Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ПРЕДИСЛОВИЕ
Самый успешный путь обучения — проделать все самому и учиться на собственных ошибках. Лучше этого пути нет. Еще один хороший путь — наблюдать, как кто-то проделывает это. Третий путь — слушать лекции о том, как и что делать; и последний стоящий путь — прочитать об этом.
Р. Компфнер
У книг по сверхвысокочастотной (СВЧ) электронике, в основном, два стиля. Наиболее распространенный можно назвать техническим. В соответствии с этим стилем большую часть книги занимает описание конструкций и параметров соответствующих приборов, разумеется, с изложением основ их физики и элементов теории. Типичной книгой, написанной в этом стиле, является известный учебник И.В. Лебедева «Техника и приборы СВЧ» (Том I. Техника СВЧ, М.: Высшая школа, 1970 и Том II. Электровакуумные приборы СВЧ, М.: Высшая школа, 1972). Второй стиль — физический. По-настоящему в этом стиле написана, по нашему мнению, лишь одна книга — книга Л.А. Вайнштейна и В.А. Солнцева «Лекции по сверхвысокочастотной электронике» (М.: Сов. радио, 1973). Эта книга уникальна и останется на все времена, пока существует СВЧ-электроника. Но с момента её издания прошло почти тридцать лет. Книга не устарела, но стала неполной: она не отражает сегодняшнего дня СВЧ-электроники. Кроме этого, с появлением вакуумной и плазменной релятивистской электроники, лазеров на свободных электронах и вакуумной микроэлектроники к исследованиям подключились физики, не имеющие систематического образования в СВЧ-электронике. Сказанное определило появление предлагаемых читателю лекций. Это действительно лекции, которые в разном виде (общий курс, спецкурсы) читались студентам-радиофизикам Саратовского государственного университета, на Саратовских школах-семинарах по электронике СВЧ и радиофизике, на соответствующих предприятиях и в НИИ. Поскольку в последнее время оба автора занимаются нелинейной динамикой, под которой сами понимают современную теорию колебаний и волн, в книге широко используются представления и методы этого нового междисциплинарного направления в науке. В частности, использованы элементы курса лекций «Нелинейная динамика и сверхвысокочастотная электроника», который один из авторов (Д .И. Трубецков) прочитал в июне 2001 года в Сеульском национальном университете (Корея).
Ещё одна особенность лекций — в них определённое место занимает история сверхвысокочастотной электроники. М.В. Волькенштейн
в своей книге «Перекрестки науки» (М.: Наука, 1972) писал: «Есть физики — и очень хорошие физики, которые не интересуются историей своей науки. Мне это не импонирует. Мне всегда казалось, что знание истории науки, более того, знание творческих индивидуальностей, её развивающих, очень обогащает мысль. В отличие от искусства наука объективна, она имеет дело с независимыми от человека законами природы. Но наука так же как и искусство, создаётся людьми, она есть и познание и творчество. Интересны не только окончательные результаты исследования, но и путь, который к ним привёл, в особенности, если этот путь был найден великим интеллектом». С этим трудно не согласиться, тем более потому, что основные идеи СВЧ-электроники выдвинули не только физики, но и лётчик Сигурд Вариан, гуманитарий Хэлл и архитектор Компфнер.
Основное внимание в книге уделено детальному описанию физических явлений, возникающих при взаимодействии электронных потоков с электромагнитными полями. Математические выкладки приводятся подробно. В ряде случаев даны алгоритмы численного решения задач на ЭВМ. Последнее авторам кажется особенно важным, потому что через всю книгу проходит попытка показать тесную связь сверхвысокочастотной электроники с современной нелинейной теорией колебаний и волн, которая невозможна без вычислительного эксперимента.
Список литературы к каждой лекции не является полностью исчерпывающим и охватывает, как правило, те работы, которые непосредственно использовались при написании лекции. В Предисловии нет краткого изложения каждой лекции, поскольку дано расширенное оглавление, повторяющееся перед текстом каждой из лекций.
Подчеркнём, что первая часть книги будет полезна как раз для физиков, которые не изучали систематически СВЧ-электронику в университете (книга получилась очень объёмной и пришлось разбить её на два тома). В первом томе излагаются основные понятия, методы и модели «классической» сверхвысокочастотной электроники. Рассматриваются такие, уже ставшие привычными, приборы как клистроны, магнетроны, лампы бегущей и обратной волны. Во втором томе пойдет речь о таких современных областях иследований в электронике как взаимодействие криволинейных электронных потоков с электромагнитными волнами; лазеры на свободных электронах; сверхизлучение в электронных потоках; плазменная СВЧ-электроника; сверхмощные релятивистские генераторы высокочастотного излучения; вакуумная микроэлектроника.
Лекции предназначены для физиков различных специальностей, интересующихся процессами взаимодействия электронов с электромагнитными полями (в том числе для тех, кто ранее не изучал СВЧ-электронику), для научных работников, аспирантов и инженеров, проводящих исследования в области вакуумной СВЧ-электроники, радиофизики, радиотехники и физики плазмы. Они могут быть полезны студентам старших курсов соответствующих специальностей.
Д.И. Трубецков А.Е. Храмов
Лекция 1ВВОДНАЯ
Частоты электромагнитных колебаний, лежащие в пределах от 3 • 108 до 3 • 1011 колебаний в секунду, принято называть сверхвысокими.
С.Д. Гвоздовер. Теория электронных приборов сверхвысоких частот, М.: Гос. изд-во технико-теоретической литературы, 1956, с.9.
Прежде чем приступить к изложению, сделаем несколько вводных замечаний.
Л.А. Вайнштейн, В.А. Солнцев. Лекции по сверхвысокочастотной электронике, М.: Советское радио, 1973, с.5.
Основные особенности сверхвысокочастотной электроники. Пять идей, которые создали СВЧ-электронику. Индивидуальное излучение заряженных частиц (спонтанное излучение классических осцилляторов). Индуцированное излучение ансамбля возбужденных классических осцилляторов. Возбуждение резонансной системы заданным током. Стационарные уравнения возбуждения линии передачи электронным потоком. Нестационарная теория возбуждения волновода током медленно меняюицейся амплитуды.
Первая лекция настоящего лекционного курса сверхвысокочастотной электроники для физиков посвящена вводным замечаниям об особенностях процессов взаимодействия носителей заряда с электромагнитными полями на сверхвысоких частотах (СВЧ), о связи сверхвысокочастотной электроники с другими разделами физики и о тех фундаментальных идеях, которые привели к развитию электроники сверхвысоких частот как самостоятельной науки. Во вводной лекции рассматриваются общие закономерности спонтанного и вынужденного излучения заряженных частиц, вводится фундаментальное для вакуумной СВЧ-электроники понятие фазировки (фазовой фокусировки, группировки), а также выделяются случаи линейной и квадратичной
группировки. В конце лекции выводятся уравнения возбуждения резонаторов и волноведущих структур заданными токами, которые будут далее использоваться для описания явлений и процессов в сверхвысокочастотных электронных приборах на протяжении всего курса лекций.
Основные особенности СВЧ-электроники.Пять идей, которые создали СВЧ-электронику
В центре внимания электроники сверхвысоких частот как науки находится изучение процессов взаимодействия потоков заряженных частиц с переменными электромагнитными полями. При этом электроника СВЧ исследует преимущественно такие системы, в которых время пролета электронов через пространство взаимодействия является сравнимым с длительностью периода возбуждаемых электронным потоком колебаний или даже намного превосходит его.
В любом электронном приборе взаимодействие переменного электромагнитного поля (электромагнитных колебаний или волн) с электронами (свободными или связанными) является основным в его работе. Поле воздействует на электронный поток, создает в нем переменный ток, который, в свою очередь, изменяет поле. В физике такие системы называют самосогласованными. Разумеется, можно, да и нужно, детализировать устройство электронного прибора. Но всегда имеется связка поле-электроны (в более общем виде — поле-активная среда; см. рис. 1.1).
Детализация: электродинамическая система, зующая поле нужного вида, ввод и вывод энергииДетализация: электродинамическая система, зующая поле нужного вида, ввод и вывод энергииДетализация для вакуумных ламп:эммитер (катод), электронно-оптическая система, коллектор, система фокусировки и формирования пучкаДетализация для вакуумных ламп:эммитер (катод), электронно-оптическая система, коллектор, система фокусировки и формирования пучкаПоле (колебания или волны)Поле (колебания или волны)ЭлектроныЭлектроны(свободные или(свободные илисвязанные)связанные)Колебательная илиКолебательная иливолноведущая системаволноведущая системаАктивнаяАктивнаясредасредаЖЖЖЖ
Детализация: электродинамическая система, зующая поле нужного вида, ввод и вывод энергии
Детализация: электродинамическая система, зующая поле нужного вида, ввод и вывод энергии
Детализация для вакуумных ламп:эммитер (катод), электронно-оптическая система, коллектор, система фокусировки и формирования пучка
Детализация для вакуумных ламп:эммитер (катод), электронно-оптическая система, коллектор, система фокусировки и формирования пучка
Поле (колебания или волны)
Поле (колебания или волны)
Электроны
Электроны
(свободные или
(свободные или
связанные)
связанные)
Колебательная или
Колебательная или
волноведущая система
волноведущая система
Активная
Активная
среда
среда
ЖЖ
ЖЖ
ЭЛЕКТРОНЫЭЛЕКТРОНЫВзаимодействиеВзаимодействиеКОЛЕБАНИЯ ВОЛНЫ(Могут быть аккустические,а не только электромагнтные)
ЭЛЕКТРОНЫ
ЭЛЕКТРОНЫ
Взаимодействие
Взаимодействие
Рис. 1.1. Колебания, волны и электроны в электронных приборах
Одна из главных тенденций развития современной радиоэлектроники — повышение частоты («вечная» тенденция) и увеличение мощности различных устройств. Электроника сверхвысоких частот возникла как
развитие низкочастотной радиотехники по мере продвижения в сторону все более высоких частот (или соответственно, все более коротких волн). Такое продвижение было вполне закономерным следствием задач, которые стали возникать в конце 20-х-начале 30-х годов перед радиотехникой. В первую очередь это были задачи, связанные с радиорелейной связью, радиолокацией, научными исследованиями. Одновременно с этим выяснилось, что классические для низкочастотной техники методы создания электронных устройств оказываются практически неприменимыми на сверхвысоких частотах, т. е. на частотах, лежащих в диапазоне / ~ 0,3 4- 3 • 103 ГГц.
Это связано с тем, что для ламп, работающих на сравнительно низких частотах, имеет место выполнение двух принципиальных условий:
(1.1)(1.1)kD « 1,
(1.1)
(1.1)
где к = оз ) с = 2тг/А — волновое число, D — характерный размер пространства взаимодействия электронного устройства;
(1-2)(1-2)^^прол ^ 1,
(1-2)
(1-2)
где оз — частота колебаний, £прол — время пролета электрона через пространство взаимодействия.
Условие (1.1) («полевое» условие) означает, что переменные поля
в лампе не должны проявлять своих волновых свойств: электронная
лампа должна быть элементом цепи с сосредоточенными параметрами.
Ж2Ж2dxv(x, t)dxv(x, t)через лампу (v(x,t) —через лампу (v(x,t) —Второе условие (1.2), которое можно назвать «электронным», означает,
Ж2
Ж2
dxv(x, t)
dxv(x, t)
через лампу (v(x,t) —
через лампу (v(x,t) —
что время пролета электрона £Прол
скорость электрона при его пролете через пространство взаимодействия 1^2 — ^1|) много меньше периода колебаний электромагнитного поля. Иными словами электрон при движении в лампе не должен проявлять
своей инерционности: величина сапрол, или как ее еЩе называют угол пролета электрона, очень мала (можно считать её равной нулю).
В СВЧ-электронике эти условия уже не выполняются и заменяются другими, часто противоположными условиям (1.1) и (1.2):
(1.3)(1.3)(1.4)(1.4)kD~l (kD^l),
(1.3)
(1.3)
(1.4)
(1.4)
^^прол ^ 1 (^^прол
Видимо, можно утверждать, что СВЧ-электроника, как самостоятельная наука, возникла тогда, когда было осознано, что попытки продвижения приборов в высокочастотный диапазон, для работы которых принципиальны условия (1.1) и (1.2), обречены на провал, и нужны новые принципы и методы усиления и генерации электромагнитных
волн на сверхвысоких частотах. Каковы же эти методы и как, кем и когда они были предложены?
Впервые колебания на сверхвысоких частотах были получены в 1919 году в аудионе (вакуумном триоде) — трехэлектродной лампе, содержащей управляющую сетку между нитью накала и анодом. Триод был сконструирован для работы на низких частотах, а СВЧ-колебания имели место при наличии колебательного движения электронов в межэлектродном пространстве при положительном потенциале на сетке и отрицательном на аноде [1]. Вскоре были открыты и исследованы колебания в простейших магнетронах — «гладком» и с разрезным анодом, а затем в диодах — генераторах.
Далее новые идеи появлялись в изобилии, и их количество росло по законам взрывной неустойчивости... Однако «развитие идей в электронике и производство электронных приборов далеко не всегда соответствуют друг другу» [2, стр. 221-222]. Надо иметь в виду, что приборам нового типа при завоевании «места под солнцем» — массового применения — приходится вести жесткую конкурентную борьбу с приборами старых типов, технология которых хорошо отработана и производство налажено. Лишь немногие новые приборы выдерживают эту борьбу: следя за развитием сверхвысокочастотной электроники, нетрудно заметить, что ежегодно появляется несколько новых типов приборов, которые, однако, изготавливаются в виде немногочисленных опытных экземпляров для лабораторных исследований и затем остаются лишь вехами, отмечающими развитие научных идей. Массовое же применение получают, как правило, только приборы с «выдающимися свойствами» [2, стр. 221-222]. Очевидно, что выдающимися свойствами обладают те приборы, в основе принципа действия которых лежат и выдающиеся идеи — идеи «грубых» (в смысле, близком теории колебаний) механизмов взаимодействия электронных потоков со стоячими или бегущими электромагнитными полями. Наверное, не будет большой ошибкой утверждение, что в истории становления СВЧ-электроники было пять выдающихся идей, которые и определили дальнейшее развитие этой науки.
Данный курс построен таким образом, что последовательно будет рассматриваться каждая из этих идей, ее достоинства и недостатки, а также те приборы, которые были реализованы на основе той или иной идеи. Перечислим эти идеи с краткой их характеристикой.
Идея первая: модуляция электронов по скорости и группирование электронов в пространстве дрейфа. Условие (1.4), характерное для СВЧ-диапазона, сводило на нет все преимущества и достоинства «статического» способа управления электронным потоком, когда управляющий элемент воздействует непосредственно на пространственный заряд электронного облака, создаваемого катодом. Поэтому усилия исследователей были направлены на то, чтобы свести к минимуму влияние инерционности электронов. Первыми, кто поняли,
как превратить этот недостаток (инерционность) в достоинство, были А. Арсеньева-Хейль и О. Хейль (1933 г.), открывшие метод скоростной модуляции, а первыми экспериментально реализовавшими новый прибор (клистрон) были братья Вариан и их коллега по Станфордскому университету Хансен (заметим, что они не знали до опубликования своих результатов о работе Арсеньевой-Хейль и Хейль). Основная их идея — разделить процесс скоростной модуляции потока (по схеме она осуществлялась в узком зазоре объемного резонатора и приводила к периодическому изменению скорости электронов без модуляции по плотности электронного потока) и группирования, которое осуществлялось в пространстве дрейфа, свободном от каких-либо высокочастотных полей. В результате группировки в потоке возникают электронные уплотнения с частотой модулирующего напряжения. Это так называемый динамический способ управления электронным потоком.
Идея вторая: взаимодействие высокочастотных электромагнитных полей с электронами в скрещенных статических электрическом и магнитном полях. Приборы, основанные на таком взаимодействии, — магнетроны — являются одними из первых нашедших широкое практическое применение приборов сверхвысокочастотной электроники. Показательно, что одна из работ по истории СВЧ-электроники (ее автор Д. Брайттейн, профессор истории науки Института Технологии в Джорджии) называется «Магнетрон и начало микроволнового века» [3]. Во время второй мировой войны и после нее магнетрон стал «рабочей лошадкой» радиолокационных станций. Заметим, что магнетрон не является единственным представителем, реализующим данную идею: широко исследовались и разрабатывались и другие приборы со скрещенными полями.
Идея третья: взаимодействие электронного потока с бегущей прямой электромагнитной волной. Если мы не можем обеспечить малое время пролета электрона, чтобы поле за время его пролета не изменялось, тогда пусть «... поле движется вместе с электронами». Если фазовая скорость волны будет близка к скорости электронного пучка (этого можно добиться путем замедления волны в той или иной искусственной среде — замедляющей системе), то при определенных условиях получим усиление электромагнитной волны в такой системе. Осознание этого позволило в свое время создать Рудольфу Компфнеру, чьи слова приведены в эпиграфе к предисловию к курсу лекций, электронные приборы с длительным взаимодействием, наиболее известный из которых — лампа бегущей волны.
Идея четвертая: взаимодействие электронного потока с обратной электромагнитной волной. В этом случае электронный пучок как и в предыдущем случае пребывает в синхронизме (не точном!) с электромагнитной волной, однако групповая скорость волны (обратной пространственной гармоники) направлена навстречу пучку. Отсюда и название прибора — карсинотрон (в переводе
с греческого — «рак, пятящийся назад»), правда, более распространено другое название — лампа обратной волны. Карсинотрон-генератор стал в современной теории колебаний и волн эталонной моделью распределенной автоколебательной системы.
Идея пятая: взаимодействие криволинейных электронных потоков с электромагнитными полями. Мазеры на циклотронном резонансе. Основная идея, которая привела к созданию мазеров на циклотронном резонансе — это идея использования индуцированного излучения в потоке электронов, вращающихся в магнитном поле. В этом случае имеет место фазовая группировка, возникающая из-за неизо- хронности электронов-осцилляторов, т. е. из-за зависимости частоты вращения электрона в магнитном поле от энергии электрона.
Конечно, этот краткий обзор основных идей СВЧ-электроники далеко не полон: сюда не вошел параметрический способ управления электронным потоком, разработка которого привела к появлению лазеров на свободных электронах. Может быть ее следует считать шестой идеей из создавших СВЧ-электронику? За рамками этих пяти идей осталась идея использования эффекта сверхизлучения ансамбля классических электронов-осцилляторов для генерации сверхмощных импульсов СВЧ-излучения. Рассмотрению всех этих вопросов будет уделено внимание в лекциях. В курсе лекций будут также рассмотрены результаты численного моделирования различных систем СВЧ-электроники и, более того, в некоторых случаях будет обсуждаться методика построения моделей и вычислительных схем.
В заключение вводной части отметим глубокую связь между СВЧ-электроникой и такими областями фундаментальных исследований как нелинейная теория колебаний и волн, теория излучения, нелинейная динамика ([4-7]). Следует сказать, что специалисты в области электроники сверхвысоких частот всегда использовали язык теории колебаний и волн. Более того, электроника, наряду с гидродинамикой, одной из первых стала «нелинейной» наукой, применяя различные методы вычислительной физики. Огромна роль в понимании работы различных электронных СВЧ-приборов теории излучения. Так с точки зрения теории излучения все приборы сверхвысокочастотной электроники основаны на различных типах индуцированного излучения. Показательно, что началу разработки и исследованию мазеров на циклотронном резонансе положили работы именно по изучению индуцированного излучения (как в квантовой, так и классической трактовке) потока электронов, движущихся в магнитном поле. В последние годы успехи нелинейной динамики «заставили» специалистов в области СВЧ-электроники искать типично нелинейные феномены и явления в системах электронный поток - электромагнитное поле: уединенные волны, режимы возникновения динамического хаоса, синхронизацию автоколебаний, образование
структур в электронных потоках. Вопросы исследования нестационарных процессов (в особенности сложной динамики) в электронных системах кроме несомненного фундаментального значения имеют и широкое практическое приложение в связи с необходимостью создания мощных генераторов широкополосного сложного сигнала для применения в системах радиолокации и радиопротиводействия, в системах нагрева плазмы в установках управляемого термоядерного синтеза и т. д.
Приведенный выше обзор основных особенностей сверхвысокочастотной электроники не претендует ни на полноту, ни на систематичность. Скорее это аннотация того материала, который авторы нашли нужным включить в лекции.
Индивидуальное излучение заряженных частиц(спонтанное излучение классических осцилляторов)
Преобразование энергии направленного движения электронного потока в электромагнитное излучение может происходить за счет резонансного взаимодействия отдельных электронов с полем монохроматической волны. В классической электродинамике для описания этих процессов используется методика, основанная либо на нахождении поля, возбужденного невозмущенным электроном-осциллятором, либо на вычислении работы электромагнитного поля над электроном, совершающим заданное движение, невозмущенное этим полем [8]. Однако более изящным является подход к рассмотрению этих явлений на основе представлений квантовой электродинамики [10], причем при необходимости всегда возможно сделать соответствующий переход к классическому пределу.
Предположим, что электроны совершают периодическое (колебательное) движение около некоторого ведущего центра, который сам движется со скоростью Ух (состояние 1). При этом электрон отдает энергию плоской электромагнитной волне с волновым вектором к, где |к| = сс/уф, Уф — фазовая скорость волны в данной среде. С квантовой точки зрения в лабораторной системе отсчета электрон испускает квант с энергией Кш и импульсом Як, меняя импульс с pi на р2. Электрон-осциллятор в системе отсчета ведущего центра можно рассматривать как частицу с ненулевой внутренней энергией и массой mi, отличной от массы mg покоящегося электрона. Когда электрон-осциллятор переходит в состояние 2, в системе ведущего центра его масса становится равной m2, и частица переходит на соседний нижний энергетический уровень с излучением кванта Ншо, где шо — частота колебаний осцил-
лятора в собственной системе отсчета. В этой системе закон сохранения энергии запишется в виде:
mic2 — т^с2 = Яс^о-mic2 — т^с2 = Яс^о-(1-5)(1-5)
mic2 — т^с2 = Яс^о-
mic2 — т^с2 = Яс^о-
(1-5)
(1-5)
В лабораторной системе отсчета законы сохранения энергии и импульса имеют следующий вид:
гдегдеmic2ТП2С2 _ ,(1-6)V1 - piV1"^2Pl- Р2 = ^к,(1-7)Pl,2 — ,с_ JTi^Vl^(1-8)Pl,2/ •V1 - Pl2mic2ТП2С2 _ ,(1-6)V1 - piV1"^2Pl- Р2 = ^к,(1-7)Pl,2 — ,с_ JTi^Vl^(1-8)Pl,2/ •V1 - Pl2
где
где
mic2
ТП2С2 _ ,
(1-6)
V1 - pi
V1"^2
Pl
- Р2 = ^к,
(1-7)
Pl,2 — ,
с
_ JTi^Vl^
(1-8)
Pl,2/ •
V1 - Pl2
mic2
ТП2С2 _ ,
(1-6)
V1 - pi
V1"^2
Pl
- Р2 = ^к,
(1-7)
Pl,2 — ,
с
_ JTi^Vl^
(1-8)
Pl,2/ •
V1 - Pl2
Преобразуем соотношение (1.6). Для этого перепишем первое слагаемое в виде:
22 27i 2 / 2\2 2(1 — щ/с ) тхС22 27i 2 / 2\2 2(1 — щ/с ) тхС2 / 2 .2/2
22 2
7i 2 / 2\2 2
(1 — щ/с ) тхС
22 2
7i 2 / 2\2 2
(1 — щ/с ) тхС
21- Uy С + ЩС
т1С \ /2/2
т^с4 + р2с2 .
Аналогично для второго слагаемого в соотношении (1.6) имеем . Тогда закон сохранения энергии (1.6) примет вид:
т2с4-V р2с2 — у т^с4 + р^с2 = Нш.(1.9)
В последнем соотношении квадратные корни представляют собой полные энергии частиц в состояниях 1 и 2. Исключим из соотношений (1.5)(1.9) т^ и р^. Соответственно из равенств (1.5), (1.7) и (1.9) имеем:
т^с4 = ^гш^2 — 2Ьш^пцс2 + т^Д(1.10)
Р2 = р2 - 2^(pik) + П2к2,(1.11)
т^с4 + р^с2 = (Нш)2 — 2Нш у/ т^с4 + р^с2 + т2с4 + р2с2.(1.12)
Подставляя соотношения (1.10) и (1.11) в равенство (1.12) получаем:
(^о)2 — 2Ншотхс2 + т^с4 + р2с2 — 2^(pik)c2 + Н2к2с2 =
2 тхС4,22
= \ггш) — 2ггш + тус + ргс .
Окончательно находим, что
w0c2mi + c2(piki) -= ^ (wq - w2 + k^c2).(1-13)
2
Перейдем в выражении (1.13) к классическому пределу, устремляя Я —> 0. Тогда
2 тю2 ,2 ^ тюг Q
Ш — = Ш^т^С + с cos У,
V1 - К Уф V1"^
(1-14)(1-14)Ш0^/1 - ^1
(1-14)
(1-14)
Последняя формула выражает эффект Доплера: излучение источника, имеющее частоту шо в системе отсчета, в которой он покоится, воспринимается неподвижным наблюдателем как волна с частотой ш, если источник движется со скоростью Ух под углом 6 к линии наблюдения (угол измеряется в лабораторной системе отсчета). Соотношение (1.14) выражает условие резонанса при взаимодействии осциллятора и высокочастотного поля с поправкой на эффект Доплера: собственная частота осциллятора wq равна той частоте электромагнитной волны, которую он «видит» в своей системе отсчета.
Рассмотрим некоторые важные частные случаи.
с^о = 0. Изменение импульса в классическом пределе в соответствии с формулой (1.7) ничтожно мало. При излучении внутренняя энергия электрона-осциллятора не меняется, поэтому он ведет себя подобно заряженной частице, движущейся равномерно и прямолинейно. В соответствии с соотношением (1.14) ш ^ 0 лишь при обращении в нуль знаменателя, т. е.
cos^ = ^.(1.15)
У1
Результат очевиден: соотношение (1.15) — необходимое условие излучения Вавилова-Черенкова, которое наблюдается при Ух > Уф. Таким образом излучение имеет место лишь при сверхсветовых скоростях движения частицы и возможно только для медленных электромагнитных волн, т. е. при Уф < с.
шо > 0. В этом случае знаменатель в соотношении (1.14) должен быть положителен, т. е.
1Уф cos 9 ’
что справедливо при Ух/^ф < 1. Таким образом возможно взаимодействие осцилляторов с быстрыми электромагнитными волнами.
с^о < 0. Как следует из закона сохранения энергии, осцилляторная энергия частицы при излучении возрастает, что соответствует аномальному эффекту Доплера. Из формулы (1.14) видно, что
f i1
Уф cos 6 ‘
а, следовательно, излучение будет лишь при Ух > Уф, т. е. осциллятор будет перемещаться со сверхсветовой скоростью. Любопытно, что при аномальном эффекте Доплера осциллятор излучает, одновременно увеличивая свою энергию. Ясно, что и излучаемую и колебательную энергию он черпает из энергии дрейфового движения. Интересно, что в область взаимодействия можно вводить и неосциллирующий пучок, поскольку потом электроны могут «раскачаться».
Рассмотрим теперь пучок, образованный электронами, которые движутся в однородном магнитном поле. В системе отсчета, связанной с ведущим центром, частицы вращаются по окружностям. Циклотронная частота (частота вращения или гирочастота) выражается формулой
еВ
Шс = = ,
т
где т — релятивистская масса, 7 = 1/^/1 — (у/с)2 — релятивистский фактор, В — магнитная индукция и шсо — нерелятивистская гирочастота. Излучение таких электронов называется магнитотормозным. В соответствии с квантовой теорией такие осцилляторы в нерелятивистском случае имеют эквидистантный энергетический спектр с расстояниями между соседними уровнями — «уровнями Ландау» — Ншсо. У релятивистского осциллятора расстояние между уровнями Ландау равно Ншс, и, следовательно, спектр слабонеэквидистантен, что важно, например, для создания мазеров на циклотронном резонансе.
Индуцированное излучение ансамбля возбужденныхклассических осцилляторов
Итак, при вышесформулированных условиях электроны-осцилляторы в среде с высокочастотным полем будут излучать. Но без учета реакции поля излучения поведение каждого осциллятора будет независимо от других, а электромагнитное поле некогерентно. Эффективность энергообмена мала. В квантовой теории такое излучение называется спонтанным. Когерентное излучение должно быть индуцированным, в этом случае вероятность испускания квантов существенно зависит от внешнего электромагнитного поля. Индуцированные процессы излучения в вакуумной электронике связаны с группировкой (фазиров-
кой) *) — образованием электронных сгустков в благоприятной (тормозящей) фазе высокочастотного поля. Фазировка происходит в результате действия поля на движение первоначально несфазированных частиц.
Найдем условия возникновения когерентного индуцированного излучения в системе классических электронных осцилляторов, следуя работам [10, 11]. Для этого рассмотрим совокупность большого числа одинаковых осцилляторов, образованных электронами, совершающими движение в одномерной потенциальной яме Uq(ж). На осцилляторы в этом случае действует сила Fq(x) = — dUo/dx^ а также высокочастотное поле F(t). Последнее будем предполагать однородным, т. е. не зависящим от координаты ж, и слабым, что позволит решать задачу в линейном приближении. Уравнение движения электронов под действием указанных сил имеет вид
d2 х
т—^ - ВД = F^.(1.17)
dt
Невозмущенное периодическое движение электрона будет описываться уравнением
m—-2F0(xw) = 0.(1.18)
dt
Решение последнего уравнения представляется рядом Фурье:
Х№ = ^ ЖАе^(Шо(+уо)_(1.19)
Так как x^^t) является вещественной функцией, то х_к = ж£. В параболической потенциальной яме невозмущенные колебания гармонические, и в сумме (1.19) отличны от нуля только слагаемые с к = ±1. В общем же случае все х^ не равны нулю. Кроме того, при этом колебания неизохронны, т. е. частота шо зависит от энергии 8 осциллятора: с^о = ^о(^), где энергия
£ = т(ж ) + ^(0)}
При данной постановке задачи осцилляторы могут отличаться только фазой фо-
Учитывая предполагаемую малость возмущения, вносимого высокочастотным полем в движение электронов-осцилляторов, а также огра-
г) Понимание важности такого явления как группировка электронного потока было впервые осознано Брюхе и Рекнагелем в связи с анализом динамического способа управления электронным потоком [9]. Они же впервые ввели в электронику термин фазовая фокусировка.
ничения на время жизни осцилляторов (на этом остановимся ниже), представим решение (1.17) в виде x(f) = x^(t) + x^(t), где |ж^^| <С <С |ж^°^|. Тогда, раскладывая силу ГДх) в ряд Тейлора, получаем
W « Fo($^ + ^^1$т.(1.20)
С учетом разложения (1.20) и выражения (1.18) уравнение (1.17) становится линейным и принимает вид
где dFo(x^)/dx^ — известная функция времени.
Вспомним некоторые сведения из теории дифференциальных уравнений.
Теорема. Частное решение неоднородного линейного уравнения второго порядка в действительных переменных
т / \ d2y , xdy , х х
Ly = а0Д)—^ + аДх) — + аДх)У = /(ж) dxdx
может бить представлено в виде
ь
у = | G(x, x')f(x') dx' (а < х < b),
где G(x^xf) есть функция Грина, дающая «фундаментальное» решение, причем
G(x,x') =-Д— (У1(ж)у2(ж') -у2(ж)У1(ж'))^(® - ж')-
аДх )W
Здесь Н — функция Хевисайда, yi и у^ — линейно независимые решения соответствующего однородного уравнения, W = уДх^уДх) — — уДзДу-Дх) — вронскиан исходного уравнения. Для линейной независимости решений yi и у^ необходимо и достаточно, чтобы W ^ = 0 V х Е (а, Ь).
С учетом утверждения этой теоремы решение уравнения (1.21) может быть записано в виде
$W = ^W I Vy^yiX) - У1 Wy2O dt', (1.22) to
где ?/i и у2 — частные линейно независимые решения однородного уравнения
(1-23)(1-23)d2xwdFo(x^) (1)
(1-23)
(1-23)
m—-5у--—х^ = 0.
dt2 dx^
В качестве yi и у^ можно использовать частные производные Эх(^ (С
qq 1, где С некий параметр, определяющий невозмущенное колебание x^^C,t\ Действительно, дифференцируя уравнение (1.18) частным образом по С, приходим к уравнению
d2ТП—чт dt2d2ТП—чт dt2дх^ЧС^Л dFo^x^dx^дх^ЧС^Л dFo^x^dx^ЭСЭСdx^ ЭСdx^ ЭС= О,= О,
d2
ТП—чт dt2
d2
ТП—чт dt2
дх^ЧС^Л dFo^x^dx^
дх^ЧС^Л dFo^x^dx^
ЭС
ЭС
dx^ ЭС
dx^ ЭС
= О,
= О,
которое имеет вид (1.23). В качестве С можно использовать любые два параметра, связанные с начальными условиями, если для соответствующих функций W ф 0. Примем за параметры энергию 8 и фазу фо- Тогда
дх^У2 = Э£ "дх^У2 = Э£ "(1-24)(1-24)дх^
дх^
У2 = Э£ "
дх^
У2 = Э£ "
(1-24)
(1-24)
^! = "О’Эфо
Вронскиан в этом случае равен W = 1/mcJo ?^ 0, и выбранные значения yi и у^ действительно линейно независимы.
Прямой путь исследования излучательных свойств ансамбля электронов-осцилляторов состоит в вычислении суммарного переменного тока, возникающего при наложении высокочастотного поля, а затем проводимости всей системы, как отношения тока к переменному напряжению. Здесь принципиальны два момента.
Электроны колеблются в разных фазах и воздействие переменного поля на движение отдельной частицы может быть как тормозящим, так и ускоряющим. Поэтому для нахождения суммарного эффекта требуется усреднить найденный ток по фазам.
Необходимо учитывать конечность времени пребывания электрона в высокочастотном поле (время жизни осциллятора т). Понятно, что при бесконечном времени жизни осцилляторы будут непрерывно обмениваться энергией с полем и средний эффект окажется нулевым.
Рассмотрим вначале второй момент. Введем функцию распределения частиц по временам жизни Ф(т). Если полное число частиц в единице объема No, то число частиц dN, времена жизни которых лежат в интервале (т, т + dx), равно dN = NoФ(т)dт. Плотность тока, создаваемая всеми электронами:
(1-25)(1-25)j = —е | жТ dN = —eNo j х^Ф^т) dx.о
(1-25)
(1-25)
Усредняя по начальным фазам, которые распределены равномерно и явно входят в выражения для yi и у^ (см. ниже), получаем выражение для тока вида
2тгос/2тг\
(Л = ^- [ J Й>о = -eN0 [ Ф(т) ( — [ ж(1) dtpo ) Дт =
Z7T JJ\J/
оохо7
= — eNo | ^(т)^1)) dr. (1.26) о
Задача сводится к вычислению (ж^1^), где х^ определяется квадратурой (1.22), т. е.
t 2тг
^(1)) = Р I [ tiW) - MtWO FX) dt1 ^o-(1.27)
Z7T J J
to 0
Найдем явные выражения для у-^ у^ Уь У 2 на основе ряда Фурье (1.19):
aTw 00
2/1 = ^^= V(1.28)
Э<Ро^^
у1 = -Шо У fe2;rfce^(“ot+vo),(1.29)
^ = ^Г = Е Э£ [^е^0^] ,(1.30)
№ = Е 3k^ [wo^fce^^t+^)] ,(1.31)
12^12^При подстановке этих рядов в выражение (1.27) появятся интегралы типа
12^
12^
[ У) акезкф0 • У) bie31^ dip0. k = — ool = — oo
Очевидно, что отличны от нуля только те члены двойных рядов, для которых к = I. Тогда с учетом соотношения
2тг2тгдля интеграла (1.27) по фо можно записать
2тг
2тг
ОС г о
^- [ [У2(^)У1(^') - У1(^)У2(^')] ^0 = 52Jfc^7 С^ое^0*)
оо2тг J' ОС
о
о
х (—jk)x*k е •’“°* ^ш^"хк<?з1,‘^■’“о4 )
2^ [woi^i^0^2^ [woi^i^0^
2^ [woi^i^0^
2^ [woi^i^0^
Если высокочастотное поле меняется по гармоническому закону (ЕД£) = = — еЕ = — еЕое^ш1^ то из выражения (1.27) находим:
(ж^)) = -cj0 еЕ°е^' У^ ^"Ig [<^0112eJ^^°^ ^] dt' = io
ОС= -woeE° 52 fc2^7 ОСОС= -woeE° 52 fc2^7 ОСш^х^е3^01ш^х^е3^01^j^Wkt'to^j^Wkt'to
ОС
= -woeE° 52 fc2^7 ОС
ОС
= -woeE° 52 fc2^7 ОС
ш^х^е3^01
ш^х^е3^01
^j^Wkt'
to
^j^Wkt'
to
где Дс^ = cj — kw^. Окончательно, учитывая, что t — to — т^ получим:
(1-32)(1-32)= зШоеЕ ^k^
(1-32)
(1-32)
Для вычисления плотности тока по формуле (1.26) необходимо задать явный вид функции распределения электронов-осцилляторов по временам жизни Ф(т). Зададимся для определенности следующим видом Ф(т) = ve-VT. Легко видеть, что среднее время жизни для принятой функции (т) = 1/^.
Интегрируя выражение (1.26) для (j) по т (при известном законе Ф^\ получаем плотность тока, а затем, деля результат на поле Е, находим следующее выражение для проводимости среды, образованной ансамблем осцилляторов:
Проводимость в общем случае является комплексной величиной. Рассмотрим некоторые частные случаи, представляющие физический интерес.
v = 0 (время жизни осцилляторов бесконечно). Согласно (1.33) проводимость при Aw^ ф 0 чисто реактивная. В системе электроны-осцилляторы-высокочастотное поле происходит перекачка энергии, однако, энергия каждой из подсистем остается в среднем постоянной.
v = оо (время жизни осцилляторов равно нулю). В этом случае ст = 0 — взаимодействия нет.
Линейные осцилляторы. dw^fdE = 0, а ж^0) = хуе^Л^^ + + ж^е--^0^^0). Энергия Е = 2mwo^i|2 и, следовательно, d\xi\2/d£ = = l/2mwQ. Тогда из уравнения (1.33) получаем выражение для проводимости:
2m j{^ — wo) + ^ j^ + ^о) + ^
Исследуем а вблизи резонанса, когда |Aw| = |w — wq| <С wq, а время жизни существенно превышает период колебаний, т. е. т = \/и ^ То = = 2?r/wo, или v <С wq . При указанных условиях первый (резонансный) член в квадратных скобках намного больше второго, и а = а* + за” где
/ _ е2 N^uи _е2 Wo Aw
2m [Aw2 + z^2] ’2m [Aw2 + ^2]
На рис. 1.2a показаны зависимости cr^Aw) и (/'(Aw). Из рисунка видно, что а' всегда положительна, т. е. гармонические осцилляторы в среднем поглощают энергию электромагнитного поля. Частотная характериси- ка ^'(w) носит типично резонансный характер. Максимум поглощения ^тах приходится на точный резонанс w = wq и растет с уменьшением /а т. е. с увеличением времени жизни. Ширина резонансной кривой по половинным значениям равна 2// = 2/ (т). Физически такая зависимость вполне прозрачна: чем больше время жизни осцилляторов, тем точнее должен быть резонанс из-за накопления разности фаз между полем и колебаниями осцилляторов за время их жизни.
Квантовая интерпретация поведения системы линейных осцилляторов как поглощающей среды состоит в следующем. Спектр гармонического осциллятора является эквидистантным. В этом случае вероятность вынужденного перехода между соседними уровнями пропорциональна энергии того уровня, на который попадает электрон после перехода. Ясно, что вероятность перехода на более высокий уровень больше, чем на нижний, и осцилляторы в среднем поглощают энергию высокочастотного поля. С классической точки зрения этот эффект связан с изохронностью колебаний линейных осцилляторов. Поэтому взаимодействие протекает одинаково при любой их энергии, однако, осцилляторы с нулевой энергией могут лишь поглощать излучение.
Рассмотрим теперь поведение ансамбля нелинейных осцилляторов, для чего найдем величину ст вблизи резонанса на n-й гармонике частоты
Рис. 1.2. Частотная зависимость действительной и мнимой части проводимости ансамбля гармонических осцилляторов вблизи резонанса (а) и частотные зависимости линейной и квадратичной проводимости в окрестности резонанса на n-й гармонике (б)Рис. 1.2. Частотная зависимость действительной и мнимой части проводимости ансамбля гармонических осцилляторов вблизи резонанса (а) и частотные зависимости линейной и квадратичной проводимости в окрестности резонанса на n-й гармонике (б)
Рис. 1.2. Частотная зависимость действительной и мнимой части проводимости ансамбля гармонических осцилляторов вблизи резонанса (а) и частотные зависимости линейной и квадратичной проводимости в окрестности резонанса на n-й гармонике (б)
Рис. 1.2. Частотная зависимость действительной и мнимой части проводимости ансамбля гармонических осцилляторов вблизи резонанса (а) и частотные зависимости линейной и квадратичной проводимости в окрестности резонанса на n-й гармонике (б)
осцилляторов: Дшп = |cj — nc^ol ^ ^о? v ^ ^о- В этом случае в соотношении (1.33) можно оставить только n-й член:
22ааd£ рАш„ + v_d£ рАш„ + v_= У1 + <Т2,= У1 + <Т2,(1.35)(1.35)
2
2
а
а
d£ рАш„ + v_
d£ рАш„ + v_
= У1 + <Т2,
= У1 + <Т2,
(1.35)
(1.35)
где
^N^uo^n2 d /2х
(1.36)(1.36)З^Шп + V de х7
(1.36)
(1.36)
je2 Nowon3\xn\2 du)Q
(з^п + н)2 d£
У c^ и сг2 знаменатели соответственно — линейная и квадратичная функции резонансного фактора ^з^ши + v\ Рассмотрим детальнее вещественную часть ст: Re ст = а' = сг^ + а^ где
<т2 =<т2 =е2 Nqvwoh2 d(Дс^)2 + v2 dEе2 Nqvwoh2 d(Дс^)2 + v2 dE(ш0|Жп|2) ,(ш0|Жп|2) ,2e2^WoW3|®n|2i/Awn <^о1|Дш„Г+|/Тd£‘2e2^WoW3|®n|2i/Awn <^о1|Дш„Г+|/Тd£‘(1.37)(1.37)
<т2 =
<т2 =
е2 Nqvwoh2 d(Дс^)2 + v2 dE
е2 Nqvwoh2 d(Дс^)2 + v2 dE
(ш0|Жп|2) ,
(ш0|Жп|2) ,
2e2^WoW3|®n|2i/Awn <^о
1|Дш„Г+|/Тd£‘
2e2^WoW3|®n|2i/Awn <^о
1|Дш„Г+|/Тd£‘
(1.37)
(1.37)
Как видно, сг^ и сг2 — соответственно четная и нечетная функции расстройки Дшп.
На 1.2бпоказаны сг^Дс^) исг2(Дц;п) при значениях^(шо|ж„|2) > > 0 и ^^ > 0. Из рисунка видно, что | сг^ | максимальна при точном резонансе Дсцп = 0. Знак сг^ совпадает со знаком производной ^(cjo|^n|2)- В отличие от этого у проводимости сг2 может быть любой знак при
произвольном характере неизохронности (знак производной ~^"У- он зависит от величины и знака расстройки. Максимум величины а2 до-
17.17.стирается при некоторой отстройке от резонанса, когда |Acjn|
17.
17.
Каково же фактическое поведение ансамбля нелинейных осцилляторов, описываемого суммарной величиной аЛ Согласно соотношению (1.37), ст у растет по модулю пропорционально времени жизни т, тогда как (стетах является квадратичной функцией. Отсюда понятно, что при больших временах жизни проводимость среды определяется сг2, т. е. неизохронностью осцилляторов. Знак проводимости в этом случае устанавливается расстройкой ^шП1 и, следовательно, при любом знаке производной ^Я система осцилляторов может быть излучающей.
Рассмотрим в качестве примера движение электрона в магнитном поле. Собственная частота ш^ совпадает с циклотронной частотой: ш = = шс = ^с^со, где £ = тс2, Ео = тос2 — энергия покоя. Производная
^^о Ео^со шс "d£ -^^о Ео^со шс "d£ -(1.38)(1.38)
^^о Ео^со шс "d£ -
^^о Ео^со шс "d£ -
(1.38)
(1.38)
Таким образом чтобы имело место индуцированное магнитотормозное излучение, знак расстройки /Хшп следует установить положительным.
Возникает вопрос: почему система случайно распределенных по начальной фазе осцилляторов обладает ненулевой проводимостью? Это связано с группировкой осцилляторов по фазам их колебаний около определенной фазы высокочастотного поля — фазовой группировкой. Вычислим усредненное по начальным фазам и времени жизни значение возмущения координаты осциллятора:
| | Х1Ф(т) dr dipo. о о| | Х1Ф(т) dr dipo. о о
| | Х1Ф(т) dr dipo. о о
| | Х1Ф(т) dr dipo. о о
Используя соотношение (1.22) и значение вронскиана W = 1/то>о, получаем
2тг ос t
(^Д) = ^ I I I VyaW^X) ~ У1^)у2Х)ЖО^^ О О to
(1.39)
Подставляя в полученное выражение функции у-v и у^ в виде рядов Фурье (1.28)-(1.31) и учитывая вид распределения электронов по временам жизни Ф(т) = veVT находим после интегрирования
(1.40)(1.40)) = зеЕшо У к4? Г. д7—1 Д£ [jAwfc + v_
(1.40)
(1.40)
Как и раньше выделим резонансный член и получим (ж^)/Е. Тогда
(ж^) _jn d\xn\2п2 dw^
Е вШ° _з^Шп + v d8 Vd^k + ^)2 d8
Последняя формула показывает, что среднее смещение отлично от нуля и осциллирует с частотой поля, т. е. имеет место фазовая группировка. Величина ^ж^1^ /Е является комплексной, что свидетельствует о наличии фазового смещения сгустка относительно фазы поля. Первый член в выражении (1.41) имеет величину порядка 1/^, т. е. растет линейно со временем. Второй член, связанный с неизохронностью осцилляторов, возрастает как l/z/2 и описывает квадратичную группировку.
Введем параметр неизохронности //. который определим как отношение модулей активной проводимости при квадратичной и линейной
группировке:
^2тах7^1тах^2тах7^1тахdhJo .|2dhJo .|2^ (ш0|®„|2)^ (ш0|®„|2)(1-42)(1-42)
^2тах
7
^1тах
^2тах
7
^1тах
dhJo .|2
dhJo .|2
^ (ш0|®„|2)
^ (ш0|®„|2)
(1-42)
(1-42)
Как уже обсуждалось, квадратичная группировка всегда может обеспечить излучение среды, состоящей из электронов-осцилляторов. Условием индуцированного излучения при фазовой группировке неизохрон
ных осцилляторов является значение параметра неизохронности р > 1.
В качестве примера вычислим значение р для электрона в магнит
dwq wq d8 = Т =dwq wq d8 = Т =ном поле при n = 1 в слаборелятивистском случае. Умножим числитель и знаменатель выражения (1.42) на величину тшс и внесем ее под знак производной (это можно сделать, так как она не зависит от 8).
dwq wq d8 = Т =
dwq wq d8 = Т =
Учитывая соотношение (1.38), в соответствии с которым
шс
= 2 получим, ЧТО
тс
Е =Е =2 I |2тшс\Х1\ шс2 I |2тшс\Х1\ шс2 тс v2 тс v"^ (тшс|®1|2)"^ (тшс|®1|2)
Е =
Е =
2 I |2
тшс\Х1\ шс
2 I |2
тшс\Х1\ шс
2 тс v
2 тс v
"^ (тшс|®1|2)
"^ (тшс|®1|2)
Величина mcj^|xi |2 = тх2^. В слаборелятивистском приближении 8 = = тс2 = тос2 + т^х2/2. Отсюда ^(mcj^|xi|2) « 2. В итоге получаем:
/< = ^^ = ,г»1Л- = ^. (,.43) 2 рц А
где 3\\ = х^/с^ Зз_ = х±/с1 N — число оборотов, совершаемых электроном за время жизни г, L — длина пространства взаимодействия, уц и
v_l — соответственно продольная и поперечная скорости электронов-осцилляторов.
Рассмотрим теперь случай, когда времени жизни недостаточно для развития квадратичной группировки и основной вклад в активную проводимость (1.37) вносит величина а^. Условием излучения в этом случае является неравенство
^ (ш0|яД2) < 0, или ш0^ (ш0|яД2) < 0, или ш0(1-44)(1-44)
^ (ш0|яД2) < 0, или ш0
^ (ш0|яД2) < 0, или ш0
(1-44)
(1-44)
Рис. 1.3. Потенциальная яма U(ж) с полочкойРис. 1.3. Потенциальная яма U(ж) с полочкой
Рис. 1.3. Потенциальная яма U(ж) с полочкой
Рис. 1.3. Потенциальная яма U(ж) с полочкой
При положительной производной dw^fdE для излучения необходимо, чтобы d\xn\2/d£ < 0, что маловероятно. Следовательно, производная dw^fdE < 0, и кроме того, она должна быть достаточно большой. Это может реализоваться в потенциальной яме с полочкой (рис. 1.3), где dw^/d£ отрицательна и велика по модулю. Если полочка имеет большую протяженность (штриховая линия), то эффект усиливается. Прак
тически, электрон, который оказывается на длинной полочке, перестает колебаться, т. е. исключается из взаимодействия с высокочастотным полем. Этот тип фазировки носит название фазовой селекции. Эффект фазовой селекции приводит к излучению, когда из колебательного режима исключаются «неправильнофазные» электроны, т. е. частицы, находящиеся в ускоряющей фазе высокочастотного поля.
Все результаты, полученные в данном разделе, предполагали простран-
ственную однородность высокочастотного поля и одномерность движения частиц, что представляет собой суще
ственную идеализацию. В случае отсутствия однородности поля могут возникать существенно новые механизмы фазировки и индуцированного излучения. Например, в работе [11] показано, что если высокочастотное поле знакопеременно на траектории частицы, то даже линейные осцилляторы могут образовывать индуцированно излучающую систе
му.
Пусть частицы совершают невозмущенные колебания вдоль оси х и дрейфуют вдоль у направления. Поместим систему таких осцилляторов в высокочастотное поле, имеющее компоненты ЕЖ1 Еу, и неоднородное в направлении х с масштабом неоднородности порядка амплитуды колебаний. В этом случае электроны дрейфуют вдоль оси у со скоростью, зависящей от их фазы. В результате в направлении у возникают сгустки, которые излучают за счет торможения полем Еж.
Данная пространственная группировка является квадратичной, но не связана с неизохронностью осцилляторов. Отметим, что пространственная группировка является также и «фазовой», так как имеет место образование сгустков в определенной фазе высокочастотного поля. Однако при фазовой группировке, описанной выше, осцилляторы перемешаны и невозможно заметить в пространстве каких-либо уплотнений.
Возбуждение резонансной системы заданным током
Задача о возбуждении резонансной системы заданными токами [2, 12] сводится к интегрированию уравнений Максвелла ):
(1-45)(1-45)rotE = -^’rotH = -^+j
(1-45)
(1-45)
с граничными условиями вида [пЕ] = 0 на sq (п — нормаль к поверхности so) в случае, если резонатор ограничен идеально проводящей поверхностью sq. Здесь Е и Н — напряженности электрического и магнитного поля; D и В — векторы электрической и магнитной индукции, j — вектор плотности электрического тока. Уравнения (1.45) должны быть дополнены материальными уравнениями, которые в простейшем случае имеют вид:
D = sE, В = /Ш, j = сгЕ,(1.46)
где е, у — соответственно электрическая и магнитная проницаемость и а — проводимость, причем в вакууме е = Eq, у = p,Q.
Рассмотрим возбуждение объемного резонатора (колебательной системы, все поле которой сосредоточено в объеме, ограниченном поверхностью so, и не проникает за пределы sq) монохроматическим током с плотностью
(1-47)(1-47)j = Re{»e^}.
(1-47)
(1-47)
Ограничиваясь периодическими процессами, будем искать решение системы уравнений (1.45) в виде
E(i) = Е^ш)^,Н(<) = Н(ш)е^‘,(1.48)
где Еп(сД и Hn(cj) — комплексные амплитуды полей на частоте ы, которые удовлетворяют уравнениям
rotE = — зшр^шУЩ
(1-49) rot Н = зсое(со)Е + j.
Возможность ограничиться рассмотрением только первой гармоники тока следует из допущения, что собственные частоты объемного резонатора лежат вдалеке от высших гармоник частоты ш. Заметим также, что в уравнениях (1.45)—(1.49) неявно предполагается зависимость токов и полей от пространственных координат, а не только от t и ш.
Далее предполагается, что известно решение задачи о собственных колебаниях, т. е. известны собственные векторные функции Es и Hs, которые характеризуют распределение в пространстве электрического и магнитного поля s—го собственного колебания нагруженного резонатора. Поля Es и Hs удовлетворяют однородным уравнениям Максвелла
rotEy = -зш8рН8,
(1.50) rotHs = jwseEs,
Каждое из собственных колебаний характеризуется своей комплексной частотой
^=ш:+^"=ш^1+^,ш':=w'j‘iQs, (1.51)
где Qs — нагруженная добротность резонатора. Набор {wy} образует дискретный спектр (дискретность спектра обусловлена тем, что поле занимает конечный объем). Применение комплексной частоты (1.51) означает, что временной множитель exp (Jut) = exp (jw'gt) exp (—ш81) определяет поле, колеблющееся с частотой ш'8 и имеющее затухание ш8 . Учитывая вышесказанное, решение задачи о вынужденных колебаниях можно представить в виде:
Е = 52 AES - grad Ф, Н = 52 SsHs,(1.52)
где А8 и В8 — постоянные коэффициенты; Ф — квазистатический потенциал поля пространственного заряда ’).
Опуская преобразования, для коэффициентов разложения (1.52) можно записать следующие соотношения:
Аз = -#Ч Т [ »ES dV, Bs = 4^ 4 [ »Es dV'to — too3to — too3
VV
(1.53) где
Ns = | eE| dV = - | дН| dVVV
есть норма s-го собственного колебания.
Если воспользоваться соотношениями
ш_1/1+1\
to^ — tog2\(J — tosto + tos /
tos_1/1_1\
to? — to?2\(J — tosto + tos ) ’
то коэффициент As (формула (1.53)) можно представить в виде суммы, а коэффициент В8 — в виде разности двух других величин. Этим новым величинам можно придать следующий смысл. Формально введем новые функции, сопоставимые с векторными функциями Es и Hs и обозначаемые индексом (—s), которые определяются формулами
ш_8 = -ш8, E_S = ±ES, H_s = =pHs, N_S = NS. (1-54)
Легко проверить, что они удовлетворяют уравнениям Максвелла (1.50) при замене s на (—s). Тогда выражение (1.52) может быть представлено как
Е = £(CSES + C-gE-g) - grad^,
H = £(CsHs + C_sH_s),H = £(CsHs + C_sH_s),(1.55)(1.55)
H = £(CsHs + C_sH_s),
H = £(CsHs + C_sH_s),
(1.55)
(1.55)
где
C.C.j2(to - tos)j2(to - tos)? jjME.dV,? jjME.dV,(1.56)(1.56)c.c.j^(to + tos)j^(to + tos)^-|jME_sC!K.^-|jME_sC!K.
C.
C.
j
2(to - tos)
j
2(to - tos)
? jjME.dV,
? jjME.dV,
(1.56)
(1.56)
c.
c.
j
^(to + tos)
j
^(to + tos)
^-|jME_sC!K.
^-|jME_sC!K.
Данная запись более удобна для выделения резонансных слагаемых, чем соотношения (1.52)-(1.53). Действительно, так как ш > 0, в выражениях (1.56) только коэффициенты С8 могут принимать большие значения, а С_8 всегда ограничены. Перепишем первое соотношение
в виде:
j^-u)s)CsH =dV.(1.57)
Меняющиеся во времени комплексные амплитуды С8(ш) и j(cj) можно представить в виде интегралов Фурье
Cs(w,t) = | Cs(w + ^exp^-j^d^,
(1.58)
j(w,£)= | j(w + Оехр(->Щ^,
причем функции С8(ш + £) и j(cj + £) являются периодическими процессами. Тогда, переписывая (1.57) в виде
J(w - ws + £№ + £) = ^ j > + €)ES dV, (1.59) S V
умножая его на exp (—j^t) и интегрируя по £, получаем:
j | (ш - ш8 + ^с8(ш + £)ехр (-j^t) d^ =
= ^ j j j(w’ ^^ ^AV- (L6°)
V —ос
Учитывая интегралы (1.58), окончательно получаем уравнение, которому удовлетворяют коэффициенты С8:
dV- а-)
CLТ2 IN s J
V
Если резонатор возбуждается на частоте ы, которая лежит вблизи какой-либо собственной частоты резонатора ш ^ ш8 и Qs ^ 1, то все слагаемые в формуле (1.55) кроме одного определяют свойства полей, не имеющих в данном диапазоне частот резонансных свойств '), и лишь члены С5Е5 и С5Н5 окажутся резонансными (резонанс во времени).
Отметим также, что выводы теории возбуждения открытых резонаторов (колебательных систем, которые имеют достаточно высокую
добротность, и колебания в которых сопровождаются излучением в свободное пространство) заданными токами имеют много общего с соотношениями (1.55), (1.56), формально совпадая с ними при определении нормы собственных колебаний как
Ns = lim е^ [ еЕ| dV = - lim в” [ ^Н| dV,V V
где Vr — объем шара радиуса Я, а 7 выбирается так, чтобы интеграл сходился. Изменяется также роль нерезонансного фона. В закрытых добротных резонаторах на возбуждение колебаний практически не тратится активная мощность (это хорошо видно из формулы (1.56)), и нерезонансный фон является реактивным. В открытых же резонаторах, где нерезонансный фон связан с излучением энергии из объема резонатора, на его возбуждение тратится активная мощность, причем эта мощность может быть сравнима с мощностью, передаваемой резонансному колебанию. Вместе с тем формулы (1.55)), (1.56)) остаются справедливы, и могут использоваться для анализа СВЧ-автогенераторов с открытыми резонансными системами.
В заключение этого раздела отметим, что в СВЧ-электронике во многих случаях стремятся работать на одном виде колебаний, чтобы другие виды колебаний при этом не возбуждались. Если это не реализуется автоматически (в первую очередь это касается мощных генераторов, где необходимо увеличение геометрических размеров пространства взаимодействия) собственные частоты нежелательных колебаний либо уводятся из рабочей полосы частот, либо снижается добротность этих типов колебаний за счет специальным образом размещаемых диссипативных нагрузок.
Стационарные уравнения возбуждения линиипередачи электронным потоком
Будем рассматривать возбуждение однородного по оси ж бесконечного (или что тоже самое конечного, но идеально согласованного на концах) волновода [12], пронизываемого прямолинейным электронным потоком с плотностью тока j = ljx '), где 1 — единичный вектор в направлении оси ж. Под волноводом будем понимать любую передающую линию, электромагнитное поле которой занимает в поперечном сечении конечную площадь. В таком волноводе могут существовать волны, распространяющиеся в направлениях ±ж. Волны, распространяющиеся в волноводе, будут характеризоваться полями
Е±6 = Е^Д^е^, H±s = Щ8(г±)е^ж (1.62)
г) Предполагаем, что плотность возбуждающего тока изменяется во времени по закону е^ш1.
2 Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов
и волновыми продольными числами Д±5. E±s, Н±8 — напряженности электрического и магнитного полей собственной s-й волны в системе без пучка, они удовлетворяют однородным уравнениям Максвелла. Здесь верхний индекс отвечает за волны распространяющиеся в направлении оси ж (прямые волны), а нижний — против оси ж (встречные волны).
(1.63)(1.63)Тогда электрическое поле в волноводе можно представить как две группы волн: группа, в которой все волны распространяются вправо:
(1.63)
(1.63)
и группа волн, распространяющихся влево:
(1-64)
где знаки « —>» и «^—» соответствуют волнам, распространяющимся соответственно вправо и влево; 08 — постоянная распространения s-й волны в системе без пучка, причем будем полагать, что 38 одинаково в обоих случаях.
(1.65)(1.65)Введем продольное волновое сопротивление s-й волны:
(1.65)
(1.65)
Ж?»'
где Р8 — активная мощность, переносимая s-й волной в направлении ж. Величина К8 часто называется сопротивлением связи. Действительно, чем больше К8. тем больше Е8,х, а следовательно, тем сильнее степень взаимодействия распространяющейся в линии передачи волны с потоком электронов.
С учетом определения (1.65) потоки мощности, переносимые s-й волной вправо или влево от выбранной плоскости ж = ж, выражаются соответственно формулами
8 - VsKs ’ 8 - "
Здесь «*» означает комплексно сопряженную величину.
Если в плоскости ж = ж амплитуда волны изменяется на величину dE, то изменение потока мощности, переносимого волной, можно найти, дифференцируя соотношение (1.66):
^ = ха+х^й ^ = ы?+к?А (167)
Если теперь предположить, что изменение поля на величину dE в точке ж = ж обусловлено током Дж), то в точке ж = ж удовлетворяется равенство dE = dEs = d^~8. Полное изменение мощности в линии передачи
определяется изменением потоков мощности, текущих вправо и влево и записывается как
dP = d^s + dK = ^4^dE* +(1.68)
V8KSv ’
Предполагаем далее, что ток г (ж) связан с электронным пучком, возбуждающим волновод. Тогда можно найти изменение мощности взаимодействия элемента тока г(ж)с/ж с полем Es + ^:
dP = — | Re ^г(ж)(^ + ^)*)=
= Д г^Й* + X*W - i Р^Й + Xw- (1-69)
Знак минус в выражении (1.69) *) отражает тот факт, что увеличение потока мощности в линии передачи происходит за счет мощности, отдаваемой электронным потоком полю.
Приравнивая соотношения (1.68) и (1.69), получаем выражение, известное в литературе как теорема «наведения»:
dE = i^dx.(1.70)
Отметим, что пучок возбуждает элементарные волны в любой точке пространства взаимодействия и их необходимо суммировать по всей длине линии передачи (см. рис. 1.4). В точке ж = ж поле будет складываться из волн, бегущих вправо от элементов тока, для которых "х < х (элемент 1 на рис. 1.4), и волнами, бегущими влево, для которых ж > ж (элемент 2).
Используя соотношения (1.63) и (1.64) и теорему «наведения» (1.70), для напряженности наведенного поля в произвольной точке пространства взаимодействия получим:
Ех = - ^2j ЦхК^-^"^ dx -
§О
2 I
_ ^ d- (1 71)
8X
(/ — длина пространства взаимодействия).
г) Поясним, как появляется соотношение (1.69). Для выражения Re (а6*)/2 имеем: Re((ai + ja^^b-v + jbs))^ = (aibi + a^b^/^ с другой стороны: (ab* + a*b)/4 = (aibi + a^b^ j*!. Сравнивая первое и второе выражение, приходим к соотношению: Re (об*)/2 = (ab* + а* 6)/4.
dEs = (gzsK/2Xx)dx dEs = -(p2^/?);®^
Рис. 1.4. Схема, поясняющая вывод уравнения возбуждения линии передачизаданным гармоническим током
Обычно для простоты ограничиваются рассмотрением только одного вида волн, возбуждаемых в линии передачи сгруппированным током, для которых s = 0 (основной вид волн). Тогда выражение (1.71) для полной напряженности поля можно переписать в виде:
Ёх = Е0^00® - j г<хХ"5Мж"^ dx -
О
2 I
_ (ЗоКо | .^^(я-г)
где Е° — амплитуда входного сигнала. Здесь первое слагаемое — внешняя приложенная напряженность поля в начале линии передачи, второе слагаемое — интегральный эффект от составляющих между ж = 0 и ж = = ж, третье — между ж = ж и ж = /. Фактор ^з(Мж-^ уЧИТЫвает конечную скорость изменения фазы волны: в данный момент в плоскость ж приходят «элементарные» волны, возбужденные током Дж) тем раньше, чем дальше от плоскости ж находится источник возбуждения. Сопротивление связи Ко = К можно рассматривать как коэффициент, связывающий ток Дж), и возбужденное им в плоскости ж поле.
Перейдем от интегрального вида уравнения возбуждения линии передачи к дифференциальному относительно возбужденной части поля Еж. Для этого необходимо воспользоваться правилом Лейбница:
Правило Лейбница. Если функция f(x,y) и ее частная производная df/dy непрерывны на прямоугольнике а ^х ^Ь ис^у ^е, то
[ /(ж, у) dx = [ dx-
dy )J dy
Замечание. Для интеграла
J(x,y)dx,J(x,y)dx,ФФу)d '
J(x,y)dx,
J(x,y)dx,
dy .
у которого функции ф(у) и Ду) дифференцируемы на отрезке с < < у < е и не выходят за пределы а < ф(у), Ф(у) ^ Ь по правилу дифференцирования сложной функции имеем:
Ту j Hx,y)dx= j ^^dx-
Ф(у)
"Жу),у)^ + Ж(у),у)^М (1.73)
Учитывая вышесказанное, соотношение (1.72) легко свести к уравнению:
^Д^З^Е^зЗ^Кг^.(1.74)
ОХ
Последнее соотношение является дифференциальным уравнением возбуждения линии передачи потоком. Оно справедливо для любых конфигураций линии передачи, поэтому задача заключается в правильном вычислении сопротивления связи конкретной системы.
Отметим, что интегралы вида =р- J г(ж)е-^оЖ dx, входящие в фор- 2 о
мулу (1.72), допускают энергетическое толкование. Действительно, =р
=F- J г(х)Е°е-^оХ dx = ^Ре ~ средняя за период электронная мощ- 2 о
ность взаимодействия сгруппированного тока пучка с полем E®e~^QX волны в линии передачи без пучка. В соответствии с этим интегралы
Pea = RePea = Re1212г(ж)Е°е^оЖ dx , ог(ж)Е°е^оЖ dx , оPeT = ImPeT = Im1212оог(ж)Е°е^оЖг(ж)Е°е^оЖdx(1.75)dx(1.75)можно назвать соответственно активной и реактивной компонентамиможно назвать соответственно активной и реактивной компонентами
Pea = Re
Pea = Re
1
2
1
2
г(ж)Е°е^оЖ dx , о
г(ж)Е°е^оЖ dx , о
PeT = Im
PeT = Im
1
2
1
2
о
о
г(ж)Е°е^оЖ
г(ж)Е°е^оЖ
dx
(1.75)
dx
(1.75)
можно назвать соответственно активной и реактивной компонентами
можно назвать соответственно активной и реактивной компонентами
электронной мощности взаимодействия.
Изложим теперь строгую стационарную теорию возбуждения волноводов заданными токами [2]. Будем рассматривать как и раньше волновод, однородный по оси ж, поле в котором отлично от нуля только внутри цилиндра с поперечным сечением St и образующими, параллельными оси х. Волны, распространяющиеся в таком волноводе, характеризуют-
ся полями, задаваемыми соотношениями (1.62). Данные поля относятся к фиксированной частоте возбуждения ы, причем волны различных направлений при учете потерь в волноводе будут различаться следующим образом:
Im Ps > 0, Im Д-g < 0.
При этом индекс s, определяющий собственные волны в волноводе, в силу изотропности всех веществ и выполнении теоремы взаимности можно всегда выбрать так, чтобы выполнялось условие Д_5 = —(38.
Собственные волны в волноводе удовлетворяют условию ортогональности [13, 2]:
| {[EsHr] - [ErHs]} 1 as = 0 при г ^ -8,(1.76)
где S_l — поперечное сечение волновода х = const.
Искомые поля Е, Н, возбуждаемые монохроматическим электрическим током, удовлетворяют неоднородным уравнениям Максвелла
rot Е = 7^/zH,
(1-77)
rot Н = —J keEi + j.
Будем искать магнитное поле в виде
H = £(CSHS + C-SH_S),(1.78)
где коэффициенты С^8 зависят только от х. Так как величины С^8 постоянны при j = 0 (тогда формула (1.78) дает общее решение однородных уравнений Максвелла — суперпозицию всех собственных волн), то запись решения в виде (1.78) представляет по существу метод вариаций постоянных, позволяющий решить систему неоднородных линейных дифференциальных уравнений, поскольку известно общее решение однородных уравнений. Подставляя выражение (1.78) во второе уравнение (1.77), получаем соответствующее выражение для электрического поля
E = £(CSES + C_SE_S)-
-^£(^№] + ^[1н-])(L79)
jke \ dxdx ) зш£
где ш = ck. Для упрощения последнего соотношения подчиним функции C^8(z) дополнительному условию
E(^l1H-l + ^tlH-,]) =Г,(1.80)
vJb JuLu JuJ
в котором фигурирует поперечная составляющая плотности тока jf(0, jy, 3^Y Вся вторая строчка формулы (1.79) не может быть уничтожена по той причине, что векторы, стоящие в левой части (1.80), не имеют составляющих по оси х. Таким образом выражение (1.79) для поля Е принимает вид
(1-81)(1-81)Е = £ (CSES + C_SE_S) + у,
(1-81)
(1-81)
где j^^, 0,0) — продольная часть плотности тока.
Второе уравнение для C±s получаем, подставляя выражения (1.78) и (1.81) в первое уравнение (1.77), в виде:
dC_s dxdC_s dx— — rot —.— — rot —.W SW S(1-82)(1-82)
dC_s dx
dC_s dx
— — rot —.
— — rot —.
W S
W S
(1-82)
(1-82)
Пользуясь соотношениями (1.80) и (1.82), несложно показать, что вели- dC^8
чины выражаются соотношениями
dCsdxdCsdxж j jE-s ds-ж j jE-s ds-dC-dxdC-dx(1.83)(1.83)s±s±
dCsdx
dCsdx
ж j jE-s ds-
ж j jE-s ds-
dC-dx
dC-dx
(1.83)
(1.83)
s±
s±
в которых
(1.84)(1.84)Ns = | {[EsH_S]-[E_sHs]}l^S
(1.84)
(1.84)
есть норма волны с индексом s, которая для волн, распространяющихся без затухания, имеет четкий энергетический смысл — она пропорциональна потоку мощности волны.
Если токи занимают отрезок волновода Xi < х < х^ то из выражений (1.83) следует, что
Cs^ = Ж j dx J jE-$ dS’ Cs^ = ^ Рж IjEs dS- (L85) Ж1 Si.X Si.
Из формулы (1.83), а также из уравнения возбуждения линии передачи в интегральной форме (1.71) видно, что возбуждение волноводов происходит подобно возбуждению резонаторов. Единственное различие между возбуждением резонаторов и возбуждением волноводов заключается в том, что если в первом случае имеет место резонанс во времени, то во втором — резонанс в пространстве. Действительно, если з = j0^, z)e~^x, то в правой части в подинтегральных выражениях уравнения возбуждения в виде (1.71) содержатся слагаемые вида е-^/з5-/3)ж (аналогичный результат имеет место и в соотношении (1.83)). При равенстве (3 = (38 после интегрирования в правой части
появятся слагаемые возрастающие пропорционально ж, это — резонанс в пространстве, который полностью аналогичен резонансу во времени, когда ш = шs, и имеет место секулярный рост амплитуды колебаний, пропорциональный t.
Развитая теория возбуждения гладких волноведущих систем может быть достаточно просто обобщена на случай периодических волноводов, для которых справедливы соотношения
е^х + nD, у, z) = е(ж, у, z); у(х + nD, у, z) = у(х, у, z); п Е Z, где D — период структуры. В этом случае зависимость собственных волн от продольной координаты усложняется и определяется соотношениями
Es = Е°(ж,у,г)еЖж, Hs = Щ(ж, у, z^0*®,(1.86)
гдеЕ°, Щ — периодические функции с периодом D. а волновое число Ps определяется не однозначно, так как всегда вместо 38 можно взять
+(1.87)
Смысл формул (1.86) и (1.87) следующий: если разложить функции Eg, Hg в ряд Фурье по ж, то поле волны представится в виде суммы пространственных гармоник, причем гармоника с индексом п будет иметь волновое число, даваемое формулой (1.87). Неоднозначность связана с тем, что волновым вектором данной волны можно назвать волновое число любой из пространственных гармоник. В целом же теория возбуждения гладких волноводов переносится без изменений на периодические волноводы, чем мы и воспользуемся при анализе приборов с длительным взаимодействием в последующих лекциях. Следует, однако, оговориться, что такой «перенос» не справедлив вблизи полосы пропускания замедляющей системы [14] (см. также лекцию 11).
Нестационарная теория возбуждения волноводатоком медленно меняющейся амплитуды
Пусть однородный и бесконечный вдоль оси х волновод возбуждается током
j(r, t) = Re {J(r, t)ejQf} ,(1.88)
где J(r, t) — медленно меняющаяся по сравнению с exp (jClt) функция времени. С точки зрения спектральных характеристик предположение о медленном изменении амплитуды означает, что спектр сигнала AQ лежит в достаточно узком диапазоне вблизи некоторой частоты Q. В этом случае достаточно знать главную часть возбуждаемого поля, обусловленную частотами ш « Q (точнее, |cj — Q| < AQ), а побочными частями вследствие их малой интенсивности можно пренебречь.
Рассмотрим возбуждение волновода гармоническим током на частоте и = Q + Асщ следуя методике, используемой нами для вывода уравнений возбуждения резонаторов. Введем собственные функции периодического волновода (см. формулы (1.62)):
E±s =Е^(Ж,у,^,Ш)е^ж; H±s = Щ6(ж, у, и)е^х, (1.89) где E±s, H±s — периодические функции с периодом, равным периоду волновода.
Если заменить Е±5(ж, т/. z, ш) на Е±5(ж, ?/, z, Q), то мы совершим ошибку порядка Дал Если же заменить величину Р8(ш) на /3S(Q), то ошибка в определении функций E±s, H±s (а значит и полей, которые представляют собой линейные комбинации этих функций) имеет порядок (хЗ^ш^и)), т. е. увеличивается по мере удаления от источника. Поэтому учтем зависимость постоянной распространения 08 от частоты, пренебрегая вследствие малой ширины спектрального интервала сигнала зависимостями от частоты функций E±s и H±s.
Разложим постоянную распространения в ряд Тейлора вблизи частоты Q, учитывая, что она в общем случае комплексная '):
Мш) + пЛ^ = (38^ + 77s(Q) + ^ (Q)Ao; +
++ I ^№(Ау)2 + - - - (1.90)
Тогда, учитывая малость До;, уравнение (1.83) для коэффициентов С^8
^±1 = ±-L [ j(w)E°(1.91)
dxNs ] J'
можно переписать в виде
±^ + [-7SW + i^RAw - ^RAw + ( №)(Aw)2] c±s =
= A, j j(w) [E^]q dS, (1.92) s±
где
C^8 = C^8 exp ^jx 77S(Q) + ^(Q)Acj +
+ j^W^№KM2
г) Заметим, что данную процедуру можно применять только вдали от границы пропускания волноведущей системы.
Умножая обе части уравнения (1.92) на exp [J Acjt] и интегрируя по Ао; от — оо до +оо, а также учитывая, что C±s(Acj) ^ 0 только при малых Acj благодаря медленному изменению комплексной амплитуды сигнала, получим
ЭС±8 , ЭС^ , . //mdC±s j o„,md2C±s ,/m~
■1'8 J™ 8 J ''
s±s±
где (...) обозначает усреднение во времени;
С±6 = | С±8(МеЗАш1 d^wy, J= | № + ^w)ej^Xшt d^wy
и 8 гр = 1/^(Я) — групповая скорость на частоте Q.
Представим поля в волноведущей системе в соответствии с соотношениями (1.55) как
ЕМ = £ (CSES + C-sE-g) - ^M^jz(fi + Mi (1.94)
H(w) = Y (CSHS + C_SH_S) .(1.95)
Здесь j/ — продольная составляющая тока.
Для нахождения непосредственно полей умножим эти соотношения на е№-^ш)1 и проинтегрируем по Ао; от — оо до +оо, пренебрегая как и раньше зависимостью медленно меняющихся функций Е®, Н^ от Асщ учитывая разложение в ряд постоянной распространения (1.90), а также связь между коэффициентами С s и Cs, а затем возьмем действительные части полученных выражений. Опуская элементарные выкладки, получим, что
E — Re < У' (cs [Es]q + C-s [E_s]qE — Re < У' (cs [Es]q + C-s [E_s]qt
E — Re < У' (cs [Es]q + C-s [E_s]q
E — Re < У' (cs [Es]q + C-s [E_s]q
ejM + j | j/ dt, (1.96)
H = ReH = Re£(сЛН^ + МЛНМл)рт (1.97)£(сЛН^ + МЛНМл)рт (1.97)
H = Re
H = Re
£(сЛН^ + МЛНМл)рт (1.97)
£(сЛН^ + МЛНМл)рт (1.97)
Возьмем интеграл, стоящий в правой части уравнения (1.96), учитывая, что j/ = Re J/ exp [JQt], а также предполагая, что j —> 0 при
t —> — ос. Тогда, интегрируя по частям, можно получить:
[ j/ dt = 4, [ J/ de^1 =dJt =
J3^33^3^3
— ос—ос—ос
и т. д. Окончательно можно записать:
р,д = ке1{±д,-^№+(|98)
В данном разложении достаточно ограничиться только первым членом разложения, делая при этом ошибку порядка Дал
Вернемся к уравнению (1.93) и выясним физический смысл каждого из слагаемых в левой части уравнения. Для этого рассмотрим распространение волн в свободной от источников области волновода, когда j = 0. Будем рассматривать задачу (берем для определенности верхние знаки):
эс^з , дс^з , . ,<тэс±8 j Q„,^c±3 ,n
i^^T ± -<ЪГ + JT-№^r - 2 s- №^r + -<-№c^ = °
(1.99) с граничным условием
ckx = ^ = Rtv(i.ioo)
где /(t) — произвольная медленно меняющаяся комплексная функция времени. Если положить 7'(Л) = 0, Ду (Л) = 0, то решение уравнения (1.99) хорошо известно и имеет вид:
Сз = / ^- ^) е-7,ж.(1.101)
Оно описывает волну комплексной амплитуды поля, распространяющуюся с групповой скоростью в сторону возрастания ж, без искажений, но с затуханием. Аналогично можно показать, что волна С_8 будет распространяться подобным образом в противоположную сторону.
Наличие членов 7'(Л), Ду (Л) в разложении (1.90) и соответствующих членов в уравнении (1.99) приводит к искажению профиля волны / в процессе распространения её вдоль волновода [15, 16]. Эти эффекты «расплывания» профиля волны становятся существенными на расстояниях L ~ (7'До;)-1 и L ~ (Д''(АсД2)-1 от источника. Поэтому при выполнении условий
L7'(n)Ao; < 1,£Д''(Л)(Ао;)2 < 1(1.102)
можно пользоваться решением (1.101), а, следовательно, и упрощенным уравнением для коэффициентов:
—± ^ + ?SRC±S = А [ /j(r, t^se№№»-m)\ dS_
Us гр OtOXTN s v/
Sv
(1.103)
Если под L понимать длину прибора, то соотношения (1.102) определяют условия применимости нестационарного уравнения возбуждения (1.103) для этого прибора. Соотношения (1.102) показывают, что уравнение возбуждения применимо, если характерное время изменения амплитуды сигнала 2тг/ Ао; мало по сравнению с периодом ВЧ-поля 2тг/ал, и, что характерное расстояние расплывания профиля волны амплитуды (7'Acj)-1 и ф**(Acj)2)-1 много больше длины L. Заметим, что при этом не накладывается никаких ограничений на соотношение между временем прохождения волной длины прибора L/vs гр и характерным временем изменения амплитуды 2тг/Асщ их соотношение может быть любым.
Рассмотрим энергетические соотношения, для чего умножим уравнение (1.103) на С^8 и выделим отдельно действительные и мнимые части. Тогда можно записать:
8WЭРг
—+ 2781>,грИ, = т-г(jE) dS,(1.104)
otoxJ
Sv
ipt—^- ± ^) = - [ /j Im (сьЕ£/ад'<М\ dS,\vs rp dt dx J J \ V) I
Sv
~(1.105)
где P = — 7Vs|C±s|2/4 — поток мощности is-й волны; W = P/vs гр — плотность энергии волны; ф — фаза волны C^s = |C±s|exp ^j^. Здесь также полагается, что электрическое поле волны имеет вид Е = = Re {c±sE±se^} и Е* = Е_6.
Уравнение (1.104) представляет собой закон сохранения энергии, который можно трактовать, как уравнение баланса активных мощностей в элементарном объеме. Действительно, соотношение (1.104) показывает, что энергия волны, втекающая в элементарный объем, ограничиваемый двумя поперечными сечениями, расположенными на расстоянии dx, и работа, совершаемая источниками в этом объеме (соответственно первый и второй члены в правой части), идут на накопление энергии поля и покрытие потерь в данном объеме (первый и второй члены в левой части). Уравнение (1.105) соответственно описывает баланс реактивных мощностей.
Выведенные выше нестационарные уравнения возбуждения волновода были впервые получены в работах [17, 18]. Однако изложенная методика не обладает достаточной степенью строгости. Поэтому найдем теперь, следуя работе Л.А. Вайнштейна [19], строгое решение задачи о возбуждении произвольного однородного волновода заданным током медленно меняющейся амплитуды.
Пусть периодический волновод возбуждается током j с медленно меняющейся амлитудой (1.88). Представим плотность тока для удобства расчета возбуждения s-й волны в волноводе (с комплексным волновым числом Зв^)) в виде:
j(®, у, z, t) = 3s(x, у, z,(1.106)
где Js — медленно изменяющаяся функция четвертого аргумента 68 = = t — 3'5(П)ж), 38 = 93s)9ш. Наиболее интересным является случай, когда Js есть медленно изменяющаяся функция координаты ж (по сравнению с е^8^ж\ т. е. при синхронизме электронного потока с з волной, но в общем случае это не предполагается.
Поля в волноведущей структуре, как обсуждалось выше, можно представить выражениями (1.78) и (1.81). Если в них полагать функции Es и Н8 зависящими только от у, z, ы, т. е. включить множитель ejps(w)x в коэффициент С8 = С8(х,шЗ то последний будет удовлетворять уравнению
-—- -з38^С8 = г8,= jE-s^s. (1.107)
dxNs з
Пусть До; = Q — сщ тогда введем вместо Cs и is новые функции Cs и /s, которые определяются как
С$(ж,ш) = Cs(.x,,
(1.108) is(x,w) = Тдх,,
Уравнение (1.107) относительно новых переменных примет вид
dC~—
- j (ЗзИ -- 38№М с8 = 18.(1.109)
Аппроксимируя функцию Зз(ш) = Зз^ + А^) при |А^| < AQ рядом Тейлора, перепишем уравнение (1.109) в виде
^-j(^^W + ^^W + .Acs = Ts. (1.110) dx \ 26у
Функции CS) Cs, Is, Is представим в виде
С8(ж,#)= J C^x^e^1 dw = С^ДК^*"^,
(1.111)(1.111)связаны(1.И2)связаны(1.И2)Is(x,f) = | zs(ж. w)ev^" dw = Л5(ж. #sJe~4^
(1.111)
(1.111)
связаны
(1.И2)
связаны
(1.И2)
Сз^х198^ = J CsU.^yv^
Is(x,9s) = | Is(x, ^w^G^ti6s й(Дш\
Здесь Cs и Is — медленно изменяющиеся функции 6S. Они между собой уравнением
эс8 з№^с8 рп^Сз , =т Эх 2 эб^ е а^ 81
причем С-g и 1-8 связаны таким же уравнением, в котором 08 заменено на (В-s = — ^s • Ниже запишем выражения для функции С8 ^ соответствующей волне, которая распространяется в положительном направлении оси ж, для функции С-s справедливы аналогичные выражения.
Общее решение уравнения (1.112) есть сумма общего решения однородного уравнения С^(ж, 68) и частного решения неоднородного уравнения. Если частное решение удовлетворяет условию излучения, то получим
Cs(x,Os) = Cos(x,OsH j J Gskx-t>16s-9Ms^19N9dt>1 (1.113)
где Gs — функция Грина, которая при сохранении только первых двух членов в левой части уравнения (1.112) определяется выражением вида [20]
Gs(x, 9) = (-2]тгЗз^ж) 1/2 ехрGs(x, 9) = (-2]тгЗз^ж) 1/2 ехр)922№)ж)922№)ж(1.И4)(1.И4)
Gs(x, 9) = (-2]тгЗз^ж) 1/2 ехр
Gs(x, 9) = (-2]тгЗз^ж) 1/2 ехр
)92
2№)ж
)92
2№)ж
(1.И4)
(1.И4)
Если Pg (Я) = 0 и учитываются только первый и третий члены в левой части уравнения (1.112), то функция Грина для этого случая запишется как
Gs(x,9s) = -U(CW/2) 1/3 VGs(x,9s) = -U(CW/2) 1/3 V(2/?"(12)ж/2)1/3(2/?"(12)ж/2)1/3(1.115)(1.115)
Gs(x,9s) = -U(CW/2) 1/3 V
Gs(x,9s) = -U(CW/2) 1/3 V
(2/?"(12)ж/2)1/3
(2/?"(12)ж/2)1/3
(1.115)
(1.115)
где V(т) — функция Эйри. Если в левой части (1.112) учитывать только член ЭСз(Эх. то формула (1.113) примет вид
причем С^ не зависит от х.
Зная C^(zx 9§). значения C^(x.9s) при х ^ хо, можно вычислить по формуле
С°Дх, 9S) = J С8Д - хо, 6s ~ 9)СДх0, 9) dO, (1.117)
которая может быть применена к С8, если Is = 0 при х = xq.
Существенно, что одна и та же функция G8 определяет изменение комплексной огибающей С8 как в процессе свободного распространения волны, так и процессе ее возбуждения сторонними токами. При достаточно малых х и вещественном значении ^'(Q) выражения (1.114) и (1.115) можно заменить дельта-функцией
Gs(x.9) = 6(9) (ж > 0),(1.118)
приводящей к формуле (1.116).
Непосредственный физический интерес представляет, однако, не функция Сз. а поле s-й волны
Е(ж, у, z.t) = | С8(х. w)"Eis(y. z. ш)Сш1 dt =
= Е$(ж, у, z,(1.119)
где
Eg(®,y,z,Og) = J СДх, Aw)Es(y,^,Q + АДе^6- d^w), (1.120)
и, кроме того, нужно связать «возбуждающую» функцию Is в правой части (1.112) с векторной функцией Js. Полагая, что Ns = 1, введем векторные функции
Е1Ду, z, 9) = 4- 7 Е±Ду, Q + ^Дej^ш9 dAw. (1.121)
— ос
Тогда для поля s-й волны получаем выражение
Es(x,y,z,9s) = J 0^,9, -9)E°s(y,z,9)d9,(1.122)
Т8^,98^= | dS J 3s(x,y,z,9s — 9)E°_s(x,y,9)d9.(1.123)
S± —ОС
Таким образом поле s-й волны получается в результате свертки функции Сs с векторной функцией Е^ по «групповому» времени 9 = t — — P's (Я) ж, а возбуждающая функция Is — в результате такой же свертки векторных функций Js и E^s и интегрирования по поперечному сечению Sj_. Зависимость E^_s от 9 различна для различных волн. Для чисто поперечных волн в свободном пространстве, в плоскопараллельном волноводе или в коаксиальной линии E±s и Ns не зависят от ы, тогда
E^s = Е±в(у,^)5(У),(1.124)
так что выражения (1.122) и (1.123) упрощаются и принимают вид:
Е$(ж, у, z, 96) = Cs(x, 9s)Es(y, z),
_г(1.125)
18(х,98) =38(х, у, z, 9s)E_s(y, z) dS.
Другие волны характеризуются конечным «временем поперечного установления» Ats. х) Если Ats <С А#, где А^ ~ 1/АЯ — характерное время для комплексных огибающих токов и полей (т. е. Js и С8\ то формулы (1.125) остаются справедливыми при условии, что Es и E_s взяты на несущей частоте Я. Последнее вытекает из соотношений
J E°±s(y,z,9)d9 = E±MzM(1.126)
Если Ig^x^g) есть медленно изменяющаяся функция ж, т. е., если возбуждающий ток находится в синхронизме с данной волной, то согласно формулам (1.113) и (1.116) по мере распространения волны (с ростом продольной координаты ж) происходит рост величины Cs(x, 9S\ которая может достичь больших значений. Таким образом мы опять пришли к явлению пространственного резонанса, но теперь уже в нестационарных уравнениях возбуждения волноведущей системы. При отсутствии
г) Для волн в пустом волноводе с идеально проводящими стенками Ats l/o>s, где ш8 — критическая частота.
синхронизма I5(ж, 6s) — быстро изменяющаяся функция ж, такой же — и при том малой — получается функция С5(если С§ = 0). Влияние второго и третьего члена в левой части (1.112) тем меньше, чем больше характерное время Д^ (чем меньше ДЯ).
Уравнение возбуждения (1.103), по-существу, эквивалентно полученным строго соотношениям (1.125) и (1.126) и уравнениям (1.112) с одним первым членом в левой части. При этом мнимая часть ^'(Я), ответственная за изменение формы энергетического спектра волны и его смещение по оси частот (т. е. за сдвиг несущей частоты), в формуле (1.103) не учитывается. Второй член в левой части уравнения (1.112) позволяет учесть деформацию комплексной огибающей при распространении волны, например, растяжение и сжатие импульса [20].
Список литературы
Трубецков Д. И. История электронных ламп сверхвысоких частот / В кн. Формирование радиоэлектроники. — М: Наука, 1998. Гл. 12, С. 300-333.
Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. — М.: Сов. радио, 1973.
Brittain J.E. The magnetron and beginning of the microwave age // Phys. Today. 1985. V. 33, № 7. P. 60.
Соколов Д.В., Трубецков Д.И. Нелинейные волны, динамический хаос и некоторые задачи сверхвысокочастотной электроники / В сб.: Проблемы физической электроники. — Л.: Изд-во ФТИ, 1986. С. 7.
Трубецков Д.И., Шепелева Е.Я. Структуры (общий взгляд и задачи электроники) / В сб.: Проблемы физической электроники. — Л.: Изд-во ФТИ, 1988. С. 124.
Trubetskov ВЛ., Mchedlova E.S., Anfinogentov V.G., Ponomorenko V.L, Ry skin N.I. Nonlinear waves, chaos and patterns in microwave devices // CHAOS. 1996. T. 6, № 3. C. 358.
Трубецков Д.И., Анфиногентов В.Г., Рыскин Н.М., Титов В.Н., Храмов А.Е. Сложная динамика электронных приборов СВЧ (нелинейная нестационарная теория с позиций нелинейной динамики) // Радиотехника. 1999. Т. 63, JVy4. С. 61.
Кузелев М.В., Рухадзе А. А. Электродинамика плотных электронных пучков в плазме. — М.: Наука. 1990.
Bruche Е., Recknagel A Uber die «Phasenfokussierung» bei der Electronenbewegung in schnellveranderlichen elektrischen Feldern // Ztsch. fur Physik. 1938. Bd. 108, H. 7-8. S. 459.
Цимринг Ш.Е. Мазеры на циклотронном резонансе. — Горький: Изд-во Горьк. ун-та, 1988.
Гапонов А.В., Петелин М.И., Юлпатов В.К. Индуцированное излучение возбужденных классических осцилляторов и его использование в высокочастотной электронике // Изв. вузов. Радиофизика. 1967. Т. 10, №9, 10. С. 1415.
Шевчик В.Н., Трубецков Д.И. Аналитические методы в электронике СВЧ. — М.: Сов. радио, 1970.
Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. — М.: Радио и связь, 1988.
Булгакова Л.В., Трубецков Д.И.. Фишер В.Л., Шевчик В.Н. Лекции по электронике СВЧ приборов типа О. — Саратов: Изд-во СГУ. 1974.
Wainstein L.A. Propagation of quasi-monochromatic plane waves in absorbing and amplifying media // In: the Proceedings of the Fifth Colloquium of Microwave Communication. Budapest, 24-30 June, 1974. P. ET-429.
Вайнштейн Л.А. Распространение импульсов // Лекции по электронике СВЧ и радиофизике (3-я зимняя школа-семинар инженеров; книга V). Саратов: Изд-во СГУ, 1974.
Кузнецов С.И., Трубецков Д.И. Две лекции по нестационарной теории взаимодействия электронных пучков с электромагнитными волнами // Лекции по электронике СВЧ и радиофизике (3-я зимняя школа-семинар инженеров; книга V). Саратов: Изд-во СГУ, 1974, С. 88.
Кузнецов С.И., Трубецков Д.И. Некоторые вопросы теории лампы обратной волны как распределенной автоколебательной системы. В кн.: Электроника ламп с обратной волной // Под ред. В.Н. Шевчика и Д.И. Трубецкова, Глава III. Саратов: Изд-во Са- рат. ун-та, 1975.
Вайнштейн Л.А. Переходные процессы при возбуждении волноводов // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1998. Т. 6, №1. С. 20.
Вайнштейн Л.А. Ц Успехи физич. наук. 1976. Т. 118, Я2 2. С. 339.
Лекция 2ЭЛЕМЕНТАРНАЯ КИНЕМАТИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯКЛИСТРОНОВ
«Опять клистроны, магнетроны, ЛБВ... — вздохнёт кто-то, полистав книгу, — Что здесь можно сказать нового?». Оргкомитет и лекторы отвечают таким читателям строчками поэта Д. Самойлова:
Люблю обычные слова,
Как неизведанные страны.
Они понятны лишь сперва, Потом значенья их туманны. Их протирают как стекло, И в этом наше ремесло.
Лекции по электронике СВЧ и радиофизике (6-я зимняя школа-семинар инженеров), книга 1. Саратов: Изд-во СГУ, 1983. с. 3
Модуляция электронного потока по скорости. Кинематический анализ процесса группировки электронов в пространстве дрейфа. 100$ идея братьев Вариан и Хансена. Клистронные усилители и умножители частоты. Некоторые результаты теории резонансных автогенераторов. Элементарная теория отражательного клистрона. Клистронный генератор с запаздыванием: от режимов монохроматических колебаний до режимов динамического хаоса.
Как обсуждалось в первой лекции, характерной особенностью процессов на сверхвысоких частотах является невозможность пренебречь инерцией электронов. В низкочастотной электронике, где всегда выполняется условие аЛпрол <С 1 (с^ — частота сигнала, £Прол ~ время пролета электрона через пространство взаимодействия), можно считать, что в течение всего времени пролета £Прол электронами промежутка |^2 — — жх| поле в нем не изменяется. В этом случае возможно применение статического метода управления электронным потоком — модуляции электронного потока по плотности, который заключается в том, что сет-
ка лампы электростатически воздействует на пространственный заряд электронного облака вблизи катода, изменяя в соответствии со своим потенциалом электронный ток лампы от нуля до величины, равной току насыщения. Понятно, что этот способ не будет работать, если имеет место соотношение сапрол ^ 1, когда поле сильно меняется за время пролета, и инерцией электронов уже пренебречь нельзя х). Другим способом получения модулированного по плотности электронного пучка является динамический способ управления. Главное в нем заключается в разделении пространств модуляции электронного пучка по скорости и по плотности. При этом управляющий сигнал воздействует не на плотность, а на скорость электронов, периодически замедляя и ускоряя их в переменном электрическом поле. Этот процесс получил название модуляции электронного потока по скорости. Модуляция по скорости переходит в модуляцию по плотности вследствие конечного угла пролета электронов в пространстве дрейфа, чем и решается вопрос создания высокочастотной переменной компоненты тока пучка. В качестве модулирующего элемента может быть использован отрезок замедляющей линии или объемный резонатор.
Анализ задачи о взаимодействии электронного потока с электромагнитным полем при динамическом способе управления может быть разделен на три подзадачи:
анализ процесса модуляции электронов по скорости;
изучение процесса группировки электронов (модуляции электронного потока по плотности);
описание процессов возбуждения резонансной системы сгруппированным электронным потоком.
В данной лекции будут последовательно рассмотрены все эти вопросы в кинематическом приближении, т. е. без учета кулоновских сил расталкивания между электронами пучка ). Полученные результаты применяются далее к построению элементарной теории клистрона и определению его основных характеристик: выходной мощности, к.п.д., коэффициента усиления (для пролетного клистрона), зон колебаний и электронной перестройки частоты (для отражательного клистрона). Нелинейные процессы в клистронах и оптимизация их параметров будут изложены в лекции 5.
В последние годы электростатический метод управления электронным потоком опять привлек внимание исследователей в связи с развитием вакуумной микроэлектроники. Однако в приборах с автоэлектронной эмиссией или фотоэмиссией, управляемой электромагнитным полем, правильней говорить не об электростатическом способе управления, а о модуляции эмиссии [1].
Модуляция электронного потока по скорости
Рассмотрим схему резонаторного модулирующего устройства, изображенную на рис. 2.1, в котором однородный немодулированный поток проходит через две сетки, идеально проницаемые для электронов и идеально непроницаемые для электрических полей. Между катодом К и сеткой 1 модулятора приложено постоянное ускоряющее напряжение Vo (такое же напряжение между катодом и сеткой), так что электроны попадают в модулятор с постоянной скоростью vq = = V^^Vb . Между сетками 1 и 2 действует переменное напряжение Vi sincjt. За модулятором находится пространство, свободное от статических полей, которое будем называть пространством группирования или пространством дрейфа. Предположим, что для описания процесса модуляции можно пренебречь силами пространственного заряда. Будем также считать, что время пролета электрона через модулятор мало по сравнению с периодом колебаний ВЧ-поля, таким образом действующее на каждый электрон поле можно считать статическим. Тогда для каждого из электронов можно записать закон сохранения энергии
2 то22 то22—h evi sin wt^2—h evi sin wt^
2 то
2
2 то
2
2
—h evi sin wt^
2
—h evi sin wt^
где cot — фаза влета электрона в модулятор. Скорость электронов на выходе из модулятора запишется в виде
и = Vo V1 + € sinwt = «о (1 - ^ £2 + 4sinwt + -^ £2 sin2w£ +...}, L 1010J
(2-1) где £ = Vi/Vq. Если воспользоваться приближением малого сигнала, т. е. предполагать, что амплитудное значение переменного напряжение мало по сравнению с ускоряющим напряжением Vo (£ <С 1), в выражении (2.1) можно ограничиться членами порядка £. Тогда выражение для скорости электронов примет вид:
(2-2)(2-2)и = Уо
(2-2)
(2-2)
где coti — фаза влета электрона в модулятор.
При больших амплитудах модуляции (нелинейная модуляция) нельзя ограничиваться только первым членом в разложении скорости в ряд, поэтому на выходе из ВЧ-зазора появляется периодическая во времени переменная составляющая скорости, которая, кроме частоты модулирующего напряжения, содержит еще и ее гармоники. Кроме этого при нелинейной модуляции имеет место энергообмен между потоком и полем модулятора. Действительно, если ограничиться членами не первого, а второго порядка малости, то постоянная
/। у2 \
составляющая скорости v = Vo ( 1 — — -^ 1 становится функцией переменного напряжения.°
Рис. 2.1. Схема устройства, осуществляющего модуляцию электронов по скоростиРис. 2.1. Схема устройства, осуществляющего модуляцию электронов по скоростиРис. 2.2. Зависимость параметра эф-фективности модуляции М от углапролета у? о
Рис. 2.1. Схема устройства, осуществляющего модуляцию электронов по скорости
Рис. 2.1. Схема устройства, осуществляющего модуляцию электронов по скорости
Если угол пролета через ВЧ-зазор конечен, то для нахождения закона модуляции в этом случае необходимо проинтегрировать уравнение движения электрона в поле модулирующего зазора
х = т?^ sincjt(2.3)
при начальных условиях wt = wt^ х = uo.x = 0 (d протяженность модулятора). Опуская выкладки, сразу выпишем выражение для закона модуляции в случае слабого сигнала (£ <С 1) [2, 3]:
v = vq [1 + | ^М sin (w4 + ^)] 1(2.4)
wd„/
где фо = — — невозмущенныи угол пролета (угол пролета в отсутствии ио
ВЧ-поля), М — параметр эффективности модуляции, который выражается соотношением
M = sin (¥)/№) ■(2-5)
Выражение (2.4) является приближенным, однако, как показано в [4], при малых, но конечных £, оно достаточно хорошо описывает скоростную модуляцию. Вид зависимости М(фо) показан на рис. 2.2. Как видно из него, эффективность модуляции с увеличением величины Фо осциллирует и уменьшается. При фо = 2тг, 4тг,... параметр М = 0. В этом случае все электроны проходят поле модулятора в таких условиях, когда их первоначальное ускорение полностью компенсируется торможением и наоборот. Электронный поток выходит в этом случае из модулятора немодулированным по скорости. При фо = 5тг, 9тг, ... наблюдаются относительные максимумы, величина которых падает с увеличением фо- В связи с технологическими трудностями невозможно сколь угодно сильно уменьшать длину модулятора d. а следовательно, величину невозмущенного угла пролета, для достижения макси-
мального параметра эффективности модуляции. Поэтому в реальных устройствах величина угла пролета лежит в пределах фо Е (тг/2, тг), что соответствует М ~ 0,6 4- 0,9.
Кинематический анализ процесса группировкиэлектронов в пространстве дрейфа
Рассмотрим группировку (фазовую фокусировку) модулированного по скорости электронного потока в пространстве дрейфа, свободном от полей. Как и раньше будем проводить анализ группирования потока в кинематическом приближении. Процесс группирования обусловлен тем, что электроны, покинувшие модулятор раньше, но с большими скоростями, догоняют электроны с меньшими скоростями, но вышедшими из модулятора позже. Это приводит к образованию электронных уплотнений, т. е. к модуляции потока по плотности. Наглядное представление о группировании в трубе дрейфа дает пространственновременная диаграмма электронного потока на плоскости (ж, шti), шti — фаза влета электрона в трубу дрейфа (рис. 2.3). Каждая линия на ней соответствует траектории движения одного электрона. До пересечения с плоскостью модулятора поток однороден по плотности и скорости, чему соответствует одинаковый наклон и одинаковые временные интервалы A(cjti) между траекториями рассматриваемых электронов. Воздействие управляющего гармонического напряжения (изображенного на рисунке штриховой линией) приводит к модуляции скорости электронов — периодическому изменению наклона траекторий. Для электронов типа 2 наклон траекторий не меняется, поскольку они пе-
Рис. 2.3. Пространственно-временная диаграмма группирования электронов в пространстве дрейфа: 1 — электрон, который тормозится полем, 2 — электрон, не испытывающий воздействия со стороны поля, 3 — электрон, который ускоряется полем
ресекают плоскость модулятора в момент времени, когда управляющее напряжение равно нулю. Для электронов типа 1, попадающих в тормозящую фазу поля, наклон траекторий уменьшается, для электронов типа 3 — увеличивается (они попадают в ускоряющую фазу поля). За период высокочастотного воздействия траектории сходятся (что соответствует образованию уплотнений) или расходятся (образуются разряжения частиц), что и иллюстрирует процесс группирования.
Найдем угол пролета электрона до некоторой плоскости в пространстве дрейфа, находящейся на расстоянии I от середины модулятора. В силу равномерного движения электронов время t прибытия их в заданную плоскость, учитывая закон скоростной модуляции (2.4) и малость £, будет равно:
t = ti + l/v = ti + Fto ^ + — (1 — ™ sin wt-Л.
z 1^0[l + (^sincjti)/2]v 2 s
Тогда для угла пролета в пространстве дрейфа получим выражение
= uot — wty = — — — • sin wty = 9^ — X sin wty.(2.6)
^o ^o 2
Величинах = ^^- 9^ называется параметром группирования; 9^ = —. 2
Отметим, что хотя мы и полагали £ <С 1, параметр группирования может быть и не малым, так как 9 о ~ I может принимать любые значения.
Определим теперь зависимость сгруппированного тока от времени в данной точке пространства I. Пусть /о — ток электронного пучка до модулятора, zi — сгруппированный ток. Тогда на основании закона сохранения заряда для группы электронов, проходящих плоскость ж = = 0 за время dt±, а затем плоскость х = I за время dt можно записать
z(0, ti)dti = I^dti = г(/, t)dt,(2.7)
откуда для сгруппированного тока получаем
. = /,|^|.С2-8)
Дифференцируя выражение (2.6) по переменной ti, находим
— X cos wti
На рис. 2.4 представлены зависимости тока пучка от начальной фазы влета в пространство дрейфа для различных значений параметра группирования. При X <С 1 из формулы (2.9) видно, что ток меняется по гармоническому закону, амплитуда переменной составляющей мала. Уравнение (2.9) принимает вид:
г = /0(1 + X coscotiY(2.10)
Рис. 2.4. Зависимость тока пучка от начальной фазы влета электронов для различных параметров группирования. Видно, что при X ^ 1 наблюдается обращение в бесконечность величины тока пучка
При X = 1,0 знаменатель выражения, стоящего в правой части уравнения (2.9), при cjti = 2птг, п Е Z обращается в нуль, а ток — в бесконечность (такой нефизический результат связан с неучетом сил пространственного заряда, приводящих к размытию сгустка). Если X > 1, знаменатель дважды за период обращается в нуль и имеет место два бесконечных пика тока.
Проведем гармонический анализ сгруппированного электронного потока. Так как сгруппированный ток является периодической функцией времени, то ее можно представить в виде ряда Фурье
г = /0 + У^ Ап cos n(u)t — 0q),п=1
где Ап — амплитуда гармонических составляющих, которые представляются в виде:
2тг
Ап = — %^ cosn^t — G^d^ty7Г J
О
Учитывая закон сохранения заряда (2.8) и выражение (2.6) для угла пролета сгруппированного тока, найдем
2тг
Ап = — cos п(щ^1 — X sin щ^1)(/(щ^1).
7Г J
о
Последнее выражение является интегральным представлением функции Бесселя n-го порядка J^nXy Таким образом для коэффициентов
Рис. 2.5. Зависимость амплитуды гармоник сгруппированного тока от вели
чины параметра группирования
Фурье Ап получаем An = <2I0Jn(nX^(2.11)
и сгруппированный ток может быть записан окончательно как
г = /о f 1 + ^ 2Jn(nX) cosn(u)t — #о) ),(2.12)
'п=1'
На рис. 2.5 представлены соответствующие зависимости амплитуд гармоник тока от величины параметра группировки. Максимум первой гармоники приходится на параметр группирования X = 1,84. Амплитуда тока первой гармоники при оптимальном параметре X составляет величину 1,16/0, т. е. имеют величину порядка постоянной составляющей тока пучка. Из формулы (2.12) также понятно появление бесконечного пика тока при X = 1,0: дело в том, что этому значению параметра группирования соответствует бесконечное большое число гармоник с конечными амплитудами (см. кривую на рис. 2.5, соответствующую сумме трех первых гармоник сгруппированного тока 2 = 21 + 22 + 23).
100$ идея братьев Вариан и Хансена
Итак, мы научились управлять электронным потоком на сверхвысоких частотах, а именно получать сгруппированный по плотности поток. Вывели закон скоростной модуляции и построили теорию кинематической группировки предварительно промодулированного пучка в пространстве свободном от полей. Теперь нам остается научиться использовать такой пучок для усиления и генерации СВЧ-сигналов.
Разместим в конце пространства дрейфа выходной элемент, связанный с высокодобротным колебательным контуром (объемным резонатором). Если частота шо входного резонатора (или её гармоника пио)
Рис. 2.6. Фрагмент страницы из лабораторной книги для записей от 2235 июня 1937 г., на которой Рассел Вариан изобразил основную конструкцию клистрона
близка к собственной частоте выходного резонатора ы, то соответствующая гармоника сгруппированного тока (ш « wq или ш « пс^о) будет возбуждать выходное устройство резонансным образом. Приборы, работающие по данной схеме, получили название «клистронов» (точнее описанная нами конструкция соответствует схеме двухрезонаторного пролетного клистрона). Слово «клистрон» происходит от греческого слова xXu^elv^ которое означает «прибой» (дословно «разбивание волн на пляже»).
История изобретения клистрона стоит того, чтобы уделить ей некоторое время. Судя по воспоминаниям Э. Гинстона [5], прибор, ставший прообразом современного клистрона (рис. 2.6), был изобретен летом 1937 г., а соответствующая статья братьев Вариан появилась в 1939 г. [6].
Статья начиналась так: «Очень эффективные ВЧ-резонаторы, описанные в этом журнале Хансеном, послужили основой для создания усилителей и генераторов нового типа, в которых время пролета электронов, обычно рассматриваемое как источник серьезных трудностей на очень высоких частотах, обращено на пользу конструкции» (имеется в виду работа Хансена «Резонатор, предназначенный для клистронного генератора» [7]). Такое начало звучит довольно скромно, но отражает главное, а именно, применение в конструкции лампы объемного резо-
натора. По поводу работы братьев Вариан удачно пишет Р. Компфнер [8, стр. 6-7]:
«... Варианы применили очень эффективный контур, так называемый «румбатрон», который незадолго до этого предложил исследователь из той же компании — Хансен. Он придумал то, что могло бы стать резонатором с очень высокой добротностью, — резонатор в виде двух конических сегментов сферы, которые почти касаются друг друга. Румбатрон сыграл важную роль в схеме «клистрона», как его назвали братья Вариан.»
Остановимся на обстоятельствах изобретения румбатрона. Хансен занимался созданием рентгеновского излучателя и решил, что для ускорения электронов, используемых в излучателе, можно применить большие ВЧ-напряжения, которые образуются в резонансной системе. По словам Хансена, он и Рассел Вариан много думали «над различными хитрыми способами, которые могли бы быть использованы для получения большой скорости электронов без большой суммы денег» [5, стр. 33]. Эксперименты и теоретические расчеты Хансена вскоре показали, что резонатор, необходимый для рентгеновского излучателя, должен обладать очень малыми потерями. Это заставило его отказаться от резонаторов в виде отрезков коаксиальных линий и «выбросить» из конструкции внутренний проводник. Последнее и привело к созданию объемного резонатора (рис. 2.7). Следует заметить, что Рассел Вариан также принимал участие в работе по рентгеновскому излучению и был в деталях знаком с работой Хансена.
В эти же годы (1933-1937) Сигурд Вариан был летчиком. Именно он заинтересовал Р. Вариана задачей обнаружения воздушной цели с земли в плохую погоду или ночью. Р. Вариан пришел к выводу, что решение этой задачи состоит «в использовании радиоволн, и что точное определение направления с помощью оборудования, имеющего разумные размеры, потребует использования радиоволн сантиметрового диапазона. К середине 1936 г., по счастливой для Рассела случайности, новый резонатор Хансена — румбатрон — мог быть приспособлен для генерации этих волн» [5, стр. 33-34].
Станфордский университет (физический факультет) предоставил братьям Вариан возможность работать над созданием генератора в своих лабораториях, выделив 100 долларов в год на все нужды (отсюда название статьи Гинзтона — «100-долларовая идея»). Причем университет оговорил, что потенциальная прибыль должна быть впоследствии поровну разделена между им и братьями (позднее в эту маленькую корпорацию вступил и Хансен). Руководство физического факультета не ошиблось: университет получил более 2,5 миллионов долларов. «Большая часть нынешней репутации Станфорда в электронике и физике может быть приписана совместным усилиям этих трех человек и студентов, которые работали с ними», — писал в 1975 г. Эдвард Гинзтон — один из упомянутых студентов.
Рис. 2.7. Различные формы резонаторов для клистронов. Показано поперечное сечение, так как резонаторы аксиально симметричны. Пучок электронов должен двигаться параллельно оси симметрии. Тип (А) весьма удобен для практического использования, но труден для расчетов. Пунктиром показана сфера и резонатор типа концентрической линии; (А ) можно рассматривать как искажение того или другого. (В) очень легко рассчитывается, (С) — труднее, но тоже возможно рассчитать. Для (В) показана приближенная картина линий электрического поля. Тип (D), аналогичный (А), полезен практически, но не может быть рассчитан точно (рисунок и подпись из [8])
Как были сделаны решающие шаги на пути изобретения клистрона, лучше всего понять, обратившись к воспоминаниям Р.Вариана, которые приводит Гинзтон [5, стр. 35-37] в разделе «Группировка — тринадцатая идея».
«В один из дней, после того, как мы продумали множество вариантов, я был занят разработкой классификации всех вариантов, которые мы проработали, чтобы мы могли систематически изучать их все и не обнаружить потом, что пропустили некоторые наиболее многообещающие. В процессе разработки этой классификации я неожиданно подумал о принципе скоростной группировки х). С психологической точки зрения скорее интересно, что эта попытка классификации действительно привела к изобретению клистрона. Принцип скоростной группировки не
г) В оригинале [5, стр. 35-37] использован термин «velocity grouping», который мы переводим как «скоростная группировка».
соответствовал ни одной схеме в классификации, которую я придумал, и я скорее думаю, что идея пришла ко мне потому, что я бессознательно пытался проверить справедливость моей классификации. Поэтому я придумал исключение из классификации, которое в действительности оказалось основной концепцией для клистрона». Далее Р.Вариан поясняет термин «скоростная группировка» следующим образом. «Новый метод» является вариантом сеточного управления, но ни один из электронов не избегает прохода через сетку. Они просто замедляются или ускоряются... При этих условиях электроны после прохождения через управляющие сетки будут иметь различные скорости в зависимости от фазы в колебательной системе, когда электроны проходили через нее. Если электроны движутся прямолинейно, то ускоренные будут догонять отставшие, и поток электронов превращается из однородного в состоящий из последовательности сгущений или волн электронов, имеющих ту же частоту, что и возбуждающая».
Интересно, что, по воспоминаниям Гинзтона, прошло всего несколько дней от обсуждения описанной выше концепции до начала конструкторской работы над новым прибором. Важнейшую роль в столь быстром начале работы сыграло то, что объемный резонатор Хансена — главная часть будущего прибора — уже существовал. Емкостную часть резонатора (рис. 2.7) составили «крошечные шестиугольные сетки в виде сот» [5, стр. 36], которые были выполнены С. Варианом вручную (рис. 2.8). Многочисленные трудности, которые пришлось преодолеть изобретателям клистрона, пока не появилась первая лампа, живо описаны в неоднократно цитированной статье Гинзтона. Во всяком случае, они потратили на создание первого макета ровно половину выделенных ассигнований — 50 долларов. «Как указывал позднее Рассел, это был, возможно, самый дешевый проект, из когда-либо выполненных в электронике СВЧ » [5]. Кроме того, если следовать Гинзтону, то братья Вариан и Хансен были первопроходцами во всем: от идей через теоретическое обоснование до конструкции и экспериментального воплощения прибора. «... До тех пор, пока их работа «Высокочастотный генератор и усилитель» не была помещена в «Журнале прикладной физики» в 1939 году, они не знали, что скоростная модуляция открыта в 1933 году А. Арсеньевой-Хейль и Оскаром Хейлем в Европе» [5].
Когда первый клистрон был сделан, то возникла новая проблема: как узнать, генерирует ли он? Пришлось изобретать и способ детектирования колебаний. Р.Вариан предложил следующую схему. Часть электронного пучка проходила через отверстие во втором резонаторе и в области за ним отклонялась магнитным полем так, что луч попадал на ограниченную область флуоресцирующего экрана (рис. 2.8). Так была создана достаточно чувствительная и оперативная детекторная система для обнаружения колебаний. «Это изобретение было, возможно, почти так же важно, как изобретение самого клистрона, потому что
Рис. 2.8. Схема клистрона-генератора братьев Вариан: 1 — катод, 2 — ускоряющая сетка, 3 — фокусирующее кольцо, 4 — сетки, 5 — пространство группировки, 6 — элемент обратной связи, 7 — магнитное поле детектирующего устройства, 8 — флуоресцирующий экран
без него мы, по-видимому, никогда не смогли бы обнаружить колебания, хотя бы они, по-счастью, и имели место», — писал Р. Вариан [5, стр. 37].
И вот, наконец, наступило 19 августа 1937 года, когда заработал первый прибор. Сигурд Вариан впоследствии так писал об этом времени: «Мы наблюдали повторяющиеся вспышки на экране нашего детектора, но все выглядело очень нестабильно и весьма разочаровывающе. Примерно 21 августа я отсоединил лампу от насоса и заменил вольфрамовые проволочные сетки медными шестиугольными сетками и установил микрометрический винт для подстройки. Это была главная операция. На утро 30 августа 1937 года я был готов начать опять. Я повернул выключатель, немного подстроил лампу и появились колебания по всему флуоресцирующему экрану. Мы раскопали старый кристаллический детектор с кошачьими усами и гальванометр и начали измерять ВЧ-энергию по всей комнате. Мы быстро определили частоту, двигая кристаллический детектор через стоячие волны в комнате. К нашему
удовольствию мы вычислили, что длина волны была 6,5 см, и были очень смущены, когда должны были признать, что мы измерили полуволны, т. е. правильная длина волны была 13 см» [5, стр. 37].
Несколько позднее за новым прибором закрепилось название «клистрон», которое было предложено профессором факультета античной литературы Станфордского университета Френкелем.
Два последующих года работы над клистроном продолжались в направлении использования его в допплеровской радарной системе и системе для посадки самолетов. К моменту публикации статьи братьев Вариан их группа уже многого добилась: она уже хорошо понимала все характеристики клистрона, имела в своем распоряжении клистроны-генераторы (в том числе, отражательные), клистроны-усилители с двумя и несколькими резонаторами, исследовала клистрон как компонент сложной СВЧ-цепи. Как гордо пишет Гинзтон [5, стр. 38], который подключился к работе в 1939 г., «мы смогли продемонстрировать, что почти все, что можно сделать с обычными радиолампами могло быть сделано с помощью клистрона в СВЧ-диапазоне». Интересно, что маленькая группа, реализовавшая 100-долларовую идею, превратилась впоследствии в мощную Ассоциацию Вариан (основана в 1948 г.) — фирму, хорошо известную в мире электроники х).
Изобретение клистрона сыграло важную роль для дальнейшего развития электроники СВЧ, особенно для превращения её в самостоятельную область индустрии. Клистрон использовался (в ряде случаев используется и сейчас) в навигационных системах гражданской авиации, в системах спутников связи, в военной радиолокации и радиопротиводействии. Клистроны дали жизнь и многим ускорителям, используемым в медицине и ядерной физике, в том числе знаменитому станфордскому ускорителю, длиною в две мили (см. лекцию 11). История клистрона — это еще и история удивительно удачного объединения трех разных талантливых людей — физика и изобретателя Р. Вариана, летчика и физика-экспериментатора, умеющего делать все С. Вариана, физика (теоретика и экспериментатора) и педагога, опережавшего свое время, В. Хансена ).
г) В 1996 году эта фирма прекратила свое самостоятельное существование, слившись с более мощной.
В Советском Союзе работы по созданию прямопролетных клистронов были начаты в середине 30-х годов, и первые металлические усилительные клистроны на длину волны 13 4- 16 и 25 см и мощностью 50 Вт были разработаны в 1940 году Н.Д. Девятковым и его группой [9, 10]. К этому же времени относятся работы Ю.А. Кацмана в Ленинградском электротехническом институте им. В.И. Ульянова (Ленина) по развитию теории и разработке прямопролетных клистронов на длину волны 10см [11].
Клистронные усилители и умножители частоты
Прежде чем говорить о выходных характеристиках клистронных усилителей, определим некоторые основные соотношения, характеризующие энергетическое взаимодействие электронного потока с переменным электромагнитным полем.
Как уже отмечалось в первой лекции, энергетическое взаимодействие между прямолинейным электронным потоком и электромагнитным полем связано с изменением кинетической энергии электронов, преобразующейся в энергию электромагнитного поля. В кинематическом приближении рассматривается движение в заданном высокочастотном поле, при пренебрежении самосогласованного влияния электронов на само поле. Это означает, что энергия электронов идет не на изменение поля, а на поддержание установившихся колебаний, т. е. рассматриваются условия поддержания стационарных колебаний.
Пусть электрон движется прямолинейно в переменном поле Е. тогда его уравнение движения имеет вид:
d (^dx
——-—- = eh. или — ——- = exh = eh——.
dt’dt \ 2 )dt
Мощность взаимодействия с полем напряженности Е одного электрона на пути dx. равная изменению кинетической энергии электрона в единицу времени, будет определяться как
Ре = еЕ^.
Если п — концентрация электронов, то находящиеся на пути dx электроны (N = ndx) будут характеризоваться мощностью взаимодействия
PN = NPe = Edx = iEdx.
dt
Если конвекционный ток г и поле Е находятся в фазе, то кинетическая энергия электронов увеличивается (поле отдает мощность электронному потоку). Противофазность г и Е соответствует обратному процессу — пучок отдает мощность ВЧ-полю. В общем случае при произвольном сдвиге фаз между г и Е мощность взаимодействия будет
3 Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов
комплексной величиной. Кроме активной мощности взаимодействия появляется реактивная мощность, которая характеризует ту мощность, которой периодически обменивается поле и электронный поток.
Предполагая гармонический характер изменения переменных величин и используя комплексные амплитуды, можно записать среднюю за период мощность взаимодействия на пути I в виде
Pe = ^iE*dx,(2.13)
О
Соответственно активная Реа и реактивная Рет мощности взаимодействия принимают вид:
Реа = 1 Re j iE* dx, Рет = | Im j IE* dx. (2.14)
00
Определив понятие электронной мощности взаимодействия, можно обратиться к эквивалентной схеме с сосредоточенными параметрами для высокодобротной СВЧ-колебательной системы (объемного резонатора). Эквивалентная схема представляет собой обычный колебательный контур, составленный из сосредоточенных элементов. В частности, в объемном тороидальном резонаторе клистрона и электронный пучок, и электрическое поле колебательной системы находятся в узком зазоре,
так что зазор с высокой степенью точности эквивалентен конденсатору.
Если рабочая полоса частот резонатора достаточно узкая (в резонансной системе имеют место колебания только одного вида), то ре
Рис. 2.9. Эквивалентная схема сверхвысокочастотного устройства с узкополосной резонансной системойРис. 2.9. Эквивалентная схема сверхвысокочастотного устройства с узкополосной резонансной системойзонансные свойства можно описать введением в эквивалентную схему (см. рис. 2.9) емкости С и индуктивности L. Эквивалентные емкость и индуктивность вносят в схему реактивную проводимость 6НК = шС — 1/wL. Поведение и свойства элемента
Рис. 2.9. Эквивалентная схема сверхвысокочастотного устройства с узкополосной резонансной системой
Рис. 2.9. Эквивалентная схема сверхвысокочастотного устройства с узкополосной резонансной системой
связи, а также нагрузки учитываются включением в схему эквивалентной активной проводимости (проводимости нагружен-
ного контура) gHK [2]. Мощность потерь за период на gHK, как видно из эквивалентной схемы, выражается соотношением
— <§^нк— <§^нкс22 ’с22 ’(2-15)(2-15)
— <§^нк
— <§^нк
с2
2 ’
с2
2 ’
(2-15)
(2-15)
где Vi — напряжение, воздействующее на пучок. Полная проводимость резонансной системы без электронного пучка будет равна
Унк = <§Гнк “И jbHK-(2.16)
Понятие электронной мощности взаимодействия (2.13) позволяет ввести понятие электронной проводимости ре:
I 'k ^Ре^Реаi^Per/о i
Уе = ge + jbe = —у, ge = ——, Ье = —-.(2.17)
ViViVi
Отсюда ясно, что когда активная мощность взаимодействия положительна, то пучок действует подобно дополнительной нагрузке (ge > 0). Однако, если Реа < 0, то ge < 0, и существует возможность установления в колебательном контуре незатухающих колебаний. В установившемся режиме, когда амплитуда колебаний остается постоянной с течением времени, должно выполняться условие стационарных колебаний
Уе + Унк = о(2.18)
или отдельно для активной и реактивной составляющих проводимости: ge+gHK = 0,(2.19)
be + ьнк = 0.(2.20)
Выражение (2.19) позволяет при известных параметрах резонансной системы и нагрузки, а также известной электронной мощности взаимодействия определить амплитуду стационарных колебаний, а следовательно, мощность, отдаваемую в нагрузку. Формула (2.20) определяет частоту стационарных колебаний.
Однако вернемся к пролетному двухрезонаторному клистрону. Так как теория взаимодействия сгруппированного тока с переменным электромагнитным полем (схема пролетного клистрона) достаточно подробно и тщательно изложена в монографии [2], не будем останавливаться на выводе выражения для электронной мощности взаимодействия, а сразу выпишем окончательные соотношения:
Pea = I0V0^MMXVOS90 + ^ I0V0^fa(<p0),(2-21)
Per = -^MJ^X) sin 00 + J кЖШфо'к (2.22) где ^i и ^2 — соответственно амплитуды ВЧ-напряжения, нормированные на ускоряющее напряжение Vo, в модулирующем ВЧ-промежутке и выходном ВЧ-промежутке. Вторые слагаемые представляют собой электронную мощность взаимодействия немодулированного электронного потока с высокочастотным полем. Функции fa и /г носят названия монотропных функций и определяют эффекты конечного угла пролета фо в модулирующем зазоре (их вид можно найти в монографии з*
х)). При условии ^i <С 1 вторыми слагаемыми в выражениях (2.21) и (2.22) можно пренебречь.
Из формулы (2.21) видно, что в зависимости от угла пролета #о взаимодействие характеризуется либо передачей энергии электронным
потоком ВЧ-полю, либо наоборот —потоком ВЧ-полю, либо наоборот —Рис. 2.10. Схема, поясняющая энергообмен электронного пучка и электромагнитного поля в выходном резонаторе в пролетном клистроне.Рис. 2.10. Схема, поясняющая энергообмен электронного пучка и электромагнитного поля в выходном резонаторе в пролетном клистроне.поле отдает энергию электронам. Знак активной компоненты мощности определяется фазой тока, входящего в выходной резонатор. Качественно это можно понять с точки зрения взаимодействия электронных уплотнений (структур в электронном потоке) с переменным полем (рис. 2.10). Вид взаимодействия зависит от того, в какую фазу поля попадают электронные сгустки. Если сгустки проходят зазор в течение отри
потоком ВЧ-полю, либо наоборот —
потоком ВЧ-полю, либо наоборот —
Рис. 2.10. Схема, поясняющая энергообмен электронного пучка и электромагнитного поля в выходном резонаторе в пролетном клистроне.
Рис. 2.10. Схема, поясняющая энергообмен электронного пучка и электромагнитного поля в выходном резонаторе в пролетном клистроне.
цательного полупериода, то электроны тормозятся и Реа < 0, при прохождении положительного полупериода наблюдается ускорение электронов, и Реа > 0. Отметим, что реактивная компонента электронной мощности взаимодействия (2.22) сдвинута по фазе на угол тг / 2 относительно Реа^ т. е. когда Реа максимальна, величина Рет равна нулю и наоборот.
2М1оМХ)v22М1оМХ)v2— <?НК5— <?НК5(2.23)(2.23)Предположим, что £1^1 (усиление слабых входных сигналов) и cos^o = — 1 (оптимальные условия энергообмена), тогда из соотношения (2.21) и условия стационарных колебаний (2.19) получим:
2М1оМХ)
v2
2М1оМХ)
v2
— <?НК5
— <?НК5
(2.23)
(2.23)
где V2 — амплитуда ВЧ-колебаний в выходном резонаторе. Для малых сигналов Ji(X) и Х/2 = ^М9^(4 и коэффициент усиления напряжения в режиме слабого сигнала имеет вид:
(2.24)(2.24)У2 _ 210М290
(2.24)
(2.24)
V1 Vq^hk
Реально реализуемые значения коэффициента усиления по напряжению не превышают нескольких единиц, так как его увеличение связано либо с увеличением длины пространства дрейфа, либо с уменьшением величины входного сигнала. Однако и тот и другой способ ведут к увеличению разгруппировки электронов, что ухудшает энергообмен в выходной колебательной системе. Клистронные усилители слабого сигнала кроме низкого коэффициента усиления характеризуются также высоким уровнем шумов и узкой полосой усиливаемого сигнала.
г) См. формулы (Ш.4) и (III.5) на стр. 97 [2].
В случае большого входного сигнала (усилитель мощности) из первого условия стационарных колебаний и формулы (2.23) несложно найти, что
Р _ „ V5 _ (2М/оJi(X))2 , 2 “ 2gHK " 1
Мощность во входном резонаторе Р\ = g^V^ 1^ (gk ~ проводимость первого резонатора). Тогда для коэффициента усиления по мощности получаем:
(2.26)(2.26)= Р2 = (2MIoMX)f gHK
(2.26)
(2.26)
Pl V?/2 gk "
Определим максимальный электронный к.п.д. двухрезонаторного клистрона, воспользовавшись выражением (2.21), в следующем виде:
= ^ = /iko^A^A^Qcosfo = ^MJ1^ cos9q (2.27) Vo Vo/о Vo
Подбирая оптимальные значения углов пролета (cos #о = 1), параметра группировки (X = 1,84) и полагая М ~ 1, V2 = Vo (это соответствует максимально возможной амплитуде напряжения, так как при дальнейшем увеличении V2 электроны будут отражаться обратно в пространство дрейфа), получим максимальное значение к.п.д. равным 58 %.
Клистрон может быть эффективно использован и как умножитель частоты. Это связано с тем, что в сгруппированном токе величина амлитуд гармоник (гп = 2/о Jn(nX)) основной частоты достаточно высока. В таблице 2.1 приведены величины отношения максимальных значений гармоник гп к постоянной составляющей тока /о и к первой гармонике zi.
Таблица 2.1
п
1
2
3
5
10
15
20
^п/Л)
1,16
0,96
0,86
0,74
0,60
0,54
0,48
1,00
0,83
0,75
0,64
0,52
0,47
0,42
Из таблицы видно, что максимальная величина гармоники убывает достаточно медленно (отметим, что значения гармоник ВЧ-тока с учетом пространственного заряда получаются несколько хуже приведенных в таблице). Это позволяет использовать клистрон как эффективный умножитель частоты, причем конструкция умножителя ничем не отличается от конструкции усилителя, за исключением лишь того, что выходной резонатор настраивается на частоту, кратную частоте модулирующего напряжения. Характерное отношение выходного к входному сигналу в умножителях частоты лежит в пределах 0,01 4- 0,1.
Некоторые результаты теории резонансныхавтогенераторов
В предыдущих разделах рассматривалось усиление ВЧ-сигнала в приборах с динамическим управлением электронным потоком. Рассмотрим теперь резонансный автогенератор, состоящий из объемного резонатора и электронного потока *). Пусть резонатор является высокодобротным и возбуждается на одном колебании с индексом 8.
Напомним, что уравнение возбуждения резонатора можно записать в виде (1.61) (см. также [3, 13]):
+ Л" - ^Cs = j(w, t)Es dV (2.28) CLT2 IN s J
V
(все обозначения совпадают с обозначениями лекции 1). Частота колебаний определяется (см. (1.51)) как и = и' + jw'^ где первое слагаемое определяет частоту колебаний, а второе — декремент затухания этого колебания.
Если ток j(c<j) не гармоническая, а периодическая функция, то в качестве j(cu) в уравнении (2.28) необходимо использовать первую гармонику тока j(t)
2тг
j(w) = - j^exp^jwt^d^wt) =2)(t)exp(jwtY (2.29) 7Г J
О
Остальные гармоники резонансного возбуждения не дают и, как обсуждалось в первой лекции, составляют так называемый нерезонансный фон.
Используя формулу (2.29) уравнение (2.28) можно переписать в виде:
+j(w-ws)Cs = -V [ j(t)"Esexp(jwt) dV, (2.30) CLT2 IN s J
V
причем для добротного резонатора можно считать, что вектор Es вещественный (т. е. пренебречь затуханием колебаний). Для Es в этом случае будут выполняться соотношения:
Es=E:, Ns = 1- [ Eg dV > 0.(2.31)
И)
Величина
w = I |CS|2WS(2.32)
г) Характерным примером резонансного автогенератора является отражательный клистрон, который будет рассматриваться в следующем разделе.
равна энергии s-ro вида колебаний в режиме генерации. Таким образом норма резонансного колебания имеет четкий физический смысл — она пропорциональна энергии этого колебания.
Рассмотрим следующий вопрос: на какой частоте и с какой амплитудой происходят стационарные автоколебания системы электронный поток — резонатор. При рассмотрении пролетного клистрона для ответа на этот вопрос использовалось эквивалентное представление резонатора как колебательного контура. Понятно, что такое рассмотрение не обладает необходимой общностью *). Получим общие соотношения для любого резонансного генератора, используя выражения (2.30) и (2.32). Из расмотрения пролетного клистрона ясно, что амплитуда будет определяться энергетическим балансом в системе. Однако наиболее интересно найти поправку к частоте генерации относительно «холодной» частоты резонатора и её зависимость от электронного потока, т. е. найти электронную перестройку частоты.
Благодаря стационарности колебаний в системе, положим в формуле dC
(2.30)= 0 и домножим обе ее части на C*NS:
- us)CsC*sNs = 11 j(£)C*Es exp (jut) dV. (2.33) V
Взяв комплексно сопряженное от обоих частей выражения (2.33) и используя (2.32), получаем:
2j(u - ^)И/ = - | j^CsEgexp (jut) dV.(2.34)
v
Резонансная часть электрического поля равна
E(t) = Re {CSES exp (jut)} .(2.35)
причем,
д^^ = Im {CSES exp (jut)) .(2.36)
Таким образом из выражения (2.35) с учетом формул (2.35) и (2.36) получаем два соотношения соответственно для активной и реактивной
г) Л.А. Вайнштейну принадлежит замечательная фраза: «Когда мне рисуют эквивалентную схему, я чувствую, что меня обманывают.» Однако когда в резонаторе рассматривается один тип колебаний, представление в виде эквивалентной схемы правомерно.
мощности взаимодействия:
W> = -^3(t)EsdV = Pea,VW> = -^3(t)EsdV = Pea,V(2.37)(2.37)
W> = -^3(t)EsdV = Pea,V
W> = -^3(t)EsdV = Pea,V
(2.37)
(2.37)
(2.38)(2.38)2(W-c^)W = - I ^-^dV = Pt
(2.38)
(2.38)
Формула (2.37) есть формулировка закона сохранения энергии: в правой части стоит мощность, отдаваемая электронами электромагнитному полю, в левой — мощность, выделяемая в нагрузке и в резонаторе. Формула (2.38) есть баланс реактивных мощностей, определяющий частоту стационарных колебаний. Реактивная мощность обращается в нуль при и) = w's. т. е. при точном резонансе, что согласуется с предыдущим рассмотрением.
Поделив выражение (2.38) на (2.37) получим формулу для частоты стационарных колебаний:
(2.39)(2.39)Ш Ш8 Реа"^Г" ” рГг
(2.39)
(2.39)
Последнее выражение определяет электронную перестройку частоты и справедливо для всех резонансных генераторов.
Элементарная теория отражательного клистрона
Отражательный клистрон представляет собой резонансный автогенератор клистронного типа, в котором модуляция электронов по скорости и взаимодействие сгруппированного потока с ВЧ-полем происходят в единственном резонаторе. Схема отражательного клистрона приведена на рис. 2.11. Группирование потока осуществляется в тормозящем поле между резонатором и специальным электродом — отражателем, на который подается отрицательный относительно резонатора потенциал |Vr|. Отражательный клистрон представляет собой генератор, в котором первоначальные колебания возникают за счет шумовых флуктуаций в пучке '). В предгенерационном режиме сгруппированный ток характеризуется бесконечно большим набором временных шумовых гармоник. Таким же числом гармоник обладает и ток, наведенный во внешней цепи зазора. Однако так как резонатор представляет собой колебательную систему с высокой добротностью, он «выделяет» из бесконечного набора шумовых гармоник ту, частота которой близка к его собственной частоте. Если в среднем за период
г) На языке теории излучения имеет место спонтанное переходное излучение, которое после группирования пучка становится индуцированным.
Рис. 2.11. Схематическое изображение отражательного клистронаРис. 2.11. Схематическое изображение отражательного клистронапотери в резонаторе будут компенсироваться энергией, поступающей от сгруппированного электронного потока, то в клистроне установится режим стационарных колебаний. Минимальное значение постоянной составляющей тока пучка /о, при котором возникают колебания на основной частоте, называют пусковым током, а режим возникновения стационарных колебаний называется пусковым.
Рис. 2.11. Схематическое изображение отражательного клистрона
Рис. 2.11. Схематическое изображение отражательного клистрона
Процесс группирования электронов в однородном тормозящем поле мало чем отличается от рассмотренного выше группирования в пространстве дрейфа (см. рис. 2.3, на котором приведена пространственно-временная диаграмма электронного потока в пространстве дрейфа пролетного клистрона). Если тормозящий потенциал между второй
сеткой резонатора и отражателем линейно зависит от координаты (а в кинематической теории, неучитывающей пространственный заряд потока, распределение потенциала действительно линейно), то, очевидно (см. рис. 2.12, на котором представлена пространственно-временная диаграмма для этого случая), ускоренные в модуляторе электроны пролетают дальше в пространстве сетка-отражатель, чем электроны, затормозившиеся после прохождения модулятора. Центром сгруппированного сгустка становятся электроны, вылетевшие из модулятора с неизменившейся скоростью и пролетающие зазор в тот момент времени, когда фаза ВЧ-поля изменяется с ускоряющейся на тормозящую.
Рис. 2.12. Пространственно-временная диаграмма группировки электронного потока в тормозящем поле, поясняющая возникновение различных зон генерацииРис. 2.12. Пространственно-временная диаграмма группировки электронного потока в тормозящем поле, поясняющая возникновение различных зон генерацииПри обратном движении потока от отражателя к высокочастотному зазору резонатора поле, которое при прямом движении было ускоряющим, становится для электрона тормозящим. Центр сгустка будет попадать в максимум тормозящего поля зазора (в этом случае, оче-
Рис. 2.12. Пространственно-временная диаграмма группировки электронного потока в тормозящем поле, поясняющая возникновение различных зон генерации
Рис. 2.12. Пространственно-временная диаграмма группировки электронного потока в тормозящем поле, поясняющая возникновение различных зон генерации
видно, Реа < 0), если невозмущенный угол пролета электрона в поле отражателя
(Уо)опт = 2тг (п - 1) .(2.40)
Здесь п — номер зоны колебаний (n = 1, 2, 3, . . .). Зона колебаний — зависимость мощности от частоты или от величины потенциала отражателя VT. Зоне колебаний соответствует область ^о, где Реа < 0. Выражение (2.40) дает центр зоны колебаний. Из пространственновременной диаграммы несложно видеть, что границы зоны колебаний будут определяться следующими значениями углов пролета:
V^min = 2тг (п - 1/2) нижняя граница,,.
квотах = 2тгпверхняя граница.'
Рассмотрим процесс группировки потока в постоянном тормозящем поле. Уравнение движения для электрона, вылетевшего из модулятора в точке ж = 0 в момент времени t = ti, имеет вид
$ =a=^V0 + \Vr\^(242)
где D — расстояние между модулятором и отражателем.
Угол пролета электронов можно найти из соотношения (2.42), положив ж = 0 и отбросив тривиальное решение t = р. Тогда
Невозмущенный угол пролета определяется выражением
0о = —(1 + ^) •(2.44)
^о \ Vo У
В предположении, что электроны проходят центр модулирующего зазора в момент времени р и модуляция слабая, закон модуляции запишется в виде
v = ио (1 + ^^- sincjti^ .(2.45)
Подставляя значение v в виде (2.45) в формулу (2.43), и учитывая выражение (2.44) для угла пролета в пространстве группирования, находим, что
0 = 6о + Xosincjti, Xo^MOopl.(2.46)
Используя, как и при рассмотрении теории пролетного клистрона, закон сохранения заряда lodti = idt, для сгруппированного тока получаем соотношение
|1 + Хо cos wh | '
Данная зависимость отличается лишь знаком при гармоническом члене от соответствующего выражения (2.9) теории пролетного клистрона. Поэтому группировка оказывается сдвинутой по фазе относительно группировки в пространстве дрейфа на величину тг, что, как уже отмечалось, объясняется особенностями группировки в каждой из систем.
Разложение в ряд Фурье дает для первой гармоники сгруппированного тока значение:
(2.48)(2.48)21 = 2/0Ji(X0) cos (wt — 0О),
(2.48)
(2.48)
где Ji — функция Бесселя 1-го порядка.
Проанализируем стационарный режим работы отражательного клистрона. Для этого воспользуемся выведенными в предыдущем разделе энергетическими соотношениями для резонансных автогенераторов:
2тг/ш I
(2.49)(2.49)PHK = 2^W = -^- UltW)dtdx = -Реао о
(2.49)
(2.49)
— баланс активных мощностей,
12тг12тг2тг/ш /о о2тг/ш /о оdt dx = — Р(dt dx = — Р((2.50)(2.50)
1
2тг
1
2тг
2тг/ш /
о о
2тг/ш /
о о
dt dx = — Р(
dt dx = — Р(
(2.50)
(2.50)
— баланс реактивных мощностей. Здесь E(t) = U(t)/l = Visincjt//.
Используя выражение (2.48) для первой гармоники сгруппированного тока и выражение для E(t), из соотношений (2.49) и (2.50) получаем
Рнк = 1(ЖММХ0) cos Ф = -Реа,(2.51)
Рнк = -loV^MJ^Xo) sin0 = -Per, (2.52)
где
Ф = 9^ — 2тг (п — 1/4), п G Z.
Последние уравнения представляют собой уравнения стационарных колебаний отражательного клистрона. Их удобнее переписать в ином виде, используя эквивалентную схему резонатора. В этом случае уравнения (2.51) и (2.52) примут вид
(2.53)(2.53)(2-54)(2-54)£нк + ge = О,
(2.53)
(2.53)
(2-54)
(2-54)
2Дсих i п
ш8ш8/ <^hkQ "V Ье — о.
ш8
ш8
.2 Рнк
где £нк = gk + gH = —2“ — результирующая активная проводимость Vi
резонатора (g^) и нагрузки (gH)-
Учитывая вышеприведенные соотношения и выражение (2.46) для Хо, перепишем равенство (2.53) следующим образом:Учитывая вышеприведенные соотношения и выражение (2.46) для Хо, перепишем равенство (2.53) следующим образом:(71(Xq) ^HkVqХо1оМ26осойФ(71(Xq) ^HkVqХо1оМ26осойФ(2.55)(2.55)Последняя формула является уравнением для определения амплитуды стационарных колебаний Vi.Последняя формула является уравнением для определения амплитуды стационарных колебаний Vi.Пусковому режиму генератора соответствует бесконечно малая веПусковому режиму генератора соответствует бесконечно малая величина ВЧ-напряжения на зазоре резонатора (Vi —> 0) и оптимальноеличина ВЧ-напряжения на зазоре резонатора (Vi —> 0) и оптимальноезначение угла пролета #о (а, следовательно, Ф = 0, ge = (ge)Maxзначение угла пролета #о (а, следовательно, Ф = 0, ge = (ge)MaxПри этих условиях Хо —> 0, limПри этих условиях Хо —> 0, limJl(Xo) _ 1 я хХо — оптJl(Xo) _ 1 я хХо — опт= 2тг (п — 1/4).= 2тг (п — 1/4).Тогда из соотношения (2.55) находим для пускового токаТогда из соотношения (2.55) находим для пускового тока§нк VoirM^^n — 1/4)§нк VoirM^^n — 1/4)(2.56)(2.56)Из этого выражения следует, что пусковой ток отражательного клистрона уменьшается с увеличением номера п зоны колебаний. Это связано с тем, что с ростом п (величины ^о) электроны дольше находятся в пространстве группирования, что облегчает образование электронных сгустков при малых Vi.Мощность, отдаваемая электронным потоком электрическому полю, выражается соотношением (2.51). Выразив напряжение на зазоре Vi через параметр группирования Хо, можно записать:Рнк = Х0Л(Х0) созФ. (2.57)Понятно, что не вся мощность, определяемая этим выражением является полезной: часть ее идет на компенсацию потерь в стенках, диэлектрических вставках и т. д. Поэтому практический интерес представляет мощность, выделяющаяся в нагрузку, которая определяется как Рн = = PHK(gH/gHK\ ОкончательноРн = ^^ Х0Л(Х0)со8Ф^. (2.58)Уо g нкИз этого выражения следует, что пусковой ток отражательного клистрона уменьшается с увеличением номера п зоны колебаний. Это связано с тем, что с ростом п (величины ^о) электроны дольше находятся в пространстве группирования, что облегчает образование электронных сгустков при малых Vi.Мощность, отдаваемая электронным потоком электрическому полю, выражается соотношением (2.51). Выразив напряжение на зазоре Vi через параметр группирования Хо, можно записать:Рнк = Х0Л(Х0) созФ. (2.57)Понятно, что не вся мощность, определяемая этим выражением является полезной: часть ее идет на компенсацию потерь в стенках, диэлектрических вставках и т. д. Поэтому практический интерес представляет мощность, выделяющаяся в нагрузку, которая определяется как Рн = = PHK(gH/gHK\ ОкончательноРн = ^^ Х0Л(Х0)со8Ф^. (2.58)Уо g нкСоответственно к.п.д. отражательного клистрона выражается какСоответственно к.п.д. отражательного клистрона выражается какТ^-^ХоЛр^СОВФ^-.170^нкТ^-^ХоЛр^СОВФ^-.170^нк(2.59)(2.59)
Учитывая вышеприведенные соотношения и выражение (2.46) для Хо, перепишем равенство (2.53) следующим образом:
Учитывая вышеприведенные соотношения и выражение (2.46) для Хо, перепишем равенство (2.53) следующим образом:
(71(Xq) ^HkVq
Хо1оМ26осойФ
(71(Xq) ^HkVq
Хо1оМ26осойФ
(2.55)
(2.55)
Последняя формула является уравнением для определения амплитуды стационарных колебаний Vi.
Последняя формула является уравнением для определения амплитуды стационарных колебаний Vi.
Пусковому режиму генератора соответствует бесконечно малая ве
Пусковому режиму генератора соответствует бесконечно малая ве
личина ВЧ-напряжения на зазоре резонатора (Vi —> 0) и оптимальное
личина ВЧ-напряжения на зазоре резонатора (Vi —> 0) и оптимальное
значение угла пролета #о (а, следовательно, Ф = 0, ge = (ge)Max
значение угла пролета #о (а, следовательно, Ф = 0, ge = (ge)Max
При этих условиях Хо —> 0, lim
При этих условиях Хо —> 0, lim
Jl(Xo) _ 1 я х
Хо — опт
Jl(Xo) _ 1 я х
Хо — опт
= 2тг (п — 1/4).
= 2тг (п — 1/4).
Тогда из соотношения (2.55) находим для пускового тока
Тогда из соотношения (2.55) находим для пускового тока
§нк VoirM^^n — 1/4)
§нк VoirM^^n — 1/4)
(2.56)
(2.56)
Из этого выражения следует, что пусковой ток отражательного клистрона уменьшается с увеличением номера п зоны колебаний. Это связано с тем, что с ростом п (величины ^о) электроны дольше находятся в пространстве группирования, что облегчает образование электронных сгустков при малых Vi.
Мощность, отдаваемая электронным потоком электрическому полю, выражается соотношением (2.51). Выразив напряжение на зазоре Vi через параметр группирования Хо, можно записать:
Рнк = Х0Л(Х0) созФ. (2.57)
Понятно, что не вся мощность, определяемая этим выражением является полезной: часть ее идет на компенсацию потерь в стенках, диэлектрических вставках и т. д. Поэтому практический интерес представляет мощность, выделяющаяся в нагрузку, которая определяется как Рн = = PHK(gH/gHK\ Окончательно
Рн = ^^ Х0Л(Х0)со8Ф^. (2.58)
Уо g нк
Из этого выражения следует, что пусковой ток отражательного клистрона уменьшается с увеличением номера п зоны колебаний. Это связано с тем, что с ростом п (величины ^о) электроны дольше находятся в пространстве группирования, что облегчает образование электронных сгустков при малых Vi.
Мощность, отдаваемая электронным потоком электрическому полю, выражается соотношением (2.51). Выразив напряжение на зазоре Vi через параметр группирования Хо, можно записать:
Рнк = Х0Л(Х0) созФ. (2.57)
Понятно, что не вся мощность, определяемая этим выражением является полезной: часть ее идет на компенсацию потерь в стенках, диэлектрических вставках и т. д. Поэтому практический интерес представляет мощность, выделяющаяся в нагрузку, которая определяется как Рн = = PHK(gH/gHK\ Окончательно
Рн = ^^ Х0Л(Х0)со8Ф^. (2.58)
Уо g нк
Соответственно к.п.д. отражательного клистрона выражается как
Соответственно к.п.д. отражательного клистрона выражается как
Т^-^ХоЛр^СОВФ^-.
170^нк
Т^-^ХоЛр^СОВФ^-.
170^нк
(2.59)
(2.59)
Обратимся теперь к анализу второго условия стационарных колебаний (2.50), которое позволит нам определить частоту генерации. Поделим уравнение (2.50) на (2.49). Тогда
ш — шш — шШ8Ш8£ = -1ёФ£ = -1ёФ(2.60)(2.60)
ш — ш
ш — ш
Ш8
Ш8
£ = -1ёФ
£ = -1ёФ
(2.60)
(2.60)
или, используя определение добротности, получим
2^= -^.(2.61)
Ч
Из последнего соотношения находим для частоты генерируемых колебаний отражательного клистрона
и =(2.62)
В центре каждой зоны (Ф = 0) частота генерируемых колебаний ш в точности равна частоте ш8 резонатора. Частота генерируемых колебаний будет меняться при изменении потенциала отражателя VT в пределах одной зоны, так как с изменением VT меняется величина Ф. Данное явление, как уже говорилось, носит название электронной перестройки частоты. Электроная перестройка является одной из наиболее важных характеристик отражательного клистрона. С точки зрения физики, эффект изменения частоты с изменением VT может быть связан с изменением диэлектрических свойств электронного облака [14]. Из рассмотрения формулы (2.61) понятно, что диапазон электронной перестройки существенно зависит от конкретной конструкции клистрона и величины нагрузки (Q), а также от электрических параметров его работы (tg^ = = —Рег/Реа)'
Клистронный генератор с запаздыванием: от режимовмонохроматических колебаний до режимовдинамического хаоса
Как уже обсуждалось в первой лекции, одним из направлений современной сверхвысокочастотной электроники является разработка и исследование генераторов, характеризующихся широкополосным шумоподобным выходным излучением. Генераторы хаотических автоколебаний составляют важный класс приборов вакумной СВЧ-электроники. Одной из таких систем, демонстрирующих сложную динамику, является генератор на пролетном клистроне с внешней запаздывающей обратной связью [15, 16]. Основным недостатком этого генератора является узкая рабочая полоса частот, что не позволяет создать шумовой сигнал с полосой больше нескольких процентов. Вместе с тем, если такой ширины полосы достаточно, то простота конструкции, а также высокий к.п.д., свойственный клистрону, делают генератор хаотических колебаний на клистроне весьма привлекательным.
Обратная связь в клистроне наиболее просто осуществляется за счет ответвления части мощности с выхода прибора во входной модулирующей резонатор через внешнюю линию с задержкой во времени. Цепь обратной связи характеризуется в этом случае коэффициентом затухания сигнала А и задержкой d в цепи обратной связи.
В работах [16, 17] изучена теоретическая модель, описывающая сложную хаотическую динамику двухрезонаторного клистронного генератора с запаздывающей обратной связью. Выпишем уравнения модели без вывода.
Пусть напряжение на зазорах входного и выходного резонаторов имеет вид
К,2 = Re [^1,2(0^°*] ,
где Vi,2(t) — медленно меняющиеся по сравнению с экспонентой езш°1 комплексные амплитуды, шо — собственная частота резонатора. Тогда в кинематическом приближении и в предположении линейной модуляции по скорости электронного потока во входном резонаторе (т. е. Vl/Vq <С 1; Vq — ускоряющее напряжение) система уравнений, описывающая исследуемую систему, записывается в виде [17]:
яр.
—h 71^1 = 71^2,(2.63)
ат
^ + 72F2 = 2^ (|Щт - 1)|) ^ ~ ^ ,(2.64)
где введены безразмерные медленно меняющиеся амплитуды колебаний напряжений на зазорах входного Fi (г) = Vi (т)#о/2 Vo и выходного Fy = = AV^t — w^d 1Ф^9^™зшо(1 ^V^ резонатора; безразмерное время т = = wqV^ 71,2 = ^/2Qi,2 — параметры затухания во входном и выходном резонаторах; а = АК^ФО^е™3^^/2 Vo — параметр пропорциональный току пучка; Ф = ио(^ + Vvo); ^ ~ расстояние между резонаторами; К — волновое сопротивление резонатора [18]. Величина Ф равна набегу фазы за время распространения сигнала по петле обратной связи, которое определяется как временем пролета I/vq электронами пространства дрейфа, так и временем задержки в цепи обратной связи d. Оптимальным для взаимодействия пучка с полем выходного резонатора является значение Ф = 2тг(п — 1/4), которое соответствует центру зоны генерации с номером п.
Отметим, что в случае 71 ^> 1 (малая добротность входного резонатора) система уравнений (2.63), (2.64) сводится к уравнению [15]
+^F =1)|) |^7п|.(2-65)
которое справедливо также для простой модели гироклистрона с запаздывающей обратной связью [19]
Найдем условия самовозбуждения колебаний в модели клистронного генератора с запаздыванием, ограничиваясь случаем оптимального значения величины Ф = 2тг(п — 1/4). Последнее предположение позволяет считать параметр а вещественным.
Характеристическое уравнение для системы (2.63), (2.64) получается при подстановке F^ ~ ехр (рт) и разложения функции Бесселя в ряд Ji(x) to ж/2:
(р + 71)(Р + 72> = a7ie~P-(2-66)
Данное уравнение имеет бесконечное число комплексных корней, что отражает наличие бесконечного числа собственных мод в системе. Обсудим вопрос об устойчивости этих мод. Так как в момент смены характера устойчивости величина корня характеристического уравнения чисто мнимая (р = jw\ то из уравнения (2.66) отдельно для действительной и мнимой части получаем выражения:
—ш2 + 7172 = c^7i cos и,
(2.67) ^(71 + 72) = —с^71 sin ш.
Поделив одно уравнение на другое, найдем уравнение для частот собственных мод:
^(71+72) =_tgw.(2 68)
7172 - ш
Графическое решение уравнения (2.68) в случае, когда добротности резонаторов достаточно высоки (так что ^/7172 < тг/2), приведено на рис. 2.13а. Из него видно, что уравнение (2.68) имеет бесконечное число корней, соответствующих бесконечному числу собственных мод. Поскольку параметры а и 71,2 считаются положительными, следует учитывать лишь те корни уравнения (2.68), для которых cos и > 0 (черные точки на рис. 2.13ft). Из рис. 2.13ft также видно, что основная мода имеет нулевую частоту, т. е. генерация возникает точно на собственной частоте резонатора шо (реактивная мощность взаимодействия равна нулю). Последнее справедливо только в центре зоны генерации.
Для основной моды условие самовозбуждения находится из первого уравнения системы (2.67) и имеет вид:
а > 72-
Решения, соответствующие этому случаю, являются монохроматическими колебаниями с частотой cjq, их комплексная амплитуда имеет вид Fi^ = F^v ^ где фаза ср произвольна, а амплитуда Fq находится из решения уравнения
72^о = 2аЛ(^о).(2.69)
Понятно, что с ростом тока пучка (увеличением параметра а) число вещественных корней этого уравнения увеличивается (см. рис. 2.135, на котором приведено графическое решение данного уравнения). Следовательно, появляются все новые и новые стационарные состояния. Ситуация, когда при одних и тех же значениях параметров задачи (в данном
Рис. 2.13. Графическое решение уравнения (2.68) для определения частот собственных мод (а) и уравнения (2.69) для нахождения стационарных состояний (б) двухрезонаторного клистрона с запаздыванием
случае — а и 7) возможна реализация различных состояний, называется мультистабильностью. Появление все новых стационарных режимов обусловлено многократной перегруппировкой электронов (появлением новых электронных структур (сгустков)) в пространстве дрейфа по мере увеличения амплитуды поля во входном резонаторе. Однако не все из них устойчивы. Седловые неустойчивые состояния равновесия располагаются на возрастающих участках функции Бесселя (обозначены белыми точками на рис. 2.136), а устойчивые — на падающих участках (черные точки).
Неустойчивые состояния равновесия в результате бифуркации Андронова-Хопфа мягко теряют устойчивость с ростом а, т. е. возникает предельный цикл, амплитуда которого растет с увеличением надкритичности а. Эти колебания называются автомодуляционными, так как они возбуждаются только на фоне автоколебаний на основной моде с большой амплитудой. Физически причина возникновения автомодуляции определяется кинематической разгруппировкой (разрушением) электронных сгустков вследствии того, что амплитуда колебаний, модулирующих по скорости электронный поток, достаточно велика. В этом случае на амплитудной характеристике усилителя появляется крутой падающий участок. Такой механизм модуляции называется амплитудным [21].
Частоты, на которых возникает автомодуляция, также находятся из уравнения (2.67), но теперь уже при условии coscj < 0. Будем называть возмущения на этих частотах автомодуляционными модами, поскольку они могут возбуждаться только на фоне стационарных колебаний с достаточно большой амплитудой. Из рис. 2.13а видно, что частота Qi первой автомодуляционной моды лежит в пределах ^/7172 < ^1 < тг / 2.
Рассмотрим последовательность смены режимов колебаний в генераторе, происходящих по мере увеличения параметра а (т. е. с увеличе-
Рис. 2.14. Бифуркационная диаграмма колебаний в теоретической модели двухрезонаторного клистрона с запаздыванием (из работы [17])
нием тока пучка или коэффициента затухания в цепи обратной связи) при постоянных параметрах потерь 71 2 = 1 [17]. Данные исследования уже невозможно провести аналитически, поэтому рассмотрим результаты численного моделирования системы уравнений (2.64) и (2.65).
С увеличением а последовательно наблюдались самовозбуждение колебаний на основной моде (ш = 0) и установление режима стационарной генерации, а затем возникновение автомодуляции на первой автомодуляционной моде (см. рис. 2.13а). Режимам периодической автомодуляции в фазовом пространстве соответствуют предельные циклы различной формы. С изменением параметрам наблюдается усложнение формы предельного цикла, а также жесткие переходы между различными циклами. При этом частота автомодуляции скачкообразно изменяется. Такие жесткие переходы между колебательными режимами объясняются наличием в системе мультистабильности (рис. 2.136).
При дальнейшем увеличении а происходит переход от периодической автомодуляции к хаотической. В области хаотических колебаний наблюдается большое число окон периодической автомодуляции. Вышесказанное иллюстрирует рис. 2.14, на котором представлена бифуркационная диаграмма: на ней отложены положения максимумов амплитуды выходного сигнала F при различных значениях параметра а. Режимам периодической автомодуляции на диаграмме соответствуют линии, режимам хаотической динамики — сплошные черные области.
В работе [17] приводятся результаты экспериментального исследования клистронного генератора с внешней обратной связью. Генератор реализован на пролетном клистроне, выход которого соединен со входом. В цепь обратной связи был включен поляризационный аттенюатор, позволяющий в широких пределах изменять затухание в цепи обратной связи L (т. е. изменять уровень мощности, который подается на вход
Рис. 2.15. Спектры выходного излучения генератора, наблюдаемые в эксперименте в режиме периодической модуляции (а), автомодуляции с удвоенным периодом (б) и хаотических автоколебаний (в) (из работы [17])
клистрона с его выхода). Рассмотрим последовательность режимов колебаний, наблюдаемых в эксперименте при изменении затухания L при неизменных значениях тока пучка /о и ускоряющего напряжения Vq. Экспериментальные спектры выходного сигнала генератора при различных значениях L представлены на рис. 2.15.
При L to 10 дБ в автоколебательной системе возбуждались стационарные гармонические колебания на частоте /о ~ 2,8 ГГц, близкой к частоте максимального усиления исходного клистронного усилите- леля в режиме малого входного сигнала. Уменьшение затухания приводило вначале к росту амплитуды стационарных колебаний, а при L to 7,6 дБ возникал режим периодической автомодуляции с частотой /а to 3,5 МГц. В спектре выходного сигнала (рис. 2.15а) появлялись частотные составляющие fo ^z fa.
Если уменьшать L дальше, то при L to 3 дБ наблюдались удвоения периода автомодуляции (рис. 2.156). В спектре генерации это соотвест- вует появлению частотных составляющих /о ± /а/2п. И при L to 0,5 дБ генерация становилась хаотической. Спектр генерации в данном случае является сплошным, хотя можно выделить в нем максимумы на основной частоте /о, на частоте автомодуляции fa и ее субгармониках. В натурном эксперименте как и в численном моделировании в режиме хаотической динамики наблюдались окна периодической автомодуляции с частотами fa/3 и fa/5- Таким образом результаты натурного эксперимента качественно, а в ряде случае и количественно, соответствуют теоретическим и численным расчетам. Например, частота пер-
вой автомодуляционной моды, согласно теории (см. рис. 2.13а), лежит в пределах 5 МГц < /а < 8,3 МГц, что близко к экспериментальному значению 3,5 МГц. Оценки по результатам натурного эксперимента значений параметра а, при которых происходит перестройка режимов колебаний, также близки к соответствующим расчетным значениям. Так экспериментальные значения параметра а, при которых происходит самовозбуждение колебаний, возникновение автомодуляции и первое удвоение периода, соответственно равны а « 1,56, 2,73, 7,8, в то время как численное моделирование дает а « 1,0, 4,0, 9,05. Заметим, что в последнем случае можно требовать только качественного соответствия, так как теория не учитывает целый ряд существенных факторов, определяющих динамику генератора (влияние поля пространственного заряда, особенности конкретной технической реализации генератора и т. и.).
Список литературы
Трубецков Д.И.. Рожнев А.Г., Соколов Д.В. Лекции по сверхвысокочастотной вакуумной микроэлектронике. — Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 1996.
Шевчик В.Н. Основы электроники сверхвысоких частот. — М.: Сов. радио, 1959.
Шевчик В.Н., Трубецков Д.И. Аналитические методы в электронике СВЧ. — М.: Сов. радио, 1970.
Клеен В. Введение в электронику сверхвысоких частот. — М.: Сов. радио,1963.
Ginston Е. The $100 idea // IEEE Spectrum. 1975. V. 12. P. 30.
Varian R., Varian S. High frequency oscillator and amplifier // Journal of Appl. Phys. 1939. V. 10. P. 321.
Hansen W. W., Richtmayer R.D. On the resonator suitable for klystron oscillator // Journal of Appl. Phys. 1939. V. 10. P. 189.
Kompfner R. The invention of the travelling-wave tube. — Sun Franciscko Press. 1964.
Лобанов M.M. Из прошлого радиолокации. — M.: Военное изд-во МО СССР, 1969.
Девятков Н.Д., Данильцев Е.Н., Пискунов И.В. О колебательных режимах клистрона // ЖТФ. 1941. Т. 11, Я515, 16. С. 1348.
Кацман Ю.А. Создание русского клистрона. — Санкт-Петербург, 1997.
Шевчик В.Н. Взаимодействие электронных пучков с электромагнитными полями. — Саратов: Изд-во СГУ. 1963.
Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. — М.: Сов. радио, 1973.
Вайнштейн Л.А. Стабильность колебаний в генераторах магнетронного типа // В сб. «Электроника больших мощностей». М.: Наука, 1964. Вып. 3. С. 36.
Афанасьева В.В., Лазерсон А.Г. Динамический хаос в двухрезо- натрных клистронных генераторах с запаздывающей обратной связью // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1995. Т.3,№5. С. 88.
Дмитриева Т.В., Рыскин Н.М.. Титов В.Н., Шигаев А.М. Сложная динамика простых моделей электронно-волновых систем // Известия вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7, Я2 6. С. 66.
Дмитриев Б.С., Жарков Ю.Д., Рыскин Н.М., Шигаев А.М. Теоретическое и экспериментальное исследование хаотических колебаний клистронного автогенератора с запаздыванием // Радиотехника и электроника. 2001. Т. 46, Я9 5. С. 604.
Григорьев А.Д. Электродинамика и техника СВЧ. — М: Высшая школа, 1990.
Ергаков В. С., Моисеев М.А. Ц Радиотехника и электроника. 1986. Т. 31. С. 962.
Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебаний. — М.: Наука. 1987.
Блиох Ю.П., Бородкин А. В., Любарский А.Г., Онищенко Н.М.. Файнберг Я.Б. Применение метода функционального отображения для исследования ЛБВ-генератора с запаздывающей обратной связью // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1993. Т. 1, Я^l, 2. С. 34.
ВОЛНЫ ПРОСТРАНСТВЕННОГО ЗАРЯДА МАЛОЙАМПЛИТУДЫ
Существование «волн» как одной из форм, в которой проявляется движение, принадлежит к наиболее привычным свойствам физического мира; их описание дает нам одну из нитей, связывающих воедино различные разделы физики.
Из предисловия редакторов американского издания к книге «Нелинейные волны», М.: Мир, 1977, с.9.
Гидродинамическое описание электронного потока. Волни пространственного заряда и группирование в пространстве дрейфа. Резистивный усилитель. Волны пространственного заряда в электронном потоке со столкновениями и диффузией. Двухлучевая неустойчивость (абсолютная и конвективная неустойчивость; глобальная неустойчивость). Неустойчивость Гельмгольца и об одной гипотезе образования спиц в кольцах Сатурна (многопучковая неустойчивость). Циклотронные волны. Связанные волны.
В данной лекции мы приступаем к рассмотрению волновых процессов в электронных пучках на сверхвысоких частотах, связанных с силами упругого взаимодействия, которые в первую очередь обусловлены силами объемного пространственного заряда. Исторически изучение этих вопросов связано с развитием теории СВЧ-приборов с модуляцией электронного потока по скорости и последующей группировкой в пространстве дрейфа. Первоначально описание явлений в электронном потоке ограничивалось кинематическим приближением, т. е. движение электрона рассматривалось без учета полей пространственного заряда только под действием внешних сил. Хотя понятие волны пространственного заряда было введено практически одновременно с изобретением клистрона в работах В.С. Хана и С. Рамо в 1939 г. [1, 2], значение электронно-волновой теории выявилось значительно позднее, в 50-х годах, когда была показана возможность нарастания при определенных условиях амплитуд волн пространственного заряда вдоль пространства
дрейфа. Дальнейшее развитие этой теории, которое привело к созданию электронно-лучевого усилителя — двухлучевой лампы, принцип которой основывается на усилении волн пространственного заряда х). Появился принципиально новый на тот момент подход к рассмотрению явлений в электронном потоке — теория связанных волн и, как следствие, к исследованию электронных приборов, принцип работы которых основан на использовании колебательных и волновых явлений в самих электронных пучках без использования каких-либо «материальных» колебательных систем [3] ).
Под волнами пространственного заряда (ВПЗ) будем понимать волнообразное распространение возмущений плотности, тока, напряженности поля пространственного заряда и скорости в электронном пучке, причем скорость такого возмущения зависит от постоянной составляющей плотности пространственного заряда в потоке. В общем случае существует много различных типов ВПЗ, в данной лекции ограничимся подробным анализом линейной теории группирования электронного потока в пространстве дрейфа и приложением ее к учету влияния пространственного заряда в теории пролетного клистрона; рассмотрим двухлучевую неустойчивость, а также примеры ее использования в электронике (двухлучевая лампа) и для возможного объяснения некоторых наблюдаемых явлений в астрофизике; укажем на одну из аналогий в гидродинамике жидкостей. В конце лекции кратко остановимся на циклотронных волнах в электронных потоках, а также рассмотрим аппарат связанных волн.
В основу рассмотрения волновых процессов в электронных потоках положен гидродинамический анализ. Такой подход позволяет с единых позиций рассмотреть широкий класс задач о поведении потоков заряженных частиц как в вакууме, так и твердом теле, а также о взаимодействии электронных потоков с бегущими волнами различной природы (см., например, [4]).
Гидродинамическое описание электронного потока
Возможность использования гидродинамической теории применительно к анализу процессов в электронных потоках связана с переходом от микроскопического описания уравнений дискретной среды к макроскопическим уравнениям непрерывной среды, опирающимся на следующие положения. Поток электронов в вакууме можно рассматривать как дрейфующую плазму. Поведение плазмы характеризуется поведением ее микроскопических элементов. О коллективном поведении плазмы можно говорить только в длинноволновом приближении, когда
рассматриваются волновые процессы с длиной волны, много большей значения дебаевского радиуса
Ар =(3.
Шр
Здесь ит — средняя тепловая скорость электронов пучка, шр = = уРР^Т^ — плазменная частота бесконечно широкого электронного потока, р — удельный заряд электрона, ро — плотность заряда иг — диэлектрическая проницаемость. Сверхвысокочастотные волновые процессы удовлетворяют этому требованию, что позволяет использовать классическую статистику и проводить анализ на основе гидродинамической модели. Как показано в работе [5], результаты гидродинамической теории совпадают с результатами кинетического рассмотрения только при условии, что частота v соударений не зависит от скорости носителей. При достаточно малом тепловом разбросе по скоростям гидродинамическое описание электронного потока применимо в широком интервале значений отношения и (из (ш — частота высокочастотного возмущения). Более того, очень часто используется приближение, в котором не учитывается тепловой разброс скоростей электронов, а также столкновения и диффузия в пучке. Именно в рамках этих предположений запишем основные уравнения гидродинамической модели.
Уравнения Максвелла. При учете вихревых полей как в пучке, так и в волноводной системе, в которой движется пучок, имеет место обобщенное волновое уравнение:
ДЕ - £0р0—у —,(3.2)
at от Ео
где Е есть сумма напряженностей вихревого электрического поля, которое описывает собственное излучение электронов, собственные колебания резонаторов и волноводные моды, и потенциального электрического поля. Если учитывается только потенциальное поле, связанное с взаимодействием электронов через кулоновские поля, то решаются совместно уравнение для полного тока и уравнение Пуассона:
^^ J —Зполн?
°(3.3)
divE = —.
Очевидно, что, введя уравнение непрерывности, которое выражает закон сохранения заряда, вместо уравнений (3.3) можно рассматривать
(3.4)(3.4)(3.5)(3.5)(3-6)(3-6)эквивалентные системы уравнений вида divE = —,
(3.4)
(3.4)
(3.5)
(3.5)
(3-6)
(3-6)
ИЛИ
ре . _.
о ^^ ■ + J Зполн,
Уравнение движения записывается следующим образом:
^ = 7? (Е + [vH]),
оно представляет собой закон изменения скорости передвигающейся в пространстве частицы. Поэтому так как уравнения поля характеризуют изменение полей в любой точке пространства с течением време- dv
ни, логично выразить производную — через величины, относящиеся к неподвижной точке пространства, т. е. перейти к переменным Эйлера. Изменение скорости dv равно изменению скорости в данный точке пространства за время dt (^ dt) и разности скоростей в один и тот же момент времени в двух точках, разделенных расстоянием с/r, равным пройденному частицей за то же время dt - dx + —- du + —— dz = dx oy dz
= (dr V)v), t. e.
dv = dt + (dr V)v,dt
а следовательно, полная производная запишется как
(3-7)(3-7)dv dv ( х
(3-7)
(3-7)
-тг =+ v V v.
dt dt
Окончательно уравнение движения в переменных Эйлера имеет вид:
(3.8)(3.8)(3.9)(3.9)^ + (W)v = ??(E+[vH]).
(3.8)
(3.8)
(3.9)
(3.9)
Уравнение для конвекционного тока выглядит так:
jo + j — (ро + р) ' (vo + v).
где jo, ро, vq — постоянные составляющие плотности тока, плотности заряда и скорости, a j, р, v — их переменные составляющие.
Рассмотрим теперь электронный поток, который бесконечен в направлении у и z (т. е. ^ = ^ = 0) и движется вдоль оси ж, вдоль которой ориентировано бесконечное однородное постоянное магнитное поле.
Очевидно, что в этом случае в потоке могут распространяться только продольные волны, а соответствующие переменные величины в рамках гидродинамической модели будут иметь только ж-компоненты. Тогда основные уравнения (3.4), (3.8) и (3.9) гидродинамической модели для бесконечно широкого потока запишутся как (индекс «ж» у переменных величин опускаем)
= _9рЭх 91'
<3-">
jo + j = (Ро + Й(у0 + у),(3.12)
где в общем случе поле Е = Евн + Епз — сумма внешнего переменного поля и поля пространственного заряда. Последнее определяется из уравнения Пуассона, которое для одномерного случая имеет вид
(3.13)(3.13)ЭЕдз _ р
(3.13)
(3.13)
Эх £о '
Волны пространственного заряда и группированиев пространстве дрейфа. Резистивный усилитель
Прежде чем переходить к рассмотрению волн пространственного
заряда, рассмотрим, к чему приводит попытка описания группировки электронного потока в пространстве дрейфа в кинематическом приближении в переменных Эйлера, а не Лагранжа, которые мы использовали при построении теории пролетного и отражательного клистрона. Пусть вдоль оси ж движется поток невзаимодействующих частиц. Их скорость удовлетворяет уравнению движения, которое в переменных Эйлера имеет вид (3.11)
do dtdo dtdv , dv dt V Эхdv , dv dt V Эх(3-14)(3-14)
do dt
do dt
dv , dv dt V Эх
dv , dv dt V Эх
(3-14)
(3-14)
Оно формально совпадает с уравнением, описывающим в теории волн модель одноволнового приближения. Общий вид уравнения одноволнового приближения таков:
(3.15)(3.15)dv , ,// \9у п
(3.15)
(3.15)
-al + vw^ = o-
Это уравнение описывает плоскую бегущую волну в нелинейной среде без диссипации и дисперсии. В общем случае V(v) — нелинейная функция.
Пусть в момент времени t = 0 пучок оказывается возмущенным по скорости согласно закону a sin кх (пучок промодулирован по скорости).
Рис. 3.1. Эволюция во времени синусоидального возмущения в пучке невзаимодействующих частиц. Здесь сплошными линиями обозначена скорость, штриховыми — плотность, а — начальное состояние, соответствующее синусоидальному возмущению скорости; б — образование электронных уплотнений (группирование частиц около точек 1 и 2); в, г — опрокидывание волны скорости и образование удвоенного числа особенностей на кривой р = р(х)Рис. 3.1. Эволюция во времени синусоидального возмущения в пучке невзаимодействующих частиц. Здесь сплошными линиями обозначена скорость, штриховыми — плотность, а — начальное состояние, соответствующее синусоидальному возмущению скорости; б — образование электронных уплотнений (группирование частиц около точек 1 и 2); в, г — опрокидывание волны скорости и образование удвоенного числа особенностей на кривой р = р(х)
Рис. 3.1. Эволюция во времени синусоидального возмущения в пучке невзаимодействующих частиц. Здесь сплошными линиями обозначена скорость, штриховыми — плотность, а — начальное состояние, соответствующее синусоидальному возмущению скорости; б — образование электронных уплотнений (группирование частиц около точек 1 и 2); в, г — опрокидывание волны скорости и образование удвоенного числа особенностей на кривой р = р(х)
Рис. 3.1. Эволюция во времени синусоидального возмущения в пучке невзаимодействующих частиц. Здесь сплошными линиями обозначена скорость, штриховыми — плотность, а — начальное состояние, соответствующее синусоидальному возмущению скорости; б — образование электронных уплотнений (группирование частиц около точек 1 и 2); в, г — опрокидывание волны скорости и образование удвоенного числа особенностей на кривой р = р(х)
Перейдем в движущуюся со скоростью vq (vq — невозмущенная скорость потока) систему отсчета и рассмотрим в ней эволюцию начального возмущения. Переход в новую систему отсчета эквивалентен замене координат вида х = х' — vot. Введем новую переменную: и = v — vq, где и — переменная составляющая скорости. Тогда в движущейся системе координат уравнение (3.14) будет выглядеть следующим образом:
(3.16)(3.16)ди , ди
(3.16)
(3.16)
«+иа5 = "-
Решение этого нелинейного уравнения есть так называемая простая волна
(3-17)(3-17)и = U(t — х)и\
(3-17)
(3-17)
где явное выражение для функции U определяется видом начального возмущения. При распространении такой волны в нелинейной среде ее профиль меняется со временем, поскольку разные точки на профиле бегут с разной скоростью. В случае пучка эт. е. следствие того, что частицы смещаются относительно друг друга из-за разных скоростей, причем одни частицы могут обогнать другие (это наблюдалось на пространственно-временной диаграмме потока в кинематическом приближении (см. рис. 2.3)), вследствие чего функция u(x,t) становится неоднозначной. Проследим за пучком на фазовой плоскости (и,х^ на которой каждая точка движется со своей собственной скоростью. Верхняя полуплоскость соответствует движению вправо, нижняя — влево, причем скорость каждой точки пропорциональна удалению ее от оси х. Рис. 3.1 иллюстрирует эволюцию пучка на фазовой плоскости. Начальное состояние скоростей пучка — синусоида a sin kx^ здесь же
штриховой линией показана зависимость плотности пространственного заряда пучка от продольной координаты. С течением времени происходит искажение профиля волны: частицы с и > 0 уходят вперед, а с и < О отстают от волны. Одновременно образуются сгущения частиц вблизи точек 1 и 2, где и = 0, т. е. происходит группирование пучка (рис. 3.1 а). Волна постепенно становится круче (рис. 3.16), и в какой-то момент времени производная ди/дх на переднем фронте обращается в бесконечность (в бесконечность также обращается плотность р(ж) объемного заряда пучка). В следующий момент времени происходит опрокидывание волны (рис. 3.1 в), и функция и(х, t) становится многозначной, у нее появляется точка поворота, т. е. образуются встречные пучки. После опрокидывания волны функция р(х) имеет удвоенное число особенностей (рис. 3.1в,г). С дальнейшим течением времени структура волны еще более усложняется.
Из нашего рассмотрения видно, что и в кинематическом анализе существует возможность использовать уравнения в переменных Эйлера, однако такой подход является более сложным и менее наглядным, чем описание процесса группирования в переменных Лагранжа, где не возникает проблемы многозначности функций при обгоне и повороте частиц.
Однако вернемся к рассмотрению волн в потоке взаимодействующих через общее поле пространственного заряда частиц. Будем рассматривать бесконечно широкий поток, пространственный заряд которого полностью нейтрализован неподвижным ионным фоном. Наличие ионов может быть объяснено присутствием в реальном приборе остаточных газов, которые ионизируются пучком. Предположение о неподвижности ионного фона связано с большой массой ионов (так протон почти в 2000 раз тяжелее электрона), что позволяет считать, что ионы не принимают участия в колебательных процессах на сверхвысоких частотах.
В одномерном потоке в силу его бесконечной поперечной протяженности нет изменения потенциала, а значит и характеристик потока в поперечном направлении. Пучок считается бесконечно длинным, так что потенциал, и о и jo вдоль пучка не изменяются. Переменные величины j и и изменяются только в продольном направлении. Тогда уравнение движения (3.11) запишется в виде
^ («0 + у) + («о + v)^- («о + у) = ^ + «0^- + «^ = пЕ. (3.18) ot Эх at ох ох
Используем предположение о малости сигнала, что даст возможность пренебречь в исходных уравнениях членами второго и более высокого порядка относительно малых переменных величин. Линеаризованные уравнения движения (3.18), уравнение непрерывности (3.10) и уравнение для переменной составляющей плотности конвекционного
тока (3.12) запишутся соответственно в виде
ди , ди ~
at + vo»- = ^Е,
Ot ОХ
Эз _ _д£
дх dt1
3 = пор + pov.
(3.19)
(3.20)
(3-21)
Из уравнений (3.19)—(3.21) можно исключить р и и и получить уравнение, связывающее j и Е. Разрешая уравнение для плотности конвекционного тока (3.21) относительно и, продифференцировав результат по времени и используя уравнение (3.20), приходим к соотношению
д« = J_dj ур dj dt ро dt ро дх'
Продифференцировав уравнение (3.19) по времени и используя полученное выше соотношение для ди/dt, найдем:
д^З , 9 Э2з 2 d2j _ ЭЕ dt2 ° ЭхЭ1 + V° Эх2 ^ df
(3.22)
Уравнение (3.22) связывает переменные составляющие плотности конвекционного тока и поля. Если Е создается переменными зарядами в самом электронном потоке, то можно использовать уравнение полного тока (3.3) в виде
dEdt
Подставляя его в соотношение (3.22), получим окончательно уравнение
вида:
"ТТЛ ++ Vo "77^ + 3 — 0,
dt2 dxdt dx2 £о
(3.23)
где величина рр^)е^ представляет собой квадрат плазменной частоты ш2 для бесконечно широкого потока.
Решение линейного дифференциального уравнения в частных производных (3.23) записывается в форме:
з = Aeiute-ikx.
(3.24)
Подставляя вид решения (3.24) в уравнение (3.23), получаем дисперсионное уравнение, т. е. уравнение, связывающее частоту волны ш с ее волновым числом к (к = 2тг/А, А — длина волны):
—ш2 + 2иошк — и^к2 + ш2 = 0.
(3.25)
Разрешая это уравнение относительно к, имеем
2 = — ± — = ^ ± ^8Р,(3.26)
"/3^/3
где ш — действительная величина, р = —, рр = —.
VoVo
Решением уравнения (3.23) будет действительная часть суммы
3 = (Л1е-^ж + Лзе^^)(3.27)
где коэффициенты Ai и А 2 определяются из начальных условий задачи. Из уравнения непрерывности (3.20) получаем выражение для р в виде
р = (д^е-^® +.(3.28)
X ww /
Используя (3.21) и соотношения (3.27) и (3.28), находим выражение для и:
у = (-Av^e-i0»® + Д2-^е^ж),(3 29)
\ шроШро У
Учитывая выражение (3.26) можно сделать вывод, что переменные величины у, р^ гр определяемые выражениями (3.27)-(3.29), описываются двумя волнами пространственного заряда с фазовыми скоростями:
Уф 1,2 = Уф м,б =(3-3°)
Л?1,2 1^Шр/Ш
Волна, соответствующая знаку « + », имеет -Гфм < vq и называется медленной волной пространственного заряда (МВПЗ), а со знаком « —» — быстрой волной пространственного заряда (БВПЗ), для нее -Гфб > vq. Диаграмма Бриллюэна, соответствующая дисперсионному уравнению (3.26), приведена на рис. 3.2. Верхняя прямая соответствует МВПЗ, нижняя — БВПЗ.
Полученные соотношения в рамках сделанных предположений являются достаточно общими. Применим их для анализа процессов группировки в пространстве дрейфа при наличии модуляции по скорости (модуляция по плотности отсутствует). Пусть при х = 0 расположен узкий высокочастотный зазор — модулятор. Тогда начальные условия для уравнения (3.23) запишутся в виде
j (0) = 0,v = 2и1е^ш1.
Подставив эти начальные условия в уравнения (3.27)-(3.29), определим константы интегрирования Ai и А2 и получим следующие выражения дляТ, р и v:
3 = -3 = -С^РоЩШрС^РоЩШреДш^-(/3+/Зр)ж]еДш^-(/3+/Зр)ж](3.31)(3.31)
3 = -
3 = -
С^РоЩ
Шр
С^РоЩ
Шр
еДш^-(/3+/Зр)ж]
еДш^-(/3+/Зр)ж]
(3.31)
(3.31)
Рис. 3.2. Дисперсионная характеристика модулированного во входном устройстве пучка (а) ; стоячие волны плотности тока и скорости в электронном потоке в фиксированный момент времени (б)
~= _£№ /^ + р^^ЧР+РрЫ рруА^-(Р-РрЫ\ , (з.з2) Шр \/
у — ^jV^-UHPpM.(3.33)
Здесь первые слагаемые в скобках относятся к МВПЗ, а вторые — к БВПЗ. Уравнения (3.33) и (3.31) можно переписать в несколько ином виде, а именно:
v = 2vi cos Ррх cos (wt — ^х\(3.34)
. _ _ 2ирощ g.^ g.n _ р^у(3.35)
Зависимости от продольной координаты v и j в фиксированный момент времени приведены на рис. 3.26. Из сравнения зависимостей (3.34) и (3.35) видно, что на расстояниях х = Ар(2п + 1)/4 (где Хр = 2тп)о/шр-, п Е Z) переменная составляющая скорости обращается в нуль, а переменная составляющая плотности конвекционного тока достигает максимального значения. В этих точках электроны, имеющие скорость на выходе из модулятора больше, чем скорость электронов, вышедших из него раньше, догоняют их, образуя уплотненный сгусток. Одновременно с образованием сгустков (появлением р ф 0) в потоке возникает ВЧ-поле пространственного заряда, которое приводит к разрушению этих структур. Таким образом силы пространственного заряда снова приводят к появлению переменной составляющей скорости. Причем при х = пХр/2 переменная составляющая скорости принимает значение, равное скорости на выходе из модулятора, а переменная составляющая
плотности тока обращается в нуль. С точки зрения закона сохранения энергии в системе координат, перемещающейся с невозмущенной скоростью пучка vq, максимальное значение плотности тока соответствует максимальной потенциальной энергии электронов (максимальному значению потенциала поля пространственного заряда). В точках, где максимальна переменная составляющая скорости, становится максимальной и кинетическая энергия электронов. При возбуждении быстрой волны в потоке и ир сфазированы, т. е. преобладают электроны со скоростями больше vq, и результирующая кинетическая энергия, переносимая пучком, больше энергии невозмущенного пучка. Если же возбуждена медленная волна, то в тех местах, где наблюдаются сгущения, скорость электронов меньше Vo; она больше, где наблюдаются разряжения, т. е. преобладают замедленные электроны, и энергия переносимая пучком, меньше чем энергия пучка без волны.
Из рассмотрения понятно, что с ростом амплитуды МВПЗ суммарная энергия системы «электронный пучок-волна» уменьшается, и наоборот: с ростом амплитуды БВПЗ энергия системы будет возрастать. Волны, для которых выполняется условие уменьшения энергии системы с увеличением их амплитуды, принято называть волнами с отрицательной энергией, а волны, для которых наблюдается увеличение энергии системы с ростом их амплитуды, — волнами с положительной энергией Д.
Получим выражение для плотности потока энергии в электронном пучке, исходя непосредственно из уравнения движения электронного потока и уравнения непрерывности. Для этого рассмотрим произведение напряженности поля пространственного заряда на конвекционный ток:
. 1 f ди ди\ . .
Е "3 = - ( я? + ул~ ) ру- (3-36) т] \ Эх )
Если учесть здесь уравнение непрерывности 9j/Эх = — dp/dt, соотношение (3.36) принимает вид
(3.37)(3.37)9W.98^
(3.37)
(3.37)
9t Эх
г) Примеры волн с отрицательной и положительной энергией не исчерпываются только ВПЗ. Так П.А.Стэрроком (см. [9, 10]) было показано, что в среде, движущейся со скоростью и, энергия быстрой и медленной волны, измеряемая неподвижным наблюдателем, выражается соотношениям WM,6 = VEo(l Т ^uJ^Y где Уф и - Уф - скорости волн в подвижной системе координат, Wo — энергия системы. Понятно, что при и > иф величина WM < 0, в то время как скорость переноса энергии (групповая скорость) обеих волн положительна. Появление понятия о волнах с отрицательной энергией в СВЧ-электронике связывается с работой [11], в которой выведена так называемая теорема Чу о кинетической мощности.
где плотность кинетической энергии
2
(3.38)
и плотность потока кинетической энергии
3
Sn = ^- = i)Wn.(3.39)
Если теперь сделать предположение о малости возмущений, т. е. |v| <С < ^о и т. д., то, сохраняя в выражении (3.38) члены второго порядка малости, получим
И'п = 4 [Ро(^0 + 2у0« + V2) + Р^о + 2vov)J- (3-40)
Рассчитаем среднюю за период плотность кинетической энергии. Если предположить, что пучок промодулирован на входе, то, как показано выше, в нем будут распространяться волны пространственного заряда. Для общности не будем конкретизировать вид модуляции, тогда распределения переменных величин тока, плотности и скорости по длине пространства дрейфа будут определяться выражениями (3.27)-(3.30), а поле пространственного заряда запишется как
(3-41)(3-41)Е = Eq ^i^t-^kA-Wp/v^ ej(wt-(k-^-wp/Do))
(3-41)
(3-41)
где Eq как и раньше определяется начальным возмущением. Тогда из выражения (3.40) получим
2тг2тг2тг
Ж) = 2-2тгЖ) = 2-2тгГ 21 Г~1 Г ~2
Ж) = 2-
2тг
Ж) = 2-
2тг
J 2т/ v у 2тг J р v 7^ J 2т/ v 7
ООО
Первый интеграл — плотность энергии невозмущенного электронного пучка, которую мы обозначим как (И^)- Так как v и р представляют собой сумму гармонических составляющих, то второй и четвертый интегралы равны нулю. Таким образом нас интересует
2тг2тг<?№ = № - (и/п°) = ^о<?№ = № - (и/п°) = ^о2тги2 d(wt) + ~^-2тгл/ vо2тги2 d(wt) + ~^-2тгл/ vоupd^wtY (3.42)upd^wtY (3.42)
2тг
2тг
<?№ = № - (и/п°) = ^
о
<?№ = № - (и/п°) = ^
о
2тг
и2 d(wt) + ~^-
2тгл/ v
о
2тг
и2 d(wt) + ~^-
2тгл/ v
о
upd^wtY (3.42)
upd^wtY (3.42)
Из уравнения Пуассона, которое может быть записано как дЕ/дх = = —p/sQ, и уравнения движения легко получить связь между полем и скоростью: и = pEf^j^w — k^oY- Тогда, учитывая вид переменных
составляющих плотности (3.28) и скорости (3.29), окончательно получим для быстрой и медленной ВПЗ
№ «— > О 5(^пм) « -^ — < О (3.43)
2Ш р2 Ш р
(здесь пренебрегли слагаемым, появившемся при вычислении первого интеграла, так как при шр ^ ш оно мало по сравнению со вторым слагаемым).
Таким образом и из соотношений (3.43) следует, что МВПЗ переносит отрицательный поток мощности, БВПЗ — положительный поток
мощности.
Какие же условия необходимы, чтобы в среде возбуждалась волна с отрицательной энергией? Из закона сохранения энергии понятно, что для возбуждения волны с отрицательной энергией необходима ситуация, когда МВПЗ может отдавать свою энергию среде или другим
волнам.
Типичной иллюстрацией этого могут служить процессы в резистивном усилителе [12, 9]. Схема прибора следующая (см. рис. 3.3): предварительно модулированный во входном устройстве электронный пучок
Рис. 3.3. Схема резистивного усилителя: 1 — резистивный слой; 2 — диэлектрическая трубка; 3 — электронный поток; 4 и 5 — входное и выходное устройствоРис. 3.3. Схема резистивного усилителя: 1 — резистивный слой; 2 — диэлектрическая трубка; 3 — электронный поток; 4 и 5 — входное и выходное устройствопроходит через диэлектрическую трубку, внутренняя стенка который покрыта поглощающим слоем, и наводит в нем переменный заряд. Поля, создаваемые наведенными зарядами, в свою очередь, воздействуют на электронный пучок и изменяют переменную составляющую тока пучка. После прохождения трубки пучок попадает в выходное устройство. Входное устройство возбуждает в пучке
Рис. 3.3. Схема резистивного усилителя: 1 — резистивный слой; 2 — диэлектрическая трубка; 3 — электронный поток; 4 и 5 — входное и выходное устройство
Рис. 3.3. Схема резистивного усилителя: 1 — резистивный слой; 2 — диэлектрическая трубка; 3 — электронный поток; 4 и 5 — входное и выходное устройство
две волны пространственного заряда, поля которых вызывают в резистивной стенке движение зарядов, что в свою очередь приводит к джоулевым потерям энергии волн. Быстрая волна затухает (волна с положительной энергией), а МВПЗ нарастает (т. е. увеличивает свою амплитуду), отдавая энергию среде. Поэтому такая система выступает как высокочастотный усилитель. Экспериментальное доказательство нарастания МВПЗ в резистивном усилителе иллюстрирует рис. 3.4. Теория резистивного усилителя здесь не приводится, так как она достаточно подробно изложена в книгах [13, 9].
Если пучок является ограниченным в поперечном направлении и окруженным металлическим экраном, то дисперсионное уравнение для постоянных распространения ВПЗ является трансцендентным и имеет бесконечное число решений, а, следовательно, число пар ВПЗ
4 Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов
Рис. 3.4. Зависимость квадрата относительного сгруппированного тока от ускоряющего напряжения [12]: 1 — диэлектрическая среда заменена металлической поверхностью (возбуждены две ВПЗ с постоянными амплитудами); 2 — пучок движется в резистивной среде, но ток пучка мал (возбуждены нарастающая и затухающая волны); 3 — ток большой (преобладает нарастающая медленная волна)
ббООa uq uqa uq uqРРPoiPoiР02Р02Рис. 3.5. Сравнение постоянных рас-пространения р ВПЗ в бесконечношироком (а) и в цилиндрическомпучке (б)Рис. 3.5. Сравнение постоянных рас-пространения р ВПЗ в бесконечношироком (а) и в цилиндрическомпучке (б)фективной плазменной частотыфективной плазменной частотыэнергия волн по сравнению с энергией пар волн высшего порядка. Отметим, что распространение волн в потоках конечного сечения можно рассматривать подобно рассмотрению ВПЗ в бесконечно широком пучке. Единственное различие заключается в необходимости пользоваться модифицированной величиной постоянной распространения [6, 7] 3q = = R3P (и соответственно редуцированной плазменной частотой wq = RwP3 где R < 1 — коэффициент редукции. Уменьшение эф- для ограниченного канала связаноэнергия волн по сравнению с энергией пар волн высшего порядка. Отметим, что распространение волн в потоках конечного сечения можно рассматривать подобно рассмотрению ВПЗ в бесконечно широком пучке. Единственное различие заключается в необходимости пользоваться модифицированной величиной постоянной распространения [6, 7] 3q = = R3P (и соответственно редуцированной плазменной частотой wq = RwP3 где R < 1 — коэффициент редукции. Уменьшение эф- для ограниченного канала связаносоставляет в этом случае бесконечную последовательность (рис. 3.5) [3, стр. 24-35]. С точки зрения решения соответствующей краевой задачи это вполне понятный результат: появление бесконечного ряда волн объясняется существованием граничных условий. Граничным условиям для трубы дрейфа удовлетворяют все волны, у которых распределение по радиусу таково, что на стенке трубы поле обращается в нуль. Наибольший интерес представляют пары волн низшего порядка ^oi и (Зо^ поля которых не имеют нулей внутри поперечного сечения электронного пучка. Это волны со скоростями, наиболее отличающимися от невозмущенной скорости пучка и^. Им соответствует максимальная
б
б
О
О
a uq uq
a uq uq
Р
Р
Poi
Poi
Р02
Р02
Рис. 3.5. Сравнение постоянных рас-пространения р ВПЗ в бесконечношироком (а) и в цилиндрическомпучке (б)
Рис. 3.5. Сравнение постоянных рас-пространения р ВПЗ в бесконечношироком (а) и в цилиндрическомпучке (б)
фективной плазменной частоты
фективной плазменной частоты
энергия волн по сравнению с энергией пар волн высшего порядка. Отметим, что распространение волн в потоках конечного сечения можно рассматривать подобно рассмотрению ВПЗ в бесконечно широком пучке. Единственное различие заключается в необходимости пользоваться модифицированной величиной постоянной распространения [6, 7] 3q = = R3P (и соответственно редуцированной плазменной частотой wq = RwP3 где R < 1 — коэффициент редукции. Уменьшение эф- для ограниченного канала связано
энергия волн по сравнению с энергией пар волн высшего порядка. Отметим, что распространение волн в потоках конечного сечения можно рассматривать подобно рассмотрению ВПЗ в бесконечно широком пучке. Единственное различие заключается в необходимости пользоваться модифицированной величиной постоянной распространения [6, 7] 3q = = R3P (и соответственно редуцированной плазменной частотой wq = RwP3 где R < 1 — коэффициент редукции. Уменьшение эф- для ограниченного канала связано
с тем, что часть силовых линий поля пространственного заряда замыкается на стенках трубы дрейфа, а следовательно, продольная составляю-
щая поля уменьшается, что и учитывается соответствующим выбором коэффициента редукции.
Уточним теперь линейную кинематическую теорию группирования, изложенную в предыдущей лекции, учитывая силы пространственного заряда. Ток пучка в пространстве дрейфа записывается в виде / = /о + + Re {г} (г = Sj,S — площадь поперечного сечения потока). Учитывая выражение (3.35), для тока пучка можно записать
/ = /о/ = /о1 + Re <J sin (ррхАе^ш1( УоШр1 + Re <J sin (ррхАе^ш1( УоШр(3.44)(3.44)
/ = /о
/ = /о
1 + Re <J sin (ррхАе^ш1( УоШр
1 + Re <J sin (ррхАе^ш1( УоШр
(3.44)
(3.44)
ттf(0).^М
Из закона скоростной модуляции (2.4) можно наити, что= —3-—.
Тогда перепишем соотношение (3.44) как
/ = /о [1 + ^- sin Ррх cos — f3x^ .(3.45)
Заметим, что при малых £ фаза влета электрона в модулятор coti « cot — — (Зх. Тогда окончательно для сгруппированного тока получим
/ = /о/ = /о(3.46)(3.46)
/ = /о
/ = /о
(3.46)
(3.46)
^0
Напоминаем, что 9^ = — — невозмущенный угол пролета электронов в пространстве дрейфа. Величина
^Мбо2^Мбо2. UJpJGsin ——ГрШрХПо. UJpJGsin ——ГрШрХПо(3.47)(3.47)
^Мбо
2
^Мбо
2
. UJpJGsin ——
Гр
ШрХ
По
. UJpJGsin ——
Гр
ШрХ
По
(3.47)
(3.47)
носит название параметра группирования. При —^ —> 0 (пространственный заряд мал) соотношение (3.46) переходит в выведенное в предыдущей лекции в рамках кинематической теории выражение для сгруппированного тока (2.10).
Из выражения (3.46) также видно, что увеличение пространственного заряда (увеличение —^—) приводит к уменьшению сгруппированного По тока.
Волны пространственного заряда в электронномпотоке со столкновениями и диффузией
В предыдущем разделе рассматривались волновые процессы в электронных потоках в предположении отсутствия столкновений и диффузии носителей заряда. Рассмотрим теперь волны, которые распро-
страняются в бесконечно широком электронном потоке в неподвижном ионном фоне при наличии столкновений и диффузии.
В этом случае основные уравнения гидродинамической модели запишутся в линеаризованном виде как [4, стр. 12]
dx dtdx dt= rjh - их Ч—-ро ОХ= rjh - их Ч—-ро ОХ(3.48)(3.48)
dx dt
dx dt
= rjh - их Ч—-
ро ОХ
= rjh - их Ч—-
ро ОХ
(3.48)
(3.48)
— уравнение движения, в правой части которого первое слагаемое описывает влияние поля пространственного заряда, второе учитывает столкновения, а третье — диффузию в электронном потоке (// — частота соударений, хт — средняя квадратичная тепловая скорость);
(3.49)(3.50)(3.51)(3.49)(3.50)(3.51)№ = £
(3.49)
(3.50)
(3.51)
(3.49)
(3.50)
(3.51)
Эх €о ’
_ Эр
Эх dt’
j = рх0 + pox
— уравнения Пуассона, непрерывности и уравнение для конвективного тока. Предполагая, что все переменные величины изменяются по закону ^3^t-kx^ из системы уравнений (3.48)-(3.51) несложно получить следующее дисперсионное уравнение:
(1 - 4) к2 - 2/30А: (1 - iv'!^ + 00 (1 - 3^0 -Рр = 0,(3.52)
где х^ = х^/х^ v' = v(ш^ Ро = из/х^. Решение уравнения (3.52) имеет вид
^1,2 = ”г А 1 -±
1 — ит I у /
(3.53)(3.53)
(3.53)
(3.53)
Проанализируем это решение в некоторых частных случаях.
хт = 0, v = 0. Электронный поток без столкновений и диффузии.
В этом случае решение дисперсионного уравнения (3.53) переходит в уже полученное нами решение (3.26), которое показывает существование двух волн пространственного заряда — МВПЗ и БВПЗ (см. рис. 3.2).
Рис. 3.6. Дисперсионные характеристики ВПЗ при наличии редких столкновений (а), частых столкновений (иТ = 0) (б)Рис. 3.6. Дисперсионные характеристики ВПЗ при наличии редких столкновений (а), частых столкновений (иТ = 0) (б)
Рис. 3.6. Дисперсионные характеристики ВПЗ при наличии редких столкновений (а), частых столкновений (иТ = 0) (б)
Рис. 3.6. Дисперсионные характеристики ВПЗ при наличии редких столкновений (а), частых столкновений (иТ = 0) (б)
v^ = 0, v < 2шр. При наличии редких столкновений обе волны, МВПЗ и БВПЗ, становятся затухающими:
^1,2 =^0±^V1"^1,2 =^0±^V1"(3.54)(3.54)
^1,2 =^0±^V1"
^1,2 =^0±^V1"
(3.54)
(3.54)
причем затухание пропорционально величине ^/2^о, т. е. не зависит от частоты ш (рис. 3.6а).
v^ = 0, v > 2cjp. В случае частых столкновений решение дисперсионного уравнения принимает вид
ki,2 = p0-j30^h±^l-(^yy(3.55)
Из соотношения (3.55) видно, что понятие быстрой и медленной волны пространственного заряда теряет смысл, так как фазовые скорости обеих волн, распространяющихся в потоке, становятся равными скорости электронов vq. Если /у = 2cjp, то обе волны затухают одинаково: ^1,2 = Ро — З^р- Когда v > 2cjp, ВПЗ имеют различные декременты затухания Im ку ^ Im к^ (см. рис. 3.66). Чем больше становится и по сравнению с 26^, тем быстрее происходит затухание одной из волн, и тем медленнее затухает другая. Если v "> 2ир, то
/2 \
ki = ^о(1 - 3v'\ki = ^о(1 - 3v'\А:2= А 1-А •
ki = ^о(1 - 3v'\
ki = ^о(1 - 3v'\
\/
При условии v ^ ш волна с ку практически не распространяется (| 1т&1| ^ | Re&i|). Вторую волну можно считать распространяющей-
ся, если | Im ^21 < | Re &2 b т. е.
ит ^ 0 (v^ < 1), v = 0, шр < си. Тогда
^1,2 —^1,2 —112"1 — ит112"1 — ит(3.56)(3.56)
^1,2 —
^1,2 —
1
12"
1 — ит
1
12"
1 — ит
(3.56)
(3.56)
ВПЗ в таком потоке с диффузией, но без столкновений эквивалентны ВПЗ в потоке без диффузии, но с меньшей статической скоростью и большей плазменной частотой
«от = уо(1 - «т) < «о,«от = уо(1 - «т) < «о,шрТ — ШРшрТ — ШР'2 Т'2 Т
«от = уо(1 - «т) < «о,
«от = уо(1 - «т) < «о,
шрТ — ШР
шрТ — ШР
'2 Т
'2 Т
Можно показать, что фазовая скорость МВПЗ в потоке с диффузией меньше, чем в потоке без диффузии. Физически объяснить повышение эквивалентной плазменной частоты за счет диффузии можно следующим образом. Колебания частиц плазмы с плазменной частотой обусловлены появлением возвращающей силы — электрического поля, вызванного создавшейся неоднородностью. Эта сила стремится восстановить однородность плазмы так же, как возвращающая сила при колебаниях гармонического осциллятора, например, маятника, стремится вернуть его в положение равновесия. Диффузия также приводит к устранению неоднородности плотности, т. е. увеличивает возвращающую силу («упругую постоянную маятника») и, следовательно, плазменную частоту. Действие столкновений эквивалентно появлению сил трения, которые уменьшают возвращающую силу и эквивалентную плазменную частоту.
Двухлучевая неустойчивость(абсолютная и конвективная неустойчивость;
глобальная неустойчивость)
Гидродинамическое описание электронного потока, которое привело нас к необходимости ввести понятие волн пространственного заряда, распространяющихся в потоке заряженных частиц, позволило применительно к рассмотрению системы с предварительной скоростной модуляцией электронного пучка существенно уточнить линейную кинематическую теорию пролетного клистрона. Рассмотрим теперь ситуацию, в которой концепция ВПЗ не просто приведет к уточнению какой-либо имеющейся теории, а позволит объяснить принцип работы двухлучевой
Рис. 3.7. Схематическое изображение двухлучевого усилителяРис. 3.7. Схематическое изображение двухлучевого усилителялампы — усилителя, в котором используются два электронных пучка с немного различающими скоростями, движущихся параллельно друг другу и сильно связанных через общее поле пространственного заряда (см. рис. 3.7). Для улучшения связи между пучками в экспериментах использовались катоды, выполненные в виде плоских спиралей, которые вставлялись друг в друга, в результате потоки оказывались хорошо смешанными. Усиливаемый сигнал вводился путем модуляцией одного или обоих потоков за счет размещаемого в начале пространства взаимодействия отрезка спирали. Двухлучевой усилитель не состоялся как используемый в СВЧ-электронике прибор, так как с увеличением частоты необходимо уменьшать разность скоростей потоков, а следовательно, при какой-то величине разницы скоростей получим, что с учетом теплового разброса скоростей два пучка просто неразличимы. Вместе с тем двухлучевой усилитель является классическим примером рассмотрения различных неустойчивостей в теории волн.
Рис. 3.7. Схематическое изображение двухлучевого усилителя
Рис. 3.7. Схематическое изображение двухлучевого усилителя
d2ji,2эеd2ji,2эе, о 52Ji,2252Л,2+ 2У01’2 д^+У01’2^", о 52Ji,2252Л,2+ 2У01’2 д^+У01’2^"ЭЕ= 11Р°-эсЭЕ= 11Р°-эс(3.57)(3.57)71,2 — ^0 1,2^1,2 + ро 1,2^1,2,71,2 — ^0 1,2^1,2 + ро 1,2^1,2,(3.58)(3.58)ЭВ 1 _ „- — (/^1 + Р2) •Эх EqЭВ 1 _ „- — (/^1 + Р2) •Эх Eq(3.59)(3.59)Здесь индекс «1» относится к первому, а «2» — ко второму потоку. Используя стандартное предположение, что переменные величины меняются по закону e3wt систему уравнений можно переписать в виде:Здесь индекс «1» относится к первому, а «2» — ко второму потоку. Используя стандартное предположение, что переменные величины меняются по закону e3wt систему уравнений можно переписать в виде:Е — — (71 + HY3^ • €0Е — — (71 + HY3^ • €0(3.60)(3.60)шшЭхЭх91^291^2\ 2О) \\ 2О) \'Со 1,2 / Эх'Со 1,2 / Эх^0 1,2^0 1,22••1,2 тут4,2 — 7^6о^Е.'Со, 1,22••1,2 тут4,2 — 7^6о^Е.'Со, 1,2(3.61)(3.61)Рассмотрим далее два ионно-скомпенсированных потока без столкновений и диффузии, которые будут описываться линеаризованными гидродинамическими уравнениями, связывающими конвекционный ток и поле (3.22), уравнениями для плотности конвекционного тока (3.21) и уравнением Пуассона (3.13). Тогда имеем:
d2ji,2эе
d2ji,2эе
, о 52Ji,2252Л,2
+ 2У01’2 д^+У01’2^"
, о 52Ji,2252Л,2
+ 2У01’2 д^+У01’2^"
ЭЕ
= 11Р°-эс
ЭЕ
= 11Р°-эс
(3.57)
(3.57)
71,2 — ^0 1,2^1,2 + ро 1,2^1,2,
71,2 — ^0 1,2^1,2 + ро 1,2^1,2,
(3.58)
(3.58)
ЭВ 1 _ „
- — (/^1 + Р2) •
Эх Eq
ЭВ 1 _ „
- — (/^1 + Р2) •
Эх Eq
(3.59)
(3.59)
Здесь индекс «1» относится к первому, а «2» — ко второму потоку. Используя стандартное предположение, что переменные величины меняются по закону e3wt систему уравнений можно переписать в виде:
Здесь индекс «1» относится к первому, а «2» — ко второму потоку. Используя стандартное предположение, что переменные величины меняются по закону e3wt систему уравнений можно переписать в виде:
Е — — (71 + HY
3^ • €0
Е — — (71 + HY
3^ • €0
(3.60)
(3.60)
ш
ш
Эх
Эх
91^2
91^2
\ 2
О) \
\ 2
О) \
'Со 1,2 / Эх
'Со 1,2 / Эх
^0 1,2
^0 1,2
2
••1,2 тут
4,2 — 7^6о^Е.
'Со, 1,2
2
••1,2 тут
4,2 — 7^6о^Е.
'Со, 1,2
(3.61)
(3.61)
Получившаяся система уравнений представляет собой самосогласованную модель возбуждения электронного волновода электронными пучками. Первое уравнение описывает возбуждение электронного волновода, два других — группирование электронного потока под действием поля пространственного заряда.
За счет предварительной модуляции потока с невозмущенной скоростью -год < Vo,2 в нем за счет инерционной группировки наблюдается модуляция по плотности пучка. Такая ситуация, как обсуждалось выше, эквивалентна распространению в пучке двух волн пространственного заряда — быстрой и медленной, фазовые скорости которых определяются соотношением (3.30): Уф м,б = vq,i/(1 ± WpfwY Второй, быстрый пучок (vq,2 > vq,i) взаимодействует с продольной составляющей замедленной волны в первом потоке, в результате чего при соответствующем выборе скорости vq,2 второго потока последний будет отдавать энергию ВЧ-полю, т. е. будет происходить усиление сигнала. Подставив из уравнения (3.60) выражение для поля пространственного заряда в уравнения (3.61), окончательно получим систему уравнений относительно Д и Ь,:
Данная система имеет решение Д = 72 = 0, когда между потоками нет взаимодействия. Однако возникает вопрос: будет ли такое решение устойчивым? Для выяснения этого будем искать решение в виде
(3.64)(3.64)Л,2 = Ф1,2е-^ж.
(3.64)
(3.64)
Подставив соотношение (3.64) в уравнения (3.62) и (3.63), получим систему линейных алгебраических уравнений вида:
Условием разрешимости этой системы уравнений является равенство нулю детерминанта системы, которое и дает дисперсионное уравнение
^(tU - &V02)2 + ^2(о7 - &VQ1)2 “ (^ - &VO1)2(W “ &V02)2 = 0. (3.65)
Последнее можно переписать в виде:
2
у Wpi(366)
Как показано в [3], уравнение (3.66) является общим видом дисперсионного уравнения для N взаимодействующих электронных потоков с дискретным распределением по скоростям {v}^ г = 1, ..., N. В анализируемом случае г = 1, 2.
Упростим дальнейшее рассмотрение, предположив, что потоки идентичны (wpi = шР2 = шр). Рассмотрим отдельно два случая: два встречных потока и два потока, движущихся в одном направлении.
^oi = — ^02 = ^о- Тогда из уравнения (3.65) получаем, что
w2 = &2у2 + ш2 ± ^З^З^ЗЗ^к2^.(3.67)
Неустойчивость может возникнуть только в том случае, если величина ш будет комплексной, т. е.
\к\ < V2(3.68)
По
Или, перейдя от рассмотрения волновых чисел к длинам волн, получим, что
Хр < V2 А.(3.69)
Последнее неравенство является условием того, что ш — комплексная величина, т. е. ш = Не ш + j Im w. Тогда exp [Jwt] = exp ^j Re w — — Imw)t]. Следовательно, при Imw < 0 в системе будет иметь место неустойчивость. Из соотношения (3.69) видно, что в данном случае неустойчивы только длинноволновые возмущения.
Рассмотрим дисперсионные характеристики двух взаимодействующих потоков. Как уже обсуждалось, для одного возмущенного потока дисперсионные характеристики имеют вид, представленный на рис. 3.2а. Тогда для двух невзаимодействующих потоков дисперсионная характеристика будет иметь вид, показанный на рис. 3.8а (штриховая линия). Дисперсионные характеристики, определяемые уравнением (3.67), показаны на этом рисунке сплошными линиями. Понятно, что ветви 1 дисперсионной характеристики соответствуют медленным волнам, а 2 — быстрым волнам. Это легко установить рассматривая асимптоты кривых, которыми являются прямые, соответствующие свободным ВПЗ.
Рис. 3.8. Дисперсионные характеристики двух взаимодействующих потоков, движущихся навстречу друг другу (а), движущихся в одном направлении (б). Штриховыми линиями показаны дисперсионные характеристики невзаимодействующих потоков. Заштрихованы области действительных значений к. при которых имеют место комплексные значения ш
Из рисунка видно, что для быстрых волн неустойчивости быть не может — любым действительным к соответствуют действительные значения частоты щ. Для медленных волн в диапазоне, определяемом формулой (3.68), частота будет комплексной, причем при Imw < 0 возмущения будут нарастать во времени.
Таким образом в анализируемой консервативной системе существует неустойчивость. Энергия, необходимая для ее поддержания, очевидно, черпается из невозмущенного «неволнового» движения потоков, движущихся с постоянными скоростями.
Как будет себя вести начальное возмущение со временем в такой системе при выполнении условия (3.69)? Оказывается возмущение возрастает во времени, но не выходит за пределы некоторой области, в которую оно было внесено. Такая неустойчивость носит название абсолютной неустойчивости.
Электронные потоки, движущиеся в одном направлении (vqi * * ^02 > 0). В этом случае, как видно из уравнения (3.66), дисперсионное уравнение имеет вид
22
—2 +—2 = Г(3-70) (ш - A^oi)(ш - /ь^)2
Диаграмма Бриллюэна для этого случая приведена на рис. 3.86. Дисперсионное уравнение по-прежнему имеет четыре решения, два из которых не нарастают во времени (ветви 1), а два других (ветви 2) могут нарастать, так как действительным к соответствует область (заштрихована на рисунке) комплексных значений ш.
Однако эта неустойчивость отлична от той, что в случае встречных пучков, поскольку возмущение ведет себя иначе. Так как пучки имеют скорости, направленные в одну сторону, возмущение сносится вместе с пучком: имеет место нарастание только по длине пространства взаимодействия (такназываемая конвективная неустойчивость). Отметим, что классификация вида неустойчивости зависит от выбора системы отсчета, в которой проводится анализ. Действительно, если в приведенном примере перейти в систему координат, движущуюся вместе с пучком, то неустойчивость в системе с попутными электронными потоками будет уже абсолютной.
В заключение данного рассмотрения дадим формальное определение абсолютной и конвективной неустойчивостей.
Определение. Пусть функция u(x,t) характеризует некоторый волновой процесс, тогда, если имеет место соотношение
^lim п(жД) = 0 Уж е (жх, х^В
то в системе имеет место конвективная неустойчивость.
Если функция u(x,t) характеризует некоторый волновой процесс и имеет место соотношение
^lim u(x,t) = оо Уж е (жх, Ж2),
то в системе имеет место абсолютная неустойчивость.
Для гиперболических систем существует следующий критерий установления неустойчивости, который иллюстрируется предыдущим рассмотрением: если асимптоты дисперсионных характеристик на плоскости (ш, к) направлены в одну сторону, то неустойчивость конвективная, если в разные — абсолютная.
В заключение заметим, что если имеется система с конвективной неустойчивостью, замкнутая в кольцо, то в этом случае иногда говорят о глобальной неустойчивости. Примером системы с глобальной неустойчивостью является лампа бегущей волны с запаздывающей обратной связью, которая будет рассмотрена в последующих лекциях.
Неустойчивость Гельмгольца. Об одной гипотезеобразования спиц в кольцах Сатурна(многопучковая неустойчивость)
Иногда можно встретить описания двухпучковой неустойчивости (во всяком случае словесные), когда проводится аналогия с взаимодействием двух потоков жидкости. Эта аналогия неверна. Чтобы наглядно доказать это, проанализируем ситуацию, в которой так же, как и в предыдущем разделе, имеет место неустойчивость двух потоков
у01у01Рис. 3.9. Неустойчивость Гельмгольца: а — возмущения границы раздела нет — два слоя жидкости скользят по границе раздела навстречу друг другу; б — граница раздела возмущена — схематично показаны формы линий тока и распределение давления вблизи возмущенной поверхности тангенциального разрыва скоростиРис. 3.9. Неустойчивость Гельмгольца: а — возмущения границы раздела нет — два слоя жидкости скользят по границе раздела навстречу друг другу; б — граница раздела возмущена — схематично показаны формы линий тока и распределение давления вблизи возмущенной поверхности тангенциального разрыва скоростиГраница раздела встречных потоков жидкости
у01
у01
Рис. 3.9. Неустойчивость Гельмгольца: а — возмущения границы раздела нет — два слоя жидкости скользят по границе раздела навстречу друг другу; б — граница раздела возмущена — схематично показаны формы линий тока и распределение давления вблизи возмущенной поверхности тангенциального разрыва скорости
Рис. 3.9. Неустойчивость Гельмгольца: а — возмущения границы раздела нет — два слоя жидкости скользят по границе раздела навстречу друг другу; б — граница раздела возмущена — схематично показаны формы линий тока и распределение давления вблизи возмущенной поверхности тангенциального разрыва скорости
+ v(Vv)+ v(Vv)= -Vp= -Vp(3-71)(3-71)жидкости, движущихся навстречу друг другу; потоки предполагаются несжимаемыми. Это реализуется, если рассматриваются два слоя идеальной несжимаемой жидкости *), которые скользят относительно друг друга с постоянными и направленными в противоположные стороны скоростями т>1 и ^2, участок поверхности разрыва плоский, плотности жидкости постоянны и равны pi и р^ (см. рис. 3.9а). При этих условиях жидкость с каждой из сторон от поверхности разрыва описывается уравнением Эйлера
+ v(Vv)
+ v(Vv)
= -Vp
= -Vp
(3-71)
(3-71)
(р — давление) и уравнением непрерывности, которое в силу сжимаемости жидкости сводится к виду
(3.72)(3.72)divv = 0.
(3.72)
(3.72)
Линеаризуя уравнения относительно малых возмущений и, р и р, получим для верхнего слоя
dvxiЭхХ18tЭхdvxiЭхХ18tЭх1 8pxipi Эх *1 8pxipi Эх *^>Л^^>Л^
dvxiЭхХ1
8tЭх
dvxiЭхХ1
8tЭх
1 8pxipi Эх *
1 8pxipi Эх *
^>Л^
^>Л^
г) Под идеальной понимается жидкость, при движении которой вектор напряжения в жидкости перпендикулярен любому элементу поверхности, независимо от того, как он ориентирован в пространстве. Математически это означает, что давление в жидкости есть скаляр, а не тензор [14]. В этом случае в жидкости отсутствуют сдвиговые силы, и в частности, силы вязкости.
(3.74)(3.74)(3.75)(3.75)5^1 _1 9рУ1
(3.74)
(3.74)
(3.75)
(3.75)
9t pi Эу ’
div v = 0.
В уравнении (3.74) учтено, что рассматривается поток жидкости, у которого постоянная составляющая скорости направлена по оси ж. Применяя к первому уравнению операцию div , и учитывая, что div grad = V2, получим уравнение для переменной составляющей давления
(3.76)(3.76)(3.77)(3.77)92Pi 92pi _Эх2 Эу2
(3.76)
(3.76)
(3.77)
(3.77)
Решение этого уравнения будем искать в виде
Тогда для pi(y) получается уравнение
dy
решение которого Л1вхр(—ку). Следовательно, решение уравнения (3.76) при у > 0, т. е. над границей раздела, имеет вид:
рГ = А1е-куе^ш1-кж'>.(3.78)
Смещение границы задается в виде у = y)x,t) ~ e^“f_fc®\ Тогда по правилу дифференцирования сложной функции
~ dyi . /3 dx \ ~ z , х ~
= -^7 = J - к — )У1=- А:ж01)
Из уравнения Эйлера для ж^-й составляющей скорости имеем:
v 7 х dyi г v 7i1 9pi
откуда:
Pi = -(w - kvoi^poiyi/k.(3.79)
Очевидно, что давление снизу от границы р^ равно величине, определяемой формулой, аналогичной формуле (3.79), но с другим знаком, при этом необходимо учесть, что Ж02 направлено в сторону противоположную voi, т. е.
р2 = (ш + к-и^р^у^/к.р2 = (ш + к-и^р^у^/к.(3.80)(3.80)
р2 = (ш + к-и^р^у^/к.
р2 = (ш + к-и^р^у^/к.
(3.80)
(3.80)
Так как давления на границе должны быть равны (pi = р^\ то из уравнений (3.79) и (3.80) приходим к дисперсионному уравнению
(ш — kv0i)2 = - (ш + ^02)2,(3.81)
\Р°1 /
решение которого:
^1,2 = . [(poi^Ol — />02^02) ± 7(^01 + ^O2)V^oT^O2 ] •(3.82)
Р01 + Р02
Из решения (3.82) видно, что частота является комплексной величиной, причем всегда выполняется условие Imcj < 0 при действительных к. Это и есть неустойчивость Гельмгольца, которая является, очевидно, абсолютной. Физический механизм неустойчивости вполне прозрачен (см. рис. 3.96). Если на границе возникает возмущение, то линии тока искажаются, а следовательно, возникают поперечные градиенты давления. Из выражений для давления (3.79) и (3.80) видно, что это приводит к усилению возмущения. Последнее в свою очередь увеличивает градиент давления и т. д.
Легко видеть, что по физике явлений неустойчивость Гельмгольца отнюдь не аналогична неустойчивости двух взаимодействующих электронных пучков. В частности, для нее принципиально решение двумерой задачи.
Итак, оказывается, что в двухпотоковых системах могут наблюдаться явления, связанные с возникновением неустойчивости и, как следствие ее, имеет место рост амплитуды волн.
Применим аппарат, с которым познакомились, к одной из задач, непосредственно не связанной с электроникой, но являющейся красивой иллюстрацией вышеописанных явлений применительно к многопотоковой системе. Задача связана с астрофизикой и касается объяснения наблюдаемых в кольцах Сатурна азимутальных спицеобразных возмущений [15]. Кольца Сатурна представляют собой совокупность большого числа узких колец, чередующихся со столь же узкими зазорами. Характерное время образования такого микрокольца составляет несколько десятков лет. На их фоне, как видно на фотографии (рис. З.Юф (из работы [15]), полученной космическим аппаратом «Вояджер-2», видны азимутальные спицы, характерное время существования которых существенно меньше времени образования кольца и составляет несколько десятков минут. Данные неоднородности (спицы) имеют свойство образовывать устойчивые структуры, состоящие из нескольких спиц. Это позволяет предположить, что образование неоднородностей связано
со, Гц
Рис. 3.10. Фотография части кольца В с отчетливо просматривающимися кольцевыми структурами в области спиц, сделанная КА «Voyager 2» с расстояния 2.5 км (из работы [15] (а)), дисперсионная характеристика электростатических волн в кольцах Сатурна при учете взаимодействия между потоками (б)
с волновыми процессами в кольце х). Заметим, что и в области спицы тонкое микрокольцо не разрушается, т. е. можно предположить, что главную роль в развитии волнообразных возмущений играют продольные (азимутальные) смещения частиц, а их радиальными смещениями можно пренебречь. Оговоримся сразу же, что характерные размеры спицы Л ~ 108 4- 109 см малы по сравнению с радиусом синхронной орбиты го ~ 1,2 • 1010 см, что позволяет рассматривать одномерную задачу.
Следующим важным фактом для понимания рассматриваемой модели служит то, что кольцо состоит из заряженных макрочастиц. Как следует из работ [16, 15], потенциалы макрочастиц в кольцах Сатурна столь высоки, что силами взаимного притяжения можно пренебречь, и рассматривать смесь частиц, составляющих Кольца как обычную плазму. Более того, как показывают оценки из работы [15] можно пренебречь влиянием поля магнитосферы Сатурна, т. е. изменение скорости заряженных частиц будет определяться только полем пространственного заряда и столкновениями между частицами. Система уравнений,
г) Отметим, что существует и некоторые другие, отличные от нижеизложенной гипотезы образования спиц, однако, все они не объясняют факт упорядоченности их структуры [15].
описывающая в линейном приближении динамику возмущений состоит из линеаризованных уравнений движения и непрерывности для частиц разных сортов в отдельных потоках и уравнения Пуассона для самосо- гласования задачи (уравнения записаны для одномерного случая), т. е. имеем:
8tOj 8х т* Эхр^
др]
Эх *
(3.83)
dt + Poj Эх + 05 Эх
(3.84)
9ф_J_ v
ЭхСо ^ ^ Р’'
3 г
(3.85)
Здесь индекс г указывает на сорт частиц, j — номер потока, ит — средняя тепловая скорость движения частиц. Для простоты будем рассматривать только динамику макрочастиц, а ионами и электронными компонентами в кольце пренебрежем. Это позволит, следуя [15], положить ит = 0. Тогда из системы уравнений (3.83)-(3.85) можно получить, считая что все переменные величины изменяются по закону е^ш1-кж\ уравнение вида
~г _ к pQjфj
J m\w — kvQj)2
Потенциал ф^ можно представить так [15]:
(3.86)
где тензор {S^ } описывает вклад частиц сорта г из J-ro пучка в электрическое поле в области J-ro пучка. Учитывая выражение (3.86), приходим к системе линейных однородных уравнений относительно pj:
(3.87)(3.87)k2PojY,Y,SjiPiт\ш — kvoj)2
(3.87)
(3.87)
Условие равенства нулю детерминанта этой системы даст дисперсионное уравнение, которое описывает азимутальные волны в многопотоковой модели кольца при сделанных выше допущениях.
Рассмотрим отдельно два случая:
Случай невзаимодействующих потоков. Предположим, что расстояние между элементарными потоками столь велико, что можно пренебречь взаимодействием между ними. Тогда в тензоре {S^}, как
несложно видеть, все недиагональные элементы равны нулю, так как они описывают взаимодействие между потоками. Дисперсионное уравнение распадается на систему независимых уравнений, каждое из которых описывает волны в одном из потоков. Все уравнения однотипны и имеют вид
КД2 =г <3-)
где А — коэффициент, в который входят значения диагональных элементов матрицы {S^}, ш1^ — плазменная частота частиц сорта г в J-m пучке. Сравнивая вид дисперсионного уравнения (3.88) с дисперсионным уравнением (3.66), которое описывает взаимодействие двух электронных потоков, видим, что они полностью совпадают, если рассматривать величину VAwp как некоторую эффективную плазменную частоту.
Тогда все предыдущее рассмотрение неустойчивости в двухлучевой лампе может быть перенесено на случай электростатических волн в кольцах Сатурна в приближении слабой электростатической связи между отдельными микрокольцами. И можно предположить, что в длинноволновом диапазоне (низкочастотные колебания, которые нас и интересуют) возможно развитие конвективной неустойчивости.
Случай взаимодействующих потоков. Рассмотрим теперь более интересный случай: волны во взаимодействующих потоках. В этом случае в тензоре {S^} будет много ненулевых элементов. Анализ дисперсионного уравнения может быть произведен, если рассматривать усредненные по сечению кольца возмущения плотности, т. е. просуммировать выражение (3.87) по индексу j. Опуская выкладки, выпишем сразу дисперсионное уравнение для этого случая:
А' , 1п (щ - kv0N_^ - kv0N^R™™^ = 1 /3 ggX W (w — kVQN+)^U> — kV0N_ (Ямин) ’ '
где von- и von+ — невозмущенные средние скорости потоков на границах кольца, von- (Ямин) и -год^ (Ямин) ~ соответственно невозмущенные скорости для частиц с наименьшим геометрическим размером. Соответствующая диаграмма Бриллюена приведена на рис. 3.105. Пунктирной линией отмечена область частот, где наше рассмотрение выходит за границы сделанных предположений '). Штриховкой отмечена область формирования спиц. Видно, что дисперсионная кривая лежит в этой области, что подтверждает возможную связь образования «спиц» с рассматриваемыми волнами пространственного заряда в кольце.
Рис. 3.11. Распределения скорости и плотности электростатических волн в системе трех взаимодействующих потоков, полученные в численном эксперименте (из работы [17])
В работе [17] было проведено численное моделирование нелинейных уравнений, описывающих неустойчивость в многопотоковой системе. Интегрировались непосредственно соответствующие нелинейные уравнения, из которых были получены линеаризованные уравнения (3.83)(3.85). Не останавливаясь на методике численного решения уравнений, кратко рассмотрим результаты численного эксперимента, проведенного для случая трех взаимодействующих потоков. На рис. 3.11 приведены зависимости скорости потоков V и плотности тока потоков J от продольной координаты х. Невозмущенные скорости потоков соотносятся как 1 : 1,01 : 1,02. На начальном участке пространства взаимодействия начальное возмущение, подаваемое на вход системы, нарастает (это линейная стадия развития неустойчивости). Далее с ростом амплитуды возмущения становятся существенны нелинейные эффекты, которые приводят к ограничению амплитуды переменных составляющих. Отчетливо прослеживается структура «пиков» плотности тока по всей длине пространства взаимодействия, которая автором работы [17] связывается с устойчивыми спицами, наблюдаемыми в кольцах Сатурна.
Циклотронные волны
До этого рассматривались только волны пространственного заряда в электронном потоке. Однако электронный поток в пространстве дрейфа в присутствии аксиального магнитного поля поддерживает не только две волны пространственного заряда, но также и две циклотронные волны [18]. Как уже обсуждалось, ВПЗ обязаны своим происхождением восстанавливающим силам пространственного заряда. Подобным образом возникают и циклотронные волны, которые поддерживаются
восстанавливающими магнитными силами. При этом циклотронные волны требуют поперечного возбуждения в отличие от волн пространственного заряда, которые возбуждаются продольными возмущениями.
Чтобы получить выражения для фазовых скоростей циклотронных волн, проанализируем поведение пучка в присутствии аксиального магнитного поля. Причем, предположим, что силы пространственного заряда пренебрежимо малы. Тогда уравнение движения электрона запишется в виде
8v
— + (vV)v = -7?[v, В]. (3.90)
Для модели, где х,у — переменные, a dz/dt = vq (постоянная продольная скорость), уравнение (3.90) распадается на уравнения для двух компонент поперечной скорости:
Эхх дих „ /
(3.92) ot oz
Будем, как и раньше, искать решение в виде
vx = ng exp (Jwt — kz\ vy = Avx. (3.93) Подставляя соотношения (3.93) в уравнения (3.91), (3.92) и проводя очевидные преобразования, получим
А = ±j, (3.94)
jw - vok = ^juc, (3.95) где wc = у В — циклотронная частота.
Из последнего выражения видно, что имеются два волновых решения, которые соответствуют двум волнам — медленной и быстрой. Фазовые скорости этих волн соответственно равны
г’Ф,м,б = т^^- (3-96)
Из последнего выражения видно, что разница в фазовых скоростях волн вызвана присутствием магнитного поля — отсюда и название — циклотронные волны.
Выведенные соотношения полностью аналогичны по своему виду соответствующим соотношениям для ВПЗ, что подчеркивает общую природу этих пар волн, обусловленную силами упругого взаимодействия.
Воспользовавшись представлениями о потоке переменной мощности, можно показать [18], что медленная циклотронная волна переносит отрицательный поток мощности, а быстрая — равный ему по величине положительный поток мощности. Аналогия с ВПЗ теперь полная, так как оба типа волн имеют одинаковые характеристики потока мощности.
Поэтому как и в случае ВПЗ существует возможность усиления как медленной, так и быстрой циклотронных волн.
Заметим также, что циклотронные волны в отличие от ВПЗ, которые являются продольными волнами, суть поперечные волны, а следовательно, можно говорить о поляризации циклотронных волн. Очевидно, что поляризация будет определяться знаком аксиального магнитного поля В.
Аппарат связанных волн
Рассмотрим теперь систему двух связанных волн, причем природу волн конкретизировать не будем. Предположив, что связь слабая, уравнения для связанных волн можно записать в виде:
(3.97)(3.97)
(3.97)
(3.97)
day ,.
—— = -kyX + Ci2tt2, dx
da2 j ,
—— = — k2x + c2itti, dx
где &i,2 — постоянные распространения волн, причем в силу слабой связи они не отличаются от постоянных распространения волн в отсутствии связи, Ci2, C2i — коэффициенты связи. Затуханием волн пренебрегаем, т. е. &Ц2 = ш/^ф!^ — действительные величины. В случае слабой связи общая средняя мощность приближенно равна сумме мощностей в несвязанных системах:
Р = 2{|бХ112 ± |й2|2} ~ const, ЭР/дх = 0.(3.98)
Знак +/— соответствует волне с положительной или отрицательной энергией. Последнее выражение представляет собой выражение теоремы Чу о кинетической мощности в так называемом двухволновом приближении. В частности, для электронного потока в пространстве дрейфа, теорема Чу примет вид
Р = 2{|аб|2 - |«м|2} ~ const.
(3.99)
Поскольку а2 = аа* из второй формулы (3.98) следует, что
8Р
Эх
da^^daiA , f dat*^2) „
1+ а2-г- г = °-
dx dx I Idx dx I
(3.100)
Подставляя уравнения (3.97) и комплексно-сопряженные им уравнения в выражение (3.100), находим
(±С12 + с21) ai^ + (с12 ± С21) а^а2 = 0.
(3.101)
Последнее соотношение справедливо для любых ai и а2. Поэтому при
С12 = с^ и с21 = с^2 получаем, что ^ (|«112 - |«212) = о или Р = 2 (|ai|2 - |а212) = const = |ai(0)|2 - |а2(0)|2,
(3.102)
Таблица 3.1Примеры системысвязанных волнТаблица 3.1Примеры системысвязанных волн
Таблица 3.1
Примеры системысвязанных волн
Таблица 3.1
Примеры системысвязанных волн
(ш^ А?)-диаграмма
Свойства системы связанных волн
к — действительная величина для всех ш и наоборот; неустойчивости нетк — действительная величина для всех ш и наоборот; неустойчивости нетш — действительная величина для всех к; к — комплексная величина для действительных ш; волны, затухающие в пространстве; неустойчивости нетш — действительная величина для всех к; к — комплексная величина для действительных ш; волны, затухающие в пространстве; неустойчивости нетСвязь волн с положительной или отрицательной энергией, групповые скорости волн имеют одно направление. Забегая вперед отметим, что примером такого взаимодействия является ЛБВ-подавитель, где имеет место взаимодействие БВПЗ с прямой волной в волноведущей линии передачи (волной с положительной энергией), в результате которого происходит полное подавление входного сигнал
к — действительная величина для всех ш и наоборот; неустойчивости нет
к — действительная величина для всех ш и наоборот; неустойчивости нет
ш — действительная величина для всех к; к — комплексная величина для действительных ш; волны, затухающие в пространстве; неустойчивости нет
ш — действительная величина для всех к; к — комплексная величина для действительных ш; волны, затухающие в пространстве; неустойчивости нет
Связь волн с положительной или отрицательной энергией, групповые скорости волн противоположны. ЛОВ-подавитель; взаимодействие БВПЗ с обратной волной в волноведущей линии передачи (обе волны с положительными энергиями), полное подавление входного сигнал возможно на бесконечной длине пространства взаимодействия
ш — действительная величина для всех к и наоборот; к имеет значения, соответствующие усилению, для действительных ш; конвективная неустойчивость
к — действительная
величина для всех действительных w^ ш — комплексная величина для действительных Ас абсолютная неустойчивость
Связь волн с положительной и отрицательной энергией, групповые скорости волн сонаправ- лены. ЛБВ-усилитель; взаимодействие МВПЗ с прямой волной в волноведущей линии передачи
Связь волн с положитель-
ной и отрицательной энергией, групповые скорости волн противоположны. ЛОВ-усилитель, ЛОВ-генератор
где «1(0) и ^2(0) ~ значения амплитуд связанных волн в начале пространства взаимодействия. Из соотношения (3.102) видно, что по мере распространения вдоль пространства взаимодействия наблюдается либо одновременный рост амплитуд обеих волн, либо одновременное их подавление. При С12 = — с21 и С21 = — с^2 получаем, что
(|«1|2 + Ы2) = 0 или
Р = 2 (|«i|2 + |«212) = const = |«i(0)|2 + |«2(0)|2,(3.103)
т. е. увеличение амплитуды одной из волн возможно только за счет уменьшения амплитуды другой волны.
Предполагая, что «1, «2 ~ Д^ш1-кС, и принимая во внимание формулы (3.102) и (3.103), из условия совместности системы уравнений (3.97) находим следующие дисперсионные уравнения:
для одинаково направленных потоков мощности
(к - ш/иД^к - ш (иД = |С1212;(3.104)
для противоположно направленных потоков мощности
(к - ш/иД^к - ш (иД = — |С1212-(3.105)
В системе без потерь возможны четыре варианта связи взаимодействующих волн (см. табл. 3.1) [19, 9]. Дисперсионные характеристики соответствуют возможным вариантам связи.
Эффективное взаимодействие между связанными волнами возможно только в случае, когда выполняются условия синхронизма, т. е. когда фазовая скорость одной волны близка к скорости другой волны. Так, например, при синхронном взаимодействии волны в линии передачи с одной из циклотронных волн (3.95) в пучке реализуется так называемый режим циклотронного резонанса. Понятно, что энергообмен при этом будет зависеть от знака энергии волн.
Список литературы
Hahn W. Small signal theory of velocity modulated beams // General Electric Rev. 1939. V. 42. P. 258.
Ramo S. Space charges and field waves in an electron beam // Phys. Rev. 1939. V. 67. P. 276.
Шевчик B.H., Шведов Г.Н., Соболева А.В. Волновые и колебательные явления в электронных потоках на сверхвысоких частотах. — Саратов: Изд-во СГУ, 1963.
Гаврилов М.В., Трубецков Д.И.. Шевчик В.Н. Волны в потоках носителей заряда и их взаимодействие с волнами в линиях передачи / Обзоры по электронной технике. Сер. 1. Электроника СВЧ. Вып. 11(128). — М.: ЦНИИ «Электроника», 1973.
Викулов И.К., Тагер А.С. О кинетическом и квазигидродинамиче- ком методах решения задач СВЧ электроники при учете теплового
разброса скоростей электронов // Электронная техника, Сер. 1. Электроника СВЧ. 1968. Т. 8. С. 3.
Шевчик В.Н., Шведов Г.Н. Волны пространственного заряда в электронных потоках // Известия вузов СССР. Радиотехника. 1959. Т. 2. С. 511.
Шевчик В.Н., Трубецков Д.И. Аналитические методы в электронике СВЧ. — М.: Сов. радио, 1970.
Люиселл У. Связанные и параметрические колебания в электронике. — М.: Мир, 1963.
Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. — М.: Наука, 1984.
Sturrock Р.А. In what sense do slow waves carry negative energy // Journal Appl. Phys. 1960. V. 31. P. 2052.
Chu L.J. The kinetic power theorem. — IRE Electron Device Conference, Univirsity of New Hempshire, June, 1951.
Birdsall C.K., Brewer G.R., Haeff A. V. The resistive wall amplifier // Proc. IRE, 1953, V.41. P. 865.
Шевчик B.H. Основы электроники сверхвысоких частот. — М.: Сов. радио, 1959.
Седов Л.И. Механика сплошной среды. — М.: Наука, 1970.
Блиох И. В., Ярошенко В.В. Электростатические волны в кольцах Сатурна // Астрономический журнал. 1985. Т. 62, >3. С. 569.
Алъвен X. Космическая плазма. — М.: Мир, 1983.
Бессуднова Н.О. К нелинейной теории электростатических волн в кольцах Сатурна // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1994. Т.2,№5. С. 109.
Johnson С.С. The theory of fast-wave parametric amplification // J.Appl.Phys. 1960. V. 31. P. 1646.
Бекефи Дж. Радиационные процессы в плазме. — М.: Мир, 1971.
Лекция 4
НЕЛИНЕЙНЫЕ ЯВЛЕНИЯ В ЭЛЕКТРОННЫХПОТОКАХ В ГИДРОДИНАМИЧЕСКОМПРИБЛИЖЕНИИ
Однако не следует забывать, что линейные уравнения для волн... получены в результате упрощения (линеаризации) исходных нелинейных уравнений гидродинамики. Поэтому представляется необходимым выяснить, при каких условиях оправдано линейное приближение для волн, а также рассмотреть принципиально новые эффекты, обусловленные нелинейностью уравнений. Этим вопросам и посвящена настоящая глава.
Л.М. Бреховский, В.В. Гончаров. Введение в механику сплошных сред. М: Наука, 1982. с. 291
Неизлучательная неустойчивость Пирса. Диод Пирса: от регулярных автоколебаний к хаосу. Уравнения Годфри. Конечномерная модель колебаний в электронном потоке в диоде Пирса. Управление реэюимами колебаний в диоде Пирса. Нелинейные волны пространственного заряда. Моделирование нестационарных нелинейных процессов в клистроде с помощью гидродинамических уравнений.
В лекции 3 при рассмотрении многопучковой неустойчивости был сделан закономерный переход от линейной теории, которая позволила поставить и решить вопрос об устойчивости и типе неустойчивости (если, конечно, она реализуется в системе), к нелинейной теории, которая позволяет анализировать динамику системы не только на начальном (линейном) этапе развития неустойчивости, но и исследовать пространственно-временную динамику систем в течение сколь угодно длительных промежутков времени (пока, конечно, остаются справедливы гидродинамические уравнения для электронного потока). Здесь нужно отметить, что применительно к рассмотрению пучков заряженных частиц, гидродинамический подход имеет существенное ограничение. Дело в том, что уравнения движения в переменных Эйлера
справедливы только при рассмотрении электронного пучка как сплошной среды — некоторой заряженной жидкости, скорость которой является однозначной функцией координат и времени. В электронике это не всегда имеет место. Очень часто оптимальные режимы работы электронных ламп характеризуются наличием в пучке обгонов и отражений, что не позволяет использовать гидродинамический подход для описания явлений. Вместе с тем для ряда задач гидродинамический подход является наиболее оптимальным.
В данной лекции будет рассмотрена именно такая система — диод Пирса, который позволяет при анализе некоторых режимов колебаний ограничиться гидродинамическим описанием. Отметим, что диод Пирса, являясь простейшей моделью электроники СВЧ, тем не менее демонстрирует многие нелинейные явления, включая динамический хаос, классический сценарий перехода к стохастичности, перестройку хаотического аттрактора с изменением управляющего параметра, синхронизацию хаотических колебаний внешним гармоническим сигналом. Все это позволяет рассмативать диод Пирса как эталонную модель возникновения «электронной турбулентности».
В конце лекции будет рассмотрен вопрос распространения в электронных потоках волновых возмущений большой амплитуды — нелинейных волн пространственного заряда, а также пример применения гидродинамической теории к моделированию нестационарных нелинейных процессов в приборах с модуляцией эмиссии.
Неизлучательная неустойчивость Пирса
Диод Пирса представляет собой две бесконечных плоских параллельных сетки, пронизываемых моноэнергетическим бесконечно широким электронным потоком. Плотность заряда ро и скорость и о потока на входе в диодный промежуток поддерживаются постоянными. Пространство между сетками заполнено нейтрализующим фоном неподвижных ионов с плотностью pi. Плотность нейтрализующего заряда равна по абсолютной величине невозмущенной плотности заряда в электронном потоке (ро = —pi)>
В такой системе при определенных условиях возможно развитие неизлунательной неустойчивости, которая носит название неустойчивости Пирса [1]. Она связана с существованием внешней обратной связи через цепь, соединяющую сетки, поскольку они заземлены [2]. Получим условия развития неустойчивости Пирса.
Неустойчивость Пирса зависит от дисперсионной характеристики колебаний пучка, которые, как было показано, определяется формулой (3.26). При k = wp/vq одна из волн является стационарной (ш = 0). В случае безграничного потока это тривиальный результат (если фазовая скорость волны меньше с, то всегда найдется система отсчета, в которой существует стационарная волна). Однако в ограниченной
системе существует выделенная система отсчета, в которой волны (3.26) являются стационарными, что приводит к сильной неустойчивости потока [3].
Введем стационарное возмущение плотности пространственного заряда потока, соответствующее волнам пространственного заряда (см. (3.26):
р(ж) = psin (Шрж/vo), (4.1)
где р — некоторая амплитуда. Возмущение плотности пространственного заряда наводит на плоскостях диода статические заряды, которые, в свою очередь, создают поле, возмущающее движение электронов. Найдем его, воспользовавшись для этого уравнением Пуассона, принимающим в одномерном случае с нулевыми граничными условиями вид
d? р _ р^х) dx2 £о
Учитывая соотношение (4.1) при граничных условиях ^(0) = ^p(L) = 0, имеем
(4-3)(4-3)
(4-3)
(4-3)
Первый член в формуле (4.3) определяет потенциал плазменных колебаний пучка, а второй — наведенное поле. Возмущение скорости электрона может быть найдено из уравнения
(4-4)(4-4)du р Vo . (ШрЬ — = — sin —— dt ро L \ ио
(4-4)
(4-4)
которое позволяет проанализировать вопрос об устойчивости движения потока.
Пусть sin ^WpLf v0) > 0, т. е.
2тгп < WpLfvo < 2тг(п + 1/2), п = 0, 1, 2, . . .(4.5)
Если возмущение плотности пространственного заряда р > 0 (избыток электронов), то dv / dt > 0. Следовательно, наведенное поле способствует уменьшению возмущения плотности пространственного заряда р, и избыток электронов уменьшается. Если р < 0 (недостаток электронов), то dv/dt < 0, и недостаток электронов уменьшается. Следовательно, при выполнении условия (4.5) пучок устойчив.
Пусть теперь sin ^WpL)Vo) < 0, т. е.
2тг(п + 1/2) < WpLfvo < 2тг(тг + 1), п = 0, 1, 2, ...(4.6)
Если р > 0 (избыток электронов), то dv/dt < 0, и наведенное поле, тормозя электроны, ведет к накоплению заряда. При р < 0 из соотношения (4.4) видно, что возмущение скорости dv / dt > 0, и недостаток электронов возрастает.
Таким образом при выполнении условия (4.6) электронный пучок неустойчив. Как видно из соотношения (4.4), характерное время развития неустойчивости (когда и становится порядка vq, р ~ ро)
L Г .
т = — sin —— I .
уо L vo J
Отметим, что проведенный анализ позволяет лишь установить условия развития неустойчивости и оценить характерное время развития неустойчивости. К чему же приводит неустойчивость, не совсем ясно, так как заряд между плоскостями диода может либо накапливаться, либо уменьшаться. В данном случае все определяется начальным возмущением, накладываемым на плотность пространственного заряда потока. Различают в связи с этим мягкий и жесткий режим неустойчивости Пирса. В первом случае наблюдается полное прохождение тока и недостаток электронов в области между плоскостями диода. Во втором режиме образуется виртуальный катод — область в пространстве взаимодействия с потенциалом, близким к ускоряющему, от которого отражается часть электронного потока обратно к плоскости инжекции, при этом наблюдается избыток электронов в диоде. Вместе с тем, при величине а = WpLju^ (так называемый параметр Пирса) порядка Зтг возможно полное прохождение электронного потока х).
В последнем случае рост неустойчивости Пирса ограничивается нелинейностью в системе, и в диоде наблюдается режим полного прохождения потока. Таким образом существует возможность описания системы в рамках гидродинамического подхода, чему и посвящен следующий раздел.
Диод Пирса: от регулярных автоколебаний к хаосу.Уравнения Годфри
Система гидродинамических уравнений, описывающая нелинейные нестационарные процессы в диоде Пирса, состоит из уравнений Пуассона, непрерывности и движения. Выпишем данные уравнения сразу в безразмерном виде, так как при численном моделировании всегда пользуются величинами, приведенными к безразмерному виду. Это позволяет выделять комплексы безразмерных параметров (критерии подобия), которые играют роль управляющих параметров системы, позволяя свести большое число параметров «размерной» системы уравнений к нескольким параметрам для безразмерных уравнений. В данном
г) Увеличение параметра Пирса о при фиксированной длине системы L и ускоряющем напряжении Vo (vo = V^^Vo ) эквивалентно увеличению тока / инжектируемого пучка. Токи, превышающие критическое значение /кр, при котором в системе наблюдается неустойчивость, традиционно называют сверхкритическими токами.
случае имеем единственный управляющий параметр, а именно параметр Пирса а, представляющий собой невозмущенный угол пролета по плазменной частоте. Проведем нормировку физических величин (штрихи, стоящие над безразмерными величинами в дальнейшем будем опускать) в следующей форме:
р' = РоР, V1 = vov, р' = рор = v^p/ri,
x' = Lx, t' = tot = Lt/x^.
Тогда система уравнений, описывающая диод Пирса, примет вид:
^^ = а2^ - 1),(4.7)
(4.8)(4.9)(4.8)(4.9)Эр9(рх)
(4.8)
(4.9)
(4.8)
(4.9)
dtЭх 1
dxdxЭф
dt V Эх Эх
Данные уравнения решаются при следующих граничных и начальных условиях:
ж(0Д) = 1, ^(0Д) = 0, р(0Д) = 1, <ДМ) = 0.(4.10)
Система уравнений (4.7)-(4.10) интегрировалась численными методами в конечно-разностном представлении.
Построим численную схему для решения данной задачи. Во-первых, необходимо ввести функции плотности, скорости и потенциала, заданные в дискретном времени и в дискретном пространстве. Для этого зададим шаг во времени At и шаг пространственной сетки Ах = 1/7V, где N — число узлов пространственной сетки. Будем строить явную схему для интегрирования уравнений (4.7)-(4.10). Это означает, что для нахождения значений функций на следующем шаге по времени используются значения этих функций только на предыдущих шагах по времени, и не используется значение функции на данном шаге ').
В начале рассмотрим уравнение движения (4.9). Заменяя производную по времени конечной разностью вида
9х(х, t)dt9х(х, t)dt(4-11)(4-11)
9х(х, t)dt
9х(х, t)dt
(4-11)
(4-11)
г) В отличие от этого, неявные схемы подразумевают для нахождения значений переменных на данном шаге п во времени использование значений этих переменных не только на предыдущих шагах, но и на шаге п. Типичный пример — широко известная схема Кранка-Никольсона (см. подробнее [4-6]).
где п — шаг во времени, Vj = ^(ж^), Xj = 7 Аж, j = 1, . . . N. Тогда выражение (4.9) в конечно-разностном виде можно записать как
(4-12)(4-12)уШ-1 _ уп . т(М, ^х, и, tp\
(4-12)
(4-12)
где Т — оператор, «переводящий» значения функции и на временном слое п в значения на (n + 1) слое. Возникает вопрос: как корректно перейти к конечно-разностному представлению оператора перехода Т (так как можно самым различным образом записать пространственные производные в разностном виде)? Основной критерий выбора той или иной схемы — ее устойчивость ').
Для анализа устойчивости пользуются следующей методикой. Проводят линеаризацию оператора Т, и переходят к исследованию устойчивости возмущения вида и = иехр (jkx). Тогда уравнение (4.11) сводится к уравнению вида:
-п + 1 = -п . G^^ ^ ^ (4.13)
где G называется коэффициентом перехода для уравнения (4.12). Условием устойчивости разностной схемы будет неравенство |G| ^ 1.
Проанализируем устойчивость двух разностных схем, получаемых из уравнения движения (4.9) путем замены ди/дх центрированной разностью [7] (схема «1»)
п + 1ппппп
^3- ^3, n^ + 1 -^-1 =^- + 1 - ^3-1
М J 2Дж2Дж
и левой разностью (схема «2») п + 1пп пп п
^3- ^3, П ^з - ^3-1 = _ ^3 - ^3-1
М^х^х
Линеаризуем данные уравнения (т. е. скорость представим в виде vq + б и будем отбрасывать члены второго порядка малости) и найдем оператор перехода для случая cp(x,t) = 0 (понятно, что наличие внешнего поля не окажет влияние на устойчивость разностной схемы). Возмущение, относительно которого будем исследовать устойчивость разностной схемы, зададим в виде иехр (jkxj). Тогда, для схемы «1» (формула (4.14)) имеем
из из 2Дж из-и 1
2Джv’2Джv’
2Джv’
2Джv’
г) При всей важности критерия устойчивости разностной схемы, это не единственное требование, предъявляемое к виду Т. Другим, не менее важным требованием, является консервативность разностной схемы (т. е. выполнение законов сохранения энергии и импульса), однако рассмотрение этих вопросов выходит за рамки данного курса лекций.
И окончательно
u”+1 = un |1 - j^^ sin А:Дж} .
Найдем теперь величину |G|, которая примет вид
|G|2 = GG* = 1 + f^f sin2 А;Дж.
V Аж 7
Таким образом получаем, что схема с центральными разностями абсолютно неустойчива (|G| > 1 для любых значений параметров) — при любых сколь угодно малых величинах шага по времени и координате любые ошибки и возмущения в данной схеме будут нарастать во времени по экспоненциальному закону. Это далеко нетривиальный результат: применение наиболее распространенной и привычной конечно-разностной аппроксимации производной приводит к «нефизическому» поведению решения.
Если повторить выкладки для схемы «2», то мы придем к выражению вида:
|G|2 = Л _+ ^ cos/.дУ
1\ Аж Аж)\ Аж )
В этом случае условие, что |G| < 1, принимает вид:
^^ — 1) (1 — cos ^Аж) < 0.(4.16)
Оценивая второй множитель своим максимальным значением max {1 — соз&Аж} = 1 получаем условие, накладываемое на шаги по времени и координате, при котором разностная схема (4.14) устойчива
Соотношение (4.17) в вычислительной математике называется условием Куранта. Условие Куранта определяет параметры сеточного разбиения (в нашем случае шага по времени At и шага по координате Аж), при которых разностная схема устойчива.
Разностная схема (4.15) в теории решения краевых задач разностными методами носит название схемы с разностями против потока [8]. Она имеет большое значение при исследовании различных потоковых систем и широко используется для решения задач в вычислительной гидродинамике, физике плазмы, электронике, метеорологии и т. д.
Заметим, что из рассмотрения условия Куранта может показаться, что можно брать сколь угодно большие шаги пространственновременной сетки, если они удовлетворяют (4.17). На самом деле на Аж также накадывается вполне определенное условие. Рассмотрим его, для чего представим производную по продольной координате следующим
образом:образом:ЭиЭхЭиЭх^j+i Ч7-12Дж^j+i Ч7-12Дж
образом:
образом:
Эи
Эх
Эи
Эх
^j+i Ч7-1
2Дж
^j+i Ч7-1
2Дж
Предположим, что и = пехр ^]кх\ Тогда
—- = jku^kx = jku, Эх
а дискретное представление имеет вид:
Эи_qjKj + ^x _ e3kU-iW_ sin к^жsin к^ж
—- = ^ = — кие3 3 ——— = jku —— .
Эх2Джjk^xk,Z\x
Понятно, что дискретное представление стремится к непрерывному при к&х —> 0, когда> 1. Это реализуется при к&х <С 1, т. е.
Дж<1Д~А.(4.18)
Последнее соотношение означает, что шаг пространственной сетки должен выбираться много меньше характерного пространственного масштаба возмущения А; тогда временной шаг может быть выбран из условия Куранта.
Уравнения непрерывности (4.8) и Пуассона (4.7) также записываются в конечно-разностном виде, причем первое с помощью схемы разностей против потока, а второе в виде:
(4.19)
Соотношение (4.19) представляет собой систему линейных алгебраических уравнений, которые решаются стандартными методами линейной алгебры (см., например, [9, 10], а также лекцию 14).
Рассмотрим результаты численного моделирования с помощью вышеописанной методики сложной динамики в гидродинамической модели диода Пирса. На рис. 4.1 приведена бифуркационная диаграмма колебаний плотности заряда в сечении системы х = 0,2. Бифуркационная диаграмма представляет собой отложенные по оси ординат величины локальных максимумов временной реализации плотности при фиксированном значении параметра Пирса, который откладывается по оси абсцисс. Регулярным режимам на бифуркационной диаграмме соответствуют линии; развилка линии соответствует удвоению периода при переходе через некоторое критическое значение параметра. На бифуркационной диаграмме легко выделяются две области.
При а большем 2,8575тг, динамика системы хорошо совпадает с динамикой универсального одномерного логистического отображения, описывающего один из универсальных сценариев перехода к хаосу —
Рис. 4.1. Бифуркационная диаграмма колебаний плотности пространственного заряда в диоде Пирса в точке х = 0,2
каскад удвоений периода Фейгенбаума [11]. Логистическое отображение
^п+1 = Ажп (1 ^п) (4.20)
является универсальной моделью, к которой сводится большое число систем самой различной природы, общим в которых является наблюдение последовательности удвоений периода с изменением управляющих параметров.
На рис. 4.2 показаны характеристики колебаний (временная реализация, спектр мощности и фазовый портрет) плотности пространственного заряда в сечении х = 0,2 для различных уменьшающихся значений параметра а. Фазовый портрет строился с помощью метода Такенса [11], который сводится к построению фазовых векторов вида
R = WYp^t + Т), /^ + 2П - - - p(t + (п - 1)Т)} ,
где Т — длительность задержки метода Такенса, ап — размерность пространства вложения (п = 2 соответствует проекции аттрактора колебаний на плоскость). Первые четыре рисунка (а-г) демонстрируют каскад удвоений периода: на них соответственно показаны режимы периода 1, 2, 4 и 8. На рис. 4.2d показан хаотический режим, возникающий после каскада удвоений периода. Из рассмотрения восстановленного фазового портрета видно, что аттрактор представляет собой узкую ленту в фазовом пространстве. В работе [12, 13] данный режим назван ленточным хаосом. Характеристики ленточного хаоса подобны характеристикам хаотической динамики в простых конечномерных системах, в которых также наблюдается переход к хаосу через удвоения периода, например, классической системе Ресслера [14].
При а < 2,8575тг размер аттрактора возрастает, и внешний вид диаграммы уже не соответствует диаграмме, построенной для логистического отображения. В терминологии работы [12] это режим спи-
Рис. 4.2. Спектр мощности, фазовый портрет и временная реализация колебаний плотности заряда при следующих значениях параметра Пирса:(а) а = 2,88тг — цикл периода 1; (б) а = 2,87тг — цикл периода 2;
(в) а = 2,8665тг — цикл периода 4;(г) а = 2,8655тг — цикл периода 8;
(ф а = 2,865тг — ленточный хаос; (е) а = 2,86тг — спиральный хаос
рального хаоса, который характеризуется существенным усложнением колебаний в диоде (рис. 4.2е).
Покажем, что при определенных условиях из исходных гидродинамических уравнений, описывающих диод Пирса, можно получить логистическое отображение. Для этого от системы дифференциальных уравнений в частных производных перейдем к системе двух связанных интегральных уравнений с запаздыванием относительно поля Eq на входной сетке системы и времени пролета Т частиц через диодный промежуток [15, 16].
5 Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов
Перепишем уравнение Пуассона в виде
Э2ср dx2Э2ср dx2ЭЕ ЭхЭЕ Эх= а2(р - 1).= а2(р - 1).(4-21)(4-21)
Э2ср dx2
Э2ср dx2
ЭЕ Эх
ЭЕ Эх
= а2(р - 1).
= а2(р - 1).
(4-21)
(4-21)
Граничное условие <р(0) = <р(1) = 0 можно записать как
(4.22)(4.22)| Е dx = 0.о
(4.22)
(4.22)
Продифференцируем (4.21) по времени. Тогда
(4.23)(4.23)д ЭЕ _ 2dp_dt Эх а dt
(4.23)
(4.23)
Подставляя этот результат в уравнение непрерывности получим
9] ==Эх Эх а dt9] ==Эх Эх а dt9Эх9Эх1 9Е\"^"dtj *1 9Е\"^"dtj *(4.24)(4.24)
9] ==
Эх Эх а dt
9] ==
Эх Эх а dt
9
Эх
9
Эх
1 9Е\"^"dtj *
1 9Е\"^"dtj *
(4.24)
(4.24)
Из уравнения Пуассона можно найти странственного зарядаИз уравнения Пуассона можно найти странственного зарядавыражение для плотности про-выражение для плотности про-_ 1 ЭЕ_ о? Эх_ 1 ЭЕ_ о? Эх(4.25)(4.25)Подставляя выражение (4.25) в уравнение (4.24), получим:Подставляя выражение (4.25) в уравнение (4.24), получим:
Из уравнения Пуассона можно найти странственного заряда
Из уравнения Пуассона можно найти странственного заряда
выражение для плотности про-
выражение для плотности про-
_ 1 ЭЕ_ о? Эх
_ 1 ЭЕ_ о? Эх
(4.25)
(4.25)
Подставляя выражение (4.25) в уравнение (4.24), получим:
Подставляя выражение (4.25) в уравнение (4.24), получим:
дЭхдЭх11/ ЭЕ ЭЕ\ V Эх + dt )/ ЭЕ ЭЕ\ V Эх + dt )+ и+ и= 0,= 0,Учитывая, что полная производная записывается какdE(x,t) _ 9Е 9^9£_9£ ЭЕ dtdtdt dx dtV dx"из уравнения (4.26) находим9 Г 1 dE (/ж! _ ~dx Ya2 dt dt\ 'Учитывая, что полная производная записывается какdE(x,t) _ 9Е 9^9£_9£ ЭЕ dtdtdt dx dtV dx"из уравнения (4.26) находим9 Г 1 dE (/ж! _ ~dx Ya2 dt dt\ '(4.26)(4.27)(4.28)(4.26)(4.27)(4.28)
д
Эх
д
Эх
1
1
/ ЭЕ ЭЕ\ V Эх + dt )
/ ЭЕ ЭЕ\ V Эх + dt )
+ и
+ и
= 0,
= 0,
Учитывая, что полная производная записывается как
dE(x,t) _ 9Е 9^9£_9£ ЭЕ dtdtdt dx dtV dx"
из уравнения (4.26) находим
9 Г 1 dE (/ж! _ ~dx Ya2 dt dt\ '
Учитывая, что полная производная записывается как
dE(x,t) _ 9Е 9^9£_9£ ЭЕ dtdtdt dx dtV dx"
из уравнения (4.26) находим
9 Г 1 dE (/ж! _ ~dx Ya2 dt dt\ '
(4.26)
(4.27)
(4.28)
(4.26)
(4.27)
(4.28)
Проинтегрировав это выражение по ж, и учитывая при нахождении константы интегрирования соотношение (4.24), получим:
d Г Е 1 _ 1dt L2 1 “ а2d Г Е 1 _ 1dt L2 1 “ а2dEdtdEdtdE0(t)+ Рохо = 1 +7dE0(t)+ Рохо = 1 +7(4.29)(4.29)
d Г Е 1 _ 1dt L2 1 “ а2
d Г Е 1 _ 1dt L2 1 “ а2
dEdt
dEdt
dE0(t)
+ Рохо = 1 +7
dE0(t)
+ Рохо = 1 +7
(4.29)
(4.29)
где из условия нормировки следует, что ро^о = 1, (9Е(х, t)/ddt)x=o = = dE^l^dt = dEo/dt.
Проинтегрировав уравнение (4.29) по времени, учитывая из уравнения движения, что Е = d^xfdt^^ получим:
4 + ж = Л$+^ = A^oto + ^-^i).(4-30)
aa atа
d? х dEd? х dEEo(tiY В принципе система уравнений (4.9), (4.30) эквивалентна исходной системе гидродинамическихEo(tiY В принципе система уравнений (4.9), (4.30) эквивалентна исходной системе гидродинамическихполностьюполностьюВ качестве начальных условий здесь выбрано х = 0, t = Е,
d? х dE
d? х dE
Eo(tiY В принципе система уравнений (4.9), (4.30) эквивалентна исходной системе гидродинамических
Eo(tiY В принципе система уравнений (4.9), (4.30) эквивалентна исходной системе гидродинамических
полностью
полностью
уравнений. Однако она не дает устойчивых во времени решений при численном моделировании. Поэтому обычно переписывают полученную
систему уравнений в другом виде.
Умножим левую и правую часть уравнения (4.30) на функцию sin ^a^t — s)) и проинтегрируем от s = Е до s = t. Выпишем отдельно получающиеся интегралы в левой и правой частях (4.30). Это с использованием интегрирования по частям даёт
^2 ~-^ sin (a(t — s)) ds + а2 [ж sin (a(t — s)) ds =
J a dtJ
ti
= — sin (a(t — 4)) + ax, (4.31) a
t
[ (s — 4) sin (a(t — s)) ds = — ^ sin (a(t — 4)) + a(t — E).(4.32)
Окончательно из уравнения (4.30) с учетом интегралов (4.31) и (4.32) имеем:
t
(4.33)(4.33)x(t) = (t — Е) + ^ | E0(s) sin (a(t — s)) ds.
(4.33)
(4.33)
ti
d2x
Также из уравнения (4.30), с учетом, что —2" = E(t), находим: dt
t
E(t) = E0(t) — — | Eq(s) sin (a(t — s)) ds.(4.34)
ti
Таким образом от системы уравнений Пуассона (4.7), непрерывности (4.8) и движения (4.9), пришли к системе связанных интегральных уравнений (4.33) и (4.34). Чтобы ее решить, необходимо задаться соответствующими граничными условиями. Подставляя в (4.33) граничные условия х = 1, t = Т — Е (Т = T(t) — время пролета через диодный промежуток), получим:
t
(4.35)(4.35)1 = Т + — [ EEs) sin (a(t — s)) ds.a J
(4.35)
(4.35)
t-T
E0(t)E0(t)+ (t — й) — а2х,+ (t — й) — а2х,(4.36)(4.36)4 [s dx =+ [(t-ti) dx — ^- = 0.(4.37)4 [s dx =+ [(t-ti) dx — ^- = 0.(4.37)Вычислим интеграл в выражении (4.37). Для этого перепишем его в видеВычислим интеграл в выражении (4.37). Для этого перепишем его в видеt-Tt-T(t — t^ dx =(t — t^ dx =0tПроизводную dx/dti найдем из (4.33), и тогда0tПроизводную dx/dti найдем из (4.33), и тогдаt-тt-т(t — t^ dx = —(t — t^ dx = —dtl-dtl-= ^-+ — j E0(s)(t — s) sin (a(t — s)) ds. (4.38)= ^-+ — j E0(s)(t — s) sin (a(t — s)) ds. (4.38)t-TОбъединяя выражения (4.37) и (4.38), окончательно получаем 9-t-TОбъединяя выражения (4.37) и (4.38), окончательно получаем 9-2E0(t) = ^L (1 - Г2) - | | EMMsinM-s^ds. (4-39)2E0(t) = ^L (1 - Г2) - | | EMMsinM-s^ds. (4-39)t-Tt-TТаким образом пришли к системе уравнений (4.35) и (4.39), которые называются уравнениями Годфри. Получим из них логистическое отображение, следуя работе [13]. Введем обозначения:Таким образом пришли к системе уравнений (4.35) и (4.39), которые называются уравнениями Годфри. Получим из них логистическое отображение, следуя работе [13]. Введем обозначения:t/1 = — [ E0(s)(t — s) sin (a(t — s)) ds,t/1 = — [ E0(s)(t — s) sin (a(t — s)) ds,/2 = —E0(s} sin (a(t — s)) ds.a Jt-TТогда уравнения Годфри запишутся в виде:/2 = —E0(s} sin (a(t — s)) ds.a Jt-TТогда уравнения Годфри запишутся в виде:1 = Т + - /2,1 = Т + - /2,(4.40)(4.40)2121(4-41)(4-41)Предположим, что время пролета слабо меняется в пределах одного периода колебаний. В этом случае с точностью до членов первогоПредположим, что время пролета слабо меняется в пределах одного периода колебаний. В этом случае с точностью до членов первогоЗдесь Т и ГД неизвестные функции времени. Подставим в уравнение (4.22) выражение для Е. полученное из соотношения (4.30). Тогда
E0(t)
E0(t)
+ (t — й) — а2х,
+ (t — й) — а2х,
(4.36)
(4.36)
4 [s dx =+ [(t-ti) dx — ^- = 0.(4.37)
4 [s dx =+ [(t-ti) dx — ^- = 0.(4.37)
Вычислим интеграл в выражении (4.37). Для этого перепишем его в виде
Вычислим интеграл в выражении (4.37). Для этого перепишем его в виде
t-T
t-T
(t — t^ dx =
(t — t^ dx =
0t
Производную dx/dti найдем из (4.33), и тогда
0t
Производную dx/dti найдем из (4.33), и тогда
t-т
t-т
(t — t^ dx = —
(t — t^ dx = —
dtl-
dtl-
= ^-+ — j E0(s)(t — s) sin (a(t — s)) ds. (4.38)
= ^-+ — j E0(s)(t — s) sin (a(t — s)) ds. (4.38)
t-T
Объединяя выражения (4.37) и (4.38), окончательно получаем 9-
t-T
Объединяя выражения (4.37) и (4.38), окончательно получаем 9-
2
E0(t) = ^L (1 - Г2) - | | EMMsinM-s^ds. (4-39)
2
E0(t) = ^L (1 - Г2) - | | EMMsinM-s^ds. (4-39)
t-T
t-T
Таким образом пришли к системе уравнений (4.35) и (4.39), которые называются уравнениями Годфри. Получим из них логистическое отображение, следуя работе [13]. Введем обозначения:
Таким образом пришли к системе уравнений (4.35) и (4.39), которые называются уравнениями Годфри. Получим из них логистическое отображение, следуя работе [13]. Введем обозначения:
t
/1 = — [ E0(s)(t — s) sin (a(t — s)) ds,
t
/1 = — [ E0(s)(t — s) sin (a(t — s)) ds,
/2 = —E0(s} sin (a(t — s)) ds.
a J
t-T
Тогда уравнения Годфри запишутся в виде:
/2 = —E0(s} sin (a(t — s)) ds.
a J
t-T
Тогда уравнения Годфри запишутся в виде:
1 = Т + - /2,
1 = Т + - /2,
(4.40)
(4.40)
21
21
(4-41)
(4-41)
Предположим, что время пролета слабо меняется в пределах одного периода колебаний. В этом случае с точностью до членов первого
Предположим, что время пролета слабо меняется в пределах одного периода колебаний. В этом случае с точностью до членов первого
порядка малости можно считать, что Т « const. Это предположение справедливо вблизи значений а, соответствующих границе устойчивости, где движение потока близко к стационарному.
Из уравнения (4.40) имеем
Г = 1-1/2.(4.42)
а
Подставив соотношение (4.42) в формулу (4.41), находим
Soto = «(b-A)-^-.(4.43)
Предполагая малое изменение величины Eq за время Т, легко получить для интегралов оценки вида
/1 « — (Т cos (qT) -sin(aT)/a)E0(t*)/a = 3E0(t*y
/2 « -(1 - cosaT)E0(t*)/a = 7^Ж),
где ^ и ^2 ” некоторые моменты времени из интервала \t — ТД]. Далее предположим, что t^ ^ t^- Это очень сильное предположение, однако, его справедливость в конечных пределах следует из результатов численного моделирования. Тогда
2
E0W = a^E0(t -т)- 0Eo(t - т)) - у Ey(t - т).(4.44)
Обозначив Д1 = «(7 — Д), Д2 = 72/2 перепишем последнее соотношение в виде
Soto = A1SoA-7)-A2So2A-r).(4.45)
Переходя к дискретному времени tn = п • т (п = 1, 2 . . .) и вводя новую переменную Е^ = (Д2/ДДЕф придем к выражению, которое совпадает по виду с логистическим отображением (4.20). Действительно, имеем, что
Е^х) = Д1ЯЖ) (1 - E^tn)) .(4.46)
Здесь величина Дх представляет собой управляющий параметр, эквивалентный параметру А в логистическом отображении (4.20).
Как следует из структуры уравнений (4.44), величина /2 определяет нарастание плотности заряда в потоке, а /1 — нелинейные свойства, связанные с воздействием формирующегося в потоке электронного уплотнения на его движение. Квадратичное отображение (4.46), представляющее собой отображение с единственным максимумом (см рис. 4.3ф, определяет основные особенности превращений энергии в гидродинамической модели. Из работы [17] следует, что отображение жп+х = g(xn) с функцией g^x\ имеющей единственный максимум
(в рассматриваемом случае это логистическое отображение с g(xn) = = Ажп(1 — хп) (4.20)), характеризует процессы, в которых рост возмущений происходит при малых значениях переменной хп. Далее при превышении некоторого порога, равного максимуму функции g^x\ проис
Рис. 4.3. Вид квадратичного (логистического) отображения (4.20), построенного при А = 2,2 (а); бифуркационная диаграмма для логистического отображения (б)Рис. 4.3. Вид квадратичного (логистического) отображения (4.20), построенного при А = 2,2 (а); бифуркационная диаграмма для логистического отображения (б)ходит ограничение неустойчивости — уменьшение величины хп. В рассматриваемой распределенной системе этому соответствуют, во-первых, рост возмущения за счет торможения потока и, как следствие, рост плотности заряда в диодном промежутке при малых значениях Eq. За счет накопления заряда при этом наблюдается увеличение напряженности поля Eq. И, во-вторых, ограничение роста возмущения, связанное с ускорением потока в возросшем поле Eq. В результате этого плотность пространственного заряда падает, и величина Eq уменьшается. Далее процесс повторяется.
Рис. 4.3. Вид квадратичного (логистического) отображения (4.20), построенного при А = 2,2 (а); бифуркационная диаграмма для логистического отображения (б)
Рис. 4.3. Вид квадратичного (логистического) отображения (4.20), построенного при А = 2,2 (а); бифуркационная диаграмма для логистического отображения (б)
Итак, из уравнений гидродинамической модели с помощью перехода к уравнениям Годфри было получено логистическое отображение. На рис. 4.36 приведена бифуркационная диа
грамма, полученная для логистического отображения (4.20) с увеличением параметра А. Величина Ai уменьшается с ростом параметра Пирса а, следовательно, в отображении (4.46) с увеличением а будет наблюдаться обратный каскад удвоений периода.
Последний результат является очень интересным — удалось связать поведение сложной распределенной, а следовательно, бесконеч
номерной системы с поведением универсального класса конечномерных систем — логистическим отображением, которое демонстрирует некоторые особенности, присущие исходной распределенной системе, описываемой уравнениями в частных производных.
Конечномерная модель колебанийв электронном потоке в диоде Пирса
Анализ в гидродинамическом приближении движения в диодном промежутке путем численного решения исходной системы дифференциальных уравнений (4.7)-(4.10) дает наиболее полную информацию
о процессах в этой системе. Однако естественным является стремление получить более простое описание системы, например, с помощью конечномерной аппроксимации уравнений. Подобный подход, конечно, ограничивает область управляющих параметров, в которой можно использовать данное решение. Вместе с тем, переход от распределенной системы, описываемой уравнениями в частных производных, к конечномерной системе позволяет получить более ясное представление о физических процессах, происходящих в системе, упростить ее моделирование.
В конце предыдущего раздела был сделан переход от системы гидродинамических уравнений к системе двух связанных интегральных уравнений с запаздыванием (уравнения Годфри). Далее на основе уравнений Годфри была построена простейшая модель динамики потока в диоде Пирса — отображение, описывающее обратный каскад удвоений периода с увеличением параметра а. Однако наряду с переходом к уравнениям с запаздыванием и от них к простейшему нелинейному отображению, возможно построение конечномерной модели из трех обыкновенных дифференциальных уравнений, демонстрирующей характерные особенности процессов в диоде Пирса.
Для ее построения воспользуемся традиционным методом построения упрощенных моделей распределенных систем, а именно разложением движения в системе по характерным модам линейной задачи [18, 19]. Впервые описание линейной динамики в диоде Пирса на языке пространственных мод было дано в работах Куна [20, 21]. Хаотическая динамика электронного потока в плазме в данном прибижении изучалось в работе [22], однако, выбор основных пространственных мод в ней был произволен и не обоснован, и исследовались только условия возникновения бифуркаций удвоения периода. Рассмотрим поэтому, следуя работе [13], методику построения упрощенной конечномерной модели динамики электронного потока в диоде Пирса на базе метода Галеркина [5, 18].
В работе [20] показано, что в области изменения параметра Пирса а Е (2тг, Зтг) в системе возбуждается бесконечное число мод с частотами, определяемыми из дисперсионного уравнения
{ejaw [(^2 + 1) sin а + 2^ cos а] + «го4 —
— аги2 — 27^7} (ш2 — 1) 2 = 0, (4.47) где w = из/ц)р. В случае диода Пирса линейные моды были определены в работе [20]. Покажем связь линейных мод нашей задачи и наблюдаемых пространственных распределений электронных волн, следуя этой работе. Результаты решения дисперсионного уравнения (4.47) представлены на рис. 4.4. При этом показаны только решения с наименьшим значением Im ш, которым соответствуют наименее быстро затухающие моды. В области значений параметра Пирса а Е (2тг, Зтг) собственные
Рис. 4.4. Решение дисперсионного уравнения для диода Пирса
значения нашей задачи имеют вид Ai^ = Re шщ — j Im ^1,2? A3 = = Im Ш3, т. e. можно выделить два осциллирующих решения и одно чисто затухающее.
Каждому собственному значению As соответствуют свои пространственные распределения мод. Так, например, для моды напряженности поля пространственного заряда имеет место распределение
и наблюдаемое распределение поля, соответствующее моде с номером s, описывается функцией
Е = СЕ^х, А^е-^т) + к с(4_49)
Здесь С и 7 — действительные константы. Последнее уравнение с учетом выражения (4.48) примет вид
Е = С [Re Es cos (Recast + 7) + Im Es sin (Recast + 7)]eImc<;s^ +
+ jC [Re Es cos (Re wst + 7 + тг/2) +
+ Im Es sin (Recast + 7 + 7r/2)]eIm. (4.50)
Из соотношения (4.50) видно, что действительная и мнимая часть каждой из мод в линейном приближении имеет одинаковую динамику с различием в фазе на тг/2. Без потери общности при помощи выбора констант С и 7 перейдем к чисто действительным модам, наблюдаемым в численном эксперименте, а именно к
Е = [Re Es cos (Re wst^ + Im Es sin (Re cjst)] eIm Wst.(4.51)
Собственные моды, соответствующие Ai^, демонстрируют одинаковое поведение. Для них можно видеть, что наблюдаемая мода есть суперпозиция двух растущих стоячих волн с различным пространственным
распределением и сдвигом по фазе во времени тг / 2 (см. рис. 4.5, кривые 1.2. на котором приведены пространственные распределения соб
Рис. 4.5. Собственные моды (пространственные распределения) линейной задачи о возбуждении колебаний электронного потока в диоде Пирса: 1, 2 — осциллирующие моды;3 — чисто затухающая модаРис. 4.5. Собственные моды (пространственные распределения) линейной задачи о возбуждении колебаний электронного потока в диоде Пирса: 1, 2 — осциллирующие моды;3 — чисто затухающая модаственных мод). В результате наблюдаемое пространственновременное распределение величин представляет собой распространяющийся волновой пакет. Динамика этого пакета определяется как мнимой, так и действительной частью величины Es. Мода, соответствующая Ад, является затухающей, и наблюдаемое распределение (рис. 4.5, кривая 3) определяется функцией ReEs. Аналогичный вид имеют линейные моды и для других переменных.
Рис. 4.5. Собственные моды (пространственные распределения) линейной задачи о возбуждении колебаний электронного потока в диоде Пирса: 1, 2 — осциллирующие моды;
3 — чисто затухающая мода
Рис. 4.5. Собственные моды (пространственные распределения) линейной задачи о возбуждении колебаний электронного потока в диоде Пирса: 1, 2 — осциллирующие моды;
3 — чисто затухающая мода
В качестве исходного базиса
(«пробного решения» в терминологии метода Галеркина) для конечномерной аппроксимации используем набор собственных функций ли
нейной задачи
з
Р = 52 Rs^dsW,
8 = 1
(4-52)(4-52)3
(4-52)
(4-52)
у = 52 Vs^as^tY
8 = 1
3
^ = 52 ^s^asW,
8 = 1
где RS1 Vs и Ф8 — пространственные распределения, соответствующие As.
Подставив пробное решение (4.52) в исходную систему уравнений (4.7)-(4.9), записанную относительно малых возмущений, будем иметь отличный от нуля вектор невязки Ф = (Ф1, Ч^ Фз), компоненты которого записываются в виде
Ф1 = aiRi + ct2^2 + йз^з + ai (Rix + Vix) + ^2 (R^x + V2x) +
+ аз (Rsx + Узх) + a^RiVi)^ + ^2(^2^)^ +
+ а^^зУз^х + aia^RiV^ + Т?2^1)ж +
+ aia3(RiV3 + йзУ1)ж + ^2^з(^2^з + Т?зр2)ж, (4.53)
Ф2 = <И Vi + d^V^ + аз^з + ay (Ф1Ж + У1ж) + ^2 №ж + ^2ж) +
+ аз (^Зж + Изж) + G-iViVix + а2^2^2ж +
+ азУз^зж + а1а2(У1У2ж + V2Vi^) +
+ а1аз(У1Узж + УзУ1Ж) + а2аз(У2Узж + РзУ2ж), (4.54)
Фз = ах(Ф1ЖЖ + a2 Ri} + а2(Ф2жж + a2 R2) + аз(^3жж + a2 R^V (4.55) где введено обозначение ^х = ^(ф)-
Введем определение внутреннего произведения [5]:
1
(/ х g) = | fgdx.(4.56)
о
При обращении к методу Галеркина неизвестные коэффициенты а8 находятся из решения матричного уравнения вида
/ (RxV^A /фА\
^2V2^2 X Ф2 = 0.(4.57)
у yRзVзФз jХ^3/ /
Производя элементарные преобразования с учетом выражений (4.53)(4.55), получим матричное уравнение для определения коэффициентов а8 в виде
MA + BA + D = 0,(4.58)
где А — вектор, составленный из неизвестных коэффициентов а^. Элементы матриц М и В даются выражениями
^ij = (^J х Ri} Н- (Vj X Ri} ,
bij = ^Rix 4" Vix} X Rj} 4" ((Vix 4" Фix} X Vj} 4" ((^гжж 4" cv R^} X Фj}-
Элемент матрицы D соответствует формуле
di = У^ a^ V(RkVk}x Ri 4- VkVkxVi\ 4k
+ У2 S akai VJ^kVi 4- RiVk}xRi 4- (VkVix 4- ViVkx}Vi] . (4.59) k 1, l^k
Разрешая уравнения (4.58) относительно d^, получим явные уравнения:
di^t} = /11^1 4" /12^2 4" /13^3 4" /1461^ 4" /15^2 4- /16^3 +
4- /17^2^3 4- li^aiai 4- /19CI1CI3,(4.60)
Рис. 4.6. Бифуркационная диаграмма колебаний в конечномерной модели с изменением параметра Пирса (а); увеличенный фрагмент бифуркационной диаграммы, демонстрирующий область хаотической динамики и окна периодичности (б)
^2(^) — ^21ftl + ^22ft2 + ^23^3 + ^24^1 + ^25^2 + ^26^3 +
+ ^27^2^3 + l28alal + ^29^1^3 ?(4.61)
^з(^) = ^31^1 + ^32^2 + U3a3 + ^34^1 + ^35ft2 + ^36ft3 +
+ /37^2^3 + ^38^1^1 + h9ala3- (4.62)
Коэффициенты Uj получаются из численного решения неявных уравнений. Нелинейности системы (4.60)-(4.62) являются квадратичными и появляются в результате кинематических нелинейностей и нелинейностей, входящих в уравнение непрерывности. Структура уравнений такова, что моды 1 и 2 возбуждаются в результате неустойчивости типа отрицательного трения, а их энергия передается в линейно затухающую 3-ю моду.
Динамика конечномерной модели (4.60)-(4.62) представлена на бифуркационной диаграмме (рис. 4.6). Из рисунка можно видеть, что бифуркационная диаграмма имеет вид, характерный для перехода к хаосу через удвоения периода. Из диаграммы также хорошо видна близость бифуркационных значений для гидродинамической (рис. 4.1) и конечномерной моделей. Однако окна периодичности и обратные бифуркации
удвоения периода, характерные для перехода к хаосу через каскад удвоений периода, значительно лучше видны в конечномерной модели, так как в этом случае учитывается взаимодействие только трех мод. Как и в исходной системе, в модели сохраняются два типа хаотической динамики — ленточный и спиральный хаос. Это можно заметить по виду бифуркационной диаграммы: при а > 2,79тг динамика системы характерна для перехода к хаосу через удвоения периода; при а « 2,78тг наблюдается возрастание амплитуды колебаний, и система переходит в режим спирального хаоса.
Таким образом конечномерная модель (4.60)-(4.62), полученная на базе разложения Галеркина, демонстрирует динамику, которая как качественно, так и количественно подобна поведению исходной распределенной системы. Из этого следует, что поведение электронного потока в диоде Пирса в режиме полного прохождения определяется взаимодействием небольшого числа мод. Моделирование динамики конечномерной модели может быть проведено существенно более просто и с существенно меньшими затратами машинного времени, чем исходной системы гидродинамических уравнений (4.7)-(4.10). Последнее делает перспективным использование таких моделей для изучения и оптимизации активных систем, представляющих собой несколько связанных систем со сверхкритическим током *). На возможность такого моделирования указывает изложенное в следующем разделе описание влияния обратной связи на процессы в диоде Пирса. Последнее рассматривается на примере как гидродинамической, так и конечномерной модели динамики электронного потока со сверхкритическим током в диоде Пирса.
Управление режимами колебаний в диоде Пирса
Рассмотрим вопрос: возможно ли управлять сложными режимами колебаний в диоде Пирса ) ? По-видимому, одним из эффективных способов управления является введение в систему управляемой обратной связи. Впервые в электронике СВЧ это было сделано В.Я. Кисловым [25, 26] для получения шумоподобных колебаний в ЛБВ с запаздывающей обратной связью (подробнее этот прибор будет обсу-
ждаться в лекции 14). В лекции 2 рассматривалась хаотизация колебаний в простой модели пролетного клистрона с обратной связью. Не меньший интерес вызывает возможность разрушения хаотической динамики в распределенной системе. В работах [31, 32] рассмотрено влияние внешней обратной связи на сложные колебания в диоде Пирса. В них показано, что при определенных параметрах обратной связи возможно подавление хаотической динамики в диодном промежутке и установление различных типов периодических колебаний. Изложим приведенные в работах [31, 32] результаты.
Внешняя обратная связь в [31] вводится путем модуляции разности потенциалов между входной и выходной сетками диода сигналом, снимаемым из некоторого сечения х = хос пространства взаимодействия. В качестве такого сигнала используются колебания плотности пространственного заряда р(хос, t) в межсеточном пространстве. Введение такой обратной связи можно рассмотреть как подключение к пространству взаимодействия цепи (волновода) обратной связи с линией задержки.
В гидродинамической модели введение обратной связи приводит к изменению граничного условия (4.10) для потенциала на правой границе системы, а именно
^(1, t) = focW = А • Woe. t-d)- р0]. (4.63)
Здесь А — коэффициент обратной связи, характеризующий какая часть мощности колебаний ответвляется в цепь обратной связи, d — запаздывание в цепи обратной связи. В этом случае требуется задать сигнал в цепи обратной связи на временном интервале t Е [—d, 0). Считая, что развитие процессов в системе начинается в момент времени t = 0, а при t < 0 плотность пространственного заряда невозмущена p(x,t) = Ро, начальное распределение функции foc задается в виде
Точка подключения обратной связи в пространстве взаимодействия не изменяется: хос = 0,2. Значение параметра Пирса, при котором исследовалось влияние обратной связи, а = 2,86тг. При этом значении а в системе без обратной связи наблюдается режим спирального хаоса (см. рис. 4.2е).
Анализ зависимостей плотности пространственного заряда от времени в различных сечениях х = Жфикс диодного промежутка показал, что характеристики колебаний (спектр мощности, фазовый портрет, корреляционная размерность [33] и максимальный ляпуновский показатель [34]), рассчитанные по временным реализациям р(жфикс,^), оставались постоянными с изменением координаты Жфикс- Это свидетельствует об отсутствии пространственного хаоса и позволяет для ана-
Рис. 4.7. Разбиение плоскости параметров длительность задержки d — коэффициент А обратной связи на различные режимы колебаний для гидродинамической модели диода Пирса. Символами Тп обозначены области периодических колебаний с циклами периода п
лиза поведения системы рассматривать колебания р(жфикс, £) в каком- то одном сечении диодного промежутка.
На рис. 4.7 на плоскости управляющих параметров d и А выделены области с различными колебательными режимами. Характерный временной масштаб колебаний в потоке без обратной связи в безразмерных единицах времени т = 4,06.
При малых значениях коэффициента обратной связи А <С 1 наблюдаются хаотические колебания аналогичные колебаниям в диоде без обратной связи. Временная динамика в этом случае сильно нерегулярна, однако, в спектре мощности на фоне высокого шумового пьедестала наблюдается хорошо выделенная основная частота /о = VT и слабо выраженная её гармоника 2/о- Анализ аттрактора в фазовом пространстве показывает, что вокруг состояния неустойчивого равновесия системы образуется петля, на которой движение системы замедляется. При этом область в фазовом пространстве, занимаемая остальным аттрактором, плотно заполняется фазовой траекторией. Во временной реализации также хорошо заметны периоды движения по петле возле состояния однородного равновесия (с малой амплитудой колебаний плотности пространственного заряда р^х^ t) « 0) и периоды движения по остальному аттрактору (колебания с увеличивающейся во времени амплитудой).
Увеличение А приводит к различному поведению в зависимости от длительности запаздывания в цепи обратной связи. При d > т/2 с увеличением А наблюдается увеличение сложности колебаний в электронном потоке; одновременно возрастает их амплитуда.
Дальнейшее увеличение А приводит к качественно иной динамике системы. Амплитуда колебаний быстро растет с течением времени и, начиная с какого-то момента, в потоке возникают отраженные электроны — в системе возникает колеблющийся во времени и пространстве виртуальный катод, от которого отражается часть электронного потока обратно к плоскости инжекции. Колебательная динамика в диодном промежутке определяется двумя основными механизмами — развитием неустойчивости Пирса и ограничением её нелинейностью. Введение обратной связи с А > 0,02 способствует разрушению механизма нелинейного ограничения и, как следствие, неограниченному росту неустойчивости, заканчивающейся формированием виртуального катода. Гидродинамическая модель корректно описывает процессы в потоке только при отсутствии в нем обгонов и отражений частиц, в противном случае уравнения (4.7)-(4.9) становятся несправедливыми. Критическое значение коэффициента обратной связи Авк? при котором в диодном промежутке с обратной связью появляются отраженные частицы и формируется виртуальный катод, зависит от длительности запаздывания. Как видно из карты режимов, с увеличением d величина Авк уменьшается.
При длительности запаздывания d < т/2 с ростом А сложность колебаний в электронном потоке уменьшается; в диоде возникают регулярные колебания Тп.
Из рис. 4.7 видны особенности переходов от одних режимов к другим при изменении параметров обратной связи. При небольших А колебания в диоде остаются хаотическими, однако, их сложность уменьшается по сравнению с колебаниями в диоде без обратной связи. Аттрактор представляет собой узкую ленту в фазовом пространстве (режим ленточного хаоса). С ростом А в хаосе возникают окна периодичности (например, режимы Тз и Те). При А > 0.03 имеет место переход к периодическим колебаниям через обратный каскад удвоений периода . . .
Возникает вопрос: какие процессы, протекающие в электронном потоке, определяют вышеописанную динамику исследуемой системы Исследование распространения электронных волн в пучке показывает, что поведение системы определяется приближением её состояния к однородному состоянию равновесия р(ж) = ро, ^(^) = ^о, <р(ж) = (ро- Расстояние текущего состояния системы от неустойчивого равновесия может быть определено как
S(£) = < j Цр(х, t) - Ро)2 + (tpO^ t) - у)0)2 + (Цж, t) - Vo)2 } dx
°(4.65)
Рис. 4.8 иллюстрирует изменения величины отклонения системы от неустойчивого состояния равновесия с течением времени в случае хао-
S
2,0 --
б 100 120 140 160180 200 220 t
Рис. 4.8. Зависимость расстояния S от текущего состояния системы донеустойчивого равновесия
тических (режим спирального хаоса) (а) и регулярных (цикл периода 1) (б) колебаний системы. Можно видеть, что в первом случае система в некоторые моменты времени очень близко подходит к состоянию равновесия (р(х, t) « 0), и амплитуда волнового движения около него близка к нулю. За счет неустойчивости происходит нарастание колебаний до ограничения их нелинейностью. Далее процесс повторяется. Однако всякий раз значения величины S около положения равновесия оказываются различными, также различными оказываются пространственные распределения величин около состояния равновесия. Поэтому развитие неустойчивости начинается каждый раз с новых начальных условий и динамика системы сильно нерегулярна.
Степень нелинейности системы можно проанализировать путем вычисления нелинейных энергетических функционалов [35]
1
Wk = ^pv2dx-^, Wp = ^p<pdx,(4.66)
оо
которые соответственно описывают переход энергии основного движения потока в кинетическую энергию волнового возмущения пучка и потенциальную энергию поля пространственного заряда. В режимах хаотической динамики максимальные значения функционалов больше, чем для регулярных процессов: это указывает на большую степень нели-
Рис. 4.9. Зависимость разности энергий возмущения (Wp — Wk) от времени для режима развитого хаоса (сплошная линия) и регулярных колебаний периода 1 (штриховая линия)
нейности в режиме развитого хаоса. На рис. 4.9 показана зависимость величины AW = Wp — Wk от времени, которая характеризует процессы преобразования различных видов энергии в процессе колебательноволновой динамики в пучке. В режиме периодической динамики видно (штриховая линия на рис. 4.9), что энергия регулярно переходит из кинетической в потенциальную, причем максимумы зависимости соответствуют накоплению заряда в межсеточном пространстве.
В режиме хаотической динамики на зависимости AW(t) (сплошная линия на рис. 4.9) видны моменты времени, когда AW « 0. Это соответствует положению системы возле состояния неустойчивого равновесия. Далее энергия волнового движения опять начинает нарастать во времени. Уменьшение энергии возмущения и длительное движение около состояния неустойчивого равновесия наблюдается только после резкого возрастания величины |ДИ/|. Физически это связано с тем, что в этом случае в пучке возникает стоячая электронная волна, плотность пространственного заряда которой в области выходной сетки резко возрастает. Тогда тормозящее поле этого электронного уплотнения сильно уменьшает скорость пучка ниже по координате, и как следствие, диодный промежуток покидает значительно большее количество электронов, чем поступает в него. На рис. 4.10 показаны пространственновременные распределения волны пространственного заряда. Из него видно, что в режиме спирального хаоса (рис. 4.10 а) наблюдается рост амплитуды волновых движений. После превышения амплитудой волны критического значения наступает практически полное подавление колебаний в диоде. Далее, как уже обсуждалось, процесс повторяется, но уже с новых «начальных условий».
Включение обратной связи позволяет разрушить данный механизм хаотизации колебаний. При длительности задержки d < т/2 сигнал
Рис. 4.10. Пространственно-временные распределения волны пространственного заряда в диодном промежутке для режима развитого хаоса (а) и регулярных колебаний (б)
обратной связи действует так, что способствует уменьшению накопления заряда в выходной области диода и ускорению пучка в моменты времени, когда имеет место максимум величины р. В результате рост амплитуды электронных волн, распространяющихся в пучке, ограничивается и, как следствие этого, степень нелинейности уменьшается: система не приближается к состоянию неустойчивого равновесия (рис. 4.106). При с/ > т/2, наоборот, сигнал обратной связи способствует
Рис. 4.11. Разбиение плоскости параметров длительность задержки d — коэффициент А обратной связи на различные режимы колебаний для конечномерной модели колебаний в гидродинамической модели диода Пирса
росту амплитуды электронных волн, и как следствие, за счет вышеописанного механизма наблюдается усложнение динамики пучка, что при больших А приводит к формированию виртуального катода.
Введение обратной связи в конечномерную модель производится путем добавления в правую часть каждого из уравнений (4.60)-(4.62) сигнала /oc(t), который формируется следующим образом:
/осО) = а • [ai(t - d) + a^t - d) + a3(t - d^ . (4.67)
Такая обратная связь во многом эквивалентна той обратной связи, которая вводится в гидродинамическую модель диода Пирса. Сигнал обратной связи в распределенной модели формируется как величина плотности пространственного заряда в точке жос пространства взаимодействия. В соответствии с разложением (4.52) сигнал обратной связи в сосредоточенной модели должен быть взят как сумма амплитуд всех трех высших мод. Одновременно, сигнал обратной связи воздействует на каждую из мод, что отражается добавлением слагаемого /qc(^) в каждое из уравнений конечномерной модели.
На рис. 4.11 представлена карта режимов на плоскости управляющих параметров And при значении параметра Пирса а = 2,774тг. При этом значении параметра Пирса в конечномерной модели без обратной связи наблюдаются развитые хаотические колебания, фазовый портрет которых подобен уже обсуждавшемуся выше спиральному хаосу. Из рисунка видно, что при возрастании амплитуды обратной связи и значении задержки d < т/2 (где т = 1//о = 3,15; /о ~ основная частота спектра) происходит подавление хаотических колебаний и установление регулярного режима. Переход от хаотической динамики к регулярным колебаниям периода 1 происходит как и в гидродинамической модели
через каскад удвоений периода. В случае d > т/2 происходит неограниченное нарастание амплитуды колебаний, что соответствует переходу системы в режим формирования виртуального катода, где уравнения конечномерной модели оказываются некорректными. Из сравнения рисунков 4.7 и 4.11 видно, что конечномерная модель, анализ которой намного более прост, чем анализ гидродинамической системы, хорошо описывает процессы, протекающие в распределенной системе и при подключении обратной связи.
Нелинейные волны пространственного заряда
Перейдем теперь к обсуждению нелинейных волн пространственного заряда в неограниченных в продольном направлении электронных потоках. Рассмотрим вначале бесконечно широкий электронный поток полностью скомпенсированный ионным фоном. Вдоль оси системы приложено сильное магнитное поле, так что исключается возможность поперечных движений электронов. Такой пучок описывается уже знакомыми нам уравнениями, которые в безразмерном виде записываются следующим образом:
(4.68)(4.68)9идиЭср
(4.68)
(4.68)
9tЭхЭх
— уравнение движения;
а,9tа,9t9kP^Эх9kP^Эх(4.69)(4.69)
а,
9t
а,
9t
9kP^Эх
9kP^Эх
(4.69)
(4.69)
(4.70)(4.70)— уравнение непрерывности, а также уравнение Пуассона:
(4.70)
(4.70)
Эх2 Р "
Здесь применена нормировка физических величин отличная от примененной в предыдущем разделе:
р' =Ро-р, v' = v0-v, ip' = (р0 • ф = v^p/i],
X* = Wp • X/Uq,tf = to • t = Wpt.
Будем искать решение этой системы уравнений в виде стационарных волн, т. е. решения, зависящие от комбинации Е = х — ut, где и = const — скорость волны. Тогда
Э _ 9_9^ _ 9_а
Эх ЭЕ, Эх ЭЕ/ dt ЭЕ 9t U ЭЕ"
и система уравнений (4.68)-(4.70) сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений вида
du du dp-"dC"rt = drdu du dp-"dC"rt = dr(4.71)(4.71)
du du dp
-"dC"rt = dr
du du dp
-"dC"rt = dr
(4.71)
(4.71)
(4.73)(4.73)(4-75)(4-75)г) Уравнение (4.71) сводится кг) Уравнение (4.71) сводится ка уравнение (4.72) ка уравнение (4.72) к
(4.73)
(4.73)
(4-75)
(4-75)
г) Уравнение (4.71) сводится к
г) Уравнение (4.71) сводится к
а уравнение (4.72) к
а уравнение (4.72) к
_ 1dC p
Проинтегрировав первые два уравнения, находим соотношения х)
^ = ^ [(у - и? - (1 - м)] ,(4-74)
1 — и
и — и
Подставляя выражения (4.74) и (4.75) в уравнение (4.73), получим уравнение нелинейного консервативного осциллятора:
d2p _ А 2у?\-1/2 _ dW
\ "^ (1 _ ^)2/dp
с потенциальной энергией W(р), где р играет роль координаты, а £ — времени. Проинтегрировав один раз (4.76) с начальным условием W(0) = 0, имеем:
W = р + (1 - uf (1 - V1 +2^/(1-п)2 ) .(4.77)
Форма потенциальной ямы изображена на рис. 4.12. Из рисунка понятно, что решение будет носить колебательный характер, если величина р меняется в пределах
(1 - м)2 < V < | (1 - «Л
Нарушение этого условия эквивалентно опрокидыванию волны. Физически это связано с тем, что дисперсия, которая приводит к распространению спектральных компонент волны с различными волновыми
числами с разной фазовой скоростью, в системе слаба. Поэтому остановить процесс укручения волны возможно только при достаточно малойчислами с разной фазовой скоростью, в системе слаба. Поэтому остановить процесс укручения волны возможно только при достаточно малой-(1-и)2 о (1-м)2 2(1-«)2 3(1-и)2 ф-(1-и)2 о (1-м)2 2(1-«)2 3(1-и)2 фРис. 4.12. Форма потенциальной ямы для нелинейного осциллятора (4.76)Рис. 4.12. Форма потенциальной ямы для нелинейного осциллятора (4.76)амплитуде, когда нелинейность мала.Найдем теперь точное решение (4.68)-(4.70). Для этого перепишем уравнение (4.76) относительно v, с учетом (4.74). Тогдаамплитуде, когда нелинейность мала.Найдем теперь точное решение (4.68)-(4.70). Для этого перепишем уравнение (4.76) относительно v, с учетом (4.74). Тогдаd2dCd2dCу ~vuу ~vuv — 1и — иv — 1и — и(4.78)(4.78)Умножим обе части (4.78) наУмножим обе части (4.78) наd у2L2.d у2L2.Интегрируя получившиеся выраИнтегрируя получившиеся выражение по частям, приходим к выражению вида:жение по частям, приходим к выражению вида:dd^dd^' 2"1) — UU' 2"1) — UU= ±УС - (у - I)2 ,= ±УС - (у - I)2 ,
числами с разной фазовой скоростью, в системе слаба. Поэтому остановить процесс укручения волны возможно только при достаточно малой
числами с разной фазовой скоростью, в системе слаба. Поэтому остановить процесс укручения волны возможно только при достаточно малой
-(1-и)2 о (1-м)2 2(1-«)2 3(1-и)2 ф
-(1-и)2 о (1-м)2 2(1-«)2 3(1-и)2 ф
Рис. 4.12. Форма потенциальной ямы для нелинейного осциллятора (4.76)
Рис. 4.12. Форма потенциальной ямы для нелинейного осциллятора (4.76)
амплитуде, когда нелинейность мала.
Найдем теперь точное решение (4.68)-(4.70). Для этого перепишем уравнение (4.76) относительно v, с учетом (4.74). Тогда
амплитуде, когда нелинейность мала.
Найдем теперь точное решение (4.68)-(4.70). Для этого перепишем уравнение (4.76) относительно v, с учетом (4.74). Тогда
d2dC
d2dC
у ~vu
у ~vu
v — 1
и — и
v — 1
и — и
(4.78)
(4.78)
Умножим обе части (4.78) на
Умножим обе части (4.78) на
d у2
L2.
d у2
L2.
Интегрируя получившиеся выра
Интегрируя получившиеся выра
жение по частям, приходим к выражению вида:
жение по частям, приходим к выражению вида:
dd^
dd^
' 2"
1) — UU
' 2"
1) — UU
= ±УС - (у - I)2 ,
= ±УС - (у - I)2 ,
где G — постоянная интегрирования, которая имеет смысл квадрата амплитуды волны [36]. Дальнейшее интегрирование даст решение в неявном виде:
€ = ±€ = ±(и — 1) arcsin —=-.Vg(и — 1) arcsin —=-.Vg(4.79)(4.79)
€ = ±
€ = ±
(и — 1) arcsin —=-
.Vg
(и — 1) arcsin —=-
.Vg
(4.79)
(4.79)
Здесь знак « — » соответствует БВПЗ, « + » — МВПЗ.
Решение (4.79) описывает стационарную периодическую волну с амплитудой VG. В работе [38] показана устойчивость этого решения. Таким образом в бесконечно широком электронном пучке, не ограниченном в продольном направлении, нелинейные эффекты сводятся лишь к укручению фронта волны.
Рассмотрим теперь к чему приводит учет ограниченности в поперечном направлении электронного пучка. Пусть цилиндрический электронный поток радиуса гь движется вдоль оси проводящей цилиндрической трубы радиуса R. В этом случае при условии гь <С А <С R, где А — характерный масштаб возмущения, уравнение Пуассона может быть записано в виде
- к^р = р-1,(4.80)
где
к2 -2.
Гь1п(Я/гь)
Данные выражения получаются при разложении потенциала в поперечном направлении в ряд по мембранным функциям цилиндрического волновода, если ограничиться только первым членом ряда. Фактически это означает, что возмущенное поле пространственного заряда Еж имеет в поперечном направлении распределение, совпадающее с распределением TMoi моды цилиндрического волновода (Jo(&±^))-
Дисперсионное уравнение для этого случая выглядит так:
(cj — &)2 =(cj — &)2 =А?2kl + к2'А?2kl + к2'(4.82)(4.82)
(cj — &)2 =
(cj — &)2 =
А?2kl + к2'
А?2kl + к2'
(4.82)
(4.82)
Рис.4.13. Дисперсионные характеристики: 1 — ВПЗ в бесконечно широких потоках; 2 — ВПЗ в потоке, ограниченном в поперечном сеченииРис.4.13. Дисперсионные характеристики: 1 — ВПЗ в бесконечно широких потоках; 2 — ВПЗ в потоке, ограниченном в поперечном сечении
Рис.4.13. Дисперсионные характеристики: 1 — ВПЗ в бесконечно широких потоках; 2 — ВПЗ в потоке, ограниченном в поперечном сечении
Рис.4.13. Дисперсионные характеристики: 1 — ВПЗ в бесконечно широких потоках; 2 — ВПЗ в потоке, ограниченном в поперечном сечении
В области коротких длин волн к ^> k_t это соотношение переходит в соотношение для бесконечно широкого пучка (3.26) х), однако, в длинноволновой области характеристики сильно различаются (см. рис. 4.13).
Для ограниченного потока рядом авторов (см., например, [39, 40])
была показана возможность существования решения в виде солитонов
уравнения Кортевега-де Вриза (КдВ). Уравнение КдВ является эталонным уравнением теории нелинейных волн [41], описывающим эволюцию слабонелинейных длинноволновых возмущений в среде с дисперсией. Как известно, оно имеет следующий вид:
Эи ди п93и
9t Эх Эх
Здесь второе слагаемое ответственно за нелинейность, а последнее — за дисперсию. Данное уравнение допускает решения в виде солитонов — уединен
ных волн. Качественно их возникновение связано с дисперсионным расплыванием, которое компенсирует уже упоминавшийся процесс опрокидывания волны. На спектральном языке это объясняется тем, что фазовые скоро-
сти гармонических составляющих с различными волновыми числами неодинаковы и высшие гармоники, возникающие при искажении профиля волны, не находятся в синхронизме с основной гармоникой, либо обгоняя ее, либо отставая от нее. Поэтому при определенных условиях возможна компенсация эффекта нелинейности дисперсионным расплыванием, что и приводит к образованию солитона.
г) Здесь необходимо учесть, что уравнение (4.82) записано в другой нормировке, чем та, которая использовались при выводе (3.26).
Рис. 4.14. Форма потенциальной ямы W(р) согласно формуле (4.86) для случая: Fi > 0 (1) и Fi < 0 (2)Рис. 4.14. Форма потенциальной ямы W(р) согласно формуле (4.86) для случая: Fi > 0 (1) и Fi < 0 (2)Отметим, что уравнение КдВ справедливо для большого класса задач нелинейной физики, и нелинейные волны в электронных потоках часто описываются с его помощью.
Рис. 4.14. Форма потенциальной ямы W(р) согласно формуле (4.86) для случая: Fi > 0 (1) и Fi < 0 (2)
Рис. 4.14. Форма потенциальной ямы W(р) согласно формуле (4.86) для случая: Fi > 0 (1) и Fi < 0 (2)
Поясним, как появляются решения в виде КдВ-солитонов. Будем как и раньше искать стационарные волны, т. е. решения, зависящие от £ = ж — ut^ для задачи (4.68), (4.69) и (4.80). Проводя вычисления аналогичные тем, которые были сделаны для задачи с бесконечно широким пучком, приходим к уравнению нелинейного осциллятора вида
- 1 + (1 + -—^-72)•(4.83)
а£\(1— м) /
Потенциальная энергия этого осциллятора описывается функцией
W = р - | А;!^2 + (1 - ^)2 (1 - /ГТЗДТ^Р ) •(4.84)
Полагая, что ,299/(1 — n)2| <С 1 (слабая нелинейность), разложим правые части уравнений (4.83) и (4.84) в ряд с точностью до членов второго порядка малости. Тогда получаем следующие соотношения:
=(4.85)
dE 2
W = -^(V + V),(4.86)
где Fi = k^ — (1 — u)-2, F^ = (1 — и)-4. Вид потенциальной ямы W (р) (4.86) приведен на рис. 4.14.
В случае /Д > 0 состояние равновесия р = 0 будет неустойчивым, а р = р* = = —37*2/27^1 — устойчивым (рис. 4.14; кривая 1). В случае Fy < 0 — наоборот (кривая 2). Уравнения (4.85), (4.86) описывают стационарные решения уравнения КдВ. В работах [40, 42] приводятся решения в виде солитонов КдВ, которые, соответственно, имеют вид
^ = -Щ/^2)8есЬ2(У77е/2),^>0, z х
„ (4.87)
Ф = -Щ/^) [1 - sech2 (У^Ке/2)] , Fi < 0.
Данные результаты предопределены тем, что уравнение КдВ описывает эволюцию слабонелинейных длинноволновых возмущений в среде с дисперсией. Предположение о слабой нелинейности было сделано при выводе уравнений (4.85), (4.86), а предположение о длинноволновом характере возмущений — при выводе уравнения Пуассона (4.80).
Анализ уравнений (4.83) с учетом (4.84) показывает, что уединенная волна может существовать и будет устойчива при 1 < &±|1 — п| < 2. Отсюда следует, что скорость стационарной волны и должна удовлетворять следующим неравенствам:
1 + к^ < и < 1 + ‘Ik^
для быстрой волны пространственного заряда и
1 - 1k”1 < и < 1 - к”1
для медленной. Таким образом скорость быстрой уединенной волны всегда больше, а скорость медленной — меньше, чем соответствующие фазовые скорости линейных волн пространственного заряда. Действительно, из дисперсионного уравнения (4.82) следует, что фазовая скорость Уф лежит в пределах
1 - к^.1 < Уф < 1 + к^.1.
Точное решение может быть найдено лишь в неявной форме. Интегрируя уравнение (4.84), получаем
где G — постоянная интегрирования. Решение в виде уединенной волны соответствует G = 0 (см. рис. 4.14). Тогда, выражая ср через и при помощи выражения (4.74), приходим к уравнению
(и — ^)4т = ±(^ — 1)^^1 (у — 2n + I)2 /4 — 1,(4.88)
где верхний знак соответствует БВПЗ, нижний — медленной. Интегрируя последнее соотношение, получаем решение в неявном виде:
£ = A In [у + Уу2 + 1] +
(4.89)(4.89)м 1п Г му -1 + УН-Р -1) (у2 -1)' + k^VM2 - 1[М — V
(4.89)
(4.89)
где М = fcj_|l — у|, V = &_l|1 — 2п + у |/2. Постоянная интегрированная в решении (4.89) выбрана так, что £ (утах) = 0. Нетрудно показать, что скорость и уединенной волны пропорциональна ее амплитуде утах , но связь между этими величинами другая, чем для КдВ солитонов, и имеет вид
утах =2п-1т2/^±.(4.90)
С точки зрения физики процессов в пучке уединенная волна всегда представляет собой сгусток электронов, поскольку в МВПЗ возмущения скорости и плотности противофазны, а в БВПЗ — синфазны.
Рис. 4.15. Образование уединенной волны и осциллирующего хвоста при эволюции начального возмущения скорости (а) и плотности заряда(б)
Заметим, что анализ стационарных решений не позволяет понять: реализуются ли полученные решения при эволюции произвольного начального возмущения? Поэтому необходимо численное решение нестационарных уравнений системы (4.68), (4.69) и уравнения Пуассона.
Непосредственное численное решение исходных уравнений проводилось в системе координат, которая движется со скоростью электронного потока. На рис. 4.15 показан пример формирования быстрой уединенной волны пространственного заряда и осциллирующего «хвоста» малой амплитуды. На рисунке приведены пространственные распределения скорости и плотности заряда в различные моменты времени. Вычислительный эксперимент показал, что в процессе эволюции достаточно широкого класса начальных возмущений возникает одна или несколько устойчивых уединенных волн, распространяющихся практически без изменения их скорости и формы.
Мы не ставим себе здесь задачей подробно останавливаться на вопросах применения методов теории нелинейных волн к задачам электроники сверхвысоких частот. При подробном и строгом рассмотрении — это тема не одной лекции, а, по-видимому, целого курса лекций. В заключение нашего небольшого рассмотрения нелинейных волн пространственного заряда в неограниченых в продольном направлении потоках отметим лишь несколько важных моментов. Во-первых, при аналитическом исследовании волновых уравнений обычно находят решения в виде стационарных волн. В этом случае возрастает роль численного моделирования нестационарных уравнений, которое позволяет решить вопрос об устойчивости стационарных решений. Во-вторых, решения обычно ищутся для бесконечно протяженных в продольном направлении потоков, хотя для электроники СВЧ принципиальный интерес представляют решения краевых задач.
Моделирование нестационарных нелинейныхпроцессов в клистроде с помощьюгидродинамических уравнений
Удачным примером применения вышеразвитой теории к моделированию процессов в СВЧ-приборах является расчет характеристик клистрода с помощью гидродинамических уравнений.
Клистрод — это мощный усилитель дециметрового диапазона, сочетающий принципы действия тетрода и пролетного клистрона. Схематически клистрод изображен на рис. 4.16. Клистрод относится к приборам с модуляцией эмиссии [43, 44]. Лампа напоминает обычньй УВЧ-тетрод, однако выходным контуром служит объемный резонатор.
Рис. 4.16. Схематическое изображение клистродаРис. 4.16. Схематическое изображение клистрода
Рис. 4.16. Схематическое изображение клистрода
Рис. 4.16. Схематическое изображение клистрода
Между катодом и сеткой действует ВЧ-напряжение. Получающийся модулированный по плотности электронный пучок ускоряется в направлении анода, находящегося под высоким потенциалом. Далее он с постоянной скоростью движется через трубу дрейфа, затем проходит через зазор в объемном резонаторе, где возбуждаемое пучком электрическое поле оказывается тормозящим. После этого пучок проходит вторую трубу дрейфа, а затем попадает на коллектор. В настоящее время кли- строды применяются в системах телевещания дециметрового диапазона [45]. Возможно применение клистродов в качестве источников сигнала в линейных ускорителях космического базирования [46, 47], так как при столь же высоком уровне мощности и к.п.д., что и у современных многорезонаторных пролетных клистронов, клистроды обладают значительно меньшими размерами и массой.
Оценки к.п.д. клистрода [44] в предположении, что имеет место режим ограничения тока пространственным зарядом х), дают максимальный к.п.д. клистрода ^тах = Л/jo ~ 82 %, где 3y — первая гармоника
г) В этом случае для плотности тока имеет место закон «3/2»: j = KV^^
где К = 2,33 -10 6Jd А 2В 3^2, d — расстояние между катодом и сеткой.
плотности сгруппированного тока. Напомним, что максимальный к.п.д. двухрезонаторного пролетного клистрона равен 58%, т. е. клистрод оказывается значительно более эффективным, чем клистрон. К.п.д. реальных приборов, разумеется, оказывается несколько ниже. Так, экспериментальный образец клистрода, используемый для телевещания, имел ту to 60 % при коэффициенте усиления G = 20 дБ и выходной мощности Р = 20 кВт на частоте / = 780 МГц [45]. Параметры клистрода, предназначенного для космических систем следующие: ту = 70%, G = = 20 дБ, Р = 500 кВт на частоте / = 425 МГц [46, 47].
Использование гидродинамических уравнений представляется весьма выгодным, так как позволяет без труда моделировать процессы при произвольном законе эмиссии, поскольку плотность заряда на входе в пространство дрейфа в рамках гидродинамической модели можно задавать в явном виде как функцию времени. Интерес к приборам с модуляцией эмиссии в значительной степени обусловлен созданием матричных автоэмиссионных катодов (МАЭК) и возникновением нового направления — вакуумной микроэлектроники [43]. Поэтому интересно исследование прибора, аналогичного клистроду, но на основе МАЭК. При автоэлектронной эмиссии плотность тока определяется законом Фаулера-Нордгейма [43, 44]
j = aV"e-b/v. где Г(#) = Vb + Vm sin (wof), (4.91)
Vb — напряжение смещения, а и b — величины, зависящие от геометрии устройства и работы выхода. Анализ показывает [48], что в этом случае можно получить более высокие значения гармоник тока, чем при эмиссии, подчиняющейся закону 3/2, следовательно, применение МАЭК позволит увеличить к.п.д. прибора. Клистрод с МАЭК был впервые предложен в работе [49].
Для исследования нестационарных процессов в клистроде в работе [50] предложена модель, представляющая ограниченный в поперечном сечении поток. Движение электронов в нем предполагается одномерным. Так как в приборах с модуляцией плотности (в частности, в клистроде) начальная модуляция электронов по скорости отсутствует, то можно ожидать, что обгоны электронами друг друга в пучке не происходят, и можно воспользоваться гидродинамическими уравнениями (4.68)-(4.70). Эти уравнения необходимо дополнить граничными условиями. В случае, когда для тока эмиссии можно воспользоваться законом 3/2, имеем
1№ =1№ =Im (sinw0i)3^2 ,0 < wt < тг,
1№ =
1№ =
(4.92) 0 тг < wt < 2тг.
Считая, что статический заряд электронного потока компенсирован неподвижным ионным фоном и скоростная модуляция на входе отсутствует, получаем граничные условия на входе в виде (нормировка
физических величин такая же, как в предыдущем разделе): и(х = 0, t) = 1,
/„(Pm (sin ш0^)3/2 ,о < U)t < 7Г,
р(ж = 0, t) = <
(отт < cot < 2тг.
Очевидно, что для моделирования клистрода с МАЭК закон модуляции плотности будет соответствовать формуле (4.91) Фаулера-Нордгейма.
Представим продольную компоненту электрического поля резонатора ^(r, t) в виде Е = Не [СД^ЕДг^е-7^], где Es и соs — соответственно распределение поля и частота собственного s-говида колебаний, С8^ — медленно меняющаяся по сравнению с eJWst амплитуда колебаний. В нестационарном уравнении возбуждения резонатора (1.61) в правой части интегрирование по всему объему резонатора можно заменить интегрированием по объему, занимаемому током. Считая, что функции j и Es зависят только от продольной координаты ж, получаем:
dCs . cj sДГ + 2QdCs . cj sДГ + 2QУ^х^ЕДхУ) dV,Ж1У^х^ЕДхУ) dV,Ж1(4.93)(4.93)
dCs . cj s
ДГ + 2Q
dCs . cj s
ДГ + 2Q
У^х^ЕДхУ) dV,
Ж1
У^х^ЕДхУ) dV,
Ж1
(4.93)
(4.93)
где жх и Ж2 — начальная и конечная координата зазора, Q — нагруженная добротность резонатора и S_l — площадь поперечного сечения пучка. Введем функцию
Ж2
(4.94)(4.94)Vs(x) = — | Es(x) dx,
(4.94)
(4.94)
Ж1
и разделим в уравнении (4.93) вещественную и мнимую части, полагая С8 = Ае^. Тогда
dA cosA _ Si."di +“ -ii^TsdA cosA _ Si."di +“ -ii^Ts2тгdcost2тгdcostЖ2'xdVs ,,Зух, t) —— cos (cogt + гр) dx, J dxЖ2'xdVs ,,Зух, t) —— cos (cogt + гр) dx, J dx(4.95)(4.95)d^ _ S± dt ‘I'rNsAd^ _ S± dt ‘I'rNsA2ttdcogt2ttdcogtЖ2Ж2xdVg . z ,джД) ——sin (cOgt + гр) dx.dxxdVg . z ,джД) ——sin (cOgt + гр) dx.dx(4.96)(4.96)
dA cosA _ Si.
"di +“ -ii^Ts
dA cosA _ Si.
"di +“ -ii^Ts
2тг
dcost
2тг
dcost
Ж2
'xdVs ,,
Зух, t) —— cos (cogt + гр) dx, J dx
Ж2
'xdVs ,,
Зух, t) —— cos (cogt + гр) dx, J dx
(4.95)
(4.95)
d^ _ S± dt ‘I'rNsA
d^ _ S± dt ‘I'rNsA
2tt
dcogt
2tt
dcogt
Ж2
Ж2
xdVg . z ,джД) ——sin (cOgt + гр) dx.dx
xdVg . z ,джД) ——sin (cOgt + гр) dx.dx
(4.96)
(4.96)
Введем волновое сопротивление резонатора по формуле [51] К = = V^j2cosW, где УЭкв — эквивалентное напряжение на зазоре резонатора, W = NSA2/2 — энергия, запасенная в резонаторе за один период колебаний. Отнормируем собственную функцию Vs (4.94) так, что Vs^x^ — Vg^x^) = Vq, где Vo — ускоряющее напряжение. Тогда V3KB = = AVq, откуда следует, что Ns = V02/cosK. Очевидно, что зависимость Es(x) может иметь самый различный вид в зависимости от геометрии
резонатора, и рассматриваемая модель допускает исследование кли- строда при любой форме Es(x).
Перейдем в уравнениях (4.95) и (4.96) к безразмерным переменным, нормируя К на величину /о/Vo, где /о — средний ток с катода:
dA wsA _ wsKI^ )/ х
dt + 2Q2’1°
Здесь введены обозначения
г f dcost [ j(x. Л cos (cost + dx. ТГ(Ж2 — Ж1) JJ
ОЖ1
(4.99)
=—- [ dcost [ j(x. Л sin (u)st + dx.
ТГ(Ж2 — Ж1) JJ
ОЖ1
Первая гармоника сгруппированного тока при этом определяется как
Активная и реактивная мощности равны Ра = А1^/2 и Рг = А1^/2, причем при данной нормировке электронный к.и.д. клистрода ту = — Ра- Уравнение движения (4.68) в зазоре резонатора должно быть модифицировано следующим образом:
(4.100)(4.100)ЭиЭиdip
(4.100)
(4.100)
■7— "V — = ^
dtЭхЭх
Заметим, что при выбранной нами нормировке величин все геометрические размеры остаются неизменными при постоянном первеансе пучка Р = /q/Vq3/2, так как нормируются на величину и)р(ио ~ VP. Коэффициент ш8К в правой части уравнений (4.97) и (4.98) также не изменяется, так как он пропорционален /о fwp Vo ~ V? . Таким образом к.п.д. клистрода остается постоянным при постоянном первеансе, что подтвержается экспериментальными данными [45].
В работе [50] и монографии [43, лекция 9; стр. 180] приведены результаты моделирования процессов в клистроде с термоэмиссионным катодом и МАЭК. Результаты моделирования и их сравнение с теоретическими и экспериментальными исследованиями [45] свидетельствуют о высокой эффективности применения рассмотренной гидродинамической модели к моделированию нелинейных нестационарных процессов в приборах с модуляцией эмиссии.
Рис. 4.17. Результаты моделирования нелинейных нестационарных процессов в клистроде с термоэмиссионным катодом (из работы [50])
В качестве примера на рис. 4.17 приведены некоторые результаты моделирования клистрода с термоэмиссионным катодом [50, 52]. Установление колебаний в выходном резонаторе клистрода иллюстрирует рис. 4.17а, на котором представлена зависимость электронного к.п.д. клистрода ту от времени. На рис. 4.175 приведены зависимости первой гармоники сгруппированного тока от угла пролета в зазоре резонатора фо. Как известно из теории возбуждения высокочастотного зазора заданным током [53], амплитуда первой гармоники должна вести себя согласно соотношению
hW = h№82^.
фо/2
Данная теоретическая зависимость приведена на рис. 4.175 в виде кривой 1. Результаты численного моделирования с помощью вышеописанной модели достаточно сильно отличаются от теории (кривые 2, 3). Кривая 3 отличается от кривой 2 учетом сил пространственного заряда. Кривая 2 рассчитана из кинематической теории, т. е. силы пространственного заряда не учитываются, кривая 3 рассчитана с учетом сил пространственного заряда. Видно, что рассхождение между ними незначительно, что свидетельствует о возможности в данном случае пользоваться более простой кинематической теорией, т. е. решать уравнения движения (4.68) и непрерывности (4.69) без уравнения Пуассона (4.71).
Мы не будем останавливаться здесь подробно на результатах моделирования нестационарных процессов в клистроде. Интересующимся можно порекомендовать монографию [43], в которой изложены результаты исследования процессов с помощью гидродинамической модели в клистроде с МАЭК.
Список литературы
Pierce J. Limiting currents in electron beam in presence ions // J.Appl.Phys. 1944. V. 15. P. 721.
Незлин M.B. Динамика пучков в плазме. — М.: Энергоиздат, 1982.
Кузелев М.В., Рухадзе А. А. Электродинамика плотных электронных пучков в плазме. — М.: Наука, 1990.
Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров. — М.: Мир, 1985.
Флетчер К. Численные методы на основе метода Галеркина. — М.: Мир, 1988.
Флетчер К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. — М.: Мир, 1991.
Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. — М.: Мир, 1972.
Роуч П. Вычислительная гидродинамика. — М.: Мир, 1980.
Фадеев Д.К.. Фадеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры. — М.: Физматгиз. 1963.
Бахвалов Н. С. Численные методы (анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: Наука. 1973.
Шустер Г. Детерминированный хаос. — М.: Мир, 1988.
Анфиногентов В.Г., Трубецков Д.И. Хаотические колебания в гидродинамической модели диода Пирса // Радиотехника и электроника. 1992. Т. 37. С. 2251.
Анфиногентов В.Г. Электронный поток в диодном промежутке и пространстве дрейфа (нелинейные явления, хаос и образование структур). — Дисс... к.ф.-м.н. Саратов, 1997.
Rossler О.Е. An equation for continious chaos // Phys.Lett. 1976. V. 57A. P. 397.
Godfrey B.B. Oscillatory nonlinear electron flow in Pierce diode // Phys. Fluids. 1987. V. 30. P. 1553.
Lindsay P.A., Chen X.. Xu M. Plasma-electromagnetic field interaction and chaos // Int.J.Electronics. 1995. V. 79. P. 237.
Неймарк Ю.И. Стохастические движения динамических систем // Динамика систем. Вып. 7. Горький: Изд-во ГГУ, 1974. С.З.
Канторович Л.В., Крилов В.И. Приближенные методы высшего анализа. — М.: Физматгиз, 1962.
Любимов Д.И., Путин Г.Ф., Чернатынский В.И. Конвекция в ячейке Хеле-Шоу при подогреве снизу // Гидродинамика, Том 10. Пермь: Изд-во Перм. ГПИ, 1977.
Kuhn S. Linear longitudional oscillations in collisionless plasma diodes with thin sheaths. Part II: Application to an extended Pierce-type problem // Phys.Fluids. 1984. V. 27. P. 1834.
Kuhn S., Ender A. Oscillatory nonlinear flow and coherent structures in Pierce-type diodes // J.Appl.Phys. 1990. V.68. P.732.
J44zn^ N.Q. Chaotic behaviour in an electron beam plasma // Phys.Lett. A. 1990. V. 145. P. 29.
Ott E., Grebogi C., Yorke J.A. Controlling chaos // Phys.Rev.Lett. 1990. V.64, №11. P. 1196.
Badii R., Brun E., Finardi M. et al // Rev. of Modern Phys. 1994. V.66. P. 732.
Кислов В.Я., Мясин Е.А.. Залогин Н.Н. О нелинейной стохасти- зации колебаний в электронно-волновом генераторе с задержанной обратной связью // Радиотехника и электроника. 1979. Т. 25. С. 2160.
Кислов В.Я. Теоретический анализ шумоподобных колебаний в электронно-волновых система и автогенераторах с запаздыванием // Лекции по электронике СВЧ и радиофизике (5-я зимняя школа-семинар, Саратов,1981). Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1981. С. 78.
Magda LL, Prokopenko Yu.V. Cooperative high-power radiation of two beams at the dual vircator complex // In: the Proceedings of the 11th International Conference on High Power Particle Beams (BEAMS’96). (Prague, Czech Republic, June 10-14 1996), V. 1. Prague: 1996. P. 422.
Алехин Б.В., Дубинов A.E.. Селемир В.Д., Степанов Н.В., Шамро О.А., Шибалко К.В. Натурная имитация импульсной фазированной антенной решетки на основе виркаторов // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1995. Т. 3, № 1. С. 28.
Hendricks К., Richard A., Noggle R. Experimental results of phase locking of two virtual cathode oscillator // J.Appl.Phys. 1990. V.68, №2. P. 820.
Храмов A.E. Колебания в системе связанных генераторов на виртуальном катоде виртодного типа // Радиотехника и электроника. 1999. Т. 44, №2. С. 211.
Ремпен И.С., Храмов А.Е. Управление режимами колебаний в электронном потоке со сверхкритическим током в диоде Пирса // Известия РАН, Сер. физич. 2001. Т. 65, № 12. С. 1689.
Храмов А.Е., Ремпен И.С. Влияние обратной связи на сложную динамику в гидродинамической модели диода Пирса // Радиотехника и электроника. 2002. Т. 47, № 5. С. 732.
6 Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов
Grassberger Р.. Procaccia J. On the characterisation on strange attractors // Phys.Rev.Lett. 1983. V. 50, Я° 5. P. 364.
Wolf A., Swift J., Swinney H... Vastano J. Determining Lyapunov exponents from a time series // Physica D. 1989. V. 16. P. 285.
Yagata H. Competition of the two unstable modes in the Rayleigh- Benard convection // Progr. of Theoreical Phys. 1987. V. 78. P. 282.
Рыскин H.M., Трубецков Д.И. Нелинейные электронные волны. Методы и результаты для приборов О-типа // Радиотехника и электроника. 1993. Т. 38, Я2 2. С. 193.
Соколов Д.В., Трубецков Д.И. Нелинейные волны, динамический хаос и некоторые задачи сверхвысокочастотной электроники / В сб. сб.: Проблемы физической электроники. — Л.: Изд-во ФТИ, 1986. СС. 141-179.
Зайко Ю.Н. Устойчивость нелинейных волн пространственного заряда // ЖТФ. 1989. Т. 59, № 12. С. 137.
Канавец В.И., Пикунов В.М. Нелинейные волновые и колебательные процессы в протяженных электронных потоках // Радиотехника и электроника. 1983. Т. 28, Я9 2. С. 326.
Руткевич Б.Н., Пащенко А.В., Федорченко В.Д., Муратов В.И. Нелинейные волны объемного заряда в плазменном слое // ЖТФ. 1972. Т. 42,Я^З. С. 493.
Рыскин Н.М., Трубецков Д.И. Нелинейные волны. — М.: Наука. Физматлит, 2000.
Руткевич Б.И., Пащенко А. В., Федорченко В.Д., Мазалов Ю.П. Стационарные волны в ограниченной плазме // ЖТФ. 1977. Т. 47, Я^l. С. 112.
Трубецков Д.И., Рожнев А.Г., Соколов Д.В. Лекции по сверхвысокочастотной вакуумной микроэлектронике. — Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж”, 1996.
Исаев А. В., Соколов Д.В., Трубецков Д.И. Электронные СВЧ приборы с электростатическим управлением и модуляцией эмиссии // Радиотехника и электроника. 1990. V. 35, Я911. Р. 2241.
Прист Д.Х., Шредер М.Б. Клистрод - необычно мощная лампа, потенциально пригодная для ТВ-вещания в УВЧ-диапазоне // ТИИЭР. 1982. Т. 70, Я^ 11. С. 84.
Priest D.H., Shrader М.В. A high-power klystrode with potential for space application // IEEE Trans, on El.Dev.. 1991. V. ED-38, Я910. P. 2205.
Nguen K., Warren G.D., Ludeking L., Golphen B. Analysis of 425MHz klystrode // IEEE Trans, on El.Dev.. 1991. V. ED-38, Я^ 10. P.2212.
Шарбонье Ф.М., Барбур Дж.П., Гаррет Л. Ф., Дайк В.Р. Исследование природы и прикладных свойств холодной эмиссии на СВЧ // ТИИЭР. 1963. Т. 51, № 7. С. 989.
Yokoo К., Shimawaki Н.. Ono S. Proposal of a high efficiency microwave power source using a field emission array // In: Techn. Digest on VI International Vacuum Microelectronics Conf. 1993. P. 153.
Рыскин H.M. Волновые взаимодействия в системах, содержащих электронные потоки и электромагнитные поля (нелинейные волны, модуляционная и взрывная неустойчивость). — Дисс... к.ф.- м.н. Саратов, 1996.
Григорьев А.Д. Электродинамика и техника СВЧ. — М: Высшая школа, 1990.
Рыскин Н.М. Численное моделирование клистрода на основе гидродинамических уравнений // Изв. вузов. Радиофизика. 1997. T.XL, №12. С.1511.
Шевчик В.Н. Основы электроники сверхвысоких частот. — М.: Сов. радио, 1959.
Лекция 5
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕНЕЛИНЕЙНЫХ ЯВЛЕНИЙ НА ЭВМ
И ОПТИМИЗАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ ПРОЛЕТНЫХКЛИСТРОНОВ
Каковы же преимущества и неудобства численной модели? По отношению к эксперименту численные средства имеют то неудобство, что они являются всего лишь моделями. Нужно уметь отличать ту часть результатов, которая представляет теорию, от той, которая представлена особенностями численной модели... Численная модель особенно полезна при прогнозировании мало изученных явлений в сложных системах.
К. Жаблон, Ж.-К. Симон. Применение ЭВМ для численного моделирования в физике. М.: Наука, 1983. Гл. IX.
Каскадное группирование электронного потока. Многорезонаторные клистроны. Нелинейная двумерная модель взаимодействия электронного потока с ВЧ полями в клистроне. Уравнения одномерной релятивистской теории многорезонаторного клистрона. Моделирование и оптимизация многорезонаторных релятивистских клистронов. Двумерные эффекты в многорезонаторных клистронных усилителях. Многолучевые клистроны.
Пролетные клистроны в основном конструируются как мощные и сверхмощные усилители электромагнитных колебаний сантиметрового и дециметрового диапазона. Во второй лекции рассматривалась элементарная кинематическая теория двухрезонаторного клистрона- усилителя, которая далее в третьей лекции уточнялась с учетом кулоновского взаимодействия электронов в рамках линейной теории волн пространственного заряда. Однако вышеизложенная теория позволяет говорить лишь о качественном описании процессов в клистронных усилителях, так как не учитывает целый ряд важных факторов, оказывающих существенное влияние на процессы взаимодействия электронного потока с высокочастотными полями в клистронах.
В данной лекции описывается математическая модель и результаты моделирования на ЭВМ нелинейных явлений и оптимизации параметров клистронных усилителей.
Каскадное группирование электронного потока.Многорезонаторные клистроны
Как обсуждалось во второй лекции, одним из недостатков двухрезонаторного клистрона является низкий коэффициент усиления. С этим недостатком можно бороться путем каскадного соединения двухрезонаторных клистронов, когда выходной резонатор N-ro клистрона соединяется со входным резонатором N + 1-го усилителя. Однако в этой схеме имеется ряд недостатков: 1) задействовано много резонаторов, выполняющих одинаковые функции; 2) используется много катодов — велика мощность питания. Поэтому используют многорезонаторные пролетные клистроны, в которых выходной резонатор (N — 1)-й ступени является входным для W-й ступени. В такой схеме пучок последовательно проходит через ВЧ-промежутки, разделенные пространствами дрейфа — происходит каскадная группировка (группирование электронного потока в результате последовательного и многократного воздействия на него высокочастотных полей) [1, стр. 318-352]. Схема каскадной группировки имеет ряд преимуществ.
В режиме малого сигнала существует возможность поднять коэффициент усиления. Это достигается за счет возможности сильно уменьшить мощность входного сигнала. Существует эмпирическая зависимость коэффициента усиления по мощности от числа резонаторов N:
КР = 15 + 20- (N - 2) [дБ].
Здесь необходимо заметить, что реально достижимы коэффициенты усиления порядка 40 + 60 дБ, так как с ростом коэффициента усиления растет вероятность самовозбуждения клистронного усилителя за счет паразитной обратной связи.
В режиме большого входного сигнала каскадная группировка позволяет повысить не только коэффициент усиления, но и поднять к.п.д. Для трехрезонаторного клистрона он составляет (?7е)мах ~ 72,8 %.
Именно клистроны, использующие каскадную группировку (многорезонаторные клистроны), нашли широкое применение в самых различных областях радиофизики, физики и техники как мощные и сверхмощные усилители СВЧ-колебаний сантиметрового и дециметрового диапазона. Традиционное применение их связано с системами связи, радиолокации, радионавигации, установок промышленного нагрева и сушки, ускорительной техники и т. и. Релятивистские многолучевые клистроны в настоящее время активно разрабатываются и исследуются как перспективные усилители сигналов со сверхбольшой выходной
Рис. 5.1. Пространственно-временные диаграммы движения электронов в трехрезонаторном клистроне для режима малого (а) и большого (б) входного сигнала
мощностью (до десятков и даже сотен МВт). Отметим, что клистроны, наряду с тетродами и в последнее время появившимися мощными полупроводниковыми усилителями, находят широкое применение как усилители оконечных каскадов в телевизионных передатчиках [2]. Уникальные выходные характеристики клистронов (высокий коэффициент усиления (~ 60 дБ), большой к.п.д. (~ 80 %), высокие уровни выходной мощности) делают клистрон одним из наиболее широко применяемых приборов СВЧ-электроники.
Одна из основных задач конструирования и оптимизации клистрон- ного усилителя заключается в достижении максимальной выходной мощности и к.п.д. прибора. Для получения высокой выходной мощности необходимо добиться появления достаточно большой переменной составляющей конвекционного тока в области выходного резонатора. Качественно рассмотрим как решается эта задача в многорезонаторном клистроне, для чего проанализируем процесс группирования в трехрезонаторном пролетном клистроне.
Рассмотрим случай малого входного сигнала. Пусть все резонаторы настроены на одну частоту. Построим пространственно-временную диаграмму для этого случая (рис. 5.1 а). Электронный пучок модулируется в первом резонаторе и группируется в пространстве дрейфа перед вторым резонатором. Так как частота второго резонатора равна частоте колебаний в первом, то сдвиг фаз ф между возбуждаемым на ВЧ-зазоре резонатора напряжением и возбуждающим током равен нулю. Проводимость второго резонатора активная, и электронные сгустки наводят
Рис. 5.2. Схема многорезонаторного клистрона: 1 — термокатод; 2 — фокусирующий электрод; 3 — анод; 4 — входной резонатор; 5, 8 — пространства дрейфа; 6 — второй резонатор; 7 — предпоследний резонатор; 9 — выходной резонатор; 10 — коллектор с водяным охлаждением
в нем тормозящее поле. В результате скоростная модуляция во втором резонаторе сдвинута на тг/2 (см. пространственно-временную диаграмму). Если увести резонансную частоту второго резонатора в область больших частот, то группировка улучшится, но уменьшится амплитуда вынужденных колебаний во втором резонаторе. При работе в режиме недогруппированного потока основную роль играет амплитуда модулирующего сигнала. Поэтому в режиме слабого сигнала оптимальным является режим синхронной настройки.
Если теперь рассмотреть режим большого входного сигнала, то значительная группировка наблюдается уже в первом пространстве дрейфа, и увеличивать скоростную модуляцию смысла нет. На первое место выходит проблема согласования процессов группировки в первом и втором пространстве дрейфа. Отстроим частоту второго резонатора в большую сторону относительно первого резонатора. Тогда проводимость этого резонатора имеет индуктивный характер, и возбуждаемое ВЧ-напряжение опережает по фазе ток на величину ф < тг/2 [3]. Третий резонатор имеет резонансную частоту равную частоте первого резонатора. Как видно из пространственно-временной диаграммы (рис. 5.16), все электроны, включая тех, которые были раньше «нейтральными» или имели слишком малую модуляцию, на входе в выходной резонатор собираются в один электронный сгусток за счет «догруппировки» во втором резонаторе. Первая гармоника тока достигает значения и = = 1,46/о [4] (сравните со случаем двухрезонаторного клистрона, где Ч = 1,16/q). Отсюда и рост к.п.д. системы (см. формулу (2.27)).
Схема современного многорезонаторного клистрона приведена на рис. 5.2. Электроны, эмиттируемые термокатодом 1 под действием электрического поля, распределение которого задается фокусирующим электродом 2 и анодом 3, а также под влиянием продольного фокусирующего магнитного поля, ускоряются и собираются в электронный поток с нужными размерами поперечного сечения, движущийся вдоль прибора с одинаковой для всех электронов скоростью и = vq. Проходя через фокусирующую систему, электронный поток попадает в зазор
тороидального входного резонатора 4. Электромагнитное поле входного резонатора, возбуждаемое внешним источником (элементы связи на рисунке не указаны), на основном типе колебаний распределено так, что в зазоре резонатора оказывается максимум продольной компоненты электрического поля.
Начальные каскады многорезонаторного усилительного клистрона (входной и следующие за ним резонаторы, разделенные пространствами дрейфа) настраиваются таким образом, чтобы достичь максимально возможной величины г у первой гармоники сгруппированного тока.
После модуляции пучка входным сигналом по скорости в первом ВЧ-зазоре 4 происходит группирование электронного потока по плотности в трубе дрейфа 5 и появление переменной составляющей тока. Благодаря этой составляющей происходит возбуждение второго резонатора 6, который не связан с внешними цепями («холостой» резонатор). Если клистрон работает в режиме усиления большого сигнала, то второй резонатор, в соответствии с вышесказанным, должен иметь положительную отстройку относительно рабочей частоты (т. е. его резонансная частота cjq2 больше рабочей частоты ш). Тогда второй резонатор улучшает процесс модуляции и увеличивает величину Ч первой гармоники сгруппированного тока. Последующие резонаторы также настроены таким образом, чтобы улучшить группировку электронного потока к выходному устройству.
На зазор предпоследнего резонатора 7электронный пучок приходит уже хорошо сгруппированным и соответствующая переменная составляющая тока велика. В случае необходимости обеспечения максимального к.п.д. усилителя основная задача этого предпоследнего каскада заключается в создании достаточно компактного электронного сгустка в зазоре выходного резонатора 9. А это значит, что резонатор 7 должен обеспечить достаточные сжимающие силы в электронном сгустке, противостоящие силам кулоновского расталкивания в хорошо сгруппированном пучке. Эти сжимающие силы — силы инерции — возможно увеличить только за счет увеличения модуляции электронов по скорости, т. е. увеличения напряжения на зазоре предпоследнего резонатора.
Как следует из качественного рассмотрения трехрезонаторного клистрона, это возможно добиться путем уменьшения расстройки по частоте предпоследнего резонатора по сравнению с резонаторами начальных каскадов. Длина последней трубы дрейфа 8 должна быть малой, так как силы пространственного заряда быстро уничтожают модуляционный разброс скоростей электронов потока. Последнее является и положительным эффектом, поскольку эффективность отбора энергии выходной резонансной системой повышается при уменьшении разброса по скоростям электронов сформированного сгустка. После прохождения выходного резонатора (элементы связи его с нагрузкой на рисунке не указаны) заторможенный пучок поступает на коллектор 10, который в мощных клистронах обычно имеет водяное охлаждение.
Из вышесказанного понятно, что физическая сторона процессов взаимодействия электронного потока с ВЧ-полями резонансных систем оказывается качественно сравнительно простой. Однако математическое описание нелинейных процессов в клистронах и оптимизация их параметров является достаточно сложной задачей и требует для ее решения привлечения моделирования на ЭВМ [5-8]. Это связано с целым рядом моментов, основные из которых перечислены ниже.
Из-за локального характера энергообмена электронного потока с ВЧ полями большой ампитуды в режимах с высоким к.п.д. в клистроне возможно появление обратных и колеблющихся электронов. Это требует проведения расчетов клистронов с высоким к.п.д. в системе координат (Ч, ^), где Ч — время влета сечения электронного потока в пространство взаимодействия, t — текущее время. Последнее существенно сложнее в плане численной реализации моделей, чем описание динамики электронного потока в координатах (Ч, z), где % — продольная координата. Однако при этом возможно описать не только обгоны одних электронов другими, но и отражения в потоке.
Большой коэффициент усиления в многорезонаторном клистроне приводит к тому, что незначительные ошибки и неточности в расчете начальных каскадов определяют появление больших ошибок при определении выходных характеристик прибора.
Из-за необходимости согласования поля и возбуждающего тока в протяженных зазорах резонатора оптимизация пролетного многорезонаторного клистрона с широкой полосой усиливаемых частот сводится к решению краевой задачи.
Неодномерность движения электронного потока. В мощных клистронах используются резонаторы с бессеточными зазорами. В них ВЧ-поля «провисают» к центральной части пучка. В этом случае модуляция электронного потока становится неоднородной в радиальном направлении. К другим принципиально двумерным процессам в клистроне относятся пульсация пучка и динамическая расфокусировка. При достаточно больших фокусирующих магнитных полях двумерные эффекты сводятся к расслоению электронного потока в поперечном к движению электронов направлении.
При построении нелинейной теории, которая может быть положена в основу оптимизации клистронных усилителей, необходимо учитывать такие факторы, существенно влияющие на процессы взаимодействия, как нелинейность модуляции по скорости электронов в модуляторе, реальное распределение поля в протяженных зазорах резонаторов, обратное и радиальное движение электронов, расслоение электронного потока по поперечной к направлению распространения пучка координате, конечность фокусирующего магнитного поля, релятивистские эффекты для релятивистских клистронов, нелинейные эффекты, связанные с действием сил пространственного заряда.
В следующем параграфе рассмотрена математическая модель [8], учитывающая вышеприведенные факторы. Учитывая большую важность исследования мощных релятивистских клистронов, описана модель для релятивистского электронного пучка, которая учитывает ещё и неодномерность движения электронного потока.
Нелинейная двумерная модельвзаимодействия электронного потокас ВЧ-полями в клистроне
При построении модели пролетного клистрона будем предполагать следующее: 1) электронный пучок (трубчатый или сплошной) имеет азимутально-симметричное распределение плотности тока и расположен соосно с пролетными каналами; 2) ВЧ-зазоры резонаторов клистрона имеют аксиально-симметричную структуру (профиль их может быть любой); 3) фокусирующее магнитостатическое поле азимутальносимметрично, и осевая силовая линия совпадает с осью пучка (в продольном направлении поле может быть и неоднородным). Тогда для описания процессов взаимодействия электронного потока с ВЧ-полями можно использовать двумерную модель, учитывающую азимутальную симметрию полей.
Уравнение движения электрона во внешнем электромагнитном поле без учета тормозного излучения, т. е. при скоростях и < 0,99с, имеет вид [9]
^ = -^{E + [v,B]-v(v,E)/c2},(5.1)
где т]о — удельный заряд покоящегося электрона, 7 =—
релятивистский фактор. С учетом того, что для используемых в резонаторах клистронов Е-типов колебаний компонента Е^ = 0, уравнение движения (5.1) в цилиндрической системе координат запишется так:
г - гф2 = ^Ет + гфВг - zBv - г ^гЕт + zE^ /с2} ,(5.2)
% = -^ {Ег + тВ^ - гфВг - z (rEr + zE^ /с2} .(5.3)
Полная скорость электрона и определяется в этом случае соотношением
и = у^2 + (^^)2 + £2 •(5.4)
Будем также считать, что магнитостатическое поле слабо неоднородное, поэтому при разложении радиальной и осевой составляющих индукции В0 в ряд можно ограничиться только первыми членами.
Исключим величину ф, входящую в уравнения (5.2) и (5.3). Из закона сохранения для азимутально-симметричных полей в случае
слабонеоднородного магнитостатического поля следует [10, 11], что
(5.5)(5.5). _ Го (фо - Шсо/^ 1 Шс
(5.5)
(5.5)
Ф —2' 9 ’
Г 702
где шс = еВ0 (^о)/ш7, индексом «0» отмечены начальные значения при z = zq соответствующих величин.
Высокочастотные поля в зазоре резонаторов представим в виде Е = = Не {Е0(г, z^e^1}, В = Re {B0(r, z^e^1}, где напряженность магнитного поля определяется из уравнения Максвелла rotE = —JcjB. Учитывая, что Е^ = 0 и dE^fd^ = 0, находим
ВВ_ Д__ Д_ЭЕ, _ ЭЕДдг Эх )ЭЕ, _ ЭЕДдг Эх )(5-6)(5-6)
В
В
_ Д_
_ Д_
ЭЕ, _ ЭЕДдг Эх )
ЭЕ, _ ЭЕДдг Эх )
(5-6)
(5-6)
Учтем влияние пространственного заряда электронного потока, переходя от движущейся со скоростью электронного потока системы координат к неподвижной (лабораторной) системе. В подвижной системе координат кулоновские поля являются чисто электрическими Ер. При переходе к неподвижной системе координат электрические и магнитные поля преобразуются в соответствии с преобразованиями Лоренца [9]:
(5-7)(5-7)рр _ р/Р вр _ ВФ
(5-7)
(5-7)
Е^ = 7 (Е'±р - [v, В'Д) , В^ = 7 (В7 - [v, Е^] /с2) ,
где штрихом отмечены поля пространственного заряда Ер и Вр в подвижной системе координат. Здесь также следует учесть, что продольные отрезки при переходе из движущейся системы координат в неподвижную пересчитываются по формуле ^z = ^^z*.
В нашем случае составляющие поля пространственного заряда запишутся в виде:
^=0.
В'" = 0,
Е^ = Е'р,
B^^^E'J-zE^/c2,(5.8)
Е? = чЕ';,
ВР = ^гфЕ7/с2,
т. е. поля пространственного заряда в двумерном релятивистском случае кроме Ер и Ер содержат азимутальную В^ и радиальную Вр составляющие магнитного поля.
Статическую составляющую собственного магнитного поля В90 электронного потока можно найти из закона Био-Савара-Лапласа. Для случая трубчатого электронного пучка статическое магнитное поле имеет только азимутальную составляющую В^, вид которой приведен, например, в монографии [8, стр. 92].
Рис. 5.3. Модель электронного потока в виде «крупных частиц» (концентрических колец) в цилиндрической системе координат (г, г, у?). Серым цветом выделена г-я частица j-ro слоя
Компоненты осесимметричного слабонерегулярного фокусирующего магнитостатического поля В0 = tqB^ + zqB^ могут быть записаны в виде
в^вм вг = ~г^^- (5-9)
Полное магнитное поле, действующее на электрон, складывается из фокусирующего поля (5.9), из переменного магнитного поля зазора резонатора (5.6) и магнитного поля движущихся электронов пучка (5.8).
Для нахождения тока пучка применим метод крупных частиц [12]. В предположении аксиальной симметрии системы представим электронный поток совокупностью концентрических заряженных колец (см. рис. 5.3; на нём показано распределение крупных частиц (колец) в расчетной области), которые характеризуются в цилиндрической системе координат составляющими скорости vz, vr, v^, координатами г, г, а также внутренним г и внешним R радиусами. Заряд dq равномерно распределен по объему кольца. Такое представление электронного потока означает, что на все электроны в кольце с координатой % и соответственно с внутреним и внешним радиусами г и R действует одно и то же электромагнитное поле, усредненное по объему частицы. Тогда все электроны, принадлежащие данной крупной частице (кольцу), движутся одинаково.
Вдоль длины пространства взаимодействия в потоке выделяют М^ частиц (Mz Е Z\ Весь объем трубчатого электронного потока с внутренним гь и внешним радиусом Rb разбивается на Мт слоев (Mr Е Е Z\ Таким образом электронный поток моделируется всего М^ х х Мг частицами, каждая из которых характеризуется продольным г и радиальным j номером (г = 1, . . ., MZ) 7 = 1, . . ., Мг).
Введем новые безразмерные переменные 2тГ212тГГa w А ,
АеАеVq
(5.10)(5.10)Р=", шМ=6_М^ ф(ж) = ^,р с’ v 7 mv 7 ш ’
(5.10)
(5.10)
Ф0(ж) = —, фх(ж) = £^М, р=^ штош
где ио — начальная продольная скорость электронного потока.
В новых переменных величина v = v /vo, имеющая смысл относительной скорости электронов, с учетом закона сохранения (5.5) и соотношения (5.4) запишется как
(5.11)(5.11)/ F1 + Е2
(5.11)
(5.11)
V 1 + ^0^1 ’
где Fy — 7о^/о(^ - ^о/^/у + 2/Ф1/2, F^ — (^) + (^) •
Тогда с учетом выражения (5.11) уравнения движения частиц (5.2) и (5.3) в безразмерном виде принимают вид:
^ = -//о (^/73 + №/7) /^о - Ло^^ + Чо^ Вг, (5.12)
^ = V “ ^о ^Е*/^ + №1^ Ио - % Д В, + Чо J-^BV.
2(5.13)
Здесь введены обозначения ^ = ^^^17- ^^ + ^, /2 = ^o^f ^^ /з = 1 + ^ (^0 * Релятивистский фактор в переменных (5.10) запи- сыватся следующим образом:
Уравнение возбуждения (1.53) n-го резонатора клистрона на заданном s-виде колебаний периодическими во времени источниками в переменных (5.10) записываются так:
En = AsnEsn(r)eje,
AsnAsnтг (о;2 - ш^ Nsnтг (о;2 - ш^ Nsn2тгI d91 jCTE: av,О V2тгI d91 jCTE: av,О V(5.14)(5.14)
Asn
Asn
тг (о;2 - ш^ Nsn
тг (о;2 - ш^ Nsn
2тг
I d91 jCTE: av,
О V
2тг
I d91 jCTE: av,
О V
(5.14)
(5.14)
где wsu = с^'п(1 + з/2Qsn) и Qsn — соответственно комплексная частота и нагруженная добротность s-ro типа колебаний в TV-м резонаторе,
jCT — плотность тока сторонних возбуждающих источников. Далее индекс «а» будем опускать.
Полагая, что все резонаторы клистрона высокодобротные, т. е. 1/Qn ^ 1 или фп = 2 (шп — ш) /шп ^ 1, и используя закон сохранения заряда для многослойной модели электронного пучка [10], получаем уравнение возбуждения резонатора в виде
^п = Аап + з Аттг =
где /oj — ток 7-го элементарного слоя, O^j^ e^j — соответственно фазы влета и вылета г-й крупной частицы слоя с номером j в зазоре п-го резонатора.
Высокочастотные поля в зазоре резонаторов в безразмерных переменных (5.10) запишутся в виде соотношений
Е, = — 2(70 ~ т) ZE^r, z^6,
По Й.
, х(5-16)
Ег = — 2(70 „ ^ ZE^r, z)eie.
По7
Здесь величина Z = Za + ]Zr =Vm — комплексная амплитуда
2 си Vod
ВЧ-напряжения на зазоре резонатора, Vo — ускоряющее напряжение, d — ширина ВЧ-зазора, E°(r, z) — распределение напряженности электрического поля в зазоре резонатора.
С учетом соотношений (5.16) уравнение возбуждения n-го резонатора в безразмерном виде примет вид:
dZan + jZrn _ KnQk 1 + jфnQnх
d9 ~ lXd/af l^nQnf МтМг
j=li = lj=li = ld^ij ppOd^ij ppOdyi,j rpO de rndyi,j rpO de rn
j=li = l
j=li = l
d^ij ppO
d^ij ppO
dyi,j rpO de rn
dyi,j rpO de rn
// T)o Io
где w = topjto^ top = a —-—2— — плазменная частота электронного у TTSoCL Vo
потока, Kn — волновое сопротивление резонатора.
Составляющие электрического поля крупной частицы с зарядом dq запишем следующим образом:
Е^ =E^z, ту ЕР =E^z, ту (5.18) L'KSoaZtteocl
где а — радиус проводящего экрана трубы дрейфа. Воспользовавшись введенными переменными (5.10), перепишем выражения (5.18) в виде
_ тгшго^2 Sj ЭФ т)оМгХе 8 9г1_ тгшго^2 Sj ЭФ т)оМгХе 8 9г1(5.19)(5.19)ppp _ тгшоото2 Sj [ЭФ
_ тгшго^2 Sj ЭФ т)оМгХе 8 9г1
_ тгшго^2 Sj ЭФ т)оМгХе 8 9г1
(5.19)
(5.19)
г - рмРГ "У7 аР
где распределения полей заряженной частицы (5.18) представлены через распределение потенциала Ф поля заряженной частицы:
ЭФOZЭФOZЭФ Е^^ — . ОТ
ЭФ
OZ
ЭФ
OZ
Здесь знак «штрих» у символа 7 означает принадлежность данной величины частице-источнику.
В формуле (5.19) также использованы следующие обозначения: S — полная площадь поперечного сечения пучка, Sj — площадь сечения )-го слоя, М^х — число крупных частиц на одну электронную длину волну Хе. 6
Магнитные поля, определяемые соотношениями (5.6), (5.8) и (5.9), в нормированных переменных выражаются следующим образом:
2 4о 7 ’ г 240 7о dx'2 4о 7 ’ г 240 7о dx'(5.20)(5.20)
2 4о 7 ’ г 240 7о dx'
2 4о 7 ’ г 240 7о dx'
(5.20)
(5.20)
о _ шо 2(701) / у ■ а I у ГОс Д') ( ®®zV " 40 УаЙ °9 Т 9’ VKr!^о _ шо 2(701) / у ■ а I у ГОс Д') ( ®®zV " 40 УаЙ °9 Т 9’ VKr!^ЭЕ® \d(z/a)/ ’ЭЕ® \d(z/a)/ ’(5.21)(5.21)2 /э2пр =7^ Роро мг2 /э2пр =7^ Роро мг^->Ша.(5-22)\ CLU CLU /х7 к—1^->Ша.(5-22)\ CLU CLU /х7 к—1Статическая составляющая собственного магнитного поля электронного потока в безразмерных координатах в случае крупной частицы в виде заряженного кольца имеет видСтатическая составляющая собственного магнитного поля электронного потока в безразмерных координатах в случае крупной частицы в виде заряженного кольца имеет видррО _ Ш0 ТО^Ро^Уз^аВ^ "^ 2у^"ррО _ Ш0 ТО^Ро^Уз^аВ^ "^ 2у^"(5.23)(5.23)Здесь уа = Чтга/Хе, Ду,- = (у2 - у2,-) (у^ - у^), уи, у2, — соответственно внутренний и внешний нормированный радиус кольца крупной частицы )-го слоя в электронном потоке.Учитывая соотношения (5.19), (5.20)-(5.23) уравнения движения крупной частицы с номером г из )-го слоя в n-м резонаторе в безразмерных переменных (5.10) окончательно запишутся в следующем виде:Здесь уа = Чтга/Хе, Ду,- = (у2 - у2,-) (у^ - у^), уи, у2, — соответственно внутренний и внешний нормированный радиус кольца крупной частицы )-го слоя в электронном потоке.Учитывая соотношения (5.19), (5.20)-(5.23) уравнения движения крупной частицы с номером г из )-го слоя в n-м резонаторе в безразмерных переменных (5.10) окончательно запишутся в следующем виде:> = -^ Аа cos 6 - ZnT sin У) <E»J^ - /2г,E°rn) + Po^tj> = -^ Аа cos 6 - ZnT sin У) <E»J^ - /2г,E°rn) + Po^tj
о _ шо 2(701) / у ■ а I у ГОс Д') ( ®®z
V " 40 УаЙ °9 Т 9’ VKr!^
о _ шо 2(701) / у ■ а I у ГОс Д') ( ®®z
V " 40 УаЙ °9 Т 9’ VKr!^
ЭЕ® \d(z/a)/ ’
ЭЕ® \d(z/a)/ ’
(5.21)
(5.21)
2 /э2
пр =7^ Ро
ро мг
2 /э2
пр =7^ Ро
ро мг
^->Ша.(5-22)
\ CLU CLU /
х7 к—1
^->Ша.(5-22)
\ CLU CLU /
х7 к—1
Статическая составляющая собственного магнитного поля электронного потока в безразмерных координатах в случае крупной частицы в виде заряженного кольца имеет вид
Статическая составляющая собственного магнитного поля электронного потока в безразмерных координатах в случае крупной частицы в виде заряженного кольца имеет вид
ррО _ Ш0 ТО^Ро^Уз^а
В^ "^ 2у^"
ррО _ Ш0 ТО^Ро^Уз^а
В^ "^ 2у^"
(5.23)
(5.23)
Здесь уа = Чтга/Хе, Ду,- = (у2 - у2,-) (у^ - у^), уи, у2, — соответственно внутренний и внешний нормированный радиус кольца крупной частицы )-го слоя в электронном потоке.
Учитывая соотношения (5.19), (5.20)-(5.23) уравнения движения крупной частицы с номером г из )-го слоя в n-м резонаторе в безразмерных переменных (5.10) окончательно запишутся в следующем виде:
Здесь уа = Чтга/Хе, Ду,- = (у2 - у2,-) (у^ - у^), уи, у2, — соответственно внутренний и внешний нормированный радиус кольца крупной частицы )-го слоя в электронном потоке.
Учитывая соотношения (5.19), (5.20)-(5.23) уравнения движения крупной частицы с номером г из )-го слоя в n-м резонаторе в безразмерных переменных (5.10) окончательно запишутся в следующем виде:
> = -^ Аа cos 6 - ZnT sin У) <E»J^ - /2г,E°rn) + Po^tj
> = -^ Аа cos 6 - ZnT sin У) <E»J^ - /2г,E°rn) + Po^tj
2 мт и,r k=ll=l,l^i2 мт и,r k=ll=l,l^i7o — 1 dytj ЗоЧчУа dO7o — 1 dytj ЗоЧчУа dOx (Zj.a sin 9 + ZkT cos 9)x (Zj.a sin 9 + ZkT cos 9)ЭЕ^ид(г/а)ЭЕ^ид(г/а)MAd(z/a)/MAd(z/a)/dyij w2po d9 ЪзМтМгdyij w2po d9 ЪзМтМг
2 мт и,
r k=ll=l,l^i
2 мт и,
r k=ll=l,l^i
7o — 1 dytj ЗоЧчУа dO
7o — 1 dytj ЗоЧчУа dO
x (Zj.a sin 9 + ZkT cos 9)
x (Zj.a sin 9 + ZkT cos 9)
ЭЕ^ид(г/а)
ЭЕ^ид(г/а)
MA
d(z/a)/
MA
d(z/a)/
dyij w2po d9 ЪзМтМг
dyij w2po d9 ЪзМтМг
V Sk (dy^ up^хч UP \f Уч ^
S^i V d9 ^kl d9 rklИгз 2 dx,3
k=i 1=1^' x
2 n2 Ml ^ Po V2 n2 Ml ^ Po Vm,m,MrM,MrM,k = l l—XI^ik = l l—XI^i^ ^ !«,!*.(6.24)^ ^ !«,!*.(6.24)
2 n2 Ml ^ Po V
2 n2 Ml ^ Po V
m,
m,
MrM,
MrM,
k = l l—XI^i
k = l l—XI^i
^ ^ !«,!*.(6.24)
^ ^ !«,!*.(6.24)
T = ^~ ^(z-cos6-z^sin^ U^eL -ЬцЕ»р + сШ yij РоЧч
^L E ^(М^/-М^,)-М-ф +
70 — 1 dxij Зй^гзУа d970 — 1 dxij Зй^гзУа d9(Zka sin 9 + Zkr cos 9)(Zka sin 9 + Zkr cos 9)d{r/a)d{r/a)dxjj w^Podxjj w^Pod9 ^gMrMzd9 ^gMrMz^ s^kl \ de zkl de rkl k=ll=l,l^i ' x^ s^kl \ de zkl de rkl k=ll=l,l^i ' x(5.25)(5.25)
70 — 1 dxij Зй^гзУа d9
70 — 1 dxij Зй^гзУа d9
(Zka sin 9 + Zkr cos 9)
(Zka sin 9 + Zkr cos 9)
d{r/a)
d{r/a)
dxjj w^Po
dxjj w^Po
d9 ^gMrMz
d9 ^gMrMz
^ s^kl \ de zkl de rkl k=ll=l,l^i ' x
^ s^kl \ de zkl de rkl k=ll=l,l^i ' x
(5.25)
(5.25)
формулеформулемТ м.Чеп —-.7о-1мТ м.Чеп —-.7о-1(5.26)(5.26)
формуле
формуле
мТ м.
Чеп —-.
7о-1
мТ м.
Чеп —-.
7о-1
(5.26)
(5.26)
либо по формуле
Леп — ReЛеп — ReZnPo2о72(7о - 1)ZnPo2о72(7о - 1)Qк кРо 1 т jфnQn1ШИ 1 + (М„)2Qк кРо 1 т jфnQn1ШИ 1 + (М„)2(5-27)(5-27)
Леп — Re
Леп — Re
ZnPo
2о72(7о - 1)
ZnPo
2о72(7о - 1)
Qк кРо 1 т jфnQn
1ШИ 1 + (М„)2
Qк кРо 1 т jфnQn
1ШИ 1 + (М„)2
(5-27)
(5-27)
где (•)* означает комплексное сопряжение. Сравнение величин к.п.д., расчитываемых по формулам (5.26) и (5.27), дает критерий оценки погрешности численного моделирования процессов в клистроне.
Уравнения одномерной релятивистской теориимногорезонаторного клистрона
Выведенные в предыдущем параграфе уравнения двумерной нелинейной релятивистской модели многорезонаторного клистрона описывают в предположении аксиальной симметрии высокочастотных и фокусирующих полей нелинейные процессы группирования релятивистского электронного пучка при каскадном взаимодействии с ВЧ-элек- тромагнитными полями и полем пространственного заряда. Эта модель позволяет также детально исследовать такие двумерные эффекты, как расслоение, перемешивание слоев с различными радиусами, пульсации электронного пучка. Вместе с тем, уравнения (5.17), (5.24) и (5.25) являются достаточно громоздкими и сложными для использования на начальном этапе решения задачи оптимизации клистронного усилителя. Ряд существенных нелинейных эффектов может быть описан в рамках более простой и наглядной одномерной теории. Поэтому целесообразно использовать одномерные модели, обеспечивающие существенно меньшую трудоемкость расчетов, и лишь затем применять двумерную модель для уточнения полученных результатов.
Переход к одномерной модели формально можно осуществить, положив
^ = О-(5.28)
а и
Тогда система уравнений (5.24), (5.25) и (5.17) будет описывать модель электронного потока с расслоением. Такая модель, предполагающая наличие фокусирующего магнитного поля с бесконечно большой напряженностью, позволяет учесть различие в группировании электронов по сечению. В этом случае электронный пучок в поперечном сечении делится на МТ слоев, радиус которых в процессе взаимодействия не изменяется, а в продольном направлении динамика слоев различна. Модель с расслоением позволяет исследовать группировку в случае,
когда поле в ВЧ-зазоре резонатора неоднородно по радиусу. Особенно существенно это для резонаторов с бессеточными зазорами, которые применяются в мощных клистронах х). Высокочастотные поля таких зазоров «провисают» к центральной части пучка [5]. В результате возникающее различие в группировании отдельных слоев приводит к увеличению разброса скоростей электронов и уменьшению величины первой гармоники сгруппированного тока zi, что уменьшает к.п.д. клистрона. На основе исследования моделей с расслоением были разработаны специальные меры по компенсации этих эффектов [5] ).
Простейшей одномерной моделью является однослойная модель, в которой предполагается, что Мт = 1. При этом предположении и условии (5.28) система уравнений движения (5.24), (5.25) и возбуждения (5.17) переходит в следующую:
=£ Е^,(5.29)
dZndZnKnQk 1+jфnQn120(d/a)2 ЖМ<УKnQk 1+jфnQn120(d/a)2 ЖМ<У^УоОо - 1) у4' гО -30mz 2_^ до znг = 1^УоОо - 1) у4' гО -30mz 2_^ до znг = 1(5.30)(5.30)
dZn
dZn
KnQk 1+jфnQn
120(d/a)2 ЖМ<У
KnQk 1+jфnQn
120(d/a)2 ЖМ<У
^УоОо - 1) у4' гО -30
mz 2_^ до zn
г = 1
^УоОо - 1) у4' гО -30
mz 2_^ до zn
г = 1
(5.30)
(5.30)
/ч2\-Х/2
1г — I 1 I*
Для заряженной частицы в форме кольца, усредняя поле по радиусу на интервале [п, Яф для напряженности поля пространственного заряда можно получить выражение [8]
Ezni = ^В^ ехР8 = 1Ezni = ^В^ ехР8 = 1(5.31)(5.31)
Ezni = ^В^ ехР
8 = 1
Ezni = ^В^ ехР
8 = 1
(5.31)
(5.31)
Здесь
В8 = 2^\ ЫМуРуР - шМ^шМ
-yovs Ji^s)
(все обозначения совпадают с обозначениями в предыдущем параграфе).
В следующем параграфе рассмотрены результаты оптимизации восьмирезонаторного релятивистского клистрона с помощью сформулированной одномерной однослойной модели.
Моделирование и оптимизация многорезонаторныхрелятивистских клистронов
Рассмотрим результаты оптимизации с помощью одномерной модели (5.29)—(5.31) восьмирезонаторного слаборелятивистского клистрона при следующих заданных величинах d/a = 2,2, уа = ‘Ina, Хе = 0,616, Уо = hia/Xe = 0,36, Vq = 6 кВ (^о = 0,152) и различных значениях плотности пространственного заряда w = wp( ш.
На рис. 5.4« приведены зависимости максимального к.п.д. кли
стронов от параметра пространственного заряда w при различном числе резонаторов. Как следует из рисунка, в восьмирезонаторной
схеме клистрона (сплошная линия) высокое значение к.п.д. достигается при малых значениях w (ту = 0,903). С увеличением плотности тока величина к.п.д. монотонно понижатся. Для выяснения причин этого проанализируем зависимости скоростной модуляции щ и фазовой группировки Xi на входе выходного каскада для случаев w = 0,186 (кривая 1 на рис. 5.5) и ш = 0,286 (кривая 2 на рис. 5.5). Из сравнения зависимостей видно, что с увеличением величины w группировка в оптимальном режиме ухудшается, а требуемая для поддержания плотного электронного сгустка скоростная модуляция возрастает. Это требует повышения ВЧ-напряжения на зазорах резонаторов промежуточных каскадов, одновременно с этим увеличением необходимо сохранять оптимальным сдвиг фаз ф между током и напряжением на зазорах.
Следует обратить внимание на распределение оптимальных расстроек резонаторов промежуточных каскадов клистрона. В по-
Рис. 5.4. Зависимость максимального к.п.д. от параметра пространственного заряда (а)(сплошная линия соответствует восьмирезонаторному клистрону, штриховая — шестирезонаторному клистрону) и от ширины ВЧ-зазора выходного резонатора восьмирезонаторного клистрона (б) (построено по данным, приведенным в [8])Рис. 5.4. Зависимость максимального к.п.д. от параметра пространственного заряда (а)(сплошная линия соответствует восьмирезонаторному клистрону, штриховая — шестирезонаторному клистрону) и от ширины ВЧ-зазора выходного резонатора восьмирезонаторного клистрона (б) (построено по данным, приведенным в [8])следних резонаторах расстройки в оптимальном по к.п.д. режиме монотонно понижаются (т. е. функция расстройки ф(п) является убывающей с увеличением номера каскада п), что обеспечивает наилучшее распре-
Рис. 5.4. Зависимость максимального к.п.д. от параметра пространственного заряда (а)(сплошная линия соответствует восьмирезонаторному клистрону, штриховая — шестирезонаторному клистрону) и от ширины ВЧ-зазора выходного резонатора восьмирезонаторного клистрона (б) (построено по данным, приведенным в [8])
Рис. 5.4. Зависимость максимального к.п.д. от параметра пространственного заряда (а)(сплошная линия соответствует восьмирезонаторному клистрону, штриховая — шестирезонаторному клистрону) и от ширины ВЧ-зазора выходного резонатора восьмирезонаторного клистрона (б) (построено по данным, приведенным в [8])
Рис. 5.5. Зависимости скоростной модуляции Ui и фазовой группировки Xi для восьмирезонаторного оптимизированного по к.п.д. клистрона при w = 0,186 (1) и w = 0,286 (2) (из работы [8])Рис. 5.5. Зависимости скоростной модуляции Ui и фазовой группировки Xi для восьмирезонаторного оптимизированного по к.п.д. клистрона при w = 0,186 (1) и w = 0,286 (2) (из работы [8])деление ВЧ-напряжений в зазорах и, в итоге, наилучшую группировку электронного потока.
Рис. 5.5. Зависимости скоростной модуляции Ui и фазовой группировки Xi для восьмирезонаторного оптимизированного по к.п.д. клистрона при w = 0,186 (1) и w = 0,286 (2) (из работы [8])
Рис. 5.5. Зависимости скоростной модуляции Ui и фазовой группировки Xi для восьмирезонаторного оптимизированного по к.п.д. клистрона при w = 0,186 (1) и w = 0,286 (2) (из работы [8])
Заметим также, что к.п.д. восьмирезонаторного клистрона существенно выше, чем к.п.д. шестирезонаторного клистрона (штриховая линия на рис. 5.4«). Это связано с тем, что с увеличением числа резонаторов удается повысить качество группирования и модуляции по сравнению с шестирезонаторной схемой.
На рис. 5.45 приведена зависимость максимального к.п.д. от ширины dja ВЧ-зазора выходного резонатора при w = 0,1 и шириной di^7/а = 2,2 ВЧ-зазоров резонаторов промежуточных каскадов. Из рисунка видно, что с увеличением ширины зазора до величины djа to 2,2 несколько снижается к.п.д. клистронного усилителя (примерно на 2%). При дальнейшем увеличении ширины зазора (при d/a > 3,2) энергообмен между пучком и ВЧ-полем приобретает знакопеременный характер (электронный сгусток входит в зазор
в конце ускоряющей фазы). Догруппировка электронного сгустка в выходном сгустке ухудшается, в результате чего ^тах заметно понижается. Анализ физических процессов при увеличении ширины зазора показывает, что при этом наблюдаются следующие явления, сопровождающие отбор энергии от электронного сгустка.
Непосредственно в области ВЧ-зазора (области энергообмена) при всех величинах ширины зазора dja наблюдается догруппировка электронного потока и одновременное выравнивание скоростей, однако при больших значениях dja они выражены слабее из-за большого угла пролета.
На выходе ВЧ-зазора сильно заторможенные электроны вновь ускоряются, что имеет место в зазоре любой ширины и, соответственно, несколько снижается электронный к.п.д.
С увеличением ширины зазора выходного резонатора имеет место рост оптимальной амплитуды ВЧ-напряжения в нем. Это связано с тем, что с ростом угла пролета электронов через зазор эффективное напряжение, действующее на них, понижается, что и требует повышения амплитуды ВЧ-напряжения для сохранения эффективности энергообмена.
Рассмотрим теперь, что изменяется в физике взаимодействия электронного потока с ВЧ-полями в клистронном усилителе в случае сильного релятивизма. В работах [16,8] рассматривается оптимизированный по к.п.д. восьмирезонаторный релятивистский клистрон. При моделировании при ряде заданных параметров (основные из которых ток пучка, ускоряющее напряжение, геометрические размеры) определялись оптимальные параметры расстройки фП) нагруженные добротности Qn и амплитуды ВЧ-напряжения на зазоре каждого из восьми резонаторов, а также оптимальные длины труб дрейфа 1п между резонаторами , при которых достигается максимальный к.п.д. релятивистского клистрон- ного усилителя.
Для клистрона с током пучка /о = 10 А, рабочей длиной волны А = = 12 см, радиусом трубы дрейфа а = 0,8 см, d/a = 2, Ку^ = 100 Ом, К§ = 150 Ом и ускоряющим напряжением Vo = 500 кВ (До = 0,863) максимальный к.п.д. составил Т]е = 0,894 при коэффициенте усиления G = 61 дБ.
Для клистрона с ускоряющим напряжением Vo = 1000 кВ (До = = 0,941) были выбраны параметры /0 = 50 А, А = 12 см, а = 1,0 см, d/a = 2, Ki^7 = ЮО Ом, Кв = 150 Ом. При них т)е = 0,864, G = 59,5 дБ. Оптимизация клистрона с теми же параметрами и с ускоряющим напряжением Vq = 1500 кВ (До = 0,967) предсказывает к.п.д. т]е = 0,836 и коэффициент усиления G = 63,4 дБ.
Анализ скоростной модуляции показывает, что она очень мала по сравнению со слаборелятивистским случаем, который рассматривался выше. Так в последней трубе дрейфа максимальное отклонение скорости электронов от среднего значения не превышает 4%, в то время как в клистроне с ускоряющим напряжением Vo = 50 кВ максимальное отклонение скорости электронов от средней достигает 18 % при близких амплитудах ВЧ-напряжения на зазоре предпоследнего резонатора в сильнорелятивистском и слаборелятивистском случаях. Малую глубину скоростной модуляции приходится компенсировать существенным увеличением длин труб дрейфа релятивистских клистронов.
В релятивистских клистронах изменяется и характер энергообмена между электронным сгустком и ВЧ-полем в выходном резонаторе. Энергоотбор происходит в основном не за счет изменения скорости электронов, а за счет изменения их массы при торможении в резонаторе. Если в слаборелятивистском клистроне минимальные скорости электронов находятся в пределах 0,1 4- 0,3 от средней, то в релятивистском клистроне их значение лежит в пределах 0,5 4- 0,8.
При величине ширины зазора выходного резонатора d/a = 2 величина напряженности ВЧ-поля в выходном зазоре в случае Vo = 500 кВ имеет величину 312 кВ/см, в случае Vo = 1000 кВ — 500 кВ/см, в случае Vq = 1500 кВ — 750 кВ/см. Эти значения приближаются к пробивным напряжениям для вакуума [17], которые составляют величины ^пробоя = 200 4- 1000 кВ/см и зависят от материала, качества обработки
Рис. 5.6. Зависимости поперечных скоростей от продольной координаты (четыре последних каскада) для центров масс крупных частиц в слаборелятивистском клистроне для внешнего (а) и внутреннего (б) слоев. Вертикальными линиями отмечены центры зазоров резонаторов 5-8 (из работы [13])
и формы поверхности и т. д. Поэтому важным представляется оптимизация схем клистронов с увеличенной шириной ВЧ-зазоров последних каскадов. Другим способом решения данной проблемы является применение распределенного отбирателя энергии типа отрезка замедляющей системы (схема твистрона) [18]. Такие отбиратели энергии достаточно высокоэффективны, поэтому можно ожидать незначительное снижение к.п.д. усилителя в этом случае по сравнению с однозазорным выходным резонатором.
Двумерные эффекты в многорезонаторныхклистронных усилителях
Рассмотрим, следуя работе [13], принципиально двумерные эффекты в слаборелятивистском клистроне со следующими основными параметрами: d/a = 2,2, уа = 0,616, /С14-8 = 76 0м, Vo = 6 кВ (До = 0,152), w = 0,1. Электронный к.п.д., рассчитанный в рамках одномерной модели, равен уе = 0,89.
Использование двумерной модели (5.17), (5.24) и (5.25) с числом частиц М2 = 16 на одну электронную длину волны Ае, числом слоев в поперечном направлении Мт = 3 и параметром фокусирующего магнитного поля Ф = 1 приводит к уменьшению к.п.д. до значения Т!е = = 0,83, т. е. учет двумерных эффектов понижает расчетный к.п.д. на 6%.
На рис. 5.6 представлены зависимости поперечных скоростей 'u^j от продольной координаты х центров масс крупных частиц, принадлежащих слоям с з = 1 (внутренний слой; рис. б) и j = 3 (внешний
Рис. 5.7. Траектории центров масс крупных частиц в координатах (х^у) в слаборелятивистском клистроне всех трех слоев. Вертикальными линиями отмечены центры зазоров резонаторов 5-8, горизонтальная штриховая линия соответствует внутренней границе трубы дрейфа с радиусом уа = 0,616 (из работы [13])
слой; рис. а). Как видно из рисунка, до седьмого резонатора пульсации скорости имеют практически статический характер, причем амплитуда этих пульсаций существенно больше во внутренних слоях электронного потока. Модуляция в седьмом резонаторе приводит к появлению динамических пульсаций (поперечного колебательного движения основной массы электронов, вызванного воздействием ВЧ-полей зазора резонатора и пространственного заряда), амплитуда которых увеличивается, а период уменьшается. Из рис. 5.7, на котором представлены траектории центров масс крупных частиц, видно, что имеет место частичное перемешивание всех слоев. После седьмого резонатора за счет роста пульсаций пучок расширяется. Расширение пучка можно оценить, используя интеграл движения граничного электрона для случая аксиальной симметрии [10]
Tq — r^ = const,(5.32)
где го — радиус ведущего центра электронной орбиты, тс — радиус циклотронного вращения, определяемый поперечной скоростью u_l электронов (rc = ti^IwcY Таким образом, как следует из соотношения (5.32), за счет действия радиального электрического и магнитного полей резонатора возрастает не только радиус вращения гс, но и радиус ведущего центра го, т. е. пучок расширяется быстрее, чем растет величина Г с-
Рис. 5.7 позволяет также проанализировать процесс токооседания на стенки трубы дрейфа. Токооседание имеет место в области зазора выходного резонатора, причем на стенку трубы дрейфа выходят электроны как внешних, так и средних слоев. Всего оседает около 12 % электронов. Токооседание может быть предотвращено за счет увеличения радиуса выходной трубы дрейфа при том же значении фокусирующего магнитного поля Ф, при этом к.п.д. прибора уменьшается всего на 3 %.
Моделирование физических процессов в клистронном усилителе в случае слабого релятивизма с помощью нелинейной двумерной модели с тремя слоями (Мг = 3) выявило также следующие эффекты.
Из-за лучшей модуляции наиболее быстро вдоль пространства дрейфа группировка электронов происходит во внешних слоях, однако, после прохождения седьмого резонатора группировка во всех слоях выравнивается.
Если рассчитать электронный к.п.д. отдельно для каждого слоя ijej, то наибольший к.п.д. соответствует внешнему слою T]jMr = 0,89.
Наблюдается энергообмен между слоями через электрическое поле пространственного заряда. Внешний слой несколько ускоряется за счет торможения внутреннего. Данный эффект невелик — к.п.д. такого энергообмена мал и составляет 14-2% (очевидно, что средний по слоям к.п.д. такого энергообмена равен нулю).
Рассмотрим теперь, как влияет переход к сильнорелятивистским электронным пучкам на двумерные эффекты. В работе [13] исследовался релятивистский двенадцатирезонаторный клистрон с ускоряющим напряжением Vo = 1000 кВ, током /о = 250 А и фокусирующим магнитным полем Ф = 8,5. Резонаторы, в которых отбирается энергия от пучка (нагруженные резонаторы), располагались в восьмом, десятом и двеннадцатом каскадах. В промежуточных девятом и одиннадцатом каскадах находились холостые резонаторы с достаточно большой расстройкой, которые предназначались для осуществления промежуточной догруппировки в потоке и выравнивания скоростей электронов, что важно для повышения эффективности энергообмена в многорезонаторном выходном каскаде.
Как и в предыдущем случае число слоев в электронном потоке было выбрано Мт = 3 и число частиц в продольном направлении на длине Хе равно Mz = 16.
На рис. 5.8 приведены траектории центров масс крупных частиц для всех трех слоев. Видно, что при большом фокусирующем магнитном поле (Ф = 8,5) токооседание отсутствует. Статические пульсации пучка малы, радиальные составляющие скорости электронов, обуславливающие динамические пульсации, появляются под воздействием поперечных электрических и магнитных полей ВЧ-зазора шестого и особенно седьмого резонаторов. Динамические пульсации резко возрастают после прохождения девятого и одиннадцатого холостого резонатора, где поперечные скорости внешнего слоя достигают величин порядка (0,4 4- 0,6)До- Вследствие этого пучок имеет значительные пульсации в области выходных резонаторов. Сильная поперечная модуляция электронного потока связана с тем, что основная энергия электронов связана с продольной скоростью иz, и для их торможения в зазорах выходных резонаторов необходимо поле высокой напряженности. Радиальные
Рис. 5.8. Траектории центров масс заряженных колец для трех слоев с различными радиусами в шести последних каскадах в релятивистском двенадцати резонаторном клистроне. Вертикальными линиями отмечены центры зазоров резонаторов 7-12, горизонтальная штриховая линия соответствует внутренней границе трубы дрейфа с радиусом уа = 0,836 (из работы [13])
компоненты этого поля и обеспечивают высокий уровень ускорения «поперечно-нерелятивистского» электрона.
Влияние двумерных эффектов на к.п.д. в данной схеме релятивистского клистрона мало. Так, для таких же параметров результаты расчета по одномерной однослойной модели дают значение к.п.д. тц. = 0,795, а двумерная модель предсказывает величину т]е = 0,765. Это связано, в первую очередь, с высоким значением фокусирующего магнитного поля и спецификой отбора энергии у электронов в релятивистском случае. Высокие к.п.д. достигаются при относительно небольшом изменении средней скорости электронного потока, и поэтому преобразование продольной скорости в поперечную не оказывает существенного влияния на общем энергообмене.
В конце обсуждения физических процессов в многорезонаторных клистронах заметим, что влияние пространственного заряда в сверхмощных релятивистских клистронах на энергообмен между отдельным электроном и электронным сгустком существенно выше, чем в нерелятивистских и слаборелятивистских клистронах. Это связано, во- первых, с тем, что значительно возрастает погонный заряд пучка (ток пучка /0 быстро растет с увеличением ускоряющего напряжения Уф а скорость -го практически не меняется в случае сильного релятивизма), и, во-вторых, релятивистский электрон более инерционен из-за большой массы m = ^m^, поэтому он большее время находится под действием тормозящего или ускоряющего поля электронного сгустка, находясь вблизи него.
Многолучевые клистроны
Как уже обсуждалось в начале лекции, пролетные клистроны применяются в радиофизике и технике, в первую очередь, как эффективные мощные усилители сантиметрового и дециметрового диапазона. Однако клистроны, использующие в качестве активной среды один электронный пучок, имеют для некоторых специальных приложений целый ряд принципиальных недостатков и, в частности, неоптимальное соотношение «размер/масса» прибора, высокое ускоряющее напряжение и сравнительно узкую рабочую полосу частот. Эти недостатки появляются ввиду принципиальных физических ограничений, присущих данным приборам. Одним из возможных способов преодоления их является использование многолучевых клистронов.
Идея использования нескольких электронных потоков в пролетном клистроне появляется почти сразу же после изобретения многорезонаторного клистрона. В 60-х годах XX столетия были проведены первые экспериментальные исследования многолучевых клистронов. Рассматривались два основных типа приборов — многолучевой клистрон, использующий высшие рабочие моды резонаторов [20] и многолучевой клистрон с бегущей волной [21]. Оба усилителя позволяют существенно снизить рабочее напряжение. Однако если необходимо расширить полосу усиливаемых частот Д///, то клистронный усилитель с использованием основной рабочей моды резонаторов более предпочтителен по сравнению с однолучевым клистроном, а клистрон с бегущей волной более эффективен для получения больших выходных мощностей (до нескольких МВт).
Рис. 5.9. Схема многолучевого клистрона: 1 — электронная пушка, формирующая многолучевой пучок; 2. 5 — проводящие экраны; 3 — резонаторы; 4 — каналы дрейфа, через которые проходят отдельные пучки многолучевого электронного потока; 6 — коллектор
На рис. 5.9 приведена схема многорезонаторного многолучевого клистронного усилителя, работающего на основной моде резонаторов. Особенностью конструкции прибора является использование несколько соосных пролетных каналов 4 для электронных пучков, расположенных в одной металлической многоканальной трубе дрейфа 5. В каждом пролетном канале распространяется только один электронный пучок,
причем между соседними пучками в пространстве дрейфа отсутствует какая-либо связь. Вместе с тем, они все пронизывают одни и те же объемные резонаторы 3. Электронные пучки с небольшими первеансами и токами легко фокусируются и удерживаются сравнительно слабым внешним магнитным полем, в них происходит эффективное группирование по плотности (за счет небольшой силы кулоновского рассталкивания в пучке с небольшим током), они более эффективно взаимодействуют, отдавая энергию ВЧ-полю выходного резонатора. Выходная мощность многолучевого клистрона оказывается равной сумме мощностей, отбираемых от каждого в отдельности слаботочного электронного пучка.
Ускоряющее напряжение в такой системе может быть существенно понижено, что позволяет уменьшить размеры и вес прибора, а также его источников питания. Кроме того, ширина полосы усиления может быть увеличена за счет увеличения полного первеанса многолучевого электронного пучка.
Многолучевой клистрон включает также в свою конструкцию многолучевую электронную пушку 1, фокусирующую магнитную систему (не показана на рисунке) и коллектор 7.
В случае эквивалентных выходных мощностей многолучевого клистрона и обычного клистрона (Piste = ^1), равных первеансах пучков {Pn/N = Ppart = Pi) и равных нормированных радиусах каналов для отдельных пучков, ширина полосы усиливаемых частот многолучевого клистрона в 2 4- 2,5 раз больше, чем для клистрона с одним пучком [19]. Это связано с тем, что рабочая полоса частот может быть увеличена за счет снижения усиления при расстройке резонаторов и снижения их нагруженной добротности х). При увеличении нагрузки выходного резонатора (снижения его нагруженной добротности) полоса становится шире, однако, при этом падает амплитуда ВЧ колебаний, что приводит к снижению к.п.д. усилителя. С увеличением числа пучков N характеристическое сопротивление выходного резонатора увеличивается (за счет увеличения электронной нагрузки в связи с тем, что многолучевой электронный пучок вносит меньшую реактивную проводимость (емкость) в полную проводимость резонатора) и, соответственно, уменьшается его нагруженная добротность, и тем самым увеличивается полоса частот А/// при сохранении высоких значений к.п.д. клистрона. Рабочее напряжение многолучевого клистрона уменьшается по сравнению с напряжением соответствующего однолучевого клистрона как Ии/Votv ~ 7V2/5. Если величина суммарной площади поперечного сечения многолучевого электронного пучка равна площади сечения пучка однолучевого клистрона, то ширина полосы многолучевого клистрона расширяется более, чем в 6 4- 9 раз. Однако в этом случае ток много-
г) Заметим, что полоса усиления в многорезонаторном клистроне за счет высокого коэффициента усиления в первую очередь определяется параметрами выходного каскада.
Рис. 5.10. а — параметры многолучевого клистрона как функции числа пучков Nрабочая длина волны оптимизируемого клистрона А = 3 см, выходная мощность 500 Вт, плотность тока с катода 15 А/см2; б— ширина усиливаемых частот как функция выходной мощности многолучевого клистрона для различных рабочих длин волн А, штриховая линия соответствует однолучевому клистрону (из работы [19])
лучевого пучка должен быть увеличен (для увеличения первеанса) как 3oN/joi ~ №/5-
Рассмотрим некоторые результаты оптимизации многолучевых клистронов [19]. На рис. 5.10апоказаны зависимости ширины полосы Д///, ускоряющего напряжения Уф ширины пролетного канала D и массы фокусирующей магнитной системы М от числа лучей N многолучевого пучка. Видно, что с увеличением числа пучков резко уменьшается величина рабочего напряжения клистрона, одновренно имеет место рост ширины полосы усиливаемого сигнала. На рис. 5.105 демонстрируется зависимость ширины полосы Д/// многолучевого клистрона как функция выходной мощности для различных рабочих длин волн при плотности тока пучка с катода jo = 15 А/см2. В 3-сантиметровом диапазоне многолучевой клистрон имеет ширину полосы порядка 2 4- 3% процентов при выходной мощности от сотен Вт до нескольких десятков кВт. В дециметровом диапазоне ширина полосы расширяется до величины Д/// ~ 8 %. Увеличение первеанса пучка (плотности тока пучка до j0N = 45 А/см2) приводит к расширению полосы до 15 % при выходной мощности порядка 30 4- 80 кВт (на рисунке не показано).
Размеры и масса усилителя на основе однолучевого клистрона во многом определяются его магнитной фокусирующей системой. Как правило, вес магнита в 4 4- 30 раз превосходит вес самого клистрона. Оптимизация параметров многолучевого клистрона и его магнитной фокусирующей системы позволила реально уменьшить вес прибора примерно в 10 раз по сравнению с однолучевым аналогом. Это обеспечивается главным образом за счет существенного уменьшения мощности
источника питания прибора и суммарной длины дрейфового канала электронных пучков [22].
Наряду с привлекательными свойствами многолучевых клистронов (широкая полоса усиливаемых частот, сниженное рабочее напряжение, небольшие масса и размеры), существуют и определенные технологические проблемы создания приборов этого класса. Наиболее значимые из них связаны, во-первых, со сложностями получения мощных электронных пучков с хорошей фокусировкой, а, увеличение числа пучков N приводит к возникновению большого числа паразитных видов колебаний.
Многолучевые клистроны активно разрабатываются и как источники коротких импульсов сверхмощного СВЧ-излучения, например, для нужд ускорительной техники. Так для электрон-позитронного линейного коллайдера Станфордского центра линейных ускорителей разработан релятивистский многорезонаторный многолучевой клистрон с выходной мощностью 2 ГВт [23]. В клистроне используется 10 пучков, имеющих первеанс 1.4. Многолучевой электронный поток проходит через четыре общих резонатора, и каждый отдельный пучок — через 10 дополнительных резонаторов для повышения полного к.п.д. прибора. Некоторые характеристики данного прибора приведены в таблице 5.1. Прибор может работать как в режиме усиления, так и в режиме генерации. В последнем случае в усилитель вводится внешняя обратная связь, реализуемая за счет ответвления части мощности из второго резонатора клистрона во входной резонатор.
Т а б л и ц а 5.1
Характеристики сверхмощного многолучевого клистрона [23]
Выходная мощность
2 ГВт
Длительность импульса СВЧ-излучения
1 мкс
К.п.д.
50%
Коэффициент усиления
30 дБ
Рабочая частота
1.5 ГГц
Рабочее напряжение
600 кВ
Ток многолучевого пучка
6.7 кА
Размеры
150 х 45 см
Вес клистрона без магнитной системы
81 кг
Список литературы
Гайдук В.И., Палатов К.И., Петров Д.М. Физические основы электроники СВЧ. — М: Сов. радио, 1971.
Проектирование радиопередающих устройств / Под ред. В. В. Шахгильдяна. — М.: Связь. 1976.
Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. — М.: Физматгиз. 1959.
Шевчик В.Н. Основы электроники сверхвысоких частот. — М.: Сов. радио, 1959.
Канавец В. И., Лопухин В.М., Сандалов А.Н. Нелинейные процессы в клистронах и оптимизация их параметров // Лекции по электронике СВЧ (3-я зимняя школа-семинар инженеров), книга VII. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1974.
Карнаух А.И., Карнаух В.А., Петров Д.М. Применение ЭВМ для расчета многорезонаторного усилительного клистрона с сильной магнитной фокусировкой (оптимизация в полосе частот) // Электрон. техника. Сер. 1. Электроника СВЧ. 1972. No 6. С. 36.
Бороденко В.Г., Закурдяев А.Д., Малькова Н.Я., Победоносцев А. С. Опыт проектирования с помощью ЭЦВМ усилительного клистрона сантиметрового диапазона // Электрон, техника. Сер. 1. Электрника СВЧ. 1971. No 8. С. 18.
Кураев А. А., Байбурин В.Б., Ильин Е.М. Математические модели и методы оптимального проектирования СВЧ приборов. — Мн.: Наука и техника, 1990.
Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. — М.: Наука, 1967.
Кураев А. А. Теория и оптимизация электронных приборов СВЧ. — Мн.: Наука и техника, 1979.
Ковалев И.С., Кураев А.А., Колосов С.В. Законы сохранения в приложении к теории и расчету электронных приборов // Доклады АН БССР. 1973. Т. 17, № 7. С. 621.
Hockney R. W., Eastwood J. W. Computer simulation using particles. — NY.: McGraw-Hill, 1981.
Аксенчик А.В., Кураев А.А. Двумерные эффекты в оптимизированных по КПД многорезонаторных клистронах // Радиотехника и электроника. 1988. Т. 33, JVy6. С. 1240.
Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. — М.: Сов. радио, 1973.
Anfinogentov V.G., Hramov А.Е. Oscillation Conditions of the Vircator-Klystron with External Delayed Feedback: A Computer Simulation // J.Communication Technology and Electronics. 2001. V.46,№5. P. 546.
Аксенчик А.В., Колосов С.В., Кураев А.А., Шестакович В.Н. Результаты оптимизации КПД многорезонаторных клистронов // Радиотехника и электроника. 1982. Т. 27, Я212. С. 2526.
Кухаркин Е. С., Сестрорецкий Б.В. Электрическая прочность волноводных устройств. — М: Высшая школа, 1963.
Ковалев Н.Ф., Кольчугин Б.Д., Кротова З.Н. Ультрарелятивист- ский твистрон // Радиотехника и электроника. 1975. Т. 20, Я912. С. 2636.
Gelvich Е.А., Borisov L.M., Zhary Y.V., Zakurdayev A.D., Pobedonostsev A.S., Poognin V.L The new generation of high-power multiple-beam klystrons // IEEE Trans, on Microwave Theory and Techniques. 1993. V. 41, № 1. P. 15.
Boyd M.R., Dehn R.A., Hickey J.8., Mihran T.G. The multiple-beam klystron // IRE Trans. Electron Dev. 1962. V. ED-9, №3. P. 247.
Pohl W.J. The design and demonstration of wide-band multiple-beam travelling-wave klystron // IEEE Trans. Electron Dev. 1965. V. ED-12, №6. P. 351.
Королев C.B. О возможности уменьшения веса и размеров пролетного клистрона // Электронная техника, серия I: электроника СВЧ. 1968. Вып. 9. С. 176.
Caryotakis G.. Jonrewaard Е.. Phillips R., Scheitrum G.. Tantawi 8.. Luhmann N.C. A 2-gigawatt, 1-microsecunde microwave source // In: the Proc, of 11th Int. Conf, on High Power Particle Beams. Prague, Czech Republic. June 10-14, 1996. V. 1. P. 406.
Лекция 6
ИНДУЦИРОВАННОЕ И СПОНТАННОЕИЗЛУЧЕНИЕ В РЕЗОНАНСНЫХАВТОГЕНЕРАТОРАХ
ВЫНУЖДЕННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ (индуцированное излучение, стимулированное излучение), испускание эл.-магн. излучения квантовыми системами под действием внешнего (вынуждающего) излучения; при В.И. частота, фаза, характер поляризации и направление распространения испущенной эл.-магн. волны полностью совпадают с соответствующими характеристиками внеш, волны. В.И. принципиально отличается от спонтанного излучения, происходящего без внешнего воздействия. Существование В.И. было постулировано А. Эйнштейном в 1916 при теоретическом анализе процессов теплового излучения...
Электроника: Энциклопедический словарь. М.: Сов. энциклопедия, 1991. с. 72.
Индуцированное излучение в автогенераторах типа О. Спонтанное излучение электрона при произвольном движении через резонатор. Связь между индуцированным и спонтанным излучением электрона в резонансных автогенераторах. Сравнение классического и квантового подхода.
В квантовой электродинамике существуют простые соотношения, связывающие спонтанное и индуцированное излучение связанных электронов, имеющих дискретный энергетический спектр. В данной лекции рассмотрим соотношения, связывающие спонтанное и индуцированное излучение свободных электронов (сплошной спектр излучения), пролетающих через объемный резонатор, имеющий дискретный энергетический спектр. Будем следовать работе [1].
Индуцированное излучение в автогенераторах типа О
Е = Не{Л5Е5е"^}.Е = Не{Л5Е5е"^}.(6.1)(6.1)Рассмотрим взаимодействие прямолинейного электронного пучка с электрическим полем собственного колебания в резонаторе. Поле зададим в виде
Е = Не{Л5Е5е"^}.
Е = Не{Л5Е5е"^}.
(6.1)
(6.1)
Будем считать, что электроны движутся вдоль оси х. Ограничиваясь приближением слабых сигналов, введем переменную плотность тока следующим образом:
Зх = Re ^(r^J(x)e"3Wt^ , j ^(r±) dv^ = 1, (6.2) где ф (г j_) — функция распределения плотности тока по поперечному сечению пучка, J(x) — комплексная амплитуда тока в данном сечении х. Далее введем
^(ж) = j Е^-ф* </r±, 1 = | |^(г±)|2 ^r_L, (6.3) где £Дж) — эффективное поле резонатора, S — эффективная площадь сечения электронного потока.
Уравнение движения электрона в переменных Эйлера может быть записано как (см. формулу (3.11))
du ( Э , 8 \( Э . \ ~ е ™ч
-тг =у = Р яЗШ ^ = — (Еж + Е^пз). (6.4)
dt \ oz dt J \ oz / т'
Поле пространственного заряда можно найти из уравнения Пуассона д^пз = _р(6 5)
ОХ ЕО
Из уравнения непрерывности и уравнения для конвекционного тока (см. уравнение (3.3))
^ = jwp, Зх = Рои + ри(6.6)
можно найти величину переменной плотности пространственного заряда:
Тогда уравнение (6.5) перепишется в виде
ЭЕж,пз 1djxq\
Эх jWEo Эх 1'
откуда получаем выражение для поля пространственнного заряда:
Ех.пз = —— Зх-(6-9)
7 Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов
Перепишем уравнение для конвекционного тока (6.6) так:
Зх = р^^^ ^^- гш3х) = -З^роУ. (6.10)
Выражая из последней формулы и и подставляя в полученное выражение (6.4), находим
(у яjwA Зх = —-jwp(Ex + -ЗхУ(6.11)
\ Эх /тзшео
Учитывая, что шр = ДеДг/т^ — плазменная частота для бесконечно широкого пучка (п — постоянная составляющая концентрации электронов в пучке), и используя формулы (6.1)-(6.3), получим
/ a •2№"Н +Шр/ a •2№"Н +Шр2
/ a •2№"Н +Шр
/ a •2№"Н +Шр
гДгДД^ = -3^^ А8£ДЖ. (6.12)
Умножим последнее уравнение на (ф*\ и проинтегрируем по dv^^ в итоге для J^ получим дифференциальное уравнение
(v-гш) +Wp J^ =AsJs^xY (6.13)
\ ox /m
Решение уравнения (6.13) можно найти воспользовавшись представлением решения через интеграл Дюамеля. Вспомним некоторые сведения из теории дифференциальных уравнений.
Теорема. Общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
т dT у , dT-1u ,,х
^У =+ аг r-1 + ..АаГу = /(ж)
dx
можно представить в виде интеграла Дюамеля
у = | Я+(ж — ж)/(ж) dx,
если выполняется условие, что /(ж) = 0 при х < 0 и НДх — ж) = = 0 при х < ж (фактически эти условия означают, что «будущие» значения f(x) не могут воздействовать на «более ранние» значения у(х), а также исключаются мгновенные влияния). Функция Н^ является частным случаем функции Грина, для нахождения ее необходимо проинтегрировать однородное дифференциальное уравнение
ЬЯ+(ж)=0,ж>0
при начальных условиях
Я+(0) = Я1(0) = ... = Я<г-2)(0) = 0,Я<г-1)(0) = —
ао
Предположим, что при х = 0 пучок не модулирован, т. е. J = О dj ~„
и —— = U, взаимодействие электронов с полем происходит на отрезке dx
О < х < L. Решение соответствующего однородного уравнения для уравнения вида (6.13) было получено в лекции 3: оно представляет собой две волны пространственного заряда (медленная и быстрая), распространяющихся с волновыми числами kMis = -. 1огда в со
ответствии с теоремой решение уравнения (6.13) имеет вид
Дж) = _As [ ^$(ж)_ е^6(ж-ж)1 d- /6 14)
^шр то J LJ
о
Активная мощность, отдаваемая током (6.14) резонаторному полю (6.1), определяется формулой
L
Ps = -1 Re| J^A*S£*W$ =
О
2Lx
=|Л5|2 Re [ [^*(ж)^(ж) LiM»-»-) _ejke^-^A dxi$-
тоJJLJ
о о
_(6.15)
В двойном интеграле при замене х ^ х подынтегральная функция заменяется комплексно сопряженной, ее вещественная часть не изме
няется, и, следовательно, этот интеграл равен половине интеграла по квадрату 0 < ж, х < L. Учтем сказанное и введем обозначения
LLСИ =СИ == £\I±U<2N„"= £\I±U<2N„"(6.16)(6.16)
L
L
СИ =
СИ =
= £\I±U<
2N„"
= £\I±U<
2N„"
(6.16)
(6.16)
Тогда мощность Р8 перепишется так:
PsPsnS Ш= — WswтоnS Ш= — WswтоРз^ш Н- Юр) Fs(w ^р^2ж рРз^ш Н- Юр) Fs(w ^р^2ж р(6-17)(6-17)
Ps
Ps
nS Ш
= — Wswто
nS Ш
= — Wswто
Рз^ш Н- Юр) Fs(w ^р^2ж р
Рз^ш Н- Юр) Fs(w ^р^2ж р
(6-17)
(6-17)
где W8 — энергия собственного колебания (6.1), Ns — его норма; при этом
W8 = I |Ar|2^, Ns = -M\Es\2dV. (6.18) 24тг J
Таким образом за время Т = L/v (время пролета электронов через пространство взаимодействия) энергия поля получает приращение
5NW8 = N^w,(6 19)
то^шр
где N = nSL — эффективное число электронов, находящихся в каждый момент в пространстве взаимодействия.
Пусть через пространство взаимодействия пролетает только один электрон. В этом случае в формуле (6.19) надо положить N = 1, шр = = 1, а под £5(ж) понимать составляющую ESiX на прямой, по которой электрон движется.
Имеем
<WS = 2 ш ) у(6.20)
ти Ош
— выражение для индуцированного излучения электрона, проходящего через слабое поле (6.1). Приращение 5iWs пропорционально Ws — энергии резонаторного колебания, модулирующего движение электрона.
Спонтанное излучение электрона при произвольномдвижении через резонатор. Связь междуиндуцированным и спонтанным излучениемэлектрона в резонансных автогенераторах
Пусть электрон движется по закону г = г^ через резонатор, в котором при t = 0, когда электрон вступает в резонатор, поля нет. Покидая резонатор в момент времени t = Т, электрон оставляет в нем часть своей энергии (весьма небольшую) в виде суперпозиции свободных колебаний этого резонатора. Колебания возбуждаются током с плотностью
j(C г) = ег(^)5(г — г(^)) =[ J(cj,dw.
— ос
Для тока легко находим:
Тт
J(cj, г) = | j(C i^e*7'^ dt = | er(t)5(r — r(t))e^wt dt. (6.21) оо
Электрическое поле колебания с индексом s, подобно току (см. интеграл (6.21)), может быть представлено в виде интеграла Фурье
E(i,r) = ^-T Д.НЕ.Ме-^^ш,(6.22)
— ос
где векторная функция Es(r) не зависит от ш и представляет собой распределение поля собственного колебания резонатора. Согласно теории возбуждения резонаторов (см. формулу (1.53)), а также при использо-
вании формулы (6.21), имеем
АМ= “ 2Ns\3E*sdV =
2ше \е^))г(^ dt. (6.23)
Э<ш -Ш=Н
Используем тот вариант теории, в котором для идеального резонатора условие ортогональности записывается в виде
3EsE*dV = 4irNs5ST.3EsE*dV = 4irNs5ST.(6-24)(6-24)
3EsE*dV = 4irNs5ST.
3EsE*dV = 4irNs5ST.
(6-24)
(6-24)
Потери (омические или радиационные) будем учитывать только собственной комплексной частотой ws = w's — гш". Причем, и^Т <С 1, т. е. потерями за время полета можно пренебречь.
Нас интересует поле Е(Т, г) и связанная с ним энергия
^W8 = i |Ds|27Vs,(6.25)
где
-Ds = ^-°\ A>KjujTdw = — ос
Tоо
=[ E:(r(i))r(i) dt [
О—ОС
Последний интеграл G = J_ —^е-3^7-1^ dw может быть взят ш — ws
на основании теоремы о вычетах. Перейдем к интегрированию по контуру. В качестве контура интегрирования выберем контур, охватывающий верхнюю полуплоскость. Найдем полюсы подинтегральной функции, они являются решениями уравнения р(ш) = ш2 — ш2 = 0: ихд = =bws- Корень —ws нас не интересут, так как он лежит в нижней полуплоскости. Найдем теперь вычет для интеграла G. Так как
р'(ш)\Ше = 2ш.
ТО
ТогдаТогдаВычЫз = iu3AT t),
Тогда
Тогда
G = j^iv^ Выч = у ive-3Ws(Т-^.
т
Т> = ^\ КШ)Ц^-^Т-^ at = ^- i*mk^t, (6.26) 0
где
т
18И = | ЕМШ^шТ dt(6.27)
о
— интеграл взаимодействия, для прямолинейного движения согласующийся с формулой (6.15).
Условие Л^Т <С 1 означает, что в выражении (6.26) можно считать |e-jwsT| _ । и заменить ^ 8 в функции I8(ws) на ш8 или же на любую частоту сЗ, удовлетворяющую условию |сЗ — cjs|T <С 1 или |сЗ — cjs| < < ш8 . Величина (6.25), таким образом, получается в виде
MV8 = F8^), FSH = ^^,(6.28)
причем для прямолинейного движения электронная функция К8(ш) та же, что и в формуле (6.16) для индуцированного излучения.
Итак, функция К8(ш) из формулы (6.16) определяет спонтанное излучение электрона, пролетающего через резонатор, а выражение (6.20) устанавливает связь между индуцированным и спонтанным излучением электрона в резонансных автогенераторах.
Заметим, что в модифицированном виде соотношение (6.20) обобщается на резонансные генераторы, в которых электроны под действием статических полей движутся произвольным образом. Таким образом, соотношения (6.17) и (6.19) обобщаются, но только при шр = 0: пространственный заряд в приборах разного типа действует по-разному и учитывать его так, как это принято в приборах типа О, в общем случае нельзя.
Сравнение классического и квантового подходов
Преобразуем выражение (6.20) с учетом того, что функции 1Т и FT зависят не только от частоты, но и от скорости и или, что то же, от кинетической энергии 8 = mv2/2. Используя полученное выражение (6.28), имеем:
22
<Ж = е2 / д/г * ЭГДдш 2Nr \ дш г Эш ) "
Величины Is и Э1§1Эш даются выражениями
L. L
СИ = [ ЕДжК^^^х и = -1 [ а^е-^*/” dx. (6.30) Jдш О 3
оо
Из соотношения (6.29) получим:
8F3 _ e2 / 8w 2NS \8F3 _ e2 / 8w 2NS \L. Lх
8F3 _ e2 / 8w 2NS \
8F3 _ e2 / 8w 2NS \
- Д хЕ^"^!1’ dx ■ I* + ^ | ж^е^ж/у dx ■ 1Д. (6.31) оо7
С другой стороны
8FS 8v "8FS 8v "Ж = OFS = J_д8 д(то2/2) то
8FS 8v "
8FS 8v "
Тогда
= ^ [ хЕ^-^шж1^ dx,= ^ [ хЕ^-^шж1^ dx,8FS _е2 ( *81,а/Лал
= ^ [ хЕ^-^шж1^ dx,
= ^ [ хЕ^-^шж1^ dx,
08mo2Ns у 8 доs до /до
хо
откуда получаем
8FS _ -e2w /88 2Nsmv2 \8FS _ -e2w /88 2Nsmv2 \L. L
8FS _ -e2w /88 2Nsmv2 \
8FS _ -e2w /88 2Nsmv2 \
3- [ xEse"i^zl^ dx -1*-Ц хЕ*^^^^ dx • I, о Jо 3
оо
(6.32)
Сравнивая формулы (6.31) и (6.32), приходим к выражению вида
dFs ш dFsд8то2 du
И окончательно находим
Ш = -Ws8Fs^’£V(6.34)
Для релятивистских электронов 8 = mc27,7 = (1 — t^/c2)1/2, а в формуле (6.20) вместо т надо взять Ш73 (продольную массу). Соотношение (6.29) при этом сохраняется.
В выражении (6.1) частота ш лежит в главной части резонансной кривой, т. е. удовлетворяет условию |и — и'| < ш”. В силу этого в формуле (6.28) можно положить ш = ш, а полное приращение энергии Ws данного колебания равно сумме
kws = Mvs = FM£Vws^H£Y (6.35)
Квантовая форма этого соотношения имеет вид [1]
E^WS = (ns + l)Fs(w,f) - nsFs(w,E + 1W),(6.36)
где п8 — число фотонов в s-м колебании, которое в силу условияЛ^Т <С <С 1 можно уподобить идеальному гармоническому осциллятору; W8 = = п8Нш. Легко видеть, что при Ни —> 0 квантовое соотношение (6.36) переходит в классическое соотношение (6.35). Действительно, устремляя Ни к нулю, имеем выражение
△ Ws = nsFs(w,S) + F8M - nsfiw^^
которое, если учесть, что Ws = п8Нш, переходит в (6.35).
Соотношение (6.34) может быть применено для расчета пускового тока. Если умножить обе части (6.34) на число электронов Je, поступающих в резонатор со случайными фазами (Je = J/e, где J — ток пучка, поступающего в резонатор), то получим мощность отдавае
мую пучком данному колебанию: Je W8 —-. Поскольку мощность, выделяющаяся в оболочке и в нагрузке, равна 2ш” W (см. лекцию 2; раздел, посвященный резонансным автогенераторам), то коэффициент затухания s-ro колебания по энергии при наличии электронного пучка запишется следующим образом:
г dFs(w,8)е Э8г dFs(w,8)е Э8+ 2^.+ 2^.(6.37)(6.37)
г dFs(w,8)
е Э8
г dFs(w,8)
е Э8
+ 2^.
+ 2^.
(6.37)
(6.37)
Генерация возможна при и8 < 0, а пусковой ток будет определяться условием и8 = 0.
В заключение лекции отметим, что классическая теория для резонансных автогенераторов дает индуцированное излучение в приближении заданного поля, а спонтанное — в приближении заданного тока. Формула (6.36), полученная из квантовых представлений, определяет суммарное излучение.
Список литературы
Вайнштейн В.А. Спонтанное и вынужденное излучение свободных электронов // ЖЭТФ. 1988. Т. 94, К9 5. С. 40.
Лекция 7
МАГНЕТРОН, АМПЛИТРОН И ДРУГИЕ
Тизард и Кокрофт привезли в Америку черный кожанный чемодан, который мисс Джири, секретарша Тизарда, держала у себя под кроватью. Она не знала, что в нем хранятся почти все новые научные приборы военного назначения, созданные в Англии, и среди них новый магнетрон — прибор совсем иной степени важности, чем все остальные весьма важные изобретения...
Чарльз Сноу
Биографии тем и сильны, Что объять позволяют за сутки Двух любовниц, двух жен, две войны И великую мысль в промежутке.
Даже беды великих людей Дарят нас прибавлением жизни, Звездным небом, рысцой лошадей И вином при его дешевизне.
А. Кушнер
Кинематическая дрейфовая теория движения электронов в скрещенных статических электрическом и магнитном полях и в поле бегущей волны. Фазировка в скрещенных полях. Расчет мощности взаимодействия и к.п.д. применительно к плоскому магнетрону. Что вносит цилиндричность в физику магнетрона. Цилиндрический магнетрон: история создания от Хэлла до Бута и Рэндала. Вильям Браун и усилитель со скрещенными полями. Карматрон и дематрон.
В этой и последующей лекциях будут рассматриваться некоторые вопросы теории магнетронных приборов и, в первую очередь, магнетронных генераторов (магнетронов). Магнетроны — одни из первых приборов сверхвысоких частот и наиболее широко распространенные из приборов типа М, т. е. приборов, использующих взаимодействие
электронов с высокочастотным полем в скрещенных статических электрическом и магнитном полях. Магнетронные генераторы (магнетроны) представляют собой автогенераторы резонансного типа, поэтому
Анодный блок КатодАнодный блок КатодРис. 7.1. Схема цилиндрического магнетрона: а — магнетрон с резонаторами типа «щель-отверстие» и с выводом ВЧ-энергии с помощью петли; б— анодный блок с резонаторами типа сектор, в котором чередуются резонаторы различного размера, и с выводом ВЧ-энергии с помощью щели; в — схема соединения сегментов связками для получения колебаний на тг-видеРис. 7.1. Схема цилиндрического магнетрона: а — магнетрон с резонаторами типа «щель-отверстие» и с выводом ВЧ-энергии с помощью петли; б— анодный блок с резонаторами типа сектор, в котором чередуются резонаторы различного размера, и с выводом ВЧ-энергии с помощью щели; в — схема соединения сегментов связками для получения колебаний на тг-видедля них справедливы те общие соотношения, которые мы вывели в лекции 2 для автогенераторов резонансного типа.
Анодный блок Катод
Анодный блок Катод
Рис. 7.1. Схема цилиндрического магнетрона: а — магнетрон с резонаторами типа «щель-отверстие» и с выводом ВЧ-энергии с помощью петли; б— анодный блок с резонаторами типа сектор, в котором чередуются резонаторы различного размера, и с выводом ВЧ-энергии с помощью щели; в — схема соединения сегментов связками для получения колебаний на тг-виде
Рис. 7.1. Схема цилиндрического магнетрона: а — магнетрон с резонаторами типа «щель-отверстие» и с выводом ВЧ-энергии с помощью петли; б— анодный блок с резонаторами типа сектор, в котором чередуются резонаторы различного размера, и с выводом ВЧ-энергии с помощью щели; в — схема соединения сегментов связками для получения колебаний на тг-виде
С конструктивной точки зрения современный многорезонаторный магнетрон состоит из трех основных частей (см. рис. 7.1): 1) катода; 2) анодного блока, содержащего колебательные контуры, 3) вывода ВЧ-энергии. Рабочая поверхность катода располагается строго коаксиально с рабочей поверхностью анодного блока. Диаметр катода составляет значительную часть (порядка 50 %) диаметра рабочей поверхности анодного блока. Характерная особенность анодного блока состоит в том, что в нем располагается большое количество полостей, выполняющих роль колебательных контуров (резонаторов). Форма этих полостей (резонаторов) может быть весьма разнообразной, например, щель-отверстие, сектор, щель и др. (см., например, [1]). Каждая из полостей резонаторов соединена щелью с пространством катод- анод, и поэтому рабочая поверхность анодного блока (т. е. поверхность, на которую попадают вылетевшие из катода электроны) всегда разрезана на ряд сегментов, отделенных друг от друга щелями. Между этими сегментами при работе магнетрона возникает переменное напряжение высокой частоты.
При разработке многорезонаторных магнетронов были экспериментально обнаружены «перескоки» коле
баний магнетрона с одной волны на другую. Эти перескоки вызывались
как изменением режима питания, так и изменениями высокочастотной нагрузки магнетрона. Дело в том, что колебательная система магнетрона представляет собой замкнутую цепочку резонаторов. Она является
неоднородной волноведущей структурой, в которой могут существовать стоячие или бегущие волны. Из-за замкнутости системы в ней могут распространяться только те волны, для которых выполнено условие синфазности колебаний в начале и конце колебательной системы:
Npo = 2тгп, п = 1,2,3... (7.1)
Здесь N — число резонаторов в замедляющей системе магнетрона, фо — сдвиг фазы на одном периоде системы, п — номер вида колебаний. Видам колебаний с одинаковым по модулю значением п соответствуют одинаковые частоты колебаний, т. е. в системе существует вырождение по частоте. Введение элементов связи между отдельными резонаторами нарушает симметрию колебательной системы и приводит к снятию вырождения, при этом частоты колебаний, соответствующие п и — п, близки. Поэтому в результате флуктуаций, например, анодного напряжения, магнетрон может изменить частоту генерации.
Для устранения этого явления применяются либо анодные блоки, в которых последовательно чередуются резонаторы двух типов, либо анодные блоки с одинаковыми резонаторами, которые электрически связаны между собой так называемыми «связками». Действительно, усиление связи между отдельными узкополосными колебательными системами, составляющими колебательную систему анодного блока, приводит к удалению собственных частот друг от друга. Поэтому введение элементов, связывающих отдельные резонаторы, — связок — приводит к увеличению устойчивости работы магнетрона. Одна из конструкций связок, представляющих собой два металлических кольца, одно из которых соединяет между собой все четные сегменты анодного облака, а другое — все нечетные сегменты, показана на рис. 7.1 в. Нормальная работа магнетрона при этом характеризуется тем, что высокочастотные напряжения соседних сегментов сдвинуты по фазе на 180°: это так называемый тг-вид колебаний (ему соответствует вид колебания (см. формулу (7.1)) п = N/2). В этом случае в различные моменты времени одна связка заряжена положительно, другая заряжена отрицательно и наоборот. Поэтому в случае колебаний тг-вида связки работают как обкладки конденсатора, увеличивая эквивалентную емкость резонатора, что приводит к уменьшению частоты колебаний тг-вида. При колебаниях других видов разность фаз между сегментами колебательной системы отлична от нуля, и в результате по связкам течет ток. При этом связки работают подобно индуктивностям, включенным параллельно индуктивности резонатора, что приводит к увеличению частоты колебаний. Кроме этого, из-за протекания тока по связкам увеличиваются потери на любом виде колебаний, за исключением тг- вида. Это способствует возбуждению именно тг-вида при возникновении генерации. Кроме этого, при возбуждении только тг-вида колебаний амплитуда высокочастотного поля будет иметь максимальное значение
по сравнению с остальными видами. Это обеспечивает наиболее эффективное взаимодействие электронного потока и поля высокочастотной волны.
Вывод ВЧ-энергии из магнетронного генератора осуществляется либо на коаксиальную линию с помощью петли в одном из резонаторов, либо на волновод с помощью щели в одном из резонаторов (см. рис. 7.1щб).
Принципиальной особенностью приборов со скрещенными полями является специфический характер энергообмена между электронным потоком и ВЧ-полем, связанный с изменением потенциальной энергии электронов без изменения их кинетической энергии. В отличие от приборов типа О, где в энергию ВЧ-поля в результате торможения электронного потока переходит кинетическая энергия электронов, в приборах типа М источником ВЧ-энергии служит потенциальная энергия статического электрического поля. В процессе взаимодействия электроны, практически не меняя своей средней кинетической энергии, смещаются в область более высокого потенциала (к аноду) и уменьшают свою потенциальную энергию, которая и переходит в энергию волны.
Важная черта приборов магнетронного типа — высокий к.п.д. Дело в том, что энергообмен между пучком и полем начинается при дрейфовых скоростях электронов, равных скорости волны в замедляющей системе. Эта необходимая для взаимодействия синхронная скорость сообщается электрону за счет статических полей и не меняется в процессе взаимодействия. Соотношение между долей потенциальной энергии электрона, переходящей в энергию ВЧ-поля, и полной потенциальной энергией, которой обладал электрон при выходе из катода, определяет электронный к.п.д. прибора. Так как полная потенциальная энергия может быть достаточно большой (она определяется потенциалом анода), а на создание синхронной скорости идет небольшая ее часть, то к.п.д. приборов типа М может быть близок к единице. Высокий к.п.д. в сочетании с низким сопротивлением электронного пучка (анодное напряжение, деленное на ток) делает приборы магнетронного типа особенно пригодными для получения больших выходных мощностей.
Кинематическая дрейфовая теория движенияэлектронов в скрещенных статических электрическоми магнитном полях и в поле бегущей волны
Рассмотрим простейшую дрейфовую теорию взаимодействия электронов, движущихся в перпендикулярных электростатическом и постоянном магнитном полях, с высокочастотным электромагнитным полем объемного резонатора. Будем анализировать плоскую модель магнетронного генератора (рис. 7.2 ф, которая, с одной стороны является естественной аппроксимацией цилиндрической модели (рис. 7.26) (если
в ней радиус анода близок к радиусу катода), и, во-вторых, в некоторых случаях имеет самостоятельное значение (магнетронный прибор
с плоским пространством взаимодействия, планотрон и т. д.). Наличие объемного резонатора сильно упрощает задачу — можно считать, что возбуждено только одно колебание с известным распределением поля, но неизвестной амплитудой и неизвестной частотой Д. Заметим, что здесь не учитывается поле пространственного заряда (к чему приводит учет пространственного заряда будет рассмотрено в следующей лекции). Д
Рис. 7.2. Схематическое изображение пространства взаимодействия плоского (а) и цилиндрического (б) магнетронаРис. 7.2. Схематическое изображение пространства взаимодействия плоского (а) и цилиндрического (б) магнетронагим упрощением является то, чтогим упрощением является то, чторассматривается только одна пространственная гармоника поля данного колебания резонатора. Фазовая скорость этой гармоники синхронна с электронами; будем её далее называть просто синхронной волной. Действием несинхронных пространственных гармоник можно пренебречь, за исключением случаев орбитальных резонансов (см. подробнее [2]).
Рис. 7.2. Схематическое изображение пространства взаимодействия плоского (а) и цилиндрического (б) магнетрона
Рис. 7.2. Схематическое изображение пространства взаимодействия плоского (а) и цилиндрического (б) магнетрона
гим упрощением является то, что
гим упрощением является то, что
d2r "dPd2r "dP= ??Е + Т] [v, В] = ??Е + т]= ??Е + Т] [v, В] = ??Е + т]i j kX у z BxByBzi j kX у z BxByBz(7.2)(7.2)Уравнение движения электрона в геометрии, представленной на рис. 7.2«, имеет вид
d2r "dP
d2r "dP
= ??Е + Т] [v, В] = ??Е + т]
= ??Е + Т] [v, В] = ??Е + т]
i j k
X у z BxByBz
i j k
X у z BxByBz
(7.2)
(7.2)
Здесь Вж = 0, By = 0, Bz = В = const — статическое магнитное поле, Еж ^ 0, Еу ^ 0 и Ez = 0 — составляющие суммарного электрического поля (статическое + сверхвысокочастотное). С учетом этого:
х = т]Еж + т]Ву, у = т]Еу - т]Вх.
Введем новые обозначения /ж = т]Еж и fy = г]Еу, а также величину шс = ту В, называемую ларморовой или циклотронной частотой. Тогда уравнение движения (7.2) запишется в виде
X - шсу = fx, у + шсх = fy. (7.3)
Уравнения (7.3) можно приближенно решить, пользуясь так называемым дрейфовым приближением [2]. Рассмотрим вначале некоторые частные случаи.
Д Вместе с тем о ней известно, что она достаточно близка к резонансной частоте колебательной системы, так как в противном случае данное колебание будет возбуждаться с малой амплитудой и его нельзя считать единственным.
Пусть fx = fy = 0, тогда уравнение (7.3) имеет общее решение
ж = ж0 + Го cos(-wcf + у0), у = Уо + Го sin (-wct + у?о),(7.4)
где жо, уо, го и фо — некоторые постоянные. Физический смысл этого решения — движение по окружности радиуса го с центром в точке (жо, у о) • Это движение происходит с угловой скоростью шс (при шс > 0 — по часовой стрелке, при шс < 0 — против) и линейной скоростью и = |cjc|to. Период обращения 2тг/|cjc| называется циклотронным периодом.
При постоянных во времени и пространстве величинах /ж и fy уравнения (7.3) имеют общее решение:
Ж = Жо + — t + Го COS ( — U)ct + фо),
У = Уо t + Го sin (-wct + фо)- Шс
Данное решение можно интерпретировать как движение по окружности, центр которой движется («дрейфует») с течением времени согласно формулам
ос = ж0 + t, у = у0 - t,(7.6)
где ж и у — координаты «ведущего центра», вокруг которого обращается электрон с угловой скоростью шс.
Смысл термина «дрейф» заключается в том, что обычно это — медленное движение, тем более медленное, чем больше |wc|, а движение по окружности быстрое, причем тем более быстрое, чем больше |олс |.
Рассмотрим в качестве примера дрейф в плоском магнетроне под действием постоянного поля с единственной составляющей Еу = Е° = = const < 0. Этот дрейф определяется соотношениями
т]Е0
X = ж0 + Vot, у = уо, Vo = -—.(7.7)
Ж с
Радиус окружности, по которой обращается электрон, зависит от начальных условий. Если, например, при дрейфе, задаваемом формулами (7.7), в начальный момент ж = vq, у = 0, то го = 0 и движение электрона сводится к чистому дрейфу. Если же в начальный момент электрон покоится (ж = у = 0), то
(7-8)(7-8)_ уЕ°
(7-8)
(7-8)
и электрон движется по циклоиде, отходя от плоскости катода на расстояние 2го и затем возвращаясь назад. Если расстояние катод-анод превышает 2го, то такое движение электрона называется движением в «запертом» плоском магнетроне (магнитное поле больше критического, когда электрон касается анода) в пренебрежении пространственным зарядом.
Формулы (7.6) показывают, что уравнение движения ведущего центра при постоянных /ж и Д имеют вид:
у = -А(7.9)
ШсШс
е. получаются из уравнений для электронов (7.3) вычеркиванием «инерционных» членов х и у. Таким образом, при приложении постоянного электрического поля ведущий центр движется в направлении перпендикулярном этому полю.
В общем случае величины /ж и Д не постоянны, а являются функциями координат х, у и времени t. В этом случае для исследования движения также можно применять дрейфовые уравнения (7.9), так называемое дрейфовое приближение.
Пусть теперь движение электронов происходит при наличии сверхвысокочастотного поля. В этом случае даже слабое высокочастотное поле, если оно имеет вид бегущей волны, синхронной с электронами (т. е. если фазовая скорость волны Уф близка к дрейфовой скорости электронов t;o), радикально изменяет движение электронов, которое ранее описывалось соотношениями (7.5). Заметим, что если переменное поле не синхронно, то оно заметно не изменяет движения электронов: несинхронное поле приводит лишь к небольшим колебаниям, которые накладываются на дрейф.
Рассмотрим дрейфовые уравнения (7.9) при наличии наряду с однородным электрическим полем синхронной волны, движущейся со скоростью -Гф to vq и имеющей частоту ш (ш — частота генерации). Зависимость поля синхронной волны от времени и координаты определяется множителем exp (cot — (Зх\ где Уф = со/(3. Для тг-колебания, когда колебания в соседних щелях противофазны, (3 = тг/L, где L — период структуры по оси х х).
Рассматривая нерелятивистские уравнения движения электронов, полагаем, что
Уф ~ Уо < С,(7.10)
где с — скорость света. Тогда данная волна является электрической [3] и описывается электрическим вектором Герца П с единственной составляющей Пж соотношением
Е = grad div П + &2П,(7.11)
Я2П/)2П
=+=(7Л2)
г) Заметим, что дляг) Заметим, что длядругих видов колебаний /3 другое, но зависимостьдругих видов колебаний /3 другое, но зависимостьЭх2дхду
г) Заметим, что для
г) Заметим, что для
других видов колебаний /3 другое, но зависимость
других видов колебаний /3 другое, но зависимость
синхронной волны от координаты и времени такая же.
Электрический вектор Герца является решением уравнения [3]
д2ПжЭж2д2ПжЭж2д2ПжЭу2д2ПжЭу2+ &2ПЖ — о,+ &2ПЖ — о,(7-13)(7-13)
д2ПжЭж2
д2ПжЭж2
д2ПжЭу2
д2ПжЭу2
+ &2ПЖ — о,
+ &2ПЖ — о,
(7-13)
(7-13)
где подразумевается зависимость от времени в виде exp (—jxt). к = = ш/с. В нашем случае для бегущей волны необходимо задать граничное условие в виде Еж (у = 0) = 0, тогда выражение для поля этой волны будет даваться соотношением
(7-14)(7-14)пж = Aej0$ sin (V^2 - /?2у) •
(7-14)
(7-14)
Здесь А — постоянная. Учитывая условие (7.10), можно положить
V^2 - /?2 = зРА -= 3P\pEEu^cf «30-
При этом совершается относительная ошибка порядка (уф/с)2. Тогда в уравнениях (7.12) и (7.13) можно пренебречь членом &2ПЖ, и, положив
Ф = —Для составляющих поля волны получим
Эх1 и Эу*Эх1 и Эу*(7-15)(7-15)
Эх1 и Эу*
Эх1 и Эу*
(7-15)
(7-15)
Здесь Ф — скалярный потенциал, удовлетворяющий уравнению Лапласа
(7-16)(7-16)Э^Ф д2ф „"а 7 я 7 — ^'
(7-16)
(7-16)
Эх оу
В случае плоского магнетрона с гладким катодом (у = 0) будет выполняться граничное условие Еж = 0 на катоде, поэтому для бегущей волны возьмем скалярный потенциал в виде
(7-17)(7-17)Ф = sin \j3(x - уф^)] sh^?/,
(7-17)
(7-17)
где Е > 0 — амплитуда составляющей Еу в плоскости у = 0. Тогда, с учетом электростатического поля, дрейфовые уравнения (7.9) пере
пишутся в видепишутся в видеЖ = VoЖ = Voс эф . _ с эфН ду' Н Эх*с эф . _ с эфН ду' Н Эх*(7.18)(7.18)
пишутся в виде
пишутся в виде
Ж = Vo
Ж = Vo
с эф . _ с эфН ду' Н Эх*
с эф . _ с эфН ду' Н Эх*
(7.18)
(7.18)
Здесь vq = сЕу/Н, как следует из соотношения (7.9), есть скорость дрейфа под действием статических полей в направлении оси ж, а слагаемые, содержащие производные потенциала Ф, определяют дрейф под действием электрического поля медленной волны.
Перейдем в систему координат, движущуюся со скоростью vq вместе с бегущей волной (7.14), для чего произведем замену переменных:
(7-19)(7-19)X1 = X — Vфt,
(7-19)
(7-19)
ф, = Уф—УО Ну +Ф = _ /^о _ Уф н\ у + Я sin^'sh^y. (7.20) с\ 9 с / р
Здесь Ф' — эффективный потенциал, действующий на электроны в подвижной системе координат и являющийся суммой электростатического потенциала Е^у^ соответствующего однородному полю
Е’у = Еу - ^ Н, (7.21) которое определяет дрейф ') вдоль оси ж со скоростью сЕу/ Н = «о — — Уф, и сверхвысокочастотного потенциала (7.15), который в рассматриваемой системе координат зависит только от координаты и не зависит от времени.
Тогда в подвижной системе координат уравнения движения преобразуются к более удобному виду:
(7.22)(7.22)с ЭФ' . _ с ЭФ'Н Эу 1 Н Эх*'
(7.22)
(7.22)
Данные уравнения определяют медленное движение — дрейф ведущих центров. Траектория этих движений совпадает с эквипотенциаля- миФ' = const, так как согласно уравнениям движения (7.22) мгновенная скорость ведущего центра перпендикулярна вектору gradФ,. Если рассматривать движение ведущих центров, непрерывно распределенных в пространстве, то их скорость (вектор с составляющими х*, у) как функция координат х’, у удовлетворяет уравнению
(7.23)(7.23)Эх* Эу
(7.23)
(7.23)
Эх* Эу
Это означает, что движение ведущих центров подобно движению несжимаемой жидкости, поэтому плотность ведущих центров не изменяется при движении по траекториям.
Фазировка в скрещенных полях. Расчет мощностивзаимодействия и к.п.д. применительно к плоскомумагнетрону
Как было показано выше, в системе координат, движущейся вместе с волной, движение электронов складывается из дрейфа их ведущих центров согласно уравнениям (7.22) и орбитального движения — вращения вокруг ведущего центра с угловой скоростью шс. При условии точного синхронизма волны и электронов Уф = vq траектории ведущих
г) Заметим, что согласно релятивистским формулам преобразования электромагнитных полей, соотношение (7.21) определяет электрическое поле, которое действует на электрон в движущейся системе координат.
Рис. 7.3. Эквипотенциали и траектории в плоском магнетронеРис. 7.3. Эквипотенциали и траектории в плоском магнетронецентров определяются уравнением
Рис. 7.3. Эквипотенциали и траектории в плоском магнетроне
Рис. 7.3. Эквипотенциали и траектории в плоском магнетроне
Ф = const или sin Рх' • sh Ру = const, (7.24)
Рис. 7.4. Спица при точном синхронизмеРис. 7.4. Спица при точном синхронизмет. е. совпадают с эквипотенциалями синхронной волны. Отметим, что среди эквипотенциалей есть прямые линии: у = 0 (катод) и Рх* = 0, ± ±7Г, ±2тг.
Рис. 7.4. Спица при точном синхронизме
Рис. 7.4. Спица при точном синхронизме
На рис. 7.3 представлены траектории ведущих центров. Направление движения по ним легко найти из второго уравнения (7.22): при — — тг/2 < Рх* < тг/2 движение происходит вверх, от катода к аноду; при —Зтг/2 < Рх' < —тг/2 — вниз, от анода к катоду. На рисунке приведены все возможные траектории, фактическое же заполнение их ведущими центрами определяется способом инжекции электронов в пространство взаимодействия.
Если электроны эмиттируются катодом, расположенным в плоскости у = 0 (в пренебрежении пространственным зарядом и начальным разбросом по скоростям), то это означает, что ведущие центры возникают в плоскости у = го, где го выражается соотношением (7.8). Отсюда они и начинают движение вверх к аноду, образуя при —тг/2 < Рх' < тг/2 спицу («язы
чок» по монографии [4]), заштрихованную на рис. 7.4. Поскольку за время обращения 2тг/|cjc| ведущий центр смещается от катода, соответ-
ствующие электроны не возвращаются к катоду и попадают на анод, когда ведущий центр приближается к нему на расстояние tq.
Вышеописанная картина справедлива, если расстояние D между катодом и анодом больше 2го, и если время дрейфа Т через слой
го < у < (D — го) высоты (D — 2го) существенно больше 1/|cjc|, т. е.
К\Т^1,(7.25)
причем наименьшее время Т соответствует ведущим центрам, движущимся вертикально вверх (т. е. Зж' = 0), и равно [2]
Т = InthЗсЕ .Т = InthЗсЕ .З(Р-го)2З(Р-го)2-Inth^ .-Inth^ .(7.26)(7.26)
Т = InthЗсЕ .
Т = InthЗсЕ .
З(Р-го)
2
З(Р-го)
2
-Inth^ .
-Inth^ .
(7.26)
(7.26)
Условие D > 2го означает, что магнитное поле больше критического и магнетрон заперт, т. е. анодный ток в статическом режиме отсутствует.
Ведущие центры, дрейфующие к катоду, соответствуют электронам, инжектируемым в пространство взаимодействия при —Зтг/2 < Зж' < —тг/2итг/2 < Зх1 < Зтг/2 и возвращающимся на катод у = 0 после недолгого пребывания в пространстве взаимодействия: совершая один оборот эти электроны оседают на катод. Они, испытав ускорение со стороны высокочастотного поля, осуществляют дополнительный разогрев катода. Далее эти электроны рассматривать не будем. Заметим только, что для их рассмотрения анализа дрейфового приближения недостаточно ввиду их малого времени пребывания в пространстве взаимодействия.
Ведущие центры, дрейфующие вверх к аноду, составляют половину всех ведущих центров, возникающих в плоскости у = tq. В связи с этим, при исчезающе малом пространственном заряде анодный ток составляет половину тока эмиссии. Формирование спиц происходит и тогда, когда на движение электронов в прикатодной области влияет пространственный заряд (вопросы влияния пространственного заряда будут рассмотрены в следующей лекции).
Таким образом, как видно из рис. 7.3 и 7.4, при точном синхронизме (^ф = ^о) бегущая волна сколь угодно малой амплитуды отпирает магнетрон — формируются спицы и появляется анодный ток /о > 0. Анодное напряжение равно Vo = — EyD > 0, мощность, подводимая к прибору, равна Pq = IoVq.
Найдем теперь мощность, отдаваемую электронами сверхвысокочастотному полю. Для этого будем предполагать, что электроны при своем движении в поле волны сохраняют тот же радиус, что и при отсутствии высокочастотного поля.
При отсутствии высокочастотного поля при эмиссии с нулевой скоростью радиус орбиты го = хо/шс, причем в начальный момент скорость дрейфа хо как раз компенсирует скорость обращения шсГо. По мере удаления от катода потенциальная энергия электрона уменьшается, а кинетическая соответственно возрастает до своего максимального значения
2гое^2гое^,0 _ т(2иоЗ,0 _ т(2иоЗуу(7.27)(7.27)
2гое^
2гое^
,0 _ т(2иоЗ
,0 _ т(2иоЗ
у
у
(7.27)
(7.27)
Здесь в левой части стоит убыль потенциальной энергии от катода до верхней точки циклоиды (расположенной при у = 2го), а в правой — кинетическая энергия в верхней точке, где скорость дрейфа и скорость обращения складываются, и скорость частицы равна 2vq.
Слабое высокочастотное поле (Е <^ |^|) не изменяет существенно кинетической энергии, а, следовательно, энергия электрона при ударе об анод та же, что и в верхней точке циклоиды. Величина 8 = eEyD характеризует убыль потенциальной энергии при перемещении электрона от катода к аноду, а энергия, которая тратится на бомбардировку анода, равна 2x^8/D. Тогда на поддержку колебаний в резонаторе
Л 2го\ с
остается энергия II — и мощность, отдаваемая электронами высокочастотному полю, равна
Ре = (1 - ^) Р0. (7.28)
Здесь множитель i]a = 1 — 2го / D является анодным коэффициентом полезного действия. Он получается при эмиссии электронов с поверхности катода у = 0. При возвышении эмиттеров над плоскостью катода уа падает, а при углублении — растет и может достичь значения у™^ = = l-r0/2D [2,4].
Из этого рассмотрения понятен механизм фазовой фокусировки и энергетических превращений в магнетроне. Фазовая фокусировка обусловлена тем, что заполнены лишь траектории, идущие от катода к аноду, а траектории, идущие от анода к катоду (вблизи прямых (Зх* = = ±7г на рис. 7.3), пусты. Заполненные траектории дают анодный ток, поддерживающий колебания в резонаторе. Очевидно, что если бы были заполнены все траектории, то наряду с этим током появился бы ток противоположного направления, отбирающий энергию у колебаний. Энергетические превращения в магнетроне обусловлены тем, что электроны при движении от катода к аноду теряют свою потенциальную энергию. В отсутствие магнитного поля эта энергия бы превратилась в кинетическую и выделилась бы в виде тепла при ударе электронов об анод. Благодаря действию магнитного поля электроны разгоняются постоянным электрическим полем Еу сравнительно мало (лишь до кинетической энергии 2гоеЕу). Остальная часть потенциальной энергии электронов непосредственно превращается в энергию электромагнитных колебаний. Это превращение происходит в результате фази- ровки, благодаря которой в пространстве взаимодействия длительное время присутствуют лишь «полезные» электроны, образующие спицы, а электроны, отбирающие энергию у высокочастотного поля, быстро выводятся из пространства взаимодействия.
Предыдущее рассмотрение соответствовало случаю идеальной фа- зировки, т. е. точному синхронизму электронов и волны. Обсудим теперь качественно ситуацию при отсутствии точного синхронизма, т. е.
^Ф ^о- В этом случае траектория движения ведущих центров определяется из уравнения (7.20) при условии Ф' = const:
(7.29)(7.29)— ст 0у + sin /Wsh Ру = const,
(7.29)
(7.29)
где грО _ ц
ст = ^о-^Н = "—(7.30)
сЕЕ
характеризует расстройку скоростей. Первое слагаемое в выражении (7.29), пропорциональное у, определяет то постоянное поле в движущейся системе координат при отсутствии точного синхронизма, которое обусловливает дополнительный дрейф траекторий ведущих центров, исследованный выше: они «сносятся» в направлении оси ж.
Этот дополнительный дрейф может уменьшить анодный ток и даже воспрепятствовать образованию спиц. Действительно, при точном синхронизме спица целиком расположена в полосе —тг/2 < Рх' < тг/2, где ведущие центры движутся от катода к аноду. Под влиянием дополнительного дрейфа спица может выйти из этой полосы, и тогда она частично или полностью повернется к катоду, и анодный ток уменьшится или станет равным нулю. При достаточно большом различии скоростей vq и Жф вышеописанный простой механизм отпирания запертого магнетрона синхронной волной уже не работает [2].
Формулы (7.29) и (7.30) показывают, что форма траектории при отсутствии синхронизма определяется параметром а ~ ДДж, где Дж = = (жд — ^Ф^ — дополнительное смещение ведущего центра в направлении оси ж за время пролета Т. Можно показать (см., например [2]), что анодный ток отличен от нуля при условии |сг| < crmax ~ 1, а при 1^1 > сгтах спицы не образуются, и анодный ток равен нулю. На рис. 7.5 изображены спицы (траектории ведущих центров) для различных величин расстройки, причем вместо ст взят пропорциональный ему параметр 7=-^ = ^^.(7.31)
chpro Echpro
Здесь поле Е^ определяется формулой (7.21), а величина Ech Рт^, как можно видеть из соотношений (7.15) и (7.17), есть амплитуда составляющей Еу поля медленной волны в плоскости питания у = т0;
Еу = ^ЕсЬРго при Рх' = ±тг/2, у = rg.(7.32)
Данная составляющая поля фазирует ведущие центры — смещает их к вертикали Рх' = 0, что приводит к образованию и сужению спицы. Составляющая поля Еж определяет движение ведущих центров от катода к аноду и наоборот.
Рассмотрим более подробно результаты расчетов, представленных на рис. 7.5. При —1 < 7 < 1 (рис. 7.5ф спица искривляется, становится асимметричной, но при этом анодный ток не изменяется, поскольку
Рис. 7.5. Спицы при различной расстройке скоростей: а 7 < 1; 6 — 7 = 1; в — 7 > 1; г — 7 > 7тах- Здесь простой штриховкой отмечены электроны, возвращающиеся к катоду, а двойной — электроны, создающие анодный ток
все ведущие центры, начавшие свое движение при —тг/2 < ^х' < тг/2, приходят к аноду. Это связано с тем, что дефазирующее поле Е^ при |7| < 1 меньше фазирующего поля (7.32) на краях спицы, где она всего ближе к граничным вертикалям (Зх* = ±тг/2, после пересечения которых неизбежен дрейф обратно к катоду. Существенно именно фазирующее поле Еу при у = го, поскольку при дальнейшем движении к аноду фазирующее поле (пропорциональное ch (Зу^ монотонно растет, а дефазирующее остается постоянным.
При 7 = 1 фазирующее поле еще удерживает правый край спицы слева от вертикали (Зх* = тг/2 (рис. 7.56), при 7 > 1 этот край дрейфует в область (Зх* > тг/2 (рис. 7.5в) и возвращается к плоскости у = tq. При достаточно больших значениях 7 (при |7| > 7тах) в обратный дрейф вовлекаются все ведущие центры, и анодный ток равен нулю. Медленная волна в этом случае приводит лишь к образованию выступов в прикатодном электронном слое, не достигающих анода (рис. 7.5г).
Что вносит цилиндричность в физику магнетрона?
При исследовании цилиндрической модели магнетрона (рис. 7.26) также можно воспользоваться дрейфовыми уравнениями (7.9), в которых от декартовых координат нетрудно перейти к полярным координатам г, ср. Однако электростатическое поле в цилиндрическом магнетроне не может быть постоянным, а убывает как 1/г, а следовательно,
скорость дрейфа ио под действием электростатического поля зависит от г по закону
Уо = и^.(7.33)
Здесь v — скорость при т = г. Бегущая волна в новых координатах имеет вид exp (—j (пер + wt)), поэтому фазовая скорость ее также зависит от г: уФ = у|,(7.34)
где v — фазовая скорость при г = т. Выражения (7.33) и (7.34) свидетельствуют, что в цилиндрической модели магнетрона точный синхронизм электронов и волны во всем пространстве взаимодействия между катодом и анодом невозможен: можно добиться точного синхронизма лишь при т = г, где ^о = ^ф = Т. Тогда во всем пространстве взаимодействия при т > т будет -Гф > Vq, а при т < т — Уф < Vq. Величину г обычно поэтому называют синхронным радиусом.
Невозможность точного синхронизма во всем пространстве взаимодействия приводит к тому, что появляется дополнительный дрейф спиц в азимутальном направлении, причем скорость этого дрейфа зависит от радиуса. Этот дрейф искривляет спицы, а при малых амплитудах медленной волны, когда время дрейфа через пространство взаимодействия велико, может уменьшить анодный ток, или даже привести к его исчезновению (см., например, [2]).
Цилиндрический магнетрон: история созданияот Хэлла до Бута и Рэндала
Автоколебания на сверхвысоких частотах впервые были получены в 1919 году в аудионе (вакуумном триоде) — трехэлектродной лампе, содержащей управляющую сетку между нитью накала и анодом. Триод был сконструирован для работы на низких частотах, а СВЧ-колебания имели место при наличии колебательного движения электронов в межэлектродном пространстве при положительном потенциале на сетке и отрицательном на аноде.
Вскоре были открыты и исследованы колебания в простейших магнетронах — «гладком» и с разрезным анодом, а затем в диодах — генераторах.
Магнетрон занимает особое место среди СВЧ-автогенераторов. Истории его создания посвящено много работ. Показательно название одной из них, принадлежащей перу профессора истории науки Института Технологии в Джорджии Джеймсу Брайттейну— «Магнетрон и начало микроволнового века» [5].
В 1921 году Хэлл опубликовал работу, в которой была показана возможность управления движением электронов между коаксиальными цилиндрами с помощью постоянного магнитного поля (регулируемого
извне), перпендикулярного к постоянному электрическому полю между цилиндрами. С этой работой обычно связывают открытие магнетронного принципа колебаний. Интересно, что Брайттейн датирует изобретение магнетрона 1916 годом, хотя ссылается на публикацию 1921 года. Подобно одному из братьев Вариан и Компфнеру, Хэлл тоже начинал не как физик. Он окончил Йельский университет по специальности греческий язык и второстепенному курсу социологии, учился несколько лет в Академии в Олбэне, затем вернулся в Иель, чтобы окончить университет с ученой степенью по физике.
Следует, однако, заметить, что Хэлл имел целью создание низкочастотного мощного генератора: в его экспериментах обмотка электромагнита была включена в колебательный контур магнетрона и в анодную цепь, так что его магнетрон был генератором звуковой частоты. Главным в экспериментах Хэлла было открытие докритического,
Рис. 7.6. Зависимость тока /, проходящего через цилиндрический магнетрон в статическом режиме, при постоянном анодном напряжении от индукции магнитного поля. Над соответствующими точками кривой изображены траектории электронов для случая отсутствия магнитного поля (В = 0), докритического режима (В < Вкр), критического (В = = Вкр) и закритического (В > Вкр) режимов работы магнетронаРис. 7.6. Зависимость тока /, проходящего через цилиндрический магнетрон в статическом режиме, при постоянном анодном напряжении от индукции магнитного поля. Над соответствующими точками кривой изображены траектории электронов для случая отсутствия магнитного поля (В = 0), докритического режима (В < Вкр), критического (В = = Вкр) и закритического (В > Вкр) режимов работы магнетронакритического и закритического статических режимов в магнетроне (рис. 7.6). Стало понятно, что и в двухэлектродной лампе можно управлять электронами, отклоняя их магнитным полем (до этого было известно лишь управляющее и отпирающее действие сетки в триоде). Первые СВЧ-колебания в магнетроне с гладким анодом (конструкция Хэлла) были получены в 1924 г. Жачеком. В основе работы лежал механизм фазовой сортировки электронов — ускоренные высокочастотным полем электроны сразу оседали на катоде. Для удаления из пространства взаимодействия магнетрона электронов, которые в течение нескольких периодов ВЧ-по-
Рис. 7.6. Зависимость тока /, проходящего через цилиндрический магнетрон в статическом режиме, при постоянном анодном напряжении от индукции магнитного поля. Над соответствующими точками кривой изображены траектории электронов для случая отсутствия магнитного поля (В = 0), докритического режима (В < Вкр), критического (В = = Вкр) и закритического (В > Вкр) режимов работы магнетрона
Рис. 7.6. Зависимость тока /, проходящего через цилиндрический магнетрон в статическом режиме, при постоянном анодном напряжении от индукции магнитного поля. Над соответствующими точками кривой изображены траектории электронов для случая отсутствия магнитного поля (В = 0), докритического режима (В < Вкр), критического (В = = Вкр) и закритического (В > Вкр) режимов работы магнетрона
ля тормозились и теряли свою
энергию вращательного движения, применялся наклон постоянного магнитного поля относительно оси прибора или введение дополнительных электродов на краях магнетрона (концевые диски). В том же 1924 г. А.А. Слуцкиным и Д.С. Штейнбергом в Харьковском университете были начаты работы, которые также привели к открытию магнетронного способа создания ВЧ-колебаний (эти работы были развернуты по предложению и под руководством профессора Д.А. Рожанского). Были разработаны магнетроны с разрезным анодом, генерировавшие
в сантиметровом и дециметровом диапазонах длин волн. Сначала аноды были двухразрезные (или двухсегментные), т. е. цилиндрический анод магнетрона делился на две части щелями, параллельными оси цилиндра. Эти щели составляли емкость колебательного контура магнетрона, а индуктивностью был металлический виток, присоединенный к половинкам анода. В дальнейшем появились и многосегментные конструкции, достоинством которых были низкие анодные напряжения
и уменьшенные магнитные поля.
В 1935 г. Постумус предложил так называемый магнетрон с бегущей волной (точнее это был новый режим работы магнетрона с разрезным анодом). В этом магнетроне угловая скорость одной из волн, на которые можно было разложить высокочастотное поле в колеба
тельной системе, равнялась средней скорости азимутального вращения электронного облака. До 1940 г. были сконструированы магнетронные генераторы этого типа, работающие на волнах до 75 см и длиннее с к.п.д. 50% и больше. Таким образом, в магнетроне с бегущей волной уже был в известной мере заложен принцип будущего многорезонаторного магнетрона. Но в магнетроне не было еще многоконтурной колеба
тельной системы, состоящей из многих резонаторов, хотя идея такого контура уже существовала. Она впервые была предложена в 1929 г. М.А. Бонч-Бруевичем. Приведем начало его патента. «В передатчиках большой мощности, в особенности для коротких волн, большие затруднения вызывает устройство колебательной цепи последнего каскада, а также применение для этого каскада большого количества ламп, включенных параллельно. Поэтому оказывается выгодным разбить колебательный контур на ряд отдельных контуров, соединенных
Рис. 7.7. Схема много-Рис. 7.7. Схема много-между собою таким образом, чтобы это соединение обеспечило совместную правильную работу всех контуров, входящих в каскад. Для осуществления этой цепи в изображенном на чертеже ламповом генераторе с несколькими парами катодных ламп (см. рис. 7.7) колебательные контуры включены параллельно между собою таким образом, чтобы фазы в двух соседних контурах были обратными». Впоследствии в 1935 г. М.А. Бонч-Бруевич, став руководителем магнетронного проекта, вернулся к этой
Рис. 7.7. Схема много-
Рис. 7.7. Схема много-
идее на новом конструктивном уровне.контурного генератора,
Инженеры НИИ-9 (г. Ленинград) предложенного в патенте Н.Ф. Алексеев и Е.Д. Маляров под его М.А. Бонч-Бруевича руководством создали такую конструкцию
магнетрона, в которой анодный блок был выполнен из целого куска меди и содержал несколько (от четырех до восьми) полостей, играющих роль
резонаторов. Первые приборы генерировали в непрерывном режиме мощность 10 Вт на длине волны 9 см.
Рассмотренная нами выше кинематическая теория магнетрона в общих чертах была известна и в 30-е годы.
В 1940 г. Н.Ф. Алексеев и Е.Д. Маляров опубликовали статью [6], в которой описали многорезонаторный разборный магнетрон с четырьмя контурами с водяным охлаждением, который генерировал на длине волны 9 см колебания с мощностью до 300 Вт. Макет без водяного охлаждения при прочих равных условиях давал мощность 100 Вт. В четырехрезонаторном магнетроне были также получены колебания мощностью 2 Вт на длине волны 2,6 см. Статья Н.Ф. Алексеева и Е.Д. Малярова в 1944 г. была перепечатана в ведущем техническом журнале США «Труды института электро-радио-инженеров» [6]. Приоритет указанных авторов признается во всем мире и отмечается практически во всех исторических обзорах или книгах по магнетрону. Война прервала исследования магнетрона в СССР, и интенсивные работы начались лишь после окончания войны. Интересно, что истории изобретения магнетрона в СССР посвящено художественное произведение (Бабат Г., Гарф А. Магнетрон. М.: Детгиз, 1957, 901 с.), одним из авторов которого был Георгий Ильич Бабат — известный советский изобретатель, применивший, в частности, многоконтурный блок для индукционного нагрева и использовавший в нем связки в виде колец, подобные применяемым в магнетроне.
В предисловии к книге Бабат и Гарф пишут, на основе чего она была создана. «Работая над этой книгой, мы пользовались, помимо собственных воспоминаний, различными литературными источниками: комплектами советских и зарубежных технических журналов, рядом советских и зарубежных монографий, посвященных магнетронам... ... Однако наша работа ни в коей мере не является исчерпывающей историей магнетрона. Мы ограничили себя рассказом только об узком круге тесно связанных между собой лиц». Разумеется, художественное произведение — не исторический документ, но его чтение придает яркую эмоциональную окраску легко узнаваемым историческим событиям.
С началом войны центр исследований магнетрона переместился в Англию. Для борьбы с ночными бомбардировками необходимо было иметь самолетные радиолокационные станции с большей мощностью, чем обеспечивали применявшиеся тогда триоды. Ограничением на пути развития сантиметровой радиолокации было отсутствие подходящего генератора. Наибольшего успеха добились ученые Бирмингам- ского университета. «Британское Адмиралтейство — пишет уже упоминавшийся нами Р. Компфнер (более подробно его роль в развитии СВЧ-электроники обсудим в лекциях, посвященных приборам с длительным взаимодействием типа О) — учредило здесь секретную группу по исследованию ламп под руководством профессора М.Л. Олифанта с целью практического создания сантиметрового радиолокатора — это
было общее задание и оно было разделено между различными подгруппами. Одни занимались детекторами, другие генераторами и усилителями и так далее. Кто-нибудь еще напишет, как вот именно в такой группе Бут и Рэндел создали многорезонаторный магнетрон».
Пророчества Компфнера сбылись: о создании магнетрона написали сами Бут и Рэндол [7] и известный английский писатель Чарльз Сноу [8]. Как ни странно, чувство справедливости покинуло Бута и Рэндола, и они не сослались на работу Алексеева и Малярова. Приведем выдержку из написанного Сноу [8, стр. 93-94]. «Англичанам действительно пришлось напрячь все свои силы ради того, чтобы выжить; неудивительно поэтому, что в большинстве вопросов, связанных с использованием науки в военных целях, они оказались более осведомленными. В первую очередь это касалось радаров. Хотя английские, американские и немецкие ученые начали заниматься радарами почти одновременно — что, кстати, дает нам повод еще раз задуматься о природе «секретных» открытий, — к 1940 году англичане значительно опередили всех остальных.
Тизард и Кокрофт привезли в Америку черный кожаный чемодан, который мисс Джири, секретарша Тизарда, держала у себя под кроватью. Она не знала, что в нем хранятся почти все новые научные приборы военного назначения, созданные в Англии, и среди них новый магнетрон — прибор совсем иной степени важности, чем все остальные весьма важные изобретения...
Магнетрон, созданный Рэндолом и Бутом в лаборатории Олифанта в Бирмингеме, оказался, быть может, самым полезным прибором в борьбе с Гитлером. Он произвел на американских ученых настолько сильное впечатление, что они немедленно взялись за дело и трудились все 16 месяцев, которые у них остались до вступления Соединенных Штатов в войну».
Приведем еще одно, более компетентное, мнение об английском магнетроне, принадлежащее президенту Института Радиоинженеров США Ф.Б. Левеллину, когда он вспоминал о 6 октября 1940 г. — дне демонстрации магнетрона. «Этот день запомнился. Лампа давала выходную импульсную мощность около 10 кВт на частоте около 3000 МГц. Это была мощность почти в 5 раз больше даваемой триодами... и, более того, частота была в 4 раза выше. Можно представить себе наш энтузиазм!». В лабораториях фирмы Белл была снята рентгенограмма с английского магнетрона, и уже в середине ноября 1940 г. американцы имели несколько работающих копий английской лампы.
В конце 50-х годов в США появился первый представитель нового класса широкополосных приборов типа М с замкнутым электронным пучком — платинотрон (амплитрон, усилитель со скрещенными полями). Истории его создания, а также описанию некоторых его характеристик, посвящен следующий параграф лекции.
Вильям Браун и усилитель со скрещенными полями
В середине 1957 г. в журнале Electronics появилась реклама (она приведена на рис. 7.8 х)) нового прибора, который назывался в ней
номер журнала содержал статью с названием
амплитроном. Тот жеамплитроном. Тот жеРис. 7.8. Реклама фирмы Рейшен в журнале Electronics от 1 августа 1957, описывающая характеристики платинотрона, но называемого амплитроном (из работы [10])Рис. 7.8. Реклама фирмы Рейшен в журнале Electronics от 1 августа 1957, описывающая характеристики платинотрона, но называемого амплитроном (из работы [10])«Платинотрон увеличивает радиус действия поискового радара» [9]. Заметьте, что в рекламе прибор не называется платинотроном или усилителем со скрещенными полями, как назвали его мы в заголовке раздела, а «амплитроном». История этого прибора начинается с некоторой путаницы в его названиях. Но лучше всего эту ситуацию объяснит сам создатель амплитрона — Вильям Браун. Вот как он пишет об этом в своих воспоминаниях [10]: «Когда прибор был изобретен, я обозначил его как широкополосный усилитель. Мне нужен был какой-нибудь новый термин, заканчивающийся на «трон». В это время суффикс «трон» применялся ко всем электронным лампам. Было также модно находить греческие или латинские префиксы. Поэтому я проконсультировался у ученого, знающего греческий язык, и он посоветовал мне греческое слово «платино», значение которого соответствует широким плато-подобным качествам лампы. С тех пор я использовал термин
амплитроном. Тот же
амплитроном. Тот же
Рис. 7.8. Реклама фирмы Рейшен в журнале Electronics от 1 августа 1957, описывающая характеристики платинотрона, но называемого амплитроном (из работы [10])
Рис. 7.8. Реклама фирмы Рейшен в журнале Electronics от 1 августа 1957, описывающая характеристики платинотрона, но называемого амплитроном (из работы [10])
платинотрон для этого прибора и использовал тот же термин в названии заархивированной журнальной статьи «Описание и рабочие характеристики платинотрона— новой микроволновой лампы», опубликованной в 1957 году в Трудах Института радиоинженеров [11].
Однако наш менеджер по рынку сбыта в Рэйшен ) полагал, что термин «амплитрон» будет более привлекателен для рынка, и термин
г) Практически все иллюстрации из этого раздела взяты из статьи [10], где приведены соответствующие ссылки на оригинальные работы.
«платинотрон» быстро ушел на задний план. К сожалению, термин «амплитрон» был уже замаркирован, поэтому, когда соперники Рэйшен вышли на арену, они заменили термин амплитрон и стали называть этот прибор как «усилитель со скрещенными полями», и в конце концов Рэйшен тоже начал использовать более общий термин. Я научился жить с этими взаимозаменяемыми наименованиями, и надеюсь, читатель поймет, когда по ходу статьи я буду ссылаться на один и тот же прибор, называя его платинотроном, амплитроном или усилителем со скрещенными полями... ».
Возвращаясь к рекламе в Electronics можно сказать, что для прочитавших её, прибор, описанный в ней, мог показаться «удачей одной ночи». С чем же это было связано? Не будет большой натяжкой сказать, что 1952 год был «годом усилителя». До этого времени магнетроны были единственными СВЧ-лампами, использовавшимися в радарах во время II мировой войны. Но это были генераторы, не пригодные для новых улучшенных радаров, разработанных после II мировой войны, которые требовали широкополосных усилителей с большей мощностью. СВЧ-усилители в то время были большими, весьма неэффективными, к тому же, у них была ограниченная полоса частот с падением мощности и к.п.д. на краях. Поэтому это было очень подходящее время для преобразования обычного магнетронного генератора в широкополосный усилитель, который бы сохранил все выдающиеся свойства магнетрона: высокий к.п.д., способность управления очень высокой максимальной мощностью, простоту производства и относительно низкую цену, небольшой размер и массу.
Первым, кто понял как преобразовать магнетронный генератор в широкополосный усилитель, был Вильям Браун (1916-1999) — заведующий лабораторией магнетронных разработок в компании Рэйшен. Лаборатория начиналась с нескольких инженеров в начале II мировой войны, а уже вскоре после окончания войны насчитывала более 400 сотрудников, около 100 из которых были инженерами. В 1952 году сотрудники лаборатории занимались разработкой второго поколения магнетронов для радаров и контрольных измерений, поэтому времени на исследование преобразования магнетронного генератора в широкополосный усилитель на работе у Брауна практически не оставалось. Однако уже тогда ему было ясно, что даже новый магнетронный генератор был непригоден для будущих, более сложных радаров и устаревал, не успев еще возникнуть.
Поэтому все работы над новым прибором В. Браун проводил в небольшой, но хорошо оснащенной оборудованием для электронных тестов мастерской у себя дома.
амплитрона добровольно отказался от управленческой должности, чтобы руководить непосредственно исследованиями нового прибора.
Проследим, что происходит при преобразовании магнетронного генератора в широкополосный усилитель. На рис. 7.9 схематично сравниваются магнетрон с платинотроном. Напомним, что магнетрон содержит анодный блок, состоящий из полостей (резонаторов), который окружает катод, эмитирующий электроны. Магнитное поле направлено параллельно оси системы. Чтобы прибор заработал, необходимо
Рис. 7.9. Основное конструктивное различие между магнетронным генератором и платинотроном — наличие у платинотрона входного устройства, а у магнетрона — его отсутствие. Сама электродинамическая система имеет свойства широкополосного полосового фильтра. Магнетрон работает на нижнем краю полосы пропускания, в то время, как платинотрон — гораздо выше, где фазовый сдвиг с частотой уменьшается, а характерное сопротивление легко подобрать равным волновому сопротивлению входной и выходной ВЧ-линий связиРис. 7.9. Основное конструктивное различие между магнетронным генератором и платинотроном — наличие у платинотрона входного устройства, а у магнетрона — его отсутствие. Сама электродинамическая система имеет свойства широкополосного полосового фильтра. Магнетрон работает на нижнем краю полосы пропускания, в то время, как платинотрон — гораздо выше, где фазовый сдвиг с частотой уменьшается, а характерное сопротивление легко подобрать равным волновому сопротивлению входной и выходной ВЧ-линий связимируются электронные структуры — спицы, которые в цилиндрической конструкции вращаются вокруг оси системы и отдают высокочастотную мощность в линию передачи с медленной волной. Эти спицы практически идентичны у магнетрона и платинотрона.Как пишет сам Вильям Браун: «Оглядываясь назад, трудно понять, почему магнетрон не был преобразован в широкополосный усилитель раньше». Действительно, та кинематическая теория которая была изложена в этой лекмируются электронные структуры — спицы, которые в цилиндрической конструкции вращаются вокруг оси системы и отдают высокочастотную мощность в линию передачи с медленной волной. Эти спицы практически идентичны у магнетрона и платинотрона.Как пишет сам Вильям Браун: «Оглядываясь назад, трудно понять, почему магнетрон не был преобразован в широкополосный усилитель раньше». Действительно, та кинематическая теория которая была изложена в этой лекции была в общих чертах известна еще в 30-х годах (мы уже упоминали об этом в связи с идеей магнетрона с бегущей волной). Анодный блок магнетрона в том виде, в каком он применялся в магнетронныхции была в общих чертах известна еще в 30-х годах (мы уже упоминали об этом в связи с идеей магнетрона с бегущей волной). Анодный блок магнетрона в том виде, в каком он применялся в магнетронныхприборах, разрабатываемых в конце II мировой войны, по-существуприборах, разрабатываемых в конце II мировой войны, по-существуподать постоянное напряжение между катодом и анодным блоком. При увеличении ускоряющего напряжения электроны покидают катод и движутся в скрещенных полях. Если еще больше увеличить напряжение, то дрейфовая скорость электронов будет равна фазовой скорости высокочастотной волны в линии передачи. В последнем случае, происходит эффективное взаимодействие между синхронной волной и электронами, в результате чего фор-
Рис. 7.9. Основное конструктивное различие между магнетронным генератором и платинотроном — наличие у платинотрона входного устройства, а у магнетрона — его отсутствие. Сама электродинамическая система имеет свойства широкополосного полосового фильтра. Магнетрон работает на нижнем краю полосы пропускания, в то время, как платинотрон — гораздо выше, где фазовый сдвиг с частотой уменьшается, а характерное сопротивление легко подобрать равным волновому сопротивлению входной и выходной ВЧ-линий связи
Рис. 7.9. Основное конструктивное различие между магнетронным генератором и платинотроном — наличие у платинотрона входного устройства, а у магнетрона — его отсутствие. Сама электродинамическая система имеет свойства широкополосного полосового фильтра. Магнетрон работает на нижнем краю полосы пропускания, в то время, как платинотрон — гораздо выше, где фазовый сдвиг с частотой уменьшается, а характерное сопротивление легко подобрать равным волновому сопротивлению входной и выходной ВЧ-линий связи
мируются электронные структуры — спицы, которые в цилиндрической конструкции вращаются вокруг оси системы и отдают высокочастотную мощность в линию передачи с медленной волной. Эти спицы практически идентичны у магнетрона и платинотрона.
Как пишет сам Вильям Браун: «Оглядываясь назад, трудно понять, почему магнетрон не был преобразован в широкополосный усилитель раньше». Действительно, та кинематическая теория которая была изложена в этой лек
мируются электронные структуры — спицы, которые в цилиндрической конструкции вращаются вокруг оси системы и отдают высокочастотную мощность в линию передачи с медленной волной. Эти спицы практически идентичны у магнетрона и платинотрона.
Как пишет сам Вильям Браун: «Оглядываясь назад, трудно понять, почему магнетрон не был преобразован в широкополосный усилитель раньше». Действительно, та кинематическая теория которая была изложена в этой лек
ции была в общих чертах известна еще в 30-х годах (мы уже упоминали об этом в связи с идеей магнетрона с бегущей волной). Анодный блок магнетрона в том виде, в каком он применялся в магнетронных
ции была в общих чертах известна еще в 30-х годах (мы уже упоминали об этом в связи с идеей магнетрона с бегущей волной). Анодный блок магнетрона в том виде, в каком он применялся в магнетронных
приборах, разрабатываемых в конце II мировой войны, по-существу
приборах, разрабатываемых в конце II мировой войны, по-существу
есть линия передачи, нагруженная последовательностью резонирующих полостей. Эта нагрузка превращает линию передачи в фильтр с полосой пропускания значительной ширины с волновым сопротивлением, величина которого колеблется от бесконечной на краях полосы до значения, равного волновому сопротивлению выходного тракта,
в середине полосы пропускания. Магнетроны, разработанные в Англии, проектировались так, что работали на нижнем краю полосы пропускания, что делало их резонансными приборами. У магнетрона есть всего один вывод энергии, свободно связанный с резонирующей цепью петлей (или щелью). Отсюда понятно, что если разорвать замкнутую систему магнетрона, присоединить входное и выходное устройство к разорванным концам, как показано на рис. 7.9, и заставить полученный прибор работать в частотной области ближе к середине полосы пропускания, то можно получить мощный широкополосный усилитель со скрещенными полями с замкнутым электронным пучком.
Однако в 1952 году никто не мог сказать, что произойдет, если произвести такое простое механическое преобразование. В то время акцент делался на приборы с продольным взаимодействием, такие, как клистрон и лампа с бегущей волной, предложенная в 1942-1943 гг. Рудольфом Компфнером. И тем более, никто не мог предсказать, в случае создания такого прибора, который давал бы широкополосное усиление, будет ли такой усилитель работать в линейном режиме или в режиме насыщения, и будет ли он генерировать на частоте, отличной от частоты входного сигнала. В итоге удачным оказался усилитель, работающий в режиме насыщения, чья мощность слабо зависела от входного ВЧ-сигнала. При этом оказалось, что коэффициент усиления ограничен 20 дБ, а в большинстве случаев достигает только 10 дБ. В то время это совсем не соответствовало пониманию того, что такое усилитель. Тем на менее, платинотронный прибор быстро завоевал рынок сбыта, где были одновременно необходимы и высокая СВЧ-мощность, и большая ширина полосы пропускания.
Обратим внимание на некоторые особенности резонансных колебательных систем, использующихся в магнетроне, без знания которых невозможно понимание свойств усилителя со скрещенными полями. Колебательная система магнетронного генератора представляет собой, по существу, широкополосную замедляющую систему того или иного вида, свернутую в кольцо и замкнутую на себя. При этом колебательная система (анодный блок) приобретает резонансные свойства. При возбуждении в замкнутой колебательной системе устанавливается стоячая волна, которая может быть представлена в виде двух вращающихся навстречу друг другу бегущих волн. Условие (7.1) определяет возможные виды колебаний резонансной колебательной системы, характеризующиеся различными фазовыми сдвигами на период фо = Inn/N, а следовательно, различными частотами и распределениями поля в пространстве взаимодействия. Так как распределение поля каждой из бегущих волн, образующих в колебательной системе стоячую волну, отличается от гармонического, то каждая из этих волн может быть разложена в ряд по пространственным гармоникам, которые имеют различную угловую скорость и одинаковую частоту. Тогда, для фазового сдвига на один
период замедляющей системы можно записать
фт = фо + 2тгт, т = 0, ±1, ±2, ±3 . . .,(7.35)
где фт — фазовый сдвиг т-й пространственной гармоники. Если Пт — угловая фазовая скорость т-й пространственной гармоники, то величина и) )^т — угловое волновое число. При сдвиге на один период системы азимутальная координата меняется на величину 2тг/7У — угловой период системы, а, следовательно, фазовый сдвиг на период можно представить в виде
(7-36)
(7.37)(7.37)Приравнивая соотношения (7.35) и (7.36) и учитывая формулу (7.1), для угловой скорости т-й пространственной гармоники n-го вида колебаний можно записать
(7.37)
(7.37)
о —п + Nm
где шп — угловая частота n-го вида колебаний.
Для тг-вида колебаний (n = N/2) угловая скорость имеет вид:
= WT^F (7'38)
Обычно в магнетроне используются гармоники с номерами 0, ±1. Из соотношения (7.38) видно, что угловые скорости нулевой (т = 0) и первой обратной (т = — 1) гармоник основного вида равны и противоположны по направлению.
Как уже отмечалось в начале лекции, важным является добиться стабильности работы магнетронного генератора. При работе на тг-виде колебаний возможность возбуждения паразитного вида колебаний значительно уменьшается, если частота основного (п = N/2) и первого паразитного (п = N (2 — 1) видов колебаний достаточно разделены. Наиболее эффективным способом такого разделения является применение в качестве колебательных систем магнетрона замедляющих структур с аномальной дисперсией. Такие структуры обеспечивают вблизи частоты отсечки наибольшее разделение частот при переходе от основного вида колебаний к паразитным, в отличие от систем с нормальной дисперсией [13, стр. 46; рис. 1.19]. Заметим, что типичными примерами электродинамических структур с аномальной дисперсией, используемых в магнетронах, являются гребенка со связками (в дециметровом и сантиметровом диапазоне; см. рис. 7.1 в) и разнорезонаторные гребенчатые системы (в нижней части сантиметрового и миллиметровом диапазонах рис. 7.16).
Для нас наиболее важно то, что используемая в магнетронном генераторе, а следовательно, и в платинотронном усилителе колебательная система обладает аномальной дисперсией, т. е. в ней распространяются
волны, фазовая и групповая скорости которых противоположно направлены. Это означает, что электронный пучок в амплитроне взаимодействует с обратной волной, фазовая скорость которой равна дрейфовой скорости электронов, а энергия распространяется навстречу пучку. По существу, амплитрон является усилителем обратной волны.
Однако вернемся к истории создания амплитрона. Широкополосный усилитель со скрещенными полями и с замкнутым электронным пучком был создан в 1952 году. Как же был достигнут в итоге успех в создании такого прибора? Обратимся опять к воспоминаниям В. Брауна [10]: «За несколько лет до 1952 года я в принципе уже работал с простой модификацией магнетрона. Но я не ожидал хорошего результата от небольшого количества секций (соответствующих небольшому количеству резонаторов). В лаборатории мы создавали и испытывали лампы с большим количеством секций, от 60 до 80. Эти лампы... делали... не для того, чтобы создать усилитель.
На этом этапе создания прибора можно отметить, что «отчаяние — мать изобретения». Настроенный таким образом, я решил попробовать самую простую конструкцию, в которой было всего 11 секций. Колебательная система была сконструирована так, чтобы получить максимальное волновое сопротивление. Я решил проводить опыты сам, чтобы отметить все нюансы, которые могли бы привести к лучшему пониманию того, как можно преобразовать магнетронный генератор в широкополосным усилитель.
Была сконструирована лампа, обозначенная как QK 403. Из-за своих обязанностей менеджера мне приходилось проводить испытания только по вечерам. Я начал испытывать лампу как генератор с нагрузкой и изменяемым отражением на обоих концах. ...яс удовольствием отметил большую разницу в выходной мощности, которая изменялась при изменении полярности магнитного поля. Это очень обнадеживало, так как указывало на направленное усиление. Однако было уже поздно, поэтому я выключил прибор и пошел домой. На следующий вечер я решил проверить предыдущие результаты прежде, чем продолжить испытания усилителя, и был поражен, обнаружив, что не могу их воспроизвести. Затем последовало несколько вечеров интенсивной работы по проверке каждого возможного изменения, которое могло произойти во время испытания. Я начал думать, что то, что я видел раньше, было иллюзией. И, наконец, с последней надеждой я снял колпак с лампы и с облегчением обнаружил, что одна из лопастей расплавилась. Очевидно, концы лопасти попались достаточно хрупкие, и так как я хотел сохранить высокое сопротивление, расплавились как раз в тот момент, когда я отключил прибор тем вечером. Была поспешно сконструирована вторая лампа, и 18 декабря 1952 года мне удалось повторить прежние наблюдения и продолжить получение новых данных по направленным свойствам прибора ... [было] достигнуто усиление в 9 дБ при частоте
8 Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов
QK 304 ANODEa CURRENT-PEAK AMPERS 6QK 304 ANODEa CURRENT-PEAK AMPERS 6Рис. 7.10. Первые данные, полученные от платинотрона QK 403, который работал как усилитель и показал однонаправленное усиление (а); если магнитное поле изменялось так, чтобы поток электронов двигался в другом направлении вокруг катода, вход и выход лампы менялись местами. Внешний вид QK 403 [10] (б)Рис. 7.10. Первые данные, полученные от платинотрона QK 403, который работал как усилитель и показал однонаправленное усиление (а); если магнитное поле изменялось так, чтобы поток электронов двигался в другом направлении вокруг катода, вход и выход лампы менялись местами. Внешний вид QK 403 [10] (б)
QK 304 ANODE
a CURRENT-PEAK AMPERS 6
QK 304 ANODE
a CURRENT-PEAK AMPERS 6
Рис. 7.10. Первые данные, полученные от платинотрона QK 403, который работал как усилитель и показал однонаправленное усиление (а); если магнитное поле изменялось так, чтобы поток электронов двигался в другом направлении вокруг катода, вход и выход лампы менялись местами. Внешний вид QK 403 [10] (б)
Рис. 7.10. Первые данные, полученные от платинотрона QK 403, который работал как усилитель и показал однонаправленное усиление (а); если магнитное поле изменялось так, чтобы поток электронов двигался в другом направлении вокруг катода, вход и выход лампы менялись местами. Внешний вид QK 403 [10] (б)
от 3780 до 3850 МГц. Максимальная мощность была 24 кВт, а к.п.д. порядка 40 %. Эти данные показаны на рис. 7.10а».
Вильям Браун сохранил амплитрон QK 403, на котором были сделаны первые измерения, и передал его в MTT-S историческую коллекцию в 1987 году. Фотография лампы, позволяющая представить вид и размеры первого амплитрона, приведена на рис. 7.106.
Однако вначале новый усилитель не вызвал особого интереса и, как утверждает Браун, «все могло закончиться крахом», если бы не помощь войск связи США, которых заинтересовал новый прибор. В июне 1953 года в Оттаве на конференции по использованию электронных ламп (мы еще упомянем эту конференцию в рассказе об изобретении лампы бегущей волны: именно там Рудольф Компфнер «не узнает» изобретенную им ЛБВ) платинотрон был рассмотрен экспертами армии США, и группа сотрудников компании Рэйшен во главе с Брауном стала разрабатывать платинотрон в качестве замены «рабочей лошадки» радаров того времени — магнетрона 5J26. Именно эта конструкция магнетрона стала прообразом амплитрона QK 434 (некоторые конструктивные части 5J26 непосредственно использовались в QK 434). Получившаяся лампа показана на рис. 7.11: крышка QK 434 снята, чтобы было видно его внутреннее устройство.
Именно эта лампа имела огромный успех. Амлитрон QK 434 был продемонстрирован в качестве усилителя и высоко стабильного генератора (принцип стабилотрона) на специальном симпозиуме в Форте Монмаут в 1954 году. Как пишет Вильям Браун, после этого симпозиума всем стало ясно, что магнетронный генератор был преобразован в широкополосный усилитель со многими желаемыми свойствами.
Рис. 7.11. (о) На фотографии представлен амплитрон QK 434; частота и мощность такие же, как у QK 403, с которым он сравнивается на фотографии. Разработанная в течение одного года, с 1953 по 1954, по контракту с войсками связи США, лампа QK 434 давала стабильное усиление до 16 дБ, максимальные уровни мощности на выходе от нескольких сотен киловатт до 3 МВт, средняя мощность порядка 1500 Вт; к.п.д. ~ 60 % для нормальных диапазонов изменения мощности, и до ~ 76 % для высокомощных режимов с низким усилением (из работы [10]). (б) Принципиальная схема стабило- трона. (в) Зависимость фазового сдвига от частоты: штриховая линия — нестабилизированная система, сплошная — стабилизированная внешним высокодобротным резонатором
По-видимому, самым удивительным свойством амплитрона является направленность усиления, которую теоретически первым объяснил Домбровски (см., например, [13,14]). На языке теории возбуждения волновода заданным током это объяснение выглядит элементарно. Предположим, что в электронном потоке амплитрона возникла волна тока
г = г exp [J(cjt — щж/??о)] , (7.39)
где ^о = Е° /В, возбуждающая поле в колебательной системе прибора. Для доказательства направленности усиления достаточно ограничиться приближением заданного тока и учесть, что амплитрон является усилителем обратной волны. Подставляя выражение (7.39) для тока г
в уравнение возбуждения волновода (1.72), получим:
Е^ = E°e-jM$-n - ^J£Е^ = E°e-jM$-n - ^J£РоКРоК22^ЗЗоХ^зЛо^Ш/х0^Х д—О^ЗЗоХ^зЛо^Ш/х0^Х д—О(7.40)(7.40)
Е^ = E°e-jM$-n - ^J£
Е^ = E°e-jM$-n - ^J£
РоК
РоК
2
2
^ЗЗоХ^зЛо^Ш/х0^Х д—
О
^ЗЗоХ^зЛо^Ш/х0^Х д—
О
(7.40)
(7.40)
Здесь учтено, что в усилителе обратной волны входной сигнал Е° поступает в конце пространства взаимодействия х = /, поэтому его записывам в виде Е° ехр \_~j3o(х — /)].
Из уравнения возбуждения (7.40) нетрудно видеть, что при условии синхронизма wfu^ = До «резонансным» оказывается только первый интеграл. Этим и доказывается однонаправленность усиления. Очевидно, что при смене направления магнитного поля меняет знак t>o и «резонансным» становится второй интеграл.
Впервые усилитель со скрещенными полями был применен в поисковом радаре в ракетной системе Hawk Missile System. Но там он использовался как высоко стабилизированный генератор под названием «стабилотрон» [12, 13]. Принцип стабилотрона был предложен Эрлом Шелтоном. В этом приборе используется наиболее важное свойство платинотрона— направленное усиление. Без подачи мощности питания лампа прозрачна для высокочастотного сигнала в полосе пропускания, где она работает. Сигнал, поступивший на один из элементов связи, проходит к другому концу неизмененным, за исключением небольшого затухания, которое вызывается «холодным» затуханием в СВЧ-цепи (обычно десятая часть децибелла). Но если входной сигнал подается на работающую лампу, то усиление происходит только в одном направлении, в зависимости от направления магнитного поля. Поэтому если какая-то часть усиленного сигнала отражается от нагрузки выходного тракта платинотрона, она проходит обратно по лампе, слабо взаимодействуя со спицами, и достигает ввода энергии с небольшим ослаблением.
Отсюда очевидно, что если к отражению на выходе добавить полное отражение на входе, то платинотрон превратится в генератор, частота которого будет определяться фазовыми соотношениями в цепи обратной связи. Для стабилизации спектральных характеристик такого генератора в цепь обратной связи вводится высокодобротный контур. Так был создан стабилотрон.
Рассмотрим принцип его работы (рис. 7.115, [13]). Пусть на входе платинотрона появляется шумовой сигнал. Часть сигнала отразится от отражающего элемента в плоскости 1 и начнет двигаться в обратном направлении. Эта отраженная мощность проходит без затухания через замедляющую систему платинотрона, фазовращатель и попадает на
вход резонатора, расположенного в плоскости 2. Волна, отразившаяся от плоскости 2, поступает на вход платинотрона, усиливается в нем, и вновь попадает в выходную плоскость 1, где вновь отражается и т. д. Таким образом цепь обратной связи замыкается, причем условия положительной обратной связи будут обеспечиваться только для тех частот, для которых полный фазовый сдвиг О в цепи обратной связи равен 2тгп, п = 1,2,3. .
Основным элементом, стабилизирующим частоту генератора, является резонатор, подключенный к плоскости 2. Поскольку фаза коэффициента отражения от эквивалентной плоскости резонатора вблизи собственной частоты резонатора /о является быстропеременной функцией частоты, полный фазовый сдвиг по замкнутому контуру генератора 6 вблизи резонансной частоты /о испытывает резкий скачок. Для цепи обратной связи без высокодобротной резонирующей нагрузки фазовый сдвиг при изменении частоты меняется плавно и медленно. Тогда, если условия положительной обратной связи выполняются как раз на резонансной частоте резонатора, то в этом случае стабилотрон устойчиво генерирует на частоте /о-
Действительно, пусть (см. рис. 7.Не) в силу тех или иных причин (изменение параметров нагрузки, линии передач и т. п.) полный фазовый сдвиг 6 в системе изменился на некоторую величину Д0. В неста- билизированной системе это приведет к значительному изменению частоты Д/нест, а в системе стабилизированной резонатором, благодаря резкому скачку фазового сдвига вблизи резонанса, величина Д/Ст ^ <С Д/Нест- Величина Д/неСт/Д/ст характеризует степень стабилизации и имеет значение порядка 200 4- 400 [11]. Отсюда также понятно, что для изменения частоты генерации стабилотрона необходима одновременная подстройка фазовращателя и стабилизирующего контура. Таким образом, стабилотрон представляет собой генератор, высокоустойчивый к различным как внешним, так и внутренним возмущениям.
Для сравнения в таблице 7.1 приведены данные по стабилотрону QK 630, созданному на базе QK 434, и аналогичные параметры магнетронного генератора 5J26 (см. рис. 7.12), выходные характеристики (частота и мощность) которого аналогичны стабилотрону.
Следующим этапом разработки амплитрона под руководством Вильяма Брауна стало исследование возможности создания сверхмощной лампы на частоте порядка 3 ГГц, которая работала бы на уровне постоянной мощности на выходе в 400 кВт [15]. Понятно, что разработка таких устройств требует больших финансовых затрат. И здесь на помощь Брауну приходит случай. Вот как он пишет об этом.
«Естественно, незатребованное предложение разработки такой сверхмощной лампы вызвало бы мало поддержки со стороны правительства. Однако совершенно случайно, неожиданное международное событие заставило правительство благоприятно отозваться на такое
гагат>| МГц|«гагат>| МГц|«Импульс тока (17 мкс) Спектр стабилотрона
гагат
>| МГц|«
гагат
>| МГц|«
|ч 1500МГц „||ч 1500МГц „|Спектр магнетронаСпектр магнетронаРис. 7.12. Показан яркий контраст в характеристиках обычного 5J26 магнетрона и платинотрона, действующего как стабилотрон при импульсе в 17 микросекунд с «плохой» формой импульса тока. Стабилотрон имеет почти теоретический спектр для импульса такой длительности, тогда как у магнетрона 5J26 он «рассыпался» на интервал 1500 МГц (из работы [10])
|ч 1500МГц „|
|ч 1500МГц „|
Спектр магнетрона
Спектр магнетрона
Таблица 7.1
Характеристики лампы
Стабилотрон QK 630
Магнетрон 5J26
Затягивание частоты, МГц
0,4 4-0,6
2 4-2,5
Электронное смещение
частоты, кГц/А
14-4
50 4- 100
Ток в импульсе, А
40
46
Напряжение в импульсе, кВ
36
28,2
Магнитное поле, Гс
1150
1400
К.п.д., %
52
42
Выходная мощность, кВт
650
550
Область механической
перестройки, МГц
1260 4- 1350
1220 4- 1350
предложение. Этим событием был спутник, а ответом — Научноисследовательское Агенство по Передовым Технологиям Оборонного характера (the Defence Advanced Research Projects Agency — DARPA). Агенство занималось поиском передовых технологий. Рейшен, ведущая фирма-новатор в области новых электронных технологий, представила Агенству системное предложение, называемое RAMP, акроним Raytheon Airborne Microwave Platform. Предложенный сверхмощный амплитрон был ключевым компонентом этой системы, в которой СВЧ-луч высокой мощности, сформированный на Земле, концентрировался на платформе вертолета, действующего на высоте в 10 миль над Землей, чтобы обеспечить вертолет энергией, осуществлять связь и выполнять функции наблюдения. Этот проект получил некоторые деньги на исследование, но разработка сверхмощного амплитрона была финансирована полностью. На амплитрон с непрерывной мощностью в 400 кВт и сверхмощный импульсный амплитрон с мощностью 50 МВт было выделено свыше шести миллионов долларов. В качестве
своего вклада в программу компания Рейшен построила лабораторию по сверхмощным разработкам. Меня назначили руководителем этой программы, в которую входили разработки не только по сверхмощному амплитрону, но также и практическому применению высокочастотной энергии, включая промышленную микроволновую обработку материалов и первые разработки систем беспроводной передачи энергии, о которой более подробно мы раскажем ниже.
Разработка мощного амплитрона непрерывного действия была успешной: была создана лампа с мощностью 425 кВт при к.п.д. 76% и шириной полосы пропускания 8 % ... Если посмотреть назад, то можно считать программу по созданию сверхмощных источников СВЧ-излучения аномальной, которая не часто возникает в мирное время, и хотя полученные лампы было большим шагом вперед в технологии, они не были такой насущной необходимостью, как магнетроны во время II мировой войны... Поэтому вскоре эта программа потускнела».
Интересно также то, что программа разработки сверхмощного амплитрона помешала Брауну организовать собственную компанию по разработке и использованию маломощных платинотронов, для чего не требовалось дорогостоящее и сложное оборудование, но вовлекла его в еще один очень важный и новый проект. Дело в том, что когда уже все было готово к его уходу из Рейшен, в дело вмешался «спутник», и Браун получает финансирование от министерства обороны США. В результате он остается в компании Рейшен и через некоторое время становится главой нового проекта, связанного теперь уже с лампами низкой мощности. В нем амплитрон используется для передачи с высоким качеством данных с приземлившегося на Луне космического карабля Аполло на Землю. Но предоставим вновь слово Брауну [10].
«...в наши разработки в новой лаборатории я включил все достижения, которых добился при работе над лампами с низкой мощностью. В итоге, работа с низкими мощностями привела к предложению использовать усилитель со скрещенными полями в передатчике... ... в лунном модуле программы Аполло. Мощность на выходе [разработанного усилителя QKS 1300] была 24 Вт, что в несколько раз больше того, чего надежно достигали твердотельные усилители в то время... ... Два усилителя со скрещенными полями включались каскадно (вход второй лампы соединялся с выходом первой). Если катод одной из ламп отказывал (самая вероятная неполадка), эта лампа все еще была бы прозрачна либо для передачи входной мощности, либо выходной мощности сопутствующей лампы. Фотография лампы QKS 1300 приведена на рис. 7.13. ... эта работа по программе Аполло была успешной. Все высококлассные данные, включая видео, между Луной и Землей передавались с помощью усилителя со скрещенными полями. Хотя лампа успешно использовалась в программе Аполло, обнаружилось,
что средняя продолжительность жизни ламп, апробированных в процессе разработки программы до их применения в лунном модуле, была всего 1000 часов. Неудача вы.звана бомбардировкой электро'нов, разрушающей катод лампы.
Тогда мы не поняли, что этого бы не произошло с цементированным торированным вольфрамовым катодом, таким, как тот, .'который используется в обычном
магнетроне для микроволновой печи. Если бы мы это поняли, ■усилитель на скрещенных полях
с цементированным торированным вольфрамовым катодом, возможно, сыграл бы значительную
Рис. 7.13. Амплитрон QKS 1300, работающий в диапазоне частот 2,8 -3,2 ГГц, использовался для передачи высокого качества данных с лунного модуля на Землю в программе НАСА Аполло. Он обеспечивал усиление в 17 дБ и выходную мощность 25 Вт (из работы [10])Рис. 7.13. Амплитрон QKS 1300, работающий в диапазоне частот 2,8 -3,2 ГГц, использовался для передачи высокого качества данных с лунного модуля на Землю в программе НАСА Аполло. Он обеспечивал усиление в 17 дБ и выходную мощность 25 Вт (из работы [10])роль в системах связи».Что еще можно сказать об амплитроне? Во-первых, он использовался в качестве элементов цепочек СВЧ-генераторов. Основным недостатком усилителей со скрещенными полями было низкое усиление, поэтому их применяют как элемент СВЧ-цепочки вроль в системах связи».Что еще можно сказать об амплитроне? Во-первых, он использовался в качестве элементов цепочек СВЧ-генераторов. Основным недостатком усилителей со скрещенными полями было низкое усиление, поэтому их применяют как элемент СВЧ-цепочки в
Рис. 7.13. Амплитрон QKS 1300, работающий в диапазоне частот 2,8 -3,2 ГГц, использовался для передачи высокого качества данных с лунного модуля на Землю в программе НАСА Аполло. Он обеспечивал усиление в 17 дБ и выходную мощность 25 Вт (из работы [10])
Рис. 7.13. Амплитрон QKS 1300, работающий в диапазоне частот 2,8 -3,2 ГГц, использовался для передачи высокого качества данных с лунного модуля на Землю в программе НАСА Аполло. Он обеспечивал усиление в 17 дБ и выходную мощность 25 Вт (из работы [10])
роль в системах связи».
Что еще можно сказать об амплитроне? Во-первых, он использовался в качестве элементов цепочек СВЧ-генераторов. Основным недостатком усилителей со скрещенными полями было низкое усиление, поэтому их применяют как элемент СВЧ-цепочки в
роль в системах связи».
Что еще можно сказать об амплитроне? Во-первых, он использовался в качестве элементов цепочек СВЧ-генераторов. Основным недостатком усилителей со скрещенными полями было низкое усиление, поэтому их применяют как элемент СВЧ-цепочки в
соединении с другим усилителем со скрещенными полями с низкой мощностью, а затем с лампой бегущей волны с высоким усилением. В некоторых случаях лампа бегущей волны запускала оконечный усилитель со скрещенными полями напрямую. Во-вторых, некоторые имеющиеся перспективы повышения усиления платинотрона до 30 дБ (например, использование в качестве катода эмиттирующей замедляющей системы; Джордж МакМастер) делают вполне логичным выбор амплитрона в самых различных приложениях, где требуется высокое усиление при
достаточно высоком уровне мощности и к.п.д.
Вильям Браун в своей обзорной работе обращает внимание на еще одну возможную область применения магнетрона как усилителя. «Необычным изменением направления в технологии обычный магнетронный генератор может быть превращен при помощи внешней электронной схемы в регенеративный усилитель с высоким усилением (30 дБ и выше)... и стать модулем в электронно-управляемой фазовой антенной решетке с целью беспроводной передачи мощности. Такие усилители — узкополосные, однако, беспроводная передача мощности будет использовать только одну частоту, поэтому широкополосные устройства и не требуются».
Осознавая важность исследований возможности беспроволочной передачи энергии с помощью СВЧ-излучения, Браун принял участие в программе НАСА, целью которой было создание системы, передающей со спутника на Землю до 5 миллионов ватт — энергию достаточную для жизнеобеспечения среднего города. Им была разработана ключевая часть этой системы — ректенна — устройство, поглощающее ВЧ-из- лучение, превращая его в постоянный ток [16, 17]. Программа НАСА была свернута в связи с недостаточностью финансирования, однако, Вильям Браун продолжал работать над данной тематикой, но теперь уже по контракту с ВВС США. В 1964 году, как уже упоминалось, он продемонстрировал вертолет, движущийся за счет энергии, передаваемой ему по СВЧ-лучу. Ключом к этому полету опять стала ректенна, эффективность (т. е. отношение силы постоянного тока на выходе к силе постоянного тока на входе ректенны) которой была существенно выше разработанной им раньше. С 1969 по 1975 год Браун был техническим директором программы Рейшен, направленной на создание системы передачи энергии по СВЧ-лучу на расстояние одной мили, включающей в себя мощный высокоэффективный передатчик СВЧ-энергии и ректен- ну, которая перехватывала СВЧ-луч и превращала его в постоянный ток с мощностью 30 кВт при к.п.д. 84 %. Вклад В. Брауна в разработки передачи энергии с помощью СВЧ-излучения был весьма велик. Так книга «Solar Power Satellites: A Space Energy System for Earth» / Eds Glaser Peter E., Davidson Frank Paul, and Csigi, Katinka I. Wiley Praxis Series in Space Science and Thehnology (1998), посвященная вопросам создания электростанций в космосе и передаче с них энергии по СВЧ-лучу, была посвящена Вильяму Брауну.
Заметим, что в программе разработки беспроводной передачи энергии ключевым элементом опять же было создание амплитрона, а, точнее, сверхмощного усилителя на скрещенных полях. Как уже отмечалось выше, только та часть программы, которая касалась амплитрона, была профинансирована полностью.
Интересно, что Вильям Браун сыграл большую роль и в такой области применения СВЧ-техники, как создание нагревательных и других СВЧ-устройств, не используемых для коммуникации. Браун принимал участие в разработке идеи СВЧ-печи и других промышленных установок, связанных с СВЧ-нагревом. В середине 60-х годов Браун и его коллеги основали Международный институт микроволновой энергии, а в скором времени, сформировался успешно функционирующий рынок СВЧ-печей [17].
В последние годы жизни Вильям Браун работал в своей домашней лаборатории в первую очередь над развитием систем передачи СВЧ-энергии. Он выступал и как популяризатор, проводя публичные демонстрации такой передачи энергии на различных встречах и приемах, для телевидения. Эти работы Брауна не были до конца оценены современниками. Однако в этом вопросе Браун нашел союзника в лице
Петра Леонидовича Капицы. В начале 80-х годов Капица посетил ряд научных учреждений США. Во время визита он произнес следующее «пророчество», навеянное в том числе и работами Вильяма Брауна [17, р. 44]: «Следует отметить, что раньше радиофизика и электроника состояли на службе у энергетики и решали исключительно коммуникационные проблемы (телеграф и другие средства связи). В настоящее время электроника используется в основном в сфере радиокоммуникаций, но её будущее тесно связано с передачей энергии».
Карматрон и дематрон
Как обсуждалось выше, электронный пучок в амплитроне взаимодействует с обратной волной, т. е. он представляет собой прибор, в котором имеет место положительная обратная связь. Поэтому как показал эксперимент, амплитрон при отсутствии внешнего сигнала или в случае, когда внешний сигнал мал, имеет на выходе шумоподобный сигнал, частота и амплитуда которого не зависят от входного сигнала. Такое поведение связано с тем, что амплитрон находится в предге- нерационном режиме и устанавливающаяся обратная связь случайна. Действительно, скорость пучка, а следовательно, генерируемая частота определяется анодным напряжением, которое, в свою очередь, зависит от анодного тока. Как только в системе устанавливается некоторая «случайная» волна, начинает протекать анодный ток, в результате меняется анодное напряжение, а также скорость пучка. Происходит срыв генерации на одной частоте и установление нового режима, который снова приводит к изменению анодного тока и т. д. Процесс усложняется еще и тем, что электронный пучок замкнут и поддерживает волны только с определенными характеристиками.
В работах [18, 19] обсуждается широкополосный генератор типа М с замкнутым электронным пучком, схема которого ничем принципиально не отличается от схемы амплитрона, работающего в вышеописанном «генераторном» режиме. В этом приборе — карматроне — используется иная замедляющая система, чем в амплитроне — система встречноштыревого типа [13], нагруженная на конце, где у амплитрона располагается ввод усиливаемого сигнала, на согласованную нагрузку для предотвращения отражений от конца замедляющей системы. В отличие от платинотрона, карматрон может стабильно генерировать при достаточно высоком уровне выходной мощности. Такое различие в характере генерации в амплитроне и карматроне связано с тем, что замедляющая система последнего имеет большее сопротивление связи, что позволяет при тех же характеристиках пучка перейти в режим стацонарной генерации.
Экспериментальные исследования [19] показали, что карматрон обладает достаточно высокими выходными характеристиками. При заданном магнитном поле в приборе наблюдались интенсивные колеба-
ния, которые возрастали при подъеме анодного напряжения. При этом с ростом выходной мощности увеличивался анодный ток и возрастала частота генерируемых колебаний. Изменение анодного напряжения позволяло перестраивать частоту примерно в 10 %-й полосе частот. Наибольшая выходная мощность Рвых = 2,6 кВт с к.п.д. около 70% была достигнута на частоте 420 МГц. В работе [18] отмечено, что к.п.д. карматрона повышается с ростом амплитуды ВЧ-поля (так же как и в магнетроне). Это связано [13] с ростом сопротивления связи при приближении пучка к замедляющей системе.
Таким образом карматрон может быть интересен как генератор, сочетающий высокую выходную мощность с быстрой безинерционной перестройкой частоты в небольших пределах.
Другим прибором, который, также как и карматрон, появился во многом благодаря созданию платинотрона, является дематрон (или ультрон) — широкополосный усилитель прямой волны с замкнутым пучком [14]. Отличие ультрона от платинотрона в типе замедляющей системы. В ультроне используется замедляющая система с нормальной дисперсией, для которой справедливо соотношение dr^da) < 0. Использование системы с нормальной дисперсией позволяет ожидать более широкую полосу усиливаемых частот, чем в амплитроне.
Экспериментальный ультрон SFD-202, разработанный фирмой CSF во Франции, имел следующие выходные характеристики [13]:
Выходная мощность 1 МВт;
ЧастотаЗГГц;
Усиление15 дБ;
Полоса усиления 10 %;
к.п.д.60%.
Список литературы
Коваленко В.Ф. Введение в электронику сверхвысоких частот. — М.: Сов. радио, 1951.
Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. — М.: Сов. радио, 1973.
Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. — М.: Сов. радио, 1957.
Капица П.Л. Электроника больших мощностей. — Изд-во АН СССР, 1962.
Brittain J.E. The magnetron and beginning of the microwave age // Phys. Today. 1985. V. 33, № 7. P. 60.
Алексеев Н.В., Маляров Д.Е. Получение мощных колебаний магнетронов в сантиметровом диапазоне волн // ЖТФ. 1940. Т. 10, № 15. С. 1297. (Proc. IRE. 1944. V. 32. Р. 136).
Boot Н.А.Н., Randall J. T. Historical notes on the cavity magnetron // IEEE Trans, on ED. 1976. V. ED-23, № 7. P. 724.
Сноу Ч.П. Две культуры. — M.: Прогресс, 1973.
Brown W.C. Platinotron increases search radar renge // Electronics. August 1, 1957
Brown W. C. The History of the Crossed-field Amplifier // IEEE MTT- S Newsletters. Fall 1995. V. 141. P. 29.
Brown W. C. Description and operating characteristics of the platinotron — a new microwave tube device // Proceedings of the IRE. September 1957. V. 45, .№ 9. P. 1209. (Существует русский перевод в кн. [14]).
Brown W.C. The Platinotron: «Amplitron and Stabilotron». — in Okress, Crossed Field Microwave Devices, Akademic Press, 1961. V. 2. P. 165.
Стальмахов B.C. Основы электроники сверхвысокочастотных приборов со скрещенными полями. — М.: Сов. радио, 1963.
Электронные сверхвысокочастотные приборы приборы со скрещенными полями / Пер. с англ, под ред. М.М. Федорова. — М.: Изд-во иностр, лит., 1961, Том II.
Brown W. С. «The Amplitron: A super power microwave generator” // Electron Progress. July/Aug 1960. V. 5, .№ 1. P. 1.
Brown W. C. The history of power transmission by radio waves // IEEE Trans. Microwave Theory Tech., Special Cenntennial Historical Issue. 1984. V. MTT-32, № 9. P. 1230.
Staecker P. William C. Browm: A Few Introductory Comments // IEEE MTT-S Newsletters. Spring 1999. V. 151. P. 43.
Doehler O., Epsztein B., Arnaud J. Operation characteristics of the Carmatron Tube // Proceedings of the IRE. 1958. V. 105B, № 10. P. 529.
Warnecke R., Nalot J., Epsztein B., Doehler O. La carmatron, nouvel oscilateur alarge band d’accord electronique // Comptes Rendus. 1955, Septembre. t. 241, No 11. P. 695.
Лекция 8ПРОСТРАНСТВЕННЫЙ ЗАРЯД В СКРЕЩЕННЫХПОЛЯХ
Вайнштейн с Рошалем были в новой роли: В Саратов привезли на зимние гастроли Свой вариант принцессы Турандот.
Бедняжка девою останется на троне, Поскольку трех загадок в магнетроне Принц-инженер Калаф не разберет.
Из фольклора 2-й зимней школы-семинара инженеров. Саратов, 1972.
Пространственный заряд в скрещенных полях и три загадки магнетрона (свойства магнетрона при магнитном поле больше критического, когда генерации нет; начало генерации в магнетроне; есть ли вообще стационарный режим генерации в магнетроне). Неустойчивость электронного потока в скрещенных полях. Вычислительная физика и магнетрон. Связь с проблемой турбулентности в электронном потоке. Сложная динамика пространственного заряда в усилителе со скрещенными полями.
Данная лекция посвящена рассмотрению вопросов учета влияния пространственного заряда в теории магнетронных приборов. Вопросы учета пространственного заряда в теории любого сверхвысокочастотного прибора — самые сложные, требующие обычно привлечения численного моделирования [1]. Вместе с тем проблема пространственного заряда, кроме очевидного физического интереса, черезвычайно важна с практической точки зрения, так как позволяет определить предельные возможности прибора: для мощных приборов — максимальную мощность (так как, например, в магнетроне слишком сильный пространственный заряд в спицах приводит к их разрушению); для усилительных приборов — минимальный шум (вызываемый флуктуациями в электронных потоках) и т. д.
В данной лекции мы остановимся на трех состояниях магнетрона:
негенерирующий магнетрон (магнитное поле больше критического);
магнетрон в начале генерации (переход от предгенерационного режима в режим генерации);
магнетрон в режиме развитой генерации (когда сверхвысокочастотное поле является достаточно сильным). В первой половине лекции будут перечислены вопросы, возникающие в связи с этими состояниями (а в других состояниях магнетрон как таковой вообще находиться не может!) и представлены некоторые качественные рассмотрения, дающие предварительную физическую трактовку в этих вопросах. Вторая часть лекции посвящена рассмотрению того, что может дать вычислительная физика в ответах на вышеобозначенные вопросы.
Хочется отметить, что в последние несколько лет появился ряд работ (например, работа R.W. Lemke, Т.С. Genoni, Т.А. Spencer, 1999 г. [2]), в которых на мощных вычислительных машинах решались задачи полномасштабного моделирования магнетрона с помощью самосогласованной системы уравнений Максвелла-Власова в 2,5 и даже 3-х измерениях, аналогичные рассмотренным в этой лекции. Однако результаты и этих исследований оставляют ряд вопросов теории влияния пространственного заряда на работу магнетрона до сих пор открытыми. Вместе с тем такие модели позволяют весьма точно рассчитывать реальные приборы, проводя оптимизацию самых различных параметров проектируемых устройств [3, 4].
Пространственный заряд в скрещенных поляхи три загадки магнетрона. Неустойчивостьэлектронного потока в скрещенных полях
Прежде чем переходить к анализу влияния пространственного заряда на работу магнетрона, определим, что будет пониматься под сильным пространственным зарядом [1]. Это заряд, плотность которого р рс. рс — критическая плотность, равная величине
(8-1)(8-1)■ПЦоН2
(8-1)
(8-1)
2С
где Н — напряженность магнитного поля. Слабый пространственный заряд имеет место в случае, когда р <^ рс- Критическая плотность рс имеет для магнетрона такое же важное значение как и критическое значение магнитного поля Вкр. Физический смысл рс заключается в следующем. Перепишем формулу (8.1) в виде
с РО м‘2с РО м‘22
с РО м‘2
с РО м‘2
(8-2)
В правой части здесь стоит плотность магнитной энергии или давление магнитного поля. Как известно, однородное магнитное поле оказывает фокусирующее действие на протяженные пучки, направленные вдоль
него, предохраняя их от разлетания под действием сил пространственного заряда (цилиндрические пучки при р < pd^ плоские при р < рс\ Аналогичную функцию выполняет магнитное поле в магнетроне — оно до некоторой степени компенсирует силы расталкивания в электронных спицах, образующихся в работающем магнетроне. Соотношение (8.2) показывает, до каких плотностей рс магнитное поле еще может удержать электронные структуры от разрушения силами пространственного заряда. Иначе соотношение (8.1) может быть получено путем приравнивания плазменной частоты электронного облака шР1 которая определяется его плотностью, и циклотронной частоты шС1 соответствующей магнитному полю в магнетроне. Плотность пространственного заряда, существенно превышающая величину критической плотности, существовать не может.
Первая загадка магнетрона — это его свойства при магнитном поле больше критического, когда генерации нет. В отсутствии пространственного заряда все ясно — электроны в плоском магнетроне возвращаются к катоду по циклоиде, в цилиндрическом — по более сложной траектории. При сильном пространственном заряде ситуация усложняется. Если принять, что движение электрона качественно такое же, как и при отсутствии пространственного заряда, и что электрическое поле равно нулю на катоде, то расчет движения электронов приводит к следующим результатам [5, 6]. Толщина d прикатодного электронного слоя определяется выражением
d = D (1 - V1 - U/Uc ) ,(8.3)
где D — расстояние между катодом и анодом, U — анодное напряжение, Uc = — InpcD2 (рс < 0) — критическое напряжение. Плотность заряда р(у) в этом слое 0 < у < d сильно меняется с координатой, причем сред- | d
няя плотность - J р(у) dy = рс. Время пребывания электронов в про- “ 0
странстве взаимодействия удваивается по сравнению с циклоидальным движением в магнетронном диоде при отсутствии пространственного заряда. Это связано с тем, что под влиянием пространственного заряда угловая скорость обращения электрона в магнитном поле уменьшается: шср = ш(1 —.(8.4)
р \ 2ыс) \ 2pcJv 7
Отсюда видно, что при р ^ рс угловая скорость оказывается существенно меньшей, чем при р <^ рс. Электронные структуры, у которых |р| > > |рс|, удерживаться магнитным полем не могут. Качественно аналогичные результаты были получены для цилиндрического магнетрона [7, 8]. Суть данной теории заключается в том, что рассматривается двухпоточное состояние электронного облака в запертом негенерирующем магнетроне, т. е. предполагается по аналогии с движением при
отсутствии пространственного заряда, что электронное облако состоит из двух потоков электронов — движущихся от катода к внешней границе и наоборот.
Чуть позже появились работы Бриллюэна [9], в которых были найдены точные стационарные решения уравнения Пуассона и уравнений движения для магнетрона, и показано, что электронное облако в запертом магнетроне находится в однопоточном состоянии (электроны движутся параллельно катоду со скоростями, соответствующими электронам, эмитированным катодом; в частности, скорость электронов у катода равна нулю и максимальна у внешней границы облака). Плотность заряда в этом решении постоянна и равна рс, толщина слоя d совпадает с величиной, даваемой формулой (8.3). Правда, вопрос об установлении однопоточного состояния оставался долгое время открытым.
Экспериментальные исследования, которые должны были дать ответ на вопрос: какому состоянию (однопоточному или двухпоточному) соответствует распределение заряда в запертом магнетроне, показали, что не реализуется ни то, ни другое распределение. Экспериментально были обнаружены нерегулярные колебания электронного облака с самыми различными частотами. Наиболее четким и ясно наблюдаемым явлением, не укладывающимся в рамки кинематической теории, оказывается легко измеряемый анодный ток, который, хотя и уменьшается с увеличением магнитного поля, но делает это существенно медленнее, чем это следует из расчетов, учитывающих реальный начальный тепловой разброс электронов по скоростям при термоэмиссии.
Вторая загадка магнетрона — это начало генерации в нем. Как обсуждалось на прошлой лекции, механизм фазировки в магнетроне эффективен только при синхронизме электронов и волны. Степень близости скоростей в стационарном режиме генерации определяется неравенством
|^-^о|Т<1,
где с^о = З^о — частота, при которой скорость медленной волны точно равна скорости электронов и0 = сЕу/ Н (см. соотношение (7.7)), Т — время пролета электронов от анода к катоду. Так как перемещение электронов от анода к катоду обусловлено дрейфом под действием поля синхронной волны, то, следовательно, время Т обратно пропорционально амплитуде синхронной волны. Чем меньше амплитуда, тем ближе должны быть величины Уф и vq (и и cuq). Поэтому начало генерации в плоском магнетроне можно представить так: волна весьма малой амплитуды, возникающая в результате флуктуаций на частоте, почти равной с^о, формирует спицы и при этом увеличивает свою амплитуду, причем по мере роста амплитуды частоты ш и ш^ могут расходиться.
Однако в цилиндрическом магнетроне эти простые представления о начале генерации неприменимы. Это связано с тем, что в соответствии
с соотношениями (7.33) и (7.34) точный синхронизм между волной и электронами во всем пространстве между катодом и анодом невозможен, он реализуется только на окружности с синхронным радиусом г. Отсутствие повсеместного синхронизма электронов и волны приводит к тому, что, например, при соотношении га/гк = 1,5 (га и гк — соответственно радиусы анода и катода) образование спиц невозможно при амплитуде сверхвысокочастотного поля, всего на порядок меньшей максимальной амплитуды, соответствующей стационарной генерации. Эти аналитические результаты подтверждаются расчётами на ЭВМ: волна достаточно малой амплитуды, «выпущенная» в пространство взаимодействия цилиндрического магнетрона, неспособна (как бы ни варьировать ее частоту и угловую скорость) сформировать спицы и заметно увеличить свою амплитуду за счет энергии электронов.
Вышесказанное справедливо для теории магнетрона без учета пространственного заряда. Видно, что эта теория неспособна описать процесс самовозбуждения магнетронных генераторов, поскольку самовозбуждение должно начинаться с таких полей, которые неспособны сформировать спицы, характерные для режима стационарной генерации. То обстоятельство, что магнетронные генераторы все же легко само- возбуждаются, объясняется действием пространственного заряда. Это действие достаточно сложно, но без него самовозбуждения нет.
После того, как амплитуда синхронной волны приблизится к максимальной амплитуде, т. е. амплитуде волны при стационарной генерации, роль пространственного заряда ослабевает. При высокой добротности резонатора и малом токе эмиссии может оказаться, что поле пространственного заряда вообще несущественно и лишь слегка возмущает движение электронов; так может быть, например, в генераторах малой мощности непрерывного действия, и тогда свойства магнетрона в развитом режиме генерации никаких загадок в себе не таят.
Третьей загадкой магнетрона являются его свойства в развитом режиме генерации при сильном пространственном заряде, существенно влияющем на движение электронов. Первая работа, посвященная численному исследованию переходных процессов в магнетроне и ставшая классической, была опубликована еще в 1965 году (О. Buneman, S.P. Yu, G.P. Koyers [10]). В ней в результате численного эксперимента было показано, что стационарного режима генерации в магнетроне нет: электронные потоки и анодный ток пульсируют, причем характерное время пульсации существенно меньше времени установления колебаний в резонаторе. Вследствие этого стационарное состояние если и есть, то только по отношению к резонансному полю объемного резонатора, но никак не в отношении электронного облака и поля пространственного заряда.
Вместе с большой важностью решения третьей загадки магнетрона для теории приборов со скрещенными полями, обозначенный круг
вопросов имеет и более широкое фундаментальное значение. Он непосредственно связан с проблемами динамического хаоса и турбулентности в электронных потоках. Так, экспериментально было установлено, что в магнетронных генераторах наблюдается избыточный шум, на 5-6 порядков превышающий дробовой [12, 13]. Существует также ряд экспериментальных результатов, свидетельствующих о связи этого избыточного шума с динамическим хаосом. Рассмотрим результаты экспериментальных исследований, приведенных в работе [14], и направленных на прямую проверку связи электронной турбулентности в скрещенных полях с проблемой детерминированного хаоса.
Избыточный шум и азимутальные колебания пространственного заряда в магнетронных генераторах наблюдаются уже в предгенера- ционном режиме, когда влияние резонаторной системы незначительно, и магнетрон по существу является магнетронным диодом [15]. Поэтому в экспериментах использовался магнетронный диод, в анодном блоке которого имелись емкостной зонд для наблюдения колебательных процессов и окно для измерения температуры катода. Характеристики пространства взаимодействия магнетронного диода следующие: га = = 4,5 мм, гк = 2,15 мм, длина анода /а = 10 мм, катод прямонакальный, высокотемпературный, металлический, с малым коэффициентом вторичной эмиссии. Все экспериментальные результаты были получены при постоянных значениях анодного напряжения Vo = 2500 В и индукции магнитного поля В « 0,14 Тл (В/Вкр = 1,4).
Управляющим параметром являлась плотность пространственного заряда р, зависящая от тока эмиссии /э. Величина /э в первую очередь зависит от температуры катода Тк, которая регулировалась посредством изменения тока накала /н в пределах 0 < /н < /нб, где Лб — ток, соответствующий резкому возрастанию обратной бомбардировки катода. В этих режимах влияние обратной бомбардировки катода было пренебрежимо мало, что подтверждалось измерением Тк. Соответствующие этой области значения анодного тока /а, протекающего через магнетронный диод, не превышали сотен микроампер. При /н > /нб резко возрастала мощность обратной бомбардировки, быстро повышалась температура катода и процесс становился неуправляемым: /а скачком возрастал до величины 10 мА. В опытах с помощью СВЧ-анализатора спектра, подключенного к зонду, регистрировались колебания пространственного заряда (спектры в логарифмическом масштабе приведены на рис. 8.1 и 8.2; они слева) и низкочастотные процессы и шумы в анодном блоке (на рисунках справа).
Исходным состоянием являлось /н = 0, р = 0. По мере увеличения р в формирующемся пространственном заряде при некотором значении pi возникают гармонические азимутальные колебания пространственного заряда с частотами, кратными /1 « 320 МГц. На рис. 8.1а приведена вторая мода азимутальных колебаний (/2 ~ 640 МГц (цена деления по оси абсцисс 10 МГц)), а на рис. 8.1а' — осциллограмма
Рис. 8.1. Спектры (слева) и осцил- Рис. 8.2. Разрушение хаотических лограммы (справа) низкочастотных колебаний в магнетронном диоде колебаний в анодном блоке маг- внешним гармоническим сигналом нетронного диода с увеличением плотности пространственного заряда в немРис. 8.1. Спектры (слева) и осцил- Рис. 8.2. Разрушение хаотических лограммы (справа) низкочастотных колебаний в магнетронном диоде колебаний в анодном блоке маг- внешним гармоническим сигналом нетронного диода с увеличением плотности пространственного заряда в нем
Рис. 8.1. Спектры (слева) и осцил- Рис. 8.2. Разрушение хаотических лограммы (справа) низкочастотных колебаний в магнетронном диоде колебаний в анодном блоке маг- внешним гармоническим сигналом нетронного диода с увеличением плотности пространственного заряда в нем
Рис. 8.1. Спектры (слева) и осцил- Рис. 8.2. Разрушение хаотических лограммы (справа) низкочастотных колебаний в магнетронном диоде колебаний в анодном блоке маг- внешним гармоническим сигналом нетронного диода с увеличением плотности пространственного заряда в нем
НЧ-шумов анодного тока, полученная в этом же режиме х). На осциллограмме шумы не просматриваются, но специально проведенные измерения показали, что их спектральная плотность близка к плотности полного дробового шума, определяемого формулой Шотки 5ш = = 2е/аД/. По мере дальнейшего увеличения величины р интенсивность колебаний возрастает, и при некотором значении р^ > ру возникает автомодуляционная неустойчивость с частотой автомодуляции fa = = 2,5 МГц. При последующем небольшом увеличении р частота автомодуляции возрастает до 6 МГц (рис. 8.16). В результате автодетектирования гармонический сигнал этой же частоты обнаруживается и в анодном токе магнетронного диода (рис. ^Лб'\
Дальнейшее увеличение р приводит к усложнению автомодуляции, причем наблюдается две бифуркации удвоения, которые завершаются возникновением стохастических колебаний (рис. 8.1 в), при которых спектральная мощность НЧ-шумов возрастает на 6 порядков (см. рис. 8.1в', Ку = 30 дБ).
Шумовые измерения, проведенные в диапазоне частот 1 кГц -1 ГГц, показали, что возникающий в режиме хаотических колебаний избыточный шум создает непрерывный пьедестал, верхняя граничная полоса которого выходит за пределы данного диапазона. На фоне этого пье-
г) Осциллограммы НЧ-шумов снимались с выхода усилителя с полосой пропускания (по уровню 3 дБ) 20 Гц. ..1 МГц и коэффициентом усиления Ку = 60 дБ.
дестала хорошо просматриваются пики частот, кратных частоте / = = 320 МГц (рис. 8.1в).
Детерминированность хаотических процессов в данном случае подтверждается тем, что их удается разрушить гармоническим сигналом, вводимым в катодную цепь магнетронного диода. Воздействие сигналом с частотой, далекой от частоты / = 320 МГц, не оказывало существенного влияния на динамику пространственного заряда в магнетронном диоде (рис. 8.2а и а'). При приближении частоты внешнего сигнала к частоте / = 320 МГц хаотические колебания срывались и наблюдался режим периодической автомодуляции с появлением дискретного спектра (рис. 8.26). Шумы анодного тока при этом снижались до уровня дробовых (см. рис. 8.26', Ку = 30 дБ). И, наоборот, в отсутствии внешнего сигнала, когда колебания пространственного заряда были автомодулированными, введение внешнего сигнала с расстройкой по частоте приводило к хаотизации колебаний анодного тока.
Для качественного понимания проблем, затронутых выше, обсудим вопросы устойчивости двухпоточного или однопоточного состояния магнетрона. Так в работе [16] показывается, что двухпоточное состояние магнетрона неустойчиво по отношению к возмущениям, оставляющим электронное облако симметричним. Если рассмотреть плоский магнетрон и пренебречь взаимодействием электронного слоя с катодом '), то можно показать (см. [1, 16]), что в линейном приближении собственные частоты симметричных колебаний такого слоя даются выражением
= ±ncjc/2 ± Jcjc0/27r, 0«д/2 1пп. (8.5)
Выписанное значение 0 соответствует случаю нулевой начальной скорости электрона и равенству нулю поля на катоде. В режиме ограничения тока пространственным зарядом величина 0 дается выражением [1]
0 = 1п С, где О1. (8.6)
Рассмотрим теперь физический смысл формулы (8.5). Действительная часть ш является высокой гармоникой основной частоты невозмущенного движения электронов (она равна wc/2, так как период движения равен 4tt/cjc — удвоенному циклотронному периоду). Мнимая часть ш показывает, что за время 4тг/шс амплитуда поля изменяется в е±2@ раз, т. е. при знаке « + » возрастает в С2 раз. Эта неустойчивость является абсолютной и аналогична неустойчивости, имеющей место в двухлучевой лампе (см., например, [17]): она вызвана наличием двух встречных потоков, причем наибольший вклад в неустойчивость (в значение 0) вносят области около катода и внешней границы, где скорости встреч-
г) Это означает, что электроны вблизи невозмущенной нижней границы поворачивают и начинают новый период движения в этом слое.
ных потоков близки (т. е. малы) Д. В цилиндрическом магнетроне такая область существует только вблизи катода, так как у внешней границы слоя радиальное ускорение электронов не мало, однако в прикатод- ной области, благодаря ограничению тока пространственным зарядом, радиальное ускорение мало и величина 0 по-прежнему может быть представлена в виде (8.6).
Взаимодействие с катодом приводит к обновлению электронов в электронном слое. Поскольку часть электронов, испытавших возмущение, поглощается катодом, а вновь эмиттированные электроны возмущений скорости не имеют, учет взаимодействия приводит к дополнительному затуханию колебаний слоя. Для оценки этого затухания взаимодействие электронов с катодом можно учесть с помощью «коэффициента зеркальности» ае (0 < ае < 1). В этом случае предполагается, что из N приходящих к катоду электронов TVae отражается и возвращается в слой, а 7V(1 — ае) поглощается и заменяется новыми. Тогда вместо соотношения (8.5) получаем соотношения
2 J 2тг Мтг ае v 7
В реальном магнетроне примерно половина электронов возвращается в слой, а половина — обновляется (в зависимости от фазы, определяющей смещение точки поворота у катода вверх или вниз). Поэтому можно полагать, что в формуле (8.7) значение ае ~ 1/2, а тогда дополнительное затухание, вызванное обновлением электронов в слое не изменит сильной неустойчивости, о которой говорилось выше и которая приводит к возрастанию возмущений как С2 (С )^> 1) за время пролета электронов.
Эта сильная неустойчивость приводит к тому, что двухпотоковое состояние физически не реализуемо. Действительно, время установления двухпоточного состояния во всяком случае не меньше 4тг/шс,т.е. времени пролета от катода до внешней границы электронного слоя и обратно, а за это время начальное возмущение (обусловленное тем, что состояние отлично от того, которое должно установиться) возрастёт настолько, что двухпоточное состояние разрушится, не успев сформироваться.
Как показывают расчеты Хартри и Никольсона, вместо двухпоточного состояния возникает симметричное, близкое к однопоточному состояние, когда составляющие скорости, нормальные к катоду, оказываются сильно подавленными. На рис. 8.3 показано радиальное движение электронов в том случае, когда анодное напряжение Ua возрастает от нуля за 4 циклотронных периода; при этом электроны выводятся на траектории, близкие к круговым. Отсюда видно, что благодаря разви-
Д Заметим, что именно в этих областях р^> рс, благодаря чему и происходит быстрое разрушение состояния.
Рис. 8.3. Установление состояния, близкого к однопоточномуРис. 8.3. Установление состояния, близкого к однопоточномутию неустойчивостей силы пространственного заряда почти полностью выравнивают скорости встречных потоков и создают более упорядоченные электронные потоки, близкие к ламинарным.
Рис. 8.3. Установление состояния, близкого к однопоточному
Рис. 8.3. Установление состояния, близкого к однопоточному
Однако и такие потоки оказываются неустойчивыми. Если рассматривать устойчивость однопоточного состояния относительно возмущения ^^t-P^ т0 оказывается, что при вещественных ш волновое число Р получается комплексным, а при вещественных Р имеют место комплексные величины ш. Для однопоточного электронного слоя, удаленного от анода, получается следующее выражение для
w = wc (^d - 0,54 ± J0,06),(8.8)
которое справедливо для pd > 2, при малых pd частота ш вещественна, и однопотоковое состояние устойчиво.
Для сравнения выражений (8.5) и (8.8) необходимо учесть, что произведение Pd принимает бесконечную последовательность значений. Если рас
сматривать плоский магнетрон как некоторую аппроксимацию цилиндрического, то, обозначая через г^ радиус катода, мы должны подчинить Р условию
Ргк = п, п е Z,(8.9)
поскольку при обходе катода (увеличение ж на 2тгг^) поле, пропорциональное e-^t-pxp дОЛЖНО принять прежнее значение; тогда
Pd = п —,Тк
и значения Recj из формул (8.5) и (8.8) образуют арифметические прогрессии.
Что касается величины Im ы, то по формуле (8.8) для мнимой части ш имеем
Imw = ±^66 to 0,4,
4тг
т. е. по сравнению с двухпоточным состоянием неустойчивость однопоточного состояния нарастает более медленно, благодаря чему оно может быть осуществлено физически хотя бы на непродолжительное время. Физическая причина неустойчивости в данном случае связана с взаимодействием потоков с различными скоростями, распространяющихся в одном направлении, однако связь между потоками с различными скоростями слабая (так как они пространственно разобщены)
и неустойчивость также оказывается более слабой, чем в предыдущем случае.
Характерная особенность неустойчивостей, обусловленных пространственным зарядом, заключается в том, что, как видно из соотношений (8.5) и (8.8), имеет место бесконечное число нарастающих колебаний с различными частотами Яесщ но примерно равными инкрементами нарастания Imcj. Случайное начальное возмущение возбуждает целый спектр таких несимметричных волн, которые нарастают одинаково быстро. По достижению ими конечных амплитуд начинается нелинейное взаимодействие между ними, в результате которого электронное облако в негенерирующем магнетроне остается симметричным только в статистическом смысле: оно ведет себя хаотически, беспорядочно пульсирует, «выбрасывая» часть электронов на анод (он расположен дальше от электронного облака, чем катод, поэтому анодный ток на него меньше) и катод. При этом наличие мелкомасштабных пульсаций не исключает возможность существования крупномасштабных структур (например, волн пространственного заряда). Данное качественное рассмотрение подтверждается и полномасштабным численным моделированием, на результатах которого мы остановимся в следующем разделе лекции.
Если одно из колебаний пространственного заряда находится в синхронизме с колебанием резонансной системы, причем как частоты, так и фазовые скорости колебаний близки, то развитие неустойчивости происходит иначе. Согласно соотношению (8.8) фазовая скорость нарастающей волны пространственного заряда равна
(8.10)(8.10)Reo; , /10,54
(8.10)
(8.10)
“ = — = “=d (1 - 1м
причем (см., например, [1, Лекция 1, задачи 1, 5])
шса =
—
2D
где Уо — скорость дрейфа электронов при отсутствии пространственного заряда и том же анодном напряжении Ua = Е° D. Отсюда видно, что величина и того же порядка, что и скорость uq. Медленная волна в резонансной системе, имеющая фазовую скорость Уф, должна при самовозбуждении синхронизоваться не с электронами, а с волной пространственного заряда, т. е. условием синхронизма является Уф to и, а не Уф to Уо! Заметим, что структура поля волны пространственного заряда (см. рис. 8.4) и волны в линии передач существенно различны. Так как потенциал и поле обусловлены модуляцией электронного слоя и, в частности, периодичностью границы, то при удалении от границы слоя они экспоненциально убывают, в то время как поле синхронной волны убывает при удалении от анода, т. е. в противоположном направлении.
Этот результат дает качественный ответ на вторую загадку магнетрона: а именно, возбуждение цилиндрического магнетрона происходит
Рис. 8.4. Эквипотенциали волн пространственного заряда вблизи внешнейРис. 8.4. Эквипотенциали волн пространственного заряда вблизи внешнейграницы электронного слояграницы электронного слояблагодаря синхронизации двух вращающихся волн — волн пространственного заряда и волны в резонансной системе. Обе волны имеют зависимость от угла Ф и времени t в виде exp \) (пер — wf)], и обе вращаются как «твердые тела», поэтому рассинхронизма, связанного с формулами (7.33) и (7.34), не возникает. Пока амплитуда колебаний в резонаторе мала, распределение поля близко к распределе
Рис. 8.4. Эквипотенциали волн пространственного заряда вблизи внешней
Рис. 8.4. Эквипотенциали волн пространственного заряда вблизи внешней
границы электронного слоя
границы электронного слоя
нию поля волны пространственного заря
да, и, в частности, электроны начинают свое движение к аноду, стремясь образовать расширяющиеся спицы в соответствии с рис. 8.4. По мере нарастания амплитуды резонансного колебания оно во все большей степени определяет распределение поля и движение частиц.
Здесь следует отметить, что соотношение (8.10) выписано в предположении, что генерация начинается с однопоточного состояния электронного облака. Однако скорее всего это не совсем так [1], поскольку можно предположить (и ряд экспериментальных данных это подтверждает), что «кипящий» электронный слой также может поддерживать волны пространственного заряда с фазовой скоростью того же порядка.
Кинематическая теория генерации в магнетроне, не учитывающая действие сил пространственного заряда, приводит к тому, что образуются спицы, в которых сильно выражено орбитальное движение — обращение с угловой скоростью шс вокруг ведущих центров. Сами же ведущие центры дрейфуют упорядоченно — вдоль эквипотенциалей синхронной волны (ламинарное течение). Каких изменений следует ожидать при наличии сильного пространственного заряда? Суммируя вышесказанное, перечислим важнейшее, что вносит пространственный заряд в физику магнетрона.
Так как пространственный заряд перемещается вместе со спицами и волной, то его поле накладывается на поле синхронной волны и спицы деформируются, поскольку эквипотенциали уже другие: они сами теперь зависят от движения электронов, т. е. здесь необходимо решение самосогласованной задачи.
При р ~ рс дрейфовое приближение неприменимо и необходимо пользоваться полными уравнениями движения. Это видно из формулы (8.4): при р ~ рс изменяется угловая скорость, а, следовательно, и все движение.
По аналогии с результатами, полученными для двухпоточного состояния, следует ожидать подавления орбитального движения в спицах под действием пространственного заряда: движение самих электронов
при учете их расталкивания должно быть более упорядоченным, более близким к ламинарному течению.
Даже при чисто ламинарном течении электронной жидкости по спицам, они должны быть неустойчивы по отношению к возмущениям, бегущим вдоль спиц: в этом причина нестационарности спиц при «стационарной генерации». Из-за конечного времени пролета электронов от катода к аноду и непрерывного обновления электронов в спицах неустойчивость не успевает развиться достаточно сильно, так что наряду с мелкомасштабной хаотической динамикой в движении электронов наблюдается крупномасштабное упорядоченное движение.
Теоретические результаты, перечисленные выше дают лишь предварительную ориентировку в тех загадках, которые ставит перед исследователями магнетрон. Полное количественное рассмотрение возможно лишь в результате численного эксперимента. В следующем разделе мы опишем некоторые результаты анализа нестационарных нелинейных процессов в магнетроне с помощью численного моделирования задачи, в которой учитывается целый ряд факторов, которыми неизбежно пренебрегали при аналитических исследованиях. В первую очередь это касается корректного учета влияния пространственного заряда и наличия случайных процессов. Заметим также, что численный эксперимент позволяет провести анализ полностью самосогласованной нестационарной задачи.
Вычислительная физика и магнетрон.
Связь с проблемой турбулентности в электронномпотоке
Из предыдущего раздела понятно, что корректный учет влияния пространственного заряда на процессы, протекающие в магнетроне, невозможен без решения нелинейной нестационарной полностью самосогласованной задачи. Такая задача включает в себя интегрирование полных уравнений движения совместно с уравнением Пуассона. Са- мосогласованность решения означает, что по найденным траекториям движения электронов рассчитывается распределение пространственного заряда, а по нему уже находится из уравнения Пуассона поле, которое затем используется для расчета уравнений движения и так далее. Решение таких задач невозможно без привлечения численного моделирования. Видимо поэтому магнетрон, наряду с диодным промежутком со сверхкритическим током (см., например, С. Birdsall, W. Bridges [18]), стал одним из первых приборов высокочастотной электроники, нестационарные процессы в котором были проанализированы с помощью численного эксперимента (Хартри, Никольсон; О. Buneman, S.P. Yu, G.P. Koyers).
В данном разделе обсудим некоторые результаты такого полномасштабного численного моделирования с акцентом на роль простран-
ственного заряда в физических процессах в магнетроне. Все результаты в этом разделе, если не оговаривается особо, излагаются по лекциям Л.А. Вайнштейна и А.С. Рошаля [1]. Здесь не будем останавливаться на подробностях методики численного моделирования, отсылая интересующихся к работам [1,10], а лишь отметим, что вычислительная процедура заключается в одновременном решении уравнений поля и уравнений движения.
В квазистатическом приближении и отсутствии сверхвысокочастотной волны уравнение поля представляет собой уравнение Пуассона для потенциала Ф и решается как разностное уравнение с использованием быстрого преобразования Фурье [11]. Данная методика может применяться только в случае, когда задача допускает постановку периодических граничных условий для функции плотности р(х) и потенциала Ф(х) пространственного заряда. Тогда функции р(х) и Ф(х) имеют образы в Фурье пространстве — соответственно р(к) и Ф(к), где к — волновой вектор в ядре Фурье преобразования ехр (—^кг). В Фурье пространстве уравнение Пуассона сводится к виду [11]
ВД =(8.11)
ЕоК
т. е. соответствующий Фурье-образ потенциала находится из известного из решения «электронной» части задачи Фурье-образа распределения плотности пространственного заряда с помощью простой арифметической операции — деления на квадрат волнового вектора к2.
В простейшем одномерном случае для численного решения уравнения Пуассона необходимо ввести пространственную сетку, в узлах которой задаются значения плотности пространственного заряда р^х^ и потенциала Ф^х^. Здесь Xj = j^x — координата J-ro узла пространственной сетки, Дж — шаг пространственной сетки. Условие периодичности граничных условий накладывает следующее требование к поведению какой-либо функции G^x^Y заданной на сетке: G^x^ = = G(xj + L), где L = N^^x — пространственный период, определяемый конкретными физическими условиями задачи. При моделировании процессов в магнетроне, работающем на тг-виде, в качестве такого периода может выступать расстояние между соседними резонаторами в анодном блоке. Тогда дискретное проебразование Фурье одномерной функции G запишется как
Nl
СЦ) = Дж £ G^e"3^,(8-12)
j=o
а обратное дискретное преобразование Фурье будет иметь вид
С^) = 1£ G^.(8.13)
n=-NL/2
Окончательно, суммируя вышесказанное, алгоритм решения уравнения Пуассона можно представить следующей схемой:
/ х FFT к2 \ IFFT \р^ —> р(к) —> Ф(к) —> Ф^ —> Е(х).
Таким образом, вначале из «электронной» части задачи находится распределение плотности заряда р^х^ в пространстве. Далее рассчитывается в соответствии с определением (8.12) Фурье-образ р(к). При этом сумма, фигурирующая в формуле (8.12), может быть эффективно рассчитана с помощью применения процедуры быстрого преобразования Фурье (FFT). По найденным значениям р(к) определяются соответствующие значения Ф(к) из уравнения Пуассона (8.11), по которым с помощью обратного преобразования Фурье (8.13) (IFFT) находится распределение потенциала уже в «физическом» пространстве. Напряженность поля пространственного заряда может быть найдена по распределению потенциала в соответствии с определением Е = — \у Ф.
Уравнение движения представим в виде разностных уравнений, соответствующих приближению однородного поля [1]. Шаг расчета во времени составит At = тг/4шС1 т. е. 1/8 циклотронного периода.
Вначале обсудим явления в негенерирующем магнетроне. Рассмотрение одномерной задачи выявило картину, аналогичную расчетам Хартри и Никольсона (см. предыдущий раздел). Единственным отличием от их расчетов был учет вторичной эмиссии с катода с коэффициентом вторичной эмиссии ат. Расчеты показали, что облако из N «машинных» электронов распадается на относительно небольшое число крупных слоев, что и приводит к флуктуациям. Флуктуации плотности пространственного заряда в свою очередь приводят к возмущениям потенциала, а, следовательно, и скорости. Описанное явление пропадает при ат —> 0. Действительно, пусть все эмиттируемые электроны имеют нулевые начальные скорости. Если поле вблизи катода в данный момент времени не препятствует вылету электронов, то все термоэлектроны и вторичные электроны, эмиттированные на данном шаге, поступают в область взаимодействия, образуя компактный слой. При последовательных соударениях с катодом этот слой укрупняется тем быстрее, чем больше ат. Если же ат « 0 или поле препятствует вылету электронов, то слой поглощается катодом практически сразу и расслоения не наблюдается.
Рассмотрим теперь двухмерную задачу. Размер исследуемой двухмерной области такой, что он соответствует паре резонаторов магнетрона 3-сантиметрового диапазона. В тангенциальном направлении предполагается периодичность. В этом случае расчеты показывают, что электронное облако по истечении некоторого переходного процесса вступает в стационарное состояние, имеющее статистический характер. Рассмотрим статистические характеристики этого состояния.
Для каждого слоя в момент времени t вычислялись средние (по электронам слоя) нормальные и тангенциальные скорости (vn) и (^т), зависящие от нормальной безразмерной координаты у, а также нормальные и тангенциальные температуры потока
Тп = т ^) - Ю ) ’ Тт = т ^"" ^ ) ’(8Л4)
где к — постоянная Больцмана, и обычная температура
(8.15)(8.15)Те = (Тп + Тт) /2.
(8.15)
(8.15)
Так как предполагается, что случайные процессы в потоке являются стационарными и эргодическими, то для получения более достоверной
Рис. 8.5. Электронные скорости, плотность объемного заряда (а) и электронная температура (б) в запертом магнетронеРис. 8.5. Электронные скорости, плотность объемного заряда (а) и электронная температура (б) в запертом магнетронестатистики производилось дополнительное усреднение этих величин за промежуток времени, превышающий обычное время пребывания электрона в промежутке, а именно за 4-6 циклотронных периодов.
Рис. 8.5. Электронные скорости, плотность объемного заряда (а) и электронная температура (б) в запертом магнетроне
Рис. 8.5. Электронные скорости, плотность объемного заряда (а) и электронная температура (б) в запертом магнетроне
Результаты расчета для цилиндрического магнетрона приведены на рис. 8.5а, б. Из них видно, что тангенциальная скорость монотонно возрастает от катода к аноду, причем лишь вблизи катода это возрастание нелинейно — наблюдается перегиб кривой. Нормальная скорость везде близка к нулю и лишь вблизи анода имеет место некоторое направленное движение к аноду. Этот результат подтверждает вывод предыдущего раздела о том, что развитие несимметрич
ных неустойчивостей сглаживает различие в тангенциальных скоростях различных слоев электронного облака.
Что касается плотности пространственного заряда, то она отлична от нуля во всем пространстве взаимодействия, чем и объясняется не равный нулю анодный ток х). Появление такого хвоста без сомнения связано с ростом температуры электронного облака. Как следует из
г) Заметим, что если сравнить вид зависимости с решением Бриллюэна, то окажется, что в прикатодной области р падает значительно быстрее, однако, р ф 0 во всем пространстве взаимодействия, тогда как граница бриллюэнов- ского потока в данном случае у = 12.
расчетов (рис. 8.56), температура электронного потока Те в скрещенных полях достигает нескольких миллионов градусов. Это указывает на высокую степень неупорядоченности потока — электронный поток находится в турбулентном состоянии. Вычисляя по известным функциям распределения дисперсию скоростей эмиттируемых электронов, можно по формуле (8.15) найти температуру электронов эмиссии: в данном случае она составляет порядка 3 • 104 К, что на порядок ниже температуры электронного облака в непосредственной близости вблизи катода (в первом слое), где много возвращающихся электронов, имеющих большой разброс по скоростям. С удалением от катода электронная температура Те повышается. В рассматриваемом нами запертом магнетроне наиболее горячей является область электронного облака вблизи анода. Заметим, что в уже упомянутой работе О. Buneman et al [10] были получены аналогичные результаты, за исключением ряда несущественных деталей, связанных, видимо, с различными параметрами моделируемого прибора.
Можно предполагать, что вследствие большого разброса электронов по скоростям в запертом магнетроне облако пространственного заряда сильно неоднородно и в нем хаотически образуются и разрушаются электронные структуры. Для проверки этого предположения вычислялась автокорреляционная функция плотности заряда и потенциала вдоль той или иной тангенциальной линии р = const. При этом координаты р выбирались так, чтобы они располагались вблизи катода, в середине или на границе облака.
В большинстве случаев плотность объемного пространственного заряда оказывалась практически некоррелированной случайной функцией времени и координаты. Отсюда следует, что протяженность и длительность существования структур пространственного заряда через- вычайна мала. Учитывая известную обратную связь между временем корреляции и спектром процесса, можно заключить, что плотность заряда обладает сплошным широким спектром. Здесь следует еще раз отметить, что из-за ограниченности области моделирования не исследовались крупномасштабные структуры (волны пространственного заряда) в электронном облаке.
Пространственная протяженность неоднородностей потенциала пространственного заряда существенно больше. Это связано с тем, что потенциал является интегральной характеристикой плотности заряда (соответствующая связь описывается уравнением Пуассона) и дальнодействующие кулоновские поля в среднем сглаживают потенциал. Вместе с тем, потенциалы в разных сечениях слабо коррелированы друг с другом, т. е. существует быстро осциллирующее поле пространственного заряда с широким спектром частот. Двигаясь в таком быстро и нерегулярно осциллирующем поле, электроны испытывают воздействие случайных, быстро меняющихся сил, которые вызывают разогрев и турбулизацию потока, размывают границу
электронного облака и могут вызывать попадание значительной части электронов на анод даже при магнитном поле значительно больше критического.
В заключение обсуждения вопросов динамики пространственного заряда в запертом магнетроне отметим, что электронное облако в такой системе является примером распределенной открытой нелинейной системы, демонстрирующей сложную динамику, которая характеризуется формированием короткоживущих электронных структур различного масштаба. Все это позволяет говорить об электронном облаке в магнетроне как об одной из моделей электронной турбулентности.
Рассмотрим теперь динамику электронного облака в слабом поле синхронной волны. Очевидно, что эта задача связана со второй загадкой магнетрона — анализом переходных процессов при установлении колебаний в магнетронном генераторе. Как и раньше, будем рассматривать двухмерную задачу. Однако теперь электрическое поле складывается из внешнего статического поля, поля пространственного заряда и сверхвысокочастотного поля, создаваемого резонансной системой. Как и в Лекции 5, будем предполагать, что электронный поток взаимодействует с одной пространственной гармоникой поля синхронной волны, соответствующей тг-колебанию. Введем подвижную систему координат, которая движется в тангенциальном направлении с фазовой скоростью Уф = ш( (3 выбранной пространственной гармоники — синхронной волны с частотой ш и тангенциальным волновым числом (3. В подвижной системе координат электрическое поле синхронной волны является электростатическим, и потенциал Ф имеет в тангенциальном направлении период А = 2тг//3, т. е. при исследовании можно ограничиться исследованием процессов в промежутке протяженностью в одну длину волны А синхронной волны (одной парой резонаторов магнетрона). В цилиндрическом магнетроне движущаяся система координат должна вращаться с угловой скоростью ш (п и является неинерциальной. Переходя к движущейся системе координат, необходимо соответствующим образом преобразовать и уравнения движения. Учет поля резонансного колебания (оно имеет комплексную частоту ws = = w's (1 — з J^QsY w' ~ резонансная частота, Qs — нагруженная добротность данного колебания) может быть проведен либо с помощью нестационарного уравнения возбуждения объемных резонаторов (1.61), либо с помощью балансов активных и реактивных мощностей (2.37), (2.38) [1]. Именно последний метод и используется в данном случае в расчетах.
Проанализируем процесс самовозбуждения магнетронного генератора в соответствии с результатами численного моделирования. В начальный момент времени, когда электронов в пространстве взаимодействия нет, энергия колебания W имеет некоторое весьма малое начальное значение. Величину W удобно представить в виде
W = FU^ US = \CS\,W = FU^ US = \CS\,(8.16)(8.16)
W = FU^ US = \CS\,
W = FU^ US = \CS\,
(8.16)
(8.16)
Рис. 8.6. Характеристики колебаний в зависимости от времени в режиме установления колебаний в магнетронном генераторе
где Сз — комплексная амплитуда сверхвысокочастотного «напряжения» данного колебания, a F — коэффициент формы, имеющий размерность емкости. Последний можно связать с нормой данного резонансного колебания.
Предгенерационный режим характеризуется образованием электронного облака. В это время поле пространственного заряда мало и не ограничивает тока эмиссии. С ростом пространственного заряда вылет эмиттируемых электронов уменьшается, и катод переходит в режим ограничения тока пространственным зарядом. На рис. 8.6а показаны соответствующие зависимости характеристик колебаний от времени. Из него видно, что в начале происходит лавинообразный рост тока Ik электронов, возвращающихся на катод и вторично-эмиссионного тока Is. Величина суммарного объемного заряда qs в межэлектродном пространстве также быстро нарастает. Затем при переходе в режим ограничения тока эмиссии пространственным зарядом (этот момент можно определить по положению максимума 18) токи Is и Ik уменьшаются и достигают некоторого равновесного значения, при котором Is и Ik « const. Состояние равновесия продлевается до момен-
та времени, когда появляется анодный ток /а. Снижение вторичноэмиссионного тока приводит к некоторому уменьшению величины \qs\. Если не происходит разрушение облака пространственного заряда при больших энергиях W, то в дальнейшем величина |qs| может считаться постоянной. Тогда, пренебрегая током термоэмиссии по сравнению с током вторичной эмиссии х), можно записать
Is Ik Т Л1-
так что коэффициент вторичной эмиссии
^ = ^у1 + А (8.17)
До появления анодного тока активная Ра и реактивная Рт электронные мощности взаимодействия (рис. 8.66) колеблются около нуля, так как электроны еще далеки от анода и электронное облако не сгруппировано. В балансе активных мощностей (2.37) Ра не может скомпенсировать потерь и энергия колебания W падает. В это же время формируются электронные спицы. После появления конвекционного тока на анод /а наблюдается быстрый рост мощностей PawPT.
Если начальное значение Us(t = 0) меньше некоторого порогового значения, то спица не образуется, генерация не возникает и колебания затухают (см. на рис. 8.6а ветвь кривой Us(tY отмеченную кружками). Для возбуждения генерации в этом случае необходимо кратковременное повышение величины постоянного анодного потенциала U^ на 1015 % в течение нескольких циклотронных периодов (момент повышения напряжения отмечен стрелкой на кривой US^Y С повышением анодного напряжения увеличивается эффективность взаимодействия электронов с волной, что и приводит к самовозбуждению. Реальный магнетрон, благодаря наличию паразитных колебаний (в численном эксперименте рассматривается одноволновое приближение), самовозбуждается и при постоянном [/а. Однако возможно ли этим объяснить самовозбуждение генератора при сколь угодно малой начальной амплитуде US^Y неизвестно.
В момент касания спицы пространственного заряда анода (t = to) (и соответственно появления анодного тока) предгенерационный режим можно считать завершенным, и начинается установление режима генерации. В стационарном режиме постоянное значение энергии колебаний определяется соотношением 2cu'W = Ра (2.37).
С появлением анодного тока при t = to мощность Ра и амплитуда Uз начинают экспоненциально нарастать. В начале предгенерацион- ного режима активная мощность Ра в большинстве случаев несколько превышает величину реактивной мощности РГ) но в дальнейшем
г) Это справедливо для многих типов катодов: платиновых, оксидно- торриевых и др.
Рис. 8.7. Процесс формирования спицы пространственного заряда
реактивная мощность нарастает быстрее активной. Качественно это можно объяснить тем, что небольшие смещения спицы относительно максимума тормозящего поля слабо влияют на величину активной мощности взаимодействия и значительно сильнее — на величину реактивной мощности взаимодействия, которая растет в результате быстрее Ра. Таким образом, опережающий рост реактивной мощности взаимодействия означает увеличение разности фаз между током электронов и сверхвысокочастотным полем, т. е. отставание электронной спицы от пучности продольного тормозящего поля. Вследствие этого постепенно ухудшаются условия передачи энергии от электронов к полю, и амплитуда поля достигает стационарного значения. Эти явления обусловлены силами пространственного заряда, которые ограничивают плотность заряда в спицах, анодный ток и генерируемую мощность.
Рассмотрим теперь непосредственно пространственно-временную динамику электронного потока. Рис. 8.7 демонстрирует процесс формирования спицы. На нем показаны распределения электронов в пространстве взаимодействия в последовательные моменты времени. Распределения получены в результате наших расчетов с помощью математической модели, близкой к модели Л.А.Вайнштейна и А.С. Рошаля. Из рисунка видно, как постоянно эмиттируемые катодом электроны постепенно отклоняются от прямолинейного движения. Рост амплитуды высокочастотной волны приводит к их группировке и началу циклоидального движения. Электроны, попавшие в неблагоприятную фазу высокочастотного поля, возвращаются обратно на катод, а находящиеся
9 Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов
в благоприятной фазе формируют спицу пространственного заряда, которая с течением времени начинает деформироваться.
Рис. 8.8 демонстрирует изменение температуры облака объемного заряда в ходе самовозбуждения цилиндрического магнетрона. В начале переходного процесса амплитуда колебаний мала, и сильно нагретый край облака не достигает анода. Температура облака на границе может достигать 2 • 107 К (рис. 8.8, кривые 1, 2). С ростом амплитуды
Рис. 8.8. Изменение электронной температуры в процессе установления колебаний в магнетронном генераторе (Т1 < т2 < . . . < Т^Рис. 8.8. Изменение электронной температуры в процессе установления колебаний в магнетронном генераторе (Т1 < т2 < . . . < Т^ды и затуханием резонансного колды и затуханием резонансного колсинхронной волны и появлением анодного тока горячий край облака поглощается анодом, поток в среднем охлаждается (кривые 3-5) и распределение температуры становится более равномерным. Время перехода потока от состояния, описываемого кривой 1, к состоянию 5 составляет в представленном случае 400 циклотронных периодов.
Рис. 8.8. Изменение электронной температуры в процессе установления колебаний в магнетронном генераторе (Т1 < т2 < . . . < Т^
Рис. 8.8. Изменение электронной температуры в процессе установления колебаний в магнетронном генераторе (Т1 < т2 < . . . < Т^
ды и затуханием резонансного кол
ды и затуханием резонансного кол
Заметим, что продолжительность предгенерационного режима определяется в основном эмиссионными свойствами катода, уровнем начальной амплиту- шия в резонаторе. Длительность
предгенерационного режима для трехсантиметрового магнетрона с платиновым катодом составляла около 25-60 циклотронных периодов. Время установления генерации, как показывает численный эксперимент, определяется только затуханием.
Необходимо также заметить, что все электронные процессы в магнетронном генераторе характеризуются сильными нерегулярными колебаниями соответствующих характеристик. На рисунках это не показано, так как зависимости предварительно усреднялись по некоторому
интервалу времени.
Вышеописанная картина относится к одному из возможных способов генерации и, как отмечается в [1], скорее всего, фактически не реализуется. Дело в том, что «затравочное» поле с энергией ИДО), которое группирует электроны и приводит к самовозбуждению, обычно вызывается тепловыми флуктуациями в объемном резонаторе; заполнение части резонатора кипящим электронным облаком сильно увеличивает эти колебания и таким образом облегчает самовозбуждение. Вместе с тем, дальнейший процесс установления режима развитой генерации не зависит (или очень слабо зависит) от деталей, относящихся к пред- генерационному режиму. Поэтому результаты, относящиеся к режиму установления, имеют существенно большее значение.
Перейдем теперь к анализу стационарного режима генерации. Как
уже понятно из вышесказанного, о стационарном режиме можно говорить лишь в смысле теории случайных процессов, т. е. как о процессе, у которого математическое ожидание и корреляционная функция не зависят от начала отсчета времени. Это связано с тем, что анодный ток
и другие характеристики не стремятся в процессе установления режима
генерации к постоянным значениям, а испытывают нерегулярные колебания около средних значений.Режим генерации в магнетроне — намного лучше изученный процесс, чем процесс возбуждения. Электронное облако в генерирующем магнетроне принимает форму вращающегося колеса. Прикатод- ная часть образует втулку колеса. От втулки к аноду тянутся спицы облака — это электронные структуры, сгруппированные благодаря механизму автофазировки в области максимального торможения тангенциального поля. Взаимодействуя с этим полем, электроны передают ему свою энергию и тем самым поддерживают генерацию.Рассмотрим некоторые результаты моделирования магнетрона трехсантиметрового диапазона в режиме ограничения тока пространственным зарядом [1]. На рис. 8.9 показаны средние значения некоторых физических величин в режиме стационарной генерации как функции Uз (Ua = const). Кривая нагруженной добротности Qs рассчитанагенерации к постоянным значениям, а испытывают нерегулярные колебания около средних значений.Режим генерации в магнетроне — намного лучше изученный процесс, чем процесс возбуждения. Электронное облако в генерирующем магнетроне принимает форму вращающегося колеса. Прикатод- ная часть образует втулку колеса. От втулки к аноду тянутся спицы облака — это электронные структуры, сгруппированные благодаря механизму автофазировки в области максимального торможения тангенциального поля. Взаимодействуя с этим полем, электроны передают ему свою энергию и тем самым поддерживают генерацию.Рассмотрим некоторые результаты моделирования магнетрона трехсантиметрового диапазона в режиме ограничения тока пространственным зарядом [1]. На рис. 8.9 показаны средние значения некоторых физических величин в режиме стационарной генерации как функции Uз (Ua = const). Кривая нагруженной добротности Qs рассчитана1а1аQs700Qs700120 -600 -120 -600 -20"100 '20"100 '60"300 -60"300 -40-200 -40-200 -1е1е100 "500 -80-400 -100 "500 -80-400 -" 0,8- 0,6- 0,4" 0,8- 0,6- 0,4la l\ / \la l\ / \0 100300500 Цу0 100300500 Цу
генерации к постоянным значениям, а испытывают нерегулярные колебания около средних значений.
Режим генерации в магнетроне — намного лучше изученный процесс, чем процесс возбуждения. Электронное облако в генерирующем магнетроне принимает форму вращающегося колеса. Прикатод- ная часть образует втулку колеса. От втулки к аноду тянутся спицы облака — это электронные структуры, сгруппированные благодаря механизму автофазировки в области максимального торможения тангенциального поля. Взаимодействуя с этим полем, электроны передают ему свою энергию и тем самым поддерживают генерацию.
Рассмотрим некоторые результаты моделирования магнетрона трехсантиметрового диапазона в режиме ограничения тока пространственным зарядом [1]. На рис. 8.9 показаны средние значения некоторых физических величин в режиме стационарной генерации как функции Uз (Ua = const). Кривая нагруженной добротности Qs рассчитана
генерации к постоянным значениям, а испытывают нерегулярные колебания около средних значений.
Режим генерации в магнетроне — намного лучше изученный процесс, чем процесс возбуждения. Электронное облако в генерирующем магнетроне принимает форму вращающегося колеса. Прикатод- ная часть образует втулку колеса. От втулки к аноду тянутся спицы облака — это электронные структуры, сгруппированные благодаря механизму автофазировки в области максимального торможения тангенциального поля. Взаимодействуя с этим полем, электроны передают ему свою энергию и тем самым поддерживают генерацию.
Рассмотрим некоторые результаты моделирования магнетрона трехсантиметрового диапазона в режиме ограничения тока пространственным зарядом [1]. На рис. 8.9 показаны средние значения некоторых физических величин в режиме стационарной генерации как функции Uз (Ua = const). Кривая нагруженной добротности Qs рассчитана
1а
1а
Qs
700
Qs
700
120 -600 -
120 -600 -
20"100 '
20"100 '
60"300 -
60"300 -
40-200 -
40-200 -
1е
1е
100 "500 -
80-400 -
100 "500 -
80-400 -
" 0,8
- 0,6
- 0,4
" 0,8
- 0,6
- 0,4
la l\ / \
la l\ / \
0 100300500 Цу
0 100300500 Цу
Рис. 8.9. Средние значения нагруженной добротности Qs в плоском магнетроне, к.п.д. Т]е и анодного тока /а в цилиндрическом магнетроне при постоянном анодном напряжении в режиме развитой генерацииРис. 8.9. Средние значения нагруженной добротности Qs в плоском магнетроне, к.п.д. Т]е и анодного тока /а в цилиндрическом магнетроне при постоянном анодном напряжении в режиме развитой генерации
Рис. 8.9. Средние значения нагруженной добротности Qs в плоском магнетроне, к.п.д. Т]е и анодного тока /а в цилиндрическом магнетроне при постоянном анодном напряжении в режиме развитой генерации
Рис. 8.9. Средние значения нагруженной добротности Qs в плоском магнетроне, к.п.д. Т]е и анодного тока /а в цилиндрическом магнетроне при постоянном анодном напряжении в режиме развитой генерации
для плоского магнетрона, остальные кривые — для цилиндрического. Результаты расчетов для плоского и цилиндрического магнетрона в режиме генерации качественно подобны. Из рисунка видно, что кривая Qs = = QS(US) имеет две ветви, и одной
и той же добротности соответствуют два значения U8. Физически очевидно, что устойчивой является ветвь, на которой с уменьшением потерь (с увеличением Qs) амплитуда Us возрастает, т. е.
dQ^ Ж
9US > ’ dQs
Следовательно, на левой ветви с меньшими величинами U8 расположены неустойчивые точки, а на правой ветви с большими значениями — устойчивые.
Рис. 8.10. Электронные скорости и температуры в цилиндрическом магнетроне в развитом режиме генерации
Анодный ток /а с ростом амплитуды волны быстро нарастает, и в какой-то момент катод прибора переходит в режим термоэмиссии. Перед этим наблюдается более быстрый рост анодного тока, а затем анодный ток резко падает, так как в рассматриваемом магнетроне тепловая эмиссия мала для поддержания анодного тока. Переход в режим термоэмиссии является следствием того, что электронное облако несколько удаляется от катода, механизм вторично-эмиссионного восполнения электронов нарушается и развивается лавинообразный распад облака пространственного заряда.
Зависимость электронного к.п.д. ре = PcJ KV^ от амплитуды Us также приведена на рис. 8.9. Максимум к.п.д. соответствует наиболее благоприятному расположению спицы относительно максимума напряженности тормозящего поля синхронной волны.
При конструировании магнетронов обычно известным параметром является не амплитуда колебаний, а нагруженная добротность. В этом случае по кривой Qs на рис. 8.9 можно найти амплитуду Us^ которая установится в исследуемом магнетроне при заданной добротности Qs, а затем по найденной величине Us исходя из остальных кривых, определить остальные параметры.
На рис. 8.10 изображены типичные зависимости средних нормальной, тангенциальной и электронной скоростей, а также соответствующих электронных температур в генерирующем цилиндрическом магнетроне. При этом скорости нормированы на величину
«ф = ^ г, (8.18)
т. е. на фазовую скорость синхронной волны при данном г. Здесь р — количество пар резонаторов анодного блока.
Как видно из рисунка, с приближением к аноду нормальная скорость движения (vn) монотонно возрастает. Зависимость (vT) оказывается
более сложной. С удалением от катода тангенциальная скорость постепенно (медленнее, чем по линейному закону) возрастает и достигает максимума. При этом электроны движутся в среднем быстрее волны. Ближе к аноду, благодаря взаимодействию с вращающейся синхронной волной, поток в среднем снова замедляется и выпадает из синхронизма, так как вблизи анода быстрые электроны скорее уходят из пространства взаимодействия. Точный синхронизм имеет место только при двух
значениях координаты р.
Как следует из расчетов, скорость (vT) хорошо аппроксимируется
выражением
= ^ф= ^ф2 — аУ/Ут ^Ут- а*2 — аУ/Ут ^Ут- а*(8.19)(8.19)
= ^ф
= ^ф
2 — а
У/Ут ^Ут- а*
2 — а
У/Ут ^Ут- а*
(8.19)
(8.19)
Коэффициенты е, а, рт слабо зависят от межэлектродного расстояния. Согласно выражению (8.19) оТ имеет максимум ЕОф при р = рт. Обычно е = 1,1 4- 1,3, а = 0,5 4- 0,7, рт близко к половине межэлектродного расстояния. На рис. 8.10 изображены зависимости при е = 1,25, а = = 0,6, рт = 23. Синхронизм потока и волны ^Т = Уф) в соответствии с выражением (8.19) достигается при
। 1 — ^— е + а—-— ~ 6.। 1 — ^— е + а—-— ~ 6.
। 1 — ^
— е + а—-— ~ 6.
। 1 — ^
— е + а—-— ~ 6.
Рис. 8.11. Вольтампетрные характеристики плоского магнетрона. Здесь кривая 1 соответствует Qs = 150, 2 — Qs = 200 3 - Qs = 250, 4 - Qs = 300 Кружки соответствуют экспериментальным даннымРис. 8.11. Вольтампетрные характеристики плоского магнетрона. Здесь кривая 1 соответствует Qs = 150, 2 — Qs = 200 3 - Qs = 250, 4 - Qs = 300 Кружки соответствуют экспериментальным данным
Рис. 8.11. Вольтампетрные характеристики плоского магнетрона. Здесь кривая 1 соответствует Qs = 150, 2 — Qs = 200 3 - Qs = 250, 4 - Qs = 300 Кружки соответствуют экспериментальным данным
Рис. 8.11. Вольтампетрные характеристики плоского магнетрона. Здесь кривая 1 соответствует Qs = 150, 2 — Qs = 200 3 - Qs = 250, 4 - Qs = 300 Кружки соответствуют экспериментальным данным
Распределение электронной температуры Те зависит от геометрических и электрических параметров пространства взаимодействия, а также характеристик эмиттера. Во многих случаях температура монотонно нарастает в направлении от катода к аноду, причем вблизи анода
имеется область более быстрого роста Те. В других случаях максимум температуры достигается внутри облака. Очевидно, что максимум температуры соответствует тем частям облака, где движение электронов наиболее нерегулярно. Обычно величина Те в генерирующем магнетроне со
ставляет несколько миллионов градусов.
Представляет большой интерес сравнение результатов численных расчетов с данными натурных экспериментов. На рис. 8.11 изображены вольтамперные характеристики
плоского магнетрона, построенные по
результатам численного моделирования. Кружками на рисунке отмечены соответствующие экспериментальные данные. Хорошее совпадение
служит подтверждением адекватности и достоверности полученных численных результатов.
В работах [19, 20] описываются результаты компьютерного моделирования процесса автомодуляции пространственного заряда. Качественно этот процесс можно описать следующим образом. Наложенное на однородный статический электронный поток высокочастотное поле резонаторной системы сначала приводит к образованию выпуклости, на которую постепенно накручиваются новые слои электронов, образуя локальную вращающуюся втулку. Когда верхние слои этой втулки поднимаются достаточно близко к аноду, они под действием высокочастотного поля резонаторной системы отрываются от локальной втулки и постепенно в виде сгустков импульсами оседают на аноде. После оседания сгустка локальная втулка постепенно восстанавливается и описанный процесс повторяется вновь. Нерегулярность этого процесса связана с тем, что время образования локальной втулки не связано со временем прохождения втулки от одной щели до другой. Поэтому процесс отрыва порций заряда от локальной втулки каждый раз начинается при новом исходном состоянии втулки. Вследствие этого от втулки каждый раз отрываются разные порции заряда. Такая хаотическая автомодуляция также является одной из причин возникновения высокого шумового пьедестала в частотном спектре сигнала, генерируемого магнетроном.
Сложная динамика пространственного зарядав усилителе со скрещенными полями
Сложная хаотическая динамика в усилителе со скрещенными полями (амплитроне) определяется возникающей обратной связью между входом и выходом прибора [21]. Как уже говорилось в предыдущей лекции в параграфах, посвященных амплитрону и карматрону, при слабом входном сигнале амплитрон генерирует шумоподобный сигнал, который не зависит от входного. При подаче значительного входного сигнала в пространстве взаимодействия формируются спицы, и устанавливается режим усиления, при котором выходной сигнал «воспроизводит» входной сигнал. Однако при возникновении связи между входом и выходом амплитрона может наблюдаться сильное искажение выходного сигнала, которое, в первую очередь, проявляется в появлении флуктуаций ВЧ-напряжения, ВЧ-фазы, анодного тока и других характеристик около средних значений. Такая обратная связь возникает за счет вращения спиц пространственного заряда в пространстве взаимодействия от выхода к входу усилителя, поэтому флуктуации на выходе прибора переносятся на его вход, становясь начальными условиями. Такой механизм, по-видимому, является основным механизмом возникновения избыточного шума в усилителе со скрещенными полями.
Рассмотрим, следуя работе [21], более подробно механизм возникновения хаотической динамики в амплитроне. В работе [21] рассматрива-
ется гидродинамическая модель динамики электронного потока в при
модель амплитрона с плос-модель амплитрона с плос-Рис. 8.12. Схема спицы, используемая в гидродинамической модели динамики электронного потока в скрещенных полях. Здесь D — расстояние «катод-анод», d — ширина втулки спицы, определяющей область, из которой эмитти- руемые электроны возвращаются на катод; сплошные линии — эквипотенциали поля синхронной волны в подвижной системе координат (ср.с рис. 7.3 и 7.4)Рис. 8.12. Схема спицы, используемая в гидродинамической модели динамики электронного потока в скрещенных полях. Здесь D — расстояние «катод-анод», d — ширина втулки спицы, определяющей область, из которой эмитти- руемые электроны возвращаются на катод; сплошные линии — эквипотенциали поля синхронной волны в подвижной системе координат (ср.с рис. 7.3 и 7.4)ближении ведущего центра. Исследуется ким пространством взаимодействия. Предполагается, что имеет место взаимодействие только с одним видом колебаний резонансной системы (одномодовое приближение). В последнем случае описание динамики системы можно провести, используя только медленно меняющиеся величины амплитуды Vi и фазы ср высокочастотного поля, а также плотность пространственного заряда по во втулке спицы (см. рис. 8.12). При этом форма и высота d втулки спицы считаются постоянными вдоль пространства взаимодействия, а величина по считается постоянной по сечению спицы, но медленно меняющейся вдоль пространства взаимодействия. Величина плотности заряда втулки по определяется соотношением между процессами вторичной эмиссии с катода и перехода электронов из вершины втулки в область спицы. Движение электронов, формирующих спицы, складывается из дрейфового движения, которое происходит вдоль эквипотенциалей синхронной волны, и орбитального вращения с частотой шс. Учитывая, что движение ведущих центров подобно движению несжимаемой жидкости (см. соотношение (7.23)), можно использовать гидродинамические уравнения для описания движения ведущих центров.
модель амплитрона с плос-
модель амплитрона с плос-
Рис. 8.12. Схема спицы, используемая в гидродинамической модели динамики электронного потока в скрещенных полях. Здесь D — расстояние «катод-анод», d — ширина втулки спицы, определяющей область, из которой эмитти- руемые электроны возвращаются на катод; сплошные линии — эквипотенциали поля синхронной волны в подвижной системе координат (ср.
с рис. 7.3 и 7.4)
Рис. 8.12. Схема спицы, используемая в гидродинамической модели динамики электронного потока в скрещенных полях. Здесь D — расстояние «катод-анод», d — ширина втулки спицы, определяющей область, из которой эмитти- руемые электроны возвращаются на катод; сплошные линии — эквипотенциали поля синхронной волны в подвижной системе координат (ср.
с рис. 7.3 и 7.4)
Использование медленно меняющихся амплитуды и фазы ВЧ-волны позволяет исследовать сложную динамику в амплитроне только в узкой полосе частот. Например, сдвиг фаз Ду? при одном прохождении сигнала через пространство взаимодействия, деленный на длину пространства взаимодействия /, определяет нелинейный сдвиг волнового числа 50 от значения ^о, соответствующего рабочей частоте с^о в отсутствии электронного пучка. При следующем прохождении сигнала через пространство взаимодействия снова наблюдается сдвиг 5(3 и т. д. Поэтому для понимания сложной динамики в усилителе на скрещенных полях, обусловленной обратной связью между входом и выходом лампы, необходим анализ величин флуктуаций выходных характеристик от одного прохождения сигнала лампы к другому. Основными управляющими
Рис. 8.13. Зависимость анодного тока от числа прохождений сигнала через пространство взаимодействия для увеличивающихся значений коэффициента вторичной эмиссии а8о (из работы [21])
параметрами, от которых зависит динамика системы, в этом случае являются коэффициент вторичной эмиссии as, зависящий от материала катода, и часть заряда Дп, несколько раз проходящая через пространство взаимодействия. Величина а8 определяется энергией электронов 8^ бомбадирующих катод, в соответствии с полуэмпирической формулой
о8 = о8й^- ехр (1 - ^-) , (8.20)
где crs0 — максимальное значение коэффициента эмиссии при ударе о катод электрона с максимальной энергией 8т.
На рис. 8.13 показаны результаты расчета зависимости анодного тока 1а прибора от числа прохождений N сигнала через пространство взаимодействия при фиксированном значении величины Дп = 2/3 и различных величинах crs0. Из рисунка видно, что с увеличением максимального коэффициента вторичной эмиссии система демонстрирует последовательность переходов от стационарного состояния к периодическим колебательным режимам и далее к развитому хаотическому поведению.
При crs0 = 2,25 после нескольких первых прохождений лампы в системе устанавливается стационарное состояние (рис. 8.13а), характеризуемое очень малыми флуктуациями выходных характеристик. При
Рис. 8.14. Зависимость плотности пространственного заряда по от продольной координаты х/А (А — длина волны, распространяющейся в линии передачи) для одного прохождения в режимах стационарного состояния (а) (crso = 2,25) и хаотической динамики (б) (crso = 3,5) (из работы [21])
увеличении максимального коэффициента вторичной эмиссии до величины crs0 = 2,40 происходит потеря устойчивости стационарного состояния. Из рис. 8.136, с видно, что в системе устанавливаются периодические движения различных периодов. На рис. 8.136, построенном при crs0 = 2,40, показан цикл периода 2, на рис. 8.13с — цикл периода 10 (crs0 = 2,50). И, наконец, при достижении значения crs0 = 3,50 поведение становится хаотическим (рис. 8.13г).
Таким образом наличие внутренней обратной связи в усилителе со скрещенными полями приводит к разрушению стационарных режимов, и при превышении некоторых критических значений параметров Дп и crs0 происходит возникновение сначала периодических, а затем и хаотических режимов. При этом для данного значения Дп существует максимальное значение коэффициента эмиссии, выше которого стационарные состояния теряют устойчивость. Аналогично, существует максимальная величина Дп при фиксированном crs0. Это свидетельствует, что основная причина потери устойчивости и возникновения сложной динамики в усилителе связана с ростом величины накопленного в пространстве взаимодействия заряда. Последнее способствует росту влияния обратной связи. Заметим, что численное моделирование показало сильную связь между флуктуациями выходных характеристик усилителя за одно прохождение длины лампы и появлением больших изменений плотности заряда в пространстве взаимодействия.
На рис. 8.14 показаны зависимости плотности заряда в спице по от длины пространства взаимодействия в течение одного прохода для режима стационарных и хаотических колебаний. Зависимость плотности от длины лампы меняется от гладкой кривой в стационарном режиме до все более колебательной в хаотических режимах. Усложнение вида зависимости п^х^ делает динамику системы более чувствительной к начальным условиям на входе усилителя, которые задаются величиной Дп, характеризующей внутреннюю обратную связь. Величина
плотности пространственного заряда по влияет на два основных параметра, характеризующих работу лампы: анодный ток и вторичную эмиссию. Ширина спицы определяется отклонением скорости дрейфа электронов от фазовой скорости волны (см. рис. 7.5). Поэтому любые изменения пространственного заряда или электрического поля, приводящие к вариации дрейфовой скорости, влияют на анодный ток. Коэффициент вторичной эмиссии определяется энергией столкновения, которая, в свою очередь, зависит от величины как ВЧ-поля, так и постоянного поля на катоде. Взаимодействие между этими двумя факторами приводит к сильным колебаниям величины по в том случае, когда плотность заряда приближается к величине критической плотности рс, а величина коэффициента вторичной эмиссии стремится к нулю.
Таким образом, основным механизмом возникновения сложной нелинейной динамики в усилителе со скрещенными полями является формирование внутренней обратной связи, связанной с неоднократным прохождением некоторой части пространственного заряда через пространство взаимодействия. Заметим, что изложенные результаты работы [21] получены с помощью модели, которая не учитывает целый ряд важных факторов, например, многомодовую конкуренцию в резонансной системе и взаимодействие спиц. Однако, именно изложенный механизм хаотизации динамики пространственного заряда в амплитроне наиболее существенен, поэтому учет вышеназваных факторов может лишь уточнить приведенную картину усложнения колебаний.
Список литературы
Вайнштейн Л.А., Рошаль А.С. Пространственный заряд в скрещенных полях // Лекции по электронике СВЧ (2-я зимняя школа- семинар инженеров; книга III). Саратов: Изд-во СГУ, 1972, С. 2.
Lemke R.W., Genoni Т.С., Spencer Т.А. Three dimesional particlein-cell simulation study of a relativistic magnetron // Physics of Plasmas. 1999. V. 6, № 2. P. 603.
Кураев А.А., Байбурин В.Б., Ильин E.M. Математические модели и методы оптимального проектирования СВЧ приборов. — Мн.: Наука и техника, 1990.
Байбурин В.Б., Терентьев А.А., Сысуев А.А., Шуколюков А.Н., Еремин В.П. Анализ процессов в магнетронах ММ-диапазона с помощью численной многоволновой модели // Материалы международной научно-технической конференции «Актуальные пробле-
мы электронного приборостроения», 7-9 сентября 1998 г., Саратов, Россия. Саратов: изд.-во СГТУ, 1998.
Брауде С.Я. Движение электрона в электрическом и магнитном поле с учетом пространственного заряда // ЖЭТФ. 1935. Т. 5, Я2 7. С. 621.
Брауде С.Я. К вопросу о действии магнитного поля на пространственный заряд в плоском и цилиндрическом диодах // ЖТФ. 1940. Т.10,№3. С. 216.
Гринберг Г. А., Волькенштейн В. С. Влияние однородного магнитного поля на движение электронов между коаксиальными цилиндрическими электродами // ЖТФ. 1938. Т. 8, Я91. С. 9.
Гринберг ГА. Избранные вопросы математической теории электрических и магнитных явлений. — М.: Изд-во АН СССР, 1948.
Теория магнетрона (по Бриллюэну). Сборник переводов. — М.: Сов. радио, 1946.
Випетап О., Yu S.P., Koyers G.P. Time-dependent Computer Analysis of Electron-Wave Interaction in Crossed Fields // Journal of Appl.Phys. 1965. V. 35, Я^ 8. P. 2550.
Бедселл Ч., Ленгдон А. Физика плазмы и численное моделирование. — М.: Атомиздат, 1985.
Sproull R.L // Journal of Appl. Phys. 1947. V. 18, Я^ 3. P. 314.
Кандыбей В. Г., Некрасов Л.Г., Смирнов А.В., Усыченко В.Г. // Электронная техника. Серия I. Электроника СВЧ. 1983. Вып. 11. С. 6.
Смирнов А.В., Усыченко В.Г. Возникновение хаоса и избыточного шума в магнетроне // Радиотехника и электроника. 1988. Т. XXXIII, Я^ 4. С. 883.
Тичинский В.П., Деркач Ю.Т. Колебания облака пространственного заряда в цилиндрическом магнетроне // Радиотехника и электроника. 1956. Т. 1, Я^ 2. С. 231.
Кадомцев Б.Б. Неустойчивость электронного облака в магнетроне // ЖТФ. 1959. Т. 29, Я^ 7. С. 833.
Рабинович М.И.. Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. — М.: Наука, 1984.
Birdsall С., Bridges W. Electron Dynamics in Diode Regions. — NY: Academic Press, 1966.
Моносов Г.Г. Исследование электромагнитных шумов в магнетроне с помощью двумерного компьютерного моделирования // Материалы международной межвузовской конференции «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ”. Саратов, 2024 марта 2001. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж”, 2001. С. 114.
Monossov H.G. The two-dimensional mathematical model of electron enteraction with UHF field in a magnetron and high-voltage UHF oscillations breakdowns // Proceedings of International University Conference «Electronics and Radiophysics of Ultra-High Frequencies”. St. Petersburg, Russia. May 24-28, 1999. P. 97.
Riyopoulos S.A. Feedback-induced noise in crossed field devices // IEEE Trans, on Plasma Sci. 1992. V. 20, № 3. P. 360.
Лекция 9
ИСТОРИЯ СОЗДАНИЯ ЛАМПЫ БЕГУЩЕЙВОЛНЫ И ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ТЕОРИЯВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ЭЛЕКТРОННОГО ПОТОКАС БЕГУЩЕЙ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ВОЛНОЙ
Приборы СВЧ, в которых эффект усиления или генерации основан на взаимодействии электронного потока с замедленной волной, нашли широкое применение в системах связи, радиолокации и многих других областях науки и техники.
А.М. Кац, Е.М. Ильина, И.А. Мань- кин. Нелинейные явления в СВЧ-приборах О-типа с длительным взаимодействием
История изобретения Рудольфом Компфнером лампы бегущей волны. Роль Джона Пирса. Анализ взаимодействия электронного потока с бегущей прямой электромагнитной волной на основе метода последовательных приближений. Квадратичная группировка. Качественное описание процесса группирования электронов в бегущей волне. Принципы подобия для приборов с длительным взаимодействием (нерелятивистские и ультрарелятивистские пучки).
Рассмотренные в предыдущих лекциях сверхвысокочастотные устройства являются принципиально узкополосными, так как используемые в них резонансные контуры (объемные резонаторы) позволяют получать усиление лишь в очень узкой полосе частот (около 1% относительно основной частоты). Если мы рассматриваем соответствующие генераторы, то ширина полосы генерируемого сигнала и диапазон электронной перестройки частоты также малы. Поэтому для реализации СВЧ-приборов с широкой рабочей полосой необходимо отказаться от принципа обмена энергии между электронным потоком и переменным электрическим полем, локализованном в «коротком» зазоре высокодобротного резонатора, и заменить такую узкополосную колебательную систему колебательной системой нерезонансного типа. Такая колебательная система (замедляющая система) представляет собой широкополосную электродинамическую структуру, способную
уменьшить фазовую скорость электромагнитной волны по сравнению со скоростью света.
Для нарастания амплитуды гармонической волны в пространстве под действием внешней волны необходимо совпадение их волновых чисел, т. е. в этом случае должен иметь место пространственный резонанс (резонанс волновых чисел) [1]. На самом деле, необходим резонанс и частот, и волновых чисел, что выражается в равенстве фазовой скорости собственной волны в среде фазовой скорости внешней волны. Это условие обычно называют условием синхронизма волн.
Применительно к электронике СВЧ это означает, что необходимо транспортировать электронный пучок вдоль замедляющей системы, и если скорость замедленной электромагнитной волны примерно равна скорости электронов (условие синхронизма), то возможно кумулятивное длительное взаимодействие между электронной волной и волной в волноведущей структуре.
Данная идея — взаимодействие электронного потока с замедленной электромагнитной волной (как уже отмечалось в лекции 1) лежит в основе большой группы усилителей и генераторов, в которых используются нерезонансные колебательные системы. Наиболее широко применяемыми и, даже можно сказать, классическими приборами с длительным взаимодействием являются лампа бегущей волны (ЛБВ) и лампа обратной волны (ЛОВ). В лекциях 9-11 рассматривается лампа бегущей волны, в лекциях 12-13 — лампа обратной волны. Основное различие этих двух устройств состоит в направлении потока мощности в линии передачи. Если фазовая скорость волны и в том и другом случае совпадает с направлением движения пучка, то поток мощности (групповая скорость) в соответствии с разложением поля в ряд пространственных гармоник (см. лекцию 1, формулы (1.86) и (1.87)) может быть направлен как в направлении движения пучка, так и против. Первый случай соответствует взаимодействию с прямой волной (ЛБВ), второй случай — взаимодействию с обратной волной (ЛОВ).
Пусть имеет место выполнение условия синхронизма при взаимодействии с прямой волной (рис. 9.1а). Тогда, если вблизи источника электронов вводить в линию передачи сигнал, то он приведет к модуляции скорости электронов и последующей группировке, т. е. созданию в пучке ВЧ-тока, который наводит в линии передачи ВЧ-поле. В результате происходит сложение наведенного поля Енав с входным сигналом Е°. Таким образом вдоль длины пространства взаимодействия происходит усиление входного сигнала.
Рассмотрим в соответствии с рис. 9.15 устройство лампы бегущей волны — усилителя. Она состоит из следующих основных частей: электронной пушки, входного устройства, усилительной секции, состоящей из замедляющей системы, с продольной составляющей электрического поля которой взаимодействует электронный поток, выходного устройства и коллектора, на котором оседает электронный пучок. Фокусиров-
Рис. 9.1. Схема лампы бегущей волны со спиральной замедляющей системойРис. 9.1. Схема лампы бегущей волны со спиральной замедляющей системойка электронного пучка обычно осуществляется либо постоянным либо
Рис. 9.1. Схема лампы бегущей волны со спиральной замедляющей системой
Рис. 9.1. Схема лампы бегущей волны со спиральной замедляющей системой
периодическим магнитным полем. В качестве замедляющей системы
используются либо спирали, либо замедляющие системы типа цепочек
связанных резонаторов (ЦСР) или их модификации (ЛБВ с ЦСР будет посвящена отдельная Лекция 11).
Что касается спиральной замедляющей системы, то она объединяет свойство малой дисперсии (см. рис. 9.2) с большим сопротивлением связи (см. Лек
Рис. 9.2. Дисперсионная характеристика спиральной замедляющей системы. Диапазон длин волн А 6 (А1,А2) соответствует области слабойРис. 9.2. Дисперсионная характеристика спиральной замедляющей системы. Диапазон длин волн А 6 (А1,А2) соответствует области слабойцию 1), что позволяет добиться большого усиления в широкой полосе частот [2]. Для прямых волн слабая дисперсия имеет место, когда групповая и фазовая скорости волны близки. С увеличением
Рис. 9.2. Дисперсионная характеристика спиральной замедляющей системы. Диапазон длин волн А 6 (А1,А2) соответствует области слабой
Рис. 9.2. Дисперсионная характеристика спиральной замедляющей системы. Диапазон длин волн А 6 (А1,А2) соответствует области слабой
групповой скорости vrp увеличивается дисперсии, где г;ф(А) « const поток мощности Р, проходящий через
IEU2
систему, что приводит к уменьшению сопротивления связи К = -—
2/30 Р
где Ех — продольная составляющая электрического поля замедленной
волны в области пучка; (3 = суо/уф; Уф = Уо- Поскольку Р = угрИ/, то для обеспечения в широкополосных замедляющих системах требуемой
величины сопротивления связи К нужно по возможности уменьшить запасенную в них энергию W (например, уменьшая объем, занимаемый полем вне пучка). Спираль при распространении в ней прямой волны в полной мере удовлетворяет этому требованию. Все результаты, которые представлены в этой и в следующей лекциях, будут относиться, если не оговаривается особо, к ЛБВ со спиральной замедляющей системой.
Существенной чертой усилителя бегущей волны, отличающей его от выше рассмотренных приборов типа клистрона и магнетрона, является то, что электронный поток, сгруппировавшись, отдает свою энергию электромагнитному полю на большой длине пространства взаимодействия при относительно малой амплитуде поля.
История изобретения Рудольфом Компфнеромлампы бегущей волны. Роль Джона Пирса
Нет сомнения, что первый усилитель с бегущей волной разработал Рудольф Компфнер в 1942-1943 гг., так же как нет сомнения в том, что к моменту создания лампы он глубоко понимал особенности взаимодействия электронного потока с замедленной электромагнитной волной х). История создания ЛБВ и сам ее создатель не менее удивительны, чем 100™долларовая идея братьев Вариан и Хансена.
Компфнер — фигура необычная для СВЧ-электроники. Он родился в 1909 г. в Вене (Австрия) и получил диплом инженера-архитектора в Венской Высшей технической школе в 1933 г. Начиная с 1934 г., вплоть до 1941 г. он продолжил учебу в области архитектуры в Англии, совмещая ее с работой в архитектурной конторе. Однако Компфнер всегда стремился стать физиком. «В начале войны он был интернирован и тем самым имел удобный случай усовершенствовать свои знания в области физики. В дальнейшем, еще во время войны, он освободился от интернирования и работал над сверхвысокочастотными лампами для Морского министерства» [5, с. 165].
Основные работы по ЛБВ были выполнены Компфнером в Бирмин- гамском университете и позднее в Кларендонской лаборатории в Оксфорде, где он получил ученую степень доктора физики. В 1951 г. он переехал в США, где в лабораториях фирмы Белл продолжал работу
г) Заметим, что идея о взаимодействии электронов с бегущей электромагнитной волной, фазовая скорость которой близка к скорости электронов, упоминается в ряде патентов и до Компфнера. Варнеке и Генар изучали этот вопрос. Ранняя история, точнее предыстория ЛБВ, отражена в обзоре Варнеке [3, С. 50]. Отметим также, что к этой же идее, но не для усиления электромагнитных волн, а в целях ускорения пучков заряженных частиц пришли в середине 20-х годов специалисты в ускорительной технике (см. Лекцию 11; раздел, посвященный линейным ускорителям заряженных частиц).
над СВЧ-лампами, а позднее занимался исследованиями в области квантовой электроники, космической связи с помощью спутников и оптической связи. С 1973 г. он преподавал на факультете прикладной физики Станфордского университета. Умер Компфнер в 1977 г.
В 1941 г., когда Компфнер работал в Бирмингамском университете (в секретной группе Олифанта, где был создан многорезонаторный магнетрон), перед ним была поставлена задача разработать клистрон- ный усилитель с коэффициентом шума значительно меньшим, чем у усилителей, использовавшихся тогда в супергетеродинных приемниках. Компфнер пишет, что мысль об использовании бегущей волны, взаимодействующей с электронами, возникла у него, когда работа над клистроном зашла в тупик. «Клистроны с хорошей связью между пучком и резонаторами имели значительный коэффициент усиления, но плохой коэффициент шума, если же коэффициент шума был хорошим, то связь была слабой и усиление небольшим, так что от нескольких каскадов шум снова был большим ... После двух лет работы над такими лампами ... стало ясно, что это неправильный путь. Как бы то ни было, в конце концов я подумал, раз время пролета через зазор представляет такую серьезную трудность и взаимодействие со стационарным полем получается таким слабым, то так и быть, — пусть поле движется вместе с электронами, — мысль, в общем-то, достаточно очевидная» [4, с. 1112].
Компфнер сделал удивительный по смелости шаг: он отказался от резонансного контура, благодаря которому были достигнуты столь впечатляющие успехи как, например, создание клистронов. Пирс пишет [5, с. 185]: «По-видимому, Компфнеру посчастливилось избавиться от ограничения полосы частот в усилителях (что до него радиоспециалистам никак не удавалось) именно благодаря непредубежденности, свежести взгляда на вещи человека, до этого работавшего в другой области. Компфнер решил задачу просто, он построил эффективный усилитель без резонансного контура».
Следует, однако, подчеркнуть — сам Компфнер не понял, что создал широкополосный усилитель: «Я не понял, что имею прибор с потенциальной шириной полосы в несколько октав. Пирс понял.» [4, с. 29]. Да, Пирс понял: «Когда я в США начал работать с лампой бегущей волны, на меня большое впечатление произвела ее огромная широко- полосность» [5, с. 185] и сразу поставил перед собой задачу о создании широкополосной лампы с высоким устойчивым коэффициентом усиления, но это было много позже — в 1944 году.
Что же сделал Компфнер? На этот вопрос отвечает Пирс [5]. «Компфнер, который изобрел в конце войны лампу бегущей волны, был исследователем в области малошумящих усилителей. Созданная им лампа была очень нестабильна. Он пользовался спиралью с малыми потерями, поэтому как только усиленная волна частично отражалась от выхода, она шла ко входу и возбуждала генерацию в лампе. Тем не менее
он добился усиления, а его измерения шумов дали результаты, которые превосходили все то, что было достигнуто затем в течение нескольких
лет».
Эволюция размышлений Компфнера о приборе, в котором реализо
вывалось бы взаимодействие электронов с бегущей волной, иллюстрируют рисунки из его записной книжки (рис. 9.3-9.5). На двух последних
Рис. 9.3. Страничка из записной книжки Компфнера, датированная 6 сентября 1942 г., со схемой отклоняющей системы ВЧ-осциллографа из коаксиальной линии, скорость волны в которой близка к скорости электронов. Не приводится оригинальный текст около рисунка [4]Рис. 9.3. Страничка из записной книжки Компфнера, датированная 6 сентября 1942 г., со схемой отклоняющей системы ВЧ-осциллографа из коаксиальной линии, скорость волны в которой близка к скорости электронов. Не приводится оригинальный текст около рисунка [4]рисунках фигурирует спираль — один из важнейших элементов будущей ЛБВ. К концу 1942 г. Компфнер уже имел некоторую информацию о свойствах спирали как замедляющей системы. «Я имел несколько бесед с коллегами о том, как можно уменьшить скорость, и в ходе обсуждений было высказано предположение использовать спираль... ... я взял немного медной проволоки и стальной прут, зажал прут в токарный станок и намотал на него спираль. Витки касались
Рис. 9.3. Страничка из записной книжки Компфнера, датированная 6 сентября 1942 г., со схемой отклоняющей системы ВЧ-осциллографа из коаксиальной линии, скорость волны в которой близка к скорости электронов. Не приводится оригинальный текст около рисунка [4]
Рис. 9.3. Страничка из записной книжки Компфнера, датированная 6 сентября 1942 г., со схемой отклоняющей системы ВЧ-осциллографа из коаксиальной линии, скорость волны в которой близка к скорости электронов. Не приводится оригинальный текст около рисунка [4]
друг друга и я их немного раздвинул, чтобы не было короткого замыкания. Затем я взял коаксиальный проводник от детектора стоячей волны,
вставил в него спираль, подал сигнал с длиной волны 10 см, и вдруг, — о чудо! — я получил стоячую волну, конечно очень грубо, но когда я
измерил расстояние между максимумами и взял среднее, то оказалось, что скорость уменьшилась в семь раз» [4].
Рис. 9.4. Страничка записной книжки от 10 ноября 1942 г. В предлагаемом усилителе полый пучок движется между спиралью и внешним проводником к выходному резонатору, такому как в клистроне [4]Рис. 9.4. Страничка записной книжки от 10 ноября 1942 г. В предлагаемом усилителе полый пучок движется между спиралью и внешним проводником к выходному резонатору, такому как в клистроне [4]Компфнер с трудом уходил от резонатора в конструкции лампы, даже поняв свойства спирали. Характерен в этом смысле его комментарий к рис. 9.5 [4, с. 15]: «.. .я .. .заменил румбатрон другой системой (рис. 9.3). Здесь в правой части тоже есть спираль, и выход
Рис. 9.4. Страничка записной книжки от 10 ноября 1942 г. В предлагаемом усилителе полый пучок движется между спиралью и внешним проводником к выходному резонатору, такому как в клистроне [4]
Рис. 9.4. Страничка записной книжки от 10 ноября 1942 г. В предлагаемом усилителе полый пучок движется между спиралью и внешним проводником к выходному резонатору, такому как в клистроне [4]
а. // У>а. // У>Рис. 9.5. Страничка из записной книжки от 12 ноября 1942 г. Выходной резонатор заменен секцией со спиралью, что приводит Компфнера к неожиданному выводу: «Совершенно ненастроенный усилитель?» (рисунок и подпись из [4])Рис. 9.5. Страничка из записной книжки от 12 ноября 1942 г. Выходной резонатор заменен секцией со спиралью, что приводит Компфнера к неожиданному выводу: «Совершенно ненастроенный усилитель?» (рисунок и подпись из [4])Рис. 9.6. Страничка от 13 ноября 1942 г. Пучок проходит через резонатор, не оседая на стенках, ни на сетках зазора, так что поперечное по отношению к направлению движения пучка ВЧ-поле приводит к его модуляции. Не приводится оригинальный текст над и под рисунком [4]Рис. 9.6. Страничка от 13 ноября 1942 г. Пучок проходит через резонатор, не оседая на стенках, ни на сетках зазора, так что поперечное по отношению к направлению движения пучка ВЧ-поле приводит к его модуляции. Не приводится оригинальный текст над и под рисунком [4]сделан прямо от спирали. В записной книжке я пометил с недоумением: «Совершенно ненастроенный усилитель?» Это было невероятно — усилитель несомненно был ненастроенным». Несколько месяцев было потрачено на резонансные усилители с поперечным полем (Компфнер по-существу возвратился к варианту скоростной модуляции, думая создать бесшумный усилитель; см. рис. 9.6), пока «...понял, что шум пучка все равно будет поступать в резонатор, даже если электроны и не ударяются о него... » Но в апреле 1943 года я вернулся к тому, что теперь назвал бы «спирально-коаксиальным усилителем» [4, с. 16].
а. // У>
а. // У>
Рис. 9.5. Страничка из записной книжки от 12 ноября 1942 г. Выходной резонатор заменен секцией со спиралью, что приводит Компфнера к неожиданному выводу: «Совершенно ненастроенный усилитель?» (рисунок и подпись из [4])
Рис. 9.5. Страничка из записной книжки от 12 ноября 1942 г. Выходной резонатор заменен секцией со спиралью, что приводит Компфнера к неожиданному выводу: «Совершенно ненастроенный усилитель?» (рисунок и подпись из [4])
Рис. 9.6. Страничка от 13 ноября 1942 г. Пучок проходит через резонатор, не оседая на стенках, ни на сетках зазора, так что поперечное по отношению к направлению движения пучка ВЧ-поле приводит к его модуляции. Не приводится оригинальный текст над и под рисунком [4]
Рис. 9.6. Страничка от 13 ноября 1942 г. Пучок проходит через резонатор, не оседая на стенках, ни на сетках зазора, так что поперечное по отношению к направлению движения пучка ВЧ-поле приводит к его модуляции. Не приводится оригинальный текст над и под рисунком [4]
Следует заметить, что все работы над будущей ЛБВ были «домашними упражнениями». На работе Компфнер продолжал заниматься клистронным усилителем. Прежде, чем начать делать лампу, он по-существу построил достаточно полную теорию усиления слабого сигнала при взаимодей
ствии электронного потока с бегущей электромагнитной волной. В част-
ности, он научился рассчитывать сопротивление связи спирали, сумел найти выражение для сгруппированного под действием поля волны в спирали пучка и показал, что ток пропорционален квадрату расстояния (по современной терминологии Компфнер показал, что при взаимодействии типа О имеет место квадратичная группировка электронов).
В августе 1943 г. физическое отделение Бирмингамского университета распалось, поскольку большая часть сотрудников уехала в Лос- Аламос (США), чтобы принять участие в работе над атомной бомбой. Компфнер остался: ему разрешили официально заниматься усилите™
Рис. 9.7. Экспериментальный макет, созданный Компфнером для демонстрации взаимодействия между бегущей волной и пучком [4]
лем с бегущей волной и, разумеется, он выбрал эту работу. Теперь он поступил к экспериментальному созданию лампы. Вот, что представлял собой по словам Компфнера первый прибор (рис. 9.7). «Использовался пучок, созданный пушкой катодно-лучевой трубки, проходивший через фокусирующую катушку и спираль и дающий пятно на флюоресцирующем экране, которое можно было видеть снаружи. Спираль замедляла волну примерно в 10 раз (при напряжении около 2500 В). С большим нетерпением я ждал, что получится при подаче сигнала что-то около 100 мВт. К своему величайшему удовольствию я заметил как пятно растянулось и превратилось в линию. Наверное это был один из самых волнующих моментов в моей жизни. До сих пор я все-таки не верил, что электроны можно на самом деле «одурачить». Все мои открытия до этого были на бумаге; чтобы удостовериться нужен был эксперимент» [4, с. 20]. Многочисленные (в ряде случаев весьма изящные) эксперименты Компфнера шаг за шагом подтверждали его теорию. Эксперименты продолжались на различных вариантах ламп, число которых перевалило за первую десятку. Наконец, по воспоминаниям Компфнера в марте 1944 г. он «...получил наилучшие результаты, когда лампа показала следующие характеристики. Сорок из 50 микроампер доходили до коллектора, имевшего потенциал 1800 вольт; ... усиление составляло что-то около 10 дБ, а улучшение отношения сигнал/шум, когда лампа включалась в цепь, равнялось 4 дБ. Коэффициент шума смесителя был равен 13 дБ, т. е. коэффициент шума должен был быть порядка 10 дБ» [4, с. 26].
Дальнейшая работа Компфнера проходила в Оксфордском университете. Здесь, в частности, он закончил свою теорию, получив легко суммируемый бесконечный ряд для поля в спирали (ряд соответствовал суммированию первичных, вторичных, третичных и т. д. волн). Были получены точное и асимптотическое (для больших длин) выражения
для возбужденного поля в спирали. В асимптотическом случае поле росло с расстоянием экспоненциально. В это же время Компфнер открыл экспериментально и объяснил теоретически явление полного подавления сигнала в ЛБВ при определенных значениях тока и потенциала луча. Это явление носит название эффекта срыва Компфнера (Kompfner dip condition) и используется для измерения дисперсионных характеристик и сопротивления связи замедляющих систем.
Следующий важный шаг в развитии теории ЛБВ и осознании того, что это — широкополосный усилитель, принадлежит Джону Пирсу. Вот как оценивает роль Пирса в то время Компфнер [5, с. 27-28]. «...в 1944 г. доктор Джон Р.Пирс из «Белл Телефон Лэбораториз» посетил Оксфорд. Он прочитал некоторые наши секретные заметки об этой работе. ..Ия помню, с какой живостью он проглотил все это, а потом уехал назад и развил теорию, которая дала все результаты строго, гораздо более изящно, чем сделал я суммированием членов, хотя следует напомнить, что он, так сказать, заранее знал ответ, в то время как мои первые теоретические шаги предвосхищали эксперименты... В сущности его теория с самого начала правильно учитывала влияние потерь в спирали и рассинхронизма между пучком и волной, его теория предсказывала удивительные, по крайней мере для меня, вещи! Тот факт, что в лампе с бегущей волной потери не только не вредны, но даже очень полезны, был для меня совершенно неожиданным... При первой возможности Пирс послал мне свою теорию еще задолго до того, как она была опубликована. Несомненно, это был еще один волнующий момент, когда я вдруг понял, как все оказывается просто и красиво».
Обстоятельства, связанные с войной, сложились так, что первые публикации Компфнера появились только в 1946 г. и позднее, т. е. практически одновременно с публикациями Пирса, хотя приоритет Компфнера в создании ЛБВ очевиден из сказанного выше.
Джон Пирс родился 27 марта 1910 г. в штате Айова (США), в 1933 г. окончил Калифорнийский университет, где в 1936 г. получил степень доктора. После этого в течение 35 лет Пирс работал в американской компании «Бэлл телефон лэбораториз», где занимался исследованием и разработкой электровакуумных приборов, в том числе и ЛБВ (у него 88 изобретений, часть которых относится к ЛБВ). В 1955 г., т. е. за два года до запуска в 1957 г. первого искусственного спутника Земли, Пирс опубликовал статью «Орбитальные радиотрансляторы». В этой работе были изложены теоретические основы для запуска пассивного ретранслятора, который в 1960 г. был помещен на спутнике «Эхо-1», и активного ретранслятора, примененного на спутнике «Телстар» в 1962 г. Пирс — автор целого ряда известных монографий и научно-популярных книг. Он разносторонний человек — пишет научную фантастику, стихи, сочиняет компьютерную музыку. После ухода из фирмы Белл преподает в Калифорнийском технологическом институте.
Анализ взаимодействия электронного потокас бегущей прямой электромагнитной волнойна основе метода последовательных приближений
Прежде чем перейти непосредственно к количественному анализу физических процессов при взаимодействии электронного потока с бегущей электромагнитной волной, перечислим основные предположения, при которых строится простейшая теория приборов с длительным взаимодействием. В отсутствии высокочастотного поля электроны двигаются прямолинейно вдоль продольной оси ж с некоторой постоянной скоростью t>o (т. е. электроны пучка полностью замагничены сильным фокусирующим магнитным полем, которое приложено вдоль пространства взаимодействия). Замедленная электромагнитная волна распространяется только в положительном направлении оси ж и имеет только Е^-компоненту напряженности электрического поля, так что ВЧ-поперечными смещениями электронов пренебрегаем. В результате возможно ограничиться построением одномерной теории взаимодействия электронов с бегущей волной.
Проведем анализ взаимодействия с помощью метода последовательных приближений. Сущность метода последовательных приближений состоит в вычислении высокочастотной составляющей сгруппированного тока (или высокочастотных продольных смещений электронов), возникающих под действием заданных высокочастотных полей, а затем в вычислении поля, возбуждаемого в волноведущей системе током, который считается теперь заданным. Далее процедуру можно повторять, получая приближения более высоких порядков. В качестве нулевого приближения задаются ВЧ-поля в волноведущей системе без пучка. Важно, что для вычисления пусковых условий в ЛОВ достаточным оказалось первого приближения. Здесь нельзя не отметить, что широкие возможности и высокая эффективность аппарата метода последовательных приближений, впервые примененного Компфнером к ЛБВ, была обоснована основателем Саратовской научной школы по сверхвысокочастотной электронике профессором Владимиром Николаевичем Шевчиком. Метод последовательных приближений применялся впоследствии для решения широкого круга задач СВЧ-электроники [7, 8] и, в первую очередь, применительно к анализу ЛОВ.
В качестве нулевого приближения («заданного поля») возьмем поле невозмущенной волны, которая при ж = 0 полагается равной входному сигналу в ЛБВ, поскольку потери в линии передач не учитываются. При этом задача разбивается на три части: 1) анализ модуляции электронного потока по скорости; 2) анализ группирования электронного потока в бегущей волне постоянной амплитуды; 3) анализ взаимодействия электронного потока с бегущей волной постоянной амплитуды. Рассмотрим последовательно каждую из названных подзадач.
1. Модуляция электронного потока по скорости в бегущей электромагнитной волне постоянной амплитуды. Пусть электронный поток движется с постоянной скоростью Vo в положительном направлении оси ж. В том же направлении распространяется бегущая электромагнитная волна с постоянной амплитудой. Продольная составляющая волны имеет вид
Е = E^xV^ = Eoej(wt"xW = е%^"х^\(9.1)
где Жф — фазовая скорость волны, Е° — постоянная амплитуда волны электрического поля х). В рамках теории малого сигнала уравнение для переменной составляющей скорости электронов в Эйлеровых координатах, как было показано в Лекции 3, имеет вид (3.19):
ди ди.
+=(9-2)
Переменные величины будем предполагать изменяющимися по закону е^^^, тогда уравнение (9.2) сводится к линейному неоднородному дифференциальному уравнению
—;ЗРеУ^ = — ^1(ж),
ахvo
v = vo + v = VoSl + ^7- I Vov = vo + v = VoSl + ^7- I Vo(9.3)(9.3)где введено обозначение Ре = w/yg- Интегрируя последнее уравнение, легко получить выражение для полной скорости
v = vo + v = VoSl + ^7- I Vo
v = vo + v = VoSl + ^7- I Vo
(9.3)
(9.3)
О
где Vo = ^о/^й)- Учитывая, что Ei(x) = Е°е-^оХ1 интеграл можно представить в виде:
JГЖ-Зо) "
Оо
= ехр= ехр(Зе ~ Зо)жJ 2(Зе ~ Зо)жJ 2sin V(3e - А)ж/2]V(3e-3o)/^sin V(3e - А)ж/2]V(3e-3o)/^(9.4)(9.4)
= ехр
= ехр
(Зе ~ Зо)ж
J 2
(Зе ~ Зо)ж
J 2
sin V(3e - А)ж/2]V(3e-3o)/^
sin V(3e - А)ж/2]V(3e-3o)/^
(9.4)
(9.4)
С учетом выражения (9.4) действительная часть формулы (9.3) запи
шется как
Re и = иоRe и = иоL,E°l sin ре -^o)®/2] ( 2Vo Ж - ^o)Z/2]L,E°l sin ре -^o)®/2] ( 2Vo Ж - ^o)Z/2]g,t _ (Зе Щ=g,t _ (Зе Щ=} ■ (9-5)} ■ (9-5)
Re и = ио
Re и = ио
L,E°l sin ре -^o)®/2] ( 2Vo Ж - ^o)Z/2]
L,E°l sin ре -^o)®/2] ( 2Vo Ж - ^o)Z/2]
g,t _ (Зе Щ=
g,t _ (Зе Щ=
} ■ (9-5)
} ■ (9-5)
г) Предполагаем, что ио *С с, поэтому можно пренебречь ВЧ-магнитными полями и релятивистскими эффектами.
— Е° I
При малых величинах £ = —- <С 1 (при этом для угла пролёта Vo
справедливо приближение (wt — иЧ) ^ Д.ж) и ж = ^ соотношение (9.5) принимает вид
Rev = v0 |1 + |м cos [с^Ч + ^] } .(9.6)
Здесь
Фо = (А - О = — (1-—) =^(1-^)(9.7)
V0 \ Уф/ у ^ф у
— невозмущенный относительный угол пролета в пространстве дрейфа, характеризующий движение электронов относительно «холодной» волны; М = S^^/2 ^ — коэффициент эффективности модуляции в бегущей волне постоянной амплитуды (он схож по своей форме с выражением
для коэффициента эффективности модуляции в ВЧ-зазоре).
Таким образом степень модуляции скорости электронов существенным образом зависит от относительного угла пролета Фо- Рассмотрим физический смысл коэффициента М. Для этого будем считать, что при движении электронов в волне на них действует эффективное поле МЕ°. При Фо —> 0, т. е. когда Vo ~ ^ф, электроны оказываются в поле данной фазы волны все время пролета, что и обеспечивает хорошую модуляцию скорости электронов полем волны. При увеличении Фо электроны за время пролета длины лампы испытывают воздействие поля волны меняющейся фазы, а следовательно, проходят большое число ускоряющих и тормозящих полуволн. Очевидно, что средний эффект воздействия поля уменьшается и при Фо ^ 1 будет близок к нулю (М = 0). Отсюда же следует, что для нерелятивистских пучков, эффективная модуляция скорости электронов возможна лишь в замедленных электромагнитных волнах, так как реально достижимые скорости электронов в нерелятивистских электронных приборах порядка 0,02 4- 0,1с, где с — скорость света.
Кинематический анализ группирования электронов в поле бегущей электромагнитной волны постоянной амплитуды. Для определения тока пучка, сгруппированного в поле волны постоянной амплитуды, воспользуемся уравнением, связывающим переменные величины конвективного тока и поля, выведенного при рассмотрении гидродинамического описания электронного потока, а именно уравнением (3.22):
д2г Л 82г2 82г_ 8Е
дё + ^°дёЭ1+у°1ёё = 11poSe-9t’(9-8)
где Se — площадь поперечного сечения электронного пучка.
В предположении, что все величины меняются во времени по закону ^зш1 уравнение (9.8) сведется к виду
. О'« 9i-РЛо Fz ,х. О'« 9i-РЛо Fz ,х(9-9)(9-9)
. О'« 9i-РЛо Fz ,х
. О'« 9i-РЛо Fz ,х
(9-9)
(9-9)
Интегрируя данное неоднородное линейное уравнение и учитывая вид Е(х, t) (см. формулу (9.1)), получим интегральное уравнение для сгруппированного тока
г = З^е”^^ [ Е^Чх - С) dC(9.10)
2 ГОJ
о
- Ж - М® - [(А - ^о)Щ- Ж - М® - [(А - ^о)Щ% = /о + г = /о р - з% = /о + г = /о р - зПодставляя Ei(x) = Е°е ^°х и проводя интегрирование, получим выражение для полного тока пучка
- Ж - М® - [(А - ^о)Щ
- Ж - М® - [(А - ^о)Щ
% = /о + г = /о р - з
% = /о + г = /о р - з
(9.П)
-Е°1
При £ = —— <С 1 в конце пространства взаимодействия х = I соотно- Vo
шение для полного тока пучка можно переписать в виде:
(9-12)(9-12)г = /0 J 1 + 2LeJ>«i+<W2) N + j$Q ^ф-, _ х\ I ФоL
(9-12)
(9-12)
где X = 4 — величина, аналогичная параметру группирования Xq, который вводился при описании группировки в пространстве дрейфа (см. Лекцию 2); ^0 = ре1 — абсолютный угол пролета в пространстве дрейфа.
Из формул (9.11) и (9.12) видно, что степень группирования X при заданной амплитуде поля существенно зависит от длины пространства взаимодействия (~ /2). Таким образом в потоке электронов, взаимодействующих с бегущей электромагнитной волной имеет место пространственная квадратичная группировка, которая уже обсуждалась нами в первой лекции. Такой характер группировки связан с тем, что, с одной стороны, увеличение протяженности пространства взаимодействия приводит у увеличению X за счет роста £ ~ /. Это приводит к возможности получения эффективного взаимодействия электронного потока с переменным полем в колебательной системе нерезонансного типа. С другой стороны, X увеличивается с ростом I за счет роста абсолютного угла пролета ^0, так как для группирования электронов существенно абсолютное время пребывания в пространстве взаимодействия, за которое одни электроны догоняют другие. Абсолютный угол в системах с длительным взаимодействием может быть сделан
существенно большим, чем в случае систем с резонансными колебательными системами (см. Лекцию 2). Это связано с тем, что в в системах с резонансным взаимодействием увеличение фо связано с уменьшением коэффициента М. В бегущей волне существует возможность сделать малым относительный угол пролета Фо при условии синхронизма, а следовательно, величина М, определяющая величину эффективного поля, может быть сделана близкой к единице при каких угодно больших величинах длины пространства взаимодействия.
Из соотошений (9.11) и (9.12) можно получить выражение для переменной составляющей тока г в виде
7=Г 8Ш Фо-Фо + -Sin Фо/21 едШ4_/з0/),(913)
2 [ ФоФо J
Комплексное выражение в фигурных скобках можно представить в другой форме:
z22х1/2
(9-14)(9-14)(sin Фо-Фо \/ зп?Фо/2 \ If ,
(9-14)
(9-14)
I \^0/\^0/ I
Ф; = -Фо + arctg S1” Ф°(! • (9.15) ° Sin Ф0 — Фо
Выражение (9.15) представляет сдвиг фазы переменной составляющей тока пучка относительно холодного поля E^^^t-W. В частности, при условии точного синхронизма-го = ^ф (Фо = О),Фг = тг /2, из выражений (9.14) и (9.15) следует
7 _ /0ш2/2 _ /2тг/\2 /о _ (2tt7V)2 /о f х Е° ЖЗе \ X ) 4VoPe 2 ЖЗе’
где N = 1/Х носит название электрической длины лампы. Видно, что при точном синхронизме максимум сгруппированного тока образуется там, где холодное поле равно нулю. Если, следуя монографии [8, 9], назвать г/Е электронной проводимостью, то при условии точного синхронизма она имеет характер положительной реактивной проводимости, что приводит к уменьшению фазовой скорости горячей волны (т. е. волны в линии передачи с пучком) по сравнению со случаем точного синхронизма: Уф = Vq.
Взаимодействие электронного потока с бегущей электромагнитной волной постоянной амплитуды. Для рассмотрения характеристик энергетического взаимодействия между потоком и бегущей волной воспользуемся выведенным в первой лекции уравнением возбуждения
волноведущей системы заданным током в интегральной форме (1.72):
Ех = Е°е~^0оХ - ^^ | г(®)е-^о(ж-г) dx -
2 J v о
2 I
_ роКо | ^^ФШ-я) d_ (g
При этом будем пренебрегать вторым интегралом, которому соответствует обратное излучение к генератору сигнала. Это может быть сделано благодаря тому, что обратное излучение представляет собой интерференцию несфазированных элементарных волн. Тогда уравнение возбуждения перепишется в виде
Ех = ЕйеР0оХ - jdx. (9.18)
О
Подставим сюда выражение для сгруппированного тока (9.11), тогда в конце пространства взаимодействия ж = I имеем х)
E(l) = Е%"^1 {1 - (2тгСЛ^)3 [Не Е(Ф0) + j Im Р(Ф0^ •(9-19)
Здесь как и раньше предполагается, что £ <С 1 и wt « wti + Реж.
/ qA2/3//оКо\1/3
Величина С = Со I , Со = ( ° ° ) носит название параметра \ Ре /\ 4 Vo /
усиления Пирса. Величины Re F и Im F определяются следующими выражениями:
Re НФ0) = Fl(1 =(-20)
Фо
Im Г(Ф0) = Flr = 28,пфо-Фо(1 + со8Фо).(9.21)
Фо
Учитывая соотношения (1.75) и их связь с уравнением возбуждения в интегральной форме (см. лекцию 1; стр. 37) для активной и реактивной мощности взаимодействия можно записать:
Реа = W^F^o),(9.22)
Pea = 5 /ОГоё2фО^1г(Фо),(9-23)
Рис. 9.8. Зависимость функций Fia, Fir от относительного угла пролета ФоРис. 9.8. Зависимость функций Fia, Fir от относительного угла пролета Фо
Рис. 9.8. Зависимость функций Fia, Fir от относительного угла пролета Фо
Рис. 9.8. Зависимость функций Fia, Fir от относительного угла пролета Фо
На рис. 9.8 приведены функции Fya и FyT в зависимости от относительного угла пролета Фо в предположении, что последний изменяется благодаря изменению фазовой скорости волны при неизменных значениях /, ш И Vq.
Интервалы изменения углов пролета Фо, при которых электронный поток отдает энергию электромагнитной волне, соответствуют заштрихованным областям, где Реа < 0. Незаштрихованные области соответствуют отбору электронами энергии у волны (Реа > 0). Максимальная передача энергии волне происходит при Фо = —тг. В этом случае электроны, как видно из определения Фо, движутся несколько быстрее волны. Электроны отдают энергию и в том случае, когда они движутся существенно быстрее волны (например, Фо = — Зтг), однако, эффективность такого энергообмена невелика. Заметим, что при Фо = = 0 (условие точного синхронизма) активная составляющая мощности взаимодействия равна нулю, в то время как реактивная мощность взаимодействия положительна и максимальна. В этом случае (Фо = 0) из формулы (9.19) имеем
Е(0 = E°e"j(3et j 1 -Е(0 = E°e"j(3et j 1 -^TrCNf6^TrCNf6(2тгС^3Г1, .^n
Е(0 = E°e"j(3et j 1 -
Е(0 = E°e"j(3et j 1 -
^TrCNf
6
^TrCNf
6
1—>exp(-jP0, (9.24)
где
Pl = pi + arctgPl = pi + arctg(2тгСЛ036(2тгСЛ036(9.25)(9.25)
Pl = pi + arctg
Pl = pi + arctg
(2тгСЛ03
6
(2тгСЛ03
6
(9.25)
(9.25)
(9.26)(9.26)— фаза горячей электромагнитной волны. По определению фазовая скорость волны
(9.26)
(9.26)
” П 777^7)77777'
1+arctg (Ре 0
Из последнего соотношения видно, что при условии точного синхронизма электронов и холодной волны фазовая скорость горячей волны
уменьшается по сравнению со скоростью электронов vq, т. е. взаимодействие носит реактивный характер.
Электронная проводимость %) ЕЦ,\ введенная в предыдущем разделе, в случае Фо = О дается выражением (оно следует из соотношений (9.24) и (9.13)):
где Ф, = ^ + arctgгде Ф, = ^ + arctgг _ /o(27г^)2 “ 4£eVoг _ /o(27г^)2 “ 4£eVo(2TrCW)36(2TrCW)36^irCNf6^irCNf6exp j^i,exp j^i,(9.27)(9.27)т. е. электронная проводимостьт. е. электронная проводимость
где Ф, = ^ + arctg
где Ф, = ^ + arctg
г _ /o(27г^)2 “ 4£eVo
г _ /o(27г^)2 “ 4£eVo
(2TrCW)3
6
(2TrCW)3
6
^irCNf
6
^irCNf
6
exp j^i,
exp j^i,
(9.27)
(9.27)
т. е. электронная проводимость
т. е. электронная проводимость
является комплексной и имеет действительную часть с отрицательным
знаком.
В результате анализа взаимодействия электронного потока с бегущей прямой электромагнитной волной на основе метода последовательных приближений в кинематическом приближении получили достаточно общие соотношения, которые далее будем использовать как для анализа лампы бегущей волны, так и для анализа лампы обратной волны (в частности, определения пусковых условий ЛОВ).
Качественное описание процесса группированияэлектронов в бегущей волне
Проведенный элементарный анализ процесса взаимодействия электронов с бегущей электромагнитной волной позволяет весьма наглядно интерпретировать этот процесс.
Привлечем для объяснения механическую модель (рис. 9.9), в которой электроны можно представить в виде шариков, а эффект действия поля заменить действием гравитационных сил некоторой поверхности, форма которой соответствует мгновенному распределению потенциала ВЧ-поля вдоль длины пространства взаимодействия (см. рис. 9.9ф. Предположим, что в волноведущей линии без пучка распространяется волна с фазовой скоростью Уф, в точности равной невозмущенной скорости vq электронов. На начальном участке пространства взаимодействия, когда энергообмен между электронами и волной невелик (в механической модели это соответствует одинаковой высоте вершин и глубине впадин: волна не меняет свою амплитуду), электроны-шарики скатываются под действием силы тяжести по «склонам» потенциальной поверхности и скапливаются в её «долинах» (рис. 9.96). То есть электроны группируются там, где поле волны равно нулю. Последнее означает, что ток пучка опережает по фазе поле «холодной» волны на угол тг/2. Этот результат полностью совпадает с выводами элементарной теории (см. соотношение (9.24), которое будет выполняться не только в конце пространства взаимодействия, но и в любой его точке в начале пространства взаимодействия, где CN — мало; для нахождения Е(х)
необходимо в уравнении (9.24) всюду осуществить замену х ^ I, в том числе и в N и в Фо), Е(х) « E^e~^QX равно полю «холодной» волны в линии передачи. Из формулы (9.16) следует, что сгруппированный в поле волны постоянной амплитуды ток пучка опережает по фазе поле на тг/2, достигая максимума там, где поле обращается в нуль. Сле
довательно, вышеприведенные модельные представления полностью
соответствуют выводам элементарной теории.
По мере увеличения СN энергообмен между полем и электронами
становится все более значительным, и амплитуда поля Е(х^ опре
Рис. 9.9. Механическая модель, поясняющая процессы группирования электронов в бегущей волне и взаимодействие с нейРис. 9.9. Механическая модель, поясняющая процессы группирования электронов в бегущей волне и взаимодействие с нейделяемая соотношением (9.24), растет с ростом CN. В гравитационной модели это означает, что при продвижении в положительном направлении оси х вершины поверхности становятся выше, а впадины глубже.
Рис. 9.9. Механическая модель, поясняющая процессы группирования электронов в бегущей волне и взаимодействие с ней
Рис. 9.9. Механическая модель, поясняющая процессы группирования электронов в бегущей волне и взаимодействие с ней
Одновременно, в результате реактивного энергообмена фазовая скорость Уф горячей волны становится меньше скорости Уо электронов. Поэтому сгу-
сток электронов-шариков из «долины» (см. рис. 9.9в) перемещается на правый тормозящий склон потенциальной поверхно
сти (этот склон соответствует действию тормозящей фазы поля), где
продольная составляющая поля волны отлична от нуля.
Если сразу предположить, что Уо > Уф, а амплитуда волны растет с расстоянием, то объяснение механизма усиления волны становится
совсем простым.
В системе координат, связанной с волной, вершины и впадины потенциальной поверхности неподвижны относительно оси волноведущей линии. Электроны-шарики на своем пути встречают области подъема и спада потенциальной поверхности, поэтому они группируются на тормозящих («правых») склонах и разгруппировываются на ускоряющих («левых»). Следовательно, сгустки электронов-шариков формируются на правых склонах, причем эффект торможения превосходит эффект ускорения, поскольку было допущено существование волны с нарастающей амплитудой. Энергия взаимодействия будет наибольшей, когда электроны за время пролета пройдут весь тормозящий склон. Таким образом, усиление волны происходит в результате непрерывного после-
довательного отбора от электронного потока незначительных порций энергии по всей длине пространства взаимодействия пучка с волной х).
С позиций теории излучения описанное выше взаимодействие соответствует индуцированному излучению Черенкова. Отдельная частица, двигаясь со скоростью и о, большей скорости света в среде (Уф — скорость света в замедляющей среде), излучает по Черенкову, а индуцирован- ность излучения определяется существованием механизма группировки электронов в волне.
В заключение следует указать, что вышеописанное взаимодействие прямолинейного электронного потока с бегущей ЭМВ носит название взаимодействия О-типа (от французского Uonde — волна). При этом электроны отдают волне свою кинетическую энергию. Заметим, что А.В. Гапонов-Грехов дал более широкое определение взаимодействия типа О: он называет взаимодействием типа О любое, для которого форма резонансной кривой совпадает с видом Fia (формула (9.20)).
Принципы подобия для приборов с длительнымвзаимодействием
(нерелятивистские и ультрарелятивистские пучки).
Рассмотрим задачу нахождения критериев подобия для приборов с длительным взаимодействием из соображений размерности [10]. Под критерием подобия понимается безразмерное выражение, составленное из параметров задачи, которое можно рассматривать как меру отношения интенсивностей двух физических эффектов, существенных для исследуемого процесса [11]. Заметим, что мы фактически уже получали критерий подобия в задаче исследования развития неустойчивости в диоде Пирса, когда после приведения уравнений процесса к безразмерному виду получили единственный безразмерный управляющий параметр задачи — параметр Пирса, который является критерием подобия для этой физической задачи. В данном разделе будут получены критерии подобия на основе анализа размерности. Дадим определение: под размерностью той или иной физической величины понимается выражение единиц измерения ее через физические величины, принятые за основные. Размерность физических величин представляет собой произведение возведенных в степень размерностей величин, принятых за основные [11]. Часто пользуются системой единиц «ГМТ», т. е. в качестве основных выбирают единицы длины [L], массы [М] и времени [Т]. В этом случае размерность любой из физических величин [Р] может
г) Из аналогичных рассуждений понятно, что, если электронный поток будет отставать от волны, то он будет забирать у нее энергию (электроны группируются на «ускоряющих» склонах). Это приводит к затуханию волны, а при определенных условиях к полному подавлению входного сигнала. Одновременно электроны пучка будут ускоряться.
быть представлена в виде:
[Р] = [L]A[Mf[T]r,
где А, // и т - некоторые рациональные дроби. Наиболее важно при применении методов размерности правильно выделить физические эффекты, существенно влияющие на поведение исследуемой системы.
Рассмотрим движение нерелятивистского электронного пучка в поле бегущей волны, при этом пренебрежем обратным влиянием пучка на волну, а также силами пространственного заряда. В качестве определяющих величин, от которых зависят физические процессы в системе, выберем следующие величины: ж — продольная координата (ж = / — длина пространства взаимодействия), ш — частота поля, воздействующего на электронный пучок, Жф — фазовая скорость волны электромагнитного поля, воздействующего на пучок, Е° — амплитуда поля волны в начале пространства взаимодействия ж = 0 (причем Ех(х) = = Е° /1 (х^е^^1-^0^), Е — начальное время влета электрона в пространство взаимодействия, Vo — ускоряющее напряжение пучка, ж(ж,^1) — скорость электрона в присутствии ВЧ-поля, зависящая от пространственной координаты и момента влета в пространство взаимодействия, т] — удельный заряд электрона.
Заметим, что вместо Е° в число определяющих переменных можно ввести значение амплитуды в любой точке пространства взаимодействия, например, при ж = /. Более того, можно задать ВЧ-поле в виде Еж(х) = Е° fi^eE^t-^ex)где ^е = ц;/жо (жо — скорость электронов на входе пространства взаимодействия). Тогда, если считать функцию /1 комплексной, можно исключить Жф из определяющих величин. Однако присутствие Жф делает выкладки более наглядными и физичными, поэтому сохраним Жф среди определяющих величин. Введем безразмерную комбинацию сжЧ • Тогда вместо функции ж (ж, Ч) можно определить безразмерную величину
2тг(y2)«ti = А [ «M^i)(9-28)
О
— усредненный по начальным фазам влета электронов за один период ВЧ-поля квадрат скорости в фиксированной точке пространства. Учитывая соотношение (9.28), можно исключить из определяющих величин время Ч.
Связь между определяющими величинами можно записать в виде следующего функционального выражения:
(9.29)(9.29)у = /(ж, ш, Уф, Е°, #1, Г0,т?).
(9.29)
(9.29)
Выпишем матрицу размерности в системе LMT:
X
ш
Уф
Е°
Го
X
L
1
0
1
-1/2
1/2
1
3/2
0
М
0
0
0
1/2
1/2
0
-1/2
0
Т
0
-1
-1
-1
-1
-1
-1
1
Здесь необходимо отметить, что число независимых критериев подобия (фундаментальных критериев подобия), которые можно составить из имеющихся определяющих величин, будет равно числу независимых решений системы однородных линейных уравнений, соответствующей матрицы подобия. Причем число независимых решений равно рангу матрицы (см. [12, раздел 1.9-4]). Наибольший порядок, который могут иметь миноры выписанной матрицы размерности, не равные нулю, равен трем. Поэтому ранг матрицы равен трем, а, следовательно, число фундаментальных критериев подобия равно трем, а всего можно составить пять критериев подобия.
Для решения задачи с учетом вышесказанного выберем следующие новые первичные единицы: [а;] = [Т]-1, [уф] = [L] • [Т]-1 и [Vo] = [L]3/2 • • [М]1/2 • [Т]-1. Используя уравнение (9.29), можно записать:
[у]= ф Г И[g°]
[w]“” Н]^ [Vo]7” I MQ- [Vop ’ [w]“‘[Vo]7' ’
[ti]M
[Vo]7< ’ M^Ki^iVo]7”
Используя матрицу размерности для первой безразмерной комбинации, имеем:
х : [L]—^®—!^®/2 . [М]-17®/2 • [Т]а®+^+^ = 1.
Отсюда получаем три уравнения для определения коэффициентов аЖ1 3® и 7ж:
— 1 —/Зж — 17ж/2 = О, -17ж/2 = 0, аж + 3$ + 7ж = 0.
Тогда аж = — 1, Дж = 1 и ^х = 0, и критерий подобия выражается комбинацией вида
Пж = —.(9.30)
Аналогично находим остальные четыре критерия подобия:
П„ = —, П£о = ^, Щ1=ШЬ, П, = ^.(9.31)
УфШ Го-Уф
Учитывая, что по определению ш/хф = 2тг Азам (Азам — длина волны в замедляющей системе), и, производя тождественные для критериев подобия преобразования, получим систему критериев подобия (9.30) и
10 Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов
(9.31) в следующем виде:
ППППП^о —П^о —£7° АзамVo£7° АзамVoП-„=Ш11, п;, = Г4.П-„=Ш11, п;, = Г4.(9.32)(9.32)
П
П
П
П
П^о —
П^о —
£7° Азам
Vo
£7° Азам
Vo
П-„=Ш11, п;, = Г4.
П-„=Ш11, п;, = Г4.
(9.32)
(9.32)
В таком виде критерии подобия имеют вполне ясный физический смысл: П^ — текущая длина пространства взаимодействия в замедленных длинах волн, П^ — безразмерная кинетическая энергия, П^о — отношение ВЧ-напряжения к ускоряющему напряжению, П^ — начальная фаза влета электронов в пространство взаимодействия, П^ — параметр рассинхронизма электронов и волны.
Теперь понятно, в чем смысл введения новых основных единиц и, Уф, Vo — они являются характерными масштабами задачи: ^/-Гф = 2тгАзам (определяет характерный масштаб длины), То (масштаб напряжения) и V^Ty Vo (масштаб скорости).
Предположим для простоты, что имеет место условие точного синхронизма Уф = ^о, тогда на основании соотношений (9.32) и (9.29) можно записать
^ = Л , (9.33) Го \ Vo Азам /
где fi — некоторая функция.
Очевидно, что lim (v2/?^) = 1? поэтому уравнение (9.33) может быть переписано как
221 - ^ = /2«о1 - ^ = /2«оЕ°АзамVoЕ°АзамVo
2
2
1 - ^ = /2«о
1 - ^ = /2«о
Е°Азам
Vo
Е°Азам
Vo
при этом /2 (0, wti, ж/Азам) = 0. Усреднив полученное выражение по wti^ получим выражение для электронного к.п.д.:
/2 \/ ГрО \\
/ 1\IАзам ЭС \о \
^ = (1-— )= Л —г;—, т— •(9.34)
\^0 / wtV У 0Азам у
Если теперь предположить, что структура поля Ех(х) = = Е° f^x)^^1"00^ зафиксирована, то при х = I имеем:
(9.35)(9.35)
(9.35)
(9.35)
Величины Азам/Vo = (ExX/VVo) • (V^/c) и //Азам = (//А) • • (c/V^Wo ) (А — длина волны в свободном пространстве, с — скорость света) являются критериями подобия, поэтому для их постоянства
необходимо
1)1)увеличивать —увеличивать —
1)
1)
увеличивать —
увеличивать —
увеличивать ЕЖХ ~ x/Vo •
Соотношение (9.34) можно получить сразу, если как указывалось выше, вместо v сразу ввести в число определяющих величин (v2).
Рассмотрим теперь воздействие ВЧ-поля на ультрарелятивистский электронный поток, скорость которого мало отличается от скорости света. Для решения задачи перейдем в систему координат, движущуюся со скоростью t>o электронов на входе в пространство взаимодействия. В этой системе время Т’ взаимодействия электронов с высокочастотным полем на основе релятивистской формулы преобразования интервала времени можно записать следующим образом:
Т' = Т\ 1 - ^ = Т^,(9.36)
V СGO
где £Пок ~ энергия покоя электрона, £о — полная энергия электрона на входе в прибор. В ультрарелятивистском случае скорость электрона мало отличается от скорости света, поэтому Т ~ -. Аналогично
А' = Х = = Х^.(9.37)
/2с-пок
V2
V с
В качестве определяющих величин в подвижной системе координат выберем (£)^ — усредненную по начальным фазам энергию, Ео- Т', X', с, еЕ° — силу, действующую на электрон на входе пространства взаимодействия со стороны ВЧ-поля (Е° = {Е'°}/). Таким образом искомая функциональная зависимость может быть представлена в виде:
^ш11=К£0,Т',Х',с,еЕ°).(9.38)
В качестве основных единиц выберем Ео- Т' и Д'. Тогда, повторяя выкладки, сделанные нами для случая нерелятивистского электронного потока, получим:
= , (1£™к еЕ°\\
So J \ XS^ ’ 8, ) ’
трО \ \
1' г I бОпокЛОЛ\
£()у Д£о /
/ 7£2Д
так как /i I —О ) = 0. у/
Если, как и в предыдущем случае, зафиксировать распределение поля вдоль длины пространства взаимодействия, то для постоянства критериев, стоящих под под знаком функции в правой части уравнения (9.39), необходимо
увеличивать //Д пропорционально Е^:
увеличивать ЕЖХ пропорционально 8^.
Отметим, что эти закономерности были впервые установлены М.И. Петелиным для ультрарелятивистских пучков из других соображений в работах [13, 14].
Список литературы
Рабинович М.И.. Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. — Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика”, 2000.
Силин Р.А., Сазонов В.П. Замедляющие системы. — М.: Сов.Радио, 1966.
Варнеке. Эволюция принципов действия современных электровакуумных приборов для СВЧ // В кн: Миллиметровые и субмиллиметровые волны. М.: Изд-во иностранной литературы, 1959. СС. 11-78.
Kompfner R. The invention of the travelling wave tube. — San Francisco: San Francisco Press, 1964.
Пирс Дж. Электроны, волны и сообщения. — М.: Гос.издат.ФМЛ, 1964.
Пирс Дж. Лампа с бегущей волной. — М.: Сов.Радио, 1952.
Шевчик В.П. Взаимодействие электронных пучков с электромагнитными полями. — Саратов: Изд-во СГУ. 1963.
Шевчик В.Н., Трубецков Д.И. Аналитические методы расчета в электронике СВЧ. — М.: Сов. радио, 1970.
Chodorow М., Susskind С. Fundamentals of microwave electronics. — NY.: McGraw-Hill, 1964.
Трубецков Д.И. Анализ размерностей, подобие и оценки в СВЧ электронике // Лекции по электронике СВЧ и радиофизике (4я зимняя школа-семинар инженеров), Книга V. Саратов: Изд-во СГУ, 1978. С.З.
Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. — М.: Наука, 1972.
Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1978.
Петелин М.И. Принцип подобия для высокочастотных приборов с ультрарелятивистскими электронными потоками // Изв. вузов. Радиофизика. 1970. Т. XIII, № 10. С. 1586.
Петелин М.И. Генерация когерентного излучения интенсивными потоками заряженных электронов // Лекции по электронике СВЧ и радиофизике (3-я зимняя школа-семинар инженеров), Книга IV. Саратов: Изд-во СГУ, 1974. С. 179.
Лекция 10НЕЛИНЕЙНАЯ ТЕОРИЯЛАМПЫ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ
... Нелинейная теория ЛБВ занимает в электронике СВЧ особое положение. Определенный интерес она представляет и для понимания ряда явлений в других системах, содержащих неравновесные потоки заряженных частиц одинакового или различных знаков. Во многом общими оказываются математические методы их описания.
Г.Ф. Филимонов, Ю.Н. Бадлевский. Нелинейное взаимодействие электронных потоков и радиоволн в ЛБВ. М.: Сов.радио, 1971. с. 7
Нелинейные уравнения ЛЕВО. Линеаризация нелинейных уравнений ЛБВ. Дисперсионное уравнение ЛБВ. Закон сохранения энергии в электронном потоке, взаимодействующем с бегущей электромагнитной волной. Механизм фазировки в бегущей электромагнитной волне. Особенности и результаты решения задачи на ЭВМ. Спиральная лампа бегущей волны как основа усилительного модуля. Способы повышения к.п.д. ЛЕВО.
В прошлой лекции рассмотрен механизм взаимодействия электронного потока с бегущей электромагнитной волной малой амплитуды в рамках метода последовательных приближений, а также с помощью теории размерности выведены критерии подобия для электронных пучков, взаимодействующих с бегущей электромагнитной волной, в нерелятивистском и ультрарелятивистском приближении. В данной лекции будет изложена нелинейная теория лампы бегущей волны со спиральной замедляющей системой, которая, несмотря на ряд упрощающих предположений, позволит нам рассмотреть энергетические характеристики взаимодействия пучка с полем, а также механизм фазировки при конечных амплитудах сверхвысокочастотного поля. В конце лекции остановимся на некоторых практических аспектах разработки усилителей бегущей волны, и в частности, методах повышения к.п.д. ЛБВ.
Нелинейные уравнения ЛБВ
Выведем уравнения, описывающие взаимодействие электронного потока с бегущей электромагнитной волной, которые будут учитывать следующие нелинейные явления:
изменение средней скорости электронов при взаимодействии с полем бегущей волны;
обгон одних электронов другими, группировку электронного потока (образование сгустков, их деформацию и разрушение);
появление высших гармоник тока и поля на частотах пш (п = = 1, 2, 3. . .).
При этом не будем рассматривать такие нелинейные явления как расслоение электронного потока в поперечном направлении вследствие неравномерной модуляции потока по сечению, вызванное неоднородностью поля замедленной волны и поля пространственного заряда; остановка и отражение электронов; поперечные движения электронов. Заметим, что учет последних явлений менее существенен при анализе ЛБВ средней мощности и с небольшим к.п.д. х) Поэтому с практической точки зрения можно ограничиться при выводе уравнений учетом только первых трех нелинейных эффектов.
Уравнение движения запишется в виде
^=^(ЮЛ)
где и — скорость какого-то выбранного сечения пучка, Е — усредненная по сечению пучка продольная составляющая электрического поля. Перейдем в уравнении движения к переменным Лагранжа, выбрав в качестве независимых переменных текущую координату слоя ж и время влета Е- Выбор координаты ж связан с тем, что все полевые характеристики определяются в пространстве и зависят от координаты ж. Введение в качестве второй независимой переменной времени влета Е позволяет избавиться от сложностей при описании явлений, связанных с взаимным обгоном электронов (точнее слоев в электронном потоке): скорость электронов является однозначной функцией вплоть до начала поворота частиц. В новых переменных траектория слоя электронного потока, поступающего в момент времени Е в пространство взаимодействия, определяется уравнением t = ^(ж, Е) - Тогда:
dv
Эх
г) Далее мы покажем, что учет упомянутых явлений становится существенным при к.п.д. ЛБВ-усилителя большем, чем 60%.
и уравнение (10.1) в новых координатах записывается как
ЭЧ 8х2ЭЧ 8х2г)Е.г)Е.(10.3)(10.3)
ЭЧ 8х2
ЭЧ 8х2
г)Е.
г)Е.
(10.3)
(10.3)
Текущую фазу электрона можно представить в виде
wt = CJti + Зе^ + 0(£, й),
где 6^ ti) — возмущение, вызванное полем Е. В предположении, что параметр усиления Со мал, функция 6(^ ti) является медленно меняющейся функцией координаты, т. е. зависит не от ж, а от £ = СоЗе^.
Закон сохранения заряда в переменных (жДх) имеет вид
lodti = J(t, ж)|rf^|,
где dti > 0 — промежуток времени, за который через начальное сечение лампы ж = 0 проходят электроны, пересекающие сечение ж > > 0 за промежуток времени \dt\. Знак модуля поставлен в связи с тем, что возможна ситуация, когда dt /dt^ < 0 и dt < 0, т. е. обгон одних электронов другими.
Предположение об отсутствии в потоке отражений означает, что 1
функция £ (ж, ti) является однозначной, причем > 0. Так как ^(ж, ti) является временем прибытия в точку ж электрона, влетевшего в начало пространства взаимодействия ж = 0 в момент времени ti, то, очевидно, t(0, ti) = ty. Обратная функция ^(жД) многозначна. Действительно, если имеет место обгон, то в момент времени t в точку ж могут прибыть электроны, имеющее разное время влета ty.
Следует отметить, что рассматривается установившийся процесс, поэтому два электрона, влетающие в моменты времени Д и Д + Ъкп/ш (n Е Z\ попадают в одну фазу поля и двигаются совершенно одинаково. Тогда величина ut^x, Д) — шЕ, а вместе с ней функции скорости и ускорения электронов, являются периодическими функциями времени влета ti. Это позволяет при дальнейшем анализе ограничиваться рассмотрением интервала 0 < wti < 2тг.
Так как рассматривается сильная группировка, то в нелинейном режиме ток пучка при периодическом сигнале может быть разложен в ряд Фурье. Для простоты выкладок ограничимся рассмотрением только первой гармоники тока '):
J(^) = /0 + Re £ Jn(xVnwt = Io Ji(xVw\ (Ю.4) n=l
г) Заметим, что обобщить результат на случай учета любого числа гармоник
основной частоты не представляет сложности (см., например, [1]).
2тг
(10.5)(10.5)Jn(x) = - [ J(t,x)e~jnut d^t).7Г J
(10.5)
(10.5)
О
Ведя функцию и^^и^ = wt — Зеж = wty + 0(^ti) = ^о + 0(£Л1), выражение (10.5) для первой гармоники сгруппированного тока можно переписать в виде:
2тг
(10.6)(10.6)Л (ж) = ^-зР^ [ е-М^ duo = 1оц^е-зреЖ, 7ГJ
(10.6)
(10.6)
О
Теперь выпишем уравнения для полевой части задачи. Поле Е. воздействующее на электронный поток, можно представить в виде
Е(х) = Re J2 ^п(ж)П = 1Е(х) = Re J2 ^п(ж)П = 1Эх'Эх'(ЮТ)(ЮТ)
Е(х) = Re J2 ^п(ж)
П = 1
Е(х) = Re J2 ^п(ж)
П = 1
Эх'
Эх'
(ЮТ)
(ЮТ)
где 8п — поле синхронной волны на n-й гармонике (будем ограничиваться, как и в случае вычисления сгруппированного тока, рассмотрением только первой гармоники £| = 8), Ф — потенциал поля пространственного заряда. Не будем учитывать поля пространственного заряда, т. е. предположим, что Ф = const. Заметим, что даже при учете влияния сил пространственного заряда, их роль будет существенна только у конца лампы, где поток уже сильно сгруппирован. В начале пространства взаимодействия плотность пространственного заряда р = const и про- Ж1 ЭФ
дольные электростатические поля Ф = const, = 0.
Для нахождения 8 воспользуемся уравнением возбуждения волновода (9.18) в форме, которая обсуждалось на прошлой лекции:
Ех = Е^е-^°жЕх = Е^е-^°жРЕ^^^хК500^"^ d,x. ОРЕ^^^хК500^"^ d,x. О(10.8)(10.8)
Ех = Е^е-^°ж
Ех = Е^е-^°ж
РЕ^^^хК500^"^ d,x. О
РЕ^^^хК500^"^ d,x. О
(10.8)
(10.8)
Переходя к дифференциальному виду, как это делалось в первой лекции, получим
^эМ^-^КоМх).(10.9)
Введем безразмерную амплитуду синхронной волны
^(0 = £(ж)е_^(10.10)
ЖУ0С^V *
Тогда, учитывая, что ^ = ^^ = РеСо-^г, уравнение (10.9) перепишется как
‘ZPeV^EM _ 2J/3eV0C02(/3e - ^о)^«) = -| №10ЦЖ
Введем обозначения:
13реУ0СЖ-М = Ж-М =6/10 И)
2/5eVpCoЗеСо J’
, _(/9е - 34 _ Уф - Ур
“ ЗеСо■ УфСо
— параметр холодного рассинхронизма;
9\ 2о / \ 2
РоКок = /рКо _L (А) = 5о(А) =(1 + 6С'о)2,(10.12)
43eVoC^ 4 Vo Ср \3е) С^ \3е)’ V ’
где учтено, что из уравнения (10.11) следуют равенства 1 — МРе = = — ЬСо —>= (1 + ЬСо)2.
У ре /
Окончательно уравнение возбуждения принимает вид:
^+А^) = -(1 + 6Со)2/(^).(10.13)
2тг
(10.14)(10.14)Д€) = - [ е"^М-
(10.14)
(10.14)
7Г JО
Преобразуем уравнение движения (10.3):
(A)t = COti + (ЗеХ + #(£, й),(A)t = COti + (ЗеХ + #(£, й),8t _ 1Эх ио8t _ 1Эх ио99 реСо _ 199 реСо _ 1ч н1 ио со80_ \ч н1 ио со80_ \9^ Ш9^ Шvo \д^vo \д^
(A)t = COti + (ЗеХ + #(£, й),
(A)t = COti + (ЗеХ + #(£, й),
8t _ 1
Эх ио
8t _ 1
Эх ио
99 реСо _ 1
99 реСо _ 1
ч н1 ио со
80_ \
ч н1 ио со
80_ \
9^ Ш
9^ Ш
vo \д^
vo \д^
эч = №^1эч = №^1Эх211v “ "ЖЭхЭх211v “ "ЖЭхПо! + С°^По! + С°^(10.15)(10.15)
эч = №^1
эч = №^1
Эх21
1
v “ "ЖЭх
Эх21
1
v “ "ЖЭх
По
! + С°^
По
! + С°^
(10.15)
(10.15)
Учитывая выражение для безразмерной амплитуды поля (10.10), а также, что ^- =^^ = ^5? получим уравнение движения в виде
^Т^ + Со^ Re^)e^=0.^Т^ + Со^ Re^)e^=0.(10.16)(10.16)
^Т^ + Со^ Re^)e^=0.
^Т^ + Со^ Re^)e^=0.
(10.16)
(10.16)
Таким образом получили систему нелинейных уравнений, которая, будучи дополненной начальными условиями
U = UOiU = UOi^ = 0,^ = 0,при ^ = 0,ЖУ0С^ р s ’при ^ = 0,ЖУ0С^ р s ’(10.17)(10.17)
U = UOi
U = UOi
^ = 0,
^ = 0,
при ^ = 0,ЖУ0С^ р s ’
при ^ = 0,ЖУ0С^ р s ’
(10.17)
(10.17)
^ = 0^ = 0абабX^ = 0^0X^ = 0^0
^ = 0
^ = 0
аб
аб
X
^ = 0
^0
X
^ = 0
^0
Рис. 10.1. Модели лампы с бегущей волной
описывает упрощенную модель ЛБВ — бесконечно длинную замедляющую систему *) с полубесконечным в продольном направлении электронным пучком (рис. 10.1). Начальный сигнал представляет собой волну, набегающую слева на сечение £ = 0. Еще раз отметим, что система нелинейных уравнений (10.13)-(10.17) справедлива только при малых параметрах усиления Со (Со ^ 0,2 [1, С. 151]). При её выводе не учтены также потери в линии передачи и влияние пространственного заряда.
Можно показать [2], что при учете пространственного заряда и потерь нелинейные уравнения ЛБВ запишутся в виде
^ + ЛЬ - jdM^ = "(1 +(10.18)
2тг
/Д) = 1[е^"М,(Ю.19)
7Г JО
+ (х + Re(^ += о. (Ю.20)
Здесь d = ^о/ФеСо) — параметр холодных потерь, 70 — постоянная затухания, которая содержится в выражении для фазовой постоянной распространения волны в линии передачи ф0 = (Зо + 770) и характеризует затухание волны на единицу длины, q = 4QCo = (/Зр/(/ЗеСо)) — параметр пространственного заряда.
Данная система уравнений не может быть проинтегрирована аналитически, поэтому для ее анализа используются те или иные приближенные или численные методы решения [3]. Отметим также, что выведенная система уравнений стационарна, и, следовательно, не позволяет исследовать нестационарные режимы работы ЛБВ (например, переходные процессы). С помощью нее можно анализировать лишь
г) Вместо бесконечного волновода можно рассматривать конечной длины идеально согласованный на концах волновод: дело в том, что наша модель никак не учитывает отраженное поле от границ системы, что и требует условия идеального согласования.
установившиеся стационарные режимы работы, определить мощность, к.п.д., особенности группировки электронного потока.
Линеаризация нелинейных уравнений ЛБВ.Дисперсионное уравнение ЛБВ
Линеаризуем систему нелинейных уравнений (10.18)—(10.20) и получим дисперсионное уравнение ЛБВ в предположении малого сигнала (6 = \и — uq| <С 1, Со <С 1, ^0^ <( 1, exp (j6) « 1 — j0). Из уравнения (10.19) получаем выражение для гармоники тока:
Если рассмотреть это соотношение как уравнение относительно £, то, как несложно убедиться подстановкой, выражение
0 = 2 (-/(£)е“1“° + Г^е’"0)(10.21)
является его решением. Линеаризованное уравнение движения (10.20) имеет вид
-— = ^^ + Зд1)^».(10.22)
ас
Подставляя выражение (10.21) в уравнение (10.22), получаем уравнение относительно величины сгруппированного тока:
84
^^q! = ЗУ-(Ю.23)
Делая подстановку exp (J5£4 из условия совместности системы уравнений (10.23) и (10.18) получаем дисперсионное уравнение ЛБВ:
(52 + qKj5-b + jd) = (l + bCoy.(10.24)
Дисперсионное уравнение (10.24) совпадает с известным соотношением, полученным (см., например, [3]) из других соображений, что является в определенной мере проверкой полученных нелинейных уравнений. Покажем это, для чего выведем дисперсионное уравнение ЛБВ, воспользовавшись для этого уравнением возбуждения в дифференциальной форме (см. лекцию 1; формула (1.74)) и уравнением для конвекционного тока (3.23), выведенным в лекц. 3). Будем искать их решение в виде суммы парциальных волн: 'у(зс) = 52 ^(0)е"^ж, где г=1
Pi — искомая постоянная распространения г-й парциальной волны, п —
число парциальных волн. Из условия совместности системы уравнений можно получить дисперсионное уравнение ЛБВ в виде
(£ - /З2)2 [(/3 - Pef - /З2] = -2^е^С-03.(10.25)
Данное уравнение является уравнением четвертой степени, т. е. соответствует четырем парциальным волнам, причем одна из волн соответствует встречному излучению. Если им пренебречь, то уравнение возбуждения в форме (1.72) переходит в интегральное уравнение вида (9.18). Соответствующее ему дифференциальное уравнение с учетом встречного излучения будет, в отличие от уравнения (1.74), уравнением первого порядка:
=(10.26)
Тогда, если вместо уравнения (1.74) взять уравнение (10.26), дисперсионное уравнение примет вид
(£ - ^ [(/3 - Pet - /З2] = -ж№о.(10.27)
Последнее выражение обычно записывают в нормированных параметрах Пирса: b (параметр холодного рассинхронизма), d (параметр холодных потерь), 4QCq (параметр пространственного заряда). Введем также новые обозначения: Д = Де(1 + jC^Y, 5 = х + jy, х = 7/(ДеСо), у = (Де — Д)/(Де Со) (7 — усиление на единицу длины в линии передачи с пучком, так называемая амплитудная постоянная). Тогда уравнение (10.27) можно переписать в виде
д2 + 4QCo = 4ДЦ^С -(10-28)
38 -ЬЛ- 3d
Для сравнения см. уравнение (10.24).
Для определения искомого поля, даваемого суммой всех парциальных волн Е(х) = 52 ЕДСДе-^^, необходимо найти величины Ег(0У г=1
Для этого воспользуемся начальными условиями
^Е^ = Е°,£7(0) =0,£г(0)=0.(10.29)
г=1г=1г=1
Чтобы получить систему уравнений для определения амплитуд парциальных волн, необходимо воспользоваться соотношениями, связывающими величины г, и и Е. Используя результаты лекции 4 (раздел, посвященный диоду Пирса, где выведены соотношения, связывающие величины скорости, тока и напряженности поля; также вывод уравнений подробно описан в монографии [3, стр. 136-152]), несложно показать, что соответствующие выражения будут иметь вид:
v _ Е6г _з Е1
77 “ ЖЗеСо 82+4QCVh -82+4QC0'
Тогда в новых переменных система граничных условий (10.29), записанная относительно амплитуд парциальных волн, примет вид:
з33
УЕ^ = Е°,У 2Д*(0) =0, У EiW5i =0. (10.30)
Я V’^tf+lQCo ’ ^^+4QC0 V ’
Разрешая уравнения (10.30) по правилу Крамера, находим, что
Е^ = (х ^nSs а Е°’ мЛ = 1ЛЛ (10-31) (о? Oj)\Oi Ok)
Таким образом амплитуда для полного поля в линии передачи записывается как
32
Ех = Е° У ^±^2о exp НМ1 + jC08^ .(10.32)
2 = 1
Проанализируем дисперсионное уравнение, рассмотрев два важных частных случая.
Пусть b = d = 4QCq = 0, т. е. «холодная» скорость волны равна скорости электронов, потери отсутствуют, пространственный заряд пренебрежимо мал. Тогда дисперсионное уравнение принимает вид
83 = -j,81=j, 521з = т^_17-. (ю.зз)
Соответственно для постоянных распространения парциальных волн имеем
Используя формулу (10.31) и выражение (10.33), легко получить
£71(0) = £72(О) = £73(0) = £7°/3.(10.34)
Подстановка соотношений (10.33) и (10.34) в формулу (10.32) приводит к выражению, совпадающему с тем, которое может быть получено на основе метода последовательных приближений с учетом высших приближений (см. монографию [3, стр. 130; формула (III.26)]):
Е^ = N^e^'^ (e^CN + e2irCN52 + е2^153) .(10.35)
Пусть d = 0, 4QCq ^ 0 — случай больших пространственных зарядов, b ~ V^QCo . В этом случае (см., например, [3]) достаточно учитывать только две парциальные волны (двухволновое приближение), и вместо дисперсионного уравнения третьей степени приходим к уравнению второй степени. Постоянная распространения третьей парциальной волны остается такой же, как и в отсутствии взаимодействия электронного потока с полем в линии передачи, т. е. 5з « jV4QC^ , и, как видно из формулы (10.31), Ез(0) « 0.
В заключении рассмотрения линейной теории ЛБВ на основе метода дисперсионного уравнения проанализируем коэффициент усиления ЛБВО. Коэффициент усиления по мощности определяется выражениемВ заключении рассмотрения линейной теории ЛБВ на основе метода дисперсионного уравнения проанализируем коэффициент усиления ЛБВО. Коэффициент усиления по мощности определяется выражениемС[дБ] — 101gС[дБ] — 101gЕ°Е°2= 201g2= 201gЕ°Е°
В заключении рассмотрения линейной теории ЛБВ на основе метода дисперсионного уравнения проанализируем коэффициент усиления ЛБВО. Коэффициент усиления по мощности определяется выражением
В заключении рассмотрения линейной теории ЛБВ на основе метода дисперсионного уравнения проанализируем коэффициент усиления ЛБВО. Коэффициент усиления по мощности определяется выражением
С[дБ] — 101g
С[дБ] — 101g
Е°
Е°
2
= 201g
2
= 201g
Е°
Е°
Поле Е(х) складывается из трех парциальных волн (Е = Еу + Е^ + + ЕзУ Пусть имеет место точный синхронизм электромагнитной волны с электронным потоком (6 = 0, Фо = 0). Если пренебречь потерями в линии передачи (d = 0) и пространственным зарядом (q = 0), то только одна из трех волн (10.33) с постоянной распространения Зз = = V3 /2 — ^/2 будет возрастать при распространении по длине лампы.
Е^ а/З
При условии (ЗеСх > 1 Е к Е3 = — ехр @еСх, и коэффициент усиления может быть записан как
С[дБ] = 201g| + 20 • 0еС1 = -9,54 + 47,3C7V.(10.36)
Выражение (10.36) носит название асимптотической формулы усиления ЛБВ. В более общем виде ее записывают как
С[дБ] = A + BCN,С[дБ] = A + BCN,(10.37)(10.37)
С[дБ] = A + BCN,
С[дБ] = A + BCN,
(10.37)
(10.37)
Рис. 10.2. Зависимость коэффициента усиления ЛБВ от параметра СN. Штриховая линия — расчет по асимптотической формуле (10.36); сплошная — расчет с учетом всех парциальных волнРис. 10.2. Зависимость коэффициента усиления ЛБВ от параметра СN. Штриховая линия — расчет по асимптотической формуле (10.36); сплошная — расчет с учетом всех парциальных волн
Рис. 10.2. Зависимость коэффициента усиления ЛБВ от параметра СN. Штриховая линия — расчет по асимптотической формуле (10.36); сплошная — расчет с учетом всех парциальных волн
Рис. 10.2. Зависимость коэффициента усиления ЛБВ от параметра СN. Штриховая линия — расчет по асимптотической формуле (10.36); сплошная — расчет с учетом всех парциальных волн
где А — параметр начальных потерь, связанный с расщеплением входного сигнала на парциальные волны; В — характеризует
усиление на единицу нормированной длины CN. В нашем случае имеется три волны и Л = —9,54 дБ, В = 47,3 дБ. В общем случае А и В являются функциями параметров b. d. q. На рис. 10.2 приведена зависимость коэффициента усиления ЛБВ от СN. Сплошная линия соответствует учету всех трех парциальных волн, штриховая — расчету по формуле (10.36). Из рисунка видно, что при малых СN поле меняется очень слабо, что связано с тем, что пучок не сгруппирован, и эффективного взаимодействия с бегущей волной не происходит. С ростом СN амплитуда поля растет и при больших CN волна с нарастающей амплиту
дой становится настолько большой, что влиянием двух других парциальных волн можно пренебречь — сплошная и пунктирная кривая
совпадают.
Закон сохранения энергии в электронном потоке,взаимодействующем с бегущей электромагнитнойволной
Вернемся к анализу нелинейных уравнений ЛБВ, причем, как
и раньше, пренебрежем влиянием пространственного заряда и затуха
нием в линии передачи, а также будем считать параметр усиления Со
Э26 эеЭ26 эеЭ2и= д^1 принимает вид:Э2и= д^1 принимает вид:том того, чтотом того, что(10.38)(10.39)(10.40)(10.38)(10.39)(10.40)малым. Тогда система нелинейных уравнений ЛБВ (10.18)—(10.20) с уче
Э26 эе
Э26 эе
Э2и
= д^1 принимает вид:
Э2и
= д^1 принимает вид:
том того, что
том того, что
(10.38)
(10.39)
(10.40)
(10.38)
(10.39)
(10.40)
at +^='-
2тг
I = - [ e^^duo, 7Г J
О
Л г> iu
^^ — Re^e .
Начальные условия (10.17) (поток на входе в пространство взаимодействия не модулирован) имеют вид:
ди
и = по, -- = 0, F = А при ( = 0.(10.41)
где величина А характеризует амплитуду входного сигнала.
Как уже обсуждалось выше, нелинейные уравнения (10.38)—(10.40) описывают две модели ЛБВ.
В бесконечном волноводе при £ = 0 распространяется волна с амплитудой А. В плоскости £ = 0 инжектируются электроны, и при £ > 0 в волноводе имеются взаимодействующие между собой пучок и волна (см. рис. 10.1а).
Аналогичная система, но в плоскости £ = £о находится коллектор, собирающий все электроны, и при £ > £о в волноводе также имеется волна постоянной амплитуды, которую можно найти, решая систему уравнений (10.38)—(10.41) (см. рис. 10.16).
Эффект усиления сигнала в ЛБВ связан с тем, что электроны тормозятся в поле бегущей волны, отдавая ей свою кинетическую энергию. Этого нельзя видеть из линейной теории (см. лекцию 9), в которой средняя скорость электронов предполагается постоянной. Нелинейная теория позволяет проследить за энергетикой процесса даже без решения исходных уравнений.
Введем сокращенное обозначение для операции усреднения по начальным фазам ng:
2тг
(10.42)
о
Применим операцию усреднения к уравнению движения (10.40), учитывая, что из выражения (10.39) следует
2тг
1212Тогда, воспользовавшись Re (jT^) = 0, получим:
1
2
1
2
/52ы\1
( —ту ) = - Re Л =
\ а^2 / 2
оуравнением возбуждения и соотношениемоуравнением возбуждения и соотношением1D (TUF* ат* В 1о i-dF* 1 d^2
о
уравнением возбуждения и соотношением
о
уравнением возбуждения и соотношением
= - Re J7 < —-— ibT > = - Re^7—— = - ' 1 , 2\ 1 ^ J /2 dE 4 dE
т. е.т. е.(10.43)(10.43)Л^Х - 1 ^l2\ d£2/2 dE "
т. е.
т. е.
(10.43)
(10.43)
Беря от обеих частей соотношения (10.43) интеграл по £ и учитывая начальные условия (10.41), получим соотношение вида
-2-2(10.44)
-2
-2
Перейдем к размерным величинам: Г ??£(ж) =
(10.45)(10.45)ЕЕ* = ш2м2С0-^ И2 = p2eV0I0KC0\T\\4 Vo ту
(10.45)
(10.45)
Из определения потока мощности (см. формулу (1.66)) получаем, что ££—(^е ^ С I V IT12
мощность, переносимая синхронной волной, запишется какР = ^мощность, переносимая синхронной волной, запишется какР = ^(10.46)(10.46)где Зе)Зо ~ 1, так как Со <С 1, и Зо = ^е(1 + ЬСо). Окончательно,
мощность, переносимая синхронной волной, запишется какР = ^
мощность, переносимая синхронной волной, запишется какР = ^
(10.46)
(10.46)
Мощность невозмущенного пучка: Р^ = IoVq. Если Со <С 1, то из соотношения (10.15) следует, что
у И «о (1 - Со^) , v2 = ^ (1 - 2С0^) .(10.47)
По мере модуляции электронного потока скорость и все больше отличается от ^о, в то время как ток /о остается постоянным. В общем случае, если обозначить через V = ^v2^ /2ту «эффективное» напряжение, то
Ре = IoV = /0= JoH) (1 - 2С0 ^ufd^ .(10.48)
Умножим соотношение (10.44), выражающее закон сохранения энергии, на CqIoVo, и прибавим к обеим частям постоянную величину IoVq. Тогда
(/оГо - 2Со/оГо (Эу/Э^ + | Со/оГоИ2 =
= |Со/оГоИ|2 + /оГо= const, (10.49) где
/оГо - 2CoIoVo— = Ре(10.50)
мощность электронного потока,
| Со/оГИ2 = Р(10.51)
мощность синхронной волны.
С учетом этого перепишем выражение (10.49) в виде
Ре + Р = const, ^^ = 0.(10.52)
Последнее соотношение есть не что иное, как закон сохранения потока мощности (теорема о кинетической мощности Чу, выведенная в лекции 3), который показывает, что в любом сечении лампы суммарный поток мощности остается постоянным.
Вернемся к соотношению (10.47): и2 = Vq (1 — 2Codu/d^) . Умножим обе части его на т/2 и усредним по ио*.
2тг1 '2тг2тг1 '2тг112 то22 то2(10.53)(10.53)
2тг
1 '
2тг
2тг
1 '
2тг
1
1
2 то
2
2 то
2
(10.53)
(10.53)
Используя выражение (10.43) с начальным условием= 0, полу-
1е=о
чим:
{du/dS} = — 11 Re (Т7/*) d£.(10.54)
О
Итак, окончательно имеем соотношения:
рЛЗехт*е-зЗех£
Г = —^, Г = ^, Г Г =^,(10.55)
ЖСо1оУо/оЖСокУо'
где Ji есть первая гармоника сгруппированного тока (см. формулу (10.6)).
Подставим выражения (10.55) и (10.54) в формулу(10.53):
2тг1 '2тг v о2тг1 '2тг v оdu о =du о =muoCo2muoCo2ReоReо8Г20eC£lOVo8Г20eC£lOVoЗеС0 dx =ЗеС0 dx =еоеоRe£J* dx,Re£J* dx,(10.56)(10.56)
2тг
1 '
2тг v о
2тг
1 '
2тг v о
du о =
du о =
muoCo
2
muoCo
2
Re
о
Re
о
8Г
20eC£lOVo
8Г
20eC£lOVo
ЗеС0 dx =
ЗеС0 dx =
е
о
е
о
Re£J* dx,
Re£J* dx,
(10.56)
(10.56)
или
|j Ref J* dx.О|j Ref J* dx.О(10.57)(10.57)
|j Ref J* dx.
О
|j Ref J* dx.
О
(10.57)
(10.57)
В последнем соотношении слева стоит разность кинетических энергий — на входе кинетическая энергия ttwq/2, а на выходе, в результате изменения скорости в связи с энергообменом в пространстве дрейфа, энергия дается интегралом по фазам влета. Эта разность равна работе поля, которая определяется интегралом, стоящим в правой части. Численно этот интеграл равен энергии, переданной полю. Очевидно, что если бы скорость не менялась (v = ^о), то энергия взаимодействия была бы равна нулю.
Механизм фазировки в бегущей электромагнитнойволне
В предыдущем разделе было доказано выполнение закона сохранения энергии в модели, описывающей усиление сигналов в ЛБВ. Рассмотрим теперь качественно механизм фазировки в слабых и сильных полях. Будем исследовать случай, когда на вход лампы подается слабый сигнал, который усиливается лампой до величины, при которой вблизи выходного конца лампы создается существенно нелинейный режим. Рассмотрение механизма фазировки произведем в предположении малых Со, причем будем пренебрегать не только слагаемыми порядка
Cq, но и слагаемыми порядка С^. Тогда уравнение движения (10.40) перепишется в виде:
где по определению
^ = Re^n.(10.59)
он
Поскольку Т — комплексная величина, то ее можно представить в виде: Т = \ТК^. Тогда
Re^'" = Не|^|е^и-У);
(10.60)
Vs = Re= И sin (u - у).
Выясним физический смысл величины Vs, для чего остановимся на интерпретации наших переменных и и ср. По определению:
и = wty + 6 = wt — Зе^ = — Зе{х — Х^З^ = ЗеС^Х.
Рассмотрим явления в электронном потоке, взаимодействующем с бегущей электромагнитной волной, в двух системах отсчета — в неподвижной и движущейся со скоростью, равной невозмущенной скорости потока.
В неподвижной системе отсчета £ есть безразмерная координата, а и — меняющаяся во времени фаза. Для фиксированной точки х каждому значению и соответствует вполне определенное время t. Это нетрудно видеть, если записать и и £ через переменные х и t:
и = —^е(ж - VqO>^ = РеС0Х.(10.61)
Перейдем в подвижную систему отсчета с помощью преобразований х = х* + voP; t = Р, тогда переменные £ и и выражаются через новые переменные х’ и 3 как
U = ~ЗеХ\ £ = ЗеС^Х* + Х03\(10.62)
Из последних соотношений видно, что в подвижной системе отсчета и есть безразмерная координата, а £ — меняющаяся во времени и пространстве фаза. Для фиксированной точки х’ каждому значению £ соответствует однозначно определенное время 3.
Функция Vs зависит от и, и не зависит явно от £, а значит и от 3. Это позволяет рассматривать ее как безразмерную потенциальную энергию в подвижной системе отсчета. Уравнение (10.58) выражает тогда второй закон Ньютона для частицы, движущейся под действием потенциальной силы, где Vs — это безразмерная потенциальная энергия электрона в поле синхронной волны в подвижной системе отсчета.
Пусть / = |/|е Jn*; Т = iT-’le ^ тогда из уравнения возбуждения (10.38) получаем
(10.63)(10.63)(10.64)(10.64)^-з\Л^+зЦЛ = Ч1\еК^
(10.63)
(10.63)
(10.64)
(10.64)
Выпишем отдельно действительную и мнимую части:
—— = -|/|cos(w* - р),
-|/| sin (и* - р).
Первое уравнение характеризует изменение амплитуды волны вдоль системы. Для выяснения смысла второго уравнения преобразуем величину (dp / d^ — b).
Величина Т была введена так, что
£ — ^УрСр jr^-зРеХ _ ^УО^О \jr\e-3WeX-V^ оо
где р = Деж + ср — полная («горячая») фаза поля, Деж — фаза «холодной» волны, ср — добавка, обусловленная взаимодействием волны с электронным потоком. Пусть (3 — постоянная распространения, а Иф — фазовая скорость «горячей» волны. Тогда
шшУфУф= ^ = Зе + ^ =0е+0еС ахах= ^ = Зе + ^ =0е+0еС ахахdp _ ш de vodp _ ш de vor dp \ d^ Jr dp \ d^ J
ш
ш
Уф
Уф
= ^ = Зе + ^ =0е+0еС ахах
= ^ = Зе + ^ =0е+0еС ахах
dp _ ш de vo
dp _ ш de vo
r dp \ d^ J
r dp \ d^ J
Отсюда имеем, что
Уф —Уф —1 + 0$de1 + 0$de~ v0~ v0C « 1;C « 1;
Уф —
Уф —
1 + 0$
de
1 + 0$
de
~ v0
~ v0
C « 1;
C « 1;
(10.65)(10.65)dp _ vo - Уф
(10.65)
(10.65)
de voC
Из определения величины b;
Н = ТЛ^г«^-ЬС^ -^ 6 = Дт^. (Ю.66) 1 + DOOУоОо
Используя полученные выражения для b (10.66) и ^^ (10.65), находим:
- 6 = уФ ,(Ю.67)
devoCo
т. е. интересующая нас величина характеризует разность фазовых скоростей «холодной» и «горячей» волн.
Обратимся снова к первому уравнению системы (10.64), определяющему изменение амплитуды поля вдоль пространства взаимодействия.
ZXп
Очевидно, что условия нарастания волны вдоль системы есть 1 > 0, т. е.
- cos (и* - ^ > 0,^ < и* - р < | тг.(10.68)
Если жеЕсли же< 0, то волна затухает и< 0, то волна затухает и7ГI7ГI(10.69)(10.69)Наконец, при и* — р = ±^, ±^,... имеем ^^ = 0, иНаконец, при и* — р = ±^, ±^,... имеем ^^ = 0, иамплитудаамплитудаволны не меняется.Рассмотрим несколько иной подход к полученным условиям, определяющим направление энергообмена в системе. Можно показать, что и* — это фаза, соответствующая центру сгустка электронов. Действительно, если ограничиться первой гармоникой тока, то можно написатьволны не меняется.Рассмотрим несколько иной подход к полученным условиям, определяющим направление энергообмена в системе. Можно показать, что и* — это фаза, соответствующая центру сгустка электронов. Действительно, если ограничиться первой гармоникой тока, то можно написатьJ(x, t) = /0 + Re JTejwt = /о + Re 101е^ш1"^ =J(x, t) = /0 + Re JTejwt = /о + Re 101е^ш1"^ == /о (1 + Re\I\ej^"n*^ = /0(1 + | /1 cos (и - иД). (10.70)= /о (1 + Re\I\ej^"n*^ = /0(1 + | /1 cos (и - иД). (10.70)Ясно, что и — и* = 0 (и = и*) соответствует максимуму тока, а значит и центру сгустка. На рис. 10.3 представлены графики Vs = l^l sin (и — — р) и = 1^1 cos (и — р) в зависимости от (и — р). Тормозящей фазе поля соответствуетЯсно, что и — и* = 0 (и = и*) соответствует максимуму тока, а значит и центру сгустка. На рис. 10.3 представлены графики Vs = l^l sin (и — — р) и = 1^1 cos (и — р) в зависимости от (и — р). Тормозящей фазе поля соответствуетЖЭиЖЭи22Зтг тЗтг тРезультат взаимодействия зависит от того, в какую фазу попадет центр сгустка и = и*.Усиление будет происходить при^<и,-^р<^,(10.71)Результат взаимодействия зависит от того, в какую фазу попадет центр сгустка и = и*.Усиление будет происходить при^<и,-^р<^,(10.71)Рис. 10.3. Зависимость безразмерной потенциальной энергии Vs и ее первой производной dVs/du от фазы (и — — р\ Заштрихована тормозящая фаза поляРис. 10.3. Зависимость безразмерной потенциальной энергии Vs и ее первой производной dVs/du от фазы (и — — р\ Заштрихована тормозящая фаза полячто согласуется с ранее полученным условием.Остановимся на вопросе о выборе оптимального параметра рассинхронизма Ь. Если на начальномчто согласуется с ранее полученным условием.Остановимся на вопросе о выборе оптимального параметра рассинхронизма Ь. Если на начальномучастке лампы происходит усиление, то электроны группируются в тормозящей фазе поля. После того, как достигнуто насыщение первойучастке лампы происходит усиление, то электроны группируются в тормозящей фазе поля. После того, как достигнуто насыщение первой
Если же
Если же
< 0, то волна затухает и
< 0, то волна затухает и
7Г
I
7Г
I
(10.69)
(10.69)
Наконец, при и* — р = ±^, ±^,... имеем ^^ = 0, и
Наконец, при и* — р = ±^, ±^,... имеем ^^ = 0, и
амплитуда
амплитуда
волны не меняется.
Рассмотрим несколько иной подход к полученным условиям, определяющим направление энергообмена в системе. Можно показать, что и* — это фаза, соответствующая центру сгустка электронов. Действительно, если ограничиться первой гармоникой тока, то можно написать
волны не меняется.
Рассмотрим несколько иной подход к полученным условиям, определяющим направление энергообмена в системе. Можно показать, что и* — это фаза, соответствующая центру сгустка электронов. Действительно, если ограничиться первой гармоникой тока, то можно написать
J(x, t) = /0 + Re JTejwt = /о + Re 101е^ш1"^ =
J(x, t) = /0 + Re JTejwt = /о + Re 101е^ш1"^ =
= /о (1 + Re\I\ej^"n*^ = /0(1 + | /1 cos (и - иД). (10.70)
= /о (1 + Re\I\ej^"n*^ = /0(1 + | /1 cos (и - иД). (10.70)
Ясно, что и — и* = 0 (и = и*) соответствует максимуму тока, а значит и центру сгустка. На рис. 10.3 представлены графики Vs = l^l sin (и — — р) и = 1^1 cos (и — р) в зависимости от (и — р). Тормозящей фазе поля соответствует
Ясно, что и — и* = 0 (и = и*) соответствует максимуму тока, а значит и центру сгустка. На рис. 10.3 представлены графики Vs = l^l sin (и — — р) и = 1^1 cos (и — р) в зависимости от (и — р). Тормозящей фазе поля соответствует
Ж
Эи
Ж
Эи
2
2
Зтг т
Зтг т
Результат взаимодействия зависит от того, в какую фазу попадет центр сгустка и = и*.
Усиление будет происходить при
^<и,-^р<^,(10.71)
Результат взаимодействия зависит от того, в какую фазу попадет центр сгустка и = и*.
Усиление будет происходить при
^<и,-^р<^,(10.71)
Рис. 10.3. Зависимость безразмерной потенциальной энергии Vs и ее первой производной dVs/du от фазы (и — — р\ Заштрихована тормозящая фаза поля
Рис. 10.3. Зависимость безразмерной потенциальной энергии Vs и ее первой производной dVs/du от фазы (и — — р\ Заштрихована тормозящая фаза поля
что согласуется с ранее полученным условием.
Остановимся на вопросе о вы
боре оптимального параметра рассинхронизма Ь. Если на начальном
что согласуется с ранее полученным условием.
Остановимся на вопросе о вы
боре оптимального параметра рассинхронизма Ь. Если на начальном
участке лампы происходит усиление, то электроны группируются в тормозящей фазе поля. После того, как достигнуто насыщение первой
участке лампы происходит усиление, то электроны группируются в тормозящей фазе поля. После того, как достигнуто насыщение первой
гармоники сгруппированного тока, дальнейшее взаимодействие определяется движением сформированных сгустков в поле волны. Если пара
метр холодного рассинхронизма соответствует максимальному усилению в линейном режиме b = 6ОПТ, то сгусток образуется вблизи максимума тормозящего поля. Пусть теперь b > 6Опт, так что скорость электронов достаточно велика, и группировка происходит вблизи максимума потенциала Vs. Тогда при прохождении сгустками тормозящего склона потенциальной ямы полю будет передана энергия, большая, чем в первом случае. Значение £ в момент прохождения сгустком минимума Vs соответствует максимуму мощности при данном Ь. Итак, режим максимума линейного усиления b = Ьопт неоптимален по выходной мощности.
Данный вывод может быть получен и из энергетических соображений. Из закона сохранения энергии (10.44) видно, что по мере того как энергия электронов передается полю, и его амплитуда l^7! возрастает, должна возрастать и величина (du/d^.
Ранее было выведено соотношение и = vq (1 — Codu(d^Y Усредняя его, получаем (v) = vq (1 — Со {du/d£)Y Отсюда видно, что с увеличением величины du/d^ средняя скорость и уменьшается, и взаимодействие перестает быть оптимальным, если величина параметра холодного рассинхронизма b = 6ОПТ. Для увеличения эффективности взаимодействия, необходимо задать начальную скорость пучка и^ > vq, а значит и b > > Ьопт. Тогда уменьшение и приведет лишь к улучшению взаимодей
ствия.
Вернемся к рассмотрению движения сформированного сгустка в поле волны. После достижения дна потенциальной ямы сгусток выходит
Рис. 10.4. Зависимость МОЩНОСТИ l^2 от длины пространства взаимодействияРис. 10.4. Зависимость МОЩНОСТИ l^2 от длины пространства взаимодействияиз тормозящего поля, проскакивает по инерции минимум Vs и попадает в область ускоряющего поля. Сгусток начинает ускоряться, и увеличивается, а, значит, величины du/d^ и l^ уменьшаются. Через некоторое время сгусток возвращается к минимуму, продолжая совершать колебания около него. При этом сгусток деформируется, и процесс не является строго периодическим. Деформация эта тем больше, чем больше влияние пространственного заряда. Если пространственный заряд велик, то сгусток распадется раньше, чем разовьётся колебательный процесс. Теоретическая зависимость IT7!2 от £ представлена на рис. 10.4, которую можно
Рис. 10.4. Зависимость МОЩНОСТИ l^2 от длины пространства взаимодействия
Рис. 10.4. Зависимость МОЩНОСТИ l^2 от длины пространства взаимодействия
трактовать как зависимость мощности от длины пространства взаимодействия.
Итак, один из механизмов ограничения мощности в ЛБВ — отставание сгруппированного сгустка от бегущей волны.
Обсудим теперь второй механизм ограничения мощности, который связан с нелинейностью модуляции электронного пучка, т. е. с нелинейной зависимостью первой гармоники сгруппированного тока Jy от функции 6 = и — uq, определяющей изменение фазы электрона под действием поля бегущей волны.
Учитывая, что 6 — периодическая функция ио, разложим ее в ряд Фурье, ограничиваясь первой гармоникой:
е^, ио) = №) + В(^ sin (ио + 30,(10.72)
где (#(£)) — среднее смещение электронов пучка, В(£) — параметр группирования. Подставляя это выражение в формулу для сгруппированного тока, получаем
2тг
/ = — Г е-з^ duo =
7Г J
О
2тг
= - [ exp {-j(u0 + (90 + в(^ sin («о + 30)^ du0. (10.73) 7Г J
О
Известно, что для функции Бесселя справедливо интегральное соотношение
2тг
Jn(^) = ехр {— j(n6 — ж sin#)} d6.
о
Тогда выражение (10.73) может быть переписано в виде:
/ = 2Л(В)ехр{-Д(^-/1 + 7г)},|/| = МО\. (10.74)
При передаче энергии от электронов полю бегущей волны величина В возрастает, поэтому первая гармоника тока, пропорциональная функции Бесселя 1-го порядка, сначала возрастает до величины В = = 1,84, а затем начинает уменьшаться, обращаясь в нуль при В = 3,83, что и дает второй механизм ограничения мощности. Преобладание того или иного механизма ограничения мощности зависит, в первую очередь, от режима работы ЛБВ [1].
Особенности и результаты решениянелинейных уравнений ЛБВ на ЭВМ
Кратко обсудим методику численного решения нелинейных уравнений ЛБВ (более подробно родственные этой задаче численные схемы интегрирования нестационарных нелинейных уравнений ЛОВ будут рассмотрены на последующих лекциях). Большим преимуществом численного решения уравнений ЛБВ является возможность не только получить интегральные характеристики прибора (максимальную
мощность Fmax = - Cq/oVoIFI2, максимальный к.п.д. ymax = - C0|F|2, оптимальную длину пространства взаимодействия жопт = €опт/SeC^Y но и проанализировать особенности движения электронов, т. е. найти дифференциальные характеристики прибора, что является важным для понимания процессов взаимодействия.
Система нелинейных уравнений (10.18)—(10.20) соответствует модели потока в виде сплошной среди с нелинейними волновими свойствами. При этом общее число степеней свободы бесконечно. Для численного решения необходимо свести её к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, ограничиваясь конечным числом степеней свободы. Наиболее удобным для данного класса задач является метод крупных частиц, который уже рассматривался нами в лекции 5. Поэтому не будем останавливаться на этих вопросах подробно. Электронный поток заменяется совокупностью конечного числа крупных частиц определенной формы и размера, которые самосогласованно двигаются в ВЧ-поле. Так как процессы периодические во времени, то достаточно проинтегрировать движение частиц за один период колебаний. Формально введение частиц эквивалентно замене в уравнении (10.19) интеграла суммой вида Д
2 N
J Е exp(-Jw„),n=l
где вместо функции и = u(^,uq) берется набор функций ип = = un(^ uonY где uon = 2'Kn/N, n^X^.^N^ N — число крупных частиц, взятых вдоль пучка. В этом случае будем иметь (2N + 2) уравнения. Множитель «2» появляется за счет того, что комплексное уравнение разделяется на два уравнения относительно действительной и мнимой части.
Поля пространственного заряда Fn3 вычисляются из уравнения Пуассона, которое может быть записано как
div (e grad Ф) = — р.
Решение этого уравнения имеет вид
Ф(ж,у,Д = | С(ж,у,г,ж',у',г')р(ж',у',г')(/С',
V
где G — функция Грина. Физический смысл функции Грина заключается в том, что она определяет взаимодействие между точечными зарядами в данной системе, находящимися в точках (ж, ?/, z) и (ж7, у'. z’Y Вид
г) Здесь рассмотрена численная схема без учета расслоения потока по поперечной координате, как это делалось при построении нелинейной двумерной модели многорезонаторного клистрона (лекция 5; см. также [4]-[7]).
функции Грина зависит от выбора формы крупной частицы, а также от соотношения геометрии волновода и пучка. Уравнение движения запишется следующим образом:
——г = - Regexp jun + Fn3.
de
Обсудим некоторые результаты численного решения нелинейных уравнений ЛБВ. Все результаты были получены при числе частиц N = 24 и в пренебрежении влиянием сил пространственного заряда.
Усиление слабых сигналов. На рис. 10.5 приведены зависимости мощности от длины пространства взаимодействия Р(£). Из них видно, что при увеличении £ мощность волны сначала остается постоянной или даже убывает (рис. 10.5щ б), азатем модулированный начальным сигналом электронный поток начинает отдавать энергию ВЧ-полю. В процессе усиления начинает преобладать нарастающая парциальная волна. Несмотря на малость входного сигнала, возрастание мощности волны при ее распространении вдоль лампы прекращается из-за нелинейных эффектов. Достигнув максимума, мощность убывает и становится осциллирующей при больших £.
Интересно, что в некоторых случаях мощность, рассчитываемая из нелинейной теории, превышает значение мощности, полученное из линейной теории. Это, например, имеет место (см. рис. 10.5в) при b = 1,89 (в линейной теории этому соответствует наличие в системе трех парциальных волн постоянной ампли-
Рис. 10.5. Зависимости мощности от длины пространства взаимодействия в режиме усиления слабых сигналов при следующих параметрах: а — амплитуда входного сигнала А = 0,1, b = —1; б — А = 0,2, b = 0; в- А = 0,3, b = 1,89Рис. 10.5. Зависимости мощности от длины пространства взаимодействия в режиме усиления слабых сигналов при следующих параметрах: а — амплитуда входного сигнала А = 0,1, b = —1; б — А = 0,2, b = 0; в- А = 0,3, b = 1,89туды). Связано это с тем, что при такой величине параметра холодного рассинхронизма особое значение приобретает движение сформирован-
Рис. 10.5. Зависимости мощности от длины пространства взаимодействия в режиме усиления слабых сигналов при следующих параметрах: а — амплитуда входного сигнала А = 0,1, b = —1; б — А = 0,2, b = 0; в- А = 0,3, b = 1,89
Рис. 10.5. Зависимости мощности от длины пространства взаимодействия в режиме усиления слабых сигналов при следующих параметрах: а — амплитуда входного сигнала А = 0,1, b = —1; б — А = 0,2, b = 0; в- А = 0,3, b = 1,89
ного сгустка в поле волны, не учитываемое в линейной теории. Как уже обсуждалось, в этом случае сгусток проходит большее расстояние по тормозящему склону потенциальной ямы, и передает большую энергию полю. Однако группировка наиболее эффективно происходит при b « О (при малом сигнале). Поэтому весьма удачной является конструкция ЛБВ, состоящей из двух секций, первая из которых работает при слабом сигнале и b « 0, а вторая при сильном сигнале (сигнал усиливается в первой секции) и b = 1,89. х)
Усиление конечных сигналов (рис. 10.6). Парис. 10.65при-
ведены зависимости Р(£) при b =ведены зависимости Р(£) при b =Рис. 10.6. Зависимости мощности от длины пространства взаимодействия в режиме усиления конечных сигналов при следующих параметрах: а — амплитуда входного сигнала Л = 2, b = 0; 6 Ь = 2. Здесь сплошные линии — результаты расчета с помощью нелинейной теорииРис. 10.6. Зависимости мощности от длины пространства взаимодействия в режиме усиления конечных сигналов при следующих параметрах: а — амплитуда входного сигнала Л = 2, b = 0; 6 Ь = 2. Здесь сплошные линии — результаты расчета с помощью нелинейной теорииЕсли рассмотреть дисперсионное уравнение для этого случая:
ведены зависимости Р(£) при b =
ведены зависимости Р(£) при b =
Рис. 10.6. Зависимости мощности от длины пространства взаимодействия в режиме усиления конечных сигналов при следующих параметрах: а — амплитуда входного сигнала Л = 2, b = 0; 6 Ь = 2. Здесь сплошные линии — результаты расчета с помощью нелинейной теории
Рис. 10.6. Зависимости мощности от длины пространства взаимодействия в режиме усиления конечных сигналов при следующих параметрах: а — амплитуда входного сигнала Л = 2, b = 0; 6 Ь = 2. Здесь сплошные линии — результаты расчета с помощью нелинейной теории
бЦб + ^-З,
то оно имеет чисто мнимые решения 51 = -j, 52,3 = j (~2 ± -у ), т. е. все парциальные волны имеют постоянную амплитуду. Тем не менее, усиление есть, и довольно значительное: при Л = 2 усиление равно 6 дБ, а при Л = 0,4 — 18 дБ. Анализ показывает, что волна бежит вдоль линии примерно с той же скоростью, как без пучка: ^^ и b = = 2. При этом волна захватывает большую часть электронов, которые начинают двигаться вместе с волной и собираются преимуще-
ственно в тормозящем полупериоде. Так как при b = 2 электроны вначале двигаются быстрее волны, то при захвате их волной они отдают кинетическую энергию, за счет чего растет мощность волны. При Л = 0,4 неправильнофазных электронов оказывается больше, чем при Л = 2, и усиление меньше. Та
ким образом, имеется возможность усиления сигналов с конечной амплитудой при таких больших Ь, при которых по линейной теории усиления вообще нет.
г) Рассмотрение возможных способов увеличения к.п.д. ЛБВ будет проведено далее в отдельном параграфе.
Отметим ещё раз, что развитая нелинейная теория не учитывает влияния пространственного заряда, потерь в линии передачи, двумерность, отражения в электронном потоке. Эта теория дает большие расхождения с экспериментом. Вместе с тем, полученные с помощью неё результаты оказываются мощным средством для анализа путей оптимизации имеющихся приборов. В заключение можно сделать некоторые выводы из результатов численного анализа.
Максимальный к.п.д. односекционной ЛБВ составляет около 50 % и достигается при Со 0,1; b « 1,8.
Усиление, как правило, уменьшается из-за действия нелинейных эффектов, за исключением некоторых случаев (например, b = 1,5, Со < < 0,05, 4QCq <( 1), когда появляется дополнительное нелинейное усиление.
Спиральная лампа бегущей волныкак основа усилительного модуля
Как уже отмечалось, основным достоинством ЛБВ по сравнению с другими усилительными приборами (в первую очередь, клистронами и усилительными приборами магнетронного типа) является широкая полоса усиливаемых частот. Наиболее широкополосными являются ЛБВ со спиральной замедляющей системой: скорость распространения бегущей волны в них сохраняется постоянной при изменении частоты входного сигнала в пределах 1-2 октав и более.
Для достижения больших коэффициентов усиления (до 30 4- 50 дБ) с целью предотвращения самовозбуждения за счет обратной связи, обеспечиваемой отраженным сигналом за счет плохого согласования с нагрузкой, вводят дополнительное затухание. Рассмотрим этот вопрос более подробно. Если сделать затухание распределенным по длине лампы, то в этом случае, очевидно, коэффициент усиления, резко упадет. Поэтому для «развязывания» входа и выхода лампы используется поглощающая локальная вставка, располагаемая на длине, равной примерно 1/2 или 1/3 длины замедляющей системы, и создающая затухание порядка 60 дБ. Поглотитель уничтожает отраженный сигнал, при этом несколько падает и коэффициент усиления, но его изменение можно скомпенсировать увеличением тока пучка.
На рис. 10.7 представлена схема ЛБВ с локальным поглотителем и распределение поля вдоль длины пространства взаимодействия в этом случае. В секции / происходит процесс усиления входного сигнала при взаимодействии пучка с волной. После прохождения секции // амплитуда сигнала близка к нулю, однако пучок по выходе из секции // уже сильно сгруппирован. Поэтому при попадании в секцию /// он возбуждает в линии передачи волну, амплитуда которой определяется сгруппированным током. Отметим важную роль согласования самого поглотителя, так как отражения от него могут привести к возбуждению
лампы на отдельных участках пространства взаимодействия, и как следствие, падению общего коэффициента усиления. Согласования добиваются путем плавного сведения потерь на концах поглотителя к ну
лю.
ЛБВ находят широкое применение (см. эпиграф к лекции 9) в передающих и приемных устройствах радиолокационных станций, систем
Рис. 10.7. Схема ЛБВ с локальным поглотителем: I, III — усилительные секции, II — секция с затуханием (локальный поглотитель). Здесь: 1 — распределение амплитуды поля вдоль пространства взаимодействия в лампе без поглотителя; 2 — с поглотителем; 3 — распределение амплитуды отраженной волны вдоль пространства взаимодействияРис. 10.7. Схема ЛБВ с локальным поглотителем: I, III — усилительные секции, II — секция с затуханием (локальный поглотитель). Здесь: 1 — распределение амплитуды поля вдоль пространства взаимодействия в лампе без поглотителя; 2 — с поглотителем; 3 — распределение амплитуды отраженной волны вдоль пространства взаимодействиясвязи через искусственные спутники Земли и радиорелейных линий связи. Сочетание высокого уровня усиления, низкого уровня собственных шумов, относительно небольших габаритных размеров и массы с широкой полосой усиливаемых частот, позволяющей передавать большие объемы информации, делает ЛБВ одним из наиболее удобных усилителей для подвижных радиолокационных станций (РЛС), в том числе и использующих фазированные
Рис. 10.7. Схема ЛБВ с локальным поглотителем: I, III — усилительные секции, II — секция с затуханием (локальный поглотитель). Здесь: 1 — распределение амплитуды поля вдоль пространства взаимодействия в лампе без поглотителя; 2 — с поглотителем; 3 — распределение амплитуды отраженной волны вдоль пространства взаимодействия
Рис. 10.7. Схема ЛБВ с локальным поглотителем: I, III — усилительные секции, II — секция с затуханием (локальный поглотитель). Здесь: 1 — распределение амплитуды поля вдоль пространства взаимодействия в лампе без поглотителя; 2 — с поглотителем; 3 — распределение амплитуды отраженной волны вдоль пространства взаимодействия
антенные решетки.
Последнее привело к разработке пакетированных ЛБВ, в которых магнитная фокусирующая система и собственно усилительная ЛБВ (а часто и полупроводниковый генератор, а также управляющий этой системой процессор) объединяются в один узел. Такие высокочастотные усилитель
ные и генераторные модули широко разрабатываются в последнее время. Важным требованием к ним является компактность, небольшой вес,
высокий к.п.д. Кроме этого на такие миниатюрные усилители накладываются требования высокой выходной мощности (~ 102 Вт), широкой полосы частот и низкого уровня шумов [8].
Применение таких ВЧ-модулей на базе ЛБВ включает в себя ряд областей. Во-первых, это использование их в качестве базовых модулей
в мощных радиолокационных системах, включая радары с синтезируемой апертурой для дистанционного зондирования, а также РЛС дальнего действия корабельного и наземного базирования. Данные устройства при своем проектировании требуют перехода от классических вакуумных СВЧ-приборов к фазированным антенным решеткам с источниками ВЧ-мощности в виде вышеописанных модулей. При этом несколько сверхмощных ВЧ-генераторов заменяются решеткой из большого числа активных элементов, причем суммарная мощность такой решетки
Рис. 10.8. Фотография интегрированного высокочастотного усилительного модуля, включающего в себя миниатюрную ЛБВ-усилитель. Линейка внизу фотографии проградуирована в дюймах (из работы [9])
может достигать мегаваттного уровня. Другие применения модульной технологии включают в себя коммуникацию и передачу информации на космических, воздушных и др. системах, решение задач электронного и радиолокационного противодействия.
Усилительные ВЧ-модули включают в себя интегрированный источник питания, полупроводниковый усилитель и ЛБВ-усилитель, которые собираются в одном корпусе. Особенностью модульной технологии является комбинация в них полупроводниковой и вакуумной СВЧ-техники, что позволяет существенно уменьшить размеры и массу модуля по сравнению со стандартными вакуумными СВЧ-приборами. Одновременно удается увеличить общий к.п.д. такого модуля, уменьшить тепловые потери и требуемую мощность питания, уменьшить уровень шумов. Высокий полный к.п.д., совместно с небольшими габаритными размерами и массой, небольшой мощностью питания, делают такие модули особенно привлекательными для использования их в космических и воздушных аппаратах, где накладываются строгие ограничения на эти характеристики.
В работе [9] представлено описание и технические характеристики усилительного ВЧ-модуля на базе ЛБВ. На рис. 10.8 демонстрируется фотография модуля, на которой показаны высоковольтный блок питания, полупроводниковый усилитель, модулятор и ЛБВ. ЛБВ-усилитель, показанный внизу фотографии, включает, если рассматривать фо-
тографию слева направо, электронную пушку, периодическую магнитную фокусирующую систему, вакуумное окно для вывода ВЧ-мощности и коллектор. Полупроводниковый усилитель расположен слева сверху на фотографии, напротив него справа — источник питания. Некоторые характеристики модуля приведены в таблице 10.1. Представляется интересным теоретический анализ подобных усилительных модулей.
Таблица 10.1
Параметры ВЧ-усилительного модуля [9]
Диапазон частот
3,7 4-5,3 ГГц
Выходная мощность
170 Вт
К.п.д. в непрерывном режиме
51%
Коэффициент усиления малого сигнала
68 дБ
Коэффициент усиления в режиме насыщения
53 дБ
Напряжения питания
270 В
Потребляемый ток в режиме с
максимальной выходной мощности
1,2 А
Длина модуля
19,8 см
Ширина модуля
15,2 см
Высота модуля
2,5 см
Вес модуля
1,4 кг
Способы повышения к.п.д. ЛЕВО
Одной из важных проблем разработки ламп бегущей волны является повышение их к.п.д. Здесь были достигнуты определенные успехи и предложены определенные методы. Познакомимся с ними подробнее, так как рассмотрение этих вопросов позволит глубже представить физику процессов в ЛБВ.
Рассмотрим каждый из методов повышения к.п.д. в отдельности. Все результаты, приведенные в данном разделе, были получены разными авторами либо на основе анализа нелинейных уравнений ЛБВ, либо на экспериментальных макетах.
Использование изохронности [10, стр. 452]. Основная идея данного метода, предложенного еще в ранних работах Д. Пирса и Д. Роу, состоит в сохранении синхронизма электронов и волны вдоль всей длины лампы. Уменьшение средней скорости электронов к концу пространства взаимодействия за счет передачи энергии электромагнитному полю компенсируется за счет уменьшения фазовой скорости волны путем ввода дополнительной секции в замедляющую систему или увеличением скорости электронов дополнительным ускоряющим статическим полем.
Было установлено, что
при работе лампы в режиме максимального усиления с помощью изохронности удается увеличить к.п.д. до значений максимального к.п.д. (при этом можно улучшить частотные характеристики прибора и уменьшить длину лампы);
при работе ЛБВ в режиме максимального к.п.д, применение различных законов изохронности практически не приводит к дальнейшему росту к.п.д.
Использование изофазности [11]. Под изофазной ЛБВ понимается такая, в которой закон изменения разности фаз ф между первой гармоникой тока пучка и полем системы задан вдоль всей лампы или на некоторой ее части х). Для компенсации медленных уходов фазы возможно, как и в изохронных ЛБВ, использовать изменение фазовой скорости волны вдоль замедляющей системы. В ряде случаев изменение фазы первой гармоники тока происходит быстро, почти скачкообразно (режим максимального к.п.д.), поэтому разумно вводить скачки фазы с помощью сосредоточенных фазовращателей. Остановимся подробнее на картине физических процессов в изофазной ЛБВ.
Мощность взаимодействия электронного пучка с полем бегущей волны имеет вид
Р = | dP,о
где dP — мощность взаимодействия на элементе длины пространства взаимодействия dx — дается выражением
dP = | Re JiE* dx = i | JiHEl cosy? dx, (10.75)
где Ji — первая гармоника сгруппированного тока; Е — продольная составляющая поля; ф(х) — разность фаз между Ji и Е. при этом
Е = ^(ж)! exp ^a^Y Jy = | Jx(x)| exp (^(ж)),(10.76)
ф^ = ^(x) — а^х\(10.77)
Нахождение максимального к.п.д. требует нахождения максимума функции, даваемой формулой (10.75).
В обычной ЛБВ пучок сначала отдает энергию полю, т. е. dP < 0; Е, Jy ^ 0, поэтому cos ф < 0. Такое соотношение фаз тока и поля соответствует образованию сгустка электронов в тормозящем полупериоде медленной волны.
г) Величина ф определяет направление обмена энергией между электронным пучком и замедленной волной.
При х = жОпт, где прекращается передача мощности от пучка полю, имеем dP = 0, т. е.
ф = ±^ или | Ji | = 0.
Рассмотрим эти два случая отдельно.
ф = ±тг/2. На одной замедленной длине волны образуется один
сгусток электронов, смещающийся в результате торможения в нуль
Рис. 10.9. Зависимости величин сгруппированного тока, поля (а) и разности фаз (б) вдоль пространства взаимодействия, поясняющие механизм ограничения к.п.д. ЛБВ при условии ф = = ±тг/2Рис. 10.9. Зависимости величин сгруппированного тока, поля (а) и разности фаз (б) вдоль пространства взаимодействия, поясняющие механизм ограничения к.п.д. ЛБВ при условии ф = = ±тг/2вплоть до £ = ^опт, а затем скачкомвплоть до £ = ^опт, а затем скачкомполя, а разность фаз ф непрерывно изменяется, переходя из третьей в четвертую четверть (см. рис. 10.9щ на котором изображены зависимости сгруппированного тока |/|, поля |^| и фазы ф от длины пространства взаимодействия £). В сечении £ = £ разность фаз ф = = —тг/2, т. е. электроны отстают от волны (см. рис. 10.96).
Рис. 10.9. Зависимости величин сгруппированного тока, поля (а) и разности фаз (б) вдоль пространства взаимодействия, поясняющие механизм ограничения к.п.д. ЛБВ при условии ф = = ±тг/2
Рис. 10.9. Зависимости величин сгруппированного тока, поля (а) и разности фаз (б) вдоль пространства взаимодействия, поясняющие механизм ограничения к.п.д. ЛБВ при условии ф = = ±тг/2
вплоть до £ = ^опт, а затем скачком
вплоть до £ = ^опт, а затем скачком
\JT\ = 0 (|/| = 0). На одной длине замедленной волны образуются два сгустка, один из которых тормозится полем, а другой ускоряется. В сечении £ = £опт энергия, отдаваемая одним сгустком, равна энергии, забираемой другим сгустком. Одновременно первая гармоника тока обращается в нуль (или близка к нулю), так как частота следования сгустков вдвое больше частоты сигнала. Величина ф изменяется непрерывно (или очень быстро) изменяется на
величину тг, переходя из третьей или второй в первую или четвертую четверть (рис. 10.10).
| Ji| обычно не обращается точно в нуль, и поэтому разность фаз ф,
строго говоря, не имеет разрыва.
Рассмотрим вначале ЛБВ с постоянным сдвигом фазы между током и полем. Выберем закон изменения фазовой скорости волны вдоль замедляющей системы таким, чтобы величина ф и на нелинейном участке сохранялась постоянной, равной разности фаз в минимуме функции Ф = ^(О- Для определения этого закона рассмотрим нелинейные урав-
Рис. 10.10. Скачок фазы ф первой гармоники тока при переходе модуля тока через нуль (а); зависимости величин сгруппированного тока, поля и разности фаз вдоль пространства взаимодействия (б) при обращении сгруппированного тока в нульРис. 10.10. Скачок фазы ф первой гармоники тока при переходе модуля тока через нуль (а); зависимости величин сгруппированного тока, поля и разности фаз вдоль пространства взаимодействия (б) при обращении сгруппированного тока в нуль
Рис. 10.10. Скачок фазы ф первой гармоники тока при переходе модуля тока через нуль (а); зависимости величин сгруппированного тока, поля и разности фаз вдоль пространства взаимодействия (б) при обращении сгруппированного тока в нуль
Рис. 10.10. Скачок фазы ф первой гармоники тока при переходе модуля тока через нуль (а); зависимости величин сгруппированного тока, поля и разности фаз вдоль пространства взаимодействия (б) при обращении сгруппированного тока в нуль
нения ЛБВ при условии ср = const:
^1^1-L_| = -|/|cos^,^1^1-L_| = -|/|cos^,2тг/ = — [ e-J"M,7Г JО2тг/ = — [ e-J"M,7Г JОср = ^ — а,ср = ^ — а,
^1^1
-L_| = -|/|cos^,
^1^1
-L_| = -|/|cos^,
2тг
/ = — [ e-J"M,7Г J
О
2тг
/ = — [ e-J"M,7Г J
О
ср = ^ — а,
ср = ^ — а,
д^ид^и|^*| cos (и — а\|^*| cos (и — а\
д^и
д^и
|^*| cos (и — а\
|^*| cos (и — а\
da 31/1 .
Тогда закон изменения скорости вдоль лампы определяется из уравнения
,z.x da ,|/|.
Как видно из рис. 10.11, разность фаз убывает от £ = 2,76 (ср = = ^min = —3,12). Первая гармоника тока не обращается в нуль, поэтому безразмерная мощность поля
п =
Со2
11 Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов
Рис. 10.11. Нормированный к.п.д., сгруппированный ток, изменение параметра холодного рассинхронизма b вдоль пространства взаимодействия ЛБВ с постоянным сдвигом фаз между током и полем
непрерывно возрастает до ту/Со = 6,0, что соответствует т] = 60 %. При этом имеет место остановка электронов ^^^ —> схз), и систему нелинейных уравнений нельзя использовать для дальнейших расчетов *).
В районе минимума тока пучка необходимо сделать резкий скачок фазы поля для компенсации быстрых изменений фазы тока (см. рис. 10.11; зависимость параметра холодного рассинхронизма b от координаты пространства взаимодействия £). В точке пространства взаимодействия £ = 4,8 к.п.д. равен т] = 44 %, после скачка — 56 % в точке с координатой £ = 5,25 (второй минимум тока), где необходим второй скачок фазы.
Режим больших «Ь» (скорость электронов значительно превышает скорость волны). Скачки «Ь» [12, 13]. Амплитудная характеристика ЛБВ в режиме большого рассинхронизма имеет аномальный характер (рис. 10.12а): при некоторых значениях уровня входного сигнала коэффициент усиления резко увеличивается (в рассматриваемом случае на 12 дБ).
г) Таким образом мы получили условие применимости выведенных нелинейных уравнений ЛБВ.
Рис. 10.12. Амплитудная характеристика ЛБВ в режиме большого рассин- хронизма (а). Здесь сплошная кривая соответствует £ = 8,7, штриховая — £ = 5,3. Коэффициент усиления (б) и к.п.д. ЛБВ (в) со скачком величины 62 в конце пространства взаимодействия. Штриховые линии на рис. б, в соответствуют характеристикам «обычной» ЛБВ
Для увеличения коэффициента усиления ЛБВ (рис. 10.126), имеющей аномальную амплитудную характеристику, имеет смысл ввести на небольшой длине в конце участка взаимодействия режим сильного рассинхронизма (участок с параметром холодного рассинхронизма 62), а на всей остальной части режим экспоненциального усиления (с параметром холодного рассинхронизма 61). Тогда начальный участок с параметром 61 обеспечит достаточно высокое усиление в линейном режиме, а участок с сильным рассинхронизмом даст аномальную амплитудную характеристику. Анализ показывает, что режим рассинхронизма на выходном участке прибора характеризуется более высоким к.п.д. (см. рис. 10.12в, на котором представлена зависимость к.п.д. лампы от параметра bi при оптимальных значениях параметра холодного рассинхронизма в конце пространства взаимодействия б2ОПт) • Как показывают расчеты, для получения высокого значения к.п.д. скачок фазовой скорости (уменьшение ее на 10%) нужно вводить ближе к выводу энергии.
Рис. 10.13. Коэффициент усиления (штриховая линия) и к.п.д. (сплошная линия) ЛБВ в режиме большого входного сигнала для случаев затухания: 1 —= 0,1, 2 — 7 = 0,2. Другие управляющие параметры имеют следующие значения: d == 0, ^ = 2,4, b = 2,5, Q0 = = (шр/шСоУ = 10Рис. 10.13. Коэффициент усиления (штриховая линия) и к.п.д. (сплошная линия) ЛБВ в режиме большого входного сигнала для случаев затухания: 1 —= 0,1, 2 — 7 = 0,2. Другие управляющие параметры имеют следующие значения: d == 0, ^ = 2,4, b = 2,5, Q0 = = (шр/шСоУ = 10частоте отсутствует). Кривыечастоте отсутствует). Кривые
Рис. 10.13. Коэффициент усиления (штриховая линия) и к.п.д. (сплошная линия) ЛБВ в режиме большого входного сигнала для случаев затухания: 1 —
= 0,1, 2 — 7 = 0,2. Другие управляющие параметры имеют следующие значения: d =
= 0, ^ = 2,4, b = 2,5, Q0 = = (шр/шСоУ = 10
Рис. 10.13. Коэффициент усиления (штриховая линия) и к.п.д. (сплошная линия) ЛБВ в режиме большого входного сигнала для случаев затухания: 1 —
= 0,1, 2 — 7 = 0,2. Другие управляющие параметры имеют следующие значения: d =
= 0, ^ = 2,4, b = 2,5, Q0 = = (шр/шСоУ = 10
частоте отсутствует). Кривые
частоте отсутствует). Кривые
Малые значения коэффициента усиления в линейном режиме и увеличение его в режиме насыщения позволяют использовать рассматриваемый режим для создания ЛБВ, устойчивых к возбуждению.
Режим больших входных сигналов [14]. В этом случае к.п.д. может достигать значений ту « 45 % (см. рис. 10.13). Получение высоких к.п.д. обусловлено воздействием на электроны пучка ВЧ-поля большой амплитуды, которое приводит к более полному отбору энергии электронов, а также уменьшает влияние поля пространственного заряда на процесс группировки. Заметим, что при этом при значении амплитуды входного сигнала ТВХ1 соответствующей максимальному к.п.д., существенно падает коэффициент усиления G. И наоборот, при значении ^вх, соответствующем Gmax , резко падает к.п.д. лампы (ту ~ 20 %).
Введение гармоники [15] — подача на вход ЛБВ, кроме основного сигнала, сигнала удвоенной частоты. По аналогии с клистронными усилителями [16] можно ожидать увеличения к.п.д. на основной частоте.
На рис. 10.14а приведена зависимость выходной мощности сигналов основной и удвоенной частот от соотношения фаз и амплитуд между ними на входе (выходная мощность отнесена к ее значению на основной частоте, когда входной сигнал на удвоенной построены на длине участка взаимо
действия, соответствующей насыщению мощности сигнала основной частоты (£ = 6,8).
Заметим, что подавая с выхода ЛБВ на ее вход сигнал удвоенной частоты с помощью цепи обратной связи, можно значительно уменьшить величину его на выходе и увеличить выходную мощность на основной частоте.
Кратко остановимся на физике процессов в этом случае (см. рис. 10.145, на котором приведены зависимости разности фаз фф — у?) от длины пространства взаимодействия). Эффективное взаимодействие происходит, когда имеют место условия
ф — ср = тг (отбор энергии от пучка);
ф — ср = тг/2(насыщение ВЧ-мощности).
Рис. 10.14. Зависимость выходной мощности сигналов на основной и удвоенной частотах от соотношения фаз между ними на входе лампы (а) (выходная мощность отнесена к ее значению на выходе лампы при отсутствии на входе гармоники). Здесь кривая 1 соответствует PBX2/PBxi = —3,6 дБ; 2 — РВх2/Рвх1 = —5,3 дБ. Зависимость разности фаз фф — ip) от длины пространства взаимодействия £ (б) для случая РВХ2 = Ропт (сверху) и РВХ2 = = 0 (снизу). Заштрихован полупериод, когда электроны отбирают энергию у электромагнитной волны. Качественное поведение амплитуд гармоник тока г и поля F вдоль пространства взаимодействия при подаче на вход ЛБВ (в) для случаев РВХ2 = Ропт (слева) и РВХ2 = 0 (справа)
При наличии на входе сигнала Р^вх опт на удвоенной частоте 2щ разность фаз фф — ^^ = тг / 2 при £ = 5,5, тогда как насыщение на частоте w происходит при £ = 6,8. Это означает, что электроны на длине £ = 5,5 начинают отбирать энергию у поля на удвоенной частоте. Это приводит к улучшению группировки электронов и резкому возрастанию амплитуды сгруппированного тока на основной и удвоенной частотах (см. рис. 10.14в, на котором приведено качественное поведение амплитуд гармоник вдоль пространства взаимодействия). Поскольку на основной частоте электроны находятся в тормозящей фазе поля, они продолжают отдавать свою энергию волне, причем, амплитуда ВЧ-поля на основной частоте резко возрастает, тогда как на удвоенной она стремится к нулю.
Рис. 10.15. Экспериментальная схема ЛБВ со скачком скорости электронов (а), зависимость к.п.д. от величины скачка скорости ^У {б) для различных значений параметра b
ЛБВ со скачком скорости электронов [17]. В экспериментах исследовалась трехсекционная ЛБВ, схема которой приведена на рис. 10.15а. Скачок скорости электронов помещался в точке насыщения мощности.
Расчеты на основе нелинейных уравнений ЛБВ показывают, что при введении скачка до точки насыщения или после неё к.п.д. ухудшается. В теоретической модели [17] в точке насыщения скорость электронов в электронвольтах изменялась на величину AV = V2 — Vi. В расчетах проводилась необходимая коррекция электронного к.п.д. прибора, связанная с учетом энергии, забираемой электронами от источника питания, включенного между этими секциями.
Наибольшее увеличение к.п.д. имеет место при b = 0 со значением у = 17% ( —- = 0) до — у = 42,1 %. Для наибольшего коэффициента усиления самым оптимальным является режим с b = 1 (см. рис. 10.156).
Скачок напряжения в случае b = 0 приводит к большим значениям амплитуды сгруппированного тока и создает наиболее благоприятную для взаимодействия фазировку поля и тока.
Основной причиной ограничения мощности в рассматриваемом режиме является ухудшение фазировки между полем и током (рис. 10.16в). Сам сгусток в точке насыщения еще достаточно хорошо сгруппирован (///о « 1) (рис. 10.166), что позволяет рассчитывать на дополнительное повышение к.п.д. введением повторного скачка напряжения или скачка Уф.
Рис. 10.16. Зависимости амплитуды поля Т (а), первой гармоники сгруппированного тока /1 (б) и разности фаз Ду? (в) вдоль пространства взаимодействия ЛБВ со скачком скорости электроновРис. 10.16. Зависимости амплитуды поля Т (а), первой гармоники сгруппированного тока /1 (б) и разности фаз Ду? (в) вдоль пространства взаимодействия ЛБВ со скачком скорости электроновПри работе входной секции в режиме максимального усиления в выходной секции также имеет место увеличение основной гармоники тока, однако закон изменения тока оказывается таким же, как и в отсутствие скачка напряжения. Основной выигрыш в к.п.д. в этом режиме получа
Рис. 10.16. Зависимости амплитуды поля Т (а), первой гармоники сгруппированного тока /1 (б) и разности фаз Ду? (в) вдоль пространства взаимодействия ЛБВ со скачком скорости электронов
Рис. 10.16. Зависимости амплитуды поля Т (а), первой гармоники сгруппированного тока /1 (б) и разности фаз Ду? (в) вдоль пространства взаимодействия ЛБВ со скачком скорости электронов
ется за счет создания скачком скорости электронов более оптимальных фазовых соотношений. С увеличением амплитуды скачка, так же как и при b = 0, сгусток вблизи точки насыщения начинает разгруппировываться, на что указывает падение величины основной гармоники тока.
ЛБВ с увеличением Уф в выходной секции [18, 19]. Рассмотрим лампу, у которой имеется дополнительная секция возле коллекторного конца, в которой 62 < bi (см. рис. 10.17, на котором приведена схема такой лампы, а также зависимость к.п.д. от параметра рассинхро- низма в дополнительной секции).
Наблюдаемое увеличение к.п.д. при оптимальном значении
Рис. 10.17. Зависимость к.п.д. ЛБВ с увеличенным значением г?ф в выходной секции от параметра холодного рассинхронизма в выходной секции для различных значений длины £ первой секцииРис. 10.17. Зависимость к.п.д. ЛБВ с увеличенным значением г?ф в выходной секции от параметра холодного рассинхронизма в выходной секции для различных значений длины £ первой секциипараметра холодного рассинхронизма в выходной секции Ь^ объясняется следующим. В режиме максимального к.п.д. «обычной» ЛБВ насыщение связано с тем, что разность фаз Ду? между полем и первой гармоникой сгруппированного тока становится близкой к тг/2
Рис. 10.17. Зависимость к.п.д. ЛБВ с увеличенным значением г?ф в выходной секции от параметра холодного рассинхронизма в выходной секции для различных значений длины £ первой секции
Рис. 10.17. Зависимость к.п.д. ЛБВ с увеличенным значением г?ф в выходной секции от параметра холодного рассинхронизма в выходной секции для различных значений длины £ первой секции
за счет замедления волны высокочастотного поля в линии передачи, и следовательно, dP = 0. Поэтому для улучшения «фазировки» поля и тока с целью повышения эффективности прибора необходимо увеличивать скорость электромагнитной волны в выходной части замедляющей системы (уменьшение величины 62).
Исследования показали, что оптимальные параметры, при которых в данном случае реализуется максимальный к.п.д. следующие: bi = 2,3, 62 = 1,0, е = 7,9.
В заключение этой лекции отметим, что для повышения полного к.п.д. ЛБВ используют такие достаточно аппробированные в вакуумной СВЧ-электронике методики как рекуперацию электронов, коллектор для сбора наиболее медленных электронов, демодуляцию.
Список литературы
Вайнштейн Л. А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. — М.: Сов. радио, 1973.
Цейтлин М.Б., Кац А.М. Лампа с бегущей волной. — М.: Сов. радио,1964.
Шевчик В.Н., Трубецков Д.И. Аналитические методы расчета в электронике СВЧ. — М.: Сов. радио, 1970.
Кураев А. А., Байбурин В.Б., Ильин Е.М. Математические модели и методы оптимального проектирования СВЧ приборов. — Мн.: Наука и техника, 1990.
Ведяшкина К. А., Солнцев В.А. Расслоение электронного потока в лампе с бегущей волной // Электронная техника, серия I: электроника СВЧ. 1972. Вып. 9. С. 3.
Журавлев С.В., Канавец С.В., Морозов Ю.Д., Сандалов А.М. Ква- зитрехмерная теория электронных приборов с продольным дискретным взаимодействием // Радиотехника и электроника. 1978. Т. 23, №7. С. 1557.
Ведяшкина К.А., Солнцев В.А. Двухмерные модели и нелинейные уравнения аксиально-симметричных электронных пучков // Электронная техника, серия I: электроника СВЧ. 1975. Вып. 2. С. 34.
Bress A., Dohler G.. Groshart G.. Pierce G.. Weyrich R. Microwave power module (MPM) development and results. — Int. Electron Devices Meeting Dig. Washington, DC. 1993. P. 145.
Whaley D.R., Armstrong C.M., Gannon B.. Groshart G., Hurt E.. Hitchins J., Roscoe M., Antonsen T.M., Levush B. Sixty-Percent- Efficient miniature С-Band vacuum power booster for the microwave power module // IEEE Trans, on Plasma Sci. 1998. V. 26, № 3. P. 912.
Роу Дэю. Теория нелинейных явлений в приборах СВЧ. — М.: Сов.радио, 1969.
Солнцев В. А. Анализ изофазных ламп с бегущей волной // Электронная техника, серия I: электроника СВЧ. 1971. Вып. II. С. 87.
Dournseif E.R., Roberts L.A. Modern Travelling-wave tubes for space application // Microwave Journal. 1969. V. 12, №4. P. 55.
Кац A.M., Рыкшин Б.В. Особенности взаимодействия в ЛБВ при скорости электронов, значительно превышающей скорость волны. — Электронная техника, серия I: электроника СВЧ. 1971. Вып. 2. С. 64.
Калинин Ю.А., Кац А.М., Лесин Б.В. Исследование работы ЛБВ при больших входных сигналах // Электронная техника, серия I: электроника СВЧ. 1971. Вып. 6. С. 52.
Ильина Е.М. и др. Частный случай двухчастотного режима работы ЛБВ // Электронная техника, серия I: электроника СВЧ. 1971. Вып. 12. С.З.
Канавец В.И., Лопухин В.И., Сандалов А.Н. Нелинейные процессы в мощных многорезонаторных клистронах и оптимизация их параметров // Лекции по электронике СВЧ и радиофизике (3-я зимняя школа-семинар инженеров), Книга VII. Саратов: Изд-во СГУ, 1974. С. 87.
Победоносцев А.С., Ровенский Г.В., Малькова Н.Я. Исследование ЛБВ со скачком скорости электронов и со скачком фазовой скорости волны в выходной части линии замедления // Электронная техника, серия I: электроника СВЧ. 1970. Вып. 11. С. 12.
Победоносцев А. С., Ровенский Г. В., Малькова Н.Я. Теоретический анализ ЛБВ с увеличенной фазовой скоростью волны в выходной секции замедляющей системы // Электронная техника, серия I: электроника СВЧ. 1971. Вып. 4. С. 148.
Gerchberg R.W., Niclas К.В. The positively tapered travelling-wave tube // IEEE Trans, on ED. 1969. V. ED-16, № 9. P. 827.
Лекция 11
ЛАМПА БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ С ЦЕПОЧКОЙСВЯЗАННЫХ РЕЗОНАТОРОВ
Универсальность замедляющих структур со связанными резонаторами подтверждается их широким применением на частотах от единиц до десятков гигагерц, при этом выходные мощности составляют от 1 до 500 кВт. Из общего числа ЛБВ большой мощности количество ламп, в которых используется этот тип замедляющих структур, составляет, вероятно, около 90%.
Дэю. Мендел. Мощные электровакуумные приборы СВЧ.
Особенности физических процессов в ЛЕВО с цепочкой связанных резонаторов. Об особенностях физических процессов вблизи границ пропускания периодической замедляющей системы. Дискретный и волновой подход к анализу взаимодействия в ЛЕВО с цепочкой связанных резонаторов. Клистрон с бегущей волной. Линейные ускорители заряженных частиц.
В первых лекциях были рассмотрены приборы клистронного типа, которые описывались на основе дискретных представлений о взаимодействии электронного потока с высокочастотными полями. В этих приборах используется динамический способ управления, когда электронный поток после модуляции по скорости в высокочастотном зазоре движется в области, свободной от полей — пространстве дрейфа, где быстрые электроны догоняют более медленные, образуя сгустки. Развитие динамического способа управления привело, как уже обсуждалось, к созданию целого класса приборов клистронного типа: пролетному двухрезонаторному клистрону и клистрону-умножителю частоты, многорезонаторному клистрону-усилителю х), отражательному клистрону и т. п. Основной особенностью таких моделей является то, что процессы
г) При введении той или иной обратной связи возможно говорить о соответствующих генераторах.
модуляции электронного потока по скорости, процессы их группирования и взаимодействия сгруппированного потока с ВЧ-полем разделены во времени и пространстве. Кроме этого имеет место локализованное в пространстве дискретное взаимодействие пучка с ВЧ-полем значительной амплитуды, которое обусловлено резонансными свойствами колебательной системы. Конструкции всех вышеописанных приборов состоят из различных сочетаний двух основных элементов: ВЧ-зазора и пространства дрейфа. Причем в многорезонаторных клистронах можно говорить о многократном дискретном взаимодействии электронного пучка с ВЧ-полем, что весьма существенно для последующего рассмотрения.
В ЛБВ, имеющей нерезонансную колебательную систему (например, спиральную замедляющую систему), электронный пучок, возмущенный входным сигналом, сгруппировавшись, отдает свою кинетическую энергию ВЧ-полю замедленной волны на большой длине пространства взаимодействия при сравнительно малой амплитуде поля. При выполнении условия синхронизма электроны все время находятся в одной и той же фазе поля. Вследствие этого амплитуда поля замедленной волны нарастает в направлении движения пучка, что, в свою очередь, улучшает взаимодействие электронов и волны. То есть, имеет место выполнение условий пространственного резонанса.
Указанные выше особенности взаимодействия электронного пучка с высокочастотным полем в приборах с длительным взаимодействием привели к отказу от дискретного анализа ЛБВ и разработке теории непрерывного взаимодействия электронного потока с полем бегущей электромагнитной волны — волнового анализа, основанного на введении понятия о пространственных гармониках поля.
Однако появление мощных ЛБВ с периодическими замедляющими системами, отличными от спиральных, привело к определенной трансформации взглядов на описание подобных конструкций. Для расчета подобных систем часто используется подход, который был разработан существенно раньше для приборов с дискретным взаимодействием.
Этот «старый» подход не требует новых представлений (например, введения понятия о пространственных гармониках поля) при переходе от теории резонансных СВЧ-приборов к теории приборов типа О с нерезонансными колебательными системами. В рамках этого подхода различные приборы (клистроны, ЛБВ, ЛОВ, оротрон и др.), по-существу, можно описать едиными уравнениями. С точки зрения волновой теории такой подход, основанный на дискретном взаимодействии электронного потока с резонансными колебательными системами, учитывает взаимодействие со всеми пространственными гармониками ВЧ-поля одновременно. Рассмотрению вопросов описания приборов нерезонансного типа с периодическими замедляющими системами, отличными от спиральных, и посвящена данная лекция.
Об особенностях физических процессов вблизи границпропускания периодической замедляющей системы
Наиболее универсальной и широко используемой среди замедляющих систем периодического типа с характеристиками фильтра является замедляющая система типа цепочки связанних резонаторов (ЦСР) х). Название «цепочка связанных резонаторов» связано со сходством отдельной ячейки замедляющей системы с объемным торроидальным резонатором, применяемым в клистронах (см. рис. 11.1). Однако, в отличие от клистрона, здесь имеет место электродинамическая связь между
ВЧ-зазор (резонатор)ВЧ-зазор (резонатор)связисвязиОтверстие связиОтверстие связиПространство дрейфаПространство дрейфаРис. 11.1. Схематическое изображение замедляющей системы типа цепочки связанных резонаторов с щелями связи, направленными противоположно ДРУГ другуРис. 11.1. Схематическое изображение замедляющей системы типа цепочки связанных резонаторов с щелями связи, направленными противоположно ДРУГ другу
ВЧ-зазор (резонатор)
ВЧ-зазор (резонатор)
связи
связи
Отверстие связи
Отверстие связи
Пространство дрейфа
Пространство дрейфа
Рис. 11.1. Схематическое изображение замедляющей системы типа цепочки связанных резонаторов с щелями связи, направленными противоположно ДРУГ другу
Рис. 11.1. Схематическое изображение замедляющей системы типа цепочки связанных резонаторов с щелями связи, направленными противоположно ДРУГ другу
ячейками через щель в стенке каждого резонатора. Как видно из рисунка, замедляющая система типа ЦСР состоит из уже упомянутых в этой лекции элементов: ВЧ-зазора и пространства дрейфа, только теперь имеет место связь между соседними зазорами. Таким образом мы опять приходим к дискретному и многократному взаимодействию. Это требует модификации описания свойств замедляющей системы по сравнению с волновым анализом, основанном на введении пространственных гармоник продольной компоненты полного ВЧ-поля (см. Лекцию 1). В этом случае дискретное по своей природе взаимодействие электронного пучка с ВЧ-полем можно с определенной степенью точности заменить рассмотрением непрерывного взаимодействия с одной пространственной гармоникой замедляющей системы. Это вполне оправдано при выполнении условий пространственного резонанса, когда фазовая скорость
г) Это связано с простотой перестройки рабочей частоты, изменения мощности и ширины полосы прибора с замедляющей системой типа ЦСР. Заметим также, что ЦСР обеспечивает хороший теплоотвод, механическую прочность, фокусировку, а также меньшее, чем у спирали, замедление при высоком сопротивлении связи [1].
Рис. 11.2. Цепочка из одинаковых частиц массой т (а) и ее дисперсионная характеристика (б), 7 — коэффициент упругости пружин, соединяющих шарики. Здесь 1 — дисперсионная кривая дискретной цепочки; 2 — дисперсионная кривая в случае ka ^ 1 (сплошная среда)
пространственной гармоники близка к невозмущенной скорости пучка. Вместе с тем, при анализе процессов вблизи границ полосы пропускания замедляющей системы условие пространственного резонанса будет выполняться одновременно для нескольких гармоник. Поэтому, в связи с необходимостью анализа процессов вблизи границ полос пропускания ЦСР, а также необходимостью исследования внеполосного излучения в мощных ЛБВ, дискретное описание взаимодействия пучка с полями нерезонансных колебательных систем нашло свое место как методика, позволяющая учесть взаимодействие электронного пучка со всеми пространственными гармониками ВЧ-поля одновременно.
Обсудим вначале наиболее общие свойства пространственнопериодических структур (или как их еще называют, цепочек (в одномерном) и решеток (в двухмерном случае)), к которым относится и любая система типа ЦСР. Рассмотрим простейшую модель такой системы — безграничную одномерную среду, составленную из одинаковых, равноудаленных частиц массой т, связанных друг с другом пружинами с жесткостью к (рис. 11.2а). Предполагая, что на каждую п-ю частицу действуют только (п ± 1)-е частицы, уравнение движения п-й частицы запишется как
тхп = -7(ж„ - жп_1) + 7(ж„+1 - ж„) = 7(ж„+1 - 2ж„ + ж„-1).
_(11.1)
Будем искать решение в виде волны хи = АезИ-ика\ Тогда
Полученное выражение есть дисперсионная характеристика дискретной цепочки (рис. 11.2а). На рис. 11.26 представлен вид дисперсионной кривой, из него видно, что всем возможным волновым числам соответствуют значения к Е [—тг/а,тг/а] (первая зона Бриллюэна). Отсюда
Рис. 11.3. Цепочка одинаковых маятников (а) и ее дисперсионные характеристики: б — в области прозрачности; в — в области непрозрачности. Здесь Xi = 2arcsh ^тш^ / 471 / аРис. 11.3. Цепочка одинаковых маятников (а) и ее дисперсионные характеристики: б — в области прозрачности; в — в области непрозрачности. Здесь Xi = 2arcsh ^тш^ / 471 / а
Рис. 11.3. Цепочка одинаковых маятников (а) и ее дисперсионные характеристики: б — в области прозрачности; в — в области непрозрачности. Здесь Xi = 2arcsh ^тш^ / 471 / а
Рис. 11.3. Цепочка одинаковых маятников (а) и ее дисперсионные характеристики: б — в области прозрачности; в — в области непрозрачности. Здесь Xi = 2arcsh ^тш^ / 471 / а
следует первое важное свойство такой дискретной цепочки: наличие частоты отсечки шТ = 2^7/т. Второе важное для нас свойство: групповая скорость обращается в ноль при сдвиге фаз на период равный тг. Действительно, по определению
^гр —^гр —dw dkdw dkуka— a cos —, т2уka— a cos —, т2(11-3)(11-3)
^гр —
^гр —
dw dk
dw dk
уka
— a cos —, т2
уka
— a cos —, т2
(11-3)
(11-3)
поэтому vrp = 0 при ka = ±Атг, h = 1, 2, 3 . . .
Заметим, что при переходе к сплошной среде, т. е. ka ^ 1 (а ^ X, X — длина волны возмущения), уравнение (11.3) дает:
^гр^гр(П.4)
^гр
^гр
и, следовательно, характерная для дискретной цепочки верхняя частота отсечки при переходе к сплошной среде исчезает.
Если теперь рассмотреть цепочку (рис. 11.3), составленную из маятников, связанных друг с другом пружинами, то для дисперсионного уравнения такой среды аналогично тому, как это было сделано выше, можно получить:
для действительных к
(П-5)(П-5)22 . 47 . о ка
(П-5)
(П-5)
и = Wq + — sin —;
для мнимых к = зх-
(11.6)(11.6), .2 _ 2472Х«.
(11.6)
(11.6)
- 0 ” т h Т’
где с^о — собственная частота маятника. Из уравнения (11.5), определяющего частоты от с^о до = у^о + 47/m (см. рис. 11.36,в), следует, что волны с частотами ш Е [ио, ^*] будут распространяться без затухания (полоса прозрачности), в то время как вне этой полосы (см. формулу (11.6)) — область непрозрачности — амплитуда волны спадает экспоненциально с ростом номера п по мере распространения волны вдоль цепочки.
Таким образом уже на примере простейших моделей понятны физические причины, которые приводят к появлению в пространственно
Рис. 11.4. Простейшая эквивалентная схема замедляющей системы типа цепочки связанных резонаторовРис. 11.4. Простейшая эквивалентная схема замедляющей системы типа цепочки связанных резонаторовпериодических структурах полос пропускания и непропускания. Они связаны с наличием в цепочке тех или иных собственных пространственно-временных масштабов.
Рис. 11.4. Простейшая эквивалентная схема замедляющей системы типа цепочки связанных резонаторов
Рис. 11.4. Простейшая эквивалентная схема замедляющей системы типа цепочки связанных резонаторов
Однако вернемся от механических сред-моделей к рассматриваемой замедляющей системе — цепочке связанных резонаторов. Простейшая модель такой
изображенной на рис. 11.1 структуры, когда щели между отдельными резонаторами направлены противоположно друг другу, может быть представлена эквивалентной схемой [4], изображенной на рис. 11.4. Используя телеграфные уравнения, несложно показать, что она представляет собой фильтр промежуточных частот и описывается уравнением
для тока вида
+=+(И.7)
at Mo с
Представляя зависимость тока от времени и пространственной координаты как /п = /°еЛш^-п^а) получаем дисперсионное уравнение в виде
шш(И.8)(И.8)14. 2 ка
ш
ш
(И.8)
(И.8)
- йс + Тсsm Т’
которое полностью совпадает с (11.5) при замене шо ^ 1VL1C, у/т ^ \/LC, а следовательно, все выводы, сделанные относительно цепочки связанных механических осцилляторов, полностью применимы к электрической цепочке. Таким образом уже в простейшем эквивалентном представлении ЦСР обнаруживается наличие полосы прозрачности и непрозрачности. Заметим, что если в данном случае перейти к пределу непрерывной среды (ка —> 0), то дисперсионная
о 1, ka
характеристика примет вид ш =+ это означает, что нижняя
частота отсечки сохраняется. Последнее связано с тем, что, положив ka <С 1, мы «избавились» от пространственного масштаба, однако собственный временной масштаб среды (1/LiC) сохранился.
Заметим в связи с этим, что появление и разработка ЛБВ с ЦСР представляются важным не только в связи с чисто прикладными вопросами создания мощных усилителей. ЛБВ с ЦСР стала первой хорошо изученной активной периодической структурой, под которой понимают систему «периодическая структура-активная среда». С начала 80х годов активно развиваются исследования и других периодических активных сред применительно к вакуумной СВЧ-электронике. В первую очередь, имеются в виду системы, в которых в качестве активной среды используется сильноточный релятивистский электронной пучок. К ним следует отнести релятивистские карсинотроны, ЛБВ, оротро- ны, генераторы поверхностных волн. В релятивистском карсинотроне используются гофрированные волноводы или цепочки индуктивно связанных резонаторов, в релятивистских ЛБВ — волноводы, нагруженные дисками (системы с очень сильной дисперсией). Заметим также, что активные периодические системы привлекательны не только для вакуумной СВЧ-электроники: такие активные среды широко используются в твердотельной электронике для создания активных антенн отражательного типа, которые представляют собой гофрированные поверхности, в каждую из щелей которых вводится полупроводниковый усилитель (например, диод Ганна или ЛПД) [5], в квантовой электронике, где разработаны лазеры с распределенной обратной связью (РОС- лазеры) [6] и т. д. (основные направления этих исследований содержатся в хорошем, хотя и несколько устаревшем, обзоре [7]).
Итак, характерным свойством периодических структур, как было показано на простейших примерах пассивных сред-цепочек, является наличие по крайней мере двух частот отсечек, разделяющих диапазоны распространяющихся и нераспространяющихся в системе волн. В полосе прозрачности волны распространяются без затухания (если, конечно, рассматривается необладающая потерями цепочка), причем дисперсионная характеристика определяется конкретным видом периодической структуры. В полосе непрозрачности имеет место реактивное затухание, фазовая скорость является линейной функцией частоты, так как фазовый сдвиг волны на период постоянен и равен тг или 0. Понятно, что для пассивных устройств эта область не представляет интереса, кроме как для использования соответствующих устройств в качестве фильтров и аттенюаторов. Совсем другая ситуация складывается при приближении к границе полосы прозрачности в активной среде.
Обратимся опять к механической аналогии. Рассмотрим систему связанных маятников, изображенную на рис. 11.3. Если отвести все маятники от положения равновесия на один угол, и предоставить им
возможность совершать свободные колебания, то (если пренебречь трением) окажется, что колебания всех маятников будут синфазными и незатухающими. Они будут происходить с частотой равной собственной частоте шо несвязанного маятника. Это совершенно очевидно, так как связывающие маятники пружины не испытывают никаких деформаций. Эта собственная частота cjq, как мы показали раньше является нижней частотой отсечки рассматриваемой механической передающей линии-цепочки. Аналогичная ситуация наблюдается при противофазных колебаниях соседних маятников. Хотя в этом случае пружины испытывают деформацию, последние исчезающе малы посередине пружины. Эти точки могут быть закреплены без внесения каких-либо возмущений в колебательный процесс. Энергия вдоль линии передачи не распространяется, а частота противофазно колеблющихся маятников (верхняя частота отсечки) совпадает с собственной частотой колебательной системы, состоящей из маятника с пружинами половинной длины ci/2, закрепленными на концах. Таким образом передающая механическая линия-цепочка ведет себя подобно резонатору, накапливая энергию.
В качестве еще одного примера резонансных явлений вблизи границы полосы пропускания можно рассмотреть распространение волн в обычном гладком прямоугольном волноводе. Согласно концепции Бриллюэна (концепции парциальных волн), распространение волн типов ТЕ и ТМ можно рассматривать как результат многократного отражения определенным образом поляризованных ТЕМ-волн от боковых поверхностей волновода. Угол падения парциальных волн уменьшается по мере приближения к частоте отсечки. В критическом случае волны падают перпендикулярно отражающей поверхности (стенки волновода) и, отражаясь от противоположной стенки, создают резонанс в поперечном направлении. Переноса энергии в продольном направлении (вдоль волновода) при этом не происходит. Наблюдается реактивное затухание волны в продольном направлении. Наличие частоты отсечки в волноводе, таким образом, связано, как и в механической линии передачи, с резонансными явлениями.
При возбуждении подобных пассивных сред (или цепочек в дискретном случае) можно получить лишь накопление энергии и безграничный рост (при отсутствии диссипации) амплитуды колебаний во времени. Энергия колебаний при этом не будет передаваться вдоль структуры.
Аналогичные явления наблюдаются и в периодической активной среде типа ЦСР. Действительно, с приближением к частоте отсечки в полосе прозрачности при неизменной передаваемой мощности резко возрастает амплитуда полей в структуре, что позволяет увеличить эффективность взаимодействия электронного пучка с полями структуры. В полосе непрозрачности взаимодействие носит в основном реактивный характер, но электронный поток способен переносить информацию вдоль структуры за счет движения электронов, хотя электромагнитные
волны в системе и затухают. С другой стороны, реактивное взаимодействие при определенных условиях может способствовать группировке потока (вспомним наше рассмотрение трехрезонаторного клистрона, когда расстройка по частоте промежуточного резонатора позволяла существенно улучшить группировку электронного пучка).
Итак, периодические дискретные структуры (в том числе и цепочка связанных резонаторов) характеризуются, во-первых, наличием полос прозрачности — непрозрачности, а, во-вторых, на границах полосы прозрачности наблюдаются резонансные явления, приводящие к росту амплитуды колебаний. Какие из этого следуют особенности при рассмотрении явлений в ЛБВ с ЦСР рассмотрим в следующем разделе, посвященном сравнению волнового и дискретного подхода к анализу явлений в активных периодических средах.
Дискретный и волновой подход к анализувзаимодействия в ЛЕВО с цепочкойсвязанных резонаторов
Обсудим вопрос, как качественно объяснить физические процессы взаимодействия пучка с полями нерезонансных колебательных систем с точки зрения дискретного подхода? Для ответа на этот вопрос рассмотрим модель, представленную на рис. 11.5. Из рисунка видно, что для многократного синхронного взаимодействия пучка с электромаг-
Рис. 11.5. Модель изогнутой линии передачи, пронизываемой электронным потоком, взаимодействующим с попутной электромагнитной волной
нитной волной, бегущей по изогнутой линии передачи со скоростью с, необходимо, чтобы электроны пучка переместились из одного ВЧ-за- зора (область 1) в следующий ВЧ-зазор (область 2), находящийся на расстоянии d (аналог длины пространства дрейфа), за время, равное времени распространения волны из области 1 в 2 по изогнутой линии передачи. В этом случае электрон будет «видеть» в каждом зазоре поле одной и той же фазы. Математически условие синхронизма выражается формулой
d D -V d -V А(п + 1/2)/^ дх
где оо — невозмущенная скорость электронов; А — длина волны в свободном пространстве; п Е Z. Слагаемое A(n + Xl^fc появляется для обеспечения правильной фазы поля в области 2 из-за наличия изгиба в линии передачи и изменения направления поля. В данной модели отчетливо прослеживается дискретный характер взаимодействия: поле локализовано в области 1 и 2, а между ними отсутствует.
Если воспользоваться понятием пространственных гармоник, то дискретное по своей природе взаимодействие электронного потока с ВЧ-полем в ЛБВ с ЦСР можно с определенной степенью точности заменить непрерывным взаимодействием пучка с одной пространственной гармоникой (как это было сделано при рассмотрении спиральной ЛБВ). Такая замена вполне очевидна при близости фазовой скорости пространственной гармоники поля к невозмущенной скорости пучка, т. е. выполнения условия пространственного резонанса вдали от границ полосы пропускания.
Возникает вопрос: возможно ли рассмотрение явлений в периодической структуре типа ЦСР с помощью одноволнового приближения, т. е. когда в расчетах учитывается только одна прямая пространственная гармоника, вблизи полосы пропускания? Оказывается, что сопротивление связи К, рассчитываемое в данном приближении, стремится к бесконечности на границе полосы пропускания (так как групповая скорость -ггр становится равной нулю) [8], и уравнением возбуждения в форме (1.74) пользоваться нельзя, так как К является коэффициентом при токе / в правой части уравнения (1.74). В окрестности частоты отсечки сопротивление связи остается конечным, но очень большим, что эквивалентно в линейной теории большим коэффициентам усиления, которые не подтверждаются физическим экспериментом. Дело в том [9], что по мере приближения к частоте отсечки одноволновое приближение становится не корректным, так как синхронным с пучком становится не только прямая гармоника, но и обратная. Действительно, рассмотрим диаграмму Бриллюэна (рис. 11.6), на которой нанесена дисперсионная характеристика периодической замедляющей системы (штриховые линии относятся к областям, где vrp направлена навстречу пучку). Прямые линии соответствуют электронному пучку и отражают тот факт, что скорость электронного пучка не зависит от частоты. Точка пересечения дисперсионных характеристик пучка и периодической структуры определяет частоту, при которой имеет место синхронизм для данной скорости пучка (для данного ускоряющего напряжения). На рисунке выбраны значения скорости, соответствующие синхронизму на границах полосы прозрачности для +1-й гармоники попутной волны. Очевидно, что для системы с положительной дисперсией нулевой гармоники (рис. 11.6а) имеет место также синхронизм с —1-й гармоникой встречной волны на низкочастотной границе полосы прозрачности и с —2-й гармоникой встречной волны на высокочастотной границе. Для систем с отрицательной дисперсией нулевой гармоники (рис. 11.66)
Рис. 11.6. Диаграмма Бриллюэна для периодических структур: а — дисперсия нулевой гармоники положительна; б — дисперсия нулевой гармоники отрицательна. Сплошные кривые соответствуют положительному, а пунктирные — отрицательному направлению групповой скорости. Прямые линии соответствуют дисперсионной линии пучка, синхронного с +1-й пространственной гармоникой на высокочастотной и низкочастотной границе полосы пропускания
имеет место синхронизм для +1-й гармоники попутной волны и 0-й гармоники встречной волны (на низкочастотной границе) и для +1-й гармоники попутной волны и —1-й гармоники встречной волны на высокочастотной границе. Уже отсюда видно, что одноволновое приближение не применимо у границ полосы пропускания и необходимо использовать, по-крайней мере, двухволновое приближение.
Таким образом из всего вышесказанного понятно, что волновой анализ в классическом одноволновом приближении не способен корректно описать явления вблизи границ полосы пропускания. Один из способов решения задачи — использование модифицированного волнового подхода, учитывающего взаимодействие с несколькими пространственными гармониками поля периодической замедляющей системы.
В этом случае вид уравнений возбуждения остается тем же, что и в случае гладких волноводов (формулы (1.78) и (1.81)), где собственные функции Es и Н8 удовлетворяют условиям (1.86). Представим функции Es и Е-g в виде разложения в ряд по пространственным гармоникам ВЧ-поля [22]:
Е8,х = Е81£ ф8Ду, z)^nx/D,(11.10)
E_s,$ = Е^8,же^‘ж £z^nx'D, (11.11)
где D — период электродинамической структуры. Амплитуды встречной и прямой волн полагаются здесь одинаковыми.
Если для рассматриваемой замедляющей системы справедливы соотношения
Е-Дх, у, z) = Es^—x, -у,
Н-Дх, у, z) = -НД-х, -у,
то функции распределения ф8<п и ф-8<п электрического поля пространственных гармоник по поперечному сечению периодического волновода связаны между собой соотношением
Переменную составляющую тока в периодической структуре также можно представить в виде суммы соответствующих пространственных гармоник
Ь£ ЫУ, z)e^n^D,(11.12)
где фт — функции распределения пространственных гармоник тока по поперечному сечению пучка, Р — искомое волновое число.
Воспользовавшись вышеприведенными соотношениями можно получить [2] выражение для ж-составляющей электрического поля в периодическом волноводе, возбуждаемом электрическим током, в виде
ф s ,д — т — п(у ? Р'фт,-8,п
Р — р8 + 2трт + п) / D
Р + ps + 2тг(т + п)/р]"
фтку^фзДу^Ду^ R°g = -^фтку^фзДу^Ду^ R°g = -^где введены обозначения
фтку^фзДу^Ду^ R°g = -^
фтку^фзДу^Ду^ R°g = -^
^m,s,n =
Полученное стационарное уравнение возбуждения периодической структуры заданным током учитывает взаимодействие бесконечного числа пространственных гармоник поля с гармониками тока.
При реальных расчетах учесть бесконечное число пространственных гармоник невозможно, поэтому важным является вопрос о том, какое же количество гармоник надо принять во внимание, чтобы получить, хотя бы качественно, верную картину физических процессов на границе полосы пропускания и за ее пределами. Ясно, по крайней мере, одно: при рассмотрении процессов вблизи граничных частот необходимо учитывать не менее двух пространственных гармоник (см. рис. 11.6) [10, 12, 13].
Здесь следует отметить, что вышеизложенная методика волнового анализа процессов в периодической замедляющей системе, как показывает анализ теоретических и экспериментальных результатов [2, 9, 10], не позволяет подойти достаточно близко к границе полосы пропускания и во многом сохраняет слабости общепринятого волнового анализа.
Другой подход к анализу процессов вблизи границ полосы пропускания периодической структуры в рамках волновой теории был развит в работах А.П. Кузнецова и С.П. Кузнецова [14, 15, 18]. В основе этого подхода лежит отказ от традиционной для электроники методики, основанной на разбиении поля в линии передачи на совокупность прямых и встречных волн. В работе [15] получено нестационарное уравнение возбуждения периодической структуры в рамках такого подхода
j^'^) Э26dt 2 Эх2j^'^) Э26dt 2 Эх2(И-14)(И-14)
j^'^) Э26
dt 2 Эх2
j^'^) Э26
dt 2 Эх2
(И-14)
(И-14)
где величины £(x,t) и J(x^t) связаны с высокочастотным продольным полем и током в периодической структуре соотношениями
E<x,t) = Re [^(ж, i)^0^0^] ,/(ж,0 = Re [у(ж,^)е1(“о‘“-’/3ож)] .
Здесь, как и раньше, До и с^о — волновое число и частота, соответствующие границе полосы прозрачности. В уравнении возбуждения (11.14) не появляется никаких особенностей на частоте too-
(11.15)(11.15)Нестационарное уравнение возбуждения (11.14) следует дополнить уравнением движения электронов. В нестационарном гидродинамическом приближении для слабых сигналов его можно записать в виде [15]
(11.15)
(11.15)
+и^° - p°v°) J — 3 t.
\ot ox/2 Vo
Если в системе уравнений (11.14) и (11.15) перейти к безразмерным переменным: £ = ^оДо^, т = е^^^"(До)!t/2, / = J//о, Т = = £/2ДоУо^ш ео = Л)^(До)/^Н) и считать, что во ^ 1, то получим систему уравнений, описывающую взаимодействие электронного потока с полем периодической структуры вблизи границы полосы пропускания:
(11.16)(11.16)Э7 д2^ _91 Т 9^
(11.16)
(11.16)
где знак « — » соответствует высокочастотной границе полосы пропускания периодической структуры, « + » — низкочастотной границе; В = =—^2., При выводе системы нестационарных уравнений (11.16) и
ЕоРО^О
были сохранены только члены первого порядка малости по во- Самосогласованной системе уравнений (11.16) и (11.17) отвечает дисперсионное уравнение
/_ \\ 2+ ^ + в) =1,/_ \\ 2+ ^ + в) =1,(11.18)(11.18)
/_ \\ 2
+ ^ + в) =1,
/_ \\ 2
+ ^ + в) =1,
(11.18)
(11.18)
Рис. 11.7. Взаимное расположение дисперсионных характеристик пучка и периодической структуры при взаимодействии у высокочастотной и низкочастотной границы полосы пропускания для различных значений параметра В дисперсионного уравнения (11.18)Рис. 11.7. Взаимное расположение дисперсионных характеристик пучка и периодической структуры при взаимодействии у высокочастотной и низкочастотной границы полосы пропускания для различных значений параметра В дисперсионного уравнения (11.18)
Рис. 11.7. Взаимное расположение дисперсионных характеристик пучка и периодической структуры при взаимодействии у высокочастотной и низкочастотной границы полосы пропускания для различных значений параметра В дисперсионного уравнения (11.18)
Рис. 11.7. Взаимное расположение дисперсионных характеристик пучка и периодической структуры при взаимодействии у высокочастотной и низкочастотной границы полосы пропускания для различных значений параметра В дисперсионного уравнения (11.18)
где верхний знак относится к высокочастотной границе полосы прозрачности, нижний — к низкочастотной. Величины w = ш — Wq и Р = = Р — Р^ имеют смысл безразмерных отстроек частоты и волнового числа от значений шо и Ро, соответствующих границе полосы; В = PoVo - Wo„
= — параметр, характеризующий рассинхронизм электрон-
ЕоРо^О
ного потока и волны критической частоты (фактически, параметр В управляет точкой пересечения дисперсионных характеристик электронного потока и периодической структуры (см. рис. 11.7));
Е0= VWW-) .
Из анализа дисперсионного уравнения (11.18) следует, что вблизи границ полосы пропускания возможно возникновение абсолютной неустойчивости (генерации) [14, 15]. Абсолютная неустойчивость реализуется при значении параметра В < 1,755 у высокочастотной границы пропускания и при В > 0 у низкочастотной. В первом случае генерация возникает, когда точка пересечения характеристик электронного потока и периодической структуры лежит еще на ветви, соответствующей прямой волне, а во втором — точно в точке, соответствующей гра
нице полосы пропускания. Физически этот факт понятен из рассмотрения диаграммы Бриллюэна. Как известно, электронный пучок отдает энергию электромагнитным волнам, фазовые скорости которых меньше скорости пучка. На рис. 11.8 и 11.9, на которых представлены соответствующие диаграммы, область таких волн лежит сира-
Рис. 11.8. Дисперсионная диаграмма электронного потока и периодической структуры вблизи высокочастотной полосы пропускания: а — В < 0 — неустойчивость абсолютная; б— 0 < В < 1,755 — неустойчивость абсолютная; в — В > 1,755 — неустойчивость конвективная. Пучок отдает энергию электромагнитным волнам, попавшим в заштрихованную областьРис. 11.8. Дисперсионная диаграмма электронного потока и периодической структуры вблизи высокочастотной полосы пропускания: а — В < 0 — неустойчивость абсолютная; б— 0 < В < 1,755 — неустойчивость абсолютная; в — В > 1,755 — неустойчивость конвективная. Пучок отдает энергию электромагнитным волнам, попавшим в заштрихованную областьРис. 11.9. Дисперсионная диаграмма электронного потока и периодической структуры вблизи низкоко- частотной полосы пропускания, а — В > 0 -— неустойчивость абсолютная; б — В < 0 — неустойчивость конвективная Пучок отдает энергию электромагнитным волнам, попавшим в заштрихованную областьРис. 11.9. Дисперсионная диаграмма электронного потока и периодической структуры вблизи низкоко- частотной полосы пропускания, а — В > 0 -— неустойчивость абсолютная; б — В < 0 — неустойчивость конвективная Пучок отдает энергию электромагнитным волнам, попавшим в заштрихованную область
Рис. 11.8. Дисперсионная диаграмма электронного потока и периодической структуры вблизи высокочастотной полосы пропускания: а — В < 0 — неустойчивость абсолютная; б— 0 < В < 1,755 — неустойчивость абсолютная; в — В > 1,755 — неустойчивость конвективная. Пучок отдает энергию электромагнитным волнам, попавшим в заштрихованную область
Рис. 11.8. Дисперсионная диаграмма электронного потока и периодической структуры вблизи высокочастотной полосы пропускания: а — В < 0 — неустойчивость абсолютная; б— 0 < В < 1,755 — неустойчивость абсолютная; в — В > 1,755 — неустойчивость конвективная. Пучок отдает энергию электромагнитным волнам, попавшим в заштрихованную область
Рис. 11.9. Дисперсионная диаграмма электронного потока и периодической структуры вблизи низкоко- частотной полосы пропускания, а — В > 0 -— неустойчивость абсолютная; б — В < 0 — неустойчивость конвективная Пучок отдает энергию электромагнитным волнам, попавшим в заштрихованную область
Рис. 11.9. Дисперсионная диаграмма электронного потока и периодической структуры вблизи низкоко- частотной полосы пропускания, а — В > 0 -— неустойчивость абсолютная; б — В < 0 — неустойчивость конвективная Пучок отдает энергию электромагнитным волнам, попавшим в заштрихованную область
ва от дисперсионной характеристики электронного потока и заштрихована. У высокочастотной границы полосы пропускания в эту заштрихованную область обратные волны попадают при любом положении точки пересечения характеристик пучка и замедляющей структуры. Если значения В не очень велики (рис. 11.8а,б), то поток будет отдавать энергию этим волнам. В результате в системе возникает распределенная обратная связь, и реализуется абсолютная неустойчивость (наблюдается самовозбуждение ЛБВ). При больших значениях В (рис. 11.8 в) эффективного взаимодействия с обратной волной нет, происходит взаимодействие только с прямой волной в замедляющей системе — имеет место конвективная неустойчивость (усиление сигнала). При взаимодействии на низкочастотной границе ситуация иная. В этом случае обратные волны оказываются в заштрихованной области только тогда, когда точка пересечения дисперсионных характеристик лежит на обратной ветви характеристики структуры, т. е. В > 0 (рис. 11.9).
^Ш = оэр ’^Ш = оэр ’Заметим также, что рассмотрение дисперсионного уравнения (11.18) позволяет рассмотреть вопрос усиления сигнала в периодической структуре бесконечной длины. Пусть имеется источник с частотой, характеризуемой отстройкой Sq- Граница области усиления, как показано
^Ш = оэр ’
^Ш = оэр ’
в работах [14, 16, 17], подчиняется уравнениям с^о = ^(Д) и которые для уравнения (11.18) выглядят как
(11.19)(11.19)So =
(11.19)
(11.19)
(Р + В)2(Р + вр
Соотношения (11.19) на плоскости параметров (с^о, В) определяют границы областей, в которых сохраняется знак мнимых частей корней уравнения So = 5(Д). Анализируя динамику корней дисперсионного
Рис. 11.10. Границы областей конвективной (К) и абсолютной (Л) неустойчивости, а также пропускания (П) для высокочастотной (а) и низкочастотной (б) границы полосы пропускания периодической структуры
уравнения (11.18) в комплексных переменных S и ^, легко определить характер решения в каждой из этих областей. На рис. 11.10 приведены полученные таким образом области абсолютной неустойчивости (генерации), конвективной неустойчивости (усиления) и пропускания сигнала для высокочастотной и низкочастотной границ полосы пропускания. Из рисунка видно, что около низкочастотной границы полосы пропускания реализуется внеполосное усиление сигнала, а у высокочастотной границы оно возможно только в узких интервалах значений управляющих параметров.
В рамках волнового подхода, связанного с отказом от разбиения поля на прямые и встречные волны, удалось, во-первых, описать процесс и условия самовозбуждения ЛБВ с ЦСР вблизи границы прозрачности [19], во-вторых, обнаружить ряд новых типов эффекта полного подавления сигнала [18, 20] и, в-третьих, — корректным образом сформулировать граничные условия для поля на концах замедляющей системы, учет которых принципиален при рассмотрении работы ЛБВ с ЦСР вблизи границы полосы пропускания [21].
Последнее очень важно, так как коэффициент отражения от любой, даже малой неоднородности, резко возрастает при приближении частоты к граничной частоте полосы пропускания. Поэтому оказывается невозможным обеспечить согласование в сколь-нибудь широком частотном интервале, а, следовательно, необходимо учитывать отражения электромагнитной энергии от концов замедляющей структуры. Попытка описать такие отражения путем учета конкретной частотной зависимости модуля и фазы коэффициента отражения Г (о;), взятой из эксперимента или численного расчета, приводит к потери общности полученных таким образом результатов. В работе [21] предложен подход, позволяющий описать отражения от концевых неоднородностей не коэффициентом отражения, а новым параметром, плавно зависящим от частоты даже у границы полосы пропускания.
Рассмотрим простейший модельный пример: линию передачи, нагруженную на активное сопротивление R. Эквивалентная схе-
Рис. 11.11. Модельная линия передачи, нагруженная на активное сопротивлениеРис. 11.11. Модельная линия передачи, нагруженная на активное сопротивлениесионную характеристику в ряд по = 2тг/а, получимсионную характеристику в ряд по = 2тг/а, получимма линии передачи изображена на рис. 11.11 (см. также рис. 11.4). Коэффициент отражения волн от нагрузки дается соотношениемГС А _ tg (£«/2) - wL/Rk 1 tg^a/^+wL/R’(11.20) где волновое число Р и частота со связаны дисперсионным уравнением (11.8). Разложив диспер- Р около критической точки Ро =ма линии передачи изображена на рис. 11.11 (см. также рис. 11.4). Коэффициент отражения волн от нагрузки дается соотношениемГС А _ tg (£«/2) - wL/Rk 1 tg^a/^+wL/R’(11.20) где волновое число Р и частота со связаны дисперсионным уравнением (11.8). Разложив диспер- Р около критической точки Ро =
Рис. 11.11. Модельная линия передачи, нагруженная на активное сопротивление
Рис. 11.11. Модельная линия передачи, нагруженная на активное сопротивление
сионную характеристику в ряд по = 2тг/а, получим
сионную характеристику в ряд по = 2тг/а, получим
ма линии передачи изображена на рис. 11.11 (см. также рис. 11.4). Коэффициент отражения волн от нагрузки дается соотношением
ГС А _ tg (£«/2) - wL/R
k 1 tg^a/^+wL/R’
(11.20) где волновое число Р и частота со связаны дисперсионным уравнением (11.8). Разложив диспер- Р около критической точки Ро =
ма линии передачи изображена на рис. 11.11 (см. также рис. 11.4). Коэффициент отражения волн от нагрузки дается соотношением
ГС А _ tg (£«/2) - wL/R
k 1 tg^a/^+wL/R’
(11.20) где волновое число Р и частота со связаны дисперсионным уравнением (11.8). Разложив диспер- Р около критической точки Ро =
2 2Ш-ШО = ^(Р- /?0)2,2 2Ш-ШО = ^(Р- /?0)2,(11-21)(11-21)
2 2
Ш-ШО = ^(Р- /?0)2,
2 2
Ш-ШО = ^(Р- /?0)2,
(11-21)
(11-21)
где с^о = V^-/^1^) ’ х = a/VC^7- Используя выражения (11.20) и (11.21), можно найти закон поведения коэффициента отражения в окрестности критической точки:
Г» = -1 + ^/^ Vw - Wo •Г» = -1 + ^/^ Vw - Wo •(11.22)(11.22)
Г» = -1 + ^/^ Vw - Wo •
Г» = -1 + ^/^ Vw - Wo •
(11.22)
(11.22)
Из последнего соотношения видно, что при со = шо коэффициент отражения имеет корневую особенность. Эта особенность является причиной сильной частотной зависимости коэффициента отражения вблизи и »dr(cj) чч
точки Действительно, —7 > оо при со —>
Избавиться от этой особенности возможно, как и раньше, отказавшись от разбиения поля на прямую и встречную волну, и выделять полное синхронное с электронным потоком ВЧ-поле. В этом случае удается избавиться от особенности в формулировке граничных условий [21].
В отсутствии электронного потока амплитуда поля 5(ж) подчиняется уравнению (11.14) с отброшенной правой частью
(11.23)(11.23)-4 + ДД2£ = 0,
(11.23)
(11.23)
где АД2 = ^ту—Здесь предполагается, что амплитуда поля меняем (До)
ется по гармоническому закону. Запишем решение уравнения (11.23) в виде суммы двух бегущих волн:
£ = £^-з^ + £_ое^А/3ж£ = £^-з^ + £_ое^А/3ж(11.24)(11.24)
£ = £^-з^ + £_ое^А/3ж
£ = £^-з^ + £_ое^А/3ж
(11.24)
(11.24)
Продифференцируем соотношение (11.24) и положим х = 0. Тогда, используя, что £+о = Г£~о, получим
d8dxd8dx= jж=0= jж=0(11.25)(11.25)
d8
dx
d8
dx
= j
ж=0
= j
ж=0
(11.25)
(11.25)
Граничное условие (11.25) содержит параметр
Д^(ш)1 + гЦ,Д^(ш)1 + гЦ,(11.26)(11.26)
Д^(ш)1 + гЦ,
Д^(ш)1 + гЦ,
(11.26)
(11.26)
который вблизи граничной частоты может быть представлен в виде:
т. е. функция а(ш) аналитична в точке ш = wq.
Рассмотрим теперь общий случай. Пусть имеется стык однородной волноведущей структуры с периодической структурой. Между ними располагается неоднородность (в реальных устройствах с ЦСР — переходное устройство, с помощью которого подводящий волновод соединен с периодической замедляющей системой). Амплитуды волн в однородной и периодической структурах связаны матрицей рассеяния А:
/а(ш) Ь(ш) \c(w)d(w)/а(ш) Ь(ш) \c(w)d(w)(11.27)(11.27)
/а(ш) Ь(ш) \c(w)d(w)
/а(ш) Ь(ш) \c(w)d(w)
(11.27)
(11.27)
где индексом «1» обозначена однородная, а индексом «2» — периодическая структура.
Вблизи граничных частот полосы пропускания каждая из компонент £+ и 8_ полного поля 8 (см. формулу (11.24)) имеет особенность, хотя полное поле особенностей не имеет. Поэтому опишем поле в пе-
- (8\
риодическои структуре с помощью вектора I I, содержащего лишь амплитуду синхронного поля 8 и ее производную по координате 8'. Переход к представлению поля через прямую и встречную волны осуществляется посредством матрицы Т:
(£+V-(£+V-1212l-l/jA^(w)A1 l/JA/^l-l/jA^(w)A1 l/JA/^(11.28)(11.28)
(£+
V-
(£+
V-
1
2
1
2
l-l/jA^(w)A
1 l/JA/^
l-l/jA^(w)A
1 l/JA/^
(11.28)
(11.28)
Из уравнений (11.27) и (11.28) следует, что
8_8_= АТ= АТ(11.29)(11.29)
8_
8_
= АТ
= АТ
(11.29)
(11.29)
Матрица АТ не имеет особенностей, поскольку не имеет особенностей ни полное поле 8, ни его производная 8'. Поэтому зависимость
элементов матрицы АТ от частоты является плавной, и в небольшой окрестности границы полосы пропускания можно считать, что АТ^ и const.
А =А =Предположим, что на некоторой фиксированной частоте ш = ш сигнал проходит через систему без отражений (система идеально согласована). Тогда АТ(ш) и АТ(ш), и матрица А имеет вид:
А =
А =
(11.30)
где а = а(ш). Используя выражение (11.28), находим
АТ = |АТ = |1 — ХНа\1 1/^)1 — ХНа\1 1/^)/ а —а/jala* а*(ja/ а —а/jala* а*(ja(11.31)(11.31)
АТ = |
АТ = |
1 — ХНа\
1 1/^)
1 — ХНа\
1 1/^)
/ а —а/ja
la* а*(ja
/ а —а/ja
la* а*(ja
(11.31)
(11.31)
где введено обозначение а = Д/3(й). Заметим, что в соответствии со знаком Д^ вблизи высокочастотной границы полосы пропускания а < 0, а вблизи низкочастотной — а > 0.
Матрица АТ несет полную информацию об отражениях и трансформации волн в переходных устройствах. Пусть £вх — амплитуда входного сигнала в подводящей волноведущей струкуре, £Отр — амплитуда волны, отраженной от переходного устройства. Тогда из формул (11.29) и (11.31) следует, что
(11.32)
(11.33)
Проводя аналогичные рассуждения, легко получить подобные соотношения и на выходном конце системы х = L*.
3 ас —* схdx Jz=L “3 ас —* схdx Jz=L “(11.34)(11.35)(11.34)(11.35)
3 ас —* сх
dx Jz=L “
3 ас —* сх
dx Jz=L “
(11.34)
(11.35)
(11.34)
(11.35)
Здесь £Вых — амплитуда выходного сигнала периодической структуры. В соотношениях (11.32)—(11.35) входное и выходное устройство полагаются идентичными.
Полученные соотношения (11.32)—(11.35) дополняют уравнение возбуждения (11.14), и с помощью них можно сформулировать граничные условия для типичных задач электроники в случае, когда рабочие частоты лежат в окрестности границы полосы пропускания.
В режиме самовозбуждения отсутствует внешний сигнал во входном тракте прибора: £вх = 0. Уравнения (11.32) и (11.34) определяют в этом случае требуемые граничные условия
d£dxd£dx= ja£(0), ж=0= ja£(0), ж=0d£ dxd£ dx= ja£(L).= ja£(L).(11.36)(11.36)
d£
dx
d£
dx
= ja£(0), ж=0
= ja£(0), ж=0
d£ dx
d£ dx
= ja£(L).
= ja£(L).
(11.36)
(11.36)
В режиме усиления при х = 0 нужно использовать граничное условие (11.32), а при х = L — граничное условие (11.34). Соотношения (11.32) и (11.35) позволяют записать выражение для коэффициента усиления:
G = 20 lg 1^1 = 20 lgG = 20 lg 1^1 = 20 lg2a£(L)2a£(L)(11.37)(11.37)
G = 20 lg 1^1 = 20 lg
G = 20 lg 1^1 = 20 lg
2a£(L)
2a£(L)
(11.37)
(11.37)
В режиме полного подавления сигнала амплитуда поля в выходном тракте равна нулю: £Вых = 0. Складывая и вычитая соотношения (11.34) и (11.35), получаем
8Щ = 0,8Щ = 0,d£dx x=Ld£dx x=L(11.38)(11.38)
8Щ = 0,
8Щ = 0,
d£
dx x=L
d£
dx x=L
(11.38)
(11.38)
Заметим, что в вышесформулированные граничные условия параметр а не вошел, поэтому с точки зрения взаимодействия электронного потока с электромагнитным полем а является единственным параметром, характеризующим постановку граничных условий для указанных задач. Отметим также, что параметр а равен величине а(ш) = ± . I^w - 0?о)
±4 / П—-^ , лишь если частота согласования лежит в непосредствен-
У уро)
ной окрестности полосы пропускания. Если же точка удалена от границы полосы пропускания, то данное соотношение дает приблизительное значение а, и для его уточнения требуются специальные измерения.
Наиболее важным в вышеописанной модификации волнового подхода является то, что удается полностью избавиться от параметров, сильно зависящих от частоты у границы полосы пропускания периодической структуры. Это позволяет проводить расчеты ЛБВ с ЦСР во всем необходимом диапазоне управляющих параметров, в том числе и непосредственно на границе полосы пропускания, в рамках волнового подхода.
Однако существует и другой путь анализа явлений в активных системах типа ЛБВ с ЦСР. Он связан с отказом от волнового анализа явлений в периодических структурах, и переходу к исследованию взаимодействия поля и пучка на основе дискретного описания [1, 2]. В последнем случае «электронная» часть задачи сводится к анализу каскадного группирования электронов (см., например, [2, 24]), последовательно испытывающих действие высокочастотного поля, проходя
Рис. 11.12. Схематическое изображение последовательности к ВЧ-зазоров, пронизываемых электронным потоком; I — период замедляющей системы, d — ширина ВЧ-промежутка, ио — скорость электронного потока на входе в пространство взаимодействияРис. 11.12. Схематическое изображение последовательности к ВЧ-зазоров, пронизываемых электронным потоком; I — период замедляющей системы, d — ширина ВЧ-промежутка, ио — скорость электронного потока на входе в пространство взаимодействия
Рис. 11.12. Схематическое изображение последовательности к ВЧ-зазоров, пронизываемых электронным потоком; I — период замедляющей системы, d — ширина ВЧ-промежутка, ио — скорость электронного потока на входе в пространство взаимодействия
Рис. 11.12. Схематическое изображение последовательности к ВЧ-зазоров, пронизываемых электронным потоком; I — период замедляющей системы, d — ширина ВЧ-промежутка, ио — скорость электронного потока на входе в пространство взаимодействия
через некоторое число ВЧ-зазоров. В работе [23] была развита полная кинематическая теория дискретного взаимодействия электронов с ВЧ-полями. Анализируемая модель представлена на рис. 11.12. При расчетах полагается, что изменение кинетической энергии электрона, пролетающего через ВЧ-поле &-го зазора, выражается соотношением
2^1 _ =МеУк,
где и к — скорость электрона на выходе из &-го зазора, Vk — напряжение на к-м зазоре, М — коэффициент эффективности электронного взаимодействия (см. формулу (2.5)). Изменение напряжения Vk от зазора к зазору, с учетом того, что анализируется режим бегущей волны, будет описываться выражением
Vk =to
Здесь a = ш!\ — фаза влёта электрона в первый зазор, фо = = — (^1— J — относительный угол пролета электронов и волны.
Последнее выражение было получено в предположении малости амплитуды эффективного переменного напряжения MVk/Vo <( <С 1. Пользуясь методикой, развитой в лекции 2 применительно к двухрезонаторному пролетному клистрону, можно получить выражение для сгруппированного тока в к-м зазоре:
ik = I0^+jAkXeia) ,(11.39)
где X — параметр группирования,
Зная величину сгруппированного тока, легко получить электронную мощность взаимодействия электронного потока с бегущей волной в по-
следовательности N ВЧ-зазоров в виде
k=lk=l
(11.40)
Здесь
Pea =_ l)3/a(W, ^o),
(11-41)
Fea = ^^ (W-l)3/r(W,№),
(11.42)
/а
_ (1 — cos N(po) sin (po — N(1 — cos (po) sin N (po
(11.43)
-2(^ - 1)3(1-cos^o)2’
_ sin N(po sin (po — 7V(1 + cos N(po)(l — cos (po)
fr
(11.44)
-2(/V-l)3(l-cos^o)2"
Осуществив в выражениях (11.41)—(11.44) предельный переход при Id —> 0, получим формулы (9.22) и (9.23) для мощности взаимодействия электронного потока с полем бегущей волны постоянной амплитуды. Таким образом, при большом числе ячеек IV пространства взаимодействия результаты каскадного и волнового анализа близки х). При уменьшении числа ячеек характер взаимодействия становится отличным от предсказываемого волновым анализом и становится близким к тому, что имеет место в многорезонаторном клистроне. При этом происходит увеличение мощности взаимодействия:
MN^o)/Fla^o) > 1,5 при N < 10,
где Г1а(Ф0) определяется формулой (9.22), Фо = (N — 1)^о-
Для обеспечения самосогласованности задачи необходимо в дополнение к «электронной» части уметь находить возбужденные поля в периодической структуре сгруппированным током. Дискретный анализ, основанный на представлении реальных электродинамических структур эквивалентными схемами и формулировке уравнений возбуждения таких эквивалентных схем сгруппированным током, автоматически учитывает взаимодействие со всеми пространственными гармониками. Такой подход является эквивалентным интегрированию непосредственно уравнений Максвелла. Более того, дискретный подход, как уже отмечалось, позволяет, хотя бы в принципе, построить единую теорию СВЧ-приборов типа О как резонансных, так и нерезонансных.
Построим дискретную модель периодической структуры типа ЦСР. Цепочка связанных резонаторов, как уже обсуждалось нами ранее,
г) Это является свидетельством того, что в случае больших N электронный поток взаимодействует преимущественно с одной пространственной гармоникой ВЧ-поля.
Рис. 11.13. Модель структуры со связанными резонаторами, нагруженной на произвольные нагрузки, а также схемы, моделирующие работу генератора на согласованную (слева) и несогласованную (справа) нагрузки
представляет цепочку идентичных электродинамических ячеек, причем первая и последняя ячейки нагружены на произвольную нагрузку либо связаны с генератором внешних сигналов. Полагаем, что электродинамическая связь имеет место только между соседними резонаторами, а взаимодействие полей в структуре с активной средой (электронным потоком) происходит дискретно — в узком зазоре резонаторов, образующих цепочку. Будем моделировать такую среду многозвенной цепочкой шестиполюсников (см. рис. 11.13, на котором изображена скелетная схема данной многозвенной цепочки), на входе которых действует ЭД С 8 с заданным внутренним сопротивлением z0A, на выходе цепочка нагружена на заданное сопротивление нагрузки z0B. Генератор ЭД С и нагрузка связаны с цепочкой шестиполюсников посредством пассивных четырехполюсников. По отношению к СВЧ-устройствам ЭДС 8 с внутренним сопротивлением %^А моделирует идеально развязанный с внешней нагрузкой генератор, отдающий мощность в линию передачи с волновым сопротивлением z0A. Введенная ЭДС должна быть связана с мощностью, отдаваемой в нагрузку, или, что то же самое, с входной мощностью, возбуждающей активную СВЧ-структуру. На рис. 11.13 приведены также схемы, моделирующие работу СВЧ-генератора на согласованную и рассогласованную нагрузку. Пользуясь схемой, моделирующей согласованную нагрузку, можно рассчитать мощность, выделяющуюся в нагрузке zH = z0A, и ввести ее как входную мощность Рвх. Тогда Рвх = |f |2/8^0^, откуда 8 = 2\/2Рвх^оа • Модуль напряжения в этом случае по длине линии не зависит от координаты и равен | (Дад | = = 5/2 = V^Pbx^oa • В случае несогласованной нагрузки напряжение меняется вдоль линии и в плоскости эквивалентного представления
СВЧ-генератора источником ЭДС равно:
^пад “Ь ^отр —^пад “Ь ^отр —с %ВХ%вх(Р) Н~ ZqAс %ВХ%вх(Р) Н~ ZqA
^пад “Ь ^отр —
^пад “Ь ^отр —
с %ВХ
%вх(Р) Н~ ZqA
с %ВХ
%вх(Р) Н~ ZqA
^вх(ж) — входное сопротивление в сечении х. На основании известного соотношения, справедливого для любых линий передач (см., например, [25]), имеем
^отр^отр^вх ^ОА^вх 4“ %0А^вх ^ОА^вх 4“ %0А
^отр
^отр
^вх ^ОА
^вх 4“ %0А
^вх ^ОА
^вх 4“ %0А
Из двух последних соотношений следует, что |^Пад| = 5/2 — то же самое, что и в случае согласованной нагрузки. В этом смысле ЭДС 5 с внутренним сопротивлением z0A моделирует идеально развязанный
генератор.
Два пассивных четырехполюсника А0 и AN+1, моделирующих устройства связи, которые передают энергию от регулярной линии к исследуемой периодической структуре и с выхода структуры к нагрузке, будут характеризоваться заданием элементов матрицы передач. В практических приложениях элементы матрицы передачи могут быть определены экспериментально [26], либо рассчитаны теоретически при известной эквивалентной схеме устройства связи.
Каждая ячейка периодической активной среды моделируется ше- стиполюсником, где «боковые» клеммы служат для связи с соседними
элементами, а «верхние» — для «внутренней» связи с активной средой (электронным потоком). Отметим, что напряжения и токи, изображенные около каждой пары клемм, связаны с реально существующим электрическими и магнитными полями в структуре таким образом [27], что величина комплексной мощности Р = - VР равна величине комплексной мощности, переносимой через соответствующую поверхность в реальной структуре, т. е. - V Р = - J [Е, Н] dS. Таким образом величина
У^Ц равна мощности, втекающей в реальную ячейку через левый элемент связи, ^ V^+i/^+1 — вытекающая через правый элемент связи, а | Uki*k — комплексная мощность, передаваемая структуре активной средой. Из условия баланса мощностей можно записать:
I uki*k = -Р
где Рвз — мощность взаимодействия, которая находится из «электронной» части задачи, т. е. считается известной. Активную среду тогда можно характеризовать некоторым током г^ = — 2PB3/Uk. С другой
12 Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов
стороны, Рвз = Ре = | J jE dV. Тогда
U = -X[jEdV,
где в правой части стоят только заданные величины, т. е. ток г к можно рассматривать как некоторый сторонний источник возбуждения.
Поскольку все источники возбуждения заданы, а сама структура не содержит нелинейные элементы *), то токи и напряжения, обозначенные на рис. 11.13, связаны между собой линейными соотношениями. Любые три из шести токов и напряжений, как следует из теории цепей, могут быть выражены через остальные три, образуя различные формы уравнений шестиполюсника. Запишем все напряжения через токи в матричной форме:
\/т\
^21^22^23 I ’ I — ^+1 I •(11.45)
~к\/
^31^32^33/\к/
Последнее выражение представляет собой уравнение возбуждения шестиполюсника заданным током. Наибольшую сложность представляет собой нахождение коэффициентов матрицы z^k для каждой частоты. Обычно их находят, представляя шестиполюсник эквивалентной схемой, адекватной рассматриваемому типу электродинамической структуры. При этом амплитуды и фазы напряжений и токов в рассматриваемой эквивалентной цепи должны вести себя подобно амплитудам и фазам полей и токов в реальной электродинамической структуре. Важным также является количественное определение величин элементов цепи для конкретной геометрии ячейки. Часто для определения этих параметров используют не геометрические размеры структуры, а величины частот отсечки и другие «электрические» величины, которые можно измерить на «холодном», т. е. без электронного пучка, макете [28].
Определение коэффициентов матрицы z^k возможно и из строгого электродинамического расчета ячейки резонатора. Однако это существенно более сложный путь, так как задача сводится к решению дифракционной задачи для корректного учета связи между резонаторами.
Сформулированное матричное уравнение является разностным аналогом уравнения возбуждения гладкой электродинамической структуры в дифференциальной форме.
г) Фактически до сих пор использовались только уравнения Максвелла, которые линейны. Нелинейность может появиться при включении в задачу материальных уравнений, описывающих нелинейную среду.
Преобразуем матричное уравнение к более удобному виду. Очевидно, что матричное уравнение представляет собой систему трех алгебраических уравнений, содержащих три тока и три напряжения. Для решения этой системы необходимо задать три из шести величин. Если шестиполюсник возбуждается клеммами от шестиполюсника, расположенного слева (см. рис. 11.13), и сторонним током, то логично в качестве заданных выбрать величины 14, /^ и^ и разрешить матричное уравнение относительно трех остальных величин. В результате, проводя несложные выкладки, получим:
yk — ^22 ук _^11^12yk — ^22 ук _^11^12k k k kr , ^12^23 — '2'13'2'22 •k + ъ H,^12k k k kr , ^12^23 — '2'13'2'22 •k + ъ H,^12
yk — ^22 ук _
^11^12
yk — ^22 ук _
^11^12
k k k kr , ^12^23 — '2'13'2'22 •k + ъ H,
^12
k k k kr , ^12^23 — '2'13'2'22 •k + ъ H,
^12
(11.46)(11.46)Ik — ~~k~ ^k + "ДГ Ik + "^ Hi^12^12^12
(11.46)
(11.46)
'2'32 ту ^31^13 — '2'32'2'11 T , ^33^12 — ^32^13 •
= — Vk ~ ^ H + ^ гк-
^11-2'12^12
Задавая величины Vi, /1 и зная токи г к из решения электронной части задачи, можно последовательно определить напряжения и токи всех шестиполюсников, двигаясь от ячейки к ячейке. Величины V4 и /1 должны удовлетворять граничному условию Е’ = V4 + /iZq^, а величины V4v+i, Invx — граничному условию V4v+i = In+xZqB- Здесь величины Е', z'^ z'0B соответствуют величинам £, z0A и z0B, трансформированным четырехполюсниками связи А0 и AN+1.
Если записать уравнения (11.46) для к — 1, к и к + 1-го шестиполюсника, то получится девять уравнений, содержащих 14 напряжений и токов (соответственноЦ,-!, /&_!, ^-ьН-ь V&, 4^ I4+i, IWl Ukvxi Н+ь VWi Ik^Y Восемь любых напряжений и токов можно при этом исключить, получив одно уравнение относительно шести напряжений и токов. Сохранив напряжения (/^+1, Uk, Uk-x и токи 4+11 Hi H-Xi получим линейную связь между этими величинами:
AUkvx + BUk + CUk-x — D%kvx + Eik + Fik-Xi (11.47) где коэффициенты при напряжениях и токах скомбинированы из элементов матрицы z^k каждого из трех рассмотренных шестиполюсников.
Полученное разностное уравнение второго порядка (11.47) является более удобной формой разностного уравнения возбуждения периодической структуры, чем матричное уравнение (11.45).
Именно теория дискретного взаимодействия электронного потока с ВЧ-полями периодических замедляющих систем при использовании метода эквивалентных схем в электродинамической части задачи дает наиболее близкие к эксперименту результаты [2, 4].
Таким образом рассмотрение особенностей физических процессов в приборах с длительным взаимодействием с периодическими замедляющими системами показало, что некоторые физические явления, например поведение ЛБВ с ЦСР на границах полосы пропускания замедляющей системы, невозможно описать в рамках волновой теории, которая последовательно применялась в предыдущих лекциях к анализу ЛБВ со спиральной замедляющей структурой. Не спасает положение и модифицированный волновой подход, учитывающий взаимодействие электронного потока одновременно с несколькими пространственными гармониками поля периодической замедляющей системы. В связи с этим более предпочтителен дискретный подход к анализу взаимодействия электронного потока с ВЧ-полями периодических замедляющих систем, который в состоянии объяснить упомянутые выше физические явления. Вместе с тем волновой подход, основанный на отказе от попытки разделить поле электродинамической структуры на прямую и встречную волны, позволил сформулировать модель ЛБВ вблизи границ полосы пропускания, использование которой предсказывает те же результаты, что и применение дискретного подхода [29].
Дискретный подход с успехом применяется не только к расчетам ЛБВ с ЦСР, но и таких приборов как клистрон с распределенным взаимодействием (пролетный клистрон, у которого резонансная колебательная система заменена на волноведущую для обеспечения более широкой полосы усиливаемых частот в сочетании с характерным для многопролетных клистронов высоким значением к.п.д.) [30], усилитель со скрещенными полями (амплитрон) [3, 31], многолучевой клистрон с бегущей волной [32-34]. Последний прибор будет рассмотрен более подробно в следующем параграфе.
Клистрон с бегущей волной
Рассмотрим устройство клистрона с бегущей волной (КБВ). КБВ был предложен Р. Компфнером как клистрон, у которого резонансная колебательная система заменена на волноведущую. Такой прибор должен был сочетать характерный для клистронов высокий к.п.д. с широкой полосой пропускания, обусловленной использованием нерезонансной колебательной системой. Однако, поскольку при расширении полосы пропускания падает волновое сопротивление электродинамической системы, для сохранения к.п.д. требуется пропорциональное увеличение тока пучка. Конструктивно это не сложно, так как замена резонаторов на волноводы открывает путь для использования в КБВ протяженных ленточных электронных пучков или нескольких цилиндрических лучей.
Простейший двухкаскадный КБВ состоит из двух волноводов, которые разделены пространством дрейфа и пронизываются ленточным электронным потоком (рис. 11.14). Скорость электронов перпендику-
Рис. 11.14. Конструкция двухкаскадного клистрона с бегущей волной. Здесь 1 — протяженный ленточный электронный поток, 2 — входной и 3 — выходной волноводы, 4 — согласованный поглотитель
лярна направлению распространения электромагнитных волн в волноводах, поэтому КБВ относится к приборам с поперечным током. Входной сигнал, распространяясь в первом (входном) волноводе, модулирует электронный поток по скорости. В пространстве дрейфа электронный пучок группируется по плотности как и в обычном клистроне, но, поскольку модуляция электронного потока осуществляется бегущей электромагнитной волной, формирование сгустков происходит с запаздыванием вдоль волновода. Если входной и выходной волноводы параллельны и идентичны, то волна тока, возбуждающая выходной волновод, будет синхронна собственной волне этого волновода — прямые волны, излученные отдельными сгустками, складываются в фазе, и прямая электромагнитная волна линейно нарастает вдоль выходного волновода. Встречная электромагнитная волна не синхронна волне в электронном пучке, и резонанс в пространстве для нее отсутствует, излучение в прямом направлении существенно преобладает над встречным.
Линейное нарастание поля по длине пространства энергообмена КБВ приводит к двукратному снижению к.п.д. по сравнению с к.п.д. двухрезонаторного клистрона. Напомним, что высокий к.п.д. клистрона достигается за счет того, что в узком зазоре выходного резонатора электронный сгусток сильно тормозится полем большой амплитуды (ВЧ-напряжение на зазоре близко к ускоряющему напряжению Vo), при этом сгусток отдает большую часть своей кинетической энергии ВЧ-полю. Напротив, по выходному волноводу КБВ поле линейно растет от нуля, достигая предельного значения (~ Vo) лишь для части электронного луча, близкого к выходному концу волновода. Повысить к.п.д. КБВ до уровня клистронного возможно путем осуществления на значительном участке выходного волновода энергообмена электронного потока с электромагнитной волной постоянной амплитуды, близкой к предельной. Для этого продолжение выходного волновода должно иметь спадающее волновое сопротивление, чтобы при нарастании мощности электромагнитной волны ее амплитуда поддерживалась на постоянном предельном уровне.
Наиболее часто в качестве нерезонансной колебательной системы в КБВ используются системы типа ЦСР, которые обладают большим импедансом взаимодействия с пучком. Поскольку в таких системах
электрическая компонента ВЧ-поля локализована в дискретных областях, использовать сплошной ленточный пучок нецелесообразно, и вместо него применяют большое число цилиндрических пучков. Сочетание колебательной системы в виде ЦСР и нескольких (порядка 10) электронных лучей составляет многолучевую конструкцию клистрона с бегущей волной (МКБВ).
В МКБВ с ЦСР, также как и в КБВ, существует проблема ограничения к.п.д., связанная с нарастанием поля от ячейки к ячейке. Если в процессе этого нарастания в какой-то ячейке ВЧ-напряжение У достигнет оптимального значения (которое порядка ускоряющего напряжения Vo), то за счет взаимодействия с пучком в последующих ячейках величина!/ превысит оптимальное значение. Это будет сопровождаться отражением электрона, к.п.д. снизится, поэтому необходимо стремиться к тому, чтобы поле стало оптимальным в последней ячейке. Но в этом случае, как и раньше, к.п.д. МКБВ не превысит половинного значения к.п.д. пролётного клистрона.
Как говорилось выше, для повышения к.п.д. необходимо понизить волновое сопротивление тех ячеек, которые расположены дальше ячейки, где достигается оптимальная величина поля. Оценим величину, на которую следует понизить сопротивление. Пусть в ячейках с номерами 14-п волновое сопротивление равно величине zn^ где и — ячейка, в которой ВЧ-напряжение достигает оптимального значения Уп = Уф Тогда мощность, которая передается в следующую ячейку будет равна Р = У^/2гп. Эта мощность обеспечивает в этой ячейке амплитуду ВЧ-напряжения У^у = y/2P^n+i , которое меньше Vo = V^P^n , но к этому напряжению ещё добавится напряжение У^у = /zn+i/2 за счет возбуждения колебаний током /п+1 (последний известен из расчета процесса группирования). Надо потребовать, чтобы У^у + С+1 — V), и тогда уравнение
ж -
определяет нужное соотношение между zn и zn+i.
Таким образом выходной каскад разделяется на две секции — секцию с постоянным волновым сопротивлением (секция усиления напряжения) и с уменьшающимся волновым сопротивлением (секция нарастания мощности). К.п.д. прибора определяется соотношением числа ячеек ЦСР, принадлежащих той или другой секции. Насколько большой придется делать секцию усиления напряжения зависит в значительной степени от модулирующей секции. Чем лучше будет сгруппирован электронный пучок, тем короче будет секция усиления напряжения. Повысить эффективность модулирующей секции (увеличить величину первой гармоники сгруппированного тока) можно путем добавления третьего каскада, аналогично тому, как это делается в многорезонаторном клистроне (см. лекцию 5). Несколько первых ячеек промежуточно-
Рис. 11.15. Схематическое изображение трехволноводного десятилучевого
КБВ
го каскада будут тогда секцией усиления напряжения, на протяжении которых оно будет нарастать линейно. Когда напряжение достигнет заданной величины, его дальнейший рост необходимо ограничить. Это можно сделать, как и в выходном каскаде, путем уменьшения волнового сопротивления. Однако в этом случае, хотя роста напряжения и не будет, мощность, отдаваемая электронными пучками в последующих ячейками, будет нарастать, а условия для дальнейшей группировки пучка во втором пространстве дрейфа не будут оптимальными, так как взаимодействие в промежуточном модулирующем каскаде должно быть реактивным. Вышеописанная ситуация полностью аналогична каскадной группировке в многорезонаторных клистронах, где реактивное взаимодействие в промежуточных каскадах обеспечивается настройкой резонаторов на более высокую частоту, чем частота входного и выходного каскада.
В работах [33, 34] экспериментально и численно исследуется МКБВ с тремя цепочками связанных резонаторов. Рассмотрим конструкцию исследуемой системы (рис. 11.15). В приборе три волновода и десять электронных пучков (10 ячеек в каждом волноводе). Постоянная передачи одинакова у всех ячеек. После модуляции в зазорах первого волновода электроны каждого пучка группируются в трубках дрейфа, второй волновод возбуждается сгруппированными сгустками. Первые три ячейки параллельны первому волноводу. Как показывают расчеты, уже в третьей ячейке напряжение на зазоре равно 0,4УЬ- Далее второй волновод изогнут, дрейф каждого следующего луча становится все больше. Центры сгущений электронов проходят через зазоры этой части волновода в тот момент, когда ВЧ-поле нулевое, что способствует дальнейшей (в следующем пространстве дрейфа) группировке, амплитуда сигнала здесь поддерживается примерно на постоянном уровне, происходит реактивное взаимодействие. В выходном волноводе область усиления сигнала включает в себя четыре секции, с пятой секции начи-
Рис. 11.16. К.п.д. и коэффициент усиления МКБВ в рабочей полосе частот (а); коэффициент усиления и фаза выходного сигнала как функция мощности входного сигнала (б) (из работы [3])
нается область нарастания мощности, в которой волновое сопротивление ячеек последовательно уменьшается.
Численное исследование проводилось с помощью дискретного описания взаимодействия электронного потока с ВЧ-полями ЦСР, описанного в конце предыдущего параграфа. Особенностью расчетов являлся учет нескольких пучков и нескольких пространств дрейфа [34]. Вначале решались уравнения движения во всех пучках в зазоре первого волновода. Последовательными расчетами рассчитывалось встречное излучение по ячейкам. Затем рассматривался дрейф электронов каждого пучка до следующего волновода. Далее расчет повторяется для следующего каскада.
На рис. 11.16а приведены рассчитанные выходные характеристики трехволноводного МКБВ (коэффициент усиления и к.п.д.) в рабочем диапазоне частот [3, 34]. Пунктиром нанесена экспериментально полученная зависимость коэффициента усиления [33]. На рис. 11.166 представлены зависимости коэффициента усиления и фазы поля на выходе от мощности входного сигнала, который достаточно слаб (линейный режим). Заметим, что такие характеристики прибора как коэффициент усиления, к.п.д. и фаза выходного сигнала не сильно меняются и при изменении тока пучка. Таким образом характеристики МКБВ устойчивы к изменению режима в достаточно широком диапазон.
Линейные ускорители заряженных частиц
В СВЧ-приборах с длительным взаимодействием (ЛБВ, ЛОВ, оро- трон, клистрон с распределенным взаимодействием и т. д.) имеет место преобразование кинетической энергии электронного потока в энергию электромагнитных волн, находящихся в синхронизме с электронами. В результате скорость электронов пучка в среднем уменьшается, и на
коллектор пучок «высаживается» со скоростью, существенно меньшей, чем та, которую он имел на входе в пространство взаимодействия. Однако из нашего рассмотрения (см. лекцию 8) понятно, что существует принципиальная возможность изменить ситуацию: электроны могут ускоряться за счет энергии электромагнитного поля в пространстве взаимодействия и приходить на коллектор со скоростью большей, чем на входе. Устройства, в которых имеет место такое ускорение электронов, называются линейными ускорителями. Коллектор таких приборов обычно является специальной мишенью, сделанной из материала, свойства атомных ядер которого исследуются. В качестве примера можно привести исследования распределения массы и заряда протона путем бомбардировки мишени высокоэнергетичными электронами и дальнейшего анализа рассеяния электронов на протонах. Для прохождения через ядро атома электроны пучка должны преодолеть кулоновские силы отталкивания между ними и положительно заряженным ядром, поэтому необходимо ускорить электроны до как можно более высоких энергий. Широко используются такие ускорители и в медицине. Обычно с помощью линейных ускорителей получают высокоэнергетичные электронные пучки с релятивистскими скоростями.
Теория и детальный анализ процессов ускорения релятивистских электронов в линейном ускорителе выходит за рамки наших лекций х). Рассмотрим здесь только некоторые основные особенности устройства и работы линейных ускорителей [35], которые позволили включить данный раздел в лекцию, посвященную приборам с периодическими электродинамическими структурами.
Из релятивисткой электродинамики известно, что в неподвижной системе отсчета сила отталкивания Рж между двумя электронами, расположенными на оси х на расстоянии Дж друг от друга и движущихся со скоростью и в положительном направлении оси ж, определяется формулой
22 С
Х ^ 4тгво(Дж)2 ’
где 7 = 1/^/1 — (ж/с)2 — релятивистский фактор, е — заряд электрона. Аналогично, сила отталкивания РТ между электронами, расположенными на расстоянии Дг друг от друга на линии, перпендикулярной направлению их движения, в неподвижной системе отсчета запишется как
2^Г =7"2*
4тг£о(Дг)2
г) Теория, основные типы и области применения линейных ускорителей достаточно подробно изложены в монографии [36].
Заметим, что величины Рж и Рт стремятся к нулю при скорости электрона и —> с. Это означает, что продольные и поперечные силы пространственного заряда в пучке, движущемся с ультрарелятивистской скоростью, в неподвижной системе координат малы. Поэтому в данном случае для предотвращения «рассыпания» электронного пучка вследствие кулоновского отталкивания достаточно сравнительно небольшого фокусирующего магнитного поля.
В основе конструкции линейного ускорителя лежит ускорение (вплоть до ультрарелятивистских скоростей) электронного пучка, направленного вдоль периодической электродинамической структуры и взаимодействующего в ней с синхронной электромагнитной волной. Однако при увеличении скорости электрона одновременно увеличивается и его масса те = то(^ где то — масса покоя электрона. При и —> с малые изменения скорости электрона будут приводить к существенным изменениям массы те. Поэтому для эффективного ускорения пучка электронов необходимо взаимодействие его с электромагнитной волной, имеющей большую амплитуду.
Начальная скорость электронного пучка ио определяется ускоряющим потенциалом электронной пушки. Так как скорость пучка меняется от величины и = vq до величины и « с, то период D электродинамической структуры должен изменяться вдоль пространства взаимодействия для сохранения условия синхронизма между пучком и волной.
DDРис. 11.17. Схематическое изображение линейного ускорителя (из [35])Рис. 11.17. Схематическое изображение линейного ускорителя (из [35])Рис. 11.17 демонстрирует основные особенности конструкции линейного ускорителя. В качестве источника высокочастотной энергии используются мощные клистроны, которые расположены на одинаковом расстоянии друг от друга вдоль пространства взаимодействия (пространства ускорения). Волновод, в который излучают энергию клистронные усилители, нагружен цилиндрическими дисками с отверстиями посередине, которые служат для прохождения ускоряемого электронного пучка, движущегося вдоль оси симметрии системы. На все клистронные
D
D
Рис. 11.17. Схематическое изображение линейного ускорителя (из [35])
Рис. 11.17. Схематическое изображение линейного ускорителя (из [35])
усилители подается сигнал с одного магнетрона для того, чтобы выходные сигналы каждого из клистронов были сфазированы. Если ввести соответствующий сдвиг фаз Д^> между выходными сигналами, излучаемыми в пространство ускорения соседними клистронами, то электромагнитная волна, распространяющаяся вдоль волноведущей структу-
ры, может находиться в синхронизме с электронным пучком. Очевидно, что оптимальными будут условия распространения синхронной волны, при которых относительный угол пролета Фо будет поддерживаться таким, что активная мощность взаимодействия Реа будет больше нуля и максимальна. Заметим, что линейный ускоритель в виде нагруженного дисками волновода не является единственной возможной конструкцией; часто применяют ускорители, в которых пространство ускорения представляет собой ряд сильно связанных между собой резонаторов.
Впервые идея линейного ускорителя была высказана в 1924 году в работе Изинга [37]. Наиболее знаменитым линейным ускорителем является Станфордский ускоритель *), длина которого составляет две мили (три километра). Строительство его было закончено в 1966 году, и на тот момент максимальная энергия электронных пучков, которые можно было создавать на нем, составляла 20 ГэВ. Первые эксперименты были проведены по бомбардировке высокоэнергетичным электронным пучком неподвижной мишени в целях изучения внутренней структуры атомного ядра. В дальнейшем была проведена модернизация ускорителя, позволившая достигать энергии электронов порядка 50 ГэВ.
Список литературы
Гаврилов М.В., Трубецков Д.И.. Фишер В. Л. Теория цепочек активных многополюсников с электронным возбуждением (модель взаимодействия электронного пучка с полями связанных резонаторов) // В кн: Лекции по электронике СВЧ и радиофизике (5-я зимняя школа-семинар инженеров). Кн. 1. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1981. С. 173.
Булгакова Л.В., Трубецков Д.И.. Фишер В.Л., Шевчик В.Н. Лекции по электронике СВЧ приборов типа О. — Саратов: Изд-во СГУ. 1974.
Фишер В.Л. Теория возбуждения активных упорядоченных структур и ее применение к анализу колебательных и волновых явлений в цепочках связанных резонаторов с электронным потоком. — Дисс... к.ф.-м.н. Саратов, 1983.
') В Internet существует большой WWW-сайт http://www.slac.stanford.edu, посвященный деятельности Станфордского центра линейных ускорителей (Stanford Linear Accelerator Center (SLAC)), которому и принадлежит Станфордский линейный ускоритель. На этом сайте представлена информация по истории создания центра, особенностям конструкции ускорителя и научным исследованиям, ведущимся в центре. Кроме всего, этот сайт — сайт Станфордского центра линейных ускорителей — был первым появившимся в Internet WWW-сайтом, принадлежащим научной организации США.
Стапранас А., Маккьюн Э.. Рютц Дэю. СВЧ электровакуумные приборы большой мощности с линейным электронным пучком / В сб.: Мощные электровакуумные приборы СВЧ. — М.: Мир. 1974.
Lee S. W., Fong Т. Т. Electromagnetic wave scattering from an active corrugated structure // J. Appl. Phys. 1972. V.43. P. 388.
Affolter E.. Kneubuhl F.K. First experimental realization of a distributed feedback gas laser // Phys. Lett. 1979. V. 74A, № 6. P. 407.
Элаши Ш. Волны в активных и пассивных периодических структурах. Обзор // ТИИЭР. 1976. Т. 64, № 12. С. 22.
Dow D. С. Behavior of travelling-wave tubes near circuit cut-off // IRE Trans. 1960. V. ED-7, №3. P. 123.
Рапопорт Г.Н., Чайка B.E. О поведении ЛБВ вблизи границ полосы пропускания // Известия вузов СССР. Радиотехника. 1964. Т. 7. С. 58.
Чайка В.Е. Исследование устойчивости ЛБВ вблизи границ полосы пропускания замедляющей системы // Известия вузов СССР. Радиотехника. 1964. Т. 7. С. 58.
Шевчик В.Н., Кураев А.А. Общее дисперсионное уравнение лампы с бегущей волной с периодической замедляющей системой // Радиотехника и электроника. 1961. Т. 6, JVy9. С. 1519.
Осин А.В., Солнцев В.А. Анализ распространения электронных волн внутри и вне полосы периодической структуры // Радиотехника и электроника. 1982. Т. 27, №11. С. 2207.
Осин А.В., Солнцев В.А. Исследование усиления ЛБВ вблизи границы полосы пропускания на основе теории возбуждения периодических структур // Радиотехника и электроника. 1982. Т. 27, №12. С. 2435.
Кузнецов А.П.. Кузнецов С.П. О характере неустойчивости в ЛБВ вблизи границы полосы пропускания // Изв. вузов. Радиофизика. 1980. Т. 23, №9. С. 1104.
Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Нелинейные нестационарные уравнения взаимодействия электронного потока с электромагнитным полем вблизи границы зоны Бриллюэна // Изв. вузов. Радиофизика. 1984. Т. 27, №12. С. 1575.
Кузнецов А.П. Смена характера неустойчивости в системе двух слабо связанных волн // Письма в ЖТФ. 1982. Т. 8, № 15. С. 941.
Кузнецов А.П. Определение характера неустойчивости вблизи порога ее возникновения // В кн.: Лекции по электронике СВЧ и радиофизике, кн. 2. Саратов: Изд-во СГУ, 1984. С. 106.
Кузнецов А.П., Кузнецов С.П. Режимы полного подавления сигнала в ЛБВ, работающей вблизи границы пропускания // Изв. вузов. Радиофизика. 1984. Т. 27, №8. С. 1049.
Кузнецов А.П., Рожнев А.Г. О самовозбуждении ЛБВ вблизи границы полосы пропускания // Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ. 1985, No 9. С. 3.
Кузнецов А.П. Эффект реактивного подавления сигнала в ЛБВ // Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ. 1984, No 4. С. 7.
Кузнецов А.П. Граничные условия в волновой теории ЛБВ вблизи частот отсечки замедляющей системы // Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ. 1984, No 7. С. 3.
Вайнштейн Л.А. Электронные волны в периодических структурах // ЖТФ. 1957. Т. 26, № 2. С. 237.
Шевчик В.Н., Жарков Ю.Д. Каскадная группировка электронов в применении к анализу взаимодействия электронного потока с бегущей электромагнитной волной // Радиотехника и электроника. 1957. Т. 27, №10. С. 2342.
Шевчик В.Н., Трубецков Д.И. Аналитические методы расчета в электронике СВЧ. — М.: Сов. радио, 1970.
Гоноровский И.С. Основы радиотехники. — М.: Связьиздат. 1957.
Техника измерений на сантиметровых волнах. — М.: Сов. радио. 1949.
Альтман Дж. Устройства СВЧ. — М.: Мир. 1968.
Денисов А.И., Перекупке В.А., Рапопорт Р.П. Расчет приборов О-типа на цепочках связанных неидентичных резонаторов в линейном режиме // Известия вузов. Радиоэлектроника. 1980. № 10. С. 43.
Булгакова Л.В., Гаврилов М.В., Кузнецов А.П., Кузнецов С.П., Рожнев А.Г., Фишер В.Л. Сопоставление результатов волнового и дискретного подходов к расчету усиления ЛБВ вблизи границы плосы прозрачности // Электронная техника. Сер. Электроника СВЧ. 1985, No 6. С. 34.
Андрушкевич В.С., Вырский В. А., Гамаюнов В.Г. Усилительные клистроны с распределенным взаимодействием. — Саратов: Изд- во Сарат. ун-та, 1977.
Dombrowski G. Theory of the amplitron // Trans. IRE. 1959. V. ED-6, №4. P. 419.
Гаврилов M.B., Перельман A.M., Пигцик Л.А., Трубецков Д.И. Клистрон с бегущей волной // В кн: Лекции по электронике СВЧ
и радиофизике (5-я зимняя школа-семинар инженеров). Кн. 1. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1981. С. 216.
Pohl W.J. The design and demonstration of a wide-band multiplebeam traveling-wave klystron // IEEE Trans. 1965. V. ED-12, №6. P. 351.
Булгакова Л.В., Гаврилов M.B., Пищик Л.А., Трубецков Д.И., Фишер В.Л. Применение теории цепочек активных многополюсников к анализу ЛБВ и КБВ // В кн: Лекции по электронике СВЧ и радиофизике (5-я зимняя школа-семинар инженеров). Кн. 1. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1981. С. 198.
Soohoo R.A. Microwave electronics. — Addisson-Wesley Publishing Company, 1971.
Лебедев A.H.. Шалимов А.В. Основы физики и техники ускорителей. — М.: Энергиздат, 1981.
Ising G. Prinzip einer Methode zur Herstellung von Kanalstrahlen hoher Voltzahl // Ark. Mat. Astr. och Fys. 1925. V. 18, №30. P. 1.
Лекция 12
КАРСИНОТРОН
«...генератор обратной волны или карсино- трон — это одно из тех изобретений, которые были сделаны в разных местах, примерно в одно и то же время и независимо друг от друга. Я думаю, мои чувства по этому поводу смешались, подобно чувствам Робинзона Крузо, когда он обнаружил чужие следы на песке острова».
Р. Компфнер
Взаимодействие электронного потока с обратной электромагнитной волной. Карсинотрон. « Чужие следи на песке... » — история, изобретения лампы обратной волны Компфнером и Эпштейном. Теория пускового режима лампы обратной волны в приближении заданного поля. Нелинейное поведение лампы обратной волны (результаты стационарной нелинейной теории) Лампа обратной волны магнетронного типа.
В предыдущих лекциях подробно рассмотрено длительное взаимодействие электронного потока с попутной электромагнитной волной и показано, что при подходящих соотношениях между ио и Уф (при их близости) электрическое поле замедленной прямой волны эффективно взаимодействует с электронами, которые практически все время «видят» одну и ту же фазу поля. Поле прямой волны нарастает в направлении движения электронов, что обеспечивает увеличение эффективности взаимодействия электронов и волны. В отличие от этого в лампе обратной волны групповая и фазовая скорость волны противоположно направлены (противоположны направления распространения волны и потока мощности, переносимой этой волной), причем, как и в ЛБВ, направления распространения волны и электронного потока совпадают, а, следовательно, поток мощности в приборе движется навстречу пучку и нет нарастания поля в направлении движения электронов. Вопрос о том, насколько эффективно может быть взаимодействие пучка с такой обратной электромагнитной волной, становится далеко не тривиальным.
В распределенной активной системе «прямолинейный электронный пучок, взаимодействующий с обратной электромагнитной волной» возникает распределенная обратная связь, что позволяет говорить о возможности генерации электромагнитного излучения. Напомним, что в случае лампы бегущей волны мы говорили только об усилении сигналов (чтобы усилитель бегущей волны сделать генератором, необходимо тем или иным способом ввести обратную связь — либо внутреннюю (за счет отражений от коллекторного конца), либо внешнюю (за счет ответвления части мощности выходного сигнала на вход ЛБВ)).
Лампа обратной волны стала в сверхвысокочастотной электронике и нелинейной теории колебаний и волн классической моделью распределенной автоколебательной системы. Именно с этих позиций будем строить теорию ЛОВ — в основу изложения положим рассмотрение нестационарных режимов генерации, что в свою очередь, потребует построения нелинейной нестационарной теории лампы обратной волны. Дальнейший вполне очевидный шаг — разработка методики интегрирования таких уравнений на ЭВМ и анализ результатов вычислительного эксперимента. Последнее особенно интересно — численные [1-8], а также натурные [1,9-11] исследования выявили, что ЛОВ демонстрирует огромное число типично нелинейных динамических эффектов, включая режимы детерминированного хаоса, классические сценарии перехода к хаотической динамике, усложнение хаотических сигналов при прохождении через ЛОВ-усилитель и т. и. х).
Данная лекция посвящена изложению истории создания ЛОВ, а также рассмотрению пусковых условий генератора обратной волны на основе метода последовательных приближений. В ней также будет описана разновидность лампы обратной волны — ЛОВ М-типа. Вторая лекция по теории ЛОВ (лекция 13) будет посвящена построению простейшей нестационарной теории как нерелятивистского, так и релятивистского карсинотрона, а также изложению основных результатов, полученных при экспериментальном исследовании карсинотрона и численном анализе нелинейных нестационарных уравнений, описывающих взаимодействие электронного потока с обратной волной. Лекция 14 посвящена рассмотрению методов численного моделирования приборов с длительным взаимодействием О-типа.
г) Многие исследования были выполнены в течение нескольких последних лет: обратите внимание на даты опубликования работ [3-8]. Отметим, что исследования нелинейной динамики ЛОВ начались более 20 лет назад — и до сих пор ЛОВ как объект нелинейной динамики не перестает демонстрировать новые явления.
Взаимодействие электронного потокас обратной электромагнитной волной.
Лампа обратной волны или карсинотрон
Как уже отмечалось, лампа обратной волны обычно используется либо как усилитель, либо как генератор. Схематические изображения усилителя и генератора обратной волны приведены на рис. 12.1. Для реализации противоположно направленных фазовой и групповой скоростей в ЛОВ используются замедляющие системы с аномальной дисперсией, для которых б/гф( dw > 0. Это реализуется в определенных диапазонах частот в самых различных электродинамических системах:
ВыходноеВходное
. устройство 1)устройстве!
Т■< Энергия
—। !Электронный пучок|
б пушка
Рис. 12.1. Схема ЛОВ-усилителя (а) и ЛОВ-генератора (б)
в цепях, имеющих распределенные параметры, в любых периодических замедляющих системах (гребенки, системы типа «встречные штыри» и т. д.), в ряде гладких волноведущих структур (спираль, плазменные и ферритовые волноводы [12,13]). Главным в практическом применении является то, чтобы либо основная волна замедляющей системы являлась обратной, либо в замедляющей системе была достаточно интенсивной обратная пространственная гармоника.
Как видно из рисунка, основное отличие ЛОВ генератора и усилителя от ЛБВ заключено в том, что вывод энергии расположен у пушечного конца ЛОВ, а входное устройство — у коллекторного. В генераторе обратной волны на месте входной секции расположен поглотитель, роль которого сводится к поглощению отраженной от вывода энергии волны при неидеальном согласовании х).
г) Таким образом, поглотитель, как в лампе бегущей волны, служит для устранения паразитной обратной связи, которая может приводить к ис-
Рис. 12.2. Модель линии передачи, пронизываемой электронным потоком, которая используется для объяснения синхронного взаимодействия электронов с обратной волной
Для построения качественной картины взаимодействия электронов с бегущей волной, обратимся к модели, введенной в лекции 10 и представляющей собой изогнутый волновод (см. рис. 12.2). Для условия взаимодействия с прямой электромагнитной волной было получено соотношение (11.9), которое выражало условие синхронизма электронов и прямой волны. В нашем случае электронный поток переносится в изогнутой линии передач справа налево и навстречу электронам. Проводя рассуждения, аналогично тому, как мы делали в лекции 10, для поддержания эффективного многократного взаимодействия электронов с такой волной, можно получить фазовое условие вида
А = А(п + 1/2)-(^ + <Д(12л)
где Vo — невозмущенная скорость электронов; А — длина волны в свободном пространстве; п Е Z.
Как можно представить себе процесс распространения волны, в которой фазовая скорость и поток мощности направлены в противоположные стороны? Простейшая аналогия — пример, предложенный Флемингом: по плывущей барже бегут мальчики, спрыгивают с носа в воду, проплывают под баржей, взбираются на корму и т. д. Если мальчики бегут в сторону, противоположную движению баржи, то мы и получим картину отрицательной групповой скорости (скорость баржи).
Для более строго рассмотрения проанализируем схему с распределенными параметрами, приведенную на рис. 12.3 [14]. Для нее можно выписать телеграфные уравнения:
d/=_dQ эу = _эф
Эх эг Эх at ’' ' J
кажению частотной характеристики генератора, и даже к возникновению колебаний на прямой волне.
которые, учитывая, что Ф = LI, Q = CV, сведутся к виду (здесь V и / — комплексные напряжение и ток в линии передач, L и С — погонные индуктивность и емкость):
(12-3)(12-3)а2 у =а2/ =
(12-3)
(12-3)
dxdt С dxdt L
В предположении, что переменные величины изменяются по закону ^ш1 уравнения (12.3) примут вид
dV==dx шС * dx wLdV==dx шС * dx wL(12-4)(12-4)
dV==
dx шС * dx wL
dV==
dx шС * dx wL
(12-4)
(12-4)
Допуская, что закон изменения вдоль линии величин V и I имеет вид е-зРх^ дИСперСИ0нн0е уравнение запишется как Д = l/wVLC. Тогда фазовые скорости обратной (—) и прямой (+) волн в линии передачи запишутся следующим образом:
«ф± = ±^- = ±w2VLC ,«ф± = ±^- = ±w2VLC ,а групповые скорости —а групповые скорости —^гр± i^гр± i= TW2= TW2Vlc.Vlc.(12-5)(12-6)(12-5)(12-6)
«ф± = ±^- = ±w2VLC ,
«ф± = ±^- = ±w2VLC ,
а групповые скорости —
а групповые скорости —
^гр± i
^гр± i
= TW2
= TW2
Vlc.
Vlc.
(12-5)
(12-6)
(12-5)
(12-6)
Рис. 12.3. Эквивалентная линия передачи с распределенными параметрами, в которой может распространяться обратная волнаРис. 12.3. Эквивалентная линия передачи с распределенными параметрами, в которой может распространяться обратная волна
Рис. 12.3. Эквивалентная линия передачи с распределенными параметрами, в которой может распространяться обратная волна
Рис. 12.3. Эквивалентная линия передачи с распределенными параметрами, в которой может распространяться обратная волна
Таким образом как для прямой, так и для встречной волн в линии передачи, изображенной на рис. 12.3, фазовые и групповые скорости
направлены в противоположные направления.
Обсудим теперь механизм возникновения колебаний в лампе обратной волны. На начальном этапе возникновения колебаний, за счет
флюктуаций тока и скорости потока, вдоль линии передачи возбуждаются шумовые электромагнитные волны, представляющие собой непрерывную совокупность бесконечно большого числа гармонических колебаний различных частот. Шумовые электромагнитные волны распространяются как в прямом, так и в обратном направлении с различными скоростями, определяемыми дисперсионной характеристикой замедляющей системы. Скорость же электронно-
го потока вполне однозначна и определяется ускоряющим напряжением. Из всей совокупности шумовых волн условия усиления в лампе будут выполнены только для электромагнитной волны с частотой ы,
для которой Vo немного больше Уф (о;). Шумовая пространственная гармоника, для которой выполняется данное условие (ее частота равна су), по мере распространения к началу лампы вызывает нарастающую к коллекторному концу модуляцию электронного потока по скорости, и соответствующее ей образование электронных сгустков. Если ток пучка таков, что электронная мощность взаимодействия пучка с этой шумовой пространственной гармоникой окажется больше, чем мощность, обусловленная потерями, то в лампе возникают незатухающие колебания с частотой су (минимальное значение тока пучка, необходимое для генерации, называется пусковым). Увеличение амплитуды этих колебаний будет наблюдаться до тех пор, пока мощность на выходе ЛОВ не достигнет мощности насыщения, соответствующей данному току пучка х).
При изменении ускоряющего напряжения, а, следовательно, скорости электронов, будет наблюдаться изменение частоты генерации. Это связано с тем, что при разных скоростях электронного потока, условия самовозбуждения в лампе будут выполняться на той же пространственной гармонике, если фазовая скорость Уф (су) будет несколько меньше скорости электронного потока, а это, из-за наличия дисперсии, будет уже на другой частоте. При этом, благодаря аномальности дисперсии, с увеличением ускоряющего напряжения частота генерируемых колебаний будет всегда увеличиваться. Электронная перестройка частоты ЛОВ возможна в очень широком диапазоне частот, достигающем октавы, и даже превосходящем ее ).
Заметим, что некоторые генераторы на ЛБВ с обратной связью (см. следующий раздел) также обладают свойствами перестройки генерируемой частоты в широком диапазоне, если не считать нежелательных внезапных переходов с одного вида колебаний на другой. Это связано с тем, что для сохранения одного вида колебаний, вдоль петли обратной связи должно укладываться фиксированное целое число длин волн, что с трудом выполняется для ЛБВ. В то же время для ЛОВ это условие выполняется автоматически: лампа обратной волны представляется
г) Исследования последних лет показали, что при дальнейшем увеличении тока пучка и постоянном ускоряющем напряжении в ЛОВ наблюдается цепочка бифуркаций с усложнением спектра выходного сигнала: колебаний нет — одночастотные колебания — многочастотные колебания с дискретным спектром — колебания со сплошным спектром (режим динамического хаоса). Данные вопросы будут подробно обсуждаться в следующей лекции, где будут изложены результаты исследований нелинейных нестационарных режимов работы ЛОВ
системой, которая имеет бесконечно большое число витков обратной связи, каждый из который имеет бесконечно малую протяженность.
«Чужие следы на песке. . . » — история изобретения лампы обратной волны Компфнером и Эпштейном
Работы по созданию лампы с обратной волной велись практически одновременно в СССР [15] (М.Ф. Стельмах и его сотрудники), в США [16] (Р. Компфнер, который начал эти работы в Великобритании, а заканчивал в США вместе с Н.Т.Вильямсом) и во Франции [17] (Б. Эпштейн и другие сотрудники фирмы CSF). Интересно, что все три группы исследователей шли к цели разными путями. Раньше всех начал Компфнер, для которого «... путь от первой идеи к первым экспериментальным наблюдениям был непростым» [16]. Сам Компфнер считает, что для него работа над генератором обратной волны началась с вопроса, который он задал в 1945 г. в Кларедонской лаборатории Оксфорда своему сотруднику: «Как можно превратить ЛБВ в генератор, частота которого перестраивается при изменении напряжения электронного потока?» [16]. В некотором смысле вопрос был странным. Дело в том, что к тому времени ЛБВ была уже весьма широкополосным усилителем, и Пирсу в лаборатории фирмы Белл удалось создать стабильные к самовозбуждению лампы. Было также известно, что если охватить ЛБВ цепью внешней обратной связи, напрямую соединив кабелем вход с выходом, то лампа будет генерировать на дискретных частотах. Для самовозбуждения необходимо, как мы уже отмечали, чтобы ЛБВ обеспечивала достаточно высокий коэффициент усиления (усиление должно превышать потери) и чтобы вдоль всей цепи, включающей лампу и кабель обратной связи, укладывалось целое число длин волн. Из-за того, что спираль — слабодисперсная замедляющая система, при слабом изменении ускоряющего напряжения электронов (скорости потока ^о) частота генерации может меняться мало, поскольку вдоль полной цепи по-прежнему должно укладываться целое число длин волн. При большем изменении напряжения для выполнения фазовых условий генерации должен быть скачок частоты, конечно, если усиление превышает потери. Какой же путь выбирает Компфнер? «Скоро мы поняли, — пишет он, — что из факта принципиального отсутствия дисперсии у спирали следует трудность, если не невозможность, превратить ЛБВ в генератор с электронной перестройкой, и это заставило нас анализировать системы, являющиеся в принципе дисперсными, которые мы назвали системами с дискретным взаимодействием» (discontinous interaction) [16]. В течение 1945-1946 гг. Компфнер подробно изучил процессы в петлеобразном волноводе (рис. 9.5, 12.2), которые мы уже неоднократно обсуждали.
Компфнер — архитектор, ставший физиком-самоучкой, с некоторой горечью пишет в своих воспоминаниях: «Может быть интерес-
но заметить здесь, что догадки, представленные вышеприведенными уравнениями [имеются ввиду соотношения (11.9) и (12.1)] заняли семь месяцев в 1945 г., чтобы оформиться в моем сознании; теперь я знаю, что они были «изобретенным велосипедом» х) для людей, знакомых с многорезонаторными магнетронами, но были скрыты от меня, потому что были описаны на иностранном языке с использованием таких слов, как постоянные распространения, волновые числа и компоненты поля пространственной гармоники. Это то, во что вылилось для меня отсутствие формального образования в области физики» [16]. Более того, Компфнер не понял сразу важности соотношения (12.1) для создания генератора с электронной перестройкой частоты. Он придумал генератор, но это была очень сложная конструкция. Вот путь его рассуждений.
Пусть электронный поток проходит через последовательность бесконечно тонких ВЧ-зазоров, разделенных пространствами дрейфа длиной d. Тогда в простейшем случае для того, чтобы в каждом зазоре электроны «видели» одну и ту же фазу ВЧ-поля, время, за которое электрон двигается от одного зазора к другому, должно быть равно времени, за которое волна с фазовой скоростью Уф продвинется в направлении пучка электронов на целую длину волны А плюс расстояние между зазорами, т. е.
d А + d
^о Уф
Из соотношения (12.7) сразу следует, что
А =(12.8)
Vo
Таким образом как видно из формулы (12.8), изменение скорости электронов приводит к изменению длины волны (при поддержании условий взаимодействия). Следовательно, линия передачи для волны должна обладать дисперсией, чтобы можно было говорить о перестраиваемом электрически генераторе, в котором сохранен принцип ЛБВ. Но нужно было еще добиться, чтобы независимо от значения длины волны вдоль полной замкнутой цепи всегда укладывалось целое число А. Учитывая, что А = ^ттУф/ш, можно переписать выражение (12.8) в виде
(12-9)(12-9)2тг _ cod vq ^ф
(12-9)
(12-9)
Важен вывод Компфнера. «Если Уф постоянная величина (как это приближенно должно быть в линии передачи типа коаксиальной), из (12.9) видно, что когда vq увеличивается, то же самое должно быть
г) В подлиннике were old hat — «были старой шляпой».
и с ш» [16]. Такую зависимость Компфнер назвал «положительной» дисперсией, считая ее типичной для подобного генератора.
Рассмотрим теперь ЛБВ-генератор, в котором электронный поток дискретно взаимодействует с волной в линии передачи, обладающей положительной дисперсией, причем, выход соединен со входом, например, при помощи волновода с такими же свойствами в смысле распространения волны. Пусть автоколебания установились на частоте, приближенно удовлетворяющей соотношению (12.9), и вдоль цепи «дисперсная ЛБВ — волновод обратной связи» укладывается целое число длин волн. Если изменить напряжение электронного пучка незначительно, то незначительно изменится и частота колебаний. Когда это изменение мало (До; <ш),из формулы А = ^тг^ф/ш находим, что
А + ДА = 2тг Гф = 2тг — fl - —)ДА =-А —. (12.10)
ш + Да; w \ w )ш
Но тогда изменится и общее число длин волн, укладывающихся по всей цепи. Оно будет приблизительно равно
N' = n(1 + — V(12-11)
Напомним, что для простоты было сделано предположение об одинаковой положительной дисперсии вдоль всей цепи. Возник принципиальный вопрос: «Можно ли добиться постоянства /V?» Ответ был положительным. «Да, если хотя бы часть замкнутой цепи имеет «отрицательную» дисперсию». Нужны были системы, в которых распространяется волна, обладающая следующим свойством: число длин волн, укладывающихся на заданной длине, уменьшается с ростом частоты. Причем, это уменьшение должно быть достаточно большим, чтобы скомпенсировать аналогичное увеличение в системах с положительной дисперсией (имеется в виду, что замкнутая цепь генератора содержит элементы с обоими видами дисперсии). Компфнер пишет, что с сотрудниками стал искать системы, обладающие подходящими свойствами, и долго не мог ничего найти. Он продолжает с сожалением: «Мы не знали, что они все время «глядели» на нас, спрятанные в обобщение (12.1), согласно которому электроны и волна движутся в противоположных направлениях» [16]. Изобретение ЛОВ опять откладывается!
Компфнер решил моделировать систему с отрицательной дисперсией с помощью предварительно модулированного потока электронов, движущегося в трубке дрейфа, в котором распространяются дисперсные волны пространственного заряда. Предложенный генератор представлен на рис. 12.4 [16]. По признанию самого Компфнера, это была довольно сложная выдумка! При настройке генератора напряжением пучка на тех участках, где он проходит через дисперсную линию передачи, необходимо изменять напряжение на трубке дрейфа (очевидно,
Рис. 12.4. Схематическое изображение дисперситрона (в качестве элемента цепи с отрицательной дисперсией используется электронный пучок, движущийся в трубе дрейфа [16])
в противоположную сторону изменению напряжения в секциях с дисперсными системами). Разумеется, это нужно делать в соответствии с расчетами так, чтобы удерживать N = const.
В 1947 г. произошло событие, отодвинувшее для Компфнера все идеи, связанные с дискретным взаимодействием электронов с ВЧ-по- лями. Ему стала известна работа Пирса, где было доказано, что спираль обладает дисперсией, когда диаметр спирали намного меньше длины волны (см., например, [18]). Конечно, Компфнер вновь с удовольствием обратился к спирали. Это было вполне естественным: он добился преимущества перед другими исследователями при создании ЛБВ исключительно благодаря тому, что применил спираль, и считал ее настолько совершенной линией передачи для создания замедленной волны, взаимодействующей с потоком электронов, «насколько можно вообразить». Следует заметить, что занятия Компфнера генератором были «домашними» (как в свое время работа над изобретением ЛБВ), а в лаборатории он занимался всем тем, что делалось по ЛБВ в Великобритании.
Следующий этап изобретения ЛОВ связан с участием Компфнера летом 1947 г. в конференции по лампам, которая проводилась в Сиракузах в США. На предыдущей конференции электронный мир не только узнал о ЛБВ (Дж. Хэттон изложил некоторые результаты, полученные вместе с Компфнером), но и был поражен после доклада Дж. Пирса тем, сколь далеко продвинулись в ее создании в лабораториях фирмы Белл. Ситуацию на последующей конференции наиболее точно описывает сам Компфнер. «То, что я услышал на Сиракузской конференции в 1947 г., сильно удивило меня. Работа над ЛБВ в Соединенных Штатах развернулась во многих лабораториях и результаты, как теоретические, так и экспериментальные, были не только многочисленны, они были фундаментальны и значительны. Большая группа в лабораториях фирмы Белл под руководством Пирса разработала почти новый язык в этой области, и я с трудом понимал, о чем они говорили. Э.Б. Кал- лик, представитель Британского Адмиралтейства в Вашингтоне в то время, и я были глубоко поражены и обеспокоены. Это было изобретение, сделанное в Британии только несколько лет назад, и теперь мы смотрели на него со стороны. Мы были почти вне его. Нам казалось безнадежным пытаться догнать американцев в исследованиях более или менее обычных ЛБВ. Напротив, мы почувствовали, что если перенести наши усилия на новые области подобно генератору, настраиваемому напряжением, то это будет более эффективным использованием наших талантов и ресурсов» [16]. Сразу же после возвращения в Англию, Каллик и Компфнер встретились с представителями правительственных и промышленных организаций по исследованию СВЧ-ламп, чтобы рассказать о Сиракузской конференции и обратить внимание на то, что инициатива в СВЧ-электронике потеряна Великобританией. В приводимых в [16] «Пунктах для беседы, проведенной 8 августа 1947 г.», есть такой текст:
«Лаборатории фирмы Белл — далеко впереди. Станфордский университет — второй. ... Какое счастье, если в конечном счете нам не придется платить доллары за использование ЛБВ. Но как предотвратить повторение? Предложить оригинальные идеи и концентрировать усилия на них. Я предлагаю две: а) дисперситрон, б) высокомощная ЛБВ *). Что можно получить, если разработка окажется успешной?
Широкополосный генератор вплоть до 8 мм!
Мегаватный полосовой усилитель в диапазоне частот 2100-3950 МГц (1550-5200 МГц), киловатты на 8 мм».
Результатом встречи было увеличение состава лаборатории, занимавшейся исследованием ЛБВ, на 100%. С Компфнером начал работать Ф.Н.Х.Робинсон из SERL, которая имела прекрасные мастерские
г) Под дисперситронами понимались разные генераторы, перестраиваемые напряжением, а высокомощная ЛБВ — клистрон с бегущей волной [19].
Рис. 12.5. Схематическое изображение дисперситрона (используется внешняя обратная связь в виде линии передачи с отрицательной дисперсией) [16]
и оборудование. К этому времени Компфнер придумал два генератора, схематически представленные на рис. 12.5 и 12.6 [16]. В SERL была изготовлена лампа, соответствующая конструкции, схематически представленной на рис. 12.4. 22 апреля 1948 г. Компфнер испытал ее. Лампа генерировала на длине волны около 10 см, но выходная мощность была незначительной, а электронная перестройка по частоте составляла не более 30 МГц. Дисперситрон Марк II был изготовлен в SERL. В этом генераторе электронный пучок дважды пересекает дисперсную спираль — сначала в прямом направлении, затем после прохождения областей дрейфа и отражателя — в обратном (конструкция соответствовала рис. 12.6). Генератор не был испытан, поскольку лампа «натекла». К этому времени Компфнер охладел к дисперсным спиралям, так как измерения показали, что в реальных спиралях, окруженных диэлектриками, в случае положительной дисперсии диаметр спирали оказывался маленьким, что приводило к невозможности
jA^Vt- и &rr»x.. Al Ад/ hjA^Vt- и &rr»x.. Al Ад/ hРис. 12.6. Дисперситрон Марк II содержит отражательный электрод, поэтому обратная связь осуществляется целиком за счет потока электронов [16]Рис. 12.6. Дисперситрон Марк II содержит отражательный электрод, поэтому обратная связь осуществляется целиком за счет потока электронов [16]Рис. 12.7. Принципиальная схема лампы, названной «сосиской» [16]Рис. 12.7. Принципиальная схема лампы, названной «сосиской» [16]
jA^Vt- и &rr»x.. Al Ад/ h
jA^Vt- и &rr»x.. Al Ад/ h
Рис. 12.6. Дисперситрон Марк II содержит отражательный электрод, поэтому обратная связь осуществляется целиком за счет потока электронов [16]
Рис. 12.6. Дисперситрон Марк II содержит отражательный электрод, поэтому обратная связь осуществляется целиком за счет потока электронов [16]
Рис. 12.7. Принципиальная схема лампы, названной «сосиской» [16]
Рис. 12.7. Принципиальная схема лампы, названной «сосиской» [16]
использовать в генераторах большие токи. В областях же с отрицательной дисперсией последняя была столь малой, что ее было недостаточно для описанных выше «компенсацционных» целей. Компфнер вновь обращается к дискретному взаимодействию. Первый результат — «лампа-сосиска» (рис. 12.7). Название связано с тем, что электронный пучок выстреливался в однородное продольное фокусирующее магнитное поле так, чтобы он принимал форму связки сосисок. Такой пучок, двигаясь вдоль оси недисперсной спирали, эффективно взаимодействует с электромагнитной волной там, где он близко подходит к виткам спирали, где электрическое поле намного сильнее, чем на оси. Любопытно, что спустя много лет другие английские исследователи вновь предложили использовать эту идею, модифицировав ее: у них пучок двигался в гладком волноводе и в ускоряющей фазе уходил из области сильного электрического поля [20]. И вот, наконец, на страничке записной книжки Компфнера от 2 мая 1948 г. появляется рисунок лампы (рис. 12.8 [16]), которая вполне соответствует генератору обратной волны. На этой странице Компфнер записал: «Можно
SUiK ^ B.W.O.
^Сгг» AUti^ у * / м^.&н
Рис. 12.8. Схематическое изображение лампы обратной волны из записнойкнижки Компфнера [16]
сделать дисперситрон без внешней обратной связи, с волной и пучком, движущимися в противоположных направлениях, посредством схемы с локальным взаимодействием?... Мы имеем здесь пучок, действующий и как источник энергии и как цепь обратной связи одновременно. Здесь нет одного замкнутого пути, вокруг которого должно укладываться целое число длин волн. Вместо этого есть множество путей, каждый из которых автоматически содержит целое число длин волн. Фактически этот прибор должен иметь очень низкий стартовый ток» [16]. Компф- нер был взволнован открытием, которое, наконец, далось ему в руки, о чем свидетельствует его письмо Каллику в Вашингтон, написанное 30 ноября 1948 г., в котором есть следующий абзац [16].
«Испытывая самую последнюю холодную модель дисперситрона (Марк V) на прошлой неделе, я действительно обнаружил сильную отрицательную дисперсию... Эта самая последняя конструкция дисперситрона, однако, не зависит от отрицательной дисперсии, поскольку является системой с дискретным взаимодействием, в которой волна и пучок движутся в противоположных направлениях. Я действительно верю, что нашел теперь структуру, которая подойдет лучше любой другой... Я очень боюсь, что Пирс и Миллмэн нападут теперь на эту идею, потому что Пирс говорил мне, что его 6-миллиметровая лампа генерировала там, где пучок и волна двигались в противоположных направлениях, и лампа с дискретным взаимодействием — это его лампа» [16].
Оставалось сделать генератор, но этого не произошло. Компфнера мучали сомнения: «В определенном смысле идея генератора обратной волны казалась мне слишком хорошей, чтобы быть правильной. Природа, конечно не могла быть настолько простой?! Пирс и Миллмэн разве не
наблюдают в своей лампе явление, которое должно породить эту идею? Это казалось мне совершенно невероятным» [16]. После нескольких неудачных попыток создать экспериментальный образец он забросил работу. Более того Компфнер не запатентовал ни один из видов придуманных дисперситронов (впоследствии он объяснил это тем, что считал некоторые идеи «сырыми», а отчасти нехваткой персонала в патентном отделе Адмиралтейства). У него не было широкой возможности заниматься СВЧ-электроникой в Англии, поэтому почти без колебаний Компфнер перешел в лаборатории фирмы Белл и 27 декабря 1951 г. присоединился к группе Джона Пирса. Там в лаборатории Нила Вильямса велась работа над 6-мм ЛБВ-усилителем на пространственной гармонике. Это была та лампа, о которой рассказывал Компфне- ру Пирс, упомянув о наблюдении паразитных колебаний на обратной волне. Именно на этой лампе Компфнер и Вильямс впервые осмысленно наблюдали генерацию на обратной волне. Они подсоединили трансформатор к катодному проводу, чтобы осуществить развертку напряжения на несколько сотен вольт; подсоединили индикатор выходной мощности к входному устройству, а к выходному — согласованную нагрузку (ведь они превращали ЛБВ и ЛОВ!). Выходной сигнал отображался на осциллографе, развертка которого была синхронизирована с разверткой напряжения электронного потока. Лампа загенерировала на частоте, определяемой напряжением (причем, на неожиданно низких напряжениях). Диапазон генерируемых частот при электронной перестройке был значительно больше, чем во всех известных генераторах. Артур Карп пришел к выводу, что лампа генерировала на минус второй пространственной гармонике ВЧ-поля замедляющей системы. Когда напряжение подняли выше расчетного значения для усилителя прямой волны, лампа стала генерировать большую мощность на минус первой пространственной гармонике в диапазоне длин волн от 6 до 7,5 мм. Напряжение, соответствующее перекрытию этого диапазона, изменялось от 1800 до 4000 В. Как пишет Компфнер: «.. .на этом уровне лампа долго не жила. Тем не менее генератор обратной волны был продемонстрирован, и никто не думал о потере лампы в те волнующие дни» [16]. При уменьшении тока пучка ниже стартового лампа превращалась в регенеративный усилитель обратной волны. По-существу, из-за очень узкой полосы и высокого коэффициента усиления это был электрически перестраиваемый активный фильтр. Компфнер и Вильямс доложили об этой работе на конференции по электронным приборам Института радиоинженеров в июне 1952 г. в Оттаве. На этой конференции произошло еще одно важное событие. После доклада к Компфнеру и Вильямсу подошел Бернард Эпштейн из CSF (Франция) и рассказал,что он и другие исследователи создали лампу со скрещенными электрическим и магнитным статическими полями, в которой реализуется взаимодействие электронов с ВЧ-полем обратной пространственной гармоники. Лампу назвали «карсинотрон» типа М (у нас принят термин
ЛОВМ) от греческого К arcinox, что означает «рак, пятящийся назад» х), и на прибор выдан патент [17]. Поведение Компфнера в данной ситуации вызывает уважение. «Нам казалось важным, — вспоминает он, — чтобы в этих обстоятельствах Эпштейну была предоставлена возможность сообщить конференции о работе. Это было не легко устроить, поскольку потребовалось несколько трансатлантических телефонных переговоров и вмешательства служб правительства США; но это было выполнено» [16].
Результаты французов были изложены в сообщении Эпштейна в Оттаве и в последующих публикациях [21, 22]. В Оттаве речь шла о ЛОВМ, которая на частоте 3000 МГц дала мощность в несколько сот ватт и имела полосу электронной перестройки порядка 30 %.
В СССР генератор обратной волны, как уже указывалось, был создан в 1948-49 гг. М.Ф. Стельмахом и его сотрудниками [15]. В заявке на авторское свидетельство предлагалось устройство, в котором электронный поток проходил над щелями цепочки резонаторов (одиночная или сдвоенная гребенка) с целью генерирования СВЧ-колебаний. Следует заметить, что и французские и советские исследователи, в отличие от Компфнера, шли от концепции пространственных гармоник ВЧ-поля в замедляющей системе.
Интересно, что все в той же записной книжке на странице от 2 мая 1948 г. Компфнер уже пытался сделать набросок теории ЛОВ, пока лишь задавая вопросы самому себе: «Вопрос в том, какой вид волны возбудит этот сгруппированный пучок? В каком фазовом соотношении находится вторичная волна с первичной?» [16]. Далее Компфнер признается, что на следующих страницах он пытался вычислить пусковые условия, но «неэлегантно и безуспешно» [16].
Позднее наиболее полно на вопросы, поставленные Компфнером, ответил профессор Саратовского университета Владимир Николаевич Шевчик, который подробно обосновал целесообразность использования метода последовательных приближений, впервые примененного Компфнером к ЛБВ, для решения широкого круга задач СВЧ-электроники [24] и, в первую очередь, для ЛОВ [19].
Изложение этой любопытной страницы истории СВЧ-электроники уместно закончить столь подходящими словами Компфнера: «Таким образом оказывается, что генератор обратной волны или карсино-
г) Данное французскими исследователями название следует признать удачным, поскольку оно отмечает главное в приборе. Действительно, термин «обратная волна» подчеркивает то обстоятельство, что групповая и фазовая скорости волны противоположны (противоположны направления распространения волны и потока мощности, переносимого этой волной), поскольку направления движения электронного потока и распространения волны совпадают, мощность в приборе переносится от коллекторного к пушечному концу лампы — «пятится назад».
трон — это одно из тех изобретений, которые были сделаны в разных местах, примерно в одно и то же время и независимо друг от друга. Я думаю, мои чувства по этому поводу смешались, подобно чувствам Робинзона Крузо, когда он обнаружил чужие следы на песке острова» [16].
Теория пускового режима лампы обратной волныв приближении заданного поля
Коэффициент усиления по полю лампы обратной волны при токе меньше пускового может быть записан в виде
(12.12)(12.12)W)
(12.12)
(12.12)
Е(П*
Условием генерации на обратной волне является условие обращения коэффициента усиления в бесконечность или, как следует из определения (12.12) и уравнения (1.72), условие обращения в нуль поля на коллекторном конце лампы:
Е(1) = 0.(12.13)
Это эквивалентно тому, что для ламп с определенной длиной I и ускоряющим напряжением Vo (а, следовательно, и невозмущенной скоростью потока Do = а/ЖЛ?) имеется значение тока пучка /пуск? при котором параметр С N достигает критического значения С Допуск? а параметр холодного рассинхронизма b из формулы (10.11) (или Фо из формулы (9.7)) достигает критического значения Ьпуск (Фо пуск)? необходимого для начала генерации.
Найдем пусковые условия ЛОВ, воспользовавшись уже знакомым нам методом последовательных приближений, ограничившись первым приближением (метод заданного поля). В лекции 7 для случая взаимодействия с прямой волной для напряженности поля в конце линии передачи было выведено соотношение (9.19):
Е(Ц = Е°е-^е1 {1 - (27гC'^)3 [Re F^o) + j Im Г(Ф0)]} ,
которое получалось при комбинировании уравнения для сгруппированного тока (9.12) и уравнения возбуждения (9.18) для случая взаимодействия с прямой волной без учета обратного излучения.
В усилителе обратной волны входной сигнал поступает в линию передачи при х = /, поэтому выражение для него следует записать в виде Е° ехр [—7^0 (ж — /)]. Кроме этого, в уравнении (9.17) теперь уже первый интеграл (J ... dx) соответствует обратному излучению. Тогда, о
в пренебрежении им, уравнение возбуждения в интегральной форме
Рис. 12.9. Графическое решение уравнения (12.18), определяющего пусковое значение Фопуск
для ЛОВ запишется в виде
2 I
Е(х) = E°e"j00^"1^ - ^^ j г^е^0^"^ dx, (12.14)
или, переходя к дифференциальной форме, будем иметь
^+Д№ = ^»(ж)-(12.15)
ах2
Используя соотношение для сгруппированного тока (9.12) и уравнение возбуждения для обратной волны (12.15) и проводя выкладки, аналогичные проведенным в лекции 7, получим, что полное поле вдоль длины пространства взаимодействия выражается соотношением
Е(х) = E°e-jMx-1'1 {1 + ^TrCN f [Re Г(Ф0) + j Im Г(Ф0^ , (12.16)
где действительные и мнимые части функции F даются соответственно выражениями для Fya (9.20) и FyT (9.21).
Тогда, пусковое условие (12.13) может быть переписано в виде
1 + ^CN)3Fla = 0, ГХг = 0,
ИЛИ
| I ^ТгС.У)3 ^ ~ C0S допуск) ~ Допуск ЫпФопуск Q(12 17)
^Опуск
2 sin Фопуск ^0пуск(1 Н~ COS Фопуск) — 0*(12.18)
Последнее уравнение можно использовать для определения критического значения Фопуск
2 8шФОпуск — ^0пуск(1 Н~ COS^onyCK),
графическое решение которого приведено на рис. 12.9. Из него видно,
что решением (12.18) является величина
(12.19)(12.19)^Опуск —7Г(2П + 1), П Е Z.
(12.19)
(12.19)
Значение при п = 0 (допуск = — тг) соответствует оптимальному углу пролета, при котором происходит максимальная передача энергии волне. Подставля это значение в уравнение (12.17), имеем
о 4
1 + ^CNfn уск—з = 0 (С^пуск = 0,315,(12.20)
(-7Г)
^пуск ^пуск ^Опуск ^ | Г о у(2^СУУ)пуск “ ’’^Опуск ^ | Г о у(2^СУУ)пуск “ ’’(12.21)(12.21)
^пуск
^пуск
^Опуск ^ | Г о у
(2^СУУ)пуск “ ’’
^Опуск ^ | Г о у
(2^СУУ)пуск “ ’’
(12.21)
(12.21)
Точное значение, найденное из строгого решения дисперсионного уравнения и уравнений для парциальных волн, дает СNnyCK = 0,3141, Ьпуск = = 1,522. Это свидетельствует о высокой эффективности метода последовательных приближений: уже первое приближение дает результат с точностью ~ 0,3 %.
Из выражения (12.19) следует, что при одном и том же значении ускоряющего напряжения могут возбуждаться несколько волн, фазовые скорости которых определяются из условия (12.19) с учетом определения угла пролета Фо (9.7):
=—£+т’ nEZ- <12-22) 1+ 2^
В этом случае в генераторе имеет место многочастотность, так как волны с различными фазовыми скоростями имеют различные частоты.
Из выражений (12.20), (12.21), учитывая, что (С N)3 = = (IqK/4Vo)N3 фе/Ро)21 можно найти величину пускового тока основного вида колебаний (п = 0). Проводя элементарные выкладки для пускового тока получаем выражение
/пуск0 = 8^^’ (12"23)
Для расчета пусковых значений высших видов колебаний первого приближения недостаточно. Более точный анализ показывает, что пусковой ток первого высшего вида колебаний (п = 1) дается выражением:
Дтуск! — ^пускО '6,3.Дтуск! — ^пускО '6,3.(12.24)(12.24)
Дтуск! — ^пускО '6,3.
Дтуск! — ^пускО '6,3.
(12.24)
(12.24)
Отсюда понятно, что для того, чтобы высшие виды колебаний не возбуждались необходимо выбирать такие значения рабочих токов, чтобы выполнялось условие /о < /пуск1 • х)
г) Заметим, что формула (12.24) справедлива лишь в рамках линейной теории. На самом деле паразитные колебания возбуждаются, когда ток
13 Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов
Рис. 12.10. Зависимость величины С Допуск и Фопуск от затухания в линии передачи. Здесь L = 8,6870/ дБ; Со =4 VoРис. 12.10. Зависимость величины С Допуск и Фопуск от затухания в линии передачи. Здесь L = 8,6870/ дБ; Со =4 VoРассмотрим как влияет наличие потерь в линии передачи и пространственный заряд на пусковые условия генератора обратной волны. Совершенно, очевидно, что наличие распределенного затухания 70 в линии передачи приводит к увеличению СNnyCK, так как часть мощности, тратится на покрытие этих потерь, и к изменению Фопуск (генерируемой частоты) (см. рис. 12.10).
Рис. 12.10. Зависимость величины С Допуск и Фопуск от затухания в линии передачи. Здесь L = 8,6870/ дБ; Со =
4 Vo
Рис. 12.10. Зависимость величины С Допуск и Фопуск от затухания в линии передачи. Здесь L = 8,6870/ дБ; Со =
4 Vo
В случае больших пространственных зарядов при Фо = — 6Р = = wpl/vo (b = V^QC) можно показать [25], что распределение поля вдоль пространства взаимодействия дается простым выражением:
E(x) = E(0^^COS-^^.
Тогда условие самовозбуждения ЛОВ (12.13) имеет вид
tvCN пCOS77т = 0,
(QC)1/4’
откуда следует, что
(CW)nyCK = (п + цг^дс)1/4, n£Z,
^пуск ^^Q С .
(12.25)(12.25)(12.26)(12.26)(12.27)(12.27)(12.28)(12.28)Рассмотрим на основании этого более подробно высшие типы колебаний в ЛОВ. Учитывая, что (ЗеСх = тгСN, условие (12.15) выразиться в виде
(12.25)
(12.25)
(12.26)
(12.26)
(12.27)
(12.27)
(12.28)
(12.28)
откудаоткуда(QC)1/4 =(QC)1/4 =Ре С/пуск тг(2п + 1) ’Ре С/пуск тг(2п + 1) ’(12.29)(12.29)/ЗеС'/пуск = тг(2п + 1)(ОС)1/4,
откуда
откуда
(QC)1/4 =
(QC)1/4 =
Ре С/пуск тг(2п + 1) ’
Ре С/пуск тг(2п + 1) ’
(12.29)
(12.29)
где /Пуск ~ длина пространства взаимодействия, соответствующая началу генерации — пусковая длина лампы. Заметим, что при рассмотре-
превосходит значения соответствующие стационарному режиму генерации (см. лекция 12), и условия их возбуждения следует находить из нелинейной теории.
нии ЛОВ часто вместо пускового тока пользуются понятием пусковой длины. С учетом соотношения (12.29) выражение для поля вдоль пространства взаимодействия (12.25) можно представить в видении ЛОВ часто вместо пускового тока пользуются понятием пусковой длины. С учетом соотношения (12.29) выражение для поля вдоль пространства взаимодействия (12.25) можно представить в видеЕ(х) = E(Q)e~j/3°x cosЕ(х) = E(Q)e~j/3°x cosтг(2п + 1) ж97"Ьпусктг(2п + 1) ж97"Ьпуск(12.30)(12.30)При п = 0 поле в линии передачи, как следует из (12.30), обращаетПри п = 0 поле в линии передачи, как следует из (12.30), обращается в нуль только в одной точке ж = /Пуск в конце пространства взаимодействия. Понятно, что условие Е(1пуск) соответствует пусковым условиям генератора. При п = 1 полеся в нуль только в одной точке ж = /Пуск в конце пространства взаимодействия. Понятно, что условие Е(1пуск) соответствует пусковым условиям генератора. При п = 1 полеобращается в нуль уже в двух точках ж = — ^пуск/3, ^ — ^пуск* При in — 2 пусковые условия имеют место уже при 1Пуск/5, З/пуск/5 и /пуск и т. д. Соответствующие распределения полей вдоль пространства взаимодействия представлены на рис. 12.11.Из соотношения (12.27), возводя его в четвертую степень и производя тождественные преобразования, можно получить выражение видаNT1и^ПуСК7 - 16обращается в нуль уже в двух точках ж = — ^пуск/3, ^ — ^пуск* При in — 2 пусковые условия имеют место уже при 1Пуск/5, З/пуск/5 и /пуск и т. д. Соответствующие распределения полей вдоль пространства взаимодействия представлены на рис. 12.11.Из соотношения (12.27), возводя его в четвертую степень и производя тождественные преобразования, можно получить выражение видаNT1и^ПуСК7 - 16Рис. 12.11. Распределение полей различных видов колебаний в лампе обратной волныРис. 12.11. Распределение полей различных видов колебаний в лампе обратной волныоткуда следует общая формула для пусковых токов различных видов колебаний:откуда следует общая формула для пусковых токов различных видов колебаний:г _ (2и + l)4(Q/^)Vo пуск" "4№Кг _ (2и + l)4(Q/^)Vo пуск" "4№К(12.31)(12.31)Для основного вида колебаний /пуСкО =Для основного вида колебаний /пуСкО =(Q/NWoч^тг’откуда(Q/NWoч^тг’откудаЛтуск пЛтуск п— (2п + I)4/пускО-— (2п + I)4/пускО-(12.32)(12.32)
нии ЛОВ часто вместо пускового тока пользуются понятием пусковой длины. С учетом соотношения (12.29) выражение для поля вдоль пространства взаимодействия (12.25) можно представить в виде
нии ЛОВ часто вместо пускового тока пользуются понятием пусковой длины. С учетом соотношения (12.29) выражение для поля вдоль пространства взаимодействия (12.25) можно представить в виде
Е(х) = E(Q)e~j/3°x cos
Е(х) = E(Q)e~j/3°x cos
тг(2п + 1) ж
97
"Ьпуск
тг(2п + 1) ж
97
"Ьпуск
(12.30)
(12.30)
При п = 0 поле в линии передачи, как следует из (12.30), обращает
При п = 0 поле в линии передачи, как следует из (12.30), обращает
ся в нуль только в одной точке ж = /Пуск в конце пространства взаимодействия. Понятно, что условие Е(1пуск) соответствует пусковым условиям генератора. При п = 1 поле
ся в нуль только в одной точке ж = /Пуск в конце пространства взаимодействия. Понятно, что условие Е(1пуск) соответствует пусковым условиям генератора. При п = 1 поле
обращается в нуль уже в двух точках ж = — ^пуск/3, ^ — ^пуск* При in — 2 пусковые условия имеют место уже при 1Пуск/5, З/пуск/5 и /пуск и т. д. Соответствующие распределения полей вдоль пространства взаимодействия представлены на рис. 12.11.
Из соотношения (12.27), возводя его в четвертую степень и производя тождественные преобразования, можно получить выражение вида
NT
1и^ПуСК7 - 16
обращается в нуль уже в двух точках ж = — ^пуск/3, ^ — ^пуск* При in — 2 пусковые условия имеют место уже при 1Пуск/5, З/пуск/5 и /пуск и т. д. Соответствующие распределения полей вдоль пространства взаимодействия представлены на рис. 12.11.
Из соотношения (12.27), возводя его в четвертую степень и производя тождественные преобразования, можно получить выражение вида
NT
1и^ПуСК7 - 16
Рис. 12.11. Распределение полей различных видов колебаний в лампе обратной волны
Рис. 12.11. Распределение полей различных видов колебаний в лампе обратной волны
откуда следует общая формула для пусковых токов различных видов колебаний:
откуда следует общая формула для пусковых токов различных видов колебаний:
г _ (2и + l)4(Q/^)Vo пуск" "4№К
г _ (2и + l)4(Q/^)Vo пуск" "4№К
(12.31)
(12.31)
Для основного вида колебаний /пуСкО =
Для основного вида колебаний /пуСкО =
(Q/NWo
ч^тг’откуда
(Q/NWo
ч^тг’откуда
Лтуск п
Лтуск п
— (2п + I)4/пускО-
— (2п + I)4/пускО-
(12.32)
(12.32)
В частности для основного и первого вида колебаний имеем /цуск! / /цускО = 81- Сравнивая это соотношение с выражением для пускового тока первого вида колебаний в ЛОВ без учета пространственного заряда (формула (12.24)), можно видеть, что пространственный заряд приводит к увеличению пускового тока высших видов колебаний по сравнению с пусковым током нулевого вида. Отсюда понятно, что, следуя линейной теории, для создания ламп, устойчивых к возбуждению паразитных видов колебаний, необходимо увеличивать в них роль пространственного заряда.
Как же соотносятся частоты различных видов колебаний? Формула (12.28) представляет собой частотную характеристику генератора в пус-
ковом режиме. Используя (12.27), выражение (12.28) легко представить в виде:
(Ро - Опуск = тг(2п + I)2 (Q/N). (12.33)
Отсюда видно, что величина (^о — /Зе)1Пуск увеличивается с ростом номера вида колебаний. Так как в ЛОВ используются замедляющие системы с аномальной дисперсией (увеличение |/3| приводит к уменьшению ш), то частота генерации высших видов колебаний будет меньше, чем основного. Таким образом высшие виды колебаний должны появляться на низкочастотном конце диапазона.
Нелинейное поведение лампы обратной волны (результаты стационарной нелинейной теории)
Изложим теперь результаты, касающиеся нелинейного поведения генератора обратной волны в рамках стационарной теории. Исходные предположения и методика вывода нелинейных стационарных уравнений ЛОВ совпадают с принятыми в нелинейной теории ЛБВ (см. лекцию 10). Прямолинейный электронный пучок представляется последовательностью заряженных дисков, взаимодействующих с усредненной по поперечному сечению пучка продольной компонентой бегущей электромагнитной волны. Электродинамическая система предполагается полностью согласованной в отсутствии пучка с одной стороны — с выходной нагрузкой, а с другой стороны — с поглощающей нагрузкой. Плотность тока пучка считается неизменной по поперечному сечению пучка, т. е. не учитываются поперечные движения электронов и расслоение потока в поперечном направлении. Параметр усиления предполагается малым (С <С 1).
При построении нелинейной теории ЛОВ ограничиваются учетом взаимодействия электронного потока только с основным типом колебаний. Влияние сил пространственного заряда учитывается методом функции Грина.
Не будем останавливаться на выводе нелинейных уравнений ЛОВ, так как он в общих чертах совпадает с соответствующими выкладками нелинейной теорией ЛБВ. Вывод уравнений подробно дан в работе [26], где наиболее полно изложена стационарная нелинейная теория ЛОВ. Приведем лишь некоторые результаты численного решения нелинейных стационарных уравнений.
На рис. 12.12 показана теоретическая зависимость нормализованного к.п.д. т]/С от безразмерной длины пространства взаимодействия 6 = = реСI при отсутствии затухания в линии передачи [27]. На рис. 12.13 приведена зависимость нормализованной мощности РN/(InyCKVo) от /0/^пуск (N — число замедленных длин волн на длине пространства взаимодействия). Распределения нормированной амплитуды поля F и нор-
Рис. 12.13. Зависимость мощности генерации от тока пучкаРис. 12.13. Зависимость мощности генерации от тока пучкаРис. 12.12. Зависимость величины к.п.д. от длины пространства взаимодействия 6. Здесь кривая I соответствует параметру пространственного заряда 4QC = О, II — 4QC = 1,5
Рис. 12.13. Зависимость мощности генерации от тока пучка
Рис. 12.13. Зависимость мощности генерации от тока пучка
мированной первой гармоники сгруппированного тока /1 вдоль длины пространства взаимодействия 6 = ^еСх изображены на рис. 12.14.
Рис. 12.14. Распределения амплитуды поля F (а) и первой гармоники сгруппированного тока /1 (б) вдоль длины пространства взаимодействия при различных токах пучкаРис. 12.14. Распределения амплитуды поля F (а) и первой гармоники сгруппированного тока /1 (б) вдоль длины пространства взаимодействия при различных токах пучкаИз рисунков видно, что в недонапряженном режиме (часть кривой I на рис. 12.12 левее точки 2 — точки максимального значения г]/С) характер распределения поля такой же, как и в пусковом режиме генератора (см. предыдущий параграф), в то время как распределение амплитуды первой гармоники сгруппированного тока аналогично тому, которое имеет место в пусковом режиме (кривая I на рис. 12.14) только при длинах пространства взаимодействия (или токах (рис. 12.15)), незначительно превышающих пусковые значения (до точки 1 на кри-
Рис. 12.14. Распределения амплитуды поля F (а) и первой гармоники сгруппированного тока /1 (б) вдоль длины пространства взаимодействия при различных токах пучка
Рис. 12.14. Распределения амплитуды поля F (а) и первой гармоники сгруппированного тока /1 (б) вдоль длины пространства взаимодействия при различных токах пучка
вой I (рис. 12.14)). При увеличении тока или длины пространства взаимодействия еще в пределах недонапряженного режима группировка электронов становится оптимальной не в конце пространства взаимодействия, а в середине его.
Уже при значении 0. соответствующем максимальному к.п.д., появившийся при движении в сильном продольном поле разброс скоростей электронов приводит к разгруппировке сгустков в сравнительно
Рис. 12.15. Зависимость величины к.п.д. от тока пучкаРис. 12.15. Зависимость величины к.п.д. от тока пучкамалом поле непосредственно за точкой обгона электронов (кривые II на рис. 12.14). Данная разгруппировка практически эквивалентна кинематической разгруппировке пучка в пространстве дрейфа клистрона.
Рис. 12.15. Зависимость величины к.п.д. от тока пучка
Рис. 12.15. Зависимость величины к.п.д. от тока пучка
Стационарная нелинейная теория предсказывает, что дальнейшее увеличение длины пространства взаимодействия (тока пучка) приводит к еще более сильной разгруппировке сгустков. В конце концов в некоторой точке вдоль
пространства взаимодействия амплитуда первой гармоники тока падает почти до нуля и ее фаза изменяется приблизительно на 180°. Затем вновь начинается процесс группировки, и электроны собираются в сгустки. В результате этого возникает распределение поля с минимумом (кривые III на рис. 12.14). Генератор разделяется как бы на два участка, работающих в противофазе, причем границей их является точка 6 = ^опт? которая соответствует макимальному к.п.д.
Вышеописанный режим носит названия перенапряженного режима работы лампы обратной волны. Как показали дальнейшие исследования в рамках нестационарной теории ЛОВ, перенапряженный режим не реализуется физически. При значениях параметров, соответствующих ему, стационарное решение становится неустойчивым, и система
переходит к нестационарным режимам генерации, которые характеризуются динамикой во времени как пространственных распределений величин вдоль пространства взаимодействия, так и выходного излучения. Подробно нестационарные режимы работы ЛОВ будут обсуждаться в следующей лекции. Пока лишь заметим, что данные режимы, получившие название автомодуляционных (выбор такого названия связан с тем, что нестационарная динамика развивается на фоне колебаний с частотой, примерно равной частоте генерации в стационарном режиме), наблюдаются при малых величинах пространственного заряда и в достаточно длинных лампах.
Теоретические исследования нелинейных режимов в ЛОВ [14, 27, 28], а также экспериментальные результаты [29, 30] свидетельствуют о том, что максимальный к.п.д. ЛОВ ^(С при #опт) растет при увеличении параметра пространственнного заряда 4QC (см. кривую II на рис. 12.12), если значение величины 4QC достаточно мало.
Последнее связано с тем, что небольшие поля пространственного заряда компенсируют кинематическую разгруппировку электронов и тем самым увеличивают длину эффективного пространства отбора мощности, что и приводит к увеличению значения максимального к.п.д. при росте параметра пространственного заряда. Однако при больших значениях 4QC происходит ограничение переменной составляющей первой гармоники сгруппированного тока, поэтому существует некоторое оптимальное значение параметра пространственного заряда (4QC)onT, при котором к.п.д. генератора максимален [26]. Расчеты работы [26] также показали, что радиус пучка заметно влияет на к.п.д. лампы, причем при данном параметре 4QC имеется некоторый оптимальный радиус, при котором к.п.д. максимален.
Лампа обратной волны магнетронного типа
Лампа обратной волны М-типа является типичным представителем лучевых приборов со скрещенными полями. Схема конструкции ЛОВМ представлена на рис. 12.16а х). Отметим основные элементы конструкции ЛОВМ:
замедляющая система, в которой может распространяться обратная волна (обратная пространственная гармоника);
коаксиальный с замедляющей системой цилиндрический электрод, находящийся под отрицательным потенциалом относительно катода (его обычно называют «холодным катодом»);
электронная пушка со сложной электронной оптикой, которая создает пучок с круговыми траекториями;
коллектор, собирающий электроны, не осевшие на замедляющую систему, и расположенный около него согласованный поглотитель;
ВЧ-вывод энергии, соединяющий катодную часть замедляющей системы с внешней нагрузкой.
Пространство взаимодействия помещается в однородное аксиальное магнитное поле. Схема плоской конструкции такого генератора приведена на рис. 12.165.
Возникновение колебаний в ЛОВМ практически ничем не отличается от вышеописанных явлений в ЛОВО-генераторе. Основное отличие
г) Именно такая лампа была создана французами.
Рис. 12.16. Схема лампы обратной волны магнетронного типа: а — цилиндрическая конструкция; б — плоская конструкция
состоит в том, что в ЛОВМ для начала генерации необходим точный синхронизм между скоростью электронного потока и фазовой скоростью холодной волны (^о = ^ф). При определенном пусковом значении тока пучка в лампе возникают колебания с частотой, которая определяется дисперсией замедляющей системы и скоростью электронов.
Группирование электронов и их взаимодействие с ВЧ-полем аналогично процессам имеющим место в магнетронном усилителе: поперечное ВЧ-поле приводит к группированию электронов в тормозящей фазе продольного поля: электронный поток отдает ВЧ-полю свою потенциальную энергию, смещаясь в среднем к замедляющей системе.
Мы не излагаем здесь теорию ЛОВМ, так как это достаточно хорошо освещенный в литературе вопрос: в качестве источника, где детально разработана общая теория лучевых приборов магнетронного типа (не только ЛОВМ), можно порекомендовать издание лекций [31], прочитанных большим авторским коллективом на 2-й зимней школе-семинаре по СВЧ-электронике (Саратов, 1972); некоторые вопросы линейной теории ЛОВМ подробно изложены в монографии [25] (глава V); неста-
ционарная теория ЛОВМ и ее результаты приведены в коллективной монографии [14] (глава III).
Список литературы
Безручко Б. И., Кузнецов С. И., Трубецков Д.И. Стохастические автоколебания в системе электронный пучок-обратная волна // В сб.: «Нелинейные волны. Стохастичность и турбулентность». Горький: АН СССР Институт прикладной физики, 1980, С. 29.
Гинзбург И.С., Кузнецов С.И., Федосеева Т.Н. Теория переходных процессов в релятивистской ЛОВ // Изв. вузов. Радиофизика. 1978. Т.21,№7. С. 1037.
Рискни Н.М., Титов В.Н., Трубецков Д.И. Детали перехода к хаосу в системе электронный пучок — обратная электромагнитная волна // Доклады РАН. 1998. Т. 358. С. 620.
Рискни Н.М., Титов В.Н. О сценарии перехода к хаосу в однопараметрической модели лампы обратной волны // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1998. Т. 6, Я21. С. 75.
Пегель И.В. Моделирование нестационарных процессов в релятивистской лампе обратной волны методом макрочастиц // Изв. вузов. Физика. 1996. Т. 39, Я912. С. 62.
Рискни Н.М., Титов В.Н. Нелинейная динамика релятивистской лампы обратной волны // Труды VII Всероссийской школы- семинара «Физика и применение микроволн», 24-30 мая 1999 г., Красновидово, Московская область. Том 1, С. 126.
Красников Л.В., Рискни Н.М. Прохождение детерминированного хаотического сигнала через усилитель обратной волны // Труды VII Всероссийской школы-семинара «Физика и применение микроволн», 24-30 мая 1999 г., Красновидово, Московская область. Том 1, С. 100.
Трубецков Д.И.. Анфиногентов В. Г., Рискни Н.М., Титов В.Н., Храмов А.Е. Сложная динамика электронных приборов СВЧ (нелинейная нестационарная теория с позиций нелинейной динамики) // Радиотехника. 1999. Т. 63, Я9 4. С. 61.
Безручко Б.И., Кузнецов С.И., Трубецков Д.И. Экспериментальное наблюдение стохастических автоколебаний в динамической системе электронный поток — обратная электромагнитная волна // Письма в ЖЭТФ. 1979. Т. 29, Я^ 3. С. 180.
Безручко Б.И., Булгакова Л.В., Кузнецов С.И., Трубецков Д.И. Экспериментальное и теоретическое исследование стохастических автоколебаний в лампе обратной волны // Лекции по электронике
СВЧ и радиофизике (5-я зимняя школа-семинар инженеров). Саратов: Изд-во СГУ, 1980, С. 25.
Гинзбург Н.С., Зайцев Н.И.. Иляков Е.В., Кулагин И. С., Новожилов Ю.В., Сергеев А.С., Ткаченко А.К. Наблюдение автомодуля- ционных режимов генерации в мощной ЛОВ // Письма в ЖТФ. 1998. Т. 24, №20. С. 66.
Плазменные и электронные усилители и генераторы СВЧ. — М.: Сов. радио, 1965.
Trivelpiece A.W. Interaction of electron beam with backward-wave mode in a ferrite rod. — Internal. Microwellenrohren. Munchen, 1960, 251.
Электроника ламп с обратной волной / Под ред.В.Н.Шевчика и Д.И. Трубецкова. — Саратов: Изд-во Сарат.ун-та, 1975.
Стельмах М. Ф. Генераторное устройство микроволнового диапазона. — Авторское свидетельство No 172364, 1948.
Kompfner R. The invention of travelling wave tubes // IEEE Trans, on ED. 1976. V. ED-23, № 7. P. 730.
Epsztein B. Oscillateur tube a onde progressive avec propgation de 1 energie electromagnetique en sens inverse du faiseau. — Tranz. Patent Anm. No 608149. V.13.4.1951.
Пирс Дж. Лампа с бегущей волной. — М.: Сов.радио, 1952.
Шевчик В.Н. Основы электроники сверхвысоких частот. — М.: Сов.радио, 1959.
Dyott R.B., Davies М.С. Interaction between an electron beam of periodically varying diameter and EMwaves in cylindrical guide // IEEE Trans, on ED. 1966. V. ED-13, № 3. P. 374.
Guenard P. Doehler O., Epsztein B.. Warnecke R. Nouveaux tubes oscillateurs a large bande d’accord electronique pour huperfrequences // Comptes Rendus Acad. Sci. Paris. 1952. V. 235. P. 236.
Warnecke R.R., Guenard P.. Doehler O., Epsztein B. The «М»-type carcinotron tube // PIRE. 1955. V.43, №4. P. 413.
Альтшулер Ю.Г., Татаренко А.С. Лампы малой мощности с обратной волной. — М.: Сов.радио, 1963.
Шевчик В.Н. Взаимодействие электронных пучков с электромагнитными волнами. — Саратов: Изд-во Сарат. университета, 1963.
Шевчик В.Н., Трубецков Д.И. Аналитические методы расчета в электронике СВЧ. — М.: Сов. радио, 1970.
Рапопорт Т.Н. Нелинейная теория генератора обратной волны с периодической замедляющей структурой // Радиотехника и электроника. 1964. Т. 9, № 3. С. 483.
Рапопорт Г.Н. Некоторые результаты нелинейной теории автоколебаний лампы обратной волны с продольным полем // Доклады АН СССР. 1957. Т. 117, № 3. С. 411.
Рапопорт Г.Н. О механизме возрастания к.п.д. генератора обратной волны при увеличении параметра объемного заряда // Радиотехника и электроника. 1958. Т. 1, Я5 5. С. 599.
Grow R., Watkins D.Q. Backward-wave oscillator efficiency // Proc. IRE. 1955. V.43, №7. P. 848.
Johnson H.R. Backward-wave oscillators // Proc. IRE. 1955. V.43. P. 684.
Бочаров E.H., Гаврилов M.B., Левин Ю.Н., Соколов Д.В., Тру- беуков Д.И.. Шараевский Ю.П. Теория лучевых приборов магнетронного типа // Лекции по электронике СВЧ и радиофизике (2я зимняя школа-семинар инженеров), Книга V. Саратов: Изд-во СГУ, 1972.
Лекция 13
КАРСИНОТРОН КАК РАСПРЕДЕЛЕННАЯАВТОКОЛЕБАТЕЛЬНАЯ СИСТЕМА
Что ожидает нас в более сложных уравнениях, если даже в таком простом уравнении с одним- единственным параметром мы видим такое разнообразие возможностей!
Р.П. Фейнман
Натурный эксперимент и нестационарная теория ЛОВ: от монохроматических автоколебаний через автомодуляцию к динамическому хаосу. Релятивистский карсинотрон: нестационарная теория и результаты численного моделирования. Влияние сил пространственного заряда и отражений от концов замедляющей структуры на генерацию в релятивистской ЛОВ. Экспериментальное исследование сложной динамики в релятивистской ЛОВ. Релятивистский карсинотрон и радиолокация.
Как уже указывалось выше, последовательная теория должна рассматривать лампу обратной волны как распределенную автоколебательную систему. Целью теории должно быть исследование характера изменения величин, описывающих поле и электронный поток как во времени, так и в пространстве. В данной лекции изложим простейшую нестационарную теорию ЛОВ, а также результаты, предсказываемые ею, и их трактовку с позиций нелинейной динамики.
Нестационарная теория ЛОВ базируется на методе медленно меняющихся амплитуд. Поле обратной волны в линии передачи представляется функцией с комплексной амплитудой, медленно меняющейся на протяжении временного и пространственного периода высокочастотного поля. Гармоника ВЧ-тока в этом случае также будет иметь, в отличие от стационарной теории [1, 2], медленно меняющуюся амплитуду. Остальные предположения полностью эквивалентны сделанным нами в рамках рассмотрения стационарной нелинейной теории ЛБВ: рассматривается одномерное движение электронного потока; учитывается взаимодействие с одной пространственной гармоникой ВЧ-поля,
причем параметр усиления полагается малым (С <С 1); не учитывается расслоения потока в поперечном направлении и т. д.
Как и в предыдущих лекциях, для анализа выведенных нелинейных нестационарных уравнений используется численное моделирование, на конкретных особенностях которого остановимся в следующей лекции.
Натурный эксперимент и нестационарная теория ЛОВ:от монохроматических автоколебаний черезавтомодуляцию к динамическому хаосу
Будем рассматривать модель ЛОВ, которая представляет собой согласованный на концах отрезок периодического волновода длины L, пронизываемый электронным пучком с невозмущенной скоростью pq. Не будем учитывать, как и при построении нелинейной теории ЛБВ в лекции 10, такие явления как расслоение электронного потока в поперечном направлении, остановку и отражение электронов, поперечные движения электронов.
Для построения нестационарной теории воспользуемся выведенными в первой лекции нестационарным уравнением (1.103) возбуждения линии передачи током медленно меняющейся амплитуды. В пренебрежении потерями в линии передачи (7^ = 0 в уравнении (1.103)) уравнение (1.103) можно записать в виде
1 ЭС±8 , эс±8 _ 1
У5Гр Э1 Эх ~«Ns\dS J а(г^)Е±^е(13Л)
E = Re (д_8Е_8е^е) ,(13.2)
гдеЕ±$ = E±s(s, у, z)e=F^‘x —собственные функции ±8-й волны, Ns — норма, численно равная учетверенному потоку мощности, переносимому волной при |C_S| = l,ysrp = 1/ДД^). Учитывать будем только одну рабочую пространственную гармонику поля. Разложим собственную функцию E^-s в ряд:
s±s = 52 E±sn(.y, г) exp [-j (±^g + ^) ж] ,(13.3)
где d — период волновода. Теперь в соотношениях (13.1) и (13.2) необходимо вместо E±s взять соответствующий член ряда. Тогда, выбирая нормировку собственной функции так, чтобы E±snx = =pl (в этом случае Ns > 0 [5]) и полагая, что j = j/ (jiS_t = /(жД), S± — площадь поперечного сечения электронного пучка), вычислим интеграл в правой части (13.1):
Q^+2tt
[ dS [ .Иг^Езе-^^Ш) =
S± Qt
= 4rS± [ jtE±sn$e-imei^ d(to) =
iv Ns J
Q^+2tt
= JL | dS j Цх^е-^-*^ d^t). (13.4)
S S±
Введем, учитывая определение, сопротивление связи К = 2/{3^Ns, а также обозначим C_s = Е. В итоге приходим к уравнению возбуждения для обратной волны в форме
гдегде(13.5)(13.6)(13.5)(13.6)1 ЭЕ ЭЕ _ ^Куvrp dt Эх 2’
где
где
(13.5)
(13.6)
(13.5)
(13.6)
£+2tt/Q
7=-[ /(ж, ty-^^i^ dt
TV J
— медленно меняющаяся амплитуда тока пучка. Граничное условие для уравнения (13.5) в случае ЛОВ-генератора выражает равенство нулю поля на коллекторном конце лампы Е(х = /) = 0 (/ — длина лампы).
Продольное электрическое поле, воздействующее на электронный поток, будет даваться в виде
Е = Не ^(жЛ) exp [JQ (t — ж/vo)]} ,(13-7)
где частота Я определяется из дисперсионного уравнения замедляющей системы
(13.8)(13.8)^ф(Я) = v0,
(13.8)
(13.8)
а условие медленного изменения амплитуды волны по сравнению с exp УЯ^] определяется выражением
(13.9)(13.9)1 9Е_ПЁ dt
(13.9)
(13.9)
Перейдем теперь к анализу движения электронов в поле бегущей волны (13.7) и расчету создаваемого ими конвекционного тока. Будем в дальнейшем пренебрегать учетом поля пространственного заряда. Рассмотрим группу электронов, влетевших в пространство дрейфа за время (^i,^i + 2тг/Я). Будем полагать на основании условия медленного изменения амплитуды поля во времени (13.9), что все электроны
движутся в поле одинаковой амплитуды E(x,t± + x/vq). Тогда можно показать, аналогично тому, как это уже делали при выводе нелинейных уравнений ЛБВ, что уравнение движения отдельного электрона дается выражением (10.3):
Э21 (dt \3 , х — I ЛЕ. (13.10)
Эх2 \Эх ) 1 v 7
Как и в лекции 10, перейдем к зависимости не от координаты ж, а от величины РСх. Однако в данном случае выберем несколько другую нормировку: £ = ^СхЩ т = Величина т называется безразмерным временем, хотя ее смысл в соответствии с определением более сложен. Действительно, можно представить себе, что в каждой точке с координатой х стоят свои часы, которые отстают от часов, находящихся в начале координат на время Д^ = ж/^о- Несложно видеть, что показания таких часов пропорциональны т. Использование переменной т вместо времени t удобно по двум причинам. Во-первых, из числа управляющих параметров за счет выбора нормировки исключается групповая скорость, а, во-вторых, вместо начальных условий для поля и пучка необходимо задавать только начальные условия для поля.
Тогда, вводя медленно меняющуюся фазу электрона относительно волны 6 = Q (t — ж/^о), уравнение движения (13.10) и уравнение возбуждения (13.5) могут быть представлены в новых переменных в виде
^2 =-L2Re^e, (13.11)
ЭУ дУЭт ЭЕЭУ дУЭт ЭЕ2тг-- [ e"ie d90,7Г JО2тг-- [ e"ie d90,7Г JО(13.12)(13.12)
ЭУ дУ
Эт ЭЕ
ЭУ дУ
Эт ЭЕ
2тг
-- [ e"ie d90,7Г J
О
2тг
-- [ e"ie d90,7Г J
О
(13.12)
(13.12)
которые, будучи дополнены начальными и граничными условиями
(13.13)(13.13)< = О) = 0о,^7^ = 0) = 0,
(13.13)
(13.13)
= 1) = 0, ^(т = 0, £) = ^(е),
представляют собой систему уравнений, описывающих простейшую
Е2^V0C2Е2^V0C2нестационарную нелинейную модель лампы с обратной волной. Здесь
Е2^V0C2
Е2^V0C2
— нормированная амплитуда поля; Vo = ^о 1^*6 — ускоряю
щее напряжение. Величина L = ПС1 /vq является единственным управ
ляющим (бифуркационным) параметром рассматриваемой нелинейной
системы уравнений. Поэтому система уравнений (13.11)—(13.13) часто называется однопараметрической моделью лампы обратной волны х).
Полученная система уравнений является сильной идеализацией, не учитывающей целый ряд важных факторов (в первую очередь, это касается влияния сил пространственного заряда и отражений в лампе). Вместе с тем, даже сильно упрощенная модель такой сложной распределенной системы, какой является карсинотрон, позволяет объяснить целый ряд явлений, которые наблюдаются экпериментально. Нас в первую очередь будут интересовать вопросы, связанные со сложной нелинейной динамикой ЛОВ. Этот интерес определяется как фундаментальными проблемами анализа сложной динамики распределенных автоколебательных систем (среди которых ЛОВ является одной из наиболее типичных систем электронной природы), так и прикладными задачами разработки эффективных генераторов хаоса СВЧ-диапазона.
Ещё ранние теоретические и экспериментальные исследования лампы обратной волны (см. работы [6-11]) показали, что при увеличении тока пучка (или увеличении параметра L в модели (13.11)—(13.13)) в ЛОВ режим стационарной одночастотной генерации сменяется двухчастотным (т. е. выходной сигнал становится промодулированным) — режим автомодуляции. Далее с увеличением тока наблюдается усложнение колебаний вплоть до возникновения режимов динамического хаоса. Как было показано в вышеназванных работах, причиной автомодуляции является перегруппировка электронов в поле электромагнитной волны большой амплитуды и запаздывание реакции системы «электронный поток — обратная волна» на начало действия нелинейности.
Обсудим основные результаты, полученные при экспериментальном исследовании сложных режимов колебаний в ЛОВ [9]. Заметим, что эксперименты проводились на специальных лабораторных макетах, основные особенности и отличия которых от традиционных ЛОВ заключаются в большей длине пространства взаимодействия (До^ > 150) и большем поперечном сечении пучка (до 3 см2). Важное внимание также уделялось уменьшению потерь в замедляющей системе и отражений от концов лампы. Применение многолучевой конструкции электронной пушки и наличие отдельного пролетного канала для каждого луча позволило значительно уменьшить провисание потенциала в пучке, что в свою очередь, дало возможность существенно снизить статический разброс электронов по скоростям.
Все вышеназванные особенности в конструкциии макетов позволили получать значения параметра L от 0 до 10-12 при удовлетворительном выполнении допущений, сделанных при выводе уравнений (13.11)-
Д Заметим, что данное название нельзя признать удачным: более точным было бы название «модель лампы обратной волны с одним бифуркационным параметром».
(13.12). Здесь будут приведены результаты, полученные только на одном экспериментальном макете ЛОВ. Более подробно данные результаты изложены в работе [9], где также имеется сравнение результатов,
полученных на различных макетах.
При увеличении тока пучка / и постоянном напряжении V наблюдается последовательность бифуркаций (при токах пучка /i(V), ^(V) и т. д.), каждая из которых сопровождается усложнением спектра выходного сигнала. На рис. 13.1
на плоскости управляющих параметров (V, /) показаны области существования различных динамических режимов; на рис. 13.2 — соответствующие спектры выходного сигнала. Рассмотрим эти режимы.
При токах пучка / < /х автоколебания отсутствуют (пред- генерационный режим в ЛОВ). С увеличением тока пучка при / = /1 в ЛОВ возникают автоколебания (пусковой ток), и в диапазоне значений токов /2 > / > > /1 наблюдается генерация монохроматического сигнала с частотой ш (рис. 13.2ф. При /2 < < / < /з реализуются многочастотные автоколебания с дискретным спектром — режим автомодуляции (рис. 13.25,в). Бо
Рис. 13.1. Разбиение плоскости управляющих параметров (напряжение- ток пучка) на области с различными видами колебаний. Прямые линии — линии равных значений параметра L (из работы [9])Рис. 13.1. Разбиение плоскости управляющих параметров (напряжение- ток пучка) на области с различными видами колебаний. Прямые линии — линии равных значений параметра L (из работы [9])ковые частотные составляющие (сателлиты) возникают в результате нормальной бифуркации, мягким образом, их амплитуда (соответственно, глубина модуляции) постепенно возраста-
Рис. 13.1. Разбиение плоскости управляющих параметров (напряжение- ток пучка) на области с различными видами колебаний. Прямые линии — линии равных значений параметра L (из работы [9])
Рис. 13.1. Разбиение плоскости управляющих параметров (напряжение- ток пучка) на области с различными видами колебаний. Прямые линии — линии равных значений параметра L (из работы [9])
ет пропорционально квадратно
му корню из надкритичности (VZ — /2 )• Расстояние по частоте между спектральными линиями шт (частота модуляции) намного меньше ш и медленно увеличивается с ростом тока пучка. С ростом тока пучка при / > 0,9/з наблюдается усложнение формы автомодуляции, чему соответствует появление в спектре субсателлитов (рис. 13.2г), уровень которых существенно ниже возникших ранее спектральных составляющих, а соответствующие частоты модуляции, как правило, кратны ыт/п (п — целое число, изменяющееся в зависимости от ускоряющего
напряжения, условий формирования и транспортировки электронного пучка и согласования лампы).
При I > /3 возникают колебания со сплошным спектром (рис. 13.2^- к\ Если рассмотреть любую спектральную линию, существующую при / < /з, то для I > /3 сосредо-
Рис. 13.2. Спектры выходного сигнала ЛОВ в различных автоколебательных режимах: а соответствует отношению тока пучка к пусковому току равному I/h = 1,5; б- 5; в - 15; г - 31; д - 31,2; е - 40; аю - 50; з - 70; и - 100;к — 200 (из работы [9])Рис. 13.2. Спектры выходного сигнала ЛОВ в различных автоколебательных режимах: а соответствует отношению тока пучка к пусковому току равному I/h = 1,5; б- 5; в - 15; г - 31; д - 31,2; е - 40; аю - 50; з - 70; и - 100;к — 200 (из работы [9])точенная в ней мощность перераспределяется в частотном интервале, ширина которого увеличивается с ростом тока пучка, при этом интегральная мощность практически не меняется. При этом также повышается уровень шума на участках спектра, не содержащих при I < /3 дискретных составляющих.
Рис. 13.2. Спектры выходного сигнала ЛОВ в различных автоколебательных режимах: а соответствует отношению тока пучка к пусковому току равному I/h = 1,5; б- 5; в - 15; г - 31; д - 31,2; е - 40; аю - 50; з - 70; и - 100;
к — 200 (из работы [9])
Рис. 13.2. Спектры выходного сигнала ЛОВ в различных автоколебательных режимах: а соответствует отношению тока пучка к пусковому току равному I/h = 1,5; б- 5; в - 15; г - 31; д - 31,2; е - 40; аю - 50; з - 70; и - 100;
к — 200 (из работы [9])
Как уже отмечалось выше, автомодуляция связана с нелинейными явлениями и запаздыванием. Вместе с тем, в начале исследований данных вопросов возникла и другая гипотеза: автомодуляция является результатом биений между видами колебаний ЛОВ, предсказываемыми теорией слабого сигнала (см. предыдущую лекцию). Обсудим специально поставленный эксперимент [12], доказывающий, что верно именно первое объяснение: автомодуляция связана не с возбуждением высших линейных видов колебаний, а с нелинейными свойствами автоколебательной системы. Исследования, как и в предыдущем случае, проводились на специальных макетах ЛОВ, в которых было значительно ослаблено поле
пространственного заряда.
Частоты, на которых в ЛОВО при определенных значениях отношения рабочего тока к пусковому (///пуСк) возникает неустойчивость и происходит самовозбуждение, можно обнаружить, исследуя зависимость коэффициента усиления С(ш) от частоты слабого внешнего гармонического сигнала, поданного на коллекторный конец замедляющей
Рис. 13.3. Зависимость коэффициента усиления G слабого внешнего гармонического сигнала от частоты ш при различных отношениях рабочего тока к пусковому (из работы [12])
системы. Этим частотам соответствует максимум усиления (а непосредственно перед самовозбуждением еще и максимум шума).
Рассмотрим зависимости С(ш) для различных значений ///пуСк (рис. 13.3). При I//пуск < 1 эти зависимости представляют собой частотные характеристики линейного усилителя (рис. 13.3, кривая 1). Высокий максимум на частоте с^о предшествует возбуждению основного вида колебаний, предсказываемого линейной теорией (ему соответствует невозмущенный угол пролета Фо = — тг), а небольшой максимум на частотес^ — возбуждению высшего вида (Фо = —Зтг). Падение характеристики G(w) на частотах, несколько больших с^о, связано с эффектом противонаправленного подавления х). При ///пуСк > 1 ЛОВ возбуждается и генерирует квазигармонический сигнал на частоте ш^ близкой к частоте с^о (отличие связано с электронным смещением частоты). Присутствие мощного сигнала существенно влияет на вид зависимости О(ш) (рис. 13.3, кривая 2). Максимум усиления на частоте cuj пропадает и сменяется неглубоким подавлением. С увеличением I//пуСк подав-
г) В линейной теории наиболее ярко этот эффект (contradirectional dip) проявляется при больших пространственных зарядах, когда быстрая волна пространственного заряда находится в синхронизме с обратной электромагнитной волной [18, стр. 214].
ление внешнего сигнала на частотах, удаленных от ш^ углубляется и охватывает все более широкую полосу частот. Однако в небольшом диапазоне частот, расположенных в низкочастотной области, примыкающей к частоте ш^ уже при при ///пуСк ~ 1 обнаруживается тенденция к увеличению коэффициента усиления. С ростом ///пуСк в этом диапазоне формируется ярко выраженный максимум G (рис. 13.3, кривая 3), который затем смещается в область низких частот и увеличивается. При I//пуСк > 3 на частоте ип, соответствующей этому максимуму, возбуждается дополнительный сигнал. Его появление соответствует возникновению в спектре выходного сигнала ЛОВ составляющих на частоте 2cJq — ип и еще ряда уменьшающихся по амплитуде дискретных составляющих, отстоящих друг от друга на частоту шт = ш'о — ип (режим периодической автомодуляции; частота шт носит название частоты автомодуляции).
Таким образом наблюдаемый второй максимум в зависимости С(ш) соответствует выполнению фазового условия генерации низкочастотной боковой составляющей в спектре выходного сигнала ЛОВ в режиме автомодуляции. При ///пуСк > 3 оказывается выполненным и амплитудное условие. Отсюда видно, что возникновение автомодуляционных режимов «исторически» не связано с максимумом усиления на частоте высшего вида линейной теории. Более того, существенно не совпадают ни абсолютные значения частот cjj и ип, ни их отстройка от частоты самовозбуждения wq (cjq — ^i > ^о — ^п) и от частоты сигнала, на котором происходит генерация ш'о.
Возвращаясь к обсуждению экспериментальных результатов исследования сложной динамики в ЛОВ остановимся на вопросе о детерминированности хаотических режимов генерации в ней. Доказательством того, что колебания со сплошным спектром обусловлены собственной сложной динамикой системы служат следующие факты, наблюдаемые в эксперименте.
Возникновение сплошного спектра имеет четко выраженный порог / = /3. Если бы дело было просто в усилении шумов, то порога не было бы — шум постепенно нарастал бы с увеличением надкритичности (тока пучка).
Внешний гармонический сигнал, подаваемый на коллекторный конец лампы, существенным образом влияет на форму спектра выходного сигнала. Если мощность внешнего сигнала Рвн на порядок меньше выходной интегральной мощности РВых5 то спектр просто сильно деформируется. Если входная мощность достаточно велика, то возможна дискретизация спектра под действием внешнего сигнала. Это явление демонстрируется на рис. 13.4щ б, где приведены спектры автономной генерации, внешнего сигнала и неавтономной генерации, и на рис. 13.4в, где на плоскости частота-мощность внешнего сигнала приведены области, соответствующие дискретизации спектра.
Рис. 13.4. а, б — дискретизация спектра выходного сигнала ЛОВ внешним сигналом (спектр 1) в режиме хаотической генерации (спектр 2) (///i = = 100); в — спектр выходного сигнала (сверху) при I / /з = 1,15 (качественно) и области значений частоты и мощности внешнего сигнала (отмечены серым цветом), соответствующие дискретизации спектра (из работы [9])Рис. 13.4. а, б — дискретизация спектра выходного сигнала ЛОВ внешним сигналом (спектр 1) в режиме хаотической генерации (спектр 2) (///i = = 100); в — спектр выходного сигнала (сверху) при I / /з = 1,15 (качественно) и области значений частоты и мощности внешнего сигнала (отмечены серым цветом), соответствующие дискретизации спектра (из работы [9])
Рис. 13.4. а, б — дискретизация спектра выходного сигнала ЛОВ внешним сигналом (спектр 1) в режиме хаотической генерации (спектр 2) (///i = = 100); в — спектр выходного сигнала (сверху) при I / /з = 1,15 (качественно) и области значений частоты и мощности внешнего сигнала (отмечены серым цветом), соответствующие дискретизации спектра (из работы [9])
Рис. 13.4. а, б — дискретизация спектра выходного сигнала ЛОВ внешним сигналом (спектр 1) в режиме хаотической генерации (спектр 2) (///i = = 100); в — спектр выходного сигнала (сверху) при I / /з = 1,15 (качественно) и области значений частоты и мощности внешнего сигнала (отмечены серым цветом), соответствующие дискретизации спектра (из работы [9])
Как видно из рис. 13.1, все границы раздела между областями различных режимов на плоскости (V, /) проходят примерно вдоль линий L = const, что относится также к режиму стохастических колебаний х). Это является экспериментальным подтверждением закона подобия, справедливого в рамках рассмотренной теоретической модели (см. соотношения (13.11)—(13.13)). Поэтому естественно предположить, что все наблюдаемые режимы и бифуркации обусловлены факторами, «заложенными» в теоретическую модель, тогда как потери в замедляющей системе, поле пространственного заряда, отражение волн от концов системы, шумы и т. д. в рассматриваемом случае имеют второстепенное значение.
И в заключение рассмотрения результатов натурного исследования сложных колебаний в ЛОВ кратко остановимся на влиянии пространственного заряда и отражений на характер автоколебаний в лампе обратной волны.
При большом пространственном заряде в лампе постоянной длины с увеличением тока пучка наблюдается следующее: режим монохроматических автоколебаний сменяется режимом автомодуляции, а затем опять устанавливается режим монохроматической генерации. При больших токах пучка опять наблюдается возникновение автомодуляции и хаотических автоколебаний. Это иллюстрируется рис. 13.5а, на котором показаны конфигурации областей различных режимов генерации
г) Значения сопротивления связи, необходимые для вычисления L, определялись по стартовым условиям /пуСк = /i(V) на основании линейной теории [13].
I, мА
Рис. 13.5. Вид областей различных режимов ЛОВ на плоскости напряжение- ток пучка при существенном пространственном заряде (а) и искусственном введении отражений от концов замедляющей системы (б). Здесь введены обозначения: А — предгенерационный режим; В — одночастотный режим; С— режим периодической автомодуляции; D — хаотические автоколебания (из работы [9])
в ЛОВ, для которой пространственный заряд существенен. Из него понятно, что по форме границы зоны автомодуляции можно легко оценивать величину напряжения, при превышении которого пространственный заряд мало существенен. К этой области напряжений, ширина которой увеличивается с ростом длины лампы, и относятся все результаты, излагаемые в данной лекции.
Наличие отражений от концов замедляющей системы *) приводит к тому, что границы между областями на плоскости (V, /) становятся волнистыми и, более того, при достаточно сильных отражениях возможно появление «островов» на карте режимов (рис. 13.56). Особенно сильно изрезанной становится граница зоны хаотической автомодуляции. При отсутствии специально сделанного рассогласования волнистость границ областей режимов невелика (см., например, рис. 13.1), и значит влиянием отражений можно в определенных пределах пренебречь.
Итак, основываясь на вышесказанном, можно формально утверждать, что в лампе обратной волны реализуется сценарий перехода к хаосу через разрушение квазипериодических движений, так как по мере увеличения управляющего параметра колебания из периодических вначале становятся квазипериодическими (возникает автомодуляция),
г) В эксперименте они вводились искусственно.
Рис. 13.6. Зависимости амплитуды Рис. 13.7. Бифуркационная диаграм- выходного сигнала ЛОВ от времени ма в области перехода к хаосу по сце- в процессе установления колебаний нарию удвоения периода (из работы при различных значениях парамет- [20])
pa L (из работы [20])
а затем в результате цепочки бифуркаций становятся хаотическими. Вместе с тем, конкретный способ такого перехода даже в относительно простейшей однопараметрической модели лампы обратной волны до недавнего времени оставался до конца неизученным. В последующих работах (Н.М. Рыскин, В.Н. Титов, Д.И. Трубецков [19, 20]) было проведено детальное исследование перехода к хаосу в нерелятивистской ЛОВ с помощью численного моделирования уравнений (13.11)-(13.13) и выявлено, что при увеличении параметра L в системе реализуется сложная последовательность переходов «порядок — хаос» и «хаос — порядок», происходящих по различным сценариям. Изложем эти результаты, основываясь на работах [19, 20].
Исходя из модели (13.11)-(13.13) возбуждение автоколебаний возникает при L и 1,98. При L to 2,9 режим одночастотной генерации становится неустойчивым и сменяется двухчастотным: выходной сигнал становится модулированным. Данное явление носит название автомодуляции. На рис. 13.6 приведены характерные временные зависимости амплитуды сигнала с выхода лампы 1^(0, т)|, полученные при различных L. Видно, что при L < 2,9 после переходного процесса, длительность которого увеличивается с ростом L наблюдается установление одночастотного режима, в то время как при превышении L to 2,9 имеет место автомодуляция сигнала.
При увеличении управляющего параметра в очень узкой области 4,02 < L < 4,11 происходит переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода автомодуляции. На рис. 13.7 приведена соответствующая бифуркационная диаграмма (положения максимумов ^(т)! в зависимости от параметра), на которой четко видна последовательность удвоений периода. Соответствующие фазовые портреты и спектры мощности для различных значений параметра L
Рис. 13.8. Фазовые портреты и спектры мощности выходного сигнала, иллюстрирующие переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума: а — цикл периода 2 (L = 4,089); б— цикл периода 4 (L = 4,106); в — цикл 8 (L = 4,108); г — хаос (L = 4,118) (из работы [20])Рис. 13.8. Фазовые портреты и спектры мощности выходного сигнала, иллюстрирующие переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума: а — цикл периода 2 (L = 4,089); б— цикл периода 4 (L = 4,106); в — цикл 8 (L = 4,108); г — хаос (L = 4,118) (из работы [20])
Рис. 13.8. Фазовые портреты и спектры мощности выходного сигнала, иллюстрирующие переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума: а — цикл периода 2 (L = 4,089); б— цикл периода 4 (L = 4,106); в — цикл 8 (L = 4,108); г — хаос (L = 4,118) (из работы [20])
Рис. 13.8. Фазовые портреты и спектры мощности выходного сигнала, иллюстрирующие переход к хаосу по сценарию Фейгенбаума: а — цикл периода 2 (L = 4,089); б— цикл периода 4 (L = 4,106); в — цикл 8 (L = 4,108); г — хаос (L = 4,118) (из работы [20])
приведены на рис. 13.8. Здесь важно, что приближенно выполняются универсальные количественные закономерности, присущие переходу к хаосу по сценарию Фейгенбаума [21-24]. Оценка первой константы Фейгенбаума х) дает
L4 — L3L4 — L34,925,4,925,
L4 — L3
L4 — L3
4,925,
4,925,
что близко к точному значению 4,669. Здесь значения L^ соответствуют г-й бифуркации удвоения периода автомодуляции. Отношение ампли-
г) Под первой константой Фейгенбаума понимается масштабный коэффициент, являющийся пределом, к которому сходится разность бифуркационных значений управляющего параметра L:
lim (Li — Li-x)/(Li+i — Li) = 5.
Величина 5 является универсальной константой в том смысле, что ее значение не зависит в определенных пределах от природы системы, демонстрирующей каскад удвоений периода (подробнее см. [25]).
Рис. 13.9. Бифуркационная диаграмма в области добавления периода (из работы [20])
туд субгармоник, возникающих в результате последовательности бифуркаций, также близко к универсальному значению (—13) дБ [25] *).
После перехода к хаосу через последовательность удвоений периода в области 4,15 < L < 4,32 наблюдается достаточно большое число окон периодичности в хаосе, период которых, начиная с трех, последовательно увеличивается на единицу. На рис. 13.9 представлена бифуркационная диаграмма, соответствующая этой области — области добавления периода. Внутри окон периодичности имеется достаточно сложная структура прямых и обратных бифуркаций удвоения периода.
При 4,32 < L < 4,333 происходит переход через перемежаемость от хаотической автомодуляции к периодической. Кратко остановимся на основных особенностях сценария перехода к хаосу через перемежаемость [21, 26, 27]. В этом случае переход к хаосу выглядит как постепенное (при медленном изменении бифуркационного параметра) исчезновение периодических колебаний за счет прерывания их стохастическими всплесками. Возникновение перемежаемости связано с так называемой касательной бифуркацией (см., например, [26, 27]), когда в системе имеет место реализация двух периодических траекторий: устойчивой и неустойчивой, которые при изменении управляющего параметра сливаются и исчезают. В этом случае движение фазовой траектории может быть разделено на две области: движение возле исчезнувшей периодической траектории (длительная ламинарная фаза движения, когда динамика системы близка к регулярной) и выход
^Заметим, что в работах [14-17] также наблюдалось явление удвоения периода в релятивистском карсинотроне, где данное явление связывалось исключительно с релятивистскими эффектами.
050 100 150 200 250 300 т о 50 100 150 200 250 300 т
ао
Рис. 13.10. Временные реализации выходного сигнала при перемежаемости: L = 4,325 (а) и L = 4,3327 (б) (из работы [20])
из этой области, когда движение сильно неустойчиво по Ляпунову (турбулентная фаза). После прохождения турбулентной фазы фазовая траектория опять возвращается в область вблизи исчезнувшего периодического движения.
На рис. 13.10 приведены характерные временные реализации ^(т)! для двух различных параметров L. Видно, что они имеют вид ламинарных фаз, динамика в которых близка к регулярным колебаниям, прерываемых нерегулярными всплесками. Средняя длительность d ламинарных фаз увеличивается с ростом L по закону
№ = , (13-14)
v Lc — L
который характерен для перемежаемости I рода [27]. Здесь С и Lc — константы, равные С to 0,4415 и Lc ~ 4,3333.
После этого перехода хаотический аттрактор в фазовом пространстве превращается в метастабильное хаотическое множество. В течение переходного процесса фазовая траектория располагается вблизи этого множества и временная реализация напоминает хаотическую, а затем притягивается к устойчивому предельному циклу, после чего временная реализация становится регулярной. Этот переходный процесс может занимать достаточно долгое время.
При L > 4,3333 модуляция становится сначала периодической, а затем — квазипериодической с двумя несоизмеримыми частотами. При L to 4,63 происходит переход к хаосу через разрушение трехчастотного квазипериодического движения. Образующийся странный аттрактор существует в области параметров 4,63 < L < 4,90, после чего вновь реализуются квазипериодические режимы. На рис. 13.11 приведена бифуркационная диаграмма для этой области и увеличенный фрагмент, соответствующий хаотическому режиму (на врезке). Из диаграммы также видно, что внутри описываемой области имеют место явления синхронизации и образования резонансных циклов на торе.
Рис. 13.11. Бифуркационная диаграмма в области перехода к хаосу через разрушение квазипериодического движения (из работы [20])
При L > 6,05 имеют место сложные хаотические колебания. На фазовом портрете (рис. 13.12) не проявляется какая-либо крупномасштабная структура, спектр мощности колебаний сильно зашумлен. Заметим, что, уже начиная с L % 5.5. длительность переходного процесса суще- ствено увеличивается, что связано с наличием уже упоминавшегося нами метастабильного хаотического множества. В этом случае чрезвычайно длительный переходный процесс выглядит как хаотический, однако, на больших временах заканчивается установлением регулярных колебаний.
Таким образом однопараметрическая модель ЛОВ (13.11)-(13.13) позволяет предсказать и объяснить многие из экспериментальных результатов, обсуждаемых нами выше. Вместе с тем, данная модель не учитывает целый ряд существенных явлений (влияние диссипации, пространственного заряда и отражений), наиболее важным из которых является невозможность идеального согласования ЛОВ и, как следствие, важность учета электромагнитного поля, отраженного от концов замедляющей системы, в сложных автомодуляционных режимах. Это непосредственно следует из натурного эксперимента (см. рис. 13.5, на котором демонстрируется искажение областей различных режимов при наличии отражений в лампе).
В работе [28] были проведены теоретические и экспериментальные исследования нерелятивистской ЛОВ с отражениями, из которых следует, что даже малые отражения от концов лампы приводят к принципиальным изменениям вышеописанной последовательности бифуркаций.
Рис. 13.12. Временная реализация, фазовый портрет и спектр мощности выходного сигнала для режима развитого хаоса (L > 6,05) (из работы [20])
Так из предельного цикла, соответствующего однопериодической модуляции сразу мягко рождался двумерный тор без наблюдения каскада удвоения периода, как это было в однопараметрической модели ЛОВ без отражений. Увеличение тока пучка после возникновения двумерного тора приводило к появлению в спектре автомодуляции несоизмеримых частот и далее переходу к хаосу через разрушение квазипериодических движений в системе.
Заметим, что наибольшее значение учета отражений от концов замедляющей системы имеет место для релятивистских ЛОВ, поэтому отложим детальное рассмотрение этих вопросов до соответствующего параграфа.
Релятивистский карсинотрон: нестационарная теорияи результаты численного моделирования
Рассмотрим теперь лампу обратной волны, в которой используется сильноточный релятивистский пучок. Релятивистские лампы обратной волны (РЛОВ) привлекают в последнее время большое внимание как перспективные источники мощного электромагнитного излучения в сантиметровом и ближнем милиметровом диапазоне длин волн [29]. При проектировании подобных устройств огромную роль играет численное моделирование нестационарных процессов, что необходимо, с одной стороны, для анализа устойчивости стационарных режимов монохроматической генерации, а с другой стороны, такие режимы представляют самостоятельный интерес для создания мощных генераторов
шумоподобных сигналов на базе релятивистского карсинотрона. Все это делает необходимым остановиться на вопросах нестационарной теории релятивистской лампы обратной волны *).
Рассмотрим как модифицируются уравнения лампы обратной волны при учете релятивистских эффектов. Понятно, что уравнение возбуждения останется неизменным, так как оно выведено из уравнений Максвелла. Однако уравнение движения необходимо переписать в соответствующем виде. Введем релятивистский фактор электрона 7 = 1/у/1 — (v2/c2)2 , который имеет физический смысл отношения полной энергии электрона 8 к энергии покоя (которая равна тс2). Тогда, как и для «обычной» нерелятивистской ЛОВ, с учетом условия (13.9), можно считать что все электроны, влетевшие в пространство взаимодействия в промежуток времени (ti, ti + 2тг/П), движутся в поле одинаковой амплитуды Е (x,ti + зс/vo). Следовательно, уравнение движения электрона можно записать в виде
Переписывая это уравнение относительно релятивистского фактора 7, получим
^ = 4Не 1ё(х,Ь + — V),(13.15)
Эх с V X)
эе _ п _ £
Эх ^(7) vo’
7(ж = О) = 7о,9(х = О) = 9о,(13.17)
где все обозначения совпадают с обозначениями в предыдущем разделе. Используя формулу (13.6) и закон сохранения заряда Idt = /о |c/#o/^h несложно показать, что первая гармоника сгруппированного тока, который создается в сечении ж, когда туда приходит рассматриваемая нами группа электронов (т. е. в момент времени t = ti + x/xq), дается выражением
2тг
/ = — [ exp (—j9(x,t')) d9o.(13.18)
7Г J
О
г) Заметим, что первые теоретические исследования нестационарной динамики в электронных приборах О-типа с длительным взаимодействием были проведены именно для РЛОВ [6].
Выберем нормировку физических величин, следуя работе [6] в виде
т = QC(t — ж/^о)т = QC(t — ж/^о)(13.19)(13.19)
т = QC(t — ж/^о)
т = QC(t — ж/^о)
(13.19)
(13.19)
рУоС2^^ + 70)
где Vq = с2 (7о — I)/7? — ускоряющее напряжение; С = ( ——£г )
\Уо7о(1 + 70)/
— модифицированный параметр усиления, который, как следует из предположений, положенных в основу вывода уравнений возбуждения, мал (С <С 1). В результате, в новой нормировке уравнения (13.15)(13.18), (13.5) запишутся в виде
Э20 эеЭ20 эе(1 + г/—) ReFeje, \8 и(1 + г/—) ReFeje, \8 ивТ дУЭт ЭЕ,вТ дУЭт ЭЕ,2тгО2тгОе”^ Д0й,е”^ Д0й,(13.20)(13.21)(13.20)(13.21)
Э20 эе
Э20 эе
(1 + г/—) ReFeje, \8 и
(1 + г/—) ReFeje, \8 и
вТ дУ
Эт ЭЕ,
вТ дУ
Эт ЭЕ,
2тг
О
2тг
О
е”^ Д0й,
е”^ Д0й,
(13.20)
(13.21)
(13.20)
(13.21)
(13.22)(13.22)^(€ = 0) = Оо, — (£ = 0)=0,
(13.22)
(13.22)
^ = 0 = 0, jr(T = 0,O = ^(a
где уравнение (13.20) получено из уравнений движения (13.15)—(13.17) в предположении малости С. Здесь v = 2C(7q — 1). Система уравнений (13.20)—(13.22) описывает релятивистскую лампу обратной волны при тех же предположениях и упрощениях, что и система уравнений для нерелятивистской ЛОВ. Вместе с тем, данная система существенно сложнее. Действительно, система уравнений (13.20)—(13.22) зависит от двух управляющих параметров: v (который можно трактовать как нормированный квадрат релятивистского фактора пучка 70) и I (длина лампы). Таким образом учет релятивизма принципиально требует рассмотрения системы как двухпараметрической (с двумя бифуркационными параметрами).
Возникает вопрос: при каких значениях релятивистского фактора 70 полученные уравнения будут справедливы при описании взаимодействия в системе «релятивистский электронный пучок-обратная электромагнитная волна»? В случае стационарной генерации к.п.д. ЛОВ запишется в нормировке (13.19) как
= £(7о^1)7о |^ = 0)|2. (13.23)
Отсюда ясно, что в слаборелятивистском случае (70 ~ 1) система (13.20)—(13.22) справедлива только для генераторов с малым к.п.д., так как из условия С <С 1 следует, что Т] <С 1. В ультрарелятивистском же случае уравнения справедливы и для генераторов с высоким к.п.д., так как малость С в формуле для к.п.д. (13.23) может быть компенсирована большим значением 7q. Это связано с тем, что при выводе уравнений РЛОВ неявно требовалось малое изменение скорости электронов при пролете лампы. В случае слабого релятивизма это неизбежно ведет к малому к.п.д., в то время как в случае 70 7> 1 даже при малом изменении скорости электронов изменение энергии пучка может быть значительным.
В работе [30] предложены модифицированные уравнения нестационарной нелинейной теории релятивистской лампы обратной волны, которые справедливы для любых значений релятивистского фактора 70. Данная система уравнений записывается как
<КУэе<КУэеГ 2^,37оГ 2^,37о1I3/2—!—— I - б22тг7V ЭЕ )01I3/2—!—— I - б22тг7V ЭЕ )0Re^KRe^K(13.24)(13.24)ЭУ дУ _Эт ЭЕЭУ дУ _Эт ЭЕ2тг2тг'о,'о,(13.25)(13.25)ооУК = 0) = Уо,УК = 0) = Уо,(13.26)(13.26)
<КУ
эе
<КУ
эе
Г 2^,3
7о
Г 2^,3
7о
1I3/2
—!—— I - б2
2тг7V ЭЕ )0
1I3/2
—!—— I - б2
2тг7V ЭЕ )0
Re^K
Re^K
(13.24)
(13.24)
ЭУ дУ _
Эт ЭЕ
ЭУ дУ _
Эт ЭЕ
2тг
2тг
'о,
'о,
(13.25)
(13.25)
о
о
УК = 0) = Уо,
УК = 0) = Уо,
(13.26)
(13.26)
У^Е, = 1) = 0, У^т = 0, £) = J^K),
и имеет три управляющих параметра: электрическую длину взаимодействия N = 2тг//А, релятивистский фактор 70 = 1/i/l — Дд и параметр L = 2тгCTV^o, пропорциональный току пучка.
Остановимся на результатах численного моделирования системы уравнений (13.24)-(13.26), следуя работе [30]. Важным и интересным результатом оказалось то, что форма границы автомодуляции на плоскости параметров (L, 70) носит сложный характер. Это демонстрируется на рис. 13.13, на котором представлена карта режимов на плоскости (L,7q) (N = 20). Здесь линией / обозначена граница автомодуляции, // — линия, за которой начинается отражение частиц и исходные уравнения становятся неприменимы. В области стационарной генерации приведены линии равного к.п.д. Из рисунка видно, что существуют две области, где порог неустойчивости монотонно спадает с ростом 70, которые, следуя работе [30], назовем слабо- и ультрарелятивистскими. Между ними на линии / имеется характерный «клюв», заходящий далеко вглубь области автомодуляции. Для более коротких ламп этот клюв располагается в области меньших 70 (70 ~ 1,5 4- 2,0 при N = 5). Существует и такая область значений 70, при которых стационарный
Рис. 13.13. Области реализации различных состояний РЛОВ на плоскости параметров (£,70). Линия / соответствует потери устойчивости режима стационарной генерации и возникновению автомодуляции; линия II — граница применимости исходных уравнений (13.24)-(13.26) (из работы [30])
режим генерации и режим автомодуляции сменяют друг друга дважды при увеличении L (например, 70 = 3,5 на рис. 13.13). Таким образом, достаточно эффективные одночастотные режимы генерации могут быть реализованы в области существенно больших £, чем в нерелятивистской ЛОВ.
Заметим, что за порогом автомодуляции / в слабо- и ультрареля- тивистской области реализуются принципиально различные автоколебательные режимы, отличающиеся как пространственно-временными распределениями поля и тока, так и частотами автомодуляции (в уль- трарелятивистском режиме частота автомодуляции в два раза больше, чем в слаборелятивистском).
Рассмотрим распределения амплитуды ВЧ-поля и первой гармоники сгруппированного тока в стационарном режиме вблизи порога автомодуляции для обоих режимов генерации. В области ниже «клюва» (рис. 13.14а; 70 = 3,0, L = 2,5, N = 20) распределение поля таково, что в режиме автомодуляции за время прохода излучения от коллекторного конца к пушечному успевает сформироваться лишь один максимум поля, тогда как в ультрарелятивистской области (рис. 13.145; 70 = 4,0, L = 2,7, N = 20) — два х). Соответственно и частота автомодуляции
г) Заметим, что подобная ситуация имеет место, например, в гирорезо- нансном генераторе со встречной волной [4], где граница автомодуляции на плоскости параметров (А, ц) также имеет сложную структуру (А — параметр взаимодействия, аналогичный длине лампы L^ ц — параметр неизохронно- сти). Это связано с тем, что как в гиро-ЛОВ, так и в релятивистской ЛОВ типа О переход в режим периодической автомодуляции возможен из режимов с различным пространственным распределением амплитуд.
Рис. 13.14. Распределение амплитуды поля (сплошная линия) и первой гармоники сгруппированного тока (штриховая линия) для слабо- (а) и ультра- релятивистской (б) областей на карте режимов (из работы [30])
оказывается в два раза больше. Физически переход ко второму режиму автомодуляции связан с тем, что с ростом 70 происходит релятивистское увеличение массы электронов. Это замедляет процессы кинематической разгруппировки электронных сгустков, что хорошо видно на рис. 13.14. Амплитуда первой гармоники тока не падает до нуля, т. е. полной разгруппировки не происходит. С увеличением 70 зависимости /(£) в стационарном режиме становятся все более плавными, осцилляции уменьшаются. Вследствии этого изменяются и стационарные распределения амплитуды поля Т7^).
Как же возникает автомодуляция в ЛОВО? Ее возникновение связано с запаздывающей реакцией системы из-за её распределенности на действие нелинейности [4]. Для примера рассмотрим эволюцию пространственного распределения амплитуд волн и их фаз (рис. 13.15), полученное при численном решении уравнений РЛОВ (13.20)—(13.22) с длиной лампы I = 3,5 [17].
При малой амплитуде поля ^(^l амплитуда тока |/(С)| монотонно возрастает вдоль координаты, а ^(т)! имеет характерный «одногорбый» вид (кадр 1 на рис. 13.15). При увеличении амплитуды поля амплитуда |/| в некоторой точке пространства достигает максимума, а затем спадает — происходит разгруппировка электронов (кадр 2). При этом ^(^l и распределение фаз качественно не меняются. Однако когда амплитуда поля достигает такой величины, что вблизи коллекторного конца системы £ = 1 амплитуда тока |/| падаетпочти до нуля, практически скачком меняет фазу почти на тг и снова нарастает, происходит перегруппировка электронов (кадр 3). Образуется характерное «двугорбое» распределение амплитуды тока и, вследствие нарушения фазового соотношения между комплексными амплитудами |.77| и |/|, «двугорбое» распределение |77(^)|. Затем вся картина смещается влево с групповой скоростью, причем оба максимума растут при движении по величине из- за взаимодействия с волной тока, пока не достигнут пушечного конца лампы (кадры 4-10). Из оставшегося в системе распределения ^(^l
14 Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов
Рис. 13.15. Динамика распределений амплитуд поля Т (сплошная линия), тока |Z//о| (штриховая линия) и фазы тока у?/ для РЛОВ с длиной I = = 3,5. Заштрихована область тормозящих фаз поля. Промежуток во времени между соседними кадрами одинаков (из работы [4])
опять выделяется основной вид колебаний, и процесс периодически повторяется. Таким образом «двухгорбое» распределение оказывается неустойчивым и возникает периодическая автомодуляция выходного сигнала, связанная с нарушением фазового соотношения между l^7! и |/|. Заметим также, что возникновение «двугорбого» распределения может трактоваться как возникновение в распределениях ^(^l и |/(С)| компонент, топологически подобных второму линейному виду колебаний (см. рис. 12.11, а также соотношение (12.30)) [4].
Влияние сил пространственного зарядаи отражений от концов замедляющей структурына генерацию в релятивистской ЛОВ
Рассмотрим влияние пространственного заряда в релятивистской ЛОВ. Для этого воспользуемся результатами работы И.В. Пегеля [31], посвященной анализу нестационарных процессов в ЛОВ с помощью 2,5-мерной осесимметричной версии полностью электромагнитного кода КАНАТ [32]. Особенностью моделирования здесь является непосредственное решение уравнений Максвелла в реальной сложной гео-
метрии прибора. Исследовалось взаимодействие электронного пучка только с аксиально-симметричными модами замедляющей системы типа гофрированный волновод. Основные параметры прибора, которые закладывались в расчеты, были следующие: рабочий диапазон 3сантиметровый; замедляющая система имела длину 12 см и состояла из 8 гофр с периодом гофрировки 1,48 см; радиус катода, формирующего электронный пучок составлял 1,0 см. Сопротивление связи пучка с — 1-й пространственной гармоникой волны Eqi составляло порядка 2 Ом на рабочей частоте. Энергия инжекции электронного пучка на входе в замедляющую систему составляла около 450 кэВ.
Наиболее интересным в полностью электромагнитном моделировании, в отличие от модели типа (13.24)-(13.26), является то, что учитываются все без исключения пространственные гармоники. Кроме этого в таких моделях существует возможность учесть двумерные эффекты в пучке и, в частности, процессы токооседания на замедляющую структуру.
Одновременно в работе [31] исследовалась одномерная модель РЛОВ, учитывающая взаимодействие электронного пучка только с одной —1-й пространственной гармоникой. В этой модели для
исследования влияния пространственного заряда величины его поля,
вычисленные при фиксированных радиусах электронного пучка и волноведущей структуры, учитывались с коэффициентом а, который изменяется в пределах 0 4- 1. Другой способ исследования динамики в ЛОВ при различных значениях величины пространственного
заряда — изменение радиусов имеет ряд сложностей, связанных с изменением соотношений между амплитудами различных пространственных гармоник поля пространственного заряда с изменением соотношений радиусов пучка и волноведущей системы. Это вносит в исследуемую систему еще один дополнительный фактор сложности и, поэтому не использовался в работе [31].
На рис. 13.16 приведена мощность генерации в зависимости от тока инжектируемого пучка. Из рисунка видно, что мощность генерации РЛОВ как функция
волновода и пучка. Однако онволновода и пучка. Однако онРис. 13.16. Зависимость мощности генерации в релятивистской ЛОВ (полностью электромагнитное моделирование) от тока инжектируемого пучка (из работы [31])Рис. 13.16. Зависимость мощности генерации в релятивистской ЛОВ (полностью электромагнитное моделирование) от тока инжектируемого пучка (из работы [31])тока имеет четко выраженный максимум. Этот эффект можно объяснить и в рамках одномерной модели, но с учетом объемного пространственного заряда [31].
волновода и пучка. Однако он
волновода и пучка. Однако он
Рис. 13.16. Зависимость мощности генерации в релятивистской ЛОВ (полностью электромагнитное моделирование) от тока инжектируемого пучка (из работы [31])
Рис. 13.16. Зависимость мощности генерации в релятивистской ЛОВ (полностью электромагнитное моделирование) от тока инжектируемого пучка (из работы [31])
Рис. 13.17. Зависимости электронного к.п.д., полученные в рамках одномерной модели ЛОВ, для различных значений коэффициента пространственного заряда а и тока пучка (из работы [31])
На рис. 13.17а [31] приведены зависимости электронного к.п.д., полученные в рамках одномерной модели ЛОВ, как функции коэффициента пространственного заряда а при различных токах пучка. Из рисунка видно, что кривые т](а) имеют максимум, причем к.п.д. в максимуме растет с увеличением тока пучка. Заметим, что падение т](а) справа от максимума выражено тем более, чем больше ток пучка. На рис. 13.175 показана эффективность генерации как функция тока пучка для различных а. Из него видно, что зависимость мощности от тока пучка в ЛОВ может быть существенно более сложной, чем приведенная на рис. 13.16 кривая с одним максимумом. Поскольку одномерная модель не учитывает изменение дисперсионных характеристик замедляющей структуры в присутствии электронного пучка, единственным механизмом влияния поля пространственного заряда на эффективность ЛОВ является изменение продольных распределений амплитуды тока и его фазы относительно волны. Действительно, интенсивность энергообме-
на на элементарную длину dx составляет
ар
— = Re ЦГ^ = \I\\P\ cos0, dx
где 0 = срj — ip^ — относительная фаза тока. Положение максимума тока (а, следовательно, электронного сгустка) в тормозящей фазе поля соответствует значениям 0 от тг/2 до Зтг/2.
На рис. 13.18 представлены продольные распределения относительной фазы (ф и амплитуды тока пучка (6) в релятивистской лампе
обратной волны при токе пучка приводит к улучшению фази- ровки ВЧ-тока, захватывающему не только восходящие левые, но и нисходящие правые ветви кривых ту (а). Отсюда следует, что если рост эффективности генерации на левых ветвях ту (а) (рис. 13.17) обусловлен в том числе и улучшением фазиров- ки, то падение эффективности генерации справа от максимума никак с этим не связано.
Совершенно иным образом ведет себя амплитуда тока пучка / (рис. 13.186). При слабом пространственном заряде (а < < 0,4), её величина на второй половине лампы значительно возрастает, что ведет к росту эффективности энергообмена. Однако при дальнейшем увели-
12 кА. Увеличение коэффициента а12 кА. Увеличение коэффициента аРис. 13.18. Продольные распределения относительной фазы (а) и амплитуды тока пучка (6) в ЛОВ для различных коэффициентов пространственного заряда а (из работы [31])Рис. 13.18. Продольные распределения относительной фазы (а) и амплитуды тока пучка (6) в ЛОВ для различных коэффициентов пространственного заряда а (из работы [31])чении а длина участка с нема
12 кА. Увеличение коэффициента а
12 кА. Увеличение коэффициента а
Рис. 13.18. Продольные распределения относительной фазы (а) и амплитуды тока пучка (6) в ЛОВ для различных коэффициентов пространственного заряда а (из работы [31])
Рис. 13.18. Продольные распределения относительной фазы (а) и амплитуды тока пучка (6) в ЛОВ для различных коэффициентов пространственного заряда а (из работы [31])
лой величиной |/| становится существенно меньше полной длины пространства взаимодействия. Интенсивность энергообмена на коллекторном конце резко падает. Фактически происходит уменьшение эффективной длины прибора (рис. 13.186; а = 0,65). Таким образом изменение продольного распределения амплитуды тока и объясняет резкий спад эффективности на правой части кривой ту (а). Оптимальное значение величины пространственного заряда лежит в диапазоне 0,2 4- 0,5.
Как уже обсуждалось выше, значительное влияние на динамику ЛОВ, особенно релятивистских, оказывает отражение излучения от концов электродинамической замедляющей системы. Замедляющая структура релятивистского карсиноторона представляет собой слабого- фрированный волновод с запредельным сужением на пушечном конце.
Отражаясь от запредельного сужения, волна распространяется в попутном направлении с фазовой скоростью vj1 и излучается в сторону коллектора [31, 34, 35]. Предполагая, что v^1 сильно отличается от скорости пучка ^о, так что взаимодействием с прямой гармоникой можно пренебречь *), для её амплитуда Т^ можно записать уравнение вида
где s = (1 — ^гр/^о) / (1 + ^гр/^о) ~ параметр, характеризующий отличие групповой скорости волны от скорости электронного пучка. Здесь считается, что фазовая скорость обратной гармоники -Гф1 = v^ и групповые скорости прямых и обратных гармоник равны по величине и противоположно направлены.
Амплитуды прямой и обратной волны на границах системы связаны соотношениями
= 0) = R0F^ = 0), F^ = 1) == 1), (13.28)
где Rq и Ri — соответственно комплексные коэффициенты отражения на левой и правой границах, ко = ^о/^ф1 = ^о/^о, &1 = ^о/^ф\ ^о — частота синхронизма. Поскольку решение уравнения (13.27) можно представить следующим образом:
^+(т,О=^+(т-^,0),(13.29)
то исключим из рассмотрения прямую волну, переписав граничное условие (13.26) для обратной волны в виде
^(т,< = 1) = ^(т - 8Л = 0)ре^.(13.30)
Здесь вместо коэффициентов отражения, фигурирующих в соотношениях (13.28), введен единственный комплексный параметр
ре^ = RoR^^0-^1,0<р<1.(13.31)
При больших коэффициентах отражения замедляющая структура карсинотрона представляет собой резонансную колебательную систему, собственные частоты которой без учета дисперсии групповой скорости даются выражением [37]
fln =,(13.32)
г) Несмотря на сильный рассинхронизм, при определенных условиях взаимодействие с полем попутной волны может быть существенно за счет того, что вблизи пушечного конца лампы, где пучок слабо сгруппирован, ее амплитуда велика, так что она сообщает пучку значительную скоростную модуляцию [36].
е. спектр собственных мод эквидистантный, причем межмодовое расстояние определяется величиной 2тг/(1 + s).
В работах [38-40] выделены два механизма перехода от режимов стационарных колебаний к автомодуляции в распределенных электронно-волновых автоколебательных системах. Первый из них, названный автомодуляционным, связан, во-первых, с запаздывающим характером обратной связи (т. е. распределенной природой системы) и, во-вторых, с кинематической перегруппировкой электронных сгустков в сильном поле (т. е. амплитудной нелинейностью системы). Второй механизм — частотный — заключается в одновременном возбуждении нескольких собственных мод высокодобротной колебательной системы, куда помещена активная среда. Конкуренция этих мод и определяет динамику нестационарных процессов. При амплитудном механизме нарастают главным образом возмущения амплитуды стационарного состояния, при этом происходит модуляция только одной моды, остальные подавляются в результате конкуренции. При частотном механизме накапливаются возмущения фазы. Частотный механизм характерен для резонансных автогенераторов (например лазеров на свободных электронах [40] или ЛБВ-генераторов с запаздывающей обратной связью [38]).
Теоретические и экспериментальные исследования, приведенные в работе [41], позволяют утверждать, что при малых отражениях в ЛОВ реализуется амплитудный механизм, а при больших — частотный. В ней показано, что при малых коэффициентах р < 0,3 отражения слабо влияют на динамику системы. Увеличение р приводит к сильному изменению бифуркационных параметров, меняется и характер переходного процесса. Вначале практически устанавливается режим стационарной генерации, затем появляется медленно нарастающая во времени модуляция амплитуды. Как показано в работе [41], такое поведение связано с жестким возбуждением соседней резонансной моды.
В работе [34] приведены результаты расчетов нестационарных процессов в релятивистском карсинотроне в случае сильных отражений. На рис. 13.19, взятом из этой работы, приведены границы областей самовозбуждения и автомодуляции на плоскости параметров нормированный ток пучка-безразмерная длина системы k^l. Расчеты выполнены для следующих параметров: 70 = 1,5, р = 0,7, ^гр/^о = 0,32 (обычно для релятивистских ЛОВ vrp значительно меньше u^Y Фаза параметра отражений ф линейно зависит от k^l в соответствии с формулой (13.31). На границе области самовозбуждения (линия 1) видны характерные пики, соответствующие неблагоприятным значениям ф. Граница возникновения автомодуляции имеет сложный вид. К пикам на границе самовозбуждения вплотную примыкают области, в которых потеря устойчивости происходит по частотному механизму (область В). Выше расположена область, в которой реализуется амплитудный механизм
Рис. 13.19. Границы области самовозбуждения и автомодуляции на плоскости параметров ток пучка-электрическая длина лампы для релятивистского карсинотрона (из работы [34]). Здесь А — область одночастотной генерации, В и С — области автомодуляции; линия 1 отмечает границу самовозбуждения лампы
(область С). Авторы работы [34] используют термины cross-excitation instability, т. е., неустойчивость, обусловленная возбуждением нескольких резонансных мод, и overbunch instability, т. е. неустойчивость вызванная перегруппировкой пучка. Очевидно, что частотный механизм должен появляться в области неблагоприятных фаз (им соответствуют пики на кривой 1 (рис. 13.19)), где пучок взаимодействует одновременно с двумя соседними модами.
Позднее были проведены подробные исследования влияния амплитуды р и фазы ф коэффициента отражения на возникновение автомодуляции в РЛОВ [37]. На рис. 13.20 приведены границы самовозбуждения Lo и автомодуляции La на плоскости параметров (р, L) для малых (р = 0,2) и больших (р = 0,7) значений амплитуды коэффициента отражений (70 = 1,5, N = 10, s = 0,52). Из рисунка видно, что границы областей самовозбуждения и автомодуляции зависят от фазы ф тем сильнее, чем больше отражения, т. е. чем сильнее проявляются резонансные свойства колебательной системы РЛОВ. Они также сдвигаются с ростом р в сторону меньших L, что связано с возрастанием добротности колебательной системы.
При малых р динамика РЛОВ с отражениями подобна динамике РЛОВ без отражений. Самовозбуждение происходит примерно на частоте самовозбуждения РЛОВ без отражений Q°. С ростом L происходит уменьшение основной частоты, что обусловлено эффектом
Рис. 13.20. Границы области самовозбуждения и автомодуляции на плоскости параметров (7^, L) для релятивистского карсинотрона (из работы [37]). Сплошные линии соответствуют случаю больших отражений р = 0,7, штриховые — малых отражений р = 0,2
электронного смещения частоты. Автомодуляция возникает с ростом L мягко по амплитудному механизму. Границы самовозбуждения и автомодуляции приблизительно «противофазны». Это можно объяснить следующим образом: с ростом ф в соответствии с формулой (13.32) изменяются собственные частоты Qn резонансных мод. При ф « 0,6тг частота Я-i близка к частоте Q0, а частоты автомодуляционных сателлитов, возникающих по амплитудному механизму, далеки от других резонансных частот. Таким образом самовозбуждение облегчается и происходит при меньших значениях L, а автомодуляция возникает при значениях L, близких к соответствующим бифуркационным значениям для нерезонансной системы. При ф « 1,6тг частота Q0 наоборот, располагается примерно посредине между собственными частотами Я-i и П™2 • Частоты автомодуляционных сателлитов оказываются близкими к этим частотам. Поэтому Lq увеличивается, a La уменьшается.
При сильных отражениях самовозбуждение РЛОВ всегда происходит на частоте той или иной резонансной моды. Электронное смещение частоты проявляется слабо. На границе самовозбуждения виден четко выраженный «клюв» при значении фазы ф = 1,6тг. Слева от него частота генерации близка к частоте Q-i, справа — к Я-2. Автомодуляция возникает по частотному механизму, т. е. происходит жесткое возбуждение еще одной резонансной моды, номер которой зависит от параметров s и ф. Таким образом частота автомодуляции примерно кратна межмодовому расстоянию 2тг/(1 + s). Граница автомодуляции имеет существенно более сложный вид, чем в случае малых р.
Экспериментальное исследование сложной динамикив релятивистской ЛОВ
Экспериментальные исследования нестационарных режимов генерации релятивистской ЛОВ с мощностью порядка 100 кВт проводились в Институте прикладной физики РАН (Нижний Новгород) [42-44]. Экспериментальный макет работал на частоте 9 ГГц [42]. В качестве электродинамической структуры использовался плавногофрированный осесимметричный волновод. Геометрические размеры системы были следующие: средний радиус волновода г = 1,2 см; период гофрировки Д = = 1,7 см; глубина гофра h = 0,25 см; длина пространства взаимодействия I = 29 или 44 см. Фокусирующее магнитное поле имело величину 2,5 Тл. Ускоряющее напряжение составляло 70 4- 150 кВ (т. е. лампа была слаборелятивистской); ток пучка менялся в пределах 3 4- 35 А. Пусковой ток иссследуемой структуры составлял около 3 А при длине макета / = 29 см и понижался до 1 А при I = 44 см.
Излучение снималось с коллекторного конца пространства взаимодействия. Огибающая высокочастотного импульса для различных токов пучка приведена на рис. 13.21. Было получено, что в лампе с длиной пространства взаимодействия 44 см синусоидальная автомодуляция имела место при уже при токах пучка порядка нескольких ампер
Рис. 13.21. Огибающая выходного излучения релятивистского карсинотрона при различных значениях тока пучка: а — / = 3 А; б— 21 А; в — 28 А; г — 35 А (из работы [42])Рис. 13.21. Огибающая выходного излучения релятивистского карсинотрона при различных значениях тока пучка: а — / = 3 А; б— 21 А; в — 28 А; г — 35 А (из работы [42])
Рис. 13.21. Огибающая выходного излучения релятивистского карсинотрона при различных значениях тока пучка: а — / = 3 А; б— 21 А; в — 28 А; г — 35 А (из работы [42])
Рис. 13.21. Огибающая выходного излучения релятивистского карсинотрона при различных значениях тока пучка: а — / = 3 А; б— 21 А; в — 28 А; г — 35 А (из работы [42])
(рис. 13.21 а). По мере увеличения тока пучка она становилась сложнопериодической (рис. 13.21 б, в\ а затем при токах пучка более 30 А автомодуляция превращается в хаотическую (рис. 13.21а). Отсутствие обнаруженных ранее режимов стационарной генерации объясняется авторами работы [42] тем, что уменьшение тока пучка ниже 3 А было сопряжено с большими техническими трудностями. Это также подтверждается тем, что в короткой лампе (/ = 29 см) стационарные режимы генерации наблюдались при значениях тока пучка в диапазоне 3 4- 20 А. Другая причина нестационарности процессов генерации связана с медленным изменением формы импульсов тока и ускоряющего напряжения в течении импульса тока. Дело в том, что релятивистские ЛОВ используют в качестве источника электронов сильноточные наносекундные ускорители, действие которых основано на явлении взрывной эмиссии, и длительность импульса тока которых невелика. Поэтому нестацио- нарность формы импульсов тока и ускоряющего напряжения играет принципиальную роль. Это было подтверждено в работах [33, 34], где было проведено численное моделирование нестационарных процессов в ЛОВ с длительностью импульса тока порядка 100 нс и с учетом его нестационарности.
Заметим также, что экспериментальное исследование режимов генерации при больших значениях тока пучка и энергии инжекции электронов наталкивалось на трудности, связанные с укорочением длительности ВЧ-импульсов при уровнях мощности более 100 кВт [42]. Это укорочение вызывается ВЧ-пробоями внутри электродинамической системы.
Релятивистский карсинотрон и радиолокация
Обсудим возможности и преимущества использования релятивистского карсинотрона в качестве источника мощности в радиолокационных станциях (РЛС) [29]. Информационные возможности РЛС зависят от ряда параметров, основные из которых — величина средней мощности передатчика и распределение мощности СВЧ-излучения в течение импульса. Мощные короткие импульсы излучения, идущие с достаточно большой частотой повторения, позволяют с высокой степенью точности определять расстояние до объекта, получать высокую контрастность радиолокационного изображения на фоне отражений от местных предметов, а обработка информации от серии импульсов позволяет определить скорость движения объекта без использования эффекта Доплера [45, 46]. В стандартной РЛС укорочение импульсов осуществляется, в основном, в приемных трактах РЛС при пропускании частотно модулированных сигналов через оптимально сжимающие фильтры [29, 46]. Недостатком такого метода являются технические трудности сжатия импульса более чем в 30-100 раз, а также наличие принципиально
неустранимых боковых лепестков в корреляционной функции сигналов, которые способны давать ложную информацию о местоположении объекта.
Поэтому вызывает интерес получение мощных коротких электромагнитных импульсов непосредственно в передающей части РЛС, что позволяет, во-первых, упростить всю радиотехническую схему станции (отпадает необходимость введения частотной модуляции, излишними становятся сжимающие фильтры), во-вторых, исключить появление ложных сигналов, и, наконец, уменьшить мертвую зону перед РЛС и существенно увеличить ее помехозащищенность.
Обсудим некоторые особенности конструкции РЛС, использующей в качестве источника коротких электромагнитных импульсов релятивистскую ЛОВ, созданную в Институте прикладной физики РАН (Нижний Новгород) [29]. Выбор в качестве генератора для РЛС релятивистского карсинотрона обусловлен простотой конструкции, адаптивностью, сравнительно высокой эффективностью при использовании замедляющей системы с неоднородным сопротивлением связи [48, 49]. Особенностями конкретного генератора, используемого в радиолокационной станции, была возможность перестройки генерируемой частоты. Выход генератора согласовывался с квазиоптическим преобразователем типа волны, передающим электродинамическим трактом и облучателем антенны. Для обеспечения надежной длительной работы коллектор генератора был снабжен системой охлаждения, а сама релятивистская лампа обратной волны была помещена в поле сверхпроводящего криомагнитного соленоида с напряженностью до 30 кЭ.
Приемная часть РЛС конструировалась с учетом принимаемого сигнала— короткого и, соответственно, широкополосного импульса. Кроме того, все входные цепи должны были быть защищены от перегрузок на время генерации импульса, а также на случай близко расположенного от станции отражающего объекта с большой эффективной площадью отражения. Основная развязка между передающей и приемной частью достигалась за счет использования раздельных антенн, работающих на передачу и прием сигнала. Входной усилитель при перегрузках мог вносить дополнительное затухание в приемный тракт. Для эффективного обнаружения объектов с малой эффективной поверхностью рассеяния была предусмотрена система селекции движущихся целей, осуществляющаяся путем черезпериодного вычитания отраженных сигналов [45].
Локация различных объектов, проведенная в реальных условиях натурных испытаний, показала высокую эффективность РЛС. Такие объекты, как речные суда (даже малые) на фоне воды и берега были ясно различимы на расстоянии в несколько десятков километров. Локация самолетов (см. рис. 13.22) на тех же расстояниях на фоне облаков и на фоне подстилающей поверхности при их движении вблизи линии
Самолет*\ 1мксСамолет*\ 1мксСамолетСамолетОстров.;Остров.;Рис. 13.22. Радиолокационные сигналы, полученные на РЛС, использующей релятивистский карсинотрон: а — сигнал, отраженный от острова и летящего над ним на высоте 100 м самолета АН-2; б— те же сигналы, но с применением черезпериодного вычитания. Интервал времени между соседними точками соответствует времени запаздывания прихода отраженных сигналов, равному 5 нс (из работы [29])Рис. 13.22. Радиолокационные сигналы, полученные на РЛС, использующей релятивистский карсинотрон: а — сигнал, отраженный от острова и летящего над ним на высоте 100 м самолета АН-2; б— те же сигналы, но с применением черезпериодного вычитания. Интервал времени между соседними точками соответствует времени запаздывания прихода отраженных сигналов, равному 5 нс (из работы [29])бб
Самолет*
\ 1мкс
Самолет*
\ 1мкс
Самолет
Самолет
Остров.;
Остров.;
Рис. 13.22. Радиолокационные сигналы, полученные на РЛС, использующей релятивистский карсинотрон: а — сигнал, отраженный от острова и летящего над ним на высоте 100 м самолета АН-2; б— те же сигналы, но с применением черезпериодного вычитания. Интервал времени между соседними точками соответствует времени запаздывания прихода отраженных сигналов, равному 5 нс (из работы [29])
Рис. 13.22. Радиолокационные сигналы, полученные на РЛС, использующей релятивистский карсинотрон: а — сигнал, отраженный от острова и летящего над ним на высоте 100 м самолета АН-2; б— те же сигналы, но с применением черезпериодного вычитания. Интервал времени между соседними точками соответствует времени запаздывания прихода отраженных сигналов, равному 5 нс (из работы [29])
б
б
горизонта давала ясные изображения движущихся объектов. Отражения от местных предметов (деревьев, облаков и т. д.) на расстоянии свыше нескольких километров были настолько малы, что позволяли работать в ряде случаев без применения селекции движущихся целей. Тем не менее, черезпериодное вычитание локационных сигналов позволяет избавиться и от изображений близко расположенных предметов (одиноко стоящие деревья, специальные контрольные отражатели) (см. рис. 13.216).
Список литературы
Рапопорт Г.Н. Нелинейная теория генератора обратной волны с периодической замедляющей структурой // Радиотехника и электроника. 1964. Т. 9, № 3. С. 483.
Электроника ламп с обратной волной / Под ред. В.Н. Шевчика и Д.И. Трубецкова. — Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975.
Кузнецов С.П., Трубецков Д.И. Нестационарные нелинейные явления при взаимодействии электронного потока, движущегося в скрещенных полях, с обратной электромагнитной волной // Изв. вузов. Радиофизика. 1977. Т. 20, Я2 2. С. 300.
Трубецков Д.И., Четвериков А.П. Автоколебания в распределенных системах «электронный поток — встречная (обратная) электромагнитная волна» // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1994. Т. 2, №5. С. 9.
Вайнштейн Л.А., Солнцев В.А. Лекции по сверхвысокочастотной электронике. — М.: Сов. радио, 1973.
Гинзбург И.С., Кузнецов С.И., Федосеева Т.Н. Теория переходных процессов в релятивистской ЛОВ // Изв. вузов. Радиофизика. 1978. Т.21,№7. С. 1037.
Безручко Б. И., Кузнецов С. И., Трубецков Д.И. Экспериментальное наблюдение стохастических автоколебаний в динамической системе электронный поток — обратная электромагнитная волна // Письма в ЖЭТФ. 1979. Т. 29, № 3. С. 180.
Безручко Б. И., Кузнецов С. И., Трубецков Д.И. Стохастические автоколебания в системе электронный пучок-обратная волна // В сб. Нелинейные волны. Стохастичность и турбулентность. Горький: АН СССР Институт прикладной физики, 1980, С. 29.
Безручко Б.И., Булгаков Л.В., Кузнецов С.И., Трубецков Д.И. Экспериментальное и теоретическое исследование стохастических автоколебаний в лампе обратной волны // Лекции по электронике СВЧ и радиофизике (5-я зимняя школа-семинар инженеров). Саратов: Изд-во СГУ, 1980, С. 25.
Безручко Б.И., Булгаков Л.В., Кузнецов С.И., Трубецков Д.И. Стохастические колебания и неустойчивость в лампе обратной волны // Радиотехника и электроника. 1983. Т. 28, JVy6. С. 1136.
Гинзбург И.С., Кузнецов С.И. Периодические и стохастические автомодуляционные режимы в электронных генераторах с распределенным взаимодействием // Релятивистская высокочастотная электроника. Горький: АН СССР Институт прикладной физики, 1981, С. 101.
Безручко Б.И. Экспериментальное исследование многочастотных автоколебаний в ЛОВ типа О // Вопросы электроники СВЧ. Межвузовский научный сборник (вып. II). Саратов: Изд-во СГУ, 1983, С. 174.
Клеен В., Пешль К. Введение в электронику СВЧ. — М: Сов. радио, 1963, Т. 2.
Островский А.О., Ткач Ю.В. К теории автомодуляционных процессов в релятивистском карсинтроне // Письма в ЖТФ. 1991. Т. 17, №18. С. 10.
Балакирев В.А., Островский А.О., Ткач Ю.В. К теории автомо- дуляционной неустойчивости колебаний в связанных карсинотро- нах // Письма в ЖТФ. 1990. Т. 16, № 19. С. 8.
Балакирев В. А., Островский А.О., Ткач Ю.В. К теории автомодуляционных процессов в системе связанных гофрированных волноводов, возбуждаемых прямолинейными электронными потоками // ЖТФ. 1991. Т. 61, № 9. С. 94.
Безручко Б.И., Гинзбург И.С., Кузнецов С.И. Теоретическое и экспериментальное исследование переходных процессов в ЛОВО- генераторе // Лекции по электронике СВЧ и радиофизике (4-
я зимняя школа-семинар инженеров; книга V). Саратов: Изд-во СГУ, 1978, С. 236.
Шевчик В.Н., Трубецков Д.И. Аналитические методы в электронике СВЧ. — М.: Сов. радио, 1970.
Рыскин Н.М., Титов В.И., Трубецков Д.И. Детали перехода к хаосу в системе электронный пучок — обратная электромагнитная волна // Доклады РАН. 1998. Т. 358. С. 620.
Рыскин Н.М., Титов В. И. О сценарии перехода к хаосу в однопараметрической модели лампы обратной волны // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1998. Т. 6, Я21. С. 75.
Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. — М.: Наука, 1984.
Неймарк Ю.И., Ланда И.С. Стохастические и периодические колебания. — М.: Наука, 1984.
Анигценко В.С. Сложные колебания в простых системах. — М.: Наука, 1990.
Шустер Г. Детерминированный хаос. — М.: Мир, 1988.
Кузнецов А.И., Кузнецов С.И., Сатаев И.Р. Критическая динамика одномерных отображений. Часть I. Сценарий Фейгенбаума // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1993. Т. 1, №1. С. 15.
Manneville Р.. Pomeau J. Different waves to turbulence in dissipative dynamical systems // Physica D. 1980. V. 1. P. 219.
Берже IL. Homo И.. Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистическом подходе к турбулентности. — М.: Мир, 1991.
Астахов С.А., Безручко Б.И., Зборовский А.В., Трубецков Д.И. Исследование сложной динамики системы электронный поток - обратная волна с отражениями (эксперимент и численное моделирование) // Материалы международной научно-технической конференции «Актуальные проблемы электронного приборостроения», Том 1. 7-9 сентября 1998 г., Саратов, Россия. Саратов: изд.- во СГТУ, 1998, С. 39.
Бункин Б.В., Гапонов-Грехов А.В., Ельчанинов А.С., Загулов Ф.Я., Коровин С.Д., Месяц Г.А., Осипов М.Л., Отливанчик Е.А., Петелин М.И., Прохоров А.М., Ростов В.В., Сараев А. И., Сисакян И. И., Сморгонский А. В., Суворов В.А. Радиолокатор на основе СВЧ-генератора с релятивистским электронным пучком // Письма в ЖТФ. 1992. Т. 18, № 9. С. 61.
Трубецков Д.И., Анфиногентов В.Г., Рыскин Н.М., Титов В.И., Храмов А.Е. Сложная динамика электронных приборов СВЧ (нелинейная нестационарная теория с позиций нелинейной динамики) // Радиотехника. 1999. Т. 63, Я2 4. С. 61.
Пегелъ И.В. Моделирование нестационарных процессов в релятивистской лампе обратной волны методом макрочастиц // Изв. вузов. Физика. 1996. Т. ?, № 12. С. 62-83.
Tarakanov V.P. User’s manual for code KARAT. — Springfield, VA.: BRA, 1992.
Levush B., Antonsen T.M., Bromborsky A., Lou W.R., Carmel Y. Relativistic backward wave oscillator: theory and experiment // Phys. Fluids B. 1992. V. 4, № 7. P. 2293.
Levush B., Antonsen T.M., Bromborsky A., Lou W.R., Carmel Y. Theory of relativistic backward wave oscillator with end reflections // IEEE trans. Plasma Sci. 1992. V. 20, № 3. P. 263.
Levush B., Antonsen T.M., Vlasov A.N., Nusinovich G.S., Miller S.M., Carmel Y., Granatstein V.L., Destler IT. IT., Bromborsky A., Sehlesiger C., Abe D.K., Ludeking L. High-efficiency relativistic backward wave oscillator: theory and design // IEEE trans. Plasma Sci. 1996. V.24,№3. P. 843.
Коровин С.Д., Полевин С.Д., Ройтман A.M., Ростов В.В. Влияние попутной волны на эффективность генерации СВЧ излучения в релятивистской ЛОВ // Изв. вузов. Физика. 1996. Т. 39, Я212. С. 49.
Титов В.Н. «Тонкая структура” процессов автомодуляции и перехода к хаосу в распределенной автоколебательной системе «электронный поток — обратная электромагнитная волна”. — Дисс... ... к.ф.-м.н. Саратов, 2000, 186с.
Блиох Ю.П., Бородкин А.В., Любарский А.Г., Онисценко Н.М.. Файнберг Я.Б. Применение метода функционального отображения для исследования ЛБВ-генератора с запаздывающей обратной связью // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1993. Т. 1, № 1, 2. С. 34.
Кузнецов С.П. Сложная динамика генераторов с обратной связью // Изв. вузов. Радиофизика. 1982. Т. 25, Я912. С. 1410.
Antonsen Т.М., Levush В. Mode competition and suppression in free electron laser oscillators // Phys. Fluids B. 1989. V. 1, Я*5. P. 1097.
Амиров Р.Ш., Безручко Б.П., Исаев В.А., Четвериков А.П. Влияние отражений на нестационарные процессы в ЛОВО // Лекции по электронике СВЧ и радиофизике (6-я зимняя школа-семинар инженеров) Кн. 2. Саратов: Изд-во СГУ, 1983, С. 90.
Гинзбург Н.С., Зайцев Н.И.. Иляков Е.В., Кулагин И. С., Новожилов Ю.В., Сергеев А.С., Ткаченко А.К. Наблюдение автомодуля- ционных режимов генерации в мощной ЛОВ // Письма в ЖТФ. 1998. Т. 24, Я^20. С. 66.
Гинзбург Н.С., Зайцев Н.И., Иляков Е.В., Кулагин И.С., Но- воэюилов Ю.В., Сергеев А.С. Теоретические и экспериментальные исследования автомодуляционных режимов генерации 3сантиметровой ЛОВ с мегаваттным уровнем мощности // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7, К9 5. С. 60.
Ginzburg N.S., Ilyakov E.L, Kulagin I.S., Novozhilova Yu.P., Sergeev A.S., Zaitsev N.I. Observation of self-modulation regimes of generation in the powerfull BWO // In: the Proceedings of International University Conference «Electronics and Radiophysics of Ultra-High Frequencies», May 24-28, 1999, St. Petersburg, Russia, P. 186.
Ду левин B.E., Коростелев А. А., Мельник Ю.А. и др. Теоретические основы радиолокации. — М.: Сов.радио, 1964.
Скольник М.И. Справочник по радиолокации. — М.: Сов.радио, 1976.
Радиолокация (Методы обработки и сжатия импульсов). Спецвыпуск // Зарубежная радиоэлектроника. 1987. No 1.
Белоусов В.И., Бункин Б.В., Гапонов-Грехов А.В. и др. Ц Письма в ЖТФ. 1978. Т. 4, № 23. С. 1443.
Ковалев Н.Ф., Петелин М.И., Райзер М.Д., Сморгонский А.В. // В кн.: Релятивистская высокочастотная электроника. Горький, 1979, С. 76.
Лекция 14
НЕКОТОРЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯНЕЛИНЕЙНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ ЗАДАЧЭЛЕКТРОНИКИ
Высокоскоростные ЭВМ... сделали возможным рассмотрение протекания взаимодействия во времени, и теперь нет необходимости искать ускользающий. . .установившийся режим. Вместо этого имеется возможность исследовать в динамических системах переходный процесс. В исследуемых системах возможны, конечно, некоторые установившиеся состояния...
Р. Хокней
И в вычислениях на логарифмической линейке можно найти известную поэзию.
К.Ф. Гаусс
Метод «частиц в ячейке». Учет влияния пространственного заряда. Методы расчета полей в замедляющей системе: метод эквивалентных схем и уравнение возбуждения. Конечно-разностный метод решения нестационарных уравнений релятивистского карсинотрона в лагранжевых переменных. Математическое моделирование электронных приборов с помощью самосогласованной системы уравнений Максвелла-Власова. Применение метода функционального отображения к анализу нестационарных процессов в ЛБВ с запаздывающей обратной связью.
В данной лекции рассмотрим различные методы численного анализа нелинейных нестационарных уравнений электронных приборов с длительным взаимодействием. Эти задачи, как можно видеть из эпиграфа к лекции, возникли из необходимости анализа устойчивости тех или иных стационарных решений и рассмотрения переходных процессов в тех или иных физических системах.
Изложение будет строиться на примере достаточно простых численных схем, базирующихся на математических моделях, учитывающих только основные физические явления в исследуемых приборах. Задача данной лекции продемонстрировать некоторые из таких моделей
приборов с длительным взаимодействием и способы построения соответствующих конечно-разностных схем, удовлетворяющих условиям устойчивости и выполнения законов сохранения.
В лекции будет изложена достаточно традиционная методика моделирования процессов в лампах бегущей и обратной волны с одним исключением — в основу будет положен не метод крупных частиц в лагранжевых переменных, ставший классическим в СВЧ-электронике, а метод «частиц в ячейке», завоевывающий с развитием вычислительной техники все большую популярность в электронике, физике плазмы, гидродинамике и т. д. *). Далее кратко остановимся на рассмотрении некоторых общих вопросов полномасштабного моделирования вакуумных сверхвысокочастотных приборов, следуя обзору [1]. В конце лекции остановимся на результатах исследования ЛБВ-генератора с запаздывающей обратной связью (шумотрона) с помощью метода функционального отображения, предложенного Ю.П. Блиохом и др. [3], который позволяет детально изучить механизм стохастизации в шумотроне.
Метод «частиц в ячейке». Учет влиянияпространственного заряда
Численное моделирование самосогласованных процессов взаимодействия электронного потока с бегущей как прямой, так и обратной (встречной) электромагнитной волной, как уже указывалось, разбивается на две части. С одной стороны, это нахождение величины сгруппированного тока («электронная» часть задачи), с другой стороны —самосогласованное решение «полевой» части: нахождение электромагнитных полей, возбуждаемых в электродинамической структуре, и полей пространственного заряда. Рассмотрим решение первой части задачи, а именно нахождение величин сгруппированного тока и плотности пространственного заряда, с помощью метода частиц в ячейке («particle- in-cell»). Достоинство данного метода по сравнению с классическим методом крупных частиц в лагранжевых переменных (последний кратко обсуждался в лекции 9 применительно к задаче решения стационарных уравнений ЛБВ на ЭВМ) состоит в том, что благодаря использования переменных Эйлера, когда каждая макрочастица характеризуется только своими координатами и скоростью, можно легко строить распределения плотностей токов и зарядов вдоль пространства взаимодействия, а также при необходимости восстанавливать траектории заряженных частиц (например, строить пространственно-временную
г) В то же время, кратко изложим классическую схему, базирующуюся на методе макрочастиц в лагранжевых координатах, численного решения нелинейных нестационарных уравнений РЛОВ, использованную еще в первой работе, посвященной исследованию сложных режимов генерации в РЛОВ [2]
диаграмму движения электронов или находить различные функции распределения электронов).
При использовании метода частиц в ячейке электронный поток представляется в виде совокупности макрочастиц, которые характеризуются своими координатами в пространстве гт = (гжт, rym, rzm\ скоростями vm = ^ихт, иут, vzm) и зарядами qm (т — номер частицы). Форма частиц определяется конкретной геометрией задачи. Так, если мы рассматриваем плоскую геометрию, например, диодный промежуток, то частица — плоский заряженный лист. В случае цилиндрического волновода при наличии аксиальной симметрии частица — либо заряженный диск, либо кольцо, если рассматривается трубчатый пучок или учитывается расслоение по поперечной координате. При рассмотрении двух- и трехмерных задач форма макрочастиц может быть весьма сложной.
Ограничимся в рамках данной лекции одномерным приближением, т. е. будем предполагать, что частицы полностью замагничены внешним продольным магнитным полем и двигаются только вдоль продольной оси ж. При этом каждая частица несет одинаковый заряд q. Тогда каждая частица характеризуется скоростью и = vx, координатой в пространстве взаимодействия ж и зарядом q = е • Np, где Np — число «реальных» электронов, «содержащихся» в одной макрочастице (е — заряд электрона; понятно, что, если перейти к удельному заряду электрона р = е/m, то для макрочастицы он совпадет с удельным зарядом электрона, поэтому в дальнейшем будем пользоваться параметром ту).
С учетом сделанных замечаний уравнение движения заряженной частицы в нерелятивистстком случае запишется в виде
=+ ЕгДЯт)), (14.1)
где Е(хт) и Епз(хт) — напряженность поля электромагнитной волны и поля пространственного заряда в точке с координатой хт.
Численное нахождение поля электромагнитной волны будет рассматриваться в следующем разделе. Что касается поля пространственного заряда, то оно ищется в одномерном случае как Е'пз(жт) = — — д<р(жт)/дж, где ф^ есть решение уравнения Пуассона
=^(0) = ^(L) = 0.(14.2)
Здесь pi — плотность пространственного заряда ионного фона, который предполагается неподвижным, kj_ — поперечное волновое число, равное в случае распространения Eqi-волны кд. = 2,405/г^. Здесь распределение поля в поперечном направлении задаваемое соотношением Ех(г) = = ^о(^±^); ^ь — радиус пучка; предполагается, что пучок полностью заполняет волноведущую структуру; Jo ~ функция Бесселя нулевого
порядка. Будем пользоваться такой же нормировкой физических величин, как и в лекции 4 (раздел, посвященный анализу гидродинамической модели диода Пирса):
р —> pop, и —> ^о^5 —> ^оф/Рч Е —> VqE/Lp, х —> Lx, t —> Lt/v^,
(14-3) тогда уравнение Пуассона перепишется в безразмерных переменных в виде
—^ -/г^ = а2(р - п), у?(0) = <р(1) = 0, (14.4) ОХ
где п = pi/р — нормированная на невозмущенную плотность пространственного заряда пучка плотность пространственного заряда ионного фона.
Введем пространственную сетку с шагом Дж = 1/Nc , где (Nq + 1) — число узлов сетки. В этом случае, аппроксимируя вторую производную д2/дх2 центральной разностью 2-го порядка, можно получить конечно-разностный аналог уравнения Пуассона:
^+1 - ^2+ 433-1 ~ k^j = а2(^ - n), ipti = (pN =0. (14.5)
Для численного решения уравнений движения необходимо перейти в них также к дискретной форме. Обозначим через t дискретное время, told — предыдущий момент времени, тогда tnew = toid + Д^ — следующий момент дискретного времени. Здесь Д^ — шаг во времени. Введем такой параметр вычислительной схемы как число частиц на ячейку (т. е. на шаг пространственной сетки Дж) в невозмущенном состоянии по- Тогда условия нормировки (читателю предлагается показать это самостоятельно) требуют положить Д^ = кх/п$. Для численного интегрирования уравнений движения (14.1) используется схема с перешагиваниями. Введем в рассмотрение момент времени tav = t + Д^/2. Выражение f(tav) означает, что значение некоторой переменной / берется в средний момент времени между tnew и toid. С учетом введенных обозначений формулировка метода с перешагиваниями применительно к уравнениям движения записывается в виде
V^new) = ^old^ + а^а^М, (14.6)
^new) = ^GoZd) T ^^tav^^t, (14.7) где a — ускорение частицы.
Возникает вопрос: зачем использовать схему с перешагиваниями, а не ограничиться обычным методом Эйлера или методами Рунге- Кутта более высокого порядка? Понятно, что использование методов с большим объемом вычислений (каковыми являются методы Рунге- Кутта высокого порядка) приведут к большим затратам машинного времени (число частиц может достигать достаточно большого значения).
Применение одношагового метода Эйлера приводит к неустойчивости соответствующей разностной схемы [7]. Найдем границы устойчивости метода с перешагиваниями. Для анализа этого будем решать методом с перешагиваниями уравнение линейного осциллятора
d2a/dt2 = — ш^а,(14.8)
аналитическое решение которого хорошо известно: а = ai(to) costi^ + + ^2(^0) sincjo^- Тогда, в соответствии с соотношениями (14.6) и (14.7), уравнения метода с перешагиваниями будут иметь вид
da/dt -> (at - at-i) /М = vt_i/2,
da/dt -4- (at+i - at) /Ai = vt+i/2,
dv/dt -4- (vt+i/2 - v(_i/2)/Ai = («t+i - 2at + at-i) /At2,
где через £±1и£±1/2 обозначены моменты времени t ± Д t и t ± Д t / 2 соответственно. Вычисления начинаются в некоторый момент времени t с начальными значениями at, Щ-1/2- Сначала по известному at вычисляется сила, далее величина щ+х/2 рассчитывается из уравнения для ускорения, а затем из уравнения для скорости определяется новое значение n^+i. После этого процесс повторяется. Для устойчивости уравнения центрированы во времени. Подставляя конечно-разностное представление в уравнение линейного осциллятора (14.8), находим соответствующий конечно-разностный аналог:
Решение этого уравнения можно найти, полагая, что: a; = Аехр [—зи)1\, где А — начальное значение, а ш — неизвестно. Делая подстановку и проводя соответствующие тождественные преобразования, получаем уравнение для частоты:
sin (иД^/2) = ^М/^. (14.10)
График зависимости ш от ш^ (14.10) показан на рис. 14.1. Видно, что для иД^/2 <С 1 величина ш и шо, что и требуется. Однако при с^оД^ > 2 полностью действительное решение для частоты становится комплексным с нарастающими и затухающими корнями, что определяет численную неустойчивость. Определим величину фазовой ошибки для малых с^оД^ (понятно, что амплитудная ошибка равна нулю при выполнении условия иоД^ < 2). При иоД^ <С 1 раскладывая ш в ряд получаем,что
to ш0М (1 + l/B^M/^2 + ...), (14.11)
что дает квадратичный член ошибки. Суммарная фаза после N шагов равна wNAt, т. е. суммарная ошибка будет иметь вид
Nu0M(w0M/^2/6 = 1/24 ■ N(w0Mf. (14.12)
Сделаем некоторые оценки. Если предположить, что максимально допустимая ошибка равна 1/24 рад, то получаем для числа шагов
формулу N = 1/(cj0A^)3, что при u)oAt = 0,1 составляет 1000 шагов (или около 16 периодов), а при w^At = = 0,3 — 37 шагов (2 периода). Если можем позволить себе ошибку порядка 1 рад, при w^At = 0,1 метод дает верные результаты в течении 384 периодов, а при w^At = 0,3 в течение 42 периодов. Таким образом при применении методов с перешагиванием надо четко представлять, что увеличение шага интегрирования при w^At < 2 оставляет равной нулю амплитудную ошибку, но увеличивает фазовую ошибку как куб размера шага. При невыполнении условия w^At < 2 решение начинает нарастать во времени (появляется численная неустойчивость). Соответствующий анализ для схемы Эйлера предлагаем сделать самостоятельно и показать, что она неустойчива при любом выборе величины шага во времени ДЛ
Однако вернемся к решению уравнений движения (14.6) и (14.7). Скорости и координаты частиц берутся на различных временных сетках (см.
Рис. 14.1. Зависимость ш от шо для уравнения гармонического осциллятора, полученная методом с перешагиваниями для уравнения в конечных разностях. Частота ш согласуется с шо при малых wo Д£, но она больше, чем правильное значение при увеличении шоAt. Для о?о Д^ > 2 появляется численная неустойчивость: одна ветвь распадается на четные и нечетные шаги, проявляя сдвиг фаз, равный тгРис. 14.1. Зависимость ш от шо для уравнения гармонического осциллятора, полученная методом с перешагиваниями для уравнения в конечных разностях. Частота ш согласуется с шо при малых wo Д£, но она больше, чем правильное значение при увеличении шоAt. Для о?о Д^ > 2 появляется численная неустойчивость: одна ветвь распадается на четные и нечетные шаги, проявляя сдвиг фаз, равный тгрис. 14.2, на котором представлено расположение временных шагов для различных величин), сдвинутых относительно друг друга на Д^/2. Поэтому уравнения движения для частиц запишутся в виде
Рис. 14.1. Зависимость ш от шо для уравнения гармонического осциллятора, полученная методом с перешагиваниями для уравнения в конечных разностях. Частота ш согласуется с шо при малых wo Д£, но она больше, чем правильное значение при увеличении шоAt. Для о?о Д^ > 2 появляется численная неустойчивость: одна ветвь распадается на четные и нечетные шаги, проявляя сдвиг фаз, равный тг
Рис. 14.1. Зависимость ш от шо для уравнения гармонического осциллятора, полученная методом с перешагиваниями для уравнения в конечных разностях. Частота ш согласуется с шо при малых wo Д£, но она больше, чем правильное значение при увеличении шоAt. Для о?о Д^ > 2 появляется численная неустойчивость: одна ветвь распадается на четные и нечетные шаги, проявляя сдвиг фаз, равный тг
"m^2 = vm 1/2 - Е^Х^М, Ж^1 = Х*т~ V^^M.(14.13)
Координаты частиц могут принимать любые значения в пределах 0 ^ хт ^ 1. В то же время такие величины как плотность пространственного заряда и тока, а также амплитуды полей определяются в узлах дискретной пространственной сетки. Плотность пространственного заряда определяется с помощью процедуры «взвешивания». Рассмотрим схему в которой используется наиболее распространенная в методе
частиц процедура билинейного взвешивания. Каждой частице присваивается элементарный заряд Q = 1/по- Если частица с номером т принадлежит ячейке пространственной сетки, расположенной между j-м и (J + 1)-м узлами, т. е.
j^x < жт < U + 1)Джj^x < жт < U + 1)Дж(14.14)(14.14)
j^x < жт < U + 1)Дж
j^x < жт < U + 1)Дж
(14.14)
(14.14)
(см. рис. 14.3), то вклады этой частицы в плотность заряда в j-м и (j + + 1)-м узлах равны:
^mj = «3 + 1)Дж - x^Q, qlmj+1 = (xlm- jkx)Q. (14.15)
Понятно, что такое определение плотности пространственного заряда означает, что pj определяется в моменты времени t. t + 1 и т. д. Полная
Рис. 14.2. Расположение временных шагов, используемое в методе интегрирования с перешагиваниямиРис. 14.2. Расположение временных шагов, используемое в методе интегрирования с перешагиваниямиплотность пространственного заряда в j-м узле определяется суммированием по всем частицам, удовлетворяющим неравенству (14.14), т. е.Plj =Т,Чтз - (14.16)Ток пучка задается в точках пространства с координатами j + + Дж/2 (j + 1/2) и в каждом узле пространственной сетки определяется следующей процедурой. Нормируя величину тока / на постоянный ток /о = pot^S (S — площадь поперечного сечения пучка),плотность пространственного заряда в j-м узле определяется суммированием по всем частицам, удовлетворяющим неравенству (14.14), т. е.Plj =Т,Чтз - (14.16)Ток пучка задается в точках пространства с координатами j + + Дж/2 (j + 1/2) и в каждом узле пространственной сетки определяется следующей процедурой. Нормируя величину тока / на постоянный ток /о = pot^S (S — площадь поперечного сечения пучка),+ Д^/2 и т. д., получаем (см. рис.+ Д^/2 и т. д., получаем (см. рис.находим, что каждая частица переносит элементарный ток, равный J = 1/по- Определяя ток пучка в моменты времени t — Д^/2, t + .3), что вклад частицы с номером j,находим, что каждая частица переносит элементарный ток, равный J = 1/по- Определяя ток пучка в моменты времени t — Д^/2, t + .3), что вклад частицы с номером j,удовлетворяющей условию (14.14), в ток в j-м и j + 1-м узлах дается выражением (аналогично выражению (14.15))удовлетворяющей условию (14.14), в ток в j-м и j + 1-м узлах дается выражением (аналогично выражению (14.15))
Рис. 14.2. Расположение временных шагов, используемое в методе интегрирования с перешагиваниями
Рис. 14.2. Расположение временных шагов, используемое в методе интегрирования с перешагиваниями
плотность пространственного заряда в j-м узле определяется суммированием по всем частицам, удовлетворяющим неравенству (14.14), т. е.
Plj =Т,Чтз - (14.16)
Ток пучка задается в точках пространства с координатами j + + Дж/2 (j + 1/2) и в каждом узле пространственной сетки определяется следующей процедурой. Нормируя величину тока / на постоянный ток /о = pot^S (S — площадь поперечного сечения пучка),
плотность пространственного заряда в j-м узле определяется суммированием по всем частицам, удовлетворяющим неравенству (14.14), т. е.
Plj =Т,Чтз - (14.16)
Ток пучка задается в точках пространства с координатами j + + Дж/2 (j + 1/2) и в каждом узле пространственной сетки определяется следующей процедурой. Нормируя величину тока / на постоянный ток /о = pot^S (S — площадь поперечного сечения пучка),
+ Д^/2 и т. д., получаем (см. рис.
+ Д^/2 и т. д., получаем (см. рис.
находим, что каждая частица переносит элементарный ток, равный J = 1/по- Определяя ток пучка в моменты времени t — Д^/2, t + .3), что вклад частицы с номером j,
находим, что каждая частица переносит элементарный ток, равный J = 1/по- Определяя ток пучка в моменты времени t — Д^/2, t + .3), что вклад частицы с номером j,
удовлетворяющей условию (14.14), в ток в j-м и j + 1-м узлах дается выражением (аналогично выражению (14.15))
удовлетворяющей условию (14.14), в ток в j-м и j + 1-м узлах дается выражением (аналогично выражению (14.15))
(14.17)(14.17)^-1/2_ ЬЛ-Ш
(14.17)
(14.17)
т j±l/2 и ит ^2
где величину х1т ^2 проще всего определить как среднее арифметическое между координатами частицы в моменты времени t и t — 1, т. е.
Рис. 14.3. Схема билинейного взвешивания плотности пространственного заряда и тока электронного пучка в методе «частиц в ячейке»
Хт ^ = (ж^ + ж^1) /2 т). Полный ток в 7-м узле определяется как
^"1/2 = еС1/2(14-18)
(суммирование, как и в случае определения плотности пространственного заряда осуществляется только по частицам, удовлетворяющим условию (14.14)).
Определенная с помощью билинейного взвешивания величина плотности пространственного заряда р(х^ используется для нахождения распределения потенциала пространственного заряда. Будем рассматривать бесконечно широкий поток, т. е. к^. = 0. Тогда уравнение (14.5) упростится:
= po = pNc=Q_ (1419)
Численное решение разностного уравнения (14.19) сводится к решению системы уравнений относительно неизвестных функций ipj = ip(jДж). Один из часто используемых методов для решения этой задачи — метод функции Грина, обсужденный в лекции 9 (раздел, посвященный численному решению нелинейных уравнений ЛБВ). Другой метод — это применение той или иной разновидности метода прогонки [5, 7] или спектральных методов, базирующихся на применении процедуры быстрого преобразования Фурье [7]. Однако в ряде случае удается решить уравнение Пуассона быстрее, чем методом прогонки, и при этом значительно точнее, чем спектральными методами. Рассмотрим простейший случай такой схемы, предложенный Дж. Роучем в монографии [5], а именно метод распространения вектора ошибки (метод EVP), который базируется на линейности уравнения Пуассона и сводится к следующей процедуре.
г) Более подробно вопросы влияния на свойства расчетных схем способа взвешивания тех или иных величин обсуждаются в монографии [7].
Пусть {^}j — некоторые предварительные значения потенциала в узлах сетки, за исключением ^о = Ф nc = ^ котоРые за счет граничных условий являются точными. Произвольно положим ^ = ^0 = = 0. Это значение фу отличается от истинного значения фу на величину ошибки в:
^1 = фг + е.(14.20)
Тогда можно определить все предварительные значения $j на основании соотношения (14.19) (напоминаем, что рассматривается случай ^± = 0) при первом обходе узлов, начиная с J = 2:
Фз^у = Ax2a2(pj — п) + 2фз — Фз^у.(14.21)
При этом
Фз + ез = ^з-(14.22)
Подставляя (14.22) в уравнение Пуассона, получаем рекуррентную формулу для расчета распространения ошибки:
е^у = 2вз - еЬу.(14.23)
Очевидно, что во = 0, в2 — в, тогда
е, = U - 1)е.(14.24)
Ошибка в вычисляется в конце первого обхода с учетом граничного условия на правой границе Ф Nc = 0:
е =- 1).(14.25)
На втором проходе осуществляется исправление предварительных величин с использованием предыдущего соотношения
= Фз + W - 1)е.(14.26)
Поле Ej находится численным дифференцированием на основе центральных разностей в средних точках пространства взаимодействия:
гр _ _ ^-и Фз-^
3 ■ 2АЖ
и левых или правых разностей на границах пространства взаимодей
ствия:
Ео = -Ео = -ф! ~ Фо^хф! ~ Фо^хEnc =Enc =Vnc-iVnc-i^х^х
Ео = -
Ео = -
ф! ~ Фо^х
ф! ~ Фо^х
Enc =
Enc =
Vnc-i
Vnc-i
^х
^х
Зная значение поля в узлах сетки, можно с помощью линейной интерполяции вычислить поле, действующее на частицу с координатой хт, удовлетворяющей (14.14):
Е(хт) — Ej^j + 1)Аж xm^) + Ej_^y(xm j Ах}. (14.27)
Это значение затем подставляется в уравнения движения (14.13).
Итак, зная поле Е (см. следующий раздел) и Еп3) можно с помощью уравнений движения (14.6) вычислить координаты и скорости частиц в следующий момент времени. На каждом временном шаге At в систему инжектируется по новых частиц с начальными условиями
(14.28)(14.28)= иог/по, ^ = ^0, (г = 1, ...по).
(14.28)
(14.28)
Частицы, для которых выполняется условие xlm > 1, исключаются из расчетной процедуры (оседают на коллекторе).
Методы расчета полей в замедляющей системе:метод эквивалентных схем и уравнение возбуждения
Рассмотрим две методики для нахождения поля Е электромагнитной волны в линии передач. Первая из них заключается в том, что
замедляющая система представ
Рис. 14.4. Эквивалентная схема замедляющей системы ЛБВ, используемая в численном моделировании методом «частиц в ячейке» (из [8])Рис. 14.4. Эквивалентная схема замедляющей системы ЛБВ, используемая в численном моделировании методом «частиц в ячейке» (из [8])ляется в виде эквивалентной длинной линии. Рассмотрим такую схему применительно к исследованию взаимодействия электронного потока с прямой волной (схема ЛБВ), следуя работе И. Морейя и Ч. Б'дселла [8]. Будем рассматривать ЛБВ со спиральной замедляющей системой. Эквивалентная схема замедляющей системы, через
Рис. 14.4. Эквивалентная схема замедляющей системы ЛБВ, используемая в численном моделировании методом «частиц в ячейке» (из [8])
Рис. 14.4. Эквивалентная схема замедляющей системы ЛБВ, используемая в численном моделировании методом «частиц в ячейке» (из [8])
которую проходит электронный
поток, приведена на рис. 14.4. Элементы цепи выбираются из условия
соответствия фазовой скорости
(14.29)(14.29)Уф = 1/VLC
(14.29)
(14.29)
и поля волны в лабораторном макете в месте, где проходит электронный пучок, и в эквивалентной схеме. Последнее выражается соотношением
Zo = VlJC = Vc2/2F.(14.30)
На рисунке обозначено: 1п — ток между (п — 1)-м и n-м узлами, Уп — напряжение в n-м узле; Со = С do, Lo = Ldo — емкость и индуктивность на ячейку Аж = do', qn — заряд электронного пучка, определяемый методом частиц в ячейке.
Рассматриваемая длинная линия в предположении малости Аж, At описывается телеграфными уравнениями, дополненными слагаемым, описывающим возбуждение электромагнитных волн пучком:
(14.31)(14.31)8V _ 1 81 и 8q81 _ 1 8V
(14.31)
(14.31)
8tСо 8х Со 8С 8t Lo дх '
Здесь и < 1 — параметр связи пучка с линией передачи, который в общем случае зависит от частоты. Действительно, в модели ЛБВ, ограниченной в поперечном направлении, движение пучка вызывает токи смещения, что в свою очередь вызывает токи проводимости в замедляющей системе. Определение функциональной зависимости х(ы) достаточно сложно и зависит от соотношения радиусов пучка и замедляющей системы, а также от вида конкретной моды, на которой работает лампа.
Заметим, что возбуждение линии передач электронным пучком может быть учтено и несколько по-другому. Из уравнения непрерывности можно записать
(14.32)(14.32)=
(14.32)
(14.32)
Эх dt*
где 1Ь — сгруппированнй ток пучка, определяемый методом частиц
в ячейке (индекс «Ь» введен для того, чтобы различать ток электронного
пучка и ток, наведенный в линии передачи). Следовательно, в уравне
нии (14.31) вместо второго слагаемого надо записать выражение вида
Оба метода описания электронного потока полностью эквива
лентны и выбор конкретного соотношения определяется исключитель
но «качеством» взвешивания на сетке величины плотности пространственного заряда и тока пучка (см. монографии [9, 10]). Обычно, плотность заряда более удобна для вычисления, поэтому при разработке конечно-разностных схем пользуются телеграфным уравнением в виде (14.31).
Используя такую же, как и раньше, нормировку физических величин, уравнения (14.31) в дискретном виде запишим как
где а безразмерный параметр, равный а = 277/0/^0.
Рассмотрим условия на пространственные и временные шаги, при которых вышеописанная схема будет устойчива и, кроме этого, будут выполняться условия (14.29), (14.30). Исключая второе слагаемое их правой части уравнения (14.33) (слагаемое, определяемое сгруппированным током пучка) и полагая, что величины I и V меняются по закону ехр [—з^шгМ — кпАж)], получим, аналогично тому, как это делали в лекции 4, что соотношения (14.33) и (14.34) примут вид
w sin (wA£/2) v _ a w sin (&Аж/2)wAt/2С к^х/Ъ
ш sin (wAt/2) j_ 1 о; sin (&Аж/2) ушЫ/ЪaL k^x/2
Из условия разрешимости данной системы уравнений находим дисперсионное уравнение «дискретной» линии передачи:
Л 2
sin2(cjAt/2) =2 8ш2(&Аж/2).(14.35)
LC
Отсюда сразу следует условие Куранта устойчивости разностной схемы, накладывающее ограничение на соотношение между временным и пространственным шагом сетки:
McVbCZXx.(14.36)
Перепишем теперь уравнение (14.35) в виде:
2 == 1 ( шМ/^У / 8пЛ&Дж/2)\2..
Ф \к) ЬСУкМ^) \sin2(wAt/2)/ "
Отсюда следует, что равенство ??ф = 1/VLC (14.29) будет выполняться только в случае, когда Оф = Аж/At. Таким образом, мы получили условия, накладываемые на шаги на временной (14.36) и пространственной (14.37) сетке. Заметим, что представление замедляющей системы в виде эквивалентной схемы позволяет достаточно просто учесть потери в ней: достаточно добавить в схему элементарной ячейки активную проводимость R.
На рис. 14.5 показаны некоторые типичные результаты моделирования ЛБВ с помощью программы IBC Code (И. Морей, Ч. Б'дселл, [8]), использующей вышеописанную методику построения численной схемы х). Показаны зависимость скорости потока от длины пространства взаимодействия, мощность взаимодействия и распределение электронов пучка по энергиям на коллекторе для следующих основных параметров лампы и численной схемы: L = 0,2 м; vq = 107 м/с; Жф = 107 м/с; /0 = 10 мА; / = 500 МГц; г^ = 1 мм; число узлов пространственной сетки Nc = 200.
Методика численного решения задачи о нестационарном возбуждении линии передач с помощью метода эквивалентных схем имеет ряд достоинств, основное из которых связано с тем, что существует возможность аппроксимации известной (например, из эксперимента) дисперсионной характеристики во всей полосе частот, в том числе и вблизи границ полос пропускания замедляющей системы. Вместе с тем вышеприведенная методика, основанная на применении эквивалентной длинной линии, не дает достаточно общего описания явлений при взаимодействии с полем замедляющей системы.
г) Результаты получены авторами с помощью вышеназванной программы, которая свободно распространяется в Internet (http://ptsg.eecs.berkeley.edu).
Рис. 14.5. Результаты моделирования ЛБВ-усилителя с помощью программы I ВС Code с параметрами, приведенными в тексте. На рисунке демонстрируется «снимок» экрана компьютера при выполнении расчета: сверху приведены зависимости скорости заряженных частиц от продольной координаты. Внизу показаны зависимость отношения мощности взаимодействия к входной мощности в логарифмическом масштабе от координаты пространства взаимодействия и энергетический спектр пучка на коллектореРис. 14.5. Результаты моделирования ЛБВ-усилителя с помощью программы I ВС Code с параметрами, приведенными в тексте. На рисунке демонстрируется «снимок» экрана компьютера при выполнении расчета: сверху приведены зависимости скорости заряженных частиц от продольной координаты. Внизу показаны зависимость отношения мощности взаимодействия к входной мощности в логарифмическом масштабе от координаты пространства взаимодействия и энергетический спектр пучка на коллекторе
Рис. 14.5. Результаты моделирования ЛБВ-усилителя с помощью программы I ВС Code с параметрами, приведенными в тексте. На рисунке демонстрируется «снимок» экрана компьютера при выполнении расчета: сверху приведены зависимости скорости заряженных частиц от продольной координаты. Внизу показаны зависимость отношения мощности взаимодействия к входной мощности в логарифмическом масштабе от координаты пространства взаимодействия и энергетический спектр пучка на коллекторе
Рис. 14.5. Результаты моделирования ЛБВ-усилителя с помощью программы I ВС Code с параметрами, приведенными в тексте. На рисунке демонстрируется «снимок» экрана компьютера при выполнении расчета: сверху приведены зависимости скорости заряженных частиц от продольной координаты. Внизу показаны зависимость отношения мощности взаимодействия к входной мощности в логарифмическом масштабе от координаты пространства взаимодействия и энергетический спектр пучка на коллекторе
Рассмотрим поэтому другой подход к нахождению поля Е волны, а именно использование нестационарной теории возбуждения волновода. Отметим сразу, что излагаемая ниже методика не может применяться для сигналов с широким спектром и вблизи границ полос пропускания. Проанализируем теперь случай взаимодействия потока с обратной волной (схема ЛОВ).
В этом случае поле Е выражается как Е(хЗ) = Re {Ее-7^™^0^ }, где Е — медленно меняющаяся амплитуда. Уравнение возбуждения обратной волны в размерных переменных имеет вид
1 ЭЕ'Угр dt1 ЭЕ'Угр dtЭЕ ЭхЭЕ Эх= -р^ке= -р^ке(14.38)(14.38)
1 ЭЕ
'Угр dt
1 ЭЕ
'Угр dt
ЭЕ Эх
ЭЕ Эх
= -р^ке
= -р^ке
(14.38)
(14.38)
где / — Фурье-амплитуда первой гармоники сгруппированного тока. При переходе к безразмерным переменным (14.3) уравнение (14.38) принимает вид
ЭЕ ЭЕ9t ^rp ЭхЭЕ ЭЕ9t ^rp Эх= -&= -&(14.39)(14.39)
ЭЕ ЭЕ
9t ^rp Эх
ЭЕ ЭЕ
9t ^rp Эх
= -&
= -&
(14.39)
(14.39)
где £ = v^tj^qKLI^/Vq = 2хгрш2 LC3 /С3 = IqK/4V0 — параметр
Пирса.
Комплексные величины Е и I могут быть представлены через вещественные следующим образом. Введем
2тг
Jcos _ 1 Г /(#,£) cos (^ _#)) й(сЛ), 2тг J
о
2тг
/Sm =[ /(ж, t) sin (cj(t — ж)) c/(cjt),
о
Е = Ecos cos (w(t - ж)) - Esin sin (w(t - ж)).
Здесь /(ж, t) — ток пучка, определяемый с помощью вышеописанного метода «частиц в ячейке». Тогда уравнение (14.39) в комплексных переменных перепишется в виде системы двух уравнений в действительных величинах:
d^l „ 9^1 _ лрт
Q ZPCOSQ IPCOS г rcosQ ZPCOSQ IPCOS г rcos(14.40)(14.40)
Q ZPCOSQ IPCOS
г rcos
Q ZPCOSQ IPCOS
г rcos
(14.40)
(14.40)
Особенностью интегрирования уравнений (14.40) совместно с уравнениями движения макрочастиц является то, что уравнения возбуждения решаются на другой пространственно-временной сетке, чем уравнения движения. Действительно, так как Esm , Ecos , Fm , /cos — медленно меняющиеся функции, то достаточно говорить об их изменении за время порядка Д Т = 2tt/cj и на расстояниях порядка ДX = Тк-иф/ш. С учетом этого конечно-разностная схема для уравнений (14.40) будет иметь вид
лТ+АТрТрТ
(14.41)(14.41)~_ ^Х+АХ ~
(14.41)
(14.41)
АТ гр дх
где используется уже ранее обсуждаемая нами схема разностей против потока. При решении уравнений движения заряженных частиц величины {£%• в течение времени XT ^ Xt считаются постоянными.
Конечно-разностный метод решения нестационарныхуравнений РЛОВ в лагранжевых переменных
В качестве исходных уравнений рассмотрим систему нестационарных уравнений релятивистского карсинотрона (13.20)—(13.22), которые представим в несколько ином виде. Произведем замену переменных:
33-1/2-1/2(14.42)(14.42)1717
3
3
-1/2
-1/2
(14.42)
(14.42)
17
17
Тогда уравнения (13.20)—(13.22) примут следующий вид (штрихи у безразмерных переменных опускаем):
(14.43)(14.43)/ (£-2 _ !) =g| = / Re АД6 = ДА, 9),
(14.43)
(14.43)
^-^ = "4 j ^3° d60 = -JW,0
(14.44)(14.44)= 0) = 6„, ^2 = o,
(14.44)
(14.44)
Л(£ = 1) = 0, A(r = 0) = A°(£).
Численное решение системы уравнений (14.43) и (14.44) ищется как и раньше в узлах двухмерной сетки на плоскости переменных (^,т) с шагами Аж и At соответственно. Заменим электронный поток N крупными частицами, начальные фазы которых составяляют 6q = 2i{n/N (п = 1, . . . N). Тогда J(6) может быть заменена суммой вида
Уравнения движения интегрируются по известным значениям величины поля А на предыдущем шаге по времени с помощью двухшаговой схемы «предиктор—корректор» (см., например, [9, 10]). В этом случае сначала делается прогноз:
4+v» = 4 + /и'-4)- 4+./» = 4 + ^ s-<4>.
а затем это значение уточняется:
4+1 = е$ + ЛхД^ + А$+1)/2, 0*+1/2), 9^ = 9* + Д^^+1/2).
Найденные значения 6^ позволяют рассчитать значение функций Jj = = Де^.
Что касается расчета комплексной амплитуды поля А^, то уравнение возбуждения можно интегрировать с помощью любой устойчивой консервативной разностной схемы, например, с помощью уже использовавшейся схемы разностей против потока или с помощью более сложных схем, например, можно применить схему Лакса-Вендроффа, имеющую второй порядок точности [12, стр. 299-304]. Уравнения схемы Лакса- Вендроффа получаются разложением функции А в ряд Тейлора по т:
A*+1 = А* + Д*A*+1 = А* + Д*9AV At2 /Э2аУЭт)У^Г \ дт2)А9AV At2 /Э2аУЭт)У^Г \ дт2)А(14.45)(14.45)
A*+1 = А* + Д*
A*+1 = А* + Д*
9AV At2 /Э2аУ
Эт)У^Г \ дт2)А
9AV At2 /Э2аУ
Эт)У^Г \ дт2)А
(14.45)
(14.45)
8 АПроизводная ^^_8 АПроизводная ^^_в разложении (14.45) берется непосредственно изв разложении (14.45) берется непосредственно изуравнения возбуждения (14.43), а рования уравнения возбуждения:уравнения возбуждения (14.43), а рования уравнения возбуждения:8А28А28т8тнаходится путем диффиринци-находится путем диффиринци-92А те92А те9J 9J\Эт^Эх)9J 9J\Эт^Эх)А^1 = Л* + AtА^1 = Л* + AtА1 , 1 д12АжА1 , 1 д12Аж
8 А
Производная ^^_
8 А
Производная ^^_
в разложении (14.45) берется непосредственно из
в разложении (14.45) берется непосредственно из
уравнения возбуждения (14.43), а рования уравнения возбуждения:
уравнения возбуждения (14.43), а рования уравнения возбуждения:
8А2
8А2
8т
8т
находится путем диффиринци-
находится путем диффиринци-
92А те
92А те
9J 9J\
Эт^Эх)
9J 9J\
Эт^Эх)
А^1 = Л* + At
А^1 = Л* + At
А1 , 1 д1
2Аж
А1 , 1 д1
2Аж
Э2А _ Э (ЭА _ Л
Эт2 9т \Э£, /
Далее производные по координате £ и по времени т аппроксимируются конечно-разностными отношениями, что приводит к уравнению
At2 / A‘j+1 - 2А2 + A^i _ J* -Jj 1 _ J* - J>_i\
2 у Аж2AtАж у '
После несложных преобразований конечно-разностный аналог уравнения возбуждения примет вид
Г+1 = A*. + S; + ^ №. - м" + Л'-.) -
- т К3 + к;)
Коэффициент перехода (см. формулу (4.13)) для полученного конечноразностного уравнения возбуждения имеет вид
G = 1 — з^- sin А; А ж — ^^ (1 — cos ^Аж),(14.47)
откуда условие Куранта:
At < Аж.(14.48)
Для окончательного определения задачи необходимо тем или иным образом задать граничные и начальные условия. Из условия А^ = 1) = = 0 получаем первое граничное условие
(14.49)(14.49)Л^ = 0,
(14.49)
(14.49)
где 5 — число узлов разностной схемы по координате. Второе граничное условие получается, если учесть, что J^ = 0) = 0 (первая гармоника сгруппированного тока в начале пространства взаимодействия равна нулю), что дает
8А8т8А8т8А\8U8А\8U= 0.С=о= 0.С=о(14.50)(14.50)
8А
8т
8А
8т
8А\
8U
8А\
8U
= 0.
С=о
= 0.
С=о
(14.50)
(14.50)
15 Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов
Аппроксимируя производные в уравнении (14.50) односторонними разностями в узле пространственной сетки j = 0, легко получить следующее граничное условие:
АУ = Ло + ^ (^ - Ло) ■<14-51)
Данное выражение имеет первый порядок точности в отличие от уравнения (14.46), которое имеет второй порядок точности. Однако так как оно используется только на одном шаге по координате, то это не будет сильно сказываться на точности всей разностной схемы.
Вид начальных условий А(т = 0) = А°(£) не играет особой роли, так как, если начальная амплитуда мала, то имеет место достаточно длинный участок экспоненциального роста, где существует возможность сшить решение, полученное из линейной теории и нелинейной теории. Например, начальные условия можно задать в виде [2]
( А0 = const,0 < £ < 0,9,
А°(^) =(14.52)
( A0 sin2 [5тг(1 — £)] ,0,9< 1.
Именно с помощью схемы, подобной описанной в данном разделе, были получены результаты, представленные в предыдущей лекции.
Математическое моделирование электронныхприборов с помощью самосогласованной системыуравнений Максвелла—Власова
Современный уровень фундаментальных исследований в электронике и задачи инженерного проектирования реальных устройств требуют необходимости изучения физического прибора «как целого» с учетом взаимосвязей всех процессов [1]. При проведении реальных физических экспериментов на экспериментальных макетах такой подход является естественным. Однако он требует больших затрат средств и времени, а интерпретация полученных экспериментальных результатов оказывается нередко затруднительной. Более того, часто оказывается невозможно ответить на те или иные вопросы в результате только натурного эксперимента. Поэтому возникает необходимость построения «глобальных» математических моделей СВЧ-устройств (в первую очередь, использующих сильноточные релятивистские электронные пучки), которые достаточно полно самосогласованным образом отражают работу прибора в целом [13].
Одним из наиболее общих способов рассмотрения физических процессов данного класса является рассмотрение самосогласованной системы кинетических уравнений, описывающих динамику заряженных частиц, совместно с полной нестационарной системой уравнений Максвелла для эволюции электромагнитного поля [1, 13]. При анализе ди-
намики электронов пучка в вакуумных СВЧ-устройствах с большой степенью точностью можно предполагать, что имеет место выполнение условия бесстолкновительности, которое означает, что длина свободного пробега электронов между столкновениями существенно больше, чем характерный размер пространства взаимодействия. Тогда описание движения электронного потока возможно провести с помощью кинетического уравнения Власова:
^ + v^ + е (е + ^ [v, Н]) ^ = О,(14.53)
Ot OY \ С / op
р = е [ / dp, J = е [ /v dp, v = P^m .
ГPV^P2/(™2c^
Здесь f(t, r,p) — функция распределения частиц, имеющих заряд е и массу покоя т.
Нестационарные электромагнитные поля описываются с помощью уравнений Максвелла
^ = -rotE,^ = rotH-J,(14.54)
otot
divD = p, divB = 0.(14.55)
Самосогласованнная система уравнений Максвелла-Власова, решаемая в двух- и трехмерном случае, позволяет наиболее полно описать физические процессы в сверхвысокочастотных приборах с наибольшей степенью общности. Например, моделирование приборов с длительным взаимодействием с помощью уравнений Максвелла-Власова означает учет взаимодействия пучка сразу со всеми пространственными гармониками, отражения электромагнитных волн от концов замедляющей системы, остановок и отражений электронов в потоке и т. д. Другим важным аспектом таких моделей является их универсальность. Так формулировка моделей для различных сверхвысокочастотных приборов (например, магнетрон, лампа обратной волны, клистрон и т. д.) при использовании системы уравнений Максвелла-Власова различается лишь формой расчетной области, т. е. постановкой граничных условий для электромагнитных полей и способом инжекции электронов в область взаимодействия прибора. Это позволяет создавать универсальные программные продукты для моделирования процессов в электронных приборах сверхвысоких частот, так называемые, электромагнитные коды.
Рассмотрим основные принципы, которые лежат в основе построения численной схемы на основе самосогласованной системы уравнений Максвелла-Власова [1, 7].
Первой частью самосогласованной задачи является нахождение распределения плотности тока и плотности пространственного заря- 15*
да в пространстве взаимодействия прибора, которое требует анализа кинетического уравнения (14.53). Решение бесстолкновительного кинетического уравнения традиционно базируется на методе «макрочастиц», который в настоящее время является практически единственно возможным методом расчета пространственно многомерной динамики заряженных частиц в самосогласованных задачах [4, 7, 14].
Суть метода частиц, как уже обсуждалось нами выше, базируется на том, что пучок заряженных частиц моделируется с помощью конечного (и достаточно малого!) числа макрочастиц с одинаковым удельным зарядом. Каждая из этих частиц движется вдоль характеристик кинетического уравнения. По результатам этого движения вычисляются интегральные характеристики, такие как плотность заряда, плотность тока и др. Интегральные характеристики находятся с помощью взвешивания частиц на пространственно-временной сетке. Простейший вариант такого взвешивания в одномерном случае описан в первом параграфе данной лекции. Подробное описание метода частиц можно найти в монографиях [4, 7, 10], где все эти вопросы рассмотрены достаточно детально и с большим числом примеров. Там же приведены удобные для расчетов формы записи уравнений движения заряженных частиц в различных системах координат (цилиндрической, полярной и т. д.). Найденные с помощью взвешивания на сетке интегральные характеристики (плотность тока и пространственного заряда) далее используются при нахождении электромагнитных полей в расчетной области.
Заметим, что использование метода частиц позволяет достаточно легко рассматривать и моделировать такие явления как эмиссию с заданными законами, абсорбцию заряженных частиц на стенках пространства взаимодействия, столкновительные процессы при взаимодействии электронных пучков с плазмой и т. д. [1, 13].
Второй частью самосогласованной задачи является нахождение электромагнитных полей непосредственно из решения уравнений Максвелла, которое наиболее часто основывается на методе конечных разностей. Заметим, что если уравнения (14.55) выполняются в начальный момент времени и в процессе решения закон сохранения электрического заряда выполняется, то эти уравнения будут справедливы и во все последующие моменты времени, как это видно из уравнений (14.54) [15]. Таким образом если вышеуказанные условия соблюдены, то для расчета полей достаточно решать уравнения (14.54), что значительно упрощает вычислительную процедуру.
Пространственные и временные производные в уравнениях (14.54) заменяются центральными конечными разностями. С этой целью в расчетной области вводятся пространственная и временная сетки, причем значения различных составляющих электрического и магнитного полей определяются в узлах сеток, сдвинутых друг относительно друга на
Рис. 14.6. Двумерная сетка для численного решения уравнений Максвелла (а); ячейка трехмерной сетки (б)
половину шага 6/2. При этом возможно использование как сеток с прямоугольными ячейками (прямоугольник в двумерном случае и параллелепипед — в трехмерном), так и криволинейных сеток и нескольких сеток с различными шагами [16, 17].
Во временной области вводится сетка с шагом ht. При этом значения вектора электрической индукции D и напряженности электрического поля Е определяются в моменты времени tn = nht, п = 1, 2, 3, . . ., а вектора магнитной индукции В и напряженности магнитного поля Н- в моменты tn+i/2 = (п + 1/2)ht- Тогда уравнения (14.54) в конечноразностном во времени виде запишутся так:
ПТТП + 1
—= Н" - ht [vE"+1/2] /д,
(14.56) ягп+1/2
—— = Е”-1/2 + h,t ([VHn] - J") /е,
где предполагается, что диэлектрическая е и магнитная у проницаемости являются скалярами. В конечно-разностных уравнениях (14.56) введены обозначения E(tn) = Еп, H(tn) = Нп.
Если рассмотреть двумерную по пространству расчетную область, расположенную в плоскости (ж, z) декартовой системы координат, причем вариации поля по третьей координате отсутствуют (8/Эу = 0), то координаты узлов (т. е. точек, в которых вычисляются значения составляющих полей) определяются следующим образом (см рис. 14.6 а): для Еж жу+1/2 = U + 0,5)/гж, zt = ih2; для Ez Xj = jhx, zi+1/2 = (г + + 0,5)Лг; для Hti xj+1/2 = U + 0,5)/гж, zi+1/2 = (г + 0,5)Лг. Здесь hx и hz — шаги пространственной сетки по координатам х и z соответ-
ственно, индексы г и j характеризуют положение ячейки сетки в пространстве. В случае границы области, несовпадающей с координатной сеткой, ее обычно аппроксимируют ступенчатой линией, проходящей по линиям сетки *) .
Расчет «двумерных» электромагнитных полей легко обобщается на расчет полей в соответствии с формулами (14.56) в трехмерных областях. На рис. 14.65 изображены ячейка трехмерной пространственной сетки и точки определения узловых значений, составляющих напряженности электрических и магнитных полей. Узлы электрического поля расположены в середине ребер ячейки, а магнитного поля — в центре её граней.
Вышеописанная схема интегрирования конечно-разностных аналогов уравнений Максвелла является полностью «явной», т. е. для нахождения полей на (п + 1)-м шаге по времени необходимо использовать значения соответствующих сеточных величин только на (п — 1)-м шаге. Явные схемы, как обсуждалось выше, устойчивы только при выполнении условия Куранта, которое для данной задачи имеет вид [1]
ht С (14.57) суЗ
где Amin — минимальный шаг пространственной сетки. Коэффициент V3 появляется в трехмерном случае. При использовании двумерной сетки он заменяется на коэффициент V2, и в одномерном случае — на 1.
На рис. 14.7 приведена схема расчета на одном шаге At во времени с помощью вышеописанной электромагнитной модели.
В настоящее время существует несколько широко используемых коммерческих и свободно распространяемых электромагнитных кодов. Наиболее известен 2,5-мерный ) коммерческий код MAGIC [19]. Данный код, накладывая существенно меньшие требования на вычислительные ресурсы, чем полностью трехмерные коды, позволяет решать широкий круг задач вакуумной релятивистской сверхвысокочастотной электроники. Ограничением здесь является необходимость формулировать решаемую задачу принципиально в двумерном виде. О затратах машинного времени позволяет судить тот факт, что моделирование переходных процессов в 5,5 ГГц лампе бегущей волны, которые длятся около трех времен распространения сигнала вдоль пространства взаимодействия, занимало около двух часов на персональном компьютере с процессором Pentium II 300 МГц [1]. При этом для моделирования используется около 11000 макрочастиц на каждом временном шаге.
г) Существуют и более точные методы аппроксимации криволинейных границ [18].
Рис. 14.7. Диаграмма расчета на одном шаге At во времени модели, основанной на решении самосогласованной системы уравнений Максвелла-Власова с помощью метода частиц и явной схемы интегрирования уравнений Максвелла
Другим электромагнитным кодом, широко используемым отечественными учеными, является код КАНАТ [20]. Свободно распространяемым полностью электромагнитным кодом является код XOOPIC, разработанный группой Ч. Бедселла [21] х).
Применение метода функционального отображенияк анализу нестационарных процессов в ЛЕВс запаздывающей обратной связью
ЛБВ-генератор с запаздывающей обратной связью (шумотрон) представляет собой, как отмечалось в лекции 3, систему с глобальной неустойчивостью. Шумотрон был первым СВЧ-генератором мощных шумовых сигналов, предложенным в конце 60-х годов [22]. Системы с обратной связью до сих пор привлекают внимание исследователей как эффективные генераторы хаотических широкополосных сигналов сантиметрового и миллиметрового диапазона (например, [23 — 25]). Математический анализ таких систем обычно базируется на полуаналитическом или численном решении нелинейных нестационарных уравнений генератора (например, ЛБВ с цепью обратной связи), которые определяют поведение системы при различных параметрах обратной связи и нелинейного усилителя. С одной стороны, анализ таких широкоплосных систем затруднен в силу отсутствия соответствующей простой теории: для численного анализа
г) Информация о данном программном продукте доступна в Internet но адресу http://ptsg.eecs.berkeley.edu.
подобных систем требуется решение уравнений Максвелла-Власова). С другой стороны, решение соответствующих нелинейных уравнений в частных производных даже достаточно простых моделей (например, изложенная выше нелинейная нестационарная теория ЛОВ) требует существенных затрат машинного времени для детального изучения явлений в приборе и оптимизации его характеристик в широком диапазоне изменения управляющих параметров.
В данном разделе будет рассмотрен для анализа системы с распределенными параметрами (ЛБВ с запаздывающей обратной связью) метод функционального отображения, предложенный группой исследователей из Харьковского физико-технического института: Ю.П. Блиохом, А.В. Бородкиным, М.Г. Любарским, И.Н. Онищенко и Я.Б. Файнбер- гом [3, 28]. Данный метод позволяет с точки зрения вычислительной математики резко сократить время численного анализа соответствующих уравнений в частных производных, описывающих исследуемую систему.
Из процедуры вывода нестационарного уравнения возбуждения волновода понятно, что его легко обобщить на случай взаимодействия с прямой волной — это приведет только к изменению знака перед производной по времени т. Тогда система, описывающая нелинейный ЛБВ- усилитель без учета пространственного заряда и потерь в безразмерных переменных будет иметь вид:
Dg Эт д^1
(14.58)
2тг
1 = ^ | е-^^о,
(14.59)
0
(14.60)
(vg — безразмерная групповая скорость) с граничными условиями:
u(O,r) = uo, дм (О, т)/д^ = 0.(14.61)
Обратная связь описывается простым соотношением:
^(0, т + О) = Z^L, т),(14.62)
где L — длина лампы, 0 — время задержки в цепи обратной связи, Z — коэффициент обратной связи. Чтобы полностью определить задачу необходимо также задать величину ^(0) на отрезке [— (0 + L), 0], что эквивалентно заданию распределения поля в виде:
^(O,r)|Te[o,e+L] =(14-63)
Понятно, что исследование системы с обратной связью существенно упроститься, если определить нелинейный функционал 'Щ который
Рис. 14.8. Структура пространственно-временных связей в ЛБВ-генераторе будет давать по заданному входному сигналу ^о(^) значение выходного сигнала J^L^ т\ т. е.
(14.64)
Такая зависимость определяется тем, что информация переносится по двум типам характеристик (т = const (пучок) и иёт — £ = const (волна); см. рис. 14.8, на котором представлены пространственно-временные связи в ЛБВ-генераторе). Значение сигнала на выходе усилителя определяется значениями функции ^(т), заданной на интервале времени [т, т — L\. Это и означает, что U является функционалом.
Если известен функционал U^ то генератор с запаздывающей обратной связью с учетом соотношения (14.63) может быть описан функциональным отображением вида
foH0) = ZU\MtYV (14.65)
Запись (14.64) полностью эквивалентна исходной задаче в частных производных, так как пока еще не сделано никаких упрощающих предположений (кроме тех, которые присущи исходной системе уравнений (14.58)-(14.61)).
Рассмотрим теперь структуру функционального отображения. Так как исходная система не имеет общего аналитического решения, то для получения зависимости U необходимо сделать некоторые упрощающие предположения. Рассмотрим их.
Пусть имеем на входе ЛБВ-усилителя монохроматический сигнал Тш ехр Ус^т]. Тогда распределение поля в пространстве взаимодействия может быть представлено в виде: Т^т^ = Тш^ ехР \.3ШТА (см- лекцию 9; раздел посвященный численному исследованию нелинейных уравнений ЛБВ). Типичный вид функции ^(^ представлен на рис. 14.9. Из кривых этого рисунка видно, что выходной сигнал даже
Рис. 14.9. Зависимость амплитуды (а) и фазы (б) монохроматических сигналов от координаты. Различные кривые соответствуют различным частотам шРис. 14.9. Зависимость амплитуды (а) и фазы (б) монохроматических сигналов от координаты. Различные кривые соответствуют различным частотам ш
Рис. 14.9. Зависимость амплитуды (а) и фазы (б) монохроматических сигналов от координаты. Различные кривые соответствуют различным частотам ш
Рис. 14.9. Зависимость амплитуды (а) и фазы (б) монохроматических сигналов от координаты. Различные кривые соответствуют различным частотам ш
в случае монохромотического входного сигнала сильно зависит как от амплитуды, так и от частоты ш. Поэтому в случае произвольного входного сигнала для нахождения выходного сигнала необходимо рассматривать каждую спектральную гармонику отдельно, что и эквивалентно решению первичных уравнений. Однако при коэффициенте связи Z ^ А решение задачи с большой степенью точности может быть представлено в каждый момент времени монохроматическим сигналом, амплитуда и фаза которого зависят от амплитуды и частоты входного сигнала.
Действительно, при условии Z ^ 1 входной сигнал генератора всегда мал. Разобьем условно пространство взаимодействия на две части: «линейную» (длиной Тлин), где амплитуда поля мала и взаимодействие пучка и волны описываются в рамках линейной терии, и «нелинейную» (длиной L — Тлин), где в качестве начального сигнала подается сигнал, найденный из расчетов по линейной теории. В дальнейшем покажем, что даже при широкоплосном сигнале на входе прибора линейная часть формирует сигнал, близкий к гармоническому. Данное утверждение тем точнее, чем длиннее линейная стадия, а, следовательно, меньше Z.
Линеаризуем систему нелинейных нестационарных уравнений (14.58)-(14.60). Представим и в следующим виде и = uq + Ui, |ui| <С <С 1. Тогда, раскладывая в ряд Тейлора: exp [—Jui], получим, что / = — 2^1 exp [—Juq]. Умножая уравнение (14.60) на exp [—Juq] и усредняя по uq, получим систему линеаризованных уравнений:
(14.66)(14.66)1 дТ дТ
(14.66)
(14.66)
Dg Эт Э$,
д2Ф 1 эед2Ф 1 эе(14.67)(14.67)
д2Ф 1 эе
д2Ф 1 эе
(14.67)
(14.67)
। 2тг
где Ф = — [ e-^n°ui duo^ ^ о
(14.68)(14.68)Ф(О,т) = ио, 5Ф(0,т)/ае = 0.
(14.68)
(14.68)
Предполагая, что на вход усилителя подается монохроматический сигнал Tq = Тшо^ШТ будем искать решение (14.66) и (14.67) в виде Ф. Т ~ е86^^7". Тогда из условия совместности получившейся системы уравнений получим дисперсионное уравнение:
(ае + зози^^ = з/2.(14.69)
Будем искать собственные типы колебаний ЛБВ, т. е. такие решения, которым соответствует неизменное распределение поля в пространстве взаимодействия. Эти решения имеют вид
Т) = ^TJU £ aj^e^S(14.70)
j
и, соответственно, для функции Ф:
ФД^т) = з^шт^шуа3И(®3И + j«g^e^^,(14.71)
3
^|^ =+ jVglj3)^^ (14.72)
где aej — корни характеристического уравнения (14.59), а аз(ш) — коэффициенты разложения вектора начальных условий (^,0,0) по собственным векторам системы (14.66)-(14.68).
Поскольку лишь один корень ае^ имеет положительную вещественную часть (обозначим его как ае), то поведение решения на линейной стадии взаимодействия быстро приобретает характер экспоненциального роста. С увеличением £ вектор решения (^Ш1ФШ1 ЭФШ(Э^ экспоненциально стремится к направлению, задаваемому вектором еш:
еш = (1, j [$(w) +j'Ogw\ ,ja?(w) [ae(w) + 3«8Д^
так что пучковые компоненты при £ ^> 1 однозначно связаны с полем.
Если форма входного сигнала ^о произвольна, то общее решение системы (14.66)-(14.68) может быть представлено с помощью функции Грина
^,Т) = ^О^= j g^-iW^ (14.73)
где g^T — т') — функция Грина системы уравнений (14.66)-(14.68).
Сравнивая решение для монохроматического входного сигнала и общее решение, нетрудно видеть, что последнее определяет преобразование Фурье полевой компоненты функции Грина. Благодаря этому существует возможность найти ее с помощью обратного преобразования Фурье. В работе [3] приводится явный вид функции g^r), полученный асимптотическими методами (методом перевала) в предположении £ ^
Выпишем его без вывода:
g^T) = L^ 1 + ЗгЦ е3/4®0^1-9/4^^-^/3)2],(14.74)
где аео = (—jvg + -\/2) 2-4/3 — корень характеристического уравнения (14.59) при со = 0.
Аналогично асимптотическими методами могут быть найдены и функции Грина g^ и g^, описывающие поведение функций Ф и ЭФ/д^ однако, можно воспользоваться и тем, что функция Грина по своему определению является решением исходных уравнений. Тогда:
Из формулы (14.74) видно, что функция |g£ (т) | имеет максимум при т = (vg/3)^ полуширина соответствующей кривой которого пропорциональна V£ • Из этого следует, что частоты |со | > 1 / VI если они присутствуют в спектре входного сигнала Тть существенно ослабляются после прохождения линейной стадии взаимодействия, т. е. функция Грина действует как фильтр промежуточной частоты, полоса пропускания которого уменьшается с увеличением длины взаимодействия. При L ^ > 1 к нелинейной стадии взаимодействия сигнал приходит близким к монохроматическому, даже если на входе в ЛБВ он был широкополосным.
Для описания эволюции на нелинейной стадии (£лин < £ < L) необходимо решить исходные уравнения, взяв в качестве граничного условия поле ТДЬлин, т) в конце линейной стадии.
При большой длине линейной стадии взаимодействия £лин эволюция сигнала на нелинейной стадии зависит от двух параметров: амплитуды и мгновенной частоты промежуточного сигнала ^(Ьлин , т). Следующие два момента позволяют упростить данную зависимость. Во-первых, аргумент решения на нелинейной стадии меняется практически по тому же закону, что и на линейной (см. рис. 14.9). Во-вторых, модуль выходного сигнала не зависит от фазы промежуточного сигнала 3"(ЬЛИН1 т), что следует из инвариантности исходной системы относительно сдвига фазы поля.
Исходя из этого, зависимость выходного сигнала от промежуточного имеет вид
ГЦ, т) = йь_ьМ\ГЦ™нМ\Мт» X
х exp [jarg^-L™ o^(^hh,t)] . (14.75)
где Ы = Ы — вещественная функция.
Так как (L — Тлин) <С Тлин, то можно в соотношениях линейной теории брать вместо Тлин значение L, при этом частота ш(т) будет даваться в этом случае с той же точностью, а модули полей в точках Тлин и L будут связаны очевидным соотношением
\gL o^ol = eRe^L-L™^\gu„H o^ol-
Итак, суммируя все вышесказанное, получим окончательное соотношение, связывающее входной и выходной сигнал:
гц, r) = uL{\gL огом\,шц^
откуда, с учетом уравнения (14.65), функциональное отображение, описывающее ЛБВ-генератор с запаздывающей обратной связью, можно записать в виде
Мт + 0) = Z • uL {|gL о «<М м^мм-^л^
Функция UL может быть задана в виде таблицы данных, полученных из численного решения исходных уравнений в частных производных (14.58)—(14.61), или аппроксимирована той или иной удобной для работы функцией.
Перед дальнейшим обсуждением полученного соотношения (14.76) перечислим еще раз основные особенности взаимодействия в генераторе с бегущей волной и запаздывающей обратной связью, которые позволили найти вид функционала U*.
наличие двух пересекающихся семейств характеристик системы уравнений (14.58)—(14.61);
наличие неустойчивости, приводящей к экспоненциальному росту только одного из собственных решений линейной теории;
резонансный характер неустойчивости, т. е. зависимость пространственного инкремента неустойчивости от частоты входного сигнала;
малость коэффициента обратной связи, благодаря чему длинная линейная стадия взаимодействия формирует стандартный вектор состояния.
Исследуем теперь возможные механизмы потери устойчивости монохроматических режимов работы генераторов, описываемых отображением (14.76). Численное решение уравнений (14.58)—(14.61) показывает, что с увеличением тока пучка после разрушения монохроматического режима быстро наступает режим стохастической автомодуляции. Это указывает на совпадение механизма разрушения монохроматического режима с механизмом его стохастизации. Поэтому определение условий и механизма потери устойчивости монохроматических решений дает хорошую оценку снизу для тока стохастической автомодуляции генератора и позволяет качественно описать основные спектральные характеристики сигнала в этом режиме.
Будем рассматривать уравнение
W(r + 0) = U (|^о ^(т)|,ш(т))е^г8^<т),(14.77)
к которому легко перейти от (14.76) с помощью очевидных переобозначений. Функционал Q будем описывать его комплексной амплитудночастотной характеристикой а(си), задаваемой соотношением
^ое^т = фУ"т.(14.78)
Уравнение (14.77) допускает монохроматические решения с частотами шп, удовлетворяющими условию фазового баланса сигнала в цепи обратной связи:
©шп = аг£а(шп) + 2тгп, п Е Z,(14.79)
и амплитудами Т7, определяемыми из уравнения
^п =(Н^п)!^^п) •(14.80)
Исследуем устойчивость описанных решений, для чего представим ^(т) в виде
^(т) = ^ne^^l + п(т)),(14.81)
где |и(т)| <С 1 — малое возмущение.
Линеаризуя уравнение (14.77) вблизи невозмущенного монохроматического решения, получим уравнение для и (г), решение которого в силу его линейности можно искать в виде
Цт) = e7T(n+e^T + u_e"^TY(14.82)
Опуская выкладки, приведем характеристическое уравнение системы линейных уравнений для функций Uj^ и_\
е2А0 _ 1 А© | ^± । ^1
1 + |^оНh АЭх1 + |^оНh АЭхЭХпЫЭшЭХпЫЭша^а* ЭИ|d0| Эха^а* ЭИ|d0| Эх(|+л^)=0. (14.83)\ Эш )(|+л^)=0. (14.83)\ Эш )2 у do do
1 + |^оНh АЭх
1 + |^оНh АЭх
ЭХпЫЭш
ЭХпЫЭш
а^а* ЭИ
|d0| Эх
а^а* ЭИ
|d0| Эх
(|+л^)=0. (14.83)
\ Эш )
(|+л^)=0. (14.83)
\ Эш )
Здесь А = 7 + 3pi^ а^ши\ а± = а(шп ± //), и — производные по первому и второму аргументам функции U в точке (^(с^п)!^, ш^.
Понятно, что монохроматический режим неустойчив, если хотя бы один из корней А характеристического уравнения расположен в правой
полуплоскости.
Рассмотрим сначала простейший случай, когда ^у = ^у = 0. При этом уравнение (14.83) упростится:
(14.84)(14.84)ха (t ।। A I I Э1Л
(14.84)
(14.84)
е — е I 1 + ао + ^о = 0.
\ Эх / Эх
Уравнение (14.84) имеет два семейства корней:
. 2тг/и , . тг к?-ё" + 1?У. 2тг/и , . тг к?-ё" + 1?У„ . эй1 -Slgn^„ . эй1 -Slgn^In \ao\\9U ( 9х\0In \ao\\9U ( 9х\0
. 2тг/и , . тг к
?-ё" + 1?У
. 2тг/и , . тг к
?-ё" + 1?У
„ . эй
1 -Slgn^
„ . эй
1 -Slgn^
In \ao\\9U ( 9х\0
In \ao\\9U ( 9х\0
л (2)• 2тгк1
хк =3-0-1k^z-
Корни первого семейства обладают вещественной частью, что дает следующее условие неустойчивости монохроматического режима:
1«о|1«о|9UЭх9UЭх(14.85)(14.85)
1«о|
1«о|
9U
Эх
9U
Эх
(14.85)
(14.85)
Заметим, что предположение о независимости функций ZV и а от частоты ш превращает отображение (14.77) в одномерное, для которого условие (14.85) является, как известно [29], условием неустойчивости неподвижной точки.
Учтем теперь зависимость функций U и а от частоты. Здесь в первую очередь следует обратить внимание на второе семейство корней А^2), поскольку даже слабая зависимость упомянутых функций от ш может сдвинуть корни А^ с мнимой оси, и безразличное равновесие по соответствующему направлению будет нарушено. Семейство же А^1) устойчиво к слабой зависимости от ш.
Рассмотрим случай, когда изменение функций ZV и а на двух ближних собственных частотах генератора невелико, что эквивалентно неравенствам
даЭшдаЭш1010dlnZVЭшdlnZVЭш1010(14.86)(14.86)
да
Эш
да
Эш
1
0
1
0
dlnZV
Эш
dlnZV
Эш
1
0
1
0
(14.86)
(14.86)
Для ЛБВ-генератора первое условие, как следует из вида (14.74) функции Грина, эквивалентно неравенству
(14.87)(14.87)Vl/o < 1.
(14.87)
(14.87)
Поскольку в безразмерных переменных, в которых записаны исходные уравнения (14.58)-(14.60), 0 > L,|^^| ~ 1, то оба неравенства (14.87) эквивалентны условию L ^ 1, выполнение которого предполагалось ранее.
Рассмотрим сначала случай, когда от частоты ш зависит только а. Поскольку семейство А^2) в том приближении, в котором оно получено, не зависит от вида функционала U, положим для простоты ZV = 1 (это всегда можно сделать выбором соответствующей нормировки). В этом случае решение характеристического уравнения имеет вид
АА(2) к(2) к. 2тг/и. 2тг/и1 dargg(w„)\0 Эшп )1 dargg(w„)\0 Эшп )Чт^к1 1д2|д(ш„)|04|а(ш„)| Эш^Чт^к1 1д2|д(ш„)|04|а(ш„)| Эш^(14.88)(14.88)
А
А
(2) к
(2) к
. 2тг/и
. 2тг/и
1 dargg(w„)\
0 Эшп )
1 dargg(w„)\
0 Эшп )
Чт^к1 1д2|д(ш„)|
04|а(ш„)| Эш^
Чт^к1 1д2|д(ш„)|
04|а(ш„)| Эш^
(14.88)
(14.88)
т. е. при
(14.89)(14.89)д2|а(сс
(14.89)
(14.89)
монохроматический режим неустойчив.
Таким образом монохроматический режим генератора, состоящего из фильтра а(ш) и идеального ограничителя ZV = 1 в качестве нелинейного элемента, неустойчив, если амплитудно-частотная характеристика фильтра локально вогнутая. Этот результат хорошо известен в теории цепей [30].
Следует подчеркнуть, что оба критерия ((14.86) и (14.89)) получены из одного характеристического уравнения, т. е. функциональное отображение содержит в себе оба механизма потери устойчивости. Будем называть первый механизм потери устойчивости амплитудным, а второй — частотным, поскольку первый связан с функцией отображения амплитуды и является простым обобщением механизма потери устойчивости в точечном отображении, а второй обусловлен частотными свойствами отображения.
Зависимость .Т-'вых^вх) может быть получена решением исходных уравнений в частных производных уравнений с различными начальными условиями ^вх и сопоставлением соответствующих амплитуд выходного сигнала 7|!|)1Х = ^к^ (рис. 14.10).
Перейдем теперь к результатам численного решения уравнения (14.76) с функцией ZV, описывающей ЛБВ-усилитель. Функция ZV строилась по численным решениям уравнений (14.58)—(14.61) с граничными условиями Т-оМ = Т^зшт с различными частотами ш.
При малых значениях параметра неравновесности (L — — In |Z|/ Re {ае}) наблюдалось самовозбуждение генератора на одной из собственных частот шп, значения которых хорошо согласуются с заранее вычисленными по условию фазового баланса. Как уже отмечалось, выбором граничного условия ^(т), т G [0, 0 + L) можно
Рис. 14.10. Построение функции отображения 7Вых(7вх) по зависимости IT7^)!- Кривые 1 и 2 отличаются начальной амплитудой ^xi > ^"bx2. Расстояние А£ определяется выражением Д^ Reae = In (77Вх1/^7вх2)
добиться возбуждения генератора на той или иной из собственных частот, лежащих вблизи максимума инкремента.
С ростом параметра надкритичности монохроматический режим терял устойчивость и возникала автомодуляция. Существует простой способ определения, какой из механизмов — амплитудный или частотный — приводит к потери устойчивости стационарного монохроматического режима генерации. Для этого достаточно определить положение сателлитов в спектре сигнала, возникающих при превышении порога неустойчивости, т. е. при автомодуляции. В случае амплитудного механизма ближайшие сателлиты расположены на расстоянии порядка тг/0 от основной частоты. В случае же частотного механизма расстояние до сателлитов в два раза больше — 2тг/0. Это следует из вида мнимых частей корней А^1) и А^2^ характеристического уравнения.
Приведенные на рис. 14.11 примеры реализации (а, б) и характерного спектра (в) в развитом хаотическом режиме, полученные методом функционального отображения, подтверждают, что именно частотный механизм неустойчивости приводит к возникновению нерегулярной автомодуляции выходного сигнала ЛБВ-генератора с обратной связью. Об этом свидетельствует спектр сигнала, в котором явно подчеркнуты частоты, отстоящие друг от друга на расстоянии порядка 2тг/0. Характерной особенностью рассматриваемой модели является переход к хаосу через перемежаемость [26, 27], когда участки с плавноменяющейся регулярной автомодуляцией сменяются участками с нерегулярным поведением, длительность которых возрастает с увеличением параметра надкритичности (см. рис. 14.11щб).
Спектральные характеристики стохастических сигналов содержат в себе информацию о механизме неустойчивости. Для амплитудного механизма характерны однородные компактные спектры, в которых собственные частоты выделены незначительно. Частотному же механизму соответствуют спектры с хорошо выделенными собственными
частотами и широкий пьедестал со сплошным спектром. Различия в ширине спектра обусловлены тем, что в первом случае сигнал мо
дулирован, в основном, по амплитуде, а во втором случае — по частоте,
Рис. 14.11. Примеры временных реализаций сигнала генератора при увеличении тока пучка (а, б) и характерный спектр генерации в режиме развитого хаоса (в) (из работы [3])Рис. 14.11. Примеры временных реализаций сигнала генератора при увеличении тока пучка (а, б) и характерный спектр генерации в режиме развитого хаоса (в) (из работы [3])(14.60) в частных производных пока:(14.60) в частных производных пока:и только как следствие этого — по амплитуде. Ширина же спектра при частотной модуляции всегда больше, чем при амплитудной модуляции [31].
Рис. 14.11. Примеры временных реализаций сигнала генератора при увеличении тока пучка (а, б) и характерный спектр генерации в режиме развитого хаоса (в) (из работы [3])
Рис. 14.11. Примеры временных реализаций сигнала генератора при увеличении тока пучка (а, б) и характерный спектр генерации в режиме развитого хаоса (в) (из работы [3])
(14.60) в частных производных пока:
(14.60) в частных производных пока:
Анализ полученных результатов позволяет сделать следующий вывод о характере физических процессов, происходящих в ЛБВ-генераторе с обратной связью. При малом коэффициенте Z обратной связи в режиме развитой стохастической автомодуляции взаимодействие пучка с полем даже на нелинейной стадии носит одноволновой характер. Это означает, что на нелинейной стадии в любой момент времени пучок взаимодействует с монохроматической волной, но частота и амплитуда волны различны в разные моменты времени. Разуме-
ется, в этом утверждении содержится некоторая идеализация происходящих процессов, однако такой подход является достаточно точным. Численное решение исходных уравнений (14.58)- вает [3], что мгновенные функции
распределения частиц пучка по скоростям на выходе генератора остаются узкими, как и при одноволновом взаимодействии, даже в развитом
стохастическом режиме генерации, в то время как многоволновое взаимодействие характеризуется в несколько раз более широкой функцией распределения.
Завершая анализ результатов численных решений уравнений (14.58)-(14.60) и отображения (14.76), отметим следующий немаловажный факт. Если сравнить значения среднего квадрата амплитуды сигнала генератора в стохастическом режиме и в режиме монохроматической генерации, то оказывается, что в первом случае он в 1,5-2 раза больше. Это означает, что коэффициент полезного действия при переходе в режим стохастической автомодуляции генератора
возрастает в 1,5-2 раза. Это может быть объяснено тем, что при автомодуляции точка, изображающая сигнал генератора, движется вдоль кривой ^(а,)!, т. е. значения ^(т)! бывают как больше, так и меньше соответствующего значения для потерявшего устойчивость монохроматического режима. Однако форма кривой 1^(02) | такова, что |^(т)|2 в среднем больше своего стационарного значения, в чем легко убедиться, рассмотрев характерные для начальной стадии развития неустойчивости малые гармонические колебания частоты сДт) вблизи исходной собственной частоты шп. Заметим, что аналогичное явление увеличения к.п.д. в режиме хаотической генерации было обнаружено для уже рассмотренного нами в лекции 2 генератора на двухрезонаторном клистроне с обратной связью [32]. При этом механизм повышения к.п.д. схож с вышеописанным: в режиме хаотической автомодуляции величина электрического поля в выходном резонаторе в среднем больше, чем в режиме регулярной автомодуляции, что и приводит к возрастанию эффективности генератора [32].
Метод функционального отображения, предложенный в работах [3, 28] и кратко проиллюстрированный в данной лекции, хорошо описывает ряд особенностей распределенных систем и, вместе с тем, позволяет существенно упростить численную процедуру исследования соответствующих уравнений в частных производных. Авторы метода особо подчеркивают, что функциональное отображение исследованного вида применимо для описания нестационарных процессов не только в ЛБВ-генераторе, но и в других генераторах, основанных на распределенном взаимодействии пучка заряженных частиц с собственной волной электродинамической структуры [3].
Список литературы
Andersen Т.М., Mondelli A.A., Levush В, Verboncoeur J.P., Birdsall С.К. Advances in modelling and Simulation of vacuum electron devices // Proceedings of the IEEE. May 1999. V. 87, .№ 5. P. 804.
Гинзбург H.C., Кузнецов С.П., Федосеева Т.Н. Теория переходных процессов в релятивистской ЛОВ // Изв. вузов. Радиофизика. 1978. Т.21,№7. С. 1037.
Блиох Ю.П., Бородкин А.В., Любарский А.Г., Онигценко Н.М., Файнберг Я.Б. Применение метода функционального отображения для исследования ЛБВ-генератора с запаздывающей обратной связью // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1993. Т. 1, № 1, 2. С. 34.
Hockney R. W., Eastwood J. W. Computer simulation using particles. — NY.: McGraw-Hill, 1981.
Роуч H. Вычислительная гидродинамика. — M.: Мир, 1980.
Поттер Д. Вычислительные методы в физике. — М: Мир, 1975.
Бедселл Ч., Ленгдон А. Физика плазмы и численное моделирование. — М.: Атомиздат, 1985.
Morey I.J., Birdsall С.К. Traveling-Wave-Tube simulation: the IBC code // IEEE Trans, on Plasma Sci.. 1990. V. 18, № 3. P. 482.
Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений / Под. ред. Дж. Холл и Дж. Уатт. — М.: Мир, 1979.
Березин Ю.А., Вшивцов В.А. Метод частиц в динамике разреженной плазмы. — Новосибирск: Наука, 1987.
Анфиногентов В.Г., Храмов А.Е. Влияние распределенной обратной связи на хаотические колебания виртуального катода // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1998. Т. 6, N91. С. 93.
Рихтмайер Р., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач. — М.: Мир, 1972.
Свешников А.Г., Якунин С.А. Численные модели бесстолкновительной плазмодинамики // Математическое моделирование. 1989. Т.1,№4. С.1.
Сигов Ю.С. Численные методы кинетической теории плазмы. — М.: МФТИ, 1984.
Григорьев А.Д. Современные методы моделирования нестационарных электромагнитных полей // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1999. Т. 7, У° 4. С. 48.
Monorchio A., Mittra R. Time-domain (FE/FDTD) technique for solving complex electromagnetic problems // IEEE Microwave & guided waves letters. 1998. V. 8, .№ 2. P. 93.
Kunz K.S., Luebbers R.J. The finite difference time domain method for electromagnetics. — Roca Raton, FL: CRC Press, 1993.
Yang H., Railton C.J. Efficient and accurate FDTD algorithm for the treatment of curved material boundaries // IEE Proc. MWAP. 1997. V. 144, №5. P. 382.
Warren G., Ludeking L., Nguyen K., Smithe D., Goplen B. Advances/applications of MAGIC and SOS // Computational Accelarator Physics, AIP Conf. Proc. 1994. V. 297. P. 313.
Tarakanov V.P. User’s manual for code KARAT. — Springfield, VA: BRA, 1992.
Verboncoeur J.P., Langdon A.B., Gladd N.T. An object-oriented electromagnetic PIC code // Comput. Phys. Commun. 1991. V. 64. P.252.
Кислов В.Я. Теоретический анализ шумоподобных колебаний в электронно-волновых системах с запаздыванием // Лекции по электронике СВЧ и радиофизике (5-я зимняя школа-семинар инженеров). Саратов: Изд-во СГУ, 1981. С. 78.
Кузнецов С.П. Сложная динамика генератора с запаздывающей обратной связью // Изв. вузов. Радиофизика. 1982. Т. 25. С. 1410.
Манькин М.А., Школьников В.Г. Численное моделирование автоколебаний в системе электронный пучок — прямая электромагнитная волна с внешней обратной связью // Радиотехника и электроника. 1984. Т. 29, № 2. С. 307.
Вакс В.Л., Сморгонский А.В., Шулешов А.О. Источники шума миллиметрового диапазона длин волн на основе электронного усилителя // Радиотехника и электроника. 1992. Т. 37. С. 521.
Manneville Р., Pomeau J. Different waves to turbulence in dissipative dynamical systems // Physica D. 1980. V. 1. P. 219.
Берже PL, Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминистическом подходе к турбулентности. — М.: Мир, 1991.
Bliokh Yu.P., Fainberg Ya.В., Lybarskii M.G., Podobinski V.O. The investigation of the stohastization mechanisms of the beam generators using the method of functional map // Preprint. Kharkov. 1994. 32p.
Кузнецов С.П. Бифуркации удвоения в простой модели распределенной системы // Изв. вузов. Радиофизика. 1982. Т. 25, №11. С. 1364.
Гоноровский И. С. К теории высокочастотных генераторов с запаздывающей обратной связью // Радиотехника. 1958. Т. 13, № 5. С. 19.
Харкевич А.А. Спектры и анализ. — М.: Физматгиз, 1962.
Афанасьева В.В., Лазерсон А.Г. Динамический хаос в двухрезо- натрных клистронных генераторах с запаздывающей обратной связью // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 1995. Т. 3, №5. С. 88.
Лекция 15
ОРОТРОН
Открытые резонаторы используются в электронике еще мало. Одним из первых приборов такого рода является оротрон — электронный автогенератор миллиметровых и субмиллиметровых волн с открытым резонатором и отражающей решеткой. ..
Л.А. Вайнштейн, В.А. Солнцев. Лекции по сверхвысокочастотной электронике, М.: Советское радио, 1973, с.38.
Взаимодействие электронного потока с полями открытых резонаторов. Излучение Смита-Парселла. Оротрон. Основные уравнения оротрона. Некоторые результаты теории оротрона. Нестационарные процессы в оротроне. Методы повышения к.п.д. оротрона. Модификации оротрона.
В данной лекции уделим внимание применению открытых резонаторов в сверхвысокочастотной электронике. Открытые резонаторы применяются в целом ряде приборов вакуумной электроники: оротронах, гиротронах и различных вариантах лазеров на свободных электронах. Гиротронам и лазерам на свободных электронах будут посвящены отдельные лекции в следующем томе. В этой же лекции подробно будет рассмотрен оротрон — прибор типа О с открытым резонатором и отражающей решёткой, генерирующий излучение в миллиметровом и субмиллиметровом диапазонах длин волн. На этот прибор в 1966 г. Ф.С. Русину и Г.Д. Богомолову было выдано авторское свидетельство [1]. Генераторы типа оротрона изготовлялись и исследовались в Харькове под названием «генераторы дифракционного излучения» [2]; в Японии — под названием «электронные приборы с резонаторами Фабри- Перо» и ледатронов [3, 4] и в США [5, 6], где сохранили первоначальное название оротрон.
Взаимодействие электронного потока с полямиоткрытых резонаторов. Излучение Смита—Парселла
Открытый резонатор (ОР) оротрона образован двумя зеркалами — вогнутым и плоским, между которыми могут существовать высокодобротные электромагнитные колебания (рис. 15.1). На плоском зеркале нанесена периодическая замедляющая система — отражающая решетка. Период решетки существенно меньше длины волны, поэтому при падении на нее плоской волны возникает только отраженная волна, а дифракционные плоские волны не возникают. Электронный пучок, двигаясь над зеркалом, взаимодействует с продольной компонентой синхронной пространственной гармоники ВЧ электрического поля периодической системы, и, при определенных условиях в ОР устанавливаются незатухающие колебания — оротрон становится автогенератором, причем, поскольку используется ОР, прибор может эффективно работать в миллиметровом и субмиллиметровом диапазоне длин волн.
Отличие оротрона от классических приборов типа О (ЛОВО, ЛБВО) состоит в применении специфической электродинамической системы — ОР. В ОР потери на джоулево тепло и потери на излучение не связаны с электронами (они обусловлены полями вне пространства взаимодействия) и поэтому во всех процессах взаимодействие электронов с переменным полем проявляется лишь суммарным образом. Заметим, что применение ОР в качестве электродинамической системы не изменяет механизм взаимодействия электронов с ВЧ-полями — он остается полностью идентичным имеющему место в закрытых системах. Новое заключается только в другом спектре собственных частот и волновых чисел и в своеобразном распределении полей.
Рис. 15.1. Схема оротрона и его дифракционной решетки. Здесь d — период решетки; I — ширина канавки; а — глубина канавки
Рис. 15.2. Излучение в плоскости (ж, ?/), у — нормаль к решетке, расположенной в плоскости у = const < О
В оротроне используется так называемое излучение Смита- Парселла (дифракционное или варатронное излучение), которое возникает, когда заряженная частица пролетает вблизи периодической замедляющей системы (отсюда и уже упоминавшийся синоним оротрона — генератор дифракционного излучения). Рассмотрим элементарную теорию этого излучения. Для простоты рассмотрим возбуждение двумерной периодической структуры (решетки) (см. рис. 15.2) током
3®W = q-o5^5<x - vt), Jy=Jz=O,(15.1)
соответствующим заряженной нити с погонным зарядом q^ параллельной оси % и движущейся со скоростью и в направлении оси ж. В любой фиксированной точке пространства поле заряженной нити исчезает при времени t —> ±оо, поэтому для нахождения комплексной амплитуды тока следует воспользоваться интегралом Фурье. В силу соотношения Д
5(х -«1) = -L [dw = Re — [ е^/^ dw,
V 72?Г J7ГУ J’
— осО
имеем
(15-2) 7Г
В рассматриваемой системе эта плотность тока возбуждает поле, которое имеет единственную составляющую векторного потенциала
A$H = AW^/\(15.3)
где функция А(у) удовлетворяет волновому уравнению
л2 д,
—^ + k^A = 0, kv = j\ky\ = jwy/T/v^T/c^ (15.4) dy а
г) Его легко проверить, пользуясь формулой обращения интеграла Фурье.
всюду, за исключением плоскости у = 0, в которой течет ток.
Решим сначала это уравнение для нити при отсутствии решетки. Общее решение уравнения для А имеет вид
А = Ciejk^ + C2e-jk^.А = Ciejk^ + C2e-jk^.(15.5)(15.5)Так как поле должно убывать при |у | —)■ оо, то положим, что Ci = 0 приТак как поле должно убывать при |у | —)■ оо, то положим, что Ci = 0 приу < 0 и Сг = 0 при у > 0. Так как функция А должна быть непрерывнойу < 0 и Сг = 0 при у > 0. Так как функция А должна быть непрерывнойпри у = 0, а составляющая магнитного поля Hzпри у = 0, а составляющая магнитного поля Hz= ^Д-Ьу= ^Д-Ьутерпит скачоктерпит скачокНДу=_0-НДу=+0 = уш$!\НДу=_0-НДу=+0 = уш$!\то при у < 0 будем иметьто при у < 0 будем иметьи _ Q j(-kyy+ux/v) ' - 2тгеи _ Q j(-kyy+ux/v) ' - 2тге(15.6)(15.6)Если бы величина ку была вещественной (что имело бы место при v > с, а это нереально), то формула (15.6) представляла бы плоскую волну, падающую на решетку. В силу того, что и < с и ку = j\ky\, соотношение (15.6) есть обобщенная (неоднородная) плоская волна, которая характеризуется волновым вектором с составляющимиЕсли бы величина ку была вещественной (что имело бы место при v > с, а это нереально), то формула (15.6) представляла бы плоскую волну, падающую на решетку. В силу того, что и < с и ку = j\ky\, соотношение (15.6) есть обобщенная (неоднородная) плоская волна, которая характеризуется волновым вектором с составляющимиkx = - = kcos90, -ку, kz=0, (к = -\.(15.7)иу\ с)kx = - = kcos90, -ку, kz=0, (к = -\.(15.7)иу\ с)Здесь чисто мнимый угол 9^ = J|0О| определяется соотношениемЗдесь чисто мнимый угол 9^ = J|0О| определяется соотношениемcos ^о = ch | ^о | = с/v > 1.cos ^о = ch | ^о | = с/v > 1.(15.8)(15.8)Если бы вместо дифракционной решетки была плоскость у = const < О, то в результате отражения от этой плоскости возникла бы отраженная волна, волновой вектор которой имел составляющиеЕсли бы вместо дифракционной решетки была плоскость у = const < О, то в результате отражения от этой плоскости возникла бы отраженная волна, волновой вектор которой имел составляющие^ж = ^со8^о, ку = к sin 0О, kz = 0.(15.9)^ж = ^со8^о, ку = к sin 0О, kz = 0.(15.9)При наличии решетки с периодом d по оси ж возбуждается бесконечное число обобщенных плоских волн, волновые векторы которых имеют составляющиеПри наличии решетки с периодом d по оси ж возбуждается бесконечное число обобщенных плоских волн, волновые векторы которых имеют составляющиек$,п = ^ + ^, ку = ^-к^п1 к2=0,к$,п = ^ + ^, ку = ^-к^п1 к2=0,(15.10)(15.10)(п = 0, ±1,...).(п = 0, ±1,...).Возбуждающиеся волны можно трактовать как набор пространственных гармоник. Учитывая, что ш/и = к • с (к = 2тг/А), и вводяВозбуждающиеся волны можно трактовать как набор пространственных гармоник. Учитывая, что ш/и = к • с (к = 2тг/А), и вводя
А = Ciejk^ + C2e-jk^.
А = Ciejk^ + C2e-jk^.
(15.5)
(15.5)
Так как поле должно убывать при |у | —)■ оо, то положим, что Ci = 0 при
Так как поле должно убывать при |у | —)■ оо, то положим, что Ci = 0 при
у < 0 и Сг = 0 при у > 0. Так как функция А должна быть непрерывной
у < 0 и Сг = 0 при у > 0. Так как функция А должна быть непрерывной
при у = 0, а составляющая магнитного поля Hz
при у = 0, а составляющая магнитного поля Hz
= ^Д-
Ьу
= ^Д-
Ьу
терпит скачок
терпит скачок
НДу=_0-НДу=+0 = уш$!\
НДу=_0-НДу=+0 = уш$!\
то при у < 0 будем иметь
то при у < 0 будем иметь
и _ Q j(-kyy+ux/v) ' - 2тге
и _ Q j(-kyy+ux/v) ' - 2тге
(15.6)
(15.6)
Если бы величина ку была вещественной (что имело бы место при v > с, а это нереально), то формула (15.6) представляла бы плоскую волну, падающую на решетку. В силу того, что и < с и ку = j\ky\, соотношение (15.6) есть обобщенная (неоднородная) плоская волна, которая характеризуется волновым вектором с составляющими
Если бы величина ку была вещественной (что имело бы место при v > с, а это нереально), то формула (15.6) представляла бы плоскую волну, падающую на решетку. В силу того, что и < с и ку = j\ky\, соотношение (15.6) есть обобщенная (неоднородная) плоская волна, которая характеризуется волновым вектором с составляющими
kx = - = kcos90, -ку, kz=0, (к = -\.(15.7)
иу\ с)
kx = - = kcos90, -ку, kz=0, (к = -\.(15.7)
иу\ с)
Здесь чисто мнимый угол 9^ = J|0О| определяется соотношением
Здесь чисто мнимый угол 9^ = J|0О| определяется соотношением
cos ^о = ch | ^о | = с/v > 1.
cos ^о = ch | ^о | = с/v > 1.
(15.8)
(15.8)
Если бы вместо дифракционной решетки была плоскость у = const < О, то в результате отражения от этой плоскости возникла бы отраженная волна, волновой вектор которой имел составляющие
Если бы вместо дифракционной решетки была плоскость у = const < О, то в результате отражения от этой плоскости возникла бы отраженная волна, волновой вектор которой имел составляющие
^ж = ^со8^о, ку = к sin 0О, kz = 0.(15.9)
^ж = ^со8^о, ку = к sin 0О, kz = 0.(15.9)
При наличии решетки с периодом d по оси ж возбуждается бесконечное число обобщенных плоских волн, волновые векторы которых имеют составляющие
При наличии решетки с периодом d по оси ж возбуждается бесконечное число обобщенных плоских волн, волновые векторы которых имеют составляющие
к$,п = ^ + ^, ку = ^-к^п1 к2=0,
к$,п = ^ + ^, ку = ^-к^п1 к2=0,
(15.10)
(15.10)
(п = 0, ±1,...).
(п = 0, ±1,...).
Возбуждающиеся волны можно трактовать как набор пространственных гармоник. Учитывая, что ш/и = к • с (к = 2тг/А), и вводя
Возбуждающиеся волны можно трактовать как набор пространственных гармоник. Учитывая, что ш/и = к • с (к = 2тг/А), и вводя
угол 6п с помощью соотношения kx,n = k cos ^6и\ получаем выражение вида:
COS#n = - + ^.(15.11)
v а
В том случае, когда по этой формуле получается, что (—1 < cos 6п < 1), имеет место излучение на n-й пространственной гармонике — излучение Смита-Парселла. Это излучение можно рассматривать и как черенков- ское излучение электрона, синхронного с одной из пространственных гармоник периодической системы.
В оротроне обычно используется (—1)-я пространственная гармоника, амплитуда которой максимальна. Условие синхронизма для нее выражается соотношением ш/и^ = 2тг/d или hq = fd, где ш — частота колебаний; hq — скорость электрона; d — период решетки (см. рис. 15.1); / = и/2тг. Заметим, что то же самое можно сказать и о лампе обратной волны, только там излучение на одной из пространственных гармоник остается внутри закрытой электродинамической структуры. Чтобы ОР эффективно возбуждался, необходимо, чтобы частота / = v^/d была близка к одной из его собственных частот. Наличие ОР приводит к тому, что излучение электронов носит индуцированный характер, т. е. излучают не отдельные электроны (как в эффекте Смита — Парселла), а электронный пучок группируется в сгустки под действием собственного поля излучения, запасенного в ОР.
Таким образом для работы оротрона должны выполняться два условия:
синхронизм в пространстве, т. е. равенство скорости пучка и фазовой скорости одной из пространственных гармоник;
синхронизм во времени, т. е. равенство частоты, для которой выполняется синхронизм в пространстве, одной из собственных частот ОР.
Данные требования являются общими для всех резонансных генераторов с длительным взаимодействием, к которым относится и оротрон.
Большая добротность колебаний, характерная для ОР (в реальных приборах она может достигать нескольких тысяч), обусловливает важную особенность теории резонансных автогенераторов. Время пролета электронов через пространство взаимодействия L равно Те ~ L/v^^ а характерное время изменения амплитуды колебаний в OP Tj ~ Q// (Q — нагруженная добротность объемного резонатора). Для оротрона Tf ^ Те, а, следовательно, электронный пучок практически не изменяет структуру поля собственного колебания в ОР, и, более того, каждый электрон движется в поле с практически постоянной амплитудой и фазой даже в переходных процессах. Это позволяет построить теорию оротрона в приближении заданного поля, которое при исследовании
приборов 0-типа с закрытыми волноведущими структурами является лишь первым приближением.
Основные уравнения оротрона
Теория оротрона х), как и любого другого электронного прибора, требует решения двух задач: нахождение закона движения электронного потока в электромагнитном поле и решение задачи возбуждения электромагнитных волн в колебательной системе переменным током.
Рассмотрим вначале вторую задачу: возбуждение полей. Поскольку колебательной системой оротрона является ОР, то при расчете полей необходимо пользоваться теорией возбуждения открытых резонаторов, которая (см. лекцию 1, а также [7, 8]) сводится к обычной теории возбуждения закрытых систем.
Как уже обсуждалось в лекции 1, в общем случае, наряду с резонансным колебанием в ОР возбуждается нерезонансный фон, который ответственен за излучение, уходящее из резонатора, т. е. на дифракционные потери. Для избежания их на практике применяются ОР с вогнутым верхним зеркалом. Область канализации собственных типов колебаний в таких устойчивых резонаторах ограничена каустической поверхностью. Если каустика расположена далеко от краев зеркала, то соответствующее колебание обладает исключительно малыми потерями на излучение (достаточно сказать, что добротность в реальных ОР определяется в основном омическими потерями в самих зеркалах). Наличие электронного пучка не изменяет этой картины из-за высокой добротности колебаний. Пространственная структура поля очень слабо изменяется, и она, в свою очередь, определяет модуляцию электронного пучка, т. е. плотность переменного тока, возбуждающего резонатор. Поэтому нерезонансный фон практически не возбуждается.
Учитывая сказанное, будем использовать при расчете полей обычную теорию закрытых резонаторов, оставляя в формулах только один член, соответствующий возбуждаемому в ОР собственному колебанию. При определении нормы этого колебания можно ограничиться интегрированием по объему V между зеркалами. В этом случае, уравнение возбуждения будет иметь вид (см. формулы (1.55), (1.61))
E = Cs(t)Es, (15.12)
г) Заметим, что к приборам типа О с двойным синхронизмом (в пространстве и во времени) относятся кроме оротрона, также однорезонаторный клистрон с распределенным взаимодействием, резонансные ЛБВ и ЛОВ, ладдетрон. Поэтому излагаемая здесь теория является по существу теорией большого класса резонансных автогенераторов.
-^-j^-^s}Cs = -^ JjE.dV.(15.13)
Здесь индекс s соответствует собственному колебанию, резонансно возбужденному в оротроне и характеризуемому полем Es, Cs(t) — амплитуда колебаний, Ns = Jy eE2 dV — норма s-ro колебания, ш8 = ш'8 — — jw'g = w's (1 — 3/^Qs) — его комплексная собственная частота, Qs — его нагруженная добротность.
Представим амплитуду Cs(t) в форме С8 = |C's|e-J'^s и, учитывая, что W = |Cs|2A^s/2 — энергия электромагнитного поля, запасенная в данном колебании, из формул (15.12), (15.13) получаем соотношения вида (аналогично см. лекцию 2, раздел, посвященный резонансным автогенераторам):
^ + ^^ = -R6 [jEdV = -Реа,dt QJ
v
(15.14)
—2(cj + ip8 — to8)W = — Im | jE dV = —Per, v
где Pea и PeT — соответственно активная и реактивная составляющие электронной мощности взаимодействия пучка с полем резонатора. Первое из соотношений (15.14) есть закон сохранения энергии для нестационарных колебаний: активная электронная мощность расходуется на увеличение энергии колебаний (слагаемое dW / dt) и на компенсацию мощности cjgW/Q, которая выделяется в нагрузке и в стенках резонатора, а также тратится на излучение. Второе соотношение — баланс реактивных мощностей, определяющий мгновенную частоту резонансного поля. Левая часть его есть реактивная мощность резонансного колебания, обращающаяся в нуль при точном равенстве мгновенной частоты ш + ips и собственной частоты си', а правая часть — реактивная электронная мощность.
Полагая, что dW/dt = 0, яр8 = 0 и используя определение нагруженной добротности собственного колебания Qs = си'/2си", из соотношений (15.14) получаем условия стационарных колебаний в оротроне:
^ W = -Реа, 2(и - ^)И/ = -Рет. (15.15)
Отсюда видно, что для определения пусковых параметров генератора и его свойств в стационарном режиме достаточно вычислить мощность взаимодействия электронного потока с высокочастотным полем, запасенную в резонаторе энергию и знать характеристики ОР. Причем, как уже обсуждалось выше, для вычисления интегралов в уравнениях (15.14), (15.15) достаточно знать сгруппированный ток в приближении заданного поля, которое дает искомое решение для оротрона.
Обычно полагают, что амплитуда синхронной пучку пространственной гармоники в оротроне постоянна и собственное поле выражается соотношением
(15.16)(15.16)(Е1Ф(у, z) cos рох, 0 < х < L, [О,х > L, х < 0.
(15.16)
(15.16)
Здесь ^(y^z) — функция, определяющая поперечное распределение поля в оротроне. Она нормирована так, что JJ ^(у^ z) dy dz = 1; Ро to 2тг/d — волновое число синхронной гармоники (т. е. пучок синхронен с (—1)-й пространственной гармоникой). Представление поля в виде (15.16) позволяет легко вычислить электронную мощность взаимодействия и получить аналитически все результаты линейной теории оротрона, а именно найти пусковые токи, пусковые частоты, инкремент нарастания колебаний. Вместе с тем представление полей (15.16) является сильной идеализацией, так как верхнее зеркало является вогнутым, и вблизи решётки амплитуда поля меняется по Гауссову закону:
Es = Е1Ф(у, z) expEs = Е1Ф(у, z) exp2г22г2COS Р^Х^COS Р^Х^(15.17)(15.17)
Es = Е1Ф(у, z) exp
Es = Е1Ф(у, z) exp
2г2
2г2
COS Р^Х^
COS Р^Х^
(15.17)
(15.17)
где т определяет характерный размер поля на поверхности решетки. Выражение (15.17) соответствует колебанию, у которого имеется один максимум на плоском зеркале и которое наиболее часто используется на практике.
Некоторые результаты теории оротрона
Обсудим вначале результаты линейной теории оротрона. Для анализа линейного процесса группировки электронного потока в резонансном поле удобно воспользоваться уравнением для конвекционного тока (3.22). Пусть /Дж) — комплексная амплитуда первой гармоники сгруппированного тока, а Е(х) — комплексная амплитуда продольной компоненты электрического поля, тогда для /х (ж) справедливо уравнение (здесь подразумевается временная зависимость е^Д
- 2зРе^^ -W = -3^- Е(х), (15.18)
dxdxр2Vo5o
решение которого для нулевых начальных условий (пучок предварительно не модулирован) дается интегральной формулой
Ix^ = -PPP [Е(^ d^ (15.19) 2 Vo о JРр
Здесь /0 — полный ток пучка, So — поперечное сечение пучка, S — эффективная площадь поперечного сечения пучка (величина, учитывающая неоднородность в распределении поля в плоскости (у, z)), она
определяется соотношением S = [JJ Ф (у, z) dy dz] 1 фе = to/Pp = = Wpfue^ top — редуцированная плазменная частота. Нижний предел интегрирования в интеграле (15.19) равен нулю, если распределение поля в пространстве постоянно (см. формулу (15.16)), и —оо, если амплитуда изменяется по Гауссову закону (см. формулу (15.16)), а верхний предел — координата ж.
Для комплексной мощности взаимодействия Ре = Реа — jРег пучка с полем, как можно показать (см. подробнее [8, 9]), используя определение электронной мощности взаимодействия (2.13), формулу (15.19) и выражения для полей (15.16) и (15.17), получается выражение вида
р^ _3Ре /оS |Cg| Ег Гsin рр(х С) ^ЛЗо-ЗеН ^
е 2VoSo 8 JI
0о
(15.20)
для поля постоянной амплитуды и
_3 Ре FS I (7s | Е± Г ж2/2г2^(Д0_Де)ж
2 Vo So8 j
sin рр(х ^) ^_^/2р2^j(30-3e^ ^(15.21)
Pp
для Гауссова распределения поля.
Рассмотрим сначала случай пренебрежимо малого пространственного заряда фр —> 0). Вычисление интеграла (15.20) приводит к выражению для электронной мощности взаимодействия, имеющему вид
(15.22)(15.22)Р — PeFSL 1^1 Ei г, х . . /ф x-iЕе - 2 Vo So8VJaV^o) "JlANl ,
(15.22)
(15.22)
где Фо = (Ре — До) L — относительный угол пролета электронов на длине пространства взаимодействия. fa к fT — уже хорошо знакомые нам функции (см. формулы (9.20), (9.21)), всегда встречающиеся в теории приборов О-типа, основанной на методе последовательных приближений. Они записываются в первом приближении следующим образом:
МФ0) = FlafM = F1TМФ0) = FlafM = F1T(15.23)(15.24)(15.23)(15.24)2(1 — cos Фо) — Фо sin Фо .
МФ0) = Fla
fM = F1T
МФ0) = Fla
fM = F1T
(15.23)
(15.24)
(15.23)
(15.24)
б
Рис. 15.3. Зависимость функций /а, /г (а) и /а, /г (б), которым пропорциональны активная и реактивная мощность взаимодействия от относительного угла пролета фо для различных значений параметра пространственного заряда фр
в виде
/ = | dx | ^e-^2+^2^2r2e-ja^-^(x — £) =
= ^ [ dx [да J J
Сделаем замену переменных u_ = (ж — £)/2r, u+ = (ж + Q/2r, после чего интеграл становится равным
/=jA2r2 7 e-<du+ f e-i^-e-^-du-.
J да J + J
Отсюда окончательно получаем
/ = ^r3 V^/ = ^r3 V^—-[ cos 2ати_е~з2таи- du- —
/ = ^r3 V^
/ = ^r3 V^
8а J
cos2aru-e э2таи_ du_
8 78a J8 78a JОба интеграла в квадратных скобках являются табличными: cos^arиdu- = — ат^е-0^2, 4
8 7
8a J
8 7
8a J
cos2aru_e-j2raw_ du- = Fi(l, 1/2, —a2r2y
где Fi(a, с, x) — вырожденная гипергеометрическая функция, задаваемая своим разложением в ряд по степеням х:
Г1 /\1 । ^ *^ ।Fi(a, с, х) = 1 + - — +Г1 /\1 । ^ *^ ।Fi(a, с, х) = 1 + - — +а(а + 1) ж2 с(с + 1) 2!а(а + 1) ж2 с(с + 1) 2!а^а + 1)(о 4- 2) с(с + 1)(с + 2)а^а + 1)(о 4- 2) с(с + 1)(с + 2)зз3!3!
Г1 /\1 । ^ *^ ।
Fi(a, с, х) = 1 + - — +
Г1 /\1 । ^ *^ ।
Fi(a, с, х) = 1 + - — +
а(а + 1) ж2 с(с + 1) 2!
а(а + 1) ж2 с(с + 1) 2!
а^а + 1)(о 4- 2) с(с + 1)(с + 2)
а^а + 1)(о 4- 2) с(с + 1)(с + 2)
з
з
3!
3!
Обозначая Фо = —^ат = 2(Де — (З^т — относительный угол пролета в случае Гауссова распределения поля, для мощности взаимодействия Ре получаем выражение
С = 41М41Х\ЫФА - j/r^o)] ,(15.25)
где
МФА = ^Ф0е-ф"/4,(15.26)
ТАФА = ^ V2’ -^/4). (15.27)
Функции fa и /г играют такую же роль, что и функции fa и /г для поля постоянной амплитуды. Их график приведен на рис. 15.35при Фр = 0. Максимум энергии пучок отдает, когда Фо = —V2, при этом /а(—V2) ~ —0,337. Заметим, что для поля с постоянной амплитудой максимальная отдача мощности от пучка к полю имеет место при Фо = = —7Г, при этом /а(—тг) to —0,13.
Из приведенных формул следует, что в поле с Гауссовым распределением взаимодействие пучка с полем происходит менее интенсивно, чем в поле с постоянной амплитудой. Действительно, в реальном резонаторе диаметр пятна 2г должен быть по крайней мере в два раза меньше линейного размера резонатора для того, чтобы дифракционные потери были малы. Поэтому множитель (2г)3, стоящий в формуле (15.25),
примерно на порядок меньше величины L3 в формуле (15.22). Следовательно, взаимодействие пучка с полем с Гауссовым распределением амплитуды значительно менее эффективно, чем в случае поля постоянной амплитуды. Ещё одна причина отличия эффективности взаимодействия в том, что электрон, входящий в пространство взаимодействия с полем постоянной амплитуды, испытывает на границе толчок, который способствует в дальнейшем более интенсивной модуляции. В случае поля с плавным изменением амплитуды такого толчка нет.
Учет пространственного заряда не вызывает особых сложностей. Это приводит лишь к тому, что функции /а, /г, а также fa и /г, модифицируются и теперь зависят от двух переменных — относительного угла пролета Фо и параметра пространственного заряда фр = PpL для поля постоянной амплитуды и (рр = 2{Зрг для Гауссова распределения поля. Не будем выписывать соответствующие выражения для функций вследствие их громоздкости (их вид приведен, например, в работе [8], стр. 126). Вид этих функций при различных значениях фр для обоих типов полей показан на рис. 15.3.
Из рисунков видно, что как и в случае приборов типа О с закрытыми колебательными системами, влияние пространственного заряда уменьшает мощность взаимодействия пучка с полем и смещает оптимальные значения угла пролета, увеличивая расстройку скоростей между электронами и волной.
Пусковые условия оротрона можно найти из уравнений (15.15) и (15.22). Учитывая, что энергия, запасенная в резонаторе дается выражением W = A^s|Cs|2/2, для пускового тока и пусковой частоты находим:
I = , (15.28) у \QsE2J МФо,УрУ
ш 4QS = МФо'^р\ (15.29)
Шз fa^O^p)
Минимальный ток достигается при отсутствии пространственного заряда (фр = 0) и при Фо = — V2; он равен
/min = 23,81/min = 23,81(15.30)(15.30)cj^VoSq ( NS \PeX^f \QSE^) "
/min = 23,81
/min = 23,81
(15.30)
(15.30)
Из последнего соотношения видно, что пусковой ток оротрона линейно уменьшается с уменьшением отношения Ns /QSE^. Эта величина сильно зависит от параметров решетки и достигает минимума при I = с//2, а = А/4 (см. рис. 15.1) [8, 9].
Увеличение параметра пространственного заряда фр приводит к росту пускового тока. Соответствующая зависимость, построенная при оптимальном угле пролета Фо, приведена на рис. 15.4. Видно, что при
16 Д. И. Трубецков, А. Е. Храмов
Рис. 15.4. Зависимость нормированного пускового тока от параметра пространственного заряда. Угол пролета Фо оптимальныйРис. 15.4. Зависимость нормированного пускового тока от параметра пространственного заряда. Угол пролета Фо оптимальныйРис. 15.5. Зависимость пускового тока от угла пролета Фо*, сплошная кривая рассчитана без учета встречной волны, штриховая — с учетом встречной волныРис. 15.5. Зависимость пускового тока от угла пролета Фо*, сплошная кривая рассчитана без учета встречной волны, штриховая — с учетом встречной волны
Рис. 15.4. Зависимость нормированного пускового тока от параметра пространственного заряда. Угол пролета Фо оптимальный
Рис. 15.4. Зависимость нормированного пускового тока от параметра пространственного заряда. Угол пролета Фо оптимальный
Рис. 15.5. Зависимость пускового тока от угла пролета Фо*, сплошная кривая рассчитана без учета встречной волны, штриховая — с учетом встречной волны
Рис. 15.5. Зависимость пускового тока от угла пролета Фо*, сплошная кривая рассчитана без учета встречной волны, штриховая — с учетом встречной волны
(фр > тг) /пуск линейно увеличивается с ростом пространственного заряда по закону /пуск//т1п = 0,858у?р.
Интересно отметить, что если учесть в расчетах не только попутную, но и встречную волну, то окажется, что /п (0) ^ О — пусковой ток имеет конечное значение даже при точном синхронизме скоростей электронов и волны (см. рис. 15.5, на котором представлены зависимости пускового тока от относительного угла пролета для расчетов только с попутной волной (сплошная линия) и встречной волной (штриховая линия) (расчеты выполнены для поля постоянной амплитуды)).
Рассмотрим теперь кратко нелинейную теорию оротрона.
Будем строить ее аналогично нелинейной теории ЛБВ (лекция 10). Движение электронного потока описывается в переменных Лагранжа. Пусть t = t(x, to) — время пролета электрона через точку ж, если он при невозмущенном полем резонатора движении, пролетает точку ж = = 0 (центр резонатора) в момент времени t = to- Введем текущую фазу электрона ф(х^фо) = wt — До ж, фо = wto- Если рассматривать случай Гауссова распределения поля, то действующее на электрон поле можно представить в виде Е = EiCse~x /2г cos cot cos Дож (начальная фаза здесь выбрана равной нулю). Будем предполагать, что электрон эффективно взаимодействует только с попутной волной. Тогда, проводя выкладки аналогично тому, как это делали при выводе нелинейных уравнений ЛБВ, получаем уравнение движения электрона:
d2ip / dcrA3х х
—у =-Т7 [ 1 + I е ^ cosy?,(15.31)
где £ = xfV^r — медленно меняющаяся координата, Т = = 2г2РоС8Е\/4 Vo ~ комплексная амплитуда поля, е = 1/\/2До^ ~ электрическая длина пространства взаимодействия. Обычно в оротроне
величина Рог порядка сотни и больше, поэтому во всех формулах можно оставить первые неисчезающие по е члены, что мы и будем делать в дальнейшем. Уравнение движения в этом случае приобретает видвеличина Рог порядка сотни и больше, поэтому во всех формулах можно оставить первые неисчезающие по е члены, что мы и будем делать в дальнейшем. Уравнение движения в этом случае приобретает вид(15.32)(15.32)Это уравнение решается со следующими начальными условиями:Это уравнение решается со следующими начальными условиями:= Ь,= Ь,(15.33)(15.33)где параметр b определяет расстройку скоростей пучка и поля: b =где параметр b определяет расстройку скоростей пучка и поля: b == ^^е-РоУ = ФО/^.= ^^е-РоУ = ФО/^.Первая гармоника сгруппированного тока выражается, как и раньше, интегралом видаПервая гармоника сгруппированного тока выражается, как и раньше, интегралом вида6(0 = - [ е-^^о-7Г J6(0 = - [ е-^^о-7Г J(15.34)(15.34)оЭлектронный к.п.д., определяемый соотношением2тгоЭлектронный к.п.д., определяемый соотношением2тгв безразмерных переменных и с учетом малости е принимает вид:в безразмерных переменных и с учетом малости е принимает вид:где (. . .) обозначает усреднение по начальным фазам ср^.
величина Рог порядка сотни и больше, поэтому во всех формулах можно оставить первые неисчезающие по е члены, что мы и будем делать в дальнейшем. Уравнение движения в этом случае приобретает вид
величина Рог порядка сотни и больше, поэтому во всех формулах можно оставить первые неисчезающие по е члены, что мы и будем делать в дальнейшем. Уравнение движения в этом случае приобретает вид
(15.32)
(15.32)
Это уравнение решается со следующими начальными условиями:
Это уравнение решается со следующими начальными условиями:
= Ь,
= Ь,
(15.33)
(15.33)
где параметр b определяет расстройку скоростей пучка и поля: b =
где параметр b определяет расстройку скоростей пучка и поля: b =
= ^^е-РоУ = ФО/^.
= ^^е-РоУ = ФО/^.
Первая гармоника сгруппированного тока выражается, как и раньше, интегралом вида
Первая гармоника сгруппированного тока выражается, как и раньше, интегралом вида
6(0 = - [ е-^^о-
7Г J
6(0 = - [ е-^^о-
7Г J
(15.34)
(15.34)
о
Электронный к.п.д., определяемый соотношением
2тг
о
Электронный к.п.д., определяемый соотношением
2тг
в безразмерных переменных и с учетом малости е принимает вид:
в безразмерных переменных и с учетом малости е принимает вид:
^(0 = Е ^>Д0.^(0 = Е ^>Д0.(15.37)(15.37)П = 1П = 1Построим приближенную теорию слабонелинейного режима работы оротрона, используя уравнение (15.32) (см. работу [8], стр. 131-133). Для этого будем искать его решение в виде разложения по степеням поля Т7:
^(0 = Е ^>Д0.
^(0 = Е ^>Д0.
(15.37)
(15.37)
П = 1
П = 1
Для величин ^п(€) несложно с учетом уравнения (15.32) получить систему зацепляющихся уравнений вида:
Фз = sin срое ^ ф2 — (1/2) cos ф^е ^^
Ф*4 = sin(/?0e“^2^3 + (1/2) cos(/?0e-^22(/?i(/?2 + (1/6) sin ^ое-^2^,
Чтобы определить к.п.д., необходимо найти величину у/(оо) = = у/^-юо, для коэффициентов разложения которой в ряд по степеням Г получаем:
^0 =
У1(оо) = — | cos(6^ + <^о)е-? d£ = — ^/тг cos^e-6 Д
оо22
(^2(00) = — | sin (b^ + ^о)е-^ d£, j d^ j cos (Ь£,м + ipo)e-^ ) dS," =
—00—00—00
Ограничиваясь точностью до величин порядка Т72, находим для у^Доо) следующее выражение:
<//(ос) = b — IFV^ cosфое-ь /4 — J2^-b /2 ^ b + |у^ sin 2^о) •
К.п.д. в этом приближении с учетом формулы (15.36) равен
т) = -^еТ^Ъ^ I2.(15.38)
Данный результат показывает, что для ту > О необходимо, чтобы b < 0. Вместе с тем выражение для к.п.д. (15.38) полностью совпадает с результатом, предсказываемым линейной теорией (это несложно увидеть, если воспользоваться соотношениями (15.25)—(15.27)). Отсюда следует, что необходимо найти, по крайней мере, четный коэффициент ряда ') ^4(00). Однако соответствующий интеграл не берется аналитически, поэтому приходится вычислять его численно. В результате для к.п.д. в слабонелинейном режиме получаем выражение
ту = 2г V^G^ + Г4СМ\ ,(15.39)
где G2 = —(тг/4)6е-ь2/2, а график G4 приведен на рис. 15.6.
^Несложно показать, что все нечетные коэффициенты ряда <^2^+1 (°°) обращаются в нуль при усреднении.
Рис. 15.6. Функция 04(b) в зависи- Рис. 15.7. Зависимость амплитуды ста- мости от параметра расстройки b ционарных колебаний в оротроне от тока пучка для различных значений параметра расстройки Ь. Сплошные линии соответствуют устойчивым, а штриховые — неустойчивым состояниям системы
Найдем теперь амплитуду установившихся колебаний, используя для этого закон сохранения энергии
w'sW/Qs = T]IoVo.
В безразмерных переменных получаем выражение, которое устанавливает связь между безразмерным током пучка /1 и безразмерной амплитудой поля в режиме стационарных колебаний:
Используя формулу (15.39), находим с необходимой точностью, что
Это уравнение позволяет найти амплитуду стационарных колебаний при заданном безразмерном токе /1. Исследование полученного решения на устойчивость показывает [8], что при b > —1,4 (64(b) < 0), колебание с амплитудой Т7, найденное из выражения (15.41) устойчиво и мягко возбуждается при превышении током пучка порогового значения /п = 1/64(6). Напротив, при b < —1,4 (64(b) > 0) решение уравнения (15.41) соответствует неустойчивому состоянию системы. Это свидетельствует о наличие в системе жесткого возбуждения и гистерезиса. Поэтому представленной выше слабонелинейной теорией оротрона можно пользоваться только при параметре b > —1,4, когда в системе отсутствует гистерезис. Данные результаты подтверждаются как численными расчетами уравнений в режиме сильной нелинейности (см. рис. 15.7, на котором представлена зависимость амплитуды
Рис. 15.8. Зависимость мощности колебаний (а) и амплитуды стационарных колебаний (б) в оротроне от ускоряющего напряжения. Сплошные линии соответствует устойчивым, а штриховые — неустойчивым состояниям системы стационарных колебаний от тока пучка для различных значений параметра расстройки Ь\ так и экспериментальными исследованиями [10, 11] (рис. 15.8, на котором приведена экспериментальная зависимость мощности генерации и амплитуды стационарных колебаний от ускоряющего напряжения). На рисунках, соответствующих как численному, так и натурному эксперименту, штриховыми линиями обозначены неустойчивые состояния системы. Из рисунков видно, что при больших отрицательных расстройках (б < —1,4) связь поля с током носит гистерезисный характер.Рис. 15.8. Зависимость мощности колебаний (а) и амплитуды стационарных колебаний (б) в оротроне от ускоряющего напряжения. Сплошные линии соответствует устойчивым, а штриховые — неустойчивым состояниям системы стационарных колебаний от тока пучка для различных значений параметра расстройки Ь\ так и экспериментальными исследованиями [10, 11] (рис. 15.8, на котором приведена экспериментальная зависимость мощности генерации и амплитуды стационарных колебаний от ускоряющего напряжения). На рисунках, соответствующих как численному, так и натурному эксперименту, штриховыми линиями обозначены неустойчивые состояния системы. Из рисунков видно, что при больших отрицательных расстройках (б < —1,4) связь поля с током носит гистерезисный характер.
Рис. 15.8. Зависимость мощности колебаний (а) и амплитуды стационарных колебаний (б) в оротроне от ускоряющего напряжения. Сплошные линии соответствует устойчивым, а штриховые — неустойчивым состояниям системы стационарных колебаний от тока пучка для различных значений параметра расстройки Ь\ так и экспериментальными исследованиями [10, 11] (рис. 15.8, на котором приведена экспериментальная зависимость мощности генерации и амплитуды стационарных колебаний от ускоряющего напряжения). На рисунках, соответствующих как численному, так и натурному эксперименту, штриховыми линиями обозначены неустойчивые состояния системы. Из рисунков видно, что при больших отрицательных расстройках (б < —1,4) связь поля с током носит гистерезисный характер.
Рис. 15.8. Зависимость мощности колебаний (а) и амплитуды стационарных колебаний (б) в оротроне от ускоряющего напряжения. Сплошные линии соответствует устойчивым, а штриховые — неустойчивым состояниям системы стационарных колебаний от тока пучка для различных значений параметра расстройки Ь\ так и экспериментальными исследованиями [10, 11] (рис. 15.8, на котором приведена экспериментальная зависимость мощности генерации и амплитуды стационарных колебаний от ускоряющего напряжения). На рисунках, соответствующих как численному, так и натурному эксперименту, штриховыми линиями обозначены неустойчивые состояния системы. Из рисунков видно, что при больших отрицательных расстройках (б < —1,4) связь поля с током носит гистерезисный характер.
Нестационарные процессы в оротроне.Методы повышения к.п.д. оротрона
Перейдем к обсуждению нестационарных процессов в оротроне. Нелинейные уравнения нестационарной теории оротрона представляют собой уравнения (15.14) и (15.31). В работе [12] на основании этих уравнений исследовалась эволюция начальной амплитуды колебаний во времени при различных параметрах Фо (см. рис. 15.9). С ростом Фо скорость нарастания амплитуды колебаний увеличивается и достигает максимума при Фо = 5, а затем снова уменьшается. Максимальная
Рис. 15.9. Зависимость амплитуды колебаний в оротроне от времени для различных относительных углов пролета Фо. Поле в резонаторе распределено по Гауссовскому закону (из работы [9])Рис. 15.9. Зависимость амплитуды колебаний в оротроне от времени для различных относительных углов пролета Фо. Поле в резонаторе распределено по Гауссовскому закону (из работы [9])
Рис. 15.9. Зависимость амплитуды колебаний в оротроне от времени для различных относительных углов пролета Фо. Поле в резонаторе распределено по Гауссовскому закону (из работы [9])
Рис. 15.9. Зависимость амплитуды колебаний в оротроне от времени для различных относительных углов пролета Фо. Поле в резонаторе распределено по Гауссовскому закону (из работы [9])
величину отношениявеличину отношения120 МГц120 МГцРис. 15.10. Эволюция спектра генерации воротроне с многократным пролетом электронного потока в пространстве взаимодействия при изменении VOTp: а — VOTp/Va = 1,317; б - 1,350; в - 1,352; г - 1,355 (/0//07 = const, Va = const) (из работы [14])Рис. 15.10. Эволюция спектра генерации воротроне с многократным пролетом электронного потока в пространстве взаимодействия при изменении VOTp: а — VOTp/Va = 1,317; б - 1,350; в - 1,352; г - 1,355 (/0//07 = const, Va = const) (из работы [14])амплитуда колебаний достигается при значительно большем угле пролета Фо (Фо = 9). Данные обстоятельства необходимо учитывать при работе прибора в импульсном режиме, в котором желательно при максимальной крутизне фронтов иметь наибольший к.п.д. Для решения этой проблемы в работе [13] было предложено использовать импульс ускоряющего напряжения сложной ступенчатой формы так, чтобы на начальном этапе реализовывался режим максимального инкремента, а на последнем — режим максимального к.п.д.
величину отношения
величину отношения
120 МГц
120 МГц
Рис. 15.10. Эволюция спектра генерации воротроне с многократным пролетом электронного потока в пространстве взаимодействия при изменении VOTp: а — VOTp/Va = 1,317; б - 1,350; в - 1,352; г - 1,355 (/0//07 = const, Va = const) (из работы [14])
Рис. 15.10. Эволюция спектра генерации воротроне с многократным пролетом электронного потока в пространстве взаимодействия при изменении VOTp: а — VOTp/Va = 1,317; б - 1,350; в - 1,352; г - 1,355 (/0//07 = const, Va = const) (из работы [14])
В оротроне экспериментально наблюдались и автостохастические колебания [14]. В эксперименте исследовался оротрон с многократным пролетом электронного потока в пространстве взаимодействия (коллектор заменялся отражателем, а электронная пушка одновременно выполняла роль другого отражателя). Теоретические оценки показали, что оротрон работал при семикратном пролете электронного потока, так что отношение пусковых токов при однократном пролете (Ли) и при семикратном пролете электронного потока (/07) составляло Ли/Л)7- Это позволяло в широких пределах измен рабочего тока /о к пусковому /07. При /о//07 > 60 и разных (вполне определенных) значениях отношения VOTp/Va (УОтр ~ напряжение на отражателе; Va — анодное напряжение) наблюдались следующие переходы в режиме работы оротрона: монохроматические колебания — многочастотные колебания — стохастические колебания (рис. 15.10).
В экспериментах были также обнаружены автостохастические колебания на прямой поверхностной волне, что соответствует режиму ЛБВ-генератора с внутренней запаздывающей обратной связью [8, 14]. При срыве стохастических «оротронных» колебаний срываются колебания, соответствующие режиму ЛБВ-генератора. Это позволяет связать автостохастические колебания в оротроне с теми, которые характерны для нелинейных систем с запаздывающей обратной связью (изменение УОтр изменяет эту связь).
Рассмотрим методы повышения к.п.д. оротрона [15], (раздел 5). Как и для ЛБВ, одним из наиболее удачных способов повышения к.п.д. является использование допол
нительной синхронизации электронов пучка с высокочастотным полем. С практической точки зрения наибольший интерес представляет метод повышения к.п.д. основанный на введении скачка фазовой скорости. В этом случае периодическая структура состоит из двух участков
с различными периодами. При отрицательном скачке фазовой скорости период второго участка меньше периода первого участка (^>2 = b^L > > фг = bi L) [16]. Как мы уже обсуждали в лекции 8, этот способ широко применяется для повышения к.п.д. в ЛБВ. При положительном скачке ф1 > ф^. На рис. 15.11а представлено распределение безразмерной мощности вдоль пространства взаимодействия для системы без скачка (кривая 1; ф = bL = 16,5), системы с положительным скачком фазовой скорости (2; фу = 16,5, фз = 15,0) и отрицательным скачком (3; фу = = 16,5, фз = 23,0). Расчет был произведен без учета пространственного заряда. Из рисунка видно, что положительный скачок приводит к существенному увеличению электронного к.п.д. Заметим, что не всегда положительный скачок наиболее оптимален. Так в работе [17] представлены результаты оптимизации мощного оротрона х), которые показывают возможность повышения к.п.д. с 25 % до 56%, причем наиболее эффективен как раз отрицательный скачок фазовой скорости.
Другой метод повышения электронного к.п.д. оротрона связан с оптимизацией структуры высокочастотного поля. В работе [18] рассматривался вопрос оптимизации пространственного распределения амплитуды высокочастотного поля для получения максимального к.п.д. Рассматривался класс функций Гаусса f^ = Ае-т ^-а^ с максимумом в точке ci, причем а не обязательно совпадает с центром пространства взаимодействия. В результате расчетов были определены оптимальные значения параметров т и а, обеспечивающие величину г] « 50 %. Вместе с тем вопрос о реализации в оротроне заданного распределения поля остается открытым.
Большое влияние на эффективность оротрона оказывают и условия на границе периодической структуры. В работе [19] было показано, что при определенных условиях на границе периодической структуры электродинамическая система оротрона может рассматриваться как система двух связанных резонаторов, один из которых — открытый, а другой — периодическая структура. В этом случае оротрон работает в так называемом резонансном режиме. При этом резонанс в периодической структуре, определяемый соотношением частоты генерируемых колебаний и ее поперечных геометрических размеров, существенным образом влияет на пусковой ток и эффективность взаимодействия. На рис. 15.115 приведена зависимость к.п.д. от тока для оротрона 3-см диапазона при работе в резонансном режиме (кривая 1) и в обычном, когда концы ламелей периодической структуры вынесены за каустику ОР и нагружены поглотителем (кривая 2) [15, 20]. Из рисунка видно, что, используя резонансный режим работы оротрона, возможно по-
г) Отметим, что применение методов повышения к.п.д. актуально для оро- тронов большой мощности, где к.п.д. является одним из наиболее существенных параметров.
Рис. 15.11. Распределение безразмерной мощности вдоль пространства взаимодействия (а) в случае: 1 — отсутствия скачка фазовой скорости; 2 — фг > > ф^ 3 — ф^ > фг; экспериментальная зависимость к.п.д. оротрона от тока пучка (б) при работе в резонансном режиме (кривая 1) и в обычном (кривая 2) (из работы [15])Рис. 15.11. Распределение безразмерной мощности вдоль пространства взаимодействия (а) в случае: 1 — отсутствия скачка фазовой скорости; 2 — фг > > ф^ 3 — ф^ > фг; экспериментальная зависимость к.п.д. оротрона от тока пучка (б) при работе в резонансном режиме (кривая 1) и в обычном (кривая 2) (из работы [15])
Рис. 15.11. Распределение безразмерной мощности вдоль пространства взаимодействия (а) в случае: 1 — отсутствия скачка фазовой скорости; 2 — фг > > ф^ 3 — ф^ > фг; экспериментальная зависимость к.п.д. оротрона от тока пучка (б) при работе в резонансном режиме (кривая 1) и в обычном (кривая 2) (из работы [15])
Рис. 15.11. Распределение безразмерной мощности вдоль пространства взаимодействия (а) в случае: 1 — отсутствия скачка фазовой скорости; 2 — фг > > ф^ 3 — ф^ > фг; экспериментальная зависимость к.п.д. оротрона от тока пучка (б) при работе в резонансном режиме (кривая 1) и в обычном (кривая 2) (из работы [15])
высить эффективность генерации и снизить токи пучка, при которых обеспечивается эффективное электронно-волновое взаимодействие. Заметим, что при этом возникает проблема возбуждения «паразитных» мод периодической структуры, которые снижают эффективность генерации. Последнее может быть устранено путем подавления нерабочих «паразитных» частот за счет покрытия ВЧ-поглощающим покрытием той части периодической структуры, которая соответствует пучностям стоячей волны для мод «паразитной» частоты. Эксперимент [21] показал, что если на резонансной частоте без поглотителя при токе пучка, превышающем его пусковое значение в 2,8 раза, к.п.д. составлял 12 %, то с поглотителем при том же токе к.п.д. имел значение 35 %. Для сравнения в нерезонансном режиме при тех же относительных параметрах пучка к.п.д. был менее 10 %.
Модификации оротрона
Открытые коаксиальные резонаторы и коаксиальный оротрон. В классическом оротроне используются плоские отражающие решетки и ленточные пучки. Перспективным представляются конструкции, использующие в качестве электродинамической системы так называемые открытые коаксиальные резонаторы (рис. 15.12) [22-24, 8]. Вследствие цилиндрической симметрии прибора он может обладать
рядом преимуществ по сравнению с обычными оротронами. К ним
можно отнести большую поверхность решетки, что позволяет получать
Рис. 15.12. Схема коаксиального оро- тронаРис. 15.12. Схема коаксиального оро- тронабольшую мощность, возможность использования трубчатых электронных потоков, удобство создания магнитных фокусирующих систем. Расчеты по оптимизации коаксиального оротрона показывают, что при оптимальной форме верхнего зеркала (а, следовательно, и оптимальном распределении амплитуды поля в пространстве
Рис. 15.12. Схема коаксиального оро- трона
Рис. 15.12. Схема коаксиального оро- трона
взаимодействия) электронный к.п.д. может быть существенно повышен и может достигать 58 %. Профиль образующей фокусирующего зеркала при этом близок к эллиптическому.
Приборы типа ЛБВ с открытыми резонаторами. В работе [25] предложен прибор, в котором прямолинейный электронный поток взаимодействует с продольной составляющей Гауссова поля в ОР (колебание ТМ01). Для реализации этого используется резонатор, образованный, как и в оротроне, плоским и вогнутым зеркалами. Однако теперь
электронный пучок движется вдоль оси симметрии резонатора, пройдя через отверстие в плоском зеркале. Электроны пучка взаимодействуют с полем излучения в области каустики. В оптимальном случае при токе пучка /о = 1 А, длине волны А = 1 мм коэффициент усиления по мощности такого прибора достигает величины 0,6 (при энергии электронов 50 кэВ) и 0,24 (при энергии электронов 0,25 МэВ). Основная сложность здесь связана с необходимостью получить синхронизм электронного
потока и волны излучаемого поля, не используя ультрарелятивистские пучки. Среди способов замедления фазовой скорости излучаемой волны укажем следующие:
для малого замедления фазовой скорости волны возможно заполнить резонатор газом;
если не обращать внимание на изменение конфигурации полей, то резонатор можно заполнить твердым диэлектриком с осевым отвер
стием для пучка, но тогда это просто использование диэлектрического волновода;
использовать между зеркалами периодическую металлическую или диэлектрическую антенну (набор прямоугольных периодически расположенных металлических или диэлектрических решеток (пластин)). В случае пластин с отверстиями на оси такую структуру мож-
но рассматривать как набор ёмкостно связанных резонаторов Фабри- Перо.
Оротрон-усилитель. Простейший вариант усилителя с открытыми системами, аналогичного двухрезонаторному клистрону с распределенным взаимодействием, представляет собой два открытых резонатора, связанных электронным пучком. В этом случае первый резонатор модулирует электронный пучок, а во втором резонаторе электроны, сгруппированные в сгустки, отдают свою энергию высокочастотному полю. Линейная теория такого усилителя, развитая в работе [8], предсказывает максимальный коэффициент усиления порядка 35 дБ. Заметим также, что максимум усиления достигается при частотах сигнала несколько меньших, чем собственная частота второго резонатора. Поэтому для максимального усиления первый резонатор необходимо расстраивать в меньшую сторону относительно частоты второго резонатора.
«Плоский оротрон». Данный прибор был предложен в США (см. обзор [15], а также оригинальные работы [26-29]). Электродинамическая система «плоского оротрона» представляет собой четыре зеркала: два плоских и два цилиндрических. На одном из плоских зеркал нанесена узкая решетка, занимающая небольшую ее часть, над которой вдоль ее оси ж пролетает плоский электронный пучок. Второе плоское зеркало — экран расположено над зеркалом с решеткой вдоль оси у на расстоянии не более половины длины волны. В направлении оси у (перпендикулярно направлению распространения электронного потока) система не имеет отражающих поверхностей, т. е. является открытой. В направлении движения электронного потока пространство взаимодействия прибора ограничено цилиндрическими конфокальными зеркалами, расположенными на входе и выходе в него электронного потока и имеющими для этой цели соответствующие отверстия. Таким образом, вдоль и поперек пространства взаимодействия генератора реализуется колоколообразное распределение ж-компоненты высокочастотного электрического поля с максимумом в центре ОР.
Прибор работает на модах пространственных гармоник: электроны взаимодействуют с волнами, бегущими вдоль оси ж, которые существуют над поверхностью решетки, и усиливают излучение в этом направлении. Прибор может работать как на прямой, так и обратной гармониках. Таким образом прибор может рассматриваться как резонансная ЛБВ или ЛОВ с той лишь разницей, что обратная связь в нем осуществляется с помощью конфокального цилиндрического ОР за счет быстрых волн, распространяющихся вдоль оси и многократно отражающихся от цилиндрических зеркал. В экспериментах с «плоским оротроном» [26]
было получено излучение в диапазоне частот 30 -У 100 ГГц, с мощностью 2 4- ОД кВт и к.п.д. 7 4- 1%.
Оротрон со скрещенными полями. В данном приборе генерация основана на взаимодействии М-типа [15,30-33]. В работе [30] представлены экспериментальные результаты по возбуждению генерации в оротроне со скрещенными полями с длиной волны 8,05 мм; напряженность магнитного поля составляла Bq = 0,23 Т; потенциал замедляющей системы Uа = 20 кВ, коэффициент замедления и^/с = 0,2. Результаты теории (как линейной, так и нелинейной) для оротрона М- типа с инжектируемым пучком [31, 32] свидетельствуют о его перспективности в качестве генератора миллиметрового диапазона длин волн с высоким значением к.п.д. В результате взаимодействия электроны отдают высокочастотному полю как кинетическую, так и потенциальную энергию, причем в режиме максимального к.п.д. основной вклад в энергообмен высокочастотного поля с пучком вносит потенциальная энергия электронов. К недостаткам оротрона М-типа можно отнести высокое значение пускового тока. Теоретически было показано, что выходная мощность оротрона со скрещенными полями может составлять 10 4- 20 кВт при к.п.д. около 20 %.
Увеличение к.п.д. и генерируемой мощности в оротроне с инжектируемым пучком связано с существенными трудностями, обусловленными ограниченными эмиссионными свойствами катода, размеры которого ограничены весьма малой величиной. В этом отношении более перспективным является оротрон типа М с эмиттером в пространстве взаимодействия, в котором возможно использование большого рабочего тока. Поскольку в оротроне обратная связь осуществляется открытым резонатором, то пространство взаимодействия такого генератора может быть выполнено как цилиндрическим, так и плоским. Интересующимся теорией оротрона М-типа можно порекомендовать сборник [33].
И в заключение обсуждения модификаций оротрона подчеркнем большую важность релятивистских оротронов [9]. Использование релятивистских электронных пучков позволяет достичь рекордных выходных мощностей прибора.
В работах [34, 35] представлены результаты эксперимента на лабораторном макете релятивистского оротрона, генерирующего в миллиметровом и сантиметровом диапазоне длин волн. В работе [34] представлены результаты исследования осесимметричной конструкции (полый цилиндрический пучок в отрезке многоволнового цилиндрического волновода с гофрированной стенкой), где на волне 9 мм достигнута мощность около 70 МВт. Данная конструкция радикально отличается от классического оротрона. В более поздней работе [35] в релятивистском
оротроне с двухзеркальным открытым резонатором на волне 2,4 см получена мощность 300 МВт с к.п.д. порядка 14 %.
Список литературы
Русин Ф.С., Богомолов Г.Д. Электронный прибор для генерации и усиления колебаний миллиметрового и субмиллиметрового диапазона волн // А.с. No 195557. Опубл, в Б.И. 1967. No 10. С. 49.
Шестопалов В.П. Дифракционная электроника. — Харьков: Вища школа, 1976.
Mizino К., Ono S., Shibata Y. Ц Sci. Inst. Tohoku Univ. В. Electr. Commun. 1970. V., № 21. P. 113.
Mizino K., Ono S., Shibata Y. // IEEE Trans.. 1973. V. ED-20, №8. P. 749.
Leavitt R.P., Wortman D.E., Dropkin H. // IEEE J. Quantum Electronics. 1981. V. EQ-17, №8. P. 1333.
Leavitt R.P., Wortman D.E., Morrison C.A. // Appl. Phys. Letters. 1979. V.35,№5. P. 363.
Шевчик B.H., Трубецков Д.И. Аналитические методы расчета в электронике СВЧ. — М.: Сов. радио, 1970.
Вайнштейн Л.А., Лесик Н.И.. Рожнев А. Г., Трубецков Д.И. Ква- зиоптические системы и их применение в сверхвысокочастотной электронике // Лекции по электронике СВЧ и радиофизике (6я зимняя школа-семинар инженеров; книга III, глава 7)Саратов: Изд-во СГУ, 1983, С. 117.
Вайнштейн Л.А., Исаев В.А., Трубецков Д.И. Электронный генератор с открытым резонатором (обзор теоретических и экспериментальных исследований) // Радиотехника и электроника. 1983. Т. 28, №7. С. 1233.
Ревин И.Д. В кн.: II Всесоюзный симп. по миллиметровым и субмиллиметровым волнам: Тез. докладов. — Харьков: ИРЭ АН УССР, 1978. Том. 1, С. 21-22.
Бакай А. С., Лукин К.А., Шестопалов В.П. О природе гистерезиса в резонансных автогенераторах с длительным взаимодействием // Письма в ЖТФ. 1978. Т. 4, № 13. С. 789.
Бакай А.С., Лукин К.А., Шестопалов В.П. Нелинейная нестационарная теория генератора дифракционного типа // Препринт No 94. Харьков: ИРЭ РАН УССР, 1978.
Ваврив Д.М., Третъяков В.О., Шматько А. А. К нелинейной нестационарной теории резонансных генераторов с длительным взаимодействием // Радиотехника и электроника. 1979. Т. 23, Я2 4. С. 812.
Корнеенко В.К., Мирошниченко В.С., Цвик А.И., Шестопалов В.К. О возбуждении стохастических колебаний в генераторе дифракционного излучения - лазере на свободных электронах // ДАН УССР. Сер. физ-мат. и техн. наук. 1982. №5. С. 59.
Цейтлин М.Б., Мясин Е.А. Оротрон: анализ эффективных режимов (обзор) // Радиотехника и электроника. 1993. Т. 38, Я2 6. С. 962.
Цейтлин М.Б., Бернашевский Г.А., Котов В.Д., Нутович Л.М. Ц Радиотехника и электроника. 1979. Т. 24, Я9 6. С. 1164.
Цейтлин М.Б., Мясин Е.А., Нутович Л.М. Анализ основных энергетических характеристик оротрона в нелинейном режиме // Радиотехника и электроника. 1990. Т. 35, Я911. С. 2364.
Тарасов М.М., Третъяков О.А., Шматъко А.А. Оптимизация структуры поля в электронных резонансных генераторах О типа // Радиотехника и электроника. 1988. Т. 33, Я91. С. 141.
Мясин Е.А., Чигарев С.Г. // Радиотехника и электроника. 1990. Т. 35,Я^5. С. 1104.
Мясин Е.А., Чигарев С.Г., Евдокимов В.В. Ц XX Всесоюз. семинар «Волновые и колебательные явления в электронных приборах О- типа»: Тез. докл. Л.: 1990. С. 18.
Чигарев С.Г., Евдокимов В. В., Ильин А.Ю., Мазур ТА., Мясин Е.А. Повышение выходной мощности оротрона за счет подавления собственных нерабочих частот периодической структуры // Международная межвузовская конференция «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ” (Саратов, 20-24 марта 2001). Материалы конференции. Саратов: Изд-во ГосУНЦ «Колледж», 2001. С. 162.
Нефедов Е.И. Коаксиальный оротрон // Изв. вузов. Радиофизика. 1977. Т. 20, Я911. С. 1740.
Кураев А.А., Нефедов Е.И., Оленин В.Д. и др. // Радиотехника и электроника. 1983. Т. 28, Я^ 7. С. 1442.
Нефедов Е.И. Открытые коаксиальные резонансные структуры. — М.: 1982.
Dams J. W., Patsakos У. // The 6th Int. Conf. Infrared and Millimeter Waves, Maiami Beach, Fla, Dec. 7-12,1981. Conf. Digest, New York. — N.Y.: 1981. P. F6.5/1.
Marshall E., Phillips P., Walsh J. // IEEE Trans. 1988. V. 16, Я^2. P. 199.
HTz/s/z J., Marshall E., Jackson J. et al // Proc, of SPTE. 1988. V. 873. P. 125.
Price E., Walsh J. // Proc, of SPTE. 1990. V. 1514. P. 135.
Price E., Killoran J., Walsh J. // Proc, of SPTE. 1991. V. 1576. P. 557.
Поспелов А.А., Черенщиков С.А. Радиотехника. — Харьков: Вища шк., 1978. Вып. 45. С. 80.
Цейтлин М.Б., Евдокимов В.В., Бернашевский Г.А., Русин Ф.С. К вопросу о генерировании колебаний в оротроне со скрещенными полями // Радиотехника и электроника. 1981. Т. 26, Я2 5. С. 1109.
Цейтлин М.Б., Евдокимов В. В., Нутович Л.М. Теория резонансных генераторов с длительным взаимодействием в скрещенных полях // Радиотехника и электроника. 1981. Т. 26, Я2 9. С. 1979.
Цейтлин М.Б., Мясин Е.А., Нутович Л.М. Электроника миллиметрового и субмиллиметрового диапазона. — Киев: Наукова думка, 1988.
Александров А.Ф., Галузо С.Ю., Канавец В.И., Михеев В.В., Плетюшкин В.А. Исследование релятивисткого генератора дифракционного излучения миллиметрового диапазона // Письма в ЖТФ. 1981. Т. 10, Я^ 10. С. 587.
Зайцев Н.И.. Ковалев Н.В., Кольчугин Б.Д., Кулагин И. С., Петелин М.И. Возбуждение двухзеркального резонатора с гофрированными стенками релятивистским электронным потоком // Письма в ЖТФ. 1982. Т. 11, Я^ 15. С. 911.
Научное издание
ТРУБЕЦКОВ Дмитрий ИвановичХРАМОВ Александр Евгеньевич
ЛЕКЦИИ ПО СВЕРХВЫСОКОЧАСТОТНОЙЭЛЕКТРОНИКЕ ДЛЯ ФИЗИКОВ
Том 1
Редактор О. В. СалецкаяОригинал-макет: В. В. ДядичевОформление переплета: А.Ю. Алехина
ЛР №071930 от 06.07.99. Подписано в печать 24.12.02.
Формат 60x90/16. Бумага офсетная. Печать офсетная.
Усл. печ. л. 31. Уч.-изд. л. 34,1. Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997 Москва, Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru
Отпечатано с готовых диапозитивов в ФГУП «Московскаятипография № 6» Министерства РФ по делам печати,телерадиовещания и средств массовых коммуникаций.
115088 Москва, Ж-88, Южнопортовая ул., 24
ISBN 5-9221-0372-5
52 акЬ-к = 52 акЬ*к,k= — ook= — OO
г) Далее мы рассмотрим этот прибор достаточно подробно.
г) Такие системы привлекают большой интерес для различных приложений, например, использование приборов с виртуальным катодом в качестве модулей фазированных антенных решеток (см. работы [27]—[30]).
1 d^v — I)2 _ dp
i = 1, . . ., MZ1 j = 1, . . ., MT.
Система уравнений возбуждения (5.17) и уравнений движения (5.24)
и (5.25) представляет собой полностью самосогласованную двумерную
ного пролетного клистрона. Эта модель описывает нелинейные и двумерные эффекты при взаимодействии электронных потоков с электромагнитными полями в многорезонаторных пролетных клистронах в рамках сделанных упрощающих предположений, основные из которых связаны с аксиальной симметрией полей и возбуждением в резонаторах только одного вида колебаний.
Одним из основных критериев оптимизации мощных пролетных клистронв является достижение максимального к.п.д. при заданных параметрах пучка. Поэтому важно определить электронный к.п.д. уе многорезонаторного клистрона в нашей модели.
х) Это связано с тем, что любые другие резонаторы не выдерживают больших потоков мощности, заключенных в мощном электронном пучке.
исследования не только клистронов, но и других приборов электроники СВЧ,
таких как ЛБВ [14, 8], виркаторы [15] и т. д.
продольной координате ж к интегрированию по относительному углу проле
УДК 537.5
ББК 22.333
Т77
Трубецков Д. И., Храмов А. Е. Лекции по сверхвысокочастотной электронике для физиков. В 2 т. Т. 1. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. - 496 с. - ISBN 5-9221-0372-5.
Современная сверхвысокочастотная электроника представлена в книге не технической стороной с кратким описанием физики и основ теории различных электронных ламп, а детальным описанием основных физических явлений, возникающих при взаимодействии электронных потоков с электромагнитными полями и лежащих в основе различных типов устройств сверхвысоких частот. В книге уделено большое внимание математическому моделированию на ЭВМ явлений в электронных потоках на сверхвысоких частотах. Изложение ведется так, чтобы показать тесную связь сверхвысокочастотной электроники с современной нелинейной теорией колебаний и волн и теорией излучения. Особенностью книги является то, что в ней определенное место занимает история СВЧ-электроники. В первом томе книги излагаются основные понятия, методы и модели «классической» сверхвысокочастотной электроники. Также в нем рассматриваются релятивистские аналоги классических СВЧ-устройств: клистронов, ламп бегущей и обратной волны, приборов со скрещенными полями.
Лекции предназначены для физиков различных специальностей, интересующихся процессами взаимодействия электронов с электромагнитными полями, для научных работников, аспирантов и инженеров, проводящих исследования в области вакуумной СВЧ-электроники, радиофизики, радиотехники и физики плазмы. Они могут быть полезны студентам старших курсов соответствующих специальностей.
ISBN 5-9221-0372-5 (Т. 1)
© ФИЗМАТЛИТ, 2003© ФИЗМАТЛИТ, 2003ISBN 5-9221-0371-7
© ФИЗМАТЛИТ, 2003
© ФИЗМАТЛИТ, 2003
СОДЕРЖАНИЕ
Предисловие 7
Лекция 1. Вводная 9
Освоение особенности сверхвысокочастотной электроники. Пять идей, которые создали СВЧ-электронику. Индивидуальное излучение заряженных частиц (спонтанное излучение классических осцилляторов). Индуцированное излучение ансамбля возбужденных классических осцилляторов. Возбуждение резонансной системы заданным током. Стационарные уравнения возбуждения линии передачи электронным потоком. Нестационарная теория возбуждения волновода током медленно меняющейся амплитуды.
Лекция 2. Элементарная кинематическая теория клистронов . . 51
Модуляция электронного потока по скорости. Кинематический анализ процесса группировки электронов в пространстве дрейфа. 100$ идея братьев Вариан и Хансена. Клистронные усилители и умножители частоты. Некоторые результаты теории резонансных автогенераторов. Элементарная теория отражательного клистрона. Клистронный генератор с запаздыванием: от режимов монохроматических колебаний до режимов динамического хаоса.
Лекция 3. Волны пространственного заряда малой амплитуды . 85
Гидродинамическое описание электронного потока. Волны пространственного заряда и группирование в пространстве дрейфа. Резистивный усилитель. Волны пространственного заряда в электронном потоке со столкновениями и диффузией. Двухлучевая неустойчивость (абсолютная и конвективная неустойчивость; глобальная неустойчивость). Неустойчивость Гельмгольца и об одной гипотезе образования спиц в кольцах Сатурна (многопучковая неустойчивость). Циклотронные волны. Связанные волны.
Лекция 4. Нелинейные явления в электронных потоках в гидродинамическом приближении 120
Неизлучательная неустойчивость Пирса. Диод Пирса: от регулярных автоколебаний к хаосу. Уравнения Годфри. Конечномерная модель колебаний в электронном потоке в диоде Пирса. Управление режимами колебаний в диоде Пирса. Нелинейные волны пространственного заряда. Моделирование нестационарных нелинейных процессов в клистроде с помощью гидродинамических уравнений.
Лекция 5. Математическое моделирование нелинейных явлений
на ЭВМ и оптимизация параметров пролетных клистронов 164 Каскадное группирование электронного потока. Многорезонаторные клистроны. Нелинейная двумерная модель взаимодействия электронного потока с ВЧ полями в клистроне. Уравнения одномерной релятивистской теории многорезонаторного клистрона. Моделирование и оптимизация многорезонаторных релятивистских клистронов. Двумерные эффекты в многорезонаторных клистронных усилителях. Многолучевые клистроны.
Лекция 6. Индуцированное и спонтанное излучение в резонансных автогенераторах 192
Индуцированное излучение в автогенераторах типа О. Спонтанное излучение электрона при произвольном движении через резонатор. Связь между индуцированным и спонтанным излучением электрона в резонансных автогенераторах. Сравнение классического и квантового подхода.
Лекция 7. Магнетрон, амплитрон и другие 201
Кинематическая дрейфовая теория движения электронов в скрещенных статических электрическом и магнитном полях и в поле бегущей волны. Фазировка в скрещенных полях. Расчет мощности взаимодействия и к.п.д. применительно к плоскому магнетрону. Что вносит цилин- дричность в физику магнетрона. Цилиндрический магнетрон: история создания от Хэлла до Бута и Рэндала. Вильям Браун и усилитель со скрещенными полями. Карматрон и дематрон.
Лекция 8. Пространственный заряд в скрещенных полях 237 Пространственный заряд в скрещенных полях и три загадки магнетрона (свойства магнетрона при магнитном поле больше критического, когда генерации нет; начало генерации в магнетроне; есть ли вообще стационарный режим генерации в магнетроне). Неустойчивость
электронного потока в скрещенных полях. Вычислительная физика и магнетрон. Связь с проблемой турбулентности в электронном потоке. Сложная динамика пространственного заряда в усилителе со скрещенными полями.
Лекция 9. История создания лампы бегущей волны и элементарная теория взаимодействия электронного потока с бегущей электромагнитной волной 269
История изобретения Рудольфом Компфнером лампы бегущей волны. Роль Джона Пирса. Анализ взаимодействия электронного потока с бегущей прямой электромагнитной волной на основе метода последовательных приближений. Квадратичная группировка. Качественное описание процесса группирования электронов в бегущей волне. Принципы подобия для приборов с длительным взаимодействием (нерелятивистские и ультрарелятивистские пучки).
Лекция 10. Нелинейная теория лампы бегущей волны 293
Нелинейные уравнения ЛЕВО. Линеаризация нелинейных уравнений ЛЕВ. Дисперсионное уравнение ЛЕВ. Закон сохранения энергии в электронном потоке, взаимодействующем с бегущей электромагнитной волной. Механизм фазировки в бегущей электромагнитной волне. Особенности и результаты решения задачи на ЭВМ. Спиральная лампа бегущей волны как основа усилительного модуля. Способы повышения к.п.д. ЛЕВО.
Лекция 11. Лампа бегущей волны с цепочкой связанных резонаторов 330
Особенности физических процессов в ЛЕВО с цепочкой связанных резонаторов. Об особенностях физических процессов вблизи границ пропускания периодической замедляющей системы. Дискретный и волновой подход к анализу взаимодействия в ЛЕВО с цепочкой связанных резонаторов. Клистрон с бегущей волной. Линейные ускорители заряженных частиц.
Лекция 12. КарсинотронЛекция 12. Карсинотрон367367
Лекция 12. Карсинотрон
Лекция 12. Карсинотрон
367
367
Взаимодействие электронного потока с обратной электромагнитной волной. Карсинотрон. “Чужие следы на песке... — история изобретения лампы обратной волны Компфнером и Эпштейном. Теория пускового режима лампы обратной волны в приближении заданного поля. Нелинейное поведение лампы обратной волны (результаты стационарной нелинейной теории) Лампа обратной волны магнетронного типа.
Лекция 13. Карсинотрон как распределенная автоколебательная система 396
Натурный эксперимент и нестационарная теория ЛОВ: от монохроматических автоколебаний через автомодуляцию к динамическому хаосу. Релятивистский карсинотрон: нестационарная теория и результаты численного моделирования. Влияние сил пространственного заряда и отражений от концов замедляющей структуры на генерацию в релятивистской ЛОВ. Экспериментальное исследование сложной динамики в релятивистской ЛОВ. Релятивистский карсинотрон и радиолокация.
Лекция 14. Некоторые методы решения нелинейных нестационарных задач электроники 434
Метод “частиц в ячейке”. Учет влияния пространственного заряда. Методы расчета полей в замедляющей системе: метод эквивалентных схем и уравнение возбуждения. Конечно-разностный метод решения нестационарных уравнений релятивистского карсинотрона в лагранжевых переменных. Математическое моделирование электронных приборов с помощью самосогласованной системы уравнений Максвелла- Власова. Применение метода функционального отображения к анализу нестационарных процессов в ЛЕВ с запаздывающей обратной связью.
Лекция 15. Оротрон 470
Взаимодействие электронного потока с полями открытых резонаторов. Излучение Смита-Парселла. Оротрон. Основные уравнения оротрона. Некоторые результаты теории оротрона. Нестационарные процессы в оротроне. Методы повышения к.п.д. оротрона. Модификации оротрона.