РАСПРОСТРАНЕНИЕ ВОЛН

В ТУРБУЛЕНТНОЙ АТМОСФЕРЕ

ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»

ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

МОСКВА 1967

АННОТАЦИЯ

Турбулентная среда, в частности атмосфера, представляет собой оптически неоднородную среду, в которой показатель преломления испытывает беспорядочные флуктуации. При распространении электромагнитных' и звуковых волн через пеоднородпую среду имеют место такие эффекты, как рассеяние волн, возникновение флуктуаций амплитуды, направления распро- странепия п других параметров волны. Многие из этпх эффектов оказываются существенными для ряда пракигческпх задачт связанных с распространением ультракоротких радиоволн и света через атмосферу.

Кшпа посвящена изложению теории рас- пространештя воли в среде со случайными неоднородностями показателя преломления^ а также анализу экспериментальных данных по распрострапепию радиоволн, света и звука в атмосфере. Она предназначена для радиофпзп- ков, занимающихся проблемой распространения радиоволн и света, и для геофизиков, занимающихся физикой атмосферы. Книга может оказаться полезной и для физиков-теоретпков, интересующихся приложениями методов квантовой теории поля к задачам классической физ1гкн.

Валерьян Ильич ГатарскийРаспространение волн в турбулентной атмосфере1967 г., 548 стр. с илл.

Редакторы В, В. Шмидт, Л. И. Гладнева

Техн, редактор К. Ф. Бру дноКорректор С, Н. Емельянова

Сдано в набор 7/Х 1966 г.Подписано к печати 6/III 19 67 г. Бумага 60xJW)16.

Физ. печ. л. 34,25.Условн. иеч. л. 34,25.Уч,-изд. л. 30,6*.

Тираж 3250 акз.Т 018 09.Цена книги 2 р. 13 к.Заказ 1587.

Изда гсльство «Наука»

Главнап редакции фпаико-математической литературыМисква, В 71, Ленинский проспект, 15

2-я типографии Иадагельства <Наука>. Москва, F-99. Шубинскмй пер. 10

2-9-7

ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 6

Глава 1. Предварительные сведения но теории турбулентиссги .9

лучайные поля

9356OQ 3612 3 4 8 5 59356OQ 3612 3 4 8 5 5Случайные функции

9356OQ 36

12 3 4 8 5 5

9356OQ 36

12 3 4 8 5 5

Стационарные случайные функции

Случайные функции со стационарными приращениями *

Однородные и изотропные случайные поля

Локально однородные н изотропные случайные поля ..

Пространственно-временные случайпые поля

Локально однородные поля с плавпо меняющимися средними характеристиками

Векторные случайные ноля

Б. Микроструктура турбулентного потока

Структурные и спектральные функции поля скоростей в турбулентном потоке 67

Диссипация энергии в турбулентном потоке 69

Уравнение Колмогорова 71

Структура мелкомасштабной турбулентности при очень больптих числах Рейнольдса 73

Микроструктура температурного ноля в турбулептъом потоке 84

Связь характеристик микроструктуры полей скорости и температуры с характеристиками усредневпых полей .94

Микроструктура коэффициента преломлепия в турбулентном потоке 103

Турбулентность в приземном слое атмосферы 106

Влияние сил плавучести на микроструктуру полей скорости и температуры 114

R•、Экспериментальные данные о турбулентности атмосферы

Измерения пространственных структурных функций скорости ветра и температуры в прнземпом слсю атмосферы 117

Аппаратура для измерений турбулентных флуктуаций скорости ветра и температуры в атмосфере 119

. Связь временной п пространственной структур турбулент- ” носги (гипотеза «замороженноепт*) 121

Измеренпя спектра поля скоростей в инерционном и вязком интервалах 124

Микроструктура полей скорости ветра и температуры в приземном слое атмосферы 130

Структура турбулентности в нижней тропосфере ....132

393903527272934445567&8903527272934445567&8913222 虑486022 2 22 213222 虑486022 2 22 28 66 72 28 66 72 2ОО 8 282929ОО 8 28292918 6 311 2333 3 318 6 311 2333 3 3

39

39

0352727293

4445567&89

0352727293

4445567&89

13222 虑4860

22 2 22 2

13222 虑4860

22 2 22 2

8 6

6 7

2 2

8 6

6 7

2 2

ОО 8 282929

ОО 8 282929

18 6 3

11 23

33 3 3

18 6 3

11 23

33 3 3

Глава 2・ Рассеяние электромагнитных и звуковых волн в турбулентной атмосфере•

Д. Рассеяние электромагнитных волн

Уравнения распространения волн

Рассеянное поле

Средняя интенсивность рассеяния

Качественная интерпретация рассеяпия

Эффективный рассеивающий объем

Частотный спектр рассеянного ноля

Рассеяние импульса

Корреляционные функции рассеянного ноля

Законы распределения вероятностей рассеянного поля .

Распространение ультракоротких радиоволн в тропосфере

Рассеяние звука в турбулентной атмосфере

Вывод уравнений распространения звука в турбулентной атмосфере

Эффективный поперечник рассеяния

Эксперименты по рассеянию звука в турбулентной атмосфере

Глава 3. Распространение коротких алектромагентных и звуковых волн в турбулентной атмосфере в пределах прямой видимости

еометрическая оптика

・ Учет многократного рассеяния при распространении коротких волн в неоднородной среде

Вывод уравнений геометрической оптики

Решение уравнений геометрической оптики методом возмущений

Флуктуации фазы, угла лрихода и амплитуды плоской волны

Флуктуации параметров сферической волны

Флуктуации амплитуды и фазы волны, распространяющейся в локально изотропной турбулентной среде ・..

Границы применимости первого приближения геометрической оптики

Флуктуации параметров звуковой волны

етод плавных возмущений

Вывод основных уравнении метода плавных возмущений

Флуктуации амплитуды п фазы плоской волны

Структурные функции амплитуды и фазы в локально изотропном турбулентном потоке

Флуктуации фазы и амплитуды в локально однородной турбулентной среде с плавпо меняющимися средними характеристиками

Флуктуации амплитуды сферической волны

Границы применимости первого приближения метода плавных возмущений

Сильные флуктуации амплитуды и фазы плоской монохроматической волны

Р л а в а 4. Экспериментальные данные о распространении света, радиоволн и звука в турбулет^оЙ атмосфере и их интерпретация • • • • • • • • •355

екоторые приложения теории распространения волн е турбулентной среде к задачам атмосферной оптики, ахус- тики и радиометеорологии

Частотные спектры флуктуаций амплитуды и фазы волны 355

Влияние усредняющего действия апертуры приемного устройства на величину амплитудных флуктуаций . .370

Мерцание источников с конечными угловыми размерами 378 § 55. «Дрожание» изображений в фокальной плоскости телескопа 385

Б. Экспериментальные данные ло распространению свет a t звука и радиоволн е тропосфере

Распространение света в приземном слое атмосферы . .393

Распрос^)апение звука в приземиом слое атмосферы . .412

Флуктуации диэлектрической проницаемости тропосферы и распространение ультракоротких радиоволн . . .426

Мерцание и «дрожание» изображений звезд в телескопах 434

Г лава 5, Исследованиераспроеграиения волн вереде со случайными неоднородностями методами квантовой теории поля 449

аспространение волн 6 среде с сильными флуктуациями

Анализ рядов теории возмущений450

Уравнения в вариацпонных производных для средней функции Грина и корреляционной функции. Вершинная функция 465

Распространение волн в среде с мелкомасштабными флуктуациями 480

Корреляционная функция для случая мелкомасштабных н еодн ор одиост ей 488

Некоторые заключительныезамечания 497

ильные флуктуации амплитуды плоской еолныЛ распрост* ранлющейся s слабо неоднородной турбулентной среде s при* блимении, геометрической оптики

Приближение малых углов 498

Вычисление среднего квадрата флуктуаций логарифма амплитуды 504

Приложстия:

Вариационные производные 520

П. Некоторые частоупотребляемые формулы 529

Литература 540

В современной теории распространения электромагнитных и звуковых волн в атмосфере во многих случаях приходится принимать во внимание турбулентность, вызывающую флуктуации показателя преломления воздуха.

В некоторых случаях турбулентность атмосферы вызывает флуктуации параметров распространяющихся через нее волн ^амплитуды, направления распространения, частоты, фазы и т. д.). Эти эффекты являются источниками искажений и ошибок в системах связи, локации, радионавигации, системах управления. Особенно сильны флуктуации параметров световых волн, что приобретает сейчас особое значение в связи с развитием оптических квап- товых генераторов.

В других случаях турбулентность выступает как источник неоднородностей, вызывающих рассеяние радиоволн. Это явление играет важную роль при дальнем распространении ультракоротких радиоволн за горизонт, так как рассеянное поле может значительно превосходить поле, обусловленное дифракцией вокруг поверхности Земли. По-видимому, в явлении дальнего тропосферного распространения УКВ рассеяние на турбулентных флуктуациях не является единственной причиной. Тем не менее подробное развитие теории этого явления и сопоставление ее выводов с экспериментальными данными чрезвычайно существенны для выяснения механизма дальнего тропосферного распространения (это замечание относится, конечно, и к другим теориям, выдвигаемым для объяснения дальнего распространения УКВ за горизонт)*

Как теоретические, так и экспериментальные исследования влияния турбулентности атмосферы на распространение радиоволн и звука получили большое развитие за последние дна десятилетия, что связано как с развитием техники, так и с успехами статистическ ой теории турбулентности, способной количественпо объяснить наблюдаемые явления.

В 1958— 1959 гг. вышли в свет три монографии по этим вопро- ■сам (Д. М. В ы с о к о в с к и й, Некоторые вопросы дальнего тропосферного распространения ультракоротких радиоволн, Изд-во АН СССР, 1958; Л* А. Ч е р н о в, Распространение воли в среде со случайными неоднородностями, Изд-во АН СССР, 1958; В. И. Т а- тарский, Теория флуктуационных явлений при распространении волн в турбулентной атмосфере, Изд-но АН СССР, 1959). В настоящее время количество работ по проблеме «волны и турбу- лентпость» продолжает расти как за счет расширения круга рассматриваемых прикладных задач, так и за счет работ, направленных на уточнение принципиальных сторон теории.

В настоящей работе рассматриваются те же вопросы, что и в монографии автора» вышедшей из печати в 1959 г. Однако здесь материал изложен значительпо подробнее, чем в первой книге. Кроме того, рассмотрено значительное число новых задач, представляющих практический интерес.

Особое место занимает пятая глава, посвященная методам расчета флуктуаций поля, выходящим за рамки теории возмущений. Здесь находят применение математические методы, развитые в квантовой теории поля,——диаграммная техника и уравнения в вариационных производных. Применение этих методов позволяет в ряде случаев рассматривать эффекты, не поддающиеся расчету при помощи той или иной формы метода возмущений, например, распространение волп в среде с сильными флуктуациями показателя преломления.

Большое впимание было уделено расчету сильных флуктуаций амплитуды волны. В настоящее время теорию этого явления нельзя еще считать завершенной, но здесь уже получены некоторые обнадеживающие результаты, изложенные в конце третьей и пятой глав.

Ряд вопросов, касающихся взаимодействия турбулентности с распространяющимися через атмосферу волнами, пе затронут в монографии. К пим в основном относятся такие задачи, где взаимодействие турбулентности осложнено другими факторами: наличием поверхностей раздела, атмосферных волноводов и т. п.

Книга разбита на главы, разделы и параграфы. Нумерация па* раграфов проводится непрерывно (от § 1 до § 66). Нумерация

формул в каждом параграфе производится независимо, а при ссылках на формулу другого параграфа вслед за номером формулы указывается номер параграфа (например, (6.23) означает формулу (6) из § 23).

В процессе работы над монографией автор пользонался советами А. М. Обухова, А. М. Яглома, А. С. Гурвича. При написании пятой главы большую пользу принесла автору помощь со стороны Д. А. Киржнвда. Рукопись книги была просмотрена С. М. Рыто- вым и Е. Л. Фейнбергом, которые высказали много полезных замечаний. Очень большая работа была проделана редактором книги В. В. Шмидтом, который проверил все многочисленные выкладки, содержащиеся в монографии. Всем этим лицам автор приносит свою искреннюю признательность.

В- И. Татарский

Г лаба 7

ПРЕДВ АРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ

А. СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ

Современная теория турбулентности является статистической теорией. Описание турбулентного движения при помощи статистических методов наиболее адекватно сущности этого процесса, поскольку сама турбулентность является следствием неустойчивости движения жидкости (или газа) по отношению к неизбежно возникающим малым флуктуациям. Для описания флуктуационных явлений, возникающих при распространении звуковых и электромагнитных волн через турбулентную среду, также необходимо использовать статистические методы. Математическая сторона этого вопроса получила за последнее время достаточно широкое развитие и изложена в ряде специальных работ А. Я. Хинчина, А. М. Обухова, А. М. Яглома и других авторов (см., например, [1——9J). Однако, нам кажется полезным привести (без строгих доказательств) некоторые необходимые сведения из теории случайных функций и полей.

§ L Случайные функции

Такие величины, как скорость ветра, температура, показатель преломления, в каждой точке турбулентной атмосферы испытывают нерегулярные флуктуации. На рис. 1 в качестве примера приведена синхронная запись некоторых метеорологических элементов, полученная хгри помощи малоинерчионной аппаратуры. Мы видим, что значения скорости ветра и температуры испытывают беспорядочные флуктуации, которые различаются по амплитуде и частоте и накладываются друг на друга хаотическим образом. Для описания полей метеоэлементов в турбулентной атмосфере применяется аппарат случайных функций. Понятие •лучайной функции является обобщением понятия случайной вели- таны. Например, дискретная случайная величина может принимать значения из некоторой совокупности чисел ^,己纟,... (совокупность возможных реализаций Е) с различными вероятностями Ph Р2，…Аналогично этому мы говорим, что функция f (£) явля- ®тся случайной, если она с различными вероятностями может

совпадать с одпой из функций некотором заданной совокупности /« (£) (совокупность возможных реализаций), где а — совокупность параметров, пробегающих дискретный или непрерывный ряд значений. Для того чтобы реально находить вероятностные характеристики случайной функции, необходимо иметь возможность многократного воспроизведепия различных ее реализаций.

Рис. 1. Образец синхронной записи температуры 71, скорости ветра у и вертикальаой компопепты скорости ветра в ирлземном слое атмосферы.

Приведем два примера, 1) Пусть /а (i) = exp (—а*), где а — случайная величина, равномерно распределенная в интервале (0, 1). Каждая из реализаций представляет собой гауссову кривую, резко отличающуюся по своему виду от функций, изображенных на рис. 1. Тем не менее в рассматриваемом примере мы имеем дело со случайной функцией. 2) Пусть совокупность возможных реализаций состоит из единственной функции, например, одной из функций, изображенных на рис. 1. В этом случае при проведении стати стических испытаний мы будем получать всегда одпу и ту же функцию и придем к выводу, что она, несмотря на свой сложный и «случайный» вид, в действительности является не случайной, а детерминированной.

Приведенные примеры были специально подобраны для иллюстрации того обстоятельства, что о случайном характере функции нельзя, вообще говоря, судить по сложности изображающей ее кривой. Совокупность возможных реализаций случайной функции, рассмотренная в примере 1, отличалась большой простотой,

так что для ое задания было достаточно одного параметра. Значительно чаще приходится сталкиваться с более богатой совокупностью возможных реализаций, для описания которой необходимо иметь очень большое (а обычно бесконечное) число параметров. При этом обычно вероятность получить достаточно гладкую функцию, подобную приведенной в примере 1, оказывается значительно меньшей, чем вероятность получения функции, имеющей сложный вид, подобный кривым на рис. 1. С этим обстоятельством и связано распространенное представленио о случайной функции как о функции, имеющей вид, подобный изображенному на рис. 1.

В качестве параметров, определяющих совокупность возможных реализаций случайпой функции, мо?кно, например, выбрать коэффициенты разложения этих функций по некоторой ортогональной системе. Однако более распространенным является другой снособ описания, к изложению которого мы сейчас переходим.

Пусть / (力)—некоторая случайная функция времени. Ее значения в любой фиксированный момент ^ могут быть различными в соответствии с ее случайным характером. Таким образом, для каждого момента времени * должна быть задана плотность вероятности Ph (fi), определяющая вероятность события | / (力。——/1 { &

*(W一厶 к 4^) = p，(九)"i *)•⑴

Зная 尸厶(九),мы можем находить статистические характеристики функции / «), относящиеся к моменту времепи 力],например, среднее значение (операция усреднения будет обозначаться при помощи знака < »

8

</(М)= \九(川左女(2)

—ОО

или дисперсию

8

б?(/1) = <[/ (М-</ (<!)>]2>=，几(2[九一“(3〉『班.(3)—ОО

Плотность вероятности 尸厶(fi) зависит, вообще говоря, от выбранного момента времени%то же самое относится, разумеется, и к вычисленным при помощи Рь значениям </), о? и т. д. Изме- нсние распределения вероятности во вромспи выражает нестацио- нарность процесса и может быть связано, например, с суточным

обозначает вероятностьобозначает вероятностьтого, что вы-того, что вы-*) Запись 芋(|/ (f>) 一川 S } d储

обозначает вероятность

обозначает вероятность

того, что вы-

того, что вы-

полняется указанное в скобках неравенство.

или годовым ходом метеорологических элементов или с другими причинами.

Функция Р±] (Д) (которую мы в дальнейшем будем называть одноточечной 而унксщей: распределения) позволяет определить лишь такие статистические характеристики, которые относятся к одному моменту времени. Зная Р“ (/J, мы пе можем, например, ответить на вопрос о том, какова вероятность того, что за время т функция / (方)изменилась на определенную величину, или какова вероятность для производной 广(/) иметь определенное значение. Для того чтобы ответить на эти вопросы, необходимо знать двухточечную функцию распределения Р&& 仇,fJ, определенную равенством

俨(I"3 ~/il<|rf/i； \f^-k К у df^ = Р,“,,(九 /г)d/i班(4) и дающую вероятность того, что одновременно выполняются два условия: при £ = g функция / ⑴ близка к значению Д, а при t = ^а она близка к значению /а. Двухточечная функция распределения несет в себе значительно большую информацию относительно случайного процесса / (t), чем функция Pt^J, однако и она описывает / (£) далеко не исчерпывающим образом.

Для полного описания случайного процесса / (t) необходимо для любого наперед заданного числа 几 знать соответствующую n-точечную функцию распределения

^(]/(«1)-а|<4^/1；...； i/(M-/ni<4J/n)e

=Рз…& (厶,・・•，/п) d/丄•.・ d/n, (5)

зависящую от как угодно выбранных моментов времени

Функции (5) позволяют ответить на вопрос о вероятности той или иной конкретной реализации случайного процесса / (£). Однако в приложениях обычно бывает трудно определить все функции (5). Это оказывается возможным лишь для специальных типов случайных процессов (например, для гауссовских процессов). В связи с этим для описания случайных функций часто используются более простые характеристики, связанные с функЦией Pti4,(九，福.

В дальнейшем мы часто будем сталкиваться с комплексными случайными функциями / (£) = <р (工)十 t 屮 «)，Для того чтобы задать распределение вероятностей комплексной случайной функции / (t), необходимо знать совместные законы распределения вероятностей для пары функций {ср «),屮(/)}, Например, одно-

точечный закон распределения / «) определяется формулой

少(I叭⑴-6丨《4"d6；1屮(⑴-屮1丨《4^屮1) =p」6,电)四"5.

Аналогично строятся и многоточечные законы распределения вероятностей комплексных величин.

В том случае, если мы рассматриваем случайные функции координат, / (z, у, z) = / (г) (обычно их называют случайными полями), законы распределения становятся функциями от г. Так, вместо (1) и (4) мы будем иметь

孕(I / (П)-Л1<4 d/1) = %, (/1)d/1，(6)

^ (I /(А)—九 I W y^/i； I / (”2)— /z I《"^ d/z) — Pn, r,(/i, /a) d力 df2.

(7)

В некоторых случаях мы будем рассматривать случайные функции, зависящие как от координат, так и от времени): / — = / (г, t); их законы распределения будут, вообще говоря, зависеть от г, t Например,

争(]/ "厶 〃)一/11 & у ^/15 ] / "齡")—厶 I=

=ti； % (力，％) ^/i(8)

§ 2. Стационарные случайные функции

Случайная функция / (£) называется стационарной, если ее законы распределения (5.1) инвариантны относительно изменения начала отсчета времени:

Р5 tz,...Jn(/iT • • fn)=尸匕+т, е^т^-.ц+тС/ь • • • > /п)-(1)

Для случая п — 1 это означает

Ph(〃)= Р厶+т (/1)*

Положив здесь Г == — in получим

P“d) = A (儿(2)

т・ е. одноточечная функция распределения стационарного слу- чайного процесса не зависит от времени. Для п = 2^ полагая

Т = получим

^ъ(1 (/11 /2) = Р"+Т, МТ (/11 А) = Р% t「h (/1т『2),(3)

е. двухточечная функция распределения стационарного слу- чайного процесса зависит лишь от расстояния £^ —— £工 между точками 々 и %). Из формулы (2) следует, что такие характеристики процесса, как </ (£)〉, б2 (0 и т. д., не зависят от времени:

</ (/)> — ccnst, б2 (0 = const.(4)

Важнейшей характеристикой случайной функции является ее корреляционная функция, которую иногда называют также ковариацией:

g(5 £2) = ([/(m-</0][广色)一寸同〉]〉(5)

(звездочка означает комплексное сопряжение). Полагая в (5) % = % получим

纟储£) =〈|/e)-"(七)〉|2〉=炉(小(6)

Для стационарных процессов В (* 十 Г, % + Т) = В (厶，QT откуда слсдует, что В зависит лишь от т = ^ ——£?:

8(*) =〈[/(£ + D — </)].[Г(О- <Г>1>,(7)

纟(0) =〈1/(%)-"〉『〉=龈(8)

Таким образом, значение корреляционной функции в нуле равно среднему квадрату флуктуаций. Если / (^ + t) и / (£) статистически независимы (что обычно бывает при достаточно большом т), то среднее значение произведения, входящего в правую часть (7), равно произведению средних значений, каждое из которых равно нулю. Таким образом, В (г) характеризует статистическую связь между флуктуациями / в моменты времени i + т и L

Приведем некоторые свойства функции В (г). Из (5) следует, что

•® (%，)~ 3 (G，*2)，(9)

а в случае стационарных процессов

В (-т) - * (г).(10)

Если же процесс / (/) действительный, т. с. /* = /, то 3(—т)=3(т)(11)

Для стационарного случайного процесса имеет место.неравенство |В(т)|<В(0),(12)

из которого следует, что функция В (т) имеет максимум при т = 0. Действительно, пусть </> = 0, тогда при любом комплексном числе X выполняется неравенство

〈仄"")一 / (厶)]*了(3 一 广⑸)]〉> 0, или

九九*0: - Х5 的，£2)- AЛ8* (21, %)十 <5^ > 0.

Положим X = а 5* (%, %), где а = а*. Тогда последнее неравенство превращается в

а%：|3(〃，力)卩一2а]В(", %)『+ ^2>0.

Но, как известпо, условие неотрицательности квадратичного по а трехчлена заключается в неположительпости его дискриминанта:

I в(%,⑨ Г — j冠I в (厶‘")『《о.

Отсюда следует неравенство |3仇,G)|2《 0：吟 которое в случае стационарных процессов приводит к условию (12).

Пусть / «)——стационарный случайный процесс со средним значением, равным нулю. Рассмотрим выражение т

4 =亏号\叭力)/e)山，

где <р (/)——произвольная комплексная функция. Очевидно, что

<|Лр> > 0, т. е.

〈1再，叭f)/⑺出》П营j山1 q必2中(①叫%) "上"(%)〉=

—т一т —Т

т т

=2^ \ \ в (厶一，2)中(3 中*/)由1 山2>0. (13)

Условие (13) называется условием положительной определенности функции В (т). Оно чрезвычайно важно, так как лишь функция В (т), удовлетворяющая этому условию, может являться корреляционной. Положим в (13)

(р(£) = —

Тогда (13) превращается в неравенство

т г

〈14 12)=焉、由 1 、 必骋*(I归 & - 12)> 0.(14)

—Т —Г

Введем новые переменные интегрирования

т = % — i2 и £ = "^ (厶 + %)

и произведем интегрирование по £; в результате после несложных преобразований получаем

2То

〈⑷"〉=壺[\ (1_苏)小必(T)dr+ \ (1+苏"3必")叫》0. 0—2T

(15)

Перейдем в (15) к пределу при Г —> оо. В результате этого получаем условие

~《 小в (т) dr = W(3)> 0.(16)

Появившаяся здесь функция W ®) является преобразованием Фурье корреляционной функции В (т). Согласно условию (16) она должна быть действительной и неотрицательной, в противном случае В (т) не может являться корреляционной функцией. А. Я. Хинчип [6] доказал и обратное утверждение: если W (о) > 0, то функция

В(т)= § е+зрИ (①)d①(17)

—ОО

является корреляционной функцией некоторого стационарного случайного процесса. (Формула (17) является обратным преобразованием Фурье по отношению к (16)).

Если случайный процесс / (£) действителен, то В (т) = В (——г). В этом случае (16) и (17) можно записать также в виде

% (④)=差 \ cosor В (т)йт,(16)

—со

8

耳(р) =соз сот W (о) doj.(17‘)

—8

Из формулы (17) можно получить важное равенство, разъясняющее физический смысл функции W (о). Полагая в (17) т = О, получаем

ОО

炉=4/(£)『〉=，W(①)ds.(18)

—ОО

Пусть / «) представляет собой флуктуационный ток, протекающий по единичному сопротивлению. Тогда 产(方)есть мгновенная мощность, Среднее значение этой мощности

〈产〉==О2=5(0).

Из формулы (18) в этом случае можно заключить, что W @) представляет собой мощность, приходящуюся на единицу полосы частот. В связи с этим в радиофизической литературе W (s) называют спектром мощности шума*

В случае, когда / (力)является модулем вектора скорости жидкости, W (s) пропорциональна спектральной плотности энергии единицы массы жидкости. В литературе по теории турбулентности эту функцию называют спектральной плотностью распределен ния энергии. Важная роль, которую играет в теории стационарных процессов и ее приложениях корреляционная функция В (т), связана также и с тем, что ее преобразование Фурье W (s) играет роль спектра мощности (или энергии) процесса.

Подобно тому как корреляционная функция В (р) стационарного случайного процесса / (£) может быть представлена в виде интеграла Фурье (17), сама случайная функция /") может быть представлена в виде стохастического интеграла Фурье — Стиль- тьеса

8

/(£)= § ^^ (^®)(19)

(gm., например, работу А. М. Я гл ома [1]). Функция Z является случайной функцией интервала Д(о. Поскольку </ (0> = О, Z (А①)

должна удовлетворять такому ясе условию 〈Z (А①)〉= 0. Используя (19), напишем выражение для корреляционной функЦии В (G — %) = "(G)尸(3〉：

3(々_%)=《f e"3『3&)〈z(ds)Z・(ds')〉.(20)

—ОО —ОО

Так как левая часть (20) в случае стационарности процесса / (才) зависит лишь от 々 ——%, подынтегральное выражение в (20) должно содержать множитель 6 (①—— ①')，обеспечивающий появление такой комбинации из 厶 и %. Отсюда следует, что

<Z (d(o) Z* (d6)〉= 6 (①一①')尸(d①，d吟.

Используя последнее выражение, получим

ОО

В (才1 —工2)= \ \ ^ (G-^F (rf(D, dco') 6 ((D —①').(21)

Сравнивая это выражение с (17), убеждаемся в том, что должно иметь место равенство

尸(Лв, dtoz) — W (cd) dto 威/.

В этом случае выражение (20) совпадает с формулой (17).

Итак, имеет место формула

〈Z (&о) Z* (d^)) = 6 (①一①')W (①)如 d(D‘・(22)

Из (22) следует некоррелированность спектральных амплитуд Z (Лв) при несовпадающих значениях частот.

Рассмотрим связь между спектральным разложением стационарного процесса и обычным интегралом Фурье (см., например, [165]). Функция / (£) может быть разложена в интеграл Фурье, если сходится интеграл от | / (才)|, взятый в бесконечных пределах, и если / (/) имеет лишь разрывы типа конечных скачков: I / (^ -|- 0)——/ (/ — 0) I V оо. Ясно, что стационарная случайная функция не удовлетворяет первому из этих условий и поэтому не может быть непосредственно разложена в интеграл Фурье. Рассмотрим функцию

т

/(0 при IN<1~»加(/)=т

.0 ыри (4>-у>

равную нулю вне интервала (一 彳，区)и совпадаюп^ую внутри этого интервала с непрерывной действительной стационарной

случайной функцией / (/), для которой </ (£)〉— 0,〈尸(£)》< оо. функция /т(£) в отличие от / (t) может быть представлена в виде интеграла Фурье:

/т (0 = \ е1Ш,фт (w) Jw, I

Г 筈(23)

Фт((й)= 2л \ e-”(t)必.

-Т/2,

Рассмотрим средний квадрат модуля фт (s)：

Т/2 Т2

< I T? (m) I2) =\、d3(1)〈/储)/的)〉出1出2 =

'—Г/2 —Г/2

Т/2 Т：2

=-研 \\ е'з(DB «2 — 〃)必1 必2.

—Т/2 —Т/2

Вводя вместо 々 новую переменную интегрирования т согласно равенству £】= ^а + т и выполняя иптегрирование по ^2, получим после простых преобразований

тттт<| фт (З) |2> =焉 ^ cos (ОТ В (т) dt —费卜 cos (ОТ К (т) dr.<| фт (З) |2> =焉 ^ cos (ОТ В (т) dt —费卜 cos (ОТ К (т) dr.

т

т

т

т

<| фт (З) |2> =焉 ^ cos (ОТ В (т) dt —费卜 cos (ОТ К (т) dr.

<| фт (З) |2> =焉 ^ cos (ОТ В (т) dt —费卜 cos (ОТ К (т) dr.

Умножив это равенство на 2：п/Т и переходя к пределу при Т 一 оо, получим, предполагая существование пределов в правой части равенства:

2л<|(рг((о) |>>

ТтооJ

8Т

—-4- \ cos(от В (т) dt 十丄 lim；、т cus от В (т)<7т.

Если выполняется условие

Пт4Дт|В(т)тт = 0(24)

о

(для его выполнения достаточно, например, чтобы функция | 5 (т) | при т — 8 убывала быстрее, чем т"1), то второе слагаемое

обращается в нуль и мы получаем соотношение

W (s) = hm .(25)

Из этой формулы ясно, что < I <рг (ш) ] 3> ~ Г, т. е. сама функция Фг (со) имеет порядок р7\ так что переходить к пределу при 7 —> 8 в формулах (23) нельзя. Поэтому обычную спектральную плотность <р (со) для стационарной случайной функции / (£) определить невозможно и существует лишь случайная спектральная амплитуда Z (dco), удовлетворяющая условию (22). Тем не менее в физической литературе часто вместо разложения (19) используют обычный интеграл Фурье, подчиняя случайные спектральные плотности соотношению

9 (й)1)ф* (й)2)> = W ((006((01 — Cl)2),(22‘)

и это приводит к правильным результатам. Смысл соотношения (22‘) можно уяснить на основании разложения (23). Если, используя (23), найти величину 〈屮丁(0)1)屮丁(①“〉，то при Т —> 8 вместо соотношения (22? мы получим формулу, содержащую не точное выражение для 6-функции, а функцию

sin (oh — сиз) Т

(26)

При Т —> оо получим 6Т (со) —> б (со) (так как 6т(0) = ^■—> 8 н

8

^бт(ш) Ло = 1). При 0)! =(о4 в этом случае снова получается

формула (25). Таким образом, формулу (22‘) следует понимать как предельное соотношение, получающееся из разложения (23) при Т > оо.

Поскольку, однако, использование математически обоснованной формулы (19) не создает каких-либо дополнительных затруднений по сравнению с обычной формой интеграла Фурье, мы будем пользоваться формулой (19).

Приведем несколько примеров к о р реляционных функций и их спектральных плотностей.

В приложениях часто используется корреляционная функция

5(T)=小 eхр (一噜).(27)

Соответствующая ей спектральная плотность W (со) легко вычисляется:

ООЕ

叫3)=言上…dt = ^餐. •(28)

Мы видим, что W (со)〉0, поэтому функция (27) действительно может являться корреляционной функцией стационарного случайного процесса.

Легко проверить, что если

/?(т) = а2ехр(—§) ,(29)

ТО

W^ = ^ exp (— ?) > 0.(30)

Спектральной плотности

/…—弋寸0,…=击号，(31) (中f)3У

соответствует корреляционная функция

B(t) = d』•(泞&(沙 同0)二門(32)

где Kv(w) — функция Бесселя второго рода от мнимого аргумента (фикция Макдональда). Корреляционная функция типа (32) была предложена Карманом для аппроксимации корреляциоввых функций, возникающих в теории турбулентности. Корреляционные функции и соответствующие им спектральные плотности примеров 1, 2, 3 приведены на рис. 2 и 3.

Установим одно полезное соотношение между масштабами корреляционной и спектральной функций, которым мы часто будем пользоваться в дальнейшем. Характерным масштабом корреляционной функции В (т) является так называемый интегральный масштаб т0:

ОО

丁。=誌7 $ B(t)dT.(33)

(Если построить прямоугольник с высотой В (0) и основанием то» то его площадь будет равна площади, заключенной между корреляционной функцией и осью т.)

,получим3。 %(0) В (0)',получим3。 %(0) В (0)'Аналогичным образом вводится интегральный масштаб спектральной плотности W (со), который мы обозначим через(оо:

,получим

3。 %(0) В (0)'

,получим

3。 %(0) В (0)'

wo = WW S W®)d3・(34)

(Это оиределепие эффективно лишь в том случае, если W (со)《 < W (0).)

Используя формулы (16) и (1

(35)(35)〃 О? Q4 * Q8 叩[£ 1*4 [618 2卩淀 2,4 26〃 О? Q4 * Q8 叩[£ 1*4 [618 2卩淀 2,4 26Рис. 3. Спектральные плотности IV 3), соответствующпе корреля- цпонпым функциям, изображенным на рис. 2 (номера возле соответствую- juhx кривых рис. 2 и 3 сон надают).Рис. 3. Спектральные плотности IV 3), соответствующпе корреля- цпонпым функциям, изображенным на рис. 2 (номера возле соответствую- juhx кривых рис. 2 и 3 сон надают).〃必勿4夕0,8 1.0 N 〃 /淡%〃必勿4夕0,8 1.0 N 〃 /淡%%缈勿〃必%缈勿〃必т。= КбГ 2炉⑼， откуда получаем соотношение (OqTq — 2л, связывающее «ширину» спектра и

(35)

(35)

〃 О? Q4 * Q8 叩[£ 1*4 [618 2卩淀 2,4 26

〃 О? Q4 * Q8 叩[£ 1*4 [618 2卩淀 2,4 26

Рис. 3. Спектральные плотности IV 3), соответствующпе корреля- цпонпым функциям, изображенным на рис. 2 (номера возле соответствую- juhx кривых рис. 2 и 3 сон надают).

Рис. 3. Спектральные плотности IV 3), соответствующпе корреля- цпонпым функциям, изображенным на рис. 2 (номера возле соответствую- juhx кривых рис. 2 и 3 сон надают).

〃必勿4夕0,8 1.0 N 〃 /淡%

〃必勿4夕0,8 1.0 N 〃 /淡%

%缈勿〃必

%缈勿〃必

Рис. 2. Примеры нормированных корреляционных функций:

Заметим, что величины т0 и соо, определяемые формулами (33) и (34), могут в некоторых случаях и не существовать (если соответствующий интеграл расходится). Однако если в этих случаях определить масштабы т0 и соо каким-либо иным способом [например, определить т。как точку, в которой В (т0) = 0,5 В (0)1, то соотношение типа (35) снова будет выполняться, но в нем может появиться числсппып коэффициент порядка единицы.

В заключение рассмотрим важный вопрос о практическом построении статистических характеристик случайного процесса. На практике мы обычно не располагаем достаточно обширной совокупностью реализаций случайного процесса, получеппых при тождественных внешних условиях. Это не позволяет эффективно выполнить усреднение по ансамблю,宜 при построении статистических характеристик мы вынуждены производить усреднение по времени в пределах одной реализации случайного про- цесса.

Пусть и(£) — величина, для которой мы хотим получить среднее значение путем усреднения по времени. Под и мы можем подразумевать как саму случайную функцию / (£), так и ее квадрат, произведение / (t) / (£ 4- т) при фиксировапном сдвиге т и т. д. Будем предполагать, что и (0 — стационарный случайный процесс, причем известна его корреляционная функция

Bu(G —切=<[и(^) —<u>] [u{t2) —<u>]>

(мы рассматриваем лишь действительные функции и «)).

Введем в рассмотрение среднее по времени за интервал Т значение случайной функции и:

й (£)三 ^~\ 〃(‘ — т) dt •о

Зта величина, так же как и w, является случайной. При повторном определении 五 по разлюшым участкам кривой и «) мы будем получать несколько различные значения. Вычислим средний квадрат разности между средним по времени и и средним по ансамблю 〈《〉：

咬三〈传(£) —а〉]2〉.

Подставляя сюдавыражениедляй,легко получим

ТтТ f

吟=^т^ \\Bu (% — %) dt\dt? =~^~ \ dt \ 凡(т) di.

Ооо о

Докажем теперь, что при выполнении условия

lim 2-^Bu(T)dT о(36)

будет выполняться соотношение

lim * = 0(37)

24 СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ, 1 (см.» например, [21). Действительно, из (36) следует, что для любого > 0 найдется такое Го, при котором

A瓦⑴飼<^прн〉％о

С другой стороны, для любого t имеет место неравенство

|^и(т)йт|<Ви(0)<,о

так как Ви (0)〉Ви (% Таким образом,

W I 「厂 при t>r0.

Интегрируя это неравенство в пределах (0, 71)» гДе Т > 丁川 получим

?〉”■/吧豊?〉”■/吧豊《dj几(т)dt|《^^1 + ?(К — 爲).о о

?〉”■/吧豊

?〉”■/吧豊

ЕслиЕсли,то первое слагаемое в правой части не пре

Если

Если

вышает второго, а их сумма не больше 6 Г2/2; отсюда следует не

равенство

из которого немедленно вытекает (37). Таким образом, условие (36) обеспечивает возможность замены статистических средних на средние по времени.

Если существует интеграл

^W, Bu(T)dt<8,О

условие (36) всегда выполняется. В этом случае можно дать простую оценку дисперсии отклонения среднего по времени от сред-

2

него по ансамблю. Производя в выражении для <з- замену поряд-

ка интегрирования по переменным 右頂 т и выполняя интегрирование по f, подучим

磋=糸\(I ^~) 8u(T)dt.

о

В случае , если Т 声 ru, вторым слагаемым в скобках можно пренебречь по сравнению с единицей, а интеграл от первого слагаемого выразить через ти. В результате получаем приближенную формулу

которой удобно пользоваться для выбора необходимого интервала усреднения, исходя из заданной точности. Формула (38) была получена Тейлором при построении теории турбулентной диффузии.

§ 3・ Случайвые функции

со стационарными приращениями

Реальные флуктуационные процессы очень часто могут с достаточной степенью точности описываться при помощи стационарных случайных функций. К таким процессаы относится, например, флуктуационное напряжение, которое возникает на сопротивлении, находящемся в состоянии термодинамического равновесия с окружающей средой. Однако можно указать и на противоположные случаи, когда флуктуационные процессы не являются стационарными. В качестве примера можно указать на интеграл от стационарного процесса.

При рассмотрении нестационарных процессов необходимо иметь возможность воспроизведения внешних условий, при которых этот процесс протекает. Действительно, в этом случае единственная возможность нахождения статистических характеристик процесса заключается в усреднении по большому числу реализаций, получаемых в одинаковых условиях-

Кроме того, в случае нестационарных процессов необходимо иметь естественное начало отсчета в ремени при рассмотрении каждой из реализаций; в противном случае при нахождении статистических характеристик произойдет усреднение по времени и процесс невозможно будет отличить от стационарного.

Для устранения указанной трудности в теории турбулентно- °ги Для описания более общих, чем стационарные, случайных функций вместо корреляционных функций (5-2) используют так называемые структурные функции, введенные впервые в работах А・ Н, Колмогорова [10, И]. Идея, лежащая в основе этого метода,

заключается в следующем. В случае, когда / (1) представляет собой нестационарную случайную функцию, т. е. когда </ (£)〉 меняется с течением времени, можно вместо / (0 рассматривать разность

/⑴二7 " + 7) - 7⑶

при некотором фиксированном значении Т. При не слишком большом Т низкочастотная компонента функции / ⑴ пе повлияет на значение этой разности и она может оказаться (хотя бы приближенно) стационарной функцией времени. В случае, когда FT (0 есть случайная стационарная функция 厶 функцию /(£) называют случайной функцией со стационарными первыми приращениями, или просто случайной функцией со стационарными приращениями.

В качестве примера рассмотрим функцию следующего вида:

f (t) = at+1 ⑴，(1)

где а — действительная случайная величина, a J (t)——стационарный случайпый процесс, причем <а^ «)〉= 0. Очевидно, что если «〉= 0, то

</ (О -〈4(2)

Легко получить также формулу

з (f，f 十 Т) L а/ «) — "《)〉］〔/*« + т)-〈尸(t + т)>］> =

h 齊 В + т) + Вк (т), (3) где

0=〈a2)-〈а> и 线⑴=g⑴门t + 少.

Таким образом, процесс / «) не является стационарным, так как его среднее значение и корреляционная функция явно зависят от времени 九

Рассмотрим теперь

Ft ⑴=必 + Е « + 7) — Е (".(4)

Очевидно, что

{Ft «)〉=〈仪〉Т = const.

Вычисляя 8尸(& £ 十 р), получим после простых выкладок

% (九 £ + т) =〈［% (t)—〈歹丁 (£)〉］【/ (% + т) — Sт" + t)〉］〉=

=4?3 丁 2/ (T) 一 人"一 7) 一 / " + 7).(5)

Таким образом, и среднее значение, и корреляционная функция процесса Ft (t) не зависят от времени t (они, однако, зависят от выбранного постоянного сдвига по времени Т).

Если бы мы рассмотрели случайную функцию типа

/⑴=加2 + 瓦 + e + е (f),

где снова J (/) — стационарный процесс н 年，匕，с -- случайные величины, то, как легко показать при помощи аналогичных рассуждений, в данном случае разность 口丁 «) = / (工丄 Т)——/ (力 уже не будет стациопарпой случайпой функцией (ею окажется вторая разность 占丁 (£ + 7\)——F^ (£)). Поэтому случайный процесс / ⑴ будет процессом со стационарными первыми приращениями лишь в том случае, когда его среднее значение ян л я ется линей' ной функцией времени. Поскольку, однако, для не очень больших промежутков времени любую функцрда можно приближенно считать линейной (взяв ее первые члены разложения л ряд Тейлора), то использование процессов со стационарными первыми приращениями значительно расширит наши возможности описания реальных случайных процессов по сравнению со стационарными процессами.

Рассмотрим действительный случайный процесс / (£) со ста* ционарнымм первыми приращениями. Среднее значение </ «)〉 такого процесса зависит, вообще говоря, от 九 Введем новую веиичону

Е ⑴=〃£) 一 </ W>,

Дл/i которой〈Е ⑴〉=0. Случайный процесс Е “)также является Процессом со стационарными приращениями, так как его корре- дяционная функция может явно зависеть от 力 несмотря на то, что 《上(£)〉= 0. Рассмотрим теперь разность

耳(0 = I (^ + Л - I (0;

ОНА является стационарным случайным процессом, и ее корреляционная функция Bf не должна явно зависеть от времени 厶 Вычислим Bg (т):

®₽ (т) =〈Ft (£ + т)夕丁(力)〉=

=<[?(^ + П-?(力化(f + р + т) — Е(方 + T)D・(6)

Применив алгебраическое тождество

(鋒一Ь) (с — d)--受[(а — d)2 + (6 — с)* — (а — с)? — (Ь — d)?],

получим

BF (т) = 4- {〈住« + Т) — W« + t)F〉+ dW (f + Т + T) — 貝 f)F〉一

-〈正(f + Т) - E (f + т + T)F〉一〈化(f 十 t) - W ")『〉}•(7)

Обозначим через Р/ (% 幻 величину

P("M) = S(h)-hh)J”，(8)

которая называется структурной функцией процесса / «). Тогда (7) запишется как

8尸(р) = ±。/(£ + 7\ t + р) Я—Df(t + т + Т, £)—

^"。/“ + р + Т J + Т)^- Р/ (Z + т, t). (9)

Так как мы предположили, что / (С) — процесс со стационарными приращениями и, следовательно, Ft (0 — стационарный процесс, то Вр не должно зависеть от t и может зависеть лишь от т н Т. Это условие будет выполнено, если Р/ (厶, ^ зависит лишь от tj — G，т. е. если

<[в(л-т)-?(«)]а> = ад.(1о)

В этом случае формула (9) принимает вид

Bp^^-Ld^t+T)^ -^D^x-Ty-D^).(11)

Подставив в формулу (10) В (0 — / (0 — G (0>, получим

^/ (t) = <{[/(t + Т) - / (Г)] - </ (^ + т) - / (0>}^>.(12)

Так как левая часть (12) зависит лишь от т, то и </ (t + т) — / «)〉 должно зависеть только от т и не должно зависеть от £. Но отсюда следует, что </ «)〉есть линейная функция

</ (0> ^ а + bt и </ (t + т) — / (t)> =阮. (13)

Очень часто приходится иметь дело с процессами со стационарными приращениями, для которых среднее значение </ (/)> постоянно (к этому типу будут относиться локально изотропные случайные ноля, рассматриваемые ниже). В этом случае формула (12) упрощается и принимает вид

^(т) = <[/(« + т)-/(ОР>.(М)

Структурная функция является основной характеристикой случайного процесса со стационарными приращениями, заменяю-

§ з] СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ СО СТАЦИОНАРНЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ 29 щей понятие корреляционной функции. Грубо говоря, значение дДт) характеризует интенсивность тех флуктуаций / (£), периоды которых меньше или сравнимы с т. Действительно, медленные по сравнению с т изменения функции / (t) не влияют на разность / (^ + т) — / (0 и поэтому не дают вклада в Р/ (т). Разумеется, функция Ру (т) может быть построена и для обычных стационарных случайных функций, являющихся частным случаем функций со стационарными приращениями. Если / 传)——стационарная случайная функция со средним значением, равным нулю, то

Р(т)=〈[/« + "-/«)『〉=

=〈[/« + т)『〉+ < [/ (f)F〉-2</(t + r)/(Z)>.

Из стационарности / (f) следует, что

<1/ (01г> =〈【/(£ + Т)Р> = В； (0).

Таким образом, для стационарного процесса

Р/(т) = 2[В/(0)-В/(т)].(15)

В том случае, когда 5/ (ос) = 0 (а на практике это условие почти всегда выполняется), 力/(8)= 28 (0). Указанное соотношение позволяет выразить корреляционную функцию В/(т) через структурную функцию Dy (т):

В"т) = 4~ О/(8)— } А (т).(16)

Таким образом, в случае стационарных случайных процессов структурные функции Df^ могут использоваться наряду с корреляционными; в некоторых отношениях их использование даже более целесообразно. Действительно, приступая к изучению какого-либо случайного процесса, в стационарности которого мы заранее не уверены, более целесообразно строить его структурную, а не корреляционную функцию. Практическое построение структурной функции к тому же всегда более надежно, поскольку на значение Ру (т) не оказывают влияния ошибки в определении среднего значения </ (£)〉. В случае, если построенная структурная функция при больших т оказывается постоянной, по формуле (16) можно найти и Bf (т).

Выше приводилась формула (17.2), представляющая корреляционную функцию действительного стационарного случайного процесса в виде интеграла Фурье. Предполагая, что процесс / (0 стационарный и для него существует как корреляционная, так и структурная функция, мы можем на основании формулы (15) получить спектральное разложение структурной функции Р (т)

(в дальнейшем индекс / в выражениях D；m В* опускаем). Подставляя (17-2) в (15), получим формулу

/)(т) = 2 \ [1 — cos сот] IV(со) J(o, (17) —8

связывающую введенную выше спектральную плотность энергии W (со) со структурной функцией D (т).

Сравним условия, которые следует налагать на спектральную плотность W ®) для того, чтобы существовала корреляционная функция В (т), выраженная интегралом (47'.2), и для того, чтобы существовала структурная функция D (т), выражаемая интегралом (17). Для сходимости интеграла (17.2) при т = 0 необходимо, чтобы функция W (со) росла в нуле медленнее, чем со% убывала на бесконечности быстрее, чем о)г, т. о. чтобы выполнялись условия

Кш [соРИ (s)l = 0, lim [sW (со)] = 0. (18)

В то же время для сходимости интеграла (17) при(о -> 0 требуется менее жесткое условие, так как 1 — cos(от ~(о2 при(о — 0. При(о f оо условие сходимости интеграла (17) такое же, как л прежде. Следовательно, (17) сходится, если

lim [o3W (со)] = 0, lim^coiy (со)] = 0. (19) 3』 з-*оо '

Условия (19) значительно менее жесткие, чем условия (18). Они, в частности, допускают, чтобы функция W (со) имела в нуле степенную особенность W @) 〜со-世,где 卩 < 3. При этом структурная функция Р (т), вычисленная по формуле (17), будет иметь смысл, в то время как корреляционная функция В (т) уже не будет существовать. Это обстоятельство наводит на мысль, что спектральное разложение (17), полученное нами из спектрального разложения (17J2) для корреляционной функции, выполняется и тогда, когда разложение (17z.2)Ky?KO не справедливо. Как показано в работе А. М. Яглома [1], это действительно так.

Таким образом, процессы со стационарными приращениями отличаются от стационарных процессов в двух отношениях: их среднее значение может быть линейной функцией времени, а спектр может иметь особенность в пуле.

То обстоятельство, что при использовании структурных функций мы получаем возможность описывать процессы, 'имеющие особенность спектра в нуле (т. е. обладающие бесконечной «энергией» в области низких частот), представляет большие удобства

§ з] СЛУЧАЙНЫЕ ФУНКЦИИ СО СТАЦИОНАРНЫМИ ПРИРАЩЕНИЯМИ 31 для приложений, где такие процессы встречаются довольно часто.

Сравнивая методы описапия стационарных случайных процессов и процессов со стационарными приращениями, можно также заметить, что их описание при помощи спектральных функций W (со) имеет преимущества перед описанием при помощи корреляционных и структурных функций. Это преимущество заключается в том, что, используя функцию W (со), можно не заботиться о том, является ли процесс стационарным или обладает лишь стационарными приращениями,——в обоих случаях функция W (со) существует и имеет тот же самый физический смысл спектральной плотности энергии» И лишь на окончательном зтале вычислепий, когда мы хотим найти В (т) или D (т), мы пользуемся формулой (17.2) или (17) в зависимости от того, имеет W (©) интегрируемую особенность в нуле или нет. Второе преимущество спектрального описапия заключается в том, что функция W (со) имеет более прямой физический смысл, чем 5 (т) или D (т).

Получим теперь соотношения, выражающие W (со) qepeg D (т). Дифференцируя формулу (17) н учитывая четность функции W (①)，мы получим интеграл типа интеграла Фурье, который может быть обращен. В результате этого получаем формулу

W (to) = □- ^ 1)' (т) sin о)т dr,(20)

которой можно пользоваться, если интеграл справа сходится.

При со В 0 для сходимости интеграла достаточны условия:

lim 1У (т) = 0;

г-*оо

существует такое число а <^ 1, что

lim 炉+а 少'(т) = const < эс.(2 i)

Условие (б) может быть заменено на более жесткое, но более удобное условие

lira т27y (т) — 0.

Двукратное дифференцирование формулы (17) также дает интеграл Фурье, который после обращения принимает вид

“(з) = 2^i УГ ⑴ cos зт "工・(22)

При(о # 0 формула (22) справедлива, если выполняются условия:

Иш£>я (т) = 0;

существует такое а < 4, что

lim ^Dv (т) = const < оо(23)

Т-Н)

или более жесткое условие

Нтт£>"(г) = 0.

Заметим, что условия (21) и (23), вообще говоря, различны и для вычисления W (со) требуется их предварительная проверка с целью выбора той или иной формулы (см. примеры).

Подобно тому как сам стационарный случайный процесс /(£) может быть представлен в виде стохастического интеграла Фурье — Стильтьеса (19.2), процесс со стационарными приращениями также может быть представлен в виде спектрального разложения. Проще всего это разложение можно получить, используя то обстоятель

ство, что производная Е (t) = от процесса со стационарными приращениями / (/) сама является стационарным случайным процессом. Следовательно, Е (t) можно представить в виде разложения (19.2):

1(0 =曙=Е。+『е'“％ (ds),(24)

где ^о — среднее значение процесса 占(t) и Z】(dco) обладает свойствами

〈Zi (do))> = О,

<ZX (do>) Z\ (ЛоЭ) = 6 (® - ф7) Wx (ф) do> ^\(25)

Проинтегрировав разложение (24) в пределах (О, I), получим

〃t)=〃0) +印+ J [^-1]^-,(26)

—ОО

где / (0) — некоторая случайная величина.

Введем функцию Z(ds) =^Z】(ds)・ Очевидно, что

〈Z (ds)〉= 0 и <Z(rfco) Z*(ds')〉=营 Wi (s) 6 (со — d) rfco dco、(27)

Если вместо спектральной плотности И\ (s) производной ~ ввести спектральную плотность

w(8)=亲(<0)

самого процесса / (£), то формулы (26), (27) принимают вид

ОО

〃t) = /(O) + E°t+，[e-«-l]Z(d®),(28)

—со где

<Z (d(o)> = О, <Z (d(o) Z* (dd)〉= d (<o 一 s') W (<o) d(o d®‘. (29)

Формулы (28), (29) и дают искомое разложение процесса со стационарными приращениями. В указанном выше частном случае, когда </ (/)> не зависит от t, формула (28) принимает вид

/⑺ к〃0)+ \ [e®-l]Z(询.(30)

Легко проверить, что, подставляя разложение (28) в формулу (12), мы получим формулу (17), выражающую D (т) через W ®) (при этом надо помнить, что /*(<) = / (/)), Рассмотрим два примера.

1) Построим структурную функцию стационарного случайного процесса, рассмотренного в примере 3 предыдущего параграфа. Воспользовавшись формулой D (т) = 23 (0) — 2В (т), получим

о(Т)= 2印一希(套国(勻].(31)

При ^У % можно воспользоваться первыми двумя членами разложения в ряд функции А\ (а). В результате простых выкладок получаем

2"梏駅£『，(32)

т. е. D (т) ~ t2j. При т 学“ рост функции D (т) замедляется и она стремится к постоянной величине 2az. Спектральная плотность, соответствующая (31), та же, что и в рассмотренном выше

2 В,且.Татарский

примере:примере:W (ю)=W (ю)=m +击)m +击)V^r(v)V^r(v)(33)(33)(1 + з*ф а(1 + з*ф а

примере:

примере:

W (ю)=

W (ю)=

m +击)

m +击)

V^r(v)

V^r(v)

(33)

(33)

(1 + з*ф а

(1 + з*ф а

При «>> —При «>> —получаем отсюда

При «>> —

При «>> —

Г(V + 4~)а1

(34)(34)吗3К碎訪二-

(34)

(34)

Обозначая

2aar(l-v)—户

(2то产 Г (1 + v)'

мы можем записать (32) и (34) в виде

D (T) =c"吗

1У (ю) =1У (ю) =Ул Г(V)Г (1 — V)Ул Г(V)Г (1 — V)С2]з「(5С2]з「(5

1У (ю) =

1У (ю) =

Ул Г(V)Г (1 — V)

Ул Г(V)Г (1 — V)

С2]з「(5

С2]з「(5

Воспользовавшись известными формулами22*-1r(v)r(v+-l-) = /nr(2v),Г(V)Г (1 —V)=「"，\ ' 、/ sin nv *

приведем последнее выражение к виду.

W (о) ?ь； -^-T(2v) sin (nv) С21 о |_ (1+av).

Если обозначить 2V =卩，то мы получаем окончательно следующие асимптотические формулы:

D (т) р。2叫(35)

W(3)Q亲Г3+ 1)5Е安内3「….(36)

Формулы (35) и (36) являются асимптотическим видом выражений (31) и (33). которые при т -> оо и(о -> 0 стремятся к постоянным значениям. Поэтому при больших т и малых со формулы (35) и (36) сильно отличаются от исходных формул (31) и (33).

Рассмотрим теперь структурную функцию

0(T) = 01 评 (0<"<2).(37)

Выражение (37) будем считать справедливым не при ту%, как в предыдущем примере, а при всех °<т<8. Найдем

Рис. 4. Примеры структурных ф加国и首：I—Р(т) = 2[1-2*/зхРис. 4. Примеры структурных ф加国и首：I—Р(т) = 2[1-2*/зхРис. 5. Спектральные плотности W (ей), соответствующие структурным функциям^ изображенным на рис, 4 (номера возле соответствующих кривых рис. 4 и 5 совпадают).Рис. 5. Спектральные плотности W (ей), соответствующие структурным функциям^ изображенным на рис, 4 (номера возле соответствующих кривых рис. 4 и 5 совпадают).

Рис. 4. Примеры структурных ф加国и首：

I—Р(т) = 2[1-2*/зх

Рис. 4. Примеры структурных ф加国и首：

I—Р(т) = 2[1-2*/зх

Рис. 5. Спектральные плотности W (ей), соответствующие структурным функциям^ изображенным на рис, 4 (номера возле соответствующих кривых рис. 4 и 5 совпадают).

Рис. 5. Спектральные плотности W (ей), соответствующие структурным функциям^ изображенным на рис, 4 (номера возле соответствующих кривых рис. 4 и 5 совпадают).

2 — P(t) = 2% F (-|~) X х[г (告)『&)“

соответствующую (37) спектральную плотность W (з). Дифференцируя (37), получим

D' (т)=卩 О р2.

В случае, если 卩 < 1,

lim Dl (т) = 0.

Условие

lim тЛР' (т) = 0 t-*o

выполняется при всех 卩〉一1, т. с. и при 卩〉0, как в нашем при- мере. Подставляя Df (т) в формулу (20), после вычисления известного интеграла получаем формулу

用(3)= ^门Р+1)出11注19「("叫(38)

В случае, если 1 < 卩 < 2, условие Ит /)' (р) = 0 уже не выполняется, но зато выполняются условия

lim D* (t) == 0, lim xDv(t) = О

и можно применить для вычисления W (со) формулу (22). Выполняя интегрирование, мн получаем ту же формулу (38), которая, таким образом, справедлива не только при 0 <^ р <^ 1, но и при всех 卩 из интервала 0 < 卩 < 2.

Вид структурных функций и их спектров из примеров 1), 2) приведен на рис. 4, 5.

Сравнивая рассмотренные примеры, мы видим, что структурная функция вида (37), которая в первом примере являлась асимптотическим видом структурной функции (31) стационарного случайного процесса, сама может являться структурной функцией процесса со стационарными приращениями. В теории турбулентности мы имеем дело как раз с таким случаем, когда нам известен лишь асимптотический вид структурных функций для достаточно малых значений аргумента т и неизвестно поведение этих функций при больших т. В таких случаях оказывается целесообразным рассматривать случайный процесс как процесс со стационарпыми приращениями и в тех случаях, когда зто допустимо, распространять асимптотический вид структурных функций, известный лишь при малых т, на весь интервал значений т.

§ 4, Однородные и изотропные случайные поля

Перейдем теперь к случайным функциям трех переменных (случайным полям). Понятие случайного поля вполне аналогично понятию случайного процесса. Примерами случайных полей служат поле скорости ветра в турбулентной атмосфере (векторное случайное поле, объединяющее три случайные компоненты скорости), поля температуры, влажности или диэлектрической проницаемости (скалярные). Для случайного поля / (г) также могут быть определены среднее значение/(г) и корреляционная функция:

3/31, h) = <[/(л) - </(п)>][Г(^-<Г(^2)>]>.(1)

Обобщением понятия стационарности для случайных полей является понятие однородности. Случайное поле называется однородным, если его среднее значение постоянно, а корреляционная функция не меняется при одновременном смещении пары точек и >2卫 одном и том же направлении, на одпу и ту же величину, т. е. если

</ (*•)> = const, Bf (rb W = В/ (rx 十小,？％ 十 ％.(2)

Выбирая в последней формуле г0 = — г2, получим, что в однородном попеВ"%, >2)= 3/(% — Г2т 0), т. е. корреляционная функция однородного случайного поля зависит лишь от гг —— >卧

B/d，出二当(л — гг).

Однородное случайное поле называется изотропным, если Ву(г) зависит лишь от г — \г\, т. е. только от расстояния между точками наблюдения. Например, поле, у которого корреляционная функция имеет вид

ВДy1 — >2)= By [a Qi - g) + 0 仇一y2)十 T (方一出)]，

является однородным, но не изотропным.

Если в однородном и изотропном случайном поло выделить какую-либо прямую линию и значения поля рассматривать лишь на этой прямой, то в результате получим случайную функцию одного переменного х. К ней можно применять все результаты, относящиеся к стационарным случайным функциям. В частности, можно записать разложение корреляционной функции в интеграл Фурье:

со

当⑺=§ cos (хж) V (х)^х.(3)

Однако более естественно пользоваться трехмерными разложения* ми. Однородное случайное поле может быть представлено в виде трехмерного стохастического интеграла Фурье — Стильтьеса

'*)= §§ К*" @3乂)，(4)

где

dЗx = dx1dk2d乂3,

причем «амплитуды» Z (d3 х) удовлетворяют соотношению

〈Z (炉修)Z* (d%2)〉= 6 (*1 一Y2)ф(*1)歩К口3乳2,(5)

где

Ф(*) >0,6 (覺1 — *2)= 6(К1х —出力 6(Kiy — «2У) 6 (х1г — Х2г).

Подставляя разложение (4) в формулу

В/ (% —小)〈/ (%) /* (г2)>

(предполагаем, что </ (г)> — 0) и учитывая соотношение (5), получим

⑹⑹Вj (% — 74)= , j 卜仅 G-МФ(X)^к .

⑹

⑹

—сю

Поскольку для действительных случайных полей

В(Г! 一 ％) = 8 (>2 — Г1), Ф (х) = Ф (― X), то формулу (6) можно в этом случае записать также в форме

ОО

⑺⑺(8)(8)В/ (>) = § § \ cos хг Ф (х) d3x.

⑺

⑺

(8)

(8)

—со

①⑺=君内『S cos *叫⑺"%①⑺=君内『S cos *叫⑺"%Функция Ф (х) может быть выражена через 5/ (г):

①⑺=君内『S cos *叫⑺"%

①⑺=君内『S cos *叫⑺"%

—ОО

Таким образом, функции В,⑺ и Ф (х) сопряжены по Фурье.

Если случайное поле / (г) является изотропным, функция 8/(尸)зависит лишь от г. Тогда в интеграле (8) можно ввести сферические координаты и произвести интегрирование по угловым переменным. В результате получаем выражение

①(*)"""^^『历/⑺‘也灯办，(9)

О где к = I к |・

Таким образом, в изотропном случайном поле спектральная плотность Ф (к) является функцией лишь одной переменной —— модуля вектора х, Это позволяет для случая изотропного поля упростить выражение (7). Вводя в пространстве вектора 乳 сферические координаты и производя интех^рирование по угловым переменным, получим соотношение

В/ (г)=圖В/ (г)=圖尤①(х) sin xr dx.尤①(х) sin xr dx.(10)(10)

В/ (г)=圖

В/ (г)=圖

尤①(х) sin xr dx.

尤①(х) sin xr dx.

(10)

(10)

Выведем полезную формулу, связывающую трехмерную спектральную плотность Ф (х) изотропного случайного поля с его одномерной спектральной плотностью V (х). Обращая формулу (3),

3939§ &] ОДНОРОДНЫЕ И ИЗОТРОПНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ получим, учитывая четность функции Bf(r):

39

39

Р (宾)=3§ В/(г) cosxr dr ・(il)

о

Дифференцируя это соотношение, найдем

^^ = —W『Bf(r) sin(xr)rdr.(12)

О

Сравнивая (12) с формулой (9), получаем соотношение

①3)=一急陪・(13)

Формула (13) позволяет находить выражение для трехмерной спектральной плотности изотропного случайного поля, если известна его одномерная спектральная плотность V (х).

Приведем несколько примеров пространственных корреляционных функций и их спектров.

Bf (г) = а%Т".(14)

Воспользовавшись результатами примера 1) на стр. 20 и тем обстоятельством, что разложение (3) совершенно аналогично разложению (17\2) для стационарного случайного процесса, можпо сразу же написать одномерную спектральную плотность V (х)

F (х) —^-.n(1 +炉书)F (х) —^-.n(1 +炉书)(15)(15)

F (х) —^-.

n(1 +炉书)

F (х) —^-.

n(1 +炉书)

(15)

(15)

получимполучимBf (г) = Q% Q )Bf (г) = Q% Q )(16)(16)(17)(18)(17)(18)

получим

получим

Bf (г) = Q% Q )

Bf (г) = Q% Q )

(16)

(16)

(17)

(18)

(17)

(18)

Воспользуемся формулой (13) и определим Ф (х):а2г?

Ф (Х) =•

Аналогичным образом для корреляционной функции

9Xд2-3 X “

?(")=善6-丁，Ф3)=熱L

Наконец, для корреляционной функции

当（г）=当（г）=2Т（V）2Т（V）(19)(19)

当（г）=

当（г）=

2Т（V）

2Т（V）

(19)

(19)

имеем

Р(х) =Р(х) =Г卜+等）Г卜+等）户 Г (V)& V+；(1 +"吗)2户 Г (V)& V+；(1 +"吗)2Ф(х)=Ф(х)=r(v+4)r(v+4)**л Ул Г(V)e + 叫)л Ул Г(V)e + 叫)3 ГТ3 ГТ(20)(20)

Р(х) =

Р(х) =

Г卜+等）

Г卜+等）

户 Г (V)& V+；

(1 +"吗)2

户 Г (V)& V+；

(1 +"吗)2

Ф(х)=

Ф(х)=

r(v+4)

r(v+4)

*

*

л Ул Г(V)

e + 叫)

л Ул Г(V)

e + 叫)

3 ГТ

3 ГТ

(20)

(20)

§ 5. Локально однородные н изотропные случайные поля

Следует заметить, что реальные метеорологические поля можно рассматривать как однородные и изотропные случайные поля лишь в. грубом приближении, Папример, статистические характеристики атмосферной турбулентности обычно являются функцией высоты над поверхностью земли. Поэтому, так же как и при рассмотрении нестационарных случайных процессов, при анализе пространственной структуры метеорологических и некоторых других полей целесообразно применять метод структурных функций.

Действительно, на разность значений поля / (г) в двух точках 尸1Н >2 основное влияние оказывают лишь те неоднородности поля /, размеры которых не превосходят расстояния | rt —— г2]. Если это расстояние не очень велико, то наибольшие неоднородности не оказывают влияния па / (г2) — / (>9，и поэтому структурная функция (которую мы будем рассматривать лишь для действительных случайных полей)

о(Г1,г2) - <{[/(п)一 "(％)〉] —炉什2)— </(r2)>]}2> (1) может оказаться зависящей лишь от rt ——г2. В то же время на значение корреляционной функции В (?\, г2) оказывают влияние неоднородности всех масштабов и она может зависеть от каждого аргумента в отдельности), а не только от разности г2 —гг. Мы

§ 5] ЛОКАЛЬНО ОДНОРОДНЫЕ И ИЗОТРОПНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ 41 приходим, таким образом, к понятию локальной однородности [10].

Случайное поле / (г) называется локально однородным, если функции распределения случайной величины / (ri) — / (г2) ин- варйантпы относительно сдвигов пары точек г]т г2.

Таким образом, среднее значение </ (吃)一/ (г2)> и структурная функция (1) локально однородного случайного поля зависят лишь от — г2:

0 (г! 4- г, n) = D (г).

Локально однородное случайное поле называется локально изотропным, если функции распределения величины / (rj —— —/(га) инвариантны относительно вращений и зеркальных отражений вектора тх —■ г2. Структурная функция локально изотропного случайного поля зависит лишь от | — г21:

。⑺=о &)• (2)

Локально однородное случайное поле может быть представлен но в виде спектрального разложения, аналогичного разло?кению процесса со стационарными приращениями (28.3):

8

/ (Г) = /(0) + аг + Щ [e^r-1 ] z(d3x), (3)

где / (0) — случайная величина и а — случайный вектор. В случае, если поле / локально изотропно, не существует выделенного направления, от которого оно может зависеть. В этом случае вектор о имеет изотропный закон распределения и (а> = 0. В большинстве случаев можно считать, что и сам вектор а равен нулю; в этом случае спектральное разложение локально изотропного поля имеет вид

⑷⑷/ ⑺=〃0) +，\ 5 — 1 ] Z (映).

⑷

⑷

—ОО

Функция Z (cP х) удовлетворяет прежним соотношениям

〈Z (炉 乂)〉= 0,I

〈Z {»%) Z* (d%')〉= 6(x —吟①(x) d*K d3x\ J 叫e ©>() —— спектральная плотность поля,

Подставляя (3) в формулу (1), можно получить разложение

8

刀(竽)=2 §§ К — cos *竽]Ф (х) d'x.(6)

—ОО

В случае локально изотропного поля, как следует вз (4), </(г)> = = const и формула (1) упрощается:

0⑺= V《 + ")一")户〉.(7)

В этом случае спектральная плотность Ф (х) зависит лишь от модуля вектора х:

①⑴=①(%).

Вводя в (6) сферические координаты в пространстве х и производя интегрирование по угловым переменным, получим формулу

ОО

。⑺=8兀，(1—喏°)①(x)x"dx.(8)

О

Выпишем формулы обращения для преобразования ⑹.Взяв градиент от (6) и обращая получающийся после этого интеграл Фурье, можно получить формулу

ОО

①⑺=宙詰 \§ sin xr grad 〃⑺ <7V.(9)

—ОО

В случае, если поле / (г) является локально изотропным и D (г)= =D (г), формула (9) упрощается. В этом случае

^D(r)=~D'(r).

Вводя сферические координаты и выполняя интегрирование по угловым переменным, получим формулу

8

①⑺=4^ \ 少⑺[sin xr — xr cos xr] dr. (10) 0

Интеграл в (10) сходится (при х 丰 0), если выполнены условия:

lim 尸IT (г) — 0;

Г-+ОО

существует такое а < 1, что

lim r^D" (г) = const < oq(II)

I 5] ЛОКАЛЬНО ОДНОРОДНЫЕ И ИЗОТРОПНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ 43 или выполняется более жесткое условие

Иш rlDl (г) = 0.

Г-М)

другуюдругую8譌恋3З⑺必,8譌恋3З⑺必,Ф (х)=Ф (х)=Применив к (6) оператор Лапласа, можно получить формулу обращения:

другую

другую

8

譌恋3З⑺必,

8

譌恋3З⑺必,

Ф (х)=

Ф (х)=

которая для локально изотропных полей принимает вид

①的=长宁噜4 f⑻配 (12) о

Интеграл в (12) сходится (при х =/= 0), если:

limr-噜 f (г)] = 0;

г-н» а

существует такое а < 1, что

lim 严 乒[r^Dr (г)] = const < оо(13)

или выполняется более жесткое условие

lim —[切⑻=о.

г-Н)

Так же как и в случае процессов со стационарными прираще* ниями, условия (И) и (13) различны, и поэтому формулы (10) и (12) следует применять лишь после проверки выпслнепия этик условий.

В случае локально изотропного поля можно ввести также одномерное спектральное разложение, подобно тому как это делается в (3.4):

8

D(r)=2 § [1 — cos xr] V (х) rfx.(14)

Формула обращения для (14) аналогична соответствующей формуле Для процессов со стационарными приращениями (20.3) и имеет вмд

8

V (х) = 2^-^ sin wrD' (г) dr.(15)

Формула (15) справедлива при следующих условиях:

Lim 力，(г) — 0; г-*оо

существует такое а <^ 1, что

lim r^Df (г) — const < 8

или выполняется более жесткое условие lim 戸// (г) — 0.(16)

Г-Н)

Дифференцируя (15) и сравнивая получающийся после этого результат с формулой (10), получаем соотпошепис между Ф (х) и V (х), аналогичное (13.4):

①(乂)=_鳥*.(17)

Та же формула может быть получена и из (12). Таким образом, соотношение между одномерной и трехмерной спектральными плотностями локально изотропного случайного ноля такое же, как и в случае изотропного поля.

Как следует из спектрального разложения (6), фигурирующий в нем интеграл сходится при выполнении условий:

существует такое а <^ 1, что

Кш х4+аФ (х) = 0;(18а)

существует такое В > 1, что

lim х2+^Ф (х) = 0.(186)

Первое из этих условий допускает наличие у функции Ф (х) степенной особенности в нуле типа 乂-廿,где 卩 < 5.

Таким образом, используя аппарат локальпо однородных случайных полей, мы получаем возможность описывать случайные поля, имеющие бесконечную «энергию» в области крупных масштабов.

Помимо разложений случайного локально изотропного поля и его структурной функции в трехмерные интегралы Фурье, будем использовать также двумерные разложения в плоскости х -- const:

co

/(N, У、Z)= /(^, о, 0) + Z ［乐(附俨“)一］］u(dx2, dx3, %). (19)

Здесь / (х, 0, 0)——случайная функция, a u (t/x2, dx3, х) удовлетворяет соотношению

<u(dx2, d*3,化)s*(dx；, dx；,化')〉=

=d(xa — X；) 6 (乂3 —心)尸(出，x3,化-成)dx2 d% d必 dx；, (20)

причем

尸(х2, х3，化)=尸(х2，也，一%)•

Рассмотрим разность значений / (ж, у, z) в двух точках плоо костн ж = const. Используя разложение (19), получим

/(ж, у, z) —/(с, / z')=,密久&宀⑴—е"з'+з')] ц (dx2, dx3, с)・

Вычислим корреляционную функцию двух таких разностей, взятых в плоскостях X и ж':

〈1/(6,弘 z) —/ 停，k /)]【/*(%', У，z)—尸(成，/ Z')]〉=

=\$, 0 ⑸什&力_ е"К"+3)]以""；1，+ку)—г％"'"〃)] x

—ОО

X <u (dx2, d«3,化)优(dx；, d^, xA)>.

Используя формулу (20), получим

<[/(^ 弘 z) —〃6, y\ z，)]『("2/, z) — f(x\ K，z')]〉=(21)

—2，{1 — cos [к? (у — у') + Хз (%— z')]} F (乂2, «з,化—化')dx含 dx3.

—ОО

В случае локально изотропного поля корреляция между разностями

/ (怎 У, z) 一 / (%，，z') h 广(重'，y,名)一广(优，/ z') обусловлена, очевидно, лишь такими неоднородностями, размеры которых превышают расстояние ' ж — ж71, т. е. 2〉| % ——％'[・ Поскольку масштабу I соответствует волповое число х -^■ ^-, то корреляция ме?кду указанными разностями обусловлена лишь той частью спектра, для которой волновые числа удовлетворяют уело- вию * I 工一力 I《].Следовательно, функция F (х2, х3, % — %'), являющаяся спектральной плотностью величины

〈【〃瑞 у, Z)— / (н, у', Z，)] [/• (ж\ y,z)—广(2‘，J, Z，)]〉，

быстро убывает при х | х — х' | > 1. Воспользовавшись алгебраическим тождеством

(a —fe)(c —d) = A-[(a-d)s+ (6 —с)2 —(а —с)2 —(6 —d)2],

левую часть уравнения (21) можно выразить через структурную функцию поля /, в результате чего формула приобретает следующий вид:

D, (с —寫'，у — у', z — z‘) 一 Q (с— а/, 0, 0)=

оо

=2，｛1 - cos [x2 (у — y‘) + *3(Z一 z')D 尸(х2, х3,寫-成)时心С3. —ОО

Положив здесь I = х —— 工'=0, у ——y' = r), z — zf = ^ получим

D(°，S, D=2§ [1 — cos(xar] + х3?)]-Р(Кг, «з, 0)dx2dx3, (23)

т. e. функция F (x2, x3, 0) является двумерной спектральной плотностью величины 力(0, г|, С). В случае локальной изотропности В ПЛОСКОСТИ X = const функция 尸(X含,乂3， I x|) зависит лишь от斤К И тогда

刀№) = 4冗、[1 — Jo(xp)]尸(％ 0)xdx・(24)

о

Здесь

Р* = 口" + 守 и 斤的，Kg, 0)=尸(|G<： + x；, 0).

Найдем связь между функциями Ф (х) и F (х2, х3, х). Подставляя спектральное разложение (6) в левую часть формулы (22), получим

2 $й ^C0S x鱼-C0S 3正 + x2" + х式)]①(*)炉х =

=2 \\ [1 — cos (хаЛ + *з0]尸(«2, хз, E) dx2 dХз.(25)

Подставляя cos х1看一cos (х居 + x含П + х储)=c°s х韭一cos х正 X X cos (乂2“ + 乂3白)+ sin 弘居 sin (хат)+ х3?) и учитывая, что

интеграл от произведения

sinxjg sin(x2T)+*з0 Ф(*)

равен нулю в силу нечетности этой функции по х, получим формулу

88

,[1—cos (хал + «3?)] d«2 d^3 § COS(X1E)①(x)d*i =

—CO—00

=S\ [1 — cos(*2n + 场C)I 尸(*2, *3, E)dx2 d*3, (26) —00

из которой следует, что

ОО

F (出，Хз, Е)= § cos (к^)Ф(х)(/К1.(27)

—00

Обращая этот интеграл Фурье, найдем также

8

①(х) = * § cos(xR)尸似2, Кз,自)在.(28)

—ОО

Воспользовавшись последней формулой, можно получить спектральные разложения D (г), выраженные через F (х?, х?, Е)・ Подставляя (28) в (6), после несложных преобразований, использующих формулу

со

6(E)=费 \ cosxgdx,

—00

можно получить разложение

D (/ "' “)= 2 5 上(X含，％，0) d*2 d*3 —

—00

8

-2，F (*2, x3, X)cos (*2g + *m)d*2 d*3.(29)

—00

В случае, если случайное поле локально изотропно,耳的，*3,%)=К(p*；+喙力

Вводя новые переменные интегрирования

Х2 = X COS ф, 乂8 = х sin 中 и обозначая

V = р cos a, z = р sin а, где р2 =經十洲,

после выполнения интегрирования с учетом известной формулы

\ cos [хр cos(qp — a)J Jq) — 2л/0 (xp)

получим

ооD(r) = 4h^ F(x, 0)xdx - 4汽，F(x,寫)/q(乂①乂办， (30)

о

о

о

где「2 =炉 + р2 в частном случае ж = 0 формула (30) переходит в выведенную выше формулу (24).

Если поле / (г) является однородным и для него существует корреляционная функция В (г), ее можпо выразить через F (х?, 乂3，重)при помощи легко доказываемой формулы

8

В(е,勿 z) = § cos ^У + x32)F(x2, Хз, z)dx2 dХз・(31)

—ОО

В случае, если поле / (г) изотропно в плоскости т = const, мы получаем отсюда

ОО

(32)(32)В (г) = 2冗§ F(x, ж) J0(xp)x^x-о

(32)

(32)

Мы будем в дальнейшем часто пользоваться формулой* получаемой отсюда при ж = 0 для корреляционной функции в плоскости, перпендикулярной оси 重：

■В (р) = 2冗\ F (х■В (р) = 2冗\ F (хоо,0) Jo(jtp)xdx・,0) Jo(jtp)xdx・(33)(33)

■В (р) = 2冗\ F (х

■В (р) = 2冗\ F (х

о

о

,0) Jo(jtp)xdx・

,0) Jo(jtp)xdx・

(33)

(33)

Рассмотрим примеры.

Структурная функция однородного и изотропного случайного поля, рассмотренного в примере 3) предыдущего парагра- фат может быть выражена через его корреляционную функцию

5 5] ЛОКАЛЬНО ОДНОРОДНЫЕ И ИЗОТРОПНЫЕ СЛУЧАЙНЫЕ ПОЛЯ 49 при помощи формулы

D(r) = 25(0) — 28()

Подставляя сюда

2V-Ir(v) \ 飞丿 〈F 丿 получим

D①=2叩"""(El(必)

Спектральная плотность, соответствующая (34), равна

ф(х)_3215(35)

w Ук Г (V)v+4

(1:叫)2

При，У%

D"K 2a喟^^匠『‘ т. & D(r)~宀

Рассмотрим структурную функцию

D (f) = c2 Tи (0＜卩＜2).(36)

Одномерная спектральная плотность, соответствующая этой функции (см. (38.3)), равна

V (к) = U堂上 sin ｛冬)Ok SD.(37)

Воспользуемся соотношением (17) и найдем трехмерную спектральную плотность Ф (х):

①佃)=Ц^ sin (?) С* U).(38)

Вычислим также двумерную спектральную плотность F (х,重), соответствующую структурной функции С2 г*. Подставляя выражение (38) в правую часть формулы (27) и производя интегри- ровавие, получим

/К,立）=^sin专.2?一丁卜十今）為上一•（39）

Так как при z А 4

к (z) = / ^ e~z,

то функция (39) при хж^>1 быстро стремится к нулю, что соответствует указанному выше общему свойству функции F (х, х).

Рассмотренная в предыдущем примере структурная функция при

" а» _ 22^(1+ V)c2

совпадает при г у г0 со структурной функцией О г此 Спектры этих функций совпадают при х г0》1 (см. рис. 4, 5).

Пространственно-временные случайные поля

Реальные метеорологические поля являются случайными функциями как во времени, так и в пространстве. Мы кратко остановимся на их описании, которое во многом подобно описанию рассмотренных выше вопросов.

Если действительное поле / (г, t) является стационарным во времени и однородным в пространстве, то для его описания может быть использована пространственно-временная корреляционная функция

в (Г, т) = </(г + гь / + т) / (r1; t)〉(1)

(предполагается, что </> = 0). 5 (г, т) четна как по г, так и по т, и удовлетворяет соотношению

|В (г, т)| < В (0, 0)

и условию положительной определенности. В (г, т) может быть представлена в виде интеграла Фурье

ОО

В (г, т) = 55 cos (кг + зт)4(х, со) d3x d(o,(2)

—8

где и (х, s)〉0 — четырехмерная (пространственно-времепная) спектральная плотность. Положив в (2) т = 0, получим

ооОО

\ и (х,(о) dw^d3x. (3)\ и (х,(о) dw^d3x. (3)В (г, 0) = В (г) = „ cos хг

\ и (х,(о) dw^d3x. (3)

\ и (х,(о) dw^d3x. (3)

—оо—<?9

Сравнивая (3) с формулой (7.4), получаем

СО(!)(*)= \ u(*, s)ds.—ОО

Аналогично, полагая в (2) г = 0, найдем

8ОО

(5)(5)(6)(6)В (0, т) = В (т.) = \ coswr^u(x, w)d3x] dr,―ОО—ОО

(5)

(5)

(6)

(6)

откуда получаем соотношение

ОО

W(cd) =、、，и (х, co)d3x.

Само случайное поле / (г,力)в случае его стационарности и од・ породности представляется при помощи стохастического интеграла Фурье ——Стильтьеса

ОО

/(г, t) = \\§МM+3f)z(J3X> ds),(7)

причем функция Z удовлетворяет условиям

< Z(d3x, d(o)〉= О,

<Z (^х, ds) Z* (d%\ ds')〉=

= 6(* — x')6((o — g/) u(x,(o) d3Md呪‘ dsds'・(8)

В этом случае подстановка (7) в формулу (1) приводит к (2).

В качестве важного примера рассмотрим случай, когда все временное изменения / (г,力)связаны с переносом пространственного распределения поля с постоянной скоростью v, причем перенос происходит без какой-либо эволюции («замороженное поле»). В этом случае

/⑴，»+r) = / (r —紋尸，£).

Подставляя эту формулу в (1), получим

В m т) = </ (Г + гъ t + г) f (rH i)>

="S + rt — vt — 0T, 0) / ① 1 — г?力 0)> =笈(?•一 0т), т・ е. для «замороженного» поля, перемещающегося со скоростью 力，вып олняется соотношение

В (г, т) = В (г — 0р).(9)

(12)(12)<1,>1-(13)<1,>1-(13)①⑺=一募W'(h办①⑺=一募W'(h办(14)(14)

(12)

(12)

<1,

>1-

(13)

<1,

>1-

(13)

①⑺=一募W'(h办

①⑺=一募W'(h办

(14)

(14)

Легко проверить, что формула (9) эквивалентна соотношению

(10)(10)и (х, со) = 6 (со + 乂0)①(*)

(10)

(10)

между спектральными плотностями. Действительно, подставляя (10) в (2), получим (9),

Предположим, что поле / (т, t) статистически изотропно. В этом случае ①(乂)=①(比)，Введем в пространство сферические координаты с полярной осью, направленной по вектору 0, и подставим (10) в (6):

82Kп

巾3)二二 \ 比2 d比、d(p\siii 8d86 (乂沙 cos 6 + s)①(x).(11)

иоо

Выполняя интегрирование по ср и вводя новую переменную cos 8 = Е, запишем (И) как

8!

W (<о) = 2л \ х2Ф (х) d比、6 (хух + s)出г・о—1

Замечая, что

6(%0，+ 3) =亲6卜+錯, получим

\ 6(%oa： + 3)da:=^ \ 6 伍十 М d* =

Подставляя это выражение в (12), найдем

8

W (<о)=警 \ ①(к)比 dx.

[ajj/V

Дифференцируя (13), можно получить также соотношение

Формулы (13) и (14) связывают пространственный и временной (частотный) спектры изотропного «замороженного» случайного поля. Условия, при которых реальные поля в турбулентной среде можно считать замороженными, будут рассмотрены в разделе Б.

В случае, если поле/(г,力)является локально однородным по г и обладает стационарными приращениями, оно описывается

$ 7) ПОЛЯ С ЙЛАВЙО МЕНЯЮЩИМИСЯ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ 53 структурной функцией

D( T) =〈｛[/ (T + "，e + 力一/(*，力]-

一 0(T 十 "，i 十 T)一/(", £)〉｝»(15)

D (г, т) может быть представлена разложением

ОО

Dir, т) = 2，\\ [I —cos (xr +(от)] и (乂，o))d%d(o.(16)

—co

Соотношения (4) и (6) остаются б силе и в этом случае. Само поле / (г, Е) в этом случае представляется в виде стохастического интеграла Фурье — Стильтьеса

/(г, £) = /(0, 0) + аг 十 尻 +、，、[ei(xr+шг)—匸 Z(d3% dw), (17) —8

причем Z (d%, rfw) удовлетворяет соотношениям (8).

В случае локально изотропного поля со стационарными приращениями а — 0 (см. § 5).

В случае «замороженного» локально изотропного случайного поля соотношение (9) заменяется на

D (г, т) = 1) (г — 0р),(18)

а соотношения между спектрами (10), (13) и (14) не изменяются *).

Локально однородные поля

с плавно меняющимися средними х арактеристиками

До сих пор мы рассматривали локально однородные случайные поля, для которых структурная функция D (гп г^ внутри некоторой области G с размерами порядка 厶° удовлетворяла условию D (rn Гз) =0(% — г?)- В теории турбулентности мы сталкиваемся с тем обстоятельством? что при | 竽〔一r21-^Л)структурные функции случайных полей имеют универсальный харак- тер，т. е. одинаково зависят от rL——f?, независимо от того, в как°й части турбулентной области помещаются точки r1T r2l если только эти точки достаточно близки друг к другу* При переходе R Другой области G' в турбулентной среде, также имеющей размер порядка Zo и удаленной от G на расстояние порядка Z0J вид

зависимости структурной функции от гх ——г2 не изменяется, однако может измениться общая интенсивность флуктуаций, т. е. численный коэффициент в D (г1? т^. Мы приходим, таким образом, к формуле типа

Dg г2) = С2 (咛 ％) £>0(Г1 — w.(1)

Здесь функция С2 (J8) описывает плавные изменения интенсивности флуктуаций при переходе от одной части турбулентной области к другой; опа заметно меняется лишь при изменении И на величину порядка 厶.Функция Ро (гх — kJ описывает локальную структуру случайного поля и одинакова во всех областях G? G\... Функция Dq (г) имеет смысл лишь при『у 厶旷 Однако, если чисто формально распространить функцию Р0(г) и на большие значения аргумента, мы получим возможность написать спектральное разложение этой функции

ОО

Dq (г) = 2，，[ 1 — cos хг] Фо (x)d3x.(2)

—ОО

Подставляя (2) в (1), получим

。(％, W = 2c2 户^^) ^ [1 — cos х (% — W1 Фо (*) di (3) —ОО

Эту формулу можно записать в виде

8

D(ru Г2) = 2^(1 — 008X(^! —г2)] Ф(х, ^^"з*,(4)

—ОО

где

ф卜,片q)=0白尹个)。(X).(5)

Таким образом, относительное распределение флуктуаций величины / по спектру одинаково во всех областях G, G'…* и описывается функцией Фо (х); от области к области меняется лишь общая интенсивность флуктуаций, выражаемая величиной

Можно, как и выше, ввести двумерную спектральную плот^ ность

修卜 2, ”3, Х—Х, ”-尹),

связанную с функциями

О/(г, г') и фу(х,皴

соотношениями, аналогичными (22.5) — (28.5):

p/(*2, 乂3, £一2*p/(*2, 乂3, £一2*r・卜г'r・卜г'2828)=)== \ cos [% (с — Х)]®(>q, ”2,也，咨」В<Ьс(6)= \ cos [% (с — Х)]®(>q, ”2,也，咨」В<Ьс(6)

p/(*2, 乂3, £一2*

p/(*2, 乂3, £一2*

r・卜г'

r・卜г'

2

8

2

8

)=

)=

= \ cos [% (с — Х)]®(>q, ”2,也，咨」В<Ьс(6)

= \ cos [% (с — Х)]®(>q, ”2,也，咨」В<Ьс(6)

(В (4)—(6) мы пренебрегаем различием между значениями。7(^~^) в двух близких точках, удалеппьтх друг от друга на расстояние [外工 £_ 外幺| у 工口, поскольку эта функция заметно меняется лишь при изменении ее аргумента на величину порядка 厶卄)

Остановимся кратко на спектральном разложении самого случайного поля / (г). Для простоты рассмотрим пример, когда существует корреляционпая функция флуктуаций / вида

5/",吟=。；(Хy21)历(匕一"ь

(Подобные вопросы рассматривались Сильверманом [166].)

Пусть / ⑺ выражается стохастическим интегралом Фурье — Стильтьеса

/(г)=，卜'"Z @3”)—ОО/(г)=，卜'"Z @3”)—ОО⑺⑺

/(г)=，卜'"Z @3”)

—ОО

/(г)=，卜'"Z @3”)

—ОО

⑺

⑺

(предп о л а га ется, что </> = 0).

Рассмотрим выражение </ (г) / ”)〉= Bt (г, N):

"⑺/*"')〉= \ ..卜"心х'吟 <Z (d3*) Z. (户")).(8)

—DO

Введем координаты

ТогдаТогдаp=*r - r\ 7? = ^(外 + ").p=*r - r\ 7? = ^(外 + ").

Тогда

Тогда

p=*r - r\ 7? = ^(外 + ").

p=*r - r\ 7? = ^(外 + ").

= (x —xf).R + j(x + X)p

и

8 ,х+х

</(r)/*(rz)> =. "екхт'Же 丁 '〈Z，к) Z*(小心)〉.(9)

—ОО

Согласно предположению

G 3)『(，•')〉=才(冗)勿(р)・

Отсюда следует, что

<Z (d3x) Z* (d%‘)〉= M (乂 一 к)①У (^^^)不乂 d3x ,(10)

причем, очевидпо, М (0) > 0 и Ф)°\х) > 0. Подставляя это выражение в (9) и производя замену переменных, получим

8

寸(I?) = \\\ М ⑺ 抑氏 d%,(11)

%(Р)=、\\ ①黑(乂)A。d%.(12)

—ОО

В случае, когда и； = const, М (х — *) — <т®6 (х — *) и формула (10) переходит в (5.5). Как следует из (10), в случае переменного ст； появляется корреляция между близкими спектральными компонентами Z (сРх) и Z* (cPk')： если | х—xz | W£\± то <Z (d3 к) Z* (族‘)〉R 0. (Как следует из (11), функция М (х) заметно отлична от нуля на интервале порядка 厶二工，поскольку О/(_Е) заметно меняется на интервале порядка 厶屮)

Векторные случайные поля

В дальнейшем мы часто будем иметь дело с векторными случайными полями, такими как поле скоростей в турбулентном, потоке, электромагнитное поле, распространяющееся в турбулентной среде, и т. д.

Описание статистической структуры векторного случайного поля во многом аналогично описанию скалярного поля. Можпо было бы ввести корреляционные или структурные функции для каждой из компонент векторного поля. Однако такие корреляционные функции не позволят описывать связь между различными компонентами поля и необходимо рассмотреть также взаимные корреляции между различными компонентами. Таким обра-

зом, мы приходим к необходимости рассмотреть корреляционный тензор

8同⑺=cМ①+门)一色(r4心)〉]回⑵)-<pk(ri)>j>.⑴

В дальнейшем мы будем считать <^^> = 0, т. е. будем рассматривать отклонения поля от своего среднего зпачения. Для описания локально изотропных полей будем употреблять структурный тензор

，m力=V也⑴+％) 一力01)] [%g+%)一外Sг)]〉.(2)

Для статистически однородного поля 3^ и D^ связаны соотношением

，《) = 2%(0) —2% ⑺.(3)

Рассмотрим статистически изотроппое (локально изотропное) векторное поле.

В изотропном скалярном поле величина </(rJ /О не зависит от ориентации вектора г — гг 一- г2. В случае же векторных полей понятие изотропности является несколько более сложным. Рассмотрим, например, величину В1г (г) = <pt (rj рг (rj>. Здесь Ui (rJt) — проекция вектора 0 (rfr) на ось 况「Пусть точки гг и га расположены вдоль оси 况》Тогда Вп представляет собой корреляцию продольных (по отношению к вектору г = гг — г2) компонент вектора 0. Повернем теперь вектор г вокруг точки гх на угол л/2, так чтобы точки гг и г2 расположились вдоль оси х^ В этом случае % (rj и 力(r2) по-ирежнему являются проекциями г? на направление оси ху Но теперь вектор г перпендикулярен этой оси, так что 8口 (г) уже представляет собой корреляцию поперечных (по отношению к г) компонент вектора 0. Яспо, что в рассмотренных двух случаях величины Вп не должны совцадать между собой, так как взаимное расположение рассматриваемых компонент вектора г? относительно вектора г изменилось. Поэтому в статистически изотропном векторном поле каждая компонента 3我(г) должна зависеть от ориентации вектора г.

Пусть теперь в точке гг задан единичный произвольно орнен- тированный вектор ?, а в точке га ——единичный вектор т. Ориентацию вектора г будем характеризовать единичным вектором п, направленным вдоль г, т. е. п — у, где г — | г |. Рассмотрим корреляцию проекций lv (гх) и mv (у, поля v в этих двух точках на направления I и т соответственно:

в= «0 ① 1))・(Ш0(吗)〉=〈厶仆付 1)ТП,%"2)〉=

~ 2皿 5 g) Vj (r2)> = Z加吊j ⑺.

Повернем теперь одновременно все три вектора п, I, т при фиксированном г как жесткое целое на произвольный угол. При этом взаимная ориентация векторов n, ?, ш не меняется, т. е, сохраняются скалярные произведения Til, пт, 1т. Ясно, что если поле 0 (г) статистически изотропно, то величина В в результате поворота не изменится. Требование инвариантности выражения

В = l^jBkj (г)

относительно одновременного поворота всех трех векторов п, ?, m и является определением статистически изотропного векторного поля.

Так как при повороте сохраняются лишь величины г, nZ, ”ш$ 1т, то В может зависеть только от них：

l^rijB^ (т*) = 3 (г, In. яш, 2эп)・

Но левая часть равенства линейна как по компонентам вектора ?, так и по компонентам вектора т. Поэтому правая часть этого равенства может содержать 1т лишь линейно, а величины In. тп —— только в виде их произведения. Следовательно, В должно иметь вид

В (г, Zn, шм, Im) = Р (г) (Im) + Q (г) (In) (тп)=

=Р (г) Z严?• + Q (г) 1кп^Пу ^ 2炳[Р (г)乐 + Q (г)秋關.

Сравнивая это выражение с формулой В — 11km声時(г) и учитывая произвольность к,т» получаем формулу

% ⑺h ? (г)乐+ Q (г)外叫，⑷

которая дает общий вид изотропного тензора второго ранга. Аналогичные рассуждения можно применить и к структурному тензору поля 0 (здесь придется рассматривать не значения поля 0 в точках гг и г2, а разности полей в этих точках). Поэтому для 力长 получим

0介(力=К (r)限十S (r)勺曲•(5)

Другой, более формальный вывод выражений (4) и (5) основан на том, что в случае изотропного поля v выражение для5^(г) может содержать лишь единичный вектор вдоль направлепия г и единственный изотропный тензор 6炉卜 и не может содержать никакого другого вектора или тензора, так как с ними было бы связано выделение некоторого направления в пространстве, что противоречит предположению об изотропности. Единственное же выражение для тензора второго ранга, содержащее только 勺 и 6加 имеет вид (4).①ушащи 户(г), Q (г), А (г), S (г), входя-

щие в формулы (4), (5), являются скалярными функциями скалярного аргумента г = | 叫

Таким образом, если в общем случае тензор второго ранга имеет девять независимых компонент, а симметричный тензор … шесть компонент, то условия изотропности сводят число независимых компонент до двух.

Направим ось z = х^ системы координат вдоль вектора п. Тогда компоненты вектора п будут равны {0, 0. 1}. Полагая в формулах (4), (5) индексы j, к равными одновременно 1 или 2, получим

3"=з22 =p,^11 = 022 = R.

При j = к = 3 будем иметь

Ззз =尸 + Q， °33 = /?+$•

Поперечные компоненты 3口, З22 равны между собой. Обычно они обозначаются символами

Зц =丑22 = 3"，^11 = °22 = Dti・

Продольная компонепта 533, D33 обычно обозначается символом 8”, D;r. Выражая функции Р,凡 Q, S через Brr, 6m D”, 0计 и подставляя эти выражения в (4), (5), получим формулы

в林(》•) = Btt (г) 6iic + [В" (г) — 8” (г)] %仆，(4‘)

。詠俨)=Dtt(r) 6ift + [Drr (г) — Dtt (r)]々妖.(5‘)

Как известно из теории векторных полей, всякое достаточно гладкое векторное поле может быть разложено на потенциальную и соленоидальную части. Аналогичное разложение существует и для случайных полей. Рассмотрим сначала соленоидальное векторное поле. Примером такого поля может служить поле скоростей в несжимаемой жидкости или поле магнитной индукции. Соленоидальное поле удовлетворяет уравнению

divr(r) = ^i-0.(6)

(В дальнейшем мы не будем ставить знак суммирования по дважды повторяющимся тензорным индексам, который всегда подразумевается, если это не оговорено специально. Так, div« = 0』4^" в тензорной записи имеет вид 誓.Индексы в внра-

жениях Brr, Bth Dr» Dit не являются тензорными и по ним суммирование не проводится.)

Продифференцируем выражение

5«(П — Гз) = 8« (п) % (△)〉

(напоминаем, что <«> = 0) по координатам точки (萨0力 а затем произведем суммирование (свертывание) по индексам 八 /. Учитывая условие соленоидальности (6), получим

ав 侦① 1—г?)ав 侦① 1—г?)/3% (乃)\ дхи/3% (乃)\ дхи0.0.

ав 侦① 1—г?)

ав 侦① 1—г?)

/3% (乃)

\ дхи

/3% (乃)

\ дхи

0.

0.

Но дифференцирование выражения 3^ (гх ——kj по координатам гх эквивалентно дифференцированию по г = rj —外岂. Поэтому корреляционный тензор соленоидального векторного поля удовлетворяет условию:

吗№)叫⑺吗№)叫⑺⑺⑺

吗№)叫⑺

吗№)叫⑺

⑺

⑺

Аналогичному условию удовлетворяет и структурный тензор локально однородного случайного поля. Проще всего его можно получить, дифференцируя соотношение (3) и подставляя в него (7):

а% ") — са% ") — с2*")=()2*")=()(8)(8)

а% ") — с

а% ") — с

2*")=()

2*")=()

(8)

(8)

Условие (8) получено для структурного тензора статистически однородного поля, но оно выполняется и в случае локально однородного поля, когда корреляционный тензор уже не существует.

Воспользовавшись условиями (7) и (8), мы можем в случае статистически изотропных (локально изотропных) полей установить связь между поперечными и продольными компонентами тензоров 3订门 D* Дифференцируя соотношения (4‘) и (5‘) и учитывая формулы

5г а/婷十寸+寸 ％

=Z = -- =

a，％ a / %、_ g.a，％ a / %、_ g.也 n・= 6ik — s*k也 n・= 6ik — s*k

a，％ a / %、_ g.

a，％ a / %、_ g.

也 n・= 6ik — s*k

也 n・= 6ik — s*k

^/i| 6«« — п^/ц 3 — 1 2 rr r

注 誓 =% 屈亍曲=小不也=о,

получим

^^- = Вцп^ + [Вгг — Вц] Пк + 1% —В^]-А п^

9 81ВЕКТОРНЫЕ СЛУЧАЯНЫВ ПОЛЯ61

Отсюда следует, что

% + 言 8“ =』^ (产％) = 7" ^н или

5" ⑺ =言 (产%).(9)

Аналогичная связь имеется и между компонентами структурного тензора

。"⑺=亲^(?叨").(10)

Соотношения (9), (10), полученные впервые Карманом, позволяют выразить поперечную компоненту корреляционного (структурного) тензора соленоидального статистически однородного и изотропного (локально однородного и изотропного) векторного поля через его продольную компоненту и сводят, таким образом, число независимых компонент до одной.

Рассмотрим совокупность соленоидального векторного статистически однородного и изотропного поля (или локально изотропного поля) и скалярного однородного и изотропного ПОЛЯ (локально изотропного поля) Л(г). Рассмотрим корреляционную функцию

вк (гг — Г2)= <Ук (гх) Л (г2)>.(11)

Так как в случае изотропных полей не существует никакого выделенного направления в пространстве, то вектор В^ ⑺ может быть направлен лишь вдоль векторного аргумента рассматриваемой корреляционной функции г. Таким образом,

品(г) = В (г)

где В (г) является скалярной функцией скалярного аргумента г. Дифференцируя равенство (11) и учитывая условие соленоидальности (6), получаем

Поэтому

^1 = В' (г) ik + в ⑺箫=3,⑺ + 告 8 (г)= =3^[产8卜)]=0.

Интегрируя последнее уравнение, получаем 产В (г) = const, откуда

В")В")consty-几公consty-几公

В")

В")

const

y-几公

const

y-几公

Очевидно, что при г = 0 функция5^ (г) должна оставаться конечной. Отсюда вытекает, что константа в выражении для 5k должна быть равна нулю, т. е. выполняется соотношение

Вк (ri — W =〈％ (%) 4 (△)〉= 0. (12)

Таким образом, статистически изотропные скалярное поле и соленоидальное векторное поле обладают равным нулю взаимпым коэффициентом корреляции. Аналогичное равенство может быть установлено и для локально изотропных полей

56 —W =〈回①1) —%仇)][4(Г1) —Л (г2)]> = 0. (13)

Рассмотрим теперь статистически однородное и изотропное потенциальное векторное поле. Примером такого поля, рассмотрением которого мы и ограничимся, является градиепт скалярного статистически однородного и изотропного поля. Пусть

咻（州咻（州ЭЛ (г)如ЭЛ (г)如

咻（州

咻（州

ЭЛ (г)如

ЭЛ (г)如

где А (г)——однородное и изотропное скалярное поле с корреляционной функцией

<Л (г^ Л (г2)> = /? (IГ1 — r21) «Л> = 0).

Дифференцируя это равенство по координатам точек 々 и г2У получим

/ьа(гг)ал (г3) \ \ а% ‘％ //ьа(гг)ал (г3) \ \ а% ‘％ /{Щ^и^^у ={Щ^и^^у =Ж"#】 —△])=82А(г)8勺/勺？^^^Ж"#】 —△])=82А(г)8勺/勺？^^^

/ьа(гг)ал (г3) \ \ а% ‘％ /

/ьа(гг)ал (г3) \ \ а% ‘％ /

{Щ^и^^у =

{Щ^и^^у =

Ж"#】 —△])=82А(г)

8勺/勺？^^^

Ж"#】 —△])=82А(г)

8勺/勺？^^^

Вц((г)=—Вц((г)=—av? 8a方t8理av? 8a方t8理

Вц((г)=—

Вц((г)=—

av? 8a方t8理

av? 8a方t8理

Выполняя дифференцирование, будем иметь

& должен иметь вид (4‘)； сравни-& должен иметь вид (4‘)； сравни-^ik (г) = — (〃" 一 —у л№^- “Jt*

& должен иметь вид (4‘)； сравни-

& должен иметь вид (4‘)； сравни-

С другой стороны, тензор 5菁 вая эти выражения, найдем

Rr

3"=-五г

Исключая отсюда функцию В, получим соотношение между поперечной и продольной составляющими корреляционного тензора потенциального однородного и изотропного векторного поля 小)=吟3.(伍)

Аналогично

Drr(r)^{rDtt(r)Y.

Соотношение (14) получено А. М. Обуховым 12].

Формулы (9) и (14) позволяют произвести разложение статистически однородного и изотропного векторного поля, корреляционные функции которого убывают на бесконечности, на потенциальную и соленоидальную части. Пусть 円卄，冃ft — пр°^ дольная и поперечная корреляционные функции исходного поля. Положим

耳 Jr) = В审(г)十现？ (г),

(15) 田《) = 8俨")+ 础)(0，.

где индексами р и s отмечены потенциальная и соленоидальная составляющие. Согласно (9) и (14) они удовлетворяют соотношениям

用？⑺=m^1现：？(*，

砒)(г) = ±К8俨(％•

Вместе с соотношениями (15) эти уравнения достаточны для нахождения по заданным 5ГГ (г) и 3壮(「) четырех функций ⑶?， 跳；* 瓦孔 В卽.При выполнении условий Btt (г), Вгг(г) 一国+ 0 рассматриваемая система уравнений имеет единсгвениое решение [2]. Потенциальная и соленоидальная компоненты пиля оказываются некоррелированными друг с другом, так как имеет место общая теорема о некоррелированности статистически однородных и изотропных соленоидального и потенциально го полей. Действительно, если uft(r) — соленоидальное пол© и 口礼⑺=^片?— потенциальное поле, то согласно (12)

<rk (^i) %• (△)〉=〈и* (%)^^^)，= 5^-;〈％(外)Л О〉= О,

〈％ (乃)Щ (^2)> = о.

(16)

Рассмотрим теперь спектральные разложения корреляционных и структурных функций для однородных и изотропных (локально однородных и изотропных) векторных полей. Они определяются формулами

ОО

(17)(18)(17)(18)Bik (г) = §\ COS X Г ①読(х) бРх,

(17)

(18)

(17)

(18)

—ОО

ОО

А* (г) = 2 \§ [1 — cos хг] Ф^ (х) Y乂.

Поскольку в пространстве волновых чисел в случае изотропных полей нет никакого выделенного направления, то ①；± имеет вид

①读(*)=戸(乂)拆"G (x) x№,09)

где F и G — скалярные функции скалярного аргумента х. Найдем вид спектрального тензора для соленоидального поля- Подставляя (17) в (7), получим уравнение

变北：)=-\§ sin (*外)乂№①认(*) d呪=0,

из которого следует, что должно выполняться равенство

乂 卜①泳(ж) — о.(20)

Такое же равенство получается и при подстановке (18) в (8), Подставим (19) в уравнение (20):

乂 尸 + x*G = 0,

Из этого равенства мы можем выразить функцию G через F, и в результате выражение для Ф^ приобретает вид

①企(x) =(6ik—等)*'(х).(21)

Тензор 6ijt — ^^ представляет собой оператор проектирования на направление, перпендикулярное вектору х.

Корреляционный тензор потенциального векторного поля удовлетворяет уравнению

ав*⑺а%⑺

汲8%

которое может быть легко получено из условия потенциальности случайного поля rot и = 0, подобно тому как уравнение (7) было выведено из (6). Подставляя (17) в уравнение (22), получим 修①強(*) - 乂国% (*)=6(23)

Если использовать теперь выражение (19), то условие (23) приводит к равенству 尸 = 0. Таким образол, спектральный тензор потенции льно г о однородного и изотропного векторного ПОЛЛ имеет вид

①注(*) = XiXk G (х).(24)

Рассмотрим теперь спектральные разложения продольной и поперечной структурных функций. Свертывая (5‘)по индексам г, к, получим

夕工=2% + Drr.

Свертывание формулы (18) приводит к выражению

Вц (г) = 2D" (г)十 Drr (г) = 2，\ К — cos хт] Фи (х) /х. -со

Но след тензора спектральной плотности ①^ (х) является функцией лишь от модуля волнового числа х. Поэтому в интеграле можно ввести сферические координаты и выполнить в явном виде интегрирование h(j угловым переменным. В результате получаем

ОО

А (г) - 20“ (г) + П" (г) = 8兀 \ 0 — ^：) 6 (”)炉及 (25) о

Дальнейшие вычисления проведем раздельно для соленоидальных и потенциа льных полей.

Соленоидальные поля. В этом случае 0〃 и Drr связаны соотношением (10). Следовательно,

а(Г) = % + ；糸 t0"] = %糸[产分⑺].

Интегрируя это дифференциальное уравнение и учитывая, что Drr (0) = 0, получим

% (г) = 3 \ р2%(Р)dp.(26)

о

В. И. ТатарскийВ. И. ТатарскийПодставим в правую часть (26) спектральное разложение (25), изменим порядок интегрирования по р и х и выполним 3

В. И. Татарский

В. И. Татарский

интегрирование по р. В результате получаем формулу

% (Г) = 8n W号+縱一需回⑺炉d" =О

=16"『［}+ 縛-需］F (К)炉步， (27)

0*

причем в последнем равенстве было использовано вытекающее из (21) соотношспие Ф{{ = 2 F. Спектральное разложение функции £>н (г) можно получить, взяв полуразность выражений (25) и (27):

。"⑺=4寸修一挈一等十需回(X)炉d" =

=8kR修一堂一穿+需正⑺"縞小(28) 0

Заметим, что при кг 一 0 выражение в квадратных скобках в (27) приблизительно равно 击 炉产，а соответствующее выражение в (28) равно 瓦 к?产，Поэтому интегралы в (27) и (28) сходятся в нуле даже в тех случаях, когда функция F (х) имеет в нуле степенную особенность типа 乂~工，где tx < 5.

Потеициальные поля. В этом случае аналогичные вычисления приводят к формулам

。部⑺=』jp2Q“(p)dp,(29)

國)(Г) = 8"乳++器新-喘］①“個)炉dx,(30)

0

00

凉)6=8" "4■一*一堂+等m(")斯北(31) 0

При xr -► 0 выражение в квадратных скобках в последней формуле стремится к нулю как х2г2.

Б. МИКРОСТРУКТУРА ТУРБУЛЕНТНОГО ПОТОКА

Как известно, при больших числах Рейнольдса Re = ^ (D — характерная скорость, I — характерный масштаб потока и V — кинематическая вязкость жидкости или газа) движение имеет турбулентный характер. В отличие от ламинарного потока, где скорость движения является детерминированной функцией, в турбулентном потоке скорость является случайной функцией координат и времени. Это означает, что при многократном повторении (при фиксированных внешних условиях) экспериментов с турбулентным течением мы каждый раз будем получать новые реализации поля скоростей.

Турбулентное течение жидкости или газа описывается при помощи уравнений гидродинамики: уравнения Навье —— Стокса и уравнения неразрывности. С большой точностью для описания турбулентного движения можно использовать модель несжимаемой жидкости (это допустимо в случае, если скорости движения малы по сравнению со скоростью звука с и отношение характерного масштаба, на котором происходит заметное изменение скорости, ко времени, за которое происходит это изменение, также мало по сравнению с с).

В некоторых простейших случаях на основании этих уравнений удается решить задачу об устойчивости движения и найти значение критического числа Рейнольдса (см., например, [164]).

При возникновении турбулентного движения в результате дробления вихрей на все более и более мелкие происходит перераспределение кинетической энергии движения —— она передается от крупномасштабных компонент движения мелкомасштабным. А. Н. Колмогоровым была высказана гипотеза о том, что структура движения в малых масштабах обладает важным свойством —— локальной однородностью и изотропностью. Эта гипотеза позволила в значительной степени упростить описание мелкомасштабной турбулентности и привела к существенному продвижению теории.

Структурные и спектральные функции поля скоростей в турбулентном потоке

Как уже отмечалось, турбулентное движение с большой степенью точности можно считать несжимаемым при тех реальных скоростях и периодах движений, которые наблюдаются в атмосфере. Кроме того, согласно гипотезе Колмогорова поле скоростей в области малых масштабов можно считать локально однородный и изотропные.

Из условия несжимаемости

div 0=0(1)

следует, что поле скоростей является соленоидальным случайным полем. Поэтому для его описания можно применить развитый в предыдущем параграфе алпарат. Для структурных функций поля скоростей справедливы формулы (5) (8), (10), (18), (21), (27) и (28) предыдущего параграфа.

Остановимся более подробно на связи спектральной плотности поля скоростей с кинетической энергией турбулентности. Предположим на время, что турбулентность однородна и изотропна. Тогда наряду со структурными функциями поля скоростей су~ ществуют и корреляционные функции. Формула, аналогичная (25.8) для следа корреляционного тензора поля скоростей, принимает вид

ОО

Вц(г) — 4л ^ ^^-2尸(к)к? dx.о

Положив здесь г = 0, получим

8

Ви(0) = 8л，F (к) к” dx・о

Но при г = 0 имеет место равенство

Bii(0)= <у?> + <^> + е；〉= 82〉.

Обозначим через Т среднюю кинетическую энергию единицы массы жидкости (в системе координат, движущейся вместе со средней скоростью потока). Тогда мы получаем разложение

ОО

Т = \ 4rtx2F(x) dx.о

Обычно в теории турбулентности вводят спектральную плотность средней кинетической энергии единицы массы жидкости согласно формуле

ОО

Т = \ Е (х) dx.(2)

о

Выражая функцию F через Е, получим

图X) 4лха в

Спектральный тензор поля скоростей связан с Е (х) формулой бк⑺=蔡但к一等"他)， (3) а продольная и поперечная структурные функции выражаются через Е (х) при помощи соотношений

а (Г) = 41 [告十需一幣]Е 3)也(4)

n /、 n С「2 sinxr cosw r sin xr T y,,.,任、

"(r) = 2 )[万一---一斬 + k 声(乂)及(5)

Диссипация энергии в турбулентном потоке

Важной характеристикой турбулентного движения является величина энергии в, переходящая в тепло за счет вязкости в единицу времени в единице массы жидкости. Эта величина равна (см. [13])

ВТ匿+誥tТ聞1ВТ匿+誥tТ聞18г7( 8力/ 8占注 Зж.8г7( 8力/ 8占注 Зж.Н-Н-

ВТ匿+誥tТ聞1

ВТ匿+誥tТ聞1

8г7( 8力/ 8占注 Зж.

8г7( 8力/ 8占注 Зж.

Н-

Н-

Нас будет интересовать среднее значение скорости диссипации энергии (е>, которое мы также будем обозначать в дальнейшем через е, опуская знак усреднения. Усредняя выражение для е, получим

е = V k（裁у）+〈磬箫〉卜е = V k（裁у）+〈磬箫〉卜⑴⑴

е = V k（裁у）+〈磬箫〉卜

е = V k（裁у）+〈磬箫〉卜

⑴

⑴

Стоящие ные в нуле 〈(岩了〉вСтоящие ные в нуле 〈(岩了〉всправа величины можно выразить через произвол- от структурных функций Z)旧 Для этого запишемвидесправа величины можно выразить через произвол- от структурных функций Z)旧 Для этого запишемвиде

Стоящие ные в нуле 〈(岩了〉в

Стоящие ные в нуле 〈(岩了〉в

справа величины можно выразить через произвол- от структурных функций Z)旧 Для этого запишем

виде

справа величины можно выразить через произвол- от структурных функций Z)旧 Для этого запишем

виде

備У〉不歴〈黜縹）備У〉不歴〈黜縹）⑵⑵

備У〉不歴〈黜縹）

備У〉不歴〈黜縹）

⑵

⑵

Преобразуем величину в правой части, используя однородность:

/3皆(>1) 8内(^2)\\ а”19a沁 //3皆(>1) 8内(^2)\\ а”19a沁 /=念备"2〉==念备"2〉=

/3皆(>1) 8内(^2)\

\ а”19a沁 /

/3皆(>1) 8内(^2)\

\ а”19a沁 /

=念备"2〉=

=念备"2〉=

8叨m g -%)_亠 а?ви (尹1 —夕2)_ — aзвн (г)

—詬/3诃— - "8%石n— -a片

Учитывая, что — А (оператор Лапласа) и равенство АВ^ = =^- А。*», следующее из (3.8), получим

⑷⑷〈(賢^『〉=4~ [А46 J = ~г △%(。)・

⑷

⑷

Аналогично преобразуем и второе слагаемое в (1):

\ 0" a修 /\ 0" a修 /1;„ /5р((н) 9ys(r2)\ _I ~ 1 — ~2 i —HJrfj241;„ /5р((н) 9ys(r2)\ _I ~ 1 — ~2 i —HJrfj24limlimg-Tg「＞0g-Tg「＞0JЭ_ 必谓矩7JЭ_ 必谓矩7Bili^l 一 丁2)— 0Bili^l 一 丁2)— 0⑺⑺

\ 0" a修 /

\ 0" a修 /

1;„ /5р((н) 9ys(r2)\ _

I ~ 1 — ~2 i —HJrfj24

1;„ /5р((н) 9ys(r2)\ _

I ~ 1 — ~2 i —HJrfj24

lim

lim

g-Tg「＞0

g-Tg「＞0

JЭ_ 必谓矩7

JЭ_ 必谓矩7

Bili^l 一 丁2)— 0

Bili^l 一 丁2)— 0

⑺

⑺

в силу уравнения ~ = 0, Поэтому мы имеем окончательно

(5)(5)Е=*%(0).

(5)

(5)

Функция Dii (г) обладает свойствами 0也(0) = 0 и Du (0)— =0 (первое следует из определения структурной функции, а второе ——из ее четности). Поэтому разложение в ряд Тейлора функции Da (г) при маяых г начинается с квадратичного члена：

4i (г) = аг3 + ... (6)

Вычисляя ADfd = 3击卜2^^^), получим Д/)•；= 6а + - - - и, следовательно, AD^ (0) = 6а. Подставляя это значение в (5), получим е = 3va, откуда а = ^- и

0"(г)= * 储十• • •0"(г)= * 储十• • •⑺⑺

0"(г)= * 储十• • •

0"(г)= * 储十• • •

⑺

⑺

Воспользуемся теперь формулой (26.8), выражающей Drr через ■Dii (г). Подставляя в нее разложение (7) и производя интегри^ рование, получим

刀"8=京+^十(8)

При помощи соотношения (10.8) связывающего 0" и Drr, найдем также разложение

%（「）= /*「"+ …

(9)

Таким образом, вид структурных функций поля скорости при малых значениях г определяется скоростью диссипации кинетической энергии турбулентности е и вязкостью v.

Установим также связь между введенной в § 9 спектральной плотностью энергии Е (х) и величиной £* Дважды дифференцируя (7) и полагая затем /• = 0, после чего все остальные (невы- писанные в (7)) члены разложения обращаются в нуль, получаем % (())=等 * •

Воспользуемся теперь формулой (25*8). Разлагая 1 —竺 e后(乂)“心

в ряд и подставляя ①"—, найдем

2Мг)=4§ (筹+...)E(x)dx.О

Двукратно дифферепцируя это выражение и полагая затем г = О, имеем

ОО

，士(0)=告、炉石(x)d>c =*

о

Отсюда мы получаем важную формулу

е = 2v х2£ (х) dx,(10)

о

выражающую е через Е (х). 1от факт, что Ргг (г)〜 г2 при малых г, эквивалентен сходимости интеграла (10). Так как в этом интеграле содержится быстро растущий множитель х2, то для его сходимости необходимо, чтобы при больших 乂 функция Е (к) убывала достаточно быстро (быстрее, чем х"3). Более подробное обсуждение смысла формулы (10) будет проведено ниже (см. § 12).

Уравнение Колмогорова

Все сформулированные выше результаты были получены на основании соображений об изотропности и песжимаемости турбулентности и формулы для е. Уравнение же Навье — Стокса

(1)(1)

(1)

(1)

где р — давление, р — плотность, не использовалось. Можно попытаться использовать это уравнение для того, чтобы получить дополнительное уравнение для структурной функции Drr (г). Это можно сделать, умножая (1) на 少,(g) и затем усредняя получающееся уравнение. При этом члены〈力俨)己”^"〉и 〈内(”)А% (г)> могут быть преобразованы в @"号： ” и АО仪 fr, Z). Однако нелинейный член уравнения ркпосле

умножения на рг( г') будет содержать выражение типа <Vi (М)跺(г) Pi 俨)〉.

Введем тензор

АкМ冷=<[Pi (Г + ^) — Pi (Г7)] fPfc (г + rz) — Pk (r7)] X

x 廿18 +产)一力b)]〉. (2)

Точно так же как тензор Ал ⑺ при помощи уравиения несжимаемости и условия изотропности был выражен через единственную скалярную функцию DTT (г), тензор (2) может быть выражен через продольную функцию:

(г) = <{п [0 (г 十？•') — 0 (")]}”，(3)

где п =；.

Таким образом, умножая (1) на 力(”)и производя усреднение. мы можем выразить все величины входящие, в получающееся после этого уравнение, через。卄(г) и DrTr (г)* В результате после довольно громоздких преобразований можно получить уравнение

N甞).(4)

Уравнение (4) описывает процесс вырождения турбулентности. Действительно, уравнение (1) не содер?кпт внешних сил, которые могли бы быть источником энергии. В то же время в (1) присутствует вязкий член ¥八内， обусловливающий диссипацию энергии турбулентности. Поэтому решение уравнения (1) должно затухать со временем. То же относится и к возможным решениям уравнения (4).

Можно, однако, видоизменить постановку задачи. Если ввести посторонние источники энергии с мощностью е на каждую единицу массы жидкости, то они скомпенсируют диссипацию энергии за счет вязкости, в результате чего установится стационарный режим. В этом случае в уравнении (4) член 幫[ будет

§ 12] СТРУКТУРА МЕЛКОМАСШТАБНОЙ ТУРБУЛЕНТНОСТИ 73 равен нулю, а величина е должна рассматриваться как впешний параметр, равный величине той мощности, которая затрачивается источниками для компенсации диссипации энергии. Уравнение для стационарной турбулентности приобретает, следовательно, вид

-1.(5)

Умножая (5) на г4 и интегрируя по г, получим с учетом обращения в нуль структурных функций при г = О

%4)=一氣叶6V 鲁.(6)

Уравнение (6), связывающее функции Drrr и DrTy было получено А, Н. Колмогоровым,

То обстоятельство,что в уравнении (6), помимо функции DTT (г), появилась новая неизвестная функция Drrr (г), не позволяет проинтегрировать это уравнение. При попытке получить дополнительное уравнение для функции DrTr ^™ столкнемся с аналогичной трудностью: в уравнение для D^r войдут новые неизвестные фупкции — моменты четвертого порядка разности скоростей. Таким образом, попытки получить замкнутую систему уравнении для определения структурных функций наталкиваются на принципиальные затруднения. В связи с этим все дальнейшие результаты теории турбулентности связаны с применением дополнительных гипотез, основанных на тех или иных соображениях физического характера.

Структура мелкомасштабной турбулентности при очень больших числах Рейнольдса

Выше были получены формулы

оо

Т = \ 占(к)Лс,(1)

о

00

е = 2v х2-Е (х) Jx,(2)

о

выражающие кинетическую энергию Т и скорость диссипации энергии турбулентности в (обе величины относятся к единице массы жидкости) через спектральную плотность энергии £ (х). Из экспериментальных данных известно, что функция £ (х) имеет максимальное значение в области малых х (крупных масштабов) и довольно быстро спадает при увеличении х. В области

Рис. 6. Примерный вид спектральной плотности энергии турбулентности Е (к) (верхняя кривая) и спектральной плотности скорости диссипации энергии турбулентности 2Vх^后(х) (нижняя кривая).Рис. 6. Примерный вид спектральной плотности энергии турбулентности Е (к) (верхняя кривая) и спектральной плотности скорости диссипации энергии турбулентности 2Vх^后(х) (нижняя кривая).Участок 7 оси волновых чисел соответствует энергетическому интервалу спектра турбулентности, участок II — вязкому интервалу (пнтервалу диссипации), участок между ними — инерционный интеовал волновых чисел.Участок 7 оси волновых чисел соответствует энергетическому интервалу спектра турбулентности, участок II — вязкому интервалу (пнтервалу диссипации), участок между ними — инерционный интеовал волновых чисел.

Рис. 6. Примерный вид спектральной плотности энергии турбулентности Е (к) (верхняя кривая) и спектральной плотности скорости диссипации энергии турбулентности 2Vх^后(х) (нижняя кривая).

Рис. 6. Примерный вид спектральной плотности энергии турбулентности Е (к) (верхняя кривая) и спектральной плотности скорости диссипации энергии турбулентности 2Vх^后(х) (нижняя кривая).

Участок 7 оси волновых чисел соответствует энергетическому интервалу спектра турбулентности, участок II — вязкому интервалу (пнтервалу диссипации), участок между ними — инерционный интеовал волновых чисел.

Участок 7 оси волновых чисел соответствует энергетическому интервалу спектра турбулентности, участок II — вязкому интервалу (пнтервалу диссипации), участок между ними — инерционный интеовал волновых чисел.

вблизи некоторого максимального числа 乂 = 乂切 функции Е (к) начинает убывать сильнее и быстро стремится к нулю. Примерный вид функции Е (х) приведен на рис. 6. Основное значение интеграла, выражающего Т через Е (х), получается при интегрировании по области малых значений 乂 (па рис. 6 соответствую* щий участок I оси к отмечен жирной линией). Этот интервал волновых чисел носит название энергетического интервала. Величина к?п, характеризующая волновые числа, соответствующие минимальным по размерам неоднородностям поля скоростив зависит от числа Рейнольдса Re потока н возрастает вместе с ростом Re.

Рассмотрим теперь фушщию 2vx2£ (х), интеграл от которой определяет величину е. За счет множителя к* обращающегося в нуль при х = 0 и малого при малых значениях к, произведение 乂2 Е (к) мало в энергетическом интервале и имеет максимум в области больших волновых чисел. Согласно экспериментальным данным функция Е (и) убывает в области кУ^т быстрее, чем возрастает функция х2, и поэтому максимум функции «2 ^ (х)' расположен вблизи точки 乂皿 где Е (х) быстро обращается в нуль.

Примерный вид функции 2v^E (х) также приведен на рис. 6. Область вблизи к = к^, интегрирование по которой дает основной вклад в е, носит название интервала диссипации, или вязкого интервала (на рис, 6 соответствующий участок II оси к отмечен жирной линией). Тот факт, что диссицация энергии связана в основном с областью больших волновых чисел, следует из того, что е пропорциональна квадрату градиента скорости (см. формулу (1,10)), максимальное значение которого связано с наименьшими по размерам неоднородностями поля скоростей. Так как между масштабом неоднородностей I и соответствующими волновыми числами к имеет место соотношение х/ ~ 2л (см. (35.2)), то это и означает, что е связано с наибольшими волновыми числами в спектре турбулентности.

В случае, если число Рейнольдса достаточно велико, интервал диссипации, расположенный вблизи точки xjn, отделен от энер-

гетического интервала некоторой областью волновых чисел, называемой инерционным интервалом. Инерционный интервал имеет тем большую величину, чем больше число Рейнольдса Re (отношение размеров наиболее крупных неоднородностей к размерам наиболее мелких неоднородностей имеет порядок Re% 1131).

Рассмотрим режим стационарной турбулентности. В этом случае, как мы отмечали в предыдущем параграфе, необходимо i«a- ким-либо способом передавать турбулентному движению энергию от внешних источников, причем для того, чтобы скомпенсировать диссипацию энергии, происходящую в вязком интервале волновых чисел, мощность источников энергии должна равняться в на каждую единицу массы жидкости. Эти источники передают энергию турбулентному движению в том же энергетическом интервале, где сосредоточена основная часть энергии турбулентности.

В то же время весь расход энергии сосредоточен в интервале диссипации, отделенном от энергетического интервала инерционным интервалом волновых чисел (см. рис. 6). Следовательно, практически вся расходуемая мощность е без сколько-нибудь существенных потерь передается через инерционный интервал от энергетического к вязкому интервалу. Процесс передачи энергии по спектру от малых волновых чисел к большим, т. е. от крупномасштабных неоднородностей (вихрей) к малым, можно наглядно представить себе как дробление вихрей. Если число Рейнольдса исходного потока велико, то он теряет устойчивость и при этом образуются вихри с размерами порядка размеров исходного потока Z。. Число Рейнольдса, характеризующее движение этих вихрей, уже меньше, чем число Рейнольдса исходного потока, но все еще достаточно велико, так что и возникшие вихри также являются неустойчивыми и дробятся на более мелкие. В процессе такого дробления энергия от крупного распавшегося внхря переходит к более мелким, т. с. переходит от малых волновых чисел к большим.

При каждом акте дробления число Рейнольдса возникающих вихрей уменьшается. Процесс дробления будет продолжаться до тех пор, пока не образуются вихри с числом Рейнольдса, меньшим критического. Такие внхрк уже являются устойчивыми и не распадаются на более мелкие. Ясно, что количество последовательных актов дробления тем больше, чем больше число Рейнольдса Re исходного потока. Поэтому размеры наименьших вихрей, возникающих в результате всех актов дробления, тем меньше, чем больше Re. Это эквивалентно тому, что максимальное волновое число хт, характеризующее размеры минимальных вихрей, возрастает вместе с Re. Для существования

инерционного интервала необходимо, чтобы вязкий интервал был отделен от энергетического. Это возможно, таким образом, при условии Re » ReK (где ReK ——критическое число Рейиольдса). Практически для существования инерционного интервала необходимо, чтобы было Re〉106 十 107.

Из проведенного рассмотрения следует, что структура турбулентности в инерционном интервале волновых чисел целиком определяется величиной передаваемой по спектру энергии % а в вязком интервале — величинами ей v. Последнее подтверждается формулами (8.10) и (9Л0) для функций Drr и Dtit Дополнительным аргументом в пользу этих предположений является то, что в уравнение Колмогорова входят лишь величины е и v.

Совокупность инерционного и вязкого интервалов спектра турбулентности носит название интервала равновесия. Введем характерный масштаб Zo, имеющий порядок наиболее крупномасштабных неодпородностей поля скоростей, принадлежащих к энергетическому интервалу. Обычно величина %, называемая внешним масштабом турбулентности, имеет порядок расстояния, на котором заметно меняется средняя скорость потока. Масштабы г, принадлежащие интервалу равновесия, малы по сравнению с

А. Н・ Колмогоров в 1941 г. выдвинул гипотезу, согласно которой структура турбулентности в интервале равновесия при очень больших числах Рейнольдса определяется лишь параметрами е и V, а в инорционной подобласти интервала равновесия зависит лишь от е и не зависит от v. Эти гипотезы позволяют установить вид функции DrT (г) в инерционном интервале.

Согласно первой гипотезе при всех 厂飞七。функция DTT (г) имеет вид

。"什)=Ar® V, Г).(3)

Из величин е и V можно составить единственную комбинацию, имеющую размерность длины )

zo = У^Т''⑷

и единственную величину, имеющую размерность скорости

о。=(5)

Величина 八 носит название внутреннего масштаба турбулентности.

Поскольку в величины " и и。входит вязкость V, то отсюда становится ясным, что Zo и % характеризуют масштабы и скорости наименьших неоднородностей (вихрей) в турбулентном потоке. Это ясно и из того, что величина Zovo/v (число Рейнольдса для движений с масштабом 八 и характерной скоростью и/ равна, как легко проверить, единице.

Единственной безразмерной комбинацией из величин е, v и г является отношение r/Z0. Отсюда согласно известной П-теореме теории размерностей (см. [14]) следует, что 2)гг, имеющая размерность квадрата скорости, может быть представлена в виде

^тт (г) = 9力(亍)прц г <Lo, (6)

где / 3) — некоторая безразмерная функция безразмерного аргумента. Вторая гипотеза Колмогорова позволяет установить асимптотический вид функции / (ж) при 工登 1, т. е. при т•哭紀 В этом случае йз формулы (6) должна выпасть вязкость v. Записывая (6) как

nrr(r)=8'W(^)>

мы видим，что для того, чтобы это выражение не зависело от v, необходимо, чтобы / (а) имела вид / (а) = С%%. В этом случае мы получаем

Drr (г) = С2е*Аг*/э при % у 丁 у 反(7)

—«закон 2/3» Колмогорова — Обухова *). В области『У% вид функции DTT был установлен выше: DTr (г) = ^ ^- гй. Точка пересечения кривых, изображаемых этими двумя асимптотическими формулами, находится при г — 1г — (15 C^^lQ. Точный вид функции Drr (г) вблизи точки г = %1 на основании сформулированных гипотез установить не удается. Однако следует отметить, что от деталей поведения функции Drr (г) вблизи этой точки в сильной степени зависит вид спектральной функции Е (х) вблизи точки

Воспользовавшись формулой (10.8) Du = — ^ (r2Drr)t можно найти вид функции Z)(f в инерционном интервале:

Du (г) = — С^^ при 厶 W 厂 W 厶・

*) Этот же закон был найден другим путей А. М, Обуховым в 1941 г. (см. [15, 16]). Позднее к аналогичным результатам пришли также Л, Онза- 「ер, К. Вейцэеккер, В. Гейзеибяпг [167—169].

Подставляя (7) в уравнение Колмогорова (6.11), получим соотношение

DTTT (г) =1"" +《Ove%厂％ —1~ * [1 — 5С2 С[・(8)

Так как в рассматриваемой области у <^ 1, то вторым членом в квадратной скобке можно пренебречь и мы получаем

Drrr(r) == — -i ег при /о<< г <^Ц.(9)

Из формулы (9) следует, что третий момент продольной разности скоростей А% отрицателен. Отсюда и из того факта, что среднее значение продольной разности скоростей равно нулю, следует, что эта разность скоростей Дрг большую часть времени является небольшой положительной величиной (т. е. частицы расходятся с небольшой скоростью) и лишь изредка наблюдаются большие по абсолютной величине отрицательные значения Дрг (т. е. сравнительно редкие, но более интенсивные сближения частиц).

Важной характеристикой распределения вероятностей продольной разности скоростей является асимметрия S этого распределения, определяемая как

S = "е(2・.(10)

Подставляя сюда формулы (7) и (9), получим

S = _ 言.(11)

Таким образом, в инерционном интервале асимметрия S постоянна и входящая в (7) константа С2 выражается через нее при помощи формулы

Ci-[^-(12)

Установим теперь вид функции £ (х), эквивалентный выражению (7) для Drv{r)t Проще всего это можно сделать, вычислив след тензора 0辻・

Как следует из формулы (18.8), функция，； (г) разлагается в интеграл того же типа, что и структурная функция скалярного иоля (см, (6,5)):

ОО

At (г) = 2 §\ [1 — cos хг] 4^浮》<,

—ОО

причем роль функции Ф (к) играет Е (х)/2лха. Da (г) можно разложить и в одномерный интеграл

со

Иц (г) = 2 § [1 — cosxr] V (н) dxt

причем согласно (15.5)

Р (")=急 j sin ”г Da (г) drО

и Ф (к) = ^^ выражается через V (х) при помощи формулы

(17.5):乂

①(…击曙-

Используя эти формулы, получаем соотношение

£(")= 一 爵尉У sin”rD；t(r)dr],(13)

О

позволяющее вычислить £ (к) по известной функции。/(厂).

Функция 2)^(г) = 2Dtt + Drr в инерционном интервале равна

a6 =粤С电，，产，Z0<r<L0.(14)

Мы предположим сначала, что функция 0陋(г) выражается формулой (14) не только при указанных значениях г, но при всех г (0 <； г ^ оо). Затем мы укажем, какие изменения в функции £ (х) следует ввести, чтобы учесть, что D^ 〜г2 при г у %. Подставляя (14) в (13) и вычисляя известный интеграл, получим после простых выкладок формулу

£(х) = 277 Г (4) cos 千 СМк』=0,76。电％i.(15)

Отметим, что трехмерная спектральная цлотность F (х), соответствующая «закону 2/3», равна

Р(")=霊=0，°61С%%”」”(16)

Если, пользуясь выражением (15), попытаться вычислить величину

е ■ 2v \ к?Е (х) сЫ1о

80 СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [ГЛ. 1 то мы получим бесконечность, так как интеграл расходится в области больших зпачений х. Это связано с тем, что мы распространили выражение (14), справедливое в области г ^> ", на. все значения г> 0. Для того чтобы устранить эту расходимость, необходимо учесть, что в области 乂〜/= у- вид функции Е (х) уже не соответствует формуле (15) и £ (х) убывает при к》％ быстрее, чем к-3, что должно обеспечить сходимость интеграла, представляющего е через Е (х). Однако установить вид функции £ (х) в интервале диссипации на основании простых гипотез Колмогорова уже не удается. В связи с этим в работах многих авторов был предпринят целый ряд попыток получить вид функции £ (х) в интервале диссипации па основании дополнительных гипотез.

В качестве иллюстрации мы опишем одну из таких работ [17], отличающуюся сравнительной простотой. Как мы установили выше, в инерционном интервале асимметрия S распределения вероятностей для продольной разности скоростей постоянна. Ясно также, что величина S постоянна при малых г (в вязком интервале). Действительно, Drr 〜г2 при г У ", что означает линейную зависимость разности скоростей от г. Но в таком случае величина DrrT (г) должна быть пропорциональна г8, а отношение Dr,.r (r)/[Drr (r)j% пе должно зависеть от г. В связи с этим в работе [17] было сделано предположение, что величина S постоянна не только в инерционном интервале, но и при всех ту%. Таким образом, было предположено, что

S _ 0г”(2 = const при Г У 厶.

Это соотношение позволяет выразить величину DTTT (г) через Drr (И：

D^ir^SlD^ (г)]%.

Подставляя последнее выражение в уравнение Колмогорова, мы получим обыкновенное дифференциальное уравнение для определения функции DrT (г)；

6v %—S [%产 + 冬 er = 0.

Вместе с начальным условием Drr(Q) = 0 это уравнение определяет единственную функцию DrT (г), которая была вычислена в указанной работе при помощи численного интегрирования. Однако, как было показано в работе [18], если, основываясь на полученном решении, вычислить функцию Е (х) (это можно сделать, например, при помощи формулы (13)). то при некоторых значе-

ниях х функция Е (х) становится отрицательной. Этот факт говорит о том, что гипотеза о постоянстве S цри всех г из инерционного и вязкого интервалов неудовлетворительна.

В ряде работ (см., например, {201) делались другие предположения, дозволяющие получить замкнутую систему уравнений для определения функции Е (х) или Drr(r). Однако все эти предположения наталкивались на определенные трудности, о которых мы не будем здесь говорить.

Следует отметить работу Е. А. Новикова [21] , где предпринята интересная попытка установить вид функции Е (х) в интервале диссииации. Им была получена формула

Е (х) — &炉/*х』(乂/o) з екр (一 廟 乂2), (17)

г園 А:——некоторое число из интервала

0,5 < А: <2 и ар 2(胪一在 + 1)电

Формула (17) справедлива в области 乂2° 娶 1. Если, однако, предположить, что при 乂% < 1 она должна переходить в выражение (15), справедливое в инерционном интервале, то величина к должца быть выбрана равной 2/3. В этом случае формула (17) принимает вид

Е (х) = —^― 8%乂』exp (— а阪2). (18) Г信)

Значение константы С\ выбрано так, чтобы (18) удовлетворяло условию нормировки

2v § х2Е (x)rfx =8.о

Выражение (18) удовлетворяет условию Е (х)〉0. Кроме того, оно обладает тем преимуществом, что в модели со спектральной плотностью (18) сходятся все интегралы типа \ 乂**£ (х) dx, что озна- о

чает конечность средних квадратов от производных поля скоростей -любого порядка.

Воспользовавшись формулой (4.9), можно вычислить продольную структурную функцию Drr (г), соответствующую спектралЬ' ной плотности (18). Интегрирование можно провести, разлагая функцию

1 t cos xr sin xr

в степенной ряд. В результате может быть получена формула

4г 6 = 2а (，о2)& 总(у , ；, 一 4炉)一 & *(19)

где

丫 八4 丄 в °ct(ct + l)樱Г(т) у Г(п+а) zn

1/(* 丫，z)_ 1 +彳丁+ т(т + 1)・& +R2f^Й^ «!

—вырожденная гипергеометрическая функция. Воспользовавшись этим разложением, из (19) при г《 Zo можно получить фор* мулу

%(г)=±Т储+…

При г 货"можно воспользоваться асимптотическим разложением

i^'i (а, Т, z) = ggg (— z)-«G (а, а — 丫 + 1, — z) +

+ 喪^ Qz^tG (丫 一 а, 1—а, z),(20)

где

G(a, Р, z) = l +栗十生T^+一

Так как в нашем случае z = ——尚底 <°, то можэт отбросить экспоненциально малое второе слагаемое асимптотического разложения. Ограничиваясь первым членом в формуле для G (т. е. полагая G ^ 1) и пренебрегая единицей по сравнению с (齐)二 получим асимптотическое выра;кение

Drг (И —Drг (И —^г (4)一二 / 17 、^г (4)一二 / 17 、а”'"％.а”'"％.(Z1)(Z1)

Drг (И —

Drг (И —

^г (4)一二 / 17 、

^г (4)一二 / 17 、

а”'"％.

а”'"％.

(Z1)

(Z1)

а% = 0.972小.а% = 0.972小.

а% = 0.972小.

а% = 0.972小.

Сравнивая это выражение с формулой (7), можно найти соотношение между константами С2 и а:

(22)

Таким образом, выражение (19) удовлетворяет необходимым требованиям при г《 2° н г 登 /0 и позволяет определить вид Drr (г)皿 при промежуточных значениях г.

В настоящее время уже имеется богатый экспериментальный материал, подтверждающий, что £ (х) в инерционном интервале пропорциональна е%乂-%. В появившейся сравнительно недавно работе [22] экспериментально исследована спектральная плотность ^ (х) и в вязком интервале (см. раздел В). Результаты этой работы указывают па то, что в области х ? Z^1 функция Е (х) убывает с ростом х медленнее, чем ехр (——以^乂纟). Полученные в ней спектры с высокой степенью точности аппроксимируются формулой

Е (х)= 嘅、е*к」/，е—『而，(23)

где численный множитель выбран так, чтобы удовлетворялось условие

е = 2* § 乂2£ (х) dx.о

Численное значение величины За＜，а/20Г (~^, полученное в этой работе, равно 1,35 士 0,06, что соответствует а = 4,78 十 0,17.

Выражение (23), как и (18), убывает достаточно быстро, так что интегралы типа gx2nЕ (x)d乂 сходятся при сколь угодно больших п, но в отличие от (18) лучше согласуются с пока eni,e немногочисленными экспериментальными данными.

Вычисляя при помощи формул (23) и (25.9) функцию Drr (г), можно убедиться в том, что при г * /0 выполняется соотношение

а при г 娶 /0 будет。卄二丁 С2€ зг'!^ причем С2 и а связапы соотно- шением(его можно получить, сравнивал (23) и (15))

а% = ^^ [Г 传)『О = 4.58С2.(24)

(Значению а = 4,78 士 0,17 соответствует С? = 1,77 士 0,08.)

В дальнейшем мы будем пользоваться выражением (18), рассматривая его как удобную аппроксимацию для £ (х).

§ 13. Микроструктура температурного поля в турбулентном потоке

В турбулентном потоке не только сама скорость движения а является случайной функцией координат и времени. Такие величины, как температура, влажность, давлепие, диэлектрическая проницаемость и т. 口. характеристики воздуха, также испытывают флуктуации, обусловленные турбулентностью.

Мы рассмотрим сейчас микроструктуру температурного поля в турбулентной среде. Возникновение температурных флуктуаций легко понять, исходя из физической картины явления. Представим себе, что в среде, в которой происходит турбулентное движение, имеется зависимость среднего значения температуры от координат (папример, от высоты над землей). Так как при турбулентном движении происходит перемешивание м;идкости, то отдельные иорции ее, характеризуемые некоторым значением Т температуры, в результате этого перемешивания окажутся в точке, где до этого находилась жидкость с другим значением температуры Т\ Таким образом, в каждой точке среды возникают температурные флуктуации. Микроструктура температурпогр поля была рассмотрена в работах А. М. Обухова [23], А. М. Нглома [24], Корзина [25] и некоторых других.

Здесь мы изложим этот вопрос, следуя работам [23 , 24). Рас-

движущейся среде описывается урав-движущейся среде описывается урав-пределение температуры в нением теплопроводности

движущейся среде описывается урав-

движущейся среде описывается урав-

дТ . дТ а г齐十％石7 =m几дТ . дТ а г齐十％石7 =m几dT

дТ . дТ а г齐十％石7 =m几

дТ . дТ а г齐十％石7 =m几

г*°^ — полная производная по времени, % ——коэффициент температуропроводности среды, Т — отклонение температуры от среднего значения <Г>, которое предполагается в этом параграфе постоянным, и ул — флуктуационная скорость. Учитывая несжимаемость жидкости — 0 и считая X = const, запишем это уравнение в виде

аг~дГаг~дГ⑴⑴

аг~дГ

аг~дГ

⑴

⑴

Обозначим через Т* значение температуры в другой точке с координатами а». Умножим уравнение (1) на Т" и внесем значение Г , не зависящее от 函 под знак производной 丁:

?善十/(у?t誓)"?善十/(у?t誓)"(2)(2)

?善十/(у?t誓)"

?善十/(у?t誓)"

(2)

(2)

Запишем такое же уравнение, поменяв местами точки 之汽 и хк. При этом Т я Т' поменяются местами, а вместо % м 鼠 войдут и； и аОх к

Сложим уравнения (2) и (3). Учитывая, что

получим

学十总0-喈卄^⑪-喏)=。.阳

Усредним уравнение (4). Вводя корреляционную функцию температурного поля и предполагая его статистическую однородность, получим

Вт (г - г\ 办=<ТГ>(5)

и

дВт (г — 屮) ля ，

^^~^ + £ 5叮〉+ 总 UZT〉- ХАВт -хАВт=°, (6)

где Д# = ~/2 — оператор Лапласа в точке г\ Выразим члены уравнения (6) через структурную функцию

DT (r~r\ t) = ^T~T^.(&)

Раскрывая правую часть (6‘)，имеем

DT (г —г', £)=〈尸佇，t)〉+〈T2(«, £)〉—28т佇一М 0-⑺

Так как мы предположили статистическую однородность температурного ПОЛЯ, ТО〈？2〉=〈Г'2〉И

Dt (г — г\ /) = 2<Г2(г, £)〉一 2Вт (г — г\ £).(8)

Продифференцируем равенство (8) по времени:

dDT(r^r\ i) а<Г2(г, t)>0 двт(г — г\ ：)

57= 2 di 2 di(9)

По аналогии со скоростью диссипации энергии £ введем величину

N = —N = —а /〈в〉、а /〈в〉、(10)(10)

N = —

N = —

а /〈в〉、

а /〈в〉、

(10)

(10)

Тогда из (9) мы получим

a^T(r —r\ t)dta^T(r —r\ t)dt=—27V^~=—27V^~dDT(r — rft /) 5~~"dDT(r — rft /) 5~~"(11)(11)

a^T(r —r\ t)dt

a^T(r —r\ t)dt

=—27V^~

=—27V^~

dDT(r — rft /) 5~~"

dDT(r — rft /) 5~~"

(11)

(11)

Возьмем теперь лапласиан от обеих частей равенства (8). Учитывая, что в силу однородности (Г2) не зависит от г, получим

\DT(r — ”，£) = —2А5т(т — r\ t).(12)

Но так как Вт зависит лишь от г ——т\ то КВт = Д5г и (12) можно записать также в виде

АВт + А'Вт = — АОт (i* — ”，£),(13)

где в правой части можно считат ь А = —•

8(入一马)

Итак, мы выразили первый и два последних члена уравнения (6) через Dt (г, £). Чтобы выразить величины (у^Т1/1') и^Т'Т) через разностные характеристики полей & к 7\ введем величину

РкГГ (г —г\ £) ^〈[入(厶 /) —yk (r\ £)J [Т (% £) — ?(“，012>- (14)

Раскрывая произведение в правой части (14), получим

4гТ -〈外T2)- 2〈%?『〉+〈外『2〉—

-〈苏『2〉+ 2〈苏『7〉一 М『2〉・(15)

В силу статистической однородности полей 勿頂 Т величина〈以Т^〉 не зависит от координат и поэтому (у^Г2)=〈外Т'З так что первый и последний члены в (15) взаимно уничтожаются.

Рассмотрим теперь величину〈иО Она представляет собой корреляцию скорости в точке г с квадратом температуры в точке г\ Но согласно общей теореме, доказаниой в § 8, соленоидальное поле скорости (несжимаемое движение) не коррелировано ни с каким скалярным нолем, в частности с 712, если поля t^ 近 Т являются статистически однородными и изотропными. Следовательно,

〈〃Т'2〉=〈&Т2〉= 0.(16)

Учитывая это равенство, можно записать (15) в виде

4тт = 2〈&屮 丁〉— 2〈v^TT'〉.(17)

Заметим теперь, что С^ГГ') зависит лишь от р = т — ” = ={Е1，陰2，％} и поэтому

言5值〉=言5可〉，

壷5T'T〉= -£dS

Дифференцируя (17) по 自穴 и учитывая эти соотношения, получим

一^^£^^ =*е「т〉+設 5ТТ\ (18)

Подставим соотношения (11), (13) и (18) в уравнение (6):

—2N—!^^ — %^^ + хА%(р，/) = 0. (19

Величину DkTT =〈［% —— и；］ ［Т — Т'Р〉 является вектором. Так как мы рассматриваем статистически изотропную модель, то этот вектор моисет быть направлен лишь по вектору п = р/р, т. е.

D^tt = ^к^гтт(Р)»(20)

где DtTT (р) -^ скалярная функция скалярного аргумента р, представляющая собой среднее значение произведения квадрата разности температур в точках г, и г + р на разность продольных компонент скорости в этих же точках. Дифференцируя (20), получим

a?? ~ ^атт + аГг =* -^t 联0"T9)1.

Подставляя это выражение в (19) и учитывая, что получим уравнение

— 2N—$等—* 备［р2£)гтт］ +春靑卜2符］=0. (21)

Уравнение (21) аналогично уравнению (4.11) для поля скоростей. Подобно тому как входящая в (4.11) величина £ была связана со средним квадратом поля скоростей, величина N может быть выражена через среднее значение квадрата градиента температуры. Чтобы получить эту связь, умножим уравнение (1) на Т,

взятое в той же точке г, и произведем усреднение:

g等)+ /甯＞7 G為黔"(22)

Используя уравнение несжимаемости, второй член в (22) запишем в ВИДО

G鬱＞= ＜^＜＞ = Q詮传)〉=£〈争》

Последнее слагаемое в (22) можно записать в форме

-%〈唱言〉=-募［＜т 费〉］+ х〈(詛〉

Используя эти выражения, представим уравнение (22) в виде

备学+ ＜圈)‘〉+證任er〉T〈7黔］=。■(23)

Но, согласно теореме о некоррелированности поля скоростей со скалярным полем, первый член под знаком дивергенции равен нулю. Второй член можно представить в виде у —^—, откуда следует, что он равен нулю в силу однородности флуктуаций температуры (〈К〉= const). Таким образом, имеет место уравнение

"等+ 《寄〉=。3)

ИЛИ

n =《器»(25)

Вернемся к уравнению (21). Это уравнение описывает процесс затухания со временем температурных флуктуаций, так как исходное уравнение (1) не содержало источников тепла и процесс теплопроводности со временем должен привести к полному выравниванию температуры.

Можно, как и в случае уравнения (4.11), видоизменить постановку задачи. Введем внешние источники тепла с интенсивностью N = %〈(grad 外％ которые скомпенсируют процесс вырав- пивания температуры. В этом случае мы получим некоторое статистически стационарное состояние, при котором величина DT уже не будет зависеть от времени. Величину же JV в этом случае следует рассматривать как некоторый внешний параметр, определяющий интенсивность флуктуаций. В этом случае уравнение (21)

принимает вид

—2N —备斎(р22тт)+ 皆备(рз嘗)=6Q6)

Умножим (26) на р2 и проинтегрируем по р от 0 до г:

一 2N ^ 一扌匐心 6 + "2 号^ =。，

в результате чего приходим к уравнению, полученному А, М. Яг- ломом [24],

Dttt =^Nr + 2%/)丁 (г),(27)

и аналогичному уравнению Колмогорова для поля скорости.

Рассмотрим малые по сравнению с внутренним масштабом турбулентности %о расстояния г. Для этих расстояний Т ——Т ~ г и °т (尸)'产,так что правая часть (27) пропорциональна г. В то же время DrTT ~ 产* Поэтому для 尸《Zo можно пренебречь величиной DrTT и Dt (г)=方一Nr. Интегрируя это уравнение, получим

5(г) = 4"р+・..，yz°. (28)

Отсюда можно получить также формулу

%(0) = -|~?・(29)

Формула (28) аналогична формуле Drr (г) = -^- ^- г3 +... для поля скоростей. Однако, так же как и уравнение Колмогорова, уравнение (27) недостаточно для определения функции DT (г), так как в него входит новая неизвестная функция ЬгГт* Для того чтобы получить возможность найти функцию DT (г), необходимо, как и в случае поля скоростей, ввести в теорию дополнительные гипотезы.

Одна из таких гипотез, примененная в работе А. М. Обухова 123], заключалась в предположении, что при г <^L0 функция ^т (尸)зависит otTV, %, г и от единственной величины е, определяющей структуру мелкомасштабной турбулентности. В области же ^о ^ г^^Ь0 функция DT(r) не долнша зависеть от %. Из величин N、 X，е можно составить единственную величину

г° = /畔，(30)

имеющую размерность температуры, и единственную величину

Z。= J*，(31)

имеющую размерность длины. Так как в (30) и (31) входит температуропроводность X, то эти величины характеризуют наиболее мелкомасштабные неоднородности температурного поля. Функция DT (г) = DT (N, %, е, г) согласно П-теореме должна иметь вид

%(r) = 72(£) = N )/告歹(*).(32)

При г 货 ZL из (39) должна выпасть величина х* Отсюда следует, что F (х) = о?х^ при х 货 1, где а ——численная константа порядка единицы. В этом случае

〃т (г)="尤 г% = СтГ/з, где Ст = ^^ и 厶 у г у 厶.(33)

Таким образом, в инерционном интервале DT (г) также пропорциональна 产3.

В инерционном интервале, где Dt (г) выражается при помощи формулы (33), последний член уравнения (27) мал по сравнению с остальными. В этом случае

Отт (「) = -£ Nr, УУ&.(34)

Рассмотрим величину

6 =吊餌)

Используя (33), (34) и DTT — С2 s%r%, получим

S = 一 ЗСда = const,(36)

В работе А. М. Яглома [24] предположение S* = const было принято за дополнительную гипотезу, позволяющую определить Dt (г) из уравнения (27). В этом случае (27) превращается в уравнение

2хРг (г) + I I /Д7(Й DT (г) = A Nr^ (37)

где |5?| = — S'.

Уравнение (37) — линейное уравнение относительно DT (г). Если функцию Drr (г) считать известной, то решение уравнения (37), как легко проверить, имеет вид

。:г(г) = _^-\а：енdx。:г(г) = _^-\а：енdx(38)(38)

。:г(г) = _^-\а：енdx

。:г(г) = _^-\а：енdx

(38)

(38)

Полагая % (р)=曲 * р{ из (38) можно получить выражение (28). Полагая Drr (р) = С?或ph и используя асимптотическое разложение получающегося в результате интеграла, можно получить формулу (33), в которой аа связано с S' соотношением (36).

Роль внутреннего масштаба турбулентности для температурных флуктуаций играет величина 厶，определенная формулой (31).

Она отличается от масштаба Zo = 1/ — заменой v на х* Поскольку величипм V и % в атмосфере и море имеют одинаковый порядок, то практически 厶 н %.

Выпишем также спектральную плотность, соответствующую структурной функции вида (33). Воспользовавшись результатами примера 2) иа § 5, получим для трехмерной спектральной плотности ①т (х) температурного поля

гsin手戸N"

Фт (Х) =、3厶 3 __k"/・=0,033 C沼一 /\(39)

где снова использовано обозначение Ст ^ dN『％* Спектральная плотность вида (39), как и соответствующее выражение для Е (и), применимо лишь в области 2几“1《乂《2冗2『. При х^х^~ ~2几二1 функция Фт (х) должна быстро затухать. Для аппроксимации выражения Фу (и) при всех 乂登 ^几石1 мы применим формулу, аналогичную (17.12):

Фт (х) = -^- L% ехр (— r2Zjx2),(40)

где Л и у — численные постоянные. При xZ】 у 1 (40) имеет вид, согласующийся с выражением (39), при 乳%^> 1 функция (40) быстро затухает с ростом 乂. Между постоянными Л и у имеется связь, накладываемая уравнением (29). Действительно, согласно формуле (8,5)

囹）囹）DT (r) =8门, 0 -纥丁)5(乳)*2阮

囹）

囹）

Дифференцируя это соотношение и подставляя в (29), найдем

Dt (0)=苧R①г (х)%4四=等旦(42)

О

Подставляя в (42) выражение (40) и производя интегрирование, получим соотношение

篇=2疝传)4Ns%紹尸,.

Подставляя 层* =х 6一*，получим формулу

7% = 3 叫等卜4 =0,8514,7% = 3 叫等卜4 =0,8514,(43)(43)

7% = 3 叫等卜4 =0,8514,

7% = 3 叫等卜4 =0,8514,

(43)

(43)

связывающую константы у и Л,

Вычислим теперь структурную функцию DT (г). Подставим для этого (40) в (41) и произведем интегрирование, разложив в ряд sin хг. В результате почленного интегрирования получим вырож- денную гипергеометрическую функцию, так что

0Т（Г） = 18疝得）崇（也）打旧（一!仔一焉）一1]. （44）

В оспользовавшись асимптотическим разложением функции 工尸^ при больших отрицательных значениях аргумента (20.12)

получим

DT (г) = dNgTw% = сУ/а7(45)

где

炉=9r М訂得)[2%Г (^『4 =等叫寺)4 =鳥.

Таким образом, при 尸登 2】мы получаем прежнюю формулу для Dt (г). При г<^ 厶 первые два члена ряда для 工尸工 также приводят к прежнему выражению для Dt (г):

% (Г)

Введем масштаб Хо, определяемый как точка пересечения асимптотических разложений DT (г) = Стг1* и DT (г) = ^-:

откуда Х-о3 = Зх№гСг.

Подставляя сюда Ст = 〃纟汽尸 北 получим соотношение

Ху3 = За%?* или № =皆(Хс / 厶产・

Следовательно, все числовые параметры 4，а2, у, связанные между собой формулами (43), (45), выражаются через отношение двух внутренних масштабов Хо и Zr = %"' еГ”：

出=皆传:"; 4= 0,Oil 偿广；? = (Ц69令.(46)

Выражение для Фт (х) мы выразим через наиболее удобные параметры Ст и %о：

Xs

①т(к) = 0,033 璃『％е 曦，(47)

где

х^=(№ = (ОД69Хо)Л

т. е.

^т^о = ° % ~ 5,92.(48)

В заключение параграфа рассмотрим микроструктуру концентрации консервативной пассивной примеси. Под консервативностью примеси подразумевается, что в процессе турбулентного перемешивания концентрация примеси может изменяться только за счет процессов молекулярной диффузии (теплопроводности) и не изменяется за счет каких-либо других процессов: химических реакций, фазовых переходов, рекомбинации и т. п. Это означает, что концентрация примеси 0 удовлетворяет уравнению диффузии

需十哀"А®，(49)

где D ——коэффициент молекулярной диффузии данной примеси.

Под пассивностью примеси подразумевается независимость турбулентных движений от 9 (9 не должна входить в уравнения движения). Примерами консервативных пассивных примесей

могут являться концентрация водяных паров (при пренебрежении процессами конденсации), концентрация электронов в ионосфере И т. д.

Поскольку уравнение (49) идентично уравнению теплопроводности (1), все полученные выше статистические закономерности, касающиеся температурного поля, без изменений переносятся на величину 9. Строго говоря, температура Т не является пассивной примесью, так как при отклонениях Т от среднего значения возникают архимедовы силы (силы плавучести), влияющие на режим турбулептности.

Однако при незначительных отклонениях температуры от рав- новеспого распределепия этот эффект мал. Таким образом, проведенное рассмотрение даже с большими осповахшями можно отнести к концентрации консервативной пассивной примеси, чем к температурному полю. Ниже будут указаны те измепения, которые возникают в теории, если учесть, что температура не является пассивной примесью.

Связь характеристик микроструктуры полеЗ скорости и температуры с характеристиками усредненных полей

Величины е и ^^ определяющие иптепсивность флуктуаций скорости и температуры в турбулентном потоке, можно связать с величинами, характеризующими усредненные поля скорости и температуры.

Рассмотрим сначала более простой случай температурного поля. Как мы установили выше, для поддержания статистически стационарного режима необходимы постоянно действующие источники тепла. В этом случае уравнение теплопроводности принимает вид

嘗丄力—％A7 = Q(#・ (1)

Здесь уже Т = TQ + Tf, где 北(г) к〈？〉и〈7*〉= 6 Усредняя уравнение (1) и учитывая, что〈и^〉= 0, получим

-№ +》#'〉= Q6, (2)

причем мы учли, что при стационарном режиме -^厂=0.

Заметим, что теперь уже не имеет места равенство〈и""〉= 0, которое неоднократно использовалось ранее, так как из-за наличия источников тепла появляется выделенное направление, определенное вектором V7q・

Вычитая (2) из (1), получим

纂十言［%7。十y 一〈""7'〉一/卜°-纂十言［%7。十y 一〈""7'〉一/卜°-О)О)

纂十言［%7。十y 一〈""7'〉一/卜°-

纂十言［%7。十y 一〈""7'〉一/卜°-

О)

О)

Умножим уравпение (3) на Т‘ и усредним. Учитывая, что при стационарном режиме, который мы здесь рассматриваем, 备〈Т'2〉= 0, получим

〈『~ （3。）〉+ <r就犷〉—〈『鋁許〉=о,⑷

где мы учли также, что

〈『肃 57”〉〉=。設 и/〉= 0・

Преобразуем первое слагаемое в (4) с учетом равенства 而=0:

Точно так же

〈尸签〉=3『歌）=<?（%）〉= 後必多），

〈『詣"黑）工〈設（"'窗A f〈（詣 〉

Подставляя все эти равенства в (4), получим

〈『%〉許十《嵐〈肃[疗計-% ?J) h。•⑺

Но, как мы установили в предыдущем параграфе, среднее значение дивергенции случайного поля равно пулю *;. Поэтому последнее слагаемое в (5) исчезает и мы получаем равенство

…需〉一力）除,（6）

связывающее величину ^ с градиентом средней температуры. Из

следует, чтo^ = 0 в случае 独 = 0, т. е. в случае, когда

средняя температура постоянна, флуктуации температуры отсутствуют. Этот результат легко объясняется на основании простых качественных соображений. При турбулентном перемешивании температурно-однородной среды флуктуации температуры не воз

никают, так как при перемешивании меняются местами массы жидкости с одинаковой температурой.

Помимо множителя 礬,в (6) входит также величина 〈Т%〉= ?к, пропорциональная турбулентному потоку тепла *).

Пользуясь уравнением (2), мы смогли бы выразить и эту величину через Т。и Q. Однако это неудобно, так как обычно функция Q неизвестна* Поэтому для определения величины 欤 используют другой метод. Поток тепла, вызванный молекулярной диффу- зиеи q£ пропорционален величине 丁：

По аналогии с этой формулой вводят коэффициент турбулентной температуропроводности Кт согласно соотношению

(7)(7)

(7)

(7)

Это эквивалентно утвер;кдению, что турбулентный поток тепла пропорционален градиенту средней температуры и имеет по отношению к ному обратное направление. Величина коэффициента турбулентной температуропроводности Кт на много порядков превышает величину X- Используя (7), запишем формулу (6) d виде

Формула (8) удобна для численных оценок величины N, так как входящие в нее величины могут быть сравнительно просто

получены из метеорологических наблюдений (см. раздел В). Струк

тура этой формулы аналогична структуре формулы N = x〈(籌~『〉，

но с заменой истинного градиента температуры на градиент средней температуры и коэффициента молекулярной температуропроводности на коэффициент турбулентной температуропроводности-

Рассмотрим теперь иоле скоростей. В случае статистически стационарного режима мы должны рассмотреть движение под действием постоянных внешних сил 力.В этом случае уравнение движения принимает вид

(9)(9)

(9)

(9)

где 以一полная скорость:

以=〃1+爲，<Р{) = Ui (г),0：=9；(т, £).

Умножим уравнение (9) на Vp Учитывая, что

£(?) +v (詩)十熹[^号+?一V力^]=小九£(?) +v (詩)十熹[^号+?一V力^]=小九получимполучим(10)(10)

£(?) +v (詩)十熹[^号+?一V力^]=小九

£(?) +v (詩)十熹[^号+?一V力^]=小九

получим

получим

(10)

(10)

В правой части (10) стоит работа, производимая в единицу времени внешней силой Д. Выразим 力 через скорость усредненного движения. Для этого усредним уравнение (9). Учитывая, что

ди. с ас@

м近⑺=° Н 勿玩=阪(%以)， получим

言3匹+ @苏))一"u尸厶.(И)

Величина

〈齿成〉=%(12)

пропорциональна тензору напряжений Рейнольдса *). Умножим уравнение (И) на 内 и усредним:

〈九办〉-/m - иi -§^—Ь m з^ - Vu厶u介(13)

Уравнение (13) также можно преобразовать с использованием уравнения несжимаемости 石-=0:

%西=瓯（％啕一%垣■，

—vUjAuj =——vUjAuj =—+V+V

—vUjAuj =—

—vUjAuj =—

+V

+V

Тогда получим

〈仙〉=f 后證+ v （言）+設偿以 + umK-vuf奇）.（14）

Усредним уравнение (10) и в правую часть усредненного уравнения подставим выражение (14). При этом мы опустим слагаемые типа дивергенции, которые исчезают при усреднении по объему:

В левой части последнего равенства мы подставили

爲『=（需Г+〈（普）〉

Следовательно, имеет место равенство

(15)(15)

(15)

(15)

В рассматриваемом случае статистически стационарного режима величина〈и：〉не зависит от времени. Согласно же уравнениям (1.10) и (4-16) второе слагаемое в левой части (15) представляет собой величину е. Следовательно, в стационарном случае имеет место равенство

(<6)

Уравнение (16) выражает величину е через градиенты средней скорости потока щ и напряжения Рейнольдса 旧尼，Это уравне-

ние аналогично уравнению (6), выражающему N через ^^. Фигурирующие в (16) напряжения Рейнольдса 融 представляют собой турбулентный поток количества движения. Подобно тому как турбулентный поток тепла направлен против градиента сред-

„дТ qм

ней температуры -г— и по величине пропорционален ему, туроу- лентный поток количества движения пропорционален градиенту средней скорости, т. е.

2医十割， g

где К — коэффициент турбулентной вязкости (коэффициент турбулентного обмена), В правой части (17) взята симмотризованная по индексам г и Л величина, что должно обеспечить симметрию тензора т^*, которая следует из определения (12). Коэффициент турбулентной вязкости К, вообще говоря, не совпадает с введенным выше коэффициентом турбулентной температуропроводности Кт・

Подставляя (17) в формулу (16), получим

ё=к(赛 + 等)*(18)

или, в эквивалентной форме

"等К (翁+姿).")

Выражения (18) и (18') по своей структуре совпадают с выражением (1.10) для е, но в них истинные градиенты скорости заменены на градиенты средних скоростей, а кинематическая вязкость V — на коэффициент турбулентной вязкости К.

Введенные величины К, Кт позволяют выразить турбулентный «поток температуры» <^ Т'〉и напряжения Рейнольдса 叫杞 через градиенты средних значений температуры и скорости. Вообще говоря, эти величины должны быть определены из точных решений соответствующих нелинейных задач. Поскольку, однако, мы не располагаем такими точными решениями, мы вынуждены вводить в рассмотрение величины типа К и принимать для них те или иные аппроксимирующие формулы. Такой подход к задаче носит название полуэмпирической теории турбулентности.

Оказывается полезным рассмотреть аналогию между процессами молекулярной и турбулентной теплопроводности. В кинетической теории газов (см., например, [26]) для коэффициента

температуропроводности найдено выражение % 〜九％ где % —— длина свободного пробега молекулы и у 一 ее среднеквадратичная скорость. Точно такое ?ке выражение (с другим численным коэф^ фициентом) справедливо и для кинематической вязкости v. Составляя аналогичное выражение для коэффициента турбулентной вязкости К, мы должны учесть, что в процессе турбулентного перемешивания роль молекул играют отдельные перемещающиеся неоднородности. При этом вместо среднеквадратичной скорости молекул V следует использовать среднеквадратичную скорость турбулентных пульсаций и вместо длины свободного пробега А.—— так называемый путь перемешивания (понятие, введенное Прандтлем [27]), который по порядку величины совпадает с радиусом корреляции Lq поля скоростей. Таким образом, величина К имеет вид

К ~厶招.(19)

Коэффициент пропорциональности в формуле (19) устанавливается для каждого конкретного типа движения на основании экспериментальных данных. Ниже будет приведено выражение К для одного из наиболее полно исследованных типов турбулентного движения в приземном слое атмосферы.

В некоторых случаях для коэффициента турбулентной вязкости К используется выражение, получаемое из следующих модельных соображений. Рассмотрим выражение для турбулентного потока тепла

〈加г〉=一к7誓

(которое, по существу, является определением Кт) для частного случая, когда 几=Т。(2), В этом случае можно представить себе, что флуктуация температуры Т на уровне % обусловлена тем, что на этот уровень переместился элементарный объем воздуха с другого уровня z\ расположенного ниже z на некоторую величину 广

Г представляет собой случайный «путь пробега» рассматриваемого элементарного объема. В этом случае

7' = To(z-Z')-To(z)w —礬1 *).

Подставляя это выражение в〈％Т'〉，получим

@；『〉к 一 需

откуда вытекает следующая формула для Кт；

(19')(19')Кт =〈％，〉・

(19')

(19')

Это выражение для коэффициента турбулентного обмена ио пользуется в некоторых работах по турбулентности, оперирующих с понятием «пути пробега» или «пути смешения». Его вывод не связан фактически именно с турбулентным потоком тепла, так как вместо температуры можно было бы рассмотреть и любую другую переносимую примесь).

В условиях атмосферы обычно все усредненные характеристики ветра, температуры, влажности и т. д. зависят лишь от высоты z над поверхностью, В этом случае

(譬): (20)

е = к[(曾+ (曾曰(翁巾 约

Су = а%Су = а%Подставим эти величины в формулу Ст — а^ 冬,определяющую коэффициент в «законе 2/3» для температурных флуктуаций; обозначая через а величину-^- = а, получим

Су = а%

Су = а%

(22)

Пользуясь формулой (22), можно связать величину К с внешним масштабом турбулентности Е。. При наличии градиента средней температуры имеется систематическая разность температур между находящимися на различной высоте точками. Эта величина АТ° приблизительно равна АТ。ж 写^卜羽 а ее квадрат (Ат”А"Вто же время между этими точками существует случайная разность температур, средний квадрат которой равен ©{Az)%・ При малых значениях Az величина Ст (Az)% на- много превыигает систематическую разность (q/J Aza (т. е. случайные разности температуры намного превышают систематические). Можно, однако, указать такое Az0, при котором обе

величины сравняются и при Az〉Дг0 систематическая разность уже будет превышать случайную. Эта величина Az。играет роль масштаба перемешивания по вертикали. Ясно, что «закон 2/3» будет выполняться лишь для расстояний г, не превышающих этого масштаба перемешивания. Поэтому величину А/ можыо принять за внешний масштаб турбулентности.

Для определения Дг0 мы имеем уравнение

方Az?』(絹

Подставляя сюда (22), получим

I = а%% 辰％)

За внешний масштаб турбулентности Е。мы примем величину, отличающуюся от Az^ лишь численным коэффициентом:

厶 связано с К соотношением

К =У卜券卜(23)

Формула (23) является лишь некоторым видоизменением форму лы (19), поскольку фигурирующая в (19) величина и пропорцио вальва %]芻卜 Используя (23), мы можем представить выражение (22) в виде

吟二 аа%% (军^) •(24)

Нет особенно веских оснований для того, чтобы отдать предпочтение одной из формул (22) или (24) для определения С『через характеристики усредненных полей Г01 и. По-видимому, величина Lq в условиях реальной атмосферы более устойчива и легче поддается непосредственному определению.

Формулы (22) и (24) могут быть использованы для оценок величины Ст в атмосфере. Особенно эффективно их использование в приземном слое атмосферы, где имеется большой эксперимент тальный материал, позволивший непосредственно проверить эти соотношения и найти фигурирующие в них численные коэффициенты. Что касается их применения к условиям свободной атмосферы, то они правильно дают порядок величины Су, но нуждаются в проверке на значительном экспериментальном материале.

§ 15・ Микроструктура коэффициента преломления в турбулентном потоке

Коэффициент преломления радиоволн сантиметрового диапазона п является функцией абсолютной температуры 7\ давления р (в миллибарах) и упругости водяных паров е (в миллибарах):

* л n-fi 79 /. 4800е \

п —1 =- ю 6 —<р |- -^-J.(1)

Нетрудно понять, что входящие сюда величины Т н е, строго говоря, не являются консервативными примесями. В самом деле, известно, что при вертикальных перемещениях малых объемов воздуха происходит непрерывное выравнивание давления в них с давлением окружающего воздуха на данной высоте. Изменения давления вызывают изменения температуры, подчиняющиеся уравнению адиабаты

dT _ 7 — 1 dp

где 丫 = ^ — постоянная Пуассона. Величина dp связана с изменением высоты барометрической формулой dp =——pgdz, где р — плотность воздуха и g — ускорение силы тяжести.

Таким образом,

Величина % = 0,98 град/100 ле посит название адиабатического градиента температуры (поднимающийся объем воздуха охлаждается на 0,98 град на каждые 100 jh подъема). Проинтегрировав уравнение (2), получим Т 十 丫&? = const. Следовательно, при вертикальных перемещениях частиц воздуха величина

н = г + т 必 (3)

которая приближенно совпадает с известной в метеорологии потенциальной темиературой ), сохраняет свое значение л может рассматриваться как консервативная примесь.

Упругость водяных паров / входящая в формулу (1), также не является консервативной величиной, так как зависит от

давления. Она может быть выражена через так называемую удельную влажность q, представляющую собой концентрацию водяных паров в воздухе (т. е. отношение массы водяного пара в единице объема к массе влажного воздуха в этом объеме), при помощи приближенной формулы:

е = 1,62 pg.(4)

Величина q — консервативная примесь (предполагается, что во время перемещений влажного воздуха не происходит конденсации водяных паров). Заменяя в формуле (1) величины Г и е на Я — т/ и 1,62 pq соответственно, получим формулу

(1)106 = % = ^^^ (1 + _^^),(5)

выражающую коэффициент преломления через консервативные пассивные примеси Нид, Величина N зависит от z через р (z), Н (z)f q (z) и н епосредств енн о от z:

N = N R р (z), Я (z), g (z)).

Представим себе, что объем воздуха с уровня zn характеризуемый значением

N、= N & р (Zi), Я (zj, g (zj), в результате действия турбулентного перемешивания оказался на уровне za. Поскольку величины Н (z) ng (z) не изменяются при перемешивании объема, а величины z и р (z) принимают на уровне z2 новые значения z^ и р (zj, тот же объем воздуха па уровне z2 будет характеризоваться значением

М Ng, р&2), Я (z】)，g(Zi))・

Значение ^1 отличается от《местного» значения N на уровне z2 на величину

AN = N(Z2, р(з), H(z/ q^z^ — N^ p(z2). Я (Z2),g(zl)p

/ dN dH I dN dq\ . +百石)Az.

Таким образом, возникающие флуктуации N пропорциональны не градиенту п, а величине

(dN dH . dN dg\〃6

79・10-6p79・10-6p丁2丁2('+('+7800 dq\ ]+ 15500g dz I 十/7800].15500g 十 T7800 dq\ ]+ 15500g dz I 十/7800].15500g 十 T”(1+”(1+魯).⑹魯).⑹

79・10-6p

79・10-6p

丁2

丁2

('+

('+

7800 dq\ ]+ 15500g dz I 十/

7800

].15500g 十 T

7800 dq\ ]+ 15500g dz I 十/

7800

].15500g 十 T

”(1+

”(1+

魯).⑹

魯).⑹

Выражение (6) должно использоваться при нахождении величины флуктуаций коэффициента преломления п.

Структурная функция коэффициента преломления атмосферы может быть представлена формулой

⑺⑺’爲产 при г＞儿,e涂:府与при г у觞.

⑺

⑺

Фигурирующая здесь величина С„ может быть найдена из со отвошения

U = Мое'U = Мое'(8)(8)

U = Мое'

U = Мое'

(8)

(8)

(Постоянная ос' может незначительно отличаться от введенной выше величины а.)

Трехмерная спектральная плотность, соответствующая (7), имеот вид

(9)(9)Фп(х) = 0,033C^J，/sexp (一子),

(9)

(9)

где xm связано с величиной 九° соотношением Хт入о = 5,92.

Заметим, что учет изменений температуры, происходящих при вертикальных смещениях воздуха, приводит к тому, что флуктуации температуры пропорциональны не величине (dTJdz)?, как это записано в формуле (22.14), а величине (dTQfdz +та)2. Поэтому вместо формулы (22.14) следует писать

Ст — а%Ст — а%(Ю)(Ю)

Ст — а%

Ст — а%

(Ю)

(Ю)

В нижнем (приземном) слое атмосферы обычно наблюдаемые градиенты температуры намного превосходят величину % и поэтому ею можно пренебречь в (10). В случае же свободной атмосферы, когда градиенты температуры сравнимы с уа, необходимо пользой ваться формулой (10).

Учет этого эффекта легко произвести, если во все формулы, содержащие температуру Т。， подставить вместо Го потенциальную Температуру Я = Го + 丫aZ. Имея в виду эту возможность, в дальнейшем мы иногда не будем специально отмечать различия между П и Я.

§ 16. Турбулентность в приземном слое атмосферы

Призеиный слой атмосферы, т, е. слой толщиной в несколько десятков метров над поверхностью Земли, по своей структуре сильно отличается от свободной атмосферы. В этом слое основным фактором, определяющим движение, является трение о подсти лающую поверхность. За счет действия турбулентного перемешивания явление трения распространяется на весь приземный слой. Если рассмотреть силы, играющие роль при движении воздуха над подстилающей поверхностью земли, то в случае отсутствия архимедовых сил (что мы предполагаем сначала) оказывается, что напряжение треыия о землю наьшого превышает все остальные силы (градиент давления, сила Кориолиса). Напряжение трения уравновешивается при стационарном режиме рейнольдсовыми напряжениями, которые, таким образом, постоянны в продолах приземного слоя.

Рассмотрим движение над плоской (в среднем) подстилающей поверхностью.

В этом случае все усредненные характеристики движения могут зависеть лишь от высоты z над землей. Направляя ось н по направлению средней скорости ветра и, получим их = и (z), uv = == 0. Основной ха рактеристикой движения является величина турбулентных напряжений Рейнольдса на единицу массы F = < ин〉.

Из соображений симметрии ясно, что отличными от нуля компонентами этого тензора являются тп, т22, т33 (средние квадраты флуктуаций компонент скорости) и т13 = т31. Компоненты же т12 = т21 и т23 = т32 равны нулю (поток количества движения направлен вертикально). Величина т13 — т31 ——рейнольдсово напряжение, уравновешивающее напряжение трения,— постоянна в приземном слое. Вместо т13 вводят величину 匕 согласно соотношению

Т13 =—此(1)

Так как т^ имеет размерность квадрата скорости, то и* представляет собой некоторую характерную скорость в приземном слое, называемую скоростью трения.

В приземном слое единственным масштабом длины является высота над подстилающей поверхностью.

Величина % зависит лишь от z. Ее производная может зависеть лишь от 匕 и z*)・ Из соображений размерности ясно, что

du %五=7z

$ 16] ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В ПРИЗЕМНОМ СЛОК АТМОСФЕРЫ 107 где 尤一числовая константа — постоянная Кармана (не смешивать с волновым числом!).

Воспользуемся теперь соотношением (17.14), связывающим Tffc и 磐；положив х = 1, " = 3, получим, используя (1) и (2):

откуда находим выражение для коэффициента турбулентного обмена

(3)(3)К = ху.

(3)

(3)

Определим также величину скорости диссипации энергии турбулентности е. Воспользовавшись формулами (21.14)，(2) и (3), получим

88гггг(4)(4)

8

8

гг

гг

(4)

(4)

Из формулы (23.14) мы можем найти выражение для внешнего масштаба турбулентности &:

(5)(5)£° = xz,

(5)

(5)

который, естественно, оказывается просто пропорциональным высоте.

Интегрируя уравнение (2), можно получить и вид зависимости и (z):

〃(Z)= Т In ^ ,⑹

где z0 — постоянная интегрирования. Величина 司 связана с размерами неоднородностей подстилающей поверхности, и поэтому, в силу примечания к формуле (2), выражение (6) справедливо при z》z『Таким образом, профиль ветра в приземном слое оказывается логарифмическим. Величина z0, входящая в (6) и носящая название высоты шероховатости, зависит от структуры подстилающей поверхности. Пользуясь формулой (6), можно определять величину и* по сравнительно простым измерениям средней скорости ветра на различных высотах. При этом используется определенное экспериментально значение постоянной к, приблизительно равное 0,4 (см. раздел В).

В приземном слое атмосферы е зависит от высоты согласно формуле (4). Подставляя (4) в формулу (7.12) для DTT, получим в

инерционном интервале

刀"⑺=0扌焉"• ⑺

Таким образом флуктуации разности скоростей убывают с высотой: DTr ~ L%. Внутренний масштаб турбулентности % = = 炉/亡％ также зависит от высоты.

Подставляя в это выражение формулу (4), получим 厶~ z%・ «Закон 2/3» справедлив, как уже упоминалось, при「＜£(). Так как в приземном слое Lo — xz, то (7) выполняется лишь в случае, когда расстояние г между точками наблюдения мало по сравнению С высотой. В случае же, когда г сравнимо или превышает z, разность скоростей больше не является статистически изотропной и DTr зависит от ориентации вектора г.

Рассмотрим также структуру температурного поля в приземном слое атмосферы. Полученные выше выражения относились к случаю, когда влиянием архимедовых сил на динамику потока можно было пренебречь. Это означает, что температурная стратификация соответствует безразличному равновесию. Как мы установили в предыдущем параграфе, при вертикальных адиабатических смещениях элементарного объема воздуха его температура меняется по закону Т'= 个。一 7аДг- Поэтому для того, чтобы при таких смещениях не возникали архимедовы силы, необходимо, чтобы температура окружающей среды в точке, куда сместился рассматриваемый объем, также была равна То ——уа Дг. Отсюда следует, что при безразличной температурной стратификации профиль температуры описывается линейным законом: Т (z)= =北一yaz. В этом случае температурные флуктуации отсутствуют, так как величина 石 + уат входящая в формулу (10.15), обращается в нуль.

Рассмотрим температурную стратификацию, слабо отличающуюся от безразличной. В этом случае в первом приближении влиянием архимедовых сил на турбулентный режим можно еще пренебречь, но величина -^ 十 уа уже не равна нулю, так что в среде возникают температурные флуктуации.

Установим вид профиля средней температуры для этого случая. Исходным здесь является предположение о постоянстве турбулентного потока тепла, аналогичное предположению о постоянстве турбулентных напряжений. (Практически все тепло, поступающее от поверхности земли, передается без потерь через приземный слой.) Тогда согласно формуле (7.14)

—〈『％〉== Кт —^ = const — ocyj.T*, (8)

ТУРБУЛЕНТНОСТЬ В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ 109 где введена характеристика температурпого поля Т*, имеющая размерность температуры.

В формулу (8), являющуюся определением Т*, введена величин на а — Кт/К (а" — турбулентное число Прандтля). Так как в приземном слое турбулентный поток тепла не зависит от высоты, то ахи.Т* = const. Мы будем считать, что Т. — const и, следовательно, а — const (это предположение с достаточной точностью подтверждается экспериментально).

Подставляя в (8) К『—аК — ахи/, получим

醬=2 (9) и

7°(z) = T」n^+7(z。). (10)

Таким образом, при стратификации атмосферы в приземном слое, близкой к безразличной, профиль средней температуры, как и профиль средней скорости ветра, имеет логарифмический вид. Величина Т* легко может быть определена эксперимепталь- по по измерениям средней температуры на нескольких высотах. Подставляя (9) в формулу (10.15), получим для инерционного интервала

Di (г) = а%%а(「* ±,")「％. (11)

Таким образом, флуктуации разности температур в приземном слое убывают с высотой как 户/§ (величиной 丫必 обычно можно пренебречь).

Рассмотрим теперь случай, когда влиянием архимедовых сил на турбулентный режим пренебречь нельзя.

В этом случае в уравнениях движения добавляется слагаемое, учитывающее архимедову силу. Оно имеет вид gT'/T。， где Т‘ — пульсация температуры в точке г. Таким образом, в задаче появляется новый размерный параметр 卩 — 爰，который вместе с вели- чипами и*, Т* определяет режим турбулентного движения. Из параметров % Т* н 卩 можно составить единственным образом (с точностью до численного множителя) маспггаб длины

стратификации выражался формулой К = kd.z, теперь может быть записан в виде

Где 屮(z/E) — безразмерная функция безразмерного аргумента z]L* В случае, если турбулентный поток тепла равен нулю, что соответствует безразличной температурной стратификации, 7* — =0 и L = ос. В этом предельном случае формула (13) должна переходить в прежнюю формулу (3), откуда следует, что(р (0) = 1. При z <^\L \ получимф ^ 1; отсюда следует, что при z <^\L\ влиянием архимедовых сил можно пренебречь. В связи с этим величину L называют толщиной подслоя динамической турбулентности.

Подставляя в уравнение (17.14) т13 = — о： н выражение (13) для К, получим (при г — 1, А = 3)

患•(M)

Точно так же, подставляя в (8)

будем иметь

(15)

Интегрируя

уравнения (14) и (15), получим

u(z)_ w(Zo) =碧[/(*)_/偿)],

(16)

где

?（z）—门廟=7也（你一/（方］,

(17)

(18)

Из (16) и (17) следует, что лрофили скорости ветра и температуры подобны. Это является следствием предположения о постоянстве а = Кт/К. Так как(р(^) а 1 при ±У 1, то в этом случае т. е.

/ (g) Q In 匕 + const,

приг <^L, профили ветра и температуры имеют логарифмический характер. При больших значениях 工 функция /(?) сильно отклоняется от логарифмической. При этом вид функции /(0 при

J〉0 (что соответствует 厶〉0, т. е. Т.〉0) л при J V 0 (Т* <0) различен. Так, например, при СУ —1 (Т. V 0, неустойчивая стратификация, конвективные условия) / (С) = J U% + + const. Вид функции / (С)_(или соответствующей ей функции ф (0 = Ь'(0) был изучен экспериментально в ряде работ (см. раздел В).

Выразим через функции ① или / (С) величины е и ^.

Выше (в § 14) на основании уравнений движения была получена формула (21.14) е = К (罂)* для скорости диссипации энергии турбулентности. Положенные в основу уравнения движения не содержали слагаемого, описывающего архимедовы силы. Это слагаемое появляется в и-компоненте уравнения движения и имеет вид 卩丁'・ При составлении уравнения для е в § 14 мы умножали уравнение движения на скорость и затем усредняли его. Дополнительное слагаемое + 附'даст при этом вклад + 卩〈「'£〉= = p’z в величину е, которая оказывается равной

S = fk*+%z.

Подставляя сюда выражения

а также (13), (14) и (15), получим

или

s = 2 屮仔)一a阮乙7. h -&((? (号)- е].(19，)

Полученное выше (§ 14) выражение для ^ остается в силе и в рассматриваемом случае:

N = Kt(警)；W「(£・(20)

Используя выражения (19) и (20), можно паписать формулы, определяющие структурные функции Drr и Dy в инерционном

интервале:

8， [4t)^t]UxJ

(21)

(22)

Формулы (21) и (22) отличаются от соотвстствующих формул для случая безразличной стратификации наличием дополнительных множителей, зависящих от z/£ и обращающихся в единицу при L = оо.

Важной характеристикой температурной стратификации атмосферы является так называемое число Ричардсона [32]

(23)

являющееся отношением мощности, расходуемой на преодоление архимедовых сил, к мощности рейнольдсовых напряжений. Первая из этих величин равна (см. вывод формулы (19))

В鱼 = 7к?(警+匕)

(мы учли здесь разницу между обычной и потенциальной температурами), вторая—К (警『• Их отношение (с точностью до множителя (—а)) и равно числу Ричардсона (23). В случае устойчивой температурной стратификации Ri〉0. При неустойчивой стратификации (конвективные условия) Ri < 0. С увеличением числа Ri увеличивается доля энергии, расходуемая на преодоление архимедовых сил, что приводит к ослаблению турбулентности. (Напомним, что согласно (19) и (23) е = К 停：)口 —а Ri).) Таким образом, можно откидать, что характеристики турбулентности будут зависеть от Ri.

В приземном слое атмосферы параметр стратификации связан с Ri. Действительно, пренебрегая в (23) величиной уа и подставляя (14), (15) и (12)т получим формулу, связывающую Ri и <р (/)：

(24)

Эта формула позволяет для заданного L найти Ri для любой высоты z. Следовательно, параметры Ri н £ однозначно связаны и вместо того, чтобы указывать значение Л, можно указать величину Ri для какой-либо высоты и по ней наитий. Для приземного слоя использование величины L более удобно, так как в этом случае мы имеем дело лишь с одной числовой характеристик ой стратификации, а не с функцией Ri (z). Однако использование в качестве характеристики стратификации числа Ричардсона имеет свои преимущества; так Ri сравнительно легко может быть определено не только для приземного слоя, но и для свободной атмосферы, где универсальные профили ветра и температуры не существуют. Поэтому, выражая все экспериментальные зависимости, полученные в приземном слое, через Ri, можно попытаться экстраполировать их и на случай свободной атмосферы.

Считая, что функция <р (z/£) известна, мы можем найти связь между Ri иЭто позволит выразить <р (z/£) как функцию

Ri; обозначим

屮伝)=屮(Ri).(25)

Тогда 卷=aRi・W(Ri). Выражая величины р# и хТф при помощи формул (14) и (15) через производные ^, ^, подставляя полученные значения в (21), (22) н вводя Lo = xz, получим формулы

%6 = °^^伍。削2(去厂，(26)

%出”з両君二^严仏需爲广，(27)

записапные в виде, позволяющем применять их не только в приземном слое, но и в свободной атмосфере). Функцияi|)(Ri), входящая в (26) и (27), была определена экспериментально несколькими независимыми методами и приведена в § 22.

Отметим, что в случае даже сравнительно небольших по абсолютной величине отрицательных значений чисел Ri режим турбулентности соответствует режиму свободной конвекции (переход к этому режиму происходит при Ri < —0,05). В этом случае

哂2警(К1)М

И

屮(Ri) = aT.停)% 1Ri 广.

Подставляя указанное значение ф (0 в формулу (19), получим для I ^ I >> 1 (точнее, для ^<< —1)

т. е. при режиме свободной конвекции и z 第|£| & не зависит от высоты. В то же время

吗？吧L竹

т. е. N убывает с высотой как z%. Следовательно, при свободной конвекции флуктуации скорости не зависят от высоты, а флуктуации температуры убывают с высотой как z%, т. е. значительно быстрее, чем при режиме чисто динамической турбулентности. В случае режима свободной конвекции как е, так и N могут быть выражены через «поток температуры»

q у〈ТМ〉= —cow/*.

Подставляя L = ^/ах2§Г# в формулы для е и N л выражая 匕Т* через 么 получим

"=阳，(28)

Влияние сил плавучести на микроструктуру полей скорости н температуры

В предыдущем параграфе мы рассмотрели влияние сил плавучести (архимедовых сил) на характеристики среднего движения (〃 (z), Т (z)). Однако эти силы оказывают влияние не только на параметры усреднепного движения, но и на микроструктуру скорости ветра и температуры. Этот вопрос рассматривался в работах А. М. Обухова [33, 34], Р. Больджапо [35], А. С. Монина [36].

Микроструктура полей скорости и температуры в инерционном интервале при отсутствии сил плавучести определялась параметрами е л М При учете сил плавучести к ним необходимо добавить новый параметр В = g/ro. Из е, N и В можно составить величины с размерностью масштаба

厶=s'/#-%"-%,(1)

скоростии температурыскоростии температуры?\ = 8%旷%2.?\ = 8%旷%2.(2)(3)(2)(3)

скорости

и температуры

скорости

и температуры

?\ = 8%旷%2.

?\ = 8%旷%2.

(2)

(3)

(2)

(3)

Пользуясь этими величинами, можно составить выражение для спектральных плотностей £ (х) и Фт(х), Так как единственной безразмерной комбинацией, которую можно составить из е, ^, р и х, является величина хЛ^, то, воспользовавшись соображениями размерности, можно написать

Е (%) - &и* / (хЛ*) = $%Ь『7 (乂8%『/旷%),(4)

Фг (х)=欧『節(叫)=e，V，/WV'<P(xeVJ/W''s/<).(5)

Если параметр В устремить к нулю (что соответствует отсутствию архимедовых сил), то он должен выпасть из формул (4) и (5). Отсюда можно получить асимптотические выражения

lim /⑺=С#Тз, lim <р ⑺=

которые приводят к прежним выражениям

Е ⑺=С^к^\ Фт (к) = CaNLMW

справедливым в инерционном интервале. Из этих асимптотических формул видно, что npnxZjt^»!, т. е. в области х 登勺，спект- ры флуктуаций скорости и температуры имеют прежний вид*

Следовательно, влияние сил плавучести сказывается в основном в области сравнительно крупных масштабов, определяемых величиной Lfc, Соответствующие характерные масштабы скорости и температуры даются формулами (2) и (3).

В области волновых чисел, удовлетворяющих условию х£»У 1, влияние архимедовых сил становится преобладающим. При этом в случае устойчивой температурной стратификации энергия крупномасштабных движений расходуется в основном на работу по преодолению архимедовых сил, а не на передачу к более мелкомасштабным компонентам. Это означает, что при устойчивой температурной стратификации в области xL^《1 из формул (4) и (5) должна выпасть величипа в. Отсюда следует, что при 匕 W 1

/ (г) ~ 匕」％ 屮(z) ~「/%

Следовательно, при 乂厶《 1 имеют место формулы, полученные

в работе Р. Больджано [351：

(6) ⑺ как Ж5 к при(6) ⑺ как Ж5 к приЕ (х) = const. W%B%『”，

(6) ⑺ как Ж5 к при

(6) ⑺ как Ж5 к при

①t (h) - const。旷%尸"x一"'.

В случае неустойчивой температурной стратификации, показано в работе А. С. Монина [3G]T при а —* 0 / (力〜 ср (с) ~ £一丄・ В этом случае функция / (с) имеет максимум

а』= 1,01, а функция £弯中(土) при 化中 = 0,46.

Подводя итоги этому рассмотрению, можно сказать, что в об- ластн х》＞ -у- спектры флуктуации скорости и температуры имеют тот же вид, что и при отсутствии сил плавучести (т. е. в области г у £%• структурные функции Drr и 0T имеют прежний вид). При 乂 W 勺 влияние архимедовых сил становится улсе существенным {область г扌 £*)・ В случае устойчивой температурной стратификации в этой области волновых чисел спектральные плотности имеют вид (6) и (7). С о отв етств ую щие им структурные функции имеют вид

(8)(8)%⑺〜W#%*,DT (г)〜“'『"г%.

(8)

(8)

Масштаб £&, определяющий размеры неоднородностей, на которые существенное влияние оказывают архимедовы силы, можно связать с внешним масштабом турбулентности Lo. Для этого воспользуемся формулами (20.14), (19.16) и (23.16):

8=К8=КК=時К=時隱)％—a Ri);；Nf 倒，隱)％—a Ri);；Nf 倒，(9)(9)

8=К

8=К

К=時

К=時

隱)％—a Ri);

；Nf 倒，

隱)％—a Ri);

；Nf 倒，

(9)

(9)

Подставляя эти величины в (1) и привлекая определение (23.16) числа Ричардсона, которое в нашем случае (при пренебрежении величиной Та) имеет вид

Ri

(нО)(нО)получим

(нО)

(нО)

а 41 Ri —

На основании этой формулы можно сделать вывод, что 七卜》 货 £。при I Ri|y 1 и в этом случае влияние архимедовых сил проявляется лишь вне инерционного интервала тур булентности. Если же I Ri I велико, то масштаб Lfc попадает внутрь инерционного интервала и делит его на две части: при устойчивой стратификации в области масштабов Lo ^> г ^> L^ справедливы формулы (8) и (9), а в области масштабов I* ^> г 登 厶—прежние формулы для D,r и О厂

В работе Л. С. Мопина [36] спектральные плотности Е (х) и Фт (х) рассчитаны для произвольных значений параметра кЕк и различных условий стратификации (устойчивой, безразличной и неустойчивой).

В. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ О ТУРБУЛЕНТНОСТИ АТМОСФЕРЫ

Измерения пространственных структурных функций скорости ветра и температуры

в ирнземном слое атмосферы

Первые измерения микроструктуры скорости ветра в атмосфере были выполнены в работах Гедеке [37], Обухова [381, Креч- мера [39] и др. [40, 41]. Для измерений в этих работах применял

ся термоанемометр, представляющий собой тонкую платиновую нить (диаметром в 10—20 мк, длиной порядка 1 см), нагреваемую током до температуры в несколько сотен градусов Цельсия. При постоянном нагревающем токе температура, а следовательно, и сопротивление нити сильно зависят от скорости обтекающего ее воздушного потока. По измеренным значениям сопротивления нити можно, имея тарировочную кривую термоанемометра, определить и скорость ветра. Постоянная времени термоанемометра в воздухе обычно имеет порядок одной сотой секунды (в воде постоянная времени термоанемометра значительно меньше). При измерениях струк-

Рис. 7. Образцы эмпирических структурных функций продольной компоненты скорости, полученные па высотах 1,5; 3 и 15 м.По оси абсцисс в линейном масштабе 3 _отпзкена величина У г, по оси ординат^ 一鳥了Рис. 7. Образцы эмпирических структурных функций продольной компоненты скорости, полученные па высотах 1,5; 3 и 15 м.По оси абсцисс в линейном масштабе 3 _отпзкена величина У г, по оси ординат^ 一鳥了включа-измерятьвключа-измерятьтурной функции скорости ветра два термоанемометра ются в противоположные плечи моста, что позволяет разность скоростей.

Рис. 7. Образцы эмпирических структурных функций продольной компоненты скорости, полученные па высотах 1,5; 3 и 15 м.

По оси абсцисс в линейном масштабе 3 _

отпзкена величина У г, по оси ординат^ 一鳥了

Рис. 7. Образцы эмпирических структурных функций продольной компоненты скорости, полученные па высотах 1,5; 3 и 15 м.

По оси абсцисс в линейном масштабе 3 _

отпзкена величина У г, по оси ординат^ 一鳥了

включа-

измерять

включа-

измерять

Утке первые измерения структурных функций скорости ветра обнаружили их хорошее согласие с «законом 2/3». На рис. 7 приведены образцы структурной функции скорости ветра, полученные в работе Обухова [38], По оси абсцисс отложена величина г%, по оси ординат J%"). «Закон 2/3» в этих координатах дол- <v>

жен изображаться прямой линией (причем за счет инерции датчиков она выходит нс из начала координат). Из рисунка видно, что

с достаточной точностью эксперимсптальные данные согласуют-

Рис. 8. Образец эмпирической стр уктурной функции температуры.Рис. 8. Образец эмпирической стр уктурной функции температуры.турного поля проводились втурного поля проводились вся с «законом 2/3». В указанной работе Обухова были произведены оценки величины е для тех же моментов времени, когда измерялась функция Лгг (г), для чего использовались измерения средней скорости ветра на нескольких высотах и формулы логарифмического пограничного слоя § 16. Для константы С2, входящей в формулу Лгг = С2g№“ таким образом было получено ориентировочное значепие С2 = 0,9, что несколько меньше значения С2 = 1,5, полученного в аэродинамических трубах в работе [42].

Рис. 8. Образец эмпирической стр уктурной функции температуры.

Рис. 8. Образец эмпирической стр уктурной функции температуры.

турного поля проводились в

турного поля проводились в

Измерения пространственных структурных функций темпера- работах [43, 44]. В качестве дат

чиков использовались термометры сопротивления с постоянной времени т у 0,01 сек. Многочисленные измерения функции Dr в приземном слое атмосферы также обнаружили хорошее согласие с «законом 2/3». Образец структурной функции температурного поля приведен на рис. 8.

Утке первые измерения структурных функций Л?г (г) иЛг(г) в атмосфере позволили определить характерные значения пульсаций скорости ветра и температуры в приземном слое атмосферы. Случайная разность скоростей Дув двух точках, располагающихся на одной высоте z на расстоянии г друг от друга порядка г ~ 0,5z, имеет характерное значение Д и ~ и*. Для грубой оценки 匕 можно использовать формулу и* 之 0,1口2=2附,где Mz=2_m — средняя скорость ветра на высоте 2 ль Таким образом, характерное значение Д и имеет порядок нескольких десятков см [сек. Аналогичная величина Д Т для температурного поля сильно зависит от температурной стратификации и может достигать 1° С. Характерная величина е в приземном слое атмосферы составляет

несколько сотен единиц CGS, а внутренний масштаб 厶=]/ ^ имеет порядок 1 мм. Впешкий масштаб турб у лептн ости £° в приземном слое равен, как уже отмечалось выше, хг, где х 之 0,4- Таким образом, отношение 厶/仇，характеризующее ширину инерционного интервала («динамический диапазон» турбулентности), имеет в приземном слое порядок 103 -?- 104.

Аппаратура для измерений турбулентных флуктуаций скорости ветра и температуры в атмосфере

На основании приведенных оценок можно сформулировать основные требования, предъявляемые к аппаратуре, предназначенной для измерений турбулентных пульсаций скорости ветра и температуры во всем диапазоне масштабов, начиная с Zo. Точность и чувствительность измерений скорости должна быть по* рядка нескольких сантиметров в секунду (у0 = J^ev имеет этот порядок величины). Размер датчиков должен быть не больше внутреннего масштаба турбулентности Zo 1 мм. Наибольшие частоты иульсаций ветра имеют порядок й//0, где й ——средняя скорость ветра» Отсюда при 五 = 5 м/сек и Zo = 1 мм получаем /0~ 5000 гц. Следовательно, постоянная времени датчиков должна быть порядка /0-1 — 2* 10"4 сек, а полоса пропускаемых аппаратурой частот — порядка 5 кгц. Точность измерений температуры должна быть порядка 10^2 град.

Аппаратура, удовлетворяющая сформулироваппым требованиям, позволила бы исследовать микроструктуру турбулентности вплоть до ее внутреннего масштаба. Такая аппаратура была создана лишь в самое последнее время [22, 174] и проведенные с ней измерения спектров турбулентности в инерционном и вязком интервалах дали чрезвычайно интересный для теории турбулентности материал, послуживший прямым подтверждением теории Колмогорова —— Обухова (см. § 12). Большая же часть экспериментальных исследований была выполнена с более грубой аппаратурой, позволившей производить измерения лишь в инерционном интервале.

В работах [45—49] для измерений компоненты скорости ветра использовался акустический микроанемометр. Его принцип действия основан на зависимости скорости распространения звука в движущейся среде от скорости среды. Пусть с0 — скорость звука в неподвижной среде. Тогда фазовая скорость звука в направлении л равна с = с0 + л&, где 力 一 скорость среды относительно неподвижного источника звука. Пусть излучатель звука 〃 (рис. 9) излучает звуковые волны с частотой (о} которые

воспринимаются микрофонами Мг и ТЩ. Скорость звука на пути "ТИ]равна” — с0 — уп, а на пути ИМ» & =分 + 少制，где 订门— =nv. Набег фазы на пути “М* = I равен wZ/q, а на пути ИМ& = =Z он равен si心、Разность фаз звуковых колебаний в точках М19 Л/, равна

Рис. 9. Блок-схема акустическогоРис. 9. Блок-схема акустическогоанемометра.анемометра.

Рис. 9. Блок-схема акустического

Рис. 9. Блок-схема акустического

анемометра.

анемометра.

Так как 订^《巒卜 то с достаточной точностью

2血屮=—鼠%

т. e. разпость фаз колебаний, воспринимаемых микрофонами Мг и М^ пропорциональна компоненте скорости ветра вдоль базы

МГМ2. Таким образом, акусти ческий микроанемометр является линейным датчиком, что выгодно отличает его от термоапе- мометра, являющегося нелинейным прибором. В некоторых образцах акустических анемомет- ров(см. [45])база 27имеларазмер около 2 см. Постояппая времени акустического анемометра равна Z/c0 и вносимое сю усреднение ничтожно по сравпспию с пространственным усреднением на базе 2Z. Многочисленные изме-

рения микроструктуры скоро

сти ветра при помощи акустических анемометров проводились в работах [47, 49].

Для обработки результатов измерений микроструктуры турбулентности необходимо производить очень большое количество вычислений. В последнее время в экспериментальной технике нашли широкое применение приборы для автоматического ста

тистического анализа: многоканальные частотные анализаторы, коррелометры и т. д. [50].

При этом оказалось значительно удобнее исследовать не пространственную, а временную микроструктуру турбулентности в одной или нескольких немногих точках пространства. Применение повой экспериментальной техники позволило за сравнительно короткое время получить и обработать очень большой экспсриментальптэгй материал, соответствующий сотням часов наблюдений.

Связь временной и пространственной структуры турбулентности (гипотеза «замороженности»)

В разделе А при рассмотрении пространственно-временных спектров была сформулирована высказанная Дж. Тейлором гипотеза о «замороженности» турбулентности, которая сводилась к тому, что вся пространственная картина случайного поля / (г) двп?кется со средней скоростью ветра -и:

f (г, t + У) = / (г — 〃*，t).

Отсюда была получена связь между пространственно-временными структурными функциями D (г, т) и чисто прострапственными функциями D (г):

D (г, т) = D (> — ит).(1)

Была получена также формула, связывающая временной (частотный) спектр случайного скалярного поля W ((о), определенный соотношением

ОО

В (т) — 2 ^ Ж (s) cos сот ds,о

с его пространственной спектральной плотностью Ф (х). Для случая локально изотропного поля, когда Ф (х) = Ф (х), эта связь выражалась формулой

8

W ((о) — — \ Ф (х) xdx(2)

или

ф3 = —费仍 w»(3)

В случае, если Ф (х) соответствует《закону 2/3», т. е. имеет вид

Ф(х) = Л к%,(4)

частотный спектр W (со) выражается формулой 呻3)=肾m2「%,(5)

т, е. W (з) пропорцпональпо 8-％・

Сравнивая (3) с формулой (13.4) Ф (х)二 一(2几乂厂工『(乂), легко получить соотношение

V (х) = vW (х I?))(6)

связывающее одномерный пространственный спектр V (х) л о- кально изотропного поля с его временным (частотным) спектром W ((D)в случае «заморожепности» поля.

/像2勿勿%^r?/像2勿勿%^r?Рис. 10. Сопоставление «пространственного» и «временного» (частотного спектров температурных флуктуаций.Рис. 10. Сопоставление «пространственного» и «временного» (частотного спектров температурных флуктуаций.У7(х),即曲z/门尸

/像2勿勿%^r?

/像2勿勿%^r?

Рис. 10. Сопоставление «пространственного» и «временного» (частотного спектров температурных флуктуаций.

Рис. 10. Сопоставление «пространственного» и «временного» (частотного спектров температурных флуктуаций.

«Пространственные» спектры получены путем измерений временного частотного спектрапри помощи быстро движущегося датчика, установленного на самолете. «Временные»спектры получены с использованием неподвижного датчика температуры, установленногона вышке на высоте 70 м. Скорость самолета 88 м/сек (а) и 55 м/сек (б), скорость ветра9 м/сек. Черные кружки — «временной» спектр, белые кружки — «пространственролЙ»спектр.

Попытаемся выясййть условия, при которых можно ожидать выполнения гипотезы заморозкенности. Для этого рассмотрим движение неоднородности поля скорости, имеющей характерный размер L Время, в течение которого эта неоднородность проходят мимо точки наблюдения, имеет порядок Т = f/й, где 五——средняя скорость ветра. С другой стороны, «собственное время жизни» неоднородности, за которое происходит ее существенное

изменение (эволюция), имеет порядок

22/%

Т —* 弋——•

々侬)2е/з

Ясно, что для того, чтобы можно было пренебречь эволюцией неоднородности за то время, пока она проходит мимо точки на- выполнялось условие т 身 7\Ясно, что для того, чтобы можно было пренебречь эволюцией неоднородности за то время, пока она проходит мимо точки на- выполнялось условие т 身 7\блюдения, необходимо, чтобы т. е.夕з/『з 货该-* откуда

Ясно, что для того, чтобы можно было пренебречь эволюцией неоднородности за то время, пока она проходит мимо точки на- выполнялось условие т 身 7\

Ясно, что для того, чтобы можно было пренебречь эволюцией неоднородности за то время, пока она проходит мимо точки на- выполнялось условие т 身 7\

(%"运 и. а

Но последнее условие всегдо выполняется, если ZW 厶о，ГД- Lq — внешний масш таб турбу лентности. Действительно, 〃〜 ~ (%)%, что и приводит к условию I 运工0・ Таким образом, отступления от «замороженно- сти» можно ожидать лишь в области крупных масштабов вне инерционного интервала турбулентности. В ипорционном же и вязком интервалах можно ожидать хорошего выполнения «гипотезы замороженное™».

Экспериментальная проверка «гипотезы замороженности» проводилась в работах [51, 52]. Для этого в [52] производились одновремеппыс измерения частотных спектров температурных флуктуаций в неподвижной точке на высоте 70 м (вышка) и измерения частотного спектра на самолете, летевшем

勿例 70% 炉 勿亭 勿寸勿例 70% 炉 勿亭 勿寸Рис. 11. Сопоставление «пространственного» и «временного» спектров показателя преломления.Рис. 11. Сопоставление «пространственного» и «временного» спектров показателя преломления.на той же высоте 70 м со скона той же высоте 70 м со скоростью' рс. Так как самолет движется с очень большой скоростью по сравнению со скоростью ветра, то можно считать, что он пересекает неоднородности практически мгновенно и полученный с его помощью частотный спектр 缁(8) (после перехода

勿例 70

% 炉 勿亭 勿寸

勿例 70

% 炉 勿亭 勿寸

Рис. 11. Сопоставление «пространственного» и «временного» спектров показателя преломления.

Рис. 11. Сопоставление «пространственного» и «временного» спектров показателя преломления.

на той же высоте 70 м со ско

на той же высоте 70 м со ско

к пространственным волновым числам 乂 = 7") является практически одномерным пространственным спектром случайного поля. V (х) можно рассчитать из Wc (①)при помощи формулы, аналогичной (6):

V (m) — %%仅%).

По измерениям частотного спектра W (з) в неподвижной точке, пользуясь гипотезой «замороженности», также можно рассчитать V (х):

V (х) = uW (хи).

В случав выполнения «гипотезы замороженности» оба выражения для V (х) должны совпадать. На рис. 10 приведены два таких сопоставления, из которых видно, что в исследованпой области волновых чисел, доходящих до 10~5 см■丄,гипотеза «замороженности» выполняется очень хорошо. Область волновых чисел, в которой экспериментальпо подтверждается эта гипотеза, оказывается даже значительно большей, чем можно было бы судить на основании приведенной выше оценки I у Lo. Аналогичные результаты получены в [51] и по отношению к полю показателя преломлепия (рис. 11).

Прямой проверки «замороженпости» для поля скоростей не

производилось, однако имеется множество косвенных подтверждений этой гипотезы, получаемых из сопоставление основанных на ней выводов с экспериментальными данными.

Измерения спектра поля скоростей в инерционном и вязком интервалах

В упоминавшейся уже работе [22] были исследованы частот ные спектры продольной составляющей скорости в море*). Датчиком скорости служил термоанемометр с размером чувствительного элемента менее 0,5 мм. Это позволило экспериментально исследовать как инерционный, так и вязкий интервал волновых чисел.

Установим связь между спектром продольной компоненты скорости и функцией Е (х). Воспользовавшись формулой (3.9)

0«)=焉限-*/乂)，

запишем выражение £)а (г):

Направим ось х ло вектору г; тогда г = {г, 0, 0} и 0и (г)= =Drr (г). Тогда при i =后=1 получим

88=2 \ [1 — cos %!г] d%i § (xj + xl)88=2 \ [1 — cos %!г] d%i § (xj + xl)E(#脅卜哈I■呜)4K (x； + /+嗡2E(#脅卜哈I■呜)4K (x； + /+嗡2d 乂2 d乂з.d 乂2 d乂з.

88

=2 \ [1 — cos %!г] d%i § (xj + xl)

88

=2 \ [1 — cos %!г] d%i § (xj + xl)

E(#脅卜哈I■呜)4K (x； + /+嗡2

E(#脅卜哈I■呜)4K (x； + /+嗡2

d 乂2 d乂з.

d 乂2 d乂з.

Это выражение ииеег вид одномерного спектрального разложения

。"&) = 2、(1 — cosx1r)Vrr(x1)dx1, где

У"的)=言 S &；；U%)2 • Е (М必十 W + 噺 dx2 d&.

Производя в интеграле замену переменных ха = X cos 屮， х3 — =1 sin ф и выполняя интегрирование по ф, получим

%出）=下）（炉+喲2儿叽

что после подстановки 入纟 + 乂； = 乂” дает

и *2 一 х：

Vrr^^^-^^E^jdK^(1)

Эта формула выражает одномерную спектральную плотность 匕г (乂1) через Е (х). Дифференцируя это соотношение, получаем

откуда, умножая обе части равенства на — и снова дифференцируя, получим

Следовательно, если известна функция Vrr (х), то Е (х) может быть найдена по формуле

⑵⑵

⑵

⑵

Рис. 12. Образец эмпирической спектральной плотности продольной компоненты скорости в инерционном и вязком интервалах ф (х) = 2Vrr (х). Прямолинейный участок кривой соответствует степеяпому закону хГ%.Рис. 12. Образец эмпирической спектральной плотности продольной компоненты скорости в инерционном и вязком интервалах ф (х) = 2Vrr (х). Прямолинейный участок кривой соответствует степеяпому закону хГ%.

Рис. 12. Образец эмпирической спектральной плотности продольной компоненты скорости в инерционном и вязком интервалах ф (х) = 2Vrr (х). Прямолинейный участок кривой соответствует степеяпому закону хГ%.

Рис. 12. Образец эмпирической спектральной плотности продольной компоненты скорости в инерционном и вязком интервалах ф (х) = 2Vrr (х). Прямолинейный участок кривой соответствует степеяпому закону хГ%.

Скорость диссипации энергии

е = 2v^ х2^ (х) dx

можно выразить непосредственно через функцию Vrr (х). Под ставляя выражение для £ (х) и 2 раза интегрируя по частям, но- лучнм формулу

£ = 30v\ X2Vrr (х) dx. (3) О

В описываемой работе [221 было произведено 17 измерений спектральной функции Угг (х) при различных условиях (в работе приводится функция ср (х) = 2Vrr(x)). На рис. 12 приведен в логарифмическом масштабе один из таких спектров. Левая верхняя часть графика на рис. 12 представляет собой прямую линию с угловым коэффициентом — 5/3, соответствующим теории Колмогорова —Обухова. В области больших волновых чисел заметно отступление от прямолинейного закона, обусловленное влиянием вязкости. Исполь

зуя измеренную функцию Угг (х), можно вычислить величину е. Ла рис. 13 приводятся в полулогарифмическом масштабе функции 乂 Vrr (х) и ^Vrr (х). Площадь под первой кривой в используемых координатах пропорциональна энергии турбулентности

а площадь под второй кривой пропорциональна в

ОО00

в ~ § x2Frr (х) dx = \ x3Frr (х) d In x.о0

Из графиков рис. 13 непосредственно видно разделение энергетического и вязкого интервалов и существование инерционного интервала турбулентности.

|Рис. 13. Образец эмпирической спектральной плотпости продольной компоненты скорости (/) и спектральной плотности скорости диссипа1щи энергии (2).

По оси абсцисс отложены волновые числа в логарифмическом масштабе, по оси ординат 2xVrr (х) (кривая I) ■ 2 хэ Vrr (х) (кривая 2). В этих координатах площади под кривыми I н 2 пропорциональны полной анергии турбулентности (кривая ?) и скорости диссипации дпергив {кривая 2). Данные иллюстрируют разделение онергосодерясащего и вязкого интервалов.

Согласно колмогоровской теории турбулентности функция 0“ (х) / инерционном и вязком интервалах может быть представлена в виде

匕,(")=(州)'/审(叫)，

где % — (у%т)% и 尸(n) — безразмерная функция безразмер^ ного аргумента. Следовательно, если для каждого измерен* ного спектра Vrr (х) определить е по формуле (3), затем построить график, в котором по оси ординат отложена величина 匕г (乂)/(鸵5)九，а по оси абсцисс 乂厶=n, то мы должны получить универсальную функцию F (n)・ На рис. 14 в логарифмическом

428 СВЕДЕНИЯ ПО ТЕОРИИ ТУРБУЛЕНТНОСТИ [гл. 1 масштабе приводятся все 17 спектров в координатах У)т (х)/ (ev5)1, х/0. Видно очень хорошее совпадение всех данных, полученных при совершенно различных е, которое менялось в пределах от

Рис. 14. Пространственная спектральная плотность 卩疗(х) продольной компоненты в безразмерных координатах.

По оси абсцисс отложеяо в логарифмическом масштабе произведение волнового числа на колмогоровский масштаб длияы. По оси ординат, также в логарифмическом масштабе,— нормггрованная на《2冉乂 спектральная плотность. Необходимая для порвшровки величина е определялась для каждого из помещенных здесь 17 спектров как площадь под кривой 2 на рис. 13. Приведенные на этой графине данные являются прямым дкспервменталь* ныи подтверждением универсального вида спектра турбулентности в вверциовсом и вязком интервалах.

0,0015 до 1,2 с諸[сеЕ* График на рис. 14 является прямым экспериментальным подтверждением колмогоровской теории турбулентности *).

В области х У Kg р 后1 измеренные значения Vrr (х) хорошо аппроксимируются формулой

Vrr (х) = ^ 4 8'/*%

(множитель 9/55 введен для удобства). Так как значения е известны на основании измерений Угг (х) в области диссипации, то это

£ 21] ИЗМЕРЕНИЯ В ИНЕРЦИОННОМ И ВЯЗКОМ ИНТЕРВАЛАХ 129 дает возможность определения константы Л. Значения этой константы, определенные по каждому из 17 спектров, оказались очень близкими. Среднее значение 4 оказалось равным 1,35 -I- 0г06. Функции 匕г (х) = ^Ае'&Т/'з согласно формуле (2) соответствует e (X)=▲ 8%方%.

Если вычислить структурную функцию D『z соответствующую этому спектру, то она, как уже отмечалось, равна

DTT (г) = Об%*%,

причем С2 связано с Л формулой

(см. раздел Б). Отсюда для С2 можно получить значение

О = 1,77 ± 0,08.

Во всей области волновых чисел» включая вязкий интервал, экспериментальные данные хорошо аппроксимируются формулой

Е ⑺=/в%'/%-%%(4)

причем а и 4 связаны соотношением вытекающим из условия

& = 2в〈 ^(х) х2 dx.

Сплошная кривая, проведенная на рис. 14, построена по формуле (1) с применением (4). Как видно из графика, спектральная плотность вида (4) хорошо согласуется с экспериментальными данными во всей области волновых чисел.

Значение постоянном а, соответствующее значению А = =1,35 土 0,8, равно а = 4；8 土 0,17. Постоянную а можно определить также и по виду спектра в интервале диссипации из сопоставления экспериментальных данных с аппроксимирующей функцией Frr (х), основанной на (4). Это приводит к значению а = 4,36, близкому к величине, полученной по инерционному интервалу спектра. Значению а = 4,36 соответствует константа С3, равная

С2 к 1,55.

5 В. И. Татарский

§ 22・ Микроструктура полей скорости ветра и температуры в приземном слое атмосферы

В приземном слое атмосферы проводились многочисленные измерения основных характеристик турбулентности [47——49, 53—55].

Образец структурной функции ноля скорости был приведен на рис. 7. На рис. 15 в безразмерных координатах приводится частотный спектр флуктуаций вертикальной составляющей скорости ветра, лолученный в [49] усреднением по большому коли-

败鱼刀 “次败鱼刀 “次Рис. 15. Эмпирический частотный спектр вертикальной компоненты скорости ветра п приземном слое атмосферы, построенный в безразмерных координатах в логарифмическом масштабе.Рис. 15. Эмпирический частотный спектр вертикальной компоненты скорости ветра п приземном слое атмосферы, построенный в безразмерных координатах в логарифмическом масштабе.Рис. 16. Эмпирический частотнгяй спектр температурных флуктуаций в приземном слое атмосферы, построенный в безразмерных координатах в логарифмическ ом масштабе.Рис. 16. Эмпирический частотнгяй спектр температурных флуктуаций в приземном слое атмосферы, построенный в безразмерных координатах в логарифмическ ом масштабе.

败鱼刀 “次

败鱼刀 “次

Рис. 15. Эмпирический частотный спектр вертикальной компоненты скорости ветра п приземном слое атмосферы, построенный в безразмерных координатах в логарифмическом масштабе.

Рис. 15. Эмпирический частотный спектр вертикальной компоненты скорости ветра п приземном слое атмосферы, построенный в безразмерных координатах в логарифмическом масштабе.

Рис. 16. Эмпирический частотнгяй спектр температурных флуктуаций в приземном слое атмосферы, построенный в безразмерных координатах в логарифмическ ом масштабе.

Рис. 16. Эмпирический частотнгяй спектр температурных флуктуаций в приземном слое атмосферы, построенный в безразмерных координатах в логарифмическ ом масштабе.

честву измерений при одинаковых условиях (число Ричардсона близко к нулю, так что отступления от безразличной температурной стратификации несущественны). Спектр, изображенный в логарифмическом масштабе, имеет прямолинейный участок, соответствующий степенному закону Е (х)〜乂-% (экспериментально найденный показатель степени оказался равным ——1,64, что с достаточной точностью соответствует теоретическому значению —5/3 = —1,67 и гипотезе «замороженпости»). В области крухшых масштабов, соответствующих внешнему масштабу турбулептности Е = 乂 наблюдается отклонение от степенного закона (спектраль-

§ 22] МИКРОСТРУКТУРА ПОЛЕЙ В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ 131 ная плотность при безразличной стратификации имеет максимум приблизительно при х/2л = 0,06 z-1).

На рис. 16 приведен полученный в [53] частотный спектр флуктуаций температуры, также усредненный по большому количеству наблюдений. Как и на частотном спектрепульсаций скорости, здесь имеется участок, соответствующий зависимости спектральной плотности от частоты вида /_в< Среднее значение показателя степени, определенного из этих экспериментов, равно — 1,67, что находится в согласии с теорией Обухова и гипотезой «замо- роженносто тур бул ентн о сти.

В работах 149, 54] изучалась также зависимость интенсивности флуктуации от внепших условий. Согласно (26.16) и (27.1G)

От (г) = ad 2(Ri)「%(i —aRi)-%(& 醬『任广.

На рис. 17 изображена функция /i (Ri) = (1 —ос Ri)“ [屮(Ri)「“， полученная в [49] из сопоставления наблюдаемых значений

флуктуаций вертикальной компоненты скорости ветра с градиен

Рис. 17* Функция /1 (Ri), определяющая влияние температурной стратификации на флуктуации скорости*Рис. 17* Функция /1 (Ri), определяющая влияние температурной стратификации на флуктуации скорости*тами и и То. Значение константа С、входящей в формулу для£>гг, оказалось равным, согласно [49], С3 = 0,83 (в [49] приводится значение ^ С2 = 1,1).

Рис. 17* Функция /1 (Ri), определяющая влияние температурной стратификации на флуктуации скорости*

Рис. 17* Функция /1 (Ri), определяющая влияние температурной стратификации на флуктуации скорости*

На рис. 18 изображена аналогичная функция

%(Ri)= h|)(Ri)「%(i-aRi)T полученная в [54] из измерений температурных флуктуа-

ции. Значение постоянной aa2,

входящей в DT (г), оказалось

равным aa2 = 2,8 [185]*).

При отрицательных Ri < V —0,05 функция 屮(Ri) хорошо согласуется с асимптотикой, указанной Пристли [56] для

измерений, не зависящей от г (измерения проводились при г = 25 см и 50 см).По измеренной величине S можно рассчитать константу С2, связанную с S формулой д3 =измерений, не зависящей от г (измерения проводились при г = 25 см и 50 см).По измеренной величине S можно рассчитать константу С2, связанную с S формулой д3 =Рис. 18. Функция /а (Ri), определяющая влияние температурной стратификации на флуктуации температуры.Рис. 18. Функция /а (Ri), определяющая влияние температурной стратификации на флуктуации температуры.нина и А. М. Яглома [185J. Нанина и А. М. Яглома [185J. На

измерений, не зависящей от г (измерения проводились при г = 25 см и 50 см).

По измеренной величине S можно рассчитать константу С2, связанную с S формулой д3 =

измерений, не зависящей от г (измерения проводились при г = 25 см и 50 см).

По измеренной величине S можно рассчитать константу С2, связанную с S формулой д3 =

Рис. 18. Функция /а (Ri), определяющая влияние температурной стратификации на флуктуации температуры.

Рис. 18. Функция /а (Ri), определяющая влияние температурной стратификации на флуктуации температуры.

нина и А. М. Яглома [185J. На

нина и А. М. Яглома [185J. На

режима свободной конвекции (§ 16)

причем численный коэффициент в этой формуле оказывается равным 0,37:

屮(Ri) у 0,37 I Ri「У

Отметим также работу А. С. Гурвича [48], в которой прове

двны измерения асимметрии S = /)"「/(■/)")〃• Эта величина (при числах Рейнольдса порядка 106 + 10е) оказалась равной 一 0,42 и, в пределах точности

[S「i (см. 11.12). Это дает

для О значение С2 = 1,54, близкое к значеншо, полученному из измерении спектра турбулентности в море* Отметим также, что в работе Таунсенда [42] приводится значение С? = 1,60. Детальный анализ результатов многочисленных измерений микроструктуры поля скоростей приведен в монографии АСМо- основании этого анализа авторы

рекомендуют, как наиболее надежное, значение С3= 1,9, точность которого приблизительно равна 10%. Оту величину мы и будем употреблять для численных оценок.

Структура турбулентности в нижней тропосфере

Измерения флуктуаций скорости ветра, температуры и показателя преломления проводились в последние годы на высотных мачтах [58], привязных аэростатах [51] и самолетах [51, 59, 60]. Кроме того, о флуктуациях показателя преломления можно судить и на основании косвенных данных по распространению радиоволн и света (такие оценки будут сделаны в гл. 2 и 4).

На рис. 19——22 приведено несколько спектров флуктуаций показателя преломления, полученных в работах [35, 61] (самолетные данные). Как видно из графиков, эти спектры хорошо согласуются с законом W (<о)〜со-®/% соответствующим теории. На

рис. 23 приведены в относительных единицах одномерные пространственные спектры пульсаций температуры, полученные Цвангом [59] при самолетных измерениях. Из графика видно» что в области мелких масштабов довольно хорошо выполняется зависимость V (х)〜 箕一‘厶. В области крупных масштабов наблюдаются небольшие отступления от этого закона, закономерно связанные с высотой, на которой производились измерения. Качественно эти отступления согласуются с теорией, учитывающей влияние архимедовых сил на спектр температурных флуктуаций.

Рис. 19. Примеры эмпирических частотных спектров флуктуации показателя преломления в тропосфере, построенные в логарифмическом маспггабе.

Прявсые соответствуют степенной зависвшости вцда /~^ значения m указаны на графиках.

На рис. 24 приводятся спектры флуктуаций вертикальной компоненты скорости ветра, полученные в [60]. Здесь, как и в предыдущих случаях, хорошо соблюдается закон Е (х) ~■ %-'/，

Для практики представляет большой интерес зависимость интенсивности флуктуаций от высоты. Эта зависимость изучалась в работах [59, 60]. Прежде чем переходить к анализу экспериментальных данных, выясним, как флуктуации зависят от высоты в пределах приземного слоя. В случае безразличной температурной стратификации величины Ргг (г) и DT (г) зависят от высоты как z-%, а е и ^ пропорциональны Поэтому при безразличной температурной стратификации можно ожидать довольно резкого уменьшения флуктуаций с высотой, В случае же неустойчивой температурной стратификации практически уже при Ri《 一0,05 наступает режим свободной конвекции. (Так как число Ричардсона в приземном слое по абсолютной величине

6V一山".力V

00001 11 1111rl1 !■ I J 丨 “ I1!_ j，u‘ ：

'〃 〃2 Q4 Q6Q81 Z 4 6 810 步 40 cOdOW

Рис. 20. Примеры эмпирических частотных спектров флуктуаций показателя преломления в тропосфере, построенные в логарифмическом масштабе.

一， 一二二 一 一 一 一L一 二二.2 7缈缈勿勿场，！J,

级機zwffiz

монотонно возрастает с высотой, то практически режим свободной конвекции устаналивается при неустойчивой стратификации на сравнительно небольшой высоте.) В этом случае (см*§ 16) е не зависит от высоты, а Лг ~ L/久 т. е. флуктуации скорости постоянны: по высоте, а флуктуации температуры убывают кам

■^^пота,гц■^^пота,гцРис. 21. Пример эмпирического частотного спектра показателя преломления в приземном слое атмосферы, & = 18 м/сек.Рис. 21. Пример эмпирического частотного спектра показателя преломления в приземном слое атмосферы, & = 18 м/сек.Рис. 22. Пример эмпирического частотного спектра показателя преломления в приземном слое атмосферы, 力=4,2 м/сек.Рис. 22. Пример эмпирического частотного спектра показателя преломления в приземном слое атмосферы, 力=4,2 м/сек.

■^^пота,гц

■^^пота,гц

Рис. 21. Пример эмпирического частотного спектра показателя преломления в приземном слое атмосферы, & = 18 м/сек.

Рис. 21. Пример эмпирического частотного спектра показателя преломления в приземном слое атмосферы, & = 18 м/сек.

Рис. 22. Пример эмпирического частотного спектра показателя преломления в приземном слое атмосферы, 力=4,2 м/сек.

Рис. 22. Пример эмпирического частотного спектра показателя преломления в приземном слое атмосферы, 力=4,2 м/сек.

Прямая линия соответствует за-висимости /-%.Прямая линия соответствует за-висимости /-%.Прямая линия соответствует за-висимости /-%.Прямая линия соответствует за-висимости /-%.

Прямая линия соответствует за-висимости /-%.

Прямая линия соответствует за-висимости /-%.

Прямая линия соответствует за-висимости /-%.

Прямая линия соответствует за-висимости /-%.

Lh. Таким образом, зависимость флуктуаций от высоты резко меняет свой характер в зависимости от температурной стратификации.

На рис. 25 представлена полученная в [59] зависимость от высоты величины С^ ~ 炉％£-电 входящей в формулу 少丁(z)= =6^尸府・ Величина Ст определялась из спектров флуктуаций температуры.

График на рис. 25 получеп путем усреднения десяти различных высотных зависимостей С* = Су (г), полученных в сходных условиях, относящихся к конвективному режиму (жаркий летний день, 12——14 часов). Пунктиром на рис. 25 проведена прямая, соответствующая убыванию Ст (z) по закону 璃 ~ 〜LR Следует отметить, что пе только усредненная по нескольким полетам кривая & (z) хорошо подчиняется этому закону, но и каждый из высотных разрезов хорошо соответствует этой формуле.

На рис. 26 приводен высотный ход величины е (z), полученной в той же серии полетов (но в другое время) на основании измерений частотных спектров горизонтальной компонепты скорости ветра [60]. Величина е, как видно из рис. 26, почти не

зависит от высоты вплоть до z ^ 1 хм. (На высоте порядка 1,5 км располагался слой облачности и температурная стратификация уже не соответствовала неустойчивости.)

туации температуры на различных высотах в тропосфере в относительных единицах % = 10-4 сж"1.туации температуры на различных высотах в тропосфере в относительных единицах % = 10-4 сж"1.Как видно из сопоставления данных, относящихся к зависимостям 凿，(z) И £(Z), формулы £ (z) = const И Ст(Z)~ полученные для неустойчивой температурной стратификации

туации температуры на различных высотах в тропосфере в относительных единицах % = 10-4 сж"1.

туации температуры на различных высотах в тропосфере в относительных единицах % = 10-4 сж"1.

Vw(9CtZ)Vw(9CtZ)Рис. 24. Одномерные горизонтальные пространственные спектры вертикальной компонепты скорости ветра на различных высотах в тропосфере в относительных единицах Хо = 10-8 с^1.Рис. 24. Одномерные горизонтальные пространственные спектры вертикальной компонепты скорости ветра на различных высотах в тропосфере в относительных единицах Хо = 10-8 с^1.для приземного слоя атмосферы, оказываются справедливыми для всего слоя конвекции (до высоты порядка 1 кж). Как было установлено выше (см. (28.16)), для режима свободной конвекции е

Vw(9CtZ)

Vw(9CtZ)

Рис. 24. Одномерные горизонтальные пространственные спектры вертикальной компонепты скорости ветра на различных высотах в тропосфере в относительных единицах Хо = 10-8 с^1.

Рис. 24. Одномерные горизонтальные пространственные спектры вертикальной компонепты скорости ветра на различных высотах в тропосфере в относительных единицах Хо = 10-8 с^1.

爲=爲=CG 8%蒜77^CG 8%蒜77^и Су = -77 связаны соотношением

爲=

爲=

CG 8%

蒜77^

CG 8%

蒜77^

Численный коэффициент в этой формуле можно оценить по дан - ным работ [49, 54, 62]; он оказывается приблизитольчо равным 0,7 (это значение не очень надежно и нуждается в уточнении). Таким образом,

Для проверки этого соотношения воспользуемся дайны мй, приведенными на рис. 25 и 26. Для z = 500 ле,鄧=4 -1СГ5 zptxd'/ou%

GdP曲2M用GdP曲2M用турной характеристики температурных флуктуаций С* в тропосфере оттурной характеристики температурных флуктуаций С* в тропосфере отвысоты в условиях свободпой конвекции.высоты в условиях свободпой конвекции.工陋脚3 削「工陋脚3 削「协 it，」 」111—I—50 70100 認 500 1030 2000Ж0Рис. 26, Образец зависимости скоро-сти диссипации энергии турбулентно-сти е в тропосфере от высоты в усло-виях свободной конвекции.协 it，」 」111—I—50 70100 認 500 1030 2000Ж0Рис. 26, Образец зависимости скоро-сти диссипации энергии турбулентно-сти е в тропосфере от высоты в усло-виях свободной конвекции.

GdP曲2M用

GdP曲2M用

турной характеристики температурных флуктуаций С* в тропосфере от

турной характеристики температурных флуктуаций С* в тропосфере от

высоты в условиях свободпой конвекции.

высоты в условиях свободпой конвекции.

工陋脚3 削「

工陋脚3 削「

协 it，」 」111—I—

50 70100 認 500 1030 2000Ж0

Рис. 26, Образец зависимости скоро-сти диссипации энергии турбулентно-сти е в тропосфере от высоты в усло-виях свободной конвекции.

协 it，」 」111—I—

50 70100 認 500 1030 2000Ж0

Рис. 26, Образец зависимости скоро-сти диссипации энергии турбулентно-сти е в тропосфере от высоты в усло-виях свободной конвекции.

и в = 370 cMe *8駡-久 Полагая § — g/T= 3,5сле ^се^ *叩(1歹\ получим 公= 0,7爲(磊广。8.S警;，

т. е. численное совпадение с точностью до коэффициента 2，что следует считать вполне удовлетворительным, поскольку сравниваются усредненные данные, получаемые к тому же не одновременно и, возможно, при разных числах Ричардсона. Сопоставление величин ей <7т на других высотах также дает хорошие результаты.

Таким образом} данные, приведенные на рис. 25 и 26, свидетельствуют, что в конвективных условиях теория «приземного слоя» может быть применена ко всему слою конвекции, который

распространяется до высот в несколько километров.

В то же время измерения ет проведенные на 300-метровой башне [58] при условиях, близких к безразличной стратификации, указывают на быстрое уменьшение & с высотой (е падает от нескольких десятков ^w2/ce№ па высоте 25 м до нескольких единиц на высоте 300 ле).

В заключение оценим величину флуктуаций показателя преломления в оптическом диапазоне, вызванных наблюдаемыми флуктуациями температуры. Согласно (1.15) в радиодиапазоне

где Г — B°K,/7ire — в миллибарах.

В оптическом диапазоне, где влажность несущественна, п ——i = ^^~-). Флуктуации п связаны с флуктуациями Т а80- Ю"6р х<р

соотношением on — ■—-о2 , а структурные характеристики

С^ и Су выражаются друг через друга при помощи формулы

尊=尊=80 ・gpу280 ・gpу2

尊=

尊=

80 ・gpу2

80 ・gpу2

Величина Ст согласно рис. 25 меняется в пределах от 10"в до 10~3 град2 слН%. Подставляя р — 850 мб и Т = 280°, получим, что Сп меняется в продолах 5* 10~19 -^- 5' 10~1G cw-% или Сп ~ ~0,001—0,020 TV-ед./с№^. (Для отклонения показателя преломления от 1 в радиометеорологии часто применяются так называемые ^единицы. 1 N-единица равна 10~6.) Эти значения Сп согласуются по порядку величины со значениями Cnj полученными па основании прямых измерений с рефрактометрами [61 ].

t лава 2

РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ И ЗВУКОВЫХ ВОЛН

В ТУРБУЛЕНТНОЙ АТМОСФЕРЕ

Вопрос о рассеянии волн атмосферной турбулентностью привлек к себе значительное внимание в связи с экспериментально обнаруженным явлением дальнего тропосферного распростра- непия ультракоротких волн. Наблюдаемые за горизонтом значения напряженности поля при этом зпачителыю превосходят тот уровень, который может быть объяснен дифракцией радиоволн вокруг поверхности Земли. Букер и Гордоп [63] высказали

Рис. 27. Геометрия рассеяния при распространении радиоволн за горизонт.

z — высота центра рассеивающего сбзе身а, 0 — уггл i.acccniiiijj.

предположение, что это явление может быть объяснено рассеянием радиоволн на неоднородностях диэлектрической проницаемости атмосферы (см. рис. 27)* Затем последовало большое количество теоретических и экспериментальных работ по рассеянию радиоволн. Были выдвинуты также и другие возможные механизмы, объясняющие дальнее тропосферное распространение УКВ.

Вероятнее всего, что явление дальнего тропосферного распространения объясняется одновременным действием многих причин, среди которых рассеяние играет одну из главных рол ей.

А. РАССЕЯНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛП

Уравнения распространения воля

Распространение электромагнитных волн описывается уравнениями Максвелла

rotd = —；醬(la) r°t^ = ；礬，(16)

div e銀=0,(1в)

где 銀必能——напряженности электрического и магнитного полей и е — диэлектрическая проницаемость.

Мы предполагаем, что магнитная проницаемость jx = 1 и проводимость среды и = 0. Диэлектрическая проницаемость среды испытывает флуктуации, вызванные турбулентностью. Мы будем предполагать, что характерные частоты этих флуктуаций малы по сравнению с частотой колебаний электромагнитного поля. В этом случае целесообразно ввести величины^ (г, t)nH (г, £) св гласно равенствам

名(九，)=e(*9d叫(2а)

ЗГ(г, 1) = Н(г, 1)е^,(26)

£ и Н представляют собой медленно меняющиеся комплексные амплитуды полей. Подставляя (2) в (1), получим уравнения

not Е = ikH —,(За)

rot H = — ikeE + ~^~,(36)

div ъЕ = 0,(Зв)

где 左=(о/с.

Применим к (За) операцию rot и воспользуемся уравнением (36); получим

rot rot Е =胪Нг.(4а)

Воспользовавшись также формулой rot rot Е =——А 石 + grad div J?, перепишем это уравнение в виде

Д£ + *2е£ = grad div Е乔- + %г 而一•(46)

Уравнение (Зв) можно записать в виде 8 divE + Е grade = О, откуда div_E= — Egrad Ine. Подставляя это выражение в (46), получим

АЕ + 依£七=—grad (Е grad In 8)—辱將 + $ ^"・(4в)

Мы будом в дальнейшем рассматривать распространение элект- ромагнитнь№ волн в среде со слабыми флуктуациями диэлектрической прондцаемости. Положим е =〈е〉+ е^ где〈е〉——среднее значение 8 и ^ = 8 — <8> — флуктуирующая часть. Очевидно, что в силу определения 〈厶〉= 0. Малость флуктуаций означает, что <|е1|><^(8>. Это условие с большой точностью выполняется в тропосфере, где <8> имеет порядок 1, а (\^) ■1(Г6—10"6. Условие 〈[Sil〉宣〈е〉 может нарушаться в ионосфере вблизи слоя, где <е> обращается в нуль, поэтому этот случай требует отдельного рассмотрения (см., вапример, [64]). Среднее значение <8> может, вообще говоря, зависеть от координат и времени. Такие изменения <8> обусловливают эффекты систематической рефракции (или сверхрефракции), и нх рассмотрение не входит в нашу задачу. Мы поэтому ограничимся случаем〈е〉= const.

В этом случае мы можем считать просто〈е〉= 1・ Полагая е = =1 + % н считая〈 |q |>《 1, преобразуем уравнение (4в) так, чтобы 8Х фигурировало лишь в его правой части.

Пол агая In (1 + е,弋 电，получим

aе +依Е = 一胪eе - grad {Е grad团)一亭警■十• (5)

Первый член в правой часта (5) имеет порядок величины %Е/ХЛ; второй можно оценить как ZyEl^l^ при 入《Zo и как ^Е/^ при 厶《1, где 1 = 2 л/А ——длина волны,厶—внутренниё масштаб тур бу лентности. Следов ательно, сумма первого и второго членов имеет порядок %EN при 入《% или %Е/% при " W 1.

Рассмотрим теперь член^―. Подставляя 8 =丄 十 ех,

будем иметь

Но ^~ Y) гДе т—характерное время, за которое изменяется Si； т 〜1&5 где и ——скорость перемещения неоднородностей (скорость ветра). Таким образом,

方 d&i 61Е»

Оценим теперь член -^. Для характерного времени изменения Е можно указать две величины. Первая связана с изменениями 玩 к соответствующее время имеет порядок т, тан что

дЕЕЕг

dt~т~ ?о

Вторая причина изменения Е — возникновение допйлеровских частот при перемещении неоднородностей. Здесь 〜—вЕ毕・ Таким образом,

~5J厂 + 丁 = Еи 匕 +

В случае 入《/0

В случае

дЕ

Ev

^0 *^ 入

дЕ

弟

В обоих

случаях величина

дЕ-■

宓 оказывается большом по срав-

нению с Е интерес длин

и

М Ev

-^— 82 практически для всех представляющих

волн. Итак,

dtкпрн

HsEEv『n а

~1丁при ‘°《'

Сравним теперь порядок третьего члена правой части уравнения (5) ——^― с величиной его первых двух членов.

При 入《2。их отношение имеет порядок

［三讐］/（券）一

При %《儿 получим

[3*/(号卜击

Таким образом, если выполняется условие

то в уравнении (5) можно пренебречь третьим членом по сравнению с первыми двумя. Условие (6) хорошо выполняется в атмосфере, <*де q ~ 1°т — 4О~б и Z 〜10~8. Последний член в правой частя (5) имеет следующий по и/с порядок малости и им можно пренебрегать практически всегда. Имея в виду, что условие (6) выполнено, получим уравнение

△Е + 胪Е =—胪右 1后一grad (Е grad ej,(7)

в котором время входит лишь в виде параметра.

Рассеянное поле

Пусть на некоторый объем F, заполненный средой с флуктуирующей диэлектрической проницаемостью ер падает волна Е()(т), причем, очевидно

击嗅=0(1

(условие поперечности).

Наличие неоднородностей в рассеивающем объеме приводит к рассеянию волн. Мы рассмотрим здесь случай слабого рассеяния, когда можно ограничиться приближением однократного рассеяния. Этому приближению соответствует решение уравнения (7.24) при помощи метода малых возмущений с ограничением линейными по 力 членами. Положим

Е = Eq + %

где JE.—— рассеянное поле, пропорциопальное флуктуациям 右卜 Подставляя это выражение в (7.^4), учитывая, что AEq + 胪否。= =0, и оставляя в правой части уравнения лишь член с Еь (так как учет Е6 привел бы к квадратичным по 右】членам), получим

Д-Е, + 疗坨——胪右iE° — grad(画° grad 右)(2)

При решении уравнения (2) мы не будем учитывать граничных условий на поверхности земли и будем считать, что объем V помещен в безграничном пространстве. В этом случае единственное условие, накладываемое на решение уравнения (2),—— это условие излучения. Удовлетворяющее ему решение уравнения (2), как известно, имеет вид

■Е，(*•) = ★ \ f 竺二伯％1 С) Ео (") + grad (В。grad 也①'))} Qk.

Преобразуем второе слагаемое в этом выражении при помощи теоремы Гаусса в форме

(4)(4)u grad vdV = ,uydb — \ u grad 〃 dV.SV

(4)

(4)

Здесь db —— вектор величиной do, направленный по внешней нормали к поверхности S, охватывающей обвем 7. Тогда

殴⑺产1俨)一

—0е (") grad ①(")) gradr，(:;二；)]d3r' -f-

+ 亲“:;二,；(瓦 grad 玩)d6(5)

8

Поверхностным интегралом в (5) можно пренебречь, так как в случае достаточно большого по величине рассеивающего объема роль поверхностных эффектов мала по сравнению с объемными (первые пропорциональны 9，а вторые — L3, где L — характерный размер рассеивающего объема). Вычислим также входящий в (5)

「岷」声I—'I ] т — « 心

gra%-心一可 —1_ |r —r'|I г _г* р J |к — jj •⑼

Величина [г — г'| — расстояние от рассеивающего объема до точки наблюдения. В случае, если Л| г — г'|^>1 (эта область носит название волновой эоны), второе слагаемое в (6) можно отбросить и (5) приобретает вид

四s("。言 S^r'^^{依 ®(")Е。①')+

+ ^ I 二;'『(% S) grad %(”))}.(7)

Второе слагаемое в (7) также содержит градиент и его опять можно преобразовать по теореме Гаусса, причем ес приходится использовать в форме

薪財= «ug(db)T "需优

Преобразуя (7), мы снова пренебрежем поверхностным интегралом, а при дифференцировании выражения

言{詳»*}

будем дифференцировать только экспоненту, так как @ , = О в силу условия div Е^ = 0, а остальные множители в волновой зоне менятртся значительно медленнее, чем экспонента. В результате всех преобразований получаем формулу

也6 8)=指，.在三彳 s(") {也。①')_十』(#多 £o(H)}d7.

v()

Единичный вектор

九(力，力')=・1二二斤(9)

направлен из переменной точки интегрирования г' в сторону точки наблюдения г. Воспользовавшись формулой £0 — я (я JE0)= = [n [Ео nil, мы можем записать (8) также в форме

Ее ①)=亲、”й S(力)便 1^?о(*•>]] dV. (8a)

Выражение (8а) для рассеянного поля является достаточно общим, так как при его выводе не вводились какие-либо ограничения на вид падающей волны EQ1 величину рассеивающего объема V и расстояние от него до точки наблюдения (за исключением того, что эта точка должна находиться в волновой зоне).

Средняя интенеивноеть рассеяния

Эта величина определяется вектором плотности потока энергии (вектор Пойнтинга)

8 =訂[m风].

(I)(I)В случае использования комплексных амплитуд полей среднее за период колебания значение вектора & равно

(I)

(I)

(За.24),(За.24),Для нахождения Н8 воспользуемся уравнением в котором можно опустить член -京：

(За.24),

(За.24),

■H's = W rot 瓦・

При вычислении rot Ев дифференцировать в (8а.25) следует литпь е^^^ так как в волновой зоне эта величина меняется наиболее быстро, а дифференцирование других множителей дает члены порядка ^. Напомним, что начало координат выбирается внутри рассеивающего объема, и поэтому г — это расстояние от рассеивающего объема до точки наблюдения. В результате получаем формулу

Нз ⑴)=凜 §-р^ 8i(H ЩЕ^г'. (2)

Выражение для 8 принимает вид

8 =詁係)R$［；一"：历-产 ё«)& e) X

X ［(瓦一я‘(就能’))［他 Ж*П炉产d3『，(3)

где для сокращения записи обозначено

瓦=Ей (г'), X = %，)，п' = п (厶力')，п" = п (г, “').

Величина & является случайной, так как зависит от случайных величин £] (r*)' ei (**")• Найдем ее среднее значение: 3(力)〉=费偌：R}/'中产二写'.二:: Jb，*)X

X [п" [(^оХ") — (ЕаП^^п')] + Е^ [(п'п") (E，on')—(E■onl,)]}, ⑷

Здесь 5е(г\ г*) — корреляционная функция флуктуаций е. Сделаем предположение о статистической однородности флуктуаций, т. е* будем считать, что 5е (г\ 歹”)=启& (rz — r^.

Обозначим р = r' — г* и разложим nff = п (г, г№) в ряд по р; после простых вычислений получим

「— / 丄 Pt — s 9川( 吁％+• I —I -

Величина р в (4) по порядку величины не превышает радиуса корреляции Lo флуктуаций е, так как при бблыпих значениях р функция 5£ (р) обращается в нуль. Поэтому, если расстояние г от рассеивающего объема до точки наблюдения велико по сравнению с 厶°, то второй член в (5), имеющий порядок LJr^ мал.

Что касается величины и/ nff, то, как легко видеть из (5), она отличается от единицы на члены порядка £之/产・ Следовательно, второй члей: в фигурных скобках в (4) по порядку величины равен £^£о/展 в то время как первый имеет порядок £q- Считая, что выполняется условие

厶у一⑹

мы можем отбросить второй член в (4).

С той же относительной ошибкой порядка LJr мы можем заменить п* на и/ в первом члене в фигурных скобках (4) и г" на г，в знаменателе подынтегрального выражения (но, конечно, не в фазовых множителях). В результате получаем формулу

X 從［(E；或")-(Eon')(E"n')］ d屮 <Рг".(7)

Дальнейшие упрощения формулы (7) мы проведем в предположении, что поле падающей волны создается некоторым излучателем, расположенным в точке R. В этом случае Ед (г) имеет вид

^(г)^А^г)е^^^(8)

Функция а。(г) (вообще говоря, комплексная) мало изменяется при изменении г на величину порядка длины волны X. Ее заметные изменения происходят лишь на расстояниях порядка величины рассеивающего объема L. Вид функции 4 (г) зависит от диаграммы направленности излучателя. Подставляя (8) в (7), мы можем пренебречь различием Ло (г^ и Ло (r,f), так как относительная величина разности этих функций не превышает по порядку величины LJL и мала при соблюдении условия

厶y厶(9)

В этом случае мы получаем

3： — (Хп‘)(胤％，) а

н Ло5)4；(”)sin3X(”)exp{诙［| J8 —犷 | — | _R — М|)}, (10) где % (г) — угол между векторами Ло (г) и п (г).

Подставляя (10) в (7), получим

с(^)I ло (^о |2 Sina X(Г') Ве (г — »•")

8(Т)〉。 研(爲 Re " X

X eкр0к[1T 一巾—m一门十1元一"|—I冗一产|]}"中不产.(11)

Разложим величипы |r ——г* | = [г — rz + р | и I JR — r*[= =|兄 — т' + p| в ряды по степенямp; после простых выкладок получаем

]Т — * I I 力一т]+ 孤，)р + 区万三1 ра—(然 5))2} + ..., (12)

[2Й — г* I = |冗一т'| —»1(т')р+ 2[兄。戸『{р— (pw(-，'))*}十.

(13)

где

ш (")=ш (")=г —RI ” 一 jK"[г —RI ” 一 jK"[(14)(14)

ш (")=

ш (")=

г —R

I ” 一 jK"[

г —R

I ” 一 jK"[

(14)

(14)

—— единичный вектор, направленный от излучателя в точку rz (рис. 28).

Рис. 28. Система координат при вычислении рассеяния. Начало координат внутри рассеивающего объема.Рис. 28. Система координат при вычислении рассеяния. Начало координат внутри рассеивающего объема.

Рис. 28. Система координат при вычислении рассеяния. Начало координат внутри рассеивающего объема.

Рис. 28. Система координат при вычислении рассеяния. Начало координат внутри рассеивающего объема.

Лиг — координаты источника и точки наблюдения,т‘ 一 произвольная точка внутри рассеивающегообъема, т (гЭ и п (?') — единичные векторы.

Последний член разложения (12) по порядку величины равен £：/「，так как в существенной для интегрирования области величина р ограничена условием р ^Lo. Так как величина \г — г№\ входит в (11) в экспоненту с множителем 加，то для того, чтобы можно было пренебречь последним членом разложения (£2),

(15)(15)необходимо выполнение условкя

(15)

(15)

—^《1, или

означающего, что радиус первой зоны Френеля должен быть большим по сравнению с радиусом корреляции флуктуаций е. Аналогично при выполнении условия

融 I(16)

можно пренебречь последним членом разложения (13). В этом случае формула (11) принимает вид

<S (r)> =詣(爲"Re \『S；y)\产 * (力‘)瓦(p)eW)Pd屮 Yr", v(17)

где

К (г) — к [т (г) — п (г)](18)

——вектор рассеяния, равный разности волновых векторов падающей волны kQ — "ш и рассеянной волны к3 = кп.

Введем в (17) вместо г* новую переменную интегрирования р. Внутренний интеграл по р примет вид

/(R)=、Be(p)e』d8p.(19)

Он может быть просто выражен через Фс (х) — спектральную плотность флуктуаций е, связанную с В^ (р) формулой

瓦=*\5e^"乜(20)

Подставляя (20) в (19), получим

ОО

Z(K) = ^Jot(x)d3x?ei<jr+*>Pd3p.(21)

—ООУ

Рассмотрим функцию

6V(X)=煮"“d叩.

В случае, еслв У ——бесконечный объем, 6V (*) = 6 (х), т/ е. представляет собой 6-функцию (трехмерную). В случае конечного объема бу (ж) представляет собой 《размазанную» б^функцию. Она обладает свойствами:

88加(°)=詁■，

8

8

^JSv(x)d»x = Jd3p [靑 \ « e” 叫=*зр 6 (p) = 1.

—coV—оо

Следовательно, 6V (*) заметно отлична от нуля лишь в области Т пространства волновых чисел с объемом порядка Т = сосредоточенной вблизи точки х = 0.

Отсюда ясно, что интеграл (21) равен

ЦК) ^ 8л^Фъ(— К),ЦК) ^ 8л^Фъ(— К),(22)(22)

ЦК) ^ 8л^Фъ(— К),

ЦК) ^ 8л^Фъ(— К),

(22)

(22)

где черта означает усреднение в пространстве волновых чисел по 8喊

объему порядка Г = Действительно, применяя теорему

о среднем, имеем

ОО00

фе(-я).фе(-я).\ « а (х) 6V (К + х)</8х = ^^Фе(-К+ %')加(х‘) d^'

фе(-я).

фе(-я).

—Оо—ОоФе(— R + “)亦尤=Фе(— R + “)亦尤=

—Оо

—Оо

Фе(— R + “)亦尤=

Фе(— R + “)亦尤=

В случае, если спектральная плотность Фс (х) вблизи точки * =——衣 меняется слабо, операция усреднения мало меняет функцию Фе (х) и в этом случае Фс (——К) ^ФЕ (—Я). (Заметим, что операция усреднения существенно меняет вид Фс (х) вблизи точек, где эта функция имеет резкий максимум. Этот эффект может быть существенным при рассмотрении рассеяния вперед.)

Подставляя (22) в (17) и опуская знак Re, так как Фс (——_К)— действительная (и положительная) величина, получим

〈8 (T)〉=需 J乳(Т‘)两:竺;nJ 6)0е(Я 5))Qr' (23)

(мы учли равенство ФЕ (— К) = Ф£ (К)).

Формуле (23) моясно придать более удобный вид. Для этого предварительно запишем ее в дифференциальной форме

eм1 蜀-

®8 ⑺〉=”(力')同丄％ |3 Sin2 x 5) R (К (>')) dV'.(24)

{dS (小 представляет собой плотность потока энергии, рассеянной элементом объема dV (#') в точку г. Величина

(25)(25)So(")=

(25)

(25)

представляет собой плотность потока энергии падающей волны.

Умножим (24) на п! \ r — rf \ ^ dQ; в результате мы получаем энергию dE, рассеянную в паправлении и/ в телесный угол

dE = S° (”) ％(卄)<ZTdQ,(26)

ГД。

"⑺=今 ft4®e(K ⑺)sin3 % (г)(27)

представляет собой эффективный поперечник рассеяния из единицы объема в единичный телесный угол в направлении ж. При помощи величин 50 (г), а0 (г) формулу (23) можно записать в виде

(28)(28)

(28)

(28)

Формула (28) имеет прозрачный физический смысл: согласно (26) величина рассеянной в телесный угол "R энергии равна dE; создаваемая этой энергией плотность потока энергии равна

dE = Sq(W) 5 gdp

I ?• - r1 ]2 riQ , T 一 "丁 '

где \r — r\!2^Q — величина площади, на которую распределяется рассеянная энергия.

Отметим, что при выводе формулы (28) никакие ограничения на размеры рассеивающего объема (за исключением слабого ограничения (9)) не накладывались. Формулы (27), (28) справедливы в том случае, если радиус корреляции флуктуаций £0 мал по сравнению с радиусами первой зоны Френеля У кг и ^XR к с расстояниями г и 瓦 Этим приведенный вывод формул (27), (28) отличается от обычного (см., например, [65]), когда делаются предположения о малости величины рассеивающего объема по сравнению с У~кг.

Следует отметить, что сделанное выше предположение о статистической однородности флуктуаций, т. е. предположение, что Ве {т^ т^ — Бе (rl — r^t являлось излишним и было принято лишь для того, чтобы не отвлекать внимания от хода основных рассуждений. Те же результаты можно получить и в слу-

чае, если средний квадрат флуктуаций е зависит от координат：

в. (П, r^ = ~^{ n+lL) J, (п - ra) (t. (0) = 1).(29)

В этом случае спектральная плотность флуктуаций также зависит от координат (см. гл. 1) и имеет вид

必=尊⑺①f《).(з0)

В этом случае формула (27) принимает вид

Оо ⑺=岑 С：⑺視°)(К (г)) sir? % ⑺，(31)

а окончательная формула (28) сохраняется.

Качественная интерпретация рассеяния

Остановимся более подробно на формуле (27.26) для эффективного поперечника рассеяния. В случае достаточно большого рассеивающего объема, когда Ф£ (К)弋 Фе (К), она имеет вид

бо (г) = 丁 sin2 X 佇)О)е (械/т)—瓦⑺)，(1)

где 用° и 左§——волновые векторы падающей и рассеянной волн. Абсолютная величина вектора рассеяния К = А?о — Л# равна

К = 2k sin 丸(2)

где 6 = arc cos (喑$ ) — угол между векторами 用。и Л3, т. е. угол рассеяния. Как следует из формулы (1), интенсивность рассеяния на угол 0 определяется одной спектральной компонентой неоднородностей, соответствующей масштабу (пространственному периоду)

Формула (3) является известным условием Брэгга для дифракции на пространственных структурах.

Чтобы разъяснить смысл формулы (1), рассмотрим модель неоднородностей диэлектрической проницаемости в виде

〃 (г) = d cos (罕 @丁)(4)

—пространственная синусоидальная дифракционная решетка с периодом I в направлении единичного вектора а. Для простоты вычислений предположим, что рассеивающий объем V представляет собой прямоугольный параллелепипед с одной из осей вдоль вектора а. Чтобы облегчить выкладки, предположим также, что размеры 厶 L^ 厶 рассеивающего объема удовлетворяют условиям £《，и 2?宼 Ат. В этом случае мы можем в формуле (8а.25) разложить величину [г ——>'| в экспоненте в ряд с точностью до членов второго порядка: \г — rf\ ^ г ~ >%, где п = =г/г, а в знаменателе положить [г — г*|« г. Кроме того, будем считать падающую волну плоской

4 ⑺=А^г.

а вектор п (丁‘)七 г/г. В этом случае формула (8а.25) дает

Et (г) ^ ^^；— [п [Лои]] \ cos (毕OrfW&iRrdP.(5)

Вычисляя входящий сюда интеграл, получаем

m 、 M»eikr r r /„ LiLQs ®in瓦⑺=FT~ [П[ЛОП]]. рm 、 M»eikr r r /„ LiLQs ®in瓦⑺=FT~ [П[ЛОП]]. р(券 sE©(券 sE©号电1cp号电1cpXXXXsin KL$ cos ф + £^>)sin KL$ cos ф + £^>)-^* К& cos ф + -抖-^* К& cos ф + -抖sin (KL^ cos ф — ―^ )|——，⑹ XLa cos q>——j— Jsin (KL^ cos ф — ―^ )|——，⑹ XLa cos q>——j— J

m 、 M»eikr r r /„ LiLQs ®in

瓦⑺=FT~ [П[ЛОП]]. р

m 、 M»eikr r r /„ LiLQs ®in

瓦⑺=FT~ [П[ЛОП]]. р

(券 sE©

(券 sE©

号电1cp

号电1cp

X

X

X

X

sin KL$ cos ф + £^>)

sin KL$ cos ф + £^>)

-^* К& cos ф + -抖

-^* К& cos ф + -抖

sin (KL^ cos ф — ―^ )|

——，⑹ XLa cos q>——j— J

sin (KL^ cos ф — ―^ )|

——，⑹ XLa cos q>——j— J

где <p — угол между векторами а иК = Ло— кп, ось z направлена по а, плоскость xz содержит векторы К, а и £匕厶，厶一размеры рассеивающего объема вдоль осей xt у, z.

Рассмотрим множитель

sin (号'sin中)sin (号'sin中)^аШф^аШф/6

sin (号'sin中)

sin (号'sin中)

^аШф

^аШф

sin( А;^! sin -g- sin ф

~'s

kLi sin -y sin q>

В случае, если 左Lisin ^^> 1, что обычно выполняется, так как размер рассеивающего объема велик по сравнению с длиной волны, этот множитель мал при всех <р, за исключением близких к нулю значений qp, удовлетворяющих условию

⑺⑺2IW击=負7，

⑺

⑺

при выполнении которого этот множитель близок к единице.

Таким образом, заметная дифракция на рассматриваемой периодической структуре будет осуществляться лишь при близких к нулю значениях 中,т. е. в случае, когда векторы Киа параллельны (с точностью до малого угла порядка 1/厶工1). Нетрудно понять, что параллельность векторов Киа означает зеркальность отражения, т. е. равенство углов падения и отражения волны по отношению к плоскостям равных значений в卜

Однако условия <р а 0 еще недостаточно, так как (6) содержит второй множитель

/бл" \/0冗厶3、

sin (*厶 sin cos (p + --• 1 sin (左厶 sin 一万 cos 屮一一—丿

在Zg SIU -g- COS ф + —j-左厶 SIH COS ф — —

который также очень мал везде, за исключением значений аргументов, близких к нулю. Считая, что условие (7) уже выполнено, и полагая cos ср = 1, получим новые условия в виде

J ALg sin -|- i ^~- I <^ 1, или I 2sin*|" 土 ~^~| W"^^・ ⑻

Таким образом, лишь при значениях 0, удовлетворяющих условиям

2sin~|-±~^=0

(с точностью до малого угла порядка 九/仙8)，будет наблюдаться заметная дифракция.

Резюмируя, мы можем сказать, что дифракция сипусоидаль- ной пространственной дифракционной решетки имеет место лишь при соблюдении двух условий ——условия зеркальности и условия Брэгга 1100]. Если хотя бы одно из этих условий не выполняется (с указанной выше точностью), падающая на такую решетку электромагнитная волыа «свободно» проходит через нее, не испытывая заметной дифракции.

В случае, если мы имеем целый набор периодических прост- рапственных дифракционных решеток с различными периодами и различной ориентацией, то при заданных векторах kQ и А?； дифракция может произойти только на одной из решеток ——с вектором а, параллельным kQ — Л3, и с величиной /, удовлетворяющей условию (8). Все остальные решетки не окажут влияния на рассеяние.

Приведенные элементарные расчеты поясняют, почему рассеяние на определенный угол, описываемое формулой (1), зависит лишь от одной спектральной компоненты неоднородностей.

В действительности в формулу (27.26) входит нс Фе (К), а фс (К),т. е. спектр, усредненный по некоторой области пространства полновых чисел объемом8л3/7. При таком усреднении в Фе (К) входят, очевидно, и близкие к К спектральные компоненты. При элементарном рассмотрении, проведенном в этом параграфе, аналогичное этому обстоятельство проявилось в том, что условие зеркальности и условию Брэгга должны были выполняться с точностью до углов порядка X/L. Таким образом, в рассеянии на данный угол принимают участие близкие спектральные компоненты.

Это обстоятельство легко объясняется при помощи следующих рассуждений. Дифракция на бесконечной синусоидальной дифракционной решетке дает бесконечно узкий дифрагированный пучок в направлениях, удовлетворяющих условию Брэгга. В случае конечных размеров решетки L угловой размер дифрагированного пучка имеет порядок X/L. Это приводит к тому, что при наличии некоторого набора дифракционных решеток рассеяние на данный угол обусловлено не только той решеткой, которая в точности удовлетворяет условию Брэгга, но и близкими по размерам и ориентации решетками, основные максимумы которых не совпадают с избранным направлением, но дифракция от которых захватывает данное направление за счет расплывания дифрагированных пучков.

В заключение параграфа рассмотрим качественно вопрос о пространственной корреляции рассеянных полей. В гл. 1 было установлено, что в случае статистически однородной турбулентности имеет место формула

<Ze (d3x) Z； (М"｝〉Фе (х) 6 (х —力)d% dW, (9) где Ze (以)—— спектральная амплитуда (случайная) флуктуаций е, соответствующая волновому числу х. Из (9) следует, что спектральные компоненты, соответствующис различным х, не коррели- рованы.

Рассмотрим поля, рассеянные в двух направлениях % и 02, В случае бесконечного рассеивающего объема) рассеяние на каждый из углов обусловлено в точности одной компонентой спектра турбулентности. В силу (9) различные компоненты спектра не кор- релированы, следовательно, при бесконечном рассеивающем объеме поля, рассеянные на любые два несовпадающих угла, не корре- лированы. В случае конечного рассеивающего объема поле, рассеянное в определенном направлении, обусловлено группой спектральных компонент вблизи точки х = К】 расстояние между

которыми не превышает по порядку j/^器=譬. Следовательно, поля, рассеянные в двух направлениях, будут коррелиро- ваны в том случае, если объемы в пространстве волновых чисел, обусловливающие рассеяние в данных направлениях, пересекаются. В этом случае имеет место соотношение

(Ю)

В случае, когда в обоих направлениях рассеивается одна и та же волна, К】=Ео — feti,衣泉=к。一 A?g, и в этом случае

I % — % IV 襲•

Если угол между %〃 и 右終 равен Д0, то последнее условие сводится к неравенству'

или (так как обычно АВУ 1)

А8<%(И)

Таким образом, угловой радиус корреляции рассеянного поля имеет порядок %/£.

В случае, если две точки наблюдения находятся на одинаковом расстоянии г от рассеивающего объема, расстояние Аг между ними связано с Д0 формулой Аг = гД0, и в этом случае расстояние, на котором сохраняется корреляция рассеянных полей, ограничено условием

Аг<-^・(12)

Таким образом, линейный радиус корреляции при поперечном разносе точек наблюдения имеет порядок Xr/L.

Рассмотрим также корреляцию двух полей различной частоты, рассеянных в одном и том же направлении. В этом случае k工= =自(wt — n), K2 = Aa (m — ») и

|&-М| = (自—禽)2sin>|~ = ^2sin 等.

Подставляя это выражение в (10), получим условие, при котором поля, различающиеся по частоте на А/ и рассеянные в одном и том

ясе направлении, остаются кор релир ов а иными:

Д/<—(13) 2Е sin ¥

Здесь в качестве L следует брать размер объема V в направлении вектора (т — п).

В случае, если при помощи рассеяния передается сигнал, занимающий конечную полосу частот, для его неискаженной передачи требуется, чтобы флуктуации различных спектральных компонент сигнала были полностью коррелированными. Как следует из (13), это будет вьшолнено, если ширина спектра сигнала удовлетворяет условию (13). В связи с этим величина^- мо)кет

2L sin ~2~ быть названа полосой пропускания канала связи, работающего на рассеянии).

Эффективный рассеивающий объем

Выше мы не конкретизировали форму рассеивающего объема V, считая его заданным. Сейчас мы рассмотрим этот вопрос более подробно. Представляет интерес рассмотреть случай, когда рас- сбивающий объем создается пересечением диаграмм направленности передающей и приемной антенн. Будем исходить из формулы (8а.25) для напряженности рассеянного поля в точке г. Функция Eq (г 9 (поле падающей волны) может быть представлена в виде

Е°(”)= е° 佇')％(»»(”))，！(1)

где ш (“)=(卄 ——2J)/|rz ——RI ——единичный вектор, направленный от излучателя в точку r\ а е0 (г?)—— поле диполя, у которого направление максимального излучения совпадает с направлением максимального излучения нашего излучателя. Интенсивность диполя подбирается так, чтобы диаграмма направленности /0 (т) в этом направлении была равна 1.

Найдем среднее поле, воспринимаемое приемной антенной. Оно может быть получено интегрированием поля Es(r)

(рассеянного поля в точке г) по плоскости раскрыва приемной антенны 2, центр которой помещен в точку г0:

С, ^к\т0-гЧр\V T^T^ " + p IС, ^к\т0-гЧр\V T^T^ " + p I源 dtb (2)源 dtb (2)舞(То) = -^-^ES(TO 十 р) W dn =

С, ^к\т0-гЧр\

V T^T^ " + p I

С, ^к\т0-гЧр\

V T^T^ " + p I

源 dtb (2)

源 dtb (2)

=磊\ ^r’E (rr) [n(r') [Ea (r')n(r')]] V

Разлагая ] r0 — rz -г p | в ряд, получаем равенство

(3)(3)gifc|r0-r^p| effc；re-rz <-ifc«(^)P阮二 Y +~рР ~ |Tq —” I

(3)

(3)

справедливое при выполнении условия Ара/1 г0 —*| << 1, когда можно не учитывать следующий член разложения.

Но величина р имеёт порядок размера антенны0. Следовательно, это условие можно записать в виде

(4)

4- д СТ"”°港明=а（乳），4- д СТ"”°港明=а（乳），(5)(5)⑹⑹Условие (4) означает, что рассеивающий объем находится в зоне дифракции Фраунгофера, или в зоне, где сформировалась диаграмма направленности антенны /х (п). Последняя представляет собой функцию

4- д СТ"”°港明=а（乳），

4- д СТ"”°港明=а（乳），

(5)

(5)

⑹

⑹

Используя (5) и (1), мы можем записать 格$ (т^) в виде

典付。)=彳\e(")[沱[e。图]/0 (惘)力(孤)I T。一"T d屮.

Эта формула отличается от (8а.25) лишь тем, что в ней область интегрирования бесконечна, но под интегралом стоят два дополнительных множителя /0 (т (г')) и Л 8(^')), описывающих диаграммы направленности излучающей и приемной антенн. Эти множители принимают максимальные значения на осях диаграмм направленности и быстро спадают при удалении от этих осей. Поэтому интеграл (6) фактически распространен на область пересечения диаграмм направленности передающей и приемной антенн.

Если, пользуясь выражением (6), вычислить плотность потока рассеянной энергии, то мы снова придем к формуле, аналогичной (28.26), но под знаком интеграла появится дополнительный множитель IЛ (п)|2, описывающий диаграмму направленности приемной антенны (по мощности), а область интегрирования будет

бесконечной:

36)=卜6)^^?m⑺陷К(7)

Еще более наглядный вид этой формуле можно придать, если положить

So (т‘)= so (L) I f, («г (т')) R(8)

где s0 (г")——плотность потока энергии, создаваемая диполем е0 (см. (1)), и I /0 (nt) Е — нормированная диаграмма направленности излучателя по моецности (в направлении максимального излучения /о = 1 )» Тогда

<«(»•)> =卜6) ：?”；) I/оЕ(“))|3. I厶(％6))『犷.(9)

Два различных случая могут о существлят ься в зависимости от скорости изменения функций s° (М) а。(”)/ | г — г' |2 и |『由艮 Пусть диаграммы направленности /0 и /г являются《острыми», т. е. меняются много быстрее, чем функция s0 (г7) а0 (г')/| г — г' |2 (ниже мы подробнее остановимся на условиях, когда этот случай осуществляется). В этом случае интеграл (9) можно вычислить приближенно, вынося значоние п (г') s0 (才‘)о° 佇')/1 才—才'『, взятое в точке пересечения осей диаграмм направленности. Обозначая эту точку через г7, получим

〈8 (т)〉а 九(％) s“竺倒叭,(10)

где эффективный рассеивающий объем Уэ равен

^э = ^|/о(т (“))厶(的("))Е d3r\(II)

В некоторых простых случаях величину % можно вычислить. Например, если поверхности раскрыва передающей и приемной антенн — одинаковые прямоугольники, то

叭叭(12)(12)炉 sin2 n sin 龍'或件r?

叭

叭

(12)

(12)

12cos3(0/2) sin0 ~ 120 (Z У ° У ')•

Здесь d —— расстояние между антеннами (по прямой), 丫工 —— угол между осью диаграмм направленности и направлением на первый минимум диаграммы направленности антенны в вертикальной плоскости (совпадающей с плоскостью векторов к” и fc>4), у2 —— аналогичный угол для диаграммы направленности антенны в горизонтальной плоскости (рис. 29).

В общем случае произвольной формы сечения раскрыва антенны для V (в случае у < 0О) можно легко получить приближенную формулу

J 嘗2(У)，J 嘗2(У)，")")

J 嘗2(У)，

J 嘗2(У)，

")

")

где в отличие от (12) у1Э и уаэ ——эффективная ширина диаграммы направленности по половинной мощности в вертикальной и горизонтальной плоскостях (в (12) Ti и т2 — полуширина по первым минимумам).

Рис. 29, К вычислению эффективного рассеивающего объема антенн с прямоугольным сечевием раскрыва.Рис. 29, К вычислению эффективного рассеивающего объема антенн с прямоугольным сечевием раскрыва.

Рис. 29, К вычислению эффективного рассеивающего объема антенн с прямоугольным сечевием раскрыва.

Рис. 29, К вычислению эффективного рассеивающего объема антенн с прямоугольным сечевием раскрыва.

Рассмотрим пример, когда величина К = 2к sin | лежит внутри инерционного интервала спектра флуктуаций & В этом случае

①,(К) = 0,033 С 汽码 т^3

и согласно (27.26)

бо g 0,052С/% Sidx(2sin噜广.(13)

Пусть т* получает приращение Дг? такое, что угол рассеяния 0О меняется на величину порядка у, где 丫 ——ширина диаграммы направленности. В этом случае величины /0 (ш) и /г (п) резко меняются от своих максимальных до минимальных значений.

Подсчитаем, насколько при этом изменится величина а0« Ее относительное изменение имеет порядок

1Asl И АО 11 у

[右|~"T17 = T 瓦

Следовательно, если выполняется условие

т < е°,(15)

то измепение величины а0 несущественно и можно пользоваться формулой (11). В случае же, когда выполняется обратное соотношение

y > 仇，(16)

величина подынтегрального выражения в (9) меняется в большей степени из-за изменения множителя а0 (г‘), нежели из-за множителей /0/1( В этом случае эффективный рассеивающий объем ограничивается уже не шириной диаграммы направленности 丫, а умень- шепием интенсивности рассеяния из-за увеличения угла О,

Дополнительные изменения и。(尸')могут быть вызваны изменением с высотой величины Ct Например, в случае свободной конвекции величшха (7| (z) убывает с ростом высоты z над поверхностью земли как ^т% (см. гл. 1? раздел Б). В этом случае

% (к) ~ Z-5 ~ о?(17)

так как 0 (>) р 4z/d・

Таким образом, в случае широких диаграмм направленности при изменении угла рассеяния 0 от своего минимального значения 0о на величину порядка самого 0и интенсивность рассеяния резко падает. Это означает, что величина эффективного рассеивающего объема в этом случае определяется не величиной у? а величиной 0О.

Подставляя в (12) 0О вместо 丫，получим

匕 ~ 歩优 при 0» <<г; 0О У 1.(18)

Величина рассеивающего объема? как было выяснено выше, определяет корреляционные свойства рассеянного поля. Следовательно, радиусы корреляции рассеянных полей, а также полоса пропускания Д/ будут в случае узких и широких днаграмм направленности выражаться различными формулами. Например, угловая корреляция рассеянных в двух направлениях полей распространяется до углов порядка

А8~ 击 при 丫У。。，

(19)

△9 ~ при y堂备，

откуда следует, что при разносе точек наблюдения перпендикулярно направлению на источник радиусы корреляции имеют порядок

6 В, И, Татарский

величинывеличины

величины

величины

(20)(20)&^ при 7<<0о,

(20)

(20)

а&~ G при у >>0fi.

Формулы для величины полосы пропускания А/ имеют вид

m~而=而7 пРиm~而=而7 пРи丫 У%,丫 У%,(21)(21)А/- при%de緡А/- при%de緡丫 >>%丫 >>%

m~而=而7 пРи

m~而=而7 пРи

丫 У%,

丫 У%,

(21)

(21)

А/- при

%de緡

А/- при

%de緡

丫 >>%

丫 >>%

где Г。= djc ——время распространения волн от передающего до приемного пункта.

Все формулы (19) — (21) написаны с точностью до численных коэффициентов, и некоторые из пих будут уточнены ниже.

Частотным спектр рассеянного поля

До сих пор мы ограничивались вычислением средней интенсивности рассеянного поля. Обратимся теперь к временной автокорреляционной функции и частотному спектру флуктуаций рассеянного поля. Для облегчения вычислений заметим, что формула (27.26) для эффективного поперечника рассеяния, выведенная нами при условии £д у рАг (£。——радиус корреляции неоднородностей среды, г — расстояние до источника или точки наблюдения), может быть получена значительно проще, если выполняется значительно более жесткое условиеЛ*^ 丁入『,где^ — размер рассеивающего объема. Поскольку результаты в обоих случаях совпадают, при выводе выражения для временной автокорреляционной функции мы будем предполагать выполненным условие £<^ 了入匚 В этом случае» воспользовавшись разложением

exp {ik\r — >' 1} = exp{iAr — ikn^r'}(1)

для фигурирующей в (8а.25) экспоненты, где п0 = >/『，а т9 пробегает рассеивающий объем, и заменив в знаменателе I г — rf \ ^ г, мы получаем

е8 ⑴)~ ^~ J G(")[" [е。(")WU 6""飞"‘d3r'.(2)

Считая, что падающая волна £0 (>') плоская (для этого необходимо выполнение условия £《V^?, где /?——расстояние до излучателя), положим

Е° (г) = 405.

Кроме того, под знаком интеграла будем считать n (гх) = п0 (что законно при соблюдении условия Л<^г). Обозначая [n[J.on]]= а н % = kmQ. получим

Es{r)之冬窘 \ G (>') e^^1" d3r'.(3)

V

Es представляет собой комплексную амплитуду рассеянного поля, связанную с полем 蜀 формулой

舞(,») = М (?*,£)/У

До сих пор мы явно не выписывали зависимость величин ег и Е3 от времени. При переходе к g мы учтем и эту зависимость:

窈俨，£)弋 %：L \网(％ £)声产产.(4)

Рассмотрим теперь временную автокорреляционную функцию рассеянного поля

в» (т) = <gs (г, t) gs (Г, t + т)>.(5)

Подставляя (4) и учитывая, что в случае статистически однородной и стационарной турбулентности

值(т‘，t) 4 ⑴"，£ + R〉= В£ (力'—力"，т),(6)

получим

В* (т)二 ^^ е'з。,\ Вс ①'—т\ т) eik(ff。)"'〜")d3r' d3r".(7)

vv

Введем в (7) вместо rff новую переменную интегрирования р = *' — >". Тогда подынтегральное выражение будет зависеть лишь от р и интегрирование по тг можно выполнить в явпой форме *); оно дает величину рассеивающего объема У. Подставляя, кроме того, а2 = /： sin2 х, где У — угол между векторами Ао и

篦о，получаем

В/") = L忠:"川° \ & (Р, А *зт№ d*.(8)

Воспользуемся теперь спектральным разложением пространственно-временной корреляционной функции, введенным в гл. 1:

Ве(р, т) = ,§ ^(хр+ат)Ые (х, Q) d3x dQ, (9) —со

где ие (х, Q) — пространственно-временной спектр неоднородностей (четность функции 以 как по х, так в ио Q позволяет писать экспоненту вместо косинуса). Подставив (9) в (8) и вспоминая определение функции бу (х) и операции усреднения по объему Т — 8冗3" в пространстве волновых чисел х, получим формулу

& ⑴=^|^S--修 § /0 届(衣，Q)也，(10)

где снова обозначено К = А (т0 — п0) — разность волновых векторов падающей и рассеянной волн.

Производя в (10) замену переменной Q‘ = s — Q, можно записать В§ (т) в виде интеграла Фурье по времени:

Bg (т) =^^^ ~е (К1 ш _ Q) dQ.(11)

-СО

Отсюда следует, что частотный спектр рассеянного поля Wg (Q) имеет вид

Wg (Q)=卄乎吟-(R, з _ Q), (12)

т. е. функция W^ (Q) пропорциональна пространственно-временному спектру неоднородностей диэлектрической проницаемости. При этом пространственное разложение в спектр осуществляется самим процессом рассеяния, а временное разложение — прибором, анализирующим частотный спектр рассеянного поля.

Заметим, что функция 瓦(專(о — Q) отлична от нуля лишь в области небольших значений своего аргумента: |з——Q] < AQ (обычно AQ имеет порядок 103 гц*.

Так как частота электромагнитного поля s значительно превышает частоты флуктуаций диэлектрической проницаемости, то

§ 29]ЧАСТОТНЫЙ СПЕКТР РАССЕЯННОГО ПОЛЯ165

функция (12) будет отлична от нуля лишь при

|s —Q|WAQ・(13)

Таким образом, спектр рассеянного поля сосредоточен вблизи несущей частоты ① и занимает область частот порядка AQ.

Если же мы рассмотрим автокорреляционную функцию огибающей поля, т. е. величины Е, то соответствующая формула будет отличаться от (10) лишь отсутствием множителя ехр (心т) и поэтому спектр огибающей We (С) будет иметь вид

л А4.4?『sin? у —

% (Q)=—(К, Q)(14)

и в отличие от Wg (Q) спектр огибающей WE (Q) сосредоточен вблизи нулевой частоты (по форме же он совпадает со спектром поля W).

Рассмотрим подробнее случай «замороженной турбулентности», когда согласно (40.6) имеет место соотношение

% (К, Q) = Ф£ (К) 6 (Q + Ку),(15)

где V ——скорость движения неоднородностей (скорость ветра). В (14) фигурирует не сама величина ие (К, С), а величина

we(K, Q)三亲\%(К + % С)”％(16)

т

где Т = ^объем в пространстве волновых чисел вблизи точки х = 0. При вычислении (16) функцию Фе (К), как сравнительно плавную, можно вынести за знак интеграла, и мы получаем

% (К, Q) q Фе (К) •糸 \ 6 (Q + Kv + Х0)曲. (16z) т

Направим ось 外 по вектору v, так что 0 =也 0, 0}. Тогда xv = =乂工办 Для простоты вычислений предположим, что объем Т представляет собой прямоугольный параллелепипед с одной из осей по вектору v. Тогда Т = у^^- и

—n'LjTt/La网Li

Ue(K,Q)^<D£ (K)^^ \ d& j 也3 , «(Q + Kv + x^)^!.

Так как

й (Q + К« + о%) = }б ( * 彳毛"屮 к，，

то внутренний интеграл в (16ff) легко вычисляется и равен

я/Li

\ 6(Q + Kv + K/)d%L = ；・е(管一因十衣0| ),(17)

где

e(x)= (1 м〉о,

I 0 при х< О, и, следовательно,

応(衣，52»r(К)鳥0图一0+к0|)■

Введем т = LJv — время, за которое движущаяся неоднородность пересекает рассеивающий объем. Тогда, подставляя йе в (14), получим

WE (Q)=吧賽工 Ф£(К) ^0(А_|Й + К«|). (18)

Функция 0^ 1Q 十衣0 I)равна нулю при | Q 十 Kv [〉彳, т. е. при Q + Kv〉"^- и при Q 十 Kt? <2-, иными словами, при Q〉— Kv + -^- и при Q< — Kv^-・ Внутри же зтого интервала, т. е. при

^Kv--^<Q<Z — Kv + ~t(19)

функция 0 (^I Q 卜 Ки|) равна единице.

Таким образом, в случае «замороженной турбулентности» спектр частот лежит вблизи частоты

Q。=—衣0(20)

и занимает полосу частот

AQ。= ^ =好(21)

Qo представляет собой допплеровский сдвиг частоты, обусловленный движением неоднородностей.

В случае, если 厶т оо,

费 e(+ — |Q + K”|)r6g + K*,

так как интеграл от этой функции всегда равен единице, а значение ее в максимуме, равное т/2зг, стремится к бесконечности при "г 8. В случае конечного £^ мы имеем «размазанную» 6-функцию, дающую конечную ширину для полосы частот. Форма спектра в виде единичной функции 0 (^— | Q + R&I)в нашем расчете является следствием примененной аппроксимации объема Т в виде прямоугольного параллелепипеда. В действительности Т является областью с «размазанными» границами, и в связи с этим вид спектра также не является столь простым, как это следует из (18). Однако, очевидно, формулы (20) и (21) сохраняют свою силу, причем (21) дает уже не точную, а эффективную ширину спектра.

В случае, если, помимо общего движения со скоростью v, имеются также относительные скорости различных рассеивателей (со средним значением, равным нулю), происходит дополнительное уширение полосы частот на величину порядка (AQ)Z ~ ш —, где 6“ 一 порядок величины относительных скоростей внутри рассеивающего объема. Отношение этих величин имеет порядок

(ДОГ Шу (22)

В реальных условиях параметр А£^> 1, а 年 у 1, однако в случае турбулентных пульсаций скорости величина 6^/и обычно имеет порядок 0,1—0,3, так что отношение (22) может быть большим. Это означает, что в реальных условиях ширина спектра определяется не конечностью размеров рассеивающего объема, а относительными скоростями рассеивателей внутри него, (Этот эффект, конечно, также описывается формулой (14).)

Общее же смещение спектра на величину Q()=——Kv имеет место во всех случаях (при наличии случайных флуктуаций скорости под 0 следует понимать среднюю скорость движения внутри рассеивающего объема).

Более подробно вопрос о частотном спектре рассеянного сигнала в случае рассеяния на блуждающих неоднородностях исследовался в работах [66——70J. Мы подойдем к этому рассмотрению на основании общей формулы (12).

Для расчета пространственно-временной спектральной плот- н℃ти 口 (х, Q) можно применить метод, аналогичный использован- ному в (70J. Ниже будет показано, что временная автокорреляционная функция огибающей рассеянного поля быстро спадает до

малых значений за столь короткое время, в течение которого скорости движения отдельных неоднородностей (которые мы теперь предполагаем различными в разных точках) можно считать постоянными. Это означает, что для достаточно малых времен т выполняется соотношение

81 (г, t -|- т) = ег (г — ”(力，0 г, «)>(23)

где V (г, 0 — скорость (лагранжева) того элемента среды, который в момент (i + т) проходит через точку г.

Поскольку мы считаем т достаточно малым, то при изменении t на величину порядка х скорость 0 практически не меняется (ниже будут произведены соответствующие оценки). Поэтому в (23) мы не делаем различия между v (г, Z + т) и v (г, £) и пишем 0y вместо Jvdt. Условие (23) означает консервативность переносимой турбулентностью характеристики жидкости — в данном случае диэлектрической проницаемости. Таким образом мы пренебрегаем эффектом выравнивания неоднородностей за счет процессов молекулярной диффузии и теплопроводности за малое время (возникающие при учете этого эффекта поправки имеют тот же порядок малости, что и непостоянство локальной скорости переноса &).

Условие (23) по внешнему виду напоминает условие заморожен- ности, но в отличие от него скорость & в (23) меняется от точки к точке и не является постоянной в течение длительных промежутков времени. Условие (23) можно назвать условием «локальной замороженности».

При подсчето пространственно-временной корреляционной функции мы будем считать, что флуктуации величин &工 н 0 статистически независимы. В действительности эти величины в локально изотропном турбулентном потоке являются некоррелированными (см. гл. 1). Если предполагать, что закон распределения еь 0 является нормальным, то отсюда вытекает и их независимость *). Чтобы получить пространственно-временную корреляционную функцию для %, умножим равенство

% ⑴ + Р，t + т) = % ⑴ + Р —。(力 + Р，о т, О на &1 (г, %) и произведем усреднение как по флуктуациям е1# так и по флуктуациям v. Так как мы предположили независимость &т и 叫 то эти два усреднения можно выполнить независимо. Усредняя выражение

«1 (г 4- р, « + т) ej (г, t)='

= в!(г + р — г (г + р, £)т, £)“ (г, г)

по еь мы получаем (согласно определению) корреляционную функцию 3g, которая, однако, содержит еще случайный параметр 0：

<81 (г + р, i + т)“(力,0>е, = ве(р —«(г+ р, t)т).(24)

Это выражение должно быть дополнительно усреднено по ”：

Ве(р, Т) = «81 (Г + р, i + Т) 8! (Г, <)>.,〉о =〈4 (₽—Г(Г + ₽, t)T)〉。.

(25)

Представим & (р) в виде интеграла Фурье. Тогда

(26)(26)8е (р, т) =〈, eiK[P-»(r+p,t)T] фе (л) rf3x\^ ==,炉“〈/Кк«(г+р,£)〉。фе (Х) d3“.

(26)

(26)

Но согласно определению

<efa*<^>u = Xr.t(a),<efa*<^>u = Xr.t(a),(27)(27)

<efa*<^>u = Xr.t(a),

<efa*<^>u = Xr.t(a),

(27)

(27)

——характеристическая функция закона распределения вероятностей для скорости & в точке г в момент t. Так как мы предполагали статистическую однородность поля 0, то % фактически не зависит от г, t. Следовательно,

瓦(Р，т) = «'"У (— xt) Ф.(х)炉乂.(28)

Взяв преобразования Фурье по р и т от (28), получаем

<х>

ие(х, Q) ^2^Фе(х) ^ e~ifiTX(— XT)rfr.(29)

-00

Формула (29) и определяет пространственно-временндй спектр диэлектрической проницаемости при условии «локальной заморо- женности». Взяв преобразование Фурье по Q от (29), можно получить формулу

X（— Q）= ФЕ（1<1），％（"'，Q）М dQ,

позволяющую построить функцию % (а), если из экспериментов известна Ue(X, Й),

Рассмотрим пример, когда & (叫 t) имеет нормальный закон распределения со средним значением^ и дисперсией каждой компоненты

《％ —必炉〉="у <(й®)*> = 4•虚

(здесь суммирования по г нет). В этом случае ia%—工〈(а①-%))*〉far0—

=е 3=е

Подставляя (30) в (29) и выполняя интегрирование, получаем формулу

Формула (31) является обобщением формулы

厶(х, Q) = ФЕ (%) 6 (Q + *%),

которая справедлива для чисто «замороженной» турбулентности, на случай «локально замороженной» турбулентности. В случае, если а® = 0, (31) переходит в эту формулу.^

Из (31) следует, что эффективная ширина спектра имеет порядок

Оценим время корреляции т© из соотношения т0 • AQ ~1, откуда тй ~ ("仃匕)1工.Вместо величины х мы должны поставить L^1, где Е° —— характерный масштаб, т. е. внешний масштаб турбулентности. Таким образом,

厶

При выводе соотношения (29) было сделано предположение, что скорость жидкого элемента можно считать постоянной за время т. Так как время корреляции имеет порядок т0 ~ £0/а», то фактически требуется, чтобы скорость жидкого элемента мало менялась за время т0. Но изменение скорости жидкого элемента за время т0 имеет порядок [131

Au*~y&TQ~ j/^^^，

где в — скорость диссипации энергии турбулентности (не смешивать с диэлектрической проницаемостью!). С другой стороны, па основании «закона 2/3» имеем 便厶产》〜域，откуда 厶％.~5・ Требование малости изменения скорости за время т0 по срав-

нению со средним значением скорости f0 принимает поэтому вид

(32)

Это условие хорошо выполняется в реальной атмосфере. Таким образом, сделанное при выводе формулы (29) предположопио о постоянстве © за время т выполняется при выполнении условия (32).

Подставляя (31) в формулу (14) (и пренебрегая различием ме?к- ду м н 磁,подробно проанализированным выше), иол учим

WE (Q)=-WE (Q)=-口м力^ Vsin? %口м力^ Vsin? %①М/，・/3 СХР (-笠醤)•(33)①М/，・/3 СХР (-笠醤)•(33)

WE (Q)=-

WE (Q)=-

口м力^ Vsin? %

口м力^ Vsin? %

①М/，・/3 СХР (-笠醤)•(33)

①М/，・/3 СХР (-笠醤)•(33)

Из этой формулы следует, что максимум спектра лежит на допплеровской частоте —К% связанной со средним движением рассеивателей, а форма частотного спектра повторяет закон распределения вероятностей для флуктуаций компоненты скорости, направленной по вектору рассеяния К

Представляет интерес рассмотреть также частотный спектр флуктуаций интенсивности рассеянного поля. Последняя пропорциональна величине I =器崔* = ЕЕ*. Используя (3), имеем

/ ⑴=(；仃)2 \卜1 (%，')Ei (△, 0 etRgf)d$n d3r2.(34)

Рассмотрим величину

B『(т) = <(/(i -h т) — J В + т)»(/ (0 -〈/(£)〉)〉=

=</ (» + Т) / (0> — (6产(35)

(в последнем равенстве использовапа стационарность турбулентности). В величину </ (г + т) 7 «)〉，как видно из (34), входят четвертные моменты поля 厶(九 f):

— /«Mosin%\*— /«Mosin%\*"(£ 十 Т) / ⑴〉=

— /«Mosin%\*

— /«Mosin%\*

4лг4лгG1 (Ti, t + т) El (r2, t -I- T) El (r3, t) a(T4, f )〉X

4лг

4лг

X eiK^r'~ri+r^~r^ d3rj d% d% d?%(36)

Для вычисления (36) сделаем предположение, что четвертные моменты поля 厶 связаны со вторыми таким же соотношением, как ЛРИ нормальном законе распределения (так называемая гипотеза Миллионщикова). Если 〃“ &, a3T а4 — случайные величины под- таненные четырехмерному гауссовскому закону распределения

вероятностей и 〈&〉= 0, то

〈如02a3a4〉= 0也2〉〈a34〉+ 01a3〉〈出办〉+〈小我4〉〈我2a3〉，

Применяя это соотношение, получим

<81(Г1，%+т) Е1 (г2, £ + т) 81 (г3, о 61 (г4, 0> 三а (%, г2, г3,г4, Е, Т)=

=<61 J1，£ + т) ” (т2, £ + т)〉• <Е!(Гз, 0 61 (%, Е)〉+

+ <Е1(Г1，£ + т) % (г3, Е)〉・〈仃(r2, i + т) 81 (г4, Е)〉+ + <61(Г1，£ + Т)61 (г4, о> ■ <61 (т2, £ + Т)”(Гз,力〉(37)

Применяя теперь соотношение (23), получим

а = & (гх — Г2) Ве(Гз — r4) + Be (^ — Г3 — V(Гь Е) Т)X

X Be (га — % — & (г2, 0 т) +

+ 瓦⑺一％ —力夕1, 0 © В$ @2 — г3 — v(r2, 0 т). (38)

Подставим (38) в (36). При этом, как легко видеть, первое слагаемое в (38) приводит к величине <Z)2; вычитая ее из обеих частей (36), получим формулу

В^т)^^ (^ + т) / (ф - </>2 =

=("%У“)4〈出 / (ri ~r3 — v(r1( Е)т) ei&g+n) d3rld3f ] X

X [,及 S — r4 — v (r2, £) t) e一近"…)d3г2 不Q]+

Lvv

+ [，3"i —匕一0 g, 2) t) e；KEf d3rl d3q ] X

X Q 7?e (r2 — тз — 0 (r2,i) r) e-iK^-^d2rt 个飞]〉『(39)

где скобки < 〉u означают усреднение по случайному полю &• Прежде чем выполнять это усреднение, заметим, что первое слагаемое в (39) равно нулю, если только К =/= 0・ Действительно, вводя в первом интеграле новые переменные (п — г3) и (п + г3) и выполняя интегрирование по переменной (п + г3), которая входит лишь в exp (iK (т^ + г3)), получим Sv(X)- Однако при К 中 0 величина ду(К)^;0, так что первым слагаемым в (39) действительно можно пренебречь. Во втором слагаемом в (39) введем вместо г* новую переменную pj = п — г4, а вместо г3 — переменную р2 = г2 — г3. После этого получаем

当(т)=(戶舞п%『\ d^r^ d3&〈 \ & (pi — ” (％ J) г) е叫dp】х V V ，

X ^ве(р2 —V夕2, t) т)еТКр^Зрг〉J (40)

Рассмотрим интегралы ио р:

\ 瓦(р —齡⑺ б'" d3p = § В式Р — ViT)&1К(ртЕ ©国 y ^p = VV

= «£Кн8冰双(K),

где Ф — усредненный (согласно (22.26)) по некоторому объему пространства волновых чисел спектр. Аналогично

§ Bg (р2 — vaT)^fRPz&'pz = griK^ 8л3Фе(Я), v

卄/о sin X4яг卄/о sin X4яги формула (40) принимает вид

卄/о sin X4яг

卄/о sin X4яг

&⑺=(&⑺=(-『(2R)6 [0 (k)产)d% )d3Г金(5’К[电"]，f}~廿(>#K)1r

&⑺=(

&⑺=(

(4i)

В отличие от формул для спектра поля, в спектр флуктуаций интенсивности входят лишь разности скоростей в двух точках. Обозначим через “к (г, Е) проекцию скорости в точке г на направление К'

Kv — Кик и Дрк (П, r2) == ик (rit Е) — I* (△“)•

В (41) входит выражение

<elK^r>-rt\ = ^0K(rurAKx),(42)

где

^依…仆)三〈内仆也咏屮匕

— характеристическая функция распределения вероятностей для К-комлоненты разности скоростей в двух точках 尸】и 竽幺.Таким образом,

ВI (Р) = (^%^)'(2x)0 [фе(五户 \ $ d3r"3f XA^Em)(Кт)・(43) V V

Перейдем к частотному спектру флуктуаций интенсивности. Вычисляя преобразование Фурье по т от (43) и учитывая, что характеристическая функция случайной величины Д vK связана с плотностью вероятностей 尸&玄(и) формулой

ХАик(") =〈е'»Азк” \ e^uPsVK(u)du,

получим

%⑼=(空部/(2寸画W12T § Рзик"】т (~^)"" 1 d‘2*

依)

В локально однородном турбулентном потоке распределение вероятпостей для разности скоростей в двух точках п и гя зависит лишь от п —竽2・ То жв) очевидно, относится и к характеристической функции этого распределения. Поэтому в (43) и (44) можно ввести новые переменные интегрирования Ti и р = ri ——т^ и выполнить интегрирование по п, дающее величину F. В этом случае получаем

当(工)=(竺察附(2 翁匝(К)М]зк®(Кт)产 р,(43，)

V

/(Q) = (^^含了(2吋画(典F04Раке)(%)m.(44，)

Заметим, кроме того, что, полагая в (10) т = 0 и учитывая, что

В&(0) ==〈/〉，\ % (К, Q) d£2 =①息(К),

—ОО имеем

<Ъ = (^^ху(2n)3 а (К) V. (45)

Поэтому формулы (43‘)и (44‘)можно представить в виде

3r(t) = <Ъ2-^ \%Аек⑺(Kt)0p,(43")

恥(Q) = "〉2 爲 5 р^к ⑺偿)吗.(44")

Полагая в (43е) т = 0 и учитывая, что %а口衣印)(0) = 1, получаем В[ (0) = </>2, откуда для коэффициента корреляции bj (т) имеем формулу

"(т) = ^Ж = ； \ ХД1'К-(р)(А'т) d3p-(45‘)

Заметим, что величина Q/K является тем значением X-компоненты разности скоростей, которой соответствует разность доп^ плеровских частот, равная Q.

В качестве грубого примера можно рассмотреть модель гауссовского распределения вероятностей для разности скоростей. В действительности» как уже отмечалось, это распределение заведомо не является гауссовским и наш пример должен лишь дать порядок входящих в (43〃)，(44〃)величин.

Для гауссовского закона распределения

=(46)

Но

Аик (р) = 4- RA”(Р)= 4r &必(Р)， так что

<[А^к (Р)12> =鳥К及％(Р)・

Подставляя выражение

0订(p) = Dn (p) \j + (0卄(p)-刀а(p))小修，

где n = р/р (см. гл. 1), получаем

«Айк (р)]2> = Dn (р) + [Drr (р) —Dn(p)] cos2g =

=Du (p) sin2 & + a“p) cos2 0,

где 9 ——угол между векторами X и р. Подставляя также

&Г (р) = Og% н Dtt _ 等％

(формулы) справедливые в инерционном интервале), получаем

Зк储® = еТ°")и+»п‘叽 (46')

Подставим (46') в (45‘) и введем сферические координаты с центром внутри рассеивающего объема и полярной осью вдоль вектора £. Тогда

6f (т)=р\еL 3」pBfij1gdpdcpdfl*.(47)

Пусть размер рассеивающего объема У имеет порядок Р% — Z, так что р W Р%・ В случае, если T2/f3C2 (卡'〃)％< 1, или т2 V V 哈 где

имеем 加(т) = 1・ В случае же, когда d 登片 или t2A^2(£，)％ 登 1, интегр ир о в ание по р в (47) можно распространить от 0 до 8. В этом случае простое, но довольно громоздкое вычисление приводит к формуле

Мт)=(*『，г“е N=j7^^ = 2,35. (49)

Таким образом, величина т0 является временем корреляции флуктуаций интенсивпости рассеянного сигнала. В отличие от времени корреляции для флуктуаций поля (эта величина, определенная выше, имела порядок Ljc^) величина т0 определяется лишь локальными характеристиками флуктуаций (а именно скоростью диссипации энергии е). Это связано с тем, что спектр флуктуаций интенсивпости определяется лишь разностями допплеровских частот различных рассеивателей, а следовательно, только разностями их скоростей. В связи с этим условия, при которых применимы формулы (43), (44), могут оказаться более широкими, чем это имело место для соответствующих формул (28), (31), определивших спектр флуктуаций поля.

Действительно, т° имеет порядок величины А/А и (Z), где △ u(Z)——порядок разности скоростей на краях рассеивающего объема. Так как при достаточно больших размерах объема V величина А» (£)〜о», то время корреляции флуктуаций интенсивности в А/% раз меньше времени корреляции флуктуаций поля (напоминаем, что^0 ——радиус корреляции флуктуаций скорости). Поэтому условие постоянства скорости движения жидкого элемента за время %, положенное в основу проведенного вывода, выполняется лучше, чем условие (32).

Изменение скорости движения за время т0 имеет порядок ре* Однако эта величина теперь должна быть малой не по сравнению со скоростью движения рассеивателей, а по сравнению с характерной разностью их скоростей. Последняя величина имеет порядок (&£)%・ Требуя выполнения неравенства Уёт0 у(£七)％ и подставляя выражение (48) для т。, получим условие

(KL-)l2^>i или 0，/а > (*L)-，/z (50)

(0 — угол рассеяния), при выполнении которого можно пользоваться принципом «локальной замороженности». Условие (50) не содержит характеристик турбулентности и выполняется почти во всех реально осуществляемых опытах.

Заметим, что при исследованиях турбулентности формулы (48), (49) можно попытаться использовать для определения величины е из наблюдений за спектром интенсивности рассеянного сигнала

[69], хотя при этом лучше исходить из формул (43"), (44^), не основанных на предположении о нормальном распределении разности скоростей.

Следует подчеркнуть, что выражение (48) для времени корреляции флуктуаций интенсивности не зависит (с точностью до численного множителя) от принятого закона распределения разности скоростей. В. то же время асимптотическое поведение фупк^ ции 6j (т) при т 货 tg выражаемое формулой (49), является следствием принятого при вычислениях нормального закона распределения для А и.

§ 30. Рассеяние импульса

В современной технике связи передаваемые сигналы очень часто имеют имнульсный характер. Поэтому представляет интерес рассмотреть вопрос о рассеянии импульсов. Мы рассмотрим задачу о рассеянии прямоугольного импульса с огибающей

А ирн |"< 等，

4 «) l •Т(1)

0 прн I" > 亏.

Для упрощения задачи рассмотрим случай скалярного уравнения в приближепии дифракции Фраунгофера. Затем результаты будут распространены и на более общий случай.

Уравнение, определяющее рассеяние в скалярном приближении, имеет вид

a断一3醬=一"旬⑺乳(九)(2)

причем

Ыг, 1)^А[1~^е^^,(3)

где функция А «) определена равенством (1). В (3) m — kjk — единичный вектор в направлении распространения падающей плоской волны. Функция 昼° (尸,£) отлична от нуля в слое

, сТj . , сТ

с£2- 《 "ti*《 以 T—2-

толщиной сТ, движущемся в направлении щ со скоростью с. Решением уравнения (J) является, как известно, функция

В зоне фраунгоферовой дифракции можно, как это уже неоднократно делалось выше, положить |г — тг\ = г — пт1 + где 论 = т/г — единичный вектор, направленный из центра рассеивающего объема на точку наблюдения, и г — расстояние от центра рассеивающего объема до этой точки. В знаменателе (4) можно считать [г — rz | ^ г + .•• В этом случае

Wi(b, £) = ^r\€ib)Wo(M £ — у + ^~)d3叫 (5) и после подстановки выражения (3) мы получаем

&Z 0 -為”(%)$g5)/1屮4Р一千一吟业了k.

(6)

Обозначим через Vr (£) общую часть (пересечение) рассеивающего объема V и движущегося плоского слоя

_г + М—^<(»п_>г"С^ — г；

Р (£) — 0, если эти области не перекрываются, и Vr (£) — F, если рассеивающий объем целиком лежит внутри указанного слоя. В общем случае『(Е) равно той части рассеивающего объема, которая лежит внутри слоя-

Испольэуя обозначение V1 (t), можно переписать (6) в виде

戛⑴，％)=窯9■千)\ ^(r^e^ <^^d3r^⑺

у%)

Огибающая рассеянного поля (которая теперь зависит от 0 дается формулой

当 °")=端 5 E1 ①')e詠 Е一""'"'.(8)

Это выражение отличается от аналогичной формулы (3.29) лишь заменой V на V’ (£)・

Рассмотрим теперь среднее значение потока рассеянной энергии, протгорциональное £^. Так как в случае монохроматической волны это выражение 血ло пропорционально У, то в нашем случае оно будет пропорционально У (力 Следовательно, зависимость интенсивности рассеяния от времени определяется лишь этим множителем (так как остальные величины от времени не за-

висят) ). Заменяя в выражении (45.29) для I =豆工瓦 величину V на У (£) и учитывая множитель sin2 у, появляющийся при переходе от случая скалярной волны к электромагнитному полю, будем иметь

/(t)-(笠¥『(2к)зФе(К)卩'(，). (9)

Исследуем более подробно функцию V’ (£)• Введем внутри рассеивающего объема систему координат с осью z, направленной по вектору m—w. Тогда 從一я = {0, 0, 2 sin ^ и уравнения границ слоя

имеют видимеют видet - r + "^""et - r + "^""2i2iсТсТТолщина этого слояТолщина этого слояQ2 sin 2Q2 sin 2его скорость движенияего скорость движенияО"2 sm уО"2 sm у(iO)(И)(12)(iO)(И)(12)

имеют вид

имеют вид

et - r + "^""

et - r + "^""

2i

2i

сТ

сТ

Толщина этого слоя

Толщина этого слоя

Q

2 sin 2

Q

2 sin 2

его скорость движения

его скорость движения

О"

2 sm у

О"

2 sm у

(iO)

(И)

(12)

(iO)

(И)

(12)

Таким образом, чтобы найти среднюю форму принятого сигнала, мы должны рассмотреть равномерное движение в направлении вектора 從 ——п со скоростью и = —^― плоского слоя толщины Л.

2siny

Средпяя мощность принятого сигнала пропорциональна (если пренебречь общим запаздыванием сигнала) той части рассеивающего объема У, которая находится в данный момент внутри этого слоя. Если толщина слоя Л превосходит размер Н (в направлении век- торащ—總)объема^, то некоторое время весь рассеивающий объем будет находиться внутри слоя, следовательно, принятый сигнал

будет иметь плоскую (в среднем) вершину. При этом время нарастания (и спадания) импульса определяется размером Н м скоростью движения и плоскости 芯，т. е. временем прохождения фронта импульса через рассеивающий объем

тФртФр" _2"" _2"(13)(13)

тФр

тФр

" _2"

" _2"

(13)

(13)

Это время тем меньше, чем меньше угол рассеяния 0. Легко понять (рис. 30), что плоская (в среднем) часть импульса длится время Т — тфр> а весь импульс имеет длительпссть Т + тфр-

Рнс. 30. Три последовательных момента прохождения импульса через рассеивающий объем (а, 6, е) и средняя форма рассеянного сигнала (г) в случае, когда вертлкаль-Рнс. 30. Три последовательных момента прохождения импульса через рассеивающий объем (а, 6, е) и средняя форма рассеянного сигнала (г) в случае, когда вертлкаль-

Рнс. 30. Три последовательных момента прохождения импульса через рассеивающий объем (а, 6, е) и средняя форма рассеянного сигнала (г) в случае, когда вертлкаль-

Рнс. 30. Три последовательных момента прохождения импульса через рассеивающий объем (а, 6, е) и средняя форма рассеянного сигнала (г) в случае, когда вертлкаль-

ный размер рассеивающего объема меньше, чем cT/2sin 牙

На рис. 30 схематически изображено построение фермы импульса в случае, когда 九〉Н, а на рис. 31 — в случае h <^1К При К〉九 весь рассеивающий объем ни в один из моментов времени целиком не принимает участия в рассеянии и поэтому амплитуда принятого сигнала падает по сравнению с предыдущим случаем. Общая длительность импульса в этом случае также равна Т + тфр, hg эта величина может уже значительно превышать первоначальную длительность Г Искажения формы импульса малы, если выполняется соотношение тфр у Т, и велики, если величины ТфР и Т сравнимы или если %р、Г・ Поэтому естественно назвать величину 1/тфр «полосой пропускания» канала связи,

работающего на рассеянии,

А/ =А/ =О2H sin *2*О2H sin *2*(14)(14)

А/ =

А/ =

О

2H sin *2*

О

2H sin *2*

(14)

(14)

Заметим, что Д/ совпадает с величиной максимальной расстройки, при которой еще наблюдается корреляция интенсивности двух рассеянных сигналовf имеющих частоты / и / + Д/.

Рис. 31. Три последовательных момента прохоясдення импульса через рассеивающий объем (а, б, е) и средняя форма рассеянного сигнала(2)в случае, когда вертикальный размер рас- свивающего объема больше, чем сТ/2 sin у.Рис. 31. Три последовательных момента прохоясдення импульса через рассеивающий объем (а, б, е) и средняя форма рассеянного сигнала(2)в случае, когда вертикальный размер рас- свивающего объема больше, чем сТ/2 sin у.

Рис. 31. Три последовательных момента прохоясдення импульса через рассеивающий объем (а, б, е) и средняя форма рассеянного сигнала(2)в случае, когда вертикальный размер рас- свивающего объема больше, чем сТ/2 sin у.

Рис. 31. Три последовательных момента прохоясдення импульса через рассеивающий объем (а, б, е) и средняя форма рассеянного сигнала(2)в случае, когда вертикальный размер рас- свивающего объема больше, чем сТ/2 sin у.

В случае《узких» диаграмм направленности Н ^ aR == %口仪 (а — угловая ширина диаграммы направленности) и

△/ =0 ~ 丽 *adsin у△/ =0 ~ 丽 *adsin у(15)(15)

△/ =0 ~ 丽 *

adsin у

△/ =0 ~ 丽 *

adsin у

(15)

(15)

Для «широких» диаграмм направленности Н ^ GR = ^6d и з=/^爵■(16)

8d sin q

При обычных значениях а, би t/величина Д/может достигать значений нескольких мегагерц, что удовлетворительно даже для целей телевидения.

Остановимся на физической интерпретация выведенных формул. Представим себе, что в точке 〃工(рис. 32) находится передаю-

11щая, а в точке П% — приемная антенна. Если в некоторый момент £ из П1 излучается «мгновенный» сигнал, то в момент 方 + т в 〃? будут поступать сигналы, рассеянные теми рассеивателями, сумма расстояний которых до П1 и 〃窑 равна е*т. Все эти рассеиватели располагаются на поверхности эллипсоида вращения с фокусами el П1 и 〃2，величина большой полуоси которого равна а = ^ ст (ось

1

1

J&2r2 —个J&2r2 —个(d — расстояние между П1(d — расстояние между П1проходит через 111 и 〃纟),малая полуось равна Ь =

J&2r2 —个

J&2r2 —个

(d — расстояние между П1

(d — расстояние между П1

Рис. 32. К построению формы рассеянного сигнала.Рис. 32. К построению формы рассеянного сигнала.и 〃2)・ Пусть рассеивающий объем, малый по сравнению с d, находится вблизи конца малой полуоси эллипсоида. Угол рассеяния 0 связан с М и т соотношением ст = =—^—. В момеит т/ > т в точку

Рис. 32. К построению формы рассеянного сигнала.

Рис. 32. К построению формы рассеянного сигнала.

cos彳

=у Ус?т' 2 — cf2 • При=у Ус?т' 2 — cf2 • ПриЬгЬгэтом поэтом по〃2 будут проходить волны от рассеивателей, расположенных на поверхности большего эллипсоида с полуосями а' = ^~ с L и

=у Ус?т' 2 — cf2 • При

=у Ус?т' 2 — cf2 • При

Ьг

Ьг

этом по

этом по

верхность эллипсоида, пересекающая рассеивающий объем, переместится вверх. Скорость движения этой поверхности равна

dbс стс

dT2 后二不 2sin»

и совпадает с (12).

В случае, если объем V достаточно мал, в его пределах поверхность эллипсоида можно заменить касательной плоскостью, и мы приходим к изложенным выше результатам. Приведенные рассуждения поясняют, какие видоизменения надо внести в наши результаты, если отказаться от приближения фраунгоферовой дифракции. В этом случае все построения формы импульса, приведенные выше, останутся в силе, если плоские граница движущегося слоя заменить поверхностями увеличивающегося со временем эллипсоида.

§ 31. Корреляционные функции рассеянного поля

Выше мы уже рассматривали качественно вопрос о корреляции рассеянных под различными углами полей. Здесь мы рассмотрим этот вопрос более подробно [71, 72]. Напряженность рассеянного

поля в точке гг определяется формулой (8а.25):

7.3 Р Jfc 1 Ti-rZ I

Е6 (Г1)=而\ m — w| 电(")【九 s，r^ lE^rf)n^ rf)]]d3rf,

где n {r^ r') = (rx — r')/)r1 — rf\. Рассеянное поле в точке ra имеет вид

Е"⑺=規^^ s g["S，")国(*)九(％,产川”产.

v(2)

Вычисляя среднее значение от произведения (1) на комплексно сопряженное к (2) выражение, получим

6S)殴(△)〉=(鍋 $"|7^VTT^T凡")x

x [«.(Г!, г') [Ей{т')п(гъ »•'川 х

X tn (ra,产)[X (т") n (r2, т")Н d3r' d3r".(3)

Как и при выводе выражения для средней интенсивности рассеяния, будем считать, что Ео (г) имеет вид

Eq (г) = J-o (г) е詠 I ®f!,(4)

где 2?0 ——точка расположения излучателя» а 40 (г)——амплитуда, зависящая от диаграммы направленности передающей антеннн. Выражение (3) принимает вид

包式现矶о〉=

_(依 VK exp (次 口%一k I 一 1尸2一尸"| + I 冗О—W |—1%-k ID B£(r - rw)

X {Jo (“)—孤(П, ") 'No (k)孤(rb “))} X

X {4。(k)—孤(n, *) (4。(k) n (r2, N))} db 炉产.(5)

Введем новые переменные интегрирования х — -^ (г7 + 竽”)》

р = г" — гя и координату JS = у (гг + г2) для центра отрезка, соединяющего точки наблюдения rL и г2, а также /•= 竽工 一 г2.

Выразим все величины, входящие в (5), через новые переменные:

ri — rz = JR — х + у (г — р); т2 — гн = К~х~ — {г— р),ri — rz = JR — х + у (г — р); т2 — гн = К~х~ — {г— р),

ri — rz = JR — х + у (г — р); т2 — гн = К~х~ — {г— р),

ri — rz = JR — х + у (г — р); т2 — гн = К~х~ — {г— р),

Разлагая модули этих выражений в ряд по формуле бинома, получим

I 冗一ЭС I +I 冗一ЭС I +R — 02 г — рR — 02 г — рIR — я?IR — я?22+电F+(6)+电F+(6)

I 冗一ЭС I +

I 冗一ЭС I +

R — 02 г — р

R — 02 г — р

IR — я?

IR — я?

2

2

+

电F+(6)

+

电F+(6)

in—ri三т『

+ 2］上一田［(4^/ - (［^^ , 铝丹⑺

gT】一m—ki=尚二出（т—p）+ o（i仁*；）， （8）

где О(X)——члены порядка, не превосходящего %• Аналогично

I J?o — " I = ］ -Ko —黨=m-盒三］I J?o — " I = ］ -Ko —黨=m-盒三］РР112 I Во — а I2 I Во — а I

I J?o — " I = ］ -Ko —黨=m-盒三］

I J?o — " I = ］ -Ko —黨=m-盒三］

Р

Р

1

1

2 I Во — а I

2 I Во — а I

I Ro — T” I I 元。一犯十 4" P I =(9)

=I E)一 " I 十孟二爲 + 21 广一切［伤)2— 俄二^ 1)1 +

|72。一"1一172。一/^ "1 = _式工|P+0卜市5^). (10) Введем

^(А。，")= I®-д0^(А。，")= I®-д0(11)(11)

^(А。，")= I®-д0

^(А。，")= I®-д0

(11)

(11)

—единичный вектор, направленный из точки -Ro в X. Выведем условия, при которых в формулах (8) и (10) можно ограничиться первыми членами.

Величины (8) и (10), умноженные на А, входят в (5) в экспоненту. Величина р ограничена неравенством р W 工屮 где 工。——радиус корреляции флуктуаций 6, так как при больших значениях р подынтегральное выражение в (5) близко к нулю за счет множителя 反(Р)・

Величина | JJ — ас | имеет порядок R. Поэтому условие, при котором в (10) можно ограничиться первым членом, имеет вид

讨《1 или #У*Е2.(12)

Условие (12) хорошо выполняется в реальных условиях при дальнем тропосферном распространении радиоволн.

Из (8), помимо того же условия (12), вытекает также ограничение на величину допустимого разнесения г точек наблюдения:

г3 У 入AZ(13)

Но выше, при качественном анализе, было найдено, что при поперечном разнесении точек наблюдения радиус корреляции г0 имеет порядок r0 ~ kfl/L, где 〃 — размер рассеивающего объема. Подставляя в (13) вместо г указанное значение г0, получим условие:

2R У /А(14)

которое также не является существенным ограничением в прак^ тически важных случаях.

Величины |i*i — *г'| и |г2 — т"| в знаменателе (5) можно заменить первыми членами разложений (6) и (7) при выполнении очевидных условий у《К, £()《Е. При выполнении этих же условий можно считать п (尸口 г') ^ n (r2, rn) ^ n (J2, ас). Кроме того, если функция Ай (г) мало меняется при изменении г на величину порядка LO1 то можно считать Ао (“)之 Ао (В‘)= А0(х). Так как функция Ло существенно изменяется на расстоянии порядка L (величина рассеивающего объема как раз и определяется той областью, где Ао отлична от нуля), то последнее условие имеет вид

L^L.(15)

При выполнении всех перечисленных условий можно записать (5) в виде

•/依、2(V /£(*» (К, *)f (К, N))Q+ik儡 3. se) г

<^(^)e«)〉=Ы 8 ^户7义

X Ло(х) sin2 х (зс) В£ (р) d3p d3x. (16)

Выражение (16) отличается от аналогичной формулы (17.26) помимо множителя с/8ямножителем exp (iknr), с которым и связана зависимость корреляционной функции рассеянного поля от г. Выполняя в (16) интегрирование по р и снова вводя обозначение

К (х) = к (m (JB, ж) — n (JB, х)), получим

5з0及S)〉三Be⑺=(2府底)\ 1r_好X

X Л?(X)sin2 % (x) Фе (К (ж)) d3x. (17)

При выводе формулы (17) мы предполагали: что флуктуации диэлектрической постоянной статистически однородны, т. е, 月е (1*\ /•") — 〃е(¥‘—т”). Это предположение, по существу, не является необходимым. Все вычисления можно провести и в том слу^ чае, когда статистические характеристики флуктуаций плавно меняются, т- е. корреляционная функция 3^ (г\ г") имеет вид (см, раздел А)

瓦(T'；т"): 碎(^^"/("-')a8)

где 仇(р) — нормированная (Ь& (0) = 1) корреляционная функция флуктуаций еп зависящая лишь от разности аргументов р — =г'——т", a Ei (г)——зависящий от координат средний квадрат флуктуаций. В этом случае и спектральная плотность флуктуаций зависит от координат:

ФЕ(г, х) = С?(г)Ф<0)(х).(19)

В рассматриваемом случае проведенный выше вывод формулы (17) не изменяется и следует лишь заменить Ф£(К (ас)) на вираже^ ние (19)

зе (г) = (2Л)3 (麻j ) 一/A二e户一儿(m) sin? х (重)X

хС?(ас)Ф^(К(ж))^. (20)

Чтобы более ясно представить физический смысл формулы (20), предположим, что вектор п (7?, ае) можно разложить в ряд по степеням х/В

"(五，x) = по - % ("一气。(乳О覚))+。(為)•(21)

dr —而У 1・dr —而У 1・Здесь ”q = R]R — единичный вектор, направленный из центра рассеивающего объема в центр отрезка, соединяющего обо точки наблюдения. Последним членом в (21) можно пренебречь при условии (более жестком, чем (13)):

dr —而У 1・

dr —而У 1・

(22)

В этом случае

П (Ж, ЗС) 1* Е ПоГ — g (хг — (nor)(По»)) = п«г —力Ам, (23) где

Дп = lyr)=也鞋迎(24)

—— разность двух единичных векторов, направленных из центра рассеивающего объема в точки наблюдения.

Как и при рассмотрении средней интенсивности рассеяния положим

&⑺=Л®/® (m ⑺)，

где функция / (ш (х)) описывает диаграмму направленности излучателя. Кроме того, введем под интеграл (20) функцию/? (п (%)), описывающую диаграьшы направленности приемных антенн *), но пределы интегрирования распространим на бесконечную область. В результате получаем

取⑺=(2叫岩*2卜W*丝产*

х d (ae)币T)(К (3C)) d3x.(25)

Множитель exp (ihn^r) перед интегралом обусловлен систематической разностью фаз между рассеянными полями в точках J®土彳＞,если эти точки расположены на разных расстояниях от рассеивающего объема (лишь в этом случае гп0 丰 0). Интеграл в (25) имеет вид преобразования Фурье (при х = ЛДп) от произведения

/*'(«) = /о (次(а))片("⑺)d ⑺初° (衣(力))I n — 非「2. (26)

Прежде всего следует отметить, что этот интеграл зависит лишь от А” (г), но не от самого значения г. Таким образом, корреляция рассеянных полей в двух точках не изменится (за исключением фазового множителя exp (ifcnor)), если эти точки перемещать вдоль лучей, проходящих через центр рассеивающего объема (при таких перемещениях Ам (г) не изменяется). Иными словами, корреляция рассеянных полей зависит лишь от угла, под которым

♦) При более строгом рассмотрении следовало бы вводить в отдельности каждую из диаграмм направленности приемных антенн. Если, однако, считать, что диаграммы паправленпостп идевтичны и мало меняются прн изменении угла на величину порядка Z0//f (% — радиус корреляции флуктуаций), то мы придем к результату, указанному в тексте.

0,6-° + о07~JFРис. 33. Корреляционные функции рассеянного поля при поперечном разнесении точек иаблюдения в случае широких диаграмм направленности.По оси абсцисс отложено расстояние между точками наблюдения, отиесенное к величине 入/пО, где 入一длина волны и 0 — угол рассеяния. На графике сведены результаты различных экспериментов:О — Л = 3 л, 6 ле, d = 1200 кл^ +•—入 ^ =3 см, d = 120 хм; х 一 ％ = 10 см, d = =190 км', 口一*=30 см, 3 м> d к Збб xjw.0,6-° + о07~JFРис. 33. Корреляционные функции рассеянного поля при поперечном разнесении точек иаблюдения в случае широких диаграмм направленности.По оси абсцисс отложено расстояние между точками наблюдения, отиесенное к величине 入/пО, где 入一длина волны и 0 — угол рассеяния. На графике сведены результаты различных экспериментов:О — Л = 3 л, 6 ле, d = 1200 кл^ +•—入 ^ =3 см, d = 120 хм; х 一 ％ = 10 см, d = =190 км', 口一*=30 см, 3 м> d к Збб xjw.

0,6-° + о

07~JF

Рис. 33. Корреляционные функции рассеянного поля при поперечном разнесении точек иаблюдения в случае широких диаграмм направленности.

По оси абсцисс отложено расстояние между точками наблюдения, отиесенное к величине 入/пО, где 入一длина волны и 0 — угол рассеяния. На графике сведены результаты различных экспериментов:

О — Л = 3 л, 6 ле, d = 1200 кл^ +•—入 ^ =3 см, d = 120 хм; х 一 ％ = 10 см, d = =190 км', 口一*=30 см, 3 м> d к Збб xjw.

0,6-° + о

07~JF

Рис. 33. Корреляционные функции рассеянного поля при поперечном разнесении точек иаблюдения в случае широких диаграмм направленности.

По оси абсцисс отложено расстояние между точками наблюдения, отиесенное к величине 入/пО, где 入一длина волны и 0 — угол рассеяния. На графике сведены результаты различных экспериментов:

О — Л = 3 л, 6 ле, d = 1200 кл^ +•—入 ^ =3 см, d = 120 хм; х 一 ％ = 10 см, d = =190 км', 口一*=30 см, 3 м> d к Збб xjw.

видны точки наблюдения из центра рассеивающего объема. Однако это справедливо лишь в случае выполнения неравенства (22) и не имеет места в общем случае, когда формула (23) несправедлива.

Радиус корреляции флуктуаций определяется размерами той области, в которой заметно отлична от нуля функция F (ж) (26).

Пусть размер этой области имеет порядок а. В этом случае величина Дп, при которой еще наблюдается корреляция рассеянных нолей, связана с а соотношением

- , т. 6. Azz()~ •

Эта формула совпадает с приводившейся в § 28.

Величина а может в основном определяться или диаграммами направленности антенн (это — рассмотренный в § 28 случай острых диаграмм), или убыванием с высотой множителя 度(第),или уменьшением Фе (К (х)) при увеличении угла рассеяния. Вообще говоря, все факторы действуют совместно.

Радиус корреляции флуктуаций возрастает при уменьшении эффективного рассеивающего объема: при сужении диаграмм направленности антенны, при более резком убывании интенсивности флуктуаций диэлектрической проницаемости с высотой.

На рис. 33 приведены экспериментальные данные о корреляции рассеянного поля при разнесении точек наблюдения поперек трассы. Отобраны эксперименты, в которых угловая ширина диаграмм направленности превышала угол рассеяния. В этом случае эффективный рассеивающий объем имеет размер (в направлении поперек трассы) порядка а ~ 07?, откуда Дп0~ 援・ Но Дп 之 ^, где S — расстояние между точками наблюдения. Следовательно, радиус корреляции флуктуаций 50 имеет порядок Л/0, а величина у- = у или пропорциональная ей величина g = у kSB является безразмерным универсальным аргументом корреляционной функции. Если откладывать коэффициент корреляции Ь 传)как функцию величины £ то вид функции не должен зависеть от конкрет-

ных значений А и 0, имевших место в опытах. Это хорошо подтверждается приведенными на рис. 33 экспериментальными данными.

Конкретные расчеты по формуле (25) производились в работах [71, 72] для различных моделей флуктуаций и их зависимости от высоты.

Следует заметить, что вид корреляционных функций сильно зависит от распределения интепсивпости флуктуаций по высоте. Поэтому на основании сравнения экспериментально определенных корреляционных функций с теоретическими едва ли можно надеяться получить какие-либо сведения о спектре турбулентных флуктуаций е. Более того, так как в реальной атмосфере распределение интенсивности флуктуаций с высотой может, вообще говоря, иметь самый причудливый вид и сильно меняться от случая к случаю, то экспериментально измеренные корреляционные функции рассеянного поля в деталях могут отличаться друг от друга весьма значительно. Можно лишь утверждать, что в случае «широких» диаграмм направленгности радиус корреляции при поперечном (по отношению к трассе) разнесении антенн имеет порядок Л/0, а при разнесении вдоль трассы Л/02.

Законы распределения вероятностей рассеянного поля

Рассеянное ноле (в приближении однократного рассеяния, которое мы здесь рассматриваем) является интегралом от произведения детерминированной функции и случайной функции 61 (т‘)・ Размеры рассеивающего объема значительно превосходят радиус корреляции Ло флуктуаций £工・ В этом случае закон распределения рассеянного поля близок к нормальному в силу предельной теоремы теории вероятностей ). Более того, можно считать, что случайное поле Es(r) является гауссовским.

Для упрощения дальнейших выкладок мы рассмотрим случай скалярного уравнения в приближении дифракции Фраунгофера. В этом случае рассеянное поле имеет вид (2.29)

Ез (，)= ^^^ 卜1 (”)*『'0产 (1)

V

(начало координат помещено в центре рассеивающего объема). Нас будут интересовать законы распределения вероятностей для значений рассеянного поля в двух точках ?\ и г2. Так как Еа —

комплексная величина, то в каждой из точек гь г2 мы имеем две случайные величины:

С (ri) + ID (r<) = Es(Г{).

Так как величины Си /\, &, 2 подчинены четырехточечному нормальному закону распределения, то для нахождения его параметров, как известно, достаточно найти матрицу вторых моментов для величин С；, D^

[Рассмотрим сначала〈瓦 (r0 Et[r^). Используя (1) и предполагая статистическую однородность флуктуаций в, имеем

〈Esg) Es g)〉=(醬 Г е* § Be ⑴'一 N)"(「")阳 0广(2) VV

В (2) можно ввести переменные интегрирования ①‘ 一т") и (rz + гя). Интеграл по (rz + /•") дает функцию 6V (К), которая для достаточно больших V близка к нулю при К # 0. Таким образом, можно считать, что

〈瓦 g)E«2)〉= 0・(3)

Подставляя Е& (г<) = С (г,) + iD (rj, получаем

〈[С (乃)+ iD (rt)][C(r2) + iD (га)]> =

=KC^C^y-^D^D^}] +

+ "〈С (乃)D (r2)> + <C(r2) D(Г!)>] = 0, откуда

<С (Г1) С (ra)> = {D(Г1) D (га)>,(4)

〈С (ri) D (г2)> = —<С (ra) D (ri)>.(5)

Найдем теперь 〈& (гх)Х (г2)> = 3七(少卜 г2). Эта величина была вычислена в предыдущем параграфе. Подставляя 局=С + + tD> получаем с учетом(4) и (5)

ВЕ[ги г2) = <1С (гг) + iD (ri)] {C(r^ — iD (г2)]> =

=2〈С О С (r2)> + 2i {D (п) С (г3)>.

Таким образом,

а = (С (ri) С (гг)> = <Z>(ri)Z>(r2)> = ；Re3£(Ti, W，(6)

В =〈0 6) С g)〉= -<С 6) Z)(仙)〉= ylm Be(П, га). ⑺

Рассмотрим, прежде всего, закон распределения поля в одной точке 九 Полагая в (4) и (5) % = % = г, получаем

©〉=〈02〉，〈с ⑺刀 6〉= 0.

Из (6) при гх = г2 имеем

〈0〉=〈D2〉=%〈1Е]3〉.

Таким образом, величины С и D распределены по нормальному закону с равными дисперсиями и не коррелированы. Следовательно, плотность вероятностей распределения величин Р (С, Q) равна

「(&〃) = »-"+*(8)

где

。2 =〈©〉= ^〈1Е产〉.

Перейдем к законам распределения амплитуды рассеянного поля А = У С2 + О51 вс фазы <р = arctg ^:

尸(4中)=尸(a。)^! =為>轰・(9)

Из (9) следует, что фаза рассеянного поля распределена равномерно в интервале (— я, л), а амплитуда распределена по закону Редея:

Р(4) = *е「务. (Ю)

Воспользуемся формулой (10) для подсчета флуктуаций мощности рассеянного поля. Последняя пропорциональна величине / = 4* Используя (10), легко подсчитать, что <Аг> = 2о2 и 〈4&〉= 8и4. Следовательно,

Q/ — "〉F〉=〈火〉一〈"У = 4о4 = <Л2>2, или

<[/-</>?> = <Z>2. (11)

Таким образом, среднеквадратическое значение флуктуаций мощности рассеянного сигнала равно среднему значению мощности, т. е. вся принятая мощность имеет «флуктуационный» характер.

Обратимся теперь к закону распределения вероятностей для совокупности величин С (^), D (rx), С (r2), D (г2). Предполагая, что интенсивности рассеяния в обеих точках одинаковы, т. е. что

〈О (%)〉=〈◎ SJ〉= <Л

получим для матрицы вторых моментов

/〈С (%) С (%)〉〈0(%) О о〉<С(Г!)С (г2)> <С(Г!)D (г2)>\

(〈0(%) С (%)〉\_

\<С(т.)С(г.))=

\{D (г^С^))/

(

б20а— р、

Об2₽а\

аро201= (Вх). (12)

—Ва0а2/

Характеристическая функция закона распределения вероятно стей для С】，Dlt Са)D^ равна

X(W1, 〃2, “3, "4)=6一巧3*吗(13)

а плотность вероятности определяется обратной квадратичной формой.

Если в законе распределения для Clt Z\, Са, D2 перейти к новым переменным — амплитудам А (?•；) = У С2 (rj) + D2 (?%*) D (к)

и фазам ф (Гу) = arctg 号 ,и затем полученный совместный ° V j)

закон распределения амплитуд и фаз проинтегрировать по 屮丄，ф2, то мы получим совместный закон распределения для А (%), А (г2). Результат такого преобразования хорошо известен [73]:

Р ⑷YeQ^^M^^expJ^^). (14)

Здесь р = V：J В , Л (х)——функция Бесселя от мнимого аргумента.

Зная Р (4心 И2), можно найти ковариацию флуктуаций амплитуды в точках rt и г2【73]:

оооо

〈4 (ri) А (%)〉=〈4 (ri) А (%)〉=\ \ А^А^Р (41, <2)d/l] d<・2 =

〈4 (ri) А (%)〉=

〈4 (ri) А (%)〉=

О О

^^[2Е(р)^(1^р^К(р)]. (15)

Здесь К (р), £ (р) — полные эллиптические интегралы первого и второго рода.

Найдем также коэффициент корреляции флуктуаций ампли

тудытудыЬа 61,犷2)=Ьа 61,犷2)=<ЛгЛ2>-<Л>з<ЛгЛ2>-<Л>з

туды

туды

Ьа 61,犷2)=

Ьа 61,犷2)=

<ЛгЛ2>-<Л>з

<ЛгЛ2>-<Л>з

Воспользовавшись разложепиями в ряды функций Е и К. легко получить формулу

=0,921声 + 0,058р4 + 0,014pG 十(16)

Таким образом, коэффициент корреляции для флуктуаций амплитуды выражается через квадрат модуля корреляционной функции флуктуаций поля

炉=炉=% (2 % ⑺%(0)唯(Q)-% (2 % ⑺%(0)唯(Q)-=Ье (г) %；(#)•=Ье (г) %；(#)•⑺⑺

炉=

炉=

% (2 % ⑺%(0)唯(Q)-

% (2 % ⑺%(0)唯(Q)-

=Ье (г) %；(#)•

=Ье (г) %；(#)•

⑺

⑺

Имея конкретные выражения для ЬЕ (г), легко по (16) найти соответствующее значение 6八(г).

§ 33. Распространение ультракоротких радиоволн в тропосфере

В зтом параграфе мы сопоставим экспериментальные данные о дальнем тропосферном распространении УКВ с теорией рассеяния турбулентными неоднородностями тропосферы.

Прежде всего произведем сравнение наблюдаемых значений мощности сигнала с величиной, рассчитанной на основании теории рассеяния. При этом мы будем пользоваться простенп!им вариантом формулы (28.26)т считая, что плотность потока рассеянной энергии 6 дается форкхулой

(I)(I)

(I)

(I)

7 В. И. Татарский

где So — плотность потока энергии падающей волны, У - величина рассеивающего объема, г — расстояние от его центра до точки наблюдения,

Оо =子胪孤(К)sin? %(2)

— эффективный поперечник рассеяния из едииицы рассеивающего объема в единичный телесный угол.

Считая, что К = 24 sin у (0 — угол рассеяния) лежит внутри инерциоцного интервала турбулентности, имеем

R(K) = 0,033dk% (^<2fcsin-|-<-^)>⑶

так что [74]

□о (9) = 0,052卢С；(2 sin ^ J ^sin2 乂.(4)

Сравнение с экспериментальными данными удобно производить не для величины 5, а для принятой за счет рассеяния мощности

A = as =空竺，(5)

где Л — эффективная площадь приемной антенны. В свою очередь

где 尸。——излучаемая мощность, 7?0 — расстояние от излучателя до центра рассеивающего объема и Go — усиление (по мощности) излучающей антенны. Подставляя (6) в (5), получаем

R — 4+母一 • ⑴

Величина N носит название «потерь передачи»..

Вместо N иногда удобнее пользоваться отношением мощности, принятой за счет рассеяния, к мощности, которая была бы принята при тех же антеннах и аппаратуре в свободном пространстве. Если расстояние от передающей до приемной антенны равно d (обычно d у『十 /?0), то мощность, принятая в свободном пространстве Ап, равна

^О^О^

4ndi '

Сравнивая это выражение с (7), найдем

(9)(9)尸8 一 ％У R — Н 〜Г%冗Г""布'К一 干~7T冗;■

(9)

(9)

В (9) явно не фигурируют параметры применяемых антенн, что удобно для сравнения различных экспериментов. Однако величина рассеивающего объема V зависит от углов раствора диаграмм направленности применяемых антенн.

В случае, когда ширина диаграммы направленности мала по сравнению с углом рассеяния 0 и ВУ1,

公*(Ю)

(см. § 28), где 7工——эффективная ширина диаграммы направленности в вертикальной плоскости, 丫乞— то же в горизонтальной плоскости, причем предполагается идентичность принимающей и передающей антенн.

Коэффициент усиления G для остронаправленных антенн связан с Т],匕 приближенным соотношением G = ^/у^а (отношение полного телесного угла 4л к телесному углу у^а, в котором сосредоточено излучение). Поэтому, если принять 丫】= Т^ = Т， то

Величина Л связана с G общим соотношением (вытекающим из термодинамических соображений [75])

九 2G = 4лЛ.

Используя это соотношение и (10'), получим для входящего в (7) произведения

046。а 0,44期2 /貝

Таким образом, величина PJP^ возрастает при увеличении коэффициентов усиления обеих антенн как УG, в то время как при передаче в свободном пространстве Рсп/Р0 /*«^ G2. Этот эффект носит название падения усиления антенн при дальнем тропосферном распространении и хорошо изучен экспериментально. Он является прямым следствием того факта, что рассеянная мощность пропорциональна объему, участвующему в рассеянии.

Используя формулы (9), (10) и (4), можно по экспериментально измеренным значениям Р^Р^ и известным для экспериментов

4例4例Рис. 34. Завпсимость интенсивно- стп сигнала от расстояния при дальнем тропосферном распространении (Л) н соответствующая кривая, рассчитанная по днфрак- хщонным формулам (В).Рис. 34. Завпсимость интенсивно- стп сигнала от расстояния при дальнем тропосферном распространении (Л) н соответствующая кривая, рассчитанная по днфрак- хщонным формулам (В).ря = 0,29后府幽^⑶ря = 0,29后府幽^⑶(11)(11)

4例

4例

Рис. 34. Завпсимость интенсивно- стп сигнала от расстояния при дальнем тропосферном распространении (Л) н соответствующая кривая, рассчитанная по днфрак- хщонным формулам (В).

Рис. 34. Завпсимость интенсивно- стп сигнала от расстояния при дальнем тропосферном распространении (Л) н соответствующая кривая, рассчитанная по днфрак- хщонным формулам (В).

ря = 0,29后府幽^⑶

ря = 0,29后府幽^⑶

(11)

(11)

значениям 6, G и т. д. установить необходимое значение величины

С€, входящей в выражение для спектральной плотности флуктуаций е.

Обработка результатов таких экспериментов (см., например, [76, 77]) приводит к значениям G = (4*10-9 -н 1,5-Ю-7) слГ%, необходимым для объяснения реально наблюдаемых уровней

полей при дальнем тропосферном распространении УКВ. Если

ввести величину Сп = 2Се, характеризующую флуктуации пока-

e)t то необходимые значения Сп составляют 0,002-н0,080 Мед/ои% (1У-единица = 10-в). Прямые измерения флуктуаций показателя преломления, выполненные при помощи рефрактометров [35, 61], приводят к значениям Сп порядка 0,020 N-e^/cj^k

Более многочисленные измерения флуктуаций температуры в тропосфере после пересчета на значения Сп приводят к значениям 0,001 + 0,020 "-ед/см%. Сопо-

ставление приведенных значений Сп с экспериментами по дальнему тропосферному распространению УКВ приводит к выводу, что эффект рассеяния радиоволн турбулентными неоднородностями спо

собен объяснить «слабую компоненту» принииаемого сигнала, наблюдающуюся большую часть времени, По-видимому, более редкие и интенсивные поля при дальнем распространении УКВ могут быть обусловлены и другими механизмами распространения (атмосферные волноводы, отражение от слоев атмосферы с сильными градиентами показателя преломления и т. д.).

Рассмотрим также зависимость интенсивности рассеянного поля от расстояния. На рис. 34 приведены значения 7V = 10 1g 总 в зависимости от расстояния d [78], полученные экспериментально в различных работах (кривая Л), и кривая 8, рассчитанная по дифракционным формулам. Кривая 4 приблизительно соответствует закону Р"сп ~『в・

Найдем теперь эту зависимость, исходя из теоретических соображений. Подставляя в (9) выражения (4) и (10'), получим

Величина /?. пропорциональна & так что(Р]№ 〜d. Угол рассеяния 0 также связан с d. Если а ——радиус Земли, то 6 d/a. Таким образом, d3/?；^"厶〜&」％. Однако величина 仪(％) также зависит от @. Действительно, z (высота рассеивающего объема) связана с d и а соотношением

Величина же С； зависит от высоты. В дневных условиях, когда хорошо оправдывается схема свободной конвекции (см. гл. 1),

Cf (z)〜L% 〜d^\ Следовательно,

寺-〜di =尸，33, что находится в хорошем согласии с экспериментальными данными по дальнему тропосферному распространению УКВ.

Наконец, рассмотрим зависимость мощности рассеянного поля от частоты. Согласно (4) она определяется лишь множителем Л1/3, т. е. PJPg 〜 入~%. Однако большинство экспериментов свидетельствует о том, что эта величина скорее пропорциональна первой степени длины волны. Был поставлен специальный эксперимент, описанный в [35], когда одновременно на двух частотах (417 и 2290 Мгц) из одного и того же рассеивающего объема принимался рассеянный сигнал (для этого диаграммы направленности всех антенн были сделаны идентичными). В описываемом эксперименте отношение величин PJPcn, полученных на двух частотах, прямо позволяло определить зависимость интенсивности рассеяния от частоты. Было выяснено, что примерно в 99% случаев показатель степени в формуле PJP^ 〜Ха превышает значеннс (—^), в 50% случаев его значение больше, чем +1, и в 1% больше, чем +2. Среднее значение этого показателя степени близко к +L Таким образом, частотная зависимость интенсивности сигнала при дальнем тропосферном распространении УКВ не согласуется с теорией рассеяния на турбулентных неоднородностях.

Резюмируя, можно сказать, что явление рассеяния радиоволн турбулентностью атмосферы, несомненно, играет определенную роль в явлении дальнего тропосферного распространения, так как наблюдаемые уровни сигнала (точнее, слабая компонента сигнала, существующая большую часть времени) хорошо соответствуют экспери ментально исследованному уровню флуктуаций показателя преломления.

Теория рассеяния хорошо объясняет такие эффекты, как быстрые замирания сигнала, падение усиления антенн, зависимость от расстояния и некоторые другие. В то же время имеются факты, которые не находят объяснения в рамках теории рассеяния (зависимость от частоты), что свидетельствует о нал»гчии одновременно действующих других механизмов дальнего тропосферного распространения.

Б. РАССЕЯНИЕ ЗВУКА В ТУРБУЛЕНТНОЙ АТМОСФЕРЕ

Рассеяние звуковых волн в турбулентном потоке во многом аналогично рассеянию электромагнитных волн. Скорость распространения звука зависит от температуры и от скорости ветра. Обе эти величины испытывают флуктуации, обусловленные турбулентностью, что и приводит к рассеянию. Рассеяние звука в турбулентной атмосфере {^ссматривалось А. М. Обуховым [79] в 1941 г. В дальнейшем появилось большое количество работ по этому вопросу [80—86], в которых проводилось уточнение постановки задачи). Наконец, в работах [87, 88] это явление было детально изучено экспериментально.

§ 34・ Вывод уравнений распространения звука в турбулентной атмосфере

Распространение звука в турбулентной среде описывается уравнениями гидродинамики. Если пренебрегать диссипативными процессами при распространении звука, то уравнением движения будет являться уравнение Эйлера

К этому уравнению добавляется уравнение неразрывности 雾+ div(po) = 0.(2)

Распространение звука является адиабатическим процессом. Поэтому третье уравнение имеет вид

R = z + ^gradS = °，(3)

где S - “ энтропия. Для идеального газа

S = С\ In р — Ср In р, (4) где Су Ср — удельные теплоемкости при постоянных объеме и давлении.

Уравнение (2) может быть представлспо в виде

-^- + 0 grad р + р div 力=О

или, после деления на р,

С：；Р + 0 grad In р 看 Р = — div 叽()a)

Из уравнений (3) и (4) мы имеем (丫 = Ср/Су)

'зa)

Подставляя (За) в (2а), получим

—^ ^ р 二一div(5)

Кроме того, преобразуем иоследний член в правой части урав- пепия (1):

1 др — р 8 In р — с2 5 In р

ррт а/ *

где с2 = у ВТ = Т~^ — квадрат скорости звука, который мы считаем заданной функцией координат и времени. Тогда уравнение (1) принимает вид

а%а%с2 а 山 рГс2 а 山 рГ(6)(6)

а%

а%

с2 а 山 р

Г

с2 а 山 р

Г

(6)

(6)

Уравнения (5) и (6} образуют замкнутую систему относительно функций р, V.

Положим и； = Et 卜 и；, где ^ ——акустическая скорость и Uj — заданная скорость турбулентного движения. Мы будем считать, что div и = 0, т. е. турбулентное движение несжимаемо. Положим также р — р0 + р。，где р« — постоянное внешнее давление и % — акустическое давление. Тогда

奥 1пр = + 1п[ро, +^)] = т1пр° 1п(1+р7)'

Считая, что личинуСчитая, что личину|Ра/Ро I У 1, положим In (1 + ^) ^ ^ и введем ве-

Считая, что личину

Считая, что личину

⑺

пропорциональную акустическому давлению. Так как мы предполагаем, что ри = const, то

1 5 In рHU1 d\np

Т 8叫НацY di d£

Наконец, будем считать, что температура Т испытывает флуктуации, и положим Т = То + Т\ где Го = const. Тогда

f (1+君f (1+君где 学=ГЙТо = const.где 学=ГЙТо = const.(8)(8)

f (1+君

f (1+君

где 学=ГЙТо = const.

где 学=ГЙТо = const.

(8)

(8)

Подставляя все указанные величины в (5) и (6) и линеаризуя получающиеся уравнения относительно акустических величин, получим *)

а& q ан а 厂 ап死《? а“4

(9)(Ю)(9)(Ю)而= — С。码_优五福一九 就 _еk运,

(9)

(Ю)

(9)

(Ю)

an _ 巡 an

В дальнейшем мы будем считать, что акустические величины П и gj зависят от временя лишь посредством множителя ехр (—ио?). Функции и и Т/ также зависят от времени, однако мы будем предполагать, что все характерные частоты их слектра малы по сравнению с со. В этом случае при решении задачи мы можем считать м, 7’ не зависящими от времени и ввести эту эавясимость в окончательные результаты (подробнее этот вопрос обсуждался в разделе А для электромагнитных волн).

Заменяя в (9), (10)糸 на (—心)，получим

(11)(12)(11)(12)

(11)

(12)

(11)

(12)

Взяв дивергенцию уравнения (11) и подставляя ее в (12), по. лу 叮 нм

心n =击［磔и +学詣伟器）+含仙券+品許）］+

(13)

Чтобы исключить из (13) акустическую скорость 写,снова воспользуемся уравнением (11). При этом мы можем взять лишь первый член в правой части (11), так как учет остальных членов после подстановки в (13) приводит к величинам второго порядка малости по и, Т〔 Умножая, кроме того, (13) на (―心)，получим

%аn + 3 и = 一叫两 一 % 运 (不■历)+

+肃詣［以+肃詣［以/и9修@uк/и9修@uк

+肃詣［以

+肃詣［以

/и

9修@uк

/и

9修@uк

Рассмотрим члены правой части (14), содержащие 伙.Используя уравнение ди^дх^ = 0, можно внести величину и^ под знак производной

л = 一 zcozz* ч a— u上 f-3w—丁工 —

1 co дх. m дх^дх^ дх^ 8% I

=~^ 专｛［嘉(""岩)+券*］- ± (川［)卜

Используя тождество

器器=言佃期一必口，

получим

4 =■?■譌Х“к^ + % 閘J•若［以(厶11+ *!!)］.

гтсо2

Но, как видно из уравнения (14), выражение ДП + 瑟 口 линейно

по малым величинам 孤,Т［ следовательно, последнее слагаемое в выражении для А имеет второй порядок малости и его можно отбросить.

Учитывая, что

■^7 ［以鬻+ %聞=2"^;3券)，

окончательно запишем уравнение (14) в виде (斤——)

ДП — л2П = — ^—■ [ -ТБ :— f—^— « U\ f— .(1Э)

Уравнение (15), правая часть которого выписана с точностью до членов первого порядка по ti, Т* описывает распространение звука в атмосфере с флуктуирующими зпачепиями температуры и скорости ветра [86]. Так как уравнение (15) липейпо, то такому же уравнению удовлетворяет и сама величина акустического давления г。, отличающаяся от П лишь иостоянным множителем.

Заметим, что после того, как из уравнения (15) определена величина П, акустическая скорость g может быть найдена из уравнеппя (11), в котором сохранен лишь первый член справа (учет остальных слагаемых приводит к величинам второго порядка малости по 观，Г)

Вектор плотности потока эпергии определяется через комплексные величины % S：

6= Re/vRe 以(16)

Выражая ра и § через П, легко получить формулу

« - ^- Im [П V П + П* V П].(17)

Нас будет интересовать среднее за период одного колейапия Г значение 6叩：

Так как П — /心‘， то величина П V П содержит множитель e~aiw\ который после усреднения ио времени дает нуль, В то ясе время П* V П от времени не зависит и не меняется пос江е усред- непия. Следовательно,

«cp--^Im(irVIl).(18)

В дальнейшем мы не будем писать индекс《ср».

§ 35. Эффективный поперечник рассеяния

Найдем выражение для рассеянного поля. Для этого положим в (15.34)

П = П° + П$,

где По — падающая волна, удовлетворяющая уравнению ДП0 十

/с2П0 ь 0, и Пв — рассеянное ноле. Так как рассеянное поле

П$ зависит линейно от к, 7', то в правой части (15.34) можно положить П = По. Таким образом, мы получаем уравнение

皿+取=一备货需)_京据..&,蹈，⑴

описывающее однократное рассеяние звука. Решение (1) имеет вид

Пз(，)=

Как мы видели в предыдущем разделе, выражение для эффективного поперечника рассеяния можно получить, вычисляя интеграл (2) в приближении дифракции Фраунгофера (для этого необходимо выполнение условий 厶《 г,入г>", где L — размер рассеивающего объема и г — расстояние от него до точки наблюдения). Однако получаемый таким образом результат, как было показано в предыдущем разделе, справедлив при выполнении менее жесткого условия 入г》Z^, где Lo ——радиус корреляции флуктуаций. Положим в (2)

宀—т'|『КГ

I r —歹‘ I ~r，

где л ——единичный вектор, направленный вдоль г. В качестве По возьмем плоскую волну:

По(“)= 4"・(3)

Тогда для Пв получим выражение

&⑺=唔;卜卄…訊举依声y訂M g kjei^

'''(4)

Преобразуем интеграл (4) по теореме Гаусса, причем пренебрежем получающимся при этом поверхностным интегралом, так как поверхностные эффекты малы по сравпению с объемными. Получим

n,(»,)=一聿上 机kid3r, -I-

+ 2^(修(犷)％") d3rl.(5)

Второй интеграл, в (5) снова преобразуем по теореме Гаусса, пренебрегая при этом поверхностным интегралом. В результате получаем

4("；-，聳1 * 口南 У" d^ +

+ "^咏几//(炉衣*％ (”)乃r[ , K = k - кП,

или, после замены в первом слагаемом индекса суммирования i на /,

ПДг)=-響 кп.к.^кГ'\Т^г1 + 2%*]dV.(6)

Чтобы найти плотность потока рассеянной энергии, необходимо вычислить VIIe. Дифференцируя (6) по г, можно ограничиться лишь дифференцированием множителя exp (ikr), так как при kr^> i (волновая зона) дифференцирование второго множителя 「г дает слагаемое порядка (Аг)-1

嚟厶加皿⑺；(7)

следовательно,

S{=^-Im (П- V П) = 4 Ро^ПгП, (г) П； (г).(8)

Таким образом, поток рассеянной энергии наиравлен по веК' тору п. Его среднее значение равно

〈8〉=粤 я〈П伞)ГТ；⑺〉.(9)

Воспользовавшись выражением (6), получим

С8〉п m■宇謡^(呵弋 eKrr) X

X([挙.+24屮][守+22河)电d%. (I。)

Предполагая, что турбулентность статистически изотропна, будем иметь (см. гл. 1)

〈7'(%) %(%)〉= 0,

〈7' (ri) Т'依)〉=Вт (% — %), <i4i(ri) и, (»Ч)〉= Ву(Г1 — %).

Вводя координаты р = ?\ ——？％, выполним интегрирование по г2, которое дает величину V рассеивающего объема：

〈8〉=孤等•烏% (fcn)a V、Е% ［謂 + 4〃g B*lj d?p. (11)

Аналогично формулам предыдущего параграфа ,叫 Вт (р)心=(2п)3т (К),

(12)

『叫马8）齊）=（2"）3必（k），

(13)

и мы получаем для <S>

3〉=乳耍詔^~(机"・8叫-④嘗4п网Ф"『］・ (14)

В рассматриваемом случае статистически изотропной турбулентности ①и (К) имеет вид (3.9)

①"(К)= 磊回一擎汴(К),(15)

где Е (驳)——спектральная плотность энергии турбулентности,Обозначим через 9 угол рассеяния. Тогда кп — Л cos 0 и

W,%(区)=壶(1 __^JE(К).

Но если к = тк^ то

К _ т — п~Кj 蒜一й~|К _ т — п~Кj 蒜一й~|н Гн Гтп — 1 ― т —n Iтп — 1 ― т —n Icos 0 — 1. 0g- = -Sin 区2 sin rcos 0 — 1. 0g- = -Sin 区2 sin r

К _ т — п

~Кj 蒜一й~|

К _ т — п

~Кj 蒜一й~|

н Г

н Г

тп — 1 ― т —n I

тп — 1 ― т —n I

cos 0 — 1. 0

g- = -Sin 区

2 sin r

cos 0 — 1. 0

g- = -Sin 区

2 sin r

Следовател ьно,

屯电①0（区）=-411K月（К），屯电①0（区）=-411K月（К），(16)(16)

屯电①0（区）=-411K月（К），

屯电①0（区）=-411K月（К），

(16)

(16)

и выражение (14) принимает вид

〈8〉ия •冬po学宀軍 Pcos3e〈8〉ия •冬po学宀軍 Pcos3e① т（к）① т（к）os? 丁 £(К)" 唸依os? 丁 £(К)" 唸依(17)(17)

〈8〉ия •冬po学宀軍 Pcos3e

〈8〉ия •冬po学宀軍 Pcos3e

① т（к）

① т（к）

os? 丁 £(К)

" 唸依

os? 丁 £(К)

" 唸依

(17)

(17)

Введем эффективный поперечник рассеяния из единицы рассеивающего объема в единичный телесный угол ба (0)

(18)(18)。。(0)=等-，

(18)

(18)

где So ——плотность потока энергии падающей волны, равная согласно формулам (18.34) и (3)

= i-#Im(noVno)|=4-P<>W= i-#Im(noVno)|=4-P<>W(19)(19)

= i-#Im(noVno)|=4-P<>W

= i-#Im(noVno)|=4-P<>W

(19)

(19)

Подставляя в (18)Подставляя в (18)выражения (17) и (19), получимвыражения (17) и (19), получим

Подставляя в (18)

Подставляя в (18)

выражения (17) и (19), получим

выражения (17) и (19), получим

бо⑼=方依со§2 0бо⑼=方依со§2 0①т(2住 sin-^丿 cos?-^-^ +『①т(2住 sin-^丿 cos?-^-^ +『Е^2к sin，-)Е^2к sin，-)Из (20) следует, что рассеяние на угол 0 —Из (20) следует, что рассеяние на угол 0 —(2儿 sin -!■')лу отсутствует(2儿 sin -!■')лу отсутствует(20)(20)(об-(об-ращается в нуль множитель cos2 0) при любом виде спектральных функций ①т (х) и Е (х). Рассеяние же на угол 0 — л (рассеяние назад) происходит в основном лишь на температурных неоднородностях, так как множитель cos2 при 0 = л; обращается в нуль (но этот эффект частично компенсируется операцией усреднения по пространству волновых чисел). Отсутствие рассеяния назад на пульсациях скорости является следствием несжимаемости турбулентного течения. Отсутствие же рассеяния на угол -у может быть легко интерпретировано на основании формул Френеля *).Действительно, при падении под углом а на границу раздела двух сред с параметрами р“ с, и р2, С2 коэффициент отражения Френеля К равенращается в нуль множитель cos2 0) при любом виде спектральных функций ①т (х) и Е (х). Рассеяние же на угол 0 — л (рассеяние назад) происходит в основном лишь на температурных неоднородностях, так как множитель cos2 при 0 = л; обращается в нуль (но этот эффект частично компенсируется операцией усреднения по пространству волновых чисел). Отсутствие рассеяния назад на пульсациях скорости является следствием несжимаемости турбулентного течения. Отсутствие же рассеяния на угол -у может быть легко интерпретировано на основании формул Френеля *).Действительно, при падении под углом а на границу раздела двух сред с параметрами р“ с, и р2, С2 коэффициент отражения Френеля К равен

бо⑼=方依со§2 0

бо⑼=方依со§2 0

①т(2住 sin-^丿 cos?-^-

^ +『

①т(2住 sin-^丿 cos?-^-

^ +『

Е^2к sin，-)

Е^2к sin，-)

Из (20) следует, что рассеяние на угол 0 —

Из (20) следует, что рассеяние на угол 0 —

(2儿 sin -!■')

л

у отсутствует

(2儿 sin -!■')

л

у отсутствует

(20)

(20)

(об-

(об-

ращается в нуль множитель cos2 0) при любом виде спектральных функций ①т (х) и Е (х). Рассеяние же на угол 0 — л (рассеяние назад) происходит в основном лишь на температурных неоднородностях, так как множитель cos2 при 0 = л; обращается в нуль (но этот эффект частично компенсируется операцией усреднения по пространству волновых чисел). Отсутствие рассеяния назад на пульсациях скорости является следствием несжимаемости турбулентного течения. Отсутствие же рассеяния на угол -у может быть легко интерпретировано на основании формул Френеля *).

Действительно, при падении под углом а на границу раздела двух сред с параметрами р“ с, и р2, С2 коэффициент отражения Френеля К равен

ращается в нуль множитель cos2 0) при любом виде спектральных функций ①т (х) и Е (х). Рассеяние же на угол 0 — л (рассеяние назад) происходит в основном лишь на температурных неоднородностях, так как множитель cos2 при 0 = л; обращается в нуль (но этот эффект частично компенсируется операцией усреднения по пространству волновых чисел). Отсутствие рассеяния назад на пульсациях скорости является следствием несжимаемости турбулентного течения. Отсутствие же рассеяния на угол -у может быть легко интерпретировано на основании формул Френеля *).

Действительно, при падении под углом а на границу раздела двух сред с параметрами р“ с, и р2, С2 коэффициент отражения Френеля К равен

Р2С2 cos а ——R — ——

Ра「2 ccs а + piCi

(мн рассматриваем лишь случай температурных флуктуаций).

Он обращается в нуль при а = а0, где

…2Р；(С；-С；)

cos а0j—^ •

Для идеального газаДля идеального газас；=督,W =岩，где р。— Г映ростатнче-

Для идеального газа

Для идеального газа

скос давление, одинаковое по обе стороны границы раздела. Подставляя эти значения, получим

cosa % =cosa % =PiPi -b PaPiPi -b Pa

cosa % =

cosa % =

Pi

Pi -b Pa

Pi

Pi -b Pa

В рассматриваемом случае слабых температурных флуктуаций pi 注 р2, так что cos2a0 = i и а0 — ^. Следовательно, рассеяние на угол 6。= л — 2а0 = g не происходит. Аналогично, но несколько более сложным образом можно показать, что и отражение звука от слабого скачка скорости не происходит для угла 0О = у. Выше (§ 24) мы убедились в том, что рассеяние на определенный угол определяется лишь одной спектральной компонентой неоднородностей, соответствующей пространственной синусоидальной дифракционной решетке, ориентированной так, чтобы выполнялось условие зеркальности (как и в формулах Френеля). Но такую дифракционную решетку можно составить из совокупности небольших скачков, к каждому из которых применима формула Френеля для коэффициента отражения. Таким образом, рассеяние на угол 8 = ^- не должно происходить в случае слабых флуктуаций теьшературы.

Вернемся к формуле (20). В случае, если величина 2% sin у лежит внутри инерционного интервала спектра турбулентности, т. е.

LT<2*sinT<V

имеют место формулы (см. гл. 1)

(21)(21)Фг (х) = 0,033 Ср к%,

(21)

(21)

石(m)К0,76С%%屋厶 (22)

(С2 н 1,9 ——численная константа). Здесь Ст ——характеристика температурных пульсаций, входящая в «закон 2/3» для температурного поля: <[Т (尸» Т (г2)]2> = Cr\ri - 7\ 1%; £ — скорость диссипации энергии турбулентности. Подставляя (21) и (22) в формулу (20), получим

бо (0) = 0,38%% cos2 0(2 sin ~)_，I/^^-cos2 ^~ + 0,13 号].(23)

В условиях реальной атмосферы ^е'^о и Сг/Го имеют одинаковый порядок величины. Так как их соотношение зависит от метеорологических условий, то и вид функции б0 = б0 (G) зависит от них, что несколько затрудняет экспериментальную проверку формулы (23).

Эксперименты по рассеянию звука в турбулентной атмосфере

Косвенные указания на существование эффекта рассеяния звука в турбулеитиоц атмосфере были получены еще в 1940 г. Зигом 189], обнаружившим связь между наблюдаемым ослаблением звука н скоростью ветра. Однако сравнить эти измерения

Рис. 35. Блок-схема установки для исследования рассеяния звука в атмосфере.

с теорией рассеяния весьма затруднительно, так как при расчете ослабления необходимо учитывать многократное рассеяние (см. гл. 3 и 5).

Эксперименты по рассеянию звука, специально поставленные с целью сравнения их результатов с теорией, были проведены М. А. Каллистратовой [87, 88J.

Для проведения эксперимента были разработаны специальные конденсаторные излучатели и микрофоны с размерами 100 X 120с№, которые на рабочей частоте 11 кгг| имели ширину диаграммы направленности по половинной мощности 丄1°. Излучатель и микрофон располагались на расстоянии нескольких десятков метров друг от друга. Для того чтобы избавиться от прямого сигнала, поступающего непосредственно с излучателя на микро-

фон (без рассеяния) за счет боковых лепестков диаграммы направленности, применялся импульсный режим работы. При этом прямой и рассеянный сигналы приходили в точку расположения микрофона с временным сдвигом, достаточным для их разделения. Блок-схема эксперимента представлена на рис. 35. На ней, помимо основного канала, предназначенного для измерений рассеяния (на частоте 11 кгц. 1 = 3 еле), изображен дополнительный

Рис. 36. Фотографии излученного (2), прямого (2) и рассеянного (3) импульсов с экрана осциллографа при различных значениях угла рассеяния.

Видно увеличение вреиеннбго расстояния междупрямым и рассеянным импульсами н р<еньшениеамолигуды рассеянного импульса с увеличением утларассеяния.

канал, работающий на частоте 7 кщ и предназначенный для отделения прямого и рассеянного сигналов.

На рис. 36 приведены фотографии излученного, прямого и рассеянного импульсов, полученные с экрана осциллографа при различных значениях угла рассеяния.

При помощи описанной аппаратуры были проведены многочисленные измерения рассеяния звука в диапазоне углов 0 от 16° до 180° при различных метеорологических условиях,

контролировавшихся путем измерений вертикальных профилей скорости ветра и температуры.

Для исключения влияния нестациопарности метеорологических условий измерения величины о£6) всегда сопровождались

Рис. 37 Эмпирическая зависимость эффективного поперечника рассеяния звука (в относительных единицах) от угла рассеяния.

• —d = 140 л； 。一d = R0 л; х—d = 40 at； △—d = 20 .u (по измере-ниям 1959 г.); 口一d = 40 卅(по измерениям 1958 г.).

«стандартным» измерением величины(Зо(25°) (в некоторых случаях значение стандартного угла было другим). Для получения индикатрисы рассеяния сравнивались не заиисящие от метеорологических условий отношения о； (0)/зо(25с) при разных 6. На рис. 37 приведены экспериментально полученные значения % (0)/бо(25°). Вер-

Р® _«(е)РР® _«(е)Р

Р® _«(е)Р

Р® _«(е)Р

тикальными черточками обозначен 5%-ный доверительный интервал. Сплошная кривая построена по теоретическом формуле, соответствующей рассеянию на неоднородностях скорости ветра. Данные рис. 37 представлены также в табл. 1.

Таблица 1

6

1б °

20 °

25 а

30°

35 е

42。

11

8,6

6.9

5,8

5,0

4,2

I —' е , CM

2sin*j

Go(0)/3o (25°), теор.

5,5

2,4

1

(),43

0,23

0,094

<3о(0)/зо (25°), эксп.

4.8

2.2

1

0,49

0,25

0,086

Число измерений

i7

42

—

43

56

53

е

50

О

60 0

70 0

90 о

130 °

3,5

3,0

2,6

2,1

1,7

2 sin 2

5 (0)/3о (25°), теор.

0,035

1*10-2

2,7-10-3

0

5・g

% (6)/力(25°), эксп.

0,029

0,7С-10-2

1,：М0-3

0,9-10^

2 Toy

Число измерений

50

25

23

4

4

Приведенные данные свидетельствуют о хорошем согласии теоретических и экспериментальных результатов. Кроме того, не наблюдается заметных отступлений от закономерностей, соответствующих инерционному участку спектра. Последнее обстоятельство позволяет утверждать, что внутренний масштаб турбулентности в приземном слое атмосферы не превышает значения

нескольких миллиметров.

Проводились также сопоставления абсолютной величины рас

居=m，居=m，(1)(1)сеянного сигнала со значениями, рассчитанными на основании теоретической формулы. Для отношения мощности, принятой за счет рассеяния, к мощности, принимаемой при прямом наведении излучателя и микрофона друг на друга, справедлива формула (9.33)

居=m，

居=m，

(1)

(1)

соотношение (1) лишь для одногосоотношение (1) лишь для одного(Ps[^)№(Ps[^)№Рис. 38. Сопоставление измеренных зна- чеввй рассеянного сигнала (6 = 30°) с ожидаемыми значениями этой величины, вычислевными ва основании измерений средних профилей скорости ветра и температуры в кгриземном слое.Рис. 38. Сопоставление измеренных зна- чеввй рассеянного сигнала (6 = 30°) с ожидаемыми значениями этой величины, вычислевными ва основании измерений средних профилей скорости ветра и температуры в кгриземном слое.

соотношение (1) лишь для одного

соотношение (1) лишь для одного

(Ps[^)№

(Ps[^)№

Рис. 38. Сопоставление измеренных зна- чеввй рассеянного сигнала (6 = 30°) с ожидаемыми значениями этой величины, вычислевными ва основании измерений средних профилей скорости ветра и температуры в кгриземном слое.

Рис. 38. Сопоставление измеренных зна- чеввй рассеянного сигнала (6 = 30°) с ожидаемыми значениями этой величины, вычислевными ва основании измерений средних профилей скорости ветра и температуры в кгриземном слое.

где rm/?——расстояния от центра рассеивающего объема V до микрофона и излучателя nd — расстояние между микрофоном и излучателем. В экспериментах отношение Рв (0)/Рсп измерялось непосредственно для 0 = 30° (так как индикатриса рассеяния хорошо согласуется с теоретической, то достаточно проверить

угла). Выражение для б0 (0), входящее в (1), дается формулой (23.35).

Величины Ср и е, входящие в (23.35), рассчитывались на основании измерений вертикальных профилей ветра и температуры по формулам, полученным в гл. 1. При этом учитывалось влияние температурной стратификации на турбулентный режим, выражаемое функциями 厶(Ri) и /2 (Ri) (см. рис. 17, 18 на стр. 131, 132).

На рис. 38 приведена за> висимость экспериментально измеренной величины Р8/РС|1 от рассчитанной на основании измерепий профилей ветра и температуры. Коэффициент корреляции между теоретическими и экспериментальными значениями величины PJAn равен 0,7. Од、 нако имеется систематическое

(в 2 раза) различие между этими величинами, которое, по-види- мому, может быть объяснено неточностью при вычислении величины рассеивающего объема и при измерениях прямого сигнала, Несмотря на отмеченное расхождение в численном миожителе.

соответствие между те о ретическ ими и экспериментальными значениями следует признать хорошим.

Таким образом, приведенные в работах [87, 88] эксперименты являются прямым подтверждением изложенной теории рассеяния. Эти эксперименты можно также рассматривать как веский аргумент, подтверждающий правильность развитых выше представлений о рассеянии электромагнитных волн в тропосфере.

РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ И ЗВУКОВЫХ ВОЛН В ТУРБУЛЕНТНОЙ АТМОСФЕРЕ В ПРЕДЕЛАХ ПРЯМОЙ ВИДИМОСТИ

В предыдущей главе было подробно рассмотрено однократное рассеяние электромагнитных и звуковых волн в турбулентной среде. Приближение однократного рассеяния оказывается достаточным при рассмотрении поля вне пределов прямой видимости. Однако в том случае, когда точка наблюдения лежит на пути распространения основной (падающей) волны, становятся существенными эффекты многократного рассеяния. Действительно, как было установлено выше, индикатриса рассеяния в случае коротких вонн сильно вытянута вперед. Поэтому при распространении волн в неоднородной среде на значительные расстояния возможно многократное рассеяние.

В результате воздействия неоднородностей среды возникают флуктуации фазы, амплитуды, частоты, направления распространения и других параметров волны. Эти эффекты имеют существенное значение в целом ряде прикладных вопросов, связанных с распространением радиоволн, света и звука в атмосфере (точность работы навигационных систем, атмосферные шумы в линиях связи и т. п.).

В настоящей главе мы рассмотрим расиространение коротких волн, длина волны которых мала по сравнению с внутренним масштабом турбулентности )(入 У 2J

При изучении распространения коротких волп в среде со случайными неоднородностями с успехом применяются метод геометрической оптики (когда наряду с условием 入运八 выполнено условие малости радиуса первой зоны Френеля по сравнению с внутренним масштабом турбулентности) и метод плавных возмущений (при нарушении второго условия).

А. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА

Учет многократного рассеяния

при распространенин коротких волн в неоднородной среде

Рассмотрение геометрической оптики мы начнем с выяснения связи этого метода с многократным рассеянием волн на неоднород-

ностях среды. Уравнения геометрической оптики обычно выводятся из волнового уравнения (см. § 38). Здесь мы получим решение, соответствующее этому методу, путем приближенного учета многократного рассеяния. Приводящийся ниже вывод не претендует на строгость; его цель — в явном виде показать, как геометрическая оптика приближенно учитывает многократное рассеяние волн на малые углы.

Как было установлено в предыдущей главе, рассеяние электромагнитных волн на малые углы вперед можно рассматривать с достаточной точностью на основании скалярного волнового уравнения, так как в этом случае дополнительный множитель sin %, связанный с поляризацией волны, близок 久 единице. Поэтому рассмотрим скалярное уравнение

△Е + 济[1 + % "и 川后「6 (г — Н)(1)

в безграничном пространстве. Здесь £ — комплексная амплитуда одной из компонент электрического поля, eL ——отклонение диэлектрической проницаемости от среднего значения, равного 1. Для достаточно малых значений et (г,力)решение (1) можно записать в виде ряда теории возмущений.

Пусть

G。(г — “)二一—(2)

—решение уравнения

AG。(г,卄)十依 Go (т, ”)= 6 (г — М), удовлетворяющее условиям излучения (предполагается, что im"〉0), при помощи которого решение уравнения

△Е + к2Е = / (г)

записывается в виде

笈夕)=\ G^r — ")f (”)个产.(3)

Запишем уравнение ⑴ в форме

^E + 胪К = 6 (т — К)—汨£乃

и применим к нему формулу (3):

e (r) = Go (T 一 Ж) — А：2 ,&(t 一 ")白停')后(")d；» ’.(4)

В (4) неизвестная функция Е входит в правую часть.

Подставляя в правую часть (4) выражение Е (尸')，даваемое формулой (4) (т. е. итерируя уравнение (4)), получаем

e ⑺=Go (r 一n)一"，Go (T•一 ")仃(")俣("一五)d% +

4-A4 § Go (г — r') q (犷)Go (力‘ -”")s (N) E (r^^r^r".

Повторяя эту операцию, можно получить бесконечный ряд

Е ⑺=2 Еп ⑺，(5)

п—О

где

% ⑺=Go (r -丘)，

En Go) = (— k2)n，• . . \ Go(T(j — ri) Go (ri —办)…

⑹⑹• • • Go(7*2 — n)Go(n j В) El (Л) 7 (?飞)S On)尹门•…不％

⑹

⑹

(здесь ради единообразия обозначено r0 = г). "•齿 член ряда (5), даваемый выражением (6), представляет собой: n-кратно рассеянную волну и ряд (5) учитывает эффекты рассеяния сколь угодно большой кратности.

Исследуем выражение (6) н случае, когда длипа волпы много меньше характерных размеров неоднородност ей. Выделим в (6) интеграл по переменной г^:

厶=)Go (Пт —陶 Go g — rk+1) ej (n) d% =

_ 1 C exp ｛话[|入-1一 外1卜"* 一人+i 1｝

Рассмотрим подробнее структуру экспоненциального множителя.

Если гк пробегает прямую, соединяющую точки т\т и *汽+八 т. е.

П rjc-Y + a (rktl — г^), где 0《仪《4,

то I т>т — 丁太 I + I 厶—》•｛十11 = I ?%т — 丁卜亠11 = const и экспонента не испытывает осцилляций.

Рассмотрим теперь другой случай. Найдем геометрическое место точек, для которого величина к [ |笫上一1 — rfr | — | J принимает заданное значение а, т. е.

(8)(8)I "т — rfc I I гь. — п+1 j = -р.

(8)

(8)

Так как |т>_i —尸空| — расстояние от точки rk до г^_^ а I г^ — rfc+l I — ее расстояние до гк+и то поверхность, задаваемая уравнением (8), — эллипсоид вращения с фокусами в точках ，％т, rfc+i, большой полуосью а/2к и малой полуосью 联炉一Л21 Пт — т>т |а / 2左.При а = aQ = к \ %丄—r^+i | мы получаем рассмотренную выше прямую. При изменении а на величину л экспонента умножается на ——1. Ближайшая к оси поверхность задается уравнением а】=询 十 л. Малая полуось этого эллипсоида равна

击У\aО +冗户一缢=壶p2a再+ d.

Величина | г^_£ ——г^+11 имеет тот же порядок, что и расстояние I г — 7? I от источника до точки наблюдения, В случае, если £|尸—启|》冗(т. е. точка наблюдения находится в волновой зоне), 口0》几 и малая полуось первого эллипсоида приближенно равна

Pi = }/^"^ = % U九1尸1 - >料1

Точно так же, если а отличается от а0 на величину тл, то на сооТ' ветствующей поверхности эллипсоида подынтегральное выражение в (7) получает дополнительный множитель (—1)Е. Малая полуось соответствующего эллипсоида равна

Pm 0 3 у m入 I гкt - »>+11.

Рассмотренные эллипсоиды отделяют друг от друга области иро- странства (зоны Френеля), в которых сохраняет знак экспоненциальный множитель в (7). Расстояние между соседними поверхностями вблизи середины отрезка, соединяющего точки гц и rfc+1, имеет порядок рх и медленно убывает с ростом номера эоны Френеля, Вблизи концов большой оси это расстояние имеет

порядок 江=—•

Сделаем теперь предположение, что минимальные размеры неоднородностей диэлектрической проницаемости, которые мы обозначим через Zo, удовлетворяют двум следующим условиям:

2。>%(9)

厶》y辽，где е = |尸一五1.(10)

Проведем через точки г^ и Гщ две плоскости, перпендикулярные вектору |\~1 — rft+1. Построенные выше эллипсоиды Пересе-

кают эти плоскости по окружностям с радиусами Хп/2 (для п-го эллипсоида и не слишком больших п). Таким образом, вне слоя, заключенного между этими плоскостями, экспонента в (7) меняет знак при изменении rk на величину порядка Х/2. В силу условия (9) остальная часть подынтегрального выражения меняется па расстояниях порядка 九 очень слабо. Отсюда следует, что интеграл по внешним областям будет близок к нулю, так как подынтегральное выражение быстро осциллирует и амплитуды положительных и отрицательных осцилляций практически совпадают.

Таким образом, при выполнении условия (9) можно, не делая заметной ошибки, распространить интеграл (7) лишь на область, заключенную между проведенными плоскостями. Направим ось 跺 по вектору，％+1 — Тц. Тогда (7) можно записать в виде

"（办），"（办），exp {i% "尸落一工一广% I -F|勺—入+1储I以T一 ^"以一万+11

"（办），

"（办），

(И)

Используя такя«е условие (10), можно произвести дальнейшее упрощение в (11). Для этого заметим, что /^ представляет собой однократно рассеянную волну от точечного источника, помещенного в точке，•空7, которая наблюдается в точке г^+г. Но, как мы знаем, максимальный угол рассеяния имеет порядок 6 〜^. Так как расстояние I а；у1 ——^_х | между источником и точкой наблюдения имеет порядок L, то рассеянные волны приходят в Тщ лишь из тех точек, которые удалены от оси х на расстояния, не превышающие 旺〜= Y^L* ^^ W、工L (так как в силу (10)匕心 у 1).

Таким образом, в (11) существенное значение имеет лишь первый эллипсоид (или несколько первых эллипсоидов). Но поперечные размеры такого эллипсоида значительно меньше его продольных размеров. Поэтому велтнни |，飞—工 ——？％ | 口 | 久代—，*+i} можно разложить в ряды:

"I II I-除尸+(唯1一 5尸

1 Гт 一 n I h 137 - 3 I +ZEtT

[®KT — y，+(z»i — zQ呼丄 ,.；处

В экспоненте в (11) мы ограничимся первыми двумя членами этого разложения. Так как величина Цук-i —臨产 + (z^^ — z* 户尸

имеет порядок (XL)2, то это будет законно при выполнении условия "%户戈iили九

(т. е. точка наблюдения должна находиться в волновой зове). В знаменателе же (И) мы ограничимся лишь первым членом разложения (12), В силу условия (10) можно пренебречь также зависимостью J (羽 g, z) от поперечных координат д,瑞 так как эта функция является достаточно плавной по сравнению с экспонентой, В результате мы получаем

,d外 dZkX,d外 dZkXхехрхехрIk r ("+i 一 У*)? -(z空十1 一Ik r ("+i 一 У*)? -(z空十1 一22虻十虻十(Ук — Ух)? +(融—Za・_J(Ук — Ух)? +(融—Za・_J"IGE J (m总一勺T)(/■| 1 -以)

,d外 dZkX

,d外 dZkX

хехр

хехр

Ik r ("+i 一 У*)? -(z空十1 一

Ik r ("+i 一 У*)? -(z空十1 一

2

2

虻十

虻十

(Ук — Ух)? +(融—Za・_J

(Ук — Ух)? +(融—Za・_J

(13)

Внутренний интеграл по ,軌 名抬 мо?кет быть легко вычислен ) и оказывается равным

2市（外Т一%）（以 一 "Т） J 2m（" + 1-九T）2 卜（2/1-2杞一1户］ 左（标“一”7）旳 I晒+i 一

После этого мы получаем для 1^ формулу

**2「，: 仆 0,0)k，**2「，: 仆 0,0)k，(И)(И)

**2「，: 仆 0,0)k，

**2「，: 仆 0,0)k，

(И)

(И)

где под Gq следует понимать не точное значение (2), а получаемое из него с применением разложения (12):

G。(х, у, z)^-备 схр 卜師，I 丄 ^^у]}.

Применим формулу (14) для приближенного вычисления величины Ед. Предварительно сделаем замечание относительно выбора направления интегрирования вдоль оси 七卜.Эта ось была направлена от точки г^ к г^+1. Сами же точки rlt гг,... могут, вообще говоря, быть расположенными в пространстве произвольным образом, так как они являются переменными интегрирования. Поэтому и наиравления осей 七卜 при различных к могут не совпадать

друг с другом. Мы сделаем дополнительное предположение, что все оси +卜 совпадают с направлением г — R. Такой выбор осей соответствует в методе геометрической оптики интегрированию вдоль спрямленного луча, что законно лишь в случае слабых флуктуаций et (см. § 39).

Перейдем теперь к вычислению Еп. Проводя в (6) сначала интегрирование по % 2], получим согласно (14)

Е” (г0) ~ (―縉"壶 \ …口3厂2 …d3rnG0 (r0 — П)Go (r2 — r3)X... (n—1)

...XG0(rn~ R) El (r2) 81 (r3). . . Ё! (rn) ^ б! (хг, 0, 0)d©. (15)

Появляющийся здесь (n — 1)-кратный интеграл по переменным г^,^, тп имеет в точности такой же вид, что и n-кратный иптег- рал в Еп. Таким образом, интегрирование по переменным уъ Z] понизило кратность объемного интеграла на единицу, не изменяя его вида, и добавило под знаком интеграла множитель (2泳厂 1 \ 81 (*|, 0, 0) d+i・

Применяя теперь формулу (14) к интегралу по у?，z?, получим ^п (^о) (■—及2)" «；炉 \ d%・…d》nGo (”, 一1*з)... Go (^n — -R)X

Xei(r3)- . . ег (rn) ^ 6i (ж2. 0, 0)也\ q(ci,0,0)d+k(16)

工05Cq

Пределы интегрирования переменной х2 выбраны от xQ до х3, так как в (15) г2 входит в множитель С0(г0 —尸“ Go (г2 — г3). Применяя аналогичные рассуждения л раз, получим формулу

e"(啕 У (-/户 翁h) w，庐1 包，0, 0)х

X \ dHn_iq(Н"Т, 0, 0). .. \ dx^x (g, 0, 0).(17)

НоХо

Это выражение может быть значительно упрощено. Введем функцию

ез)= Г при А，

[О при *<0.

Тогда можно записать равенство

^к-161(Зт，^к-161(Зт，о, о)= § е(% — ну) а(4т, о,о)%т, Хо

^к-161(Зт，

^к-161(Зт，

e"。） = G。佇。一 氏）（涧…\Хо Хоe"。） = G。佇。一 氏）（涧…\Хо Хопри помощи которого интеграл (17) записывается в виде

e"。） = G。佇。一 氏）（涧…\

Хо Хо

e"。） = G。佇。一 氏）（涧…\

Хо Хо

° (②冷^п—1) ° (之пТ^п—2)• * •

• . • 8 (д —窃)电 Qn, 0, 0)・…EiQl 0, 0) dxY... dxn. (18)

Произведем в (18) замену переменных интегрирования, обозначив — %к, %卜= 贊丄，а затем отбросим штрихи. Это приведет лишь к перемене местами величин %工,土心 Выражение е】(②冷,0, 0)... …％ (%工，0, 0) при этом не изменится, так как все переменные входят в него симметрично: и изменится лишь множитель, содержащий функции 0. Таких замен переменных можно совершить п! Они соответствуют всем возможным перестановкам величин ②卜… 一 •, %п・ Совершим в (18) все возможные перестановки и возьмем среднее арифметическое получающихся выражений. В результате получим

Еп (Го) = G。(九一兄)偿)飞 § …\ a Qi, 0, 0)... 8,(矶 0, 0) x

Xo x0

X [0 (xn 一 ^n-1) 6 (жп-1 — ^n-2)* • * e (^2 — g) +

+ 8 Qi — xn^i). . . 6 (g —出)+ ■ • -] dg. . . dxn, (19)

В квадратных скобках стоит сумма произведений функций 0, соответствующих всем возможным порядкам расположения величин 匕工％・・・,％〃. Покажем, что эта сумма равна единице. В каждой точке ^мерного куба, по которому производится интегрирование в (19), величины /,…,& можно расположить в порядке их убывания: %*],七卜2，・一，％汽九・ Соответствующий член

0 (冲1 — %) е (砾一gj... е (/у—办/ (20)

в сумме (19) будет равен единице, так как все разности х^1 ——％空寸... положительны. Все остальные слагаемые в рассматриваемой сумме будут равны нулю, так как они получаются из (20) перестановкой каких-либо координат, а каждая такая перестановка влечет за собой появление отрицательных разностей координат. Таким образом, сумма, фигурирующая в (19), равна единице (разумеется, в различных частях n-мерного куба будут отличны от нуля и равны единице различные слагаемые этой суммы).

Таким образом,

Еп (九)=Gq(7*о — Е)(^)质、* • • § 61 (“и °，0)・・• в1 (xn, 0, 0)(1х^...Хо 4

...dxn^G0 (r0 — JJ) ^j ^ ^ 6i (x, 0, 0)甸，(21)

где мы записали распадающийся на множители n-кратный интеграл в виде n-й степени одномерного интеграла. Подставляя (21) в формулу (5), получим

8X

e 俏)=Go (^о - -В) 3 吉段、助 3, Q。)"可

илит свертывая известный ряд в экспоненту,

Е (小)=Со (^*о — -В) ехр {^ § 81 (ж, 0, 0) d%} .(22)

Хо

Подставляя в (22) выражение (2) для Gq и учитывая, что | г0 — Л | = =X — ％, можно записать выражение (22) в виде

Е (%)=—右伉二衣| ехр {注[(X — %) + 4" \ 电 3, 0, 0) dx]J =

Ни

=—师」I exP {”％ \ [1 + ^ 4 Q, 0, 0)] dz}. (23)

Mu видим, что выражение (23) отличается от Go (г0 ——.В) тем, что вместо набега фазы fc| г0 — .В |, фигурирующего в Go, выражение (23) содержит фазовый сдвиг

5 (X, 0, 0) = А ^1 + у 81 (ж, 0, 0)] dx(24)

(интегрирование в (24) проводится вдоль прямой, проходящей через точки г0, _В). Величина S удовлетворяет дифференциальному уравнению первого порядка. Чтобы получить его, сместим точки г0 и J8 с оси х.

Тогда х

S(X, у, Z)= Г [1 十 J в! (а/, у, z)]dz：(24а)

Дифференцируя это выражение по н, у и z, получим

—^—■ = 〃[1 + у 81(х» У，矶，(25)

士】=4•代 3£^必 dd,(26)

筲炉=^j咨产2^：(27)

Как уже отмечалось выше, при приближенном вычислении Еп мы в и ели интегрирование вдоль спрямленного луча, что законно лишь в случае малых %: е (г) = 1 + Ej (г),〈【％|〉W 1. Возведем выражения (25), (26) н (27) в квадрат, сложим и сохраним лишь члены первого порядка малости по £】(при этом выпадут квадраты выражений (26), (27), так как они пропорциональны вторым степеням sp:

[VS(X, у, z)]2 = А:2 (1 + 6i (х, у, z)) = /с2е (х, у, z).(28)

Обычно это уравнение принято записывать через показатель преломления

^2 (г) = е (г),(29)

NS (冷]2 _胪紋⑴)(30)

внение (30) носит название уравнения эйконала.

Мы получили уравнение (30) несколько необычным способом, имевшим целью подчеркнуть связь геометрической оптики с многократным рассеянием волн. Уравнение (30) может быть получено и непосредственно на основании волнового уравнения; последний способ более удобен, так как позволяет исследовать это приближение детальнее, получить следующие приближения метода и оценить границы его применимости. К этому вопросу мы сейчас и перейдем.

Вывод уравнений геометрической оптики

Рассмотрим однородное волновое уравнение в среде с заданным показателем преломления 总纟=е:

a屮+火版⑺屮=0(1)

В случае, если n2= const, (1) имеет решение вида Т = Лехр (iknmr)^ где m ——единичный вектор. Для случая, когда 几 не является по-

стояпной величиной, ио меняется медленно, естественно искать Y в виде

W (г)」F (г) ехр "胧⑴))，(2)

где F (г) и 0 (г)——медленно меняющиеся функции.

Величину F (г) будем искать п виде ряда по степеням малой величины Цк (цо существу, разложение ведется по степеням малой величины 入/%)

F(r) = F0(r) + 1^(г) + lFa(r) + .. .(3)

Подставим выражения (2), (3) в уравнение (1) и приравняем нулю группы членов при одинаковых степенях к. Приравнивая нулю группу членов при А:2, получим уравнение

(V»2 f 2⑺=像/+擦)、(設『-絞(如，"2,3)=0. (4)

Группа членов при к1 дает уравнение

Fr(A0 + 2VFoV0 = O.(5)

Его удобно записать в несколько иной форме. Умножая (5) на Fo и учитывая, что 2F^F^ = V(/^), получим

F^e + v (个)ve = о,

что эквивалентно уравнению ▽储Аб) = 0, т. е.

div (Fo grad 0) = 0,(6)

Уравнение для F1 имеет вид

FiA0 + 2V%Fe =込尸 °,(7)

и вообще уравнение для 尸土 при 2》1

居 Аб 4- 2VF?V0 =込bf.(8)

Уравнение (4) вместе с необходимыми граничными условиями определяет 0, После того как 0 найдено, нз уравнения (6) мн находим Fq. затем из (7) находим /\ и т. д.

Величина S = kQ является фазой решения (0 носит название эйконала) лишь с точностью до членов порядка l/比 в (3). Действительно, если тг* = п {т. е. поглощение отсутствует), то из (4)

следует, что 0* = 0, т. е. эйконал — действительное число. Тогда из (6) следует, что 歹；=Fo, т. е. и Fo действительно. Но из уравнения (7) тогда вытекает, что /\ — чисто мнимая величина. Вообще 芻I = jF2b /у =—歹以+1・ Таким образом, все нечетные члены разложения F чисто мнимы и поэтому дают вклад в фазу 讶二 Величина Fb связи с этим является амплитудой лишь с точностью до членов порядка 1/也

Прежде всего займемся решением уравнения (4). Оно является нелинейным дифференциальным уравнением в частных производных первого порядка типа

/ (外,±2, *3,а誤，^,設)=o.

Уравнения такого типа решаются, как известно (см., например^ [90]), следующим образом.

□Уств А =誥'~ =誤'& =為'"嘉.Тогда 6 может быть найдено из решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений

①_dg _小_变—— dpi _— dg _ - dp3

上 Р2尸3「1?1 + P2?2十？8?8 大1 + P1Z &十RZ 片3十Р蟬'

причем константы ивтегрирования должны быть выбраны так, чтобы удовлетворялось уравнение

/(土工,*2, *3, & Ph Ра, Рз) = 0.(9)

В нашем случае Р» = 2р“ 无=—芻，z = 0 и система урав- ыений принимает вид

2^_2选一2ps =2 (p? + 熊+ 虎一誑2 / 3H「3Q[g - dt^ I dx3 =瓯‘")

Величина s введена как независимая переменная (множитель (2п)~г при ней введен для удобства).

Прежде всего найдем один из интегралов системы (10). Выпишем уравнения 翁=а；/%： (здесь суммирования по i нет) в виде

鍔 dxi = 2cd网，窮 dg = 2р£〃，窮 d 為=2P8dpз

и почленно сложим их. В результате получаем

dM = d(内+内+却，

откуда

力:+内 + р： = М + const.

Значение постоянной можно определить из условия (9), откуда следует, что она равна нулю. Тогда

p: +内+皤=犷(例，叫京3).(11)

Приравнивая каждый из членов системы (10) к ее последнему чдену, запишем систему в виде

將=2& = 1，2,3),

(12)

dpi — 1 3" — Эл ds - 2A 3飞一'

(13)

(14)

причем при написании (14) учтено равенство (11).

Введем вместо величин р^ новые неизвестные 厶 согласно равенству р» = nl\. Тогда из (11) вытекает равенство

& 十店十直=1 .

Уравнение (12) записывается в виде

а уравнение (13) принимает вид d叫_3几 ds ~ Эх| '

Но

ds ds 十* dxj ds ds 十''8н$

Подставляя это выражение в (13а), получаем

05)(16)(13а)(17)05)(16)(13а)(17)Уравнение (14) остается без изменений.

05)

(16)

(13а)

(17)

05)

(16)

(13а)

(17)

Подставляя (16) в равенство (15), получаем ds® = da:； + d% -J- dx^.

Таким образом, введенный чисто формально параметр s являетсядлиной кривой X (s)・ Из (16) мы видим, что % =第—единичный

8 В. И. Татарский

касательный вектор к кривой а (§)・ Уравнение (17) можно записать в векторной форме

п ^ = Vn — ? (?Vn) = [Z [V^Z]]・(17a)

Уравнения (16) и (17) вместе с граничными условиями определяют кривую 雜=зс (§)・ После этого величина 0 может быть найдена из уравнения (14) в виде криволинейного интеграла

8 = \ п (г (s)) ds(18)

вдоль линии г (s) (г = х).

Как известно, вектор V0 ортогонален к поверхностям 0 = const (к поверхностям равной фазы). Так как р^ =嘉、то I = ； V8. Следовательно, найденные линии х (s) ортогональны к поверхностям равной фазы, т. е. являются лучами. Таким образом, 0 находится интегрированием п вдоль луча. Уравнение (17) можно получить также из вариационного принципа Ферма, потребовав минимума интеграла (18) вдоль траектории луча (см., например, 191, 92]).

Обратимся теперь к уравнению (6), в котором заменим V0 на величину п(г) I:

div = 0.(6а)

Рассмотрим некоторую поверхность 0 (г) = const и проведем на неё замкнутый контур, охватывающий некоторую малую площадь da. Проведем через каждую точку этого контура лучи до их пересечения с некоторой другой поверхностью 0 (г) = const. На этой поверхности лучевая трубка вырежет некоторый контур, вообще говоря, с другой площадью dav Проинтегрируем уравнение (6а) по объему, заключенному внутри лучевой трубки между двумя выделенными поверхностями 0 = const. Преобразуем объемный интеграл в поверхностный на основании теоремы Гаусса:

® nFllmd^ = 0, (19)

Здесь m ——единичный вектор внешней нормали к поверхности интегрирования. На боковой поверхности лучевой трубки Zm = 0. На исходной поверхности 0 = const величина 1m =——1, а на втором «торце» этой области 1m = + 1・

Следовательно, уравнение (19) дает для данной лучевой трубки условие

nFjdo = const.(20)

Величина тг足 пропорциональна (в первом приближении) вектору плотности потока энергии. nFo da представляет собой мощность волны, распространяющейся внутри данной лучевой трубки. Изме* нения величины da вдоль лучевой трубки, с которыми связаны изменения амплитуды 尸°, определяются уравнениями луча.

Таким образом, и амплитуда, и фаза решения легко могут быть определены, если уравнения лучей (17) решены.

Уравнения (17) сравнительно просто решаются в случае слоисто-неоднородной среды, когда п зависит лишь от одной координаты. Для этого случая легко можно записать

屮=居)ехр(гАЮ)

при произвольной функции п (z) (см., например, [93, 94]). Однако нас интересует значительно более сложный случайt когда 孤(г) является случайной функцией трех переменных, т・ е., по существу, произвольной функцией из некоторой совокупности возможных реализаций. При такой общей постановке задачи уравнения луче证 проинтегрировать не удается и приходится использовать приближенные методы.

Решение уравнений геометрической оптики методом возмущений

Используем теперь малость флуктуаций показателя преломления для приближенного интегрирования уравнения луча. Разделив уравнение (17а.38) на п, запишем его в виде

~=[l[^lnn)l]].(1)

Положим, как это уже делалось выше, n2 = s = 1 + ej. Тогда

In п = у In (1 + ex)« у 8!

и уравнение (1) принимает форму

詳扌闵^川.(2)

Для удобства дальнейших выкладок положим ei = v ^, где ^=/<ф<1——малый параметр, по которому мы будем

228 РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ [ГЛ. 3 производить разложение. Функция а (г) = — Si (г) имеет порядок единицы.

Будем искать I в виде ряда по степеням v: 2 = %о + v?x + w% + …(3)

Соответственно этому % = "о + ^1 + v8aca + …(4)

Подставляя (3) в уравнение (2) и приравнивая нулю группы членов при одинаковых степенях v, получим цепочку уравнений 翳=0,芻=%;(5)

^ = 4[?o[VaIoll,磬 Т；(6)

警=扌｛& [VaZj] + [% [Va2山｝,警=".(7)

Из (5) имеемИз (5) имеемZq — const, *q — Z®s,Zq — const, *q — Z®s,(8)(8)

Из (5) имеем

Из (5) имеем

Zq — const, *q — Z®s,

Zq — const, *q — Z®s,

(8)

(8)

т. e, в первом приближении луч представляет собой прямую, выходящую в заданием направлении. При интегрировании уравнения (6) следует учесть первое приближение (8), т. е. считать V& = =VaRs). Тогда

88

厶=芬[Z。[Va (У)仙]ds，= [4 % К Va (Z,) ds)%]] .(9)

00

Из (9) следует, что

"А = 0・(Ю)

Интегрируя уравнение ^ = ?i, получим

8 ва

ЭС1(5) = ；["о [(\"'2\"'|"а (”同)意]]= о о

(И)(И)=4 [% [0($ — s，) Va (М) ds)引.О

(И)

(И)

изменен порядок интегрирования по в разложения (3), (4) и заменяя vaизменен порядок интегрирования по в разложения (3), (4) и заменяя va(При переходе от (10) к (11) sx, %•) Подставляя (9) и (11) на slt получим формулы:

изменен порядок интегрирования по в разложения (3), (4) и заменяя va

изменен порядок интегрирования по в разложения (3), (4) и заменяя va

%(£) = %)+ "^ [ " [(\ V'1 (%05，) ds) %]]+ •・• = % + 6%i + • • -1 (12) о

я? (s) = %о$ + "^ ["о [§($ 一 s') V&i (2酬‘)曲‘，С。]] + • ♦ •= о

=%№ + 己6 (s) + • • • (13)

Докажем, что величина Zo = I %о I равна единице. Вообще гово- prft должно выполняться равенство

仆=狐 + 俑 + V2% + …)2 = 1.(14)

Раскрывая (14), получаем условие нормировки в виде

^о + 2v?0?i + Vs 口； + 22兩]+ 2v3 [?о?з + ?1й] + …・=1. (15)

Но Z0"i = 0. Докажем, что 乂纟=Z； + 2Z0Za = 0, Из = ^ 2 (Z0%3 + ?J2)= 0, и г. д. Для этого рассмотрим

符=2必窘+"窑］.

Подставляя сюда выражения (6) и (7), получаем (с учетом равенства Z0Z] — 0) du^ds = 0. При s = 0 u2 — 0, отсюда следует, нТо и3 = 0. Точно так же доказывается, что Ug = 0, ..., откуда следует, что

|«о|= 1(16)

(заметим, что при произвольном v (16) есть единственный возможный способ выполнения равенства (15)).

Формула (13) дает уравнение луча, выходящего из точки ас = ==0 в направлении единичного вектора ?0. В первом приближении — эго прямая линия. Второе приближение дает поперечное смещение луча относительно этой прямой.

Воспользовавшись уравнением (18.38), найдем 0:

88

6(x(s)) = ^n(x(s)) ds = \ 口 + ^时(乐 + 68(s》]ds・ (17) оо

Разлагая в】в ряд с точностью до членов второго порядка, будем иметь

8t (lcs + fix (s)) = 81 (?0$) + VBi^ftS) бЯ5 (s) + ...=

=Bi (?(>s) + ^ Vbi (?(>5)[办[\($ — Si) У&1 (Z向)d$i, Z(>]] + ..»(£8)

Следовательно, 0 выражается рядом

88&!

8 = $ + 三 / в工(立岡 ds + } \ dsi, ds% ⑸一Sa) {V8j (?q5i) V 班 0*) —■ ооо

—(го?61(го51)) (Zovei(^3))} + ... (19)

Если ограничиться линейным по в^ членом формулы (19), то это эквивалентно пренебрежению величиной 5м в (17), т. е. интегрированию вдоль прямой 宓=%$ вместо интегрирования вдоль искривленного луча. Значение 0} определяемое формулой (19)t следует отнести к точке х (s), определяемой формулой (13). Такиы образом, функция 0 (х) определена в параметрической форме:

8

0 (Zqs + баз (s)) = « + -|-^61 (初 ds +。(v3).(20)

Значительно удобнее иметь явное выражение для функции 0 (х). Для того чтобы получить такое выражение, разложим 9 (Zos) в ряд по бар:

0 (乐)=0 ((Z 减 + да?) — ба?) = 0 (^5 + fix) — ба? (s) V9 (% 储 + бх) +・..

Но согласно формуле (12.38)

V0 (雜(s)) = П(Я5 (s)) l(x (s)).

Следовательно,

V0(Ios + &jc) = (l + 4ei)(^ + A(s)+...)

И

&<?(»)• V0 (依 + ба?) = %3зс (s) (1 + у в。+ 吋厶(s) бас (s) + ... (21)

Но Zq6x (s) = 0, а бар (s) имеет порядок v. Следовательно,

§ 30]МЕТОД ВОЗМУЩЕНИЯ231

выражение (21) имеет порядок v2, т. е.

9 (%s) = 9 (М + дж) + О (哦)・(22)

Таким образом, с точностью до членов второго порядка малости имеет место формула

9 (心)=s + ^* \ &工(?о®) d%(23)

о

дающая явное выражение для функции 0 (х) в виде интеграла вдоль прямолинейного луча, идущего в точку наблюдения.

Поскольку при решении задачи о нахождении 0 (г) мы все время считали, что 0 (0) = 0, то формула (23), по существу, определяет лишь изменение эйконала на пути s. Заметим, также, что она совпадает с формулой (24.37), выведенной непосредственно из решения волнового уравнения.

Перейдем к определению флуктуаций амплитуды. Из уравнения (6а.38) имеем

div (nFo?) = nFo div I + ? grad nFj = 0 или

(24)(24a)(24)(24a)I grad (In nFj) = — div J.

(24)

(24a)

(24)

(24a)

Ho I grad / = ^, откуда получаем

dES展),.,

—з — div I,

ds

Интегрируя это уравнение вдоль луча, получим [92]

ь [п (尤(S0) Fo (as («1))1 — In [n (a (So))芻(x (s©))] = —，div Z (s) ds.

(25)

Уравнение (25) определяет изменение логарифма амплитуды вдоль луча. Значение div Z, входящее в (25) и определяющее изменение сечения лучевой трубки, уравнением луча полностью не определяется. Действительно, значение I (s), даваемое формулой (12), определяет изменение I вдоль данного луча. Для； определения же div I необходимо знать производные от { не только вдоль, но и поперек луча, т. е. изменения I при переходе к соседнему лучу. Для того чтобы иметь возможность определить div 2, необходимо задать закон изменения 10 на некоторой начальной поверхности. Наприцер, в случае, если падающая волна является плоской, ”。постоянно не только вдоль данного луча, но и для всех лучей.

Для сферической же волны 10 — J三二；,где г0 ——координата источника ►

Конкретные расчеты для случаев плоской и сферической волн будут проделаны в следующих параграфах.

Флуктуации фазы, угла прихода и амплитуды плоском волны

Пусть среда со случайными неоднородностями показателя преломления заполняет полупространство 工〉0, па которое падает плоская монохроматическая волна

% = /к®・⑴

Нас будет интересовать поле в некоторой точке г внутри неоднородной среды.

Прежде всего рассчитаем флуктуации оптического пути (эйконала) 0 в точке г. Воспользуемся формулой (23.39) для 0

е(н, y, z) = 土+}\敗(Е，У, z)dЕ.(2)

О

Среднее значение 0 равно <0) = н, а отклонение от среднего

е ⑺-〈86)〉= ^ \ S (3 У，Z)我.(3)

о

Средний квадрат флуктуаций 0 выразится формулой...

%=〈出一«〉产〉=±W&V 寂 ®1(皂，у, z)班(&, у, z)〉. (4) о о

Считая флуктуации е статистически однородными, получим

<ei (11. У, %) в工售2,弘 z)〉= &(£ — &, 0, 0)(5)

и

学=汐川%凡偽一皂，0, 0).(6)

о о

Двойной интеграл в (6) можно преобразовать в однократный. Так как в дальнейшем нам часто придется пользоваться аналогичным преобразованием, проделаем его в общей форме.

Пусть / (л：) = / (—办 Тогда

XXXX—£t

/(«)=$ 嘔 \ 跟/ (8 - &2)= § 晶 J /(-叫 dll =

о оо7

XX—辐

= \d& § /01)师

Меняя порядок интегрирования по i] и 扇,получим

6ххя—И

/(ж) = 5 / (я)^Я $^г+ $/(т))^Л \ 曲=

—хfОО

хОх

=\ з — п) / (и) d” + J/(T1) (ж + п)^ = 2 $ (ж —п)/(п)^.

0—Xо

Таким образом, если /(%) = / (―工)，то

X XX

，d瓦，瑞/ (8 亠 &) = 2，Q - X) / 图嘴.(7)

о о0

Применяя эту формулу к (6), получим

XX

q = 4'S(z-e&& 0,0)*=环(1-另现值 。,0)雄.(8) Оо

Будем считать, что проходимый волной в неоднородной среде путь х намного превышает радиус корреляции флуктуаций 厶‘ В этом случае можно пренебречь величиной Ух по сравнению с единицей, а верхний предел интегрирования заменить на оо：

8

学七 ^，瓦(&,0,0)d&(9)

О

Введем одномерный интегральный масштаб флуктуаций согласно формуле

ОО

厶=哥瓦(& 0, 0)d&(10)

где eJ = Bc(O) =〈&；〉. Тогда (9) можно записать в виде

(И)(И)5 = ^公厶亦

(И)

(И)

Как видно из этой формулы, о? линейно возрастает с ростом н. Это является следствием предположения х A L, сделанного при переходе от (8) к (9). В этом случае на пути луча укладывается большое количество некоррелированных неоднородностей а, как известно, средний квадрат флуктуаций пропорционален числу неоднородностей, т. е. х. Следует также отметить, что о； пропорционально интегральному масштабу неоднородностей, т. е. в основном определяется крупномасштабными составляющими их спектра. В случае, если неодно родности 8 описываются «законом 2/3», мы не имеем возможности, не выходя за его рамки, пайти величину о；——она оказывается бесконечной. Это указывает на то, что величина 笳 не определяется локальными свойствами неод- нородностей^ описываемыми《законом 2/3九

Выразим величину о： через спектр неоднородностей ①色(х). Предполагая статистическую изотропность флуктуаций, будем иметь

ОО，以倡 0, 0" оОО，以倡 0, 0" о8

ОО

，以倡 0, 0" о

ОО

，以倡 0, 0" о

=；，瓦(X, 0, 0)曲=

-00

=4*,(х)氏 Rе的 S± = к §\ Фе (х) fi(№)d3x =

•00=Л §①。 (]/片+纯)加九=•00=Л §①。 (]/片+纯)加九=

•00

=Л §①。 (]/片+纯)加九=

•00

=Л §①。 (]/片+纯)加九=

Следовательно,

00

(12)(12)可-:Йr \ ①£ 3)m dx.

(12)

(12)

0

В случае «закона 2/3》Фе (х) ~^一明 и интеграл (12) расходится в области малых х. Это указывает на необходимость учета отступлений от «закона 2/3» в области крупных масштабов.

Перейдем к определению флуктуаций разности оптических путей в двух точках, находящихся на расстоянии р друг от друга в одной и той же плоскости с = const

eg, у, z) —е(я,/, z，)= ^，®(е,у, z) —азу, z，)蹴.О

(13)

Возводя (13) в квадрат и усредняя, получим

Ре (у — k z — zz) = <[(9 (ж, у, z) — 0(х, /,公)户〉=

X к

=}\對 §阳 *工怎 у, Z) - 8亚,/, Z')][81 (匕 у, Z) - S (匕 /, /)]>. о о

(£4)

Воспользуемся тождеством

(а — Ь) (с — d) = ^ [(а — d^ + (Ь — с产一(а — с)2 — {b — d)a]

и представим подынтегральное выражение в (14) через структурные функции е, которые мы будем считать зависящими лишь от разности координат (статистическая однородность):

<[81(Г1) — 81 (r4)]s> = Z>,g — r2).(15)

Получим

а(y —『，z — z)= 4"\谨\嘴」a 售一к у -『，z-z) + и о

+ &碧一Е', у' —у, / - z) - D. (^ - V，о, 0) - De (^ - Г, о, 0)].

(16)

Учитывая, что

D& (己一Е\ У — У’，z — z') = De (^ — &', у'—弘 z' — z)

(это равенство выполняется в случае локальной изотропности флуктуаций), получаем

к х

4(n，?=z4内雄」а碧一匕% + 一 а售一口0, 0)]. (17) о о

Подьштегральное выражение в (17) является четной функцией разности (& — &'). Применяя формулу (7), получим

Ов(П,£) = |$ 3 —Е)[&(Е，Т), С)— &0,0, O)]dg. (18)

Разность Dt (I, n，Е)——Dg (Е，0, 0) становится малой при g^＞ А У刀2 十？)• Поэтому, если выполняется равенство %黑了瞰 十 Р в (18) можно пренебречь величиной ^по сравнению с “ в разности (н — Е), а интегрирование по | распространить до бесконечности

ОО

09 (п/)^ ^\ 0 售，Т), С) 一 De(L 0, 0)]龙. (19) о

В случае локально изотропной турбулентности подынтегральное выражение является четной функцией |, поэтому интегрирование можно распространить на интервал (—оо,亠 оо):

Do (% + =*§ 0 (Е，% О — 2 (Е，о, 0)] d±.(19а)

—со

Как и выражение (9), величина Ре пропорциональна %・ Однако, в отличие от величины a®, D% (“, g) определяется структурными функциями флуктуаций 8. При этом поведение структурных функций при 占＞了刀2十？ практически на значении интеграла (19) не сказывается, так как в этой области подынтегральное выражение мало. Это означает, что величина Dq (т], Е) определяется неоднородностями с масштабами порядка 了刀纟 十 G, т. е. расстояния между точками наблюдения. Запишем уравнение (19) в спектральной форме. Подставим

—ОО ■

ОО

&(Е, 0, 0) = 2^[l-e^] Фе(х)й3х

в равенство (19а):

8,4

А (% 匕)=^，\ [1 —决(5+%。] Ф£ (х) бРх § 峻打殲= оо—оо

几匸9，" — 8"其e'Х‘q]①a (Y1，Y2, %3) Й (хl) d3x =—ООООяT^ [1-61 ^^К>^] Фе(0, h2, Y3)dy24?Y3.—ОО几匸9，" — 8"其e'Х‘q]①a (Y1，Y2, %3) Й (хl) d3x =—ООООяT^ [1-61 ^^К>^] Фе(0, h2, Y3)dy24?Y3.—ОО(20)(20)8

几匸9，" — 8"其e'Х‘q]①a (Y1，Y2, %3) Й (хl) d3x =

—ОО

ОО

яT^ [1-61 ^^К>^] Фе(0, h2, Y3)dy24?Y3.

—ОО

几匸9，" — 8"其e'Х‘q]①a (Y1，Y2, %3) Й (хl) d3x =

—ОО

ОО

яT^ [1-61 ^^К>^] Фе(0, h2, Y3)dy24?Y3.

—ОО

(20)

(20)

Последнее равенство представляет собой двумерное разложение Фурье структурной функции Db (口，己)，причем соответствующая спектральная плотность равна

^8(xs, Хз)=^лжФе(0, х2, х3).(21)

В случае статистической изотропности

Фе(0, Х2, х3) = Ф.(/^<+^) И D9 (п, ^) = De (Vnr+^)=JDe(P).

При этом равенство (20) после введения полярных координат и интегрирования по угловой переменной принимает вид

А (р) = 2лат § [1 —7^(xp)J Фе (x)xdx, (22) о

где 70 (х)——функция Бесселя нулевого порядка. Интеграл (22) отличается от (12) дополнительным множителем [1 — 70 (хр)] под знаком интеграла. Этот множитель обращается в нуль при хр f —* 0 как (хр)®. Поэтому крупномасштабные составляюхцие спектра Фе (х), соответствующие малым х, оказываются подавленными. В случае степенной функции Фе (х) ~ х_р вклад в интеграл (22) значений х, меньших р"1 и больших p-匕 примерно одинаков. Это означает, что основную роль играют компоненты спектра, соответствующие величине базы р.

Если перейти от эйконала 0 к фазе S = А0, то формулы для структурной функции фазы получатся из соответствующих формул для Dq умножением на 庐：

Ds (% 0 =年 £ 0 (E,小 + - Dt & 0, 0)]竭 (23) —ОО

ОО

2s (р) = 2兀需胪々 § [1 —人(хр)]①с(Y)хdx.(24)

Найдем также средний квадрат и корреляционную функцию флуктуаций направления распространения. В предыдущем пункте была получена формула для единичного вектора Z, касательного к лучу:

Z (s) = Zd + ； ^о [(、V&i (%№‘) "$'№]]=瓦 + &i・о

Так как lQ6lL = 0, т. е. вектор 6Zt перпендикулярен Zo, to|6ZJ — =tg а, где а ——угол между векторами Z и Zo. Так как j 6Z] | 应 1, т. е. аУ I, то, заменяя tga на а, получаем а ^： 16?х[. При расчете флуктуаций угла прихода можно, однако, исходить и из формулы (23), что будет для нас несколько удобнее.

Пусть две точки наблюдения находятся на малом расстоянии т] друг от друга в одной и той же плоскости х = const. Тогда разность фаз 65 между ними связана, с поворотом фронта волны а (который ми считаем малым) соотношением

a =a =&?68&?68(25)(25)

a =

a =

&?68

&?68

(25)

(25)

Устремляя г| —> 0, мы в пределе получаем точное значение угла прихода а. Следовательно, средний квадрат флуктуаций угла прихода (в одной плоскости) можно получить на основании формулы

<a2> = 11m<a2> = 11m%m о)左才%m о)左才=lim力一*0=lim力一*0A (% o)A (% o)(26)(26)

<a2> = 11m

<a2> = 11m

%m о)

左才

%m о)

左才

=lim

力一*0

=lim

力一*0

A (% o)

A (% o)

(26)

(26)

получающейся из (25) возведением в квадрат и последующим усреднением.

Разлагая структурную функциюZ)s (q, 0) в ряд по q, учитывая, чтоРя (0, 0) = Ов силу четности Ds (т|» 0) по % получим

Os(n, 0) = 》0自(0, 0)限+ ...,

так что

«〉=茲~ |ч=о = Е 济 |ч=о'(27)

侬) =侬) =(28)(28)Если ввести также угол 卩 в плоскости (ж, z), то для него можно написать аналогичную формулу

侬) =

侬) =

(28)

(28)

а для суммы квадратов этих углов мы получим

<«а> + <₽*> =击△ А(0, 0)=4“А (0, 0),(29)

где

翫=詣+詣(30)

—поперечный оператор Лапласа. Воспользовавшись формулой

(19), получим

>3*(% % 0)>3*(% % 0)LaLa(31)(31)

>3*(% % 0)

>3*(% % 0)

La

La

(31)

(31)

В случае изотропных флуктуаций

2 (扇哨=2(作阡可) И

а л*) Id；(2)

Тогда

(32)

При малых & структурная функция D® (&) ~『,так что D& (Е)/& не имеет особенности. При 5—>ос функция!)е (|) убывает, так что интеграл (32) сходится на обоих пределах. Однако для его вычисления необходимо учесть, что при ыалых ^функция!)е(В) имеет квадратичный характер, в противном случае мы получим расходяхцийся интеграл. Таким образом, наиболее существенный вклад в <а> производят мелкомасштабные неоднородности.

Найдем также корреляционную функцию флуктуаций 5a (р). Ее можно получить на основании формулы (25). Для этого следует рассмотреть значение 0 в четырех точках плоскости % = const:

Тогда

〃1(4 Уь 0),

Ма{х,勿，0),

Мъ{х, yi + л, 0), Мл{х,力 +% 0).

a2 = lim虻也

<a1a2) = иm *〈(比 一 02)(03 一 04)) =(33)

=lim鳥[((01一&尸)+ ((ea-e3)2> 一〈他一仇2 — ((ea 一 &)». Но

〈(如一仇产)="d一弘 + n), ((02 - 03)4) - D9 (ya - У1 - ")，<(01 一 包冷=<(02 一 &产〉=4 (勿一力).

Если обозначить 弘一力=弘 то на основании (33) получим

<®1«г> = Ва (у) = lim 嘉[А (У + т])十厶仅一“)一2A (у)]. (34)

Рпс. 39. К вычислению корреляционных функций флуктуаций угла прпхода*Рпс. 39. К вычислению корреляционных функций флуктуаций угла прпхода*Для нахождения 《％工力 каждая из точек наблюдения разделяется на иве бесконечно близкие точки (Мь AR) и (М$, М«). npimew компонепты каждой из пар раэно- снтсн вдоль осп z. Для нахождения <pjps> компоненты точек (М), М2) и(М&. М4) раз- еосятсн на бесконечно малое расстояние вдоль оск у.Для нахождения 《％工力 каждая из точек наблюдения разделяется на иве бесконечно близкие точки (Мь AR) и (М$, М«). npimew компонепты каждой из пар раэно- снтсн вдоль осп z. Для нахождения <pjps> компоненты точек (М), М2) и(М&. М4) раз- еосятсн на бесконечно малое расстояние вдоль оск у.А 3 士 п) = О3 (у) ± Г|0； (у) + + у if" (у) + *. ., подставляя это разложение в (34) и переходя к пределу, получим формулу 凡(у) = ^ О； (у)(35)для 5а (力.При у = 0 (35) переходит в (27). Формула (35) дает корреляцию углов прихода в плоскости, проходящей через оба луча. Можно также рассмотреть и корреляцию флуктуаций угла прихода в плоско* стях, проходящих через каждый из лучей и перпендикулярных плоскости, содержащей оба луча (рис. 39). Если направить ось у от точки Мг к точке М2 (Mi = (х, у, 0), М?= = 3, у + 小 0)), а разнос точек наблюдения произвести вдоль оси Z (必='#，У, Z), М« =А 3 士 п) = О3 (у) ± Г|0； (у) + + у if" (у) + *. ., подставляя это разложение в (34) и переходя к пределу, получим формулу 凡(у) = ^ О； (у)(35)для 5а (力.При у = 0 (35) переходит в (27). Формула (35) дает корреляцию углов прихода в плоскости, проходящей через оба луча. Можно также рассмотреть и корреляцию флуктуаций угла прихода в плоско* стях, проходящих через каждый из лучей и перпендикулярных плоскости, содержащей оба луча (рис. 39). Если направить ось у от точки Мг к точке М2 (Mi = (х, у, 0), М?= = 3, у + 小 0)), а разнос точек наблюдения произвести вдоль оси Z (必='#，У, Z), М« =

Рпс. 39. К вычислению корреляционных функций флуктуаций угла прпхода*

Рпс. 39. К вычислению корреляционных функций флуктуаций угла прпхода*

Для нахождения 《％工力 каждая из точек наблюдения разделяется на иве бесконечно близкие точки (Мь AR) и (М$, М«). npimew компонепты каждой из пар раэно- снтсн вдоль осп z. Для нахождения <pjps> компоненты точек (М), М2) и(М&. М4) раз- еосятсн на бесконечно малое расстояние вдоль оск у.

Для нахождения 《％工力 каждая из точек наблюдения разделяется на иве бесконечно близкие точки (Мь AR) и (М$, М«). npimew компонепты каждой из пар раэно- снтсн вдоль осп z. Для нахождения <pjps> компоненты точек (М), М2) и(М&. М4) раз- еосятсн на бесконечно малое расстояние вдоль оск у.

А 3 士 п) = О3 (у) ± Г|0； (у) + + у if" (у) + *. ., подставляя это разложение в (34) и переходя к пределу, получим формулу 凡(у) = ^ О； (у)(35)

для 5а (力.При у = 0 (35) переходит в (27). Формула (35) дает корреляцию углов прихода в плоскости, проходящей через оба луча. Можно также рассмотреть и корреляцию флуктуаций угла прихода в плоско* стях, проходящих через каждый из лучей и перпендикулярных плоскости, содержащей оба луча (рис. 39). Если направить ось у от точки Мг к точке М2 (Mi = (х, у, 0), М?= = 3, у + 小 0)), а разнос точек наблюдения произвести вдоль оси Z (必='#，У, Z), М« =

А 3 士 п) = О3 (у) ± Г|0； (у) + + у if" (у) + *. ., подставляя это разложение в (34) и переходя к пределу, получим формулу 凡(у) = ^ О； (у)(35)

для 5а (力.При у = 0 (35) переходит в (27). Формула (35) дает корреляцию углов прихода в плоскости, проходящей через оба луча. Можно также рассмотреть и корреляцию флуктуаций угла прихода в плоско* стях, проходящих через каждый из лучей и перпендикулярных плоскости, содержащей оба луча (рис. 39). Если направить ось у от точки Мг к точке М2 (Mi = (х, у, 0), М?= = 3, у + 小 0)), а разнос точек наблюдения произвести вдоль оси Z (必='#，У, Z), М« =

；=(х, у + Гц, z)), то для углов прихода прлучим

区=limЧ-Н)区=limЧ-Н)0] — %0] — %нн%=hm —--F-H) n%=hm —--F-H) n

区=lim

Ч-Н)

区=lim

Ч-Н)

0] — %

0] — %

н

н

%=hm —--

F-H) n

%=hm —--

F-H) n

(36)(36)•вB = (Р1p2> = 1吧*((仇一仇)他一04)>-

(36)

(36)

Эта формула выглядит так же, как (33), однако теперь

〈(Bi-” 产〉=А (% z) - А (У 哦彳亍)

(последнее равенство записано для случая изотропных флук туаций),

<(62 — 63)2> = А (% %),<(01 — 63)2> = <(62 —仇尸〉=А (0, %),

Вв (%) = lim 2 [ A (n，z) — А (0, z)]=

=吧*[4 (%金+的一A (*(37)

(для изотропного случая). При т| << z

刀"了江+們之A卜+ 姜+ . . .) = A(z) +姜刀；(z).

После подстановки этого выражения в (37) и перехода к пределу при т| г 0 получим

(38)(38)/(%) =要.

(38)

(38)

При z —> 0 это выражение стремится к пределу 5台(。)= ；刀;(°) в соответствии с (28), в чем проявляется изотропность флуктуа- ций« Однако при z 鼻 0 выражения (35) и (38) не совпадают и в Случае статистически изотропной модели турбулентности.

Величину В& (у) удобно назвать продольной, а В© (%) ——поперечной корреляционными функциями флуктуаций угла прихода.

Найдем также взаимную корреляционную функцию

(39)(39)зав(/) = <a1?2>.

(39)

(39)

Вычисленияt аналогичные проведенным выше, приводят к результату

«Р(z)二 lim 曰{Di (z + n) + 5 皿2 +們—A (z)— Ч-Н) /"

一0"yа+ n产十才)}. (40)

Разлагая в ряд:

a(y(z + “)2+們= a(z + n)+%3 加a+m+。(們， PB(/?+V) = A (z) + 芸瓦(z) +。師)，

подставляя эти выражения в (40) и переходя к пределу при “ f 0, получаем формулу

91?2〉=a(41)

т. е. колебания угла прихода луча в двух взаимно перпендикулярных плоскостях не коррелированы.

Рассмотрим также величину

Ва (р) + /(Р)= у [ А(Р)+，丁]=击靑[р^е (р)]

и выразим ее через спектр флуктуаций е. Для этого применим формулу (22). Воспользовавшись известным равенством

^专(P笛3=一炉J。(冲)，получим8

Ва (р) + Вв (р) = лах，Jo (хр) Фе (х) х3 dx.(42)

о

Множитель х3 в (42) быстро возрастает и для сходимости интеграла при р = 0 н 乂 f 8 необходимо, чтобы функция Фе (х) убывала быстрее, чем 乂一上 Если подставить в (42) Фе (х) «то при р = 0 интеграл разойдется в области больших 乂. Сходимость (42) можно обеспечить введением «обрезающего» множителя. При этом величина (42) будет определяться введенным масштабом, т. е. внутренним масштабом неоднородностей (конкретные вычисления для турбулентной среды будут проведены позднее).

Обратимся теперь к амплитудным флуктуациям.

Амплитуда волны (в настоящем параграфе мы будем обозначать ее через Л) удовлетворяет уравнению

div(42 grad 6) = Л2Д0 + grad6grad Ла = 0(43)

или, если разделить (43) на Л2 и ввести обозначение

х = in а = у in а%

grad 0»grad % +у Д9 = 0.(44)

f 40]ФЛУКТУАЦИИ ПАРАМЕТРОВ- ПЛОСКОЙ волны243

Подставим сюда выражение (2) для 0. Тогда

grad 6 =

={1 + ^д,У, z),式^^跟才 ^%^ 呵, оо

0

△丄=歹+材■

Подставим эти значения в (44). При этом учтем, что в grad 6 первая компонента, содержащая 1, велика по сравнению с осталь- ныни (величина V% имеет порядок малости elf так как для плоской волны в однородной среде V% = 0). Поэтому если оставить в произведении V6V% лишь член первого порядка малости по 勺, то мы получим

”.（託近Z）+^ 阴党у, Z）+当厶丄q&y, Z）羽=о. （45） О

Проинтегрируем (45) по х от 0 до х, считая, что % (0, р. z) = 0 勺(0,弘 z) = 0; будем иметь

X X*

%3, У，z) = — ^ {а (с, у, z) + \ 竝'\ d払丄а (Е, у, Z)}.

О о

Меняя во входящем сюда интеграле порядок интегрирования по

Е н м‘ и выполняя интегрирование по м\ получим

х3, у, z)= — ^卜1(4 у, Z)+；3 —Е) △丄G(W, у, z)d^} . (46)

О

Найдем корреляционную функцию флуктуаций % для случая, когда обе точки наблюдения лежат на одинаковом расстоянии х

от границы области, занятой неоднородностями

〈X (叫 Уь 21) X 3, У2, &)〉= в*(У1 —办,Z] — z"=

= /{(也(*，%，z1)а(之,浓，北)〉十

+ \ (4一w)(61 (X,力，Z0 A丄21 信，y2, Z8)> 或 + О

X

十 § 位一W) <ej (x, y2, z2) △丄 j 居，У1, Z1)> dW + О

+ \ § (k — &) (k 一 Wz)〈 A丄S & Уъ Zl) A丄£1 &, “力 3)〉d^d^. (47) о 0

Ho

<61 (x, У1, /) 81 (x, %, 22)> = Be (故—%, Zi — zQ,

<61(X,力，％1) A丄厶(W，У2, 2a)> = A丄瓦(x — E，У1 — У2, Z]—窃)=

=—W" A丄刀&(* 一 E，力—У2, Z]— Z?).

(В последнем равенстве при переходе от 5е к Dt использована формула De (г) = 2^е (0) — 2sg (г).) Точно так же

(А丄吻&,力，Z0 А丄g&, У2, 22)> =

=~ У А±^е (W1 — &2, У1 — Уз» %1 — 2а)

Подставляя эти значения в (47) и обозначая yt — у^ = у, %i — z2 = z, получим

&(y, z)=击{瓦(у, z)—卜*一己)Aj_A(k —3 弘 z)dg —

X X

-^ \ S(* - 8)(* -*)△12 &-8, У, z)對1 戏2} •(48)

о 0

Введем в первом интеграле новую переменную, положив м — W = W* а во втором положим 占=久一％, я = х —上喝〃・ Тогда интегрирование по т, может быть выполнено в явном виде

и формула (48) примет вид

& (У，Z)=亲｛现(у, Z)— \ 諸也(Е, у, Z)恋—

О

-|$(2х + В)(х-В)2 Ai& 隽,у, z)很｝.(49)

О

Оценим входящие в (49) члены. Функция А丄刀& (Е, у* %) заметно меняется при изменении своего аргумента на величину порядка внутреннего масштаба турбулентности /0, который является характерным масштабом этой функции (это является следствием того, что к функции De. применен оператор А丄，подчеркивающий б2

мелкие масштабы). Значение функции А丄刀电(0)〜^|, где ст；= =〈£；〉• Поэтому первый из интегралов в (49) имеет порядок

Ё港~哈

Функция A jZ?e также имеет характерный масштаб 厶，но ее значение в нуле порядка 喲g. Поэтому второй интеграл имеет поря-

ДОК

(в подынтегральном выражении можно пренебрегать по сравнению с 土). Поэтому при выполнении условия 75 Al в (49) можно оставить лишь последнее слагаемое, что эквивалентно пренебрежению первым членом в (46). Тогда

瓦(y，z) = -%w+ 鄒2一曾心a(裔 9，z)我.(50) 0

Формула (50) может быть упрощена еще более. Действительно, так как характерный масштаб функции А：А равен 厶 W 瑞 то в (50) можно пренебречь 己 по сравнению с х, а предел

интегрирования н заменить на оо. Тогда

со

в* (у, Z)=—备 S А%А (& У, Z)dg ・(51)

о

Полагая здесь у = z = 0, получаем формулу

ОО

<ха> = ~5$ 心仇化，0, 0)龙，(51 а)

О

определяющую средний квадрат флуктуаций логарифма амплитуды.

Формула (51) дает окончательное выражение для корреляционной функции плоской волны в приближении геометрической оцти' кн [92].

Запишем выражение для спектра корреляционной функции & (у, z). Для этого подставим в правую часть (51)

8

△1刀。(&，У, Z)= А]2 \ \\ [1 — ei(xi5+x,y+x,z)j фе (Х) J3% _

—ОО

ОО

=—2 \ \ \ е依沁川+з> (吗 + 母у фе(Xli Xa)x3) d3x.

—co

Проинтегрируем это выражение по g. Учитывая четность функции AjQ (& у, z) по & получим

8ОО

\ Aja 化,у, Z)d&=^ \ 纽& е, у,价雄= a—оо

ООсо

=—§，\ e'g"+w)(«2 + 嘘2 фе(Хь 叫 xs) d3x \ е*桔 dg =

—co—co

———2л §\ \ еМ%"*м)(%： + х|)аФе («t, х2, хз)б («О d3x =

=—2л 55 еК&у+х⑴(х® + 母)2Ф<(0,出,х3)dxgdx3-

—ОО

Подставляя это выражение в (51), ми получаем формулу типа

ОО

& (у, z) = \ \ e«xw+w)尸х(Хз, Х3) dxadx3,(52)

—00

где

Fx的,圖=党(*+吗уФе(0,出，xs).(53)

Соотношение (53) является спектральным эквивалентом формулы (51).

Как следует из (51), корреляционная функция флуктуаций логарифма амплитуды пропорциональна кубу проходимого в неоднородной среде расстояния. В случае локально изотропных флуктуаций е

①£ (0,也,"3)=①в (у"： + 吗)~ Фе (乂)，

где х = У"х^ + х|. В этом случае F* также зависит только от х: 戸 x(2 = ^k@ ⑺.(54)

Множитель х4, входящий в (54), обращается в нуль при 乂 = О, что приводит к подавлению крупномасштабных составляющих спектра турбулентности. В случав, если Фс (х) ~ к"3 R* (х)〜 〜х%, т. е. спектральная плотность 尸х (х) обращается в нуль при х = 0 и возрастает с ростом х. Максимум функции F* (х) будет наблюдаться в той области, где на Ф€ (х) начинает сказываться теплопроводность, т. е. в области внутреннего масштаба турбулентности. Следовательно, флуктуации амплитуды в приближении геометрической оптики обусловлены наиболее мелкомасштабными флуктуациями диэлектрической проницаемости, а радиус корреляции флуктуаций амплитуды имеет порядок 厶・

Следует обратить внимание на равенство

Fx (0) = 0,(55)

которое эквивалентно соотношению

СО

(56)(56)(56а)(56а)，，&(у，z>dydz =0,

(56)

(56)

(56а)

(56а)

—ОО

а в случае изотропных флуктуаций —

ОО

、瓦(p〉pdp = о. о

Соотношение (56) является следствием закона сохранения энергии *). Из него вытекает, что корреляционная функция В^ обязательно имеет отрицательные участки.

Выведем полезную формулу, связывающую амплитудные и фазовые флуктуацЕги. Применив к формуле (23)

ОО

DB ⑴ J)=字，0 (£ % D - 2 «, о, 0)] dgО

оператор А；, получим

心仆(％» =字j Aj&倡％ G•о

Сравнивая эту формулу с (51), найдем

Вк (% D = — 备心厶(％ +•(57)

Формула (57) является следствием того обстоятельства, что в геометрической оптике амплитуда волны полностью определяется ее фазой (см. (44)).

Формула (57) позволяет вычислить 5Х (", D по известной функции £>s (% 故 Следует подчеркнуть, что так как в (57) входит Aj^s(Л> 0, то для определения〈乂纟〉=Вх (0, 0) необходимо знать поведение функции Ds Ob С) при малых р = У"® + ?, удовлетво- ряк)1Цих условию р у /「

§ 41. Флуктуации параметров сферической волны

В настоящем пункте мы рассмотрим флуктуации параметров сферической волны от точечного источника, расположенного в среде со случайными неоднородностями*

*) Если случайная величина 屮(工)( <屮〉=0) удовлетворяет закону со

сохранения § <р (х) dx = 0, то из него умножением на 屮(х0) и усреднением -QO

получим

ОООО

§ 3 (с —陶 dx = В(I)dx = 0.

—ОО—ОО

(56) является следствием двумерного аналога этой теоремы.

Рис. 40. Расположение лучей при вычислении флуктуаций разности фаз сферической волны.Рис. 40. Расположение лучей при вычислении флуктуаций разности фаз сферической волны.Ясно, что средний квадрат флуктуаций полного набега фазы для случая сферической волны совпадает с соответствующей величиной для плоской волны. Рассмотрим средний квадрат разности фаз для двух лучей, рас-

Рис. 40. Расположение лучей при вычислении флуктуаций разности фаз сферической волны.

Рис. 40. Расположение лучей при вычислении флуктуаций разности фаз сферической волны.

ходящихся под углом-ф из источника (рис. 40). Поместим начало координат в точке расположения источника, плоскость 土, у проведем через источник й обе точки наблюдения, а ось х на-

правим от источника к середине отрезка, соединяющего точки наблюдения. Мы ограничимся случаем, когда обе точки наблюдения удалены от источника на одинаковое расстояние x/cosy. Тогда

& 一〈&〉=内冗1&吒，0)弋 =-^r1任，磋，0)也，(1)

оcos 方 2 cos."2" о

.где а = tg 受.Аналогично

& 一〈凡)=—于\ a (к一呜0)呢.(2)

2 cos 彳()

Следовательно, для S* — S* мы получаем

S1 - & = -J \ 阿(К 呜 0)-外化，一喝 0)1 盡 (3)

2cos考"

〈(з - &产〉=-\ "[5 倡喝 0) - 口值-呜 0)] X

cos* 千 W W

X 电 01,研，())一G (% — ЛТ), O)]〉dgdT]・(4)

ГТ1

Применяя тождество (а — b) (с 一 d) = 彳 [(а — rf)2 +

+ (Ь — с” 一(@ —「)2 — (Ь — d)2], запишем (4) в виде

((邑-5护＞=」也*[Q售一 % a化+ 3, 0) +

8cos2 千

+ ^(^-П.-а(£ + П). 0)-厶化一％ a(£-Tl).。)一

—。《化一"，一а(Е —П), O)]dgdr]. (5) Для случая локально изотропных флуктуаций е

厶售 一 ％ а 隽 + ⑴，0) = А (& — % — а (& + П). 0)=

=a (y也一"产+出售+疗),

De (I — ", а (E — Л)» 0)=刀《 (Е — П，— a (己一Л)＞。)=

=区(*三用一1)

и (5) принимает вид

X к

＜№-国产)二 炉"\I {2(¥(自-"产+炉售+增))-

4cos胃 5?

一Z\ (仰而I S-nl)}區М・(6)

Будем считать уголл|)малкм, т・ е. @У 1, и рааложим величину Де (/1 + а2 I & — Т1» в ряд по а:]

Dt (}/1 + а21| — п I) = A(|LT1| + •^•|LE + …)=

=瓦(I & — n D + * I I 瓦(I & — n I)十• • •

Подставляя это разложение в (6), получим

《Si -邑产〉=《Si -邑产〉=4 cos24 cos21rsm（1（g一"产+炉售+"产）- 2 *。1rsm（1（g一"产+炉售+"产）- 2 *。-D^^-^d^dxs-i-D^^-^d^dxs-i8 cos28 cos2屮 $$1&-n1^(1£-ni) dl dn + ...2 ®°屮 $$1&-n1^(1£-ni) dl dn + ...2 ®°

《Si -邑产〉=

《Si -邑产〉=

4 cos2

4 cos2

1rsm（1（g一"产+炉售+"产）- 2 *。

1rsm（1（g一"产+炉售+"产）- 2 *。

-D^^-^d^dxs-i

-D^^-^d^dxs-i

8 cos2

8 cos2

屮 $$1&-n1^(1£-ni) dl dn + ...

2 ®°

屮 $$1&-n1^(1£-ni) dl dn + ...

2 ®°

⑺

Второй интеграл в (7) является четной функцией (g — т]), и его можно преобразовать по формуле (7・40) в однократный инте-

грал. В первом интеграле введем новые переменные интегрирования “ =Е — П, u = g (Е + п), т・ е.

.,11 Р (5, п) «

Е = ° + е“，^v--u,=1.

Так как подынтегральное выражение в (7) является четной функцией и, интегрирование по этой переменной можно распрсь странить лишь на область и〉0, введя дополнительный множитель 2. Тогда

22”

«& -邑户〉=% {\ dv ( du 0(y 炉+ 4仆6)- 4 ®]+

2 cos2 *2" о о

X 3(a—d)

оо+ \ du，du I" 了炉 44a2”) — Pe (u)]| +

о

о

V

+ -4+ -4a2/a2/强工一e)0；(日晚+…(8)О强工一e)0；(日晚+…(8)О

+ -

4

+ -

4

a2/

a2/

强工一e)0；(日晚+…(8)

О

强工一e)0；(日晚+…(8)

О

Заметим теперь, что интегрирование по и в первом интеграле можно распространить до бесконечности, так как при и〉2и разность “ (了冰 + 4а2ра) — Dr (и) имеет порядок малости аа:

D*(了炉十 4淤№) — Z\(u) = D® (u j/^ 1 + ^^-^ — Dt(u)=

=2(《1 + -^- + …))—A(u)=

=^^ 瓦(")+ … ＜爲五(u) + ...,

и интеграл от нее в пределах по и от 2р до ос сходится.

То же самое можно сделать и во втором интеграле. Тогда приближенно имеем

X 8

《邑一邑户〉W dv \ [4(У炉 + 4a纷)一4他)]du +

2 co吟 & о

"2舉"2舉4 cos!等4 cos!等卜3T)瓦售)臂+…卜3T)瓦售)臂+…(9)(9)

"2舉

"2舉

4 cos!等

4 cos!等

卜3T)瓦售)臂+…

卜3T)瓦售)臂+…

(9)

(9)

Внутренний интеграл в первом слагаемом в (9) связан со структурной функцией фазы в плоской волне Ds (р). Действительно, умножая формулу (19.40) на 胪,имеем (в случае изотропных флуктуаций)

Г 2% (р)依 2D4 (р)

依、［A(K^T^) — 43)］d“= °：=~^・《°)

О

Полагая здесь р = 2аи, получим

〈(Sj. — S^ 产〉=

= J \/(2如)九+"" .《(?一£)0:售)源+.. . (11)

X cosa ~2~ о& cos2 q

Положим в первом интеграле у — рх. Величина 2ах = b — расстояние между точками наблюдения. Заменяя cos ^ на 1, получаем

〈(Sj. — SJ〉=

=$i s(bp)dp+ ^Т_Ц(а;-^)П；(^)^ +(12)

о4 cos® "2* о

Теперь произведем оценку входящих сюда выражений и выясним, при каких условиях в (12) мон(ао оставлять лишь первое слагаемое. Пусть Dv (?)=舊叱 Тогда согласно формуле (23.40)

ОО

Ds (р)=宇 R ［С (F + р")財з 一 隽2］嘴=等 Cp^N, .0

где

" = 5 id+庐)m! +拱］山о

и

§ Ds (bp) dp = ^ CNkax \ (bp)zi dp =粤胪动…“；? •

Для второго интеграла в (12) имеем

XX

Y(* — Е)瓦⑴谨=Ср \3 — Е)Е"嘴=С" @4訖工 1)• оо

Отношение второго слагаемого в (12) к первому поэтому равно (считаем cosay в знаменателе равным 1)

Но ^ =芸，так что 6 ~ af Следовательно, в случае 卩 < 1 (например,卩 = |~) 6 = 0 (а1-^) и вторым слагаемым в (12) можно пренебрегать. В этом случае мы получаем общую формулу, связывающую средний квадрат флуктуаций разности фаз на базе Ъ для сферической и плоской волн

^-S^y^^Dsibp) dp.(13)

Так как 0《/)$ (Ьр)《厶(6), то флуктуации разности фаз сферической волны всегда меньше, чем для плоской волны, прошедшей то же расстояние, что ясно и из наглядных представлений.

Формулу (13) можно записать также в виде

31一凡)鰭=开49)如(W)

о

который легко обобщается на случай, когда не вся среда между ксточником и точками наблюдения является неоднородной. Если расстояние между лучами на одном конце трассы равно 瓦，а на другом — b* то формула (13а) принимает вид

ь>

31 -邑冷=5~ьГ j Ds (р) dp.(136)

УхУ^Т1 + ^eiК’ 仇 叫朱УхУ^Т1 + ^eiК’ 仇 叫朱(16)(16)

УхУ^Т1 + ^eiК’ 仇 叫朱

УхУ^Т1 + ^eiК’ 仇 叫朱

(16)

(16)

254 РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ [ГЛ. Э функции под знаком интеграла по абсолютной величине:

〈(S1 — 6в)” = 2；玩 § % (I р I) dp.(13в)

—bi

Формулы (13а — в) мы применим в следующем параграфе для вычисления угловой корреляции разностей фаз в двух пучках плоских волн, распространяющихся под углом друг к другу.

Имея выражение (13) для <(^! —5а)2Сф>, по формулам предыдущего параграфа можно найти выражения для корреляционных функций флуктуаций направления распространения.

Перейдем к вычислению флуктуаций амплитуды волны. Для этого снова воспользуемся формулой

gradx grad 8 + ^ Аб = 0(14)

(X = 1пЛ), связывающей амплитуды и фазу (вернее, эйконал) волны. Поместим начало сферической системы координат (г, В, ф) в точку расположения источника волн. Тогда 0 будет выражаться формулой

г

е(г,仇屮)=г + 芬е(р, е, q>)dp.(15)

о

Воспользовавшись формулами, определяющими grad 0 в сферических координатах, получим

у%уе = (【+ 41(г，仇哂)祭 + (у 破)* j 需 &р + о

+(V加方為i器dp. О

В отличие от плоской, в случае сферической волны % убывает с расстоянием как 1" за счет расхождения волны, так что О*/" включает в себя неслучайную компоненту. Полагая в (16) % = =〈％〉+ %'丑 пренебрегая членом второго порядка по е19 получим

У亦8。挙+扌挈 е(Г,也叫+察， (17)

так что (14) принимает вид

^ + 4?- + тЧгеНг»^ Ф)+ 4д<е> + ^-де, = о. (18)

Но из (15) мы получаем

«〉= г, А«〉= $*(гЗ) = 3

Усредняя (18), получаем

~^ = —у А <6> =一 ；.(19)

Вычитая (19) из (18), получаем уравнение для %，

峯 + 計

или, заменяя /, согласно равенству

Е(г,我哂= 2^^1,(20)

следующему из (15), получаем окончательно

理2 +虬a0—寥］=。■⑷

В сферических координатах

a& =某+ ^需+ £ Q (也9田,(22)

где

Q("，*₽)=為得(sin©蜀+為奈］.(23)

Следовательно,

^(7丁'明+ ^ ［黎■十营Q (仇哂0' 66，哂］=0・(24)

Проинтегрировав зто уравнение по г от 0 до Я, получим, считая %' (О, О, ф) = 0,竺 ”?'叫=0:

父(凡也 (f) = _ ^ 严空:,① + , %Q (生中)8, (г,也 T) rfr] • (25)О

Первым слагаемым в (25) можно пренебречь, подобно тому как зто было сделано для случая плоской волны. Подставляя в (25)

& (Г,也 <р) = ^ \ q (р, 9, Ф) dp,О

получим

R г

忆(凡 9, <р) = — ^\ ^ ,dpQ (9, <p) 61 (р, 9, <р).(26)

О о

Изменим порядок интегрирования и выполним интегрирование по г. В результате получим

%' (R, 9, <р) = — ^\ р(1 —方)靑 Q (6, ср) si (р, 9, <р) dp. (27)

Но, как видно ив (22), (23), ^ Q — Д^ — поперечная часть оператора Лапласа. Следовательно,

%‘(凡我屮)=-甘先("一p)a丄81(p，館屮)"p.(28)

Формула (28) отличается от соответствующей формулы для плоской волны дополнительнъш множителем р/Л под знаком интеграла, В случае, если неоднородности е присутствуют только при значениях р ^ Л, множитель р/7? н 1 н (28) переходит в соответствующее выражение для плоской волны. Из (28) видно, что так как множитель р//? < 3 то флуктуации амплитуды сферической волны меньше флуктуаций амплитуды плоской волны, прошедшей то же расстояние.

Найдем средний квадрат флуктуацций амплитуды сферической волны. Из (28) имеем

〈(%‘(凡也哂)幻=石^T , \ p1p^ (r - p1)(五一闻 X

0 0

X〈A丄电(рл,也Ф) A丄/(pz,仇鹤dpi dpa = RR

=—32^2 \ § PA (K — Pi) (R — 02)AjA(Pi — P2, 0, 0) dpi dp* (29) о 0

(Мм снова воспользовались соотношением Д^5е = —у А^е. ^ Введем новые переменные интегрирования

Pi — Ра = 3 у(Pi + Ра) = Л*

Тогда, воспользовавшись четностью подынтегрального выражения по I，получим

X j(Y一早)[便一*一冬]m (30)

Характерным масштабом функции А ；°е является величина /0 (см. предыдущий параграф). Величина т) в (30) порядка Я. Поэтому в (30) можно пренебречь Е по сравнению с », что дает

(»* —*)[(R—П尸一早]dr] q§ 1f 便 — n)2dli =薔.

0

(Сравните с аналогичным расчетом для плоской волны.) Следовательно,

№%〉= 一 需卜皿 & 0, 0) dE а 一 鄙 Aid (E，0, 0) rf|. (31) Q0

Сравнивая (31) с формулой (51а.40), получаем простое соотношение

《心幻=击《%北〉，(32)

справедливое при любой корреляционной функции (см. также раздел Б, § 49).

Рассмотрим выражение

〈Х'(К，%，屮1)Х‘(凡屯，ф2)> =誌г\ \ P1P・Z(R — Pl) (R —₽2)X О О

X〈 А丄£1 (pl,仆卜吶)厶丄4 (p2,也，屮2)〉dpi dps・ (33)

В случае, если углы^ —令含，фг —(р2 малы, операторы А丄,действующие по различным направлениям, отличаются друг от друга на величину второго порядка по малому углу, и этой разницей можно пренебречь. Тогда приближенно

(A±ei (Рь 齿，Ф1) А丄厶(f>2, ®2, Ф2)> Q

~ — ^~ Д±£^е (ръ р》；必，齿；Ф1» фг)'

В случае локально изотропных флуктуаций РЕ зависит лишь от расстояния

Г = У pj — 2PLp2 COS 屮十 P：，

где

COStj) = COS^1 COS^2 + sin ®1 sin 仆3 cos (屮1 —屮2)

“寸—угол между направленяями из центра на точки наблюдения, которым мы будем считать малым.

Положим снова ^ = Pi — р2, " = ^(Pi + Р»・ В этом случае

г = jX|2cosa -у + 4r)2 sin2 ~ 勺 jX£2 + 4т]2 sin2 今•

Область интегрирования ограничена прямыми Н = ± ~|~ £

П=/?土 — 三・ Так как после перехода к переменным Т),己 подынтегральное выражепие в (33) четно по g, интегрирование по 己 можно

распространить на область 己 > 0, удвоив этот интеграл. Тогда

手 2R

北R—⑴dn , d|(n2-^)x 0北R—⑴dn , d|(n2-^)x 08g =-鳥a dМ雄w-易[便—俨一蜀x о о

北R—⑴

dn , d|(n2-^)x 0

北R—⑴

dn , d|(n2-^)x 0

X A1& ( /f + 4d sin?手)+ \

X ［便一疗一兄 ^Dz （）/守十4佇吟）卜（弘）

Как и при выводе формулы для < (Xz)c$> i в (34) можпо приближенно считать

(Y _ F) [(к 一切2 -早卜пЗ便-疗.

Тогда

<хХ> р —読■{，п2 (к 一 旷曲 X

0

2力

X \d払72()A2+4rf sin唱)+

+ 、叭к一з纭」『侬m(/iЙДЙ^й^)}. (35)

Воспользуемся теперь формулой (51.40) для корреляционной функции амплитудных флуктуаций для плоской волны

ОО

Вх(У，2)= —翥\ ^D^,y,^ dg,о

которая в случае изотропных флуктуаций может быть записана в виде

е . (6)

\ Л1Ре (/FT^ 囈=——^~ •(36)

Интегрирование по ^ в (35) может быть распространено на пределы (0, оо), так как функция AjQ быстро убывает при 匕扌 "•

9*

Поэтому (35) принимает вид

©%〉=爲 \ d(А — В" &(2Л sin 手)d% (37) О

Положим Ь = 27? sin ^ (& — расстояние между точками наблюдения) и введем новую переменную интегрирования р =常・ Тогда (37) принимает вид

<Х；Х；>сф = 3 § рЗ (I — р)а Вх (") dp・ (38) О

Формула (38) связывает корреляционную функцию логарифма амплитуды сферической волны с корреляционной функцией для плоской волны, прошедшей то же расстояние в неоднородной <;реде [95]. Положив в (38) Ь = 0, мы получим после интегрирования формулу (32),

Множитель г)%/? — т])2 в (37) дает относительный вес различных участков вдоль луча в эффекте возникновения флуктуаций. Как известно, линза, помещенная непосредственно вблизи источника света или вблизи точки наблюдения, не меняет интенсивности света. Поэтому множитель т]а(Я — г))а и обращается в нуль в этих точках.

Этим же эффектом объясняется относительная малость флуктуаций сфервнеской волны по сравнению с плоской ——неоднородности, непосредственно примыкающие к источнику, не вызывают флуктуаций интенсивности волны.

Следует отметить, что между формулами (13) и (38), связывающими флуктуации фазы и амплитуды сферической и плоской волн, имеется существенное различие. Если мы рассмотрим две плоские волны, расходящиеся под углом ф, и произведем для них расчет флуктуаций разности фаз, то результат будет совпадать с формулой (13). В то же время для амплитудных флуктуаций в этом случае будет получен результат, отличный от (38) (см. гл. 4).

§ 42. Флуктуации амплитуды и фазы волны, распространяющейся в локально изотропной турбулентной среде

Настоящий параграф посвящен вычислению аиплитудных и фазовых флуктуаций для плоской и сферической волн, распространяющихся в локально изотропной турбулентной среде. Как было установлено выше, в приближении геометрической оптики

все характеристики флуктуаций амплитуды и угла прихода могут быть вычислены, если известна структурная функция для фазы плоской волны.

Воспользуемся формулой (22.40) для структурной функции эйконала (расстояние, проходимое волной в неоднородной среде мы обозначаем буквой Е вместо 办

ОО

5(Р)= 2炉4 [1—Jo («р)] Фе (x)xdx.(1)

о

Для функции фе (х) мы используем аппроксимацию, даваемую формулой (9.16)：

Ф, (н) = 0,033С：х」％ ехрФ, (н) = 0,033С：х」％ ехр(2)(2)

Ф, (н) = 0,033С：х」％ ехр

Ф, (н) = 0,033С：х」％ ехр

(2)

(2)

где хт связано с внутренним масштабом Хв пульсаций диэлектрической проницаемости соотношением *)

(3)(3)入鹃п = 5,92

(3)

(3)

и Хо является точкой пересечения асимптотических разложении DT (г) при малых и больших значениях г. Подставляя (2) в (1) и используя разложение

получим

8 (--叱『8 2n一]A (P) = -0,033 2曲仪乙 2\ к - з exp (_ 斗)к dx. (4)

n=lоm、

получимполучимСовершая замену переменных х2 =唸力

получим

получим

ср а一 u

卜 8 exp(-^-)xdx =

0"m

*) Напомним, что величины “ и Хо отличаются друг от друга лишь численным коэффициентом.*) Напомним, что величины “ и Хо отличаются друг от друга лишь численным коэффициентом.

*) Напомним, что величины “ и Хо отличаются друг от друга лишь численным коэффициентом.

*) Напомним, что величины “ и Хо отличаются друг от друга лишь численным коэффициентом.

И

8/5 \

а (p) = -0,033 ^C}L m(一 军y 鼠厶.(5)

Учитывая определение вырожденной гилергеометрической функции

F Y 亦 一 Г(Т)m F 5 + а) 一 /1 尸i(a, r, z) — r^j'n! г(“ + t)z ,

запишем (5) в виде

А(р) ― 0,033п2「(1~) C^Lx^/a [< — iFj (1~ ,1,^^]—

=2,2C%*/[怎_ 学)_ i].⑹

Исследуем поведение Qg (р) в области больших и малых р. При xmp ^> 1, т. е. р 発九°, используем асимптотическое разложение функции i/\ при больших отрицательных значениях аргумента:

工尸i（a, 丫，z）〜rj?a）（ z）,

откуда

и [96, 97].

A (p)弋 0, 73。：％% (p > 储).(7)

Асимптотику функции Dg (р) при малых р ыожно получить взяв первые два члена ряда для ^:

怎(一也1,-竽)=i+v字+…

Подставляя, кроме того, xm = 5,92/九°, получим

Z>e(p)Q0,82C：ZA；/“2 9У 歸).(8)

Перейдем к вычислению корреляционных функций флуктуаций угла прихода.

Поперечная корреляционная функция угла прихода В^ (р) связана с 4 (р) соотношением (38.40)

п 、1 “(р)仆

Вв (Р) = -й- -г- •(9)

4 Р

Подставляя сюда (6) и используя формулу

■^ #1 (а, Т，z)=年1尸1(仪 + 1, 丫 + 1，z), получим

Br (р) = 0,46CeLXm 1^1 (* , 2, ；.(10)

Полагая р = 0, найдем средний квадрат флуктуаций угла прихода

〈1〉= 0,46e 辽 4； = 0,82尊以卡.(И)

Разделив (10) на (11), получим нормированную поперечную корреляционную функцию флуктуации угла прихода

% (р) = 1^1 (+ , 2,聆卜(")

Аргументом 6§ (р) является безразмерная величина 吟р鱼/4, откуда следует, что радиус корреляции флуктуаций угла прихода имеет порядок 乂^~九0, т. е. порядок внутреннего масштаба турбулентности.

Для продольной автокорреляционной функции флуктуаций угла прихода имеем (35.40):

瓦(Р)=а(р)・

Производя дифференцирование, получим

(р)= 0,46С“к^ 1% (^ , 2,—军)一

-第% (善,3，一享)]•(⑶

Полагая здесь р = 0, получим естественное равенство 〈启〉= =<Р3>, а для нормированной продольной корреляционной функции получаем

仇(p)= 1%(等,2, 一乎)一要 1% (千，3, _竽卜(14)

Масштабом корреляции для а также служит величина Хо. Функ- ции (12) и (14) изображены на рис. 41 и рис. 42.

Из формул (10) и (13) следует, что и величина, и радиус корреляции флуктуаций угла прихода определяется внутренним

〃 W 20 30 40 50 60 70 80 %次

Рис. 41. Корреляционная функция Ъа флуктуаций угла прихода в плоскости» содержащей оба луча (см* рис. 39)t в приблюкении геометрической оптики.

〃10203040506070 %悶月

Рис. 42. Корреляционная функция 6r флуктуацийугла прихода в плоскостях, перпендикулярных пло-скости, содержащей оба луча (см. рис. 39), в при-ближении геометрич^кой оптики.

маспггабом турбулентности Хв/Однакот если угол прихода волны измеряется антенной (объективом) с характерным размером d, то в результате усреднения по поверхности объектива роль мелко-

масштабных неоднородностей будет подавлена и величина флуктуаций будет определяться размером d (см. ниже).

Рассмотрим корреляционную функцию флуктуаций амплитуды.

Она связана с функцией Q@ (р) соотношением (57.40)

& （p）=-备a；5（p）=一当十备｛p备号备（Р ■^■力•

Подставляя выражение (6) и производя дифференцирование, получим формулу

&(р) = 0,012б№х^&(р) = 0,012б№х^з, _з, _

&(р) = 0,012б№х^

&(р) = 0,012б№х^

з, _

з, _

Полагая здесь р = 0, получим

<х2) - О,О126С^3Х^ = 0,80С^3Хо7\

及(р) -/(I 3,—.割-亲 к 紹R 偿,4, 一 字)+

+ П§24 ^^ 停'5,—手)•(16)

Последовательно применяя формулу

/%(а, 丫，z) = (丫一i)h%(a,7 — I, z) —i%(a —I, 丁―1, z)], а затем формулу

i^i (a? Т» %) ~ :二;1 尸1 似一1, T, %) + ^7—； 1冃(仪 一 1, T — i, z), можно привести выражение для 6Х (р) к виду

&х(р)=】М¥，1'-享｝ В)

Из выражений (16) следует, что средний квадрат флуктуаций логарифма амплитуды увеличивается с уменьшением внутреннего масштаба турбулентности 入『 Из (17) следует также, что радиус корреляции флуктуаций амплитуды в приближении геометрической оптики совпадает с внутренним масштабом турбулентности.

ооРис. 43. Корреляционная функция флуктуаций логарифма амплитуды в приближении геометрической оптики.Рис. 43. Корреляционная функция флуктуаций логарифма амплитуды в приближении геометрической оптики.

о

о

Рис. 43. Корреляционная функция флуктуаций логарифма амплитуды в приближении геометрической оптики.

Рис. 43. Корреляционная функция флуктуаций логарифма амплитуды в приближении геометрической оптики.

Функция (17) изображена на рис. 43- При больших значениях аргумента

氏（p）w

Найдем теперь характеристики флуктуаций сферической волны. Структурная функция флуктуации эйконала сферической волегы О。储巾(р) связана со структурной функцией эйконала плоской волны 0® (р) соотношением (13.41)

〃％ сЗ(Р)=，De(pt)dt・ (18)

Мы но будем подставлять сюда выражение (6) в общем виде, а исследуем отдельно случаи ру 久о и р》>М・ В первом случае согласно (8)

А(Р)= 0,82悪以卡р2, так что

刀9,蚀（р）=方 R）（р） ЗУ 入力（19）

Если, пользуясь этим выражением, вычислить средний квадрат флуктуаций угла прихода сферической волны, то мы получим простую формулу

〈鏡Ф〉= W(20)

Для случая р 导九° в интеграле (18) область малых р/<^ Ао мало существенна и можно исиользовать формулу (7), В этом случае

以 Сф (Р) = 4" А(Р)二 °，27理％% (Р>4- (21)

Таким образом, структурные функции флуктуаций фазы сферической волны отличаются от соответствующих функций для плоской волны лишь численными коэффициентами, которые связаны с эффективной «средней» базой вдоль трассы.

Что касается амплитудных флуктуаций, то, как уже было отмечено выше, средний квадрат флуктуаций логарифма амплитуды сферической волны в 10 раз мсяыпе соответствующих флуктуаций в плоской волне.

Рис. 44. Расположение лучей при вычислении флуктуаций разности фаз для плоских волн, распространяющихся под углом друг к другу.Рис. 44. Расположение лучей при вычислении флуктуаций разности фаз для плоских волн, распространяющихся под углом друг к другу.В заключение настоящего параграфа рассчитаем коэффициент корреляции флуктуаций разности фаз в двух плоских волнах, распространяющихся под углом 丫 друг к другу. Эта задача понадобится нам в дальнейшем при интерпретации явления «дрожания» изображений звезд в телескопах.

Рис. 44. Расположение лучей при вычислении флуктуаций разности фаз для плоских волн, распространяющихся под углом друг к другу.

Рис. 44. Расположение лучей при вычислении флуктуаций разности фаз для плоских волн, распространяющихся под углом друг к другу.

Пусть две плоские волны (рис. 44), распространяющиеся под углом т друг к другу, наблюдаются в точках 4 и В. Разность случайных набегов фаз для одной из них равна (S】——S?), для другой —равна ($з — SJ. Здесь индексами отмечены соответствующие рис. 44 лучи. Подсчитаем величину

〈(Si —邑)(S3 — S《)〉= =4 K(&-SJ〉+ <№-53)2>-

—〈(邑一5з)"〉一〈($2 — S&)2〉］・

Для отдельных входящих в это

выражение слагаемых можно применить выведенные в предыдущем параграфе формулы (13а — в), в которые можно подставить выражение

&(Р)= 0,73 以胪％”(22)

для структурной функции фазы плоской волны, получающееся из (7) умножением па %：・ При вычислении следует различать два случая. Если выполняется соотношение -^ ^2 (2) ^ Т и ЛУЧИ 2, 3 не пересекаются, мы должны подсчитывать член〈(S2 一 53)2) по формуле (136). В противоположном случае расчет этого члена ведется по формуле (13в).

Вычисления проводятся элементарно, в результате мы получаем следующее выражение для коэффициента корреляции (нормированное на единицу при у = 0)；

&AS（T）尸

3 (I+н)% —(1 —н)% —2х%2L lS Т ..

16\прн,二 6<4,

1т(23)

爲&J■咗+(:—)%* при 工=彗三 >t

§ 43・ Границы применимости первого приближения геометрической оптики

Метод геометрической оптики в той форме, в какой он был применен выше, включает в себя два различных разложения. Первое из них проводится по параметру А*1, т. е. фактически по отношению 入/X。, где 入° — внутренний масштаб турбулентности. В результате этого разложения было получено уравнение эйконала и уравнение, связывающее амплитуду и фазу волны. Для случая, когда рассматривается распространение волн в слоисто-неоднородной среде, уравнение эйконала может быть решено точно. В этом случае границы применимости метода геометрической оптики определяются следующими членами разложения по 入/%. Однако в случае распространения волн в среде со случайными неоднородностями само уравнение эйконала решается приближенно, путем разложения по малому параметру 勿=е —〈» В этом случае границы применимости метода будут ограничиваться также нелинейными эффектами, связанными с членами порядка £；・ Рассматривая вопрос о границах применимости всего метода в целом, следует сначала рассмотреть вторую часть задачи.

В § 39 получено разложение функции 0 (>) в ряд по величине V = V\eJ>：

Комбинируя формулы (19.39), (21.39), запишем выражение для 0 с точностью до членов порядка 或：

0 (力)=0 (依 + 6а(5)) — 6義(s) V0 (Zo$ + 6k (s))—

S8

оооо=л 4- -|- ^ ex (losf)dsf + -у ^ йх (sx) vbi (Zqs') dsr — йж (s) 6Z (s) + • • •

о

о

о

о

⑴

Подставляя выражения (12.39) и (13,39), после простых преобразований можно привести (1) к виду

0 (?о^) = s +, 4 (%№)ds‘\ 盛'\ ds" X

оо о

X (s — s') [V/(2qS‘) Ve] &s") — (土屮电(Z#)) «屮班(%0^*))] Ч~ • * •(2)

Найдем среднее значение поправки к 0, возникающей из-за нелинейных эффектов

о-(2qVe：l ("s'))(友y电"開")))ds".(3)о-(2qVe：l ("s'))(友y电"開")))ds".(3)(ЙО (Zo^)> =^\(s — sf)dsf ^ <Vei (Zoyz) Vex (lnSa) 一

о

-(2qVe：l ("s'))(友y电"開")))ds".(3)

о

-(2qVe：l ("s'))(友y电"開")))ds".(3)

Вычислим входящее под знак интеграла среднее значение. Дифференцируя формулу

Ве (Г1 — г2) = <ех (Г1) S (г2)>, получим

产 С) gg^\=—吧迴(4)

\时 a吸/%能」⑴

где р = / ——r2, p=皆i,己2, Ы* В случае локально изотропной турбулентности Ве (р) = Ве (р) и

饗 Fp)M粽=瓦(睜+曾附一&).(5)

Следовательно,

〈▽玩(修‘)Vs| (ZqS”)一 (ZeV^i ("о®'))(石У/ (ZqS*))〉=

=-(%一恥)為^.(6)

В нашем случае р = "s' — %С =露(s' — s"), p = s' — s", p / p = Zo И li / p = й- Поэтому

〈у£W玩一匾У旳)隔y玩)〉0

=-(6请一^息)Be (p) ii^fc 4--(^ife — Z/) =^-.⑺

(Испэльзовано равевствэ 6仃=3.) Дифференцируя равенство А (р) = 2瓦(0) — 2ВС (р), полутам —2瓦(р) = Q； (р), так что (7) принимает вид

〈氾氾一&Ve；) (ZWe；)〉=粤=丝二，.(8)

Подставляя (8) в (3), получим

<60(%s)〉= _}\(S_s') ds'^ •ds". (9)

0V

Произведем замену переменных, положив s" = s'——р. После этого изменим порядок интегрирования по ^ и р и выполним интегрирование по s'・ В результате получим формулу

〈66(%)〉= -^^^^五(Р) dp.(10)

Функция Q； (р)/р имеет резкий максимум вблизи точки р = 0 (если А (р) = то "式° —> ос при р — 0, но при учете вли- Р

яния вязкости и теплопроводности этот предел становит' ся конечным). Поэтому освоввое значение в (10) имеет об* ласть малых р и можно положить (s — р)2 = s®, а предел интегрирования распространить до бесконечности. Тогда получиы

歩岂(р)(电П一手、(И)

о

Сравнивая это выражение с формулой (32.40) для среднего квадрата флуктуаций угла прихода (мы обозначим дистанцию через L вместо х)

получим соотношение

(12)(12)(б0> =—七〈公〉=—LoZ (£).

(12)

(12)

(13)(13)Найдем теиерь условие, при котором можво пренебрегать поправкой <б0>. Эту величину следует сравнивать с характерным значением флуктуаций разности оптических путей на расстояниях порядка радиуса корреляции флуктуаций угла прихода волны (на таких расстояниях фронт волны поворачивается как целое). Соответствующее звачение разности оптических путей равво Ад. Следовательно, условие, лри котором можно пренебрегать нелинейной поправкой к 0, имеет вид Lo^y 入。《仮 или

(13)

(13)

Условие (13) можно также записать в инои форме. Подставляя в (13)

d == 0,82a以” получим

后=0,82CU%%y l

Величина С117)^/л пропорциональна среднему квадрату флуктуаций амплитуды волн耳.Следовательно, условие (13) можно также записать в виде

(伍)(伍)<Хг><С1,

(伍)

(伍)

т, е. флуктуации амплитуды должны быть малыми. Необходимо рассмотреть еще одно условие применимости, связанное с тем, что при выводе формулы (19.39) для 0 было использовано разложение величины % в ряд Тейлора

%(3 + Ms (s))=玩(％s) + 严1。開)6義(s) + …

Ясно, что такое разложение законно лишь в том случае, если величина 6х мала по сравнению с внутренним масштабом турбу- лептности, так как лишь при 位炉| у 入^ приращения % линейны по дх- Поэтому помимо (14) необходимо требовать выполнения условия〈6宓2〉《入^・ Найдем величину <6宓？〉• Используя выражение (13.39), получим

<&»2> h ｝代(s — S，) (s -s") Sa (3) Ys (3)-

—(ZqVeJ (2卩取)〉dsrdsn, (15) Подставляя (8), получим

4 3 jQ： (s' — s")

<6x2> 工 + \ ds[ db (s — S?(£ — О•(16)

о о

Произведем замену переменных s' — s〃 = p, s — s' = |:

8心〉「匸+居雄 ' 化 + p)Tdp.(17)

0-=

В интеграле (17)» как и в (10), существенна лишь область малых р, поэтому можпо заменить g + р на 自，а иптегрирование по р распространить от минус до плюс бесконечности, В результате получим формулу

刃Г瓦(р)

〈6a2〉= *\T即，(18)

о

где учтена четность функции 2)； (р)/р. Выражая входящий в (18) интеграл через о^ (L), найдем, заменяя s на А,

〈6x2〉=整 Ed (A).(19)

Условие малости〈6炉〉《绢 принимает вид

что после подстановки а® снова приводит к условию (14). То обстоятельство, что условие〈бэс含〉у 證 совпадает с условием(^3> у 1, легко объяснить при помощи простых рассуждений. Действительно, флуктуации амплитуды вызываются изменением сечения лучевой трубки, и в тех местах, где это измспепие велико, одновременно велики как(6аса>, так и〈乳纟〉.

Условие (Х2> <^ 1 появилось в результате приближенного решения уравпепия эйконала. В тех случаях, когда это уравнение решается точно (например, для слоистых сред), условие (14) не является необходимым.

Перейдем теперь к нахождению условий, при которых можно не учитывать высших приближений геометрической оптики )• Волновое поле Y (г) мы искали в виде ряда

丫⑺=[尸О ++吊十%芻4]exp (i砌，

причем ограничились определением величин 9 и /%. Уравнение для 尸 1 имеет вид (см. (7.38))

27^76 + %А6 =込及.(20)

Подставим в (20) найденные выше выражения для Q, Ро = А и V0 — nl —(4 +£，(%о 十"十•…)=%о 十(~^~ ?oei "Г 6Z)4" '' •

Для плоской волны

Д0 = div (-矛 ％o®i 十 6%)十 * * •

Для X = In (4/0 мы имеем выражение (46.40), в котором, как было установлено, можно оставить лишь интегральный член:

% (瑞 у, z) = — -^(ж— Е) А丄电 & у, z)晞(21)

О

Диффер енцир у я формулу А = Aoexp(X), получим

А4 =人 exp (%) [А% + (V%)2].

Поскольку мы будем считать условие (14) выполненным, можно считать 川 у 1. В этом случае А4 ~ А0ДХ. Д иффер енцир у я (21), получим

△ХЗ, у, z)=—母，(工一自)A"i(E,沙，z)d^ —； A丄q (工，?/, z).

В этом выражении также можно оставить лишь интегральный член; тогда для ДЛ получим

А4 3, у, z) а — 令，(н — Е)年1 (Е, у, z)港. (22)

О

Мы имеем теперь все выражения, которые следует подставить в уравнение (20). Так как правая часть (20) линейна по 6111VB включает в себя член Zo, то ясно, что 尸工 также содержит линейное по £工 слагаемое. Если ограничиться лишь этим членом в выражении для F15 то можно положить Уб = %о и А0 = 0, так как учет остальных членов уравнения (20) приведет к членам более высокого порядка малости по £工 в ^. Таким образом, уравнение (20) принимает вид

2若=-牛5a一Е) &1储仏z)我， (23)

где учтено, что 办=仕，0, 0}.

Интегрируя уравнение (23) с начальным условием^ (0, у, z) = =0, получим

Р1(£, У, z) = — ^ \d" \(" — Е)А]/ (Е，仇 z) dg. (24) о о

Изменим порядок интегрирования, после чего выполним интегрирование ПО £‘：

吊 3, у，z)=—岑，3 — Е)2 Ai S(E，У，z) dj. (25) о

Наддем величину Q (ж, % z) =〈 | 尸工(瑞 у, %)『〉：

Q (厶弘z)-

=(佘)」,(厶一 &尸(^-b)a<A±ei(li, У，z)A14(E2, у, z)〉d8dE2. (26) 0 0

Для случая однородной турбулентности имеет место формула

S，£l(K, у】，厶)Aj^ei 代2,外，Z2)〉=

a Aj_Be & 一鼠，力—y2, Zi -廟=

=》AjOg (& - Ez,也一g2, Zi - Z2)*(27)

Подставляя (27) в (26), получим

Q (£，仇 z)=

=—~Г 侏丫 “ d — E1)2 d - Ь)2 A1A & — 8, 0,0)喝喘•(28) О о

Произведем замену переменных £ ——|а = |, £ + 己含=2%. Так как функция AjA & 0, 0) быстро убывает, то интегрирование по ^ можно распространить па пределы (— оо, + оо). Тогда

Q (厶 у, z)= ооL

=:戈拿)\ А1430, O)d&\(L - 花 - y) (^ - a + "I") da. (29)

Так как в интеграле по 匕 существенна лишь область | g | W 九°, во внутреннем интеграле можно пренебречь величиной 自 по сравнению с L ——ж. Выполняя интегрирование по ж, получим

8

Q d，у, Z)=—房備)7 А® (Е, 0, 0)^.(30)

-ОО

Выразим величину (?через спектр флуктуаций. Дифференцируя формулу

a е, у, Z)= 2 ® [1 — е*』"хмм)] a 3,融，融)d3H

по у, z, получим

00

心4 & y，Z) = - 2 §,解+嘲4产""研3r的,也,则)d3x.

Полагая здесь у = 2 = 0 и интегрируя по £ получим

-j Af4 & 0, 0)港=_ 2廊Фе(X!,出,х3)储+喝尸畋£…臂= со—CO—OQ

=一仇，\①E 3l X2, 乂3)(爾 + 点46 31) d央=

(X2 + 乂:У* Фе (0,融，x3)d乂2 d汨

§ 43]ПРИМЕНИМОСТЬ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ оптики275

Для случая локально изотропной турбулентности, когда

Фе (0, 乂 2, 乂 3)= Фе ( УхГ+Хз) = Фе(X),

в последнем интеграле можно ввести полярные координаты и выполнить интегрирование по угловой переменной:

\ А$〃е 位,0, 0)戏=—8лг \ х9Фе (х) dn.

-ООI)

Следовательно, (30) принимает вид

(31)(31)Q (Л, у, z)=亨(筒 j х»Фе(х) dx.

(31)

(31)

Подставим в (31) Q (乂)= 0,033e；『% eкР (-炉/乂幻.Выполняя интегрирование, получим для величины QAT'

靑"聲匍吧嘗他歌=

=3,4・10~М 必8c旣*炉=2,64»C%"”2. (32)

Чтобы получить границы применимости первого приближения Геометрической оптики, следует сравнить величину

QL с <(4 - Л0)2>ж 4 <Х2>

и потребовать малости их отношения. Используя формулу

<х2> = 0,80С 汾熠.，

получим необходимое условие в виде

2,6 却 5С»У〃0,8比"4亚3匕%2,6 却 5С»У〃0,8比"4亚3匕%(33)(33)

2,6 却 5С»У〃0,8比"4亚3匕%

2,6 却 5С»У〃0,8比"4亚3匕%

(33)

(33)

Таким образом, помимо условия <%2)《1, должно также выполняться условие (33), согласно которому радиус первой зоны Френеля не должен превышать внутреннего масштаба турбулентности %j 198, 99]. Следует отметить, что, так как величина Fx чисто

276 РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ [ГЛ. 3 мнимая, условие (33), по существу, обеспечивает отсутствие искажений в фазе волны за счет пренебрежения высшими приближениями разлоясепия

平=(瓦+-^/+…)exp (砌.

Флуктуации параметров звуковой волны

В заключение настоящего раздела мы рассмотрим флуктуации звуковых волн в приближении геометритгеской оптики. В разделе Б гл. 2 было получено уравнение (15.34) для безразмерного дав

ления акустической волны П =

AII +浴口= 一/ 依鬻）一善^^.信驟,AII +浴口= 一/ 依鬻）一善^^.信驟,⑴⑴

AII +浴口= 一/ 依鬻）一善^^.信驟,

AII +浴口= 一/ 依鬻）一善^^.信驟,

⑴

⑴

(2)(3)(4)(2)(3)(4)匕 a in иСо 切4匕 a in иСо 切4++（孙一十^（孙一十^+ 2岁霊=1・с。а%+ 2岁霊=1・с。а%(5).(5).

(2)

(3)

(4)

(2)

(3)

(4)

匕 a in и

Со 切4

匕 a in и

Со 切4

+

+

（孙一十^

（孙一十^

+ 2岁霊=1・с。а%

+ 2岁霊=1・с。а%

(5).

(5).

где Т' — флуктуации температуры, и — скорость ветра, а вместо <о подставлено Ас0. Разделим уравнение (1) на П и используем формулы, которые легко проверить непосредственным вычислением:

^5 = Д1пП + (71пП)2,土言依翡)=杀货(V In n)] + ^(71п п)2.^э^^^) ^^т^^—^^) + v^(v 卜口产 +

Положим в ⑵一⑷ kill = у 十 iA0, где % = InA и 0 — эйконал. Подставляя эти выражения в (1) и приравнивая нулю члены уравнения, стоящие с коэффициентом А2, получим уравнение

Так как уравнение (1) выводилось лишь с точностью до линейных по Г' и и членов, то (5) можно с той же точностью представить в виде

(唸=1—^-2蔡胃.(唸=1—^-2蔡胃.(6)(6)

(唸=1—^-2蔡胃.

(唸=1—^-2蔡胃.

(6)

(6)

При произвольных функциях 7’ (г) и 孤(г) уравнение (6) можно решать лишь приближенно, полагая

V0 =汽％ = (4 + Wj) (?о 十&十•••)= %()+ Wi^o + 6Z + • • •, где 耽 一 отклонение показателя преломления от единицы, 10 — касательный к лучу единичный вектор, | г0 | = 1, ；од^ = 0, Подставляя это разложение в (6) и сохраняя лишь линейные по 办卜 Tr и и члены, получим

=⑺

Таким образом, отклонение показателя преломления звука от единицы складывается из двух членов. Первый из них связан с флзгктуациеЁ местной скорости звука, второй — со «сносом» звуковой волны ветром. С учетом (7) уравнение (6) может быть представлено в виде обычного уравнения эйконала

(ve)£ =(1 + 吋纟=科(8)

Однако необходимо помнить, что при переходе от (5) к (8) несколько раз существенно использовалась малость параметра п工(для случая электромагнитных волн уравнение типа (8) было получено лишь при помощи разложения по i/k).

Если после подстановки (2)—(4) в (1) собрать группу членов при первой степени А, то ми получим уравнение, связывающее X и 0. Это уравнение содержит (V©)?. Если использовать для (V0)a формулу (6) и учесть лишь линейные по Т'/М 而伙/% члены, то это уравнение примет вид

2V 屮е + ^> + ^+2 传 ve)ve] =

= —div 俵 VO) —2^爲自釣.(9)

В правой части (9) стоит малая (линейно зависящая от 7‘，и) величина. Поэтому ясно, что VX также будет иметь порядок малости Т‘, п. Отсюда следует, что коэффициент при V% следует взять лишь в нулевом приближении, т, е. положить равным 2Z0. Тогда

2V心=2 警.(10)

В правой части (9) следует положить V0 = ?0 во втором и третьем слагаемых, где уже имеются малые множители Т'/Т。и и/с.

278РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ [ГЛ. 3

Тогда мы получим уравнение

2 ^= — ану仏 左)-22*(仔尉.(11)

В дальнейшем мм для простоты рассмотрим случай плоской падающей волны, когда ?0 = const, В этом случае

击V仏券)=话依)=-^(方)

И

где мв = /®и{ — проекция скорости на луч. Тогда (11) принимает вид

2^ = -А。—* 俟)-2 糸信)АО + 2". (12)

Интегрируя (12) вдоль луча, получим

2% = 2汽工一\ Аб ds.(13)

Но, как мы убедились выше, при расчете флуктуации амплитуды интегральный член в (13) значительно превосходит локальный член 也工,который может быть отброшен. В этом случае связь между амплитудой и эйконалом для звуковой волны выражается той же формулой, что и для электромагнитного поля.

Все расчеты флуктуаций амплитуды, фазы и других характеристик, проведенные выше, могут быть перенесены и на случай зву- ковкх волн, если заменить величину еп входящую в формулы для электромагнитного случая, на величину

Структурная функция величины 玩 может быть выражена через структурные функцииDT (/•) и D^ (г) полей Т и 优・ Если предположить некоррелированность полей Tf ни (она всегда имеет место в локально изотропном турбулентном потоке), то легко получить формулу

% ⑺=+ 阜 А (т).(15)

1 о %

В отличие от электромагнитного случая функция De (г) не является изотропной:; она зависит от взаимной ориентации векторов ?о и г.

В случае локально изотропной турбулентности для (г) справедливо выражение

少行⑺=%⑺6芍+ (Drr - %)几代(16)

где n = r/r Используя (16), найдем

z?¥% ⑺=Dtt + (% — Dtt) &т)2 = Dn Sin2(p + Drr cos2 (p, (17) гдеф —— угол между векторами ；0 и п> Таким образом,

% (т) =+ 言[% (г) sin2 ф + D„ (г) cos51 电.(18)

о %

Рассмотрим структурную функцию фазы плоской волны. Для нее было получено выражение в виде двойного интеграла по двум параллельным лучам, причем в подынтегральное выражение входили структурные функции е, аргументом которых был вектор г = П — Га» соединяющий две точки интегрирования на лучах* Мы рассматриваем случай, когда длина трассы L намного превосходит расстояние р между лучами. В этом случае в большей части области интегрирования угол ф очень мал. Условие sin2 ф -^ 1 может нарушаться лишь в небольшой части области интегрирования, которая вносит малый вклад в интеграл. Поэтому при расчетах флуктуаций звуковой волны в формуле (18) можно положить ф = 0, т. е. считать

% (г)40“(г)

&屮)* 罟+(19)

Функции DT (г) и Drr (г) имеют, вообще говоря, несколько различные внутренние масштабы, однако ввиду того, что число Прандтля для воздуха близко к единице, их с достаточной точностью можно считать равными. В этом случае все полученные выше формулы остаются без изменения *), если под С& понимать величину с}^ + ^^(20)

1 о %

280 РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ [ГЛ. 3 где С — численная постоянная, входящая в «закон 2/3» для продольной компоненты скорости,方 一 структурная характеристика, входящая в «закон 2/3» для температурного поля.

Б. МЕТОД ПЛАВНЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ

Рассмотренный в предыдущем разделе метод геометрической оптики приспособлен для решения задачи о распространении коротких волн. Его границы применимости определены условиями: 九 у %,炉厶2 y 爲，<х2><1, где X — длина волны, Хо—внутренний масштаб турбулентности, L—расстояние, проходимое волной в неоднородной среде, <%2> — средний квадрат флуктуаций логарифма амплитуды волны. Первые два ограничения вызваны приближенным методом решения волнового уравнения, третье— приближенным решением уравнения эйконала.

Метод геометрической оптики может быть ул учтен. В частности, второе ограничение может быть в зпачигельной степени ослаблено, если учесть дифракционные эффекты.

Наиболее удобным методом для построения уточненных ре- [пений является метод плавных возмущений, предложенный С. М. Рытовым [100] л примененный к задаче о распространения в среде со случайными неоднородностями А. М. Обуховым [101], Черновым [92, 102—104] и многими другими авторами [105—112].

Этот метод, так же как и метод геометрической оптики, приспособлен для изучения распространения коротких (% У А。) волн. Однако в нем снято ограничение 入®厶2у%^, устанавливающее границы применимости первого приближения геометрической оптики. Более того, метод плавных возмущений пряменнм и в тех случаях, когда теряют силу не только первое, но и высшие приближения геометрической оптики (см. § 45).

Вывод основных уравнении метода плавных возмущений

Как и в методе геометрической оптики, мы будем исходить из скалярного уравнения, поскольку при %《%()поляризационные поправки малы. Мы будем рассматривать случай монохроматической волны, в которой зависимость от времени определяется множителем ехр (—fcoi). В этом случае волновое уравнение принимает форму

a屮十胪(1+%)中=0. (1) Разделив уравнение (1) на Т и учитывая, что ^^ = A In屮 十 + (VlnT)2, получим уравнение

ДФ + (УФ)2 + 2 + 胪 U = 0, (2)

где ф = 1口屮——комплексная фаза. К уравнению (2) следует добавить условие излучения.

Уравнение (2), так же как и уравнение эйконала, является нелинейным. Основное преимущество метода геометрической оптики, объясняющее его широкое применение, заключается в том, что в случае слоистых сред нолинейпое уравнение эйконала решается точно (то же относится и к квазиклассическому приближению квантовой механики).

Однако в рассматриваемом нами случае, когда е2 (г)——произвольная функция из некоторого статистического ансамбля, точное решение уравнения эйконала получить не удается и это уравнение решается лишь приближоппо методом последовательных приближений. В этом случае оказывается целесообразным решать не уравнение эйконала, уже являющееся приближенным, а уравнение (2), являющееся точным следствием (1).

Введем малый параметр v = У(ej) и положим % (г) = va (г)- Функцию ф (г) будем искать в виде ряда по степеням v:

Ф (г)=①о (г) + V ①⑴(т1) + V2 ф(2)(г) + …

Подставляя это разложение в уравнение

ДФ + (V①产+左2 +依寸а (r) = 0

и приравнивая нулю группы членов при одинаковых степенях v, получим уравнения:

3 ^ ^ ^.3 ^ ^ ^.ДФо + (Y ① ©)2 + 胪=О,

3 ^ ^ ^.

3 ^ ^ ^.

ДФ(г)+ 2Х7О)〃 ①⑴=—胪 <х ⑺，

A①⑶+ 2V①J①⑴=—(V①⑴户，

Дф0) + 2V①qV①⑶ =—2▽①⑴V①⑶，

Нелинейное уравнение (3) может быть решено точно, так как оно соответствует распространению волн в среде без флуктуаций. Все остальные уравнения для Ф<{){i> 1) имеют одинаковую форму

Аи + 27Ф07и = ~/ (у), (7)

причем правые части каждого из уравнений известны, если решены предыдущие уравнения. Уравнение (7) является линейным. При Помощи подставовки

и = (8)

оно сводится к уравнению

Aw +胪m?=-評.力(9)

Решение уравнения (9) для свободного пространства, удовлетворяющее условиям излучения, хорошо известно：

婚(T) = * \ 号叮 eб g 仆，)巧，.(10)

Таким образом, решение уравнения (7) имеет вид

"⑺=4H器U ed "" 6⑺了⑴')閉・(")

Вместо Фо(г> в формулу (И) удобнее ввести функцию 屮。(丁)= = ехр (Фо (г)), являющуюся решением уравнения

А 屮o + A% = 0

и представляющую собой невозмущенную волну. В зтом случае (11) принимает вид

a”用当耦"心事)

Подставляя в качестве —/ (г) правые части уравнений (4), (5), .・., получим ① % ф(з\ ... Если обозначить ①丄=”①⑴,Фа = v2<b(2> и вернуться к функции в丄(г), то мы получим

ф (г) = Фо (г) + Ф1 (г) + Ф2 (г) + ・•・ +(13)

①式卄幫^:鑑sgdW，岡

6⑺=霜^^‘需卩66)陷屮，45)

Ряд (13) является рядом по степеням малой величины ех. Однако, как и в случае геометрической оптики, каждый член ряда (13) эквивалентен сумме бесконечной подпоследовательности ряда теории возмущении для уравнения

AV +胪▽= 一火％▼・

Действительно, 4r (г) выражается через Ф при помощи формулы

Т(г) = еф =屮ое^иб.・.Разлагая exp Oj в ряд, получим

У(т)=叫⑺ R+S +击①:+・}б...(16)

Подставляя выражение для ①卜 легко убедиться в том, что даже при пренебрежении величинами Ф2, Ф8, ... (16) представляет собой ряд, описывающий многократное рассеяние.

Рассмотрим более подробно случай, когда падающая волна 4ro (г) плоская. Выбрав ось х вдоль направления распространения этой волны, получим

4% ⑺=Ло ехр (ikx),(17)

Подставляя (17) в формулы (14), (15), получим

6(①，y，Z)—灰313—,，)，+ ® —彥+G—斤X

X 81 (x\ у'，吟 dx'dy'dz', (18)

m M 71(exp{ik[ 1/(方一吟2 + g一")2+(2二2A一(方一方')]}

Фа为 z)=京)К17)吓(产X

X [V<D1 (x\ / z,)Ydx,dy, dz\ (19)

До сих пор при выводе выражений для Ф мы не использовали малость длины волны. Используем теперь условие Х<^А0 для дальнейшего упрощения формул (18), (19). Обычный прием, при помощи которого исследуются выражения такого типа при к 一 оо,— зто метод стационарной фазы (см., например, 194]), Однако в случае, когда мы хотим избавиться от ограничения у^ХЬ*^^, этот метод в его обычной форме неприменим. Чтобы убедиться в зтом, рассмотрим более подробно поведение фазового множителя ехр (iS), где

S = kl y(z-zy + (y-K)a +(z-z，)2 _(① _ ①力.(20)

Найдем уравнения поверхностей, на которых S — Sm =霏m・ После простых преобразований получаем эти уравнения в виде

P：.= (y-y')3 + (z — z')2 = m%(z-z')+嘗.(21)

Уравнение (21) задает семейство параболоидов вращения, вершины которых располагаются в точках £ =工 + znX/4. Найдем величину р^+1 — Pm = Дрт» равную расстоянию между соседними поверхностями. Простые вычисления дают

△Pm = /Pm + ^(x -z')i ^-十"^Pm， (22)

284РАСПРОСТРАНЕНИЕ КОРОТКИХ ВОЛН В АТМОСФЕРЕ [ГЛ. 3

Для m登 1 и (х — х^^тк (22) превращается в

Арт = }]/生戶.(23)

В случае, если ]/А (z 二z')AA>, фазовый множитель exp (iS) при изменениях р меняется значительно медленнее, чем функция 81- (х\ у', z'), которая может менять знак на расстояниях порядка нескольких XD.

Поэтому в (18) вблизи оси х (т. е. для не очень больших ?п) множитель exp (iS) нельзя рассматривать как быстро осциллирующий, что необходимо для применения метода стационарной фазы. Это можно делать лишь в случае, если 了九(z — н')У*о， т. е. в случае применимости первого приближения геометрической оптики. Однако вдали от оси z\ т. е. при больших ть величина Арт может стать меньше Хо. Соответствующее значение m можно найти из перавеяства

откудаоткуда加歹（丁）.加歹（丁）.

откуда

откуда

加歹（丁）.

加歹（丁）.

где L ——расстояние, проходимое волной в неоднородной среде до точки наблюдения. Подставляя последнее выражение в (21), найдем соответствующие значения р:

р》У

Заметим, что область пространства, ограниченная обратным неравенством р<>^, представляет собой ту часть пространства, в которой сосредоточено рассеянное поле. Действительно, максимальный угол рассеяния имеет порядок Х/Хо, так что соответствующий поперечный размер имеет порядок 让/%・

В области а/ V z при р А-^ функция exp (iS) является быстро осциллирующей по сравнению с ех (г'). Что касается области д/〉х, то в ней расстояние между соседними поверхностями S = пт и 5 — л (?n +1) не больше, чем Х/2 (при а/ = z Apm*{= = Х/2), т. е. при условии X <^ Хо функция ехр (Й} всегда меняется значительно быстрее, чем % (“).

Разобьем область интегрирования в (18) на две части плоскостью а/ = н и найдем вклад в Фх от области д/> z. В этой области, как

мы установили, функция exp (iS) быстро осциллирует по сравнению с &丄(rz) и поэтому интеграл может быть приближенно вычислен при помощи метода стационарной фазы.

Применяя этот метод к интегралам по g\ z* мы должны разложить экспоненту в ряд вблизи стационарной точки у' = у, z‘ = z, а медленно меняющиеся множители взять в точке стацио^ парности

—I с 一 z[ j/" 1 Т—I с 一 z[ j/" 1 Т®一yг+（方一才产®一yг+（方一才产X- XX- X“> ——z')3 + (у — у )2 + (z — z')3 — (z—①')

—I с 一 z[ j/" 1 Т

—I с 一 z[ j/" 1 Т

®一yг+（方一才产

®一yг+（方一才产

X- X

X- X

= 1z 一叫一日一片)+且弓注斤里+ ・..=

=2("一)_ (l第上)_…

Обозначая вклад в Ф] (х, у, z) от области a/〉z через Фи, получим

①Ii(z, у,①Ii(z, у,私界 e-2ik(3C—x")Z)^而、(Ji) 81 侬,% z)dz' X私界 e-2ik(3C—x")Z)^而、(Ji) 81 侬,% z)dz' XСОСОXXкikкik2 (х* —x)2 (х* —x){(y-y) + (z-z>]}dydz' ={(y-y) + (z-z>]}dydz' =

①Ii(z, у,

①Ii(z, у,

私界 e-2ik(3C—x")

Z)^而、(Ji) 81 侬,% z)dz' X

私界 e-2ik(3C—x")

Z)^而、(Ji) 81 侬,% z)dz' X

СО

СО

X

X

к

ik

к

ik

2 (х* —x)

2 (х* —x)

{(y-y) + (z-z>]}dydz' =

{(y-y) + (z-z>]}dydz' =

2п (а/ — а?)2п (а/ — а?)д-я 员产*В—©

2п (а/ — а?)

2п (а/ — а?)

dz‘dz‘京、逐f®（工，y，z）

dz‘

dz‘

X

8

АС е2^81(а: + х, у, z)dx'. (24)

Так как величина Q丄 является случайной, оценим ее средний квадрат:

ooco

〈(①U (z, y, z))a> = 一岑 § e*k(н'+广)& «' - Z) dz' dz", (25) 00

Вводя новые переменные g = а/ —工"и 2“ =工‘ + z", получим

〈0(Z, у, Z)〉=—等、瓦(Е)dd 夕恤dr\ = -^e^Be ⑹乘 y ，晶0

(26)

Входящим в (26) интеграл можно вычислить приближенно, вынося медленно меняющуюся функцию Бс (g) за знак интеграла.

Предполагая, что среда обладает поглощением (т. е. 1mA〉0), получим

<Фи(х, у, 2)>~т=4-(27)

Таким образом, ошибка, совершаемая при отбрасывании в (18) интеграла по области л/〉х, лежащей за точкой наблюдения, в случае Но^>1 имеет порядок }(7后《丄 Как мы увидим нижет интегралы по области с'<с всегда приводят к величинам, пропорциональным Lak^, где сс, 6〉0; в этом случае мы всегда можем пренебрегать величиной。己 по сравпепию с этими «интегральными» величинами, растущими с L.

Рассмотрим теперь ту часть интеграла (18), которая распро- ст ранен а на область z'<z, р>—Ясно, что интеграл и п) этой области будет иметь не больший порядок, чем ①口. Таким образом, интеграл (18) можно вычислять лишь по области x <^x, р<」"у , совершая при этом ошибку порядка g

(разумеется, аналогичные оценки справедливы и для интеграла (19)). В области р <^ ^^-^37)подынтегральное выражение может быть в значительной степени упрощенэ, если использовать соотношение 九У九о・ В этом случае р《(z ——х) и мы можем воспользоваться разложением в ряд

k[Y(x — %'尸十 р2 — (с — с')] = к[\х — xf \~{х —之')+ ++=+ 京』)•(28)

Основной вклад в интеграл (18) дает интегрирование по области, в которой р<—^ Потребуем, чтобы в этой области можно было ограничиться первым членом формулы (28). Это приводит к ограничению

,X —

а с учетом неравенства р<—ук условию

看気丄(29)

ЛоAq

Условие (29) является значительно менее жестким ограничением на £, чем условие применимости первого приближения геометрИ' ческой оптики :f у I, так как (29) можно представить в форме

При выполнении условия (29) можно пользоваться первым членом разложения (28) не только в области р < 入；1入(工一工‘), но и при всех р, так как вклад в интеграл (18) от той области, где условие (29) нарушается, мал (он имеет порядок ас). В действительности интеграл по области р〉入Q1 入(立 ——：г') с ядром, замененным по формуле (28), не совпадает с интегралом по этой же области, вычисленным с точным ядром. Однако, так как оба ядра имеют в этой области одинаковый быстро осциллирующий характер, то оценка (27) имеет место для обоих ядер.

Итак, при выполнении условия (29) и малости величины ас по сравнению с интегралом по области 工'< z (уточнение второй оценки будет произведено ниже) формулы (18) и (19) можно приближенно записать в следующем виде:

Q仏У, z)=捺％，g讶出厘产..涇1)忆3, *, /), D —оо

(30)

①2 (£,孙 z)=

匕 8[.. (# - y')2 +(Z - z'户]

=亲 V”' $ 电'dz' ^ t z"1理[V0("/,吟产,

°"°0(31)

причем начало координат помещено па границе неоднородной среды. Выражение (30) является точным решением дифф еренциаль- ного уравнения

аеае*6*6+ 2i% "^^ =一к配1⑴)，+ 2i% "^^ =一к配1⑴)，(32)(32)

ае

ае

*6

*6

+ 2i% "^^ =一к配1⑴)，

+ 2i% "^^ =一к配1⑴)，

(32)

(32)

которое получается из уравнения (4) при подстановке в него 7Ф0 = =泳=(iA, 0, 0) и пренебрежении членом ~^^. В этом можно убедиться, вычисляя производные от (30) и подставляя их в левую часть (32). При дифференцировании (30) по верхнему пределу

следует учесть легко доказываемую формулу

HJL 2山仏一冷"xpHJL 2山仏一冷"xp『喝:注尸力｝ = 6 (y 7，)6 (z - /).

HJL 2山仏一冷"xp

HJL 2山仏一冷"xp

являющуюся обобщением известной формулы теории теплопроводности (диффузии) на мнимый коэффициент диффузии. Само уравнение (32) аналогично уравнению диффузии в плоскости 弘 z, перпендикулярном направлению распространения, причем роль времени играет координата ж, а коэффициент диффузии равен Р = =贵.При этом (30) представляет собой распределение «концентрации» диффундирующей примеси, создаваемой «нестационарным» источником б】(х\ у', z')・

В заключение настоящего параграфа рассмотрим связь метода плавннх возмущений е геометрической оптикой. Предположим, что выполняется соотношение y%L W Хо, так что в (30) функцию б2 (#') можно считать плавно меняющейся (мы не требуем выполнения более жесткого условия УАЬУ%). Тогда к интегралу а 3, У，Z)= “刍 $ exp ｛-躋t£" 8!(公,у + % z+u ад и—ОО

(33)

можно применить метод стационарной фазы, который в данном случае сводится к разложению функции 8丄(н‘, У + ", z + С) в ряд по степеням q, & Так как экспонента является четной функцией т|, & то в этом разложении следует сохранить лишь четные по tj, t слагаемые:

61("' у, Z)=言 j^ § exp｛一 窺土£" ® h' у, Z) +

0―со

I 1 尹电3', %z) q I 1 8同3, y，Z)Р2 I 1 次61估'，y, 2)_4 1

十^ 盼 1十^ 标 &十就 期 I十

+扌"*h%笛十击竺缥2?+…]d做.(34)

Выполняя интегрирование по ”, g, после простых вычислении получим

<D1(Z, у, z) = ^、，也侬，,у, z) — £(с —工')厶丄81(* у, Z)+吗沦「爵居]

J 4«3|_ 渺 1dz4 J ' J

хх

■ £)电(*，弘 z)dE —^(^ - E} A丄Ei (E, y* z)若一 о0

—幫厶；S (W, Z/, z) dg + ・・・(35)

Сравним выражение (35), являющееся рядом по степеням 4/А\ с решением, получаемым методом геометрической оптики (в первом приближении по ej. В разделе А было получено выражение

(2.40) для эйконала В, из которого следует, что поправка к фазе волны, обусловленная наличием неоднородностей, равна

等 \а(Е, у, Z)庵.О

Это выражение совпадает с первым членом (35). Выражение для логарифма амплитуды плоской волны, полученное методом геометрической оптики, имеет вид (46.40):

х

%{х, у, z) = — -£ $(①一鼠厶丄 а(Е，“，z)曲О

(здесь опущен первый член формулы (46.40), который, как было показано в § 40, пренебрежимо мал по сравнению и приведенным).

Это выражение совпадает со вторым членом (35). Наконец, при рассмотрении границ применимости первого приближения геометрической оптики была получена поправка второго порядка по 1/А, равная (25.43)

土"十二一击工у一济心4(& y,勤成.0

Это выражение совпадает с третьим члеиом (35)<

Таким образом, разложение интеграла (30) в ряд по А-1, 口5 лучаемое методом стационарной фазы, приводит к соответствующему ряду метода геометрической оптики, включая высшие приближения последнего метода. Как мы убедились, разложение (35) можно получить при выполнении условия /XL《%, при котором к интегралу (30) можно применить метод стационарной фазы, В случае же нарушения этого условия, как ясно из структуры выражения (30), это раздожоние теряет смысл. Следовательно, при нарушении условия M1L у" теряет смысл не только первое

(по к') приближение геометрической оптики, но и вообще весь этот метод, так что и учет высших членов разложения по 左一工 не дает положительных результатов. В то же время выражение (30) для ①工(т) сохраняется, если только не нарушено гораздо более слабое ограничение (29).

Таким образом, метод плавных возмущений имеет более широкую область применимости, чем метод геометрической оптики, даже если последний и исправлен путем учета конечного числа своих высших приближений. В некотором смысле метод плавных возмущений суммирует бесконечное число высших приближений метода геометрической оптики.

Флуктуации амплитуды и 恥8H плоской волны

Применим метод плавных возмущений к расчету флуктуаций фазы и амплитуды плоской волны, распространяющейся в турбулентной атмосфере. При выполнении конкретных расчетов удобнее исходить из уравнения (32.45):

д=Ф18炉д=Ф18炉十醤+2誘 鴿 =一收厶佃у,*十醤+2誘 鴿 =一收厶佃у,*⑴⑴

д=Ф1

8炉

д=Ф1

8炉

十醤+2誘 鴿 =一收厶佃у,*

十醤+2誘 鴿 =一收厶佃у,*

⑴

⑴

Воспользуемся для решения (1) методом спектральных разложений. Представим 玩(瑞 у, z) и Ф2 (х, у, z) в виде двумерных стохастических интегралов Фурье — Стильтьеса (19.5):

8

81(Z, у, Z)= 61 (瑞 0, 0) + § [е*х,"+з) — I] Ue (d遇，dx3, z), (2)

—ОО

ОО

① 13 У, Z)= Ф1 (ж, °，°) +，[etgn+з)_1] Цф (加，dx3, х).(3)

Подставляя разложения (2), (3) в уравнение (1), получим

—§ е"*“+м)储十噺"в (rfxa, dx3, x) + 2咏"6(：;Q，°)+

+ 2г* g ® gu+x)_ 1 j 吆кОу”) = _ 胪 “ &, °, °)—

一oа

ОО

—胪，®《w/+w)— 1] u£ (rfx2, 〃&, x).(4)

—QO

Положив в (4) г/ = 2 = 0, найдем

8

§ (启 + %3) "①(dk2,改3, t) + 2注抄‘:「S =—收电(工,0, 0).

—00

(5)

Вычтем (5) из (4):

—，［*5/+w> —I］储 + х|) Иф(dx2, dx3, C)+

+ 2割g停g什3)— 1］。"ge宾迎'")=

=一依,修依，叶3)- 1 ］ ue (dxa^ dk3,办(6)

—oo

урав-(7)урав-(7)Отсюда следует, что функция ^(dx?, dx3, w) удовлетворяет нению

урав-

(7)

урав-

(7)

2ik ^^— (к； + x|) 〃g = — A2u< (rfx2, d*3, c).

В дальнейшем мы будем обозначать к： + W = х2. Решение уравнения (7) с граничным условием 以①(dx2, dx3, 0) — 0 (это граничное условие вытекает из формулы (30.45) для ①丄)имеет вид

№ (%, rfx№ (%, rfx3,工)=岑 \ exp {-03,工)=岑 \ exp {-0次2 (j丁 н)} "е (dK2,飙,£‘) dt'・次2 (j丁 н)} "е (dK2,飙,£‘) dt'・(8)(8)

№ (%, rfx

№ (%, rfx

3,工)=岑 \ exp {-0

3,工)=岑 \ exp {-0

次2 (j丁 н)} "е (dK2,飙,£‘) dt'・

次2 (j丁 н)} "е (dK2,飙,£‘) dt'・

(8)

(8)

Формула (8) является двумерным преобразованием Фурье выражения (30.45).

Перейдем к вычислению структурных функций амплитуды и фазы. Положим Ф = In Л + г5, где А ——амплитуда и 5 — фаза волны. Тогда Фо = 1пЛ0 + tS。, где Ло и 50 — амплитуда и фаза падающей волны4

Ф1 — Ф — Фо = In W—И »(S — So), т.

①1 = X + «5Ъ(9)

тде X = In (Л/Ло), S、= S — Sy Нас будут интересовать структурные (корреляционные) функции амплитуды, фазы и их взаим- нме корреляции； Все три функции могут быть получены

из следующих двух функции [ИЗ]：

<(Ф1 (П)-①工(г2))(Ф；(冷)-①;(小))〉=01 (Л, г,),(10)

<(Ф1 (п) - Ф1 (Г2)]3> =厶⑴宀)"(11)

Действительно, подставляя ①工=X + »i, получим

Di (гь r2)=厶(гъ r2) + Ds g, r2),(12)

D^ (rb r2) = 0式乃，r2) — Ds (ri, r2) + 2»0心(rn r2),(13)

где

厶 g, ^2) = <[X S) — X ①2)"〉，

0ss C)=〈2"丄)一51c)]2〉,

DxS (n»^) = <[X(П)— % (r2)] [5i(Л)— 5j (r2)]>.

1 -2 1 -2 4 -2=一；=X s s1 -2 1 -2 4 -2=一；=X s sРазрешая систему уравнений (12), (13), получим

1 -2 1 -2 4 -2=一；=

X s s

1 -2 1 -2 4 -2=一；=

X s s

[^i + Re 2)з1»(14)

[01-Re 0"，(15)

ImZ>2.(16)

Выразим структурные функции 0工 и D% через спектральную плотность Иф. Мы будем рассматривать О^ (夕仆 г2) при х1 = w# В этом случае, подставляя (3) в (10), получим

8

Dj. (ж, у, z; х, y',z') = §§§§ [еКз+з>—е“〃и'+х/'〃х

-оа

X [e**№?+xJz)—dW/**)]〈〃9(d><2, dx?, t)忘(d?4, d^ ^)>, (17)

00

Di(x, y, z;仍必'/) = $§§§ d(x，v+3)—е"“г+з〃 又

—oo

X [e^v^^— еПх?"+х*)]〈口⑴(dx2ldx3, x) Ue (dx；, dx；,勺)〉・(18)

Воспользуемся формулой (8) для вычисления входящих сюда средних значений:

<иФ (迎,dx3> х) »ф (dxa, dx；, t)〉=

M X

= ■?"\、exP {一指[川包—吟—К”3 -M)]} x

(19)(19)X <ue (dx2,dx3> t‘) u： [d^ dx；, t")〉dxf d".

(19)

(19)

Учитывая соотношение

<ut (dxa, ^Хз,片)м： (d%, dx；,")〉匚

=б (xa — к；) G Зз — к；)小(х-2, Хзт 工'—t") d*2 d乂з dx； d£, (20)

где Fe — двумерная спектральная плотность флуктуаций е, и подставляя (20) в (19), получим

<иф(^х2т с?кз, t)谓(dg, dn^, t)〉=6 (x2 —— 匕)6(кз—— х；*к£кзЛс#х；х

НН

* ^ " ехр {‘紋(”2厂'} "3, 乂3," — t") dxdxH. (21) о о

Обозначим через Ft 的，乂3,七)следующее выражение:

X X

Fl («2, 乂3,工)=冬、\exp {竺：(；戸)'}尸・(«2, 乂3, t'—t")dt'dt"・ 0 0

(22)

Подставим (21) в (17) и выполним интегрирование по к':

Dx(X, уу Z； Ху у\ Z’)= §§ 仲(*什3)一ei(x^4-K,z9] *

-ОО

X [e-n%u+*z)— e-ig『+x.z，)]歹1(也，x3, ж) rfxa^Xs =

8

=2^{1—cos [x2 (y —『)+ Ks (z — z')]}尸工的,％, n)衣血方.(23)

-CO

Вычислим теперь величину

<Мф (dxa, rfx3, x) иф (dx；, dg,工)〉=

X X

n 一 -^- $5exp { — ~^r'^x 1 ^+ % i ^ — ^^ } X

X〈％ (%, d乂3,吟 ％ (dxi, dx；, t")〉dx‘ dx、(24)

Так как величина q действительна, то* подставляя в равенство

g； = % разложение (2), получимОО\\ [e"у+")一 I] % (山时，由43,立)=g； = % разложение (2), получимОО\\ [e"у+")一 I] % (山时，由43,立)=ОО§§ [ег^к^+^ —4 ]辽；@乂2, dx3, т). —ОООО§§ [ег^к^+^ —4 ]辽；@乂2, dx3, т). —ОО

g； = % разложение (2), получим

ОО

\\ [e"у+")一 I] % (山时，由43,立)=

g； = % разложение (2), получим

ОО

\\ [e"у+")一 I] % (山时，由43,立)=

ОО

§§ [ег^к^+^ —4 ]辽；@乂2, dx3, т). —ОО

ОО

§§ [ег^к^+^ —4 ]辽；@乂2, dx3, т). —ОО

Производя в правом интеграле замену переменных интегрирования ха f —*” Kg —► —Хз，получаем

ОО

,\ [е*ми+х#— 1 ] u, (dx2t dxs, 土)= —oo

ОО

И [е<(хч/+*«г>—l]u*(—dx2, ~dn3,x),

.-ОО

откуда следует соотношение

ue (dx2> d%,力=м； (—d^ —dx8, ж)

или, полагая dx* = —dx^, dx3 = —d%.

Ue (dx；, d%,立)=% (—^«2,—己名,办 Подставляя это выражение в (20), получим

<u£ (dx2, ^Хз, £) % (—dx；, —dx*, Z)> =

=6 (%2 — x*) 6(Кз — к；)尸* (к* к,以一")dx2 rf%3 dx； dx； Полагая здесь х"=——к；, к；=——к；, окончательно найдем

<ut (dx2, dxe, х) ue (dx^, dx£ 炉)〉工

=й (x2 + x*) й (%з + x^) Л (x2f х3> х — Z) dx2 dx3 ^ d%. (20a)

Подставим (20a) в (24):

<иф (dx2, %, t) иф (dx*, dx；,勺)〉—

=6 的 + 练)6 (кз + %) dx2 dx； dx3 dx； F2 (x2l x3l t), (25) где

尸2 (y2,囂3, w)=——k , \ exp {^- (2t - 3/ -t")} X

о 0

X 居(%2, Х3, X- z") dx d^.(26)

Подставляя (25) в (18) и выполняя интегрирование по к；, к；, получим

ОО

2 3® Z； £, у, Z)士 2 § § { 4 — СОЗ [乂2 (у — /) + 乂3(2 — z')j } X —ОО

X F2(Хг,хз» ^) £?xadx3. (27) Таким образом, функции 尸〔и 尸# определяемые соотношениями (22), (26), дают спектральные разложения функций Du。訳

Перейдем к вычислению этих функций. При згом мы учтем указанную в гл. 1 характерную особенность функции 尸工(xs, %, g), заключающуюся в том, что эта функция заметно отлична от нуля лишь в области %g W 1・ Поэтому в интеграле (22) существенна лишь область | к (w‘ 一 *〃)| W〔♦ Но в зтой области

I “В — др") I_±

Максимальные значения хг которые могут нас интересовать, имеют ПОРЯДОК Кт~%・ ПОЭТОМУ

I *2 3 —В I V ^pi 入 4

I —]弋2JE 不丄

в ^илу малости длины волны по сравневию с внутренним.масштабом турбулентности. Таким образом, в существенной для интегрирования области аргумент диспоненты мал и можно считать

exp{^F^ 卜厶

Следовательно,

(28)(28)^! {%2, %3, t)仁 ％ 5 § 乙的,％3, £‘ 一 t") dt' d『

(28)

(28)

ФункцияFe (хг> х3, хг — £”) является четной функцией [xf—xn). Применяя форму iy

巾3'一吟 dz'衣"=2《QT)/⑶ d±,(29)

О оо

выведенную в разделе А, получим

% 3, Кз, а?) = -^ ^ (ж — I) Fe (хг, Кз, Е) d&.(30)

О

Значения структурных функций 0口 D^ будут интересовать нас лишь в области Y® l yrY + (2 —纟‘产 V £• В этом случае существенны лишь значения %, удовлетворяющие условию %厘》1・ В то же время в (30) существенны лишь значения 三 из области *Е W & т. е. ЕУ х. Поэтому в (30) можно положить t — g = Q 厘，а интегрирование по 自 распространить до бесконечности:

8

/ (х2, Кз, L)=学 § % (к“ х3, Е)</|.(31)

Используя формулу

ОО

\ 凡(％, Х3, W)施=лФе (О, Х2, Кз),(32)

связывающую двумерную и трехмерную спектральные плотности (см. (28.5)), окончательно получаем

Fl(x2> Хз» £)=号沿 ^Фе (0» 乂2, Хз) -(33)

Перейдем к вычислению F2. Введем в интеграле (26) новые переменные интегрирования & = М — w", П = ^ (力‘ + z“)・ Область интегрирования в переменных (己，“)—ромб, уравнения границ которого q =幺,n二一;£ П = £ Г }三,g=a: + 拈. Как мы уже установили, существенной для интегрирования яв・ ляется лишь область 1 малых &: | 匕 |《 е, так как вне этой области 尸е (%, Хз, Е) пренебрежимо мала. Поэтому интегрирование по Е можно распространить с внутренней части ромба на бесконечную полосу, ограниченную прямыми т] = 0, q = х. Следовательно,

НОО

尸2 М，Кз, н) а — ^ § ехр {—'咨--")}對 § л (ха, %з, &)朮.(34) и—ОО

Учитывая (32), получим

尸2(Х2, Кз, *)=—穿 Фе (0, "2, Из) \ ехр {—巴'(专-")} dr\. 0

Выполняя интегрирование по ”, получим окончательно

% (出，KsZ)=粤冬Н — ехр (—罕))G)e (О, К2, х3). (35)

Из формул (14)—(16) следуют аналогичное соотношения для спектральных функций F:

居с =扌 IFi + Re А],(14а)

Fg^^^-TieF^(15а)

尸xs = } Im Fa.(16a)

* 46] ФЛУКТУАЦИИ АМПЛИТУДЫ И ФАЗЫ плоской волны 297 Подставляя сюда найдениые выражения для Fu F^, получим

网(№, x3,L)=^^ (1先 sin 罕)◎(0, x2, k3),(36)

Fs 施,用,厶)=^^ ("+ 城^ sin ^0 ①* (a k2，к3)，(37)

广Хs (k2, k3,七)=^^ 0 一 cos 吃否 Фе (0, к名，h3).(38)

В случае локально изотропной турбулентности

Фе (0, %2, %)=①ё (/* 十喝)=①. (乂)

и функции Fx, Fs. fxs зависят только от х:

/(К,厶)=ф{1-金 sin陶 6 (к),(36а)

F8(K,L)=&±(l+^sin^)(DjK),(37а)

% (к,乙)ь g six?囈 Q (к).(38а)

Отметим некоторые особенности формул (36)——(38). В случае, если выполняется соотношение 1, т. е. Х£< XJ, формулы (36)——(38) можно приближенно записать в виде

Fx (x,L)^-g-L3x^t(x),(39)

Fs(x,L)~^<D«(x),(40)

Г xs (х, L)^^ 就 2K 叫(к).(41)

При выполнении условия 九厶<饿,как мы убедились выше, метод плавных возмущении переходит в метод геометрической оптики. Поэтому выражения (39) и (40) совпадают с формулами (54.40) и (21.40), полученными методом геометрической оптики ((40) отличается от (21.40) множителем 衿、так как последняя формула написана не для фазы, а для эйконала).

В случае, если условие 九£<雋 не выполняется, формулы (39)——(41) справедливы для малых м, удовлетворяющих условию к*С VkJL. Таким образом, геометрическая оптика всегда применима к крупномасштабной части спектра турбулентности.

Даже в случае, когда ①* (х)~ к1% т. е. обращается в бесконечность при * f 0, имеет место соотношение Fx (0, L) = 0, откуда следует, что интеграл от Fx (х> i) сходится. Это означает, что наряду со структурной функцией лога рифма амплитуды существует и ее корреляционная функция

& (% Е) = \ § COS 他П + к© 厶的,％, £)dxa dxa, (42)

-ОО

удовлетворяющая соотношению

^5x(n,5)dUn = 0.(43)

-ОО

Аналогично в формуле для Fxs множитель 占(：一cos 響J при х 0 пропорционален хгу так что даже в случае, когда Фе (х) ~ 〜кт叫 интеграл от &s по х2, х8 Сходится. Это означает, что существует взаимная корреляционная функция

历s(M)=<%(田E产田2»_ =

ОО

=§ § cos (x8T| + Ю 尸xs (Xi,融，L) d«4 dx3, (44) —oo

связанная с функцией 0乂& соотношением

Oxs (p) = 2&s (0) — 2Bxs (p)-(45)

В частности, при ri = r2

00

<X ｛厶)Si (D〉= \ § 尸xs 3, Ks,厶)d%2, rfxs.(46)

—00

§ 47. Структурные функции амплитуды и фазы в локально изотропном турбулентном потоке

Найдем структурные функции 01 и 0% для локально изотропной турбулентности, когда Фе (х) задается соотношением

Фе (х) = 0,033СеХ-^3е-х，/«ат.(1)

В случае, когда 歹i* зависит от х = 了喝 + к：, формулы (23.46),

принимают вид 8

01.2 (р) = 4л，[1 — /о (кр)]网,2 (к, L) к dK・(2)

Подставляя (33.46) и (1), получим

А(Р)=А(Р)=0,033 4я«20,033 4я«2А2£С^[1—J0(xp)]x-V>QXp ^―^-^dx.А2£С^[1—J0(xp)]x-V>QXp ^―^-^dx.⑶⑶

А(Р)=

А(Р)=

0,033 4я«2

0,033 4я«2

А2£С^[1—J0(xp)]x-V>QXp ^―^-^dx.

А2£С^[1—J0(xp)]x-V>QXp ^―^-^dx.

⑶

⑶

После замены переменных х = 3tt„匕 формула (3) принимает вид а(p) = 0,033炉胪£e旣/}1-/。(Kmp w)]尸%4di. (4)

Интеграл (4) вычисляется, если разложить Jq в ряд. Вычисления вполне аналогичны тем, которые проводились в разделе А при вычислениях по методу геометрической оптики. Для Dx (р) получаем после интегрирования

А(Р)= 0,033я2 А г (4-) ^LC^ [,л (-4, i，一芈)-i].

(5)

Вычислим теперь D2 (р)* Подставляя в (2) выражения (35.46) и (1), получим

оо

02(p)= 0,033 2兀现‘我d' [1 — Jq (hp)] x о

x(i—ехр(——^-)卜 Т43ехр(——^L_)及 (6)

При 0

(1 — J0(xp)](I — exp (— 2^£))~k4.

так что интеграл (6) сходится в нуле.

Обозначим

оо

▲(Р)=\ [i—Л,(кр)]0 —ехр(—嘗)”Рехр (—为 dx.(7)

Нас интересует значение Л (14/3). Интеграл (7) сходится при всех р < 5. Разобьем его на два слагаемых

(8)(8)В (р) =〈 [1 — /о (хр)] к-p ехр (d"

(8)

(8)

0'*7П '

С(р)= ^ [1 — Л (хр) I х_р ехр { —№ (-^- + ^)} ^.(9)

Интегралы (8) и (9) сходятся при р < 3・ В точке р = 3 функции В (р) и С (р) имеют полюсы. Однако в разности В (р) — С (р) особенности при р = 3 компенсируются и функция 4 (р) ири 3Vp < 5 может быть определена как аналитическое продолжение по р разности В (р) — С (р). Интегралы (8) и (9) имеют тот же вид, что и (3), и вычисляются аналогичным образом:

в(Р)=—；「(一^)%Е[品(—県工一筆)—4

(10)

С (р) можно получить из В (р), если заменить 1/к^ на 1/к^ 十 tL[k$ т. е.

Таким образом,

С(Р)= -уГ(С(Р)= -уГ(

С(Р)= -уГ(

С(Р)= -уГ(

Выражения (10) и (И) имеют полюсы при р = 3 (обращается в бесконечность множитель F ^———2 ^). Образуем разность Л (р)= ^В(р)-С(р):

4 (p)== 一 等Г(一 宁)*z {e (— 中，4，_ *)_ 1 _

Покажем, что фигурная скобка обращается в нуль при р — 3. Действительно, при р = 3 мы получаем 工尸工(—1, 1, z) = 1 — z,

т, e・

р —1 ~2~р —1 ~2~ТС颦тТС颦т

р —1 ~2~

р —1 ~2~

ТС颦т

ТС颦т

и фигурная скобка обращается в нуль, что компенсирует простой полюс функции Г (——^^у Таким образом, мы можем рассматривать выражение (12) для р < 5 (при р = 5 появляется следующий полюс гамма-функции). Полагая, в (12) р=14/3и подставляя (12) в (6), получим выражение

2 (р) = - 0,033Л8 ^ r 传)丽以俨З{ R (一*, 1,一宇)-1一 -6*П，&(Т'『^С^ПН}・аз)

Функция D2 (р) зависит от двух безразмерных параметров:

gf = 8,8 号'0=羊=5,6 告

AoAo

(D носит название волнового параметра). Формулу (13) удобно записать в виде

5 (Р) = — 0,033 * 欝 г(4)*2^ 崂叱齐 X

X I iFi —у , 1,—g) — 1 —

—(1 + iD)^ [R (― * , 1^) -1]}.(13a)

Рассмотрим предельные случаи малых и больших О. В случае D f 0 разложим правую часть (13а) в ряд с точностью до чле^ нов порядка D^ (это разложение несколько проще получать непо средственно из (6), разлагая в ряд ехр (―川立/"))

&(Р) = -0,033л2Г (4)*2С?哈叫告俨1(一 4，1,-g) -1]+ 十孚卜/传工一g)—1] +装[l%(+,l,— g)—1] + ・..}.

(14)

При помощи (14) можно найти функции Ds, D* и D^s для случая Z) У 1, когда должна быть справедлива геометрическая оптика. Подставляя (5) и (14) в формулы (14.46)—(16.46), найдем

Dx(P)=——^^^^[l-.F^. 1-g)].(15)

При p—>8 斤佶，1,— g)—>0, так что 0,033 л2 Г (藉)

D* (оо) = 2& (0) к7rAс^.

Отсюда мы получаем для (Х2> = Вх (0) прежнее выражение (16.42), полученное непосредственно при помощи геометрической оптики. Если от D* (р} перейти к В* (р) = у [Dx (оо) — D* (р)], то получим выражение (17.42).

При вычислении D^ (р) достаточно взять лишь первый член (14):

Ds (р) = 0,033л21Г (I) k^LC^ [гЛ (- I, l,— g)—l]. (16)

Это выражение совпадает с формулой (6.42), полученной при помощи метода геометрической оптики (в (6.42) отсутствует множитель /с2, так как это выражение записано для эйконала, а не для фазы).

Наконец, выпишем /)Хз (р)：

0,033лйГ (■д~)—.-|

5s (p)=——产2 С做嗨 (1 一 1Л 信，1，一 g)] •(17)

Рассмотрим величину

„2 _ [°XS(P)P _ <[Х (г,) - X (Г2)] [■?! (rj) - 5l (»-2)l>2

s - 3k(p)z>s(p)- «%(Ti) - x①»尸>〈21 〉1)一 S (%)产>，

представляющую собой квадрат коэффициента корреляции между флуктуациями разности фаз и разности логарифмов амплитуд в двух точках гг vl г2 = гг + р. Подставляя в формулу для fl|s выражения (15), (16) и (17), получим

При р = OExs =У3/28 а 0,33, при р —> оо &S — 0. Тот факт, что при малых р коэффициент корреляции оказался существенно меньшим 1, объясняется тем, что одни и те же компоненты спектра турбулентности по-разному влияют на амплитудные и фазовые флуктуации. При р —> 8 наибольший вклад в флуктуации разности фаз вносят неоднородности с размерами порядка р, в то время как флуктуации амплитуды (при 2) у 1) определяются неоднородностями порядка 九°, что и приводит к малым &$.

Рассмотрим теперь случай больших значений волнового параметра D, когда существенно начинают влиять дифракционные эффекты. В этом случае

d + 切% иexp 传 гл),-匸爲 >

И

2⑹=一 0,033 Е噥 г 信)к?снк齋(- ^，I，一 g) 一 i 一 -e^-in)D^(i9)

В области D》1 функция D^ (p) зависит от двух безразмерных параметров; g н * =绊尸. Параметр g/D пропорционален квадрату отношения р к радиусу первой зоны Френеля.

Рассмотрим сначала случай g<^l. Тогда и g〔D у 1 и мы можем взять первые члены разложения функции гРг в ряд. В результате получаем

0,033 л2 rl 伶)，

А (р) ~ ——С 誑 L/p2 +,(20)

7\ (р) q exp (^ 加)竺:T(B)С%'%Г' pz + ...(21)

Таким образом, npngyi, т. е. р《^0, структурные функции Dx иР2 квадратичны по р. То же относится и к функциям ^Z1 刀s,刀xs：

а(Р)= —4 孕也読[i—1_ cos 農(蟲)[炉 +...=

= 0,4IC^ZA；“I一。，87%%+..,绚

Ds (P) = 0,41 С\кЧ^ [1 4 0,87 (^-)']p8 + ...(23)

Таким образом» при 刀》1 и g《l функции。乂 (р) и Z)s(p} совпадают (с точностью до малой поправки порядка Df}*

Для Dxs (р) получим

Dxs (Р) = 0,071 С：庐'”%р2 + ...,(24)

а коэффициент корреляции оказывается равным

也=总=。，23传广也=总=。，23传广•(25)•(25)

也=总=。，23传广

也=总=。，23传广

•(25)

•(25)

ПрнЗ А 1 величина RXs (0)У 1, тогда как при малых значениях волнового параметра мы имели Яхя (0) ^ 0,33. Относительно большое значение R±s при D У 1 объясняется тем, что в случае геометрической оптики амплитудные флуктуации (изменения сечения лучевой трубки) определяются фазовыми флуктуациями.

Перейдем к рассмотрению наиболее важного случая 刀》1, g》l. При этом параметр 先=-^ может быть произвольным. Используя асимптотику функции ^尸工 при больших значениях g, найдем

0,033 m 借)「传)

А (Р) =Р С*№ = 0,73 C^Lp\ (26)

а(p) = 一 i%3р"/', _ Г得)件广X

喉)2亏

X J%С乎 1 ~ A)-1]}*(27)

Используя (26) и (27), запишем выражения для D^ (р):

以(Р)= I a。33 廿 (к；(百){e 能仪 + ^,(守時зр明 г 偿)х

I、借)2可

X^fRe^^t-VM,-*)-!]}. (28)

Прежде всего найдем D х(8), поскольку зта величина определяет средний квадрат флуктуаций. Для этого необходимо выяснить асимптотику входящей в (28) функции ^^ Асимптотический

ряд для 1尸 1 (a, Y，Z)имеет вид

1 尸1 (а, т, z) = г(；竺)(—z)y G (а, а + 1 — т,— z) +

+ 閣 eZzaTGCr —а, 1 —а, z),(29)

^669邝/)=1+倦+。似 + .騁^)+...

Рассмотрим случаи а — —11/6, 丫 = 1. Так как z чисто мнимо, то |^| — 1. Величина а —— 丫 < 0, поэтому достаточно рассмотреть первое слагаемое в (29). В выражении для G ми возьмем первые два члена, так Как остал^ые приводят к малым поправкам

…5 =甫

Подставим это разложение в (28). При вычислении действительнои части от 产％ 1尸1 (—11/6, 1, —g]iD) главный член разложения исчезает, так как он после умножения на 产/• становится чисто мнимым. Поэтому

跚5 (р)=巴扌0,73 {cl收屮+ 1(А)а г俘)森X跚5 (р)=巴扌0,73 {cl收屮+ 1(А)а г俘)森X

跚5 (р)=巴扌0,73 {cl收屮+ 1(А)а г俘)森X

跚5 (р)=巴扌0,73 {cl收屮+ 1(А)а г俘)森X

Подставляя -~ = ^-, убеждаемся, что члены, содержащие р*〃, взаимно уничтожаются и что искомый предел есть

а(8)= 2^. 2% 肛借)(一 cos 將)с2 产=0,154 索“ *. (30) Отсюда мы получаем выражение для среднего квадрата флуктуаЦИЙ 依〉2 = }Dx(8)：

色3〉= 0,077 c 泌％ L”.(31)

Выведем также формулу для нормированного коэффициента корреляции флуктуаций амплитуды

/ (a _ ^[与8一与⑹】_ Pх(р)

У 丿人(8)

Подставляя сюда выражения (28) и (31), получим после простых преобразований

Mp) = ReR(—^, 1,簣)一ctg金Im#”—*【，簣)一

-1i—7Щ—墙)’(P A 入) (33)

Л Гsin 1T

Яр®Яр®Из формулы (33) следует, что при 刀》1 в области р»猫 функция 6х(р) зависит лишь от безразмерного аргумента 署=

Яр®

Яр®

т. е. отт. е. ототношения расстояния между точками наблю

т. е. от

т. е. от

дения к радиусу первой зоны Френеля. Формально мы можем рассматривать (33) и при рт0 (соотйотпение %(0) 士 I выполняется), но при этом нарушается условие g》l, т» е« р>入о, использованнсе при выводе этой формулы. Формулой (33) можно пользоваться при g>l, т. е.咅 А%・ При значениях же ар

гумента 咅=%W与《1 формула (33) перестает быть сира” ведливой и уступает место формуле, вытекающей из (22), (31) и (32):

6x(p) = i — 12,3(/M»+... (р<С 觞).(33а)

В области значений %)У р《Y^ ВИД функции Ьх (р) определяется формулой (33), в которой взяты лишь первые члены ряда Для

bx(P)= l_L^Г假)‘ + ^ cig 专分一芻陽y 十…=

行Г[百丿sin広

-1 — 2,36署)％ + 1,71 粤—0,024 (*)' + •••(34)

Чтобы получить асимптотику фуцкции 以(р) при р т оо, следует 一百,一于一證卜

В результате можно получить выражение

"(p)= -4尊广隱発1)，(35)

где

4二疝^ "二。g42・

Функция (33) изображена на рис. 45*

Рассмотрим теперь структурную функцию фазы %・ Выражение для нее удобнее всего получить из формулы

5 (р) + А (р) = А(Р)・

Подставляя сюда

"(р) - 2% (0) 一 2& (р) = 2 <Х2>[1-^(Р)]

и используя выражение (26) для функции °i (р) при О》1, g》1, получим

Ds (р) = 0,73 С^ Lp%- 0,154 恵必丿气[1 —氏(р)].(36)

При р АР入厶 второй член в (36) стремится к постоянной величине.

^%纱^，勿州纱"纷纱勿〃^%纱^，勿州纱"纷纱勿〃Рис. 45. Корреляционная функция флуктуаций логарифма амплитуды при условии V^L» %Рис. 45. Корреляционная функция флуктуаций логарифма амплитуды при условии V^L» %

^%纱^，勿州纱"纷纱勿〃

^%纱^，勿州纱"纷纱勿〃

Рис. 45. Корреляционная функция флуктуаций логарифма амплитуды при условии V^L» %

Рис. 45. Корреляционная функция флуктуаций логарифма амплитуды при условии V^L» %

в то время как первый возрастает и в выражении для Dy можно оставить лишь первое слагаемое:

% (Р) = 0,73 С誑％% (р A R).(37)

При ру У入厶 используем первые два члена разложения (34) функции Ьх (р)：

1—%(p)y2,36*/・L・p%.

Подставляя это выражение в (36), найдем

%(р) = 10,73 或炉％% %《py /И：).(36а)

Таким образом, выражения для Ds (р) при р》)/入L и рУ]/^£ отличаются лишь коэффициентом 1/2. При р << Хо функция D$ (р) имеет квадратичный вид (23).

Выражение для D^s легко получить из (27), взяв мнимую часть D2 (р). Мы приведем лишь выражение -у 刀工$(8) = 5xS (0). Используя асимптотическое разложение функции tF^ получим

&S (0) = <Х^1> = Ctg 患⑴〉=0,28 d / 厶” (38)

Из этой формулы ВИДНО, что 〈1(61〉~ <Х2>-

Выражения для корреляционных функций флуктуаций угла прихода можно получить из структурной функции Ds (р) по формулам, аналогичным (35.40) п (38.40) (введя лишь дополнительный множитель кг” в правые части этих формул). Средний квадрат флуктуаций паправления распространения на основании формулы (23) при D 登 1 равен

〈炉〉=0,41 C：LXG%.

Эта формула отличается от соответствующего выражения (11.42), полученного методом геометрияеской оптики, лишь коэффициентом 1/2. Радиус корреляции флуктуаций угла прихода, как и в случае D У 1, имеет порядок Xq.

В заключение этого параграфа дадим наглядное объяснение полученных результатов. Основные формулы, определяющие структурную функцию фазы, и выражение для среднего квадрата флуктуаций амплитуды можно вывести с точностью до численных коэффициентов на основании простых качественных рассуждений.

Рассмотрим сначала случай геометрической оптики. Пусть два луча длиной L располагаются параллельно друг другу на расстоянии р, причем р А %・ Разобьем эти лучи на отрезки, длина каждого из которых также равна р. Число таких отрезков N на каждом из лучей будет равно N = Е/р・ Разность фаз, возникающая после прохождения волной выделенной пары отрезков, имеет порядок AS ~ кр^п (р). Величина Дп в среднем равна нулю. Средний квадрат разности фаз после прохождения одной пары отрезков равен < Д№>х~ А2р2< Дп2(р)>. Полпое же значение среднего квадрата разности фаз после прохождения всех N отрезков равно

<Д5»> = ^ <Д№>! = Л8рг <Дпа(р)> у .

Подставляя

e/(p)〉= *% (в=也)，

Получим

т. е. выражение для структурной функции фазы при р》". Если нее р У 4, то длину рассматриваемых отрезков следует взять

ттравной ", так как в пределах этого расстояния значение п при

т

т

ииблизительно постоянно. Тогда А5~И0Дп(р),

и

и

*S%〜胪也а吗p)〉，<A58>~/c%L<An2(P)>.

Но в рассматриваемом случае (при р《Q

〈а遊(p)〉~0小4(专)，

так что

〈Аб8〉〜С粉〃ГрП

Обратимся теперь к амплитудным флуктуациям. Пусть на собирающую линзу с фокусным расстоянием F и радиусом 7? падает плоская волна. Проведем плоскость, перпендикулярную оптической оси линзы, на расстоянии х от линзы, т. е. на расстоянии F ——х от ее фокуса. Тогда сечение пучка в этой плоскости определится из равенства R/F — г/ (/ — х), т. е. R/r —F/ (F —х). Если амплитуда волны до линзы равна Ло, а в сечении х она равна 4, то, очевидно, 4訳"=Л2г®, откуда Л — А^/r и

6А = А — Ао= 4 件—1) = ^^^.

Отсюда относительное изменение амплитуды

6 1 — х

Пусть x^F. Тогда 54/4©〜芯/Ь・ Отсюда оледует, что если имеются липзы с различными фокусными расстояниями, то наибольший эффект произведут те из них, фокусное расстояние которых минимально. Фокусное расстояние линзы определяется известной формулой F = Я/ (п — 1), где Я — радиус кривизны линзы. Если роль линз играют турбулентные неоднородности, то 冷—1 〜又井 и P ~ R”jCn・ Тогда для наименьших линз R 〜М будет F 冰/& и -^ 〜■^・ Пусть на пути луча имеется

310 распространение коротких волн в атмосфере [гл. 3 множество линз со случайными значениями F. Их число N равно N = -^- , где Е — длина трассы. Величина х для различных ливз различна, но всегда имеет порядок L. Тогда суммарный эффект по порядку величины будет равен

Мы получили формулу для среднего квадрата флуктуаций амплитуды в приближении геометрической оптики.

Учтем теперь дифракционные эффекты. Они проявляются в рассеянии волны на малый угол 入/厶 где I —— размер неоднородности. Никаких существепных изменений в механизме образования флуктуаций фазы при 3ToM учитывать нет необходимости. Что же касается флуктуаций амплитуды, то здесь картина может существенно измениться.

Если согласно геометрической оптике радиус пучка в плоскости х был равен г, то за счет дифракции он изменится на величину порядка 掾.Если 掾《г = 7? (при слабых флуктуациях г ^Я), т. е.入н《А2, то это изменение несущественно. Если ясо 万 н》 А «R, т. е. Хх ^> Яат то дифракционная картина полностью определяет распределение освещенности в сечении z и весь фокусирующий эффект линзы исчезает (дифракционная картина от слабой собирающей и слабой рассеивающей линз приблизительно одинакова). Поэтому линзы, для которых XL А?, не обладают фокусирующими свойствами и не влияют существенно на флуктуации амплитуды волны. Если в турбулентной среде имеются линзы различных размеров, часть которых удовлетворяет условию 入£ W*% а часть — нет, то флуктуации амплитуды в основном будут вызываться наименьшими из тех неоднородностей, которые еще обладают фокусирующими свойствами, т. е. неоднородностями, для которых XL 〜7?2 Отсюда следует, что в случае, когда XL> 邕、 величина /0 в формуле, определяющей <(6Л/4)2>, должна быть заменена на )/ XL. Тогда мы получим

(陷)〉〜不/厶

т, е, выражение, полученное методом плавных возмущений для случая }/&£ A 4P Из приведенных рассуждений следует, что эту формулу можно интерпретировать как результат применения геометрической оптики к среде, из которой изъяты мелкомасштабные неод-

породности с размерами, меньшими ]/立.Такая интерпретация этой формулы в некоторых случаях оказывается весьма полезной (см. раздел Б гл. 5).

Отметим, что полученные выражения справедливы только при условии// У F. Если это условие не выполняется и, наоборот, имеет место неравенство F^L, то картина резко меняется. Если рассмотреть короткофокусную линзу на большом рассстоянии от точки наблюдения, то независимо от《знака》линзы ее присутствие приведет к расширению пучка (лучи будут казаться расходящимися или из действительного, или из мнимого фокуса, причем расстояние 2尸 между этими фокусами мало по сравнению с расстоянием от линзы до точки наблюдения). В этом случае увеличение числа или «силы» линз, находящихся далеко от точки наблюдения, практически не меняет амплитуду. Сильные же изменения амплитуды будут вызываться лишь теми линзами, фокусы которых лежат вблизи от точки наблюдения. В этом случае при увеличении длины трассы ее «эффективно работающий» участок все время будет примыкать к точке наблюдения и относительный уровень флуктуаций будет меняться очень слабо: наступает насыщение флуктуаций а&шлитуды.

Количественный расчет этого аффекта достаточно сложен и еще не завершен окончательно. Мы приведем два варианта расчета ——в последнем параграфе этой главы и в разделе Б гл. 5.

§ 48・ Флуктуации фазы и амплитуды в локально однородной турбулентной среде с плавно меняющимися средними характеристиками

До сих пор мы рассматривали случай, когда интенсивность флуктуаций е была постоянна в пространстве.

вид⑴(2)n 4-~2~ 'вид⑴(2)n 4-~2~ 'Легко обобщить полученные результаты на тот случай, когда величина С( является функцией координат [108]. Такая модель турбулентности была рассмотрена в гл. 1. В этой модели структурная функция Рс (гь r2) = <[8! (ri) — ei (г2)]2> имеет

вид

⑴

(2)

n 4-

~2~ '

вид

⑴

(2)

n 4-

~2~ '

& ⑴,г2)= а(^±^)w * г2).

Аналогичный вид имеют и спектральные плотности:

①,=С： (?Ц^)①?)(%) = Ф. (х, ^Ц^), % = d (乜产•)碍(К2, Кз,外一g)=凡佃.Ki. Xi — Г»

Формулы (22.46) и (26.46) для двумерных спектральных плотностей Fj и fg справедливы и в этом случае» так как ири их выводе иредиоложение о постоянстве С( не использовалось:

尸1(К2，К3,勺)=

=卦§exp{"%/7H)}乙％ хз, М — y",子专J)dx'd" ⑷ 0 0

尸2(Mi, Кз, X)=

=一名 \ 呻 卜 ^ "一炉一叫凡卜2, к3, x,-x", 土寺上)dx, dx".

(5)

Здесь учтена зависимость функции Fe лишь от продольной координаты (Н + £〃)/2, так как характерный размер Lo)на котором заметно меняется функция Сс (г), велик по сравнению с интересующими нас поперечными размерами (с радиусом корреляции амплитудных флуктуаций У^Ь или с аргументом р функции D& (р)). Подставим в (4) выражение (3) для Fe:

网(乂L 乂2, 6)=

X X

=4"« 爲(Ц^) exp F'(y)}禮(Х2, Кз,疗一吟 dx'dx^. (6) О о

Введем новые переменные 自=н' — н\ П = ^ (仆 + 吟. Интегрирование по 自 можно, как и раньше, распространить на иределы от ——оо до +оо, а экспоненту считать равной единице. Используя соотношение

8

\ 尸Т)(«2, &, I)决=2кб? (О,整，啕，(7)

—00

получим

Л(Х1, х2, х) = уЛ^Ф^ (0, ха, х3)，Се (") dr]

или, используя обозначение (2),

А (хъ х2, 7>) = } лА2 ^ Фе(0, 乂2,賞8,勺)de.(8)

Аналогичным образом вычисляется и функция fa:

m (然2, 尤3,h)=

X8

=—^5C*(T1)exp (—T~^—^)} dr| \ 砂(K2, Кз,占)庞= и—ОО

=一等噌(。，畑 ХЗ) 、 c貿Т1) exp {- ’"("「"} dt]

или

尸2 (х2, Хз, Z)=—竽，exp {—丝”_")} Фе (0, х2, х3, н) dx. (9)

В формулы (8) и (9) входят интегралы от переменной спектральной плотности. При этом в 尸 1 входит просто усредненное вдоль луча значение Фе, в то время как в f2 усреднение происходит с весом ехр {—识% ^一"}・

Произведем расчет функций Dt и 0? для случая, когда Фе0) задается формулой

Ф^(и) = 0,033『力ехр (—.(10)

Подставляя (10) в (8), получим

ОО

Dx (р) = 4л [1 — Jo (хр)] А (х, L)xdx = о

Lоо

=2л2-0,033Ла^ С：(н)&х\ [1 —Jo(xp)]J3exp(—(11)

Эю выражение отличается от формулы (3.47) лишь тем, что в ней вместо величины 〃7? фигурирует

LC^\(^{x}dx.(12)

О

Следовательно, выражение для D】(р) можно получить из соответ^ ствующих выражений случая С? = const при помощи замены (12): А (Р) = 0,033 л2|г (1)左喝/[尊 3) dx 卜 Fl (-|, 1 ,-^)-1]- ”(13)

Найдем теиерь выражение для D^ (р) для сдекчра (10；:

Lоо

Да (р) = —2л2 0,033 6, Се (х) dx ^ [1 —Jo (хр)｝х_,^ х

О工р｛一艮十一]｝及

Используя формулы (9.47) и (12.47), в которых вместо L следует подставить (L ——х) и положить р — в/з, получим

02(р) = — 0,033炉^Т (%) &耽？'\ С：⑺[i 十喝*] * x

1,1,dxydxy(14)(14)?\-1i*(厶一z)丿

1,

1,

dxy

dxy

(14)

(14)

1 +

где снова обозначено g =十一.

Как и в случае 恵=const, рассмотрим случаи 刀《1 и

ix^ (L — з:)

Если Dy 1, то 1 Н^= 1 и Д2 (р) ^ — -01 (р)- Поэтому

d5=^[少1 - Re 少2]=少1, т, e.

%(p) = 0,033 л21r (I)胪尤萨 X

x[/Z(-备，也一—-1]jС：⑺de, (45)

Таким образом, фазовые флуктуации определяются интегралом от С?(工)вдоль луча.

Найдем теперь Рх (р). В этом случае следует разложить (14) в ряд по 〃 = —[ с точностью до членов второго порядка (это разложение проще выполнить в интеграле, который приводит

К (14))：

Е (Р) = 一 4 (Р) - 0,033 М i*r (1)噜 х

X 卜网信，1, - g) -1 ] J (^ - Ж) d (х). dz - IЛ2 0,033 г (I) X% x 0

x[i 戶 1&, 1 ,-g)-f]J(L-a:)2Ct (x)dx + ...(16)

0

Найдем Дх (p) = у [А(P)+ Re D2 (p)I

Dx(p) = J0,033 r(l)盛卩 _ 1% 佶，1,_g)] jj (厶-©a a® dx.

3(17)

Сравним эту формулу с формулой (15.47), справедливой при d = const. Мы видим, что вместо величины у L3C1 в (17) фигурирует интеграл

T-月a- 、 （厶一2户e： M）dz.оT-月a- 、 （厶一2户e： M）dz.о(18)(18)

T-月a- 、 （厶一2户e： M）dz.о

T-月a- 、 （厶一2户e： M）dz.о

(18)

(18)

Поэтому все формулы для амплитудных флуктуаций в случае 少 У 1 можно получить из соответствующих выражений случая Се — const заменой (18). Например,

<х2> = 2,4 Х~^ d (.г) (L~^ dx р<1). (19) О

Рассмотрим теперь случай/)発 1. В этом случае почти во всей области интегрирования в (14) х^^Л — 夕)/"货 1, так что можно считать

так что

L

А (р) = — *• 0,033 п2 4 Г (А)产,с： (х) (L - с)% х

х[#】(一31，Т^)—№・ (20)

Из этой формулы видно, что вид функции D窖(р) зависит от функции С? (ж). Поскольку С： (х)——произвольная функция, то, не задавая ее конкретного вида, мы не сможем получить определенной функции 夕£ (р). Однако выражение для (Х2> можно получить в общем виде. Так как

Dx(p) = ^[Di(p)+ReO2(p)l

и <%2> = §Dx (оо), то нам необходимо найти Dt (р) и Dg (р) при р —> оо. Из (13) легко получаем

0,033 л2-|- Г (Д-')р/彳、

А (Р) =^ТП^ 胪 р%\ С：⑺ dx^° I '(2i)

2%Г 偌)К»

Подставляя асимптотическое разложение

1F,(_ 4'11 ^®h)) = ^nj(轨忙 J" + ° (у)

в (20), получим

Re仇(р)=—"期:Р%£ 或⑴de +

2% Г (石)0

+ cos(^n)0,033л2-|г(1)必，、窃(^(L — c)%de. (22)

Складывая (21) и (22), получим

L

“ (р) = 0,033 л4 cos (~л)|г(1) / \ 尊 3) (£-載 dz^O 伶)，

°(23)

откуда найдем окончательную формулу:

〈%» = 3-0,033 Л» cos 億屮佶产,C：&)d —2)%厶= о

L

=0,141 F'J c!(x){L — x^dx (P>1). (24) О

Если в (24) положить С： (с) = const, то мы получим прежнюю формулу (31.47).

Функция Ds (р) может бьхть определеца из соогнэшеная Д5 + Дх = ^i- Из него следует, что при р亮了九Е, когда функция Дх (р) постоянна и мала по сравнению с 力工，Z)s(p)^i Д1(р). Таким образом,

%(р) = 0,73依р%，a(x)dx (р>/立).(25)

о

В области же pWV" вид функции Dq (р) существенно зависит от 少％ (р), т. е. в конечном счете от функции С： (х), и поэтому не является универсальным.

Из полученных формул следует, что вклад различных неоднородностей в флуктуации фазы не зависит от их координат (например, сдвиг фазы, вносимый плоскопараллельной пластинкой, не зависит от того места на луче, куда помещена пластинка). В то же время вклад неоднородностей е в образование амплитуд кых флуктуаций тем больше, чем дальше от точки наблюдения на* ходится неоднородность. Это находится в согласии с хорошо известным фактом? что если линза находится непосредственно перед точкой наблюдения, то она не вызывает изменения интенсивности излучения в этой точке *).

§ 49・ Флуктуации амплитуды сферической волны

Для расчета флуктуаций сферической волны используем выражение (14.45), дающее значение Фх(г) для случая произвольной функции 4ro (г):

6e)=券，费讶卷符厶俨)力'■ (1)

В случае, если 4ro (г) — сферическая волна, распространяющаяся из начала координат,

RgRg二 е«с St )二 е«с St )(2)(2)

Rg

Rg

二 е«с St )

二 е«с St )

(2)

(2)

и формула (1) принимает вид

6⑺=爲”—河厶①)”⑶

При 九 у %о в (3), как и для случая плоской волны* существенна лишь область между источником и точкой наблюдения, примыкающая к прямой линии, соединяющей эти точки. Направим ось х на точку наблюдения. Тогда г — ｛ж, 0, 0｝ и в существенной для интегрирования области | н — |》|у，|, | z* |. Поэтому, как и в случае плоской волны, можно положить в экспоненте

—х — с'-[—х — с'-[T鼠卜Z'2昭一F)T鼠卜Z'2昭一F)(4)(4)

—х — с'-[

—х — с'-[

T鼠卜Z'2昭一F)

T鼠卜Z'2昭一F)

(4)

(4)

а в знаменателе (3) — просто |г — rz | = ж — z* + ... Интегрирование по а/ распространяется на участок 0 < о/ < 土 по у и z — на бесконечный интервал» Величину г' в экспоненте также можно представить в виде г = ж + £Н а в знаменателе положить ее равной о/. В результате получаем для Фг формулу

①1(瑞。，0)=窘§ (」；” 6 Wdz，exp ｛吧％ t；；)卜I (d,旷，z，) °(5)

Найдем величины〈①^①工〉и <Ф?>, определяющие средние квадраты флуктуаций логарифма амплитуды и фазы. Вначале мы будем предполагать турбулентность однородной. Для 〈①丄①力 имеем

X X8

3兩〉=鋼3=二"№хp｛掾 X О 0—QQ

X [*多一沿耳司｝国(X -小/ 一/Wf d/dz，d『dz".

(6)

Положим 旷——у" = Л，Z’ 一 Z” = £ у" = у, z" = %:

XX8

gg；〉=譌* s£(匕汾 6 /&'-(% G d"女 X О 0—8

X g exp院一忐%+…竺仁;产+皆加心.⑺

Ввутренний интеграл по у, z легко вычисляется и равен

2П*2Г (:g —*)住一")ri/rar(if +偉) ]

^("一金")3 + g" 一£)p [- 2(片—")(炉+峭一6j .

Подставляя это выражение в (7), получим

〈6①力=丽«3一却” + ^—。)х

§4 3 Т % О ехр 応匕偿tSy)}网也(8)

Воспользуемся двумерным спектральным разложением (31.5) функции 团 3 — 6〃，％ 0

с©

瓦侬—с"，」，D = § е‘ (Е卜咏)凡(х21愚，炉—")dxz眼3・(9)

Подставляя (9) в (8), найдем . квсо

<Ф^> =一群* 运 VZ当二牙) g 尸e (出,% z'一 ^Уx^Хз X

О 0—ОО

0©

X g eхp {"出" + xK)-爱行勺;汇2 —小 m 典.(10)

Интегрирование uo п，С легко выполняется, и мы получаем формулу X XОО

〈色①；〉=^ \林娱dz" 8凡的，Xs,公一书X 0 О——ОО

X exp [--J九2限，(II)

где введено обозначение 乂纟=м； + х|・ В существенной для интегрирования по х области I м (л/ — ~")| W 1. Поэтому

〔д*^1® 丕萨ж

X XX Xтак как х/Ar ^ ХД0 <^ 1. Поэтому экспоненту в (11) можно считать равной единице:

X X

X X

〈① 1①;〉=dx dx№ § Fe (&, x3> x ——xn) dYg d><3 =

—DO

.OO'X Ж

=* S\ "'"К3“& 的，，" * 一吟比，dd. (12) ―оо0 U

Подынтегральное выражение во внутреннем интеграле — четная функция от (я/ — а:"). Применяя формулу

X XX

оо、、尸Е(«3» «3,寸—~") dddxv = 2^(x — |)Fe(x2, «3, E)dg,

о

о

о о

получим

8X

〈① 1①;〉=导 g % dn3 J| (x 一 E)凡(«2» №* I) d±・(13)

—oo0

При вычислениях флуктуаций амплитуды, как было установлено выше, наибольший вклад вносят волновые чясла порядка 1/М入+・ Отсюда следует, что в (13) существенное значение имеет лишь область ±《了入忆《夕・ Поэтому можно считать х — ^ ^ х, а интегрирование по ж распространить до бесконечности. Учитывая формулу

，%(Y2, ^3» e) dе =几①.(0. x2, Хз)| о

получаем

8

〈①т<1)；〉= -^-，Фе (0, х21 х3) d也 d也.(14)

Перейдем к вычислению величины〈①：〉：

«〉=崙К河抬5血叫将虚导十 О U—оо

十 ¥；£)]} %(工‘ 一 * 旷一，* z，- Z")电'dz' dy"dz"・ (15)

Как и при вычислении интеграла (6), введем 岁'——у" = т], z'—— —z〃 = &「= % z" = z. Интегрирование по % z легко может быть выполнено, и мн получаем формулу, аналогичную (8):

©〉=壊代 〃(_}「% — * & 凡37"，％ С) х О 0—со

义 exp { 2р q — J，十胃2 一 с” )「}的 *. (16)

Снова воспользуемся спектральным разложением (9) и выполним интегр ир ов а ни е по переменным т], g:

X Xсо

<Ф1> == - -^-^^ dx№ \\ dxz <ьС3 夕Е (К2, 乂力 z，—化")X 0 0—OO

хехp {_竺更y萨七叫 (17)

Введем новые переменные п = xf —化\ 少=}(%'十 今“).

Показатель экспоненты принимает вид*

n- 於氏2-2词一曰].([8)n- 於氏2-2词一曰].([8)1М2 [^ (x -川)+ xu(X —片')]2笈

n- 於氏2-2词一曰].([8)

n- 於氏2-2词一曰].([8)

Но в существенной для интегрирования области xu ^ 1, поэтому

и, следовательно, величину 忆？/2 в (18) можно отбросить. Интегрирование же по и в силу быстрого убывания функции Fe (旳,х3, и) можно распространить на бесконечные пределы. В результате получаем

ООX

<Ф1> =—粤 § Фе (0, Кз, Кз)加也\ехр {——'""^_°)}d». (19) —8О

Нас будет в дальнейшем интересовать величина Re <Фг>)через которую выражаются флуктуации амплитуды и фазы. Действительно, используя выражение Ф1 = X Ч- i^i, получим

《5①;〉=〈尸)+〈ь〉，〈①3 =а£〉-〈负〉+ 2m加力，

откуда

8〉=皆 К①应〉+ Re<①；〉].

41 В. И. ТатапскиЙ

Взяв действительную часть (19), получим

Re <ФЬ = — ^" § Ф* (0, 乂2, хз) d& 4乂3 \ cos {咆(萨")} du・(20) —ООО

Рассмотрим интеграл /=jcg%%〃(21)

При помощи подстановки &=^- Ч- г получим

Х '2* 2

=2 [cos 瓷 \ COS 雾若 + sin % - Sin 嘗延]•09

Входящие сюда интегралы выражаются через интегралы Френеля

С (z) = \ cos 半丸 S (z) = \ sin ^~ A,

и мы получаем для / формулу

I = x / 怨[cos 纂 с(/ 磊)+sin 衰 s()/ g-i L (22)

Подставляя (22) в (20), получаем

Re«〉_ 当 $ /規c°s 凳 С» 嘉)+

—8

+ sin賽s(/壽)]①* (°, 乂2, 乂3)dx? dxg. (23)

При подстановке (14) и (23) в формулу

〈唄〉=手К①浦〉+ Re 3〉],

получим

<Х2> =卓 § Ф«(0, №,廟 Г 一 /甕义

—со

X [cos 舞 с(/縣)+ sin舞 5(/筮■)]№2dM3. (24)

Для случая изотропной турбулентности, когда ФЕ (0, х21 х3)= =фе (х), в (24) можно ввести полярные координаты по х21 х3 и выполнить интегрирование по углу:

оо

8〉= *鹏6 W 空 X

х[cos 等С (/嘉)+ sin幾 S ( /窑)]"dK. (25)

При к — 0 фигурная скобка в (25) стремится к нулю как х4. Поэтому интеграл (25) сходится и в том случае, если при х —> О фе (х) имеет особенность (например, ФЕ (х) ~х-11；3). Физически это означает, что на флуктуации амплитуды крупномасштабная часть спектра турбулентности не оказывает существенного влияния (как и для плоской волны). Это обстоятельство позволяет распространить формулу (25) и на случай локально изотропной турбулентности, хотя при ее выводе делалось предположение о ее однородности. Выражение для среднего квадрата флуктуаций фазы сферической волны отличается от (25) лишь знаком перед вторым членом в фигурной скобке. Однако в результате этого выражение для <5?> в случае локально изотропной турбулентности оказывается бесконечным (как и в случае плоской волны).

В предельном случае У^У 入◎ величина 農^У【во всей существенной для интегрирования области.

В этом случае, разлагая подынтегральное выражение в ряд, можно получить формулу

ОО 〈代〉=磊珏 我的“忆k(了后у %).(26)

О

Сравнивая это выражение с соответствующей формулой, полученной для сферической волны методом геометрической оптики, можно убедиться в их тождественности. В частности, при ]/\0y У 入° средний квадрат флуктуаций логарифма амплитуды сферической волны в 10 раз меньше, чем для плоской волны [65, 95, 112].

Произведем расчет флуктуаций амплитуды для случая, когда Фе (х) = О,ОЗЗС〃-и“ ехр( - -.(27)

Соответствующие вычисления удобнее произвести, основываясь на промежуточной формуле (19). Если подставить (27) в (19),

то мы получим расходящийся интеграл. Однако, подобно тому как это делалось при вычислениях флуктуаций плоской волны» мы подсчитаем эти интегралы для спектра вида

Ф£ (х) = 0,033СеХ~р ехрФ£ (х) = 0,033СеХ~р ехр(28)(28)

Ф£ (х) = 0,033СеХ~р ехр

Ф£ (х) = 0,033СеХ~р ехр

(28)

(28)

при таких значениях р, при которых интегралы сходятся, а затем, после образования нужной комбинации, положим р = 丁,

Подставляя (28) в (19), получим

8*「

<Ф?> =—球胪 \ Фе (к) к dx \ ехр {— ** “ ^- ")} dp = ио

=—0,033n2CeA2^dv^ 乂l~p exp {— x2 [ -^— + 叫：厂)]} d儿(29) о оm■

Внутренний интеграл вычисляется и равен

Следовательно,

<ф?> = 一皆。，033炉 Г([一 导"誑 j[2+ ^^f一".

工(30)

Подстановка и = 子 + g приводит к выражению

喑——1

<ФЬ= -0,033n«r(l-f )^ $ [А-+ f-g]a d&. (3i) о m

В дальнейшем нас будет интересовать случай, когда рХх》* 統 (противоположный случай рассмотрен методом геометрической оптики). Тогда в (31) 1/к^《| ixjik | и величиной 1/х^ можно пренебречь:

二 一1 К2

<ф?> ~ - 0,033#г , _ 刽恵胪僚厂jj[l-誉](i%E =

=—(i з ) 0,033л2Г (1 —4-) ^~pClk 一 ％呼(I — t^ — dt. 0

Входящий в (32) интеграл выражается через Г-функцию

Подставляя это выражение в (32), учитывая формулу г()МТ) = —г

и взяв действительную часть оу (32), найдем

Re〈岭一疥；(叫:产一(33)

Найдем теперь величину <Ф1Ф*>* Используя (14), получаем

〈①1 ①;〉=л2Аах § Ф8 (х) xdx = 0,033rtsCefcsx^ к—Рехр (^) dx =

о0m

=4 0,033л2Г(1 一 导)С*8«炉z. (34)

Оба выражения, (33) и (34), получены при р < 2, когда сходятся представляющие их интегралы. Однако, как было показано при анализе формулы (25), выражение для <х2>, равное полусумме (33) и (34), конечно и при р〉2, в частности при р = Поэтому в выражении

(%,> = 4-{4- 0,033e1 - ¥) e^ 嘀%一

0,033л9 /л2wГ(中)сму0,033л9 /л2wГ(中)смуС± %р/в} (35)С± %р/в} (35)

0,033л9 /л

2wГ(中)сму

0,033л9 /л

2wГ(中)сму

С± %р/в} (35)

С± %р/в} (35)

можно уже положить р= 11/3 *). Заметим, что отношение первого слагаемого в (35) ко второму имеет порядок

так как параметр V^M предполагается большим. Поэтому в (35) можно сохранить лишь второе слагаемое и мы получаем

〈炉〉="宵 у* cXV* = o,O3ic^V\ (36)

Формула (36) для〈у"〉отличается от соответствующей формулы для плоской волны лишь численным коэффициентом 0,031 вместо 0,077. Таким образом, при УКх^> 10 средний квадрат флуктуаций логарифма амплитуды сферической волны приблизительно в 2,5 раза меньше соответствзпощен величины для плоской волны.

Разница мезкду флуктуациями амплитуды плоской и сферической волн постепенно уменьшается с ростом глубины проникновения х в неоднородпую среду. Если при х V 入｝入 отношение этих 入2£2

величин равно 10, а при %》*оно равно 2,5, то при где Ло — внешний масштаб турбулептпости, эти величины становятся одинаковыми. Последнее следует из формулы (25), из которой видно, что в случае очень больших х второе слагаемое в фигзгрной скобке несущественно, так же как и в аналогичной формуле для плоской волны, и в этом случае ми имеем для них одинаковые выражения.

Границы применимости первого приближения метода плавных возмущений

Метод плавных возмущений основан на приближенном решении уравнения для логарифма поля Ф путем разложения в ряд по малому параметру вр Кроме того, как и в методе геометрической оптики, используется разложение по малому параметру 1/10. Однако последнее разложение накладывает на ре^ шение значительно менее жесткие ограничения, чем в методе геометрической оптики. Как было показано в § 45, переход от точного ядра дифракционной задачи exp(ik瓦/R к ядру ехр也叁)/， с одновременным отбрасыванием интеграла по области, лежащей за точкой наблюдения (это эквивалентно замене полного оператора Лапласа ДФ на оператор Д_цФ), может быть произведен, если <Фц> =亲或 мало по сравнению с〈①〉 Вместо последней величины ми можем использовать〈严〉(поскольку 〈S；〉всегда больше, чем 〈％含〉)・ Воспользовавшись формулой (3L47)

<х2> = 0,077亦厶"“,

мы сможем записать это условие в виде

+ dy0,077C*%Z%.⑴

Условие (1) содержит величину а®, определяемую крупномасштабными компонентами турбулентности. Ее можно оце* нить при помощи приближенного соотношепия 冠之 2С^1^\ где Lq ——внешний масштаб тур булентности, вблизи которого происходит «насыщение» структурной функции De (г). Используя эту формулу» запишем (1) в виде

必Z”/，"％AI(2)

или

^>(2)"・㈣

Из (2а) видно, что при 入気£ и L ^> Zo (что всегда выполняется на практике) это условие не накладывает существенных ограничений на входящие в него величины. Более существенным является условие (29.45)

Е《3，(3)

использованное при переходе от точного дифракционного ядра к френелевскому.

Перейдем теперь к оценкам, связанным с приближенным характером решения нелинейного уравнения для Ф [94, 114——116]. Решение уравнения для Ф было получено в виде ряда Ф = =Ф1 -|- Ф2+ …，причем был использован его первый член Фх. Для ①2 мы имеем выражение (31.45)

L 8eх/%鱼二空士支当

a (厶小)=青%工，*Mdz尸俨厶竺一)h 0—ОО

X [V①13,矿，z，)f. (4)

Найдем прежде всего среднее значение поправки

@〉=詛也，^鼠色浄产 0—oo

XdV①i(K 鼠，z')]2〉・(5)

Для ее вычисления необходимо предварительно найти величину ([VQjP). Рассмотрим для этого корреляционную функцию градиента 屯 1 в плоскости х = L:

<V<D1 (Г1) V ①1 (г2)> = Вуб (丁1 — га).(6)

При вычислении 7Фг можно ограничиться лишь его «поперечной» частью Vj_ (так же как при замене Д на А 丄).Следовательно,

Bv①(^i - ^2)*〈Vl① 1 (/i) Vl① 1 6)〉=

=V丄(Л) V丄(第2)<Ф1 (п) Ф2 (r2)>.

Ho〈①工(rL) Ф3 (牙2)〉зависит лишь от гх— >爰,поэтому можно заменить Vj_ (т2) на — V丄(吃)：

%0 ⑴-r2) = - Vi <ф3 (г,) 6 (也)〉.(7)

Применим оператор Vj_ = А丄 к равенству (11.46):

。2 (Ъ — #2)三 <[Ф1 (П)—①工(г2)]а> = 2〈①；〉—2〈① 1 佇力 Фх (r2)>.

В результате получим

—А丄 <Ф1 («'I) 6 g)〉= 4- AjA 佑一丁2),

так как〈①；〉зависит только от продольных коордипат.

Подставляя это выражение в (7), найдем

®v① 6 —第а) = } А丄°z (>i'—%).(8)

Положим здесь гх = г2:

<[УФ1]г> = /б(°) = 4 AjA(°)・.(9)

Для нахождения правой части (9) воспользуемся спектральным разложением функции D2 (р):

1>2(р) = 2 § [1 —川5+巾)]/(%2, кз, х')^ dx3, (Ю) —ос

где (см. (35.46))

尸2 3，乂3, а’)= **£ [' - exp (—-^"^ ①С (。, &, k3).(11)

Применяя к (10) оператор А 丄,полагая затем т] = $ = 0 и подставляя (11), получим

заз, к, Z)产〉=

=等 g [‘ - 0кp(——^-)]①ё(a 出，用3)加dK3. (12)

Выражение (12) не зависит от 九 z'・ Поэтому в (5) можно выполнить интегрирование по этим переменным, в результате чего получаем

<Ф2(Д у, Z)〉=备“ВбЗ, у', 7)]3〉改.(13)

о

Подставляя (12) и выполняя интегрироваиие по х\ найдем

ОО

<®2(Ь, у, z)> =§ U+ 0 — exp(— ~^)]} x

—ОО

X фе (0, 乂2, X3)dx2dx3( (14)

Рассмотрим отдельно действительную и мнимую части <Ф2>:

Re<Oa(L, у, z)〉=

ОО

=—-^1 $ ['—倉 sin 罕]①с (0, х2, х3) d%? d%3, 04а)

—ОО

sin2

Im <Ф2 (L, у, z)〉=——厂，一旷 Ф, (0,叫 xs) dxa dKS. (15)

—CO

В § 46 нами были получены формулы (36.46) — (38.46) для спектральных плотностей флуктуаций /х и As- Сравнивая (14) с (36.46), убеждаемся в том, что

8

Re<Os(L, у, z)> =—，取(厶,«2, x3)dx2dx3 = — <xs (L)>, (16)

Im <ф2(L, y, z)〉=—，尸ks(L, %2, xs)dxsdx3 = — <x(L)5i (L)>.

—oo

Выше, в § 47 (см. (3847)), было установлено, что величины〈乂邑〉и (Ха> пропорциональны друг другу (они отличаются лишь численным коэффициентом). Поэтому условия применимости первого приближения метода плавных возмущений, вытекающие из (16) и (17), по существу, одинаковы:

<Х2 (£)〉У 1. (18)

При выполнении этого условия как логарифмы амплитуды, так и фазовый множитель падающей волпы мало отличаются от принятых при расчете невозмущенных значений 1пЛ0, exp(ikx).

Условие (18) непосредственно связано с законом сохранения энергии* Волновое поле 4f связано с Ф соотношением 4f = ехр ①. Плотность потока энергии (если пренебречь несущественными флуктуациями направления распространения, приводящими к поправкам более высокого порядка малости) пропорциональна

FF* = ехр (Ф + Ф*) = Ло ехр (Ф1 + ①;亠①2 + ①;+ …)=

=Л® ехр {2х + 2 Re ①2 十 …}.

Записав Ф3 = (Ф2> + [Ф3 — <Ф2>], получим

W = Л?ехр {2 Re <Фа>} ехр {2Х + 2Re [Фа — <Ф2>] +，..}.

Усредним это выражение. Очевидно, что при распространении плоской волны в неограниченном пространстве, не обладающем поглощением, плотность потока энергии должна сохраняться, т. е. должно выполняться соотношение(ЧГЧ;*> = const. Так как случайные величины у н Re [Фа—<Фа>] стоят под знаком экспоненты, то для выполнения операции усреднения необходимо знать закон распределения вероятностей этих величин. Величина х， как было установлено выше, выражается при помощи интеграла от случайной величины е「В случае, если расстояние L значительно превышает радиус корреляции Eq флуктуаций е, в силу центральной предельной теоремы теории вероятностей закон распределения х приближается к нормальному *)・

Аналогичные рассуждения можно было бы применить и к величине Фа ——<Фа>, но при выполнении усреднения мы не будем учитывать этого члена, так как он приводит к величинам более высокого порядка малости*

Для любой случайной величины 己(распределенной по нормальному закону) имеет место формула

〈ехрЕ〉= ехр {手〈¥〉}(<g> = 0).

Применяя эту формулу, получим

<^*> =爲 ехр {2 Re <Фа>} ехр {2 <xs>}=

= 4ехр{2[<Х2>+Ве<Ф2>]}.(19)

Подставляя сюда (16), приходим к соотношению

〈FF*〉= Ло = const.

Таким образом, чтобы не вступать в противоречие с законом сохранения энергии, необходимо учитывать в выражении для среднего поля второе приближение метода плавных возмущений. Если же мы ограничимся лишь величиной ①丄,то необходимо требовать выполнения условия (18), при котором доля энергии, переходящая от регулярной падающей волны в энергию флуктуаций, мала.

Можно было бы полагать, что, учитывая ослабление среднего поля, даваемое формулами (16) и (17), можно существенно расширить область применимости метода плавных возмущений» В этом случае в качестве падающей волны следовало бы задать

Ф0 = 1п Л0+гЛг — <ха⑺〉—г <Х⑺&⑺〉，(20)

где величины〈乂乞〉и〈*S]〉вычислены в первом приближении. Основываясь на (20) t можно найти уточненные значения и для флук^ туационной части поля ①》В этом случае формулы для средних квадратов флуктуаций логарифма амплитуды и фазы волны совпадают с полученными выше, но флуктуации в них понимаются как отклонение от среднего значения (20), а не от невозмущенной волны. Однако более подробный анализ, который мы не приводим ввиду его чрезвычайной громоздкости, приводит к выводу, что в этом случае в выражении для <Ф) поправка следующего порядка малости проиорциональна <ха>2. Выражение для <Ф>, полученное с точностью до членов четвертого порядка малости, для модели «закона 2/3》равно

<ф> = 1П 4 十 ikr — <ха (г)> — г <X (r)5j(r)> —

一2,9(1十i汽)02①)〉2. (21)

Поэтому формула (20), описывающая ослабление среднего поля, также верна лишь при малых <х>а.

Этот вывод на первый взгляд находится в противоречии с соотношением (19), из которого следует, что при Фо, задаваемой

формулой (20), закон сохранения энергии выполняется. В действительности нее это означает просто, что в случае <%2> 〜1 одновременно становятся существенными все члены ряда теории возмущений как в выражении для среднего значения логарифма поля, так и в выражении для среднего квадрата флуктуаций логарифма амплитуды.

Возникает естественный вопрос: поскольку и метод плавных возмущений ограничен условием малости флуктуаций логарифма амплитуды (18), то имеет ли смысл использовать этот метод и не проще ли ограничиться методом возмущений применительно к исходному волновому уравнению? Если в методе плавных возмущений заменить логарифм амплитуды его первым членом разложения в ря〃； то получающиеся таким образом выражения можно непосредственно получить и- методом малых возмущений.

Формально преимущество метода плавных возмущений заключается в том, что условие малости накладывается не на флуктуации поля, а на флуктуации его логарифма, что является значительно более слабым ограничением. Однако имеется еще одно существенное обстоятельство. В методе малых возмущений рассеянное поле является случайной комплексной величиной с гауссовским (в силу центральной предельной теоремы) законом распределения. Отсюда следует, что закон распределения вероятностей для амплитуды является в общем случае смещенным законом Релея. Но для этого закона распределения отношение <[Л—<Л>]2)/<Л>2 не превышает ± J = 0,27. В то же время метод плавных возмущений приводит к логарифмически нормальному закону распределения для флуктуаций амплитуды. Этот закон распределения допускает любые значения отношения <[Л — <Л>]а>/<Л>2. В экспериментах (см. гл. 4) очень часто наблюдаются значения <{Л — <Л〉Р〉/〈4〉* превышающие 0,27 и, следовательно, не могущие быть объясненными при помощи метода возмущений. В то же время логарифмически нормальный закон распределения очень хорошо оправдывается экспериментально.

Таким образом, несмотря на существенное ограничение (18), метод плавных возмущений имеет значительно более широкую область применимости, чем метод малых возмущений, описывающий лишь однократное рассеяние.

При экспериментальном исследовании флуктуаций амплитуды света, распространяющегося в приземном слое атмосферы, было установлено, что метод плавных возмущений оправдывается экспериментально при выполнении условия

у祈=0,28Ce*，I,LU/,1 < 0,8.

При этом значение отнош^ия〈[& —〈&〉产〉/〈百〉” равно 0,90. Таким образом, имеется большом диапазон условий, при которых можно пользоваться методом плавных возмущепий, но уже пепри* меним метод малых возмущений.

Однако в тех случаях, когда полученная путем расчета величина

УТ而=0,28a/N”i

превышает 0,8, наблюдается резкое расхождение результатов эксперимента с теорией (см. рис. 60 на стр. 406), объясняющееся неприменимостью первого приближения метода плавных возмущений.

В следующем параграфе намечен метод расчета, пригодный и в случае больших флуктуаций логарифма амплитуды, когда условие (18) не выполняется.

Сильные флуктуации амплитуды и фазы плоской монохроматической волны [178]

Как было выяснено в предыдущем параграфе, первое приближение метода плавных возмущений позволяет рассчитать лишь слабые флуктуации логарифма поля, ограниченные условием <Х>а<^1. Между тем даже в такой слабонеоднородной среде, как атмосфера, могут наблюдаться сильные флуктуации амплитуды волны. Значение

<5:亿)=0,077c需七3 (1)

пр одет авл я ю щее собой вычисленную в первом приближении метода плавных возмущений величину <х>2, при достаточно больших 左 к Е может значительно превосходить единицу (например, для света, распространяющегося в приземном слое, о； становится равной единице при обычных метеорологичеСких условиях для Z порядка нескольких километров (см. гл. 4)).

В случае о：登 1 первое приближение метода плавных возмущений уже недостаточно. Более того, учет нескольких следующих членов ряда теории возмущений, т. е. Ф2, Ф3, ... , также не может дать удовлетворительного результата, так как одновременно становятся существенными все члены этого ряда. Таким образом, для вычисления〈X%〉и Ds (р) в этом случае необходимо применить другое разложение.

Прежде чем переходить к выводу соответствующих уравнений, проведем качественное рассмотрение.

Средний квадрат флуктуаций разности фаз на расстоянии р в плоскости х = L равен согласно (37.47)

^(Р)= О,73С^1р，А^(Р)= О,73С^1р，А(2)(2)

^(Р)= О,73С^1р，А

^(Р)= О,73С^1р，А

(2)

(2)

(фаза S снабжена индексом 1, означающим, что (2) вычислено в первом приближении). Подсчитаем на основании этой формулы средний квадрат флуктуаций разности фаз на расстоянии р =)/lZVL]k, соответствующем радиусу первой зоны Френеля:

D& (/1Z)〜С孤/£%〜哝£)・

Таким образом, в случае, когда о； (L)〜1, флуктуации разности фаз на краях первой зоны Френеля становятся не малыми. Это означает, что окружность радиуса)/ AZ в действительности больше не является линией, отделяющей область, из которой в точку наблюдения приходят синфазные колебания. Внутри этой окружности можно выделить несколько областей, имеющих неправильную форму, из которых излучение будет приходить в точку наблюдения в фазе и которые будут в действительности являться зонами Фре^ неля. В отличие от общепринятого термина :их можно назвать «статистическими» зонами Френеля.

Появление статистических зон Френеля в корне меняет картину распространения волны. Промежуточную плоскость х = const, на которой имеется много беспорядочных изменений фазы на расстояниях порядка У XL, можно уподобить излучателю высокого порядка, который, как известно, дает значительно меньшее излучение, чем синфазный излучатель.

Рассмотрим простой пример. Пусть на пути плоской волны, распространяющейся вдоль оси ж, помещена линза, вносящая сдвиг фазы

s (Лт С)=研 + ВС + а唄 + М*

ракцииракции一兽（2yn+2z匕一炉一？）e &E^ri，0dr]d&一兽（2yn+2z匕一炉一？）e &E^ri，0dr]d&где т], —— координаты в плоскости ж — 0, где располагается выходная плоскость липзы. Поле Е (ж, у, z) в точке (ж, у, z) за линзой можно вычислить в приближении фределевской диф

ракции

ракции

一兽（2yn+2z匕一炉一？）

e &E^ri，0dr]d&

一兽（2yn+2z匕一炉一？）

e &E^ri，0dr]d&

ГС 00

Е⑷弘z)=鳥f - §—00

где R = Yx3 + уя + za. Подставляя

E。5, 9 = 4两6人)

и выполняя интегрирование, получим формулу

(мы не выписываем выражение для 巾азн, так как оно не понадобится в дальнейшем). Таким образом, логарифм амплитуды равен

In Л = In Ло一^^h屮+醬］一年1中 +罕卜

Будем считать теперь коэффициевты а м В случайными, причем <а) = <&> = 3〉= 0. Для простоты расчета примем, что а и & имеют одинаковый закон распределения вероятностей

点 при|а|<д,р(а)=蜀

0 при I а I〉д，

Найдем среднее значенио

<1п 4> =，，1пЛ р (а) р (6) da db.

Производя несложное вычисление, получим

〈In 幺〉=In Ло —击{s In I 炉一1| + In I : t ： |} + '， где

—— величина, пропорциональная среднему квадрату флуктуаций разности фаз на расстоянии радиуса зоны Френеля. Точно так же может быть найдена и величина

<r) = <[]nЛ-<1nЛ>12)= 4_{1十中山] 出『卜 (*)

В случае s3 у 1 мы получаем отсюда

<х2>1 = -г^ + ..,

Заметим, что последнее выражение мы получили би, считая, что флуктуации фазы малы, и применяя метод возмущений. Если построить теперь согласно (*) зависимость <х2> от <x2>i= $s?? то мн

получим следующую картину. Пря <х2>^1 эти величины равны друг другу. При <%а>!= 0,238 величина <ха> принимает максимальное значение 0,713, а при дальнейшем увеличении <Ха>1 стремится сверху к постоянному значению 0,5.

Из рассмотренного примера видно, что теория возмущений применима к логарифму амплитуды лишь до тех пор, пока малы флуктуации разности фаз на зоне Френеля, т. е. пока не появляются «статистические» эоны Френеля. В случае же, когда〈*合〉1 登 1, величина <х2> перестает возрастать при увеличении〈%金\「

Перейдем к более строгому расчету. Из приведенных рассуждений следует, что для получения результатов, справедливы^ при Qi А 1, необходимо учесть искажение распространяющейся плоской волны.

Вернемся к исходному уравнению (2.45)

ДФ + (V ①)2 + fca + *2ei (г) = 0(3)

и произведем в нем подстановку

Ф = ]п Ло + 泳т + ф (г).(4)

Тогда 7Ф =泳 + V<p, ДФ = А(р и (3) примет вид

Д(р + 2«fcV(p + (V(p)2 + 加呢 I (冷=0.(5)

Произведем подстановку

Ф = uw.(6)

Тогда

V(p = uVu? + 〃?Vu, Д(р = 必и? + 2VM Vw + и?Дк

и уравнение (5) после группировки членов принимает вид

u^w + [2Vu -{- 2iku + 42V步 + uwyu] yw 十

+ [Au + 2泳Vu + uVuVip + w (Yu)']笫 + 胪G ⑺=0.(7)

Так как вместо одной искомой функции ср мы ввели две функции и и w, то можно ввести дополнительное уравнение, связывающее эти функции. Потребуем, чтобы коэффициент при Vu? в (7) обратился в нуль:

2Vu + 2iku + 炉Vo? + uw^u = 0.(8)

Разделив это уравнение на и, получим

2¥1пи + 2 泳 + uVw + wWu = 0, или

V [2 In u + uw] = —2淞.(9)

Интегрируя это уравнение, найдем

2\пи + uw—2ikr(10)

(постоянная интегрирования выбрана равной нулю). В уравнении (7) выпадает член с Nw и оно принимает вид

uд^ + [Au + 2泳Vu + uVuVw + 山(w炉]w +胪e丄(沔=0. (И)

Применим к (8) оператор V. Перенося затем часть членов в правую часть равенства, получим выражение для коэффициента при w в (И)：

F = Ди + 2jAVu 十 u^u^w + ^ (Yu)' = — Ам — 24V“V?r —

——и2A步一uw^u = —Ди — и [w^u + 2V步Vu + u^w}—

——Au — мА (uw) = — и [Ain и + (V In и)2 + А (им?)].

Применяя к (9) оператор Д, имеем

2Д In и + Д (uw) = 0, откуда

^ = u [Л Inu — (V In u)2].

Подставляя это выражение в (И), окончательно получаем после деления на и:

д»+ [Ainu —(V 1пи)г]»+^^- = 0.(12)

Система уравнении (10), (12) эквивалентна исходному уравнению (5), Первое приближение метода плавных возмущений эквивалентно пренебрежению в уравнении (5) членом (V(p)2. Па языке функций u, w это эквивалентно пренебрежению членом uw в (10). В этом случае (отмечая первое приближение индексом 1)

2In〃i = —2泳尸，ux = erikT,(13)

A In &i — (V In Ui)2 =死

так что

A 步i + 力包?i = 一 fc2ei (叫 声т.(14)

Это уравнение совпадает с (9.45). Поэтому(15)

(р1=仄191 = Ф1в

Чтобы учесть отличие падающей волны, роль которой играет и, от плоской, в уравнении (10) следует сохранить член uw.

Мы произведем учет этого члена методом последовательных итераций. В первом приближении будем считать его равным, согласно (15), Фх. Дальнейшие итерации будут выполнены после анализа первого приближения. Подставляя в (10) uw ^ Ф1, получаем

21n и = — 2ikr — Ф1 (г), откуда

-iftr—-i- Ф1(т)е

и (г) = е а(16)

Подставим (16) в уравнение (i2). Для коэффициента при w получим

Д1пи—(VIn ")2 = /с2—Ц-[ДФх -I-2ifcVOi] — ；(▽①讲=

=/[‘r 等 5 (T)] - V (▽① 1)2

(в последнем равенстве использовано уравнение, которому удовлетворяет Ф1). Тогда

+ W — }ei ⑺)一-L (▽① 1)2] w = ~l^ekr+ 扣'⑺电(г). (17)

Как следует из этого уравнения, 缈 имеет порядок малости е1э так как правая часть (17) содержит этот множитель. Поэтому в левой части (17) можно отбросить величины более высокого порядка малости £i步 и (V®!)2^. Учет этих членов позволяет описать эффект убывания среднего поля за счет рассеяния (см. гл. 5), которым мы будем здесь пренебрегать. Тогда уравнение для w принимает вид

Ди? + k^w =—左％ 2 Bj (г).(18)

В отличие от соответствующего уравнения (14) метода плавных возмущений, рассеиваемая волна в (18) имеет вид

exp [ikr 十等 Фх (г)у

т. е. в ней учитываются (в первом приближении) искажения фазы и амплитуды, описываемые множителем exp (}®i. (^))・

Множитель

ехР (； Ф，= ехр (击 & + 专 S»

содержит как амплитудвые искажения х】,так и фазовые Sv Легко видеть, что определяющую роль играет множитель expQ Sil, который может, в отличие от ехр (у Xiy» менять знак. Кроме того, в турбулентной среде〈％；〉имеет конечное значение, в то время как〈S：〉для модели «закона 2/3» равно бесконечности. Мы поэтому для простоты расчета учтем лишь фазовые искажения рассеиваемой волны. Тогда уравнение (18) примет вид

厶叨 + 左恥=—к^е1кг' 2 S(r)ei (г).(19)

Решение этого уравнения дается формулой

w⑺Н研\ I户一门e%(")炉尸.(20)

Умножая (20) на выражение (16) для и, в котором также отброшен малосущественный множитель ехр [} Xi(!*)], получим

叭Г)=铝ё什-「5(”2讀У.(21)

Направим ось х по вектору 加 и разложим, как и в первом прибли^ женин метода плавных возмущений, | г —— г* | в ряд

[T 一"| = m 一叫+ 黑书)7户+...

Ограничим область интегрирования слоем 0 < а/ < н, что было обосновано выше. В результате получаем

叭瑞 у，Z)=券|各 S dy' dz' exp 卜％(L黑t(；F)X и—ОО

хе«，)5™. (22)

Эта формула отличается от выражения для Ф3 добавочным множителем eкp {-t国g 一丛⑺" под знаком интеграла. Заметим, что она содержит члены ряда теории возмущений для Ф любого порядка, т. е・①工,Ф2, Ф8 и т. д., в чем легко убедиться, если разложить в ряд ехр [等(S】(гг) — S^ (^))]・ Поэтому формула (22) приближенно суммирует бесконечную совокупность членов Ряда Ф = Фг + Ф2 +…

Действительная и мнимая части (22) дают выражения для логарифма амплитуды и флуктуации фазы:

阴e，阴e，(23)(23)Х& У, z) = ^g,d『dz，X О—оох cost* (У —y')‘ +(z-z')z 亠 &gХ C0SL , 2(一叫 2Х& У, z) = ^g,d『dz，X О—оох cost* (У —y')‘ +(z-z')z 亠 &gХ C0SL , 2(一叫 2dy'dz' Xdy'dz' XX sin ЦX sin Ц(y —旷尸 + (z — Z，)：(y —旷尸 + (z — Z，)：2(# — ”)2(# — ”)I & (*) +2I & (*) +2阴eg阴eg(24)(24)

阴e，

阴e，

(23)

(23)

Х& У, z) = ^g,d『dz，X О—оо

х cost* (У —y')‘ +(z-z')z 亠 &g

Х C0SL , 2(一叫 2

Х& У, z) = ^g,d『dz，X О—оо

х cost* (У —y')‘ +(z-z')z 亠 &g

Х C0SL , 2(一叫 2

dy'dz' X

dy'dz' X

X sin Ц

X sin Ц

(y —旷尸 + (z — Z，)：

(y —旷尸 + (z — Z，)：

2(# — ”)

2(# — ”)

I & (*) +2

I & (*) +2

阴eg

阴eg

(24)

(24)

Средние значения выражений (23) и (24) уже не равны нулю, так как величины 5\ (rz) и et (>') не являются статистически независимыми Можно, однако, утверждать, что корреляция между ними очень мала. Действительно, S^ (г) определяется интегралом от ^ по большому объему, примыкающему к лучу, входящему в точку г. Поэтому коэффициент корреляции между £〔 (^) и S* (г) имеет порядок Ljx《1, где/г0— радиус корреляции флуктуаций еа. Поэтому в первом приблюкепии можно считать, что величины б】и S] (г')——S] (г) статистически независимы, и в этом случае для величины <х) мы получим нуль. В действительности путем прямого вычисления легко показать, что <х) — величина второго порядка малости по %・ Мы найдем (х> после вычисления (Xs), а сейчас обратимся к вычислению последней величины. Здесь мы также используем соображение о независимости 5\ (гг) — S* (г) и “ (犷)， а также учтем, что Sx (“)一 S* (г) как величину, определяемую интегралом от ех по большому объему, можно считать распределенной но гауссовскому закону в силу центральной предельной теоремы.

Возведем (23) в квадрат и усредним. Введя обозначения

网网5е(«,产)=5е(«,产)=(y-『尸+ (z一炉2(£—£')(y-『尸+ (z一炉2(£—£')值①"①》,值①"①》,Й2 = fcЙ2 = fc网=告[&(k) — Si(y)h网=告[&(k) — Si(y)h(y-“T + (Z-Z")22(н —£")(y-“T + (Z-Z")22(н —£")“2 = 4" [51 (「")一&(>)],“2 = 4" [51 (「")一&(>)],

网

网

5е(«,产)=

5е(«,产)=

(y-『尸+ (z一炉2(£—£')

(y-『尸+ (z一炉2(£—£')

值①"①》,

值①"①》,

Й2 = fc

Й2 = fc

网=告[&(k) — Si(y)h

网=告[&(k) — Si(y)h

(y-“T + (Z-Z")22(н —£")

(y-“T + (Z-Z")22(н —£")

“2 = 4" [51 (「")一&(>)],

“2 = 4" [51 (「")一&(>)],

получим, учитывая независимость а1(2 и &工 О：

〈”〉〈”〉t耳融切&'di瓦（乂吟 0—ооt耳融切&'di瓦（乂吟 0—ооXXX <cos (а! + %) cos (а2 + аа)>.X <cos (а! + %) cos (а2 + аа)>.(25)(25)

〈”〉

〈”〉

t耳融切&'di瓦（乂吟 0—оо

t耳融切&'di瓦（乂吟 0—оо

X

X

X <cos (а! + %) cos (а2 + аа)>.

X <cos (а! + %) cos (а2 + аа)>.

(25)

(25)

Преобразуя произведение косинусов, имеем

<cos (ai + «I)cos(a2 + 仪2)〉~

=-^-〈COS (@1 十 a2 + d1 + 禽)〉-(g-〈COS (@1 - @2 + ОС] - d2)〉=

=cos (ai + 3)〈cos 01 十 ot3)>才 sin (@】+ 如)<sin (cti + a?)〉+ + -|- cos (m — g) <cos ⑸一*)〉一 ~ sin (@i — a?) <sin (oti — a2)>.

Теперь заметим, что для случайной величины 丫 (〈т〉= 0), распределенной по гауссовскому закону, имеет место формула

<ехр(гт)> = ехр {— } <т2>), откуда

〈cos?〉= ехр (|-<Г2>),〈sin7〉= °.

Величины аг ± а2 имеют гауссовское распределение вероятностей^ и их средние значения равны нулю. Применяя последнюю формулу, получим после небольпшх вычислений

〈前口似1士02)〉= 0.

〈cos(ai —0С2)〉= ехр {—%0&(", N)},

<cos (ai -|- aa)> = ехр {— ?2厶,夕,r')+2Ds, (r,r")—D8l (^，^)]!,

(26) где

乃)=〈国(仆)一SiS)F〉.

Подставляя эти выражения в (25), цолучим

〈饋〉=等借'N各 00—8

义及(",*) {ехр [一扌4,俨,и] ccs k^-点可]+

+ exp [- g (2%, (r, “)+ 2% (r,产)-4,("，产))]X

хе。，[鼻у 十來竺J}，(27) где

Р； = (У —『)2 + (Z — z), Р；=匂一旷户 +(Z _ 吟汽

Это выражение отличается от соответствующей формулы первого приближения метода плавных возмущений наличием дополнительных экспоненциальных множителей. Аналогичная формула для 〈S"〉отличается от (27) знаком перед вторым слагаемым в фигурных скобках*

Произвести расчет по формуле (27) довольно затруднительно. Поэтому мы используем ряд дальнейших упрощений, которые носят характер довольно грубых оценок, но физический смысл которых достаточно ясен.

Используем то обстоятельство, что продольный радиус корреляции флуктуаций фазы, как показывает простой расчет, очень велик и имеет порядок длины всей трассы. Например, в приближении геометрической оптики, которое хорошо описывает флуктуации фазы, 5г (г7) определяется интегралом от 名工 вдоль луча, идущего в точку г\ Если рассмотреть вторую точку N на том же луче, то в интеграле, определяющем S】(！•"), большая часть пути интегрирования будет той же самой, что и в интеграле для S】(/*')・ В структурной функции Dsi (г\ ^"), входящей в (27), точки г\ !•" имеют различные продольные координаты "炉* Используя сильную корреляцию флуктуаций фазы вдоль оси х, можно приближенно записать

%(", *) = DSi (Н^，I Pi — 喇，(28)

где D& (а, р)——структурная функция фазы в плоскости х — const. Через 厶 и р3 обозначены векторы с компонентами рх = = (0, у — у, z— /), р2 = (0, у — /, z — 2я).

Рассмотрим теперь выражение

А = 2。凤(г, г') + 2D& (г, *) —。&(г',产).

Используя те 採е соображения, можно приближенно считать 4弋2厶仔寸，pi) + 24, С 疗，f^ — DSl^-^x , pi—p2).

Мы упростим это выражение еще больше, заменив его на

A^DS^^±^, pi+ Р1).(29)

Основанием для такой замены является близость структурной функции

% (/ р) = const р%

к функции const р для которой последнее соотношение выполняется точно. Кроме того, оно выполняется в точках рг = 0 или рг = =0 в случае DS1 (х, р) ~ р6^3 *).

Используя приближенные соотношения (28), (29), запишем выражение (27) для <х2> в виде

XX8

(結，昌，昌心电，dz，dix Оо—со

х 瓦(”，т")卜хр [^-% ( н ~^ н，Р1—р2)] X

+ exp [― $ 4, (^4^ ' Pl + P0] COS "% 十 2"上呪｝• ©О)

Рассмотрим первое слагаемое в (30). Существенная для интегрирования по рь % область определяется множителем

coscos后Р:2(® — хх)后Р:2(® — хх)2（力 一丁）2（力 一丁）

cos

cos

后Р:

2(® — хх)

后Р:

2(® — хх)

2（力 一丁）

2（力 一丁）

Аргумент косинуса имеет порядок ^±^ (взято среднее значение знаменателя). Интеграл по области, где

за счет осцилляций косинуса мал. Поэтому основное значение имеет интегрирование по области

&(Р1 —Р?)2% 二н' —н"&(Р1 —Р?)2% 二н' —н"<1.<1.

&(Р1 —Р?)

2% 二н' —н"

&(Р1 —Р?)

2% 二н' —н"

<1.

<1.

В этой области аргумент | рг—р2 [ функции ^ 仔 ~^ 工,| pi—р^ имеет порядок

(31)(31)

(31)

(31)

где В — некоторая численная постоянная порядка единицы. Такие же рассуждения можно применить и ко второму слагаемому в (30), что приведет к оценке

g+外1 = 3产三戸(32)

для аргумента функции 0& 仔 /^ 也,| pi + р21) • Постоянные 0 в (31) и (32), вообще говоря, могли бы быть различными, однако для упрощения расчетов ови взяты одинаковыми.

Используя (31) и (32), получим для <%2>

НН8

8〉-圏寸昌i昌展%&%"瓦5, hх

ОО—оо

Хехp{_%(中,Вp4(一竽)} X

X cos 2 (J") C0S 2(H」H") •(33)

Аналогичная формула для〈S”〉отличается от (33) заменой косинусов в (33) на синусы. Формула (33) сводит рассматриваемую задачу к решенной выше задаче о флуктуациях амплитуды и фазы в среде с плавно меняющимися средними характеристиками турбулентности. Действительно, если рассмотреть «эффективную» корреляционную функцию

马(”，产) =凡("，*) exp {-彳方& ( ^1，0 /工"竽加

(34) зависящую от —^— , то мы приходим к этой задаче. Применительно к «закону» 2/3» для флуктуаций ех формула (34) дает зависимость «эффективной» структурной характеристики С； от координаты g = 。£ :

爲⑶=C? exp 卜吉％ G，в/生U) }(35)

ИЛИ

e (В)=以 exp {-0,16d'七%空(x - »%},

где мн использовали формулу (2) для DSf (х, р).

Воспользуемся теперь формулой (24.48) для среднего квадрата флуктуаций логарифма амплитуды в среде с переменным С：

8〉= Я • 0.077F. § С： (5,-讨瓚 (36)

О

и подставим в пос выражение (35):

<х*> = ^0,077 専/ § 3 - Е)% exp {—0,16户С 訳空 Q — 陰门幅

°(37)

Произведем замену переменной 己=хр. Тогда

1

<х2> = ^ 0,077с 犷叫(，一р)%ехр {-0,，63%C±%z"/・p(l—р)%} dp.

О

Подставляя 0,077С^ЛГ%"“ = о；(北)一результат расчета〈代〉 в первом приближении метода плавных возмущений, получим

<Х2> =券 / («)，仕一Р)% exp {— 2,1В%£ (z) р (1 — р)%} dp. (38)

Мы видим, что <х2> является функцией от величины о； Q), найденной в первом приближении. Анализ выражения (38) показывает, что при СУ 1 <Х2> =о：, а при о； т 8 величина <х2> стремится к постоянному пределу

碇黯=。，87产

Обратимся теперь к структурной функции фазы. Воспользовавшись формулой (25.48)

Ds(x, 0 = 0,73№叫a阳戏,Ds(x, 0 = 0,73№叫a阳戏,(39)(39)

Ds(x, 0 = 0,73№叫a阳戏,

Ds(x, 0 = 0,73№叫a阳戏,

(39)

(39)

подставляя (35) и вводя | = рн, получим

4,3, Р) = 0,73老胪卢4 exp {-2,1/£ Q) р (，一 p^} dp = и

=DSl (c, p) <p (2,年%£ ⑺)，(40)

гдегде11屮(z) = \ £~zp(l-p)% dRО屮(z) = \ £~zp(l-p)% dRО

где

где

1

1

屮(z) = \ £~zp(l-p)% dRО

屮(z) = \ £~zp(l-p)% dRО

Таким образом, D& (%, р) отличается от D& (х, р) дополнительным множителем ср. Функция 屮(z) 1 при z《1・ При z —> оо имеет место асимптотическая формула 屮(z) y •

Таким образом, при и：》1 функция D& (ж, р) сильно отличается от принятой при расчете функции D& (%, р). Это означает, что первое приближение для 〃s, взятое при расчете, оказывается недостаточным. Подставим функцию (40) в (35). а затем полученное исправленное значение Cf — в (39):

Ds,^ р) = 0,73C%wjexp{_*% (邑 В /2『))}或.

D

В результате получим следующее приближение 夕鸟.Повторяя эту операцию многократно, и учитывая, что процесс последовательных итераций сходится, получим в пределе соотиошение

Ds (2> р) = 0,73W/.^ ехр{-А z)s(I, в / 2(工丁匕))}峪 囹) о

представляющее собой интегральное уравнение для определения предельной функции Dq (х, р).

Докажем, что процесс последовательных итераций, производимых по формуле

Dsi+i^> р)^^.^' Р)“ ехр {—我St 卜,в / 2^Г”)к' О

сходится. Рассмотрим

о

Так как %>0, то D&<%・ Кроме того, очевидно, D&〉0・ Рассмотрим теперь DSi. Используя неравенство DSt<^DSi, получим оо

т. е. Qg#〉Dg「Но, так как 厶乐〉0, то, очевидно,刀&<刀$「Итак, мы показали, что ^sJ^ ^S^ ^Sn* Рассмотрим теперь D&; с одной стороны, используя неравенство PSe<； Dgi, найдем

%=°&・；卜 в ""*>%「We Оо

С другой стороны, из иеравопства %*〉Dga следует

%=%「咏 9°81а^СО8~^е eDS4 = OSs- Оо

Таким образом, из доказанных вьппе неравенств 刀$〉力风〉°& вытекают по равенства DSa ^> ^q^> ^^ • Последнее рассуждение можно повторить и дальше, в результате чего получим %,<»旦<刀&, D&〉°s,〉％, и т. д.

Таким образом, результат каждой последующей итерации лежит между результатами двух предыдущих итерации, откуда и вытекает сходимость этого процесса.

Введем масштаб I согласно соотношению

2,覃抬(Z) = I, т. е. 2」• 0,077В%或就产• = 1-

Этот масштаб определяет расстояние, на котором средний квадрат флуктуаций логарифма амплитуды становится по порядку величины равным единице. Будем искать функцию Dq (怎 р) в виде

DB(ж, р) = 0,73СМ)%н-/(^-).(42)

где / (0 — безразмерная функция безрвзмериого аргумента. Подставляя (42) в уравнение (41), получим, полагая р = ^ ：

/ 仔)=\exp{_2,iB%：(#)p(i -^p^f^dp.(43)

Обозначим t =喇.Воспользовавшись определением /, получим

2,軍猫(吁需=仔广=啖

Следовательно, уравнение (43) принимает вид

/ «) = § ехр {—尸%р (1 — р)%/ (曲)} dp.(43а)

Положив здесь i = 0, получаем / (0) = 1. Дифф ер енцируя (43а) по т — F% и полагая затем г = 0, можно найти [df (т)/е/т]т=0, откуда получаем разложение в ряд Тейлора

〃t) =4一备•"^产/■+(t《l). (44)

Найдем асимптотику / (力)при t》L В этом случае в (43а) существенными для интегрирования являются две области: "% < 1 и (1 — р)%『％ < 1. В первой из них р£ = ~^ У1 н

функцию / (pt) можно считать равной единице, а (1 — р)七 1. Тогда интеграл по области вблизи р = О『аст const f'"'. В области же (1 — /0%”<1, примыкающей к р = 1, функцию f{pt) можно приближенно заменить на f (t)t р — на 1 и

11

оо/(t)~^ exp {— £%/ (t) (I — W%} dp = ^exp{— t'^f (t) /)*/•} dp

о

о

exp{—尸何(t) p%}dp =exp{—尸何(t) p%}dp =о

exp{—尸何(t) p%}dp =

exp{—尸何(t) p%}dp =

Разрешая это уравнение относительно / (力 получим

")」"~У斤 =平 上》1)， (45)

Так как (45) убывает при i —> оо как Г1, а интеграл по области р У，дает вклад const 广“勺 то существенной оказывается только область р а 1 и асимптотика / (Е) имеет вид (45)・

При промежуточны! значениях t функция / (力)может быть определена при помощи численных расчетов методом итераций уравнения (43а). График функции / (力)приведен на рис. 46.

Решение уравнения (41) эквивалентно проведению бесконечного числа итераций по члену uw в исходном уравнении (10) (следует, конечно, иметь в виду, что при этом остаются все погрешности расчета, не связанные с приближенной аппроксимацией этого члена).

После того как определена функция Ds (土，р), мы снова можем воспользоваться формулами (35) и (36) для определения〈％纟〉. Однако теперь мы будем подставлять в (35) найденную путем решения уравнения (41) функцию Ds (力，р) вместо фигурировавшей ранее функцииDsi (^7 р). Легко видеть, что это приведет к появлению в экспоненте формулы (37) дополнительного множителя / (|/Z).

После перехода к переменной интегрирования р = £]х получим <х2 (工)〉=^ 0:⑺ \(1 - p)% eXp {-2,好%就(工)Р (I — p)%/ (咛)}dp. °(46)

Снова вводя £ = н/厶 2，р%о； (х) = £", получим

<х2 ⑺〉=^" ^7，(1 — Р)% exp {—产'力(1 — p^'f (pt)} dp. (46a)

Исследуем полученное выражение. При и； (х)《1 из (46) следует, что <х3 ⑷〉~ о；・ Рассмотрим теперь случай о； 3)》1, или £ А 1. В интеграле (46а) при этом становятся существенными

Рис. 4в. Функция f (/), представлятощая собой решение уравнения (43а).

два участка интегрирования: р『'<1 и (1 — р)"，“ < 1. В первом из них pt < -^《1 и можно считать / (р£) = 1, (1 — р)» q 1, Тогда интеграл по участку вблизи р = 0 приближенно равен

А = \е-門叩dp — \ е-^9Р(1р = .о о

Рассмотрим теперь второй участок интегрирования вблизи р — 1 Здесь можно считать / 侬)七 / (?), р у 1, так что

厶=S (1 — Р 戶 ехр {—产/•/ «)(1 — р)%} dp = О

1

=\р%ехр{—伊寸(t)启$dpa

0 CO且F (二)

м\#екМт”9 网 dp=

О

Подставляя сюда асимптотическое выражение (45) для / (t), получим

Таким образом, оба участка интегрирования вносят сравнимый вклад в интеграл (46) при 土^>1・ Подставляя вместо интегра- лав (46) /] +72弋善土- 1 получим асимптотику 〈乂2(土)〉 при W(&>1：

〈В» (加)〉—зо-2,1 产=百7 三 °'(47)

Таким образом, при и； -* 8 величина <х2 (^)> стремится к постоянному пределу а2, зависящему лишь от В・ Используя (47), исключим из (46) величину р. Тогда (46) можно записать так

^¥^ = -П-尸国1 一 Р)% ехр {- t^p (1 - Р)%/ g} dp, (48)

О

причем t связано с <х2 (力〉/а3 соотношением

Из формул (48), (49) следует, что отношение <х2 (之)〉/а® является функцией величипы u；(n)/q2. Ha рис. 47 приведен график функции У〈*2 (гс)> / а, полученный путем численного интегрирования выражения (48).

Исследуем также выражение (42) для структурной функции фазы. В области 之< 2, где / (*/%)。1, имеем

Ds(х, р)弋0$(加，р) = 0,73尊左％р% SO (50)

В области же к》2, где можно использовать асимптотическую формулу (45), мы получаем

Ds (х, р) = О,76С*2р% (х>0,(51)

т. е. структурная функция фазы, так же как и средний квадрат логарифма амплитуды, перестает возрастать с расстоянием. Однако

/ст%》/ст%》Рис. 47. Зависимость среднего квадрата логарифма амц- литуды от среднеквадратичпого значеная флуктуаций логарифма амплитуды, вычисленного в первом приближении метода плавных возмущений.Рис. 47. Зависимость среднего квадрата логарифма амц- литуды от среднеквадратичпого значеная флуктуаций логарифма амплитуды, вычисленного в первом приближении метода плавных возмущений.弘^纱"纷^〃Z?J，^Z7Z,弘^纱"纷^〃Z?J，^Z7Z,

/ст%》

/ст%》

Рис. 47. Зависимость среднего квадрата логарифма амц- литуды от среднеквадратичпого значеная флуктуаций логарифма амплитуды, вычисленного в первом приближении метода плавных возмущений.

Рис. 47. Зависимость среднего квадрата логарифма амц- литуды от среднеквадратичпого значеная флуктуаций логарифма амплитуды, вычисленного в первом приближении метода плавных возмущений.

弘^纱"纷^〃Z?J，^Z7Z,

弘^纱"纷^〃Z?J，^Z7Z,

в отличие от <х2 (七)〉уровень насыщения не является универсальным, а зависит от С?, так как I зависит только от этой велпчины как I ~ (СМ ".

Средний квадрат флуктуаций логарифма амплитуды выражается через величины〈％金〉и <%> согласно формуле

о2 ~ <[1пЛ — <1пЛ>]2> =- <Х2> —<х>2.

Первая из этих величин была определена вито. Перейдем к нахо;к- дению <х>. Это можно сделать несколькими способами. Можно усреднить выражение (23) и учесть корреляцию между £】л S (г). Более удобный путь ——воспользоваться уравнением (5). Усредняя это уравнение и учитывая, что для плоской падающей волны все усредненные величины могут зависеть только от х, можно получить уравнение, связывающее 〈х〉с величиной〈V^VS〉, которую можно рассчитать аналогично〈X?〉. При этом опять можно воспользоваться предположениями о независимости £i и 5 (г), а также о гауссовском распределении S (г).

Однако наиболее простой путь нахождения величины <%)—— использование закона сохранения энергии. Плотность потока энергии выражается через х при помощи формулы

Р = const 幺2九=const e^ ⑺ ” (г),

где п ——единичный вектор, указывающий направление распространения волиы. Очевидно, что для плоской падающей волны средняя плотность потока энергии не зависит от х. Это приводит к соотношению

〈6冢 G”(Г)> — const.

Если, как это обычно имеет место в реальной турбулентной атмосфере, флуктуации направления распространения малы, в последнем соотношении можно заменить вектор ” его невозмущенным значением п0. В этом случае должно выполняться равенство

〈外无⑺〉=const.(52)

Для того чтобы в явном виде выполнить усреднение в этой формуле, необходимо знать закон распределения вероятностей для величины % (г). Обратимся к выражению (21) для(р. Это выражение получено как первое приближение по члену uw уравнения (10). После выполнения итераций (что свелось в нашем случае к решению интегрального уравнения (41)) в выражении (21) следует заменить первое приближение для фазы на S:

中(夕)=京 ) —I 二河—G (T ) e 2Q3r •(53)

Из этой формулы следует, что величина ср (г) является линейным функционалом от случайной величииы

£iS)exp{； [6(”)一$(?♦)]}.(54)

Хотя функция S (г) и является сильно коррелированной в продольном направлении (направлении распространения волны), она значительно слабее коррелирована в поперечном направлении. Что касается функции et (г), то она имеет конечный радиус корреляции Ло. Поэтому произведение (54) также имеет характерный масштаб корреляции порядка £0. Если выполняется соотношение %》厶⑪ то интеграл (53) можно разбить на сумму большого числа некоррелированных слагаемых ——интегралов по областям с размерами порядка Lo. Отсюда следует, что величина <р, а значит, и величины % и 5 имеют гауссовское распределение ве-

роятностей. Ранее такой же вывод был получен для флуктуаций логарифма амплитуды и фазы в первом приближении метода плавных возмущений. Тот факт, что аналогичпый вывод получен для нелинейного уравнения (5), решение которого уже пе является линейным функционалом от е】(поскольку S в (54) зависит от с】), трудно было предполагать заранее. Он связан с тем, что решение нелинейного уравнения (5) оказалось возможным при- ближешо представить в виде линейного функционала от случайной величины (54). Экспериментальные данные, приведенные в гл. 4 по распределениям вероятностей флуктуаций логарифма амплитуды в области сильных флуктуаций,, хорошо подтверждают вывод о гауссовском распределении для логарифма амплитуды.

Произведем усреднение выражения (52). Подставляя % = =<%> + М，получим

〈&2Х〉= е2<Х> ^^у = е2<Х>+2<Х^> ,

где мы воспользовались формулой〈6扌〉=6«》/2, справедливой для гауссовской случайной величины со средним значением, равным нулю. Подставляя сюда <%'2> = <%2> —〈％〉纟 на основании (52), получаем

еИ<^а>-<х>ч<х>] = const.

Но при х = 0 const = 1, так как〈天纟〉==〈％〉= о При х=0. Отсюда следует, что при всех х выполняется соотношение

<Ха 3)〉— <Х 3)〉в + <% (%)〉= 0.(55)

Разрешая это уравнение относительно〈％〉, получим

а〉= 4~ К - Н^?УТ^(56)

и для величины а2 = <%2> — <%>2 на основании (55) и (56) будем иметь

©3)= __〈％〉= + М4&2Q)〉十 Л].(57)

Функция о" (х) может быть определена отсюда лишь с точностью до неизвестного параметра а2, который не может быть определен при использованном выше грубом методе расчета. Прис о； — оо величина а2 стремится к постоянному пределу

<Йэ = р^ 炉十—^" •

Это предельное значение может быть оценено из экспериментальных данных (см. гл. 4) приблизительно как а^ — 0,8. Соответст-

12 В. И. Татарским

вующее значение параметра а приблизительно равно единице, а значение параметра 0, необходимое для объяснения наблюдаемого уровня насыщения, оказывается равным 1,4, что представляется вполне разумным. Ниже, в гл. 4, производится сопоставление функции (57) с экспериментальными данными.

Использованный в настоящем параграфе метод вычисления 〈％2〉, как легко можно было заметить, является довольно грубым и, по-вндимому, может претендовать скорее на качественное, чем на количественное объяснение сильных флуктуаций. Возможно, что более точное вычисление интеграла (27) могло бы дать лучшие результаты.

Отметим также, что в разделе Б гл. 5 расчет сильных флуктуа* ций амплитуды производится на основании уравнений геометрической оптики.

Глаеа 4

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ О РАСПРОСТРАНЕНИИ СВЕТА, РАДИОВОЛН И ЗВУКА В ТУРБУЛЕНТНОЙ АТМОСФЕРЕ И ИХ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

В настоящей главе будут рассмотрены некоторые приложения развитой в предыдущей главе теории к конкретным задачам, возникающим при распространении света, радиоволн и звука в турбулентной атмосфере (раздел Л), и проведено сопоставление теоретических расчетов с экспериментальными данными (раздел Б).

А. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В ТУРБУЛЕНТНОЙ СРЕДЕ К ЗАДАЧАМ АТМОСФЕРНОЙ ОПТИКИ, АКУСТИКИ И РАДИОМЕТЕОРОЛОГИИ

При экспериментальном изучении влияния атмосферной турбулентности на распространение электромагнитных и звуковых волн значительно проще поддаются измерению не пространственные, а временные характеристики принятого сигнала. В связи с этим мы рассмотрим задачу о частотном спектре флуктуаций амплитуды и фазы принятого сигнала. Далее будет рассмотрено влияние усредняющего действия апертуры приемного устройства -на флуктуации амплитуды и фазы. Так как это влияние в ряде случаев оказывается весьма существенным, без его учета невозможно интерпретировать экспериментальные данные.

§ 52. Частотные спектры флуктуации амплитуды в фазы волны

В разделе Б гл. 3 были получены выражения для пространственных корреляционных и структурных функций амплитуды и фазы волны. Исходя из этих выражений, можно построить л временные корреляционные функции.

В первом приближении для перехода от пространственного к временному описанию можно воспользоваться предположением о переносе как целого всей совокупности неоднородностей без учета флуктуаций скорости переноса и эволюции неоднородностей в процессе их движения (гипотеза замороженности). Затем можно учесть флуктуации скорости переноса и оценить влияние эволюции.

Прежде всего, необходимо отметить, что основную роль играет движение неоднородностей поперек направления распространения волны. Действительно, амплитуда волны в точке наблюдения определяется интегралом по вытянутой вдоль луча параболической области с поперечным размером порядка У XL и с продольным размером Е А УЛ£・ Разложим скорость перемещения неоднородностей 0 на две компоненты 0 ц н 0丄 вдоль и поперек направления распространения волны.

За время т продольное и поперечное смещения неоднородностей составят соответственно иц т и и丄т. При этом, если и丄石~寸立、 то амплитуда в точке наблюдения существенно изменится, так как произойдет смена всех неоднородностей, влияющих на амплитуду поля. В то ясе время продольное смещение будет иметь порядок

и за его счет произойдет лишь незпачительное изменение неоднородностей на концах трассы, несущественное в силу того, что обилий эффект носит интегральный характер. Поэтому при выполнении условия

можно учитывать лшпь поперечное движение неоднородностей. Более существенное ограничение на отношение Рц !v^ накладывают флуктуации направления скорости 0.

Направление вектора 0 обычно испытывает флуктуации порядка 0,1. Поэтому, если и丄 0,1ьц, то в поперечном движении неоднородностей появляется случайная компонента, сравнимая со средним значением и丄.В этом случае необходимо учесть и флуктуационную составляющую и丄.

Рассмотрим сначала случай, когда неоднородности движутся с постоянной скоростью и丄 поперек трассы. В этом случае значения % (叫 £) и % (夕，£ + т) связаны очевидным соотношением

*(匕力 + t) = ★ 一也3 ) (1) Введем временную корреляционную функцию

Кх(т) = <Х(^^ + ^)Х(Л «)>• (2)

Подставляя (1), получим соотношение

& (т) = Вх (у±т),

§ 52] СПЕКТРЫ ФЛУКТУАЦИЙ АМПЛИТУДЫ И ФАЗЫ ВОЛНЫ 357 где & (р) — пространственная корреляционная функция, найденная в предыдущей главе.

Перейдем теперь к частотному спектру флуктуаций 川乂 (/). Функции 紡工(/) и }?х (т) связаны соотношением

耳（t）=耳（t）=cos (2n/T)wx (f)d/cos (2n/T)wx (f)d/(4)(4)

耳（t）=

耳（t）=

cos (2n/T)wx (f)d/

cos (2n/T)wx (f)d/

(4)

(4)

tL\d^ (7)tL\d^ (7)

tL\d^ (7)

tL\d^ (7)

(мы пользуемся разложением по положительным частотам /'= =券 для облегчения непосредственного сравнения результатов расчета с экспериментами). Учитывая четность функций /?х (т) и 紡* (/)? запишем обращение преобразования (4):

缈囂(/) = 4 \ cos (2п/т) Ях (т) dt = 4 \ cos (2лт/) 3囂(ь丄t) dr. (5) о о

Для вычисления w* (/) удобнее выразить В* (°丄т) через спект， раньное разложение

7?х (т) = & 俨丄и) = 2兀 \ 歹х (乂，L) J。(xu丄p) 乂 dx, (6)о

Подставляя (6) в (5), меняя порядок интегрирования и учитывая, что

Л (ху^т) cos 2霏/т dxЛ (ху^т) cos 2霏/т dxГ — ^fy^z при X3L>j_〉4л2/2

Л (ху^т) cos 2霏/т dx

Л (ху^т) cos 2霏/т dx

Опри x2l>j_ < 4л2/2,

получим формулу

/"*4. - 4几2户/"*4. - 4几2户以(/) = 8л ^ Fx (х, L)

/"*4. - 4几2户

/"*4. - 4几2户

(Последняя формула получена путем замены переменной 了乂2以；——4ла/а = x^j_). Формула (7) связывает частотный спектр флуктуаций % с его двумерным пространственным спектром Fx« Воспользуемся теперь формулой (36а.46)

尸X (%丄)=ф1 [1 — 亀 Sin 罕] <рё (出， (8)

в которую подставим

Фе (х) = &С旣■^ехрФе (х) = &С旣■^ехрА к 0,033.А к 0,033.

Фе (х) = &С旣■^ехр

Фе (х) = &С旣■^ехр

А к 0,033.

А к 0,033.

В результате получаем

Введем величину /0 согласно равенству

а также новую переменную интегрирования z =，^ . Безраз мерную величину

обозначим через Q. В результате (9) примет вид

X (z + Q2)T%xp (- ^^) zT%z, (10) где D =fволновой параметр. Коэффициент ACJc eL * в (10) пропорционален среднему квадрату флуктуаций <х (厶)〉・ Рассмотрим случай больших D ^> 1. Тогда в (10) можно опустить множитель ехр (— “ ^，, и после подстановки z = £2% мы получим

Замечая, что согласно определению В-функции Эйлера

j 42т )(1+学户2同3j 42т )(1+学户2同3d" В (|4d" В (|4г(1)г(4)г(1)г(4)=^= 1,69,=^= 1,69,получимWx (/) = J AC^i^получимWx (/) = J AC^i^"号"号XXN —表、sin [Q2(± + 1)](£ 十 1 尸"/т吃d± •N —表、sin [Q2(± + 1)](£ 十 1 尸"/т吃d± •ggРассмотрим со/(С) = \sin [Q2 (а: 4-1)] (а: 4- \y^x~^dx 廿ОО=Im5е*а(н + D (x + iyi ^x^dx.Имеет место формула (см., например, [117]) 8Рассмотрим со/(С) = \sin [Q2 (а: 4-1)] (а: 4- \y^x~^dx 廿ОО=Im5е*а(н + D (x + iyi ^x^dx.Имеет место формула (см., например, [117]) 8(13)(13)оо:f及 7(] + %)Y - " -[ (a) 1T "^:纬器，')+十^^仆-\Л(а + 1-Г,2-Г, Z)], (Reа〉0).:f及 7(] + %)Y - " -[ (a) 1T "^:纬器，')+十^^仆-\Л(а + 1-Г,2-Г, Z)], (Reа〉0).(14)(14)Полагая z = — iQ% а = у ,Полагая z = — iQ% а = у ,4T =— у , получим4T =— у , получим1%修,1%修,/(Q)= Im/(Q)= Im--J , - iQJ)十--J , - iQJ)十Таким o6pa3OMtТаким o6pa3OMt卜*^(一吋产品偿,¥卜*^(一吋产品偿,¥缈X (/)=今A^mv^ 卜_m售[賞X缈X (/)=今A^mv^ 卜_m售[賞X

j 42т )(1+学户2同3

j 42т )(1+学户2同3

d" В (|4

d" В (|4

г(1)г(4)

г(1)г(4)

=^= 1,69,

=^= 1,69,

получим

Wx (/) = J AC^i^

получим

Wx (/) = J AC^i^

"号

"号

X

X

N —表、sin [Q2(± + 1)](£ 十 1 尸"/т吃d± •

N —表、sin [Q2(± + 1)](£ 十 1 尸"/т吃d± •

g

g

Рассмотрим со

/(С) = \sin [Q2 (а: 4-1)] (а: 4- \y^x~^dx 廿

ОО

=Im5е*а(н + D (x + iyi ^x^dx.

Имеет место формула (см., например, [117]) 8

Рассмотрим со

/(С) = \sin [Q2 (а: 4-1)] (а: 4- \y^x~^dx 廿

ОО

=Im5е*а(н + D (x + iyi ^x^dx.

Имеет место формула (см., например, [117]) 8

(13)

(13)

о

о

:f及 7(] + %)Y - " -[ (a) 1T "^:纬器，')+

十^^仆-\Л(а + 1-Г,2-Г, Z)], (Reа〉0).

:f及 7(] + %)Y - " -[ (a) 1T "^:纬器，')+

十^^仆-\Л(а + 1-Г,2-Г, Z)], (Reа〉0).

(14)

(14)

Полагая z = — iQ% а = у ,

Полагая z = — iQ% а = у ,

4

T =— у , получим

4

T =— у , получим

1%修,

1%修,

/(Q)= Im

/(Q)= Im

--J , - iQJ)十

--J , - iQJ)十

Таким o6pa3OMt

Таким o6pa3OMt

卜*^(一吋产品偿,¥

卜*^(一吋产品偿,¥

缈X (/)=今A^mv^ 卜_m售[賞X

缈X (/)=今A^mv^ 卜_m售[賞X

х/1х/1事一叫十(-4)：/з _^1 怎得,¥，"Q2)h

х/1

х/1

В области малых частот Q <^ 1, воспользовавшись первыми четырьмя членами разложения 工尸畏厶,—4/з» — iS2) и первым членом разложения 1F1(17/e, 10/3, — Ш2) а 1, получим формулу

以⑺т 4渝心6若匾* —打(一书q?/3=

=^』IIГ 传"CMP桔 Г1 + —5%、Q* 十16)

L %・27Г (言丿J

Подставляя численные коэффициенты и заменяя

0,077С为俯〃1/6=弋川〉, получим

wx(/)^0,15<x2>^[l+0,48Q^+ . . .],. (Q<1).(16а)

В области Q А 1 воспользуемся уже неоднократно применявшимся асимптотическим разложепием функции.

#1 (а, Т, z)=君％ (— zLG (а, а — т 十 1, — z)十

+ 韬CzaiGCr —а, 1 —а, z), (17) где

G(a,B,z)=l+ 絮 + 拄土請虹4+...

В нашем случае для обеих гипергеометрических функций в (15) основную роль играет второе слагаемое асимптотической формулы, однако эти главные члены асимптотических разложений, пропорциональные Q”/*, после подстановки в (15) взаимно уничтожаются. Поэтому для вычисления асимптотики (15) при R 登 4 следует взять первые слагаемые в асимптотической формуле (17) и квадратная скобка в (15) оказывается пропорциональной Qt. Поэтому Wx (/) при Q》1 имеет следующий вид:

以(/) = I NAC*飞…零=1,14<%2〉雪• (18)

Таким образом, функция wz(0， равная wx (0) = 0,15 при / = 0, слабо возрастает с ростом /, имеет максимум вбли

зи / 〜/0, а затем убывает как 尸*・ Безразмерная величина

/о^х (/)

зависит от безразмерного параметра

/о

функция F (Q), построенная по формуле (15), изображена на рис. 48.

Рассчитанная таким образом функция ^(/) соответствует движению неоднородностей с постоянной скоростью. В действи

тельности, как уже указывалось выше, флуктуации, причем различные

на разных участках трассы. Это приводит к тому, что картина распределения амплитуды в плоскости х ~ L движется не как едипое целое и не с постоянной скор остью. При наблюдении ясе в фиксированной точке этот эффект проявляется в виде флуктуаций скорости движения (взятой в данной точке) дифракционной картины. Так как скорость движения дифракционной картины обусловлена сум-

скорость I?丄 户阿

испытывает

Рис. 48. Частотный спектр флу1стуа- ций логарифма амплитудм при постоянной скорости движения неоднородностей.

марным действием всех неоднородностей

вдоль трассы, можно

считать, что флуктуации скорости переноса распределены по закону Гаусса.

Оценим величину этих флуктуаций- Средний квадрат флуктуаций pj_, который мы обозначим через а^, в случае равенства средних квадратов флуктуаций всех трех компонент скорости ветра равен о] ~ 2/3 о* где as — средний квадрат флуктуаций модуля скорости ветра. С другой стороны, среднее значение 沙丄

равно <р) sin а, где а — угол между скоростью ветра и направлением распространения волны. Поэтому отношение

8 =

8丄)

0,8g

<vYsina

в значительной степени зависят от угла а. Обычно ^ ~ 0,1» поэтому для а = -2- отношение -^•〜8—10%, но это отношение может сильно возрастать при уменьшении угла а.

Выражение для частотного спектра шх (/), усредненное по флуктуациям ^丄，можно получить из (15), умножая это выраже^ ние на плотность вероятностей для и丄 и интегрируя. При произ- вольном соотношении между〈少丄〉и о этот расчет в аналитической форме выполнить трудно. Однако можно получить сравнительно

2f丄/2ла2f丄/2лапростые выражения для случая, когда 〈少丄〉=0, т. е. для случая а = 0. Здесь удобно исходить из формулы (6). Умножим ее на

2

f丄

/2ла

2

f丄

/2ла

и проинтегрируем по гл丄.Учитывая формулу

8f 丄КМ

\ткеЕМ丄^丄"一У。（审，

где /0 — функция Бесселя от мнимого аргумента, получим

—аЧ*х«—аЧ*х«</?х(т)> = 2л \ Fx (x, L) e 4о</?х(т)> = 2л \ Fx (x, L) e 4о/о(/о(（3看先2（3看先244|х dx.|х dx.(19)(19)Подставляя (19) в (5), получимооооO’t'x，<^х(/)> = 8л^Fx(x,L)xdx^ cos (2л/т) е 4 /。(^^'九(20)Подставляя (19) в (5), получимооооO’t'x，<^х(/)> = 8л^Fx(x,L)xdx^ cos (2л/т) е 4 /。(^^'九(20)оУчитывая, чтосоcos(2л/т) ооУчитывая, чтосоcos(2л/т) оооe-F，（手"=离…凡（而）e-F，（手"=离…凡（而）(см., например, [117]), где К。— функция Макдональда, получим(см., например, [117]), где К。— функция Макдональда, получим0x(/)〉0x(/)〉左而5 Ko左而5 Ko(21)(21)Подставим в (21) выражение (8) для Fx (х, L), причем, как и внисе, пренебрежем множителем ехр (—乂含/к^) (что законно при—^―货 I). В результате получимПодставим в (21) выражение (8) для Fx (х, L), причем, как и внисе, пренебрежем множителем ехр (—乂含/к^) (что законно при—^―货 I). В результате получимл Y2kAC^L〈以⑺〉= Xл Y2kAC^L〈以⑺〉= XX \ exp (- 雕)& (黑)…+一亳 sin 芈]dx. (22)X \ exp (- 雕)& (黑)…+一亳 sin 芈]dx. (22)

—аЧ*х«

—аЧ*х«

</?х(т)> = 2л \ Fx (x, L) e 4о

</?х(т)> = 2л \ Fx (x, L) e 4о

/о(

/о(

（3看先2

（3看先2

4

4

|х dx.

|х dx.

(19)

(19)

Подставляя (19) в (5), получим

ооооO’t'x，

<^х(/)> = 8л^Fx(x,L)xdx^ cos (2л/т) е 4 /。(^^'九(20)

Подставляя (19) в (5), получим

ооооO’t'x，

<^х(/)> = 8л^Fx(x,L)xdx^ cos (2л/т) е 4 /。(^^'九(20)

о

Учитывая, что

со

cos(2л/т) о

о

Учитывая, что

со

cos(2л/т) о

о

о

e-F，（手"=离…凡（而）

e-F，（手"=离…凡（而）

(см., например, [117]), где К。— функция Макдональда, получим

(см., например, [117]), где К。— функция Макдональда, получим

0x(/)〉

0x(/)〉

左

而5 Ko

左

而5 Ko

(21)

(21)

Подставим в (21) выражение (8) для Fx (х, L), причем, как и внисе, пренебрежем множителем ехр (—乂含/к^) (что законно при

—^―货 I). В результате получим

Подставим в (21) выражение (8) для Fx (х, L), причем, как и внисе, пренебрежем множителем ехр (—乂含/к^) (что законно при

—^―货 I). В результате получим

л Y2kAC^L

〈以⑺〉= X

л Y2kAC^L

〈以⑺〉= X

X \ exp (- 雕)& (黑)…+一亳 sin 芈]dx. (22)

X \ exp (- 雕)& (黑)…+一亳 sin 芈]dx. (22)

Введем характерную частоту

пропорциональную отношению характерной скорости к радиусу зоны Френеля, и безразмерное отношение

%=^ Г 不=丁

Тогда, совершая в интеграле (22) подстановку ~ =父,получим формулу @х (/)> =

=" /^丁"0 信)3[]一各in ^•卜冗(炉)х^dх. (23)

В случае Q】登 1, т・ е. в области /》/】,вторым слагаемым в квадратных скобках под знаком интеграла можно пренебречь. Остающийся интеграл вычисляется [117J, и мы получаем формулу

<^х (/)> =л у涼а^ЕС：<^х (/)> =л у涼а^ЕС：少学曙=。，3哈吁…少学曙=。，3哈吁…

<^х (/)> =

л у涼а^ЕС：

<^х (/)> =

л у涼а^ЕС：

少学曙=。，3哈吁…

少学曙=。，3哈吁…

Таким образом, и в этом случае высокочастотная часть спектра зависит от частоты как 尸％・ Сравнивая эту формулу с (18), мы убеждаемся, что в случае отсутствия систематической скорости численный коэффициент в (24) меньше, чем в (18). Поскольку в обоих случаях

сосо

卜》х (/)〉d/= \以(/)d/= 8〉， Оо

то уменьшение функции <ерх (/)> при /》/L должно компенсироваться ее увеличением в области /W/i по сравнению с (16). Действительно, из формулы (22) следует, что <wx (/)> ~ In (fjf) np^/У 厶(так как К^ (z) = In 丄/z при | z [<^ 1). Таким образом, в этом случае % (0) ~ °°- Этот факт соответс вует тому, что при отсутствии систематической скорости движения наибольшую вероятность имеют нулевые скорости. В общем случае, когда отношение 〈^丄〉/о произвольно, расчет <шх (/)〉становится слишком

громоздким. Однако качественная картина ясна и в этом случае. При о У <pj_> происходит лишь незначительное «размазывание» спектра, даваемого формулой (15). При а 〜〈i;丄〉максимум спектра начинает смещаться к нулю, и при о》>〈少丄2 этот максимум цачинает сильно возрастать.

Оценим теперь, в каких случаях можно пренебречь неравномерностью движения дифракционном картины. Амплитудные флуктуации вызваны в основном неоднородностями среды с масштабами порядка I =У*Е, перемещающимися со скоростью〈^丄〉. Наряду с пер вмещениями, вызываемыми средним ветром, имеются также собственные хаотические скорости движения этих неоднородностей, имеющие порядок 力 〜(七“电 где в — скорость диссипации энергии турбулентности. Время, в течение которого эти скорости постоянны (время их《жизни»), зависит лишь от е и / и имеет порядок т ~・ L旬;[13]. Время же, в течение которого неоднородность, двигаясь со скоростью 〈^丄〉,проходит расстояние I — УАЛ, имеет порядок Т ^■ 〃〈少丄〉・ Ясно, что изменениями скорости переноса за счет эволюции можно пренебречь в том случае, если т ^> Т, т. е.『力 2%》〃〈^丄〉.

Это приводит к соотношению〈^丄〉货 (^刀‘厶,т. е. малости разности скоростей на расстоянии I по сравнению со средней ско ростью переноса. В случае же, если 〈沙丄〉=0, вместо 〈沙丄〉в последнее условие следует подставить величину о丄 ——характерную скорость, с которой неоднородности размеров I переносятся крупными вихрями с размерами порядка внешнего масштаба турбулентности Zq・ Величина о丄 имеет порядок о丄〜(e£q)%・

Таким образом, изменениями скорости переноса во времени можно пренебречь при условии

£0 > /ХГ.(25)

Перейдем теперь к вычислению спектров флуктуаций фазы. Вначале проведем расчет на основании гипотезы «замороженной турбулентности», когда имеет место соотношение, аналогичное (1):

Si (г, t + т) = S丄(》•—◎丄т, t).(26)

Рассмотрим временную структурную функцию фазы:

Hs(t) = <[«У1(г, t + т) —^(r.t)]8)=

=<[^! (г — v±t, t) — St (г, £)『〉=厶(。丄т)・(27)

Представим /(т) в виде интеграла Фурье

СО

Hs(t) = 2, [1 — cos2л/г] w$ (/)d/,(28)

52丁СПЕКТРЫ ФЛУКТУАЦИЙ АМПЛИТУДЫ И ФАЗЫ ВОЛНЫ 365

а функцию 2)s (力丄т) = Ds (г^т)—— в виде

со

Ds (ujj) = 4л \ [1 — /о (хи丄I)] Fs (х, Z,) х dx. о

8\ 厶(хи丄т) Fs (х, Л) x2rfx.(29)8\ 厶(хи丄т) Fs (х, Л) x2rfx.(29)ПодставиЫ эти разложения в (27) и продифференцируем получающееся равенство по т: со

8

\ 厶(хи丄т) Fs (х, Л) x2rfx.(29)

8

\ 厶(хи丄т) Fs (х, Л) x2rfx.(29)

4 л sin (2 nf т) fws (f)df = 4jw丄 о

Умножим (29) на 川“勺、где /〉0, и проинтегрируем по т в пределах (— оо)+ ос). Учитывая, что

ОО

sin (2л/Ч) Е片dt = 4 [6 (2л/ -|- 2л/') — б (2л/ — 2п/')]==

—ОО

=*〔6(/ + 广)一6(/一/6，

получим слева со

^$[б(/ + П-б(/-П1 /Zs (Г)"' = 一 ^ 加 s (/),(30)

о

где мы учли, что 6 (/ + /') = 0 при /〉0и0</，<ос.

Для правой части равенства (29) получим

со4h 吗/(乂，厶)(Jсо4h 吗/(乂，厶)(Jx2 dx § eini^JY (xv_LT)dr.x2 dx § eini^JY (xv_LT)dr.(31)(31)

со

4h 吗/(乂，厶)(J

со

4h 吗/(乂，厶)(J

x2 dx § eini^JY (xv_LT)dr.

x2 dx § eini^JY (xv_LT)dr.

(31)

(31)

(2л/<%и 丄), (2n/〉w」)(2л/<%и 丄), (2n/〉w」)

(2л/<%и 丄), (2n/〉w」)

(2л/<%и 丄), (2n/〉w」)

Рассмотрим

Opco

\ e^^J^ (%u丄t) dt = i \ sin (2л/т) JL (xu丄t) &t —

=：2t \ sin (2л/г)人(yu丄т) "т =^丄 У】冲 j —4紋产

о0

(см., например, [117]). Следовательпо, (31) принимает вид

16л2г/16л2г/(32)(32)尸 $ (m,L) х dxy炉吟_ — 4n2产

16л2г/

16л2г/

(32)

(32)

Приравнивая выражения (30) и (32), получим

(33)(33)

(33)

(33)

Формула (33) по своему виду совпадает с формулой (7) для спектральной плотности амплитудных флуктуаций. Подставляя в (33)

/(%" =亨(1+ 畫 sin*0(%

мы убеждаемся в том, что формула для wg (/) будет отличаться от формулы (15) для wx (/) лишь знаком перед вторым членом в фигурных скобках:

WS ⑺=^АС^т^ 嗒 JV + Im &^|^^ X

XR 信，-4- 5 + (一iQM^^ 1"偿，泉-“守)]卜継)

Найдем асимптотику wg (/) при малых и больших Q. В области малых Q《l, как мы убедились при анализе формулы для 切х(/), второй член в фигурных скобках равен N +。(Q%) (поэтому в формуле для Wx (/), отличающейся от (34) знаком, величина N при £2<^1 сокращается). Поэтому при Qy 1

ws(/) = NnA(^t'm^^^ = 8,2.1()ГС 粉厶用3/-8/3.(35)

/о

В области Q А 1 вторым членом в фигурных скобках в (34) можно пренебречь и в этом случае

步s ⑺=4,1 • 1 ^^Lv^f^.(36)

Мы видим, что эти асимптотические разложения отличаются друг от друга лишь множителем 1/2 (как уже отмечалось выше, круп-

номасщтабвая компонента флуктуаций фазы описывается при^ ближекием геометрической оптики, в котором формула для фазовых флуктуаций отличается множителем 2 от соответствующей формулы случая D = -р》1. Следует также отметить, что функции ws (/) и шх (/) совпадают в области Q》1 (см. (18)).

Таким образом, за исключением сравнительно узкой переходной области / ~ /0 спектр фазовых флуктуаций пропорционален 「％. Естественно, что этот вывод не распространяется на область очень низких частот порядка УдУЛ0 (厶° — внешний масштаб турбулентности), где нарушается «закон 2/з* для флуктуаций показателя преломления.

Рассмотрим также частотный спектр пространственной разности фаз 8Ps в двух точках плоскости 土 = Е, находящихся на расстоянии р друг от друга:

6р5 (£) = 51 (г, £) — 51 (г + р, i),

6Ps (£ + 工)=邑俨一0 丄G t) — Si (г+ ₽ — 0 丄％ 力

Л&5(т) = <[6*i(r3t) — Si(r + p,l)] x

X [Si (т — Vj_t, i) — Si(> + p — ”丄p, £)]〉•(37)

Применяя тождество (а — b) (е — d) =~[(а — d)* + (b — c)a—— —(а ——с)2 — (b —砌円，получим

K&s (t) = ^ {Ds (p — 0 丄 p) + Ds(P + Vj_t) — 2DS (力丄 r)}・(38)

Формула (38) справедлива при произвольной взаимной ориентации векторов р и 力丄.Рассмотрим более подробно частный случай, когда р параллельно 0丄.Тогда р = -у-力丄 и

4 (₽ 一 0丄©「%(0丄(^ — р) ) •

Применяя формулу (27), получим

8

А (р — ④丄Т)=石(^ ^Г) =2^1~cos[2jl/(^_ T)]}WS(/)d/.

Точно так же

Ds(Р + 0丄 т)=

=Н=Н

=Н

=Н

Подставляя эти выражения и (28) в формулу (38), получим после простых преобразований

(39)(39)凡s ⑴=\ cos (2л/т) 2 Г 1ОL

(39)

(39)

Из этой формулы следует, что при р||0丄 частотйый спектр пространственной разности фаз 251s(/) связан е ^s(J) формулой

wss (/) = 2 1 — coswss (/) = 2 1 — cosWs (/) = 4 sin2Ws (/) = 4 sin2步 s(/)・(40)步 s(/)・(40)

wss (/) = 2 1 — cos

wss (/) = 2 1 — cos

Ws (/) = 4 sin2

Ws (/) = 4 sin2

步 s(/)・(40)

步 s(/)・(40)

В области низких частот при f《一=^в формуле (40) можно заменить сипус его аргументом И ^ss &) ~ fws (/). Если величина р не превышает внешнего масштаба турбулентности 厶，то в этой области u?s 〜 户\ так что w^s ~ /"%• Несмотря на то, что в этом случае 缈8s (0) = оо, эта особенность интегрируема, так что

山3s (广)力‘〜卅， о

т. е.

lim \%s(/')d/‘ = 0.

Это обозначает, что в области вблизи / = 0 сосредоточена лишь небольшая доля «энергии» флуктуаций,

В области высоких по сравпепию с / частот спектр irBS (/) flv I

обращается в нуль на частотах /п =. Этот факт находит

наглядное объяспенис. Лоле S* (х, у, z) в плоскости х = L можно представить себе в виде суперпозиции синусоид с различными «длипами волн» Л, движущимися в этой плоскости со скоростью и丄.Синусоида с периодом Л вызывает флуктуации фазы с частотой / =犬.Пусть две точки наблюдения находятся на расстоянии р друг от друга. Тогда, если между ними укладывается целое число длин волн с некоторым периодом Лп, т. е. р — ?гЛп, то вызываемая этой синусоидой разность фаз будет равна нулю, так как в обеих точках наблюдения значения синусоиды

369369§ 52F СПЕКТРЫ ФЛУКТУАЦИЙ АМПЛИТУДЫ И ФАЗЫ ВОЛНЫ одинаковы. Поэтому соответствующая частота

369

369

будет отсутствовать в спектре флуктуаций разности фаз.

Практически величина vj_ не является строго постояннойг а флуктуирует. Это, как видно из формулы (40), приводит к перемещениям положения нулей спектра, т. е., в конечном счете, к их «заплыванию». В области / А/ даже небольише флуктуации 。丄 приводят к исчезновению нулей. Действительно, пусть 厶=% + 6〃 где % = “丄〉，听^涼I — ^.

Тогда

пр/"丄пр/"丄Лр/Пр/6 廿Лр/Пр/6 廿

пр/

"丄

пр/

"丄

Лр/Пр/6 廿

Лр/Пр/6 廿

Если величина 冲? сравнима с =, то минимум синуса сме- %2

нится на его максимум, т. е. в этом случае осцилляции в спектре исчезнут. Необходимое значение ду имеет порядок

6〃F，

или, заменяя 6。на среднеквадратичное значение ств)

，о〜2р/・

图）图）Таким образом, частота /т, выше которой осцилляции в спектре должны смазываться, имеет порядок

图）

图）

Чем выше отношение р0/а0, тем более четко и тем в большем диапазоне должны проявляться провалы в спектре u?6s. В области же частот /〉九 величину sin2 孥 следует заменить на со среднее значение, равное i/含.В этом случае

也65⑺=2吗⑴(f〉〃)•(42)

Таким образом, wbS〜(/尸" при f ^> fm • Заметим, что ввиду быстрого убывания функции w$ (/) в области больших / большие

со частоты не вносят существенного вклада в интеграл \ u?gs (/) d/・ о

Выше мы уже убедились в том, что и область очень малых частот дает несуществепный вклад в этот интеграл. Таким образом, значение этого интеграла в основном определяется частотами порядка vjp.

Если 2у —т. е. р》pXL, то в формулу (40) можно под- р У XL

ставить вместо 3s (/) ©^ асимптотику, соответствующую /《

т. е. Q у 1. В этом случае

(43)(43)收s (/) = 0,033 C独也吐 siM (*)厂％ (р А /щ.

(43)

(43)

В противоположном случае р у УУЕ можно использовать асимптотическую формулу (36). В этом случае

WSS (/) = 0,0160證^上8皿WSS (/) = 0,0160證^上8皿(*)宀 py i(*)宀 py i(44)(44)

WSS (/) = 0,0160證^上8皿

WSS (/) = 0,0160證^上8皿

(*)宀 py i

(*)宀 py i

(44)

(44)

В случае р 货 J入工 <S52) = Ds (p) = ^,1*ЛС^Ьр/а. Подставляя это выражение в (43), запишем wes (/) в виде

Us (力=0,045 号眨 sin?

где /s — — —' характерная частота для флуктуаций разности фаз. В случае р У У^Х Z)s(p) = <SS2>, так же как и (44), имеет дополнительный множитель 工/?, поэтому формула (45) справедлива и в случае р《7"、Эта формула нарушается лишь в области р н УХ£.

§ 53. Влияние усредняющего действия апертуры приемного устройства на величину амплитудных флуктуаций

Выше были рассчитаны корреляционные функции флуктуаций амплитуды в плоскости, перпендикулярной направлению распространения, и было установлено, что при ^- А 1 радиус корреляции флуктуаций имеет порядок УХ£・ Пусть излучение принимается приемным устройством с конечной апертурой. Для

определенности мы будем говорить об объективе телескопа, хотя все рассуждения переносятся и на случай зеркала антенны млн акустического преобразователя. В случае, если диаметр объектива телескопа значительно превосходит радиус корреляции флуктуаций рАХ, в его пределах будут находиться участки фронта волвы с противоположными знаками флуктуаций, в результате чего полный световой поток через объектив будет флуктуировать относителен。слабее, чем для маленького (по сравнению с У'LL) объектива.

Пусть / (у, z)——интенсивность света. Тогда полным световой поток через объектив Р равец

⑴

где 工 ——площадь объектива. Флуктуации Р, определяемые как Р‘ = Р — <Р>, выразятся при помощи формулы

Р'Р'=§ /，® z) dy dz,=§ /，® z) dy dz,(2)(2)

Р'

Р'

=§ /，® z) dy dz,

=§ /，® z) dy dz,

(2)

(2)

где /' = / ——〈/〉. Для среднего квадрата флуктуаций имеем

〈尸竺〉=亚《м，Z1) Г ®2, Z2)> dyxdztdyi dz2. (3) ЕВ

Функция Bj =〈/' 5、zj Г (у^，匆)〉зависит лишь от расстояния между точками 7 и 2, т. е.

Bj = Bi (t/i — %,纟工一经)=Bf (p)・

Введем функцию F 酝 z), равную нулю вне поверхности объектива и единице на его поверхности. Тогда (3) можно записать в виде

〈Р"〉=世^ Bi(2/i — %, Zi — z^F (y“ zj F 例,zQ 〃办 <ki 〃勿 dz2. —o0

⑷

Введем новые переменные интегрирования у = ?工—у?， z = =勿一％. Тогда (4) принимает вид

8ОО

Bi (y,z)dydz \) F (уь z^ F(y1 — y,zl — z) dyt Jz^ (5)

―ОО—ОО

Введем обозначение

к (у, z) = § Р (% Z1) Р & — у, Z1 一 z)明 1 dzi.(6)

—8

Функция К зависит только от формы освещаемой поверхности объектива. Практически наиболее интересным являемся случай, когда приемная поверхность представляет собой круг радиуса R, Подсчитаем функцию К для этого случая. F (物,zj = 1 при У； + Z；《'*；尸(у — %, Z — Z, = 1 при (у —勿产 + (z — Z1)2< <Я2.

Первая область — круг радиуса R с центром в начале координат, вторая ——такой же круг с центром в точке (ylt zj・ К (у, z) представляет собой площадь области, образуемой пересечением этих кругов. Очевидно, что К (у, z) = К (ру' + ^а). Элементарный подсчет этой площади приводит к формуле

KQ,z) = K(p)=

=2k[arccos 陽)—备—显],р<27?,

°'р>27?.⑺

Таким образом, для круглой диафрагмы телескопа (5) принимает вид

〈Р2〉= 2无 § &(p)[arccos 陽)—爲 j/1 —扁]pdpdcp 二

P<2R'

= 4n*,8r(p)[arccos 陽)—贵1 —曲 pdp. (8) О'

Функция, стоящая в квадратных скобках в (8), равна л/2 при р = 0 и спадает до нуля при р = 2Я. В случае, если 了入£》右, функция В} (р) при 0《р《2/? приблизительно равна Bi (0) и ее можно вынести из-под знака интеграла. В этом случае, учитывая, что

\(arccos х — х }^1 — х2) xdx =希， о

получаем

<Р，2> = [п^Вт (0).

Это означает, что в случае R у ]/JiZ полный световой поток флуктуирует так же, как и интенсивность света.

Вместо〈Р"〉удобнее рассматривать относительную величину

Q便)=錚=

2Я

(9)(9)=鳥S 察 [arccos陽)一金力一品]Рф-

(9)

(9)

0L

Для точечного объектива она равна

。(。)=需・

отноотноУсредняющее действие объектива удобно характеризовать

отно

отно

шением G (7?) = ^^ , показывающим, во сколько раз относительные флуктуации полного светового потока через объектив радиуса R меньше, чем для точечного объектива:

G(R)=券，"(pjarccos 隰)一备 /1—贵.卜 dp, (10) 0 L

где 卧(р)=где 卧(р)=Bi (р)Bi (р)нормированный коэффициентнормированный коэффициенткорреляциикорреляции

где 卧(р)=

где 卧(р)=

Bi (р)

Bi (р)

нормированный коэффициент

нормированный коэффициент

корреляции

корреляции

флуктуаций интенсивности. Функция G (Я) равна единице при Л = 0 и монотонно убывает с ростом R.

Для окончательного нахождения G (7?) необходимо найти функцию 历(р). Интенсивность / пропорциональна квадрату амплитуды:

Величина %, как уже отмечалось, распределена по нормальному закону. Отсюда следует, что

〈/〉= ct Л о〈е%*〉= 0用2《*>

Рассмотрим теперь

</ (Г1)/(Г2)> =炉為〈产g+2Xg〉=

=аа/ехр{4 [<х2> + 斗⑴一％)]}.

По определению

勿 6f )="(%(?/>

Подставляя найденные выше выражения¥ получим

力(р) = /#〉二 1

(Н)(Н)В случае〈案纟〉У 1 нз (И) следует

(Н)

(Н)

,/ （?）

bi（Р）=衣厂 к 儿（Р），

т. е. в этом случае радиус корреляции для I также имеет порядок H^L

На ченийНа ченийрис. 49 приведена кривая G (R)=

На чений

На чений

<Х2>* Функция G фактически

Q(R)方,0)для малых зна-Q(R)方,0)для малых зна-зависит лишь ■ от отношениязависит лишь ■ от отношенияРис. 49. Относительное уменьшение величины флуктуации полного светового потока через объектив радиуса Я в зависимости от К (при условииРис. 49. Относительное уменьшение величины флуктуации полного светового потока через объектив радиуса Я в зависимости от К (при условииВ/У XL, которое и отложено по оси абсцисс. При R 第 ^^L G 便)~ (务广.На первый взгляд может показаться, что G (7?) лри 2? т 8 должна убывать обратно пропорционально числу независимых неоднородностей, укладывающихся в пределах диафрагмы телескопа, что не согласуется с указанной асимптотикой. Однако в действительности это не так, ибо при больших R, когда в (10) можно заменить функцию

Q(R)

方,0)для малых зна-

Q(R)

方,0)для малых зна-

зависит лишь ■ от отношения

зависит лишь ■ от отношения

Рис. 49. Относительное уменьшение величины флуктуации полного светового потока через объектив радиуса Я в зависимости от К (при условии

Рис. 49. Относительное уменьшение величины флуктуации полного светового потока через объектив радиуса Я в зависимости от К (при условии

на ее значение в нуле, равное л/2, остающийся после этого ИЕпеграл стремится к нулю, а не к постоянной величине в силу отмечавшегося выше условия

% (Р) р dp = 0.

О

Это и объясняет более быстрое спадание функции G (Я).

Рассмотрим теперь частотные спектры флуктуаций светового потока Р. В этом случае аналогично (1.52) мы можем записать

Р'⑴=§/'(У, Z)dydz,(12)

Р (t + т) = $ /' & — ”, z' — %t) dy' dz'.

Перемножая эти выражения, усредняя и вводя функции 尸(у, z), 尸 Q，z'), получим

Rp ⑴三〈P⑴р« + т)〉=

ОО

=$，尸匂，z)尸(У, Z‘)3r ® — Г + %Т, z — z' + vzi)dydzdy' dz'.

У(13)

Представим Bj @, z) в виде двумерного пространственного спектрального разложения

Bi (у, z)亠，尸I(№，％з, L) е*м+з)壮也 d%・(14)

—ОО

Подставляя (14) в (13), получим

8

RP (т)=，Fi (х2, %3,L) e^V^^ dv.^ X

—00

ОС8

X \\ 尸(У，z) eig"w)dydz §§ F (yz, zx) ег1^+ z*2#)dyf d^, (15) —CO~ОО

Функция

У е (叫 №)= 4 川 ®, z)序(”+з)dy dz = § 絃(з+з) dy dz(16)

—coE

описывает фраунгоферову дифракцию на отверстии Е. Используя (16), имеем

8

ер(T)= g 尸 I 的，%3,l)1% (州 2, 乂3)产6"3产吃"也2<b<3.(16а) — DO

Перейдем теперь к частотному спектру wP (/)

wP (/) = 2 \ cos (2л/т) RP (т) dr = 2 \ €Г^Х RP (т) dr =

88

=2，％ (出，&,乙)I KE (出，x3) |Mx2dx3 \ ^^r^dr =

—oo—oo

8

=4л § FT (x2, №, £)| 炉工(%2, 乂3)『6 (乂2% + 乂3% — 2л/) dm dX3・

—oo

(17)

Рассмотрим снова круглую диафрагму. В этом случае

R2л

厶(％, Хз) =，Р dp jj d<pe^cos® = л/?2 竺片)〕.(18)

Оо

Функция 尸 1 (乂2，乂融 Е) в случае локально изотропных флуктуаций также зависит лишь от х = У>4 十喝.Введем в (17) полярные координаты. Тогда %2^ + ^z = 乂。丄 cos 屮 и

оо2л

wP (/) = 4n g 尸I (乂, E)(Л7?2 "^'" y 乂 dx , 6 (乂以丄 costp — 2Я/) dp оо

(19)

Интеграл от 6唾ункции легко вычисляется:

翟尸 2 =• при 4л3尸 V 炉u：,

\ б (хи丄 cos 屮一2л/) dip — r K%j — 4冗弓2

°0при 4п2产>乂2近.

Подставляя его в (19), получим

_ 8k (n不)2=”丄_ 8k (n不)2=”丄(20)(20)

_ 8k (n不)2

=”丄

_ 8k (n不)2

=”丄

(20)

(20)

Если вместо спектра величины Р‘ рассматривать спектр относительных флуктуаций wpi<p> (/), то его можно получить из (20) делением на <Р>3 = (лЯ2 </»2:

(21)

Формула (21) отличается от соответствующей формулы (7.52) на

личием дополнительного множителя

(22)(22)

(22)

(22)

обращаетсяобращаетсяпод знаком интеграла. При Я = 0 этот множитель

обращается

обращается

в единицу и мы получаем прежнюю формулу. При 7? #= 0 этот

множитель меньше единицы, что соответствует уменьшению от- носятельных флуктуаций за счет усреднения по объективу. В случае, если ——》丄 т. е. /货^^, множитель (22) мал при всех х. Это означает, что в области высоких частот усредняющее действие объектива ослабляет действие неоднородностей

всех масштабов. В случае же, когда /У 步靑，при ^У 天 множитель (22) близок к единице и становится малым при %》%.

Таким образом, вклад крупномасштабных неоднородностей в низкочастотную часть спектра практически не ослабляется, но масштабы, малые по сравнению с радиусом диафрагмы, подавляются.

В случае слабых флуктуаций

г(х, L)л胪£ г 4 炉七

= Fx(x,L) = — [l-^sin 丁J AC^\ (23)

где Л = 0,033. Подставляя (23) в (21), вводя обозначения

知丄^r7知丄^r7Q2 =Q2 =№? 2лД2№? 2лД2

知丄

^r7

知丄

^r7

Q2 =

Q2 =

№? 2лД2

№? 2лД2

И заменяя переменную интегрирования к на z =胃，получим

如尹)=。'67笫，[^0^『a屮ЙЛ X

X (z + Q》"zTpz. (24)

Итак, безразмерная величина 尸(Q, р)「/出耿「〉(/)/〈炉〉 зависит от двух безразмерных параметров: р — отношения

Рис. 50. Зависимость частотного спектра флуктуаций светового потока через объектив от диаметра объектииа,

радиуса объектива к радиусу первой зоны Френеля и Q ——отношения частоты к характерной частоте пульсаций

Фупкция 尸(Q, р) при различных р изображена на рис. 50. При р — 0 она совпадает с b(Q) (рис. 48).

§ 54・ Мерцание источников

с конечными угловыми размерами

Из астрономических наблюдений хорошо известно, что планеты мерцают слабее звезд, находящихся на том же зенитном расстоянии. Этот эффект во многом схож с ослаблением мерцания за счет усредняющего действия объектива. Обозначим через Т угловой размер планеты. Тогда в точку наблюдения приходит пучок плоских волн от различных точек диска с угловым размером у・ На границе преломляющей атмосферы расстояние между

лучами, направленными к крайним точкам диска, равно 丫£, гдеЛ — толщина атмосферы в направлении на планету. Если 丫£〉УZL, то флуктуации в различных лучах происходят некоррелированно и должно наблюдаться ослабление мерцания. Из этого рассуждения следует, что при Г ^ То — У%/£ мерцание должно существенно ослабляться, при 丫 々 丫。этот эффект мал. Угол 丫0 можно назвать углом корреляции.

Перейдем теперь к количественному расчету [118]. Пусть £ (0,<р)——интенсивность света, излучаемого планетой и приходящего в точку наблюдения под углами 0 и <р (полярная ось системы координат направлена к центру диска планеты). Различные точки диска планеты являются некогерентными источниками света и поэтому суммарная интенсивность равна интегралу от i по диску:

(1) о о

Аналогичная формула имеет место и для флуктуаций:

2П y

о оо о

о о

о о

Мы будем рассматривать в дальнейшем относительные флуктуации У，=亲.Из (1) следует

〈/〉= 4nsin2-i-<?>,

так что

2п у2т： Y

(3)(3)*小\岭…曙。昌d小…曙• 4Л Sin^ "2" О о

(3)

(3)

Для среднего квадрата относительных флуктуаций имеем (в с л у* чае т《4 можно считать sin 0^0)

2л 2п ту

(y，"=詣\dqh 、匆2«1他"2愿 经生嘅(%啕>.(4)

ОООо

Свяжем величину <f (0i, фг)尸(б2,屮2；〉с корреляционной функцией логарифма амплитуд двух плоских волн, распростра- Няющпхся под некоторым углом 0 друг к другу. Используя

равенство i = Ло ехр (2% (0Т ф)) и факт нормального распределения X，легко получить формулу, аналогичную (11.53):

V ®, <Pi) 1% 中2)〉 <i (6i, <Р】)i (%, 6)〉一 G〉‘ _ giBx®,中「％<₽*) — ] (5)

где Зх (%, %,仇，q)2) = <х (%, %)% (亀，％)〉•

Таким образом, для вычисления о： необходимо сначала найти Вх (01,屮工,&,屮2)・ Перейдем к расчету этой функции. Для * (х, у, z), исходя из (30.45), легко получить выражение

х 8cosk 也-牝

%(0, y,z)=毫……『(6) 0 —ОО

Это выражение записано в специальной системе координат, в которой ось х направлена вдоль вектора М. Перепишем это выражение в ковариантном виде. Пусть к = kn, где п — единичный вектор вдоль направления распространения. Очевидно, что

где »• = (z,y,z), р = (& T]j),

(У — U + (z —屮=伊一РУ8 — (% (力一р))а.

Интегрирование ведется по бесконечному слою, в котором Е〉0, т, е.飽р > 0, к (н — Е)〉0, т. е・ я " — р)〉0. Если

е(н)=( 1 прнн〉о，I 0 при н < 0,

то неравенства 九р> 0, ft " —р)> 0 можно удовлетворить введением в подынтегральное выражение множителя 0 (九p)Q(九(г — р)). Тогда (6) можно переписать в виде

% ") = ^•抵 e (Лр) e (я(一Р)) eI (p)笨^^7" 彝>.

—co

⑺

В этой форме (7) можно применить для произвольного направления вектора и. Следует заметить, что в формуле (7) при п 力 力{1, 0, 0} интегрирование производится по области, границы которой не перпендикулярны оси х. Если граница неоднородного слоя в действительности перпевдик у л я р на оси х, то при этом

совершается незначительная ошибка, практически несущественная.

Пусть n = ｛cosW，0,玩口屮｝, г = (L, 0, 0). Тогда

п (г — р) = cos 屮.(£ —己)一sin-ф- &

(г — ₽)а — (п (г — р))2 = [(£ — Е)疝口 屮 + g cosif»]2 + 倘

ОО

%⑺=M，\e(Ec°sW + CSinф)9((L — ^)cos^ — ?sini|?) X

xk I(Z -g)sine + £cos叨з + d ! 弱d“dg

X ", g 丿2[(Z —g)cosW-gsin 电 j ｛厶一g) cos 巾一七 sin 炉

(7a)

Пусть угол 屮 мал, так что

(£ — Е) cos 屮—彳或口屮 w (£ — E) — ^ф.

Величина

м — » * + 炉 + d = pi

под знаком косинуса представляет собой квадрат расстояния точки р от оси пучка, проходящей через точку наблюдения. В суоа,е- ственной для интегрирования области она по порядку величины не превосходит р丄 ^― (здесь Хо — внутренний масштаб турбулентности, 九/九о ——угол дифракции). Представим аргумент косинуса в виде ряда

2[(L-E)cos屮-gsi口屮]~2(工一匕一")一2(l一g)(/ Il一g十•…」

и выясним условия, при которых в нем можно оставить лишь первый член. Величина 匕 имеет порядок Е小 Поэтому необходимое условие принимает вид

左pi帥 1 /kL^L^ 九工

2a—目)口(石)丁 =码屮y1，

屮у^ = %(8)

Условие (8) не является жестким ограничением, так как угол корреляции То 工 ]/^ 告 и ^- ~ -^- <^ 1. Следовательно, ф может

принимать значения, существенно превосходящие у。, что виол, не достаточно для наших целей. Учитывая ограничение (8卜

можно выражение для косинуса в (7) представить в виде

с s L 2(Е —匕〉.Г

Кроме того, величину (Е — 3 cos屮一g sinp в знаменателе (7а) можно заменить на Z —以 Поскольку 屮気 1, пределы интегрирования по Ев (7) можно заменить на 0 и L. В результате получаем для логарифма амплитуды волны, распространяющейся под углом 1|> к оси 啰(эту величину обозначим через % (if)), следующее выражение:

X（咽=誥;書T gw d沁& 小匕）cos浊e二我簣广叶（9）

Для волны, распространяющейся в точку наблюдения вдоль оси х (ее логарифм амплитуды обозначим через % (0)), мы имеем формулу (6), в которой надо положить х = L, у = z = 0. Перемножая эти выражения и усредняя, получим формулу

LLоо

Вх 仲)=備丫 $ Г^Г j Е^ йй 瓦(Е Т'，П — / Т') X О0―со

X cos卜黑畐］cos卜й一意工厂5}dn臂d*殴d0)

Дальнейшие вычислепия удобно производить, подставив

&(Е — Кп — тМ'М

8

=й ?ё(%'乂3, Е 一 g)百［Xif')宀《Y'H d乂2d乂3.

После этой подстановки интегралы по переменным tj, if, & g' легко вычисляются сведением к интегралу Пуассона, интеграл по переменной (| + Е')/2 также вычисляется точно, а интеграл по переменной (| ——『)вычисляется приближенно с использованием того свойства функции 居(х, §), что опа быстро убывает при & & (аналогичные вычисления неоднократно прово* дились выше и поэтому мы их опускаем). В результате для Z?x(i|>)

§ 541 МЕРЦАНИЕ ИСТОЧНИКОВ С КОНЕЧНЫМИ РАЗМЕРАМИ 383 получаем формулу

гк羊fexp 1-4-^L^\-i

2х 绅)=除 * R (3 出, Х3) —L— +

,2i(l-.e^) exp口(罕

+ y血— 一[一 九%• (ri)

Перейдем к полярным координатам х2 = х cos 屮，х3 = х sin ф и используем формулу

稀cos屮即=、西卜""3。由,

а также аналогичные формулы для остальных слагаемых в (11). После этого интегрирование по 屮 выполняется и приводит к бесселевой функции. Для Вх (2) получаем, подставляя

Фе (х) = = AC^'!t (4 = 0,033*

следующее выражение:

18

(12)(12)Вх 仲)==^~С婚厶 \成 \ [1 — cos 怨^] Л) (^tL1^) L%dx.о 0

(12)

(12)

Интеграл в (12) можно вычислить, разложив функцию Jo в ряд. В результате для дх (ф) = В* (2)/8* (0) получаем выражение

у г (к一都З传(k + 副巾

£(砌《+%

16Г E cos 12

где

/2Г

2,

b=w=|/

(это определение r отличается от употреблявшегося ранее в качественных рассуждениях численным множителем). Как и следовало ожидать, функция % 仲)зависит лишь от отношения 1р/у0.

Рис. 51. Корреляционная функция флуктуащш амплитуды двух плоских волн, распространяющихся под углом 巾 друг к другу.Рис. 51. Корреляционная функция флуктуащш амплитуды двух плоских волн, распространяющихся под углом 巾 друг к другу.^4<х8>Ьх(]Р1-|52])—^4<х8>Ьх(]Р1-|52])—

Рис. 51. Корреляционная функция флуктуащш амплитуды двух плоских волн, распространяющихся под углом 巾 друг к другу.

Рис. 51. Корреляционная функция флуктуащш амплитуды двух плоских волн, распространяющихся под углом 巾 друг к другу.

^4<х8>Ьх(]Р1-|52])—

^4<х8>Ьх(]Р1-|52])—

Функция bx (if), вычисленная ло формуле (13) с использованием пяти первых членов ряда, представлена на рис. 51.

Вернемся теперь к вычислению а^ по формуле (4). Выражение (4) удобно несколько преобразовать. При 丁《1 можно рассмат- ривать(0г> %) и (02, ф2) как ци

линдрические координаты точек круга радиуса у, причем sin 0 dO cf(p 0 dB d(p г dE — элемент площади этого круга, 冗丫2 =工 ——его площадь. Обоз- начни Pi』(01? %) и р2= @2,6) ——р адиусы-векторы соответствующих точек. Согласно формулам (5) и (13) лодынте- гральное выражение в (4) зависит лишь от 0 = I pi — pg |. Поэтому (4) можно записать в виде

— ijd^d^. (14)

Введем снова функцию 斤丫 (р), равную нулю вне круга радиуса т и равную единице внутри этого круга. Тогда

ОО

С： = $ §§ 尸(pl)歹(Р2),х'〉мте)一 I ] 2 d& =

—ОО

ОО8

=* 8 y 炉〉女何 一 j 迎小尸(pi)尸(pi — p) %.(15)

—ОО—ОО

Учитывая определение функции К(р) (см. (6.53)), а также ее конкретный вид (7.53) для круга, получаем

《⑺=£ W [е4а，^(₽)-1]К(р) rf2₽ =

—со

= 7^т\ 呐 pdp[e4〈*〉bx“> _]] 2叫arccos 為)一 о о

X [ агссоз 出——出у1 —出2]出 dz. (16)

В случае т = 0 формула (16) дает

國(0)=[产х" — 1J 4г Jj tarccos 勺—％H — x2]xdx = £虱片〉一1. 0

Введем функцию

16 § к"*〉"似电一1] [arccosa —а У4 — z® ] a dr

равную отношению среднего квадрата флуктуаций интенсивности протяженного (уф0； и точечного (у = 0) источников.

〃0t25 0,54乃1f0%251,5 Z乃 勿 ％〃0t25 0,54乃1f0%251,5 Z乃 勿 ％Рис. 52. Зависимость относительного уыепьшения величины флуктуаций иптенсивыости для источника света с угловым диаметром у от у при различных значениях параметра 4 <х2>:1 — 4 <х*> — 0; 2 — 4 <х»> = 0,5； 3 — & (х»> = 1； 4 一 4<х'> = 2,5.Рис. 52. Зависимость относительного уыепьшения величины флуктуаций иптенсивыости для источника света с угловым диаметром у от у при различных значениях параметра 4 <х2>:1 — 4 <х*> — 0; 2 — 4 <х»> = 0,5； 3 — & (х»> = 1； 4 一 4<х'> = 2,5.

〃0t25 0,54乃1f0%251,5 Z乃 勿 ％

〃0t25 0,54乃1f0%251,5 Z乃 勿 ％

Рис. 52. Зависимость относительного уыепьшения величины флуктуаций иптенсивыости для источника света с угловым диаметром у от у при различных значениях параметра 4 <х2>:

1 — 4 <х*> — 0; 2 — 4 <х»> = 0,5； 3 — & (х»> = 1； 4 一 4<х'> = 2,5.

Рис. 52. Зависимость относительного уыепьшения величины флуктуаций иптенсивыости для источника света с угловым диаметром у от у при различных значениях параметра 4 <х2>:

1 — 4 <х*> — 0; 2 — 4 <х»> = 0,5； 3 — & (х»> = 1； 4 一 4<х'> = 2,5.

Так как функция \ 仲)зависит от отношения ф /т01 то о：(T)/d (0) зависит от отношения 2у/у0 広,кроме того, от параметра 4〈％*〉• На рис. 52 представлены функции о；(Т)欣(0), полученные в результате численного интегрирования, при некоторых значениях параметра 4〈代〉.

§ 55・ «Дрожание» изображений в фокальной плоскости телескопа

Флуктуации фазы вызывают хорошо известный в наблюдательной астрономии эффект «дрожания» изображения. В первом приближении его можно описать следующим образом. Пусть имеется интерферометр (или фазометр) с базой，на который

падает волна, прошедшая через турбулентную атмосферу, причем среднее положение фронта волны параллельно базе. Тогда случайный поворот фронта волны на угол а вызывает разность фаз AS =汕 sin а а Й?а, т. е. а можно определить через AS как а = ^^・ Средний квадрат флуктуаций а равен

fc4>« •fc4>« •,2\2 SS"

fc4>« •

fc4>« •

<а > = оа = -^^

В случае, если мы имеем объектив радиуса R, эта формула может быть применена приближенно, если подставить в ноо b = =2Л. Однако ясно, что в случае объектива дело обстоит несколько сложнее. Неоднородности поля S более мелкие, чем 7?, не должны вызывать смещения изображения, а должны приво* дить к его размытию, т. е. к ухудшению качества изображения. В то же время крупномасштабные неоднородности должны вызывать смещение изображения. Рассмотрим этот вопрос подробнее. Пусть мы имеем линзу с фокусным расстоянием F, на которую падает возмущенная волна. В фокальной плоскости линзы образуется некоторое распределение интенсивности. Эффективное значение угла прихода можно определить по «центру тяжести» этого распределения интенсивности, координаты которого будут случайными величинами. Определив средним квадрат флуктуаций координат центра тяжести, мы сможем пересчитать его на средний квадрат флуктуаций эффективного угла прихода.

Эта же задача может быть сформулирована еще проще. Пусть мы имеем диафрагму объектива (без липзы); падающая на нее волна испытывает дифракцию, в результате чего вдали от диафрагмы (в зоне дифракции Фраунгофера) образуется угловое распределение интенсивности дифрагированного поля. Известно, что если картину распределения интенсивности в фокальной плоскости линзы перевести в угловые единицы, то полученное угловое распределение будет совпадать с упомянутым выше угловым р аспр ед елением дифрагированного на диафрагме поля в зоне Фраунгофера. Так как мы, в конечном счете, интересуемся флуктуациями угла прихода, воспринимаемого телескопом, то будет удобнее рассматривать непосредственно угловое распределение дифрагированного поля в зоне Фраунгофера.

Итак, пусть на диафрагму S падает волна 屮，значение которой при с = 0 (в плоскости S) есть

⑴⑴% (у, Z)= 4 exp (х (у, z) + iS (у, z)).

⑴

⑴

Поле за диафрагмой может быть определено нз волнового уравнения

AW + /у = о

с граничным условием (1) при х = 0 и условием излучения при z — оо. Эта задача, как известно, имеет следующее решение:

屮 з, у, z) = g %(П，9 5 3, у — Т1，Z — 9 W %(2)

—o0 где

w<x^-^z-^= -^ri^}=言—？(一含)'⑶

产=炉 + (у — т])2 斗(％ —屮・ Обозначим также Я® — х2 + ya + z2.

В нашем случае интегрирование в (2) распространяется лишь на пределы диафрагмы Е. Разложим величину

Г = 了状+ ®-Т1)2 +(Z — g产=y&-2yii-2zU + if + U2

в ряд по % и：

Г=凡]/口早1 +胃』山+竺也.⑷

|/成丁般& 丁 马 L

Поместим начало координат в центре диафрагмы. Тогда последний член разложения (4) имеет порядок R曳凤,где R — размер диафрагмы. В экспоненте, входящей в (3), можно отбросить этот член разложения, если -н— у 1? т. е.

7?У 九 &.

Но это и есть условие того, что точка наблюдения находится в области дифракции Фраунгофера. Обозначим

^ = sina, E=sinB・(5)

лир представляют собой углы между нормалью к диафрагме и направлением на точку наблюдения х, у, z, которые отсчитываются в плоскостях (х.у) и (a:,z) соответственно. Очевидно, что

萨=У \ ——sin^a — sin4 Р，

Заменяя в экспоненте (3) г на Яо —(升 sin a + ? sin P), а в знаменателе —просто на 凡，пренебрегая величиной i/ikRQ и

считая углы а и В малыми (это справедливо в случае 九 у Хо), получим

W (瑞 у, z)=盡 >^ § То (% 4) e-ik(s+B0 W 〃.(6)

Распределение интенсивности по углам определяется величиной W*:

I (% В} = W =

=爲■心%m Wm/TMEE'%密對，dr ⑺ 0 E S

Найдем теперь угловые координаты центра тяжести этого распределения. Обозначая их aOr pot имеем по определению

ООf§『(％ В) в da 々В—ООООf§『(％ В) в da 々В—ООJJ /(a,0)0dad0—ООJJ /(a,0)0dad0—ООВ) da dgВ) da dgК /(a，B)dadBК /(a，B)dadB(8)(8)

ОО

f§『(％ В) в da 々В

—ОО

ОО

f§『(％ В) в da 々В

—ОО

JJ /(a,0)0dad0

—ОО

JJ /(a,0)0dad0

—ОО

В) da dg

В) da dg

К /(a，B)dadB

К /(a，B)dadB

(8)

(8)

Вычислим сначала интеграл в знаменателе:

ОО

ООх§—ООООх§—ОО§ / (а, В) da rf₽ =扁§§阴 m G к m，^d^ 北對'黑'x

ООх§—ОО

ООх§—ОО

ZE-”BZ" da dB = ^~4炉 g6屮。⑴,0 屮；⑴'，7) X0g号

X 6 出8_n》G (A (G - 口) M 北 d" d匕

Учитывая, что

6 (左(L П')} = } 6 (ri —哨，

получаем

ОО

8/(a,B)da亦h融|%(小92如幅 (9)

Перейдем к вычислению величины

ОО

,a/ (a, ₽) da邙=焉心鸣(%М)匕(寸,口加厲drf " x

—Оо0十U

ОООО

X \ /或WR rfp \ e-i^-n^a a rfa. (10)

—ОС—ОО

§ Б51 «ДРОЖАНИЕ» ИЗОБРАЖЕНИЙ В ФОКУСЕ ТЕЛЕСКОПА389

Последний интеграл в (10) вычисляется следующим образом: рассмотрим

\ e~iu^da = 2л6 (и).

Дифференцируя это равенство по и, получаем

\ aeriuada = 2几6‘ (м) i.

—со

Дифф ер енцир у я по и ►функцню 6 (左и)=不 6 (и)】 имеем 6’ (Ли) к = = 4-6'®, откуда

6，(砌=5 6®

Используя эти равенства, получаем

$ а/(а, В)dad^^^$/。(％ g)¥；(Л\ 口 X

y° х 6(加亿一6)沿伊(T)— T]'))dridTi'典 ％'=

一京堂。(%+"^d他.(И)

В последнем равенстве использована формула

J f (е)6'(勺一勺)dx = —f (&)• Разделив (11) на (9), получаем

(12)

Аналогичную формулу можно написать и для ро. Формуле (12) удобнее придать несколько другой вид. Интегрируя по частям и учитывая, что То = 0 на границе Z, получим

(；2а)(；2а)[严产 C)%6/)dt] d^

(；2а)

(；2а)

"丨*5,9 户"MG

Взяв полусумму этих выражений, имеем

仃丨％ (%◎!%，】也

，!/％(%0产向代

Подставим телерь выражение 4% = /族厶汨,：

Из этого выражения следует, что основную роль в (14) играют флуктуации фазы: в случае S^ — const а0 = 0; амплитудные же флуктуации играют роль поправки второго порядка. Поэтому в первом приближении имя можно пренебречь, т( е. положить % = 0. В этом случае

Найдем теперь средний квадрат а^ флуктуаций а0:

Преобразуем выражение под знаком интеграла:

\~〈同(% 已)3i (n ")〉=

= ^if3s(H — il', & — }) =—环3s (口一口‘，С —7)=

=石历°s(n — n'/ — 匕)• Снова вводя функцию

аJ 1 внутри £‘

(% 9 -(0 вне 2,

получим

0а =鶴T血尸⑴丄)p 6, С吧二"力1悶對，缁= —8

=0、6-^木5/)办典，(17)

— CO

где снова проведено преобразование, аналогичное переходу от (4.53) к (5.53).

Учтем теперь изотропность флуктуаций. В этом случае

厶 Сп, ?)-么(]/If 十㈢=Ds (р),а刀s(口)炉八"炉(⑺

и рассмотрим случай круглой диафрагмы радиуса Я. Введем в (17) полярные координаты 刀 = pcos <p, g = psiny и подставим выражение (7.53) для К:

齊 产 「/У(力]

Е = 5F^ \ Р^Р^ f，(p[Cps24)£,s(P)+ s!n2(p-y-j X

х 2箇[arccos (备)一卷 |/ 1 _爰卜

= Hi^\ [厶(p)+缥乙][arccos 陽)一务 |А_ 靑 Jpjp.

(19)

Подставим в это выражение конкретный вид структурной функции Ds (р). При этом следует различать два случая. Если 2反《 <С厶厶TО

厶(Р) = ^ - О,73С%р% (р < 了迂)(20)

(небольшим квадратичным участком функции Ds (р) при рУМ можно пренебречь, так как интеграл (19) при Ds (р), даваемой формулой (20), сходится в нуле). В случае же, если 2R^y^L^ в большей части области интегрирования

Ds(p) = 0,73。計2%% (р А У 狂)，(21)

и следует пользоваться этим выражением. Проведем расчет, подставив (20) в (19). (Для случая ]/入Zy 2Е в окончательном

результате достаточно будет удвоить численный коэффициент.) Вводя новую переменную ж — ^, получим

1

或=竽 С% (27?尸'，塞 \ /，[arccos z —工 /Г^5] dx. (22) 0

Интеграл I в правой части (22) легко вычисляется. Второе его слагаемое подстановкой х2 = ^ приводится к 5-функции Эйлера, первое слагаемое приводится к ней же после интегрирования по частям.

В результате

г эУл Г и)

и выражение для а« принимает вид

£ = 0,97 箒 С% (27?)-'/，(觞 у 27? у У运).(23)

Оно отличается от значения, даваемого формулой (1) при Ь = =2ff лишь численным коэффициентом 0,97. В случае 2R 登 j/AL имеем формулу

□а = 0,71《£(27?)-% (27? А У立).(23а)

Кратко остановимся и на второй стороне этого вопроса — о качестве изображения. Формулы (23) дают средний квадрат флуктуаций центра тяжести изображения. В то же время внутренняя структура движущегося изображения также флуктуирует. Соответствующий расчет можно произвести, если рассмотреть среднее значение интенсивности в системе координат, движущейся вместе с центром тяжести (формула (15). Мы не будем приводить этот расчет ввиду его чрезвычайной громоздкости и укажем лишь, что после перехода в движущуюся систему координат исключается влияние крупномасштабных неоднородностей и внутренняя структура движущегося изображения определяется мелкомасштабными флуктуациями. Угловой размер движущегося пятна определяется средним квадратом флуктуаций угла прихода

%(叫

(эта величина была вычислена в предыдущей главе). Отметим, что расчеты структуры поля за линзой содержатся также в работах 1113, 119-123].

Б. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ДАННЫЕ

ПО РАСПРОСТРАН ЕН ИЮ СВЕТА, ЗВУКА И РАДИОВОЛН В ТРОПОСФЕРЕ

Распр остранение света в приземном слое атмосферы

Эксперименты в приземном слое атмосферы весьма привлекательны тем, что в них, помимо измеревий величины мерцания источника света, можно одновременно производить измерения флуктуаций показателя преломления (т, е. определить величину Се) и проводить измерения при различных и точно известных значениях £, Таким образом, наземные опыты могут дать экспериментальный материал, который удобно сравнивать с теорией явления [124—127, 170].

Работы [124—126, 170] проводились на Цимлянской научной станции Института физики атмосферы АН СССР, расположенной на ровном участке степи. Рельеф местности обеспечивал однородность тур б у лентности вдоль всего пути распространения луча (свет распространялся в горизонтальном направлении на приблизительно одинаковой высоте над подстилающей поверхностью). Расстояние между источником и приемником света выбиралось равным 250, 500, 1000, 2000 м. На меньших, чем 250 九, расстояниях эффект мерцания становился сравнимым с собственными шумами аппаратуры и поэтому измерения здесь не проводились. Использовать большие, чем 2000 лц расстояния было затруднительно из-за неровностей рельефа. Средняя высота луча над поверхностью земли составляла приблизительно 2 ль

В работах [124—126] измерения производились ночью, когда флуктуации показателя преломления сравнительно невелики. В работе [170] мзмерепия производились в дневное время в жаркие летние дни с очень интенсивными флуктуациями показателя преломления.

Остановимся сначала на результатах, полученных в [124— ,26].

Здесь источником света служила 30-ваттная лампа накаливания. Свет от нее при помощи светосильного объектива фокусировался на диафрагму диаметром 0,5 мм^ За диафрагмой помещался диск обтюратора, имевший 150 щелей и вращавшийся со скоростью 100 об/сек. Диафрагма находилась в фокусе выходного объектива (фокусное расстояние 25 сл, диаметр 10 от), из которого выходил слаборасходящийся лучок модулированного с частотой 15 000 щ света. Модуляция света с последующим резонансным усилением сигнала на несущей частоте позволяла избавиться от посторонних немодулированвых источников света, а

также упростила приемную аппаратуру (исчезла необходимость применять усилители постоянного тока).

Приемник света (рис. 53) состоял из двух фотоумножителей ФЭУ-19, свет на которые попадал через две диафрагмы (g【и g2),

Рис. 53* Схема эксперимента по исследованию мерцания наземного источника света.Рис. 53* Схема эксперимента по исследованию мерцания наземного источника света.

Рис. 53* Схема эксперимента по исследованию мерцания наземного источника света.

Рис. 53* Схема эксперимента по исследованию мерцания наземного источника света.

расположенные в плоскости, перпендикулярной лучу, и системы призм. Расстояние р между диафрагмами могло меняться в пределах от 0,5 до 50 см. Диаметр приемных диафрагм был равен 2 мм, что полностью устраняло эффект «усреднения объектива».

Переменные составляющие напряжения на выходах ФЭУ, амплитуды которых пропорциональны / (MJ и / (М?) (/ (")— мгновенное значение светового потока через диафрагму, помещенную в точке М)^ усиливаются резонансными усилителями с полосой пропускания порядка 2000 叫 а затем детектируются. На выходе детекторов образуются напряжения 1\ и V2> пропорциональные / (MJ и 7 (М2). В усилителях имеется специальная следя- щая система, обеспечивающая выиолпение соотношения V\ = V2 (усреднение с постоянной времени 100 сек). После отделения постоянных составляющих образуются напряжения % = 匕一 —匕 ни； = V2 —匕，пропорциональные флуктуациям светового потока Г (Mj) = /(Mi) — / (Mj) и Г (М^ — / (MJ — / (必)・ Напряжения 匕 и У； подвергались автоматическому статистическому анализу при помощи специального комплекса аппаратуры (см. [128]).

Измерялись (в одинаковых единицах): распределение вероятностей флуктуаций /' (Мх); средний квадрат флуктуаций

〈/'&(Л/。〉； среднее значение <7 (Л/2)>; корреляционная функция </' (AfJ Г (Л/2)> = В 】(М 口 力，2)； частотный спектр флуктуаций 『УМ， в диапазоне частот от 0,05 до 1000 гц.

Одновременно с изменениями мерцания наземного источника света на трассе производились метеорологические измерения, позволявшие рассчитывать величину Ct Измерялись профили температуры в слое от 0,5 до 12 л, профили скорости ветра в тех же пределах, а также направление ветра.

На основе этих измерений можно было определить параметры турбулентности е, К, Т*.

П оскол ьку эксперимент производился над очеиь ровным участком степи и турбулентный режим над различными участками трассы был одинаков, метеорологические измерения были организованы лишь п одном пункте.

Приведем основные результаты измерений.

Функция распределения вероятностей флуктуаций интенсивности света, Из теории явления следует, что логарифм амплитуды световой волны выражается через флуктуации показателя преломления на пути распространения при помощи интеграла типа

m £=\$ 尸(""'(")力'・

Всю область интегрирования D в этом интеграле можно разбить на большое число областей D” с линейными размерами порядка внешнего масштаба турбулентности Lo, который в условиях эксперимента определялся высотой луча над землей.

Флуктуации 几'(>)в таких областях не коррелированы между собой. Поэтому в силу центральной предельной теоремы величина In (Л/Ло) должна быть распределена по нормальному закону. Так как In (〃/°) = 2 In ⑷4), т。и величина In (7/70) должна быть распределена нормально, а величина I — логарифмически нормально. Эксперимент хорошо подтверждает этот вывод. На рис. 54 приведены эмпирические законы распределения вероятностей флуктуаций /. По оси ординат отложена величина

р(/</«)р(/</«)в вероятностном масштабе (т. е. в линейном масштабе

р(/</«)

р(/</«)

откладывается величинаоткладывается величинаФ'1 (Р (/ < /о)), где Ф'1 (х) — функ-

откладывается величина

откладывается величина

ция, обратная интегралу вероятности

①®=忘)宀汨5

-DO

По оси абсцисс отложено 厶 в логарифмическом масштабе.

В этих координатах логарифмически нормальный закон распреде-

ления имеет вид прямой линии. Всего было обработано около ста эмпирических функций распределения F (7). Все они хорошо согласуются с гипотезой о нормальном распределении величины InZ.

Рис. 54. Примеры эмпирических законов распределения вероятностей логарифма интенсивности света, распространяющегося в приземном слое атмосферы.Рис. 54. Примеры эмпирических законов распределения вероятностей логарифма интенсивности света, распространяющегося в приземном слое атмосферы.

Рис. 54. Примеры эмпирических законов распределения вероятностей логарифма интенсивности света, распространяющегося в приземном слое атмосферы.

Рис. 54. Примеры эмпирических законов распределения вероятностей логарифма интенсивности света, распространяющегося в приземном слое атмосферы.

Закон распрсделепия, которому соответствует 置了 = 2,96, взят из изме-рений, проведеаных в дневное время [1701.

Используя логарифмически нормальный закон распределения для /, можно связать измеряемые в эксперименте величины 〈/〉и б? = ([/—</>]2> и входящую в теорию величину

б8 = ([1ц / — <1п7>]2> = 4бх = In [1 +

Эта формула использовалась при дальнейшей обработке экспериментальных данных.

Корреляционная функция флуктуаций интенсивности света е плоскоспги1 перпендикулярной лучу. Как уже отмечалось, при выполнении условия yXZ》入° (для света это условие в приземном слое атмосферы, где л0 имеет порядок одного-двух миллиметров, выполняется уже при L порядка нескольких десятков

метров) радиус корреляции флуктуаций интенсивности света имеет порядок 丫疝、а корреляционная функция флуктуаций интенсивности зависит от аргумента р/У%Е.

В приводившихся экспериментах непосредственно проверялась эта гипотеза подобия. Измерения коэффициента корреляции R делались при различных значениях 胃2、соответствовавших L = 2000, 1000 и 500 м. Однако расстояния р между диафрагмами устанавливались таким образом, что величина p/MAi всегда принимала одинаковые значения 0,25; 0,5; 2; 4 и 8.

Измеренные R имели довольно большой разброс, обусловленный недостаточной точностью измерений. Однако многочисленность измерений R значительно уменьшила ошибку, так что средние значения К, полученные при одинаковом р/*/入厶 и при различных У^Ь^ очень хорошо согласуются друг с другом. В табл. 2

Таблица 2

後

亡 2000 м VxL и 3*2 сл

L = 1000 “ WXL = 2,2 cm

L 二 500 *M

К XL = (,S cm

Средние для всех

R

n

n

n

R

n

R

n

5%-яые доверит, пределы

0,25

0,58

8

0,46

15

—

0,50

23

0,05

0,5

0,27

9

0,31

19

0,27

12

0,29

40

0,05

1,0

0,09

11

OJO

18

0,16

15

0,12

43

0,06

2

—0,05

7

—0,05

15

—0,07

14

—0,055

36

0,08

4

—0,08

6

—0,09

13

—0,03

14

—0.062

33

0,08

8

—0,08

7

—0,03

14

—0,13

9

-0,072

30

0,06

приведены величины К, полученвые при различных значениях 厶, а также средние для всех L данные, л ——количество измерений.

Данные табл. 2 графически представлены на рис. 55. Различными знаками отмечены значения Rt полученные при разных L. Как видно из графика, различие в значениях R, полученных при разных У入工,укладывается в пределы точности измерений (вертикальными линиями на графике изображены 5%-ные доверительные пределы).

Полученные результаты достаточно убедительно подтверждают теоретический вывод о том, что корреляционная функция зави* сит от p]V*L и что радиус корреляции флуктуаций интенсивности имеет порядок 弋疝.

Таким образом, все попытки определения «среднего размера неоднородностей» по радиусу корреляции флуктуаций интенсивности света обречены на неудачу, поскольку из этих наблюдений можно извлечь лишь величину /

£・ Частотный спектр флуктуаций интенсивности. Частот^ ный спектр флуктуаций светового потока измерялся при помощи

частотного анализатора, имевшего 30 фильтров, с полосой пропускания в 0,5 октавы каждый (отношение верхней границы полосы пропускания фильтра к нижней равно 了2), расставленных через 0,5 октавы от 0,05 до 1160 гц.

Было обработано 80 спектров мерцания, полученных на расстояниях L — 1000 и' 2000 ли На основании синхронных метеорологических измерений вычислялась перпендикулярная лучу компонента средней скорости ветра и丄. Измерения на каждом из расстояний были разбиты на три группы в зависимости от величины 卩丄：1 <и二々 2 м/сс峭 2 V 卩丄 < 3 м/сск; 3 V 卩丄 < <4 м/сек.

Для каждой группы были получены средние спектральные плотности флуктуаций w (/) (усреднение производилось в логарифмическом масштабе).

Затем вычислялись ^нормированные» спектральные плотности

ОО*

у 缈(/)&/ 0

На рис. 56 в логарифмическом масштабе приведены величины

u"二产—

J⑵⑴内 о

соответствующие различным скоростям ветра и丄,которые являются средними для данной группы измерений.

Из графика видно, что с увеличением средней скорости ветра кривые и (/) сдвигаются в сторону высоких частот. Можно найти частоты /团，соответствующие максимуму кривой и (/) (/та определялось как полусумма значений частот, при которых 乂(/)= *== ｝【乂 (/)]rnax). В табл. 3 приведены значения средней скорости ветра и丄 для групп величины /w, а также /т y^jv^

Таблица 3

L = iOOO м

L = 2000 м

г;丄,м/сен

1,46

2,18

3,46

1,61

2,59

3,51

Ап，叫

20

25,6

45,7

18,(

25,6

39,8

小立

。丄

0,31

0,26

0,30

0,35

0,31

0,36

Величина /т j^XZ/u丄 приблизительно постоянна, ее среднее значение равно 0,32. Таким образом, частоты /т связаны с и丄 и УАХ соотношением

(1)(1)/т = 0,32-^・

(1)

(1)

Отметим, что расчет, основывающийся на гипотезе «замороженной» турбулентности, приводит к соотношению /т = 0,55т^^, от лич ающемуся от (1) численным коэффициентом.

Однако теоретическое соотношение между пространственным масштабом корреляции HQ (Ва (&) = 0) и /т, которое имеет вид

Ео — 0,44 廿,

Рис. 56. Эмпирический нормированный частотный спектр флуктуаций интенсивности света прн различных скоростях ветра.

По оси ординат отложена величина м =，з （力/〈犬〉.По оси абсцисс — частота / в логарифмическом масштабе. В этих коордтазатах площадь под каждой из кривых равна единице.

хорошо выполняется, так как, согласно экспериментальным дан

ным, 7?д = 1,5 УXL, что приводит к формуле 7?о = 0,48 产.

Все частотные спектры, изображенные на рис, 56, изображе

ны на рис. 57 в виде функций от аргумента / y^Ljv^. Как видно из графика, преобразованные таким образом спектры весьма

Рис. 57. Эмпирические частотные спектры флуктуаций ивтепсивности света, построенные в зависимости от безразмерной частотыРис. 57. Эмпирические частотные спектры флуктуаций ивтепсивности света, построенные в зависимости от безразмерной частоты

Рис. 57. Эмпирические частотные спектры флуктуаций ивтепсивности света, построенные в зависимости от безразмерной частоты

Рис. 57. Эмпирические частотные спектры флуктуаций ивтепсивности света, построенные в зависимости от безразмерной частоты

По оси ординат отложепа величина u(f)匸 /w (/) /<х*>.

незначительно отличаются друг от друга; это подтверждает вывод о том, что функция и (/) зависит лишь от аргумента / рА£/и丄

⑴卜m⑴d/ о⑴卜m⑴d/ о

⑴

卜m⑴d/ о

⑴

卜m⑴d/ о

Функция, стоящая в правой части этого равенства, выше (стр. 359) была рассчитана теоретически на основании гипотезы «замороженной» турбулентности.

修 На рис. 58 приведено сопоставление теоретической кривой с экспериментальными данными^ полученными усреднением графиков рис. 57. Как видно из рисунка, теоретическая кривая «уже»

экспериментальной; это, по-видимому, связано с тем, что при расчете предполагалось постоянство скорости ветра по всей трассе.

Остановимся теперь на важных результатах, полученных в работе М. Е. Грачевой и А. С. Гурвича [170]. В этой работе проверялась полученная выше формула <х2> — 0,077CePeLu * = oj (£) для среднего квадрата флуктуаций логарифма амплитуды.

Рис. 58. Сопоставление эмпирического (кривая /) и теоретического (кривая 2) частотных спектров флуктуаций интенсивности света и (f) = fw (/)/ <%2>.

При сопоставлении результатов теории и эксперимента необходимо учитывать, что источник света фактически излучает не плоскую волну, а слаборасходящиися пучок плоских волн. Действительно, каждая точка светящегося тела в фокальной плоскости объектива осветителя дает плоскую волну, распространяющуюся под некоторым углом к оптической оси. Различные точки светящегося тела являются некогерентными источниками света, так что на выходе объектива мы имеем набор некогерентных плоских волн, распространяющихся внутри некоторого телесного угла. Поэтому на приемник света одновременно приходят некогерептные волны с несколько различных направлений, подобно свету от планеты с конечными угловыми размерами. Выше было рассчитано ослабление мерцания, вызванное конечностью углового размера источника света. Этот расчет экспериментально проверялся в работе 1171], причем было обнаружено хорошее согласие результатов измерений с теорией. В работе [170] при сопоставлении результатов эксперимента с теорией учитывалось усредняющее действие источника света и вносились соответствующие поправки — результаты измерений пересчитывались на источник света с бесконечно малыми угловыми размерами,

Измерения производились в дпсвных условиях при сильной конвективной неустойчивости атмосферы, когда флуктуации показателя преломления особенно велики. Источником света служила 250-ваттная ртутная лампа сверхвысокого давления, питаемая мощным генератором с частотой 2500 а%. Так как лампа удваивает частоту, то из объектива осветителя, в фокусе которого была расположена лампа, выходил пучок света, модулированный с частотой 5000 2 4. Источник света располагался на фоне зачерненного экрана для ослабления рассеянного света, попадающего в приемник от посторонних источников.

Расстояние между источником и приемником света менялось в пределах от 125 до 1750 *・ При изменениях расстояния осветитель диафрагмировался так, чтобы величина т/т。, где 丁口 — —у 2X/nL — характерный угол, определяющий ослабление мерцания из-за усреднения по источнику, оставалась постоянной. Угловой размер источника 丫 в рассматриваемом эксперименте был равен его видимому угловому размеру DfL^ так как ширина испускаемого пучка света намного превосходила эту величину. Поэтому при изменениях расстояния сохранялось постоянным отноптение диаметра диафрагмы D осветителя к радиусу первой зоны Френеля ]/AL.

Приемник света представлял собой фотоумножитель ФЭУ-19, перед которым располагалась зачерненная впутри труба длиной около метра с помещенными внутри нее диафрагмами для уменьшения постороннего света. Диаметр диафрагм равнялся 2 мм, что было вполне достаточно для устранения эффекта усреднения по приемному отверстию. Сигнал с фотоумножителя усиливался усилителем с полосой пропускаемых частот от 4500 до 5500 гц, детектировался лилейным детектором, а затем цостулал в специальные блоки, измерявшие величины </>, < [7 — (/> | >. Производились также записи сигнала с детектора на шлейфовый осциллограф, которые затем обрабатывались для получения законов распределения вероятностей флуктуаций интенсивности (пример такой записи приведен на рис. 59).

Одновременно с измерениями флуктуаций интенсивности света производились измерения вертикальных профилей скорости ветра и температуры, по которым затем рассчитывалась величина Ct Эти расчеты производились по формулам, приведенным в гл. 1 с учетом зависимости параметров турбулентных пульсаций от числа Ричардсона.

Так как в эксперименте измерялись величины <|7 — </>|>, </>, а для сравнения результатов теории и экспериментальных данных необходимо знать величину 02 y〈Пл / — <1п />1а>» то необходимо найти связь между ними. Для ее установления

достаточно знать закон распределения вероятностей величины /. Поэтому было цредпринято специальное исследование закона распределения флуктуаций амплитуды. В области применимости первого приближения метода плавных возмущений этот закон распределения должен быть логарифмически нормальным, что

1 сек

历

Рис. 59. Примеры осциллограмм сильных флуктуаций ивтевсиввости света: а — % а 4; 6 — % а 6・

Скорости ветра, во время которых получены записи, приблизительно совпадают [182].

и было подтверждено предыдущими измерениями. В описываемых экспериментах зачастую осуществлялись такие условия, при которых величина а? = 0,077/。％" намного превышала единицу (ее максимальные значения доходили до 25). Оказалось, что и в этой области закон распределения очень близок к логарифмически нормальному). Пример эмпирического закона распределения, относящийся к области сильных флуктуаций, приведен на рис. 54. Значение параметра а? равно для этого примера 9.

Основываясь на логарифмически нормальном законе распределения, можно по измеренным значениям </>, <| /——</>|> вычислить величину ра = <[/ —〈/〉]2〉/〈/〉' (мы не приводим соответствующую формулу ввиду ее громоздкости). После нахождения величины р2, относящейся к мерцанию источника света с конечным угловым размером, по кривой, изображенной на рис. 52, производилось приведение результатов измерений к источнику с бесконечно малыми угловыми размерами. После этого по формуле о； = ехр (02) — 1 рассчитывалась величина флуктуаций логарифма интенсивности

а/ = <[1п/ — <1п/>]2> — 4 <[1п Л — <1п Л>]2>.

Полученная таким образом зависимость экспериментально измерсппой величины 口『=2az от параметра 2ап соответствующего расчету по первому приближению метода плавных возмущений, приведена на рис. 60. Такая же зависимость была получена впоследствии теми же авторами при помощи прибора, измерявшего не величины 〈/〉,</—〈/〉|\, а непосредственно средний квадрат флуктуаций интенсивности света <[/ —〈/〉俨〉 и </>.

На рис. 60 можно четко разделить две области: область слабых флуктуаций, соответствующую значениям ах = 0,28 С\/с“* £“小 V <0,8, и область сильных флуктуаций, соответствующую значениям этого параметра, превышающим 0,8. В первой из этих областей наблюдается хорошее согласие теоретических значений, полученных при помощи первого приближения метода плавных возмущений, с экспериментальными результатами. В области же сильных флуктуаций наблюдается «насыщением экспериментальных значений среднего квадрата флуктуаций логарифма интенсивности. Таким образом, на основании результатов описьшае' мой работы можно сделать вывод, что первое приближение метода плавных возмущений справедливо для амплитудных флуктуаций до значений о； = 0,077 ClkV' < 0,64.

Что касается области сильных флуктуаций, то она рассматривалась выше, в § 51. Произведенный там расчет не позволил найти численное значение уровня «насыщения», но объяснил полученные в экспериментах М. Е. Грачевой и А. С. Гурвича результаты. Если принять для входящего в теорию численного параметра о^ экспериментальное значение 0,64 и нанести теоретическую кривую на график рис. 60 (сплошная кривая на этом рисунке), то мы получаем хорошее совпадение результатов теории и эксперимента при всех исследованных значениях параметра о? <25.

44

4

4

Ниже (см. гл» 5, § 66) приведен еще один вариант теории сильных флуктуаций, дающий объяснение экспериментально наблюдаемой зависимости и^ = / (口1)・ Получепвая в § 66 зависимость

Рис. 60. Сопоставление экспериментально полученных значений среднего квадрата флуктуаций логарифма интенсивности света (2зх) с соответствующей величиной^ рассчитанной в первом приближении метода плавных возмущении (2%).Сплошная кривая проведена на основании расчета, произведенного в § 51 (см. также рис. 96 на стр, 516),Рис. 60. Сопоставление экспериментально полученных значений среднего квадрата флуктуаций логарифма интенсивности света (2зх) с соответствующей величиной^ рассчитанной в первом приближении метода плавных возмущении (2%).Сплошная кривая проведена на основании расчета, произведенного в § 51 (см. также рис. 96 на стр, 516),0х = f (oj может быть с формулой0х = f (oj может быть с формулойбольшой точностью аппроксимированабольшой точностью аппроксимированаОхОх二1 -二1 -11H十呢»"H十呢»"

Рис. 60. Сопоставление экспериментально полученных значений среднего квадрата флуктуаций логарифма интенсивности света (2зх) с соответствующей величиной^ рассчитанной в первом приближении метода плавных возмущении (2%).

Сплошная кривая проведена на основании расчета, произведенного в § 51 (см. также рис. 96 на стр, 516),

Рис. 60. Сопоставление экспериментально полученных значений среднего квадрата флуктуаций логарифма интенсивности света (2зх) с соответствующей величиной^ рассчитанной в первом приближении метода плавных возмущении (2%).

Сплошная кривая проведена на основании расчета, произведенного в § 51 (см. также рис. 96 на стр, 516),

0х = f (oj может быть с формулой

0х = f (oj может быть с формулой

большой точностью аппроксимирована

большой точностью аппроксимирована

Ох

Ох

二1 -

二1 -

1

1

H十呢»"

H十呢»"

и хорошо согласуется с приведенными на рис. 60 экспериментальными данными (см. рис. 96 на стр. 516).

Заметим также, что из теории, развитой как в § 51, так и в § 66, следует, что закон распределения для флуктуаций интенсивности в области сильных флуктуаций должен быть близок к логарифмически нормальному.

г. Измерения флуктуаций угла прихода саета. В работе [129] производились измерения флуктуаций угла прихода световой волны («дрожаниям изображения).

Рис. 61. Блок-схема экспериментальной установки для измерения флуктуаций угла прихода света.Рис. 61. Блок-схема экспериментальной установки для измерения флуктуаций угла прихода света.Для определения статистических характеристик «дрожания»— дисперсии и частотного спектра—была разработана схема измерении, изображенная на рис. 61. Источник света с диафрагмой, подбираемой так, чтобы его угловые размеры составляли всегда около 2", помещался на расстоянии L от телескопа. Объектив телескопа имел фокусное расстояние 80 слс и диаметр 8 ом. Между объективом телескопа и его фокусом на расстоянии 1 см от фокуса находилось зеркальце шлейфового гальванометра. Отраженный от зеркальца пучок света фокусировался при помощи второго объектива на вертикальной щели шириной в 30 мкм, что примерно в 2 раза меньше увеличенного вторым объективом изображения источника. За щелью помещался фотоумножитель. Фокусировка системы при изме- пении расстояния до источника света осуществлялась перемещением объектива телескопа.

Рис. 61. Блок-схема экспериментальной установки для измерения флуктуаций угла прихода света.

Рис. 61. Блок-схема экспериментальной установки для измерения флуктуаций угла прихода света.

ИС — источник света, О — объектив, Г— шлейфовый гальванометр, Щ ——щель, — фотоумножитель, Ф —фильтр на частоту 5 У — усилитель, СД—синхронный детектор, Е — суммируюпщй мост, ЗУ — электрометрический усилитель, УВ — управляемый высоковольтный выпрямитель, ЗГ— эвуновой генератор, ЧА — частотный анализатор, ЭДУ 一 электродинамический умножитель.ИС — источник света, О — объектив, Г— шлейфовый гальванометр, Щ ——щель, — фотоумножитель, Ф —фильтр на частоту 5 У — усилитель, СД—синхронный детектор, Е — суммируюпщй мост, ЗУ — электрометрический усилитель, УВ — управляемый высоковольтный выпрямитель, ЗГ— эвуновой генератор, ЧА — частотный анализатор, ЭДУ 一 электродинамический умножитель.Для измерения «дрожания» применялась следящая система, работающая на несущей частоте / = 5 кгц, которая позволяла исключить влияние «мерцаниям (изменения интенсивности принимаемого света) на результаты измерения. Работа следящей системы происходит следующим образом. Напряжение

ИС — источник света, О — объектив, Г— шлейфовый гальванометр, Щ ——щель, — фотоумножитель, Ф —фильтр на частоту 5 У — усилитель, СД—синхронный детектор, Е — суммируюпщй мост, ЗУ — электрометрический усилитель, УВ — управляемый высоковольтный выпрямитель, ЗГ— эвуновой генератор, ЧА — частотный анализатор, ЭДУ 一 электродинамический умножитель.

ИС — источник света, О — объектив, Г— шлейфовый гальванометр, Щ ——щель, — фотоумножитель, Ф —фильтр на частоту 5 У — усилитель, СД—синхронный детектор, Е — суммируюпщй мост, ЗУ — электрометрический усилитель, УВ — управляемый высоковольтный выпрямитель, ЗГ— эвуновой генератор, ЧА — частотный анализатор, ЭДУ 一 электродинамический умножитель.

несущей частоты со звукового генератора через суммирующее устройство (уравновешенный мост) подается па шлейф. Амплитуда колебаний изображения на щели была порядка 35—40лекл. Колебания совершаются в горизонтальной плоскости перпендикулярно щели. Напряжение с нагрузки фотоумножителя подается на усилитель с полосой пропускания от 4800 до 5200 гц. Если среднее (за период 1//) положение изображения источника света находится на середине щели, то в сигнале на выходе фотоумножителя имеются составляющие с частотами 2/, 4/ и т, д. и отсутствует составляющая с частотой /. Амплитуда этой составляющей пропорциональна смещению среднего положения изображения от середины щели, а фаза совпадает с фазой колебания шлейфа или сдвинута на 180° в зависимости от того, в какую сторону от середины щели сдвинуто изображение. Усилитель пропускает

только частоты, близкие к /. На выходе усилителя находится синхронный детектор, ток с которого через суммирующее устройство подается на шлейф. Фаза управляющего напряжения, подаваемого на синхронный детектор, подбирается так, чтобы в описанной следящей системе осуществлялась отрицательная обратная

6鼻、比壮,

30 -

夕 125259 500%2U00LtJH

Рис. 62. Зависимость среднего квадрата флуктуа-ций угла прихода от расстояния.

Большой разброс эксперииентальных эваченяй вызванзначительными вариациями метеорологических условий.

Крестиками обозначены средние значения о® для каждогоиз расстояний,

связь и изменение угла прихода ф0 волн компенсировалось бы поворотом зеркальца шлейфа на соответствующий угол.

Таким образом, ток на выходе синхронного детектора пропорционален усредненному за период нескольких колебаний шлейфа значению угла прихода световой волны.

Одновременно с измерениями характеристик «дрожания» проводились измерения вертикальных профилем средней скорости ветра и средней температуры. Всего было проведено около 6Q

измерений дисперсий и частотных спектров на расстояниях 125, 250, 500, 1000 и 2000 м. При каждом измерении в качестве величины дисперсий и спектральных плотностей брались их средние значения за Юлик.

На графике рис. 62 приведены значения a®t измеренные при различных расстояниях L и различных метеоусловиях. Этот

рисунок дает представление о величинах 陰 из него видно, что

в среднем имеет место линейная графика ясно, что шум прибора 口皿,пересчитанный в угловые единицы, равен приблизительно 1". Линейная зависимость от расстояния хорошо согласуется с теоретической формулой

Аналогичные измерения недавно были выполнены А. С. Гур- вичем и М. А. Каллистратовой [1841 в дневных условиях, когда величина С： обычно боль' ше, чем ночью. В этой работе для более детального сопоставления результатов иа~ мерспий с теорией по данным о средних значениях скорости ветра и температуры вычислялось значение С： по формулам, приведенным в гл. 1 (с учетом зависимости от числа Ричардсо-

зависимость q от L. Из этого жезависимость q от L. Из этого жетально измеренных значений среднеквадратичной величины флуктуации угла прихода света (бфЭКСП) с величитально измеренных значений среднеквадратичной величины флуктуации угла прихода света (бфЭКСП) с величиной 0屮丁，рассчитанной на основе измерений профилей средней температуры и скорости ветра.ной 0屮丁，рассчитанной на основе измерений профилей средней температуры и скорости ветра.на). Сопоставление рассчитанных и измеренных значении аФ приведено на рис. 63, где по оси абсцисс отложены теоретические значения

зависимость q от L. Из этого же

зависимость q от L. Из этого же

тально измеренных значений среднеквадратичной величины флуктуации угла прихода света (бфЭКСП) с величи

тально измеренных значений среднеквадратичной величины флуктуации угла прихода света (бфЭКСП) с величи

ной 0屮丁，рассчитанной на основе измерений профилей средней температуры и скорости ветра.

ной 0屮丁，рассчитанной на основе измерений профилей средней температуры и скорости ветра.

ст(рт, а ио оси ординат — экспериментально определенные значения дисперсий «дрожания» а(рЭКСП с учетом шума. Прямая на рис. 63 означает полное совпадение. Из графика видно, что измеренные значения ложатся около этой прямой. Коэффициент регрессии величины и9 ЭКС11 на теоретическое среднеквадратичное значение аФТ равен 0,98.

Как было установлено в разделе А, произведение

加(/) к加(/) к7尸⑴汴⑴可О

加(/) к

加(/) к

咼倍广咼倍广fw (/) = const sin2fw (/) = const sin2(尸(/)——спектральная плотность мощности флуктуаций на частоте /) является безразмерной функцией безразмерной частоты / Ь/匕：

咼倍广

咼倍广

fw (/) = const sin2

fw (/) = const sin2

где и丄——нормальная к лучу компонента средней скорости ветра и 6 —— диаметр объектива. Эта формула получена в предположении, что справедлив «закон 2/3》и что можно пользоваться гипотезой «замороженной турбулентности». На рис. 64 приведен спектр, получепный усреднением нормированных и приведенных к безразмерной частоте спектров /ш (/). Для сравнения с теорией указано асимптотическое поведение теоретической функции fw (/) на еизких частотах / при ^^ У1:

加⑺〜咼，

и на высоких частотах при nfb^>v^:

加(/)〜(勒

На графике отмечено значение безразмерной частоты — = 0,22, соответствующее максимуму теоретического спектра.

Из графика видно, что экспериментально определенный спектр имеет тот же характер, что и теоретический. Максимум спектральной функции находится на частотах того ясе порядка, что и максимум теоретического спектра. Более быстрый по сравнению с теоретическим спад спектральной функции в области низких частот объясняется, по-видимому, тем, что в крупномасштабной области спектра турбулентности, ответственной за низкочастотный участок спектра «дрожания», «закон 2/3» выполняется недостаточно точно. На рис. 64 пунктиром нанесен также спектр флуктуаций угла прихода звуковых волн (см. ниже), форма которого довольно близка к спектру «дрожанмя» источника света.

В заключение сформулируем основные выводы, которые можно сделать на основе анализа проведенных экспериментов.

В области слабых флуктуаций при о：= =0,0770詠'/牙%<0,6

Флуктуации интенсивности света, вызванные турбулентностью атмосферы, распределены логарифмически нормально»

Зависимость

<[1пЛ —<1пЛ>]г> = 0,077悪/£>

§ 56] РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ 411 подтверждается количественно вплоть до значений величины 0,077 С%“厶'％ порядка 0,6.

Непосредственные измерения подтверждают теоретический вывод о том, что корреляционная функция флуктуаций интенсивности света зависит от р / рХД а масштаб корреляции имеет порядок [/ТЕ.

Рпс. 64. Частотный спектр флуктуаций угла прихода света.

Прямые линии соответствуют теоретическим асимптотикам в области низких и высоких частот. Значение fb/v^ = 0,22, отмеченное вертикальной пунктирной линией, соответствует положению максимума теоретически рассчитанной функции fW (/). Пунктиром нанесен экспериментальный спектр флуктуаций угла прихода звуковых волн.

Подтверждается, что частотный спектр флуктуаций интенсивности света зависит от /У九£/и丄，и обнаруживается хорошее согласие временного и пространственного масштабов корреляции.

Средний квадрат флуктуаций угла прихода световых волн при распространении в турбулентной атмосфере пропорционален расстоянию, проходимому светом в турбулентной среде.

Экспериментальные данные о средних квадратах флуктуаций угла прихода находятся в хорошем согласии с расчетными значениями, полученными на основании измерений распределения скорости ветра и температуры с высотой в приземном слое атмосферы.

Вид частотного спектра флуктуаций угла прихода света находится в согласии с теоретическим, однако для объяснения ширины спектра необходимо учесть флуктуации скорости переноса неоднородностей.

В области сильных флуктуаций при а? >2

Закон распределения вероятностей флуктуаций интенсивности света близок к логарифмически нормальному.

Средний квадрат флуктуаций логарифма интенсивности света не зависит (или зависит очень слабо) от расстояния, пройденного в неоднородной среде, и от характеристики флуктуаций диэлектрической проницаемости С；.

3・ Величина <[lnZ— (lnZ>]a> в области сильны: флуктуаций равна приблизительно 2,5, чему соответствует

《"一〈7汙>

§ 57. Распространение звука в приземном слое атмосферы

Экспериментальные исследования распространения звуковых волн в турбулентной атмосфере выполнялись в работа: В. А. Красильникова и К. М. Иванова-Шиц [130, 131], Б. А. Сучкова [132], Г. С. Голицына, Л. С. Гурвича и автора [133].

В экспериментах Красильникова измерялись временная структурная функция флуктуаций фазы < [5 (/ + т) — 5 (/)]2> и средний квадрат флуктуаций логарифма амплитуды звуковой волны <[1п Л — <In Л >]а>.

Остановимся сначала на флуктуациях фазы волны. В том случае, когда за время т неоднородности в распределении скорости ветра и температуры не успевают заметно измениться, можно считать, что они лишь переносятся (без «эволюции») со средней скоростью ветра *). Если направление ветра иерпендикулярно направлению распространения звука и скорость его и丄,то значение фазы 5 (/ + т) в точке М совпадает со значением фазы в момент f в точке, отстоящей от М на расстоянии и丄т. Таким образом,

〈[S(£ + 0-S(t)F〉= Ds(Tu丄).

Согласно соотношению (37.47) при % У р

0s(p)〜國喝「%

Таким образом, должно выполняться соотношение

吃二 y《S(t + T)-B(t)]2〉〜C/厶％ (и丄т)%,

*)«Условие заиороженностп» подробно обсуждалось в гл. 1, где приводились также эксперименталъные^данные по проверко выполнения этого условия в реальной атмосфере. '

т. е. изменчивость фазы пропорциональна структурной постоянной С?“ частоте звука, корню из проходимого звуковой волной расстояния и интервалу времени в степени %•

На рис. 65 приведена полученная В. А. Красильниковым и К. М. Ивановым-Шиц [130] зависимость ад' от расстояния L, а на рис. 66 зависимость ад от и丄р (частота звука 3000 24, расстояние L = 22; 45 и 67 ле, и丄=5 м[сек、г = 0,04; 0,08 и 0,2 еек)・

53>град53>градРис. 65. Зависимость среднеквадратичного значения вре- ыенной иэиенчивости фазы звука % от длины трассы Л.Рис. 65. Зависимость среднеквадратичного значения вре- ыенной иэиенчивости фазы звука % от длины трассы Л.6s,2叫06s,2叫0Рис. 66. Зависимость среднеквадратичного значения временной изменчивости фазы звука 两 отРис. 66. Зависимость среднеквадратичного значения временной изменчивости фазы звука 两 от

53>град

53>град

Рис. 65. Зависимость среднеквадратичного значения вре- ыенной иэиенчивости фазы звука % от длины трассы Л.

Рис. 65. Зависимость среднеквадратичного значения вре- ыенной иэиенчивости фазы звука % от длины трассы Л.

6s,2叫0

6s,2叫0

Рис. 66. Зависимость среднеквадратичного значения временной изменчивости фазы звука 两 от

Рис. 66. Зависимость среднеквадратичного значения временной изменчивости фазы звука 两 от

Ло осн а беднее отложена величина (七丄弋)匕,по оси ординат — усредненные по различным значениям L величины eg.

Как видно из графиков, зависимость ад от L и и丄тг удовлетворительно согласуется с приведенной формулой. Эксперименты, проведенные с ультразвуком на частотах до 50 殊24, также приводят к удовлетворительному совпадению экспериментальных и теоретических результатов [131J. Таким образом, зависимость (37.47) находит экспериментальное подтверждение в диапазоне частот от одного до пятидесяти килогерц.

На рис. 67 приведена зависимость величины аА = = р^〈[1пЗ]2〉от расстояния (все данные приведены к расстоянию 22 м). Зависимость。厶 от Е удовлетворительно аппроксимируется формулой ад = ALa. где а ^0,8. Заметим, что согласно формуле (31.47) следовало ожидать величины а ?^0,92 (в рассматриваемых экспериментах У?^^*^). Опыты Красильникова

и Иванова-Шиц, таким образом, удовлетворительно согласуются с теоретической формулой (31,47).

На основании результатов измерений величин о§ и % можно произвести оценки входящей в формулу (31.47) и (37.47) величины Сп, характеризующей интенсивность флуктуаций скорости звука.

。兀,найденная по формуле

点=点=1,7用汇2 &丄T产1,7用汇2 &丄T产

点=

点=

1,7用汇2 &丄T产

1,7用汇2 &丄T产

乡夕必久"乡夕必久"Рис. 67. Зависимость среднеквадратичной величины флуктуаций логарифма амплитуды звуковой волны от расстояния.Рис. 67. Зависимость среднеквадратичной величины флуктуаций логарифма амплитуды звуковой волны от расстояния.отпошенияотпошениясо значениями о§ = 46° = 0,8 рад, А = 58 л'1 (/ — 3 кгц). Ь=67 ж, и丄=5 м/сек, р= 0,2 се% оказалась равной 0,0010 м~'-\ Эта же величина, определенная из со-

乡夕必久"

乡夕必久"

Рис. 67. Зависимость среднеквадратичной величины флуктуаций логарифма амплитуды звуковой волны от расстояния.

Рис. 67. Зависимость среднеквадратичной величины флуктуаций логарифма амплитуды звуковой волны от расстояния.

отпошения

отпошения

n (),56必ПE%

со значением ад= 0,44 и теми нее значениями к 酬 L, оказалась равной 0,0016 两二厶(о& и Og взяты из работы [130]). Если учесть, что значения。& и % получены в результате обработки записей флуктуаций фазы и амплитуды

звука, имеющих различную длительность, то полученное совпадение величин & следует считать удовлетворительным. В гл. 2 была получена формула, связывающая Сп для звуковых волн с величинами С% и С® определяющими флуктуации температуры и скорости ретра:

сП - Z疗+飞'

где Q — средняя скорость звука. Воспользовавшись формулами (26.16) и (27.16), выражающими Ст и С： через характеристики среднего профиля <Г (z)〉, <р (z)>, получим

Сп = 2,3・ 10%(Ri)z%(■^^■)‘ + 3.10-»/2(Ri) z%(弓丁)〉)',

(1) в которой использованы значения〈Т〉= 290° К, % — 340 м/сек, С„ выражено в 川-%, а ^ и ^ выражены здесь в *С и в м/сек на метр соответственно. Функции 九(Ri) и /2 (Ri) изображены на рис. 17, 18.

"12 3 4 产,""12 3 4 产,"Рпс. 68. Зависимость среднеквадратичной величины флуктуаций логарифма амплитуды улътр азвуковой волны от рас стояния.Рпс. 68. Зависимость среднеквадратичной величины флуктуаций логарифма амплитуды улътр азвуковой волны от рас стояния.

"12 3 4 产,"

"12 3 4 产,"

Рпс. 68. Зависимость среднеквадратичной величины флуктуаций логарифма амплитуды улътр азвуковой волны от рас стояния.

Рпс. 68. Зависимость среднеквадратичной величины флуктуаций логарифма амплитуды улътр азвуковой волны от рас стояния.

Значение Сп = 0,0010 犷九 полученное выше, соответствует

разности скоростей Аи для высот z总=8 м н z^ = 4 м, равной 1 м/сек, что представляет собой типичную величину. Таким об

разом, полученные выше формулы для средних квадратов флук

туаций амплитуды и фазы дают правильные результаты и по порядку величин.

Весьма подробные измерения флуктуаций амплитуды звуковой волны были произведены Б. А. Сучковым [132] в 1954 г. Измерения флуктуаций амплитуды звука сопровождались одновременными измерениями профилей средней температуры и средней скорости ветра, что

позволило рассчитать Сп, пользуясь формулой (1).

На рис. 68 представлена полученная Б. А. Сучковым зависимость 以=/《in (£)]〉

от L (частота 76 茫叫).Как видно из графика, экспериментальные результаты хорошо описываются теоретической формулой

0! = 0,31爲川/七"

(во всех опытах соблюдались условия 了入厶登入(),о■纟 <，)・

Б. А. Сучковым было произведено 28 серий измерений зависи мости о* = / (厶)на частотах от 3 до 76 得24. Экспериментальные данные аппроксимировались формулой а^ — 4厶“.Среднее для звуковых частот (18 серий) значение а оказалось равным 1,1, вреднее значение а для ультразвуковых частот (30—76 кги)—— 0,95. Полученные значения а близки к теоретическому значению а= = 0,92.

Б. А. Сучков производил при помощи формулы типа (1) (без учета / (Ri)) расчет величины Ga на основании измерений профилей температуры и скорости ветра.

На рис. 69 приведено сопоставление величин al, полученных в результате прямых измерений и на основании одновременных измерений профилей средней температуры и средней скорости ветра. Коэффициент корреляции между величинами 1gал и 1g <тмег равен 0,90 (на графике помещено 97 точек) *\

Б. А. Сучков производил также измерения временной автокорреляционной функции флуктуации амплитуды звуковой волны, В том случае, когда направление ветра перпендикулярно направлению распространения звука и когда время корреляции

Рис. 69. Соиоставление измеренных среднеквадратичных значений флуктуаций логарифма амплитуды (о&) со значениями этих величин, рассчитанными на основании измерении профилей скорости ветра и температуры (ииет).

Измерения производились в диапазоне частот от 3 до 76 тц.

значительно меньше, чем zjv^ приближенно выполняется соотношение

(In书0 -In竽)=取(叩).

Функция Ва (р) при pXL 袋％(> была рассчитана выше (см. рис. 45, стр. 307). Масштаб корреляции флуктуаций амплитуды равен по порядку величине У XL. Отсюда следует, что время корреляции флуктуаций амплитуды имеет порядок |/\Ь/и丄.

На рис. 70 изображены полученные Б. А. Сучковым корреляционные функции флуктуаций амплитудыт причем по оси абсцисс отложена величина ти丄/]/XZ・ Различные кривые соответствуют разным расстояниям между излучателем и приемником

§ 57] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ 417 (4; 8 и 16 м). Если величины

нанести на график в натуральном масштабе, т. е. в виде функций от т, то кривые, полученные для различных 厶 имеют различный

4

Рис. 70. Эмпирические нормированные автокорреляционные функции флуктуаций логарифма амплитуды звука.Рис. 70. Эмпирические нормированные автокорреляционные функции флуктуаций логарифма амплитуды звука.Кривые ], 2, J иолучены при ь = 4лс, 8ми16лс соответственно.Кривые ], 2, J иолучены при ь = 4лс, 8ми16лс соответственно.

Рис. 70. Эмпирические нормированные автокорреляционные функции флуктуаций логарифма амплитуды звука.

Рис. 70. Эмпирические нормированные автокорреляционные функции флуктуаций логарифма амплитуды звука.

Кривые ], 2, J иолучены при ь = 4лс, 8ми16лс соответственно.

Кривые ], 2, J иолучены при ь = 4лс, 8ми16лс соответственно.

=醬 все три=醬 все трипри малых эначе-при малых эначе-хорошем согласии Сопоставление нахорошем согласии Сопоставление на

=醬 все три

=醬 все три

при малых эначе-

при малых эначе-

хорошем согласии Сопоставление на

хорошем согласии Сопоставление на

вид. После приведения масштаба к величине кривые сближаются друг с другом, особенно ниях р±т//аХ.

Эксперименты Б. А. Сучкова находятся в с изложенной в гл. 3 теорией флуктуаций.

меренны: и рассчитанных значений величины а^ иллюстрирует возможность количественных оценок величины флуктуаций амплитуды звуковых волн на осповании простых измерений профилей скорости ветра и температуры в атмосфере.

Измерения частотных спектров флуктуаций амплитуды и разности фаз звуковых волн было проведено в работе [133],

Измерения производились в конце лета 1958 г. на открытом и ровном участке степи в районе пос. Цимлянского (Научная станция Ин-та физики атмосферы АН СССР). Схема эксперимента представлена на рис. 71.

14 в. И. Татарский

Сигнал, вырабатываемый звуковым генератором 7, поступал на усилитель 2, мощностью в 25 em, нагруженный на громкоговоритель 3 с коническим рупором. Громкоговоритель располагался на высоте 1,5 川 над земной поверхностью. Излучаемый сигнал воспринимался микрофонами Мг и 此，которые помещались на высоте 9 м над землей на горизонтальной ферме и могли перемещаться по ней на специальных тележках. Применение «наклонной» трассы и рупорного громкоговорителя позволило значительно ослабить отражения от земли, так как «отражаю- щая зона» находилась вне основного лепестка диаграммы направленности рупора. Коэффициент отражения от земли под углом 10°, измеренный при помощи импульсной аппаратуры, описанной в [88], был менее 0,1 по амплитуде. Сигналы с микрофонов поступали на старт- стопный фазометр 4 и, с одного из микрофонов, на усилитель с линейным детектором на выходе 5. Напряжение с выхода фазометра или детектора подавалось на 30-канальный частотный анализатор 6. Напряжение

□1□

Рис. 74. Блок-схема

стотных спектров флуктуаций амп-литуды и разности фаз звука.

1 — звуковой генератор, 2 — усилитель,3 — громкоговоритель * М〕，М? — микро-фоны, 4 — фазометр, J — усилитель с де-текторои, в — частотный анализатор.

с детектора подавалось также на интегрирующий вольтметр, показания которого были пропорциональны средней амплитуде звука.

Каждое измерение частотного спектра производилось с общим усреднением в 10 мин (5 последовательных записеЗ спектров, усредненных интегрирующими цепочками анализатора частот по интервалу в 100 сек).

Одновременно с акустическими измерениями производились измерения скорости и направления ветра, а также температуры на высотах 0,5; 1; 2; 4; 8 н 12 ле. На основе этих измерении определялись характеристики турбулентного режима атмосферы, необходимые при анализе результатов измерений.

Измерения производились на трех частотах: 2; 6 и 8,5 кгц» Длина трассы L менялась от 21 до 80 私 база Ь — от 0,4 до 3 м.

Применявпшйся фазометр позволял регистрировать пульсации фазы в пределах ± л. Поэтому в случаях больших флуктуаций показателя преломления измерения проводились на малых

g 57] РАСПРОСТРАНЕНИЕ ЗВУКА В ПРИЗЕМНОМ СЛОЕ АТМОСФЕРЫ 419 расстояниях, малых базах и меньпшх частотах. Относительные пульсации амплитуды %/〈2〉составляли 0,1—0,42.

Всего для обработки было взято 16 спектров флуктуации амплитуды и 21 спектр разности фаз, полученных в основном в ночное время. Были отброшены спектры, во время получения которых