форме

+ j0 (|с^|2 — 1) с^ = — (с) ,(3.41)

содержащей параметр J, который может принимать как положительные, так и отрицательные значения. При J = 0 возвращаемся к линейным осцилляторам, т. е. к уравнениям вида d (с) /dr = — (с). В этом случае начальная модуляция затухает пропорционально е~т. При J 济 =0 из системы уравнений (3.41) вытекает тождество

^〈|с|2〉= —2| ⑹匕〈02〉= ^£02,(3.42)

к

являющееся законом сохранения энергии. Действительно, энергия электронной системы £ и мощность излучения〈X〉даются выражениями

2 =2a2 £ |с^|2 = ^-Nm(v2a2〈|с『〉，(3.43)

к

£ = ^|享-。2 ( (Re £〃е"з。) ) = ^%2"加32a2|〈с)『，(3.44)

поскольку энергия каждого электрона равна ^Nm(v2a2\ck |2, а дипольный момент, им создаваемый, равен еа Re (с^в-^0^). Величины £ и〈X〉 в соответствии с тождеством (3.42) связаны соотношением

£ = —〈£〉，(3.45)

совпадающим с выражением (3.9). Как и в квантовой электронике, энергия электронной системы (пропорциональная 〈|с『〉) монотонно убывает, причем〈|с『〉=1 при 力=0.

Систему уравнений (3.41) разумно решать численно при следующих начальных условиях:

Ck = 厂海卜(1 COS 3k),

(3.46) ⑹-沦/2

при 丁 = 0,夕店=2тгк/7И, k = 1, 2M. Здесь М — число «крупных» частиц, которые в численном расчете заменяют N реальных электронов. При г = 0 частицы почти равномерно распределены по фазам и подвергнуты слабой модуляции с глубиной модуляции 5。《1. Из этой начальной затравки развивается кооперативное излучение. Заметим, что при численном расчете можно положить 5。= 0, тогда излучение возникает (при достаточно больших J) из численного шума подобно тому, как в реальной электронной системе оно возникает из некогерентного спонтанного излучения электронов.

Индуцированное излучение осциллирующих электронов, подробно исследованное в лекции 1 первого тома (см. также [6-8]), возможно только в случае нелинейных (неизохронных) осцилляторов. Примером такого осциллятора является электрон в однородном магнитном поле при учете релятивизма. Кооперативное излучение также реализуется только в системе нелинейных осцилляторов, причем уравнения (3.41) применимы и к электронам в магнитном поле.

Система линейных осцилляторов в однородном поле не способна к фазировке, т. е. к индуцированному или кооперативному излучению. Причина лежит в принципе суперпозиции, выполняющемся для линейных систем. Внешнее поле раскачивает их, тратя свою энергию, вне зависимости от их собственных колебаний, поэтому вместо индуцированного излучения имеет место лишь поглощение. Индивидуальное движение каждого электрона, описываемое уравнением (3.33), и кооперативное движение согласно уравнениям (3.35) и (3.36) накладываются друг на друга, не взаимодействуя. Лишь благодаря нелинейности и нарушению принципа суперпозиции происходит взаимодействие, ведущее к фазировке, т. е. к когерентному излучению — индуцированному или кооперативному.

Фазировка обусловлена неизохронностью осцилляторов, т. е. зависимостью частоты колебаний от их амплитуды. В простейшем случае эта зависимость такая же как в формуле (3.39). Аналогичная зависимость будет для электронов, вращающихся в постоянном магнитном поле. Действительно, двумерное уравнение движения электрона в плоскости ху)перпендикулярной направлению магнитного поля В, имеет вид [8]

z + (l--^\z\2}z = tez\ (3.47)

где z = х + jy — комплексная координата электрона,幻^ = 〃石— циклотронная частота, а выражение в скобках — релятивистская поправка к частоте, предполагаемая малой. Реакция излучения, стоящая в правой части уравнения (3.47), имеет составляющие te'x и tey и при переходе к комплексной координате z может быть записана как —и%, где и =幻^力е・ Для N электронов в малом объеме уравнение движения можно записать как

(3.48)(3.48)Zk + j^c (1 一 今设&『)況=Nte ⑺•

(3.48)

(3.48)

Введем медленно меняющиеся функции 〃(т) в соответствии с формулой

況=-jcjcacke~J^ot況=-jcjcacke~J^otg0 = Gg0 = G(3.49)(3.49)

況=-jcjcacke~J^ot

況=-jcjcacke~J^ot

g0 = G

g0 = G

(3.49)

(3.49)

где а — радиус окружностей, по которым движутся электроны в начальный момент времени. Тогда приходим к уравнениям (3.41), где медленное время т и параметр J определяются соотношениями

2 2

Т = * = NM "册=需，卫-器，(3・5。) а вместо выражений (3.43) и (3.44) имеем

£ = ^Nm^a2 |(с)|2 , X = N2итз^⑹『. (3.51)

Видно, что в данной задаче роль частоты g берет на себя циклотронная частота Зс> причем небольшие отличия формул (3.49)—(3.51) от соответствующих формул для осцилляторов объясняются тем, что движение двумерное. Знаки ае и ^ не имеют значения, поскольку при замене 0 на —0 функции 〃 переходят в % а все энергетические величины остаются без изменений. Поэтому всегда можно считать, что J〉0.

Еще один пример применения уравнений (3.39) и (3.41) — это колебания в генераторе Баркгаузена-Курца (см. предыдущую лекцию). Если внешний контур в этом генераторе резонансный, то эти колебания дают индуцированное излучение, в противном случае — только кооперативное. Заметим также, что потенциальная яма в триоде сильно отличается от параболической, поэтому зависимость Acj^(|c^|2) более сложная и уравнения (3.39) и (3.41) дают лишь грубую ориентировку.

Система уравнений (3.41) не поддается аналитическому решению, но некоторые аналитические выводы из нее можно сделать без численных расчетов. Эта система имеет тривиальное решение с^ = ^一^夕卜, (с) = 0, которое неустойчиво — малые начальные возмущения вида (3.46) экспоненциально нарастают. Это следует из линейной теории. Построим ее, следуя работам [9,10].

Положим

〃 =/ =獄 +八3 IGK I (3.52)

и, оставляя только линейные по《店 члены, преобразуем систему (3.41) к виду

е「^ 嘗 + 2j0e~^Ck =—⑹，⑹=(e'^0 = ^£ …

(3.53)

Из последнего соотношения получаем два выражения

今? +2泌〈£；℃ = —⑹,今? +2泌〈£；℃ = —⑹,(3.54)(3.54)

今? +2泌〈£；℃ = —⑹,

今? +2泌〈£；℃ = —⑹,

(3.54)

(3.54)

из которых следует, что

与9 + 2沔" dr\与9 + 2沔" dr\d〈。d〈。(3.55)(3.55)

与9 + 2沔" dr\

与9 + 2沔" dr\

d〈。

d〈。

(3.55)

(3.55)

= -Re {(c) Uf.

Учитывая соотношение

(e-^Re {(c) e^fc}) = ^⑹

и комбинируя формулы (3.55), приходим к линейному уравнению

管+泌⑹=0(3.56)

dr dr

для величины (с), определяющей дипольный момент электронной си

стемы. Это уравнение имеет решение вида е", где

q2 + q — / = о, 九2 =—扌土 »1 + 4泌(3.57)

и

Re^i = -| + J(a/1 + 16J2 + i) /2〉0, Re42 < 0.(3.58)

12*

Экспонента exp [qir] всегда возрастает, причем Re Qi — монотонно возрастающая функция |^|. В предельных случаях

Re Qi =，制/2 при |^|》1, Re 41 =俨 при |J|《1. (3.59)

Безразмерное время г в квантовой и классической задачах имеет один и тот же смысл, но в квантовой электронике дипольный момент согласно линейной теории пропорционален ехр [г], а в классической показатель экспоненты зависит от параметра 仇 Кроме того экспоненциальное нарастание реализуется лишь при | ехр [夕2丁] |《1・ Наличие дополнительного параметра J, зависящего как от числа электронов N) так и от коэффициента неизохронности ае, усложняет все зависимости. Если бы этого параметра в уравнениях (3.41) не было, то характерное время высвечивания было пропорционально 1/N, а максимальная мощность излучения — пропорциональна N2 (см. формулы (3.20) для квантовой задачи и формулы (3.40), (3.43) и (3.44) для классической).

Параметр J, сам зависящий от числа электронов N〉изменяет законы 1/N для времени и N2 для мощности, но не они являются определяющими для кооперативного излучения. Определяющим является фазирующее действие ближнего поля — оно одно и то же в квантовой и классической электронике.

Линейные уравнения (3.56) относятся к начальной стадии кооперативного излучения. В конечной стадии величины |。店『 и〈|с『〉обычно невелики, поэтому из уравнений (3.41) следуют приближенные линейные уравнения

_〈с〉， ат

(3.60)

соответствующие гармоническим осцилляторам, колеблющимся с бесконечно малой амплитудой. Из последнего соотношения следует, что величина | (с) |2 убывает как е~2т. Поэтому после достижения своего максимума величина | (с) |2 быстро спадает, а согласно тождеству

величина, определяющая энергию осциллирующих электронов, стремится к постоянному пределу, в общем случае отличному от нуля. Поэтому эффективность излучения в отличие от квантовой электроники получается из уравнений (3.41) меньше единицы, хотя при больших J приближается к ней (рис. 3.2).

Уравнения (3.41) не учитывают других видов излучения. Так, после прекращения дипольного излучения (пропорционального | (с) |2) определяющим будет квадрупольное и высшие мультипольные излучения, гораздо более слабые, а кроме того, всегда будет спонтанное излучение каждого электрона в отдельности. Благодаря этим более медленным процессам излучение будет продолжаться вплоть до полного ох л аж де-

Рис. 3.2. Зависимости величин | (с) |2 (безразмерной мощности излучения) и (|с|2) (безразмерная энергия осцилляторов) от медленного времени т

ния электронной системы. Вместе с тем дефазирующие поля, препятствующие формированию когерентного излучения при малой начальной модуляции I (с) I <С 1 ускоряют распад кооперативного состояния, когда величина (с) опять становится малой.

Рассмотрим теперь результаты численного решения системы нелинейных уравнений (3.41) с начальными условиями (3.46). Типичные графики для величин 2| (с) |2 (безразмерная мощность излучения) и 2 (|с|2^ (безразмерная энергия осцилляторов) при различных значениях 0 представлены на рисунках 3.2 и 3.3. Расчеты показывают, что параметр 5°, определяющий начальную модуляцию, слабо влияет на процесс излучения. При уменьшении 5。происходит незначительное возрастание времени, необходимого для формирования кооперативного состояния ансамбля электронов-осцилляторов. Как уже было сказано выше, кооперативное излучение может возникнуть и при 5。= 0 из машинного шума, однако, в этом случае процесс сильно зависит от применяемого численного метода.

Рис. 3.3. Численный расчет зависимостей величин | (с) |2 и (|с|2) от медленного времени т

Решение системы (3.41) зависит от числа крупных частиц М. Однако при М > 24 дальнейшее увеличение числа частиц практически не сказывается на форме кривых 2| (с) |2 и〈|с『〉при г < г, где соответствует максимуму кооперативного излучения. Зависимость от М существенно более существенна после прохождения максимума, когда

излучение уже незначительно.

Как и следовало ожидать, при увеличении J, т. е. в случае сильной нелинейности, время установления кооперативного состояния уменьшается, а мощность излучения возрастает. Зависимость максимальной безразмерной мощности излучения 2| (с) |^ах и безразмерного времени г от ^ представлены на рис. 3.4. Все зависимости построены для М = =36 и Jq = 0,05.

Величина т, логарифмически зависящая от 5°, определяет время формирования кооперативного состояния. При г < г происходит фази-

Рис. 3.4. Численный расчет зависимостей максимальной безразмерной мощности излучения 2|〈с〉|^1ax и времени т достижения максимума кооперативного излучения от величины еРис. 3.4. Численный расчет зависимостей максимальной безразмерной мощности излучения 2|〈с〉|^1ax и времени т достижения максимума кооперативного излучения от величины еровка электронов, осциллирующих в вакууме, под действием ближнего поля, создаваемого самими электронами. После быстрого высвечивания при г « т электроны, отдавшие значительную часть запасенной энергии, переходят в состояние с суммарным дипольным моментом, близким к нулю. Это иллюстрирует рис. 3.5, на котором показаны мгновенные положения осцилляторов на фазовой плоскости в начале фазировки (рис. 3.5 а), в максимуме излучения (рис. 3.5 б) и при последующей дефазировке (рис. 3.5 б). Первоначально

Рис. 3.4. Численный расчет зависимостей максимальной безразмерной мощности излучения 2|〈с〉|^1ax и времени т достижения максимума кооперативного излучения от величины е

Рис. 3.4. Численный расчет зависимостей максимальной безразмерной мощности излучения 2|〈с〉|^1ax и времени т достижения максимума кооперативного излучения от величины е

электроны-осцилляторы распределены на окружности единичного радиуса с небольшим (5。= 0,05) сгущением вблизи фазы g = 0 и g = тг. Расчеты проводились при 7И = 48 и J = 1.

Приведенные выше результаты показывают, что в отличие от двухуровневых атомов (см. рис. 3.1) кооперативное излучение прекращается, когда электроны еще осциллируют. При расчетах считалось, что излучение прекращается при т = 7 = 50,0. Введем величину

У1 м

〃 =2 ] I〈с ⑺〉|2^ = 1-(|с(Т)|2) = 1 —备 £ |〃(7)匕(3.61) 0

Рис. 3.5. Мгновенные положения осцилляторов на фазовой плоскости в различные моменты времениРис. 3.5. Мгновенные положения осцилляторов на фазовой плоскости в различные моменты времениявляющуюся эффективностью кооперативного излучению, и величину

Рис. 3.5. Мгновенные положения осцилляторов на фазовой плоскости в различные моменты времени

Рис. 3.5. Мгновенные положения осцилляторов на фазовой плоскости в различные моменты времени

2| (с) |Lx

(3.62)(3.62)определяющую длительность излучаемого импульса, т. е. ширину прямоугольного импульса с той же энергией. Зависимости этих величин от J для М = 36 и Jq = 0,05 приведены на рис. 3.6. Эти зависимости пока

(3.62)

(3.62)

зывают, что увеличение параметра J укорачивает импульс излучения и увеличивает эффективность излучения, хотя форма импульса при этом усложняется. При уменьшении величины J кооперативное излучение уменьшается и становится близким к нулю.

Параметр 仇 согласно формуле (3.40), есть отношение двух величин — аес^о и Nu/2. Первая из величин определяет полосу частотной перестрой-

Рис. 3.6. Зависимости величин эффективности 〃 и длительности импульса Дт кооперативного излучения от величины 0Рис. 3.6. Зависимости величин эффективности 〃 и длительности импульса Дт кооперативного излучения от величины 0ки неизохронных осцилляторов при изменении их амплитуды от \ск\ = 1 до \ск\ = 0. Вторая величина согласно уравнению (3.36) представляет собой коэффициент затухания синфазных колебаний в электронной системе. Если затухание слишком велико, то неизохронность не успевает фазировать электроны. Возникающий небольшой дипольный момент системы электронов-осцилляторов быстро стремится к нулю.

Рис. 3.6. Зависимости величин эффективности 〃 и длительности импульса Дт кооперативного излучения от величины 0

Рис. 3.6. Зависимости величин эффективности 〃 и длительности импульса Дт кооперативного излучения от величины 0

Таким образом, в отличие от кооперативного излучения двухуров

невых атомов, излучение электронов-осцилляторов характеризуется более сложными свойствами. Хотя на основании соотношений (3.40),

и (3.44) для т и〈X〉следовало бы ожидать, что длительность излучаемого импульса будет пропорциональна 1/N, а максимальная мощность излучения — пропорциональна N2, фактические закономерности иные, поскольку безразмерные величины Дт и 2| (с) |^ах зависят от параметра 仇 который сам также зависит от N. Заметим, что эта зависимость (см. рис. 3.4 и 3.6) более слабая, но все же об излучении, аналогичном излучению двухуровневых атомов можно говорить лишь в ограниченном интервале значений J G (0,1,10,0). Безразмерные величины тит] также зависят от 仇

Приведем некоторые оценки из работы [9]. Для электронов в магнитном поле положим А = 0,1 м, тогда Яо = 8 • 104 А/м и V < 10-3 м. Если Зс&Iс = 0,1, то по формуле (3.50) ае = 5 • 10-3 и Л^ = 4 • 1О10/^, а по формуле (3.51) энергия, запасенная в электронной системе £ = =1,7 • 10-5 Дж. При 0 = 1 эта энергия излучается за время △力=70 нс, Хтах = 0,12 кВт, 〃 ^ 0,5. Оценки для других значений J можно дать с помощью рис. 3.4 и рис. 3.6.

Индуцированное излучение, имитирующеекооперативное

Индуцированное излучение в квантовой или классической электронике происходит под действием не ближних, а дальних внешних полей. Наиболее типичный случай — индуцированное излучение в поле одного из собственных колебаний объемного или открытого резонатора. Движение нелинейных электронов-осцилляторов в этом случае определяется уравнением (аналогично соотношению (3.37))

Zk + 幻2〃 + 从必=^Ez)(3.63)

где

E = Re {Cs^se~^Qt}(3.64)

—поле резонатора, колебания которого имеют комплексную частоту Gs =此一Jcj^. Зададим Zk в виде (3.38), воспользуемся уравнением возбуждения резонатора (см. лекцию 1 первого тома) и введем вместо Сs нормированную функцию

Cs = gcs,& =2a2’(з.65)

где 2。一 начальная энергия электронной системы. Ее энергия £ в произвольный момент времени, электромагнитная энергия Ws и мощность излучения в резонатор определяются по формулам

£ = &〈|с|2〉，％ = 201csi2, 优〉=2/%.(3.66)

Для функций Ck и cs получается следующая симметричная система уравнений

^к + ^△G店以=^GgCs, △^fe — 36公0 (|以『-1) ,(3.67)

々s + jАзs，s = /幻4〈'〉， AGs = 3s —幻0,(3.68)

где

…厂(3.69)

q V €OmVe0Ns [E： dU

ujp — плазменная частота пучка, К — коэффициент связи электронной системы с резонатором, Ns — норма резонаторного колебания с индексом s, Es^z — составляющая резонаторного поля, действующая на колебания электронов.

Если теперь ввести безразмерное время г и безразмерные параметры § = У — ”〃，е и J гю формулам

彳=£幻0 力，Gs = Go(l + e§),^= —, e =(3.70)

то приходим к уравнениям

需 + jo (\ck^ -l)ck= "s,(3.71)

U+”Cs=〃c〉・ (3.72) ar

Поскольку параметр e, который естественно назвать параметром усиления, пропорционален \4^, безразмерное время г и параметр J содержат соответственно множители，7^ и 1/，?^ вместо N и 1/N в выражениях (3.40). Зависимость мощности излучения от N, которая пропорциональна |cs|2, также иная.

На рис. 3.7 показана зависимость величин |cs|2 и 2| (с) |2 от г при ^ = 1, найденная в результате численного моделирования. Расчеты проводились для М = 36, cs(0) = 0,05, с^(0) = “кк/м,衣=1, 2,. . ., М. Как и при кооперативном излучении, на начальном этапе происходит фазировка электронов-осцилляторов, но уже под действием резонаторного поля. После относительно быстрого высвечивания электроны начинают отбирать энергию у поля, а потом энергообмен много раз меняет знак, и функция |cs|2 испытывает сильные колебания, которых нет у кооперативного излучения, сразу покидающего электронную систему.

При условиях §〃》§「§〃》1, когда резонаторное колебание быстро затухает (в масштабе безразмерного времени г), индуцированное излучение по своим свойствам становится похожим на кооперативное. В частности, зависимость энергетических характеристик от числа N

Рис. 3.7. Зависимости величин |с$『и 2| (с) |2 от тРис. 3.7. Зависимости величин |с$『и 2| (с) |2 от т

Рис. 3.7. Зависимости величин |с$『и 2| (с) |2 от т

Рис. 3.7. Зависимости величин |с$『и 2| (с) |2 от т

(3.73)(3.74)(3.73)(3.74)будет одинаковой. При этом, излучение остается индуцированным, а добротность резонатора может быть достаточно высокой — она должна лишь удовлетворять условию Qs《1/2е. В этом случае функции cs и (с) связываются простым соотношением cs = (с) /§〃, в силу чего для Ck справедливы уравнения

(3.73)

(3.74)

(3.73)

(3.74)

атЕ

которые после введения новых величин

€ 4g3q

совпадут с уравнениями (3.40). Поскольку величина 幻^ пропорциональна N, зависимость т от N п 0 от ^e/N будет такая же, как в выражениях (3.40). Такое индуцированное излучение естественно назвать псевдоко- оперативным.

В электронной системе, помещенной в резонатор, возникают как ближние, так и дальние фазирующие поля. Соотношения между ними

при §〃》§「§》1 определяются безразмерным параметром

х=—— 3qх=—— 3q1 J『1 J『3^0? "?К，3^0? "?К，(3.75)(3.75)

х=—— 3q

х=—— 3q

1 J『

1 J『

3^0? "?К，

3^0? "?К，

(3.75)

(3.75)

который может быть как малым, так и большим. При 死《1 преобладает псевдокооперативное излучение, при 死》1 — кооперативное. Их одновременный учет приводит к уравнениям (3.41), в которых

(3.76)(3.76)£〃® _ 4aeo?o^s，

(3.76)

(3.76)

1 + " (1 + ”储

Из уравнений (3.41) следует тождество (3.42), приводящее к соотношению

£ = —〈R〉— 0〉,(3.77)

где £ и〈X〉определяются выражениями (3.43) и (3.44), а

优)=2/% = 2以g1*2 = 1 0〉(3.78)

есть мощность потерь, т. е. мощность, которая тратится на омические потери, отдается в нагрузку и излучается в открытое пространство (если резонатор открытый).

Соотношение (3.77) показывает, что оба вида излучения не смешиваются: псевдокооперативное излучение поддерживает резонаторное колебание, а кооперативное существует само по себе, как подобает спонтанному излучению.

Из всего вышесказанного следует, что точное выполнение законов 1/N и N2 для кооперативного излучения не обязательно: необходимо лишь формирование когерентного состояния под действием ближних полей и его быстрое высвечивание (гораздо более быстрое по сравнению со спонтанным излучением).

Теоретическое и экспериментальное исследованиегенерации импульсов сверхизлучения. Циклотронноеи черенковское сверхизлучение

Первые экспериментальные наблюдения сверхизлучения в СВЧ-диапазоне были сделаны при исследовании сгустков электронов, вращающихся в магнитном поле [11, 12]. Кооперативное излучение в такой системе принято называть циклотронным сверхизлучением [13]. В работах [13,14] было показано, что для режима циклотронного сверхизлучения наиболее благоприятен режим синхронизма, когда поступательная скорость электронов близка к групповой скорости электромагнитной волны, распространяющейся в электродинамической системе 少「р =少° (групповой синхронизм). Такая ситуация

возможна в случае касания дисперсионных кривых волны g? — с2 k2 = =G^p и электронного потока ш — v^k = шс (рис. 3.8 а) 1).

Рис. 3.8. Дисперсионная диаграмма, иллюстрирующая режим группового синхронизма в лабораторной (а) и подвижной (б) системе координат

В случае группового синхронизма, во-первых, увеличивается частота циклотронного сверхизлучения, а, во-вторых, повышается инкремент сверхизлучательной неустойчивости. Ниже рассмотрим это более подробно.

Важно также отметить, что в собственной системе отсчета, где сгусток как целое покоится, режим группового синхронизма соответствует излучению на квазикритической частоте и поэтому обладает рядом достоинств, характерных для электронно-волнового взаимодействия в гиротронах, где, как известно, рабочая мода также возбуждается на квазикритической частоте (см. лекцию 1(16)). В частности, при излучении на квазикритической частоте происходит снижение чувствительности процессов сверхизлучения к разбросу параметров электронов, включая чувствительность к продольной динамике сгустка, вызванной кулоновским расталкиванием и различием начальных скоростей электронов.

Рассмотрим подробнее теорию циклотронного сверхизлучения в условиях группового синхронизма [15]. При касании дисперсионных кривых электродинамической структуры и электронного пучка выполняется следующее соотношение между частотой отсечки волновода о；кр и релятивистской гирочастотой шс\

^кр = У\\^с,

где 7ц = 1/，] — ®0/с)2 ,。丄 =/丄с — вращательная скорость электронов. Соответственно, частота излучения равна

G =廟g一

Условие группового синхронизма может реализоваться также при движении электронного сгустка в диспергирующих средах, например, в однородной плазме.

Поэтому для ультрарелятивистских электронов-осцилляторов частота излучения может существенно превысить частоту их собственных колебаний.

Проведем анализ процессов в сгустке электронов-осцилляторов в системе отсчета, движущейся вместе с электронами со скоростью 少°. Используя преобразования Лоренца, несложно увидеть, что в подвижной системе отсчета волновое число к' и поперечная компонента магнитного поля "1 равны нулю, и необходим анализ излучения ансамбля неподвижных циклотронных осцилляторов на квазикритической частоте о；кр (см. рис. 3.8 6).

Если предположить, что распределение поля излучения в сечении системы совпадает с распределением поля волноведущей структуры Е](г丄),то электрическое поле можно представить в виде

Е‘ = Re {е](г丄)А(У,，"汝кр' } .(3.79)

Вводя безразмерные переменные: амплитуду поля а = / 2ед,、

= I 芋)еЛп—1(Н№кр/с), поперечную скорость электронов \тса?кр«丄 о /

/ =(妳 + /%) /Мо, продольную координату Z = z'Р'^ш^/с и время т =力'/，0Gc/2 запишем математическую модель, описывающую процесс циклотронного сверхизлучения, в виде [14]

» 鳶=2M(Z)G ,(3.80)

|^+^(网2 一△一1)=汝(3.81)

Здесь уравнение (3.80) описывает эволюцию продольного распределения электрического поля, уравнение (3.81) — азимутальную автофази- ровку электронов-осцилляторов, △ = 2(g[ — с^Кр)/^с^±о — отстройка невозмущенной циклотронной частоты от частоты отсечки (в подвижной системе координат),

G — 1 е/。1 犬 丿工一1 (KWkp/c)

27r me3 /3^o/5цо7ц 万# J工(〃П)(1 一 川/项

—структурный фактор, записанный в предположении, что электронный сгусток имеет трубчатую форму с радиусом 冗匕,/° — полный ток электронного пучка, А = 2тгс/о；кр = 27rHz/九,R — радиус волновода, т — азимутальный индекс волноводной моды, ип — n-й корень уравнения J^⑺=0, Jm — функция Бесселя n-го порядка, /(Z)— распределение плотности электронов вдоль продольной координаты, 〈...〉夕° обозначает усреднение по начальным фазам 夕。.

Уравнения (3.80) и (3.81) должны решаться при следующих начальных условиях (аналогично соотношению (3.46)):

3(т = 0) = и•(夕o+bocos<M,^0 е [0,2тг], а(т = 0) = 0, (3.82)

которые отвечают почти равномерному распределению электронов по фазам циклотронного вращения со слабой начальной модуляцией с глубиной 5。《1.

Предполагая, что протяженность b в продольном направлении электронного сгустка мала, т. е. имеет место выполнение условия Ъ^\\/сХТ1《1, функцию / можно представить в виде /(Z)= =/[。匕飞陷Kpb(Z)/c [14, 16], где b(Z) — дельта-функция, Т'— характерное время развития циклотронной сверхизлучательной неустойчивости.

Рассмотрим линейную стадию развития циклотронной сверхизлучательной неустойчивости. Для этого представим излучаемое поле в виде

a(Z, г) = a^e~^T^T+kw\z^(3.83)

и линеаризуем систему уравнений (3.80)—(3.82). Тогда получаем следующее характеристическое уравнение:

川?，□ + △十 2GQ = 2G,(3.84)

где G = GB)В = ^Io^H^kp/6 — толщина электронного слоя. Решение уравнения (3.84) определяет собственные частоты слоя электронов-осцилляторов, которые, как несложно видеть, являются комплексными. При условии G《1, что соответствует малой плотности электронов в сгустке, в режиме группового синхронизма, когда Д = 0, уравнение (3.84) имеет единственное решение

(2G)2/5exp (;^) ,(3.85)

соответствующее возбуждению нарастающей во времени моды с инкрементом Im Q =(2G) sin (^) и с потоком электромагнитной энергии, направленной от сгустка на периферию (Re /〔 > 0). Соотношение (3.85) получено в пренебрежении вторым слагаемым в уравнении (3.84), ответственным за циклотронное поглощение. В размерных переменных инкремент циклотронной сверхизлучательной неустойчивости равен |ImJ1 =2-3/5屮呜(当产，:f也/：)(3.86) 5 \тс Рцо 7гЯ

Из последнего соотношения следует, что сверхизлучение носит беспо- роговый характер, обусловленный бесконечным временем жизни электронов-осцилляторов в области взаимодействия с электромагнитным полем.

Наличие положительного электронного сдвига частоты (Re Q = =(2G)/ cos (^) 〉0) приводит к тому, что даже при нулевой расстройке от точного группового синхронизма (△ = 0) частота излучения превосходит критическую частоту. В результате действительная часть

Рис. 3.9. Зависимость от параметра расстройки △ реальной и мнимой части продольного волнового числа 乃川(а), инкремента и сдвига частоты (б) при

G = 0,005

продольного волнового числа становится положительной. Это означает, что под влиянием электронной перестройки групповая скорость также становится отличной от нуля, и возникает поток энергии из электронного сгустка.

Зависимости нормализованного инкремента Im Q, электронного сдвига частоты Re Q, действительной и мнимой частей продольного волнового числа /〔 =，П + △ от величины расстройки △ показаны на рис. 3.9. Из рисунка видно, что отстройка от режима группового синхронизма ведет к падению инкремента развития неустойчивости. При этом, если в области отрицательных расстроек (g[ < cjKp) неустойчивость обрывается, то в области положительных расстроек (g[〉о；кр) неустойчивость существует при сколь угодно больших Д, хотя с ростом параметра △ величина инкремента плавно уменьшается.

Рис. 3.10. Зависимость от времени т квадрата модуля амплитуды а (а) и электронного КПД (б): 1 — в режиме группового синхронизма (△ = 0); 2 — при отстройке частоты от группового синхронизма (△ = 1) при G = 0,005

Исследование нелинейной стадии развития циклотронного сверхизлучения в работе [14] проводилось с помощью численного решения системы уравнений (3.80)—(3.82). Результаты расчетов представлены на рис. 3.10, на котором изображена зависимость от времени квадрата амплитуды \а^ поля излучения и электронного КПД

27r

壮=1 —|2”о. (3.87)

О

Из рисунка видно, что основная часть осцилляторной энергии электронов трансформируется в энергию излучения за время порядка нескольких характерных времен развития неустойчивости Т' = (Im J) '. При этом максимальная амплитуда поля достигается в случае точного группового синхронизма.

Перейдем теперь из подвижной системы координат обратно в лабораторную и обсудим основные характеристики циклотронного сверхизлучения в ней.

Из приведенного рассмотрения следует, что в подвижной системе отсчета электронный сгусток излучает изотропно в положительном (+?') и отрицательном (—z‘) направлениях вдоль оси волновода. При этом, поскольку в этой системе частота излучения близка к критической частоте, групповые скорости излученных в обоих направлениях электромагнитных импульсов。；卩 достаточно малы (их отличие от нуля связано с электронной перестройкой частоты). В лабораторной системе отсчета, где сгусток движется с продольной скоростью 少||〉少;р в точку наблюдения (детектор), расположенную в направлении поступательного движения сгустка, вначале придет излучение, испущенное сгустком в подвижной системе координат в +2；,-направлении, а затем в —zf- направлении. Действительно, из закона сложения скоростей следует, что в том случае, когда поступательная скорость источника волн (электронного сгустка) превышает групповую скорость электромагнитных волн в собственной системе отсчета, в лабораторной системе отсчета обе компоненты излучения распространяются в одном направлении в сторону поступательного движения источника. При этом в лабораторной системе групповая скорость импульса, излученного в +2；,-направлении, несколько больше продольной скорости электронного сгустка, а излученного в —^^направлении, — меньше той же скорости. В результате с увеличением длины наблюдения указанные импульсы должны расходиться. Чтобы найти форму импульса циклотронного сверхизлучения, принимаемого детектором, необходимо построить распределение полей в плоскости z‘力-а затем найти поле на линии z‘ = —^ц^ + const, вдоль которой на этой плоскости происходит движение детектора. Построенная таким образом зависимость амплитуды электрического поля на детекторе от времени для режима точного группового синхронизма Д = 0 приведена на рис. 3.11 а. Видно, что сигнал на детекторе имеет двугорбую форму, т. е. излучение представляет собой последовательность двух импульсов. Первый из этих импульсов образован фотонами,

Рис. 3.11. Зависимость от времени амплитуды поля, принимаемого детектором в лабораторной системе отсчета при (а) △ = 0 и (б) △ = 0,4Рис. 3.11. Зависимость от времени амплитуды поля, принимаемого детектором в лабораторной системе отсчета при (а) △ = 0 и (б) △ = 0,4

Рис. 3.11. Зависимость от времени амплитуды поля, принимаемого детектором в лабораторной системе отсчета при (а) △ = 0 и (б) △ = 0,4

Рис. 3.11. Зависимость от времени амплитуды поля, принимаемого детектором в лабораторной системе отсчета при (а) △ = 0 и (б) △ = 0,4

испущенными сгустком в подвижной системе координат в положительном направлении оси +z「а второй импульс — фотонами, испущенными в отрицательном направлении оси —z‘. При этом вследствие эффекта Допплера частота заполнения первого импульса должна превышать частоту заполнения второго импульса и соответственно первый импульс существенно короче второго. Тот факт, что амплитуда первого импульса превышает амплитуду второго, объясняется тем, что первый импульс поступает на детектор раньше второго, испытывая при этом меньшее дисперсионное расплывание. Важно отметить, что при смещении параметра расстройки △ в область отрицательных значений различие между групповыми скоростями становится столь незначительным, что для заданной дистанции наблюдения сигнал, принимаемый детектором в лабораторной системе отсчета, имеет форму моноимпульса (рис. 3.11 б). Таким образом, изменение начального расстояния до детектора при постоянном Д, а также варьирование параметра расстройки при заданной длине наблюдения позволяет получать различную форму импульса сверхизлучения.

Пиковая мощность циклотронного сверхизлучения, проходящая через неподвижную площадку, расположенную вне слоя ансамбля электронов-осцилляторов, определяется соотношением

Р =Р =4 同2 m2c5 gf0GH0圖穴壮 J*(〃n)(l - 川/项4 同2 m2c5 gf0GH0圖穴壮 J*(〃n)(l - 川/项^m — 1 ( ^б^кр / С)^m — 1 ( ^б^кр / С)(3.88)(3.88)

Р =

Р =

4 同2 m2c5 gf0GH0圖穴壮 J*(〃n)(l - 川/项

4 同2 m2c5 gf0GH0圖穴壮 J*(〃n)(l - 川/项

^m — 1 ( ^б^кр / С)

^m — 1 ( ^б^кр / С)

(3.88)

(3.88)

Усредненное по начальным фазам изменение энергии электронов в лабораторной системе отсчета может быть найдено с учетом соотношения для электронного КПД в подвижной системе координат с помощью соотношения

O-72/7o)w =喻光0 必. (3.89)

Из этих соотношений следует, что высокая эффективность энергообмена может быть достигнута и при относительно малых поперечных скоростях /丄 ~ 1/7ц0. Это связано с тем, что в энергию излучения

13 Трубецков, Храмов

трансформируется не только энергия поперечных, но и продольных движений в электронном потоке.

Приведем некоторые оценки из работы [14]. Пусть в лабораторной системе координат напряженность ведущего магнитного поля Но = =10,7 • 104 А/м, длина волны А = 1,0 • 10-3 м, ток /° = 0,1 кА, энергия электронов 1,0 МэВ ()о = 3,0), вращательная скорость。丄=0,2с, длина сгустка b = 0,03 м. При радиусе волновода R = 4,0 • 10-3 м и рабочей моде Я1з структурный фактор G = 0,005. Тогда из рис. 3.10 получаем |а|^ах = 6,4・ 10-3, что соответствует пиковой мощности циклотронного сверхизлучения порядка 50 МВт. Длительность импульса составляет порядка десяти периодов высокочастотных колебаний.

Заметим, что при исследовании эффектов сверхизлучения ансамбля электронов-осцилляторов в волноведущей системе трудно исключить влияние полей электродинамической структуры на процесс взаимодействия электронного сгустка с электромагнитным полем структуры, а, следовательно, сложно отделить индуцированное излучение от эффекта сверхизлучения. В работе [17] в рамках численного моделирования системы уравнений Максвелла совместно с уравнениями движения электронов определяются условия проявления эффекта циклотронного сверхизлучения электронного пучка, распространяющегося в волноводе, т. е. условия, когда возможна фазировка электронов-осцилляторов не только через общее поле излучения (кооперативное излучение), но и за счет отражения волн от внутренних стенок электродинамической системы (индуцированное излучение).

Предыдущее рассмотрение (см. также работы [18,19]) показало, что при увеличении параметра нелинейности инкремент сверхизлучательной неустойчивости возрастает, максимум дипольного момента, характеризующий интенсивность излучения достигается за более короткое время от начала высвечивания. В работе [17] рассматривается ансамбль циклотронных электронов-осцилляторов при различной нелинейности (скорости электронов) и демонстрируется, что наличие электродинамической структуры приводит к появлению возможности реализации трех различных сценариев развития процесса излучения в зависимости от степени нелинейности.

На рис. 3.12 представлены зависимости поперечной компоненты суммарного импульса ансамбля электронов-осцилляторов для различных значений начальных скоростей / и, как следствие, различных значений параметра нелинейности. Величина суммарного импульса р丄 нормирована на сумму модулей импульсов отдельных электронов, время т нормировано на период циклотронного вращения Тс = g^/27r.

При небольшой величине нелинейности (рис. 3.12 а) развитие процесса циклотронного сверхизлучения к моменту прихода излучения, отраженного от стенок электродинамической системы (г ^ 4,0), невелико, и после нескольких переотражений электромагнитных волн фаза и энергетические характеристики взаимодействия осцилляторов определяются только установившимся полем возбужденных волноводных мод, т. е. имеет место процесс индуцированного излучения.

Рис. 3.12. Зависимость от времени поперечной компоненты суммарного импульса ансамбля циклотронных электронов-осцилляторов для различных значений начальной скорости электронов (различной нелинейности системы): а — /3 = 0,2; б — /3 = 0,3; 6 —力=0,9 (из работы [17])

Увеличение нелинейности приводит к конкуренции циклотронного сверхизлучения и индуцированного излучения (см. рис. 3.12 б). При большой нелинейности (/ 〉0,9; рис. 3.12 в) индуцированное излучение практически не влияет на процесс сверхизлучения циклотронных осцилляторов. Поэтому эффект сверхизлучения в ансамбле электронов-осцилляторов в присутствии электродинамической структуры может наблюдаться только при значительной нелинейности осцилляторов, которая определяет инкремент развития сверхизлучательной неустойчивости.

Рассмотрим теперь результаты экспериментального наблюдения эффекта циклотронного сверхизлучения [11,12].

В экспериментальном макете в качестве источника электронов использовался субнаносекундный сильноточный ускоритель. Энергия электронов составляла 200 кэВ, длительность импульса тока 300 4- 500 пс, максимальный ток пучка, получаемый с помощью взрывоэмиссионного катода в коаксиальном вакуумном диоде с магнитной изоляцией, достигал 1 кА. Использовались коллиматоры, позволяющие редуцировать ток пучка до величины 0,1 4- 0,4 кА. Непосредственно за коллиматором располагался участок с неоднородным магнитным полем — кикер, представляющий собой систему из трех дополнительных катушек, где электроны приобретали

Рис. 3.13. Осциллограммы: ускоряющего импульса на катоде (а), импульса тока па входе дрейфовой камеры (б); в, а — СВЧ-сигналы с детектора при ведущем магнитном поле 12 кЭ и 11,5 кЭ (из работы [11])

вращательную скорость с расчетным питч-фактором g =。丄/少|| ~ 1. Область высвечивания представляла собой гладкий цилиндрический волновод диаметра 0,01 м, помещенный в однородное продольное магнитное поле импульсного соленоида с напряженностью до 15 кЭ. Максимальная длина области высвечивания достигала 0,3 м при характерной продольной длине электронного сгустка 0,05 м.

На рис. 3.13 представлены характерные осциллограммы ускоряющего напряжения, электронного тока и СВЧ-импульсов. При вариации напряженности ведущего магнитного поля микроволновые импульсы были последовательно зарегистрированы в области касания электронной дисперсионной характеристики с дисперсионными кривыми “21 и "(и волн. При значительном удалении от режима касания мощность излучения либо падала до нуля, либо значительно снижалась. Осциллограммы СВЧ-импульсов, представленные на рис. 3.13, соответствуют возбуждению моды Н^> Осциллограмма, представленная на рис. 3.13 в, снята при напряженности магнитного поля 12 кЭ, которое несколько превышает значение, отвечающее режиму касания, осциллограмма на рис. 3.13 2 — при магнитном поле 11,5 кЭ, которое несколько ниже указанного значения.

Двугорбый характер СВЧ-импульса на рис. 3.13 в обусловлен уже рассмотренным нами эффектом, связанным с тем, что в системе отсчета, движущейся вместе с электронами, ансамбль циклотронных электронов-осцилляторов излучает изотропно в положительном и отрицательном направлениях вдоль оси волновода. В лабораторной же системе в точку наблюдения (детектор), расположенную на оси по

Рис. 3.14. Пиковая мощность субнаносекундного импульса циклотронного сверхизлучения в зависимости от длины транспортировки электронного сгустка в продольном магнитном поле 12 кЭ. Здесь кривая 1 соответствует току пучка 180 А, 2 — 290 А (из работы [11])

направлению движения электронного сгустка, вначале придет излучение, испущенное в положительном, а затем (при условии, что скорость источника превышает групповую скорость) в отрицательном направлениях в подвижной системе координат (ср. с рис. 3.11 а). При этом, вследствие эффекта Доплера, частота излучения передней части импульса, воспринимаемого детектором, должна превышать частоту хвостовой части. По этой же причине мощность излучения в передней части импульса должна превосходить мощность в хвосте, а длительность коротковолновой компоненты излучения на приемном детекторе должна быть существенно короче длительности низкочастотной компоненты. Действительно, как видно из рис. 3.13 в, высокочастотная часть излучения представляет собой предельно короткий импульс с длительностью на полувысоте менее 400 пс и высокой пиковой мощностью. После нее регистрируется низкочастотная компонента, имеющая примерно в два раза более низкую мощность, а длительность — до полутора наносекунд.

Одногорбый характер микроволнового импульса на рис. 3.13 г объясняется тем, что при уменьшении циклотронной частоты происходит сближение частот и групповых скоростей высокочастотной и низкочастотной компонент. В результате при заданной длине области распространения обе компоненты поступают на детектор в неразрешенном по времени виде (ср. с рис. 3.11 б).

Измерения спектра излучения посредством установки в тракте приемного детектора волноводных фильтров с различными частотами отсечки показали, что импульсы излучения являются широкополосными, со спектральным составом, лежащим в интервале 30 4- 38 ГГц.

Важным подтверждением кооперативной природы наблюдавшегося в работе [11] излучения является характер зависимости пиковой мощности излучения от длины дрейфа электронного сгустка в однородном магнитном поле, т. е. фактически от времени взаимодействия (рис. 3.14). Указанная мощность на начальном этапе растет по экспо-

ненциальному закону. Если же предположить, что наблюдаемое излучение обусловлено не процессом автофазировки, а наличием достаточно сильной начальной модуляции электронов по фазам циклотронного вращения — спонтанным излучением, то на квазикритической частоте о；кр мощность излучения должна расти с длиной взаимодействия не быстрее, чем корень из длины.

При токе пучка 290 А наблюдался режим насыщения максимальной пиковой выходной мощности, при меньшем токе (180 А) режим насыщения при заданной длине области высвечивания достигнут не был. Пиковая мощность излучения определялась детектором путем интегрирования показаний по диаграмме направленности. Нижняя оценка

Рис. 3.15. а— геометрия области взаимодействия исследуемой системы: 1 — подводящая коаксиальная линия, 2 — инжектирующая поверхность, 3 — позиции частиц через 1 нс после подачи в коаксиальную линию импульса ускоряющего напряжения (результат численного моделирования с помощью кода КАРАТ), 4 — поглотитель. б — положение электронов на фазовой плоскости (рг, z) при 1 нс (из работы [24])Рис. 3.15. а— геометрия области взаимодействия исследуемой системы: 1 — подводящая коаксиальная линия, 2 — инжектирующая поверхность, 3 — позиции частиц через 1 нс после подачи в коаксиальную линию импульса ускоряющего напряжения (результат численного моделирования с помощью кода КАРАТ), 4 — поглотитель. б — положение электронов на фазовой плоскости (рг, z) при 1 нс (из работы [24])пиковой мощности для моды “21 составила приблизительно 200 кВт, что соответствовало эффективности трансформации энергии в эксперименте более одного процента.

Рис. 3.15. а— геометрия области взаимодействия исследуемой системы: 1 — подводящая коаксиальная линия, 2 — инжектирующая поверхность, 3 — позиции частиц через 1 нс после подачи в коаксиальную линию импульса ускоряющего напряжения (результат численного моделирования с помощью кода КАРАТ), 4 — поглотитель. б — положение электронов на фазовой плоскости (рг, z) при 1 нс (из работы [24])

Рис. 3.15. а— геометрия области взаимодействия исследуемой системы: 1 — подводящая коаксиальная линия, 2 — инжектирующая поверхность, 3 — позиции частиц через 1 нс после подачи в коаксиальную линию импульса ускоряющего напряжения (результат численного моделирования с помощью кода КАРАТ), 4 — поглотитель. б — положение электронов на фазовой плоскости (рг, z) при 1 нс (из работы [24])

Рассмотрим теперь эффект сверхизлучения, связанный с механизмом черепковского излучения. Первое экспериментальное исследование процессов сверхизлучения при прямолинейном движении электронного сгустка в периодической замедляющей системе (черепковское сверхизлучение) было проведено в работах [20-22]. При этом были получены электромагнитные импульсы на частоте 39 ГГц с максимальной пиковой мощностью до 150 МВт и рекордно короткой длительностью 300 пс. Излучение в этом случае имело место при синхронном взаимодействии частиц с медленной пространственной гармоникой встречной электромагнитной волны. Наряду с этим черепковское сверхизлучение может возникать при взаимодействии с попутной волной, например, в случае, когда электроны прямолинейно движутся в волноводе, частично заполненном диэлектриком. Рас

смотрим результаты исследования черепковского сверхизлучения как с помощью натурного, так и численного эксперимента более подробно, следуя работам [23,24].

а /, нс б 厶 нс

Рис. 3.16. Импульсы СИ при различных значениях амплитуды ускоряющего напряжения (моделирование): а — Vmax = 180 кВ, 6 — Vmax = 290 кВ (из работы [24])

Схема экспериментальной установки представлена на рис. 3.15 а. Электронные сгустки генерировались коаксиальным взрывоэмиссионным диодом с магнитной изоляцией и имели трубчатую геометрию со средним радиусом 2,75 мм и толщиной стенки 0,4 мм. Транспортировка сильноточных сгустков через пространство взаимодействия, длина которого составляла 0,06 м, осуществлялась либо в постоянном магнитном поле сверхпроводящего соленоида с напряженностью до 10 Тл, либо в поле импульсного соленоида с напряженностью до 5 Тл. Рабочее пространство представляло собой участок гофрированного волновода. При этом с коллекторного конца глубина гофрировки плавно уменьшалась на последних трех периодах, обеспечивая согласование с выходным электродинамическим трактом. Аналогично глубина гофрировки также спадала на четырех периодах с катодного конца, сопрягаясь с закритическим сужением. После отражения от закритического сужения генерируемый электромагнитный импульс высвечивался в направлении поступательного движения электронов. Использование сильного фокусирующего магнитного поля величиной 5 Тл и более давало возможность работать при напряженностях, превышающих значения, соответствующие области поглощения, которое, как известно, возникает, когда условие циклотронного резонанса выполнено для основной гармоники волны, распространяющейся в периодической системе. При этом транспортировка сгустка в сильном магнитном поле позволила уменьшить практически до одной десятой доли миллиметра зазор между замедляющей системой и частицами, повысив тем самым сопротивление связи и инкременты.

Численное моделирование сверхизлучения электронного сгустка, движущегося в периодической замедляющей системе, в работе [24] проводилось на основе PIC-кода КАРАТ (см., например, [25], а также том 1, лекция 14), позволяющего непосредственно интегрировать уравнения Максвелла совместно с уравнениями движения электронов. Геомет-

Рис. 3.17. Спектр импульса черепковского сверхизлучения, полученный в результате численного моделирования (из работы [24])Рис. 3.17. Спектр импульса черепковского сверхизлучения, полученный в результате численного моделирования (из работы [24])рия моделируемой системы была выбрана соответствующей реальным условиям эксперимента (см. рис. 3.15 а).

Рис. 3.17. Спектр импульса черепковского сверхизлучения, полученный в результате численного моделирования (из работы [24])

Рис. 3.17. Спектр импульса черепковского сверхизлучения, полученный в результате численного моделирования (из работы [24])

При наличии гофрировки волноведущей структуры при пролете сгустка через область взаимодействия развивается модуляция электронов по плотности (см. рис. 3.15 а) и продольному импульсу (фазовая плоскость (о?, z) показана на рис. 3.15 б). В результате происходит высвечивание короткого электромагнитного импульса, представленного на рис. 3.16. Длительность импульса СИ по полувысоте составляет не более 300 пс при пиковой мощности до 75 МВт. При этом излучение на

Рис. 3.18. Зависимость пиковой мощности импульса черепковского сверхизлучения от длительности электронного сгустка, полученная в результате численного моделирования (из работы [24])Рис. 3.18. Зависимость пиковой мощности импульса черепковского сверхизлучения от длительности электронного сгустка, полученная в результате численного моделирования (из работы [24])выходе структуры имеет вид волны Eqi с центральной частотой 39 ГГц (рис. 3.17).

Рис. 3.18. Зависимость пиковой мощности импульса черепковского сверхизлучения от длительности электронного сгустка, полученная в результате численного моделирования (из работы [24])

Рис. 3.18. Зависимость пиковой мощности импульса черепковского сверхизлучения от длительности электронного сгустка, полученная в результате численного моделирования (из работы [24])

Зависимость пиковой мощности от длительности импульса напряжения приведена на рис. 3.18. Поскольку пиковое значение электронного тока остается практически постоянным, а длительность электронного импульса определяется длительностью импульса ускоряющего напряжения, этот график характеризует зависимость величины пиковой мощности от полного заряда электронного сгустка.

В натурном эксперименте по наблюдению сверхизлучения в перио

режима [24]. В перрежима [24]. В пердической замедляющей системе исследовались два

режима [24]. В пер

режима [24]. В пер

вом случае амплитуда ускоряющего напряжения составляла 180 кВ,

что соответствовало току инжекции 1,2 кА. Характерная осцилло-

Рис. 3.19. Осциллограммы импульсов СИ при различных значениях амплитуды ускоряющего напряжения (эксперимент): a — Umax = 180 кВ; б — Umax = =290 кВ (из работы [24])

грамма импульса сверхизлучения для этого случая представлена на рис. 3.19 а. Импульс имеет длительность порядка 300 пс. Спектральные измерения посредством системы волноводных фильтров с различными частотами отсечки показали, что центральная частота излучения порядка 39 ГГц соответствует возбуждению расчетной Е(д моды. Диаграмма направленности излучения имела характерный для данной моды минимум в центре. Интегрирование показаний детектора по диаграмме направленности дало значение для пиковой мощности излучения в этом случае на уровне 60 МВт.

Во второй серии экспериментов амплитуда ускоряющего напряжения была увеличена до 290 кВ, что в соответствии с результатами моделирования приводило к одновременному увеличению амплитуды тока до 2 кА. При сохранении длительности импулса на уровне 300 пс пиковая мощность импульсов сверхизлучения возросла до 140 2 150 МВт (рис. 3.19 力.

Феноменологическая модель электроннойтурбулентности

В работах [26,27] предложена модель электронной турбулентности, описывающая нелинейное взаимодействие электронных структур. Под электронной структурой в модели понимается малый объем активной среды, состоящий из электронов-осцилляторов. Предполагается, что для каждого элемента такой системы имеет место кооперативное излучение, возникающее за счет взаимодействия электронов через поле собственного излучения, которое является для них фазирующим.

В безразмерных комплексных переменных процессы в потоке взаимодействующих электронных структур описываются системой дифференциальных уравнений [26]

Cki + 泌(]cki\2 - 1) Cki = - {c)i + KF〈明_] + Кв (c)-+1 , (3.90)

где к = 1,2,..., M, i = 1,2,..., TV, M — число электронов в каждом ансамбле, N — число электронных структур, Cki — безразмерная комплексная переменная, соответствующая полю к-го электрона

м

в г-й структуре; 〈с〉勿=-—£ с^ — определяет дипольный момент М k=i

г-й системы М электронов; параметр J пропорционален отношению коэффициента неизохронности к коэффициенту затухания электронов по энергии; Кр и Кв — коэффициенты взаимного влияния элементов потока. Нетрудно видеть, что уравнение (3.90) без двух последних слагаемых в правой части описывает процессы в г-й изолированной элементарной структуре.

Система уравнений (3.90) анализировалась численно с начальными условиями, соответствующими равномерному распределению электронов по фазам в интервале [0, 2тг] с внесением малого возмущения 5。 (см. формулу (3.46)).

Для моделирования динамики взаимосвязанных электронных структур также учитывалось время пролета через область взаимодействия. Очевидно, это время должно быть приблизительно равно времени ДТ, за которое происходит излучение из каждого элементарного объема. Временной интервал ДТ соответствует характерному временному масштабу кооперативного излучения, в течение которого электроны отдают большую часть запасенной энергии, и суммарный дипольный момент системы становится равным нулю. В рассматриваемой феноменологической модели движение электронных структур учитывается непосредственно в численном алгоритме и предполагает «перенос информации» от (г — 1)-го к г- му сечению потока за время △力=AT/Nгде N — число структур, одновременно присутствующих в потоке. Переменная i в таком контексте соответствует фиксированному месту в пространстве взаимодействия и служит дискретным аналогом пространственной координаты.

Рассмотрим некоторые результаты моделирования процессов в системе взаимодействующих электронных структур [26,28].

На рис. 3.20 показаны зависимости величины | (с) |2, пропорциональной мощности излучения, от изменения основных управляющих параметров модели — интервала времени △力 определяющего длительность взаимодействия электронных структур в потоке, и коэффициентов связи Кf и Кв.

С увеличением △力 видна тенденция к упрощению формы пространственно-временного распределения | (с) |2.

Сильное влияние на характер излучения системы оказывают величины коэффициентов Кр и Кр〉причем, если значение Кf определяет,

I0I2I0I20010041004100;135 7 9100;135 7 9Рис. 3.20. Пространственно-временные распределения величины | (с) |2 для различных значений параметров: a— Kf = 0,5, Кв = 0,5, △力= 1; б— Kf = =0,5, Кв = 0,45, △力=1; 6— Кf = 0,5, Кв = 1,5, △力=1; Значения N = 10,^ = 2, Jo = 0,2 и М = 12 остаются постоянными (из работы [26])Рис. 3.20. Пространственно-временные распределения величины | (с) |2 для различных значений параметров: a— Kf = 0,5, Кв = 0,5, △力= 1; б— Kf = =0,5, Кв = 0,45, △力=1; 6— Кf = 0,5, Кв = 1,5, △力=1; Значения N = 10,^ = 2, Jo = 0,2 и М = 12 остаются постоянными (из работы [26])

I0I2

I0I2

0

0

100

4

100

4

100

;135 7 9

100

;135 7 9

Рис. 3.20. Пространственно-временные распределения величины | (с) |2 для различных значений параметров: a— Kf = 0,5, Кв = 0,5, △力= 1; б— Kf = =0,5, Кв = 0,45, △力=1; 6— Кf = 0,5, Кв = 1,5, △力=1; Значения N = 10,

^ = 2, Jo = 0,2 и М = 12 остаются постоянными (из работы [26])

Рис. 3.20. Пространственно-временные распределения величины | (с) |2 для различных значений параметров: a— Kf = 0,5, Кв = 0,5, △力= 1; б— Kf = =0,5, Кв = 0,45, △力=1; 6— Кf = 0,5, Кв = 1,5, △力=1; Значения N = 10,

^ = 2, Jo = 0,2 и М = 12 остаются постоянными (из работы [26])

главным образом, форму и амплитуду распределения | (с) |2, то изменение Кв в большей степени сказывается на смещении временной периодичности в пространстве. Одновременное увеличение коэффициентов Кр и Кв приводит к усложнению вида зависимости | (с) |2 — в течение конечного времени и на конечной длине излучение начинает носить нерегулярный сложный характер. Для тех значений пространственной координаты, где имеет смысл говорить о периодичности во времени, период I (с) |2, в основном, определяется параметром 仇 заметно уменьшаясь с ростом его значения.

Все результаты, которые рассматривались выше, были получены для N = 10. Увеличение N означает рост частоты поступления электронов в поток и ограничение времени взаимодействия каждой структуры с полем остальных в течение интервала △力 когда нет движения в пространстве. Эти эффекты связаны с постоянством времени ДТ излучения из каждого элемента активной среды.

В результате, при относительно большом количестве электронных структур (N = 100) имеет место стационарное во времени и нерегулярное в пространстве распределение поля излучения (рис. 3.21). Этот факт свидетельствует о том, что количественные преобразования для данной модели, в основу которой положен эффект кооперативного излучения, приводят к качественному изменению динамики излучения от пространственно-временных сложных колебаний к развитому пространственному хаосу.

|〈C〉F|〈C〉FРис. 3.21. Зависимости величины | (с) |2 для различных значений параметров: a— N = 10* = 1, KF = 0,5, Кв = 0,5, △力=1,6, bo = 0,2; 6— N = 10* = 2, К尸=0,5, Кв = 0,5, △力=1,0, Jo = 0,2; e-N = 100,夕=3,长尸=0,7, Кв = =о? N = 0,3; г- N = 100,夕=2,长尸=0,8, Кв = 0,8, △力=0,8, 8。= 0,3. Значение М = 12 остается постоянным (из работы [26])Рис. 3.21. Зависимости величины | (с) |2 для различных значений параметров: a— N = 10* = 1, KF = 0,5, Кв = 0,5, △力=1,6, bo = 0,2; 6— N = 10* = 2, К尸=0,5, Кв = 0,5, △力=1,0, Jo = 0,2; e-N = 100,夕=3,长尸=0,7, Кв = =о? N = 0,3; г- N = 100,夕=2,长尸=0,8, Кв = 0,8, △力=0,8, 8。= 0,3. Значение М = 12 остается постоянным (из работы [26])

|〈C〉F

|〈C〉F

Рис. 3.21. Зависимости величины | (с) |2 для различных значений параметров: a— N = 10* = 1, KF = 0,5, Кв = 0,5, △力=1,6, bo = 0,2; 6— N = 10* = 2, К尸=0,5, Кв = 0,5, △力=1,0, Jo = 0,2; e-N = 100,夕=3,长尸=0,7, Кв = =о? N = 0,3; г- N = 100,夕=2,长尸=0,8, Кв = 0,8, △力=0,8, 8。= 0,3. Значение М = 12 остается постоянным (из работы [26])

Рис. 3.21. Зависимости величины | (с) |2 для различных значений параметров: a— N = 10* = 1, KF = 0,5, Кв = 0,5, △力=1,6, bo = 0,2; 6— N = 10* = 2, К尸=0,5, Кв = 0,5, △力=1,0, Jo = 0,2; e-N = 100,夕=3,长尸=0,7, Кв = =о? N = 0,3; г- N = 100,夕=2,长尸=0,8, Кв = 0,8, △力=0,8, 8。= 0,3. Значение М = 12 остается постоянным (из работы [26])

В работе [27] показана возможность управления электронной турбулентностью с помощью размещения на пути движения электронных сгустков либо одиночных резонаторов, либо цепочки связанных резонаторов.

В первом случае наибольший интерес вызывает ситуация, когда один резонатор находится в начале потока, другой — в конце пространства взаимодействия. Оказывается, что в зависимости от собственной частоты резонаторов временной процесс вдоль потока становится близким к периодическому (при близости частоты резонатора к собственной частоте процесса в потоке без резонатора), либо хаотизируется. В последнем случае в системе наблюдается усложнение пространственновременной динамики (при существенной расстройке частоты резонатора относительной собственной частоты процесса). Последнее объясняется более эффективной разгруппировкой электронов отдельных структур, и, как следствие этого, приводит к более сложному распределению величины I (с) |2 во времени и пространстве.

В случае воздействия на поток высокочастотных полей цепочки связанных резонаторов наблюдается усложнение пространственно-временной динамики излучения системы при любой настройке резонаторов.

Список литературы

Андреев А.В., Емельянов В.И., Ильинский Ю.А. Кооперативные явления в оптике. — М.: Наука, 1988.

Андреев А.В., Емельянов В.И., Ильинский Ю.А. Ц УФН. 1980. Т. 131, № 4. С. 653-694.

Gross М., Haroche £ “ Phys. Rep. 1982. V. 93, No 5. P. 301-396.

Лорентц Г.А. Теория электрона. — Л.М.: ОНТИ, 1934.

Вайнштейн Л.А., Вакман Д.Е. Разделение частот в теории колебаний и волн. — М.: Наука, 1983. СС. 91-93.

Гапонов А.В., Петелин М.И., Юлпатов В.К. Индуцированное излучение возбужденных классических осцилляторов и его использование в высокочастотной электронике Ц Изв. вузов. Радиофизика. 1967. Т. 10, № 9, 10. С. 1415.

Цимринг Ш.Е. Мазеры на циклотронном резонансе. — Горький: Изд-во Горьк. ун-та, 1988.

Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. — М.: Сов. радио, 1973.

Вайнштейн Л.А., Клеев А.И. Кооперативное излучение из малых объемов в квантовой и классической (вакуумной) электронике.— Лекции по электронике СВЧ и радиофизике. 3-я зимняя школа- семинар инженеров. Кн. 1. — Саратов: Изд-во С арат, ун-та, 1989. С. 25.

Вайнштейн Л.А., Клеев А.И. Кооперативное излучение электронов-осцилляторов “ ДАН. 1990. Т. 311, N@ 4. С. 862.

Гинзбург Н.С., Зотова ИВ, Коноплев И.В., Сергеев А.С., Шпак В.Г., Шунайлов С.А., Ульмаскулов М.Р., Яландин М.И. Экспериментальное наблюдение эффекта циклотронного сверхизлучения Ц Письма в ЖЭТФ. 1996. Т. 63, № 5. С. 322.

Ginzburg N.S., Zotova /.% Sergeev A.S., Konoplev /. V., Phelps A.D.R., Gross A. W., Cooke S.J., Shpak V.G., Yalandin M.I., Shunailov S.A., Ulmaskulov M.R. Experimental observation of cyclotron superradiance under group synchronism conditions “ Phys. Rev. Lett. 1997. V. 78, No 12. P. 2365.

Гинзбург H. С., Сергеев A.C. Сверхизлучение в слоях возбужденных классических и квантовых осцилляторов “ ЖЭТФ. 1991. Т. 99, № 2. С. 438.

Гинзбург Н.С., Зотова ИВ, Сергеев А.С. Циклотронное сверхизлучение движущегося электронного сгустка в условиях группового синхронизма Ц Письма в ЖЭТФ. 1994. Т. 60, N@ 7. С. 501.

Гинзбург Н.С., Зотова ИВ, Сергеев А.С. Теория эффекта циклотронного сверхизлучения движущегося электронного сгустка в условиях группового синхронизма “ ЖТФ. 2000. Т. 70, № 7. С. 1.

Гинзбург Н.С. Об эффекте сверхизлучения сгустков релятивистских электронов-осцилляторов Ц Письма в ЖТФ. 1988. Т. 14, № 5. С. 440.

Корниенко В.Н., Черепенин В.А. Сверхизлучение циклотронных осцилляторов в электродинамической структуре Ц Изв. РАН, сер. физич. 1997. Т. 61, № 12. С. 2317.

Канавец В.И., Стабинис А.Ю. Спонтанное излучение и самовозбуждение малого объема классической нелинейной активной среды Ц Вестник МГУ. Сер. 3. Физика, астрономия. 1973. N@ 2. С. 186.

Железняков В.В., Кочаровский В.В., Кочаровский Вл.В. Волны поляризации и сверхизлучение в активных средах Ц УФН. 1989. Т. 159, № 2. С. 438.

Шпак В.Г., Яландин М.И., Гинзбург Н.С. и др. Ц ДАН. 1999. Т. 365, № 1. С. 50.

Гинзбург Н.С., Зотова И.В., Сергеев А.С., Фелпс А.Д.Р., Кросс А.В., Виггинс С.М., Хи А, Рональд К., Шпак В.Г., Яландин М.И., Шунайлов С.А., Ульмаскулов М.Р., Тараканов В.П. Генерация импульсов сильноточным субнаносекундными электронными сгустками, движущимися в периодической замедляющей структуре “ Письма в ЖТФ. 1998. Т. 24, № 18. С. 7.

Ginzburg N.S., Novozhilova N. Yu., Zotova /. V., Sergeev A.S., Peskov N.Yu., Phelps A.D.R., Wiggins S.M., Gross A. W., Ronald K., He W., Shpak V.G., Yalandin M.I., Shunailov S.A., Ulmaskulov M.R., Tarakanov V.P. Generation of powerful subnanosecond microwave pulses by intense electron bunches moving in a periodic backward wave structure in the superradiative regimes “ Phys. Rev. E. 1999. V. 60. P. 3297.

Гинзбург H.C., Зотова ИВ, Сергеев А.С., Розенталь Р.М., Шпак В.Г., Яландин М.И., Яландин М.И., Фелпс А.Д.Р., Кросс А.В. Генерация субнаносекундных микроволновых импульсов на основе эффекта черепковского сверхизлучения “ ЖТФ. 2002. Т. 72, № 3. С. 53.

Гинзбург Н.С., Зотова ИВ, Новожилова Ю.В., Сергеев А.С., Шпак В.Г., Шунайлов С.А., Ульмаскулов М.Р., Яландин М.И. Теоретическое и экспериментальное исследование генерации импульсов сверхизлучения сильноточными субнаносекундными электронными сгустками, движущимися в периодической замедляющей системе “ ЖТФ. 2002. Т. 72, № 1. С. 83.

Tarakanov V.P. User's manual for code KARAT. — Springfield, VA: BRA, 1992.

Мчедлова E. С., Трубецков Д.И. Излучение потока взаимодействующих малых объемов, содержащих электроны-осцилляторы Ц Письма в ЖТФ. 1993. Т. 19, № 24. С. 26.

Мчедлова Е.С., Трубецков Д.И. Особенности излучения в цепочках связанных малых объемов, содержащих электроны-осцилляторы Ц ЖТФ. 1994. Т. 64, № 10. С. 158.

Мчедлова Е.С. Феноменологическая модель электронной турбулентности “ Лекции по электронике СВЧ и радиофизике. 10-я зимняя школа-семинар. Кн. 2. — Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1996. С. 107.

Лекция 4 (19)СВЕРХВЫСОКОЧАСТОТНАЯ ПЛАЗМЕННАЯЭЛЕКТРОНИКА

В последнее время плазма как особое агрегатное состояние вещества привлекает особое внимание широкого круга исследователей... Новые... ...свойства плазмы предлагают использовать для решения важных научно-технических задач. Так, путем нагрева плазмы до температур порядка миллионов градусов стремятся осуществить управляемые термоядерные реакции... ...аконец, волноводные и резонансные свойства плазмы стремятся использовать для создания приборов, способных генерировать и усиливать электромагнитные колебания в миллиметровом и субмиллиметровом диапазонах радиоволн.

Г. А. Бернашевский, 3. С. Чернов. Предисловие к сб. статей «Колебания сверхвысоких частот в плазме», М.: Изд-во иностранной литературы, 1961, с. 5.

Плазменно-пучковая неустойчивость и нерелятивистская плазменная сверхвысокочастотная электроника. Плазменная СВ Ч-элек- троника: релятивистский виток. Пучково-плазменные СВ Ч-лампы с длительным взаимодействием. Пазотрон. Лазеры на свободных электронах с плазменным заполнением.

В последние годы словосочетание «плазменная СВЧ-электроника», начавшее забываться с конца 60-х — начала 70-х годов, вновь замелькало на страницах журналов и в программах конференций. Список обзорных статей и книг по плазменной сверхвысокочастотной электронике уже достаточно велик и представителен [1-13, 99]. Возобновление исследований в этой области и их быстро нарастающее количество связано с созданием сильноточных электронных ускорителей, успешно используемых в вакуумной релятивистской электронике для генерации импульсов мощного электромагнитного излучения. Возврат к идее генерации сверхвысокочастотного излучения при взаимодействии плазма-пучок связан с целым рядом уникальных свойств таких систем. Перечислим основные преимущества приборов плазменной

СВЧ-электроники, далее подробно остановившись на них при изложении материала лекции.

Большой коэффициент усиления электромагнитных волн на единицу длины (порядка 15 дБ/см).

Поля в системе плазма-пучок незначительно изменяются по поперечному сечению, что позволяет использовать более широкие пучки (в плазменно-наполненной системе нет частотной зависимости от поперечного сечения), чем в вакуумных приборах в том же частотном диапазоне.

Поскольку отсутствует опасность плавления замедляющих систем, требования к фокусировке электронного пучка менее жесткие и можно применять более слабые магнитные поля — меньший вес и габаритные размеры соответствующих приборов и устройств.

Пункты 2 и 3 позволяют получить более высокие КПД и мощность усиления и генерации электромагнитного излучения

В пучково-плазменных системах существует возможность продвижения в миллиметровый и субмиллиметровый диапазоны длин волн.

Возможность продвижения в область больших токов пучков, которые ограничены в вакуумной релятивистской электронике пространственным зарядом электронов, причем существует предельный ток пучка, выше которого транспортировка пучка через пространство взаимодействия невозможна [7-10]. Пучки с током большим предельного могут распространяться только при наличии нейтрализации пространственного заряда электронов, что достигается заполнением системы относительно плотной (по сравнению с плотностью пучка) плазмой.

Возможность увеличения эффективности энергообмена пучка с возбуждаемой волной и повышения КПД благодаря самосогласованному изменению параметров плазмы и дисперсионных характеристик электродинамической структуры на нелинейной стадии взаимодействия.

В данной лекции рассмотрим некоторые основные положения плазменной сверхвысокочастотной электроники. Заметим, что количество исследований, выполненных в области плазменной электроники, очень велико. Поэтому в лекции мы ограничимся, главным образом, работами, в которых проведенные исследования были доведены до создания приборов с приемлемыми для СВЧ-электроники характеристиками, т.е. до приборов, конкурентноспособных в сравнении с вакуумными СВЧ-приборами.

В начале лекции рассмотрим явление плазменно-пучковой неустойчивости и обсудим некоторые идеи и приборы нерелятивистской плазменной электроники. Далее остановимся на результатах теоретических и экспериментальных исследований в области релятивистской плазменной СВЧ-электроники, опираясь, в первую очередь, на работы [7-11]. В конце лекции остановимся на таких современных только

начинающих развиваться направлениях исследований в плазменной СВЧ-электронике как плазменно-наполненные приборы с длительным взаимодействием О-типа, пазотроны и лазеры на свободных электронах с плазменным заполнением.

Плазменно-пучковая неустойчивостьи нерелятивистская плазменная сверхвысокочастотнаяэлектроника

Предшественницей релятивистской плазменной СВЧ-электроники была нерелятивистская плазменная электроника, развитие которой приходится на период с 1950 по 1970 гг., причем количество выполненных за это двадцатилетие исследований было огромно. Плазменная СВЧ-электроника зародилась в 1949 г. после первых работ А.И. Ахиезера и Я.Б. Файнберга 】)[14] в СССР и Д. Бома и Е. Гросса [15] в США, в которых было теоретически предсказано явление плазменно-пучковой неустойчивости. Оно состоит в «раскачке» моноэнерге- тическим электронным пучком электромагнитных колебаний в плазме и преобразовании кинетической энергии электронов в энергию плазменных колебаний. Физическая причина неустойчивости — индуцированное черепковское излучение быстрыми электронами пучка медленных электромагнитных волн в плазме (плазменных волн). В первых работах [14,15] пучковая неустойчивость была обнаружена при анализе дисперсионного уравнения

22

J — ku)2 которое соответствует модели моноэнергетического электронного пучка, взаимодействующего с продольными (потенциальными) колебаниями изотропной плазмы. В уравнении (4.1) g夕=，»Rp]кт — ленгмюровская частота электронов плазмы с плотностью rip)а зь = =，е271b/е07Tl — ленгмюровская частота электронов пучка с плотностью пь и продольной скоростью “《с, где с — скорость света в вакууме.

В предположении малой плотности пучка пь》пр из уравнения (4.1) легко получается частота и инкремент возбуждаемых пучком плазменных колебаний

b = g — ku = g —幻夕=—1 \7V^ ^^^-^ Зр. (4・2)

Из последнего соотношения следует, что пучок возбуждает колебания, частота которых близка к плазменной частоте g夕,а фазовая скорость

Заметим, что впервые работа А.И. Ахиезера и Я.Б. Файнберга была помещена в отчете Украинского физико-технического института (УФТИ) в 1948 г.

близка к скорости пучка; инкремент нарастания колебаний весьма высок и всего лишь в (rip/пь)^ раза меньше частоты.

Высокая частота колебаний (при пр = 1012 см-3 g夕=5,5 • 1010 с-1, т. е. длина волны А = 3 см, что соответствует СВЧ-диапазону), возможность ее изменения в широких пределах путем изменения плотности плазмы пр, а также очень большой инкремент нарастания (при пь — Ю9 см-3, что при сечении пучка ~ 1 см и энергии инжекции электронов £ = 30 кэВ соответствует току пучка Д = 1,5 кА, временной инкремент Im 3 = 3 • 109 с-1, а пространственный — Im3k = 0,5 см-1), сразу же привлекли внимание многих физиков на предмет создания на основе плазменно-пучкового взаимодействия новых типов генераторов и усилителей электромагнитного излучения СВЧ-диапазона. Подчеркнем, что возникший интерес был «подогрет» экспериментальным доказательством в Харьковском и Сухумском физико-технических институтах, а также за рубежом, высокой эффективности коллективного взаимодействия электронного пучка с плазмой. Пучок электронов весьма эффективно терял свою энергию (более 30 %) и уже на очень малых расстояниях от места инжекции «застревал» в плазме. Так в 50-х годах зародилась плазменная электроника, которая в то время была нерелятивистской [1]. Разработчики электронных СВЧ-устройств обратились к плазменной электронике в первую очередь потому, что увидели в ней возможность продвинуться в область миллиметровых и субмиллиметровых длин волн. В этой области резонаторы и замедляющие системы становятся столь миниатюрными, что затрудняет их изготовление даже при современной технологии, возрастают потери электромагнитной энергии, увеличиваются трудности теплоотвода (последнее может приводит к плавлению элементов электродинамических систем) и т. п. Использование плазмы позволило отказаться от сложных в изготовлении резонаторов и замедляющих систем — достаточно было использовать гладкие системы типа волноводов, поскольку плазма сама имеет спектр собственных колебаний и волн, зависящий в основном от ее плостности, диаметра плазменного столба и внешнего магнитного поля (см., например, [16, 17]). Электронный пучок мог эффективно взаимодействовать с этими плазменными колебаниями и волнами.

Практически все перечисленные во введении преимущества плазменной электроники были экспериментально подтверждены в сантиметровом диапазоне длин волн 1).

Однако трудности резко возрастали при переходе в миллиметровый диапазон длин волн [1,16], при этом они усугублялись тем, что исследователи занимались созданием только усилителей СВЧ-излучения. Дело в том, что для ввода ВЧ-сигнала в плазму и вывода его из плазмы приходилось использовать все те же мелкоструктурные электродинамические системы. Не решена была в те годы и проблема создания устойчивой плотной плазмы с необходимой концентрацией. Для усиления и генерирования миллиметровых волн нужна высокоионизирован- ная стабильная плазма с плотностью 1014 4- 1015 см-3, с собственной частотой порядка 3 ГГц и с размерами от нескольких миллиметров до десятых долей миллиметров. Это означает, что необходимо создавать плазму с размерами, во много раз превышающими величину ее собственного бесстолкновительного скин-слоя:

〜5 • 10%Т/2 [м].

При этом появляются значительные флуктуации, и создавать и поддерживать устойчивую плазму такой плотности весьма непросто.

Поэтому созданные усилители были неустойчивы к самовозбуждению и имели весьма высокий коэффициент шума, из-за большой частоты столкновений даже сравнительно низкочастотные усилители обладали высокими потерями [1]

В 1966 г. появилось первое сообщение о создании сильноточного электронного ускорителя [19], а в 1970 г. с помощью сильноточного пучка релятивистских электронов была осуществлена генерация СВЧ-колебаний [20]. Последующие работы привели к созданию высокочастотной вакуумной релятивистской электроники и релятивистскому витку плазменной СВЧ-электроники.

Если говорить о развитии вакуумной релятивистской электроники, то можно сказать, что она много с пользой позаимствовала и заимствует у своей нерелятивистской предшественницы. Таким же путем идет и релятивистская плазменная электроника, поэтому весьма важным является вопрос о том, что сделано в нерелятивистской высокочастотной плазменной электронике. Очевидно, что теорию релятивистских плазменных приборов можно свести к теории слаборелятивистских аналогов 1), а многие из оригинальных конструктивных решений использовать в сильноточных устройствах. Поэтому кратко рассмотрим в этом разделе некоторые приборы нерелятивистской плазменной СВЧ-электроники.

Плазменные аналоги клистронных приборов. Уже без детального анализа разумно предположить, что система плазма-пучок

1) Более того, в тех случаях, когда плазму можно считать линейной средой, теорию релятивистских плазменно-пучковых приборов можно свести к теории соответствующих релятивистских вакуумных устройств. Для черепковских СВЧ-приборов в ультрарелятивистском пределе это показано в работе [21]・

может быть автоколебательной: плазма обладает набором собственных мод, а электронный пучок может быть источником энергии для поддержания незатухающих колебаний.

Раньше других были открыты и изучены колебания ограниченной плазмы, которые зависят от существования колебательных слоев в плазме вблизи окружающих ее электродов. Колебательные слои в плазме были открыты в связи с так называемым «парадоксом Ленгмюра» (так назвал возникающее явление Габор), состоящем в сильном рассеянии электронов пучка (наличие электронов с большими скоростями) и их «максвеллизация» (установление максвелловского распределения по скоростям) в положительном столбе газового разряда. Ни столкновения, ни кулоновские силы не могут обеспечить столь сильный обмен энергией между электронами, который приводил бы к этим явлениям. Оказалось, что эти явления связаны с существованием больших градиентов потенциала в колеблющихся слоях плазмы.

ВЧ-поле колеблющегося слоя плазмы играет для электронного пучка роль ВЧ-поля входного или выходного зазора клистрона. Колеблющиеся слои располагаются, как правило, у поверхности катода, сеток, коллектора (отражателя), что и позволяет интерпретировать работу соответствующих плазменных генераторов как аналогов пролетного и отражательного клистронов. Когда существует два колеблющихся слоя, например, у сетки и коллектора, то это эквивалентно входному и выходному ВЧ-зазорам; обратная связь осуществляется за счет отражений от границ слоев. Когда колеблющийся слой один и есть отраженный поток электронов, входной и выходной зазоры совпадают (аналог отражательного клистрона).

Наиболее четкие эксперименты здесь принадлежат Вехнеру [22]. «Генератор Вехнера заслуживает внимание как один из немногих приборов, неожиданно возникающих из плазменных исследований» [23]. Он генерирует мощность порядка нескольких ватт на частоте ~ 1 4- 10 ГГц. Первоначальный электронный пучок возникает из низкотемпературной, несветящейся плазмы в сеточном катоде и возвращается отражателем. Вехнер использовал газовый разряд в ртутных парах, стабилизированный явлением отрицательной сетки. Если отрицательное напряжение на сетке растет с увеличением анодного тока, то разряд стабилизируется, и можно подавать анодные напряжения до 500 В (обычно напряжение разряда ~ 12 В). Схема генератора Вехнера показана на рис. 4.1 а.

Вблизи поверхности сетки и отражателя образуются плазменные слои (разность потенциалов 〜1 кВ через слой). То, что генерация связана с существованием этих слоев, подтверждают измерения плотности плазмы вдоль пространства взаимодействия (рис. 4.16). Во-первых, частоты генерации хорошо совпадают с плазменными, вычисленными по результатам измерений. Во-вторых, плотность, соответствующая определенной частоте, может быть только в одной или двух точках пространства, что соответствует одному или двум колебательным слоям.

Как возникает плазменный слой и как он «работает»? Когда колебаний нет, между плазмой и электродом находится ионный слой; форма

Катодный экран

Графитовая сетка

Рис. 4.1. Схема генератора Вехнера (а); распределение плазмы вдоль оси анода генератора (б); частотные характеристики генератора Вехнера (в)Рис. 4.1. Схема генератора Вехнера (а); распределение плазмы вдоль оси анода генератора (б); частотные характеристики генератора Вехнера (в)

Рис. 4.1. Схема генератора Вехнера (а); распределение плазмы вдоль оси анода генератора (б); частотные характеристики генератора Вехнера (в)

Рис. 4.1. Схема генератора Вехнера (а); распределение плазмы вдоль оси анода генератора (б); частотные характеристики генератора Вехнера (в)

кривой распределения потенциала в области плазма-электрод плавная: потенциал стремится к потенциалу электрода, становясь все более отрицательным. Сместим теперь все электроны в слое Дж плазмы, примыкающей к анодному слою. Распределение потенциала изменится и возникнет потенциальная яма. Смещенные электроны начинают «скатываться» в нее, проскакивают положение равновесия и смещаются вправо от него. Так появляется колебательное движение около этого положения и возникает переменное поле. Для осуществления генерации важной становится уже конструкция лампы, а именно наличие отражателя. Он может работать двумя способами.

Отражатель обеспечивает существование около своей поверхности второго колебательного слоя. Тогда электронный поток, промоду- лированный присеточным колеблющимся слоем, группируется в «пространстве дрейфа» и отдает энергию приотражательному слою (аналог пролетного клистрона).

Есть только присеточный колеблющийся слой. Отражатель возвращает электроны, сгруппированные в пространстве торможения, и они отдают энергию тому же пристеночному слою (аналог отражательного клистрона).

В силу сказанного частотная характеристика может быть рассчитана с учетом аналогии с клистронным механизмом взаимодействия. Так для пролетного клистрона условие самовозбуждения, накладываемое на угол пролета, имеет вид J° = 27r(几 干 1/4), где знак « —» (п = =1,2,3...) соответствует синфазным колебаниям, « + » (п = 0,1, 2 ... ...)—противофазным; для отражательного клистрона J。= 2тг(п — —1/4). Здесь все соотношения выписаны для центра зоны колебаний. Экспериментальные частотные характеристики плазменного генератора типа пролетного клистрона представлены на рис. 4.1 в. Характеристики генератора следующие. Максимальная выходная мощность Рвых,тах = 4 Вт при А = 15 см с КПД 〃 = 0,04. Самая короткая длина волны, полученная в эксперименте, составляла Amin = 6,5 см.

Колебания в плазме существуют и при отсутствии ионных слоев у электродов [24,25]. В этом случае имеет место взаимодействие электронного потока с попутной волной, а обратная связь осуществляется за счет отражений от границы плазмы. Это соответствует клистрону с распределенным взаимодействием [26]. Соответствующий эксперимент изложен в работе [24]. Плазма, создаваемая в кварцевой колбе (нет металлических отражающих поверхностей) возбуждалась пучком электронов с энергией 80 кэВ и током 1 А в импульсе длительностью 2 мкс. Колебания имели место при длине колбы 20 см.

Плазменные аналоги карсинотронов — ламп с обратной волной. Поскольку в плазме возможно распространение волн, у которых направление фазовых и групповых скоростей противоположны, были предприняты попытки создания плазменных ламп с обратной волной [16, 27-29], в которых реализуется абсолютная неустойчивость в системе плазма-электронный пучок. В частности, обратные волны имеют место в волноводе, заполненном плазмой, которая находится в магнитном поле конечной величины [16,17]. Обратным волнам соответствуют две области частот:

幻夕 < G < (с^ + 3a」2 ДЛЯ Зс < Зр (4.3) и

Шс < Ш < (若 + 虞)1/2 ДЛЯ Зс〉3Pl (4.4)

где Зр — ленгмюровская частота электронов плазмы, шс — циклотронная частота, g — частота генерации. Соответствующие дисперсионные кривые приведены на рис. 4.2.

Как видно из рис. 4.2 при выполнении условий (4.3) возможно создание генератора на аномальном эффекте Доплера, когда обратная волна плазмы синхронна с медленной циклотронной волной в пучке (рис. 4.2 а), а при выполнении условия (4.4) — с медленной волной пространственного заряда в пучке (рис. 4.2 6). В последнем случае, поскольку зь《Зр (зь — ленгмюровская частота электронов пучка), можно считать, что ш ^ ku и имеет место черепковское излучение.

Экспериментальные работы [16, 27, 28] подтвердили существование взаимодействия электронного потока с объемной обратной вол-

Рис. 4.2. Дисперсионные характеристики волновода, заполненного плазмой: зависимость з(к), соответствующая случаю Зр〉仇(а) и q < 仇(б). В заштрихованной области возможен синхронизм пучка (о; = ku) или медленной циклотронной волны в пучке з = ки — Зс или медленной волны пространственного заряда в пучке з = ки — зь с обратной плазменной волной (групповая скорость ds/dk < 0, когда фазовая скорость 31k〉0). При больших к пучок (о; = k〃—i) может оказаться в синхронизме с объемной плазменной волной с нормальной дисперсией, причем з к 3卩

ной в плазме в полосе частот, определяемой неравенством (4.4) (см. рис. 4.2 6). В более поздней работе [29] была экспериментально обнаружена абсолютная неустойчивость в системе электронный пучок- плазма в магнитном поле (пусковой режим генератора соответствовал синхронизму медленной волны пространственного заряда в пучке и обратной волны в плазме). Все эти эксперименты проводились на макетах с непрерывной откачкой и носили демонстрационный харак-

тер. Наиболее интересный результат их состоял в том (см., например, [16]), что на макете с фиксированными геометрическими размерами наблюдались колебания с разными длинами волн (порядка 10 см и 3 см) при изменении тока пучка и магнитного поля. В работе [27] при шс〉 > g были получены также колебания, слабо зависящие от магнитного поля и соответствующие ветви дисперсионной кривой с нормальной дисперсией. Возбуждение колебаний наблюдалось при больших k на частотах близких к g夕(см. рис. 4.2 б). Авторы не объясняют механизм обратной связи, указывая лишь на наличие синхронизма пучка с объемной плазменной волной с нормальной дисперсией.

В экспериментальной работе [30] был исследован макет генератора, в котором электронный поток взаимодействовал с поверхностной плазменной обратной волной, обнаруженной в [31]. Плазменный волновод,

в котором существуют обратные поверхностные несимметричные моды колебаний, показан на вставке рис. 4.3. Если плазма изотропна, то существует бесконечный набор поверхностных мод, энергия которых сосредоточена вблизи границы стекло-плазма. В отличие от рассмотренных выше объемных мод они могут возбудиться при нулевом внешнем магнитном поле. Все компоненты ВЧ-полей n-й моды имеют азимутальную зависимость вида cosng, а продольная компонента электрического ВЧ-поля Ez имеет радиальную зависимость внутри плазмы — 1п{кг\ где /п — модифицированная функция Бесселя n-го порядка, где к — волновое число n-й моды, г и z — радиальная и продольные координаты соответственно. В продольном направлении все компоненты поля изменяются по закону e~^kz. Как видно из рис. 4.3 в сравнительно узкой полосе частот существуют медленные обратные волны (моды n = 1 и п = =2). Прибор с непрерывной откачкой содержал область плазмы, отделенную от электронной пушки двумя областями перепада давления с промежуточной откачкой между ними [30]. Такая конструкция позволила

Рис. 4.3. Дисперсионные характеристики для мод п = 0, 1, 2, которые распространяются в плазменном волноводе, поперечное сечение которого показано на вставке. Волновод однороден вдоль оси z, № = =Зр /，1 + 82/81 , 81 И 82 — диэлектрические проницаемости воздуха и стекла соответственно;Рис. 4.3. Дисперсионные характеристики для мод п = 0, 1, 2, которые распространяются в плазменном волноводе, поперечное сечение которого показано на вставке. Волновод однороден вдоль оси z, № = =Зр /，1 + 82/81 , 81 И 82 — диэлектрические проницаемости воздуха и стекла соответственно;82/^1 = 4,82, Ь/а = 1,17,с/а = 1,9. На вставке ось zнаправлена за чертеж; 1 —металл, 2 — воздух, 3 — стекло,4 — плазма82/^1 = 4,82, Ь/а = 1,17,с/а = 1,9. На вставке ось zнаправлена за чертеж; 1 —металл, 2 — воздух, 3 — стекло,4 — плазмасделать прибор коротким, чтобы исключить даже слабое фокусирующее магнитное поле. В эксперименте были получены колебания на

Рис. 4.3. Дисперсионные характеристики для мод п = 0, 1, 2, которые распространяются в плазменном волноводе, поперечное сечение которого показано на вставке. Волновод однороден вдоль оси z, № = =Зр /，1 + 82/81 , 81 И 82 — диэлектрические проницаемости воздуха и стекла соответственно;

Рис. 4.3. Дисперсионные характеристики для мод п = 0, 1, 2, которые распространяются в плазменном волноводе, поперечное сечение которого показано на вставке. Волновод однороден вдоль оси z, № = =Зр /，1 + 82/81 , 81 И 82 — диэлектрические проницаемости воздуха и стекла соответственно;

82/^1 = 4,82, Ь/а = 1,17,с/а = 1,9. На вставке ось zнаправлена за чертеж; 1 —металл, 2 — воздух, 3 — стекло,4 — плазма

82/^1 = 4,82, Ь/а = 1,17,с/а = 1,9. На вставке ось zнаправлена за чертеж; 1 —металл, 2 — воздух, 3 — стекло,4 — плазма

обратной волне с А ~ 3 см. Максимальная выходная мощность составляла 1 Вт при весьма низком КПД, ширина спектра генерируемых частот была больше 100 МГц. Пусковой ток равнялся 0,1 А.

Упомянутые работы (см. также список литературы в [16]) исчерпывают известные исследования по созданию плазменных аналогов ЛОВ. Достигнутые результаты не соответствовали ваккумным аналогам даже того времени. Это видимо связано с тем, что в системе плазма- пучок легко возбуждались многие виды колебаний: ионные, на прямых и обратных медленных волнах, возбуждаемые электронами-осцилляторами в магнитном поле и т. д. Много усилий тратилось на инденти- фикацию возникших колебаний. Кроме того, как мы уже указывали, в нерелятивистской плазменной электронике больше интересовались усилителями, чем генераторами.

Плазменный аналог усилительной лампы бегущей волны. В приборах этого типа использовалось длительное взаимодействие электронного пучка с синхронной медленной электромагнитной волной в плазменном волноводе (плазменные лампы с бегущей волной) 1). Интерес представляли, в первую очередь, объемные волны, у которых напряженность продольной компоненты электрического поля максимальна на оси волновода (дисперсионные кривые в нижней полосе на рис. 4.2). Эквивалентное сопротивление связи для таких волн на несколько порядков больше, чем для спиральной замедляющей системы [16], что позволило уменьшить рабочую длину лампы. Плазменный волновод можно было перестраивать по частоте (перестраивать область усиливаемых частот), изменяя параметры плазмы и величину фокусирующего магнитного поля.

Схематически плазменная ЛБВ представлена на рис. 4.4. Плазма с необходимой концентрацией, которая пронизывается электронным потоком, создается системой электродов разряда (ее может создавать и сам электронный поток за счет ионизации). Для введения ВЧ-сиг- нала в плазму и вывода из нее усиленного сигнала используются соответствующим образом согласованные отрезки спирали, замедление которых такое же как замедление волны в плазме. Возбужденная таким образом в плазме медленная электромагнитная волна эффективно взаимодействует с электронным потоком, если его скорость близка к фазовой скорости продольной электрической компоненты этой волны и несколько превосходит ее. Как и в вакуумной ЛБВ имеет место индуцированное черепковское излучение электронов. Для предотвращения возбуждения усилителя за счет отражения от элементов связи предусмотрены локальный поглотитель — отрезок спирали с поглощающим покрытием (большое локальное затухание).

В качестве примера приведем экспериментальные характеристики плазменной ЛБВ, описанной в работе [39].

1) Наиболее полно такие приборы были исследованы в СССР [16, 32, 33]. Зарубежные исследования отражены в материалах конференций [34-38].

Рис. 4.4. а — схематическое изображение плазменной ЛБВ: 1 — электронная пушка; 2 — катод разряда; 3 — анод разряда; 4, 5 — входной и выходной спиральные элементы связи; 6 — плазма; 7 — локальный поглотитель; 8 — электронный пучок; 9 — коллектор, б — зависимость коэффициента усиления G плазменной ЛБВ от частоты / при различных значениях тока электронного пучка: 1 — 5,6 мА; 2 — 7,0 мА; 3 — 8,0 мА; 4 — 9,0 мА. Длина пространства взаимодействия I = 20 см, длина спиральных элементов связи /1 = 1 см, напряженность магнитного поля 1 кГс. в — коэффициент усиления G в зависимости от скорости пучка о。электронного пучка (vo = у 2(e/m) Vo , Vo — ускоряющее напряжение) при различных значениях тока пучка: 1 — 6,0 мА; 2 — 7,0 мА; 3 — 10,0 мА. Частота усиливаемого сигнала 4,2 ГГц, I = =10 см,厶=1,8 см. г — зависимость выходной мощности РвЫх от мощности входного сигнала РвХ

Макет, подобный, изображенному на рис. 4.4 а, был наполнен парами ртути, и поток электронов сам создавал плазму за счет ионизации газа на всей длине пролета. Величина максимального коэффициента усиления порядка 60 4- 70 дБ (см. рис. 4.4 5, при токе пучка в несколько миллиампер частота g夕 ~ 4ГГц). Когда в пространстве взаимодействия не было паров ртути (не было плазмы) коэффициент усиления изменялся от —10 дБ до нуля. При увеличении тока пучка кривые на рис. 4.4 5 смещались в сторону больших частот, поскольку возрастала плотность плазмы.

Зависимость коэффициента усиления G от скорости 少° электронного пучка (рис. 4.4 в) имеет вид, типичный для любых ЛБВ: максимальное значение величины G достигается при 少° близкой к фазовой скорости 少小 медленной волны в плазме, но при 少° немного больше 少小,при появлении значительного рассинхронизма, коэффициент усиления падает. При токах пучка〉10 мА была обнаружена вторая область усиления, для которой 少° значительно превосходит синхронную. Возможно, что эта область определяется интерференционным (крестатронным) усилением в ЛБВ [40], хотя при таком объяснении остается неясным, почему второй максимум на рис. 4.4 в больше «синхронного» 1).

Амплитудная характеристика плазменной ЛБВ (рис. 4.4 2)также имеет вполне стандартный вид. Однако авторы работы [39] указывают на ряд установленных ими особенностей. Главная из них — эффект насыщения выходной мощности связан не только с нелинейным механизмом, обычным для ЛБВ (колебания сгустка в потенциальной яме [26]), но и с тем, что колеблющиеся электроны плазмы после приобретения определенной амплитуды сами способны производить ионизацию. При этом увеличивается плотность плазмы, меняется рабочая точка, становясь сильно зависящей от уровня входной мощности.

Главный недостаток плазменной ЛБВ — опять-таки малоэффективные в данном случае элементы связи в виде отрезков спиральных замедляющих систем.

Нелинейная теория плазменной ЛБВ изложена в работах [32, 33]. При выводе основных уравнений предполагалось, что температура плазмы и пучка равна нулю, плазма — линейная и однородная среда — помещена в постоянное фокусирующее магнитное поле. Плазма полностью заполняет металлический цилиндрический волновод радиуса а, вдоль которого движется электронный пучок радиуса Ь. Решается самосогласованная задача, основными уравнениями которой являются уравнение возбуждения плазменного волновода электронным током и уравнение движения электронов в поле медленной плазменной электромагнитной волны и поле кулоновских сил.

В предположении разделения Е и Н волн в плазменном волноводе было получено уравнение для продольной компоненты электрического поля, решенное методом функций Грина. Как и в нелинейной теории

1) Ясно лишь, что при напряжениях〉1200 В и токах〉10 мА увеличивается плотность плазмы.

вакуумной ЛБВ (см. [41]) полное поле было разделено на поле бегущей электромагнитной волны Ez и поле кулоновских сил ^пз- Для основного типа колебаний в плазменном волноводе [32] можно записать

(4.5)(4.5)= £石九,

(4.5)

(4.5)

n 2, . . . целая часть J

где n — номер гармоники ^) ^п =，一(£「九/£?九)k (ks = ps/a, Jo(ps)= =0, Jo — функция Бесселя нулевого порядка, к соответствует s = 1, т. е. основному типу колебаний в плазменном волноводе), ern^ szn — значения радиальной и продольной компонент тензора диэлектрической проницаемости на частоте пз〉in — комплексная амплитуда n-й гармоники тока, Кп = 120тг/(к必？涵恥 J式р)) — аналог сопротивления связи в случае равномерного распределения тока по радиусу пучка (k° = g/c, р = ps при s = 1, J] — функция Бесселя первого порядка). В отличие от вакуумной в плазменной ЛБВ сопротивление связи возрастает с увеличением частоты, поэтому (несмотря на крутую дисперсию) необходимо /f min ]

учитывать все гармоники, для которых п < целая часть < >

(4.6)(4.6)Выражение для поля пространственного заряда внешне совпадает с используемым в теории вакуумной ЛБВ и имеет вид )

(4.6)

(4.6)

пз =乙狂o*SJ

где Sn — эффективная площадь сечения пучка, Гп — коэффициент депрессии на частоте пз. Для плазменного волновода в полосе частот, где распространяются медленные волны,

= 2・ (4・7)

(по?) — Зр

Как следует из выражения (4.7), коэффициенты депрессии могут принимать отрицательные значения, кроме того, при пз -^ шр Гп ^ оо. Отрицательные коэффициенты депрессии связаны с зарядами, наведенными в плазме. Последние при g < g夕 компенсируют силы расталкивания электронов пучка в сгустках и способствуют сжатию их. Это наиболее существенно отличает плазменную ЛБВ от вакуумной. Если, следуя работе [32], перейти к безразмерным величинам, то рабочие

у// min (&р, а。) 1

丿 Условие п С целая часть < 〉связано с тем, что в плазмен

ном волноводе с металлическими стенками медленные прямые волны могут распространяться лишь на частотах пз < min(a?p, о;。).

Рис. 4.5. Распределение амплитуд первой, второй и третьей гармоник поля бегущей волны вдоль длины пространства взаимодействия (а), распределение амплитуды поля бегущей волны вдоль длины пространства взаимодействия (б)Рис. 4.5. Распределение амплитуд первой, второй и третьей гармоник поля бегущей волны вдоль длины пространства взаимодействия (а), распределение амплитуды поля бегущей волны вдоль длины пространства взаимодействия (б)

Рис. 4.5. Распределение амплитуд первой, второй и третьей гармоник поля бегущей волны вдоль длины пространства взаимодействия (а), распределение амплитуды поля бегущей волны вдоль длины пространства взаимодействия (б)

Рис. 4.5. Распределение амплитуд первой, второй и третьей гармоник поля бегущей волны вдоль длины пространства взаимодействия (а), распределение амплитуды поля бегущей волны вдоль длины пространства взаимодействия (б)

уравнения нелинейной теории плазменной ЛБВ запишутся следующим образом:

将=—几2(] + bnCn)2j^(4.8)

где Еп = -2ClVQe~^zFn, in = IQe~^zIn, 0 =)eQz, 5 = ]27r=Ki/o/4Vb, /n = - J e"① dgo, Ф = g力一 yez, 7e = g/。。，夕。一фаза 7r огде Еп = -2ClVQe~^zFn, in = IQe~^zIn, 0 =)eQz, 5 = ]27r=Ki/o/4Vb, /n = - J e"① dgo, Ф = g力一 yez, 7e = g/。。，夕。一фаза 7r о竊=—(1 + Q 鴿 J Re { £ F…+£ГПЗЛ, (4.9)

где Еп = -2ClVQe~^zFn, in = IQe~^zIn, 0 =)eQz, 5 = ]27r

=Ki/o/4Vb, /n = - J e"① dgo, Ф = g力一 yez, 7e = g/。。，夕。一фаза 7r о

где Еп = -2ClVQe~^zFn, in = IQe~^zIn, 0 =)eQz, 5 = ]27r

=Ki/o/4Vb, /n = - J e"① dgo, Ф = g力一 yez, 7e = g/。。，夕。一фаза 7r о

влета электрона в пространство взаимодействия, Fn3 п = 74》/九£‘九①, q = —^―^ — параметр пространственного заряда, шре — плазменная частота электронного пучка, Сп — параметр усиления на частоте ncj, bn — параметр рассинхронизма электронов и волны на частоте

пз. Уравнение (4.8) — уравнение возбуждения только для попутной с пучком волны, уравнение (4.9) — уравнение движения электронов в поле попутной волны и в поле пространственного заряда. По внешнему виду система уравнений (4.8) и (4.9) такая же как и для вакуумной ЛБВ. Однако из-за отрицательных значений коэффициента депрессии результаты должны быть иные.

Численные расчеты показали, что КПД плазменного аналога ЛБВ может быть порядка 0,6 при Ci = 0,25; длина, на которой достигается эффект насыщения мощности, значительно меньше, чем в вакуумной ЛБВ. Доказано, что, помимо основной гармоники, в плазменной ЛБВ возбуждаются и все высшие гармоники, которые попадают в полосу распространения прямых медленных волн. В качестве примера на рис. 4.5 а представлены зависимости безразмерных амплитуд трех гармоник поля (они попали в полосу распространения) от безразмерной

длины пространства взаимодействия [33]. При выбранных параметрах (g/* = 0,3, Зс13P = 1,1, q = -0,14, Г2/Г1 = 2,4, Г3/Г1 = 3,3, С± = =0,11, М =匕2 = 1,5, Q = 0,12, Оз = 0,187, Ьз = 4,6) КПД в точкедлины пространства взаимодействия [33]. При выбранных параметрах (g/* = 0,3, Зс13P = 1,1, q = -0,14, Г2/Г1 = 2,4, Г3/Г1 = 3,3, С± = =0,11, М =匕2 = 1,5, Q = 0,12, Оз = 0,187, Ьз = 4,6) КПД в точкенасыщения первой гармоники равеннасыщения первой гармоники равен1где 〃九=一21где 〃九=一2/СМ3 Cr\Fn\2【。九丿 2(1 + bnCn)2/СМ3 Cr\Fn\2【。九丿 2(1 + bnCn)2П\П\=0,41, 772 = 0,005 и 〃з = 0,01,=0,41, 772 = 0,005 и 〃з = 0,01,На рис. 4.5 6 распределение поля по длине волновода приведено дляНа рис. 4.5 6 распределение поля по длине волновода приведено для

длины пространства взаимодействия [33]. При выбранных параметрах (g/* = 0,3, Зс13P = 1,1, q = -0,14, Г2/Г1 = 2,4, Г3/Г1 = 3,3, С± = =0,11, М =匕2 = 1,5, Q = 0,12, Оз = 0,187, Ьз = 4,6) КПД в точке

длины пространства взаимодействия [33]. При выбранных параметрах (g/* = 0,3, Зс13P = 1,1, q = -0,14, Г2/Г1 = 2,4, Г3/Г1 = 3,3, С± = =0,11, М =匕2 = 1,5, Q = 0,12, Оз = 0,187, Ьз = 4,6) КПД в точке

насыщения первой гармоники равен

насыщения первой гармоники равен

1

где 〃九=一2

1

где 〃九=一2

/СМ3 Cr\Fn\2

【。九丿 2(1 + bnCn)2

/СМ3 Cr\Fn\2

【。九丿 2(1 + bnCn)2

П\

П\

=0,41, 772 = 0,005 и 〃з = 0,01,

=0,41, 772 = 0,005 и 〃з = 0,01,

На рис. 4.5 6 распределение поля по длине волновода приведено для

На рис. 4.5 6 распределение поля по длине волновода приведено для

случая, когда вторая гармоника попадает в запретную полосу частот и не возбуждается. Однако из-за весьма эффективного взаимодействия пучка с наведенными в плазме зарядами модуляция тока на второй гармонике возрастает. Амплитуда поля довольно быстро «насыщается» на сравнительно низком уровне, а затем начинает падать (см. рис. 4.5 б). Взаимодействие пучка с наведенными зарядами на второй гармонике мешает отдавать ему энергию ВЧ-полю на основной частоте.

Проблема ввода и вывода энергии в системе плазма— электронный пучок. Уже неоднократно указывалось, что, по- видимому, основным затруднением нерелятивистской плазменной электроники являются элементы ввода и вывода энергии в электронноплазменных приборах. Обычные способы создания таких элементов при продвижении в коротковолновый диапазон сводили на нет все преимущества систем плазма-пучок. Нужны были конструкции, не содержащие мелкоструктурных элементов.

Например, предложенный в работе [42] элемент, представляет собой цилиндрический резонатор, заполненный плазмой, плотность которой в продольном направлении изменяется по синусоидальному закону. Поскольку электронный поток должен проходить вдоль оси z резонатора, то при соответствующей конфигурации поля пучок можно эффективно модулировать по скорости (входной элемент). Исследования показали, что на низших типах ТМ-колебаний (при отсутствии плазмы возбуждается ТМ-вид колебаний цилиндрического резонатора), поле максимально в центре резонатора и величина максимума увеличивается при приближении резонансной частоты резонатора к максимальной плазменной частоте. Понятно, что сгруппированный пучок в таком резонаторе также будет эффективно возбуждать ВЧ-поля (выходной элемент). Изменение плотности плазмы в продольном направлении в резонаторе эквивалентно наличию трубок дрейфа в обычном резонаторе клистрона, где трубки дрейфа, нагружая емкостным образом резонатор, уменьшают его резонансную частоту по сравнению с цилиндром. В резонаторе же с плазмой с увеличением плотности плазмы размер резонатора нужно увеличивать, чтобы удержать постоянной резонансную частоту. Очевидный выигрыш достигается в мм-диапазоне длин волн.

Предлагался и плазменно-лучевой генератор с непосредственным излучением на частоте примерно вдвое больше плазменной [1]. Это уже совсем «близкий родственник» приборов релятивистской плазменной электроники. Идея состояла в следующем. Два противоположно направленных электронных пучка проходят через

плазму и переносят волновые возмущения вида exp [J (uit — kiz)] и exp 匕(公2力—衣2?)]・ За счет связи волн в плазме возникает возмущение exp [J {(g1 + g2)力-(k1 -k2)?}]. Если g1 =g2, то в плазме возмущение изменяется как ехр 仃{(2g力—隔一后"}]. Пусть 任 и 后 выбраны так, что Re {2幻/(衣1 —衣2)} > с (с — скорость света в вакууме). Тогда в плазме возбуждается быстрая волна, которая излучается непосредственно на частоте второй гармоники.

В заключение этого раздела заметим, что с возможностью использовать сильноточные релятивистские электронные пучки во многом исчезла проблема ввода/вывода СВЧ-сигнала. Релятивистский электронный пучок позволяет возбуждать быстрые плазменные волны, достаточно легко излучаемые из плазмы. Это и дало толчок к новому витку развития плазменной СВЧ-электроники — теперь уже релятивистскому. Создание же плазменных усилителей и генераторов в нерелятивистской области пошло по пути использования в качестве замедляющих структур комбинированных пучково-плазменных систем, в которых определяющую роль в возбуждении колебаний играет пучково-плазменное взаимодействие, а для вывода энергии используется периодическая волноведущая структура [2-4,43,44].

Плазменная СВЧ-электроника: релятивистский виток

Как уже обсуждалось во введении, положение в плазменной СВЧ-электронике существенно изменилось с начала 70-х годов, когда была решена проблема создания сильноточных релятивистских электронных пучков с токами 1 4- 10 кА и энергией электронов 〉1 МэВ. Теоретическое расмотрение задачи инжекции в плазму релятивистского пучка показало, что инкремент развития пучковой неустойчивости уменьшается с ростом релятивистского фактора электронов 7 [45], т. е.

что приводит к увеличению длины релаксации пучка в плазме. Из- за увеличения длины релаксации возрастает коэффициент эффективности передачи энергии пучка плазменным волнам (КПД), который в случае релятивистского пучка равен [46]

L I)+ 1)• (4・П) пьтс (7 — 幺 у

Данная формула справедлива только при малых КПД (〃《1). Численное моделирование показало, что максимальный КПД преобразования энергии релятивистского пучка плазменным волнам составляет 30 + 35% [7].

Первый успешный эксперимент по генерации мощного СВЧ-излучения в плазменном волноводе был проведен в 1982 г. в лаборатории физики плазмы Института общей физики АН СССР [47,48].

Рис. 4.6. Схема плазменного релятивистского генератора (из работы [9])Рис. 4.6. Схема плазменного релятивистского генератора (из работы [9])Схема плазменного релятивистского генератора (ПРГ) сверхвысокочастотного диапазона почти не изменилась с 1982 г. [9-11, 49]. Схематический вид ПРГ представлен на рис. 4.6. Импульс высокого напряжения подается на катод ускорителя 1. Электронный пучок 2 инжектируется вдоль оси круглого металлического волновода 3, предварительно заполненного трубчатой плазмой 4. Пучок и плазма помещены в однородное продольное магнитное поле В. Электроны пучка имеют только продольную компоненту скорости. Длина электронного пучка ограничивалась торцом центрального проводника 5 коаксиального выходного излучающего устройства 6. СВЧ-волна генерируется в плазменном волноводе, затем распространяется по вакуумному коаксиальному волноводу 6 и потом излучается рупором 7. Трубчатая плазма имеет диаметр больше диаметра пучка и не попадает в диод сильноточного ускорителя. Все поперечные размеры (пучок, плазма, волновод), а также плотность плазмы и пучка, величина магнитного поля постоянны вдоль длины системы.

Рис. 4.6. Схема плазменного релятивистского генератора (из работы [9])

Рис. 4.6. Схема плазменного релятивистского генератора (из работы [9])

Значительная часть энергии, волной, содержит

ся в вакуумном зазоре между плазмой и стенкой волновода. Близость структуры поля этой части плазменной волны к структуре ТЕМ-волны коаксиального излучающего устройства, большая фазовая скорость, близкая к скорости света, обеспечивают высокую эффективность вывода энергии плазменной волны в коаксиальное излучающее устройство. Применение коаксиального выходного волновода обеспечивает возможность эффективного вывода илучения в широкой полосе частот.

Рассмотрим экспериментальные результаты, полученные на ПРГ [9]. На рис. 4.7 представлены спектры генерации ПРГ при разных значениях плотности плазмы [50,51]. Видно, что средняя частота излучения возрастает от 4 ГГц до 30 ГГц с увеличением плотности плазмы от 4 • 1012 см-3 до 7 • 1013 см-3.

Зависимость среднего значения частоты ПРГ от плотности плазмы приведена на рис. 4.8. Там же представлена теоретическая зависимость (сплошная линия), рассчитанная для усилителя, на вход которого подается спектр частот в полосе от 0 4- 40 ГГц. Видно, что зависимость средней частоты от плотности плазмы в эксперименте хорошо совпадает с расчетом. Генерация в плазменном СВЧ-генераторе возникает в полном соответствии с теорией при плотности плазмы пр > 3 • 1012 см-3. Теоретическая кривая находится в хорошем соответствии с экспериментом. Незначительное расхождение наблюдается только в области высоких значений плотности плазмы. На рис. 4.8 также указана измеренная ширина спектра. Однако точность измерения ширины спектра в эксперименте невелика [9]; можно только утверждать, что ширина

Рис. 4.7. Спектры частот плазменного релятивистского СВЧ-генератора при различных значениях плотности плазмы (1013см-3): а — 0,4, б— 0,8, в — 2,3, г — 4,4, д — 6,0, е — 7,0. На каждом из рисунков указана полная энергия СВЧ-импульса в джоулях (из работы [9])

спектра не превосходит указанной на рисунке и не меньше, чем половина от приведенной на рисунке. Поэтому из рис. 4.8 следует, что ширина спектра ПРГ либо больше, либо равна расчетному значению ширины спектра усилителя.

Длительность СВЧ-импульса в эксперименте была равна 25 нс во всем диапазоне значений плотности плазмы. Тогда 1 Дж соответствует мощности 40 МВт, а КПД генерации при этом равен 0,04. Важным является то, что при изменении плотности плазмы от 1013 см-3 до 7 • 1013 см-3 мощность СВЧ-излучения оставалась почти постоянной. Это говорит о том, что ПРГ является генератором, в котором удается осуществить в широком диапазоне перестройку частоты генерации с постоянной эффективностью без изменения геометрии рабочей камеры прибора.

Таким образом, основная особенность ПРГ заключается в возможности перестройки частоты генерации в широких пределах (4 4- 28 ГГц) за счет изменения плотности плазмы при примерном постоянстве мощности СВЧ-излучения. Спектр излучения ПРГ довольно широк

Рис. 4.8. Экспериментальная зависимость частоты СВЧ-излучения от плотности плазмы пр и плазменной частоты шр/2тг. Вертикальные отрезки определяют границы измеренного спектра и соответствуют рис. 4.7. Согласно теоретическим данным в заштрихованной области частот находится спектр излучения, имеющий уровень спектральной плотности 0,3 от максимального значения. Расчет выполнен для шс》公夕,в эксперименте “с/27r = 62 ГГц (из работы [9])Рис. 4.8. Экспериментальная зависимость частоты СВЧ-излучения от плотности плазмы пр и плазменной частоты шр/2тг. Вертикальные отрезки определяют границы измеренного спектра и соответствуют рис. 4.7. Согласно теоретическим данным в заштрихованной области частот находится спектр излучения, имеющий уровень спектральной плотности 0,3 от максимального значения. Расчет выполнен для шс》公夕,в эксперименте “с/27r = 62 ГГц (из работы [9])

Рис. 4.8. Экспериментальная зависимость частоты СВЧ-излучения от плотности плазмы пр и плазменной частоты шр/2тг. Вертикальные отрезки определяют границы измеренного спектра и соответствуют рис. 4.7. Согласно теоретическим данным в заштрихованной области частот находится спектр излучения, имеющий уровень спектральной плотности 0,3 от максимального значения. Расчет выполнен для шс》公夕,в эксперименте “с/27r = 62 ГГц (из работы [9])

Рис. 4.8. Экспериментальная зависимость частоты СВЧ-излучения от плотности плазмы пр и плазменной частоты шр/2тг. Вертикальные отрезки определяют границы измеренного спектра и соответствуют рис. 4.7. Согласно теоретическим данным в заштрихованной области частот находится спектр излучения, имеющий уровень спектральной плотности 0,3 от максимального значения. Расчет выполнен для шс》公夕,в эксперименте “с/27r = 62 ГГц (из работы [9])

(△/// ~ 30 %), что также делает данный прибор перспективным для решения ряда прикладных задач.

Рассмотрим теперь экспериментальные результаты по плазменному релятивистскому усилителю СВЧ-диапазона [9,52].

Схема установки представлена на рис. 4.9. Трубчатая плазма 1 со средним радиусом 7,5 мм и толщиной 1 мм расположена в продольном магнитном поле с индукцией 1,6 Тл в цилиндрическом металлическом волноводе 2 с радиусом 22 мм. Плазма создается в разряде с горячим катодом в газе ксеноне. Потенциал катода 600 В, ток разряда ~ 100 А, давление газа 3,5 • Ю-4 Тор. Вдоль оси волновода распространяется трубчатый релятивистский электронный пучок 3 со следующими параметрами: энергия ускорения электронов 550 МэВ, ток 1,5 кА, длительность импульса 150 нс, средний радиус пучка 10 мм, толщина пучка 1 мм. На входе усилителя расположен СВЧ-преобразователь 4, возбуждающий во входном коаксиальном волноводе ТЕМ-волну, которая

Входной сигналВходной сигнал33Выходной сигналВыходной сигналРис. 4.9. Схема плазменного релятивистского СВЧ-усилителя (из работ [9,52])Рис. 4.9. Схема плазменного релятивистского СВЧ-усилителя (из работ [9,52])

Входной сигнал

Входной сигнал

3

3

Выходной сигнал

Выходной сигнал

Рис. 4.9. Схема плазменного релятивистского СВЧ-усилителя (из работ [9,52])

Рис. 4.9. Схема плазменного релятивистского СВЧ-усилителя (из работ [9,52])

далее трансформируется в быструю и медленную волны плазменного волновода. Медленная плазменная волна усиливается релятивистским пучком, и далее трансформируется в ТЕМ-моду выходного металлического коаксиального волновода и излучается выходным коаксиальным рупором 5 большого сечения. Длина, на которой происходит взаимодействие пучка с плазмой, равна 29 см.

Для развязки входа и выхода усилителя использовался поглотитель 6, коэффициент поглощения которого составлял 20 дБ для ТЕМ-волны в коаксиальном волноводе с внутренним радиусом 5 мм и внешним радиусом 22 мм и 50 дБ для TMqi-волны в круглом волноводе радиуса 22 мм.

В качестве источника входного СВЧ-сигнала использовались два импульсных магнетрона. Параметры первого следующие: частота генерации 12,9 ГГц, длительность импульса 2 мкс, мощность 75 кВт. Параметры второго магнетрона соответственно 9,1 ГГц, 20 мкс и 40 кВт.

Если на вход подавался сигнал с частотой /1 = 9,1 ГГц при ДД = =0,51 ГГц с мощностью 40 кВт, то на выходе наблюдалось усиленное излучение с той же частотной характеристикой при выходной мощности 8 МВт. Коэффициент усиления в данном случае составлял величину К = 200 [53]. Усиление имело место в области плотностей плазмы 3 • 1012 см-3 < пр < 3 • 1013 см-3. Если же на вход подавался сигнал, генерируемый первым магнетроном при △/ = 0,29 ГГц с мощностью 75 кВт, то на выходе имело место излучение с той же частотной характеристикой и мощностью 3 МВт, т. е. коэффициент усиления был равен 40. Усиление в этом случае имело место в области плотностей плазмы 1 • 1013 см-3 < пр < 3 • 1013 см-3. Существует и диапазон плотностей плазмы, в котором режим усиления реализуется одновременно на обеих частотах подаваемого на вход сигнала. Это имеет место при плотности плазмы пр 〜1,2 • 1013 см-3.

Кратко остановимся на теоретическом описании генерации и усиления СВЧ-излучения в черепковских плазменных релятивистских устройствах.

Простейшая теоретическая модель плазменного СВЧ-усилителя представляет собой прямолинейный релятивистский пучок, распространяющийся в сильном продольном внешнем магнитном поле параллельно оси металлического волновода радиуса R с плазменным заполнением. Пучок инжектируется в волновод в плоскости z = 0, а в плоскости z = L расположен коллектор и начинается система вывода излучения (рупор). Плазма и пучок однородны вдоль оси волновода, холодные, полностью замагниченые и нейтрализованные по заряду и току. В поперечном сечении волновода пучок и плазма являются тонкими трубчатыми со средними радиусами 厂匕 < R,厂夕 < А и толщиной Z и Др соответственно, причем △夕力《гр,ь-

Общие нелинейные уравнения, описывающие усиление в такой системе, для электромагнитного поля волны £7-типа и индуцированных

в плазме и пучке токов записываются в виде [12,13]:

д д д З 1 З2 "I

=-rb)jb + ApJp(r - 丁夕)％) ,(4.12)

jb = e几bj 。(z"o)b (方-力(生方0)) d力o, 笳=e^Ez,

(4.13)(4.13)

(4.13)

(4.13)

_dz2 с2 dt2\

Здесь Ez — продольная составляющая напряжености электрического поля,吵—поляризационный потенциал,几匕—невозмущенная плотность электронов пучка. Индуцированный в плазме ток ^ определяется в линейном приближении 1), а для тока пучка ^ используется модель, основанная на вычислении характеристик уравнения Власова электронов пучка и представлении его функции распределения в виде интеграла по начальным данным [7,55]. При этом 力(z,力°) и o(z,力°) есть решения характеристической системы уравнений Власова

dt 1dz vdt 1dz v(4.14)(4.14)

dt 1

dz v

dt 1

dz v

(4.14)

(4.14)

(〃 一удельный заряд электрона) с начальными условиями

力(z = 0)=力 °,少(z = 0) = u.(4.15)

Из системы уравнений (4.12)—(4.15) следует дисперсионное уравне

ниениеDpDb =DpDb =п22-34п22-34(4.16)(4.16)

ние

ние

DpDb =

DpDb =

п22-34

п22-34

(4.16)

(4.16)

которое описывает спектры собственных колебаний рассматриваемой системы. Здесь

2 22-32

。夕=/ —— J")? -*(4」7)

—дисперсионные функции, нули которых определяют спектры волн в невзаимодействующих плазме и электронном пучке [56]; J — параметр, характеризизующий степень связи пучковых и плазменных волн; параметры k^p и к：匕 имеют смысл квадратов поперечных волновых чисел волн плазмы и пучка; g — частота; kz — продольное волновое число; шр и шь — ленгмюровские частоты электронов плазмы и пучка

соответственно; и — невозмущенная скорость электронов пучка; %2 = =居-//с?.

Параметр связи J обладает следующими свойствами: при гь = гр величина ^ = 1; во всех остальных случаях параметр ^ < 1. При увеличении частоты g величина J сильно уменьшается.

Вблизи тех g и к, где дисперсионные функции (4.17) одновременно обращаются в ноль, имеется сильное черепковское (одночастичное или коллективное) взаимодействие между пучком и плазмой. Это возможно только в области g < kzc, где пучковые и плазменные волны являются поверхностными. В частности, спектр поверхностной плазменной волны в наиболее важном длинноволновом пределе kz ^ 0 дается формулой [56]

幻 _ UJpkzC

где квадрат поперечного волнового числа плазменной волны определяется выражением (для азимутально-симметричного случая)

k；p = (грДр In (Н/?^))Т . (4.19)

Волна со спектром (4.18) называется плазменной кабельной волной [7, 57]. С увеличением волнового числа kz 〉1/R фазовая скорость волны (4.18) сильно уменьшается, и волна становится потенциальной.

Для к：ь в длинноволновом пределе также справедлива формула (4.19), но с заменой индекса р на Ь. При этом из второго соотношения (4.17) легко определяются спектры пучковых волн — быстрой и медленной [7,12,13]. Медленная волна пучка имеет отрицательную энергию, что и приводит к неустойчивости пучка в плазме. Частота, на которой фазовая скорость поверхностной плазменной волны (4.18) совпадает со скоростью пучка а, называется частотой одночастичного черепковского резонанса (резонанс «волна-частица»). Та частота, на которой фазовая скорость плазменной волны равна фазовой скорости медленной волны пучка, называется частотой коллективного черепковского резонанса (резонанс «волна-волна»). С уменьшением g частота одночастичного резонанса уменьшается и при

若 о = kj^2)2 (4.20)

обращается в нуль [12,57]. Если плазменная частота меньше пороговой частоты (4.20), то одночастичный черепковский резонанс невозможен. Однако отсутствие резонанса не означает отсутствия вынужденного черепковского излучения, т. е. отсутствия усиления. При большой плотности электронного пучка реальный порог значительно ниже определенного формулой (4.20).

Усиление волн в пучково-плазменной системе в зависимости от ее параметров (в первую очередь, шрп\гь — гр\/R) возможно в различных областях частот. Так, если коэффициент связи J 〜1, то усиливаются волны в широкой полосе частот, практически от нуля до частоты, превышающей частоту резонанса «волна-волна». Такие широкополое-

ные плазменные усилители называют томсоновскими. Когда же коэффициент связи J《1, усиление происходит в узкой полосе частот, а соответствующие узкополосные плазменные усилители называют рамановскими [12,57,58].

На рис. 4.10 а приведены, как функции плазменной частоты g夕, наиболее важные для пучково-плазменного взаимодействия частотные характеристики. Кривая 1 изображает верхнюю по частоте границу полосы усиления, кривая 2 — нижнюю границу. Видно, что усиление возможно лишь на частотах, заключенных между линиями 1 и 2. Кривая 3 определяет частоты, на которых коэффициент усиления максимален. Кривая 4 задает частоту коллективного резонанса, а кривая 5 — частоту одноночастичного резонанса. Кривые получены для реальной экспериментальной системы со следующими параметрами: R = 1,8 см, гр = 1,1 см, гь = 0,6 см, Др = Д& = 0,1 см, ток пучка /ь = 2 кА,)= 2.

Из рис. 4.10 а видно, что усиление возникает только при превышении частотой Зр некоторого порогового значения. На рисунке порог отмечен вертикальной прямой А. Этот порог оказывается примерно вдвое ниже, чем рассчитанный по формуле (4.20), что связано с большой величиной тока пучка.

Далее имеется определенный диапазон плазменных частот (между вертикальными линиями А и D), для которого нижняя граница полосы усиления равна нулю — зона томсоновского усиления. При еще больших плазменных частотах (правее вертикальной прямой D) нижняя граница полосы усиления становится отличной от нуля и происходит сужение полосы усиливаемых частот с ростом g夕一зона рамановского усиления. В свою очередь, зоны томсоновского и рамановского усиления подразделяются на промежуточные области (прямые В, С и Е). Из рис. 4.10 а также видно, что с ростом g夕 существенно сужается полоса усиления, повышается частота максимального усиления (кривая 3), причем в итоге она сливается с частотой коллективного резонанса (кривая 4). Таким образом, при повышении частоты и больших токах пучково-плазменное взаимодействие носит все более коллективный характер, что связано с уменьшением коэффициента J при увеличении з. Напротив, частота одночастичного резонанса (кривая 5) с ростом частоты все более уходит в сторону от кривой 3. Более того, как видно из рис. 4.10, на частоте одночастичного резонанса усиление в конце концов вообще пропадает (см. вертикальную линию Е) [13].

На рис. 4.10 5 показана зависимость максимального коэффициента усиления от плазменной частоты шр (величина bk = |Im kz\ вычисленна вдоль кривой 3 рис.4.10 а) для систем с теми же параметрами, для которых построен рис. 4.10 а. Видно, что имеется некоторая оптимальная плазменная частота, при которой реализуется абсолютный максимум коэффициента усиления. На рис. 4.10 в изображены коэффициенты усиления для системы с теми же параметрами, что и на предыдущих двух рисунках, но в зависимости от частоты g и для различных g夕： 1 - 15 • 1010, 2 — 25 • 10。3 — 35 • 10? 4 — 45 • 10】° рад/с. На этом рисунке, кривые 1 и 2 весьма характерны для зависимостей коэффици-

'“010203040 со^ДО10 рад/с

3左,см~1

0,16

0,120,120,080,080,040,04Оs

0,12

0,12

0,08

0,08

0,04

0,04

&0510152025 со^ДО10 рад/с

Рис. 4.10. а — важнейшие частоты плазменного усилителя в зависимости от плазменной частоты: 1 — верхняя граница полосы усиления, 2 — нижняя граница полосы усиления, 3 — частота максимального коэффициента усиления, 4 — частота коллективного резонанса, 5 — частота одночастичного резонанса, б— зависимость максимального коэффициента усиления от плазменной частоты, в — зависимости коэффициентов усиления от частоты для различных плазменных частот. Кривая 1 соответствует 公夕=15 • 1010 рад/с, 2 — 25 • 1010 рад/с, 3 — 35 • 1010 рад/с, 4 — 45 • 1010 рад/с

ентов усиления от частоты широкополосного томсоновского усилителя, а кривые 3 и 4 характерны для рамановского режима усиления.

Вернемся к анализу исходной нелинейной системы уравнений (4.12)—(4.15). Общие уравнения (4.12) и (4.13) преобразуются к виду, удобному для решения задачи усиления волн с учетом следующих факторов:

поперечная структура поля волн в плазменно-пучковом волноводе заранее неизвестна, а устанавливается самосогласованно по мере продвижения в область больших z;

не обязательно задан частотный спектр усиливаемого сигнала, а следовательно, необходимо рассматривать одновременное усиление разночастотных волн, взаимодействующих между собой на нелинейной стадии;

у всех эффективно усиливаемых пучком волн продольные волновые числа близки к частоте волны, деленной на невозмущенную скорость пучка.

Эти соображения позволяют представить поляризационный потенциал поля 吵 в виде [9,13]

= 9п(г 丄)Ё [4s ⑶ £—"◎("/〃)+ К.С.],(4.21)

&(Qbs〃s + js) — КС&(Qbs〃s + js) — КСjs — 9(s)oi，bsL sPsjs — 9(s)oi，bsL sPsгде Q — некоторая малая частота, с помощью которой осуществляется «дискретизация» спектра усиливаемого сигнала. По порядку величины Q = 2тг/Т, где Т удобно выбрать равной длительности импульса тока пучка. Представление (4.21) позволяет вместо интеграла Фурье по частотам воспользоваться рядом Фурье. С учетом (4.21) система (4.12) и (4.13) преобразуется в следующие нелинейные уравнения релятивистского плазменного СВЧ-усилителя [9, 12, 13], записанные относительно новых безразмерных переменных у = Q(力(z,力°) — z/u)^ 死=(〃 一 “z,力o))/°(z,力о)：

&(Qbs〃s + js) — КС

&(Qbs〃s + js) — КС

js — 9(s)oi，bsL sPs

js — 9(s)oi，bsL sPs

klp(s)u2y2klp(s)u2y2Qbs =Qbs =kib(s)u2y2kib(s)u2y2

klp(s)u2y2

klp(s)u2y2

Qbs =

Qbs =

kib(s)u2y2

kib(s)u2y2

где

(4.23)

а величины к丄b(s), к丄夕(s), Os совпадают с соответствующими величинами линейной теории, но с заменой g —> sQ. Эффективность усилителя определяется как относительная часть потока кинетической энергии пучка, преобразованная в поток энергии излучения [13, 59]. Таким образом,

2 开 /2\ —1/2

〃 = 1 —亦](1 + 2)2(；)衣) dgo・ (4.24)

Система уравнений (4.22) дополняется граничными условиями. Для усилителя они задаются на входной границе z = 0 и в достаточно общем виде записываются в форме [13,59]:

九(£ = о) == 0) = о,

g(§ = о) = go + } £ [bsa(sgo+0s)+ к.с.],沙。е [о, 2»].(丄^)

Здесь 7so — подаваемые на вход усилителя плазменные колебания, д° соответствует невозмущенному пучку, а второе слагаемое во втором соотношении (4.25) — модуляции пучка по плотности.

Рассмотрим результаты численного решения уравнений нелинейной теории (4.22)—(4.25). Для определенности рассмотрим случай, когда плазменные колебания на входе равны нулю, т.е. 7so = 0. При этом пучок на входе усилителя предполагается слабо модулированным по плотности: \bs\ = 0,01 4- 0,05. Для анализа эффективности усиления достаточно рассмотреть усиление монохроматического сигнала, т. е. использовать граничные условия (4.25) только с одним отличным от нуля слагаемым 拆 济 0, 62,3,... = 0.

На рис. 4.11 а показаны максимальная эффективность усиления монохроматического сигнала и оптимальная длина пространства взаимодействия усилителя, на которой эта эффективность достигается, в зависимости от g夕.Расчеты были проведены для частоты Q (см. соотношение (4.21)), соответствующей кривой 3 на рис. 4.10 а и Ь]= =0.01. Из рисунка видно, что эффективность усилителя довольно высока во всем рассматриваемом диапазоне плазменных частот [59], а оптимальная длина невелика и в широкой полосе частот практически не зависит от плазменной частоты. Особенно высока эффективность около порога возникновения усиления [9,59], где длина усилителя резко возрастает.

На рис. 4.11 5 для нескольких плазменных частот представлены спектры плотности излучения на выходе усилителя с оптимально подобранной длиной, когда выходная мощность достигает максимума. Спектральная же плотность входного сигнала была при этом равномерно распределена во всем представленном на рисунке частотном диапазоне. Кривые 1—4 на рис. 4.11 5 рассчитаны в точности для тех же

Дотн.ед.Дотн.ед.Рис. 4.11. Зависимость эффективности усиления (сплошная линия) и оптимальной длины пространства взаимодействия (штриховая линия) (а); спектральные плотности излучения на выходе усилителя для различных плазменных частот (б)Рис. 4.11. Зависимость эффективности усиления (сплошная линия) и оптимальной длины пространства взаимодействия (штриховая линия) (а); спектральные плотности излучения на выходе усилителя для различных плазменных частот (б)

Дотн.ед.

Дотн.ед.

Рис. 4.11. Зависимость эффективности усиления (сплошная линия) и оптимальной длины пространства взаимодействия (штриховая линия) (а); спектральные плотности излучения на выходе усилителя для различных плазменных частот (б)

Рис. 4.11. Зависимость эффективности усиления (сплошная линия) и оптимальной длины пространства взаимодействия (штриховая линия) (а); спектральные плотности излучения на выходе усилителя для различных плазменных частот (б)

параметров, что и соответствующие кривые bk(G)линейной теории на рис. 4.10 £ Видно, что излучение сосредоточено в несколько более узкой полосе частот, чем предсказывает линейная теория, что обусловлено нелинейной конкуренцией волн. Максимум же спектральной плотности соответствует максимуму зависимости линейного коэффициента усиления Sk от частоты. Относительная ширина спектров излучения и их центральная частота сильно зависят от плазменной частоты.

В представленной выше теории плазменного СВЧ-усилителя предполагается, что все усиленное пучком электромагнитное излучение беспрепятственно покидает объем усилителя через границу z = L. На самом деле на выходной границе z = L усиливаемая пучком плазменная волна частично отражается и возвращается на вход системы z = =0. Это может служить причиной самовозбуждения усилителя, т. е. начала генерации излучения. Поэтому при рассмотрении плазменного релятивистского СВЧ-генератора полагают, что на входе системы z = 0 расположена металлическая сетка, прозрачная для электронов пучка и непрозрачная для излучения. Выходная граница z = L является переходом от плазменного волновода к излучающему рупору. Излучающий рупор представляет собой коаксиальный вакуумный волновод с внешним радиусом Я, как и у плазменного волновода, и внутренним

R

Рис. 4.12. Частотные зависимости коэффициентов отражения от правой границы системы для различных плазменных частот

радиусом го, несколько большим среднего радиуса плазменной трубки гр. При переходе через границу z = L плазменная кабельная волна трансформируется в волну коаксиального волновода. При этом происходит изменение фазовой скорости и структуры СВЧ-поля волны, что и является причиной частичного отражения падающей слева на излучающий рупор плазменной волны.

Для определения коэффициентов отражения плазменной волны по R от границы z — L разработаны специальные численные методы [60], основанные либо на прямом решении стационарной дифракционной задачи, либо на определении времени вытекания СВЧ-поля из плазменного резонатора. Имеются и аналитические приближенные формулы [61]. Все вышеназванные подходы дают близкий результат. Поэтому при разработке теории плазменного СВЧ-генератора считается, что коэффициент отражения R плазменной волны известен. На рис. 4.12 изображены зависимости коэффициента отражения R(g) от частоты, рассчитанные при гр = 1,1 см и го = 1,15 см для четырех значений плазменной частоты — тех же, что и на рисунках 4.10 и 4.11. Вертикальными прямыми отмечены частоты, на которых коэффициенты усиления (см. рис. 4.10) и спектральные плотности излучения усилителя (см. рис. 4.11) достигают максимумов. Видно, что значения коэффициента отражения весьма велики, пики и изломы на кривых, представленных на рис. 4.12, возникают при близости частоты g к частотам отсечки системы.

Перейдем теперь к рассмотрению теории плазменного релятивистского генератора. При построении линейной теории плазменного СВЧ-генератора в основу кладут линеаризованные уравнения (4.12)— (4.15), общее решение которых в плазменной области системы при 0 < < z < L записывается в виде

4

吵=£ Ajejk^z, (4.26)

где kzj = kz$(3)— корни дисперсионного уравнения (4.16). Это уравнение имеет четвертую по kz степень, поэтому решение (4.26) содержит четыре слагаемых. Постоянные Aj определяются с учетом конкретизированных выше граничных условий на концах системы z = 0 и z = L. Результатом является уравнение для определения комплексных частот ПРГ [7,61]

з

1 = R(g) £ q%(g)U•(6(⑺一з4(⑴)厶，(4.27)

где a% — известные из теории коэффициенты трансформации волн при z = 0 [7]. Таким образом, если величина коэффициента отражения R(g) известна, то расчет плазменного генератора в линейном приближении сводится хотя и к сложной, но алгебраической задаче (4.27).

Основной результат линейной теории состоит в том, что к частоте, близкой к частоте коллективного резонанса и являющейся частотой генерации ПРГ, добавляется мнимая поправка 5g, обусловленная передачей энергии от пучка резонатору и выносом энергии из резонатора через рупор [7,61,62]. Она записывается так:

独=3•農(\ImSk\L 一 ln(q/|R|)) .(4.28)

Здесь 幻—резонансная частота, величина Sk определяется из рис. 4.11 a, q — постоянная (в пределах от 2 до 3). Формула (4.28) справедлива, если gL/u》1 и групповая скорость плазменной волны близка к скорости пучка и.

Из соотношения (4.28) следует условие самовозбуждения плазменно-пучкового резонатора [12,13,60]:

\Im3k\L = 1п(^/|Я|),(4.29)

откуда определяются пусковые параметры генератора. Как и в теории вакуумных приборов с длительным взаимодействием О-типа, это или пусковой ток пучка или пусковая длина резонатора. При токах больших, чем пусковые (либо при длине системы большей пусковой) возникает генерация сверхвысокочастотного излучения. Из рис. 4.11 а (сплошная линия) и рис. 4.12 легко оценить стартовую длину. Если плазменная частота не слишком близка к критической, то пусковая длина находится в диапазне от 10 см до 15 см. Если теперь обратиться к рис. 4.11 а (штриховая линия), на котором представлена оптимальная длина усилителя, то окажется, что она больше пусковой. Следовательно, усилитель либо переходит в режим генерации, либо его длину следует делать меньше, увеличив при этом уровень входного сигнала (для сохранения оптимальной эффективности), либо следует улучшить согласование плазменного резонатора с излучающим рупором.

Нелинейная теория ПРГ строится на основе метода крупных частиц [63]. В этом случае в уравнениях (4.12) интегральное выражение для

jb заменяется соотношением вида

%伉方)=^^力•⑴-刁(方))，(4・30)

где Л — некоторая характерная длина, N — число крупных частиц на участке невозмущенного пучка длиной Л, %/(力)и 少/(力)——решения уравнений движения J-й крупной частицы

醬 f ^ = г1(1~T)甌 (4-31)

которые решаются с начальными условиями, соответствующими инжекции пучка в пространство взаимодействия в плоскости

z — 0:z,(力—'/。)— 0, 0 7•(力—tju) — u

где tjQ — время инжекции J-ro электрона в пространство взимодей- ствия.

Наиболее общий подход в нелинейной теории плазменного СВЧ- генератора, очевидно, состоит в прямом решении системы (4.12) и (4.30). При этом требуется дополнительное граничное условие для поляризационного потенциала 吵 на открытой границе плазменного резонатора z = L. Это нестационарное парциальное условие излучения в коаксиальный волновод было сформулировано в работе [64]. Одним из важных результатов общей нелинейной теории плазменного СВЧ- генератора является то, что при длительной квазистационарной инжекции пучка в системе возбуждается электромагнитное излучение из достаточно узкого спектрального интервала

(4.32)

что согласуется с результатами нелинейной теории плазменного СВЧ-усилителя (см. рис. 4.11 б). Основываясь на условии (4.32), введем в рассмотрение волну с фиксированной средней частотой и медленно меняющейся амплитудой. В частности, поляризационный потенциал попутной (резонансной) с пучком плазменной волны представим в виде (см. выражение (4.21))

吵丄)力)/〃)+ к.с.] , (4.33)

где Ап — медленные по сравнению с соответствующим экспоненциальным множителем функции координаты z и времени t (медленно меняющиеся амплитуды). Уравнения для медленно меняющихся амплитуд

можно получить, используя процедуру усреднения

(4.34)(4.34)z+A/2

(4.34)

(4.34)

z—Л/2

Здесь Ф — усредняемая величина, Л — характерная длина, входящая в формулу (4.30), которая, как следует из выражений (4.33) и (4.34), определяется формулой Л = 2тги/ш.

Подставляя выражение (4.33) в уравнения (4.12) и (4.30) и применяя процедуру усреднения, получим систему уравнений плазменного СВЧ- генератора в следующем виде [9,61,65]:

⑵=^e"Т。"(i)，e=-2戸(^ + £^)(4.37)

где 少гр — групповая скорость плазменной волны (4.18), параметры J, &ь,夕 определены в линейной теории усилителя и формулах (4.23). В уравнениях (4.35) и (4.36) введены следующие безразмерные переменные и обозначения:

Т = G 力, § = (jJ Z ! U у i = / 〃, 衣/ — V j ! U.

Система уравнений (4.35)—(4.37) полностью соответствует уравнениям плазменного усилителя (4.22) и (4.23) при s = 1, но только является нестационарной. Величина〈〃) является комплексной амплитудой возмущения плотности заряда пучка и соответствует одному из ps в уравнениях плазменного усилителя. В выражение (4.37)) введена функция /(Toj), где т。/ — момент влёта электрона в плазменный резонатор. Эта функция позволяет моделировать фронты пучка и его модуляцию. Величина J является медленной комплексной амплитудой попутной с пучком плазменной волны и соответствует одной из функций js в уравнении (4.22) плазменного усилителя.

Уравнений (4.35)—(4.37) недостаточно для создания теории плазменного генератора. Необходим учет еще и встречной плазменной волны, осуществляющей обратную связь в генераторе. Встречная волна не находится в резонансе с пучком и в среднем с ним не взаимодействует. Взаимодействие встречной и попутной волны происходит только на

Рис. 4.13. Зависимость максимальной эффективности генерации от длины плазменного резонатора для различных плазменных частот

продольных границах плазменного резонатора, где они трансформируются друг в друга. Эта трансформация формулируется в виде следующего граничного условия обратной связи (аналогично релятивистской лампе обратной волны с отражениями [26, лекция 13]):

J(W = 0, т) = -RJ(£ = &, т — 〃&/%р), (4.38)

где R — рассматривавшийся ранее коэффициент отражения, §厶= =gL/u — безразмерная длина плазменного резонатора, а знак минус в (4.38) отвечает изменению фазы волны при отражении от металлической сетки при z = 0.

Уравнения (4.35)—(4.37) с граничным условием (4.38) являются замкнутой системой нелинейных нестационарных уравнений релятивистского плазменного СВЧ-генератора.

Рассмотренные выше результаты линейной теории следуют естественно из полученной системы уравнений и условия обратной связи. Уравнения (4.35)—(4.38) описывают плазменный генератор на импульсном электронном пучке при условии (см. условие (4.32)), что зТ》1, где Т — характерный временной масштаб изменения тока пучка.

Рассмотрим некоторые результаты моделирования плазменного СВЧ-генератора при стационарной инжекции электронного пучка [66]. В работах [9,66] исследовалось изменение длины плазменного резонатора и плазменной частоты при следующих фиксированных параметрах: /ь = 2 кА, R = 1,8 см, гь = 0,6 см, гр = 1,1 см, М = △夕=0,1 см,)= 2. На рис. 4.13 для четырех плазменных частот (тех же, что и на рис. 4.10 в и 4.11 б) представлены в зависимости от длины плазменного резонатора L кривые эффективности генерации (коэффициенты отражения определялись из рис. 4.12). Резкое возрастание эффективности излучения от нуля до некоторой довольно значительной величины связано с превышением пусковой длины генератора. При дальнейшем увеличении длины плазменного резонатора наблюдаются осцилляции эффективно-

сти, что связано с перемещением точки насыщения пучковой неустойчивости от границы z = L к меньшим z и обратно. Максимальные значения эффективности генерации оказываются даже несколько выше максимальных значений эффективности усиления монохроматического сигнала. Однако сравнение с рис. 4.11 а подтверждает уменьшение эффективности излучения с ростом плазменной частоты. Заметим, следуя работе [9], что применение разнообразных методов и моделей расчетов черепковских плазменных СВЧ-усилителей и генераторов на плотных релятивистских электронных пучках дает близкие результаты по эффективностям, спектрам, критическим плазменным частотам и стартовым параметрам, зависимостям от основных характеристик пучково-плазменной системы и согласуется с результатами экспериментальных исследований, которые обсуждались в начале раздела.

В заключение раздела отметим наиболее перспективные отличительные черты плазменных черепковских релятивистских источников СВЧ-излучения по сравнению с приборами вакуумной электроники [9].

Во-первых, в плазменных релятивистских источниках СВЧ-излучения возможна очень быстрая электронная перестройка частоты излучения, что принципиально отличает подобные системы от вакуумных аналогов. В работах [9,10,52] это было продемонстрировано как теоретически, так и экспериментально в диапазоне частот 4 4- 28 ГГц. При этом мощность генерации во всем диапазоне частот была на уровне 50 МВт и незначительно изменялась при изменении частоты.

Во-вторых, преимуществом плазменного релятивистского генератора является его широкополосность. В томсоновском режиме относительная ширина полосы генерации составляла △g/g ~ 0,3. Вместе с тем легко осуществить переход к рамановскому режиму с узким спектром генерации △g/g ~ 0,05.

В-третьих, в плазменных релятивистских источниках СВЧ-излучения благодаря эффектам нейтрализации пространственного заряда пучка существует возможность использования токов пучков, сравнимых с предельным вакуумным током в той же геометрии в вакуумной системе. Это открывает возможность достижения в плазменных источниках СВЧ-излучения больших мощностей за счет увеличения тока электронного пучка, чем в сответствующих вакуумных устройствах [7- П].

Пучково-плазменные СВЧ-лампы с длительнымвзаимодействием

Результаты теоретических и экспериментальных исследований ламп бегущей волны с плазменным заполнением подробно представлены в работах [3, 43, 44, 67—76]. Наибольший интерес вызывают здесь плазменно-заполненные ЛБВ с цепочкой связанных резонаторов, которые демонстрируют высокий КПД и широкую полосу частот усиливаемых сигналов [67], которая недостижима в соответствующих ваккумных устройствах.

Работа плазменных приборов с длительным взаимодействием основана на гибридных модах, возбуждаемых в плазменнонаполненных волноведущих системах [68]. Рассмотрим их более подробно.

Исследуем замедляющую электродинамическую структуру радиуса А, внутри которой соосно с замедляющей системой располагается столб плазмы радиуса а. Поле замедленной волны в электродинамической структуре сосредоточено около ее поверхности. Как следует из условия черепковского синхронизма, мнимая часть поперечного волнового числа k = к丄c/g зависит от энергии электронов в соответствии с соотношением [69]

Im k = 1 /,)2_1 . (4.39)

Расстояние от поверхности замедляющей структуры, на котором распространяется основная часть потока мощности замедленной волны, как следует из формулы (4.39), порядка величины 1/72 — 1.

Столб плазмы, расположенной внутри замедляющей системы, также поддерживает медленные волны. В случае, когда плазма замагни- чена сильным продольным магнитным полем, для плазменных волн имеем дисперсионные уравнения kj = (g?/。？ — k^) е夕 внутри плазмы и kj = ш2/с2 — к^ вне ее (здесь е° = 1 — g^/g? — аксиальная компонента тензора диэлектрической проницаемости плазмы). Для определения величины kz можно воспользоваться условием синхронизма g = kzvz. Для возбуждения плазменной волны и ее локализации в области плазмы требуется выполнение двух основных условий: 1) поперечное волновое число внутри плазмы должно быть действительным; 2) поперечное волновое число вне плазмы должно быть мнимым. Так как рассматриваются замедленные волны kz〔з < с, то первое условие будет выполняться, если з^ > з (е夕 < 0), а второе условие для медленной волны выполняется автоматически. Тогда для волнового числа плазменной волны получаем выражение, аналогичное определяемому формулой (4.39). Отсюда следует, что плазменная волна может быть сильно связана с электромагнитной волной в замедляющей структуре, только когда расстояние (Я — а) удовлетворяет условию

R-a^ (；\/2)vV — 1 (4.40) или в случае нерелятивистских пучков

R —(4.41) 'тс / у тс

где Vo — ускоряющее напряжение электронного пучка.

Следует заметить, что для сильной связи между плазменной и медленной электромагнитной волной требуется, кроме выполнения условия (4.41), выполнение условий синхронизма между обеими волнами. Для фиксированной частоты это означает, что обе волны должны иметь

Рис. 4.14. Дисперсионные кривые гибридных мод в плазменно-наполненном гофрированном волноводе (а), замедляющей системе типа ЦСР (б), диэлектрическом волноводе (в), спиральной замедляющей системе (г) (из работы [3])

примерно одинаковые продольные волновые числа kz. Возможная расстройка между волновыми числами в случае усилителя может быть оценена по степени экспоненциального роста связанных полей вдоль пространства взаимодействия. В случае генератора, где kz фиксировано, частоты мод должны быть одинаковы.

При выполнении условий связи между волнами в плазме и замедляющей системы возникают моды, которые носят название гибридных мод [68]. Продольное электрическое поле гибридной моды примерно одинаково на любом расстоянии от поверхности замедляющей волноведущей системы в отличие от поля мод замедляющей структуры. Поэтому трубчатый электронный пучок может эффективно взаимодействовать с гибридными модами не только, когда он распространяется

в плазме, но также и в области между плазменным столбом и поверхностью замедляющей системы.

Рассмотрим некоторые примеры дисперсионных кривых (рис. 4.14), иллюстрирующие формирование гибридных мод в плазменной ЛБВ при различных типах замедляющих систем [3,68]. Штриховые линии на рис. 4.14 соответствуют модам вакуумной замедляющей структуры и плазменным волнам. Штрих-пунктирная линия на рис 4.14 в,г соответствует частоте Зр> к которой асимптотически стремится частота плазменной волны при kz —> оо. Из рисунка видно, что дисперсионные кривые гибридных мод в некоторых областях лежат вблизи мод вакуумной электродинамической системы, а в других областях — вблизи дисперсионных линий плазменных мод.

Рис. 4.15. Схема замедляющей структуры типа цепочка связанных резонаторов с плазменным заполнением. Здесь 1 — столб плазмы, заполняющей пролетный канал электронного потока; 2 — элементарная ячейка электродинамической структуры (отдельный резонатор); 3 — элемент связи с соседними ячейками (из работы [67])Рис. 4.15. Схема замедляющей структуры типа цепочка связанных резонаторов с плазменным заполнением. Здесь 1 — столб плазмы, заполняющей пролетный канал электронного потока; 2 — элементарная ячейка электродинамической структуры (отдельный резонатор); 3 — элемент связи с соседними ячейками (из работы [67])Схема плазменно-наполненной ЛБВ с цепочкой связанных резонаторов (ЦСР) представлена на рис. 4.15. Столб плазмы 1 с высокой плотностью занимает пролетный канал электронного потока. Остальное элементы плазменной ЛБВ с ЦСР аналогичны вакуумной лампе (см., например, [26]; лекции 9-11). Рассмотрим характеристики ЛБВ ЦСР с плаз- менным заполнением. Дисперсионные кривые гибридных мод, на которых работает усилитель, представлены на рис. 4.14 б. Плазменный канал формируется за счет ионизации электронами пучка водорода, который создается за счет водородного генератора. Лампа также снабжена вакуумным ионным насосом, расположенным между источником электронного пучка и пространством взаимодействия и не позволяющим ионам плазмы находится в области электронной пушки.

Рис. 4.15. Схема замедляющей структуры типа цепочка связанных резонаторов с плазменным заполнением. Здесь 1 — столб плазмы, заполняющей пролетный канал электронного потока; 2 — элементарная ячейка электродинамической структуры (отдельный резонатор); 3 — элемент связи с соседними ячейками (из работы [67])

Рис. 4.15. Схема замедляющей структуры типа цепочка связанных резонаторов с плазменным заполнением. Здесь 1 — столб плазмы, заполняющей пролетный канал электронного потока; 2 — элементарная ячейка электродинамической структуры (отдельный резонатор); 3 — элемент связи с соседними ячейками (из работы [67])

ности от частоты входного сигналаности от частоты входного сигналаФотография плазменной ЛБВ ЦСР, зависимость выходной мощи другие характеристики лампы

ности от частоты входного сигнала

ности от частоты входного сигнала

представлены на рис. 4.16 и в табл. 4.1. В частности из рис. 4.16 5 следует, что применение в ЛБВ плазменнонаполненой замедляющей системы существенно увеличило входную мощность лампы, несколько расширило диапазон усиливаемых частот.

Исследования плазменных приборов с длительным взаимодействием выявили наличие сложных колебательных режимов в таких системах. В работах [70,71] рассматривались процессы стохастизации колебаний в ЛБВ-генератор с плазменнонаполненной замедляющей структурой и влияние на сложные режимы генерации динамики плазмы, заполняющей пространство взаимодействия. В вышеуказанных работах было показано, что на динамику генератора оказывает существенное влияние нелинейность плазмы, одно из проявлений которой заключает-

Таблица 4.1

Основные параметры плазменнонаполненной ЛБВ ЦСР

ЧастотаЧастотаКПДШирина полосыМощностьУскоряющее напряжение Ток пучкаКоэффициент усиления в режиме большого сигнала Давление газаАмплитуда шумаГенерация высших гармоникКПДШирина полосыМощностьУскоряющее напряжение Ток пучкаКоэффициент усиления в режиме большого сигнала Давление газаАмплитуда шумаГенерация высших гармоник1 4- 10 ГГц — диапазон,перекрываемый четырьмя лампами>35%>30%25 кВт20 кВЗА1 4- 10 ГГц — диапазон,перекрываемый четырьмя лампами>35%>30%25 кВт20 кВЗА25 дБ25 дБ4- 2 мТор—70дЕ4- 2 мТор—70дЕ< 60 дБ для 2-й и 3-й гармоник< 60 дБ для 2-й и 3-й гармоник

Частота

Частота

КПД

Ширина полосы

Мощность

Ускоряющее напряжение Ток пучка

Коэффициент усиления в режиме большого сигнала Давление газа

Амплитуда шума

Генерация высших гармоник

КПД

Ширина полосы

Мощность

Ускоряющее напряжение Ток пучка

Коэффициент усиления в режиме большого сигнала Давление газа

Амплитуда шума

Генерация высших гармоник

1 4- 10 ГГц — диапазон,перекрываемый четырьмя лампами>35%>30%

25 кВт

20 кВЗА

1 4- 10 ГГц — диапазон,перекрываемый четырьмя лампами>35%>30%

25 кВт

20 кВЗА

25 дБ

25 дБ

4- 2 мТор

—70дЕ

4- 2 мТор

—70дЕ

< 60 дБ для 2-й и 3-й гармоник

< 60 дБ для 2-й и 3-й гармоник

ся в изменении ее параметров под воздействием распространяющейся в ней волны. Причиной этого может быть либо сила высокочастотного давления [77], вытесняющая плазму из области с высокой напряженностью электрического поля, либо высокочастотный разряд, возникающий в области с достаточно большой амплитудой волны. Поскольку в плазменной электродинамической структуре дисперсия собственных волн определяется параметрами плазмы, то как в первом, так и во вто-

Рис. 4.16. Фотография плазменной ЛБВ ЦСР (а) и зависимость выходной мощности лампы от частоты входного сигнала для плазменнонаполненной и вакуумной замедляющих систем (б) (из работы [3])Рис. 4.16. Фотография плазменной ЛБВ ЦСР (а) и зависимость выходной мощности лампы от частоты входного сигнала для плазменнонаполненной и вакуумной замедляющих систем (б) (из работы [3])

Рис. 4.16. Фотография плазменной ЛБВ ЦСР (а) и зависимость выходной мощности лампы от частоты входного сигнала для плазменнонаполненной и вакуумной замедляющих систем (б) (из работы [3])

Рис. 4.16. Фотография плазменной ЛБВ ЦСР (а) и зависимость выходной мощности лампы от частоты входного сигнала для плазменнонаполненной и вакуумной замедляющих систем (б) (из работы [3])

ром случаях фазовая скорость волны будет зависеть от ее амплитуды. Нелинейность плазмы, пронизываемой электронным пучком, приводит к возникновению распределенной обратной связи, которая превращает плазменную ЛБВ в генератор низкочастотных плазменных колебаний. Действительно, возникающие в области максимума СВЧ-поля возмущения параметров плазмы распространяются в виде собственных низкочастотных (ионнозвуковых, магнитозвуковых и т. п.) плазменных волн и влияют на условия возбуждения СВЧ-волн пучком, меняя тем самым величину поля в области возникновения возмущения. «Память» о возникшем возмущении параметров плазмы сохраняется до тех пор, пока возмущение не покинет пространства взаимодействия.

Если кроме указанной распределенной низкочастотной обратной связи в плазменной ЛБВ существует цепь обратной связи для возбуждаемых пучком высокочастотных колебаний, то такая система превращается в генератор СВЧ-излучения со сложной динамикой. В вышеупомянутых работах были расмотрены некоторые предельные случаи влияния различных нелинейных эффектов в плазме на процессы в плазменных СВЧ-приборах с длительным взаимодействием. Так, в работе [72] показано, что возбуждение продольной пондеромоторной силой распространяющихся ионно-звуковых волн в системе без высокочастотной обратной связи приводят к ограничению выходной мощности СВЧ-излучения и развитию низкочастотной автомодуляции. Влияние продольной пондеромоторной силы на работу устройства с внутренней обратной связью (плазменнонаполненной ЛОВ) рассмотрено в [73]. Однако специфические условия, при которых рассматривалась ЛОВ (генерация вблизи частоты отсечки, низкая плотность плазмы) не позволили обнаружить здесь сколько-нибудь значительного эффекта. В работе [71] рассмотрен другой предельный случай: система с ВЧ обратной связью (ЛБВ-генератор), в которой поперечная компонента высокочастотного давления приводит к появлению нераспространяю- щихся возмущений параметров плазмы. И, наконец, в работе [70] с помощью численного моделирования рассмотрено влияние нелинейности плазмы на возникновение хаотической генерации в ЛБВ-генераторе с плазменнонаполненной замедляющей структурой. Проанализируем результаты этой работы подробнее.

Рассматривался нерелятивистский ЛБВ-генератор, замедляющая структура которого частично или полностью заполнена плазмой. Исследуемая система описывалась уравнениями возбуждения собственных высокочастотных волн структуры электронным пучком и уравнениями, связывающими возмущения параметров плазмы с амплитудой возмущенных волн. При этом предполагалось, что возмущения плотности плазмы обусловлены только силой высокочастотного давления. Модель учитывает взаимное влияние магнитозвуковых колебаний, вызванных радиальной неоднородностью полей собственных волн структуры, и возбуждаемых пучком высокочастотных волн. Не останавливаясь на формулировке математической модели, обсудим полученные в работе [70] результаты.

§ЩО^&0 1HgMимффсом§ЩО^&0 1HgMимффсомРис. 4.17. Карта режимов генерации ЛБВ-генератора в отсутствии силы высокочастотного давления (вакуумный ЛБВ-генератор) (а) и при больших силах высокочастотного давления (ЛБВ-генератор с плазменнонаполненной замедляющей структурой) (б) (из работы [70])Рис. 4.17. Карта режимов генерации ЛБВ-генератора в отсутствии силы высокочастотного давления (вакуумный ЛБВ-генератор) (а) и при больших силах высокочастотного давления (ЛБВ-генератор с плазменнонаполненной замедляющей структурой) (б) (из работы [70])

§ЩО^&0 1HgMимффсом

§ЩО^&0 1HgMимффсом

Рис. 4.17. Карта режимов генерации ЛБВ-генератора в отсутствии силы высокочастотного давления (вакуумный ЛБВ-генератор) (а) и при больших силах высокочастотного давления (ЛБВ-генератор с плазменнонаполненной замедляющей структурой) (б) (из работы [70])

Рис. 4.17. Карта режимов генерации ЛБВ-генератора в отсутствии силы высокочастотного давления (вакуумный ЛБВ-генератор) (а) и при больших силах высокочастотного давления (ЛБВ-генератор с плазменнонаполненной замедляющей структурой) (б) (из работы [70])

На рис. 4.17 представлены карты режимов на плоскости управляющих параметров «коэффициент обратной связи — нормированная длина ЛБВ» колебаний вакуумного и плазменного ЛБВ-генератора с внешней обратной связью. Поведение вакуумного генератора аналогично поведению вакуумных ЛОВ, гиро-ЛВВ и других приборов с длительным взаимодействием при изменении основных управляющих параметров. При постоянном малом коэффициенте обратной связи по мере возрастания тока пучка /о (увеличение безразмерной длины §厶 ~ /j/*) сначала возникает генерация монохроматического сигнала, затем возникает регулярная и, наконец, стохастическая автомодуляция выходного сигнала генератора. Общая картина поведения вакуумного ЛБВ-генератора представлена на рис. 4.17 а. Стохастическая автомодуляция выходного сигнала возникает только при больших токах пучка, т. е. при《厶 >5 4-6.

Заполнение волноведущей системы плазмой приводит к определенной трансформации карты режимов (см. рис. 4.17 б). Порог возбуждения плазменного ЛБВ-генератора с внешней обратной связью остается тем же самым, что и для вакуумного, но область монохроматической генерации во втором случае существенно уже. Плазменнонаполненный генератор с увеличением тока пучка быстро переходит в режимы автомодуляции (как периодической, так и хаотической) с ростом коэффициента связи и током пучка. При этом, как показал анализ динамики генератора методом функционального отображения (см. [26,70,74,75]), даже слабая нелинейность плазмы существенно влияет на механизм стохастизации сигнала ЛБВ-генератора, не меняя при этом его энергетических характеристик. При больших нелинейностях плазмы начинают изменяться и энергетические характеристики плазменного генератора (усилителя) [72]. Переход к хаотической динамике в плазменном ЛБВ-генераторе происходит через перемежаемость, когда система с течением времени переходит с генерации на одной собственной частоте к другой. В результате сплошной широкополосный спектр хаотической генерации является весьма однородным и слабоизрезанным.

Полученные результаты хорошо подтверждаются экспериментальными результатами по и следованию хаотической генерации в плазменных ЛБВ-генераторах. В работах [44, 76] представлены спектры хаотических сигналов в ЛБВ-генераторе, которые отличаются сильной однородностью в отличие от аналогичных вакуумных устройств. Также экспериментальным подтверждением важности рассмотрения нелинейности плазмы в плазменнонаполненных приборах с длительным взаимодействием является наличие развитых низкочастотных колебаний в плазме замедляющих структур [44]. Частотный диапазон таких колебаний меняется в зависимости от мощности СВЧ-излучения: от десятков кГц при относительно малых мощностях, до десятков МГц при больших мощностях. Первый диапазон хорошо согласуется с диапазоном ионно-звуковых колебаний, второй — с магнитозвуковыми колебаниями.

Пазотрон

Пазотрон 1) представляет собой новый класс мощных генераторов (или усилителей) СВЧ-диапазона [3,78—80], использующих в качестве источника электронного пучка электронную пушку с плазменным катодом и заполненную газом замедляющую электродинамическую структуру, в которой при инжекции в нее интенсивного электронного пучка за счет ионизации газа создается плазменный канал. Электронный пучок проходит через пространство взаимодействия пазотрона в режиме ионной фокусировки, когда возникающая за счет ионизации нейтрального газа (обычно используется гелий или ксенон) плазма нейтрализует пространственный заряд пучка и создает силы, которые сжима-

От английского PASOTRON — Plasma Assisted Slow-wave Oscillator.

Рис. 4.18. Схема пазотрона-генератора на обратной волне сантиметрового диапазона длин волн. Здесь 1 — замедляющая структура в виде гофрированного волновода; 2 — электронная пушка с плазменным катодом; 3 — ускоритель; 4 — газовый клапан; 5 — окно связи с вакуумным насосом; 6 — зонды для измерения типа рабочей моды; 7 — антенна, 8 — керамическое окно для вывода излучения (из работы [80])

ют пучок при инжекции его в пространство взаимодействия. Такой способ транспортировки электронного пучка через пространство взаимодействия позволяет отказаться от внешней магнитной фокусирующей системы, а следовательно, значительно снизить вес и уменьшить габаритные размеры мощных линейных источников СВЧ-излучения, требующих ту или иную фокусировку электронного пучка ).

Пазотроны разрабатываются как мощные генераторы обратной волны (ЛОВ) и как усилители бегущей волны (ЛБВ). В качестве электродинамических замедляющих структур в них в зависимости от частотного диапазона и мощности используются гофрированные волноводы, спирали, системы типа цепочек связанных резонаторов (ЦСР). Экспериментально созданные устройства используют электронные пучки со следующими типичными параметрами [3]: энергия электронов 50 4- 150 кэВ, ток пучка 50 4- 500 А, длина импульса тока порядка 100 мкс. Выходная мощность пазотрона (в режиме генерации на обратной волне) зависит от параметров пучка и заполняющего электродинамическую структуру газа и составляет величину от 1 до 5 МВт при эффективности передачи энергии пучка электромагнитному полю 15 4- 25 %. Пиковая мощность, которая была получена в специально поставленном эксперименте, составила 20 МВт при использовании пучка с током 1 кА.

На рис. 4.18 представлена схема пазотрона-генератора на обратной волне сантиметрового диапазона длин волн (С-диапазон, соответствующий частотам от 4 до 8 ГГц), использующего в качестве электродинамической структуры гофрированный волновод [80].

Рис. 4.19. Схематическое изображение электронной пушки пазотрона. Здесь 1 — полый катод; 2 — газовый клапан; 3 — электрод для поджога электрического разряда в газе; 4 — плазма; 5 — анод плазменного разряда («катод» ускорителя); 6— высоковольтная изолирующая керамика; 7 — ускоряющая электроны сетка (анод); 8 — электронный пучок (из работы [84])

Источником электронного пучка с длительностью импульса 100 мкс и частотой повторения 2 Гц в пазотроне служит электронная пушка с плазменным анодом (ЭППА) (рис.4.19) [84—87]. Использование в пазотроне ЭППА связано с естественными ограничениями других источников электронных пучков. Так термоэмиссионные катоды позволяют формировать пучки с неограниченной длительностью импульса, но с достаточно жесткими ограничениями на плотности токов. Электронные пушки, использующие полевую эмиссию, позволяют создавать очень высокие плотности токов, однако имеют очень короткую длительность импульса, ограниченную временем, за которое плазма заполняет весь ускоряющий промежуток.

ЭППА в отличие от вышеназванных источников электронных потоков позволяет получать мощные пучки с плотностью тока более 50 А/см2 и с длинными импульсами тока. Источником электронов в ЭППА выступает плазма 4, создаваемая за счет ионизации газа с низким давлением управляемым электрическим разрядом. Тлеющий электрический разряд, протекающий между полым катодом 1 и анодом плазменного разряда 5, создает однородную и стабильную плазму, плотность которой (а следовательно и плотность электронного потока) управляется путем изменения напряжения разряда (напряжения на аноде 5). Холодный катодный разряд не требует большой мощности накала и позволяет получать высокую частоту повторения импульсов. Анод плазменного разряда 5 служит первой сеткой («катодом») для двухсеточного ускорителя электронов 3 (см. рис. 4.18). На вторую, ускоряющую сетку 7 (см. рис. 4.19) подается импульс ускоряющего напряжения %. Эффективная площадь катода составляет 104 см2, и ЭППА позволяет формировать электронные пучки током до 2 кА с длительностью импульса 100 мкс.

На рис. 4.20 а представлены зависимости мощности выходного излучения пазотрона от ускоряющего напряжения при различных токах пучка. При различных ускоряющих напряжениях пучка в пазотроне

МВт1ОДМВт1ОД尸вых, МВт尸вых, МВт4,5<i)<6,54,5<i)<6,5АААА оооо7826АААА оооо78260,01 —1—一L-1.I—I—一，…!一，.…I—一I—0,01020 40 60 80 100 质кВ 75а60,01 —1—一L-1.I—I—一，…!一，.…I—一I—0,01020 40 60 80 100 质кВ 75а6808590 %,кВ808590 %,кВ

МВт

1

ОД

МВт

1

ОД

尸вых, МВт

尸вых, МВт

4,5<i)<6,5

4,5<i)<6,5

АААА оооо

7826

АААА оооо

7826

0,01 —1—一L-1.I—I—一，…!一，.…I—一I—0,01

020 40 60 80 100 质кВ 75

а6

0,01 —1—一L-1.I—I—一，…!一，.…I—一I—0,01

020 40 60 80 100 质кВ 75

а6

808590 %,кВ

808590 %,кВ

Рис. 4.20. Выходная мощность пазотрона-генератора на обратной волне сантиметрового диапазона длин волн при изменении ускоряющего напряжения (а); выходная мощность пазотрона-генератора на обратной волне при изменении ускоряющего напряжения для ионов различной массы (б) (из работы [80])

имеет место генерация с различными частотами, что соответствует возбуждению различных волноводных мод. Из рисунка видно, что с изменением напряжения наблюдаются как зоны генерации, так и области изменения напряжения, где генерация отсутствует. Для каждой зоны напряжений, в которой имеет место генерация, экспериментально определен оптимальный максимальный ток, который и приведен на рис. 4.20 а. На рис. 4.20 а также представлен диапазон частот, в котором имели место колебания выходного поля в каждой из зон генерации. Колебания возникали на частоте максимального усиления и далее с током пучка спектр генерации усложнялся. Частота максимального усиления определялась длиной системы и отражениями от концов лампы. Для получения монохроматического одночастотного сигнала длина замедляющей структуры выбиралась малой (8 4- 12 периодов гофрированного волновода).

Важной проблемой с точки зрения увеличения КПД и выходной мощности пазотрона является выбор заполняющего электродинамическую структуру газа. Как показали исследования [80], основную роль играет масса ионов, образующих плазменный канал, по которому движется электронный пучок. Рисунок 4.20 5 иллюстрирует зависимость максимальной выходной мощности от ускоряющего напряжения для трех различных газов, заполняющих систему — гелия, аргона и ксенона, имеющих различные массы m( ионов. Заполнение системы ксеноном, ионы которого наиболее тяжелые, при давлении 10-5 4- 10-4 Тор обеспечивало наибольшую выходную мощность. Увеличение выходной мощности при использовании более тяжелых ионов связано с подавлением гидродинамических неустойчивостей в пучке. Частота генерации

/о уменьшается с увеличением массы ионов как % ~ 1/y/mj. Частота и скорость роста гидродинамических (шланговой и винтовой [100]) неустойчивостей в пучке уменьшаются с ростом массы ионов и при выборе оптимальных параметров пучка и давления газа. Подавление неустойчивостей было подтверждено как путем прямых измерений в пучке [80], так и косвенно по максимальной выходной мощности и максимальной длительности импульса ВЧ-излучения.

В работах [78, 80] рассматривался мощный пазотрон-генератор с электродинамической структурой в виде гофрированного волновода, предназначенный для работы в дециметровом диапазоне длин волн (L-диапазон, соответствующий частотам 390 4- 1550 МГц). Схема и фотография макета такого генератора показаны на рис. 4.21 а. ЭППА 1 формирует электронный пучок с током 2 кА и энергией ускорения 0,24 МэВ. Гофрированный волновод 2 имел следующие размеры: внешний диаметр составлял 28,5 см, внутренний — 18,3 см, глубина гофрировки 5,1 см, шаг гофра 8,6 см, полное число гофров — 12, общая длина замедляющей системы 103 см. Дисперсионная диаграмма структуры показана на рис. 4.21 5, на котором показана рабочая частота 1,34 ГГц, соответствующая синхронизму медленной волны пространственного заряда в пучке и волноводной моды TMqi. Заметим, что, поскольку плазма не замагничена, дисперсионные характеристики электромагнитных мод с плазмой и без плазмы практически одинаковы: в присутствии плазмы они незначительно сдвигаются вверх.

После замедляющей системы (гофрированного волновода 2) располагается диагностическая секция 3 длиной 122 см, в которой располагались зонды для измерения радиальной компоненты Ег электрического поля. Они были собраны в азимутальные и аксиальные решетки на внутренней поверхности волновода измерительной секции и использовались для измерения распределения радиального поля рабочей моды, на которой происходила генерация СВЧ-излучения в пазотроне. Как показали измерения, рабочей модой была TMqi- или ТЕП1-мода круглого волновода.

Следующей секцией экспериментального пазотрона дециметрового диапазона с гофрированным волноводом был преобразователь моды 4 (рис. 4.21 б), в котором TMoi-мода преобразовывалась в ТЕМ-моду коаксиального волновода и далее в ТЕц-моду, которая излучалась через антенну 6. При генерации на ТЕП1-волне преобразователь мод удалялся, и мощность ТЕ-моды излучалась из антенны без преобразования. Генерация на ТЕ-модах связана с влиянием гофрированной стенки волновода — силовые линии электрического поля нормальны к проводящей поверхности электродинамической системы, поэтому аксиальная компонента электрического поля появляется везде кроме оси волновода.

Пазотрон дециметрового диапазона длин волн в эксперименте демонстрировал генерацию СВЧ-импульсов с частотой повторения 1 Гц и выходной мощностью ~ 10 МВт (полная энергия, заключенная в импульсе, составляла около 800 Дж). Максимальная выходная мощность,

Рис. 4.21. а — схема и фотография лабораторного макета пазотрона-генератора на обратной волне дециметрового диапазона длин волн. Длина системы около 5 м, диаметр ~ 30 см. Здесь 1 — электронная пушка с плазменным катодом; 2 — замедляющая структура в виде гофрированного волновода; 3 — диагностическая секция; 4 — преобразователь мод; 5 — окно из тугоплавкого борного стекла (пирекса); 6 — антенна (из работы [3]). б — дисперсионная характеристика для пазотрона с энергией пучка 200 кВ и соответственно рабочей частотой 1,34 ГГц. в — схематическое изображение преобразователя TMoi моды в ТЕц моду (из работы [80])

полученная в эксперименте, составляла 20 МВт и ограничивалась неустойчивостями пучка при ионной фокусировке.

Заметим, что использование в качестве замедляющей структуры гофрированного волновода в диапазоне частот ~ 1 ГГц имеет ряд недостатков. В первую очередь они связаны с большими геометрическими размерами (диаметр гофрированного волновода ~ 20см), которые требуются при генерации на ТМ- или ТЕ-модах в рассматриваемом диапазоне.

Проблема уменьшения размеров и веса прибора, а также расширения рабочей ширины полосы частот решаются с использованием спиральных замедляющих структур. Спиральные замедляющие системы работают на коаксиальных ТЕМ-волнах (см., например, [88]), которые требуют меньший диаметр волноведущей системы. При использовании спиральной замедляющей системы диаметр пазотрона не зависит от вида рабочей моды и определяется в первую очередь параметрами пучка и характеристиками выходного излучения. Здесь на первом месте для мощных усилителей и генераторов оказывается проблема электрической и тепловой прочности элементов конструкции, поэтому использование спиральной замедляющей структуры ограничивает максимальную выходную мощность прибора. Во-первых, это связано с тепловым режимом работы спирали (при больших токах пучка то- коосаждение может быть таково, что возможно плавление элементов электродинамической структуры). Во-вторых, при больших напряженностях выходного поля (большой мощности лампы) возможен электрический пробой в элементе связи спирали с выходным устройством.

В пазотроне дециметрового диапазона длин волн используется спиральная замедляющая система с водяным охлаждением и специально разработанным ВЧ-выводом энергии, расчитанным на вывод излучения с мощностью〉1 МВт.

Фотография макета пазотрона дециметрового диапазона длин волн со спиральной замедляющей структурой представлена на рис. 4.22. Прибор разрабатывался как генератор обратной волны. Внутренний диаметр спирали 5 см, что существенно меньше диаметра гофрированного волновода, шаг спирали 3 см, число витков 12 4- 14. Максимальная выходная мощность составляла 2 МВт при длительности импульса порядка 100 мкс. Ускоряющее напряжение 50 4- 100 кВ и ток пучка 50 4- 200 А. КПД генератора составлял величину ту ^ 0,3. Зависимость выходной мощности спирального пазотрона от ускоряющего напряжения показана на рис. 4.23 а для тока пучка /о = 100 А. Видно, что с ростом ускоряющего напряжения имеет место рост выходной мощности, которая стабилизируется при % ~ 80 кА на уровне 2 МВт.

При генерации излучения в пазотроне был также обнаружен эффект увеличения частоты генерации в течение импульса тока, инжектируемого в пространство взаимодействия. Это явление иллюстрирует рис. 4.23 5, на котором показана осциллограмма измеренной частоты генерации пазотрона со спиральной замедляющей системой при ускоряющем напряжении 70 кВ при заполнении пространства взаимодействия ксеноном с давлением 2 • 10-5 Тор. Генерация начинается на частоте

Рис. 4.22. Фотография пазотрона-генератора обратной волны дециметрового диапазона длин волн со спиральной замедляющей системой (из работы [3])Рис. 4.22. Фотография пазотрона-генератора обратной волны дециметрового диапазона длин волн со спиральной замедляющей системой (из работы [3])

Рис. 4.22. Фотография пазотрона-генератора обратной волны дециметрового диапазона длин волн со спиральной замедляющей системой (из работы [3])

Рис. 4.22. Фотография пазотрона-генератора обратной волны дециметрового диапазона длин волн со спиральной замедляющей системой (из работы [3])

1,22 ГГц, с достижением током пучка рабочего значения частота выходит на некоторый уровень и не изменяется в течение временного интервала 30 мкс. Далее частота генерации начинает монотонно увеличиваться и к концу импульса тока отличается от рабочего значения на существенную величину. Одновременно с началом сдвига частоты колебаний уменьшается выходная мощность излучения пазотрона (на 10 + 50 %) и при временах более 60 мкс после начала импульса падает почти до нуля.

Такое поведение частоты колебаний на выходе генератора связано с изменением дисперсионной характеристики спиральной замедляющей системы при заполнении ее плазмой. При отсутствии плазмы дисперсионную характеристику спирали в окрестности рабочей точки можно приближенно представить в виде

(4.42)(4.42)必7 2c

(4.42)

(4.42)

где △ — шаг спирали и d — диаметр спирали. Колебания в системе происходят на частоте, которая определяется как точка пересечения характеристики (4.42) с дисперсионной линией МВПЗ в пучке, которая определяется как [26] з = ик — зь)где а и 幻匕一соответственно скорость и плазменная частота электронного пучка. Соответствующая дисперсионная диаграмма представлена на рис. 4.23 в (рабочая точка отмечена цифрой 1) для пучка с током 80 А и ускоряющим напряжением 70 KB.

После ионизации нейтрального газа и формирования плазменного канала вид дисперсионной характерстики меняется. Соотношение

^§os§r^s ОО、^§os§r^s ОО、

^§os§r^s ОО、

^§os§r^s ОО、

6/ (10 мкс/деление)

Рис. 4.23. а — зависимость выходной мощности спирального пазотрона- усилителя обратной волны от ускоряющего напряжения (из работы [80]); б— частота генерации пазотрона со спиральной замедляющей системой как функция времени в течение длительности импульса тока (из работы [80]); в — дисперсионная характеристика пазотрона со спиральной замедляющей структурой в окрестности рабочей точки

необходимо заменить на выражение вида

J = (-^" + ^) +*(4.43)

где Зр — характерная плазменная частота плазмы, заполняющей замедляющую структуру, остальные параметры те же, что и в формуле (4.42).

При ионизации электронным пучом нейтрального газа, плотность плазмы в замедляющей структуре увеличивается, и пучок начинает сжиматься — происходит ионная фокусировка — и скорость иониза-

ции возрастает. Эти процессы увеличивают плотность фоновой плазмы в течение длительности импульса. Если плазменная частота сравнима с частотой генерации ЛОВ, то частота выходного излучения будет увеличиваться с течением времени благодаря продолжающейся генерации плазмы и сжатии электронного пучка. Увеличение частоты вполне понятно из рассмотрения дисперсионной диаграммы для этого случая (см. рис. 4.23 в) — увеличение плотности плазмы приводит к подъему соответствующей дисперсионной кривой электродинамической системы вверх.

Величина сдвига частоты в течение импульса в спиральном пазотроне определяется давлением нейтрального газа, параметрами пучка (током и напряжением), а также технологическими особенностями сборки и подготовки макета. Уменьшить сдвиг частоты в течение импульса возможно путем создания условий, когда ионизация газа вне плазменного канала, по которому движется электронный пучок, будет затруднена. Этого можно достичь обезгаживанием макета и фильтрацией тех примесных компонент газа, которые могут способствовать ионизации. Так в плохо очищенной системе сдвиг частоты составлял около 150 МГц в течение импульса длительностью 100 мкс. После 1000 электронных импульсов сдвиг частоты составил 20 МГц и выходная мощность практически не менялась в течение импульса [80].

Итак, анализ экспериментальных результатов свидетельствует, что пазотрон является весьма перспективным СВЧ-генератором и усилителем в диапазоне частот до 10 4- 15 ГГц с максимальной выходной мощностью до нескольких десятков мегаватт. Прохождение пучка через плазменный канал, который создается им за счет ионизации нейтрального газа, позволяет отказаться от громоздких внешних магнитных фокусирующих систем, а следовательно снизить вес и размеры устройства. Экспериментально полученные характеристики пазотрона-гене- ратора обратной волны показывают, что пазотрон по ряду важных характеристик не уступает вакуумным источникам СВЧ-излучения.

В работах [101-103] в рамках самосогласованной нестационарной математической модели, описывающей взаимодействие электронного потока с замедленной электромагнитной волной электродинамической системы в присутствии подвижных ионов, начат теоретический анализ специфики физических процессов, определяющих выходные характеристики и особенности работы пазотрона-усилителя прямой волны и пазотрона-генератора обратной волны. Численная модель [101,102] достаточно сложна и учитывает генерацию ионов электронным пучком, динамику ионов в плазменном канале, токооседание пучка на стенки электродинамической системы и т. п.

Вместе с тем возможно построение простой линейной теории лампы с ионной фокусировкой (пазотрона) [104] на основе метода последовательных приближений, который применительно к приборам с длительным взаимодействием О-типа подробно обсуждался в первом томе книги (лекция 9). Рассмотрим простейшую модель пазотрона, представляющую собой ионно-сфокусированный электронный пучок, движущийся со скоростью 少о вдоль замедляющей системы, и взаимо-

действующий с бегущей электромагнитной волной в линии передачи в условиях черепковского резонанса. Предполагается установившийся режим, когда плазменный канал, через который транспортируется пучок, уже сформировался, так что динамику ионов можно не рассматривать.

Пусть электронный пучок движется в направлении оси z, которое совпадает с осью аксиально-симметричного пространства взаимодействия исследуемой системы. Уравнение движения электрона пучка в присутствии плотного ионного фона в цилиндрической системе координат с учетом аксиальной симметрии системы можно записать в виде

/г/г=〃(力+ Л +。1),=〃(力+ Л +。1),(4.44)(4.44)

/г

/г

=〃(力+ Л +。1),

=〃(力+ Л +。1),

(4.44)

(4.44)

(4.45)(4.45)d2z

(4.45)

(4.45)

= 0.dt2

Здесь предполагается, что z =少()(力一力i) = vqt, t. e. считается, что продольная скорость 少° электрона не меняется; fi — фокусирующая сила положительных ионов, /е — дефокусирующая сила пространственного заряда электронов,力—сила, обусловленная поперечным тепловым разбросом скоростей электронов [105,106].

Предположим, что плотность пространственного заряда неизменна по поперечному сечению пучка и что длина волны аксиального изменения поверхности пучка мала по сравнению с его характерным поперечным размером (диаметром). Тогда, воспользовавшись теоремой Гаусса и предполагая в качестве уравнения состояния электронного газа уравнение адиабаты, перепишем уравнение движения электронов ионно-фокусируемого пучка в виде [105,106]

d" _ _ 穴pir /оdz2 VorooVod" _ _ 穴pir /оdz2 VorooVoVor3 5Vor3 5(4.46)(4.46)

d" _ _ 穴pir /о

dz2 VorooVo

d" _ _ 穴pir /о

dz2 VorooVo

Vor3 5

Vor3 5

(4.46)

(4.46)

где 〃勿一средняя плотность ионов в рассматриваемом поперечном сечении пучка, /° и % — ток и напряжение пучка,夕丁 = kT/е, к — постоянная Больцмана, Т — температура электронов, эмитируемых катодом,心 ——радиус, характеризующий положение электронов на катоде.

Считая, что амплитуда поперечных флуктуаций фокусируемого пучка мала, статический радиус электронного пучка можно представить в виде

ri = r0(l + 汚，|r|《r0.ri = r0(l + 汚，|r|《r0.(4.47)(4.47)

ri = r0(l + 汚，|r|《r0.

ri = r0(l + 汚，|r|《r0.

(4.47)

(4.47)

(4.48)(4.48)Здесь го — равновесное значение радиуса пучка, г — величина, характеризующая волнистость границ пучка. Тогда, при сделанных предположениях уравнение относительно величины г пульсаций границы пучка сводится к линейному уравнению вида

(4.48)

(4.48)

где величина 3 определяет длину волны пульсаций 2тг/Ь границы пучка. В интересном с точки зрения практики случае (〃勿—ре)/ре 《1 величина 3 определяется следующим соотношением [106]:

6(4.49)

V me

Здесь mi и те — масса ионов и электронов соответственно, s — удельная ионизация, Р — давление газа, заполняющего электродинамическую систему пазотрона.

Уравнение (4.48) представляет собой уравнение линейного осциллятора и его решение имеет вид

打=a cos bz + b sin bz,(4.50)

〜I7d不I

где а =厂 z=o и b =沪 соответствуют начальным условиям при z = 0. Далее для определенности рассмотрим случай a 卢 0, 6 = 0, который соответствует инжекции пучка параллельно оси системы.

Перейдем к решению высокочастотной задачи в одномерном приближении без учета градиентов статических полей и высокочастотных полей пространственного заряда электронного пучка. Предполагая, что все переменные величины изменяются по закону exp [Jcjt], уравнение для сгруппированного тока в ВЧ-поле бегущей волны можно записать в виде

0g + ^z) 7 = 后(戸勿，引(4.51)

где 九=g/°o, а ВЧ-поле Е выражается как [108]

后(力，引,))=Е^е-^^е-^е-^^.(4.52)

Удобнее воспользоваться уравнением для сгруппированного тока не в дифференциальной (4.51), а в интегральной форме, которое с учетом, что z =少от (последнее соответствует малости величины 闵),запишется в виде

彳=^辭厂‘仇'j— S)応， (4.53)

о

где Vo =呜/2〃 — ускоряющее напряжение.

Разложим экспоненциальный множитель ехр [―//。戸勿],где й определяется формулами (4.47) и (4.50), в выражении (4.52) в ряд Фурье, ограничиваясь для получения аналитического результата только членами с номерами к = 0, ±1:

е-^ = —%—2з•也((1 + е^^^а^гь)- e^6zIQ(a^rb)) х

X ((е2з也一D h(b氏rdF(b氏г" . (4.54)

Здесь /о и /1 — модифицированные функции Бесселя соответственно нулевого и первого порядка. Тогда, интегрируя уравнение (4.53), с учетом разложения (4.54) находим:

2⑴'帀(仇-仇)2(U -(仇一仇)2)2(482 -(仇一仇)2)2义

X p2(仇一阮一28)((乩—%)2 - 4*)2 (e"z(仇一28)义

X (_еЖ. + е^о，(1 + jz^e _ 仇)))((乩—仇)2 —庐)2 I^rb) +

+ (儿-仇)2卜3/(5 —儿+仇)2 + U也(5 +儿-仇)2 +

+ 2川(2"(仇-阮))?2爲 + 武 - ^3 + 爲 03泌)+ j62 +

+ z^e82 + 仇(3z«^ - 2;^e - z62))) I^a^rb))] • (4.55)

Вид выражения для сгруппированного тока (4.55) показывает, что динамика пучка в поперечном направлении (периодические колебания с пространственным периодом 2тг/8) оказывает существенное влияние на процессы группировки электронов. Рассмотрим этот вопрос подробнее, для чего найдем наведенное в линии передачи сгруппированным током ВЧ-поле и, следовательно, величину электронной мощности взаимодействия ВЧ-поля с непрямолинейным ионно-фокусируемым пучком.

Рассмотрим вначале случай взаимодействия ионно-сфокусированного электронного пучка с прямой волной в линии передачи, который соответствует пазотрону-усилителю прямой волны (ЛБВ-пазотрон).

Используя найденную величину сгруппированного тока (4.55) и стационарное уравнение возбуждения непрямолинейным потоком прямой волны в линии передачи в интегральном виде [107]

石⑶=石％"阮？ _ ^^\^^^^е~зМ^ ^(4.56)

о

(9丄(厂)—распределение ВЧ-поля (4.52) по поперечному сечению линии передачи 】);Е^ — амплитуда входного сигнала в начале линии передачи z = 0) и учитывая малость колебаний пучка в поперечном направлении |г|《 厂°, находим выражение для полного поля в конце

г) Величина 夕丄(『)определяет значение ВЧ-поля волны в том месте поперечного сечения линии передачи, где в данный момент проходит пучок, который предполагается достаточно тонким.

волноведущей системы (ж = /) при ионной фокусировке электронного пучка в виде

石⑴=石％；仇『/3陋[1 —(2»CW)3 (凡(Фо, ” х) + "『(Фо, ” х))], (4.57)

где

凡= MX)(2(-С。SФ点+巾。sE 巾。)+

+ 4/1(X)Ф%Ф。寸夕)+ 2/1(X)sin Фо, (4.58)

Wo,^%) = /信)…。-吧…。))+

+ 2/1 (%)((必 +，)si" + 夕产 \ 广—2Ф。sin Ф。)). (4.59)

3(巾。-g )

Здесь Фо = (/е — /о)，относительный угол пролета электронов в пространстве взаимодействия, g = 5/,。3 =) , % = а/Згь^ N =

4Vo \Ре /

=/е，/27r — число длин волн, укладывающихся на длине пространства взаимодействия (электрическая длина лампы).

Функции 歹а(@о,”Х)и 4(Фо,”х) описывают взаимодействие ионно-сфокусированного электронного потока с бегущей электромагнитной волной в пазотроне и пропорциональны соответственно активной и реактивной составляющим электронной мощности взаимодействия Ре. Полученные выражения записаны при условии, что в линии передачи отсутствует затухание, т. е.仇—постоянная распространения волны в линии передачи — является действительной величиной.

Отметим, что полученные выражения для 即(①и,，X) и 4(Фо, ” х) в пределе пучка с неизменным сечением (х —> 0, g —> 0) переходят в хорошо известные выражения, описывающие группировку в приборах О-типа (см., например, первый том книги, лекция 9, формулы (9.19)-(9.21)).

Следует также заметить, что при выполнении резонансного условия Зе — Зо = ±6 получаем, что величины Fa^r неограниченно возрастают, тогда как истинное решение, очевидно, должно быть ограничено при любых соотношениях между /Зе, /о и 3. Последнее связано с тем, что при решении задачи мы ограничились предположением о малости возмущений статической траектории ионно-фокусируемого пучка и ограничивались малым числом членов разложения. Поэтому в дальнейшем не будем рассматривать случай /& — /о = 土5. Последнее является вполне разумным, так как оценка величины |д| = \31\ из данных физических экспериментов с пазотроном показывает, что величина \Sl\

Рис. 4.24. Зависимость функции К(Фо, д, %) от Фо для различных значений параметра х и g = 20

достаточно велика и лежит вне интересующего нас диапазона изменения Фо = (А —仇)/ С (—Зтг, Зтг).

На рис. 4.24 представлены функции 即(①и, ” X)в зависимости от относительного угла пролета Фо в предположении, что последний изменяется вследствие изменения фазовой скорости волны при постоянных значениях I, ш и vq. Различные кривые получены при g = 20 и различных значениях параметра %, что может быть интерпретировано, как различные свойства механизма ионной фокусировки в пазотроне. Случай % = 0 на рис. 4.24 соответствует зависимости активной мощности взаимодействия электронов, удерживаемых бесконечным фокусирующим магнитным полем (классическому усилителю бегущей волны).

Из рис. 4.24 следует, что в диапазоне изменения относительного угла пролета —тг < Фо < тг величина | 歹а(@о, 3, Х)|》 |%(Фо,О,О)|,т.е. имеет место увеличение эффективности взаимодействия электронов с бегущей волной. При этом с ростом параметра %, который можно интерпретировать как радиус поперечных колебаний ионно-фокусиру- емого электронного потока, наблюдается увеличение величины | 歹а|・ Это связано с ростом эффективного сопротивления связи замедляющей системы пазотрона при увеличении радиуса пучка. При Фо > тг и Фо < < —тг имеет место ухудшение взаимодействия электронов с ВЧ-полем по сравнению с классической ЛБВ. При этом степень улучшения или ухудшения эффективности взаимодействия существенно зависит от параметров ионной фокусировки ди»

0,20,40,60,8

Рис. 4.25. Зависимость коэффициента усиления G пазотрона-усилителя от безразмерной длины лампы СN для различных значений параметра % (отмечены на рисунке) и Фо = —0,547r (а), Фо = —1,2тг (б) (д = 15) . Штриховыми линиями отмечены кривые, соответствующие случаю ЛБВ с электронным пучком, фокусируемым бесконечным внешним магнитным полем (% = 0)

Коэффициент усиления G (в дБ) пазотрона по мощности находится как

w)r

где поле Е(/) на выходе усилителя определяется соотношением (4.57).

На рис. 4.25 приведены зависимости коэффициента усиления па- зотрона от параметра ON, построенные при различных значениях параметра % ионной фокусировки. Данные кривые можно интерпретировать как зависимость коэффициента усиления пазотрона от тока пучка CN ~ ^7о или от длины пространства взаимодействия CN ~ ~ /. Из рисунка видно, что при малых значениях параметра СN поле изменяется слабо. Это связано с тем, что при малых длинах пространства взаимодействия пучок еще слабо сгруппирован и эффективного

взаимодействия между ним и прямой электромагнитной волной нет. С ростом параметра СN увеличивается амплитуда сгруппированного тока, поле в лампе возрастает, одновременно наблюдается быстрый рост коэффициента усиления пазотрона.

Из рис. 4.25 а, построенном при значении относительного угла пролета Фо〉—7г, следует, что с увеличением параметра % имеет место рост коэффициента усиления пазотрона. Иная ситуация имеет место при Фо < —7г (см. рис. 4.25 б). В этом случае коэффициент усиления G па- зотрона падает, что обусловлено уменьшением величины функции \ Fa | при |Фо|〉7г. Одновременно, как следует из сравнения представленных на рис. 4.25 6кривых, при больших значениях %〉0,22 параметра ионной фокусировки зависимость G(CN) приобретает «пульсирующий» характер.

Для более детального исследования вопроса усиления сигналов в пазотроне рассмотрим зависимость коэффициента усиления G от величины относительного угла пролета Ф°. Отметим, что относительный угол пролета электронов при фиксированной частоте g сигнала характеризует величину «холодного» рассинхронизма между волной и пучком, т. е. разность фазовой скорости 少小 «холодной» волны в линии передачи и скорости 少° электронного потока. Случай 少° 〉少小,как следует из определения относительного угла пролета, соответствует Фо < 0 и наоборот. На рис. 4.26 представлены зависимости коэффициента усиления G от величины Фо, построенные при различных значениях безразмерной длины пазотрона СN. Кривые, построенные при % = 0, соответствуют коэффициенту усиления «классической» ЛБВ, найденному в рамках первого приближения метода последовательных приближений, которое справедливо при длинах лампы СN < 1,0.

Найденные зависимости коэффициента усиления при различных безразмерных длинах системы СN (токах пучка) ионной фокусировки показывают, что с ростом величины х наблюдается определенное усложнение вида зависимости G(0o). Так при х < 0,03 зависимость коэффициента усиления от относительного угла пролета Фо (или, что то же самое, от частоты) близка к соответствующей кривой, построенной для «классической» ЛБВ (% = 0). Однако при %〉0,03 вид функции G(0o,x) существенно изменяется, что связано с появлением сильной изрезанности на зависимости G(0°) при увеличении параметра СN. Последнее является весьма отрицательным фактором системы с ионной фокусировкой пучка, так как в этом случае будет наблюдаться существенное искажение многочастотного широкополосного сигнала даже в линейном режиме работы ЛБВ-пазотрона.

Аналогичным образом можно теперь рассмотреть случай взаимодействия ионно-сфокусированного электронного пучка с обратной волной в электродинамической замедляющей структуре (пазотрон-лампа обратной волны; ЛОВ-пазотрон). В этом случае вместо интегрального уравнения возбуждения непрямолинейным пучком прямой волны (4.56) необходимо использовать соответствующее уравнение возбужде-

% = 0,00% = 0,00х=0,01х=0,01Рис. 4.26. Зависимости коэффициента усиления G пазотрона-усилителя прямой волны от относительного угла пролета Фо электронов в пространстве взаимодействия для различных значений параметра ионной фокусировки % (отмечены на рисунке), построенные при следующих значениях безразмерной длины лампы СN: а — СN = 0,2, 6— СN = 0,3, в — СN = 0,6, а — CN = 0,8 ® = 15).Рис. 4.26. Зависимости коэффициента усиления G пазотрона-усилителя прямой волны от относительного угла пролета Фо электронов в пространстве взаимодействия для различных значений параметра ионной фокусировки % (отмечены на рисунке), построенные при следующих значениях безразмерной длины лампы СN: а — СN = 0,2, 6— СN = 0,3, в — СN = 0,6, а — CN = 0,8 ® = 15).Х = 0,05Х = 0,05х = одох = одо

% = 0,00

% = 0,00

х=0,01

х=0,01

Рис. 4.26. Зависимости коэффициента усиления G пазотрона-усилителя прямой волны от относительного угла пролета Фо электронов в пространстве взаимодействия для различных значений параметра ионной фокусировки % (отмечены на рисунке), построенные при следующих значениях безразмерной длины лампы СN: а — СN = 0,2, 6— СN = 0,3, в — СN = 0,6, а — CN = 0,8 ® = 15).

Рис. 4.26. Зависимости коэффициента усиления G пазотрона-усилителя прямой волны от относительного угла пролета Фо электронов в пространстве взаимодействия для различных значений параметра ионной фокусировки % (отмечены на рисунке), построенные при следующих значениях безразмерной длины лампы СN: а — СN = 0,2, 6— СN = 0,3, в — СN = 0,6, а — CN = 0,8 ® = 15).

Х = 0,05

Х = 0,05

х = одо

х = одо

ния встречной волны, которое записывается как

石⑶=石％"阮(1) _^^(4.60)

Тогда, проводя выкладки аналогичные выкладкам для ЛБВ- пазотрона, можно получить полное поле Е на выходе системы ①=0. В первом приближении оно записывается в виде

矶0)=石％刑。『3陋[1 + (2»CW)3 (凡(Фо, ” ％) + "『(Фо, ” ％))], (4.61) где все функции Fa и Fr определяются формулами (4.58) и (4.59), а обозначения совпадают с обозначениями в формуле (4.57).

Как и при взаимодействии с прямой волной (ЛБВ-пазотрон) можно ввести коэффициент усиления ЛОВ-пазотрона G = 201g 竺黑，где

lulululu0,30,3>оа^>о^^но^>оа^>о^^но^

lulu

lulu

0,3

0,3

>оа^>о^^но^

>оа^>о^^но^

Рис. 4.27. Зависимость максимального усиления Gmax и ширины полосы △о; усиливаемых частот от параметра ионной фокусировки % (д = 15)

Е{1) — амплитуда входного усиливаемого сигнала,石(0) — амплитуда выходного ПОЛЯ (4.61).

На рис. 4.27 показаны зависимости максимального коэффициента усиления Gmax и ширины полосы Acj усиления (определенной на уровне 3 дБ) пазотрона-усилителя с обратной волной от параметра ионной фокусировки %, построенные при g = 15. Все зависимости нормированы на соответствующие величины при % = 0. Из рисунка видно, что с ростом величины осцилляций ионно-фокусируемого электронного пучка в линейной теории наблюдается рост коэффициента усиления пазотрона с 16 дБ до 24 дБ с одновременным сужением относительной полосы усиливаемых частот. Такое поведение коэффициента усиления связано с уже обсуждаемым выше увеличением эффективного сопротивления связи электронов с волной в линии передачи с ростом параметра ионной фокусировки.

Заметим, что теперь, в отличии от ЛБВ-пазотрона, мы имеем дело с регенеративным усилением, и при некоторых параметрах возможно получить генерацию на обратной волне (пазотрон-генератор обратной волны). Условием возбуждения пазотрона-усилителя является обращение коэффициента усиления в бесконечность или обращения в нуль поля 石(/) = 0 на коллекторном конце лампы. Тогда из соотношения (4.61) с учетом выражений (4.58) и (4.59) следуют пусковые условия генератора обратной волны с ионной фокусировкой электронного пучка (ЛОВ-пазотрона):

+ (2»СМ)з%(Фо$, ” ％) = 0, 4(Фо$, ” х) = 0, (4.62) где индексом «s» обозначены значения соответствующих величин, при которых наблюдается самовозбуждение пазотрона-генератора.

Решение уравнения (4.62) показывает, что пусковые условия пазотрона-генератора слабо зависят от параметров ионной фокусировки и близки к соответствующим пусковым условиям лампы обратной волны О-типа: Фо5 —тг, СNs 3,0. Из уравнения (4.62) также следует, что в пазотроне-генераторе облегчается возбуждение высших

видов колебаний, однако, для корректного определения их пусковых значений необходимо использование приближений более высокого порядка.

Заметим, что изложенная простейшая линейная теория взаимодействия ионно-фокусируемого электронного пучка с электромагнитной волной не учитывает целый ряд существенных особенностей черепковского взаимодействия ионно-фокусируемого пучка с синхронной волной линии передачи, в частности, важную роль токооседания пучка на замедляющую систему. Так, в работах [102,103] установлено, что в ЛБВ-пазотроне выброс пучка на стенки электродинамической структуры приводит к прерыванию неустойчивости (фактически, снижению эффективной электрической длины лампы), так что амплитуда выходного сигнала перестает зависеть от уровня входного сигнала. В ЛОВ- пазотроне подобный эффект приводит к появлению автомодуляции выходного сигнала пазотрона, т. е. к многочастотному спектру генерируемого излучения.

Лазеры на свободных электронах с плазменнымзаполнением

Как обсуждалось нами в лекции 2, одним из бурно развивающихся классов приборов релятивистской электроники являются лазеры на свободных электронах, предложенные конструкции которых весьма разнообразны и направлены на получение мощного коротковолнового перестраиваемого по частоте электромагнитного излучения. Известно, что одним из элементарных механизмов излучения в ЛСЭ является комптоновское рассеяние электромагнитной волны на электронах релятивистского пучка. На основе этого механизма созданы успешно работающие генераторы, в которых в качестве рассеиваемой электромагнитной волны используется периодическое магнитное поле (поле ондулятора, вигглера и т. п.). При этом длина волны генерируемого излучения As может быть оценена как (см. лекцию 2)

As = Aw/272, (4.63)

где Aw — например, пространственный период магнитостатического поля, 7 — релятивистский фактор электронов.

Из соотношения (4.63) следует, что имеются два пути продвижения в более коротковолновую область. Во-первых, за счет уменьшения пространственного периода 入$ ондулятора и, во-вторых, за счет увеличения энергии электронов релятивистского пучка. Каждый из этих путей характеризуется различной эффективностью преобразования кинетической энергии пучка в энергию электромагнитного излучения. Реализация первого пути продвижения во все более коротковолновую область наталкивается на технические трудности создания ондуляторов и вигглеров с периодами Aw меньшими нескольких сантиметров и мощными магнитными полями (порядка 1 кГс). Поэтому возникает необходимость в исследовании возможности использования других

структур, которые бы выполняли роль накачки, а также возможность использования других элементарных эффектов для создания источников коротковолнового излучения, основанных на рассеянии электромагнитных волн в среде.

Одной из наиболее эффективных сред, пригодных для этих целей, является плазма [89]. В работах [90,91] была исследована возможность использования легмюровской волны, возбуждаемой в плазме, в качестве эффективного ондулятора с малым пространственным периодом. Рассмотрим основные результаты этих работ, в которых предлагается использование плазменного вигглера для ЛСЭ.

Период плазменной волны, которая рассеивается на электронном пучке, определяется дисперсионными свойствами плазмы. Параметром, определяющим эффективность преобразования кинетической энергии пучка в энергию коротковолнового электромагнитного излучения является величина ае石=еЕ/(теш), где Е п ш — напряженность и частота электрического поля электромагнитной волны накачки. Если электроны пучка совершают поперечные колебания в магнитостатическом поле ондулятора, то этот параметр может быть записан в виде

36〃 =(4.64) 2тгтс

Здесь 石丄 и Aw — амплитуда и пространственный период ондуляторного поля.

Рассмотрим какие максимальные значения этого параметра могут быть получены в случае ленгмюровской волны. Напряженность электрического поля Е в ленгмюровской волне создается переменной составляющей ее плотности п и подчиняется уравнению Пуассона

divE = еп/е().(4.65)

Принимая во внимание, что максимальная модуляция электронной плотности п равна ее равновесному значению nmax = по, для оценки максимально достижимой напряженности электрического поля легко получить следующую оценку:

2

|Етах| = ^ =(4.66) Eokp ekp

где kp — волновое число возбуждаемой плазменной волны. Используя соотношение (4.66) можно оценить максимальное значение, которое может достигать параметр ае石 для ленгмюровской волны из соотношения

=芝=号，(467)

где 少小=g夕/kp — фазовая скорость ленгмюровской волны. Если возбуждаемая ленгмюровская волна имеет фазовую скорость, приближаю-

щуюся к скорости света с, то значение параметра [ае£；]тах стремится к 1. Записав соотношения

^Е^ЕеЕтезеЕтезе 6 丄 Xw 27rme2е 6 丄 Xw 27rme2=аея,=аея,

^Е

^Е

еЕ

тез

еЕ

тез

е 6 丄 Xw 27rme2

е 6 丄 Xw 27rme2

=аея,

=аея,

откуда можно определить, каким эффективным магнитным полям соответствует использование в качестве ондулятора ленгмюровской плазменной волны. Очевидно, что

^±эфф = г—^Е,石丄 m = г— = 3 • 10 ，几。[см- ] . (4.68)

Таким образом, воздействие электрического поля ленгмюровской волны, возбуждаемой в плазме с плотностью 几。~ 1015 см-3, эквивалентно воздействию ондуляторных магнитных полей 石丄 э小小 ~ Ю5 Гс, на порядок превосходящих их значения в обычных ЛСЭ. Если ленгмюровская волна, возбужденная в плазме, является релятивистской (т. е.少小 ^ с), то ее длина волны определяется плотностью плазмы как

入=包=3 • 1()61(4.69)

Зр，几0 [см — З]

Варьируя плотность плазмы в пределах 几。〜1013 -4-1018 см-3 и возбуждая в этой плазме мощную ленгмюровскую волну, можно создать коротковолновые ондуляторы в широком диапазоне длин волн от 1 см до десятков микрон. Изменение плотности плазмы позволяет управлять периодом плазменного ондулятора и, таким образом, продлить взаимодействие релятивистского пучка с плазменной волной. Одновременно, в связи с тем, что через плазму можно пропустить значительно большие токи чем в вакууме, мощности возбуждаемых колебаний в плазменном ЛСЭ могут быть значительно увеличены.

Заметим также, что использование волн, возбуждаемых в плазме, расширяет круг элементарных эффектов, которые могут быть использованы для генерации коротковолнового излучения. Если возбуждается медленная ленгмюровская волна (少小 < с), то в плазме появляется возможность осуществления коллективных эффектов, основанных на использовании элементарного эффекта аномального рассеивания [92].

Рассмотрим те коллективные эффекты, которые могут иметь место при вынужденном когерентном рассеянии волн, возбужденных в плазме (ленгмюровской, необыкновенной электромагнитной и др.), на электронном пучке. Элементарные механизмы, лежащие в основе вынуждаемого рассеяния ленгмюровской волны на релятивистском электронном пучке, были детально исследованы в работе [93]. При рассеянии отдельного электрона на плазменной волне имеет место конкуренция двух элементарных процессов — вынужденного излучения при томпсоновском рассеянии плазменной волны на электронах релятивистского пучка и параметрического черепковского излучения [94], имеющего место при движении электронов в периодической слоистой

среде, какой становится плазма после модуляции ее плотности полем продольной волны. Как следует из работы [93], при нерелятивистских скоростях электронов, электрические поля излучения, обусловленные этими двумя процессами, интерферируют и полностью гасятся при V/с —> 0. Однако в случае релятивистских электронных пучков роль томпсоновского рассеяния электронами плазменной волны становится определяющей.

Остановимся более подробно на возможности использования ленгмюровской волны в плазме в качестве ондулятора ЛСЭ. В работе [90] рассматривается модель однородной безграничой плазмы, в которой возбуждена ленгмюровская волна, распространяющаяся наклонно под углом 彳3 по отношению к направлению движения электронов моноэнер- гетического релятивистского пучка. Будем считать, что он движется вдоль оси z.

В случае рассеяния попутной ленгмюровской волны на электронах релятивистского пучка условия пространственно-временного синхронизма между волнами имеют следующий вид:

к? = к] + кз, 幻2 =公1 + 幻3,(4.70)

где к? и 幻2 ——волновой вектор и частота синхронной с электронным пучком комбинационной волны пондеромоторного потенциала, кз, 幻3 — характеристики ленгмюровской волны накачки и ki, cji — характеристики возникшей в результате рассеяния высокочастной электромагнитной волны. Рассмотрение взаимодействия волн с электронами пучка проводится в рамках модели трехволнового взаимодействия, где каждая из волн имеет вид &(г,力)=Re {Е〃 exp [/(k^r —幻勿力)]} (г = =1, 2, 3), причем амплитуды волн |Е^| предполагаются слабо изменяющимися с расстоянием z от входа в область взаимодействия.

Условия синхронного взаимодействия волн (4.70) в частном случае, когда волна пондеромоторного потенциала распространяется вдоль движения пучка (衣2力=0) приводит к следующему выражению для частоты G], рассеянной электромагнитнй волны:

—cos ®з — 1

= зре 气 0, 0小=誓,(4.71)

1 — 2 cos %кз

с

где ^i — угол, под которым распространяется рассеянная волна. Углы ^1 и 彳3 благодаря условию 衣2方=0 связаны между собой соотношением sin J3 =(少/с) sin (J3 — Ji) + (少小/c) sin Ji. Из выражения (4.71) следует, что поскольку в плазме может быть реализовано условие 少/少小《1, то существенного умножения частоты рассеянной волны по сравнению с частотой Зр можно добиться, используя даже нерелятивистские пучки. Отметим, что при перпендикулярном распространении ленгмюровской волны 彳3 = 7г/2 и излучении рассеянной волны в направлении движения пучка ^i = 0 для частоты рассеянной волны из выражения

(4.71) следует соотношение:

G1 =2)2*е.(4.72)

Важным является вопрос и о способе возбуждения интенсивной плазменной волны, которая может играть роль ондулятора. Один из таких способов может быть основан на возбуждении плазменной волны волной биений, возникающей в плазме под воздействием двух мощных источников когерентного излучения (метод beat-wave) [95]. В проведенном эксперименте [95] использовался СО2-лазер с плотностью потока мощности 2 • 1013 Вт/см2, работающий на длинах волн 10,6 мкм и 9,6 мкм. В плазме с плотностью 1017 см-3 была возбуждена ленгмюровская волна со значением параметра ае石 ~ 0,03 -4- 0,1. Эквивалентное магнитное поле ондулятора равнялось 32 -4- 95 кГс, соответствующий период имел значение Aw = 105 мкм. Другой способ создания плазменной волны заключается в кильватерном способе возбуждения волны в плазме сгустками электронов, протяженность которых меньше длины возбуждаемой ленгмюровской волны (метод wake-field) [96]. Возможность использования бетатронных колебаний плотного электронного пучка в области возникающего ионного канала для осуществления лазерного эффекта обсуждается в работе [97]. Наконец, в работе [98] в качестве эффективного коротковолнового вигглера предложена мощная ионнозвуковая волна.

Список литературы

Трубецков Д.И., Пищик Л.А. Черепковские нерелятивистские плазменные СВЧ-приборы Ц Физика плазмы. 1989. Т. 15, № 3. С. 200.

Файнберг Я.Б. Плазменная электроника и плазменные методы ускорения заряженных частиц 〃 Физика плазмы. 1994. Т. 20, № 7/8. С. 613.

Nusinovich G.S., Carmel Yu., Antonsen T.M., Goebel D.M., Santori J. Recent progress in the development of plasma-filled travelling-wave tubes and backward-wave oscillators “ IEEE Trane. Plasma Sci. 1998. V. 26, No 3. P. 628.

Carmel Y., Lou W.R., Antonsen T.M., Rodgers J., B. Levush B., Destler W. W., and Granatstein V.L. Relativistic plasma microwave electronics: Studies of high-power plasma-field backward oscillator Ц Phys. Fluids B. 1992. V. 4. P. 2268.

Кадомцев В.Б. Коллективные явления в плазме. — М.: Наука, 1976.

Незлин Н.В. Динамика пучков в плазме. — М.: Энергатомиздат, 1982.

Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Электродинамика плотных электронных пучков в плазме. — М.: Наука, 1990.

Кондратенко А.Н., Куклин В.М. Основы плазменной электроники. —М.: Энергоатомиздат, 1988.

Кузелев М.В., Рухадзе А.А., Стрелков П.С. Современное состояние исследований в области плазменной релятивистской СВЧ- электроники в ИОФ РАН “ Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2001. Т. 9, N@ 2. С. 3.

Кузелев М.В., Рухадзе А.А., Стрелков П. С. Релятивистская плазменная СВЧ-электроника “ УФН. 1985. Т. 146, N@ 4. С. 709.

Кузелев М.В., Рухадзе А.А., Стрелков П.С., Шкварунец А.Г. Релятивистская сильноточная плазменная СВЧ-электроника: преимущества, достижения, перспективы 〃 Физика плазмы. 1987. Т. 3, № 11. С. 1370.

Биро М., Красильников М.А., Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Проблемы теории релятивистской плазменной СВЧ-электроники Ц УФН. 1997. Т. 167, № 10. С. 1025.

Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Современное состояние теоретической релятивистской плазменной СВЧ-электроники Ц Физика плазмы. 2000. Т. 26, № 3. С. 231.

Ахиезер А.И., Файнберг Я.Б. О взаимодействии пучка заряженных частиц с электронной плазмой Ц ДАН СССР. 1949. Т. 69, N@ 4. С. 555.

Bohm D, Gross Е.Р. Theory of plasma oscillations “ Phys.Rev. 1949. V. 75, No 12. P. 1851.

Бернашевский В.Г., Богданов В.Е., Кислов В.Я., Чернов З.С. Плазменные и электронные усилители и генераторы СВЧ. — М.: Сов. радио, 1965.

Трайвелпис 9. В., Гоулд Р. В. Колебания сверхвысоких частот в плазме Ц М.: Изд-во иностр, лит., 1961. С. 137.

Bernashevskii V.G., Chernov Z.S. Plasma use as amplifier in Soviet told “ Electron News. 1961. V. 6, No 256. P. 18.

Graibill S.E., Nabro S. V. Ц Appl. Phys. Lett. 1966. V. 8. P. 18.

Naiion J.A. “ Appl. Phys. Lett. 1970. V. 17. P. 491.

Братман В.Л., Гинзбург H.C., Шапиро M.A. Ц Изв. вузов. Радиофизика. 1981. Т. 24. С. 763.

Wehner J. Electron plasma oscillations Ц J. Appl. Phys. 1951. V. 22, No 6. P. 761.

Grawford F. W., Kino G.S. Oscillations and noise in low-pressure de discharges “ Proc. IRE. 1961. V. 49. P. 1767.

Kojima £〉Kato K., Hgiwara S. Oscillations in plasma. I. Ц J. Phys. Soc. Japan. 1957. V. 12. P. 1276.

Kojima £〉 Kato K., Hgiwara £〉 Matsuzaki R. Oscillations in plasma. II. “ J. Phys. Soc. Japan. 1959. V. 14. P. 821.

Трубецков Д.И., Храмов A.E. Лекции по сверхвысокочастотной электронике для физиков. Том 1. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

Targ R., Levine L. “ J. Appl. Phys. 1961. V. 32. P. 751.36

Kislov V. Tubes pour hyper frequences Ц Fravaux du 5e congress internal. Paris, 15-18 September 1964.

Tamano T. “ Jap. J. Appl. Phys. 1965. V. 4. P. 987.

Beck A. H., Gregory B., Mourier J. “ 6th Intern. Conf, on microwave and optical generation and amplification. Cambridge, September 1966. P. 480.

Харченко Л.Ф., Файнберг Я.Б., Николаев Р.М. и др. “ ЖЭТФ. 1960. Т. 38. С. 685.

Рогашкова А.И., Цейтлин М.Б. “ Электрон, техника. Сер. 1. Электроника СВЧ. 1967. Вып. 7. С. 3.

Рогашкова А.И. Ц Радиотехника и электроника. 1970. Т. 15. С. 2338.

Vlaadingerbrock М., Weimer К. “ Proc. 4th Int. cong. on microwave tubes. Sheveningen, 3—7 September 1962. Eindhoven: Centrex publishing company, 1963. P. 322.

Gas-discharge devices. Part F. From Microwaves. Proc. 4th Int. cong. on microwave tubes. Sheveningen, 3—7 September 1962. Eindhoven: Centrex publishing company, 1963. P. 317.

Interactions faisceaus plasmas. From Tubes pour hyperfrequences. Fravaux du 5e cong. internal. Paris, 14-18 September 1964. P. 427.

Gaseous plasma devices. From 6th Int. conf, on microwave and optical generation and amplification. Cambridge, September 1966. P. 470.

Allen M., Biechler C., Chorney P. “ Tubes pour hyperfrequences. Fravaux du 5e cong. internal. Paris, 14-18 September 1964. P. 437.

Weimer K., Bodt H., Vlaadingerbrock M. “ Travaux du 5e cong. intern. Paris, 14-18 September 1964.

Шевчик B.H., Трубецков Д.И. Аналитические методы расчета в электронике СВЧ. — М.: Сов. радио, 1970.

Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. — М.: Сов. радио, 1973.

Biechler。〉Chorney Р. Ц 6th Intern, conf, on microwave and optical generation and amplification. Cambridge, 1966.

Антонов A.H., Блиох Ю.П., Дегтярь Ю.А. и др. Пучковоплазменный генератор, основанный на взаимодействии электронного пучка с плазменно-волноводной структурой, ограниченной цепочкой индуктивно связанных резонаторов Ц Физика плазмы. 1994. Т. 20, № 9. С. 777.

Блиох Ю.П., Корнилов Е.А., Митин Л.А., Файнберг Я.Б. Экспериментальное исследование возбуждения мощных СВЧ- колебаний электронным пучком в гибридной замедляющей структуре с плазменным заполнением Ц Физика плазмы. 1994. Т. 20, № 9. С. 767.

Рухадзе А.А. О взаимодействии релятивистского пучка заряженных частиц с плазмой 力 ЖТФ. 1962. Т. 32, N@ 6. С. 669.

Ковтун Р.И., Рухадзе А.А. К теории нелинейного взаимодействия релятивистского пучка электронов с плазмой Ц ЖЭТФ. 1970. Т. 58, № 6. С. 1219.

Кузелев М.В., Мухаметзянов Ф.Х., Рабинович М.С. “ др. Плазменный релятивистский СВЧ-генератор // ЖЭТФ. 1982. Т. 83, № 3. С. 1358.

Кузелев М.В., Мухаметзянов Ф.Х., Рабинович М.С. и др. Плазменный релятивистский СВЧ-генератор Ц ДАН. 1982. Т. 267, N@ 4. С. 829.

Рухадзе А.А., Стрелков П.С., Шкварунец А.Г. Широкополосный релятивистский плазменный СВЧ-генератор Ц Физика плазмы. 1994. Т. 20, № 3. С. 682.

Кузелев М.В., Лоза О.Т., Пономарев А.В., Рухадзе А.А., Стрелков П.С., Ульянов Д.К., Шкварунец А.Г. Спектральные характеристики релятивистского плазменного СВЧ-генератора на РЭП Ц ЖЭТФ. 1996. Т. 109, № 1. С. 208.

Стрелков П.С., Ульянов Д.К. Спектры излучения плазменного релятивистского СВЧ-генератора Ц Физика плазмы. 2000. Т. 26, № 3. С. 379.

Loza О.Т., Shkvarunets A.G., Strelkov P.S. Experimental Plasma Relativistic Microwave Electronics Ц IEEE Trans. On Plasma Sciences. 1998. T. 26, № 6. C. 615.

Пономарев А.В., Стрелков П.С., Шкварунец А.Г. Реализация плазменного СВЧ усилителя / Физика плазмы. 1998. Т. 24, № 1. С. 53.

Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Метод характеристик уравнения Власова в начальной и граничной задачах электродинамики Ц Изв. вузов. Радиофизика. 1993. Т. 36,施 10. С. 867.

Кузелев М.В., Лазутченко О.В., Рухадзе А.А. Режимы и спектры черепковской пучковой неустойчивости в нелинейной плазме Ц Изв. вузов. Радиофизика. 1999. Т. 42, N@ 10. С. 958.

Кузелев М.В., Рухадзе А.А. О влиянии редкой фоновой плазмы на спектры излучения СВЧ-генератора на сильноточном релятивистском пучке “ Физика плазмы. 1999. Т. 25, N@ 5. С. 471.

Кузелев М.В., Мухаметзянов Ф.Х., Шкварунец А.Г. Черепковская генерация низшей моды коаксиального плазменного волновода “ Физика плазмы. 1983. Т. 9, N@ 6. С. 1137.

Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Вынужденное излучение сильноточных релятивистских электронных пучков Ц УФН. 1987. Т. 152, № 2. С. 285.

Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Оптимальные эффективности и спектры излучения черепковских плазменные СВЧ-усилителей на сильноточных РЭП “ Физика плазмы. 1998. Т. 24, N@ 6. С. 530.

Карташов И.Н., Красильников М.А., Кузелев М.В. Отражение электромагнитных волн от перехода волновода с трубчатой плазмой в вакуумный коаксиальный волновод Ц Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44, № 12. С. 1502.

Биро М., Красильников М.А., Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Нелинейная теория плазменного СВЧ-генератора на кабельной волне Ц ЖЭТФ. 1997. Т. 111, № 4. С. 1258.

Красильников М.А., Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Нелинейная динамика резонансного вынужденного черепковского излучения в пространственно ограниченной плазме “ ЖЭТФ. 1995. Т. 108, № 2(8). С. 521.

Hockney R. W., Eastwood J. W. Computer simulation using particles. -NY: McGraw-Hill, 1981.

Бобылев Ю.В., Кузелев M.B., Рухадзе А.А., Свешников А.Г. Нестационарные парциальные условия излучения, в задачах релятивистской сильноточной плазменной СВЧ-электроники Ц Физика плазмы. 1999. Т. 25, N@ 7. С. 615.

Красильников М.А., Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Каскадные процессы в плазменном генераторе Ц ЖЭТФ. 1997. Т. 112, N@ 4(10). С. 1299.

Красильников М.А., Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Об установившихся режимах плазменного генератора “ КСФ. 1996. № 7-8. С. 22..

Zavjalov A., Mitin A., Perevodchikov V., Tskhai V., Shapiro A.L. Powerful wideband amplifier based on hybrid plasma-cavity ilow-wave structure “ IEEE Trans. Plasma Sci. 1994. V. 22. P. 600.

Karbushev R.L., Kolosov Y.A., Ostrensky E.I., Polovkov A.L Hybrid plasma slow-wave structures for linacs and microwave power sources Ц Pulsed RF Soutces Linear Colliders AIP Conf. Proc. 337. Montauk. NY. Oct. 1994.

Nusinovich G.S., Antonsen T.M., Bratman V.L., Ginzburg N.S. Applications of High-Power Microwaves / Eds Gaponov-Grekhov A.V. & Granatstein V.L. — Boston, MA: Artech House, 1994. Ch. 2.

Блиох Ю.П., Любарский Ю.Г., Нусинович Г. С., Подобинский В. О. Влияние нелинейности плазмы на процесс стохастизации колебаний, возбуждаемых в пучково-плазменных СВЧ-генераторах Ц Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7, № 2/3. С. 56.

Bliokh Yu.P., Liybarsky M.G., Podobinsky V.O., Fainberg Ya.В., Granatstein V.L., Carmel Y., Nusinovich G.S. Chaotic oscillations enhanced by magnetosonic waves in plasma-filled travelling-wave tubes “ Physics of Plasma. 1998. V. 5, No 11. P. 4061.

Bliokh Yu.P., Fainberg Ya.B., Lyubarsky M.G., Podobinsky V.O. Self- consistent plasma motion as a possible mechanism of the power

limitation and the pulse shortening in the plasma-filled TWT devices Ц SPAE Proc. 1997. V. 3158. Intense Microwave Pulses V. P. 182.

Miller S.M., Antonsen T.M., Levush B. Ponderomotive effects in plasma-filled backward-wave oscillators Ц IEEE Trans, on Plasma Sci. 1998. V. 26. P. 680.

Блиох Ю.П., Любарский Ю.Г., Подобинский В.О., Файнберг Я.Б. Применение метода функционального отображения для исследования ЛБВ-генератора с запаздывающей обратной связью Ц Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1993. Т. 1, № 1/2. С. 34.

Блиох К.Ю., Блиох Ю.П., Любарский Ю.Г., Подобинский В. О. Ав- томодуляционный режим линейного пучково-плазменного усилителя СВЧ-колебаний, вызванный возбуждением ионно-звуковых колебаний в плазме Ц Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7, № 1. С. 29.

Mitin A., Perevodchikov К, Shapiro A.L. Beam-plasma generators of stochastic microwave oscillations used plasma heating in fusion and plasma-chemistry devices and ionospheric investigations “ SPAE Proc. 1996. V. 2843. Intense Microwave Pulses IV. P. 208.

Гапонов А.В., Миллер M.A. Об использовании движущихся высокочастотных потенциальных ям для ускорения заряженных частиц “ ЖЭТФ. 1958. Т. 34, № 3. С. 715.

Goebel D.M., Butler J.M., Schumacher R. W., Santoru 丿.〉Eisenhart R.L. High-power microwave source based on an unmagnetized Backward-Wave Oscillator Ц IEEE Transacnons on Plasma Science. 1994. V. 22, No 5. P. 547.

Ponti E.S., Goebel D.M., Feicht J.〉Santoru J. PASOTRON amplifier experiments “ Proc. SPIE Conf. Los Angeles. CA. 1995..

Goebel D.M., Ponti E.S., Feicht J.R. and Watkins R.M. Pasotronn high-power microwave source performance Ц Proc. Intense Microwave Pulses IV. Denver CO. Aug. 1996. V. 2843. P. 69-78.

Жарков Ю.Д. Ионная фокусировка ленточного электронного пучка I/ Изв.вузов. Радиотехника. 1961. Т. IV, N@ 4. С. 446.

Бахрах Л.Э., Жарков Ю.Д. Геометрические параметры электронных пучков при ионной фокусировке Ц Радиотехника и электроника. 1961. Т. 6, № 6. С. 976.

Дмитриев Б. С., Мед оке В. Г.,Соколов И. Л. Магнитно

ограниченные электронные пучки при наличии ионов Ц Электронная техника. Сер. 1. Электроника СВЧ. 1966. № 1. С. 61.

Ponti E.S., Goebel D.M., Poeschel R.L. and Watkins R.M. Beam focusing and plasma channel formation in the Pasotron HPM source “ Intense Microwave Pulses. IV Proc. SPIE. 1996. V. 2843. P. 240-250.

Goebel D.M., Schumacher R. W. and Watkins R.M. Long-pulse plasma cathode e-gun Ц Proc. 9th Int. Conf. High-Power Particle Beams. Washington. DC. May 1992. V. 11. P. 1093-1098.

Goebel D.M. and Schumacher R. W. High current, low pressure plasma cathode electron gun “ U.S. Patent 5 537005. July 1996.

Goebel D.M. Cold-cathode, pulsed-power plasma discharge switch “ Rev. Sci. Instrum. 1996. V. 67. P. 3136.

Силин P.A., Сазонов В.П. Замедляющие системы. — М.: Сов. радио,1966.

Мирошниченко В.И., Файнберг Я.Б. Лазеры на свободных электронах с плазменным заполнением Ц Лекции по СВЧ-электронике и радиофизике. Материалы IX зименей школы-семинара. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2002. С. 102.

Балакирев В.А., Мирошниченко В.И., Файнберг Я.Б. “ Физика плазмы. 1986. Т. 12, № 8. С. 983.

Joshi。〉Katsouleas Т., Dawson J.M., Yan Y.T., Slater J.M. Plasma wave wigglers for free-electron lasers “ IEEE J. Quantum Electronics. 1987. V. QE-23, No 9. P. 1571.

Франк И.M. “ Ядерная физика. 1968. Т. 7, N@ 5. С. 1100.

Гайлитис А., Цытович В.Н. “ ЖЭТФ. 1964. Т. 46, N@ 6. С. 1726.

Файнберг Я.В., Хижняк Н.А. “ ЖЭТФ. 1957. Т. 32. С. 883.

Joski С, Mori W.B., Katsouleas Т., Dawson J.M., Kindel J.M., ForslundD. W. Ultra-High Gradient Particle Acceleration by Intense Laser-Driven Plasma Density Waves “ Nature. 1987. V. 311. P. 525.

Chen P., Dawson J.M., Huff R., Katsouleas T. Acceleration of Electrons by the Interaction of a Bunched Electron Beam with a Plasma Ц Phys. Rev. Lett. 1985. V. 54. P. 693.

Whittum D.H., Jesser 0., Dawson J.M. Ion-channel laser “ Phys. Rev. Lett. 1990. V. 64, No 21. P. 2511.

Chen P., Dawson J.M. Ion-ripple laser Ц Phys.Rev.Lett. 1992. V. 68, No 1. P. 29.

Кузелев M.B., Рухадзе А.А., Стрелков П.С. Плазменная релятивистская СВЧ-электроника. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.

Колесников Е.К., Мануйлов А.С., Филиппов Б.В. Динамика пучков заряженных частиц в газоплазменных средах. — C-Пб.: Изд-во C-Петербургского ун-та, 2002.

Nusinovich G.S., Bliokh Yu.P. Cherenkov radiation of electromagnetic waves by electron beams in the absence of an external magnetic field “ Phys. Rev. E. 2000. V. 62, No 2. P. 2657.

Bliokh Yu.P., Nusinovich G.S., Felsteiner J., Granatstein V.L. Self- consistent nonstationary processes in phase-mixed electron beams focused by mobile ions 力 Phys. Rev. E. 2002. Vol. 66. 056503.

Блиох Ю.П. Физика пасотрона “ Материалы XII зимней школы- семинара по СВЧ-электронике и радиофизике, Саратов, 28 января — 3 февраля 2003, С. 58.

Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Линейная теория взаимодействия электронного потока с электромагнитными полями при ионной фокусировки в пазотроне Ц Физика плазмы. 2004. Т. 30. е 1.

Бредов М.М. Автоматическая компенсация объемного заряда в электронных пучках Ц Сборник, посвященный семидесятилетию академика А.Ф. Иоффе. — М.: Изд-во АН СССР, 1950. С. 155.

Давыдов В.И., Брагинский С.И. К теории газовой концентрации электронных пучков Ц Сборник, посвященный семидесятилетию академика А.Ф. Иоффе. — М.: Изд-во АН СССР, 1950. С. 72.

Гапонов А.В. Возбуждение линии передачи непрямолинейным электронным потоком “ Изв. вузов. Радиофизика. 1959. Т. II, № 3. С. 443.

Гапонов А.В. Взаимодействие непрямолинейных электронных потоков с электромагнитными волнами в линиями передачи Ц Изв. вузов. Радиофизика. 1959. Т. II, N@ 3. С. 451.

Лекция 5 (20)ЭЛЕКТРОННЫЙ ПУЧОКСО СВЕРХКРИТИЧЕСКИМ ТОКОМВ ПЛОСКОМ ПРОЛЕТНОМ ПРОМЕЖУТКЕ

ВИРТУАЛЬНЫЙ КАТОД (от лат. virtualis - возможный), условная эквипотенциальная поверхность в межэлектродном пространстве электровакуумного прибора, характеризующаяся минимальным отрицательным по отношению к катоду-эмиттеру потенциалом... В широком смысле под В.К. понимается любая эквипотенциальная поверхность, через которую не может пройти часть электронов, напр. поверхность поворота в отражательном клистроне, сложные поверхности в многосекционных коллекторах с рекуперацией энергии электронов.

Электроника: Энциклопедический словарь. М.: Сов. энциклопедия, 1991. С. 58.

Принципы подобия для динамики виртуального катода в одномерном приближении. Условие развития неустойчивости: нелинейная теория. Нелинейные колебания виртуального катода в пролетном промежутке. Феноменологические модели динамики электронного потока с виртуальным катодом в плоском пролетном промежутке. Особенности нелинейной динамики и образование когерентных структур в электронном пучке с виртуальным катодом в неоднородном ионном фоне. Влияние подвижности ионного фона на колебания виртуального катода в плоском пролетном промежутке. Проблема ускорения ионов колеблющимся виртуальным катодом.

Так называемый «классический» диод Пирса представляет собой две бесконечных плоских параллельных сетки, пронизываемые моно- энергетическим на входе электронным потоком (рис. 5.1). Сетки, ограничивающиеся систему, заземлены и находятся на расстояние L друг от друга. Плотность заряда ро и скорость о。на входе в систему поддерживаются постоянными. Пространство между сетками равномерно заполнено нейтрализующим фоном неподвижных ионов. Плотность

нейтрализующего заряда 〃勿 равна невозмущенной плотности заряда в потоке. Неустойчивость, возникающая в диоде Пирса, связана с существованием внешней обратной связи через цепь, соединяющую сетки, поскольку они заземлены.

Модификацией «классического» диода Пирса является модель плоского пролетного промежутка с произвольной степенью нейтрализации пространственного заряда ионным фоном, в которой абсолютная величина плотности нейтрализующего заряда \pi| отличается от величины |ро|- Предельным случаем здесь является модель без нейтрализации пространственного заряда электронного пучка, для которой величина 〃勿 полагается равной нулю.

Основная особенность диода Пирса заключается в том, что граничные условия для уравнения Пуассона, описывающего потенциал g поля пространственного заряда в междусеточном пространстве пролетного промежутка, записываются как

夕(0)=夕(厶)=const. (5.1)

Электронный поток, движущийся в диоде Пирса, является одной из простейших систем электронно-плазменной природы. Данная модель, являясь моделью распределенной активной среды, позволяет рассмотреть различные неустойчивости, возникающие в электронном потоке, влияние на них граничных условий вида (5.1) [1-3, 105]. Уже в ставших классическими работах Бурсиана, Чайлда, Лэнгмюра и Пирса [4-8] показано, что при инжекции в диодный промежуток тока больше некоторого критического значения (сверхкритического тока), стационарные состояния с полным прохождением электронов становятся неустойчивыми. В пролетном промежутке возникает колеблющийся как в пространстве, так и во времени виртуальный катод [9], отражающий часть электронов обратно к плоскости инжекции. Это явление используется для генерации импульсов сверхмощного электромагнитного излучения в новом перспективном классе СВЧ-устройств — виркаторах и отражательных триодах [10, 11, 106]. Приборы с виртуальным катодом выделяются на фоне других по мощности генерации, конструктивной простоте и ряду других преимуществ, связанных, в первую очередь, с возможностью управления характеристиками генерируемого излучения. Этим устройствам и различным их модификациям будет посвящена следующая глава книги.

С точки зрения нелинейной теории колебаний и волн, теории самоорганизации пролетный промежуток со сверхкритическим током является одной из простейших моделей электронной турбулентности. Теоретический анализ и вычислительный эксперимент показывают, что в диодном промежутке со сверхкритическим током наблюдаются различные нелинейные феномены, включая детерминированный хаос, классические сценарии переходов к хаотической динамике, процессы образования и взаимодействия структур. Некоторые из этих явлений рассматривались нами в первом томе при анализе нелинейных явлений

в электронном пучке в рамках гидродинамической модели диода Пирса [12, лекция 4] (см. также работы [13-17]).

В этой лекции изучим процессы в электронном пучке со сверхкритическим током в плоской геометрии в режимах с формированием виртуального катода. Такая модель, схематически изображенная на рис. 5.1, является простейшей моделью, описывающей явления в пучке с виртуальным катодом.

Обратимся вначале к качественному описанию процессов в электронном пучке со сверхкритическим током, для чего рассмотрим результаты численного эксперимента [10]. На рис. 5.2 представлена зависимость величины минимума потенциала в диодном промежутке от тока / инжектируемого в него пучка с релятивистским фактором электронов 7 = 1/ J] - (ио/с『,где 少° — скорость инжектируемого в пролетный промежуток потока. Из рисунка видно, что с увеличением тока / глубина «провисания» потенциала gmin в пучке становится все больше, и при некотором критическом значении тока /кр величина 0min переходит скачком с устойчивой ветви, соответствующей полному стационарному прохождению потока через диодный промежуток, на ветвь, которая соответствует колеблющемуся виртуальному катоду. Механизм колебаний виртуального катода может быть пояснен следующим образом.

При токах пучка больше критической величины /кр высота потенциального барьера в диодном промежутке (виртуального катода) становится больше кинетической энергии (7 — 1)тос2 влетающих в пространство взаимодействия электронов. Здесь 7 — релятивистский фак-

"о Ро

Р/

£

Рис. 5.1. Схема изучаемой моделипролетного промежутка

Рис. 5.2. Величина минимума потенциала фтгИп в пространстве взаимодействия как функция тока инжектируемого пучка /

тор электронов в плоскости инжекции ж = 0 пролетного промежутка, то — масса покоя электрона, с — скорость света. В этом случае электроны останавливаются перед виртуальным катодом и разворачиваются, что приводит к смещению виртуального катода и максимума плотности пространственного заряда в сторону плоскости инжекции. Кроме того, величина плотности пространственного заряда быстро увеличивается, так как практически все электроны оказываются захваченными движущимся к входной плоскости виртуальным катодом, образующим сгусток электронов. По мере приближения к плоскости инжекции величина потенциального барьера уменьшается и в некоторый момент времени становится меньше кинетической энергии влетающих электронов. Снижение величины потенциального барьера прод о лжается и после того, как отраженные электроны покидают пространство взаимодействия. Инжектируемые электроны теперь легко преодолевают уменьшившийся потенциальный барьер и двигаются к выходной плоскости промежутка. Виртуальный катод начинает смещаться к выходной плоскости диода до тех пор, пока не восстановится потенциальный барьер достаточной высоты для отражения электронов. Далее процесс повторяется. Ток отраженных от виртуального катода и пролетных электронов оказывается промодулированным на частоте g колебаний виртуального катода, которая, как будет обсуждаться дальше, связана с невозмущенной плазменной частотой пучка g夕.

Вернемся к рис. 5.2. Если теперь в состоянии, когда в системе имеется колеблющийся виртуальный катод, начать уменьшать ток пучка /, то амплитуда колебаний A^min(^) уменьшается, а координата 0min в пространстве стремится к центру диодного промежутка. Состояние системы возвращается к прежнему устойчивому равновесию при достижении точки бифуркации. Таким образом, в окрестности / ~ /кр существует гистерезисная петля, которая обозначена на рис. 5.2 штриховой линией. За точкой бифуркации существуют четыре возможных состояния, два из которых устойчивы и реализуются в системе в зависимости от предыстории, а остальные два — неустойчивы и физически нереализуемы.

Описание нелинейных нестационарных процессов в потоке с виртуальным катодом можно вести в рамках различных приближений. Наиболее простой и фундаментальной моделью, которая позволяет изучить особенности физических процессов в подобной системе, как уже говорилось выше, является модель плоского диодного промежутка, в который инжектируется сверхкритический ток /〉/кр 1).

Впервые численно такая система была исследована в 60-х годах Бриджесом и Бёдселлом [18-20]. Это был один из первых, наряду с ра-

1) Заметим, что в лекциях мы говорим о сверхкритическом токе, при превышении которого имеет место неустойчивость. Однако можно ввести понятие сверхкритического первеанса электронного пучка 〃 = //V3/2 для случая, когда пучок испытывает торможение статическим полем в пространстве взаимодействия.

ботой по моделированию динамики электронного пучка в магнетронном диоде [21] 1), вычислительных экспериментов в электронике. В нем сразу же была обнаружена нестационарная динамика электронного потока со сверхкритическим током в диодном промежутке. В данной лекции подробно остановимся на нелинейной нестационарной динамике виртуального катода в плоском пролетном промежутке, проанализируем характеристики сложной динамики пучка и найдем связь между хаотической динамикой и процессами структурообразования в электронном пучке. Однако прежде чем переходить к анализу подобных сложных явлений в пучке со сверхкритическим током, в начале лекции остановимся на анализе условий развития неизлучательной пучковой неустойчивости в плоской геометрии.

Принципы подобия для динамики виртуального катодав одномерном приближении

Рассмотрим задачу инжекции бесконечно широкого пучка, инжектируемого с постоянной скоростью 少°. Для определения критериев подобия колебаний виртуального катода в электронном пучке, инжектируемом в пространство взаимодействия, при учете только продольного движения электронов воспользуемся кинетическим уравнением Власова [22,23]

竺dt竺dt(/，〃力)+0(/，〃力)+0|^(/，〃力)+ eE^(x,p,t) = 0,|^(/，〃力)+ eE^(x,p,t) = 0,(5.2)(5.2)

竺

dt

竺

dt

(/，〃力)+0

(/，〃力)+0

|^(/，〃力)+ eE^(x,p,t) = 0,

|^(/，〃力)+ eE^(x,p,t) = 0,

(5.2)

(5.2)

где /(①,р,力)—функция распределения заряженных частиц (электронов), х — продольная координата,力—время, р и v — соответственно импульс и скорость электронов, Е — напряженность электрического поля, действующего на электронный поток. Заметим, что аналогичные результаты можно получить из гидродинамических уравнений электроники [12, лекция 3, 4], однако, использование уравнения Власова позволяет легко обобщить полученные результаты на двух и трехмерный случай.

Релятивистский электронный пучок в данном случае также может быть легко описан с помощью уравнения (5.2), если учесть связь между р и V в релятивистском случае

mov，1 一(о/e)2mov，1 一(о/e)2=叩о〃=叩о〃(5.3)(5.3)

mov

，1 一(о/e)2

mov

，1 一(о/e)2

=叩о〃

=叩о〃

(5.3)

(5.3)

где то ——масса покоя заряженной частицы. Положив 7 = 1, можно формальным образом получить соответствующие соотношения для нерелятивистского электронного пучка.

1) Первый эксперимент на ЭВМ относится к 1943 г., когда Хартри и Никольсон исследовали поведение магнетрона с помощью 30 плоских «крупных электронов».

Электрическое поле описывается уравнением Пуассона, которое за

пишем в видепишем в видедЕ дхдЕ дхРСоРСо(5.4)(5.4)

пишем в виде

пишем в виде

дЕ дх

дЕ дх

Р

Со

Р

Со

(5.4)

(5.4)

где р — плотность пространственного заряда пучка.

Пусть электронный пучок имеет на входе в пространство взаимодействия невозмущенную скорость 少°, импульс р° = то)。。。и плотность пространственного заряда ро.

Рассмотрим отдельно случай полубесконечного и ограниченного в продольном направлении пространства взаимодействия.

В полубесконечной геометрии пространства взаимодействия граничные условия для электронного пучка запишутся в виде

〃（0,力）=ро, «Ж，力）=Ро“р — 伙））.（5.5）

Введем безразмерные переменные р = \po\n и р = р()Р. Обозначая неизвестные масштабирующие коэффициенты для оставшихся переменных как х = §Х, t = тТ, Е = е£, и подставляя эти выражения для безразмерных переменных в соотношения (5.2) и (5.4), с учетом выражения (5.3), получим

[1 д _роf丄 _，l + (〃o/(moc))2 P2 dX[1 д _роf丄 _，l + (〃o/(moc))2 P2 dX響為卜（x，RT）=。，（5.6）響為卜（x，RT）=。，（5.6）

[1 д _роf丄 _

，l + (〃o/(moc))2 P2 dX

[1 д _роf丄 _

，l + (〃o/(moc))2 P2 dX

響為卜（x，RT）=。，

（5.6）

響為卜（x，RT）=。，

（5.6）

(5.7)

Граничные условия (5.5) в безразмерных координатах перепишутся в виде

п(0, 7) = -1, Р(0, 7) = 1,歹(О, R 7) = —Ь(р -1).(5.8)

Здесь /X, Р, 7) — безразмерная функция распределения.

Выберем масштабирующие коэффициенты §, т и е так, чтобы в уравнениях (5.6) и (5.7) максимальное число коэффициентов при производных стало равным 1. Положим из этих соображений е = §|〃о|/ео, € = Ро，£о/(е|〃о|^о) и г = у/еото/(е\ро\), тогда уравнения (5.6) и (5.7) принимают вид:

，1 + (〃о/(тос))2 产 ах，1 + (〃о/(тос))2 产 ах+ ^}/хЛ,+ ^}/хЛ,дедх=п'дедх=п'(5.9)(5.10)(5.9)(5.10)

，1 + (〃о/(тос))2 产 ах

，1 + (〃о/(тос))2 产 ах

+ ^}/хЛ,

+ ^}/хЛ,

де

дх=п'

де

дх=п'

(5.9)

(5.10)

(5.9)

(5.10)

Полученная система безразмерных уравнений (5.9) и (5.10), решаемая совместно с граничными условиями (5.8), описывает динамику электронного пучка со сверхкритическим током в полубесконечной геометрии.

В этой системе уравнений имеется только один параметр -^-, т. е. ШоС динамика полубесконечного электронного пучка со сверхкритическим током определяется единственным параметром (критерием подобия) '° . В классическом пределе величина 少°/с —> 0, и система уравне- ШоС

Х = | = -Х = | = -ний (5.9), (5.10) и (5.8) не имеет ни одного управляющего параметра. Последнее означает, что все «классические» электронные пучки в полу- бесконечном пространстве взаимодействия будут вести себя идентично. Рассмотрим теперь ограниченное в продольном направлении пространство взаимодействия длины L. Процедура перехода к безразмерным уравнениям в данном случае такая же, однако, теперь безразмерную координату вдоль пространства взаимодействия удобно записать в следующем виде:

Х = | = -

Х = | = -

(5.П)

Последнее приводит к тому, что динамика виртуального катода в ограниченной геометрии описывается уже двумя критериями подобия

Cc^n L

(5.12)(5.12)Ро = moyovo и а =5——，

(5.12)

(5.12)

PoVToc

где Зр — плазменная частота электронного потока на входе в пространство взаимодействия и 仇=vq/c. В классическом пределе)о —> 1 и / 0 динамика системы описывается единственным управляющим параметром а = g夕丄/少。.Последнее обсуждалось нами в первом томе книги [12, лекция 4], где рассматривалось описание электронного потока со сверхкритическим током в плоском пролетном промежутке в рамках гидродинамического приближения.

Параметр а носит название параметра Пирса. Параметр Пирса при постоянной длине системы L и неизменной скорости 少° пучка на входе в систему пропорционален току пучка / как а 〜，^.

В случае полной нейтрализации нерелятивистского электронного потока, как было уже показано в первом томе [12, лекция 4], значение параметра Пирса, при котором возникает неустойчивость в пучке и формируется виртуальный катод, равно тг. При инжекции пучка в диодный промежуток без нейтрализующего ионного фона критическое значение параметра Пирса, как будет показано дальше, равно аКр = =4/3.

Условие развития неустойчивости: нелинейная теория

Количественный анализ процессов развития неизлучательной неустойчивости в нерелятивистском случае в ограниченной геометрии проводился в большом количестве работ (см., например, [24-36]), и обычно основывается на рассмотрении движения электронного потока в рамках гидродинамического приближения совместно с уравнением Пуассона для описания эволюции квазистатического

сверхкритическим током, запишется+ 竽(5」3) ох+= -Е,(5.14)сверхкритическим током, запишется+ 竽(5」3) ох+= -Е,(5.14)электрического поля. В безразмерном виде, с учетом полученной в предыдущем разделе нормировки физических величин, система гидродинамических уравнений, описывающая динамику плоского пролетного промежутка со в следующем виде:

сверхкритическим током, запишется

+ 竽(5」3) ох

+= -Е,(5.14)

сверхкритическим током, запишется

+ 竽(5」3) ох

+= -Е,(5.14)

dtdv

= a2(〃 +几)，(5.15)

ox

где р = pf/\ро\ и v = ^У^о — безразмерные функции плотности пространственного заряда и скорости электронного потока в пролетном промежутке, Е = у его/(^о|ро|) ^V^o — безразмерная напряженность электрического поля пространственного заряда,力=力/少o/L и ж = =х'/L — безразмерные время и продольная координата (штрихами обозначены соответсвующие размерные переменные). Параметр п есть отношение плотности нейтрализующего ионного фона 〃勿 к невозмущенной плотности электронного потока 〃о： n = pi/\po\-

Граничные условия для системы уравнений (5.13)—(5.15) запишутся в виде 1)

1

少(0,力)= 1, р(0, t) = —1, j Е dx = 0.(5.16)

о

Рассмотрим вначале электронный пучок без нейтрализации, т. е. случай п = 0. Решая систему уравнений (5.13)—(5.16) методом характеристик [37,38], получаем

[2

-=一亏(力一力1)2 + ae0(方 1)(/一方 1) — 1,(5.17)

P /

где 力 1 — время влета частицы, которая в момент времени t имеет координату ж,石。(力 1) — электрическое поле в плоскости ①=0. Траектории заряженных частиц можно найти, используя уравнение непрерывности (5.13), из которого следует

1) Заметим, что для пучка ионов /?(0,力)=1, дальнейшие же выкладки в этом случае аналогичны приведенным ниже.

Интегрируя уравнение (5.18), с учетом соотношения (5.17), получаем выражение для траектории электронов:

ж = ^"("一力1)3 + a ]后0(力 1) d方 1 + (方-力 1),(5.19)

Интегрирование последнего уравнения в общем случае достаточно сложная задача, так как, налагая соответствующие граничные условия, приходим к нелинейному интегральному уравнению для 石。(力i). Однако для некоторых частных случаев можно получить аналитическое решение уравнения (5.19).

Решение задачи (5.13)—(5.16) об инжекции пучка со сверхкритическим током в пустой пролетный промежуток может быть найдено до момента формирования появления сингулярности в р, т. е. до момента появления отражений в потоке. В этот момент скорость。(①，力)электронного потока становится трехзначной величиной, и для корректного описания динамики потока необходимо вместо гидродинамических уравнений воспользоваться кинетическим уравнением Власова 1). Такое многопоточное состояние в электронном пучке означает формирование колеблющегося виртуального катода и возникает при превышении величиной параметра Пирса а критического значения акр.

Рассмотрим стационарное состояние в диодном промежутке, т. е. случай Ео(力)— Eq — const. Из уравнения (5.19) легко найти соотношения для скорости и координаты электронов

[2

少=——=亏(力一力I)2 — a否0(力 1)(/一力 1) + 1,(5.20)

p /

2

①一力1)3 - ^后。(方一力1)2 + (力一力 1).(5.21)

Учитывая граничное условие на правой границе диода ж = 1, v = 1 и обозначая через to = t — t± время пролета частиц через пространство взаимодействия, получим, что величина 力° удовлетворяет уравнению

2

今店一力о + 1 = О.(5.22)

Уравнение (5.22) имеет два положительных решения при 0 W a W < 4/3, которые сходятся при а = 4/3. Большее из этих решений при 0 W а < 2,2/3 соответствует неустойчивому состоянию электронного потока и не реализуется физически. Это иллюстрирует рис. 5.3, на котором показана зависимость Ео = а力°/2 как функция параметра Пирса а. Из него видно, что при а〉4/3 в системе не реализуется однопотоковое состояние и формируется колеблющейся виртуальный катод.

Уравнение Власова можно численно интегрировать, например, методом частиц [39] или методом фазового пространства [40].

Рис. 5.3. Зависимости величины электрического поля Ео в плоскости инжекции от параметра Пирса а для п = О

Рассмотрим теперь пучок, который нейтрализован ионным фоном с плотностью п ^ 0. Стационарное состояние для этого случая может быть найдено аналогично тому, как это делалось выше для случая п = =0. Переписывая уравнения (5.13)—(5.15) в характеристических координатах, получаем

*(1 + Ж】 +，(5.23)

Для положительных ионов (п〉0) решение уравнения (5.23) имеет вид

+ — = (1 + п) cos (力一力 1) + Е()л/й sin av^ (力一力i)・(5.24)

Учитывая условия на правой границе ж = 1 и v = 1 для величины 力о =力一力1, можно записать систему уравнений

:力о - ( 1 з^) sina^/n t0 + ^ (cosa^/E力° - 1) = 1,(5.25)

— —f-——cosqv^^o — —sincev^^o = 1-(5.26)

n \ n 7n

Решения полученных уравнений для различных значений плотности ионного фона п представлены на рис. 5.4. На рисунке представлены зависимости поля Е = Е^у/п от величины & = ап3^2. Функция Е(а) является периодической с периодом 27r для любых значений п. Для данного значения а линейный анализ показывает, что состояния равновесия, обозначенные кривыми на рисунке, устойчивы для меньших значений Ё и неустойчивы для больших Е.

Для случая n = 1 («классический» диод Пирса [7]) бифуркация потери устойчивости состоянием равновесия имеет место при а =⑵ + + 1)7г (г = 0,1,2...), что совпадает с результатами, полученными в

Рис. 5.4. Зависимости нормированного электрического поля в плоскости инжекции Е от нормированного параметра Пирса сё для различных значений параметра нейтрализации п

[12, лекция 4] из других соображений. При п < 1, изменение характера устойчивости возникает в точках, где dE^/da —> оо.

Как видно из рис. 5.4, для n < 1 не существует устойчивых решений в окрестности & = тг. Поэтому следует ожидать возникновение виртуального катода при п < 1 и а адиабатически медленно стремящимся к 7г. Медленно увеличивая п, можно наблюдать колебания виртуального катода и при n > 1. Любой другой способ получения в потоке колеблющегося виртуального катода при п > 1 является достаточно сложной задачей, так как решение стремится к устойчивому состоянию, которое имеет место для всех значений тока пучка а.

Проведем нелинейный анализ устойчивости обнаруженных стационарных состояний в окрестности критического значения параметра Пирса аКр- Для определенности рассмотрим случай п = 0, хотя полученные результаты легко обобщить на случай произвольного п.

В рамках линейного анализа устойчивости стационарного состояния, описываемого соотношением (5.22), в работе [41] получено дисперсионное уравнение

+ (2 + /)е 3 = 2,

где / = 7幻力о, J = \/^Т. Для величины параметра Пирса а около критического значения можно положить

Вблизи значения а, определяемого соотношением (5.28), из уравнения (5.22) можно получить приближенное выражение для 力° в виде

力。干+。（合），力。干+。（合），(5.29)(5.29)

力。干+。（合），

力。干+。（合），

(5.29)

(5.29)

где знак «минус» соответствует нижней, а «плюс» — верхней ветви на рис. 5.3. Подставляя соотношения (5.28) и (5.29) в уравнение (5.27), можно найти, что

7G力0 = / 干2х/^e +о(产).7G力0 = / 干2х/^e +о(产).(5.30)(5.30)

7G力0 = / 干2х/^e +о(产).

7G力0 = / 干2х/^e +о(产).

(5.30)

(5.30)

Отсюда следует, что нижняя ветвь зависимости Е°(а) на рис. 5.3, которой соответствует знак «минус» в формуле (5.30), является устойчивой, а верхняя — неустойчивой. Точка а = аКр = 4/3 (е = 0) соответствует безразличному состоянию равновесия.

Однако в области а〉акр = 4/3 линейная теория неприменима. Используя теорию возмущений [42], можно провести нелинейный анализ устойчивости в окрестности акр. В системе уравнений (5.13)—(5.15) положим: а = 4/3±f2. В (е2)-окрестности критического значения параметра Пирса будем рассматривать эволюцию возмущений в «медленном» времени г = е力.

Исключим из системы (5.13)—(5.15) переменную Е)для чего скомбинируем уравнения (5.13) и (5.14) и используем определение т. Тогда приходим к уравнениям:

3〃 , 3(а) п 丽 + ▽3〃 , 3(а) п 丽 + ▽(5.31)(5.32)(5.31)(5.32)

3〃 , 3(а) п 丽 + ▽

3〃 , 3(а) п 丽 + ▽

(5.31)

(5.32)

(5.31)

(5.32)

Граничные условия (5.16) в этом случае перепишутся в виде

1

e] || de + }e2(1,7)_ 。2@7)) = 0.(5.33)

о

Разложим функции скорости и плотности в ряд по степеням малого параметра е:

少 ~е"з(/，т) + О(е'+1), р £”〃勿(伤 7)+ О(и+1)・ (5.34) 勿=0勿=0

Подставим получившиеся асимптотические разложения в систему уравнений (5.31) и (5.32) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях е.

При е° получаем

Ро = -1/^о-(5.36)

Для нахождения 少i и pi, т. е. рассматривая коэффиценты при е1, введем новую переменную а, которую определим как

(5・37) так что

«0 = у+1.(5.38)

Тогда получаем, что

内=Cu(u — 3/2)/оо,(5.39)

a1=内/呜，(5.40)

где。— константа интегрирования, которая в общем случае есть функция «медленного» времени т. Для нахождения функции С = С (г), которая определяет медленное изменение во времени возмущения 少i, необходимо найти коэффициенты следующего порядка малости е2. Используя выражения для 少о,少1, 〃о, 〃i и исключая из задачи выражение для 〃2, можно показать, что функция 少2(①,丁) удовлетворяет уравнению

32^0^232^0^2дх2дх2丄161+0需"2丄161+0需"2竺丄也j9 о。Зт , о竺丄也j9 о。Зт , о〃(“ -3/2) d〃 +。2 〃2(〃 — 3/2)2^o^o〃(“ -3/2) d〃 +。2 〃2(〃 — 3/2)2^o^oдС д ( 〃(〃 - 3/2)дС д ( 〃(〃 - 3/2)дт дхдт дх^0^0±IB(5/1)±IB(5/1)少 2@т) = О,少 2@т) = О,9 dе"2(" = 1ё 歹9 dе"2(" = 1ё 歹(5・42)(5・42)

32^0^2

32^0^2

дх2

дх2

丄161

+0需"2

丄161

+0需"2

竺丄也j

9 о。Зт , о

竺丄也j

9 о。Зт , о

〃(“ -3/2) d〃 +。2 〃2(〃 — 3/2)2^o^o

〃(“ -3/2) d〃 +。2 〃2(〃 — 3/2)2^o^o

дС д ( 〃(〃 - 3/2)

дС д ( 〃(〃 - 3/2)

дт дх

дт дх

^0

^0

±IB(5/1)

±IB(5/1)

少 2@т) = О,

少 2@т) = О,

9 dе

"2(" = 1ё 歹

9 dе

"2(" = 1ё 歹

(5・42)

(5・42)

Решение данной неоднородной граничной задачи существует только в том сучае, когда выполняются условия теоремы Фредгольма об альтернативе [43,15.4—4]. Тогда дифференциальное уравнение, определяющее функцию С(т) принимает вид

а— + ЬС2 ±с = 0,(5.43)

где а, 6 и с — константы, которые определяются как

3/2

、и(и - 3/2) /16 2 /9\ , 3\ ,[「о“

a =dda = 1,6850,(5.44)

о

19*

3/2

6 = I [ “з(〃—《3/2)3 九=—3,7968,(5.45)

о

3/2

с = I j 〃(“ — 3/2) du = —1,5.(5.46)

о

В уравнении (5.43) знаки « + » и « —» соотносятся со значениями параметра Пирса а〉аКр и а < &кр соответственно.

При а〉&кр функция С принимает вид

С(т) = —"g[^ (^^)] ,(5.47)

< а ир п< а ир пааh ht сс -ь с -bh ht сс -ь с -bG+)Е+)G+)Е+)1^(0)|<У|,1^(0)! >yf,1^(0)|<У|,1^(0)! >yf,(5.48)(5.48)

< а и

р п

< а и

р п

а

а

h ht сс -ь с -b

h ht сс -ь с -b

G+)Е+)

G+)Е+)

1^(0)|<У|,

1^(0)! >yf,

1^(0)|<У|,

1^(0)! >yf,

(5.48)

(5.48)

где у。一 константа интегрирования.

Таким образом, малые начальные возмущения в электронном пучке в окрестности а ~ акр эволюционируют в соответствии с решением

少(①,力)~ 少0 + £ а(т)е“"з(①)+ O(U),(5.49)

где 3i — корни дисперсионного уравнения (5.27) при а = 4/3. Отсюда непосредственно видно, что всеми модами, которые характеризуются условием Re ^{ < 0, можно пренебречь по сравнению с модой, для которой g = 0. Именно она будет определять динамику потока, так как все остальные моды будут затухать в «быстром» времени 力.Таким образом, после некоторого небольшого промежутка времени от начала инжекции пучка в диодный промежуток искомое решение можно записать как

0~0о + еС(т)処"——迎2^ + O(f2).(5.50)

Из имеющихся начальных условий легко отыскать начальные условия для моды с g = 0. При а < акр, если начальные условия таковы, что 0(0)〉—у/с/Ь, решение будет стремиться к устойчивой нижней ветви на рис. 5.3 (область I). Если же 0(0) < —，с/Ь, то С т оо за конечное время (рис. 5.3, область II). При а〉акр резкий бесконечный рост величины С за конечное время имеет место при любых С(0). Такое поведение на больших интервалах времени решения, полученного методами возмущений из нелинейных уравнений, означает, что теория возмущений позволяет описать динамику пучка со сверхкритическим током только на начальном этапе (линейном и отчасти нелинейном) развития неустойчивости.

Как видно из соотношения (5.47) резкий бесконечный рост при превышении параметром Пирса критического значения описывается функцией тангенса, поэтому необходимо корректно определить инкремент развития неустойчивости в данном случае. Заметим, что из линейной теории следует развитие неустойчивости при превышении критического значения параметра Пирса по экспоненциальному закону е【т“* Где инкремент неустойчивости определяется величиной мнимой части частоты g (см. соотношение (5.27)).

Оценим как ведет себя некоторое начальное возмущение при а < < &кр вблизи устойчивой ветви на рис. 5.3. Для этого положим в первом соотношении (5.48) т = е力 и устремим время 力一> оо. Тогда

С(т) = ^ thС(т) = ^ th1 + exp1 + exp(8 力 + То)(8 力 + То)"iVcbQ"iVcbQ(8 力 + To)(8 力 + To)

С(т) = ^ th

С(т) = ^ th

1 + exp

1 + exp

(8 力 + То)

(8 力 + То)

"iVcb

Q

"iVcb

Q

(8 力 + To)

(8 力 + To)

« ^ f 1 — 2exp ————(et + tq) +...). (5.51)

Отсюда видно, что нелинейный декремент d затухания возмущения при а < &кр вблизи устойчивой ветви (см. рис. 5.3) равен

d =d =2^cb Qе ^ 2,83е.Q2^cb Qе ^ 2,83е.Q(5.52)(5.52)

d =

d =

2^cb Q

е ^ 2,83е.

Q

2^cb Q

е ^ 2,83е.

Q

(5.52)

(5.52)

Заметим, что нелинейный декремент затухания d численно совпадает с декрементом затухания, получающимся из линейной теории [41].

Последний результат очень важен, потому что именно значение d определяет нелинейный инкремент 5 развития неустойчивости при а〉 > &кр, описываемой соотношением (5.47). Если представить величину е как

/1/2

£ = Y Q — &кр =— у丿(5.53)

и проделать аналогичные выкладки для этого случая, можно получить инкремент развития неустойчивости в виде

илиили5 =5 =1/2 V~cb Vq a L1/2 V~cb Vq a L(5.54)(5.55)(5.54)(5.55)

или

или

5 =

5 =

1/2 V~cb Vq a L

1/2 V~cb Vq a L

(5.54)

(5.55)

(5.54)

(5.55)

Из соотношений (5.54) и (5.55) следует, что инкремент неустойчивости растет как корень квадратный из надкритичности 3 〜,а — &кр •

В заключение этого раздела заметим, что разложение (5.49) справедливо только при С (г)《1/е. Однако когда С не слишком вели-

ко, уравнение (5.47) дает разумную оценку для инкремента развития неустойчивости в пучке со сверхкритическим током.

Нелинейные колебания виртуального катодав пролетном промежутке

После образования виртуального катода в потоке начинаются отражения частиц, что делает невозможным описание системы в эйлеровых координатах, как это делалось выше. Поэтому для анализа нестационарной нелинейной динамики виртуального катода необходимо использовать численное моделирование методом «частиц в ячейке» (particlein-cell) [12,39,44].

В плоской геометрии электронный поток представляется в виде совокупности крупных частиц (заряженных листов), инжектируемых через равные промежутки времени с постоянной скоростью в пространство взаимодействия. Для каждого листа решаются нерелятивистские уравнения движения

号=一 Е(3), (5・56) at

где Xi — координата г-го заряженного листа,石(①勿)——напряженность поля пространственного заряда в точке с координатой ①勿.

Для вычисления напряженности и потенциала поля пространственного заряда, а также плотности заряда вводится равномерная пространственная сетка с шагом △①勿.Потенциал поля пространственного заряда в электростатическом приближении определялся из уравнения Пуассона, которое в одномерном приближении имеет вид

= о^(р{х)^п) (5.57) ох

и решается при следующих граничных условиях: 0(①=0) = 0(①=1)= =0. Здесь а есть введенный ранее параметр Пирса, п — плотность неподвижного положительного нейтрализующего заряда (ионного фона), равномерно заполняющего пролетный промежуток. Напряженность поля пространственного заряда определялась численным дифференцированием полученных значений потенциала.

Для вычисления плотности пространственного заряда использовалась процедура линейного взвешивания частиц (листов) на пространственной сетке (метод «частиц в ячейке» или, как его еще называют, Р1С-метод) [39,45,46], снижающий сеточный шум. В этом методе плотность пространственного заряда в J-м узле пространственной сетки, т. е. в точке с координатой Xj, выражается как

。(4•)。(4•)Ni=lNi=l(5.58)(5.58)

。(4•)

。(4•)

N

i=l

N

i=l

(5.58)

(5.58)

Рис. 5.5. Характеристики колебаний электрического поля во входной плоскости пространства взаимодействия без нейтрализации ионным фоном в пучке с виртуальным катодом при следующих значениях параметра Пирса: а — а = 1,5; б — а = 6,0Рис. 5.5. Характеристики колебаний электрического поля во входной плоскости пространства взаимодействия без нейтрализации ионным фоном в пучке с виртуальным катодом при следующих значениях параметра Пирса: а — а = 1,5; б — а = 6,0

Рис. 5.5. Характеристики колебаний электрического поля во входной плоскости пространства взаимодействия без нейтрализации ионным фоном в пучке с виртуальным катодом при следующих значениях параметра Пирса: а — а = 1,5; б — а = 6,0

Рис. 5.5. Характеристики колебаний электрического поля во входной плоскости пространства взаимодействия без нейтрализации ионным фоном в пучке с виртуальным катодом при следующих значениях параметра Пирса: а — а = 1,5; б — а = 6,0

где Xi — координата г-й частицы, N — полное число крупных частиц, по — параметр вычислительной схемы, равный числу частиц на ячейку в невозмущенном состоянии,

®(с)=也一也/0叫<严

—функция формы, определяющая процедуру «взвешивания» крупной частицы на пространственной сетке с шагом Дж.

Рассмотрим динамику электронного потока с виртуальным катодом в плоском пролетном промежутке при изменении управляющих параметров а и п.

Изучим сначала простейший случай — инжекцию моноэнергети- ческого пучка со сверхкритическим током в пространство взаимодействия без ионного фона, т. е. случай п = 0. При а》акр = 4/3, как было показано выше, в системе возникает неустойчивость, развитие которой приводит к формированию виртуального катода.

Вычислительный эксперимент свидетельствует, что в этом случае в диапазоне управляющих параметров акр < а < 2тг в системе наблюдаются регулярные колебания релаксационного типа. Для иллюстрации этого на рис. 5.5 представлены зависимости поля Е во входной плоскости ж = 0 системы от времени, фазовые портреты колебаний, восстановленные по методу Такенса, и фурье-спектры мощности колебаний 石(力)для случая малой (а = 1,5) и большой (а = 6,0) надкритичности (а — &кр)・ Напомним, что при реконструкции фазового портрета по методу Такенса [47] точка в d-мерном фазовом пространстве системы имеет координаты (E(t), E{t + 7), . . . , E(t + (N — 1)T)), где Т — длительность задержки метода Такенса.

х

0,64

0,48

0,32

0,16

0,00

4

X

0,24

0,18

0,12

0,06

0,00 6

Рис. 5.6. Пространственно-временные диаграммы колебаний в электронномпучке с виртуальным катодом в пролетном промежутке без нейтрализацииионным фоном при следующих значениях параметра Пирса: а— а = 1,5; 6 —а = 6,0

Для понимания физических процессов в электронном пучке со сверхкритическим током удобно рассмотреть пространственновременную диаграмму электронного потока для обоих значений параметра Пирса а. Каждой крупной частице на плоскости (①，力) соответствует кривая, показывающая зависимость координаты частицы Xi от времени t. Сгущение кривых на диаграмме соответствует возникновению уплотнения в электронном потоке — электронной структуры (электронного сгустка).

На рис. 5.6 представлены пространственно-временные диаграммы при п = 0 соответственно для малой и большой надкритичности. Из рисунка видно, что в потоке имеет место торможение электронного потока (наклон траекторий заряженных частиц уменьшается), и в некоторой точке пространства взаимодействия электроны останавливаются и поворачивают обратно — в пучке возникает двухпотоковое состояние. Точку поворота электронов можно рассматривать как координату виртуального катода ①вк • Из анализа пространственно-временных диаграмм следует, что плоскость отражения электронов, а следовательно, и положение виртуального катода смещается в течении характерно-

го периода колебаний к плоскости инжекции: потенциальный барьер достигает величины, достаточной для отражения электронов вдали от плоскости инжекции (①вк ^ 0,3 на рис. 5.6 а), и затем движется к ней, достигая координаты ①вк ^ 0,2. При этом в области виртуального катода имеет место сгущение траекторий заряженных частиц. Последнее означает, что в области виртуального катода возникает плотный компактный сгусток электронов, т. е. плотность пространственного заряда в области виртуального катода существенно превосходит плотность простанственного заряда во всем остальном пространстве взаимодействия. Далее с течением времени наблюдается «сброс» заряда из области виртуального катода обратно к плоскости инжекции (из пространства взаимодействия), плотность пространственного заряда в пространстве взаимодействия резко уменьшается, в результате глубина тормозящего потенциального барьера становится меньше и, как следствие, виртуальный катод «открывается» — электроны легко преодолевают потенциальный барьер. В системе появляются пролетные частицы, происходит накопление пространственного заряда в междусеточном пространстве, глубина потенциального барьера растет — возникает отражающий от себя электроны виртуальный катод. Таким образом, процесс периодически повторяется. На рис. 5.6 а представлено три характерных временных периода колебаний виртуального катода.

Из сравнения рисунков 5.5 а, 5.6 а и рисунков 5.5 5, 5.6 5 можно сделать вывод, что с увеличением надкритичности наблюдается рост частоты gbk колебаний виртуального катода. Одновременно с этим имеет место смещение среднего положения виртуального катода к плоскости инжекции и, как следствие, уменьшение времени пролета в пространстве взаимодействия электронов, отраженных от виртуального катода. При большой надкритичности практически все электроны, инжектируемые в пространство взаимодействия, оказываются отраженными от виртуального катода (см. рис. 5.6 б) — пролетный ток близок к нулю. Это иллюстрирует рис. 5.7, на котором показана зависимость отношения тока пролетных (/пр) и отраженных (/отр) частиц от величины параметра Пирса а при п = 0. Из рисунка видно, что ток пролетных частиц при малой надкритичности составляет величину порядка 10 + 20% (при а = 2,0 отношение /пр//отр ^16%) и резко падает с ростом параметра Пирса. Величина /пр//ОТр хорошо аппроксимируется эмпирической степенной зависимостью, которая в безразмерных переменных может быть записана как

/пр//отр = 0,18 • (а - акр)Т'5 (в %). (5.59)

Остановимся подробнее на зависимости частоты колебаний gbk виртуального катода от величины параметра Пирса. Как уже отмечалось выше, численное моделирование показывает, что частота gbk растет с ростом параметра Пирса или, что то же самое, с ростом тока пучка (напомним, что а 〜\/7). В большом числе работ [56-62] из различных соображений были проведены оценки частоты колебаний

Рис. 5.7. Соотношение между пролетным (/пр) и отраженным (/отр) током в диодном промежутке без нейтрализации ионным фоном при различных значениях параметра Пирса

виртуального катода. В работах [57—60] установлено, что частота gbk может быть оценена как gbk = 2,5g夕.Более строгая теория [61, 62] показывает, что характерная частота колебаний в пучке с виртуальным катодом несколько меньше этого значения и может быть определена как

1,93* < gbk < 2,31*.(5.60)

Отсюда следует, что характерная частота колебаний виртуального катода зависит от невозмущенной плазменной частоты электронного пучка и растет линейно с увеличением g夕.Заметим, что оценки в случае релятивистского электронного пучка приводят к подобной зависимости: GBK ~ Зр.

Результаты численного моделирования подтверждают эту зависимость —частота колебаний виртуального катода gbk растет линейно с ростом а. Предполагая, что длина пространства взаимодействия L и скорость пучка на входе в систему 少° постоянны, а управление параметром а обеспечивается изменением * (тока пучка /) путем численного моделирования находим, что gbk — 2G夕.Последнее подтверждает вышеприведенную зависимость для частоты виртуального катода (5.60).

Рассмотрим теперь другой предельный случай — случай полной компенсации плотности пространственного заряда электронного потока ионным фоном («классический» диод Пирса, п = 1). В этом случае неустойчивость возникает в системе при а〉тг. Динамика виртуального катода при этом значительно сложнее, чем в предыдущем случае п = 0 [48].

На рис. 5.8 показаны шесть характерных динамических состояний колебаний электронного потока после образования виртуального катода при увеличивающемся значении параметра Пирса. Для каждого состояния представлены спектр мощности, проекция восстановленного аттрактора и часть временной реализации (с исключенным переход-

ным процессом) колебаний напряженности электрического поля на выходе системы.

Сразу после превышения током пучка предельного значения в потоке возникают нерегулярные колебания виртуального катода (рис. 5.8 а). В спектре можно выделить две частоты (отмечены в спектре мощности на рис. 5.8 а штриховыми линиями), находящиеся в иррациональном соотношении, при этом шумовой пьедестал в спектре имеет значительную высоту. Фазовый портет однороден и при малом превышении а над &кр = тг соответствует сильно размытому предельному циклу. По мере роста а основной цикл становится двухоборотным, степень «размазанности» аттрактора уменьшается. При значении а ^ 1,28тг поведение системы становится близким к регулярному, аттрактор превращается в узкую ленту, в спектре мощности выделяется только основная частота (отмечена на рис. 5.8 5штриховой линией) и ее гармоники. На фазовом портрете появляется неоднородность: в области, соответствующей отсутствию виртуального катода в системе, фазовая траектория проводит относительно больше времени. Внутри каждого периода колебаний в реализации можно выделить промежуток почти неизменных значений поля и следующий за ним острый пик.

Дальнейший рост а приводит к расширению ленты аттрактора, что соответствует росту нерегулярности колебаний в электронном пучке. В спектре мощности при этом растет уровень шумового пьедестала и расплываются отдельные спектральные пики. Аттрактор по- прежнему является сильно неоднородным. Увеличение а выше 1,58тг приводит к блужданию изображающей точки по аттрактору. Теперь он занимает целую область в фазовом пространстве (рис. 5.8 в). На фазовом портрете видна область разбегания близких фазовых траекторий, что характерно для хаотических аттракторов. В спектре имеет место развитый шумовой пьедестал, что также свидетельствует о развитых хаотических колебаниях виртуального катода в данном случае. Нерегулярность колебаний проявляется и во временной реализации, однако, основной временной масштаб ~ 1/公夕,связанный с плазменной частотой пучка, сохраняется. По мере роста надкритичности неоднородность аттрактора растет, и расширяется область, занимаемая им в фазовом пространстве (рис. 5.8 а). При а〉1,86тг нерегулярность колебаний резко уменьшается. Аттрактор при этом представляет узкую ленту сложной формы. В спектре мощности можно выделить большое число высших гармоник, имеющих почти одинаковую с гармоникой основной частоты амплитуду, что свидетельствует о сильной нелинейности про- цесов в системе.

С дальнейшим ростом параметра Пирса имеет место установление неоднородного стационарного состояния, которому предшествует длительный сложный переходной процесс. При а〉2,48тг в системе вновь возникают нерегулярные колебания, которые на фазовом портрете представляют собой блуждание изображающей точки между двумя притягивающими центрами. Спектр в этом режиме спадающий, а основная частота в нем ниже, чем в режимах с а < 2тг (рис. 5.8 3).

ДО

Рис. 5.8. Спектры мощности, фазовые портреты и временные реализации колебаний напряженности поля на выходе диода Пирса для характерных режимов колебаний а = 1,20тг (а); а = 1,50тг (б); а = 1,60тг (в); а = 1,76тг (а); а = 2,60тг (d). Штриховыми линиями в спектрах отмечены базовые частоты

Рассмотрим кратко сценарии перехода из одного режима колебаний в другой в диоде Пирса. Из режима сильно нерегулярных колебаний к почти регулярным при а ^ 1,28тг переход происходит жестким образом, без предварительного упрощения колебаний. Возникновение хаотических колебаний при а ^ 2,48тг также происходит жестким образом. В отличие от этого, режим нерегулярных колебаний при а/тг G G （1,58; 1,68） возникает и исчезает при увеличении а через постепенное усложнение （упрощение） колебаний. Временная реализация поля на выходе системы при этом состоит из областей регулярного поведения, прерываемых хаотическими всплесками. Такое поведение в низкоразмерных динамических системах характерно для перехода к хаосу через перемежаемость [49,50].

Исследуем количественные характеристики хаотических колебаний в диоде Пирса в режиме с виртуальным катодом, используя для этого такую характеристику хаотических колебаний, как максимальный ляпуновский характеристический показатель [51,52], который служит мерой скорости разбегания близлежащих фазовых траекторий. Напомним, что ляпуновский показатель может быть определен как [53]

А =А =（5.61）（5.61）

А =

А =

（5.61）

（5.61）

где。（力）——расстояние в момент времени t между двумя изображающими точками в фазовом пространстве. Предполагается, что в начальный момент времени эти точки близки, т. е.。（0）《 凡 где R — характерный геометрический размер аттрактора в фазовом пространстве. Положительное значение максимального ляпуновского показателя А свидетельствует о хаотической динамике системы. При этом через промежуток времени Т ^ ln（/Z/D（0））/А поведение системы становится непредсказуемым.

Для определения А необходимо измерять расстояние в фазовом пространстве. В случае распределенной системы фазовое пространство — бесконечномерное, и каждому состоянию электронного потока соответствует набор безразмерных функций e（工）t））0（①，力），a（力，力）и /（/，力）， где 石（①，力）и 0（①,力）一напряженность и потенциал поля пространственного заряда, /（①，力）и р（ж,力）—плотность тока и плотность заряда пучка. Для измерения расстояния в фазовом пространстве использовалась величина

1

D = j（Е\ —石2『+ （01 — 02）2 + （〃1 — 〃2『+ （«Я — ^2）? ^①・（5.62） О

Здесь функции с индексами «1» и «2» соответствуют двум близким состояниям системы. Малое возмущение вносилось в положение и скорости частиц в момент времени 力°, а затем определялось значение 0（力） через временной интервал ДТ после возмущения системы. Для определения среднего по аттрактору значения максимального ляпуновского

Рис. 5.9. Зависимость усредненного по аттрактору максимального ляпунов- ского характеристического показателя (А) от параметра Пирса а (взято из работы [48])

показателя процедура повторялась М раз до достижения величиной

м

(5.63)

асимптотического значения. Результаты в виде зависимости (А) от величины а представлены на рис. 5.9. В каждом из режимов колебаний величина (А) положительна, что свидетельствует о хаотическом поведении электронного потока с виртуальным катодом. В режиме сильнонерегулярных колебаний (а < 1,28тг, 1,58тг < а < 1,68тг) ляпу- новский характеристический показатель (А) значительно больше, чем в областях, близких к регулярным колебаням виртуального катода. Внутри областей с нерегулярным поведением (А) почти постоянна, что свидетельствует о неизменности механизма неустойчивости в каждой области. При приближении к границам этих областей величина (А) резко уменьшается.

Изучим теперь физические процессы в пучке, приводящие к хаоти- зации колебаний виртуального катода в диоде Пирса. На рис. 5.10 представлена зависимость максимальной плотности пространственного заряда в электронном потоке от времени. Можно видеть, что плотность пространственного заряда в потоке достигает макисмума дважды за период колебаний. Физическая причина возникновения первого максимума подробно описана выше — она связана с формированием и динамикой в системе виртуального катода. Причиной второго увеличения плотности заряда является кинематический эффект — превращение модуляции по скорости в модуляцию по плотности в электронном потоке.

Рассмотрим пространственно-временную диаграмму электронного потока для одного периода колебаний (рис. 5.11). Буквами на ней отмечены различные характерные траектории заряженных частиц в пучке. Когда плотность заряда в области виртуального катода достаточна, виртуальный катод перестает существовать, поскольку часть потока

Рис. 5.10. Зависимость максимального значения плотности пространственного заряда ртах в междусеточном пространстве от времени при а = 1,62тг и п = 1 (взято из работы [54])Рис. 5.10. Зависимость максимального значения плотности пространственного заряда ртах в междусеточном пространстве от времени при а = 1,62тг и п = 1 (взято из работы [54])отражается от него (на рис. 5.11 эта часть потока обозначена буквой А), а другая часть, затормозившаяся в области виртуального катода, уходит к выходной плоскости, создавая пролетный ток (часть потока, обозначенная символом В). В процессе распада виртуального катода плотность заряда в нем падает, а, следовательно, уменьшается напряженность создаваемого им тормозящего поля. Поэтому на электроны, поступающие в систему позже, действует меньшее тормозящее поле, и их скорость изменяется на меньшую величину, чем у влетевших ранее. В результате образуется сгусток электронов за виртуальным катодом, проходящий по системе к выходной сетке. На пространственновременной диаграмме формированию сгустка соответствует сближение кривых (область С). Образование вторичного сгустка приводит к второму увеличению плотности заряда в потоке.

Рис. 5.10. Зависимость максимального значения плотности пространственного заряда ртах в междусеточном пространстве от времени при а = 1,62тг и п = 1 (взято из работы [54])

Рис. 5.10. Зависимость максимального значения плотности пространственного заряда ртах в междусеточном пространстве от времени при а = 1,62тг и п = 1 (взято из работы [54])

Рассмотрим зависимость величины второго максимума плотности заряда от параметра Пирса, представленную на рис. 5.12. Величина второго максимума определяет характер динамики электронного потока: хаотическим режимам соотвествует значение плотности заряда во втором сгустке большее 20, а его уменьшение приводит к слабонерегулярным колебаниям. Анализ пространственно-временных диаграмм

х

0,24

0,18

0,12

0,06

0,00

3,53,5Рис. 5.11. Пространственно-временная диаграмма колебаний в электронномпучке с виртуальным катодом в диоде Пирса (п = 1)

3,5

3,5

Рис. 5.12. Зависимость плотности заряда во вторичном сгустке от параметра Пирса а (взято из работы [48])

электронного потока [48,54] показывает, что при значениях ртах2〉20 в пучке с виртуальным катодом возникают отражения части потока от формирующегося вторичного сгустка.

В фазовом пространстве системы отражению от вторичного сгустка соответствует уход изображающей точки в редко посещаемую область аттрактора. Процесс возвращения при этом сильно зависит от состояния потока перед отражением. Локальное значение ляпуновского характеристического показателя в этой области положительно и больше по величине, чем в среднем по аттрактору. Это связано с тем, что при формировании сгустка средняя плотность заряда увеличивается в междусеточном пространстве, одновременно увеличивается и скорость роста возмущения [2, 55]. Рост амплитуды плотности заряда во втором максимуме приводит к увеличению значения ляпуновского характеристического показателя. Из сравнения рисунков 5.9 и 5.12 видно, что рост плотности вторичного сгустка .max 2 сопровождается ростом величины (А). Качественное различие между двумя хаотическими режимами связано с тем, насколько плотность пространственного заряда во втором сгустке превышает критическое значение. В первом режиме нерегулярных колебаний плотность заряда во вторичном сгустке настолько велика, что отраженный от него поток существует постоянно, а во втором режиме превышение небольшое, и отраженный поток возникает не на каждом периоде колебаний.

Значение плотности заряда во втором максимуме определяется амплитудой потенциала поля пространственного заряда в области виртуального катода и расстоянием между входной сеткой и местом формирования виртуального катода. При увеличении параметра Пирса амплитуда плотности пространственного заряда в области виртуального катода уменьшается (при прочих неизменных параметрах) и для того, чтобы остановить электрон, движущейся с прежней скоростью, достаточно меньшего уплотнения электронного потока. Это уменьшение наиболее резко происходит при увеличении а от тг до 1,3тг, что

Рис. 5.13. Разбиение плоскости параметров (а, п) на области с различными типами колебаний виртуального катода

объясняет первое уменьшение плотности заряда во втором максимуме и возникновение слабого нерегулярного режима при а ^ 1,3тг.

Расстояние между входной сеткой и виртуальным катодом также уменьшается с ростом а, но неравномерно с ростом надкритичности. Это расстояние сильно уменьшается при а ^ 1,7тг, что приводит к снижению плотности заряда во втором сгустке, так как он не успевает сгруппироваться.

Рассмотрим теперь динамику пучка со сверхкритическим током в пролетном промежутке с произвольной плотностью ионного фона 0 < < п < 1.

На рис. 5.13 представлена карта режимов на плоскости управляющих параметров (а, п). Различные области на ней соответствуют различным режимам колебаний виртуального катода в диодном промежутке.

Область, обозначенная символом S и расположенная слева на карте режимов, — это область стационарного состояния, соответствующая полному прохождению потока через диодный промежуток. Граница этой области определяется зависимостью критического значения параметра Пирса &кр от плотности ионного фона п. При значениях плотности ионного фона п < 0,5 4- 0,7 в пучке наблюдаются регулярные колебания, форма которых близка к приведенной на рис. 5.5 для случая п = 0. Соответствующая область обозначена на карте режимов символом R. Область Q — область квазипериодических колебаний в потоке с виртуальным катодом. В этом случае в спектре колебаний поля имеют место колебания с двумя несоизмеримыми частотами. В фазовом пространстве образом таких колебаний является тор в трехмерном пространстве. Это подтверждает расчет такой характеристики колебаний как сечение Пуанкаре, которое в данном случае имеет вид гладкой замкнутой кривой.

При больших ri 〜1,0 и а < 2тг имеют место хаотические колебания (обозначенные символом Q на карте режимов), подобные описанным

хх0,320,320,240,240,160,160,080,080,00» о 2,90,00» о 2,93,93,94,94,9хх0,800,800,600,600,400,400,200,200,006 5,90,006 5,98,48,4

х

х

0,32

0,32

0,24

0,24

0,16

0,16

0,08

0,08

0,00» о 2,9

0,00» о 2,9

3,9

3,9

4,9

4,9

х

х

0,80

0,80

0,60

0,60

0,40

0,40

0,20

0,20

0,00

6 5,9

0,00

6 5,9

8,4

8,4

Рис. 5.14. Пространственно-временные диаграммы колебаний в электронном пучке с виртуальным катодом для различных режимов хаотических колебаний: а — режим слабохаотических колебаний (п = 0,7, а = 2,3); 6— режим развитого хаоса (п = 1,0, а = 7,0)

выше для случая n = 1. На рис. 5.14 а показана пространственновременная диаграмма электронного пучка для случая п = 0,7, а = =3,23. Из рисунка видно, что на каждом периоде колебаний в системе за счет кинематической неустойчивости в пролетном потоке возникает вторичный электронный сгусток, от которого отражается часть электронов. Отраженные от вторичного сгустка электроны, возвращаясь обратно к плоскости инжекции в момент времени, когда начинается формирование виртуального катода на следующем периоде колебаний, возмущают начальное состояние и тем самым приводят к усложнению динамики виртуального катода. В системе возникает запаздывающая обратная связь по пучку, что, как хорошо известно [63,64], приводит к хаотизации колебаний в системе.

В области а 〜2тг и ri〉0,7 при изменении управляющих параметров имеет место перестройка между различными типами колебаний виртуального катода. Область 冗2 —— область регулярных колебаний в пучке с виртуальным катодом, образом которых в фазовом пространстве является двухоборотный цикл. В спектре кроме основной частоты колебаний виртуального катода gbk и ее гармоник кс^вк (衣 ——целое) наблюдаются ярко выраженные субгармоники этих частот ко；вк/2.

Рис. 5.15. Частота колебаний виртуального катода как функция плотности ионного фона

Переход к хаотическим колебаниям из режимов Q и 丛 имеет место через перемежаемость (область / на карте режимов (рис. 5.13)), когда регулярная временная реализация прерывается хаотическими всплесками. При росте плотности ионного фона длительность хаотических стадий увеличивается и в системе устанавливается хаотический режим Q. Переход к хаотическим режимам с ростом плотности ионного фона по сценарию перемежаемости обусловливается следующим. С ростом плотности ионного фона растет плотность заряда 〃2 во вторичном сгустке, формирующемся в «пролетном» потоке. При некоторой плотности ионного фона 几2 возникают отражения электронов от него, влияющие на динамику виртуального катода на последующем периоде колебаний. Однако при 几 ^ 几2 это происходит не на каждом периоде колебаний. Поэтому колебания представляют собой регулярные колебания, прерываемые короткими стадиями хаотической динамики. С ростом плотности ионного фона при п > П2 наблюдается увеличение 〃2, отражения от вторичного сгустка становятся все более частыми и, как результат, растет длительность хаотической стадии колебаний.

Рассмотрим как ведет себя частота колебаний /вк виртуального катода в зависимости от плотности ионного фона. На рис. 5.15 представлены соответствующие зависимости при различных значениях параметра Пирса. Видно, что с ростом плотности ионного фона частота колебаний виртуального катода уменьшается, причем тем быстрее, чем больше величина параметра Пирса а. При а〉4,0 зависимость частоты /вк вначале быстро уменьшается с ростом плотности ионного фона до п ^ 0,5, а затем насыщается на некотором уровне. Однако, при п ^ 0,8 наблюдается резкое падение частоты колебаний виртуального катода. Особенно ярко это проявляется при а > 2тг, когда при превышении некоторого критического значения п частота скачком уменьшается более чем в 3 раза.

Поэтому, для увеличения частоты генерации в системе с виртуальным катодом необходимо увеличивать плазменную частоту пучка g夕 и уменьшать влияние ионного фона на динамику виртуального катода.

На рис. 5.13 режим колебаний виртуального катода с малой частотой обозначен символами。2 м Аз・ Область Нз соответствует режиму регулярных колебаний виртуального катода. Режим С» — режим развитых хаотических колебаний со сплошным спектром и слабо выраженной на фоне шумового пьедестала базовой частотой в спектре. Рассмотрим пространственно-временную диаграмму потока (рис. 5.14 6), построенную для последнего случая (几=1, а = 7,0). Из рисунка видно, что динамика потока существенно сложнее, чем при а < 2тг. Электронный пучок сильно тормозится не только в области инжекции (ж 〜0,1), но и вблизи выхода системы (ж ~ 0,7 4- 0,8). Из пространственновременной диаграммы видно, что динамика потока сильно нерегулярна —отражающий электроны виртуальный катод возникает нерегулярно во времени, наблюдается также отражение электронов от второго сгустка вблизи выходной сетки. Характерный временной масштаб динамики виртуального катода в этом случае существенно меньше, чем при меньшей плотности ионного фона.

Феноменологические модели динамики электронногопотока с виртуальным катодом в плоском пролетномпромежутке

При исследовании систем типа «электронный поток с виртуальным катодом, взаимодействующий с электромагнитным полем» было предложено несколько простых моделей, которые отражали те или иные характерные особенности нелинейного поведения системы со сверхкритическим током. Так в первом томе книги в лекции 4 рассматривалась модель «гидродинамического» диода Пирса, построенная с помощью Галеркинской аппроксимации. С помощью этой модели была исследована возможность управления сложной динамикой волн пространственного заряда с помощью введения в систему внешней запаздывающей обратной связи [16].

Для построения подобных моделей в режимах с образованием виртуального катода, с одной стороны, феноменологически используются уравнения типа Ван-дер-Поля [65, 66]. С помощью этих моделей исследуются вопросы синхронизации колебаний виртуального катода внешними сигналами [66-68] или взаимной синхронизации нескольких систем на виртуальном катоде [69]. Однако при таком подходе в модели не учитываются особенности физических процессов в электронном пучке с виртуальным катодом, что не позволяет говорить о количественном согласии результатов анализа модельных систем с результатами, полученными при исследовании более сложных распределенных моделей или в натурном эксперименте.

С другой стороны, имеется ряд работ, в которых в основу построения модели кладутся представления о физических явлениях в потоке с виртуальным катодом, причем в качестве базы для этого часто служит стационарный анализ поведения потока в режиме образования виртуального катода [70, 71]. Такой подход является намного более перспективным и плодотворным, позволяя в некоторых случаях опи-

сать сложные нестационарные режимы колебаний виртуального като

да. В этих работах диодный промежуток с виртуальным катодом пред

ставляется в виде эквивалентной схемы, которая включает в себя гене

ратор тока и цепочку, составленную из емкости С и проводимости G]

ввРис. 5.16. Эквивалентная схема диодного промежутка с виртуальным катодомРис. 5.16. Эквивалентная схема диодного промежутка с виртуальным катодом(рис. 5.16). Зарядка емкости соответствует накоплению пространственного заряда в области виртуального катода и увеличению провисания потенциала в диодном промежутке. Подключение к цепи некоторой дополнительной проводимости G2

в

в

Рис. 5.16. Эквивалентная схема диодного промежутка с виртуальным катодом

Рис. 5.16. Эквивалентная схема диодного промежутка с виртуальным катодом

в момент превышения напряжением на емкости С некоторого порога приводит к разряду емкости. Последнее эквивалентно сбросу заряда из области виртуального катода. Вид нелинейных функций, описы-

работе [71]. В работе [72]работе [71]. В работе [72]вающих проводимости G] и G2, получен

работе [71]. В работе [72]

работе [71]. В работе [72]

в рамках этой модели удалось описать усложнение динамики в диодном промежутке со встречными электронными потоками. В работах [73,74] предложена модель в виде системы двух связанных отображений, ко

торая использовалась для описания сложной динамики электронного потока со сверхкритическим током в диоде Пирса.

Тем не менее, вышеупомянутые модели не лишены недостатков. Дело в том, что в них не учитываются явным образом основные причины

нестационарного поведения виртуального катода в пролетном промежутке. Возникновение колебаний в этих моделях происходит благодаря заданию порогового уровня одной из переменных, по достижении которого система должна «перепрыгнуть» на другую ветвь эволюции. В этом смысле вышеупомянутые модели можно рассматривать, как системы, описываемые дифференциальными уравнениями с неоднозначными правыми частями [75]. Поведение таких системы зависит как от текущего значения переменных, так и от предыстории процесса. Однако такой подход не совсем корректен, так как нестационарность динамики виртуального катода является результатом инерционности процесса образования отражающего заряженные частицы виртуального катода. Иными словами, в электронном потоке с виртуальным катодом имеет место запаздывание между достижением высотой потенциального барьера величины, предсказываемой стационарной теорией, т. е. достаточной для отражения заряженных частиц обратно к плоскости инжекции, и достижением максимальной плотности пространственного заряда в области виртуального катода, а следовательно, и начала сброса заряда к входной плоскости.

Таким образом, несмотря на то, что процесс колебаний в системе со сверхкритическим током носит релаксационный характер вида «накопление-сброс» заряда, механизм этого явления существенно сложнее, чем простое переключение между двумя состояниями систе

мы.

Построим, следуя работам [76,77], феноменологическую модель колебаний в электронном потоке с виртуальным катодом, учитывающую

данные явления, и правильно описывающую динамику рассматриваемой системы.

Для построения модели рассмотрим систему, состоящую из двух плоскостей, отстоящих друг от друга на расстоянии L, в которую влетают заряженные частицы, причем все частицы влетают в систему с одинаковой начальной скоростью 少°. Потенциал плоскости влета равен нулю, а на выходную плоскость системы подается некоторое напряжение V(Q(t)), зависящее от суммарного заряда Q, накопленного в системе. Будем считать далее, что частица, влетевшая в рассматриваемый промежуток в некоторый момент времени 力匕 в течение всего времени, пока находится в системе, будет двигаться под влиянием потенциала V(Q(to)), несмотря на то, что потенциал будет непрерывно меняться с течением времени за счет изменения суммарного заряда Q ⑴， накопленного системой. Иными словами, каждая частица движется в некотором своем «эффективном» электрическом поле, которое для нее не изменяется с течением времени. Тогда для любой частицы, зная время ее влета в пролетный промежуток и заряд Q (力),накопленный в системе к этому моменту, можно рассчитать траекторию ее движения и время пролета, т. е. время нахождения частицы в междусеточном пространстве. В безразмерных координатах уравнение движения заряженной частицы, влетевшей в диод в момент времени 力匕 примет вид

е(7) = 7 - "//4, (5.64)

где т =少о(力—力i)/L ——безразмерное время движения, отсчитываемое от момента влета частицы, ж = X/L — безразмерная координата, X — размерная пространственная координата, u(Q) = 2V(Q)e/(mv^) — безразмерный потенциал, поданный на выходную плоскость диода.

Заряженная частица, движущаяся в постоянном электрическом поле, в зависимости от величины потенциала на выходной плоскости рассматриваемого промежутка, может либо достичь этой плоскости и покинуть систему, либо развернуться и вылететь назад через плоскость инжекции. Нетрудно видеть, что время, за которое заряженная частица достигает точки разворота, равно т° = 2/и. Если точка разворота совпадает с выходной плоскостью диода, то безразмерное время, за которое заряженная частица проходит от точки влета до выходной плоскости, равно 2. Очевидно, что если для какой-либо заряженной частицы то〉2, то точка разворота для этой частицы находится за выходной плоскостью промежутка, а следовательно, эта заряженная частица будет находиться в системе (и своим зарядом вносить вклад в величину Q(力))в течение времени 〃 = 2(1 —— а). С другой стороны, если то < 2, то точка разворота частицы находится внутри диода, и, следовательно, она будет находиться в диоде в течение времени г/ = 4/u(Q(力°)), начиная с момента влета.

Легко видеть, что заряженная частица будет вылетать через выходную плоскость системы в том случае, если в момент влета безразмерное напряжение на выходной плоскости меньше критического значения ис = 1, и, наоборот, при и > ис заряженная частица будет покидать

диод через плоскость инжекции. Тогда для времени пролета отдельной заряженной частицы в диодном промежутке можно записать

(5・65)

Очевидно, что безразмерный суммарный заряд q в момент времени т будет определяться числом частиц, которые в данный момент находятся в диодном промежутке. Для того чтобы можно было с помощью рассматриваемой модели получить временную реализацию д(т), необходимо только знать вид функции “(g). Найдем ее.

3夕 дх3夕 дхКаждая частица в феноменологической модели движется в заданном в момент ее влета поле 1), поэтому воспользуемся стационарной теорией для нахождения зависимости V(Q). Рассмотрим стационарное состояние потока с виртуальным катодом в диодном промежутке. В этом случае в точке с координатой ①вк (точке местоположения минимума потенциала — виртуального катода) входной потоку разделяется на пролетный поток jv и отраженный jc — jv. Полный анализ такой ситуации требует решения уравнения Пуассона для обеих областей (см., например, [78]). Однако на виртуальном катоде, т. е. в точке минимума потенциала ①вк, имеют место следующие соотношения для потенциала g поля пространственного заряда:

3夕 дх

3夕 дх

=0, ^|Жвк = °-(5.66)

%вк

Это означает, что в плоскости ①вк выполняются условия, аналогичные условиям на катоде плоского диода в режиме полного ограничения тока пространственным зарядом. Таким образом, области слева и справа от виртуального катода могут рассматриваться как диоды, для которых выполняется «закон 3/2», причем координата должна отсчитываться от местоположения виртуального катода. Введем безразмерные переменные

7 =〃7九， ^вк =/вк/d.(5.67)

Здесь

4у3/

—ток в режиме полного ограничения пространственным зарядом в плоском диоде, катод и анод которого расположены на расстоянии d, а потенциал между ними равен Vo,

Тогда в новых переменных (штрихи над безразмерными переменными опускаем) слева от виртуального катода «закон 3/2» запишется в виде

27c — jv = f—，(5.68)

а справа —а справа —1

а справа —

а справа —

(1 -①ВК)2 •

(5.69)(5.69)Полный заряд Q, накопленный в диодном промежутке, в стационарном состоянии будет равен

(5.69)

(5.69)

Жвк1

Q = А—2- dx +—dx = АИ ,

_ J ①氤JJL^bk 1 - жВк_

Ожвк

(5.70) где А — коэффицент пропорциональности. Так как виртуальный катод возникает вблизи плоскости инжекции, то можем пренебречь вторым слагаемым в (5.70), и тогда получим, что полный заряд, накопленный в системе, обратно пропорционален координате виртуального катода

①вк・

Предположим для простоты, что заряд Q располагается в плоскости ①вк диода. Тогда на влетающую частицу в плоскости ж = 0 действует потенциал V, равный

V ~ = у—.(5.71)

свк /氤

Последнее соотношение представляет собой зависимость действующего потенциала от координаты виртуального катода. Однако для каждого значения полного заряда Q величина ①вк будет своя, т. е. для окончательного определения выражения (5.71) необходимо знать вид зависимости ①вк = /(Q)・ Для этого воспользуемся результатами численного моделирования. На рис. 5.17 приведены усредненные по времени зависимости координаты виртуального катода от полного заряда в диодном промежутке для некоторых значений параметра Пирса (точки). Сплошная линия — аппроксимация степенной функцией. Видно, что при а〉3 полученные зависимости ①bk(Q) хорошо аппроксимируются функцией вида

xvc 〜Qi55. (5.72)

Из рис. 5.17 также видно, что при а < 3 зависимость ①bk(Q) имеет другой вид. Такой характер зависимости связан не с динамикой виртуального катода, а с процессами в пролетном потоке. Анализ физических процессов в пучке показывает, что вид зависимостей ①вк (力)при малом а от начала формирования виртуального катода до начала интенсивного сброса из него заряда (момента достижения максимума величины Q) полностью совпадает с соответствующей зависимостью при большем а, т. е. динамика виртуального катода полностью идентична в обоих случаях. Но при малом а в момент, когда наблюдается резкое уменьшение величины потенциального барьера, в системе наблюдается большое число пролетных частиц. При этом в пролетном потоке имеет место группировка заряженных частиц в быстро меняющемся тормозящем поле виртуального катода. Действительно, на частицы,

Рис. 5.17. Зависимости координаты виртуального катода от полного заряда, накопленного в системе, для различных значений параметра Пирса: х — а = =2,0;。一 а = 4,0; △ — а = 6,0. Сплошная линия — аппроксимация кривых степенной функцией

влетающие раньше, воздействует более сильное тормозящее поле, чем на влетающие позже. Как следствие этого последние догоняют частицы, которые влетели раньше, что приводит к образованию вторичного электроного сгустка в пространстве взаимодействия. В результате минимум потенциала смещается в сторону больших х. Это приводит к тому, что в области малых Q зависимость ①bk(Q) меняет свой наклон на противоположный. Однако это связано не с динамикой виртуального катода, как единого целого, а с эффектами в пролетном потоке, которые не оказывают влияния на поведение электронного потока вблизи плоскости инжекции, а следовательно, и на колебания виртуального катода. Поэтому предположим, что зависимость ①bk(Q) имеет такой же вид как и при больших а, т. е. описывается выражением (5.72). Действительно, временной интервал, когда наблюдается пролетный ток, можно рассматривать как время, когда виртуальный катод в потоке не существует. Тогда регистрируемое положение минимума потенциала нельзя соотносить с координатой виртуального катода ①вк・

Окончательно, учитывая выражения (5.71) и (5.72), получаем искомую зависимость V(Q) в виде

V = BQX1,(5.73)

где В — коэффицент пропорциональности, зависящий от выбора нормировки физических величин.

Рассмотрим численную реализацию вышеописанной модели. Зафиксируем шаг по времени равным Дт и будем рассматривать ди-

намику системы в дискретном времени. Тогда заряженная частица, влетевшая в диод в момент времени т°, будет двигаться в диодном промежутке в течение [刀(少(то))/Ат] дискретных временных шагов, где [•] обозначает операцию округления. Максимально возможное число временных шагов, в течение которых частица будет находиться в диоде, составляет [4/Дт]. Будем рассматривать одномерный массив из [4/Дт] + 1 элементов, замкнутый в кольцо (рис. 5.18). Значение каждого элемента этого массива соответствует заряду, накопленному в системе в какой-либо момент дискретного времени. Стрелка указывает на элемент, соответствующий текущему моменту дискретного времени, а все остальные элементы соответствуют будущим моментам дискретного времени. Если считать, что k-й элемент соответствует текущему моменту дискретного времени т°, то (к + 2 + 1)-й элемент соответствует моменту т° + 2 х Дт, а (к — 1)-й элемент — моменту времени т° + 4.

В каждый рассматриваемый момент дискретного времени в систему влетает одна частица с зарядом Aq. Считая, что частица движется

Рис. 5.18. Схема, иллюстрирующая одну итерацию численной реализации феноменологической модели (схема «клеточного автомата»). Стрелкой отмечен текущий момент дискретного времениРис. 5.18. Схема, иллюстрирующая одну итерацию численной реализации феноменологической модели (схема «клеточного автомата»). Стрелкой отмечен текущий момент дискретного временив заданном поле, которое существует в системе на момент ее влета в диодный промежуток, время пролета этой частицы в пространстве взаимодействия можно определить с помощью соотношения (5.65). Необходимое для этого значение “(Q) определяется соотношением (5.73), в котором в качестве величины Q используется значение заряда, накопленного в системе, из элемента массива, соответствующего текущему моменту времени. Поскольку влетевшая в момент времени 勺 частица за счет своего пребывания в диоде будет увеличивать суммарный заряд на величину Aq в течение времени 〃(。(勺))，то все значения последующих [t/(v(ti))/At] элементов массива следует увеличить на Aq (см. рис. 5.18). Такой подход позволяет учесть влияние заряженной частицы на суммарный заряд системы в течение всего вре

Рис. 5.18. Схема, иллюстрирующая одну итерацию численной реализации феноменологической модели (схема «клеточного автомата»). Стрелкой отмечен текущий момент дискретного времени

Рис. 5.18. Схема, иллюстрирующая одну итерацию численной реализации феноменологической модели (схема «клеточного автомата»). Стрелкой отмечен текущий момент дискретного времени

мени, пока она находится в диодном промежутке.

Следующим этапом численной процедуры необходимо перейти к следующему элементу массива, в котором будет находиться значение заряда, накопленного в диоде к этому моменту времени, а предыдущий элемент массива трактовать как элемент с нулевым зарядом, соответствующий будущему моменту времени, отстоящему

от настоящего на четыре безразмерные единицы. Подобная процедура позволяет проследить динамику рассматриваемой модели во времени. Более того, возможно, следя только за динамикой суммарного заряда в системе, восстановить траектории движения отдельных частиц и построить «пространственно-временную диаграмму» движения электронного потока в модели.

При рассмотрении полученной модели отчетливо просматривается аналогия с клеточными автоматами [79]: существует набор дискретных элементов, каждый из которых имеет конечное множество возможных состояний, и существует правило, по которому данная система эволюционирует. Тем не менее, существует и отличие — в клеточных автоматах все элементы синхронно изменяют свое состояние, причем на каждый элемент оказывают влияние соседние элементы. В описываемой же модели, наоборот, только один активный в данный момент элемент оказывает влияние на своих соседей. В работе [76] полученная модель названа «клеточным конвейером». Действительно, в модели имеет место замкнутый в кольцо набор клеток, каждая из которых в течении цикла только один раз оказывает влияние на динамику остальных клеток, а в остальные моменты дискретного времени клетка «пассивна» и изменяет свое состояние в зависимости от состояния «активной» на данный момент дискретного времени клетки.

Остановимся на сопоставлении результатов численного моделирования электронного потока со сверхкритическим током в плоском диоде с результатами, полученными при анализе вышеописанной модели. В обоих случаях в системе существует один управляющий параметр — параметр Пирса а для электронного потока и заряд частицы Aq для модели, который по своему физическому смыслу адекватен квадрату параметра Пирса а2. Критические значения управляющих параметров, при которых стационарное во времени состояние теряет устойчивость и в системах жестким образом возникают колебания, составляют для параметра Пирса аКр = 4/3 и Д^Кр = 0,003 для модели (при временном шаге в модели Дт = 0,005).

На рис. 5.19 а приведены пространственно-временные диаграммы и зависимости полного заряда, накопленного в системе, от времени для электронного потока и феноменологической модели. Видно, что имеет место хорошее соответствие характеристик друг другу. Видно также, что и для электронного потока, и для модели максимум заряда, накопленного в системе, приходится на моменты времени, когда сгусток частиц оказывается максимально прижатым к плоскости инжекции (виртуальный катод сформирован).

Аналогичные рисунки (см. рис. 5.19 б) иллюстрируют динамику систем для случая большей надкритичности. Видно, что и в этом случае феноменологическая модель правильно описывает процессы, происходящие в электронном пучке со сверхкритическим током в плоском диодном промежутке. По мере увеличения параметра надкритичности, средняя величина суммарного заряда, накопленного в системе, возрастает, а сгусток частиц («виртуальный катод») все больше приближается к плоскости инжекции.

Рис. 5.19. Пространственно-временные диаграммы и временные зависимости полного заряда, накопленного в системе, полученные при анализе исходной системы уравнений (слева) и феноменологической модели (справа) для надкритичности а/акр = у Aq/Aqkp = 1,5 (а) и 3,0 (б)Рис. 5.19. Пространственно-временные диаграммы и временные зависимости полного заряда, накопленного в системе, полученные при анализе исходной системы уравнений (слева) и феноменологической модели (справа) для надкритичности а/акр = у Aq/Aqkp = 1,5 (а) и 3,0 (б)4,004,914,004,91

Рис. 5.19. Пространственно-временные диаграммы и временные зависимости полного заряда, накопленного в системе, полученные при анализе исходной системы уравнений (слева) и феноменологической модели (справа) для надкритичности а/акр = у Aq/Aqkp = 1,5 (а) и 3,0 (б)

Рис. 5.19. Пространственно-временные диаграммы и временные зависимости полного заряда, накопленного в системе, полученные при анализе исходной системы уравнений (слева) и феноменологической модели (справа) для надкритичности а/акр = у Aq/Aqkp = 1,5 (а) и 3,0 (б)

4,004,91

4,004,91

На рис. 5.20 приведены зависимости периода и частоты колебаний в электронном потоке и в феноменологической модели, в зависимости от управляющих параметров а и соответствущей параметру Пирса в модели величины，△夕,соответственно. Линейная зависимость частоты колебаний от управляющего параметра служит подтверждени-

4,00г4,00

3,00「、3,00 \ г

0,00匸…"…I…………………I………i………I 0,00匚一i1i—*—*—*—I111—*—*—I 2,00 3,00 4,00 5,00 6,00 7,000,100,15 0,20 0,25 0,30

4a6W

Рис. 5.20. Зависимость периода и частоты колебаний (в безразмерных единицах) от параметра надкритичности в электронном потоке с виртуальным катодом без нейтрализации ионным фоном (а); феноменологической модели (б)

ем корректности феноменологической модели электронному потоку со сверхкритическим током в плоском пролетном промежутке.

Модель также отслеживает явление гистерезиса в окрестности критической точки (см. рис. 5.2). При медленном уменьшении управляющего параметра от закритических значений к докритическим в системе прод о лжаются колебания и при докритических значениях параметров.

Особенности нелинейной динамики и образованиекогерентных структур в электронном пучкес виртуальным катодом в неоднородном ионном фоне

Рассмотрим влияние неоднородности неподвижного ионного фона, заполняющего диодный промежуток, на динамику виртуального катода. Будем исследовать динамику пучка с плотностью пространственного заряда 〃о = по • е, инжектируемого со скоростью 少° в диодный промежуток, образованный двумя плоскими электродами с одинаковыми потенциалами, находящимися на расстоянии L друг от друга. Область длины △①储 начинающаяся с точки с координатой ①高 заполнена неподвижным ионным фоном с концентрацией п^ (рис. 5.21).

富0":«о富0":«оНапомним, что одним из управляющих параметров системы является параметр Пирса а = g夕丄/少。.В качестве управляющих параметров также выступают параметр неоднородности п = п^/по и геометрические параметры неоднородности ионного слоя ①勿 и △①勿.

富0":

«о

富0":

«о

Последний параметр считается постоянным и положен равным △①勿=0,2L.

0 х/ х^Дх/ £Рис. 5.21. Схема моделипролетного промежуткас неоднородным ионнымфоном0 х/ х^Дх/ £Рис. 5.21. Схема моделипролетного промежуткас неоднородным ионнымфономПроведем анализ динамики электронного пучка со сверхкритическим током в такой системе, следуя работам [80-85].

0 х/ х^Дх/ £

Рис. 5.21. Схема моделипролетного промежуткас неоднородным ионнымфоном

0 х/ х^Дх/ £

Рис. 5.21. Схема моделипролетного промежуткас неоднородным ионнымфоном

На рис. 5.22 представлены плоскости параметров, на которых отмечены характерные режимы колебаний, реализующиеся в системе, при изменении управляющих параметров — параметра Пирса а и параметров неоднородности ионного фона п

и Xi，Из карты режимов видно, что в системе наблюдается сложная смена различных типов колебательной динамики при измененении тока пучка а, плотности ri и расположения ионного слоя ①九

Для малой степени неоднородности (п < 1,0 4- 2,0) колебания виртуального катода регулярны (область, обозначенная знаком «R» на картах режимов). Рост плотности ионного слоя приводит к возникновению квазипериодических движений в системе (область Q). При смещении ионного слоя к правой границе системы область квазипериодиче- ской динамики на плоскости управляющих параметров расширяется.

Дальнейшее увеличение величины п приводит к возникновению различных типов хаотической динамики электронного потока со сверхкритическим током в диодном промежутке. Рассмотрим их, анали-

Рис. 5.22. Разбиение плоскостей параметров ток пучка а — плотность ионного фона п при Xi/L = 0,05 (а) и координата ионного слоя Xi — плотность ионного слоя п при а = 1,75тг (б) на характерные режимы колебаний в диодном промежутке со сверхкритическим током с неоднородным распределением ионного фона

зируя характеристики хаотических колебаний потенциала в области виртуального катода (рис. 5.23).

Область С1 соответствует слабохаотическим колебаниям (рис. 5.23 а, построенный при а = 2,86тг, п = 2,0, g = 0,05L), возникающих в результате разрушения квазипериодических движений. При этом в спектре мощности наблюдаются пики на двух несоизмеримых базовых частотах (отмечены в спектре на рис. 5.23 а вертикальными линиями), которые наследуются от квазипериодического режима. Аттрактор представляет собой узкую ленту в фазовом пространстве. С ростом степени неоднородности ионного фона (величины п) на базе режима С1 возникает новый хаотический режим 02, который характеризуется увеличением нерегулярности колебаний в системе и, как следствие, ростом шумового пьедестала в спектре мощности; аттрактор в фазовом пространстве представляет собой широкую ленту (рис. 5.23 6; а = 2,0тг, п = 2,5, g = 0,05L). При величинах g < < 0,2 в узком диапазоне управляющих параметров, соответствующих области С4 карты режимов, наблюдаются развитые хаотические колебания, характеристики которых приведены на рис. 5.23 в, построенном при а = 2,0тг, п = 3,5,①勿= 0,05L. В спектре мощности имеет место высокий шумовой пьедестал, медленно спадающий с ростом частоты, на фоне которого наблюдаются пики базовых частот (отмечены вертикальными линиями в спектре мощности) и их гармоник. Фазовый портрет колебаний однороден и сильно зашумлен.

Также на плоскости управляющих параметров выделен клюв, обозначенный буквой «F», в котором происходит резкое увеличение частоты колебаний в электронном пучке. Зависимость базовой частоты в спектре колебаний от тока пучка и плотности ионного слоя для случая Xi/L = 0,05 представлены на рис. 5.24.

Из рис. 5.24 а, на котором представлены зависимости базовой частоты от а (тока пучка) при различных величинах п, видно, что при

0,0 2,5 5,0 /ГГц -0,80,0 ф(/+7) 12,0 20,2 28,4 32,6 %нс

Рис. 5.23. Спектры мощности, фазовые портреты и временные реализации колебаний потенциала。(力)в плоскости х/L = 0,25 для различных хаотических режимов, реализующихся в системе с неоднородностью ионного фона

малой степени неоднородности (кривая 1, п = 0,5) частота меняетсялинейно с изменением а. Это вполне понятно, учитывая, что в диодномпромежутке с однородным распределением ионного фона частота /колебаний виртуального катода определяется плазменной частотой g夕электронного пучка (см. формулу (5.60)). Поэтому частота колебаний/ в случае слабой неоднородности пропорциональна параметру Пирсаа, что и показывает численный эксперимент. При увеличении степени

/ ГГцZ ГГц

аб

Рис. 5.24. Зависимости частоты генерации от параметра Пирса а при различных значениях п (а); зависимости частоты генерации от плотности ионного слоя п при различных значениях а (б)

неоднородности (кривая 2, п = 2,5) зависимость /(а) отклоняется от линейной, причем с увеличением параметра Пирса частота уменьшается по сравнению со случаем слабой неоднородности (кривая 1; ср. с рис. 5.15, на котором представлена зависимость частоты колебаний виртуального катода от плотности ионного фона для различных значений параметра Пирса). Ситуация принципиально меняется при дальнейшем увеличении степени неоднородности (кривая 3, п = 3,5). При большйх значениях плотности нейтрализующего ионного слоя частота колебаний при а < 2,1тг существенно больше частоты колебаний виртуального катода при малых п. Далее при а ~ 2,1 частота генерации уменьшается, а затем испытывает еще один скачок до величины / ^ ^ 6 ГГц. При дальнейшем увеличении тока пучка (величины а?) при большйх п базовая частота в спектре генерации резко падает.

Это также иллюстрирует рис. 5.24 5, на котором представлены зависимости f(n) при различных значениях тока пучка а из области F на карте режимов (см. рис. 5.22 а). Видно, что при достижении величины ri некоторого критического значения nKpi, базовая частота в спектре колебаний резко возрастает примерно в два раза. Критическое значение плотности пкр1 увеличивается с увеличением тока пучка, что хорошо видно из сравнения кривых, построенных для различных значений параметра Пирса а.

С дальнейшим ростом плотности п ионного слоя частота несколько уменьшается, затем наблюдается провал на графике /(п), и далее имеет место еще один скачок частоты. При этом частота колебаний виртуального катода превышает частоту колебаний при n > nKpi. При пкр2〉几кр1 происходит резкое уменьшение частоты колебаний в электронном пучке. Величина критической плотности 71Kp2 в отличии от величины пкр1 уменьшается с ростом параметра Пирса. То есть с увеличением тока пучка область возрастания частоты колебаний в электронном пучке с виртуальным катодом сужается, одновременно растет частота генерации при плотностях n С (nKpi, nKpi).

Заметим также, что наиболее интенсивная гармоника в спектре мощности колебаний в диапазоне управляющих параметров, принадлежащих области 04 на карте режимов, соответствует базовой частоте генерации в режиме F.

При очень больших плотностях ионного слоя, располагающегося вблизи плоскости инжекции электронного пучка, в системе возникают сильно нерегулярные колебания без выделенной базовой частоты с быстро спадающим с ростом частоты спектром мощности （область 03; рис. 5.23 2； а = 2,4тг, п = 5,0, Xi = 0,05L）. Фазовый портрет колебаний в данном случае однороден.

Однако в случае, когда ионный слой с большим значением плотности положительного заряда （п〉3） располагается вдали от плоскости инжекции （ж^/L 〉0,2）, динамика колебаний пространственного заряда вблизи плоскости инжекции упрощается. Для иллюстрации этого на рис. 5.23 д приведены характеристики колебаний для случая а = =3,0тг, п = 4,5, Xi = 0,25L. Вид фазового портрета и спектра мощности аналогичны виду этих характеристик для режима 02 （ср. с рис. 5.23 б）, что позволяет классифицировать наблюдающийся в этом случае динамический режим как режим 02.

Рассмотрим, с чем связана сложная перестройка различных режимов колебаний при изменении управляющих параметров системы — тока пучка и неоднородности распределения ионного фона, предполагая что вышеописанное поведение системы определяется особенностями динамики и взаимодействия формирующихся в системе когерентных структур.

Воспользуемся для анализа процессов формирования и взаимодействия когерентных структур в электроном пучке понятием вейвлетного преобразования и вейвлетной бикогерентности （см., например, [86-88, 107]）. Дадим несколько определений.

Непрерывное вейвлетное преобразование есть свертка

力о）= I g（力）（力）d力 （5.74）

анализируемого сигнала g（力）с двухпараметрической вейвлетной функцией 吵§,£0（力）,которая получается из материнского вейвлета 吵。（力）（знак «*» означает комплексное сопряжение）:

明,打（力）=今现 . （575）

Параметр s, называемый масштабом вейвлетного преобразования, отвечает за ширину вейвлета, а 力о — параметр сдвига, определяющий положение вейвлета на оси t. Множитель 1 /д/i в соотношении （5.75） введен для того, чтобы все вейвлетные функции 吵^打 имели единичную норму ] （V^,%）? dx =

=1. В качестве вейвлетной функции может быть выбрана любая функция, удовлетворяющая следующим основным условиям.

Условие локализации. Материнский вейвлет 吵。должен быть локализован как во временном, так и в частотном представлении. Для этого достаточно, чтобы функция -00 была задана на конечном интервале и обладала достаточной регулярностью.

Условие допустимости. Материнский вейвлет должен быть выбран таким образом, чтобы его фурье-образ ^。(公)удовлетворял условию

Си =2穴 I 叽丁 加 < оо.(5.76)

Последнее условие (5.76) для всех практических целей эквивалентно требованию нулевого среднего

I 吵0(力)d力=0 или -0о(О) = 0,(5.77)

что следует из соотношения (5.76).

Заметим, что непрерывное вейвлетное преобразование, записанное в виде (5.74), есть разложение по неортогональному базису ^s,t0- Однако если условие допустимости (5.76) выполняется, существует обратное вейвлетное преобразование

+ оо+оо

g⑴I 与 I 呪(Т)ИфМо)М (5.78) 0—oo

где С^ — коэффициент, введенный в формуле (5.76).

Бикогерентное вейвлетное преобразование представляет собой расчет вейвлетного биспектра, являющегося обобщением вейвлетного преобразования. Нормализованный биспектр (бикогерентность) характеризует фазовые соотношения (фазовую связь) между различными частотными составляющими, присутствующими в сигнале. О фазовой связи можно говорить в том случае, когда в анализируемом сигнале одновременно присутствуют две частоты о?1 и о?2, сумма (или разность) которых, а также сумма фаз 01 и 02 этих частотных компонент остается постоянной в течении некоторого промежутка времени. Бикогерентность является количественной мерой такой фазовой связи. Величина бикогерентности является функцией частот o?i и з? и должна быть близка к единице, если анализируемый сигнал содержит три частоты (о?1, о?2,公),удовлетворяющих соотношениям

公1 + 公2 =公, 0i + 02 = ° + const.(5.79)

В случае, когда соотношение (5.79) не выполняется, бикогерентность, определенная относительно частот o?i, о?2 и о;, равна нулю.

Дело в том, что при нахождении фурье- или вейвлетного спектра анализируемый процесс считается результатом наложения в любой момент времени статистически некоррелированных процессов на различных временных масштабах и производится оценка распределения мощности среди этих временных масштабов. При этом исследуются только линейные механизмы, определяющие динамику процесса, так как фазовые соотношения между

частотными составляющими исключаются. Фактически можно сказать, что имеющейся информации в фурье- или вейвлетном спектре достаточно для полного статистического описания Гауссовского процесса с известным средним значением. Однако когда анализируемый сигнал содержит сложную структуру различных временных гармоник и порождается нелинейной динамической системой, то одного фурье- или вейвлетного спектра мощности уже недостаточно для полного описания процесса. В этом случае можно предположить, что в сигнале появляется фазовая связь между некоторыми частотными компонентами. Информацию, касающуюся наличия нелинейностей, позволяют получить спектры более высокого порядка, и, в частности, спектр третьего порядка или биспектр. Поэтому обобщение биспектра на вейвлетное преобразование позволит анализировать такие принципиально нелинейные явления, как временную динамику фазовой связи между теми или иными компонентами в сигналах, а также выделять в наборах пространственновременных данных когерентные структуры.

Введем вейвлетный взаимный биспектр, который определим как

6拉g(si,S2)= I W(5, T)Wg(s1,T)Wg(S2, T)dr,(5.80)

T

где

—= + ИЛИ(jJ s = (jJ s\ + 公$2(5.81)

S Si 52

есть правило суммирования частот. Здесь частота 3s = 2tt/s соответствует масштабу s вейвлетного преобразования.

Вейвлетный взаимный биспектр есть мера фазовой связи на интервале времени Т, которая проявляется между компонентами вейвлетных спектров W сигнала g(力)на масштабах si и $2 и сигнала /г(力)на масштабе s. Тогда вейвлетный взаимный биспектр может быть интерпретирован как фазовая связь между волнами (вейвлетами), частоты которых удовлетворяют условию (5.81).

При анализе удобно пользоваться не только взаимным биспектром (5.80), но и понятием вейвлетной взаимной бикогерентности, которая определяется как нормализованный вейвлетный взаимный биспектр:

ь拉g(si, 62)= |&g(si, S2)| I [\Wg(s1,T)Wg(s2,T)\2 dr [|И/л(5,т)|2(/т I •

\TT/

(5.82) Величина взаимной бикогерености может принимать в соответствии с определением (5.82) значения в интервале [0,1].

Важной характеристикой бикогерентного вейвлетного преобразования является суммированная бикогерентность, которая определяется как

匠(s) = J$£(b(si,S2))2,(5.83)

где суммирование производится по всем масштабам si и $2, удовлетворяющим условию (5.81); Ns — число слагаемых в сумме. Коэффициент 1/NS необходим для того, чтобы величина 6^ принимала значение из интервала

По найденным величинам вейвлетного взаимного биспектра полезно восстанавливать суммированный биспектр

6X(S)= j±£(6(Sl, 52))2,(5.84)

где, как и в формуле (5.83), суммирование осуществляется по всем масштабам si и $2, удовлетворяющим условию (5.81); Ns — число слагаемых.

Вводится также понятие полной бикогерентности^ которая записывается в виде

ь《££(b(si,S2))2,(5.85)

где суммирование теперь уже производится по всем анализируемым масштабам si и $2, Ns — общее число суммируемых величин.

В связи с неоднозначностью выбора материнского вейвлета возникает вопрос о том, какой вейвлетной функцией 吵。(〃)необходимо пользоваться при расчетах величин вейвлетной бикогерентности и вейвлетного взаимного биспектра. Наиболее удобным для дальнейшей интерпретации результатов оказывается вейвлет Морлета [88, 89, 107], являющийся комплексным вейвлетом

呪⑺=7г-1/4 ехр О%о〃)ехр (一〃?/2),(5.86)

где о?о ——параметр вейвлета. Обычно рассматривается морлет-вейвлет с параметром о?о = 6. Морлет-вейвлет обладает хорошо локализованным в реальном и фурье-пространстве базисом, причем с увеличением о?о растет разрешение в фурье-пространстве, но ухудшается локализация во времени. Фактически, морлет-вейвлет представляет собой синусоидальную функцию, модулированную функцией Гаусса. Для вейвлетного и бикогерентного вейвлетного преобразования с базовым морлет-вейвлетом легко сопоставить масштабы вейвлетного преобразования s (или соответствующие им частоты o?s) и длины волн А (или частоты з = 2тг/А) преобразования Фурье. Это позволяет анализировать результаты вейвлетного бикогерентного анализа в привычных из фурье-анализа терминах частот и фаз сигналов [107].

Для анализа процессов структурообразования с помощью вейвлетной бикогерентности удобно использовать пространственно-временные данные колебаний потенциала 0(①，力)поля пространственного заряда в диодном промежутке.

В простейшем случае — режиме регулярных колебаний, который реализуется при небольших токах пучка а и малой степени неоднородности ионного фона п-в спектре колебаний потенциала во всех сечениях диодного промежутка имеют место колебания с базовой частотой /о = 0,98 ГГц.

Найдем полную бикогерентность b (5.85) временных колебаний потенциала 0(①，力)и гармонического сигнала с частотой, соответствующей базовой частоте в спектре мощности /о колебаний потенциала. Это означает, что в качестве функции /г(力)в формуле (5.82) выбирается сигнал а • sin 2тг/о^ функции g(力)—колебания потенциала 0(①°,力) пространственного заряда в некоторой фиксированной точке пространства х = жо- На рис. 5.25 а показана величина полной бикогерентности

1

0,8

,0,6

1 |о,4

0,0行 0,05 0,20,40,60,8

“x/L

Рис. 5.25. Зависимость величины полной бикогерентности Ь(х) от координаты (а) и проекция поверхности суммированного биспектра В^(ж/L, /) (б), построенные для режима регулярных колебаний (режим Я)

как функция координаты пространства взаимодействия. Зависимость b(①)является функцией с одним максимумом, который располагается вблизи плоскости инжекции. Наибольшая полная бикогерентность (т. е. максимальная фазовая связь между колебаниями потенциала и динамикой основного временного масштаба в системе) соответствует колебаниям потенциала в области x/L ^ 0,1. Последнее означает, что основная пространственно-временная структура, определяющая базовые временные и пространственные масштабы поведения рассматриваемой системы, локализована вблизи области х/L ^ 0,1.

На рис. 5.25 5 представлен суммированный взаимный вейвлетный биспектр В^(/) (см. соотношение (5.84)) пространственно-временных данных колебаний потенциала в диодном промежутке. На рисунке изображена проекция поверхности величины В^ в координатах (ж, /), где х — координата сечения диода, относительно которого рассчитывается бикогерентность, / — частоты, на которых определялась суммированная бикогерентность. При построении вейвлетного биспектра в качестве сигнала 九(力)выбирались колебания потенциала 0(①，力)в области x/L = 0,1, для которой максимальна величина полной бикогерентности процесса; в качестве сигнала g(t) используются колебания

потенциала 0(①，力)в различных сечениях диодного промежутка. Биспектр позволяет определить области в пространстве, где имеет место сильная фазовая связь между временными колебаниями, т. е. возможно выделить и локализовать в пространстве формирующиеся в системе когерентные структуры.

Из рис. 5.25 5 видно, что на поверхности суммированной бикогерентности В^{х^ /) четко выделяется область, где вейвлетная би когерентность резко возрастает. Эта область, локализованная на плоскости (ж, /) вблизи ①/7> 〜0,05 2 0,2; / 〜1,7 2 2,1 ГГц, определяет единственную пространственно-временную структуру в пучке, которая расположена вблизи плоскости инжекции (она пространственно ограничена областью х/L < 0,2) и имеет характерный временной масштаб Т = 1// 〜1 нс. Заметим, что на поверхности наблюдается еще один максимум (высота которого примерно в три раза меньше максимума при / ~ 1,9 ГГц) на частоте / 〜3,8 ГГц. Он связан с динамикой той же когерентной структуры и определяется квадратичной нелинейностью, а именно фазовой связью между временной динамикой базового масштаба Т и его гармоники 7/2.

Как уже обсуждалось, при увеличении степени неоднородности системы с ростом плотности ионного слоя ri наблюдается резкий скачок частоты генерации в системе (область F на карте режимов рис 5.22).

На рис. 5.26 представлены зависимость полной бикогерентности b(①)колебаний потенциала в различных сечениях диодного промежутка ж и гармонического сигнала с частотой, равной базовой частоте генерации в данном случае /о = 3,1 ГГц, и поверхность суммированной бикогерентности В^(х, /) для большой плотности ионного слоя п = = 3,75 (остальные параметры такие же как в предыдущем случае).

Из рис. 5.26 а видно, что область высокой бикогерентности прижимается непосредственно к плоскости инжекции ①=0. Из распределения амплитуд коэффициентов суммированного вейвлетного биспектра вдоль пространства взаимодействия (рис. 5.26 б) следует, что в системе, как и раньше, формируется только одна когерентная структура, определяющая поведение электронного потока. Однако теперь в пространстве взаимодействия она располагается вблизи входной сетки диодного промежутка, занимая область х/L С (0,0; 0,1). Характерный временной масштаб динамики этой структуры примерно в два раза превышает характерный временной масштаб динамики системы в случае малой степени неоднородности (предыдущий случай) и численно равен 7^0,5 нс. Как и в предыдущем случае ярко выражена динамика временного масштаба второй гармоники базовой частоты, что свидетельствует о сильной нелинейности колебаний.

Таким образом, увеличение степени неоднородности системы приводит к изменению условий формирования когерентной структуры, определяющей динамику электронного пучка. В результате такой перестройки внутренней структуры электронного пучка изменяется характерный пространственный масштаб Ар динамики единственной структуры. Он становится примерно в два раза меньше пространственного масштаба Ar когерентной структуры в режиме регулярных колебаний.

偈口偈口

偈口

偈口

0,018

0,014

0,010

0,006

0,002

0,0

-0,05 0,15 0,25 0,35 0,45 0,55

'x/L

Рис. 5.26. Зависимость величины полной бикогерентности 6(ж) от координаты (а) и проекция поверхности суммированного биспектра Bs(x/L, /) (б), построенные для режима F

Известно [70], что для систем с виртуальным катодом имеет место связь между средним временем пролета те отраженных от виртуального катода электронов и частотой генерации /, которая дается простым выражением / 〜1/т. Время пролета для режима F оценим как гр 〜 〜Ар/Vo, для режима R tr 〜A^/^o- Тогда частота генерации /尸 в диоде с сильной неоднородностью ионного фона (режим 歹)связана с частотой генерации в случае малой неоднородности /я как /尸 ^ 2/я (ср. с рис. 5.24).

Рассмотрим теперь режимы развитых хаотических колебаний в системе.

Исследуем вначале режим, реализующийся в диодном промежутке при большом токе пучка а и большой степени неоднородности п в системе при расположении ионного слоя вблизи плоскости инжекции ①勿〜 ~ 0 (режим ОЗ). Анализ спектрального состава колебаний потенциала при переходе от одного сечения диода к другому в данном режиме практически не изменяется.

На рис. 5.27 приведены результаты расчета зависимости полной бикогерентности b(①)колебаний потенциала и поверхность суммированной бикогерентности 6^(/, /). Из рис. 5.27 а следует, что наибольшая полная бикогерентность соответствует колебаниям потенциала

0,0300,0260,0220,0180,0140,0100,0300,0260,0220,0180,0140,0100,00,00,00,20,40,60,81,0仔x/L0,00,20,40,60,81,0仔x/LРис. 5.27. Зависимость величины полной бикогерентности 6(ж) от координаты (а) и проекция поверхности суммированного биспектра Bs(x/L, /) (б), построенные для режима СЗРис. 5.27. Зависимость величины полной бикогерентности 6(ж) от координаты (а) и проекция поверхности суммированного биспектра Bs(x/L, /) (б), построенные для режима СЗ

0,030

0,026

0,022

0,018

0,014

0,010

0,030

0,026

0,022

0,018

0,014

0,010

0,0

0,0

0,00,20,40,60,81,0

仔x/L

0,00,20,40,60,81,0

仔x/L

Рис. 5.27. Зависимость величины полной бикогерентности 6(ж) от координаты (а) и проекция поверхности суммированного биспектра Bs(x/L, /) (б), построенные для режима СЗ

Рис. 5.27. Зависимость величины полной бикогерентности 6(ж) от координаты (а) и проекция поверхности суммированного биспектра Bs(x/L, /) (б), построенные для режима СЗ

в области х/L ^ 0,25. Это означает, что в данном режиме основная пространственно-временная структура, определяющая характерные особенности поведения рассматриваемой системы, в первую очередь, базовые временные и пространственные масштабы колебаний в пучке, локализована в области х/L ^ 0,25.

Расчет суммированного вейвлетного биспектра показал, что на поверхности В^(х, /) четко выделяются две области, где вейвлетная бикогерентность резко возрастает: область на плоскости (ж, /), локализованная вблизи ①/7> 〜0,2 2 0,4; / 〜2,5 ГГц и область ①/7> 〜 〜0,1 2 0,2; / 〜1,0 ГГц. В каждой из этих областей, где коэффициенты вейвлетного биспектра велики, имеет место фазовая связь между колебаниями в различных сечениях диодного промежутка на соответствующих временных масштабах, причем величина бикогерентности в первой области существенно превышает соответствующую величину во второй области. Каждую из этих областей на плоскости (ж, /) можно связать со своей когерентной структурой, поведение которых определяет динамику электронного пучка в данном случае.

Из рис. 5.27 5 четко видно, что одна из структур (базовая, которая была определена нами из результатов расчета полной вейвлетной

бикогерентности) занимает большую область в пространстве взаимодействия и имеет малый временной масштаб Ti ^ 0,4 нс. Вторичная структура, как следует из поверхности В^ на рис. 5.27 5, располагается между плоскостью инжекции и базовой структурой системы. Ее характерный временной масштаб существенно больше и составляет Т» ^ ^ 1,0 нс. Можно предположить, что взаимодействием между этими структурами, имеющими различные временные масштабы динамики, определяются особенности сложной хаотической динамики электронного пучка в этом случае. Так, вторичная структура, временной масштаб которой ?2 существенно превышает масштаб Ti, взаимодействуя с основной структурой, выполняет роль некоторой распределенной обратной связи, оказывающей воздействие на динамику электронного пучка. Последнее и приводит к хаотизации колебаний в электронном пучке в этом случае — она связана со сложным запаздывающим (из- за различных характерных временных масштабов) взаимодействием между когерентными структурами, формирующимися в системе.

Рассмотрим теперь режим, реализующийся в системе при большой плотности ионного слоя п = 4,5, который располагается вдали от плоскости инжекции в сечении с координатой Xi/L = 0,25. Параметр Пирса в рассматриваемом нами случае равен а = 3,0тг. Вид фурье-спектра мощности и фазового портрета колебаний в сечении х/L = 0,25 диодного промежутка соответствует режиму С2 на картах режимов (см. рис. 5.22 и рис. 5.23 @ построенный при вышеуказанных значениях параметров по колебаниям потенциала в точке пространства взаимодействия x/L = 0,25).

В отличие от предыдущих случаев временная динамика поля пространственного заряда в различных точках диодного промежутка принципиально различна. Так спектральный состав колебаний качественно и количественно меняется при продвижении вдоль пространства взаимодействия. Это иллюстрирует рис. 5.28, на котором представлены фурье-спектры мощности колебаний потенциала ф в точках с координатами x/L = 0,05 (рис. 5.28 а) и ж/L = 0,45 (рис. 5.28 б). Вблизи плоскости инжекции колебания потенциала слабо хаотические, на фоне небольшого слаборазвитотого шумового пьедестала наблюдается ярко выраженный пик базовой частоты генерации /о = 2,24 ГГц в диоде и ее второй гармоники 2/о- Ситуация меняется при продвижении вдоль пространства взаимодействия к выходной сетке системы. В спектре мощности повышается шумовой пьедестал, который медленно спадает с ростом частоты. В низкочастотной части спектра (/ < /о) наблюдается появление спектральных составляющих, энергия которых в спектре превышает энергию частоты %, которая также присутствует в спектре колебаний потенциала в центральной части пространства взаимодействия. Так амплитуда доминирующей частоты в низкочастотной области спектра /1 (см. рис. 5.28 б) превышает амплитуду гармоники частоты /о в 1,57 раз.

Можно предположить, что такое изменение поведения системы, выражающееся в появлении пространственно развитых хаотических

Рис. 5.28. Фурье-спектры мощности колебания потенциала поля пространственного заряда в различных сечениях диодного промежутка (масштаб нелогарифмический). Рисунок а соответствует сечению с координатой х / L = =0,05, б— х/L = 0,45

колебаний, определяется в данном случае качественной перестройкой внутренней структуры электронного потока.

Рассмотрим пространственную динамику величины полной бикогерентности b(①)колебаний потенциала поля 0(①，力)и гармонического сигнала. Будем рассматривать гармонические сигналы, частоты которых соответствуют характерным частотам в фурье-спектре мощности колебаний в различных точках пространства взаимодействия. Такими характерными частотами являются частота %, которая соответствует основному временному масштабу в области инжекции электронного пучка, и частота /1, которая определяет характерный временной масштаб динамики в электронном пучке в центральной части пространства взаимодействия.

Результаты расчета представлены на рис. 5.29. Из него видно, что зависимости полной вейвлетной бикогерентности b(①),построенные для частот гармонического сигнала, соответствующих различным характерным временным масштабам колебаний системе, имеют принципиально различный вид.

Распределение вдоль пространства взаимодействия полной бикогерентности колебаний потенциала и гармонического процесса с частотой /о (кривая 1 на рис. 5.29) показывает, что максимальная фазовая связь между колебаниями потенциала и динамикой временного масштаба То = 1 //о имеет место в области х/L < 0,1. Эту область можно связать с пространственно-временной структурой, которая располагается вблизи плоскости инжекции и чья динамика определяет появление в спектре мощности частоты %. Во всем остальном пространстве взаимодействия полная бикогерентность колебаний потенциала и гармоники с частотой /о мала и свидетельствует о слабой связи между динамикой этой

Рис. 5.29. Зависимости величины полной бикогерентности 6(ж) от координаты, построенные при различных частотах гармонического сигнала. Кривая

1 соответствует частоте /о; 2 —九；3 —力

когерентной структуры и колебаниями в остальном пространстве взаимодействия.

Аналогичная картина складывается при рассмотрении распределения b(①)колебаний потенциала и гармонического процесса с частотой /1 (кривая 2 на рис. 5.29). В этом случае максимум бикогерентности приходится на область ж G (0,3L; 0,6L). Данную область логично связать с еще одной когерентной структурой, формирующейся в системе, и имеющей характерный временной масштаб Ti = l//i. Заметим, что в данном случае величина полной бикогерентности в области формирования первой структуры достаточно велика. Это свидетельствует о том, что вторая структура оказывает достаточно сильное влияние на динамику первой структуры, в то время как обратного влияния, как было установлено выше, нет.

Таким образом, в рассматриваемом случае пространственно-временного хаоса в диодном промежутке с сильно неоднородным распределением ионного фона, анализируя только спектральный состав колебаний Р(/) и величину полной бикогерентности b в различных сечениях х/L пространства взаимодействия, удалось выделить когерентные структуры, формирующиеся в системе, а также выявить характерные особенности взаимодействия между ними. В основу диагностики пространственно-временных структур была положена сильная зависимость величины полной вейвлетной бикогерентности колебаний в системе и гармонического сигнала с частотой, соответствующей тому или иному характерному временному масштабу динамики системы, от координаты пространства взаимодействия.

Для сравнения на рис. 5.29 (кривая 3) приведена рассчитанная зависимость полной вейвлетной бикогерентности колебаний потенциала и гармонического сигнала с частотой отличной от характерных частот в спектрах мощности, построенных по колебаниям потенция-

ла в различных сечениях диодного промежутка. Для определенности был выбран сигнал с частотой /2, отмеченной в спектре мощности на рис. 5.28 б. Из рисунка видно, что бикогерентность, а следовательно, и фазовая связь между колебаниями в системе и динамикой выбранного временного масштаба, невелика и практически не зависит от координаты пространства взаимодействия. Аналогичная картина получается при выборе других частот для анализа. При этом меняется только величина бикогерентности, но не ее характер распределения в пространстве: b(x) ^ const.

В заключение этого параграфа проиллюстрируем полученные результаты по выделению когерентных структур из пространственновременных данных физическими картинами динамики электронного пучка в диодном промежутке с неоднородным распределением ионного фона. Для этого исследуем пространственно-временные диаграммы электронного потока для вышерассмотренных случаев (рис. 5.30).

В режиме регулярных колебаний (область R на карте режимов) вид пространственно-временной диаграммы пучка (рис. 5.30 а) качественно совпадает с «классическим» видом диаграммы электронного потока без ионного фона (ср. с рис. 5.6 6). На ней хорошо видно, что в электронном пучке на каждом периоде колебаний формируется единственный электронный сгусток — виртуальный катод, который колеблется как в пространстве, так и во времени, и от которого отражается большая часть электронного потока обратно к плоскости инжекции. Максимум плотности пространственного заряда колеблющегося виртуального катода приходится на область х/L 〜0,1, в которой большая часть электронов останавливается (их скорость |少| ^0) и поворачивает обратно. Это совпадает с результатами бикогерентного вейвлетного анализа, который определяет наличие когерентной структуры в системе в этой же области (ср. с рис. 5.25).

При увеличении степени неоднородности (повышения величины плотности ионного слоя п) и при переходе системы в режим F имеет место изменение динамики электронного пучка, что иллюстрирует рис. 5.30 £ Из него видно, что в потоке как и раньше формируется только один сгусток электронов (виртуальный катод), однако теперь его колебания в пространстве происходят с очень малой амплитудой. Анализ данных с помощью вейвлетной бикогерентности (см. рис. 5.26) выявил уменьшение характерного пространственного масштаба когерентной структуры, формирующейся в этом режиме, по сравнению с режимом R. Действительно, максимум плотности пространственного заряда смещается к плоскости инжекции, в результате чего и наблюдается скачок частоты генерации в системе. Заметим, что такая перестройка внутренней структуры электронного потока происходит скачком, также скачком возрастает частота генерации в диодном промежутке. Хаотизация колебаний в пучке в этом случае происходит за счет возмущающего влияния метастабильных частиц, находящихся в области х/L 0,2 пространства взаимодействия в течении нескольких характерных периодов колебаний основной структуры (виртуального катода). Возращаясь к плоскости инжекции, они оказывают влияние

Рис. 5.30. Пространственно-временные диаграммы электронного потока в различных режимах колебаний в диоде с неоднородным плазменным заполнением: а — режим регулярных колебаний, в электронном потоке формируется единственная структура — виртуальный катод; 6 — режим F, в котором имеет место резкое увеличение частоты генерации, амплитуда колебаний виртуального катода в пространстве резко уменьшается, в области виртуального катода наблюдается большое число метастабильных частиц; в — режим СЗ хаотических колебаний, виртуальный катод «вытесняется» из «плотного» ионного слоя, примыкающего к плоскости инжекции; а — режим (72 хаотических колебаний, в потоке формируется две структуры: виртуальный катод и сгусток электронов, захваченный в потенциальную яму, связанную с расположением ионного слоя в середине пролетного промежутка

аэф/ааэф/а3,03,02,02,01% о1% о口 口口口 口◎ □□о 口 由 DO口 口口口 口◎ □□о 口 由 DOВВ□□0,00,0自 0自 0оо'оо'оо3,53,54,5 л4,5 л

аэф/а

аэф/а

3,0

3,0

2,0

2,0

1% о

1% о

口 口口口 口◎ □□

о 口 由 DO

口 口口口 口◎ □□

о 口 由 DO

В

В

□

□

0,0

0,0

自 0

自 0

о

о

'оо

'оо

3,5

3,5

4,5 л

4,5 л

Рис. 5.31. Зависимость эффективного параметра Пирса а?小/а в области виртуального катода от плотности ионного слоя п. Здесь о соответствует величине а = 1,34тг, □ — а = 1,75тг

на пространственно-временную динамику виртуального катода в рассматриваемом режиме.

Заметим, что рост частоты генерации определяется скоростью развития неустойчивости в пучке со сверхкритическим током, которая, в свою очередь, зависит от значения эффективного параметра Пирса аэф в области виртуального катода. Эффективный параметр Пирса может быть введен как [85]

a9小a9小(5.87)(5.87)

a9小

a9小

(5.87)

(5.87)

где 卜〉力 означает усреднение во времени,①вк — координата виртуального, соответствующая координате остановки и поворота заряженных частиц,〈〃〉и〈少〉一соответственно средняя плотность пространственного заряда и скорость потока в промежутке «плоскость инжекции — виртуальный катод». Рост аэ小 приводит к росту частоты колебаний в пучке с виртуальным катодом.

На рис. 5.31 представлены зависимости величины эффективного параметра Пирса аэ小 от плотности п ионного слоя для двух значений параметра Пирса а. При небольших плотностях ионного слоя аэ小 ^ а. Однако увеличение п приводит к росту аэ小.При значениях п =几кр1 (а) наблюдается резкое увеличение величины эффективного параметра Пирса одновременно, имеет место резкий рост частоты колебаний виртуального катода.

Ситуация меняется при переходе к режимам развитых хаотических колебаний. В режиме СЗ плотность компенсирующего заряд электронного потока ионного слоя столь велика, что основная структура в пучке —отражающий от себя электроны виртуальный катод — «вытесня-

ется» из ионого слоя и формируется на его границе. Это четко продемонстрировал бикогерентный анализ (см. рис. 5.27), выделив базовую когерентную структуру в электронном пучке в области х/L ^ 0,3. Одновременно, между виртуальным катодом, находящемся вне ионного слоя, и входной сеткой диодного промежутка возникает потенциальная яма с экстремумом при x/L « 0,05. В нее захватываются частицы, отраженные от виртуального катода и имеющие небольшую скорость при подходе к выходной плоскости. Захваченные частицы, колеблющиеся в этой потенциальной яме, хорошо видны на пространственновременной диаграмме (см. рис. 5.30 s). Эти частицы образуют «вихревую» автоструктуру, взаимодействие между ней и виртуальным катодом приводит к усложнению динамики в потоке. Вихревую автоструктуру можно связать со второй когерентной структурой, выделенной с помощью обработки данных вейвлетной бикогерентностью, так как расположение этих структур, а также характерные пространственные и временные масштабы их динамики близки.

В режиме 02, при расположении ионного слоя вдали от плоскости инжекции, динамика электроного пучка сильно усложняется. Как видно из рис. 5.30 2, в этом случае в диодном промежутке формируется два сгустка электронов — виртуальный катод вблизи плоскости инжекции и сгусток электронов, колеблющихся в потенциальной яме, связанной с наличием в середине пространства взаимодействия нейтрализующего слоя ионов с плотностью п = 4,5. Как не сложно видеть, сопоставляя пространственно-временную диаграмму для этого случая с рис. 5.29, на котором представлены результаты расчета величины полной би когерентности для различных характерных временных масштабов колебаний в системе, бикогерентный анализ позволил выделить обе электронные структуры, формирующиеся в системе со сверхкритическим током.

Влияние подвижности ионного фона на колебаниявиртуального катода в плоском пролетномпромежутке. Проблема ускорения ионовколеблющимся виртуальным катодом

Предыдущее рассмотрение процессов в электронном потоке с виртуальным катодом в плоском пролетном промежутке проводилось в рамках предположения, что ионы, заполняющие междусеточное пространство и составляющие ионный фон с плотностью положительного заряда n = pi/\pe\^ неподвижны. Такое приближение основывается на том очевидном факте, что за время развития неустойчивости 力н, которое порядка времени пролета электронов через пролетный промежуток, ионы в тех же полях пройдут путь в，т(]те раз меньший, чем электроны, и на временах 力н их можно считать практически неподвижными [90]. Если в качестве ионов рассматривать ядро атома водорода (протон), то отношение mi/те ^ 1800, и путь, который пройдут ионы

за время ", будет примерно в 40 раз меньше, чем путь инжектируемых в междусеточное пространство электронов.

Однако такие оценки справедливы только на сравнительно коротких временах развития неустойчивости 力上 После формирования в системе виртуального катода воздействие со стороны высокочастотного поля на ионы становится иным. Колеблющийся с частотой /вк ~ 〜g夕/тг виртуальный катод приводит к быстрым колебаниям распределения потенциала, а, следовательно, на ионы действует быстро осциллирующая сила, период которой существенно меньше величины характерного временного масштаба Ti движения ионов. В этом случае на временах, существенно больших, чем время развития неустойчивости 力н, возможно сильное возмущение движения тяжелых ионов, под действием быстроосциллирующей силы накачки. Действительно, если рассматривать движение иона как колебания в нелинейной потенциальной яме 0(①),соответствующей стационарному решению уравнения Пуассона для пролетного промежутка со сверхкритическим током, то воздействие быстросциллирующего поля колеблющегося виртуального катода можно описать как силу 歹(？) cos Qt, частота которой Q 〜g夕》 》1/〃：

mix + e黑=F(x) cos Qt.(5.88)

ox

Рассматривая решение уравнения (5.88) в виде суммы медленной и быстро осцилирующей части X (力)+ ———х(力)и усредняя по времени Те = / i3p

=2?r/Q, легко получить уравнение вида [91, раздел 11.4]

e (需(黑)X = °'(5-89)

Из последнего соотношения следует, что на тяжелый ион действует сила, пропорциональная квадрату амлитуды колебаний потенциала в области виртуального катода.

Поэтому на большйх временах после начала развития неустойчивости, заканчивающейся формированием виртуального катода, в пролетном промежутке возможно существенное возмущение первоночально неподвижных равномерно распределенных в пространстве тяжелых ионов. При этом, учитывая, что поля, создаваемые виртуальным катодом, велики, можно ожидать ускорения ионов до значительных энергий. Одновременно, возмущение первоначально равномерно распределенных ионов, т. е. возникновение неоднородности в распределении положительного пространственного заряда 〃勿(①),как следует из выводов предыдущего раздела лекции, приведет к изменению характера динамики виртуального катода.

Первые работы (по большей части экспериментальные) по ускорению ионов в сильноточных электронных пучках относятся по времени своего появления к концу 60-х — началу 70-х годов XX века [92]. В проведенных экспериментах наблюдались большие ускоряющие поля

(〜106 В/см), в которых ионы приобретали энергию, превышающую энергию электронов. Позже в ряде работ были проведены теоретические оценки возможности ускорения ионов сильноточным электронном пучком [93, 94]. Среди различных методов коллективных механизмов ускорения ионов еще в 70-х годах была отмечена возможность ускорения ионов движущимся в пространстве взаимодействия виртуальным катодом [95—97]. Ускорение ионов в пучке со сверхкритическим током рассматривалось теоретически в работах ряда авторов [98-101] и является одной из перспективных схем ускорения ионов до значительных энергий.

Для анализа подобных процессов проанализируем динамику электронного пучка со сверхкритическим током в подвижном ионном фоне в плоской геометрии. В качестве ионов будем рассматривать протоны, т. е. случай, когда mi/me ^ 1800. Изучение процессов в такой системе основывается на математической модели, сформулированной в разделе, посвященном нелинейной динамике виртуального катода в пролетном промежутке. Динамика ионов в системе моделируется конечным, хотя и большим числом крупных частиц, имеющих заряд +е и массу ш九 Будем анализировать особенности поведения системы от двух управляющих параметров — параметр Пирса а и плотность ионного фона п.

На рис. 5.32 а представлена характерная временная реализация колебаний потенциала в области виртуального катода в случае плотности невозмущенного ионного фона п = 1 и параметра Пирса а = 1,5тг. Сравнивая рис. 5.32 а с рис. 5.8 в, построенным для тех же значений параметра Пирса и плотности неподвижного ионного фона, видно, что сложность колебаний в системе сильно возрастает. Временная динамика потенциала сильно нерегулярна, и в различные моменты времени происходит с различными характерными временными масштабами. Для анализа таких сигналов с изменяющимся с течением времени спектральным составом наиболее приспособлен вейвлетный анализ (см. предыдущий раздел лекции). Поэтому будем использовать вейвлетный спектр для анализа особенностей колебаний в пучке с виртуальным катодом в подвижном ионном фоне. На рис. 5.33 а представлены результаты расчета вейвлетного спектра |川(力,7)| (5.74) с базовым Мор- лет-вейвлетом (5.86). На плоскости (рис. 5.33) по оси абсцисс отложено время 力 по оси ординат в логарифмической шкале представлены масштабы вейвлетного преобразования (масштабы наблюдения) s = 7. Интенсивность окраски поверхности пропорциональна амплитуде соответствующих коэффициентов вейвлетного спектра на данном масштабе Т в момент времени 力.

Распределение коэффициентов вейвлетного спектра \W(t, Т)\ демонстрирует сложную нерегулярно зависящую от времени структуру локальных максимумов. Такой вид поверхности свидетельствует о сложной нестационарной динамике большого числа временных масштабов [102], возбуждаемых в электронном пучке со сверхкритическим током в подвижном ионном фоне.

Рис. 5.32. Зависимости колебаний потенциала в области виртуального катода (в точке пространства взаимодействия ж = 0,2) в присутствии подвижного ионного фона для параметра Пирса а = 1,5тг и п = 1 (а); п = 0,2 (б)

Как следует из рисунков 5.32 а и 5.33 а, на начальном этапе развития колебательной динамики в потоке с виртуальным катодом (力 < 20) колебания происходят с временным масштабом Т ^ 2tt/g夕,равным характерному периоду колебаний виртуального катода в диоде Пирса при а = 1,5тг. Этот временной масштаб в безразмерных единицах времени составляет величину Т 〜1,6 и постепенно уменьшается с течением времени (растет частота колебаний виртуального катода). В момент времени 力〜20,0 происходит резкий скачок частоты колебаний виртуального катода, сопровождающийся уменьшением амплитуды колебаний потенциала. На вейвлетной поверхности (рис. 5.33 а) это соответствует всплеску амплитуд коэффициентов вейвлетного преобразования на масштабах наблюдения Т 〜0,6. Величина их амплитуд существенно меньше, чем амплитуда коэффициентов на масштабах наблюдения Т 〜 〜1,6, что связано с меньшей амплитудой колебаний виртуального катода в данном случае. Далее, как хорошо видно из вейвлетного спек-

3,66^

1,72；^^^,1t1s

0,38

0,18

0,018,8

Т

16,52^

3,66

1,72

0,81

0.38

0J8

0,018,8

Рис. 5.33. Вейвлетные спектры колебаний потенциала поля пространствен-ного заряда в области виртуального катода (см. рис. 5.32) в присутствииподвижного ионного фона для параметра Пирса а = 1,5тг и п = 1 (а); п = 0,29

тра, имеет место тенденция роста амплитуды и уменьшения частоты колебаний потенциала пространственного заряда. И, наконец, при t〉 > 65,0 вид колебаний потенциала становится подобным тому, который имел место в начале развития неустойчивости в пучке с подвижным ионным фоном. После установления данного режима вид вейвлетного спектра уже качественно не меняется.

Рис. 5.34. Зависимость максимальной плотности положительного заряда ионов от времени для параметра Пирса а = 1,5тг и п = 1

Усложнение колебаний связано с динамикой ионов в поле виртуального катода. Рассмотрим ее более подробно. В течение начального промежутка времени t < 20,0 имеет место пространственно-временное поведение системы, практически точно совпадающее с динамикой пучка в неподвижном ионном фоне. Распределение плотности положительного ионного фона на этом этапе возмущено слабо, и динамика виртуального катода подобна динамике в диоде Пирса. Однако с течением времени плотность ионов в области виртуального катода растет. Это иллюстрирует рис. 5.34, на котором представлена зависимость максимального значения плотности положительного заряда ионов ртах в междусеточном пространстве. Видно (ср. рис. 5.34 с рис. 5.32 а), что в течении первых 5 4- 8 периодов колебаний зависимость pmax(t) достигает первого максимума, причем пространственная координата максимума плотности ионов находится в области виртуального катода. Дальнейшая динамика ионов связана с формированием плотного ионного слоя в области входной сетки, причем в остальном пространстве взаимодействия плотность 〃勿 ионного фона резко уменьшается по сравнению с невозмущенной плотностью п. Средняя плотность формирующегося в области виртуального катода ионного слоя составляет〈〃勿〉〜 ~ (2 4- 3)п. В этом случае динамика пучка в пролетном промежутке подобна динамике потока в уже изученном нами диоде с неоднородным ионным фоном при расположении ионного фона вблизи плоскости инжекции и плотности п « 3 4- 4 (см. предыдущий раздел, а также рис. 5.24 и его описание). Именно формированием плотного ионного слоя объясняется увеличение частоты и уменьшение амплитуды колебаний потенциала в междусеточном пространстве на данном этапе развития процессов в диоде с подвижным ионным фоном.

Плотный сгусток ионов в области виртуального катода сохраняется до времени t ^ 40,0, когда плотный ионный слой в области виртуального катода начинает разрушаться, и при достижении времени 力〜60 наблюдается установение в среднем равномерного распределения плотности пространственного заряда ионов в междусеточном пространстве

Рис. 5.35. Фазовый портрет в координатах ()〃, Vi) (а) и распределение 居 по энергиям (б) подвижных ионов в момент времени t = 70,0 для параметров а = 1,5тг и n = 1

(pi(x))t ^ const. Однако теперь такое распределение ионов есть результат коллективного движения ионов в диодном промежутке. На рис. 5.35 а представлена фазовая диаграмма ионного потока в пролетном промежутке для момента времени t = 70,0. На ней каждая крупная частица, моделирующая поведение подвижного ионного фона, нанесена в виде точки на фазовую плоскость «координата ж^-скорость 少勿》ионов. Видно, что в междусеточном пространстве возникает многопотоковое движение ионов, а на фазовом портрете четко прослеживается завихрение в области виртуального катода ①вк ~ 0,1 2 0,2. Характерный масштаб движения ионов в системе существенно больше плазменного периода и численно равен характерному времени вихревого движения ионов в окрестности виртуального катода. В системе возникает многопотоковая неустойчивость, связанная с движущимися навстречу друг другу несколькими потоками ионов с примерно одинаковыми скоростями. Неустойчивость имеет характер абсолютной неустойчивости, и возмущение нарастает в окрестности виртуального катода. Это

способствует дальнейшему росту возмущения движения ионов по мере развития неустойчивости во встречных потоках. Формирование вихревого многопотокового движения ионов в системе при рассматриваемых значениях параметров соотвествует моменту времени t ^ 40,0.

Динамика виртуального катода в этом режиме качественно подобна динамике виртуального катода в диоде Пирса при том же значении тока пучка а. Однако колебания виртуального катода демонстрируют более сложную динамику, что связано со взаимодействием через поле пространственного заряда электронной структуры (виртуального катода) ,имеющей характерный временной масштаб динамики порядка плазменного периода ~ 2tt/g夕,и вихревой структуры в потоке ионов, временной масштаб динамики которой существенно больше.

При сохранении величины невозмущенной плотности ионного фона п = 1,0 и изменении параметра Пирса в диапазоне тг < а < 2тг характер динамики в диодном промежутке не изменяется. Сохраняются все три характерные стадии развития неустойчивости в пучке со сверхкритическим током: стадия начального возмущения ионного фона и формирования плотного ионного слоя в области виртуального катода, стадия разрушения ионного слоя и, наконец, стадия установления квазистаци- онарного распределения ионов в пространстве взаимодействия. Однако длительность каждой из стадий зависит от величины параметра Пирса. С ростом надкритичности ,а — &кр (тока инжектируемого пучка) длительность начальных стадий возрастает.

При уменьшении плотности п ионного фона динамика ионов оказывает меньшее влияние на колебания виртуального катода, и поведение системы не сильно отличается от поведения потока в неподвижном ионном фоне на большйх временных масштабах. Для иллюстрации этого на рис. 5.32 5приведена временная зависимость колебаний потенциала пространственного заряда, а на рис. 5.33 5 — соответствующий вейвлетный спектр для случая п = 0,2 и параметра Пирса а = 1,5тг.

Из рисунка видно, что в этом случае колебания потенциала близки к регулярным с частотой, равной частоте колебаний в системе с неподвижным ионным фоном. Неизменность спектрального состава подтверждается видом вейвлетного спектра, представленного на рис. 5.33 £ Из него следует, что колебания происходят с единственным характерным временным масштабом Т ~ 1,0, интенсивность которого с течением времени изменяется слабо.

Рассмотрим теперь вопрос коллективного ускорения ионов в поле колеблющегося виртуального катода. На рис. 5.36 представлены зависимости максимальной энергии Wi max ускоренных ионов (нормированной на энергию Wgq, инжектируемых в междусеточное пространство электронов) от времени для различных значений управляющих параметров а и п. Из анализа представленных зависимостей можно сделать следующие основные выводы.

Во-первых, развитие процесса ускорения изначально неподвижных ионов до энергий Wi ~ (0,5 2 1,0)%。происходит экспоненциально за временной интервал △力 ~ 8,0 2 10,0. Одновременно, за это же время △力 как уже обсуждалось, формируется ионный слой с плотностью за-

ряда 〃勿〜(2 2 3)п в области виртуального катода (см. рис. 5.34). Далее имеет место медленное разрушение ионного слоя в области виртуального катода, в течении которого максимальная энергия ускоренных ионов не меняется.

Во-вторых, при t〉40,0 имеет место вторичное ускорение ионов в системе до энергий, в 2 4- 3 раза превышающих энергию инжектируемых электронов в пространство взаимодействия. Это связано с обсуждавшейся выше возникающей в потоке ионов многопотоковой неустойчивостью. Возникающие в этом случае большие поля способствуют эффективному ускорению части ионов 1). Заметим также, что начало вторичного роста энергии ускоренных ионов в точности совпадает с моментом формирования двухпотокового состояния в ионном потоке в области виртуального катода, а, следовательно, и с моментом начала развития неустойчивости.

Для оценки количества ускоренных ионов на рис. 5.35 6 представлено распределение 修 ионов по энергии в тот же момент времени, что и фазовый портрет пучка ионов (рис. 5.35 а), обсуждаемый нами выше. Распределение спадает по степенному закону Fi 〜 川厂出 с ростом энергии, и доля ионов, энергия которых больше 2И4о составляет в рассматриваемом случае всего 1,2 %. Доля малоэнергетичных ионов, энергия которых Wi < 0,5忆0, превышает 70%. Заметим, что вид распределения Fi после установления в системе многопотокового ионного состояния практически не меняется с течением времени.

На рис. 5.36 а представлены зависимости Wi max/ko от времени для различных увеличивающихся значений параметра Пирса и невозмущенной плотности ионного фона п = 1,0. Скорость роста энергии ионов на начальном этапе незначительно увеличивается с ростом тока пучка а, а далее, после насыщения увеичения энергии ионов, снова имеет место рост энергии ионов Wi max, причем теперь энергия ускоренных ионов существенно определяется током пучка: чем выше ток инжектируемого пучка, тем быстрее растет максимальная энергия ионов и тем выше величина, на которой она насыщается. При малом токе пучка (см. кривую на рис. 5.36 а, соответствующую случаю а = =1,2тг) максимальная энергия ионов не превышает 1,2И/ео, тогда как при токе пучка а = 1,8тг максимальная энергия достигает величины 2,5И/еО.

Аналогичная ситуация имеет место и при изменении плотности ионов п. Начиная с некоторой величины плотности ионов п зависимости Wi max ведут себя качественно подобно (см. рис. 5.36 б). Однако величина максимальной энергии ионов и время появления ионов с такой энергией существенно зависят от управляющих параметров. Скорость развития возмущения распределения ионов на начальном этапе больше при малой плотности ионого фона (ср. кривые, построенные при различных п на временах t < 10,0). Однако на большйх временах

1) Ускорение заряженных частиц при двухпотоковой неустойчивости было отмечено еще в работах [20,103,104] (см. также [39, раздел 5]).

Рис. 5.36. Максимальная энергия ионов Ж max/WeO как функция времени. Рис. а построен при n = 1 и различных значениях параметра Пирса а; рис. б — при а = 1,5тг и различных значениях плотности невозмущенного ионного фона п

развития процесса ускорения с ростом плотности ионов удается достичь более высокой энергии ионов за более короткое время. При п > 0,6 максимальная энергия Wi max не сильно зависит от п и составляет при а = 1,5тг величину Wi max ^ (1,9 2 2,2)И/ео. При п < 0,4 максимальная энергия ускоренных ионов достигает величины Wi max ^ Weo за время t < 10,0, и далее уже не увеличивается, оставаясь на уровне Wi max ^ (0,6-0,9)И/е0.

Оценим время, соответствующее появлению первых высокоэнерге- тичных ионов, после начала инжекции электронного пучка. Учитывая, что частота колебаний в пучке с виртуальным катодом в неподвижном ионном фоне равна /вк ~ 幻夕/开,характерный временной масштаб колебаний в системе в начале развития процесса ускорения ионов можно оценить как Т = 1 //вк• Предполагая, что частота генерации

виртуального катода составляет 1 ГГц, получаем что Т ^ 1 нс. Тогда, оценивая число характерных периодов колебаний, укладывающихся на временной интервал, соответствующий еще слабовозмущенному распределению ионов в междусеточном пространстве, получаем, что единица безразмерного времени соответствует 0,8 нс. Характерная длительность импульса сильноточного электроного пучка, которую можно создать с использованием взрывоэмиссионного катода, составляет порядка 20 2 60 нс, т. е. 25 2 80 безразмерных единиц времени. Именно такая длительность импульса тока и рассматривалась при численном моделировании. Из рис. 5.36 следует, что ионы, ускоренные до энергий, превышающих энергию ускорения пучка, будут регистрироваться в зависимости от тока пучка и плотности ионов через 20 2 40 нс от начала импульса тока, а появление ионов, энергия которых в два и более раз превышает энергию инжектируемых электронов, следут ожидать примерно через 40 2 50 нс после начала инжекции. За это характерное время в системе возникнет двухпотоковое состояние ионов, а также разовьется абсолютная неустойчивость при взаимодействии ионных потоков через общее поле пространственного заряда, которая приведет к дополнительному ускорению ионов.

Рассмотрение, проведенное в данном разделе лекции, не учитывает целый ряд важных факторов, а именно неодномерность движения ионов, релятивистские эффекты и ряд других, менее существенных факторов. Тем не менее приведенные результаты, полученные в рамках простейшей модели плоского пролетного промежутка со сверхкритическим током, показывают возможность коллективного ускорения ионов в поле колеблющегося виртуального катода и установления многопотокового состояния ионного потока.

Использование простой модели плоского пролетного промежутка со сверхкритическим током (диода Пирса) на протяжении всего изложения материала данной лекции позволило с единых позиций взглянуть на особенности нелинейной динамики в потоке с виртуальным катодом при различных ситуациях: 1) необходимые условия и инкремент развития неустойчивости; 2) различная степень нейтрализации пространственного заряда пучка; 3) неоднородность распределения ионного фона вдоль пространства взаимодействия; 4) подвижность ионов, составляющих ионный фон.

Список литературы

Рухадзе А.А., Богданкевич Л.С., Росинский С.Е., Рухлин В.Г. Физика сильноточных релятивистских электронных пучков.— М.: Атомиздат, 1980.

Незлин Н.В. Динамика пучков в плазме. — М.: Энергатомиздат, 1982.

Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Электродинамика плотных электронных пучков в плазме. — М.: Наука, 1990.

Child C.D. Discharge from Hot CaO “ Phys. Rev. 1911. V. 32. P. 492.

Langmuir /.〉Blodgett К.В. Current limited by space charge between coaxial cylinders “ Phys. Rev. 1923. V. 22. P. 347.

Langmuir I., Blodgett K.B. Current limited by space charge between concentric spheres “ Phys. Rev. 1924. V. 23. P. 49.

Pierce J. Limiting currents in electron beam in presence ions “ J. Appl. Phys. 1944. V. 15. P. 721.

Buneman О. Ц Phys. Rev. 1959. V. 115. P. 503.

Миллер P. Введение в физику сильноточных пучков заряженных частиц. — М. Мир, 1984.

High Power Microwave Sources/ Eds V.L. Granatstein and I. Alexeff. —Boston: Artech House, 1987. Ch. 13.

Рухадзе А.А., Столбецов С.Д., Тараканов В.П. Виркаторы (обзор) “ Радиотехника и электроника. 1992. Т. 37, N@ 3. С. 385.

Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Лекции по сверхвысокочастотной электронике для физиков. Том 1. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

Анфиногентов В.Г., Трубецков Д.И. Хаотические колебания в гидродинамической модели диода Пирса Ц Радиотехника и электроника. 1992. Т. 37. С. 2251.

Godfrey В.В. Oscillatory nonlinear electron flow in Pierce diode “ Phys. Fluids. 1987. V. 30. P. 1553.

Kuhn £, Ender A. Oscillatory nonlinear flow and coherent structures in Pierce-type diodes “ J. Appl. Phys.. 1990. V. 68. P. 732.

Ремпен И. С., Храмов А.Е. Управление режимами колебаний электронного потока со сверхкритическим током в диоде Пирса Ц Изв. РАН, сер. физич. 2001. Т. 65, № 12. С. 1689.

Matsumoto Н., Yokoyama ". Computer simulations of the chaotic dynamics of the Pierce beam-plasma system “ Phys. Plasmas. 1996. V. 3, No 1. P. 177.

Bridges W.B. Birdsall C.K. Space-Charge Instabilities in Electron Diodes. I “ J. Appl. Phys. 1961. V. 32. P. 2611.

Bridges W.B. Birdsall CK. Space-Charge Instabilities in Electron Diodes. II “ J. Appl. Phys. 1963. V. 34, No 10. P. 2946.

Birdsall C.K., Bridges W.B. Electron dynamics of diode regions.— N.Y.: Academic Press, 1966.

Buneman O., Yu S.P., Koyers G.P. Time-dependent Computer Analysis of Electron-Wave Interaction in Crossed Fields “ J. Appl. Phys. 1965. V. 35, No 8. P. 2550.

Власов A.A. “ ЖЭТФ. 1938. T. 8. C. 291.

Власов А.А. Теория многих частиц. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.

Гвоздовер С.Д., Слуцкин В.Н. О возникновении колебаний релаксационного типа в электронных пушках Ц Вестник МГУ. 1956. № 2. С. 37.

Birdsall С.К., Bridges W.B. Space-charge instabilities in electron diodes and plasma converters “ J. Appl. Phys. 1961. V. 32, No 12. P. 2611.

Frey J., Birdsall C.K. Instabilities in a neutralized electron stream in finite-length drift tube Ц J. Appl. Phys. 1966. V. 37, No 5. P. 2051.

Смирнов B.M. О неустойчивости нелинейных колебаний потенциала в электронно-ионных пучках Ц ЖЭТФ. 1966. Т. 50. С. 1005.

Шапиро В.Д., Шевченко В.И. К нелинейной теории неустойчивости электронного пучка в системе с электродами Ц ЖЭТФ. 1967. Т. 52. С. 144.

Иванов А.А., Путвинская В.С. Неустойчивость Пирса в системе с ограниченными размерами “ ЖТФ. 1975. Т. 45. С. 1648.

Мосиюк А.Н., Мухтаров М.А. О колебательной неустойчивости Пирса “ Физика плазмы. 1984. Т. 10. С. 878.

Буринская Т.М., Волокитин А.С. Ускорение ионов при развитии неустойчивости электронного пучка Ц Физика плазмы. 1984. Т. 10. С. 989.

Гвоздецкий В.С., Коваленко В.П., Парнета И.М. Автоколебания в ограниченной пучково-плазменной системы Ц ЖЭТФ. 1986. Т. 90, № 1. С. 25.

Григорьев В.П., Диденко А.Н.К теории возбуждения электромагнитных колебаний в системах с виртуальным катодом Ц Радиотехника и электроника. 1988. Т. 33, N@ 2. С. 353.

Kolinsky Н., Shamel". Counterstreaming electrons and ions in Pierce- like diodes 力 Phys. Rev. E. 1995. V. 52. P. 4267.

Клочков Д.В., Рухадзе А.А. Электромагнитная теория излучательной неустойчивости Пирса “ Физика плазмы. 1997. Т. 23, № 7. С. 646.

Jiang W., Masugata К., Yatsui К. Mechanism of microwave generation by virtual cathode oscillation Ц Phys. Plasmas. 1995. V. 2, No 3. P. 982.

Курант P. Уравнения с частными производными. — M.: Мир, 1964.

Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. — М.: Наука, 1974.

Бедселл Ч., Ленгдон А. Физика плазмы и численное моделирование. —М.: Атомиздат, 1985.

Takayuki Utsumi, Tomoaki Kunugi, James Koga A numerical method for solving the one-dimensional Vlasov-Poisson equation in phase space “ Computer Physics Communications. 1998. V. 108. P. 159.

Lomax R.J. “ Proc. IEE Pt. C. 1961. V. 108. P. 119.

Найфе А. Методы возмущений. — M: Мир, 1976.

Корн，〉Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М: Наука, 1978.

Рошаль А.С. Моделирование заряженных пучков. — М.: Атомиз- дат, 1979.

Березин Ю.А., Вшивцов В.А. Метод частиц в динамике разреженной плазмы. — Новосибирск: Наука, 1980.

Hockney R. W., Eastwood J. W. Computer simulation using particles. -NY: McGraw-Hill, 1981.

Tokens F. Detecting strange attractors in turbulence “ Dynamical Systems and Turbulence: Leet. Notes in Math. / Ed. by R.A. Rand and L.S. Young. — Warwick: Springier-Verlag, 1980. V. 898. P. 366.

Анфиногентов В.Г. Хаотические колебания в электронном потоке с виртуальным катодом Ц Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1994. Т. 2, N@ 5. С. 69.

Manneville Р., Ротеаи У. Different ways to turbulence in dissipative dynamical systems “ Physica ID. 1980. P. 219.

Pomeau Y., Manneville P. Intermitten transition to turbulence in dissipative dynamical system Ц Comm. Math. Phys. 1980. T. 74. C. 189.

Шустер Г. Детерминированный хаос. — М.: Мир, 1988.

Кузнецов С.П. Детерминированный хаос. — М.: Наука, 2002.

Benettin G.〉 Galgani L., Strelcyn J.M. Kolmogorov entropy and numerical experiments “ Phys. Rev. A. 1976. V. 41. P. 2338.

Анфиногентов В.Г. Электронный поток в диодном промежутке и пространстве дрейфа (нелинейные явления, хаос и образование структур) “ Дисс. ... к.ф.-м.н. Саратов, 1997. 158с.

Лоусон Дж. Физика пучков заряженных частиц. — М.: Мир, 1980.

Блиох Ю.П., Магда И.И., Найстетер С.И., Прокопенко Ю.В. Исследование частотного спектра одномерной СВЧ системы на виртуальном катоде “ Физика плазмы. 1992. Т. 18. С. 1191.

Диденко А.Н. Механизм генерации мощных СВЧ-колебаний в вир- каторе “ ДАН СССР. 1991. Т. 321, № 4. С. 727.

Диденко А.Н., Ращиков В.И. Генерация мощных СВЧ колебаний в системах с виртуальным катодом Ц Физика плазмы. 1992. Т. 18, № 9. С. 1182.

Селемир В.Д., Дубинов А.Е., Степанов Н.В. Исследование механизма генерации СВЧ излучения в виркаторе Ц Препринт. Арзамас-16 - ВНИИЭФ, 1993.

Селемир В.Д., Алёхин Б.В., Ватрунин В.Е., Дубинов А.Е., Степанов Н.В., Шамро О.А., Шибалко К.В. Теоретические и экспериментальные исследования СВЧ-приборов с виртуальным катодом “ Физика плазмы. 1994. Т. 20,血 7,8. С. 689.

Kwan T.J. Т., Thode L.E. Formation of virtual cathodes and microwave generation in relativistic electron beams Ц Phys. Fluids. 1984. V. 27. P. 1570.

High Power Microwave Sources/ Eds V.L. Granatstein and I. Alexeff. —Boston: Artech House, 1987. Ch. 14.

Кислов В.Я. Теоретический анализ шумоподобных колебаний в электронно-волновых системах и автогенераторах с запаздыванием Ц Лекции по электронике СВЧ и радиофизике (5-я зимняя школа-семинар, Саратов, 1981). Саратов: Изд-во С арат, ун-та, 1981. С. 78.

Кузнецов С.П. Сложная динамика генератора с запаздывающей обратной связью Ц Изв. вузов. Радиофизика. 1982. Т. 25. С. 1410.

Храмов А.Е. О влиянии обратной связи на характеристики генерации прибора с виртуальным катодом Ц Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44, № 1. С. 116.

Woo W., Benford J., Fitting оff D., Harteneck B., Price D., Smith R., Sze H. Phase locking of high-power microwave oscillators “ J. Appl. Phys. 1989. V. 65, No 2. P. 861.

Price D., Sze H., Fittinghoff D. Phase and frequency locking of a cavity vircator driven by a relavistic magnetron Ц J. Appl. Phys. 1989. V. 65. P. 5185.

Sze H., Price D., Woo W., Benford J. Priming and phase locking of high power vircators Ц In: the Book of Abstract of the 7th International Conference on High Power Particle Beams (BEAMS'88), Karlsruhe, 1988. P. 328.

Sze H., Price D., Harteneck B. Phase locking of two strongly coupled vircators “ J. Appl. Phys. 1990. V. 67, No 5. P. 2278.

Привезенцев А.П., Фоменко Г.П., Филипенко H.M. Колебания электронного потока в плоском пролетном промежутке Ц ЖТФ. 1981. Т. 51, № 6. С. 1161.

Привезенцев А.П., Фоменко Г.П., Филипенко Н.М. Феноменологический анализ устойчивости стационарных состояний интенсивного электронного потока в пространстве взаимодействия Ц Радиотехника и электроника. 1985. Т. 30. С. 756.

Храмов А.Е. Сложная динамика когерентных структур в двухпотоковом виркаторе Ц Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1998. Т. 6, № 2. С. 42.

Анфиногентов В.Г. Взаимодействие когерентных структур и хаотическая динамика в электронном потоке с виртуальным катодом “ Письма в ЖТФ. 1995. Т. 21, № 8. С. 70.

Trubetskov D.I., Mchedlova E.S., Anfinogentov V.G., Ponomarenko V.I., Ryskin N.M. Nonlinear waves, chaos and patterns in microwave devices “ CHAOS. 1996. V. 6, No 3. P. 358.

Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. — M: Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1959.

Короновский А.А., Храмов А.Е., Анфиногентов В.Г. Феноменологическая модель электронного потока с виртуальным катодом Ц Изв. РАН, Сер. физич. 1999. Т. 63, № 12. С. 2355.

Hramov А.Е., Koronovskii A.A., Anfinogentov V.G. On the simple model of the electron beam with overcritical current Ц Proc, of Int. University Conf. «Electronics and Radiophysics of Ultra-High Frequencies", May 24-28, 1999, St. Petersburg, Russia, PP. 206-209.

Добрецов Л.И. Электронная и ионная эмиссия. — М: ГТТИ, 1950.

Тоффоли Т., Марголус ". Машины клеточных автоматов. — М.: Мир, 1991.

Анфиногентов В.Г., Храмов А.Е. Влияние неоднородности ионного фона на частоту колебаний виртуального катода Ц Письма в ЖТФ. 1998. Т. 24, № 21. С. 74.

Анфиногентов В.Г., Храмов А.Е. Нелинейные явления в потоке со сверхкритическим током в неоднородном ионном фоне Ц Изв. РАН. Сер. физич. 1998. Т. 62, № 12. С. 2428.

Анфиногентов В.Г., Храмов А.Е. Сложная динамика электронного потока с виртуальном катодом при неоднородным плазменном заполнении Ц Вопросы атомной науки и техники. 1998. Вып. 1(1). (Материалы VI Межгосударственного семинара «Плазменная электроника и новые методы ускорения». 3—7 сентября 1998, Харьков, Украина), Харьков: ННЦ ХФТИ, 1998. С. 71.

Храмов А.Е., Короновский А.А., Лёвин Ю.И. Исследование процессов структурообразования в электронном пучке с виртуальным катодом с помощью вейвлетной бикогерентности Ц Письма в ЖТФ. 2002. Т. 28, № 13. С. 5 7.

Короновский А.А., Храмов А.Е. Исследование когерентных структур в электронном пучке со сверхкритическим током с помощью вейвлетной бикогерентности Ц Физика плазмы. 2002. Т. 28, № 8. С. 722.

Храмов А.Е. Нелинейная динамика электронного пучка с виртуальным катодом в неоднородном ионном фоне Ц Радиотехника и электроника. 2002. Т. 47, N@ 7. С. 860.

van Milligen В.Ph., Sanchez Е.,Estrada Т., Hidalgo。〉Branas В., Carreras A, Carcia L. Wavelet bicoherence: A new turbulence analysis tool “ Phys. Plasmas. 1995. V. 2, No 8. P. 3017.

Wavelets in Physics / Eds J.C. Van den Berg. — Cambridge: Cambridge University Press. 1998.

Короновский А.А., Храмов А.Е. Непрерывный вейвлетный анализ для специалистов в области нелинейной динамики. — Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2002. 216с.

Grossman A., Morlet J. Decomposition of Hardy function into square integrable wavelets of constant shape “ SIAM J. Math. Anal. 1984. V. 15, No 4. P. 273.

Волосов В.И. Предельный устойчивый ток в закомпенсированном электронном потоке “ ЖТФ. 1962. Т. 32, N@ 5. С. 566.

Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. — М.-Ижевск: РХД, 2000.

Плютто А.И., Беленсов П.Е., Корон Д.Е., Мхеидзе Г.П., Рыжков В.Н., Суладзе К.В., Темчин С.И. Ускорение ионов в электронных пучках “ Письма в ЖЭТФ. 1967. Т. 6, № 3. С. 540.

Briggs R.J. Space-charge waves on a relativistic, unneutralized electron beam and collective ion acceleration “ Phys.Fluids. 1976. V. 19, No 8. P. 1257.

Miller R.B. Ц In: Collective Methods of Acceleration / Eds Rostoker N. and Reiser M. Geneva: Harwood Academic Publishers, 1979. P. 675.

Rostoker N. Ц Int. Conf, on High Energy Accel. Yerevan. 1970. V. 11. P. 509.

Poukey J. W., Rostoker N. “ Plasma Phys. 1971. V. 13. P. 897.

Oslon C.L. Collective ion accelaration with linear electron beams “ In: Collective ion acceleration-springer tracts in modern physics. V. 84. Springer-Verlag, 1979..

Yao R.L., Striffler C.D. Numerical simulation of collective ion acceleration in an intense electron beam-localized gas cloud system “ J. Appl. Phys. 1990. V. 67, No 4. P. 1650.

Galvez M., Gisler G. Collective ion acceleration by relativistic electron beams in plasmas “ J. Appl. Phys. 1991. V. 69, No 1. P. 129.

Slutz S.A. Ion pressure induced bending of the virtual-cathode in multistage ion diodes “ Phys. Plasmas. 1998. V. 5, No 8. P. 3021.

Dolgopolov KK, Kirichenko Yu. V.; Romanov S.S., Stratienko K4, Tkach Yu. V. Ion acceleration by a virtual cathode potential “ In: the Abstracts of 12th International Conference on High-Power Particle Beams (BEAMS'98). (Haifa, Israel, 7-12 June 1998), Haifa: 1998. P. 377.

Анфиногентов В.Г., Короновский А.А., Храмов А.Е. Вейвлетный анализ и его использование для анализа динамики нелинейных динамических систем различной природы Ц Изв. РАН, сер. физич. 2000. Т. 64, № 12. С. 2383.

Pierce J.R. Possible fluctuations in electron streams due to ions “ J. Appl. Phys. 1948. V. 19, No 3. P. 231.

Birdsall C.K. Sheath formation and fluctuations with dynamics electrons and ions “ Int. Conf, on Plasma Physics. Goteborg. Sweden. June 1982.

Кузелев M.B., Рухадзе А.А., Стрелков П.С. Плазменная релятивистская СВЧ-электроника. — М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2002.

Дубинов А.Е., Селемир В.Д. Электронные приборы с виртуальным катодом “ Радиотехника и электроника. 2002. Т. 47, № 6. С. 575.

Короновский А.А., Храмов А.Е. Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

Лекция 6 (21)

ГЕНЕРАТОРЫ НА ВИРТУАЛЬНОМ КАТОДЕ

Известно, что если ток электронного пучка, инжектируемого в дрейфовую камеру, достаточно велик, в системе образуется виртуальный катод (ВК), от которого электроны отражаются в сторону инжектора. .. Сам ВК не остается стационарным, совершая колебания с частотой, близкой к плазменной частоте электронов пучка. Промо- дулированный в области ВК ток может взамодей- ствовать с собственными модами резонатора, что в свою очередь может привести к возникновению мощного СВЧ-излучения. Приборы, функционирование которых основано на наличии ВК, названы виркаторами.

А.А. Рухадзе, С.Д. Столбецов, В.П. Тараканов. Виркаторы (обзор). Радиотехника и электроника. 1992. Т. 37. С. 385.

Предельный вакуумный ток. Типы конструкций и характеристики генераторов на виртуальном катоде fотражательные триоды, виркаторы на пролетном токе, редитроны). Нелинейная динамика генераторов на виртуальном катоде. Виркаторы с различными типами управляемой обратной связи. Связанные системы на виртуальном катоде.

Генераторы на виртуальном катоде (или, как их еще называют, виркаторы 1)) — это новый класс приборов релятивистской электроники, использующий для генерации импульсов сверхмощного СВЧ-излучения колебания виртуального катода в электронном пучке со сверхкритическим током. Свойства и характерные особенности автоколебаний в активной среде «электронный пучок с виртуальным катодом» подробно обсуждались в лекции 5(20) для плоской геометрии в нерелятивистском случае. Экспериментальное доказательство генерации СВЧ-излучения за счет колебаний виртуального катода и дальнейший «взрывной» интерес к виркаторам обусловлен, в первую очередь, значительными успехами в развитии сильноточной электроники (высоковольтной техники, техники создания и транспортировки интенсивных

От английского vitrual cathode oscillator — VIRCATOR.

электронных пучков) [1-3]. В мощной релятивистской электронике обычно имеют дело с пучками, формируемыми электронными пушками сильноточных ускорителей с холодными катодами со взрывной эмиссией и направляемыми сильными продольными магнитными полями. Токи таких электронных пучков достигают величины 100 кА, а ускоряющие напряжения — 50 МВ [3,4] 1). С помощью таких ускорителей было реализовано много экспериментальных СВЧ-устройств релятивистской электроники, многие из которых рассматриваются в нашей книге.

Однако в полной мере использовать достижения техники формирования сильноточных пучков в вакуумной релятивистской электронике часто не удается. Это связано с тем, что эффективность приборов пролетного типа (релятивистские карсинотроны, ЛБВ, клистроны, ЛСЭ, МЦР) резко снижается при приближении тока электронного потока к предельному из-за влияния пространственного заряда пучка. Поиск путей преодоления этих трудностей и привел к созданию нового класса принципиально сильноточных приборов — виркаторов [6-9], которые используют для генерации сверхвысокочастотного излучения энергию собственных полей релятивистских электронных пучков (РЭП) в режиме сверхкритических токов, когда возникает поток электронов, отраженных в сторону катода, и в пучке образуется виртуальный катод.

К достоинствам СВЧ-приборов на виртуальном катоде следует отнести их следующие свойства: простота конструкции, большая выходная мощность, возможность работы без магнитного фокусирующего поля, широкая перестройка частоты генерации, возможность управления прибором внешним сигналом. Последнее является важным условием для применения виркаторов в качестве модулей фазированных антенных решеток (см., например, [10-14]). Также генераторы на виртуальном катоде характеризуются компактностью, поскольку преобразование энергии электронного потока в энергию СВЧ-излучения происходит непосредственно в области его формирования, и не накладывают жестких требований на качество электронного пучка, предъявляемых обычно в таких приборах вакуумной СВЧ-электроники как релятивистские ЛБВ, карсинотроны, гиротроны, клистроны, ЛСЭ.

Экспериментальные исследования и результаты численного моделирования свидетельствуют, что генераторы на виртуальном катоде являются источниками исключительно высокого уровня мощности (см., например, обзорные работы [23—27]). Некоторые характерные экспериментальные результаты представлены в табл. 6.1 ). Из таблицы

Таблица 6.1

Результаты экспериментальных исследований генераторов на виртуальном катоде

Место и год эксперимента

Тип системы

Мощность

Частота

Длительность импульса

КПД

Военно-морская лаборатория (Вашингтон, 1977) [6]

Отражательный триод

100 МВт

8 Н- 12 ГГц

—

0,15

НИИЯФ

при ТПИ (Томск, 1983)

[16]

Отражательный триод

500 МВт

100 МВт

3,2 ГГц

3,0 ГГц

260 нс

500 нс

0,27

0,18

OsakaCity

University, (Osaka,1991)

[17]

Отражательный триод

240 кВт

160 МВт

26 ГГц

5,0 ГГц

100 нс

100 нс

Нац. лаб. Лоуренса (Ливермор, 1987) [18]

Виркатор

4 ГВт

6,5 ГГц

40 нс

0,033

ниия ①

при ТПИ (Томск, 1986)

[19]

Виркатор

200 МВт

15 ГГц

70 нс

0,05

Нац.лаб. (Лос- Аламос, 1985) [20]

Виркатор

500 МВт

17 ГГц

20 нс

0,005

НИИЯФ при ТПИ (Томск, 1988) [21]

Виркатор

2 ГВт

5,5 ГГц

30 нс

0,08

Нац. лаб. (Лос- Аламос, 1988) [22]

Редитрон

1,6 ГВт

1,4 ГВт

2,5 ГГц

3,9 ГГц

90 нс

70 нс

0,06

видно, что характерная выходная мощность генераторов на виртуальном катоде составляет Р〉500 МВт, диапазон генерируемых частот 2 4- 30 ГГц, КПД 1 4- 10%. Длительность импульса высокочастотного излучения определяется возможностями сильноточных ускорителей и соответствует величине 30 4- 500 нс.

Рис. 6.1. Прогнозируемые диапазоны частот и мощностей, которые смогут достичь различные классы приборов мощной СВЧ-электроники (из работы [23])Рис. 6.1. Прогнозируемые диапазоны частот и мощностей, которые смогут достичь различные классы приборов мощной СВЧ-электроники (из работы [23])Imn qbuOHmo 髭 KPHqwnsQxpnImn qbuOHmo 髭 KPHqwnsQxpn

Рис. 6.1. Прогнозируемые диапазоны частот и мощностей, которые смогут достичь различные классы приборов мощной СВЧ-электроники (из работы [23])

Рис. 6.1. Прогнозируемые диапазоны частот и мощностей, которые смогут достичь различные классы приборов мощной СВЧ-электроники (из работы [23])

Imn qbuOHmo 髭 KPHqwnsQxpn

Imn qbuOHmo 髭 KPHqwnsQxpn

Значительный интерес и успех генераторов на виртуальном катоде определяется местом этого нового класса приборов среди традиционных устройств СВЧ-электроники. Предшественниками и наиболее близкими по идее виркаторам являются такие хорошо известные генераторы СВЧ-излучения, как генератор Баркгаузена-Курца (см. гл. 1), отражательный клистрон [28], электронно-волновой генератор с тормозящим полем [29, гл. V].

Развитие электроники СВЧ, как уже обсуждалось в вводной лекции первого тома, шло по пути конкуренции возникающих новых приборов с уже разработанными, апробированными и «запущенными в серию» старыми типами СВЧ-устройств. Очень не многие из новых идей могли конкурировать с пятью идеями, которые создали СВЧ-электронику, и с которых мы начали знакомство с предметом и основными особенностями сверхвысокочастотной электроники в вводной лекции. Чтобы занять свое место в СВЧ-электронике новый прибор должен обладать набором уникальных новых характеристик, быть технологичным и, главное, чтобы у потенциальных потребителей нового устройства была необходимая потребность в нем. Тогда, пройдя долгий путь от первых коротких сообщений до обзорных статей в солидных журналах, глав в книгах, а затем и монографий, посвященных прибору, он займет свое место в электронике.

Место генераторов на виртуальном катоде среди других приборов электроники больших мощностей иллюстрирует схема на рис. 6.1, на которой представлены прогнозируемые уровни мощности в зависимости от рабочей частоты для различных классов приборов сверхвысоко-

частотной электроники [23]. Из схемы можно сделать вывод, что вирка- тор находится вне конкуренции по возможно достижимому уровню выходной мощности в диапазоне 1 4- 100 ГГц. Представленные в табл. 6.1 данные подтверждают это: уровень мощности, полученный в экспериментах значительно превышает уровни мощности, достигнутые на приборах, использующих другие принципы генерации сверхмощного СВЧ-излучения. Вместе с тем генераторы на виртуальном катоде не могут существенно продвинуться в более коротковолновый диапазон, так как частота генерации (см. лекцию 5(20)) виртуального катода во многом определяется плотностью тока инжектируемого пучка, значительно повысить которую невозможно. К недостаткам виркаторов следует отнести малую эффективность преобразования энергии пучка в энергию СВЧ-излучения. О некоторых подходах к повышению КПД виркатора будет рассказано в настоящей лекции. Генераторы на виртуальном катоде — сравнительно новый класс приборов, поэтому пока еще существует большое число их конструкций и модификаций, направленных на увеличение выходной мощности, частоты генерации, получения требуемого спектра генерируемого излучения и т. д.

Начнем лекцию с нахождения величины предельного вакуумного тока для пучка, инжектируемого в дрейфовую камеру, определив тем самым токи, при которых будут работать генераторы на виртуальном катоде. Далее рассмотрим основные типы и характеристики генераторов на виртуальном катоде — отражательные триоды с виртуальным катодом, виркаторы на пролетном токе, редитроны, виркаторы с внешней и внутренней обратной связью. В заключение лекции рассмотрим результаты исследований связанных генераторов на виртуальном катоде и кратко остановимся на проблеме создания сверхмощных фазированных антенных решеток на виркаторах.

Предельный вакуумный ток

Рассмотрим физические ограничения на силу тока транспортируемых электронных пучков, которые обусловлены развитием ряда неизлучательных токовых неустойчивостей, наиболее сильными из которых являются неустойчивость Пирса (подробно обсуждаемая нами в первом томе книги [30, лекция 4] и в лекции 5 (20) этого тома) и Бунемана [31], а также определим те предельные величины токов электронных пучков, при которых пучок еще допускает стационарную транспортировку через пространство дрейфа. Значение предельного вакуумного тока тонкого полностью замагниченного электронного пучка в дрейфовой камере произвольного сеченияопределяется точно как условие

разрешимости следующей стационарной системы уравнений [31]:

△丄9 += 一•丄-/),

oz to

(6.1)(6.1)По^о =几(z)o(z),

(6.1)

(6.1)

，1-М/с2,1 —就/с2

где g — потенциал поля пространственного заряда пучка,几。и о。一 невозмущенная плотность и скорость электронов пучка; n(z) и o(z) — текущие значения плотности и скорости электронов соответственно; Sb — площадь сечения пучка; 7 — релятивистский фактор электронов; to — диэлектрическая постоянная,厂丄—поперечная координата и 厂匕一 средний радиус пучка. Дрейфовая камера — металлическая труба произвольного сечения — расположена в области z > 0. Плоскость z = О является местом инжекции пучка в систему. Система уравнений (6.1) дополняется следующими граничными условиями:

|е = 0, 9?=о = 0, 9?тоо = const. (6.2)

Здесь 夕一металлическая боковая поверхность дрейфовой камеры. Второе условие в (6.2) означает, что в плоскости инжекции расположена металлическая фольга или сетка, прозрачная для инжектируемых электронов.

Аналитические решения системы уравнений (6.1), (6.2) были найдены в работе [32]. Эти решения существуют, если только ток пучка меньше некоторого критического значения. Потенциал g при больших z стремится к некоторой постоянной величине, а область значительного изменения g (там где действуют препятствующие инжекции электронов электростатические поля) локализована в непосредственной близости к плоскости инжекции. Определим условие разрешимости системы уравнений (6.1), (6.2), что и позволит получить аналитическое выражение для предельного вакуумного тока.

При больших z потенциал д, а также функции 几 и о не зависят от продольной координаты. Разложим g(i•丄)в ряд по мембранным функциям 3s(i•丄)дрейфовой камеры. Имеем

9(i•丄)=e 4Ss(r丄).S = 19(i•丄)=e 4Ss(r丄).S = 1(6.3)(6.3)

9(i•丄)=e 4Ss(r丄).

S = 1

9(i•丄)=e 4Ss(r丄).

S = 1

(6.3)

(6.3)

7 =7 =

7 =

7 =

Выражая коэффициенты As через функцию плотности п из уравнения Пуассона и исключая п из системы (6.1), получаем уравнение вида

2ос 22 /\

(6.4)(6.4)曳 3b q 丁 ^±1 Bsg)。kjlC? ° — k^s \\^s\\

(6.4)

(6.4)

где &丄$ — собственные числа, соответствующие мембранной функции 屮s (△丄3s = —&js3s), ll^sll — норма мембранной функции. Обозначая через 7 = (1 — (о/с)2) релятивистский фактор электронов в дрейфовой камере при больших z, преобразуем выражение (6.4) к следующему виду:

II^II - (7-l)3/2 72)

Функция в правой части соотношения (6.5) обращается в нуль при 7 = = 1и7 = 7, ав некоторой промежуточной точке 7 = ^/у достигает максимума. Вычисляя его, находим максимально возможное значение левой части соотношения (6.5) в виде

Отсюда следует выражение для предельного ваккумного тока тонкого пучка в дрейфовой камере произвольного сечения [31]:

/о =峪()2/3 —1)3/2 Gb,(6.7)

где

⑹8)

Величина тс3/е имеет размерность тока и численно равна 17,03 кА.

В случае цилиндрической геометрии (бесконечно тонкий трубчатый пучок радиуса гь в круглом волноводе радиуса А) д$ = Ju卜风s^b]R)〉 где 40s — корни функции Бесселя нулевого порядка, ||д$|| = =7rR2j^(〃os). Тогда, используя известное соотношение [33]

—In ж = —〉: Jq (^0sx)/^1(Ло«)ло/， / W 1,(6.9)

получаем из формул (6.7) и (6.8) выражение, определяющее предельный вакуумный ток тонкого пучка цилиндрической геометрии

/о =/о =3 тс3 тсе 2 In (R/гъ)е 2 In (R/гъ)(6.10)(6.10)

/о =

/о =

3 тс

3 тс

е 2 In (R/гъ)

е 2 In (R/гъ)

(6.10)

(6.10)

Если электронный пучок не является бесконечно тонким, а имеет конечный размер в поперечном сечении, то аналитическое выражение для его предельного тока найти достаточно сложно. Поэтому обычно в таких случаях пользуются приближенными формулами, которые хорошо согласуются с экспериментом [31]. В случае трубчатого пучка

конечной толщины предельный ваккумный ток равен

3()2/3—

где гъ ——средний радиус пучка, а Д — его толщина. В случае сплошного цилиндрического пучка радиуса гь ^ R выражение для предельного тока оказывается следующим:

3年/3_ 1)3/2

И наконец, при полном заполнении волновода электронным пучком из последнего соотношения при 九=R имеем

/0 = ^р/3-1)3/2.(6.13)

При токах пучка, превышающих предельный вакуумный ток, задача (6.1), (6.2) не имеет решений. Это означает, что при токах /〉/° стационарное прохождение потока невозможно — задача инжекции пучка в пространство дрейфа имеет только нестационарные решения. Как уже обсуждалось выше, в этом случае в потоке формируется виртуальный катод, от которого отражается часть электронов обратно к плоскости инжекции. Проходящий вглубь дрейфовой камеры поток имеет ток порядка предельного вакуумного. Генераторы на виртуальном катоде принципиально работают при рабочих токах электронного пучка / > /q.

На рис. 6.2 представлены зависимости предельного вакуумного тока от скорости электронного потока и отношения R/гъ для различных случаев, рассмотренных выше. Из рисунков и соотношений (6.10)(6.13) следует, что величина критического тока /о растет с увеличением скорости инжектируемого потока о。(с увеличением ускоряющего напряжения) и увеличением радиуса гь пучка при неизменном радиусе R металлической дрейфовой камеры.

Типы конструкций и характеристики генераторов навиртуальном катоде (отражательные триоды,виркаторы на пролетном токе, редитроны)

Среди множества различных предложенных конструкций генераторов на виртуальном катоде можно выделить два основных типа: отражательный триод с виртуальным катодом и виркатор на пролетном токе.

Отражательные триоды были первыми генераторами излучения сантиметрового диапазона длин волн классической СВЧ-электроники (генератор Баркгаузена-Курца). Многочисленные исследования показали, что генерация в такой системе осуществляется благодаря осцил- ляторному движению электронов вокруг сетки-анода между катодом и отражателем (см. лекцию 1(16)) на частоте осцилляций или кратной

Л),кА70Л),кА706060505040403030202010100 0,80 0,80,840,880,920,96 и/с0,840,880,920,96 и/сРис. 6.2. Зависимости величины предельного вакуумного тока от скорости электронного пучка оо/с (а) и от отношения R/гь для различных скоростей vq/с инжекции электронов (△/厂匕 = 0,1) (б). Здесь кривая 1 соответствует полному заполнению пучком волноведущей структуры (формула (6.13)); 2 — сплошному цилиндрическому пучку с отношением радиусов пучка и волновода гь/К = 0,5 (формула (6.12)); 3 — для бесконечно тонкого пучка сгь/R = = 0,5 (формула (6.10)); 4,5,6— для трубчатых пучков с толщиной Д/г^ = 0,1 и соответственно радиусами гь/R = 0,5, 0,7 и 0,4 (формула (6.11))Рис. 6.2. Зависимости величины предельного вакуумного тока от скорости электронного пучка оо/с (а) и от отношения R/гь для различных скоростей vq/с инжекции электронов (△/厂匕 = 0,1) (б). Здесь кривая 1 соответствует полному заполнению пучком волноведущей структуры (формула (6.13)); 2 — сплошному цилиндрическому пучку с отношением радиусов пучка и волновода гь/К = 0,5 (формула (6.12)); 3 — для бесконечно тонкого пучка сгь/R = = 0,5 (формула (6.10)); 4,5,6— для трубчатых пучков с толщиной Д/г^ = 0,1 и соответственно радиусами гь/R = 0,5, 0,7 и 0,4 (формула (6.11))

Л),кА

70

Л),кА

70

60

60

50

50

40

40

30

30

20

20

10

10

0 0,8

0 0,8

0,840,880,920,96 и/с

0,840,880,920,96 и/с

Рис. 6.2. Зависимости величины предельного вакуумного тока от скорости электронного пучка оо/с (а) и от отношения R/гь для различных скоростей vq/с инжекции электронов (△/厂匕 = 0,1) (б). Здесь кривая 1 соответствует полному заполнению пучком волноведущей структуры (формула (6.13)); 2 — сплошному цилиндрическому пучку с отношением радиусов пучка и волновода гь/К = 0,5 (формула (6.12)); 3 — для бесконечно тонкого пучка сгь/R = = 0,5 (формула (6.10)); 4,5,6— для трубчатых пучков с толщиной Д/г^ = 0,1 и соответственно радиусами гь/R = 0,5, 0,7 и 0,4 (формула (6.11))

Рис. 6.2. Зависимости величины предельного вакуумного тока от скорости электронного пучка оо/с (а) и от отношения R/гь для различных скоростей vq/с инжекции электронов (△/厂匕 = 0,1) (б). Здесь кривая 1 соответствует полному заполнению пучком волноведущей структуры (формула (6.13)); 2 — сплошному цилиндрическому пучку с отношением радиусов пучка и волновода гь/К = 0,5 (формула (6.12)); 3 — для бесконечно тонкого пучка сгь/R = = 0,5 (формула (6.10)); 4,5,6— для трубчатых пучков с толщиной Д/г^ = 0,1 и соответственно радиусами гь/R = 0,5, 0,7 и 0,4 (формула (6.11))

ей. Этот же принцип положен в основу и релятивистских триодов с виртуальным катодом, в которых колебания электронов происходят между реальным и виртуальным катодом, выполняющим роль отражательного электрода.

На рис. 6.3 а схематически показано устройство отражательного триода с виртуальным катодом. Высоковольтный планарный диод помещается в резонансную систему, размеры которой значительно больше размеров катода и сетки-анода и зазора между ними. Резонансная

Рис. 6.3. Схемы основных типов конструкций генераторов на виртуальном катоде: а — отражательный триод с виртуальным катодом (1 — металлическая камера, 2 — приемная антенна, 3 — сетка-анод, 4 — катод, 5 — цилиндр Фарадея, 6 — окно для вывода излучения); б — виркатор на пролетном токе (1 — катод, 2 — анод, 3— фокусирующая магнитная система (сверхпроводящий соленоид), 4 — электронный пучок, 5 — волновод, 6 — выходной рупор)

система одновременно служит вакуумным объемом для электронного потока. Катод, представляющий собой металлический диск диаметра в несколько сантиметров, и резонансная система находятся под нулевым потенциалом. Анодом является натянутая на обод металлическая сетка с геометрической прозрачностью 0,5 4- 0,9. Генератор работает следующим образом.

После подачи на анод положительного потенциала напряжения 105 4- 106 В благодаря взрывной эмиссии с катода поток электронов с величиной тока /, превышающей предельный вакуумный ток /о, ускоряется в промежутке «катод-анод» и выходит в пространство за анодом, где тормозится собственным кулоновским полем и отражается обратно к аноду, образуя виртуальный катод на расстоянии от анода, примерно равном расстоянию до реального катода.

Отраженные электроны проникают сквозь сетку в область ускорительного диода и вновь тормозятся у поверхности катода. Таким образом формируется облако электронов, осциллирующих вокруг анода в потенциальной яме между реальным и виртуальным катодом. Часть электронов из-за конечной прозрачности сетки-анода непрерывно оседает на ней, а с катода эмитируются новые электроны в количестве, необходимом для выполнения закона «3/2» или его релятивистского аналога.

Эта система ангармонических электронных осцилляторов благодаря фазовой группировке, а затем селекции «неправильнофазных» электронов на катоде и стенках вакуумной камеры образует модулированный по фазе поток, который эффективно возбуждает высокочастотное поле в резонансной системе на частоте колебаний электронов или кратной ей. «Правильнофазные» электроны, теряя энергию, уменьшают амплитуду колебаний вокруг анода и постепенно оседают на сетке и таким путем выводятся из пространства взаимодействия с высокочастотным полем. Электромагнитное излучение выводится

из резонатора через вакуумно-плотное окно и излучающую антенну в свободное пространство.

Триод с виртуальным катодом — это генератор сантиметрового и дециметрового диапазона длин волн. Эксперименты [6,16, 25] показывают, что эффективность его достигает 10 4- 20 % в 10-сантиметровой области, а мощность — нескольких гигаватт при использовании сравнительно скромных импульсных ускоряющих систем в качестве источников напряжения 1). Частота излучения определяется приложенным к промежутку катод — анод напряжением и расстоянием между катодом и анодом, причем характер этой зависимости при малых напряжениях такой же, как и обнаруженный еще в работе Баркгаузена и Курца в классическом отражательном триоде [35]. С учетом релятивистских поправок он может быть представлен полуэмпирической формулой [6,34]

⑹ 14)

где 7о = 1 + eVo/moc — релятивистский фактор электронов на входе в пространство взаимодействия, Vo — ускоряющее напряжение, d — ширина зазора «катод-анод»,歹()о) — функция, принимающая значения от 1 до 1,5 при изменении 70 от 1 до оо. Из этой формулы, в частности, следует, что изменением ускоряющего напряжения генерируемая длина волны может перестраиваться в широких пределах без изменения геометрии сильноточного диода и резонансной системы.

Заметим, что зависимость (6.14) вычислена для идеального одномерного диодного промежутка и плохо описывает экспериментальные данные. Экспериментальную зависимость характерной частоты генерации от величины d можно аппроксимировать как / ~ d~n, где показатель степени n С (0,1). Такой вид зависимости может быть объяснен влиянием конечных поперечных размеров диода и электронного потока, влиянием собственного магнитного поля, неравномерным распределением плотности по поперечному сечению и другими менее значимыми эффектами. Эксперименты показывают, что изменение характеристик внешней электродинамической структуры (изменение формы, размеров и добротности резонатора, в котором формируется виртуальный катод) не приводит к изменению генерируемой частоты. Однако от величины добротности и резонансной частоты существенно зависит мощность излучения. Так, при замене металлической резонансной камеры камерой, покрытой поглощающим материалом, величина генерируемой мощности уменьшается на четыре порядка [39].

Эффективная перестройка частоты генерируемого излучения в триодной системе на виртуальном катоде возможна и при изменении плотности тока потока путем изменения формы катода сильноточного ди-

尸,мBT尸,мBT1010/>,МВт 160,loot Г/>,МВт 160,loot Г0,850,850」Ш1,7- 3,95 о 2,6 5,850」Ш1,7- 3,95 о 2,6 5,85оо02 а 5Г02 а 5ГР,МВтР,МВт1826"1826"66V 0,07V 0,0755XX1255XX12/ГГц/ГГцРис. 6・4. Спектры мощности выходного излучения триодного генератора с виртуальным катодом при различных типах катодов (а — кольцевой, б — круглый, в — шарообразный, а — конусный), обеспечивающих увеличивающуюся плотность тока электронного пучка (см. табл. 6.2) (из работы [17])Рис. 6・4. Спектры мощности выходного излучения триодного генератора с виртуальным катодом при различных типах катодов (а — кольцевой, б — круглый, в — шарообразный, а — конусный), обеспечивающих увеличивающуюся плотность тока электронного пучка (см. табл. 6.2) (из работы [17])

尸,мBT

尸,мBT

10

10

/>,МВт 160,loot Г

/>,МВт 160,loot Г

0,85

0,85

0」Ш

1,7- 3,95 о 2,6 5,85

0」Ш

1,7- 3,95 о 2,6 5,85

о

о

02 а 5Г

02 а 5Г

Р,МВт

Р,МВт

1826"

1826"

6

6

V 0,07

V 0,07

55

XX

12

55

XX

12

/ГГц

/ГГц

Рис. 6・4. Спектры мощности выходного излучения триодного генератора с виртуальным катодом при различных типах катодов (а — кольцевой, б — круглый, в — шарообразный, а — конусный), обеспечивающих увеличивающуюся плотность тока электронного пучка (см. табл. 6.2) (из работы [17])

Рис. 6・4. Спектры мощности выходного излучения триодного генератора с виртуальным катодом при различных типах катодов (а — кольцевой, б — круглый, в — шарообразный, а — конусный), обеспечивающих увеличивающуюся плотность тока электронного пучка (см. табл. 6.2) (из работы [17])

ода. Для примера на рис. 6.4 представлены экспериментально измеренные спектры мощности выходного сигнала триода с виртуальным катодом для четырех различных плотностей тока при прочих равных условиях эксперимента [17]. Для изменения плотности тока использовалось четыре типа катодов — кольцевой катод большой площади с внешним и внутренним диаметрами 125 и 60 мм соответственно, круглые катоды с диаметрами 80 и 40 мм, шарообразный катод с диаметром шара 30 мм и конусообразный катод с острием. Расстояние катод — анод было фиксировано и составило 5 мм. При использовании таких катодов плотность тока менялась от 80 А/см2 до 3,2 кА/см2. Как видно из рис. 6.4, при замене катода (изменении плотности тока электронного пучка) одновременно изменялись как базовая частота генерации, измеряемая по максимуму спектральной мощности, так и распределение энергии по частотам. С ростом плотности тока базовая частота смещалась в область больших частот (от 2 до 20ГГц), а спектр становился все более сплошным. В таб. 6.2 представлены характеристики триодов с различными типами катодов — плотность тока j, базовая частота /о выходного излучения и генерируемая мощность Р.

В заключение заметим, что все экспериментальные исследования триодных генераторов на виртуальном катоде проводятся с резонаторами, размеры которых значительно больше генерируемых длин волн для исключения возможности электрического пробоя между анодом и рабочей камерой.

Таблица 6.2

Характеристики триода с виртуальным катодом при различных типах катодов (из работы [17])

Тип катода

九 А/см2

/о, ГГц

F, МВт

Кольцевой

80

1,7 + 2,6

6,0

Круглый (80 мм)

200

3,95 5,85

〜160

Круглый (40 мм)

800

8,2 + 12,4

< 160

Шаровой

2,7- 103

18,0 + 26,5

0,17

Конусный

3,2 • 103

18,0 + 26,5

0,24

Некоторые экспериментальные данные различных научных групп (США, Россия, Япония) по генерации импульсов сверхмощного СВЧ-излучения в отражательных триодах на виртуальном катоде представлены в табл. 6.1.

Другим типом генераторов на виртуальном катоде являются вир- каторы на пролетном токе, которые отличаются от отражательных триодов с виртуальным катодом тем, что отрицательный потенциал подается на катод, а анод, дрейфовая камера и коллектор находятся под одним потенциалом, обычно потенциалом Земли. На рис. 6.3 6 показана принципиальная схема такого виркатора. Электроны ускоряются в промежутке катод-анод и через анодную фольгу или сетку, прозрачные для высокоэнергетических электронов, попадают в дрейфовое пространство. Если ток инжектируемых электронов выше предельного тока для данной геометрии, то часть электронов тормозится собственным полем потока и отражается в сторону анода, другая часть электронного потока продолжает свое движение, пока не достигнет коллектора или стенок камеры. Таким образом, в виркаторе на пролетном токе из области виртуального катода в стационарном состоянии испускаются электроны и в прямом и в обратном направлениях. Отраженные электроны, как и в случае триода с виртуальным катодом, образуют поток осциллирующих электронов. Положение виртуального катода и степень деления тока на отраженный и проходящий через виртуальный катод, определяются величиной приложенного напряжения, а также геометрией диода и дрейфового пространства. При увеличении инжектируемого тока виртуальный катод приближается к аноду. Анализ величины проходящего тока пучка для плоской геометрии был проведен в предыдущей лекции (см. рис. 5.7). Для ограниченного в поперечном направлении пространства взаимодействия в результате численного моделирования показано, что величина проходящего тока осциллирует во времени около величины, численно равной предельному вакуумному току для данной геометрии [94]. Стационарное состояние потока с виртуальным катодом является неустойчивым и переходит в колебательное состояние с частотой, близкой к плазменной частоте Зр потока (см. лекцию 5(20)). Типичные характеристики СВЧ-излучения, генерируемого виркаторами на пролетном токе, представлены в табл. 6.1.

Генерация в виркаторах с пролетным током происходит благодаря двум основным механизмам: за счет колебаний частиц вокруг анода в промежутке «катод-виртуальный катод» и за счет колебаний виртуального катода как единого целого [40].

Многочисленные модификации виркаторов на пролетном токе различаются геометрией катодов, анодов, электродинамическими системами, устройствами вывода СВЧ-излучения, а также отсутствием или наличием внешнего ведущего магнитного поля.

Анализ работы виркаторов на пролетном токе начнем с одной из наиболее простых схем без внешнего магнитного поля, предложенной и экспериментально реализованной в Национальной лаборатории в Лос- Аламосе (США) [43,44]. В качестве катодов использовались стержни из нержавеющей стали радиусов 3,8 и 2,8 см с нарезкой по торцевой поверхности для более равномерной эмиссии электронов. Анодом служила прозрачная для электронов алюминиевая фольга или металлическая сетка с прозрачностями 84 % и 60 % соответственно. Поток электронов из диода через анод попадает в трубу дрейфа диаметра 8,5 см и длины 8,5 м. При этом часть электронов, совершая колебания между реальным и виртуальным катодами, оседает на аноде, другая часть, проникающая за виртуальный катод, попадает на стенки трубы пространства дрейфа. Генерируемое СВЧ-излучение распространяется по трубе дрейфа в калориметр, установленный в конце трубы. Амплитуда и частота излучения регистрируются с помощью расположенных в трубе электрических зондов. Излучение происходило в широкой полосе частот 6,2 5 4- 7,75 ГГц с катодом радиуса 3,8 см и в полосе 7,2 5 4- 8,75 ГГц с катодом радиуса 2,8 см при мощности 150 4- 250 МВт в том и другом случае. Причем частота излучения увеличивается от начала к концу СВЧ-импульса. В виркаторе при ускоряющем напряжении 1,8 МВ на диоде с зазором 2 см в начале импульса генерация происходила на частоте 6,5 ГГц, а в конце на частоте 8 ГГц. Максимум мощности излучения 4 ГВт был на частоте 6,5 ГГц в полосе 0,5 ГГц. Генерация происходила преимущественно на моде TMqi круглого волновода [45].

Более детально вопрос возникновения генерации в виркаторе без сопровождающего магнитного поля был исследован в работах [46,47]. В указанных работах рассматривалась система, характерной особенностью которой было то, что СВЧ-излучение выводилось в направлении, перпендикулярном движению электронного потока. Электроны с катода радиуса 2,54 см ускоряются напряжением 1 МВ в промежутке анод- катод длиной 0,7 4- 1,3 см и через анодную фольгу попадают сквозь широкую стенку в прямоугольный волновод сечения 12,7 х 6,4см2. Таким образом, виртуальный катод образуется в прямоугольном волноводе, а электроны осциллируют поперек волновода. СВЧ-колебания ТЕ-типа направляются вдоль волновода длины 3,5 м в безэховую камеру для регистрации. СВЧ-импульс возникает в момент, когда ток диода достигает определенной величины /сж, равной току, необходимому для линчевания диода (т. е. сжатия пучка в диоде собственным магнитным полем; /сж ^ 60 кА). СВЧ-излучение заканчивается, когда полностью завершается процесс линчевания диода, т. е. когда ток до-

стигает величины парапотенциального тока [48]. Таким образом, вир- каторы без внешнего магнитного поля генерируют только в состоянии пинча, поэтому наложение магнитного поля такой величины, которая препятствует сжатию пучка, должно нарушать режим генерации. Действительно, экспериментально показано [47], что при магнитном поле более 1 кГс почти полностью прекращается излучение, что хорошо согласуется с расчетными данными. Виркаторы без ведущего магнитного поля имеют довольно широкий спектр излучения (△/// 〜20 4- 30 %), эффективность их мала и составляет несколько процентов.

Широкополосное многочастотное излучение в виркаторе на пролетном токе без магнитного сопровождения пучка объясняется тем, что генерация СВЧ-колебаний происходит одновременно как за счет колебаний электронов вокруг анода, так и за счет колебаний виртуального катода. Полоса генерируемых частот зависит от соотношения частот этих колебаний и обычно довольно велика. Применение внешнего магнитного поля позволяет не только эффективно удерживать электронный пучок [41], но и дает возможность изменять эти частоты, уменьшая число осциллирующих электронов, усиливая тем самым генерацию колебаниями виртуального катода. При этом в качестве источника электронного потока используется сильноточный диод с магнитной изоляцией.

В работе [42] исследовалась конструкция виркатора с магнитоизолированным диодом, инжектирующего трубчатый пучок электронов с энергией 0,8 МэВ и током 36 кА в трубу радиуса 4 и длины 40 см. Генерируемое СВЧ-излучение выводится через азимутальную щель в боковой поверхности трубы в области виртуального катода. При магнитном поле более 8 кГс возбуждаются электромагнитные колебания на частотах около 3 и 10 ГГц, мощность которых на выходе передающей антенны составляла приблизительно 105 и 108 Вт соответственно. Экспериментальное исследование показывает, что длинноволновое излучение возбуждается колебаниями электронов, отраженных из волновода в диод, а коротковолновое излучение генерируется колебаниями виртуального катода. Генерация низкочастотных колебаний могла быть значительно ослаблена установкой диафрагмы на входе волновода, перехватывающей отраженные электроны.

Последняя идея была в полной мере реализована в работах [22, 49], где была предложена модификация виркатора, названная авторами ре- дитроном, в котором были подавлены колебания электронов в потенциальной яме «катод-виртуальный катод» путем создания специального «толстого» анода с щелью, через которую инжектируется электронный пучок в область пространства взаимодействия (рис. 6.5 а). Отраженные от виртуального катода электроны имеют другие траектории в пространстве взаимодействия, чем инжектируемые электроны, поэтому они не попадают в щель для инжектируемого пучка и поглощаются анодом, не совершая колебаний в пространстве взаимодействия. Генерация в редитроне осуществляется только за счет колебаний виртуального катода как единого целого.

В Пространство/ дрейфаВ Пространство/ дрейфавквкР,отн.ед 1,0Р,отн.ед 1,0"Толстый" 7анод Отраженные"Толстый" 7анод Отраженные0,8

В Пространство

/ дрейфа

В Пространство

/ дрейфа

вк

вк

Р,отн.ед 1,0

Р,отн.ед 1,0

"Толстый" 7

анод Отраженные

"Толстый" 7

анод Отраженные

0,6

0,4

0,2

СВЧ-излучениеСВЧ-излучениес щелью электроны Пролетный пучок q 43]216в кГс

СВЧ-излучение

СВЧ-излучение

оэлектронов 彳"

Рис. 6.5. а — схема виркатора с выводом из пространства взаимодействия отраженных от виртуального катода электронов (редитрона); б — зависимость мощности генерации редитрона от величины приложенного фокусирующего магнитного поля при длине промежутка «анод-катод» 2,6 см (из работы [22])

Характеристики генератора были следующими: импульс напряжения до 1,9 МВ и длительности 70 нс подавался на диод с трубчатым катодом радиуса 3 см и графитовым анодом с кольцевой щелью, радиус которой равен радиусу катода, а ширина 0,5 см. Пучок электронов с током до 48 кА через щель в аноде проходил в волновод радиуса 9 см и длины 125 см, который заканчивался конической антенной. Диод и примыкающая к нему область волновода длины 16 см находились в магнитном поле, величина которого менялась от 0 до 30 кГс. При увеличении магнитного поля от 0 до 5 кГс мощность СВЧ-излучения быстро нарастала, а затем медленно спадала и при магнитном поле, равном 20 кГс, составляла половину от максимального уровня (рис. 6.5 6). Измерения, проведенные при фокусирующем магнитном поле 9,3 кГс, показали, что мощность излучения равняется 1,4 ГВт на частоте (3,9 土 0,4) ГГц.

Математическое моделирование на ЭВМ [49] подтверждает, что в редитроне основная часть отраженных электронов перехватывается анодом и генерация СВЧ-излучения происходит за счет колебаний виртуального катода.

Основное достоинство редитрона — близкое к монохроматическому генерируемое излучение. При выборе оптимальных величин магнитного поля, геометрических размеров, параметров электронного пучка ширина полосы излучаемых частот редитрона составляла порядка 1 % при достаточно высокой эффективности [50].

Нелинейная динамика генераторовна виртуальном катоде

Уже первые экспериментальные и численные исследования генерации СВЧ-излучения с помощью колебаний виртуального катода показали, что выходное излучение виркатора имеет сплошной спектр с типичной шириной полосы △g/g 〜20 4- 50%. В 1985 г. появилась первая теоретическая работа Говарда Брандта [51], в которой с помощью численного моделирования исследовалась нелинейная динамика

бб

б

б

Рис. 6.6. а — схема турбутрона: 1 — цилиндрический катод, 2 — окно вывода энергии, 3 — аллюминевая фольга, 4 — пролетный электронный пучок, 5 — цилиндрический анод; б — спектр излучения турбутрона при ускоряющем напряжении 1 МВ и диаметре пучка 5,1см; в — распределение плотности пространственного заряда в зависимости от расстояния от катода и времени и турбулентность в электронном пучке с виртуальным катодом в такой модификации виркатора как турбутрон.

Турбутрон (рис. 6.6 а) представляет собой СВЧ-диод с протяженными цилиндрическим катодом со взрывной эмиссией и цилиндрическим анодом, которые разделены малым зазором. Такая схема виркатора позволяет получать очень большие токи пучка, а следовательно, и сверхбольшую выходную мощность СВЧ-излучения. Вдоль оси турбутрона приложено магнитное поле величины 1 Тл. В рабочем режиме генератора на катод подается импульс ускоряющего напряжения порядка 1 МВ. Формируется пучок, который имеет ток значительно превышающий предельный вакуумный ток для рассматриваемой геометрии. Большинство электронов не могут преодололеть потенциальный барьер виртуального катода и остаются в промежутке катод- виртуальный катод, создавая слой плотной турбулентной электронной плазмы с широким спектром возбуждаемых мод. Для турбутрона с зазором в 3 мм основная мощность излучения была сосредоточена в окрестности частоты 35 ГГц (см. рис. 6.6 6). Излучаемая мощность составляла приблизительно 1 ГВт/ср.

О турбулентном состоянии плазмы свидетельствует не только сложный спектральный состав излучения, но и вид распределения плотности пространственного заряда в пространстве взаимодействия

(рис. 6.6 е). Оно имеет очень сложный нестационарный во времени и пространстве вид. Анализ динамики электронов в численном моделировании показывает, что в зависимости от времени влета в пространство взаимодействия электроны группируются: правильнофазные остаются, неправильнофазные удаляются. Режим ограничения пространственного заряда не позволяет беспрепятственно влетать электронам в пространство взаимодействия. Фазировка порождает электронные сгустки (структуры), сложная динамика которых приводит к распределениям плотности пространственного заряда, подобным представленным на рис. 6.6 в.

Дальнейшие исследования сложной нестационарной динамики электронного потока с виртуальным катодом проводились в двух направлениях. Во-первых, рассматривалась простейшая одномерная плоская модель пролетного промежутка со сверхкритическим током, которая позволяет качественно (а иногда и количественно) проанализировать основные физические явления в пучке с виртуальным катодом. К достоинствам такой модели относится простота, легкость численного моделирования, возможность получения аналитических результатов, общность получаемых результатов. Результаты исследований пролетного промежутка со сверхкритическим током представлены в пятой лекции этого тома и в четвертой лекции первого тома.

Во-вторых, исследуются более реалистичные модели генераторов на виртуальном катоде. Обычно такие исследования проводятся численно в рамках электромагнитного или электростатического моделирования (см. [30, гл. 14], а также работы [36-38]) в двух или даже трех пространственных измерениях.

Многочисленные исследования нелинейной динамики электронного потока со сверхкритическим током выявили и изучили различные проявления нелинейной динамики электронного потока со сверхкритическим током, например, хаотическую динамику виртуального катода [53—57] или образование и взаимодействие когерентных структур в пучке с виртуальным катодом [58-62].

Выясним основные закономерности нелинейной динамики электронного потока с виртуальным катодом на примере простой и наиболее общей 1,5D модели, описывающей виркатор в рамках электромагнитного моделирования. Исследуемая модель представляет собой замкнутый отрезок цилиндрического волновода длины L и радиуса Я, помещенный в сильное продольное магнитное поле (рис. 6.7). Через сечение z = 0 (плоскость инжекции) внутрь системы поступает моноскоростной трубчатый электронный поток со скоростью 少° (релятивистским фактором)о). В предположении фокусировки пучка сильным продольным магнитным полем рассматривается одномерное движение потока в направлении оси z.

Хаотическая динамика и процессы образования и взаимодействия когерентных структур в электронном пучке со сверхкритическим током в такой системе были детально изучены в работах [61,62].

Для описания эволюции электромагнитного поля в цилиндрическом пространстве взаимодействия виркатора рассматривается полная

Рис. 6.7. Геометрия исследуемой простой модели виркатора на пролетном токеРис. 6.7. Геометрия исследуемой простой модели виркатора на пролетном токе

Рис. 6.7. Геометрия исследуемой простой модели виркатора на пролетном токе

Рис. 6.7. Геометрия исследуемой простой модели виркатора на пролетном токе

нестационарная система уравнений Максвелла, которая с учетом аксиальной симметрии прибора вырождается в систему для ТМ-волн. В цилиндрической системе координат она имеет вид [37]

(6.15)(6.15)дНв _ (дЕг дЕАdt \ dz dr /дЕг _ дНвdt dz '

(6.15)

(6.15)

9EZ _ 1 дгНв .

где плотность тока благодаря замагниченности электронного пучка будет иметь одну продольную компоненту: j = (0, 0, jz).

Динамика заряженных частиц описывается бесстолкновительным кинетическим уравнением Власова

dtdtdf +厶灰df +厶灰(6.16)(6.16)

dt

dt

df +厶灰

df +厶灰

(6.16)

(6.16)

где /(力,z, 〃N)— функция распределения электронов пучка, pz — релятивистский импульс и vz = 〃n/tti，1 + 优[rrfi* •

Решение уравнения Власова базируется на методе крупных частиц, который сводит уравнение (6.16) к системе из Р (Р — число крупных частиц) обыкновенных дифференциальных уравнений вида

EzkEzk(6.17)(6.18)(6.17)(6.18)贵=(1 -点)3/2点，]]Ez(r,z)h(\r - rk\, \z - zk\)rdr dz,

Ezk

Ezk

(6.17)

(6.18)

(6.17)

(6.18)

Здесь h — нормированная функция формы крупной частицы [37].

Рис. 6.8. Спектры мощности, фазовые портреты и временные реализации колебаний тока пучка из области виртуального катода для различных динамических режимов: а = 1,4 (а); а = 2,0 (б); а = 4,0 (в). Графики построены в безразмерных единицах времени (релятивистский фактор электронов на входе в систему 7 = 2,3)Рис. 6.8. Спектры мощности, фазовые портреты и временные реализации колебаний тока пучка из области виртуального катода для различных динамических режимов: а = 1,4 (а); а = 2,0 (б); а = 4,0 (в). Графики построены в безразмерных единицах времени (релятивистский фактор электронов на входе в систему 7 = 2,3)

Рис. 6.8. Спектры мощности, фазовые портреты и временные реализации колебаний тока пучка из области виртуального катода для различных динамических режимов: а = 1,4 (а); а = 2,0 (б); а = 4,0 (в). Графики построены в безразмерных единицах времени (релятивистский фактор электронов на входе в систему 7 = 2,3)

Рис. 6.8. Спектры мощности, фазовые портреты и временные реализации колебаний тока пучка из области виртуального катода для различных динамических режимов: а = 1,4 (а); а = 2,0 (б); а = 4,0 (в). Графики построены в безразмерных единицах времени (релятивистский фактор электронов на входе в систему 7 = 2,3)

При фиксированной геометрии пространства взаимодействия и ускоряющего напряжения электронного пучка основным управляющим параметром, от которого зависит поведение системы, является отношение тока пучка / к предельному вакуумному току /о, обозначаемое здесь через а.

Численное моделирование показало, что с увеличением тока пучка а наблюдается последовательное усложнение колебаний в электронном потоке. На рис. 6.8 приведены временные реализации, фурье-спектры мощности и фазовые портреты колебаний тока пучка в области виртуального катода для различных режимов генерации, возникающих по мере увеличения надкритичности а (увеличения тока пучка /, инжектируемого в рабочую камеру виркатора).

При малых значениях а (а < 1,7) в системе устанавливаются регулярные колебания релаксационного типа (рис. 6.8 а). Спектр мощности содержит узкие пики, являющиеся кратными гармониками основной частоты а。^ 2,6幻夕,где g夕—плазменная частота электронного потока. Фазовый портрет колебаний соответствует однотактному предельному циклу. С увеличением а происходит разрушение периодических колебаний, и последовательно с ростом надкритичности появляются два типа хаотического поведения. В первом случае (1,7 < а < 3), как видно из рис. 6.8 5, хаотическая динамика появляется на базе одного неустой-

чивого предельного цикла, соответствующего динамике системы в регулярном режиме при меньшем токе пучка. Во втором случае (а〉3; рис. 6.8 в) фазовый портрет колебаний более однороден, структура аттрактора сложна; спектр мощности сильно зашумлен, на нем нет четко выраженных пиков. Вид спектра и фазового портрета свидетельствует об увеличении числа степеней свободы, вовлекаемых в колебательное движение на нелинейной стадии развития неустойчивости Пирса по мере роста надкритичности а.

Анализ корреляционной размерности 1) аттракторов колебаний электрического поля в области виртуального катода [63,64], свидетельствует о детерминированной природе сложной динамики в виркаторе. Такой вывод следует из наблюдаемого насыщения размерности аттракторов с ростом размерности пространства вложения т. Такое поведение размерности свидетельствует о детерминированности хаотических колебаний, так как для чисто шумовых колебаний корреляционная размерность не насыщается с ростом т [65,66].

При небольшом превышении током пучка предельного вакуумного тока (а < 2,0) размерность насыщается при малых значениях размерности пространства вложения (ш = 3 4- 4). Для второго хаотического режима размерность пространства вложения существенно выше: т = =7 4- 9, что соответствует возникновению более сложных колебаний виртуального катода. Число возбуждаемых степеней свободы п в системе может быть оценено по верхней границе размерности фазового пространства системы ms\ n = ms/2 [67]. Величина ms равна размерности пространства вложения, при которой происходит насыщение размерности аттрактора.

Из вышесказанного понятно, что в системе возбуждается только небольшое число степеней свободы, хотя электронный поток в пространстве дрейфа представляет собой систему с бесконечным числом степеней свободы. С увеличением тока пучка число степеней свободы, вовлекаемых в колебательное движение, растет. Тем не менее оно остается достаточно малым, что является косвенным свидетельством

Напомним, что корреляционная размерность D аттрактора есть функция масштаба наблюдения е и размерности т фазового пространства:

0(% m) = lim ES"),

£ — 0In £

где С(е) — число пар точек, расстояние между которыми в фазовом пространстве меньше е (редуцированный корреляционный интеграл), дается соотношением

М N

=М — хз|).

= 1 € = 1 JW^

Здесь М — число точек редукции, N — число точек во временной реализации, Н — функция Хевисайда, х — вектор состояния в фазовом пространстве размерности т.

Рис. 6.9. Распределение заряженных частиц по временам жизни в пространстве взаимодействия для следующих параметров: а — а = 1,4 (сплошная линия) и а = 2,0 (пунктирная линия) ; 6— а = 4,0

возможности описания внутренних движений в потоке с помощью ограниченного числа структур в системе х).

Сложная динамика электронного потока со сверхкритическим током определяется формированием в пространстве дрейфа нескольких областей отражения заряженных частиц (нескольких «виртуальных катодов»), которые связаны между собой через отраженные от них электроны.

Это иллюстрирует функция распределения Ф(т) электронов по временам жизни т в пространстве взаимодействия (рис. 6.9). В регулярном режиме (рис. 6.9 а, сплошная линия) Ф(т) имеет двухгорбый вид. Площадь под кривой пропорциональна числу существующих в потоке пролетных и отраженных к плоскости инжекции частиц. Характерные траектории заряженных частиц в координатах (z,力)и (少,z) с временами жизни, соответствующими максимумам Ф(т), приведены на рис. 6.10 а. Видно, что в регулярном режиме в потоке существует единственная структура — виртуальный катод.

С увеличением а отраженные частицы начинают доминировать в общем числе инжектируемых частиц (см. рис. 6.9 а, пунктирная линия); область возможных времен жизни отраженных частиц увеличивается. За счет появления долгоживущих частиц в потоке возникает внутренняя распределенная обратная связь, обеспечивающая взаимосвязь между основной структурой (виртуальным катодом) и возникающей вторичной структурой, которой соответствует третий максимум на кривой Ф(т) (отмечен стрелкой на рис. 6.9 а). Однако при неболь-

В монографии [70, гл. V] описана динамика исследуемой системы с позиций вейвлетного анализа и выявлены те же основные закономерности в динамике электронного потока со сверхкритическим током в ограниченном пространстве дрейфа.

少О0,50少О0,50-1,00О v 少О0,500,00-0,50-1,00О v 少О0,500,00-0,500,000,00-0,50-0,500,800,800,600,400,200,600,400,204,000,00 0,20 0,40 0,60 0,80 當4,000,00 0,20 0,40 0,60 0,80 當0,000,00050100150 200/050100150 200/0,800,800,600,600,400,400,200,200,00-О 100200300 4000,00-О 100200300 400

少О

0,50

少О

0,50

-1,00

О v 少О

0,50

0,00

-0,50

-1,00

О v 少О

0,50

0,00

-0,50

0,00

0,00

-0,50

-0,50

0,80

0,80

0,60

0,40

0,20

0,60

0,40

0,20

4,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 當

4,00

0,00 0,20 0,40 0,60 0,80 當

0,00

0,00

050100150 200/

050100150 200/

0,80

0,80

0,60

0,60

0,40

0,40

0,20

0,20

0,00-

О 100200300 400

0,00-

О 100200300 400

Рис. 6.10. Характерные зависимости скорости о от координаты z и координа-ты z от времени t заряженных частиц для режима регулярных колебаний (а)и развитого хаоса (б)

шой надкритичности эффективность этой связи мала (общее количество частиц, отраженных от вторичного виртуального катода, мала) и движение слабонерегулярно (в фазовом пространстве наблюдается размытый предельный цикл).

Для развитого хаоса (рис. 6.9 б) характерна сильно изрезанная форма Ф(т), которая позволяет выделить несколько примерно равных по количеству групп заряженных частиц с различными временами жизни. В этом случае процессы в потоке могут быть интерпретированы как формирование нескольких виртуальных катодов (нескольких пространственно-временных структур) на различном расстоянии от плоскости инжекции (рис. 6.10 5, на котором изображены траектории заряженных частиц, времена жизни которых соответствуют максимумам распределения Ф(т) (отмечены цифрами на рис. 6.9 5и рис. 6.10 б)). Это также подтверждается приведенными на рис. 6.11 распределениями плоскостей, в которых наблюдается отражение заряженных частиц, по продольной координате. Видно, что в случае регулярных движений

Рис. 6.11. Распределение плоскостей отражения электронов в пространстве взаимодействия при различных значениях параметра надкритичности (тока пучка /): 1 — а = 1,4; 2 — а = 2,0; 3 — а = 4,0Рис. 6.11. Распределение плоскостей отражения электронов в пространстве взаимодействия при различных значениях параметра надкритичности (тока пучка /): 1 — а = 1,4; 2 — а = 2,0; 3 — а = 4,0KHHOJSCFdHo «0B0OW0OK.K SMHSIT 匿芻n°FdKHHOJSCFdHo «0B0OW0OK.K SMHSIT 匿芻n°Fd

Рис. 6.11. Распределение плоскостей отражения электронов в пространстве взаимодействия при различных значениях параметра надкритичности (тока пучка /): 1 — а = 1,4; 2 — а = 2,0; 3 — а = 4,0

Рис. 6.11. Распределение плоскостей отражения электронов в пространстве взаимодействия при различных значениях параметра надкритичности (тока пучка /): 1 — а = 1,4; 2 — а = 2,0; 3 — а = 4,0

KHHOJSCFdHo «0B0OW0OK.K SMHSIT 匿芻n°Fd

KHHOJSCFdHo «0B0OW0OK.K SMHSIT 匿芻n°Fd

(кривая 1 на рис. 6.11) функция распределения имеет ярко выраженный максимум, соответствующий тому, что в потоке существует единственная отражающая плоскость (виртуальный катод), которая четко локализована в пространстве. Рост тока приводит к уширению функции распределения, причем в режиме слабого хаоса на кривой 2 выделяется два глобальных максимума, соответствующих двум структурам в потоке, а в режиме развитого хаоса (кривая 3) форма распределения сильно изрезана, при этом каждый максимум соответствует своей структуре (виртуальному катоду). Отметим, что максимумы на кривых покоятся на высоком основании, связанном с тем, что каждый из формирующихся виртуальных катодов колеблется как во времени, так и в пространстве, однако наиболее вероятные места локализации отражающих плоскостей соответствуют именно максимумам распределения.

Отражение части потока от каждого виртуального катода оказывает влияние на условия формирования других структур в потоке, что обеспечивает несколько петель внутренней обратной связи с различными временами запаздывания. Такая распределенная связь между всеми структурами в потоке приводит к сильно нерегулярной динамике системы при большой надкритичности а.

Заметим, что аналогичные результаты демонстрирует и анализ внутренней структуры электронного потока с помощью декомпозиции пространственно-временных данных по алгоритму Карунена-Лоэва [68,69].

Рис. 6.12. Распределение энергии по модам Карунена-Лоэва для следующих параметров: △ — а = 1,4, □ — а = 2,0,。一 а = 4,0

Задача выделения мод Карунена-Лоэва сводится к решению интегрального уравнения вида

K(z, z*)W(z*) dz* = XW(z).(6.19)

Ядро уравнения имеет вид

K(z,z^ = ^z,t^z\t^t,(6.20)

где〈. . .} обозначает усреднение по времени. В качестве функций §(z,力) может быть выбран набор пространственно-временных распределений любой физической величины, приведенный к нулевому среднему. Нами из соображений удобства в качестве функций §(z,力)выбраны величины тока пучка /?(z,力).Собственное значение Ап, соответствующее п-й моде Фп, пропорционально энергии, заключенной в этой моде 1). Мерой этой энергии может служить величина

На рис. 6.12 приведены величины энергии (6.21) первых десяти мод

1) Отметим, что разложение является оптимальным в том смысле, что собственные функции задачи (6.19), (6.20) составляют хорошо приспособленный базис, так что среднеквадратичная ошибка е минимизируется: е = =min (не-^11), где е —точное решение, £、一 приближенное решение, a N — размерность базиса.

Карунена-Лоэва Wn для различных значений надкритичности. В регулярном режиме (а = 1,4) порядка 90 % энергии потока заключено в первых двух модах (W± + W^ ~ 90%). С ростом а спектр энергий мод уширяется, энергия из первой моды постепенно перекачивается в высшие моды, и при а 〜4 основная энергия заключена уже в пер- 4

вых четырех модах ( £ Wn ~ 90 %), причем энергии второй, третьей и четвертой мод примерно одинаковы. Вместе с тем во всех режимах, как периодических, так и со сложной динамикой, число мод с энергией большей, чем 1 % от общей энергии потока, невелико.

Пространственные распределения мод характеризуются сложной многогорбой формой, причем с ростом номера моды п они усложняются, теряя симметричность, свойственную высшей моде. Временная динамика основных мод с номерами n = 1, 2 при малой надкритичности достаточно регулярна. Можно выделить интервалы времени, когда на временной реализации наблюдается всплеск амплитуды, связанный с формированием в потоке виртуального катода и его распадом, и когда амплитуды мод примерно равны нулю (в потоке отсутствуют структуры; виртуальный катод «открыт», и в системе имеют место пролетающие к коллектору электроны). Колебания первой и второй моды во всех режимах происходят с постоянным сдвигом фаз, откуда следует [71], что они описывают динамику одной пространственновременной структуры. Одновременно поведение мод с номерами п》 》3 демонстрирует сильно нерегулярную динамику их амплитуд во времени, причем основная частота колебаний этих мод существенно превышает частоту колебаний высших мод и примерно равна 8,3 ГГц.

Таким образом, электронный поток с виртуальным катодом в ограниченной трубе дрейфа демонстрирует различные типы нелинейных колебаний, перестройка между которыми объясняется особенностями динамики когерентных структур в электронном потоке. При малой надкритичности (а < 3) в системе устанавливается малоразмерный хаос. С увеличением а система демонстрирует развитый хаос. В регулярном режиме в потоке существует только одна структура — виртуальный катод, динамика которого описывается двумя высшими модами Карунена-Лоэва, на которые приходится более 85 % энергии колебательного движения. Хаотическая динамика объясняется формированием и взаимодействием нескольких когерентных структур в электронном потоке с более гладким распределением энергии по модам.

Виркаторы с различными типами управляемойобратной связи

Потребности практики диктуют необходимость разработки методов эффективного управления состоянием электронного потока в вирка- торной системе в целях получения близкого к одночастотному выходного излучения, либо, наоборот, установления стохастических режимов генерации со сплошным широким спектром; повышения эффективности преобразования энергии пучка в электромагнитное излучение; воз-

можность перестройки ширины полосы, характерной частоты и уровня мощности генерации. Наиболее перспективным методом решения этих задач является введение в виркаторную систему различных типов обратной связи [72, 95].

Виркатор с обратной связью был впервые предложен в 1993 г. в Харьковском физико-техническом институте [72]. В работе [72] приводятся результаты экспериментального исследования двух виркатор- ных схем с различными типами обратной связи. Первая исследуемая система представляла собой виркатор на пролетном токе, в которую была введена внешняя обратная связь путем отвода части мощности колебаний из пространства взаимодействия (из области виртуального катода) в область ускорения релятивистского электронного пучка (РЭП) с помощью волноводной линии с фазовращателем. Вторая — была системой с внутренней распределенной обратной связью, и на ее рассмотрении остановимся чуть дальше.

Система с внешней обратной связью была названа виртодом. Схема виртода, представлена на рис. 6.13 а. Электронный пучок со сверхпредельным током пропускается через волновод в направлении, перпендикулярном направлению распространения бегущей волны основной волноводной моды (для выбранного прямоугольного волновода Ню). При этом реализовались оптимальные условия возбуждения волновода осциллирующим объемным зарядом виртуального катода. Жесткая стабилизация виркатора производилась за счет отвода части мощности излучения из выходного волновода в область ускорения РЭП с помощью волноводного тракта. В результате инжектируемый в дрейфовую область ток РЭП становился промодулированным сигналом с частотой колебаний виртуального катода. Применение передвижного плунжера 8 позволяло изменять фазу / управляющего СВЧ-сигнала 卜(/), благодаря чему ускоряющее напряжение в сильноточном диоде имело модулирующий компонент V = Vo + V (/).

Особенностью виртода является отсутствие режима накопления СВЧ-энергии во внешней резонансной системе, связанного с определенным временем достижения порогового уровня и стабилизацией автоколебаний виртуального катода. Использование такой «быстрой» волноводной обратной связи играет важную роль при управлении вирка- торной системы внешним СВЧ-сигналом, что подробнее обсуждается в следующем разделе, где рассматривается сверхмощная фазированная антенная решетка на параллельно работающих виртодах. В работе [75] показано, что время реакции % на внешний сигнал генератора, связанного с резонансным контуром, определяется отношением уровня управляющего сигнала Рвн к уровню основного R:

(6.22)

где Q — нагруженная добротность, / — рабочая частота. Поэтому возможность управления фазой мощных виркаторных систем, генерирующих излучение ультракороткой длительности импульса — 1 4- 10 нс,

бsбs

бs

бs

Рис. 6.13. а — схематическое изображение виртода: 1 — катод, 2 — сеточный анод, 3 — выходной СВЧ-тракт, 4 — диэлектрическая линза, 5 — рупор, 6 — коллектор тока РЭП, 7 — соленоид, 8 — короткозамыкающий поршень, 9 — фазовращатель обратной связи); б — зависимость частоты излучения виртода от отношения осциллирующего и полного тока РЭП: /ПОЛн = /Осц + + /пр, /полн = 8,5 кА, /пр — проходящий ток РЭП; в — зависимость мощности излучения Р от фазы /3 обратной связи генератора для различных условий настройки виртода по частоте: 1 — /о = 4,28 ГГц, 2 — /о = 4,84 ГГц, 3 — уровень мощности излучения свободными колебаниями виртуального катода (из работы [72])

связана главным образом с уменьшением добротности электродинамической структуры и ее работой в режиме бегущей волны, когда существует возможность существенно уменьшить величину %.

В экспериментально исследованном виртоде [72] внешняя обратная связь осуществлялась за счет отвода до 15 % мощности колебаний из области формирования виртуального катода в область ускорения РЭП. Виртод возбуждал интенсивные колебания в прямоугольном волноводе в диапазоне % = 3 4- 5 ГГц при инжекции в него РЭП с энергией

450 2 500 кэВ и током до 14 кА. Длительность импульса излучения соответствовала длительности импульса тока РЭП — 40 ± 5 нс. Величина отношения проходящего и осциллирующего токов РЭП регулировалась путем перемещения заземленного коллектора вдоль оси пучка (изменения длины системы), что в широких пределах изменяло частоту генерации (рис. 6.13 б).

Введенное в область ускорения РЭП электромагнитное поле бегущей СВЧ-волны воздействовало на электронный пучок совместно с ускоряющим полем вакуумного диода. В результате осуществлялась модуляция РЭП на частоте генерации виртуального катода. Изменение фазы управляющей волны позволило за счет интерференции сигналов в пучке и в области волноводной обратной связи регулировать амплитуду колебаний генерации виртуального катода и, следовательно, амплитуду выходного СВЧ-излучения (рис. 6.13 в). При этом частота генерации не изменялась и затягивание импульса СВЧ-излучения не наблюдалось — его длительность соответствовала длительности импульса тока РЭП. Уровень мощности излучения при настройке на максимум генерации увеличился по сравнению с уровнем свободных колебаний виртуального катода на 5 дБ. Изменение фазы сигнала обратной связи позволило регулировать мощность токовых осцилляции и соответственно виркаторного излучения в пределах 8 дБ. Коэффициент полезного действия виртода менялся в пределах 0,03 4- 0,17, а максимальная мощность генерации достигала 600 МВт.

В работах [76,77] в рамках теоретической модели (6.15)—(6.17) было исследовано влияние внешней запаздывающей обратной связи на характеристики генерации виртода. Введение внешней обратной связи в исследуемую систему проводилось за счет отвода части мощности колебаний из пространства взаимодействия в область ускорения РЭП с помощью волноводной линии задержки. Обратная связь характеризовалась временем задержки сигнала г и приводила к изменению скорости электронного потока на входе в пространство взаимодействия. Глубина модуляции потока сигналом обратной связи не превышала 15^20%.

На рис. 6.14 представлена зависимость генерируемой мощности в исследуемой системе от времени задержки т. Горизонтальная линия на рисунке соответствует уровню мощности в системе без обратной связи при том же токе а (ток пучка был выбран равным а = 2,0, что соответствует максимальной эффективности генерации в системе). Видно, что при оптимальном т мощность возрастает более чем в 1,5 раза. Теоретическая зависимость качественно согласуется с результатами натурного эксперимента (ср. с рис. 6.13 в).

Изменение времени задержки т при фиксированном токе приводит также к перестройке частоты генерации системы (рис. 6.14 6). Этот эффект в работе [77] был проиллюстрирован на простейшей феноменологической модели, основанной на уравнении типа уравнения Ван-дер- Поля. Стабилизация виркатора собственным сигналом, воздействующим на виртуальный катод после прохождения линии задержки с вре-

уровень мощности свободных колебаний виртуального катода) и характернойуровень мощности свободных колебаний виртуального катода) и характернойчастоты генерации виртода (б) от времени запаздывания обратной связичастоты генерации виртода (б) от времени запаздывания обратной связи

уровень мощности свободных колебаний виртуального катода) и характерной

уровень мощности свободных колебаний виртуального катода) и характерной

частоты генерации виртода (б) от времени запаздывания обратной связи

частоты генерации виртода (б) от времени запаздывания обратной связи

менем запаздывания г, может быть описана уравнением вида

2

+ ^Е = —-^-ME{^o(t — т)),(6.23)

где Е — амплитуда поля в системе, Enl ——величина нелинейного ограничения амплитуды поля, 6 — инкремент колебаний, g° и Q — соответственно холодная резонансная частота и добротность резонансной системы, М — коэффициент ослабления в цепи обратной связи.

Для решения уравнения (6.23) полагаем, что Е имеет вид Е = =Ео(力)cos (а。力—0(力)).Здесь Eq и ф медленно меняющиеся функции. Применяя метод усреднения Ван-дер-Поля, можно показать, что динамика фазы в первом приближении описывается уравнением

d。 Mg .

(6.24)(6.24)H =sm 仇 户=got,

(6.24)

(6.24)

at Q

решение которого 0(力)=[THg。sin //Q]力 + 加.Тогда зависимость Е от времени будет иметь вид: Е(力)=Ео cos (g° [1 + М sin ^/Q] t — фо).

Изменяя задержку /, можно добиться перестройки частоты генерации прибора, причем максимальный сдвиг частоты записывается как

(6.25)(6.25)Acj _ Мg0 Q

(6.25)

(6.25)

Видно, что чем меньше коэффициент М и чем больше добротность Q, тем меньше сдвиг частоты. Оценка сдвига частоты по формуле (6.25) согласуется по порядку величины с экспериментальными и численными результатами [73].

Рис. 6.15. Схема комбинированной системы виркатор—лампа обратной волны. Здесь 1 — катод, 2 — сеточный анод, 3 — выходной СВЧ-тракт, 4 — короткозамыкающий поршень, 5 — виртуальный катод, 6 — периодическая замедляющая структура, 7 — коллектор-поглотитель, 8 — соленоид, 9 — выходной рупор, 10 — диэлектрическая линза (из работы [72])

В экспериментальной работе [72] была также предложена связанная система виркатор-лампа обратной волны, в которой реализуется распределенная внутренняя обратная связь. Исследуемая система представляет собой виртод, дрейфовая область тока РЭП которого была усложнена введением в нее различных периодических замедляющих структур (диафрагмированный или гофрированный волноводы). Особенностью режима работы замедляющей структуры являлось использование взаимодействия пучка с отрицательными пространственными гармониками, фазовая скорость которых совпадала с направлением движения электронного пучка, а поток мощности направлен навстречу пучку. Благодаря этому максимальная амплитуда СВЧ-волны создавалась на входе периодической структуры, примыкающем к области формирования виртуального катода. Это создало комбинированную систему двух сильно связанных генераторов — виртода и лампы обратной волны (рис. 6.15) При этом поле замедляющей структуры модулировало электронный поток с частотой, соответствующей рабочей частоте ЛОВ. В системе виртод-ЛОВ создавались условия для выделения в спектре волн плотности пространственного заряда, возбуждаемых в пучке колебаниями виртуального катода [74], колебаний с продольной составляющей волнового вектора А；ц = 2»几/£, где L — пространственный период замедляющей структуры, п = 1,2,... Последнее можно трактовать как модовую селекцию электронных колебаний, поддерживаемых электронным пучком с виртуальным катодом в виртоде.

В экспериментах рабочая область частот /с ЛОВ выбиралась такой, чтобы она либо совпадала, либо отличалась от базовой частоты /вк собственных колебаний виртода. При этом рабочая полоса ЛОВ была

достаточно узкой (△/《/вк, Л)- Коэффициент связи электронного пучка с периодической структурой регулировался изменением зазора между пучком и внутренним диаметром структуры dc.

Связанная система виртод-JIOB демонстрировала в эксперименте три характерных режима работы, возникновение которых определялось расстоянием между виртодом и ЛОВ, коэффициентом связи электронного пучка с замедляющей структурой, коэффициентом положительной обратной связи как по полю, так и по пучку, а также амплитудой СВЧ-волны, выводимой из ЛОВ.

Результаты экспериментального исследования приведены в табл. 6.3.

В автономном режиме (виртод без ЛОВ, эксперимент 1 в табл. 6.3) спектр излучения системы был многочастотным, основная энергия в спектре приходилась на частоты 4,3 ГГц и 8,0 4- 10,0 ГГц.

При обеспечении достаточно «сильной» связи между частями комбинированной системы генерация осуществлялась в области рабочей частоты ЛОВ (эксперименты 2 и 6 в табл. 6.3). В спектре волн плотности заряда виртода выделялись только колебания с частотой /с. Это дает основание предполагать, что за время достижения порогового уровня автогенерации виртода успевает произойти достаточно глубокая модуляция тока РЭП сигналом ЛОВ.

При «средней» связи в эксперименте был заложен режим близких частот, т. е. рабочая область частот ЛОВ совпадала с собственной частотой генерации виртода (эксперимент 4 в табл. 6.3). В этом случае мощность микроволнового излучения была максимальной и достигала 500 МВт при оптимальной напряженности внешнего магнитного поля Н = 2,ЗкЭ.

При «слабой» связи между частями комбинированной электродинамической структуры генерация осуществлялась как на частоте /вк виртода, так и на частоте /с ЛОВ (эксперименты 3 и 5 в табл. 6.3). В системе происходило независимое возбуждение двух генераторов — виртода и ЛОВ; выходная мощность была мала.

Как показало экспериментальное исследование, различный характер спектров излучения прибора определялся особенностями взаимодействия пучковой системы (включающей как пролетные, так и осциллирующие электроны) с электромагнитными полями, возбуждаемыми виртуальным катодом, а также введением внешнего поля, генерируемого лампой обратной волны (формированием цепи внутренней распределенной обратной связи). Заметим также, что выходная мощность была максимальна при близких к одночастотным режимам генерации (см. эксперименты 2 и 4 в табл. 6.3).

Важным результатом экспериментальных исследований связанной системы «виртод — лампа обратной волны» явилось достижение эффекта сверхширокой перестройки виртода по частоте. Так при использовании гладкостенного волновода в качестве дрейфовой зоны РЭП перестройка по частоте генерации при пучковой модовой селекции за счет перемещения коллектора производилась в диапазоне 4,0 4-5,5 ГГц (см. рис. 6.13 б). В случае использования возбуждения проходящего то-

Таблица 6.3

Результаты экспериментальных исследований

виртода — ЛОВ (из работы [72

)

№

Тип структуры

Р1 Rnax

Спектральная характеристика Р = Р(/)

Особенности работы (d& — диаметр коллектора)

1

Виртод без ЛОВ (/полн — 4 кА)

0,8 4~ 0,9

八 Р,отн.ед.

4,38,0 10,0

Режим многочастотный, dk = 15 мм

2

Виртод-ЛОВ (/с= 4,0 ГГц)

〜1,0

八 Р,отн.ед.

1/ТГц

4,0*

Режим одночастотный, dk = 15 мм[ сильная dc = 18 мм J связь

3

Виртод-ЛОВ (/с= 4,5 ГГц)

0,5+ 0,7

лР,отн.ед.

4,5 7,0 9,0 *

Режим многочастотный, dk = 15 мм[ слабая dc = 30 мм J связь

4

Виртод-ЛОВ (/с =4,28 ГГц)

〜1,0

八 Р, отн. ед.

fc =/Ьк

/ГГц

4,3"

Режим близких частот,

dk = 15 мм[ средняя dc = 25 мм J связь

5

Виртод-ЛОВ (/с = 9,4 ГГц)

~ 0,6

мР,отн.ед.

Режим многочастотный, dk = 15 мм[ слабая dc = 38 мм J связь

6

Виртод-ЛОВ (/с = 9,4 ГГц)

~ 0,8

八 Р, отн. ед.

1

9,4

Режим одночастотный, dk = 25 мм[ сильная dc = 38 мм J связь

ка пучка с помощью различных периодических замедляющих структур достигнута генерация в диапазоне 3,5 4-10,0 ГГц, что в верхней области частот существенно превышает собственную частоту автогенератора (см. таблицу).

В работах [78,79] был проведен анализ связанной системы «виртод- ЛОВ» с помощью численного моделирования в рамках одномерной электростатической модели с использованием метода «частиц в ячейке» и нестационарной теории возбуждения волновода. Была показана возможность использования внутренней распределенной обратной связи для управления сложной нестационарной динамикой виртуального катода в виртоде. Так в работе [78] показана возможность получения моночастотных режимов колебаний при близости частоты колебаний виртуального катода или ее субгармоники к частоте генерации лампы обратной волны. Ширина полосы и спектральный состав генерации виркатора сильно зависят от параметров ЛОВ, в первую очередь длины системы и сопротивления связи электронного пучка с волноведущей структурой (гофрированным волноводом). Эта зависимость определяется внутренней обратной связью, осуществляемой путем воздействия выходного сигнала лампы обратной волны непосредственно на колебания виртуального катода. Одновременно взаимодействующий с обратной волной пролетный пучок после прохождения области виртуального катода сложно модулирован как по скорости, так и по плотности, что приводит к установлению сложных хаотических режимов генерации в карсинотроне [80]. Воздействие на колеблющийся виртуальный катод хаотического сигнала ЛОВ способствует установлению развитой шумовой генерации в системе с внутренней распределенной обратной связью.

Другим примером виркатора с внутренней обратной связью является генератор на виртуальном катоде с высокодобротным входным резонатором — виркатор-клистрон, предложенный и исследованный в работах группы К. Ятсуи [81,82].

Отличительной особенностью данного прибора, одна из схем которого представлена на рис. 6.16 а, является наличие входного высокодобротного резонатора, настроенного на частоту, близкую к частоте колебаний виртуального катода. В этом случае отраженный от виртуального катода пучок возбуждает в резонаторе интенсивные колебания, что приводит к модуляции входящего в область дрейфа потока на частоте колебаний виртуального катода. Виркатор-клистрон является виркатором с внутренней обратной связью, так как на возбуждение входного резонатора оказывает сильное влияние отраженный от виртуального катода электронный поток. Последнее может быть интерпретировано как петля обратной связи с очень коротким временем задержки т (порядка времени пролета электрона от анода к области минимума потенциала (виртуальному катоду)). Вывод энергии в вир- каторе-клистроне может быть осуществлен любым из традиционных способов, применяемых в сильноточных генераторах. На рис. 6.16 а вывод энергии оформлен в виде коаксиального вывода, переходящего в рупорную антенну.

Рис. 6.16. а — схема виркатора-клистрона (из [82]). Здесь 1 — секция формирования пучка; 2 — входной резонатор; 3— коаксиальный вывод энергии; 4 — коллектор; 5 — рупорная антенна; 6— рабочая камера; 7 — электронный пучок. 6— зависимость частоты генерации как функция тока РЭП (/о = 6,0 кА) без входного резонатора (линия 1) и с резонатором (/о = 10,0 кА) (линия 2). в — КПД генерации как функция разброса электронов инжектируемого РЭП по начальным энергиям △£? = 0 без входного резонатора (линия 1) и с резонатором (линия 2), величина 〃о соответствует КПД генерации при Ne = 0 (из работы [81])

Теоретический анализ и численное моделирование виркатора-кли- строна показали, что использование входного резонатора позволяет существенно поднять эффективность преобразования энергии пучка в электромагнитное излучение (численный эксперимент показал увеличение примерно на порядок: в работе [81] КПД с входным резонатором составлял 12,5 % против 2,1 % без резонатора). Одновременно использование входного резонатора приводит к установлению близкой к одночастотной генерации, а также дает возможность снизить влияние начального разброса электронного потока по скоростям [81,82].

На рис. 6.16 5 показана частота генерации как функция тока пучка. В системе без входного резонатора частота генерации растет с ростом тока пучка (с ростом плазменной частотой * электронного потока), как это и следует из теории (см. формулу (5.60)). При включении на входе пространства дрейфа добротного входного резонатора, настроенного на частоту колебаний виртуального катода /о ^ /вк = 8,65 ГГц, частота генерации, как видно из рис. 6.16 5, стабилизируется на уровне

резонансной частоты /о входного резонатора при изменении тока пучка от 10 до 20 кА.

Слабое влияние на эффективность генерации величины начального разброса электронов по энергиям ^Е/Eq^ где Eq = 0,3 МэВ — энергия ускорения РЭП, иллюстрирует рис. 6.16 в, на котором представлены КПД генерации виркатора и виркатора-клистрона при увеличении энергетического разброса. Как видно из рисунка, при использовании резонатора КПД (а следовательно, и мощность генерации) не снижается при введении энергетического разброса электронов до величин порядка 6 %. Однако при отсутствии входного резонатора 〃 ^ 0 уже при разбросе ^.Е/Eq > 2 %.

Для решения вопроса управления спектральными и энергетическими характеристиками в виркаторе-клистроне в работах [83-85] была рассмотрена новая конфигурация виркатора — виркатор-клистрон с внешней запаздывающей обратной связью. В них рассматривалась система, в которой часть мощности электромагнитного поля из выходного тракта по линии задержки подается в область ускорения РЭП, осуществляя предварительную скоростную модуляцию потока, поступающего во входной резонатор.

Виркатор-клистрон с внешней обратной связью является системой, в которой реализуется обратная связь с двумя временами задержки: т < Твк (связана с отражением электронного потока от виртуального катода во входной узкий резонатор; Твк ——период колебаний виртуального катода) и г (длительность задержки внешней обратной связи, которая может быть в принципе любой).

Кроме реализации в виркаторе-клистроне генерации, близкой к одночастотной, в нем возможны режимы хаотических автоколебаний с широким спектром генерации. Этого можно добиться за счет сильной отстройки входного резонатора от собственной частоты /вк колебаний виртуального катода. В подобной схеме введение внешней обратной связи позволяет оптимизировать КПД и спектральный состав шумовой генерации виртуального катода.

В работе [83] была дана аналитическая оценка КПД виркатора-клистрона с внешней обратной связью с временем запаздывания т. Рассматривалась модель, в которой на входе в пространство взаимодействия размещается высокодобротный резонатор, где происходила модуляция электронов по скорости, и секция, в которой осуществляется модуляция потока сигналом, снимаемым из пространства взаимодействия и подаваемым в резонатор с временной задержкой г (цепь обратной связи). Группировка и взаимодействие электронов с электрическим ВЧ-полем происходят в тормозящем поле между входным резонатором и виртуальным катодом. При этом полагается, что виртуальный катод как целое не совершает колебания и находится на расстоянии D от входного резонатора. Тогда его действие эквивалентно воздействию поля, создаваемого дополнительным электродом, расположенным в пространстве взаимодействия на расстоянии D от входного резонатора и имеющим постоянный потенциал относительно резонатора \Vq\ =

=呜/2〃. Для простоты выкладок и получения в результате аналитического выражения для КПД пренебрегается релятивистскими эффектами движения потока.Будем предполагать, что: 1) амплитуда колебаний электрического поля ВЧ в пространстве взаимодействия E(t) мала по сравнению с тормозящим полем Vo； 2) модуляция электронного потока, поступающего в область виртуального катода, определяется только колебаниями электрического поля во входном резонаторе и сигналом обратной связи, причем предполагается, что модуляция сигналом обратной связи не влияет на возбуждение резонатора 】);3) влиянием поля в рабочей камере прибора на колебания в резонаторе при небольших зазорах пролетного канала электронного пучка из резонатора в камеру дрейфа можно пренебречь 2).Найдем закон модуляции по скорости на входе в пространство взаимодействия с высокочастотным и тормозящим полем. Между сетками резонатора действует переменное напряжение 所 sin (g力).Предположим, что ВЧ-поле в пространстве взаимодействия имеет вид=呜/2〃. Для простоты выкладок и получения в результате аналитического выражения для КПД пренебрегается релятивистскими эффектами движения потока.Будем предполагать, что: 1) амплитуда колебаний электрического поля ВЧ в пространстве взаимодействия E(t) мала по сравнению с тормозящим полем Vo； 2) модуляция электронного потока, поступающего в область виртуального катода, определяется только колебаниями электрического поля во входном резонаторе и сигналом обратной связи, причем предполагается, что модуляция сигналом обратной связи не влияет на возбуждение резонатора 】);3) влиянием поля в рабочей камере прибора на колебания в резонаторе при небольших зазорах пролетного канала электронного пучка из резонатора в камеру дрейфа можно пренебречь 2).Найдем закон модуляции по скорости на входе в пространство взаимодействия с высокочастотным и тормозящим полем. Между сетками резонатора действует переменное напряжение 所 sin (g力).Предположим, что ВЧ-поле в пространстве взаимодействия имеет вид石⑴=U(t)/D = % sin (g力)/0.石⑴=U(t)/D = % sin (g力)/0.(6.26)(6.26)Сигнал mU(力){m — коэффицент ослабления в цепи обратной связи), воздействуя на поток с задержкой г, также приводит к модуляции потока. Тогда для нахождения закона модуляции необходимо проинтегрировать уравнение движения электрона в поле модулирующего зазора, которое можно записать какСигнал mU(力){m — коэффицент ослабления в цепи обратной связи), воздействуя на поток с задержкой г, также приводит к модуляции потока. Тогда для нахождения закона модуляции необходимо проинтегрировать уравнение движения электрона в поле модулирующего зазора, которое можно записать какж = ^Vi [sin (g力)+ a sin (g力 + /)] .(6.27)ж = ^Vi [sin (g力)+ a sin (g力 + /)] .(6.27)где /3 = 2тгт/7о5 7b = 2tt/g, d — размер модуляционного зазора, а — отношение глубины модуляции потока сигналом обратной связи к глубине модуляции потока во входном резонаторе (а < 1).Интегрируя уравнение (6.27) при начальных условиях ut = g力匕 x = =Vo, ж = 0 получаемгде /3 = 2тгт/7о5 7b = 2tt/g, d — размер модуляционного зазора, а — отношение глубины модуляции потока сигналом обратной связи к глубине модуляции потока во входном резонаторе (а < 1).Интегрируя уравнение (6.27) при начальных условиях ut = g力匕 x = =Vo, ж = 0 получаем少=少0少=少0[§ sin(g/2)I2 9o/2[§ sin(g/2)I2 9o/2sin Rh + ^) + & sin Rh + 3 + ^)] }，(6.28)sin Rh + ^) + & sin Rh + 3 + ^)] }，(6.28)go /2 L '2 /go /2 L '2 /+q cos+q cosSoSo[cos(G力 1) + Q COS(G力 1 +/)]>.[cos(G力 1) + Q COS(G力 1 +/)]>.(6.29)(6.29)

=呜/2〃. Для простоты выкладок и получения в результате аналитического выражения для КПД пренебрегается релятивистскими эффектами движения потока.

Будем предполагать, что: 1) амплитуда колебаний электрического поля ВЧ в пространстве взаимодействия E(t) мала по сравнению с тормозящим полем Vo； 2) модуляция электронного потока, поступающего в область виртуального катода, определяется только колебаниями электрического поля во входном резонаторе и сигналом обратной связи, причем предполагается, что модуляция сигналом обратной связи не влияет на возбуждение резонатора 】);3) влиянием поля в рабочей камере прибора на колебания в резонаторе при небольших зазорах пролетного канала электронного пучка из резонатора в камеру дрейфа можно пренебречь 2).

Найдем закон модуляции по скорости на входе в пространство взаимодействия с высокочастотным и тормозящим полем. Между сетками резонатора действует переменное напряжение 所 sin (g力).Предположим, что ВЧ-поле в пространстве взаимодействия имеет вид

=呜/2〃. Для простоты выкладок и получения в результате аналитического выражения для КПД пренебрегается релятивистскими эффектами движения потока.

Будем предполагать, что: 1) амплитуда колебаний электрического поля ВЧ в пространстве взаимодействия E(t) мала по сравнению с тормозящим полем Vo； 2) модуляция электронного потока, поступающего в область виртуального катода, определяется только колебаниями электрического поля во входном резонаторе и сигналом обратной связи, причем предполагается, что модуляция сигналом обратной связи не влияет на возбуждение резонатора 】);3) влиянием поля в рабочей камере прибора на колебания в резонаторе при небольших зазорах пролетного канала электронного пучка из резонатора в камеру дрейфа можно пренебречь 2).

Найдем закон модуляции по скорости на входе в пространство взаимодействия с высокочастотным и тормозящим полем. Между сетками резонатора действует переменное напряжение 所 sin (g力).Предположим, что ВЧ-поле в пространстве взаимодействия имеет вид

石⑴=U(t)/D = % sin (g力)/0.

石⑴=U(t)/D = % sin (g力)/0.

(6.26)

(6.26)

Сигнал mU(力){m — коэффицент ослабления в цепи обратной связи), воздействуя на поток с задержкой г, также приводит к модуляции потока. Тогда для нахождения закона модуляции необходимо проинтегрировать уравнение движения электрона в поле модулирующего зазора, которое можно записать как

Сигнал mU(力){m — коэффицент ослабления в цепи обратной связи), воздействуя на поток с задержкой г, также приводит к модуляции потока. Тогда для нахождения закона модуляции необходимо проинтегрировать уравнение движения электрона в поле модулирующего зазора, которое можно записать как

ж = ^Vi [sin (g力)+ a sin (g力 + /)] .(6.27)

ж = ^Vi [sin (g力)+ a sin (g力 + /)] .(6.27)

где /3 = 2тгт/7о5 7b = 2tt/g, d — размер модуляционного зазора, а — отношение глубины модуляции потока сигналом обратной связи к глубине модуляции потока во входном резонаторе (а < 1).

Интегрируя уравнение (6.27) при начальных условиях ut = g力匕 x = =Vo, ж = 0 получаем

где /3 = 2тгт/7о5 7b = 2tt/g, d — размер модуляционного зазора, а — отношение глубины модуляции потока сигналом обратной связи к глубине модуляции потока во входном резонаторе (а < 1).

Интегрируя уравнение (6.27) при начальных условиях ut = g力匕 x = =Vo, ж = 0 получаем

少=少0

少=少0

[§ sin(g/2)

I2 9o/2

[§ sin(g/2)

I2 9o/2

sin Rh + ^) + & sin Rh + 3 + ^)] }，

(6.28)

sin Rh + ^) + & sin Rh + 3 + ^)] }，

(6.28)

go /2 L '2 /

go /2 L '2 /

+q cos

+q cos

So

So

[cos(G力 1) + Q COS(G力 1 +/)]>.

[cos(G力 1) + Q COS(G力 1 +/)]>.

(6.29)

(6.29)

Здесь § = Ц/Vb, go = Gd/。。— невозмущенный угол пролета в модуляционном зазоре. При малых § выражение (6.28) упрощается, и получаем закон модуляции потока в виде

少= °о{1 + ^^ 卜in (幻力1 + 导)+ asin (幻力1 + 3 + 导)]} , (6.30)

где М = sin (зо/2) / (夕。/2) — параметр эффективности модуляции во входной секции.

Рассмотрим теперь движение потока в пространстве взаимодействия с тормозящим полем (см., например, [30, лекция 2]). Угол пролета в пространстве группирования имеет вид

J = G（力一力=—J = G（力一力=—(6.31)(6.31)

J = G（力一力=—

J = G（力一力=—

(6.31)

(6.31)

где 力/ — момент влета электрона в пространство взаимодействия из резонатора. Невозмущенный угол пролета электронов запишется как % = 4G 力/00.

Заменим реальный входной модулятор шириной d бесконечно тонким эквивалентным зазором, который электрон пролетает в момент времени 力].Тогда соотношение (6.30) перепишется в виде

(6.32)(6.32)少=少0 { 1 + ^― [sin(G力 1) + Q sin(G力 1 +

(6.32)

(6.32)

Подставляя (9.38) в выражение (6.31), и учитывая, что d《D)для угла пролета электрона в пространстве взаимодействия найдем

J = % + Xo[sin(G力 1) + Q sin(G力 1 + /)],(6.33)

Xo = ；£"%•(6.34)

Из закона сохранения заряда г = /о | ^-1 легко получить выражение для сгруппированного в поле виртуального катода тока:

г = /о /(1 + X。[cos(g力 1) + q cos(g力 1 + /)]) .(6.35)

При этом амплитуда первой гармоники сгруппированного тока имеет вид

(6.36)(6.36)21 = 2/о Ji(Xo)[cOS(G力—%) + Q COS(G力 + / — %)],

(6.36)

(6.36)

где Ji — функция Бесселя 1-го порядка.

Для анализа стационарного режима работы генератора запишем закон сохранения энергии (баланс активных мощностей) в пространстве взаимодействия:

2tv/ш D

(6.37)(6.37)Pfik =-不 I 卜\(t) Е (t) dt doc = — Pea •0 0

(6.37)

(6.37)

Здесь 石⑴ дается выражением (6.26), Pnk = Рп + Р^ — активная мощность, выделяющаяся в нагрузке (Рп) и потери внутри резонатора (R).

Используя (6.26) и (6.36) и интегрируя (9.40), находим, что

Pnk = /оVbf* Ji(Xo)7H sin 3q[1 + a cos户 + a sin 户 ctg %],(6.38)

где С = %/%•

Предположим, что невозмущенный угол пролета электронов в отражающем поле виртуального катода близок к оптимальному, т. е. % ^ ^ (%)опт = 2тг (п — 1/4) , п = 1,2,... Тогда последним слагаемым в квадратных скобках в соотношении (6.38) пренебрегаем, и для величины Рпк получаем выражение вида

Pnk = IqV^JA^)M cos Ф [1 + q cos ^],(6.39)

где Ф = % — 27r (几一1/4) , n = 1, 2,

Уже из этого выражения видно, что длительность задержки обратной связи оказывает сильное влияние на мощность взаимодействия электронного потока с электромагнитным полем в рабочей камере прибора. Преобразуем выражение (6.39) к удобному для анализа виду. Представим резонатор, в котором формируется виртуальный катод, эквивалентной схемой, что предполагает наличие только одной резонансной частоты J = 1 /7LC (L и С — соответственно индуктивность и емкость эквивалентного резонанасного контура). Соотношение (6.39) представляет собой уравнение стационарных колебаний генератора, которое может быть записано в виде [30, лекция 2]:

gnk +ge = 0,(6.40)

где gnk = gn + gk = ^Pnk/Уз — суммарная активная проводимость резонатора и нагрузки; ge = 2Pea/V^ — активная электронная проводимость. Учитывая определение X。и вид выражения (6.39), получаем, что

Ji(Xo) gnk%)Хо

Хо IqM20q cos Ф [1 + q cos /3]'

Тогда, вводя Х^ = §*/§Х。= ^М0^/2 — эффективный параметр группирования, окончательно с учетом выражения (6.39) находим электронный КПД виркатора-клистрона с внешней обратной связью в виде

〃=铝=2Х^1(：о)зФ 口 + qcos(2»t/7o)].(6.42)

При а = 0 из формулы (6.42) получаем выражение для КПД виркатора-клистрона без обратной связи. Оценка величины КПД с помощью выражения (6.42) с параметрами, соответствующими исследуемой модели, и о% = 0,5 дает величину ту 〜0,05. Малое значение полученного КПД виркатора вполне понятно, так как рассматривается система, в которой группировка и взаимодействие происходят в одном ВЧ-поле — пространстве группировки с отражательным полем, и мощность взаимодействия пропорциональна величине (§*)?, которая

в рамках сделанных предположений мала. Расчет электронного КПД по формуле (6.42) дает качественно такую же картину, как и результаты численного эксперимента: максимальный КПД достигается при г = О или То； минимальный — при т = 0,5ТЬ-

В работах [83, 84] было проведено численное моделирование физических процессов в виркаторе-клистроне с внешней запаздывающей обратной связью в рамках электромагнитного моделирования.

Рассматриваемая в работах [83,84] модель представляла собой отрезок цилиндрического волновода, полого при 0 < 2； < / и коаксиального при I < z < L. Область коаксиального волновода была заполнена однородной проводящей средой с проводимостью ст, что моделировало коаксиальный вывод энергии. Длина поглощающей области и величина ст подбирались такими, чтобы обеспечить коэффициент отражения по мощности, не превышающий 10 %. Радиус рабочей камеры R = 3,0 см; длина L = 16,0 см; / = 10 см. Внутрь рабочей камеры через входной узкий коаксиальный резонатор инжектировали моноскоростной аксиально-симметричный трубчатый пучок с током / и энергией 560 кэВ. Радиус пучка 厂ь = 2 см. Ток пучка превышал критическое значение для данной геометрии, поэтому в электронном пучке в пространстве дрейфа формировался виртуальный катод. На входе пространства взаимодействия располагалась секция, в которой электронный пучок модулировался по скорости сигналом обратной связи, и входной коаксиальный резонатор, настроенный на частоту %, примерно равную частоте свободных колебаний виртуального катода (она составляла величину порядка 8 ГГц). Отраженный от виртуального катода поток пронизывал резонатор и оседал на входной сетке, не участвуя в колебаниях потока в промежутке катод-ви рту альный катод («редитронная» модель). Сигнал из коаксиального выходного волновода через цепь внешней обратной связи с длительностью задержки т поступает во входной модулятор. Вдоль оси системы было приложено сильное магнитное поле, и движение электронов можно было рассматривать как одномерное. Поток моделировался совокупностью нескольких заряженных колец различного радиуса, что позволяло учесть распределение плотности тока пучка в поперечном сечении волновода.

Полученные в результате численного моделирования виркато- ра-клистрона с внешней запаздывающей обратной связью зависимости КПД от времени задержки обратной связи приведены на рис. 6.17. На том же рисунке представлены зависимости КПД виркатора-клистрона, рассчитанные по формуле (6.42). Можно отметить достаточно хорошее совпадение результатов аналитической теории и численного эксперимента. При больших токах пучка (/》7 кА), когда величина коэффициента обратной связи а < 0,5, эти результаты совпадают лучше, чем при меньших токах. Из рисунка также видно, что с увеличением тока пучка КПД генератора падает. Такое поведение КПД является характерным для генератора на виртуальном катоде [86, 87]. Изменение задержки обратной связи позволяет изменять КПД в широких пределах, причем максимальная эффективность преобразования энергии пучка в электромагнитное поле, как показало

Рис. 6.17. Зависимость электронного КПД виркатора-клистрона от времени запаздывания в цепи внешней обратной связи для различных токов пучка (численное моделирование (точки) и расчет по формуле (6.42) (штриховые и сплошные линии)): △ (линия 1) — 6,3 кА, □ (линия 2) — 6,9 кА, Q (линия 3) — 7,5 кА

численное моделирование, достигается при т ^ 0 или То- Минимальный КПД имеет место при г ^ 0,5ТЬ- Это связано с тем, что в этом случае модуляция потока сигналом внешней обратной связи и полем входного резонатора происходит в противофазе.

В работе [84] было проведено исследование характерных режимов генерации в виркаторе-клистроне при изменении параметров внешней обратной связи и тока пучка. Численный анализ показал, что при изменении тока пучка в пределах 5 4- 10 кА и времени задержки г от 0 до То, где То = 1//о (/о — «холодная» резонансная частота входного резонатора), в виркаторе наблюдались различные режимы колебаний, границы которых на плоскости (/, т) представлены на рис. 6.18.

Можно выделить три характерных режима генерации.

При значениях / иг, соответствующих области А на карте режимов, наблюдаются колебания, близкие к одночастотным, когда в спектре имеет место одна основная спектральная компонента. Характерный для этого режима спектр мощности, построенный по колебаниям электрического поля в выходном коаксиальном волноводе, представлен на рис. 6.19 а, рассчитанный для / = 6,3 кА, т/7Ь = 1,0. В спектре мощности можно выделить основную частоту, кроме этого слабо выражена вторая основная частота, находящаяся в иррациональном соотношении с первой. Уровень основной спектральной компоненты превышает уровень второй частоты более чем на 20 дБ. Остальные высокочастотные составляющие представляют собой гармоники и комбинационные составляющие двух основных частот. В спектре присутствует слабоизрезанный шумовой пьедестал на уровне порядка 40 дБ в области 10 ГГц, который быстро спадает с ростом частоты.

Между режимами А и Б наблюдается количественное различие. Переход к режиму Б приводит к росту второй спектральной компонен-

Рис. 6.18. Характерные режимы генерации виркатора-клистрона с внешней обратной связью плоскости параметров (/, т) на области с различными динамическими режимами

ты — ее мощность в спектре увеличивается до —15 дБ. Одновременно имеет место увеличение мощности шумового пьедестала в спектре колебаний.

В режиме 5 (рис. 6.19 5, построенный при / = 6,3 кА, и t/Tq = =0,25) наблюдается существенное усложнение колебаний. В спектре на фоне выросшего шумового основания наблюдаются две спектральные компоненты с несоизмеримыми частотами, причем их спектральная мощность приблизительно одинакова.

Для выяснения причин появления в спектре генерации второй независимой частоты исследовались функции распределения Ф(7}) заряженных частиц по временам жизни 7} в пространстве дрейфа. На

ДДдЕД/)Д/)

0,0 15,0 /GHz Дт+7) 0,02,0

6'

Рис. 6.19. Характеристики колебаний выходного поля виркатора-клистрона с внешней обратной связью для режима слабохаотической (а) и развитой хаотической (б) генерации

Рис. 6.20. Функция распределения по временам жизни электронов для режима Л (а) и 5 (б), построенные для среднего слоя электронного пучка

рис. 6.20 представлены соответствующие зависимости для режима А (рис. 6.20 а, / = 6,9 кА, т/Т。= 1,0) и режима 5 (рис. 6.20 5, / = = 6,9кА, т/7о = 0,25). Для режима 4, близкого к одночастотному, распределение Ф(7}) в области времен жизни 7} G (0, 400), соответствующих отраженным от виртуального катода электронам, имеет один глобальный максимум (рис. 6.20 а). Это соответствует существованию в потоке только одной пространственной структуры (виртуального катода) ,соответственно в спектре генерации наблюдается одна основная спектральная компонента, соответствующая периоду его колебаний как единого целого. В отличие от этого, для режима 5 (рис. 6.20 б) функция распределения в рассматриваемой области малых 7} имеет два четко наблюдаемых максимума. Появление на функции распределения двух выделенных пиков (один из которых (отмечен на рисунке стрелкой) хорошо сформирован и его расположение на оси абсцисс совпадает с предыдущим случаем; другой — сильно расплывшийся, располагающийся правее по оси абсцисс — характерен только для данного режима) свидетельствует о формировании в потоке двух электронных структур, отражающих заряженные частицы. Характерные времена жизни частиц, принадлежащих каждой из этих структур, находятся в том же соотношении, что и основные частоты в спектре мощности. При временах задержки, соответствующих режиму 5 (т 〜0,25Tb,也 следовательно, т 〜(Те), где (Те) — среднее время пролета электрона, отраженного от виртуального катода) максимальная модуляция потока по скорости приходится на моменты времени, когда виртуальный

6,00

4,00

2,00§

0,00

0,00200,00400,00 т,пс

Рис. 6.21. Зависимость электронного КПД виркатора-клистрона с сильно расстроенным входным резонатором от времени запаздывания для различных токов пучка: △ — 6,3 кА, □ — 8,1 кА. КПД генератора с сильно расстроенным входным резонатором, но без обратной связи при токе пучка / = 6,3 кА равен 3,7%; при / = 8,1 кА равен 2,2 %

катод в потоке «открывается», и плотность пространственного заряда р в области, примыкающей к плоскости инжекции, минимальна. В этом случае в результате модуляции потока сигналом обратной связи, амплитуда которого велика, благодаря группировке электронов наблюдается образование дополнительных структур, рост которых слабо демпфируется пространственным зарядом, так как р мало. В результате в пучке наблюдается формирование плотных сгустков (дополнительных электронных структур), заряда которых достаточно для отражения от них части электронного потока. Последнее приводит к росту неустойчивости движения потока, и колебания становятся сильно хаотическими. Отметим также, что и в случае т ~ 7bB области малых времен жизни на графике виден, наряду с глобальным максимумом, небольшой локальный максимум в области больших времен жизни. Именно с динамикой частиц, имеющих времена жизни, соответствующие этому локальному максимуму, связано появление в спектре мощности второй независимой низкочастотной спектральной составляющей. Данный временной масштаб динамики потока слабо выражен как на функции распределения, так и в спектре мощности колебаний. Вместе с тем, с уменьшением времени т образование и влияние вторичных структур на динамику потока растет, одновременно увеличивается и интенсивность соответствующей спектральной компоненты.

При сильной расстройке резонансной частоты входного резонатора от частоты колебаний виртуального катода (%〉/вк) в виркаторе- клистроне наблюдаются развитые шумовые колебания со сплошным спектром мощности СВЧ-излучения. Вид спектра мощности шумовой генерации не изменяется при изменении параметров обратной связи.

Этого нельзя сказать об эффективности передачи энергии пучка электромагнитному полю. Как и в случае настроенного на частоту /вк резонатора была обнаружена сильная зависимость КПД генератора от времени запаздывания сигнала в цепи обратной связи. На рис. 6.21 представлена зависимость ту от времени запаздывания г для двух различных токов пучка. Из рисунка видно, что существует оптимальное время запаздывания гОПт ^ 350 4- 400 пс, при котором КПД максимален и составляет порядка 5 4- 7%, причем гОПт одинаково для различных токов пучка.

Связанные системы на виртуальном катоде

Известно, что максимальная мощность генерации электромагнитного излучения, достигнутая в СВЧ-диапазоне, увеличивается примерно на порядок каждое десятилетие [27]. Вместе с тем дальнейший рост мощности весьма затруднен в связи с тем, что достигнутые мощности генерации настолько велики, что в электродинамических структурах сверхмощных генераторов возникают электрические пробои. Так в работе [88], где было достигнута мощность генерации 22 ГВт, излучение не выводилось из прибора в атмосферу, так как электрическое поле такой напряженности сразу же вызывало пробой воздуха, и плазма экранировала вывод сверхвысокочастотного излучения.

Возможность дальнейшего повышения уровня мощности лежит на пути создания фазированных антенных решеток (ФАР), в которых в качестве модулей будут выступать современные сверхмощные генераторы. В ряде работ в качестве таких элементарных модулей рассматриваются генераторы на виртуальном катоде (см., например, [11,14,15,27]).

Основной проблемой, которую требуется решить при разработке ФАР с использованием генераторов сверхмощного излучения, является необходимость очень быстрой настройки частоты и фазы генерируемых сигналов в каждом из виркаторов в течение короткого импульса ускоряющего напряжения (несколько десятков наносекунд) [27]. Было предложено три пути решения данной проблемы.

Элементы ФАР (виркаторы) связываются между собой взаимной линией связи. Такая конструкция возможна, если длина линии связи между двумя наиболее удаленными генераторами такова, что время распространения сигнала по ней существенно меньше длительности импульса излучения, генерируемого виркаторами.

Управление каждым из элементов ФАР путем воздействия на них сигналом высокостабильного внешнего генератора со сравнительно низким уровнем мощности (магнетрон, ЛБВ ЦСР и т. п.). Недостатком такого подхода является то, что на мощность управляющего сигнала, подаваемого на каждый из модулей ФАР, накладывается вполне определенное ограничение: при слишком низком уровне мощности синхронизовать частоту и установить нужную фазу сигнала невозможно. Поэтому учитывая, что управляющий сигнал должен быть подан на

Таблица 6.4

Изменение частоты генерации триода с виртуальным катодом при воздейстии на него внешнего сигнала (из работы [89])

Эксперимент

1

2

3

4

/о, ГГц

2,58

2,62

2,82

2,90

8, МГц

+270

+230

+30

-50

/вк, ГГц

3,03

3,02

2,88

2,75

каждый из модулей ФАР, выходная мощность внешнего генератора требуется достаточно большой.

Использование схем подключения генераторов, сочетающих оба вышеназванных подхода.

Число исследований, в которых анализировались возможности создания сверхмощных ФАР на виркаторах, достаточно велико.

Первые эксперименты касались влияния внешних сравнительно малых по мощности электромагнитных полей на колебания виртуального катода. Один из первых таких экспериментов был описан в работе [89], где исследовалась возможность изменения частоты генерации отражательного триода с виртуальным катодом внешним сигналом. СВЧ-триод с виртуальным катодом, схема которого аналогична представленной на рис. 6.3 а, генерировал излучение с мощностью 100 4- 200 МВт и частотой, которая в эксперименте менялась в пределах /о ~ 2,5 4- 3,0 ГГц. Внешний сигнал с мощностью 400 кВт, длительностью импульса 1,5 мкс и частотой /вн = 2,85 ГГц подавался в область формирования виртуального катода через окно в рабочей камере. Управляющий сигнал генерировался имульсным магнетроном. Рассматривалось влияние частотной расстройки 5 = /вн — /о на частоту генерации /вк・ Величина 3 менялась за счет изменения частоты генерации отражательного триода. Результаты экспериментальных исследований изменения частоты генерации представлены в табл. 6.4. Из анализа данных можно сделать вывод, что частота колебаний виртуального катода меняется при влиянии на него управляющего сигнала даже небольшого уровня мощности по сравнению с мощностью генерации синхронизируемого виркатора.

Дальнейшие исследования вопроса синхронизации виркатора внешним сигналом проводились в работах [90-92], где анализировались колебания виртуального катода при воздействии на него сигнала релятивистского магнетрона.

Экспериментальное исследование двух генераторов на виртуальном катоде, связанных через волновод и запитываемых одним высоковольтным источником, представлено в работе [13]. Полная выходная мощность комплекса составляла 1,6 ГВт, фазовая синхронизация колебаний в каждом из модулей устанавливалась в течение 10 нс и далее поддерживалась около 45 нс, т. е. в течение длительности импульса ускоряющего напряжения. Схема экспериментальной установки представлена на рис. 6.22 а.

Рис. 6.22. Схемы связанных генераторов на виртуальном катоде: а — два виркатора с волноводной связью (1 — общий анодный электрод, 2 — общий катодный электрод, 3 — детектор СВЧ-мощности, 4 — элемент связи, 5 — волновод связи, 6 — анодная сетка, 7 — короткозамкнутый передвижной поршень) [13]; б — два связанных виркатора через общий резонатор (1 — катод сильноточного ускорителя, 2 — анодная сетка, 3 — коллектор электронов (использовался в экспериментах с электромагнитной связью между виркаторами), 4 — вывод СВЧ-мощности, 5 — элементы связи с детекторами для анализа колебаний в каждом из связанных виркаторов) [10]

Другая схема связи двух виркаторов предложена в работе [10]. В ней виркаторы были связаны через общий резонатор (рис. 6.22 б). Два сильноточных электронных ускорителя создавали пучки, направленные навстречу друг другу, в каждом из которых формировался виртуальный катод. Рассматривалось два типа связи: в первом случае между пучками помещалась металлическая пластина 3 (см. рис. 6.22 6), которая выступала в качестве коллектора для каждого из пучков. В этом случае связь между генераторами обеспечивалась только через общее электромагнитное поле резонатора (электромагнитная связь). Во втором случае пластина убиралась, и встречные электронные пучки оказывались сильно связаны между собой через общее поле пространственного заряда (электростатическая связь). Длительность имульса тока ускорителей составляла порядка 160 нс. Синхронизация в такой системе наблюдалась в течение 100 нс. Длительность установления режима синхронизации была на уровне 50 4- 60 нс. Столь большая длительность установления синхронного режима связана с высокой добротностью резонатора, через который связаны виркаторы. В соотвествии с соотношением (6.22) увеличение добротности резонансной системы приводит к росту длительности времени реакции автоколебательной системы на внешний сигнал. В работе экспериментально исследовалось влияние

ФАРФАР44Рис. 6.23. а — схема сверхмощной ФАР, базирующейся на параллельно связанных виртодах (1 — источник энергии, 2, 7— фазовращатели, 3— зарядное устройство, 4 — линия формирования высоковольного импульса, 5 — вакуумный диод, 6 — генератор виртодного типа, 8 — антенна); б — схема ФАР на двух связанных виртодах (1 — ускорительная секция, 2 — фокусирующая система, 3 — выходной волновод, 4 — линии связи) (из работы [14])Рис. 6.23. а — схема сверхмощной ФАР, базирующейся на параллельно связанных виртодах (1 — источник энергии, 2, 7— фазовращатели, 3— зарядное устройство, 4 — линия формирования высоковольного импульса, 5 — вакуумный диод, 6 — генератор виртодного типа, 8 — антенна); б — схема ФАР на двух связанных виртодах (1 — ускорительная секция, 2 — фокусирующая система, 3 — выходной волновод, 4 — линии связи) (из работы [14])

ФАР

ФАР

4

4

Рис. 6.23. а — схема сверхмощной ФАР, базирующейся на параллельно связанных виртодах (1 — источник энергии, 2, 7— фазовращатели, 3— зарядное устройство, 4 — линия формирования высоковольного импульса, 5 — вакуумный диод, 6 — генератор виртодного типа, 8 — антенна); б — схема ФАР на двух связанных виртодах (1 — ускорительная секция, 2 — фокусирующая система, 3 — выходной волновод, 4 — линии связи) (из работы [14])

Рис. 6.23. а — схема сверхмощной ФАР, базирующейся на параллельно связанных виртодах (1 — источник энергии, 2, 7— фазовращатели, 3— зарядное устройство, 4 — линия формирования высоковольного импульса, 5 — вакуумный диод, 6 — генератор виртодного типа, 8 — антенна); б — схема ФАР на двух связанных виртодах (1 — ускорительная секция, 2 — фокусирующая система, 3 — выходной волновод, 4 — линии связи) (из работы [14])

добротности резонатора, через который связаны виркаторы, и было показано, что режим синхронизации наблюдается при любой добротности и геометрии связанной системы. Обратим внимание, что сигналы для анализа характеристик колебаний каждого из виркаторов снимались из областей ускорения РЭП, которая экранирована от общего резонатора анодной сеткой, так как для выяснения вопросов синхронизации колебаний каждого из виртуальных катодов анализировать колебания в общем резонаторе бессмысленно.

В работе [14] была предложена схема сверхмощной ФАР на параллельно связанных виркаторах (рис. 6.23 а). В качестве элементарного модуля такой ФАР предполагалось использовать виртод. Схема экспериментально реализованного прототипа такой ФАР на двух связанных виртодах представлена на рис. 6.23 б. Применение в качестве элементарного модуля виртода (в котором принципиально отсутствует высокодобротная колебательная система) позволяет осуществить очень быструю синхронизацию колебаний и установление нужной разности фаз между генераторами (см. предыдущий раздел, лекцию 7(22), а также работу [93]).

В предложенной системе для обеспечения синхронизации генераторов и обеспечения необходимого сдвига фаз между их выходными сигналами вводятся электронно управляемые фазовращатели в линии связи между соседними виртодами (см. рис. 6.23 а). Синхронизация генераторов обеспечивается за счет отвода части мощности (порядка 15 % от генерируемой мощности) в область ускорения пучка соседнего генератора (см. рис. 6.23 6). Благодаря возможности выбора фазы управляющих сигналов, подаваемых на каждый из виртодов, накопление фазовой ошибки на длине апертуры антенны может быть существенно уменьшено. При этом существует возможность электронным образом перестраивать фазовращатели, а следовательно, и распределение фа-

Рис. 6.24. Фотография сверхмощной ФАР «Фрегат», базирующаяся на 14 виркаторах (из работы [27])

зы сигнала вдоль длины ФАР. Такая ФАР, основанная на многоэлементном источнике сверхмощного излучения, имеет узкую диаграмму направленности и обладает возможностью сканирования радиолуча в пространстве путем изменения фазы выходного поля виртодов.

В 1992 г. в Российском федеральном ядерном центре ВНИИЭФ была создана импульсная ФАР «Фрегат», состоящая из 14 виркаторов, которые управлялись одним мощным СВЧ-генератором [27]. Все виркаторы были собраны в два горизонтальных ряда, и находились друг от друга на расстоянии 72cM. Рисунок 6.24, взятый из работы [27], демонстрирует внешний вид ФАР «Фрегат». Сверхмощная ФАР «Фрегат» использовалась для исследования физических процессов в сверхвысокочастотных генераторах, а также применялась в экологических исследованиях [27].

В следующей лекции, посвященной вопросам синхронизации в сверхвысокочастотной электронике, будут представлены и обсуждены некоторые закономерности синхронизации автоколебаний в активной среде «электронный пучок с виртуальным катодом- электромагнитное поле».

Список литературы

Физика и техника мощных импульсных систем / Под. ред. Е.П. Велихова. —М.: Энергатомиздат, 1987.

Бабыкин М.В. Генерация и фокусировка сильноточных релятивистских электронных пучков / Под. ред. Л.И. Рудакова. — М.: Энергатомиздат, 1990.

Бугаев С.П., Литвинов Е.А., Месяц Г.А., Проскуровский 〃.〃. Взрывная эмиссия электронов “ УФН. 1975. Т. 115, N@ 1. С. 101.

Диденко А.Н., Григорьев В.П., Усов Ю.П. Мощные электронные пучки и их применение. — М.: Энергатомиздат 1977.

Литвинов Е.А. Сильноточные релятивистские электронные пучки “ Соросовский образовательный журнал. 1998. № 6. С. 100.

Mahaffey R.A., Sprangle Р.А., Golden J., Kapetanakos C.A. High- power microwaves from a non-isochronous reflecting electron system “ Phys. Rev. Lett. 1977. V. 39, No 13. P. 843.

Kapetanakos C.A., Sprangle P.A., Mahaffey R.A., Golden J. High- power microwaves from a non-isochronous reflecting electron system (NIRES). US Patent 4150340, 17.04.79. H 01 J 25/74.

Диденко A.H., Красик Я.Е., Перелыгин С. Ф., Фоменко Г.П. Генерация мощного СВЧ-излучения релятивистским электронным пучком в триодной системе 〃 Письма в ЖТФ. 1979. Т. 5, вып. 6. С. 321.

Sullivan D.J. High-power microwave generator using relativistic electron beam in waveguide drift tube. US Patent 4345220, 17.08.82. H 03 В 9.01.

Hendricks K., Richard A. and Noggle R. Experimental results of phase locking two virtual cathode oscillator Ц J. Appl. Phys. 1990. V. 68, No 2. P. 820.

Алёхин Б.В., Дубинов A.E., Селемир В.Д., Степанов Н.В., Шамро О.А., Шибалко К.В. Натурная имитация импульсной фазированной решётки на основе виркаторов Ц Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1995. Т. 3, № 1. С. 28.

Didenko A.N. Influence of external high frequency signal on generation in the virtual cathode “ Abstracts on the 7th International Conference on High-Power Particle Beams. Karlsruhe, 1988. P. 338.

Sze H., Price D., Harteneck B. Phase locking of two strongly coupled vircators “ J. Appl. Phys. 1990. V. 67, No 5. P. 2278.

Magda /./.〉Prokopenko Yu. V. Cooperative high-power radiation of two beams at the dual vircator complex Ц Proc, of the 11th Int. Conf, on High Power Particle Beams (BEAMS596). (Prague, Czech Republic, June 10-14 1996), V. 1. Prague: 1996. P. 422.

Дубинов A.E., Селемир В.Д., Царев А.В. Фазированные антенные решетки на основе виркаторов: численные эксперименты Ц Изв. вузов. Радиофизика. 2000. Т. XLIII, N@ 8. С. 709.

Диденко А.Н., Жерлицын А.Г., Сулакшин А.С. и др. Генерация мощного СВЧ-излучения в триодной системе сильноточным пучком микросекундной длительности Ц Письма в ЖТФ. 1983. Т. 9, № 24. С. 48.

Hanio Н., Nakagawa У. Generation of intense pulsed microwave from a high-density virtual cathode of a reflex diode “ J. Appl. Phys. 1991. V. 70, No 2. P. 1004.

Coutsias Е.А., Sullivan D.J. Space-charged limit instabilities in electron beams Ц Phys. Rev. A. 1983. V. 27, No 3. P. 1535.

Жерлицын А.Г., Кузнецов С.И., Мельников Г.В., Фоменко Г.П. Генерация СВЧ-колебаний при формировании виртуального катода в сильноточном электронном пучке Ц ЖТФ. 1986. Т. 66, № 7. С. 1245.

Davis Н.А., Bartsch R.R., Kwan T.J. T. et al Gigawatt-level microwave bursts from a new type of virtual-cathode oscillator “ Phys. Rev. Lett. 1987. V. 59, No 5. P. 288.

Жерлицын А.Г., Мельников Г.В., Фоменко Г.П., Цветков В.И. Экспериментальное исследование влияния внешнего магнитного поля на генерацию СВЧ-колебаний в виркаторе Ц Тез. VII Всесоюзного симпоз. по сильноточной электронике. Томск, 1988.

Davis Н.А., Bartsch R.R., Kwan T.J. T. et al Experimental confirmation of the reditron concept Ц IEEE Trans. Plasma Sci. 1988. V. 16, No 2. P. 192.

High Power Microwave Sources / Ed. by V.L. Granatstein and I. Alexeff. — Boston: Artech Hourse, 1987. Ch. 13,14.

Артюх И.Г., Сандалов А.Н., Сулакшин А.С., Фоменко Г.П., Штейн Ю.Г. Релятивистские СВЧ устройства сверхбольшой мощности “ Обзоры по электронной технике. Серия I. Электроника СВЧ. М: ЦНИИ «Электроника», 1989.

Рухадзе А.А., Столбецов С.Д., Тараканов В.П. Виркаторы (обзор) “ Радиотехника и электроника. 1992. Т. 37, N@ 3. С. 385.

Селемир В.Д., Алёхин Б.В., Ватрунин В.Е., Дубинов А.Е., Степанов Н.В., Шамро О.А., Шибалко К.В. Теоретические и экспериментальные исследования СВЧ-приборов с виртуальным катодом “ Физика плазмы. 1994. Т. 20,血 7, 8. С. 689.

Дубинов А.Е., Селемир В.Д. Электронные приборы с виртуальным катодом “ Радиотехника и электроника. 2002. Т. 47, № 6. С. 575.

Бунин Г.Г., Васенькин В.А. Отражательные клистроны. — М.: Сов. радио, 1966.

Шевчик В.Н., Шведов Г.Н., Соболева А.В. Волновые и колебательные явления в электронных потоках на сверхвысоких частотах.— Саратов: Изд-во С ГУ, 1963.

Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Лекции по сверхвысокочастотной электронике для физиков. Том 1. — М.: Физматлит, 2003.

Кузелев М.В., Рухадзе А.А. Электродинамика плотных электронных пучков в плазме. — М.: Наука, 1990.

Шафер В.Ю., Филиппычев Д.С. “ ЖТФ. 1983. Т. 83. С. 1325.

Бейтмен，〉Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. — М.: Наука, 1974.

Didenko A.N., Fomenko G.P., Gleizer I.Z. Generation of high power RP pulses in ihe magnetron and reflex triode systems “ Proc. 3nd Int. Top. Conf, on High-Power Electron and Ion Beams. Novosibirsk. 1979. V.2. P.683.

Barkhausen H., Kurz K. Die kiirzesten, mit Vacuumrohren herstellbaren Wellen Ц Phys Zs. 1920. V. 21, No 1. P. 1.

Anderson T.M., Mondelli A.A., Levush B, Verboncoeur J.P., Birdsall C.K. Advances in modelling and simulation of vacuum electron devices “ Proceedings of the IEEE. May 1999. V. 87, No 5. P. 804.

Свешников А.Г., Якунин С.А. Численные модели бесстолкновительной плазмодинамики Ц Математическое моделирование. 1989. Т. 1, № 4. С. 1.

Григорьев А.Д. Современные методы моделирования нестационарных электромагнитных полей Ц Изв.вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7, N@ 4. С. 48.

Диденко А.Н., Арзин А.П., Жерлицын А.Г. Релятивистские триодные СВЧ-генераторы Ц Релятивистская высокочастотная электроника. Вып.4. — Горький: ИПФ АН СССР, 1984.

Диденко А.Н. Механизм генерации мощных СВЧ-колебаний в вир- каторе “ ДАН СССР. 1991. Т. 321, № 4. С. 727.

Buzzi I.M., Doucet H.I., Lomoin ". et al Impulsion micro-ondes gigawatt en bande X “ Le Jorn. de Phys. Lett. 1978. V. 59, No 2. P. 15.

Жерлицын А.Г., Кузнецов С.И., Мельников Г.В., Фоменко Г.П. Генерация СВЧ-колебаний при формировании виртуального катода в сильноточном электронном пучке Ц ЖТФ. 1986. Т. 66, № 7. С. 845.

Burkhart S.C., Scarpetty R.D., Lundberg R.L. A virtual cathode reflex triode for high power microwave generation “ J. Appl. Phys. 1985. V. 58, No 1. P. 28.

Davis H.A., Bartsch R.R., Sherwood E.G. et al Observation of high- power millimeter wave emission from в virtual cathode Ц Proc. 10th Int. Conf. Infrared and Millimeter Waves. Lake Buena Vista. 1985.

Burkhart £ C. Multigigawatt microwave generation by use of a virtual cathode oscillator driven by a 1-2 MV electron beam Ц J. Appl. Phys. 1987. V. 62, No 1. P. 75.

Sze H., Benford J., Young T. et al A radially and axially extracted virtual cathode oscillator (vircator) “ IEEE Trans. Plasma Sc. 1985. V. 15, No 6. P. 592.

Sze H., Benford J., Harteneck B. Dynamics of virtual cathode oscillator driven by a pinched diode Ц Phys. Fluids. 1986. V. 29, No 11. P. 5875.

Миллер P. Введение в физику сильноточных пучков заряженных частиц. — М., 1984.

Kwan T.J. T., Davis H.A. Numerical simulations of the reditron Ц IEEE Trans. Plasma Sci. 1988. V. 16, No 2. P. 185.

Davis H.A., Fulton R.D., Sherwood E.G., Kwan T.J. T. Efficient, multi-gigawatt, narrow bandwidth operation of the reditron oscillator “ Abstr. 7th Int. Conf, on High-Power Particle Beams. Karlsruhe. 1988. P. 555.

Brandt H.E. The turbutron Ц IEEE Transactions on Plasma Science. 1985. V. 13, No 6. P. 513.

Brandt H.E., Bromborsky 4., Graybill S.E., Kehs R.A. The turbutron — a new higher power millimeter-wave source “ Bull. Amer. Phys. Soc. 1982. V. 27. P. 1018.

Trubetskov D.I., Mchedlova E.S., Anfinogentov V.G., Ponomarenko V.I., Ryskin N.M. Nonlinear waves, chaos and patterns in microwave devices // CHAOS. 1996. V. 6, No 3. P. 358.

Афонин A.M., Диденко A.H., Пауткин А.Ф., Рошаль А.С. Нелинейная динамика виртуального катода в триодных системах 〃 РЭ. 1992. Т. 37, вып. 10. С. 1889.

Привезенцев А.П., Саблин Н.И., Филипенко Н.М., Фоменко Г.П. Нелинейные колебания виртуального катода в триодной системе // РЭ. 1992. Т. 37, вып. 7. С. 1242.

Трубецков Д.И., Анфиногентов В.Г., Рыскин Н.М., Титов В.Н., Храмов А.Е. Сложная динамика электронных приборов СВЧ (нелинейная нестационарная теория с позиций нелинейной динамики) “ Радиотехника. 1999. Т. 63, N@ 4. С. 61.

Привезенцев А.П., Фоменко Г.П. Сложная динамика потока заряженных частиц с виртуальным катодом Ц Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1994. Т. 2, № 5. С. 56.

Привезенцев А.П., Фоменко Г.П., Нелинейные когерентные структуры в колебаниях виртуального катода 〃 Лекции по СВЧ- электронике и радиофизике: 9-я зимняя школа семинар, Саратов, 1993. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1993. С. 130.

Анфиногентов В.Г. Взаимодействие когерентных структур и хаотическая динамика в электронном потоке с виртуальным катодом // Письма в ЖТФ. 1995. Т. 21, вып. 8. С. 70.

Анфиногентов В.Г. Нелинейная динамика электронного потока с виртуальным катодом в ограниченном пространстве дрейфа Ц Изв. вузов. Радиофизика. 1995. Т. 38, N@ 3/4. С. 268.

Анфиногентов В.Г., Храмов А.Е. К вопросу о механизме возникновения хаотической динамики в вакуумном СВЧ генераторе на виртуальном катоде “ Изв. вузов. Радиофизика. 1998. Т. XLI, № 9. С. 1137.

Храмов А.Е. Хаос и образование структур в электронном потоке с виртуальным катодом в ограниченном пространстве дрейфа Ц Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44, № 5. С. 551.

Grassberger Р., Procaccia J. On the characterization of strange attractors “ Phys. Rev. Lett. 1983. V. 50. P. 346.

Кузнецов С.П. Динамический хаос. — M.: Наука, 2001.

Шустер Л Детерминированный хаос. — М.: Мир, 1988.

Андрушкевич А.В., Кипчатов А.А., Красичков Л.В., Митрофанов А.П., Трубецков Д.И. Корреляционная размерность как мера сложности колебаний Ц Физика. Сб. статей (Прогр. «Университеты России») / Под ред. Тихонова А.Н., Садовничьего В.А. и др.— М.: МГУ. 1994. С. 32.

Бабин А.В., Вишик М.И. Аттракторы эволюцонных уравнений с частными производными и оценка их параметров Ц УМН. 1983. Т. 38, № 4. С. 133.

Lumley J.L. The structure of ingomogeneous turbulent flows // Atmospheric Turbulence and Radio Wave Propagation: Proc, of the Int. Colloquim / Ed. by A.M. Yaglom and V.I. Tatarsky. — Moscow: Nauka, 1967. P. 166.

Ватанабе С. Разложение Карунена — Лоэва и факторный анализ. Теория и приложения Ц Автоматический анализ сложных изображений / Под. ред. Э.М. Бравермана. — М.: Мир, 1969. С. 310.

Короновский А.А., Храмов А.Е. Непрерывный вейвлетный анализ и его приложения. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

Aubry N., Holmes Р., Lumley 丿.〉Stone E. Application of dynamical system theory to coherent structures in the wall region Ц Physica D. 1989. V. 37. P. 1.

Гадецкий H.H., Магда И.И., Найстетер С.И., Прокопенко Ю.В., Чумаков В.И. Генератор на сверхкритическом токе РЭП с управляемой обратной связью — виртод 〃 Физика плазмы. 1993. Т. 19, вып. 4. С. 530.

Bliokh Yu.P., Magda 1.1. Controlled regimes possibility in system with virtual cathode and internal delay feedback // In: the Abstracts of 12th International Conference on High-Power Particle Beams (BEAMS'98) (Haifa, Israel, 7-12 June 1998), Haifa: 1998. P. 299.

Блиох Ю.П., Магда И.И., Найстетер С.И., Прокопенко Ю.В. Исследование частотного спектра одномерной СВЧ системы на виртуальном катоде “ Физика плазмы. 1992. Т. 18. С. 1191.

Benford J., Sze Н., Woo W. et al “ II Proc. 7th Intern. Conf, on High-Power Paticle Beams. 1988. P. 1359.

Храмов А.Е. Влияние обратной связи на сложную динамику электронного потока с виртуальным катодом в виртоде Ц Письма в ЖТФ. 1998. Т. 24, № 5. С. 51.

Храмов А.Е. О влиянии обратной связи на характеристики генерации прибора с виртуальным катодом Ц Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44, N@ 1. С. 116.

Анфиногентов В.Г., Храмов А.Е. Сложное поведение электронного потока с виртуальным катодом и генерация хаотических сигналов в виртодных системах Ц Известия РАН. Сер.физич. 1997. Т. 61, № 12. С. 2391.

Анфиногентов В.Г., Храмов А.Е. Влияние распределенной обратной связи на хаотические колебания виртуального катода Ц Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1998. Т. 6, № 1. С. 93.

Вакс В.Л., Гинзбург Н.С., Сергеев А.С., Сморгонский А.С., Ходос В.В., Шулешов А.О. Использование модуляции в СВЧ- генераторах для получения стохастического выходного сигнала Ц Радиотехника и электроника. 1994. Т. 40, N@ 6. С. 957.

Jiang W., Masugata К., Yatsui К. New configuration of a virtual cathode oscillator for microwave generation 〃 Physics of Plasmas. 1995. V. 2, No 12. P. 4635.

Jiang W., Masugata K., Yatsui K. High power microwave oscillator: vircator-klystron 〃 In: the Proceedings of 11th International Conference on High-Power Particle Beams (BEAMS'96), (Prague, Czech Republic, 1996), V. 1. Prague: 1996. P. 477.

Анфиногентов В.Г., Храмов А.Е. Исследование численной модели редитрона с модуляцией электронного потока и внешней управляемой обратной связью “ Изв. РАН, Сер. физич. 1999. Т. 63, N@ 12. С. 2308.

Анфиногентов В.Г., Храмов А.Е. Численное исследование характеристик генерации виркатора-клистрона с внешней запаздывающей обратной связью Ц Радиотехника и электроника. 2001. Т. 46, № 5. С. 588.

Hramov А.Е. and Rempen I.S. Investigation of generation characteristic of high power microwave virtual cathode generator with input cavity Ц Proceedings о Intern. Vacuum Electron Source Conf. (IVESC'2002j. July 15-19, 2002. Saratov. Russia. P. 379-381.

Поезд А.Д., Якунин С.А. Програмный комплекс для численных расчетов самосогласованных нелинейных нестационарных задач сильноточной СВЧ электроники 〃 В сб: Численные методы, алгоритмы и программы. — М.: 1988, С. 102.

Поезд А.Д., Якунин С.А. Численное моделирование СВЧ генератора на сверхпредельных релятивистских электронных пучках 〃 В сб: Численные методы, алгоритмы и программы. — М.: 1988, С. 117.

Bromborsky A., Agee F., Bollen М. et al. Ц Proc. SPIE. 1988. V. 873. P. 51.

Григорьев В.П., Жерлицын А.Г., Коваль Т.В., Кузнецов С.И., Мельников Г.В. О возможности изменения частоты излучения внешним сигналом в СВЧ-триоде с виртуальном катодом 〃 Письма в ЖТФ. 1988. Т. 14. С. 2164.

Woo W., Benford 丿.〉Fitting оff D., Harteneck B., Price D., Smith R., Sze H. Phase locking of high-power microwave oscillators Ц J. Appl. Phys. 1989. V. 65, No 2. P. 861.

Price D., Sze H., Fittinghoff D. Phase and frequency locking of a cavity vircator driven by a relativistic magnetron Ц J. Appl. Phys. 1989. V. 65, No 12. P. 5185.

Price D., Sze H. “ IEEE Trans. Plasma Sci. 1990. V. 18, No 3. P. 580.

Храмов A.E. Колебания в системе связанных генераторов на виртуальном катоде виртодного типа Ц Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44, № 2. С. 211.

Дубинов А.Е., Ефимова И.А. О токе, прошедшем за виртуальный катод “ ЖТФ. 2003. Т. 73, № 9. С. 126.

Храмов А.Е. Управление режимами колебаний в пучках со сверхкритическим током с помощью различных типов обратной связи Ц Изв. вузов. Прикладн. нелин. динамика. 2003. Т. 11, № 2. С. 3-25.

Лекция 7 (22)СИНХРОНИЗАЦИЯВ СВЕРХВЫСОКОЧАСТОТНОЙЭЛЕКТРОНИКЕ

... тенденция к синхронизации является своеобразной закономерностью поведения материальных объектов самой различной природы. Несомненно, что такая закономерность представляет собой одно из проявлений тенденции материальных форм к самоорганизации... ... Вместе с тем взгляд на синхронизацию еще окончательно не сформировался, и порой приходится слышать по этому поводу самые различные суждения.

И. И. Блехман. Синхронизация в природе и технике. М.: Наука, 1981, с. 25.

Взаимная синхронизация отражательных клистронов. Синхронизация автоколебаний в распределенной системе «винтовой электронный поток-встречная электромагнитная волна». Особенности синхронизации колебаний в лампе обратной волны типа О. Влияние внешнего сигнала на хаотические автоколебания в гиролампе со встречной волной. Колебания и синхронизация в гиро-ЛВВ со связанными электродинамическими системами. Взаимная синхронизация магнетронных генераторов. Синхронизация систем с виртуальным катодом.

Автоколебательная система, на которую воздействует внешний сигнал или которая связана с другой автоколебательной системой, может принципиально по разному вести себя в зависимости от амплитуды и частоты воздействующего на нее сигнала. Наиболее фундаментальное нелинейное явление, наблюдаемое в этом случае — синхронизация автоколебаний. Открытие и описание эффекта синхронизации периодических колебаний в автоколебательных системах со сосредоточенными параметрами 1) восходит еще к работам Гюйгенса [1]. Эффект синхронизации периодических автоколебаний в общем случае наблюдается при условии

ncjo — ttiQ, (7.1)

Т. е. в системах, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями или отображениями.

где а。— собственная частота автогенератора, Q — частота воздействующего на него сигнала, т, п — натуральные числа. При n = m частота неавтономного генератора равна частоте внешнего воздействия (синхронный режим), однако остается сдвиг фаз, зависящий от первоначальной частотной расстройки |g° — Q|. Когда m > п синхронизируемый генератор работает на частоте, большей частоты внешнего воздействия, и происходит умножение частоты. Наоборот, при т < п имеет место деление частоты. Возможна также ситуация, когда частота автоколебаний в п/т раз отличается от частоты синхронизирующего сигнала [2].

В настоящее время проблема синхронизации регулярных автоколебаний достаточно подробно исследована только для систем с резонансными колебательными системами, в первую очередь, для генераторов томсоновского типа. Фундаментальные исследования в этой области были проведены В.И. Гапоновым, Ван-дер-Полем, А.А. Андроновым, А.А. Виттом, К.К. Теодорчиком, Р.В. Хохловым, И.И. Блехманом и многими другими [3-12]. В этих исследованиях были найдены определенные закономерности, сопровождающие переход автоколебательной системы со сосредоточенными параметрами в синхронный или, наоборот, асинхронный режим работы.

Одновременно, большое внимание уделяется проблеме синхронизации нелинейных систем, демонстрирующих детерминированный хаос [13-19]. Наблюдается рост числа публикаций, посвященных рассмотрению синхронизации хаоса в дискретных (отображениях) и потоковых конечномерных динамических системах. Следуя этим работам, можно говорить о различных типах синхронизации хаотических систем.

Одним из первых был подход, согласно которому под синхронизацией хаотических автоколебаний понимается возникновение периодического режима в результате влияния внешнего воздействия или взаимодействия с другим хаотическим генератором [26,27]. Однако такой переход возможен только при достаточно интенсивном воздействии на систему (т. е. он имеет пороговый характер) и связан с эффектом синхронизации через подавление хаотических автоколебаний. Понятно, что такая концепция синхронизации хаотических автоколебаний не исчерпывает всего спектра наблюдаемых явлений при воздействии сигнала сложной формы на генератор хаотических колебаний.

Наиболее строгое определение хаотической синхронизации заключается в требовании, чтобы разность векторов состояния исследуемой системы и состояния внешнего воздействия на систему (например, другой хаотической системы, связанной с исследуемой) стремилась к нулю в пределе 力一> оо. Это так называемая идентичная синхронизация, которая редко применяется на практике. Чаще используется понятие обобщенной синхронизации [16], при которой состояние системы ас- симптотически должно стремиться к некоторой (возможно достаточно сложной) функции. Под понятие обобщенной синхронизации попадает и классическое определение синхронизации автоколебательных систем, например, генератора Ван-дер-Поля [20].

При анализе синхронизации хаотических систем наиболее удобно воспользоваться понятием фазовой синхронизации хаотических колебаний, впервые введенной Розенблюмом [21]. В этом случае для анализа хаотической синхронизации автоколебательной системы требуется определить фазу хаотических колебаний. Строго фаза хаотического сигнала находится с помощью преобразования Гильберта [21,22], когда мгновенные значения амплитуды 4（力）и фазы Ф（力）некоторого сигнала /（力）вводятся из следующего представления:

/⑴=4（力）cos Ф⑴，

（7.2） "{/⑴} = 4力）sin0⑴.

Здесь Н {. . .} — преобразование Гильберта （см., например, [23]）

j 怨（7.3） 7Г J t — Т

где интеграл понимается в смысле основного значения Коши.

Часто используется феноменологически вводимая фаза Ф（力）,определяемая на основе анализа базового характерного масштаба колебаний хаотической системы. Например, когда хаотический аттрактор имеет в фазовом пространстве ленточный или спиральный вид, то можно ввести характерное время возврата фазовой траектории на аттракторе в выбранную плоскость. При возврате траектории можно говорить об изменении фазы хаотического сигнала на величину 27r. Можно считать, что между двумя пересечениями фазовой траекторией выбранной плоскости фаза меняется линейно. Различные способы феноменологического определения фазы Ф（力）хаотического сигнала для конечномерных систем описываются в работах [24,25]. Если определена фаза Ф（力）,то характерная частота 订 хаотического сигнала вводится как

订=Jim Ф⑴/九（7.4）

При воздействии на хаотическую систему внешнего гармонического сигнала с частотой Q о фазовой синхронизации можно говорить в случае выполнения равенства 订=Q. В этом случае характерная базовая частота хаотических автоколебаний системы равна частоте внешнего воздействия, т. е. для хаотических автоколебаний как и для периодических можно говорить о захвате частоты управляющим сигналом. Здесь важно то, что при фазовой синхронизации зависимость амплитуды сигнала от времени может быть достаточно сложной и демонстрировать хаотическое поведение, вместе с тем характерный временной масштаб колебаний будет определяться управляющим сигналом.

На фоне большого числа работ, посвященных различным вопросам синхронизации систем с малым числом степеней свободы, вопросы синхронизации распределенных систем〉какими являются большинство

систем сверхвысокочастотной электроники, изучены в настоящее время весьма неполно. Хотя исследование влияния внешнего сигнала как на периодические, так и на хаотические режимы автоколебаний систем сверхвысокочастотной электроники является весьма важным. С одной стороны, это определяется созданием сверхмощных СВЧ-генераторов с перестраиваемыми характеристиками (частота, ширина полосы, уровень мощности) выходного излучения. С другой стороны, исследование влияния внешних сигналов важно при разработке СВЧ-генераторов, использующихся в качестве модулей фазированных антенных решеток, управляемых внешними сигналами. В последнем случае особую важность приобретает вопрос управления фазовыми соотношениями сигналов, генерируемыми неавтономными СВЧ-электронными системами.

Актуальной является и задача о влиянии внешнего сигнала на хаотические автоколебания в системах релятивистской вакуумной электроники. Это обусловлено тем, что для сверхмощных СВЧ-генераторов характерны режимы сложной нестационарной динамики выходного излучения [28, 29, 83]. Влияние внешнего сигнала позволяет в этом случае либо упростить спектральный состав выходного излучения, поднять КПД и выходную мощность, либо, наоборот, получить близкий к шумовому спектр выходного сигнала, и опять же поднять КПД и выходную мощность, но уже в режиме генерации хаотического сигнала.

В этой лекции будут рассмотрены явления, наблюдающиеся при влиянии внешних сигналов на приборы сверхвысокочастотной электроники, а также в связанных СВЧ-генераторах. Особое внимание обращено на те основные особенности, которые присущи неавтономным режимам работы распределенных электронно-волновых систем сверхвысокочастотной электроники. При анализе таких явлений будем опираться на результаты, которые были получены в теории колебаний и волн при изучении классической и хаотической синхронизации в конечномерных потоковых и дискретных динамических системах.

В начале лекции рассмотрим эффекты, наблюдающиеся при совместной работе классических генераторов СВЧ-диапазона — отражательных клистронов, следуя работам Р.В. Хохлова, С.Д. Гвоздовера и др. [30, 31]. Теория синхронизации клистронных генераторов сводится к анализу математической модели, описываемой уравнениями в обыкновенных производных, т. е. к рассмотрению конечномерной динамической системы, которое далее сводится к изучению укороченных уравнений относительно амплитуды и фазы. Однако особый интерес вызывает рассмотрение синхронизации колебаний в распределенных системах типа «электронный поток, длительно взаимодействующий с высокочастотным электромагнитным полем». В качестве базовой системы для анализа неавтономных режимов работы приборов с длительным взаимодействием рассматривается гирогенератор на встречной волне (гиро- ЛВВ), особенности автономной динамики которого изучались в лекции 1 (16).

В лекции изложены результаты детального теоретического анализа различных типов синхронизации в приборах с длительным взаимодей-

ствием — гиролампе со встречной волной, а также рассмотрены особенности синхронизации в лампе обратной волны типа О, основываясь на работах [32-39, 84]. В заключение лекции рассмотрены вопросы синхронизации внешним сигналом и взаимной синхронизации генераторов на виртуальном катоде и магнетронных генераторов.

Взаимная синхронизация отражательных клистронов

Рассмотрим два отражательных клистрона, резонансные полости которых связаны между собой индуктивно (рис. 7.1). Как уже обсуждалось в первом томе книги (лекция 2), отражательный клистрон можно рассматривать как автогенератор, контур которого обладает сосредоточенными параметрами L, С и R. На конденсаторе контура электронным потоком наводится напряжение, которое возбуждает в контуре дополнительный ток I. Уравнения колебаний эквивалентных контуров, как несложно показать, имеют вид

& 厶 + Ri /1 + Ml + М /2 = О,

..(7.5)

L2力+r2/2 +%+ Л/厶=。,

где М — коэффициент взаимной индукции, / и V — ток в контуре и напряжение на конденсаторе, индекс «1» относится к первому клистрону, «2» — ко второму. Ток в контуре связан с напряжением на конденсаторе соотношением

I = CV + Т.(7.6)

Подставляя выражение (7.6) в уравнения (7.5), получаем систему уравнений

Vi + 次所=-(251所 + 次％_ + QiZ),

Z +赭匕=一卜加匕+赭匕+ a2而_).Z +赭匕=一卜加匕+赭匕+ a2而_).Рис.7.1. Схема индуктивной связи резонаторов двух отражательных клистроновРис.7.1. Схема индуктивной связи резонаторов двух отражательных клистронов、(7.7)

Z +赭匕=一卜加匕+赭匕+ a2而_).

Z +赭匕=一卜加匕+赭匕+ a2而_).

Рис.7.1. Схема индуктивной связи резонаторов двух отражательных клистронов

Рис.7.1. Схема индуктивной связи резонаторов двух отражательных клистронов

Здесь %,2 — парциальные частоты контуров, 5屮一декременты затухания, &1,2 — коэффициенты влияния одной системы на другую. Наведенное напряжение V связано с наведенным током / соотношением

V = LI + RI.(7.8)

Слагаемые, стоящие в правой части уравнений (7.7), по сравнению со слагаемыми левой части, являются малыми: первые два благодаря большой добротности объемных резонаторов клистрона, а последний — из предположения малости коэффициентов связи Qi,2・

Применим к анализу системы уравнений (7.7) метод укороченных уравнений (см., например, [20]). Предположим, что

Vl = A cos (а。力—ф), 匕=6 cos (a。力—g) ,(7.9)

где амплитуды А и В и фазы 吵 и g при малых расстройках контуров каждого из клистронов \и^ — ^2〔/^i《1 являются медленно меняющимися функциями времени. Поведение этих функций описывается следующими укороченными уравнениями [30]:

А = —SiA — 71(A)A sin & (А) — -а^^В sin(g —吵)，

В = -62в -)2(g)gsin&(М) + gQ2Go4sin(g -屮)，

(7.10)

"=△] + 7i(A) cos6>i(A) + ^^^cos(9 -例，

0 = ^2 + )2 (石)cos 仇(6) + ^^^cos(9 -例，

где расстройки по частоте имеют вид:

△1 =g0 -以， △2=g0 -心(7.11)

7i?2 — электронные декременты и Ji,2 — углы пролетов в пространстве взаимодействия первого и второго отражательного клистрона (см., например, [40,41]).

Система укороченных уравнений (7.10) сложна, однако в предположении слабой связи между отражательными клистронами эта система допускает значительные упрощения.

Отметим сразу, что при слабой связи изменение амплитуд колебаний клистронов квазистатично. В этом случае амплитуды колебаний могут быть найдены из первой пары уравнений (7.10) в пренебрежении членами с производными по времени. Тогда

А = Ао — а()sin Ф, 6 = 6。+ Ь。sin Ф,(7.12)

где Ао и Bq — амплитуды стационарных автоколебаний клистронов в отсутствии связи (&1,2 = 0)； Ф — разность фаз между колебаниями

в каждом из отражательных клистронов;

а。Ьоа。Ьо

а。

Ьо

а。

Ьо

Выберем значение g° так, чтобы

△1 + 71 (^о) COS &(%о) = —△? —)2(石0)COS 仇(石0)= △/?.(7.13)

Соотношение (7.13) выполняется, если

^о=2 [(以-7i cos &) + (а - 72 cos &)],

△ = I [标2 - 72 COS 仇)-(以-71 cos &)],

т. e. величина g。равна полусумме частот изолированных клистронов, а Д — их разности.

Пренебрежем также зависимостью среднего угла пролета J от амплитуды колебаний. Выпишем вторую пару уравнений (7.10) с точностью до членов порядка а：2, учитывая при этом, что коэффициенты а。и Ьо имеют тот же порядок малости, что и &i,2：

^ = у - а()sin07i(Ao) cos6>i + }若 sin2 0)?(Ao)cos& +

+ 賢£学 COS0 +(* + ^)cos0sin0, (7.14)

ф = -^ + bo sin Ф72(В0) cos 32 + }^ sin2 Ф)?(6о) cos 32 +

Поведение разности фаз, определяющее в случае слабой связи процесс синхронизации, описывается уравнением, которое получается вычитанием уравнения (7.14) из (7.15), т. е.

Ф = —Д + р cos Ф + 厂 sin Ф — q sin 2Ф — s cos 2Ф + s. (7.16)

Здесь введены следующие обозначения:

a2公0 厶0«1^0 во

2 瓦 方

qqa2 言 + m DQa2 言 + m DQ7i(^o) Aq7i(^o) AqOil BoOil Boa2 注0) 做。)房丿a2 注0) 做。)房丿г =г =a2公0402 瓦a2公0402 瓦Ctg 32 +Ctg 32 +а®о Во2 方а®о Во2 方ctg &,ctg &,

q

q

a2 言 + m DQ

a2 言 + m DQ

7i(^o) Aq

7i(^o) Aq

Oil Bo

Oil Bo

a2 注0) 做。)房丿

a2 注0) 做。)房丿

г =

г =

a2公040

2 瓦

a2公040

2 瓦

Ctg 32 +

Ctg 32 +

а®о Во

2 方

а®о Во

2 方

ctg &,

ctg &,

Рис. 7.2. Амплитудные характеристики клистронов при изменении потенциала отражателейРис. 7.2. Амплитудные характеристики клистронов при изменении потенциала отражателей

Рис. 7.2. Амплитудные характеристики клистронов при изменении потенциала отражателей

Рис. 7.2. Амплитудные характеристики клистронов при изменении потенциала отражателей

S = ； (^072 (Bo) COS 02 - ^0714^0)COS &).

Параметры риг имеют первый порядок малости относительно величины коэффициента связи, q и s — второй, они связаны с изменением амплитуд колебаний в каждом из клистронов внутри полосы синхронизации. Коэффициентами q и s в большинстве случаев можно пренебречь по сравнению с р и г. Однако если коэффициенты риг малы (это может иметь место при близости мощностей клистронов и при & ^ &), то коэффициентами див пренебречь уже нельзя.

Таким образом, в случае двух слабосвязанных клистронных генераторов процесс взаимной синхронизации описывается уравнением (7.16). Режим синхронизации, очевидно, определяется условием Ф = 0 или Ф = const.

Из теории колебаний известно [30], что при взаимной синхронизации автогенераторов в случае близких по мощностям парциальных систем внутри полосы синхронизации при плавном изменении параметров частота и амплитуда изменяются скачкообразно. При этом имеет место затягивание по частоте и амплитуде. Аналогично будет вести себя и система из связанных отражательных клистронов — в полосе синхронизации при плавном изменении параметров наблюдаются скачки частоты системы. Поэтому центральным вопросом теории взаимной синхронизации клистронов является вопрос о возможности плавного изменения частоты и амплитуды колебаний системы в целом при изменении параметров парциальных систем. В частности,

важно понять возможен ли непрерывный переход при изменении напряжений на отражателе от состояния системы, при котором один клистрон синхронизирует другой, к состоянию, при котором второй клистрон синхронизирует первый.

Для решения данного вопроса рассмотрим поведение системы двух взаимосвязанных одинаковых клистронов при изменены напряжения на отражателе, причем эти напряжения сдвинуты относительно друг друга на некоторую постоянную величину. При увеличении напряжения на отражателе сначала генерирует клистрон В, клистрон А при этом не генерирует и служит реактивной нагрузкой клистрона В (рис. 7.2). Затем в определенном интервале напряжений Д V (отмечен на рисунке) клистроны А и В генерируют колебания одновременно. При дальнейшем увеличении напряжения клистрон В перестает генерировать и служит реактивной нагрузкой работающего клистрона А. Зададимся вопросом: возможен ли непрерывный переход от области генерации одного клистрона к области генерации другого клистрона так, чтобы частотная ветвь зоны А служила бы продолжением ветви зоны В?

При изменении напряжения отражателя частота генерируемых колебаний меняется. Если так подобрать собственные частоты резонаторов клистронов, чтобы при напряжении отражателей, соответствующем точке пересечения амплитудных кривых, пересекались бы также частотные кривые, то это и будет случаем, когда монотонно меняются одновременно параметры р и △, причем значению р = 0 соответствует значение Д = 0.

Чтобы узнать, насколько широко при непрерывном переходе от области генерации одного клистрона к области генерации другого можно раздвигать эти области по напряжению, проанализируем решения уравнения (7.16). Прежде всего отметим, что в окрестности точки равных амплитуд

ctg & ctg 02 = tg 仇 (7.17)

где 0 — разность между оптимальной пролетной фазой и фазой ^2- Последнее означает, что г —ptg J.

Кроме того, в обычных режимах работы клистрона зависимость средних электронных декрементов вблизи значений амплитуд стационарной генерации близка к линейной [41], а следовательно, величина s близка к нулю. Поэтому пренебрежем членами s в уравнении (7.16) по сравнению с другими членами. Таким образом, окончательно вместо (7.16) получаем упрощенное уравнение

Ф = —А + ^-^ cos (Ф + J) — q sin 2Ф. (7.18)

Решение последнего уравнения может быть найдено графическим способом. Когда значение J мало, то, очевидно, при одновременном изменении р и △, так что значению 夕=0 соответствует значение Д = 0, никаких скачков внутри полосы нет. Покажем, что фазовых скачков нет до тех пор, пока |^| < тг/4.

Для этого рассмотрим стационарные решения уравнения (7.18), т. е. решения при условии, что Ф = 0, в случаях, когда J близко к значению (—тг/4), но в первом случае больше него, а во втором — меньше.

Если начертить на графике (рис. 7.3) правую часть соотношения

Рис. 7.3. Графическое решение уравнения (7.18) при условии 夕〉一тг/4. Здесь а соответствует случаю р < 0 и |р| ^> |q|; 5 — р < 0, |р| ~ |q|; в — р = 0; г — р > 0

△ = ^ , cos (Ф + J) — q sin 2Ф,(7.19)

cos J

то координата пересечения ниспадающего с увеличением Ф участка этой линии с прямой, параллельной оси абсцисс и отстоящей от нее на величину △ (отмечена на рис. 7.3 штриховой горизонтальной линией), даст значения стационарной фазы. Из рис. 7.3 а, построенного для р < < 0 и |р| > \q\ видно, что устойчивые значения фазы расположены в случае больших отрицательных р в окрестности Ф = 0. Рисунок 7.3 6 соответствует случаю р < 0 п \р\ ^ |q|, рис. 7.3 в — случаю р = 0. Из рассмотрения рисунков следует, что при р, сравнимом с q, появляется вторая область постоянных фаз вблизи 0 = тг. При изменении р от отрицательных значений к положительным эта вторая область все более и более увеличивается и при достаточно больших положительных р область фаз около Ф = 0 сливается с областью устойчивых фаз около Ф = 7г (рис. 7.3 2).

27 Трубецков, Храмов

Рис. 7.4. Графическое решение уравнения (7.18) при условии 夕 < —тг/4. Здесь а соответствует случаю р < 0 и |р| ^> |q|; 5 — р < 0, |р| ~ |q|; в — р = 0; г — р > 0Рис. 7.4. Графическое решение уравнения (7.18) при условии 夕 < —тг/4. Здесь а соответствует случаю р < 0 и |р| ^> |q|; 5 — р < 0, |р| ~ |q|; в — р = 0; г — р > 0

Рис. 7.4. Графическое решение уравнения (7.18) при условии 夕 < —тг/4. Здесь а соответствует случаю р < 0 и |р| ^> |q|; 5 — р < 0, |р| ~ |q|; в — р = 0; г — р > 0

Рис. 7.4. Графическое решение уравнения (7.18) при условии 夕 < —тг/4. Здесь а соответствует случаю р < 0 и |р| ^> |q|; 5 — р < 0, |р| ~ |q|; в — р = 0; г — р > 0

Если одновременно с р изменять параметр △ от отрицательных к положительным значениям так, чтобы устойчивая фаза находилась бы в области Ф = 0 вплоть до присоединения ее к другой области синхронизации, то скачка амплитуды и фазы не происходит, так как такой скачок связан с переходом из одной области устойчивых фаз в другую.

Непрерывный переход из одной области синхронизации в другую обусловлен, таким образом, возможностью плавного присоединения области синхронизации вблизи значения Ф = 0 к области Ф = тг.

Положение изменится, если величина J близка, но меньше тг/4 (рис. 7.4). В этом случае, как видно из рассмотрения рисунков, плавное присоединение области фаз около значения Ф = 0 к другой области при изменении параметра р не имеет места. Область устойчивых фаз около значения Ф = 0 при увеличении р исчезает (рис. 7.4 г), и фазы, находя-

Рис. 7.5. Области бесскачковой взаимной синхронизации двух отражательных клистронов с различным уровнем связи Qa на плоскости управляющих параметров (ДУ, △/)

щиеся в ней, скачкообразно переходят в область значений около Ф = тг. Таким образом, вплоть до значений J = »/4 возможен плавный переход от состояния, когда один клистрон захватывает другой, к обратному состоянию.

Рассмотрим теперь результаты экспериментальных исследований синхронизации двух связанных отражательных клистронов, следуя работе [31]. В рассматриваемом эксперименте объемные резонаторы клистронов были связаны между собой и настроены так, что разность их парциальных частот /2 — /1 = △/ меньше общего диапазона электронной перестройки частоты отдельного клистрона. Потенциалы отражателей V[ и 匕 различаются на постоянную величину ДV, несколько меньшую ширины области генерации отдельного клистронного генератора. Тогда зоны генерации при изменении напряжения 所 будут следовать одна за другой. Связь между клистронами обеспечивалась за счет прямоугольного отверстия, которое связывало тороидальные объемные резонаторы.

Используемые в эксперименте клистроны имели резонаторы с одинаковой нагруженной добротностью Qi = Q2 — Q — 200. Диапазон длин волн, в которых работали клистроны, составлял А = 10 см.

Эксперимент показал, что для бесскачковой синхронизации необходимо и достаточно, чтобы значения параметров Д V, Д/ и коэффициента связи а между клистронами лежали в некоторой вполне определенной области. Вне этой области параметров, которая соответствует синхронному режиму, совмещение областей генерации клистронов сопровождается либо скачками амплитуды и частоты генерации, либо возникновением двухчастотной генерации.

Области взаимной синхронизации, в которых клистроны работают синхронно без скачков амплитуды и фазы, показаны на рис. 7.5. При очень малых коэффициентах связи Qa < 0,014 бесскачковая синхронизация клистронов практически невозможна. Возрастание а приводит к появлению бесскачковой взаимной синхронизации в небольшой области значений ДV и Д/, которая увеличивается с ростом а (см. рис. 7.5). Однако при Qa〉3,0 появляются амплитудные и частотные скачки, обусловленные нагрузочным гистерезисом. При этом бесскачковая взаимная синхронизация клистронов не может быть получена ни при каких значениях Д V и △/.

Оптимальным значением коэффициента связи, при которой область синхронизации наиболее велика, является величина a ^ 1/Q. Два других основных параметра ДV и Д/ выбирались в эксперименте [31] в зависимости от типа используемых клистронов и ширины полосы электронной настройки, которую хочется получить.

Синхронизация автоколебаний в распределеннойсистеме «винтовой электронный поток—встречнаяэлектромагнитная волна»

Рассмотрим теперь синхронизацию автоколебаний в распределенной активной среде типа «электронный поток, длительно взаимодействующий с электромагнитным полем» на примере мазера на циклотронном резонансе со встречной волной (гиролампы со встречной волной).

Для исследования влияния внешнего сигнала на гиро-ЛВВ воспользуемся системой нестационарных нелинейных уравнений, полученных в лекции 1 (16) методом усреднений на основе простой, не учитывающей влияние пространственного заряда модели винтового электронного пучка, взаимодействующего со встречной электромагнитной волной (см. соотношения (1.185)-(1.187)):

樂一34(1 —网 2)з =咒(7.20)

dF dF

赤一毎/ =方[3個，(7.21)

о

где все обозначения обсуждались в лекции 1.

Внешний управляющий сигнал вводится на коллекторном конце системы:

歹(£ = %) =凡н・(7.22)

В простейшем случае управляющий сигнал представляет собой гармонический процесс 歹вн = Fq exp (JQr). Здесь Fq — амплитуда внешнего гармонического сигнала, Q — отстройка частоты внешнего воздействия от частоты «холодного» синхронизма 运(см. условие (1.161)).

Проанализируем, следуя работам Р. Адлера, Б.Е. Железовского и Э.В. Кальянова [42,43], ширину полосы фазовой синхронизации и характеристики автоколебаний при выходе из области синхронизации в гиро-ЛВВ [33]. Предполагая случай слабого внешнего сигнала Е°, вводимого на коллекторном конце лампы (см. (7.22)), будем считать, что он влияет только на фазовые соотношения выходного сигнала

Евых・ При этом предположим изменение амплитуды выходного сигнала малым Д^вых《Евых, и, как следствие, будем пренебрегать им по сравнению с самой величиной Евых・ Тогда, если частота внешнего сигнала и собственная частота автоколебаний в гиро-ЛВВ отличаются, возникает фазовый сдвиг g между колебаниями поля

на выходе в автономном и неавтономном

изменением условий взаимодействия поля бегущей волны с винтовым пучком. На рис. 7.6 представлена векторная диаграмма мгновенных напряженностей выходного Евых, собственного Е и внешнего Ео полей на выходе § = 0 гиро-ЛВВ. В соответствии с ней выразим возникающий фазовый сдвиг g через мгновенную разность фаз а между полем Евых неавтономной гиро-ЛВВ и управляющим сигналом Eq на выходе системы как

3 =3 =(7.23)(7.23)Записанное выражение справедливо как в полосе синхронизации, так и при выходе из нее.

3 =

3 =

(7.23)

(7.23)

Мгновенная разность фаз а между полем синхронизируемой системы с частотой g и внешним гармоническим воздействием (его частота равна Q) может быть записана как cj — Q = da/dr^ где производная

режиме, обусловленныйрежиме, обусловленныйРис. 7.6. Векторная диаграмма мгновенных напряженностей полей на выходе гиро-ЛВВРис. 7.6. Векторная диаграмма мгновенных напряженностей полей на выходе гиро-ЛВВda/dr имеет смысл мгновенной угловой частоты биений. Тогда, вводя

режиме, обусловленный

режиме, обусловленный

Рис. 7.6. Векторная диаграмма мгновенных напряженностей полей на выходе гиро-ЛВВ

Рис. 7.6. Векторная диаграмма мгновенных напряженностей полей на выходе гиро-ЛВВ

невозмущенную частоту биений автономных колебаний и внешнего сигнала (幻。—Q), отстройку частоты выходного поля неавтономной системы от частоты автономных колебаний (g — g°), уравнение для а

можно записать в виде

атат(7.24)

ат

ат

Режим синхронизации колебаний поля на выходе системы соответствует разности фаз а = const или da/dr = 0.

Найдем изменение фазы g сигнала на выходе гиро-ЛВВ при изменении частоты ее колебаний под воздействием внешнего поля. Для этого необходимо задать распределение высокочастотного поля Е(х)

вдоль системы. Аналитическое решение данной задачи проведем в рамках линейного стационарного приближения. Предполагая изменения величины поля и радиуса траектории электронов малыми, линеаризуем исходную нестационарную систему уравнений (7.20)—(7.22), а также перейдем от нестационарного уравнения возбуждения (7.20) к стационарному.

Вводя новые переменные / = /е'"* и F = Fе‘％ легко получить следующую систему линейных уравнений:

+ / = —jbF〉(7.25)

dF__

--j(b + ^F = -I.(7.26)

где

b =(G + ^o^|| - ^c)/ksv\\(7.27)

—параметр холодного рассинхронизма, k = g/c.

Для решения системы уравнений (7.25) и (7.26) воспользуемся методом последовательных приближений [44,45]. Задавая в качестве нулевого приближения поле невозмущенной волны Е°(§) = Е()е"阮(*一*), получаем, что распределение поля вдоль пространства взаимодействия в первом приближении определяется следующим образом:

石⑹=Еое；仇(ST) [(1 + у Re ф(ф0)+ 〃§з Re 0(фо))2 +

1/2

+ (^2 1тФ(Ф0) +1т0(Фо))]・ехр ®1(Фо,§,〃))， (7.28)

где функция 耽(Фо,§,〃)，описывающая фазу поля в гиро-ЛВВ, записывается как

耽(Фо,§,〃)= arctg耽(Фо,§,〃)= arctg(7.29)(7.29)11тЗ(Фо) + 〃Т1тО(Фо)

耽(Фо,§,〃)= arctg

耽(Фо,§,〃)= arctg

(7.29)

(7.29)

1 + 1 Re %Ф°) + 〃Т Re О®)'

а функции Ф(Фо) и 0(Фо) имеют вид, характерный для линейной и квадратичной группировки соответственно [45]:

W(M)=」W(M)=」Гф。Гф。Ф§Ф§®（ф。）=-—V—®（ф。）=-—V—(7.30) Величина Ф° = (Ь + 〃)§ представляет собой относительный угол пролета электронов-осцилляторов в пространстве взаимодействия.Тогда в соответствии с соотношением (7.28) фазу поля на выходе гиро-ЛВВ относительно фазы управляющего сигнала можно записать как(7.30) Величина Ф° = (Ь + 〃)§ представляет собой относительный угол пролета электронов-осцилляторов в пространстве взаимодействия.Тогда в соответствии с соотношением (7.28) фазу поля на выходе гиро-ЛВВ относительно фазы управляющего сигнала можно записать как吵=—仇％ + 如(@о, 4 〃)•吵=—仇％ + 如(@о, 4 〃)•(7.31)(7.31)

W(M)=」

W(M)=」

Гф。

Гф。

Ф§

Ф§

®（ф。）=-—V—

®（ф。）=-—V—

(7.30) Величина Ф° = (Ь + 〃)§ представляет собой относительный угол пролета электронов-осцилляторов в пространстве взаимодействия.

Тогда в соответствии с соотношением (7.28) фазу поля на выходе гиро-ЛВВ относительно фазы управляющего сигнала можно записать как

(7.30) Величина Ф° = (Ь + 〃)§ представляет собой относительный угол пролета электронов-осцилляторов в пространстве взаимодействия.

Тогда в соответствии с соотношением (7.28) фазу поля на выходе гиро-ЛВВ относительно фазы управляющего сигнала можно записать как

吵=—仇％ + 如(@о, 4 〃)•

吵=—仇％ + 如(@о, 4 〃)•

(7.31)

(7.31)

Найдем изменение фазы поля (а следовательно, и частоты генерации) при воздействии на систему внешнего сигнала. Для этого разложим фазу в ряд по углу пролета Фо около точки, соответствующей частоте а。автономных колебаний. Полагая, что изменение частоты мало, ограничимся первым членом в разложении фазы поля (7.31)

吵=吵必О+吵=吵必О+^-^1(Ф0, А, /х)^ АФо,^-^1(Ф0, А, /х)^ АФо,(7.32)(7.32)

吵=吵必О+

吵=吵必О+

^-^1(Ф0, А, /х)^ АФо,

^-^1(Ф0, А, /х)^ АФо,

(7.32)

(7.32)

где |ДФ0| = |Фо 一(@о)ао|《I-

Перейдем от величины |ДФо| к изменению частоты. Для этого воспользуемся определением относительного угла пролета Ф°. Продифференцируем выражение (7.27) для Ь. Тогда

о* duо* duq “0фq “0ф

о* du

о* du

q “0ф

q “0ф

Подставляя в полученное выражение значение dv^/duo из формулы Рэлея

получаем

(7.33)(7.33)

(7.33)

(7.33)

С учетом последнего выражения приближенное соотношение, связывающее относительное изменение угла пролета Фо с малой отстройкой частоты внешнего сигнала от частоты автономной генерации, записывается как

△Фо△ФоCJQ — CJ3CJQ — CJ3(7.34)(7.34)

△Фо

△Фо

CJQ — CJ

3

CJQ — CJ

3

(7.34)

(7.34)

Окончательно выражение для фазового сдвига между полем синхронизируемой гиро-ЛВВ и управляющим сигналом на выходе системы с учетом выражений (7.31) и (7.34) принимает вид

(7.35)(7.35)

(7.35)

(7.35)

где функция ?(Фо) определяется как

(7.36)(7.36)—丄 arcfff 11т%Ф°) + 〃Т1т9(Ф。)

(7.36)

(7.36)

( °—而;a『 + 1r^加+依r^…

Используя соотношения (7.23), (7.24) и (7.35), окончательно получаем дифференциальное уравнение для разности фаз а между выходным

Рис. 7.7. Зависимости коэффициента синхронизации S от параметра неизо- хронности (а) и длины системы (б)

полем неавтономной гиро-ЛВВ и внешним сигналом в виде

夕 + 5(Ф0, А, 〃)—现sina + dTЕвых C抬、 vrpJ)

+ Go — a = 0, (7.37)

где функцию

6(Ф“4〃)=号(738)

назовем коэффициентом синхронизации.

Уравнение (7.37) описывает поведение фазы выходного поля гиро- ЛВВ при воздействии на нее высокочастотного поля с частотой Q. Из него следует, что возможен режим синхронизации неавтономной гиро-ЛВВ, который соответствует случаю постоянной разности фаз между выходным и управляющим сигналом (da/dr = 0). В этом случае неавтономная генерация происходит на частоте внешнего воздействия. Максимальная величина частотной отстройки, при которой еще возможно существование синхронного режима работы, определяется условием sin a = ±1. Тогда ширина полосы синхронизации Acj = 21Go — Qs|, где Qs — частота, соответствующая границе области синхронизации, определяется в соответствии с уравнением (7.37) выражением

效= 25(Фо,4〃)+I (7.39) 公0乂вых еогр//

Из полученного соотношения следует, что ширина полосы синхронизации определяется в первую очередь коэффициентом синхронизации и мощностью управляющего сигнала.

На рис. 7.7 представлены зависимости величины коэффициента синхронизации S от основных управляющих параметров — параметра неизохронности 〃 и безразмерной длины пространства взаимодействия А. Из рис. 7.7 а следует, что при 〃〉6,0 величина S (а следовательно,

Рис. 7.8. Зависимости периода Та биений поля на выходе гиро-ЛВВ от расстройки |П — о?о| (а) и частоты автомодуляции /д от координаты пространства взаимодействия для различных величин расстройки (А = 5, м = 1,0) (б)

и ширина области синхронизации Acj 〜S) перестает меняться с ростом 〃.При 〃 < 6,0 для малых длин А < 2,5 с увеличением параметра неизохронности область синхронизации Acj 〜S расширяется, а при больших А — наоборот, сужается. С увеличением длины системы при постоянном параметре неизохронности наблюдается уменьшение коэффициента синхронизации и ширины области синхронизации (рис. 7.7 б). При больших длинах пространства взаимодействия А функция коэффициента синхронизации S при различных значениях параметра 〃 аппроксимируется как 5(Фо, 4 〃)~ 1/4

Уравнение (7.37) позволяет проанализировать поведение неавтономной системы и вне области синхронизации, определяемой соотношением (7.39). Перепишем для удобства рассмотрения уравнение (7.39) в виде

da . / 、 ——+ sin a = (7.40) dr

где

乂вых е 0小、 Огр//

Из уравнения (7.40) следует, что при 死》|Q — g° | /g° величина a(т) при т —> oo асимптотически стремится к постоянному значению a = =const, что соответствует режиму синхронизации в активной среде «винтовой электронный пучок, взаимодействующий со встречной волной». При х < |Q — шо\/ш()не существует постоянного не зависящего от времени сдвига фаз между сигналом, генерируемым неавтономной гиро-ЛВВ и управляющим сигналом. В системе имеют место биения с периодом Тд. Зависимость величины Тд от расстройки |Q — g°| для различных значений параметра 死 представлена на рис. 7.8 а. Заметим, что изменение величины 死 можно интерпретировать как изменение амплитуды внешнего воздействия при прочих равных параметрах, учитывая, что 死 ~ 石0・ Из рис. 7.8 а следует, что период автомодуляции

стремится к бесконечности при приближении к границе области синхронизации |П — go|/go —> х. Одновременно видно, что с ростом амплитуды внешнего воздействия увеличивается период биений поля на выходе лампы при одинаковой величине расстройки. При увеличении величины |Q — cjo| период биений уменьшается и стремится к одинаковым величинам для различных амплитуд внешнего воздействия. Одновременно, при увеличении отстройки форма автомодуляции становится близкой к синусоидальной.

Заметим, что уравнение (7.37) (или уравнение (7.40)) можно использовать и для описания характерных особенностей пространственной динамики неавтономной гиро-ЛВВ. Определяющей характеристикой неавтономных колебаний в гиро-ЛВВ является коэффициент синхронизации (7.38), который, учитывая соотношения для распределения поля (7.28) и фазы поля (7.29), может рассматриваться как функция продольной координаты формальной заменой А ^ ^. Тогда зависимости коэффициента синхронизации S от длины системы А, представленные на рис. 7.7 а, можно интерпретировать как распределение величины S вдоль системы при фиксированном безразмерном параметре А, параметре неизохронности 〃 и расстройке Ь.

Будем считать фазу а = а(т,§) не только функцией времени, но и координаты, и рассматрим решение уравнения (7.40) в каждой точке пространства взаимодействия с учетом того, что коэффициент 死 также является функцией координат*:死=〃(§).

Режим синхронизации имеет место при 死》|Q — шо\/ш()и функция 死=〃(§) является спадающей с ростом § (при больших §, как было показано выше, можно считать, что 死〜1/§). Тогда при малых § и достаточно малой расстройке всегда будет иметь место режим синхронизации, соответствующий постоянному значению фазы а = const. Однако с ростом координаты § и уменьшением величины 〃(§) может возникнуть ситуация, когда режим синхронизации разрушится. Это означает, что пространство взаимодействия лампы делится на две характерные области — область длины As, где имеет место режим синхронизации колебаний (область синхронизации, примыкающая к коллекторному концу лампы; As — длина синхронизации), и область длины (А — As), в которой наблюдается разрушение режима синхронизации.

Таким образом, в неавтономной электронно-волновой системе с длительным взаимодействием типа «винтовой электронный поток-встречная электромагнитная волна» имеют место колебания с меняющйся частотой и формой в пространстве взаимодействия. Это иллюстрирует рис. 7.8 5, на котором представлены зависимости частоты биений /д поля 石(§) от пространственной координаты для различных значений расстройки |Q — g()|. Видно, что длина синхронизации As, т. е. область, где колебания поля синхронны с внешним сигналом (этой области соответствует частота биений /д = =0) увеличивается с уменьшением величины |Q — cjqI-

Обратимся теперь к изучению синхронизации автоколебаний в гиро-ЛВВ путем численного интегрирования нелинейной нестационарной системы уравнений (7.20)—(7.22). Рассмотрим влияние

吊0,70,60,50,40,30,20,1ОО吊0,70,60,50,40,30,20,1ОО

吊

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

ОО

吊

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

ОО

片 0,330,661,001,341,682,00Q/① о

Рис. 7.9. Карты режимов на плоскости управляющих параметров частота- амплитуда внешнего воздействия для автономных режимов стационарной генерации (а) и периодической автомодуляции (б)

внешнего сигнала на режимы стационарной генерации и периодической автомодуляции. Параметры, при которых проводились исследования, следующие: безразмерная длина системы полагалась равной А = 3,0; параметр неизохронности 〃 = 2,0 (в автономном случае наблюдается режим стационарной генерации) и 〃 = 4,0 (режим периодической автомодуляции выходного сигнала).

На рис. 7.9 представлено разбиение плоскости параметров амплитуда /^-частота Q внешнего воздействия на характерные режимы пространственно-временных колебаний в гиро-ЛВВ для режима стационарной генерации (рис. 7.9 а) и автомодуляции (рис. 7.9 б) в авто-

номном режиме. Рассмотрим динамику генератора под воздействием управляющего сигнала более подробно.

При близости частоты внешнего воздействия Q к собственной частоте стационарной генерации автономной системы g° в генераторе имеет место режим синхронизации (отмечен на рисунках 7.9 а и 7.9 б), в котором частота выходного сигнала g определяется частотой Q внешнего воздействия, а амплитуда выходного сигнала 歹(§ = 0, г) после окончания переходного процесса устанавливается постоянной 歹(§ = =0, г) = const (режим стационарной генерации). В случае 〃 = 2,0 синхронизация колебаний наблюдается при сколь угодно малой амплитуде Fq внешнего сигнала, а область синхронизации симметрично расширяется при отстройке частоты Q от 幻。при увеличении величины 好.В случае 〃 = 4,0 режим стационарной генерации на частоте внешнего воздействия возникает при конечной амплитуде Fq внешнего воздействия и форма области синхронизации сильно асимметричная. При выходе из области синхронизации с изменением параметров внешнего сигнала, как видно из рис. 7.9, имеет место сложная картина перестройки колебательных режимов генератора. Рассмотрим характеристики различных колебательных режимов неавтономной системы, при необходимости снова обращаясь к рис. 7.9.

При пересечении управляющими параметрами границы области синхронизации на карте режимов (см. рис. 7.9) наблюдается переход системы в режим автомодуляции, который характеризуется тем, что амплитуда выходного сигнала генератора 尸(£ = 0, т)| начинает зависеть от времени. При этом в зависимости от частоты и амплитуды внешнего сигнала могут возникать режимы как периодической, так и хаотической автомодуляции. В последнем случае амплитуда выходного сигнала ведет себя существенно нерегулярно, имеют место колебания со сплошным спектром. На карте режимов области периодической автомодуляции обозначены символами Q, где индекс i соответствует периоду автомодуляции, области хаотической автомодуляции — символом С.

При малой фазовой нелинейности (〃 = 2,0) из рис. 7.9 а видно, что режимы периодической автомодуляции с единственной базовой частотой /厶 =l/丁厶 возникают при небольших амплитудах внешнего воздействия Fq. Период автомодуляции на границе области синхронизации стремится к бесконечности и с ростом расстройки плавно уменьшается (аналогично см. рис. 7.8 а). С ростом Fo при определенных частотах Q наблюдается явление удвоения периода (области 不 и 看 на карте режимов). При большой амплитуде внешнего воздействия на карте режимов наблюдается несколько областей хаотической автомодуляции. Переход к ним происходит из режимов периодической автомодуляции после одного или двух удвоений периода автомодуляции Тд.

При большом параметре неизохронности 〃 = 4,0 вид карты режимов вне области синхронизации существенно меняется (см. рис. 7.9 6). Перестройка режимов при изменении параметров внешнего воздействия достаточно сложна: имеет место большое количество переходов порядок-хаос и хаос-порядок, сопровождающихся изменением различ-

ных динамических характеристик выходного сигнала генератора (спектра мощности, фазового портрета и т. д.).

При небольших амплитудах внешнего сигнала в системе наблюдаются квазипериодические автоколебания (соответствующие области на карте режимов отмечены символом Q). В области (Q — g°) < 0 как видно из рис. 7.9 5, к границе клюва синхронизации примыкает область периодической автомодуляции (область Ti), которая с увеличением амплитуды внешнего воздействия сильно расширяется. При больших расстройках (Q —幻。)и амплитуде внешнего сигнала Fq меньшей, чем необходимо для возникновения режимов периодической автомодуляции Ti, наблюдаются различные режимы как хаотической, так и периодической автомодуляции выходного сигнала неавтономной системы.

Выход из области периодической автомодуляции при уменьшении частоты управляющего сигнала Q происходит через режим перемежаемости (область на карте режимов (рис. 7.9 б), обозначенная символом /). В этом случае у зависимости амплитуды \F\ выходного сигнала генератора от времени наблюдаются фазы почти периодических колебаний, прерываемых короткими фазами нерегулярных движений.

При большой нелинейности 〃 характер перехода системы из области синхронизации в режим модуляции амплитуды выходного поля претерпевает изменение. Так модуляция возбуждается мягко по амплитуде, при этом частота модуляции поля имеет конечное значение /厶(口$)济 О на границе клюва синхронизации.

При захвате базовой частоты g выходного сигнала 歹(т) ехр (^幻力) внешним сигналом с частотой Q имеет место следующее важное явление, названное в работах [32,33,37,38] квазисинхронизацией автоколебаний. Под режимом синхронизации понимается режим стационарной генерации на частоте внешнего сигнала. Однако область захвата базовой частоты генерируемого сигнала существенно больше, чем область стационарной генерации на частоте внешнего поля (область синхронизации на рис. 7.9).

Будем называть неавтономный режим генерации распределенной системы, в котором высокочастотные автоколебания происходят на частоте внешнего управляющего сигнала, режимом квазисинхронизации. В режиме квазисинхронизации огибающая выходного ВЧ-поля I 歹(т)| демонстрирует сложную динамику (низкочастотную модуляцию выходного поля). Рисунок 7.10 иллюстрирует вышесказанное. На нем представлены зависимости разности частот (g — Q) высокочастотных колебаний на выходе системы от нормированной частоты управляющего сигнала 口/幻。при различных амплитудах Fq при // = 2,0 (рис. 7.10 а) и 〃 = 4,0 (рис. 7.10 6).

Из сравнения рис. 7.9 и рис. 7.10 видно, что область захвата частоты со стороны больших частот совпадает с границей области модуляции выходного поля (и соответственно области синхронизации), а со стороны меньших частот (справа на рис. 7.9) частота внешнего воздействия, при которой имеет место захват частоты, лежит существенно левее границы режима стационарной генерации. Граница области захвата базовой частоты генерации (режима квазисинхранизации) нанесена на

Рис. 7.10. Разность частот (Q — о?) внешнего воздействия и колебаний при различных амплитудах внешнего сигнала для случая 〃 = 2,0 (а) и 〃 = 4,0 (б)

рис. 7.9 штриховой линией (кривая 1). Заметим, что линия 1 и граница области синхронизации не совпадают при любой сколь угодно малой амплитуде внешнего воздействия Fo как в случае малой (〃 = 2,0; рис. 7.9 а), так и большой фазовой нелинейности (〃 = 4,0; рис. 7.9 б).

В режиме квазисинхронизации генерация высокочастотного излучения имеет место на частоте 幻。^ С, а амплитуда выходного поля \F\ медленно меняется с временным масштабом Тд. Область квазисинхронизации исследуемой неавтономной системы соответствует области на карте режимов (см. рис. 7.9) между линией 1 и правой границей клюва синхронизации (см. рис. 7.10).

При выходе из области квазисинхронизации частота ВЧ-генерации при увеличении отстройки частоты внешнего воздействия Q от частоты генерации 运 автономной системы стремится к частоте автономной генерации.

Таким образом, можно говорить о «расщеплении» границы клюва синхронизации при воздействии внешнего гармонического сигнала на автоколебания в распределенной активной среде «винтовой электронный пучок-встречная электромагнитная волна». Если под синхронизацией понимать установление в активной среде колебаний на часто-

те управляющего воздействия Q и без дополнительных спектральных компонент в спектре мощности генерации (т. е. с неизменяющейся во времени амплитудой поля |F|), то граница области синхронизации соответствует области стационарной генерации на карте режимов (см. рис. 7.9; сплошная линия). Другая ситуация складывается, если под синхронизацией понимать только захват базовой частоты в спектре мощности генерации гиро-ЛВВ управляющим сигналом, так что |Q — —g| = const. В последем случае стоит говорить о режиме квазисинхронизации, который занимает существенно большую область на плоскости управляющих параметров (Q/cjq, ^о)« При этом в режиме квазисинхронизации амплитуда выходного сигнала |歹(§ = 0, т)| может вести себя достаточно сложно во времени, совершая как периодические, так и хаотические колебания. Вместе с тем ВЧ-генерация в системе происходит на частоте внешнего воздействия.

Рассмотрим физические процессы, сопровождающие перестройку режимов колебаний в гиро-ЛВВ под воздействием внешнего управляющего сигнала с амплитудой Fo и частотой Q.

Частота ВЧ-генерации определяется как поправка g к частоте «холодного» синхронизма 2. Частота cjq определяется фазой 屮f & т) поля 歹(£,т)=丨歹(£, 丁)丨 ехр 匕夕尸(£, т)]. В режиме одночастотной ВЧ-генерации поправка к частоте может быть представлена в виде

Go = lim 夕f(0,t)/t. (7.41)

Если считать фазу 屮f& т) периодической функцией с периодом 2тг, т. е. рассматривать функцию

Of(Sg) = 9f(S,t) mod 27Г, (7.42)

то Ор ведет себя периодически с периодом 1/cjq (рис. 7.11 а), на котором представлены проекции распределения поля \F\ и фазы поля ^F на плоскость §т в режиме стационарной автономной генерации. В режиме сложной динамики фазы ^F(r) частота G。, находящаяся из соотношения (7.41), определяет характерный временной масштаб ВЧ-генерации.

Квазисинхронизация колебаний, т. е. генерация ВЧ-излучения на частоте g° = Q, соответствует периодическим колебаниям фазы ^F с частотой Q. При этом амплитуда выходного ВЧ-поля \F\ может вести себя во времени достаточно сложно, демонстрируя как режимы периодической, так и хаотической модуляции.

Рассмотрим подробнее поведение амплитуды и фазы поля F в гиро- ЛВВ в области синхронизации и вне ее при малой неизохронности 〃 = =2,0. На рис. 7.11 б-г показаны пространственно-временные распределения амплитуды и фазы поля 歹(§, т), построенные для различных режимов неавтономной генерации гиро-ЛВВ.

Как показывает анализ рисунков 7.11 5 и 7.11 г, в режиме, отличном от режимов квазисинхронизации и синхронизации, пространство взаимодействия можно условно разделить на две области. В первой, примыкающей к коллекторному концу системы ^ = А, колебания фазы Of происходят с частотой внешнего воздействия Q. Далее, в доста-

Hl% } 養1鎏\46,Hl% } 養1鎏\46,2 1 о 尸ф2 1 о 尸фГС,- о о・ 尸 фГС,- о о・ 尸 ф^1^1•°•°•° "•° "\.\\.\X,- 1Ъ川X,- 1Ъ川2 1 гF ф2 1 гF фч \1^ч \1^о^4"о^4"о 50,о 50,о 54,о 54,Q осГ 5Q осГ 5

Hl% } 養1鎏\46,

Hl% } 養1鎏\46,

2 1 о 尸

ф

2 1 о 尸

ф

ГС,- о о・ 尸 ф

ГС,- о о・ 尸 ф

^1

^1

•°

•°

•° "

•° "

\.\

\.\

X,- 1Ъ

川

X,- 1Ъ

川

2 1 г

F ф

2 1 г

F ф

ч \1^

ч \1^

о^

4"

о^

4"

о 50,

о 50,

о 54,

о 54,

Q осГ 5

Q осГ 5

Рис. 7.11. Пространственно-временные распределения амплитуды и фазыполя при 〃 = 2,0 (построенные при амплитуде внешнего воздействия Fq ==0,3): а— автономный режим генерации; б— режим автомодуляции с перио-дом 1, отличный от квазисинхронизации; в — режим стационарной генерации,область синхронизации; а — режим автомодуляции с периодом 2, отличныйот режима квазисинхронизации

точно узкой области пространства взаимодействия наблюдается резкое изменение величины фазы поля ^F, которая практически скачком изменяется на величину тг. В области вблизи выхода системы § = О колебания фазы имеют место на частоте G, отличной от Q. Таким образом пространство взаимодействия неавтономной системы делится на две характерные области пространственно-временных колебаний — область синхронных с управляющим сигналом временных колебаний и область, в которой имеют место колебания на частоте, отличной от частоты управляющего сигнала. Эти две характерные области разделены узкой областью, в которой наблюдаются резкие скачкообразные изменения фазы поля ^F. С увеличением отстройки (Q — Qs) < 0 от границы клюва квазисинхронизации Qs область пространства, в которой наблюдаются синхронные колебания, уменьшается.

В режиме квазисинхронизации колебания во всем пространстве взаимодействия происходят на частоте внешнего воздействия Q. На проекции распределения~^f^^t) (см. рис. 7.11 в) имеет место периодическая картина, идентичная наблюдаемой в случае автономных колебаний (см. рис. 7.11 а), но с частотой g° = Q.

При большой неизохронности 〃〉3,0, соответствующей автомодуляции выходного сигнала гиро-ЛВВ в автономном режиме, картина разрушения состояния квазисинхронизации при отрицательной отстройке (Q — Qs) < 0 выглядит аналогично. На рис. 7.12 а представлены распределения |歹(§, т)| и ^F(^, г), построенные при параметрах внешнего сигнала, соответствующих области вблизи границы клюва квазисинхронизации. Амплитуда выходного сигнала \F\ в этом случае ведет себя сложным образом, демонстрируя хаотическую модуляцию. Последнее хорошо видно на пространственно-временном распределении амплитуды \F\ поля (см. рис. 7.12 а). Что касается распределения Of, которое определяет частоту генерации системы в данном режиме, то оно близко к характерному для режима квазисинхронизации (это выражается в отсутствии резких скачков фазы поля). При этом фаза в пространстве ведет себя нерегулярным образом, характерная частота генерации g° < Q. Однако, как и раньше, в области вблизи правого конца системы динамика фазы регулярна и происходит на частоте, равной частоте управляющего сигнала Q.

При положительной отстройке (Q — Qs) > 0 и большой величине параметра неизохронности 〃 ситуация меняется. В этом случае в области, примыкающей к правой границе системы ^ = А, наблюдаются не колебания на частоте внешнего сигнала Q, как было при малом 〃, а имеют место квазипериодические колебания с базовыми частотами 幻。и Q. Это хорошо видно из анализа пространственно-временного распределения фазы Ор (см. рис. 7.12 6), построенного для режима периодической автомодуляции, несоответствующей области квазисинхронизации.

Возникновение автомодуляционных режимов в исследуемой системе под воздействием управляющего сигнала определяется, во-первых, запаздывающим характером обратной связи [46], и, во-вторых, перегруппировкой электронов в сильном поле [47-49], т. е. с амплитудной нелинейностью системы.

汽汽2,0

汽

汽

642,046,0 5СН1 54,058,0 т и

Рис. 7.12. Пространственно-временные распределения амплитуды и фазы поля при 〃 = 4,0 (построенные при амплитуде внешнего воздействия & = =0,32): а — область вблизи границы клюва квазисинхронизации, хаотическая автомодуляция амплитуды выходного сигнала (Q/o?o = 1,8); 6— режим периодической автомодуляции, не соответствующий области квазисинхронизации (Q/o?o = 0,14)

На рис. 7.13 а представлены распределения сгруппированного тока |/(^)| (сплошная линия) и поля |歹(§)| (штриховая линия) в режиме стационарной генерации в автономном режиме работы гиро-ЛВВ. Оба распределения имеют вид функций с одним максимумом. Это соответствует формированию на длине пространства взаимодействия одного фазового сгустка в потоке электронов-осцилляторов. Падение величины |/(^)| к концу пространства взаимодействия ^ = А свидетельствует о разгруппировке фазового сгустка. При малых амплитудах внешнего воздействия в режиме синхронизации вид распределений тока и поля качественно не меняется (рис. 7.13 5, соответствующий границе области синхронизации).

При выходе из области синхронизации влияние внешнего сигнала сказывается в нарушении фазовых соотношений, соответствующих режиму стационарной генерации, между комплексными амплитудами поля F и тока I. Как следствие этого, режим синхронизации со стационарными распределениями тока и поля вдоль системы теряет устойчивость. Это связано с возникновением дополнительной распределенной обратной связи в системе: сгруппированный в сильном поле винтовой электронный пучок приходит к коллекторному концу системы ^ = А

0,6 0,5 0,4" 0,30,2 0,1”0 0,50,6 0,5 0,4" 0,30,2 0,1”0 0,50,7 0,6 0,5 0,4" 0,3 0,2 0,1

0,6 0,5 0,4" 0,3

0,2 0,1

”0 0,5

0,6 0,5 0,4" 0,3

0,2 0,1

”0 0,5

1,5 22,5 匕 Jo 0,5 11,5 22,5 匕

0,7

0,6[ j

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

”00,5 11,5 22,5 自

Рис. 7.13. Распределения амплитуды тока |/(^)| (сплошная линия) и поля |歹(£)| (штриховая линия): а— при стационарной генерации (параметр неизо- хронности 〃 = 2,0) в автономном режиме; б — в неавтономном режиме при малых амплитудах внешнего воздействия, соответствующем границе области синхронизации (режим стационарной генерации на частоте внешнего воздействия); в — в неавтономном режиме, соответствующем периодической автомодуляции выходного сигнала (большая амплитуда внешнего воздействия)

со скоростью V|| уже перегруппировавшись; возбуждаемое сгруппированным током поле смещается со скоростью vg к входному концу § = =0 системы; сгруппированный в слабом поле пучок возбуждает теперь сильное поле, в котором винтовой электронный пучок и перегруппировывается. Таким образом, при переходе частоты Q границы области синхронизации при данном Fq ранее стационарные распределения |/| и \F\ начинают смещаться в сторону ^ = 0, причем максимум поля растет по величине при движении из-за взаимодействия с волной тока, пока не достигнет конца системы. Из оставшегося распределения 歹(§) под влиянием внешнего поля опять выделяется основной тип колебаний, и процесс периодически повторяется с временным масштабом Тд.

Следует заметить, что при большой величине параметра неизо- хронности (〃〉3,0), когда в автономной системе наблюдается автомодуляция амплитуды выходного сигнала, при воздействии на систему гармоническим сигналом в режиме синхронизации удается разорвать дополнительную внутреннюю обратную связь. Это обусловлено тем, что внешний управляющий сигнал «навязывает» исследуемой системе некоторое распределение фазы поля Ор в пространстве взаимодействия, которое характеризуется отсутствием резких скачков фазы в пространстве, и которое соответствует оптимальному, в смысле воз-

436 Лекция 7 (22) никновения режима стационарной генерации, фазовому соотношению между волнами тока / и поля F в гиро-ЛВВ.

Ситуация меняется при росте амплитуды внешнего воздействия Fq. В этом случае влияние внешнего сигнала приводит к разгруппировке и далее к формированию вторичного фазового сгустка. Как следствие, распределения тока и поля вдоль пространства взаимодействия приобретают двухгорбый вид (см. рис. 7.13 в, соответствующий области синхронизации; на зависимости |/(§)| появляется второй максимум в области §〉2,5). При потере устойчивости режима, характеризуемого «многогорбыми» распределениями поля и тока, при выходе из области синхронизации за время прохода излучения вдоль длины системы успевают сформироваться не один как при малой амплитуде 氏,а два или четыре максимума. Поэтому при выходе из области синхронизации и потере устойчивости режима стационарной генерации возникают режимы модуляции выходного поля.

Учитывая все вышесказанное, можно, как и при анализе фазовой синхронизации в рамках линейной стационарной теории, ввести длину синхронизации As (совпадающую с длиной области синхронных колебаний ^ G (А — As, А)), на которой имеют место высокочастотные колебания на частоте внешнего воздействия Q. Далее в области пространства взаимодействия ^ ^ As имеет место разрушение режима синхронизации, которое связано с резкими скачками фазы поля, и, как следствие, изменением внутренней структуры электронного пучка (фазовой перегруппировкой электронов-осцилляторов винтового пучка). Разрушение режима синхронизации на длине синхронизации As определяется нарушением фазовых соотношений между волной тока и поля, приводящим к возникновению более сложной структуры пространственно-временных распределений поля F. При фиксированных безразмерной длине системы А и параметре неизохронности 〃 «паразитный» набег фазы поля, возникающий за счет воздействия на систему управляющего сигнала с амплитудой Fq и приводящий на длине синхронизации As к разрушению режима колебаний на частоте внешнего воздействия, постоянен и не зависит от частоты внешнего воздействия. Обозначая «паразитный» набег фазы через △(/? запишем, что △(/? = |Q —(v()\As/vg или, выражая величину As, окончательно получаем выражение для длины синхронизации:

Зависимость набега фазы △(/? от амплитуды внешнего поля при малых Fq может быть представлена как △(/? = %Fb, где % — коэффициент пропорциональности, зависящий при фиксированной длине системы от параметра неизохронности 〃. Это определяется тем, что при небольшом увеличении амплитуды внешнего поля Fo имеет место уменьшение фазовой разгруппировки и последующей перегруппировки электронов-осцилляторов винтового потока, приводящее к нарушению фазово-

го соотношения △(/? и, как следствие, сохранению режима синхронных колебаний на большей длине пространства As.

Границе области квазисинхронизации сответствует длина синхронизации, равная длине пространства взаимодействия As = А. Тогда из соотношения (7.43) следует, что для границы области квазисинхронизации на плоскости (Q, &)) можно записать

|必—幻01 =，厶g 歹о = const Fq , (7.44)

где частота Qs соответствует границе клюва.

Полученные в результате численного моделирования в рамках нелинейной нестационарной теории феноменологические выражения для границы клюва синхронизации (7.44) и длины синхронизации (7.43) хорошо подтверждают представленные в начале раздела результаты анализа фазовой синхронизации гиро-ЛВВ в рамках линейной стационарной теории. Последняя позволила правильно предсказать форму границы области синхронизации при малых амплитудах внешнего воздействия 氏,качественно описать характеристики асинхронного режима (амплитуду и частоту автомодуляции). Более того, в рамках стационарной линейной теории удалось правильно описать пространственную динамику в неавтономной активной среде — было получено, что синхронизация автоколебаний имеет место только на некоторой длине As (длине синхронизации), которая зависит как от параметров активной среды, так и от характеристик управляющего сигнала. Вместе с тем, линейная стационарная теория не позволила описать наблюдаемое в численном эксперименте явление расщепления клюва синхронизации и возникновение режимов квазисинхронизации, когда ВЧ-генерация имеет место на частоте внешнего воздействия cj = Q, одновременно демонстрируя нестационарную во времени динамику медленно меняющейся амплитуды поля \F(r)\.

Остановимся теперь на важном с прикладной точки зрения вопросе: как быстро будет происходить процесс установления режима синхронизации (т. е. какова будет длительность переходного процесса) в активной среде «винтовой электронный пучок-встречная электромагнитная волна». Последнее очень важно при синхронизации системы, работающей в импульсном режиме, когда необходимо уменьшить длительность установления синхронного режима. Рассмотрим зависимость длительности установления режима синхронизации в гиро-ЛВВ, следуя работе [50]. В ней рассматривается вопрос о том, какое влияние оказывает начальная разность фаз ВЧ-поля в режиме стационарной генерации и внешнего воздействия на длительность интервала времени, за который осуществляется синхронизация распределенной системы. Предполагается, что внешнее воздействие вида FBli = Fo exp [J (Qr + g)] включается, когда в автономной гиро-ЛВВ завершается переходный процесс и устанавливается режим стационарной генерации. Начальная фаза внешнего сигнала g меняется от 0 до 2тг, тогда как момент времени, в который включается внешнее воздействие, остается фиксированным.

Рис. 7.14. Длительность D (в относительных единицах времени) установления режима синхронизации в активной распределенной среде «винтовой электронный поток-встречная электромагнитная волна» как функция фазы внешнего поля для различных сечений пространства взаимодействия

На рис. 7.14 показаны зависимости длительности D установления режима синхронизации от начальной фазы внешнего поля д, с которой подается внешний синхронизирующий сигнал, в различных сечениях £ пространства взаимодействия лампы. Управляющие параметры исследуемой модели (7.20)—(7.22) выбраны следующими: А = 3,0, 〃 = =2,0, Fq/F = 0,1 и Q/cjo = 0,0154, где 歹 и g° — амплитуда и частота автономных колебаний.

Из рисунка следует, что длительность переходного процесса сильно зависит от начальной фазы входного сигнала и имеет четко выраженные максимум и минимум, причем максимальная и минимальная длительности установления режима синхронизации отличаются примерно на порядок. Минимальная длительность переходного процесса составляет величину Тт\п < 20,0, которая соответствует всего 2 4- 3 характерным временам т厶 запаздывания распределенной обратной связи исследуемого генератора. Характерное время реакции системы на внешнее воздействие определяется длиной лампы А, групповой скоростью распространения волны в волноведущей структуре vg и переносной скоростью пучка 少卜 Внешнее поле, подаваемое на вход лампы, распространяется навстречу пучку, производя модуляцию винтового электронного потока, который в свою очередь переносит эту информацию к входу (коллекторному концу) лампы со скоростью 17ц, возбуждая в волноведущей системе встречную электромагнитную волну, поле которой складывается с внешним полем. В результате характерное время равно т厶 ^ 4 (1/少冃 + 1/少|), что в безразмерных переменных составляет величину т厶 ^ 6,0.

Последнее означает, что при оптимальной фазе внешнего поля происходит сверхбыстрая синхронизация распределенной автоколебательной системы со встречной волной, которая осуществляет обратную

связь. В случае максимальной длительности Т установление режима синхронизации осуществляется за время Т〉20TA.

Сравнивая зависимости О(§) длительности переходного процесса, построенные для различных сечений пространства взаимодействия лампы (см. рис. 7.14), можно видеть, что в режиме сверхбыстрой синхронизации наблюдается практически одновременное установление синхронного режима во всем объеме активной среды. При фазах g внешнего поля, отличных от оптимальной, длительность переходного процесса различна в различных сечениях лампы. Наиболее короткий переходной процесс имеет место в середине пространства взаимодействия § = 4/2.

И в заключение раздела отметим, что вблизи правой границы клюва синхронизации неавтономной гиро-ЛВВ наблюдается явление, называемое переходным хаосом. Под переходным хаосом в отличие от «классического» динамического хаоса (образом которого в фазовом пространстве является странный аттрактор, к которому асимптотически стремятся фазовые траектории из определенной области фазового пространства при 力一＞ оо [20, 51, 52]), в нелинейных динамических системах понимается следующее [53]: в фазовом пространстве системы, демонстрирующей переходной хаос, существует так называемое «хаотическое седло» (chaotic saddle) — хаотическое множество в фазовом пространстве, которое является неустойчивым по одному из направлений. Фазовая траектория, стартуя из точек фазового пространства, лежащих вблизи хаотического седла, долгое время демонстрирует непериодическое поведение, после чего покидает его окрестность по неустойчивому направлению и достигает аттрактора, который может быть как периодическим, так и хаотическим.

В гиро-ЛВВ в неавтономном режиме также наблюдается подобное явление [34, 35]. На рис. 7.15 представлены характерные временные реализации выходного сигнала 歹(§ = 0, т) в режиме переходного хаоса, полученные при различных амплитудах начального возмущения.

Из рис. 7.15 видно, что в зависимости от амплитуды начального возмущения длительность переходного процесса различна, но, в итоге, в гиро-ЛВВ устанавливается режим стационарной генерации на частоте внешнего воздействия. Длительный переходный процесс носит нерегулярный хаотический характер, что свидетельствует о наличии в системе явления переходного хаоса.

Особенности синхронизации колебаний в лампеобратной волны типа О

Согласно работе [54] система уравнений (7.20)—(7.22), описывающая взаимодействие винтового электронного пучка со встречной электромагнитной волной, при большйх значениях параметра неизохронности 〃》1 с точностью до коэффициентов приводится к уравнениям нелинейной нестационарной теории ЛОВ типа О с малым коэффициентом усиления, а при введении новых переменных F' = — ^/Д F, g = ^/Д ^,

Рис. 7.15. Типичные временные реализации амплитуды выходного сигнала неавтономной гиро-ЛВВ в режиме переходного хаоса. Реализации построены для различных амплитуд начального возмущения. Вертикальными штриховыми линиями выделена область переходного хаоса. После длительного нерегулярного переходного процесса в системе устанавливается режим стационарной генерацииРис. 7.15. Типичные временные реализации амплитуды выходного сигнала неавтономной гиро-ЛВВ в режиме переходного хаоса. Реализации построены для различных амплитуд начального возмущения. Вертикальными штриховыми линиями выделена область переходного хаоса. После длительного нерегулярного переходного процесса в системе устанавливается режим стационарной генерации

Рис. 7.15. Типичные временные реализации амплитуды выходного сигнала неавтономной гиро-ЛВВ в режиме переходного хаоса. Реализации построены для различных амплитуд начального возмущения. Вертикальными штриховыми линиями выделена область переходного хаоса. После длительного нерегулярного переходного процесса в системе устанавливается режим стационарной генерации

Рис. 7.15. Типичные временные реализации амплитуды выходного сигнала неавтономной гиро-ЛВВ в режиме переходного хаоса. Реализации построены для различных амплитуд начального возмущения. Вертикальными штриховыми линиями выделена область переходного хаоса. После длительного нерегулярного переходного процесса в системе устанавливается режим стационарной генерации

т‘ = %Д т полностью переходит в эти уравнения (штрихи над безразмерными переменными опускаем) [44,45]:

(7.45)(7・46)(7.45)(7・46)^72 = 一42 Re {ь exp (2},

(7.45)

(7・46)

(7.45)

(7・46)

dF dF

而一毎"exp(f)他.

о

Формула (7.45) представляет собой уравнение движения электронов в поле синхронной электромагнитной волны, (7.46) — уравнение возбуждения обратной пространственной гармоники электромагнитной волны. Здесь J — фаза электрона в поле волны, А = 27roN — безразмерный параметр, имеющий смысл безразмерной длины пространства взаимодействия (увеличение параметра А может рассматриваться как рост тока электронного пучка), С — параметр усиления Пирса [45], N — электрическая длина лампы. Уравнения (7.45) и (7.46) должны быть

дополнены начальными и граничными условиями вида

歹(т = о,8 =严⑹，伙w = o)= %,

(7.47)(7.47)пл

(7.47)

(7.47)

% e [о,2тг], 灰(§ = о) = о.

Рассмотрим, исходя из модели (7.45)—(7.47), характерные особенности неавтономной динамики ЛОВО при влиянии на нее внешнего гармонического сигнала F(^ = А) = Fo exp (JQr), подаваемого на вход лампы.

Проводя, аналогично тому как это делалось для гиролампы со встречной волной, анализ фазовой синхронизации ЛОВ внешним сигналом, можно показать, что дифференциальное уравнение, описывающее динамику разности фаз а между полем синхронизируемой системы и внешним сигналом, имеет вид

da/dr + 幻0死 sin a — (Q — g。)= 0, (7.48) где коэффициент 死 определяется как

左品(1 + ^) /鳥 arctg(]：?M/)Lj(7.49)

Здесь функция 0(Фо) (см. формулу (7.30)) описывает процесс квадратичной группировки в прямолинейном пучке; величина Фо = (/е — /о)§ представляет собой относительный угол пролета электрона в пространстве взаимодействия, Ео и Евых ——соответственно амплитуда внешнего и выходного сигнала лампы обратной волны.

Режим синхронизации соответствует случаю постоянной разности фаз между выходным и управляющим сигналами da/dr = 0. Максимальная величина частотной отстройки (g° — Qs), при которой еще имеет место режим синхронизации, определяется условием sin a = ±1 (Qs — частота, соответствующая границе области синхронизации). Тогда ширина полосы синхронизации Acj = 21Go — ^s\ в соответствии с уравнением (7.48) определяется выражением

△g/go = 2% (7.50)

Из соотношений (7.49) и (7.50) следует, что, как и в случае неавтономной гиро-ЛВВ, ширина полосы синхронизации определяется в первую очередь амплитудой управляющего сигнала Eq и длиной системы А. Величина Acj/g° пропорциональна отношению амплитуд управляющего сигнала и выходного сигнала ЛОВ.

Зависимость ширины полосы синхронизации △g/g° от управляющего параметра А для различных величин ^о/^вых представлена на рис. 7.16 а. Видно, что с увеличением длины системы А наблюдается уменьшение ширины области синхронизации Acj/cjq- При больших длинах пространства взаимодействия А зависимость ширины полосы

Лш/соо

Рис. 7.16. а — зависимости ширины полосы синхронизации △公/公。от управляющего параметра А, построенные при различных величинах Ео/Евых (отмечены на рисунке); 6 — частота колебаний как функция координаты пространства взаимодействия £ для следующих величин расстройки: 1 — |Q — зо|/〃 = 0,23, 2 — 0,45, 3 — 0,68, 4 — 0,91; в — зависимость длины синхронизации As от величины Q —公()|/〃

синхронизации при различных амплитудах внешнего сигнала можно аппроксимировать степенной функцией вида Acj/cjq ~ 1/4.

Анализ уравнения (7.48) показывает, что при х ^ |cjq — ^|/^о величина а при т —> оо асимптотически стремится к постоянному значению,

что соответствует режиму синхронизации автоколебаний в активной среде. Наоборот, при х < |cjq — ^|/^о не существует постоянного не зависящего от времени сдвига фаз а между сигналом, генерируемым неавтономной ЛОВ, и управляющим сигналом. В системе имеют место биения с периодом Та, причем как следует из уравнения (7.48), период автомодуляции стремится к бесконечности при приближении к границе области синхронизации |g° — 口|/公()一> 〃.С ростом амплитуды внешнего воздействия Eq наблюдается увеличение периода автомодуляции при одинаковой величине расстройки |g。— Q|. При увеличении расстройки период автомодуляции уменьшается и стремится к постоянной величине для различных амплитуд внешнего воздействия. Одновременно, при увеличении разности частот |g。— Q| форма автомодуляции становится близкой к синусоидальной.

Рассмотрим, как уравнение (7.48), впервые полученное для ЛОВ в работе [43], можно использовать для описания характерных особенностей пространственной динамики неавтономной ЛОВ. Определяющей характеристикой неавтономных колебаний лампы обратной волны типа О является коэффициент х, описываемый соотношением (7.49). Рассмотрим фазу между полем 石(§) неавтономной ЛОВ и внешним сигналом 石0(§) как функцию координаты и времени а = а(т, §) и найдем решение уравнения (7.48) в каждой точке пространства взаимодействия с учетом того, что коэффициент 死=〃(£)• Заметим, что из определения (7.49) следует, что функция 死 является убывающей с ростом £, и при большйх длинах пространства взаимодействия 〃(£) ~ ~ 1/6

Режим синхронизации, как было показано выше, имеет место при 死》|幻0 — П|. Тогда при малых длинах пространства взаимодействия и достаточно малой расстройке всегда будет иметь место режим синхронизации, соответствующий постоянному значению фазы а(т,§)= =const. Однако с ростом координаты и одновременным уменьшением величины 〃(§) возможна ситуация, что величина 〃(§) в некоторой точке пространства взаимодействия § = §* принимает значение, меньшее |Q — Go|. В этом случае режим синхронизации разрушается.

Последнее означает, что пространство взаимодействия лампы делится на две характерные области — область длины As (которую, как и выше при рассмотрении гиро-ЛВВ, будем называть длиной синхронизации^ As = А — §*), где имеет место режим синхронизации колебаний, и область длины А — As, в которой наблюдается разрушение режима синхронизации. Таким образом, в неавтономной системе в асинхронном режиме имеют место колебания с меняющйся частотой и формой колебаний вдоль длины пространства взаимодействия. Это иллюстрирует рис. 7.16 5, на котором представлены полученные из решения уравнения (7.48) зависимости характерной частоты g(£)/go автоколебаний в неавтономной системе в асинхронном режиме от пространственной координаты § для различных значений расстройки |Q — Go|/〃. Видно, что длина синхронизации As, которой соответствует g(£)/go = 1, увеличивается с уменьшением величины расстройки. При ^ < As частота g(§) быстро увеличивается и далее практически перестает меняться

Рис. 7.17. Разбиение плоскости управляющих параметров частота Q- амплитуда & внешнего сигнала на характерные режимы неавтономных колебаний в лампе обратной волны. Штриховой линией 1 отмечена область квазисинхронизации

с изменением координаты. На рис. 7.16 в показана зависимость длины синхронизации As от величины расстройки |Q — Go|/〃. Граница области синхронизации Qs (отмечена на рис. 7.16 в стрелкой) соответствует условию, что длина синхронизации становится равной длине системы 74s = 4

Изучим теперь синхронизацию автоколебаний в лампе обратной волны путем численного интегрирования нелинейных нестационарных уравнений ЛОВ (7.45)-(7.47).

На рис. 7.17 представлена карта режимов колебаний в системе на плоскости управляющих параметров нормированная частота ■]з^— амплитуда Fq внешнего сигнала, построенная при длине системы А = =2,2. На ней отмечены области характерных режимов динамики исследуемой неавтономной системы. При близости частоты Q внешнего воздействия к частоте генерации g° автономной системы лампа обратной волны демонстрирует режим синхронизации (отмечен на рис. 7.17), в котором частота выходного сигнала g определяется частотой внешнего воздействия, а амплитуда выходного сигнала |歹(§ = 0, т)| после окончания переходного процесса устанавливается постоянной (режим стационарной генерации). Когда значения управляющих параметров соответствуют пересечению границы области синхронизации (сплошная линия на рис. 7.17), имеет место переход системы в режим модуляции выходного сигнала. В этом случае амплитуда сигнала |歹(§ = 0, т)| начинает периодически изменяться во времени.

При исследовании зависимости базовой частоты g выходного поля 凡ых = \F{т}\езшт неавтономной системы от параметров внешнего управляющего сигнала было обнаружено, что область захвата частоты g шире области стационарной генерации, которая отмечена на карте режимов как область синхронизации. Граница области захвата частоты нанесена на рис. 7.17 штриховой линией (кривая 1). При частотах внешнего воздействия, больших частоты автономной генерации (Q/cjq 〉 > 1,0), область захвата частоты при малых амплитудах внешнего воздействия Fq совпадает с границей области автомодуляции (и соот-

Л®/соо

1,2

1,0

0,8

0,6

0,4

0,2

0,0

Рис. 7.18. а — ширина полосы синхронизации (штриховая линия) и квазисинхронизации (сплошная линия) как функция амплитуды внешнего сигнала &/居ых, построенные при различных длинах системы А\ 6 — зависимости ширины полосы синхронизации △公/公。от длины системы А, построенные при различных амплитудах управляющего сигнала Fq / 居Ых (отмечены на рисунке;居ых — амплитуда выходного сигнала в автономном режиме)

ветственно области синхронизации). Заметим, что линия 1 и граница области синхронизации в области меньших частот (Q/cjq < 1,0) не совпадают при любой сколь угодно малой амплитуде внешнего воздействия Fq.

Режим колебаний неавтономной системы, соответствующий захвату частоты g высокочастотной генерации, как и выше в случае гиро- ЛВВ, назовем режимом квазисинхронизации. В нем генерация высокочастотного излучения имеет место на частоте g ^ Q, а амплитуда выходного поля \F\ может медленно меняться с характерным временным масштабом Та. При выходе из области квазисинхронизации базовая частота генерации при увеличении отстройки частоты внешнего воздействия Q от границы области квазисинхронизации Qs стремится к частоте автономной генерации.

На рис. 7.18 представлены зависимости ширины полосы квазисинхронизации от амплитуды внешнего сигнала Fq при различных значе-

ниях длины лампы (рис. 7.18 а) и от безразмерной длины системы А при различных амплитудах внешнего воздействия (рис. 7.18 б). Рассмотрим их более подробно.

Из рис. 7.18 а следует, что ширина полосы квазисинхронизации (сплошная линия) при малых длинах системы с ростом амплитуды внешнего сигнала растет по закону, близкому к линейному. Это подтверждает результаты, полученные в предыдущем разделе: полоса синхронизации растет при малых амплитудах внешнего поля линейно с увеличением Eq (см. соотношения (7.49) и (7.50)).

Зависимость ширины полосы синхронизации (штриховая линия на рис. 7.18 а) от величины Fq при увеличении амплитуды внешнего сигнала отклоняется от линейной. При этом отметим, что ширина полосы квазисинхронизации при малой безразмерной длине лампы А существенно больше, чем ширина полосы синхронизации. С увеличением параметра А разница между шириной полосы синхронизации и шириной полосы квазисинхронизации уменьшается. При приближении длины системы к значению А = 2,9, когда в автономной системе возникает автомодуляция выходного сигнала, область синхронизации, в которой имеет место режим стационарной генерации на частоте внешнего сигнала, исчезает. Однако при этом в неавтономной системе сохраняется режим квазисинхронизации, в котором частота выходного сигнала g = =Q, а амплитуда выходного сигнала \F\ зависит от времени (см. кривые на рис. 7.18 а, соответствующие А = 2,8 и 3,5).

На рис. 7.18 6 показана зависимость ширины полосы квазисинхронизации △g/go от параметра А. Сравнивая рис. 7.18 5, полученный в результате численного моделирования, с результатами стационарного анализа синхронизации ЛОВ (см. рис. 7.16 б) можно заключить, что проведенный стационарный анализ синхронизации при малых длинах системы и малой амплитуде внешнего сигнала хорошо подтвержается результатами решения полной нелинейной нестационарной системы уравнений ЛОВО. Ширина полосы квазисинхронизации △g/g° с ростом параметра А уменьшается и при А〉2,2 4- 2,6 (в зависимости от амплитуды 氏)практически перестает меняться с изменением 4

При переходе через границу области синхронизации (сплошная линия) возникает режим автомодуляции выходного сигнала |^вЫх(т)|, причем форма автомодуляции достаточно сложна и далека от гармонической. Автомодуляция при малой амплитуде входного сигнала Fo возбуждается жестко, т. е. на границе клюва синхронизации амплитуда модуляционных колебаний выходного сигнала имеет конечное значение. При больших величинах управляющего сигнала автомодуляция возбуждается мягко, быстро достигая максимального значения. Далее при отстройке от границы клюва синхронизации автомодуляция медленно спадает. Частота автомодуляции при переходе через границу клюва синхронизации при малых Fq возбуждается мягко, а при больших Fq — жестко.

Анализ пространственно-временной динамики неавтономной ЛОВО показал, что аналогично гиролампе со встречной волной в пространстве взаимодействия лампы обратной волны О-типа

формируются две характерные области пространственно-временных колебаний — область синхронных с управляющим сигналом временных колебаний и область, в которой имеют место колебания на частоте, отличной от частоты управляющего сигнала. Эти две характерные области разделены узкой областью, в которой наблюдаются резкие скачкообразные изменения фазы поля 0『

Заметим, что аналитическая теория фазовой синхронизации гиро- ЛВВ и ЛОВ типа О, базирующаяся на стационарной линейной теории, не описывает явление «расщепления» клюва синхронизации на области стационарной генерации на частоте внешнего сигнала и автомодуляции с захватом базовой частоты внешним сигналом (квазисинхронизации). Вместе с тем она правильно предсказывает «возникновение» в асинхронном режиме в пространстве взаимодействия двух областей с различными временными масштабами динамики в них.

Введем в каждой точке пространства взаимодействия частоту g(§), определяемую в соответствии с формулой (7.41), в которую вместо фазы поля на выходе системы § = 0 будем подставлять величину 夕尸(§) в произвольной точке пространства взаимодействия §. Соответствующие расчеты зависимости g =幻(§) представлены на рис. 7.19 а.

В режиме квазисинхронизации для частоты колебаний выполняется равенство во всем пространстве взаимодействия g(§) = Q (при этом амплитуда \F\ выходного сигнала медленно по сравнению с частотой Q изменяется во времени).

В режимах, отличных от режима квазисинхронизации, пространственно-временная динамика вдоль длины лампы усложняется. В области, примыкающей к коллекторному концу системы ^ = А, происходят колебания на частоте внешнего воздействия, далее частота неавтономных колебаний быстро отстраивается от частоты Q внешнего поля. Причем с ростом расстройки длина синхронизации As уменьшается.

Зависимость длины синхронизации As от величины расстройки частот автономных колебаний распределенной автоколебательной системы и внешнего сигнала показана на рис. 7.19 б. Сравнивая ее с теоретической зависимостью величины As от расстройки частот, показанной не рис. 7.16 в, можно сделать вывод, что найденная из стационарного анализа зависимость хорошо подтверждается численным моделированием. При стремлении частоты внешнего сигнала Q —> Qs (Qs — частота соответствующая границе клюва синхронизации, отмечена на рис. 7.19 б) длина синхронизации As стремится к полной длине пространства взаимодействия. При больших расстройках |Q — cjq| длина синхронизации мала и перестает меняться с изменением расстройки.

Сравнивая зависимости g(§), полученные в результате численного моделирования нестационарной системы (рис. 7.19 а), с соответствующими зависимостями, полученными на основе стационарной линейной теории (см. рис. 7.16 6), следует отметить, что хотя частота автоколебаний ведет себя качественно подобным образом, тем не менее вид зависимостей отличается друг от друга. Основное отличие заключается в резком, скачкообразном изменении частоты колебаний при достижении координаты ^ = А — As. Далее при больших отстройках частота

①/Q

Рис. 7.19. Зависимости характерной частоты автоколебаний в различных сечениях пространства взаимодействия для различых частот внешнего воздействия (а); зависимость длины синхронизации As от величины расстройки (б) (рисунок построен при А = 2,2, Fo/FBbiX = 0,3)

стабилизируется и уже не изменяется вдоль пространства взаимодействия. При малой отстройке частоты внешнего воздействия от границы клюва синхронизации имеет место несколько таких скачков частоты на длине пространства взаимодействия.

Такое отличие численного моделирования и аналитической теории связано с принципиально нелинейными эффектами при взаимодействии электронного потока с обратной волной, которые не учитывает линейная теория. Области пространства взаимодействия, в которых наблюдаются резкие изменения частоты g неавтономных автоколебаний, соответствуют перегруппировке электронов в пучке. Это соответствует достижению амплитудой первой гармоники сгруппированного тока ]27r

/(§) = — Г ехр(—/J) dOo максимального значения на длине ^ = А — 7r о

—As и далее уменьшению ее значения на длине As к входу лампы ^ = А, где вводится внешний сигнал. Одновременно имеет место перестройка внутренней структуры электронного потока в неавтономной системе. Так перегруппировка пучка приводит к скачкам фазы тока

/(§) и 歹(§) в области ^ ~ А — As. В результате при выходе из области синхронизации влияние внешнего сигнала сказывается в нарушении фазовых соотношений, соответствующих режиму стационарной генерации, между комплексными амплитудами поля F и тока I. В системе формируется дополнительная распределенная обратная связь в системе: сгруппированный в сильном поле электронный пучок приходит к коллекторному концу системы ^ = А со скоростью 少^少° уже перегруппировавшись; возбуждаемое сгруппированным током поле смещается со скоростью vg к входному концу § = 0 системы; сгруппированный в слабом поле пучок возбуждает теперь сильное поле, в котором электронный пучок и перегруппировывается. В результате вся картина повторяется с периодом

TA^2(A-As)(l/v0 + l/vg).

Таким образом, возникающие при выходе из области синхронизации режимы модуляции выходного сигнала определяются нелинейностью в электронном пучке, связанной с инерционностью электронов и приводящей к перегруппировке электронов пучка. Изменение периода автомодуляции при отстройке частоты внешнего воздействия от границы клюва синхронизации Qs, определяется изменением длины синхронизации As и увеличивается с ростом частот расстройки |Q — —Go|. Последнее подтверждается результатами численного расчета: период автомодуляции Та растет при отстройке частоты Q внешнего сигнала от частоты 幻。автономной генерации.

Влияние внешнего сигнала на хаотическиеавтоколебания в гиролампе со встречной волной

Рассмотрим теперь влияние внешнего управляющего сигнала на хаотическую генерацию в гиролампе со встречной волной. Управляющие параметры исследуемой системы (7.20)—(7.22) были выбраны так, чтобы в автономном режиме наблюдался режим хаотической генерации (безразмерная длина А = 3,0 и параметр неизохронности 〃 = 8,0).

Учитывая близость полученных результатов по синхронизации регулярных режимов колебаний гиро-ЛВВ и ЛОВ типа О, можно предполагать, что результаты, изложенные в данном разделе применительно к гиро-ЛВВ, будут иметь схожий вид и при рассмотрении подобных явлений в ЛОВО.

На рис. 7.20 представлена карта режимов на плоскости управляющих параметров амплитуда /^-частота Q внешнего сигнала. Различные режимы неавтономной генерации на карте режимов выделены различными символами. Область, отмеченная символом С, соответствует режимам хаотической автомодуляции выходного сигнала 歹(§ = 0, г); символом Q — квазипериодической автомодуляции, т. е. автомодуляции с двумя несоизмеримыми спектральными компонентами; символом Ti обозначены режимы периодической автомодуляции, Т» — режимы

Рис. 7.20. Разбиение плоскости управляющих параметров частота Q- амплитуда & на характерные режимы неавтономных колебаний в гиро-ЛВВ в режиме автономной хаотической генерации (А = 3,0, 〃 = 8,0). Штриховой линией отмечена область квазисинхронизации

удвоения периода автомодуляции и Тп — режимы сложнопериодической автомодуляции; S — режимы стационарной генерации.

Рассмотрим режим синхронизации в исследуемой активной распределенной колебательной системе. Воспользуемся понятием фазовой синхронизации хаоса (см. введение), под которой будем понимать захват высокочастотной частоты генерации g° внешним управляющим сигналом. Как уже обсуждалось выше, в режиме одночастотной ВЧ-ге- нерации поправка к частоте выходного сигнала определяется функцией 0F (7.42) и может быть представлена в соответствии с выражением (7.41). В режиме сложной динамики частота G。, находящаяся из соотношения (7.41), определяет основной характерный временной масштаб ВЧ-генерации активной среды.

Режим квазисинхронизации характеризуется условием g° = Q. При этом амплитуда выходного высокочастотного поля \F(r)\ может вести себя во времени достаточно сложно, демонстрируя режимы периодической и хаотической автомодуляции.

На рис. 7.20 штриховой линией (кривая 1) показана область квазисинхронизации МЦР со встречной волной внешним управляющим сигналом. В этой области наблюдается автомодуляция амплитуды выходного сигнала, что хорошо видно из карты режимов. Однако частота высокочастотной генерации g в системе определяется частотой Q управляющего сигнала так, что g =

На рис. 7.21 представлены зависимости разности частот (Q — g) высокочастотных колебаний на выходе системы от частоты Q при различных амплитудах управляющего сигнала 氏.В области квазисинхронизации разность частот Q — g = const, а при выходе из нее частота

колебаний на выходе системы от частоты Q при различных амплитудах управляющего сигнала &

генерации при отстройке от границы области синхронизации стремится к частоте автономной генерации (рис. 7.21 а).

Ширина области квазисинхронизации увеличивается с ростом амплитуды внешнего воздействия, причем при отрицательных расстройках (Q — g) < 0 (слева) ширина клюва квазисинхронизации практически линейно зависит от частоты Q. Правая граница области квазисинхронизации имеет более сложную форму.

При больших значениях амплитуды внешнего сигнала 0,25 < Fq < < 0,45 имеет место появление еще одного клюва квазисинхронизации при частотах внешнего воздействия 口/幻。С (1,3; 1,5). Это также иллюстрирует рис. 7.21 5, на котором представлены зависимости (Q — g) при Fq = 0,32 и Fq = 0,42. Из них видно, что при изменении частоты Q имеют место две области различной ширины, в которых есть захват частоты генерации внешним сигналом. Стрелкой на зависимостях показаны области, соответствующие второй области синхронизации. С ростом амплитуды внешнего воздействия ширина второго клюва синхронизации увеличивается, и он соединяется с основным клювом.

Исследуем пространственно-временное поведение системы в различных режимах, для чего рассмотрим динамику распространяющихся вдоль пространства взаимодействия волн. В каждой точке пространства взаимодействия, аналогично тому как это делалось для ЛОВО, 29*

Рис. 7.22. Зависимости характерной частоты автоколебаний в гиро- ЛВВ в различных сечениях пространства взаимодействия для различных характерных режимов системы. Кривая А соответствует автономным пространственно-временным колебаниям; кривая S — режиму квазисинхронизации (П/зо = 1,6, Fq = 0,42, при данных значениях управляющих параметров в системе наблюдается режим периодической автомодуляции выходного сигнала); кривые 1-3 соответствуют режимам хаотической автомодуляции, отличным от режима квазисинхронизации (1 — П/зо = 0,77,

Fq = 0,22; 2 — а/зо = 1,6, Fq = 0,22; 3 — М/зо = 1,6, Fq = 0,32)

можно ввести частоту g(§), определяемую в соответствии с формулой (7.41).

На рис. 7.22 представлены результаты расчета частоты автоколебаний в системе в зависимости от координаты §. Кривая А на рис. 7.22 соответствует расчету зависимости g(§) для режима автономных колебаний. Видно, что в автономном режиме генерации все пространство взаимодействия может быть условно разделено на две характерные области. В первой, примыкающей к коллекторному концу системы § ~ ~ А, имеют место колебания, частота которых постоянно меняется с изменением координаты §. При ^с ^ 1,0 наблюдается стабилизация частоты автоколебаний в системе. Соответственно область пространства взаимодействия § G (0, ^с) можно рассматривать как вторую область, в которой колебания происходят на одной частоте, равной частоте генерации системы а。. В этом случае условно можно говорить о некотором переходном процессе вдоль длины пространства взаимодействия системы по направлению к выходному концу лампы ^ = А, который завершается установлением колебаний с частотой g(§) = cjq-

Такой зависимости частоты g от координаты § вдоль пространства взаимодействия соответствуют сложные пространственные распределения амплитуды поля | 歹(§)| и первой гармоники сгруппированного тока |/(§)|. В области § G (&,А) имеет место возникновение многогорбых распределений | 歹(§)|. Это связано с многократной фазовой перегруппировкой электронов-осцилляторов винтового пучка в сильном электрическом поле при больших 〃, т. е. формированием большого

числа электронных структур вдоль длины системы. Фазовая перегруппировка электронов-осцилляторов приводит к резким скачкам фазы тока /(§) и поля 歹(§). Это, в свою очередь, обусловливает сложную, сильно нерегулярную динамику фазы на начальном участке §〉§с распространения волны поля. Характерная частота колебаний поля (см. рис. 7.22, кривая А), определенная в соответствии с формулой (7.41), в этом случае сильно зависит от координаты §. На участке вблизи выходного конца системы ^ < ^с, где амплитуда поля достигает большого значения, а ток пучка мал, перегруппировка электронов-осцилляторов отсутствует, и характерная частота высокочастотных колебаний стабилизируется. Координата ^с определяется длиной пространства взаимодействия, на которой первая гармоника сгруппированного тока достигает максимального значения (формируется первая вдоль пространства взаимодействия электронная структура-фазовый сгусток электронов-осцилляторов).

Рассмотрим теперь как изменяется соответствующая картина при подаче на вход активной среды управляющего гармонического воздействия. В режиме, отличном от режима квазисинхронизации, пространственно-временная динамика усложняется (см. кривые 1-3 на рис. 7.22). В пространстве взаимодействия теперь можно выделить три характерные области. В первой, примыкающей к области введения управляющего сигнала ^ = А, возникает режим, в котором колебания происходят на частоте внешнего воздействия Q. Длину этой области можно рассматривать как некоторую длину синхронизации As. Длина синхронизации сильно зависит от параметров внешнего сигнала, и, в первую очередь, от частоты Q. Для примера можно сравнить кривые 2 и 3, построенные при одинаковой частоте Q и различных амплитудах F^ 〉氏？. Видно, что длины синхронизации в обоих случаях примерно одинаковы. Однако из анализа зависимости 1 на рис. 7.22, построенной при другой расстройке Q — G。, видно, что длина синхронизации As существенно меньше.

Далее при продвижении к выходному концу системы режим синхронизации разрушается, частота автоколебаний начинает сильно зависеть от координаты пространства взаимодействия. Это режим, аналогичный режиму колебаний автономной системы вблизи коллекторного конца. При дальнейшем продвижении вдоль пространства взаимодействия в некоторой точке пространства § = &, как и в автономном случае, устанавливается режим стабилизации частоты автоколебаний на уровне а。. Однако теперь частота генерации g° и координата & сильно зависят от параметров внешнего управляющего сигнала.

Разрушение режима синхронизации на длине синхронизации As, как и при малых 〃, определяется нарушением фазовых соотношений △д между волной тока и поля. Набег фазы поля △(/? определяется воздействием управляющего сигнала с частотой Q, то есть △(/? = |Q — —a)o\As/vg. В результате в системе возникает сложная структура пространственных распределений поля F и тока /, связанная с многократной фазовой перегруппировкой винтового электронного пучка под действием внешнего поля большой амплитуды. Далее в области § <

< §с характерная частота высокочастотных колебаний стабилизируется. Координата ^с теперь другая, чем в случае автономных колебаний, так как на процесс фазовой группировки электронного пучка, а следовательно, и на достижение первой гармоники сгруппированного тока максимального значения, существенно влияют параметры внешнего сигнала.

В режиме квазисинхронизации во всем пространстве взаимодействия устанавливаются автоколебания с одной частотой, равной частоте внешнего сигнала Q (см. рис. 7.22, кривая S). Граница области квазисинхронизации определяется условием, что длина синхронизации As становится равной длине пространства взаимодействия А.

Таким образом, можно заключить, что при воздействии на гиро- ЛВВ в режиме хаотической генерации внешнего гармонического сигнала при близости частоты Q к базовой частоте автономной генерации а。наблюдается режим квазисинхронизации автоколебаний в распределенной активной среде. В этом режиме наблюдается генерация с базовой частотой, определяемой управляющим сигналом и с медленным изменением амплитуды (как периодическим, так и хаотическим) выходного сигнала. При значительных отстройках частоты внешнего воздействия от частоты автономной генерации и больших амплитудах внешнего воздействия имеет место сложная последовательность переходов порядок-хаос и хаос-порядок в зависимости от частоты и амплитуды управляющего сигнала.

Рассмотрим теперь влияние сигнала сложной формы на режим хаотической генерации в гиро-ЛВВ. В качестве такого сигнала будем рассматривать детерминированный хаотический сигнал, порождаемый системой Рёсслера [55]

充=—(沙 + z), у = х + еу, z — w — mz + xz, (7.51) которая является одной из наиболее полно и глубоко изученных нелинейных конечномерных систем. Управляющие параметры системы уравнений (7.51) были выбраны следующими: в = w = 0,2, т = 4,6, что соответствует режиму ленточного хаоса.

На вход гиро-ЛВВ подается входной хаотический сигнал, который формируется в виде

歹ext =歹0 (1 + М趴t))expjQt, (7.52) где M — глубина модуляции,①(力)—сигнал, порождаемый системой Рёсслера (7.51) при вышеуказанных управляющих параметрах,氏 и Q — частота и амплитуда несущего гармонического сигнала.

Будем рассматривать случай, когда М = 0,09, и изменять величину амплитуды несущего гармонического сигнала в пределах 0,0 < Fo < < 0,6. Частота несущего сигнала была выбрана близкой к базовой частоте в спектре хаотической генерации Q ^ 幻。автономной гиролампы со встречной волной при 〃 = 8,0 и А = 3,0. Спектр автономной хаотической генерации представлен на рис. 7.23 а.

Рассмотрим, как ведет себя неавтономная система при увеличении амплитуды Fq внешнего воздействия. При небольшой амплитуде

-55,6-74」-55,6-74」尸⑺0,0-18,5-37,0尸⑺0,0-18,5-37,00,360,180,00-0,180,360,180,00-0,180,80,8<35|.,.I0,0」a 0,0 2,5 5,0 7,510,0 ^S§^^ 0,0ООООСЭ<35|.,.I0,0」a 0,0 2,5 5,0 7,510,0 ^S§^^ 0,0ООООСЭ0,4-0,4-尸⑺尸⑺-0,25-0,25б 0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 门б 0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 门0,0-16,9-33,7-50,6-67,50,0-16,9-33,7-50,6-67,50,290,290,160,02-0,11-0,160,02-0,11-0,60,69,619,228,89,619,228,80,680,390,09-0,200,680,390,09-0,20-40,1-53,4-40,1-53,4尸⑺0,0-13,4-26,7尸⑺0,0-13,4-26,7о о о о оо о о о оЛ50|...1-0,1 一s 0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 Й Й S Й S 0,0Л50|...1-0,1 一s 0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 Й Й S Й S 0,00,6-0,6-三 * 冃 & 0,09,619,228,8三 * 冃 & 0,09,619,228,8гг0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 总 N0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 总 N0,360,17-0,02-0,21-0,390,360,17-0,02-0,21-0,39尸⑺0,0-15,5-31,1-46,6-62,2尸⑺0,0-15,5-31,1-46,6-62,2О О CD CD CDО О CD CD CDS ^ ^ 0,0S ^ ^ 0,09,69,60,90,99,619,228,89,619,228,8О О О CD CDО О О CD CD

-55,6

-74」

-55,6

-74」

尸⑺

0,0

-18,5

-37,0

尸⑺

0,0

-18,5

-37,0

0,36

0,18

0,00

-0,18

0,36

0,18

0,00

-0,18

0,8

0,8

<35|.,.I0,0」

a 0,0 2,5 5,0 7,510,0 ^S§^^ 0,0

ООООСЭ

<35|.,.I0,0」

a 0,0 2,5 5,0 7,510,0 ^S§^^ 0,0

ООООСЭ

0,4-

0,4-

尸⑺

尸⑺

-0,25

-0,25

б 0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 门

б 0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 门

0,0

-16,9

-33,7

-50,6

-67,5

0,0

-16,9

-33,7

-50,6

-67,5

0,29

0,29

0,16

0,02

-0,11-

0,16

0,02

-0,11-

0,6

0,6

9,619,228,8

9,619,228,8

0,68

0,39

0,09

-0,20

0,68

0,39

0,09

-0,20

-40,1

-53,4

-40,1

-53,4

尸⑺

0,0

-13,4

-26,7

尸⑺

0,0

-13,4

-26,7

о о о о о

о о о о о

Л50|...1-0,1 一

s 0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 Й Й S Й S 0,0

Л50|...1-0,1 一

s 0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 Й Й S Й S 0,0

0,6-

0,6-

三 * 冃 & 0,09,619,228,8

三 * 冃 & 0,09,619,228,8

г

г

0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 总 N

0,0 2,5 5,0 7,5 10,0 总 N

0,36

0,17

-0,02

-0,21

-0,39

0,36

0,17

-0,02

-0,21

-0,39

尸⑺

0,0

-15,5

-31,1

-46,6

-62,2

尸⑺

0,0

-15,5

-31,1

-46,6

-62,2

О О CD CD CD

О О CD CD CD

S ^ ^ 0,0

S ^ ^ 0,0

9,6

9,6

0,9

0,9

9,619,228,8

9,619,228,8

О О О CD CD

О О О CD CD

Рис. 7.23. Спектры и фазовые портреты колебаний амплитуды поля \F\ на выходе системы в автономном режиме (а); спектр входного сигнала Fext (б); спектры и фазовые портреты колебаний амплитуды поля в неавтономном режиме при амплитуде входного сигнала & = 0,05 (в) и & = 0,3 (г)

внешнего воздействия Fq < 0,1 имеет место резкое усложнение вида хаотических колебаний в системе. Для иллюстрации этого на рис. 7.23 в представлены характеристики колебаний (спектр мощности, проекция фазового портрета (восстановленного по методу задержек Такенса х) [189]), временная реализация) колебаний амплитуды выходного поля 歹(§ = 0, г) неавтономного генератора при Fq = 0,05. Из рисунка видно, что спектр выходного сигнала близок к спектру генерации автономной

1) Напомним, что по временному ряду /(力)строится n-мерный вектор вида {/(力),x(t + т), x(t + 2т), . . . x(t + пт)}, который, как показано Такенсом, может рассматриваться как вектор в фазовом пространстве. Величина т — время задержки, которое выбирается произвольно [189].

системы, однако при этом наблюдается рост шумового пьедестала в области низких частот.

С ростом амплитуды внешнего сигнала наблюдается упрощение спектра мощности выходного сигнала. В нем уменьшается высота шумового пьедестала, на его фоне появляются спектральные компоненты, «наследуемые» полем на выходе системы от входного хаотического сигнала. Одновременно имеет место упрощение фазового портрета колебаний —на нем появляется определенная структура, связанная с оборотом фазовой точки с характерным масштабом колебаний внешнего хаотического сигнала.

При Fq ^ 0,3 спектр мощности становится близким к спектру входного сигнала (рис. 7.23 а), порождаемого системой Рёсслера (рис. 7.23 6).

Для сравнения спектра мощности сигнала, генерируемого неавтономной активной системой, со спектром внешнего хаотического сигнала удобно строить множество точек вида

Fout(/)=^[FinP(/)],(7.53)

где /%ut и Rnp — соответственно мощность (в дБ) спектральных компонент на частоте / в выходном и входном сигнале. Близость значений функции к диагонали /%ut = Rnp будет свидетельствовать о близости спектрального состава двух колебательных процессов.

На рис. 7.24 представлены соответствующие зависимости для случая малой амплитуды внешнего воздействия Fq = 0,05 (рис. 7.24 а) и случая Fq = 0,3 (рис. 7.24 6), при котором спектр выходного сигнала оказывается близким к входному. В первом случае уже на длине пространства взаимодействия 0,05А имеет место существенное искажение спектра входного сигнала, выражающееся в существенном повышении высоты шумового пьедестала в спектре мощности: точки, нанесенные в соответствии с правилом (7.53), находятся выше диагонали. На выходе системы (§ = 0) при Fo = 0,05 спектр даже в области основных спектральных компонент (/%ut(/)〉—20 дБ) находится выше диагонали, т. е. выходной сигнал имеет существенно другую структуру спектрального состава, чем входной хаотический сигнал, генерируемый системой Рёсслера.

Другая картина наблюдается при большей амплитуде входного сигнала Fq (рис. 7.24 б). В этом случае основные спектральные компоненты 爲ut(/) 〉—20дБ находятся вблизи диагонали. Шумовой пьедестал (爲ut < —40 дБ) поднимается над диагональю, однако его интенсивность существенно меньше, чем в случае малой амплитуды входного сигнала Fq (рис. 7.24 а).

Для количественной оценки разницы спектров колебаний мощности выходного поля неавтономной гиро-ЛВВ и внешнего хаотического сигнала рассматривалась характеристика следующего вида: С(Р°) = I |Fout(/) • H(Pout(/)- Р。)— Rnp(/) • 〃(Rnp(/) — р°)| ",

'(7.54)

Дпр(/)Дпр(/)Дпр(/)Дпр(/)6

Дпр(/)

Дпр(/)

Дпр(/)

Дпр(/)

Рис. 7.24. Сравнение спектров мощности сигнала, генерируемых неавтономной активной средой, со спектром внешнего хаотического сигнала в соответствии с соотношением (7.53) для режима усложнения хаотических колебаний (Fo = 0,05) (а) и режима синхронизации хаоса (& = 0,3) (б). Слева представлено сравнение со спектром мощности сигнала в сечении пространства взаимодействия £ = 0,95А, справа — £ = 0,0

где Н — функция Хевисайда. Величина ^(Р°) характеризует различия в спектральных компонентах двух спектров мощности на уровнегде Н — функция Хевисайда. Величина ^(Р°) характеризует различия в спектральных компонентах двух спектров мощности на уровнемощности Р°. Интегральной характеристикой близости спектральных составов двух сигналов является интеграл

где Н — функция Хевисайда. Величина ^(Р°) характеризует различия в спектральных компонентах двух спектров мощности на уровне

где Н — функция Хевисайда. Величина ^(Р°) характеризует различия в спектральных компонентах двух спектров мощности на уровне

о

Ю= I《(Rnp)dRnp. (7.55) -100

В соотношениях (7.54) и (7.55) спектральная мощность входного и выходного сигнала измеряется в дБ. Близость величины〈《〉к нулю свидетельствует о близости спектрального состава двух сигналов.

Рис. 7.25. Зависимость величины ⑹ от амплитуды несущего сигнала &. При амплитудах внешнего воздействия & ~ 0,3 и & ~ ~ 0,6 устанавливающийся в гиро- ЛВВ режим можно рассматривать как хаотическую синхронизациюРис. 7.25. Зависимость величины ⑹ от амплитуды несущего сигнала &. При амплитудах внешнего воздействия & ~ 0,3 и & ~ ~ 0,6 устанавливающийся в гиро- ЛВВ режим можно рассматривать как хаотическую синхронизациюпри Fq ^ 0,3 эта величина достигает минимума. При этой амплитуде внешнего поля наблюдается спек-при Fq ^ 0,3 эта величина достигает минимума. При этой амплитуде внешнего поля наблюдается спек-На рис. 7.25 показана зависимость величины〈《〉от амплитуды несущего сигнала & Из него видно, что с ростом амплитуды Fo имеет место уменьшение величины ⑹，и

Рис. 7.25. Зависимость величины ⑹ от амплитуды несущего сигнала &. При амплитудах внешнего воздействия & ~ 0,3 и & ~ ~ 0,6 устанавливающийся в гиро- ЛВВ режим можно рассматривать как хаотическую синхронизацию

Рис. 7.25. Зависимость величины ⑹ от амплитуды несущего сигнала &. При амплитудах внешнего воздействия & ~ 0,3 и & ~ ~ 0,6 устанавливающийся в гиро- ЛВВ режим можно рассматривать как хаотическую синхронизацию

при Fq ^ 0,3 эта величина достигает минимума. При этой амплитуде внешнего поля наблюдается спек-

при Fq ^ 0,3 эта величина достигает минимума. При этой амплитуде внешнего поля наблюдается спек-

тральный состав колебаний выходного поля, наиболее близкий к спектру входного сигнала. Далее с ростом Fo наблюдается разрушение режима синхронизации — величина〈《〉увеличивается. При большой амплитуде внешнего поля (Fo〉0,6) опять наблюдается возникновение режима хаотической синхронизации.

Колебания и синхронизация в гиро-ЛВВ сосвязанными электродинамическими системами

Рассмотрим теперь режимы взаимной синхронизации в гиро-ЛВВ со связанными волноведущими системами (СВС), следуя работам [36,57,58]. Для этого исследуем систему, представляющую собой две связанные электродинамические структуры, через каждую из которых пропускается винтовой электронный пучок.

Получим уравнения, описывающие усиление и генерацию сигнала в гиро-ЛВВ СВС. Будем, как и в лекции 1, рассматривать взаимодействие пучка с ТЕ-модой волновода, предполагая, что поле в поперечном сечении электронного пучка однородно. Пренебрежем взаимодействием электронов с ВЧ-составляющими магнитного поля, что означает постоянство продольной скорости потока 少|| ^ const. Будем также считать, что в рабочей полосе частот можно учитывать взаимодействие винтового пучка только со встречной волной. Тогда для амплитуд Е± и 石2 напряженностей электрических полей двух слабосвязанных волноведущих систем, через каждую из которых пропускается винтовой электронный пучок, в стационарном случае можно записать [59,60]

/ 1 + 7仇邑 + a1石2 = 分i, (7.56) ах

(7.57)(7.57)

(7.57)

(7.57)

где величины 〃i,2 пропорциональны амплитудам ВЧ-токов винтовых электронных пучков, qi,2 — параметры связи.

Вследствие идентичности систем |а/ = |&2丨=2, а из закона сохранения потока мощности при й = ^2 = 0 следует, что м =—码=ja.

Перепишем уравнения (7.56) и (7.57) в форме связанных волн:

+ 八仇 + ®)Ем = Й + ^2,+ 八仇 + ®)Ем = Й + ^2,嘗+3（仇-0）瓦嘗+3（仇-0）瓦=И - %2,=И - %2,(7.58)(7.59)(7.58)(7.59)

+ 八仇 + ®)Ем = Й + ^2,

+ 八仇 + ®)Ем = Й + ^2,

嘗+3（仇-0）瓦

嘗+3（仇-0）瓦

=И - %2,

=И - %2,

(7.58)

(7.59)

(7.58)

(7.59)

где Ем = Е\ + 石2 — амплитуда «медленной» нормальной волны (ее постоянная распространения /м = /о + 0； /о — постоянная распространения встречной волны на частоте «холодного» синхронизма) и Ев = =Е^ — Ei — амплитуда «быстрой» (/е = /о — 0) нормальной волны связанной системы.

Перейдем в системе уравнений (7.58), (7.59) к новым переменным Ef = Еf exp (—jВf岂)и Es = Esexp(—^/s^) и используем следующую нормировку переменных. Пусть § = /。(运)^/ — безразмерная координата и г = 运е(力— ①/少|卩(1 + q|/Wg|)T — безразмерное время; Ff,s =ars/2£2%/o；八,2 =(2必2/册k/0)exp(一7仇/)；a = 0/仇* где г = у TqA74vb (1 + 少 jo/少彳) —параметр взаимодействия; К — сопротивление связи;。丄° — начальная поперечная скорость электронов.

Тогда, осуществляя переход от стационарных уравнений к нестационарным [44,61], получаем следующую систему уравнений в безразмерных переменных относительно медленно меняющихся комплексных амплитуд быстрой и медленной волн

9Fm 3歹м _ Т ^7 аГ = — м，9Fm 3歹м _ Т ^7 аГ = — м，(7.60)(7.60)

9Fm 3歹м _ Т ^7 аГ = — м，

9Fm 3歹м _ Т ^7 аГ = — м，

(7.60)

(7.60)

讐一贤=(7.61)

которая определяет полевую часть задачи об усилении и генерации сигналов в гиро-ЛВВ СВС. Нормальные волны 歹м,е системы связаны с полями 网,2 каждой из волноведущих систем соотношениями вида

歹м =(网 + 歹2)е%£,FB =(歹2 - %)e"a£.(7.62)

Медленная и быстрая волны тока /м,б введены по аналогии с выражениями (7.62) и определяются как

/м = (/1 + I公宀/Б = (/2 - /1)е"*.(7.63)

Система уравнений (7.60), (7.61) решается при следующих начальных и граничных условиях:

%,2 (£, 7 = 0) = #,2(» 网,2亿=4 7)= 0,(7.64)

где А — безразмерная длина системы.

Рассмотрим теперь электронную часть задачи. Уравнения движения электронов винтовых пучков, пропускаемых через каждую из электродинамических структур, в наших переменных записываются как

賞-；＞ a - I仇 I2) ^i = | (ьm exp (一7次)一理 exp (7次)),(7.65) 空-；＞ (1 - I^212) ^2 = | (ьm exp (faf) + FB exp0海6)) , (7.66) где 3i,2 — комплексный радиус траекторий электронов-осцилляторов соответственно первого и второго винтового пучка.

Предварительно рассмотрим задачу, когда пучок проходит только через одну из волноведущих систем. Для определенности исследуем

случай, когда /1 # 0, /2 = 0. Важность расмотрения данной задачи связана с особенностями работы гиро-ЛВВ. Гирогенератор со встречной волной имеет сравнительно низкий КПД, максимальное значение которого порядка 20 %, что, как уже обсуждалось в лекции 1(16), связано с особенностями взаимодействия электронов-осцилляторов пучка с ВЧ-полем вдоль пространства взаимодействия. Для гиро-ЛВВ характерными оказываются многогорбые распределения тока и поля, которые обусловлены многократной фазовой прегруппировкой пучка. Как следствие, с увеличением длины системы или тока пучка в гиро- ЛВВ быстро возникает автомодуляция выходного сигнала — выходной сигнал становится многочастотным. Для повышения КПД и выходной мощности (которая определятся увеличением тока пучка) с сохранением одночастотной генерации необходимо так изменить распределение поля вдоль длины системы, чтобы вблизи выхода лампы поле было мало, а в области коллектора оно имело один максимум, где сформировавшийся фазовый сгусток электронов отдавал бы полю значительную долю своей энергии. Одним из путей решения данной проблемы может быть использование распределенного отбора мощности путем применения идентичных СВС, через одну из которых проходит винтовой электронный пучок [62].

Рассмотрим пусковые условия гиро-ЛВВ СВС, для чего линеаризуем нелинейные уравнения, описывающие динамику гиро-ЛВВ СВС. В предположении |Fm,b|《1 при условии /2 = 0 из уравнений (7.60)— (7.66) легко получить систему линейных уравнений

(7.67)(7.68)(7.69)(7.67)(7.68)(7.69)-八b + 〃)歹s = 一/i exp 0诲£),

(7.67)

(7.68)

(7.69)

(7.67)

(7.68)

(7.69)

d歹尸 _

"b + 〃)反f = 一/1 exp (—,

+ 7= (Rs exp(-Ja^) +TF exp 0诲£)),

где b = (g + /о°|| — Gc)/(ke°||) — параметр рассинхронизма, /1 = =a exp 04S), F = F exp 好阳,k = g/&

Из решения линейной системы уравнений (7.67)—(7.69) следует, что порог самовозбуждения гирогенератора растет с введением связи между волноведущими системами. На рис. 7.26 (сплошная линия) показаны зависимости значения параметра неизохронности 〃, при котором наблюдается самовозбуждение лампы и установление режима стационарной генерации, от коэффициента связи а для трех значений длины А. Параметр неизохронности 〃 нормировался на величину 〃о, соответствующую возбуждению лампы при коэффициенте связи а = 0. Из рисунка видно, что при введении связи между электродинамическими системами значение параметра неизохронности 〃, при котором возникает самовозбуждение, растет по сравнению со случаем а = 0.

Рис. 7.26. Зависимость значения параметра неизохронности 〃，при котором наблюдается самовозбуждение лампы (сплошная линия), и зависимости отношения амплитуд медленной и быстрой нормальных волн Fs / Ff на выходе системы (штриховая линия) вблизи границы самовозбуждения 〃(а) от коэффициента связи а для различных значений параметра А

При этом зависимости 〃(а) имеют вид кривых с одним максимумом. С увеличением длины системы А относительное увеличение «пускового» значения параметра неизохронности 〃(а) /〃о становится меньше — соответствующие кривые при больших коэффициентах связи располагаются тем ниже, чем больше длина системы А.

Рассмотрим, с чем связано такое поведение пускового значения параметра 〃 при введении связи между волноведущими системами. Для этого изучим поведение амплитуды возбуждаемых нормальных мод системы при возникновении генерации в гиро-ЛВВ СВС.

На рис. 7.26 (штриховые линии) представлены зависимости отношения амплитуд медленной и быстрой нормальных волн 歹м / 理 на выходе системы § = 0 вблизи границы самовозбуждения лампы от коэффициента связи а для различных длин пространства взаимодействия А. Максимальное увеличение пускового значения параметра неизохронности соответствует минимальным значениям величины 歹м/理. Последнее означает, что с ростом коэффициента связи имеет место преимущественное возбуждение быстрой волны в связанных электродинамических системах, т. е. пучок взаимодействует селективно с нормальными волнами. Сопротивление связи каждой из нормальных волн в два раза меньше, чем сопротивление связи гиро-ЛВВ с одной электродинамической системой (т. е. при а = 0). Поэтому для самовозбуждения гиро-ЛВВ СВС необходимо увеличение тока пучка по сравнению с гиро-ЛВВ при а = 0. Это означает, что при фиксированной длине системы А для возбуждения лампы необходимо увеличение параметра неизохронности 〃 электронов-осцилляторов.

Обратимся теперь к анализу нелинейной нестационарной модели (7.60)—(7.66) гиро-ЛВВ СВС при /2 = 0.

Рис. 7.27. Зависимость значения параметра неизохронности 〃aut, при котором наблюдается возникновение автомодуляции (сплошная линия), и зависимости отношения потоков мощности Pi / Р? на выходе системы вблизи границы автомодуляции 〃aut(a) (штриховая линия) от коэффициента связи а для различных значений параметра А

На рис. 7.27 представлена величина параметра неизохронности 〃aut, при которой наблюдается возникновение автомодуляции, как функция коэффициента связи а для различных длин пространства взаимодействия А. Из него следует, что значения 〃aut значительно увеличиваются при введении связи между волноведущими системами. Максимальное увеличение наблюдается при а ^ 1,0, которое по абсолютной величине тем больше, чем меньше длина пространства взаимодействия А.

Исследуем, с чем связано такое поведение границы автомодуляции в гиро-ЛВВ СВС. Как уже неоднократно обсуждалось в лекциях (см. также [44,47,48]), возникновение автомодуляционных режимов в СВЧ-приборах с длительным взаимодействием связано с формированием дополнительной распределенной обратной связи в системе. При введении связи между двумя электродинамическими системами возникающая дополнительная обратная связь подавляется, так как теперь часть мощности встречной волны с групповой скоростью vg, обеспечивающей обратную связь, «уходит» в систему без винтового пучка. В результате граница области автомодуляции сдвигается в область больших значений параметра неизохронности 〃 (больших токов пучка).

Для понимания процесса перекачки ВЧ-мощности между волноведущими системами на рис. 7.27 представлены зависимости отношений Р»1 Р\ потоков мощности в волноведущих системах без пучка и с пучком от коэффициента связи а. Видно, что с ростом коэффициента связи в диапазоне а С (0,0; 0,7) имеет место быстрый рост мощности, «перекачиваемой» из первой во вторую систему, так что，巳/R 〜 ~ ехр()а). При больших коэффициентах связи а〉0,7 имеет место насыщение роста потока мощности Р». Однако рост величины 〃aut(a) продолжается, что связано с особенностями распределений полей 网,2

Рис. 7.28. Эффективность 〃丄 преобразования энергии поперечной кинетической энергии пучка в энергию поля в зависимости от коэффициента связи а для различных значений параметра А

в связанных волноведущих структурах при больших коэффициентах связи. При большйх коэффициентах связи а существенная часть мощности встречной волны в системе с пучком начинает ответвляться в связанную с ней волноведущую структуру уже вблизи входа лампы § = =А, что также способствует разрыву дополнительной обратной связи, приводящей к автомодуляции.

Одновременно с ростом связи между волноведущими системами а наблюдается увеличение КПД стационарного режима генерации (примерно в 1,2 4-1,4 раза). Напомним, что эффективность преобразования поперечной кинетической энергии винтового пучка в энергию поля ]27r

(поперечный КПД) определяется как 〃丄=1 — 丁 Г l^l2 dOg. Полный

КПД гиро-ЛВВ выражается соотношением 〃 = 〃丄в котором 1 + ае

ае =少丄о/°|卜 При постоянном коэффициенте ае КПД лампы определяется только величиной 〃丄.

На рис. 7.28 представлены зависимости величины поперечного КПД гиро-ЛВВ СВС от коэффициента связи а для различных параметров А. Из зависимостей следует, что максимальное значение КПД в режиме одночастотной генерации достигается при а « 0,5 4- 0,6 и далее наблюдается его уменьшение. При малых длинах системы А < 3,2 рост КПД незначителен и при а 〜1,0 величина 〃丄 < 〃丄(а = 0). При больших длинах системы максимум функции 〃丄(а) смещается в область меньших а, и величина [〃丄(a)]max значительно увеличивается по сравнению со случаем отсутствия связи а = 0. Это связано с тем, что распределение поля в первой волноведущей системе при данных значениях коэффициента связи наиболее оптимально для эффективного отбора энергии у электронов-осцилляторов винтового пучка.

Рис. 7.29. Карта характерных режимов генерации гиро-ЛВВ СВС на плоскости управляющих параметров (А, /1), построенная при коэффициенте связи а = 0,6. Область S — область отсутствия колебаний, G — одночастотной, Т — периодической и С — хаотической автомодуляции; штриховыми и штрих-пунктирными линиями отмечены соответствующие бифуркационные линии для гиро-ЛВВ без СВС (а = 0)

Рассмотрим теперь возникающие режимы генерации гиро-ЛВВ СВС с изменением управляющих параметров 〃 и А при фиксированной связи между волноведущими системами а = 0,6, соответствующей максимальному КПД при изменении коэффициента связи СВС.

На рис. 7.29 представлено разбиение плоскости параметров «безразмерная длина системы A-параметр неизохронности 〃》на характерные режимы пространственно-временных колебаний в гиро-ЛВВ СВС. На рисунке выделены области отсутствия колебаний (область S), одночастотной генерации (G), периодической (7) и хаотической (С) автомодуляции выходного сигнала. Одновременно на карте режимов нанесены линии возникновения стационарной генерации (штриховая линия 1) и перехода к периодической (штрих-пунктирная линия 2) и хаотической (штрих-штрих-пунктирная линия 3) автомодуляции выходного сигнала в гиро-ЛВВ без связанных волноведущих систем (а = =о)・

Из анализа карты режимов (см. рис. 7.29) можно сделать следующие выводы.

Во-первых^ область стационарной генерации гиро-ЛВВ СВС резко расширяется по сравнению со случаем а = 0. Одновременно, как обсуждалось выше, возрастает эффективность энергообмена в режиме монохроматического выходного сигнала.

Во-вторых^ граница области автомодуляции имеет сложную изрезанную форму. Последнее связано с тем, что для гиро-ЛВВ СВС (как и для гиро-ЛВВ без СВС [47] или релятивистской ЛОВ типа О [28,63]) характерны устойчивые «многогорбые» распределения амплитуды электромагнитного поля. Последнее связано с конкуренцией двух механизмов нелинейности в исследуемой системе — фазовым и инерци-

онным. Первый определяется фазовой нелинейностью электронов-осцилляторов винтового пучка и приводит к нарушению фазовых соотношений между электронной и электромагнитной волнами. Второй механизм связан с инерционностью взаимодействия электронной и электромагнитной волн и сводится к разрушению фазовых сгустков и пере- группирвке электронов-осцилляторов. Возникновение сложной формы границы области автомодуляции обусловлено возможностью перехода в режим периодической автомодуляции из режимов стационарной генерации с различными пространственными распределениями.

В-третьих^ граница области хаотической автомодуляции выходного сигнала гиро-ЛВВ СВС при малых длинах пространства взаимодействия, как и линия потери устойчивости режима стационарной генерации, отодвигается в сторону больших значений параметра 〃 (ср. расположение штриховой линии 3 (соответствующей гиро-ЛВВ без СВС) с границей области С хаотической автомодуляции гиро-ЛВВ СВС на карте режимов, рис. 7.29). При больших значениях параметра А граница области хаотических автоколебаний также отодвигается в область больших 〃, но менее значительно.

В гиро-ЛВВ со связанными волноведущими системами изменяется характер перехода к хаотической генерации по сравнению с гиро-ЛВВ без распределенного отбора мощности (без СВС). Для гиро-ЛВВ характерен переход к хаотической динамике через постепенное усложнение формы периодической автомодуляции (например, при увеличении параметра А возникновению хаоса предшествует одно-два удвоения периода автомодуляции). Ситуация меняется при введении связи а〉 > 0,3 4- 0,4. Численное моделирование показало, что для гиро-ЛВВ СВС, в отличие от гиро-ЛВВ или ЛОВ типа О, не характерны сложнопериодические режимы автомодуляции. В анализируемом диапазоне изменения управляющих параметров наблюдались два основных типа перехода от режимов регулярной динамики к хаотической генерации.

При больших значениях параметра неизохронности 〃 и малых длинах системы А имеет место переход к хаотической автомодуляции через перемежаемость. Амплитуда выходного сигнала | 网，2(丁)| в этом случае ведет себя во времени так, что стадии почти периодических колебаний (близких к колебаниям в области периодической автомодуляции) сменяются стадиями коротких хаотических всплесков, которые резко отличаются по амплитуде и частоте от стадии регулярной динамики. С увеличением надкритичности (〃 — 〃aut) (〃aut — параметр неизохронности, соответствующий границе потери устойчивости режима стационарной генерации) длительность регулярных фаз колебаний удлиняется, пока они практически совсем не исчезают.

При больших А и малых 〃 имеет место переход к хаотической генерации через постепенное усложнение динамики выходного поля с ростом надкритичности (〃 — 〃aut)・

При значениях параметра А > 5 4- 6 переход к хаосу в гиро-ЛВВ СВС происходит сразу от режима стационарной генерации, минуя режим периодической автомодуляции.

В предыдущих параграфах лекции были проанализированы основные закономерности установления режимов синхронизации распределенной автоколебательной системы типа «электронный поток-встречная (обратная) электромагнитная волна» при вводе внешнего синхронизирующего сигнала на коллекторном конце системы. Важной особенностью синхронизации в распределенной электронной системе при таком «сосредоточенном» вводе сигнала является усложнение пространственной динамики неавтономной системы, заключающееся в формировании двух характерных областей пространства взаимодействия с различной частотой колебаний поля в них. В первой пространственной области длины As, примыкающей ко входу лампы ^ = А, устанавливаются колебания на частоте Q внешнего воздействия. Во второй области имеет место разрушение колебаний на частоте внешнего воздействия (синхронизации) и имеет место отклонение базовой частоты g колебаний ВЧ-поля от частоты Q внешнего воздействия при движении к выходу системы § = =0. Соответственно граница клюва квазисинхронизации отвечает условию равенства длины синхронизации общей длине пространства взаимодействия As = А.

Проведенный анализ показывает, что одним из способов расширения полосы синхронизации систем «электронный поток-встречная (обратная) электромагнитная волна» может стать поддержание режима синхронизации колебаний в распределенной активной среде путем воздействия управляющего сигнала вдоль всей длины системы (распределенное внешнее воздействие). Подобное распределенное воздействие можно реализовать за счет применения распределенного ввода сигнала с помощью связанных волноведущих систем.

Рассмотрим в качестве примера распределенного ввода синхронизирующего сигнала гиро-ЛВВ СВС. Система уравнений, описывающая подобную систему, включает в себя уравнения возбуждения (7.60) и (7.61), в которых полагается, что пучок пропускается только через первую волноведущую структуру (厶 ^ 0, /2 = 0), и уравнение движения для электронов-осцилляторов винтового пучка (7.65). Уравнения (7.60), (7.61) и (7.65) решаются со следующими начальными и граничными условиями:

网(£ = %)= 0, 歹2 (£ = %) =凡н,

(7.70) 3 (£ = 0) = exp °仇)， ％ С [0, 2тг],

которые определяют, что внешний синхронизирующий сигнал FBli = =Fq exp (JQr) подается на вход ^ = А второй из связанных волноведущих систем.

Будем исследовать синхронизацию гиро-ЛВВ распределенным воздействием при значениях управляющих параметров, которые соответствуют автономной стационарной генерации и которые рассматривались нами выше, а именно 〃 = 2,0 и А = 3,0.

На рис. 7.30 показаны зависимости нормированной ширины полосы

Рис. 7.30. Зависмости нормированной ширина полосы синхронизации △о;/△о;。гиро-ЛВВ с распределенным вводом высокочастотного управляющего сигнала от коэффициента связи а между волноведущими системами, построенные для различных амплитуд внешнего воздействия &;

синхронизации Acj/Acjq гиро-ЛВВ с распределенным вводом высокочастотного управляющего сигнала от коэффициента связи а между волноведущими системами, построенные для различных амплитуд внешнего воздействия 氏.Ширина полосы синхронизации Acj нормировалась на ширину полосы квазисинхронизации Acjq при воздействии на гиро-ЛВВ сигналом, подаваемым на коллекторный конец лампы и имеющим такую же амплитуду &).

Из рисунка следует, что при распределенном воздействии синхронизирующего сигнала на гиро-ЛВВ ширина полосы синхронизации △g существенно расширяется в некотором диапазоне значений коэффициента связи а связанных волноведущих структур, через которые внешний синхронизирующий сигнал воздействует на активную среду. При малых амплитудах внешнего воздействия (см. рис. 7.30; Fq = =0,05) расширение полосы синхронизации Acj〉Acjq имеет место в диапазоне коэффициентов связи а〉0,25. С ростом мощности внешнего синхронизирующего сигнала область по параметру а, в которой наблюдается увеличение ширины полосы синхронизации уменьшается (а С (0,35,0,8)). Одновременно с ростом Fo наблюдается уменьшение нормированной ширины полосы Acj/Acjq-

Расширение полосы синхронизации в случае распределенного ввода сигнала определяется особенностями физических процессов в неавтономной гиро-ЛВВ при различных способах введения внешнего управляющего сигнала.

При «сосредоточенном» воздействии синхронизирующего сигнала на коллекторном конце лампы, внешнее поле действует уже на хорошо сгруппированный электронный пучок. При распределенном введении синхронизирующего поля внешнее воздействие оказывается на пучок на всей длине системы. Поэтому в последнем случае существует возможность эффективной модуляции винтового пучка на частоте внешнего сигнала вблизи пушечного конца лампы, где пучок еще слабо

Рис. 7.31. Зависимость отношения & / 歹1 на выходе связанных волноведущих систем без электронного пучка от величины а

сгруппирован. Тогда в винтовом пучке, который группируется благодаря фазовой модуляции ансамбля электронов-осцилляторов, имеет место более интенсивный рост к коллекторному концу лампы гармоники сгруппированного тока, частота которой равна частоте Q внешнего поля, чем в случае подачи управляющего сигнала такой же мощности в начале пространства взаимодействия ^ = А. В результате при распределенном воздействии синхронизирующего сигнала на систему длина синхронизации As увеличивается и оказывается равной длине пространства взаимодействия А в частотном диапазоне Acj большем, чем ширина полосы синхронизации Acjq в случае «сосредоточенного» воздействия на систему.

Таким образом, ширина полосы синхронизации при использовании распределенного ввода внешнего сигнала при оптимальных коэффициентах связи между СВС существенно возрастает.

Наиболее оптимальным при рассматриваемой длине А = 3,0 пространства взаимодействия оказывается коэффициент связи а ^ 0,65, при котором ширина полосы синхронизации относительно случая «сосредоточенного» воздействия на гиро-ЛВВ (подаче сигнала на коллекторном конце) увеличивается в 1,5 + 2 раза. Оптимальный коэффициент связи а определяется особенностями перераспределения ВЧ-мощ- ности, подаваемой на вход одной из СВС, между каждой из волноведущих систем.

На рис. 7.31 представлена зависимость отношения 豹/网 величин амплитуд полей в «холодных» волноведущих системах от коэффициента связи а. Внешнее поле амплитуды Fo с частотой, равной частоте автономной генерации гиро-ЛВВ, подается на вход второй из волноведущих систем (т. е. F± (^ = А) = 0 и 豹(§ = А)=氏).Видно, что при малых а из второй структуры в первую «перекачивается» только часть ВЧ-мощности. Это соответствует тому, что при использовании СВС с таким коэффициентом связи а для синхронизации гиро-

Рис. 7.32. Распределения амплитуд ВЧ-полей в каждой из «холодных» связанных волноведущих систем вдоль пространства взаимодействия при коэффициенте связи а = 0,5 (а) и а = 0,8 (б). Внешнее поле с частотой, равной частоте автономной генерации гиро-ЛВВ, подается на вход ^ = А = 3,0 второй волноведущей структуры

ЛВВ эффективная мощность поля, воздействующего на электронный пучок, уменьшается за счет неполной «перекачки» в пространство взаимодействия гиролампы.

При а 〜0,4 4- 0,7, соответствующем максимальной ширине полосы синхронизации, имеет место практически полное ответвление мощности из одной волноведущей структуры в другую. Это иллюстрирует рис. 7.32 а, на котором представлены распределения полей в каждой из «холодных» СВС вдоль пространства взаимодействия, построенные при коэффициенте связи а = 0,5. Видно, что практически вся ВЧ-мощ- ность, поданная на вход второй волноведущей структуры, ответвилась в первую структуру, так что ширина полосы синхронизации в этом случае максимальна: на винтовой пучок воздействует вся мощность внешнего синхронизирующего сигнала по всей длине пространства взаимодействия.

При большйх коэффициентах связи а〉0,6 наблюдается обратная перекачка ВЧ-мощности из первой СВС во вторую, в результате амплитуда поля на выходе второй линиии передачи возрастает (см. рис. 7.30 6). Из рис. 7.32 6 (а = 0,8) видно, что полная «перекачка» мощности ВЧ-поля в первую СВС происходит на длине пространства взаимодействия § = (2/3)А, и далее начинается обратный процесс. Последнее эквивалентно тому, что эффективная длина, на которой внешнее поле воздействует на электронный пучок в пространстве взаимодействия, уменьшается. В результате имеет место сужение ширины полосы синхронизации генератора. При значительных коэффициентах связи а > 0,9 4- 1,1, когда длина, на которой происходит «перекачка» ВЧ-мощности из одной СВС в другую составляет только малую часть пространства взаимодействия, и ширина полосы синхронизации резко сокращается, становясь меньше соответствующей величины Acjq для сосредоточенного ввода внешнего сигнала.

Рис. 7.33. Стационарные распределения ВЧ-тока /1 и поля F^ при одних управляющих параметрах А = 3,0, 〃i = 2,0, 〃2 = 3,0, и а = 0,8, но различных начальных условиях (7.71) и (7.72). Сплошная линия — «быстрое» состояние, штриховая — «медленное». Амплитуда начального возмущения 8。= 0,01

Перейдем теперь к изучению синхронизации двух гиро-ЛВВ со связанными волноведущими структурами. С точки зрения рассматриваемой модели (7.60)—(7.66) это означает, что /1,2 济 0.

Численное исследование модели (7.60)—(7.66) показало, что в связанных через волноведущие системы гиро-ЛВВ имеет место мульт и стабильность (точнее, бистабильность), когда в зависимости от начальных условий связанная система приходит к одному из двух устойчивых состояний, которые характеризуются различными распределениями ВЧ-поля и тока вдоль пространства взаимодействия и, соответственно, различными выходными мощностями и КПД генерации.

Каждое из состояний соответствует преимущественному возбуждению в начальный момент времени либо быстрой, либо медленной нормальной волны связанной системы, что наиболее просто достичь путем задания начальных условий в виде

歹м(т = о, а = ь° cos(»(% - а/2), 理(7 = о,е)= о (7.71) или

歹м(т = о, а = о, 理(7 = о, а = ь° cos(»(% - а/2),(772)

где 5° — амплитуда начального возмущения.

Будем называть состояние, которое будет реализовываться в системе при задании в начальный момент времени распределений вида (7.71) (т. е. при преимущественном возбуждении медленной номальной волны), «медленным», а при задании распределения (7.72) — «быстрым».

Для иллюстрации мультистабильности в связанных гиро-ЛВВ СВС на рис. 7.33 представлены распределения ВЧ-тока и поля в одной из связанных гиро-ЛВВ, построенные при одинаковых управляющих параметрах, но различных начальных условиях, задаваемых выражениями (7.71) и (7.72) соответственно. Из представленных зависимостей 网 и /1 видно, что в связанной системе при одинаковых управляющих

-0 5丨丨 丨丨 丨丨 丨丨 丨 丨

「00,20,40,60,8 а

Рис. 7.34. Зависимости частоты генерации каждой из связанных гиро-ЛВВ СВС от коэффициента связи для длины системы 4 = 3,0 (а；б) и А = 4,0 (б/) для быстрого (а：б) и медленного (5;г) состояния системы. Сплошная линия — частота генерации в случае 〃i = 〃2 = 2,0, штриховые линии — 〃i = =2,0, 〃2 = 3,0. Штриховая линия 1 соответствует гиролампе с параметром неизохронности 〃i, 2 — 〃2Рис. 7.34. Зависимости частоты генерации каждой из связанных гиро-ЛВВ СВС от коэффициента связи для длины системы 4 = 3,0 (а；б) и А = 4,0 (б/) для быстрого (а：б) и медленного (5;г) состояния системы. Сплошная линия — частота генерации в случае 〃i = 〃2 = 2,0, штриховые линии — 〃i = =2,0, 〃2 = 3,0. Штриховая линия 1 соответствует гиролампе с параметром неизохронности 〃i, 2 — 〃2параметрах реализуются принципиально различные режимы генерации, характеризуемые топологически различными распределениями амплитуд тока и поля в зависимости от того, какая из нормальных волн (медленная или быстрая) в начальный момент времени г = 0 преобладает.

Рис. 7.34. Зависимости частоты генерации каждой из связанных гиро-ЛВВ СВС от коэффициента связи для длины системы 4 = 3,0 (а；б) и А = 4,0 (б/) для быстрого (а：б) и медленного (5;г) состояния системы. Сплошная линия — частота генерации в случае 〃i = 〃2 = 2,0, штриховые линии — 〃i = =2,0, 〃2 = 3,0. Штриховая линия 1 соответствует гиролампе с параметром неизохронности 〃i, 2 — 〃2

Рис. 7.34. Зависимости частоты генерации каждой из связанных гиро-ЛВВ СВС от коэффициента связи для длины системы 4 = 3,0 (а；б) и А = 4,0 (б/) для быстрого (а：б) и медленного (5;г) состояния системы. Сплошная линия — частота генерации в случае 〃i = 〃2 = 2,0, штриховые линии — 〃i = =2,0, 〃2 = 3,0. Штриховая линия 1 соответствует гиролампе с параметром неизохронности 〃i, 2 — 〃2

Для различных мультистабильных состояниий различаются частоты совместных ВЧ-колебаний связанной системы. На рис. 7.34 представлены зависимости частоты колебаний (сплошная линия) при изменении коэффициента связи а между волноведущими структурами для «быстрого» (рис. 7.34 а(А = 3,0) и рис. 7.34 в (А = 4,0)) и «медленного» (рис. 7.34 б (А = 3,0) и рис. 7.34 г (А = 4,0)) состояний связанной системы при одинаковых управляющих параметрах гиро-ЛВВ (仰=〃2 = =2,0). Видно, что с увеличением связи частота генерации в «быстром» состоянии уменьшается, а в «медленном» — наоборот, растет. Такое поведение частоты генерации связано с видом дисперсионной кривой волновода. Введение связи между волноведущими структурами изменяет скорость распространения нормальных волн системы. Дисперсионная линия медленной волны /м, поддерживаемой электронным пучком, располагается выше дисперсионной линии пучка g + /。少|| — = 0, следовательно, частота синхронизма электромагнитной и медленной

нормальной волны больше, чем электромагнитной и электронной волн в случае отсутствия связи. Обратная ситуация складывается при преимущественном возбуждении быстрой нормальной волны /б — в этом

Рис. 7.35. Области синхронизации совместных колебаний двух гиро- ЛВВ СВС на плоскости «параметр неизохронности 〃2 — коэффициент связи а», построенные при 仰=2,0Рис. 7.35. Области синхронизации совместных колебаний двух гиро- ЛВВ СВС на плоскости «параметр неизохронности 〃2 — коэффициент связи а», построенные при 仰=2,0случае дисперсионная линия располагается ниже дисперсионной линии пучка, и частота генерации меньше, чем в несвязанной системе.

Рис. 7.35. Области синхронизации совместных колебаний двух гиро- ЛВВ СВС на плоскости «параметр неизохронности 〃2 — коэффициент связи а», построенные при 仰=2,0

Рис. 7.35. Области синхронизации совместных колебаний двух гиро- ЛВВ СВС на плоскости «параметр неизохронности 〃2 — коэффициент связи а», построенные при 仰=2,0

Изучим синхронные режимы связанных гиро-ЛВВ СВС. На рис. 7.35 на плоскости управляющих параметров (〃2, а) показаны зоны квазисинхронизации для различных значений безразмерной длины лампы А. Области квазисинхронизации располагаются выше соответствующей линии на плоскости параметров. В области квазисинхронизации базовые частоты генерации каждой из гиро-ЛВВ, определяемые

в соответствии с определением (7.41), равны друг другу: g = =公2・ При этом амплитуды 1^1,21 выходных полей каждой из гиро-ЛВВ могут демонстрировать различные сложные колебательные режимы. Заметим, что области синхронных колебаний совпадают как для «бы

строго», так и для «медленного» состояния системы, поэтому рис. 7.35 справедлив при задании начальных условий как в виде (7.71), так и (7.72). Однако частоты синхронных колебаний будут различаться для «быстрого» и «медленного» состояния связанной системы. Это иллюстрирует рис. 7.34 (штриховые линии), на котором представлены зависимости базовой частоты выходных колебаний каждой из связанных гиро-ЛВВ от коэффициента связи между волноведущими структурами а, построенные для обоих устойчивых состояний связанной системы. Сравнение рис. 7.34 а,в и рис. 7.34 6,2 показывает, что частоты синхронных колебаний отличаются в различных мультистабильных состояниях и стремятся с ростом коэффициента связи к частоте генерации при Л1 = 〃2 = 2,0.

Отметим также, что в области квазисинхронизации для «медленного» состояния связанной системы характерными оказываются скач

ки частоты выходного сигнала при изменении управляющих параметров каждой из парциальных систем, а также связи между ними (см. рис. 7.34 仇а) 1). Появление скачков определяется конкуренцией быстрой и медленной нормальных волн системы, и как следствие переско-

1) Скачки частоты генерации сопровождаются скачками амплитуды выходных сигналов каждой из связанных гиро-ЛВВ.

ками связанной системы при небольшом изменении управляющих параметров (в данном случае коэффициента связи а) между «быстрым» и «медленным» состоянием гиро-ЛВВ СВС. При этом такие скачки имеют место только при преимущественном возбуждении медленной нормальной волны, т. е. при задании начальных условий в виде (7.71). При большой длине системы наблюдается несколько таких скачков с увеличением величины коэффициента связи (см. рис. 7.34 2). Поэтому для стабильной перестройки частоты генерации связанной системы при изменении коэффицента связи между волноведущими системами предпочтительно добиваться установления «быстрого» состояния путем соответствующего выбора параметров прибора.

Вернемся снова к рис. 7.35, на котором представлена граница области режима квазисинхронизации связанной системы гиро-ЛВВ СВС. Из рисунка следует, что взаимная синхронизация двух гиро-ЛВВ имеет место при малой связи между волноведущими системами и при небольшой расстройке частот автономной генерации каждой из парциальных систем (малой разности параметров неизохронности △〃 = =|〃i — 〃2〔)・ С ростом △〃 режим квазисинхронизации возникает при больших значениях коэффициента связи а, т. е. область синхронных колебаний сужается на плоскости (〃2,а)・ Это сужение тем больше, чем больше безразмерная длина гиролампы А (ср. границы области квазисинхронизации на рис. 7.35, построенные при А = 3,0 и А = =4,0). Одновременно с ростом параметра А форма границы синхронизации становится изрезанной, что определяется конкуренцией на границе области синхронизации режимов с различными пространственными распределениями полей нормальных волн связанной системы. Последнее тесно связано с возникновением режимов автомодуляции выходного сигнала в связанных гиро-ЛВВ, поэтому кратко рассмотрим автомодуляционные режимы, реализующиеся в связанной системе при изменении управляющих параметров. Отметим, что в зависимости от того, в каком мультистабильном состоянии находится система, картина перестройки режимов генерации в гиро-ЛВВ СВС различна.

На рис. 7.36 показаны карты режимов на плоскости параметров (〃2,а), построенные для «быстрого» и «медленного» состояний системы с безразмерной длиной пространства взаимодействия А = 4,0. Из рисунка видно, что граница области стационарной генерации и автомодуляции выходных сигналов имеет сложную сильно изрезанную форму. Как и для гиро-ЛВВ со связанными волноведущими структурами, только через одну из которых пропускается электронный пучок, такая форма границы связана с реализующимися в системе устойчивыми «многогорбыми» распределениями амплитуды электромагнитных полей в каждой из ламп при большой длине системы. Появление многогорбых распределений обусловлено конкуренцией фазового и инерционного механизмов нелинейности в винтовом пучке, взаимодействующем со встречной волной. Устойчивость «многогорбых» пространственных распределений определяется величиной связи и расстройкой по частоте между связанными гиро-ЛВВ. Поэтому сложная форма границы стационарной генерации, как и сложная форма границы области

Рис. 7.36. Области стационарной генерации и автомодуляции выходного сигнала совместных колебаний двух гиро-ЛВВ СВС на плоскости «параметр неизохронности 〃2 — коэффициент связи а», построенные при 〃i = 2,0 для «быстрого» (а) и «медленного» (б) состояния при А = 4,0 (〃i = 2,0). Область S соответствует стационарному режиму генерации, Т — периодической автомодуляции выходного сигнала, Q — сложнопериодическим режимам автомодуляции, С — хаотической генерации

квазисинхронизации, определяется устойчивостью наблюдающихся состояний 网,2(§, т) и /1,2(§, т), возникающих в результате многократной перегруппировки электронов-осцилляторов винтового пучка на длине лампы 1).

Отметим важное с точки зрения применения гиро-ЛВВ как мощного перестраиваемого по частоте генератора миллиметрового диапазона обстоятельство, что в связанной системе имеет место расширение области стационарной генерации по сравнению со случаем автономной генерации. Так при А = 4,0 в автономной гиро-ЛВВ автомодуляция выходного сигнала возникает при “aut ^ 2,8. В связанных гиро-ЛВВ СВС, как видно из рис. 7.36, возникновение режимов стационарной генерации имеет место при значительно больших значениях параметра 〃.Так в «быстром» состоянии стационарная генерация наблюдается при коэффициентах связи а〉0,3 и 〃2 V 3,5. В области а С (0,7,1,0) и 〃2〉4,0 также имеется сравнительно узкая область режима стационарной генерации. В «медленном» состоянии связанной системы область стационарной генерации занимает меньшую область на плоскости управляющих параметров и имеет значительно более сложную границу. В режимах стационарной генерации в системе наблюдается квазисинхронизация колебаний в каждой из гиро-ЛВВ, что позволя-

1) Заметим, что при А = 3,0 столь сложной формы как области синхронизации (см. рис. 7.35), так и области стационарной генерации не наблюдается, что связано с тем, что при малой длине системы распределения полей в лампах имеют более простой вид.

ет эффективно повысить суммарную выходную мощность комплекса в одночастотном режиме генерации.

При переходе к режиму автомодуляции в связанной системе наблюдаются различные режимы колебаний амплитуды выходного поля I 网,2〔・ Так вблизи границы области стационарной генерации автомодуляция носит регулярный периодический характер (область Т и Q на рис. 7.36). При больших расстройках Да и коэффициентах связи а < < 0,6 в системе наблюдаются режимы хаотической генерации. Изменяя параметр связи а можно эффективно перестраивать спектральный состав (ширина полосы, частота, изрезанность спектра) шумового сигнала, что делает систему связанных гиро-ЛВВ перспективным управляемым источником шумового сигнала в миллиметровом диапазоне длин волн.

Взаимная синхронизация магнетронных генераторов

Обсуждая вопросы синхронизации в сверхвысокочастотной электронике, нельзя не остановиться на задаче о синхронизации внешними высокочастотными сигналами генераторов магнетронного типа. Фазирование в магнетронных генераторах применяется главным образом для стабилизации их частоты, фазовой и амплитудной модуляции. Кроме того параллельное включение магнетронов используется для увеличения полезной выходной высокочастотной мощности (см., например, [64,65]). Наиболее подробно и систематично рассмотрение вопросов совместных колебаний магнетронных генераторов изложено в работе Дейвида [66], на основе которой излагается материал этого параграфа.

Взаимная синхронизация магнетронных генераторов в отличие от синхронизации отражательных клистронов, которая рассматривалась в первом параграфе лекции, используется не для расширения полосы перестройки частоты, а для получения большей выходной мощности, чем способен дать один магнетрон. В этом случае несколько магнетронов соединяют так, чтобы они работали синхронно на одну или ряд нагрузок. При этом каждый из генераторов является источником фазирующего сигнала для всех остальных генераторов. Частота совместных синхронных колебаний, ширина полосы синхронизации и выходная мощность определяются в данном случае относительной расстройкой частот автономных генераторов относительно друг друга, добротностью резонансных колебательных систем магнетронов и геометрией соединяющих их линий передачи. Последний фактор существенен, когда характерные размеры элементов связи сравнимы с длиной волны генерируемого электромагнитного излучения.

Два одинаково настроенных магнетрона могут работать синхронно, если они будут параллельно подключены с помощью тройника (коаксиального или волноводного). На рис. 7.37 а показана наиболее простая схема такого подключения, когда генераторы включены в противоположные плечи, а нагрузка присоединена к третьему плечу. В некоторой выбранной плоскости отсчета для магнетронного плеча к генератору подключено сопротивление, состоящее из параллельно включенных

661~й магнетрон1~й магнетрон2~й магнетрон2~й магнетронааНагрузкаНагрузкаРис. 7.37. Схемы соединительных устройств для работы магнетронных генераторов. Представлены варианты для случаев: параллельной работы магнетронов (а); последовательного соединения цепей для работы N генераторов на N + 1 нагрузку (б); работы нескольких синхронизованных магнетронов на одну общую нагрузку (в)Рис. 7.37. Схемы соединительных устройств для работы магнетронных генераторов. Представлены варианты для случаев: параллельной работы магнетронов (а); последовательного соединения цепей для работы N генераторов на N + 1 нагрузку (б); работы нескольких синхронизованных магнетронов на одну общую нагрузку (в)

6

6

1~й магнетрон

1~й магнетрон

2~й магнетрон

2~й магнетрон

а

а

Нагрузка

Нагрузка

Рис. 7.37. Схемы соединительных устройств для работы магнетронных генераторов. Представлены варианты для случаев: параллельной работы магнетронов (а); последовательного соединения цепей для работы N генераторов на N + 1 нагрузку (б); работы нескольких синхронизованных магнетронов на одну общую нагрузку (в)

Рис. 7.37. Схемы соединительных устройств для работы магнетронных генераторов. Представлены варианты для случаев: параллельной работы магнетронов (а); последовательного соединения цепей для работы N генераторов на N + 1 нагрузку (б); работы нескольких синхронизованных магнетронов на одну общую нагрузку (в)

нагрузки и второго магнетрона. Если оба магнетрона работают на согласованные нагрузки, то указанное выше сопротивление должно быть равно волновому сопротивлению Zq, а полное сопротивление второго магнетрона должно быть (—Z。). Таким образом, в рассматриваемой

плоскости

111Я；1Я；11(7.73)(7.73)

1

1

1

Я；

1

Я；

1

1

(7.73)

(7.73)

где ZH — сопротивление нагрузки. Из соотношения (7.73) следует, что ZH = Zq/2. Поэтому сопротивление нагрузки выбирается равным половине волнового сопротивления генераторных плеч. При этом предотвращается образование стоячей волны в плече нагрузки.

На рис. 7.37 6показана цепочка контуров, которая позволяет N одинаковым магнетронам работать на (TV + 1) нагрузку, причем каждый из магнетронов нагружается на самосогласованную нагрузку. Тождественность образующих эту цепь элементарных контуров может быть доказана равенством полных сопротивлений в точках А и А7 (см. рис. 7.37 6). Так как Z厶=Zq и Zg = —Zq/2, получаем следующие соотношения:

冬亿74)

Точно также Zp = 2Z° и, следовательно,

Zf = = 2Zq — Zq = Zq = Z^, (7.75) т. e. элементарные контуры могут быть повторены столько раз, сколько это необходимо (сколько необходимо соединить магнетронных генераторов).

Другое возможное соединение магнетронных генераторов с аналогичными свойствами заключается в использовании соединенных между собой волноводных крестовин типа «магическое Т» [67], внешний вид которой представлен на рис. 7.37 в. В идеальном случае сами генераторы не связаны, но каждый из них синхронизован сигналом, вводимым в центральную ветвь соединения (см. рис. 7.37 в). Если длины волноводных плеч соответствуют указанным на рисунке, то генераторы будут аддитивно работать на одну нагрузку [66].

Остается открытым вопрос об установлении режима синхронизации в такой системе. Здесь можно лишь отметить, что эксперимент с группой синхронизируемых импульсных магнетронов показал, что установление синхронного режима может быть значительно ускорено, если один из магнетронов начинает работать раньше других.

Более сложным является случай, когда магнетронные генераторы расстроены относительно друг друга. В этом случае необходимо правильно выбрать рабочие точки магнетронов. Наиболее просто для нахождения рабочих точек воспользоваться нагрузочными диаграммами. Под нагрузочной диаграммой понимается совокупность изолиний постоянной частоты и выходной мощности на плоскости коэффициента отражения нагрузки. Из такой диаграммы, в частности, следует, что если режим питания магнетронного генератора фиксирован, его частота и выходная мощность однозначно определяются для каждой величины коэффициента отражения. Для анализа режима синхронизации исходным является одновременное выполнение условий, налагаемых наличием соединительных цепей, полным сопротивлением нагрузки и нагрузочной диаграммой магнетрона. Так параллельное соединение, обсуждаемое выше и показанное на рис. 7.37 а, можно описать уравнениями для амплитуд отраженных от концов линии волн Ь〃. Если

ббРис. 7.38. Нагрузочные диаграммы с изолиниями двух параллельно работающих магнетронов. Рис. а соответствует первому, б — второму магнетрону. Точки 01 и。2 соответствуют синхронному режиму работы магнетроновРис. 7.38. Нагрузочные диаграммы с изолиниями двух параллельно работающих магнетронов. Рис. а соответствует первому, б — второму магнетрону. Точки 01 и。2 соответствуют синхронному режиму работы магнетронов

б

б

Рис. 7.38. Нагрузочные диаграммы с изолиниями двух параллельно работающих магнетронов. Рис. а соответствует первому, б — второму магнетрону. Точки 01 и。2 соответствуют синхронному режиму работы магнетронов

Рис. 7.38. Нагрузочные диаграммы с изолиниями двух параллельно работающих магнетронов. Рис. а соответствует первому, б — второму магнетрону. Точки 01 и。2 соответствуют синхронному режиму работы магнетронов

нагрузка согласована (т. е. амплитуда отраженной волны аз = 0), эти уравнения имеют вид [66]

(7.76)(7.76)bi = —/О] + 2 ^2,,_ 11

(7.76)

(7.76)

- 2a2,

,_ д/2 I

где ai — амплитуды падающих волн.

Из уравнений (7.76) следует, что при всех условиях Ь] = —62, так что отраженные мощности для каждого генератора должны быть равны, если они работают на одинаковых частотах. Это условие вместе с одним из первых уравнений системы (7.76) определяет геометрическое место рабочих точек каждого генератора на его нагрузочной диаграмме. На нагрузочных диаграммах это будут окружности, показанные на рис. 7.38. Кривые для частот в центрах диаграмм, обозначенные gi и 幻2, указывают относительную настройку генераторов. Другие кривые указывают на отклонение от этих центральных частот. Если оба генератора настроены на одну частоту (д =幻2), рабочие точки их соответствуют центрам своих диаграмм (Г^ = 6勿/。勿；отмечены на рис. 7.38 черными жирными точками). Когда настройка меняется (同—ш^\ > > 0), рабочие точки смещаются (отмечено на рисунке стрелками) от центра по окружностям в противоположных направлениях, например к точкам, обозначенным Oi и Q (отмечены на рисунке кружками).

Частота синхронных колебаний g будет равна

G = G] +g22 = g2 -g22・G = G] +g22 = g2 -g22・(7.77)(7.77)

G = G] +g22 = g2 -g22・

G = G] +g22 = g2 -g22・

(7.77)

(7.77)

Рис. 7.39. Кривая зависимости полосы синхронизации при параллельной работе двух генераторов от длины линий d, соединяющих их с тройникомРис. 7.39. Кривая зависимости полосы синхронизации при параллельной работе двух генераторов от длины линий d, соединяющих их с тройникомда длины d линий,да длины d линий,соединяющихсоединяющих

Рис. 7.39. Кривая зависимости полосы синхронизации при параллельной работе двух генераторов от длины линий d, соединяющих их с тройником

Рис. 7.39. Кривая зависимости полосы синхронизации при параллельной работе двух генераторов от длины линий d, соединяющих их с тройником

да длины d линий,

да длины d линий,

соединяющих

соединяющих

Мощность, выделяемую на нагрузке, можно найти, просуммировав значения, даваемые кривыми выходной мощности, проходящими через точки 01 и О?. Эта сумма в общем случае тем меньше, чем больше |公1 —公2丨・ Полоса синхронизации достаточно велика, так как все частотные кривые пересекают кривые отраженной мощности (сплошная линия на нагрузочной диаграмме на рис. 7.38). Практически эта полоса определяется формой кривых в области, близкой к Г = —1.

Когда расстояния от центральной плоскости тройника до генераторов изменяются по сравнению с указанными на рис. 7.38, рабочие кривые на диаграммах смещаются. Пусть, например, указанные расстояния равны четверти длины волны. Анализ можно провести так же, как и раньше, с той только разницей, что нагрузочные диаграммы должны быть повернуты на 180°. Рабочими кривыми будут снова окружности (штриховые линии на рис. 7.38), но смещенные на 180°

по сравнению с ранее рассмотренными. Полоса синхронизации сильно уменьшается, так как окружность пересекают только изолинии частоты, близкие к центру диаграммы. Каждая из пересекающих окружность линий частоты пересекает ее дважды. Устойчивые рабочие точки лежат ближе к окружности |Г| = 1, чем к точке Г = 0. Последнее связано с тем, что, когда генераторы одинаково настроены, каждый из них оказывается нагруженным на линию, открытую на конце, модуль коэффициента отражения |Г| = 1 и на нагрузке не выделяется никакой мощности. Когда 心2 —幻1| увеличивается, рабочие точки двигаются по своим окружностям в сторону меньшего значения коэффициента отражения |Г|. Ког-

генераторы с тройником, не равны целому числу четвертей длин волн, рабочие окружности будут промежуточными относительно изображенных на рис. 7.38. Соответству

ющая зависимость ширины полосы синхронизации от длины линии, соединяющей магнетрон с тройником, в диапазоне от 0 до А/4 представлена на рис. 7.39.

Детальный анализ условий синхронизации большого числа параллельно работающих магнетронов показывает, что для эффективной синхронной связи генераторов особое внимание необходимо уделять их относительной настройке и конфигурации соединяющих контуров. При этом небольшая разница в параметрах генераторов мало сказывается на работе и может быть скомпенсирована изменением соответствующих волновых сопротивлений или изменением длин соответствующих линий.

Синхронизация систем с виртуальным катодом

Рассмотрим в заключение этой лекции синхронизацию колебаний в электронном потоке с виртуальным катодом [67-74, 78, 84]. Для этого будем изучать простейшую модель такой системы — плоский пролетный промежуток, пронизываемый электронным потоком со сверхкритическим током без нейтрализации ионным фоном, т. е. в режиме, когда параметр Пирса а〉аКр = 4/3. Автономная динамика виртуального катода в плоском пролетном промежутке подробно обсуждалась нами в лекции 5(20).

Исследуем влияние предварительной модуляции электронного потока на колебания виртуального катода при различной степени надкритичности (а — &кр) [68-71]. Введение управляющего сигнала по потоку более энергетически выгодно, чем действие внешнего поля непосредственно в области формирования виртуального катода. Как показывает эксперимент по скоростной модуляции сильноточных электронных пучков [76, 77], необходимый уровень управляющего сигнала в этом случае может быть уменьшен примерно на порядок.

В математической модели (5.56)—(5.58) внешнее воздействие сводится к изменению граничного условия для скорости электронного потока на левой границе пролетного промежутка, которое теперь зависит от времени и записывается в виде

v(x = 0, t) = vo(1 + Л/ sin Qt), (7.78)

где М и Q — глубина и частота модуляции по скорости электронного потока на входе в пролетный промежуток,少° — невозмущенная скорость электронного потока, определяемая ускоряющим напряжением.

На рис. 7.40 представлены карты режимов неавтономных колебаний в пучке с виртуальным катодом на плоскости управляющих параметров «частота 口/幻。一глубина М модуляции». При малой надкритичности (рис. 7.40 а, (а — аКр) = 0,6) вблизи частоты внешнего воздействия, равной частоте 幻。автономных колебаний виртуального катода, наблюдается область синхронизации, в которой имеют место регулярные колебания на частоте g = Q скоростной модуляции электронного потока. Со стороны меньших частот область синхронизации практически линейно растет с ростом глубины модуляции М, а со стороны больших частот быстро расширяется, и при глубине модуляции М = =0,05 занимает почти всю область параметров. Вблизи частоты Q ^ ^ 2Go возникает клюв синхронизации на кратной частоте (область f/2-

ного катода на плоскости управляющих параметров (Q/o?o, М), построенная для надкритичности а = 2,0 (а) и а = 6,0 (б). Область S — область синхронизации, Quasi-S — квазисинхронизации, М — автомодуляции периодических колебаний, f/2-S — синхронизация на половинной частоте внешнего воздействия (деление частоты), Т — сложные хаотические и квазипериодические колебания

S на рис. 7.40), когда колебания виртуального катода имеют место на частоте g = Q/2, т. е. происходит деление частоты внешнего воздействия. С ростом глубины модуляции область синхронизации на кратной частоте перекрывается клювом синхронизации на частоте внешнего воздействия.

При выходе из области синхронизации в системе возникают биения (режим М на карте режимов), частота и амплитуда которых существенно зависят от параметров предварительной модуляции электронного потока.

С увеличением параметра Пирса а вид карты режимов неавтономной системы существенно усложняется (рис. 7.40 5, построенный при а — &кр = 4,6). Во-первых, имеет место значительное сужение области синхронизации колебаний виртуального катода по сравнению

31 Трубецков, Храмов

со случаем малой надкритичности. Во-вторых, наблюдается возникновение режимов, названных нами выше режимами квазисинхронизации —колебаний с базовой частотой в спектре, равной частоте внешнего воздействия, и одновременно, сложным поведением амплитуды выходного сигнала. В этом режиме (области Quasi-S на карте режимов) спектр мощности колебаний содержит большое число спектральных компонент, однако базовая частота колебаний виртуального катода g = =Q. Область квазисинхронизации в области меньших частот примыкает к клюву синхронизации и быстро расширяется с ростом глубины модуляции. Со стороны больших частот режим квазисинхронизации наблюдается только при глубине модуляции М < 0,06. С ростом амплитуды внешнего воздействия режим квазисинхронизации разрушается, т. е. перестает выполняться условие cj = Q, и возникают режимы сложных хаотических и квазипериодических колебаний (область Т на рис. 7.40 б).

В области Q ^ 2Go аналогично случаю малой надкритичности наблюдается режим синхронизации на кратной частоте, однако теперь он занимает существенно большую область на карте параметров. Это связано с большей нелинейностью системы при увеличении значения параметра Пирса а. Вне зон синхронизации (режим S) и синхронизации на кратной гармонике (f/2-S) наблюдается режим биений (область М на рис. 7.40 б), в котором амплитуда периодически меняется во времени. Область М также расширяется по сравнению с предыдущим случаем, и ее граница поднимается вверх по параметру глубины модуляции М.

Рассмотрим теперь колебания в связанной системе двух генераторов на виртуальном катоде виртодного типа [78, 79]. В виртодной схеме внешний сигнал, воздействуя на электронный пучок в области ускорения, приводит к модуляции поступающего в пространство взаимодействия электронного потока. Система связанных виртодов представляет интерес с точки зрения изучения возможности применения виркаторов в качестве модулей фазированнных антенных решеток [75,79].

Рассмотрим два идентичных вакуумных пролетных промежутка (модуля), в каждый из которых инжектируется сильноточный электронный поток с релятивистским фактором 70 = 3,5 и током пучка, соответственно для первого и второго модуля, /1 и /2. Поток перед поступлением в пространство взаимодействия каждого из модулей модулируется в узком зазоре электромагнитным сигналом, который снимается из пространства взаимодействия другого модуля. Сигнал воздействует на поток с некоторой задержкой г во времени.

Основными параметрами, от которых зависит поведение связанной системы виртодов, являются квадратный корень отношения тока пучка к предельному вакуумному току &勿=，厶 / /° , и параметры линии внешней связи между модулями: время задержки т〃 и коэффицент связи Ai, определяющий глубину модуляции М электронного потока на выходе из модулятора — на входе в пространство взаимодействия (г = = 1,2 — номер виртода). Будем рассматривать, если не оговаривается

Рис. 7.41. Карта режимов колебаний связанной системы двух генераторов на виртуальном катоде на плоскости управляющих параметров (т, а^/«2). Область S — область синхронизации, Quasi-S — квазисинхронизации, С — хаотической генерации

особо, случай симметричной связи между модулями, т. е. т、= т? = т при фиксированном коэффициенте связи 4 = 4 = 4

Как показали исследования, система связанных виртодов может демонстрировать различные режимы поведения в зависимости от параметров линии связи. При коэффиценте связи А, соответствующем глубине модуляции М < 0,05, связь мала, и колебания в каждом из виртодов практически автономны. С ростом коэффицента связи А в зависимости от расстройки генераторов по частоте наблюдаются режимы хаотической генерации и синхронизации. Последний имеет место при близости токов пучков 1) «1 и «2 и глубине модуляции М 〜0,1 4- 0,2. Далее будем исследовать поведение связанной системы при коэффициенте связи А, соответствующем глубине модуляции М = 0,15.

На рис. 7.41 на плоскости управляющих параметров т и а\/а^ показаны зоны синхронизации, квазисинхронизации и хаотической генерации в системе связанных виртодов.

Из карты режимов видно, что при небольшой расстройке генераторов по частоте в системе наблюдается режим синхронизации, когда сигналы обоих генераторов регулярны и имеют одну частоту, причем между ними устанавливается не меняющаяся во времени разность фаз △0. Область синхронизации на плоскости параметров сужается с увеличением времени задержки. Отличительной особенностью поведения системы связанных виртодов является наличие порогового времени

Т. е. при небольшой расстройке по частоте △/ = |Д — /11, где /1 и Д — соответственно частоты колебаний в автономных режимах при си и «2- Напомним, что частота колебаний виртуального катода зависит от тока пучка как / ~ .

Рис. 7.42. Частота совместных колебаний двух виртодов как функция тока пучка «2 при «1 = 2,2: 1 соответствует режиму автономной генерации, 2 — 14 пс, 3 — 413 пс, 4 — 825 пс, 5 — 2,2 нс

задержки ткр, при превышении которого режим синхронизации разрушается. Отметим, что величина порогового времени задержки ткр уменьшается с ростом коэффицента связи А и расстройки Да = |&2 —

При большой расстройке модулей по частоте Д/ (Да ~ 1) режим синхронизации разрушается и при малых г. Это означает, что взаимная синхронизация имеет место в диапазоне времен задержки в цепи связи Ткр,min < т < Ткр, причем необходимый коэффицент связи, при котором обеспечивается синхронизация колебаний, должен быть достаточно велик (М 〜0,2).

На рис. 7.42 показана зависимость частоты генерации комплекса в режиме синхронизации от отношения «1 /«2 при различных величинах т. На рисунке также приведена зависимость частоты генерации автономного генератора от тока пучка (кривая 1). Видно, что частота генерации связанной системы уменьшается по сравнению с частотой колебаний виртуального катода в автономном диоде. Увеличение длительности задержки в цепи связи приводит к уменьшению частоты синхронных колебаний комплекса. Максимальная перестройка частоты генерации с изменением времени задержки т равна (Д///)тах 〜20%.

С точки зрения возможности применения исследуемой системы как модуля фазированной антенной решетки особый интерес представляют фазовые соотношения между СВЧ-сигналами каждого из модулей.

На рис. 7.43 а приведены зависимости разности фаз △，между сигналами в каждом из виртодов от тока пучка 飲 при фиксированном М = 2,2. Из графиков видно, что изменение времени задержки г позволяет перестраивать разность фаз в достаточно широких пределах, причем при немалой расстройке генераторов параметр Дт существенно влияет на величину А。. При малой расстройке генераторов (Да《1) влияние симметричной связи (т】=丁2)на разность фаз △，очень мало.

Рис. 7.43. а — разность фаз (в градусах) между сигналами, генерируемыми в каждом из виртодов как функция тока пучка «2 при он = 2,2. Кривая 1 соответствует п = Т2 = г = 14 пс, 2 — 413 пс, 3 — 825 пс, 4 — 2,2 нс. б — несимметричный случай: разность фаз (в градусах) между сигналами, генерируемыми в каждом из виртодов как функция времени задержки 丁2 для различных значений п и коэффициента связи А. Кривая 1 соответствует т = 14пс (М = 0,15), 2 - 1,4нс (М = 0,15), 3 - 1,4нс (М = 0,25)

Введение в систему асимметрии, связанной с различными временами задержки 勺 и 汽(Л # 丁2), позволяет достаточно эффективно управлять величиной △，практически без изменения частоты генерации. Как видно из рис. 7.43 5, за счет изменения только времени задержки в одной из цепей внешней связи возможно перестраивать разность фаз в пределах 0 4- тг/2. Увеличение фиксированного времени задержки т】 приводит к потере монотонности роста △，с увеличением 丁2・ Отметим, что увеличение коэффицента связи А (или, что тоже самое, глубины модуляции инжектируемого в пространство дрейфа потока) приводит к уменьшению разности фаз между колебаниями в обоих виртодах (ср. кривые 1 и 3 на рис. 7.43 伍 соответствующие М ^ 0,15 и М « ^ 0,25). При временах задержки т〃〉2,5 нс режим синхронизации разрушается, и система переходит к стохастическим колебаниям через перемежаемость.

В области квазисинхронизации колебания в каждом из модулей происходят с одной базовой частотой, при этом временная динамика выходных сигналов достаточно сложна и представляет собой сложный хаотический процесс.

При большой расстройке генераторов (△&〉1) наблюдаются несинхронные хаотические колебания, которые усложняются с ростом длительности задержки и расстройки Да. В этом случае в спектре каждого из виртодов наблюдается высокий шумовой пьедестал, медленно спадающий с ростом частоты, на фоне которого имеются слабо выраженные пики основной частоты и ее субгармоники. С ростом времени задержки сложность хаотических колебаний увеличивается, причем

Рис. 7.44. Пространственно-временные диаграммы электронного потока в одном из виртодов для случая синхронизации (а) и развитого хаоса (б)

этот эффект наблюдается даже при малой растройке генераторов (см. рис. 7.41, на котором наблюдается сужение области синхронизации с ростом г). При асимметричной связи между модулями, когда т】》 》丁2, наблюдается жесткий переход к хаотическим колебаниям через перемежаемость. Таким образом, можно сделать вывод, что увеличение времени запаздывания в цепи связи между модулями приводит к усложнению динамики системы. Следует отметить, что подобный эффект наблюдается и в автономном виртоде. Как было показано в работах [80-82], увеличение времени задержки внешней обратной связи облегчает хаотизацию динамики виртуального катода в виртодной системе.

Рассмотрим, чем определяется перестройка режимов совместных колебаний в связанной системе виртодов. На рис. 7.44 представлены пространственно-временные диаграммы потока в пространстве взаимодействия одного из модулей для случая регулярных движений в режиме синхронизации и хаотических колебаний в связанной системе.

Как видно из рис. 7.44 а, в режиме синхронизации в потоке возникает только одна электронная структура на каждом периоде колебаний —виртуальный катод. В потоке можно выделить два типа заряженных частиц — пролетные и отраженные от виртульного катода обратно к плоскости инжекции частицы. Это также следует из рис. 7.45 (штриховая линия), на котором изображена функция распределения Ф⑺)заряженных частиц по временам жизни в пространстве взаимодействия. Распределение Ф(7}) имеет двугорбый вид, где первый ярко выраженный пик соответствует отраженным от виртуального катода частицам, а второй — пролетным частицам, которым хватает кинетической энергии, чтобы преодолеть потенциальный барьер (виртуальный катод) и, ускоряясь, выйти из зоны виртуального катода к коллектору.

Рис. 7.45. Функция распределения заряженных частиц по временам жизни в пространстве взаимодействия одного из виртодов для случая синхронизации (штриховая линия 1) и развитого хаоса (сплошная линия 2)

Изменение времени задержки и расстройки модулей приводит к подстройке времени существования в потоке отражающего частицы виртуального катода за счет предварительной модуляции, которая, увеличивая (или уменьшая) скорость инжектируемого потока, позволяет затормозить (или ускорить) процессы формирования/распада виртуального катода. При этом времена начала формирования виртуального катода в потоке каждого из модулей отличаются на некоторую величину, зависящую от времени задержки г, которая и определяет сдвиг фаз между сигналами каждого из модулей.

При большой расстройке ситуация меняется. В этом случае в потоке кроме основной структуры (виртуального катода) образуются вторичные структуры, возникновение которых обусловлено кинематической группировкой промодулированного по скорости потока. Как видно из пространственно-временной диаграммы (рис. 7.44 б), в этом случае происходит отражение части потока от вторичных структур, что оказывает сильное влияние на начальные условия формирования виртуального катода на каждом периоде колебаний, в результате чего неустойчивость движения потока возрастает и колебания хаотизируются.

В режиме хаотической генерации спектр возможных времен жизни электронов в пространстве дрейфа уширяется (см. рис. 7.45; сплошная линия). Распределение Ф(7}) становится более равномерным, т. е. в потоке существует примерно одинаковое число частиц с различными временами жизни, что свидетельствует о формировании в потоке внутренней распределенной обратной связи, реализующейся за счет частиц, отраженных от вторичных структур и имеющих большие значения 7}.

Список литературы

Hugenii С. Horoloqium Oscilatorium. — Parisiis, France, 1673.

Капранов M.B., Кулешов В.Н., Уткин Г.М. Теория колебаний в радиотехнике. —М.: Наука, 1984.

Гапонов В.И. Два связанных генератора с мягким возбуждением Ц ЖТФ. 1936. Т. 6, № 5. С. 801.

Теодорчик К. Ф. К теории синхронизации релаксационных автоколебаний “ ДАН СССР. 1943. Т. 40, № 2. С. 63.

Хохлов Р.В. К теории захватывания при малой амплитуде внешней силы “ ДАН СССР. 1954. Т. 9, № 6. С. 411.

Андронов А.А., Витт А.А. К теории захватывания Ван-дер- Поля “ Собр. тр. А.А. Андронова. М.: Изд-во АН СССР, 1956.

Минакова И.И., Теодорчик К. Ф. К теории синхронизации автоколебаний произвольной формы “ ДАН СССР. 1956. Т. 106, N@ 4. С. 658.

Ланда П.С., Ларионцев Е.Г. Режимы биений и синхронизации встречных волн во вращающемся кольцевом газовом лазере Ц Радиотехника и электроника. 1970. Т. 15, № 6. С. 1214.

Блехман И.И. Синхронизация динамических систем. — М.: Наука, 1971.

Романовский Ю.М. О взаимной синхронизации многих автоколебательных систем, связанных через общую среду Ц Изв. вузов. Радиофизика. 1972. Т. 15, N@ 5. С. 718.

Демьянченко А.Г. Синхронизация генераторов гармонических колебаний. —М.: Энергия, 1976.

Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике. — М.: Наука, 1981.

Афраймович В.С., Веричев Н.Н., Рабинович М.И. Стохастическая синхронизация колебаний в диссипативных системах Ц Изв. вузов. Радиофизика. 1986. Т. XXIX, N@ 9. С. 1050.

Pikovsky A., Rosenblum М., Kurths J. Synchronization. A Universal Concept in Nonlinear Sciences. — Cambridge University Press, 2001. (Пиковский А., Розенблюм M., Курц Ю. Синхронизация. Фундаментальные нелинейные явления. — М.: Техносфера, 2003.)

Анищенко В.С., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы / Под ред. В.С. Анищенко. — Саратов: Изд-во С арат, ун-та, 1999.

Rulkov N.F., Sushchik М.М., Tsimring L.S., Abarbanel H.D.I. Generalized synchronization of chaos in directionall coupled chaotic systems “ Phys. Rev. E. 1995. V. 51, No 2. P. 980.

Pecora L.M., Carroll T.L., Jonson G.A., Mar D.J. Fundamentals of sinchronization in chaotic systems, concepts, and applications “ Chaos. 1997. V. 7, No 4. P. 520.

Афраймович В.С., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации / Под ред. А.В. Гапонова-Грехова, М.И. Рабиновича. — Горький: ИПФ АН СССР, 1989.

Анищенко В.С., Вадивасова Т.Е. Синхронизация автоколебаний и колебаний индуцированных шумом (обзор) Ц Радиотехника и электроника. 2002. Т. 47, N@ 2. С. 133.

Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. — М.-Ижевск: РХД, 2000.

Rosenblum M.G., Pikovsky A.S., Kurths J. Phase synchronization of chaotic oscillations Ц Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76, No 11. P. 1804.

Pikovsky A.S., Rosenblum M.G., Kurths J. Phase synchronization of chaotic oscillations Ц IEEE Trans. CAS-I. 1997.

Panter P. Modulation, noise, and spectral analysis. — New York: McGraw-Hill, 1965.

Parlitz U., Junge L., Lauterborn W. Experimental observation of phase synchronization “ Phys. Rev. E. 1996. V. 54, No 8. P. 2115.

Zhiganag Zheng, Gang Hu. Generalized synchronization versus phase synchronization “ Phys. Rev. E. 2000. V. 62, No 6. P. 7882.

Кузнецов Ю.А., Ланда П.С., Ольховой А.Ф., Перминов С.М. Амплитудный порог синхронизации как мера хаоса в стохастических автоколебательных системах Ц ДАН СССР. 1985. Т. 281, N@ 2. С. 1164.

Ланда П.С., Рендель Ю.С., Шер В. Ф. Синхронизация колебаний в системе Лоренца Ц Изв. вузов. Радиофизика. 1989. Т. 32, № 9. С. 1172.

Трубецков Д.И., Анфиногентов В.Г., Рыскин Н.М., Титов В.Н., Храмов А.Е. Сложная динамика электронных приборов СВЧ (нелинейная нестационарная теория с позиций нелинейной динамики) “ Радиотехника. 1999. Т. 63, N@ 4. С. 61.

Trubetskov D.I., Mchedlova E.S., Anfinogentov V.G., Ponomarenko V.I., Ryskin N.I. Nonlinear waves, chaos and patterns in microwave devices “ CHAOS. 1996. V. 6, No 3. P. 358.

Хохлов P.B. Об одном случае взаимной синхронизации отражательных клистронов “ Радиотехника и электроника. 1956. Т. 4, № 1. С. 88.

Брагинский В.Б., Гвоздовер С.Д., Горшков А. С., Трофименко И. Т. Взаимная синхронизация отражательных клистронов без скачков амплитуды и частоты Ц Радиотехника и электроника. 1957. Т. 5, № 8. С. 1048.

Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Синхронизация автоколебаний в распределенной системе «винтовой электронный поток — встречная электромагнитная волна» Ц Письма в ЖТФ. 2002. Т. 28, № 18. С. 34.

Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Синхронизация колебаний в распределенной активной среде «винтовой электронный пучок — встречная электромагнитная волна» “ Изв. РАН, сер. физич. 2002. Т. 66, № 12. С. 1761-1767.

Короновский А.А., Ремпен И.С., Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Переходный хаос в активной распределенной системе «винтовой электронный пучок — встречная электромагнитная волна» Ц Изв. РАН, сер. физич. 2002. Т. 66, № 12. С. 1754-1760.

Hramov А.Е., Koronovskii A.A., Rempen I.S., Trubetskov D.I. Investigation of transient chaos in gyro-backward-wave-oscillator synchronized by the external signal Ц Applied Nonlinear Dynamics. 2002. V. 10, No 3. P. 97.

Короновский А.А., Храмов А.Е. О возможности увеличения порога автомодуляции в гирогенераторе со встречной волной и связанными электродинамическими системами Ц Письма в ЖТФ. 2003. Т. 29, № 4. С. 636-670.

Трубецков Д.И., Храмов А.Е. О синхронизации хаотических автоколебаний в распределенной системе «винтовой электронный пучок —встречная электромагнитная волна» Ц Радиотехника и электроника. 2003. Т. 48, № 1. С. 116-124.

Храмов А.Е. К вопросу о синхронизации колебаний в распределенной активной системе «электронный пучок-обратная электромагнитная волна» “ Радиотехника и электроника. 2004. Т. 49, №7.

Короновский А.А., Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Влияние сигнала сложной формы на колебания в активной среде «винтовой электронный поток — встречная электромагнитная волна» Ц Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2002. Т. 10, № 5. С. 3-18.

Лопухин В.М. Возбуждение электромагнитных колебаний и волн электронными потоками. — ГИТЛ, 1953.

Хохлов Р.В. К теории автоколебаний в отражательном клистроне Ц ЖТФ. 1955. Т. XXV, № 14. С. 2492.

Adler R. A study of locking phenomena in oscillators Ц Proc. IRE. 1946. V. 34, No 6. P. 351.

Железовский Б.Е., Кальянов Э.В. Многочастотные режимы в приборах СВЧ. — М.: Связь, 1978.

Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Лекции по сверхвысокочастотной электронике для физиков. Том 1. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003.

Шевчик В.Н., Трубецков Д.И. Аналитические методы расчета в электронике СВЧ. — М.: Сов. радио, 1970.

Кузнецов С.П. Сложная динамика генератора с запаздывающей обратной связью Ц Изв. вузов. Радиофизика. 1982. Т. 25. С. 1410.

Трубецков Д.И., Четвериков А.П. Автоколебания в распределенных системах «электронный поток-встречная (обратная) электромагнитная волна» Ц Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1994. Т. 2, № 5. С. 9.

Гинзбург Н.С., Кузнецов С.П., Федосеева Т.Н. Теория переходных процессов в релятивистской ЛОВ Ц Изв. вузов. Радиофизика. 1978. Т. 21, № 7. С. 1037.

Безручко Б.П., Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Стохастические автоколебания в системе электронный пучок-обратная волна / в сб.: «Нелинейные волны. Стохастичность и турбулентность». — Горький: АН СССР Институт прикладной физики, 1980, С. 29.

Короновский А.А., Трубецков Д.И., Храмов А.Е. О сверхбыстрой синхронизации автоколебаний в распределенной активной среде «винтовой электронный пучок-встречная электромагнитная волна» “ ДАН. 2003. Т. 389. № 6.

Шустер Л Детерминированный хаос. — М.: Мир, 1988.

Берже П., Помо 〃.〉Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистическом подходе к турбулентности. — М.: Мир, 1991.

Janosi I.M., Tel Т. Time series analysis of transient chaos “ Phys. Rev. E. 1994. V. 49. P. 2756.

Юлпатов В.К. Нелинейная теория взаимодействия непрямолинейного периодического электронного пучка с электромагнитным полем “ Вопросы радиоэлектроники. Сер. 1. Электроника. 1965. № 12. С. 15.

Rossler О.Е. An equation for continious chaos Ц Phys. Letters. 1976. V. 57A. P. 397.

Takens F. Detecting Strange Attractors in Turbulence Ц in Proceedings of the Symposion on Dynamical Systems and Turbulence, University of Warwick, 1979 (1980, edited by D.A. Rand and L.S. Young (Springer, Berlin, 1981).

Короновский А.А., Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Исследование колебаний в гирогенераторе со встречной волной и связанными электродинамическими системами “ ЖТФ. 2003. Т. 73, N@ 6. С. 110-117.

Короновский А.А., Трубецков Д.И., Храмов А.Е. Исследование совместных колебаний в гирогенераторах со встречной волной со связанными электродинамическими системами Ц Радиотехника и электроника, 2004 (в печати).

Льюиселл У Связанные и параметрические колебания в электронике. —М.: Изд-во иностр, лит., 1963.

Трубецков Д.И., Шахин В.П. Некоторые вопросы теории взаимодействия электронного потока с полями связанных линий передач “ Вопросы электроники сверхвысоких частот. Вып. 7 / Под ред. В.Н. Шевчика. Саратов: Изд-во С арат, ун-та, 1973. С. 44.

Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Некоторые вопросы теории лампы обратной волны как распределенной автоколебательной системы Ц Электроника ламп с обратной волной / Под ред. В.Н. Шевчика и Д.И. Трубецкова. Саратов: Изд-во Сарат.ун-та, 1975. С. 135.

Исаев В.А., Фишер В.Л., Четвериков А.П. Исследование возникновения автомодуляции в ЛОВ со связанными системами Ц Лекции

по электронике СВЧ и радиофизике. 7-я зимняя школа-семинар инженеров. Кн. 2. Саратов: Изд-во С арат, ун-та, 1986. С. 3.

Рыскин Н.М., Титов В.Н. Исследование автомодуляционных режимов колебаний в релятивистской дампе обратной волны Ц Изв. вузов. Радиофизика. 1999. Т. 42, N@ 6. С. 566.

Edson W.A. “ Vacuum-Tube Oscillators. N.Y., 1953. PP. 311-340.

Bostick W., Everhart E., Labbitt M. Ц Mass. Inst. Technol., Res. Lab. Electronics, Techn. Rep. No 14. September 14, 1946.

Дейвид. Фазирование высокочастотными сигналами Ц Электронные сверхвысокочастотные приборы со скрещенными полями / Под общей ред. М.М. Федорова. — М: Изд-во иностранной лит-ры, 1961. С. 327-348.

Лебедев И.В. Техника и приборы СВЧ (том I. Техника СВЧ). — М.: Высшая школа, 1972.

Hramov А.Е., Rempen I.S. Investigation of generation characteristic of high power microwave virtual cathode generator with input cavity “ Proc, of International Vacuum Electron Source Conference (IVESC'2002). July 15-19, 2002, Saratov, Russia. P. 379.

Храмов A.E., Короновский А.А., Ремпен И.С. О синхронизации колебаний в электронном пучке с виртуальным катодом Ц Труды VIII Всероссийской школы-семинара «Нелинейные явления в неоднородных средах». Т. 2. 26-31 мая 2002, Красновидово, Москов. обл., Россия. С. 53.

Anfinogentov V.G., Hramov А.Е. Virtual cathode oscillation driven by the external signal “ Proc, of 6th International Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES'98). July 16-18, 1998, Budapest, Hungary, P. 307.

Hramov A.E. Influence of external action on chaotic dynamics of virtual cathode oscillations “ Proc, of 5th International Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES'97). June 26-27, 1997, Moscow, Russia, P.443.

Woo W., Benford 丿.〉Fittingoff D., Harteneck B., Price D., Smith R., Sze H. Phase locking of high-power microwave oscillators “ J. Appl. Phys. 1989. V. 65, No 2. P. 861.

Hendricks K., Richard A. and Noggle R. Experimental results of phase locking two virtual cathode oscillator Ц J. Appl. Phys. 1990. V. 68, No 2. P. 820.

Magda 1.1., Prokopenko Yu. V. Cooperative high-power radiation of two beams at the dual vircator complex Ц In: the Proceedings of the 11th International Conference on High Power Particle Beams (BEAMS'96). (Prague, Czech Republic, June 10-14 1996), V. 1. Prague: 1996. P. 422.

Храмов A.E. Колебания в системе связанных генераторов на виртуальном катоде виртодного типа Ц Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44, № 2. С. 211.

Friedman М., Serlin V. Modulation of intense relativistic electron beams by an external microwave sources Ц Phys. Rev. Lett. 1985. V. 55, No 26. P. 2860.

Friedman M., Krall 丿.〉Lau Y. Y., Serlin V. Externally modulated intense relativistic electron beams Ц J. Appl. Phys. 1988. V. 64, No 7. P. 3353.

Гадецкий H.H., Магда И.И., Найстетер С.И., Прокопенко Ю.В., Чумаков В.И. Генератор на сверхкритическом токе РЭП с управляемой обратной связью — виртод Ц Физика плазмы. 1993. V. 19, No 4. Р. 530.

Magda I.I., Prokopenko Yu. V. Cooperative high-power radiation of two beams at the dual vircator complex “ In: the Proceedings of the 11th International Conference on High Power Particle Beams(BEAMS'96). (Prague, Czech Republic, June 10-14 1996), V. 1. Prague: 1996. P. 422.

Анфиногентов В.Г., Храмов А.Е. Сложное поведение электронного потока с виртуальным катодом и генерация хаотических сигналов в виртодных системах Ц Известия РАН. Сер. физическая. 1997. Т. 61, № 12. С. 2391.

Храмов А.Е. Влияние обратной связи на сложную динамику электронного потока с виртуальным катодом в виртоде Ц Письма в ЖТФ. 1998. Т. 24, № 5. С. 51.

Анфиногентов В.Г., Храмов А.Е. Исследование колебаний в электронном потоке с виртуальным катодом в виркаторе и виртоде Ц Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7, № 2,3. С. 33.

Трубецков Д.И., Ремпен И.С., Рыскин И.М., Титов В.Н., Храмов А.Е. Управление сложными колебаниями в распределенных системах сверхвысокочастотной электроники Ц Радиотехника. 2003. Т. 67, № 2.

Трубецков Д.И., Короновский А.А., Храмов А.Е. Синхронизация распределенных автоколебательных систем электронно-волновой природы с обратной волной “ Изв. вузов. Радиофизика. 2004. Т. 47 (в печати).

Дубинов А.Е., Селемир В.Д. Управление спектром генерации вир- катора с помощью внешнего СВЧ-сигнала “ Письма в ЖТФ. 2000. Т. 26, вып. 13.

Лекция 8 (23)

ВАКУУМНАЯ МИКРОЭЛЕКТРОНИКА

Трудно чего-либо добиться уговорами. Обычно лишь какой-то явный успех (или сообщение в печати, пусть и неточное, о таком успехе) может совершенно, и притом быстро, изменить ситуацию. Почувствовав «запах жаренного», вчерашние скептики или даже хулители способны превратиться в рьяных сторонников нового направления.

В. Л. Гинзбург. Высокотемпературная сверхпроводимость (история и общий обзор). УФН. 1991. Т.161, №4. С.З.

Немного истории по Айвору Броди: четыре пути к вакуумной микроэлектронике. Кен Шоулдерс — пророк в вакуумной микроэлектронике. Автоэлектронная эмиссия — главное в вакуумной микроэлектронике. Закон Фаулера-Нордгейма. Катод Спиндта. Матрицы автоэмисси- онных катодов. Триоды возвращаются ? Распределенный усилитель с автоэмиссионными катодами — наиболее естественный прибор вакуумной микроэлектроники. Характеристики и модификации распределенного усилителя. Вакуумная электроника и электроника СВЧ: возврат к истокам. Гигатрон. О некоторых применениях вакуумной микроэлектроники. Туннельная микроскопия 1).

Леонид Исаакович Мандельштам сравнивал определения с колючей проволокой. В своих знаменитых лекциях [1] он писал: «Планк как- то сказал, что правильная классификация — это уже высокий вид познания. Это несомненно: ведь правильно классифицировать — это значит давать довольно полные определения». Перефразируя Мандельштама, заметим: «Совсем не легко дать определение того, что составляет предмет вакуумной микроэлектроники». И все же начнем

) При написании этой главы использовались фрагменты книги Д.И. Трубецкова, А.Г. Рожнева и Д.В. Соколова «Лекции по сверхвысокочастотной вакуумной электронике» (Саратов: изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1996) и материалы статьи Д.И. Трубецкова, А.Г. Рожнева и Д.В. Соколова «Вакуумная микроэлектроника — бремя ожиданий» (Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика, 1996, Т. 4, № 4, 5. С. 130) и статьи Д.И. Трубецкова «Вакуумная микроэлектроника» (Соросовский образовательный журнал, 1997, № 4).

с определения, загородившись авторитетом А. Броди и Ч. Спиндта — признанных специалистов в этой новой области знаний. Определение из их монографического обзора [2] звучит следующим образом.

Термин вакуумная микроэлектроника используется для описания приборов или компонент, имеющих микронные геометрические размеры (с нанометрическими допусками на эти размеры), принцип действия которых основан на движении свободных электронов в вакууме согласно законам классической физики. Выделяются три ключевых аспекта вакуумной микроэлектроники:

необходимо вырвать электроны из металла (или полупроводника), в котором они находятся, и инжектировать в вакуум в достаточном количестве и с малым разбросом по энергиям для последующего использования в конструируемом приборе;

необходимо изготовить структуры нужных размеров и допусков, включая напыление тонких слоев материалов с такими физическими свойствами, какие пригодны для приборов;

необходимо разработать прибор так, чтобы он был устойчив по отношению к нежелательным разрядам в вакууме и к изменениям окружающей среды.

Написанное выше трудно назвать определением. Скорее очерчен некоторый круг вопросов, которым занимается новая наука. Вакуумная микроэлектроника действительно нова и молода. По-видимому, официальной датой ее рождения следует считать 1988 г., когда в Виль- ямсбурге (США) состоялась Первая международная конференция по вакуумной микроэлектронике. Начиная с этого времени число публикаций в этой области растет экспоненциально (а может быть и быстрее — по законам взрывной неустойчивости). С 1988 г. международные конференции по вакуумной микроэлектронике проходят каждый год в разных странах мира.

Немного истории по Айвору Броди: четыре путик вакуумной микроэлектронике. Кен Шоулдерс —пророк в вакуумной микроэлектронике

Конечно, историю науки пишут сами люди науки. Поэтому никак не избежать субъективного подхода к изложению даже одних и тех же фактов, к подбору важных событий, к оценке значимости того или иного специалиста, той или иной работы для развития научного направления. Важно и из какой страны мы смотрим на развитие этого научного направления: ведь есть пророки в своем отечестве, о которых не знают в отечествах других.

Основной доклад на Первой международной конференции по вакуумной микроэлектронике сделал Айвор Броди — один из основоположников этого направления. По мнению Броди вакуумная микроэлектроника приобрела огромное значение благодаря двум факторам общего характера. Во-первых, возросли требования, которым уже не могут удовлетворить твердотельные приборы, даже после огромных исследовательских затрат, а, во-вторых, пришли к выводу, что отнюдь

Рис. 8.1. Схема, иллюстрирующая тезис А. Броуди о четырех путях развития вакуумной микроэлектроники

не будет непрактичным делать вакуумные лампы микронных и субмикронных размеров. Как заявил Броди: «Я уверен, что в будущем эта конференция будет играть историческую роль в эволюции электронных приборов, и что она будет первой из множества будущих таких конференций». Прошедшие годы показывают, что он был прав.

Как же по Айвору Броди развивалась вакуумная микроэлектроника? Он выделяет четыре основных пути ее развития, приведших к сегодняшнему состоянию (см. схему на рис. 8.1). Броди видит истоки в первых исследованиях вакуумного пробоя. В начале 20-х годов прошлого столетия пробой заявил о себе в периодических срывах трансатлантических радиопередач, осуществляемых с помощью высокомощных ламп Маркони. Госслинг, работавший у Маркони, исследовал этот эффект и в 1926 г. опубликовал работу, в которой высказал гипотезу, что пробой вызывается электронами с выпуклостей на вольфрамовом стержневом катоде. Эти выпуклые неоднородности взрывались, вызывая пробой. Как пишет Броди, обсуждение этих результатов с профессором Фаулером из Кембриджского университета привело к Нордгейму, получившему средства на исследования, и в конечном счете, к уравнению Фаулера-Нордгейма, о котором речь пойдет позднее. Открытие того, что электроны могут вылетать с холодных катодов под действием электрических полей с высокой напряженностью, вызвало множество проектов приборов (см., например, [3]), но прошло более сорока лет прежде, чем что-то получилось. Вот, что препятствовало в тот период созданию приборов с автоэмиссионными катодами:

на электродах требовались напряжения от 2 кВ до 20 кВ;

электронная эмиссия была нестабильной и поток характеризовался высоким уровнем шумов;

требовалось давление менее 10 4- 14 мм рт. ст. для приемлемого срока службы;

трудно было создать решетки из катодов для обеспечения высоких значений полного тока и высоких значений средней плотности тока с ограниченной поверхности;

трудно было обеспечить решетки с одинаковым фактором 6 — коэффициентом преобразования поля от острия к острию (Е = 6匕 V — вытягивающее напряжение, Е — напряженность поля у поверхности катода);

отсутствие эффектов пространственного заряда и радиальные эффекты при автоэмиссии потребовали переосмысления конфигурации приборов.

В данной лекции кратко рассмотрим, как преодолевались подобные препятствия. Причем, надо заметить, что исследователи пользовались не тем, что дает природа, а обманывали ее, научившись изготавливать идентичные конусные катоды высотой около 1 мкм и радиусом острия в несколько сот ангстрем, с расстоянием от острия до электрода в несколько тысяч ангстрем.

Броди подчеркивает, что пророком в вакуумной микроэлектронике был Кен Шоулдерс из Станфордского исследовательского института, который в 1961 г. опубликовал выдающуюся работу [4], быстро поднявшую теорию и эксперимент в вакуумной микроэлектронике на очень высокий уровень. В обзоре [2] приведен перечень важных результатов в вакуумной микроэлектронике под названием «Значительные события для вакуумной микроэлектроники». Начинается перечень с имени Шоулдерса. Ниже приведены несколько первых строк из перечня.

Бак и ШоулдерсБак и Шоулдерс1958 Первые планы изготовления приборов с линейными размерами порядка 0,1 мм

Бак и Шоулдерс

Бак и Шоулдерс

ШоулдерсШоулдерсРазработаны основы вакуумной микроэлектроники. Предложены вертикальные 1961 и г0Ри30нтальные микротриоды, использующие источники с полевой эмиссией; исследовано использование электроннопучковой технологии.

Шоулдерс

Шоулдерс

СпиндтСпиндтПервое сообщение об изготовлении и работе микрокатодов с полевой эмиссией, 1968 использующих тонкопленочную технологию и молибденовые острия (катоды Спин- дта).

Спиндт

Спиндт

Можно с уверенностью сказать, что последнее открытие стало революционизирующим для вакуумной микроэлектроники. Но вернемся в 1961 г. На русском языке широко известна работа Шоулдерса «Комплексные системы на микроминиатюрных электровакуумных приборах» [5]. Для наших целей достаточно воспроизвести один небольшой фрагмент этой статьи.

Вид сбокуВид сбоку66Рис. 8.2. Триод Шоулдерса с автоэлектронным катодомРис. 8.2. Триод Шоулдерса с автоэлектронным катодом

Вид сбоку

Вид сбоку

6

6

Рис. 8.2. Триод Шоулдерса с автоэлектронным катодом

Рис. 8.2. Триод Шоулдерса с автоэлектронным катодом

«В ходе исследовательской фазы работы над компонентами были изготовлены триоды микронных размеров с автоэлектронным катодом. Эти приборы характеризуются большим коэффициентом усиления по мощности и плотностью анодного тока порядка нескольких миллионов А/см2 при расчетном времени переключения менее 10-12 с. На рис. 8.2 изображен активный элемент с автоэлектронным катодом. Такой элемент имеет многослойную пленочную структуру, а ее коэффициент усиления по напряжению лежит в пределах от 0,5 до нескольких сотен в зависимости от формы прибора. Оптимальное рабочее напряжение для этих приборов находится вблизи 50 В при минимуме 20 В и максимуме 100 В. При токе 0,1 мА плотность тока на аноде получается порядка 104 А/см2. При работе верхний предел по плотности тока достигал 108 А/см2. Расчетная величина времени переключения при 0,1 мА равна 10-10 с. Ток прибора в состоянии покоя равен около 10-14 А. Такая низкая величина тока покоя очень важна при построении на основе таких приборов больших матриц».

В это же время разрабатывался и иной подход к уменьшению габаритов приборов — микроминиатюризация обычных электровакуумных приборов с термоэлектронными катодами. В нашей стране в области миниатюризации вакуумных приборов СВЧ несомненным лидером является М.Б. Голант. Наиболее полно полученные им результаты отражены в монографии [6] и книге [7].

Второй путь к вакуумной микроэлектронике связан с удивительным совершенствованием технологии за последние 20 лет: «Один микрон сейчас также обычен, как десять микрон десять лет назад, а четверть микрона, вполне возможно, будет обычной в ближайшем будущем» — предсказывает А. Броди.

И более того, оказалось, что оборудование и технологии, разработанные для интегральных схем (производство жидкого кремния, нанесение тонких пленок, химическое и плазменное травление, оптическая, электронно-пучковая, ионно-пучковая и рентгеновская литография

и др.) пригодны для изготовления вакуумных микроэлектронных приборов.

Третий путь — микроскопия. Развитие технологии вакуумных ламп привело к созданию электронного микроскопа [8]. Причем, любопытно, что появление сканирующего электронного микроскопа (СЭМ) было решающим для полного понимания не только технологии изготовления, но и работы приборов. Броди пишет: «Без него мы не смогли бы увидеть, что происходит. Именно СЭМ привел к электронно-пучковой литографии. Очевидно, что для создания приборов все меньших и меньших размеров потребуются микроскопы с атомным разрешением». По мнению Броди, сканирующий туннельный микроскоп [9] окажется для подобных целей наиболее подходящим, поскольку он дает наименьшие искажения наблюдаемого объекта.

Наконец, четвертый путь — изучение живых клеток. Клетки — машины микронных размеров со сложными и разнообразными химическими и физическими функциями, осуществляемыми на молекулярном уровне. В этой области идет непрерывное обновление представлений. Недавно было установлено, что билипидные слои, которые образуют стенки клетки и способны контролировать происходящее внутри и вне клетки, являются двойными слоями из пленок Лэнгмюра-Блоджетт [10]. Под лэнгмюровскими пленками чаще всего понимают мономолекул я рные слои поверхностно-активных органических веществ, находящихся на границе раздела жидкой (как правило, это вода) и газообразной (воздух) фаз. Если же эти монослои переносить на твердую подложку, то получится твердая мономолекулярная или мультимолекул яркая пленка, называемая пленкой Лэнгмюра-Блоджетт. Наиболее известный пример — растекание масла по поверхности воды. Подобные пленки сейчас активно изучаются применительно к микроэлектронным приборам. Предложено также использовать копирующие свойства некоторых полимеров для создания молекулярной литографии. Броди считает, что многое из полученного в молекулярной инженерии оказало серьезное влияние на идеологию создания сверхмалых вакуумных приборов. Заключает свой доклад Броди следующим любопытным текстом: «...пора рассматривать вакуум как материал со специфическими свойствами, который может иметь субмикронные размеры и почти атомные допуски. Для электроных приборов главная трудность состоит в том, чтобы в этом материале электроны оказались в достаточных количествах и с разбросом по энергиям, сравнимым с разбросом электронов в зоне проводимости полупроводника». Броди видит основной путь преодоления всех трудностей для вакуумной микроэлектроники в использовании автоэлектронной эмиссии.

Мы воспользовались готовой историей вакуумной микроэлектроники —историей по Айвору Броди. По-видимому, с других позиций она выглядит иначе. В частности, более подробное обсуждение вакуумной ветви дано в работе [3] и весьма полном обзоре [11].

«Обратно в будущее» — под таким символическим девизом прошла первая конференция в Вильямсбурге. По своей сути он сохранился и на последующих конференциях, хотя восторженность уступила место

сдержанному оптимизму. Организаторы конференции подчеркивают, что, по их мнению, открылась новая эра миниатюрных вакуумных электронных приборов и вакуумных интегральных схем с автоэлектронной эмиссией (в некоторых случаях речь идет о микровакуумных приборах и интегральных схемах на основе термоэмиссионных катодов).

Эти новые приборы обладают сверхвысоким быстродействием (субпикосекундным), высокой устойчивостью к радиации, слабой чувствительностью к температуре и весьма большим КПД Приборы вакуумной микроэлектроники могут быть использованы как усилители и генераторы миллиметрового диапазона длин волн, в системах непосредственного телевизионного вещания со спутников с использованием тридцатисантиметровых антенн и менее, в РЛС, телефонных системах сотовой связи и т. п. Особо перспективным представляется использование этих приборов для создания нового поколения сверхбыстрых компьютеров. В этом случае элемент памяти может быть создан на двух лампах по схеме триггера. При токе с одного острия 10-5 А мощность, рассеиваемая парой микротриодов при напряжении на аноде 20 В, будет 2 • 10-4 Вт. При плотной упаковке на одном квадратном сантиметре площади можно разместить около 106 элементов памяти, для которых мощность рассеяния составляет 20Вт/см2, так что в качестве основной выступает здесь проблема теплоотвода. В 1988 г. на квадратном сантиметре размещали 104 микротриодов, так что мощность рассеяния составляла уже 2 Вт.

Интересным бытовым применением вакуумной микроэлектроники является разработка плоских панельных дисплеев, обеспечивающих изображение высокого качества и высокой яркости (в том числе и для цветного телевидения). В частности, на конференции в Вильямсбурге в докладе Холланда и Спиндта было сообщено о разработке вакуумного флуоресцентного экрана с холодным катодом Спиндта. В тонком вакуумно-флуоресцентном цветном дисплее использовалась матрич- но адресуемая группа автоэмиссионных острий для каждого цветного элемента индикатора. Электроны с острий фокусировались на близко расположенном люминофоре цветного элемента (разрешающая способность индикатора — около 40 линий/см, сторона панели — 8,3 см, толщина — 4 мм). На конференциях обсуждалась также и возможность создания телевизионных экранов больших размеров, сверхвысокояркостных и многолучевых электронных ламп и трубок. Много внимания уделялось созданию электронных пушек с автоэмиссионными катодами и ионных источников, вопросам сканирующей туннельной микроскопии и др.

Перспективы кажутся фантастическими и заманчивыми, а диапазон исследований непрерывно расширяется.

Три последних строчки в перечне значительных событий из [2] выглядят так.

1989 Получена полевая эмиссия при приложенном Махов В.И. напряжении меньше 10 В.

1990 Получены острия с радиусомМаркус и др.

субнанометровых размеров из кремния.

1990 Доложено о первом полностью действующем Джис и др. плоском катодолюминисцентном дисплее.

Обсудим далее физику, принцип действия и особенности конструкции некоторых приборов вакуумной микроэлектроники.

Автоэлектронная эмиссия — главное в вакуумноймикроэлектронике. Закон Фаулера—Нордгейма

Автоэлектронная эмиссия — физическое явление, состоящее в том, что электроны покидают твердое тело, в котором они находятся в качестве свободных носителей заряда (это может быть металл или полупроводник), под действием сильного электрического поля, приложенного к поверхности. В случае автоэлектронной эмиссии электроны преодолевают потенциальный барьер на поверхности тела не за счет кинетической энергии теплового движения, а путем специфического квантового явления — туннельного эффекта (см., например, [12]).

В простейшем случае туннельный эффект заключается в том, что микроскопическая частица, первоначально находившаяся по одну сторону потенциального барьера (т. е. области пространства, для которой полная энергия частицы £ превышает ее потенциальную энергию U(ж)), может с конечной вероятностью быть обнаружена по другую сторону барьера.

Туннельный эффект является чисто квантовым феноменом и для него отсутствует аналог в классической механике. Согласно Ньютоновской механике частица с массой т не может находиться внутри потенциального барьера, поскольку из уравнения для полной энергии

2 = Р / (2m) + U (①)(8.1)

следует, что соотношение Е < U(ж) выполняется только для минимальных значений импульса р. Объяснение туннельного эффекта в конечном счете связано с соотношением неопределенности Гейзенберга, согласно которому квантовая частица не может находиться в состоянии с одновременно точно определенными координатой ж и импульсом р. Неопределенности Дж и Др всегда удовлетворяют соотношению ДжДр》Я, где Я = 1,05459 • 10-27эрг«с — постоянная Планка 1). Согласно этому принципу, слагаемые в правой части уравнения (8.1) не имеют одновременно определенных значений и могут отличаться от своих средних. Поэтому имеется конечная вероятность обнаружить квантовую частицу в запрещенной с точки зрения классической механики области. Заметим, что неким аналогом туннельного эффекта

в волновой оптике может служить просачивание световой волны внутрь отражающей среды в условиях полного внутреннего отражения.

Туннельный эффект был одним из первых квантовых явлений, предсказанных после создания в 1926 г. Э. Шредингером волновой механики. По всей видимости, первыми указали на его существование Л.И. Мандельштам и М.А. Леонтович, которые исследовали решение уравнения Шредингера для модельного потенциала ангармонического осциллятора вида 1/(①)= kx/2 при \х\ < а п 1/(①)= 0 при \х\〉а. Они показали, что волновая функция, описывающая свободное движение частицы слева от потенциального барьера (при ж < —а), имеет конечное по величине значение и справа от потенциального барьера (при х > а). При этом, когда энергия частицы близка к значениям дискретных уровней энергии внутри потенциальной ямы, амплитуда волновой функции справа от нее резко возрастает. Это явление на

современном языке носит название резонансного прохождения через потенциальный барьер.

В 1928 г. Г. Гамов с помощью туннельного эффекта объяснил явление «-радиоактивности тяжелых ядер, и в том же году Фаулер и Норд-

Рис. 8.3. Поверхностный потенциальный барьер на границе раздела металл-вакуум. Кривые 1, 2 и 3 соответствуют случаям отсутствия внешнего поля, слабому полю и сильному полю; d — ширина барьераРис. 8.3. Поверхностный потенциальный барьер на границе раздела металл-вакуум. Кривые 1, 2 и 3 соответствуют случаям отсутствия внешнего поля, слабому полю и сильному полю; d — ширина барьерабарьера над уровнем Фермибарьера над уровнем Фермипотенциальногопотенциальногогейм [13] построили теорию холодной эмиссии с поверхности металлов. Туннельный эффект лежит в основе объяснения таких явлений, как слияние легких ядер при термоядерных реакциях, работы сверхпроводящего перехода Джозефсона и туннельного диода. Нас в наибольшей степени интересует объяснение автоэлектронной эмиссии, данное Фаулером и Нордгеймом.

Рис. 8.3. Поверхностный потенциальный барьер на границе раздела металл-вакуум. Кривые 1, 2 и 3 соответствуют случаям отсутствия внешнего поля, слабому полю и сильному полю; d — ширина барьера

Рис. 8.3. Поверхностный потенциальный барьер на границе раздела металл-вакуум. Кривые 1, 2 и 3 соответствуют случаям отсутствия внешнего поля, слабому полю и сильному полю; d — ширина барьера

барьера над уровнем Ферми

барьера над уровнем Ферми

потенциального

потенциального

На рис. 8.3 приведен график потенциальной энергии электрона вблизи границы металл- вакуум при отсутствии внешнего поля и при наличии слабого и сильного внешних полей в зависимости от расстояния от поверхности металла. По мере увеличения внешнего приложенного поля понижается высота 1) и уменьшается его

ширина. Следовательно, увеличивается вероятность проникновения через барьер электронов, подлетающих к нему со стороны металла. Иными словами, увеличивается число электронов, проходящих через барьер, т. е. ток автоэмиссии. Подчеркнем, что в случае автоэмиссии с поверхности металла электрическое поле не проникает вглубь него и не влияет на движение электронов в металле. Роль внешнего поля сводится только к изменению формы потенциального барьера, уменьшению его высоты и ширины.

Характеристикой одномерного туннельного эффекта 1) является, так называемый коэффициент прозрачности D потенциального барьера. Он равен отношению потока прошедших через барьер частиц к падающему на барьер потоку. В частности, для прямоугольного барьера высотой I/。и с конечной протяженностью а

D = Do exp [(—2//z)(2ni(Uo -行疗冃. (8.2)

Вероятность прохождения не слишком мала, если показатель экспоненты не превышает по модулю единицы. Оценим D, подставив в формулу (8.2) величины ядерных масштабов. Пусть а ~ 10-13 см, т ~ ~ 10-23 г (масса нуклона), I/。— £ ~ 10 = 10-5 эрг. Тогда D ~ в-1. Частица в этом случае с заметной вероятностью пройдет через барьер, высота которого превышает ее энергию на 5 4- 10 МэВ. Если а 〜1 см, тоо~ 10-13, т.е. вероятность проникновения частицы через барьер ничтожно мала. В области макроскопических масштабов туннельный эффект отсутствует.

Классическая теория эмиссии электронов с поверхности металла основана на предположении, что электроны в зоне проводимости ведут себя как свободные частицы, чье движение в объеме металла ограничено только силами двойного электрического слоя на границе металл- вакуум. Существование этого слоя приводит к скачку потенциальной энергии, в результате чего электрон отражается от границы, если его энергия недостаточна для преодоления барьера. При наличии внешнего электрического поля с напряженностью F потенциальный барьер снижается по величине, приобретает конечную ширину, и становится возможным туннелирование электронов. Потенциальная энергия электрона описывается формулой

U⑺=% 一ёь一發/(4力 (8.3)

В формуле (8.3) (—е歹①)一вклад внешнего приложенного поля,— — ^2/(4①)—вклад силы изображения, в — заряд электрона. Современные исследования показывают, что формула (8.3) справедлива при

1) Заметим, что в широком понимании тунельный эффект означает возможность перехода системы макрочастиц из одного состояния в другое, если промежуточные состояния системы в классическом случае не могут осуществляться.

104/Д мкм/В

Рис. 8.4. Экспериментальные зависимости Фаулера-Нордгейма для различных кристаллографических плоскостей вольфрама. Числа около линий означают измеренные по этим данным значения работы выхода

х > ЗА [14]. Форма потенциального барьера при ж < ЗА зависит от конкретной поверхности металла.

В рамках этой модели плотность тока автоэмиссии выражается зависимостью

J = AF2 ехр (—693/2/ь)，(8.4)

где g — работа выхода, измеряемая в электронвольтах, F измеряется в В/мкм, a J — в А/мкм2; функции А и В зависят от геометрии системы и работы выхода. Это и есть знаменитая формула Фаулера-Нордгейма, которая является основной в теории автоэлектронной эмиссии. Экспериментальная проверка формулы Фаулера-Нордгейма показала, что она правильно количественно описывает зависимость тока автоэмиссии от напряженности поля, температуры, работы выхода.

Если построить график зависимости lg (J/F2) от 1/F, то получится прямая линия (рис. 8.4 [14]), которая носит название графика Фаулера- Нордгейма. Наклон линии позволяет определить значение работы выхода из соответствующей кристаллографической плоскости металла, однако это требует тщательного измерения напряженности поля на эмитирующей поверхности. Такие измерения, как правило, весьма затруднительны, поскольку эта поверхность имеет форму острия или лезвия. Поясним последнее.

Для получения автоэмиссионного тока на поверхности катода требуется создать напряженность поля (3 4- 5) • 107 В/см. Для типичного значения работы выхода 夕=4,5 эВ при этом достигается плотность тока порядка 107 А/см2. Предельные значения плотности тока могут

достигать 1010 А/см2. Очевидно, что такие значительные поля невозможно создать, если размер области однородного поля будет превышать несколько квадратных микрон из-за пробоя, который произойдет даже при очень высоком вакууме. Поэтому автоэлектронная эмиссия реализуется только на катодах, имеющих острийную или лезвийную форму.

Подобные катоды весьма привлекательнь匸 они обладают чрезвычайно большой плотностью тока, не требуют подогрева, практически безынерционны. Для применения устройств с автоэлектронной эмиссией в качестве элементов радиотехнических схем весьма важно, что вольт-амперная характеристика автокатода сильно нелинейна.

Катод Спиндта. Матрицы автоэмиссионных катодов.Триоды возвращаются?

Рис. 8.5. Схематическое изображение тонкопленочного катода авто- эмиссионного катода Спиндта: 1 — молибденовый корпус, 2 — изолирующий слой из двуокиси кремния, 3 — молибденовая управляющая пленка, 4 — кремневая подложкаРис. 8.5. Схематическое изображение тонкопленочного катода авто- эмиссионного катода Спиндта: 1 — молибденовый корпус, 2 — изолирующий слой из двуокиси кремния, 3 — молибденовая управляющая пленка, 4 — кремневая подложкаМы уже указывали, что научный мир узнал об успехах и перспективах вакуумной микроэлектроники сравнительно недавно — после Первой международной конференции 1988 г. Однако пути к преодолению тех трудностей, которые препятствовали практическому использованию автоэмиссионных процессов, были намечены еще в начале 70-х гг., когда Ч. Спиндтом и его сотрудниками была разработана технология изготовления матричного автоэмис- сионного катода и проведено все

Рис. 8.5. Схематическое изображение тонкопленочного катода авто- эмиссионного катода Спиндта: 1 — молибденовый корпус, 2 — изолирующий слой из двуокиси кремния, 3 — молибденовая управляющая пленка, 4 — кремневая подложка

Рис. 8.5. Схематическое изображение тонкопленочного катода авто- эмиссионного катода Спиндта: 1 — молибденовый корпус, 2 — изолирующий слой из двуокиси кремния, 3 — молибденовая управляющая пленка, 4 — кремневая подложка

стороннее исследование его свойств (первое сообщение о катоде Спиндта относится к 1973 г., подробная статья вышла в 1976 г. [15]). Без преувеличения можно сказать, что вся вакуумная микроэлектроника вышла из этой работы, и без ссылки на нее не обходится добрая половина докладов, представленных на международных конференциях по вакуумной микроэлектронике.

проводник-изолятор-проводникпроводник-изолятор-проводникОстановимся подробнее на результатах работы [15]. Тонкопленочный катод с полевой эмиссией представляет собой сэндвич:

проводник-изолятор-проводник

проводник-изолятор-проводник

(рис. 8.5). Верхний проводник или сетка имеет круглое отверстие от 1

ДОДО3 мкм в диаметре, сквозь которое протравлено отверстие до нижне

ДО

ДО

го проводника. На подложке находится конусообразный эмиттер, его вершина располагается в отверстии сеточной пленки. Размеры для одного из изготовленных катодов приведены на рисунке. Высота конуса,

радиусы острия и отверстия в сетке могут меняться при изменении параметров технологического процесса.

Рис. 8.6. Технология изготовления тонкопленочного катода: а — исходная структура для формирования конуса; б— формирование изолирующего слоя; в — формирование конуса напылением; а — удаление изолирующего слоя. 1 — металлическая пленка, 2 — диэлектрик, 3 — кремниевая подложка, 4 — ось вращения, 5 — направление напыленияРис. 8.6. Технология изготовления тонкопленочного катода: а — исходная структура для формирования конуса; б— формирование изолирующего слоя; в — формирование конуса напылением; а — удаление изолирующего слоя. 1 — металлическая пленка, 2 — диэлектрик, 3 — кремниевая подложка, 4 — ось вращения, 5 — направление напыления

Рис. 8.6. Технология изготовления тонкопленочного катода: а — исходная структура для формирования конуса; б— формирование изолирующего слоя; в — формирование конуса напылением; а — удаление изолирующего слоя. 1 — металлическая пленка, 2 — диэлектрик, 3 — кремниевая подложка, 4 — ось вращения, 5 — направление напыления

Рис. 8.6. Технология изготовления тонкопленочного катода: а — исходная структура для формирования конуса; б— формирование изолирующего слоя; в — формирование конуса напылением; а — удаление изолирующего слоя. 1 — металлическая пленка, 2 — диэлектрик, 3 — кремниевая подложка, 4 — ось вращения, 5 — направление напыления

Технология изготовления катодов Спиндта заслуживает особого внимания. Она состоит из нескольких этапов.

Получение стандартной высоко-проводящей подложки из кремния. Эта подложка покрывается затем оксидной пленкой кремния требуемой толщины (1,5 мкм) с помощью техники окисления.

Методом электронно-лучевого напыления на окисел наносится тонкая пленка молибдена толщиной 0,4 мкм.

Эта структура покрывается полиметил-метакрилатом (ПММ)— высокополимерным соединением, которое представляет собой электронно-чувствительное сопротивление. Толщина пленки ПММ примерно 1 мкм.

Поверхность ПММ экспонируется в вакууме сфокусированными электронными пучками, формируя на ней пятна нужного диаметра и необходимой конфигурации. Пятна обычно имели диаметр около 1 мкм и располагались в узлах квадратной решетки с шагом 25,4 мкм или 12,7 мкм.

Экспонированные участки растворяются в изопропиловом спирте, а затем происходит травление лежащего ниже этих участков слоя молибдена до диэлектрика.

Удаляются остатки ПММ и слой диэлектрика травится плавиковой кислотой до кремниевой подложки. В результате образуется структура, показанная на рис. 8.6 а. Пленка молибдена слегка нависает над отверстием в диэлектрике, так как кислота не действует на молибден.

Методом вакуумного напыления на молибден наносится пленка алюминия. При этом образец непрерывно вращается вокруг вертикаль-

ной оси и напыление происходит под большим углом к ней. Это делается, чтобы предотвратить попадание алюминия в отверстия в сетке. Размер отверстия уменьшается до необходимой величины (рис. 8.6 б).

Через частично закрытое отверстие производится напыление молибдена, при этом внутри отверстия вырастает конус необходимого размера и высоты. Вершина конуса формируется, когда отверстие полностью закрывается. Эта стадия процесса показана на рис. 8.6 в.

Вспомогательный слой алюминия растворяется, находящаяся на нем молибденовая пленка удаляется (рис. 8.6 а). После термической тренировки в вакууме катод готов к применению.

Используя такую технологию, были изготовлены катоды с 1, 100 и 5000 эмиттерами. Решетка со 100 эмиттерами имела вид матрицы 10 x10 с шагом 25,4 мкм, так что полная область эмиссии представляла собой квадрат со стороной 0,25 мм. Решетка с 5000 эмиттерами заполняла круглую область диаметра 1 мм с расстоянием между конусами 12,7 мкм; таким образом плотность упаковки эмиттеров достигала 6,4 х х 105 см-2.

Область рабочих напряжений для катодов составляла от 100 до 300 В. Они работали при давлении 10-9 мм рт. ст., которое обеспечивалось непрерывной откачкой. Ток эмиссии с одного острия находился в пределах от 50 до 150 мкА. Полный ток с 100-острийного катода достигал 5 мА, что соответствует средней плотности тока с катода 8 А/см. Для катода с 5000 остриями в импульсном режиме был получен ток до 100 мА (плотность тока достигала 12 А/см2) 1).

Из вышеизложенного ясно, что матричный автоэмиссионный катод есть не что иное, как вакуумная трехэлектродная лампа микронных размеров, т. е. триод. Конусообразный эмиттер выполняет роль катода, управляющие электроды — роль сетки, кроме того, существует удаленный анод, который выступает в качестве коллектора электронов. В начале развития вакуумной микроэлектроники появились надежды, что малые размеры устройства позволят использовать его в качестве элемента радиотехнических схем на СВЧ-частотах, подобно тому, как обычный вакуумный триод работает в диапазоне радиочастот. Известно, что быстродействие твердотельных устройств ограничено подвижностью электронов в зоне проводимости. В этом смысле преимущества

вакуумного микротриода очевидны. На рис. 8.7 приведены зависи

мости времени пролета от приложенного напряжения для кремния, арсенида галлия, фосфида индия и вакуума. Из графиков следует, что

Рис. 8.7. Зависимость времени пролета электронов от напряжения для вакуума 1; фосфида индия 2; арсенида галлия 3 и кремния 4Рис. 8.7. Зависимость времени пролета электронов от напряжения для вакуума 1; фосфида индия 2; арсенида галлия 3 и кремния 4предельная частота вакуумных приборов может быть повышена, по крайней мере, на порядок по сравнению с твердотельными. Кроме того, одним из возможных преимуществ вакуумных микротриодов является их радиационная и термическая стойкость. Именно эти обстоятельства привели, видимо, к появлению статей с утвердительными заголовками «Триоды возвращаются». К сожалению, вакуумный микротриод имеет врожденные недостатки, причины которых связаны с его конструктивными особенностями. И глав

Рис. 8.7. Зависимость времени пролета электронов от напряжения для вакуума 1; фосфида индия 2; арсенида галлия 3 и кремния 4

Рис. 8.7. Зависимость времени пролета электронов от напряжения для вакуума 1; фосфида индия 2; арсенида галлия 3 и кремния 4

ный из них — малый коэффициент усиления. Увеличить коэффициент усиления можно было бы за счет опускания вершины эмиттера ниже уровня управляющего электрода (см., например, [17]), однако при этом резко уменьшается анодный ток. Разумный компромисс достигается, когда вершина эмиттера лежит вблизи плоскости нижней кромки

управляющего электрода.

Наряду с автоэмиссионными катодами в виде металлических остриев, полученных в результате напыления, многие научные группы занимаются разработкой технологии изготовления и изучением эмиссионных свойств катодов из полупроводниковых материалов, таких как кремний. Анализ требований, предъявляемых к современным источникам автоэмиссии, проведенный Г. Греем (Н. Gray — один из авторитетных в вакуумной микроэлектронике исследователей), показал, что они должны обеспечивать:

высокую крутизну, плотность тока и низкую межэлектродную емкость катодов для возможности их применения в СВЧ- и миллиметровом диапазонах;

высокую плотность тока для использования в электронно-лучевых трубках;

высокую яркость и малый размер источника для использования в сканирующих электронных микроскопах и установках для электронно-лучевой литографии;

низкую стоимость, большие размеры экрана и однородность эмиссии для плоских дисплеев.

Решетки автоэмиссионных катодов, изготовленные из монокристалла кремния удовлетворяют всем этим требованиям. Кремний является очень удобным материалом для изготовления автокатодов. Он имеет работу выхода 4,2 эВ, сравнимую с работой выхода электронов

а6

Рис. 8.8. Микровакуумные устройства с горизонтальной геометрией: а — диод: 1 — катод, 2 — анод; 3 — пленка, задающая рельеф, 4 — диэлектрическая подложка; б — триод: 1 — катод, 2 — управляющий электрод; 3 — анод, 4 — диэлектрическая подложка, 5 — пленка, задающая рельеф

из металлов, его механические, электрические и химические свойства хорошо изучены, технология работы с кремнием тщательно отработана при разработке сверхбольших интегральных схем, устройства на кремниевых полевых эмиттерах могут быть легко интегрированы в микросхемы, содержащие традиционные МОП-элементы и биполярные транзисторы. Кроме того, разработаны методы изготовления острий из кремния с радиусом кривизны атомарных размеров (менее 10 А), что позволяет существенно понизить рабочее напряжение. Изготовлены решетки острев размером 10 х 10 и 80 х 80 с расстоянием между остриями 4 мкм (плотность упаковки 6,25 • 106 см-2) и диаметром отверстий в управляющем электроде 2 и 3 мкм. Для отверстий с диаметром 2 мкм ток эмиссии 1 мА достигался при напряжении 66 В на управляющем электроде. Максимальный ток, снимаемый с одного острия, мог достигать 50 мкА.

Пожалуй, самое замечательное свойство кремниевых катодов в том, что форма образующего острия, радиус кривизны его вершины и высота практически идентичны для всех элементов решетки. Однако по сравнению с металлическими, кремниевые катоды имеют более низкую плотность тока, что связано с физической природой механизма проводимости в полупроводниках. Возможным способом преодоления этого ограничения является использование кремниевых эмиттеров, покрытых тонким слоем металла, в качестве которого могут выступать вольфрам, титан, тантал, платина, палладий и золото.

Отличительной особенностью описанных выше автоэмиссионных катодов является вертикально расположенное острие. Между тем, еще в середине 60-х годов была высказана и практически реализована идея микровакуумных автоэмиссионных диода и триода, в которых эмиссия происходила с края тонкой металлической пленки, напыленной на диэлектрическую подложку [18] (рис. 8.8). Толщина эмитирующей кромки составляла 100 4- 200 А, расстояние анод-катод — 6-8 мкм, расстояние катод-управляющий электрод — около 0,5 мкм. При напряжении на аноде 300 В ток менялся от 10-3 до 3 мкА при изменении потенциала управляющего электрода от 175 до 250 В. Основные трудности в работе с такими приборами были связаны с получением атомарно-гладкой поверхности эмитирующей кромки для обеспечения равномерной эмиссии, а также нестабильность эмиссии во времени.

В настоящее время автоэмиссионные триоды (транзисторы) с горизонтальной геометрией рассматриваются как основные кандидаты для работы на сверхвысоких частотах благодаря присущей их конструкции низкой емкости между эмиттером и управляющим электродом. Для увеличения напряженности поля вблизи катода эмитирующий электрод выполняется в виде гребенки с зубцами прямоугольной или треугольной формы. Создан также и микровакуумный аналог тетрода: был введен дополнительный четвертый электрод между управляющим электродом и анодом, что позволило получить практически линейную передаточную характеристику прибора, если в качестве входного использовался контрольный электрод.

Следует заметить, что активный поиск новых материалов, подходящих для создания автокатодов, ведется неперывно. Одним из таких материалов, имеющих уникальные свойства, оказался алмаз. Отрицательное электронное сродство, присущее алмазу, сделало возможным эмиссию электронов при низких напряженностях электрического поля (менее 1 В/мкм). Благодаря устойчивой структуре кристаллической решетки алмаза, возможно создание более стабильных катодов, чем металлические.

Для многих приложений, например, для использования в плоских дисплеях или для создания источников электронов в мощных СВЧ-приборах, нет необходимости в том, чтобы катод имел регулярную структуру в виде периодических острев. Поэтому особый интерес вызывает исследование автоэлектронной эмиссии из тонких пленок аморфного алмаза. Такие пленки получаются путем испарения графита в вакуумной камере в луче мощного Nd-YAG-лазера. Испаренный графит осаждается на подложку из стекла, кремния или различных металлов, образуя аморфную пленку. В экспериментах получена плотность тока в пределах 0,14-1 мА/мм2 при приложенных полях 20 4- 40 В/мкм. Такие плотности тока достаточны для использования в плоских дисплеях. В отдельных случаях регистрировались плотности тока до 100 мА/мм2. Оценки работы выхода, произведенные по измеренным эмиссионным характеристикам, показали, что она действительно имеет очень малое значение.

Распределенный усилитель с автоэмиссионнымикатодами ——наиболее естественный прибор вакуумноймикроэлектроники

Наиболее популярной схемой вакуумной СВЧ-микроэлектроники оказалась схема распределенного усилителя, предложенная еще в 1937 г. (естественно, в ламповом варианте) [22] и подробно описанная в 1948 г. [23]. Хотя в свое время эта схема не была широко использована, следует отметить, что она блестяще разрешила на уровне ламповых усилителей проблему сочетания высокого коэффициента усиления с широкой полосой.

Как известно, можно выделить два класса радиотехнических усилителей —нерезонансных и резонансных. В первом из них нагрузка имеет преимущественно активный характер, что обеспечивает широко-

полосность, но вносимые нагрузкой потери уменьшают коэффициент усиления и КПД В резонансных усилителях нагрузкой является колебательный контур с малыми потерями, который позволяет добиться высокого усиления, но в узкой полосе частот. В распределенном усилителе в качестве выходной нагрузки используется длинная линия, представляющая собой цепочку из LC-ячеек. Эта линия в идеале является абсолютно широкополосной, ее входное сопротивление, равное волновому сопротивлению Z。= L/C, является активным и может быть сделано достаточно большим для получения высокого коэффициента усиления;

вместе с тем, поскольку линия составлена из одних реактивных элементов, она не имеет омических потерь. Входной сигнал подается в линию,

аналогичную выходной и подключенную к промежутку сетка-катод каждого триода (рис. 8.9). Омические сопротивления R、= Zqi и 丛= =Z02 необходимы для предотвращения отражений; исходя из этого же,

сопротивление нагрузки Ан должно быть также равно волновому.

Если во входную линию поступает ВЧ-сигнал, то анодный ток каждого триода ik будет модулироваться этим сигналом, причем в ли

нейном приближении для k-ro триода можно записать

й = WU% exp [;(幻力一仇 W)], _(8.5)

где g — крутизна триода, U? — амплитуда входного сигнала, 队=g/少小1, 少小1 = = 1/，&/Q — фазовая скорость волны в линии передачи, Д/ — длина ячейки.

Чтобы найти ВЧ-потенциал в выходной линии, возбуждаемой токами каждого триода, будем предполагать, что она пронизывается не дискретными то-

Рис. 8.9. Схема распределенного усилителяРис. 8.9. Схема распределенного усилителя通)=gU^ exp [j (g方一仇叫.通)=gU^ exp [j (g方一仇叫.(8.6)(8.6)ками г^, а непрерывно распределенным вдоль оси током с линейной плотностью J(ж). Из формулы (8.5) следует, что

Рис. 8.9. Схема распределенного усилителя

Рис. 8.9. Схема распределенного усилителя

通)=gU^ exp [j (g方一仇叫.

通)=gU^ exp [j (g方一仇叫.

(8.6)

(8.6)

Здесь g — распределенная крутизна (крутизна на единицу длины линии). Используя выражение (8.6), выпишем уравнения Кирхгофа для тока и напряжения в выходной линии (временную зависимость опускаем) в следующем виде:

—;—=一7以质"，(8.7)

ах

出=—汝02u2 + gUfe-(8.8)

с граничными условиями на концах линии

。2〃2|/=0 = Z°2,U2//2I』=-Zo2・(8.9)

Анодная пленка

用2用200夕夕夕<>0夕夕夕00夕夕夕<>0夕夕夕〃 〃 〃〃产f ，# 〃 ，f 〃 〃 〃 〃 〃 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃 〃 〃〃产f ，# 〃 ，f 〃 〃 〃 〃 〃 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃Выходная линияПленочныйуправляющий электрод А Входная лиАвтоэмиттерыВыходная линияПленочныйуправляющий электрод А Входная лиАвтоэмиттеры

用2

用2

00夕夕夕<>0夕夕夕

00夕夕夕<>0夕夕夕

〃 〃 〃〃产f ，# 〃 ，f 〃 〃 〃 〃 〃 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃

〃 〃 〃〃产f ，# 〃 ，f 〃 〃 〃 〃 〃 〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃〃

Выходная линия

Пленочный

управляющий электрод А Входная ли

Автоэмиттеры

Выходная линия

Пленочный

управляющий электрод А Входная ли

Автоэмиттеры

Рис. 8.10. Схема микроэлектронного распределенного усилителя с решеткойавтоэмиссионных катодов

Здесь Z°2 =，丄2/。2 •

Решение системы уравнений (8.7)—(8.9) имеет вид:

U = U。II Pi -仇)，+ j] e—gi宀 + 伪^-刑吗，(8.10) где /2 =g，L202 , u? = gU?Zo2/仇.

Из последнего выражения следует, что поле в выходной линии представляется суммой встречной волны постоянной амплитуды и прямой волны с линейно нарастающей амплитудой; последняя и определяет усилительные свойства схемы. Если фазовые скорости собственных волн в обеих линиях близки друг другу, а длина линий невелика по сравнению с длиной волны, то выражение для коэффициента усиления К = U(ж)/U^ записанное с учетом только нарастающей волны, имеет особенно простой вид:

K = gZ°2“(8.11)

Несмотря на свои неоспоримые достоинства, схема распределенного усилителя практически не была востребована в радиотехнике того времени. Интерес к ней начал возрождаться в 80-ые годы, сначала в полупроводниковой микроэлектронике (в монолитных интегральных схемах с арсенид-галлиевыми полевыми транзисторами), а затем и в вакуумной микроэлектронике, для которой эта схема оказалась очень органичной, самым естественным образом связанной с ее технологическими особеностями. Если бы эта схема не была известна ранее, она неизбежно бы появилась в микроэлектронном варианте (вернее всего, так оно и было, а о старой идее вспомнили уже потом). Действительно, решетка автоэмиссионных спиндтовских катодов, дополненная сверху анодной пленкой, представляет собой почти готовую конструктивную основу распределенного усилителя, в которой микрополосковая линия, образованная катодной и управляющей пленками, играет роль входной линии, а подобная же линия, образованная управляющей и анодной пленками, является выходной (рис. 8.10). Каждая из линий представляет собой несимметричную полосковую линию, частично заполненную диэлектриком. Поперечные размеры линий составляют обычно от десятых долей микрона до десятков микрон. Если рабочая длина волны не

меньше 3 мм (частота не более 100 ГГц), то поперечные размеры линий оказываются на 2-3 порядка меньше длины волны, и, следовательно, при их анализе можно использовать квазистатическое приближение и по-прежнему описывать их эквивалентными схемами из LC-цепочек, аналогичных изображенным на рис. 8.9.

Однако важное отличие микроэлектронного варианта, подробно рассмотренное в работе [24], заключается в следующем. Толщина проводящих пленок, образующих микрополосковую линию, невелика и обычно существенно меньше толщины скин-слоя 3 = 2/,g〃ocf (ст — погонная проводимость). Так для молибденовой пленки толщина скин-слоя в частотном диапазоне 1-20 ГГц меняется в пределах 3,70,84 мкм, в то время как толщина пленки составляет 0,2-0,5 мкм. Это приводит к резкому возрастанию погонного активного сопротивления, вследствие чего при расчете параметров микроэлектронных линий уже нельзя пользоваться обычно всегда подразумеваемым условием R《 《cjL, более того, как правило, оказывается, что R》gL. Например, для линии с молибденовыми пленками толщиной 0,3 мкм, разделенными слоем Si()2 толщиной 1 мкм, на частоте 1 ГГц R = 370 Ом/м, a uL = =10,2 Ом/м. Соответственно на частоте 1 ГГц постоянная распространения 7 = а + 7^ = (193,8 + J199,3) м-1 (без учета потерь 7 = 7^ = =J40,6 м-1), а на частоте 10 ГГц 7 = (542 + J713) м-1 (без учета потерь 7 = J406 м-1). Как видно из приведенного примера, микроэлектронную линию уже нельзя считать бездисперсной, поскольку при увеличении частоты в 10 раз мнимая часть постоянной распространения возросла приблизительно в 3,5 раза.

Перейдем к элементарному анализу распределенного усилителя с автоэмиссионными катодами [19, 25]. Элементарность заключается, во-первых, в использовании уравнений LC-цепочек вместо уравнений Максвелла; во-вторых, в том, что вместо комплексного выражения параметра Z。будем использовать только его действительную часть, т. е. пренебрежем влиянием потерь в линии на волновое сопротивление; в-третьих, в выборе простых аппроксимаций для вычисления эквивалентных параметров цепочек; и, наконец, в-четвертых, в выбрасывании из исходных уравнений встречной волны, поскольку, как это следует из анализа вакуумного аналога усилителя, ее влияние на усиление не очень велико.

Из системы уравнений (8.7), (8.8) легко получить уравнение для одной прямой U*, волны, которое имеет вид [19, лекция 6]

+御+ =等⑺. (8.12) ах 2

С учетом потерь в линиях передачи величина // должна быть заменена величиной 7 = а + 7^. Кроме того, во входной линии необходимо учесть активные потери Rg = 1/g, что эквивалентно дополнительному увеличению коэффициента затухания в этой линии на величину Да = =

В предположении U\《U。(U。— статическое напряжение) выражение для линейной плотности тока запишется как

= gU\.(8.13)

Здесь g = g()nw3 — распределенная крутизна, go — крутизна одного эмиттера, п — линейная плотность расположения эмиттеров в решетке, w3 — ширина решетки.

Используя уравнения (8.12) и (8.13), можно записать систему рабочих уравнений распределенного усилителя с автокатодами в виде

~^~ +。•仇 + м + xg^oi/2) Ui = —gZoiUi/2, (8.14)

+ (jBz + &2)U2 = gZo2U"2,(8.15)

ax

где индексы 1 и 2 относятся ко входной и выходной линиям соответственно; 死=1 для включения триодов по схеме с общей сеткой и х = =0 — с общим катодом.

Для оценки волнового сопротивления Z。можно воспользоваться приближенной формулой, предложенной в работе [26]:

У — 377h/о;/q [

0 = 7^1 + 1,735广°，°724(^/向-°，836.丿

Здесь h и w — высота и ширина полосковой линии.

Затухание, связанное с потерями в проводнике (потери в диэлектрике обычно на порядок ниже), можно рассчитать по формуле [27]:

& = h—，4拒，(8.17)

где а измеряется в дБ/мм, h — в мм, / — в ГГц. Значения величины Q приведены в табл. 8.1, а величина q показывает, во сколько раз удельное сопротивление материала полоска больше удельного сопротивления меди.

Таблица 8.1

з 1 h

0,5-1,0

1,0-2,0

〉2,0

0,25

0,2

0,18

Из решения системы уравнений (8.14) и (8.15), дополненной выражениями (8.16) и (8.17), получается следующее выражение для коэффициента усиления К = Рвых/^вх = (U2/U，)2(Z(h/Zo2)：

кк&2 — Mi — 〃i&2 — Mi — 〃i426 — 3426 — 36(a2-Ml -41)/6(a2-Ml -41)/22(8.18)(8.18)

к

к

&2 — Mi — 〃i

&2 — Mi — 〃i

426 — 3

426 — 3

6(a2-Ml -41)/

6(a2-Ml -41)/

2

2

(8.18)

(8.18)

где 〃i,2 = 0,5gZ0i,2, «и = Qi + 0,5xgZ0i.

Чтобы оценить зависимость коэффициента усиления от параметров, разложим экспоненты в формуле (8.18) в ряд с точностью до

членов второго порядка малости. Тогда

К 哭(〃2力)2 卩 一(&2 + Qi + O,5xgZoi + 〃1)①]•(8.19)

Из формулы видно, что за счет возбуждения выходной линии возрастающим по длине током, усиление растет пропорционально (〃2①)？, однако этот параболический рост снижается под воздействием нескольких причин. Первая, самая очевидная — это «холодное» затухание в линиях а】и &2・ Вторая имеет место в схеме с общей сеткой (х = 1) и обусловлена активным характером входного сопротивления триода в этой схеме. Наконец, третья причина связана с возбуждением пучком входной линии. Автоэмиссионный пучок покидает катод полностью промодулированным по плотности, и подобно тому, как он наводит в выходной линии ВЧ-напряжение ^U^ = —Jw3Zq2 = —gw3Zo2^i, точно так же и во входной линии он наводит ВЧ-напряжение △Ui =— —Jw3Zqi = —gw3ZQ\U\. Механизмы возбуждения выходной и входной линий принципиально одинаковы, некоторые различия могут быть вызваны только разной геометрией зазоров между управляющим электродом и анодом и управляющим электродом и катодом.

Возбуждаемое напряжение всегда противофазно возбуждающему его току, следовательно, возбуждамое во входной линии напряжение оказывается противофазным и по отношению ко входному напряжению. Это приводит к тому, что поступающее в эту линию напряжение постепенно уменьшается вдоль длины, что эквивалентно появлению дополнительного затухания △&] = O,5gZoi (электронное затухание) 1).

Вследствие перечисленных причин рост коэффициента усиления, начиная с некоторой длины ж = жтах, сменяется его уменьшением. Величина максимального коэффициента усиления А"тах и значение длины жтах, соответствующее этому максимуму, определяются следующими формулами [19]:

2_2а：2

(「广…「(&20)

①max = 1П (•(8.21)

Характеристики и модификации распределенногоусилителя

Рассмотрим частотные ограничения, накладываемые на коэффициент усиления микроэлектронного распределенного усилителя с авто- эмиссионными катодами. Помимо очевидной зависимости коэффици-

1) В приборах с термокатодом картина принципиально иная: через входной зазор проходит практически немодулированный (по крайней мере, в квази- статическом приближении) пучок, и электронное затухание не наблюдается.

ентов затухания линий от частоты (см. эмпирическую формулу (8.17)), здесь можно говорить о следующем.

Время пролета электронов от катода до анода не должно превышать, по крайней мере, четверти периода колебаний, т. е. /Пр < 1/(4力пр).

Обе LC-цепочки не являются однородными, а составлены из отдельных ячеек. Дискретные цепочки, подобные изображенным на рис. 8.9, представляют собой, как известно, фильтр низких частот, причем частота верхней границы (предельная «резонанасная» частота /г) соответствует резонансу в отдельной ячейке /г = 1 /(2?rVLC), где L = 2 и С = С△/ —значения сосредоточенных параметров одной ячейки, Д/ — длина ячейки.

На высоких частотах, когда поперечные размеры полосковой линии становятся сравнимыми по порядку с длиной волны, возникают поверхностные волны. Эта предельная частота отсечки определяется частотой поперечной электрической поверхностной волны низшего порядка [27]:

с _75

где h измеряется в мм, / — в ГГц.

В заключение приведем оценки предельных частот распределенного усилителя при Ai = 10 мкм, h?]h = 4〉vj]h\ = 0,4 [19] (геометрические параметры б] и 九2 показаны на рис. 8.10).

Пролетная предельная частота /Пр = 250 ГГц для U = 300 В.

Резонансная предельная частота 力=1,2 ТГц при е = 4,0.

Предельная частота отсечки /от = 1,1 ТГц при 九2 = 40 мкм.

Рассмотрим теперь, какие значения крутизны микротриодов обеспечивают приемлемое усиление прибора. На рис. 8.11 представлены зависимости Gmax (в дБ) и ①max от крутизны, причем по оси абсцисс нанесены значения меток как для крутизны одного микротриода go, так и для распределенной крутизны g. Самые верхние кривые А на этих графиках построены без учета электронного затухания во входной линии. Для кривых В и С это затухание учитывается, причем кривые В относятся к схеме с общим катодом, а кривые С — к схеме с общей сеткой. Из графиков можно сделать следующие внводь匸 во-первых, с ростом крутизны усиление растет (что вполне очевидно); во-вторых, учет электронного затухания принципиально необходим (иначе получаются неоправданно оптимистичные результаты); в-третьих, наличие активной проводимости в схеме с общей сеткой роковым образом сказывается на ее усилении и делает эту схему, по крайней мере пока, малоперспективной. Из анализа успехов катодной электроники за последние несколько лет следует, что значения go = 10 мкС/острие, при которых появляются удовлетворительные значения усиления, пока считаются достаточно высокими и достигаются только на уникальных образцах.

Что касается влияния геометрических параметров на коэффициент усиления микроэлектронного распределенного усилителя, то уменьшение ширины полоска сначала увеличивает коэффициент усиления за счет возрастания Zq, но при дальнейшем уменьшении ширины коэффи-

Рис. 8.11. Зависимости Gmax И)тах ОТ КруТИЗНЫ При W = 5 МКМ, W9 = =500 мкм, / = 10 ГГц, е = 4 (геометрические параметры hi и h^ показаны на рис. 8.10). Кривая А построена без учета электронного затухания в схеме с общим катодом; В — без учета электронного затухания в схеме с общей сеткой (или с учетом электронного затухания в схеме с общим катодом); С — с учетом электронного затухания в схеме с общей сеткой (из работы [19])

циент усиления начинает падать вследствие роста потерь. Увеличение высоты выходной линии ведет к увеличению коэффициента усиления вследствие роста Zq, но при условии, что постоянная составляющая автоэмиссионного тока не меняется, например, за счет пропорционального изменения анодного напряжения при изменении величины 九2・

Зависимость коэффициента усиления от длины представлена на рис 8.12 а. Хорошо видны область насыщения и дальнейшего падения коэффициента усиления вследствие влияния потерь. На рис 8.12 6 приведены частотные характеристики усилителя для разных значений потерь в линиях (в данном случае — для линий, изготовленных из разных материалов — меди и молибдена). Поскольку здесь выбрана частотная область, далекая от предельных частот, и предполагается полный синхронизм между линиями, то единственными частотно-зависимыми величинами являются потери в линиях, и поведение частотных характеристик определяется именно этими потерями.

Из всех этих графиков следует, что усиление распределенного усилителя для достигнутых пока параметров автоэмиссионных решеток

Рис. 8.12. Зависимости коэффициента усиления от длины (а) и частоты (б) для пленок из различных материалов (меди Си и молибдена Мо)

Рис. 8.13. Усовершенствованные модификации распределенного усилителя крайне невелико. Становится ясным, что пока параметры автоэмисси- онного триода не будут кардинально улучшены, трудности, связанные с созданием распределенного усилителя, будут носить принципиальный характер — слишком неустойчивое равновесие противоречивых или взаимоисключающих факторов должно быть при этом достигнуто.

Более усовершенствованные конструкции, в которых сделана попытка преодоления некоторых из этих противоречий, показаны на рис. 8.13 а [28] и рис. 8.13 5 [29]. Вместо простейших несимметричных полосковых линий здесь используются две отдельные квазисимметрич- ные линии (на рис. 8.13 а линии в волноводе), разделенные металлическим экраном и включенные по схеме с общим катодом. Значительно увеличен объем выходной линии, причем в конструкции на рис. 8.13 5 в верхнем полоске анодной линии делается широкий продольный разрез так, чтобы электроны собирались не на аноде, а на расположенном за анодом коллекторе. Благодаря такому разделению функций анода и коллектора удалось существенно уменьшить расстояние между анодом и катодом при сохранении большого объема пространства взаимодействия, что позволяет решать проблему теплоотвода без ущерба для основных параметров устройства. Здесь же сделан переход от многоострийного катода к лезвийным эмиттерам, которые, как было показано, обладают более высокими эмиссионными свойствами по сравнению с решетками конусных эмиттеров, более стабильны и устойчивы в работе.

Возможной полезной модификацией микроэлектронного распределенного усилителя может стать распределенный умножитель частоты. Действительно, при подаче на вход усилителя чисто гармонического сигнала, если амплитуда этого сигнала не слишком мала, анодный ток распределенного усилителя имеет в своем составе, помимо основной, еще и высшие гармонические составляющие, причиной появления которых является сильная нелинейность анодно-сеточной характеристики. Это позволяет без каких-либо особых переделок использовать автоэмиссионный усилитель в качестве умножителя частоты. Провести строгое аналитическое разложение в ряд Фурье анодного тока, подчиняющегося закону Фаулера-Нордгейма, невозможно; но в работе [30]

приведено приближенное выражение для гармоник тока. Оно имеет вид

2ехр[—,(8.22)

(8.23)(8.23)где Qi = (dli/dU) /(//U) — динамическая крутизна вольтамперной характеристики триода, Umax — максимальное напряжение на зазоре. В достаточно типичном случае величина qi 〜4 4- 6. Относительный коэффициент усиления распределенного усилителя для каждой гармоники можно оценить как [19]

(8.23)

(8.23)

Результаты расчета относительного коэффициента усиления умно- жи并ля для 2 4- 4-й гармоник приведены в табл. 8.2 [19].

Таблица 8.2

Коэффициент умноженияОтносительный коэффициентусиленияКоэффициент умноженияОтносительный коэффициентусиления2342340,54-0,610,28-0,43 0,12-0,240,54-0,610,28-0,43 0,12-0,24

Коэффициент умножения

Относительный коэффициентусиления

Коэффициент умножения

Относительный коэффициентусиления

234

234

0,54-0,610,28-0,43 0,12-0,24

0,54-0,610,28-0,43 0,12-0,24

Интересной и важной разновидностью распределенного усилителя, в которой используются идеи и решения, полученные в классической вакуумной СВЧ-электронике, является клистрон бегущей волны с решеткой автоэмиттеров [49].

Клистрон бегущей волны обсуждался нами в лекции 11 первого тома. Напомним, что он представляет собой обычный пролетный клистрон, у которого входной и выходной резонаторы заменены волноводами, а пушка — распределенным вдоль волновода катодом или набором пушек (многолучевой клистрон бегущей волны). В микроэлектронной модификации клистрона бегущей волны, как и в распределенном усилителе, в качестве волноведущих систем используются полосковые линии, а распределенным катодом является матрица автоэмиттеров (рис. 8.14). Получившаяся схема отличается от схемы распределенного усилителя только участком дрейфа между полосковыми линиями, ко-

Рис. 8.14. а — схема автоэмиссионного клистрона бегущей волны с двумя полосковыми линиями: 1 — матрица автоэмиттеров, 2 — входная линия, 3 — область дрейфа, 4 — выходная линия, 5 — анод; б— распределения полей во входной (Д) и выходной (В) полосковых линияхРис. 8.14. а — схема автоэмиссионного клистрона бегущей волны с двумя полосковыми линиями: 1 — матрица автоэмиттеров, 2 — входная линия, 3 — область дрейфа, 4 — выходная линия, 5 — анод; б— распределения полей во входной (Д) и выходной (В) полосковых линиях

Рис. 8.14. а — схема автоэмиссионного клистрона бегущей волны с двумя полосковыми линиями: 1 — матрица автоэмиттеров, 2 — входная линия, 3 — область дрейфа, 4 — выходная линия, 5 — анод; б— распределения полей во входной (Д) и выходной (В) полосковых линиях

Рис. 8.14. а — схема автоэмиссионного клистрона бегущей волны с двумя полосковыми линиями: 1 — матрица автоэмиттеров, 2 — входная линия, 3 — область дрейфа, 4 — выходная линия, 5 — анод; б— распределения полей во входной (Д) и выходной (В) полосковых линиях

торый может оказаться полезным для увеличения коэффициента усиления —как за счет дополнительной группировки, возникающей из- за модуляции по скорости, так и за счет повышения эффективности взаимодействия в выходной линии.

Задавая «холодные» поля во входной линии, легко рассчитать сгруппированный ток электронного потока на выходе из пространства дрейфа, предполагая, что на катоде справедлив закон Фаулера- Нордгейма, а затем найти поле, возбужденное сгрупированным потоком в выходной линии. Рассмотрим основные соотношения, описывающие в линейном приближении процессы взаимодействия в автоэмисси- онном клистроне бегущей волны [25].

Поле во входной линии Е = Е± -\- (Е± /Eq) cos (g力—/д)] вызывает появление автоэмиссионного тока, который в предположении Е± /Eq《 《1 (Ei п Eq — соответственно высокочастотная и статическая компоненты электрического поля) имеет вид [19]

/ /о 1 + 宇(3) + "1 mcos ("力一户沙)+

+ 岑(3) cos[2(G£ — /g)], (8.24)

где /о ——средний ток всей решетки автоэмиссионных триодов, qi = =Eo/ig//o, 02 = 1 +(Qi — I)?, g — динамическая проводимость в точке U = E()h. Начальные условия на входе в пространство дрейфа таковь匸 начальная модуляция по току

/о = “о) COS(G力 1 - Gg), начальная модуляция по скорости

万=少(0) cos (g力 1 — /g + W).

В пространстве дрейфа (см. рис. 8.14 а) можно записать

t = ti + —, 少= °о + 少(0) cos (g力 1 — /g + W).

При выполнении условия 少(0)《 少° последнее соотношение можно переписать в виде

力=力1 + 上 1 — ^^ cos 力 1 — /д + W).

Тогда для первой гармоники /1 сгруппированного тока получается следующее выражение:

Л =財0) + 2/(0) Ji(①°) exp {—j(8eX + W — 7г/2)}] exp O(g力一户沙)},

(8.25) где Ji(с0) - функция Бесселя, xv =(G力/00)(少(0)/00).

Напряженность электрического поля моды с индексом s выходного волновода определяется формулой

石(伤 g,力)=Cs(g)E；(①)exp {-j/3sy} ,(8.26)

где

d+%2

Cs(y) = У^ I I 了1(犷，沙‘)exp OGs"} dx'dy', (8.27)

d

откуда

|G『Ns = /^“(0)/ ® ”0)、

4— 4M [[/(0)丿 + /(0) 1 Vo ^o 丿

3d o(O)Do Do3d o(O)Do Do(8.28)(8.28)

3d o(O)

Do Do

3d o(O)

Do Do

(8.28)

(8.28)

d+%2

где Ms = J 石(①')dx\ / ^ /s, Ns — норма собственной волны с номером s. Выражение для максимальной мощности записывается как

Лпах =曾[黑 +2J1 U 吗Г(8.29)

44N$\ v0 v0 J

В режиме максимального КПД амплитуда высокочастотного напряжения 1/1 должна быть близка к постоянному напряжению Uu, чтобы не допустить возвратного движения электронов. В этом случае

iGmaxlAfs 〜Uo,(8.30)

Лпах =+ 2上.(8.31)

Первые слагаемые в правых частях выражений (8.31) описывают взаимодействие, связанное с процессом сеточной модуляции, когда г(0)// = g\E\h11. Вторые слагаемые описывают чисто клистронные эффекты. Начальная модуляция по скорости может быть определена стандартным образом:少(0)/少° = {Е\〔Eq . Учет электронного затухания, как и в случае распределенного усилителя, приводит к тому, что амплитуда высокочастотного напряжения во входной линии убывает по длине, вызывая прекращение нарастания поля в выходной линии (см. рис. 8.14 5, построенный по результатам численного расчета [31]). Чтобы повысить эффективность прибора, целесообразно, как и в классическом клистроне бегущей волны, ввести промежуточную полосковую линию (рис. 8.15 а). Для объяснения необходимости введения такой линии достаточно вспомнить, что в обычном клистроне для компенсации разгруппировки сгустка (а разгруппировка сгустка происходит всегда вследствие действия сил пространственного заряда) между входным и выходным резонаторами помещают дополнительный резонатор (см. лекцию 5 первого тома). Если частота резонатора равна частоте входного сигнала, то сгустки будут возбуждать этот резонатор так же, как и выходной, и разгруппировываться. Для того чтобы этот резонатор не отбирал энергию у сгустка, необходимо, чтобы его сопротивление

Рис. 8.15. а — схема автоэмиссионного клистрона бегущей волны с промежуточной полосковой линией 5 (остальные обозначения совпадают с обозначениями рис. 8.14 а) (ср. с рис. 11.15 тома 1); б— распределения полей в промежуточной (А) и выходной (В) полосковых линияхРис. 8.15. а — схема автоэмиссионного клистрона бегущей волны с промежуточной полосковой линией 5 (остальные обозначения совпадают с обозначениями рис. 8.14 а) (ср. с рис. 11.15 тома 1); б— распределения полей в промежуточной (А) и выходной (В) полосковых линиях

Рис. 8.15. а — схема автоэмиссионного клистрона бегущей волны с промежуточной полосковой линией 5 (остальные обозначения совпадают с обозначениями рис. 8.14 а) (ср. с рис. 11.15 тома 1); б— распределения полей в промежуточной (А) и выходной (В) полосковых линиях

Рис. 8.15. а — схема автоэмиссионного клистрона бегущей волны с промежуточной полосковой линией 5 (остальные обозначения совпадают с обозначениями рис. 8.14 а) (ср. с рис. 11.15 тома 1); б— распределения полей в промежуточной (А) и выходной (В) полосковых линиях

было реактивным, а для того чтобы он догруппировывал пучок, эта реактивность должна иметь индуктивный характер (ток отстает по фазе от поля). Действительно, при этом, как видно из рис. 8.16, поле

Рис. 8.16. Группировка электронов в клистроне бегущей волны вблизи точки с фазой 7ГРис. 8.16. Группировка электронов в клистроне бегущей волны вблизи точки с фазой 7Грезонатора увеличивает скорость быстрых электронов и уменьшает скорость медленных электронов. Получить такой характер сопротивления можно некоторой расстройкой резонатора, а именно, увеличив его собственную частоту по сравнению с частотой основных резонаторов.

Рис. 8.16. Группировка электронов в клистроне бегущей волны вблизи точки с фазой 7Г

Рис. 8.16. Группировка электронов в клистроне бегущей волны вблизи точки с фазой 7Г

В случае клистрона бегущей волны аналогичный эффект отставания фазы тока от фазы поля в промежуточной линии достигается путем изгиба оконечной части этой линии (см.

рис. 8.15 а). Электронные сгустки, влетающие на начальном участке линии, возбуждают в ней некоторое поле; сгустки, влетающие на изогнутом участке, отстают по фазе от этого поля (потому что им приходится дольше лететь до линии) и получают дополнительную модуляцию по скорости, которая усиливает группировку в дрейфе после

промежуточной линии. В результате удается существенно повысить скорость нарастания поля в выходной линии (рис. 8.15 6). Поскольку

амплитуда переменного напряжения в выходной линии не должна превышать потенциал пучка Ui (иначе, вследствие возврата электронов, КПД начнет уменьшаться), на оконечном участке выходной линии ее волновое сопротивление искусственно уменьшают, хотя бы путем сужения линии. Для такой схемы получен расчетный КПД порядка 30 % и коэффициент усиления 23 дБ в достаточно широком динамическом диапазоне входных сигналов [19].

Интересная идея модернизации распределенного усилителя была предложена в работах [32, 33]: увеличение усиления с помощью эффекта отрицательного электронного сопротивления. Известно, что при про-

^Hoo^s«omo& tertssmossMO X^Hoo^s«omo& tertssmossMO XРис. 8.17. Зависимости нормализованной электронной проводимости от угла пролета для монотрона (а) и для диода с автоэмиссионным распределенным катодом (6)Рис. 8.17. Зависимости нормализованной электронной проводимости от угла пролета для монотрона (а) и для диода с автоэмиссионным распределенным катодом (6)qHQowKHOmodu KBHHBWO 驚sImwdoHqHQowKHOmodu KBHHBWO 驚sImwdoH

^Hoo^s«omo& tertssmossMO X

^Hoo^s«omo& tertssmossMO X

Рис. 8.17. Зависимости нормализованной электронной проводимости от угла пролета для монотрона (а) и для диода с автоэмиссионным распределенным катодом (6)

Рис. 8.17. Зависимости нормализованной электронной проводимости от угла пролета для монотрона (а) и для диода с автоэмиссионным распределенным катодом (6)

qHQowKHOmodu KBHHBWO 驚sImwdoH

qHQowKHOmodu KBHHBWO 驚sImwdoH

лете электронного пучка со скоростью 少° через диодный промежуток длиною /, к которому приложено ВЧ-поле частоты g, возможно либо ослабление, либо усиление этого поля в зависимости от значения угла пролета электронов J = g//。。. Например, при значениях угла пролета в пределах (2,0 4- 2,8)тг сгруппированный в пучке ВЧ-ток и ВЧ-поле оказываются в противофазе, мощность взаимодействия между ними становится отрицательной и энергия пучка передается ВЧ-полю, что описывается как появление отрицательного электронного сопротивления. Созданный на этом принципе генератор получил название «монотрон» [34]. Приборы этого типа занимают промежуточное положение между приборами со статическим управлением электронным потоком (различные триодные структуры, в том числе и распределенный усилитель), в которых угол пролета близок к нулю, и между приборами с длительным взаимодействием и большими углами пролета электронов, например, ЛБВ или ЛОВ.

Подобный тип автоэмиссионного устройства со «средним» углом пролета В.А. Солнцев [32] предлагает назвать «политрон», акцентируя внимание на богатстве спектра автоэмиссионного потока. В политроне входной сигнал подается в сеточно-анодную линию. Если высота этой линии составляет 20-100 мкм, то значение угла пролета, соответствующее максимуму мощности взаимодействия и равное 2,5тг, реализуется в частотном диапазоне 120-1000 ГГц при сеточном (вытягивающем) напряжении 200-500 В. Основным недостатком политрона является необходимость использования катодов с очень высокой плотностью тока— порядка 50-100 А/см2. В работе [33] показано, что характеристики политрона можно улучшить путем замедления электронного потока между сеткой и анодом.

Возможна также диодная конструкция, совершенно аналогичная обычному монотрону, в котором термокатод заменен решеткой авто-

эмиссионных катодов. Поскольку эмиссия в этом случае определяется ВЧ-полем, в пространство взаимодействия поступает уже промодули- рованный по плотности пучок, и ему не надо ни тратить время на группировку, ни забирать на это энергию у поля. Поэтому угол пролета, соответствующий максимуму отрицательной электронной проводимости уменьшается по сравнению с обычным монотроном с 2,5тг до 1,5тг, а само значение этого максимума существенно возрастает, как показано на рис. 8.17 5, взятом из работы [35].

К сожалению, полученные результаты справедливы только для однородного высокочастотного поля, когда расстояние между анодной и катодной плоскостями значительно превышает высоту катодов. Но в этом случае напряжение, при котором возникает автоэмиссия, должно быть слишком большим. В работе [36] предлагается вместо чисто катодных решеток использовать спиндтовские решетки катодов с управляющими электродами. Дело в том, что при обычной толщине управляющих электродов порядка 0,2 мкм эта толщина на сверхвысоких частотах оказывается значительно меньше толщины скин-слоя (3 мкм для молибдена), и пленка управляющих электродов становится прозрачной для СВЧ-полей, которые существуют между анодом и катодом. Так как управляющий электрод находится вблизи катода, автоэмиссия возникает при невысоких величинах статического напряжения на этом электроде, а высокочастотное поле между анодом и катодом модулирует этот процесс автоэмиссии. Как отмечается в работе [36], приборы со «средним» углом пролета имеют обещающие перспективы и способны занять свое место между твердотельными и традиционными вакуумными приборами.

Вакуумная электроника и электроника СВЧ: возвратк истокам

Несмотря на большие успехи и очевидные перспективы вакуумной микроэлектроники, следует признать, что достигнутые на сегодня значения параметров автоэмиссионных катодов оказываются недостаточными для практической реализации традиционных микроэлектронных схем сверхвысокочастотных устройств, использующих схему распределенного усилителя (триодное взаимодействие). В основном это обусловлено большими возрастающими с частотой потерями в микрополосковых линиях. Поэтому, несмотря на, казалось бы, «генетическую» предрасположенность микроэлектронных устройств к миллиметровому и субмиллиметровому диапазону, лучшие экспериментальные образцы распределенных усилителей пока не выходят за пределы 10 十 20 ГГц.

В поисках новых возможностей расширения частотного диапазона вакуумная микроэлектроника, естественно, обращается к идеям и методам электроники СВЧ, активно разрабатывая микроэлектронные аналоги и модификации хорошо известных и зарекомендовавших себя электронных СВЧ-приборов. Тот простой принцип, который вакуумная микроэлектроника может заимствовать у электроники СВЧ, есть принцип длительного взаимодействия, когда скорости движения элек-

тромагнитной волны и электронов (а точнее, электронных сгустков) близки друг другу. За счет этого электроны достаточно длительное время находятся под воздействием поля волны, в отличие от клистрона или распределенного усилителя, где такое воздействие кратковременно.

Реализовать подобное взаимодействие можно, уменьшая скорость волны с помощью замедляющих систем. Конкретная модификация замедляющих систем в существенной мере определяется геометрией электронного потока или геометрией катода. В лампах с круглым, эллиптическим или трубчатым пучком используются обычно аксиальносимметричные системы — круглые спирали, цепочки круглых связанных резонаторов; в лампах с плоским пучком или плоским катодом применяются плоские системы — меандры, гребенки, встречные штыри, лестницы и т. п.

Если попытаться классифицировать сверхвысокочастотные приборы с распределенным взаимодействием по степени их конструктивного сходства с наиболее органичным для вакуумной микроэлектроники (и в некотором смысле эталонным) устройством — распределенным усилителем, то, по-видимому, таковой окажется классификация по относительной длине электронных траекторий (по отношению к расстоянию между входом и выходом замедляющей системы) 1). С этой точки зрения распределенные СВЧ-приборы можно условно разделить на следующие три рругшь匚

приборы с длинными электронными траекториями — лампы бегущей и обратной волны О-типа;

приборы, в которых длина траекторий уменьшается в процессе взаимодействия за счет выхода электронов на анод — лампы со скрещенными полями с разомкнутым электронным потоком (ЛБВМ, ЛОВМ, дематрон);

приборы с короткими электронными траекториями — лампы со скрещенными полями с замкнутым электронным потоком (амплитрон, магнетрон) и лампы с поперечным взаимодействием.

Рассмотрим несколько предварительных соображений, которые относятся к любым микроэлектронным модификациям электронных СВЧ-приборов и касаются соотношений размеров замедляющих систем и длины волны, вопросов фокусировки электроннного потока и компоновки автоэлектронных эмиттеров в СВЧ-приборе [19].

Из естественного требования, чтобы СВЧ-приборы вакуумной микроэлектроники оставались, по возможности, низковольтными, следует, что для обеспечения взаимодействия с низкоскоростным электронным потоком замедляющие системы этих приборов должны обладать большим замедлением п. Так, например, ускоряющему напряжению

1) В данном случае мы пользуемся упрощенным понятием электронной траектории как усредненной по периоду ВЧ-поля траектории «крупной частицы» (мысленного образования, аппроксимирующего группу из большого числа электронов с близкими начальными условиями).

V = 300 十 400 В соответствует замедление п = 30 4- 25. Для обычных устройств такое замедление возможно, как правило, лишь на высших пространственных гармониках. К счастью, технологические особенности изготовления микроминиатюрных замедляющих систем, а именно, обязательное наличие диэлектрической подложки, позволяют получить требуемое замедление даже на основной гармонике.

Исходя из специфики микроэлектронной технологии, можно предположить, что в микроэлектронных СВЧ-устройствах будут, в основном, использоваться плоские замедляющие системы, расположенные на диэлектрической подложке вблизи одной из стенок полосковой линии или прямоугольного волновода. Минимальная длина волны Amin в этом случае определяется из условия, что на поперечной длине ячейки замедляющей системы w укладывается четверть длины волны: Amin = =4w, при этом в ячейках замедляющей системы возникает резонанс, который соответствует верхней (по частоте) границе полосы пропускания. Нижняя граница полосы появляется в том случае, когда замедляющая система расположена в волноводе, и определяется расстоянием между боковыми металлическими стенками волновода (в полосковой линии она отсутствует). Тем не менее, слишком далеко уходить от верхней границы полосы не имеет смысла, так как при этом в области, занятой пучком, сопротивление связи значительно уменьшается. Обычно удаление от верхней границы полосы не превышает значения 2 4- 4Amin, так что в качестве рабочей длины волны можно взять значение А = =2 4- 4Amin В этом случае ширина замедляющей системы определяется выражением w Х/(8 4- 12).

Период замедляющей системы р = w/к, где величина к, называемая геометрическим замедлением, обычно не превышает значения к = =10 4- 14. Таким образом, для длины волны А = 1 мм и е = 6 ширина w и период р замедляющей системы оказываются заключенными в пределах w « 30 4- 50 мкм, р ^ 2,5 4- 5,0 мкм. Эти величины возрастают пропорционально увеличению длины волны.

Одной из сложных проблем, которые возникают при микроминиатюризации электронных СВЧ-приборов, является проблема фокусировки электронного потока. Фокусировка должна скорректировать начальную расходимость электронных траекторий, связанную с тем, что электроны вылетают из катода по радиусам в растворе конуса с углом а, и скомпенсировать расталкивающие силы пространственного заряда. Наиболее удобной и простой является фокусировка в статическом продольном магнитном поле. Оценим минимальную величину фокусирующего магнитного поля 8。в предположении, что силами пространственного заряда можно пренебречь. Если при влете в область магнитного поля со скоростью 少° электрон имеет поперечную скорость 少丄=少otga, то радиус его циклотронного вращения R = vq tga/cjc, где Gc — циклотронная частота. Учитывая, что 少° = y/2eU/m, легко получить выражение для минимального магнитного поля 6。min, при котором отклонение электрона от осевого положения не превышает

величину 足

о _ , y/2eU/m

石0 min 一 tg Q ^ •

Фокусировка пучка должна обеспечить его прохождение вблизи замедляющей системы с нулевым токооседанием. Поскольку при удалении от замедляющей системы сопротивление связи резко уменьшается, не рекомендуется удалять край пучка от замедляющей системы на расстояние большее четверти периода замедленной длины волны (А < < А/(2п)), откуда следует, что

Во min = 1.348 • 10-2П tgQ^^.

В этом соотношении Bq min измеряется в теслах, U — в вольтах, А — в миллиметрах. Из полученной оценки следует, что в миллиметровом диапазоне удовлетворительная фокусировка пучка достигается при довольно умеренных значениях индукции магнитного поля Bomin < 1 Т.

Рассмотрим последовательно в этом параграфе различные микроэлектронные аналоги «классических» СВЧ-устройств.

Микроэлектронные СВЧ-приборы с длинными пучками. Конструктивно самыми родственными вакуумной микроэлектронике представляются приборы с короткими траекториями — тем не менее среди первых СВЧ-устройств вакуумной микроэлектроники (помимо распределенного усилителя) оказались именно ЛБВ и ЛОВ О- типа. Первые сообщения о начале разработки микроэлектронных аналогов ЛБВ и ЛОВ О-типа появились еще в середине 80-х гг. По своей принципиальной схеме эти устройства были близки к обычным ЛБВ и ЛОВ, только вместо аксиально-симметричных замедляющих систем в них предполагалось использовать более органичные для микроэлектронной технологии плоские замедляющие системы (лестницы, плоские спирали, плоские гребенки, встречные штыри, меандры и т.п.), а термоэлектронную пушку должна была заменить пушка с решеткой тонкопленочных автоэмиссионных катодов, формирующая пучок, близкий к плоскому.

В нашей стране работы по созданию микроэлектронных приборов О-типа с автоэмиссионными катодами [19, 38, 39] являются продолжением и развитием работ по глубокой миниатюризации вакуумных приборов, основанной на сочетании технических приемов вакуумной и полупроводниковой технологии, которые проводились еще с 60-х гг. Схема одного из подобных приборов — микро-ЛБВ [37] — приведена на рис. 8.18. Электронный пучок, формируемый системой лезвийных катодов с управляющими электродами, проходит вблизи плоской замедляющей системы, расположенной на стенке полосковой линии. Толстыми линиями показаны электронные траектории, полученные в процессе компьютерного расчета этой схемы [19].

Устройства вакуумной СВЧ-микроэлектроники со скрещенными полями [49]. Типичная схема усилителя со скрещенными электрическим Eq и магнитным Bq статическими полями показана на

Рис. 8.18. Схематическое изображение планарной электронно-оптической системы микро-ЛБВ (из работы [37])

рис. 8.19. В верхней плоскости размещается замедляющая система, находящаяся под положительным потенциалом Ua относительно нижней плоскости, в которой расположен распределенный катод. Вылетающие с катода электроны вращаются с циклотронной частотой шс, а центр их вращения дрейфует в направлении к аноду или катоду. В обычных режимах радиус вращения невелик, и под электронной траекторией понимают только траекторию центра вращения. На рис. 8.19 пунктиром показаны силовые линии ВЧ-поля, а контурными стрелками — силы, действующие на электроны. Под действием этих сил в тормозящих фазах электрического поля электронные траектории (сплошные кривые) сгущаются и приближаются к аноду, вследствие чего потенциальная энергия электронов переходит к высокочастотному электромагнитному полю.

В микроэлектронном аналоге усилителя принципиальная конструкция не меняется, только в нижней плоскости помещается распределенный автоэмиссионный катод, представляющий собой либо решетку спиндтовских эмиттеров, либо набор клиновидных эмиттеров с вер-

Рис. 8.19. Схема усилителя со скрещенными полями: 1 — катодная плоскость с автоэмиттерами; 2 — замедляющая система

тикальными электродами, к которым прикладывается вытягивающее напряжение, либо просто массив неупорядоченных эмиттеров.

Остановимся на особенностях микроэлектронной конструкции по отношению к «классической» схеме усилителя М-типа. Электроны, вылетающие с катода, имеют радиус вращения R =少o/gc и статическую скорость дрейфа 少° = Ео/Во. Предполагая, что эта скорость близка к скорости волны в замедляющей системе 少小=с/n, с учетом обозначения г = R/h, можно получить следующие соотношения для основных электрических параметров [19]:

〃 _ с2m _ 5,11 • 105 口 _ Зет _ 0,036/ U a -2 -2 ，"° —— _

ernrneY拉厂

где напряжение измеряется в вольтах, магнитное поле — в теслах, частота— в гигагерцах. Собственно говоря, выражения (8.32) справедливы для приборов любых размеров, специфичной же для микроэлектронных конструкций является область значений г, А и п. В «классических» конструкциях, как правило, радиус циклотронного вращения невелик: R《h или『《1. Это и позволяет использовать так называемое дрейфовое (или адиабатическое) приближение (см. лекцию 7 первого тома) и вместо реального движения электронов рассматривать движение центров их орбит, «подправленное» усредненными эффектами вращения за один циклотронный период. Этот режим, как правило, является наиболее оптимальным для обычных приборов со скрещенными полями. В микроэлектронной конструкции величина h невелика и «циклотронный» диаметр может сравниться с ней или стать больше. Для реализации адиабатического режима, как следует из формул (8.32), нужно увеличить магнитное поле.

Как показывают расчеты [19], уже при значениях г < 0,1 (пока еще имеет смысл говорить о дрейфовом приближении) величина Bq в диапазоне частот /〜10 4- 100 ГГц становится очень большой, так что практически оказывается нереализуемой. Таким образом, в микроэлектронных приборах, по-видимому, не имеет смысла говорить о дрейфовом приближении и разделять движение электронов на вращательное и дрейфовое, а нужно рассматривать их движение в целом. Этот режим, называемый режимом слабых магнитных полей, является малоисследованным, хотя для автоэмиссионных приборов именно он и представляет особый интерес. Минимально возможные значения Uamin и Bq min в этом режиме можно получить из формулы (8.32) в предположении, что электрическая высота пространства взаимодействия 丫卜=g/z/^o < 4 и г < 0,5:

иаиа1,2 • 1061,2 • 106~2П~2ПВо = 0,018/.Во = 0,018/.(8.33)(8.33)

иа

иа

1,2 • 106

1,2 • 106

~2П

~2П

Во = 0,018/.

Во = 0,018/.

(8.33)

(8.33)

Значения Uamin и Bq min приведены в табл. 8.3 и 8.4.

Из табл. 8.3 видно, что поскольку в микроэлектронной конструкции анодное напряжение не должно быть слишком большим, необходимо использовать замедляющие системы с большим замедлением или

34 Трубецков, Храмов

Таблица 8.3

Замедление (п)Замедление (п)102040102040

Замедление (п)

Замедление (п)

102040

102040

Ua min, кВUa min, кВ10,22,550,6410,22,550,64

Ua min, кВ

Ua min, кВ

10,22,550,64

10,22,550,64

Таблица 8.4

/, ГГц

10

50

100

200

400

^0 min, Т

0,18

0,9

1,8

3,6

7,2

работать на высших пространственных гармониках. Таким образом, нормальным замедлением для подобных приборов следует считать замедление, по крайней мере, большее 30.

Из табл. 8.4 следует, что главным фактором, ограничивающим продвижение приборов со скрещенными полями в область коротких миллиметров и в субмиллиметровую область, оказывается магнитное поле.

Высоту пространства взаимодействия h можно оценить из следующих соображений. Для того, чтобы электроны еще могли «чувствовать» поле замедляющей системы, электрическая высота пространства взаимодействия Yh должна быть не очень большой, а именно Yh < < 4,0. В диапазоне частот 50 4- 200 ГГц для «нормальных» замедлений

Рис. 8.20. Зависимость коэфициента усиления для усилителя со скрещенными полями от безразмерной длины пространства взаимодействия /Зе)： 1 —— с учетом оседания электронов на катод; 2 — без учета оседанияРис. 8.20. Зависимость коэфициента усиления для усилителя со скрещенными полями от безразмерной длины пространства взаимодействия /Зе)： 1 —— с учетом оседания электронов на катод; 2 — без учета оседаниявысота пространства взаимодействия имеет значения 50 4- 100 мкм, т. е. достаточно типичные для вакуумной микроэлектроники.

Рис. 8.20. Зависимость коэфициента усиления для усилителя со скрещенными полями от безразмерной длины пространства взаимодействия /Зе)： 1 —— с учетом оседания электронов на катод; 2 — без учета оседания

Рис. 8.20. Зависимость коэфициента усиления для усилителя со скрещенными полями от безразмерной длины пространства взаимодействия /Зе)： 1 —— с учетом оседания электронов на катод; 2 — без учета оседания

Рассмотрим некоторые характеристики микроэлектронного усилителя со скрещенными полями, следуя работе [19, лекция 8].

На рис. 8.20 приведены две кривые, отражающие зависимость коэффициента усиления от длины лампы. Кривая 1 построена при условии, что элек

троны, попадающие на катод, считаются поглощенными катодом и выбывают из дальнейшего расчета, а кривая 2— в предположении, что попавшие на катод электроны не поглощаются им и могут снова участвовать в процессе взаимодействия. Интересным оказывается то, что в первом случае и скорость нарастания коэффициента усиления, и его максимальное значение оказываются выше, чем во втором. Это связано с циклоидальным характером движения электронов, когда каждый электрон периодически приближается к катоду. При этом электроны, находящиеся в неблагоприятной

Рис. 8.21. Зависимости максимального коэффициента усиления Gmax и длины Qmax = «е)тах, соответствующей максимуму усиления, от безрамерных параметров: входного сигнала (а) и затухания (б)

(ускоряющей) фазе поля, опускаются и поглощаются катодом. Таким образом, уже с самого начала пучок становится промодулированным по плотности (кривая 1) и взаимодействует с полем гораздо эффективнее, нежели в случае, когда подобная модуляция отсутствует (кривая 2).

На рис. 8.21 построены зависимости максимального коэффициента усиления Gmax и длины /еСтах, на которой этот коэффициент достигается, от безразмерных параметров: амплитуды входного сигнала Fq (рис. 8.21 а) и параметра затухания в линии передачи d (рис. 8.21 б).

Знание этих зависимостей позволяет рассчитывать характеристики автоэмиссионной ЛБВ М-типа для размерных параметров. Расчет [19] показывает, что даже для сравнительно больших величин затухания усиление достигает вполне приемлимых значений 20 2 25 дБ при линейных плотностях тока Jq ~ 0,01 4- 0,03 А/мм, которые вполне реальны для нынешнего уровня развития автоэмиссионной микроэлектроники.

Наиболее важной для рассматриваемого прибора является проблема теплоотвода. Полный ток с катода автоэмиссионного усилителя со скрещенными полями составляет 30 4- 90 мА, что дает для постоянной мощности значения 18 2 54 Вт. Поскольку КПД прибора не превышает 40 2 50 %, оказыватся, что в объеме менее одного кубического миллиметра нужно рассеять 10 2 30 Вт тепловой мощности. Выход может быть найден при использовании открытых колебательных систем, в связи с чем вызывает интерес автоэмиссионный оротрон со скрещенными полями.

Оротрон (см. лекцию 15 первого тома) представляет собой генератор высокочастотных колебаний. Существенной его частью является открытый резонатор, образованный вогнутым и плоским зеркалами, расстояние между которыми значительно превышает длину волны. Между зеркалами могут существовать высокодобротные колебания. Вблизи плоского зеркала, находится периодическая структура на диэлектрической опоре, само плоское зеркало является катодной плоскостью, на которой размещается решетка или неупорядоченный массив 34*

Рис. 8.22. а — схема автоэмиссионного оротрона: 1 — автоэмиссионный катод, 2 — замедляющая система, 3 — открытый резонатор; б— кривые постоянного КПД и постоянного замедления автоэмиссионного оротрона на плоскости Jo/

автоэлектронных эмиттеров (рис. 8.22 а). Геометрия области взаимодействия и распределение статических полей совершенно такие же, как у только что рассмотренного усилителя со скрещенными полями. Уравнения движения и возбуждения также остаются прежними, но распределение по длине амплитуды ВЧ-поля, которое в усилителе являлось искомой функцией, теперь определяется геометрией резонатора. Электроны взаимодействуют с синхронной пространственной гармоникой электрического поля замедляющей системы. Распределение поля в оротроне оказывается не очень оптимальным, поскольку в конце прибора, где группировка пучка максимальна, амплитуда поля оказывается небольшой. Основной характеристикой оротронаявляется КПД. Известно, что высокие значения КПД в обычном оротроне достигаются в режиме очень большой мощности (порядка десятков киловатт), обеспечивающей высокий уровень группировки и взаимодействия пучка даже при неоптимальном пространственном распределении поля. В микроэлектронном оротроне такой режим, естественно, невозможен, и значения КПД не поднимаются выше 20 2 25 %. На рис. 8.22 5 представлены результаты расчета [40] линий постоянного КПД в координатах «линейная плотность тока с автокатода» и «частота генерации». Важно отметить, что вплоть до частот порядка 40 ГГц требуемые значения линейной плотности тока оказываются вполне реальными.

Полученные результаты теоретических исследований автоэмиссионного оротрона свидетельствуют о перспективности использования открытых резонаторов для конструирования приборов вакуумной микроэлектроники высокой и средней мощности миллиметрового диапазона.

Лампа с поперечным взаимодействием — прошлое и будущее распределенного усилителя. Схема лампы с поперечным взаимодействием появилась в конце 50-х гг. (см., например, [41]) как реакция на те трудности, которые возникли при продвижении лучевых приборов О- и М-типа в коротковолновую часть СВЧ-диапазо-

Рис. 8.23. Схема лампы с поперечным взаимодействием

на. Связанное с этим продвижением уменьшение размеров приборов предъявляло повышенные требования к формированию и фокусировке достаточно протяженного и мощного электронного потока, удовлетворить которые зачастую оказывалось невозможно. В качестве одного из способов преодоления этих трудностей и было предложено использовать взаимодействие коротких пучков с полем волны в направлении, перпендикулярном движению волны (а точнее — потоку мощности). В этом случае широкий пучок проходит поперек двумерной замедляющей системы, которая обладает замедлением в двух взаимно перпендикулярных направлениях. Привлекательной особенностью лампы с поперечным взаимодействием явилась возможность применения распределенного катода и распределенного коллектора, которые разрешают как проблему формирования мощного электронного пучка, так и проблему теплоотвода. При взгляде на схему лампы с поперечным взаимодействием (рис. 8.23) сразу бросается в глаза ее сходство со схемой распределенного усилителя — только в распределенном усилителе воздействие ВЧ-поля на пучок и воздействие пучка на поле локализованы во времени (угол пролета пучка через полосковую линию ^о =(幻/少0)九 близок к нулю), а в лампе с поперечным взаимодействием пучок, как и в обычной ЛБВ, движется синхронно с замедленной в у- направлении компонентой электромагнитной волны и взаимодействует с ней достаточно длительное время. Хотя за счет более короткого пучка это время (и эффективность взаимодействия) меньше, чем в обычной ЛБВ, но возбужденные электронами поля также, как и в распределенном усилителе, суммируются по ширине пучка в ж-направлении, так что в этом направлении будет возрастать и амплитуда ВЧ-поля и, соответственно, эффективность взаимодействия. Было показано, что постоянная нарастания волны 7 в лампе с поперечным взаимодействием пропорциональна постоянной распространения 70 эквивалентной ЛБВ (с тем же самым током пучка) и в значительной степени определяется

Рис. 8.24. Распределенный усилитель с «неоднородным энергетическим коллектором»: 1 — лезвийный эмиттер, 2 — управляющий электрод, 3— решетка полосковой линии энергетического коллектора

свойствами замедляющей системы:

У U「p X

где （少小）％,д и （少rp”,g — фазовая и групповая скорости замедляющей системы соответственно в ж- и ^/-направлениях.

Конечно, авторы лампы с поперечным взаимодействием никаких распределенных усилителей не имели ввиду и шли от исследования взаимодействия с двумерной замедляющей системой, поэтому тем более интересной оказывается та примечательная перекличка эпох, которую можно наблюдать, например, в конструкции прибора, предложенной в работе [42] （рис. 8.24）. Входная часть описываемого прибора представляет собой входную секцию обычного распределенного усилителя, образованную полосковой линией с лезвийными автоэмиттерами 1 и управляющим электродом 2. Далее промодулированный электронный пучок поступает в выходное устройство, которое представляет собой полосковую линию 3, в обкладках которой проделано N прорезей, расположенных вдоль линии. В отличие от входной, эта линия расположена параллельно плоскости электронного потока. Расстояние между прорезями Lcy выбирается таким образом, чтобы время пролета электронов пучка между соседними прорезями равнялось целому числу периодов поля в линии

% =р" или乜，（8.34）

。0 с7гу 2 е Н с / m

где Uc ——потенциал выходного устройства, Xj п с^ — длина и фазовая скорость 2тг-волны, р = 1, 2, ... По этой причине, пролетая последова-

тельно мимо прорезей линии, электроны «видят» одну и ту же фазу поля. При этом создаются оптимальные условия для отбора энергии у электронного пучка, что и дает авторам повод назвать это выходное устройство «неоднородным энергетическим коллектором».

С другой стороны, описанная авторами модификация полосковой линии представляет собой типичную двумерную замедляющую систему, у которой замедление в продольном направлении ж обусловлено диэлектрической подложкой (впрочем, это замедление может равняться единице), а замедление в поперечном направлении у связано с наличием периодической неоднородности, а именно, — прорезей, так что подобная модификация полосковой линии представляет собой вариант лестничной замедляющей системы. В этом случае условие (8.34) означает, что пучок движется синхронно с пространственной гармоникой замедляющей системы, работающей на 2тг-виде, и схему на рис. 8.24 можно трактовать как схему лампы с поперечным взаимодействием с предварительной модуляцией электронного потока.

Таким образом, в этом параграфе были рассмотрены некоторые идеи СВЧ-электроники, которые могут быть освоены вакуумной микроэлектроникой. Конечно, выбор представленных примеров далеко не полон. Тем не менее, даже приведенные результаты свидетельствуют о перспективности исследований в этом направлении.

Гигатрон

Представляется перспективным использование матриц автоэмиттеров и в релятивистской электронике. Здесь интересен проект гигатрона (см., например, [3]) — компактного усилителя с высоким КПД для линейного ускорителя на встречных пучках в диапазоне частот от 10 до 30 ГГц, когда потребуется импульсная управляющая мощность порядка 100 МВт/м. Это — типичное устройство с модуляцией эмиссии: сгустки электронов, создаваемые матричным катодом Спиндта, ускоряются при прохождении высоковольтной диодной структуры и возбуждают волноводную выходную структуру.

Можно выделить следующие положительные особенности гигатрона.

В гигатроне используется ленточный электронный пучок (рис. 8.25), что позволяет снизить дефокусирующее действие пространственного заряда и увеличить предельно допустимый ток, для чего нужно просто увеличить ширину пучка. Действительно, понижение потенциала под действием пространственного заряда приводит к ограничению тока электронного пучка. При этом появляется разброс времени пролета сгустков в области диода. В ленточном пучке эффект ограничения тока при данном токе пучка ослаблен в а/Ь раз, где а и b — размеры катода (в конкретном случае проекта а х х 6 = 14 х 1 см2). В случае цилиндрического пучка необходимость получения большого тока требует, чтобы поперечные размеры пучка были сравнимы с длиной волны на высоких частотах, что затрудняет создание эффективного выходного устройства. Для ленточного

пучка эта проблема снимается использованием волновода со щелью связи с пучком: высота пучка может быть сделана небольшой; если же мощность необходимо увеличить, то можно сделать шире все устройство.

Использование волноводных элементов связи наряду с указанной

выше «совместимостью» с ленточным электронным потоком, влечет за

Рис. 8.25. Ленточный электронный пучок, пересекающий элемент связи с бегущей волнойРис. 8.25. Ленточный электронный пучок, пересекающий элемент связи с бегущей волнойсобой и известный недостаток: имеется запаздывание при образовании электронных сгустков вдоль волновода; это может привести в широком электронном пучке к тому, что часть пучка ускоряется, а часть тормозится. Чтобы избежать этого, пучок модулируют так, что его фронт образует угол с направлением движения электронов (см. рис. 8.25).

Рис. 8.25. Ленточный электронный пучок, пересекающий элемент связи с бегущей волной

Рис. 8.25. Ленточный электронный пучок, пересекающий элемент связи с бегущей волной

В простейшем случае условие того, что пучок движется в бегу

щей волне выходного элемента с постоянной фазой по всей своей ширине, имеет вид

Зе = Зф tg 0,

где 8е =少е /с и /小=少小/с — нормированные на скорость света скорость электрона и фазовая скорость волны.

(8.35)(8.35)В dlV emVoВ dlV emVoРис. 8.26. Другая геометрия системы «ленточный электронный пучок- выходной элемент связи»; выходной элемент наклонен, чтобы использовать эффект воздействия магнитного ВЧ-поля на электронный пучокРис. 8.26. Другая геометрия системы «ленточный электронный пучок- выходной элемент связи»; выходной элемент наклонен, чтобы использовать эффект воздействия магнитного ВЧ-поля на электронный пучокКак пишут авторы [43], в этом случае «пучок занимается серфингом на бегущей волне». Однако речь идет о релятивистских пучках, поэтому существенными оказываются высокочастотные магнитные поля в волноводе, которые заставляют наклониться фронт пучка на некоторый угол

(8.35)

(8.35)

В dl

V emVo

В dl

V emVo

Рис. 8.26. Другая геометрия системы «ленточный электронный пучок- выходной элемент связи»; выходной элемент наклонен, чтобы использовать эффект воздействия магнитного ВЧ-поля на электронный пучок

Рис. 8.26. Другая геометрия системы «ленточный электронный пучок- выходной элемент связи»; выходной элемент наклонен, чтобы использовать эффект воздействия магнитного ВЧ-поля на электронный пучок

Рис. 8.27. Возможные конструкции выходных элементов связи в гигатроне

где напряженности магнитного и электрического бегущих полей связаны формулой В = Е/(В*с), е,т — заряд и масса покоя электрона, Vo — ускоряющее напряжение пучка. Для оценки угла 吵 используем тот факт, что для эффективного энергообмена необходимо, чтобы Eh ~ Vo, где h — ширина щели. Тогда

吵^—.(8.36)

P^VemVo

Авторы работы [43] показали, что углы наклона J и 吵 почти одинаковы, поэтому для сохранения постоянной фазы можно наклонить выходной элемент по отношению к оси пучка, а не сам пучок (рис. 8.26). Напомним, что такой же подход использовался в клистроне бегущей волны для компенсации «фазовых уходов».

Некоторые возможные конструкции выходных элементов связи пучка различной конфигурации приведены на рис. 8.27.

Наиболее важным элементом конструкции гигатрона является решетка из автоэмиссионных катодов (они способны эмиттировать электронный поток с плотностью 100 А/см2 в импульсном и 1 А/см2

Т а б л и ц а 8.5 Параметры проектируемого гигатрона

Частота, /

18 ГГц

Максимальная ВЧ-мощность, Р

10 МВт

Коэффициент усиления по мощности, G

27 дБ

КПД»

74%

Ускоряющее напряжение, Vo

200 кВ

Ток пучка, /о

390 А

Размеры катода, а х b

14 х 1 см2

Волноводный элемент связи, g х А

1,1 х 4 см2

Ширина и высота щели, A, g

0,2, 0,34см

Скорость электронного потока,仇=Ое/с

07

Фазовая скорость, «小=。小/с

1,37

Угол наклона ленточного пучка, 9

27°

Угол наклона за счет магнитного ВЧ-поля,吵

22°

Максимальная напряженность поля, Eq

125 МВ/м

в непрерывных режимах), размещенных в модулирующем волноводе. Важно, что последний представляет собой цепочку из связанных резонансных элементов. Такая конструкция нужна потому, что эмиттерная решетка вносит в модулирующий волновод большую реактивную нагрузку. Предполагается, что такой прибор на частоте 18 ГГц будет обеспечивать коэффициент усиления по мощности 27 дБ с ожидаемой выходной мощностью 10 МВт и КПД, равным 74%.

Предполагаемые параметры проектируемого гигатрона приведены в табл. 8.5.

О некоторых других применениях вакуумноймикроэлектроники. Туннельная микроскопия

В этом разделе, следуя книге [19, лекции 10 и 12], кратко коснемся трех областей практического применения вакуумной микроэлектроники, в которых в настоящее время достигнут существенный прогресс.

Первая из областей — это туннельная микроскопия. Так в 1981 г. сотрудниками исследовательской лаборатории фирмы IBM в Цюрихе Гордом Биннингом и Генрихом Рорером был создан уникальный физический прибор — сканирующий туннельный микроскоп (СТМ). Это событие оказало столь большое и быстрое воздействие на развитие физики, что уже в 1986 г. авторам СТМ была присуждена Нобелевская премия.

Работа СТМ основана на эффекте туннелирования электронов сквозь узкий потенциальный барьер между металлической поверхностью и зондом, которым служит тонкое острие. Энергетическая диаграмма туннельного перехода для системы металл-диэлектрик-металл показана на рис. 8.28. Толщина

Рис. 8.28. Энергетическая диаграмма туннельного перехода в системе металл—диэлектрик—металлРис. 8.28. Энергетическая диаграмма туннельного перехода в системе металл—диэлектрик—металлдиэлектрика определяет ширину потенциального барьера, в то время как его высота и форма определяются величинами работ выхода Ф] и Ф2 и разностью потенциалов V между металлами.

Рис. 8.28. Энергетическая диаграмма туннельного перехода в системе металл—диэлектрик—металл

Рис. 8.28. Энергетическая диаграмма туннельного перехода в системе металл—диэлектрик—металл

В СТМ (рис. 8.29) один из металлов заменяется металлическим острием,которое закрепляется на ж-, у- и ^-позиционерах (в месте жесткого соединения трех пьезодвигателей). Острие

подводится к образцу с помощью грубого позиционера для получения туннельного тока. Это происходит при расстоянии S ~ 10А, когда волновые функции электронов ближайших друг к другу атомов острия и образца перекрываются. При разности потенциалов I/《Ф плотность туннельного тока определяется формулой

J « k()V exp (—2ко)/(4tt2S),(8.37)

Рис. 8.29. Устройство сканирующего тунельного микроскопа: 1 — зонд, 2 — изучаемый объект, 3 — дисплей, 4 — система обратной связи

где S — эффективное туннельное расстояние в А, к。一 постоянная затухания плотности волновых функций в туннельном зазоре (к。= =у 2шФ/А2), где Ф = (Ф1 + Ф?)/2 — высота эффективного барьера. Для типичных величин работы выхода Ф ~ 4,5 эВ, к。~ 1,1 А-1. Характерная величина туннельного тока составляет 10-9 А, при V ~ ~ 0,01 В и S ~ 10 А. Из соотношения (8.37) следует, что при изменении расстояния на 1 Авеличина туннельного тока изменяется на порядок.

Для сканирования исследуемой поверхности используются прецизионные пьезоэлектрические манипуляторы. Из-за пьезоэффекта изменением напряжения на электродах на 0,1 В можно удлиннить стержень на 0,1 нм, т. е. на величину поперечника атома. Слой металла на поверхности манипулятора достаточно тонок, чтобы, растягиваясь, не препятствовать этому перемещению.

Конструкция из трех стержней-манипуляторов, соединенных в одной точке перпендикулярно друг другу (см. рис. 8.29), может передвигать зонд, помещенный в месте соединения, во всех пространственных направлениях. Три управляющих напряжения их, иу и uz задают координаты смещения зонда х, у и z. Изменяющиеся напряжения их и 〃д перемещают зонд по поверхности исследуемого предмета, сканируя ее по параллельным строкам, отстоящим друг от друга на заданное расстояние (как луч на телевизионном экране). Напряжение uz двигает зонд вверх и вниз. Если uz поддерживать неизменным, то при сканировании поверхность из-за неровностей будет удаляться или приближаться к зонду. Это неудобно для регистрирующей системы —сигнал сильно меняется. Кроме того, при больших неровностях зонд может сталкиваться с ними. Чтобы избежать этого, в прибор вводят обратную связь, которая заставляет зонд двигаться вверх и вниз в соответствии с рельефом поверхности. Обратная связь представляет собой сложную и чувствительную электронную схему, улавливающую изменение туннельного тока и изменяющую напряжение 〃？, приложенное к вертикальному манипулятору. Пьезоэлектрический манипулятор перемещает зонд так, чтобы туннельный ток оставался постоянным

(скажем, / = const с точностью, например, 2 %). Это возможно лишь при сохранении неизменным расстояния между зондом и поверхностью (поддерживать постоянной величину S можно с точностью 0,01 А). Этот режим работы называется режимом постоянного тока. Таким образом, обратная связь не дает зонду ни отойти от поверхности, ни столкнуться с ней. В результате острие движется по траектории, повторяющей рельеф сканируемой зондом поверхности. Поскольку напряжение uz пропорционально высоте места поверхности, над которым в данный момент находится острие, оно служит удобной мерой рельефа. Информация о рельефе поверхности записывается в память ЭВМ и после обработки (фильтрации шумовых и паразитных сигналов) выводится на дисплей в виде топографической карты поверхности. Обычно карта полутоновая, т. е. на ней высота рельефа обозначается интенсивностью раскраски.

В настоящее время с помощью сканирующих туннельных микроскопов получены детальные изображения поверхностей многих кристаллических и полимерных материалов с атомным разрешением. Сканирующий туннельный микроскоп имеет беспрецедентное увеличение — 10! Важность СТМ для вакуумной микроэлектроники очевидна: без него не разглядеть то, что создается 1).

Вторая область — использование катодов с полевой эмиссией для создания плоских дисплеев [20], которые могут использоваться и как информационные транспаранты и в качестве телевизионных трубок, и как дисплеи для портативных компьютеров.

Основная идея использования решеток автокатодов в дисплеях представлена на рис. 8.30 [2, 21]. На нем показано устройство одного пикселя, формирующего цветное изображение на экране, покрытого люминофором (обычно это ZnO). Каждый пиксел имеет квадратную форму со стороной 250 мкм, так что на одном квадратном миллиметре умещается 16 элементов. Источниками электронов являются решетки полевых эмиттеров лезвийной формы с плотностью около 106 эмиттеров/см2. На пиксел приходится три управляющих электрода, выполненных в виде полос шириной 40 мкм, по одному на красный, зеленый и голубой цвета. Люминофор соответствующего цвета нанесен на стеклянную пластину над каждым из электродов. Подавая различ-

1) Поскольку манипуляторы можно перемещать с точностью, соответствующей атомным размерам, острие СТМ можно использовать как инструмент для работы в нанометровом диапазоне. Острием толщиной в один атом можно точно попасть в выбранное место молекулы и разрезать ее на части; можно «подцепить» какой-нибудь атом и перенести его в нужное место.

Рис. 8.30. Устройство пикселя изображения плоского дисплея с полевой эмиссией: 1 — горизонтальная адресная шина; 2 — вертикальная адресная шина; 3 — диэлектрическая подложка; 4 — изолирующий диэлектрик; 5 — управляющие электроды; 6 — столбики, поддерживающие стеклянную пластину; 7 — стеклянная пластина; 8 — полоски красного, зеленого и голубого люминофоровРис. 8.30. Устройство пикселя изображения плоского дисплея с полевой эмиссией: 1 — горизонтальная адресная шина; 2 — вертикальная адресная шина; 3 — диэлектрическая подложка; 4 — изолирующий диэлектрик; 5 — управляющие электроды; 6 — столбики, поддерживающие стеклянную пластину; 7 — стеклянная пластина; 8 — полоски красного, зеленого и голубого люминофоров

Рис. 8.30. Устройство пикселя изображения плоского дисплея с полевой эмиссией: 1 — горизонтальная адресная шина; 2 — вертикальная адресная шина; 3 — диэлектрическая подложка; 4 — изолирующий диэлектрик; 5 — управляющие электроды; 6 — столбики, поддерживающие стеклянную пластину; 7 — стеклянная пластина; 8 — полоски красного, зеленого и голубого люминофоров

Рис. 8.30. Устройство пикселя изображения плоского дисплея с полевой эмиссией: 1 — горизонтальная адресная шина; 2 — вертикальная адресная шина; 3 — диэлектрическая подложка; 4 — изолирующий диэлектрик; 5 — управляющие электроды; 6 — столбики, поддерживающие стеклянную пластину; 7 — стеклянная пластина; 8 — полоски красного, зеленого и голубого люминофоров

ные напряжения на электроды, можно независимо менять интенсив

ность основных цветов, создавая полную цветовую гамму.

Пиксельные элементы размещены в прямоугольной матрице, так что катоды в каждой строке образуют единую (горизонтальную) адресную линию, а управляющие электроды — три вертикальные линии на каждый столбец. Таким образом, каждый пиксел может быть адресован индивидуально.

Интерес к дисплеям с полевой эмиссией резко возрос после того, как специалистами из французской исследовательской лаборатории LETI (г. Гренобль) были продемонстрированы действующие монохромные и цветные дисплеи с размером 15 см по диагонали для телевидения и мониторов компьютеров. Основные достоинства, которые обеспечивает

микровакуумная технология,— высокая яркость изображения, низкое рабочее напряжение, полноцветность и чистота цвета, малая потребляемая мощность, быстрый отклик (менее 1 мкс).Еще одной областью использования катодов с полевой эмиссией является создание микросенсоров, которые могут работать как датчи-микровакуумная технология,— высокая яркость изображения, низкое рабочее напряжение, полноцветность и чистота цвета, малая потребляемая мощность, быстрый отклик (менее 1 мкс).Еще одной областью использования катодов с полевой эмиссией является создание микросенсоров, которые могут работать как датчи-А1оксидAlА1оксидAlРис. 8.31. Микросенсор на решет-ках автоэмиссионных катодовРис. 8.31. Микросенсор на решет-ках автоэмиссионных катодов

микровакуумная технология,— высокая яркость изображения, низкое рабочее напряжение, полноцветность и чистота цвета, малая потребляемая мощность, быстрый отклик (менее 1 мкс).

Еще одной областью использования катодов с полевой эмиссией является создание микросенсоров, которые могут работать как датчи-

микровакуумная технология,— высокая яркость изображения, низкое рабочее напряжение, полноцветность и чистота цвета, малая потребляемая мощность, быстрый отклик (менее 1 мкс).

Еще одной областью использования катодов с полевой эмиссией является создание микросенсоров, которые могут работать как датчи-

А1

оксид

Al

А1

оксид

Al

Рис. 8.31. Микросенсор на решет-ках автоэмиссионных катодов

Рис. 8.31. Микросенсор на решет-ках автоэмиссионных катодов

ки давления, акселерометры, изме

рители микроперемещений, элементы микрофонов [44,45]. Схематически такое устройство изображено на рис. 8.31. В микросенсоре коллек-

тор решетки микрокатодов представляет собой упругую проводящую пластину, смещение которой зависит от внешнего давления. Поскольку напряженность поля на острие зависит от расстояния до коллектора, его смещение будет изменять ток эмиссии. Известны экспериментальные данные для микросенсора с полевыми микрокатодами, изготовленными на основе кремниевой технологии. В режиме постоянного тока (при изменении прогиба изменяется напряжение, чтобы не менялся ток) измеренная чувствительность при общем токе 1 мкА составляла 6,6 В/мкм. В режиме постоянного напряжения (при смещении пластины регистрируется изменение тока) при изменении смещения от 0,3 до 2 мкм ток изменялся на два порядка (рабочее напряжение было равно 4000 В).

А что еще можно придумать в вакуумной микроэлектронике?

Первое, что приходит в голову при попытке ответить на поставленный вопрос, это идея о создании активной нелинейной вакуумной среды с автоэмиссионными вкраплениями 1).

До создания современных автоэмиссионных катодов подобная идея не представлялась реализуемой. В настоящее время, когда созданы микроминиатюрные активные элементы, есть все основания для разработки по крайней мере теории и проведения аналогового моделирования такой среды. Моделью такой среды может служить цепь с активными вакуумными элементами, в которых ток и поле связаны законом Фаулера-Нордгейма. Подобный способ создания сред-моделей широко используется в радиофизике (см., например, [46]). Простейший вариант активной среды-модели — цепочка (или решетка) из связанных автогенераторов.

Автогенератор на микротриоде можно построить, вводя положительную обратную связь в усилитель (подобно обычному ламповому генератору). Однако из-за отсутствия насыщения нелинейной характеристики автоколебания в таком генераторе будут бесконечно нарастать, приводя при больших значениях токов к разрушению катода. Чтобы скомпенсировать рост сигнала, нужно в цепь обратной связи ввести диссипативный элемент с нелинейной характеристикой, при которой возможно возникновение стационарных колебаний.

В работах [47—49] показано теоретически и в аналоговом радиотехническом эксперименте, что такой автогенератор представляет собой активный нелинейный элемент со сложным поведением, включая режимы хаотических колебаний. Поэтому на его основе можно построить среды-модели, например, цепочки и решетки генераторов. Такие среды можно использовать для обработки изображений и решения других задач, связанных с искусственным интеллектом и обработкой больших объемов информации на принципах нейродинамики.

1) Один из авторов не раз обсуждал эту идею с Д.И. Биленко (Саратовский универистет), а позднее слышал ее от Н.А. Арманда (ИРЭРАН, Москва). По-видимому, впервые, правда, в весьма туманной форме, ее высказал все тот же Кэн Шоулдерс в 1965 г. [4].

Список литературы

Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. — М.: Наука, 1972.

Brodie I., Spindt С.A. Vacuum microelectronics “ Advances in electronics and electron physics. Academic Press, 1992. V. 83. P. 2.

Исаев В.А., Соколов Д.В., Трубецков Д.И. Электронные СВЧ- приборы с электростатическим управлением и модуляцией эмиссии “ Радиотехника и электроника. 1990. Т. 35, N@ 11. С. 2241.

Shoulders K.R. Microelectronics using electron beam activated machining techniques /Ed. F.L. Alt Ц Advances in Computers. 1961. V. 2. P. 135.

Шоулдерс К. Комплексные системы на микроминиатюрных электровакуумных приборах. — Микроэлектроника и большие системы. -М.: Мир, 1967. С. 119

Голант МВ, Бобровский Ю.Л. Генераторы СВЧ малой мощности. Вопросы оптимизации параметров. — М.: Сов. радио, 1977.

Голант М.Б., Бобровский Ю.Л. Минитроны. — М.: Сов. радио, 1983.

Руска Э. Развитие электронного микроскопа и электронной микроскопии “ УФН. 1988. Т. 154, № 2. С. 243.

Биннинг，〉Рорер Л Сканирующая туннельная микроскопия — от рождения к юности “ УФН. 1988. Т. 154, N@ 2. С. 261.

Блинов Л.М. Ленгмюровские пленки Ц УФН. 1988. Т. 155, N@ 3. С. 261.

Бондаренко Б.В., Шешин Е.П., Щука А.А. Приборы и устройства электронной техники на основе автокатодов Ц Зарубежная электронная техника. 1979. N@ 2. С. 3.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. — М.: Наука, 1989. 768c.

Fowler R.H., Nordheim L. W. Electron emission in intensive fields Ц Proc. R. Soc. London. A. 1928. V. 119. P. 173.

Модинос А. Авто-, термо- и вторично-электронная эмиссионная спектроскопия. — М.: Наука, 1990. 320с.

Spindt С.A., Brodie I., Humphrey Westerberg E.R. Physical properties of thin-film field emission cathodes with molybdenum cones “ Journal of Applied Physics. 1976. V. 47, No 12. P. 5248.

Bozler C.O., Harris C.T., Rabe £, Rathman D., Goodnue W.D., Hollis M.A., Smith U.I. Arrays of gated field-emitter cones having 0,32 mm tip-topic spacings “ Sixth Int. Vacuum Microelectronics Conf. Newport, USA, July 12-15, 1993. Technical Digest. P. 160.

Дюжев Н.А., Козлов А.И., Махов В.Н., Серовайский В.М. Быстродействие микроэлектронных триодных структур с автоэлектронными катодами Ц Микроэлектроника. 1990. Т. 19, № 5. С. 478.

Чесноков В.В. Электронные лампы с автоэлектронными катодами Ц Электронная техника. Сер. Приемно-усилительные лампы. 1968. № 4. С. 3.

Трубецков Д.И., Рожнев А.Г., Соколов Д.В. Лекции по сверхвысокочастотной вакуумной микроэлектронике. — Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1996.

Grand-Clement J.-L. Technology, application and market analysis for field-emitter displays (FEDs) % Sixth Int. Vacuum Microelectronics Conf. Newport. USA. July 12-15. 1993. Technical Digest. P. 3.

Spindt C.A., Holland C.E., Brodie I., Mooney J.B., Westerberg E.R. Field emitter arrays applied to vacuum fluoresent display “ IEEE Trans, on ED. 1989. V. ED-38, No 2. P. 225.

Percival W.S. Improvements in and relating to electron discharge devices Ц British Patent No 464977, 1935.

Ginston E.L., Hewlett W.R., Jasberg J.H., Noe J.D. Distributed amplification 力 Proc. IRE. 1948. V. 36. P. 956.

Calame J.P., Gray H.F. and Shaw J.L. Analysis and design of microwave amplifiers employing fielf-emitter arrays Ц J. Appl. Phys. 1993. V. 73, No 3. P. 1485.

Gavrilov M. V., Rozhnev 4.G., Sokolov D. V., Trubetskov D.I. The Theory of Vacuum Microelectronic Distributed Microwave Devices (Amplifier, Multifier, Oscillator) “ Technical Digest IVMC'91. Nagachama, 1991. P. 148.

Ковалев И.С. Основы теории и расчета устройств СВЧ. Радиоволноводы и резонансные системы. — Минск: Наука и техника, 1972.

Волгов В.А. Детали и узлы радиоэлектронной аппаратуры. — М.: Энергия, 1977.

Ganguly А.К., Phillips Р.М., Gray 〃/. Electromagnetic properties of a field emission distributed amplifier “ J. Appl. Phys. 1990. V. 61, No 11. P. 1245.

McGruer N.E. at all Prospects for a ITIIz Vacuum Microelectronic Microstrip Amplifier “ IEEE Trans, on ED. 1991. V. 38, No 3. P. 666.

Fontana J.R., Shaw H.J. Harmonic generation at microwave frequencies using field-emission cathodes 力 Proc. IRE. 1958. V. 46. P. 1424.

Трубецков Д. 〃.〉Гаврилов M. В., Пищик Л. А. и др. Приборы вакуумной СВЧ-электроники с распределенным взаимодействием Ц Моделирование и проектирование приборов и систем микро- и наноэлектроники: Межвуз. сб. научн. тр. — М.: МГИРЭТ, 1994. С. 4659.

Solntsev V.A. Ц Journal Vac. Sci. Technol. 1993. V. 11, No 2. P. 484.

Solntsev V.A. The analysis of the amplification and efficiency in polytron and diode with medium transit angles and decelerating static field “ Eighth Int. Vacuum Microelectronics Conf. Portland, USA, July 30 — August 3, 1995. Technical Digest. P. 434—437.

Шевчик B.H. Основы электроники сверхвысоких частот. — М.: Сов. радио,1959.

Yokoo К. and Ishichara Т. Field-emission monotron for THz emission Ц Eighth Int. Vacuum Microelectronics Conf. Portland, USA, July 30 — August 3, 1995. Technical Digest, P. 123-127.

Солнцев В.А., Галдецкий А.В., Клеев А.И. Приборы вакуумной СВЧ микроэлектроники со средним углом пролета Ц Лекции по СВЧ электронике и радиофизике. 10-я школа-семинар. Книга 1(1). Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1996. С. 76.

Sinitsyn N.L, Culyaev Yu. V., Golant M.B., Nefyodov I.S. et al. Analysis of the possibility of performing microelectronic microwave vacuum devices with extended interaction on field emitter arrays “ J. Vac. Sci. Technol. 1993. V. 11, No 2. P. .477

Gulyaev Yu.V., Sinitsyn N.I. “ IEEE Trans, on ED. 1989. V. ED-36, No 11. P. 2742.

Devyatkov N.D. et al. Miniaturisation of electrovacuum microwave and radiofrequency lowpower devices “ Proc, of the Second Int. Conf, on Vacuum Microelectronics, Bath, USA, July, 1989. P. 201-206.

Rozhnev A. G., Sokolov D. V., Trubetskov D.I. Crossed-field orotron with field emission cathodes arrays “ Seventh Int. Vacuum Microelectronics Conf., Grenoble, France, July 3-7, 1994. P. 274—277.

Шевчик B.H., Трубецков Д.И. Аналитические методы расчета в электронике СВЧ. — М.: Сов.радио, 1970.

Gulaev Yu. V., Nefedov I.S., Sinitsyn N.I.. Torgashov G. V., Zakharchenko Yu.F. and Zhbanov A.I. Distibuted microwave amplifier on field emiUer arrays with nonhomogeneous energy collector “ Seventh Int. Vacuum Microelectronics Conf. Grenoble, France, July 3-7, 1994. P. 84.

Bicek H.M., Mclnttyre P.M., Raparia D., Swenson C.A. Gigatron Ц Trans. Plasma Sci. 1988. V. 16, No 2. P. 258.

Busta H.H., Pogermuller J.E., Zimmermen B.J. The field emitter triode as pressure/displasement sensor “ Sixth Int. Vacuum Microelectronics Conf. Newport. USA. July 12-15. 1993. Technical Digest. P. 92.

Lee H.-С., Huang R.-S. A theoretical study on field emission array for microsensors “ IEEE Trans, on ED. 1992. V. ED-38, No 2. P. 313.

Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн.. — М.: Наука, 1984 (первое издание). 432с.; 1992 (второе издание). 456 с.; М., Ижевск: РХД, 2000 (третье издание). 560 с.

35 Трубецков, Храмов

Пономаренко В.И., Трубецков Д.И. Сложная динамика радиотехнической модели — аналога автогенератора на вакуумном микротриоде “ Доклады РАН. 1994. Т. 337, № 5. С. 602.

Пономаренко В.И., Трубецков Д.И. Сложная динамика автогенератора на вакуумном микротриоде: вычислительный и аналоговый эксперименты на радиотехнической модели Ц Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1994. Т. 2, № 6. С. 56.

Rozhnev 4.G., Sokolov D. V., Trubetskov D.I., Han S.T., Kim J.I., Park G.S. Novel concepts of vacuum microelectronic microwave devices with field emitter cathode arrays / Physics of Plasmas. 2002. V. 9, No 9. P. 4020.

Лекция 9 (24)НЕЛИНЕЙНАЯ НЕСТАЦИОНАРНАЯ ТЕОРИЯЭЛЕКТРОННЫХ ПРИБОРОВ СВЧ С ПОЗИЦИЙНЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ(АВТОКОЛЕБАНИЯ, ХАОС И СТРУКТУРЫ)

Автоколебания — это незатухающие колебания, поддерживаемые внешними источниками энергии в нелинейной диссипативной системе, вид и свойства которых определяются самой системой и не зависят от начальных условий (по крайней мере в конечных пределах).

М. И. Рабинович. Автоколебания распределенных систем. Известия вузов. Радиофизика. 1974. Т. 17. С. 477.

Возбуждение регулярных автоколебаний в распределенных системах можно трактовать как возникновение из хаоса некоторой упорядоченной пространственно-временной структуры.

П. С. Ланда. Автоколебания в распределенных системах. М.: Наука, 1983. С. 7.

В радиотехнике и электронике известен целый ряд приложений, где необходимы генераторы шумоподобных колебаний, в роли которых могут выступать различные устройства, функционирующие в режиме динамического хаоса. Примерами могут служить генераторы с запаздывающей связью на лампе бегущей волны... и на лампе обратной волны...

С.П. Кузнецов. Динамический хаос. М.: Физматлит, 2001. С. 19.

История исследований стохастических автоколебаний (динамического хаоса) в СВ Ч-приборах. Нестационарная теория лампы обратной волны М-типа и ее результаты. Общие замечания об автоколебаниях в системах ^электронный поток—встречная (обратная) электромагнитная волнам. Динамический хаос в нерелятивистских электронных

СВ Ч-приборах. Шумотрон. Механизмы перехода к хаосу в релятивистских электронно-волновых системах. Управление хаотическими колебаниями в распределенных системах сверхвысокочастотной электроники.

«Нелинейная динамика», «теория самоорганизации», «динамический или детерминированный хаос», «синергетика» — эти термины и подобные им все чаще и чаще встречаются на страницах естественнонаучной и даже гуманитарной литературы. Решается и решено много конкретных задач в различных областях естествознания, но главным остаются фундаментальные исследования. Достаточно сказать, что замаячил свет решения такой фундаментальной проблемы, как связь динамических и статистических законов физики, которые ранее противопоставлялись друг другу. Все большее и большее число исследователей, а среди них все большее число математиков, включаются в фундаментальные исследования в области нелинейной динамики. Во многом именно их усилиями и работами нелинейная динамика выделилась в самостоятельное междисциплинарное научное направление в науке. Доказывая ценность фундаментальной науки Леон М. Ли- дерман — директор Национальной ускорительной лаборатории им. Э. Ферми в Батавии (шт. Иллионис, США) и профессор физики Колумбийского университета, писал следующее:

«Фундаментальная наука увлекает людей по разным причинам. Это и непосредственное наслаждение, которое доставляет занятие наукой, и осознание своего вклада в общечеловеческую культуру, и священное чувство приобщения к великому наследию многих поколений ученых; на этом поприще может удовлетворить свои честолюбивые стремления тот, кто хочет обнаружить нечто, ранее неведомое. Но если расходы на оплату такой деятельности высоки, то справедливо задать вопрос: «А почему общество должно эту деятельность поддерживать?» [1].

Вопрос, на который был вынужден отвечать еще Больцман:

«Пусть замолкнет этот обычный вопрос, бросаемый навстречу всякому абстрактному стремлению: какая собственно в этом польза? Для чего нужно, хотелось бы спросить, исключительное культивирование жизни, направленное на получение практических выгод за счет того, что единственно дает жизнь жизни, что ее делает ценной, — за счет стремления к идеалам?» [2].

Ответ Лидермана на собственный вопрос прекрасен, но он не удовлетворяет, по крайней мере, требованиям ВАК, а главное — требованиям жизни:

«Самым важным представляется вклад фундаментальных наук в нашу культуру. В то же время процесс превращения научных открытий в общественное достояние здесь наиболее сложен и длителен. Что касается непосредственных, прямых выгод, когда объект научных

исследований попадает в сферу практической деятельности, то их реализация занимает в среднем 30 лет» 1).

Если вести отчет с работы Эдварда Н. Лоренца [3], в которой было впервые обнаружено и описано явление динамического хаоса в простой системе из трех дифференциальных уравнений, то пора говорить или, по крайней мере, думать о приложениях нелинейной динамики.

И здесь радиофизика и сверхвысокочастотная электроника являются едва ли не единственными науками, которые всерьез задумываются над вопросом: «Зачем все это нужно?» Именно в СВЧ-электронике исследования стохастических автоколебаний в распределенных активных средах типа «электронный пучок-высокочастотное электромагнитное поле» имеют непосредственное и важное прикладное значение, о котором мы упоминали во вводной первой лекции к нашему курсу (том I): это и необходимость создания мощных генераторов широкополосного сложного сигнала для применения в радиолокации, в системах нагрева плазмы для установок управляемого термоядерного синтеза, и, наоборот, поиск методов управления сложной динамикой в электронных потоках для создания генераторов и усилителей близкого к монохроматическому излучению. В последнее время активно изучается возможность использования хаотических сигналов в целях коммуникации. Благодаря хаотической природе сигналов, генерируемых динамическими системами (в том числе и на сверхвысоких частотах), становится возможным создание эффективных схем кодирования информации, делающих весьма затруднительным перехват сообщений [197].

Цель данной лекции показать, как идеи и методы нелинейной динамики, как нового фундаментального направления в науке, позволяют исследовать сложную динамику процессов взаимодействия потоков заряженных частиц с высокочастотными электромагнитными полями. Заметим, что в первом и во втором томах книги мы использовали эти методы. В данной главе сделан акцент на истории вопроса и на описании явлений хаоса в СВЧ-электронике.

История исследований стохастических автоколебаний(динамического хаоса) в СВЧ-приборах

Первые автогенераторы стохастических СВЧ-колебаний появились в «достохастический» период, когда еще никто не осмеливался говорить о хаотических колебаниях в динамических системах. К ним, в первую очередь, следует отнести шумовые генераторы, в которых электронный поток движется в скрещенных статических электрическом и магнитном полях (генераторы магнетронного типа) [4]. Попытки понять аномально высокий уровень шумов в таких приборах и устройствах привели к гипотезе об их турбулентном происхождении (этому во многом способствовала известная аналогия между диокотронной неустойчиво-

1) Применительно к СВЧ-электронике это подтверждает Дж.М. Осепчук, которому принадлежит фраза: «Для СВЧ-ламп жизнь начинается в 40 лет».

стью и неустойчивостью Гельмгольца в гидродинамических течениях) [4,5]. Практически в то же время В.Я. Кисловым и его сотрудниками был предложен так называемый шумотрон — ЛБВ-генератор с запаздывающей обратной связью [6]. Роль шумотрона как экспериментальной модели, на которой проверялись все теоретические результаты, полученные при изучении стохастичности динамических систем, трудно переоценить. Можно смело утверждать, что ЛБВ-генератор с запаздывающей обратной свяью стал в нелинейной динамике наряду с карсинотроном эталонной моделью распределенной автоколебательной системы.

После того как широкие круги физиков и радиофизиков познакомились с работами по стохастической неустойчивости нелинейных колебаний и с работами, посвященными странным аттракторам в динамических системах с малым числом степеней свободы (см., например, монографии [7-18], а также библиографический список к ним), динамический хаос стали искать и находить в самых различных системах, в том числе и в СВЧ-генераторах 1).

Так в Институте прикладной физики АН СССР (Горький) и Саратовском государственном университете был выполнен цикл работ по изучению последовательности бифуркаций, наблюдаемых в генераторе с обратной волной (карсинотроне), по пути к режиму стохастической автомодуляции (последний характеризуется СВЧ-излучением со сплошным частотным спектром мощности) [19-24]. Было показано (теоретически и экспериментально), что характер переходов качественно не меняется в различных вариантах исследуемой системы и определяется одним и тем же единственным безразмерным параметром — безразмерной длиной лампы L (см. лекцию 13 первого тома) — аналогом числа Рейнольдса для гидродинамических течений.

Важным и центральным моментом этих исследований стало создание нестационарной теории карсинотрона, и дальнейшее численное решение полученных уравнений в частных производных на ЭВМ. Как численные исследования, так и экспериментальные данные показали, что переход «порядок-хаос» в системе «электронный поток-обратная электромагнитная волна» соответствует возникновению неустойчивости по отношению к малым возмущениям начальных условий.

Предшественником нестационарной нелинейной теории лампы обратной волны (как нерелятивистской, так и с учетом релятивистских эффектов) стала нестационарная теория лампы обратной волны магнетронного типа [25, 26]. Нестационарной теории карсинотрона была посвящена отдельная лекция в первом томе (лекция 13). В настоящей лекции в следующем параграфе подробней остановимся на нестационарной теории ЛОВ М-типа.

1) Этот этап исследований можно назвать периодом поисков стохастических колебаний в эксперименте (часто, численном, реже — натурном) и странных аттракторов в теории.

После исследований простейшей нестационарной нелинейной теории ЛОВ М- и 0-типа были проведены исследования различных вариантов как нерелятивистских, так и релятивистских карсинотронов [27-29], в частности, карсинотронов с отражениями от концов замедляющих систем [30, 31], были обнаружены тонкие эффекты нелинейной динамики нерелятивистской и релятивистской лампы обратной волны О-типа [32,34,35], ЛОВ со связанными волноведущими структурами [36,37], ЛОВ на аномальном эффекте Доплера [38].

В 1978 г. была опубликована работа Фейгенбаума [39,40] об одном из типичных сценариев перехода от периодических автоколебаний к хаотическим: через каскад удвоений периода. Практически одновременно с ней появились работы, в которых обсуждались и другие сценарии — переход к хаосу через перемежаемость [41,42] и через разрушение ква- зипериодических движений [43]. В экспериментальных исследованиях, в том числе и устройств сверхвысокочастотной электроники, работа Фейгенбаума и последовавшие за ней теоретические исследования породили период «коллекционирования бабочек» — множилось число систем, в которых обнаруживались те или иные сценарии.

Период работ, направленных на поиск хаоса в самых различных СВЧ-системах и сценариев его возникновения, сменило время, когда были начаты планомерные исследования причин и механизмов возникновения хаотической динамики в распределенных автоколебательных средах сверхвысокочастотной электроники [35,38,44—48]; был поднят вопрос о связи хаотической динамики в пространственно распределенных системах, содержащих электронные потоки, взаимодействующие с электромагнитными полями, и процессов образования и взаимодействия диссипативных структур, были начаты работы по приложению обнаруженных нелинейных явлений в прикладных исследованиях и разработках. Это уже современный этап исследования нелинейной динамики в приборах и устройствах СВЧ-электроники.

Во-многом, начало теоретических исследований нелинейных явлений в сверхвысокочастотных системах было положено созданием нестационарной нелинейной теории лампы обратной волны М-типа. Поэтому следующий параграф лекции посвящен изложению именно этого вопроса.

Нестационарная теория лампы обратной волны М-типаи ее результаты [25,26]

Лампа обратной волны магнетронного типа кратко рассматривалась нами в последнем параграфе лекции 12 первого тома книги. Напомним, что ЛОВМ представляет собой генератор СВЧ-излучения манетронного типа, в котором источник электронов (катод) вынесен из пространства взаимодействия. Схема конструкции ЛОВМ (плоский вариант, который и рассматривается в этом параграфе) представлена на рис. 9.1 и состоит из следующих основных элементов.

Замедляющая система, в которой может распространяться обратная волна.

Вывод ВЧ энергииВывод ВЧ энергииЗамедляющая системаЗамедляющая системаУУаУУаа/ Поглотитель]t[上 ，а/ Поглотитель]t[上 ，Рис. 9.1. Схематическое изображение плоской конструкции лампы обратной волны магнетронного типаРис. 9.1. Схематическое изображение плоской конструкции лампы обратной волны магнетронного типа

Вывод ВЧ энергии

Вывод ВЧ энергии

Замедляющая система

Замедляющая система

У

Уа

У

Уа

а/ Поглотитель

]t[上 ，

а/ Поглотитель

]t[上 ，

Рис. 9.1. Схематическое изображение плоской конструкции лампы обратной волны магнетронного типа

Рис. 9.1. Схематическое изображение плоской конструкции лампы обратной волны магнетронного типа

Паралельный замедляющей системе электрод, находящийся под отрицательным потенциалом относительно катода («холодный катод»).

Электронная пушка, формирующая плоский электронный пучок, который далее вводится в пространство взаимодействия.

Пространство взаимодействия, в котором создаются условия, при которых электронный поток движется в скрещенных статических электрическом и магнитном полях со скоростью 少％ =少。=const.

Коллектор, собирающий электроны, неосевшие на замедляющую систему, и расположенный около него согласованный поглотитель.

ВЧ-вывод энергии, соединяющий катодную часть замедляющей системы с внешней нагрузкой.

В ЛОВМ электронный поток отдает ВЧ-полю свою потенциальную энергию, смещаясь в среднем к замедляющей системе. Оптимальное взаимодействие достигается при точном синхронизме электронов и волны. Нелинейные эффекты в ЛОВМ связаны, во-первых, с подъемом пучка к замедляющей системе и увеличением вследствие этого «эффективного» сопротивления связи, и, во-вторых, с оседанием электронов на замедляющую систему.

Теория лучевых приборов магнетронного типа строится на основе дрейфового приближения, которое подробно обсуждалось в лекции 7 первого тома. Рассмотрим взаимодействие электронного потока с полем только одной пространственной гармоники. В дрейфовом приближении уравнения движения электронов в поле бегущей волны медленно меняющейся амплитуды имеют вид [49]

穿一 Re {*(，/)% ехр [阿-,

雾=Re {с_(Н)^ехр [*(>£)]},卽)

^\t = to = О,^\t = to = О,y\t=to = go,y\t=to = go,

^\t = to = О,

^\t = to = О,

y\t=to = go,

y\t=to = go,

где vq = Eq/Bq — невозмущенная скорость электронов; £7。и 6。一 электрическое и магнитное статическое поля; частота Q выбрана из условия, что |/5sn(Q)| = 口/少0；力о — время влета электрона в пространство взаимодействия; C_s — комплексная медленно меняющаяся во времени амплитуда высокочастотного поля, индекс « —s» означает, что взаимодействие происходит с обратной волной, Е、^ и E^_snx — функции, характеризующие распределение ВЧ-поля по поперечной координате, которые имеют вид (см., например, [49])

ch \^sn IУ rpO — sh \^sn |У/q

где go — координата по оси ординат (см. рис. 9.1), в которую инжектируется плоский электронный поток в пространство взаимодействия. Квазистатическое поле пространственного заряда в уравнениях (9.1) не учитывается.

Введем следующие безразмерные величинь匸

т = QDt, то = Ш?力 °,q = т — п = =Dx

y = "g/少0, 爲 = "g0/。0, 匕=^Уa/^0 ?

Здесь [. . .] и {. . .} означают соответственно целую и дробную часть числа, К。一 сопротивление связи замедляющей системы в точках статической траектории электронов, взятое на частоте Q, уа — координата, в которой располагается замедляющая система в пространстве взаимодействия. Параметр D будем считать малым (D《1), что, как правило, выполняется в реальных приборах.

При определении фазы электронов в виде (9.3) было учтено два следующих обстоятельства. Во-первых, фаза определена с точностью до слагаемого 2тг, ее всегда можно выбрать так, чтобы начальные фазы электронов каждой группы находились в интервале от 0 до 27r. Во- вторых, при движении электронов их фазы не должны терпеть разрывов (скачков на 2тг), которые требовали бы специального рассмотрения при решении уравнений движения.

Рассмотрим группу электронов, влетевших в пространство взаимодействия в течение одного периода ВЧ-поля и имеющих всевозможные начальные фазы 0 < X。< 2тг. В силу медленности изменения амплитуды в пространстве и во времени (в рамках самосогласованной задачи это означает малость параметра D) можно считать, что все

эти электроны «видят» одну и ту же комплексную амплитуду поля C—s. Она зависит от положения группы в целом, которое может быть определено с точностью до величин порядка D и характеризуется безразмерной координатой q. Следовательно, уравнения движения (9.1) в новых переменных можно записать в виде

дХ дХ _ дт + dq

-Re {附(…壶"

(9.4)

ay ay дт + dq

= Re"/(q，T)/erx},

(9.5)

где

= Xo,Y|q=o = K).

(9.6)

Уравнения (9.4)—(9.6) определяют движение электронов той группы, которая в данный момент г характеризуется координатой q, т. е. имеет время влета tq = т — q.

Выразим через новые переменные уравнение возбуждения (см. лекция 1 первого тома, формула (1.102)). Используя закон сохранения заряда в виде pdxds = Io\dto\ = I^dx^/Q.^ с точностью до величин порядка D находим

27r

寿号力—)"f(9.7)

О

где и = vs гр/^о — безразмерная групповая скорость волны, Н — функция Хевисайда, учитывающая оседание электронов на замедляющую систему.

Уравнения (9.4)—(9.7) представляют систему уравнений нелинейной нестационарной теории ЛОВ М-типа. Их необходимо дополнить граничными условиями для уравнения возбуждения (9.7). В случае ЛОВМ-генератора без отражений от концов замедляющей системы граничное условие выражает отсутствие ВЧ-поля на коллекторном конце системы

F\q=i = 0, (9.8)

где / — безразмерная длина лампы. Если рассматривается ЛОВМ- усилитель или ЛОВМ-генератор, в который вводится внешнее поле на коллекторном конце системы, то граничное условие принимает вид

(9.9)(9.9)歹 |д=/ = /(7),

(9.9)

(9.9)

где /(г) — комплексная амплитуда входного сигнала, которая может быть произвольной медленно меняющейся функцией времени.

Обычно получившуюся систему уравнений рассматривают в более простом виде. Для этого предполагают, что отрицательный электрод удален на бесконечность Уд —> оо. Введем новые переменные Yf = Y — —Уо,匕=匕一Уо, тогда вместо гиперболических функций в урав-

нениях появятся экспоненты, и заменой Z = ехр (У + /X) уравнения (9.4), (9.5) и (9.7) сводятся к следующим:

dZ dZ赤+而dZ dZ赤+而=川212,=川212,(9.10)(9.10)

dZ dZ赤+而

dZ dZ赤+而

=川212,

=川212,

(9.10)

(9.10)

(9.П)(9.П)齡-Ц d "(|Z| — |Za|)Z"Xo,0

(9.П)

(9.П)

где |Za| = exp (匕),граничные условия на коллекторном конце имеют вид (9.7), а при q = 0 Z|q=o = exp (JXo)- Уравнения (9.10), (9.11) позволяют сильно сократить затраты машинного времени при численном решении задачи, так как они не содержат трансцендентных функций.

Далее предположим, что амплитуда F — действительная величина. Это означает следующее.

Волне можно приписать определенную фазовую скорость, равную скорости потока (синхронизм).

Входной сигнал ЛОВМ-усилителя должен иметь действительную амплитуду.

Накладываются существенные ограничения на возможные начальные состояния потока и поля; последнее ограничение не имеет особого значения для ЛОВМ-генератора, поскольку нарастающее во времени решение, которое получается из линейной теории (и которое возможно использовать далее в качестве начального условия для нелинейных уравнений), удовлетворяет требованию синхронизма.

Введем новую величину Ф так, что

(9-12)(9.13)(9.14)(9-12)(9.13)(9.14)АФ АФ而+而

(9-12)

(9.13)

(9.14)

(9-12)

(9.13)

(9.14)

Ф|д = О = 0.

Тогда из уравнения (9.10) следует, что

卞 22卞 22Обозначим Z = ^ + Jt? и, отделяя в последнем уравнении действительные и мнимые части, получим

卞 22

卞 22

一

Сф = 0,^ I ф=о = cos X。，川①=0 — sinX。.

Решение этих уравнений имеет вид: 77 = sin Х°, § = sin X。• ctg (X。— —ФзЕХо), и уравнение возбуждения можно записать теперь следующим образом:

1 dF 8F и дт dq1 dF 8F и дт dq= G(0),= G(0),(9.15)(9.15)

1 dF 8F и дт dq

1 dF 8F и дт dq

= G(0),

= G(0),

(9.15)

(9.15)

где

С(Ф) = - [ sin Хо • ctg (Хо - Ф sin Хо) dX0 (9.16) 7Г J

Х1(Ф)

—функция Фейнштейна и Кайно [50] (рис. 9.2, на котором представлен вид функции G для различных К). Нижний предел интегрирования учитывает оседание электронов на замедляющую систему и определяется так: Х](Ф) = 0 при Ф W (1 — ехр [—匕]),и Х](Ф) есть решение трансцендентного уравнения

sinXi _ у'sin (Xi - Ф sin Xi) '

заключенное между 0 и тг, при Ф > (1 — ехр [—匕])• Отметим, что в отличие от работы [50], здесь нами не учитывается оседание электронов на отрицательный электрод, которое в общем-то несущественно. С дру-

Рис. 9.2. График функции С(Ф)Рис. 9.2. График функции С(Ф)стороны, учет оседания электронов на замедляющую систему является принципиально необходимым, поскольку, как будет показано ниже, без оседания невозможен устойчивый стационарный режим генерации.

Рис. 9.2. График функции С(Ф)

Рис. 9.2. График функции С(Ф)

Теперь задача свелась к решению нелинейной системы уравнений в частных производных (9.12) и (9.15) с учетом выражения (9.16). Далее для простоты ограничимся частным случаем и = 1, т. е. |°srp| =少°. Подставив уравнение (9.12) в (9.15), находим, что

@2ф^2ф

_______ + С(ф)= 0.(9.17)

Это квазилинейное дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка гиперболического типа — уравнение Клейна-Гордона (см., например, [51]) х).

Уравнение (9.17) имеет два семейства характеристик (рис. 9.3):

т — q = С\,т + q = С?,

(9.18)(9.19)(9.18)(9.19)1) Как отмечено в [52], уравнение Клейна-Гордона описывает нелинейное взаимодействие встречных волн. В рассматриваемом случае имеет место встречное движение электронного потока и потока мощности обратной волны в линии передачи.

(9.18)

(9.19)

(9.18)

(9.19)

которые обладают четким физическим смыслом. Вдоль характеристик первого семейства распространяются возмущения электронного потока, а вдоль характеристик второго семейства — возмущения поля. Если бы взаимодействие между потоком и полем отсутствовало (оно определяется членом G(0) в уравнении (9.17)), то возмущения распространялись бы в виде простых волн /](т — Q)и /2(^ + Q), т. е. состояние потока и амплитуда поля не менялись бы на характеристиках (9.18) и (9.19) соответственно.

Рассмотрим плоскость переменных (q, г) (см. рис. 9.3). Каждой

точке плоскости соответствует определенное состояние системы поток-высокочастотное поле, характеризующееся величинами Ф(д,т) и F(q, г) = ^^ + ^у. Как ясно из сказанного выше, в отсутствие взаимодействия состояние системы в точке А полностью определяет состояние потока и поля на отрезках характеристик АВ и АС

соответственно. При наличии взаимодействия электроны, движущиеся вдоль АВ, будут наводить поле в области I, а поле на АС будет группировать электроны, поступающие в область I. Следовательно, состояние системы в области I будет зависеть от состояния в точке А. Аналогичным образом можно показать, что состояние потока и поля в точке А определяется состоянием системы в области II. С другой стороны, состояния системы в областях III и IV и точке А никак не связаны, поскольку ни поток, ни поле не могут донести какое-нибудь возмущение из III и IV в А и наоборот (в принятом приближении).

Граничные условия для уравнения (9.17) ставятся так же, как и для системы уравнений (9.12) и (9.15), однако на коллекторном конце они записываются непосредственно для функции Ф с использованием определения (9.12). Так для ЛОВМ- генератора получаем

АФ дФ声+玩АФ дФ声+玩0.0.Рис. 9.3. Пространственно-

АФ дФ声+玩

АФ дФ声+玩

0.

0.

временная диаграмма

Остановимся теперь на вопросе о «необратимости» процесса оседания; это позволит уточнить область применимости рассматриваемой теории.

Будем следить за группой электронов, влетевших в пространство взаимодействия за период ВЧ-поля. Эти электроны «видят» амплитуду поля 歹(т — то, т); можно определить также значение Ф в каждый

Рис. 9.4. График функции W(Ф)Рис. 9.4. График функции W(Ф)Рис. 9.5. К пояснению физического смысла соотношений (9.22) и (9.24)Рис. 9.5. К пояснению физического смысла соотношений (9.22) и (9.24)

Рис. 9.4. График функции W(Ф)

Рис. 9.4. График функции W(Ф)

Рис. 9.5. К пояснению физического смысла соотношений (9.22) и (9.24)

Рис. 9.5. К пояснению физического смысла соотношений (9.22) и (9.24)

момент времени

一70,7) = j ь《一70()〃.

Если |Ф(т — то, т)| растет с течением времени, то с началом оседания будет расти и нижний предел в интеграле (9.16). Если затем Ф начнет уменьшаться, то предел интегрирования не должен уменьшаться в силу «необратимости» оседания из-за того, что электроны, попавшие на замедляющую систему более не попадут в пространство взаимодействия. А это значит, что интеграл (9.16) уже не будет только функцией Ф. Это затруднение возникает и в стационарной задаче, причем оно легко устраняется при численном решении уравнений [49], но приводит к значительному усложнению теории Фейнштейна и Кайно [50]. Поэтому далее не рассматриваем подобных случаев и сформулируем следующее условие применимости уравнения (9.17).

Уравнение (9.17) применимо, если после начала оседания функция Ф не убывает вдоль характеристики (9.18). Это, в свою очередь, справедливо, если функция F не меняет знака нигде в области оседания. Данное условие ограничивает возможности применения теории для исследования возбуждения высших типов колебаний в ЛОВМ.

Рассмотрим теперь некоторые общие свойства уравнений (9.10) и (9.11) нелинейной нестационарной теории ЛОВ М-типа безотносительно к каким-либо граничным условиям.

Закон сохранения энергии. Умножим обе части уравнения (9.17) на F и перепишем его в следующем виде:

^ (— +=- Мф)) '(9.22)

где

Ф7Г

И/(Ф) = — [с(Ф)"Ф =—丄[hl • /「叱。у、dXo (9.23) J7Г J Sin (Xo - Ф81пХо)

0X1(①)

(рис. (9.4)).

аб

Рис. 9.6. Фазовые портреты стационарных нелинейных волн огибающих в системе с распределенными параметрами, отрезок которой представляет собой модель ЛОВМ: а - V < 1; V2 > 1 (У^ = 3,0)

Следует ожидать, что соотношение (9.22) выражает закон сохранения энергии, поскольку величинам F2/2 и W(Ф) можно, очевидно, приписать смысл безразмерных средних плотностей энергии поля и потенциальной энергии электронов соответственно. Покажем, что это действительно так.

Рассмотрим участок пространства взаимодействия длиной Aq и интервал времени Дт (рис. 9.5). Пусть через сечение q за время Дт в объем Д V поступают электроны, суммарная потенциальная энергия которых есть W2(q)At, и выходит из объема энергия поля д(д)4т 1). Через сечение q + Aq за время Aq поступает энергия поля g(q + + Aq) Дт и выходят электроны с общей потенциальной энергией wi (q + + Aq)At. Составим теперь уравнение энергетического баланса в объеме Д V. Приращение энергии, заключенной в объеме Д V за время Дт,

равно

+ w2)AtAq = [w2(q) + 仅1(4 + Aq)-仪1(4)- w2(q + Aq)]. от

Если теперь перейти к пределу при Aq —> 0, то получим

(攸 1 + 攸2)=- W2).ОТoq(攸 1 + 攸2)=- W2).ОТoq(9.24)(9.24)

(攸 1 + 攸2)=- W2).

ОТoq

(攸 1 + 攸2)=- W2).

ОТoq

(9.24)

(9.24)

Соотношение (9.24) совпадает с соотношением (9.22), если положить 彼1 = F2/2 и W2 = W(Ф).

Стационарные нелинейные волны. Будем искать решение уравнения (9.17) в виде волн, распространяющихся с безразмерной скоростью V, т. е. в виде

ф = ф(д —1/т) = ф(—§),(9.25)

где —§ = q — Vt. Тогда уравнение (9.17) принимает вид:

"2фG&) _

Умножим обе части на ИФ/d^ и проинтегрируем. Будем иметь:

；借)const.(9.27)

Выражение (9.27) определяет семейство фазовых траекторий на плоскости переменных (Ф, d^/d^) (рис. 9.6). Если перейти в систему отсчета, движущуюся со скоростью V, то при V2 < 1 потоки энергии,

переносимые пучком и полем, направлены в противоположные стороны. В частности, при V = 0 уравнение (9.26) совпадает с уравнением,

Рис. 9.7. Профили стационарных нелинейных волн огибающих: а — V2 < 1; 5- V2 > 1 (匕=3,0)Рис. 9.7. Профили стационарных нелинейных волн огибающих: а — V2 < 1; 5- V2 > 1 (匕=3,0)описывающим стационарный режим ЛОВМ [50]. Если же V2〉 > 1, то в выбранной системе отсчета потоки энергии направлены в одну сторону, т. е. с точки зрения наблюдателя, находящегося в этой системе отсчета, поток взаимодействует с прямой волной (что аналогично ЛБВ М-типа). Указанные случаи принципиально отличаются, что находит свое выражение в различии фазовых портретов (ср. рис. 9.6 а и рис. 9.6 6). При V2〉 > 1 начало координат является особой точкой типа центра. Вблизи нее фазовые траектории представляют собой эллипсы. Замкнутые фазовые траектории соответствуют периодической зависимости Ф и ИФ/d^ от £ (рис. 9.7 а). Траектории, которые лежат в заштрихованных областях фазовой плоскости, не имеют смысла из-за «необратимости» оседания. При V2 > 1 начало координат становится особой точкой типа седла.

Рис. 9.7. Профили стационарных нелинейных волн огибающих: а — V2 < 1; 5- V2 > 1 (匕=3,0)

Рис. 9.7. Профили стационарных нелинейных волн огибающих: а — V2 < 1; 5- V2 > 1 (匕=3,0)

Замкнутых траекторий и периодических стационарных волн не существует: решение больше похоже на ударную волну (рис. 9.7 б). Сепаратриссе А на рис. 9.7 5 соответствует решение, обращающееся в нуль при § —> оо. До прохождения волны электроны имеют координату У' = 0 и неиспользованный запас по-

Рис. 9.8. Распределения амплитуды поля по длине ЛОВМ, найденные путем численного решения уравнения стационарной нелинейной теории (9.28) при 匕=3,0

тенциальной энергии. После прохождения волны все электроны оказываются осевшими на замедляющую систему. В теории нелинейных волн подобные решения носят название стационарных волн [51]. Таким образом, в неограниченной системе с распределенными параметрами, отрезок которой представляет собой модель ЛОВМ, могут существовать стационарные волны, форма которых определяется их скоростью и амплитудой.

3. Стационарные состояния ЛОВМ. Частным случаем рассмотренных стационарных волн являются стационарные состояния ЛОВМ. Если функции F и Ф не зависят от времени, то уравнение (9.17) принимает вид

斤+ G(0)=O・(9.28)

Положим @|q=o = 0, F\q=o = Fq = ^^ |. Эти условия определяют

решение уравнения (9.28), которое будет удовлетворять граничным условиям (9.8) и (9.18), если подобрать соответствующим образом величину Fq. Удобно обратить задачу: задать Fo и искать такую нормированную длину лампы, при которой выполняются нужные условия на коллекторном конце [50]. Результаты такого решения представлены на рис. 9.8. Применительно к ЛОВМ-генератору без отражений изображенные кривые можно интерпретировать следующим образом. При малых Fq нормированная длина близка к тг/2. С ростом Fo она вначале уменьшается, что связано с подъемом электронов к замедляющей системе, а затем оседание электронов на систему приводит к увеличению нормированной длины. Точки перегиба кривых, показанных на рис. 9.8, соответствуют началу оседания электронов на замедляющую систему.

Устойчивсть стационарных состояний ЛОВМ-генерато- ра. Предположим, что в каждой точке пространства взаимодействия величины Ф и 歹 мало меняются за время пролета электронов и прохождения волны через лампу. Тогда можно пренебречь второй произ-

водной по времени в уравнении (9.17), оставив первую производную по времени в граничном условии (9.20).

В этом случае распределение Ф в пространстве описывается уравнением (9.28), а изменение Ф и F во времени связано с тем, что ^^ | 济 0

и определяется уравнением (9.20). Пусть нуль производной ^- достигается в точке q = 4о(^Ь) /. Разлагая ^- в ряд вблизи точки q°, получим

(/ — 4о) = —G(0"(/ —窕), 4=40

где Ф/ = ^\q=i ^ ^\q=qo- И, наконец, используя условие (9.20), находим

(9.29)(9.29)dFо _ g(Ф0)(/-如(&)) 万= АФ//А&

(9.29)

(9.29)

Отсюда видно, что стационарные состояния определяются условием / = Qo(^o), которое представляет собой уравнение относительно выходной амплитуды.

Соотношением (9.29) можно пользоваться только при анализе влияния возмущений вполне определенного вида и в непосредственной бли

зости от стационарного состояния, соответствующего основному типу

колебаний, когда / ^ 4(^Ь)колебаний, когда / ^ 4(^Ь)и когда значение |f^| достаточно вели

колебаний, когда / ^ 4(^Ь)

колебаний, когда / ^ 4(^Ь)

ко, поскольку иначе нарушается условие медленности изменения Fq

за время пролета. Это соотношение позволяет частично исследовать найденные выше состояния на устойчивость 1).

Пусть Fq — амплитуда поля при q = 0 в некотором стационарном состоянии (т. е. q(歹о) = /). Дадим небольшую добавку Ь(т) к этой величине, так чтобы Fq = Fq + Ь(т). Тогда для величины 5 получим из соотношения (9.29) следующее уравнение:

dS drdS dr(9.30)(9.30)

dS dr

dS dr

(9.30)

(9.30)

Как следует из уравнения (9.22), ^^〉0, G(0"〉0 при Ф/〉0, так как рассматривается основной тип колебаний. Поэтому достаточное условие неустойчивости стационарного состояния Fq заключается в том, что функция Qo(^o) должна быть убывающей в окрестности ТОЧКИ Fq.

1) Мы говорим «частично», потому что устойчивость исследуется лишь относительно возмущений определенного вида, что недостаточно, вообще говоря, для заключения об устойчивости рассматриваемого состояния распределенной автоколебательной системы.

Рис. 9.9. Зависимость между амплитудой выходного сигнала в стационарном режиме и нормированной длиной ЛОВМ-генератора: х — неустойчивые состояния, • — состояния, удовлетворяющие необходимому условию устойчивости (по-видимому, устойчивые)Рис. 9.9. Зависимость между амплитудой выходного сигнала в стационарном режиме и нормированной длиной ЛОВМ-генератора: х — неустойчивые состояния, • — состояния, удовлетворяющие необходимому условию устойчивости (по-видимому, устойчивые)На рис. 9.9 показан график функции Qo(^o), из которого видно, что в отсутствие оседания все состояния ЛОВМ-генератора (за исключением тривиального случая F = О, Ф = 0) при q° < тг/2 неустойчивы. Состояния с оседанием не удовлетворяют сформулированному условию и, по-видимому, устойчивы. Тогда рис. 9.9 можно интерпретировать следующим образом. При увеличении нормированной длины лампы (например, путем увеличения тока луча) генератор не возбуждается до тех пор пока величина / не достигнет значения тг/2. После этого развивается нестационарный процесс, который завершается установлением состояния А с оседанием электронов на замедляющую систему и выходной амплитудой Fa- Если теперь увеличить или уменьшить безразмерную длину /, то соответственно увеличится или уменьшится амплитуда выходного сигнала. Уменьшая /, можно дойти до длины / = /в и амплитуды выходного сигнала Fb)после чего колебания сорвутся (т. е. в результате нестационарного процесса амплитуда уменьшится до нуля). Наличие описанного явления гистерезиса подтверждено экспериментально [25].

Рис. 9.9. Зависимость между амплитудой выходного сигнала в стационарном режиме и нормированной длиной ЛОВМ-генератора: х — неустойчивые состояния, • — состояния, удовлетворяющие необходимому условию устойчивости (по-видимому, устойчивые)

Рис. 9.9. Зависимость между амплитудой выходного сигнала в стационарном режиме и нормированной длиной ЛОВМ-генератора: х — неустойчивые состояния, • — состояния, удовлетворяющие необходимому условию устойчивости (по-видимому, устойчивые)

Численное моделирование нестационарных нелинейных явлений в ЛОВМ. Уравне

ние нестационарной нелинейной теории ЛОВМ (9.17) представляет собой дифференциальное уравнение в частных производных. Его численное решение заключается в замене дифференциальных операторов конечно-разностными. Значения функций 歹 и Ф ищутся в узлах сетки на плоскости переменных (q, г), имеющей шаг Aq по безразмерной координате и Дт по безразмерному времени. Будем обозначать каждый узел сетки двумя целыми числами m и п, а значения F и Ф в этом узле отмечать индексами тип. Была выбрана следующая разностная схема, аппроксимирующая уравнение (9.17) (или, точнее говоря, систему уравнений (9.12) и (9.15) при и = 1):

фп + 1 _ фПфП _ фП 1、

AT 十 羽 -C丿

+ 1 _ T^nгрП _ pin

“ △； “ -е = G(0^).(9.32)

В случае ЛОВМ-генератора граничные условия записываются как

Ф^ = 0,歹3=0, k = 0J2...,(9.33)

где (М + 1) — число узлов по пространственной координате q.

Начальные условия в предположении, что в линейном режиме нарастающим является только основной тип колебаний, зададим в виде

Ф^ = Asin ^1 - %2 m^q, Ф^ = Asin ^1 - %2 (/ - тД^), (9.34) где х — корни уравнения [25]

Н cos ,1 - %2 • / + х sin ,1 - %2 . / = О, которое связывает нормированную длину лампы / = 2кDN (7V — число замедленных длин волн на длине лампы) и величину %, определяющую характер изменения поля во времени. При тг/2 < / < Зтг/2 нарастающим является только один вид колебаний, т. е. только один корень уравнения имеет положительную действительную часть (Re %〉0).

Анализ устойчивости разностной схемы (9.31) и (9.32) показывает, что условие Куранта (см. лекцию 4 первого тома) в этом случае записывается в виде Дт < Aq.

Рассмотрим результаты расчета нестационарных нелинейных уравнений ЛОВМ для случая 匕=3,0, / = 1,8 с шагами Aq = 0,05 и Дт = =0,025. Расчет показал, что на протяжении всего процесса установления выполняется условие 歹〉0 и, следовательно, «необратимость» оседания не играет роли. Результаты расчета представлены на рис. 9.10 а. Каждый «кадр» соответствует фиксированному моменту времени и показывает зависимость амплитуды поля F и величины Ф, характеризующей состояние электронного потока, от координаты q. Обозначения и масштаб ясны из рис. 9.10 5, который показывает установившееся стационарное состояние, найденное путем численного решения уравнения стационарной теории (9.28) с использованием той же самой функции G®・

Ту часть пространства взаимодействия, на протяжении которой имеет место оседание электронов на замедляющую систему, будем называть областью оседания. На границе этой области Ф = 0,95; функция G имеет максимум G(0) ^ 4,2, поэтому взаимодействие наиболее эффективно. Для лучшего понимания развития процесса установления, описанного ниже, удобно следить за перемещением граничной точки области оседания. Положение этой точки в каждый момент времени также показано на рис. 9.10.

На рис. 9.11 представлена пространственно-временная диаграмма, построенная по результатам численного счета, на которой можно видеть траекторию максимума пространственного распределения амплитуды поля и граничной точки области оседания.

Используя рисунки 9.10 и 9.11, рассмотрим качественные особенности завершающего этапа процесса установления колебаний в ЛОВМ.

Время, т Описание происходящих процессов (см. рис. 9.10)

0,0 Заданы начальные условия (9.34). Амплитуда выходного сигнала составляет 0,2. Распределение 歹 и Ф в пространстве гармоническое.

Рис. 9.10. Распределение амплитуды поля F (сплошная линия) и величины Ф (штриховая линия) в пространстве взаимодействия на нелинейном этапе процесса установления в различные моменты времени при У^ = 3, / = 1,8, △q = 0,05, Ат = 0,025 (а); стационарное состояние, полученное путем численного решения (9.28) при тех же параметрах (б). Жирной точкой показана граница области оседания электронов на замедляющую систему

0 4- 4 Имеет место экспоненциальное нарастание поля во времени, как предсказывает линейная теория. Распределение поля в пространстве не меняется (это видно хотя бы из того, что не меняется положение максимума амплитуды, рис. 9.11).

5,75 Начали действовать нелинейные эффекты, связанные с подъемом электронов к замедляющей системе. Максимум функции Ф составляет примерно 0,8 и достигается вблизи коллекторного конца лампы. Поле в этой области быстро растет вследствие увеличения «эффективного сопротивления связи», поэтому максимум амплитуды поля смещается к коллекторному концу. Распределение поля в пространстве уже нельзя считать гармоническим.

6,0 Начинается оседание электронов на замедляющую систему вблизи коллекторного конца лампы. Вследствие этого движение максимума амплитуды к коллекторному концу прекращается; он на-

Рис. 9.11. Пространственно-временная диаграмма, построенная по результатам численного моделирования. Показана траектория максимума амплитуды и область оседания электронов на замедляющую систему (серый цвет)

чинает перемещаться к пушечному концу, двигаясь со скоростью близкой к групповой (на рис. 9.11 — практически по характеристике).

6,3 4- 6,5 Сильное поле в области максимума быстро поднимает электроны к замедляющей системе. Наиболее эффективная передача энергии электронов полю происходит вблизи граничной точки области оседания, которая практически совпадает с точкой максимума амплитуды. Вследствие этого величина максимума быстро растет, и он принимает форму резкого всплеска. Вблизи коллекторного конца лампы амплитуда поля уменьшается, так как в этой области осталось мало электронов (большая часть их осела на замедляющую систему), которые не могут навести значительного поля.

6,8 4- 7,0 Граничная точка области оседания отстает от вершины всплеска, так как он подошел уже близко к пушечному концу и даже сильное поле не успевает вывести на замедляющую систему электроны, только что влетевшие в пространство взаимодействия. Всплеск становится шире, поскольку наиболее эффективное взаимодействие происходит теперь на его заднем склоне.

7,25 Вершина всплеска дошла до пушечного конца лампы. В этот момент наблюдается максимум амплитуды выходного сигнала (рис. 9.12). Группировка электронов у пушечного конца происходит наиболее интенсивно, поэтому Ф быстро увеличивается с ростом q и граничная точка области оседания находится на минимальном расстоянии от пушечного конца.

7,5 4- 8,5 Всплеск прошел выход лампы; амплитуда поля по всей длине лампы уменьшается, так как пространство взаимодействия «опустошено» после прохождения всплеска. В момент г = 8,5 амплитуда выходного сигнала достигает минимума. Величина Ф также

уменьшается во всем пространстве взаимодействия; граница области оседания удаляется от пушечного конца. Это происходит потому, что электроны, испытавшие влияние прошедшего всплеска, непрерывно покидают пространство взаимодействия. На их место со стороны пушечного конца приходят «новые» электроны, которые группируются сравнительно слабым полем.

9 4- 9,5 Вошедшие в пространство взаимодействия электроны оказываются в состоянии навести более сильное поле. Распределение амплитуды вновь приобретает максимум (на этот раз достаточно плавный) вблизи середины пространства взаимодействия, ближе к пушечному концу, т. е. там, где находится теперь граница области оседания. Максимум, увеличиваясь, смещается к пушечному концу, вслед за ним смещается граница области оседания. Фактически все процессы повторяются, но в значительно более слабой степени.

10 4- 10,5 Максимум доходит до пушечного конца, а затем амплитуда выходного сигнала вновь начинает уменьшаться.

15,5 После нескольких затухающих колебаний устанавливается стационарное состояние с оседанием, которое соответствует решению уравнения стационарной теории (9.28) (см. рис. 9.10 б).

На рис. 9.13 те же результаты позволяющей сразу видеть характерНа рис. 9.13 те же результаты позволяющей сразу видеть характервремени и пространстве. На рис. 9.12 показано, как меняется во время описанного процесса амплитуда сигнала на выходе лампы. На этом же рисунке приведена зависимость амплитуды выходного сигнала от времени, полученная на основе линейной теории. Результаты линейной и нелинейной нестационарной теории совпадают на начальном этапе развития процесса. Как видно из рисунка, найденное по линейной теории время нарастания амплитуды выходного сигнала до значения, соответствующего амплитуде стационарного режима генерации, хорошо аппроксимирует время установления колебаний. Впрочем, указанное совпадение носит случайный характер, так как линейная теория не можетвремени и пространстве. На рис. 9.12 показано, как меняется во время описанного процесса амплитуда сигнала на выходе лампы. На этом же рисунке приведена зависимость амплитуды выходного сигнала от времени, полученная на основе линейной теории. Результаты линейной и нелинейной нестационарной теории совпадают на начальном этапе развития процесса. Как видно из рисунка, найденное по линейной теории время нарастания амплитуды выходного сигнала до значения, соответствующего амплитуде стационарного режима генерации, хорошо аппроксимирует время установления колебаний. Впрочем, указанное совпадение носит случайный характер, так как линейная теория не можетпредставлены в иной форме,изменения амплитуды поля вопредставлены в иной форме,изменения амплитуды поля во0,05,010,015,00,05,010,015,0Рис. 9.12. Зависимость амплитуды выходного сигнала ЛОВМ- генератора от времени в процессе установления. Сплошная линия 1 — результаты численного моделирования, штриховая линия 2 — результаты линейной теории, штрих-пунктирная линия 3—стационарная теория (F = 1,775)Рис. 9.12. Зависимость амплитуды выходного сигнала ЛОВМ- генератора от времени в процессе установления. Сплошная линия 1 — результаты численного моделирования, штриховая линия 2 — результаты линейной теории, штрих-пунктирная линия 3—стационарная теория (F = 1,775)заключительную стадию установления колебаний.заключительную стадию установления колебаний.описать процессы, определяющиеописать процессы, определяющие

На рис. 9.13 те же результаты позволяющей сразу видеть характер

На рис. 9.13 те же результаты позволяющей сразу видеть характер

времени и пространстве. На рис. 9.12 показано, как меняется во время описанного процесса амплитуда сигнала на выходе лампы. На этом же рисунке приведена зависимость амплитуды выходного сигнала от времени, полученная на основе линейной теории. Результаты линейной и нелинейной нестационарной теории совпадают на начальном этапе развития процесса. Как видно из рисунка, найденное по линейной теории время нарастания амплитуды выходного сигнала до значения, соответствующего амплитуде стационарного режима генерации, хорошо аппроксимирует время установления колебаний. Впрочем, указанное совпадение носит случайный характер, так как линейная теория не может

времени и пространстве. На рис. 9.12 показано, как меняется во время описанного процесса амплитуда сигнала на выходе лампы. На этом же рисунке приведена зависимость амплитуды выходного сигнала от времени, полученная на основе линейной теории. Результаты линейной и нелинейной нестационарной теории совпадают на начальном этапе развития процесса. Как видно из рисунка, найденное по линейной теории время нарастания амплитуды выходного сигнала до значения, соответствующего амплитуде стационарного режима генерации, хорошо аппроксимирует время установления колебаний. Впрочем, указанное совпадение носит случайный характер, так как линейная теория не может

представлены в иной форме,изменения амплитуды поля во

представлены в иной форме,изменения амплитуды поля во

0,05,010,015,0

0,05,010,015,0

Рис. 9.12. Зависимость амплитуды выходного сигнала ЛОВМ- генератора от времени в процессе установления. Сплошная линия 1 — результаты численного моделирования, штриховая линия 2 — результаты линейной теории, штрих-пунктирная линия 3—

стационарная теория (F = 1,775)

Рис. 9.12. Зависимость амплитуды выходного сигнала ЛОВМ- генератора от времени в процессе установления. Сплошная линия 1 — результаты численного моделирования, штриховая линия 2 — результаты линейной теории, штрих-пунктирная линия 3—

стационарная теория (F = 1,775)

заключительную стадию установления колебаний.

заключительную стадию установления колебаний.

описать процессы, определяющие

описать процессы, определяющие

Рис. 9.13. Зависимость амплитуды поля F от безразмерных времени т и координаты q, полученная в результате численного моделирования

В дальнейшем на основе методики построения нестационарной теории приборов с длительным взаимодействием, разработанной для ЛОВ М-типа, была построена нелинейная нестационарная теория карсино- трона, с помощью которой были исследованы и объяснены многие нелинейные явления при взаимодействии прямолинейного электронного потока с обратной электромагнитной волной, наблюдавшиеся в эксперименте (см. лекцию 13 первого тома). Позже на основе этой теории были подробно проанализированы нестационарные процессы, хаотическая динамика, явление синхронизации в различных системах типа «электронный поток-встречная (обратная) электромагнитная волна», на общем анализе которых остановимся в следующем параграфе лекции.

Общие замечания об автоколебаниях в системах«электронный поток-встречная (обратная)электромагнитная волна» 1)

В теории колебаний и волн в качестве примера неравновесной среды очень часто приводят системы типа «взаимодействующие электронный поток и электромагнитная волна». В указанных системах неустойчивость может быть связана с существованием волн с отрицательной энергией, т. е. волн, с ростом амплитуды которых общая энергия системы «среда-волна» уменьшается. Наиболее известные примеры таких волн — медленная волна пространственного заряда (МВПЗ) и медленная циклотронная волна (МЦВ), о которых шла речь в третьей лекции первого тома. Взаимодействие волн с отрицательной энергией с волнами с положительной энергией и с поглощающей средой приводят к неустойчивости: отдавая энергию, такая волна нарастает по ампли-

1) При написании этого параграфа были использованы материалы статьи Д.И. Трубецкова и А.П. Четверикова [38].

туде. Физические механизмы, обуславливающие неустойчивость, могут быть связаны с черепковской или циклотронной неустойчивостями и, в частности, с аномальным эффектом Доплера.

Для возникновения автоколебаний неустойчивость должна быть либо абсолютной, либо глобальной. Обе неустойчивости имеют место при наличии обратной связи. Если система не кольцевая, то обратная связь реализуется при взаимодействии электронного потока с обратной электромагнитной волной (с противоположно направленными фазовой и групповой скоростями) или со встречной волной. Причем встречные волны возникают как при отражении от стенок (есть резонатор), так и из-за специфики процессов взаимодействия.

Особенностью анализа процессов в системе «электронный поток- встречная электромагнитная волна» (задача о неравновесной среде) является то, что все процессы можно описать лишь в рамках самосогласованной теории. Математически такая теория формулируется в виде двух блоков уравнений (обычно в дифференциальной форме):

линейное уравнение возбуждения электромагнитного поля в волноведущей системе током электронного пучка;

нелинейные, в общем случае, уравнения, описывающие процессы в электронном пучке (активной среде) под действием поля.

В такой постановке к данной задаче можно применить общие методы теории волновых процессов и нелинейной динамики. При этом колебательно-волновые процессы в распределенной автоколебательной системе можно трактовать как процессы взаимодействия волн, имеющих противоположные групповые скорости, — нелинейной электронной волны (или волн) 1) и линейной электромагнитной волны.

Примечательным является то, что при определенных условиях уравнение электромагнитной волны остается одним и тем же для разных автоколебательных систем; различаются лишь уравнения «активной» среды — электронной волны. Благодаря этому можно провести сравнительный анализ систем «электронный поток-встречная волна» с различными механизмами взаимодействия электронного потока с электромагнитным полем с достаточно общих колебательно-волновых позиций, что и является основной целью настоящего параграфа лекции.

Рассмотрим качественно взаимодействие волн в электродинамической волноведущей системе, заполненной активной средой — электронным потоком. В данном случае термин «поток» подразумевает, что все электроны, заполняющие пространство взаимодействия, имеют компоненту скорости 17ц, направленную вдоль оси z электродинамической структуры (для определенности — в положительном направле-

1) Конечно, следует сразу подчеркнуть условность термина «нелинейная электронная волна»: на самом деле, речь идет об эволюции возмущений и описывающих ее уравнениях активной среды — электронного потока. Акцент на условности этой удобной в дальнейшем терминологии делается потому, что в электронных потоках есть и «настоящие» электронные волны (см. лекции 3 и 4 первого тома).

нии, и, следовательно, — запас «продольной» кинетической энергии. Кроме того, электроны могут смещаться и в поперечной плоскости пространства взаимодействия, в частности, совершать колебательные движения, обладая запасом «поперечной» кинетической энергии (электроны-осцилляторы) .Известно, что в таком потоке — активной среде —могут существовать высокочастотные возмущения в виде волн с групповыми скоростями, равными по величине 17ц при малом уровне возмущений. Предположим, что в электродинамической структуре может распространяться электромагнитная волна с групповой скоростью 少гр ^ —1^||I，причем фазовая скорость волны 少小 может быть как отрицательной (vф ТТ vrp — встречная волна), так и положительной (vф TJ vrp — обратная волна, которая обычно реализуется в периодической электродинамической системе в виде обратной пространственной гармоники). При определенных условиях волны в потоке и встречная электромагнитная волна могут эффективно взаимодействовать. Пусть, например, в начальный момент времени 力=0 электронная и электромагнитная волны возникают в виде шумовых возмущений, имеющих естественное происхождение (дробовой шум, тепловые шумы и т. п.) или появляющихся при формировании электронного потока. Амплитуды возмущений малы, поэтому на начальной стадии колебаний процесс в системе может рассматриваться как взаимодействие линейных волн. Отдельные компоненты электронной и электромагнитной волн, т. е. их пространственно-временные фурье-компоненты будут взаимодействовать эффективно, если выполняется условие временного (gi ^ 幻2) и пространственного (少小i(gi) ^ 少小2(幻2)) резонансов. Здесь gi и 幻2 一 частоты компонент «холодных» (в отсутствие взаимодействия) электромагнитной и электронной волн,。小i и 少小2 — их фазовые скорости.

Разумно предположить, что в такой системе, конкретную реализацию которой не оговариваем, может наблюдаться абсолютная неустойчивость, поскольку групповые скорости волн направлены в разные стороны, а одна из волн — волна активной среды. Если к тому же для рассмотренных волн удовлетворяются и граничные условия на концах ограниченной в пространстве системы (в таком виде она реализуется практически), то в ней будет происходить нарастание колебаний во времени 1) по экспоненциальному закону (линейная стадия переходного процесса) до тех пор, пока за счет нелинейных эффектов в электронном потоке не произойдет установление некторого стационарного режима колебаний (под термином «стационарный» здесь понимается любой установившийся режим — одночастотный, периодический, ква- зипериодический, хаотический). Свойства такого режима зависят от нелинейных свойств электронной волны. Таким образом, в рассматри-

1) Если эти условия не выполняются, то амплитуды колебаний остаются на уровне шумовых возмущений. Это так называемый предгенерационный режим, который с точки зрения теории динамических систем соответствует состоянию устойчивого равновесия, т. е. не является автоколебательным (подробнее см., например, коллективную монографию [25]).

ваемом процессе можно выделить три характерных этапа: линейная стадия переходного процесса, нелинейная стадия переходного процесса, режим установившихся стационарных колебаний. Проанализируем их отдельно, начав с рассмотрения линейных колебаний в рамках модели взаимодействующих линейных волн.

Учтем, что спектр частот, для которых реализуется эффективное взаимодействие волн, лежит около частоты 运,определяемой из условия точного пространственного резонанса 少小1(运)^ 少小2(运)• Его ширина Acj зависит от величины коэффициентов связи между волнами и в стандартных для СВЧ-электроники ситуациях удовлетворяет условию Acj《 运.Более того, из-за встречных направлений групповых скоростей волн и продольные волновые числа h взаимодействующих компонент также удовлетворяют аналогичному условию Д/z《А, где h =6(运).

Будем рассматривать далее только «одномерную» эволюцию волн в предположении, что все возможные поперечные распределения характеристик волн Ф(г) заданы и неизменны. Сказанное позволяет анализировать только процессы с узкополосным спектром частот и волновых чисел в окрестности точки (2, h) пересечения дисперсионных характеристик «холодных» волн на диаграмме Бриллюэна g = g(/z). В этом есть важное достоинство: нет нужды знать всю дисперсионную характеристику, и колебательные процессы в системах различного типа со встречной (или обратной) волной могут быть исследованы в рамках единой достаточно общей модели. К таким системам относятся ЛОВ типа О (см. лекции 12, 13 первого тома) и типа М (см. предыдущий параграф, а также [25,26]), гиро-ЛВВ (лекция 1(16)), пениотрон на встречной волне (лекция 1(16), а также [53-56]), ЛОВ на аномальном эффекте Доплера [57], ЛОВ с поперечным полем (лекция 7(22)) [58] и т. д.

Из предположения об узкополосности временного и пространственного спектров следует, во-первых, возможность разделения «быстрых», соответствующих эволюции с частотой 〜运,и «медленных», соответствующих эволюции с частотами 〜Acj, переменных в описании процессов взаимодействия. Во-вторых, это предположение позволяет единообразно описывать электродинамическую часть задачи для разных ламп со встречной волной (ЛВВ). Более того, на линейной стадии процесса и описание электронных волн в простейших моделях всех известных ЛВВ сводится к анализу всего двух характерных разновидностей волн, соответствующих, за редким исключением, инерционному и силовому (безынерционному) типам фазировки электронов. Покажем это.

Для любой частоты g из полосы Acj верно соотношение 1)

g =运 + (^^) (/z — /z) = 2 — |vrpi|(^ —九)， (9.35)

) Для этого необходимо только, чтобы в полосу △о; не попадали критические частоты электродинамической системы.

поэтому амплитуда электромагнитной волны может быть представлена в виде

Е =咼屮石⑺ь(生方"@一良)，(9.36)

где безразмерная комплексная амплитуда 歹(z,力)медленно меняется по сравнению с функцией exp J(运力—hz)^, и ее эволюция в отсутствие связи с электронной волной описывается в соответствии с (9.35) уравнением

dF ,5F _ 而-叽p"k°・dF ,5F _ 而-叽p"k°・(9.37)(9.37)

dF ,5F _ 而-叽p"k°・

dF ,5F _ 而-叽p"k°・

(9.37)

(9.37)

Если же эта волна взаимодействует с электронной волной J = = 7qW//(z,力)exp J(运力—hz)^ с безразмерной медленно меняющейся амплитудой /(z,力),то уравнение (9.36) заменяется на неоднородное уравнение (нестационарное уравнение возбуждения волноведущей системы заданным током (формула (1.102) первого тома):

dF , 力 F而一叽pi次dF , 力 F而一叽pi次(9.38)(9.38)

dF , 力 F而一叽pi次

dF , 力 F而一叽pi次

(9.38)

(9.38)

где Ф£； и Ф/ — векторные функции поперечного распределения амплитуд электромагнитной и электронной волн соответственно, /о ——постоянный ток электронного пучка, £i — параметр связи. Уравнение возбуждения (9.38) является универсальным для всех рассматриваемых систем, в отличие от уравнений, описывающих эволюцию амплитуды электронной волны.

При взаимодействии электромагнитной волны с единственной парциальной электронной волной 1) (эта ситуация реализуется во всех системах с силовой и в отдельных системах с инерционной группировкой электронов в потоке; см., например, [51,59-61]) справедливо уравнение

^ + 他层=-€2艮 (9.39)

В этом случае в системе происходит двухволновое взаимодействие.

Если же электромагнитная волна взаимодействует одновременно с двумя электронными вырожденными волнами, т. е. имеющими одинаковые (близкие) дисперсионные характеристики в полосе △g, то реализуется случай трехволнового взаимодействия, которому соответствует уравнение электронной волны

+ / =結2 艮 (9.40)

1) При малом уровне возмущений в электронном потоке электронная волна может являться суперпозицией линейных (нормальных) волн — волн пространственного заряда, циклотронных волн и т. п.

Здесь £2 — коэффициент связи, причем £2 〜\Еэф\2/Ро, где Еэф — напряженность резонансной компоненты поля, эффективно взаимодействующей с электронной волной,居—поток мощности электромагнитной волны, V|| играет роль групповой скорости электронной волны.

Уравнения (9.37)—(9.40) неоднократно обсуждались выше в лекциях применительно к приборам с длительным взаимодействием О-типа (ЛБВО и ЛОВО), гироприборам и устройствам плазменной электроники.

Считая в дальнейшем, что W「pi| = ^ц 1) введем безразмерное время

=运力е и продольную координату § = hzs, где е =、&\&? 《1 для систем с двухволновым взаимодействием и е =弋&\&? <С 1 для систем с трехволновым взаимодействием.

В новых переменных уравнения (9.38)—(9.40) будут выглядеть следующим образом:

(9.41)(9.41)dF dF_

(9.41)

(9.41)

3/3/「B灰=一个3/3/「B灰=一个дt 然

3/3/「

B灰=一个

3/3/「

B灰=一个

(9.42)

(9.43)

Данная форма записи уравнений (9.41)—(9.43), соответствующая лабораторной системе координат, не самая удобная для анализа. При рассмотрении двух взаимодействующих волн всегда имеется возможность заменой переменных исключить в одном из уравнений эволюции волн временную или пространственную производную. Наиболее удобной здесь является использование системы отсчета «со смещенным отсчетом времени» г = (г — ^) /2, в которой уравнения (9.42) и (9.43) преобразовываются к следующему виду:

91灰91灰(9.44)(9.44)

91

灰

91

灰

(9.44)

(9.44)

才="•(9.45)

При этом форма уравнения возбуждения (9.41) не изменятся:

修 + ^) I=jK(946)

1)Такое равенство всегда можно реализовать путем выбора соответствующей системы координат, в которой взаимодействующие волны распространяются в разные стороны с одинаковой скоростью

Покажем, что в системах, описываемых уравнениями (9.41), (9.42), (9.41)—(9.43) или (9.44)—(9.46), (9.45), (9.46), реализуется абсолютная неустойчивость.

Полагая 歹，/ ~ ехр /(幻〒—九§)], где g и 九一безразмерные «медленные» частота и волновое число в лабораторной системе координат, из (9.41) и (9.42) получим для двухволнового случая дисперсионное уравнение

Л2—“2 = 1. (9.47)

Заметим, что двухволновое взаимодействие является простейшим случаем взаимодействия линейных волн и его свойства хорошо изучены [25,51,59]. Однако именно в этом случае удобно показать применение методов анализа характера неустойчивости в системе взаимодействующих линейных волн.

Напомним, что согласно критерию Стэррока-Бриггса (см., например, [62]), в системе существует абсолютная неустойчивость, если в решении дисперсионного уравнения А = 6(g) имеются два корня /и,2, которые при Ima —> оо лежат по разные стороны действительной оси в плоскости комплексных h〉а при уменьшении величины |Imcj| сближаются, причем значения ha и g。, при которых они сливаются (hi((va)=九2(幻0)= ha) определяют асимптотическое поведение начального состояния волны

ь⑺〜(9.48)

В случае взаимодействия волн, распространяющихся в разные стороны, такие два корня всегда есть и, как нетрудно видеть из уравнения (9.47),

За = -J, ha = 0. (9.49)

Поэтому в системе действительно реализуется абсолютная неустойчивость с асимптотическим поведением возмущения во времени и пространстве по закону

歹⑺〜(9.50)

Это означает, что из всех возможных возмущений c\h\ < 1, существование которых следует из решения уравнения (9.47)

G = 土，九2 — 1 , (9.51)

с течением времени выделяется возмущение с наиболее «гладким» пространственным распределением с Л = 0, максимальным инкрементом Im cj = —1 и частотой Re g = 0, соответствующей точному синхронизму невзаимодействующих волн.

В случае трехволнового взаимодействия удобно провести исследование характера неустойчивости в системе со смещенным отсчетом времени на основании уравнений (9.45) и (9.46). Дисперсионное уравнение

имеет видимеет вид

имеет вид

имеет вид

(9.52)(9.52)h3 + шН2 -1 = (h- б/ 仇-h3),

(9.52)

(9.52)

^23 ^2

где ha = —— (―1 + j\/5) и а。=(1 — J\/^). Тогда в лабораторной

4

системе координат имеем

ь(可〜±ёхp [端〒一窑6]ь(可〜±ёхp [端〒一窑6](9.53)(9.53)

ь(可〜±ёхp [端〒一窑6]

ь(可〜±ёхp [端〒一窑6]

(9.53)

(9.53)

Из сравнения соотношений (9.48) и (9.53) следует, что в последнем случае максимальный инкремент нарастания имеют возмущения с частотой, отличающейся от частоты точного синхронизма, поскольку с электромагнитной волной взаимодействуют одновременно две вырожденные парциальные электронные волны.

(9.54)(9.54)Приведенный выше способ установления характера неустойчивости относится к безграничным электронным системам со встречной (обратной) волной. Реально же рассматриваемые системы всегда имеют конечную длину, т. е. взаимодействие электромагнитной и электронной волн происходит на ограниченном участке пространства (пространство взаимодействия). При этом амплитуды волн должны удовлетворять следующим граничным условиям:

(9.54)

(9.54)

/|е=о = о,

F\^=a = 0,(9.55)

где А — безразмерная длина пространства взаимодействия (А = his, / — геометрическая длина пространства взаимодействия). Первое из них соответствует отсутствию высокочастотных возмущений электронного пучка на входе в пространство взаимодействия, второе — отсутствию воздействия внешнего электромагнитного сигнала на систему. Это означает, что электронная волна является волной с отрицательной энергией (для трехволнового взаимодействия по крайней мере одна из электронных волн — волна с отрицательной энергией), поскольку электромагнитная волна переносит положительный поток мощности, и он на входе в пространство взаимодействия равен нулю. Действительно, только в этом случае возможно возбуждение электромагнитной волны за счет передачи ей энергии от электронной волны, амплитуда которой на входе в пространство взаимодействия равна нулю. Отметим однако, что не всегда она может быть интерпретирована как одна из стандартных волн с отрицательной энергией электронного пучка, т. е. с медленной волной пространственного заряда, медленной циклотронной волной или синхронной волной. В некоторых случаях возбуждаются волны с отрицательной энергией более сложной природы, например, в пениотроне со встречной волной или гиро-ЛВВ (см. лекция 1(16)).

Конечность длины / пространства взаимодействия приводит к тому, что не все возможные возмущения с волновыми числами, определен-

Рис. 9.15. Зависимости инкрементов ае& линейных мод от безразмерной длины пространства взаимодействия А в модели с двухволновым взаимодействиемРис. 9.15. Зависимости инкрементов ае& линейных мод от безразмерной длины пространства взаимодействия А в модели с двухволновым взаимодействиемРис. 9.14. Пространственные распределения амплитуд /&(£) линейных мод с низкими номерами в модели с двухволновым взаимодействием при безразмерной длине системы 厶=8,0

Рис. 9.15. Зависимости инкрементов ае& линейных мод от безразмерной длины пространства взаимодействия А в модели с двухволновым взаимодействием

Рис. 9.15. Зависимости инкрементов ае& линейных мод от безразмерной длины пространства взаимодействия А в модели с двухволновым взаимодействием

ными условиями реализации абсолютной неустойчивости, могут развиваться в системе. Возбуждаются лишь те из них, для которых возникающие пространственные возмущения амплитуд электромагнитной и электронной волн удовлетворяют граничным условиям (9.54), (9.55). Определим их сначала для двухволнового взаимодействия, используя уравнения (9.44) и (9.46). Пусть

Н&т) ~ Сехр^(丁 -介£)],(9.56)

тогда

/(w, 7)外0/6)exp U(t -66)],(9.57)

причем ш п h связаны дисперсионным уравнением

Л2 —g6+1 = 0,(9.58)

так что

九=g/2±，g2/4—1.(9.59)

Подставляя решение (9.56) и (9.57) в формулу (9.44) и учитывая граничные условия (9.54) и (9.55), получим, что амплитуда поля представляется суперпозицией линейных мод (собственных видов колебаний)

歹(§，т) £ 以九(S) exp [;Ъ^(А)т](9.60)

с функциями распределения /店(§) (рис. 9.14, взятый из монографии [25]), частотами Rec^ = 0 и инкрементами 2队=—Imcj^, определенными из уравнения

tg (，1 - as2 %)=_"二出一.

Из рис. 9.15 [25] следует, что инкременты 2ае (коэффициент «2» введен для удобства), являющиеся функциями параметра А, образуют

дискретный ряд. Значение А, при котором наибольший из инкрементов (в данном случае aei, если пронумеровать их в порядке убывания величины) перестает быть отрицательным, будем называть пусковым значением Ап. Нетрудно видеть, что Ап = 4=1 = »/2, где А^ определяются как пороговые значения для k-й моды (ае^(А^) = 0).

Очевидно, что при А < Ап возмущения в системе не нарастают, и она находится в состоянии устойчивого равновесия (предгенерацион- ный режим). При А > Ап состояние равновесия становится неустойчивым. При этом асимптотическое поведение 歹(т,§) при достаточно малой величине начального возмущения определяется выражением

歹(£，т) = £Q/i(W)exp(2aeiT). (9.61)

Оно практически не зависит от того, сколько собственных мод имеет положительный инкремент, поскольку инкремент первой моды всегда больше инкрементов других мод с менее гладкими («многогорбыми», см. рис. 9.14) пространственными распределениями, а их начальные амплитуды примерно одинаковы и малы. Отметим характерную особенность двухволнового взаимодействия: все собственные моды имеют одинаковую частоту Rec^ = 0.

Таким образом, безразмерная длина системы А (пропорциональная квадратному корню из тока электронного потока) является ее бифуркационным параметром, значение А = Ап — первым бифуркационным значением, а инкремент 2aei и функция пространственного распределения амплитуды /1 (§) определяют асимптотическое поведение амплитуд электромагнитной и электронной волн на линейной стадии переходного процесса, т. е. процесса установления колебаний. Длительность густ этой стадии может быть оценена как [38]

где значение 居 определяет (хотя бы по порядку величины) значение амплитуды поля, при котором становятся заметными нелинейные эффекты в электронном потоке.

Для трехволнового взаимодействия анализ проводится аналогично [25]. Из него следует, что комплексная частота 幻店 определяется из уравнения

Ji exp [SiА] Ь^ехр®%] J| exp [J3А]

bi 加 Ьз = 0, (9.62) 1 2 3

где Ь1,2,з — корни дисперсионного кубического уравнения

*(Ь - ;Ъ) = ;. (9.63)

Результаты решения показывают, что теперь Ап = Ai = 1,974, 4 = =3,7 и т. д., но качественная картина развития неустойчивости при А〉 > Ап на этом этапе установления колебаний в распределенной активной

среде практически не отличается от рассмотренной для двухволнового взаимодействия.

При достижении амплитудой 歹(§, г) достаточно больших значений начинают проявляться нелинейные свойства электронных волн, которые могут быть весьма разнообразными и определяются механизмами взаимодействия электромагнитной и электронной волн. Кратко опишем системы, которые наиболее интересны для сверхвысокочастотной электроники и соответствуют реальным устройствам. Будем указывать для каждой системы уравнение для амплитуды волны тока, вид дисперсионного уравнения (рис. 9.16, на котором на диаграмме Бриллюэна штриховыми кружочками указан интервал частот и волновых чисел, где волны эффективно взаимодействуют), характер взаимодействия. Многие из нижеперечисленных систем нами были уже подробно изучены в курсе лекций. Не будем подробно останавливаться на них.

ЛОВ типа О. Амплитуда волны тока в системе координат со смещенным отсчетом времени определяется следующей системой уравнений (без учета пространственного заряда):

/ = - [争=-Re ｛歹,

"k=o = "o, "o e (0, 2тг),= о,

где и — фаза колебаний электронов, “о — начальная фаза, равномерно распределенная в интервале (0, 2тг). Нелинейность в этой системе определяется нелинейной функцией ехр (/〃) и характерной «интегральной» нелинейностью, которая не позволяет сформулировать дифференциальное уравнение относительно амплитуды волны тока /(§,т). Это связано с неидентичностью нелинейного поведения различных электронов, формирующих волну тока из первоначально однородного потока, для которой функция / является интегральной характеристикой. Характер взаимодействия в ЛОВО является инерционным, а механизм излучения — черепковским.

С учетом сил пространственного заряда и потерь в линии передачи уравнения, описывающие динамику нерелятивистской ЛОВО, имеют вид

Г'

“ln=i_

27r

/n = -- e-^nw du0,

7Г、

0

аа力3 —①(〃2_g)_}g_ 1 =0力3 —①(〃2_g)_}g_ 1 =0用 2-(0力+1=06用 2-(0力+1=06用3一①力2+〃一卩=0用3一①力2+〃一卩=0力 2-(0用+1=0力 2-(0用+1=0Рис. 9.16. Диаграмма Бриллюэна и форма дисперсионного уравнения для следующих систем типа «электронный поток-встречная (обратная) электромагнитная волна»: а — ЛОВ типа О; 6 — гиро-ЛВВ; в — пениотрон на встречной волне; а — ЛОВ на аномальном эффекте Доплера; д — ЛОВ с поперечным полем; е — ЛОВ типа МРис. 9.16. Диаграмма Бриллюэна и форма дисперсионного уравнения для следующих систем типа «электронный поток-встречная (обратная) электромагнитная волна»: а — ЛОВ типа О; 6 — гиро-ЛВВ; в — пениотрон на встречной волне; а — ЛОВ на аномальном эффекте Доплера; д — ЛОВ с поперечным полем; е — ЛОВ типа МdF 8FdF 8F+ d•ь=+ d•ь=厶,厶,I3"I3"=0,歹 =0,£=0伍=4=0,歹 =0,£=0伍=4

а

а

力3 —①(〃2_g)_}g_ 1 =0

力3 —①(〃2_g)_}g_ 1 =0

用 2-(0力+1=0

6

用 2-(0力+1=0

6

用3一①力2+〃一卩=0

用3一①力2+〃一卩=0

力 2-(0用+1=0

力 2-(0用+1=0

Рис. 9.16. Диаграмма Бриллюэна и форма дисперсионного уравнения для следующих систем типа «электронный поток-встречная (обратная) электромагнитная волна»: а — ЛОВ типа О; 6 — гиро-ЛВВ; в — пениотрон на встречной волне; а — ЛОВ на аномальном эффекте Доплера; д — ЛОВ с поперечным полем; е — ЛОВ типа М

Рис. 9.16. Диаграмма Бриллюэна и форма дисперсионного уравнения для следующих систем типа «электронный поток-встречная (обратная) электромагнитная волна»: а — ЛОВ типа О; 6 — гиро-ЛВВ; в — пениотрон на встречной волне; а — ЛОВ на аномальном эффекте Доплера; д — ЛОВ с поперечным полем; е — ЛОВ типа М

dF 8F

dF 8F

+ d•ь=

+ d•ь=

厶,

厶,

I3"

I3"

=0,歹 =0,

£=0伍=4

=0,歹 =0,

£=0伍=4

где /п — комплексная амплитуда n-й гармоники ВЧ-тока электронного пучка, q — параметр пространственного заряда, d — параметр

37*

холодных потерь (см. лекцию 10 первого тома), остальные обозначения совпадают с определенными выше.

Заметим, что вышесформулированная модель ЛОВО может рассматриваться как базовая однопараметрическая электронно-волновая система с инерционной нелинейностью. В лекции 13 первого тома рассматривалась также такая модификация ЛОВО как релятивистский карсинотрон (это приводит к замене вышеприведенных уравнений для волны тока).

Гиро-ЛВВ. Модель гиро-ЛВВ подробно обсуждалась в лекции 1(16) (см. формулы (1.185)—(1.187)). Здесь лишь отметим, что в ней реализуется инерционный характер взаимодействия и имеет место циклотронное излучение.

Пениотрон на встречной волне. Исторически пениотрон исследован позднее других систем с силовой фазировкой, однако его автоколебательные режимы исследованы наиболее подробно среди аналогичных систем. В рамках простой модели взаимодействия эволюция электронной волны в пениотроне на встречной волне описывается уравнением

费 + / =切一s +1)7]

|/|2 = (1-7)7р,

где р = 1,2,... — порядок циклотронного резонанса, 7 — нормированная энергия электронов ()k=o = 1), // — параметр неизохронности (см. лекция 1(16)).