ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Книга, предлагаемая вниманию советского читателя, написана профессором Аризонского университета Миклошем Силадьи и представляет собой один из трех томов серии «Микроприборы. Физика и технология изготовления», выпускаемой издательством «Плинум Пресс», США. Она посвящена важному направлению физической электроники — электронной и ионной оптике, основу которой составляют процессы формирования и движения пучковых заряженных частиц в электрических и магнитных полях. Автор является одним из ведущих в мире специалистов в этой области. Особенно большой известностью пользуются его научные труды по разработке методов автоматизированного проектирования, синтеза и оптимизации фокусирующих устройств электронной и ионной оптики.

Бурное развитие электронной и ионной оптики начиная с 20-х годов нашего столетия во многом объясняется потребностями новых направлений науки и техники, таких, как ядерная физика, физика высоких энергий, СВЧ-радиоэлектроника, элементный и структурный анализ материалов. В результате были созданы принципиально новые приборы, позволившие получить уникальные сведения об окружающем нас мире как фундаментального, так и прикладного характера. В настоящее время электронная и ионная оптика не утратила своей актуальности и продолжает развиваться. Большое стимулирующее влияние при этом оказывают новые ее приложения в микроэлектронике, диагностике материалов, обработке поверхностей. Достаточно сказать, что решение одной из важнейших задач современной микроэлектронной технологии — освоение субмикронного диапазона — трудно представить без диагностического и технологического оборудования на основе электронных и ионных зондов.

Существенный вклад в оптику пучков заряженных частиц внесли отечественные исследователи, что отмечено автором книги, который хорошо знаком с трудами советских ученых. К сожалению, основные наиболее обширные по охвату монографии, посвященные этому предмету (читатель найдет соответствующие ссылки в библиографическом списке), были изданы у нас в стране достаточно давно, в 40-е — 60-е годы.

Быстрый прогресс в области электронной и ионной оптики, связанный прежде всего с развитием плодотворных компьютерных методов расчета, расширением технических возможностей, а также потребности в подготовке квалифицированных специалистов диктуют необходимость издания новых учебных пособий. Книга М. Силадьи является хорошим примером современного введения в предмет. Она начинается с уравнений Максвелла, вариационных принципов классической механики, вывода уравнений движения заряженных частиц, далее подробно рассматриваются различные вопросы функционирования фокусирующих, отклоняющих, формирующих электронных и ионных оптических устройств. Особое внимание уделено методам расчета электрических и магнитных полей, теории аберраций, компьютерным методам расчета и оптимизации параметров линз. Следует отметить, что вопросы применения анализируемых устройств автором не рассматриваются. Это вполне оправданно, так как при необходимости можно обратиться к имеющейся специальной литературе. Книга содержит богатую библиографию, насчитывающую более 400 наименований. В целом ее отличает удачное сочетание подробного изложения физических основ предмета, практических методов и новейших результатов.

Книгу проф. М. Силадьи можно рекомендовать как учебное пособие студентам старших курсов, инженерам, научным сотрудникам, желающим понять основы электронной и ионной оптики и применять их на практике.

И. М. Ахмеджанов

Ютке, Габору и Золтану в благодарность за то время, которое должно было принадлежать им

ПРЕДИСЛОВИЕ

Электронная и ионная оптика базируется на аналогии между световой геометрической оптикой и движением заряженных частиц в электромагнитных полях. Впечатляющее развитие электронной микроскопии со всей ясностью демонстрирует возможность формирования изображения заряженными частицами, длина волны которых гораздо меньше, чем у видимого света.

С развитием новых приложений, таких, как ускорители элементарных частиц, электронно-лучевые трубки, анализаторы заряженных частиц, микроволновая техника, сканирующие аналитические приборы, технологии мощных пучков и т.д., предмет оптики пучков заряженных частиц был расширен и включает в себя формирование прецизионных зондов. Основной задачей здесь является концентрация как можно большего числа частиц в как можно меньшем объеме.

Технология интегральных микросхем является хорошим примером возрастающей важности этой области знаний. Основной тенденцией современной микроэлектроники является повышение уровня интеграции и усложнение топологии микросхем. Наличие дифракционных ограничений в оптическом диапазоне и технологические проблемы использования рентгеновских лучей склоняют выбор в пользу технологий на основе пучков заряженных частиц. С их помощью возможно прямое формирование рисунка на подложке с управлением от компьютера без использования фотошаблонов. Особенно большие возможности сфокусированные ионные пучки открывают в субмикронной области. Поэтому технологии на основе электронных и ионных пучков с наибольшей вероятностью будут играть очень важную роль в ближайшие двадцать лет или около того.

По различным вопросам теории и применения электронной и ионной оптики опубликовано множество книг. Эта книга задумана как замкнутое систематическое и исчерпывающее на настоящий момент введение в рассматриваемую область. Читатель сможет найти здесь вывод наиболее важных соотношений, понимание которых абсолютно необходимо при намерении сколь-нибудь серьезно работать с пучками заряженных частиц и соответствующей техникой, но которые в большинстве книг обычно приводятся без доказательств. Особое внимание уделе-

но современным компьютерным методам. Книга может служить учебником для инженеров, научных сотрудников, студентов старших курсов, желающих понять основные принципы электронной и ионной оптики и применять их при конструировании и/или работе с приборами и оборудованием такого типа.

Автор вполне сознает всю трудность достижения поставленной цели. В одном томе едва ли можно охватить даже основные теоретические принципы и наиболее важные применения. Поэтому рассмотрение ограничено главными вопросами и последними результатами исследований, включая принадлежащие автору. На протяжении всей книги особое внимание уделяется связи излагаемого материала с практическими применениями, однако мы не пытались рассматривать сами применения. Библиография насчитывает более 400 основных наименований, включая публикации, содержащие последние достижения в этой области. Вследствие ограниченности объема книги список литературы весьма далек от полного.

Для изучения книги не требуется предварительного знакомства с физической электроникой. Необходимая вводная информация дана в гл. 1. Теоретический материал выводится из основополагающих принципов. Однако существенная роль математического аппарата в рассматриваемом предмете предполагает хорошее знание читателем техники вычислений (включая векторный анализ).

Автор работает в данной области с 1958 г. Возможность суммировать основные собранные знания доставила огромное удовольствие. Эти знания приобретены благодаря общению с многими людьми. Автор особенно благодарен профессорам В. М. Кельману, С. Я- Явор и А. Д. Сушкову, а также незабвенному Деннису Габору. Исследовательская работа в последние три года поддерживалась Национальным научным фондом. Автор высоко ценит непрерывную поддержку со стороны Т. Триффета, декана Аризонского университета, стимулирующую инициативу редакторов этой серии и качественную работу издательства «Плинум Пресс». Книга никогда не была бы закончена без поддержки, терпения и любви семьи.

Миклош. Силадьи Тусон, Аризона

Глава 1

ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Введение

Электронная и ионная оптика представляет собой одно из направлений физической электроники и занимается проблемами формирования потоков заряженных частиц, управления ими, а также вопросами их применения. В самом названии отражен тот факт, что движение заряженных частиц. в электромагнитных полях во многом подобно поведению световых лучей в неоднородных оптических средах. Электронная и ионная оптика — это обширнейшая область знаний с относительно короткой историей. Хотя аналогия между классической механикой и геометрической оптикой была установлена Гамильтоном еще в первой половине прошлого столетия, миру пришлось ждать почти сто лет, прежде чем в 1926 г. X. Буш [1] доказал возможность формирования электронно-оптических изображений. Список приложений электронной и ионной оптики велик. Электроннолучевые трубки и мониторы, электронные микроскопы, ускорители частиц, масс-спектрометры, микроволновые генераторы и усилительные лампы, а также электронно-лучевые технологии (такие, например, как сварка, сверление, плавка, резка, очистка, легирование) — все это хорошо известные классические приложения. Электронные и ионные микрозонды, анализаторы энергии, электронные спектрометры и ионные имплантаторы относятся к сравнительно недавним практическим результатам этого быстро развивающегося направления. Без электронной и ионной оптики сегодня нельзя обойтись в аналитической химии и при исследовании поверхностей. Новые приложения разработаны в области синтеза и преобразования энергии. Возрастающее значение этой области недавно отмечено Американским физическим обществом, при котором учреждена специальная тематическая группа по физике пучков и частиц. Электронной и ионной оптике посвящены тысячи статей и множество книг [2—51 Ь].

Данная книга начинается с уравнений Максвелла, а также некоторых основных понятий классической механики и геометрической оптики, которые составляют основу для дальнейшего изложения (гл. 1).

В гл. 2 рассмотрены уравнения движения заряженных частиц в электрическом и магнитном полях, а также траекторные

уравнения. Даны решения для некоторых простых случаев, введено понятие электронно-оптического показателя преломления. . • . . . .

В гл. 3 представлены различные методы определения электрических и магнитных полей. Глава не может заменить курс по электромагнетизму, но в то же время в ней дан обзор практических, в первую очередь численных, методов расчета полей. Такие методы абсолютно необходимы при конструировании любых электронных или ионных оптических систем.

В гл. 4 обсуждаются фокусирующие свойства аксиальносимметричных полей. Дана общая теория формирования изображения, представлены электронные и ионные линзы, рассмотрено приближение тонкой линзы.

Гл. 5 посвящена теории аберраций. Ее изучение может быть сопряжено с некоторыми трудностями для начинающих читателей. Однако аберрации приводят к наиболее жестким ограничениям характеристик приборов, основанных на использовании потоков частиц. И поэтому понимание причин и природы возникновения аберраций абсолютно необходимо для вычисления аберрационных коэффициентов и работы с ними при поиске способов уменьшения и компенсации аберраций.

В гл. 6 рассмотрены некоторые численные методы расчета траекторий частиц и аберрационных коэффициентов.

В гл. 7 и 8 дан детальный обзор соответственно электростатических и магнитных линз. Большое внимание уделено как аналитическим моделям, так и конкретным реализациям линз.

Гл. 9 занимает особое место. В ней представлены наиболее разработанные методы оптимизации и автоматизированного проектирования электронных и ионных оптических систем. Изложенные методы проектирования могут быть широко использованы в практической работе.

В гл. 10 рассмотрены мультипольные линзы. Они являются основными оптическими элементами ускорительной техники, а также находят применение в системах коррекции аберраций н в отклоняющих элементах различных зондовых приборов.

Собственно отклоняющие системы являются предметом изучения гл. 11. Здесь рассмотрены дефлекторы и призмы электростатического и магнитного типов.

В гл. 12, посвященной проблеме пространственного заряда, обсуждаются способы создания высокоинтенсивных пучков заряженных частиц и методы управления ими. Основными лимитирующими факторами здесь являются уширение пучка и увеличение разброса по энергиям частиц, вызванные пространственным зарядом.

Каждая глава заканчивается кратким резюме.

На протяжении всей книги используется система единиц СИ.

Приступим теперь к краткому изложению информации, необходимой для изучения этой книги.

Электромагнитные поля

Мы собираемся изучать движение заряженных частиц в электромагнитных полях, поэтому прежде всего необходимо знать природу этих полей. Электромагнитные поля в вакууме полностью описываются двумя векторами Е и В. Как напряженность электрического поля Е, так и магнитная индукция В являются векторными функциями пространственных координат и времени:

E = E(R,0 [В/м], B=B(R,Z) [В-с/м2], где R — радиус-вектор, t — время.

Уравнения Максвелла

В наиболее простом виде законы электромагнетизма формулируются через соотношения между двумя этими векторами и двумя другими величинами, описывающими заряды и токи. Самой изящной записью этих соотношений являются уравнения Максвелла, которые можно представить в следующем виде [52]:

div Е = р/е0,

(1.1)

rot E=— dBJdt,

(1.2)

div B = 0,

, (1-3)

, D 1 dE ,,

rot 6 = — — + PoJ, c2 at

(1.4)

где p(R, t) —суммарная плотность заряда в единицах (А-с/м3), J (R,/)—вектор суммарной плотности тока в единицах (А/м2), ео = 8,85-Ю-12 А-с/(В-м)—электрическая постоянная, цо = = 4л-10-7 Гн/м — магнитная постоянная и с = 299 792 458 м/с — скорость света в вакууме. В такой форме уравнения Максвелла не зависят от выбранной системы координат.

Уравнение (1.1) представляет собой закон Гаусса, уравнение (1.2)—закон Фарадея, уравнение (1.3)—закон магнитного потока, уравнение (1.4) дает обобщенный закон циркуляции.

Дивергенция и ротор векторного поля V в обобщенной криволинейной ортогональной системе координат определяются как

з

divV= №W.S (dfdqiHh^VdM, (1.5)

(1.6)(1.6)

(1.6)

(1.6)

rotV^U/ZliMs)

^1^1 к^з /igCg d/dqr d/dq2 d/dq$ ^i^i haV2 hsVs

соответственно. Здесь qi, q2, q3— обобщенные криволинейные ортогональные координаты; ei, е2, ез — соответствующие единичные векторы; Vi, V2, V3— компоненты вектора V; /гь h2, h3— коэффициенты Ламе (метрические коэффициенты), характеризующие данную систему координат. Они определяются соотношением:

(1.7)(1.7)з

(1.7)

(1.7)

(ds)2 = S h^dqi)2,i=l

которое выражает абсолютную величину элемента длины ds при одновременном приращении всех трех координат. Это выражение справедливо в том случае, когда единичные векторы взаимно ортогональны. Если известна связь криволинейных координат с декартовыми, то коэффициенты Ламе могут быть вычислены с помощью соотношения

hi2. = (dxldqt)2 + (dyldqi)2 + (dz/dqi)2.(1.8)

Легко видеть, что в декартовой системе координат (<?i=x, qi=y, qa=z) hi = h2=h3=l.

Цилиндрические координаты г, a, z выражаются через декартовы следующим образом:

x = rcosa, y = r sin a, z=z. (1.9) Подставляя их в уравнение (18), получаем коэффициенты Ламе:

^ = 1, h2 = r, h3 = \. (1.10)

Можно также ввести скалярный потенциал и и векторный потенциал А, которые удовлетворяют следующим соотношениям:

Е=— grad и — dA/dt, (1.11)

B = rotA, (1.12) где градиент скалярного потенциала в обобщенных ортогональных криволинейных координатах имеет вид

grad и = S ^ilh^duldqi. (113)

Наконец, сила, действующая на частицу с зарядом Q, движущуюся во внешнем электромагнитном поле со скоростью и, 12

называется силой Лоренца и определяется выражением

(1.14)(1.14)F = Q(E+vXB).

(1.14)

(1.14)

Статические поля

Если поля, заряды и токи не изменяются во времени, уравнения Максвелла существенно упрощаются. Уравнение (1.2) принимает вид

rot Е=0,(1.15)

а уравнение (1.4) —

rotB=p0J. .(1.16)

В этом случае уравнения (1.1) и (1.15) определяют напряженность электрического поля, в то время как магнитная индукция определяется уравнениями (1.3) и (1.16). В случае статических полей электрические и магнитные составляющие являются независимыми друг от друга и напряженность электрического поля определяется только скалярным потенциалом:

Е=— grad и.(117)

Подставляя это выражение в уравнение (1.1) приходим к уравнению Пуассона:

div grad и=—р/е0,(1-18)

где как и, так и р являются только функциями координат. При р = 0 уравнение (1.18) называется уравнением Лапласа. В обобщенных ортогональных криволинейных координатах .

(1.19)

Поэтому в декартовых координатах уравнение Пуассона принимает вид

д2и , д2и , д2им . ,...

дх2 ду2 dz1(1/ео)РОо У» 2),(1.20)

а в цилиндрических с учетом коэффициентов Ламе (уравнение (1.10)) —

1 д / ди \ 1 д2и д2и1 ,... О1Х

г дг \ дг ) 1 г2 да2 1 дг2е0 г' ’ ’ '' '

При отсутствии токов в рассматриваемом пространстве магнитное поле становится безвихревым и, следовательно, можно

ввести магнитный скалярный потенциал ы, определяемый соотношением

В= pgradto(1-22)

(ц — магнитная проницаемость) и удовлетворяющий уравнению Лапласа

div grad ®=0.(1.23)

Теорема Стокса

В заключение сформулируем теорему Стокса: циркуляция любого вектора V по произвольной замкнутой кривой Г равна интегралу по поверхности от нормальной составляющей ротора вектора V:

^V-ds = ^rot V-dS,(1.24)

где dS— вектор элемента поверхности, направленный перпендикулярно элементу поверхности.

Основы классической механики

Движение заряженной частицы определяется законами классической механики. Естественно, что волновая природа частиц является существенным ограничением при характерных размерах, сравнимых с длиной волны де Бройля:

K = hjmv,(1.25)

где А = 6,62-10 34 Дж-с— постоянная Планка, a m и и — соответственно масса и скорость частицы. Такие размеры встречаются на практике и соответствующие дифракционные ограничения будут рассмотрены в разд. 5.6.1. Однако при анализе движения частиц волновой природой можно пренебречь, так как электромагнитные поля не претерпевают существенных изменений на расстояниях, сравнимых с длиной волны де Бройля.

Принцип Гамильтона;

уравнения движения Лагранжа

Рассмотрим теперь основные законы, описывающие траекторию движения классического объекта во внешних полях. Согласно принципу Гамильтона, интеграл действия

I = \ Ldt(1.26)

'л

имеет экстремальное значение относительно малых вариаций истинной траектории [53]

(1.27)(1.27)6/ = 0.

(1.27)

(1.27)

в Здесь 1а и te определяют ин- ~/тервал времени (в—1а, в тече-

ние которого происходит дви- жение, a L — функция Лагран- у /Кжа (лагранжиан). Ее выраже-

//ние для заряженной частицы,

с/движущейся в электромагнит

ном поле, будет дано в разд. Рис. 1. Вариация траектории частицы. 2.1. Вариацию можно предста

вить следующим образом. Рассмотрим движение частицы из точки А в точку В (рис. 1) вдоль траектории (1), начавшееся в момент времени tA и закончившееся в момент времени tB. В произвольной точке вектор dR направлен по касательной к траектории. Введем небольшое отклонение от истинной траектории, т. е. представим, что частица движется из точки А в точку В вдоль траектории (2). Эта траектория определяется в произвольной точке вектором 6R (вариация радиуса-вектора). Так как лагранжиан зависит как от R, так и от V, его вариация дается выражением

6L=(dL/dR)6R+(dL/dv)6v.(1.28)

Но

Sv = v2 - V1 = 4 (^-RJ = 4 (6R),(1.29)

поэтому

dL* оdL* d / d ( dL*d ( dL* \..

■3— Sv = -3— -ТГ (dR) = -rr -a- 6R —6R-3T -5— .(1.30)

dvdv dt ' ' dt \ dv / dt \ dv j ' '

Интеграл и его вариация не зависят друг от друга. В самом деле, варьируя уравнение (1.26), имеем

7+67 = $ (L-v6L)dt,

что дает

Ы= J 6Ldt = 0.(1.31)

Подставляя уравнения (1.28) и (1.30) в (1.31), получаем

С Г dL d / dL \ 1, f dL ел\ / dZ# cn\ a

J IdR—dГ^-d7/)JбR^ + (-dГбRy)^в-(6•d7бRy)<=^л = 0•

<л

(1.32)

Заметим, что вариация SR обращается в нуль на обоих концах, поэтому второй и третий члены обращаются в нуль. Отсюда

следует, что оставшийся интеграл всегда должен быть равен нулю. Это условие приводит к уравнению движения Лагранжа в векторной форме

d ( dL \ dLdt \ dv ) dR “

Можно также представить лагранжиан как функцию обобщенных криволинейных координат qt и их производных по времени t (обобщенных скоростей q^. Тогда, повторяя такую же процедуру для вариации

з

6L-L(%^+-s^>fL34>

получаем систему трех уравнений Лагранжа в скалярной форме:

Т^У%-°2, 3).(1.35)

Вектор скорости определяется выражением

x=dRldt,v2=(ds/dtV,(1.36)

ads даетсяуравнением (1.7),поэтому компоненты скорости

вкриволинейныхкоординатахимеют вид

vt-Mt(i= 1,2,3),(1.37)

где точка обозначает дифференцирование по времени.

Принцип Мопертюи

Полная производная функции Лагранжа имеет вид dL dL dL dR dL dv dt — dt + dR dt + dv dt ‘

Используя соотношения (1.36) и уравнение Лагранжа (1.33), можно записать dL dRd [ dL\,.

-3n--7T=V-7T•(1.39)

dR didt \ dv j' '

-Из уравнений (1.38) и (1.39) получаем d (dL, Xd I dL \ . dL dvdLdL

dt \dvJdt \ dv J ' dv dtdtdt ''

Если функция Лагранжа не зависит явно от времени, то v-^—L-= const.(1-41)

is

Тогда из принципа Гамильтона (уравнение (1.31)) имеем 'яв

б ^ v (d£/dv) dt = 6 ^ (dL/dv) dR = 0.(1-42)

«АA

Пусть

(1.43)(1.43)dL[dv P,

(1.43)

(1.43)

назовем эту величину обобщенным импульсом. Окончательно получаем

в

(1.44)(1.44)б J PdR = 0.

(1.44)

(1.44)

А

Это соотношение и является математическим выражением принципа Мопертюи — одного из фундаментальных принципов электронной и ионной оптики.

Краткий обзор геометрической оптики

Существует глубокая аналогия между классической геометрической оптикой и электронно-ионной оптикой. Это будет показано в разд. 2.6. Для того чтобы понять указанную аналогию, необходимо прежде всего познакомиться с принципом Ферма. Это позволит использовать понятия геометрической оптики для описания электронно-ионных оптических элементов. Поэтому необходимо также познакомиться с основами геометрической оптики.

Принцип Ферма; показатель преломления

Вся геометрическая оптика основана на принципе Ферма [10], который можно сформулировать как

(1.45)(1.45)в 6^nds = 0, А

(1.45)

(1.45)

где ds — элемент траектории, определяемый уравнением (1.7), а п— показатель преломления среды, в которой распространяется свет. Луч света распространяется по тому пути, вдоль которого интеграл (1.45) экстремален (см. рис. 1). Вообще говоря, п зависит от пространственных координат.

Свет, падающий на плоскую границу раздела двух сред с показателями преломления щ и пз соответственно, частично

проникает из среды (1) в среду (2). Изменение направления распространения называется преломлением. Угол падения I относительно нормали к поверхности связан с углом преломления г (рис. 2) формулой Спелля

(1.46)(1.46)sin I «2sin гnj '

(1.46)

(1.46)

Схема, показанная на рис. 2, соответствует случаю П2>Ль т. е. луч отклоняется к нормали при переходе в среду с более высоким показателем преломления. Так как

п = с]ор, (1-47)

где ир — фазовая скорость (скорость распространения монохроматической световой волны), фазовая скорость меньше в оптически более плотной среде (т. е. в среде с более высоким показателем преломления).

Аксиально-симметричная линза

Рассмотрим один из наиболее часто используемых оптических элементов, а именно аксиально-симметричную линзу (рис. 3). Линза состоит из произвольного материала с переменным показателем преломления (например, сложной системы различных стекол), ограниченного двумя поверхностями вращения относительно оптической оси. Если эта ось совпадает с осью z цилиндрической системы координат, то основой при анализе является плоскость (г, г) и основные соотношения не зависят от координаты а. Рис. 3 представляет собой сечение оптической системы, симметричное относительно вращения вокруг оси 01. Показатель преломления слева от линзы (пространство объектов) равен П\, а справа от линзы (пространство изображений) равен п2.

Пусть луч света падает на линзу со стороны пространства объектов параллельно оптической оси. В пространстве объектов его траектория является прямолинейной вследствие постоянства показателя преломления. На поверхности линзы луч испытает преломление, причем направление движения внутри линзы может многократно меняться (столько раз, сколько раз изменяется показатель преломления). Луч покинет линзу под некоторым углом к оптической оси и будет двигаться вдоль прямой в прост-

ранстве изображений. Если линза является собирающей, эта прямая пересечет оптическую ось в точке Fa, которая называется фокусом пространства изображений. В случае же рассеивающей линзы оптическую ось пересечет продолжение траектории в обратном направлении. В так называемом гауссовом приближении все лучи, падающие на линзу со стороны пространства объектов параллельно оптической оси, пересекают ось в одной и той же точке F2 независимо от их расстояния ОО' относительно оси и траектории в линзе. Обратное также верно: любой луч, входящий со стороны пространства изображений через фокус, покинет линзу в пространстве объектов параллельно оптической оси. Естественно, что расстояние от оси будет функцией угла падения. Таким образом, расположение фокусов является важной общей характеристикой линзы.

Рис. 3. Кардинальные точки аксиально-симметричной линзы.

Рассмотрим теперь луч, падающий на линзу со стороны пространства изображений параллельно оси. Он опишет сложную траекторию внутри линзы и покинет ее по прямолинейной траектории, которая (в случае собирающей линзы) пересечет ось в фокусе пространства объектов Fv Любой луч, падающий со стороны пространства объектов и проходящий через точку Fi, покинет линзу в пространстве изображений параллельно оси.

Так как ничего неизвестно об истинных траекториях лучей внутри линзы, но в то же время известно, что происходит в фокусах по обе стороны от нее, целесообразно выделить две плоскости, перпендикулярные оптической оси. Продолжим два прямолинейных отрезка траектории луча, падающего параллельно оптической оси со стороны пространства объектов. Они пересекутся где-то внутри линзы в точке Н2'. Построим плоскость,

проходящую через точку Н2 перпендикулярно оптической оси. Эта плоскость называется главной плоскостью пространства изображений. Она пересекает оптическую ось в точке Я2, которая называется главной точкой пространства изображений. Можно показать, что продолжения всех лучей, падающих на линзу параллельно оптической оси со стороны пространства объектов, пересекаются с продолжениями соответствующих лучей, выходящих из линзы со стороны пространства изображений, в той же самой главной плоскости Н2Н2 . Таким образом, положение главной точки является еще одной очень важной характеристикой оптического элемента.

Аналогичным образом можно показать существование главной плоскости НуН\ и главной точки Hi пространства объектов. Продолжения прямолинейных отрезков траектории, изначально параллельной оптической оси в пространстве изображений, пересекутся в главной плоскости пространства объектов.

Зная координаты двух главных точек и двух фокусов, можно построить изображение любого предмета, даваемое линзой. Эти четыре характеристики (кардинальные точки линзы) однозначно определяют оптические свойства аксиально-симметрич- иой линзы в гауссовом приближении.

Расстояние между фокусом и соответствующей главной точкой называется фокусным расстоянием. Фокусное расстояние положительно для собирающей лиизы и отрицательно для рассеивающей. Таким образом, фокусное расстояние в пространстве объектов определяется как fi = FiHi, а в пространстве изображений— U=F2H2 (см. рис. 3, соответствующий собирающей линзе). Фокусные расстояния могут быть различными в зависимости от показателей преломления с обеих сторон линзы, а именно:

f2lft = n2/ni, (1.48)

поэтому fi = f2 только в случае n2 = ni.

Еще одна важная пара точек, которая характеризует толстую линзу, — узловые точки. Они определяются следующим образом: если луч падает со стороны пространства объектов под таким углом к оптической оси, что его продолжение пересекает ось в узловой точке пространства объектов N\, то луч, выходящий в пространстве изображений, будет иметь то же направление, т. е. луч будет как бы выходить из узловой точки пространства изображений N2 под тем же углом к оптической оси. В этом случае угловое увеличение равно единице.

Положения узловых точек определяются фокусными расстояниями:

Расстояние между узловыми точками равно расстоянию между главными точками: Н1Н2=^И^2. Если фокусные расстояния одинаковы, то узловые точки совпадают с соответствующими главными точками.

Рассмотрим теперь плоский предмет ОО', расположенный перпендикулярно оптической оси на расстоянии р слева от главной плоскости пространства объектов. Луч, падающий на линзу со стороны пространства объектов параллельно оптической оси через точку О', пересечет ось в пространстве изображений в фокусе Р2 и затем пересечется в точке Г на расстоянии q справа от главной плоскости пространства изображения с лучом, входящим в линзу через точки О' и Fi и выходящим параллельно оси. Точка / является изображением точки О', а отрезок II'— изображением предмета ОО'. Это вытекает из того, что в гауссовом приближении изображение плоского предмета также является плоским и перпендикулярным к оптической оси.

Легко видеть, что треугольники O'FiO и HyF\H\ подобны так же, как и треугольники Н'2р2Н2 и ГРгР Увеличение линзы дается соотношением:

M = -II'IOO'=-<q-t^lh=-t\Kp-^<0. (1.50) (Увеличение отрицательно, так как изображение перевернуто.) Отсюда сразу следует формула Ньютона для толстой линзы, связывающая расстояния до предмета р с расстоянием до изображения q через фокусные расстояния:

filp + fzlq — l. (1.51)

Увеличение можно переписать в виде

M = — fiqlf2p- (1.52)

Особенно удобным является случай, когда главные плоскости столь близки, что расстоянием между ними можно пренебречь; тогда можно использовать приближение тонкой линзы, что существенно упрощает вычисления.

Заключение

В этой главе кратко суммированы основные понятия, необходимые для изучения книги. Начав с введения о содержании, мы затем привели уравнения Максвелла (1.1) — (14), описывающие поведение электрических и магнитных полей. Введена обобщенная криволинейная ортогональная система координат как удобный способ записи уравнений в любых координатах, подходящих для решения поставленной задачи. Уравнение (1.14)

определяет силу Лоренца, действующую на заряженную частицу, движущуюся в электромагнитном поле. Далее рассмотрен частный случай статических полей и сформулирована теорема Стокса (уравнение (1.24)).

Введены некоторые основные понятия классической механики. Исходя из принципа Гамильтона (1.27), выведены уравнения движения Лагранжа (1.33), (1.35), откуда в свою очередь получен принцип Мопертюи (1.44). В заключение мы напомнили читателю принцип Ферма (1.45), ввели определение показателя преломления и рассмотрели процесс формирования изображения в аксиально-симметричной толстой оптической линзе.

Далее мы рассмотрим движение заряженной частицы в электрическом и магнитном полях.

Глава 2

ДВИЖЕНИЕ ЗАРЯЖЕННЫХ ЧАСТИЦ В ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ

Лагранжиан

Чтобы иметь возможность воспользоваться уравнениями Лагранжа (1.33) и (1.35), необходимо определить форму лагранжиана L. Сила, действующая на заряженную частицу, определяется уравнением (1.14). С другой стороны, общее выражение для силы дается законом движения Ньютона

<21>

где p = mv —импульс частицы, m = m0/(l— и2с2)1/2(2.2)

есть релятивистская масса частицы (то — масса покоя). Подставляя выражение для силы Лоренца (1.14) и уравнения (1.11), (112) в уравнение (2.1), получаем соотношение

^ = Q(E + vxB) = q(—gradM-^-+vxrotA). (2.3) Как известно из векторного анализа, для любых векторов А и v выполняется соотношение

grad(A-v) = (A-V)v+ (v-V) А+AXrotv+vX rot A, (2.4) где

з

V = S№')dldqi(2.5)

есть символический векторный оператор набла, позволяющий записать выражения (1.13), (1.5) и (1.6) в следующем виде:

gradM=V«,(2.6)

divV=V-V,(2.7)

rotV=VxV.(2.8)

(Указание: Чтобы убедиться в справедливости соотношений (2.7) и (2.8), необходимо принять во внимание зависимость единичных векторов е, от координат qt.)

Поскольку в частных производных дифференцирование выполняется при постоянной скорости, (A-V)v = 0 и rotv = 0. Следовательно,

(dldt) (mv) = Q [— grad и — dkldt+|grad (A ■ v) — (v • V) A].

(2.9)

Полная производная А по времени связана с частной производной соотношением

dNdt=dNdt-V^-^W(2.10)

Подставляя соотношение (2.10) в (2.9), получаем

(dldt) (mv+QK) =Qgrad(A-v — u).(2.11)

Левая часть последнего соотношения представляет собой полную производную по времени, а правая часть — сумму частных производных. Следовательно, соотношение (2.11) примет вид уравнения Лагранжа (1.33), если сделать подстановку

dL/dv = mv + QA = Р,(2.12)

где Р — обобщенный импульс, то

dL/dR = Q grad(A-v —и).(2.13)

Непосредственно видно, что в отсутствие магнитного поля обобщенный импульс совпадает с обычным импульсом частицы.

Теперь можно переписать уравнение Лагранжа (1.33) в виде dVldt=dL]dK.(2.14)

Уравнение (2.14) является наиболее общей формой уравнения движения заряженной частицы в электромагнитном поле, независящей от выбора координат.

Теперь мы близки к тому, чтобы найти вид лагранжиана в нашем случае. В самом деле, нам уже известны частные производные лагранжиана как по радиусу-вектору R, так и по вектору скорости V.

Из уравнения (2.14) следует, что функция Лагранжа имеет размерность энергии. Следовательно, ее частная производная по скорости v имеет размерность импульса (p = mv). Легко получить векторную производную требуемого типа, если лагранжиан содержит скалярный квадрат вектора v (u2=v-v) и его скалярное произведение с вектором А. Поскольку А и зависят только от координат, но не от скорости, лагранжиан должен содержать член QA-v и другой член, частная производная которого по v даст mv. Легко видеть, что последний член равен

—/п0с2(1 —у2/с2)'/2.

С другой стороны, частная производная лагранжиана по радиусу-вектору R определяется соотношением (2.13). Так как вектор скорости не зависит от радиуса-вектора в явном виде, достаточно прибавить—и к члену (A-v), чтобы полученный 24

лагранжиан удовлетворял уравнениям (2.12) и (2.13). Окончательное выражение для лагранжиана заряженной частицы, движущейся в произвольном переменном электромагнитном поле, имеет вид

Л=—m0c2(l —W^ + QtA-v —и).(2.15)

Полная механическая энергия частицы равна сумме энергии покоя и кинетической энергии:

W=mc2=moc2+Wkin.(2.16)

Тогда кинетическая энергия может быть записана в виде

^к1п = /п0с2[(1 -o2/c2)-V2- 1].(2.17)

Первый член разложения этого соотношения в ряд Тейлора по степеням у/с дает выражение для кинетической энергии в случае малых скоростей (и<^с)

Wkln~moy42.(2.18)

Первый член функции Лагранжа (2.15) также можно разложить в ряд Тейлора по степеням v/c, что дает приближенное выражение

— тоС2(1 —у21с2У<2«—m0c2 + m0y2/2.(2.19)

Подставляя последнее соотношение в (2.15) и опуская постоянную энергии покоя (в уравнениях движения используются только производные Ц, получаем выражение для лагранжиана в случае малых скоростей■

Z,=/nov2/2 + Q(A-v — и).(2.20)

В отсутствие магнитного поля соотношение (2.20) принимает вид

L = №kin —№pot(2.21)

(см. уравнение (2.27)).

Сохранение энергии

Умножая (скалярно) основное уравнение (2.3) на вектор скорости v, получим соотношение

v (dldt) [ (1 — и2/с2) ~1,2m0 v] = Qv • (F+v X В) = Qv • Е. (2.22)

Левая часть полученного соотношения может быть преобразована следующим образом:

v (dldt) [ (1 — u2/c2)-i/2m0v] =

= y2(d[dt) [(1 — и2/с2)-‘/2/По] +

+ (1 — v2lc2)-il2mGNdNldt== (1 — y2/c2)"3/2m0vdv/d/ =

= Vdldt^ [ (1 — u2/c2) - V2moC2].(2.23)

В случае статических (независящих от времени) полей справедливо соотношение (1.17) и правую часть уравнения (2.22) можно преобразовать к виду

v-E =—vgradu =— (dR/dt) (du/dR) =— dujdt.(2.24)

Подставляя соотношения (2.23) и (2.24) в (2.22), получаем

d^moc2 (1 — и2/с2)-1/2] =_ Qdu(2.25)

Интегрируя последнее соотношение, получаем

m0c2(l — и2/с2)~‘/2 —т0с2(1 — ^/с2)-1/^

= —Q(u— «о),(2.26)

где и0, v; ио, и — начальные и конечные значения скорости и потенциала соответственно. Потенциальная энергия заряженной частицы, движущейся в статических полях, равна

Wpot = Qu.(2.27)

а ее кинетическая энергия определена соотношением (2.17). Следовательно, уравнение (2.26) можно записать в виде

W\in—№о №= Wo pot — IFpot,(2.28)

где №0 Kin, №0 pot — начальные значения кинетической и потенциальной энергий частиц соответственно. Непосредственно видно, что полная энергия частицы постоянна:

Wt = I^kln+ I^pot= Wo kin+ Wo pot = const.(2.29)

(это очень важное соотношение представляет собой закон сохранения энергии для заряженной частицы, движущейся в статических полях; если частица ускоряется, то ее потенциальная энергия уменьшается и обратно.)

Уравнение (2.29) непосредственно следует из (1.41), если в последнее уравнение подставить выражения для обобщенного импульса и лагранжиана (2.12) и (2.15) соответственно.

В случае малых скоростей уравнение (2.26) упрощается:

mo(v2— Vo2)/2=—Q(m — «о).(2.30)

Движение свободных частиц.

Зависимость скорости от потенциала

Уравнение (2.26) выражает энергетический баланс для заряженной частицы. Прежде всего следует отметить, что он совершенно не зависит от магнитного поля. Стационарное магнитное

поле не оказывает никакого влияния на величину скорости частицы. Так как сила Лоренца пропорциональна vxB, она всегда перпендикулярна к направлению движения и может изменить только направление движения, но не величину скорости.

Существует однозначное соответствие между скоростью частицы v и электростатическим потенциалом и. Определим начальное значение потенциала и» таким образом, чтобы соответствующее значение скорости равнялось нулю (и=0). Тогда «о — потенциал тех точек пространства, в которых скорость частицы обращается в нуль. Как следует из уравнения (2.26), абсолютная величина скорости в этом случае может быть представлена в виде следующей функции потенциала:

о = с/1 —Г1—(2.31) I тоса |4'

Поскольку частица может увеличить скорость, только переместившись в область с меньшей потенциальной энергией, величина Q(u—Uo) всегда отрицательна: положительные заряды ускоряются при движении в область с меньшим потенциалом, отрицательные— при движении в область с более высоким потенциалом. Согласно соотношениям (2.17) и (2.26), кинетическая энергия частицы равна

№kIn=—Q(u —и0)>0.(2.32)

Если заряженной частицей является электрон или однозарядный ион, разность потенциалов (и—ио) дает энергию частицы, выраженную в электрон-вольтах. Масса покоя электрона составляет т0=9,109-10"-31 кг, его заряд Q = 1,602-10-19 Кл, а его энергия покоя равна т0с2 =0,5089 МэВ. Энергия покоя протона в 1836,1 раза больше (934,4 МэВ). Поэтому, если Q^u—• — u0) мало по сравнению с энергией покоя в уравнении (2.31), можно ограничиться первым членом разложения в ряд Тейлора:

ц = [—2Q(u —u0)/m0]1/2.(2.33)

Это выражение, разумеется, непосредственно вытекает из отношения (2.30). Отметим, что знак ио обычно противоположен знаку и. В этом можно убедиться, рассматривая источник частиц с фиксированным нулевым потенциалом. Поскольку частицы покидают источник, обладая некоторой положительной кинетической энергией, из уравнения (2.32) следует Quo>O, т.е. ио положительно для положительно заряженных частиц и отрицательно для отрицательных ионов или электронов. С другой стороны, и — и0<0 для положительно заряженных частиц

Таблица 1

Увеличение скорости и релятивистской массы в зависимости от потенциала

для электронов и протонов

Электрон

Протон

Потенциал

|u—Ыо|, в

Скорость

Увеличение

Скорость

Увеличение

У, м/с

массы, т/т0

У, м/с

массы, т1та

1

5,931 • 10»

1,000002

1,384-104

1,000000001

10

1,875.10е

1.000020

4,377-I О4

1,000000011

10»

5,930- 10е

1,000196

1,384-105

1,000000107

10»

1,873-107

1,001965

4,377-105

1,000001070

104

5,845-107

1,019649

1,384-10»

1,000010702

10s

1,643-10»

1,196495

4,377-10»

1,000107018

10*

2,816-10s

2,964949

1,383-107

1,001070176

107

2,988-10»

20,649487

4,342-107

1,010701764

10*

2,99175-10»

197,494868

1,283-10»

1,107017638

и и—ы0>-0 для электронов, следовательно, тот же знак должен иметь и м. Начальное значение потенциала «о отвечает в этом случае фиктивной поверхности позади источника.

Уравнение (2.31) представляет скорость в виде функции электростатического потенциала. Если потенциал изменяется, скорость изменяется вместе с ним. Это же уравнение может быть использовано для определения скорости в наиболее тривиальном случае движения свободных частиц в отсутствие полей. В этом случае потенциал является постоянным (но, вообще говоря, не равным «о). Подставляя его значение в (2.31) или (2.33), можно вычислить величину скорости, которая также является постоянной (постоянно и направление скорости: свободная частица движется по прямой). Результаты вычислений в случае электрона и иона водорода (протона) представлены в табл. 1. Релятивистские массы частиц легко вычислить, подставляя соотношение (2.31) в (2.2):

т/т0 = \ — Q(u— «о)Мос2. (2.34)

Численные значения отношения m/mo для электрона и протона также представлены в табл. 1. Согласно уравнению (2.33), в нерелятивистском приближении скорость протона при том же значении потенциала в (1836,1)’/*=42,8 раза меньше, чем скорость электрона. По мере возрастания энергии различие в скоростях становится меньше.

Как легко видеть, в случае малых значений разности потенциалов скорость пропорциональна (и—«o)v‘ в соответствии с (2.33), а масса не отличается существенно от массы покоя. Однако в случае достаточно высоких значений разности потенциалов следует использовать уравнение (2.31). Изменение

Движение заряженных частиц в электрическом и магнитном полях массы в этом случае становится существенным. На практике релятивистские эффекты должны приниматься во внимание при более чем 2%-ном изменении массы, что отвечает отношению и/с«0,2. Следовательно, нерелятивистское приближение является достаточным вплоть до энергий порядка 10 кэВ для электронов и порядка 10 МэВ для однозарядных ионов. В области более высоких энергий скорость постепенно приближается к скорости света. Так, например, для электронов с энергией 100 МэВ и/с = 0,999987, но для ускорения заряженной частицы до скорости, в точности равной скорости света в вакууме, потребовалась бы бесконечная энергия.

Обычный энергетический диапазон электронной оптики — 1—100 кэВ, так что в большинстве приложений можно пренебречь релятивистскими эффектами. Мы приведем общие уравнения движения релятивистских частиц, но в большинстве последующих глав книги применяется нерелятивистское приближение. Мы покажем, однако, что в случае чисто магнитного поля нерелятивистские уравнения остаются действительными и в области больших скоростей, если только заменить потенциал его релятивистским аналогом (2.89). Это важно, поскольку магнитные линзы чаще используют для фокусировки и преломления электронных пучков с энергией порядка 100 кэВ, при которой уже существенны релятивистские эффекты. Электростатическая оптика применяется в случае ионных пучков с энергиями ниже релятивистского предела. Таким образом, наш подход удовлетворяет требованиям большинства приложений.

Уравнения движения

Теперь дадим вывод релятивистских уравнений движения частицы в электромагнитном поле, описываемом векторами Е и В.

Прежде всего подставим в лагранжиан (2.15) компоненты векторов А и v в общей ортогональной системе криволинейных координат [см. (1.37)], представив лагранжиан в следующей скалярной форме:

Л = - тос2 [ 1- (Mc^i h^} М2 + Q ( J Ajh^ - u).

(2.35)

Частные производные L имеют вид

з

дЦдЧ1=т»\\ — (1/С2) £ h^q^'^X

/-1

33 .

X 2 hjq^dhjldqi-V Q [2 qjdlAjhjyjdqi — ди^у, (2.36)

д1*=т0Н^1 — (1/с2) 2 h^q^-UHQAihb (2.37) /=1

(Потенциалы и коэффициенты Ламе зависят только от координат.) Учитывая соотношение (2.2) и используя компоненты импульса р, запишем полученные выражения в виде

dLfdqi = 2 p/qjdhf/dqi+Q[ 2 qid(Ajhj)ldq£ — dufdq^, j=i/-i

(2.38)

dL/dqi=hi(pi+QAi),(2.39)

-отсюда

d/^L\ h^ + PiY ^q +QV^AMq (2.40) dt \ dq. /Г ~ dqjdqjx '

Подставляя соотношения (2.38) и (2.40) в уравнения Лагранжа (1.35), получаем

dp. , р£ ^ dh, •1 £?• dhi _

dt + h. £ dq, qihi Ъ P^J dq.

i=ii=<

Q у(2.41)

h. L dq. dq} J h. dq. ''

i=t

Здесь мы изменили порядок суммирования. Вместо того чтобы начинать суммирование с /=1, мы начинаем с j=L При этом не следует забывать циклический характер индексов: например, если /=3, то /+1 = 1 и т. д.

Выполнив суммирование, получим

dt h \q,+1dqiA4, + ^dqi*i)

(„ л dh£+1 ।^ dh.A-iX Q (■[dfA.+ihi-n) д(Д1й;)^ t

—Ч^-^-А-Р^иг^- )=K?\qi^ [—d^.^”T J +

LnГd(Ai+zh. + 2) d(A.h.) ] ( Q du

+ ^' + 2L d^i^ + 2J|h. dqt" 1 J

Отметим, что

Piqilh.i=mx)iqilh.i=m.qiqi = m.viqilhi =р;Р.11гь(2.43)

В наших новых обозначениях уравнение (1.6) дает

(rot А), =(2.44)

х и hi+1hi+2 [ dqi+tdqi + iJ

(q* dhi 41+1 д1ч*Д dt ‘ Pi+1\hl+idql+li hi dq; /(q* dhi 41+1 д1ч*Д dt ‘ Pi+1\hl+idql+li hi dq; /Уравнение (2.42) можно теперь записать в виде ,( qi dh- "qi+2 dhi+2\ _

(q* dhi 41+1 д1ч*Д dt ‘ Pi+1\hl+idql+li hi dq; /

(q* dhi 41+1 д1ч*Д dt ‘ Pi+1\hl+idql+li hi dq; /

+ Pi + 2\hi+tdql + 2 h: dq, /

= Q [A.41^+1 (rot A)/+2 —hi+2qi+2 (rot A)/+1 — (grad и)Д =

= Q (hi+1q;+1Bf+2 hj+2qj+slBi+1 -J-f,).(2.45)-

(При написании двух последних равенств использованы соотношения (1.12), (1.13) и (1.17).) Последнее равенство представляет собой i-ю компоненту Q(E+vXB). Но лагранжиан получен из уравнения (2.3), так что первая строка уравнения (2.45) должна быть i-й компонентой dpldt. Почему она выглядит столь сложно? По той причине, что производная вектора импульса по времени содержит производные единичных векторов наряду с производными криволинейных координат. В самом деле, вектор импульса можно записать в криволинейных координатах следующим образом:

з

Р = 2 etpi,(2.46)

1—1

его производная по времени есть

з

dpldt = 2 (eidpi/dt+pideifdt),(2 47)

i=l

где з .

deddt = 2 qideddqj.(2.48)

/=i

Частные производные deddqs являются векторными функциями коэффициентов Ламе. Наконец, производная вектора импульса по времени сводится к выражению з

dpldt = 2 ej(dp/dt)i,(2.49)

i=i

где t-я компонента вектора dp/dt дается уравнением (2.45). Почему следует использовать уравнения Лагранжа? По той' причине, что они более удобны в том случае, когда некоторые из координат qt не входят в лагранжиан явным образом. Тогда dLjdqi^ и, как видно из уравнения (1.35), соответствующая компонента обобщенного импульса dL]dqi=const. Это обстоятельство может существенно упростить систему уравнений. Мы используем такую возможность прн описании оптических свойств аксиально-симметричных электрического и магнитного полей в гл. 4.

Отметим, что левая часть уравнения (2.45) действительна и в случае переменных полей, а замена Е на —grad и справедлива только для статических полей.

Подставляя индексы i=l, 2, 3 в уравнение (2.45), приходим к релятивистским уравнениям движения в произвольной ортогональной системе криволинейных координат:

— Q^Ei-YH^q^B^ h3q3B2),— Q^Ei-YH^q^B^ h3q3B2),(2.50)(2.50)qs dh3\ _Aa dq2 )Psqs dh3\ _Aa dq2 )Psdt \ Ла dq3 Ai dqi 7 ^2 ~ \ Аа dq3 hi dqi )

— Q^Ei-YH^q^B^ h3q3B2),

— Q^Ei-YH^q^B^ h3q3B2),

(2.50)

(2.50)

qs dh3\ _

Aa dq2 )Ps

qs dh3\ _

Aa dq2 )Ps

dt + \ Ai dqt Aa dq2 ) Pi r\h3 dq3

^2 5^2^2 5^2(2.51)

^2 5^2

^2 5^2

dt ~* \ Ai dqi A3 dq3 7 ^ X Aa dq2 A3 dq3 )p4

= Q(£3 + MiBa-MA). (2.52)

Преимущество этих уравнений сложного вида в их универсальности. Посредством подстановки соответствующих координат и коэффициентов Ламе их легко преобразовать в систему уравнений, применимую для какой-либо конкретной системы координат.

Выбор системы координат зависит от вида симметрии, присущей конкретной задаче. Так, в случае зеркальной симметрии применима декартова система координат, в то время как аксиально-симметричной задаче более адекватна цилиндрическая система координат. Очень важен правильный выбор системы координат, поскольку это позволяет свести трехмерную задачу к двухмерной или даже одномерной задаче. В самом деле, аксиальная симметрия означает, что поля не зависят от азимутального угла а. В таком случае распределение полей во всем пространстве может быть представлено их распределением в любой плоскости, отвечающей фиксированному углу а. Если система обладает сферической симметрией, то ситуация упрощается в еще большей степени. В таком случае выбором сферической системы координат задачу можно свести к одномерной, поскольку все величины зависят только от радиальной координаты R.

В электронных микроскопах и аналогичных приборах фокусирующие системы обычно обладают аксиальной симметрией, но для преломления пучков и изменения их формы используются системы с мультипольной симметрией. В будущем могут появиться системы с другими типами симметрии, так что рассмотрение уравнений движения в общем виде представляется нам необходимым.

Релятивистские уравнения движения не выглядят простыми даже в декартовой системе qv=x, qi=y, qs=z (коэффициенты 32

Ламе й1 = Й2 = йз=1). Компоненты импульса включают в себя релятивистскую массу, которая в свою очередь зависит от всех трех компонент скорости (2.1) н (2.2). Таким образом, мы имеем систему трех связанных друг с другом дифференциальных уравнений:

{d/dt) {[1- (1/с2) (x2+y2 + z2) ]-v^} =

,= (<2/m0) (Ех + уВг — zBv), (2.53)

(d/dt) { [ 1— ( 1/с2) (X2 + Z/2 + Z2) ] -l/2y} =

i= (Q/mo) (Ey-VzBx— хВг),(2.54)

(d/dt) {[ 1 - (1 /с2) (X2+ y2 + z^ ] ->^z} =

,= (QImo) (Ez+xBy—yBx).(2.55)

В области малых скоростей т=то = const и уравнения движения упрощаются, поскольку в этом случае

dpldt=modvldt.(2.56)

В декартовой системе координат нерелятивистские уравнения движения имеют вид

d2x Q (с 1 п ^У о dz ^/() К7^

dF~By dT)’^.57)

^-—(Еу+В^-В^У(2.58)

a/2\” at z at /x '

^L = 3_(ez + Bv^-—Bx^-\(2.59)

dt1 m6 \ z v dtx dt J'

Это система из трех связанных друг с другом дифференциальных уравнений, решение которой может представлять трудности, если компоненты полей зависят от координат сложным образом.

В цилиндрической системе координат следует сделать подстановку qi =r, qi=*a, q$=z в уравнениях (2.50) — (2.52). Коэффициенты Ламе в этом случае даются соотношением (1.10). Релятивистские уравнения движения принимают следующий вид:

(dfdt) {[1 — (1/с2) (^Ч-г^ + г2)]-1^} —

— [1 — (1/с2) (г2+r2a2 + z2)]~1/2ra2 =

= (Qlm0) (Er+raBz — zBa), (2.60) (dldt) {[1 - (1/с2) (/2+r2a2+22)]-1/2ra} +

+ [1 —(1/с2) (r2 + r2a2 + z2]-V2ra =

= (№о) (£a + zB, - rBz),(2.61)

VW {[ 1 — (l/c2) (r2 + r2a2 + z2) ]-'/=2} =

= (Q/mo) (Ez + rBa — raBr\ (2.62)

В области малых скоростей полученные уравнения упрощаются:

<Рг<Рг22dt2 Г \ dt ). dr da Iddt2 Г \ dt ). dr da Id<it dt<it dtг dtг dtВ_(Ег^гВг^—Ва^\ (2.63) me r z dt ° dt )' v '\ dt J m0 \ ” 1 r dt z dt 1В_(Ег^гВг^—Ва^\ (2.63) me r z dt ° dt )' v '\ dt J m0 \ ” 1 r dt z dt 1d2z dt2d2z dt2EABa^-rBr^.EABa^-rBr^.(2.64)(2.65)(2.64)(2.65)

<Рг

<Рг

2

2

dt2 Г \ dt ). dr da Id

dt2 Г \ dt ). dr da Id

<it dt

<it dt

г dt

г dt

В_(Ег^гВг^—Ва^\ (2.63) me r z dt ° dt )' v '

\ dt J m0 \ ” 1 r dt z dt 1

В_(Ег^гВг^—Ва^\ (2.63) me r z dt ° dt )' v '

\ dt J m0 \ ” 1 r dt z dt 1

d2z dt2

d2z dt2

EABa^-rBr^.

EABa^-rBr^.

(2.64)

(2.65)

(2.64)

(2.65)

Последняя система содержит связанные друг с другом дифференциальные уравнения, которые являются нелинейными даже в случае однородных полей.

Решение этих систем уравнений в общем виде затруднительно. К счастью, в большинстве ситуаций, представляющих практический интерес, уравнения движения могут быть существенно упрощены. Наиболее важные численные методы их решения будут изложены в гл. 6.

Траекторные уравнения

Решение уравнений движения дает временную зависимость координат частицы qt=qiM^ в процессе ее движения. Это означает, что известна траектория частицы, заданная в параметрическом виде, причем время t играет роль параметра. В большинстве приложений, однако, представляет больший интерес описание траектории в явном виде. С этой целью одна из координат (обычно9з) выбирается в качестве независимой переменной, а две другие координаты представляются в виде функции от O's- Тогда мы получим два уравнения для двух проекций траектории на две взаимно перпендикулярные плоскости. Решение этих уравнений дает qt и q2 в виде функций от q3. Чтобы осуществить такое преобразование, следует дифференцирование по времени заменить дифференцированием по q3. Это можно

сделать, используя уравнение (1.36) и затем выражая ds через dq3. Из уравнения (1.7) следует

^-[',;Ш’+«Ш,+Л-Г-<2-66)

Подставляя последнее соотношение в уравнение (1.36), получаем

(2.67)(2.67)d dvd

(2.67)

(2.67)

= Л =....,

dt ds (ftifl^+Ah^+^s)1^ ^9з ’

где штрих означает дифференцирование по qs. Полученное выражение следует использовать каждый раз, когда дифференцирование появляется в уравнениях движения.

Теперь i-я компонента релятивистского импульса (i— 1, 2, 3) дается выражением

р, - «Л (1 -««№«" dqjdl - ^ ij?^i=^^.^.,(2.68)

причем скорость частицы и определена соотношением (2.31). Из уравнений (2.67) и (2.68) следует выражение для первой производной импульса

dp, =т»иd Г Л;у (I —ya/ca)-i;2 aq. j

dt W+^+h^ -14» V^W^-W12 dq3

С учетом уравнений (2.67) — (2.69) и обозначения

Н= (h^q^ + h22q2'2 + h32)^^dsldq3 (2.70)

уравнение (2.45) приобретает вид

^- ^Н) (1 -vVc2)-1/» q-^ + ^щ (1 _У2/с2)-1/2 хxXh^JqL^jUdh^X

L\^Z+Id9/+1 hi dq, /

+ 'l/+2‘?<+2U + 2d91 + 2А/ dq. /]"

= (Q/m0) (hl+1q{+1B;+2 hi+2gi+2^i+i H- E-tHlv). (2.71)

Запишем первый член последнего уравнения в развернутом виде:

Wdq^hiVlH) (1 — иЧс^'ЭД =

= ИН) (1 - у2/С2)-1/29<"+ (У/Я) (1 - u2ic2)-1/2W+

A-htqi4dldq3)VplH) (1 — и2/^)"1/2].(2.72)

Учитывая, что

(2.73)(2.73)q%'=X, q3" = 0

(2.73)

(2.73)

по определению, и помня о цикличности обозначений индексов, после ряда преобразований из уравнения (2.71) можно получить следующее уравнение для i=3:

G = (d/dq^ [(y/H)(l-v*/c*)-v*] = (Q/mM <hiq;B2—l4hBt + HE3^-

- („№)(! - «W -(-Д * —^) +

+i*4^-Hr)+^\- <2->

Уравнения (2.71) и (2.72) дают

qt + Wi + W-oW^HG/vlql-V,

। Гь ( Qi ^i Qi+i ^■+l^ ।

кг "657J r

\hi+3dq; + 3 hi OQi J У

^QHjmJi^lX— o^lc^y^^HEilu-Vh^^.^B^a — H^^aBi^,

(2.75)

где H и G определены уравнениями (2.70) и (2.74) соответственно, а

з

hi' = dhildqa= £ (dhildq^qj'

есть полная производная hi. Подставляя сначала t=l, получаем

<?; + (!-uVc2)1/2 ^HG/v)q; +

I^i h4 dha \ . д/ц ,2 . Q , dhT h3 dh3 1 f. _

= (QHlmJw) (1 — y2/c2)1/2 ^HEJu + h2q'2B3 — h3B2y (2.76)

Подставляя i = 2 в уравнение (2.75), получим

q3 + (1 — у2/^2) 1/2 (HG/v) q’2 +

, [Ол. dh3 h3 dh3 , dh2 ^.2 , (A„, dh3hiqi dht VI t,

+ 12(/2^г”л;^г+'^'72 +qA2q^—яг"^7Л'А2=

= (Q///m0/i2y)(l — &2/c2)1/2 (HEJu^haB^h^B^. (2.77)

члены v2jc2 и использовать уравнение (2.33) для определения скорости.

В декартовой системе координат уравнение (2.70) приобретает вид

H=^-Vx'2^y,2yi2,(2.78)

и уравнение (2.74) дает G,= (Q/m0) (х'Ву - y'Bx+HEzlv).(2.79)

Подставляя эти выражения в уравнения (2.76) и (2.77), получим релятивистские уравнения траектории в декартовых координатах: х''^/тои)[(1 —и2/с2)(1+х'2 + /2)]^ X [ (1 + х'2+/2) >/2 (Ех - х'Ег) fv - — (1+х/2)Ву + у/(х/Вх+Вг)],(2.80)

y"=(Q/moy)[(l — y2/c2)(l+V2 + z/,2)]V2X X [ (1 + х'2+у'2) >/2 ^Еу - y'Ez)/v + -V^+y^Bx-x'^By + B^.(2.81)

Разумеется, эти же уравнения могут быть получены и непосредственно из релятивистских уравнений движения (2.53)—(2.55) в декартовой системе координат [55], что и предлагается сделать читателю в качестве полезного упражнения.

В цилиндрической системе координат имеем

Я=(1+г'2 + г2а'2)1/2>(2.82)

G = (Q/m0) (г'Ва — ra'Br-vHEziuY(2.83)

Подставляя эти выражения в уравнения (2.76) и (2.77), легко получить релятивистские траекторные уравнения в цилиндрической системе координат в следующем виде:.

г" —Га'2 = (Q/mov)[(l — и2/с2) (l + r^ + r^JJ^X

X [ (1 + г'2 + г 2а'2) >/2 (Ег — r'EJfv — (1 + г'2) Ва +

+ та! У'ВТ + В2) ],(2.84)

та" Wa'= VQ!tnovY\ (i—u2lc2) (1 Ч-г^ч-г2^2)]1^

X [ (1 + r'2 + г2а'2) >/2 (£а — га'Ег^ /и + (1 + т2а'2) Вг —

— г' (та'Ва+ В2) ].(2.85)

Эти уравнения также могут быть получены непосредственно из релятивистских уравнений движения в цилиндрической системе координат (2.60) — (2.62).

Отметим, что правые части уравнений (2.80) и (2.84), так же как и уравнений (2.81) и (2.85), полностью совпадают, если заменить х на г, у на а, х' на г7, у' на га'. Левые части этих уравнений, однако, различны.

Релятивистский потенциал

Рассмотрим подробнее релятивистские траекторные уравнения (2.76) и (2.77). Как мы знаем, скорость частицы и выражается уравнением (2.31) через потенциал и. Подставим теперь потенциал из уравнений (2.31) и (2.34) в выражение, содержащее скорость и и появляющееся в обеих частях траекторных уравнений, так же как и в соотношении для G (2.74). Учитывая, что абсолютная величина импульса частицы равна р = ти, причем масса определена уравнением (2.2), и используя обозначение

S = Q(u— u0)/m0c2,(2.86)

получим

p//n0 = u(l — u2/c2)-V2 = c(1 — S)[l — (1 — S)-2p'2 =

= с[(1 —S)2 — 1]V2 = C(— 2S + S2)1/2 =

=c[— 25(1 — 5/2) ]1/2.(2.87)

Отметим, что нерелятивистская скорость (уравнение (2.33)) связана с S соотношением

и=Ц—28У'г.(2.88)

Напомним также, что нерелятивистские уравнения движения могут быть получены из релятивистских, если отбросить члены с и2/с2. В этом случае p/m0 — v.

Если сравнить релятивистское выражение (2.87) с нерелятивистским (2.88), то легко заметить, что первое может быть получено из второго заменой 5 на 5(1—5/2). Из уравнения (2.86) видно, что разность электрических потенциалов и — и0 следует заменить «релятивистским потенциалом»

(и — Ыо)ге1 = (и — Uo)[l — <2(u —Uo)/2moC2].(2.89)

Абсолютная величина импульса релятивистской частицы теперь дается выражением

р=[—2Qm0(u —«o)rei]1/2.(2.90)

В области малых скоростей релятивистский потенциал можно заменить обычным потенциалом, уравнение (2.90) упрощается и сводится к уравнению (2.33). Поскольку Q(u—u0)<0 38

для любой частицы, абсолютная величина релятивистского потенциала всегда больше, чем абсолютная величина обычного потенциала.

К сожалению, каждый раз, когда компонента электрического поля Е появляется в релятивистских уравнениях траектории, она снова делится на и, так что в присутствии электрического поля простая замена потенциала его релятивистским аналогом не приводит к преобразованию нерелятивистских траекторных уравнений в релятивистские. Использование релятивистского потенциала не упрощает траекторных уравнений в этом случае, но простое выражение по-прежнему можно использовать.

В случае чисто магнитного поля, однако, уравнения не содержат скорости в сочетаниях, отличных от рассмотренного выше. В этом случае как электростатический, так и релятивистский потенциалы постоянны, и, следовательно, абсолютная величина импульса также является постоянной, как и следовало ожидать. Мы приходим к очень важному выводу: в случае чисто магнитного поля нерелятивистские уравнения всегда можно использовать, учитывая, что в случае больших скоростей электростатический потенциал следует заменить релятивистским. Этот прием существенно упрощает уравнения и облегчает их решение.

Электронно-оптический показатель преломления

До сих пор мы интересовались только движением и траекториями отдельных частиц. Теперь можно сделать следующий шаг.

Вспомним принцип Мопертюи (уравнение (1.44)). Подынтегральное выражение P-dR, где Р — обобщенный импульс, определенный уравнением (2.12). С учетом определения вектора скорости и ее абсолютной величины (1.36) можно записать

P-dR=pds + QA-eods, (2.91)

где ds — элемент длины и еУ— единичный вектор в направлении скорости, которое совпадает с направлением изменения радиуса-вектора.

Если теперь подставить последнее соотношение в уравнение, выражающее принцип Мопертюи (1.44), и сравнить полученное выражение с принципом Ферма (145), то легко заметить, что оба уравнения имеют один и тот же вид. В самом деле, если подставить

n=p-vQX-eo(2.92)

в качестве выражения для показателя преломления, то оба уравнения окажутся тождественными. (Напомним, что абсолютная величина импульса определена уравнением (2.90).) Это означает, что пучок заряженных частиц, движущийся в электромагнитном поле, ведет себя точно так же, как световой луч в преломляющей среде, если электронно-оптический показатель преломления, определенный уравнением (2.92), равен оптическому показателю преломления в каждой точке пространства.

Это чрезвычайно важное замечание, влекущее за собой множество следствий. Прежде чем перейти к ним, исследуем структуру электронно-оптического показателя преломления. (Термин является традиционным и применяется к любой заряженной частице с импульсом р и зарядом Q.)

PwPw₽ц₽цПрежде всего отметим,

Pw

Pw

₽ц

₽ц

обычно изменяется необычно изменяется неполеполечто п является функцией как u(R), так и A(R). Поскольку

обычно изменяется не

обычно изменяется не

поле

поле

Рис. 4. Преломление частиц на двойном электростатическом слое.Рис. 4. Преломление частиц на двойном электростатическом слое.прерывно, показатель преломления является непрерывной функцией координат. (Внезапное изменение электростатического потенциала можно получить, применяя тонкую фольгу или мелкие решетки в

Рис. 4. Преломление частиц на двойном электростатическом слое.

Рис. 4. Преломление частиц на двойном электростатическом слое.

качестве поверхностей раздела между областями с разным потенциалом, но практическая

полезность такого подхода сомнительна; см. разд. 5.6.2.)

Если есть только электростатическое поле, то электроннооптический показатель преломления в точности равен импульсу частицы, определенному уравнением (2.90). Следовательно, п пропорционально квадратному корню из абсолютной величины релятивистского потенциала. Это означает, что скорость частицы тем больше, чем больше п. Как мы видели (уравнение (1.47)), в случае света ситуация противоположна.

При наличии магнитного поля электронно-оптический по

казатель преломления зависит не только от полей, но также и от мгновенного направления движения частицы. В этом случае п не только неоднородно (зависит от точки пространства), но и неизотропно (зависит от направления).

Непосредственно видно, что соотношение Спелля (146) применимо и в случае электронной и ионной оптики. Представим себе двойной слой тонкой фольги на границе двух областей с разными потенциалами Ui и «2 в отсутствие магнитного поля. Единственной силой, действующей на частицу, падающую на двойной слой, является электростатическое поле Е, направленное перпендикулярно поверхности (рис. 4). (Рисунок относится

к случаю положительно заряженных частиц с |«2|>|wi|- В случае отрицательно заряженных частиц с тем же соотношением между потенциалами поле будет направлено в противоположную сторону, ио сила действует в том же направлении.) Под действием этой силы компонента импульса частицы, перпендикулярная поверхности раздела, изменится, а параллельная компонента останется неизменной:

Рш=Р1 sini=p2u=p2Sinr, (2.93)

sin i sin гsin i sin гСледовательно,

sin i sin г

sin i sin г

(2.94)(2.94)pa па Г (u2—u<»)rei I1/2

(2.94)

(2.94)

PirtiI (“i—“o)rel J

в соответствии с уравнением (1.46). Разумеется, в случае малых скоростей релятивистские потенциалы можно заменить электростатическими потенциалами.

Наиболее важное следствие введения электронно-оптического показателя преломления заключается в возможности непосредственного применения геометрической оптики к движению пучков заряженных частиц в электромагнитных полях. Можно говорить о фокусировке пучков заряженных частиц полями, подобно тому как говорят о фокусировке световых лучей оптическими линзами. Можно построить электростатические и магнитные линзы и ввести для них кардинальные точки, указанные в разд. 1.4.2. Хотя такого рода линзы физически отличаются от оптических линз, основные принципы их действия остаются теми же. Наиболее важное практическое различие заключается в том, что в электронных и ионных линзах показатель преломления изменяется непрерывно, в то время как в собственно оптических линзах показатель преломления почти всегда изменяется дискретно. Вследствие этого практически любое распределение полей может представлять собой электронный и ионный оптический элемент. Более того, зависимость показателя преломления от направления движения частиц в световой оптике отсутствует. Таким образом, возможности электронной и ионной оптики значительно богаче.

Пучки заряженных частиц можно не только фокусировать электромагнитными полями, но также отклонять, изменять их форму, т. е. можно управлять ими любым возможным способом. Могут быть использованы системы с различной симметрией. Оставшаяся часть книги будет посвящена наиболее важным способам осуществления этой программы.

Аналогия между световой оптикой и электронно-ионной оптикой позволяет использовать не только оптическую терминологию (для описания пучков частиц), но и громадный опыт

создания оптических приборов, накопленный на протяжении столетий. Электронный микроскоп едва ли смог появиться, если бы не было оптического микроскопа.

Частицы в однородных полях

В качестве практического примера использования траекторных уравнений рассмотрим движение заряженных частиц в однородных электростатическом и магнитном полях внутри плоских конденсаторов, длинных соленоидов и между полюсами относительно сильных магнитов. Такие поля можно использовать для отклонения пучков, а также для определения скорости и относительного заряда частиц.

Плоский конденсатор

Простейшим электронно-ионным оптическим элементом является конденсатор с параллельными обкладками (рис. 5).

Электростатическое полеЭлектростатическое полеРис. 5. Плоско-параллельный конденсатор.Рис. 5. Плоско-параллельный конденсатор.такого конденсатора однородно. Однако вблизи его краев поле становится слабее и изгибается в окружающее пространство, поскольку теоретически поле исчезает только на бесконечном расстоянии от конденсатора. Если расстояние между обкладками равно d, то поле внутри конден

Электростатическое поле

Электростатическое поле

Рис. 5. Плоско-параллельный конденсатор.

Рис. 5. Плоско-параллельный конденсатор.

сатора практически однородно до расстояния d от края. Неоднородную внешнюю часть поля можно заменить ограниченным однородным полем. Таким образом, реальный конденсатор можно заменить идеальным с эффективной длиной, несколько большей, чем реальная длина L.

Такой идеальный конденсатор нереализуем, поскольку однородное поле не может внезапно исчезнуть. Однако такая простая модель является хорошим приближением при описании реального прибора. (Разумеется, конденсатор является трехмерным прибором: его длина может быть определена в любом направлении, перпендикулярном однородному электростатическому полю Е.)

Эффективная длина широко используется в электронно-ионной оптике с целью замены трехмерных оптических элементов длины L двухмерными объектами с другой (эффективной) длиной, оказывающими приблизительно такое же воздействие на пучок частиц (см. разд. 3.1.3.2).

После такого упрощения достаточно однородного электростатического поля Е для описания воздействия плоского конденсатора на заряженную частицу. Направим ось х декартовой системы координат вдоль поля и используем координату z в качестве независимой переменной (рис. 5). Подставляя ЕХ = Е и Еу=Ег = Вх = Ву = Вг=О в релятивистские траекторные уравнения (2.81), получаем у"=0, а это означает, что у' = уУ = =const. Проекцией траектории на плоскость yz является прямая, определяемая начальным наклоном у» . Если начальная скорость не имеет составляющей по оси у, то проекция траектории на указанную плоскость отсутствует, поскольку отсутствует сила, действующая вдоль оси у. В этом случае траектория целиком лежит в плоскости xz. В общем случае у'^Уо', и уравнение (2.80) дает следующее выражение для проекций траектории на плоскость xz;

^(QEIm^^-v^c^y/^l+y^+x'2).(2.95)

Выражая скорость через ее компоненты (уравнение (1.37)) и производные по времени через производные по z, получим

у2=л;2+у2 + г2 = г2(1 -^х'^у'^.(2.96)

В направлении z не действует никакая сила, так что z-компонента импульса является постоянной:

moz^\ — u2/c2)-1/2 = pzo = const.(2.97)

Уравнение (2.96) можно переписать в виде

и2 = (р2го/т2о) (1 — и2/с2) ^+х'Ну'2У(2.98)

причем из последнего уравнения можно найти и2 и подставить полученное выражение в уравнение (2.95). В результате получим:

х" = (Q£/cp2z0[m20c2+p2z0(l+^^^(2.99)

Это дифференциальное уравнение описывает проекцию траектории на плоскость xz. Его можно переписать в виде

1т%с2+р%0 (1 + у0/2 + V2) ] ~^dx' = (QEIcp^) dz.

(2.100)

Интегрируя уравнение (2.100) при начальных координатах частицы ^х0) у0, z0) и начальном наклоне траектории в плоскости xz, равном Хо', получим

arcshfpzox't^o^+p^otl+y/^^ —1/2} —D =

= (QE/cpz0) (z—z0),(2.101)

где

£ = arcsh{p2oxoqm2oc2 + p22o(l+^= const (2.102)

и arcsh — функция, обратная гиперболическому синусу. Из последнего уравнения находим Рго[Щ2оС2 + р22о (1 + У о 2 ) ] —X^2dx =

= sh[(Q£7cp20) (z—- Zo) +D]dz. (2.103) Интегрируя, вновь получаем

х — х0 = (c/Qf) [т20с2+р2г0 (1 +у0/2) ]1/2 X

X{ch[Q£'/cpz0)(z —z0)+£>] — chZ)}. (2.104) Отметим, что

chD=(l+sh2D)1/2 =

= {l+p22oxo,2[m2oc2+p22o(l+yo^^(2.105)

X'=xlz=pxlpz, у'=у1г=рУ1рг.(2.106)

Следовательно,

p2oXo=pxo,(2.107)

р2го(1+Уо'2)=р2уо + р2гО.(2.108)

Отметим также, что полный начальный импульс может быть представлен в виде

p2o = P2xo + p2!/o+p2zo.(2.109)

С учетом этих замечаний конечный результат (уравнение 2.104)) можно переписать в следующем виде:

х — х0.= (clQE) < (m2oc2+p2yo+p2zo)1/2 X

Xch{ ^QEjcpzo (z — zo) + arcsh[px0 (m2oC2+p2yo+p2zo)-1/2]} —

— (т2оС2+р2о)‘/2>.(2.110)

Можно заметить, что решение релятивистских траекторных уравнений является достаточно сложным даже в этом элементарном случае.

В случае малых скоростей уравнение (2.110) существенно упрощается. В самом деле, если импульс мал по сравнению с тоС, то члены, стоящие в левой части уравнения (2.101), малы, так что член, стоящий в правой части уравнения, также должен быть малым. Это означает, что аргумент гиперболического косинуса в уравнении (2.110) мал и функцию можно заменить двумя первыми членами ее разложения в ряд Тейлора:

(2.111)(2.111)chx « 1 +х2/2

(2.111)

(2.111)

для малых х. Кроме того, для малых значений аргумента обратный гиперболический синус можно заменить его аргументом. Учитывая эти упрощения, подставляя p = mov для импульса и пренебрегая членами и2/с2, из уравнения (2.110) получим, что в случае малых скоростей

х — х0 = (QE/2m0v2z0) (z — z0)2 + (Vzo/Vzo) (2 — z0).

(2.112)

Эту простую параболическую зависимость легко получить непосредственно из нерелятивистских траекторных уравнений. В этом случае траектория подобна траектории брошенного камня (постоянное гравитационное поле). Отметим, что уравнения (2.110) и (2.112) приводят к бесконечным значениям х, если z-компонента начальной скорости равна нулю. Это обстоятельство является следствием процедуры вывода уравнений траектории: замена времени координатой z в предположении, что частица движется в направлении z. Если же начальная скорость в этом направлении отсутствует, то это предположение недействительно. Таким образом, полученные траекторные уравнения можно использовать только в том случае, когда z-компонента скорости отлична от нуля.

Отклонение частиц электростатическим полем. Наиболее важным практическим применением плоского конденсатора в электронной и ионной оптике является использование его для отклонения заряженных частиц. Рассмотрим частицу, движущуюся параллельно оси z с начальной скоростью ио и входящую в идеальный конденсатор (рис. 5) вблизи одного из его краев (zo=—1/2). Ее отклонение KxL на другом краю конденсатора (z=l/2) в случае малых скоростей определяется уравнением (2.112). Следует подставить 0*0=0, uzo = Vo и (z—z0) = = L. Кроме того, начальную скорость можно связать с ускоряющим напряжением (уравнение (2.33)), а абсолютная величина однородного электростатического поля определяется соотношением

E—^UId,(2.113)

где MJ— отклоняющее напряжение на конденсаторе. В итоге получим

kxL = QEL2/2mou2o = — MJL2)4d (и — u0) •(2.114)

Аналогичным образом, наклон траектории у выхода из конденсатора определяется первой производной соотношения (2.112) в этой же точке. Первая производная равна

x'=QE (z — Zo) / (/Ио v2zo) + VxolVzo.(2.115)

После соответствующей подстановки получаем

xfL^QELImov2^ — — MJL]2d.^u — uo^ (2.116)

Уравнения (2.114) и (2.116) верны для всех пучков независимо от их начальных расстояний Хо от средней плоскости конденсатора. Следовательно, параллельный пучок останется параллельным и после отклонения. К сожалению, из-за краевых эффектов это неверно для реальных конденсаторов. В полученных уравнениях содержится тем не менее очень ценная информация. Как легко видеть, ни величина отклонения, ни наклон траектории не зависят от отношения заряда частицы к массе. Электроны или ионы разных масс отклоняются на одну и ту же величину, если они ускорены одинаковым напряжением (скорости сами по себе различны для разных частиц). И одна и та же электростатическая отклоняющая система может быть использована для любой заряженной частицы, что очень удобно при работе с ионными пучками.

Отрицательные знаки в уравнениях просто означают, что для положительного отклонения (в положительном направлении оси координат х) At//(и—Ыо) всегда отрицательно. В самом деле, для положительно заряженной частицы ускоряющее напряжение отрицательно; для электрона и отрицательного иона отклоняющее напряжение отрицательно.

Если известен наклон траектории у выхода из конденсатора, то легко вычислить полное отклонение частицы у мишени, расположенной на расстоянии / от конденсатора в области, свободной от поля. Частица движется по прямой линии, определяемой наклоном х' L. Полное отклонение равно

&x = \xl + Ix'l=—At7L(L + 2Z)/4d(M — м0)- (2.117) Эффективность отклонения определяется величиной Ах/At/, т. е. отклонением, создаваемым единичным отклоняющим напряжением. Она зависит от геометрических размеров системы и может быть увеличена посредством уменьшения ускоряющего напряжения.

Простой анализатор скорости. Если х-компонента начальной скорости противоположна по направлению электростатической силе, то для положительно заряженной частицы Уо<О, а для отрицательно заряженной частицы Уо>О. Электростатическое поле в этом случае будет замедлять частицу до тех пор, пока она не столкнется с электродом или же не изменит направление движения и будет ускорена по направлению к противоположному электроду.

Пусть положительно заряженная частица начинает движение от отрицательного электрода с наибольшим абсолютным значением потенциала, причем х-компонента ее скорости на-

правлена к другой обкладке. Сможет ли она достичь этой обкладки? Это произойдет в том случае, когда х-компонента скорости достаточно велика, чтобы противодействовать электростатической силе, пока частица пройдет расстояние — d в направлении х (рис. 5). Изменение направления движения происходит в точке с х' =0. Из уравнения (2.115) можно определить соответствующую координату

z —z0 =— moVxoVzolQE. (2.118)

Подставляя полученное выражение вместе с соотношением х—х0=—d в уравнение (2.112) и принимая во внимание уравнение (2.113), найдем, что частица может достичь противоположной обкладки при условии, что .

mov2xo/2>Q. (2.119)

Полученное условие не зависит от двух других компонент скорости. Следовательно, в случае идо = Уго = Ь, когда частица движется перпендикулярно обкладкам, ее начальная кинетическая энергия должна быть больше QMJ. Частицы с меньшей кинетической энергией будут остановлены (и ускорены в противоположном направлении), прежде чем они достигнут противоположной обкладки.

Если имеется источник частиц с разными кинетическими энергиями, то можно измерить распределение частиц по энергиям (скоростям), непрерывно изменяя напряжение на конденсаторе и измеряя ток, проходящий через положительную пластину с наибольшим потенциалом. Очевидно, что при любом значении AU этот ток пропорционален числу частиц с начальной энергией, превышающей QMJ.

Однородное магнитное поле

Длинные соленоиды и относительно сильные магниты также представляют собой простые электронно-оптические и ионно-оптические элементы, поскольку магнитные поля внутри соленоида и вдали от краев магнитных полюсов практически однородны. Разумеется, однородное магнитное поле является такой же идеализацией, как и однородное электрическое поле. На практике всегда приходится учитывать краевые эффекты. Посредством введения эффективной длины реальное поле всегда можно заменить однородным полем, оказывающим приблизительно такое же воздействие, как и исходное поле.

Пусть вектор индукции однородного магнитного поля ориентирован в положительном направлении оси z, а частица входит в область поля с произвольной начальной скоростью у. Как мы знаем (разд. 2.2.1), магнитное поле не может изменить величи-

ну скорости, так что у=const. Скорость определена уравнением (2.33) для любых значений ускоряющего напряжения, но при больших скоростях следует использовать релятивистский потенциал (уравнение (2.89)).

Подставляя EX=EH = EZ=BX = BH = O и BZ=B в нерелятивистские уравнения (2.80) и (2.81), получаем

х"= (QB/moy) (Ц-х^+у'2)1^/,(2.120)

у" = —(QB/mou) (l+x^+y'2)1^'.(2.121)

Это система из двух нелинейных дифференциальных уравнений. Их решение, однако, элементарно. Легко заметить, что

х'х"=— у'у".

(2.122)

или, что эквивалентно,

d(x'2+y'2) =0.

(2.123)

Следовательно,

х'2+у'2 =хо'2 + уо'2 = const.

(2.124)

Последнее очевидно, поскольку у=const и

отсутствует сила,

направленная вдоль магнитного поля (z=Zo = const). Уравнение (2.124) непосредственно следует из уравнения (2.96). Используя обозначение

Z)i= (QB/moy) (l + xo'2+yo'2)1/2 = QB/mO2o, (2.125) первые интегралы уравнений (2.120) и (2.121) можно записать в виде

х'— x'0=Di^y — у0),(2.126)

у' —/о = —Bi(x —хо),(2.127)

где индекс 0 относится к начальному положению и начальному наклону траектории частицы. Определяя dz из общих уравнений, найдем

[х'о +Di (у —- у0) ] dy = [у'о — В, (х — х0) ]dx.(2.128)

Интегрирование последнего уравнения дает

В1 [ (х — Хо)2 + (у — у20) ] /2=у'о (х — Хо) — х'о (у — Уо).

(2.129)

Последнее соотношение можно переписать в виде

(х — хо — y'o/Di)2 + (у — у0 + X'q/Di) 2 = (х0/2+уо'2) /Di2,

(Х-Хс)2+(у-ус)2=^2.(Х-Хс)2+(у-ус)2=^2.(2.131)(2.131)(2.130) или

(Х-Хс)2+(у-ус)2=^2.

(Х-Хс)2+(у-ус)2=^2.

(2.131)

(2.131)

Это уравнение окружности радиуса

R= (хо'Ч y^y'2IDx= <mozoIQB) (хо^+уо'2)1^ с центром в точке с координатами

(2.132)

Хс—Xo-Vy'oJDx=Xq+ ^moZQlQB^y'o,(2.133)

Ус=Уо — x'o!Dx=yo — (rnoZoJQBVo.(2.134)

Отметим, что QBImQ имеет размерность частоты. Введем обозначение

toc=\Q\Blm.(2.135)

Используя это последнее выражение вместе с уравнением (2.67) и обозначая компоненты скорости в плоскости ху посредством

Уох= (хо2 + Уо2)1/2,Уох= (хо2 + Уо2)1/2,(2.136)(2.136)

Уох= (хо2 + Уо2)1/2,

Уох= (хо2 + Уо2)1/2,

(2.136)

(2.136)

из уравнений (2.132) — (2.134) получаем выражение для радиуса,

R = UoJtoc=muoJ\Q\B(2.137)

и координат центра окружности

хс — Xq+yo!toc=Xo+Ryoluo3_,(2.138)

(2.139)(2.139)Ус—У о — Хо/(Ос—Уо — Rxo/vq^.

(2.139)

(2.139)

Подобные треугольники на рис. 6 позволяют убедиться в том, что это действительно координаты центра окружности радиуса R, если Хо и у» являются координатами произвольной

точки окружности.

Поскольку в общем случае z-компонента скорости (в направлении, перпендикулярном плоскости ху) отлична от нуля,

действительная траектория — винтовая линия. Ее проекцией на плоскость ху является окружность, показанная на рис. 6. Поскольку отсутствует сила, параллельная магнитному полю, в направлении г траектория наращивается с постоянной скоростью Уго.

Этот результат не должен

Рис. 6. Круговая траектория в однородном магнитном поле.Рис. 6. Круговая траектория в однородном магнитном поле.вызывать удивление. В самом деле, из уравнения (1.14) сле-

Рис. 6. Круговая траектория в однородном магнитном поле.

Рис. 6. Круговая траектория в однородном магнитном поле.

дует, что сила Лоренца перпендикулярна как вектору индукции магнитного поля, так и вектору скорости. В нашем случае абсолютные величины обоих векторов постоянны и В имеет только z-компоненту. Следовательно, постоянная сила всегда действует в плоскости ху и направлена перпендикулярно компоненте скорости в этой плоскости. Иными словами, это центростремительная сила, приводящая к равномерному движению по окружности в плоскости ху. Поскольку центростремительная сила равна силе Лоренца, можно записать соотношение

7ny2oV^=|Q|vo±B,(2.140)

эквивалентное уравнению (2.137). Поскольку уравнение (2.137) отвечает равномерному движению по окружности, непосредственно видно, что №с имеет физический смысл угловой частоты. Это циклотронная частота. Если известна частота, то легко вычислить период:

7 = 2no)c = 2nm/|Q|B.(2.141)

Таково время, затрачиваемое на один оборот по окружности. За это время частица проходит расстояние

h = vz0T(2.142)

в направлении z, где uz0— компонента начальной скорости.

Если отсутствует составляющая скорости, параллельная магнитному полю, то радиус траектории однозначно определяется магнитной индукцией, ускоряющим напряжением и отношением заряда частицы к ее массе. Подставляя уравнения (2.135), (2.33) и (2.89) в уравнение (2.137), получаем ■

RB = {— (2m0/Q) (н — н0) [ 1 — Q (н — н0)/2т0с2]} ^

(2.143)

Сравнивая последнее выражение с соотношением (2.87), можно видеть, что RB пропорционально импульсу частицы:

RB=pl\Q\.(2.144)

Для нерелятивистских электронов уравнение (2.143) дает

RB = 3,37-IO-6 (н — Но) 1/2[В • с/м].(2.145)

Например, требуется магнитная индукция 0,0337 Вс/м2, чтобы электрон, ускоренный напряжением 10 кВ, вращался по окружности радиусом 1 см.

Длинные магнитные линзы. Наиболее очевидное применение однородного магнитного поля основано на том факте, что частицы движутся по винтовой траектории, пройдя расстояние h = vz0T, возвращаются к одной и той же силовой линии.

Ес^и облучить тонкий объект, расположенный в однородном магнитном поле перпендикулярно силовым линиям, пучком частиц, движущихся параллельно магнитному полю, то частицы подвергнутся рассеянию и слегка расходящиеся пучки частиц с равными скоростями будут испущены каждой точкой объекта. Если расхождение невелико, то можно считать, что компоненты скорости, параллельные полю, равны, в то время как компоненты скорости, перпендикулярные полю, немного различаются. Тогда различные частицы, испущенные одной и той же точкой, будут двигаться по слегка отличающимся винтовым траекториям; но все они возвратятся к их общей силовой линии, пройдя равные расстояния h. Это верно для любой точки объекта. Следовательно, на расстояниях nh от объекта (где п— целое число) возникнут его действительные изображения. Увеличение изображений равно единице. Такая линза выглядит довольно странно, поскольку она не собирает в фокусе параллельный пучок, но может формировать изображения. Отметим, чтоу

величина h зависит от отноше-1

Рис. 7. Отклонение частиц магнитным полем.Рис. 7. Отклонение частиц магнитным полем.ния заряда частицы к ее массе. Следовательно, фокусирование различных частиц происходит на разных расстояниях, что является важной особенностью магнитных линз.

Рис. 7. Отклонение частиц магнитным полем.

Рис. 7. Отклонение частиц магнитным полем.

Следует также отметить, что отчетливые изображения могут быть получены только

при помощи пучков, движу

щихся вблизи силовых линий. Если расхождение существенно, то значения h могут значительно различаться для разных частиц в одном и том же пучке. В результате изображение будет искажено. Это типичный пример аберрации линз — одной из труднейших проблем электронной и ионной оптики.

Длинные магнитные линзы будут рассмотрены более подробно в разд. 4.10.1.3.

Отклонение частиц магнитным, полем. Рассмотрим частицу, движущуюся параллельно оси х с начальной скоростью и0 и входящую в область однородного магнитного поля, параллельного оси г (рис. 7) с одной из сторон (Хо=О). Ее отклонение NyL надругой границе поля (х=А) определяется уравнением (2.130). Следует подставить ууо = О, у<о = Оо и (х—х0) = = L. В итоге получим

(2.146)(2.146)Ml = R [(1-LW» - 1] = IY1 - ^?")1/2 -1 4 L\ moVO /

(2.146)

(2.146)

В соответствии со знаком силы Лоренца \yL отрицательно для положительно заряженной частицы (см. рис. 7). Наклон траектории на выходе из области локализации поля определяется первой производной у по х. Последнюю можно найти из уравнения (2.128):

^ I = _LfR = _ LQB /1 _ ^4^51\ -1/2„ и„

d*U (1—L2/R2)1/2 "Wo V ti /1 I '

Полное отклонение на мишени, расположенной в области, за пределами поля, иа расстоянии / от границы области однородного магнитного поля, дается выражением

Д;, _ Ду£ + (g | = R [(1 _ LW-)- - 1 ] -^” „ . (2.148)

Обычно L<^R. В этом случае разложение последнего выражения в ряд Тейлора и пренебрежение членами меньше (LfR)2 дают

Ду= —L(L + 2/)/2/? = —(QBL/2moUo) (L+2Z).(2.149)

Подставляя в полученное выражение ускоряющий потенциал из соотношения (2.33), получим отклонение в случае малых скоростей

Ду =.(2 150)

2[-2m0(u-u0)/Q]i/2v '

Как можно видеть, отклонение частицы в магнитном поле зависит от отношения ее заряда к массе частицы. В этом заключается фундаментальное различие между магнитными и электрическими отклоняющими системами. Разброс отношений QfmQ представляет собой серьезное препятствие в том случае, когда требуется отклонить пучок различных ионов одной и той же системы. С другой стороны, магнитное поле может быть использовано для разделения частиц. Эффективность отклонения в случае магнитного поля определяется отношением kyfB и также может быть увеличена уменьшением ускоряющего напряжения.

Одновременное действие однородных электрического и магнитного полей

Другим важным применением однородных полей является масс-спектроскопия (определение отношения заряда к массе для различных ионов в пучке). В масс-спектрометрах обычно применяется сочетание статических электрических и магнитных полей. В простейшем случае как те, так и другие поля однород- 52

Рис. 8. Проекция циклоиды в произ вольно ориентированных электроста тичеоком и магнитном полях.Рис. 8. Проекция циклоиды в произ вольно ориентированных электроста тичеоком и магнитном полях.z—Zo+Zot+ QEzt2j2m0,z—Zo+Zot+ QEzt2j2m0,(2.152)(2.152)

Рис. 8. Проекция циклоиды в произ вольно ориентированных электроста тичеоком и магнитном полях.

Рис. 8. Проекция циклоиды в произ вольно ориентированных электроста тичеоком и магнитном полях.

z—Zo+Zot+ QEzt2j2m0,

z—Zo+Zot+ QEzt2j2m0,

(2.152)

(2.152)

ны. В этом случае траектории медленных частиц могут быть определены аналитически.

Произвольно направленные постоянные векторы Е и В определяют плоскость. Выберем прямоугольную систему координат таким образом (рис. 8), чтобы указанная плоскость совпала с плоскостью xz, а вектор магнитной индукции В был параллелен положительному направлению оси г(Вг=

= B=const). В этом случае вектор напряженности электрического поля Е имеет две компоненты (Ех=const и Ег=

= const), причем Ен = Вх = Вд = 0. Единственная сила, действую щая в направлении z, обусловлена Ez, и интегрирование урав нения (2.59) дает

(2.151)(2.151)z=zQ-!rQEztlmQ,

(2.151)

(2.151)

где Zo и z0 — начальные значения z и z соответственно. Решим это квадратное уравнение и представим t в виде функции z. Используя уравнение (2.96) и подставляя выражение t^ в уравнение (2.151), получим

v (1 + х^+/2)-1/2 _’= [го2+2qez(z - г0) /т0] 1/2. (2.153) Теперь можно использовать траекторные уравнения (2.80) и (2.81). Их нерелятивистскую форму можно в рассматриваемом случае записать в виде

х"= (,Q/m0)[(Ex — x'Ez^z^-Vy'BfzA, (2.154)

У"=—(Q/mo) ky'Eilz^-Vx'BIzV(2.155)

где z определено уравнением (2.153) в виде функции от z.

Чтобы решить эту сложную систему дифференциальных уравнений, используем

u=Bz(Ez(2.156)

в качестве новой безразмерной переменной. Тогда

dz= (moEzfQB^udu,

(2.157)

и после перехода от дифференцирования по z к дифференцированию по и систему дифференциальных уравнений (2.154) и (2.155) можно записать в виде

=+(2.158)

du^ QB^ 1 duх 7

Последняя система легко интегрируется:

(«-«») + у -У»>(2Л6°)

S-Й) = —(х~хо).(2.161)

где индекс 0 обозначает начальные значения переменных. Уравнение (2.156) дает

uQ = BzQIEz.(2.162)

Из уравнения (2.157) следует

ЧтЖ)2А = х>с,(2.163)

где сое — циклотронная частота, определенная соотношением (2.135). Аналогичным образом

Ш,=*(2.164)

Теперь необходимо проинтегрировать систему дифференциальных уравнений (2.160) и (2.161). Определяя du из обоих уравнений, найдем

[(£Х/Вис) (и — Uo^+y — yo + XoltocAdy =

= [Уо/<ис—(х —x0)]dx.(2.165)

Интегрируя последнее уравнение на интервале от начальной точки до текущей точки траектории, получим

У■

(Ех/Вюс) S (м — ио^у=уо(х — XoAftoc —

Уо

— хо(у — Уо)/ас— (х —х0)2/2— (у — уоу^. (2.166)

С другой стороны, интегрирование по частям дает

уи—ио

S (Ы — Uo)dy=(u — Mo) (у — Уо) — $ (у — yoAd^u — и0).

(2.167)(2.167)УО°

(2.167)

(2.167)

Теперь подставим соотношение (2.160) в правую часть уравнения (2.159). Интегрирование полученного уравнения с последующей подстановкой соотношения (2.161) дает

и—ио

— S {у — y^d^u — и^=х0^и — «о)/<Ос+ о

+ (£*/25<ос) (« —«о)2 — (х —х0).(2.168)

Подставляя полученное соотношение в уравнение (2.167), найдем

У

$ (м — и0^у = (и — Ыо) (у — Уо) +хо (и — «о)/(0с + »0

+ (£*/2Вй)с) (и — иоу— (х — х0).(2.169)

Последнее выражение следует подставить в уравнение (2.166). Используя соотношения (2.156) и (2.162), вернемся к независимой переменной z. Переменную z можно заменить на время t в соответствии с соотношением (2.151). После некоторых алгебраических преобразований получим

(х — хс)2+(и — ycV^R2.(2.170)

Полученное соотношение совпадает по форме с соотношением (2.131), описывающим траекторию в однородном магнитном поле (в отсутствие электрического поля). Различие заключается в том, что теперь параметры имеют сложный вид:

Хс = Хо+(£х/5 + Уо)/<ос,(2.171)

yc=yo — xoltoc — ExtlB,(2.172)

R = [х02+ (^o + fx/B)2]1/2.(2.173)

Непосредственно видно, что в случае Ех=0 полученные выражения дают те же результаты, что и соотношения (2.137) — (2.139). Это означает, что, когда электрическое поле параллельно магнитному, проекция траектории на плоскость ху будет такой же окружностью, как и при отсутствии электрического поля. Траектория снова имеет форму винтовой линии с тем отличием, что теперь имеется ускорение (или замедление) в направлении оси z, так что поступательное движение идет в направлении z с переменной скоростью z, определяемой соотношением (2.151).

Ситуация существенно меняется, однако, при наличии компоненты электростатического поля Ех, перпендикулярной вектору магнитной индукции В. В этом случае не только меняются радиус окружности и координаты ее центра, но, кроме того, величина ус зависит от времени. Окружность смещается вдоль

оси у, и проекция траектории на плоскость ху является наложением равномерного движения и движения по окружности. Результирующая кривая является трохоидой. В зависимости от величины и направления начальной скорости частицы трохоида может иметь петли или точки поворота или же иметь вид гладких колебаний. Если начальная скорость не имеет составляющей в плоскости ху, то трохоида превращается в циклоиду. Последний случай показан на рис. 8 для Xo = yo = zo = O. Как мы вскоре покажем, в отдельных случаях трохоида может вырождаться в прямую, параллельную оси у.

Траектория зависит также от z-компоненты электростатического поля (см. выше). (На рис. 8 показана только проекция траектории на плоскость ху.) Поскольку центр окружности движется параллельно оси у с постоянной скоростью — ЕХ]В (уравнение (2.172)) и в то же время движется вдоль оси z с постоянным ускорением (уравнение (2.152)), проекция траектории центра окружности на плоскость yz является параболой.

Последний результат, возможно, покажется удивительным новичку. В самом деле, естественно было бы ожидать, что центр окружности будет смещаться в направлении электрического поля, но не в перпендикулярном направлении. Чтобы понять этот эффект, необходимо разобраться в природе силы Лоренца.

Рассмотрим для простоты движение в плоскости ху. Для этого положим Ег=0 и ого=0. В этом случае отсутствует сила, действующая в направлении оси z, и траектория совпадает с ее проекцией на плоскость ху. Рассматриваемый случай является достаточно общим, поскольку добавление z-компоненты электрического поля и начальной скорости не изменит проекции траектории на плоскость ху. Из выражения для силы Лорен- па (1.14) непосредственно следует, что ее электрическая компонента направлена вдоль оси х и приводит к изменению х-компоненты скорости. Это в свою очередь приводит к изменению //-компоненты скорости из-за действия магнитной компоненты силы Лоренца. Магнитная компонента силы является причиной постоянного смещения траектории вдоль оси у. Если Ех и В положительны, дрейф происходит в отрицательном направлении оси у независимо от отношения заряда частицы к ее массе.

Чтобы представить себе наглядно описанную картину, предположим, что мы движемся вдоль оси у с постоянной скоростью

w= — ]ЕХ/В. (2.174)

В нашей движущейся системе координат электрическая компонента силы Лоренца отсутствует. В самом деле, скорость части-

цы v представляет собой сумму векторов относительной скорости частицы Vrei в движущейся системе координат и скорости самой системы координат (w), но

wXB= — i£„ (2.175)

чем и компенсируется электростатическая составляющая силы Лоренца. Единственной оставшейся составляющей силы будет (v—w) X В. Разумеется, сумму скоростей следует также подставить и в уравнение движения (2.1). Но производная постоянной скорости w равна нулю, так что относительная скорость (v—w) появится в обеих частях уравнения (2.1). Это означает, что в движущейся системе координат траекторией частицы является окружность. Радиус окружности определяется соотношением (2.137), в которое следует подставить в данном случае относительную скорость, так что w следует вычесть из (/-компоненты скорости. Именно к такому результату приводит уравнение (2.173). Координаты центра окружности определяются соотношениями (2.138) и (2.139), причем снова w следует вычесть из (/-компоненты скорости. Наконец, в исходной системе координат центр окружности движется вдоль оси у с постоянной скоростью w. Эти изменения полностью отражены в соотношениях (2.171) и (2.172).

Отметим, что циклотронная частота ис остается неизменной и по-прежнему определяется только магнитным полем в соответствии с соотношением (2.135). Время, необходимое для полного оборота по окружности, также остается неизменным. Последнее определяется соотношением (2.141) и не зависит от электрического поля и начальных условий. Траектория имеет периодический характер с «длиной волны»

L = wT=2nExIBtoC (2.176)

(см. рис. 8). Это означает, что пучок частиц с различными по величине и направлению скоростями, испущенный из точки, расположенной на расстоянии х от плоскости уг, соберется вновь в одной точке на расстоянии L от источника в направлении оси у, если отношение заряда к массе одинаково для всех частиц. Этот фокусирующий эффект является точным, поскольку он не ограничен малостью дисперсии угловых скоростей.

Теперь легко видеть, что траектория является прямой, если начальная скорость частицы в точности равна w. В этом случае сила Лоренца равна нулю и начальная скорость частицы, направленная вдоль оси у, остается постоянной. Формально это вытекает из уравнений (2.171) — (2.173), которые дают хс=х0, yc=yo + wt, R = 0.

Определение масс и другие приложения. В ионно-лучевой технологии важно уметь отделять нейтральные частицы и определять их точные массы или энергии.

В первых масс-спектрометрах использовались однородные электростатическое и магнитное поля. Знаменитый метод параболы Томсона [56] сводится к отклонению частиц в однородных электростатическом и магнитном полях, параллельных друг другу. Пусть ось х декартовой системы координат направлена параллельно напряженностям обоих полей, а заряженная частица входит вдоль оси г в область поля. Отклонения на малые углы в направлении х обусловлены электростатическим полем, а в направлении у—магнитным полем. Отклонения определяются для разных скоростей частиц уравнениями (2.117) и (2.150) соответственно. В случае малых отклонений соответствующие эффекты независимы. Исключая ускоряющий потенциал из обоих уравнений, получим

Лх = QB«L (£+20 d ^УУ- (2-177)

Это соотношение означает, что частицы с одинаковым отношением заряда к массе, но с различными скоростями отклоняются описанным сочетанием полей таким образом, что их треки на мишени, перпендикулярной начальным скоростям частиц, образуют параболу. Отдельные точки параболы отвечают частицам с разными начальными скоростями, но сама парабола определяется только полями, геометрией системы и отношением заряда частицы к ее массе. Частицы с различными отношениями заряда к массе образуют разные параболы. Следовательно, измеряя коэффициент перед квадратичным членом в уравнении параболы, можно определить отношение заряда частицы к ее массе.

В масс-спектрометре Астона впервые была получена пространственная фокусировка ионов с различными начальными скоростями [57]. В этом приборе электростатическое и магнитное поля разделены в пространстве.

Масс-спектрометр может быть построен также на основе скрещенных полей. Как мы видели, такая система обеспечивает теоретически идеальную фокусировку и вполне соответствует требованиям спектроскопии. Такого рода спектрометр называется трохотроном [58]. Трохоидальные траектории частиц можно также использовать в монохроматорах [59].

Недостатком таких приборов является трудность поддержания строгой однородности электростатического поля в большом объеме, так что совершенствование приборов происходило и в других направлениях (см. гл. 11)

Особый случай прямолинейной траектории использован в простом фильтре Вина [50], состоящем из плоского конденсатора с наложенным однородным магнитным полем (рис. 9). Магнитное поле на рисунке направлено вдоль оси z, а электрическое поле — в отрицательном направлении оси х. Согласно соотношению (2.174), скорость должна быть направлена в положительном направлении оси у. Напряженности полей выбираются таким образом, чтобы для данной скорости w выполнялось соотношение (2.174), так что частицы со скоростями, близкими к w, двигаясь по прямой, проходят через диафрагму, расположенную за конденсатором. Если же начальная скорость частицы заметно отличается от w по величине или направлению, то частица будет отклонена полями и не пройдет через диафрагму. Следовательно, пучок частиц справа от диафрагмы будет содержать частицы с одинаковыми скоростями. Такой прибор называется монохроматором. Это приспособление можно использовать для измерения скорости частицы.

Одновременное действие взаимно перпендикулярных и однородных электростатического и магнитного полей ис- пользуется и в других прибо- w xjx pax. Магнетрон [11]—это микроволновая трубка, в которой электроны движутся по

квазитрохоидальным траекто- Рис. 9. Фильтр Вина, риям в поле цилиндрического конденсатора, сочетающегося с продольным магнитным полем. Хотя электростатическое поле в этом случае неоднородно, форма траекторий в основном остается прежней с тем различием, что теперь траектории наматываются на цилиндрическую поверхность. Скрещенные поля также могут быть использованы в электронных умножителях [9] для удаления слабых электронных токов.

Законы подобия

В заключение этой главы мы рассмотрим проблему, являющуюся фундаментальной для практического проектирования. Пусть проектные данные отвечают определенному набору параметров, описывающих некоторые условия. Вопрос заключается в том, как преобразовать эти данные для случая иных условий. Иными словами, как использовать имеющиеся разработки, если параметры изменены.

Чтобы ответить на поставленный вопрос, рассмотрим уравнения движения в общем виде. Поскольку простые законы подобия можно получить только в случае малых скоростей,

в этом разделе мы ограничимся нерелятивистскими частицами. В этом случае из уравнений (1.36) и (2.3) вытекает уравнение движения в векторной форме:

d2RM2= (Q/m0) [Е+ (dR/Л) X В].(2.178)

Рассмотрим две установки с разными электростатическим и магнитным полями, имеющие разные размеры. Обозначим соответствующие величины индексами а и b соответственно. Очевидно, уравнение (2.178) справедливо для обеих установок, так что можно записать

d2Raldta2= (Q/m0) [Еа + (dRa/dta) XВа],(2.179)

d2Rbldtb2= (Q/m0) [Е6+ (dRb/dtb) ХВ6].(2.180)

Предположим, что существуют линейные масштабные соотношения между соответствующими величинами параметров:

Rb=^Ra, Еб = А£Еа, Вь=квВа, tb=ktta, (2.181) где коэффициенты кК)кв,кв и kt являются масштабными множителями. Под «соответствующими» величинами подразумеваются величины, определенные в соответствующих точках (например, в точках, где потенциалы достигают максимальных значений).

Теперь выясним, какого рода соотношения между коэффициентами должны выполняться для того, чтобы траектории в обоих случаях были подобны [11, 16]. Подставляя соотношение (2.181) в (2.180), получим

kkRlkEkt2WWaldta2 = (Qlm0)[Ea+(kKkBlkEkt) (dRaldta) ХВО].

'(2.182)

Это соотношение эквивалентно уравнению (2.179), если потребовать

к1=Мкв= ^кК/кЕу/2.(2.183)

Это означает, что для сохранения формы траектории, т. е. чтобы обеспечить геометрическое подобие решения Rbt.tb') уравнения (2.180) и решения Ra(ta) уравнения (2.179), необходимо потребовать выполнение двух соотношений (2.183). Используя уравнения (1.17) и (2.181), последние соотношения можно записать в виде

R2B2]u = const,(2.184)

T2u]R2 = const,(2.185)

где R— расстояние между соответствующими точками, и — электростатический потенциал в соответствующих точках, В —

соответствующая компонента плотности магнитного потока в соответствующих точках и Т — время движения между соответствующими точками. Отметим, что соотношения (2.184) и (2.185) получены для случая, когда имеются как электростатическое, так и магнитное поля, но они остаются в силе и в отсутствие одного из полей. Частные случаи чисто электростатического или чисто магнитного полей будут рассмотрены более подробно ниже.

Из общих законов подобия, выраженных соотношениями (2.184) и (2.185), непосредственно вытекает несколько следствий.

Наличие масштабного фактора для времени kt означает, что подобные траектории проходятся, вообще говоря, за разное время. Соответственно различаются и скорости частиц. Из соотношений (1.36), (2.181) и (2.183) следует выражение для масштабного фактора скорости

^„ = vblva = (kRkE)1,2 • (2.186)

Из соотношений (2.33) и (2.184) следует, что

RB/v = const.(2.187)

Последнее соотношение следует также из уравнений (2.183) и (2.186) и подтверждается соотношением (2.137) для однородных магнитных полей.

Если изменить линейные размеры системы в kR раз, оставив потенциалы неизменными, то напряженности электрических полей изменятся в kE=\]kR раз. Из уравнения (2.183) видно, что плотность магнитного потока следует изменить в кв=\(кк раз, чтобы форма траектории не изменилась. Время прохода изменится в kt=kR раз, в то время как скорость останется неизменной.

Изменим линейные размеры в kR раз, оставив напряженность электростатического поля неизменной. В этом случае плотность магнитного потока следует изменить в kB = kR~h раз. Время прохода и скорость изменятся в kt=kv=kRl2 раз. Тот же результат будет получен и в отсутствие электростатического поля.

Если плотность магнитного потока остается неизменной или магнитное поле отсутствует, то время прохода также остается неизменным, а электростатическое поле и скорость изменяются по тому же закону, что и линейные размеры: кЕ=кт = =kR. В этом случае электростатический потенциал следует изменить в kR2 раз, чтобы форма траектории осталась неизменной.

Оставив линейные размеры неизменными, можно получить те же уравнения движения и неизменные траектории, если изменить в кв раз электростатическое поле и потенциал и в кв2 = кЕ раз плотность магнитного потока. Масштабный фактор для времени в этом случае равен kt=kE~'‘, а для скорости ки = ^k^, поскольку скорость пропорциональна квадратному корню из электростатического потенциала. Чрезвычайно важное следствие заключается в том, что в отсутствие магнитного поля пропорциональное изменение всех электродных потенциалов оставляет траекторию неизменной, т. е. только отношения потенциалов, а не их величины, влияют на форму траектории.

Очевидно, что все величины, имеющие размерность длины (например, фокусное расстояние, коэффициенты аберрации и т.п.), изменяются вместе с радиусом-вектором R. Следовательно, безразмерные величины, такие, как коэффициент аберрации, отнесенный к фокусному расстоянию (см. разд. 5.7.4), являются масштабно-инвариантными и могут служить универсальными параметрами для характеристики электронно-оптических и ионно-оптических приборов.

Изменение отношения заряда частицы к ее массе Qlm^ приводит к тому же эффекту, что и одновременное изменение электростатического и магнитного полей в кв раз (см. уравнение (2.178)). Но в этом случае уравнение (2.183) дает кЕ=кв= = l/kR, так что распределение потенциалов остается неизменным, как и в случае 2. Единственное различие заключается в том, что соотношение (2.186) в этом случае недействительно: скорость изменяется пропорционально кв'*. Если положить кК = \, то мы получим еще одно важное следствие: траектории частиц с разными отношениями заряда к массе в электростатическом поле одинаковы. Кроме того, траектории положительно заряженных частиц совпадут с траекториями электронов, если изменить знаки всех электродных потенциалов. В магнитном поле это не так: частицы с одинаковыми по величине, но разными по знаку отношениями заряда к массе будут отклоняться в противоположных направлениях.

В ненасыщенных магнитных полях линейный интеграл от плотности потока пропорционален числу возбуждающих ампервитков NI (см. уравнение (3.233)). В этом случае соотношение (2.184) можно записать в виде

NIu~xl2 — const.(2.188)

Траектории в магнитных полях остаются подобными, если все размеры магнитной цепи изменяются в одинаковое число раз и выполняется соотношение (2.188). Это позволяет измерять

магнитные поля посредством масштабных моделей при условии, что в обоих случаях поле создается одними и теми же магнитными материалами.

Другой важный закон подобия [11] вытекает из соотношений (1.1), (1.17), (2.85) и того факта, что плотность тока J связана с плотностью заряда р и скоростью v соотношением

J = pv. (2.189)

В случае плотного пучка частиц, когда нельзя пренебречь пространственным зарядом самого пучка, траектории остаются неизменными, если сохраняется первеанс

Р = /и-3/2 = const, (2.190)

где / — полный ток в пучке (см. гл. 12).

Заключение

Мы рассмотрели основные законы движения заряженных частиц в электрическом и магнитном полях. Сначала мы определили лагранжиан частиц (уравнение (2.15)). Закон сохранения энергии позволил представить скорость частицы в виде функции потенциала (уравнение (2.31)). Затем были получены релятивистские уравнения движения (2.50) — (2.52) в обобщенной ортогональной криволинейной системе координат. Были рассмотрены частные случаи уравнений движения в декартовой (уравнения (2.53) — (2.55) и цилиндрической (2.60)—(2.62) системах координат. Уравнения движения были затем преобразованы в траекторные уравнения (2.76) — (2.77), (2.80), (2.81) и (2.84)— (2.85) соответственно. Мы ввели релятивистский потенциал (уравнение (2.89)) и показали, что он позволяет использовать нерелятивистские уравнения в магнитных полях даже в случае высоких энергий частиц. Затем был введен электронно-оптический показатель преломления (соотношение (2.92)) и установлены аналогии между геометрической оптикой, с одной стороны, и электронной и ионной оптикой, — с другой. Были определены траектории частиц в однородных электростатическом и магнитном полях посредством точного решения траекторных уравнений. В качестве практических примеров рассмотрены плоские конденсаторы, длинные магнитные линзы, электростатические и магнитные отклоняющие системы, простые анализаторы масс и скоростей. Наконец, были приведены законы подобия электронной и ионной оптики (соотношения (2.183) — (2.188) и (2.190)).

Глава 3

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ И МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ

Мы научились вычислять траектории частиц в однородных полях, но реальные поля никогда не бывают однородными (даже в плоском конденсаторе поле неоднородно на краях). Прежде чем начать изучение движения частиц в полях сложной конфигурации, необходимо научиться определять распределения таких полей в пространстве. (Поля, меняющиеся со временем, рассматриваться не будут.)

Электростатические поля обычно формируются системой электродов с заданным потенциалом, а магнитные поля — катушками индуктивности, по которым течет ток, либо постоянными магнитами. Для более высокой концентрации полей в малых областях в большинстве случаев катушки окружают ферромагнитным материалом. Можно выделить три основных типа задач, возникающих при поиске распределений полей.

Если в рассматриваемой области токи отсутствуют, то статические поля описываются скалярным потенциалом, и тогда необходимо решать уравнение Пуассона (1.18) или уравнение Лапласа (123) с потенциалами, заданными на поверхностях электродов, полюсных наконечников, либо постоянных магнитов (граничная задача Дирихле). Если пренебречь влиянием токов, создающих магнитные поля, электрическими и магнитными полями, создаваемыми самими пучками заряженных частиц (см. гл. 12), считать проницаемость магнитного материала бесконечно большой, а эффекты насыщения пренебрежимо малыми, то в принципе нет различия между электростатическими и магнитными полями, так как распределение скалярных потенциалов в обоих случаях определяется уравнением Лапласа и граничными условиями. Большинство методов, представленных в этой главе, пригодны для определения таких потенциальных полей.

В присутствии магнитных материалов с конечной проницаемостью вблизи насыщения, либо если нельзя пренебречь влиянием токов, необходимы специальные приемы. Этот практически очень важный случай будет детально рассмотрен в разд. 3.1.4.

Если магнитное поле создается токами, оно определяется векторным потенциалом, и тогда необходимо решать уравнение Максвелла (1.16). Так как токи обычно протекают в катушках индуктивности простой формы, найти распределение магнитного поля в этом случае относительно просто (см. разд. 3.1.5). ■

Следует особо отметить, что учет эффектов пространственного заряда делает задачу определения поля очень сложной даже в простейших случаях. Для решения этой задачи необходимо знать распределение частиц по координатам и скоростям. Это требует одновременного решения уравнений Максвелла и траекторных уравнений. Как будет видно в гл. 12, это весьма трудно. Поэтому в большинстве случаев разработчик старается разделить задачу на две: сначала определяются распределения полей без учета пространственного заряда, а эффекты, связанные с пространственным зарядом, учитываются позднее, в процессе расчета оптических Характеристик. Этот подход обоснован тем, что пространственный заряд можно рассматривать как особый тип аберрации: он не вносит существенных возмущений в распределение полей, но в тоже время заметно меняет оптические характеристики.

Ниже мы дадим краткий обзор различных аналитических, аналоговых и численных методов определения распределений полей.

Аналитические методы

Разложение потенциалов и полей в ряды

Рассмотрим сначала произвольный электростатический или магнитный скалярный потенциал «(R) как функцию пространственных координат. Для дальнейшего рассмотрения удобно представить и в виде ряда.

Начнем с цилиндрической системы координат, определенной соотношениями (1.9) и (1.10). Уравнение Лапласа имеет вид (1.21) при р=0. Эта система координат очень удобна, так как потенциал является периодической функцией координаты а с периодом 2л. Поэтому его можно представить в виде ряда Фурье [16]:

u(r,a,z) = £ [om (г, z) cos ma+bm (r, z) sin ma],(3.1)

m=0

где am и bm — коэффициенты Фурье, являющиеся функциями г и z. Определим их. Для этого продифференцируем и по всем

координатам и подставим производные в уравнение Лапласа (1.21) при р = 0. В результате

УД Г ( 92ат । I 9ат , 9гат т2 \.

\ дг2 1 г дг 1 дг2 г2 т . т= О L

i (92Ьт । * 9Ьт . дгЬтт2 . \ .1 п

+ НпгН+bm sin та = 0 (3.2)

\ dr2 1 г dr dz2г2 т) J ' 7

Так как это уравнение справедливо для любых значений а, оба выражения в скобках должны быть равны нулю. Поэтому имеем два дифференциальных уравнения:

9гат,\датт2д2атп,,, о,

дг2дгГ2+ д2г—и>

=(3.4)

dr2r orr2moz2’v '

определяющие для каждого m неизвестные функции Clm И Ьт- Будем искать эти функции в виде разложений в ряд по степеням г с коэффициентами, зависящими только от г:

am(r,z) = ^ Ami(z)rm+i,(3.5)

i = 0

Ьт (Г, 2) = Е Bmi (2) Гт+=.(3.6)

Эти степенные ряды имеют несколько странную форму. Зачем нам нужна сумма (m+i) в качестве степеней г? Ниже будет ясно, что этот выбор приводит к относительно простой форме решения.

Вычисляя частные производные выражения (3.5) и подставляя их в (3.3), имеем

Е <Цт + 1)2 - т^Ат£г^"2 +A"mir^ =0.(3.7)

1=0

Более удобно иметь выражение, содержащее только одну степень г. Этого можно достичь, если заменить I на (i+2) в первом члене суммы и начать суммирование с 1 =—2. Тогда

£ (г + 2) (2т + г + 2)Лт(1+2)Гт+г + £ Л"т1г",+‘ = 0.(3.8)

i=—2i=0

Это уравнение справедливо только в том случае, если коэффициенты при всех степенях г равны нулю. Однако можно заметить, что при 1=—2 первый член исчезает для любых значений А то. В случае г = — 1 имеем

Лт1=0. (3.9)

(По этой причине мы выбрали «странную» форму степенных рядов.) Остальные коэффициенты должны удовлетворять рекурсивному соотношению

^” <;+2> = (i + 2) (2m + «4-2) 1(3‘ *^

Немедленно замечаем, что вследствие (3.9) и (3.10) все коэффициенты с нечетным вторым индексом равны нулю:

Дт(2й+1)=0 (А=0,1,2,...).(3.11)

Начнем теперь с i=0. Обозначим

Am0 = Um(3.12)

и, подставляя в (3.10), получаем

Лт2 = -(/"т/4(/п4-1).(3.13)

Полагая i=2 в уравнении (3.10) и подставив в (3.13), находим следующий коэффициент:

д 141

42X2(m4-l)(m4-2)7

Легко видеть, что общее выражение имеет вид //(26)

Ат(2й) = (— 0* 4ft6! (m4-i)(OT4-2)...(m4-.t) (А = °» 1 > 2>•(3-15)

Аналогично из уравнения (3.6) получаем

' Bm(2ft+i) = 0 (А=0, 1,2,-)(3.16)

и, обозначая

Bmo = Win,(3.17)

имеем

П7!26>

Вт№ = (—^к 4»^! (m4-l)(m4-2)...(m4-^) ^ = °’2> ' ' Ь (318)

Подставляя (3.11)—(3.18) в (3.5) и (3.6), заменяя суммирование по i суммированием по fe и затем подставляя в (3.1), получаем конечный результат

“(г, а, z) — £ X ' ^(^^Г №’ (г)cos ^ + ^* (г)sin "Ч- . т=°й=°(3.19)

В этом соотношении все три переменные разделены. Как мы увидим ниже, метод разделения переменных является одним из

нескольких подходов к аналитическому определению распределений потенциалов. Таким образом, произвольное распределение потенциала представлено бесконечным набором функций Um^ и Wm(z), зависящих только от координаты г. Если известны все эти функции и все они бесконечно дифференцируемы, то мы знаем распределение потенциала по всему пространству.

Физический смысл этих функций зависит от вида симметрии в решаемой задаче. Применим соотношение (3.19) к различным типам симметрии. В данном случае рассмотрим простой случай аксиальной (или осевой) симметрии. Аксиальная симметрия означает, что потенциал симметричен относительно оси z, т. е. не зависит от угла а. Зависимость от а можно устранить, полагая /п = 0. Тогда, заменив Uo на U в (3.19), получаем выражение

/\ V (— 1)*£/‘®*>(г) Г г

и (Г’ г) — ~**0(А!)2( 2 j

= и (г) - U" (2) г 2/4 + 1/1V (2) r4/64 - UVY (z) r6/2304(3.20)

включающее только одну функцию U^, физический смысл которой очевиден. В самом деле, полагая г=0, получаем распределение потенциала вдоль оси симметрии и (о, г) и видим, что

(/(z) = и (0, z).(3.21)

Другими словами, если известно аксиальное распределение U (г) вращательно-симметричного электростатического или магнитного поля и это распределение является бесконечно дифференцируемой функцией, то можно определить поле во всем пространстве с помощью разложения в степенной ряд (3.20). Единственно, что для этого необходимо знать — аксиальное распределение потенциала. Это очень важный момент, и мы еще не раз к нему вернемся. Детальное обсуждение будет проведено в разд. 9.8.

Рассмотрим теперь, как преобразуется соотношение (3.19) при переходе к декартовой системе координат. Используя формулу Муавра для комплексных показателей степени

(x + /y)m = [r(cosa+j sina)]m =

= rm (cos ma+j sin ma), (3.22) где j = (—l),/! — мнимая единица, получаем m*.

cosma = ^2a sin2' °’^3,23)

гдегде*(т/2, если т четное,т* = \I (/и— 1)/2, если т нечетное,*(т/2, если т четное,т* = \I (/и— 1)/2, если т нечетное,т* *.sin/na = gcos^'-iasin^a,т* *.sin/na = gcos^'-iasin^a,(3.24)(3.25)(3.24)(3.25)гдегде

где

где

*(т/2, если т четное,

т* = \

I (/и— 1)/2, если т нечетное,

*(т/2, если т четное,

т* = \

I (/и— 1)/2, если т нечетное,

т* *.

sin/na = gcos^'-iasin^a,

т* *.

sin/na = gcos^'-iasin^a,

(3.24)

(3.25)

(3.24)

(3.25)

где

где

in**in**(3.26)(3.26)т]^ — 1, если т четное и т^О,О, если т = 0,

in**

in**

(3.26)

(3.26)

(т—1)/2, если т нечетное.

Используя эти выражения вместе с соотношениями (1.9), связывающими декартовы и цилиндрические координаты, перепишем (3.19) в виде

и»и»x U^L .1 = 0x U^L .1 = 0т**+ w^^i = 0т**+ w^^i = 0(—l)'/n!,(2i)I (m—2i)! X(—1)'m!(—l)'/n!,(2i)I (m—2i)! X(—1)'m!(21 + 1)! (т—2/—1)!(21 + 1)! (т—2/—1)!•m — ^i n2i ।•m — ^i n2i ।xm-2i-lyli' + 1xm-2i-lyli' + 1(3.27)(3.27)

и»

и»

x U^L .1 = 0

x U^L .1 = 0

т**

+ w^^

i = 0

т**

+ w^^

i = 0

(—l)'/n!,

(2i)I (m—2i)! X

(—1)'m!

(—l)'/n!,

(2i)I (m—2i)! X

(—1)'m!

(21 + 1)! (т—2/—1)!

(21 + 1)! (т—2/—1)!

•m — ^i n2i ।

•m — ^i n2i ।

xm-2i-lyli' + 1

xm-2i-lyli' + 1

(3.27)

(3.27)

Это общее выражение для произвольного распределения потенциала в декартовой системе координат. Оно по-прежнему зависит от Um и Wtn, являющихся функциями координаты z. Выведенное соотношение весьма громоздко, но его можно упростить при наличии какой-либо симметрии.

Существует бесконечное разнообразие различных сочетаний типов симметрий. Соотношения (3.19) и (3.27) включают все возможные случаи. Например, электронная или ионная оптическая колонна, используемая для микротехнологии ИС, может состоять из электростатических и (или) магнитных аксиальносимметричных и мультипольных линз, дефлекторов, бланкирую- щей системы, масс-анализатора и т. п. Кроме того, необходимо принять во внимание возможные отклонения от симметрии, вызванные разъюстировкой и дефектами сборки. Таким образом, если мы хотим рассмотреть всю колонну в целом или только совокупность аксиально-симметричных линз и двух взаимно перпендикулярных отклоняющих полей, необходимо начать с полученных общих выражений. Ниже будет видно, как наличие различных типов симметрии приводит к существенному упрощению этих соотношений.

Аксиально-симметричное распределение потенциала (3.20) легко получить из (3.27), приравняв нулю все коэффициенты Um и Wm, за исключением (/о

Планарные поля. Если потенциал не зависит от одной из декартовых координат, имеем двумерное или планарное поле. Для такого поля общая картина силовых линий является неизменной в плоскостях, перпендикулярных выбранной координате. Ввиду того что координата z является выделенной в соотношении (3.27) и мы обычно выбираем эту координату как направление распространения частиц, можно выделить два важных типа планарных полей.

В первом случае потенциал не зависит от одной из координат х или у. Выпишем последовательные члены соотношения (3.27) для первых значений m и k. Получим следующее выражение для членов, содержащих степени х и у не выше четвертой:

и (х, у, z) = Uo+ U.x+ W.y+ (U2 — U0"l^x2 —

— {U2 + U0"^)y2+2W2xy + ((/3 — (Л78)х3 +

+ (З«73 — «7/78)х2у — (3(/3 + U/'^ ху2 —

-(«7+ «7/78)у3 + <U4 — (//712+ W764)x4 +

+ (4«74 — W2"/6)x3y+ (UOIVI32 — 6U4)x2y2 —

— (4«74 + «7/76)xy3+((//764+(//712+(/4)y4+ .... (3.28)

Потребуем теперь, чтобы потенциал не зависел от координаты х. Тогда коэффициенты при всех членах, содержащих любую степень х, должны равняться нулю:

(/1 = (/3=«72=«74=0, U2 = U0"H,

«73= «7/724, U4 = (//712 — (/0'764 = (70IV/192 и т. д.

(3.29)

Принимая эти соотношения во внимание, упростим (3.28):

и (у, z^=UQ+ Wiy - U^'y2^ - «7/73/6 + UWJ24 + ....

(3.30)

Легко обобщить это выражение и включить отсутствующие члены высшего порядка:

Аналогичное выражение можно получить для планарного поля, не зависящего от координаты у.

Это примечательный результат. Простой факт отсутствия зависимости потенциала от координаты х позволяет устранить все функции, кроме двух, из бесконечного набора функций разложения в ряд. Физический смысл оставшихся двух функций легко понять. В самом деле, очевидно, что

Wo(z)=u(O,z),(3.32)

I3'33*

Соотношение (3.32) аналогично (3.21), и обозначение Uo сохраняется только для того, чтобы отделить этот случай от аксиально-симметричного. Величина (/о обозначает распределение потенциала в плоскости xz, что эквивалентно распределению потенциала вдоль оси z, так как потенциал не зависит от х. №\ представляет собой поперечную компоненту поля вдоль этой же оси (с отрицательным знаком), и в случае электростатического поля это не что иное, как отклоняющая компонента. Таким образом, произвольное планарное поле полностью определяется соответствующими аксиальными распределениями потенциала и отклоняющей компоненты поля.

Читатель, сомневающийся в справедливости вывода соотношения (3.31), может вывести его, начав с простого разложения в ряд

и (у, г) =1 V^y1.(3.34)

z=o

Коэффициенты Vi могут быть определены из уравнения Лапласа (1.20) в декартовых координатах при р = 0 и д2и/дх2 = 0. С учетом (3.32) и (3.33) легко получается выражение ы(у, z) в виде (3.31).

Если планарное поле симметрично относительно плоскости xz, то имеет место соотношение

u(y,z)=u(—y,z).(3.35)

Поэтому нечетные степени у должны отсутствовать при разложении в ряд (№1=0). Тогда потенциал симметричного планарного поля имеет вид

u(8.^-it-iy^8»-

= и. (2) - и; (г) 8-12 + иг (2) 8*124 - + .. . .(3.36)

Весьма поучительно сравнить этот ряд с выражением (3.20) для аксиально-симметричного потенциала. Как видно, оба выражения имеют одинаковую структуру, но с различными коэф-

фициентами. Этого и следовало ожидать: оба поля симметричны, но с разными типами симметрии.

Планарно-симметричное поле полностью определяется распределением потенциала в плоскости симметрии.

В случае антисимметричного потенциала разность потенциалов между любой точкой (у, z) и соответствующей точкой (0, z) в плоскости симметрии в точности равна аналогичной разности потенциалов с другой стороны плоскости симметрии, но взятой с обратным знаком:

и^у, г) — u(0, z) =—[u(— у, z) — u(0, z)].(3.37)

Это означает, что только нечетные члены, содержащие у, остаются в соотношении (3.31). Поэтому (за исключением распределения потенциала в плоскости антисимметрии) в разложении остаются только отклоняющие компоненты. В случае электростатического поля это чисто отклоняющее распределение потенциала. Простейшим примером антисимметричного поля является плоский конденсатор, показанный на рис. 5 (yz— плоскость антисимметрии).

Есть также второй особый случай планарного поля, когда потенциал не зависит от координаты z. В этом случае коэффициенты U и W в (3.27) являются постоянными, все производные равны нулю (6 = 0) и соотношение существенно упрощается. Важным приложением этого случая является планарное мульти- польное поле (разд. 3.1.1.3).

Используя соотношения (1.17) и (1.22), легко выписать все компоненты электростатического и магнитного полей, если заданы соответствующие скалярные потенциалы в форме рассмотренных выше степенных рядов. Это и будет сделано для аксиально-симметричного поля.

Аксиально-симметричное поле. Нам уже известно разложение в ряд аксиально-симметричного скалярного потенциала. Если и — электростатический потенциал, то из выражений (1.10), (1.13), (1.17) и (3.20) легко найти компоненты произвольного аксиально-симметричного электростатического поля в виде степенных рядов от радиуса с коэффициентами, содержащими производные от аксиального распределения потенциала. В результате

дг — 7^хЩЬ—Хр \"2/“

= (/"(z)r/2-t/‘V(z)r3/16 + —. . .,(3.38)

£«=-4#-°.<3-39>

= —l/'(z) +{/'"(?)r2/4 — L/v(z)r4/64+ — . (3.40)

Рассмотрим точку z=0 на оси г. На небольшом расстоянии Az от этой точки аксиальный потенциал представляется рядом Тейлора

U (Az) = U (0) + AzU' (0) + (Az)2U" (0) /2 + .... (3.41)

Дифференцируя это выражение дважды и подставляя в первый член выражения (3.20), получаем выражение для потенциала на небольшом расстоянии Аг от оси. Если потенциал в точке с координатами Ar, Az равен аксиальному потенциалу в точке. z = 0, получаем форму эквипотенциальной линии 1/(0) из

и (Ar, Az) U (0) = U (0) + Azt/' (0) +

+ (Az)2t/"(0)/2 — (Ar)2(/"(0)/4. (3.42)

Это уравнение гиперболы в меридиональной плоскости rz. Таким образом, эквипотенциальные поверхности представляют собой гиперболоиды в окрестности оси z, за исключением следующего случая. '

Если поле отсутствует в точке (0,0), его z-компонента должна быть равна нулю. Тогда соотношение (3.40) дает 1/'(0)=0, и, подставляя в (3.42), получаем уравнение эквипотенциальной линии в простой форме

Аг ^2=^. (3.43)

Это означает, что в такой седловой точке эквипотенциальные линии образуют двойной конус с половинным углом, равным arctg 21/2 = 54°44'08" (рис. 10). Как видно из (3.42), при отклонении от седловой точки потенциал возрастает в любом направлении вдоль оси z и спадает вдоль г, если (///(0)>0. (Для отрицательных значений (/"(0) справедливо обратное.)

Интересно отметить, что в симметричном планарном поле эквипотенциальные линии пересекаются в седловой точке под углом 90°. Чтобы показать это, необходимо подставить выражение (3.41) и его вторую производную в (3.36).

Если подставить магнитный скалярный потенциал ю вместо и и его аксиальное распределение Q(z) вместо U^ в уравнение (3.20), то можно получить компоненты магнитной индукции В, используя уравнение (1.22). В этом случае удобнее использовать аксиальное распределение B(z) собственно магнитной

индукции, чем аксиальное распределение скалярного потенциала. Эти две величины связаны соотношением

В^ = — Ц^|г=о = —цй'(г).В^ = — Ц^|г=о = —цй'(г).(3.44)(3.44)

В^ = — Ц^|г=о = —цй'(г).

В^ = — Ц^|г=о = —цй'(г).

(3.44)

(3.44)

Компонентами магнитной индукции являются

в, - Е(iF1 - "в'^ ^в'" <z)г3/16-

(3.45)

В» = 0,(3.46)

b.-eF^4^ (тГ=в ^"в"(z) r2/4LS1V (z) r4/64~+- ■

(3.47)

Эти выражения справедливы даже в том случае, если магнитная индукция генерируется токами. Как мы видим, аксиальное распределение магнитной индукции однозначно определяет поле во всем пространстве.

Рис. 10. Эквипотенциальные линии в окрестности седловой точки аксиально-симметричного электростатического поля.Рис. 10. Эквипотенциальные линии в окрестности седловой точки аксиально-симметричного электростатического поля.Рис. 11. Комбинированная электростатическая и магнитная мультиполь- ная система.Рис. 11. Комбинированная электростатическая и магнитная мультиполь- ная система.

Рис. 10. Эквипотенциальные линии в окрестности седловой точки аксиально-симметричного электростатического поля.

Рис. 10. Эквипотенциальные линии в окрестности седловой точки аксиально-симметричного электростатического поля.

Рис. 11. Комбинированная электростатическая и магнитная мультиполь- ная система.

Рис. 11. Комбинированная электростатическая и магнитная мультиполь- ная система.

Мультипольные поля. Рассмотрим теперь один из важных типов полей, характеризующихся наличием N одинаково расположенных плоскостей симметрии или антисимметрии. В принятой нами системе обозначений эти плоскости перпендикулярны плоскости ху. Поскольку такие поля всегда можно построить с помощью набора электродов и полюсов, они называются мультипольными полями. Обычно они используются как фокусирующие, отклоняющие и корректирующие элементы в электронной и ионной оптике (см. гл. 10 и 11).

Типичное мультипольное поле показано на рис. 11. Система состоит из четырех электродов и четырех магнитных полюсов. Сплошными и штриховыми линиями показаны соответственно электростатические и магнитные силовые линии. Система имеет две выделенные плоскости ху и уг, являющиеся плоскостями симметрии для электростатического поля и антисимметрии для магнитного.

Так как электроды и полюса имеют конечную длину, муль- польное поле, вообще говоря, может быть описано только в трех измерениях. Наличие симметрии, однако, позволяет упростить общее выражение (3.19). В самом деле, для системы из N одинаково расположенных плоскостей симметрии (если хг— одна из них) имеем

и^т, a, z) = и(г,— а, z), (3.48) и (г, а, z) =u (г, а±2л//А^, z) (1=1,2, ...,N—1). (3.49);

Отметим, что предположение о наличии плоскостей симметрии несколько произвольно. Например, магнитное поле на рис. 11 имеет только плоскости антисимметрии. Однако фактически существующую симметрию всегда можно учесть. Поэтому наш выбор плоскости хг в качестве плоскости симметрии будет использован только как рабочая гипотеза для демонстрации применения симметрии с целью упрощения выражений.

Вследствие (3.48) степенной ряд не может содержать нечетных функций от а. Поэтому члены, содержащие sin (ma), исчезают. Далее, подстановка (3.49) в остающиеся члены выражения (3.19), содержащие а, дает

со5та=со5(та±2лт//А^), (3.50)

откуда следует, что ml/N должно быть целым числом. Это будет заведомо выполнено, если положить

m=nN (и = 0, 1, 2, ...). (3.51)

С учетом этого соотношения можно переписать выражение (3.19) для мультипольного поля, содержащего N плоскостей симметрии, следующим образом [61]:

и (г, a, z) = ^ X (U^(z)cosnNa =

n = 0к =0' к ~

= ^ А П1Х (г, z) rnN cos nN а.,(3.52)

п=0

где

zy-L-^nX '*‘и$^=

nNW 4(я^+l) ~' 32(я^+1)(яЛ^+2) r«UnN(z)

384(яУ+1) (яЛ/+2) (яЛ/ + 3) + 6144 inN^Y) (nN^2) (ЯЛ' + 3)(л^ + 4) r10UnN (z)

122880 (nN -V 1) (nN -\-'2) (nN -J-3; (nN 4-4} (яЛ/ + 5;'"

,(z)

2949120 (nN-VI) (nN^2) (nNч 3) (nN+ 4) (nN-(-») (nN^-6)-+••••

'(3.53)

Первый член Ло(л z) ряда (3.52) дает аксиально-симметричную компоненту потенциала (3.20). (Напомним, что в (3.20) Uo было заменено на U.) Присутствие этой компоненты неудивительно. В самом деле, аксиально-симметричное поле имеет бесконечное число плоскостей симметрии, перпендикулярных плоскости ху. Оно имеет более высокую симметрию, чем муль- типольное поле с конечным числом N плоскостей симметрии. Поэтому общее выражение для мультипольного поля должно включать специальный случай аксиально-симметричного поля. Естественно, это не означает, что каждое мультипольное поле содержит аксиально-симметричную компоненту. Если эта компонента отсутствует, имеем Uo (z) = const.

Выпишем следующие шесть коэффициентов A„n;

А, (г, z) = Ui (г) — г2и/' (г) /8 + г4 UxIV (z) /192 —

— г6^ (г)/9216+г8[Луш(2)/737280 —

— г10 и Vх <2^ /88473600 + — ...,(3.54)

Л 2 (Г, Z) = и2 (z) — г2U2" (z)/12 + Г4 U2lv (z) /384 —

— W (z)/23040+r8t72VIH (z)/2211840 —

— rx»U2x (z)/309657600+ — .. •,(3.55)

A3 (r, z) = U3 (z) - r2 U3" ^l\6 + r» U3^ (z) /640 -

— r6J/3VI(z)/46080+r«J/3VI 11 (z)/5160960—+ ...,(3.56)

Л4(г, z) = t/4(z) — rWZ42M^ + r^UAvk^l^ —

— rW(z)/80640+r8t/4v,II(z)/10321920 — + ...,(3.57)

Л5(г, z) = t/5(z) — r2t/5"(2)/24 + r4t/5,v(z)/1344 -

— r6t75vl (z)/129024 + —...,(3.58)

Л6(г, z) =U6(2) — г2{/6"(г)/28 + г4(76^(2)/1792 -

— r6(76VI(z)/193536 + — ....(3.59)

Определение функции ^/n^(z) в общем случае серьезная проблема. В простых практических случаях можно использовать аппроксимацию (см. разд. 3.1.3.1).■.

Легко видеть, что

Г2Й= (^+^2)/,(3 60)

Можно также, подставив (1.9) и (3.51) в (3.23), получить (nN)*.

rnNcosnNa — £(3.61)

где (nN)* определено соотношениями (3.24) и (3.51). Подставляя эти выражения в (3.52), получаем распределение потенциала мультипольного поля в декартовых координатах. Следующие специальные случаи соотношения (3.61) будут особенно полезны:

rcosa=x,(3.62)

r2cos2a=x2— у2,(3.63)

r3cos3a=x3— Зху2,(3.64)

г4 cos 4a=х4— 6х2у2+у4,(3.65)

r5cos5a=x5—10х3у2+5ху4,(3.66)

г6 cos (6a) = х6 — у6 — 15 (х4у2 — х2у4),(3.67)

л7 cos (7a) =х7 — 21х5у2+35х3у4 — 7ху6,(3.68)

г8 cos (8a) =х8+у8 — 28(х6у2+х2у6) + 70х4у4,(3.69)

г9 cos (9a) = х9 — 36х7у2 + 126х5у4 — 84х3у6+9ху8,(3.70)

г10 cos (10a) =х10 — у10 — 45(х8у2 — х2у8) +210 (х6у4 — х4у®),

(3-71) г11 cos (11 а) = х11 — 55х9у2+330х7у4 —

— 462х5у6+ 165х3у8 — 11ху10,(3.72)

л12 cos (12а) =х12+у12 — 66(х10у2+х2у10) +

+ 495(х8у4+х4у8) — 924х®у6,(3.73)

г14 cos (14а) =х14 — у14 — 91 (х12у2 — х2у12) +

+1001 (х10у4 — х4у10) — 3003 (х8у6 — х6у8),(3.74)

г15 cos (15а) =х15 — 105х13у2+ 1365хпу4 — 5005х9у6 +

+ 6435х7у8 — 3003х5у10 + 455х3у12 — 15ху14,(3.75)

г16 cos(16a) =х16+у16 — 120(х14у2 + х2у14) +

+ 1820(х12у4 + х4у12) — 8008(х10у6 + х6у10) +

+ 12870х8у8,(3.76)

г18 cos (18а) =х18 — у18 — 153 (х16у2 — х2у16) +

+ 3060(х14у4 — х4у14) — 185б4(х12у® — х6у12) +

+ 43 758 (х10у8 — х8у10),(3.77)

г20 cos (20а) = X20+у20 — 190 (х18у2 + х2у18) +

+ 4845(х16у4 + х4у16) — 38 760(х14у® + х6у14) +

+ 125 970(х12у8 + х8у12) — 184 756х10у10,(3.78)

г21 cos(21a) = х21 — 210х19у2 + 5985х17у4 — 54 264х15у® +

+ 203 490х13у8 — 352 716хпу10 + 293 930х9у12 —

— 116 280х7у14+20 349х5у16 — 1330х3у18 + 21ху20,(3.79)

г22 cos (22а) =х22 — у22 — 231 (х20у2 — х2у20) +

+ 7315 (х18у4 — х4у18) — 74613(х‘®у® — х®у16) +

+ 319 770(х14у8 —х8у14) — 646 646 (х12у10 — х10у12),(3.80)

г24 cos (24а) =х24+у24 — 276 (х22у2+х2у22) +

+ 10 626(х20у4 + х4у20) — 134 596(х18у® + х®у18) ++ 735 471 (х16у8+х8у16) — 1 961 256 (х14у10 + х10у14) +

+ 2 704 156х12у12(3.81)

и т. д. Для симметрии третьего порядка, например, мы должны использовать значения nN = 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 и т. д. Заметим, что вышеприведенные выражения содержат не все возможные значения nN от 1 до 24, так как 13, 17, 19 и 23 являются простыми числами, они понадобятся только в том случае, если a) N=Y, а п простое число, либо б) п=1, a N простое число. Ввиду того что обычно используется не более 10—12 членов разложения, первый случай встречается не часто. Второй случай относится к симметриям 13, 17, 19-го порядка, имеющим небольшое практическое значение.

Вышеприведенные выражения выглядят не очень привлекательно, но являются весьма полезными. Возьмем, к примеру, симметрию 2-го порядка (N = 2'). Уравнения (3.52), (3.20), (3.55), (3.57), (3.59), (3.60), (3.63), (3.65) и (3.67) дают следующее общее выражение для членов, включающих шестую степень координат х и у:

и^х, у, z) =Л0 (г, z) +Л2(г, z)r2 cos 2a+

+Л4 (г, z) г4 cos 4a+Л6 (г, z) г® cos 6a+ ... =

= ^0(2) - [/„"(z) (x2+y2)/4+I/0lv(2) (x2+y2)2/64 —

— Uovi (z) (x2+y2) 3/2304 + U2 (z) (x2 — y2) —

— I/2"(z) (x4 —y4)/12+t/2>v(z) (x2+y2)2(x2 —y2)/384+

+ I/4(z) (x4 — 6x2y2+y4) — t/4"(z) (x2+y2) (x4 — 6x2y2+y4)/20+ + t/6(z)[x® —y6—15x2y2(x2 —y2)]+... .(3.82)

В отсутствие аксиальной симметрии члены, содержащие U0(z) и соответствующие производные, отсутствуют. Кроме того, если система имеет две дополнительные плоскости антисимметрии (рис. 12), взаимная замена координат х и у должна изменить знак потенциала. Поэтому U^z) и соответствующие производные должны равняться нулю. В этом случае соотношение (3.82) упрощается до [62J

и (X, у, z) = U2 (2) (х2 -у2)- U2"(z) (х4 - у4)/12 +

+ K6(z) (хб-у6) + [1^(г)/24-

-15K6(z)]xV(x2-^2)+... ,(3.83)

где

Кб (2) = U6 (z) + t/2lv (2) /384.(3.84)

Из (3.65) — (3.81) легко видеть, что в этом особом случае не только Л4, но и все Л4п члены с индексом, кратным 4, исчезают из (3.52). Функции t/2(z) и Ke(z) могут быть определены численными методами или (в некоторых простых случаях) аналитически.

Разложение в степенной ряд (3.52) существенно упрощается, если потенциал не зависит от координаты z (планарное мудьтипольное поле). В этом случае коэффициенты Апн^г, z) (и соответствующие функции Uhn(z)) являются в точности постоянными. Тогда имеем для случая N = 2

и^х,y)l=U0 + U2 (х2 —y2) + U4(х4 — 6х2у2+у4) +

+ U6 [х6 — у6 — 15х2у2 (х2 — у2) ] + ... . (3.85)

Постоянные могут быть определены из геометрии и условий подключения электродов или полюсов (см. разд. 3.1.3.2). '

Проанализируем теперь физический смысл выражения (3.52). Мы уже видели, что член, соответствующий п = 0, описывает аксиально-симметричную компоненту поля. Что представляют собой остальные члены? Соответствующие потенциалы можно записать в виде

u(r, a, z) I ^=m=const=Xm(г, z)rm cosma. (3.86)

Если для простоты снова ограничиться планарным полем, то Ат постоянно и сечение поля при любом фиксированном значении z определяется эквипотенциальными линиями rmcos(ma) = = const. Выражения для левой части этого уравнения даются соотношениями (3.62) — (3.81) для различных значений т.

Если m=l, из (3.86) и (3.62) имеем u(x,//)=Ax. Это — уравнение распределения потенциала бесконечного плоского конденсатора (диполя).

Для т = 2 соотношения (3.86) и (3.63) дают

п(л:,у)=Л2(х2-у2). (3.87)

Это распределение потенциала индуцируется идеальным квадруполем, т. е. четырьмя идентичными бесконечными гиперболическими поверхностями с чередующимися положительными и отрицательными потенциалами (рис. 13).

Рис. 12. Квадруполь с двумя плоскостями антисимметрии (штриховые линии).Рис. 12. Квадруполь с двумя плоскостями антисимметрии (штриховые линии).Рнс. !3. Идеальный квадруполь (сплошные линии — эквипотенциальные, штриховые — силовые линии).Рнс. !3. Идеальный квадруполь (сплошные линии — эквипотенциальные, штриховые — силовые линии).

Рис. 12. Квадруполь с двумя плоскостями антисимметрии (штриховые линии).

Рис. 12. Квадруполь с двумя плоскостями антисимметрии (штриховые линии).

Рнс. !3. Идеальный квадруполь (сплошные линии — эквипотенциальные, штриховые — силовые линии).

Рнс. !3. Идеальный квадруполь (сплошные линии — эквипотенциальные, штриховые — силовые линии).

Этот процесс можно продолжить для любых других значений т. Распределение потенциала вида (3.86) всегда может быть получено с помощью 2m бесконечных гиперболоподобных поверхностей с чередующимися высоким и низким потенциалами. (Заметим, что в предельном случае, т=1, поверхности вырождаются в две параллельные плоскости.) Сечение такой системы для 2т = 8 показано на рис. 14. Из-за наличия восьми полюсов, она называется октуполем. Аналогично 2m = 6 соответствует гексаполю (или секступолю), 2т=10— декаполю, 2т=12— додекаполю и т. п. Так как m = nN, можно считать, что данное значение т соответствует N=m и п=1. Теперь можно рассмотреть первый член ряда (3.52) при различных N. Мы только что видели, что с помощью 2N бесконечных поверхностей с чередующимся потенциалом можно всегда воспроизвести распределения потенциала, соответствующие первому члену. Поэтому назовем такие распределения идеальными 2N мультиполями. Они идеальны в том смысле, что не содержат гармоник выше п=1. Бесконечный плоский конденсатор является идеальным диполем, а система из четырех бесконечных гиперболических по-

верхностей— идеальным квадруполем. В общем случае система с N плоскостями симметрии всегда может быть представлена 2N электродами или полюсами. Если они имеют форму и потенциал, определяемые уравнением (3.86), то высшие гармоники исчезнут при разложении распределения потенциала в ряд (3.52). Если же 2N полюсов имеют N плоскостей симметрии, но не соответствуют идеальным характеристикам, при разложении распределения потенциала в ряд возникнут высшие гармоники. Например, квадрупольная система, показанная на рис. 15, имеет бесконечный набор высших гармоник, так как форма электродов весьма далека от идеальной, приведенной на рис. 13. На самом деле даже последняя не является идеальным квадрупо-

Рис. 15. Квадруполь.Рис. 15. Квадруполь.

Рис. 15. Квадруполь.

Рис. 15. Квадруполь.

лем из-за конечности электродов. Вследствие того что бесконечные поверхности не могут быть реализованы на практике, идеальные 2М-мультиполи реально не существуют, а могут быть только аппроксимированы с той или иной точностью (см. разд. 3.1.3.3). Высшие гармоники возникают также из-за неидеально- сти конструкции мультипольных элементов.

Высшие гармоники соответствуют мультиполям высших порядков. Согласно вышеизложенному, n-й член в (3.52) для заданного N можно интерпретировать как первый член 2иА/г-муль- типоля (или единственный член идеального 2пЛ7-мультиполя). Например, второй член разложения в ряд квадруполя (^=2) соответствует идеальному октуполю (2nlV = 8), третий член — идеальному додекаполю (2пМ=12) и т. п. Некоторые из этих мультипольных компонент можно устранить введением дополнительной симметрии (например, октупольная компонента исчезает из симметрично-антисимметричного квадруполя, показанного на рис. 12).

Рис. 16. Еще одни пример квадруполя.Рис. 16. Еще одни пример квадруполя.Означает ли это, что необходимо 2N электродов или полюсов для создания 2^-муль- типоля? Положительный ответ, казалось бы, очевиден. Однако истинный ответ — нет. Рассмотрим, например, два электрода, показанные на рис. 16. Система имеет две плоскости симметрии? Конечно. Тогда это квадруполь. Где же недостающие два полюса? Они в эквипотенциальной картине. Так как потенциал обращается в нуль на бесконечности,

Рис. 16. Еще одни пример квадруполя.

Рис. 16. Еще одни пример квадруполя.

эквипотенциальные линии автоматически формируют квадрупольную картину (с высшими гармониками). На самом деле нет необходимости даже в двух электродах при формировании квадруполя. Две симметрично расположенные щели в одиночном цилиндрическом электроде дадут аналогичный эффект в окрестности щелей [63]. Можно создать даже систему квадруполей, вырезая щели конечной длины в разных плоскостях. Были предложены интересные мультипольные системы, состоящие из малого числа электродов, некоторые из них будут показаны ниже (см. рис. 38).

Основная характеристика 2уУ-мультиполя не количество полюсов, а наличие N плоскостей симметрии в распределении потенциала [64]. Мы увидим в разд. 3.1.3.3, каким образом на основе этого факта можно достичь отличной аппроксимации идеальных мультиполей.

Аналитическое вычисление аксиально-симметричных потенциальных полей

Подавляющее большинство фокусирующих элементов, используемых в электронной и ионной оптике, создают аксиальносимметричные электростатические и (или) магнитные поля, которые могут быть описаны скалярными потенциалами. Нам уже известно их представление в виде рядов (разд. 3.1.1.2). Попытаемся вычислить такие поля с помощью точных аналитических методов.

Разделение переменных. Цилиндрическая система координат удобна для вычисления аксиально-симметричных полей, так как их потенциалы не зависят от координаты а. Поэто-

му уравнение Лапласа (1.21) в отсутствие пространственного заряда можно записать в виде

=(3.88)

г дг \ дг ; 1 дг2'7

Будем искать решение этого уравнения в виде произведения двух функций R(r) и Z(z), каждая из которых зависит от одной переменной. Записывая

м(г, z\=R(r)Z(z) + const,(3.89)

разделяем переменные гиг. Дифференцируя это выражение и подставляя в (3.88), получаем

R\dr2 г dr ) Z dz2 ~7

Мы приравняли обе части уравнения — /?2=const, так как одна из них зависит только от г, а другая — только от г. Равенство возможно только в том случае, если каждая из частей равна одной и той же постоянной величине. Вообще говоря, № может быть любым числом. Тогда уравнение (3.90) распадается на Два:

”-№ = 0,(3.90

(3.92)

Решение уравнения (3.91) есть

Z^=Akefez^Bke-kz,(3.93)

где постоянные интегрирования Ак и Вк могут быть определены из граничных условий (естественно, они зависят от ку

Уравнение (3.92) является особым случаем уравнения Бесселя:

х2у"+ху' + (х2 — п2) у=0(3.94)

(штрих обозначает дифференцирование по х, а п — любое число) при x=kr, y = R и п = 0. Общее решение уравнения (3.94) есть

у (х) = Ciin (х) + Сг1_п (х),(3.95)

где

J М = У(3 96)

n W ^То v!r(re+v+l)' k

есть функция Бесселя первого рода n-го порядка, Г — гамма- функция, Ci и С2— постоянные интегрирования. J_n(x) можно вычислить с помощью этого же ряда путем замены п на —п. В общем случае InM и Z_n(x) являются независимыми решениями. Однако если п — целое число, то

J-„(x) = (-l )"/„(*).(3.97)

Это означает, что решения уравнения (3.94) зависят друг от друга. Поэтому, если п — целое число, то второе решение уравнения (3.95) должно быть заменено другой функцией Afn(x) (функцией Неймана n-го порядка). В нашем особом случае п = = 0 необходимо положить С2 = 0 для всех к, так как N0^kr^ стремится к бесконечности при г—0 (потенциал не может иметь бесконечное значение). Получаем

R(r) = CuJ0(M-(3.98)

Подставляя (3.93) и (3.98) в (3.89), имеем

м(г, z) = ^Cke^-VDke-^ J0(kr) + const,(3.99)

где Ck и Dk — новые постоянные, подлежащие определению из граничных условий. Так как для целых v

r(v+l)=v!,(3.100)

имеем

W = £= 1 - *74 + *764 -XV2304 + -....

v=o 1 '

(3.101)

Сравните это выражение с общим выражением разложения в ряд (3.20) для аксиально-симметричных полей. Вас не удивляет их сходство? Вероятно, нет, так как оба ряда относятся к одному классу полей. Какое различие между ними? Выражение (3.20) можно использовать только в том случае, если известно аксиальное распределение потенциала. Если это простой полином, бесконечный ряд автоматически обрезается (высшие производные от аксиального распределения потенциала обращаются в нуль). С другой стороны, постоянные в (3.99) зависят от граничных условий, и функция Бесселя всегда дает бесконечный ряд (3.101). Конечно, можно предположить, что границей является ось симметрии, тогда оба выражения становятся идентичными. Это будет продемонстрировано на примере простой гармонической функции, взятой в качестве аксиального распределения потенциала. Мы увидим, что в этом случае степенной ряд (3.20) дает функцию Бесселя.

Если к— вещественно, во избежание бесконечных значений потенциала можно использовать (3.99) как решение для положительных кг только при Ск=0, либо для отрицательных кг при Dk = 0. Далее решение распространяется на все пространство с учетом симметрии. В общем случае в отсутствие дополнительной симметрии относительно плоскости 2=0 следует считать к мнимой величиной:

Л=/х,(3.102)

где /=(—1)1/2 — мнимая единица, х— вещественно. Используя модифицированную функцию Бесселя

InW =Мп (ix),(3.103)

можно записать

и (г, 2) = [Gx cos uz+FK sin xz]/0 (xr) + const,(3.104)

где Gx и Fx— новые постоянные интегрирования.

Выражение (3.104) является решением уравнения Лапласа для аксиально-симметричного поля. Однако оно не является общим, это всего лишь решение для произвольно выбранного значения х. Общее решение получим, если построим суперпозицию решений, соответствующих каждому возможному значению х. Так как х может принимать любое вещественное значение, для этого необходимо взять интеграл по всем значениям х от минус до плюс бесконечности:

и (г, г) = $ [Gxcos x2 + Fxsin xz]/0(xr)dx +const.

(3.105)

Наличие общего выражения не исключает применения более простых. В простых случаях возможно построение таких конфигураций электродов или полюсов, которые полностью описываются простым выражением (3.104). Рассмотрим, например, периодическое поле, заданное аксиальным распределением потенциала

G (2) = Go cos (2лг/р),(3.106)

где р— период поля. Дифференцируя эту функцию 2v раз, подставляя производные в (3.20) с учетом (3.101) и (3.103), получаем распределение потенциала во всем пространстве

“(г, z) = G0X ^IPY'-Г?^—cos(2nz/p)=G0/0(2nr/p) cos(2nz/p).

(3.107)

Сопоставляя это выражение с (3.104), можно заметить их идентичность при условии х = 2л/р, Gx=Go и Fx=0. Форму электро-

дов (полюсов), производящих такое распределение потенциала, легко получить из (3.107) приравниванием u (г, z), заданным значениям потенциала. Некоторые специальные формы электродов приведены в [42, р. 310J.

Этот пример показывает, что отдельные конфигурации электродов (полюсов) могут приводить к единственному значению х.

К сожалению, это имеет место не слишком часто. В частности, аксиальное распределение потенциала от периодической системы электродов (например, последовательности одинаково расположенных цилиндрических электродов с чередованием пониженного и повышенного потенциала) можно представить только бесконечным рядом Фурье с бесконечным набором дискретных х. Соответственно интегрирование в (3.105) можно заменить суммированием, но для описания распределения потенциала одного значения х недостаточно.

Выражение (3.105) можно использовать для вывода другой общей формулы. Простая связь синуса, косинуса и экспоненциальной функции (формула Эйлера) позволяет переписать (3.105) в виде

ы(г,г) = $ G(x)exp[/xz]/0(xr)^x +const. (3.108)

Так как интегрирование ведется от минус до плюс бесконечности, нет необходимости включать сюда отрицательную экспоненту, и мы имеем только одну постоянную интегрирования G(x). Модифицированная функция Бесселя нулевого порядка может быть также представлена интегралом [16]

/о(хг) = (1/л) S ехр[—хг cos6]d6.(3.109)

о

Подставляя в (3.108), имеем

u(r,z) = (1/л) $ $ G(x)exp[/x(z+/rcos,0')]ic?Mx + const.

—со о

(3.110)

Полагая г=0 в этом выражении, приходим к аксиальному распределению потенциала:

■U (z) = $ G (х) exp [/xz] dx + const.(3.111)

Это выражение прямо следует из (3.108).

Так как порядок интегрирования в (3.110) может быть изменен, а оба выражения (3.110) и (3.111) содержат одинаковые постоянные, из двух последних выражений следует

M(r,z) = ( 1/л) $ U (z+jr cos ^d^.(3.112)

о

Это выражение полностью эквивалентно разложению в степенной ряд (3.20) и представляет тот же важный факт: аксиальносимметричное поле полностью определяется своим распределением потенциала вдоль оси. (Заметим, что О— просто переменная интегрирования и не имеет физического смысла.) Хотя выражение (3.112) изящнее, чем бесконечный степенной ряд (3.20), его практическое значение ограничено трудностью численного представления комплексного аргумента функции аксиального распределения потенциала (более детальное обсуждение приводится в разд. 9.8).

Рассмотрим простой пример поля с аксиальным распределением потенциала

(3.113)(3.113)U (2) =Az2.

(3.113)

(3.113)

Это поле нарастает с увеличением z до бесконечности, но всегда можно установить верхний предел потенциала, ограничив поле электродом (полюсом), расположенным в точке с конечной 2-координатой. Подстановка этого выражения в (3.112) и последующее интегрирование дают

и(г,г) = (А/л) $ (z+/r cos О') 2d{}=А (г2— r2/2). (3.114)

Эквипотенциальные поверхности представляют собой гиперболоиды, и потенциал в точности описывается выражением (3.42). Поле исчезает в седловой точке г = 2 = 0 (см. рис. 10).

Разделение переменных — весьма общий метод. И хотя он не может быть использован в любой системе координат, в большинстве случаев ведет к упрощению решения.

Трудности аналитических вычислений (электростатическое поле двух цилиндров одного диаметра). Попытаемся использовать результаты предыдущего раздела для аналитического расчета очень простого аксиально-симметричного фокусирующего элемента. Он состоит из двух бесконечно длинных и тонких коаксиальных цилиндров одинакового радиуса R, разделенных зазором s. Левый цилиндр имеет потенциал Уц правый — У2 (рис. 17). В случае магнитного поля система состоит из симметричных полюсов в ненасыщенном состоянии с внутренним радиусом R и зазором s. Требование бесконечной протя-

Рис. 17. Два цилиндра одинакового диаметра, разделенные зазором s.

женности не является жестким, если источник и мишень расположены внутри цилиндров и имеют одинаковый с ними потенциал. Никакая реальная система не может быть бесконечно тонкой, но влиянием конечной толщины можно пренебречь, по крайней мере для малых значений s)R. Таким образом, рассматриваемая система очень проста и может быть использована на практике.

Вследствие симметрии относительно плоскости z=0, проходящей по середине зазора между цилиндрами, имеем

и(г,0) = (У1 + У2)/2. (3.115)

Подставляя это соотношение в (3.105), сразу видим, что Gx=0, а постоянная дается выражением (3.115). Это отражает тот факт, что распределение потенциала является нечетной функци-

Рис. 18. Распределение потенциала Рис. 19. Распределение потенциала системы из двух цилиндров вдоль системы из двух цилиндров вдоль границы (г=^). оси.

ей координаты г, если ось г сдвинута на (Vi-J-Va)^ (рис. 18 и 19). Тогда распределение потенциала упрощается до

и (г, z) = $Fx/o(xr)sinxzdx+(7i+72)/2.(3.116)

Теперь необходимо определить коэффициенты Fx из граничных условий. Здесь-то и начинаются неприятности. В самом деле, значения потенциала вдоль цилиндрических поверхностей известны. Но что происходит в зазоре? Совершенно ясно, что абсолютное значение напряженности поля максимально на концах цилиндров, поэтому потенциал должен там резко измениться. Крутизна изменения потенциала минимальна в середине зазора (штриховая линия на рис. 18). А каково точное распределение вдоль цилиндрической поверхности в зазоре? Его можно измерить, но способов расчета не существует.

Таким образом, мы столкнулись с серьезной трудностью. При использовании аналитического метода основой является

либо измерение, либо предположение о характере распределения потенциала в зазоре. Попробуем использовать простое допущение и посмотрим, можно ли получить решение в замкнутой форме.

Возьмем для простоты линейное распределение в зазоре. Это весьма далеко от реальности, но зато просто. Тогда имеем следующие граничные условия при r=R:

(

Ух,если 2 ^ — s/2,

(^ + У2)/2 + (У2 — ^i)2/s, если —s/2^2^s/2, У2,если 2^ s/2.

(3.117)

В то же время и (R, z) должно удовлетворять и выражению (3.116)

u(R, z^ = $ /Vo(x/?)sinxzdx + (У1 + Уг)/2.(3.118)

Выпишем интеграл Фурье для нечетной функции u(R, z)— (Vi+ + У2)/2:

и (R, z) = (2/л) $ sin x,zdx, $/) —

оо

— (У1 + У2) /2] sin xtdt + (У, + У2) /2.(3.119)

Второй интеграл вычислим, используя (3.117):

Г [и (R,t) — ( У, + У2) /2] sin (хО dt = о

= s (У2 — У1) (</s)sin(x/)^ +о

+ П(У2 —У1)/2]зш(х0^.(3.120)

s/2

Интегрирование от s/2 до бесконечности равносильно интегрированию от s/2 до нуля и затем от нуля до бесконечности. Последний интеграл от синуса не определен. Однако его можно вычислить с помощью следующего приема [36]:

fsin(x/)^ = Hm le-“; sin(x/)d/= lim Гх/(а2 + х2)] = l/x.

оа->0 оa->0

(3.121)

Выполняя интегрирование в (3.120) и принимая во внимание (3.121), получаем

I Vu^R, 0-(У1 + У2)/2]5ш(х0^=

= [(У2 — yi)/x2s)]sin(xs/2).(3.122)

Подставим теперь полученное выражение в (3.119) и учтем, что интегрируемая функция четна по х. Тогда можно записать

u(R, 2) = ^^- у ^^-sin(xz)dx + (V1 + V2)/2. (3.123)

<3.124)<3.124)Сравнивая это выражение с (3.118), имеем /7x7o(x/?),=sin(xs/2) (У2— 71)/л$х2.

<3.124)

<3.124)

Теперь подставим значение F* в (3.116) и вновь учтем четность подынтегрального выражения по х. В результате получаем распределение потенциала [16J:

u(r, =(3.125)

JU»'0“

Используя новую переменную

(3.126)(3.126)т = xR,

(3.126)

(3.126)

можно записать распределение потенциала вдоль оси

U (?) = ^^-^ f sin (ts/2/?) dx 4- (^ 4- W- (3.127) JU»JI /Q (I)

Это и есть окончательный результат вычисления. Так как

Об

(3.128)(3.128)С sin (xs/2) .-. ,д

(3.128)

(3.128)

\ —>«j. sin х2 ах = ± ns/4,

J X2—' *

на границе (г=Я) соотношение (3.125) дает потенциал электродов.

К сожалению, интегралы (3.125) и (3.127) можно найти только численными методами. Поэтому упрощение распределения потенциала в зазоре между цилиндрами не оправдано: численный результат можно получить и при более реалистичной аппроксимации. Может быть, даже линейное приближение слишком сложно. Но что может быть проще?

Если цилиндры очень близко расположены друг к другу, можно считать, что распределение потенциала вдоль границы описывается ступенчатой функцией, принимающей значение Vj при 2<0, Уг при 2>0 и резко меняющейся при 2=0. Опустим обсуждение обоснованности такого допущения. Вместо этого по-

смотрим, поможет ли оно вообще. В предельном случае (s=0) выражение (3.125) приобретает вид

uV,(3.129)

nw1 О I Ar ) A

0'

На оси оба соотношения (3.127) и (3.129) дают

(7(2) = ^^l?^^dT + (^ + O2.(3.130)

0

Даже в этом очень простом случае интегралы не выражаются в элементарных функциях. Если мы хотим иметь формулу для аксиального распределения потенциала, необходимо использовать некоторое приближение. Распределение потенциала вдоль оси имеет форму, показанную на рис. 19. Оказывается [65J, что выражение (3.127) можно аппроксимировать следующим выражением:

В предельном случае (s = 0) оно упрощается:

£/ (г) = (У, + У2) /2 +1/2 (У2 - У0 th k,toz!Ry"(3.132)

Совершенно очевидно, что эта функция имеет свойства кривой, показанной на рис. 19. Мы определим значение постоянной со из условия, что наклон кривой при 2 = 0, вычисленный с помощью соотношений (3.130) н (3.132), должен быть одинаковым. Дифференцируя по г оба выражения и приравнивая значения производных в точке 2 = 0, получаем

«> =(2/л)|/0-1(т)^т= 1,318(3.133)

Сравним выражения (3.131) и (3.132) с численным значением интеграла (3.130) и точным численным решением задачи методом конечных разностей (см. разд. 3.3.2) и методом зарядовой плотности (см. разд. 3.3.4). Выражение (3.132) является точным при сравнении с (3.130). Различие не превышает 1%. Однако, если сравнить первые и вторые производные, обнаружится, что при больших z относительные ошибки достигают 32,4 и 25,7% соответственно [36]. Ситуация даже ухудшится, если отбросить линейное приближение и сравнить результаты с численными расчетами. Итоги сравнения с численными решениями показаны в табл. 2. Мы видим, что для s]R = 0,2 абсолютное

Таблица 2

Сраввенне приближенных выражений (3.131) и (3.132) с численными решениями для аксиального распределения потенциала от двух цилиндров одинакового диаметра методом конечных разностей [114] и методом зарядовой плотности"

ZjR

' (3.132)

s/«=0,02

s/«=0,2

s[R=\

s/« = 2

(3.131)

Сил.

(3.131)

Сил

[66]

[114]

(3.131)

Сил.

(3.131)

Сил

0,0

1,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,5

0,2

0,3710

0,3710

0,3710

0,3717

0,3715

0,3717

0,3714

0,3861

0,3933

0,4138

0,4293

0,5

0,2108

0,2108

0,2108

0,2119

0,2129

0,2134

0,2130

0,2364

0,2494

0,2913

0,3236

1,0

0,0666

0,0666

0,0666

0,0672

0,0704

0,0711

0,0709

0,0825

0,0926

0,1303

0,1630

2,0

0,0051

0,0051

0,0051

0,0051

0,0059

0,0065

0,0066

0,0066

0,0083

0,0130

0,0192

4,0

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000 •

-0,0004

0,0001

0,0001

0,0000 -

-0,0004

0,0001 -

-0,0002

аСсылка [66] и наши собственные данные, обозначенные «Сил». Потенциалы электродов выбраны в виде ^ = 1 н Г2=0.

расхождение между различными численными методами не превышает 10~3, но соотношение (3.131) ведет к серьезным ошибкам, так как распределение потенциала не столь круто, как предсказывается линейной моделью. Этими погрешностями можно пренебречь в случае очень малого зазора, но они быстро нарастают, когда зазор между цилиндрами становится сравнимым с их диаметром. И хотя некоторого улучшения можно достичь [66], выбрав другое значение ®, остается тот факт, что мы используем распределение потенциала сложной системы электродов, а не изначальной двухцилиндровой линзы.

Имеются два источника ошибок:

Недостаточно оправданное предположение о линейном распределении потенциала в зазоре.

Аппроксимация несобственных интегралов аналитическими функциями.

Поэтому применение эмпирических аналитических формул, основанных на предположении о линейном распределении потенциала между цилиндрами многоэлектродных систем [67, 68], является проблематичным. Аналитические выражения оправданы только в тех случаях, если они: а) представляют правильное распределение потенциала; б) ведут к строгим решениям для фокусирующих свойств (см. модели линз в гл. 7 и 8), либо в) дают возможность провести быстрые приближенные вычисления.

Точность результатов можно повысить для аппроксимации распределения потенциала в зазоре, используя полиномы более высокого порядка [69], либо бесконечные ряды, содержащие корни от функций Бесселя нулевого порядка. Однако, по наше-

му мнению, поля в электронных и ионных оптических системах на основе цилиндрических электродов или полюсов следует определять либо с помощью измерений (разд. 3.2), либо с помощью численных методов (разд. 3.3).

Поле круговой апертуры. В ряде случаев аналитические методы можно применять для определения аксиально-симметричных полей. Один из них — поле отдельной круговой апертуры радиуса R с потенциалом Vo, расположенной между двумя областями с однородными полями Ei и Е2 (рис. 20). Наличие однородных полей, конечно же, является приближением, но всегда можно считать поле однородным на больших расстояниях от апертуры. Поэтому в от

сутствие других электродов (полюсов) в окрестности апертуры такое допущение оправдано. При этих условиях можно вывести строгое выражение для распределения потенциала апертуры [70].Это выражение будет использовано затем для вычисления распределений потенциала более сложных систем.

Расчет основан на правильном выборе системы координат. Рассмотрим сначала гиперболу во вращающейся плоскости tz цилиндрической системы координат с фокусом F в точке с координатами r=R

Рис. 20. Распределение потенциала круговой апертуры, разделяющей два однородных электростатических поля.Рис. 20. Распределение потенциала круговой апертуры, разделяющей два однородных электростатических поля.и 2=0 (рис. 20). Ее уравнениеи 2=0 (рис. 20). Ее уравнениег2/А2 — г2/В2= 1,(3.134)

Рис. 20. Распределение потенциала круговой апертуры, разделяющей два однородных электростатических поля.

Рис. 20. Распределение потенциала круговой апертуры, разделяющей два однородных электростатических поля.

и 2=0 (рис. 20). Ее уравнение

и 2=0 (рис. 20). Ее уравнение

где

A2 + B2=R2.

Введем новую переменную v так, что B=vR (Ocvcl).

(3.135)(3.136)(3.135)(3.136)Тогда уравнение (3.134) можно переписать в виде

(3.135)

(3.136)

(3.135)

(3.136)

r2/(l — v2) — z2N2=R2.(3.137)

Рассмотрим теперь эллипс в той же плоскости с фокусом в той же точке. Его уравнение

(3.138)(3.138)r2/a2+z2/b2 = \.

(3.138)

(3.138)

где

a2 — b2=R\(3.139)

Введем новую переменную ц:

b = y,R.(3.140)

Тогда уравнение (3.138) можно переписать в виде

г2/(1 + ц2)+г2/ц2=/?2.(3.141)

Очевидно, что параметры v и ц определяют семейства гипербол и эллипсов, вращающихся вокруг оси симметрии z и фактически являющихся конфокальными гиперболоидами и сопряженными конфокальными эллипсоидами вращения. Выберем эти ортогональные поверхности в качестве координатных. Так как каждое значение v представляет гиперболоид, а каждое значение ц— эллипсоид, наши новые координаты будут просто v и ц.

Перепишем (3.137) и (3.141) в виде

r2v2_z2(i _V2) =/?2v2(i _ V2),(3 142)

r2p2+z2(l + p2)=/?2p2(l + p2).(3.143)

Это дает линейную систему уравнений относительно г2 и z2. Решая ее и извлекая квадратные корни, получаем выражения цилиндрических координат как функцию новых координат:

г=/?[(1+р2) (1 — V2)]1/2,(3.144)

а;=±7?цу.(3.145)

Нам также нужны обратные функции; ц(г, z) легко получается как решение квадратного уравнения (3.141):

ц = V№IRH22;R2 - l') + M2Ur2iR2+z2IR2 - 1)2 +

+ 4Z2//?2]*/2}1/2.(3.146)

Величина v(r, z) получается немедленно из (3.145) и (3.146). Так как ц вещественно, в уравнении (3.146) необходимо выбрать значение выражения в квадратных скобках с положительным знаком. Мы можем также формально учесть знак z в ц, выбирая положительные значения ц для положительных z и отрицательные значения ц для отрицательных z.

Покажем теперь, что поверхность электрода совпадает с поверхностью v = 0. Электрод расположен в плоскости z=0 при r^R. Тогда (3.141) дает

г2 = 7?2(1 + ц2)>/?2.(3.147)

С другой стороны, из (3.145) следует v = 0 при z=0.

Аналогично для z=0 (3.137) дает

Г2=/?2(1 _ у2)с£2.(3.14»)

Из уравнения (3.145) следует ц = 0. Это означает, что отверстие в электроде совпадает с поверхностью р = 0.

Запишем теперь уравнение Лапласа в новых координатах. В принципе это можно сделать, заменив частные производные относительно цилиндрических координат на производные относительно новых координат. Рекомендуем читателю обратиться к литературе [36J, чтобы оценить все удовольствие от этого упражнения. Мы же поступим иначе. Выведем частный случай из общих принципов. Соответственно начнем с соотношения (1.19). Наши новые координаты

^1 = ц, ^2 = а, q3 = v.(3.149)

Используя (1.8), (1.9), (3.144) и (3.145), получаем коэффициенты Ламе:

/г12 = /?2(и2 + т2)/(1 + ц2),(3.150)

й22=Л2(1 + н2)(1— v2),(3.151)

/г32 = /?2(ц2+ч2)/(1 — V2).(3.152)

Подставляя эти выражения в (1.19) с учетом аксиальной симметрии (du/da = 0), можно тотчас записать уравнение Лапласа в новых координатах

=(3.153)

др (' 1* др J 1 dv ['’ dv J''

Это уравнение идеально подходит для разделения переменных. В самом деле, подставляя

«=M(ц)^(v) + const,(3.154)

немедленно получаем ’

лгтг (1 + ц(1—=0.(3.155)

М dp р ' “Р J N dv' dv J''

Так как каждый член зависит только от одной переменной, они оба должны быть постоянны. Обозначим постоянную через К. Тогда можно записать следующие два уравнения:

O+^^-^p^UtfM,(3.156)

(1 -v2) ^-2v^ = ~ ^(3-157>

Для вычисления К воспользуемся требованием однородности поля при больших абсолютных значениях z, т. е. потенциал должен быть пропорционален z. Поскольку величина v ограни-

чена соотношением (3.136), большие значения г означают большие значения р. В наиболее общей форме М и N, удовлетворяющие этим условиям, записываются в виде

M=pf(p), где f(p)->m=const при р->оо, (3.158)

N=nv, где п=const.(3.159)

Для больших значений z подстановка этих соотношений в (3.156) и (3.157) немедленно дает К=2. Найдем теперь функцию f(p). Дифференцируя дважды соотношение (3.158), подставляя в (3.156) и учитывая, что ^=2, получим

(1 + р2) (рГ+2П+2р(р/,+/) — 2р£=0,(3.160)

где штрих обозначает дифференцирование по р. Это уравнение можно переписать в виде

Р = А(1п/')=—=+(3.161)

t dp '' 'p (1 +p2)\ H 1+Н2/'

и после простого интегрирования

f'=Ci/[p2(l + p2)].(3.162)

Интегрируя еще раз, имеем

/ (10 = с2 — ci/p — Ci arctg р,(3.163)

где ci и Сз — постоянные интегрирования. Можно видеть, что это выражение становится постоянным при больших р.

Подставляя (3.163) в (3.158) и затем используя (3.159) и (3.154), получаем распределение потенциала

и — Cipv + Сгру (1/р+arctg р) + Сз,(3.164)

где С1 = псг, Сг = —спх, а Сз—неопределенная постоянная из уравнения (3.154), значение которой легко найти. В самом деле, потенциал электрода, соответствующего поверхности v = 0, ра-. вен Vo- Отсюда C3 = V0.

Найдем теперь значения двух других постоянных. Так как мы условились, что знак р будет соответствовать знаку z в (3.145), можно переписать (3.164) в виде

u = Vo + CxzlR + C2z (1/р+arctg р) ]R.(3.165)

В пределе больших положительных и отрицательных значений z получаем

lim и = lim (Ciz//? + C2zn/27?),(3.166)

2^-±СО 2 -*-±00

•откуда

lim du!dz = CxiRA-C^R = — Е2,(3.167)

lim du]dz=CxlR — C2n!2R^=— Ex.(3.168)

Z-*—00-

Из этих уравнений немедленно получаем значения постоянных:

Ci//?=-(£i + £2)/2,Ci//?=-(£i + £2)/2,(3.169)(3.169)C2/R,= (El —£2)/я.C2/R,= (El —£2)/я.(3.170)(3.170)

Ci//?=-(£i + £2)/2,

Ci//?=-(£i + £2)/2,

(3.169)

(3.169)

C2/R,= (El —£2)/я.

C2/R,= (El —£2)/я.

(3.170)

(3.170)

Подставляя эти выражения в (3.165) и используя только положительные значения ц, получаем конечную формулу для распределения потенциала круговой апертуры:

и (г, z) = V0 — (Ei + E2)z/2 +

+ (1/л) (Ei - £2)\z\ (1/n + arctg ц),(3.171)

где ц определяется уравнением (3.146).

Вдоль оси (г = 0) имеем ц=|г|//? и соотношение (3.171) упрощается:

U(z^=Vq-(Ei^E^z^-V

+ №) (£, — £2)[1+(z//?)arctg(z//?)].(3.172)

Подставляя z=0 в (3.171), получаем u (г, O) = Vo только при ц#=0. Этого следовало ожидать, так как значение ц = 0 соответствует отверстию, а не электроду. В отверстии (r<R) необходимо использовать соотношение (3.164) и (3.170). Подставляя р = 0, получим

и(г, 0) =V0+ (Ei — E3)Rv/n.(3.173)

Из (3.137) при z = 0 следует

v= (1 — Г2/^2)1/2(3.174)

И окончательно, подставляя в (3.173), имеем

и (г, 0) = Vo+ (Ei - Е2) (R2 - г2) */2/л.(3.175)

Это выражение обеспечивает u(R, O) = Vo. Для центра отверстия получаем из (3.172) и (3.175)

U (0) = и (0,0) = Уо+ (Ei — Е2) R/л. (3.176)

Если напряженности поля Ei и Е2 направлены противоположно, то седловая точка формируется со стороны более слабого поля, как отмечалось в разд. 3.1.1.2. Если Ei =—Е2, то седловая точка имеет координату z = 0. Эквипотенциальные линии для этого случая показаны на рис. 21.

В случае одинакового направления полей эквипотенциальные линии могут пересекать апертуру, но не будут пересекаться друг с другом. Интересен случай, соответствующий отсутствию поля с одной стороны апертуры. Рис. 22 дает картину эквипотенциальных ЛИНИЙ ДЛЯ £2 = 0.

Как будет видно в разд. 7.8, одиночная апертура является важным элементом катодной линзы, применяемой в эмиссионных системах. Она может также служить основой для упрощенных моделей более сложных систем.

Быстрое вычисление полей от двух и большего числа круговых апертур. Мы знаем теперь, как вычислить поле единичной круговой апертуры. А нельзя ли применить принцип суперпозиции для получения картины поля от любого числа таких апертур? Ответ представляется отрицательным, так как принцип суперпозиции обычно применим только для неизменных электродов (полюсов). Введение новых электродов изменит распределение зарядов, и результирующее поле может существенно отличаться от исходного.

Рис. 21. Эквипотенциальная картина одиночной апертуры для случая Е2= = —ЕьРис. 21. Эквипотенциальная картина одиночной апертуры для случая Е2= = —ЕьРис. 22. Эквипотенциальная картина одиночной апертуры для случая Е2=0.Рис. 22. Эквипотенциальная картина одиночной апертуры для случая Е2=0.

Рис. 21. Эквипотенциальная картина одиночной апертуры для случая Е2= = —Еь

Рис. 21. Эквипотенциальная картина одиночной апертуры для случая Е2= = —Еь

Рис. 22. Эквипотенциальная картина одиночной апертуры для случая Е2=0.

Рис. 22. Эквипотенциальная картина одиночной апертуры для случая Е2=0.

Рассмотрим простой пример двух круговых апертур одинакового радиуса R, разделенных расстоянием s. Пусть потенциал одного электрода Уь другого —У2 (рис. 23), и пусть на больших расстояниях слева и справа от системы поля отсутствуют. Это обеспечивается дополнительными трубками с такими же потенциалами, как у соответствующих апертурных электродов (см. разд. 7.1). Размеры этих трубок здесь не учитываются. Если R<Cs, можно предположить, что поле между электродами (исключая собственно области апертур) является постоянным и его абсолютная величина

(3.177)(3.177)£=(У, —У2)/$.

(3.177)

(3.177)

Чтобы использовать принцип суперпозиции, необходимо рассмотреть две одиночные апертуры с нулевым полем по одну сторону и постоянным с другой в каждом случае. Это означает, что

постоянные поля простираются до бесконечности в обе стороны и мы никогда не получим требуемого поля.

Как ни странно, все же можно воспользоваться суперпозицией двух одиночных апертур, если применить выражение (3.172) только для определения формы решения, а постоянные вычислить позже, используя для этого параметры объединенного поля. Так как апертуры расположены на расстояниях ±s/2 от плоскости z=0, в (3.172) необходимо подставить z±s/2 вместо Z- Объединяя постоянные, получаем суперпозицию двух полей

U (г),=Л+г{5 + С arctg[ (z+s/2)/#] +

+ D arctg[(z — s/2)/5]} + (s/2) {C arctg[ (z+s/2)//?] —

-Darctg[(z-s/2)//?]}.(3.178)

Распределение потенциала аналогично показанному на рис. 19. Для бесконечно больших положительных значений г потенциал стремится к У2, для отрицательных z к Уц а при z = 0 он равен (У1+Уг)/2. Соответственно

Л+ [5+ (C+D)n/2]z+ (С — 5)лз/4 = У2,(3.179)

Л+[5— (C+D)n/2]z — (С — 5)л$/4 = Уь(3.180)

Л+ (C+D) (s/2)arctg[(s/2/?)J = (Vt+У2)/2.(3.181)

Отсюда имеем

4=(У1+У2)/2, 5 = 0, С=-5=(У2-У,)/(л$). (3.182)

Подставляя эти значения в (3.178), получаем распределение потенциала вдоль оси системы двух апертур

■t/(z) = (V1 + V2)/2+(V2-V1)T(z)/2,(3.183)

где

ф(г) = (1/л) [(2z/s+l)arctg(2z/s+l)/(27?/s) —

— (2z/s— l)arctg(2z/s— l)/(25/s)].(3.184)

Это выражение обеспечивает заданное значение потенциала при z=0 и приближается к потенциалу электродов на больших расстояниях от центра. А как насчет других областей? Есть еще две точки, где легко проверить точность этого метода. В предположении R«^s потенциалы в центрах апертур определяются выражением (3.176) следующим образом:

77(з/2) = У2 + £5/л,(3.185)

U(— 5/2) = ^ — ERin.(3.186)

Подставляя (3.177), с учетом (3.183) имеем

ф(±$/2)=±(2/л)(л/2 — R/s).(3.187)

С другой стороны, (3.184) дает для тех же точек v(±s/2)=±(2/n)arctg(s//?).(3.188)

Рис. 23. Две круговые апертуры.Рис. 23. Две круговые апертуры.11,43% для /?/s = 0,75.11,43% для /?/s = 0,75.Сравнивая выражения (3.187) и (3.188), можно заметить, что они дают одинаковый результат, если использовать первые два члена разложения в ряд Тейлора функции арктангенса для больших sIR. Суперпозиция потенциалов двух раздельных апертур удовлетворяет истинному распределению потенциала при значениях z, определяемых (3.179)— (3.181). При всех остальных значениях z распределение потенциала (3.184) является только приближением. Но первоначальная формула (3.172) также является приближенной. Она справедлива только для малых значений R[s, для которых соотношения (3.187) и (3.188) дают практически одинаковый результат. Но которое из них точнее в случае больших Ris? Очевидно, что погрешность возрастает с увеличением Rfs. Относительная разность между arctg(s/7?) и (л/2—R/s) равна 0,19% для RJs = 0,2, 3,25% для R/s=0,5 и

Рис. 23. Две круговые апертуры.

Рис. 23. Две круговые апертуры.

11,43% для /?/s = 0,75.

11,43% для /?/s = 0,75.

ненемалыми Rfs.малыми Rfs.К счастью, распределение потенциала двух апертур является одной из немногих задач теории потенциала, для которой возможно строгое решение. Решение дается интегральным уравнением [71] и здесь воспроизводиться не будет. Это дает, однако, возможность сравнить наши результаты со строгим решением, справедливость которого Сравнивая значения функ

не

не

малыми Rfs.

малыми Rfs.

ций распределения потенциала в центрах апертур, вычисленные из соотношений (3.187) и (3.188), с результатами строгих вычислений, находим, что относительные погрешности составляют соответственно—1,7 и 1,6% для R/s = = 0,5. Для случая /?/s = 0,75 относительные погрешности равны— 8,4 и 3,3% соответственно. Таким образом, соотношение (3.187) дает заниженные значения потенциала. И хотя значения, следующие из (3.188), несколько завышены, они более точны по сравнению со значениями, получаемыми из (3.187). Строго вычисленные функции ф (z) наряду с вычисленными из (3.184) показаны на рис. 24 для двух различных значений Ris. Очевидно, <р(0)=0 и ф(г) приближается к 1 для достаточно больших z и тем быстрее, чем меньше Rfs.

Итак, суперпозиция распределений потенциалов нескольких независимых апертур — быстрый и относительно точный метод 100

Рис. 24. Функции ф(е) потенциала для двух различных значений параметра R/s (сплошные линии). Символы представляют те же функции, вычисленные по приближенной формуле (3.184); квадраты — R/s=0,5; ромбы — R/s=0,7&. получения распределений потенциалов в сложных системах электродов (полюсов). Этот подход применялся для вычислений как электростатических [72], так и магнитных полей [50].

Аналитическое вычисление мультипольных полей

Общее разложение в ряд (3.52) мультипольных потенциалов содержит бесконечный набор функций (7nJV(z) в противоположность аксиально-симметричному случаю, где единственной такой функцией является аксиальное распределение потенциала в уравнении (3.20). Поэтому ситуация существенно усложняется вследствие, вообще говоря, трехмерного характера мульти- польного поля. Отсюда следует, что в общем нельзя строго вычислить функции распределения потенциала. Например, квадрупольное поле двух скрещенных щелей, показанных на рис. 25, можно вычислить только приближенно [73]. Область применения аналитических методов ограничена упрощенными моделями, которые могут удовлетворительно описать только свойства либо Очень коротких, либо длинных мультиполей.

Короткие мультиполи. Для коротких мультиполей удобно [61] выбрать распределение Гаусса

Um^ = Um max exp [—Z2/2o2m](3.189)

при аппроксимации функций UnN, появляющихся в соотношении (3.52). Здесь Ummax представляет максимальное значение функции при 2=0, а От — параметр, характеризующий пг-ю компоненту потенциала. Подставляя z — 0m> имеем

Um {От) = Um maх^1/2 = 0,6065Um max- (3.190)

Используя это соотношение, можно определить значения Um max и Ощ с помощью приближенных вычислений [74] или измерений [75]. ^-я производная от Um^ дается выражением

U т^ (2) = (- ^OmVUm (z) Нк (z^Om},(3.191)

где Hk — полином Эрмита степени к. Таким образом, в (3.54) — (3.59) можно подставить

^(г) = -^Д(г2/а^-1),(3.192)

От

Um (г)=^-^т-^/Огт + 3),(3.193)

От

и^ =№ - 15г^ + 45?’/^ -15), (3.194)

От

U^Hz^^^^/^-^z*^ + 210zV^ -420z№ + Ю5), От

(3.195)

Um (?) = ^^ (zle/a“ -45z»/a^ + 630z«K - 31SOz^/a,4,, +

+ 4725z=/c4-945). (3.196)

Эти выражения могут быть полезны при выводе картины трехмерного поля короткого мультиполя. Можно также использовать другие модели (например, колоколообразную, сходную с гауссовой, но использующую другую функцию). Однако в данном случае необходимо полагаться на экспериментальное, либо

численное определение распределения потенциала.

Рис. 25. Квадруполь на основе скрещенных щелей.Рис. 25. Квадруполь на основе скрещенных щелей.Для мультиполей средней длины можно использовать составную гауссову модель: модельная функция является прямоугольником, переходящим на концах в по- лугауссово распределение.

Рис. 25. Квадруполь на основе скрещенных щелей.

Рис. 25. Квадруполь на основе скрещенных щелей.

Длинные мультиполи. Если мультипольная система может рассматриваться как плоская (длина существенно больше поперечных размеров и сечение постоянно), аналитические

методы более полезны, чем для коротких мультиполей. В этом случае можно снова использовать принцип эффективной длины (см. разд. 2.7.1). Определим действие мультиполя как интеграл от распределения его поля F^r, a, z), взятый вдоль оси координат z от минус до плюс бесконечности. Здесь F^r, a, z) — функция, характеризующая действие мультиполя (или любого оптического элемента). Для мультиполя это может быть потенциал или поперечная компонента поля. Далее предположим, что действие реального мультиполя эквивалентно действию теоретического с постоянным полем и эффективной длиной Lett. Это так называемая прямоугольная модель, так как сложная зависимость распределения поля от координаты г заменена простым прямоугольником с длиной Left и высотой F^r, a, z), где zm— некоторое заданное значение координаты z. Приравнивая действия двух систем, получаем

Lett=J Ftr,a,z^dzjF^r,a,zmy (3.197)

Заметим, что эффективная длина определяется здесь как функция точки (г, а) в плоскости z=zm, где проводится вычисление. В самом деле, эффективная длина изменяется с расстоянием от оси и соответственно может существовать более чем одна эффективная длина для трехмерного мультиполя, например, для каждой компоненты поля [62]. Для наших целей, однако, эффективная длина будет определена просто в начале системы координат. Принцип эффективной длины мы используем также в случае аксиально-симметричной линзы.

Таким образом, для прямоугольной модели все зависимости от г исчезают, и соотношение (3.53) упрощается до постоянного значения. Поэтому можно записать

Ап«— UnN — anN/RnN = const, (3.198)

где R— некоторый характеристический радиус, который определяется реальной конструкцией мультипольной системы. Тогда соотношение (3.52) можно переписать в виде

«(г,а) = S anN(r/R)nN cos nN а. (3.199) n=0

Используя соотношения (3.62) — (3.81), можно привести это выражение к декартовым координатам.

Рассмотрим следующий пример. Весьма важный с практической точки зрения цилиндрический вогнутый 2N-мyльтunoль состоит из 2N идентичных длинных электродов (полюсов), имеющих знакопеременные потенциалы W и —W и одинаково расположенных по цилиндрической поверхности радиуса R. Такая си-

стема имеет N плоскостей симметрии и N плоскостей антисимметрии. Поперечное сечение 12-полюсной системы показано на рис. 26 для более общего случая двух плоскостей симметрии (четыре различных потенциала в каждом квадранте плоскости ху). В нашем случае Vi = V3 = tt7 и V2=V4 =—W, но мы определим коэффициенты anw в уравнении (3.199) как функции четырех потенциалов и угловых расстояний 2е между каждыми двумя соседними электродами и затем подставим потенциалы для нашего специального случая (решение для общего случая понадобится в следующем разделе). Затем снова сделаем обобщение, перейдя от 12-полюсника к 2А’-мультиполю.

Мы уже знаем (разд. 3.1.2.2), что предположение о линейном распределении потенциала между электродами (при r=R) ведет к существенным ошибкам, и поэтому используем более реалистичное распределение [76]. Представим потенциал следующими функциями [64]:

' (Vx(0^а^л/12 —е),

ОЛ + V2)/2 + [(К, — 1^х)/л] arcsin (а — л/12)/e (л/12—е^а^л/12 + е), У2(л/12 + 8^а^л/4— е),

u^R, а) =u^R, а) =(3.200)(3.200)V2 + У3)/2 + [(V3 — У2)/л] arcsin (а — л/4)/е (л/4—е ^а^л/4 + е), У3(л/4 + е^а ^5л/12 — е),

u^R, а) =

u^R, а) =

(3.200)

(3.200)

(У3 + О2 + [(^4 — ^з)М] arcsin (а—5л/12)/е (5л/12 — е^а ^ 5л/12 + е), У4(5л/12 + е s^ а ^ л/2).

Так как потенциал периодичен по координате а с периодом л, коэффициенты Фурье а2п в (3.199) могут быть определены соотношениями

(3.201)(3.201)(3.202)(3.202)Л/2

(3.201)

(3.201)

(3.202)

(3.202)

й2п=(4/л)= $ и (R, а) cos 2/гои/а,о

л/2

а0= (2/л) $ u^R, a)da.о

(Вследствие двойной симметрии следует рассматривать только первый квадрант плоскости ху.)

Функция u\R, а) определяется выражением (3.200). Теперь необходимо выполнить интегрирование. Интегрирование по частям после нескольких элементарных преобразований дает

Р+8.

$ arcsin [ (а — Р) /в] cos 2nada = (1 /2п) {л sin 2п^ cos 2пе — Р-е

— 2 sin 2п^ $ [ 1 — (а — 0) 2/е2] ~1/2 X

X cos[2rae(a— We\d^a— ₽)/е}.(3.203)

Можно доказать для любого значения а, что

S (1—x2)-V2Cosaxdx=(n/2)Jo(a),(3.204)

о

где Jo (a) — функция Бесселя от аргумента а первого рода нулевого порядка. Используя это выражение, легко получаем из

Рис. 26. Вогнутый цилиндрический 12-полюсник.

(3.203) результат интегрирования в виде

Р+в

$ arcsin [(а — 0)/е] cos2nada = $г-а

= (л/2/г) sin 2п^ [cos 2пе — Jo (2пъ) ].(3.205)

В этом выражении р представляет различные значения пределов интегрирования, возникающие при использовании выражения (3.200) для представления ЩК, а) в различных секторах мультиполя между 0 и л/2.

Мы тотчас замечаем, что для п = 0 интеграл равен нулю. Поэтому вычисление коэффициента я0 тривиально: в подынтегральное выражение в (3.202) входят только постоянные члены. Выполняя интегрирование от сектора к сектору, получаем

а0=(У1 + 2У2 + 2У3+^)/6.(3.206)

При вычислении интеграла (3.201) для определения коэффициента а2п в общем виде мы снова идем от сектора к сектору и используем в каждом из них выражение (3.205). Эта процедура несколько длиннее, но результат прост:

«2„= (2/пл) [(V, — V2)sinnn/6 + (V2 — K3)sinnn/2+

+ (Уз — V4)sin5nn/6]/0(2ne).(3.207)

В нашем специальном случае К1 = Ез =— К2 =— Va = W. Подставляя эти значения в (3.206) и (3.207), получаем а0 = 0 и

а2п= (4W/nn)J0(2ne)sin пл/2[2 cos пл/3— 1].(3.208)

Немедленно видим, что а2п = 0 для всех четных значений, а также для п=\, 5, 7, 11, 13, 17, 19Ненулевые члены ограничены значениями п = 3, 9, 15, 21, .. .=3(2&+1), где ^ = 0, 1, 2, 3, .... Но для этих членов выражение (3.208) упрощается:

(3-209)

Это выражение ясно показывает, что симметрично-антисимметричный 12-полюсник имеет гармоники только 6, 18, 30, 42-го и т. д. порядков.

Для обобщения на случай 2^-мультиполя необходимо просто заменить 6 на N, чтобы достичь конечного результата:

o^n^^^WM-WI, ^n = 0.(3.210)

Естественно, можно было вывести это выражение непосредственно, без частных случаев и обобщений [61J. Читатель может попытаться проделать это в качестве упражнения.

Интересно сравнить полученный результат с выражением (3.199). Как видно, члены, являющиеся целыми кратными N, теперь не входят в выражение. Причина этого в наличии N плоскостей антисимметрии в дополнение к N плоскостям симметрии, для которых было первоначально выведено соотношение. Мы уже встречались с частным случаем такой ситуации для симметрично-антисимметричного квадруполя. Так как для квадруполя N=2, наличие двух дополнительных плоскостей антисимметрии приводит к отсутствию Л4ь-членов. Именно это мы получили выше из соотношения (3.83).

Идеальные мультиполи. Как мы видели в разд. 3.1.1.3, распределения потенциалов идеальных мультиполей не содержат никаких гармоник выше п= 1 в выражении (3.52). Соответствующее распределение потенциала поэтому имеет вид

и (г, a, z) = X ^(^jf UNkl (z) cos Na + Л„ (г, г), (3.211)

где Ло (г, 2)—аксиально-симметричная компонента потенциала. Для планарных мультиполей из-за отсутствия зависимости от координаты z это выражение упрощается:

и (г, а)|=я0 + aN (rfN)N cos Na. (3.212)

Здесь On определяется соотношением (3.198). Соотношение (3.212) также прямо следует из (3.199) при п = 0 и 1.

Идеальные мультиполи представляются электродами (полюсами) с бесконечными гиперболоподобными поверхностями, определяемыми выражением (3.86). Естественно, реализовать такие поверхности невозможно. Но можно ли хотя бы приблизиться к ним?

Рассмотрим 2М-мультиполь с N дополнительными плокостя- ми антисимметрии. Как мы видели в предыдущем разделе, наличие плоскостей антисимметрии ведет к исчезновению всех членов, целых кратных N. Поэтому симметрично-антисимметричные квадруполи имеют только 2, 6, 10-ю и т. д. гармоники.

Использование дополнительных плоскостей антисимметрии, таким образом, ведет к существенному улучшению картины поля по сравнению с обычным 2У-мультиполем. Однако можно достичь еще большего улучшения. В самом деле, если рассмотреть простую конфигурацию полюсов в виде вогнутого цилиндра, легко видеть, что соответствующий выбор углового смещения полюсов 2е может привести к исключению одной из высших гармоник. Так как обычно приходится работать в окрестности оси z системы, желательно избавиться от второй гармоники. Как следует из (3.210), это достигается, когда

aз^ = /o(3^e)=O. (3.213)

Решение этого трансцендентного уравнения дает оптимизированные значения 2eopt, для которых вторая гармоника исчезает. Уравнение (3.213) имеет бесконечный набор решений

3^eopt = 2,4048, 5,5201, 8,6537 и т. д. (3.214)

Однако можно использовать только те решения, для которых угловые зазоры между электродами не перекрываются. Поэтому

2етах = л/^, (3.215)

и можно использовать только первое решение. Оптимизированные значения угловых зазоров табулированы в табл. 3 для значений N от 1 до 6. Отметим, что предположение о линейном изменении потенциала в зазоре между электродами вогнутого цилиндрического квадруполя [77] ведет к «оптимальному» угловому зазору 60° против значения 45°56', полученного здесь. Тщательные измерения, выполненные на аналоговой резисторной це-

Таблица 3

Оптимальные значения угловых зазоров 2e0Pt, при которых вторая гармоника гМ-мультиполя исчезает

2N

^eopt

2

91°51'

4

45° 56'

6

30°37'

8

22° 58'

10

18° 22'

12

15°19*

пи (см. разд. 3.2.2.2), подтвердили результаты наших вычислений.

Естественно, при использовании другой геометрической конфигурации необходимо оптимизировать другие параметры. Значительное количество работ было посвящено этой проблеме для различных конфигураций, особенно для квадруполей. Обычно используются четыре цилиндрических стержня [78], но в то же время предлагались и весьма сложные поверхности [79] для компенсации отсутствующих частей неограниченных гиперболических поверхностей. В результате всегда получается четырехполюсная конфигурация со стремящейся к нулю додекапольной компонентой, но ненулевыми аю, а14 и т. д. коэффициентами.

Существенное улучшение картины поля возможно только в том случае, если отбросить аналитический подход и попытаться использовать метод синтеза [64]. Начнем с идеального распределения потенциала и попробуем воспроизвести его безотносительно к количеству полюсов. В самом деле, как мы видели в разд. 3.1.1.3, наиболее важной характеристикой квадруполя является не количество полюсов, а наличие в точности двух взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии с добавлением двух плоскостей антисимметрии, гарантирующих отсутствие 4п-х членов. В таком случае следует простое решение: набор большого количества простых электродов с определенным потенциалом лучше аппроксимирует идеальный квадруполь, чем система из четырех сложных электродов. Чем больше количество электродов (полюсов), тем лучше аппроксимация идеального квадруполя. Ниже мы покажем, что, используя всего 12 электродов, можно воспроизвести квадруполь, высшие гармоники которого начинаются с 14-й.

Рассмотрим еще раз 12-полюсную конфигурацию на рис. 26. Так как идеальный квадруполь имеет одну компоненту (п = 1) в (3.199). распределение его потенциала при г = R должно за- 108

висеть от а как U cos (2а), где (7 — потенциал электрода при x=R. Центры четырех электродов в первом квадранте плоскости ху соответствуют а = 0, 30, 60, 90°. Таким образом, для формирования распределения, соответствующего идеальному квадруполю, их потенциалы должны составлять 1/1 = 7/, V2 = UI2, Уз =—77/2 и V4 =—U. Конечно, эта система не является идеальным квадруполем, так как только эти четыре точки удовлетворяют соответствующему распределению потенциала. Однако мы убедимся, что она является очень хорошей аппроксимацией идеального случая. Подставляя значения электродных потенциалов в (3.207), получаем

а2п= (2(//пл)81п/гл/2(1 + со8/гл/3)/о(2/ге).(3.216)

Отсюда видно, что а2п = 0 для всех четных п, а также для п = = 3(2^+!), где ^=0, 1, 2Остаются только члены 2п=2, 10, 14, 22, 26 и т. д. Выбирая 2е = 27°33', избавляемся от коэффициента «ю, так что первой из оставшихся высших гармоник является 14-я. Эта гармоника соответствует 28-полюснику, эффект от которого весьма мал. Для выбранного выше значения 2е получаем из (3.216) «2 = 0,901 U, «14 = 0,049 U, «22=0,007 U и «26 = 0,0167/. Следует также помнить, что в соотношении (3.199) зависимость высших членов от г столь сильна, что можно существенно уменьшить влияние этих членов небольшим уменьшением области локализации пучка. Можно с уверенностью сказать, что ошибки, возникающие вследствие приближенных вычислений, и в особенности из-за погрешностей при изготовлении и юстировке, превышают эффект от этих высших гармоник.

Тем не менее можно улучшить степень приближения к идеальному квадруполю, используя большее количество электродов (полюсов). Мы задаем потенциалы на электродах равными значениям потенциалов идеального квадруполя в центрах соответствующих электродов. Можно показать, что в общем случае, если имеется М электродов, первыми тремя ненулевыми коэффициентами будут «2, йм+2 И Й2М-2-

Например, если М=20, то оптимальный угловой зазор между электродами 2е = 15°19' и первые ненулевые коэффициенты имеют следующие значения: «2 = 0,966 7/, «22=0,021 U и «зв = = 0,008 7/.

Отметим, что форма электродов не столь важна, как их количество. Оно определяет точность аппроксимации идеального поля. Форма электродов (полюсов) влияет только на фактические численные значения коэффициентов. Единственное необходимое условие для расположения электродов — наличие двух взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии. Система, показанная здесь, очень проста по конструкции: разрезая вдоль металлический цилиндр на несколько частей и используя дели-

тель напряжения, можно очень близко аппроксимировать идеальный электростатический квадруполь. Результаты также непосредственно применимы к магнитным полюсам. Железный сердечник типа статора мотора с обмоткой, имеющей косинусоидальное распределение витков [80], может обеспечить столь же полезную конфигурацию.

Естественно, таким же путем можно аппроксимировать не только квадрупольные, но и мультипольные поля. Этот подход имеет дополнительное преимущество: мультипольная система может использоваться разными способами. Например, 12-по- люсная система, рассмотренная здесь, может быть также использована как комбинированный квадруполь-октуполь-доде- капольный элемент для фокусировки пучка и одновременной коррекции аберраций 3-го и 6-го порядков [64] (см. разд. 10.5.2). Эта система может также применяться как одиночный гексаполь, октуполь или додекаполь.

Для демонстрации вышеприведенного утверждения рассмотрим суперпозицию потенциалов квадруполя U, октуполя V и додекаполя W на электродах со следующими электродными потенциалами: Vi = U+V+W, V2 = —pV—W, V3 = — pV+W и E4 = =—U-V-V—W, где p = const (0<р<1). Подставляя эти потенциалы в (3.206) и (3.207), получаем мультипольные коэффициенты как функции электродных потенциалов и угловых зазоров 2е. Очевидно, что аксиальный потенциал исчезает только при р= 1/2, и мы будем иметь 2, 6, 10, 14, 18, 22-й и т. д. коэффициенты для симметрично-антисимметричного квадруполя, 4, 8, 12, 16, 20-ю и т. д. компоненты для октуполя и 6, 18-ю и т. д. компоненты для симметрично-антисимметричного додекаполя. Если теперь выбрать угловое расстояние, при котором 18-я додека- польная компонента исчезает, то будем иметь квадруполь-окту- польную систему в суперпозиции с практически идеальным додекаполем.

Метод конформных преобразований. Для планарных полей имеется другой мощный метод аналитического определения распределений потенциала. Плоскость ху декартовой системы координат является также плоскостью определения комплексной переменной

w = x-Viy. (3.217)

Рассмотрим произвольную комплексную функцию Цю). Она всегда может быть выражена в виде

f(w) =f(x + iy) =u(x,y)+iu(x,y), (3.218) где и и и — действительные функции. Таким образом, для каждого значения комплексного числа w существует другое комп- 110

лекеное число f^w), которое может быть представлено в другой декдртовой координатной плоскости ии. Взаимно однозначное соотношение (3.218) между точками плоскости ху и точками плоскости ии называется отображением одной плоскости на другую.

Если функция }(Х) однозначна и дифференцируема, она называется аналитической функцией. Функция f(w) является аналитической в том и только в том случае, если выполнены условия Коши — Римана

ди __ ди ди _ ди ■ дГ~ду'

Обычно это имеет место для всех физически разумных функций. Для аналитических функций углы между пересекающимися кривыми в плоскости ху сохраняются и между соответствующими кривыми в плоскости ии. Поэтому ортогональные семейства кривых (например, эквипотенциальные и силовые линии) в одной плоскости останутся ортогональными при отображении в другую плоскость, хотя и могут быть совершенно искажены в целом. Преобразование этого вида называется конформным отображением или конформным преобразованием.

Рассмотрим, например, функцию

f(w) = Vw2.(3.220)

Легко убедиться, что оба условия (3.219) выполнены в этом случае

Из простого дифференцирования соотношения (3.219) следует, что обе функции и^х, у) и и(х, у) удовлетворяют уравнению Лапласа. Поэтому обе они являются потенциальными функциями. Это очень важное заключение. Оно означает, что можно построить бесконечное количество потенциальных функций, взяв просто действительную и мнимую части любой аналитической функции. Трудность, естественно, заключается в удовлетворении заданным граничным условиям.

Рассматривая наш пример снова, видим, что для функции (3.220)

u = V(x2 — у2),(3.221)

u = 2Vxy.(3.222)

Уравнение (3.221) в точности совпадает с уравнением (3.87) для эквипотенциальных линий идеального квадруполя. Уравнение (3.222) представляет другой набор неограниченных гипербол (набор силовых линий). Преобразование (3.220) отображает параллельные и взаимно перпендикулярные прямые линии и = = const и и = const в плоскости ии в два набора ортогональных

гипербол в плоскости ху (см. рис. 13). В предельном случае и = 0 и о = 0 гиперболы вырождаются в прямые линии х=±у и х=0, у = 0 соответственно. Таким образом, эквипотенциальные линии в седловой точке (0, 0) пересекаются под прямым углом. Это общее свойство планарных полей в отличие от аксиально-симметричных полей с углом пересечения 54°44' (разд. 3.1.1.2).

Метод конформных преобразований основан на отображении плоскости ху в плоскость ии с помощью аналитических функций, решении задачи в этой плоскости (нахождении потенциала как функции координат и и и), что преобразует сложную задачу в другую, с более простыми граничными условиями, и последующем обратном преобразовании решения в плоскость ху. Обычный подход заключается в исследовании различных преобразований и последующем поиске задач, которые могут быть решены с помощью этих преобразований. Таким образом, функция /(®)=1п® решает задачу о нахождении потенциала бесконечной заряженной нити, f (w) = l/w позволяет найти поле двух параллельных заряженных нитей, с противоположными зарядами f(w) =zy3/2, определить поле заряженного прямого угла и т. п. Это не очень эффективный путь, в особенности если вспомнить, что он применим только к планарным полям. Тем не менее этот метод оказался весьма полезным при конструировании мультиполей, ограниченных прямыми линиями [79]. Метод, используемый для решения задач этого типа, называется преобразованием Шварца — Кристофеля.

Прежде чем закончить этот раздел, хотелось бы упомянуть еще об одной возможности вычисления планарных полей. Как следует из ортогональности пары и(х, у) и и(х, у), если одна из функций симметрична, то другая антисимметрична, т. е. если и^х, у^Цх, —yV то и(х, у)= — и(х, —у). Тогда, записывая (3.218) дважды (для у и —у) и используя вышеприведенные условия, получаем для распределения потенциала, симметричного относительно плоскости xz;

u(x,y) = [f(x+iy)+f(x—iy)]/2(3.223)

и для распределения потенциала, антисимметричного относительно той же плоскости:

Цх.у^—ЦДх-Цу') — f(x —iy)]/2.(3.224)

Используя эти общие соотношения, можно сразу получить уравнения (3.221) и (3.222) из (3.220).

О роли магнитных материалов

Аналитические методы, обсуждавшиеся до сих пор, одинаково применимы к электростатическим и магнитным полям при условии, что удовлетворены все требования, представленные во введении к гл. 3. Совершенно ясно, что магнитные поля, индуцируемые токопроводящими катушками без магнитных материалов, требуют другого подхода (см. разд. 3.1.5). В присутствии ферромагнитных материалов, однако, следует быть осторожным.

Магнитные поля в присутствии ферромагнетиков состоят из двух компонент: одна индуцируется возбуждающей катушкой, другая — намагниченностью самого материала. Намагниченность ферромагнитных материалов, однако, зависит не только от текущего состояния, но и от всей предыстории'. В результате зависимость магнитной индукции В от возбуждающего тока I (кривая намагничивания) не только существенно нелинейна, но и обнаруживает гистерезис. Кривые намагничивания и гистерезиса чувствительны к химической структуре материалов технологии их создания и предыстории использования.

Теория магнетизма весьма далека от предмета рассмотрения настоящей книги. Читатель может обратиться по этому вопросу к литературе [52]. Мы ограничимся только поверхностным обзором некоторых практических моментов.

В каждой точке кривой намагничивания относительная магнитная проницаемость цг может быть определена как отношение магнитной индукции в присутствии материала к магнитной индукции в его отсутствие. При малых возбуждающих токах относительная магнитная проницаемость в основном зависит от материала и его предыстории. При более высоких уровнях возбуждающего тока относительная магнитная проницаемость проходит через максимум и может достигать очень больших значений в широком диапазоне возбуждающих токов. При еще больших возбуждающих токах кривая намагничивания изгибается: магнитный материал достигает насыщения. В этой области кривая намагничивания становится линейной с очень малым наклоном, соответствующим единичной относительной проницаемости, и при дальнейшем росте возбуждающего тока увеличения намагниченности не происходит.

Магнитная линза обычно представляет собой аксиально-симметричный электромагнит или постоянный магнит. Через полюсные наконечники проходит канал для пучка частиц (рис. 27). Поле концентрируется в зазоре между полюсными наконечниками. Мы увидим в гл. 8, что желательно повысить концентрацию поля как можно больше для увеличения оптической силы. По этой причине применяются ферромагнитные материалы.

В сильных полях, однако, использование ферромагнитных материалов становится все менее и менее эффективным для концентрации поля. Вследствие насыщения намагниченность ма

териала не может превысить определенное значение.

Как следствие, максимальное поле на полюсах нельзя уве

личить за счет роста возбуждающего тока или уменьшения размеров. Распределение поля уширится вдоль оси, и полем во внешнем по отношению к полюсам канале нельзя пренебрегать. Поэтому следует избегать насыщения в магнитных системах везде, за исключением собственно полюсов. (В некоторых спе

циальных конструкциях, особенно при необходимости использования сверхсильных полей, насыщение допускается. Мы обра

тимся к этому случаю ниже.тимся к этому случаю ниже.)

тимся к этому случаю ниже.

тимся к этому случаю ниже.

Рис. 27. Железная магнитная линза.Рис. 27. Железная магнитная линза.Ферромагнитные материалы не представляют особых сложностей прн условии, что магнитный скалярный потенциал можно считать постоянным на поверхности материала. В этом случае, как мы видели во введении к этой главе, потенциал поля однозначно определяется уравнением Лапласа и распределением потенциала на границах. И практически нет различия между вычислением магнитного и соответ

Рис. 27. Железная магнитная линза.

Рис. 27. Железная магнитная линза.

ствующего электростатического поля. Таким образом, например, электростатическое поле двух цилиндров (разд. 3.1.2.2) полностью эквивалентно магнитному полю двух полюсов.

Этот простой подход, однако, применим только при следующих условиях:

влиянием любых токов можно пренебречь;

относительная проницаемость магнитного материала может считаться бесконечной;

материал ненасыщен.

Так как первые два допущения никогда не могут быть полностью удовлетворены, применение скалярного магнитного потенциала для определения магнитных полей является приближением, хотя и во многих случаях весьма хорошим.

Что необходимо для того, чтобы гарантировать правомочность использования этого приближения?

Влиянием токов можно пренебречь, если они хорошо экранированы от области прохождения пучка (см. магнитную линзу, показанную на рис. 27). Данному условию трудно удовлетворить, когда границы возбуждающих обмоток близки к полюсам. Это имеет место, когда необходимы толстые обмотки для

получения токов, достаточных для возбуждения сильных магнитных полей. В этом случае требуются дополнительные экранирующие материалы, и поэтому возрастает роль второго условия.

Ферромагнитные материалы с очень высокой (до 106) относительной магнитной проницаемостью широко доступны. Так как отношение тангенциальных составляющих магнитной индукции на границе раздела железо — воздух равно относительной магнитной проницаемости, в случае очень высокой проницаемости тангенциальная составляющая В практически равна нулю на воздушной стороне раздела. Тогда нет необходимости вычислять поле внутри материала. Погрешность, возникающая при этом приближении, по оценке [79] пропорциональна 1/рг.

Насыщения можно избежать, используя относительно малые возбуждающие токи, либо ферромагнетики с высокой плотностью насыщающего тока. В этих случаях магнитная индукция, возбуждаемая током, приблизительно пропорциональна току. Фактически удовлетворение требования бесконечной проницаемости автоматически ведет к удовлетворению и этого требования. В самом деле, в режиме насыщения относительная проницаемость близка к единице. Мы считаем отсутствие насыщения самостоятельным требованием только потому, что проницаемость переменна: насыщение может возникать даже в материалах с очень высокой проницаемостью при больших возбуждающих токах. Такие токи требуются при создании сверхсильных полей для управления пучками частиц высоких энергий. С другой стороны, очень слабые возбуждающие токи также таят опасность: тогда магнитная индукция почти полностью определяется существенно нелинейной остаточной намагниченностью материала. В этих случаях необходимо учитывать при вычислениях свойства ферромагнитных материалов.

Чтобы связать разность магнитных потенциалов между полюсами с возбуждающим током, необходимо использовать закон циркуляции Ампера. Его легко вывести из уравнений Максвелла (1.4) и теоремы Стокса (1.24). Намагниченность М учитывается добавлением эквивалентной объемной плотности тока:

JM = rotM (3.225)

к плотности тока свободных зарядов J/ в уравнении (1.4). Тогда для зависящих от времени полей имеем

rot B = po(J/ + rotM), (3.226) и, вводя вектор напряженности магнитного поля

Н = В/ро — М = В/р,(3.227)

где

Ц = ЦгЦо(3.228)

есть магнитная проницаемость, получаем из уравнений Максвелла

rotH=Jf.(3.229)

Записывая теперь теорему Стокса для вектора напряженности магнитного поля Н и подставляя rot Н из (3.229), получаем закон циркуляции Ампера:

Hds = $JrdS=^,(3.230)

где NI— полный ток, протекающий через контур Г (см. разд. 1.2.3). Закон циркуляции Ампера гласит, что циркуляция вектора Н по любому замкнутому контуру пропорциональна полному току, протекающему через контур. Полный ток записан в нестандартном виде, NI, так как обычно контур включает в себя катушку с N витками, через каждый из которых течет ток /. Тогда полный ток равен количеству ампер-витков.

Из уравнений (1.22) и (3.227) следует, что разность магнитных потенциалов между двумя произвольными точками Pi и Р2 определяется выражением

Ра

$ Hds-бп — <В2,(3.231)

Pi

где mi и 6)2 — значения потенциала в соответствующих точках. Вспомним также, что скалярный магнитный потенциал можно вводить только при постоянной проницаемости. В этом случае можно прямо вычислить разность магнитных потенциалов ©i— —6)2 между полюсами. Так как нормальная составляющая плотности магнитного потока непрерывна на границе раздела железо-воздух и при очень высоких значениях относительной проницаемости величиной Н в ферромагнитном материале можно пренебречь, с помощью соотношений (3.230) и (3.231) записываем

(3.232)(3.232)О)! «2 = Ы1.

(3.232)

(3.232)

(Эта формула основана на предположении о гипотетической граничной поверхности, исключающей токи, принимаемом для обоснования концепции скалярного магнитного потенциала [81]. несмотря на то что мы учитываем эффекты, связанные с наличием токов.) Так как полюса расположены очень близко к

оси (рис. 27), соотношения (3.231) и (3.232) дают для компоненты плотности потока

ХвДг=^1. (3.233) —ОО

Здесь пределы интегрирования бесконечны, так как поле концентрируется на полюсах (это допущение, естественно, несправедливо для насыщенных материалов).

Предположение об отсутствии сколь-нибудь значительной напряженности поля в материале означает, что индуцированный магнитный потенциал сконцентрирован в зазоре между полюсными наконечниками. Это падение магнитного потенциала должно составлять по крайней мере 95% суммарного числа ампервитков обмотки. Наше допущение также предполагает, что силовые линии магнитного поля перпендикулярны поверхности полюсных наконечников, т. е. поверхности, как и требуется, эквипотенциальны для магнитного поля.

Первые вычисления распределений поля ненасыщенных магнитных линз основывались на представлении полюсов в виде бесконечно длинных цилиндров, оканчивающихся бесконечно протяженными параллельными плоскостями, перпендикулярными оси зазора [82, 83J. Аксиальное распределение поля (и таким образом, действие линзы), в основном, зависит от одного параметра: отношения ширины зазора к диаметру канала s!D. Реальная форма магнитной системы не влияет существенно на распределение поля. Действие такой простой конструкции может быть смоделировано соленоидом длины s с тем же количеством ампер-витков и приблизительным диаметром 2D/3. Такой эквивалентный соленоид [84] является хорошим приближением при sfD>^,2.

Для достижения максимальной концентрации поля в окрестности зазора необходимо улучшение конструкции, так как условия насыщения сильно зависят от формы полюсных наконечников. Было установлено, что наилучший путь устранения насыщения заключается в формировании конического сужения полюсных наконечников [85] путем увеличения сечения за зазором, так что поток утечки замыкается без насыщения (рис. 28). Тогда для любой заданной величины s]D можно определить конический угол, минимизирующий насыщение.

Если диаметр Dx торцевых поверхностей полюсных наконечников много больше диаметра канала D, то влиянием краевых потоков на полюсах можно пренебречь, плотность потока в зазоре считать постоянной и формула (3.233) упрощается до тривиального соотношения ■

между магнитной индукцией и возбуждающим током. Для конических поверхностей можно использовать очень простую аналитическую модель [86J. Полюсные наконечники заменяются двойным конусом (рис. 29), и на конических поверхностях для обеспечения разности потенциалов NI поддерживаются потенциалы NI)2 и —NI}2 соответственно. Сферические координаты qi=R, ^2=6 и qs=a (R—абсолютная величина радиуса-вектора) особенно удобны для вычисления распределения потенциала. Они определяются соотношениями

x=/?sin9cosa, y=/?sin9sina, z=R cos 9.(3.235)

Отсюда с помощью (1.8) определяются коэффициенты Ламе hy = \, h2 = R, /i3=/?sin9,(3.236)

г

Рис. 28. Сужающиеся магнитные полюсные наконечники.

и уравнение Лапласа (1.23) можно записать, используя (1.19), в виде

1 д fдш\ ,1 д f .пдш\ .1 52<йА

( R-TV. ) Чпо—: О да" ( sin 9 па ) + :—2 а д 2 0.(3.237)

R2 dR \dR У 1Ra sin0 56 \ 56 У 1Ra sin2 6 da2v'

Очевидно, благодаря аксиальной симметрии зависимостьотази

мутальной координаты а отсутствует. Так как конические поверхности предполагаются эквипотенциальными, двухконусная модель не содержит какой-либо естественной единицы длины. Поэтому распределение скалярного потенциала не должно зависеть от изменения масштаба радиуса-вектора R. Как следствие, зависимостью потенциала от R можно пренебречь. Тогда уравнение (3.237) упрощается до

sin 9 5^= 0,(3.238)

do \ do /х '

из которого при интегрировании тотчас получается w(0)=Cilntg(0/2) + c2.(3.239)

Постоянные интегрирования Ci и с2 могут быть определены из значений потенциала на конических границах свободного пространства между полюсными наконечниками. Вследствие симметрии можно записать (см. рис. 29)

to(90)=jV//2,<я(л/2)=0.(3.240)

Тогда (3.239) принимает вид

/тNI In tg 8/2,n од м

ю(9)— 21ntg60/2 -(3.241)

Таким образом, эквипотенциальные поверхности являются коническими. Силовые линии магнитного поля являются дугами окружностей, которые пересекают эквипотенциальные поверхности под прямыми углами. Магнитная индукция имеет только 6-компоненту. Она определяется из (1.22), (1.13) и (3.241):

(3.242)(3.242)NINININIРис. 29. Модель полюсного наконечника в виде двойного конусаРис. 29. Модель полюсного наконечника в виде двойного конусаго IV/2R sin6 In tg60/2 "го IV/2R sin6 In tg60/2 "о Ио ^<о°9 R d9

(3.242)

(3.242)

NI

NI

NI

NI

Рис. 29. Модель полюсного наконечника в виде двойного конуса

Рис. 29. Модель полюсного наконечника в виде двойного конуса

го IV/

2R sin6 In tg60/2 "

го IV/

2R sin6 In tg60/2 "

Можно видеть, что магнитная индукция уменьшается по мере удаления от центра системы полюсных наконечников. Она достигает максимима на поверхностях, а минимума в плоскости симметрии, перпендикулярной оси z и проходящей через центр системы. Силовые линии идут от больше

го потенциала к меньшему. Знак минус в (3.242) согласуется с соотношением (3.232), требующим уменьшения потенциала вдоль оси при положительном возбуждающем источнике.

Представленная модель является слишком упрощенной. Конические полюсные наконечники не имеют общего острия и зазором между ними нельзя пренебречь. Однако можно показать [86], что эта модель дает хорошее приближение для больших конических углов полураствора 60. Так как этот угол должен лежать между 50 и 70° для поддержания плотности потока на приемлемо низком уровне [84], модель может применяться для быстрого конструирования систем магнитных линз. Приближенная картина силовых линий поля показана на рис. 28. Она состоит из двух областей: почти однородного поля в зазоре и кругового поля между коническими поверхностями. Тогда можно вычислить магнитные сопротивления параллельной части зазора и конической поверхности полюса. Они, как магнитные элементы, соединены параллельно, поэтому для получения обратной величины полного магнитного сопротивления следует сло-

жить соответствующие обратные величины. Так как магнитное сопротивление /?м связано с потоком ф простым соотношением

RM=Nll<p,(3.243)

легко оценить поток через полюса и среднюю магнитную индукцию в полюсах.

Вычисления показывают, что для малых значений 0О магнитная индукция сначала возрастает, прежде чем начать уменьшаться по мере продвижения вдоль полюсного наконечника в аксиальном направлении. Этот эффект особенно значителен при s/£>i>0,3. Поэтому, если мы хотим работать вблизи насыщения, желателен большой угол наклона (0о=7О°).

Описанный метод совершенно непригоден при малых конических углах, либо когда диаметр торца полюсного наконечника Dx становится сравнимым с зазором $. В этих случаях с неизбежностью необходимо рассматривать всю магнитную систему. Детализированное рассмотрение различных подходов при практическом конструировании линз (включая линзы на основе постоянных магнитов) можно найти в литературе [87, 88J.

Для очень сильных линз необходимы высокие значения магнитной индукции. Это с неизбежностью ведет к уровням возбуждающих токов и размерам полюсных наконечников, попадающим в область режима насыщения. При NI> 1000 s (зазор выражен в миллиметрах) следует быть готовым к учету насыщения. Если большая катушка практически полностью экранируется массивной ферромагнитной системой, аксиальная составляющая магнитной индукции будет почти полностью определяться намагниченностью полюсных наконечников. Однако когда относительная проницаемость падает ниже 100, в вычислениях следует строго учитывать геометрию магнитной системы и обмоток. Железные поверхности не являются более эквипотенциальными, и падения магнитного потенциала в различных частях материала следует аккуратно вычислять. Если только малые области полюсных наконечников достигают насыщения, линза может хорошо работать [85J, даже с некоторым улучшением по сравнению с ненасыщенным режимом [89]. В этом случае удобно характеризовать распределение магнитной индукции ее максимальным значением и полушириной (расстоянием, на котором индукция уменьшается вдвое по сравнению с максимумом). Эти величины могут быть выражены через уровни возбуждающих токов и геометрические параметры полюсных наконечников. Этот подход делает возможным использование простых моделей магнитных линз (см. гл. 8) для анализа электронно-оптических свойств при не очень высоких значениях магнитной индукции.

В некоторых особых случаях дуализм электромагнитного поля может быть использован при аналитических вычислениях. Это свойство позволяет преобразовать задачу вычисления магнитного поля в математически эквивалентную задачу расчета электростатического поля. Таким путем могут рассматриваться сложные магнитные поля [90, 91J, но метод пригоден только в том случае, если соответствующая электростатическая задача решается аналитически.

Из вышеприведенного анализа ясно, что не существует общего аналитического метода, позволяющего учесть все характеристики магнитной системы. В случае сложных магнитных линз положение обмотки и распределение плотности тока в ней следует также принимать во внимание. При необходимости детального анализа магнитных линз необходимо применять как измерения, так и численные методы. Мы рассмотрим такой подход ниже в настоящей главе.

Аналитическое вычисление магнитных полей, индуцируемых токами

Характеристики линз на основе ферромагнитных материалов ограничиваются нелинейными свойствами этих материалов, тогда как ограничивающим фактором не содержащих ферромагнитных материалов линз является максимальный ток, поддерживаемый обмоткой. В отсутствие магнитных материалов аналитическое вычисление магнитных полей, индуцируемых проводниками с током, относительно просто. Закон Био — Савара дает несложную формулу для вычисления магнитной индукции.

Закон Био — Савара. Если магнитное поле индуцируется током, магнитный векторный потенциал А может быть определен из соотношения (1.12). Векторный потенциал выражается через распределение плотности тока J хорошо известной формулой

А=(цо/4л) SJIR-M-W, (3.244)

где R — радиус-вектор точки Р, в которой мы хотим определить векторный потенциал (рис. 30), Rs — радиус-вектор элемента объема dV, и интегрирование следует вести по всему объему V, где есть токи. Если токи / текут в проводниках постоянного сечения S в направлениях, определяемых вектором ds в каждой точке системы проводников, можно заменить объемный интеграл линейным с помощью простого соотношения

Используя (1.12), (3.244) и (3.245), получаем для магнитной

(3.246)(3.246)индукции

(3.246)

(3.246)

В= (ц,»/4л) $ rot/|R—Rs|-1ds.г

Здесь мы учли, что ротор берется в точке Р, а интегрирование должно проводиться по линиям тока Г. Эти две операции являются взаимно независимыми, поэтому можно поменять их порядок. Так как следует вычислить ротор от произведения скаляра и вектора, можно использовать тождество rot (I | R — Rs | -1ds) = 11R — Rs | -1 rot (ds) +

+ (grad/|R — RshOXds. (3.247) И вновь, так как вектор ds не связан с точкой Р, соответствующий ротор равен нулю. На практике Z=const (через сложную

Рис. 30. Элемент индукции согласно Рис. 31. Магнитное поле прямоли- закону Био — Савара.нейного проводника.Рис. 30. Элемент индукции согласно Рис. 31. Магнитное поле прямоли- закону Био — Савара.нейного проводника.

Рис. 30. Элемент индукции согласно Рис. 31. Магнитное поле прямоли- закону Био — Савара.нейного проводника.

Рис. 30. Элемент индукции согласно Рис. 31. Магнитное поле прямоли- закону Био — Савара.нейного проводника.

систему проводников протекает один и тот же ток). Оставшийся градиент легко вычислить

grad(1/| R — R$|)—grad(| R — R$| )/(R — Rs)2 =

,=— (R —Rs)/|R — Rs |3.(3.248)

Используя эти соотношения, получаем окончательную форму закона Био — Савара в виде

В^В=(ц0//4л) $dsX(R—Rs)/|R—Rs|3-(3.249)

гг

Как можно видеть, магнитная индукция выражается в виде суммы элементарных вкладов от каждого бесконечно малого элемента тока. Это точное соотношение. Оно позволяет вычислить магнитную индукцию, создаваемую любой системой проводников с током. Конечно, не всегда возможно выполнить интегрирование в замкнутой форме, но аналитические решения

существуют для ряда важных практических случаев. Ниже мы выведем некоторые из них.

Поле прямолинейного проводника. Простейшим случаем является прямолинейный проводник с постоянным током/, протекающим в направлении оси z (рис. 31). Очевидно, что направление вектора dB перпендикулярно плоскости рисунка и вектор направлен от нас в соответствии с правилом правой руки независимо от расположения элемента тока /ds и точки Р. Таким образом, направление вектора В будет таким же после интегрирования вдоль проводника. Так как уже известно направление вектора В, можно вычислить его абсолютное значение. Из рис. 31 с очевидностью следует, что

| ds X (R — Rs) | =r2d0/cos2 p,(3.250)

|R — Rs|=r/cosp,(3.251)

где r — расстояние между проводником и точкой Р. Тогда (3.249) дает

В = еа(ца//4лг) $cospdp =

Pi

= еа(цо//4лг) (sin р2 — sin Pi),(3.252)

где еа — единичный вектор в азимутальном направлении (поле вокруг прямолинейного проводника направлено по замкнутым окружностям), Pt и р2 — угловые координаты концов проводника а и b соответственно.

Для бесконечно длинного проводника pt = —л/2 ир2 = л/2, и в результате получается хорошо известная формула

В = еаЦо//2л г.(3.253)

Поле круговой петли. Следующий пример является очень важным. Магнитное поле, индуцируемое током, протекающим через круговую петлю, является простейшей магнитной линзой. Так как аксиальное распределение поля однозначно определяет поле во всем объеме, мы ограничимся определением поля только вдоль оси петли.

Рассмотрим петлю радиуса а, поддерживающую постоянный ток I и расположенную в плоскости, перпендикулярной оси z (рис. 32). Тотчас видно, что совокупность векторов dB сформирует коническую поверхность с вершиной в точке Р. Соответственно аксиальные компоненты векторов будут иметь одно направление, а радиальные компоненты попарно взаимно скомпенсируются (одна пара таких элементов показана на рисунке). Поэтому результирующий вектор магнитной индукции В будет иметь только аксиальную составляющую Вг в соответствии со

вторым правилом правой руки. Так как элемент тока в этом случае всегда перпендикулярен вектору (R—Rs) и

dBz = adB (a2 + z2)-‘/2,dBz = adB (a2 + z2)-‘/2,(3.254)(3.254)

dBz = adB (a2 + z2)-‘/2,

dBz = adB (a2 + z2)-‘/2,

(3.254)

(3.254)

из (3.249) получаем выражение для аксиальной составляющей магнитной индукции:

Bz (z) = f dBz =^°1а v- £ ds =•(3• 255)

J z 4n(a2+z2)3/2 J2(a2 + z2)3/2

Отсюда видно, что индукция достигает максимума в центре петли, где

Вг тах = Вг (0) = ц07/2а.(3.256)

Рис. 32. Магнитное поле петли.Рис. 32. Магнитное поле петли.Магнитная индукция медленно спадает от центра и обращается в нуль на бесконечности (см. рис. 57).

Рис. 32. Магнитное поле петли.

Рис. 32. Магнитное поле петли.

Рис. 33. Тонкий соленоид.

Поле тонкого соленоида. Вычислим теперь аксиальное распределение магнитной индукции, создаваемой соленоидом длины I и радиуса а, состоящего из N витков с током I. Искомое поле можно считать суперпозицией полей от N петель, рассмотренных в предыдущем разделе. Перепишем соотношение (3.255) в обозначениях рис. 32:

Bz=(p0Z/2a)sin3Y. (3.257)

Если расстояние между витками достаточно мало, можно ввести линейную плотность тока NIJI. Тогда магнитная индукция dBx в точке Р, созданная петлей длины dz на расстоянии z от центра, есть

dBz= (\noNIJ2la') sin3 ^dz.(3.258)

Рассматривая малый интервал х, замечаем, что

sin 7 dz,=ad^/sin у,(3.259)

и (3.258) преобразуется к виду

dBz= (n0NI/2l)sin ^d^.(3.260)

Теперь необходимо взять интеграл от 71 до 72 (углы между осью г и линиями, соединяющими концы соленоида с точкой Р), чтобы получить суммарное значение магнитной индукции в точке Р (рис. 33):

Bz(z) = (noNI/21) (cos7i — cos72),(3.261)

где

cos 71 = (Z/2 + z) [ (Z/2 + z)2 + a2] ~1/2,(3.262)

cos 72=— (Z/2 — z) [ (Z/2 — z)2 + a2] -1/2.(3.263)

Магнитная индукция имеет максимальное значение в центре (z = 0):

BZmax=Bz(0) =HojVZ(Z2 + 4a2)-‘/2(3.264)

и медленно спадает до нуля на бесконечности.

Соленоид может служить моделью симметричной железной полюсной линзы (см. разд. 3.1.4).

11Рис. 34. Катушка конечных размеров.Рис. 34. Катушка конечных размеров.

1

1

Рис. 34. Катушка конечных размеров.

Рис. 34. Катушка конечных размеров.

Для очень длинных соленоидов значения cos 71 = 1 и cos72.= =—1 являются хорошими приближениями, и тогда получается простое соотношение для магнитной индукции однородного поля внутри длинного соленоида:

(3.265)(3.265)вг=^ш.

(3.265)

(3.265)

Заметим, что вследствие конечных размеров проводников количество витков нельзя увеличить выше определенного предела. Поэтому на практике применяются многослойные катушки.

Поле многослойной катушки. Магнитную индукцию многослойной катушки легко получить исходя из результата для тонкого соленоида [92]. Сечение катушки конечных размеров показано на рис. 34. Можно считать, что она состоит из конечного числа тонких соленоидов, намотанных послойно один на другой, начиная с радиуса гх и кончая радиусом Гг- Если об-

мотка однородна в радиальном у аксиальном направлениях и общее число витков равно N, то плотность тока постоянна и определяется количеством ампер-витков на единицу площади сечения катушки. Тогда магнитная индукция, создаваемая слоем радиуса г в точке Р на оси, может быть определена из (3.261) в обозначениях рис. 34 в виде

dB (z) =(cos а —"cos 0) dr.(3.266)

Индекс z опущен, так как известно, что в осевых точках магнитная индукция имеет только аксиальную составляющую. Чтобы найти полную магнитную индукцию в точке Р, полученное соотношение необходимо проинтегрировать от г^ до г^. Интегрирование проще выполнить в угловых переменных. Рассматривая углы аир, тотчас имеем

dr= (z+Z/2)da/cos2a = (z— Z/2)dp/cos2 p (3.267) и суммарное распределение магнитной индукции дается выражением

Га,В, '

В (Z) = (z + z/2) f —— (z—Z/2) f -^r =

'2(r2—ri)/ v 1 ' 7 J cos a '' ' J cos p

LctiPt *

1/2) In ^4$ ], (3.268)

где ai, a2, Pi и p2— предельные значения углов аир соответственно (рис. 34). Соотношение (3.268) можно преобразовать к виду

о мГ I 1 O+sinag) (1 —Sinai)

* '4(г2—r^l"^ ' / (1—sinag) (1-f-sinai)

_ /- _ in (l+sinp2)(l — sin Pl) _(ZП (1 — sin p2) (1 + sin Pi)

-Ио^ / in r2 + ['"i + (z + //2)2]1/2 -2(Г2-Г1)/+1П ri + [r» + (z + Z/2)2]l/2

- (z - Z/2) In '2+-^+(z~Z/№ 1, (3.269) '' Г1+[ri + (2 —//2)2]1/21V 1

поскольку

sina=r[r2+ (z + Z/2)2]~1/2,

(3.270)

sinp=r[r2+(z-Z/2)2]~V2

(для предельных значений вместо г следует подставить Г\ и г2). Если линейные размеры обмотки малы по сравнению с радиу-

сом катушки, из (3.269) можно вывести приближенное выражение в форме (3.255), т. е. получается «эквивалентная петля» для катушки с «эквивалентным радиусом» а с учетом физических размеров обмотки [16]. Такие формулы могут быть использованы только для быстрой оценки свойств катушки. Так как соотношение (3.269) является строгим и относительно простым, его следует использовать при всех вычислениях распределений магнитной индукции от катушек конечных размеров.

Можно точно определить распределение магнитной индукции от прямоугольных катушек [93], конических катушек [94] и даже катушек с переменным сечением.

Поле плоской катушки. Плоская спиральная магнитная линза (рис. 35) также может быть использована как фокусирующий элемент [84]. Аксиальное распределение магнитной индукции такой катушки может быть определено из (3.255) интегрированием. В самом деле, если создать обмотки из N витков, расположенных один на другом, и ввести линейную плотность тока в радиальном направлении [М//(г2—rj], то можно записать выражение для полной магнитной индукции в точке Р в виде

В(г) =В(г) =2 (r2—rt)2 (r2—rt)

В(г) =

В(г) =

2 (r2—rt)

2 (r2—rt)

-^И+гТ‘" + 1п^±^.]. (3.271)

Максимальное значение магнитной индукции равно

Bmax = B (0) = [цоМ7/2(г2 — ri)]ln(r2/ri).(3.272)

Соотношение (3.271) является / = 0, но этот факт замаскирован неопределенной формой предельного случая.

частным случаем (3.269) длячастным случаем (3.269) для:. 35. Плоская линза.:. 35. Плоская линза.Сравнивая (3.264) и (3.272), можно видеть, что для заданной линейной плотности тока плоская катушка всегда обеспечивает большую максимальную магнитную индукцию, чем соленоид, так как отношение г2/Г1 может быть очень высо- F

частным случаем (3.269) для

частным случаем (3.269) для

:. 35. Плоская линза.

:. 35. Плоская линза.

ким. Очевидно, что поле плоской катушки также гораздо сильнее сконцентрировано. Мы обсудим электронно-оптические свойства такой катушки в разд. 8.4.2.4.

Закон Био — Савара можно также применить для вычисления многих других распределений магнитного поля. Среди них особенно важными являются тороидальное и седловое отклоняющее ярмо [95, 96].

3.2. Измерение полей и аналоговые методы

Мы уже убедились, что аналитический подход можно использовать только в некоторых благоприятных случаях. В общем случае следует полагаться на измерения либо численные расчеты. И хотя современные цифровые компьютеры позволяют выполнить полный анализ (и даже синтез!) практически любой электронной или ионной оптической системы, важность прямых измерений по-прежнему трудно отрицать. Только эксперимент может окончательно подтвердить правильность проведенных вычислений.

Для достоверного определения сложных магнитных полей, особенно в присутствии насыщенных материалов, измерения просто необходимы. Прямые измерения электростатических полей весьма затруднительны в вакууме (и даже в воздухе) вследствие пренебрежимо малой проводимости среды. Поэтому для этих целей были разработаны аналоговые методы. Благодаря простоте и эффективности эти методы определения полей не могут быть полностью отвергнуты даже в эпоху всеобщего распространения цифровых компьютеров по следующим причинам:

Процесс решения с помощью аналогового метода позволяет лучше понять проблему, чем решение той же задачи с помощью цифрового компьютера. Аналоговые компьютеры до сих пор используются для построения траекторий пучков в ускорителях частиц. Подстраивая узлы аналогового компьютера, конструктор может непосредственно наблюдать влияние непрерывных изменений при возбуждении линзы на форму пучка.

Хотя автор полностью верит в огромные возможности цифровых компьютеров и искусственного интеллекта (см. гл. 9), он также уверен в том, что инженерная и научная изобретательность вряд ли может быть заменена машинами, сколь бы дорогими и сложными они не были. Талантливый инженер, снабженный резисторной сетью и программируемым калькулятором, может состязаться с посредственным коллегой, даже если последний располагает суперкомпьютером.

Численные вычисления трехмерных полей требуют громадных вычислительных ресурсов. Поэтому измерение полей с 428

очень низкой симметрией (например, коротких квадруполей) гораздо дешевле численных расчетов.

Наконец, большой объем превосходных работ, выполненных за многие годы развития электронной и ионной оптики тысячами упорных исследователей, занятых долгими измерениями и утомительными ручными вычислениями, полностью оправдан тем, что их более счастливые преемники должны по крайней мере иметь представление об использованных методах.

Поэтому далее мы кратко рассмотрим методы измерения магнитных полей, а также аналоговые методы определения полей.

Измерение магнитных полей

Данное краткое введение в различные методы измерения магнитных полей не может претендовать на детальное описание, поэтому интересующимся читателям рекомендуем обратиться к специализированной литературе [97J.

Электромагнитная индукция. Согласно уравнениям Максвелла (1.2), магнитное поле, изменяющееся во времени, генерирует электрическое поле. Аналогично, если небольшая катушка перемещается в постоянном магнитном поле, которое подлежит измерению, на ее концах наведется электродвижущая сила. Электродвижущая сила $ пропорциональна производной во времени от магнитного потока ф и может быть легко измерена. Катушка может перемещаться в магнитном поле раскачиванием, вращением, вибрацией и т. д.

Если измерительная катушка присоединена к баллистическому гальванометру, то электродвижущая сила вызовет ток i в цепи с сопротивлением R и индуктивностью L. Тогда

^=— d^dt = iR+LdMdt. (3.273) Интегрируя это выражение по временному интервалу Т, в течение которого движется катушка, получаем

т

Ф1 — ф2=/? $ idt+L(i2 — ii) = Rq, (3.274) о

где индексы «1» и «2» относятся к началу и окончанию движения катушки соответственно (ток имеет нулевое значение в оба момента), q— полный заряд, прошедший через цепь. Этот заряд непосредственно измеряется баллистическим гальванометром, а магнитный поток просто связан с индукцией q> = NSBn, где N — количество витков, S — площадь охватываемая катушкой, Sn — нормальная по отношению к катушке составляющая магнитной индукции (для небольшой катушки магнитную индукцию можно считать постоянной внутри измерительной катуш-

ки). Измеряя компоненты индукции в трех взаимно перпендикулярных направлениях, можно определить распределение вектора магнитной индукции.

Естественно, размер измерительной катушки должен быть достаточно мал при измерении распределения сильно неоднородного магнитного поля. Это имеет особенно большое значение, ког

да измерения должны проводиться в условиях насыщения на реальном магните, а не на его увеличенной модели вследствие существенно нелинейного характера насыщения. Для повышения

чувствительности необходимо увеличить количество витков. Но

в этом случае необходимо определить эффективную площадь катушки путем калибровки в хорошо известном однородном поле (например, в соленоиде).

Как точность, так и чувст-

Рис. 36. Эффект Холла.Рис. 36. Эффект Холла.вительность измерения могут быть повышены при использовании двух вращающихся катушек: одна в измеряемом поле, а другая в опорном однородном поле. Измерение основано на точном уравнове

Рис. 36. Эффект Холла.

Рис. 36. Эффект Холла.

шивании двух электродвижущих сил путем изменения тока в опорном соленоиде. Относительная точность такого метода очень высока (0,01%), но при этом требуется очень хорошая взаимная экранировка двух полей. Указанную трудность мож

но устранить использованием электростатического опорного потенциала.

Эффект Холла. Эффект Холла является следствием силы Лоренца [уравнение (1.14)], действующей на заряженную частицу в магнитном поле. Пусть кристалл помещен в магнитном поле В (рис. 36). Если через него протекает ток плотностью J в направлении, перпендикулярном В, то сила Лоренца, действующая на носители, заставит их отклониться вверх. В зависимости от знака носителей на верхней поверхности кристалла образуется отрицательный или положительный поверхностный заряд (отрицательный для электронов и положительный для дырок), а на нижней поверхности — заряд противоположного знака. Поверхностный заряд приведет к образованию разности потенциалов V между двумя поверхностями, которая может быть точно измерена. Поверхностные заряды будут накапливаться до тех пор, пока сила Лоренца в точности не уравновесится электростатической силой между двумя слоями. В равновесии результирующее электростатическое поперечное поле составит

E=V!d=u4m^B = JB!nQ,E=V!d=u4m^B = JB!nQ,(3.275)(3.275)

E=V!d=u4m^B = JB!nQ,

E=V!d=u4m^B = JB!nQ,

(3.275)

(3.275)

где d — толщина кристалла (в вертикальном направлении), «drift— дрейфовая скорость носителей, ап — их концентрация. Таким образом, разность потенциалов зависит от геометрических размеров кристалла, внешней магнитной индукции, плотности тока и концентрации носителей. Поэтому эффект Холла широко применяется для определения как концентрации, так и знака носителей в полупроводниковых кристаллах.

Очевидно, что для данного материала с известной концентрацией носителей этот эффект можно использовать для определения магнитной индукции. Ясно, что для повышения чувствительности необходимо использовать материал с низкой концентрацией носителей. Так как коэффициент Холла

RH=\]Qn (3.276)

пропорционален подвижности носителей, в качестве датчиков Холла предпочтительны материалы с высокой подвижностью носителей, такие, как InAs и InSb. Датчик Холла может иметь очень малые размеры, что определяет возможность точных измерений. Препятствием является сильная температурная зависимость коэффициента Холла.

Пермаллоевые и висмутовые датчики. Пермаллой — это ферромагнитный материал на основе особого Ni—Fe сплава. Он легко переводится в состояние насыщения, и индукция насыщения может быть легко обращена небольшим изменением магнитного поля. Разность в значениях индукции равна удвоенной индукции насыщения. Возбуждение обычно обеспечивается переменными токами в двух пермаллоевых датчиках, соединенных параллельно, а измеряются высшие гармоники, вызываемые внешним полем. Этот принцип позволяет проводить измерения с относительной точностью лучше 0,1%.

Действие висмутового датчика гораздо проще. Хорошо известно, что электрическая проводимость висмута существенно зависит от внешнего магнитного поля, в котором находится материал. Если температура висмутового проводника поддерживается строго постоянной, возможны достаточно точные измерения распределения внешнего поля.

Магнитный резонанс. Наиболее точные методы измерения магнитных полей основаны на эффекте магнитного резонанса. Если атомная система помещена во внешнее магнитное поле, не столь сильное, чтобы разрушить саму систему, поле вызовет изменения в энергетической структуре системы. Появятся новые энергетические уровни, и расстояние AVF между соседними уровнями соответствует определенной частоте шр:

АГ = /кОр/2л. (3.277)

Эта частота лежит обычно в микроволновом диапазоне. Если теперь облучить материал фотонами той же частоты, возникнет резонансное поглощение: энергия системы изменится на величину A IF. Так как

top=gQB12m0,(3.278)

где g (фактор Ланде) — количественная характеристика состояния системы, измерение частоты немедленно дает величину магнитной индукции. Фактор Ланде можно вычислить квантовомеханическими методами. Он в точности равен единице для системы с чисто орбитальным моментом и в точности равен двум для системы с чисто спиновым моментом. В более сложных случаях g лежит между единицей и двойкой.

Такие же рассуждения справедливы и для ядерных систем. Тогда в (3.278) то — масса протона, а величина g больше примерно в 2,79 раза по сравнению с предыдущим случаем. В результате резонансная частота будет в 660 раз меньше, чем для электронов. Но измерение частоты по-прежнему обеспечивает очень высокую точность (относительная ошибка порядка 0,01%) определения магнитной индукции в широком диапазоне величин. Ядерный магнитный резонанс также может быть использован для измерения градиентов магнитных полей.

Существуют и другие методы измерения магнитных полей. Можно измерить силу, действующую со стороны поля на проводник с током, и отсюда вычислить значения магнитной индукции. Более точный подход заключается в измерении отклонения полей пучка электронов. Естественно, этот метод в основном применим только к однородным полям.

Аналоговые методы

Как уже говорилось, аналоговые методы будут представлены кратко, в основном из исторического интереса. Читателей, интересующихся деталями, отошлем к литературе [98J.

Электролитическая ванна. Проводимость в электролите определяется законом Ома

J = oE,(3.279)

где а — проводимость среды. В стационарном случае уравнение неразрывности (сохранения заряда) принимает форму

divJ = 0.(3.280)

В случае однородного электролита проводимость постоянна. Подставляя (3.279) и (1.17) в (3.280), приходим к уравнению

Лапласа (1.18) при р = 0. Отсюда тотчас следует, что если граничные условия одинаковы, распределение потенциала в электролите будет таким же, как в вакууме. Благодаря конечной проводимости электролита это распределение в электролите гораздо легче измерить, чем в вакууме. Измерения обычно осуществляются с помощью измерительного моста и всегда на переменном токе (в противном случае электролит разлагался бы вследствие электролиза). Более того, так как уравнение Лапласа линейно, как потенциалы, так и геометрические размеры можно изменять по нашему усмотрению.

Дополнительное преимущество состоит в том, что симметрия моделируемой системы может быть легко использована в электролитической ванне. Следует только вспомнить метод изображений в электростатике. Если заменить эквипотенциальную поверхность реальной проводящей поверхностью, естественно, ничего не изменится в распределении потенциала. Однако теперь можно забыть обо всех зарядах, индуцированных полем, если они расположены вне проводящей поверхности, так как, устанавливая ее потенциал равным значению, созданному на эквипотенциальной поверхности этими зарядами, мы фактически заменяем их поверхностью. Поэтому, например, заряд вблизи проводящей поверхности будет эквивалентен этому заряду и другому заряду такой же величины, но противоположного знака, расположенному вне поверхности на таком же расстоянии от нее, но без физического присутствия проводника. Если поверхность проводника плоская, она будет автоматически действовать как плоскость антисимметрии для распределения поля.

На изолирующих границах нормальная составляющая плотности тока равна нулю, поскольку ток никогда не протекает через изолятор. Поэтому заряд вблизи изолирующей границы эквивалентен исходному заряду и такому же заряду, расположенному вне изолирующей поверхности на том же расстоянии от нее. Если изолирующая поверхность плоская, она действует как плоскость симметрии для распределения поля.

Согласно этому правилу, можно вводить в электролитическую ванну проводящие и изолирующие поверхности для создания плоскостей симметрии и антисимметрии. И таким образом, нет необходимости создавать полную модель системы электродов. Используя все имеющиеся типы симметрии, малую часть системы можно использовать для воспроизведения всей системы с помощью таких поверхностей. Это особенно удобно при измерении мультипольных полей. Стенки и дно электролитической ванны являются естественными плоскостями симметрии либо антисимметрии в зависимости от их материала. Поверхность электролита также является изолятором, который можно использовать как плоскость симметрии.

Таким путем легко моделировать специальные системы электродов, используемых в электронной и ионной оптике. Например, планарное поле может быть просто смоделировано в мелкой электролитической ванне с изолирующим дном. Короткие электроды, расположенные перпендикулярно обеим поверхностям, отобразятся бесконечное число раз в обеих поверхностях, таким образом, создавая модель бесконечно длинной системы. Аналогично аксиально-симметричная система может быть моделирована клинообразной электролитической ванной. Линия пересечения наклонного дна и поверхности электролита образует ось симметрии. В этом случае в электролите можно использовать простые электроды в форме секторов. Они будут автоматически продолжены двумя поверхностями и сформируют тело вращения. Периодические поля можно моделировать, помещая один элемент в электролит и используя отображающие свойства поверхностей. К сожалению, преимущество использования стенок электролитической ванны как отображающих поверхностей превращается в недостаток, когда моделируется единичная открытая система: в этом случае поверхности являются существенным фактором, возмущающим распределение поля. Возмущения, вызванные стенками, могут быть существенно уменьшены, если материалом стенок является специально подобранный для этих целей полупроводник.

Могут быть созданы такие модели со сложными границами. Так как «вычисления» автоматически осуществляются моделью, сложность граничных условий не составляет проблемы. Электролитическая ячейка может также моделировать очень сложные, несимметричные трехмерные системы, численный расчет которых требует длительного времени и больших объемов памяти.

Естественно, что магнитные поля можно моделировать аналогичными методами, если допустимо применение магнитного скалярного потенциала. Возможно даже моделирование магнитных полей в присутствии токов. Пространственный заряд можно также моделировать либо использованием электролитической ванны с переменной глубиной, либо инжекцией дополнительных токов.

Электролитическая ванна служила основой автоматического построителя траекторий, который вычерчивал траектории частиц в полях, измеряемых в ванне.

Резисторная сеть. Электролитическая ванна является непрерывной моделью, но возможно также построение дискретных моделей для определения распределений потенциалов. Это на шаг ближе к численным методам, которые мы собираемся обсудить в разд. 3.3.

Прежде всего преобразуем дифференциальное уравнение Лапласа в уравнение конечных разностей. Для простоты используем уравнение (1.20), записанное в декартовых координатах. По определению.

ит ^-(х + Лх, у, г) — ^(х, у, z) Ах =

= lim 1 lim [u(x + Ax, у, z^ — u^x, у, z)]/Ax— Дх->-0 1Ах->-0

—- lim [w (x, у, z)— w(x —Ax, y, z)]/Ax|lAx =

= lim [u(x-|-Ax, y, z) — 2u(x, y, z) + u(x—Ax, y, z)l/(Ax)2. Ax->0

(3.281)

Аналогично

44 = lim [u (x, y-V^y, z^ — ^x, y, z) + u(x, y — Ay, z)]/(Ay)2 °y Az/^O

(3.282)

lim [u(x, у, z + Az) —2u(x, y, z) + u(x, y, z — Az)l/(Az)2.

Oz Az-^0

(3.283)

Подставляя эти выражения в (1.20) при р = 0 и полагая, что Ax = Az/=Az=6 очень малы, но конечны, получаем•

и(х-]-6, у, z) + u(x, у + 6, z) +u(x, у, z + 6) +

+ u (х — 6, у, г) + и (х, у — 6,2) + и (х, у, г — 6) =

= 6и(х, у, г).(3.284)

Математическое обоснование этого допущения будет дано в разд. 3.3.2. Соотношение (3.284) означает, что потенциал в любой произвольной точке с координатами х, у, z есть среднее арифметическое шести значений потенциала, измеренных в шести эквидистантных точках в окрестности данной.

Представим теперь, что имеется шесть резисторов с одинаковым сопротивлением между этой и каждой соседней точкой. Тогда, согласно закону Ома, ток, текущий из каждой соседней точки к нашей, равен разности потенциалов между ними, деленной на сопротивление. С другой стороны, алгебраическая сумма этих токов в данной точке должна равняться нулю (закон Кирхгофа). В результате мы приходим к уравнению для потенциала, в точности такому же как (3.284). Это означает, что цепь резисторов с одинаковыми сопротивлениями между точками пересечения (узлами) сетки является моделью распределения потенциала в декартовой системе координат. Соединяя узлы, соответствующие электродам в реальной системе, и под-

держивая на них заданные потенциалы, мы создаем распределение потенциала, эквивалентное распределению потенциала в реальной системе. Потенциалы в узлах можно измерить с помощью измерительного моста либо цифрового вольтметра, причем эти измерения легко автоматизировать.

Точность метода зависит от размера ячейки и в большей степени от формы границ и граничных условий. Естественно, чем больше элементов в цепи (чем меньше размер ячейки для данной задачи), тем точнее аппроксимация непрерывной задачи. На границах, однако, ситуация более критична по двум причинам. Мы уже знакомы с первой причиной: границы цепи действуют как отображающие поверхности, которые можно использовать при наличии симметрии, но для открытых систем это серьезный возмущающий фактор. Изменяя значение сопротивлений, можно сконструировать специальные сетки с квази- бесконечными границами [991- Вторая причина связана с дискретным характером метода. Легко смоделировать прямолинейные границы, однако в случае криволинейных границ, не проходящих точно через узлы, возникают проблемы. В результате распределение потенциала плоского конденсатора может быть моделировано с относительной погрешностью лучше чем 0,1%, но погрешность для цилиндрического конденсатора может достигать 4% (100]. (Конечно, цилиндрический конденсатор можно моделировать с очень высокой точностью, используя цепь для цилиндрических координат, описанную ниже.) Можно аппроксимировать криволинейные границы, опуская некоторые узлы и используя только те, которые очень близки к границе, но тогда возникает дополнительная ошибка из-за проникновения поля через промежутки, созданные опущенными узлами. Более удачный подход заключается в использовании многоэлементной резисторной сетки и аппроксимации искривленных границ плоскими поверхностями, соединяющими узлы, наиболее близко расположенные к контуру электрода. Очевидно, что ошибки максимальны в окрестности резких краев и электродов с малым радиусом кривизны. Если требуется очень высокая точность для моделирования электродов, не совпадающих с узлами, можно ввести специально подобранные шунтирующие сопротивления [101]. Пространственный заряд также можно учесть, инжектируя токи в резисторные узлы.

Строить трехмерные резисторные сетки неудобно. Для планарных, аксиально-симметричных и любых других систем, описываемых двумя координатами, можно использовать двумерные сетки. Резисторные сетки для планарных систем представляют частный случай трехмерной сетки, если используются декартовы координаты. В этом случае резисторная сеть существенно упрощается и даже может быть заменена листом специальной 136

резистивной бумаги. Электроды просто рисуются на поверхности бумаги. Планарная система может быть также описана в полярных координатах, особенно удобных для моделирования длинных цилиндрических электродов. Для этого случая значения сопротивлений должны быть подобраны особо. Далее мы покажем, как следует конструировать резисторную сетку для аксиально-симметричных потенциальных полей [16].

Уравнение Лапласа в цилиндрических координатах имеет для этого случая форму (3.88) и может быть записано в виде

++(3.285)

дг2 ' г дг 1 дг2v ’

Выражения для вторых частных производных можно записать так же, как в случае (3.281) —(3.283). Первая производная будет иметь вид

dujdr — lim [ы(г+Дг, 2)—ы(г — Ar, z)]/2Ar.(3.286)

Дг^О

Заменяя бесконечно малые величины на очень малые, но конечные значения Ar=Az = 6, получаем следующее дифференциальное уравнение:

(l + 6/2r)w(r+6, 2) + (1 — 6/2r)w(r—6,z) +

+ ы(г, 2+6) +ы(г, 2 — 6) = 4u(r, z).(3.287)

Это выражение имеет сингулярность на оси. Поэтому в окрестности оси следует использовать трехмерное уравнение (3.284). Однако вследствие аксиальной симметрии для этой области можно записать

и(6, 0, 2) =w(— 6, 0, 2) =w(0, 6, 2) =w(0, — 6, z) =w(6, z).

(3.288)

Подставляя x=y = 0 в (3.284) и учитывая (3.288), получаем дифференциальное уравнение в окрестности оси

4w(6, 2) + «(0, 2+6) +w(0, 2 — 6) =6w(0, z).(3.289)

Рассмотрим двухмерную резисторную сетку (рис. 37). Сопротивления в радиальном направлении обозначены Rq, в аксиальном— R'ij, где i и / — радиальные и аксиальные координаты соответственно с r=td и z=j8. Способ нумерации очевиден из рисунка. Тогда для узла (т, и) закон Кирхгофа можно записать в виде

(Wm+l, п — Um,n) /Rm+l, n + (Wm—ь n Um,n) IRm,n"V

+ (^m, n-rlUm,n^ $R m,n + (lim, n—1Um,n^ !R? m, n—1 ~0.

(3.290)

Чтобы это уравнение было пригодно для моделирования поля в областях вне оси, оно должно быть пропорционально (3.287). Для точки с координатами т.п последнее уравнение можно переписать в виде

(l + l/2m)um+i,n+(l — l/2m)um-i,nA-

+ Um, n+1 + Ищ, n—1—'4Um,n = 0.(3.291)

Эти два уравнения пропорциональны друг другу, если

R'm,n = R'm,n-t = (l + l/2m)7?m+i, п= (1 — Xi2m)Rm,n=llam,n,

(3.292)

ГДе Gm,n коэффициент пропорциональности.

Если теперь записать эти же уравнения для узла (m+l,n), получим

R'm+1, п = R'm+i, n—1 — [1 + 1/2 (/П + 1 ) ]/?ш+2, га =

= [1 — l/2(m+l)]7?m+I,n=l/am+1,n.(3.293)

Выражая Rm+i,n с помощью (3.292) и (3.293), видим, что

(l + l/2rn)am,« = [l — l/2(m+I)]<zm+i,„.(3.294)

Отсюда следует, что

Um+i, nl(т+ 1) =am,nlm=A = const(3.295)

не зависит от значений т и п.

На оси (т = 0) уравнение (3.290) должно быть пропорционально (3.289). Последнее уравнение можно переписать в виде 4щ, n-V и0, n+i-Fwo, п—i — био, n=0.(3.296)

Поскольку как сопротивление, так и потенциал должны быть аксиально-симметричны, имеем

Ri, п=Ro, п,U\,n = u—\,n-(3.297)

Тогда (3.290) и (3.296) пропорциональны при т = 0, если

R'o, n=R'o, n-i=2Ri, п= \lbn= \Jb = const (3.298)

из-за очевидной независимости сопротивлений от п.

Выражая Rm+i,n из (3.292) и (3.295), подставляя т=0 и сравнивая значения R^.n со значениями из (3.298), получаем

b=ARL(3.299)

Заметим также из (3.298), что b однозначно определяется выбором аксиального сопротивления R'o (индекс п можно опустить, так как сопротивление не зависит от и). Благодаря аксиальной симметрии, достаточно построить цепь только для положительных значений т. Тогда каждый аксиальный резистор не-

обходимо заменить двумя параллельными с удвоенным сопротивлением (по одному с каждой стороны оси z), и, когда мы отбросим часть цепи, соответствующую т<0, останутся сопротивления только на положительной стороне (т>0). (Это можно сделать, так как вследствие симметрии ток не протекает через ось.) Поэтому аксиальное сопротивление необходимо удвоить. Удобнее оставить это удвоенное значение равным R'o и выразить через него другие сопротивления, поделив их на 2. Тогда из (3.292), (3.295), (3.298) и (3.299) получим

R'm,n = R,m,n-i=R'ol8m (т>0),(3.300)

Rm+i, n = R'0/4(2/n+l) (m>0).(3.301)

Рис. 37. Резисторная сетка для определения аксиально-симметричных полей.Рис. 37. Резисторная сетка для определения аксиально-симметричных полей.Рнс. 38. Мультиполи, сконструированные с помощью резисторной сетки: а —- квадруполь, б —- квадруполь- октуполь, в — квадруполь, г — гексаполь.Рнс. 38. Мультиполи, сконструированные с помощью резисторной сетки: а —- квадруполь, б —- квадруполь- октуполь, в — квадруполь, г — гексаполь.

Рис. 37. Резисторная сетка для определения аксиально-симметричных полей.

Рис. 37. Резисторная сетка для определения аксиально-симметричных полей.

Рнс. 38. Мультиполи, сконструированные с помощью резисторной сетки: а —- квадруполь, б —- квадруполь- октуполь, в — квадруполь, г — гексаполь.

Рнс. 38. Мультиполи, сконструированные с помощью резисторной сетки: а —- квадруполь, б —- квадруполь- октуполь, в — квадруполь, г — гексаполь.

Как видно, сопротивления равномерно уменьшаются с увеличением расстояния от оси, но остаются неизменными вдоль оси.

Подсоединяя дополнительные сопротивления утечки к узлам этой цепи, можно построить цепь, пригодную для моделирования мультипольных полей [102].

Мы широко использовали обычные многоэлементные планарные резисторные цепи при конструировании мультипольных линз [100, 103—107]. Цепь содержала более 6500 резисторов и обеспечивала вполне достаточную точность. Поперечные сечения некоторых сконструированных таким образом мультиполей показаны на рис. 38,а—38, г; конструкции представляли собой:

квадруполь, сформированный двумя цилиндрами, причем внутренний содержит две симметрично расположенные продольные щели (разд. 3.1.1.3),

квадруполь — октуполь с квадрупольным потенциалом U и октупольным потенциалом У,

квадруполь с прямыми электродами для исследования влияния формы электродов на аберрации пятого порядка,

гексаполь, сформированный двумя цилиндрами, причем внутренний содержит три продольные щели.

Целью конструирования являлось определение геометрических параметров, соответствующих заданным коэффициентам мультипольного разложения. Так как все линзы окружены замкнутыми металлическими камерами, границы цепи не влияли на измерения и была достигнута высокая точность. Линзы были успешно применены для уменьшения размеров пятна и увеличения эффективности отклонения в катодных трубках, для улучшения разрешения электронных спектрометров и масс- спектрометров, а также для компенсации аберраций в электронных зондах.

Аксиально-симметричная резисторная сеть была использована при конструировании периодической электростатической фокусирующей системы для высокоинтенсивных электронных пучков [108]. Интересная особенность этой работы заключается в вычислении сложной комбинации коэффициентов Фурье на основе прямых измерений распределения потенциала в цепи.

Магнитные поля также можно моделировать с помощью цепей. В отсутствие токов и насыщения можно прямо использовать магнитный скалярный потенциал, поверхности полюсов эквипотенциальны и нет различия между электростатической и магнитной задачами. Однако эффекты, связанные с анизотропией и нелинейностью материала, могут быть также учтены использованием переменных сопротивлений, либо инжекцией тока в узлы. Можно моделировать и векторный магнитный потенциал. Резисторная цепь была применена [109] для определения распределения магнитной индукции в сильно насыщенных магнитных линзах. Сверхпроводящие экраны могут моделироваться размыканием некоторых граничных сопротивлений.

3.2.2.3. Другие аналоговые методы. Из предыдущего раздела мы видели, что задача о распределении потенциала может моделироваться электрическим током в среде. Существует множество других процессов, описываемых уравнением Лапласа: безвихревое течение жидкости, стационарное распределение тепла, деформация эластичной мембраны. Последний широко использовался на ранних стадиях развития электронной оптики для создания планарных полей. Дополнительным преиму-

Определение электрических и магнитных полей ществом этого метода является возможность использования мембран для моделирования траекторий частиц: путь небольшого шарика, катящегося без трения под воздействием гравитации по поверхности мембраны, соответствует пути заряженной частицы в планарном потенциальном поле, моделируемом мембраной.

Численные методы

Как мы видели, всего лишь в нескольких случаях можно использовать изящные аналитические методы. Прямые измерения распределения поля в большинстве случаев слишком громоздки. По мере распространения цифровых компьютеров определение электростатических и магнитных полей, используемых в электронной и ионной оптике, стало преимущественно вычислительной задачей. Определение поля обычно требует решения задачи со сложными граничными условиями. Универсального рецепта для решения этой задачи не существует, но в то же время есть ряд мощных методов. Далее мы детально рассмотрим наиболее важные численные методы вычисления полей.

Точность

Прежде чем приступить к каким-либо вычислениям, необходимо понять возможности и ограничения численных методов. Ни один компьютер не способен выполнить абсолютно точные вычисления. Пусть точное значение искомой величины есть w, а вычисленное — ф0, тогда Aw=w0—w— абсолютная погрешность вычисления, a kwlw= ^w0—w)lw — относительная погрешность. Следует быть внимательным при определении этих погрешностей, так как очень маленькая абсолютная погрешность может сопровождаться огромной относительной и обратно. Например, при замене ш=10-8 на Wo = O абсолютная погрешность составляет всего—10~8, а относительная—100%. С другой стороны, относительная погрешность при записи числа на восьмиразрядном калькуляторе весьма мала и составляет 10-6%, но может привести к огромной абсолютной погрешности, если число очень велико. Необходимо всегда определить заранее, до выбора численного метода, хотим ли мы минимизировать относительную или абсолютную погрешность (или обе). Для наших целей обычно (но не всегда) важнее уменьшить относительную погрешность. Трудность заключается в том, что точное значение w неизвестно (поэтому мы хотим его вычислить). Следовательно, в большинстве случаев можно только оценить точность вычислений. Конечно, всегда можно рассмотреть простую задачу, допускающую аналитическое решение, и сравнить два ре-

зультата. К сожалению, этот метод можно использовать только с большими предосторожностями, так как упрощения неизбежны в простых случаях. Более предпочтительный подход состоит в том, чтобы оценить погрешность в наихудшем случае и считать, что точность последующих вычислений существенно выше.

Погрешности можно разделить на следующие основные категории:

погрешности, связанные с существом задачи (внутренне присущие ошибки);

погрешности, вызванные способом записи чисел в компьютере (погрешности округления);

погрешности численного метода (погрешности аппроксимации). Рассмотрим кратко каждую категорию.

3.1.1. Погрешности, связанные с природой задачи. Рассмотрим следующую систему линейных алгебраических уравнений: 2х+6у = 8 и х + у=6. Ее решение х=7 и у =— 1. Уменьшим теперь коэффициент при у во втором уравнении на 0,00002. Тогда оно примет вид х+0,99998у = 6, а решение будет х = 6,99997 и у=—0,99999. Другими словами, абсолютная погрешность 0,00002 в коэффициенте вызывает погрешность того же порядка величины в результате.

Преобразуем первое уравнение к виду 2х+5,99999# = = 8,00001. Тогда система будет иметь такое же решение х=7 и у=—4. Изменим снова коэффициент перед у на 0,00002. Первое уравнение системы принимает вид 2х + 6,00001 у = 8,00001. Различие столь мало, что, казалось бы, решение должно остаться почти неизменным. Вы уверены? Как ни странно, но теперь решение х=у—\. А, может быть, это и неудивительно? В самом деле, система двух линейных алгебраических уравнений представляет две прямые линии. Решение системы дает координаты точки пересечения этих двух прямых. Первая наша система представляла две линии с совершенно разными наклонами, и поэтому небольшое изменение наклона одной из них не приводит к существенному изменению результата. Ситуация во втором случае совершенно иная. Теперь две линии почти параллельны. Изменение, даже незначительное, наклона одной из них может привести к существенному смещению точки пересечения. '

Если обобщить малую погрешность в решении первой задачи на решения всех систем линейных алгебраических уравнений, то это приведет к огромной ошибке. Итак, в зависимости от существа задачи одна и та же погрешность в коэффициенте может практически не влиять на погрешность решения в одном случае и дать огромную погрешность в другом.

Как будет видно в гл. 9, внутренне присущие погрешности имеют и положительную сторону. Тот факт, что совершенно различные электроды могут создавать почти одинаковые аксиальные распределения потенциала, поможет при синтезе электронных и ионных оптических систем.

3.1.2. Погрешности записи чисел в компьютере. Запись чисел с плавающей точкой, используемая в цифровых компьютерах, характеризуется тем, что плотность чисел в окрестности нуля гораздо выше, чем в окрестности больших чисел. В самом деле, существует столько же положительных чисел между минимально возможным числом и единицей (отрицательная экспонента), сколько между единицей и максимально возможным числом (положительная экспонента). Вследствие этого абсолютная точность записи чисел максимальна в окрестности нуля и намного ниже для больших чисел, но относительная точность примерно постоянна во всем числовом диапазоне. Поэтому относительные погрешности, связанные с записью чисел в компьютере, могут быть легко оценены.

Проблема с записью чисел заключается в том, что такое число, как 2/3, очень просто выразить в математических обозначениях, но в компьютере оно превращается в 0,6666666.... В представлении с плавающей точкой мантисса должна ограничиваться либо простым усечением, либо округлением ее значения до ближайшего числа с допустимым числом знаков. Хотя округление и приводит к меньшим ошибкам, чем усечение, оно имеет место в каждом элементарном акте вычислений, поэтому в ходе продолжительной численной процедуры ошибки округления могут накапливаться до неприемлемо большой величины.

С другой стороны, ошибка округления не зависит от численной процедуры. Она представляет собой просто разность между математически точным результатом некоторой вычислительной процедуры и результатом той же процедуры, выполненной компьютером.

Ошибка округления может быть весьма значительной. Чтобы продемонстрировать это, рассмотрим процедуру сложения нескольких чисел различного порядка величины. Если начать с наибольшего слагаемого, то можно заканчивать процедуру, вообще не производя никакого сложения. В самом деле, если разность порядков величин двух чисел больше, чем число знаков мантиссы, то их сумма просто совпадает в компьютере с большим из этих чисел. Можно повторить процесс сложения с тысячей других чисел малой величины, ничего не добавляя в действительности. С другой стороны, если начать с маленьких чисел, они будут сложены друг с другом, причем их сумма может оказаться достаточной для того, чтобы повлиять на значе-

ние много больших чисел. Поэтому разумно вычислять суммы рядов в обратном порядке, начиная с наименьших членов.

Рассмотрим другой пример. Вычислите (1,47 -108 + 2,19- •107)— (1,69-10®+ 105) с точностью до трех знаков. Результат — нуль. Изменяя порядок вычислений, получим —200 000.

Эти примеры показывают, что коммутативный и ассоциативный законы алгебры могут не выполняться при численных расчетах. Части ошибок удается избежать, если всегда придерживаться следующего правила: никогда не вычитать число из числа приблизительно той же величины. Если не следовать данному правилу, можно столкнуться с ситуацией, когда при вычитании все значащие цифры взаимно уничтожат друг друга и результат будет представлять собой разность двух ошибочно округленных чисел. Вычитания легко избежать, если использовать следующее тождество:

1/х — 1/(х+1) =1/[х(х+1)].

Необходимо также быть аккуратным при возведении в степень. Общее правило состоит в том, чтобы избегать его. Обычно точность выражения ЛХД выше, чем А2. Причина в том, что возведение в степень производится с использованием логарифма, что дает гораздо меньшую точность, чем простое умножение. Однако есть ряд исключений. Если число, очень близкое к единице, возводится в огромную степень, лучше использовать операцию возведения в степень: ошибки округления многократно повторенных операций умножения могут привести в совокупности к такой огромной ошибке, что окончательный результат не будет иметь ничего общего с правильным.

Еще одно предостережение: используйте лишь те значащие цифры, точность которых гарантирована. Предположение о том, что точность тем больше, чем больше знаков в мантиссе, является широко распространенным заблуждением. Например, перемножая два числа, заданных с точностью до трех знаков, в числе — результате произведения не следует использовать более трех знаков. Действительно, 0,393x0,998 = 0,392, а не 0,392214, поскольку 0,393 может означать любое число от 0,3925 до 0,3934, и соответственно точный результат может лежать между 0,391715 и 0,3926132 (как видим, даже третья цифра может оказаться неверной). Поэтому округление является не только источником ошибок, но и необходимой защитой от некорректного использования лишних цифр.

Накойец, опыт показывает, что использование арифметики с одинарной точностью обеспечивает достаточную точность вы-, числений лишь в некоторых тривиальных случаях. Всегда, когда есть возможность, используйте двойную точность!

3.1.3. Погрешности, обусловленные численными методами. Каждый численный метод основывается на некотором приближении и в большинстве случаев на дискретизации непрерывной задачи. Точное решение обычно выражается в виде интеграла или бесконечного ряда, в то время как мы аппроксимируем это решение конечным числом членов. Это неизбежно влечет за собой погрешность аппроксимации. Чем меньше число слагаемых, тем больше погрешность. К сожалению, увеличение числа учитываемых членов не всегда оказывается полезным по двум причинам:

сходимость ряда может быть настолько медленной, что для достижения желаемой точности потребовалось бы неприемлемо большое число членов; •

чем больше добавляется слагаемых, тем большей становится ошибка округления или усечения (см. выше); оптимальное количество учитываемых членов должно определяться отдельно для каждой задачи.

Требования к точности, предъявляемые практикой, обычно не очень высоки: мы должны быть вполне удовлетворены, если можем предсказать размер пятна и плотность тока хорошо сформированного пучка с относительной точностью 10%. Проблема состоит в том, что при определении этих величин необходимо произвести несколько различных вычислений подряд. При расчетах обычных устройств сначала вычисляют распределение полей, затем траектории, аберрации и, наконец, размер пятна и плотность тока. В последующих вычислениях используются содержащие погрешность результаты предыдущих вычислений. В большинстве случаев очень трудно проследить распространение ошибок и оценить необходимую точность вычислений распределения поля, требуемую для достижения желаемой точности окончательного результата. Из-за двух- или даже трехмерного характера поля его вычисления являются обычно наиболее сложными. Поэтому естественно попытаться достичь максимально возможной точности этих расчетов в рамках имеющихся вычислительных ресурсов (время и память).

Метод конечных разностей

Определение потенциала методом конечных разностей основывается на дискретизации уравнения Лапласа. В результате непрерывное дифференциальное уравнение заменяется системой алгебраических уравнений, которую легко решить.

Общий принцип описан в разд. 3.2.2.2. Заменяя бесконечно малые величины в определении производной конечными значениями, мы вводим практически линейные соотношения между значениями потенциала в соседних узлах сетки с конечными

размерами ячеек. Чтобы обосновать эту процедуру, рассмотрим разложение потенциала в окрестностях некоторой произвольной точки с координатами х, у, z в ряд Тейлора:

u(x + Ax, y-Yky, z + Az) = u(x, у, z) + ^Ax + ^ Ау + ^ Az + д^и * л , д^и А А . д^и А А

+ ^Л^А^-^ЛУА2 + ^А2А^

+ [Sw+^^+Sw]/2 + ■ ■ ■ - (3-302)

где Ах, Ау и Az —малые, но конечные разности между координатами выбранной точки и координатами некоторой точки в ее окрестности. Хотя члены высших порядков в данном выражении опущены, не следует забывать об их существовании. Они составляют малую поправку, которой можно пренебречь, если конечные разности действительно очень малы. Частные производные должны быть вычислены в точке (х, у, z). Используя теперь (3.302) в случае Ау = Az=0, можно написать два выражения для изменения потенциала: одно для положительного приращения координаты х, а другое для отрицательного (знаки « + » и «—» соответственно):

ц(х±Ах, у, z)=u{x,у, z)± (diz/dx) Ах+

(d2uidx2) (Ах) 2/2 + ... . (3.303)

Складывая два уравнения, мы сразу получаем выражение (3.281) для второй частной производной по х, но без оператора «Нт». Это означает, что пренебрежение высшими степенями разложения в ряд Тейлора в точности эквивалентно замене дифференцирования линейной операцией вычисления конечных разностей. Естественно, что погрешность такой замены в точности равна погрешности, обусловленной отбрасыванием членов высшего порядка.

- Можно написать еще два выражения для случая Ax = Az=0 и получить (3.282), а также два выражения для Ах = Ау = 0 и получить (3.283). В результате можно убедиться, что формула (3.284) представляет собой трехмерное конечно-разностное уравнение Лапласа для произвольной точки (х, у, г) при Ах = = Ay = Az—б. Это выражение является точным для второй степени б включительно в связи с тем, что в соответствующем ряду Тейлора были отброшены члены всех степеней выше второй.

Такие же рассуждения справедливы для полей с осевой симметрией. В этом случае выражение (3.287) может быть использовано для точек, лежащих вне оси z, а (3.289)—для осет вых точек с той же точностью. Естественно, метод будет работать также и для любого другого типа симметрии.

Чтобы начать вычисления, следует прежде всего покрыть всю область дискретной решеткой (расчетной сеткой). Способ дискретизации не определен однозначно, поскольку можно свободно выбирать решетку по своему вкусу, и, кроме того, конечная ширина ячейки может быть переменной. Очевидно, что от нашего выбора зависит точность вычислений. Теперь напишем линейное уравнение для потенциала в каждом узле в данной области. Уравнения вблизи ее границ будут содержать значения потенциала, определенные из граничных условий. Наконец, нужно решить систему N линейных алгебраических уравнений и получить распределение потенциала в N точках, расположенных внутри области.

Существует несколько способов повышения точности вычислений:

Увеличение плотности узлов путем уменьшения размера ячейки.

Использование переменного размера ячейки. Локальная плотность узлов определяется с помощью грубой оценки опущенных в конечно-разностных уравнениях членов высокого порядка. Так, большая плотность узлов нужна вблизи острых кромок границы. Две решетки разной плотности должны быть наложены так, чтобы узлы грубой решетки являлись одновременно узлами более плотной решетки. Значения потенциала в узлах плотной решетки, лежащих между узлами грубой решетки, могут быть определены с помощью интерполяции.

В случае искривленных границ узлы регулярных решеток могут оказаться за пределами области. Тогда можно деформировать часть решетки вблизи границы [ПО], формируя нерегулярную решетку, что является частным случаем интерполяции. Поскольку почти всегда (за исключением некоторых электронных и ионных источников) решетка является регулярной в области самого пучка, необходимая точность обычно достигается без приложения чрезмерных усилий. В случае источников благодаря значительным различиям в размерах анода и катода применима сферическая система координат, в которой размер .ячейки увеличивается с ростом радиальной координаты [111].

В случае открытых систем можно использовать подход, аналогичный введенному при анализе резисторных цепей, когда соответствующим выбором решетки с переменным шагом удается компенсировать влияние внешних областей. Область, простирающаяся на бесконечность, также может быть заменена подходящим образом выбранной областью сшивки [112], содержащей всю информацию об области, простирающейся от границы до бесконечности. Тем не менее трудности моделирования открытых систем остаются большим недостатком метода конечных разностей.

Можно произвольно увеличить число учитываемых в расчетах соседних узлов, повышая тем самым точность вычислений. Поскольку формулы тем сложнее, чем больше число учитываемых узлов, это число не должно быть слишком большим. Наиболее часто используется девятиточечная формула, которая ос-

Рис. 39. К выводу девятиточечных новывается на учете восьми формул метода конечных разностей. узлов плоской решетки, ближайших к произвольному узлу, вместо четырех (рис. 39). Поскольку в трехмерных расчетах нам пришлось бы в этом случае рассматривать 26 узлов вместо шести, этот подход практически может быть использован лишь в двумерных задачах. В дальнейшем мы выведем девятиточечные формулы как для плоских, так и для аксиально-симметричных полей.

Метод основан на сохранении членов более высокого порядка в разложении в ряд Тейлора потенциала. Выпишем ряд (3.302) до членов четвертого порядка включительно. Для двух пере

менных получим

ы(х+Ах, у4-Ау) = «(х, у) 4--g Ах 4*-|^ Ay 4-

+ S (Ax)2/2 + -^ ^x^yV^ № + g (M8/6 +

+ Sw^ ^ + ^^x ^2 4- g (Ay)»/6 + g (Ax) V24 +

+ £ту ^ ^ + g^ <M2 (Ay)2/4 Ф ^ Ax (Ау)з/6 +

f^.(Ay)V24+... . (3.304)

Применим это выражение к четырем соседним узлам, обозначенным точками на рис. 39, и просуммируем значения потенциала в этих точках, полагая Ах = Ау = б. Получим ы(х + б, у)4-и(х —б, у)4-«(х, у4-б)4-«(х, у — б) =

-W. АУ^А^УУ^^у№ +. (3.305)

Теперь запишем потенциалы в четырех угловых узлах, обозначенных на рис. 39 крестиками, и, суммируя, получим

ы(х+6, у4-6)4-ц(х —6, у4-б)4-и(х + б, у — 6)4-u(x — 6, у — б)-=

—4ы(х, у)4-24- dy2 j б + ( dx4 А-9у<. j б /6 + дх2ду2 6 + .. . .

(3.306)

Из уравнения Лапласа (120) для планарных полей следует Уи дги д4и д4 и Уи д4и ~ дх1 + дуа — Эх4 + дх4ду2 — ду4 дха ду» -

где второе и третье равенства получаются двукратным дифференцированием уравнения Лапласа по х и у соответственно. Отсюда следует, что

?т + ?т = —2ч4т-2 ,(3.308)

дх4 1 ду4 дх1 dtp ’'’

я мы получаем из (3.305), (3.306) и (3.308) пятиточечную формулу для планарных полей:

4[u(x + S,y) + u(x, z/ + 6) +«(х — 6, у) +м(х, у —6)] +

+ и(х+6, //Тб)-|-и(х+6, у — 6) + и(х — 6, t/ + 6) +

+ и(х— 6, у — 6) =20ы(х, у).(3.309)

Очевидно, что пятиточечная формула, эквивалентная (3.284) для планарных полей и учитывающая только четыре соседних узла, может быть получена тем же способом, что и частный случай, когда ряд Тейлора обрезается на членах второго порядка. Действительно, тогда (3.305) немедленно дает

и (х+6, у) + и (х — 6, у) + и (х, у4- 6) +и (х, у — 6) = 4ы (х, у).

(3.310)

Выведем теперь девятиточечную формулу для аксиальносимметричных полей. Как выражение (3.304), так и рис. 39 могут быть использованы и в этом случае, если заменить х на z и у на г. Кроме того, положим Ar=Az = 6 и упростим запись, используя индексы для обозначения географических направлений к соседним узлам и частных производных потенциала. Так, например, u^z—б, г+6) будет записано в виде uNW и d4u/(dr3dz) —в виде иГГГг. Разумеется, все частные производные должны вычисляться в заданной точке P^r, z).

Применение формулы (3.304) ко всем восьми соседним узлам с учетом сделанных замен даст восемь уравнений для потенциала в этих узлах. Комбинируя эти уравнения, можно получить простые соотношения между частными производными.

Нам понадобятся следующие комбинации:

Un = Up + 6Ur + &Urrl2 + ^Urrrl^ + ^Urrrr!24 + ... ,(3.311)

Us = Up — 6«r + 62Urr/2 — 63Urrr/6 + 64tirrrr/24h ..., (3.312) ue+u«'=2up + 62Uzz + 64Uzzzz/12+... ,(3.313)

Une + UNw = 2up4-26ur + 62 (Urr + Uzz) + 63 (Urzz + Urrr]^ +

+ 64 (tirrrr + 6UrrzzT Wzzzz)/12 + ... ,(3.314)

(3.315)(3.315)(3.316)(3.317)(3.318)(3.316)(3.317)(3.318)Use + Usw — 2up — 28urA- 62 (Urr + Uzz) — 63 (Urzz + иГГг1^ + + 64(urm. + 6urrzz + ^zzzz)/12h ... .

(3.315)

(3.315)

(3.316)

(3.317)

(3.318)

(3.316)

(3.317)

(3.318)

Из этих выражений немедленно следует 3(lZjv — Us). = 66Ur+63Urrr, UNA-Us — 2lZp = 62Urr+64Urrrr/12, UneA- Unw — (useA- Usw) + 2 (us — Мдг) = 263urzz,

4up + u^e + и^А- Use+ Usw — 2 (ug+ uwA* Un + us) — 64urrzz.

(3.319)

Уравнение Лапласа (3.285) и его двукратное дифференци-

(3.320)(3.321)(3.322)(3.323)(3.320)(3.321)(3.322)(3.323)рование по г и no z дают следующие соотношения: Urr + Uzz+Urlr = 0,

(3.320)

(3.321)

(3.322)

(3.323)

(3.320)

(3.321)

(3.322)

(3.323)

Urrr + и,гг + Urr! r — Urlf2 = 0,Urrrr+Urrzz + Urrr/Г — 2urr/f2 + 2lZr/r3 = 0,UTrzz + Uzzzz + Urzz! T — 0.

Величина и,гг может быть выражена через и, и потенциал в некоторых узлах с помощью (3.316). Аналогично иГГгг можно исключить, используя (3.317). Величины urzz и игггг заданы выражениями (3.321) и (3.322) соответственно. Тогда уравнения (3.321) и (3.322) содержат лишь две неизвестные величины: иг и игг. Эти уравнения составляют линейную алгебраическую систему относительно указанных величин. Решение этой системы элементарно.

Нам нужна еще величина uzz. Ее можно определить из уравнений (3.313), (3.323), (3.318) и(3.319). Теперь у нас есть все компоненты уравнения Лапласа (3.320). Подставляя в него выражения для ur, игг и uzz, получим длинное выражение, содержащее только г, б и девять значений потенциала. В результате некоторых упрощений нетрудно получить девятиточечную конечно-разностную формулу для аксиально-симметричных распределений потенциала [113]:

(96г2 + 486г+3062 + 2363/3г) uN +

+ (96г2 — 486Г+3062 — 2363/3г)ыз +

+ (24r2+126r+962 + 1363/2r) ^UneA-unw)A-

+ (24г2 — 126r+ 962— 1363/2r) (.UseA-Us^ А-

+ 6(762+16г2) (ые+ы^) =60 (362 + 8г2) ыР.(3.324)

(Читателю рекомендуется самостоятельно проделать вычисления и проверить эту важную формулу.)

Поскольку уравнение (3.324) содержит сингулярность в точке г=0, оно не может быть использовано для вычисления потенциала вдоль оси х. В этой области, однако, мы можем использовать разложение в степенной ряд (3.20), что значительно упрощает вычисления. Заметим также, что в силу осевой симметрии достаточно учитывать лишь «северные» соседние узлы (см. нижнюю часть рис. 39).

Дифференцируя уравнение (3.20), выразим все частные производные, необходимые для разложения потенциала в ряд Тейлора, через осевое распределение потенциала t/(z) и его производные. (Нам еще понадобится степенное разложение (3.304), поскольку осевое распределение потенциала неизвестно.) Следует напомнить, что все производные должны быть вычислены в точке Р^, лежащей на оси. Из (3.20) сразу следует

uN = up — 62t/"(z)/4 + 64t/IV(z)/64+ ... .(3.325)

Уравнения (3.313) и (3.20) дают

гг£+и^=2ггР + 62^7"(г)+6477IV(z)/12+ ... .(3.326)

Наконец, из (3.314) и (3.20) получаем

une + unw = 2upWU" (2)(2 — 1364(/IV(z)/96+ ... .

(3.327)

Легко видеть, что

34ы^ + 5 (ы£+Мн?) + 7 ^u.ne~V" Unw) — 58tip.(3.328)

Это конечно-разностная формула, справедливая для точек, лежащих на оси. Естественно, она не зависит от радиального распределения t/(z).

В справедливости соответствующих пятиточечных формул ((3.287) для неосевых точек и (3.289) для осевых) легко убедиться, подставив в них разложения для потенциала с точностью до членов второго порядка с использованием уравнения Лапласа (3.320). (Будьте внимательны при анализе (3.289). Необходимо показать, что вдоль оси urr = ur!r. Это можно сделать, разлагая иг в ряд Тейлора в радиальном направлении с помощью (3.20).)

Для вычисления распределения потенциала можно использовать и другие девятиточечные формулы [114]. Например, можно использовать точки ЕЕ, WW, NN и SS вместо точек NE, NW, SE и SW (см. рис. 39). Вычислительная сетка может быть даже сформирована из треугольников или любых других правильных или неправильных геометрических фигур.

Сохранение членов более высокого порядка в разложении в ряд Тейлора позволяет использовать решетки с большей шириной ячеек и, таким образом, уменьшать количество узлов при

решении определенной задачи. Цена, которую приходится за это платить, — усложнение систем уравнений.

Методы решения систем алгебраических уравнений. Построив вычислительную сетку и записав уравнения для всех узлов, можно приступать к численному решению большой системы линейных алгебраических уравнений прямыми, либо итерационными методами. ■

Наиболее известный прямой метод решения больших систем линейных алгебраических уравнений — приведение Гаусса с обратной подстановкой. Процедура решения системы п линейных алгебраических уравнений методом гауссова приведения состоит из п—1 шагов. На каждом шаге уравнения, кратные очередному уравнению системы, вычитаются из остальных уравнений с тем, чтобы исключить одну переменную. Обратная подстановка заключается в решении последнего оставшегося уравнения для последней переменной, затем предпоследнего уравнения относительно предпоследней переменной и т. д. до тех пор, пока не решено первое уравнение относительно первой переменной. Поскольку число уравнений обычно очень велико, но каждое содержит не более девяти переменных, большинство элементов матрицы системы равно нулю. Это позволяет расставить уравнения таким образом, чтобы матрица системы приняла «ленточный» вид, т. е. чтобы все ненулевые элементы были сгруппированы вблизи ее диагонали. Тогда система решается довольно просто. Подробное описание этого метода и различные варианты его усовершенствования можно найти в литературе [115]. Хотя прямые методы и требуют большего объема машинной памяти, чем итерационные методы, они «чище» в том смысле, что не содержат проблемы сходимости. Благодаря доступности больших компьютеров прямые методы становятся все более пригодными для решения практических задач.

Разработано множество итерационных методов решения систем уравнений (линейных и нелинейных). Их общая идея заключается в том, что сначала выбирается некоторое начальное приближение, а затем строится последовательность векторов (компонентами которых являются неизвестные величины), сходящаяся к точному решению. Поскольку на каждом этапе необходимо сохранять лишь последние приближения значений потенциала, экономия объема памяти получается весьма ощутимой. В силу этого до последнего времени при решении больших систем уравнений использовались почти исключительно лишь итерационные методы.

Наиболее известный итерационный метод — алгоритм Гаусса— Зейделя. Его основной принцип состоит в решении к-то уравнения относительно k-й компоненты нового вектора с ис- 152

пользованием последних вычисленных величин в качестве значений всех остальных компонент этого вектора. Начиная с произвольно заданного набора значений потенциала, мы поочередно корректируем каждое из них, выражая через остальные с помощью соответствующей пяти- или девятиточечной конечно-разностной формулы. Последние исправленные величины всегда используются при коррекции следующей неизвестной. Процедура повторяется до тех пор, пока при очередном повторении значение потенциала останется неизменным в пределах точности вычислений. Новые значения потенциала могут вычисляться все одновременно (одновременный сдвиг), однако требуемый объем памяти меньше, если изменения производить непосредственно в каждом узле (последовательный сдвиг). Можно показать, что с каждой итерацией значения приближаются к точному решению независимо от выбора начального приближения для узловых потенциалов. Недостатком метода является его медленная сходимость.

Сходимость может быть существенно повышена при использовании метода релаксации. Суть метода очень проста. Если значение потенциала в некоторой точке после ^-й итерации есть u(ft> и использование пяти- или девятиточечной формулы дает и*(*+1> дЛЯ следующей итерации, возьмем

uw) = uw+w [И*(/Ж) _ Ы(О] (3.329)

вместо «*<6+0, Принимая 0<Щ<1, можно получить сходимость в тех случаях, когда метод Гаусса — Зейделя не сходится. Это случай нижней релаксации: мы используем меньшую разность между двумя итерациями, чем дает конечно-разностная формула. Так как мы уже знаем, что в данном случае итерации сходятся, но очень медленно, хотелось бы ускорить сходимость. Поэтому выбираем щ>1 и тем самым увеличиваем шаг следующей итерации (верхняя релаксация). Поскольку обычно используется способ последовательного' сдвига, данный метод называется последовательной верхней релаксацией (ПВР).

Очень важно правильно выбрать значение параметра верхней релаксации w. Очевидно, щ = 1 для обычного итерационного алгоритма без верхней релаксации. Ясно также, что выбор слишком большого значения параметра w означал бы полное пренебрежение конечно-разностным методом. Для каждой задачи существует своя оптимальная величина w, при которой итерации сходятся быстрее всего. Можно показать [116], что это оптимальное значение зависит только от конфигурации электродов и размера ячейки (обычно оно растет с уменьшением размера ячейки). Оно не зависит от начального приближения для потенциала и номера итерации k. Интересно, что существует теоретическая возможность определить точное значе-

ние tyopt в каждом расчете, но это требует более трудоемких вычислений, чем собственно решение уравнения Лапласа. Однако оптимальное значение может быть найдено аналитически для простых конфигураций, и затем на основе этих вычислений можно оценить tyopt для реальных задач. Обычно 1<щ<2.

Естественно, разностные методы могут использоваться вне зависимости от вида симметрии задачи. Наряду с осесимметричными фокусирующими полями могут быть вычислены многополюсные и отклоняющие поля. Кроме того, может быть учтено влияние пространственного заряда. Однако вычисления значительно усложняются при решении трехмерных задач. В настоящее время это направление активно развивается [117—119].

Метод конечных разностей может быть использован даже в том случае, если рассматриваемая область содержит материалы с различными свойствами. Для значений потенциала в узлах, соответствующих пересечению поверхностей этих материалов с расчетной сеткой, могут быть получены необходимые разностные уравнения. Хотя эти уравнения нелинейные, их можно решить, используя подходящие вычислительные методы.

Выше мы познакомились со всей основной информацией, необходимой для использования конечно-разностного метода. Читатель, интересующийся подробным освещением данного вопроса, может обратиться к специальной литературе [ПО, 115, 116, 120, 121].

Метод конечных элементов

Метод конечных разностей основывается на замене уравнения Лапласа набором линейных алгебраических уравнений, связывающих друг с другом значения потенциала в узлах расчетной сетки. Эта связь может быть установлена и другим способом. В методе конечных элементов используется расчетная сетка, состоящая из треугольных элементов переменных размеров, покрывающих всю область, для которой необходимо найти решение уравнения в частных производных. Затем аппроксимируемая вариация потенциала на каждом таком элементе некоторым образом связывается с положением угловых узлов, и строится функционал (интегральная величина, определенная на множестве функций), минимизация которого по значениям потенциала в узлах треугольников эквивалентна решению уравнения в частных производных [122]. Эти два подхода математически эквивалентны, поэтому любая задача, сформулированная в виде уравнения в частных производных, может быть переформулирована в виде вариационной задачи. Конечно-разностная процедура аппроксимирует решение задачи в форме уравнения

в частных производных, в то время как метод конечных элементов решает ту же задачу на основе вариационного подхода.

Пусть потенциал меняется линейно внутри каждого треугольного элемента. Тогда линейные функции могут быть состыкованы так, что полученное распределение потенциала будет непрерывным во всей области. Вклад в функционал от каждого элемента может быть выражен через потенциалы в узлах. Минимизация функционала дает тогда систему линейных алгебраических уравнений относительно этих потенциалов. Решая эту систему одним из методов, описанных в предыдущем разделе, получим искомое распределение потенциала.

Поскольку определение поля есть непрерывная задача, сформулированная в виде уравнения в частных производных, первое, что мы должны сделать, — это найти вариационный принцип, приводящий к построению нужного функционала. Нам уже известны некоторые вариационные принципы (принцип Гамильтона и принцип Мопертюи были введены в разд. 1.3). Мы знаем также, что в состоянии устойчивого механического равновесия должна быть минимальна потенциальная энергия, в термодинамической системе при постоянных объеме и температуре минимальна свободная энергия и т. д. Поэтому естественно выбрать в качестве функционала, используемого при расчетах полей, интеграл от величины, имеющей размерность энергии.

Энергия электромагнитного поля в наиболее общем случае (при наличии среды) может быть выражена в виде [52]

I^=(l/2) HeE-E+B.B/p)dr, (3.330) v

где е и ц— диэлектрическая и магнитная проницаемости среды соответственно. Интегрирование ведется по всему пространству. Если принцип минимума энергии применим в данном случае, он означает, что поле стремится принять такую конфигурацию, что соответствующая ей энергия минимальна.

Попробуем сначала найти функционал, соответствующий уравнению Пуассона (1.18); затем напишем функционал также и для магнитного поля. Реальное электромагнитное поле, удовлетворяющее уравнениям Максвелла, будет заменено тогда соответствующим функционалом, таким, что его первая вариация по параметру, удовлетворяющая граничным условиям, равна нулю. Это эквивалентно минимизации функционала по множеству возможных значений некоторого параметра. В случае потенциального поля таким параметром может быть значение потенциала в некоторых точках. Отсюда сразу ясно, что метод конечных элементов может быть использован при решении любой задачи, если поля Е и В внутри конечных элементов мож-

но выразить через их значения в угловых точках элементарных треугольников.

Умножив (1.18) на первую вариацию потенциала бы и проинтегрировав по всему пространству, получим

S (div grad и — р/е0) быйУ=0.(3.331)

Ниже мы попытаемся вынести вариационный оператор 6 за знак интеграла. Тогда мы получим .функционал с первой вариацией, равной нулю. Применим прежде всего тождество

div(/v) =f div v+v grad/(3.332)

(где / — произвольный скаляр, v — произвольный вектор) к / = = 6ы и y = gradw. Имеем

div grad u6u=div[grad ыбы] —grad и grad (бы). (3.333)

Подставляя (3.333) в (3.331) и применяя теорему Гаусса

(интеграл от дивергенции любого вектора по объему V, заключенному внутри поверхности 3, равен интегралу от нормальной компоненты этого вектора по поверхности 3) к вектору (grad ыбы), получим

$ p6udV/e0 — S grad и grad (6u)dV =—t£ grad и 6udS.

vvJ

(3.335)

Поскольку в задаче о потенциале задано его значение на поверхности (граничное условие типа Дирихле), вариация потенциала на поверхности равна нулю и интеграл по поверхности обращается в нуль. Используем также тот факт, что вариация пространственной плотности заряда есть нуль и операции варьирования и интегрирования выполняются независимо. Поэтому вариационный оператор может быть вынесен за знак интеграла. Кроме того, заметим, что

6[ (grad ы)2}=2 grad и 6 (grad и) = 2 grad и grad бы,

(3.336)

так как варьирование и дифференцирование также выполняются независимо. Тогда мы получим другой интеграл, в котором оператор варьирования может быть вынесен вперед. Учитывая все это, получим окончательный результат:

6 $ [e0(grad ы)2/2 — ры]б/У=6117и = 0,(3.337)

v

где интеграл U/u— функционал, минимизируемый таким распределением потенциала и(R), которое удовлетворяет уравнению Пуассона (1.18) и граничным условиям. Подставляя (1.17) и р = 0, можно убедиться, что уравнение (3.337) эквивалентно уравнению (3.330) в электростатическом случае .без пространственного заряда.

Уравнение (3.337) с р = 0 может быть использовано также для магнитостатического потенциала. Однако если магнитное поле создается током, а также в случае насыщения следует использовать другие функционалы. Для магнитных полей, создаваемых током, применение процедуры, аналогичной предыдущей, к уравнениям (1.12) и (1.16) дает [123]:

6 $ [ (rot А) 2/2 ц — J • A] dV=6WA = 0, (3.338) v

где ^ — функционал и ц— конечная проницаемость ненасыщенного магнитного материала. Если присутствуют различные материалы, то магнитная проницаемость является функцией координат, но не зависит от плотности потока. В случае J = 0 это уравнение эквивалентно магнитной части соотношения (3.330).

Можно также написать функционал для насыщенных магнитных материалов. Так как магнитная проницаемость теперь зависит от магнитной индукции, необходимо заменить первое слагаемое в (3.338) интегралом следующим образом:

SH^HdB — J-A)d7=6№„ = 0, (3.339) v о

где Wh — функционал и В* — текущее значение магнитной индукции. Уравнение (3.339) может быть использовано для любой

кривой намагничивания и даже для составных магнитных цепей. Легко показать, что это выражение применимо также и для ненасыщенных материалов. В этом частном случае подстановка (3.227) и (1.12) опять приводит к (3.338).

Рис. 40. Конечные элементы.Рис. 40. Конечные элементы.Несомненным преимуществом метода конечных элементов перед методом конечных разностей является простота постановки граничных условий и рассмотрения сложных электродных или полюсных конфигураций, обусловленная возможностью произвольно изменять как форму элемен-

Рис. 40. Конечные элементы.

Рис. 40. Конечные элементы.

тов, так и их плотность, подгоняя их края к границам и увеличивая точность на критических участках.

Рассмотрим вначале метод конечных элементов на примере двумерного электростатического поля, а затем распространим его на случай осевой симметрии, включая магнитные поля с токами и ферромагнитными материалами.

Покроем плоскость ху (или rz) маленькими треугольниками. Один из них показан на рис. 40. Полагая линейной зависимость потенциала от угловых значений внутри треугольника, можно написать

и(х,у),=а + 6х + су,(3.340)

где а, b и с — постоянные, определяемые угловыми значениями потенциала. Если эти величины равны щ, ц2 и и3 в точках РДхь Ух), ^*2(х2, у2) и Рз(хз, Уз) соответственно, то можно записать уравнения в каждой точке, и решение системы уравнений дает

a=[ui(x2y3 — х3у2) + и2(х3ух — х1у3) + и3(х1у2 —X2yx)]/2S,

(3.341)

b— [Ui (у2 — уз) + и2 (у3 — yi) + w3 (yi — y2)]/2S, (3.342) с = [ui (х3 — х2) + и2 (xi — х3) + из (х2 — xi) ] /23, (3.343) где

S= [х, (у2 — у3) +х2 (у3 — yi) +х3 (yi — у2)]/2.(3.344)

Заметим, что 3 есть площадь треугольника. Такая запись означает, что на потенциал в некотором узле влияют только соседние узлы.

Теперь можно выразить вклад этого треугольного элемента в функционал через узловые значения потенциала. Эти узловые потенциалы будут параметрами, по которым необходимо минимизировать функционал. Поэтому потребуем, чтобы

dWdWdWdW n /Q

дитdu2ou^oun’''

где IE— минимизируемый функционал, k=\, 2,..., N и N — число узлов расчетной сетки, заключенных внутри границ. Уравнение (3.345) имеет смысл системы N уравнений, которая может быть решена каким-либо численным методом (см. разд. 3.3.2.1).

С помощью (1.6) и (1.13) нетрудно записать функционал в любой системе координат. Для осесимметричных систем интегрирование по объему может быть заменено на интегрирование по всей площади поля. Подставляя соответствующие выражения для дифференциальных операций и элемента объема,

получим из (3.337) и (3.338) следующие выражения для аксиально-симметричных функционалов:

И^П] (1т")2 + (If)2] ео/2~ p(r’ z)u(r’ z)} ^rdrdz, (3.346) ^л^Д] (^"У + (^7 + 4У]/2И-J»A <r’ z^Snrdrdz, (3.347) где интегрирование производится по всей площади, занимаемой полем в плоскости rz. Во втором функционале А — азимутальная компонента векторного потенциала, поскольку две другие компоненты исчезают для аксиально-симметричного поля. (По той причине, что эти две компоненты не фигурируют в выражениях для радиальной и аксиальной компонент магнитной индукции, удобно положить их равными нулю. В результате этого выбора условие divA = 0 автоматически выполняется, что легко проверить, используя (1.5).) По этой причине в функционале появляется только азимутальная компонента плотности тока. Как мы видели в разд. 3.1.5, аксиально-симметричные поля действительно создаются азимутальными катушками.

Вклад в функционал конечного треугольного элемента представляет собой аналогичный двойной интеграл по площади элемента. Можно вычислить эти вклады, используя линейное соотношение (3.340) и заменяя х на z и у на г (рис. 40). Дифференцируя затем (3.340) по г и z, подставляя для и и А их значения в центре масс треугольника (равные в точности одной третьей суммы трех угловых значений), полагая, что как пространственная плотность заряда, так и плотность тока постоянны внутри конечного элемента, и заменяя dr dz на площадь треугольника 5, получим из (3.346) и >(3.347) вклады конечного элемента в функционалы:

АИ7ы = лг5ео(62 + с2) —2лг3р(«14ы2 + «з)/3,(3.348)

А№л = лгЗ{Ь24 [с+ (А1+Л2 + Лз)/Зг]2}/ц —

— 2лг54(Л1 + Л2 + Л3)/3,(3.349)

где Ь, с и S определены формулами (3.342) — (3.344) и ц— магнитная проницаемость материала, заключенного внутри данного конечного элемента. Дифференцируя теперь (3.348) по узловым значениям скалярного потенциала и,- (/=1, 2, 3) и (3.349) по узловым значениям векторного потенциала At (i=l, 2, 3), получим (не забывая, что Ь и с — функции потенциала), что д^.^ = лге0 [ь (ri+i — г1 + 2) + c(zi+2 — г,+1)] — 2лг3р/3, (3.350} ^^- = л г {b (ri+1 — ri+2) + [с + (Лт 4- Л2 + Л3)/Зг] х

Х(г/+2 — z,+1 + 2S/3r)}/p,—2лгЗ/а/3.(3.351)

Здесь индексы i + l и i + 2 следует понимать как циклические в соответствии с тем, как было введено в связи с (2.41).

Чтобы удовлетворить всем условиям (3.345), необходимо продифференцировать функционал по узловым потенциалам. Так как на каждый узловой потенциал влияют только конечные элементы с общей вершиной в данном узле, вклад этих конечных элементов в функционал должен быть минимизирован по потенциалу в этом узле, в то время как значения потенциала в других узлах полагаются фиксированными. Поэтому условия (3.345) принимают вид

й + п

(4-1. 2,N1,(3.352)

к + п

(6-1. 2Ю, (3.353) R 6 1=к+\

где к — индекс рассматриваемого узла и / — индекс одного из п угловых узлов, влияющих на потенциал в к-м узле (см. рис. 40). Следует соблюдать осторожность при суммировании: какД№ы, так и Д№л различны для разных конечных элементов; именно поэтому они имеют индекс /.

Поскольку в (3.350) и (3.351) b и с являются функциями узловых потенциалов (включая потенциал в к-м узле), подстановка этих выражений в (3.352) и (3.353) соответственно дает следующие линейные соотношения для каждой узловой точки Рк".

к + п

Т.ётит = Яз(3.354)

т=кк + п

5 СтАт = р,(3.355)

т=к

где gm, Gm, р и q — коэффициенты при соответствующих членах в (3.350) и (3.351). Эти уравнения устанавливают связь между каждым узловым потенциалом и потенциалами соседних узлов.

Особо следует рассматривать узлы, лежащие на оси и границах. Прежде всего конечные элементы с узлами, расположенными на оси, могут лежать только в положительном радиальном направлении относительно этих узлов. Кроме того, А=0 на оси. В этом можно убедиться, анализируя z-компоненту аксиально-симметричного распределения магнитной индукции, определенного с помощью (16) и (1.12). Это уже использовалось в (3.347). Поскольку Bz не может быть бесконечно велико, векторный потенциал на оси должен быть нулевым. На грани-

цах для потенциала используются соответствующие граничные значения. На поверхности раздела различных магнитных материалов следует использовать соответствующие значения магнитной проницаемости для каждого конечного элемента.

Уравнения (3.354) и (3.355), записанные для каждого внутреннего узла, образуют систему jV линейных алгебраических уравнений для N узловых потенциалов. Эту систему можно решать методом исключения Гаусса или любым другим методом из обсужденных в предыдущем разделе.

В случае насыщения необходимо использовать функционал Wh, определенный в (3.339) [123]. Так как намагничивание нелинейно, то и уравнения, полученные на основе этого функционала, также нелинейны. Система нелинейных алгебраических уравнений также может быть решена численными методами.

Очень важно правильно выбрать форму и плотность конечных элементов. Они должны заполнять все магнитные материалы и возбуждающие обмотки. Плотность должна быть наибольшей в критической области полюсных наконечников, где требуется максимальная точность. Удобно выбирать элементы таким образом, чтобы линии их границ совпадали с границами магнитных цепей.

Возможность полного описания нелинейных магнитных полей, несомненно, является наивысшим достижением применения метода конечных элементов в электронной и ионной оптике. Кроме того, уравнения данного метода автоматически учитывают локальные изменения магнитной проницаемости; они могут быть выражены через векторные потенциалы с тем, чтобы включать в расчет катушки возбуждения; форма конечных элементов может быть подогнана к самой сложной форме границ и т. д. Следовательно, в рамках метода можно полностью анализировать целые магнитные системы.

Метод конечных элементов успешно применялся при проектировании магнитных и электростатических линз [123] и отклоняющих систем [96]. Проектировались сверхпроводящие магнитные линзы, а также электростатические линзы для холодноэмиссионных пушек и фильтров энергии электронов. В магнитных линзах, работающих в режиме насыщения, были найдены необычные распределения осевых потоков, обусловленные большим потоком утечки вблизи оси.

Очевидным недостатком метода конечных элементов является его относительно низкая точность (особенно в критической области, прилегающей к оси), обусловленная предположением о линейной зависимости потенциала от узловых значений. Точность может быть повышена при использовании членов более высокого порядка в (3.340). Этот подход, однако, не только сложен сам по себе, но и приводит к дополнительным трудно-

стям [НО]. Поэтому ошибка дискретизации в данном методе обычно выше, чем в методе конечных разностей.

Вследствие того что весьма обременительно использовать метод конечных разностей в случае сложных границ, а преимущества метода конечных элементов вполне очевидны в случае нелинейных магнитных материалов, но, с другой стороны, точность метода конечных разностей существенно выше, последователи и противники обоих методов иногда сталкиваются друг с другом почти с религиозным пылом. По нашему мнению, выбор между двумя методами должен зависеть от конкретной задачи. Очевидно, метод конечных элементов больше подходит для нелинейных магнитных задач, в то время как методу конечных разностей следует отдавать предпочтение при вычислении электростатических полей.

Существует, однако, гораздо более существенный недостаток, в равной степени ограничивающий возможности обоих методов: они эффективны только для закрытых систем. В разд. 3.3.2 отмечалось, что наиболее серьезные проблемы в методе конечных разностей возникают при попытке вычислить распределение поля в открытой системе. К сожалению, это справедливо и для метода конечных элементов. Если фокусирующий или отклоняющий элемент не окружен экраном, в вычислениях появляются большие ошибки. Действительно, оба метода требуют введения граничных условий всюду вокруг интересующей области. Для открытой системы приходится вводить некоторую функцию потенциала вдоль открытых границ. Если, например, положить потенциал нулевым на открытой границе, то условие, справедливое на бесконечности, перемещается ближе к самой системе. Это может внести очень серьезные ошибки. Мы уже обсуждали в разд. 3.1.2.2 ограничения, свойственные другим способам введения граничного потенциала. Всегда можно, конечно, предположить наличие эквипотенциального экрана вокруг системы, но такое дополнение неизбежно исказит поле открытой системы. Поэтому предположения такого рода ведут к существенным отличиям формулировки задачи от первоначальной.

Можно было бы использовать один из подходов, упомянутых в связи с методом конечных разностей, чтобы преодолеть эту трудность (конечные элементы переменного размера, области сшивки и т. д.). Можно сначала определить распределение потенциала в рамках простой модели с нулевым потенциалом на удаленной границе, а затем использовать сложную модель с вычисленным в первом случае потенциалом на близкой границе [124]. Существуют и другие нерешенные проблемы (например, разрывы на границах конечных элементов и т. п.). Хотя сейчас в преодолении этих трудностей и наблюдается некоторый про- 162

гресс [125, 126], мы все-таки весьма скептически оцениваем возможность использования данного метода для решения задач с открытыми границами. По мнению автора, интегральный метод (см. следующий раздел), вообще говоря, превосходит как метод конечных разностей, так и метод конечных элементов.

Чтобы оценить точность метода при вычислении магнитного поля, полезно сравнить результаты вычислений криволинейного интеграла (3.230) для распределения поля с реальным числом ампер-витков. Сравнение аксиального распределения поля в случае простой петли тока, вычисленного в рамках метода конечных элементов, с точным результатом (3.255) обнаруживает расхождение 10%, что, безусловно, слишком много.

Дополнительная информация о методе конечных элементов может быть найдена в литературе [ПО, 115, 121—123, 127, 128].

Метод зарядовой плотности (интегральный метод)

Интегральный метод вычисления полей введем сначала для задач об электростатическом потенциале. В дальнейшем будут показаны пути распространения этого метода на задачи о вычислении магнитных полей.

В оригинальном варианте [129] этот метод основывался на том простом факте, что в статическом случае поле выталкивается из любой области, занятой проводником. Заряды распределяются по поверхностям всех проводников таким образом, что все эти поверхности эквипотенциальны. Если потенциалы проводников (электродов) создаются извне, это эквивалентно созданию определенных распределений заряда на электродах. Можно считать, что эти заряды являются источниками электростатического распределения потенциала в пространстве, окружающем электроды, в том числе и потенциалов самих электродов. Если бы мы могли заменить потенциалы электродов этими поверхностными распределениями заряда на электродах, нетрудно было бы рассчитать потенциал в любой точке просто на основе принципа суперпозиции, не прибегая к использованию сложных расчетных сеток, как в методах конечных разностей или конечных элементов. Кроме того, мы сэкономили бы огромное количество машинного времени и машинной памяти, поскольку потенциал в заданной точке может быть точно вычислен без необходимости двигаться шаг за шагом от электродов к заданным точкам в ходе утомительной процедуры, накапливая ненужную информацию. Например, в случае аксиально-симметричных фокусирующих элементов нужно знать лишь распределение потенциала вдоль оси. Метод зарядовой плотности

позволяет точно вычислить это распределение, вообще не рассматривая точки, не лежащие на оси. Сразу же ясно, что данный метод не требует замкнутых границ. Поэтому наиболее серьезная проблема как конечно-разностного метода, так и метода конечных элементов здесь не возникает.

Соотношение между потенциалом и распределением заряда устанавливается выражением, весьма похожим на формулу (3.244), которая определяет связь между магнитным векторным потенциалом и распределением плотности тока. Электростатический потенциал в произвольной точке Р, заданной радиусом- вектором R, есть суперпозиция потенциалов, созданных всеми элементарными зарядами dq, расположенными внутри объема V в точках, заданных радиусами-векторами Rs. Поэтому

1 M[4(Rs)l

4^) TR^-RJ ’(3.356)

v

где распределение элементарных зарядов может быть выражено через пространственную плотность заряда р, поверхностную плотность заряда о или линейную плотность заряда X. В соответствии с этим, полагая, что плотность заряда однозначно определена радиусом-вектором малого элемента, расположенного в месте нахождения заряда, получим

4<7(Rs)]=p(Ra<zv=o(RarfS,==MRa ds, (3.357)

где dV, dS и ds — элементы объема, поверхности и длины соответственно. Можно использовать рис. 30, если только заменить токи на заряды. Равенство (3.356) представляет собой решение уравнения Пуассона (1.18) и обладает большей общностью, чем требует формулировка данной задачи, поскольку содержит пространственные заряды наряду с поверхностными и линейными зарядами. Можно немедленно заключить, что метод пригоден также и для решения тех задач о вычислении потенциала, в которых нельзя пренебречь пространственным зарядом.

Вернемся теперь к решению первоначальной задачи. Расстояние между элементом заряда и точкой наблюдения в декартовых координатах равно

| R - Rs| = [ (X - XS)2 + (У - У$)2 + (г - 2s)2] */2, (3.358) а элемент объема равен

dV = dxsdysdzs.(3.359)

С использованием этих выражений вместе с (3.356) любая задача о вычислении потенциала может быть решена элементарно. Действительно, рассмотрим конфигурацию п электродов произвольной формы. Тогда потенциал в точке Р дается выражением.

/пх * С <T(R5)dS“W-^Lj |R—RTl’р.360)

i=1Si

где интегрирование должно выполняться по поверхностям всех электродов.-

Трудность состоит в том, что в этом уравнении неизвестны как и, так о. Однако, поскольку потенциалы электродов заданы как набор значений V, ( i=l, 2,..., п), мы можем сразу написать п уравнений, в которых неизвестно лишь распределение заряда. К сожалению, этот подход не приближает к решению задачи, так как электроды могут быть весьма протяженными, и поэтому мы не знаем, как выбрать те точки на их поверхностях, в которых следует положить потенциалы равными заданным. Более того, поскольку поверхностная плотность заряда меняется вдоль поверхностей электродов, пришлось бы решать систему сложных интегральных уравнений, что могло бы оказаться невыполнимым с вычислительной точки зрения.

Нужен гораздо более простой подход. Разделим поверхность каждого электрода на элементы, конечные, но достаточно малые для того, чтобы можно было считать, что поверхностная плотность заряда неизменна в пределах границ каждого элемента. Тогда, если число элементов на г-й поверхности равно пи, можно записать N= Ё mi уравнений вида 1= 1

WI-l^EfsT^Tl (, = 1- 2":(3'361)

Здесь V; — значения потенциала на каждом граничном элементе (имеется не более п различных величин) R/ и R/ — радиусы- векторы центров элементов (разные индексы нужны для того, чтобы отличать рассматриваемый элемент / от всех остальных элементов i) и S, — площадь i-ro элемента. Если эти площади недостаточно малы, плотность поверхностного заряда в пределах каждого элемента можно еще считать постоянной, но при этом следует провести интегрирование в пределах поверхности элемента, соответствующего радиусу-вектору, чтобы результат соответствовал середине каждого элемента.

Уравнения (3.361) образуют большую систему линейных алгебраических уравнений, однозначно определяющую распределение поверхностной плотности заряда. Обратная подстановка этого распределения в (3.360) дает потенциал в любой точке пространства. Таким образом, распределение плотности заряда осуществляет связь между потенциалами электродов и распределением потенциала во всем пространстве.

Уравнения (3.361) могут быть записаны в следующей форме: N

V,= s GMOi ^j = l, 2, .... N; i^j),(3.362)

i=l

где 0z = oR,- и Gij — коэффициент, связывающий t-ю поверхностную плотность заряда с /-м потенциалом. Этот коэффициент зависит только от геометрической конфигурации системы электродов. Решение этой системы может быть получено любым из прямых или итерационных методов, описанных в разд. 3.3.2.1.

Можно получить частные выражения для коэффициентов Сц, если система электродов обладает тем или иным типом симметрии. Поскольку особый интерес представляет аксиальная симметрия, рассмотрим этот случай более подробно. Будем исходить из основного уравнения (3.356). Переход к цилиндрической системе координат дает

IR — Rs |.= [г2 + г$2 — 2rrs cos (а$ — a) + (z — z$)2] ‘/2,(3.363)

dV=rsdrsdasdzs.(3.364)

Следует производить интегрирование по всем значениям угла as, поскольку потенциал образуется зарядами, распределенными по цилиндрическим поверхностям. Однако результат не может изменяться при изменении величины а, если система аксиально-симметрична. Удобно выбрать а=л. Тогда (3.363) можно переписать следующим образом:

|R—Rs| = [(r+rs)2 —4rrssin2as/2 ) + (z-Zs)2]*/2.(3.365)

Подставляя (3.357), (3.364) и (3.365) в (3.356), получим следующее выражение для аксиально-симметричного распределения потенциала u(r, z), созданного распределением плотности пространственного заряда p(r$, zs):

и (г 1 С С С p(rs, zs) rsdrsdzsd(Os/2)

’Я8° о А о [(r + rs)2 — 4rrsSin2as/2 + (z—zs)2]1/2

(3.366)(3.367)(3.368)(3.366)(3.367)(3.368)_ I С С р (rs, Zs) К (т) rsdrsdzsЛ80 Д J l(r + rs)2 + (z_Zs)2]l/2 ’

(3.366)

(3.367)

(3.368)

(3.366)

(3.367)

(3.368)

где

Л/2

КМ = $ (1 — T2sin2₽)-wp■ о

есть полный эллиптический интеграл первого рода и т2 = 4гг$/[(г+г$)2 + (z — Zs)2].

Заметим сразу, что вдоль оси (г = 0) т=0 и соответственно ^(0)=л/2. С другой стороны, в точках, где расположены заряды (r = rs, z=zs), имеем т2=1 и эллиптический интеграл становится бесконечно большим (сингулярность).

Аксиально-симметричная система электродов всегда может быть представлена в виде кольцевых зарядов. Кольцевой заряд— это заряд Qi, равномерно распределенный по кольцу радиуса rsi, расположенного при zsi. Для такого кольца как rst, так и zsi — постоянные. Теперь для линейной плотности заряда, определенной в (3.357), можно написать

Xt = SSPC'’®. zs)drsdzs = qil2nrsi. (3.369) Подставляя в (3.366) и суммируя по всем кольцевым зарядам, получим простое выражение для распределения потенциала, образованного кольцевыми зарядами qi (i=l, 2,..., А):

(3.370)(3.370)N

(3.370)

(3.370)

' - Зл^О^ ((г + г5 )2+(г_г$ )Ч1/2

Здесь т, — значение т, вычисленное из (3.368) с подстановкой rs = rSi и zs = zSi. Полученное уравнение может быть использовано для определения поверхностных зарядов а из потенциалов электродов Vj с помощью подстановки г = г, и z=Zj для радиальных и аксиальных координат элементов поверхностей электродов. Поскольку поверхностная плотность заряда а, связана с зарядом qi элементарным соотношением (3.357), коэффициенты Gt; уравнения (3.362) прямо получаются из (3.370):

К (Т;Л А5г

^^^^-^ • (3'371)

где S; — площадь i-ro кольца и

т2,7 = 4г.г//[ (fi + rj2+ (z, - z0 =].(3.372)

Для открытого металлического электрода имеются две эквипотенциальные поверхности (по одной с каждой стороны электрода). Однако если толщина электрода пренебрежимо мала, то можно просто удвоить площадь поверхности и рассматривать обе стороны электрода как одну заряженную поверхность.

Эллиптический интеграл (3.367) может быть весьма точно вычислен с помощью полиномиального приближения [130]: ^(т) «оо+О1Т] + а2Т]2 + азт]3 + О4Г]4 +

+ (^о + б!Т) + &2Т)2 + &ЗТ)3 + 64Т]4) In (1/т]),(3.373)

где

Т] = 1 — т2,

а0= 1,38629436112 01 = 0,09666344259 а2 = 0,03590092383 а3 = 0,03742563713 04 = 0,01451196212а0= 1,38629436112 01 = 0,09666344259 а2 = 0,03590092383 а3 = 0,03742563713 04 = 0,014511962126о = О,561 = 0,12498593597 Ь2 = 0,06880248576 6з = 0,03328355346 &4 = 0,004417870126о = О,561 = 0,12498593597 Ь2 = 0,06880248576 6з = 0,03328355346 &4 = 0,00441787012(3.374)(3.374)

а0= 1,38629436112 01 = 0,09666344259 а2 = 0,03590092383 а3 = 0,03742563713 04 = 0,01451196212

а0= 1,38629436112 01 = 0,09666344259 а2 = 0,03590092383 а3 = 0,03742563713 04 = 0,01451196212

6о = О,5

61 = 0,12498593597 Ь2 = 0,06880248576 6з = 0,03328355346 &4 = 0,00441787012

6о = О,5

61 = 0,12498593597 Ь2 = 0,06880248576 6з = 0,03328355346 &4 = 0,00441787012

(3.374)

(3.374)

Ошибка этого приближения меньше 2-Ю-8. (Ошибка для т = 0 меньше 10—”.) В окрестности т=1 (сингулярность) можно использовать

lim[^(т)] = lim[(l/2)ln(16/Ti)]. (3.375) т->-1 ii^o

Вычисления можно начинать при произвольно заданном распределении плотности заряда. Тогда разность между заданными и вычисленными потенциалами электродов может служить основой получения улучшенных значений поверхностной плотности заряда (итерация). По окончании вычислений относительная ошибка на электродах может быть менее 0,04%, за исключением кромок электродов, где ошибка обычно несколько выше [66].

Для достижения большей точности желательно выбирать меньшие размеры элементов в тех местах, где сильнее всего изменяется плотность заряда, например вблизи зазоров между электродами. Однако, если плотность поверхностных элементов слишком велика, точность падает из-за ошибок округления. Обычно требуется несколько сотен элементов для вычисления распределения потенциала в практически важных случаях с точностью 0,1%. Аккуратность необходима также для того, чтобы обходить сингулярность эллиптического интеграла при т=1. Точность может быть повышена с помощью аппроксимации плотности заряда непрерывной функцией вместо функции, терпящей разрывы на границах элементов.

Время, необходимое для работы программы, вычисляющей плотность заряда, приблизительно пропорционально квадрату числа элементов поверхности. Требования к объему памяти относительно умеренные по сравнению с методами конечных разностей и конечных элементов, которые требуют вычислений потенциала в каждой точке расчетной сетки.

Метод плотности заряда применялся к расчетам электростатических систем различных конфигураций [44, 66, 96, 131], включающих трехмерные поля [132], пространственный заряд [133, 134] и даже диэлектрические среды [135].

Этот метод имеет очевидные преимущества по сравнению с методами конечных разностей и конечных элементов:

он применим к системам с открытыми границами без каких бы то ни было предположений относительно распределения потенциала вдоль этих границ,

он требует гораздо меньшего объема памяти, так как потенциал вычисляется лишь в тех областях, где это действительно необходимо.

Усовершенствования метода, направленные на уменьшение ошибок округления и обход сингулярностей, изложены в литературе [136, 137, 137а].

С магнитными полями дело обстоит просто, если может быть использован скалярный магнитный потенциал. Тогда можно приписать электродам потенциалы в соответствии с (3.232) и решать эквивалентную электростатическую задачу, не задумываясь о физическом смысле магнитных «зарядов». Как обычно, ситуация усложняется при наличии магнитных материалов, однако в этом направлении также наблюдается некоторый прогресс [ПО, 138]. Если отделить вклад в магнитное поле Н,обусловленный токами, от вклада индуцированной намагниченности [139], то скалярный магнитный потенциал останется применимым для последнего, и используя (1.22) и (3.227), можно написать интегральное выражение для потенциала, как функции вектора намагниченности М. Поэтому, вычислив М, можно найти скалярный потенциал, который в свою очередь определяет вклад намагниченности в вектор магнитного поля Н. Вклад токов легко может быть вычислен по закону Био — Савара (3.249). Таким образом, мы найдем суммарное поле, вычисляя в основном вектор намагниченности и скалярный потенциал. В этом методе, являющемся комбинацией методов конечных элементов и плотности заряда (интегральный метод конечных элементов), только катушка и магнитная цепь делятся на конечные элементы [124], а потенциал вычисляется только в интересующей области. Поскольку вся информация концентрируется в относительно малом объеме, для сильно неоднородных магнитных материалов матрица является очень плотной, что служит источником локализованных ошибок. Другая сложность состоит в том, что в общем случае скалярный потенциал определяется системой нелинейных интегро-дифференциальных уравнений, численное решение которой весьма затруднено.

Можно также учесть намагничивание по аналогии с выражением для электростатического поля (1.1), в котором электростатическое поле Е формально заменяется вектором намагниченности М и плотность заряда заменяется фиктивной магнитной «плотностью заряда». Другая возможность состоит в использовании магнитного векторного потенциала.

В заключение посоветуем читателю использовать метод зарядовой плотности для всех вычислений электростатических полей. В случае нелинейных магнитных задач, особенно для систем с замкнутой границей, предпочтительнее выглядит метод конечных элементов. Если границы открыты и требуется высокая точность, следует использовать интегральный метод конечных элементов.

Численное дифференцирование и интерполяция

Дифференцирование. Для того чтобы использовать распределение потенциала при траекторных расчетах, необходимо уметь вычислять все компоненты электростатического и магнитного полей. Поскольку поля связаны с потенциалом уравнениями (1.17), (1.22) и (1.13), либо уравнениями (1.12) и (1.6), задача сводится к численному дифференцированию распределения потенциала по всем координатам. В следующих двух главах мы увидим также, что и производные потенциала более высокого порядка могут понадобиться как для расчета хода лучей, так и для вычисления коэффициентов аберрации. Может показаться, что вычисление этих производных ■— простая задача. Многократно используя формулы (3.281) — (3.283) и (3.286), можно вычислить производные любого порядка простым вычитанием друг из друга потенциалов в соседних узлах. Однако, если вспомнить, что говорилось об этом в разд. 3.3.1.2, становится понятным, что такой процедуры следует избегать, если мы заботимся о точности. Действительно, при вычислении производной высокого порядка мы несколько раз вычитаем друг из друга разности между разностями потенциала, что неизбежно приводит к уменьшению точности по мере увеличения порядка производной.

Как мы видели в разд. 3.3.2, точность может быть повышена сохранением членов более высокого порядка в разложении в ряд Тейлора. Здесь можно пойти по тому же пути. Вычислим первую производную потенциала w(R) по некоторой координате q, полагая, что потенциал задан в виде трехмерного числового массива, созданного в ходе работы некоторой вычислительной процедуры. ■

Прежде всего напишем ряды Тейлора для потенциалов на малых расстояниях ±6, ±26 и ±36 от произвольной точки с координатой q (две другие координаты можно положить постоянными, поскольку мы хотим дифференцировать только по q): и (9+6) =« (9) ±и' (?)6 + “" (9) 62/2±ы"' (9) 63/6 +

+ miv(9)64/24±mv(9)65/120 + mvi(9)66/720±... , (3.376) и (9+26) = и (9) ±2w' (9) 6 + 2и" (9) б2±4Ы"' (9) 63/3 +

+ 2miv(9)64/3±4mv(9)65/15 + 4mvi(9)66/45± , (3.377) и (9+36) = и (q) ±3u' (9) 6 + 9и" (9) 62/2±9u"' (9) 63/2 +

+ 27uiv(9)64/8±81uv(9)65/40 + 81mvi(9)66/80±... . (3.378) Штрихи означают дифференцирование по 9 и производные должны вычисляться в точке с координатой q.

Очевидно, что, если используются только линейные по б члены, формула (3.376) немедленно переходит в (3.286). Как и в разд. 3.3.2, пренебрежение членами высшего порядка эквивалентно замене дифференцирования линейной конечно-разностной операцией.

Если требуется более высокая точность, нужны дополнительные члены в разложении Тейлора. Сохраняя квадратичные и кубические члены, из (3.376) и (3.377) получим

u(q+8) — u^q — б) ~2u'(?)5 + u"'(?)63/3,(3.379)

u(?4-25) — и(? —25)~4«'(?)5+8н"'(?)53/3.(3.380)

Исключая из этих уравнений и'"^, получим более точное выражение для первой производной:

u'(?)«{8[u(? + 6) — u(q — б)] —

— [«(^ + 26) — u(q — 26)]}/12б.(3.381)

Можно повысить точность, используя все уравнения (3.376) — (3.378). Тогда имеем

и(Я+6) — и (q — б) = 2и' (q) б + и'" (q) б3/3 + uv (?) б5/60,

(3.382) u(?+25) — u(q — 25) = 4и' (?)5 +

+ 8и"' (?) б3/3 + 8uv (?) б5/15,(3.383)

и (?+35) — и (? — 36) = би' (?) 6 + 9и'" (?) б3 + 81 uv (?) б5/20,

(3.384)

откуда следует еще более точное выражение для первой производной:

и' ^Й ={45[и(?+б) — «(? — б)] — 9[и(? + 2б) —

— «(? —26)] + w(?+36) — w(? —Зб)}/60б.(3.385)

Дальнейшее повышение точности может быть достигнуто сохранением еще большего числа членов в разложении в ряд Тейлора, однако это приведет к накоплению ошибок округления. Поэтому не имеет смысла использовать формулы сложнее, чем (3.385).

Производные более высоких порядков могут быть получены или повторным использованием формул (3.381) и (3.385), или непосредственно на основе преобразований рядов Тейлора (3.376) — (3.378). Например, оставляя члены до четвертой степени включительно, из (3.376) и (3.377) получим

и (?+6) + и ^q — б) ~2и (?) + и" (?) б2 + ulv (?) б4 /12,

и(q+26) + u(q — 2d) «2и(g) + 4и"(g)62 + 4uIV (g)64/3,

(3.387) откуда имеем следующее выражение для второй производной: ы ' (q) = {16 [и (д + 6) + и (д — 6)] — [и (д+26) +

+ u(q~ 26)] — 30и(д)}/1262. (3.388)

Менее точные выражения (3.281) — (3.283) прямо получаются из (3.386), если пренебречь членами четвертого порядка (мы уже видели это на примере формулы (3.303)).

Чтобы использовать вышеприведенные формулы для производных, необходимо знать значения потенциала в точках с координатами q, q±6, g±26 и g±36. Проблемы не возникает, если координата q соответствует узловой точке расчетной сетки или точке, где действительно вычислялся потенциал, и 6 равно размеру ячейки или шагу независимой переменной. Однако ситуация полностью меняется, если это не так. Тогда приходится интерполировать, чтобы найти нужные значения потенциала по его значениям в узлах. Процедура интерполяции должна как минимум иметь такую же точность, как и процедура вычисления самого потенциала.

Предположим, что потенциал задан для n+ 1 различных значений независимой переменной q (обычно q— одна из координат при фиксированных значениях двух других координат, например когда задано распределение потенциала вдоль оси z цилиндрической системы координат). Таким образом, имеется п+1 пара величин и,—qt (i = 0, 1, 2,..., п). При этом всегда можно построить полином степени п, принимающий значение Ui при аргументе, равном qt для любых I. Действительно, полином степени п имеет n+ 1 коэффициент и может аппроксимировать п+1 заданное значение функции. Коэффициенты являются простыми функциями узловых значений потенциала. Однако процедура вычисления коэффициентов может быть весьма сложной, так как приходится решать систему из п+1 уравнения.

Интерполяция Лагранжа. Может быть использовано много различных приемов интерполяции, упрощающих вычисления [115], но все они дают один и тот же интерполяционный многочлен для данного набора пар величин. Одним из простейших подходов является метод полиномов Лагранжа. Основная идея состоит в использовании вместо одного полинома п различных полиномов степени п, составленных так, что вычисление коэффициентов становится несложным. Для этого построим полиномы так, чтобы они были равны единице при определенном значении q, независимой переменной q и нулю при всех прочих 172

’ИЧХЭОНЬОХ HOHOIPHOHdu э ио^охэи иихе нндьХкон чхнд хХлои эн эннтонеиоби эишэма Хиохеоц ‘кинеьвне олоньох oipomo xoiXdnipipnligo эняибя эннно -HiiBifOudaiHH ээнчеиэ иех ‘и дшчтрод иэ^ яохвхэо1Гдн gnHegadgg hhVo хэдии BHUKifOHdgxHH квнчтрвиионигроп ‘иинеквжоэ ^[

•ИЭ1РОЦ

винэ1гэиьна kipIT днииЧ/охдодн ‘дннтоаеиоди ихивн и ошПянХф oiXHeHdodugH woeBdgo иимвх оеХнндьХгон eBd и 4XBeodnIiHga -gффиVodu онжои Btfjgoa adeng^ ’V -х и g = w bitv BIpXиdoф квнно -HHBifondgxHH квяэаьидХя внвэинве чхнд хджои оньилоквну

(36££) Ч^77^^^ +

'^b_b^6b_^ П (гЬ_Ь^гЬ — ^

идвьХтрон ‘(06£ £) и (б8£ £) я Z=w ккь'

-авхэггоц ’bipeX ndx онжХн HHtiBipoudgxHH HOHhnxBdVBaM kip'u'

•OlHliKiPOHdgxHH ни

-odxo ни HWHdoxoH Х^жди ‘aoipeX xXaV MXBHHVdooH — ^b и °b oVj

(I6G‘£)Wn^hZTb—( ^«t^t^-^W77

XipXw ^оф (иХнхэдяеи (068£) и (б8£'£) ЕИ иэвьХероп ден ыр'ц' -\=и Hdu woBhXipg иннхэвь юхдыряв KHliKipondgxHn квиидни!/

•bipeX ojo^bm kipV "(?/>) п кин

-дьвне эняокеХ хдвУ (06£‘£) 01h ‘онКиядьо иЬ и ob ХУжди эквя -dgxHH идэя вн идиНянХф HOHHHdgdugH adgugx кэхэыряи KBdoxon

0 = 1

(06£"£)Ч!ЬМьУч ^«(»)и

и

иоииХэ oHBHodHwnoMOduuB чхид хджои (b^n HOHHgwaden иоииэиаве диндьвне донхэдаеидн BVjog •« oV kipXh хо i олодонр kipV oiHHBaoggdx Хиохе xojBdoHxgiPHovX

(68££)

пиония-си охь ‘ахолия

OMieif "(u ‘•••'i+i ‘i—i ‘• •‘2 ‘I ‘O = .O !b хкиндьвнЕ хнинвУве

уэвоп XHH1HHJBW и химэоьи(11мэ1Гб аинэ!гэ№ёио

Интерполяционный импульс. Одним из возможных способов повышения точности интерполяции является использование более сложных приемов, таких, как, например, полиномы Чебышева. Можно предложить более простой способ: дискретный набор данных заменяется на непрерывную функцию с помощью интерполяционного импульса с минимальным интерполяционным шумом [140]. Нетрудно показать, что произвольная функция u(q) лучше аппроксимируется по формуле (3.390), если заменить в ней Li(q) на «интерполяционный импульс»

I (<?) = (3.393) ' л(<7~qt)(6 ’ х 1

обладающий тем же свойством, что и Li(q'): он равен единице при q=qt и нулю при q = q, (j — Q, 1, 2,..., i—1, t+1,..., /г). Однако принципиальное различие состоит в том, что если использовать в (3.390) h(q), то аппроксимация будет улучшаться с ростом п. Например, в простейшем случае постоянной функции относительная ошибка этого метода составляет 0,167 % для п=10, но только 0,002% для п=100. Аналогичные результаты получаются и для других функций. Непрерывная функция, полученная из интерполяционных импульсов, может быть продифференцирована любое необходимое число раз.

Кубический сплайн. Бесспорно лучшим является принципиально другой способ замены дискретного набора данных гладкой функцией. Механические сплайны (гибкие полоски эластичного материала) используются чертежниками с давних пор. Если расположить сплайн так, чтобы он проходил через все точки, соответствующие данным, в интервалах он примет форму, минимизирующую его потенциальную энергию. Его форма может быть задана кусочной кубической кривой с непрерывными первой и второй производными. Нетрудно показать, что если кривизна сплайна равна нулю на обоих концах (естественный сплайн), то он имеет наименьшую возможную кривизну на всем своем протяжении. Таким образом, естественный сплайн — наиболее гладкая интерполяционная функция. Если, как и раньше, имеется п+1 точка, сплайн будет состоять из п кубических выражений: по одному на каждый из п интервалов, между соседними узлами. Для ^-го интервала (рис. 41) имеем

uk^f) = Ak+Bk (_q — q^ + Ck(q — qk-iy + Dk (q — qk-^3.

Здесь Як-\— координата левого конца ^-го интервала (А=1, 2,..., л). Конечно, коэффициенты Ак, Вк, Ск и Dk различны для разных интервалов. Таким образом, вместо того чтобы искать одну функцию для всей области, мы здесь используем п различных функций, т. е. 4л коэффициентов вместо л 4-1.

(3.395)(3.396)(3.397)(3.395)(3.396)(3.397)Естественно, мы теперь имеем разные выражения для распределения потенциала и его производных во всех п интервалах. Однако очень легко обеспечить непрерывность сплайна вместе с его первой и второй производными в каждом из п—1 узлов, где кубические полиномы сшиваются друг с другом. Условия непрерывности могут быть записаны в следующем виде:

(3.395)

(3.396)

(3.397)

(3.395)

(3.396)

(3.397)

Uk-н (9а) = ик(Як),и'k-i (я к) = и'к(як),и"k+i (Як) = и"к (Як) •

Рис. 41. Аппроксимация кривой кубическим сплайном.Рис. 41. Аппроксимация кривой кубическим сплайном.

Рис. 41. Аппроксимация кривой кубическим сплайном.

Рис. 41. Аппроксимация кривой кубическим сплайном.

(Штрихами обозначается дифференцирование по Я-) Третья производная постоянна и различна для разных интервалов, поэтому она не может быть непрерывной. Производные более высоких порядков равны нулю внутри интервалов и не определены в узлах.

Подставляя формулу (3.394), ее производные и Як—9a-i = 6 в уравнения неразрывности, получим 3(и—1) уравнений для коэффициентов:

Ak+i=Ak + Bk6-vCk&2-VDk^.(3.398)

Bw = Bk + 2Ck6 + 3Dk62>(3.399)

Сд+1 = Ck + 3Dk6,(3.400)

где ^ = 1, 2,..., п—1. Еще и 4-1 уравнений получим, если подставим узловые значения и(яА для всех узлов i=0, 1, 2,..., л в (3.394) с соответствующими значениями к. Полное число уравнений будет 4л—2. Так как имеется всего 4л коэффициентов, два из них остаются неопределенными. Именно сейчас следует решить, будет ли использоваться естественный сплайн (и тогда нужно приравнять вторую производную нулю на обоих

концах сплайна), или выгоднее использовать две оставшиеся степени свободы для других целей, например чтобы задать на концах первые производные.

Собственно конструирование сплайна является простой и стабильной процедурой. Нужно решить систему 4м линейных алгебраических уравнений для коэффициентов. Если оба свободных коэффициента используются на одном конце сплайна, то его построение тривиально, поскольку можно постепенно двигаться от этого узла к другому, определяя три коэффициента из условий непрерывности, а четвертый — из значения потенциала в очередном узле для каждого интервала. Процедура усложняется, если, как это обычно и бывает, два свободных условия используются на разных концах. Тогда приходится решать систему уравнений целиком, что, впрочем, не составляет проблему даже для очень больших значений п. Уравнения всегда могут быть расположены таким образом, что соответствующая матрица будет симметричной и «трехдиагональной», т. е. все ненулевые члены будут расположены в ней на диагонали и двух прилегающих к ней «линиях». В этом случае система элементарно решается любым прямым методом, например методом приведения Гаусса с обратной подстановкой (см. разд. 3.3.2.1).

После того как построен сплайн, дифференцирование становится элементарным действием. Первая, вторая и третья производные формулы (3.394) могут быть непосредственно рассчитаны при надлежащем выборе индекса к в зависимости от интервала, в котором расположена точка q.

Сплайн также может быть использован для аппроксимации кривых, т. е. для моделирования кривой, заданной в графическом виде или в виде сложной функции, более простым, легко дифференцируемым аналитическим выражением. В этом случае необходимо иметь в виду, что полученные на основе сплайна производные не совпадут с производными исходной кривой -(даже в узлах), но это обычно имеет место для всех методов аппроксимации кривых.

Преимущества метода сплайнов над интерполяцией многочленами очевидны. Второй метод удовлетворительно работает лишь для малого числа узлов, тогда как сплайн легко построить на огромном количестве интервалов, и при этом он будет оставаться очень гладкой функцией с непрерывными первой и второй производными. Его недостатками являются разрывность третьей производной и неопределенность высших производных. Однако как мы увидим в следующих главах, эти производные обычно вообще не нужны. Поэтому можно считать кубический сплайн лучшей интерполяционной функцией, имеющейся в нашем распоряжении. Он будет использоваться в гл. 9 как инстру-

мент для решения одной из наиболее важных проблем электронной и ионной оптики.

Задача интерполяции и дифференцирования становится более сложной, если производные необходимо вычислить в некоторой произвольной точке, не только не совпадающей ни с одним из узлов, но и не лежащей на какой-либо из линий расчетной сетки. Известно несколько способов ее решения. Один из них, метод Эрмита [110], представляется весьма эффективным для двумерной интерполяции. В трехмерном случае интерполяция может оказаться гораздо сложнее. К счастью, большой нужды в ней не возникает, поскольку в большинстве случаев достаточно одномерных интерполяций, построенных одновременно вдоль взаимно перпендикулярных линий сетки, особенно в случае осевой симметрии, когда вся информация содержится в распределении потенциала (или поля) вдоль оси.

Заключение

Эта глава очень большая. Ее объем оправдывается объемом работы, необходимой для вычисления полей. Такие расчеты составляют одну из наиболее утомительных процедур при конструировании электронных или ионных оптических систем. Глава делится на три основных раздела: аналитические методы, измерения и численные методы.

Аналитические методы перечислены в разд. 3.1. Сначала были выписаны разложения в ряд для потенциалов и полей. Формула (3.19) является наиболее общим выражением для разложения в ряд произвольного трехмерного распределения потенциала в цилиндрических координатах, а (3.27) — в декартовых. Выражение (3.20) написано для частного случая аксиально-симметричного распределения потенциала. Затем были рассмотрены общие свойства плоских, аксиально-симметричных и мультипольных полей. Обсуждались специальные методы вычисления как аксиально-симметричных, так и мультипольных полей (разделение переменных, конформные преобразования и т. д.). Было рассчитано распределение потенциала, созданного двумя цилиндрами одинаковых диаметров с круглой апертурой. Мы ознакомились с процедурой, позволяющей быстро рассчитать поле, созданное системой апертур. Затем было вычислено распределение потенциала, созданного цилиндрическим вогнутым 2ЛГ-мультиполем, и найдено решение задачи об идеальных мультиполях. Трудности аналитических вычислений были проиллюстрированы на практических примерах. Мы остановились на особых свойствах магнитных материалов, после чего использовали закон Био — Савара (3.249) для вычисления по-

лей прямолинейного проводника, замкнутой петли, тонкого соленоида, многослойной и плоской катушек.

Содержание разд. 3.2 составляют измерения магнитных полей и аналоговые методы определения полей. Здесь были представлены основные методы измерения магнитного поля, основанные на электромагнитной индукции, эффекте Холла, использовании пермаллоевых и висмутовых датчиков и явления магнитного резонанса. Затем мы кратко ознакомились с методами электролитической ячейки, резисторных цепей и другими аналоговыми методами.

Наиболее важная часть главы — разд. 3.3. Здесь были изложены численные методы определения полей. Мы начали с обсуждения проблемы точности. Было объяснено; что представляют собой ошибки округления, аппроксимации и внутренне присущие ошибки. Мы подробно рассмотрели три основных метода численных расчетов полей. Выражение (3.324) —это девятиточечная формула метода конечных разностей в случае аксиально-симметричных распределений потенциала. Метод конечных элементов основывается на вариационных уравнениях (3.337) — (3.339). Наиболее удачным подходом к численным расчетам полей является метод зарядовой плотности. Его основное уравнение — уравнение (3.360). Поверхностная плотность заряда может быть определена в аксиально-симметричном случае из (3.370). Кроме того, обсуждались наиболее важные прямые и итерационные методы решения систем уравнений, фигурирующих во всех трех основных методах. Наконец, были рассмотрены методы численной интерполяции и дифференцирования. Формула (3.385) является достаточно точным выражением для численного дифференцирования. Интерполяция может осуществляться при помощи полиномов Лагранжа (3.389), интерполяционного импульса (3.393) или кубического сплайна (3.394), причем последний способ — наилучший.

Глава 4

ФОКУСИРОВКА В АКСИАЛЬНОСИММЕТРИЧНЫХ ПОЛЯХ

Наиболее часто используемыми элементами электронной и ионной оптики являются линзы, служащие для фокусировки пучков заряженных частиц. Они эквивалентны обычным аксиально-симметричным оптическим линзам, основные свойства которых были рассмотрены в разд. 1.4.2. Существование электронно-оптического коэффициента преломления (разд. 2.6) обеспечивает возможность создания электронных и ионных линз на основе близкой аналогии между обычной оптикой и движением пучков заряженных частиц в электромагнитных полях. В гл. 3 уже обсуждались основные свойства аксиально-симметричных электростатических и магнитных полей, а также основные методы их вычисления. В данной главе будет проведено детальное исследование их фокусирующих свойств.

Всюду в этой главе будет использоваться цилиндрическая система координат г, а, z. Как известно, аксиальная симметрия означает, что все характеристики полей зависят только от координат г и z (поля и их потенциалы не зависят от азимутальной координаты а).

Теорема Буша

Будем исходить из релятивистского лагранжиана. Подставляя в (2.35) цилиндрические координаты и их коэффициенты Ляме (формула (1.10)) и вспоминая обсуждение формулы (3.347), приведшее к заключению, что в аксиально-симметричных полях только азимутальная компонента Л (г, z) магнитного векторного потенциала отлична от нуля, получим

L=— m0c2[l — (r2 + r2a2 + z2)/c2]'/2 +

+ 9[г«Л(г, z)—и (г, г)]. (4.1) Заметим сразу, что лагранжиан не содержит явно координату а. Как было показано в разд. 2.3, в этом случае сохраняется соответствующая компонента обобщенного импульса. Уравнение (2.39) дает тогда вместе с (2.2) и (2.67)

dL/da=r[mora(l — ц2/с2)-*/2 + 9Л (г, z)] =

= m0r2a'v (1 — u^lc^^^lHA-QrA (г, z) = C = const, (4.2)

где и и Н определяются из (2.31) и (2.82) соответственно. Постоянную можно определить в любой точке траектории. Наиболее удобно использовать исходную точку, обозначенную индексом 0. Тогда С — начальное значение азимутальной компоненты обобщенного момента, равное

C=moro2ao-(1 — vo2/c2)-1/2+QroTl (r0, z0).(4.3)

Из (4.2) можно видеть, что С=0, если частица пересекает ось z в некоторой точке своего движения.

Уравнение (4.2) немедленно дает азимутальную компоненту га скорости заряженной частицы или азимутальный «наклон» а'. Имеем

vtt = ra= [С — QrA (г, z)J (1 — v2/c2)1/2/m0r.(4.4)

Запишем теперь теорему Стокса (формула (1.24)) для векторного потенциала А на окружности радиуса г с центром, лежащим на оси, принимая во внимание (1.7) и (1.12). Получим

_ 2л

ф A-ds = $ А (г, z) rda = 2nrA (г, г) = 0

= $ rot A-ds = J B-ds- cp= 2л J Bzrdr, (4.5) ■ ssо

(4.6)(4.6)где <р—поток сквозь круг. Отсюда получаем для абсолютной величины магнитного векторного потенциала

(4.6)

(4.6)

А (г, г) =<р/2лг= (1/r) § Bzrdr.о

Дифференцируя это выражение по г, сразу же видим, что аксиальная компонента магнитной индукции равна

. В2=А!г+дА(дг,(4.7)

что следует также из (1.12) и (1.6). Из этих же уравнений получаем радиальную компоненту в виде

(4.8)(4.8)Br = — dAfdz

(4.8)

(4.8)

и Ва = 0. (Эти выражения уже использовались в (3.347).)

Если теперь обозначить поток в исходной точке через фо, то (4.4), (4.3) и (4.6) дают

й = (У/2ш0г2л) (1 — v^/c^Y^ (ф0 — ф) + «о WrY jj,^^ ,(4.9)

откуда ясно, что основной причиной изменения азимутальной компоненты скорости является магнитное поле. Это совершенно естественно, поскольку только магнитный член лоренцевой силы (формула (1.14)) может иметь азимутальную компоненту в аксиально-симметричных полях. Это не означает, однако, что в электростатических полях а постоянно. Как хорошо видно из (4.9) и (2.2), в аксиально-симметричных электростатических полях постоянен момент импульса, тг2а, но как а, так и азимутальная компонента скорости га изменяются при движении частицы, если не равна нулю начальная компонента скорости в азимутальном направлении. Этот результат следует также из (2.61) и может быть записан в виде d(mr2a)/d/=0. В нерелятивистском случае а зависит от электрического поля только через изменение г.

Уравнение (4.9) называется теоремой Буша [1].

Для однородного магнитного поля, ориентированного в положительном направлении оси z (разд. 2.7.2), можно написать BZ = B = const и (4.6) дает

А^=Вг[2. (4.10)

Подставляя (4.3) и (4.10) в (4.4) и принимая во внимание, что абсолютная величина скорости не может меняться в чисто магнитном поле, получим

r2a— го2ао = ±<йс(го2 — г2)/2, (4.11)

где шс — циклотронная частота, определенная так же, как в (2.135), а знак соответствует знаку заряда частицы. Заметим, что в выражение для циклотронной частоты входит релятивистская масса. '

Уравнение (4.11) представляется слишком сложным для такого простого случая. Причина состоит в том, что здесь го может иметь любое значение. Обычно, однако, можно выбрать систему координат таким образом, что траектория частицы будет винтовой линией вокруг оси z. Тогда радиальное расстояние частицы от оси z будет постоянным (г=го), и мы получим очевидный результат, что азимутальная скорость постоянна (а = = а0).

Основное траекторное уравнение

Выведем основное траекторное уравнение для заряженной частицы, движущейся в аксиально-симметричном поле. Дифференциальное уравнение для азимутальной координаты а полу-

чено в предыдущем разделе. Действительно, уравнение (4.2) сразу дает

dzmorsv к ' / »v /

где С определено в (4.3). Члены, содержащие скорость, можно выразить через релятивистский потенциал (2.89), используя (2.87) и (2.90):

(1 -y2/C2)i/2/y==mo//, = [_2Q(„_„o)rei/mo]-1/2. (4.13)

Теперь нужно воспользоваться релятивистскими уравнениями траектории в цилиндрических координатах (2.84) и (2.85). Однако уравнение (2.85) оказывается лишним, поскольку (4.12) уже дает простое уравнение для а'. Это дает ощутимый выигрыш, так как уравнение (2.85) весьма сложно. Такое упрощение является следствием использования лангранжевого формализма. Однако это еще не все. Легко заметить, что единственное оставшееся уравнение (2.84) также может быть существенно упрощено подстановкой а' из (4.12). Компоненты электрического поля берутся из (1.17), (1.10) и (1.13), а компоненты магнитной индукции определяются уравнениями (4.7) и (4.8). Вспомним также, что для аксиально-симметричных полей Еа = = Ва=0. Уравнения (2.13), (2.89) и (4.13) используются для того, чтобы выразить скорость через релятивистский потенциал. Здесь следует быть внимательным и помнить, что Q(u—u0) — всегда отрицательная величина, что не должно быть потеряно при манипуляциях с корнями. Принимая все вышесказанное во внимание, получим следующее выражение для (2.84): ^г _ у,Я2 1 [С-ОгЛ (г, г)р

dz12(u —uo)retj Q^V3

, [ 1Q («—“о) 17 ди , ,, ди , ,

1 [1 m0c2 Rdr ' dz

। C-QrA(r.z)/А дА , дЛ Л ‘ mor \ r dr Г dz ) J • Конечно, H все еще содержит первую производную азимутальной компоненты, но, к счастью, удастся избавиться также и от нее. Для этого введем фиктивный «потенциал»:

W(r, z) = [и (г, z) — u0]rel + (Q/2m0) [Д (r, z)—C/Qr]2. (4.15)

Подставляя сюда С из (4.2) и используя (4.13), напишем

F=(U —u0)rei(l — г2а'2/№).(4.16)

Выражая № из (2.82) и перегруппировывая члены в (4.16), получаем

r2a'2 = [(u - Uo)rei - ^] (1 + г/2)/№,(4.17)

откуда следует

Я2/2(и-«0)ге1=(1+г'2)/21Г.(4.18)

Выражение (4.15) указывает, что W не зависит от а'. Поэтому после подстановки (4.18) в (4.14) последнее не будет содержать а' и его можно непосредственно использовать для определения r(z). Можно еще упростить это уравнение, подставляя (2.89) в (4.15) и дифференцируя W последовательно по г и по z:

dW_ СА С2 f. Q (и—и0) 1 ди C—QrA дА ,.

dr m0r2 Qtrtor3' L tn^ ] dr твт dr ’' ‘ *

£Е = I 1 _ Q (“—“о) 1 д“C—QrA дА.^ 20)

дг [ moca J дг тЙг дг ‘' ’ '

Подставляя уравнения (4.18) — (4.20) в (4.14), получаем окончательно релятивистское траекторное уравнение для аксиально-симметричных полей в общем виде:

d2r _ 14-г'а / dW , dW \. 2П

dz2 2W(r, z)\ dr dz ) ’'

где W и С определены в (4.15) и (4.2) соответственно. Начальные условия заданы в некоторой точке Zo, где г = го и г'= = г'о.

В случае малых скоростей уравнение не изменяется, только релятивистский потенциал заменяется электростатическим потенциалом в (4.15) и можно пренебречь членом в (4.2), содержащим и2[с2.

Для чисто магнитных полей u = const, но уравнения остаются неизменными. Однако они существенно проще для электростатических полей, где Д = 0 и С отлично от нуля, только если имеется ненулевая азимутальная компонента начальной скорости. Уравнение (4.21) тогда сводится к следующему релятивистскому уравнению траектории для электростатических полей: d^r 1+22— Л1 - Q(“-“o> IС2 1

dz22 (u —uo)rei + C2/Qmof2 UmoC2 J \ dr dz ) Qm0r3 | ‘

(4.22)

Для малых скоростей и в отсутствие азимутальной компоненты скорости (С = 0) уравнение становится еще проще:

d2rl + r'a ( ди , ди \,.

г -з~ •(4-23)

dz2 2 (к — иЙ) \ дг дг )х ’

Отсюда следует одно важное свойство: в электростатических полях траектория нерелятивистской частицы с нулевым угловым моментом не зависит от отношения массы к заряду этой частицы. Следовательно, одно и то же электростатическое поле

может использоваться для фокусировки и электронов, и различных ионов (естественно, полярность потенциалов электродов должна изменяться на противоположную для частиц разных знаков).

Уравнения (4.12) и (4.21) полностью описывают траекторию частицы с зарядом Q и массой покоя то, движущейся с произвольной скоростью в аксиально-симметричных электрическом и магнитном полях. Поскольку уравнение (4.21) содержит только функции координат гиг, оно не зависит от координаты а и описывает проекцию траектории на плоскость гг. Если эта проекция найдена, можно подставить функцию r(z) в (4.12) и найти зависимость a(z). Такое разделение переменных дифференциального уравнения является следствием аксиальной симметрии. Если бы ее не было, уравнения (2.84) и (2.85) остались бы связанными и очень сложными.

Хотя и удалось разделить уравнения, они все еще остаются достаточно сложными. Действительно, даже наиболее простое из них, уравнение (4.23), справедливое в очень частном случае нерелятивистских траекторий с С = 0 в аксиально-симметричных электростатических полях, представляет собой нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка, для решения которого необходимо как минимум знать потенциал u^r, z) во всей области, где проходит пучок. Хотя возможно и численное решение такого уравнения (см. гл. 6), дальнейшие упрощения необходимы для более глубокого понимания сути физических процессов.

Уравнение параксиальных лучей

Введем теперь ряд упрощений. Рассмотрим сначала только «параксиальные» траектории, лежащие вблизи оси z, движение по которым происходит главным образом в аксиальном направлении. Теория параксиальных лучей носит название гауссовской диоптрики.

Первое предположение означает, что в степенном разложении в разд. 3.1.1 мы будем пренебрегать всеми членами, содержащими г в степени выше первой. Поэтому параксиальную теорию иногда называют теорией первого порядка. Тогда из (3.20), (3.38) и (3.40) имеем

u(r, z) «77(z), duldr^—rU” (z)!2, du/dz«U'(z), (4.24) где t/(z)—аксиальное распределение потенциала, определенное в (3.21). Аналогично из (4.6) и (3.47) получаем, что

A (г, z) «гВ (z)/2, (4.25)

где S(z)— аксиальное распределение магнитной индукции, введенное в (3.44). Обратите внимание на аналогию между (4.10) и (4.25): в случае однородного магнитного поля соотношение (4.25) справедливо на любых расстояниях от оси.

Необходимо отметить, что первое предположение будет использоваться только в той области, где существует поле. Вне поля траектории представляют собой прямые линии, которые могут быть продолжены сколь угодно далеко от оси, даже если они являются параксиальными в поле.

Второе предположение состоит в том, что радиальной и азимутальной компонентами скорости можно пренебречь по сравнению с аксиальной компонентой. Поэтому наклоны траектории как в радиальном, так и в азимутальном направлении пренебрежимо малы (г'<1 и ro/Cl), и выражение (2.82) сводится к Я«1. Тогда соотношения (4.2), (4.13), (4.24) и (4.25) дают

С = rK H>Qm6 [U (z0) - Я0]ге1} V2 + Qr^ (z0)/2,(4.26)

где Я(г0) и B(z0) —осевые значения потенциала и индукции соответственно в начальной точке, a UQ — осевой потенциал в точке, в которой скорость частицы равна нулю (см. обсуждение, предваряющее (2.31)). Заметим, что С является выражением, квадратичным по малой величине Го, поэтому оно может появиться в наших уравнениях, только будучи поделено на другую малую величину.

Соотношения (4.12), (4.13), (4.25) и (4.26) образуют дифференциальное уравнение для азимутальной координаты вблизи оси (параксиальная область):

da/dz = {-2Qm0 \U (z) - C/„3rel}-V» \C/r^-QB (z)/2). (4.27)

Подставим теперь (4.24) и (4.25) в (4.15), (4.19) и (4.20). Пренебрегая величинами, содержащими г и го в степени выше первой, получим

W«YU(z) - I/oJrei,(4.28)

?4 1 -rU" ДО + QB4 (z) тЦтв, (4.29)

« h - Q^l2)-^!! y. ^(4.30)

Подстановка этих соотношений в (4.21) при опускании малой величины г'2 дает уравнение параксиальных лучей для релятивистских траекторий в аксиально-симметричных электростатических и магнитных полях:

^S^L-P-h-tiUB^V к(/.(г)/2+г.у.(г)| dz® 4m0 Qmer3 (m^:2/ 11.

2[t/(z)-t/d]rel

Уравнения (4.27) и (4.31) полностью определяют траекторию заряженной частицы в таком поле. Сначала нужно решить (4.31) и получить функцию r(z), а затем подставить ее в уравнение (4.27), непосредственным интегрированием которого можно теперь определить положение меридиональной плоскости, в которой в данный момент расположена частица:

а (z) —а0 = $ {—2Qm0 \U (z) - t/0]rei}" V= \Clr® (z) - QB (z)/2] dz.

(4J2)

Отсюда видно, что в параксиальной области траектория любой заряженной частицы полностью определяется распределением потенциала вдоль оси, двумя его первыми производными и осевым распределением магнитной индукции.

В вышеприведенных соотношениях [С7 (z)—t/0]rei вычисляется при помощи подстановки осевого потенциала вместо u^r, z) в (2.89). Естественно, при малых скоростях релятивистский потенциал можно заменить просто на осевой потенциал, а членом Q[(/(z)—Uo^fmoC1 пренебречь.

В параксиальном случае можно записать теорему Буша, если подставить (4.25) в (4.3) и (4.4). Получим

а= (1 - У2/С2) 1/2{(Q/2m0) [r02B (z0)/г2 — B(z)] +

+ ао(го/г)2(1-Уо2/С2)-'/2}.(4.33)

Уравнение параксиальных лучей (4.31) все еще остается нелинейным дифференциальным уравнением. Оно становится линейным только при С=0, т. е. если траектория пересекает ось, либо если как азимутальная компонента скорости, так и магнитная индукция обращаются в нуль в одной и той же точке. (Существует также и третья возможность: приравнивая С к нулю, можно рассчитать значение а/, при котором уравнение параксиальных лучей становится линейным. Однако практическое значение этого случая весьма ограниченно.)

Указанные ограничения являются очень серьезными. Поскольку нам хотелось бы получить общие важные заключения на основе уравнения параксиальных лучей, попытаемся линеаризовать его при любом значении С.

Введем новые переменные:

р (г) = а (2) + (Q/2) $ {- 2Qm0 [U (г) - 770]ге1}- В {z)dz - а0, .zo

w(z) =r(z) exp[ip(z)],w(z) =r(z) exp[ip(z)],(4-34)(4.35)(4-34)(4.35)

w(z) =r(z) exp[ip(z)],

w(z) =r(z) exp[ip(z)],

(4-34)

(4.35)

(4-34)

(4.35)

где i— мнимая единица и P(z) —разность между азимутальной координатой a(z) и ее значением при том же z в случае С = 0. Переменная iw(z) является комплексной, причем ее модуль и аргумент равны г (г) и p(z) соответственно. Дифференцируя (4.34) по z и принимая во внимание (4.27) и (4.35), получим dp/dz = C{-2Q/Tl0[[/(z) - [/olrel}"1^^

= С{—2Qmo[L/(z) — ^оЗге!}-172^-2 exp[2ip (z)].(4.36)

Теперь можно выразить r(z) через новые переменные из (4.35) и продифференцировать дважды по z с учетом (4.36). Результатом будет

г (z) = w (z) exp [— ipz], (4.37)

drldz= (dw/dz) exp [ — ip(z)J—’

— (iC/ui (z)) {— 2Qm0[U(z) - I/0]rei}-1/2 exp[ip(z)],

(4.38)

d-r№>=(<P«,№>)exp [-фИ] -21-ДяИа_.+

iCU'(z)exp [ip (2)1 ^Q ^ ( ) _ и ] J-1/2 I ! _ QI^^-^oH ‘ 2ш (z) \U (z) — t/oLei 11' Jreu l"1ос I

(4.39)

Подставляя эти выражения в (4.31), окончательно получаем уравнение параксиальных лучей для комплексной переменной в виде:

^ _ W „ (2) _ J1 _ 6^".l U „ м „. w2 + * „;„ 1dz1 4m0' *)m0c24z ' 'J

2[{/(z)-t/0lrel

Отметим, что это уравнение в точности совпадает с (4.31),если подставить iy(z) вместо r(z) и положить С=0. Это как раз то, что нам нужно: убирая член, содержащий С, мы преобразовали уравнение в линейное дифференциальное. Как мы увидим в следующем разделе, этот факт может иметь далеко идущие последствия.

Начальные условия получаются из (4.34) и (4.35). Имеем

Mzo)=O,(4.41)

^ |г= го = «о + (Q/2) {—2Qm0 [С/ (z0) - (/,]„,}-1/2 В (z0), (4.42)

'w(z0)=r0.(4.43)

£ |г=го = (^ +|г= г J ехр [ф (z0)] =

= r; + ir0<a; + QB(z0){—2Qm0\U (z0) —t70]rel}-i/2/2>.(4.44)

Уравнение (4.40) вместе с (4.34) и (4.35) полностью определяет траекторию релятивистской частицы в аксиально-симметричном поле. Решив его (обычно с помощью одного из численных методов, описанных в гл. 6), можно вернуться к исходным переменным, используя (4.34) и

r={[Re(u»)]2+[Im(w)]2}1/2,(4.45)

P = arctg[Im(iy)/Re(iy)],(4.46)

где Re(tw) и Im(iy)—вещественная и мнимая части комплексной функции w(z) соответственно.

В частном случае С = 0 мы имеем ^ = 0, поэтому w(z) = — r(z), и мы возвращаемся к исходному уравнению для вещественной переменной r(z).

Уравнение (4.40) становится очень простым в случае чисто магнитных полей, когда релятивистский потенциал постоянен и правая часть уравнения содержит только один член. Для электростатических полей уравнение сложнее, однако, если частица не имеет азимутальной компоненты начальной скорости, необходимости в использовании комплексной переменной w(z) не возникает.

В случае малых скоростей релятивистский потенциал заменяется на электростатический, а членом, содержащим /Пос2 в знаменателе, пренебрегают.

С точки зрения численных расчетов предпочтительней иметь дело с дифференциальными уравнениями, не содержащими первой производной зависимой переменной. Это всегда выполняется для (4.40) в случае магнитных полей. Поэтому, если удастся преобразовать уравнение к такому виду, структура уравнения будет одинаковой для электростатического и магнитного полей. Воспользуемся следующим преобразованием:

■O(z)=w(z)|[[/(z) — t/0] rel [ ^4.(4.47)

Выражая отсюда w^z) и дифференцируя дважды по г, получаем

т | VU (2) - (/0]ге1 Г6'* {1 -«У} U' (2) о (z)/4, (4.48) ^=\Vu^-u0^-^+

+ i № (z)- l/0]rel M< {1 - ^^Г^1} U" (z) о (z) T

T 5/41VU ^ - t/0]rel-«^ {1 -^^^} U" (z) о (z) T

+ 1/21 VU (z) - t/0]rel |-»M 11 -^fc^H y, (2) ^_

- VQ/mec^ | VU (2)- t/0]rel-^ U'* (2) a (z), (4.49) где верхний и нижний знаки соответствуют положительному и отрицательному значению релятивистского потенциала.

Подставляя эти выражения в (4.40), приходим к простому уравнению

(4.50)(4.50)^- + T(z)O=0,

(4.50)

(4.50)

где

16[Z/(Z) — £/olrel 8moc2 VU to — ^olrel 8m0[{/(z) —t/glrei

(4^1)

всегда положительно, так как знаки заряда и потенциала противоположны. Заметим, что в этом уравнении появляется собственно релятивистский потенциал, а не его модуль.

Такая форма уравнения параксиальных лучей имеет еще одно явное преимущество: уравнение не содержит второй производной электростатического потенциала. В разд. 3.3.5.1 мы видели, что высшие производные могут быть определены численно лишь с ограниченной точностью.

Очевидно, что в случае малых скоростей второе слагаемое в (4.51) пренебрежимо мало по сравнению с первым. Поэтому для нерелятивистских частиц уравнение (4.50) может использоваться совместно с

у ^U 2 (z)' Q^2 (z)/4 59ч

Отсюда следует, что параксиальная траектория нерелятивистской частицы не зависит от отношения заряда к массе. Поэтому

траектории электронов и ионов с разными массами одинаковы, •если совпадают начальные условия. Естественно, для положительных ионов знаки всех электродных потенциалов должны изменяться на противоположные по сравнению со случаем электронов и отрицательных ионов. Заметим, что при обратном преобразовании a(z) в r(z) через (4.47), (4.37), (4.34) и (4.32) зависимость от Q/mo исчезает, даже если начальная скорость имеет азимутальную компоненту (С=#0). Это ясно также из (4.26) и (4.31). Очевидно, кроме того, что скорость частицы зависит от отношения заряда к массе даже для С = 0.

Начальные условия для (4.50) могут быть получены из (4.43), (4.44) и (4.47):

a(zo)=ro|[[/(zo) -[/о]^]1/4, (4.53)

+ (г0/4) | VU (z0) - t/0]rel |-sm и' (z0) {1 - Q VU (z0) - U^m^. (4.54) Решив уравнение (4.50), легко получить функции r(z) и a(z), описывающие траекторию, подстановкой a(z) в (4.47), iy(z) в (4.45) и (4.46) и, наконец, 0(z) в (4.34).

Поскольку (4.40) и (4.50)—линейные дифференциальные уравнения, пропорциональные изменения размеров электродов и магнитов могут приводить к пропорциональным изменениям траектории, если электродные потенциалы и токи возбуждения остаются неизменными.

Кроме того, в нерелятивистском случае уравнение (4.40) линейно по электростатическому потенциалу и квадратично по магнитной индукции. Вследствие этого пропорциональное изменение всех электродных потенциалов не изменит траектории, если магнитная индукция одновременно изменяется пропорционально квадратному корню из масштабного множителя изменения потенциалов. Если нет магнитного поля, уравнение (4.40) в нерелятивистском случае однородно по потенциалу, поэтому траектории определяются отношениями потенциалов электродов, а не абсолютными значениями этих потенциалов. Это не так для релятивистских скоростей: уравнение (4.40) нелинейно по потенциалу и траектории определяются самими потенциалами, а не их отношениями.

Эти выводы полностью соответствуют законам подобия, полученным в разд. 2.8.

Формирование изображения с помощью параксиальных лучей

Уравнение параксиальных лучей, записанное в форме (4.40) или (4.50), представляет из себя линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка. Предположим,

что te»i(z) и tw2(z)—два частных линейно-независимых решения уравнения (4.40), определенные начальными условиями. Вспомним, что w(z)—комплексная функция, содержащая в соответствии с (4.34) и (4.35) как радиальную r(z), так и азимутальную a(z) компоненты траектории. Однако, если С=0, в (4.40) может быть подставлена функция w(z)=r(z) (это следует также из (4.31)). Поскольку уравнение (4.40) имеет один и тот же вид для w(z) при С^О и для г (г) при С=0, можно выбрать две вещественные функции ri(z) и r2(z), удовлетворяющие уравнению во втором случае для любых двух частных решений te»i(z) и W2(z), удовлетворяющих этому же уравнению в первом случае. Тогда общее решение может быть записано в виде

w (z) =cifi(z) + c2r2(z), (4.55)

где Ci и с2 — произвольные постоянные. Так как iy(z) является комплексной функцией, a rx (z) и r2 (z) вещественны, постоянные, естественно, должны быть комплексными. Подставляя сюда начальное значение аксиальной координаты za и принимая во внимание (4.43), можно выразить с2 в виде

с2=[го —Cir(zo)]/r2(zo), (4.56)

где л(г0), r2(z0) и т0 — значения частных и общего решений соответственно, взятые в начальной точке zo. Подставляя (4.56) в (4.55), получаем общее решение в виде

=" <г> “ 7&) <z> + =■ [« " Ж '•№ ] ' (4'57>

Как видим, при фиксированных zo и z величина w будет разной при разных значениях постоянной Ci. Однако, если существует такое z=zt, при котором множитель при Ci равен нулю, т. е.

г2 (г,)/г2 (zo) =Ti (Zi)/ri(zo) =М,(4.58)

тогда для этого частного значения z=zt (4.57) сводится к

хю (z,) = Мт о = r(zi)= г,.(4.59)

Это означает, что величина w(z>) вещественна и ее значение не зависит от Ci, т. е. разные лучи, выходящие из точки Ро с координатами z0, г0 под разными углами к оси, соответствующими разным направлениям начальной скорости и потому разным значениям сх, встретятся опять в точке Pt с координатами <1, г,, как показано на рис. 42.

В силу простого соотношения (4.59) г, — линейная функция Го, т. е. изменение го приведет к пропорциональному изменению

rt. Другими словами, значение функции ну (г) в точке z, в М раз больше, чем в х0, поэтому М называют увеличением, , причем оно всегда вещественно, так как вещественны г0 и г,. Если лучи выходят из точки на оси (го = 0), то rz = 0, следовательно, они снова пересекутся на оси. Увеличение может быть положительным и отрицательным. В последнем случае изображение перевернуто в меридиональной плоскости.

Как следствие, можно утверждать, что произвольное аксиально-симметричное поле представляет собой линзу, поскольку оно приводит к формированию изображения, действуя на параксиальные частицы: точка Р; является образом точки Ро. Такое соответствие между точками называется стигматическим, изображением. В силу линейности (4.59) можно также сказать, что отрезок ZiP, является изображением линейного объекта 2оРо. Аналогично если есть плоский объект, перпендикулярный

Рис. 42. Образование изображения.

оси в точке z0, то аксиально-симметричное поле создаст плоское увеличенное (или уменьшенное) изображение этого объекта, расположенное в точке z, и перпендикулярное оси. Изображение будет геометрически подобно предмету. Положение изображения определяется уравнением (4.58), поэтому его называют уравнением изображения. Оно выражает самое общее свойство аксиально-симметричных полей.

Поскольку w ^zf) вещественно, p(zz)=0. Мы знаем, что P(z) есть разность между a(z) при определенном значении С и a(z) при С=0. Это означает, что для координаты изображения Zi азимутальная координата равна ее значению при С = 0, и уравнение (4.32) дает

а._а-__(Q/2) ^-2Qm6\U (z) - ^Ье,}"1-'2 В (z) dz. (4.60) Zo

Это уравнение вращения изображения. Действительно все час-

тицы, вышедшие из точки Ро, снова встретятся в точке Pt, причем азимутальная координата этой точки однозначно определена в (4.60) и не зависит от направления начальной скорости частицы, хотя азимутальные координаты частиц с разными начальными скоростями (разные значения С) будут отличаться в ходе их движения по траектории до ее пересечения с осью в точке изображения. Поскольку значение интеграла зависит только от положений предмета и изображения, изменение азимутальной координаты будет одним и тем же для всех точек изображения. Это означает, что изображение целиком будет повернуто без каких-либо искажений в плоскости изображения на угол, определенный соотношением (4.60). Если предмет линейный и перпендикулярен оси, то изображение будет находиться в меридиональной плоскости rz, но сама эта плоскость будет поворачиваться в соответствии с (4.60). Поэтому всегда можно использовать меридиональную плоскость для того, чтобы определить положение и размер изображения, помня, что эта плоскость поворачивается при формировании изображения. Отметим, что вращение изображения имеет место только в магнитных полях.

Таким образом, каждая точка предмета будет представлена соответствующей точкой изображения. Для определения координат изображения достаточно рассмотреть две различные траектории, выходящие из соответствующей точки предмета. Они снова пересекутся в точке изображения. Поскольку координаты изображения всегда вещественны, можно выбрать траектории с С = 0, что существенно упрощает вычисления.

В ходе приведенного обсуждения мы подчеркнули значение основной теоремы электронной и ионной оптики, полученной впервые Бушем [1] в 1926 г. Интересно, что первая электронная линза была изготовлена Е. Вихертом еще в 1899 г. Д. Габор повторил это открытие в 1924 г.. Вскоре появились последователи, а в 1931 г. М. Кнолль и Е. Руска построили первый электронный микроскоп. Спустя два года Е. Рус- ке удалось показать, что электронный микроскоп имеет более высокое разрешение, чем его оптический прототип. Последующие десятилетия засвидетельствовали ошеломляющий прогресс в данной области. Появились новые приложения, такие, как катодно-лучевые трубки, микроволновые генераторы и генераторные лампы, ускорители частиц, спектрометры, различные электронно- и ионно-лучевые устройства и технологии, что потребовало создания новых подходов, лучше сформированных и более мощных пучков. В наше время сложнейшие аналитические инструменты наряду с электронно- и ионно-лучевой литографией и тестированием определяют основные стимулы к дальнейшему развитию. Но всему этому положило начало от-

крытие кажущейся простой способности аксиально-симметричных полей создавать изображение.

Необходимо, однако, иметь в виду, что доказательство справедливо только для параксиальных частиц. Лучи, выходящие из точки объекта в разных направлениях, соберутся в одной точке изображения, только если траектории остаются близкими к оптической оси и если малы их наклоны. Иначе справедливым будет только нелинейное уравнение (4.21), в результате чего лучи с разными начальными наклонами сформируют «изображения» в разных точках, поэтому изображение будет размытым. Это составляет проблему аберраций, которая будет подробно рассмотрена в следующей главе.

Формула Гельмгольца — Лагранжа

Рассмотрим луч, выходящий из точки на оси (го = 0) под определенным углом у о (рис. 43). Мы показали, что этот луч опять пересечет ось в точке г,, образуя изображение точки г0. Угол между траекторией в точке изображения и осью равен ^t. Отношение

G = tg^/tg^0(4.61)

называется угловым увеличением. Так как луч однозначно задан начальными условиями, можно считать его частным решением ri(2) уравнения параксиальных лучей (4.40). Тогда, поскольку Го = Г1(го) =0, имеем из (4.56) с2 = 0, и различные лучи пучка будут характеризоваться разными значениями сг в (4.55), соответствующими разным углам ^о. Тогда (4.55) и (4.61) дают ' 6 == 2^1 = const(4.62)

™ <го) Г! (г0)7

для всех лучей независимо от величины Сь

Так как оба частных решения Г] и г2 должны удовлетворять уравнению (4.40), можно записать его дважды: один раз, подставляя гДг) вместо ну (2), и затем, подставляя r2(z) вместо <у(2). Далее умножим первое уравнение на г2, второе уравнение на ri и вычтем второе уравнение из первого. В результате получим

2 VU (z) - l/e]rel (r?2 - rtQ + {1 -^^о1} t/' (z) х

X (r;r2 - Г1Г') = 2 ци (г) - (70]ге,}*/“ (d/dz) <u (z) - i70]rel}v2 х x(r;r2-r1r')> = 0,(4.63)

откуда следует, что

{[(/(z) — [/o]rei}1/2(r'ir2 —rir'2)=const.(4.64)

Если некоторая величина постоянна вдоль траектории, ее значение в z0 должно быть равно значению, вычисленному в z;. Учтем также (4.58) и (4.62), а также тот факт, что по определению n(z0) =n(z/) =0. Получим еще одно очень важное соотношение:

GM = <[GM = <[[G (z0) — Uplrel [V(2,)]-t/0]rel[G (z0) — Uplrel [V(2,)]-t/0]rel1/21/2(4.65)(4.65)

GM = <[

GM = <[

[G (z0) — Uplrel [V(2,)]-t/0]rel

[G (z0) — Uplrel [V(2,)]-t/0]rel

1/2

1/2

(4.65)

(4.65)

Рис. 43. Угловое увеличение; реальные и асимптотические предмет и изображение.Рис. 43. Угловое увеличение; реальные и асимптотические предмет и изображение.

Рис. 43. Угловое увеличение; реальные и асимптотические предмет и изображение.

Рис. 43. Угловое увеличение; реальные и асимптотические предмет и изображение.

Это уравнение эквивалентно теореме Гельмгольца — Лагранжа в обычной оптике, поэтому оно называется формулой Гельмгольца — Лагранжа. Заметим, что (4.65) остается справедливым и для непараксиальных лучей, если только заменить тангенсы на синусы в (4.61) ^соотношение Аббе). Очевидно, что для малых углов оба выражения дают один и тот же ре

зультат.

Важным следствием этой теоремы является то, что, поскольку угловое увеличение G отрицательно, если луч пересекает ось дважды (если 7о>О, то 7,<0), увеличение М также должно быть отрицательным. Это означает, что электронно-оптическое изображение перевернуто в меридиональной плоскости. Если

луч пересекает ось несколько раз, последующие изображения всегда перевернуты отно-

сительно предыдущих, поэто

му увеличение n-го изображения может быть выражено с помощью (4.59) в виде

Мп= (— l)nr(ztn)/ro, (4.66)

где Zin — осевая координата п-то изображения. Здесь мы рассматриваем только положительные значения г в соответствии с определением цилиндрической системы координат. Таким образом, общее увеличение может быть положительным или отрицательным, как уже отмечалось. Вообще говоря, мы должны отличать r(z)>0 как радиальную координату от функции r(z), как решения дифференциального уравнения (4.31) или (4.40), которая может иметь любой знак. В последнем случае мы рассматриваем r(z) как траекторию в меридиональной плоскости. Именно в этом смысле и было определено увеличение в (4.58) и (4.59).

Другим важным следствием (4.65) является то, что для получения сильно уменьшенного изображения, необходимого для диагностики высокого разрешения, желательно создавать в области изображения потенциалы много большие, чем в области объекта. Если это неосуществимо, то приходится использовать большое угловое увеличение, что является весьма неблагоприятным с точки зрения аберраций.

Кардинальные элементы

Вспомним теперь о том, что говорилось в разд. 2.6 о близкой аналогии между геометрической и электронно-ионной оптикой. Поскольку такая аналогия существует, и мы только что показали, что аксиально-симметричные поля действительно могут создавать изображения предметов, вполне естественно применить классическую терминологию геометрической оптики (разд. 1.4.2) к электронным и ионным линзам.

Однако при этом следует соблюдать осторожность. Действительно, оптическая линза, изготовленная из какого-либо материала (обычно специальных сортов стекла), имеет вполне определенные четкие границы во всех направлениях. Поэтому линза всегда ограничена двумя поверхностями вращения вокруг оптической оси (см. рис. 3). В разд. 2.6 мы видели, что электронно-оптический коэффициент преломления всегда является непрерывной функцией пространственных координат. Действительно, его величина обусловлена действием электрического и магнитного полей, которые не могут резко изменяться в однородной среде. Поэтому очень сложно определить границы электронной или ионной линзы. Если не рассматривается сам источник, пучок должен выйти из источника или предыдущей линзы и затем как-то войти в поле следующей линзы. Аналогично, если только мишень не располагается внутри линзы, пучок должен покинуть поле линзы, чтобы затем отклониться и сфокусироваться другой линзой и т. д. По этим причинам очень трудно заключить линзу в пределах четко определенных физических границ.

Тогда как же можно использовать оптическую терминологию? Прежде всего попробуем ввести две плоскости, перпендикулярные оптической оси, следующим способом: несмотря на то что поле теоретически существует во всем пространстве, оно настолько мало вне этих плоскостей, что траектории практически прямолинейны, так же как и в области, где поле отсутствует. Ограничивающие плоскости могут быть определены математически заданием малой величины е, характеризующей отклонение траектории от прямой асимптоты. Если действительное отклонение меньше, чем е, считается, что частица рас-

положена вне линзы. Таким образом, фиктивные «границы» служат цели ограничения действия линзы между ними.

Сразу же замечаем, что определение границ линзы возможно не всегда, так как асимптомы могут и не существовать. Рассмотрим, например, случай однородных полей. За исключением тривиального случая, когда начальная скорость направлена точно вдоль силовых линий, в таком поле траектории не имеют прямолинейных участков. Если частица покидает область, заполненную полем, она должна пересечь область неоднородного поля, так как однородное поле не может иметь резкую границу.

Можно показать [16], что необходимым и достаточным условием существования асимптот является сходимость интеграла

$ Т (z) zMz,

где функция T'(z) определена в (4.51). Если асимптоты не существуют, кардинальные элементы определить трудно.

В силу сказанного, определение кардинальных элементов (разд. 1.4.2) требует особой осторожности. Посмотрим внимательно на рис. 43. Штриховые линии обозначают «границы» линзы, за которыми траектория аппроксимируется ее асимптотой. Мы видим, что и объект z0, и изображение zi расположены внутри линзы. Это означает, что продолжения асимптот пересекут ось не в точках, соответствующих объекту и изображению, а в каких-то других точках zo* и г,* соответственно ^асимптотические предмет и изображение). При этом асимптотические углы ^о* и ^t* соответствуют углам ^о и ^i.

Как определить в данном случае кардинальные элементы? На рис. 44 показан луч, входящий в поле линзы в пространстве

Рис. 44. Реальные и асимптотические кардинальные элементы в пространстве изображений.

объектов (слева от линзы) параллельно оси. Согласно оптической аналогии, это соответствует объекту на минус бесконечности и изображению в фокусе Е2. Так как в этом случае 7"(Zi)=0, формула (4.59) дает М = 0 (нулевое увеличение). Если же, однако, последовать процедуре, описанной в разд. 1.4.2 (рис. 3), мы заметим, что фокус определяется пересечением прямолинейного участка траектории с осью. Здесь можно поступить аналогично, продолжая асимптоту в пространстве изображений в обратном направлении. Эта прямая линия пересечет ось в асимптотическом фокусе Е2*. Теперь, если мы захотим определить главные плоскости, у нас есть выбор: использовать касательную к траектории в реальном фокусе f2 или асимптоту, проходящую через F^*. Тогда с помощью процедуры, описанной в разд. 1.4.2, можно определить положения действительных (//2^/2'), либо асимптотических (Н2*Я2*') главных плоскостей. В соответствии с этим фокусное расстояние в пространстве изображений может быть определено как f2 = H2F^ f2* = H2*F2* (рис. 44).

Рис. 45. Реальные и асимптотические кардинальные элементы в пространстве объектов.

Рис. 45 демонстрирует аналогичные результаты, полученные в том случае, когда фокус расположен в пространстве объектов для фокуса Fx, главной плоскости Н{Н{' и фокусного расстояния fi = F[Hi, а также их асимптотических эквивалентов Ft*. НХ*Н\*' и f}* = Fi*Hl*. В этом случае го = 0, а М->-оо (бесконечное увеличение).

Приведенные рассуждения показывают, что существование различных действительных и асимптотических кардинальных элементов обусловлено тем, что толстая линза может быть до- 198

статочно сильной, чтобы настолько искривить траекторию, что она пересечет ось до того, как выйдет за пределы поля линзы. Отсюда следует, что мы будем называть линзу слабой, если падающий параллельный пучок сходится в фокусе за пределами линзы. В этом случае между действительными и асимптотическими кардинальными элементами нет никаких различий. Поэтому асимптотические кардинальные элементы применимы и к действительным объектам и изображениям, расположенным вне линзы, и к «асимптотическим» объектам и изображениям, определенным выше.

Отметим, что иногда в литературе для того, чтобы указать положение кардинальных элементов, используется расстояние до каким-либо образом определенной плоскости. Это удобно, когда линза симметрична в осевом направлении относительно плоскости, пересекающей ось в геометрическом центре линзы. В этом случае расстояние от центра до фокуса называется «средним фокусным расстоянием».

Даже увеличение может быть определено двумя различными способами. Поскольку как размеры предмета, так и размеры изображения оказываются отличными от действительных размеров, если использовать асимптоты, их отношение (асимптотическое увеличение) также будет отличаться от действительного увеличения. В обозначениях рис. 46 действительное увеличение определяется как M = PlzJPozo, тогда как асимптотическое увеличение равно M* = Pi*z*IPo*zo*.

На самом деле знание действительных кардинальных элементов мало что дает, если предмет или его изображение, или оба они расположены в поле линзы. В этом случае на частицы действует лишь часть поля, зависящая от положений объекта и изображения. Если предмет движется, изменяется действующая часть поля. Соответственно придется определять фокусное расстояние (и все кардинальные элементы) отдельно для каждого положения предмета с тем, чтобы иметь возможность использовать формулу Ньютона (1.51). При этом вычисления не проще, чем непосредственное использование уравнения изображения (4.58). Вообще говоря, это уравнение и соотношение Гельмгольца — Лагранжа (4.65) являются единственными математическими выражениями, которые можно использовать для установления связи между предметом и изображением.

К счастью, в большинстве случаев электронные и ионные линзы используются в многоэлементных колоннах, где линзы формируют последующие изображения предыдущих промежуточных изображений. Таким образом, если колонна сконструг рована так, что соблюдены подходящие рабочие интервалы между изображениями и «границами» линз, то для любой лин-

Рис. 46 Образование реального и асимптотического изображения

зы как «предмет», так и изображение расположены за пределами линзы и в ее действии будет участвовать все поле. Тогда действительные и асимптотические характеристики совпадают и кардинальные элементы могут быть использованы без ограничений для построения изображения. Конечно, это возможно, только если линзы не являются слишком сильными (см. выше). Для электростатических линз так чаще всего и бывает, потому что для создания очень сильной линзы понадобились бы слишком высокие напряжения, что нежелательно в связи с опасностью электрического пробоя и сложностью работы с высоковольтными источниками питания. Кроме того, помещение объекта или изображения (мишени) в поле линзы, привело бы к значительному искажению поля. Конечно, с источниками дело обстоит несколько иначе, но и в этом случае можно использовать понятие рабочего интервала. Наиболее важным исключением является объектив магнитного электронного микроскопа, где объект помещен глубоко в поле очень сильной линзы для достижения возможно большего увеличения. По этой причине действительные характеристики линзы иногда называют-

ся свойствами объектива в отличие от проективных свойств, используемых как другое название асимптотических характеристик.

Даже если необходимо использовать реальные характеристики, можно применять понятие о кардинальных элементах. Нетрудно показать [16], что для магнитных линз всегда можно определить кардинальные элементы, не зависящие от положения предмета в пределах небольшого интервала (соприкасающиеся кардинальные элементы). В то же время соприкасающиеся кардинальные элементы будут отличаться для двух далеких друг от друга положений предмета. Для электростатических линз соприкасающиеся кардинальные элементы могут быть определены при выполнении дополнительного условия. Поэтому их применимость весьма ограниченна. Однако существуют поля, для которых соприкасающиеся кардинальные элементы не зависят от положения предмета. Это так называемые ньютоновские поля, для которых формула Ньютона (1.51) справедлива и тогда, когда предмет и изображение располагаются в поле линзы. Примером ньютоновского поля является колоколообразная модель Глазера (8.25).

Асимптотические кардинальные элементы

Из приведенного обсуждения становится ясно, что наибольший интерес представляет определение асимптотических кардинальных элементов, введенных на рис. 44 и 45. В (4.55), для построения общего решения уравнения параксиальных лучей были использованы два частных решения. Теперь, вместо того чтобы, как раньше, считать rx (z) лучом, пересекающим дважды ось, положим, что гДг) соответствует лучу, приходящему из пространства изображений параллельно оси, a r2(z)— лучу, приходящему из пространства объектов параллельно оси. Будем называть их главными лучами. Поскольку уравнение параксиальных лучей (4.40) линейно, любое его решение может быть построено как линейная комбинация этих частных решений.

Главные лучи пересекают ось в пространстве объектов (fi) и в пространстве изображений (Ег) в соответствующих действительных фокусах (см. рис. 45 и 44). Очевидно, что все остальные лучи, проходящие параллельно оси на малом расстоянии от нее, пересекут ось в тех же точках. Докажем, что асимптоты всех этих лучей пересекутся соответственно в переднем (Г1*) и заднем (F2*) асимптотических фокусах.

Асимптоты в пространстве объектов (r0bj(2)) лучей

r(z)=ari(z) (4.67)

при произвольном Ci могут быть записаны в виде

robj (z) =Ciriobj(z) = (Z — /д*) r'obj = Cl (Z— Ai*) r'iobj =

= r(«) + (z —a)r'obj = ci(ri(a) + (z —a)r'iobj), (4.68)

где r10bj(z)—асимптота частного луча, r^bj и г'юь] — постоянные наклоны асимптот в пространстве объектов для общего и частного лучей соответственно и а — осевая координата передней границы поля. Отсюда координата переднего асимптотического'фокуса определяется с помощью условия rObj(/7i*) = = 0, что дает.

РС=а — ri(a)/r'iobj.(4.69)

Положение переднего асимптотического фокуса не зависит от произвольной постоянной с1( следовательно, он один и тот же для всех лучей, проникающих в линзу из пространства изображений параллельно оси.

Аналогично для лучей

r(z)=c2r2(z)(4.70)

при произвольных с2 можно определить координату заднего асимптотического фокуса■

FF = b-r2kWrvm,(4.71)

где b — осевая координата задней границы поля и r'2im — постоянный наклон асимптоты в пространстве изображений для частного луча, входящего в линзу параллельно оси из пространства объектов. Положение заднего асимптотического фокуса не зависит от произвольной постоянной с2, т. е. оно одинаково для всех лучей, входящих в линзу из пространства объектов параллельно оси. На этом доказательство закончено.

Определим теперь положение асимптотических главных плоскостей. Из рис. 45 следует, что асимптотическое переднее фокусное расстояние равно

Fi*H1* = H1* - Fi*=h*=n (6)/г'юьъ(4.72)

откуда с помощью (4.69) можно определить координату передней асимптотической главной плоскости. Мы видим, что ни fi*, ни Щ* не зависят от произвольной постоянной Сь Аналогично из рис. 44 следует формула для асимптотического заднего фокусного расстояния:

Н2*Р2*=Р2*~ Н2* = Ь* = ~ r^aV'^m, (4.73)

а координата задней асимптотической главной плоскости определяется из (4.73) и (4.71). Ни /2*, ни Н2* не зависят от произвольной постоянной с2.

Применим теперь (4.64) к плоскостям z=a и z = b. Имеем {[(/(«) — С/о]Ге1>1/2[г7, (а)г2(а) — п (а) г'2 (а) ] =

= {№) — C/ojrei}1^'^^)^^) -n(b)r'2(&)].

(4.74)

Из рис. 44 и 45 следует, что

г', (Ь) =г'2(о!) =0, r'i (а) =г'юы, r'2(b) =r,2im.(4.75)

Подставляя (4.72), (4.73) и (4.75) в (4.74) и принимая во внимание (2.94), получаем очень важное соотношение между фокусными расстояниями:

= nJn2=M*G*. (4.76)

(Последнее равенство будет доказано ниже.) Это равенство идентично равенству (1.48) световой геометрической оптики. Отсюда следует, что нужно знать только одно фокусное расстояние, другое всегда может быть определено из (4.76). Необходимо помнить, однако, что это простое соотношение справедливо только для асимптотических фокусных расстояний и несправедливо для реальных, поскольку (4.72) и (4.73) относятся к асимптотическим величинам. Если потенциалы с обеих сторон линзы равны, то переднее и заднее асимптотические фокусные расстояния также равны между собой. Это имеет место для однопотенциальной электростатической линзы (см. разд. 4.7) и для любой магнитной линзы.

Покажем теперь справедливость формулы Ньютона (1.51) для асимптотических предмета и изображения. Даже если предмет z0P0 и изображение z^Pt и, более того, асимптотический предмет zo*Po* и асимптотическое изображение Zi*Pt* расположены внутри поля (рис. 46), все еще остается справедливым утверждение о том, что треугольники P0*Fi*z0* и Я^'Г^Я^, ai также треугольники H2*'F2*H2* и PfF^Zi* попарно подобны. Следовательно, асимптотическое увеличение определяется выражением

(4.77)(4.77)Р^FVtf4-g* _ № г;

(4.77)

(4.77)

РУо FXhX fl РУОft-p*

где p* и q* — асимптотические расстояния до предмета и изображения соответственно. Отсюда следует, что

A7p‘+f27^ = l,(4.78)

М*=— q*fl*lp*f2*.(4.79)

Соотношения (4.78) и (4.79) не отличаются от (1.51) и (1.52). Следовательно, асимптотические предмет и изображение можно описать с помощью ньютоновской формулы толстой линзы, так же как и в световой геометрической оптике.

Однако если мы хотим рассматривать действительные предметы и изображения, то можно использовать только уравнение изображения (4.58) и формулу Гельмгольца — Лагранжа (4.65), т. е. придется решать уравнение параксиальных лучей (4.40) отдельно для каждого положения предмета, если только поле не принадлежит к ньютоновскому классу.

Если асимптотический предмет расположен на передней асимптотической главной плоскости, то р* = 0 и (4.77) дает Л4* = 1 и q* = 0. Другими словами, асимптотическое изображение будет расположено на задней асимптотической главной плоскости и его высота будет равна высоте предмета. Мы говорим, что асимптотические главные плоскости отображаются друг в друга с единичным увеличением.

Вернемся теперь к последнему равенству в (4.76). Заметим, что соотношения (4.65) и (4.76) похожи. Однако равенство (4.65) в том виде, в котором оно записано, не справедливо для асимптотических величин zo* и z,*, так как оно было выведено с помощью двух лучей, один из которых пересекает ось в точках Zo и z,. Если просто подставить асимптотические величины, то придем к неверному результату, поскольку асимптоты не обязательно пересекают ось в тех же точках. Другими словами, (4.65) будет справедливым для асимптотических величин, только если как предмет, так и изображение расположены вне поля. Тогда между асимптотическими и реальными величинами нет различия, U(a) = U(z0), U(А) = U(zt), и (4.65) принимает вид (4.76).

Если теперь предмет, изображение или они оба находятся в поле, необходимо соблюдать осторожность. Используем, как и раньше, те же два луча, но применим (4.64) при z=a и z = b. Итак, гДг) есть луч, пересекающий ось в точках, где расположены предмет и изображение (рис. 43), а в качестве Гг(г) выберем луч, входящий в линзу со стороны предмета параллельно оси (рис. 44). (Имейте в виду, что ri (z) имеет разный смысл в (4.67) — (4.75).) Тогда справедливы следующие тождества:

r,i(a)=n (а)/(а —Zo*),

r,i(b)=ri(b)/(b —z,*), г/2(«)=0, r'2(b) = г'21т.

С другой стороны, по определению асимптотическое угловое увеличение равно С* = г/(Ь)/г1/(а), и асимптотическое увеличение М* определено в (4.77). Используя (4.71) и (4.73) вместе с рис. 43 и 44, после элементарных преобразований приходим к Л*/2* = С*М*. Это запись формулы Гельмгольца — Лагранжа, которую следует использовать для асимптотических величин. Различие между (4.65) и (4.76) состоит в том, что для реальных величин потенциалы следует брать в точках предмета и изображения, тогда как в асимптотическом случае они должны вычисляться на границах поля, а не в точках, где расположены асимптотические предмет и изображение, если они находятся внутри поля. Это очень важный момент, поскольку формула Гельмгольца — Лагранжа широко используется в обеих формах.

Рис 47. Инвертированное расположение узловых точек.

Рассмотрим теперь узловые точки. Как мы знаем из разд. 1.4.2, они определяются для луча с единичным угловым увеличением (рис. 3), как пересечения продолжений асимптот с осью. Рассмотрим сначала параллельный пучок лучей, приходящий из пространства предметов под определенным углом у к оси (рис. 47). Можно считать, что этот пучок выходит из внеосевой точки, бесконечно удаленной в отрицательном направлении оси, поэтому он будет сфокусирован в лежащей на задней фокальной плоскости точке Р, радиальная координата которой определяется пересечением асимптоты, проходящей через F\*, с задней асимптотической главной плоскостью (см. рис. 47). Разные лучи выйдут из линзы в пространстве изображений под разными углами, но один луч обязательно выйдет

под углом у к оси. По определению пересечение входящей асимптоты этого луча с осью есть передняя узловая точка Nx, а пересечение выходящей асимптоты с осью — задняя узловая точка М2. Теперь заметим, что в силу указанного выше свойства взаимного единичного проектирования главных плоскостей луч, направленный в точку передней главной плоскости, продолжит свой путь из точки задней главной плоскости, расположенной на том же расстоянии от оси. Следовательно, Н2*М2-- = Hx*Nx и расстояние между узловыми точками равно расстоянию между главными плоскостями:

H2*Hx* = N2Nx.(4.80)

Рассмотрим теперьподобные треугольникиN2F2*P и

Fy*Hi*Hi*'. Очевидно, что

Ь№=Ь*.(4.81)

Справедливо также

Fx*F2*=fi*+Hx*H2*-Ff2*=Fi*Ni + NiN2 + N2F2*.(4.82)

Подставляя сюда (4.80) и (4.81), получаем

Fi*Nx=f2*.(4.83)

Соотношения (4.81) и (4.83) полностью эквивалентны соотношению (1.49) в световой геометрической оптике. Заметим, что (4.81) и (4.83) могут также быть получены из (4.76) и (4.77) при G* = l, p* = NxHv* и q*=H2*N2. '

Узловые точки можно использовать для графического построения изображения. При этом один из главных лучей заменяется на луч, проходящий через точку на конце линейного предмета, направленный в точку Nv и выходящий из М2 под тем же углом у. Пересечение этого луча с главным лучом определяет точку на конце линейного изображения.

Для магнитной или однопотенциальной электростатической линзы, когда переднее и заднее фокусные расстояния одинако- выг (4.81) и (4.83) дают N2F2*=Ft*Ni, Поскольку N2F2* = =f2*—H2*N2 и Fx*Nx=ft* + Hx*Nx, отсюда следует, что при равных фокусных расстояниях Hx*Nx = H2*N2 = 0, т. е. узловые точки совпадают с главными.

Теперь рассмотрим луч г (г), направленный в узловую точку Nx (рис. 48). Из (4.47) ясно, что асимптота кривой o(z) также пройдет через эту точку, хотя и под другим углом к оси. Поскольку T(z) (в (4.51)) всегда положительно, из (4.47) и (4.50) следует, что вторая производная о (г) всегда имеет знак, противоположный знаку r(z), и равна нулю, если r(z)=0. Следовательно, кривая о^ всегда вогнута к оси и имеет точку перегиба при r(z)=o(z)=0. Очевидно, что эта точка Q должна быть

расположена слева от узловой точки Аь Луч г (г) выйдет из линзы, приближаясь к асимптоте, выходящей из второй узловой точки N^. Асимптота к кривой о (г) также выходит из той же точки под другим углом к оси. Две асимптоты к лучу г (г) имеют одинаковый наклон, но это не обязательно для двух асимптот о (г). Так как кривая о (г) должна быть вогнутой к оси, точка пересечения Q должна быть расположена правее узловой точки N2. Из двух названных условий вытекает, что N\ расположена слева от Аь т. е. узловые точки следуют в обратном порядке. Но тогда из (4.80) следует, что главные плоскости также следуют в обратном порядке.

Рис. 48. Скрещивающиеся узловые точки.

Мы уже приняли это во внимание на рис. 46 и 47. На этих рисунках ясно показано, как построить асимптотическое изображение любого асимптотического предмета, если известно положение асимптотических кардинальных плоскостей. Простейший способ состоит в том, чтобы, следуя рис. 46, рассмотреть две прямые, проходящие через конец линейного предмета: одна параллельна оси, другая направлена к переднему асимптотическому фокусу. Пересечения этих линий с соответствующими асимптотическими главными плоскостями определяют начальные точки двух прямых, первая из которых проходит через задний асимптотический фокус, а вторая параллельна оси. При этом нужно быть внимательным, помня, что главные плоскости расположены в обратном порядке.

Отметим, что доказательство обратного порядка главных плоскостей справедливо, если внутри линзы нет промежуточного изображения. В случае когда луч пересекает ось более одного раза, асимптотические главные плоскости могут следовать в любом порядке.

Осевая координата изображения может быть определена из (4.78), но ее также можно найти графически с помощью рис. 47, даже если мы имеем дело с точечным предметом. Рассмотрим произвольный луч, пересекающий ось в точке Л, расположенной в пространстве объектов. Как найти изображение этой точки Л'? Очевидно, что пересечение В прямолинейного продолжения луча с передней асимптотической главной плоскостью отображается в точку В', лежащую на той же высоте в задней асимптотической главной плоскости, откуда асимптотический луч проходит через точку Р на задней асимптотической фокальной плоскости до пересечения с осью в точке А'. Таким образом, задача сводится к определению положения точки Р. Это точка, где пересекаются все лучи, параллельные спереди от линзы выбранному лучу, принадлежащая задней фокальной плоскости. Но мы знаем, что асимптотический луч, проходящий через передний асимптотический фокус Fi* под тем же углом к оси, что и наш луч, после пересечения с передней главной плоскостью должен быть продолжен параллельно оси. Точка пересечения этой параллельной линии с задней асимптотической фокальной плоскостью есть точка Р.

Есть и другое важное следствие того факта, что функция о (г) всегда вогнута в сторону оси. Рассмотрим снова луч гг(г), входящий в линзу спереди параллельно оси (рис. 44). Согласно (4.54), кривая 02(2) будет также линией, параллельной оси спереди от линзы. Войдя в поле линзы, она может изо- I нуться только к оси, следовательно, она может либо пересечь ось где-либо внутри линзы, либо покинуть линзу в виде прямой линии, направленной в сторону оси. То же самое имеет место для луча fi(г), входящего в линзу сзади параллельно осн (рис. 45). Так как луч г (г) пересекает ось в той же точке, что и кривая 0(2), мы доказали, что в отсутствие пространственного заряда не существуют аксиально-симметричные ограниченные в пространстве рассеивающие линзы, т. е. невозможно сконструировать линзу, ограниченную спереди и сзади пространством, не содержащим поля, которая преобразовывала бы пучок, параллельный оси, в параллельный или расходящийся пучок без пересечения пучка с осью внутри линзы. Единственным «исключением» является тривиальный случай нулевого поля (линза вообще отсутствует), когда параллельный пучок, очевидно, не изменяется. Важно, что это доказательство применимо только в случае аксиально-симметричных линз, и только если пучок приходит извне линзы, границы которой можно определить. Любой электронный или ионный источник будет создавать расходящиеся пучки, если не использовать специальные фокусирующие поля. Очевидно также, что расходящийся пучок может быть создан с помощью собирающей ограничен-

ной линзы, если ее силы достаточно, чтобы лучи пересекли ось до того, как они выйдут из линзы. В этом случае асимптотическое фокусное расстояние становится отрицательным. Очень интересен специальный случай ограниченной телескопической линзы — преобразователя размера пучка, — которая изменяет диаметр пучка, не собирая и не рассеивая его. Ее асимптотическое фокусное расстояние бесконечно велико. Вследствие доказанной выше теоремы внутри такой линзы всегда есть кроссовер (рис. 49).

Рис. 49. Преобразование диаметра пучка телескопической лиизой.

Электронные и ионные линзы

Из содержания разд. 4.4 ясно, что любое аксиально-симметричное электростатическое и(или) магнитное поле является фактически линзой. Электростатические поля создаются электродами, на которых поддерживаются необходимые потенциалы. Для создания магнитных полей используются катушки с током, обычно окруженные ферромагнитными материалами, или постоянные магниты. Способы практической реализации электронных и ионных линз многообразны, как сама жизнь. Единственные ограничения — аксиальная симметрия и практическая осуществимость (реализуемые интенсивности поля, исключение возможности электрического пробоя между электродами, разумные размеры катушек и т. д.).

Линзы могут быть классифицированы с самых разных точек зрения. Например, можно говорить об электростатических, магнитных или комбинированных линзах; ограниченных линзах или линзах, погруженных в поле в зависимости от того, можно или нет определить границы линзы; сильных или слабых линзах в соответствии с тем, расположен ли фокус внутри или вне ее; толстых или тонких линзах (разд. 4.9); симметричных или асимметричных линзах в зависимости от наличия перпендику-

лярной к оси плоскости симметрии геометрической конфигурации линзы (а иногда и распределения поля в ней).

Линзы можно также классифицировать по числу электродов и полюсов.

Наиболее важное казалось бы свойство, а именно: используется ли линза для электронов или для ионов, в действительности не вызывает трудностей при рассмотрении. Действительно, различие между ними состоит только в различном отношении заряда к массе. Как известно, уравнение параксиальных лучей (4.40) содержит эту величину только для магнитных линз или быстрых частиц. В нерелятивистском случае траектория в электростатических линзах остается одной и той же для любых частиц. Поэтому для фокусировки ионов следует использовать электростатические линзы. Единственное в этом случае различие между положительно заряженными и отрицательно заряженными частицами состоит в том, что знаки всех электродных потенциалов должны быть обращены, если требуется фокусировать частицы другого знака.

Подробная классификация магнитных линз сравнительно проста. Они могут быть длинными или короткими, изготовленными из сверхпроводящих материалов или постоянных магнитов. Если используются ферромагнитные материалы, то они могут находиться в насыщенном или ненасыщенном состоянии. Магнитные линзы будут подробно рассмотрены в гл. 8.

В классических текстах по электронной оптике электростатические линзы объединяются в группы в соответствии с соотношениями потенциалов их электродов. Называется пять основных разновидностей:

Однопотенциальные линзы, имеющие одинаковые постоянные потенциалы в пространстве объектов и изображений.

Иммерсионные линзы с различными постоянными потенциалами на разных сторонах.

Одноапертурные линзы с однородным полем по крайней мере с одной стороны.

Катодные линзы, в которых поле спереди резко пропадает на источнике заряженных частиц.

Линзы из фольги, состоящие из тонкой металлической пленки, прозрачные для частиц и обеспечивающие разрывы в распределении поля.

Если потенциалы с двух сторон линзы не равны, линза может работать в ускоряющем или замедляющем (тормозящем) режимах. Частным случаем замедляющей линзы является электронное (ионное') зеркало, образованное сильной замедляющей линзой, потенциал которой меняет знак в некоторой точке оси, заставляя частицы двигаться в обратном направлении.

Приведенная классификация электростатических линз безусловно полезна, и мы рассмотрим подробно первые четыре основных типа в гл. 7 {линзы из фольги будут упомянуты в разд. 5.6.2). Однако нам кажется, что огромное многообразие возможных распределений поля гораздо богаче такого упрощенного подхода. Как будет показано, электростатические линзы характеризуются осевым распределением потенциала, а не свойствами электродов.

Системы линз

Использование асимптотических кардинальных элементов упрощает построение изображений в электронно-ионно-оптических системах, состоящих из нескольких линз, следующих друг за другом в осевом направлении и формирующих промежуточные изображения предмета в «дрейфовых» интервалах между ними, не содержащих поля. Тогда, как мы знаем, асимптотические изображения не отличаются от действительных. Необходимо помнить, однако, определение границ линзы, данное в разд. 4.6. Если поля двух сложных линз перекрываются, приходится рассматривать эти две линзы как одну.

Для того чтобы построить последнее изображение предмета, необходимо использовать процедуру, описанную в разд. 4.6.1, последовательно для всех линз системы. Промежуточное изображение, созданное п-й линзой, является предметом для (п+1)-й линзы, где п— порядковый номер линзы в системе. Это число обычно невелико; в большинстве случаев (электронные микроскопы, микропроекционное оборудование и т. д.) используется не более трех линз. Однако в некоторых приложениях (например, ускорителях частиц) число последовательных фокусирующих элементов может быть очень большим. Даже для систем, состоящих только из двух-трех линз, для учета вклада каждой отдельной линзы системы удобно использовать матричный формализм.

Матрица переноса

Рассмотрим снова луч, соответствующий общему решению в виде (4.55), где гДг) и r2(z)—лучи, параллельные оси соответственно в пространстве изображений и в пространстве объектов (рис. 44 и 45). Отметим, что такой выбор Г1(г) и r2(z) отличается от использованного в (4.55). Тогда уравнение падающей асимптоты для произвольной осевой координаты 2] в пространстве изображений (рис. 50) есть'

robj (21) =сх (21 — Ft^rx (b)lfi* + c2r2 (а), (4.84)

а выходящая асимптота при произвольном значении осевой координаты z2 справа от линзы задана соотношением

Лт(г2) =— c2(z2 — F2*)r2(a)/f2* + cir1(b). (4.85)

Постоянные наклоны асимптот определяются в соответствии с (4.72) и (4.73) как

r'obj = CiAobj = CiH (b) /fi*,(4.86)

Лт=сгг'2Хт = — c2r2(a)/f2*.(4.87)

Соотношения (4.84) — (4.87) можно записать в матричной форме следующим образом:'

Aobj^JX ЧДа) сДЬ^-РЖАЧА

k Гад М О г, (%- AJ' (4'88)

/Ат^Х ( — гДаДг2-Р*Ж г^фА ( сА

-= \л•(4-89)

X ^im /\^а(^)//г0

Обращая матрицу в (4.88), получим следующее матричное выражение для коэффициентов Ci и с2 как функций rObj(zi) и г'оьГ

АХ _/1/г2 (а) ^Ci / ~ \ ОАХ _/1/г2 (а) ^Ci / ~ \ О— (г^РД/гДаА/R/riW Д— (г^РД/гДаА/R/riW Д'ob) АЛ'ob) АЛ(4.90)(4.90)

АХ _/1/г2 (а) ^Ci / ~ \ О

АХ _/1/г2 (а) ^Ci / ~ \ О

— (г^РД/гДаА/R/riW Д

— (г^РД/гДаА/R/riW Д

'ob) АЛ

'ob) АЛ

(4.90)

(4.90)

~^-Р*Ж~^-Р*ЖПодставляя это выражение в (4.89) и перемножая матрицы, получим

~^-Р*Ж

~^-Р*Ж

(z-^) (г-РЖ + /I ХА<>ы А)Х^-рж: A r;bJ /

Матрица, появляющаяся в этом выражении, есть матрица переноса, связывающая положение и наклон асимптоты к произвольному выходящему лучу при z=z2 с соответствующими величинами для падающего луча при z=zx [141]. Ясно, что

матрица переноса не зависит от ri(&), r2(a), Ci и с2, а только от положения кардинальных элементов и значений Zi и z2. Обратите внимание на.размерности элементов матрицы переноса. Мы будем использовать эту матрицу в следующем разделе для упрощения анализа линзовых систем.

Детерминант матрицы переноса равен fi*/f2*.

В частном случае, когда Z\=zo* и z2=Zi* есть соответственно координаты асимптотических предмета и изображения, мы можем использовать (4.77) и получим

fr\\ ( № 0 \(т*0\

(492)

Это уравнение формально содержит (4.59) и (4.76) для луча, пересекающего ось в точках предмета и изображения. В случаях нулевого и бесконечного увеличения следует быть внимательным: в (4.92) появляются неопределенности типа «нульХ X бесконечность».

Матрица переноса в (4.92) содержит нулевой элемент. Это отражение того факта, что величина г:* не зависит от го*', т. е. все лучи, выходящие из одного и того же точечного предмета, снова встретятся в одной и той же точке изображения независимо от их начального наклона. Это наиболее важная информация, содержащаяся в (4.92).

Вообще говоря, каждый элемент матрицы переноса (4.91) может иметь нулевое значение. Присутствие нулевого элемента означает, что некоторая характеристика выходящего луча не зависит от какой-то характеристики входящего пучка. Пусть матрица переноса записана в виде

//Иц /ИрА

\т21 т22/

тогда mi2 = 0 соответствует случаю образования изображения, как было показано выше. Условие тц = 0 означает, что r,m(z2) не зависит от rObj(zi), т. е. радиальная координата на выходе из линзы не зависит от радиальной координаты на входе. Это имеет место, когда Z2 = Fi*, т. е. на задней фокальной плоскости, где сходятся в одну точку все лучи с заданным слева от линзы одинаковым наклоном. Аналогично т22 = 0 означает, что rim' не зависит от г'оъь что, естественно, имеет место при Zi = =Fi*, когда все лучи с разными наклонами, проходящие через одну точку, лежащую в передней фокальной плоскости, выходят из линзы параллельно друг другу и их наклоны зависят только от радиальной координаты точки пересечения луча с этой плоскостью (см. рис. 47 в направлении справа налево). Наконец, если /п21=0, то гАт не зависит от rob^Zi). Частным случа-

ем является телескопическая линза (рис. 49), которая преобразует диаметр пучка, не изменяя его наклона, т. е. осуществляет конечное «увеличение» при единичном угловом увеличении, не образуя изображения на каком-либо конечном расстоянии от линзы. Ясно, что асимптотическое фокусное расстояние телескопической линзы должно быть бесконечно большим, что следует как из выражения (4.92), так и из рис. 49. Это, конечно, не так для действительного фокусного расстояния: как было показано в разд. 4.6.1 внутри телескопической линзы всегда есть точка кроссовера.

При zx = Hx* и z2 = H2* имеем из (4.72), (4.73) и (4.91):/Пт№)\/10 \ Гг^Н^

V Пт /т\ r;bj у

где, очевидно, имеются в виду продолжения асимптот до пересечения с главными плоскостями. Видим, что

ПпЛНг*) =гоы(Нх*),ПпЛНг*) =гоы(Нх*),(4.94)(4.94)

ПпЛНг*) =гоы(Нх*),

ПпЛНг*) =гоы(Нх*),

(4.94)

(4.94)

как и ожидалось, в соответствии с единичным увеличением при взаимном отображении главных плоскостей (см. рис. 50). Второе равенство, содержащееся в (4.93), выражает простое соотношение между наклонами двух асимптот:

r,im=— fobj (tfCW + rWi*^*. (4.95)

Это соотношение прямо вытекает также из рис. 50 при использовании (4.78).

Наконец, очевидно, что в не содержащем поля дрейфовом интервале длиной l = z2—zx две асимптоты неотличимы друг от друга, и для общей асимптоты имеем

\ Г' ГЦ> 1Д г- )\ Г' ГЦ> 1Д г- )(4.96)(4.96)

\ Г' ГЦ> 1Д г- )

\ Г' ГЦ> 1Д г- )

(4.96)

(4.96)

Здесь / может иметь любое вещественное значение. Отрицательное значение I соответствует движению назад: (z2<zi).

Преимущество матричного формализма состоит в том, что матрицы содержат всю информацию о линзах и свойства систем линз легко могут быть получены простым умножением матриц.

Система из двух толстых линз

Рассмотрим систему, состоящую из двух толстых электронно-ионных линз. Поскольку мы будем использовать асимптотический подход, не обязательно знать, где проходят границы линз. Линзы полностью характеризуются их асимптотическими

Рис 51. Системы двух толстых линз: а — F">F2'; б—Fi"<F2'.

кардинальными плоскостями. Обозначим кардинальные элементы первой линзы одним штрихом, а второй — двумя штрихами (рис. 51). Для простоты опустим звездочки, но будем помнить, что все величины асимптотические. Например, ^ означает заднее асимптотическое фокусное расстояние первой линзы, Нх" — осевую координату передней асимптотической главной плоскости второй линзы и т. д. Предположим, что фокусные расстояния обеих линз положительны.

Если известны все кардинальные элементы обеих линз, используя метод, описанный в разд. 4.6.1 (см. рис. 46), нетрудно построить промежуточное изображение zmPm, а затем резуль-

тирующее изображение ZiPi предмета zoPo, но мы не будем использовать этот метод. Вместо этого попытаемся найти кардинальные элементы всей системы, как если бы это была одна линза, используя кардинальные элементы двух линз. Будем использовать два асимптотических луча: входящий в систему через точку Ро параллельно оси из пространства объектов и выходящий через точку Pi параллельно оси в пространстве изображений. Ясно, что если Ро и Pi — точки на концах предмета и изображения соответственно, тогда два луча пересекутся в этих двух точках, а также в концевой точке промежуточного изображения Рт. Как будет показано ниже, эти лучи определяют также положение кардинальных элементов системы.

Рассмотрим сначала асимптотический луч, приходящий со стороны предмета параллельно оси. Когда он пересекает заднюю главную плоскость первой линзы (Я2'), его направление изменяется в сторону правого фокуса первой линзы FV. Далее он распространяется прямолинейно до пересечения с передней главной плоскостью второй линзы (//]"), где он отображается в точку, находящуюся на той же высоте в задней главной плоскости второй линзы (Дг")- Направление его дальнейшего распространения определяется с помощью описанного выше метода, иллюстрируемого рис. 51, а и 51,6. Проведем прямую, параллельную лучу, через передний фокус второй линзы F". В точке ее пересечения с передней главной плоскостью второй линзы начинается параллельная оси линия, пересечение которой с задней фокальной плоскостью второй линзы определяет точку, где сходятся все асимптотические лучи, входящие во вторую линзу параллельно друг другу. Следовательно, эта точка определяет направление асимптотического луча к (или от) оптической оси. По определению этот луч или его продолжение в обратном направлении пересечет ось в точке правого фокуса системы F2 и выйдет из системы через точку Pi. Пересечение продолжений падающей и выходящей асимптот определит положение задней главной плоскости системы (Н2).

Асимптотический луч, входящий в- систему из пространства изображений параллельно оси, изменит направление в точке пересечения с передней главной плоскостью второй линзы Н" и будет повернут к левому фокусу второй линзы Fx". Он пересекает заднюю главную плоскость первой линзы Н2, отображается с единичным увеличением на переднюю главную плоскость первой линзы Нх, а затем его направление определяется с помощью параллельного луча, проведенного через правый фокус первой линзы F2. Этот луч пересекает заднюю главную плоскость первой линзы и продолжается параллельно оси до пересечения с передней фокальной плоскостью первой линзы. Точ-

ка пересечения определяет окончательное направление исходного луча. Этот луч или его продолжение в обратном направлении пересекает ось в переднем фокусе системы Fi и встречается с первым асимптотическим лучом в точке Ро. Пересечение продолжений падающей и выходящей асимптот даст положение передней главной плоскости системы Нх.

Очевидно, положение всех четырех кардинальных элементов системы Fx, Р2, Нх и Н2 может быть определено аналитически, повторным использованием соотношений между различными параметрами системы. Это требует терпения и осторожности. Однако можно определить кардинальные элементы чисто формально, используя матрицу переноса (4.91).

Применим (4.91) для передней асимптотической фокальной плоскости Р\* и задней асимптотической фокальной плоскости F2* произвольной линзы. Получим следующее соотношение между радиальными координатами и наклонами:

о /л/г^гах

Построим теперь матрицу переноса между передней асимптотической фокальной плоскостью первой линзы и задней асимптотической фокальной плоскостью второй линзы. Ясно, что матрицу можно построить в три этапа. Сначала напишем матрицу переноса между двумя фокальными плоскостями второй линзы, затем — матрицу переноса для дрейфового пространства между правой фокальной плоскостью первой линзы и левой фокальной плоскостью второй линзы и, наконец, матрицу переноса между двумя фокальными плоскостями первой линзы. Опуская звездочки, используя (4.96) и (4.97) с l—Fx"—Р2 и выполняя матричное умножение, получим

0 ^V1V^^;)/ \-i/K о До0 ^V1V^^;)/ \-i/K о Доо Шгоь£р;)\1/ \1//г0' Vobi(Pi)/о Шгоь£р;)\1/ \1//г0' Vobi(Pi)// -Гх/п 0 \Probi(F^ Wi - FMm - Л//J V'obj №)/ ■/ -Гх/п 0 \Probi(F^ Wi - FMm - Л//J V'obj №)/ ■(4.98)(4.98)

0 ^V1

V^^;)/ \-i/K о До

0 ^V1

V^^;)/ \-i/K о До

о Шгоь£р;)\

1/ \1//г0' Vobi(Pi)/

о Шгоь£р;)\

1/ \1//г0' Vobi(Pi)/

/ -Гх/п 0 \Probi(F^ Wi - FMm - Л//J V'obj №)/ ■

/ -Гх/п 0 \Probi(F^ Wi - FMm - Л//J V'obj №)/ ■

(4.98)

(4.98)

Отметим, что мы предположили наличие дрейфового интервала между Р2 и F", т. е. невозмущенных асимптот между задней фокальной плоскостью первой линзы и передней фокальной плоскостью второй линзы. Для действительных лучей это предположение справедливо, только если обе фокальные плоскости находятся за пределами поля линзы.

Можно получить другое матричное соотношение между этими величинами, непосредственно используя (4.91) для системы линз в целом с zx = Fx' н z2~F2". Подставляя эти значения и

сравнивая компоненты матриц в (4.91) и (4.98), получаем

четыре соотношения:'

- (F"2 - Р2\П2=-Г'1!Ь,(4.99)

- l/f2= (F"t - F'J/tfW,(4.100)

(Р'х-Рх^-ПИЧ(4.101)

(FS - Fx) (F"2 — F2)/f2 + fx = 0,(4.102)

где /i и f2 — переднее и заднее асимптотические фокусные расстояния системы соответственно.

Равенство (4.100) сразу дает заднее асимптотическое фокусное расстояние системы. Мы видим, что оно отрицательно, если правый фокус первой линзы расположен слева от левого фокуса второй линзы. Это означает, что задняя фокальная плоскость системы находится слева от задней главной плоскости (см. рис. 51,а). Система имеет положительные фокусные расстояния, только если Fx"<F2. Этот случай проиллюстрирован на рнс. 51,6. Если Fx" = F2", фокусные расстояния становятся бесконечно большими (телескопическая система).

Подставляя (4.100) в (4.99) и (4.101), находим положения передней и задней фокальных плоскостей системы в виде

Fx=F\ - №1 (F"x - F'J,(4.103)

F2=F"2-H"xrW"x - F^(4.104)

соответственно.

Наконец, получим переднее асимптотическое фокусное расстояние системы из (4.99) — (4.102):

Ь = -ГхГ'2ЦР"1-Р'2у(4.105)

Переднее фокусное расстояние имеет тот же знак, что и заднее, т. е. если F2, например, лежит слева от Fx", то передняя главная плоскость Нх расположена слева от Fx. Заметим также, что переднее фокусное расстояние системы выражается через передние фокусные расстояния двух линз, в то время как заднее фокусное расстояние системы явно зависит от задних фокусных расстояний линз. Хотя, конечно, переднее и заднее фокусные расстояния легко могут быть выражены друг через друга с помощью (4.76).

Таким образом, зная положение фокальных плоскостей и фокусные расстояния, мы определили все четыре кардинальных элемента комбинированной системы, выразив их через кардинальные элементы отдельных линз. Отметим, что главные плоскости системы не перекрещиваются (передняя расположена слева от задней), если главные лучи пересекают ось более одного раза. Благодаря наличию промежуточного изображения 218

результирующее изображение не перевернуто относительно предмета (рис. 51,а). В этом случае оба фокусных расстояния системы отрицательны и из (4.78) мы видим, что при положительном расстоянии до предмета расстояние до изображения будет отрицательным, т. е. изображение будет располагаться слева от задней главной плоскости. Следовательно, либо главная плоскость находится за пределами поля, либо асимптотическое изображение оказывается в поле, либо имеет место и то и другое. Как указывалось выше, увеличение положительно. Если фокусные расстояния системы положительны, промежуточное изображение не формируется, главные плоскости перекрещены, изображение перевернуто и при положительном расстоянии до предмета расстояние до изображения также положительно (рис. 51,6). В этом случае первая линза формирует виртуальное изображение за предметом, которое в свою очередь преобразуется в действительное изображение второй линзой. Заметим, что на рис. 51,6 передний фокус системы расположен справа от заднего фокуса (F2<FX").

На рис. 51, а и 51,6 главные плоскости очень далеко отстоят друг от друга. Это весьма часто имеет место для систем, состоящих из двух линз. Точное положение главных плоскостей определяется соотношениями (4.72), (4.73), (4.100) и (4.103) — (4.105).

Обозначим электронно-оптические коэффициенты преломления слева от системы, справа от системы и между двумя линзами соответственно пх, п2 и пт. Тогда (4.76) дает:

f4t'X=nmlnX, f"2lf"X = n2lnm.(4.106)

Отношение двух фокусных расстояний системы можно тогда выразить с помощью (4.100), (4.105) и (4.106) в виде

f2/f ,=№/(№) = n2fnx,(4.107)

что вытекает также непосредственно из (4.76).

Вводя оптическую силу [16] системы, определенную в (4.76) как

В,=п2]^2=пхЦХ1(4.108)

имеем

D’—nmlf2=nxlfx,(4.109)

D"=п2Ц" 2 = nmlf'х(4.110)

для оптических сил первой и второй линз соответственно.

Введем теперь расстояние d между задней главной плоскостью первой линзы и передней главной плоскостью второй линзы. По определению

d = Н"х - Н'2=f2+Г1 + f "1 - F'2.(4.111)

Подставляя (4.111) в (4.100) или в (4.105) и принимая во внимание (4.106) и (4.108) — (4.110), получим формулу сложения оптических сил

£=£)'+/)" — dD'D"lnm

(4.112)

Оптическая сила системы несколько меньше суммы оптических сил ее элементов (если они обе положительны). Насколько меньше? Это зависит от двух параметров: расстояния между главными плоскостями и потенциала в свободном от поля промежутке между двумя линзами. Таким образом, выбирая очень большим расстояние между двумя линзами и (или) очень слабым потенциал между ними, можно получить в результате слабую линзу из двух сильных линз или даже отрицательную оптическую силу, если промежуточное изображение формируется, как изображено на рис. 51, а. Если между задней фокальной плоскостью первой линзы и передней фокальной плоскостью второй линзы есть дрейфовое расстояние (Fi"> >Е^, оптическая сила линзы всегда отрицательна.

Интересно рассмотреть частный случай, когда оптическая сила одной линзы равна оптической силе второй линзы, но имеет другой знак (Р' =—D"). Тогда (4.112) дает D = =dD' ,пт>0 независимо от порядка следования линз. Это — важный результат: система двух линз равной силы, из которых одна собирающая, а другая рассеивающая, всегда обладает суммарным фокусирующим эффектом. (Отрицательная оптическая сила не противоречит теореме о невозможности создания рассеивающей линзы. Асимптотическое фокусное расстояние может быть отрицательным, если главная траектория пересекает ось внутри линзы (см. рис. 52 и обсуждение в кон-

Рис. 52. Линза с отрицательным фокусным расстоянием.

Варьируя расстояние d, можно также изменять увеличение системы. Используя (4.108), можно переписать (4.77) в следующем виде:

М=М^ — pDjnxY (4.113)

Очевидно, что при фиксированном положении предмета, изменяя параметр d, можно изменять как расстояние до предмета р, так и оптическую силу D и таким образом устанавливать увеличение.

Если система состоит из трех или более линз, повторным использованием (4.112) всегда можем вычислить оптическую силу, и, следовательно, фокусные расстояния системы. Мы заключаем, что формирование асимптотических электронных и ионных изображений обладает групповым свойством: последовательные операции формирования изображений всегда могут быть заменены одной операцией формирования изображения единой системой.

Приближение тонкой линзы

В очень слабых линзах расстояние между границами линзы мало по сравнению с обоими фокусными расстояниями. Тогда можно считать линзу тонкой в том смысле, что ее поле заключено в сравнительно узкой области. В этом случае направление траектории лишь слегка изменяется внутри линзы, и ее действие может быть аппроксимировано более или менее резким изменением наклона траектории в том месте, где расположена тонкая линза. Это грубое приближение позволит несколько глубже рассмотреть общие свойства линз без необходимости решать уравнение параксиальных лучей.

Очевидно, что в случае тонкой линзы все параметры действительны; поэтому асимптотические и реальные величины не отличаются друг от друга, и звездочки везде могут быть опущены.

Выведем сначала выражения для фокусных расстояний тонкой линзы. Удобнее исходить из уравнения (4.50), которое более компактно, чем (4.40). Можно также показать [9, 20], что, используя функцию о (г), которая всюду обращена выпуклостью от оси, мы получим более точное выражение, чем при непосредственном использовании r(z). Проинтегрируем (4.50) от z=а до произвольного z внутри поля линзы. В приближении тонкой линзы пренебрежем изменением о внутри линзы, т. е, предположим, что эта величина имеет значение о (а) под знаком интеграла. Тогда имеем

2

о'^ -o'(a)=-o(a)№t. (4.114)

Если теперь рассмотреть луч Гг(г), параллельный оси в пространстве объектов, график соответствующей функции 02(2), очевидно, также будет параллелен этой оси, поскольку лотенциал в этой области постоянен. Принимая во внимание этот факт и формулу (4.47), получим из (4.114) для w(z) = = r(z) и z = b, что

ь

•о'2(Ь) = —о2(<0 ^T^dz = а

Ъ

г2(а) | [t7(a) - С70]ге11‘/4 $ T^dz.(4.115) а

Аналогично имеем ьь

<Л (a) =ai (6) $ T^dz=rx (Ь) | [[/(Ь) - Z7o]rel |1/4 $ T(z)dzаа

(4.116) для луча fi(z), параллельного оси в пространстве изображений.

Тогда из рис. 44 и 45, а также из (4.47), (4.72), (4.73), (4.115) и (4.116) следует, что переднее и заднее фокусные расстояния тонкой линзы могут быть выражены в виде

ь

11к - г; ». (Ь) - {^Е^-}'" ( Т (2) dz,(4.117)

а

b

ми—Г'г^г,(ti)={ ^z^t:; }1/4Утwdz (4-1 ig)

соответственно, где T(z) определено (4.51) в релятивистском и (4.52) в нерелятивистском случае. Так как оптическая сила тонкой линзы определяется просто интегралом от функции T(z), электростатический и магнитный члены в T(z) соответствуют двум отдельным аддитивным величинам в выражении для оптической силы. Это не так, однако, для толстых линз. В нерелятивистском случае оптическая сила электростатических линз не зависит от отношения заряда к массе частицы. Для магнитных линз при равных потенциалах оптическая сила для электронов в 1836,1 раза больше, чем для протонов.

Заметим, что оба фокусных расстояния положительны в •соответствии с теоремой, доказанной в разд. 4.6.1 о неосуществимости рассеивающей линзы, и с тем фактом, что в тонкой линзе многократные пересечения по определению невозможны. Естественно, (4.117) и (4.118), как и ожидалось, удовлетворяют равенству (4.76).

Приближение тонкой линзы справедливо только для слабых линз, т. е. линз малой оптической силы. В соответствии с этим (4.117) и (4.118) можно использовать, только если они дают в результате маленькие значения. Эти значения несколько больше, чем реальные оптические силы слабых толстых линз. Действительно, так как o(z) всегда обращено вогнутой стороной к оси, всегда справедливо, что | Oi (z) | < | щ (Ь) | и |ог(z) | < |аг(а) |. Поэтому (4.115) и (4.116) и, следовательно, (4.117) и (4.118) дают завышенные значения.

Определим теперь положения полюсов. Проинтегрируем (4.114) еще раз и упростим двойной интеграл с помощью интегрирования по частям. Получим:

a (z) = а (а) + (z — а) о' (а) — о (а) $ d£ $ Г (£) d£ = а а

2

= (z-a)o'(a) -otaHl-Hz-EmWL (4-119)

Заметьте, что переменные z и £ независимы.

Из этого соотношения становится ясным сам смысл приближения тонкой линзы. Мы получили выражение для переменной величины o(z), используя для той же величины постоянное значение в правой части уравнения. Это типичный пример метода последовательных приближений. В ходе этой процедуры, предположив сначала, что o(z) не изменяется внутри линзы, и интегрируя (4.50) дважды, получаем лучшее приближение для функции a(z). Подставляя это приближение в правую часть (4.119), можно снова провести вычисления и получить следующее приближение и т. д. Эта процедура обычно очень быстро сходится, но она не имеет большого практического значения, так как существуют вполне доступные и очень точные численные методы решения уравнения параксиальных лучей (см. гл. 6). В указанном выше смысле (4.117) и (4.118) можно рассматривать как первые шаги вычислений фокусных расстояний методом последовательных приближений [16].

Подставляя теперь (4.119) для луча, параллельного оси слева от линзы, с z=b, а также (4.115) в (4.71) и принимая во внимание (4.47), получаем следующий результат для положения правого фокуса в пространстве изображений:

ьь

1-^(6 —?) Г (z)dz l + ^?r(z)dz

Г г = b — о2 ^/oi (Ь) = b 4^=—^.(4.120)

^T^dzТ (z) dz

аа

Аналогично, рассматривая луч, параллельный оси в пространстве изображений, заменяя а на b в (4.119), беря в качестве верхнего предела z = a и подставляя (4.47) и (4.116) в (4.69), получаем положение в пространстве объектов:

ь6

1 — (а —г) Т (z) dzzT (г) dz— 1

Р^а-Цф'АаНа—=—. (4.121)

\T(z)dz^T^dz

Положение главных плоскостей определяется соотношениями (4.72) и (4.73). Подставляя в них (4.117), (4.118), (4.120) :и (4.121), получим

{[V (а) - C7olrei/[£/ W-i/oJrei}171 + $ гТ (г) dz- 1

= F1 + f1 =52, (4.122)

^ T^dz а

b

1 + J гТ (г) dz-\\U (6) -CZoJrei/l£/ (а)-t/o]rei}1/4

B2 = F2-f2 = —^5. (4.123)

T (z) dz

Расстояние между главными плоскостями может быть получено вычитанием (4.122) из (4.123) с использованием (4.76), (4.117) и (4.118). Получаем

^2 — 2/1-2 (f,f2) V2 - Л - f2 = - (А*/2 - f2l/2)2 =

<=—fi<{ [C7 (6) - t/0]rel/[H(a) - t/ojrez}1/4 - 1>2<0.

(4.124)

Как видим, главные плоскости отстоят друг от друга даже у тонких линз. Так как фокусные расстояния различаются, только если различны потенциалы с разных сторон от линзы, главные плоскости не совпадают только в этом случае. При увеличении разности потенциалов фокусное расстояние уменьшается; следовательно, расстояние между главными плоскостями может быть сложной функцией отношения потенциалов справа и слева от линзы. Это расстояние не может быть больше нуля, т. е. либо главные плоскости совпадают (в случае равных потенциалов с обеих сторон линзы), либо стоят в обратном порядке (перекрещиваются), как показано в разд. 4.6.1.

Вводя координату «центра тяжести» распределения поля с помощью

ь ь

zc = zT ^dzJ ^T (z)dz, (4.125) а а .

видим из (4.122) и (4.123), что главные плоскости сдвинуты относительно центра тяжести, если только не равны потенциалы с обеих сторон линзы. Так как Т(z) зависит от разности потенциалов U(Ь)—U(а) квадратично, то чем больше эта разность, тем меньше сдвиг. Мы знаем, что T(z)>0 и Ь>а. Следовательно, если U (b) >U^, то как Нх, так и На меньше zc. В случае i/(b)<i/(a) как Hi, так и На больше zc. Это означает, что главные плоскости всегда сдвинуты в сторону меньшего потенциала. Это также верно и для толстых линз.

Как упоминалось в разд. 1.4.2, в световой геометрической оптике считается, что фокусирующее действие тонкой линзы сосредоточено в ее центральной плоскости. Из вышесказанного ясно, что это не так в электронной и ионной оптике: главные плоскости тонкой линзы могут не совпадать и быть сдвинутыми в сторону меньшего потенциала.

Если потенциалы с обеих сторон линзы равны, имеем Hi = -=Нг = 2с, т. е. в этом случае обе главные плоскости расположены в центре тяжести распределения поля. Удобно поместить в эту точку начало координат. Если распределение поля тоже симметрично относительно центра тяжести, он расположен в центре линзы (в точности посередине между плоскостями z = a и 2 = Ь) и обе главные плоскости совпадают тогда с плоскостью 2 = 0. Действие линзы сосредоточено в этой плоскости. В этом случае узловые точки также совпадают с главными (см. разд. 4.6.1), следовательно, луч, проходящий через центр тяжести, не изменит своего направления. Это свойство тонкой линзы очень удобно для графического построения изображений.

Как было сказано выше, приближение тонкой линзы справедливо только для слабых линз. В то же время большая разность потенциалов слева и справа от линзы означает, что линза— сильная (см. гл. 7). Следовательно, даже в общем случае можно считать, что главные плоскости расположены очень близко одна к другой, и можно заменить их одной плоскостью с осевой координатой Н. Эта плоскость проходит через центр тяжести распределения поля линзы, если разность потенциалов настолько мала, что сдвигом главных плоскостей по отношению к центру тяжести можно пренебречь. (Сдвиг пропорционален степени 1/4 отношения потенциалов.) Тогда можно полагать, что действие линзы сконцентрировано в плоскости zc. Рис. 53 показывает основной принцип приближения тонкой линзы. Как

видим, концентрация действия линзы приводит к резкому изменению направления луча при пересечении плоскости Н, от которой измеряются фокусные расстояния, а также расстояния до предмета и изображения.

Снова повторим, что приближение тонкой линзы имеет значение только для очень слабых линз, когда оба фокусных расстояния намного превосходят толщину линзы, определенную как расстояние (6—а) между двумя границами поля линзы, а разность потенциалов спереди и сзади от линзы не очень велика. Только в этом случае можно считать, что расстояние между главными плоскостями пренебрежимо мало, и даже пренебречь сдвигом главных плоскостей относительно центра тяжести.

Здесь следует отметить, что физическая «тонкость» линзы не обязательно означает применимость приближения тонкой линзы. Действительно, в разд. 7.3.1.3 мы увидим, что даже двухцилиндровая электростатическая линза с бесконечно малым зазором между электродами может быть очень сильной, если достаточно велико напряжение между электродами.

Рис. 53. Приближение тонкой линзы.

Если мы знаем фокусные расстояния линзы, нетрудно вычислить изменение наклона любой траектории в плоскости z = H, вызванное действием этой линзы. Действительно, (4.76) и (4.78) в обозначениях рис. 53 дают

I [Г/(a) t/oJrel I 1'2 f~ f„J VU (а)—^olrelI1/2

1ПЦ5)=77^Гг(//)/Л = г(Я)//2,

(4.126)

где г(Д)—радиальная координата произвольного луча, пересекающего ось в точке Zo, при z = H. Очевидно, изменение наклона пропорционально оптической силе линзы.

Системы тонких линз

Действие тонкой линзы, сосредоточенное в плоскости Н, может быть выражено следующими двумя соотношениями:

г(Ь)=г(а)=г(Д),(4.127)

гДЬ)=гДа)Л//2-г(О)//2.(4.128)

Равенство (4.128) прямо следует из (4.126), (4.127) и (4.76). В матричном виде

(4.129)(4.129)МЬ)Д /10\/г(о)^

(4.129)

(4.129)

V'wM-i/b hjfJVw)'

Формула (4.129) полностью эквивалентна формуле (4.93), которая была записана для двух главных плоскостей, отображающихся друг на друга с единичным увеличением и изменяющих направление луча так же, как и тонкая линза. ■

Если с обеих сторон тонкой линзы расположены два дрейфовых интервала: слева — длиной U и справа — длиной /2, можно представить матрицу переноса системы в виде произведения трех матриц: тйги12, miens и гпднш, где mdrifti и mariftz — матрицы переноса слева и справа от линзы соответственно, a mtens — матрица переноса линзы. Из (4.96) и (4.129) получаем, что

1-Ш -1/Л1-Ш -1/ЛОА/ЛОА/ЛУ1До U ~У1До U ~A'bAA/A K^2/fi\ А/А + А/А /A'bAA/A K^2/fi\ А/А + А/А /(4.130)(4.130)

1-Ш -1/Л

1-Ш -1/Л

ОА/Л

ОА/Л

У1

До U ~

У1

До U ~

A'bAA/A K^2/fi\ А/А + А/А /

A'bAA/A K^2/fi\ А/А + А/А /

(4.130)

(4.130)

Обратите внимание на порядок, в котором следуют матрицы. Выражение несколько упрощается, если /1 = 0 или /2 = 0. Если дрейфовые интервалы отсутствуют, m = mlens. Детерминант матрицы переноса, как и ожидалось, равен /Vf2.

Для оптического изображения h =р — расстояние до предмета, l2 = q — расстояние до изображения и, используя (4.77) и (4.78), сразу получаем (4.92) из (4.130).

Заметим также, что (4.130) содержит четыре параметра: /1, /2, А и f2. Соответствующим выбором этих параметров матрица в (4.130) может быть превращена в любую матрицу размерами 2x2, например в матрицу переноса толстой линзы. Это означает, что любая толстая линза может быть заменена на совокупность тонкой линзы и двух дрейфовых интервалов. Докажем, что эта замена эквивалентна введению главных плоскостей.

Сравним матрицу переноса (4.130) с матрицей толстой линзы (4.91). Элемент т21 одинаков в обеих матрицах. Это очень важно, поскольку доказывает, что фокусные расстояния тонкой линзы равны соответствующим фокусным расстояниям толстой линзы. Мы должны сравнить еще два элемента (четвертые элементы не добавят ничего нового, так как их значение опреде-

лено значением детерминанта, равным fi/f2). Сравнивая компоненты /Иц и ш22, с помощью (4.72) и (4.73) получим, что

(4.131)(4.131)li=fi — 2i + Fi —Hi — Zbli=fi — 2i + Fi —Hi — Zb(4.132)(4.132)/2 = 22 — Fz + fz — Zz — Hz,

(4.131)

(4.131)

li=fi — 2i + Fi —Hi — Zb

li=fi — 2i + Fi —Hi — Zb

(4.132)

(4.132)

Следовательно, It — расстояние произвольной точки Zi в пространстве объектов до передней главной' плоскости Н\, а 12 — расстояние произвольной точки z2 в пространстве изображений до задней главной плоскости Н2. Так как и /ь и /2 по определению должны быть положительны, это представление корректно, только если Zi лежит слева от Я,, a z2— справа от Hz.

Таким образом, разложение матрицы переноса толстой линзы на три более простые матрицы приводит к весьма наглядному представлению: фокусные расстояния тонкой линзы равны фокусным расстояниям толстой линзы, а два дрейфовых интервала определяют положение произвольных точек в пространстве объектов и изображений по отношению к соответствующим главным плоскостям толстой линзы. Толстая линза заменяется тремя простыми элементами, но при этом изменение координаты луча r(z) внутри линзы учитывается соответствующим выбором дрейфовых интервалов.

Матрица переноса толстой линзы может быть разложена и другим способом: на простые матрицы, соответствующие двум тонким линзам и дрейфовому интервалу d между ними. Если обозначить характеристики передней и задней тонкой линзы соответственно одним штрихом и двумя штрихами, для матрицы переноса получим следующее выражение: ■

„ - < 1 1

l—d/f2 dfdf2 \

“Чд-шш-1//; г;1 '

Используя (4.107), нетрудно убедиться, что детерминант этой простой матрицы опять равен fi/f2. Сравним теперь компоненты этой матрицы с компонентами матрицы переноса в (4.91). Так как матрица переноса связывает заданную выходную плоскость второй линзы с заданной входной плоскостью первой линзы и по определению тонкой линзы координаты этих плоскостей Н" и Н' соответственно, необходимо подставить 2\ = Н' и Zz = H" в (4.91). После ряда упрощений приходим к (4.103), (4.104) и (4.112), так же как и в случае толстых линз. Это означает, что между добавлением в систему толстой или тонкой линзы нет никакой разницы.

Мы также можем прямо последовать логике вывода матрицы переноса (4.98). Тогда подставим Zi = F/ и z2 = F2" и напишем матрицу переноса в виде произведения трех матриц. Первая из них — матрица переноса второй тонкой линзы, окруженной двумя дрейфовцми интервалами h = fi" и l2=f2" (так как мы считаем, что для тонкой линзы Н\"=Н2"у Вторая — собственно матрица переноса дрейфового интервала с l = F/'—F/. Третья — матрица переноса первой тонкой линзы, окруженной двумя дрейфовыми интервалами h = fi' и U = f2'- Подставляя эти величины в соответствующие формулы (4.96) и (4.130), сразу получим произведение трех матриц, в точности совпадающее по форме с (4.98). Это снова доказывает, что можно непосредственно использовать формулы для комбинации линз (4.99) — (4.113).

Используя теперь (4.103), (4.104) и (4.112) вместе с (4.72) и (4.73), легко вычислить расстояние между двумя главными плоскостями (Н2—Н^ комбинированной линзы. Если предположить, что две исходные линзы являются тонкими, а потенциал везде вне поля линз одинаков, то /У = )У = Г, fi"~f2" = =f", h = f2 = f, Н\=Н2'=Н', H\" = H2" = H" и d=H"—H'. Отсюда следует, что F^H'—/', Ft" = H"—f", F2' = H' + f', и F2"= — H"+f". Подставляя эти величины в соответствующие формулы, получим

H2-Hx = d^Vd- (f'+Г)].H2-Hx = d^Vd- (f'+Г)].(4.134)(4.134)

H2-Hx = d^Vd- (f'+Г)].

H2-Hx = d^Vd- (f'+Г)].

(4.134)

(4.134)

Мы видим, что главные плоскости комбинированной линзы всегда отстоят друг от друга. Это означает, что комбинация тонких линз уже не является тонкой линзой. Действительно, в случае постоянного потенциала вне поля линзы мы получили бы из (4.124) нулевое расстояние между главными плоскостями, если бы линза была тонкой. Естественно, результат оказался иным. Если бы это было не так, то можно было бы заменить длинную последовательность далеко отстоящих друг от друга тонких линз одной тонкой линзой, но это бессмыслица. Комбинация двух тонких линз эквивалентна одной толстой линзе. Этот факт можно использовать для представления одной толстой линзы двумя тонкими.

Расстояние между главными плоскостями может иметь любой знак. Они перекрещены, только если d<f' + f". В этом случае (4.112) дает положительные результирующие фокусные расстояния (см. рис. 51,6). Если расстояние между линзами d больше суммы двух фокусных расстояний, то у результирующей линзы — отрицательные фокусные расстояния, и передняя главная плоскость расположена спереди от задней (см. рис. 51, а). Если d=f' + f", то главные плоскости отстоят бес-

конечно далеко друг от друга (телескопическая линза, см. разд. 4.10.3.1).■

Интересно сравнить две модели толстой линзы друг с другом. Пусть расстояние между двумя тонкими линзами d равно разности между выходной и входной ' координатами z2—Zi (рис. 54). С другой стороны, для модели одной линзы (4.131) и (4.132) дают

d—z2— Zi = Zi +/2 + ^2 — Яь(4.135)

Сравнение матриц переноса в (4.130) и в (4.133) приводит к (4.112), которое означает, что фокусные расстояния каждой из двух тонких линз должны быть равны соответствующим фокусным расстояниям комбинированной толстой линзы, эквивалентной системе двух тонких линз. Получим следующие два соотношения эквивалентности:

ЫЬ=сЦГ2, l\lh=nxdKnmf'2Y(4.136)

Равенства (4.112), (4.135) и (4.136) дают четыре соотношения между параметрами. Отсюда расстояние между главными плоскостями с помощью (4.106) может быть выражено в виде:

л 2— d,(4.137)

сводящееся к (4.134), если все потенциалы вне полей линз одинаковы. Знак Н2—Нх полностью соответствует рис. 51, а и рис. 51,6.

Если заданы параметры толстой линзы (f2, d и отношения потенциала), соответствующая двухлинзовая модель может быть рассчитана с помощью (4.135) — (4.137). Ее практический смысл, однако, невелик, так как, если известны кардинальные элементы толстой линзы, мы не нуждаемся в упрощенной модели. Наоборот, можно разделить поле линзы на отдельные узкие области и, рассматривая их как тонкие линзы, вычислить характеристики толстой линзы, как комбинированной линзы, построенной из этих тонких линз [36]. Однако удобнее и гораздо точнее прямые расчеты свойств толстой линзы, основанные на решении уравнения параксиальных лучей.

Примеры фокусирования параксиальных лучей

В этом разделе для иллюстрации принципов, изложенных в гл. 4, будут рассмотрены некоторые практические примеры. Детальное обсуждение аксиально-симметричных линз содержится в гл. 7—9.

Параксиальные траектории в однородных полях

Мы уже рассматривали движение заряженных частиц в однородных электростатическом (разд. 2.7.1) и магнитном (разд. 2.7.2) полях. В данном разделе вычислим в этих полях параксиальные траектории и сравним их с результатами, полученными в более общих случаях. Поведение параксиальных частиц в однородных полях имеет важное значение, так как эти поля составляют основу простейших моделей линз.

10.1.1. Однородное электростатическое поле. Это простейшее распределение поля. При аксиальной симметрии необходимо, чтобы поле было направлено вдоль оси 2. Осевое распределение потенциала есть

t/(z)=f/(zo) -£(z-z0),t/(z)=f/(zo) -£(z-z0),(4.138)(4.138)

t/(z)=f/(zo) -£(z-z0),

t/(z)=f/(zo) -£(z-z0),

(4.138)

(4.138)

г'(г) = ±<[г'(г) = ±<[ТОЛСТОЙ линзы.ТОЛСТОЙ линзы.

г'(г) = ±<[

г'(г) = ±<[

ТОЛСТОЙ линзы.

ТОЛСТОЙ линзы.

следовательно, U'^ =—Е и U"=0. Рассматривая нерелятивистский случай с нулевой азимутальной компонентой начальной скорости (С = 0) и подставляя В = 0 и формулу (4.138) и ее производные в уравнение параксиальных лучей (4.31), получим

г" — Er72[U(zo) — UQ — Е (z — zo)]=0.(4.139)

Решение этого дифференциального уравнения с начальными условиями r(z0)=r0 и r'(zo)=/o' несложно. Первое интегрирование дает

(4.140)(4.140)U <z0^-U6U^^ — Uo—E^—Zo)

(4.140)

(4.140)

Так как мы знаем из (2.112), что траектория частицы в однородном поле представляет собой параболу, ось которой параллельна направлению поля, отношение г'!Го' должно быть положительным на той ветви параболы, где расположена начальная точка, и отрицательным для точек, принадлежащих другой ветви. Мы должны также иметь в виду, что для положительно заряженных частиц потенциал должен быть отрицательным и обратно, следовательно, траектория должна поворачивать в

обратном направлении в точке, где разность потенциалов U^z)—Uo становится равной нулю. Это имеет место в вершине параболы, где г'-»-оо (эта точка, однако, исключается нами из рассмотрения, поскольку бесконечный наклон траектории выходит за рамки параксиального приближения). Очевидно, для ускорения поле должно быть положительным для положительно заряженных частиц и отрицательным для отрицательно заряженных частиц. Это означает, что в обоих случаях абсолютная величина потенциала увеличивается вдоль оси г, поэтому \г'1го\<\, т. е. наклон траектории в ускоряющем поле уменьшается и на бесконечности траектория становится параллельной полю.

Второе интегрирование следует производить с большой осторожностью, помня о том, что произведение заряда на потенциал — всегда отрицательная величина. В результате имеем r(z) -ro= ^olEHYU^ - По]±

±(Q/|Q|){[7(zo)-l70][l7(zo)-l70-£(z-zo^

(4.141)

Опять знак плюс относится к той ветви параболы, на которой лежит начальная точка, знак минус — к другой ветви. Следовательно, при z=zo имеем в правой части этого соотношения сумму двух членов, равных по абсолютной величине. Знак первого слагаемого определяется знаком потенциала в начальной точке. Во втором слагаемом фигурирует абсолютная величина потенциала, а знак определяется знаком заряда. Поэтому знаки слагаемых всегда противоположны, а их сумма, как мы и ожидали, равна нулю. Следует предупредить читателя, что малейшая небрежность в знаках заряда и потенциала может привести к серьезным ошибкам. Поэтому мы всегда стараемся писать все соотношения так, чтобы не возникало никаких разночтений.

Формула (4.141) следует также непосредственно из (2.112) Из сравнения этих двух соотношений видны особенности параксиального приближения. Прежде всего необходимо заменить координату х на z и z на г в соответствии с аксиальной симметрией поля. Затем мы замечаем, что urJuztt = ro', и заменяем Uz0 на абсолютное значение начальной скорости уо, которое может быть выражено через потенциал в начальной точке с помощью (2.33). Эти подстановки сразу дают (4.141). Как- видно, единственное различие между двумя соотношениями состоит в том, что в случае параксиального приближения рассматриваются только траектории с малым наклоном, и поэтому пренебрегается радиальной компонентой начальной скорости по сравнению с осевой. В результате область параболиче- 232

ской траектории, близкая к вершине, исключается из рассмотрения в параксиальном приближении. Это важное замечание. Оно означает, что вблизи излучателя заряженных частиц, где поле чаще всего перпендикулярно его поверхности и в бесконечно малой области, может считаться однородным, параксиальное приближение применимо, только если начальные скорости не направлены под большими углами к оси. Поскольку обычно это требование не выполняется, при параксиальном анализе эмиссионных систем необходимо соблюдать осторожность (см. разд. 7.8.3).

Удовлетворяются ли основные условия формирования изображения в аксиально-симметричных полях в однородном электрическом поле? Сравнивая (4.14Q с (4.55), видим, что в данном случае r2(z) =го/с2 = const и формула (4.58) дает единичное увеличение. Поскольку ri(zD)=0, положение изображения определяется уравнением /i(z<)=0. Его решением является точ-

Рис. 55. Параболические траектории в однородном электростатическом поле.

ка, в которой кривая n(z) пересекает ось. Но ri(z)=[r(z)— —Го]/г/—парабола с осью, параллельной оси z, пересекающая ось z в точке zo. Очевидно, что она не может пересечь ось в какой-либо иной точке (рис. 55). Так как мы имеем только одно пересечение и увеличение, равное единице, точка изображения Z; совпадает с точкой предмета zo. Таким образом, однородное поле не способно выполнять функции электростатической линзы.

Хотелось бы еще раз напомнить о том, что однородное поле не имеет границ в смысле, упомянутом в разд. 4.6. Вся траектория находится в поле, и никакая ее часть не может считаться линейной. Поэтому даже если бы данное поле могло создать настоящее изображение, введение кардинальных элементов было бы невозможно. Тем не менее оказывается возможным использовать однородное электростатическое поле как строительный материал для моделей электростатических линз (см, разд. 7.2.2).

10.1.2. Скошенные лучи. Если поля нет (£=0), в (4.141) появляется сингулярность; следовательно, мы должны рассмотреть этот случай отдельно. Конечно, если отсутствует азимутальная компонента начальной скорости, то С=6, и так как в этом случае потенциал постоянен, уравнение параксиальных лучей (4.31) сводится к г"=0 с элементарным решением

r(z) ,=ro+r'o(z — ZoY(4.142)

Как мы знаем, траектория в данном случае представляет прямую линию.

Однако решение не столь тривиально при cto'^O. Тогда постоянная С имеет ненулевое значение, определенное (4.26), и уравнение (4.31) становится нелинейным. В таком простом случае это вызывает недоумение. К счастью, нет необходимости решать это уравнение. Вместо этого используем (4.40), которое в данном случае имеет вид w" = 0 с начальными условиями (4.43) и (4.44). Поскольку В=0, решением будет

w (z),=ro+ (r'D+irDa'D) (z — ZoY(4.143)

Отсюда с помощью (4.34), (4.45) и (4.46) непосредственно получаем функции г (2) и а(2) для скошенного луча в области, не содержащей поля, в следующем виде:

г (z), = {[го + r'o (z — 2о) ]2 + [гоа'о (Z — 2о]2}1/2,(4.144)

а (г) - а0 = р (г) = arctg ^“^-Ч^(4.145)

В частном случае ао' = 0 получаем (4.142) и «(2) =ao = const.

Соотношения (4.144) и (4.145) иллюстрируют редко замечаемое свойство уравнения параксиальных лучей. В случае скошенных лучей (лучей с ненулевыми компонентами начальной скорости в азимутальном направлении) С^О даже в отсутствие магнитного поля и, более того, даже в отсутствие какого-либо поля вообще. Вследствие этого прямолинейная траектория не может быть описана линейными членами в меридиональной плоскости. Как мы уже знаем, величина г2а,' в этом случае постоянна (см. (4.27)), но это не означает, что г либо a — линейная функция z. (С помощью преобразования к декартовым координатам через (1.9) легко убедиться, что траектория прямолинейна.) Можно заключить, что использование цилиндрической системы координат не является лучшим способом описания скошенных лучей даже в случае аксиально-симметричных полей.

Конечно, мы могли бы вывести (4.144) и (4.145), непосредственно решая нелинейное дифференциальное уравнение (4.31), а затем интегрируя (4.32). Читателю рекомендуется сделать 234

это и сравнить затраченные усилия с теми, которые необходимы при использовании комплексной функции ш(и). Такое сравнение очень ясно покажет преимущества последнего метода. Даже не нужно вычислять величину С, достаточно решить дифференциальное уравнение (4.40) с начальными условиями (4.43) и (4.44). После того как решение найдено, мы должны использовать (4.34), (4.35) и (4.46) и получить функции г (2) и a(z). Этот подход может использоваться для любого поля с осевой симметрией.

В предыдущем разделе мы определили параксиальные траектории в однородном электростатическом поле только для случая С=0, но мы должны помнить, что хотя постоянная С и не зависит от электрического поля, но она зависит от начального азимутального наклона луча. Следовательно, полное решение должно включать эту величину через начальные условия.

10.1.3. Однородное магнитное поле. Следующий пример — длинная магнитная линза, образованная магнитным полем, направленным вдоль оси 2. Имеем B(z) = B0 = const, и в отсутствие электростатического поля U (z) = t/ = const. В этом случае, вообще говоря, С^О, поскольку предмет всегда расположен внутри поля. Как и раньше, вместо того чтобы решать нелинейное дифференциальное уравнение (4.31), будем использовать комплексное уравнение (4.40). Обозначая

—QB02/8m0(U — [70)rei = V>0,(4.146)

упрощаем дифференциальное уравнение

w" + ko2w = O(4.147)

с начальными условиями (4.43) и (4.44). Последнее в данном случае может быть переписано в виде

w'(zo) = r'o + ir0(a'o±ko),(4.148)

где ко>0 и знак в скобках совпадает со знаком заряда частицы. Решением является функция

W (z) = Го COS кй (2 — 2о) + \r'o!kQ + iro (а'о/Й0± 1) ] X

X sin Йо (2 — Zo). (4.149)

Отсюда и из (4.45) сразу следует

Г кг\ = { [Го cos ^0 (z — Zo) + (r'olko) sin Йо (2 — 20) ] 2 +

+ r2o (a'o/k0± 1)2 sin2 й0 (2 — Zo)}1/2.(4.150)

Из (4.34) и (4.46) получаем азимутальную координату

, .. ro(a;/A0 ± l)sinA0(z—20)

“(Z) “°-ЗГС ^^cosfeo^—zo) + (r;/^0)sinfe0(z—г0) + 0 (Z Z°^

(4.151)

Это выражение также следует из (4.26), (4.32) и (4.150), но получить его таким способом гораздо сложнее.

Очевидно, (4.150) и (4.151) удовлетворяют всем начальным условиям. В случае а/= 0 и очень малых значений йо(г—2О) функция (4.151) может быть аппроксимирована выражением

a(z)—ао« + кй (z—z0}a(z)—ао« + кй (z—z0}11ГоГо(4.152)(4.152)

a(z)—ао« + кй (z—z0}

a(z)—ао« + кй (z—z0}

1

1

Го

Го

(4.152)

(4.152)

откуда очевидно, что положительно заряженная частица будет отклоняться в отрицательном азимутальном направлении в соответствии с направлением силы Лоренца (1.14).

Из (4.150) и (4.151), а также непосредственно из (4.26) и (4.27) следует

+ (4-153)

что соответствует (4.11) вместе с (2.90), (2.135), (4.146) и параксиальному приближению (2-компонента скорости аппроксимируется полной абсолютной величиной скорости). Особый интерес представляют следующие частные случаи:

Если го = 0 (в этой точке величина ао' не определена), или aD/ = +^o, то (4.26) дает С = 0 и мнимая часть решения исчезает. В этом случае (4.153) дает a' = +feo = const.

Если ао' = 0, то а' = +й0(1—Гс?(г2У

В случае однородного поля ось симметрии может быть выбрана, где угодно. Удобно выбрать ее так, чтобы она совпадала с осью винтовой траектории (см. разд. 2.7.2). Тогда, очевидно, /V = 0, и в азимутальном направлении ориентирована полностью компонента начальной скорости, перпендикулярная оси. Очевидно также, • что начальное значение т должно быть равно радиусу винтовой линии R. Из соотношения (2.137) следует, что в параксиальном приближении это требование эквивалентно равенству а0/ = +2^о. Если подставить это значение вместе с го' = 0 в (4.150), то, как и ожидалось, получим г= = г0. Тогда (4.153) дает а.'=а.о', что соответствует циклотронной частоте (2.135). Это означает, что все результаты, полученные в разд. 2.7.2, справедливы и в параксиальном приближении, причем единственное отличие состоит в том, что в последнем случае перпендикулярная к полю компонента скорости считается малой по сравнению с продольной компонентой. Это условие уже использовалось в разд. 2.7.2.1, где рассматривалась длинная магнитная линза. Очевидно, все, что здесь гово- 236

рилось, прямо следует также из решения уравнения параксиальных лучей.

Действительно, исследование (4.150) показывает, что при любых z, для которых кй^г—zo) =пл(л= 1,2,...), так же как и при z=zo, r=ro независимо от го' и ао'. Это означает, что в этих точках лучи с разными начальными компонентами скоростей пересекаются, т. е. формируются изображения предмета, расположенного при z0 (рис. 56). Расстояние 1г между предметом и изображением и, значит, между любыми двумя соседними изображениями равно

h = zin — гцп_1) = гц —zo = n/k0>(4.154)

что полностью соответствует (2.141) и (2.142). Это означает, что изображения не увеличены и не перевернуты. Не расходится ли этот результат с общей теорией аксиально-симметричных линз?

Рис. 56. Действие длинной магнитной линзы.Рис. 56. Действие длинной магнитной линзы.

Рис. 56. Действие длинной магнитной линзы.

Рис. 56. Действие длинной магнитной линзы.

Прежде всего заметим, что если подставить (4.154) в (4.151), получим

a(z,„) — atz^ns)) =a(z,i) — ао=пл, (4.155) что означает, что каждый раз, когда луч проходит расстояние h между соседними изображениями, меридиональная плоскость поворачивается на угол л. Другими словами, изображение перевернуто в меридиональной плоскости, как того требует теория фокусирования параксиальных лучей, но это компенсируется вращением меридиональной плоскости.

Можно получить тот же результат, используя уравнение изображения (4.58). Рассмотрим главный луч при С=0. Тогда из (4.149) исчезает мнимая часть и m(z) можно заменить на r(z). В соответствии с обозначениями формулы (4.58), обозначим часть решения, пропорциональную косинусу, как r2(z), а часть с синусом — ri(z). Поскольку в точках, где расположены изображения, г1(з,л)=0, сразу приходим к (4.154). Подставляя ■

(4.156)(4.156)Z^Zo — Ил/^о

(4.156)

(4.156)

в (4.58), получим увеличение л-го изображения в виде

Л1„=со5пл=(—1)"(4.157)

в полном согласии с (4.66). (Вспомним, что увеличение определяется во вращающейся меридиональной плоскости.)

Хотелось бы еще раз отметить, что в данном случае не имеет смысла введение кардинальных элементов, так как невозможно определить границы однородного поля.

Если поле отсутствует (Во = &о = О), следует перейти к пределу в выражениях (4.150) и (4.151), что приводит для скошенных лучей в области, не занятой полем, к (4.144) и (4.145).

Одновитковая магнитная линза

Теперь рассмотрим еще один очень простой пример: круглая петля радиуса а с током /. Так как ток течет в азимутальном направлении, магнитное поле аксиально-симметрично. Следовательно, петля с током является магнитной линзой.

Рис. 57. Распределение магнитной индукции для одновитковой линзы и в прямоугольной модели.

Осевое распределение индукции дается (3.255). Попробуем сначала рассмотреть данный случай, считая линзу тонкой. Подставляя в (4.51) В^ и Bmax(z) из (3.255) и (3.256), соответственно получаем

т (z) = к2 В2 (z) /В2тах = к2! [ 1 + (z/a)2]3,(4.158)

где

&2 = —QB2max/[8m0(Z7 — 170)ге]].(4.159)

Поскольку поле слабеет по мере удаления от центра петли и теоретически равно нулю на бесконечности, удобно вычислять интеграл вдоль всей оси в интервале —oo<z<oo, понимая, что поле практически нулевое при |z|/a>5 (рис. 57). Кромето- го, для магнитных линз Z7=const и из (4.117), (4.118) и

получаем фокусное расстояние одновитковой линзы в приближении тонкой линзы:

Ylf=1lft = llf2=3 T^dz=3na№IB. (4.160)

Для вращения меридиональной плоскости при прохождении частицей тонкой линзы из (4.32), (4.159), (3.255) и (3.256) при С = 0 следует:

Аа=+& $ [B(z)/Bmax]^z = +2ti^,(4.161)

где верхний знак следует использовать для положительно заряженных, а нижний — для отрицательно заряженных частиц.

Подставив А из (4.159) с помощью (3.256) вместе со значениями констант для электронов в (4.160) и (4.161), получим

^ = — 256moa(l/-(/o)rei /2/Р8“ (^ —^«Ы.(4.162)

Аа = +Цо/[-8то([7- [70)rel/Q]-V2 =

= 0,186//[17—i70)rei]1/2.(4.163)

Отметим некоторые важные особенности этого результата. Оптическая сила пропорциональна квадрату тока, деленному на энергию частиц. Поворот изображения пропорционален корню из этой величины. В гл. 8 мы увидим, что соотношения (4.162) и (4.163) сохраняют свой вид даже для линз с железными сердечниками: первое — в некотором приближении, а второе — в точности.

Рассмотрим численный пример. Если пропускать ток / = = 100 А через круглую петлю радиусом а = 10см (это можно сделать, например, используя вместо одной петли катушку и умножая ток одного витка на число витков в катушке) для электронов с энергией 1 кэВ, из (4.162) и (4.163), получим f= = 98 см и Аа = 34°. Действительно, фокусное расстояние больше длины области, занятой полем, интенсивность которого может быть практически измерена, следовательно, мы имеем дело со слабой линзой. (Обратите внимание, что для такой слабой линзы поворот довольно велик.) Для того чтобы таким способом создать сильную линзу, требуются весьма большие токи: петля с током практически всегда является слабой линзой, что позволяет использовать приближение тонкой линзы.

Для увеличения оптической силы необходим больший ток, следовательно, нужно заменить одну петлю на катушку конечных размеров. Чем больше требуемый ток, тем длиннее линза, и рано или поздно фокус окажется внутри поля линзы. Дальнейшим увеличением числа ампер-витков можно заставить

частицы пересечь ось более одного раза. В результате асимптотическое фокусное расстояние может стать очень большим и даже отрицательным. Решение проблемы заключается в концентрации поля в очень узкой области при использовании ферромагнитных материалов (см. гл. 8).

Естественно, для сильных линз (4.162) не справедливо. При больших токах оптическая сила не может быть квадратичной функцией тока, иначе можно было бы увеличивать 1/f, просто повышая ток. В случае сильной линзы мы вынуждены определять фокусное расстояние интегрированием уравнения параксиальных лучей (4.31) с магнитной индукцией из (3.255).

Даже для такого простого распределения поля нельзя найти решение уравнения параксиальных лучей в замкнутом виде. Здесь мы не будем решать уравнение численно, а вместо этого используем более простой и наглядный подход. Как мы увидим в разд. 8.3.1, простейшей моделью магнитной линзы является прямоугольная модель, в которой действие линзы аппроксимируется действием однородного поля в слое заданной конечной толщины {эффективная длина'), резко спадающего до нуля на границах слоя. Конечно, мы знаем, что такого поля не может быть, но для грубой оценки параметров толстой линзы такая тривиальная модель оказывается вполне подходящей.

Понятие эффективной длины уже использовалось в этой книге (разд. 2.7.1 и 3.1.2.2) и было определено в (3.197). В качестве функции F{z) следует использовать функцию T{z), так как именно T{z), согласно (5.40), определяет траекторию. Подставим (4.158), 2т = 0 и 7(0) =й2 в (3.197) и получим

£ен,= (W) ТT{z)dz=3 B2{z)dzlB2max = (3/8) л/а.

°° °° (4.164)

Сравнивая это соотношение с (4.160), мы видим, что эффективная длина выбирается так, чтобы полученное распределение поля давало ту же оптическую силу, что и у тонкой линзы. Как мы объяснили выше, эта величина характеризует также и реальную линзу. Для магнитных линз требуется интегрирование величины B2{z), а для нерелятивистских электростатических линз — {U'{z)ftU{z)—Д0]]2 в интервале между границами поля. Распределение магнитной индукции реальной линзы показано на рис. 57. Там же для сравнения показаны его квадрат и распределение поля в рамках прямоугольной модели эффективной длины из (4.164).

Мы могли бы определить эффективную длину множеством других способов. Например, можно потребовать, чтобы вращение изображения в прямоугольной модели было таким же, как и в реальной линзе. Формула (4.161) показывает, что в этом 240

случае нужно интегрировать индукцию В^, а не ее квадрат. В нашем случае эффективная длина тогда была бы равна 2а. Преимущество этого варианта в том, что поворот изображения в толстой и тонкой линзах одинаков. Однако более весомы преимущества интегрирования функции T(z), и в силу этого придется смириться с неудобствами, вызванными неправильными значениями вращения изображения (в нашем случае прямоугольная модель дает Да = +Злай/8 вместо +2ай).

Применим теперь решение уравнения параксиальных лучей (4.150), полученное для однородного магнитного поля, к прямоугольной модели. Будем рассматривать случай С = 0 (теперь это возможно, поскольку поле ограничено в пространстве), когда исчезает мнимая часть решения. Подставляя k0 = k, го' ="- = 0 и Zo ——Z-etf/2, получаем решение для главного луча r2(z), входящего в линзу из пространства объектов параллельно оси, в виде

r2(z) = ГО COS [A (z) + Teff/2] .(4.165)

Отсюда с помощью (4.73) и (4.76) вычисляем оптическую силу толстой линзы Ijf;

l/f=l/fl = 1//2=— г'2 (Ae}f/2)/r2 (— Leff/2) =& Sin (£Leff).

(4.166)

Формулы (4.71), (4.73), (4.165) и (4.166) дают координату задней главной плоскости:

Н2 = Ьш12 — [1 — cos(feAeff)]/[^sin(^Leff)]. (4.167)

При обычных значениях kL^u эта величина, как и ожидалось, отрицательна. Так как поле симметрично относительно плоскости z=0, то Н\ = —Н2, и расстояние между скрещенными главными плоскостями равно Hv—Н2 =—2Н2.

В приближении тонкой линзы из (4.51), (4.118), (4.124) и (4.159) имеем

Чн/2

(l/f)thin= $ кМх = к2Ьец, (^-ЯОшп^О. (4.168)

-Leff/2

Эти соотношения следуют также из (4.166) и (4.167) в предельном случае kLen<^3. Поскольку sinx<x, сравнение (4.166) и (4.168) показывает, что (1/f) < (1//) thin. Именно это и ожидалось: оптическая сила, вычисленная в приближении тонкой линзы, всегда больше ее реальной величины (см. разд. 4.9). Оптическая сила реальной линзы ограничена ее максимальным значением (в прямоугольной модели (l/f)max = &), тогда как формула для тонкой линзы дает сколь угодно боль-

шую оптическую силу для больших Ьеи (где уже само приближение тонкой линзы неприменимо).

Если теперь подставим Lett из (4.164) в (4.168), мы придем к (4.160). Это неудивительно, так как мы выбрали эффективную длину именно так, чтобы обеспечить ту же оптическую силу, что и у тонкой линзы.

Системы линз

Уделим теперь внимание некоторым практическим приложениям материала, изложенного в разд. 4.8.2 и 4.9.1.

Телескопическая система. В разд. 4.8.1 мы видели, что если какой-нибудь элемент матрицы переноса равен нулю, возникают интересные частные случаи. Там же были исследованы все четыре возможности. Случай телескопической линзы (m2i = 0) упоминался даже несколько раз (см. рис. 49). Сейчас мы построим систему, состоящую из двух тонких линз и эквивалентную одной телескопической линзе.

Рис. 58. Телескопическая система двух линз.

Используем матрицу переноса (4.133) и приравняем m2i к нулю. Это сразу дает

d = f'2+ri(4.169)

в качестве условия телескопичности системы. Оно означает, что расстояние между главной плоскостью первой линзы в пространстве изображений и главной плоскостью второй линзы в пространстве объектов должно быть равно сумме заднего фокусного расстояния первой линзы и переднего фокусного расстояния второй линзы. Сравнение с (4.111) показывает, что это эквивалентно условию Р\"=Рг, но тогда формулы (4.100) и (4.105) дают для комбинированной системы бесконечно большое асимптотическое фокусное расстояние, что является критерием телескопической системы. Из (4.137) мы видим также, что в этом случае и расстояние между главными плоскостями бесконечно велико. Кроме того, из (4.133) ясно, что тц = =—f/7f2/<0, т. е. луч, входящий в систему параллельно оси,

должен, как и предсказывалось в разд. 4.6.1, пересечь ось между линзами (рис. 58).

Увеличение системы линз. Для практического использования систем линз наибольшее значение имеет реализация двух следующих возможностей: 1) изменения увеличения в широком диапазоне варьированием электрических параметров при фиксированных положениях предмета и всех линз и 2) достижения очень больших увеличений или уменьшений. Здесь мы вкратце рассмотрим вторую проблему, остановившись подробнее на вопросах, связанных с уменьшением. Естественно, выбор числа линз и их взаимного расположения зависит от назначения устройства. Однако мы должны напомнить,

Рис. 59. Зависимость увеличения от расстояния до предмета и оптической силы.

что чем меньше линз используется, тем короче оптическая колонна, а это значит, что гораздо проще практическая реализация системы (больше механическая стабильность, проще юстирование, меньше число источников питания, если используются электростатические линзы и т. д.). Поэтому всегда предпочтительней применять линзы с изменяемыми рабочими параметрами (и малыми аберрациями!)

Прежде чем исследовать увеличение системы, коснемся вопроса об увеличении одной линзы. Формула (4.77) свидетельствует о гиперболической зависимости асимптотического увеличения М от параметра р^х (рис. 59). Для того чтобы линза формировала действительное изображение, расстояние до предмета р должно быть больше фокусного расстояния fb и обе эти величины должны быть положительны (сплошная кривая). Другая ветвь гиперболы (штриховая кривая) будет использоваться только в связи с системами линз. Мы видим, что абсо-

лютное значение увеличения падает с ростом величины pttx- Это означает, что при фиксированном расстоянии до предмета абсолютное значение увеличения падает, по мере того как растет оптическая сила линзы. С другой стороны, соотношение (4.77) содержит линейную зависимость увеличения от q]^, поэтому если фиксировано расстояние до изображения q, то абсолютное значение увеличения растет с увеличением оптической силы. (Естественно, поддержание расстояния до предмета или изображения постоянным — трудновыполнимая задача, так как, изменяя интенсивность поля в линзе, мы изменяем не только оптическую силу, но и положение главных плоскостей.)

Рассмотрим систему, состоящую из двух линз, расположенных на таком большом расстоянии d друг от друга, что формируется промежуточное изображение (рис. 51,а). Тогда полное увеличение равно произведению увеличений двух линз. Из (4.79) имеем

д'а” И Гм=Уж-(4-17°)

р р

По определению

q'A-p"=d,(4.171)

а расстояние до предмета р' может быть выражено через расстояние до предмета p = H\—z0 для комбинированной системы с помощью (4.72), (4.73), (4.101) и (4.106) — (4.112) в виде

р'=Н\ - Zo = Р + f\ - fl + F\ - Fx =p - dM"x. (4.172)

Расстояния до изображения q' и q" могут быть выражены через расстояния до предмета р' и р" с помощью (4.78). Принимая во внимание все эти соотношения, из (4.170) получаем увеличение в виде (4.113).

Формула (4.113) равно справедлива для положительных и отрицательных значений оптической силы, и теперь можно использовать обе ветви гиперболы на рис. 59. Предположим, что р>0. Тогда при положительной оптической силе (промежуточное изображение не формируется) мы по-прежнему должны использовать сплошную кривую, но, если расстояние между линзами d становится настолько большим, что оптическая сила становится отрицательной и появляется промежуточное изображение, следует использовать штриховую кривую. Часть этой кривой при М>\ соответствует случаю 0<p//i <1 (виртуальное изображение). Особенно интересен интервал 0<М<1 (D<0). Он используется в двухлинзовых проекционных уменьшающих системах.

В двухлинзовой системе можно зафиксировать значение р' и оптическую силу первой линзы. Для формирования сильно уменьшенного изображения p'/fi' должно быть по возможности больше. Добавление второй линзы эффективно усиливает уменьшение, если d выбрано настолько большим, что и величина p"/fi" тоже велика.'Тогда произведение двух увеличений действительно может быть очень малым положительным числом. В (4.113) pD может иметь очень большую отрицательную величину; поэтому результирующее увеличение очень мало. Из (4.112) и (4.172) имеем

plfx = №) (1 - рЧГх) + (1 + М"1)р7Гь(4.173)

Для больших d величина p/fi действительно меньше нуля, и ее модуль линейно растет с увеличением d.

Рис. 60. Система двух линз с коллимированным пучком.

Важный и интересный частный случай изображен на рис. 60. Точечный предмет расположен в левом фокусе первой линзы F/. Тогда лучи, испускаемые предметом в разных направлениях, выйдут из первой линзы в виде коллимированного пучка. После прохождения второй линзы, которая по крайней мере в принципе может быть расположена сколь угодно далеко от первой, лучи сойдутся в правом фокусе второй линзы F2".

Рассчитаем увеличение этой системы. Поскольку в этом случае p'=f/, q-*00, р"-^—ею и q"=W\ прямо воспользоваться выражением (4.170) нельзя. Однако можно использовать (4.113), которое дает с помощью (4.106) — (4.112) и (4.173), что увеличение не зависит от d и равно

M^r'Jf'^-(пЩ^). (4.174)

Увеличение в этом случае всегда отрицательно, в том числе при сколь угодно больших d.

Заключение

В данной главе были рассмотрены основные свойства аксиально-симметричных полей, формирующих изображения. Мы начали главу теоремой Буша (4.9), которая определяет азимутальную компоненту скорости заряженной частицы в аксиально-симметричном поле. Затем мы вывели основное траекторное уравнение (4.21) и перешли к гауссовской диоптрике, записав уравнение параксиальных лучей (4.31). Это уравнение можно упростить, написав его в комплексном виде (4.40) или (4.50). Затем была доказана способность аксиально-симметричных полей формировать изображения. Мы ввели кардинальные элементы и выяснили отличия действительных параметров линзы от асимптотических. Наиболее важными соотношениями являются уравнение изображения (4.58), формула Гельмгольца— Лагранжа (4.65) и (4.76), формулы увеличения (4.77) и (4.79) и формула Ньютона (4.78). Затем была вкратце изложена классификация электронных и ионных линз, после чего мы рассмотрели системы линз, введя матричный формализм. Матрица переноса (4.91) может быть использована при конструировании систем линз. Было показано, что приближение тонкой линзы представляет удобный инструмент для быстрой оценки параметров слабых линз в первом приближении. Оптическая сила тонкой линзы определяется выражениями (4.117) и (4.118). Среди практически значимых примеров, заключающих эту главу, как наиболее важные следует выделить однородные электростатическое и магнитное поля, простую магнитную линзу и двухлинзовую уменьшающую проекционную систему.

ТЕОРИЯ АБЕРРАЦИЙ

Действие аксиально-симметричных электронных и ионных линз описывается параксиальной теорией (теорией первого порядка). Однако на практике траектории всегда имеют конечные смещения 2 и конечные наклоны г' относительно оси. Даже если они невелики, пренебрежение в разложении в ряд членами высших порядков, необходимое для вывода уравнения параксиальных лучей, приводит к ошибке. Следовательно, параксиальная теория всегда неточна. В действительности изображением точечного объекта будет не одна определенная точка, а размытое пятно, образованное пересечением различных лучей с разными наклонами в разных точках изображения. Эти лучи пересекают гауссову (параксиальную) плоскость изображения в различных точках, поэтому «изображение» — не точка, а пятно конечных размеров, которое может иметь даже неправильную форму. Это явление называется геометрической аберрацией. Пример такого эффекта был рассмотрен в разд. 2.7.2.1, когда мы исследовали действие длинной магнитной линзы. Было установлено, что четкое изображение может быть получено, если только траектории частиц близки к силовым линиям поля. В противном случае различные частицы будут сфокусированы по-разному и изображение будет размытым.

Можно было бы предположить, что можно устранить геометрические аберрации, уменьшая сечение пучка. Однако этот подход невозможно реализовать практически, так как, заключая пучок в очень узкую область вокруг оси, мы также ограничивали бы ток пучка. Кроме того, уменьшение апертуры пучка вызывает увеличение ошибки, обусловленной дифракцией. Поскольку для большинства приложений необходим значительный ток пучка, нам придется разобраться в природе геометрических аберраций и научиться с ними бороться (причины, по которым мы говорим об аберрациях во множественном числе, будут объяснены ниже).

Ошибки могут также возникать из-за того, что частицы в пучке могут иметь различные скорости. Так как частицы, покидая источник, имеют разные начальные скорости (энергетический разброс), они характеризуются также различными значениями и» (потенциал точки, в которой скорость равна ну-

лю). В результате различные частицы опять будут сфокусированы в разных точках, даже если предположить, что параксиальное приближение является точным. Этот эффект называется хроматической аберрацией, поскольку он эквивалентен явлению световой оптики, когда коэффициенты преломления различны для фотонов с разной частотой (цветом). Хроматическая аберрация возникает также вследствие колебаний напряжения, вызванных нестабильностью источника питания.

Другим источником искажений изображения является пространственный заряд. Из-за сил электростатического отталкивания частицы с одноименными зарядами не могут быть сфокусированы в точку. Вследствие этого даже в параксиальном приближении и в отсутствие разброса по энергиям идеальное точечное изображение может быть получено, только если ток пучка пренебрежимо мал.

Наконец, необходимо упомянуть практические проблемы, связанные с разъюстировкой, неоднородностью материалов, несовершенством механической обработки и т. п.

Аберрации играют в электронной и ионной оптике чрезвычайно важную роль. На практике они ограничивают возможности пучковых приборов. Поэтому данная глава посвящена введению в теорию аберраций. Влияние пространственного заряда будет рассмотрено отдельно (гл. 12).

Метод характеристических функций

Начнем с принципа Ферма (уравнение (1.45)). Вводя вариационную функцию [16, 20J

K=ndsldqz,(5.1)

где п — показатель преломления, ds — элемент пути, qa—обобщенная криволинейная независимая переменная, уравнение (1.45) можно переписать в виде

в

6^Kdq3=6SAB=0,(5.2)

А

В

где SAB=SKdq3 — характеристическая функция, или точечный А

эйконал. Подставляя (2.70) и (2.92) вместе с (1.36), (1.37) и (2.67) в уравнение (5.1), получаем

з

7C=/7(p+QA-v/y)=p/7+Q S Ajhjq'j,(5.3)

/=i

где импульс p = mv определяется из уравнений (2.2) и (2.90). Ясно, что К является функцией обобщенных криволиней-

ных координат и их производных по да. Так как лагранжиан L есть функция тех же координат и их производных по времени, естественно, что подынтегральное выражение в принципе Гамильтона (уравнения (1.26) и (1.27)) есть Ldt, в то время как в принципе Ферма — Kdga. Поскольку оба принципа выражают одно и то же и их- структура идентична, к уравнению (5.2) можно применить ту же процедуру, что использовалась при выводе уравнений Лагранжа (1.35) из (1.27). Заменяя в них лагранжиан L вариационной функцией К и время — координатой д3) получим уравнения Эйлера:

(5.4)(5.4)^ = 0 (1 = 1, 2, 3).

(5.4)

(5.4)

dq3 dqt ) dqi v/

Отсюда легко выводятся общие уравнения для траекторий (2.76) и (2.77) [54]. Вычислим сначала частные производные К. Так как импульс зависит только от координат (через потенциал и, см. уравнение (2.90)), сразу же видим, используя (2.70) и (5.3)

dKIdg'^moV (1 — a^cV^ig'dH-vQhiAi. (5.5)

Частная производная К по координате д, несколько сложнее. Из (2.31), (2.70), (2.89), (4.13) и (5.3) получаем дК QH ди

+ (mov!H) (1 —уг1с^-^ (/i^]2 dhjdgt + h3q? dHa[dqt + h3 dh^dg^ + 3

-VQ^g'AdldgiHhjAjV (5.6) /=1

Теперь можно применить уравнения Эйлера (5.4). Используя (1.6), (1.12), (1.13) и (1.17) и выражая некоторые полные производные через частные, приходим для i = 3 к уравнению (2.74). Подставляя теперь в уравнение (5.4) i=l и t=2 и используя (2.74), после ряда алгебраических преобразований получим релятивистские траекторные уравнения в обобщенных криволинейных координатах.

Вернемся теперь к вариационной функции К и напишем выражение для нее в аксиально-симметричных полях. Из-за сложности предстоящих вычислений будем рассматривать только нерелятивистские частицы. Теория аберраций может быть распространена и на релятивисткий случай. Сложность состоит лишь в большом объеме вычислений. К счастью, для релятивистских частиц используются в основном магнитные поля, на что указывалось еще в разд. 2.2.1, а при этом наибольшая сложность сопряжена с введением постоянного релятивистско-

го потенциала. Таким образом, вполне достаточно рассмотреть теорию аберраций в нерелятивистском приближении. Иногда под релятивистской аберрацией понимают погрешность, обусловленную зависимостью массы частицы от ее скорости, т. е. разность между величинами, вычисленными с учетом релятивистских эффектов в первом приближении и без такого учета.

Другой важный момент состоит в том, что даже в случае аксиально-симметричных полей необходимо рассмотреть лучи, распространяющиеся во всевозможных направлениях. Как было показано в разд. 4.10.1.2, цилиндрическая система координат не очень удобна для вычисления асимметричных траекторий. Поэтому мы будем использовать декартову систему координат.

Наконец, необходимо отметить, что в ходе последующих выкладок мы ограничиваемся траекториями, в разложении которых можно пренебречь степенями смещения г и наклона г', большими четвертой. Как будет показано, это эквивалентно теории третьего порядка, справедливой для относительно большой, но также конечной ширины пучка. В параксиальном приближении рассматриваются лишь очень узкие пучки, для которых наклон любой траектории, т. е. тангенс угла между траекторией и оптической осью, может быть заменен самим углом. Для довольно большого угла ^ = л/4 параксиальное приближение дает относительную погрешность 21,46%. Приближение третьего порядка заключается в том, что используется следующий член разложения в ряд Тейлора tg у«у+ у3/3 + у6/7,5. В нашем примере относительная погрешность уменьшается до 5,31%. Последующее усложнение (теория пятого порядка) дало бы относительную погрешность всего 1,33%, но это приближение слишком сложно и потому выходит за рамки книги.

Как мы знаем из разд. 3.3.3, в аксиально-симметричном поле магнитный векторный потенциал имеет только азимутальную компоненту, поэтому его абсолютная величина А равна величине этой компоненты. Используя (1.9) и (4.6) и сохраняя два члена в (3.47), получим следующие выражения для декартовых компонент векторного потенциала аксиально-симметричного поля:

Ах =— A sin а= — Ау/г=— ^yjr1^ $ Вг(г, z^rdr» о

(у/2)[В(2) -B"(z)(x2 + y2)/8],(5.7)

Аи=А cos a=Axjr~ (х/2) [В (г) — B" (z) (х2+у2)/8].

(5.8)

Очевидно, Дг=0. Теперь выразим импульс через электростатический потенциал с помощью (2.33) или (2.90) и рассмотрим

три члена в уравнении (3.20) для и (г, 2), принимая во внимание (1.9). Получим

р = тои= [— 2Qm0(u — ы0)]1/2 =

= {-2Qm<>P(z) - U»-U"^ (хНуШ +

.+ Г71у(г) (х2-^2)2^]}1'2.(5.9)

Подставляя qv = x, qi—y, q$ = z и hi =h2 = h3 = 1 вместе с (2.78) и (5.7) — (5.9) в уравнение (5.3), заменяя квадратные корни на соответствующие разложения в ряд Тейлора и сохраняя только члены до четвертого порядка малости включительно, получаем вариационную функцию в виде

K=pH-vQiAxx'+Ayy'-vAz)«KW+KW+KW (5.10)

где верхние индексы обозначают степень малости соответствующих членов, и

tf(0) = {-2Qm0[[7(z)-t/»]}'/2,(5.11)

К^К^^А-у'^ — (X2+j/2)l7"(z)/8[(/(z) — t/0] +

+ QB(z) (xy'— x'y)12,(5.12)

A Л '128 [{/(z) —i/0] V U(z)-Uo f

16 [[/(z) —<70]’ /б/

— QB" (z) (x2 + y2^ ^xy* — x'y)/16. (5.13)

наряду с

X=rcos^, Y=r sin {к(5.15)

Дифференцируя (1.9) и (5.15) по г, используя (5.14) и произведя ряд простых преобразований, получим следующие соотношения между старыми и новыми координатами:

x^+y^X^Y2,(5.16)

х'2+^'2=X'2 + У'2+2Г (XY' — X' У) + й'2 (X2 + У 2),

(5.17)

ху' — /у=XY' — X' У+Г (X2 + У2).(5.18)

Рис. 61. Повернутая система координат X, У, z.

Подставляя эти соотношения в (5.12), получаем следующее выражение для RW в новых координатах:

К<2' = {№Г2/2 — K^U" (z)/8[U(z) — UoA +

+ Q^'B (z)/2} (X2 + У2) + X<°) (X'2 + У'2)/2 +

+ [AW'+Q5(z)/2] (ХУ' — X'Y).(5.19)

Если подставить это выражение в уравнение Эйлера (5.4), то снова получим систему связанных дифференциальных уравнений, но теперь коэффициент при члене, осуществляющем связь уравнений, содержит производную угла ■& по z. Очевидно, что, выбирая

й'=—QB(z)/2K«»,(5.20)

можно избавиться от этого члена. Подставляя (5.11) в (5.20) и интегрируя, получаем угол поворота новой системы коорди- 252

нат относительно старой:

й(г) — ^(zo),= —(Q/2) f {-2Qm0[U(z) — Uo]}1^(z)dz.

(5.21)

Если предположить, что начальное значение ■& равно начальному значению a^zo) =ао), т. е. частица начинает движение в плоскости Xz, и сравнить (5.21) с (4.32), то увидим, что ^(z) = a(z) |с=о,(5.22)

и из (4.34) сразу следует (5.14). Это очень важное наблюдение. Оно означает, что если выбрать угол поворота новой системы координат в соответствии с (5.22), то азимутальная координата р соответствующей цилиндрической системы координат будет полностью совпадать с функцией ^(z), введенной в (4.35) в качестве аргумента комплексной функции w(z). В соответствии с этим координаты X и Y представляют собой просто вещественную и мнимую части функции w:

.JV=Rew, У = 1тш.(5.23)

Тогда движение в плоскости Xz соответствует, очевидно, случаю С = 0. Действительно, если С=0, то « = $ и ^ = 0 на протяжении всего времени движения частицы.

Если магнитное поле отсутствует, то угол поворота новой системы координат относительно старой будет постоянным, и мы имеем ^ = а—ао- (Как нам уже известно, вращение изображения происходит только под действием магнитного поля.) В этом случае нет необходимости во вращении системы координат при движении частицы, так как связь между двумя дифференциальными уравнениями отсутствует. Безусловно, С по-прежнему может иметь ненулевое значение, а значит, движение может происходить в комплексной плоскости.

Так как уравнение параксиальных лучей (4.40) является линейным дифференциальным уравнением, оно может быть заменено двумя идентичными уравнениями: одно — для вещественной части X и другое — для мнимой части У. Докажем теперь, что уравнения Эйлера (5.4), содержащие функцию KW, действительно дают эти два уравнения. Подставляя (5.20) в (5.19), получаем следующее окончательное выражение для К(2):

/(<2) = .КП^'ЧК'2)/2-[.^^ + 2^^(ХНП/8. (5.24)

Дифференцируя это выражение по X, X', У и Y' и подставляя в уравнения Эйлера (5.4), получим два дифференциальных

уравнения: одно — для X и одно — для Y. Оба они, как и предполагалось, идентичны уравнению (4.40).

Подставим теперь соотношения (5.16) — (5.18) и (5.20) в уравнение (5.13) и получим член четвертого порядка в вариационной функции в виде:

КW=а (X2 + У2) 2+b (X2 + У2) (X'2 + Vй) + с (X'2 + Y^)2+

^d^-YY1^ (XY' — X'Y)+e(X'2 + Y'2)(XY' — X'Y) +

+ ЦХУ' — Х'У)2,(5.25)

где

— Qm0i/IV(z)/2 + Q2B(z)B"(z)},

(5.26)

b = [2QmaU"(z) — Q2B2(zH!16KW,

(5-27)

c=—KwIB,

(5.28)

Q / QB8^ , ™U"^B^\ 16 \2mdU^-U0\ 1U(z) — U6 Г

(5.29)

e=QB (z)/4,

(5.30)

l=—Q2B2^IW\

(5.31)

d =

Q54z)p 2m0 J

а Х(0) определяется выражением (5.11). Заметим, что три последних члена в (5.25), содержащие (XY'—Х'У), присутствуют только тогда, когда есть магнитное поле.

Вернемся к характеристической функции. Согласно (5.10), вариационная функция К может быть аппроксимирована тремя слагаемыми. Подставляя эти слагаемые в (5.2), получаем характеристическую функцию в виде

Sab = S^ + S^ + S^.(5.32)

Если теперь вычислить вариацию характеристической функции для интервала между точками объекта и изображения в декартовых координатах и параксиальном приближении (только два члена в (5.32)), но не фиксируя конечных точек [20], повторение процедуры, использованной для получения уравнений Эйлера, даст

6S = (6KdZ-.y(^6X+^.6r + ^-6z+^6X- + Zo го

zo

Г ЭК d ( дК \1, ( ЭК , ЭК Kv\zi ,r

+ V-dY-^wH6Yrz+w8x+'dwbY)Zo’ (5-33)

где принимается 6z = 0, так как положения плоскостей объекта и изображения фиксированны. Если бы мы зафиксировали сами конечные точки, было бы 65 = 0, следовательно, члены в квадратных скобках должны исчезать в соответствии с уравнениями (5.4) и получаем

65 = т (z;) 6Х (z,) + п (г,) 6 У (Zi) —m(Zo) 6Х (z0) —

'—n(z0)6Y(z0),(5.34)

где

т=дК1дХ', n=dK!dY'.(5.35)

Естественно, вариация точечного эйконала является функцией лишь координат конечных точек.■

Теперь можно приступить к расчетам аберраций. Вычисления могут производиться одним из двух существенно различных методов.

Если используется метод траекторий [142], то аберрации третьего порядка получаются при подстановке в уравнения Эйлера (5.4) трех членов разложения функции К (уравнение (5.10)). Затем параксиальное решение, полученное с использованием только двух членов в выражении для К, вычитается из более точного решения четвертого порядка. Разность и является аберрацией. Этот подход относительно прост, но требует большого объема вычислений для получения коэффициентов аберрации (см. разд. 5.2) и взаимосвязь между ними не выглядит достаточно естественно. Поэтому метод траекторий здесь использоваться не будет.■

Альтернативным подходом является метод характеристических функций [16, 20]. Хотя основная идея этого метода более трудна для понимания, он изящнее метода траекторий и аберрационные коэффициенты появляются в этом методе более естественно.

Будем считать траекторию третьего порядка возмущением параксиальной траектории, обусловленным добавлением члена Kw к параксиальному приближению для вариационной функции К. (Очевидно, что этот подход может быть распространен и на случай хроматической аберрации. Тогда изменение вариационной функции будет пропорционально параксиальной вариационной функции по потенциалу (см. разд. 5.3).) Таким образом, необходимо определить возмущение характеристичес-

кой функции. Так как мы имеем дело только с малыми возмущениями (теория возмущений первого порядка), то предположим, что воздействия разных возмущений могут линейно накладываться друг на друга. Но тогда возмущение характеристической функции S(4) может быть записано в виде суммы двух компонент: возмущение траектории в невозмущенном поле и возмущение поля при невозмущенной траектории. Первая компонента определяется вариацией характеристической функции (5.34), куда следует подставить 6Х=Х(4) и 6У=У(4), так как вариацией координаты является именно разность между ее значениями в рамках теории третьего порядка и в параксиальной теории. Вторая компонента — это характеристическая функция, т. е. интеграл от возмущения KW вдоль невозмущенной параксиальной траектории. Следовательно, можно написать

SW=m(zi)XW (Zl)+n(Zi) У<4> (zz) —

zi

— m (zo) XW (z0) _ n (zo) Yw (Zo) + $ RWdz. (5.36) zo

Заметим, что верхние индексы обозначают возмущенные величины, тогда как члены без верхних индексов соответствуют невозмущенным значениям.

Вариация этого выражения может быть записана в виде

6S<4> = m (zz) 6Я<4) (Zz) + XW(zz) 6m (zz) + n(zi)8YW (zz) +

+ YW (Zl) 6n (zz) — m (z0) 6X<4> (zo) — XW (Zo) 6m (z0) —

— ra(zo)6y<4>(zo) — yw(Zo)6n(Zo)+6$ KWdz. (5.37) zo

С другой стороны, если применить принцип линейной суперпозиции непосредственно к уравнению (5.34), получим следующее выражение для той же величины:

6SW=mw (Zi)8XW (Zi) +nW (zz) 6YW (Zi) —

— mW (zo)8XW (z0) — nW (z0)8YW (Zo) =.=mW(Zi)8X(Zi) -Vm(Zi)8XW(zi) + nW (Zi)8Y (zi) +A-n(zi)8YW(zi) —mW (z0)8X (z0) —m(z0)6XW(z0) —

— nW(zo)8Y(Zo) —n(Zo)6YW(zo).(5.38)

Сравнивая (5.37) и (5.38) и вводя обозначение

S* = ^RWdz,(5.39)

получаем соотношение первого порядка для возмущения в виде

6S* = m(4)(z()6X(2i)+n^)(zI)67(zi) — X(4>(z,)6m(z<) —

— У(4) (z,) би (z/) — mW (zo) 6X (zo) — n.w (z0) 6У (zo) +

+№ (zo) 6m (zo) + YW (zo) 6n (z0).(5.40)

Заметим, что в правой части этого сложного выражения присутствуют вариации лишь невозмущенных величин. Четыре возмущенные переменные, вычисленные на концах интервала, являются коэффициентами при этих вариациях.

Теперь можно задать траекторию, фиксируя ее положение и наклон в плоскости объекта или изображения. Можно также использовать смешанные граничные значения, например, задавая положение в обеих плоскостях, либо положение в одной плоскости, а наклон — в другой. Начнем с того, что будем использовать плоскость объекта как исходную, задавая на ней смещение и наклон траектории. Это означает, что в этой плоскости параксиальная траектория совпадает с возмущенной. Тогда можно приравнять все вариации при z = zo нулю и (5.40) сведется к

6S^mW (Zi) 6Х (zt) ^nW (Zi) 6У (Zi) —

— XW (z,)6m(z.) — YW(zi)6n(zi). (5.41)

Это выражение определяет геометрические аберрации в плоскости изображения.

Геометрические аберрации

Рассмотрим два линейно-независимых решения уравнения параксиальных лучей g(z) и h(z), удовлетворяющих следующим условиям (рис. 62):

Рис. 62. Два решения уравнения параксиальных лучей.

g(z0)=l,/l(zo)=0,

(5.42) g'(Zo)= 0,/l'(z0) = l.

Тогда вещественная X (z) и мнимая Y (z) части комплексного общего решения w (z) могут быть записаны в виде

X(z)=^(z)+r0A(z),(5.43)

Y^=Yog^-YY'oh^(5.44)

соответственно, где все величины

X0 = X(z0), X'o=Xr^oV Yo=Y(zo), Y'o=Y'(zo) (5.45) должны быть малы, чтобы были удовлетворены допущения гауссовой диоптрики, несмотря на большие начальные значения ^(zo) и h' (z0), заданные в (5.42).

Из (5.41) следует, что

^ = m*4’ (zj ^ +(г^ 2™ „Х^ (z,) ^ - Yw (z;) ^ ,

V /X QV /X QV /X QV /X QV /X Q

(5.46)

5S*, , дХ (zj . ... , . dY (Zj)x dm (г,)

"dx; =(Zi) H(z,)

-Y^^-, (5.47)

dS* , x dX (г,) ,... . x dY (гЛx 5m (z;)

(Z/)(z2.)

-yu)^.)^), (5.48)

|^ = m(4) (zz) ^ + n^ (zz) ^ _X^ (zz) ^2 -

— У(4> (z,) ^^ • (5.49)

Из уравнений (5.43) и (5.44) имеем

dX (Zi)

dY(zd

5(2/),

(5.50)

dX0

dY0

dX (zt) _ dX'o

dY <г^ _ dY’o

2i(zz),

(5.51)

ЭХ (Zj) 5Г0

_ dX (za

_dY[Zi) dX0

dY^

йХ'о °'

(5.52)

Вспоминая, что члены без верхних индексов соответствуют невозмущенным величинам, и используя уравнения (5.35), (5.24), (5.43) и (5.44), можно записать

т (Zi)=tnW (Zi) = dRW (z^fdX'^KW (Zl)X' (Zl) =

= KW (zi) [Xogf (Zi) + X'oh' (Zi) ],(5.53)

n(Zi) =n^(Zi) =dKW(2i)idY' = KW(Zi) Y'(Zi) =

= К^ (Zi) [Yog' (z.) + Y'oh' (Zi) ],(5.54)

откуда

^ = S77 = K№ ^ s' <г->(5-55)

^^-^^-A40’^,)/!'^,.),(5.56)

3m (z,) _ dm (гг) _ Эп (гг) _ дп )г^ _ п-е

эу 0 - dvo эх0 ~ эх-0

Подставляя теперь (5.50) — (5.52) и (5.55)—(5.57) в уравнения (5.46) — (5.49), получаем

^ = т^ (Z/) g (zt) - № (Zi) Kw (z.) g' (z{),(5.58)

-f^- = m^ (zt) h (zt) - X«> (Zi) Kw (Zi) h' (z,.),(5.59)

^ = n™ (zi)g (2,) - Y^' (гг) К» (z_) g’ (Zi),(5.60)

(zt) h (г,) -(z^ K^> (Zi) h' (z^.(5.61)

Решая эту систему четырех алгебраических уравнений относительно Xw(zi) и YW(Zi) и принимая во внимание уравнения (4.58), (4.64) и (5.42) и тот факт, что К(г{)=0, по определению получаем

6Х (Zi) = X^ (Zi) =

= \h (Z;) dS*/dX-g (Zi) дЗ^дХ'ДККЧгЬ W (Zi)g(z,)-g' (z;) Л(г,)]} = —до Гu (z-)— ^ol1/2 ^s* l^w iz л /5 62)

§y (ZJ _ yw (z .) =

' = [A (Zi) dswo - g (Zi) dS*/dY'0]/{Ka (Zi) [h1 (Zi) g (Zi) - -g’Mh^ — M [ "S^l-^^.,,,). (5.63)

Напомним, что эти величины -представляют собой разности между величинами третьего порядка и параксиальными значениями переменных X(z) и Y(z). Для их вычисления необходимо знать частные производные функции 5* по Хо' и Yo'- Функция S* определена в (5.39). Подставляя (5.25) в (5.39), можно записать

zi

S* = $ [а(Х=+У2)2 + 6(Х2 + У2) (^2+У/2)+с(х/2+У'2)2+

4-d^X2+Y2) (XY' — X'Y)+e(X'2+Y'2) (XY' — X'Y) +

+ l(XY' — X'Yyidz, (5.64)

где все коэффициенты a, I являются функциями z и выражаются через осевые распределения потенциала и магнитной индукции с помощью (5.11) и (5.26) — (5.31).

Теперь необходимо подставить сюда X(z), У (z) и их производные по z из (5.43) и (5.44), а затем найти частные производные от S* и подставить их в (5.62) и (5.63), принимая во внимание (5.11). Необходимые для этого преобразования тривиальны, но их так много, что выполнение этой задачи можно считать серьезным достижением.

Очевидно, что результатом является функция начальных значений Хо, Хо', Уо и Yo'. Получаем, что

№ (z.) = (Л,Х'о + А 5ХО — А 8 Уо) (X/2 + Уо'2) +

+ (2A5X'O + 2A2XO-A6YO) (XoX'p + YoY'o) +

+ (Л2Х'О + А4X0 — Л7 Уо) (Х2О + У2О) +

+ (2Л8^О + Л6ХО) (ХоГо - X'oYoY (5.65) 6У(z,) = (Л 1 Го + Л5Уо+A8Х0) (Хо'" + Yo'2) +

+ (2A5Y'O + 2A2YO + А6Хо) (Х„Х'о+ YoY'„) +

+ (Л3У'О + A4Y0 + А?ХО) (Х2О+ Y2O) +

+ (2Л8У'О + Л6УО) (XoY'o - X%YO), (5.66)

где все коэффициенты Ль . . . , Л8 представляют собой определенные интегралы по z от объекта до изображения. Они упрощаются с помощью выражения

(5-67>

которое непосредственно следует из (4.64). Имеем

zt

Л] = — 4М{— 2Qm0[l7(zo) — U0])^1/2 ^ ^ah4A-bh2h'2A-ch'^dz,Z°(5.68)

H2 = -Af{-2Qm0[H(zo) — ПоЯ^/зх

X 4^ag2h2A-bgg'hh'4-cg'2h'2^ —

zo

- ци^о) - По)/(П(2) - U№,(5.69)

Л3 = — 2М{— 2Qm0[l/(z0) — t/0]}-1/2X zi

X n2a^2ft2 + i>(gW2 + ^2/i2) A-2cg'2h'H zo

+ /(^(zo) — У0)/(У(г) - U0^dz, (5.70) Л4 = — 2M{— 2Qm0[U(zo) — У0]}“1/2Х

X $ [2ag3h — bgg'+ (gb'+g'h) + 2cg'3h'^dz,(5.71)

zo

Л5 = — 2M{— 2Qm0[U(zo) — У0]}"1/2Х

ZL

X $ [2agh3 + bhh'(gh'+g'h) A-Scg'h'^dz, (5.72) zo

zi

A6 = —2M $ {—2Qmo[^7(z) — t/0]}~*/2(dgh + eg'h')dz,

(5.73) zt

A4 = — M^—2Qm0\U^ -UoW^Vdg^^eg'^dz, (5.74) zo 4

A& = — M\ {—2Qm0[U(z) — U0^i2 <dh2 A-eh'^dz. (5.75)

Геометрические аберрации 6X и 6У действительно являются величинами третьего порядка по начальным значениям Хо, Хо', Yo и Yo'. Коэффициенты Ai, ... , Л8 при разных комбинациях этих начальных значений называются коэффициентами геометрических аберраций. Отметим их симметрию по функциям g(z'), h^, g'(z) и h'(z).

Мы могли бы рассчитать геометрические аберрации множеством различных способов. Уже упоминался альтернативный метод траекторий. Кроме того, выбор решений g (z) и h (z) уравнения параксиальных лучей с начальными условиями (5.42) был произвольным. В литературе встречаются и иные пары решений, используемые при вычислениях аберраций. Вместо пары решений, заданных их смещениями и наклонами в плоскости объекта, можно использовать пару решений, определенных их смещениями в двух плоскостях [16], или одно решение, определенное смещением и наклоном в плоскости предмета, и другое решение, определенное смещениями в двух плоскостях [142]. Вторая плоскость обычно определяется апертурой, используемой для ограничения луча, как, например, в электронном микроскопе, где изменение апертуры используется для устранения некоторых геометрических аберраций. В результате могут получаться различные наборы коэффициентов. Однако любая пара

линейно независимых частных решений уравнения параксиальных лучей, очевидно, может быть представлена в виде линейной комбинации любой другой пары таких частных решений. Таким образом, всегда возможно выразить один набор аберрационных коэффициентов через любой другой набор.

Возможны также другие определения коэффициентов аберрации [26, 143]. Однако подход, изложенный здесь, является вполне достаточным для того, чтобы охватить почти все практически важные частные случаи. Вероятно, единственные исключения — это электронные и ионные источники и электронные зеркала. В первом случае частицы вылетают со скоростями, близкими к нулю, и поэтому коэффициенты аберрации могут достигать очень больших значений. Во втором случае они имеют бесконечные значения в тех точках траекторий частиц, где потенциал равен Uo. Вычисление аберраций источника осложняется еще и тем, что распределение начальных скоростей может быть довольно сложным; тем, что нельзя пренебрегать пространственным зарядом; ток и другие параметры пучка, как целого, могут быть столь же существенны, что и аберрации и т. д.

Аберрационные коэффициенты в (5.68) — (5.75) относительно компактны. Однако эти выражения имеют серьезный недостаток. Как видно из (5.26), функция a(z), фигурирующая в первых пяти аберрационных коэффициентах, содержит четвертую производную осевого распределения потенциала. Как известно, численные расчеты производных высших порядков очень неточны. Необходимо, следовательно, преобразовать выражения для аберрационных коэффициентов таким образом, чтобы они не содержали производных распределения потенциала выше первого порядка. Это можно сделать с помощью интегрирования по частям. Здесь снова понадобится ряд элементарных преобразований, требующих большого терпения. Фактически, интегрирование по частям может применяться произвольное число раз и в любых комбинациях, и, следовательно, аберрационные коэффициенты могут быть записаны в разной форме. Некоторые из этих форм будут рассмотрены при выводе коэффициента сферической аберрации. Однако в этом вопросе важнее понять физическое значение аберраций, чем погружаться в хитроумный лабиринт элементарных математических преобразований.

Прежде всего необходимо заметить, что все коэффициенты аберрации представляют собой определенные интегралы, взятые вдоль оптической оси от предмета до изображения. Они являются функциями распределения поля, образующего линзу, и могут быть вычислены на основе реальных или мнимых траекторий. Очевидно, не имеет значения, расположен ли предмет или изображение в поле линзы или вне его. (Необходимо соблюдать осторожность при использовании модифицированных выраже- 262

ний из учебников, приведенных, как правило, без доказательства. Они могут быть справедливы только с некоторыми ограничениями, связанными с тем, что некоторыми членами пренебрегли во время интегрирования по частям.)

Из гл. 4 известно, что если и предмет, и изображение расположены вне поля линзы, асимптотические величины совпадают с реальными. Очевидно, что это справедливо и для аберраций. Аберрационные коэффициенты, приведенные выше, являются реальными величинами. Если нас интересуют асимптотические аберрации, то реальные коэффициенты могут быть использованы только в том случае, если и предмет, и изображение расположены вне поля линзы, иначе асимптотические коэффициенты должны определяться независимо. Это будет сделано в разд. 5.4.

Заметим также, что все коэффициенты аберрации сильно зависят от увеличения не потому только, что увеличение присутствует в них в явном виде, но большей частью потому, что пределы интегрирования будут изменяться, если изменится и увеличение (и, следовательно, положение предмета и (или) изображения). Это очень важное наблюдение. В большинстве классических работ по электронным линзам аберрации рассматривались только для очень больших увеличений. Однако, вообще говоря, знание конкретного реального аберрационного коэффициента при заданном увеличении слабо помогает при оценке того же коэффициента для другого увеличения. Как будет показано, ситуация с асимптотическими аберрациями намного благоприятнее.

Очевидно также, что структура приведенных выше аберрационных коэффициентов такова, что при рассмотрении сингулярных случаев нулевого и бесконечного увеличений (главные лучи) необходима особая тщательность. Эти случаи будут подробно проанализированы в частном случае сферической аберрации. В связи с этой проблемой хотелось бы отметить тот факт, что в уравнениях (5.65) и (5.66) аберрации записаны как функции начальных значений Хо, Хо', Yo и Yo', так как X(z) и Y(z) были выражены в (5.43) и (5.44) через эти величины. Однако как было упомянуто выше, возможны любые другие способы выбора пары решений уравнения параксиальных лучей. Если определять решения в плоскости изображения, то это равносильно направлению движения от изображения к предмету. Тогда аберрации возникнут в плоскости предмета и будут функциями начальных значений в плоскости изображения. Соответственно будем иметь другой, хотя и аналогичный, набор аберрационных коэффициентов («обратные» коэффициенты в отличие от представленных здесь «прямых» коэффициентов).

Для того чтобы понять физический смысл аберрационных коэффициентов, все они будут исследованы один за другим

путем приравнивания к нулю всех коэффициентов, за исключением одного, рассматриваемого в данный момент. Так как вращающаяся система координат была введена таким образом, что частица начинает свое движение в плоскости Xz (см. обсуждение после уравнения (5.21)), мы можем поместить точечный объект на оси абсцисс координатной системы (Уо = 0) без потери общности. В этом случае Хо есть расстояние от объекта до оси в плоскости объекта, и выражения (5.65) и (5.66) станут несколько проще, но по-прежнему будут содержать все коэффициенты. Просто взглянув на эти соотношения, замечаем, что их различные части описывают разные зависимости от начальных значений.

Сферическая аберрация

Если единственным ненулевым коэффициентом является Аь из (5.65) и (5.66) получаем, что

6Х^=А1ХоЧХо'2 + Уо'2), dY(zi)=AiY0'(X0'^+Y0'2).

(5.76)

Эти же выражения получатся, если подставить Хо = Уо = 0, т. е. Л1 — единственный аберрационный коэффициент, который отвечает за возникновение аберраций в том случае, даже если предмет расположен на оптической оси. Так как выражения в (5.76) не зависят от Хо и Уо, эта аберрация должна быть одинаковой для всех точек объекта. Для точки на оптической оси можно формально написать,

6г, = {[6Х(г,)р + [6У(гг)]2}1/2=Л1 (Хо/2+ УО'2)3/2.(5.77)

Строго говоря, для осевой точки объекта Уо' = 0, так как для этой точки С=0 и движение частицы происходит в меридиональной плоскости. Тем не менее удобно рассматривать конический пучок частиц, которые покидают точку объекта под разными углами у к оптической оси, ограниченными условием

Xo'2+yo/2<tg2To,(5.78)

где уо — максимальное значение угла у. Его принято называть половинным углом аксептанса пучка. Таким образом, фактически рассматривается пакет лучей, для каждого из которых существует своя меридиональная плоскость во вращающейся системе координат, в которой происходит движение. Для того чтобы избежать путаницы, сохраним конечное значение для Уо в соотношениях (5.76) — (5.78). Это можно обосновать, рассмотрев сначала только то сечение конуса, для которого Y'=0, и

восстановив затем конус, вращая это сечение вокруг оси. Конечно, результат при этом не изменится. Соотношения (5.77) и (5.78) дают следующее радиальное смещение для траектории конического щучка, наиболее удаленной от центральной оси:

6rsi=Xi tg3 Чо=МС$о fg3 4o=Mbrso,(5.79)

где

Сзо=Ах!М(5.80)

есть коэффициент сферической аберрации, связанный с объектом, а

6rso = 6rsdM = С so tg3 уо.(5.81)

Так как параксиальный луч, выходящий из точки объекта, пересекает ось в точке изображения, 6rsi является разностью между радиальным смещением удаленного луча и смещением параксиального луча в гауссовой плоскости изображения. В результате изображение точечного объекта будет не точкой, а диском радиуса |6rsz| с центром в точке гауссова изображения. Будем называть этот диск диском сферической аберрации в плоскости изображения (название «сферическая аберрация» взято из световой оптики). Другими словамй, фигура аберрации в этом случае представляет собой круг радиуса |6rs,|, пропорционального кубу начального наклона наиболее удаленного луча (аберрация третьего порядка). Далее будет показано, что Cso — неотрицательная величина. Так как увеличение является отрицательной величиной, brSi всегда отрицательно при положительных у0 (рис. 63). Это означает, что непараксиальный луч пересекает ось раньше параксиального луча (рис. 64).

Рис. 63. Сферическая аберрация.

Аналогично можно объяснить физический смысл brso. Это — радиус диска сферической аберрации в плоскости объекта, определяемый в (5.81), как искаженный объект конечной величины, заменяющий идеальный точечный объект и увеличенный идеальной линзой, в результате чего возникает искаженное изображение. Заменяя точечный объект таким диском, мы заменяем аберрацию линзы аберрационным диском в плоскости объекта. Можно доказать это несколько иначе. Поскольку (5.79) определяет аберрационное изображение точечного объекта, расположенного на оси, и сферическая аберрация не зависит от положения объекта, аберрационное изображение точки с координатой г0 в плоскости объекта, полученное с помощью наиболее удаленного луча в пучке, можно записать в виде

Рис. 64. Непараксиальные лучи.

Мго+6г$:. Выбирая го ——brso, можно заставить наиболее удаленный луч пересечь гауссову плоскость точно на оси (рис. 65). Сравнивая рис. 63 и рис. 65, видим, что наиболее удаленный луч, выходящий из точки на оси, пересекает плоскость изображения в точке 6rSi, в то время как наиболее удаленный луч, начинающийся при —brSo, пересекает плоскость изображения на оптической оси. Лучи, выходящие из промежуточных точек, очевидно, пересекут где-нибудь аберрационный диск в плоскости изображения. Это можно интерпретировать как отображение аберрационного диска в плоскости объекта в аберрационный диск в плоскости изображения.

Эти рассуждения приводят к очень важному заключению. Бели начать с плоскости изображения и двигаться в обратном направлении к плоскости объекта, то можно непосредственно получить аберрационный диск в плоскости объекта. Так как сильно увеличивающая линза в прямом направлении является сильно уменьшающей линзой в обратном направлении и обратно, этот подход позволяет рассмотреть предельные случаи ну-

левого и бесконечного увеличений. Это также означает, по крайней мере в принципе, что одна и та же линза может быть использована как для получения увеличенного изображения, так и в качестве уменьшающей в приборах высокого разрешения.

Прежде всего, воспользовавшись соотношениями (4.61) и (4.65), получим

6rsi = M4Cso [^Z^f ^’Yz—tg3y,-,(5.82)

где

С^-МЧ^ [^f = МСГО (tg Yo/tg у,)3(5.83)

есть коэффициент сферической аберрации, связанный с изображением. (Отметим симметрию выражений (5.81) и (5.82).)

Рис. 65. Аберрационный диск в плоскости объекта.

Если двигаться в обратном направлении от плоскости изображения, (5.43) и (5.44) необходимо заменить на

Х^)=Х^^НХ'Ф*^,(5.84)

y(2)=y.g»(z) + y,i/i*(z),(5.85)

где

Xt=X^, X'i = X'(Zi), Yi=Y(zi), Y'i=Y'[Zl) (5.86) с начальными условиями

g*(zi)-— 1, /i*(zz)=0,

(5.87)

5*'(2,)=0, h*'(zt) =— 1, и результат, по аналогии с уравнением (5.79), есть 6rS0=X!*tg3 у;,(5.88)

где «обратный» коэффициент Л]* определяется аналогично (5.68) как

^ = - (4/М) {- 2Qm0 \U (zj-U^ - ^ х

X J (ah^ + bh^h^ + ch^^di— z) = (AjM4) [^^Z^0]1/2 [^*'(z0)]\

(5.89) так как увеличение теперь равно \/М и

A*(z)=A*,(z0)A(z).(5.90)

Используя (4.65) и (5.87), получаем

\h^^y=Vh*'^lh*'^V =

=№[U(Zi) - (/o]2/[t7(zo) - t/o]2,(5.91)

откуда с помощью (5.80) выражение (5.89) преобразуется к виду

Xr=M3CS0[C/(z,) - (/0]3/2/[(/(го) - UQVfl- (5.92)

Сравнивая это выражение с (5.83), имеем

С$г=МЛл(5.93)

Теперь, подставляя уравнение (5.93) ib уравнение (5.88), видим, что наши результаты соответствуют определениям (5.81) и (5.82).

Когда мы движемся в прямом направлении, начав от объекта, конечный наклон луча A(z) будет h' (z,) = hi. С другой стороны, когда мы движемся в обратном направлении, начав от изображения, конечный наклон луча А* (г) будет h*' (г0) =ho*'. Уравнение (4.65) дает

где, согласно (5.42) и (5.87), Ao' = A'(zo) = l и ht*'= h*' (z,) =— 1. Подставляя это в (5.83), получаем

CJCSO=M (ho'lht')3 =М (ho^'/hA')3 =

— I //(г..) —1/0 ]| //(г,

так как

Ыко*' = — 1(5.96)

Вводя обозначение

Fs [h (z) ]=ah4 bh2h'2 + ch'S(5.97)

видим из (5.90) и (5.96), что

Fs ^h* (z) ]=ah*4 +bh*2h*'2 + ch*'4 = (ho*') 4Fs[h (z) ] = Р8Цг (?) Цк,'4.

(5.98)

Тогда для вычисления коэффициентов сферической аберрации в прямом направлении выражение (5.80) с учетом (5.68) и (5.97) можно записать в виде

zt

Cso = - 4{~2Qm0[U (z0) - и0]}~У2 Fs[k(z)]dz. (5.99) zo

Соотношение (5.95) дает

Csi = -4{-2Qm0[U(zi) - t/o]}-1/2^)"4 S Fs[k(z)]dz.zo

(5.100)

Если нужно вычислить аберрационные коэффициенты для движения в обратном направлении, используем (5.93) вместе с (5.89) и (5.98), что дает

Csi = — 4{-2Qm0[U(zi) - Uc])"1^ F^h* (z)]dz. (5.101)

Из (5.95) получаем

zi

С so = — 4 {— 2Qm0 [ U (z0) — L/o]} "*/2 (ko*') ~4 $ FsVh* (z)]dz.

°. (5.102)

Естественно, вычисления для обоих направлений должны давать один и тот же результат, что очевидно из равенства (5.98).

Нулевое и бесконечное увеличение. Теперь мы можем рассмотреть предельные случаи нулевого и бесконечного увеличения. В случае нулевого увеличения удобнее использовать прямое направление. Причина в том, что обычно вычисление коэффициентов аберрации производится одновременно с расчетом луча, так как обе численные процедуры требуют знания одних и тех же осевых распределений поля. Таким образом, в начале вычислений обычно не известно положение фокальной точки до тех пор, пока для ее определения не рассчитана траектория какого-либо отдельного луча. Однако с другой стороны, в этом случае объект расположен на —оо, т. е. невозможно выполнить интегрирование функции Es[/i(z)], соответствующей движению в прямом направлении, которая имеет бесконечные значения всюду внутри линзы. Что же можно сделать в данном случае?

Решением этой дилеммы является использование главного луча r^(z) (рис. 66), введенного в гл. 4. Он идет от объекта,

расположенного на —оо, к передней границе поля линзы (z = a) параллельно оси и пересекает ее в заднем фокусе линзы /7, который в данном случае является изображением. Очевидно,

/1*(з)/г2(г)=йг*7г'21 = —l/r'2(F2), (5.103) таким образом «обратная» аберрационная функция может быть переписана в виде

FsVi* (2) ] = [г'2 (F2) ] -^s[r2 (z) ]. (5.104)

(Напомним, что F2 — аксиальная координата фокуса, в то время как Fs — аберрационная функция.) Подставляя (5.104) при 2о = а и Zi=F2 в формулу (5.101), получаем выражение для коэффициента сферической аберрации, связанного с изображением при нулевом увеличении:

C^M=o) = -4{-2Qmo[t7(F2) - t/0] }“1/2 [^'2 (F2) ] ~4 X

X^PsVAWz. (5.105) а

Теперь задача решена: функция /7 (/2(2)] вычислена в прямом направлении, и интегрирование производится начиная с конечной координаты z = а. Заметим, что результат не зависит от начального смещения г2 (а), так как и числитель (подынтегральное выражение), и знаменатель пропорциональны четвертой степени этой величины.

Соотношение (5.83) дает бесконечно большой коэффициент сферической аберрации, связанный с объектом, при нулевом увеличении

С*зо(Л1=о) оо* (5.106)

Согласно (5.82), диск сферической аберрации имеет конечные размеры в плоскости изображения, но, поделив его радиус на нулевое увеличение, найдем, что, хотя ^0 = 0, аберрационный диск бесконечно велик в плоскости объекта.

Умея вычислять в прямом направлении коэффициент аберрации, связанный с изображением, при нулевом увеличении, разумно (но не обязательно) вычислить также С7, в прямом направлении при малых увеличениях (см. (5.100)). Естественно, при любом конечном увеличении все четыре соотношения (5.99) — (5.102) в равной степени обоснованы.

В случае бесконечного увеличения предпочтительнее обратное направление. Мы не можем начать с бесконечности, так как функция 77[/i*(z)] бесконечно велика всюду внутри линзы. Поэтому будем использовать главный луч n (z) (рис. 67). Он проходит от изображения, расположенного на бесконечности, до границы линзы со стороны изображения (2 = 6) параллельно

оси и пересекает ее в переднем фокусе Ft, который теперь является объектом. Так как

А (2)/и (z),=/i'o/r'io = 1/r'i (Fi),(5.107)

можем записать.

^[А(2)] = [^(Л)]-^$[п(г)].(5.108)

Подставляяэтовыражение при z0 = Fi и г, = Ь в формулу (5.99),

получаем коэффициент сферической аберрации, связанный с объектом, при бесконечном увеличении в виде

Сso=o=— 4{- 2Qm0[U(Ft) — (/о)}-*/= [г', (f,) ] -4 Х

6

X $ Fs[ri(z)]dz. (5.109)

Fi

Функция Fs[ri(z)] вычислена в обратном направлении, и интегрирование производится до конечной координаты z = b. Начальное смещение ri(b) не влияет на результат.

Рис. 66. Нулевое увеличение.Рис. 66. Нулевое увеличение.Рис. 67. Бесконечное увеличение.Рис. 67. Бесконечное увеличение.

Рис. 66. Нулевое увеличение.

Рис. 66. Нулевое увеличение.

Рис. 67. Бесконечное увеличение.

Рис. 67. Бесконечное увеличение.

Из (5.83) получается бесконечно большой коэффициент сферической аберрации, связанный с изображением при бесконечном увеличении

Csi=o —оо. (5.110)

В силу (5.81) диск сферической аберрации конечен в плоскости объекта, но, умножая его радиус на бесконечное увеличение, находим, что, хотя Y/=0, аберрационный диск бесконечно велик в плоскости изображения.

Для конечного увеличения все четыре соотношения (5.99) — (5.102) одинаково справедливы, но при больших увеличениях для вычисления Cso обычно используют метод движения в обратном направлении (см. 5.102)).

Из (5.106) и (5.110) следует, очевидно, что при малых увеличениях Cs0 убывает с ростом абсолютного значения увеличения, в то время как при больших |Л4| величина С st возрастает вместе с абсолютным значением увеличения. Обычно

(но не всегда), эта тенденция сохраняется для всего диапазона значений М, и тогда CSo>CSo=o и С$1>С8цм=о).

Другие способы записи коэффициента сферической аберрации. Подставляя выражения (5.11), (5.26) — (5.28) и (5.68) в (5.80), можно записать коэффициент сферической аберрации, связанный с объектом, в виде

Cso= (1/32) H[^7(2) - и0Щ1Цго) - ^о]}*/2Х zo

Х^'Ч^ - QS2(2)/2m0p/[(7(2) - (70] - (7IV(2) +

+ 2QS(z)S"(2)M}/i4 (2) +

+ [8(7" (2) — 4QS2 (2)/m0] h2 (z) h'2 (z) +

+ 16[(7(г) — (70]/i'4 (2) >c?2/[(7(2) — (70].(5.11)

Сейчас мы покажем, как это выражение может быть преобразовано с помощью интегрирования по частям. Используя тождество U"dz = d(U') и тот факт, что /г(2о) =/i(z,) =0, легко получаем, что

zi

И№)-tA)]/[l7(zo)-(70]}i/2X zo

XB2(z)U"(z)h4z)dz/[U(z) — (70]2 =

= - <{№ - (70]/[(7(20) - (70]}1/2 (7х (г) [(7(2) - (70]-2Х zo

X<4B2^№h'^\2B^B'^ —

— 3S2(z)(7,(2)/2[(7(2) — U^dz. (5.112)

При следующем интегрировании используем вначале Uly,dz — = d(U"'), затем вновь проинтегрируем по частям, используя U'"dz = d(U") и тот факт, что h(2) является решением уравнения параксиальных лучей (4.40) и, следовательно,

Zz"={[QB2(2)/4m0 — (7"(2)/2]/i —

-U'(z)h'}l{2[U(z) -(/„]}.(5.113)

Тогда имеем

И[^Р) -^о]/[(7 ( 20)-(70]}1/2Х го

XU^W^WU^—1]^ = zi

= $ {[(7(2) - (70]/[t7(zo) - (70]}i/2t/"(2)[t/(z) - (70]-2Х

X <{3U'2 (z)/4[tz(z) - t70] - 3U" (z) /2 + QB2 (z) /2m0}/i4 +

+ 12[(7(z) — U0}h2h'2 — BU'^^h^dz. (5.114)

В следующем интеграле начнем с B"dz=d(B'). Получим

И1Щ2)-и0Ши(гоУ- U0]}U2X го

X В (z) В" (z) h4 (z) dz[U (z) — t/0] =

= - ?{R7(z) - (70]/[t7(zo) - ЗД^Х

X«B'2 (z) - В (z) B' (z) U' (z) /2 VU (z) - t/0]} h4 +

+ 4B (z)B'(z)/i3/i'>dz/[t7(z) — [70].(5.115)

Используя h'dz — dh и уравнение (5.113), получим

$ ^U (г) - ими к^ - t/o)]1/2 h’4 (z) dz = го

= -$ VVU^-umu^-v^x

го

X {[3QB2 (z)/8m„-3(7"(z)/4]№h'2-U' (z) Wa\ dz. (5.116)

В процессе интегрирования no частям появились неудобные новые члены. От них можно избавиться повторным интегрированием по частям. Например, мы можем использовать U"dz = = d(JM и получить

J {[(7 (г) - П0]/[П (z0) -1/0]} V2 уг (2) и- (z) h4 (z) dz/VU (z) - U0Y =

2q

zi

= $ {[t/(z)-n0]/[t/(zo)-(/0]}V2x

|5(/'4 (?), 4 W3 (z), 3,, 1 ,(5 117)

X (6[1/(Z) —l/ol4" 3[1/(Z) — U0Vn n p • кйли)

Аналогично, начиная с того же соотношения и используя (5.113) и (5.117), можно доказать, что

zi

J {[И (z) - ими к^ - ^о]}1/2 U' (z) U" (z) № (z)/i'(z) dz/\U kz)-Uoy= го

zi

= -(l/2) J VVU^-UMU^-U^X

Zo

, f QS2 (z) U'» (г)5U'» (г)]_

A\)8m0[l/(z)-l/0p24[(У(г)-1/0р/

5L/'3(z),3,, .3l/'2(z)

3[//(z) —L/Op"+ [l/(z) —I/»]2" " )йг‘ (й-ив)

При следующем интегрировании начнем с B'dz=dB, используем (5.112) и (5.113) и придем к

$ {[(/ (г) - Uда (г„) - ^70]} V2 В (z) В' (г) № (г) h* (г) dz/\U (г) - U.A = Zo

2-

= - (1/2)$ № (г) - ида (zo) - и да X

2о

V/J _QB4z)__ ЗВ2 (z) (Рф I В (z) В' (г) U' (г)( .

АЦ8т0Ш(г)-1/01 "8[L/(z)-L/op2[l/(z)-l/0]

+ ЗВ2 (z) hW^dz/YU (г) - ^0].(5.119)

Окончательно, используя h'dz = dh и (5.113), получаем г;

$ {[t/ (г) - ^0]/[1/ (г,) - (/„]} V2 U' (z) h (г) h'» (z) dz/\U (г) -1/0] = Zo

= - (1/2) У {[/7 (г) - и да ^ - ^70]} V2 X

, / QB4z)U'^ Ц'^иЧгИ ,A^4m0[L/(z)-L/0]2[(У(г)-С/0] f +

+ {u" ^-^пдаи^У13-'^ dz№ <г) - ^o] •(5-120)

Подставляя (5.112) и (5.114) — (5.120) в формулу (5.111) и затем используя снова (5.112), получим выражение для коэффициента сферической аберрации, впервые выведенное О. Шерцером [142]:

Г -1 С Г£l£ki£o. 11/2 h^az I,,,„2 .5U'4Z)

G”-~16j Lt/(z0)-t/o] [i/(z)-l/ol2 Г v ) ^"1"24[L/(Z)-L/Op"h

Zo

+3^^T-3^Jr^lu^-^'^+

+ 3Q=Si ШЭД + Шда^^1^+ SQB^BW'kzVm»-

35QS2 (z) Ц,г (z) 2QB» (z) W (z) h’ ]i

ных линз и последние три, если присутствуют и электростатическое, и магнитное поля. Заметим, что для чисто магнитного- поля коэффициент аберрации для релятивистских скоростей имеет ту же форму, что и при замене электростатического потенциала релятивистским потенциалом (см. (2.89)).

Выражение (5.121) не содержит неудобных производных высших порядков от осевых распределений потенциала и магнитной индукции; (поэтому оно наиболее часто используется на практике для вычисления коэффициента сферической аберрации. Формулы (5.99)—(5.102) позволяют достаточно просто вычислять коэффициенты, связанные с объектом или изображением, как в прямом, так и в обратном направлении.

В особых обстоятельствах может оказаться необходимым преобразование этого выражения к другому виду, например к выражению, не содержащему к', и т. п. Как было показано, это можно всегда сделать, если терпеливо применять сложное интегрирование по частям до тех пор, пока мы не придем к желаемому виду. Однако подчас эта задача просто внушает страх своей сложностью. Поэтому полезно знать о существовании другого, более общего и простого подхода, требующего, однако, некоторой математической интуиции [144]. Метод основан на внимательном исследо(вании аберрационного интеграла, в результате которого формируются производные различных комбинаций переменных. Эти производные умножаются на произвольные постоянные и прибавляются к подынтегральному выражению. Подбирая определенные значения постоянных, можно преобразовать аберрационный интеграл в различные формы без каких-либо трудоемких вычислений. Мы продемонстрируем этот метод, начав с выражения (5.111).

Нам будут нужны следующие десять производных (в первых пяти из них используется уравнение (5.113)):

^<U k^-UMP к*») - ^о]}1'2 hh-Ъ =

= {[I/ (Z) - ими к^ - W/2 X + XXjх

X \QB2 k^lk^ - U" (г)] - ^^^ , (5.122) ^ <{[W (z) - (70]/^ (z0) -t70]} V (г) W\U (г) - (70]> = = RU к?)- UMU к2») ~ ^о]} ^2 CS™U^ WWmMU" (?)]+ + №N ?^ (z) - U^ u” ^-^ Wl+ ^X) ’ <5‘ 123> ■£<{№)- UMU (z0) - ^70]} U" kz) kW/[U kz) -17O]> -

- ([У (2) - и.№ (2.) - У.]) ■'’ (jj^j [QB’ (2)/(2m.) - и- (z)] + +Т77(^р Uy И -UAW" (2) - О" (2) U- (2Ц 4 3-^У^) , (5.124)

£ <U (z) - UMU (z<>) - f^o]}1/2 YU (?) - (7o] “2 U'2 (z) №h'> =

= ^U (z) -l/0]/[(7 (z0) - U^U2 (ц^^ lQB4zWm0MU'' (z)] +

2 ( U'^ u”^ и'4^зи2МУ№. ,= 19nx

^ <YVU (z) - t/0]/[(7 (z0) - t/0]} v= 52 (z) h»h'l\U (z) -{/„]> =

MWvuMutovuAV'2<tY(r^^

, /2S(z)S'(z)S2(z)(y'(zH ,, 352 (Z) ^2 x

+l/0 YU^-UM U^-Ue

^<VYU (Z) - tzo]/[t/ (z0) - UM12 U"' (z) h4M (z)-l/0J> =

= №№-u.W(2.)-u.w^Y^Mu. - "M-u^h‘+

*w^n-?*h'Y <5127)

d4 (([(/ (2) _ cj/tu (z„> _ u.])!/, ^S4^ ^ -

-{[QM-Q.Wfz.f-Q.])-'^;^1^^^2-

_ 30-(2) u-*\ «лищя x 2[(/(z) — t/op+ YU (z) — ^o]2 Г Vх120/

^ ([^ w - QJ/tQ (2.) - У.11 ynM# h") ”

= |[U (2)-и0]/[У (20)-C/,])«’ (I ^§M -

-2Т77й1^}'-‘ + П77^р'‘,'‘').<5-l29)

д ({[У (2) - U.W (2,)-U„]) ■/■ ^^и*, б1) -

- {[U (2) - У.]/[У (20)-У.])« ^x^iL=3^s.+^<aiya_

2[(/(z) —1/0]3( nYU ^ — UoY3/'

4 ({[У (2) - У,]/[У (2.)- у,]}^а ^=

= {[и(2)-У,]/[У(2„)-у0])«.({=а^2+а!<1>_

^ (Z) ^' (Z) ^'(г) I А 4 I ^S (Z) ' (г) АЗА ' \/ К I Q 1 1 2[(7(z) — 1/0]2 /" + U ^-иЛ ‘

Умножим соотношения (5.122) — (5.131) на постоянные кХ) кг, .... кХо соответственно и прибавим их к (5.111) в форме к;Х (правая часть минус левая часть) =0, где /=1, 2, . .., 10 (равенства (5.126), (5.130) и (5.131) умножаются еще на Q/m0). При интегрировании все производные в левой части исчезают, так как h^z0^ = h.(zi') =0. В результате получим

2-

гогоUW (г)UW (г)[(7 (г) — г/0]2l‘1,1T'Vl,TU(z)-U?I ^' И ^ "(Z) / А /О | Ь 1^ U 4 (z) А г 4(7(г) —(70ряб/^-Г«712[(/(г) — 1/„р 8[(7 (г) — г/0]2l‘1,1T'Vl,TU(z)-U?I ^' И ^ "(Z) / А /О | Ь 1^ U 4 (z) А г 4(7(г) —(70ряб/^-Г«712[(/(г) — 1/„р 8С,о = (1/32) $ {[Щг)-^]/^)-^]}1/^

го

го

UW (г)

UW (г)

[(7 (г) — г/0]2l‘1,1T'Vl,TU(z)-U?

I ^' И ^ "(Z) / А /О | Ь 1^ U 4 (z) А г 4(7(г) —(70ряб/^-Г«712[(/(г) — 1/„р 8

[(7 (г) — г/0]2l‘1,1T'Vl,TU(z)-U?

I ^' И ^ "(Z) / А /О | Ь 1^ U 4 (z) А г 4(7(г) —(70ряб/^-Г«712[(/(г) — 1/„р 8

QB'2 (z)molU (z) —(70]QB'2 (z)molU (z) —(70]m0 I О \z)—m0 I О \z)—п , а /ох ,QS(z)S"(2) ,q , х , 4mg[t/ (г)—t/ol2+ m0\.U ^-UqA^2+ к10> +

QB'2 (z)molU (z) —(70]

QB'2 (z)molU (z) —(70]

m0 I О \z)—

m0 I О \z)—

I Q^2 (z) ^2 (z) /а м q a x । ^B ^ B ^ ^ ^ (^h k ' h4 '

| [(7 (z)-(/0]2 i R»IZ Ra^ ZR4 VR-1V\U U-!-U^V r4^zrs) +

I ^ '^ /А i л A \ : 2QB (z) В (z) ,^ i[

+ (/(z)-(701 2R10>

I u^Ss (8 - 3 V + 6. + 3t,[^"1*,,1,/2 + ti 4

+fei + 2fe2) hh'3 + (16 + W4> dz. (5.132)

С/ (Z) — U Q

Естественно, это выражение сводится к (5.111) при 6i = 62 = = ... = 6ю = 0. Для того чтобы получить иное выражение, необходимо решить, какие из 21 члена должны исчезнуть, и приравнять их коэффициенты к нулю. Если количество опускаемых членов выбрано правильно, то коэффициенты 6Ь 62, ..., кщ будут определены однозначно. Например, замечаем, что выражение (5.121) содержит только десять слагаемых. Если мы положим коэффициенты других 11 членов (5.132) равными нулю,

то получим систему 11 очень простых алгебраических уравнений, одно из которых — избыточное. Ее решение дает следующие десять коэффициентов:

ki =—16, &2=—8, кз ——4, &4 =—5, ^5 = 4,66=1, ^7=1/2, к& =—1/6, £9=5/2, кхо=—2.

(5.133)

Подставляя эти коэффициенты в (5.132), действительно приходим к (5.121).

В особых условиях бывают полезны другие способы записи. Например, если отсутствует электростатическое поле, формула (5.132) содержит всего шесть членов, в которых, однако, встречаются только три коэффициента ^ki, кз и кю). Если подходящим образом убрать три слагаемых, то можно определить эти коэффициенты. Потребуем, чтобы остались лишь члены, содержащие /г4. Имеем тогда

^ = —16, ^5 = 10/3, йю=—5/3,(5.134)

и оставшиеся слагаемые образуют следующее выражение для коэффициента сферической аберрации магнитной линзы:

С50х5S'2 (г) + 5 (?) В" (z) 1 И1 dz.

50 96m0(U — U0)iet J [т0((У—(У0)ге1 v 7 v 7 Zo

(5.135)

Здесь используется релятивистский потенциал (2.89). Это выражение очень удобно для поиска распределений магнитной индукции, дающих низкую сферическую аберрацию (см. разд. 8.2.3).

Как было показано, вывод различных форм коэффициентов аберрации является скучной и утомительной работой. Все отдельные операции вычислений элементарны, но объекты операций очень громоздки. Это типичная компьютерная задача. Действительно, компьютеры способны выполнять алгебраические преобразования, интегрирование по частям и другие элементарные операции де только численно, но также и в символьной форме. Когда требуется вычислить релятивистский коэффициент или коэффициент аберрации высшего порядка, естественно использовать для этого компьютер. В случае нетрадиционных линз это даже более удобно [146] (мультиполи, высокочастотные поля, линзы с необычной симметрией), так же как и в случае сложных линзовых систем, детекторов и других элементов электронной оптики.

Теорема Шерцера. Воспользуемся еще раз уравнением (5.132), чтобы доказать одну из наиболее важных теорем электронной и ионной оптики. Выберем произвольные коэффициенты так, чтобы исчезали 2-й, 4-й, 7-й, 9-й, 14-й, 17-й, 20-й и 24-й члены уравнения. Это дает семь независимых уравнений для десяти коэффициентов. Выберем оставшиеся три коэффициента так, чтобы получить следующий выбор:

кх=— 16, кг8, кз=— 4, к4=— 5/2, 65=2,

(5.136)

66 = 1, *7 = 1/2, к6=—13/8, *9 = 2- кю = — 2.

Подставляя эти коэффициенты в (5.132), получим

zi

Cso= (1/32) $ {[t/(z) - 170]/[17(zo) - t/oD^x zo

/I 5U”(zy5U’2(z)U"(z)65U'(z)Q2S4(z)

X\ (2[(У(г)-(У0р [ty (z) —t/0P + 16[//(z)-//0]4 + 2m2[//(z)-//0]

_ _^21£L__ 3QS2(z) U'2(Zy 5QS(z)S'(z) U'(zy ( . 4m0VU^-UQ\ \&mB[U (zy—U0\2' m0VU (Zy-U0V P V,15l£3z)J:^__2U24^_4QB3z)_B4^ _4QB4zH£^\^XVU^-UoV 2[U(z)-UB]2 mtt\U^-Ue\rm6YU<zy-U6\2V

I 191/ 2 (z)4QB2 (z)| h2h’2 \dz 15 1 371

+ \2 [t7 (z) — t/0]2 tnQ\U)dZ’ (5‘137)

которое можно переписать в следующем виде:

Сю = (1/16) $ {[17 (Z)-t/0]/[t/ (Zo) - U^ х

Zo

[i/(z)-i0l2 {^[i/(z)-i0l2 {^U'^zy h' U-Mzy I2

[i/(z)-i0l2 {^

[i/(z)-i0l2 {^

U(zy-Uoh [U(zy — UB]2y

W (z)(2 Ц'Цгу

QB2^ U'4zy32/п0[(У(г)-(У0]3QB2^ U'4zy32/п0[(У(г)-(У0]3^h4dz.^h4dz.(5.138)(5.138)8 [1/(z) —L/o] |64 [1/(z) —170]4

QB2^ U'4zy32/п0[(У(г)-(У0]3

QB2^ U'4zy32/п0[(У(г)-(У0]3

^h4dz.

^h4dz.

(5.138)

(5.138)

Проанализируем полученное выражение. Так как Q/VU (z) — —17о] всегда отрицательно, легко видеть, что Cso никогда не может быть отрицательной величиной. Это утверждение и является теоремой Шерцера [142].

Каковы применения этой теоремы? Так как коэффициент сферической аберрации зависит от электростатического потенциала и распределения магнитной индукции, невозможно найти другое аксиально-симметричное распределение с аналогичными свойствами (отсутствие пространственного заряда, непрерывность распределений аксиального поля, стационарные поля), которое компенсировало бы сферическую аберрацию данного распределения. Компенсация сферической аберрации возможна только при использовании других видов симметрий или некоторых упомянутых выше соображений, опущенных при рассмотрении условий формирования изображения аксиально-симметричными линзами [147].

Так как невозможно скомпенсировать сферическую аберрацию и, кроме того, она не зависит от положения точки объекта в плоскости объектов (это утверждение справедливо, даже если точечный объект расположен на оси), то сферическая аберрация является наиболее важной из всех геометрических аберраций. Она является одним из основных факторов, ограничивающих разрешение электронных микроскопов, так же как и размер электронного и ионного зондов. Естественно, что ее уменьшение являлось одной из наиболее важных задач электронной и ионной оптики с самых ранних дней ее существования.

Важно отметить, что теорема Шерцера не утверждает, что коэффициент сферической аберрации всегда положителен. Сумма квадратичных членов неотрицательна, но всегда существует возможность, что она равна нулю. Будет ли она действительно равна нулю или нет — весьма спорная проблема, к которой мы вернемся ниже. Однако несомненно, что уменьшение сферической и других аберраций путем соответствующего выбора полей, формирующих изображение, в пределах практически реализуемых значений является основной задачей, решения которой необходимо добиваться. Это будет предметом обсуждения гл. 9.

Диск минимального рассеяния. Как следствие теоремы Шерцера и уравнения (5.79), удаленный луч всегда пересекает оптическую ось ближе к объекту, чем параксиальный (см. рис. 64). Рассмотрим различные лучи, пересекающие оптическую ось в непосредственной близости от гауссовой плоскости изображения z=zt (рис. 68). Для простоты аппроксимируем все лучи в этой области прямыми линиями [20], как если бы мы заинтересовались только их асимптотическим поведением. Это можно показать в грубом приближении, но при этом необходимо также предполагать постоянное распределение плотности тока в пучке, что сводит на нет любые дальнейшие изыскания с учетом реального хода лучей.

Согласно вышеуказанным условиям, учитывая уравнения (5.43), (5.76) и (5.80), предполагая Уо/ = 0 и используя затем уравнения (4.65) и (5.42), можно записать уравнение главного луча как функцию осевой координаты z в следующем виде:

X (z) + 6Х (z) ~MCS0X0'a — Xo'h' (z{) (Zi — z) =

=MCS0X0'3 — [ХОЧ^ — z)/M] [(t7(z0) —

- Uo)/(U(z.) -77O)]V2.(5Л39)

Для граничного луча необходимо заменить Хо' на tg ^о [X (z) + 6Х (z)]out ~ MCS0 tga7 - (^-^ [[ГЙ)^]1/2 ‘ (5‘140)

Рис. 68. Диск минимального рассеяния.

Этот луч пересекает ось в точке z = z^o^, определяемой из условия

г — г^= M*CSO tg^vo Г у ^iZ^V72 = ^z fg2 ^. (5-141) I. U \Zo) J

где использованы уравнения (4.65) и (5.83). Тогда координату z(Xo') точки пересечения главного луча с оптической осью можно записать как

zz - z(Xo') = (X0'2/tg2 То) [Zi - z(To)L (5.142)

Так как по определению Хо'^tg 7о, главный луч пересекает ось в точке, которая всегда ближе к гауссовой плоскости, чем точка пересечения граничного луча.

Продолжим поиск минимального поперечного сечения пучка. Оно будет определяться пересечением граничного луча с каустической поверхностью, где максимальное радиальное смещение различных лучей наименьшее (диск минимального рассеяния).

Приравнивая уравнения (5.139) и (5.140), находим осевую координату, при которой главный луч пересекает граничный луч:

zz—z = M2Cs0zz—z = M2Cs0tg3Y0-^3 Г U^-U9 I 1/2 tg Y0-X; lt/(zo)-t/0]

zz—z = M2Cs0

zz—z = M2Cs0

(5.143)(5.143)= мса (tg*To + x' tg To+x-) [ g^Z^]1/2.

(5.143)

(5.143)

Смещение обоих лучей в этой точке равно

X (z) +6Х (z) = [X (z) + 6Х (z) ] out =

= — MCsoX'otg'YotX'o + tg'Yo).(5.144)

Как видно на рис. 68, существуют четыре точки пересечения, две из которых имеют положительные и различные по значению смещения и еще две с другой стороны оси г с теми же абсолютными значениями и зависят от начального знака исходных наклонов. Также можно видеть, что абсолютные значения координат точек пересечения вблизи гауссовой плоскости меньше, чем абсолютные значения координат точек пересечения вблизи плоскости объекта. Меньшие значения координат точек пересечения соответствуют разным знакам Хо' и tg ^о. Эти точки определяют плоскость минимального рассеяния для значения Хо' = (Xo')opt, при котором смещение имеет максимальное значение. Для большей ясности на рис. 68 показан только этот «предельный главный луч», но читатель может легко убедиться сам, что все другие главные лучи действительно лежат внутри каустической поверхности.

Максимальное абсолютное значение |X(z) + 6X(z) |max смещения, наблюдающегося при осевой (координате z=zOpt, определяется как

(X'0)0pt = -(tgf0)/2.(X'0)0pt = -(tgf0)/2.(5.145)(5.145)

(X'0)0pt = -(tgf0)/2.

(X'0)0pt = -(tgf0)/2.

(5.145)

(5.145)

Подставляя это значение в (5.144) и (5.143) и используя (5.79) и (5.141), получим

IX (z) + 6Х (z) I max = | MCso tg3 fo |/4 = | 6rsi | /4,(5.146)

(5.147)(5.147)2; — Zopt = (3/4) [Z; — Z ^о) ]

(5.147)

(5.147)

соответственно. Диск минимального рассеяния расположен в трех четвертях расстояния точки пересечения граничных лучей от плоскости и имеет радиус в четыре раза меньше, чем аберрационный диск в плоскости изображения. Поэтому естественно в зондовых системах поместить мишень в плоскости наименьшего рассеяния, где размеры зонда намного меньше, чем в гауссовой плоскости.

Интересно отметить, что подстановка уравнения (5.145) в (5.142) дает для координаты пересечения предельного главного луча с осью

Zt — z[(A'/o)opt] = [2z — 2(^о)]/4.(5.148)

Очевидно, что диск минимального рассеяния может быть аналогично введен и в пространстве объектов. Его радиус оказывается в четыре раза меньше, чем радиус аберрационного диска в пространстве объектов.

В случае нулевого увеличения для определения радиуса диска минимального рассеяния необходимо использовать уравнения (5.82) и (5.146). Для бесконечного увеличения может быть использован только диск в пространстве объектов.

Астигматизм

Теперь рассмотрим случай, когда ненулевым коэффициентом является только Л2 в уравнениях (5.65) и (5.66). Тогда имеем

6X(zz) =2A2(X2oX'o + XoYoY'o),

(5.149)

6У (z,) =2Л2 (XoYoX'o + YSoY'o) .

6Х (zz) и 6 У (г,) связаны между собой линейно:

бУ(2;) = (Уо/Хо)бХ(2г).(5.150)

Это означает, что если мы имеем конус частиц, покидающих точку объекта с координатами Хо, Yo при различных углах ^о, определяемых значениями Хо' и Yo' и ограничиваемых уравнением (5.78), то разные частицы будут пересекать гауссову плоскость вдоль прямой линии в радиальном направлении: эта линия и является фигурой аберрации. Если точка предмета расположена в меридиональной плоскости Xz (Уо = 0), то эта линия параллельна оси X (6Уо = 0). Линия продолжается в обоих направлениях от гауссовой точки изображения, соответствующей Хо'=Уо' = 0. Длина линии пропорциональна tg^o и квадрату расстояния между точкой объекта и оптической осью. Эта аберрация называется астигматизмом. Очевидно, что астигматизм (подобно всем другим геометрическим аберрациям, исключая сферическую) отсутствует, если объект расположен на оптической оси.

Можно показать [16], что астигматический пучок, идущий из конуса, как описано выше, имеет эллиптическое поперечное сечение. Эллипс вырождается в две прямые линии в двух плоскостях, образуя взаимно перпендикулярные меридиональные и сагиттальные изображения соответственно. Между ними суще-

ствует круговое изображение. В специальном случае, когда обе линии и круг совмещаются в одной точке, мы говорим о стигматическом изображении (взаимно однозначное соответствие между точкой объекта и точкой изображения). Этот случай реализуется в параксиальном приближении. Однако отклонения от осевой симметрии, вызванные дефектами изготовления или неоднородностями материала, создают астигматизм даже для параксиальных лучей (см. разд. 5.6.4).

Наконец, отметим, что в некоторых учебниках [9, 36] определение астигматизма отличается от определения, данного здесь.

Коэффициент астигматизма определяется уравнением (5.69). Заметим, что, за исключением последнего члена, это уравнение совпадает с уравнением (5.68), если в последнем /г4 заменить на g2h2, h2h'2 заменить на gg'hh' и h'4 заменить на g'2h'2. Выполнив эти преобразования и введя дополнительный член, получаем из уравнений (5.80) и (5.111)

U™ (z)u^-uttU™ (z)u^-utt42 = (М/32) $ WU^-UMU^-U^X zo

U™ (z)u^-utt

U™ (z)u^-utt

/)с/"4г) QB» (г) U" (г) Q»B4 U^

х\\Хи^-ий\г ma[U(z)-U^^ W0[U ^-Uti?

gg'hh' + ^dz. (5.151)gg'hh' + ^dz. (5.151)2QB(z)B"(z) | г,г , 4 | 2У"(г) QB»^ (tn9\U^-lj0V^ \U^-U0 m»YU^-U0\ j

gg'hh' + ^dz. (5.151)

gg'hh' + ^dz. (5.151)

,i 2Q 1U(zo) — U0]B2(z)

°m»\U ^-U^V

Можно исключить член, содержащий четвертую производную потенциала, проинтегрировав его по частям. Процедура аналогична той, что применена для производной уравнения (5.114). Однако для сохранения симметрии формы коэффициентов аберраций разных типов целесообразно сохранить именно эту форму записи.

Кривизна поля

Если оставить только один коэффициент А3, то уравнения (5.65) и (5.66) дают

бХ^=А3Х'о(Х2о+¥2о),

(5.152)

бУ^^ЛзУ'о^о + У2,,).

Это уравнение окружности радиусом

6г;=Лз(Х2о + У2о) (Х/2 + Уо/2)1/2<Лз(Х2о+У2о)1ё>

(5.153)

Таким образом, в этом случае фигура аберрации — круг с центром в точке гауссова изображения. Его радиус пропорционален tg^o и квадрату расстояния от точки предмета до оптической оси.

Можно показать [16], что при этом типе аберрации плоскость предмета точно отображается на искривленную поверхность, касающуюся гауссовой плоскости в точке изображения первого порядка. Отсюда название этой аберрации — кривизна поля. Эта аберрация может быть полностью компенсирована, если вместо плоского используется слегка искривленный экран или мишень. Аналогично искривленная поверхность объекта может давать гауссову плоскость, как плоскость идеального изображения. Поверхность может быть как выпуклой, так и вогнутой в зависимости от коэффициента кривизны поля.

Кривизна поля играет важную роль в конструировании отклоняющих систем. Ее коэффициент определяется уравнением (5.70). Сравнивая уравнения (5.69) и (5.70), видим, что Л3 можно получить из уравнения (5.69), заменяя в нем ^gg'hh' на 2 (g2h'2 -Vg,2h2') и умножая последний на —2. Соответственно преобразуем уравнение (5.151), чтобы получить

zt

43 = (М/32) $ ^и^-ида^-и^х го

', / I U"2 (z) О В2 (г) U" (г) Q2B4 (г)

Х \\[t/(z)-t/op m0[U (г)-1/ор + 4т2[У (z)-t/0]2

C'v(z) 2Q5(z)5"(z) ( i о J 2С" (г) QB2^ ( (7(z)-(70^m0[(7(z)-(70]f И 'Z'\U(z)-Ull m0[U (z)-U0] ( А x№gW ^g'2h'2~4Q ^)dz. (5.154)

Заметим, что в случае астигматизма длина линии аберрации пропорциональна тем же величинам, что и радиус аберрационного круга в случае кривизны поля. Таким образом, эти две аберрации очень похожи друг на друга. Если обе они присутствуют одновременно, то фигурой аберрации является эллипс. Существуют две искривленные поверхности (меридиональная и сагиттальная поверхности изображения), вдоль которых изображение точечного объекта вырождается в две взаимно перпендикулярные линии. Где-то между этими двумя поверхностями находится третья поверхность, на которой «изображение» явля-

ется окружностью. Но ни линии, ни окружность не находятся на гауссовой плоскости.

Разность между коэффициентами Л2 и Л3 называется коэффициентом Петцваля. Используя уравнение (5.67), из уравнений (5.151) и (5.154) имеем

Л-А3=(М/8) H[t/(z) -t/o]3[t7(Zo) -t/olk^X zo

X{2Q[W(z0) — t/0]S2(z)//n0 — [£7(zo) — UolU"(z^dz.

(5.155)

Как видим, коэффициент Петцваля не зависит ни от луча g, ни от луча h. Для системы, у которой отсутствует астигматизм, коэффициент Петцваля пропорционален кривизне поверхности, на которой изображение является резким [16]. Если с помощью подходящего выбора полей, формирующих изображение, сделать коэффициент Петцваля равным нулю, тогда А2 = Л3 и на плоской поверхности образуется резкое изображение.

Дисторсия

Если оставить только коэффициент Л4, то из уравнений (5.65) и (5.66) имеем

6ОД=Л4Хо№,+ У2о),

(5.156)

6У(21)=А4Уо(Х2о+У2о).

Так как эта аберрация не зависит ни от Хо', ни от Уо', она имеет место даже в случае бесконечно узкого пучка, нарушая линейное соотношение между объектом и изображением (дисторсия). Однако для данной точки объекта изображение остается точкой (стигматическое изображение), таким образом, -фигура аберрации в этом случае является точкой. Точка изображения не расплывается, а только смещается от гауссовой точки на расстояние

6г,=А4(^2о + У2о)3/2-(5.157)

(Будьте внимательны: здесь 6г, не является радиусом круга.) Смещение происходит в радиальном направлении и пропорционально кубу расстояния между точкой предмета и оптической осью.

Очевидно, что дисторсия наиболее существенна в случае проекторов и дефлекторов, когда луч может находиться далеко от оптической оси. Это можно компенсировать выбором подходящим образом искривленной поверхности, на которой формируется изображение.

Существуют два вида дисторсии в зависимости от знака коэффициента Л4. Так как увеличение отрицательно, положительная аберрация уменьшает расстояние между точкой изображения и осью. Таким образом, положительный коэффициент Л4 приводит к бочкообразной дисторсии (рис. 69), в то время как в случае Л4<0 имеет место подушкообразная дисторсия (рис. 70).

Коэффициент дисторсии определяется уравнением (5.71). Из сравнения уравнений (5.70) и (5.71) видно, что вычислить Л4 можно, заменяя g2h2 на g3h, (g2h'2+g'2h2) на gg' (gh'+g'h),

Рис. 69. Бочкообразная дисторсия.Рис. 69. Бочкообразная дисторсия.Рис. 70. Подушкообразная дисторсия.Рис. 70. Подушкообразная дисторсия.

Рис. 69. Бочкообразная дисторсия.

Рис. 69. Бочкообразная дисторсия.

Рис. 70. Подушкообразная дисторсия.

Рис. 70. Подушкообразная дисторсия.

g'2h'2 на g'3h' и опуская последний член в уравнении (5.70). Осуществляя эти преобразования в уравнении (5.154), получим

Д4 = (М/32) $ kVU^-U^U^-U^x го

/ J U"2_ QB2(z) (7" (Z) , __0^ВЧг)(г)

\П7/(г)-[70р m»\U4m?0\U ^-U9V U^-U^

2QB (г) В" (z) 1 3.9 | 2^" (z) QB^z)

\ U ^-Uti mo[t/(z)-t/o]J А

Xgg4§h' + g'h)+ l^g'^dz. (5.158)

Кома

Следующим коэффициентом является Л5. Из уравнений (5.65) и (5.66) имеем

8X(Zi) = Л 5 [Хо (Хо'2 + У/2) + 2Х/ (ХоХо' + УоК/) ],

(5.159)

6У(2.) = А5[УО(ХО'2 + УО'2) +2У/(ЫоЧУоУо/)].

Из этого следует, что

L6X(z,) -2А5Хо(Хо'2+¥о'2)Р +

+ [бУ(2е) -2А5Уо(Хо/2 + У/2)]2 =

= [Л5 (Хо2 + Уо2) '/2 (Хо'2 + У/2) ]2 = Г2СОта.(5.160)

Это уравнение окружности радиусом гСОта и центром в точке с переменными координатами

Xc = X. + 2A5Xo(Xo'2 + Yo'2),

(5.161)

Ус = У( + 2А5Уо (Xo,2 + Yo'2V

Центр смещен в радиальном направлении от гауссовой точки изображения на расстояние 2гСОта.

Рнс 71 Кома

Таким образом, для конуса лучей, образованного частицами, выходящими из точки объекта Хо, Yo, фигурой аберрации является набор окружностей. Их центры расположены вдоль прямой линии, простирающейся от гауссовой точки в радиальном направлении. Так как расстояния между центрами окружностей и гауссовой точкой равны их диаметрам, то окружности ограничены двумя прямыми линиями с углом 60° между ними. Фигура аберрации выглядит как комета (рис. 71), отсюда происходит и название кома. Заметим, что, поскольку увеличение отрицательно, рис. 71 соответствует отрицательному значению коэффициента А5.

Радиус наибольшей окружности дается как

^сота = Л5 (Хо2 + Уо2) V2 tg2 То>(5.162)

который пропорционален расстоянию от точки объекта до оси и квадрату угла аксептанса пучка. Очевидно, что самой яркой точкой фигуры аберрации является ее вершина.

Коэффициент Л5 дается уравнением (5.72). Он может быть легко выведен из уравнения (5.71), если g н h поменять местами. Тогда из уравнения (5.158) имеем

46 = (М/32) $ {[t/(2)-t/0]/[t/(zo)-t/0]}i/^x zo

U"»^ QB* (z) U" (z) .Q2B4(z)i/!V(z)

X 'WW-^ol2 mo[t/(2)-t/ol2+ 4m2[t/(z)-t/0]2[/(г)-Ц0 +

, 2QB(z)B"(z) I . з , о J 2^(z) QB4z) ) v m0[l/(z)-l/0] fm0 [t/ (z) —1/0] ( A

Xhh' (gh' + g'h) + \6g'h'aX)dz. (5.163)

Анизотропные аберрации

Пока мы рассмотрели пять различных типов геометрических аберраций: сферическую аберрацию, астигматизм, кривизну поля, дисторсию и кому. Фигуры аберраций — это окружности, прямые линии или точки, и они всегда ориентированы (или смещены) в радиальном направлении. Эти электронные/ионные оптические аберрации являются аналогами геометрических аберраций световой оптики.

Коэффициенты аберрации являются сложными функциями осевого потенциала и распределений магнитной индукции, так же как и лучи g и К, определенные граничными условиями уравнения (5.42). Полное исследование уравнений (5.111), (5.151), (5.154), (5.158) и (5.163) совместно с уравнением параксиальных лучей (4.40), решения которых появляются в коэффициентах аберрации, демонстрирует следующие свойства:

Аберрации чисто электростатических линз не зависят от отношения заряда частицы к ее массе. Изменение знака электростатического потенциала также не влияет на аберрации. Заметим также, что электростатический потенциал в магнитных членах всегда появляется вместе с зарядом; таким образом, в случае изменения знака электростатического потенциала значение коэффициентов аберрации остается неизменным.

Магнитная индукция и ее производные всегда появляются в комбинациях четных степеней. Таким образом, изменение в направлении или знаке магнитного поля не влияет на аберрации.

Если теперь посмотреть на оставшиеся три коэффициента (уравнения (5.73)— (5.75)), то можно заметить, что их свойства существенно отличаются. Во-первых, эти коэффициенты содержат только функции d и в, и, как показывают уравнения (5.29) и (5.30), эти функции появляются только тогда, когда присутствует магнитное поле. (Естественно, это не означает, что электростатическое поле должно отсутствовать. Таким образом, ошибочно в этих коэффициентах автоматически рассматривать электростатический потенциал как постоянную.)

Заметим также, что в уравнениях (5.29) и (5.30) магнитная индукция и ее вторая производная появляются только в нечетных степенях-. Таким образом, изменение направления или знака магнитного поля будет вызывать изменение знака этих коэффициентов. То же происходит и при изменении знака заряда. Это свойство находится в полном соответствии с анизотропной природой электронно-оптического коэффициента преломления в магнитных полях (разд. 2.6). Действительно, если направление магнитного поля изменить на противоположное, то частицы будут вращаться в противоположном направлении и траектория станет необратимой. Поэтому эти аберрации называются анизотропными. Они не имеют аналога в световой геометрической оптике.

Ниже будет показано, что анизотропные фигуры аберрации всегда связаны с отклонением в азимутальном направлении, вызванным магнитным полем.

Анизотропный астигматизм. Прежде всего рассмотрим случай, когда в уравнениях (5.65) и (5.66) ненулевым коэффициентом является только А6. Тогда имеем

6Х (2i) = А6 [— 2XoYoXo'+ (Хо2 — Уо2) Го'],

(5.164)

bY (zi) =А6ЦХО2 - Yo2)Xo'+2XoYoYo'].

Это дает окружность радиуса

6rt= А6 (Хо= + Уо2) (Хо'2 + У/2) 1/2^А6 (Хо2 + yo2)tg Чо.

(5.165)

Поэтому фигурой аберрации в этом случае является круг с центром в гауссовой точке изображения. Его радиус пропорционален tg^o и квадрату расстояния от оптической оси до точки объекта.

Эта аберрация называется анизотропным астигматизмом. Однако заметим, что уравнения (5.153) и (5.165) отличаются друг от друга только коэффициентами, поэтому анизотропный астигматизм определяется кривизной поля, а не астигматизмом.

Различие между кривизной поля и анизотропным астигматизмом проявляется не в фигуре аберрации, а в пути, по которому лучи подходят к этой фигуре: в уравнении (5.152) нет смешанных членов, но в уравнении (5.164) как 6X(z;), так и 6У(z.) зависят как от XJ, так и от Чо', из чего следует, что лучи будут отклоняться. Очевидно, анизотропный астигматизм (так же как и другие две анизотропные геометрические аберрации) отсутствует, если объект расположен на оптической оси.

Коэффициент анизотропного астигматизма определяется уравнением (5.73). Подставляя функции d и е из уравнений (5.29) и (5.30) соответственно, получаем

Д6=(9М/8) $ ^QmolU^-U^-^X

Фигуры аберрации астигматизма, кривизны поля и анизотропного астигматизма полностью характеризуются одинаковыми величинами: квадратом расстояния от оси до точечного объекта и половинным углом аксептанса пучка. Таким образом, по существу эти три аберрации могут рассматриваться вместе. Если все из них присутствуют одновременно, фигура аберрации становится эллипсом с произвольной ориентацией.

Анизотропная дисторсия. Оставим теперь только коэффициент Ат. Тогда из уравнений (5.65) и (5.66) имеем

6Х(2/)=-Д7Уо(Хо2 + Уо2),

(5.167) 6У(2,)=Д7ХО(ХО2 + УО2).

Эта аберрация называется анизотропной дисторсией. Подобно дисторсии, она не зависит ни от XJ, ни от Уо'. Таким образом, она имеет место даже для бесконечно узкого пучка, разрушая линейную связь между объектом и изображением. Для данной точки объекта изображение остается точкой (стигматическое изображение). Фигурой аберрации является точка, изображение которой не размыто, но сдвинуто от гауссовой точки на расстояние

6п=Л7(Хо2 + Уо2)3/2,(5.168)

где 6г/ — не радиус круга, а расстояние. Уравнение (5.168) имеет ту же структуру, что и уравнение (5.157). Различие в том, что теперь сдвиг имеет место не в радиальном, а в азимуталь-

Рис. 72. Анизотропная дисторсия.Рис. 72. Анизотропная дисторсия.ном направлении. Действительно, уравнение (5.167) показывает, что Х-компонента смещения пропорциональна У- координате точки предмета и наоборот. Таким образом, само смещение 'перпендикулярно линии, соединяющей гауссову точку с осью. Как результат, будет иметь место скрученная дисторсия (рис. 72); отдельные

Рис. 72. Анизотропная дисторсия.

Рис. 72. Анизотропная дисторсия.

линии прямоугольного предмета будут отображаться как S-образные кривые. Направление скручивания определяется знаком коэффициента Д7. Его величина пропорциональна кубу расстояния от оптической оси до точки объекта. Таким образом, изоб

ражением прямой линии, пересекающей оптическую ось в перпендикулярном направлении, будет кубическая парабола.

Коэффициент анизотропной дисторсии дается уравнением (5.74). Из сравнения уравнений (5.73) и (5.74) видно, что можно вычислить коэффициент Д7, заменяя 2hg на g2 и 2g'h' на g'2 в выражении для Д6. Тогда из уравнения (5.166) получаем

Ч

A^QM^ $ {-2<N0[l/(z)-l/0]}-^x

Анизотропная кома. Наконец, оставим только коэффициент А8. Из уравнений (5.65) и (5.66) видим, что

bX^t^A^X'o^XoY'o- ГоУо) - Уо^+Уо'2)],

(5.170)

6У(х7) =A8[2Y'o(XoY'o - Г0У0) -vXo<Xo,2A-Yo'^Y

Из этого следует, что

[6Х ^ + 2 А 8 Уо (Хо'2 + Уо'2) ]2 +

+ [6У(г,) — 2A8Xo(Xo'2+Yo'2)y =

= [Д8 (Хо2 + Уо2) '/2 (Хо'2 + Уо/2) ]2 = r2an сота-(5.171)

Это уравнение окружности радиусом ran doma и центром в переменной точке с координатами

Xc=Xi — 2A8Yo(Xo,2+Yo,2Y

(5.172)

Ус = У1 + 2А8Хо^Хо,2+Уо'2).

Можно видеть, что радиус окружности пропорционален тем же величинам, что и в случае комы. Однако центр смещается не в радиальном, а в азимутальном направлении от гауссовой точки изображения на расстояние 2гаПсота.

Таким образом, для конуса, образованного лучами частиц, вылетающих из точки объекта Хо, Уо, фигурой аберрации вновь является ряд окружностей. Их центры расположены вдоль прямой линии, тянущейся от гауссовой точки в азимутальном направлении. Круги ограничены двумя прямыми линиями с углом 60° между ними. Фигура аберрации выглядит подобно комете, показанной на рис. 71, но с осью, перпендикулярной к линии, связывающей гауссову точку изображения с оптической осью. Это анизотропная кома.

Радиус наибольшего круга дается

Ran coma = Л 8 (Хо2 + Уо2) 1/2 tg2 у0. (5.173)

Он пропорционален расстоянию от точки предмета до оси и квадрату угла аксептанса пучка. Самой яркой точкой фигуры аберрации вновь является его вершина.

Коэффициент Л8 дается уравнением (5.75). Единственным различием между уравнениями (5.74) и (5.75) является замена g2 на h? и g'2 на h'2. Соответственно из уравнения (5.169) получим, что

А,- «ЭМ/16) j {-20. vu № - V.])- - (^„.^‘^е;, + В" Й - го

-^-^}№ - 45^ (5-174)

Если одновременно присутствуют и кома, и анизотропная кома, то из уравнений (5.65) и (5.66) имеем

[6Х (z,) - 2 (Л5^0 - Л8Уо) (X/2 + Уо'2) ]2 +

+ [6У(г,) -2(Л5Уо + Л8Хо)(Хо'2 + У/2)]2 =

= [ (Л52 + Л82) */2 (Хо2+ Уо2у/2 (Хо'Н Уо'2) ]2 = r2coma sum-

(5.175)

Это уравнение круга с радиусом rCOma sum и центром в точке с переменными координатами

Хс = Х+2(Л5Хо-Л8Уо) (Хо'2 + Уо'2),

(5.176)

Ус = У,+2(Л5Уо+Л8Хо) (Хо'2+Уо'2).

Центр круга смещен теперь и в радиальном, и в азимутальном направлениях от гауссовой точки изображения на расстояние

2fcoma sum- Для конуса из пучков частиц, покидающих точку объекта, фигурой аберрации является ряд кругов, центры которых расположены вдоль прямой линии, тянущейся от гауссовой точки, в направлении, определяемом коэффициентами Аз и Ag. Это очевидно из того факта, что и Хс—Хи и Yc—У, линейно зависят от (Xo'^ + Yo'2). Окружности ограничены двумя прямыми линиями с углом 60° между ними. Радиус наибольшей окружности дается

Ясота sum = (ЛБ2 + Д82) 1/2 (Хо2 + Уо2) ^2 tg2 1о. (5Д77)

Очевидно, что уравнения (5.160) и (5.171), уравнения (5.161) и (5.172) и уравнения (5.162) и (5.173) являются частными случаями уравнений (5.175), (5.176) и (5.177) соответственно.

Рис. 73 Кома и анизотропная кома

Угол ft, под которым ось «кометы» наклонена к прямой линии, соединяющей гауссову точку с осью, дается соотношением tg«=(yc — У^ЦХс — Х£)=Л8М5 (если Уо = 0)

(5.178)

(рис. 73), из которого очевидно, что если Л8 = 0 (кома), то 6=0 и ось направлена радиально, в то время как ЛБ = 0 (анизотропная кома) дает 6 = л/2, а это означает, что ось кометы направлена азимутально. Выбор Уо = 0 не уменьшает общности этих выводов. Это просто означает, что если радиальное направление параллельно оси X, то кома направлена параллельно той же оси и анизотропная кома направлена параллельно оси У, которая теперь является азимутальным направлением. В этом случае 6 есть угол между осью X и осью кометы. В общем случае, конечно, й — это угол между радиальным направлением и осью кометы.

5.2.7. Об относительном вкладе различных геометрических аберраций

Здесь мы закончим рассмотрение коэффициентов различных геометрических аберраций. Прежде чем перейти к рассмотрению хроматической аберрации, следует оценить относительный вклад различных геометрических аберраций при разных условиях.

Было показано (уравнение (5.79)), что радиус диска сферической аберрации пропорционален tg3 40 и не зависит от расположения точки объекта. Уравнение (5.177) показывает, что радиус наибольшего круга в фигурах аберрации комы и анизотропной комы пропорционален r0 tg2 у0, где г0 — расстояние от точки объекта до оптической оси. Из уравнений (5.149), (5.153) и (5.165) следует, что эффекты астигматизма, кривизны поля и анизотропного астигматизма пропорциональны ro2tg4o Наконец, как видно из уравнений (5.157) и (5 168), как дисторсия, так и анизотропная дисторсия пропорциональны г03. Из этого можно сделать следующие выводы:

Сферическая аберрация является наиболее важной геометрической аберрацией, так как она имеет место даже для точек на оси и не может быть скорректирована другой аксиально-симметричной линзой того же типа (см. разд. 5.2.1.3). С другой стороны, ее величина ие зависит от расположения точки объекта, таким образом, она не увеличивается с расстоянием от оси (что не так уж и важно для отклоняющих систем).

Кома и анизотропная кома важны для широких пучков, но только относительно близко к оси.

Для больших расстояний от оси и относительно узких пучков становятся очень важными астигматизм, кривизна поля и анизотропный астигматизм. В дальнейшем будет показано, что астигматизм обычно возникает также из-за отсутствия точной осевой симметрии в реальных системах.

Дисторсия и анизотропная дисторсия доминируют при больших расстояниях от оси; таким образом, они важны в отклоняющих и проекционных системах. Они имеют место даже для бесконечно узких пучков.

Особые свойства и относительная важность анизотропных аберраций объяснены в разд. 5.2.6.

Хроматическая аберрация

Во введении к этой главе мы объяснили, почему энергетический разброс частиц вызывает аберрацию даже в параксиальном приближении. Главной причиной хроматической аберрации является то, что на частицы с большими начальными энергиями

фокусирующее поле оказывает меньшее влияние, чем на частицы с меньшими энергиями. Таким образом, если все частицы покидают точку объекта под одним углом, то частицы с высокими энергиями образуют изображение на большем расстоянии от предмета, чем частицы с низкой энергией (рис. 74), и изображение будет терять четкость как в случае сферической аберрации. К тому же вращение частиц с различными энергиями в магнитном поле также будет различным.

Существует несколько причин энергетического разброса частиц. Прежде всего никакой источник не может напускать монохроматический пучок частиц. Все начальные скорости различных частиц пучка отличаются, что соответствует различным значениям Uq в распределении осевого потенциала. Этот вопрос более детально будет проанализирован в разд. 5.6.8, но мы можем непосредственно видеть, что это обстоятельство особенно вредно для пучков с низкой энергией, где разброс по энергиям сравним со средней энергией пучка. Как будет видно из разд. 12.2, взаимодействия отдельных частиц в пучке вызывают дополнительный разброс по энергиям (эффект Боэрша). Разброс по энергиям имеет место также в просвечивающем электронном микроскопе из-за энергетических потерь в образце.

Низкая /— "—энергия

Высокая ^х^\энергия

Умереннаяэнергия

Рис. 74. Хроматическая аберрация.

В разд. 4.3 было показано, что для нерелятивистских частиц пропорциональное изменение всех потенциалов электрода не меняет траекторию, если распределение магнитной индукции одновременно изменяется пропорционально квадратному корню из коэффициента подобия электростатического потенциала. Таким образом, низкочастотные нестабильности источника питания не вызывают большой проблемы для электростатических линз. Однако влияние этих нестабильностей на магнитные линзы может быть довольно значительным. По мере изменения токов возбуждения в катушке изменяется и распределение магнитной индукции, но так как уравнение (4.40) квадратное относительно этого распределения, то будет происходить явление очень похожее на хроматическую аберрацию. Мы назовем его магнитной хроматической аберрацией.

Как было обещано в разд. 5.1, для вычисления хроматических аберраций будет использован метод характеристических

функций. Теперь параксиальная траектория возмущается инкрементом К^ параксиальной переменной функции К1-21, обусловленной ее производными по электростатическому потенциалу и магнитной индукции:

=+(5.179)

Инкремент Kw заменит Kw в уравнении (5.39), образуя

S*c=^ K^dz.(5.180)

zo

Так как координаты вращающейся системы X и У зависят как от магнитной индукции, так и от потенциала через уравнения (5.11) и (5.20) и в (5.179) проводится дифференцирование по этим переменным, то следует начать с фиксированной системы координат и вводить вращающуюся систему координат только после дифференцирования. Уравнения (5.11) и (5.12) дают

dKW]dU= {— 2 Qm0/ [ t/ (z) — U^3) >/2 х

Х{[1/(г) - С/о] ^-Vy'^-V (x*+y*)U"(z)l\b},

(5.181)

dKwldB = Q(xy' — х'у^2.(5.182)

Используя в этих выражениях вначале уравнения (5.11), (5.16) — (5.18) и (5.20) и затем подставляя уравнения (5.181) и (5.182) в уравнение (5.179), получим

^<0 = ^^QmdVJ (г) - И№^ [tT (z)/16 - QB^ (z)/(32m.)] At/ -

— 4{—2Qm0[i/(V—Уо!}1/2 AS ) (^2 + ^2) +

+ VQm&B -«w^ua^i <хк'" x-y)+

+ {-SQm^U (г) - Uoy^ [U (z)- U^ 22+12№. (5.183)

Необходимо подставить сюда X(z), У (z) и их производные из уравнений (5.43) и (5.44), образовать интеграл (5.180), найти частные производные Sc* по Хо' и Yo' и подставить их в уравнения (5.62) и (5.63), где S* заменяется на Sc*. Это опять требует некоторой работы, но к этому необходимо уже привыкнуть. Принимая во внимание уравнения (5.11) н (5.67), имеем

zi

6X(z,)=-Af$<{[^(2) -t/0]3[t/(zo) -t/oD-^X

=0

X ^Xogh+X'oh^VU"(2)^ - QB2(z)/(l&m0)] ++nu^-u0yvu(zo')-u0Ari,4U^-u0"\xX(Xog'h4X,oh,2>)l2+V—2Qm0VUyz') — f/0]}-'/2X

XQYoB^I^VU^-Uo"\^Udz+M^<VVU^-UoAX 2

X [U(zo) - t70]}->/2 (Xogh + X'oh^ \Q\B^1 (4m0) +

+ {— 2Qm0[(/(z) — UoW^QYo^NBdz, (5.184)

6Y^ =—M 5 <{[(/(z) - t/0]3[^(Zo) - f/olJ-^X

X (Yogh + Y'oh2) [U" (z) /8 - QB2 (z) / (16m0) ] ++,(№)- t/0]3[^(zo) - UoA}-1'2^^) - C/o] XX (Yog'h'+Y'oh'2)l2- {-2Qm0[l/(z) - t/0]}-v=x

XQX0B^I ^yU ^ - U^^dz-YMUWU ^ - ий"\х

xyU^ - UQAV'4YoghA-Y\h2^\^-

— {—2Qm0[l/(z) — Uo^-v^QXo^XBdz. (5.185)

Рассмотрим вначале случай хроматической аберрации, вызванной только энергетическим разбросом. Тогда АВ = 0 и уравнения (5.184) и (5.185) могут быть записаны в следующем виде:

6Х (г,:) = — М (С, Г»+С2Хо — С3 Yo) A UI [ U yz0) — [/0],(5.186)6У (г.) = — М (С, У'о+С2 Yo + CsXo^UIVU (z0) — t/0],

(5.187)

где

С1= У {[^(2o)-i/0]/[(/(2)-^0]}1/2X zo

hHh’2/2\dz, (5.188)

Л\)8[У(г) — C/oJ 16m0[l/(z) —1/0] i 1v '

zi

c2= $ VVu^-umu^-u^x

x/ J u"QB4?)V ghh*l2\dz (5 189)

'X\)8[i/(z)-l/0]16m„[i/(z)-i/0] |+ § И/Z/aZ’ ^-10^

С3 = - $ {-2Qm0[(/(z) - [/0]}-i/2[(/(Zo) - l/o] X го

xQB^az№^-u0AV. (5.190)

Заметим, что коэффициент Ci выражается в метрах, в то время как два других коэффициента безразмерны.

Коэффициент Cv может быть записан различными способами, если использовать интегрирование по частям. Используя уравнение (5.113) н h (z0) = h (z,) =0, легко показать, что zi

S {[У М - идо (2) - идон'2dz = 2o

=- У {[^(u-w^w-t/o]}1^^’=- У {[^(u-w^w-t/o]}1^^’U' (г) to' 2IU(z)-U„]U' (г) to' 2IU(z)-U„]

=- У {[^(u-w^w-t/o]}1^^’

=- У {[^(u-w^w-t/o]}1^^’

U' (г) to' 2IU(z)-U„]

U' (г) to' 2IU(z)-U„]

= - S №уодододоидох

и^ЛГ.**^ (5.191)и^ЛГ.**^ (5.191)I QB2 (?) °U"^1 №

и^ЛГ.**^ (5.191)

и^ЛГ.**^ (5.191)

\8ma[U (z)-UQ\ 4[и(г)-иДО

Используя это соотношение, из уравнения (5.188) получим

С1 = - $ { \U (2„) - иДО (2) - и^} hh" dz = zo

г1

= S к\и^-идо^-идох

STW^i)^' <6J62)STW^i)^' <6J62)J U" (2) °QB^ (Z)) . 2

STW^i)^' <6J62)

STW^i)^' <6J62)

) 4[</(z)-y0]8m0[</(z)-y0]f

Еще раз преобразуем этот коэффициент, снова проводя интегрирование по частям:

Г WU^-U6W^-U6AW2u™irhh'dz = иV \*) U о

го

г1

(5.193)

Тогда из уравнения (5.192) получим

С1 = $ ^Щг^-и^и^-и^х

V I ЗУ'2 (z)' ) [ V (z) — С7„РV I ЗУ'2 (z)' ) [ V (z) — С7„РтоД-^Н^^^^ (5.194)тоД-^Н^^^^ (5.194)

V I ЗУ'2 (z)

' ) [ V (z) — С7„Р

V I ЗУ'2 (z)

' ) [ V (z) — С7„Р

тоД-^Н^^^^ (5.194)

тоД-^Н^^^^ (5.194)

Видно, что коэффициент Ci никогда не может быть отрицательным. Очевидно также, что величина Ci непосредственно связана с функцией 7 (z) (уравнение (4.51)) и, таким образом, с эффективной длиной поля (см. уравнение (4.164)). Аналогичное выражение может быть выведено также и для коэффициента Сг-

Рассмотрим теперь роль трех коэффициентов Сь Сг и С3. Вновь положим значения всех коэффициентов равными нулю, кроме одного, рассматриваемого в 'настоящий момент.

Аксиальная хроматическая аберрация

Если только Ci — ненулевой коэффициент, то из уравнений (5.186) и (5.187) получаем

6A(z,) = —THCiX^A (//[[/(zo) — Uoy

(5.195) bY^^—MCxY'a^lVU^— Uoy

Аналогичные выражения также следуют из уравнений (5.186) и (5.187), если подставить Xo=Yo = 0. Ci является единственным коэффициентом хроматической аберрации, который оказывает влияние, даже если объект расположен на оптической оси. Поэтому он называется аксиальной хроматической аберрацией. Поскольку уравнение (5.195) не зависит от Хо и Yo, то эта аберрация одинакова для всех точек объекта. Для точки объекта на оптической оси можно записать

6r, = {[6X(z1)]2+[6y(zi)]2}i/2 =

^MCAXo'HYo'^XUlVU^ — С/о].(5.196)

(Следовало бы записать абсолютную величину М, но предпочтительней воспользоваться этим обозначением, чтобы следовать той же схеме, что и для диска сферической аберрации.)

Если вновь рассмотреть конус частиц, которые покидают точку объекта под углом у к оптической оси, определяемой уравнением (5.78), где у0— максимальное значение угла (половинный угол аксептанса пучка), тогда уравнение (5.196) дает радиальное смещение для наиболее удаленной от центра траектории конуса частиц (радиус диска хроматической аберрации

в плоскости изображения) с общим разбросом по энергии Д(/о в виде

brci=МСсо tg y0A£/o/2[i/(z0) — lA]=Af6rC0, (5.197)

где

Ссо=С,(5.198)

есть коэффициент хроматической аберрации, связанный с объектом, и.

6rco = 6rCi/-M = CCotg'yoAt/0/2[(7 (z0) — (70](5.199)

есть радиус диска хроматической аберрации в плоскости объектов. Множитель 2 появляется в приведенных выше соотношениях, так как под Д£70 подразумевается суммарный энергетический разброс пучка, который есть разность между двумя предельными значениями энергии, в то время как в уравнениях (5.186) и (5.187) MJ— энергетический разброс одного конкретного луча, т. е. разность между энергией данной частицы и средней энергией. Строго говоря, это также означает, что знак коэффициента аберрации должен быть изменен, так как дифференцирование следует выполнить по Un, который имеет отрицательный знак в выражении U (z)—Uo. Тем не менее истинное определение суммарной энергии разброса предполагает, что в этом случае знак произволен (см. замечание после уравнения (5.196)). В наших обозначениях 6rct является отрицательным для положительных значений у0.

Следует заметить, что относительный энергетический разброс ^UQ/^U (z0)—Uo\ является положительным числом, задаваемым обычно как характеристический параметр источника. Очевидно, что хроматическая аберрация тогда может быть уменьшена двумя различными путями: или уменьшением относительного энергетического разброса источника, или уменьшением коэффициента аберрации линзы. Так как Ссо никогда не может изменить знак (см. уравнение (5.194)), важно компенсировать аксиальную хроматическую аберрацию другим аксиально-симметричным полем того же типа (см. разд. 5.2.1.3). Но аксиальная хроматическая аберрация очень строго ограничена рабочими характеристиками электронного и ионного зондов, потому что 1) даже лучшие источники имеют ненулевые разбросы по энергии, 2) всегда имеет место эффект Боэрша и 3) аксиальная хроматическая аберрация имеет место даже на оси. Таким об-

разом, чрезвычайно важно определить фокусирующие поля с как можно более низкими коэффициентами хроматической аберрации. Пути достижения этого будут рассмотрены в гл. 9.

Радиус диска хроматической аберрации отличается от радиального смещения непараксиального луча и смещения параксиального луча в гауссовой плоскости изображения. Таким образом, отображением точечного предмета будет не точка, а диск радиусом |6гС|| с центром в гауссовой точке изображения. Фигурой аберрации будет «руг радиуса |6гС(|, пропорционального начальному наклону наиболее удаленного от центра луча и относительному энергетическому разбросу.

Отметим различие между зависимостью третьего порядка сферической аберрации от начального наклона наиболее удаленного от центра луча и зависимостью первого порядка аксиальной хроматической аберрации от той же величины. Это означает, что при низких значениях угла аксептанса действие оптической системы ограничивается ее хроматической аберрацией. При больших апертурах сферическая аберрация становится доминирующим ограничивающим фактором.

Физическим значением диска хроматической аберрации в плоскости объекта, определяемого уравнения (5.199), является аберрационный объект конечных размеров, заменяющий идеальный точечный объект и усиленный идеальной линзой для получения аберрационного изображения. Заменяя точечный объект этим диском, мы преобразуем аберрацию линзы в аберрационный диск в плоскости объекта. Таким образом, если начинать от плоскости изображения и двигаться в обратном направлении к плоскости объекта, то сразу можно получить аберрационный диск в плоскости объекта. Как и в случае сферической аберрации, этот подход дает возможность рассматривать предельные случаи нулевого и бесконечного увеличений.

Используя уравнения (4.61) и (4.65), получим

6rei = МЧ2СО [ ^Z^11/2 tg Y W{2 ш (20) -(/,]} =

= cci tg V/ АУ0/{2 [(/ (гг)- С^]}, (5.200) где

(5.201)

L и \го)— J

является коэффициентом хроматической аберрации, связанным с изображением. Заметим, что, для того чтобы сохранить симметрию уравнений (5.199) и (5.200), необходимо установить связь разброса по энергии с потенциалом в пространстве изображений в последующем выражении, что не всегда удобно.

Поэтому в пространстве изображений иногда используют другой коэффициент (Сс1*). Если переписать уравнение (5.200) в виде

Ьгс£ = С\11£чДи01№Ц2с?) - (/о]}.(5.202)

тогда

с*с1 = М»ссо Г Щ-иАУ1\(5.203)

L иJ

Если продолжить движение назад от плоскости изображения, то уравнения (5.43) н (5.44) должны быть заменены уравнениями (5.84) и (5.85) соответственно, с начальными условиями (5.87). Начиная с уравнения (5.201), повторяя процедуру, изложенную в разд. 5.2.1, и используя уравнения (5.90) и (5.96), приходим к тому, что

CJC^^V(5.204)

Используя обозначение FAh^zA для подынтегрального выражения уравнения (5.194) можно записать

FcVh* (г)] = (V')2FC[h(z)]=Fc[ft(г)]/(ft/)2.(5.205)

Если желательно вычислить коэффициенты аксиальной хроматической аберрации в прямом направлении, то уравнения (5.194) и (5.198) могут быть записаны как

С со- ^FcVh^dz,(5.206)

го

которое дает с уравнением (5.204), что

FAh^W (5.207) го

Для того, чтобы вычислить коэффициенты аберрации в обратном направлении, подставим уравнение (5.205) в уравнение (5.207) и получим z-

С--[^8^]‘'Ч FAh*W=. (5.208) 20

Тогда уравнение (5.204) дает

Z-

Ceo=(h*oy^ Fc\h*Wz-(5.209)

г0

Нулевое и бесконечное увеличения. Рассмотрим экстремальные случаи нулевых и бесконечных увеличений тем же

способом, который использовался в разд. 5.2.1.1 для сферической аберрации. В случае нулевого увеличения будем двигаться в прямом направлении, используя главный луч r2 (z) (рис. 66) с точкой фокуса в пространстве изображений F2, являющейся в данном случае изображением. Функция «обратной» аберрации может быть переписана как

Fc[h* (z) ] = [г'2 (F2) ]-2FC [r2 (z) ]. (5.210)

(Отметим, что F2 — осевая координата точки фокуса, в то время как Fc — аберрационная функция.) Подставляя это уравнение вместе с z0 = a и zt = F2 в уравнение (5.208), получим выражение для коэффициента хроматической аберрации, связанного с изображением, при нулевом увеличении:

CciM = V^№2 [^ЕЙ]1/2 J рс [О (г)] dz. (5.211)а

Функция Fc[r2(z)] вычисляется в прямом направлении, и интегрирование иачииается с конечной координаты z=a. Заметим, что начальное смещение г2 (а) ие влияет на результат, так как и числитель (подынтегральное выражение), и зиамеиатель пропорциональны квадрату этой величины.

Уравнение (5.201) дает бесконечный коэффициент хроматической аберрации, связанный с предметом, при нулевом увеличении:

Ссо (м=о) ** °°• (5.212) *

Диск хроматической аберрации имеет конечные размеры в плоскости изображения, но бесконечно велик в плоскости объекта.

В случае бесконечного увеличения используется обратное направление. Воспользуемся главным лучом ri (г) (рис. 67). Теперь объектом является точка фокуса в пространстве объектов Fi. Можно записать

Fc [h (г) ] = [г', (Ft) ] -^Fc [r, (z) ]. (5.213)

Подставляя это выражение совместно с zo=Ft и Zi = b в уравнение (5.206), получим коэффициент хроматической аберрации, связанный с объектом, при бесконечном увеличении:

ь

Ссо» = [г; (Л)]- [^Е^]1/2 j Fc V1 (2)] dz. (5.214)

Функция Fc[ri(z)] вычисляется в обратном направлении и интегрирование заканчивается в конечной координате z=b. Начальное смещение ri(b) не влияет на результат.

Из уравнения (5.201) для коэффициента хроматической, аберрации, связанного с изображением, при бесконечном увеличении получим бесконечно большое значение

Ccioo-хю. .(5.215)

Диск хроматической аберрации конечен в плоскости объекта, но бесконечно велик в плоскости изображения.

Для любого конечного значения увеличения все четыре уравнения (5.206)—(5.209) одинаково справедливы.'

Из уравнений (5.212) и (5.215) очевидно, что для малых значений увеличения Ссо убывает с ростом абсолютной величины М, в то время как при больших |Af| для Cci наблюдается обратная зависимость. Обычно, как и в случае сферической аберрации, эта тенденция сохраняется для всего диапазона изменения М, тогда ССо>ССо= и Cci>Ссцм=о), но можно сконструировать линзы -с более сложной (и полезной) зависимостью от увеличения.

Верхний предел аксиальной хроматической аберрации. Нижиие пределы хроматической аберрации будут обсуждаться в разд. 9.3.1 и 9.4.1. Можно также оценить максимальное значение коэффициента аксиальной хроматической аберрации. Выведем этот предел для электростатического и магнитного полей отдельно.

Начнем с магнитных линз. В этом случае уравнения (5.191), (5.192) и (5.198) дают

ггЧ

Ссо = — \ hh"dz = $ h'Mz,(5.216)

2 оzo

/i(z)—это решение уравнения параксиальных лучей (4.40) для (/(z)=const. Видно, что h"/h<0. Так как по определению h>0 между объектом и изображением, h"<0 и можно заключить, что К' — монотонно убывающая функция г (известно, что /i'(zo) = l и /i/(z,)<0). Таким образом, h^ должно иметь максимальное значение при некотором значении zm. Очевидно, что O^/i'^l для z0^z^zm и h' (Zi)^h'^0 для zm^z^Zi. Таким образом, можно записать

hUm>h (Ч)

Ссо= $ h'dh^ J /l'd/l</l(zj-/l(zo)-/l'(z,.)[/l(2j-/l(z,.)]. h(z0)h(zm)

(5.217) Зная, что h (z0) =h (z,) =0, и принимая во внимание уравнение (5.94), получим

Cco<h(zm) (1 — 1/М),(5.218)

где h^Zm)—максимальное значение функции /г(г). Оно может быть довольно большим, особенно для высоких увеличений. Так как М — отрицательное число, множитель в круглых скобках делает предел еще выше. Этот коэффициент растет по мере того, как абсолютная величина М убывает. Размеры пучка обычно ограничены апертурой, радиус которой Rap определяется соотношением

tfap^^mjigyo. (5.219)

В случае бесконечного увеличения для вычисления коэффициента хроматической аберрации необходимо использовать уравнение (5.214). Известно, что асимптотическое фокусное расстояние в пространстве объектов определяется уравнением (4.72). Тогда /i(zm) заменяют на и (Z?)/r/(7ri), которое прибли- зизительно равно фокусному расстоянию f, и верхний предел можно оценить как

CCo=ff<L(5.220)

Отметим, что уравнение (5.220) строго справедливо, только если точки фокусов расположены за пределами линзы. В противном случае уравнение (4.72) обеспечивает только грубую оценку. Отметим также, что, когда для вычисления коэффициентов хроматической аберрации используются уравнения (5.207) — (5.209), множители, появляющиеся перед интегралами, должны быть учтены в оценке верхних пределов даже для конечных увеличений.

Для электростатических линз ситуация не так проста, но все же можно установить верхний предел для коэффициента аксиальной хроматической аберрации [9]. Начнем с уравнения (5.194) и перепишем его, используя уравнения (4.47), (4.50) и (4.51) и интегрируя по частям, в следующем виде:

Cco=2H[t/(zo) - U0}IVU(z) - U»yyi^T^dz= zo

zi

= -<2^VYU^-Utt\IVU^-U6yyiWdz = zo

zi

= 2 j a'(z)d<o(z) {[(/(zo) - Uoy\U<^ - tzo]2}i/2> °(5.221)

Это выражение аналогично уравнению (5.217). Так как с"/о всегда отрицательно и о всегда положительно, о' — монотонно убывающая функция z. Известно также, что o(zo) = o(zt) =0.

Таким образом, c(z) должна иметь максимальное значение где-то между z0 и гь Очевидно, что величина, дифференциал которой появляется в подынтегральном выражении уравнения (5.221), также имеет максимум в некоторой точке zm между z„ и Zi. Так как о' (zt) ^о' (z) <0' (zo), можно записать, что

zm

Cco=2So'(z)d<a(z)([^(Zo) -i/0]/[i/(z) -(70]2}1/2> + zo zt

+ 2 $ o,(z)d<a(z) {[17 (zo) - t/0]/[t/(2) - T70]2}^2>^ zm

< 2a' (zo) <a (zm) {[L/ (zo) — (70]/[(/ (zm) - t/0]2} >/2 - a (zo) > —-^o'^^^yu^— UQ-\l\U(zm^-UQpy-/2-

-a(zz){[[/(zo) -- ^ojs}1/2).(5.222)

Известно, что a(z0) =o(z() =0. Учитывая также уравнения (4.53), (4.54) и (5.94) и используя соотношения h^Zm^hmax и (7 (zm) ^(/mln, где hmax— максимальное значение h^z) и Umln — минимальное значение U (z) в интервале между объектом и изображением, в конце концов получим

Ссо < 2a (z„) {[С/(zo) - U»W (г„) - U№2 ["' ^-с' (г,-)] < <2/U,{[^o) -(70]/[(7т^^И^}-

1°(5.223)

В случае бесконечного увеличения верхний предел оценивается как

Cco=/fi<2{[(7(zo) — L/0]/[l/nnn- (/0]}3/4,(5.224)

где fi — фокусное расстояние в пространстве объектов.

Замечания, касающиеся магнитного случая, также справедливы и здесь. Как можно видеть из уравнений (5.223) и (5.224), предельное значение коэффициента аксиальной хроматической аберрации, связанного с объектом, увеличивается с ростом абсолютной величины М, а отношение потенциала изображение — объект становится меньше. Значения Ссо/Лтах (для конечных значений М) и Ссо«>/Ь (для бесконечного увеличения) даны в табл. 4 для некоторых характеристических значений увеличений и отношения потенциала изображение — объект. Таблица охватывает ускоряющие линзы с минимальным потенциалом в пространстве объектов, замедляющие линзы с минимальным потенциалом в пространстве изображений и одиночные линзы с минимальным потенциалом с обеих сторон (средний электрод имеет более высокую абсолютную величину потенциала).

Таблица 4

Верхние пределы коэффициента аксиальной хроматической аберрациидля электростатических линз, связанного с объектом и отиесеииогок максимальному смещению hmax и фокусному расстоянию fi

в пространстве объектов для конечного и бесконечного увеличений Мсоответственно

t/(z0)—(/«0,31,02,04,0

Umin—U (zi) (за

0,1

77,91

31,24

21,24

16,24

11,24

медляющие линзы)

0,2

40,01

16,68

11,68

9,18

6,68

0,5

16,69

7,36

5,36

4,36

3,36

Umln— U (Zo) = =U(Zi) (одиночные лиизы)

1,0

8,67

4,00

3,00

2,50

2,00

l/min=i/(zo)(ус

2,0

7,61

3,68

2,84

2,42

2,00

коряющие линзы)

5,0

6,46

3,34

2,67

2,33

2,00

10,0

5,75

3,12

2,56

2,28

2,00

Как видно, хроматическая аберрация особенно сказывается на замедляющих линзах даже при больших увеличениях. Для одиночных линз зависимость коэффициента аберрации от увеличения аналогична зависимости в магнитных линзах (см. уравнение (5.218). Если абсолютная величина потенциала внутри одиночной линзы больше, чем в пространстве объектов и изображений, то верхний предел ровно вдвое больше, чем для магнитных линз. Когда абсолютная величина потенциала ниже внутри одиночной линзы, чем с обеих сторон, верхний предел становится даже выше.

Однако это не обязательно означает, что хроматическая аберрация электростатических линз должна всегда быть выше, чем хроматическая аберрация магнитных линз. Существуют по крайней мере два подтверждения этого:

Сравнение верхних пределов только обнаруживает тенденцию. С помощью тщательного конструирования коэффициент аберрации может быть сделан значительно ниже, чем теоретический верхний предел. Мы подходим к теоретическому пределу, только когда отношение потенциала максимум — минимум становится очень близким к единице.

Самый нижний верхний предел для данного увеличения появляется для сильно ускоряющих линз с Umin = U ^ZoY В случае бесконечного увеличения верхний предел такой же, как и для одиночных линз, но для низких увеличений он может быть еще ниже и даже ниже, чем для магнитных линз. (К сожалению, 308

степень V4 отношения потенциалов требует большой величины самого этого отношения, чтобы обеспечить существенное уменьшение верхнего предела.)

Хроматическая аберрация увеличения

Если только Сг — ненулевой коэффициент в уравнениях (5.186) и (5.187), то имеем

6X(zO = — MC2XoAU/[U(zo) — t/o],

(5.225)

6Y(zi)=—MC2¥oAU/[U(zo) — (/0],

что имеет большое сходство со случаем дисторсии (уравнение (5.156)): аберрация не зависит ни от Хо', ни от Yo'\ &X(zi) пропорционально Хо и 6 У(zt) пропорционально Yo. Это означает сдвиг в радиальном направлении. Однако изображение в этом случае не стигматическое, потому что величина AU меняется в диапазоне от нуля до Ai70/2. Таким образом, для данной точки объекта точка изображения смещена вдоль радиальной линии иа расстояние

brt=MC2VXo2A-Yo2y^AU6I^YU^ — По]}.(5.226)

Так как сдвиг в радиальном направлении означает изменение увеличения, эта аберрация называется хроматической аберрацией увеличения.

Анизотропная хроматическая аберрация

Оставим теперь только коэффициент С3. После этого уравнения (5.186) и (5.187) дают

бХ(гг) =MC2YoAU!YU^ — (/0],

(5.227) бУ(г,)= — MC3XoAUI[U(zo) — (/0].

Эти выражения очень похожи на те, что мы имели в случае анизотропной дисторсии (уравнение (5.167)): аберрация не зависит ни от Хо', ни от Yo', bX^z^ пропорционально Yo, 6У(z.) пропорционально Хо. Это означает сдвиг в азимутальном направлении. Изображение нестигматическое; для данной точки предмета точка изображения смещена вдоль дуги на расстояние

br^MC^Xo^A-Yo^AU^^YU^—U0"\Y(5-228)

Так как коэффициент С3 отличается от нуля только при наличии магнитных полей, эта аберрация называется анизотропной хроматической аберрацией (см. разд. 5.2.6).

Уравнения (5.21) и (5.190) дают, что в чисто магнитных полях

С3=[»(г,) — Ф(20)]/2,С3=[»(г,) — Ф(20)]/2,(5.229)(5.229)

С3=[»(г,) — Ф(20)]/2,

С3=[»(г,) — Ф(20)]/2,

(5.229)

(5.229)

т. е. коэффициент анизотропной хроматической аберрации равен половине поворота изображения. Следовательно, эта аберрация отсутствует в магнитных линзах, не вызывающих вращения изображения.

Магнитная хроматическая аберрация

Рассмотрим теперь хроматическую аберрацию, вызванную флуктуациями магнитной индукции. Для простоты предположим, что i/(z)=const (чисто магнитное поле). Тогда уравнения (5.184) и (5.185) могут быть записаны в следующем виде:

bX ^Zi?) = — М (CimX'o + CimXo — С3тУо) ABmax/Bmax,

(5.230)

6У (2/) =— М (С]тУ/о+ С2m Уо + СзщХо) ABmax/Bmax,

(5.231) где

Jdz’^е2д2)

z0 zi

C^=VmTu-5\ d2'(5‘233)

zo

Сзт = $ QB (2) [- 2Qm0 Ф — (/о) rei]-,/2d2/2.(5.234)

В уравнениях (5.230) и (5.231) Вmax максимальное значение аксиальной магнитной индукции и АВтах — ее флуктуация. Тогда

АВ = В (2) ABmax/Bmax,(5.235)

что учитывалось в уравнениях (5.232)—(5.234).

Из сравнения уравнений (5.192) и (5.232) для чисто магнитных полей видно, что

С)т=—2СЬ(5.236)

таким образом, радиус диска суммарной аксиальной хроматической аберрации для магнитных полей может быть определен как

6fci = |М| С со tg fo{A(/0/[2 ((/ — (/q) rel] — ASmax/Smax}>

(5.237)

где использованы уравнения (5.197) и (5.198) и учтено, что ASmax обычно определяется как полная флуктуация максимальной аксиальной индукции. Аналогичные выражения могут быть записаны также для двух других коэффициентов хроматической аберрации.

Асимптотические аберрации

Реальные коэффициенты геометрической и хроматической аберраций определяются как определенные интегралы, взятые между координатами реальных объекта и изображения. Выражения, выведенные в предыдущих разделах этой главы, полностью основаны на лучах g(z) и /г (г) с граничными условиями уравнения (5.42). Кроме того, по определению A(z;)=0.■

Однако известно, что если линза имеет физические границы, то можно определить другой набор оптических характеристик. В разд. 4.6 мы ввели асимптотические величины и будем исходить из того, что читатель знаком с содержанием и обозначениями этого раздела (включая также и разд. 4.6.1). Поэтому сразу же перейдем к последующему обсуждению.

Очевидно, что если существуют асимптотические величины первого порядка, то также могут быть определены асимптотические аберрации. В действительности единственное различие между ними и реальными аберрациями заключается в том, что сейчас нас интересует поведение асимптот к удаленным лучам, а не поведение самих удаленных лучей.

Асимптотическая аберрация — это расстояние между точкой, в которой выходящая асимптота к удаленному лучу пересекает асимптотическую плотность изображения, и точкой, в которой выходящая асимптота к параксиальному лучу пересекает ту же плоскость. Падающие асимптоты к удаленным лучам являются теми же, что и для соответствующих параксиальных лучей. Объект и изображение могут оба находиться в поле линзы. Конечно, также можно определить асимптотическую аберрацию в обратном порядке, начиная с плоскости изображения и определяя аберрацию в асимптотической плоскости объекта.

Соответственно характеристическая функция S* (уравнение (5.39)) теперь состоит из трех частей: одна — для падающей асимптоты, другая — для главного луча внутри линзы и еще одна — для выходящей асимптоты. Также очевидно, что если главный луч ищется в виде

X^=XoG^A-X'oH^,(5.238)

Y(z) = YoG(z)+Y'oH(z),(5.239)

то начальные условия для лучей G(z) и Я (г) необходимо определить на входной плоскости линзы г=а, а не плоскости объекта. Имеем

G(a) = l, Н^=а— z0*,

(5.240) G'(a)=0, Я/(а) = 1,

где Zo* — осевая координата асимптотической плоскости объекта. Эти начальные условия аналогичны начальным условиям, задаваемым уравнением (5.42) с тем отличием, что хотя начальное значение Н определяется при z = a, очевидно, что оно отлично от нуля. Уравнение (5.45) заменяется на

Хо = X (а) — (а — го*) X' (а), Х'о = Х'(а),

(5.241) Уо=У(а) — (а —го*)У(а), Y'0=Y'(a).

Необходимо также помнить, что соотношение Гельмгольца — Лагранжа (4.65) необходимо заменить уравнением (4.76) в асимптотическом случае. Следовательно, уравнение (5.67) необходимо заменить на

GH' — HG'=V\U^ — G0]/[G(z) — Go]}*/2. (5.242)

Можно показать [148, 149], что с этими изменениями коэффициенты геометрической и хроматической аберраций отличаются от их реальных значений, только если

интегралы от плоскости объекта до плоскости изображения заменяются интегралами вдоль поля линзы (от z = a до z = b\,

постоянные, определенные в точках объекта и изображения, заменяются на постоянные, определенные соответственно при z — a и z = b;

лучи g и h заменяются на лучи G и Н соответственно.

Таким образом, все формулы, полученные в предыдущих разделах этой главы, можно использовать непосредственно при завершении указанных преобразований. Следует быть особенно внимательным к обратным и прямым выражениям, так же как и к соотношениям между коэффициентами аберрации, связанными с объектом и изображением. Например, уравнения (5.83), (5.105) и (5.109) для сферической аберрации имеют теперь следующий вид:

Csi = CsoM*4VUW - UollVW - ^о]}3/2«(5.243)

Csi (M*=o)=- 4 {- 2Qm0 [ U (6) - Go]}"*/2 X 312

6

Хр^Ш-Ч^ЧМ^]^,(5.244)

а

CSOoc=—4V—2Qm0VU(a)-U0"W,2X

6

X[6(a)]"4^[ri(z)]dz.(5.245)

•а

Соответствующие уравнения (5.201), (5.211) и (5.214) для аксиальной хроматической аберрации следует заменить на

Cci = CcoM*4[U(b) — L/0]/[t/(a) — I/»]}3/2,(5.246)

СС1(м1=0) = {[^(Ь) -^/0]/[^(а) — ^о]}1/2Х

6

+ ['’,2(b)]-2Hch(z)]dz,(5.247)

а

b

с со оо = [Л (а) ] -2 $ ^[п (z) ] dz(5.248)

соответственно. (Следовало бы записывать эти коэффициенты со звездочкой, чтобы показать, что они являются асимптотическими коэффициентами. Тем не менее такое обозначение не является общепринятым и даже нет необходимости делать такое различие, поскольку в большинстве случаев используются только асимптотические коэффициенты.)

С помощью интегрирования по частям можно получить множество разных видов коэффициентов асимптотической аберрации.

Зависимость коэффициентовасимптотической аберрации от увеличения

Известно, что все коэффициенты реальной аберрации сильно зависят от увеличения, так как увеличение оказывает непосредственное влияние на положения объекта и изображения, которые появляются в начальных условиях и пределах интегралов аберраций. Эта зависимость является достаточно сложной и в общем случае для каждого значения увеличения интеграл аберрации следует вычислять отдельно.

В случае асимптотических аберраций пределы интегралов аберраций являются фиксированными. Большинство интегралов (кроме А? и С3) по-прежнему зависят от увеличения, однако через начальное условие (5.240) для луча H(z). Тем не менее теперь ситуация намного проще. Это обусловлено тем [143], что коэффициенты аберрации могут быть представлены как конеч-

ные полиномы величины, обратной увеличению. Покажем это на примере сферической и хроматической аберраций.

Представим луч Я (г) как линейную комбинацию двух главных лучей n(z) и r2(z) (рис. 44 и 45) в виде уравнений (4.55). Сразу же отметим, что оба главных луча не зависят от положения объекта и изображения. Коэффициенты Ci и с2 выбираются таким образом, чтобы уравнение (4.55) удовлетворяло начальным условиям (5.240). Таким образом, имеем

Ci = l/r'i(a).

(5.249)

с2 = [ (а — Zo*) r\ (а) — гi (а) ]/г2 (а) А (а) =

= —г, (b)/[r'i(a)r2 (а)М*], где при преобразовании с2 были использованы уравнение (4.58) и некоторые положения элементарной геометрии. Заметим, что тот же результат может быть получен непосредственно из уравнений (4.72), (4.77), (4.84) и (4.86). Подставляя Ci и с2 в уравнение (4.55), пблучим

Я(г)= [гД^-д^угДг)] / г'(а).(5.250)

Этот луч будет использоваться при выводе коэффициента аберрации в виде полиномов.

Полиномиальное выражение для коэффициента асимптотической сферической аберрации. Можно начать с любой формы записи коэффициента сферической аберрации. Выберем ее в виде уравнения (5.121), которое для асимптотического случая может быть записано как

Сso= s VP^H^ + Q^H^H'+R^H^H'^dz, (5.251) а

Р (г) = {[Я (2) - Я0]/[Я(а)-Я0]} v2 {_+

,5U'4^QB’1 (2)",3Q»B* (г)

Н’24[У(г)-У0]* т01У(г)-У0] + 8m$[U (г)- Уор

. 3QB (г) В' (г) U' (г)35QB» (г) У'2 (г) 1 / . „, „,„.

+ т0[У(г)-У0]216т0[У (г)—Уор//

А М —1/2 f МУ'* (г), 2QB2 (г) У (г) I

(5.253)

(5.254)(5.254)R (г) = {[Я (г) - 1/0]/[Я (а) - U^ х QB2^ЗУ'2 (2)ц16

(5.254)

(5.254)

(т0[У(г)-У0]2[У(2)-У0]2 J /

(Следует отличать Q(z) от заряда Q.)

Подставим теперь уравнение (5.250) и его производную в уравнение (5.251). После некоторых элементарных алгебраических преобразований получим коэффициент асимптотической сферической аберрации в виде полинома четвертой степени от величины, обратной асимптотическому увеличению:

Cso = CSO0 + С so\lМ* + С soilМ*2 + С soilМ*2 + CsonlM*4,

(5.255)

где коэффициенты являются функциями распределений поля и граничных условий и представляются в виде

Csoo = [г/(а)]-“ j [Р(г)n4+ Q (г)rW+R (z)r^n'2]dz,°(5.256)

С^1 =,114 f [4/> (2) ^ + Q (z) (Зг|г?2 ++

Гг (а) Их (а)J J

+ 2Р (г) (г^г^ + r^vO] dz, (5.257)

37 f [6Р (г) rlri + 3Q (г) (/4/^ + гМ +

г2 (а) [гх (а)] J

+ R(z) (г;2г| + 4гхг'г; + r^r'^dz, (5.258)

3b

Cso3 гтуД-зг ([4Р (г) г А + Q (2) № + Зг^^О +

Г2 (а) [ri (a)J4 J

+ 2Р (г) (г^/* + г^г^)] dz, (5.259)

Cso4 =f VP (2) rt + Q (z) rlr^R (2) r^r’^ dz. (5.260)

L r2 (a) ri (a) j j

Эти коэффициенты не зависят от положения объекта, следовательно, они представляют коэффициент сферической аберрации в достаточно общем виде. Знание этих коэффициентов дает полную информацию о коэффициенте сферической аберрации для любого заданного увеличения М*. Вычисление является тривиальным, так как увеличение появляется только в уравнении (5.255). Как известно, это неверно для случая коэффициента реальной аберрации: обычно для каждого значения увеличения необходимо вычислять интеграл аберрации снова и снова. Только в случае ньютоновских полей (см. разд. 4.6) можно использовать уравнение (5.255) для вычисления коэффициента реальной сферической аберрации.

Коэффициенты Csok (^=0, 1, 2, 3, 4) могут быть рассчитаны не только из уравнений (5.256) — (5.260), но также из уравнения (5.251) для пяти различных значений увеличения. Подставляя Cso для каждого значения М* в уравнение (5.255),получаем систему пяти линейных алгебраических уравнений, из которой легко могут быть найдены коэффициенты. Однако используемые увеличения должны подбираться достаточно аккуратно, с тем чтобы избежать вычислительных неустойчивостей, появляющихся в случае, когда эти величины слишком близки друг к другу. В общем случае следует предпочесть прямое решение уравнений (5.256) — (5.260).

Уравнения (5.243) и (5.255) непосредственно дают коэффициент асимптотической сферической аберрации, связанной с изображением, в виде

Csi=<VU<b')-U^IYU(a')-U0Ay/4CsooM*4 +

+ CsoyM*3 + Cso2M*2 + Cso3M* + C$04) •(5.261)

Уравнения (5.79) и (5.255) дают радиус диска асимптотической сферической аберрации в плоскости изображения в виде

6Гsi = (М*С5о0 + CSol + CsolIM* + CsosfM*2 + CsotjM*3) tg3 Yo*.

(5.262)

Это величина, которая должна быть настолько малой, насколько это возможно, так как всегда желательно иметь малый размер пятна. Абсолютное значение величины в скобках стремится к бесконечности как при нулевом, так и при бесконечном увеличениях. (Из разд. 5.2.1.1 известно, что для бесконечного увеличения диск сферической аберрации является бесконечно большим в плоскости изображения. Для нулевого увеличения он имеет конечный размер, но в этом случае уо* = 0, так что расхождений нет.) Таким образом, он должен иметь минимальную величину при некотором характерном значении увеличения. Это следует также из исследований, приведенных в конце разд. 5.2.1.1: если М слишком мало, то коэффициент аберрации становится большим, а слишком большие увеличения непосредственно приводят к возрастанию радиуса диска. Оптимальное увеличение является сложной функцией коэффициентов CSOk, так как первая производная функции в скобках дает уравнение четвертого порядка для М*. Оно обычно лежит между —1 и —10. Выбрав это оптимальное значение, можно использовать данную линзу при минимально возможной сферической аберрации.

Из уравнений (5.255) и (5.261) сразу же следует, что

С„4 = {[<7(а) - U^W - <7о]}3/2С$г(М1_о). (5.264)

Таким образом, эти два коэффициента непосредственно связаны с коэффициентами аберрации для бесконечного и нулевого увеличений соответственно. Также очевидно, что уравнения (5.106) и (5.110) верны и для асимптотических увеличений. Уравнение (5.263) можно также вывести из уравнений (5.245), (5.251) и (5.256), если соответствующим образом использовать функцию Е$[Г1(г)]. Для того чтобы получить уравнение (5.264) из соответствующих уравнений (5.244), (5.251) и (5.260), необходимо также учесть уравнения (4.72), (4.73) и (4.76).

Очевидно, что если все интегралы в уравнениях (5.256) — (5.260) имеют положительные значения, то каждый член в уравнении (5.255) положителен и значение Cso увеличивается по мере того, как абсолютная величина М уменьшается. Теперь уже ясно, что это совсем не обязательно, так как интегралы могут быть отрицательными (даже если начать с уравнения (5.138)). Положительные значения интегралов являются достаточным условием для монотонного изменения коэффициента аберрации, вызванного изменением увеличения.

Рис. 75. Перевернутое распределение поля.Рис. 75. Перевернутое распределение поля.Существует другая важная особенность коэффициентов асимптотической аберрации, о которой следовало бы упомянуть. Рассмотрим произвольный осевой электростатический потенциал или распределение магнитной индукции (сплошная кривая на рис. 75). Если теперь обратить это распределение (штриховая кривая

Рис. 75. Перевернутое распределение поля.

Рис. 75. Перевернутое распределение поля.

(5.265)(5.265)на том же рисунке), тогда, очевидно, все оптические параметры также обратятся. Это означает, что величины исходного распределения в пространстве объектов будут эквивалентны соответствующим величинам в пространстве изображений обращенного .распределения .и наоборот. Увеличение перевернутой линзы равно обратному увеличению исходной линзы. Фактически этот случай был рассмотрен в разд. 5.2.1, когда анализировались «прямой» и «обратный» методы вычисления коэффициентов аберрации. Если для параметров перевернутой линзы использовать индекс «rev», то очевидно, что

(5.265)

(5.265)

С so те^^/М*)— Сзцм*1),C$i rev(l/M ♦) = Cso(M* ).

Как следствие этих выражений коэффициент перевернутой линзы в пространстве объектов для бесконечного увеличения равен коэффициенту первоначальной линзы в пространстве изображений для нулевого увеличения и обратно.

Запишем теперь коэффициент сферической аберрации в пространстве объектов для перевернутой линзы с увеличением 1/Л4*, используя уравнение (5.255). Имеем

С so rev(l/M*) — Cso 0 rev + Cs0 i rev^f* ~H Cso 2 revM*2 +

+ Cso 3 revM*3 + Cso 4 revM*4. (5.267)

Сравнивая это выражение с уравнением (5.261) и используя уравнение (5.265), можно видеть, что асимптотические коэффициенты перевернутой линзы связаны с коэффициентами исходной линзы посредством соотношения

Csoftrev = {iW) - и0Щи^ - U0lp/2Cso(4-k>

(&=0, 1, 2, 3, 4),(5.268)

где а и b — граничные координаты в пространстве объектов и в пространстве изображений исходной линзы соответственно.

Это соотношение дает простой способ сравнения ускоряющих и замедляющих электростатических линз. Очевидно, что перевернутой по отношению к ускоряющей линзе является замедляющая линза. Уравнение (5.268) показывает для U ^> >U(а), что коэффициент сферической аберрации замедляющей линзы обычно больше, чем тот же коэффициент ускоряющей линзы. Кроме того, было показано (разд. 5.3.1.2), что хроматическая аберрация замедляющих линз также является большой. В свою очередь фокусное расстояние в пространстве объектов замедляющей линзы равно фокусному расстоянию в пространстве изображения перевернутой линзы, но оно имеет большее значение, чем фокусное расстояние ускоряющей линзы в пространстве объектов согласно уравнению (4.76). (Таким образом, коэффициенты добротности Cso/fi и Cco/fi (см. разд. 5.7.4) могут быть как лучше, так и хуже для замедляющих линз по сравнению с ускоряющими).

Здесь необходимо сделать предостережение. Коэффициент аберрации сильно зависит от увеличения. Для больших увеличений доминирующим членом в уравнении (5.255) является Csoo; для малых увеличений — CSo4. Если Cso^Csoo, то Cs0orev>Csoo И Cso4 rev может быть намного меньше, чем CSO4, даже если U^>1КдУ Таким образом, коэффициент аберрации перевернутой линзы больше, чем исходной линзы, только для больших увеличений. С другой стороны, если Cso^Csoo, то CsO4rev>CSO4 И С$о0 rev может быть много меньше, чем Cso0 Это означает, что 318

коэффициент сферической аберрации перевернутой линзы больше, чем исходной линзы, только для малых увеличений.

Также следует быть осторожным при определении перевернутой линзы. Это предполагает полное обращение всего распределения потенциала, т. е. перестановку электродов и их напряжений. Перестановки только одних напряжений без изменения положений электродов достаточно лишь в том случае, если расположение электродов симметрично относительно некоторой средней плоскости.

Очевидно, что симметричная линза является специальным случаем, означающим тот факт, что перевернутая линза совпадает с исходной линзой. Тогда уравнение (5.268) непосредственно дает

CSO0 = CSO4, Csoi = CSo3- (5.269)

Эти соотношения следуют также из симметрии уравнёний (5.256) — (5.260). Очевидно, для симметричной линзы CSoo= = = Cs1(m=o), что согласуется с уравнениями (5.263), (5.264) и (5 269).

Полиномиальное выражение для коэффициента асимптотической аксиальной хроматической аберрации. Уравнение (5.194) представляет собой простейший вид коэффициента аксиальной хроматической аберрации, однако начнем с уравнения (5.192), которое чаще используется на практике Для асимптотического случая оно может быть записано в виде

6

Cso = ЦП (г) № + £ (г) НН'\ dz,(5.270)

где

D (г) = {[£ (а) - иДО (г) - U^ х

(5.271)(5.272)(5.271)(5.272)v I U"^QB^ (г)

(5.271)

(5.272)

(5.271)

(5.272)

Л)4[^(г)-^о1 8т0[У(г)-У0]

£ (?) = № (а)- U№ (г) - (/,]}^ ^у^

Подставим уравнение (5.250) и его производную в уравнение (5.270). Получим коэффициент асимптотической аксиальной хроматической аберрации в виде полинома второй степени по обратному асимптотическому увеличению:

Cco=Cco0+CcoilM*+Cco2IM*\ (5.273)

где коэффициенты зависят от распределения поля и граничных условий

6

Ссоо= [rzi (а)]~2 $ [D(z)r21 + E(z)r1r,i]dz, (5.274)

b

Ссо1 =Г [2^ (2)г^ + Е ^ № + Г'^А dz, (5.275) г 2 (а) Hi (a)J J а

b

C^-^rHv^D^rl+E^r^dz. (5.276) г2 (а) (Л (“)1 J

Как и в случае асимптотической сферической аберрации, приведенные выше коэффициенты не зависят от положения •объекта, таким образом, они представляют коэффициент аксиальной хроматической аберрации в общем виде. Знание этих величин обеспечивает полную информацию о коэффициенте асимптотической аксиальной хроматической аберрации для любого увеличения. Только в случае ньютоновских полей (см. разд. 4.6) можно использовать уравнение (5.273) для получения коэффициента реальной хроматической аберрации.

Коэффициенты Ссок (k=G, 1, 2) могут быть вычислены не только из уравнений (5.274) — (5.276), но также из расчета интеграла в уравнении (5.270) для трех различных значений увеличения. Подставляя Ссо для каждого значения М* в уравнение (5.273), получим систему трех линейных алгебраических уравнений, из которых легко найти коэффициенты. Исходные значения увеличения тем не менее должны выбираться чрезвычайно тщательно, с тем чтобы избежать вычислительных неустойчивостей, возникающих в случае, когда эти значения расположены близко друг от друга. В общем случае предпочтительно непосредственное вычисление интегралов в уравнениях (5.274) — (5.276).

Коэффициент асимптотической аксиальной хроматической аберрации, связанный с изображением, получаем из уравнений (5.246) и (5.273) в следующем виде: -Cc^WUW-UoMVUkaA-u.Ay^x

X (СсооЛ4*2 + СсохМ* + Ссо2).(5.277)

Радиус диска асимптотической хроматической аберрации в плоскости изображения задается уравнениями (5.199) и (5.273) как

& ci — ^М*СсобЧ" CCol~V CCo2jM*A X

X tg у о* A Uoi {2 [ и (а) — По]}. (5.278) Желательно минимизировать эту величину, с тем чтобы иметь наименьший возможный размер пятна. Абсолютное значение

величины в круглых скобках стремится к бесконечности как при нулевом, так и при бесконечном увеличении, таким образом, она минимальна при некотором характерном увеличении. Это также следует из рассмотрения, приведенного в конце разд. 5.3.1.1. Оптимальное увеличение в этом случае дается простым выражением

Af*oPt = —(Ссо2/Ссоо)1/2, (5.279)

которое получается, если приравнять нулю первую производную по М* функции в скобках. Его значение обычно близко к —1. Выбрав оптимальное значение, можно работать с данной линзой при наименьшей из возможных хроматической аберрации.

Из уравнений (5.273) и (5.277) следует, что

(5.280)(5.280)СсоО — Ссооо>

(5.280)

(5.280)

Cco2 = {[L/(a) - UoAiVUW - и0АУ/2Ссцм*=^. (5.281)

Таким образом, эти два коэффициента непосредственно связаны с коэффициентами аберрации для бесконечного и нулевого увеличений соответственно. Уравнения (5.212) и (5.215) справедливы также для асимптотических увеличений. Уравнение (5.280) также может быть выведено из уравнений (5.248), (5.270) и (5.274). Для того чтобы вывести уравнение (5.281) из соответствующих уравнений (5.247), (5.270) и (5.276), также необходимо использовать уравнения (4.72), (4.73) и (4.76).

Если все интегралы в уравнениях (5.274) — (5.276) положительны, то каждый член в уравнении (5.273) положителен и Сео увеличивается по мере уменьшения абсолютной величины М. Положительность интегралов является достаточным условием для монотонного изменения коэффициента аберрации с увеличением.

Для перевернутой линзы, как и в случае сферической аберрации, имеем .

Ссо rev(l/M*) = Ссцм*),(5.282)

Cci rev(l/M*) = Ссо(М *)•(5.283)

Как следствие этих выражений коэффициент перевернутой линзы в пространстве объектов для бесконечного увеличения равен коэффициенту исходной линзы в пространстве изображений для нулевого увеличения и обратно.

Если записать коэффициент хроматической аберрации для перевернутой линзы в пространстве объектов с увеличением \(М*, то, используя уравнение (5.273), имеем

С со rev(l/M *) = Сео 0 rev + С со 1 rev^4* + Cco 2 ге\'й4*2.(5.284)

Сравнивая это выражение с уравнением (5.277) и используя уравнение (5.282), можно видеть, что асимптотические коэффициенты перевернутой линзы связаны с коэффициентами исходной линзы следующим соотношением:

Cco^ev={[(7(6) — (70]/[[7(а) -U^^Gco^ (6=0, 1,2),(5.285)

где а и b— координаты границ исходной линзы в пространстве объектов и изображений соответственно.

Это соотношение обеспечивает простой способ сравнения хроматической аберрации ускоряющих и замедляющих электростатических линз. Уравнение (5.285) показывает, что в случае U (b) >U(а)- коэффициент хроматической аберрации замедляющей линзы, как правило, больше, чем тот же коэффициент для ускоряющей линзы. Это соответствует рассуждениям в разд. 5.3.1.2 о более высоком верхнем пределе замедляющей электростатической линзы. Тем не менее, как и в случае сферической аберрации, это не исключает возможности существования замедляющей линзы с малой хроматической аберрацией при заданном увеличении. Действительно, при больших увеличениях доминирующим членом в уравнении (5.273) является ССоо; при малых увеличениях таковым является Ссо2. Если Ссой^^СсоОэ то Ccoorev ^ ССоо и 6/co2rev может быть меньше, чем Ссо2, даже в случае U (b) :>U(а). Таким образом, коэффициент аберрации перевернутой линзы больше того же коэффициента исходной линзы только в случае больших увеличений. С другой СТОрОНЫ, еСЛИ Cco2^^Gco(b ТО С co2tev^>G со2 И CcoOrev МОЖеТ быть меньше, чем CcoQ. Это означает, что коэффициент хроматической аберрации перевернутой линзы больше, чем исходной линзы, только в случае малых увеличений.

Напоминаем читателю снова, что перевернутая линза предполагает полное обращение всего распределения потенциала, т. е. перестановку электродов и их напряжений. Перестановки одних только напряжений без изменения положения электродов достаточно только в том случае, когда расположение электродов симметрично по отношению к средней плоскости.

В специальном случае симметричных линз уравнение (5.285) дает

Ссоо = Ссо2’ M*opt = — 1.(5.286)

Уравнение (5.286) следует также из симметрии уравнений (5.274)— (5.276). Очевидно, что для симметричной линзы Ссооо= = СС1(м=о), что согласуется с уравнениями (5.280), (5.281) и (5.286).

Наконец, заметим, что аналогичные действия могут быть применены для вычисления всех других коэффициентов асимптотических аберраций. Все они могут быть выражены максимум как полиномы третьей степени от обратного асимптотического увеличения.

Аберрации тонких линз

В приближении тонкой линзы (разд. 4.9) не существует раз

личия между асимптотическими и реальными параметрами; таким образом, можно рассматривать аберрации тонкой линзы

Рис. 76. К вычислению аберраций тонкой линзы.Рис. 76. К вычислению аберраций тонкой линзы.образом, чтобы они содержалиобразом, чтобы они содержалитолько траектории, но не содержали их производных, тогдатолько траектории, но не содержали их производных, тогдакак частные случаи асимптотических аберраций. Как и раньше, будем рассматривать только сферическую и аксиальную хроматическую аберрации, но используемые методы также можно легко распространить и на другие виды аберрации. Основная идея элементарна: интегралы аберраций следует выразить таким

Рис. 76. К вычислению аберраций тонкой линзы.

Рис. 76. К вычислению аберраций тонкой линзы.

образом, чтобы они содержали

образом, чтобы они содержали

только траектории, но не содержали их производных, тогда

только траектории, но не содержали их производных, тогда

можно рассматривать только незначительные изменения смещения луча внутри линзы и не беспокоиться о резко изменяю

щихся углах наклона.

Сферическая аберрация. Коэффициент сферической аберрации магнитных линз в виде (5.135) —это как раз то, что нам нужно. Полагая A = p = const внутри линзы, где р— расстояние до объекта (рис. 76), и интегрируя по частям, получаем коэффициент сферической аберрации тонкой магнитной линзы в виде:

ь

Cso = ЧрГЧТгЦтч- fВ '* (z) 1 dz. (5.287)

16/П0(1/ Цо)ге1 J I З/Ло (1^ Цо)ге1J

а

Для электростатических линз можно вывести аналогичное выражение, начиная с уравнения (5.132). Существует семь произвольных коэффициентов в электростатических членах этого выражения, и можно записать семь уравнений, приравняв все

члены, содержащие h', нулю. В результате получим следующие коэффициенты:

к\ = — 16, *2=—8, *3 = ^4 = — 4,

(5.288) ^6 = 1, ^7 = 0, ^з=—2.

Подставляя эти коэффициенты в уравнение (5.132), опять полагая /z = p = const внутри линзы и интегрируя по частям, получим коэффициент сферической аберрации для тонкой электростатической линзы:

ь

Cso = (5^/64) $ {[(7(г)-(70]/[77 (а)-U^ X

х J Г _^" (г) 12 I Г ^' (г) I4/75 2891

Вводя обозначение Cso/p4 = 7 и используя уравнение (4.77), можно видеть, что в обоих случаях

Cso=p4/ = //(l — 1/Л4)4/ =

=Л4/(1 — 4/ЛЦ-6/Л12 —4/Л13 + 1/Л14),(5.290)

что эквивалентно полиномиальному выражению четвертой степени (5.255). Из этого выражения следует, что в рассматриваемом случае связь между коэффициентом сферической аберрации и увеличением носит монотонный характер (см. обсуждение после уравнения (5.281):

Cso[Csooo— (1 — 1/Л4)4.(5.291)

Отметим также симметрию уравнения (5.290). Таким образом, уравнение (5.269) справедливо для любой тонкой линзы.

Необходимо понимать, что это приближение в действительности не предполагает сосредоточения линзы в одной плоскости. Для такой бесконечно тонкой линзы h' не является непрерывной функцией. Это приводит к тому, что h" ведет себя как дельта-функция. Из уравнений (4.49) и (4.50) следует, что T(z) также должна вести себя как дельта-функция. В интегралах (5.287) и (5.289) есть члены, пропорциональные 72(z), но дельта-функция не интегрируется в квадрате [150]. Это означает, что для бесконечно тонкой линзы коэффициент сферической аберрации является бесконечно большим, если фокусное расстояние конечно. Чтобы обойти эту трудность, будем рассматривать реальные распределения поля и интегрировать их по конечной длине линзы.

Фактический вид функции I зависит от линзы. Можно связать эту функцию с упрощенным решением уравнения параксиальных лучей и выразить ее как комбинацию различных полевых интегралов и фокусного расстояния. Это легко может быть сделано для магнитных линз [150], но такая же методика возможна и для электростатических линз. В итоге зависимость коэффициента аберрации от фокусного расстояния может оказаться более сложной, чем это следует из уравнения (5.290).

Аксиальная хроматическая аберрация. Вначале выразим коэффициент аксиальной хроматической аберрации в виде (5.194). Полагая опять /i=p = const внутри линзы и используя уравнение (4.77), можно написать

Ссо=рЧ=ЬЦ1 — 1/Л4)2/=Л2/(1 — 2/Л4+1/Л12), (5.292)

где

ь

/=(1/8) $ {[17(а)-^]/[17(2)-{/0]}^2х

°(5.293)

\\u (,z)—UoV т0Ц7(г) — и0Иv '

Уравнение (5.292) эквивалентно полиномиальному выражению второй степени (5.273). Связь между коэффициентом хроматической аберрации и увеличением в этом случае также носит монотонный характер:

Ссо/Ссо=о= (1 — W)2.(5.294)

В силу симметрии уравнения (5.292) уравнение (5.286) справедливо для всех тонких линз.

Уравнение (5.293) легко может быть связано с фокусным расстоянием тонкой линзы. Для тонких магнитных линз уравнения (4.51), (4.77), (4.117), (5.292) и (5.293) дают

Cco=p2/f=p(l - 1/М) =f (1 - 1/М)2.(5.295)

Коэффициент хроматической аберрации для тонких магнитных линз зависит от магнитного поля только через фокусное расстояние. Сравнивая уравнение (5.295) с (5.218) и учитывая, что в этом случае /i(zm)=p, можно видеть, что коэффициент хроматической аберрации тонких магнитных линз равен верхнему пределу хроматической аберрации. Это обстоятельство делает весьма полезным приближение тонкой линзы в рассматриваемом случае.

В случае тонких электростатических линз из уравнений (4.51), (4.77), (4.117), (5.292) и (5.293) получим, что CCO = V\ {[(/(а) — £/<>]/№) - и^у/гТ^ск<

°^2p{[Z7(a) — C70]/[Z7(b) — C70]}V4X

Х([17(а) - UoyVUmto- Uq^v^X - UM), (5.296)

где Umm — минимальное значение потенциала. Сравнение с уравнением (5.223) показывает, что верхний предел хроматической аберрации тонкой линзы отличен от предела для толстой линзы (пределы равны только для одиночных линз с (7mm=^(a) = = (7(b)). Сравнение с данными табл. 4 показывает тем не менее, что на практике верхний предел хроматической аберрации тонких линз, связанный с максимальным значением смещения (для конечных увеличений) или с фокусным расстоянием в пространстве объектов (для бесконечных увеличений), значительно меньше, чем для толстых линз. В любом случае между верхним пределом хроматической аберрации и фокусным расстоянием существует линейная зависимость.

Аберрации систем линз

В разд. 4.8.1 был введен матричный формализм для описания систем линз. Такой же подход удобен для расчета аберраций систем линз через коэффициенты аберрации отдельных элементов системы. Окончательный вид матриц получается достаточно сложным. Причем в общем случае [151] выражение для любого конкретного коэффициента аберрации системы линз содержит не только соответствующие коэффициенты отдельных линз, а может содержать весь набор их коэффициентов аберраций. Единственным исключением являются аксиальные аберрации, которые зависят только от аксиальных коэффициентов аберраций отдельных линз. Тем не менее «смешивание» сферической и аксиальной хроматической аберраций также не является простой задачей. Мы вернемся к этому вопросу в разд. 5.7.

Преимущества матричного формализма особенно очевидны для асимптотических аберраций. В этом случае полиномиальные коэффициенты аберраций отдельных элементов дают всю необходимую информацию для расчета аберраций системы. Здесь требуется построение аберрационных матриц и их последовательное умножение для цепочки элементов. Очень удобно написать компьютерную программу, которая решала бы эту задачу автоматически. Можно включить даже некоторые элементы оптимизации путем циклического формирования матрицы с последующим умножением для различных значений параметров 326

линзы [152J. Такой подход удобен для согласования различных типов электронных и ионных оптических компонент, т. е. введение энергетических анализаторов в фокусирующую систему, так как аберрационные матрицы могут быть построены для систем с любым типом симметрии.

В дальнейшем для «сложения» сферической и аксиальной хроматической аберраций будут выведены простые выражения для систем, состоящих из двух линз. Результаты легко могут быть обобщены на произвольное число линз.

Добавление сферической аберрации

Начнем с двухлинзовой системы, которая формирует промежуточное изображение между линзами (рис. 51, а). Для коэффициента сферической аберрации первой линзы уравнение (5.99) дает

zm

C/so=-4{-2Qmo[t7(z0) - UO1VX,4 FsVi^dz,го

(5.297) где zm — координата промежуточного изображения и функция Fs определяется уравнением (5.97). Аналогично для коэффициента сферической аберрации второй линзы имеем

C"so=—4{—2Qmo№m) — t/o]}-'/2 SFs[/i(z)]dz.

(5.298)

Отметим, что h(z') для каждого из этих выражений дает отдельный луч и начальные условия для этих лучей даются уравнением (5.42). В частности, во втором выражении h'^Zm^V.

Уравнение (5.99) можно использовать без изменения для вычисления коэффициента сферической аберрации Cso системы, рассматривая ее как одну линзу. С другой стороны, интеграл, появляющийся в уравнении (5.99), можно рассматривать как сумму двух интегралов: один, берущийся от Zo ДО Zm, ДруГОИ от zm до Zi. Эти интегралы появляются соответственно в уравнениях (5.297) и (5.298). Таким образом, легко выразить коэффициент аберрации составной линзы с помощью коэффициентов аберрации ее компонент. Тем не менее следует помнить, что для составной линзы h^z)—единственный луч и h'(zm) =h'm может принимать любое отрицательное значение. Будем учитывать это обстоятельство наряду с выражениями для угловых увеличений составных линз

G'=h'm = {[U(z0) - U^YU^ - и0]}^!М', (5.299)

G"=h'dh'm=\.VU^ - U^U^ - U^'W,

(5.300)

где G' и М' — соответственно угловое увеличение и увеличение первой линзы, G" и М"— те же величины для второй линзы. Приведенные выше соотношения следуют из уравнения (4.65). Очевидно, что полное угловое увеличение дается выражением

G = G'G",(5.301)

а полное увеличение —

М=М'М".(5.302)

Таким образом, коэффициент сферической аберрации системы, связанный с объектом, может быть выражен как

Gso=C'so+vtu^ - и,№Ы - u0y^c"$oiM'4=

= C'$o+{[(/(Zo) - t/oHt/(2() - lMy/2C"siIM\

(5.303)

Первая часть этого выражения удобна тем, что содержит только коэффициенты, связанные с объектом, в то время как преимущество второй записи заключается в том, что здесь появляется суммарное увеличение. Отсюда, используя уравнение (5.83), можно получить коэффициент сферической аберрации системы, связанный с изображением, в виде

csi=vvu^ -WM- и»\у^с'51м"^с"51,

(5.304)

где С'si и С"si — коэффициенты сферической аберрации первой и второй линзы соответственно, причем оба связаны с изображением.

Из уравнений (5.79) и (5.303) получим радиус диска сферической аберрации в плоскости изображения:

6rsi=M"6rsix + brsi2,(5.305)

где

Sr^Al'C'^tg3^(5.306)

есть радиус диска сферической аберрации первой линзы,

6rsi2 = M"C"S0 tg3 ym(5.307)

есть радиус диска сферической аберрации второй линзы и ут— половинный угол аксептанса второй линзы. Из этого важного соотношения следует, что радиус диска сферической аберрации системы есть сумма радиуса диска сферической аберрации пер-

вой линзы, увеличенного второй линзой, и радиуса диска сферической аберрации второй линзы.

Отметим, что если чо>0, то чт<0, 6rsn<0, 6rs,-2>0 и из уравнения (5.305) следует положительное значение радиуса диска для сложной системы.

Возводя в квадрат уравнение (5.305) и учитывая знаки различных компонент, можно видеть, что

(6rsi)2> (M"6rsny+ ^rmV-(5.308)

Важно отметить, что предположение об отсутствии корреляции между аберрациями двух линз, которое приводит к квадрату - суммы аберрационных дисков [153], неверно и приводит к существенному занижению размера аберрационного диска [154].

Следует помнить, что в уравнении (5.303) коэффициенты компонент системы C'so и C"so (или C"S1) являются функциями увеличений М' и М" соответственно. С другой стороны, увеличение М" зависит от расстояния между линзами. Таким образом, коэффициент сферической аберрации составной линзы является сложной функцией параметров системы. Это обстоятельство позволяет минимизировать суммарный коэффициент аберрации соответствующим выбором этих параметров [155], хотя аберрация сложной системы всегда больше, чем аберрации отдельных компонент. Для тонких линз легко выразить уравнение (5.303) через фокусные расстояния и расстояния между компонентами [156]. Практический пример сложной линзы с относительно малой сферической аберрацией — это система, состоящая из сильной линзы, формирующей мнимое изображение, и следующей за ней слабой линзы [157].

Представляет интерес в качестве практического примера вычислить коэффициент аберрации системы, показанной на рис. 60. В этом случае М' бесконечно велико, а М" равно нулю. В соответствии с этим только C'so и C"si являются конечными величинами, поэтому следует использовать вторую часть уравнения (5.303). Увеличение системы дается уравнением (4.174). Имеем

Cso = C'soco- ОГ^С^м^М.(5.309)

Видно, что для данного суммарного увеличения М коэффициент сферической аберрации системы может быть сделан очень близким к коэффициенту первой линзы для бесконечного увеличения, если выбрать первую линзу очень сильной по сравнению со второй. Это полезный результат, так как коэффициент сферической аберрации обычно имеет наименьшее значение для бесконечных увеличений. Конечно, уравнение (4.174) предполагает, что в этом случае увеличение системы достигает больших ' значений. Кроме того, так как второй член делится на М, этот подход реально работает только для относительно больших уве-

личений. Как следствие можно пренебречь сферической аберрацией второй линзы и наша задача состоит в том, чтобы выбрать первую линзу с настолько малой сферической аберрацией при бесконечном увеличении, насколько это возможно.

Легко обобщить полученный выше результат для последовательности следующих друг за другом линз, просто рассматривая комбинацию пары линз как одну линзу и последовательно используя эту процедуру.

Наконец, отметим, что комбинации линз могут быть использованы для коррекции и даже устранения неаксиальных геометрических аберраций [158, 159J.

Добавление аксиальной хроматической аберрации

Рассмотрим теперь аксиальную хроматическую аберрацию двухлинзовой системы с промежуточным изображением между линзами (рис. 51, а). Коэффициент аберрации, связанный с объектом, определяется уравнением (5.206). Для первой линзы имеем

2т

C'so= $FCRz)]rfz, (5.310) го

где zm — координата промежуточного изображения, а функция Fc является подынтегральным выражением в уравнении (5.194). Аналогично коэффициент аксиальной хроматической аберрации второй линзы дается соотношением

C"co={p(zm) - (70]/[t/(zo) - t/o]}1/2 ^FcVikzYViz.zm

(5.311)

Заметим, что в этом выражении к'(гт^ = 1.

Уравнение (5.206) может быть использовано без изменения для вычисления коэффициента аберрации Сс0 системы, если рассматривать ее как одну линзу. С другой стороны, интеграл, появляющийся в уравнении (5.206), может быть рассмотрен как сумма двух интегралов: один, вычисляемый от zo до гт, а другой— от гта до г,. Эти интегралы появляются в уравнениях (5.310) и (5.311) соответственно. Таким образом, можно выразить коэффициент аберрации составной линзы через коэффициенты аберрации ее компонентов, если учесть, что для составной линзы h^ является единственным лучом и h.'^zm^=h'm может принимать любое отрицательное значение. Используя уравнения (5.299) — (5.302), получаем коэффициент аксиальной 330

хроматической аберрации системы, связанный с объектом, в следующем виде:

CCo = Czco+{[^(Zo) -[/0]/[[/(гт) -U^Y^C'-colM'^ ,=C'co+{[t/(zo) - UqYYU^ - U^C",^.

(5.312)

Используя уравнение (5.201), отсюда можно получить коэффициент хроматической аберрации системы, связанный с изображением, в виде

Cci={[t/(z,) - UMU^ - U0iy/2C'ciM"2 + C"ci, (5.313)

где С'd и C"Ci — коэффициенты хроматографической аберрации первой и второй линзы соответственно, связанные с изображением.

Уравнения (5.197) и (5.312) дают радиус диска хроматической аберрации в плоскости изображения:

6rCi=M"brCii + brCi2,(5.314)

где

6rc;i=M'C'cotgy0Ano/{2[t/(20) - Uoy(5.315)

есть радиус диска хроматической аберрации первой линзы, brCi2=M"C"co^^UQIV2.VUkz^ - С/о]}(5.316)

есть радиус диска хроматической аберрации второй линзы и ут—половинный угол аксептанса второй линзы. Таким образом, радиус диска хроматической аберрации системы является суммой радиуса диска хроматической аберрации первой линзы, увеличенного второй линзой, и радиуса диска хроматической аберрации второй линзы. Предположение об отсутствии корреляции между аберрациями двух линз, приводящее к квадрату суммы радиусов аберрационных дисков, неверно и ведет к существенной переоценке размера аберрационного диска.

Коэффициенты компонентов С'со и С"со (или С"с1) в уравнении (5.312) являются функциями увеличений М' и М" соответственно. Увеличение М", с другой стороны, зависит от расстояния между двумя линзами. Таким образом, коэффициент хроматической аберрации составной линзы является сложной функцией параметров системы. Аберрация сложной системы всегда больше, чем аберрации отдельных компонент.

Заметим, что если уо>0, то ут<0, бгсл<0, 6гС12>0 и уравнение (5.314) дает положительное значение для радиуса диска сложной системы.

Рассмотрим коэффициент хроматической аберрации дублета, показанного на рис. 60. Так как в этом случае М' бесконечно велико и М" равно нулю, только C'sn и C"st являются конечными величинами. Поэтому вторую часть уравнения (5.312) необходимо использовать с увеличением системы, определяемым уравнением (4.174). В результате получим

С со = с со» — М (Г1/Г2) 3С"сцм=0). (5.317)

Вывод такой же, как и в случае сферической аберрации: если выбрать первую линзу намного сильнее, чем вторая, то вкладом второй линзы в хроматическую аберрацию можно пренебречь. Однако существует различие, которое заключается в том, что теперь второй член умножается на М, а не делится на него. Таким образом, эта схема работает для относительно малых увеличений (в соответствии с уравнением (4.174) и тем, о чем было сказано в конце разд. 4.5), что требует очень большого отношения напряжений изображение — предмет, но, с другой стороны, она имеет дополнительное преимущество вследствие больших рабочих расстояний в пространстве изображений.

Процедура добавления хроматических аберраций может быть легко обобщена для последовательности линз следующих одна за другой.

Другие источники аберраций и коррекция аберраций

Как было упомянуто во введении к этой главе, аберрации не ограничиваются геометрическими и хроматическими ошибками линз. Следует осознавать, что существуют другие независимые источники дополнительных ошибок.

В разд. 5.2.1.3 также было упомянуто о том, что аберрации можно компенсировать, используя дополнительные заряды, разрывы распределений поля, нестационарные поля илн другие виды симметрии, т. е. некоторые типы дополнительных источников ошибки могут найти полезное применение для устранения некоторых аберраций. Хотя этот подход обычно приводит к очень сложным системам, все же сделаем краткий обзор всех упомянутых источников.

Дифракция

Известно, что заряженные частицы обладают волновыми свойствами и их дебройлевская длина волны дается уравнением (1.25). Подставляя импульс р = ту из уравнения (2.90) и пред-

полагая, что частица расположена вблизи оптической оси, получаем для длины волны

X(z) = Л{—2Qm0[t/(z) — t/0]rei}-’/2.(5.318)

Заметим, что длина волны является функцией координаты z, так как импульс меняется вместе с изменением релятивистского потенциала. Для электронов подстановка фундаментальных констант дает

X(z) =12,25| [[/(z) - t/o]rei|-’/2[A].(5.319)

Для электронов с энергией 15 кэВ длина волны приблизительно равна 0,1 А, но при более низких энергиях она становится больше. Очевидно, что для ионов с той же энергией длина волны значительно меньше. Для Н+ она меньше в 1836,11/2 = = 42,8 раза и гораздо меньше для более тяжелых ионов.

Как следствие волновой природы частиц возникает явление дифракции, и если изображение точечного объекта формируется идеальной линзой, то оно будет не точкой, а маленьким диском (диск Эйри), радиус которого дается следующим выражением [ 16J:

6г т = 0,6A,(/sin у,-,(5.320)

где Xi— длина волны вблизи изображения и ^i — Угол между краевым лучом, формирующим изображение, и оптической осью.

Соотношение Аббе (см. замечания после уравнения (4.65)) с учетом уравнения (5.318) может быть записано как

М sin y,/siny0={ [17 (Zo) — Z70]rel/[£7(Zt) — <70]rel}1/2=X,Ao,

(5.321)

где Xo — длина волны вблизи объекта. Далее, можно определить радиус диска Эйри вблизи объекта

6г do = 6г ddМ,(5.322)

так же как и в случае сферической и аксиальной хроматической аберраций. Уравнение (5.320) может быть переписано в более удобном виде

6rdi = 0,6AfXo/sin f о.(5.323)

Заметим, что бгщ отрицательно для положительных значений ^о, как и в случае сферической и аксиальной хроматической аберраций.

Из уравнения (5.323) явно следует, что дифракция может приводить к очень жестким ограничениям разрешения электрон-

ного зонда, если половинный угол аксептанса мал. Действительно, для электронов с энергией 15 кэВ и у0 = 1 мрад имеем 6rdo = 60 А, что является значительной величиной. Этим объясняется тот факт, что дифракция является очень важным ограничивающим фактором разрешающей способности электронного микроскопа. Определим разрешающую способность как радиус диска Эйри в положении объекта: если расстояние между двумя точками меньше, чем 6rdo, то их изображения нельзя отделить друг от друга из-за дифракции.

Отметим, что дифракция электронов не всегда является негативным обстоятельством: она очень полезна как инструмент для кристаллографических исследований.

Очевидно, что дифракция более важна для низкоэнергетич- ных электронов и особенно для очень маленьких апертур пучка. Для того чтобы увеличить ток зонда, обычно стараются использовать настолько большие апертуры, насколько это возможно. По мере увеличения апертуры дифракция становится все менее и менее значительной, но в то же время сферическая аберрация становится доминирующей. При малых энергиях и относительно малых апертурах обычно нельзя пренебрегать аксиальной хроматической аберрацией, таким образом, дифракция неотделима от этой аберрации. Конкуренция между различными типами аберраций будет рассмотрена в разд. 5.7. Тем не менее должно быть очевидным, что, так как дифракцию нельзя устранить или исправить, очень важно иметь линзы с минимально возможными коэффициентами геометрической и хроматической аберраций. Тщательно сконструированные линзы с незначительными аберрациями позволяют работать при больших апертурах, для которых дифракционный диск пренебрежимо мал.

Наконец, хотелось бы отметить возможность использования дифракции для уменьшения сферической аберрации. Идея заключается в том, чтобы рассматривать суммарный аберрационный диск, как диск Эйри, расширившийся из-за сферической аберрации, вследствие чего некоторые компоненты волны приходят к положению изображения не в фазе. Чистая дифракционная картина может быть затем восстановлена использованием зонной пластинки [160]. .

Пространственный и поверхностный заряды

Гл. 12 посвящена проблемам, связанным с пространственным зарядом. В основном существуют два типа проблем, которые необходимо рассмотреть. Первая связана с распределенным зарядом в пучке частиц, вторая — с взаимодействием отдельных частиц между собой.

Распределенный заряд при фокусировке пучка в точку приводит к появлению бесконечной электростатической силы отталкивания. В результате точечное изображение точечного объекта может быть образовано только тогда, когда первеанс пучка (см. уравнение (2.190)) пренебрежимо мал. Для любого конечного тока пучка минимальный достижимый размер изображения ограничивается пространственным зарядом. К счастью, как будет видно в дальнейшем, при обычных токах пучка и энергиях первеанс очень мал и влиянием распределенного пространственного заряда, таким образом, можно пренебречь. Распределенный пространственный заряд может влиять на изображение только для очень тяжелых ионов и/или при чрезвычайно низких энергиях. В этих случаях удобно рассматривать размытие пространственного заряда у изображения как добавку к диску сферической аберрации.

Положение сильно ухудшается из-за взаимодействий отдельных частиц между собой. Как известно, при этом происходит дополнительное энергетическое уширение пучка (эффект Боэрша). Тем не менее это энергетическое уширение может быть рассмотрено просто как расширение (в некоторых случаях весьма существенное) энергетического диапазона вблизи источника частиц, приводящего к хроматической аберрации. Таким образом, с точки зрения исследования аберраций нет необходимости рассматривать эффект Боэрша отдельно.

Присутствие вторичных электронов и/или ионизированных атомов, обусловленное неадекватными условиями вакуума, в высшей степени нежелательно. Тем не менее их пространственный заряд может служить для компенсации сферической и хроматической аберраций электронных и ионных линз. Действительно, отсутствие пространственного заряда является одним из условий справедливости теоремы Шерцера (разд. 5.2.1.3). Сферическая аберрация возникает из-за того, что фокусирующая сила слишком быстро увеличивается при удалении от оси. Если можно реализовать распределение пространственного заряда, создающее фокусирующую силу, которая тем больше по величине, чем ближе к оси расположена точка наблюдения (или дефокусирующую силу, увеличивающуюся с расстоянием от оси), то можно компенсировать сферическую аберрацию. Были предприняты попытки использовать компенсацию пространственным зарядом, но еще не предложено ни одного практически приемлемого решения.

Другой источник ошибок заключается в присутствии паразитных зарядов на поверхностях изолирующих материалов внутри оптической колонны. Их следует тщательно избегать, но заряды, наведенные на проводниках, могут успешно использоваться для коррекции аберраций. Проводники могут быть вы-

полнены в виде сетки [143] или фольги [161—164]. Они представляют собой разрывы в распределении потенциала. Маленькие отверстия в сетке возмущают поле линзы, а фольга вызывает рассеяние частиц. Поэтому этот подход достаточно трудно реализовать на практике. Использование сверхпроводящих сеток может оказаться более реальным решением [165].

Специальный случай коррекции аберрации, использующий разрывы потенциала, заключается в применении областей с нулевым потенциалом (зеркало для частиц) [166].

Высокочастотные поля

Чтобы быть уверенным в надлежащем функционировании, оптическую колонну необходимо экранировать от внешних электрических полей. Даже магнитное поле Земли может привести к значительным проблемам, если отсутствует соответствующее экранирование. Тем не менее высокочастотные поля могут обеспечить корректировку некоторых аберраций. Если соответствующим образом выбрать фазу, то фокусирующую силу, действующую на частицы, находящиеся вдали от оси, можно ослабить, что необходимо для компенсации сферической аберрации.

Так как здесь рассматриваются чрезвычайно малые временные интервалы, необходимо использовать частоты мегагерцово- го диапазона. В [165] содержится обзор исследований, приведенных в этом направлении.

Отсутствие аксиальной симметрии

Другой важный источник ошибок линзы заключается в несовершенстве технологии. Невозможно сделать электроды или наконечники полюсов полностью аксиально-симметричными. Причиной этого являются неоднородности материала, так же как и асимметрия, возникающая в процессе изготовления. Кроме того, в многокомпонентных системах основной проблемой может оказаться юстировка. В результате линза не сможет воспроизвести стигматическое изображение точечного объекта, даже если он расположен на оси. Это легко видеть, рассматривая два параксиальных луча: один — в плоскости xz, другой — в плоскости yz. Так как аксиальная симметрия отсутствует, два луча образуют две разные точки изображения. Этот случай вполне аналогичен случаю астигматизма (разд. 5.2.2). Поэтому суммарную аберрацию называют аксиальным астигматизмом, чтобы подчеркнуть тот факт, что она появляется даже для точек предмета на оси.

Эта аберрация может быть исправлена специальным приспособлением— стигматором. Как правило, это мультипольная линза, которая вносит такой же тип асимметрии (с противоположным знаком), как и исходный источник аксиального астигматизма. Варьируя возбуждения различных компонент поля мультиполя, можно компенсировать механические недостатки аксиально-симметричной системы.

Мультипольные линзы открывают совершенно новую область фокусировки заряженных частиц. Более подробно они будут рассмотрены в гл. 10. Здесь достаточно сказать, что они имеют большее число функций, характеризующих поле, чем аксиально-симметричные линзы (см. уравнение (3.52)), а следовательно, и больше возможностей для устранения аберраций. Это один из многообещающих путей как для коррекции [147] аксиальносимметричных линз, так и для создания систем, состоящих только из мультипольных линз. В дальнейшем будет показано, что при помощи системы квадруполей можно получать стигматические изображения для любой пары сопряженных точек вдоль оптической оси, поэтому она может полностью заменить аксиально-симметричные фокусирующие элементы. Так как мультиполи используются также для отклонения пучка, они реально могут вытеснить оптические колонны со всеми входящими в них элементами.

В случае мультиполей проблема заключается в том, что из- за большого числа электродов их механические дефекты и юстировка становятся основными факторами, ограничивающими их функционирование. В настоящее время это единственная причина их коммерческой несостоятельности. Есть твердая уверенность, что в будущем мультипольная оптика займет место, которое она заслуживает. Современное состояние дел в этой области [167—169] внушает оптимизм.

Здесь хотелось бы подчеркнуть, что теория аберраций третьего порядка, представленная в этой главе, ограничивается аксиально-симметричными полями. Аналогичная теория может быть развита для полей мультиполей, включая отклоняющие системы. Общая теория для любого типа симметрии [170], естественно, очень громоздка, но и очень полезна. В разд. 11.1.4 будет рассмотрен относительно простой, но всеобъемлющий способ рассмотрения совместного действия всех аберраций, включая аберрации отклонения. Необходимо также помнить, что для очень широких пучков (и/или для полностью скомпенсированных аберраций третьего порядка) следует учитывать аберрации высших порядков [170а].

Другие методы коррекции

Существуют также и другие возможности для уменьшения аберраций. Ниже будет представлен их краткий обзор.

Коаксиальные линзы. Некоторые приборы с аксиально-симметричным пучком не могут быть описаны при помощи параксиальных свойств. Например, можно расположить электроды вдоль оптической оси и использовать полый пучок, окружающий этот электрод [171]. Было показано [172], что в таких зональных системах могут возникать отрицательные значения коэффициентов сферической и аксиальной хроматической аберраций.

Симметричные траектории. Если как электростатический потенциал, так и распределения магнитной индукции симметричны по отношению к плоскости z = 0, то из уравнений (5.26) — (5.31) следует, что функции а.. Л также являются симметричными. Если, кроме того, увеличение равно —1, то решения уравнения параксиальных лучей A (z) и g^z) являются соответственно симметричной и антисимметричной функциями по отношению к той же плоскости. Из уравнений (5.68)— (5.75) видно, что подынтегральные выражения у коэффициентов аберраций Л4, Л5 и А6 являются антисимметричными функциями z; таким образом, в этом случае исчезают дисторсия, кома и анизотропный астигматизм.

Если электростатический потенциал симметричен, а магнитная индукция антисимметрична по отношению к плоскости z = 0, то функции d и е становятся антисимметричными. Для единичного увеличения это условие дает нулевые значения для коэффициентов Л4, Л5, Л7 и Л8: исчезают дисторсия, кома, анизотропная дисторсия и анизотропная кома [16].

Положение ограничивающей апертуры. Так как пучок лучей, формирующий изображение, меняет свою геометрию в зависимости от положения апертуры, то ее положение определенно будет влиять на неаксиальные аберрации. Исследования [16, 173] зависимости каждого коэффициента аберрации от положения апертуры показывают, что соответствующим выбором ее положения некоторые коэффициенты удается подавить.

Как будет показано в разд. 7.8.1 и 8.3.5, все изотропные неаксиальные аберрации могут таким образом быть сведены к нулю.

Цифровая обработка изображения. Использование методов улучшения изображения с помощью современной элект- 338

роники, использующих цифровую или оптическую обработку [41], — хороший альтернативный путь для исправления аберрации. Однако им можно пользоваться только в электронной микроскопии, а не в микропроизводстве или анализе поверхности, где определяющим фактором является качество зонда заряженных частиц, а не получение изображения.

Синтез

По нашему мнению, окончательное решение трудной проблемы уменьшения аберраций — это не стремление компенсировать ее, а поиск таких оптических элементов, которые сами обладали бы минимальными аберрациями. Методы построения таких оптических элементов доступны уже сейчас и будет представлены в гл. 9.

Об измерении аберраций

Теория аберраций требует сложных вычислений. Так как сейчас компьютеры доступны для любой лаборатории, необходимую вычислительную работу можно быстро выполнить, используя методы, описанные в следующей главе. Раньше большую часть работы приходилось выполнять экспериментально. Конечно же, очень важно уметь оценивать реальные возможности оптических элементов, рассчитанных численно. К сожалению, объем этой книги не позволяет детально разобраться в этом вопросе. Для ознакомления с различными экспериментальными методами читатель отсылается к литературе [18—36]. Большинство из них (тест Хартмана, метод светящегося круга, метод теней, метод разрезания, дифракционный метод, метод наклона) были разработаны для измерения сферической аберрации, но они также применимы для определения и других аберраций.

Яркость

Конечная цель любой зондоформирующей оптики — это сжатие как можно большего тока на как можно меньшей площади. Мы уже видели, что это очень трудная задача из-за большого числа ограничивающих факторов, обсуждавшихся в этой главе. Прежде чем перейти к дальнейшему рассмотрению, обсудим одно из наиболее фундаментальных ограничений, присущее любым пучкам частиц.

Механизм формирования изображения или зонда основан на том, что каждая точка объекта из-за разброса энергии частиц,

образующих пучок, является источником множества лучей. Разброс энергии является причиной хроматической аберрации (см. разд. 5.3). Рассмотрим теперь абсолютно идеальную систему без аберраций и предположим, что эффектами дифракции и пространственного заряда также можно пренебречь. Существует ли в этом случае предельный ток, который все еще можно сфокусировать в пятно заданного размера? Можно ли произвольно увеличивать плотность тока в точке падения?

Начнем с соотношения Аббе (5.321), которое может быть записано совместно с (4.59) как

[^(z,) — ^о]rein2 sin2 7<=[H(z0) — Z70]reiro2sin2 fo.

(5.324)

Начальные скорости частиц имеют максвелловское распределение. Соответственно плотность тока в поперечном сечении пучка имеет гауссово распределение. Для упрощения вычислений реальный пучок можно заменить эквивалентным пучком с постоянной плотностью тока, полный ток I которого равен току в гауссовом пучке [174]. Тогда можно записать

I=nro2lo=nri2Ji,(5.325)

где Jо и J; — плотности тока у объекта и изображения соответственно.

Теперь предположим, что объект сам является источником. Кинетическая энергия у источника определяется (2.32). С другой стороны, наиболее вероятное значение энергии в максвелловском распределении дается выражением кТ, где Т — температура источника и к=-1,38-10~23 Дж/Л'= 1/11600 эВ/К— постоянная Больцмана. Тогда имеем

U^kTiQ + U^,.(5.326)

которое вместе с (5.324) и (5.325) дает

Л=/о{1 — Q[I/(2Z) — t7(z0)]/^T}sin2 yz/sin2 f0. (5.327)

Если катод поддерживается при нулевом потенциале и начальные скорости распределены по всевозможным направлениям так, что у0 = л/2, то (5.327) упрощается до

Ji = Jo [ 1 — Q U (Zi) /кТ] sin2 ^.(5.328)

Это известная формула Лэнгмюра для максимальной плотности тока вблизи изображения, сформированного идеальной системой. Аберрации могут уменьшить плотность тока, но ничто не может поднять ее выше этого значения [175].

Из (5.328) очевидно, что можно повысить плотность тока, используя источник с высокой испускающей способностью, по-

вышая напряжение на изображении t/(ze) или увеличивая угол 7> конуса частиц у изображения. Необходимо соблюдать осторожность в оценке роли температуры. В случае термоэмиссии плотность тока у источника является экспоненциальной функцией его температуры, поэтому высокая температура означает высокую плотность тока. Очевидно, что угол f, нельзя сильно увеличить, так как это приведет к резкому увеличению аберраций любой реальной системы. Напряжение на изображении также ограничено практическими соображениями. Отсюда можно заключить, что ограничение плотности тока — внутренне присущее свойство источника частиц. Ни одна фокусирующая система не поможет, если источник обладает ограниченной испускающей способностью.

Для нитевидного вольфрамового катода, работающего при 2900 К, имеем Jo«5 А/см2. Катоды из гексаборида лантана (LaB6) намного лучше: они работают при гораздо более низких температурах («1900 К) и обеспечивают плотность тока эмиссии 7 = 50 А/см2. При L/(zt) = 10 кВ и у( = 5 мрад имеем Jt = 5 А/см2 для вольфрамового катода и 7; = 76 А/см2 для катода из LaB6. Вопрос о режимах работы источника будет обсуждаться в разд. 7.8.3.

Отметим, что в (5.328) первым членом в квадратных скобках можно пренебречь по сравнению со вторым для любого реального значения потенциала на изображении при работе с очень низкими напряжениями.

Для характеристики работы источника необходимо рассмотреть плотность тока в единичном телесном угле, отнесенную к абсолютной величине напряжения:

£ = 7/Q|Z7(z)| [А/(В-м2.ср)], (5.329)

где й — телесный угол, занимаемый конусом частиц. Он измеряется площадью поверхности сферы единичного радиуса, вырезаемой конусом с углом полураствора ^;

й=2л(1—cosy) —>- л^2. (5.330)

7->0

Величина 3 называется удельной яркостью. Как следует из (5.324), (5.325), (5.329) и (5.330), для малых углов и в отсутствие ограничений на апертуры удельная яркость является инвариантной для сопряженных точек оптической системы, свободной от аберраций. Это очень важное утверждение следует из общей теоремы Лиувилля [11]: плотность частиц в фазовом пространстве при их движении в реальном пространстве со временем не изменяется.

Важно отметить, что яркость, определяемая как плотность тока в единичном телесном угле

6 = p|[/(z)|=//Q —7/(лгт)2 [А/(м2-ср)],(5.331)

V->0

не является инвариантной, за исключением случая, когда потенциал постоянен.

Очевидно, чтобы ограничить аберрации, необходим источник с высокой яркостью: высокой плотностью тока в малом телесном угле. Из (5.325) — (5.330) легко вычислить удельную яркость. Для малых углов у, имеем

P=//[n2r,V|(7(z,)|],(5.332)

или, используя (5.328) и пренебрегая его первым членом,

^=Jo\Q\W.(5.333)*

Для приведенных выше примеров имеем р = 6,4 А/(В-см2-ср) для вольфрамового катода и р = 97 А/(В-см2-ср) для катода из LaB6.

Так как удельная яркость инвариантна, ни одна оптическая система не может ее увеличить. Использованием фокусирующей системы с малым увеличением можно уменьшить величину п, но одновременно с той же скоростью увеличивается у, | U (г,) |1/2, поэтому удельная яркость остается неизменной. Пространственный заряд, и в особенности эффект Боэрша, способствует уменьшению яркости.

Формула Лагранжа (5.328) пригодна для любых углов и эквивалентна соотношению Аббе (5.324). Из (4.59) и (5.325) следует, что

Ы1о=1!М\(5.334)

Но это соотношение нельзя использовать, если применяются ограничивающие апертуры; следует иметь в виду, что вблизи источника у,, не является малой величиной, поэтому соотношение, аналогичное (5.332) и выраженное через параметры источника, записать нельзя.

Можно выразить радиус rGt гауссова изображения из (5.331) —(5.332) как

rGi=kHbiYl2l^i,(5.335)

где bi — яркость на изображении. Отсюда очевидно, что для заданного тока радиус гауссова изображения может приближаться к нулю только в том случае, если яркость стремится к бесконечности. Естественно, это невозможно, так как яркость всегда конечна, и ее величина определяется источником. Таким

образом, невозможно получить сколь угодно малое пятно простым уменьшением размера источника, даже если оптическая •система идеальна (аберрации, пространственный заряд и дифракция отсутствуют). Размер гауссова изображения определяется током, яркостью и половинным углом аксептанса пучка. Для маленького пятна нужно использовать по возможности большее напряжение изображения.

Понятие яркости крайне важно для источников конечных размеров. Однако в источниках с собственной и полевой эмиссией источник настолько мал, что гауссово изображение занимает очень малую часть конечного пятна (см. разд. 5.7.1). В этом случае яркость может быть на 4 порядка выше, чем для термоионных источников. Однако такую яркость трудно использовать, так как плотность тока от очень маленького источника стремится к бесконечности. При этом считается, что пучок испускается прямым источником намного меньшим, чем сам наконечник катода с полевой эмиссией. Мнимый источник можно рассматривать как точку с углом полураствора конуса ^о- Ток определяется через угловую яркость (или угловую плотность тока или угловую интенсивность эмиссии) dl/dQ как

/ = лу2dllda = лу2Л12 ^^Z^ йИ^- (5.<336)

Это выражение определяет половинный угол аксептанса, требуемый для заданного тока пучка. Угловая яркость приблизительно равна 1 мА/ср для термополевого источника эмиссии и 50 мА/ср для источника с полевой ионизацией. Для такого источника при уо = 10 мрад имеем ток 15 нА.

Совместное действие аберраций разных видов

В разд. 5.5 рассматривалось добавление некоторых аберраций для последовательности линз. Теперь интересно посмотреть, как происходит перемешивание аберраций разных видов для одной и той же линзы.

По существу смешение геометрических аберраций определяется уравнениями (5.65) — (5.66). Полная аберрация является их векторной суммой. Но интереснее рассмотреть смешение аберраций, вызванных различными физическими причинами, как это было описано в предыдущих разделах.

Как известно, роль аберраций состоит в увеличении изображения без привлечения новых частиц. Это возможно только при изменении распределения плотности тока в пучке. Поэтому тщательное изучение аберраций должно основываться на исследовании распределения плотности тока. Было показано [176,

177], что влияния различных аксиальных аберраций (сферической аберрации, хроматической аберрации, дифракции, теплового распределения скоростей) на конечный размер зонда можно считать статистически независимыми друг от друга и имеющими некоррелированные гауссовы распределения плотности тока. Как следствие этого приближения, чтобы получить радиус зонда, нужно сложить квадраты аберраций

Л = г20.+ (бг«/4)2 + 16г с1)2 + (6rd02, (5.337)

где радиус гауссова изображения (rG() дисков сферической и хроматической аберраций (6rs; и 6rct соответственно) и диска Эйри (бг<ь) даются уравнениями (5.335), (5.79), (5.197) и (5.320) соответственно. В качестве дополнительного члена сюда можно добавить квадрат полной аберрации отклонения. Таким образом, размер пятна зависит от тока в пучке, яркости, коэффициентов аберрации линзы (которые в свою очередь зависят от увеличения), потенциала на мишени и угла полураствора ti конуса, образованного падающими частицами вблизи мишени.

Оптимальную плоскость с минимальным размером пятна можно определить геометрическими методами, только пренебрегая дифракцией. В противном случае необходимо учитывать эффекты волновой оптики. Чтобы добиться оптимального разрешения, необходимы методы, не связанные с фокусировкой. Можно показать [178], что оптимальная плоскость совпадает с плоскостью гауссова изображения, когда хроматическая аберрация является доминирующей. Как известно из разд. 5.2.1.4, оптимальная плоскость — это плоскость минимального рассеяния, когда преобладает сферическая аберрация. Поэтому в соответствии с (5.146) 6rst в (5.337) делится на 4.

Пренебрежимо малые источники

Уравнение (5.337) записано в предположении конечного радиуса источника. Если размер источника пренебрижимо мал, как в случае источников с полевой эмиссией и автоионных источников, радиус гауссова изображения можно записать сразу как

rGi = Mro, (5.338)

где Го — мнимый размер источника, которым в большинстве случаев можно просто пренебречь. Угол у, в соответствии с простым соотношением (5.336) определяется током: чем больше ток, тем больше становится угол у,. Размер пятна однозначно определяется уравнением (5.337). Однако если считать задан-

ным размер пятна, то (5.337) дает громоздкое выражение для Т>, которое в свою очередь определяет ток.

дает плот-(5.339)(5.340)дает плот-(5.339)(5.340)Эквивалентное значение постоянной плотности тока в пятне определяется (5.325) и (5.336) — (5.338). Это сложная функция угла ■у,- (или половинного угла аксептанса ч<>, который теперь можно смело использовать — в этом случае он всегда мал), но проще установить общее поведение этой функции [179J. Когда у0 очень мало, важны только дифракционные эффекты. В этом случае плотность тока меняется пропорционально четвертой степени заданного половинного угла, т. е. стремится к нулю, когда угол достигает нулевого значения. При умеренных углах, когда и дифракцией, и сферической аберрацией можно пренебречь, используя (5.197), получим, что хроматический член ность тока, которая не зависит от угла аксептанса:

дает плот-

(5.339)

(5.340)

дает плот-

(5.339)

(5.340)

,W/d&,

" zchrnm — л1— COnSl.

Отсюда просто вычислить ток:

7сЬгот = Я (6гci^ 2Ji chrom-

Даже при больших углах важен только сферический член и плотность тока обратно пропорциональна четвертой степени половинного угла аксептанса, т. е. быстро уменьшается с ростом угла. Ток в этом случае вычисляется с помощью (5.79), (5.336) и (5.337). Имеем

ДРнег = л (46rsl/MCs0) ^dlldQ.(5.341)

Отсюда следует, что максимальной плотности тока можно достигнуть при такой взаимосвязи различных параметров, когда оптика хроматически ограничена. В этом режиме плотность тока постоянна и может быть увеличена только либо использованием лучшего источника с большей угловой яркостью и меньшим энергетическим разбросом, либо применением фокусирующей системы с низкой хроматической аберрацией. Так как плотность тока зависит от квадрата коэффициента хроматической аберрации, то уменьшение этого коэффициента в 3 раза означало бы увеличение плотности тока на порядок.

Конечные источники

Для источников конечных размеров ситуация совершенно другая. В этом случае ток определяется первым членом (5.337). Подставляя туда (5.82), (5.200), (5.320) и (5.335) и выражая ток, получим

/ = ^b; jr^t-ЗД16-С^ Г.I2yf/4-0,36^1 (5.342)

IL u x^i) о J|

Если желательно получить эквивалентную постоянную плотность тока вблизи пятна, то при этом возникнут неприятности, так как (5.337) и (5.342) определяются друг через друга. Конечно, в качестве приближения можно вместо г, в (5.325) подставить rGi, поскольку ток определяется через радиус гауссова изображения.

Очевидно, что как для очень малых, так и очень больших у, пятно имеет очень большой радиус: в первом случае из-за гауссова и дифракционного членов, во втором — из-за члена, содержащего сферическую аберрацию. Очевидно, что существует оптимальный угол ^zopt, при котором радиус пятна минимален для заданного тока. С другой стороны, при том же оптимальном угле ток будет максимальным для пятна заданного размера. Подставляя (5.82), (5.200), (5.320) и (5.335) в (5.337) и дифференцируя по уг, получим, что оптимальное значение угла fz определяется следующим соотношением [180J:

+o.W4<‘+ Ч№Г>

Конечно же, это общее соотношение слишком сложно, поэтому рассмотрим его частные случаи. Если дифракцией можно пренебречь, то уравнение становится ненамного проще. В случае пренебрежения размерами источника в соответствии с (5.335), формально полагая / = 0, по существу получим случай, рассмотренный в предыдущем разделе. Отметим, что если пренебречь и дифракцией, и размерами источника, то уравнение (5.343) дает "f/opt = 0, что очевидно, так как обе оставшиеся аберрации растут с углом у,. Для важного частного случая относительно малых углов, когда сферической аберрацией можно пренебречь, формула совершенно непригодна, поскольку CSi появляется в знаменателе (подробнее этот случай будет рассмотрен ниже). Поэтому, на практике (5.343) можно использовать, когда мы пренебрегаем хроматической аберрацией. Это возможно в высоковольтной электронной микроскопии. Поэтому кратко обсудим этот случай.

Пренебрежение хроматической аберрацией. В этом случае CCi = 0 (5.343) упрощается до

V- opt = V/ opt (/=0) ( 1 + )1/8, (5.344) где

(5.345)(5.345)^■opt (z=o) = l,O85(Xz/Csi),/4

(5.345)

(5.345)

является оптимальным углом в случае нулевого тока (размерами источника пренебрегаем).

Подставляя (5.82), (5.320) и (5.335) в (5.337) и принимая во внимание (5.344) и (5.345), получим минимально возможный радиус пятна для заданного тока в виде

ТI min = 1"i min(/=0)[1 + //(3,553Х/26/)]3/8,(5.346)

где

rt mln (/=0)=0,64Х/3/4С$,1/4(5.347)

есть минимальный радиус для нулевого тока, который в действительности является наименьшим возможным размером зонда для этого случая. Из этого уравнения следует, что для этого частного случая коэффициент сферической аберрации оказывает очень слабое влияние на размер зонда: даже увеличение его на порядок дало бы увеличение радиуса пятна в 1,78 раза.

Подставляя (5.346) в (5.344) и принимая во внимание (5.345) и (5.347), получим

7/opt=(2rimin/Cs,)>/3i(5.348)

которое вместе с (5.342) дает максимальный ток для данного размера пятна в виде

/max = л2Ь([3(2гг)8/3/16СХ(-2/з — 0,36Xi2].(5.349)

Отметим, что тот же результат можно получить дифференцированием (5.342) по

Интересно заметить, что (5.82) и (5.48) дают соотношение

6/W4 = rimin/2,(5.350)

квадрат которого означает, что в плоскости наименьшего рассеяния сферический диск составляет только 25% конечного размера пятна..

Следующий интересный вывод можно сделать, сравнивая (5.345) и (5.347) с (5.320); имеем

Т< min (/=0)7/ opt (/=0) —0,69Х/~дг<ц>(5.351)

из чего следует, что дифракционная картина практически не зависит от сферической аберрации.

Из сравнения (5.341) и (5.349) видно, что ток пропорционален степени 2/3 радиуса зонда в случае источника пренебрежимо малых размеров, в то время как для источника конечных размеров он пропорционален степени 8/3 той же величины. Поэтому в малых зондах при использовании источников с полевой эмиссией можно получить больший ток, чем от термоионных источников. Для больших зондов справедливо обратное. Естест-

венно, реальные характеристики зондов определяются характеристиками источника и фокусирующей системы. Так как ток зависит от размера пятна и в свою очередь размер пятна зависит от угла у», то для описания зондовой системы необходимо знать обе зависимости.

Перейдем теперь к исследованию специального случая пренебрежимо малой дифракции, т. е. будем учитывать тепловые скорости и сферическую аберрацию. Это возможно в случае, если размер пятна намного больше минимального, определяемого (5.347). Тогда из (5.346) и (5.347) следует

П mm=0,40Cs?/4 U,b^ w,(5.352)

(5.344) и (5.345) дают

ti oPt = 0,93Csr1/4 UibiY'8,(5.353)

и максимальный ток можно вычислить простой подстановкой 1/ = 0 в (5.349). Так как сферическая аберрация вносит только 25% в конечный размер пятна и единственным дополнительным вкладом в этом случае является гауссово пятно, то можно просто выбрать апертуру в соответствии с (5.353), применяя для гауссова пятна увеличение немного меньше значения, которое бы обеспечивало желаемые размеры пятна, и работать в плоскости минимального рассеяния.

Пренебрежение сферической аберрацией. Как отмечалось выше, для важного случая относительно малых углов (5.343) применять нельзя, так как Csi появляется в знаменателе. Тем не менее дифференцирование (5.337) или (5.342) приводит к выражению

4i opt = ^i opt (/=0)(1+//3,553VM1/4(5.354)

для оптимального угла, где теперь

Т, »,- 1.095(5.355)

есть оптимальный угол для нулевого значения тока (размерами источника пренебрегаем).

Подставляя (5.200), (5.320) и (5.335) в (5.337) и учитывая (5.354) и (5.355), получим минимально возможный радиус пятна для заданного тока в виде

Гi mln = ГI min (/=0)[l + Z/3,553Vh]1/4>(5.356)

где теперь

rimin(/=o) = O,77{l,Ccl-AZ/o/[^(2,) — Z/o]},/2(5.357)

есть наименьший возможный размер зонда.

Подставляя (5.356) в (5.354) и учитывая (5.355) и (5.357), получим

из которого, используя (5.342), получим максимальный ток для заданных размеров пятна в виде

^тах — л ^< (^тах — л ^< (С2; {ДLMU (Zi)-У,]}2С2; {ДLMU (Zi)-У,]}20,361? ).0,361? ).(5.359)(5.359)

^тах — л ^< (

^тах — л ^< (

С2; {ДLMU (Zi)-У,]}2

С2; {ДLMU (Zi)-У,]}2

0,361? ).

0,361? ).

(5.359)

(5.359)

Сравнивая это уравнение с (5.340), видим, что в случае пренебрежения размерами источника ток пропорционален квадрату радиуса зонда, в то время как в случае источника конечных размеров он пропорционален четвертой степени этой величины. Поэтому заключение предыдущего раздела о превосходстве источников с полевой эмиссией для малых зондов применимо также и в этом случае.

Уравнения (5.200) и (5.358) дают

(6гс,)2=(лпнп)72,(5.360)

это означает, что половину вклада в конечный размер пятна вносит хроматический диск.

Из (5.355) и (5.357) имеем, что в этом случае

Гi mln (/=0)^1 opt (/=0) = 0,841/.(5.361)

Хроматическая аберрация несколько сильнее влияет на дифракционную картину, чем сферическая.

Если дифракцией пренебречь, т. е. если оставить только тепловые скорости и хроматическую аберрацию (размер пятна намного больше минимального размера пятна, определяемого (5.357)), уравнения (5.356) и (5.357) дают

г/mln=0,56(CciД 1/0/[1/(zz) -Wo^^(5.362)

Из (5.354) и (5.355) получим

(5.363)(5.363)„- 0 ЯП W

(5.363)

(5.363)

V,opt ’ {Cci Д(/о/[(/(2/)-(/о]}1/2*

и максимальный ток можно вычислить простой подстановкой 1, = 0в (5.359).

Наконец в специальном случае, когда угол ^i настолько мал, что можно пренебречь как хроматической, так и сферической аберрацией, для вычисления размера пятна и тока можно даже использовать (5.337) и (5.342) соответственно для любого заданного угла у,-.

Смешения аберраций в комбинации линз

С системой линз можно обращаться как с одной линзой. Квадраты ее аберраций суммируются в соответствии с (5.337), где для системы из двух линз 6rsi и 6rci теперь определяются уравнениями (5.305) и (5.314) соответственно. Используя (5.338) для источников с полевой эмиссией, имеем

П2 =М2гоЧ- (М"бг$п + бг$,2) 2/16 +

+ (M"6rczl + 6rcl-2)2 + (6rdl)2,(5.364)

где, как раньше, М — увеличение всей системы, а М" — увеличение второй линзы. Снова отметим (см. разд. 5.5), что нельзя суммировать квадраты аберраций отдельных линз системы. Суммирование квадратов аберраций различных линз широко распространено в литературе, но тем не менее это не верно.

Формулу (5.364) легко обобщить для системы, состоящей из .любого количества линз.

Коэффициенты добротности

Проектируя фокусирующую систему, мы стремимся сделать ее хорошей настолько, насколько это возможно. Но что же является основным критерием качества линзы? Будь она электростатической или магнитной (или их комбинацией)? Каким образом можно сравнивать различные линзы?

К сожалению, это очень трудный вопрос. В самом деле, число геометрических и электрических или магнитных параметров, линзовой конструкции, используемой на практике, может быть весьма велико, а с другой стороны, различные приложения могут выдвигать сильно отличающиеся и даже противоречивые требования. Например, в просвечивающих электронных микроскопах нужны линзы с очень большой оптической силой (малым фокусным расстоянием), в то время как для зондоформирующей системы требуется большее рабочее расстояние (большое фокусное расстояние). Поэтому всегда необходимо анализировать данную оптическую систему с точки зрения конкретного применения.

Однако для всех приложений одно требование является общим: максимально возможное уменьшение аберраций. По-ви- димому, абсолютным показателем добротности оптической системы является размер аберрационного диска. В соответствии с законами подобия, изложенными в разд. 2.8, размеры оптической системы можно менять произвольно: уменьшать или увеличивать. Тогда уместно поставить вопрос: как с учетом законов

подобия добиться наименьших размеров аберрационного диска? К сожалению, уменьшение размеров неизбежно означает, что расстояние между электродами и магнитными полюсами значительно уменьшится. Следовательно, поля станут сильнее, что в свою очередь приведет к практическим трудностям, таким, как электрический пробой и насыщение магнитных материалов. В обычных условиях электроды не могут выдержать поле сильнее 15 кВ/мм, хотя в очень высоком вакууме некоторые специальные материалы могли бы выдержать и больше. Один этот факт устанавливает практический предел миниатюризации размеров. Вдобавок, уменьшение размеров с использованием законов подобия ведет к настолько сильному уменьшению рабочих расстояний, что они становятся совсем неприемлемыми.

Поэтому реально достижимый размер аберрационного диска зависит от условий, определяемых экспериментом. Кроме того, он сильно зависит от размеров источника, угла испускания, распределения энергии и увеличения (см. (5.79), (5.197) и (5.337)). Так как 6rsi и 6гС1- соответственно пропорциональны |M|CS0 и |М|Ссо и обе эти величины имеют минимумы при вполне определенных увеличениях (см. разд. 5.4.1), то их можно использовать в качестве коэффициентов добротности. Они будут применяться в гл. 7 для численных расчетов электростатических линз, но каждый раз необходимо устанавливать практически достижимые минимальные значения Cso и Ссо для данных размеров зазора, возбуждения, рабочих расстояний и т. д. Этот способ сравнения разных линз не получил широкого распространения, поэтому необходимо найти более удовлетворительные коэффициенты добротности.

Трудности, связанные с использованием самого аберрационного диска в качестве коэффициента добротности, ведут к разумному предположению: поскольку радиус диска имеет размерность длины, то он должен быть отнесен к другой величине, имеющей ту же самую размерность. Тогда имеем безразмерный коэффициент добротности. Вопрос в том, как выбрать эту величину. Можно предложить множество подходов. Аберрации электростатических линз можно отнести к [t/(z0)—J7o]/^'max ИЛИ (Umax—и o') jU'max, ГД6 Umax И U'max— Максимальные абсолютные величины электростатического потенциала и аксиальной компоненты напряженности электростатического поля соответственно. Аналогично для магнитных линз таким же образом BmaxfB'max или, где можно, использовать диаметр окружности, которую описывают частицы данной энергии в однородном магнитном поле с магнитной индукцией Втах [166]. Подобным же образом могут быть использованы и другие величины [9, 44].

Очевидно, что минимальное значение коэффициентов аберрации должно ограничиваться наибольшим значением реализуе-

мого поля. Когда мы делим коэффициенты аберрации на вышеупомянутые величины, то конструируем коэффициент добротности, который является величиной, определяемой коэффициентами аберрации и максимальной напряженностью поля. Тогда, пытаясь уменьшить величину коэффициента добротности, мы фактически уменьшаем аберрации, поддерживая поле в разумных пределах.

Наконец, существуют еще три фактора, которые, однако, должны учитываться при выборе коэффициента добротности [202]. Первый состоит в том, что если мы хотим сравнивать электростатические и магнитные линзы, то необходимы более универсальные коэффициенты добротности, которые не зависели бы от специфических характеристик электрического и магнитного полей. В качестве величины, к которой отнесены абер рации, можно выбрать один из следующих параметров: физиче ская длина фокусирующей системы, ее эффективная длина, определяемая, например, (3.197), протяженность поля линзы (расстояние (6—а) на рис. 46), рабочее расстояние в пространстве объектов или изображений, фокусное расстояние в пространстве объектов или изображений и т. д. Все они дают различную информацию о работе линз и позволяют проводить их сравнение.

Второй фактор состоит в том, что особенно трудно сравнивать линзы разных типов, так как размеры аберрационных дисков сильно зависят от увеличения. Для того чтобы работать при одинаковом увеличении, нужно использовать совершенно разные значения полей или отношений напряжения для различных линз. Поэтому считается общепринятым сравнивать разные линзы при бесконечном увеличении.

Наконец, третий и, может быть, наиболее важный фактор — следующий. Довольно давно было установлено [16], что для исчерпывающего сравнения коэффициентов аберрации различных линз эти линзы должны быть оптически эквивалентны друг другу, т. е. иметь одну и ту же оптическую силу. Поэтому коэффициенты аберрации различных линз с одинаковой оптической силой должны сравниваться при бесконечном увеличении для одинаковых максимальных полей или отношений потенциалов.

Таким образом, коэффициент добротности, которому мы отдаем предпочтение, является коэффициентом сферической и аксиальной хроматической аберраций в пространстве объектов, вычисленный для бесконечного увеличения и отнесенный к фокусному расстоянию в пространстве объектов. Коэффициенты добротности для различных линз должны сравниваться друг с другом при одинаковых максимальных значениях полей или отношений напряжений.

Для зондоформирующей оптики необходимы большие рабочие расстояния, т. е. большие фокусные расстояния, поэтому 352

низкие значения коэффициента добротности хороши не только с точки зрения аберраций, но также с точки зрения рабочих расстояний. Хотя во многих случаях приходится работать с почти единичным увеличением и большие рабочие расстояния требуются не всегда, мы уже договорились, что полноценное сравнение можно проводить только для оптически эквивалентных линз, поэтому вряд ли удастся отыскать лучшие общие коэффициенты добротности, чем CSOOc!f\ и ССОоо//ь Как станет ясно в следующих главах, коэффициенты аксиальных аберраций с увеличением фокусного расстояния обычно увеличиваются. Поэтому поиск состоит в том, чтобы уменьшить два приведенных выше коэффициента добротности и в то же время поддерживать поля в разумных пределах. Конечно, для некоторых специальных приложений, таких, например, как объективные линзы электронного микроскопа, эти коэффициенты добротности не самые удобные, так как, для того чтобы обеспечить большие фокусные расстояния, линзы должны были бы иметь слишком большую массу. В этом частном случае коэффициенты аберрации могут быть отнесены к величинам, обсуждавшимся выше (см. разд. 5.4.1).

Очевидно, для малых углов аксептанса более важен хроматический коэффициент добротности, для больших углов аксептанса— сферический. Для окончательной оценки действия аберраций диски нужно сравнить при заданных рабочих расстояниях и увеличении. Хорошей практической альтернативой коэффициента добротности для зондоформирующей оптики является r,/fb где радиус зонда г,- вычисляется из (5.337).

Заключение

В этой фундаментальной главе была дана простая, но полная теория аберраций аксиально-симметричных фокусирующих систем, включая геометрические аберрации третьего порядка, хроматическую аберрацию и другие источники ошибок. Вначале был введен метод характеристических функций, который образует основу теории. Уравнения (5.65) — (5.67) определяют геометрические аберрации третьего порядка. Значительное внимание уделено сферической аберрации. Разный вид ее коэффициентов дается формулами (5.111), (5.121) и (5.132). Уравнения (5.79) и (5.82) определяют диск сферической аберрации. Уравнение (5.83) связывает коэффициенты сферической аберрации, связанные с предметом и изображением соответственно. Теорема Шерцера дается уравнением (5.138). Аберрации и их фигуры для всех других семи геометрических аберраций также были определены. Аксиальный хроматический коэффициент аберрации дается выражением (5.192) или (5.194). Уравнения (5.197) и

) определяют диск хроматической аберрации. Выражение (5.201) дает соотношение между аксиальными хроматическими коэффициентами аберрации, связанными с объектом и изображением соответственно. Случаи нулевого и бесконечного увеличений, так же как прямые и обратные методы вычисления коэффициентов аберрации, обсуждались для специальных случаев как сферической, так и аксиальной хроматической аберрации. Следующими были рассмотрены асимптотические аберрации. Уравнения (5.255) и (5.273) являются полиномиальными выражениями для асимптотического сферического и хроматического коэффициентов аберрации соответственно иа основе взаимного увеличения. Аберрации тонких линз, а также их комбинаций были обсуждены довольно подробно. Выражения (5.305) и (5.314) — дополнительные формулы суммирования для диска сферической и хроматической соответственно аберраций системы из двух линз. Были рассмотрены дифракция, пространственный заряд и другие дополнительные источники аберраций, а также различные методы коррекции аберраций. Понятие яркости (5.329) и (5.331) было введено совместно с рассмотрением тока и его плотности. Одновременное действие различных аберраций может быть выражено в виде (5.337) для одной линзы и в виде (5.364) для комбинации из двух линз. В конце обсуждался вопрос о коэффициенте добротности.

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ТРАЕКТОРИЙ ЛУЧЕЙ И РАСЧЕТА АБЕРРАЦИЙ

' После того как определены фокусирующие поля (см. гл. 3), можно приступить к вычислению траекторий частиц в соответствии с гл. 4 и затем рассчитать аберрационные коэффициенты (гл. 5). Хотя вполне возможно получить решение общего уравнения световых лучей (4.21) непосредственно с помощью численных методов, обычно ограничиваются рассмотрением параксиальных траекторий, которые также вполне пригодны для определения аберрации. Тогда достаточно узнать аксиальный потенциал и распределение магнитной индукции, чтобы получить полную информацию об оптических свойствах данной фокусирующей системы.

Как известно, асимптотические свойства первого порядка электронных и ионных линз определяются кардинальными элементами. Для их определения достаточно знать два главных луча (разд. 4.6.1), т. е. проинтегрировать уравнение для параксиальных лучей (4.40) или (4.50) для заданного распределения поля и начальных условий. Хотя уравнение (4.40) непосредственно определяет траекторию, для численных расчетов уравнение (4.50) обычно более предпочтительно, так как оно не содержит вторую производную потенциала (см. разд. 3.3.5.1). Заметим, что, если коэффициенты в уравнениях для определения действительных лучей малы, начальные условия для получения общего решения уравнения для параксиальных лучей могут быть заданы произвольно, несмотря на то что уравнение справедливо только для малых смещений и углов.

Коэффициенты аберрации даются в виде определенных интегралов, которые в большинстве случаев необходимо вычислить численными методами с достаточной точностью.

Теперь перейдем к практическим (в основном вычислительным) методам расчета траекторий лучей и вычислениям коэффициентов аберрации.

Аналитические модели

Аналитические решения имеют вполне определенные преимущества перед численными методами даже сейчас, в эпоху изобилия вычислительных средств. Для этого существуют многочисленные причины:

■ 1) прежде всего численные решения дают всегда более или менее точное приближение, в то время как аналитические решения являются точными; ■

аналитические решения дают возможность более полного представления результатов и позволяют провести оценку влияния различных параметров на решение;

их можно проверить с помощью обратной подстановки;

они расширяют границы анализа;

они позволяют устанавливать общие свойства и закономерности для данного класса полей;

они обеспечивают простые способы сравнения различных численных методов;

они упрощают рассмотрение особых случаев.

При использовании аналитических методов существуют также и проблемы:

как мы видели в гл. 3, аксиальные распределения полей в реально используемых системах электродов и полюсов очень редко могут быть выражены в аналитических функциях;

даже если известна точная конфигурация лучей, маловероятно, что можно было бы получить аналитические выражения для коэффициентов аберрации.

Однако вследствие приведенных выше преимуществ хотелось бы использовать любую возможность получить строгое решение. К счастью, для достаточно большого количества случаев могут быть развиты аналитические модели, т. е. могут быть получены математические функции, близкие к реальным распределениям полей в некоторых классах электростатических и магнитных линз. Такие модели линз будут изучаться в последующих двух главах. Аналитические функции играют важную роль также и в конструировании сложных линзовых систем (см. гл. 9). '

Существует несколько общих методов отыскания классов функций, которые делают возможным решение уравнения для параксиальных лучей в квадратурах [182—184]. Практически они применяются для электростатических иммерсионных линз с монотонным распределением потенциала и для коротких магнитных линз.

Частные решения возможны для достаточно большого количества случаев. Мы уже знаем решение для однородного поля. Более сложные случаи включают параболические [16] и экспоненциальные [173] распределения потенциала, линейные [185] и эллиптические [186] магнитные поля, колоколообразную модель Глазера [16], модель Гриве — Ленца [18, 187], модель иммерсионной [188, 189] линзы, модель «одиночной» линзы [190, 191] и некоторые другие модели, основанные на гипергеометрических функциях [193] и функциях Бесселя [192]. В не- 356

которых случаях (например, экспоненциальный потенциал, колоколообразное магнитное поле) даже аберрационные коэффициенты могут быть выражены в квадратурах.

Мы будем широко использовать эти возможности в следующих главах. К сожалению, это не всегда возможно. В большинстве случаев нам нужно полагаться на численные методы для определения как траекторий, так и аберрационных коэффициентов.

Численный расчет траекторий лучей

Траектории частиц в общем случае полностью определяются системой дифференциальных уравнений второго порядка (2.76) и (2.77). В аксиально-симметричных полях траектории определяются уравнениями (4.12) и (4.21). Так как теория фокусировки базируется на параксиальных лучах, нас в основном интересуют решения уравнений для параксиальных лучей (4.40) или (4.50). После определения траектории в меридиональной плоскости ее вращение определяется уравнением (4.32), которое является определенным интегралом.

Уравнения (4.21), (4.40), (4.50) являются обыкновенными дифференциальными уравнениями второго порядка вида

У, У'),(6.1)

где штрих означает дифференцирование по независимой переменной z, a f—произвольная функция трех переменных, определяемая конкретным видом дифференциального уравнения. В нашем случае это зависит от того, какое используется уравнение, а также от распределений потенциала и магнитной индукции отображающих полей. Начальные условия даются в некоторой точке z0, где

-У^^Уо» у'^=У'о-(6-2)

Решение уравнения (6.1) с начальными условиями (6.2) называется задачей Коши.

Численное решение этой задачи представляет собой пошаговую процедуру. Мы начинаем из начальной точки zo, в которой величины у и у' заданы начальными условиями, и пытаемся определить величины у и у' в соседней точке Zi. Как только это сделано, примем точку zx за начальную точку и процедуру повторим. В произвольной точке Zj (/ = 0, 1, 2, ...) имеем

У^А=Уь У'^=У'ь(6.3)

Положим теперь

h=zw — Zj(6.4)

для величины шага. Тогда можно записать разложение в ряд Тейлора для у и у' в следующей точке в виде

<//+i = У/+-[у У/+ "2f Ui + • • • +^П^/ + 1 • 1 ’(^-5)

Уi+i = Ui + [тт^/+ 2ГУ1 +---+—"STtii(6-6)

Очевидно, самое простое, что нужно сделать, — использовать информацию, которую мы уже имеем в точке Zj, т. е. отбросить члены у выше второго порядка в точке г5. В самом деле, из уравнения (6.1) имеем выражение

У"!=игьу,у'^,(6.7)

которое может быть легко вычислено. Это метод Эйлера, который состоит в аппроксимации кривой последовательностью линейных отрезков. К сожалению, точность этого метода, используемого в таком виде, неудовлетворительна. Для того чтобы повысить точность, можно было бы использовать очень маленький шаг к, что приводит к огромному количеству элементарных вычислений. Это в свою очередь приводило бы к накоплению ошибки округления (см. разд. 3.3.1.2) и к неустойчивости решения. Поэтому надо улучшить эту процедуру.

Есть много методов решения этой задачи. Они могут быть разделены на две основные категории.

Одношаговые методы используют информацию о функции Цг, у, у'^ внутри интервала, на котором ищется решение. Эти методы требуют обычно вычисления значений функции не только в граничных точках интервала, но также и в точках, лежащих внутри. Наиболее важный представитель этого класса методов— метод Рунге — Кутта (разд. 6.2.1).

Многошаговые методы используют информацию о функции в более чем одной точке сетки, и обычно они требуют итерации (см. разд. 6.2.2). Метод предиктора-корректора и метод Нумерова— наиболее известные альтернативные методы этого класса.

Следует помнить, что численное решение дифференциальных уравнений является непростым делом. Проблемы устойчивости, оценки ошибок и т. п. рассмотрены в соответствующей математической литературе [115, 194J. В рамках этой книги мы можем представить только несколько простых практических методов.

Метод Рунге — Кутта

Естественная идея повышения точности метода Эйлера могла бы заключаться в использовании большего числа членов разложения в ряд Тейлора (6.5) и (6.6). Однако методы рядов Тейлора высших порядков [195, 196] имеют малое практическое значение, так как основаны на отыскании высших производных функции t в заданных точках. Как известно, численное дифференцирование является весьма неточной процедурой, особенно если ее необходимо повторять много раз. Поэтому мы ищем процедуру, которая была бы аналогична разложению в ряд Тейлора до членов hv (где р называется порядком метода), но которая не требовала бы вычисления каких-либо производных функции f(z, у, у'). Наиболее элегантная одношаговая процедура, которая удовлетворяет этому требованию, — метод Рунге — Кутта [194]. Ниже будет рассмотрен метод Рунге—Кутта четвертого порядка для решения дифференциального уравнения второго порядка (6.1).

Основная идея метода Рунге—Кутта состоит в том, чтобы заменить производные высших порядков значениями функции f(z, у, у') в промежуточных точках. Определим величины ^и^' следующим образом:

yw^yj-Vhy'i-Vk, (6.8)

y'l+i^y'i + k'lh, (6.9) это означает, что члены высших порядков в разложении в ряд Тейлора заменены этими новыми величинами. Попытаемся определить их так, чтобы при подстановке в (6.8) и (6.9) их разложений в ряд Тейлора они бы совпадали с исходными разложениями в ряд Тейлора (6.5) и (6.6) соответственно до членов четвертого порядка включительно.

Определим величины к и к':

к = ai&i + сс^к^ + ссз&з + a.±ki, (6.10) ^^ = Р1 ^ 1 + Рг^2 + ^3^3 + ^4^4, (6.11)

где вспомогательные величины кь ..., к4 выражаются через функцию f(z, у, у'), вычисленную при различных значениях аргументов, следующим образом:

кх=<№]2ШгЬУЬУ'^(6.12)

^=(/12/2)/(г/+й/2, ^ + ^//2 + ^/4, y'j + kijh),(6.13)

к3= ^^y^Zj + hl^, yj + hy'j^ + kvJA, y's + kilh),(6.14)

к4= (h2/2)f(Zj + h, yj + hy'j + ks, y'j + 2k3/h).(6.15)

При этом отметим зависимость аргументов от самих вспомогательных величин.

Наша задача — определить восемь неизвестных коэффициентов а9 и рд (?=1, 2, 3, 4) так, чтобы соответствующие разложения в ряд Тейлора совпадали друг с другом до четвертого порядка включительно.

Сначала разложим величины кх, ..., к4 в ряд Тейлора. Коэффициент кх уже представлен в требуемой форме, единственное, что необходимо сделать, — переписать его в виде

kx=h.4i!^(6.16)

где индекс / означает, что соответствующая величина вычисляется в точке z,.

Определение других коэффициентов намного сложнее. Необходимо использовать уравнение (3.302) для разложения в ряд Тейлора функции трех переменных. Подставляя (6.16) в (6.13) и учитывая члены до четвертой степени h включительно, получаем после некоторых элементарных преобразований

кг = (А72) (h + hf '^ + /г2 Г Г/ - Г/(/ 8 ),(6.17)

f'=df/dz=df/dz+y'df/dy+fdf/dy',(6.18)

f " — d2f (dz2 = d2f/dz2+fdf/dy+f'df/ду'+y'2d2f/dy2 +

+ f2d2fjdy'2 + 2 (y'd2f/dzdy+fd2fjdzdy' + fy'd2f/dydy')

(6.19)

являются соответственно первой и второй полными производными функции f ПО Z.

Используя (3.302) и подставляя (6.16) и (6.17) в (6.14), получаем первые члены разложения в ряд Тейлора следующего коэффициента:

к3 = (ОД ^ -Г hfj/2 + h* [/■+/; (^jj/s}.(6.20)

Аналогично, подставляя (6.20) в (6.15) и используя (3.302), получаем соответствующие члены разложения в ряд Тейлора коэффициента к4 в виде

к4 = (/i2/2) (fi + hf',- + Н2№.(6.21)

Теперь можно сравнить (6.5) и (6.8) друг с другом, принимая во внимание (6.7), (6.10), (6.16), (6.17), (6.20) и (6.21). Сначала сравним члены, содержащие h2fj, и получим

Следующий шаг состоит в сравнении членов, пропорциональных А3/^. В результате имеем

as/2 + «з/2 + «4 = 1/3.(6.23)

Теперь сравним члены, пропорциональные А4/",-. Имеем

«2/4 + аз/4 + а4= 1/6.(6.24)

Наконец, учитывая оставшиеся члены в (6.17) и (6.20), получаем

— «2+«з = 0.(6.25)

Таким образом, имеется система четырех линейных алгебраических уравнений для четырех неизвестных. Ее решение имеет вид

«1 = «2=аз= 1/3, «4 = 0.(6.26)

Заменяя (6.10) на (6.11) и сравнивая таким же образом теперь (6.6) и (6.9) друг с другом, можем записать следующие четыре уравнения для четырех других неизвестных:

01 + 02 + 0з + 04 = 2,(6.27)

02/2 + 03/2 + 04= 1,(6.28)

02/8 + 0з/8+04/2 = 1/3,(6.29)

— 02+0з = О.(6.30)

Решение этой системы четырех линейных алгебраических уравнений есть

01 = 04=1/3, р2=р3=2/3.(6.31)

Подставляя теперь (6.26) и (6.31) в (6.10) и (6.11), соответственно, получаем

А= (А1 + А2 + А3)/3,(6.32)

А'= [Ai + 2 (А2+Аз)+&4]/3,(6.33)

что сразу дает окончательный результат при подстановке этих выражений в (6.8) и (6.9) соответственно:

f//+i=Ui + Ay'j + (А1 + А2+Аз)/3,(6.34)

У*!+1=у'/+ [Ai+2 (А2 + А3) +&4]/ЗА.(6.35)

Это формулы Рунге — Кутта четвертого порядка для численного решения дифференциального уравнения второго порядка (6.1). Вспомогательные величины к\, ..., А4 определяются уравнениями (6.12) — (6.15). Можно показать [194], что не только члены, используемые в приведенном выше выводе, но также

члены, пропорциональные Л4 при разложении в ряд Тейлора у'з+i, совпадают друг с другом. (Доказательство последнего несколько громоздко, потому что требует использования полной третьей производной функции f.) Таким образом, разложения в ряд Тейлора (6.34) и (6.35) совпадают с (6.5) и (6.6) соответственно до членов четвертого порядка включительно.

Приведенные выше выражения достаточно просты и, конечно, написать программу для вычисления траекторий лучей не составляет труда. Однако следует обратить внимание на два важных аспекта. Первая проблема — точность. При благоприятных условиях точность метода зависит только от величины шага К. Очевидно, что слишком большая величина h приведет к ошибкам усечения, в то время как слишком маленькая величина h скажется в ошибках округления. Шаг должен быть выбран так, чтобы отношение (^—^з)/(^1—^2) оставалось малой величиной (максимум 0,02—0,03) вдоль всей траектории. Для расчета линзы обычно требуется 400—500 шагов.

Вторая проблема ■— устойчивость, и она может стать причиной неприятностей. Решение называется устойчивым, если малая ошибка, возникающая где-либо во время выполнения вычислительной процедуры, не увеличивается неограниченно в последующих вычислениях. Заметим, что устойчивость в общем случае не зависит от величины шага h. К сожалению, метод Рунге — Кутта может быть неустойчивым для некоторых дифференциальных уравнений. Поэтому необходимо соблюдать осторожность всякий раз, когда распределение поля быстро меняется или когда функция в некотором смысле ведет себя «плохо».

Заметим, что требование совпадения разложений в ряд Тейлора до некоторого определенного порядка может быть обеспечено многими другими способами. Поэтому существуют различные формулы Рунге — Кутта, используемые разными авторами. Из-за способа, по которому они определяются, их точность не может существенно отличаться друг от друга. Точность, однако, может быть существенно повышена путем использования методов Рунге—Кутта более высокого порядка.

Для читателя будет полезным упражнением доказать, что формула Рунге — Кутта четвертого порядка для дифференциального уравнения первого порядка

dy/dz = g(z,y) (6.36)

есть

У/+1 = У/ + [С1 + 2(сг+ с3) + С4]/6,(6.37)

где

cx = hg^zbyiY(6.38)

c2=hg^tj-Vhl2, yj-Vcxl^,(6.39)

c^hg(Zj+hl2, у, + с212),(6.40)

■c4=hg(Zj+h, t// + c3).(6.41)

Доказательство (6.37) не так просто, как кажется. Несмотря на то что g есть функция только двух переменных, мы должны доказать, что члены четвертого порядка, соответствующие разложению в ряд Тейлора, действительно эквивалентны друг другу. Для этого требуется некоторое терпение.

Многошаговые методы

Хотя метод Рунге —Кутта в большинстве случаев вполне пригоден для расчета траекторий лучей, он имеет определенный недостаток: он не использует уже имеющуюся информацию о траектории. Очевидно, что, если использовать эту информацию, можно ожидать как улучшения скорости, так и повышения точности вычислительной процедуры. Это основная идея многошаговых методов. .

Лучше всего известен метод предиктора-корректора. Его схема достаточно проста. Вначале используется некоторый экстраполяционный метод для «предсказания» значения у,.» по известным Уз, Уз-\ и т. д. Затем оценивается эта величина и делается попытка «скорректировать» ее, чтобы получить наилучшую аппроксимацию для у/+ь Если разность между скорректированной и предсказанной величинами больше некоторого значения, то делается следующая итерация.

Это приближение имеет ряд преимуществ. Так как всегда используется предыдущая информация, функцию f надо оценивать точно в узлах сетки, а не между ними. Точность и устойчивость вычислений могут быть проверены в каждой точке, и возможен автоматический выбор длины шага, чтобы достичь заданной точности. Этот метод обычно быстрее и более точен, чем метод Рунге — Кутта. В последнем сообщении об этом методе [197] очень высокая точность достигнута минимизацией ошибок округления.

Однако, как обычно, если есть преимущества, должны быть и недостатки. Так как метод требует экстраполяции, основанной на некоторых полученных ранее значениях, вычисление само по себе начаться не может: процедура должна как-то стартовать, обычно с помощью метода Рунге — Кутта. Кроме того,

если требуется изменить величину шага, следует снова выполнить начальную процедуру. Таким образом, использование метода предиктора-корректора намного сложнее, чем использование метода Рунге — Кутта.

Метод Нумерова. Продемонстрируем очень простой специальный многошаговый метод [198J, который может быть использован для решения уравнения параксиальных лучей в виде (4.50). Начнем с уравнения (3.386). В принятой системе обозначений имеем

a(z+/i) + a(z — h)—2o(z) «№а"+ h4awjI2. (6.42) Дифференцируя это выражение дважды по z и опуская члены, содержащие к в степени, большей чем вторая, получим простое выражение для четвертой производной а. Подставляя его обратно в уравнение (6.42) и учитывая (4.50), получаем

o(z+k) — 2а (z) +o(z — к) +k2[T(z + k) a(z+k) +

+ ЮТ (z) a (z) + Т (z — /г) a (z — /г) ]/12 «0, (6.43)

что эквивалентно

аж «[ (1 + /г2 ТУ-1/12) ом — 2 (1 — 5А2 Ту-/12) 0/] х

X(l + /i2Tw/12)-i, (6.44)

где а, и Т,— значения функций o(z) и T(z) (уравнения (4.47), (4.51)) соответственно, взятые вточкег,. Это простое рекуррентное соотношение, при помощи которого можно вычислить все последующие значения а на основе значений в предыдущих точках. Вычислительная процедура быстрая, устойчивая и достаточно точная, но требует независимой начальной процедуры. Это метод Нумерова, который в литературе иногда называют методом Фокса — Гудвина.

Дополнительные замечания о точности

Крайне важно контролировать точность вычислений. В до- голнение к тому, что было сказано в разд. 3.3.1, следует отметить, что существуют несколько методов оценки точности численного расчета траекторий лучей.

Наиболее прямой и обычно используемый путь — изменять размер шага к в относительно широком интервале, пока два близких значения к не дадут приблизительно одинаковый результат. Таким образом, разность между величинами кардинальных элементов, полученная для каждого значения к, является хорошим приближением для абсолютной ошибки их вычислений. Затем большее из двух значений к может быть использовано для дальнейших вычислений.

Более точный метод состоит в том, чтобы использовать значения смещения и наклона луча в конце траектории в качестве начальных условий и проделать вычисления в обратном порядке. Для электростатических линз разность между конечными значениями, полученная таким образом, и исходными начальными значениями определяет ошибку вычислений. Следует тем не менее быть осторожным при рассмотрении магнитных линз. Как следствие анизотропии электронного оптического показателя преломления (разд. 2.6) траектории в магнитных линзах в общем случае необратимы. Проецирование траектории на вращающуюся меридиональную плоскость тем не менее по-прежнему пригодно для этих целей. Метод «назад — вперед» также пригоден для аберрационных коэффициентов, отнесенных к объекту и изображению, с последующей проверкой соотношений между этими коэффициентами.

Наконец, очень простой метод оценить ошибку — это посчитать увеличение и угловое увеличение и затем, используя соотношение Лагранжа — Гельмгольца, проверить точность их значений. Высокая точность, которая может быть достигнута методом предиктора-корректора, предполагает новые возможности для вычисления аберраций. Аберрационные коэффициенты могут быть определены классическим методом траекторий (см. разд. 5.1), рассматривая небольшое число независимых лучей через линзу [199], но их можно определить и с помощью подгонки методом наименьших квадратов в конечных точках достаточно большого числа траекторий [110, 197]. Более того, так как интегральные аберрационные коэффициенты дают только аберрации сопряженных точек предмета и изображения, а не произвольных точек траектории, альтернативный подход заключается в том, чтобы развить метод для непосредственного определения аберрационных фигур, используя большое число точно вычисленных лучей. Этот подход требует решения основного уравнения (4.21), которое в свою очередь предполагает знание всего поля, а не только его аксиального распределения. Проблема, таким образом, переходит в проблему повышения точности расчета поля. Это наиболее серьезный источник ошибок, хотя прогресс достигается также и в этом направлении (см. разд. 3.3).

Рассмотренный выше подход выглядит многообещающим, но все еще находится в стадии развития. Поэтому мы будем использовать здесь классическое приближение для вычисления аберрационных коэффициентов в виде определенных интегралов. В следующем разделе будут рассмотрены численные методы их определения.

6.3. Численные методы для вычисления аберрационных интегралов

Все коэффициенты геометрической и хроматической аберрации были выражены в гл. 5 в форме определенных интегралов в виде ь'

А = VXW), U'k^, U"kz), Bkz), B’kz), B"kz), a

b

h kz), h' kz), gkz), g'kz)]dz = IF kz) dz, (6.45) a

где а и b— границы полей для асимптотического случая и координаты предмета и изображения соответственно для реального случая. Аналогично hkz) и gkz) —два независимых решения уравнения параксиальных лучей с различными начальными условиями для реального и асимптотического случаев. Уравнение (6.45) является, таким образом, только формальным представлением аберрационных интегралов, как они записываются в общем случае. Важно то, что сложная подынтегральная функция всегда является функцией только координаты г. Заметим, что функция Fkz) может даже F(z)представлять подынтеграль

ную функцию в виде комбина- Уции различных аберрационных

Zкоэффициентов.

[. .. ьАберрационные интегралы

могут быть выражены в квад" "zjZjTi ь z ратурах только в отдельных случаях (такие примеры бу- Рис. 77. Численное интегрирование. дут приведены в гл. 7 и 8). В общем случае интегралы необходимо вычислять численными методами. Так как определенный интеграл равен площади под кривой ^(z) (рис. 77), проблема в основном сводится к проблеме интерполяции, потому что функция Fkz) задается в виде дискретных величин в У+1 точке в интервале а^г^б.

Будем использовать интерполяционную формулу Лагранжа (уравнение (3.390)), чтобы представить функцию Fkz). Интеграл от функции в пределах г, и Zj+n можно выразить как

Z/+nZj+n j+nj+n

5 Fkz)dz= $ L Likz)Fkzt)dz = atFkzi), (6.46) zjZj l=ii=j

где

Z/+n

ai= J Ltkz)dz ki=b /+b /+2, .... j+n),(6.47)

Li^ определяется уравнением (3.389) и п— порядок интерполяции, т. е. число точек, используемых для интерполяции (это число в общем случае много меньше, чем полное число точек N, в которых определена функция Fp

Используя этот подход с различными значениями п, довольно просто построить численные процедуры различной степени точности. Рассмотрим простейшие алгоритмы.

Интегрирование методом трапеций

Использование линейной интерполяции эквивалентно замене кривой, заданной функцией Р(хУ ломаной линией. Так как это очень грубая .аппроксимация, она требует большого числа точек для достижения приемлемой точности. Процедура, однако, крайне простая и быстрая. Так как в этом случае п — 1, можно использовать интерполяционную формулу (3.391), с которой уравнение (6.46) дает'

z/+i

5 F^yd^htF^+F^wH^,(6.48)

2 ..

3

где размер шага h определяется уравнением (6.4). Заметим, что уравнение (6.48) дает площадь трапеции, образованной при линейной интерполяции кривой (см. рис. 77). Затем интеграл для всего интервала a^z^6 находится как сумма всех трапеций

$ F^dz^h.^ (a) +2F(a-Fh) + 2F(a+2h) + ...

■...+2F[a+^ — 1)/г]+/=■(&)}/2,(6.49)

которая может быть записана как

6■

V(zydz = h^Fla)+Flb)W

а

N— 1

+ Z P(a+jh)} — (b — aW"VzW- (6.50) /=1■

Это хорошо известная формула интегрирования методом трапеций [115J. Остаточный член — это погрешность усечения, связанная с этим приближением. Конечно, F"^ берется где-либо в интервале a^z^b, но точное положение z не определено. Однако формула позволяет определить верхнюю границу погрешности усечения, если заменить Г"^ ее максимальным по абсолютной величине значением на данном интервале. Очевидно, для вогнутой кривой вторая производная отрицательна и остаточный член, дающий ошибку, положителен, это означа-

ет, что аппроксимация трапециями приводит к заниженному значению интеграла. Для выпуклой кривой справедливо противоположное.

Попытаемся в качестве простого примера определить численно интеграл ■2

\dzK=In 2 = 0,6931471806. i

Так как в этом случае F"(z) =2lz3, ошибка усечения методом трапеций должна лежать между №(6 и А2/48. Выберем й=0,1; тогда ожидаемая ошибка должна быть в интервале между 2,08-10 4 и 1,67-10~3. Численный расчет дает 0,6937714032, т. е. абсолютная ошибка есть 6,24-10~4.

Правило Симпсона

Для повышения точности будем использовать теперь квадратичную интерполяцию. Это эквивалентно замене кривой F(z') последовательностью парабол. Здесь имеем п = 2, поэтому будет использована интерполяционная формула (3.392), что вместе с уравнением (6.46) дает

$ F (z")dz = h\F (г,) + 4F(z,+i)+F(z/+2)]/3.(6.51)

zj .

Тогда интеграл по всему интервалу a^z^b аппроксимируется следующей суммой:

ь

\F(z)dz^h{F[a)+^F(a + h') + 2F(a + 2h) + 4F(a+3/i) + ...

... +2F[a+ (IV — 2)Л] +4F[a+ ^ — l)b] + F(b)}/3,

(6.52)

которую можно записать как

ЬN/2—l

$ F(z)dz = /i{F(a)+F(b)+2 £ F(a + 2/7z) + а

N/2

+ 42 F[a + (2/ — 1)А]}/3 — (b —a)A4FIV(z)/180.

=(6.53)

Это известное правило Симпсона [H5J. Остаточный член — погрешность усечения. FIV(z) берется где-то на отрезке a^z^b, но точное расположение этой точки не определено. Верхний предел ошибки усечения может быть определен, если заменить

Fiv(z) ее максимальным по абсолютной величине значением на данном интервале.

Заметим, что выражение (6.53) справедливо в этом виде, только когда N — четное число. Если N — нечетное, скорректированная формула должна быть использована на расширенном интервале, что не очень удобно. Поэтому практически всегда хорошо использовать четное число подынтервалов, т. е. определить функцию в нечетном числе точек.

Для нашего простого примера Р^ = \(г (см. предыдущий раздел) имеем ^^(z) =24/z5, и погрешность усечения в методе Симпсона должна быть между /г4/7,5 и /г4/240. Выбрав h = 0,1, можно ожидать, что ошибка будет в интервале между 4,17-10 7 и 1,33-10-5. Численный расчет дает 0,6931502307, т. е. абсолютная ошибка есть 3,05-10 6. Как видим, точность приблизительно в 200 раз лучше, чем у метода трапеций. Конечно, повышение точности зависит от подынтегральной функции и также от размера шага, но вполне очевидно, что правило Симпсона имеет определенные преимущества перед интегрированием методом трапеций.

Интегрирование можно всегда представить как решение дифференциального уравнения первого порядка. В самом деле, если заменить g(z, у) на F^z) в уравнении (6.36) и проинтегрировать от z, до z/+b получим

z/+i

У/+1 = У/+ S F(z)dz = yi + h[F(zj)+4F(zl +h!2) +

3+E(zz + /i)]/6,(6.54)

где использовано (6.51) со средней точкой внутри одного интервала вместо двух интервалов. Рассматривая уравнения (6.38) — (6.41) применительно к функции одной переменной F(z), мы сразу видим, что уравнение (6.54) может быть сведено к уравнению (6.37). Поэтому правило Симпсона эквивалентно формулам Рунге-—Кутта четвертого порядка.

Интегрирование методом Ромберга. Гауссовы квадратуры

Есть много других методов вычисления определенных интегралов [115, 130]. Обычно подынтегральное выражение задано в виде дискретных значений. Однако всегда можно представить эти данные в интерполированном виде, например, используя кубический сплайн (см. разд. 3.3.5.4). Тогда точность численного интегрирования может быть резко повышена. Упомянем здесь о двух методах.

В первом методе (интегрирование методом Ромберга) формула трапеций используется как начальное приближение, потом применяется процедура экстраполяции для повышения точности. Последовательные приближения вычисляются до тех пор, пока не будет достигнута заданная точность. Величина шага выбирается автоматически, чтобы удовлетворить заданной точности. Интегрирование методом Ромберга поэтому является итеративной процедурой, основанной на очень простой аппроксимации. Детали можно найти в специальной литературе [115]. Процедура требует очень малого объема памяти, поэтому может быть использована для программируемого калькулятора.

Метод гауссовых квадратур основан на теории ортогональных функций. Идея состоит в том, чтобы разбить интервал интегрирования на неравномерные подынтервалы таким образом, чтобы минимизировать ошибку. Это является особенно эффективным, если разбиение используется между точками z, и z,+i. Тогда размер шага становится меньше, что является дополнительным преимуществом этого метода. Точность определяется числом подынтервалов. Обычно используемая шеститочечная формула [130]

j Р(г)д2 = (№)^с^1(^ + ^^(6.55

очень точна, как можно видеть по пренебрежимо малому остаточному члену. Действительно, в большинстве случаев погрешностью усечения можно пренебречь по сравнению с ошибкой округления. В уравнении (6.55) коэффициенты с; и Wi задаются в виде

с 1 = с2 = 0,4679139346w, = — w2 = 0,2386191861

с3 = с4 = 0,3607615730w3=— w4= 0,6612093865(6.56)

с5 = с6=0,1713244924w5 = — щ6 = 0,9324695142

Для функции F(z) = \(z мы вычислили интеграл в интервале l^z^2, используя шеститочечную гауссову квадратуру, т. е. только 7 интервалов вместо десяти, как в двух предыдущих разделах. Хотя был использован десятиразрядный калькулятор с относительно высокой погрешностью округления, результат составил 0,6931471799, что означает абсолютную погрешность 7-Ю-10. Преимущества метода очевидны.

Заключение

В этой короткой главе мы вкратце рассмотрели основные численные методы для расчета траекторий лучей и вычисления

Численные методы расчета траекторий лучей и аберраций аберрационных коэффициентов. Был продемонстрирован метод Рунге — Кутта для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Уравнения (6.34) и (6.35) с коэффициентами из уравнений (6.12) — (6.15) представляют формулы Рунге —Кутта четвертого порядка для решения дифференциальных уравнений второго порядка. Соответствующие выражения для решения дифференциального уравнения первого порядка даются соотношениями (6.37) — (6.41). Далее были кратко рассмотрены многошаговые методы. Соотношение (6.44) представляет формулу Нумерова для решения уравнения параксиальных лучей в виде (4.50). Аберрационные коэффициенты также могут быть получены численно посредством метода трапеций (6.50), правила Симпсона (6.53), итерационного метода Ромберга или через гауссовы квадратуры (6.55).

ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКИЕ ЛИНЗЫ

Основные свойства и соотношения

Любая аксиально-симметричная система электродов образует электростатическую линзу (см. разд. 4.4). Характерной отличительной особенностью электростатической линзы в нерелятивистском случае является независимость ее фокусирующих свойств, а также аберраций от отношения заряда частицы к ее массе и, следовательно, если в системе будут использоваться ионы различных типов, то необходимо применять электростатические линзы. Это свойство является следствием законов подобия, изложенных в разд. 2.8. Так как оптическую силу аксиально-симметричных магнитных линз приблизительно можно считать пропорциональной отношению заряда частицы к ее массе [см. уравнения (4.51) и (4.117)], это преимущество электростатических линз особенно проявляется при работе с тяжелыми ионами.

Далее заметим, что на свойства линзы оказывает влияние только отношение потенциалов, и если необходимо совместить траектории частиц противоположных знаков, то достаточно просто поменять знаки всех потенциалов (включая и £70). Следовательно, можно ограничиться вычислениями для электронов (т. е. для потенциалов положительно заряженных электродов) и надлежащим образом учитывать, что для положительных ионов потенциалы электродов будут иметь ту же абсолютную величину, но противоположный знак.

Еще одним специфическим свойством электростатических линз является то, что они не только фокусируют, но, кроме того, ускоряют или замедляют частицы. Исключение составляют только одиночные линзы (см. разд. 7.4), в которых фокусировка происходит без изменения энергии. Ускоряющие свойства электростатических линз используются в электронных и ионных источниках (см. разд. 7.8.3). Кроме того, электростатические линзы могут быть использованы для анализа и разделения частиц по энергиям (линзовые фильтры).

Электростатические линзы обычно состоят из простых электродов (комбинации апертур и трубок), которые легко изготовить и собрать. Единственными серьезными проблемами при изготовлении являются необходимость учитывать электрический пробой и накопление заряда на изолирующих поверхностях.

В условиях рабочего вакуума электроды должны быть отделены друг от друга настолько, чтобы максимальная напряженность поля не превышала 15 кВ/мм.

Серьезной проблемой, связанной с электростатическими линзами, являются трудности при расчете их свойств из-за большого количества характеризующих их параметров. Число возможных комбинаций электродов неограниченно, и существует огромное количество возможных наборов параметров, которые обеспечивают линзы с различными свойствами. Даже свойства простейших линз, состоящих из пары симметрично расположенных апертур, зависят от большого числа параметров: отношения электродных напряжений, размеров апертур, толщины электродов и расстояния между ними, а также от радиальных и продольных размеров электродов. Последними часто пренебрегают, но они крайне важны (см. ниже). Поэтому опубликовано чрезвычайно мало точных расчетных данных, в основном только для простейших конфигураций [44], и сравнивать свойства различных линз очень трудно. Обычно они публикуются в виде таблиц и графиков, где кардинальные элементы и коэффициенты аберрации представлены как функции отношения ' напряжений и геометрических параметров. Из-за большого числа этих параметров универсальные конструктивные кривые не рассчитываются. Конструирование электростатических линз обычно проводится методом проб и ошибок. Наилучший способ состоит в том, чтобы накопить данные в памяти компьютера и составить программу для их быстрого вызова и анализа. В гл. 9 будут описаны методы, которые позволяют синтезировать линзы с заданными свойствами. .

Классификация электростатических линз дана в разд. 4.7. Один из способов классификации линз определяется тем, являются ли линзы ограниченными или погруженными в поле. Границы линзы обычно определяются двумя плоскостями z = a и z = b, на которых поле линзы практически исчезает (разд. 4.6.1). Исключением являются диафрагмы, поле которых не ограничено по крайней мере с одной стороны, и источники (катодные линзы), у которых поле резко обрывается со стороны, обращенной к объективу. Во всех других случаях электростатические линзы можно рассматривать как ограниченные с обеих сторон. Это означает, что ни на одной из них не должно быть электрического поля, т. е. наклон графика распределения потенциала на обеих сторонах линзы должен стремиться к нулю. Безусловно, линзы, подобные апертурным, не являются открытыми системами, если только концы электродов не удлиняются в аксиальном направлении в виде дополнительных трубок, поддерживающих постоянное значение потенциала (см. рис. 23), или если следующий электрод оптической колонны удален не очень

далеко и имеет такое же значение потенциала, как и конечный электрод линзы. Дополнительные трубки экранируют линзу от контурного поля, возбуждаемого нулевым потенциалом на бесконечности в осевом направлении. Длина и диаметр этих трубок являются двумя весьма важными параметрами, на которые часто не обращают должного внимания, но которые могут оказывать существенное влияние на работу линзы.

Радиальные расширения электродов открытых линз являются равнозначными параметрами, которыми иногда пренебрегают. Рассмотрим снова апертурную линзу, изображенную на рис. 23. Ясно, что, если расстояние между электродами сравнимо с их радиальными размерами, внешние поля, проникающие в радиальном направлении, будут существенно влиять на распределение потенциала и, следовательно, на работу линзы. Как следствие радиальные размеры электродов должны всегда включаться в основные параметры линзы.

Рис. 78. Действие электростатической линзы (кривыми показаны некоторые из эквипотенциальных линий).

Действие электростатической линзы может быть продемонстрировано на примере простой линзы, состоящей из двух цилиндров, поле которой было рассмотрено в разд. 3.1.2.2. На рис. 78 изображена картина эквипотенциальных поверхностей такой линзы. Кроме того, показан главный луч с векторами электростатического поля в двух точках для случая положительных потенциалов электродов, причем V2>Vi. Как видно, в этом случае электроны ускоряются и фокусируются слева от линзы, тогда как справа от "линзы они дефокусируются. Так как электроны проводят больше времени в области с меньшим потенциалом, суммарным эффектом является фокусировка, как и ожидалось в соответствии с основной теоремой электронной и ионной оптики (разд. 4.4). Если УгСУь то электроны замедляются и фокусировка происходит с правой стороны, но теперь это уже область с меньшим потенциалом. Для положительно заряженных частиц потенциалы электродов отрицательны и для ускорения должно выполняться соотношение У2<Кь Тогда фокусировка происходит с левой стороны, снова там, где скорость меньше. Если У2>У1, то положительно заряженные частицы будут за- 374

медляться и действие фокусировки будет проявляться с правой стороны (там, где скорость меньше). В основном те же эффекты будут наблюдаться и в более сложных случаях с той только разницей, что будет существовать более двух фокусирующих или дефокусирующих областей. Если поле линзы ограничено с обеих сторон, то суммарным эффектом всегда будет фокусировка.

Объект и его изображение обычно расположены вне поля, следовательно, для расчетов (исключая диафрагмы и катодные линзы) могут быть использованы асимптотические свойства оптических систем. Будем предполагать, что скорости не достигают релятивистских значений и что отсутствуют любые азимутальные составляющие скоростей. Тогда траектории всегда пересекают оптическую ось и могут быть рассмотрены в меридиональной плоскости гг. В этом случае можно использовать уравнение главных траекторий (4.23). Тогда уравнение параксиальных лучей (4.40) примет вид

г" лг' ли wг — о(7 1)

Так как в этом случае C=B(z)=0, то (4.47) может быть переписано в виде

а(2) = г(2)|1/(2)-1/0|1М(7.2)

и (4.51) преобразуется к виду

TW-S/^iT^^]1,(7.3)

которое используется в уравнении параксиальных лучей в форме (4.50) так же часто, как и в формулах тонкой линзы (4.117) —(4.125).

Асимптотический коэффициент сферической аберрации для объекта [уравнения (5.251) — (5.254)] может быть записан как

5[1/"(г)Р 4[1/(г)-6/0]25[1/"(г)Р 4[1/(г)-6/0]2ь

5[1/"(г)Р 4[1/(г)-6/0]2

5[1/"(г)Р 4[1/(г)-6/0]2

а

5 VU' (г)]*24 [7/(г) —1/0]45 VU' (г)]*24 [7/(г) —1/0]414 [I/ (г)]3 ыз ы' 3[1/(г)-1/0]3 п п14 [I/ (г)]3 ыз ы' 3[1/(г)-1/0]3 п пsyu'W2[1/(г)-1/орsyu'W2[1/(г)-1/орН4Н'а ) dz,Н4Н'а ) dz,(7-4)(7-4)

5 VU' (г)]*

24 [7/(г) —1/0]4

5 VU' (г)]*

24 [7/(г) —1/0]4

14 [I/ (г)]3 ыз ы' 3[1/(г)-1/0]3 п п

14 [I/ (г)]3 ыз ы' 3[1/(г)-1/0]3 п п

syu'W

2[1/(г)-1/ор

syu'W

2[1/(г)-1/ор

Н4Н'а ) dz,

Н4Н'а ) dz,

(7-4)

(7-4)

где начальные условия для луча Н(г) определяются уравнением (5.240).

Асимптотический осевой коэффициент хроматической аберрации для объекта (уравнения (5.194) и (5.270) — (5.272)) в свою очередь имеет вид

А

г Г и^-и0 | V2 (U"^ нг

Л и^-и» J )4[^(г)-^о1

U' (г)2 [[/ (г)-ил]U' (г)2 [[/ (г)-ил]и и^-щ J L и(г)-Щи и^-щ J L и(г)-Щ

U' (г)2 [[/ (г)-ил]

U' (г)2 [[/ (г)-ил]

и и^-щ J L и(г)-Щ

и и^-щ J L и(г)-Щ

XX</(z)-l/0 J</(z)-l/0 JИНг.ИНг.(7-5)(7-5)

X

X

</(z)-l/0 J

</(z)-l/0 J

ИНг.

ИНг.

(7-5)

(7-5)

Несмотря на трудности, описанные выше, мы сделаем попытку дать систематический обзор существующих электростатических линз и затем перейдем к исследованию их конкретных типов.

Модели электростатических линз

Зачастую желательно оценить свойства линзы приближенно, без проведения детального анализа. Это возможно, если имеется простая математическая модель линзы, т. е. такое приближение распределения осевого потенциала, которое достаточно близко к реальному и позволяет получить либо решение, близкое по виду, либо приближение в простых выражениях. Существуют два основных типа моделей линз: распределение потенциала аппроксимируется одной функцией для всей линзы ^аналитическая модель) или же делится на ряд интервалов и распределение на каждом интервале аппроксимируется элементарной функцией {кусочные модели).

Аналитические модели

Аналитические модели имеют ряд преимуществ (см. разд. 6.1) и, следовательно, их использование всегда желательно. Так как, к сожалению, не существует общей аналитической модели для произвольной электростатической линзы, будем использовать их по ходу этой главы, каждый раз находя модель, которая подходит для описания данного типа линз. Поэтому читатель отсылается к соответствующим разд. 7.3.1.2, 7.4.1.3 и т. д.

Кусочно-линейная модель

Эта модель основана на приближении осевого распределения потенциала линзы ломаной линией [9J, т. е. последовательностью интервалов, на которых поле однородно, но имеет разные 376

значения. Конечно, такое распределение не может быть реализовано на практике, но это здесь и не важно: мы просто используем это приближение как простейшую из возможных математических моделей для произвольного распределения электростатического потенциала. Эта модель напоминает интегрирование методом трапеций (см. разд. 6.3.1).Траектория заряженной частицы внутри каждого интервала представляет собой параболический сегмент. Эти сегменты определяются уравнением (4.141). Наклон траектории дается уравнением (4.140). Если существуют интервалы, на которых потенциал постоянен, то траектория на них будет прямолинейна и описывается уравнением (4.142). Естественно, мы должны потребовать непрерывности как r(z), так и r'(z) на концах каждого интервала. Этого легко добиться для r(z), но невозможно для r'(z). Причиной являются разрывы первой производной потенциала в этих точках. Следовательно, вторая производная потенциала (которая считается равной нулю внутри каждого интервала) принимает бесконечно большие значения на концах отрезков в случае, если считать переходную область 2Az между двумя интервалами бесконечно узкой. К счастью, та же причина, которая приводит к «бесконечно большому» росту второй производной, ограничивает ее действие, но ведет к скачку Хг' в наклоне траектории. Можно вычислить этот скачок, проводя интегрирование уравнения параксиальных лучей (7.1) по области перехода в окрестности конца отрезка z^:гА + Дгг6-Агзначения. Конечно, такое распределение не может быть реализовано на практике, но это здесь и не важно: мы просто используем это приближение как простейшую из возможных математических моделей для произвольного распределения электростатического потенциала. Эта модель напоминает интегрирование методом трапеций (см. разд. 6.3.1).Траектория заряженной частицы внутри каждого интервала представляет собой параболический сегмент. Эти сегменты определяются уравнением (4.141). Наклон траектории дается уравнением (4.140). Если существуют интервалы, на которых потенциал постоянен, то траектория на них будет прямолинейна и описывается уравнением (4.142). Естественно, мы должны потребовать непрерывности как r(z), так и r'(z) на концах каждого интервала. Этого легко добиться для r(z), но невозможно для r'(z). Причиной являются разрывы первой производной потенциала в этих точках. Следовательно, вторая производная потенциала (которая считается равной нулю внутри каждого интервала) принимает бесконечно большие значения на концах отрезков в случае, если считать переходную область 2Az между двумя интервалами бесконечно узкой. К счастью, та же причина, которая приводит к «бесконечно большому» росту второй производной, ограничивает ее действие, но ведет к скачку Хг' в наклоне траектории. Можно вычислить этот скачок, проводя интегрирование уравнения параксиальных лучей (7.1) по области перехода в окрестности конца отрезка z^:гА + Дгг6-Аг4+&z , С I U'UW4+&z , С I U'UWU* (г) гU* (г) гJ \ 2 [С/(z)—t/ol T 4[l/(z)-t/0]Zft-AzJ \ 2 [С/(z)—t/ol T 4[l/(z)-t/0]Zft-Azdz.dz.(7-6)(7-6)

значения. Конечно, такое распределение не может быть реализовано на практике, но это здесь и не важно: мы просто используем это приближение как простейшую из возможных математических моделей для произвольного распределения электростатического потенциала. Эта модель напоминает интегрирование методом трапеций (см. разд. 6.3.1).

Траектория заряженной частицы внутри каждого интервала представляет собой параболический сегмент. Эти сегменты определяются уравнением (4.141). Наклон траектории дается уравнением (4.140). Если существуют интервалы, на которых потенциал постоянен, то траектория на них будет прямолинейна и описывается уравнением (4.142). Естественно, мы должны потребовать непрерывности как r(z), так и r'(z) на концах каждого интервала. Этого легко добиться для r(z), но невозможно для r'(z). Причиной являются разрывы первой производной потенциала в этих точках. Следовательно, вторая производная потенциала (которая считается равной нулю внутри каждого интервала) принимает бесконечно большие значения на концах отрезков в случае, если считать переходную область 2Az между двумя интервалами бесконечно узкой. К счастью, та же причина, которая приводит к «бесконечно большому» росту второй производной, ограничивает ее действие, но ведет к скачку Хг' в наклоне траектории. Можно вычислить этот скачок, проводя интегрирование уравнения параксиальных лучей (7.1) по области перехода в окрестности конца отрезка z^:

гА + Дг

г6-Аг

значения. Конечно, такое распределение не может быть реализовано на практике, но это здесь и не важно: мы просто используем это приближение как простейшую из возможных математических моделей для произвольного распределения электростатического потенциала. Эта модель напоминает интегрирование методом трапеций (см. разд. 6.3.1).

Траектория заряженной частицы внутри каждого интервала представляет собой параболический сегмент. Эти сегменты определяются уравнением (4.141). Наклон траектории дается уравнением (4.140). Если существуют интервалы, на которых потенциал постоянен, то траектория на них будет прямолинейна и описывается уравнением (4.142). Естественно, мы должны потребовать непрерывности как r(z), так и r'(z) на концах каждого интервала. Этого легко добиться для r(z), но невозможно для r'(z). Причиной являются разрывы первой производной потенциала в этих точках. Следовательно, вторая производная потенциала (которая считается равной нулю внутри каждого интервала) принимает бесконечно большие значения на концах отрезков в случае, если считать переходную область 2Az между двумя интервалами бесконечно узкой. К счастью, та же причина, которая приводит к «бесконечно большому» росту второй производной, ограничивает ее действие, но ведет к скачку Хг' в наклоне траектории. Можно вычислить этот скачок, проводя интегрирование уравнения параксиальных лучей (7.1) по области перехода в окрестности конца отрезка z^:

гА + Дг

г6-Аг

4+&z , С I U'UW

4+&z , С I U'UW

U* (г) г

U* (г) г

J \ 2 [С/(z)—t/ol T 4[l/(z)-t/0]

Zft-Az

J \ 2 [С/(z)—t/ol T 4[l/(z)-t/0]

Zft-Az

dz.

dz.

(7-6)

(7-6)

Первой производной можно пренебречь по сравнению с очень большой второй производной. Кроме того, в узкой переходной области как r(z), так и Utz') могут рассматриваться как постоянные со значениями, которые они имеют на конце отрезка г». Тогда интегрирование дает

Аг' = г' (гк + Az) - г’ (zk - Хг) =

= 4^7(5^) VU' кЧ - Az) - W кЧ + Az)].(7.7)

Этот скачок должен быть добавлен к наклону траектории в каждой точке перехода любых двух интервалов. Таким образом, вся траектория состоит из набора парабол с такими скачками в каждом узле. Естественно, этот метод не является очень точным, но, как мы увидим в разд. 7.3.1.1, он может служить хорошим инструментом для быстрой оценки оптических свойств электростатических линз.

Кусочно-квадратичная модель

Для аппроксимации осевого распределения потенциала на каждом интервале будем использовать следующий вид квадратичной функции:

Uh(2) = ak + bk(z — zk-i) + ск (z — zk-X)2(7.8)

(по поводу нумерации узлов и интервалов см. рис. 41). В этом случае электростатическое поле . внутри каждого интервала представляется ломаной линией, а вторая производная потенциала— постоянной. Будем требовать непрерывности как U^zV так и U' (z) в соответствии с уравнениями (3.395) и (3.396), что в свою очередь приводит к следующим двум соотношениям между коэффициентами:

аь:Н = йь + hbfc-V h?Ck,(7.9)

bh+i — bh+2hck,(7.10)

где h = zk+i—2* — длина каждого интервала (6 = 1, 2, ..., n). Так как первая производная непрерывна, в этой модели легко удовлетворяются условия непрерывности как r(z), так и r'(z). Однако вторая производная не является непрерывной.

Коэффициенты аь, bk и Ch различны для разных интервалов. Так как имеется л интервалов, число коэффициентов Зл. Уравнения (7.9) и (7.10) обеспечивают 2 (л—1) соотношений между ними. Таким образом, имеем л+2 свободных коэффициента, которые могут быть использованы для построения кривой в л+1 узлах и, кроме того, для реализации одного из двух простых граничных условий. Хотя эта модель гораздо лучше, чем линейная, можно видеть и ее слабости: обычно необходимо удовлетворить одному условию на каждой границе, а именно следует обеспечить плавный переход в области, где поле отсутствует по обеим сторонам линзы, требуя его обращения в нуль на обоих концах. С помощью такой модели это достижимо только в нескольких подходящих специальных случаях. Следующим недостатком является разрыв второй производной в каждом узле.

Распределение потенциала, задаваемое уравнением (7.8) может быть реализовано гиперболическими электродами. В самом деле, подставляя уравнение (7.8) и его вторую производную в систему (3.20), получим уравнение гиперболы. Фиксируя значение потенциала u (г, z), получим уравнение гиперболических эквипотенциалей. Можно исследовать оптические свойства таких линз [200], но опять невозможно реализовать кусочноквадратичное распределение во всей его полноте из-за невозможности суперпозиции различных систем гиперболических электродов для каждого интервала. Однако к счастью, как и прежде, нет необходимости в реализации и этой математиче- 378

ской модели. Ее цель — служить аналитическим инструментом для упрощенных вычислений.

Уравнение параксиальных лучей (7.1) может быть строго решено для распределения потенциала (7.8) на каждом интервале [201]. Рассматривая для простоты положительный потенциал, вводя новую переменную

гк wk^ = S VU^z) - Uo^^dz(7.11)

гб-1

^. + (Сб/2)г6 = 0.^. + (Сб/2)г6 = 0.и подставляя уравнение (7.8) и его производную в (7.1), получим

^. + (Сб/2)г6 = 0.

^. + (Сб/2)г6 = 0.

(7.12)

Начальные условия при z=zk_i даются в виде

rk^zk-iY=rk-x^zk-i), r'k(zk_i)=r'k-i(zk-i). (7.13)

Для того чтобы удовлетворить условию непрерывности, начальные значения должны быть равны соответствующим конечным значениям величин гиг' для предыдущего интервала. (Аргументы этих конечных значений в дальнейшем будут опускаться.)

Решение уравнения (7.12) зависит от знака коэффициента ск. Из уравнений (7.8) и (3.38) можно видеть, что в этом случае радиальные компоненты напряженности электростатического поля выражаются просто как

Ег=скг.(7.14)

Это значит, что при положительном г напряженность имеет тот же знак, что и ск. Так как мы рассматриваем положительные потенциалы, т. е. отрицательно заряженные частицы, положительное значение ск эквивалентно фокусирующему действию в данном интервале, в то время как отрицательное ск соответствует дефокусирующему действию. Если с*=0, имеем в этом интервале однородное поле. Этот случай будет рассмотрен отдельно. После того как частица пересекла ось, г становится отрицательным, но тогда снова для фокусировки необходимо, чтобы ск было положительным. Рассмотрим, что будет происходить в различных областях.

В первую очередь рассмотрим фокусирующие области, где ск>>0. Тогда решение уравнения (7.12) для ^-го интервала при начальных условиях, заданных уравнением (7.13), и обратном преобразовании к начальным координатам запишется в виде

Г к {z)=rk-i cos a+2rVi [ (ак — U0)/2ck] ’/2 sjn a>(7.15)

r,*(^)l=-(r6-i/2){2c&/[l/6(2) - t/o]}1/2 sin а+

+ rVi{(a6— UoyyW) — U^y^cosa, (7.16) где

a = 2-1/2ln 2{ck I^a (z) ^ol}1^2H~^aH-2c|; (г z^-i)/7 jyx

Ч\с.Дак-ий)\^-уЬк' k 7

Для дефокусирующих областей, в которых ck<LO, решением уравнения (7.12) в первоначальных координатах для к-го интервала при начальных условиях (7.13) является

rfe(z)=rA-ichp+2rVi[— (ак— U0)l2cky/2 sh £,(7.18)

r'k^ = Vk-^\-^ckl\Uk^ - UoJj^shH

-¥r'k-xUak - UoyyUk^ - U^2 tici^ (7.19) где

^=2-1',2<arcsin{66[626 — 4ск(ак — U )]-1/2} —

— arcsin{[bk+2ck (z — zk-x) ] [bk2 — 4c k (ak — UQ) ]~1/2} >.

(7.20)

Приведенные выше решения в простом специальном случае ск = 0 имеют особенности, но тем не менее решение уравнения параксиальных лучей может быть получено без особых трудностей. Если Ьк^О (область однородного поля), из уравнений (4.141) и (4.140) имеем

r^z) =Гк-х — (2r'k-t/bk) X

Х<Об — Uо — {^ак — (/о) [ак — Uo + bk(z — 2й-1)]},/2\

(7.21)

r'k(z) =r'k-i{(ak — Uo)/[ak — U0 + bk(z — zk-x) ]}*/2.

(7.22)

Отметим, что такие области с разными Ьк и bw не могут следовать одна за другой, потому что в этом случае пришлось бы вернуться к кусочно-линейной модели с разрывными первыми производными.

Если Ьк=ск=О, имеем область, в которой поле отсутствует и траектория дается уравнением (4.142).

Эта модель будет использоваться в разд. 9.5 для оптимизации иммерсионных линз.

2.4. Сплайновая модель

Как мы видели в разд. 3.3.5.4, кубический сплайн является наиболее гладкой из возможных интерполяционных функций. Следовательно, совершенно естественно использовать ее как

простую модель для представления громоздкого распределения осевого потенциала. Как и прежде, распределение делится на п интервалов (см. рис. 41). Оно представляется на Д-м интервале кубическим полиномом (3.394), где и и q должны быть заменены осевым потенциалом U (z) и координатой z соответственно. В этом случае ^(2), U' (z) и U" (z) являются непрерывными функциями. Вторая производная распределения потенциала дается ломаной линией, а третья производная постоянна внутри каждого интервала. Непрерывность U(z), U'(z) и U"(z) в соответствии с уравнениями (3.395) — (3.397) обеспечивается тремя соотношениями (3.398) — (3.400) между коэффициентами.

Коэффициенты А*, Вк, Ск и Dk различны для разных интервалов. Так как интервалов п, число коэффициентов 4п. Уравнения (3.398)—(3.400) обеспечивают 3(п—1) соотношений между ними. Таким образом, имеется п+З свободных коэффициента. Они могут быть использованы для подгонки кривой в м+1 узлах и, кроме того, для удовлетворения двух граничных условий. Это одна из сильных сторон сплайновой модели: легко обеспечить плавный переход к областям, свободным от поля, с обеих сторон линзы, удовлетворяя требованию нулевого поля на обоих концах.

Отметим, что разрывность третьей производной и неопределенность производных более высоких порядков не создает никаких проблем, так как можно вычислить все оптические свойства, включая и аберрации, используя только две первые производные. Этот вопрос будет обсуждаться в разд. 9.8 и 9.9.2.

Аналитическое решение уравнения параксиальных лучей для распределения потенциала в виде кубического полинома неизвестно. Тем не менее сплайновая модель является крайне удобной для значительного числа представлений различных распределений потенциалов [202]. Она будет использована для синтеза электронных линз в гл. 9.

7.3. Двухэлектродные иммерсионные линзы

Простейшая электростатическая линза состоит из двух электродов, на которые поданы разные потенциалы. Если потенциалы различны по обе стороны линзы, то такая линза называется иммерсионной (см. разд. 4.7). (Легко сконструировать, линзу с одинаковыми потенциалами, состоящую из двух электродов (см. рис. 98). Такие линзы будут рассмотрены в разд. 7.4.) Мы уже знакомы с двумя представителями этой группы: двухцилиндровыми линзами (рис. 17) и двухапертурными линзами (рис. 23). Нетрудно себе представить, что если в качестве электродов использовать только цилиндры и апертуры различных размеров, то число всевозможных комбинаций

неограниченно велико. Так как, кроме того, электроды могут иметь неограниченное разнообразие форм, то очевидно, что, даже если имеются только два электрода, систематическое исследование возможно только в том случае, если выделить наиболее характерные параметры и изучить их влияние на оптические свойства различных линз.

Очевидно, что можно надеяться найти такие простые параметры только исходя из распределения осевого потенциала. Огромное разнообразие таких параметров не способствует систематическим исследованиям. Поэтому начнем с анализа распределения потенциала, а электродами займемся позже.

Распределение .осевого потенциала U (z) двухэлектродной иммерсионной линзы имеет очень простую форму, показанную на рис. 79. Это монотонная функция осевой координаты г, асимптотически стремящаяся к потенциалам электродов У1 и Уг по обе стороны линзы (z=a и z=b соответственно). Естественно, |У2|>|У1| для ускоряющей линзы и | Vi| > ] Уг| для за-

|U(Z)|

Рис. 79. Распределение потенциала двухэлектродной иммерсионной линзы.

медляющей. Распределение потенциала не может содержать областей с постоянным потенциалом, потому что для их поддержания необходимы дополнительные электроды. Распределение имеет одну точку перегиба zm, где осевая компонента поля достигает своего максимального абсолютного значения |Z7'|max. Координата этой точки может совпадать, а может и не совпадать с геометрическим центром линзы. В этой связи мы можем говорить о симметричных или асимметричных линзах. В первом случае линза геометрически симметрична относительно некоторой средней плоскости, перпендикулярной оптической оси.

Очевидно, распределение потенциала может быть охарактеризовано следующими четырьмя параметрами: *

протяженностью поля (Ь—а), где "осевой потенциал заметно отличается как от Уь так и от Уг;

максимальной абсолютной величиной |Z7' |max градиента осевого потенциала;

отношением электродных потенциалов (Уг—^о)/(У1— -^о);

степенью асимметрии, характеризуемой сдвигом zm относительно среднеарифметической координаты z= ^а-^-Ь)^.

Осмысленное сравнение различных линз должно основываться на этих параметрах [202а, 202b]. Отметим, что удобнее пользоваться безразмерными параметрами, следовательно, желательно отнести определенные выше величины к некоторым нормирующим множителям.

Кроме того, важно помнить, что протяженность поля (6—а) определяется до некоторой степени произвольно (см. разд. 4.6). Хорошо было бы иметь более объективный параметр. Такой параметр удобно ввести в виде эффективной длины (см. разд. 2.7.1, 3.1.3.2 и 4.10.2). Эффективная длина определяется уравнением (3.197), где функция Г (z) (уравнение (7.3)) используется для FUy Имеем

ь

UH = ^TWzrHzmy (7.23)- а

где zm — теперь осевая координата максимума поля, но определение эффективной длины совершенно произвольно, поэтому некоторые могут отдавать предпочтение использованию осевой координаты, где достигает максимума функция T^zY Это имеет смысл, так как Т (z) — функция, которая определяет оптические- свойства. Ее максимум сдвинут в направлении меньшей абсолютной величины потенциала в соответствии с тем, что это область, которая обладает фокусирующим действием (см. рис. 83). (Отметим, что для магнитной линзы функция Т(z) пропорциональна площади распределения магнитной индукции, поэтому ее максимум совпадает с максимумом абсолютной величины поля.) Однако, так как Ttz) в большинстве случаев — функция усложненного вида, легче оценить ее при значении zmr чем в точке ее максимума.

В любом случае важной количественной характеристикой является интеграл функции T(z). Он имеет прямое отношение- к формулам тонкой линзы (4.117) — (4.125). Оптическая сила тонкой линзы пропорциональна этой величине и через нее — эффективной длине. Интеграл 7(z) есть число, которое зависит от геометрии линзы и отношения напряжений изображение — объект (Уг—и^^ЦУх—UoY Максимальное значение поля зависит от тех же факторов, но, кроме того, от входной энергии частиц (Vi—U0Y

Эффективная длина может существенно отличаться для различных линз даже с одинаковым максимальным полем. Она совершенно по-разному зависит от физической длины фокусирующего элемента и протяженности поля (6—а). Меньшая эффективная длина при том же отношении напряжений означает более высокую плотность поля.

К сожалению, полезность понятия эффективной длины ограничивается трудностью ее оценки. В большинстве случаев она

требует численного интегрирования, а результат справедлив на уровне приближенной оценки фокусирующих свойств первого порядка. Гораздо информативнее провести сложный расчет хода лучей, включающий вычисление аберраций.

Для оценки максимального значения поля и его положения необходимо знать точное распределение потенциала линзы. Отношение потенциалов изображение — объект является численным параметром, обычно определяемым для данных целей как область возможных значений. Эта область обычно находится внутри интервала 1,2< (У2—l7o)/(Vi—170) <90 для ускоряющих линз и 0,01С (У2—t/o)/(Vi—Uo) <0,85 для замедляющих. В проекторных линзах коэффициент напряжения обычно ограничивается электрическим пробоем и степенью пригодности источников питания; следовательно, он должен быть ближе к единице, чем в случае, когда линзы используются в качестве источников.

Геометрически симметричные линзы

Начнем изучение с простейших линз, геометрически симметричных относительно средней плоскости, перпендикулярной оптической оси. Это означает, что положение zm максимума поля точно совпадает со средним арифметическим границ линзы а и Ь. Распределение ее потенциала имеет вид, задаваемый уравнением (3.183), и антисимметрично относительно точки zm (рис. 80).

Таким линзам уделяется много внимания в литературе, но большинство опубликованных данных относится к тривиальным конфигурациям электродов (двухцилиндровые трубки или случай двух апертур). Исключение составляют только полиномиальные линзы. Мы вернемся к ним в разд. 7.3.1.3—7.3.1.5, но сначала попытаемся получить сведения на уровне первого порядка о поведении двухэлектродных симметричных иммерсионных линз на основе очень простой модели.

Линейная модель. Предположим, что потенциал постоянен по обе стороны линзы и линейно растет внутри ее [16] (рис. 80, кривая а). Это очень далеко от реальности, но, с другой стороны, эта модель настолько проста, что мы надеемся получить некоторую информацию при очень малых затратах труда.

Распределение потенциала дается как

(

Vj > 0для z < — //2

(Vx + W + ^-VOz/Z для -Z/2<z<Z/2, (7.24) У2 > 0для z ^ 1/2,

1/1

Рис. 80. Распределение потенциала симметричных двухэлектродных иммерсионных линз: а — линейная модель; б — аналитическая модель; в— двухцилиндровая линза с нулевым зазором между электродами; г — кубическая полиномиальная линза.

где 1=Ь—а — протяженность поля гипотетической линзы, а положительный потенциал выбран с целью дальнейшего упрощения.

Будем рассматривать ход основного луча r2(z) (рис. 44) с начальными условиями

г2 (— //2) = го, г'2 (-1/2 — Az) = 0.(7.25)

Применим процедуру, описанную в разд. 7.2.2 для кусочно-линейной модели. Скачок наклона траектории на входе вычислим из уравнения (7.7). Получим

r'2 (— Z/2+Az) =—г0(У2 - УО/ИЧ^ - t/o)].(7.26)

Смещение луча и его наклон вблизи внутренней стороны выходной поверхности линзы определяются уравнениями (4.141) и (4.140) соответственно. Вместе с уравнением (7.26) они дают г2(//2) =г0{3 — [ (И2 - (70)/(У1 - ^о)]1/2}/2,(7.27)

г'2 (1/2 - Az) = - го (V2 - КО /{4/ [ (У, - С/о) (V2 - ^о) ]1/2}.

(7.28)

Окончательно получим наклон на внешней стороне выходной поверхности линзы из уравнений (7.7), (7.27) и (7.28): r,2(//2 + Az)=3r0(K2 — КОХ

X [(V2 — ^о)-1/2 -(Vt — Uo)-'^] [8/(V2 — Z70) 1/2J-1.

(7.29)

Теперь мы имеем всю необходимую информацию, чтобы вычислить асимптотические кардинальные элементы (здесь и далее для упрощения звездочки будем опускать). Подставляя уравнения (7.25) и (7.29) в (4.73), получим фокусное расстояние в пространстве изображений

Шг= (3/8) [1 - (V, - П0)/(К2- По)] X

Х{[(И2-По)/(У1-По)1/2-1}.(7.30)

Вследствие симметрии системы можно получить фокусное расстояние в пространстве изображений путем простой перестановки Vi и У2. В самом деле, фокусное расстояние в пространстве объектов равно фокусному расстоянию в пространстве изображений перевернутой линзы. Следовательно, имеем ///1=(3/8)[(У2-По)/(1Л-По) -1]Х

X {1 — [(1Л-П0)/(У2-По)]1/2}.(7.31)

Эта величина дана как функция отношения потенциалов изображение— объект в табл. 5. Видно, что чем сильнее отношение отличается от единицы, тем больше оптическая сила линзы. Кроме того, как следствие уравнения (4.76) ясно, что оптическая сила замедляющей линзы в пространстве объектов всегда меньше, чем оптическая сила ее перевернутого (ускоряющего) двойника.

Положение фокуса в пространстве изображений получается подстановкой уравнений (7.27) и (7.29) в (4.71). В результате получим

23 [1—(Vx —{/0)/(V2—С70)1 {[(V2—tZo)]1/^ _1}11

Положение фокуса в пространстве объектов может быть вычислено перестановкой потенциалов и соответствующим учетом знака:

(7.33)

Местоположение главной плоскости в пространстве изображений определяется уравнениями (4.73), (7.30) и (7.32):

и ц 5(1/2—^о)/(У1—^/р) + 31-Т од\

6 [(И2- U0)KVi — t/o) —1J '1'

Главная плоскость в пространстве объектов пересекает опти- 386

Таблица 5

Безразмерная оптическая сила линзы в пространстве объектов //fiкак функция отношения потенциалов изображение — объект(Va—ОоЩУх—1/0) для различных симметричных двухэлектродныхиммерсионных линз

Двухцилиндровая линза с нулевым зазором

Линейная

модель

5

у 5

So

£g «

о

X 4» X s h 9* А

egg

еВ

< о я

” , X х s Е о 3 R £ о к 5g® 5к 5

0,050

0,217

0,465

0,385

1,600

1,237

0,629

0,100

6,1931

0,343

0,308

0,854

0,730

0,444

0,200

0,1358

0,208

0,1972

6,401

0,371

0,259

0,286

0,0967

0,1398

6,1353

0,245-

0,233

0,1712

0,400

0,0594

0,0823

0,0810

0,1342

0,1308

0,0998

0,500

0,0372

0,0501

0,0496

0,0788

0,0777

0,0604

0,625

0,0187

0,0245

0,0244

0,0375

0,0373

0,0294

0,833

0,00298

0,00397

0,00398

0,00597

0,00597

0,00477

1,2

0,00325

0,00435

0,00434

0,00654

0,00653

0,00520

1,6

0,0237

0,0309

0,0308

0,0475

0,0471

0,0371

2,0

0,0526

0,0709

0,0702

0,1115

0,1098

0,0854

2,$

0,0937

0,1302

0,1280

0,212

0,207

0,1577

3,5

0,1806

0,262

0,253

0,458

0,436

0,321

5,0

0,303

0,465

0,441

0,897

0,829

0,578

10,0

0,613

1,086

0,971

2,701

2,308

1,408

20,0

0,974

2,079

1,724.

7,157

5,532

2,778

ческую ось в точке Яь координата которой дается уравнениями (4.72), (7.31) и (7.33):

6[(К2—(/о)/!^! —С/о) —11'

Мы видим, что главные плоскости сдвинуты в сторону уменьшения потенциала и меняются местами, как и ожидалось,

(Я2 — Н^Ц=— 1/3.(7.36)

Постоянное расстояние между ними является следствием простоты модели. Уравнения (7.34) и (7.35) показывают, что сдвиг растет по мере ослабления линзы (см. разд. 4.9).

Уравнения (4.51) и (7.24) позволяют вывести функцию T^z), которая может быть записана в виде

где

г*/1=— 1/2-[(У2-П0)/(1/1-П0) — l]-i.(7.38)

Отметим, что, если z растет от —оо до +оо, функция T^z) имеет особенность при z=z*. Функция симметрична относительно этой точки, которая, однако, всегда расположена за границами поля. Следовательно, только малая часть области определения Т (z) играет роль в формировании изображенния. Из-за чрезмерного упрощения модели (резкие начало и конец поля) функция T(z) внутри области границ поля в общем случае отличается от функции, изображенной на рис. 83.

Центр тяжести распределения поля дается уравнениями (4.125), (7.37) и (7.38):

гЛ-ZV + 5^^^=^ In «г.- и»,-и* (7.39)

В приближении тонкой линзы оптическая сила выводится из уравнений (4.117), (4.118), (7.37) и (7.38) в следующем виде:

(//A)thin= (3/16) [(V, - ц0)/(К2 - ц0)]3/4х

X[(V2-Цо)/(К-Цо) - I]2,(7-40)

(//b)thin= (3/16) [(V, - ц0)/(к2 - ц0)р/4х

Х[(У2-Ц0)/(К1-Ц0)-I]2.(7.41)

Очевидно, уравнения (7.40) и (7.41) также прямо следуют одно из другого либо через уравнение (4.76), либо простой перестановкой напряжений У] и V2 вследствие симметрии системы.

Сравним оптическую силу линзы в пространстве объектов в приближении тонкой линзы с оптической силой, заданной уравнением (7.31) в табл. 5. Видно, что приближение тонкой линзы дает удовлетворительный результат (ошибка меньше 10%) в интервале отношения напряжений изображение — объект 0,2< (К2—U0)KVi—Цо)<5. Формула тонкой линзы всегда дает завышенную оценку оптической силы (см. разд. 4.9).

Можно вычислить все кардинальные элементы в приближении тонкой линзы в соответствии с уравнениями (4.120) — (4.124). Однако эти уравнения дают более сложные выражения, чем соответствующие уравнения (7.32)—(7.36). Например, из уравнений (4.124), (7.40) и (7.41) имеем

(7-42)

Как видно, это выражение более реально для слабой линзы, чем уравнение (7.36), так как зависит от отношения напряжений изображение —объект. Уравнение (7.42) дает —7з, так же как уравнение (7.36), только для единичного значения отношения

напряжений. Если увеличить отношение до 5, то расстояние между главными плоскостями уменьшится на 18%.

Эта примитивная модель была рассмотрена, чтобы быстро получить информацию о некоторых свойствах первого порядка двухэлектродных симметричных иммерсионных линз. Мы используем эту модель для сравнения с реальными системами (см. табл. 5 и заглавия соответствующих разделов).

Аналитическая модель. Распределение потенциала двухэлектродной симметричной иммерсионной линзы всегда может быть записано в виде (3.183). Так как в уравнении параксиальных лучей (7.1), так же как и в выражениях для коэффициентов аберрации (уравнения (7.4) и (7.5)), присутствуют только отношения первой и второй производных к распределению потенциала, очевидно, что оптические свойства линзы зависят от функции распределения q>(z) и отношения потенциалов изображение— объект (Уг—Z7o)/(Vi—Uo). Структура указанных уравнений показывает, что отношение потенциалов входит в них в нелинейном виде, поэтому нужно всякий раз решать эти уравнения для каждого отношения потенциалов, за исключением очень малых значений этого отношения, когда могут быть использованы формулы тонкой линзы, и очень больших значений, когда некоторые уравнения могут быть упрощены. Можно аппроксимировать характеристические оптические величины степенными рядами отношения потенциалов [44], но результирующее выражение также будет чрезмерно громоздким, а его точность будет зависеть от диапазона отношения напряжений. Зависимость этих величин от отношения напряжений для реальных линз будет исследована в соответствующих разделах численными методами.

К сожалению, уравнение параксиальных лучей может быть строго решено только для некоторых специальных случаев функции распределения <p(z). Рассмотрим его решение для распределения осевого потенциала

U (z) = (Vi + У2) /2 + [ (У2 - К) /л] arctg (z/d), (7.43) где d — осевая координата точки, в которой потенциал на оси точно равен половине между его средним значением и значением насыщения (рис. 80, кривая б). Сразу отметим, что это распределение достигает насыщения довольно медленно. Как показано ниже, в этом случае уравнение параксиальных лучей (4.50) может быть решено в строгом виде [203].

Прежде всего введем новые переменные у и ф таким образом, чтобы

z/d=—с!§ф, (7.44)

о=у(ф)/зт ф, (7.45)

где 0 — зависимая переменная уравнения (4.50). Тогда уравнение (7.43) может быть переписано в виде

^/(ф) = Vl+[(V2 —У1)/л]ф.(7.46)

Вводя обозначение

(У2-^о)/(^1-^о)-1=х(7.47)

и новую переменную

§ — л/л + ф,(7.48)

уравнение (4.50) после некоторых элементарных преобразований перепишем в виде

^h-I^-i^-)^0-(7-49)

Введем еще одну новую переменную: il=^"1/2.(7.50)

Тогда уравнение (7.49) преобразуется к виду

^ + ^ + а2-1/16Ь] = 0,(7-51)

являющемуся уравнением Бесселя, решение которого есть

il (^=^71/4 (^+^7-1/4^),(7.52)

где Ci и Сг — постоянные, определяемые из начальных условий, a 7±i/4 — функция Бесселя первого рода порядка ±1/4. Отсюда, используя уравнения (7.2), (7.45) — (7.48) и (7.50), получим два независимых решения уравнения параксиальных лучей:

(л/х + ф),(7.53)

где нас не должны беспокоить постоянные коэффициенты, так как они могут входить в постоянные интегрирования Ci и С2. Отметим, что §>0 для ускоряющей линзы, однако для замедляющей линзы ^<0. Следовательно, в последнем случае оба решения являются мнимыми. Но мнимая единица также может быть включена в постоянные интегрирования, где она исчезает, так как будут использоваться только отношения двух решений. В самом деле, подставив их в уравнение изображения (4.58), получим

71/4 (л/х+ф,)/71/4 (л/х+фо) =

= 7-1/4 (л/х + ф,) /7-1/4 (л/х + фо),(7.54)

что определяет соотношение между координатами объекта и изображения. Увеличение дается формулой

М(SfT J^ (^ + ^)/Лм (л/х +1.). (7.55)

Свойства функций Бесселя порядка ±1/4 хорошо известны и могут быть легко вычислены, но тем не менее большинство преимуществ аналитической модели теряются из-за включения численных процедур, следовательно, решение желательно упростить. Это возможно для больших £ (малых и, т. е. слабых линз), когда можно использовать соответствующие асимптотические формулы для вычисления функций Бесселя:

L ^ *[2/л§]1/2 {Pv(§)cos[§-n(V + l/2)/2]-

— Qv (1) sin [^ — л (v +1/2)/2]},(7.56)

где

Pv(g)*l — (4v2 — 1) (4v2 — 9)/128£2,(7.57)

Qv(^)«(4v2-1)/8§.(7.58)

Если использовать эту аппроксимацию, то вычисление оптических свойств может быть выполнено в элементарных функциях, но это потребует определенной работы. Для реальных очень слабых линз можно удовлетвориться первыми членами Pv(^) и Qv(§). Тогда после длительных, но элементарных преобразований получим приближенную формулу для оптической силы:

а/Л«(3/32л)[(У2-(7о)/(Е1-^о) - I]2.(7.59)

Следствием грубой аппроксимации, использованной при выводе этого выражения, является 15%-ная ошибка даже для отношения напряжений изображение— объект меньше 1,2, следовательно, им нельзя воспользоваться. Вместо этого значения, полученные численно для асимптотической модели оптических величин, будут сравниваться со значениями для реальных линз и примитивной модели из предыдущего раздела в табл. 5 и на рис. 81 и 82.

Как мы установили в разд. 5.7.4, коэффициенты добротности, используемые в этой книге, в большинстве случаев определяются как CSo<x>lh и Сс0Л\, т. е. коэффициенты сферической и хроматической аберрации, соответственно, вычисленные для бесконечного увеличения, связанные с объектом и отнесенные к фокусному расстоянию в пространстве объектов. Эти величины безразмерны и представлены как функции безразмерного отношения напряжений изображение — объект (Кг—Z7o)/(Ki— Z7o) на рис. 81 и 82 для коэффициентов сферической и хроматической аберраций соответственно.

Единственная проблема состоит в выборе геометрических параметров различных моделей и линз. До сих пор свободным параметром линейной модели была длина 1, а для аналитиче-

Рис. 81. Асимптотический коэффициент сферической аберрации для неограниченного увеличения, связанный с объектом и отнесенный к фокусному расстоянию в пространстве объектов для а — аналитической модели, б — двухцилиндровой линзы с нулевым зазором не —• кубической полиномиальной линзы. (Шкала по оси абсцисс различна для ускоряющей и замедляющей линз.)Рис. 81. Асимптотический коэффициент сферической аберрации для неограниченного увеличения, связанный с объектом и отнесенный к фокусному расстоянию в пространстве объектов для а — аналитической модели, б — двухцилиндровой линзы с нулевым зазором не —• кубической полиномиальной линзы. (Шкала по оси абсцисс различна для ускоряющей и замедляющей линз.)| ^Imax^ I Г2 — V1IM.| ^Imax^ I Г2 — V1IM.(7.60)(7.60)

Рис. 81. Асимптотический коэффициент сферической аберрации для неограниченного увеличения, связанный с объектом и отнесенный к фокусному расстоянию в пространстве объектов для а — аналитической модели, б — двухцилиндровой линзы с нулевым зазором не —• кубической полиномиальной линзы. (Шкала по оси абсцисс различна для ускоряющей и замедляющей линз.)

Рис. 81. Асимптотический коэффициент сферической аберрации для неограниченного увеличения, связанный с объектом и отнесенный к фокусному расстоянию в пространстве объектов для а — аналитической модели, б — двухцилиндровой линзы с нулевым зазором не —• кубической полиномиальной линзы. (Шкала по оси абсцисс различна для ускоряющей и замедляющей линз.)

| ^Imax^ I Г2 — V1IM.

| ^Imax^ I Г2 — V1IM.

(7.60)

(7.60)

ской модели —длина d. Чтобы связать их друг с другом, а также с реальными линзами, нужно установить определенный принцип соответствия. Например, можно использовать определение длины d и положить ее равной //4, или можно вычислить эффективные длины обеих моделей и выбрать параметры таким образом, чтобы эти длины оказались равными и т. д. Выберем геометрические параметры так, чтобы максимальные абсолютные величины \U' | max осевых компонент поля, отнесенных к абсолютной величине разности потенциалов V2—Уь для всех

Рис. 82. Асимптотический коэффициент хроматической аберрации для неограниченного увеличения, связанный с объектом и отнесенный к фокусному расстоянию в пространстве объектов для а — аналитической модели, б — двухцилиндровой линзы с нулевым зазором не — кубической полиномиальной линзы. (Шкала по оси абсцисс различна для ускоряющей и замедляющей линз.) Штриховой линией обозначен верхний предел хроматического коэффициента добротности.

моделей и линз были одинаковы. Допустим, что этот выбор до некоторой степени случаен, но, как известно, не существует универсального способа представления свойств электростатических линз. •

На рис. 80 был проиллюстрирован этот принцип путем изображения распределения осевого потенциала моделей и линз так, чтобы все они имели одинаковый максимальный наклон в геометрическом центре. Этот максимальный наклон постоянен для линейной модели. Для аналитической модели из уравнения (7.43) имеем

Приравнивая эту величину наклону распределения потенциала (7.43) для линейной модели, получим, что для сравнения двух моделей нужно положить

d=//n. (7.61)

Эта величина используется, чтобы установить масштаб распределения потенциала (7.43), а также для сравнения безразмерных фокусных расстояний Щх в пространстве объектов в табл. 5.

Оптическая сила этой модели существенно меньше, чем линейной. Этот результат не является неожиданным: плавно меняющееся поле имеет эффективную длину много больше, чем ограниченная линейная модель.

Безразмерные коэффициенты добротности независимы от выбора максимального наклона. Действительно, в соответствии с уравнением (7.60) максимальный наклон обратно пропорционален коэффициенту подобия d. Изменяя этот множитель, мы фактически меняем масштаб модели, благодаря чему безразмерные параметры остаются неизменными (см. разд. 2.8).

На рис. 81 и 82 изображены коэффициенты добротности как функции отношения напряжений изображение — объект. Коэффициент сферической аберрации тем больше, чем слабее линза. Конечно, фокусное расстояние также увеличивается, но не так быстро. В результате сферический коэффициент добротности дает громадное увеличение по мере продвижения в область слабых линз и становится меньше 10, только когда отношение напряжений выше 10 или ниже 0,1 (рис. 81, кривая а). Коэффициент добротности незначительно улучшается для замедляющих линз по сравнению с ускоряющими.

Совершенно другая ситуация наблюдается для хроматического коэффициента добротности (рис. 82, кривая а). Коэффициент хроматической аберрации имеет верхний предел (см. разд. 5.3.1.2), следовательно, он не может увеличиваться в той же степени, что и коэффициент сферической аберрации. Тем не менее для ускоряющей области хроматический коэффициент добротности проявляет ту же тенденцию, что и сферический, с тем отличием, что он растет, но только умеренно до тех пор, пока не достигнет верхнего предела, равного 2 для очень слабых линз (см. табл. 4). Однако в замедляющей области верхний предел растет по мере усиления линзы и соответственно растет действительное значение коэффициента добротности, но оно никогда не становится больше 3 для диапазона отношения напряжений, рассматриваемого здесь.

Следует подчеркнуть, что функция распределения крайне медленно достигает насыщения. Следовательно, границы поля находятся довольно далеко от центра линзы и необходимо.

большое число точек интегрирования для достижения приемлемой точности. Ситуация тем хуже, чем сильнее линза. В диапазоне отношения напряжений 0,05^ (Р2—t/o)/(Vi—6/о)^2О оптическая сила все еще описывается уравнением (4.76) при относительной ошибке меньше 0,5%.

Тот факт, что в этой модели рассматриваются слабые поля, обусловливает ее незначительное применение для практических целей, но она может служить иллюстрацией для сравнения с реальными линзами.

Двухцилиндровые линзы. Перейдем теперь к исследованию реальных линз. Начнем с простейшей линзы, состоящей из двух коаксиальных цилиндрических электродов одинаковых радиусов R, к которым приложены различные потенциалы К и Р2 соответственно и разделенных промежутком s (см. рис. 17). Распределение потенциала такой линзы было рассмотрено в разд. 3.1.2.2. Мы знаем (табл. 2), что, если зазор между двумя цилиндрами бесконечно мал, уравнение (3.132) дает очень хорошее приближение распределения потенциала такой линзы. Следовательно, уравнение (3.132) может служить ее моделью. Для конечных, но малых значений зазора s уравнение (3.131) еще применимо, но, если зазор сравним с радиусом цилиндра, следует применять численные методы для нахождения распределения потенциала.

Распределение потенциала антисимметрично относительно плоскости z = zm = 0, на которой абсолютная величина наклона имеет максимум. Этот максимум, вычисленный из уравнения (3.131), равен

|t/'|max=(l/s)|V2- Vl|th(0)S/2/?) —> СО | У2- Pl |/2/?, s->0

(7.62)

где cd дается уравнением (3.133). Максимальный наклон в случае, когда шириной зазора можно пренебречь, конечно, также прямо следует из уравнения (3.132). Приравнивая его постоянному наклону для линейной модели распределения потенциала (разд. 7.3.1.1), получим, что для сравнения двухцилиндровой линзы с нулевым зазором и линейной модели следует использовать

l^Rlto. (7.63)

Распределение потенциала, определяемое уравнением (3.132) вместе с этим максимальным наклоном показано на рис. 80 (кривая в). Величина /, даваемая формулой (7.63), будет использована для вычисления безразмерного фокусного расстояния //fi в пространстве объектов (см. табл. 5).

z/R

Рис. 83. Функция 7(z) для двухцилиндровой линзы с нулевым зазором при (V2-t7o)/(Vi-t7o)=5.

Сразу же отметим, что это распределение характеризует гораздо более сильные поля, чем распределение, используемое в аналитической модели (разд. 7.3.1.2). Легко вычислить характеристическую функцию T(z) из уравнений (7.3) и (3.132). В результате получим

Т (z) = (3/16) (2ю/^)2 [ 1 - (V, - Uo) / (У2 - Uo) ] 2 X

X{1+ (К — Wt — Uo) + [(V, - £7o)Z(V2 - Wo)] X

Хехр (— 2юг/7?) +ехр (2юг/У?)}-2.(7.64)

Эта функция показана на рис. 83 для случая (V2—U0)HVi— t/o) =5. Видно, что она симметрична относительно некоторой точки Хм, где Т(z) максимально. Эта точка смещена в сторону уменьшения потенциала. Ее координаты можно легко оценить из уравнения (7.64):

гм№= (1/4ю)1п[(К - Z7o)Z(V2 - ^о)].(7.65)

Это выражение показывает, что смещение кривой всегда отрицательно для ускоряющей линзы (2w<zm) и положительно для замедляющей (zM>zm) и, кроме того, тем больше, чем сильнее линза. Максимальное значение функции Т(z) дается формулой

Tmax = T(ZM) = (3/16) (2to//?)2 th2(G)ZM/^).(7.66)

Максимальное значение растет с возбуждением и достигает насыщения при очень высоких (или очень низких) отношениях (V2-W0)/(K-W0).

Функцию T(z) легко строго проинтегрировать [204]. Так как границы поля определить трудно, интегрирование ведется от —оо до +оо. Тогда уравнения (4.117) и (4.118) вместе с (3.133) в приближении тонкой линзы дают

R/h=0,495 [ (V2 - Uо) /(Vi - U^ ] -/4 х

Х<{[(К2-По)/(К-Но) + 1]ХХ[(К2-По)/(К1-По)-1]~1}Х

Xln[(V2 —По)/^ —[%)]-2>,(7.67)

Rih = 0,495 [ (К - Uо) / (V2 - Uo) ] X

Х<{[(К2-П0)/(К1-П0) + 1]ХX[(V2-U0)/(Vt-^o) -l^X

Xln[ (K2 — H0)/(Ki — I/o)] — 2>.(7.68)

Принимая во внимание уравнения (7.63) и (3.133), можно вычислить безразмерную величину llh для различных значений отношения потенциалов изображение — объект. Результаты даны в табл. 5. В этой таблице приведены также эти величины, найденные численно. Они были получены численным решением уравнения параксиальных лучей (7.1) с распределением потенциала (3.132). Как видно, формула тонкой линзы снова дает завышенное значение оптической силы, но оно находится строго в пределах 12% относительной погрешности в диапазоне 0,1^ (У2—и^ЦУ^—По)^1О. Численно найденные значения удовлетворяют уравнению (4.76) при относительной погрешности меньше 0,3%. Отметим также, что эти значения оптической силы лежат между значениями, полученными из линейной и аналитической моделей. Это и ожидалось, так как поле этой линзы является промежуточным между двумя этими моделями.

Пример двухцилиндровой линзы с пренебрежимо малым зазором очень хорошо иллюстрирует тот факт, что физическая толщина линзы не совпадает с оптическим понятием тонкой линзы (разд. 4.9). В самом деле, из табл. 5 следует, что, если отношение потенциалов изображение — объект лежит вне диапазона 0,1—10, приближение тонкой линзы неприменимо. Причина состоит в том, что при сильном возбуждении поле глубоко проникает внутрь цилиндров и линза становится толстой, хотя зазор между цилиндрами по-прежнему пренебрежимо мал.

Основные свойства и сферическая аберрация симметричных двухцилиндровых линз достаточно полно исследованы в литературе [36, 44, 66, 204—215]. Трудно поверить, но до недавнего времени [215а] не было данных о хроматической аберрации. Некоторые из опубликованных данных крайне неточны. Как уже указывалось [66], результаты, полученные с помощью уравнения (3.131) для больших зазоров [36], имеют относи-

тельную ошибку до 22% (см. обсуждение в разд. 3.1.2.2). Мы попытаемся суммировать эти результаты в дальнейшем.

Прежде всего снова отметим замечательные особенности свойств перевернутых линз. Как мы знаем, перевернутая линза может быть получена из любой линзы перестановкой всех электродов и их напряжений. Однако для геометрически симметричной линзы достаточно всего лишь перестановки электродных напряжений, чтобы получить перевернутую линзу. Если первоначальная линза является ускоряющей, то перевернутая будет замедляющей с обратным отношением напряжений изображение— объект. Кроме того, очевидно, что величины, характеризующие линзу в пространстве объектов перевернутой линзы, эквивалентны тем же величинам в пространстве изображений первоначальной линзы и обратно. Следовательно, кардинальные элементы перевернутых симметричных линз ставятся в соответствие тем же элементам первоначальных линз с по-

Рис. 84. Основные соотношения между главными элементами линзы и ее перевернутого аналога: а — первоначальная лииза, 6— перевернутая линза.

мощью простых соотношений (рис. 84)

/72rev = —Еь H 2rev=Н\,f2rev = fl-/72rev = —Еь H 2rev=Н\,f2rev = fl-(7.69)(7.69)Elrev = — F2,

/72rev = —Еь H 2rev=Н\,

f2rev = fl-

/72rev = —Еь H 2rev=Н\,

f2rev = fl-

(7.69)

(7.69)

H\T6V =Н2,

flrev = /2

Для коэффициента аберрации соотношения (5.265) — (5.266) и (5.282) — (5.283) остаются справедливыми. Следовательно, вообще нет необходимости вычислять свойства симметричных замедляющих линз: если известны свойства ускоряющих линз в пространстве объектов и изображений, то всегда можно вычислить эти же свойства для замедляющих линз, используя приведенные выше соотношения. (Прямые вычисления свойств замедляющих линз имеют ценность для проверки результатов.) Соответственно на всех последующих рисунках будут рассматриваться только ускоряющие линзы. Отметим, что здесь под «симметричными» линзами мы понимаем линзы с геометрической симметрией. Так как потенциалы на электродах различны, в действительности распределение потенциала антисимметрич-

но. Электростатические линзы могут быть полностью симметричны только в том случае, если они имеют одинаковые потенциалы с обеих сторон (одиночные линзы).

Как видно на рис. 81, значение сферического коэффициента добротности крайне велико для очень слабых линз. Причина состоит в том, что, хотя фокусное расстояние быстро растет по мере уменьшения оптической силы линзы, коэффициент сферической аберрации растет еще быстрее. По этой причине линзы с отношением напряжений изображение — объект меньше 2 редко применяются на практике и поэтому в дальнейшем рассматриваться не будут. С другой стороны, очень большие отношения напряжений изображение — объект требуют мощных источников и дорогого высоковольтного оборудования, имеющегося только в специальных лабораториях. Хотя высокие отношения напряжений необходимы, например, для замедления высокоэнергетических пучков при анализе их энергии, а также для ускорения частиц низких энергий, полученных в околопороговых процессах [210], оптические свойства меняются очень слабо с их ростом, поэтому нет необходимости рассматривать отношения напряжений свыше 20. Еще одна причина, по которой мы стремимся к ограничению отношения напряжений, является нерелятивистский подход, используемый в этой главе. Конечно, совсем другое дело источники частиц, отношение напряжений достигает там громадных значений, но источники частиц не ограничены областями, в которых поле отсутствует, поэтому они должны рассматриваться отдельно.

На приведенных ниже рисунках даны кардинальные элементы симметричных двухцилиндровых линз в пространстве объектов и изображений как функции отношения напряжений изображение— объект (V2—и0)ЦУ1—t/o). Все величины выражены в единицах радиуса цилиндров R. Кривые соответствуют бесконечно тонким электродам. Были выбраны три значения зазоров sjR = 0,2, 1 и 2. Если зазор меньше 0,27?, то результат остается практически неизменным: относительное различие результатов для вычислений с нулевым зазором и вычислений при s/R = 0,2 ни при каких обстоятельствах не превышает 3%. С другой стороны, если зазор превышает диаметр цилиндров, все более важную роль начинает играть проникновение внешних полей, наводимых другими электродами через стенки вакуумной камеры. Этот нежелательный эффект может контролироваться дополнительным экранирующим электродом [212], но тогда будет иметь место трехэлектродная иммерсионная линза.

Влияние толщины электродов также было исследовано [44, 213]. Результаты показывают, что относительное различие между оптическими свойствами толстостенных линз и линз с беско-

Рис. 85. Фокусные расстояния симметричных двухцилиндровых линз в пространстве объектов, отнесенные к радиусам нх цилиндров, как функции отношения напряжений изображение — объект (V2~ ^o)/(^i — ^о). Квадраты — s//?=0,2, крестики — s/R= 1, ромбы — s/R=2.

нечно тонкими стенками внутри данного интервала отношения напряжений не превышает 20%, даже если толщина электродов равна их внутреннему радиусу. Этот факт может быть использован для эффективной защиты линзы (если зазор не очень велик) от влияния внешних полей без существенного изменения ее оптических свойств. Чтобы уменьшить число параметров, будем рассматривать линзы с бесконечно тонкими электродами.

На рис. 85 и 86 показаны фокусные расстояния в пространстве объектов и изображений соответственно, как функции отношения напряжений электродов. Как и ожидалось, фокусные расстояния быстро уменьшаются с усилением возбуждения. Для ускоряющих линз в соответствии с уравнением (4.76) во всех случаях fa>h- Фокусное расстояние растет с увеличением зазора в интервале s<2R вначале медленно, а затем быстрее. Влияние ширины зазора на фокусное расстояние уменьшается по мере возрастания отношения напряжений.

На рис. 87 и 88 изображены положения главных плоскостей соответственно в пространстве объектов и в пространстве изображений в зависимости от отношения электродных напряжений. Видно, что обе главные плоскости сдвинуты в направлении уменьшения потенциала и меняются местами. По мере сдвига главных плоскостей растет и зазор. Как следует из разд. 4.9, сдвиг становится очень большим для слабых линз. По мере возрастания силы линзы сдвиг быстро уменьшается вместе с отношением напряжений, если оно относительно мало. Для более

Рис. 86. Фокусные расстояния двухцилиндровых симметричных линз в пространстве изображений, отнесенные к радиусам цилиндров, в зависимости от отношения напряжений изображение — объект (V2— t70)/(Vi — Uo). Обозначения те же, что на рис. 85.

Рис. 87. Положения главных плоскостей симметричных двухцилиндровых линз в пространстве объектов, отнесенные к радиусам цилиндров, в зависимости от отношения напряжений изображение — объект (V2— ^o)/(Vi —t/0). Обозначения те же, что на рис. 85.

Рис. 88. Положения главных плоскостей симметричных двухцилиндровых линз в пространстве изображений, отнесенные к радиусам цилиндров, в зависимости от отношения напряжений изображение — объект (V2— Uo)/(Vi —Uo). Обозначения те же, что на рис. 85.

Рис. 89. Расстояние между главными плоскостями симметричной двухцилиндровой линзы, отнесенное к радиусу цилиндров, в зависимости от отношения напряжений изображение — объект (V2— U0)/(Vi — Uo). Обозначения те же, что иа рис. 85.

сильных линз зависимость от отношения напряжений становится очень слабой.

На рис. 89 изображена зависимость расстояния между главными плоскостями трех линз от отношения напряжений электродов. Расстояние увеличивается с ростом зазора и медленно возрастает по мере увеличения отношения напряжений. Это тоже не является неожиданностью, так как более высокое отно

шение напряжении означает увеличение толщины линзы.

Поскольку мы знаем кардинальные элементы, легко определить увеличение и положение изображения (объекта), если известно положение объекта (изображения) (см. уравнение (4.77)). Для этого удобно воспользоваться графиками, на ко

торых положение изображенияQ/(2R)торых положение изображенияQ/(2R)P/(2R)P/(2R)Рис. 90. Положение изображения Q в зависимости от положения объек-Рис. 90. Положение изображения Q в зависимости от положения объек-та Р для симметричной двухцилиндровой лиизы с пренебрежимо малым зазором. Кривые соответствуют постоянным увеличениям и отношениям напряжений изображение — объект. Как Р, так и Q измеряются от положения средней плоскости линзы [215].та Р для симметричной двухцилиндровой лиизы с пренебрежимо малым зазором. Кривые соответствуют постоянным увеличениям и отношениям напряжений изображение — объект. Как Р, так и Q измеряются от положения средней плоскости линзы [215].дается как функция положения объекта в виде семейства кривых для различных постоянных увеличений и отношений электродных потенциалов [44]. Один из таких графиков, основанный на экспериментальных результатах [215], изображен на рис. 90 для линзы с пренебрежимо малым зазором. К сожалению, вследствие самой природы электростатических линз, обсуждавшейся выше, такие графики переполнят библио-

торых положение изображения

Q/(2R)

торых положение изображения

Q/(2R)

P/(2R)

P/(2R)

Рис. 90. Положение изображения Q в зависимости от положения объек-

Рис. 90. Положение изображения Q в зависимости от положения объек-

та Р для симметричной двухцилиндровой лиизы с пренебрежимо малым зазором. Кривые соответствуют постоянным увеличениям и отношениям напряжений изображение — объект. Как Р, так и Q измеряются от положения средней плоскости линзы [215].

та Р для симметричной двухцилиндровой лиизы с пренебрежимо малым зазором. Кривые соответствуют постоянным увеличениям и отношениям напряжений изображение — объект. Как Р, так и Q измеряются от положения средней плоскости линзы [215].

использования относительно небольшого числа несмотря на то что их качество с точки зренияиспользования относительно небольшого числа несмотря на то что их качество с точки зрениятеки, если мы попытаемся дать их для каждой мыслимой линзы. Кроме того, использование таких графических представлений неизбежно приводит к неточностям.

использования относительно небольшого числа несмотря на то что их качество с точки зрения

использования относительно небольшого числа несмотря на то что их качество с точки зрения

Одна из причин широкого простых линз, аберраций ос-

тавляет желать лучшего, состоит в том, что данные о них существуют в виде графиков и таблиц. Это отражает такое состояние дел, когда компьютеры не были еще широко распространены и инженерные работники полагались только на имеющиеся в их распоряжении данные. Но сейчас ситуация коренным образом изменилась, и есть возможность использовать компьютеры для конструирования линз более высокого качества. Можно воспользоваться программой хода лучей и накопить результаты вычислений такого рода в памяти компьютера. Эти данные могут быть представлены в виде таблиц, таких, как

Таблица &

Зависимость положения объекта Р, увеличения М, коэффициентасферической аберрации С$о, коэффициента хроматической аберрации Ссо(оба связаны с объектом) и величии |Л1|С,о И |М|Ссоот положения изображения Q для симметричной двухцилиндровой лиизыс пренебрежимо малым зазором и (V2—t7o)/(Vi—t/o)=5a

QJR

P,R

-М

CJR

|Л7|С„/Я

C„R

|W|Cul/«

6,0

27,68

0,15

40410

6061

134,9

20,2

8,0

13,71

0,41

2337

958

31,96

13,1

10,0

10,51

0,67

791,4

530

18,41

12,3

12,0

9,10

0,94

437,8

412

13,59

12,8

13,0

8,65

1,07

355,9

381

12,22

13,1

15,0

8,01

1,33

260,7

347

10,41

13,8

20,0

7,16

1,98

164,3

325

8,19

16,2

25,0

6,73

2,63

127,4

335

7,18

18,9

30,0

6,47

3,28

108,5

356

6,60

21,6

40,0

6,17

4,58

89,4

409

5,96

27,3

50,0

6,01

5,88

80,0

470

5,62

33,0

со

5,42

СО

52,6

со

4,50

со

а Положения объекта и изображения измеряются от средней плоскости линзы. Все величины отнесены к радиусу цилиндров R.

табл. 6 и 7, где приведены положение объекта Р/R, положение изображения Q(R и увеличение М, а также коэффициенты сферической Cso/R и хроматической CcoIR аберраций для линз с нулевым зазором при (V2—^o)/(Vi—t/o) =5 (положения объекта и изображения измеряются от средней плоскости линзы).

Как рис. 90, так и табл. 6 ясно показывают основные особенности всех линз: чем ближе объект к линзе, тем дальше от нее изображение, и абсолютная величина М при этом растет (см. уравнение (4.77)). Чем сильнее линза, тем меньше Р и Q.

Интересно отметить, что телескопическую линзу (разд. 4.6.1) можно сделать из двухцилиндровых симметричных линз с нулевым зазором, но для этого потребуется отношение напряжений свыше (Й2—t/o)/(Ki—t/o)=688O. У такой чрезвычайно сильной линзы все ее действие сконцентрировано в пространстве объектов, где ее напряжение ниже.

Перейдем теперь к исследованию коэффициента сферической аберрации. На рис. 91, а изображена зависимость сферического коэффициента добротности (коэффициент сферической аберрации для неограниченного увеличения в пространстве объектов, отнесенный к фокусному расстоянию линзы в пространстве объектов) от отношения напряжений на электродах. Снова видим, что величина Cso Cfi очень велика для слабых линз и резко уменьшается с увеличением силы линзы. Зависимость настолько сильна, что приходится показывать ее отдельно для более высоких значений отношения напряжений (рис. 91,6). С другой стороны, ширина зазора оказывает очень

Таблица 7

Зависимость положения изображения Q, увеличения М, коэффициента сферической аберрации Csi и хроматической аберрации С» (обе связаны с изображением) от положения объекта Р для симметричной двухцилиндровой лиизы с пренебрежимо малым зазором

И (K2-^o)/(Vi-^o)=5=

P/R

QfR

-М

CJR

CdR

7,0

21,54

2,18

37610

414

8,0

I5J05

1,33

9130

206

9,0

12,19

0,96

3990

137

10,0

10,58

0,75

2290

104

12,0

8,83

0,52

ИЗО

74,0

15,0

7,57

0,36

624

55,4

20,0

6,63

0,24

374

43,2

25,0

6,16

0,18

284

37,8

30,0

5,89

0,14

239

34,7

40,0

5,58

0,10

195

31,4

50,0

5,41

0,08

173

29,7

СО

4,81

0,00

112,1

24,1

а Положения объекта н изображения измеряются от средней плоскости линзы. Все величины отнесены к радиусу цилиндров R.

слабое влияние на коэффициент добротности, хотя фокусное расстояние зависит от него и приблизительно в такой же степени зависит и коэффициент аберрации. Видно, что в данном интервале отношений напряжений лучшее значение, которое можно достигнуть, есть Cso^lf\ = ^, но для этого потребуется наибольшее из возможных значений отношения напряжений данного интервала. Для более достижимого на практике значения (У2—U0)/(Vi — (/о) =5 имеем Cso Jfi«15, что достаточно велико.

Коэффициент сферической аберрации для нулевого увеличения, связанный с изображением и отнесенный к фокусному расстоянию в пространстве изображений, показан на рис. 92, а как функция отношения электродных напряжений. Величина Csi o/f 2 снова очень велика для слабых линз и резко уменьшается для сильных линз. Эта зависимость показана отдельно на рис. 92,5 для более высоких значений отношения напряжений. Влияние ширины зазора в этом случае выражено сильнее: чем больше зазор, тем больше коэффициент аберрации. Так как Cst0^2 представляет собой коэффициент добротности для замедляющих линз, видим, что, хотя сам по себе коэффициент сферической аберрации для них принимает намного более высокие значения, коэффициент добротности отчасти улучшается для малых зазоров, но ухудшается для больших. Для пренебрежимо малых зазоров можно достигнуть С$о =<,//1 = 1,7 для наименьшего из возможных отношения напряжения в данном интервале. Если (V2—Uo)/(Vr~Uo) =1/5, то Cso ю//, = 14,6, что ненамного

(V2-U0)/(V1-U0)

Рис. 91. Зависимость асимптотического коэффициента сферической аберрации для бесконечного увеличения по отношению к объекту и отнесенного к фокусному расстоянию симметричной двухцилиндровой линзы в пространстве объекта от отношения электродных напряжений. Обозначения те же, что на рис. 85. Кривые на рис. 91, а даны для всего интервала отношений напряжений, а кривые на рис. 91, б—только для (У2— 1/0)/(У1 — Uo)>4.

Рис. 92. Зависимость асимптотического коэффициента сферической аберрации для нулевого увеличения по отношению к изображению и отнесенного к фокусному расстоянию симметричной двухцилиндровой линзы со стороны изображения от отношения электродных напряжений. Обозначения те же, что на рис. 85. Кривые на рис. 92, а даны для всего интервала отношения напряжений, а кривые на рис. 92,6 — только для (V2—^o)/(Vi —^о)>4.

отличается от значения для соответствующей ускоряющей линзы.

На рис. 81 (кривая б) также изображен сферический коэффициент добротности. Сравнение показывает, что исследуемая линза работает значительно лучше, чем аналитическая модель. Однако, прежде чем перейти к общим выводам о преимуществах более сложных полей, нужно исследовать хроматический коэффициент добротности. Наши вычисления показывают, что хроматический коэффициент добротности приблизительно равен 2 для очень слабых линз и с увеличением силы линзы его поведение становится таким же, как для аналитической модели: он уменьшается для ускоряющих линз и увеличивается для замедляющих (см. рис. 82, кривая б). Однако для хроматической аберрации более сильные поля этих линз являются причиной определенных недостатков; коэффициенты добротности намного больше, чем для аналитической модели.

Приведенные кривые соответствуют только случаям бесконечного и нулевого увеличений. Коэффициенты аберрации сильно зависят от увеличения, но не надо их вычислять для каждого его значения, если нас интересуют только асимптотические коэффициенты. В этом случае следует вычислить пять коэффициентов для сферической аберрации и три — для хроматической. Тогда можно воспользоваться полиномиальными выражениями (5.255) и (5.273) для любого увеличения. Подходящие коэффициенты даются уравнениями (5.256) — (5.260) и (5.274)— (5.276). Можно воспользоваться пятью сферическими коэффициентами, заданными в табличной форме [44].

Зависимость коэффициентов аберрации в пространстве объектов от увеличения дана в табл. 6 для линзы с пренебрежимо малым зазором и (Кг—t/o)/(Ki—(/0)=5. Коэффициенты как сферической, так и хроматической аберрации, связанные с объектом, сильно уменьшаются с ростом абсолютной величины М. Уменьшение особенно заметно при малых |Л1]. Чем выше |М|, тем медленнее достигают коэффициенты аберрации значений для бесконечного увеличения. При М = —4 имеем Cs0/Cs0 ~= 1,8 и CcotCco ~ = 1,4. Следовательно, наши коэффициенты добротности дают приемлемую оценку аберраций даже при относительно низких увеличениях.

Коэффициенты абберации очень сильно зависят от отношения напряжений на электродах. При фиксированном положении объекта более сильная линза сокращает расстояния до изображения и уменьшает |М|, что эквивалентно увеличению аберраций. При фиксированном положении изображения чем больше сила линзы, тем меньше расстояние до объекта, что эквивалентно увеличению |Л4| и уменьшению аберраций. При фиксированном увеличении более сильная линза предполагает уменьшение расстояния как до объекта, так и до изображения (см. рис. 90),

а аберрации при этом резко уменьшаются. В зависимости от того, какая из переменных фиксирована, в итоге могут быть сделаны разные выводы. Поэтому следует быть очень осторожным при оценке иногда встречающихся в литературе - спорных данных.

Коэффициент аберрации замедляющих линз при низких увеличениях много меньше, чем ускоряющих линз. Это следует как из уравнений (5.83) и (5.265), так и из уравнений (5.201) и (5.282). Для единичного увеличения имеем Cs0 rev = [(K2—Йо)/ /(Vi-Z70)]3/2CSO и Ссогеу==№-(7о)/(У1-17о)р/2ССо, что означает возрастание на порядок величины для (К2—t/o)/(Ki— —(7о) =5. Для больших увеличений аберрации слабеют, и при достижении бесконечного увеличения коэффициент сферической аберрации падает до 2, а коэффициент хроматической аберрации до 5. Даже этот незначительный рост замаскирован в коэффициентах добротности, в которых коэффициенты аберраций отнесены к большим фокусным расстояниям для замедляющих линз. Это показывает, что с коэффициентами добротности необходимо обращаться очень аккуратно при работе с замедляющими линзами.

Отметим, что простые выражения (5.291) и (5.294) не могут быть использованы, так же как и табл. 6, вследствие сравнительно большого отношения потенциалов. Для аберраций приближение тонкой линзы справедливо только для очень слабых линз.

Коэффициенты аберрации, связанные с изображением, для такого же случая даны в табл. 7. При увеличении М—И) они сильно уменьшаются (см. разд. 5.2.1.1 и 5.3.1.1). Уменьшение особенно сильно при высоких увеличениях. При более низких |ЛГ| коэффициенты аберрации медленно достигают своих значений для нулевого увеличения. При М=—0,1 имеем Csl]CSio = = 1,7 и CdlCCi о = 1,3. Один из способов проверки точности вычислений заключается в использовании уравнений (5.83) и (5.201) для сравнения коэффициентов аберрации в пространстве объектов и в пространстве изображений. Как показывают эти результаты, может быть достигнута вполне удовлетворительная точность.

Полный учет сферической аберрации симметричных двухцилиндровых линз для широкого диапазона увеличений можно отыскать в литературе [44]. Так как радиусы дисков сферической и хроматической аберраций зависят соответственно от MCso (уравнение (5.79)) и МСсо (уравнение (5.197)), эти величины желательно знать для каждого конкретного увеличения и отношения потенциалов на электродах (см. разд. 5.7.4). Как мы видели в разд. 5.4.1.1, существует оптимальное значение увеличения, которое минимизирует |Af|CS0 для данного отноше-

ния электродных напряжений. Вычисления показывают, что для этого случая оптимальное увеличение лежит в интервале между — 1 и —2 и его абсолютная величина медленно уменьшается с ростом отношения напряжений. Минимальное значение |M|CS0 очень сильно зависит от отношения напряжений: чем больше (У2—^о)/(И1—(/о), тем меньше диск сферической аберрации. В табл. 6 также дано |M|Cso/7?. Его минимум наблюдается при М =—1,98 и равен 325. В соответствии с уравнением (5.79), задавая значение половинного угла аксептанса ао = 5мрад, имеем 8rsi/R = 4-10-5. При входной энергии частиц 10 кэВ во избежание пробоя следует выбрать зазор s=3 мм. Следовательно, чтобы воспользоваться приближением малого зазора, радиус цилиндров должен быть по крайней мере R = = 1 см. Тогда минимальный радиус пятна будет 400 нм. Если задать половинный угол ао=1 мрад, то получим минимальный радиус пятна всего лишь 3 нм. Радиус диска меняется относительно медленно вблизи его минимума. К сожалению, эта ситуация выполняется не всегда.

Кроме того, в табл. 6 даны значения |Л1|Ссо/^. Мы видим, что минимальное значение достигается приблизительно при Mopt=—0,67 и равно 12,3. Из уравнений (5.279) — (5.281), используя коэффициенты хроматической аберрации для нулевого и бесконечного увеличений, получим AfOpt =—0,69. Уравнение (5.197) дает для «о = 5 мрад и относительного разброса энергий AtZo/[^(«)—£70] = Ю^4 радиус хроматического диска 6гС1/^ = 3-Ю-6, откуда следует, что при /? = 1см радиус хроматического диска равен 30 нм. Если ао = 1 мрад, радиус равен 6 нм. Радиус хроматического диска также слабо изменяется вблизи его минимума.

Итак, при относительно широком пучке преимущественную роль играет сферическая аберрация, тогда как в случае узкого пучка важнее учет хроматической аберрации. Чем дальше два минимума находятся друг от друга, тем лучше; следовательно, всегда нужно использовать увеличение между этими двумя оптимальными значениями ближе к тому, которое соответствует доминирующему фактору, оптимизируя, таким образом, размер пятна, задаваемого уравнением (5.337).

Симметричная линза, состоящая из двух трубок, является классическим примером фокусирующей системы, которой уделено много внимания в основном из-за ее простоты. В следующем разделе мы рассмотрим другую простую конфигурацию.

Двухапертурная линза. Эта линза также состоит из двух электродов, разделенных расстоянием s, но теперь электродами служат плоские пластинки с круглыми отверстиями радиуса R с приложенными к ним потенциалами Vi и V2 соот-

ветственно. Электроды расширяются в осевом направлении в виде дополнительных трубок радиуса Rt, на которые поданы те же потенциалы (рис. 23). Как отмечалось в разд. 7.1, радиус и длина этих трубок наряду с радиальным расширением отверстий являются важными параметрами линзы. Они необходимы для защиты линзы от влияния внешних полей. В результате эта простая двухэлектродная система становится довольно сложной. Она имеет пять основных геометрических параметров: R, s, Rt, длину трубок и радиальное расширение отверстий.

Фундаментальное различие между двухцилиндровой и этой линзами состоит в том, что теперь R может принимать очень малые значения. На первый взгляд это дает преимущество, заключающееся в том, что малое отверстие в электроде не оказывает сильного влияния на распределение потенциала на очень больших расстояниях от двух апертурных плоскостей; следовательно, с относительно малой погрешностью границами линзы можно считать апертурные плоскости. (Как мы увидим в разд. 7.3.1.5, даже этой относительно малой погрешностью нельзя пренебречь.) В случае двухцилиндровой линзы это невозможно, так как при очень малых радиусах влияние внешнего поля будет очень большим даже при малом зазоре между электродами.

В разд. 3.1.2.4 было рассмотрено распределение потенциала двухапертурной линзы. Как мы знаем, точное решение возмож? но, но оно настолько сложное, что не позволяет избежать численных процедур. Даже упрощенная формула для распределения осевого потенциала (уравнение (3.184)) слишком сложна для аналитического решения. Для приближенного аналитического расчета применялась кусочно-квадратичная модель [216] (разд. 7.2.3) в предположении, что поле линзы заключено между двумя диафрагмами. В другом подходе [217] между двумя диафрагмами помещен средний «цилиндр» и предполагалось, что потенциал линейно меняется вдоль этого цилиндра.

Наиболее полные данные [44] были получены для случая, когда радиусы предохранительных трубок были R# = 5R, а сами трубки расширены внутрь области между электродами с зазором 0,2 R между ними. Тогда нет необходимости в дальнейшем радиальном расширении отверстий электродов, и линза становится закрытой системой, полностью защищенной от внешних полей. Хотя эта система по существу является модифицированной двухцилиндровой линзой, результаты показывают, что ее наиболее существенными элементами все еще являются апертурные пластинки, так как они находятся ближе к оси, чем защитные трубки. Данные получены для s/R=l и 2. Сравнение с двухцилиндровыми линзами показывает, что сферический коэффициент добротности двухапертурной линзы хуже на 20—

25%, но улучшается с увеличением отношения зазора к радиусу.

Специальный случай пренебрежимо малого зазора также был исследован [218], но реальный интерес представляет как раз обратная ситуация: пренебрежимо малый радиус позволяет определить границы линзы более или менее точно. К сожалению, данные для этого случая получены только для фиксированного положения изображения [219] и объекта [220]. Так как в случае пренебрежимо малого радиуса к важным геометрическим параметрам относится только размер зазора s, все оптические параметры могут быть выражены в единицах s. С другой стороны, для двухцилиндровой линзы с пренебрежимо малым зазором важным геометрическим параметром является радиус R. Следовательно, при сравнении этих двух линз появляются существенные трудности.

Идея линз с точно определенными границами очень привлекательна. Характеристические параметры таких линз могут быть выражены в единицах физической длины линзы, которая примерно совпадает с протяженностью поля. Такие линзы будут рассмотрены в следующем разделе.

Полиномиальные линзы. Кривые бив распределения потенциала на рис. 80 асимптотически стремятся к потенциалам электродов; следовательно, этим способом можно пользоваться для субъективного определения границ поля. Кривая а имеет резкие границы, но ей нельзя поставить в соответствие никакое физическое поле. Как указывалось выше, желательно четко определить его границы и затем, положив значение поля на обоих концах линзы равным нулю, найти такое распределение потенциала, которое имеет вид, показанный на рис. 80, но достигает значений потенциалов на электродах в этих точках.

Такие функции потенциалов могут быть найдены в виде полиномов. Линзы, которые имеют распределение осевого потенциала, описываемое такими функциями, будем называть полиномиальными линзами.

Простейшей функцией, удовлетворяющей нашим требованиям, является кубический полином. Следовательно, кубические полиномиальные линзы [221] — это двухэлектродные симметричные линзы, заслуживающие особого внимания.

Будем искать распределение осевого потенциала в виде кубического полинома

и^=А + В2+С22+Пх\ (7.70)

Имеем четыре неизвестных коэффициента. Они могут быть найдены из четырех условий, которым необходимо удовлетворить: на обоих концах поля (z=—Lf2 и 2=Lj2, где L — общая длина

поля) первая производная потенциала должна обращаться в нуль, а сам потенциал должен иметь значения Vi и У2 соответственно. В результате получим

U^ = (Vi + Vz)/2 - (V2 - V,) [1/2 + 2 (z/L - 1) (z/L+1/2)2].

(7.71)

Распределение потенциала антисимметрично вблизи плоскости z=0, где абсолютная величина наклона имеет максимум, равный

|t/,|max = t/,(0)l=l,5(V2-Va/L.(7.72)

Приравнивая эту величину постоянному наклону линейной модели (разд. 7.3.1.1), получим, что для сравнения этих моделей необходимо использовать

/=£/1,5.(7.73)

Эта величина используется в табл. 5 для вычисления безразмерного фокусного расстояния в пространстве объектов ///ь Распределение потенциала, задаваемое уравнением (7.71), показано на рис. 80 кривой г с длиной, определяемой из уравнения (7.73). Мы видим, что из всех рассмотренных до сих пор это реальное распределение с наибольшей плотностью поля.

Легко определить форму электродов, дающих осевое распределение потенциала (7.71). Поскольку оно описывается кубической функцией, очевидно, что это распределение будет иметь только три ненулевых производных. Следовательно, внеосевое распределение потенциала (3.20) может быть выражено достаточно просто. Вторая производная U(z) дается выражением

[7"(z)=—12(V2 —VJz/L3.(7.74)

Распределение потенциала имеет точку перегиба при z = 0, где поле имеет максимум. Подставляя уравнения (7.71) и (7.74) в (3.20) и полагая потенциал равным V в произвольной точке с координатами гиг, получим уравнение эквипотенциальных поверхностей:

(r/L) 2 = [2 (z/L - 1) (z/L +1/2)2 + (И - И,) (У2 - ^) ] / (3z/£).

(7.75)

Если теперь подставить V=Vi, получим простое уравнение для формы первого электрода. Аналогично, подставляя V=V2, найдем форму второго электрода. Так как мы требуем, чтобы осевой потенциал был равен Vi и У2 в точках входа и выхода соответственно, эти эквипотенциальные линии будут касаться оси в этих точках. Это также следует из формулы (7.75). Для

того чтобы сделать линзы проницаемыми для частиц, мы должны выбрать эквипотенциальные линии, слабо отличающиеся от расчетных, так, чтобы при z=±L/2 они обеспечивали малые отверстия. Такие электроды показаны на рис. 93 (сплошные кривые). Поскольку распределение потенциала определено только в интервале между z=—L/2 и х = Ц2, за пределами линзы электроды должны быть продолжены как трубки с теми же значениями потенциалов. При применении линзы в качестве источника частиц электрод в пространстве объектов может заканчиваться поверхностью, перпендикулярной к оптической оси (см. рис. 127). Если отверстия малы, то потенциалы электродов очень близки к их первоначальным значениям Vi и У2. Кроме того, как было показано [219], изогнутые поверхности электродов могут быть заменены на

номиальной линзы (штриховые линии показывают упрощенные электроды).номиальной линзы (штриховые линии показывают упрощенные электроды).более простые структуры, в которых каждый электрод имеет всего лишь одну заостренную часть (штриховые линии на рис. 93). Такое распределение осевого потенциала, а следовательно, и оптические свойства такой линзы очень близки к свойствам идеальной кубической полиномиальной линзы.

номиальной линзы (штриховые линии показывают упрощенные электроды).

номиальной линзы (штриховые линии показывают упрощенные электроды).

Табл. 5 показывает, что оптическая сила кубических полиномиальных линз выше, чем двухцилиндровых линз. Это естественное следствие

большей плотности поля (рис. 80). Ее коэффициент добротности для бесконечного увеличения несколько хуже, чем для двухцилиндровой линзы (рис. 81 и 82).

Соотношения, связывающие положения объекта и изображения с увеличением, так же как и зависимость коэффициентов аберрации в пространстве объектов от увеличения, приведены в табл. 8 для случая (У2—^o)/(Vi—(7О)=5. Количественно картина та же, что и для двухцилиндровой линзы (см. табл. & и обсуждение в конце разд. 7.3.1.3). Минимальное значение |М| Cso!L = 154 при М=—2,2. Минимальное значение \М\Ссо(Ь = = 4,6 при М«—0,75. Используя коэффициент хроматической аберрации для нулевого и бесконечного увеличений вместе с уравнениями (5.279)—(5.281), получим M0Pt =—0,70.

Довольно трудно сравнивать действие этой линзы с действием двухцилиндровой линзы, поскольку в этом случае все величины отнесены к длине L, в то время как для двухцилиндро-

Таблица 8

Положение объекта Р, увеличение М, коэффициент сферической аберрации CSOI коэффициент хроматической аберрации Ссо (оба связаны с объектом)

.и величины |Л4|С$0 и |Л4|Ссо как функции положения изображения Q для идеальной симметричной кубической полиномиальной линзы при (V2—^/(Гг-СЛО-З3

QJL

Р/с

—м

CJL

|М| CJL

CJL

|A/| Се„ L

2,0

8,65

0,17

18630

3161

42,96

7,29

2,5

5,02

0,36

1886

686

13,98

5,09

3,0

3,92

0,56

647

361

8,32

4,64

3.5

3,39

0,75

341

257

6,10

4,59

4,0

3,08

0,95

222

210

4,96

4,69

5,0

2,72

1,33

128,2

171,2

3,81

5,08

6,0

2,53

1,72

91,7

158,0

3,24

5,59

7,2

2,39

2,19

70,4

154,2

2,86

6,26

10,0

2,21

3,28

49,7

162,9

2,42

7,92

15,0-

2,08

5,22

37,5

195,7

2,11

11,03

20,0

2,02

7,16

32,8

235

1,98

14,19

27,3

1,97

10,00

29,5

294

1,88

18,82

ОО

1,86

со

22,2.

со

1,65

ОО

а Положения объекта и изображения измеряются от средней плоскости линзы. Все величины отнесены к длине L.

вой линзы основным геометрическим параметром является радиус цилиндров R. Тем не менее мы можем сравнивать приблизительно их действие, используя пример, данный в конце разд. 7.3.1.3. Предположим снова, что входная энергия частиц 10 кэВ; следовательно, минимальное расстояние между электродами равно 3 мм. Используя упрощенную структуру электродов (штриховая линия на рис. 93), можно принять L=\ см. Тогда все числа в табл. 6 и 8 можно прямо сравнивать друг с другом. Используя уравнения (5.79) и (5.197) и предполагая относительный разброс энергии 10-4, найдем минимальный радиус сферического диска 6г$,= 1,3 нм для а0 = 1 мрад и 6rSi = = 193 нм для «о=5 мрад. Для минимальных хроматических дисков имеем 6гсг=2,3 нм и 6rct-= 11,5 нм. Так как два минимума снова расположены довольно далеко друг от друга, общий размер пятна необходимо оптимизировать выбором увеличения между этими двумя оптимальными значениями.

Такое сравнение показывает, что кубическая полиномиальная линза по крайней мере в два раза лучше двухцилиндровой линзы, что и объясняет ее популярность. Почему же в таком случае ее коэффициент добротности уступает коэффициенту добротности двухцилиндровых линз? Чтобы ответить на этот вопрос, вспомним, какой смысл вкладывается в понятие коэффициентов добротности: малая аберрация для фиксированной оптической силы (см. разд. 5.7.4). Из табл. 5 следует, что оптическая сила полиномиальной линзы в 1,3 раза выше, чем

двухцилиндровой линзы при (К2—UotKVt—1/0) =5, если сравнивать их на основе равенства полей в средней точке линзы. Это равносильно предположению, что L=227 R (см. уравнения (7.63) и (7.73)). Однако в проводившемся выше сравнении использовалось R=L, что и является ответом на вопрос. Действительно, это значит, что при таком сравнении оптическая сила кубической полиномиальной линзы в три раза выше, чем двухцилиндровой. Поэтому если отнести аберрации к фокусному расстоянию, то для полиномиальной линзы результат получится хуже, чем для двухцилиндровой.

Кроме того, это обсуждение обещает пролить свет на зависимость свойств линзы от плотности поля. Большая плотность поля обычно означает, что все величины, связанные с размерами линзы, включая фокусные расстояния и коэффициенты аберрации, становятся меньше. Но желательно, чтобы аберрации уменьшались в большей степени, чем фокусные расстояния. Только в этом случае можно говорить, что линза стала лучше в полном смысле этого слова. Это желание отражено в выборе коэффициента добротности.

Свойства кубической полиномиальной линзы хорошо исследованы для фиксированных положений объекта и изображения. Результаты показывают [219, 220, 222—224], что она превосходит двухапертурную линзу, которая является всего лишь другим типом симметричной двухэлектродной линзы и с которой поэтому можно прямо сравнивать полиномиальную линзу. В случае применения в качестве источника частиц, когда цилиндрического расширения со стороны объекта нет, это преимущество проявляется особенно сильно. Хотя двухапертурные линзы могут иметь очень маленькие отверстия, следует учитывать, что отверстие в каждом электроде действует как линза с оптической силой, определяемой разностью электрических полей на обеих поверхностях отверстия (см. разд. 7.8.2). Так как поле быстро изменяется вблизи обоих отверстий, аберрации этих «линз» ухудшают качество изображения. Эту ситуацию можно улучшить, удалив поля из области вблизи отверстий. Это справедливо для полиномиальной линзы, которая имеет «чистые» входные и выходные условия: электрическое поле принимается равным нулю в непосредственной близости отверстия по обе стороны, следовательно, отверстия в электродах не сказываются на оптических свойствах системы.

Кубическая полиномиальная линза не является единственна возможной, способной удовлетворить входные и выходные условия для распределения потенциала. Возможны также полиномиальные линзы более высоких степеней [220, 220а, 260]. Коэффициенты при пятой, седьмой и т. п. степенях полинома обычно выбираются так, чтобы первая производная и производные

более высоких порядков обращались в нуль на каждом отверстии электрода. Этот метод также можно использовать для мультиэлектродных линз. Исследования показывают, что размеры пятна на образце обычно уменьшаются с увеличением порядка используемой полиномиальной линзы. Однако в точках, лежащих вблизи оптической оси, электроды образуют большие углы по отношению к ней. Следовательно, при увеличении степени полинома расстояние между электродами уменьшается, и в конце концов при увеличении степени полинома до бесконечности полиномиальная линза вырождается в двухцилиндровую линзу с нулевым зазором. Поэтому с ростом степени полинома увеличивается опасность электрического пробоя. Эту опасность можно уменьшить использованием конусообразных электродов, подобных изображенным на рис. 93 штриховой линией.

«Чистые» входные и выходные условия кубической полиномиальной линзы вместе с относительно хорошими свойствами делают ее идеальной моделью для сравнения с другими линзами. Всегда следует стремиться сконструировать линзы с «чистыми» граничными условиями, но работающие еще лучше, чем кубическая полиномиальная линза.

Асимметричные линзы

Симметрия может быть ненужным ограничением для двухэлектродных иммерсионных линз. Действительно, положение точки перегиба на распределении осевого потенциала и его величина в этой точке — две дополнительные степени свободы, которые могут быть использованы для поиска линз с лучшими свойствами. Представим теперь краткий обзор имеющихся сведений о свойствах асимметричных двухэлектродных линз.

Аналитические модели. Теоретическое исследование таких линз может быть основано на аналитических моделях. Желательна модель, которая описывает оптические свойства в простых тригонометрических функциях. Как мы видели в 7.3.1.2, для симметричных двухэлектродных иммерсионных линз такой модели не существует. Может быть, теперь нам повезет -больше?

Эта идея заимствована из методов исследования магнитных линз. В разд. 8.3.5 будет показано, что все оптические свойства магнитных линз с колоколообразным распределением индукции могут быть очень просто определены аналитически. Так как в нерелятивистском случае уравнение (4.51) имеет один электростатический и один магнитный член, то, естественно, представить распределение электростатического потенциала в таком

виде, при котором результирующая функция Т (z) совпадает по форме с колоколообразным магнитным полем [188]. Тогда все вычисления станут похожими на вычисления в магнитном случае и будут возможны простые аналитические решения.

Начнем с колоколообразной функции Т(z), симметричной относительно плоскости 2 = 0. Из этого факта сразу же следует, что распределение потенциала не будет антисимметрично относительно той же плоскости. Действительно, максимум функции 7(2) всегда сдвинут в сторону уменьшения потенциала. Это означает, что в плоскости 2=0 потенциал не равен среднему двух электродных напряжений. Следовательно, мы имеем модель асимметричной линзы.

Приравнивая электростатическую часть уравнения (4.51) его магнитной части и подставляя колоколообразное распределение индукции из уравнения (8.25), получим дифференциальное уравнение для электростатического потенциала £/(2), которое легко проинтегрировать. Постоянные, появляющиеся в этом уравнении, содержат параметры магнитного поля и отношение заряда частицы к ее массе, но это не важно, так как в этой точке нас интересует только структура распределения потенциала. Результат интегрирования есть

i/(2)=/(1exp(/(2arctg2/6), (7.76)

здесь 6 — параметр нормирования, а постоянные Kv и R» определяются из граничных условий на —оо и +оо, где значения потенциала достигают напряжений на электродах 1Л и У2. Из этих условий имеем

7<i=(ViV2)1/2, К2=(1/л)1п(У2/У1), (7.77)

но здесь и начинаются трудности. Действительно, уравнение Лапласа линейно по отношению к потенциалу, следовательно, всегда можно записать распределение потенциала, создаваемого системой п электродов с потенциалами V, (i=l,2, ..., п), в виде

£7 (г) = £ ^ (2) (7.78) i=i

где функции ф, зависят только от геометрических параметров системы и не зависят от потенциалов электродов [16]. Соотношение (3.183)—удобная форма записи этого уравнения для любой двухэлектродной системы. Очевидно, если записать уравнение (7.76) в таком виде, то функции ф1 и ф2 будут зависеть от напряжений на электродах. Это означает, что распределение потенциала не будет удовлетворять уравнению Лапласа и, следовательно, не может описывать никакого реального поля. Но не может ли оно служить математической моделью? К сожале-

нию, ответ отрицателен. Точка перегиба функции, описываемой уравнением (7.76), имеет место при

2т/6-(1/2л)1п(Е2/У1),(7.79)

т. е. асимметрия линзы является функцией ее силы. Этого не происходит, и, конечно, это не соответствует распределению вида (3.183). Следовательно, нужно попытаться преобразовать распределение потенциала к такому виду. Очевидно, это означает добавление постоянной в уравнение (7.76), но, к сожалению, столь незначительное изменение делает аналитическое рассмотрение невозможным. В результате приходится заключить, что значение этой модели очень ограничено; поэтому в дальнейшем мы ее обсуждать не будем. Такая модель поля близка к модели линзы, состоящей из диафрагмы и цилиндра (рис. 94). Детали можно отыскать в литературе [188, 225].

Для описания этого типа линз могут быть предложены другие аналитические модели [189, 226], но обе они страдают тем же недостатком: распределение потенциала представлено в виде, где коэффициенты уравнения (7.78) зависят от напряжений на электродах.

Рис. 94. Асимметричная линза, со-7.3.2.2.Асимметричная

стоящая из цилиндра и диафрагмы. двухцилиндровая линза. Существует бесконечное множество способов изготовления асимметричных двухэлектродных линз. Наиболее простая линза снова состоит из трубок и плоских диафрагм. Два коаксиальных цилиндра разных радиусов R\ и R2 образуют асимметричную двухцилиндровую линзу. Зазор s может быть отрицательным, если цилиндры частично перекрываются (рис. 95). Два плоских электрода с отверстиями различных радиусов составляют асимметричную линзу из двух диафрагм. Радиусы защитных трубок Rn и Rt2 в этом случае также могут быть различны (рис. 96). Естественно, электроды могут иметь коническую или любую другую форму.

Асимметричные двухцилиндровые линзы уже привлекали внимание в литературе [36, 44, 206]. Электростатическое поле такой линзы может быть рассчитано аналитически [227], если предположить, что меньший цилиндр полубесконечной длины помещен в бесконечно длинный больший цилиндр (s—>—оо). Обычно решение получается очень громоздкое, и оптические свойства могут быть оценены только численно. Можно найти,

что для фиксированного отношения потенциалов на электродах оптическая сила уменьшается с увеличением RijRx. Уменьшение становится пренебрежимо малым для больших значений (Уг— —t/o)/(Vi—(/о). Сферические коэффициенты добротности даны в табл. 9 как функции отношения напряжений и R2IR1. Можно видеть, что оптимальные значения соответствуют симметричному случаю. Увеличение отношения радиусов (увеличение радиуса высоковольтного электрода или уменьшение радиуса низковольтного) оказывает более неблагоприятное воздействие, чем его уменьшение.

Таблица 9

Сферический коэффициент добротности CsoxJfi как функция отношения электродных напряжений (V2—С/о)/( Vi—Uo) и асимметрии R^/Rs для двухцилиндровой линзы

И - и0

0,5

1,5

2,0

0,667-

1,0

4

27,89

27,02

26,57

29,40

32,00

5

16,06

15,52

15,41

17,05

18,45

6

10,86

10,55

10,53

11,59

12,57

8

6,50

6,35

6,32

6,93

7,48

10

4,65

4,56

4,51

4,94

5,29

12

3,66

3,58

3,56

3,87

4,16

14

3,06

3,00

2,97

3,20

3,43

16

2,64

2,62

2,60

2,76

2,92

18

2^5'

2,36

2,34.

2,44

2,60

20

2,13

2,18

2,14

2,20

2,32

Гибридная линза. Исследование свойств кубической полиномиальной линзы (разд. 7.3.1.5) при фиксированном положении изображения приводит к конструкции интересной сим-

Рис. 95. Асимметричная двухцилиндровая линза.Рис. 95. Асимметричная двухцилиндровая линза.Рис. 96. Асимметричная линза из двух диафрагм.Рис. 96. Асимметричная линза из двух диафрагм.

Рис. 95. Асимметричная двухцилиндровая линза.

Рис. 95. Асимметричная двухцилиндровая линза.

Рис. 96. Асимметричная линза из двух диафрагм.

Рис. 96. Асимметричная линза из двух диафрагм.

метричной линзы [219]. Если сместить антисимметричное распределение осевого потенциала .кубической полиномиальной линзы в сторону изображения при заданном отношении элект-

родных потенциалов, то главные плоскости также сдвинутся в сторону изображения. Следовательно, фиксированное положение изображения будет означать уменьшение расстояния до него, т. е. уменьшение абсолютной величины М. Как следствие, для того чтобы обеспечить фиксированное увеличение, асимметричная линза должна будет работать при более высоком отношении напряжений, что соответствует более низким аберрациям.

Такой сдвиг в распределении потенциала может быть осуществлен приспособлением, изображенным на рис. 97. Оно называется «гибридной линзой», так как электрод в пространстве объекта заимствован из конической аппроксимации кубической полиномиальной линзы (см. рис. 93, штриховые линии), в то время как электрод в пространстве изображения есть просто отверстие в пластине.

Как было показано [219], коэффициент сферической аберрации такой линзы приблизительно равен половине коэффициента кубической полиномиальной линзы для любого заданного увеличения при фиксированном положении изображения. В случае когда хроматическая аберрация пренебрежимо мала, минимальный диаметр зонда при заданном токе пропорционален корню четвертой степени из Cso (см. уравнения (5.346), (5.347)), следовательно, это уменьшение эквивалентно уменьшению диаметра зонда на 19%.

Как мы видели (разд. 7.3.1.5), двухапертурная линза хуже полиномиальной из-за сильных полей вблизи отверстий. Такое же отверстие в плоском электроде гибридной линзы дает очень малые аберрации, так как, хотя поле вблизи него меняется быстро, на электрод подан высокий потенциал, следовательно, члены, появляющиеся в выражении для коэффициентов аберрации, относительно малы. Этот факт можно продемонстрировать перестановкой электродов гибридной линзы. Если низкий потенциал подать на плоский электрод с отвестием, то линза будет работать значительно хуже.

Следует отметить, что проведенное сравнение было сделано для фиксированного положения изображения и равных увеличений (так называемый случай фиксированного пучка в просвечивающей электронной микроскопии). Это означает, что различные линзы сравнивались при разных отношениях электродных напряжений. Действительно, гибридная линза всегда работает при более высоких отношениях напряжений, поэтому ее аберрации ниже.

Подробные исследования свойств гибридной линзы можно найти в литературе. Дано много расчетных кривых [228], которые показывают зависимость положения изображения и коэф-

Рис. 97. Гибридная линза.Рис. 97. Гибридная линза.фициента сферической аберрации от отношения напряжений, толщины и угла раствора конуса первого электрода, увеличения и расстояния между двумя электродами. Проблема состоит в том, что все кривые вычислялись для фиксированного положения объекта. Кроме того, целью исследований было не только уменьшить сферическую аберрацию, но еще и получить стабильное положение изображения при меняющейся энергии электронов. Следовательно, отношение потенциалов электродов должно было выбираться выше 20, а положение объекта было фиксировано в относительной близости к первому электроду. Как следствие полученные данные относятся в основном к специфическому случаю высоковольтной электронной микроскопии. Однако было найдено, что этот тип линз не подходит для применения в качестве электронной пушки такого микроскопа вследствие слабой защиты источника от электрического пробоя [229]. Имеются данные [230] о зависимости аберраций от отношения электродных напряжений для фиксированного положения изображения.

Рис. 97. Гибридная линза.

Рис. 97. Гибридная линза.

Рис. 98. Двухэлектродная однопотенциальная линза.

Итак, свойства асимметричных двухэлектродных иммерсионных линз известны только для некоторых специальных случаев и особых условий работы. Систематическое исследование требует более единообразного подхода, основанного на четырех параметрах, выведенных в начале разд. 7.3 [202а].

7.4. Однопотенциальные линзы

Отличительной особенностью однопотенциальных (одиночных) линз является то, что они имеют одинаковые постоянные потенциалы как в пространстве объектов, так и в пространстве изображений. Поэтому они используются только тогда, когда требуется фокусировка при неизменной энергии пучка. Для физической реализации таких линз необходимо по крайней мере

два электрода (рис. 98). Большинство обычно используемых однопотенциальных линз имеет по три электрода (рис. 99 и 100).

Распределение осевого потенциала двух- или трехэлектродной однопотенциальной линзы имеет типичную форму, показанную на рис. 101, с одним максимумом или минимумом в зависимости от того, выше или ниже потенциал среднего электрода, чем потенциал крайних электродов. (Для простоты рассмотрим только положительный потенциал.) Функция распределения асимптотически стремится к общему потенциалу крайних электродов Уь Отметим, что экстремальный потенциал Uext (Umax или t/min) не обязательно равен потенциалу У2 среднего электрода. Действительно, всегда имеем (/тах<У2 и С^тт>У2, а равенство — только для очень длинных средних электродов, которые практически никогда не используются. Распределение имеет две точки перегиба, где осевые компоненты электростатического поля достигают экстремумов.

Рис. 99. Лииза, состоящая из трех цилиндров.Рис. 99. Лииза, состоящая из трех цилиндров.Рис. 100. Линза, состоящая из трех диафрагм.Рис. 100. Линза, состоящая из трех диафрагм.

Рис. 99. Лииза, состоящая из трех цилиндров.

Рис. 99. Лииза, состоящая из трех цилиндров.

Рис. 100. Линза, состоящая из трех диафрагм.

Рис. 100. Линза, состоящая из трех диафрагм.

Распределение потенциала не обязательно симметрично по отношению к его экстремальной точке. Соответственно однопотенциальные линзы могут быть симметричными или асимметричными. На рис. 99 и 100 показаны асимметричные линзы (отметим, что для однопотенциальных линз должно выполняться соотношение Уз=У1). Так как однопотенциальная линза имеет одинаковые потенциалы с обеих сторон, то геометрическая симметрия системы электродов относительно ее средней плоскости, перпендикулярной к оптической оси, автоматически приводит к общей симметрии распределения потенциала.

Отметим, что в общем случае однопотенциальная линза может иметь более трех электродов, следовательно, распределение потенциала может быть гораздо более сложным, чем показанное на рис. 101. В общем его можно охарактеризовать следующими параметрами:

протяженностью поля (6—а), на которую распространяется действие линзы;

положением экстремальных точек распределения и величиной потенциала в этих точках, включая его- концевые значения;

положением точек перегиба распределения, а также потенциалов в этих точках.

Эти параметры адекватно описывают любую электростатическую линзу [202]. Для специального случая двухэлектродных иммерсионных линз введены параметры, слегка отличающиеся друг от друга (см. разд. 7.3). Фактически отношение электродных потенциалов включено в п. 2; | fVz | max и асимметрия определяются п. 3.

Рис. 101. Распределение осевого потенциала двух- или трехэлектродной однопотенциальной линзы.

Ниже ограничимся рассмотрением только двух- или трехэлектродных однопотенциальных линз. Распределение потенциала имеет типичную форму, показанную на рис. 101. Соответствующая функция 7(2) изображена на рис. 102. Очевидно, она обращается в нуль при z=a и z=b и, кроме того, при z=zm, где U (z) = Uext. По обе стороны от этой точки существуют пики с координатами a<.zMt<Zm и гт<глг2<Ь. Однако роль функции T(z), так же как и эффективной длины, ограничена по причинам, изложенным в разд. 7.3.

По определению для однопотенциальных линз из уравнений (4.76), (5.83) и (5.201) получим, что

Ь*=Ь*Ч\ G* = \!M\ Csi = M*Cso, Сс1 = МгССо, (7.80) но положения главных плоскостей и фокусов в итоге могут быть

-з azMl-i zM21 b3-з azMl-i zM21 b3

-з azMl-i zM21 b3

-з azMl-i zM21 b3

асимметричными. Отметим, что все эти выражения относятся только к асимптотическим величинам. Для реальных величин потенциалы с обеих сторон могут отличаться, если объект или изображение локализованы внутри поля. Так как будут рассматриваться только асимптотические величины, звездочки будут опускаться.

1,5 1.4 1,3 1,2

1 0,9 ^ °*8 ►^0,7

0,6 0,5 0,4 0,3 0,2

О

Рис. 102. Функция T(z) для двух- или трехэлектродиой одиопотеициальной линзы.

Однопотенциальные линзы подобны обычным стеклянным линзам, используемым в геометрической оптике, так как они также имеют одинаковые показатели преломления с обеих сторон. В остальном они, конечно, существенно отличаются. Существуют два основных типа однопотенциальных линз в зависимости от того, выше или ниже потенциал среднего электрода по сравнению с крайними. Свойства реальной линзы зависят от большого числа геометрических параметров в той же мере, что и от отношения электродных потенциалов.

Необходимо отметить, что термин «однопотенциальная линза» иногда используется буквально, т. е. «линза с одним потенциалом», что соответствует линзе, средний электрод которой электрически связан с источником (V2=£7o).

Симметричные линзы

Начнем с наиболее простого случая линз, геометрически симметричных относительно средней плоскости, перпендикулярной к оптической оси. Например, на рис. 99 и 100 следует поло- 424

жить si = s2, Ri = Rs и Rti=Rt3- Это означает, что положение zm экстремального потенциала точно совпадает со средним арифметическим границ линзы а и Ь; поэтому удобно предположить, что zm = 0. Теперь распределение потенциала совершенно симметрично относительно средней плоскости и, следовательно, совпадает с функцией T(z). Так как для симметричной линзы перевернутая линза совпадает с первоначальной, из уравнения (7.69) получим, что теперь все кардинальные элементы расположены симметрично относительно главной плоскости. Отметим, однако, что уравнение (7.80) все еще имеет силу для соотношений между коэффициентами аберрации в пространстве объектов и в пространстве изображений вследствие их зависимости от увеличения. В этом случае уравнения (5.265), (5.266), (5.282) и (5.283) должны быть отмечены особо.

Рис. 103. Распределение потенциала симметричной однопотенциальной лиизы: а — кусочно-лииейная моделв, б— аналитическая модель.

Давайте снова вначале исследуем очень простую модель, чтобы иметь представление о свойствах первого порядка симметричных однопотенциальных линз.

Кусочно-линейная модель. Предположим, что потенциал постоянен по обе стороны линзы, а внутри меняется линейно, достигая своего экстремума при z=0 (рис. 103, кривая а). Эта модель не очень близка к реальности, но по меньшей мере очень проста (см. разд. 7.3.1.1). Ее можно считать грубым приближением распределения потенциала системы, со-

стоящей из трех плоских электродов с пренебрежимо малыми отверстиями.

Распределение потенциала дается как

{

Vxпри z ■— //2,

^extl ^(^ext — V^ZH При — //2<2-<:0, ^ext-2(t/ext-^i)z// при О'^2<//2,V-81)

Viпри 2 ^ //2,

где 1=Ь—а — длина гипотетического поля линзы, а положительный потенциал выбран для дальнейшего упрощения.

Рассмотрим главный луч r2(z) (рис. 44) при начальных условиях уравнения (7.25) и применим процедуру, описанную в разд. 7.2.2. Скачок наклона траектории на входе вычисляется из уравнения (7.7):

г'2 (—//2 +Az) = —г0 (Hext — ^^/^/(У! — По) ].(7.82)

Смещение луча и наклон слева от средней плоскости определяются из уравнений (4.141) и (4.140) соответственно. Вместе с уравнением (7.82) они дают

rHOW^- UUext ~ ЩНУ; - U^Y^ (7.83) r'2(-Az) =-rQVU^ - Vi)/{2/[(V, - U^ (Uext - [/0)]1/2}.

(7-84)

Теперь необходимо вычислить скачок наклона траектории на средней плоскости, воспользовавшись уравнениями (7.7), (7.83) и (7.84). В результате получим

r'2(Az) =г0(Uext — Vi) [1,5((7ext — П0)-,/2 —

- (^-(/оГ^Н/СТ/ех!- Uoy/^-1.(7.85)

Следующим шагом является вычисление смещения траектории и наклона на внутренней стороне выходной поверхности линзы из уравнений (4.141), (4.140), (7.83) и (7.85). Получим г2 (//2) =го{4 - 3[ (Hext — Wo)/( У. - U0)y/2i2 —

-3[(1Л~ Ho)№xt- По)]1/2^},(7.86)

^2(7/2 — Az) =ro(Hext — V1) [1,5 (Hext — П0)^1/2 —

- (V, - t/o)-1/^;(V1 - Ho)1/2]-1.(7.87)

Окончательно вычислим наклон на внешней стороне выходной поверхности линзы, используя уравнения (7.7), (7.86) и (7.87). В результате имеем

r'2(//2 + Az)=3(ro//)[(Wexi- Ho)/(VT — Uo) — 1] X

Х{О,75[(У1-По)/(Пех1-77о)]1/2 +

+ O,25[(Hext-(7o)/(Vi- По)]'/2 - 1}.(7.88)

Теперь есть вся необходимая информация, чтобы определить асимптотические кардинальные элементы. Подставляя уравнения (7.25) и (7.88) в уравнение (4.73), получим оптическую силу [11]:

//f = O,75[(Wext-yo)/(Vi-t7o) — 1] X

X {4 - 3 [ (V, - Uo) / (Uext - t70) ]1/2 -

-Циех1-и0ШУ1-1ад,2У (7.89)

Эта величина изображена сплошной линией на рис. 104 как функция отношения потенциалов (Uext—t/o)/(Vi—По)- Хотя эта модель очень проста, она позволяет выявить свойства первого

(U,xl -U0)/(V, -и0)

Рис. 104. Оптическая сила моделей однопотенциальной линзы, как функция отношения потенциалов (Uext— Ua)/(V\ — (70). Сплошная кривая соответствует кусочио-линейной модели, штриховая — аналитической.

порядка однопотенциальных линз. По мере того как отношение потенциалов все больше отличается от единицы, поведение оптической силы зависит от того, при более низком или более высоком потенциале находится средний электрод по отношению к крайним. Если абсолютная величина разности потенциалов | t/ext—Vi | фиксирована, то оптическая сила больше при более низком потенциале на среднем электроде. Это вполне, понятно, так как линза оказывает большее влияние на частицы с низкой энергией, чем на частицы, ускоренные более высоким потенциалом среднего электрода. В случае низкого потенциала на среднем электроде оптическая сила монотонно растет с уве-

личением разности потенциалов между электродами. Очевидно, когда отношение потенциалов стремится к нулю, скорость частиц также стремится к нулю и оптическая сила становится бесконечно большой. Дополнительное преимущество этого режима состоит в том, что не требуются напряжения выше, чем Уь Однако, к сожалению, в этом случае аберрации обычно выше, чем при высоком потенциале среднего электрода.

Если средний электрод имеет потенциал выше, чем крайние электроды, то оптическая сила вначале растет с ростом отношения потенциалов, достигает максимума 1,273 при (Umax—Uo)( /(Ei—t/o) = 5,26, а затем монотонно уменьшается, достигая нуля при (Umax—t/o)/(Vi—t7o)=9 (телескопическая линза) и становится отрицательной. Если сравнивать рис. 104 и табл. 5, то увидим, что оптическая сила однопотенциальных линз значительно выше, чем иммерсионных. Это и есть причина ее на первый взгляд странного поведения. Линза еще достаточно сильна для частиц, пересекающих оптическую ось, но находящихся в поле линзы. Следовательно, асимптотическое фокусное расстояние может быть любым. Отрицательная оптическая сила соответствует случаю, когда траектории пересекают ось дважды внутри линзы. Соответственно в этом случае главные плоскости не меняются местами.

Положение точки фокуса в пространстве изображений получается подстановкой уравнений (7.86) и (7.88) в уравнение (4.71). Тогда местоположение главной плоскости в пространстве изображений определяется уравнениями (4.73) и (7.89). В результате имеем

2 (7 90)

{[(^ext-t/o)/(Ei-i/o)I1/2+l} {3-((^ех1-£/оЖ1-£/о)11/2}’

Величина На]1 отрицательна, если (Uext—t/o)/(Ei—Е70)О, и главная плоскость в пространстве объектов расположена симметрично по другую сторону средней плоскости (HY = —Н2 = Н). Величина Н2(1 изображена на рис. 105. Главные плоскости расположены ближе к центру, если потенциал среднего электрода ниже. Вследствие симметрии теперь главные плоскости разделены промежутком

Н2 — Hv = 2H2<0,(7.91)

который является функцией отношения напряжений. Длина промежутка увеличивается с усилением возбуждения линзы.

Функция Т(z) легко может быть вычислена из уравнений (4.51) и (7.81). Она симметрична относительно средней плоскости, но, так как модель не является непрерывной, она сильно отличается от функции, показанной на рис. 102.

В приближении тонкой линзы оптическая сила дается уравнениями (4.117) или (4.118). Вследствие симметрии будем интегрировать только по половине протяженности поля, а затем результат удвоим:

</2

1//шп=2И(г)с?г=(3/4/)Х [(^ext — U0)KVY — L%) — 1]2Х

X[(t/ext-t/o)/(Vi-t/o)]-1.(7.92)

Формула такой линзы дает удовлетворительные результаты (относительная погрешность меньше 10%) только для интервала отношения напряжений 0,3<(t/ext—^о)/(И1—170)<2. Это очень мало, если средний электрод имеет более высокий потенциал. Естественно, она всегда дает завышенную оценку оптической силы.

Рис. 105. Положение главной плоскости в пространстве изображений для кусочно-линейной модели однопотенциалыной линзы как функция отношения потенциалов (17ех1-<70)/(У1 —(70).

Вследствие симметрии центром тяжести линзы является средняя плоскость. Следовательно, в приближении тонкой линзы уравнения (4.122) и (4.123) дают Н1 = Н2 = 0, как и ожидалось (см. разд. 4.9).

Мы получили некоторую информацию о свойствах первого порядка однопотенциальных линз на основе этой простой модели. Теперь перейдем к рассмотрению более реалистических моделей.

Кусочно-квадратичная модель. Следующей степенью усложнения является представление распределения потенциала тремя гладко соединенными параболическими дугами. На основе этой модели уже развита [72] общая теория однопотенциальных линз. Были выведены точные формулы для фундаментальных оптических свойств таких линз на основе геометрических параметров. Было учтено влияние конечной толщины электродов, отклонений от аксиальной симметрии и т. д. Влияние положений точек перегиба распределения потенциала на оптические свойства изучено еще не полностью. Эта модель является важным вкладом в теорию однопотенциальных линз, но следует сознавать, что результаты требуют длительных вычислений (оригинальная статья, описывающая эту модель, занимает 75 страниц) и не обладают достаточной точностью (см. разд. 7.2.3). Мы отдаем предпочтение более простой модели для грубого приближения и более точной для реального конструирования, поэтому эта модель здесь представлена не будет. Интересующихся читателей отсылаем к литературе [36, 72].

Аналитическая модель. Рассмотрим колоколообразное распределение потенциала'

+(7'93>

(рис. 103, кривая б), где d— значение координаты на оси, в которой потенциал имеет среднее значение (Vi + t/ext)/2, называемое по этой причине полушириной поля. Можно связать d и параметр линейной модели I произвольно, но удобно выбрать

d = l)4.(7.94)

Тогда два распределения равны при z = d. Функция (7.93) имеет точку перегиба при 2/й=±3~'Л и постепенно приближается к 1Л при zld, стремящемся к ±оо. Для практических целей можно считать поле линзы ограниченным в интервале а =— 10d и b=\Od, что дает погрешность меньше 1% для U^jVi, при 0<^ех1/^1<2. Для t7ext/Vi = 5 погрешность становится равной 4%, следовательно, при использовании этой модели для более высоких значений отношений потенциалов возникают трудности.

Для этого случая уравнение параксиальных лучей (7.1) может быть решено точно [190, 191, 231]. Сначала введем новые переменные у и ф так, чтобы

z/a, = ctgф,(7.95)

г=У (ф)/зшф.(7.96)

(фтметим сходство между этими соотношениями и уравнениями (7.44) и (7.45).) Тогда уравнение (7.93) можно переписать следующим образом:

U W =Vv-V ^Uext — Vi)sin24>.(7.97)

Вводя новую переменную

5 = S {(Vi-[/o)/[(/W -t/o]}lzW(7.98)

о

уравнение (7.1) после некоторых преобразований можно записать в виде

§ + ^у = 0,(7.99)

где

®2 = I + (Uext — У,)/[2(У, - Z70) ]-(7.100)

Решение уравнения (7.99) элементарно. Подставляя его в уравнение (7.96), получим

г (-ф) = (Cicoso)^ + c2sino)^)/sini|), (7.101) где С] и С2— постоянные, которые должны определяться из начальных условий, а £ определяется уравнением (7.98), в которое, чтобы получить результат, подставим уравнения (7.97) и (7.100):

5= $ [l+2(w2— IJsin2^]-1^.(7.102)

о

Отметим, что w2—1>0, если Uext = Umax>> Рь и <о2—КО, если LJext" £7minVi.

Для соотношения между координатами объекта и изображения тро и ф,п соответственно уравнение (4.58) дает

t,in — ^О=лл/<о.(7.103)

Здесь п = 1, 2, ... — весь ряд, характеризующий порядковый номер данного изображения в случае множества изображений. Увеличение дается выражением

М=(,— 1)" sin фо/sin ф„.(7.104)

Так как нас интересуют асимптотические величины, рассмотрим ход главного луча п (z) (рис. 45). Он идет из бесконечности (ф,-=0) на расстоянии г0 параллельно оси в плоскости изображений. Очевидно, чтобы на бесконечности величина оставалась конечной, следует положить в уравнении (7.101) Ci = 0. Воспользовавшись правилом Лопиталя, получим С2 = Го/о). Теперь можно рассмотреть уравнение (4.68) для определения ме-

стоположения точки асимптотического фокуса в пространстве объектов. В пределе из уравнений (7.95) и (7.96) получим

Игл [Г1(а) —ar'i (а)];=Пт(созфЛ//йф) = — dy]d^ (ф = л).

(7.105)

Подставляя это уравнение в уравнение (4.68), положив rObj(z)=0 и проводя дифференцирование, получим координаты точки асимптотического фокуса

^ = -^(л)№) = -<^с1ё[<о£№(7.106)

Аналогично из уравнений (4.72), (7.95) и (7.96) получим асимптотическое фокусное расстояние

/* =—cod/sin [®^ (л) ].(7.107)

Положение главной плоскости дается уравнением (4.72), как Hx* = Fl*+f1*.

Если средний электрод находится при более низком потенциале ((7ext = (7min< EJ, то можно записать

0)2 = 1 —&2/2,(7.108)

где

^=(l/1_[7ext)/(l/1_(;0).(7.109)

Тогда

^(л)=2К(£),(7.110)

где К(£)—полный нормальный эллиптический интеграл первого рода, являющийся табличной функцией.

В этом случае найдем, что 2®К>л. Если 2®К<Зл/2, то sin(2®K)<0 и ctg(2®K)>0, т. е. фокусное расстояние положительно и фокус в пространстве объектов расположен слева от центра линзы. При 2®К=Зл/2, что соответствует £ = 0,99, т. е. (t/ext—t/o)/(Ei—(7о)=О,О2, фокус расположен в центре линзы и фокусное расстояние достигает своего минимума. Увеличивая силу линзы (2®К>Зл/2), добьемся того, что точка фокуса будет смещаться в пространство изображений и обратно, а фокусное расстояние снова будет расти. При ®К=л (£ = 0,999 т. е. (tAxt—t70)/(l/i—Uo) =0,002) реализуются телескопические условия (бесконечное фокусное расстояние), и в диапазоне 0<((7ext—(70)/(I/i—(7о) <0,002 фокусное расстояние становится отрицательным. Как видим, поведение линзы обнаруживает «микроструктуру» вблизи нулевого среднего потенциала. Такое поведение было обнаружено у реальной линзы [232]. На рис. 104 штриховая линия, представляющая этот случай, очень

близка к сплошной линии для линейной модели. Для преобразования подобия было использовано уравнение (7.94). Вследствие большого масштаба рисунка «микроструктура» не может быть показана.

Если средний электрод имеет более высокий потенциал tVext= ^тах/* Ei, то можно записать

w2 = 1+ х2/2,(7.111)

где

X2=(i/ext— VY)HV1 — Uo)= — к2.(7.112)

Тогда с помощью новой переменной %, определяемой соотношением

tgX=(l + *2)1/2tg^,(7.113)

легко показать, что

£ (л) =2 (1 + х2)->/2К[х (1 + X2)-!/2].(7.114)

В этом случае, как показывает анализ, фокусное расстояние качественно ведет себя так же, как и для линейной модели, но достигает минимума при гораздо более высоких значениях отношения потенциалов (рис. 104, штриховая кривая). Соответственно для обычно применяемого диапазона отношения потенциалов (i/max—U0)l(Vi—7/0)<Ю главные плоскости остаются на небольшом удалении от центра линзы. В данном диапазоне |/7*|/(/<0,36, поэтому для таких линз может быть приемлемо приближение тонкой линзы. (Положение главной плоскости не может быть показано на рис. 105 вследствие его большого масштаба.)

Интегралы аберраций невозможно оценить прямо с помощью приведенных выше аналитических решений, но все же, работая с этими решениями, можно вычислить реальные геометрические коэффициенты хроматической аберрации [190, 191]. Полученные аналитические решения можно упростить [231]. Результаты показывают, что для сильных линз и потенциала среднего электрода, близкого к нулю, можно добиться достаточно малых реальных коэффициентов аберрации. Проблема состоит в том, что объект должен находиться глубоко внутри линзы, что не имеет практического смысла, поскольку при этом поле линзы будет искажено.

Мы уже вычислили асимптотические коэффициенты добротности для этой модели численным интегрированием. При более низком потенциале среднего электрода наилучший сферический коэффициент добротности может быть получен при (£7min—С/о)/ ЦУ^—/7о)=О,О6, он равен Cso^/f = 8,4. Хроматическая аберрация для таких линз также высока (разд. 5.3.1.2). Действительно, в этом случае наилучшее значение хроматического коэффи-

циента добротности достигает теоретического верхнего предела Ccoooi^™^* ПрИ L/min^Vi-

Если потенциал среднего электрода выше, то ситуация аналогична случаю двухэлектродных иммерсионных линз: чем сильнее линза, тем меньше аберрации. Как отмечалось выше, наибольшее реальное значение для этой модели— (t/max—t/0)/ /(Ei—t/0)=5. В этом случае имеем Cso.»if = 5,6 и Ссо=Ц=0,65. Сравнивая эти значения с аналогичными значениями для симметричной двухцилиндровой линзы с тем же отношением потенциалов, получим, что параметры однопотенциальной линзы лучше по крайней мере в 2 раза (сферический коэффициент добротности в 2,7 раза, хроматический коэффициент добротности в 2 раза меньше). Поскольку оптическая сила однопотенциальных линз приблизительно в 2 раза выше, чем для двухцилиндровых (см. рис. 104 и табл. 5), это означает, что, если отнести коэффициенты аберрации к длине I, получим коэффициент сферической аберрации в 5 раз, а коэффициент хроматической аберрации в 4 раза меньше, чем для двухцилиндровой линзы.

Проблема, однако, состоит в том, что поле этой модели простирается слишком далеко. Поэтому, когда мы попытаемся использовать линзу, представленную нашей моделью для формирования изображения, увидим, что невозможно найти такие условия, при которых объект или изображение не находились бы внутри линзы. Ситуация иллюстрируется табл. 10, где асимптотические положения объекта и изображения даются вместе с коэффициентами аберраций для случая (Umax— U0)l ЦУ1—t/0)=5, как функция увеличения. Общая тенденция та же, что и для иммерсионной линзы: коэффициенты аберрации сильно уменьшаются до их значений для бесконечного увеличения с ростом абсолютной величины М. Поскольку предполагалось, что распределение потенциала сконцентрировано в интервале — 10<z/d<10, из табл. 10 следует, что для низких увеличений изображение всегда будет внутри поля, а для более высоких увеличений внутри поля будет объект. Это демонстрирует одну нз самых больших трудностей конструирования электростатических линз для формирования зондирующего пучка, где приемлемое рабочее расстояние должно обеспечиваться по крайней мере с одной стороны линзы.

В табл 10 приведены также величины |Al|Cs0/d и \M\Ccofd. Они достигают минимальных значений 251 и 12,3 соответственно при М=—3 и М =— 1. Кроме того, для положения минимума |Л4|Ссо уравнение (5 286) даетЛ4оР1 =—1.

Для того чтобы сравнить эти минимальные значения с приведенными в табл. 6 и 8 для двухцилиндровой и кубической полиномиальной линз соответственно, нужно отнести параметр полуширины d к радиусу цилиндров R и к длине кубической 434

Таблица 10

Положение объекта Р, увеличение М, коэффициент сферической аберрации Cso, коэффициент хроматической аберрации Ссо (оба связаны с объектом) и величины |M|CSо и |М|Ссо как функции положения изображения Q для аналитической модели симметричной однопотенциальной линзы при (t/max—^o)/(Vi—f70)=53

Q!d

Md

— м

CJd

lMIC„,d

CLoJd

|М|С d

5,5

37,36

0,15

93170

13980

185,0

27,7

6,0

24,12

0,25

16160

4040

76,9

19,22

7,0

15,44

0,46

2721

1251

31,5

14,47

8,0

12,14

0,66

1043

687

19,45

12,84

9,0

10,40

0,87

564

490

14,29

12,43

10,0

9,32

1,07

366

391

11,51

12,32

12,0

8,06

1,48

207

306

8,66

12,82

15,0

7,10

2,10

125,3

263

6,75

14,18

20,0

6,33

3,12

80,5

251

5,42

16,91

30,0

5,71

5,17

54,1

280

4,45

23,0

40,0

5,45

7,22

45,1

325

4,07

29,4

70,0

5,13

13,37

36,0

481

3,64

48,7

CD

4,77

со

27,3

СО

3,18

CD

а Положения объекта и изображения измеряются от центра линзы Все величины отнесены к полуширине d

полиномиальной линзы L. Это не очень легкая задача, но можно выразить d через параметры реальной однопотенциальной линзы и затем осуществить сравнение способом, изложенным в разд. 7.3.1.5. В качестве грубой оценки можно сказать, что для трехэлектродной однопотенциальной линзы, состоящей из трех трубок или диафрагм одинаковых радиусов н тонкого среднего электрода, величина d приблизительно равна радиусу отверстий или трубок. Теперь можно прямо сравнить результаты табл. 10 и табл. 6. Видно, что размеры дисков хроматической аберрации приблизительно одинаковы в обоих случаях, тогда как размеры дисков сферической аберрации несколько меньше для однопотенциальных линз. При таком сравнении фокусное расстояние однопотенциальной линзы в 1,4 раза больше, чем иммерсионной линзы, что несколько компенсирует более высокий коэффициент добротности однопотенциальных линз.

Далее будем исследовать свойства реальных трехэлектродных однопотенциальных линз с большими плотностями полей, чем в аналитической модели.

Трехцилиндровая линза. Начнем с очень простой линзы, состоящей из трех коаксиальных цилиндрических электродов одинаковых радиусов Ri = R2=R5 = R, разделенных равными промежутками Si = S2 = s (рнс. 99). Два крайних электрода имеют одинаковые потенциалы (Уз = ^1). Потенциал V2 центрального электрода может меняться от небольшого отри-

цательного значения, соответствующего t7min = 0 (линза превращается в зеркало), до положительного значения, ограничиваемого только практическими соображениями. Будем предполагать, что толщина стенок электродов пренебрежимо мала, а длины /1 и /3 достаточны, чтобы защитить линзу от воздействия внешних полей в направлении оси. В этом случае линза имеет только три параметра: отношение потенциалов (К2—LM/t^i— ■—Uo), относительную длину центрального электрода UJR и относительную ширину зазора s(R (четвертым параметром должно быть отношение радиусов крайних электродов к радиусу центрального, но здесь оно предполагается равным единице).

Распределение потенциала такой линзы мало отличается от распределения для аналитической модели, рассмотренной в предыдущем разделе, с тем только различием, что ее поле имеет большую плотность, поэтому, возможно, придется рассматривать более высокие значения отношения потенциалов. Свойства первого порядка и сферическая аберрация этой линзы описаны в литературе [44, 67, 156, 233, 234]. Имеющиеся данные о ее хроматической аберрации получены из предположения о линейном изменении потенциала между электродами [67], которое является достаточно грубым приближением (разд. 3.1.2.2). Для точного анализа следует полагаться на результаты численных расчетов поля. В дальнейшем мы попытаемся суммировать имеющиеся результаты.

На рис. 106—109 показаны кардинальные элементы и сферическая аберрация симметричных трехцилиндровых линз как функции отношения электродных напряжений для фиксированной ширины зазора (s//? = 0,2) и двух различных относительных длин центрального электрода (/2//? = 0,8 и 1,8). Зеркальный эффект для этих двух случаев наблюдается соответственно при (К2—^0)/(У1—Йо) =—0,73 и —0,17. (Очевидно, что зеркальный эффект имеет место при увеличении длины центрального электрода для наибольшего отрицательного значения отношения напряжений. То же справедливо и при увеличении расстояния между электродами.)

На рис. 106 изображено фокусное расстояние, отнесенное к радиусу цилиндров. Как мы выяснили при изучении аналитической модели (рис. 104), в окрестности значения напряжения, при котором наблюдается зеркальный эффект, фокусное расстояние быстро изменяется. Пренебрегая этой переходной областью, обладающей «микроструктурой», можно сказать, что выше этой переходной области сила линзы очень велика и уменьшается при дальнейшем увеличении отношения напряжений. Фокусное расстояние стремится к бесконечности при приближении отношения потенциалов к единице. Как только потенциал среднего электрода становится положительным по отно-

шению к потенциалам крайних электродов, фокусное расстояние уменьшается с увеличением отношения напряжений и при достаточно высоком отношении потенциалов ((Кг—Uo)HVi— —f70) = 14 и 9 соответственно для двух случаев, показанных на рисунке) достигает своего минимума. Для (У2—^o)/(Vi—С70)< <7 фокусное расстояние уменьшается с увеличением длины среднего электрода. При более высоких значениях отношения потенциалов наблюдается обратная тенденция. Для малых отношений напряжений увеличение расстояния между электродами оказывает такое же воздействие на фокусное расстояние, как и увеличение длины центрального электрода. Влияние ширины зазора максимально при минимальной длине центрального электрода. Аналогично длина центрального электрода играет наибольшую роль при минимальных размерах зазора [67].

На рис. 107 показана осевая координата главной плоскости Н в пространстве объектов, отнесенная к радиусу R. Как мы знаем, ее абсолютная величина равна абсолютной величине координаты главной плоскости в пространстве изображений: следовательно, расстояние между главными плоскостями в точности равно 2/Л С увеличением силы линзы главные плоскости удаляются от центральной. Их разделение тем сильнее, чем длиннее центральный электрод. Для высоких значений отношения напряжений Н может даже превышать f, этот факт означает, что фокусы движутся к противоположным сторонам центральной плоскости. Мы уже встречались с инверсией точек фокуса в аналитической модели в предыдущем разделе. Это также может происходить и в других типах сильных линз.

Коэффициент сферической аберрации при бесконечном увеличении для низких отношений напряжения качественно ведет себя так же, как и для двухэлектродных линз: он достигает высоких значений для слабых линз и резко уменьшается с увеличением силы линзы. Однако, как видно на рис. 108, Cs0^/R достигает минимума при некотором высоком отношении напряжений и снова начинает расти от этого значения с увеличением отношения напряжений. Интересно, что этот минимум находится в непосредственной близости от минимума фокусного расстояния (рис. 106). Действительно, для этих линз минимальные значения равны CSo«jR =3,36 и 7,24 при значениях (Кг—^о)/ /(Ei—£70) = 14 и 8 соответственно. Это очень хорошо иллюстрирует правильность выбора понятия коэффициента добротности CsoJf. Если сферическая аберрация меняется вместе с фокусным расстоянием и достигает минимума для наиболее сильных линз, тогда наша цель должна состоять в том, чтобы выбрать такую систему электродов, для которой их отношение минимально при данном отношении потенциалов.

Рис. 106. Фокусное расстояние симметричной трехцилиндровой линзы, отнесенное к радиусу цилиндров, как функция отношения напряжения на электродах. Квадраты — /2/Р = 0,8, крестики — /2/Р=1,8 соответственно. Для обеих кривых s/R = 0,2.

Рис. 107. Положение главной плоскости в пространстве объектов симметричной трехцилиндровой линзы, отнесенное к радиусу цилиндров, как функция отношения напряжений на электродах. Параметры те же, что на рис. 106.

Отметим, что в интересном на практике диапазоне отношения напряжений минимум сферической аберрации выражен гораздо сильнее для длинных средних электродов, чем для коротких. Соответственно при низких значениях отношения напряжений коэффициент сферической аберрации меньше для линз с более длинным средним электродом, в то время как при высоких значениях наблюдается совершенно обратная тенденция. Две эти кривые пересекаются при отношении напряжений, равном 8. Оказывается, для низких значений отношения напряжений ширина зазора влияет на коэффициент сферической аберрации, так же как центральный электрод.

100

90 во 70 60

50

°840

30

20

10

О -1 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19

(Va-Uol/tv^Uo)

Рис. 108. Коэффициент сферической аберрации при бесконечном увеличении для объекта, отнесенный к радиусу цилиндров симметричной трехцилиндровой линзы, в зависимости от отношения напряжений на электродах. Параметры те же, что на рис. 106.

На рис. 109 представлены коэффициенты добротности. Мы видим, что характер их поведения очень похож на характер поведения самих коэффициентов аберрации. Две кривые пересекаются приблизительно при том же отношении напряжений, что и кривые функции Cso^/R. Различие состоит только в том, что коэффициент добротности не так резко увеличивается при высоких значениях отношения напряжений, в отличие от коэффициентов аберрации. Минимальные значения равны Cso~/f= 1,45 и 2,43 и достигаются точно в тех же точках, что и минимумы CSo~IR. По сравнению с двухэлектродными линзами это улучшение, так как минимумы достигаются при более низких отно-

шениях напряжений. Сравнение будет более полезным, если выбрать (У2—(7о)/(К—Uo)=5. В этом случае предпочтительны длинные линзы. Тогда имеем CSOoolf= 3,78, но даже для самой короткой линзы значение С$о=о^ = 8,31 намного меньше 15 для двухцилиндровых линз. Эти два значения близки к значению 5,6, полученному для аналитической модели в предыдущем разделе.

Сравнивая сферический коэффициент добротности линз с высоким и низким потенциалом, найдем, что для последних самое низкое значение достигается при отношениях напряжений, близ-

Рис. 109. Коэффициент сферической аберрации при бесконечном увеличении для объекта, отнесенный к фокусному расстоянию симметричной трехцилиндровой линзы, в зависимости от отношения напряжений на электродах. Параметры те же, что на рис. 106.

ких к зеркальным, и равных 6,89 и 6,42 соответственно для двух типов линз. Эти значения намного выше, чем минимальные значения для линз с высоким потенциалом, но они сравнимы при (V2—Uo)KVi—t/0)=5. Это важное соображение, так как линзы с низким потенциалом имеют определенное преимущество, поскольку не требуют дополнительных источников питания. К сожалению, они обладают высокой хроматической аберрацией.

Более высокую сферическую аберрацию линз с низким потенциалом легко объяснить на основе рассмотренного в начале этой главы принципа действия электростатических линз. Отрицательно заряженные частицы всегда дефокусируются в обла-

сти с более высоким потенциалом. Это означает, что траектория отклоняется от оси перед входом в область центрального электрода. В случае линз с высоким потенциалом справедливо обратное.

Было показано [38], что, если отношение радиусов центрального и крайних электродов меняется, сферическая аберрация минимальна для трубок одинаковых радиусов. Обычно сферическая аберрация уменьшается с увеличением общей длины линзы.

Коэффициент хроматической аберрации принимает очень высокие значения, если центральный электрод имеет более низкий потенциал. Это является причиной того, почему линзы с высоким потенциалом имеют преимущество перед линзами с низким потенциалом. Приближенные вычисления показывают [67], что для l2jR = slR = 0,5 можно достигнуть Ссо»/^ 0,63 для (Уя— -UO)HVX—UO) = W и CcoJf = 0,95 для (У2— U^/^-Uo) =5. Эти значения хуже примерно на 50% значений, полученных из аналитической модели. Для низких отношений потенциалов коэффициент хроматической аберрации вначале уменьшается с ростом длины центрального электрода, достигает минимума при некотором l2]R и затем увеличивается. При коротком центральном электроде коэффициент хроматической аберрации уменьшается с ростом зазора. Однако для данного центрального электрода верно обратное.

Отметим, что зазор нельзя увеличивать выше некоторого предела из-за проникновения внешних полей в радиальном направлении. С другой стороны, если зазор очень мал по сравнению с радиусами электродов и длиной центрального электрода, то трехцилиндровая линза может анализироваться как система из двух отдельных двухцилиндровых линз. Если, кроме того, длина среднего электрода много больше его радиуса, то может быть оправдано строгое применение аналитических выражений для распределения осевого потенциала. Аналитические функции также могут применяться для аппроксимации зависимости фокусирующих свойств и аберраций от параметров линзы [234].

В настоящее время в нашем распоряжении имеется пять коэффициентов, необходимых для вычисления сферической аберрации при конечном значении увеличений, заданных в табличной форме, и графики зависимости положения изображения от положения объекта для разных отношений напряжений и увеличений, а также графики MCS0 в зависимости от М для разных значений отношения напряжений [44]. Сравнивая минимальные размеры пятна для отношения напряжений, равного 5, с размерами пятна для двухцилиндровой линзы, найдем, что, в то время как линза с коротким электродом ненамного лучше своего двухцилиндрового аналога, линза с длинным средним

электродом дает (| Af | Cso/R)min~ ЮО приблизительно в три раза меньше, чем для двухцилиндровой линзы. Для линзы с 7?=1 см это эквивалентно радиусам минимального размера пятна 125 и 1 нм при половинном угле аксептанса 5 и 1 мрад соответственно.

Трехапертурная линза. Симметричным однопотенциальным линзам, состоящим из трех электродов с круглыми отверстиями (рис. 100 при VX=V3, Rx=R3i Rn = Rt3=Rti lx—l3 и sx = s2 = s), уделялось много внимания в литературе [36, 44, 72, 218, 231, 235]. Основная причина состоит в относительной простоте, с которой упрощенную теорию, основанную на кусочно-квадратичной модели (разд. 7.4.1.2), можно применить к этой линзе. Как мы видели в разд. 3.1.2.4, распределение потенциала, создаваемое последовательностью круглых отверстий, можно быстро оценить приближенным методом, основанным на суперпозиции. Комбинация этого метода с кусочно-квадратичной моделью [72] дала возможность очень подробно исследовать свойства этих линз еще в то время, когда не были доступны компьютеры. Позже стало возможным также применить [231] к этой линзе аналитическую модель, описанную в разд. 7.4.1.3.

Последние данные, основанные на численных расчетах поля [44], получены для RX = R2 = R, s/R=l и 2. В этих вычислениях считалось, что Rt = 5R и экранирующие трубки находятся во внутренней области между электродами с зазором длины 0,2/?. Вычисления показывают, что, хотя эта линза имеет преимущества (более компактна и обладает большей плотностью поля), ее свойства хуже, чем у трехцилиндровой линзы. Для (К2— —Uo)KV\—Uo)=5 сферические коэффициенты добротности равны CSOc<>/f= 13,3 и 5,3 для slR = \ и 2 соответственно. В области вблизи зеркального эффекта соответствующие коэффициенты равны 7,0 в обоих случаях. Для конечных увеличений ситуация еще хуже: минимальное значение |Af|Cso/7? даже для линз, обладающих большей длиной, лишь немного меньше, чем для двухцилиндровых линз.

Кроме того, еще имеются данные для других значений R2/Rx и ширины зазора s [218, 235]. ■

Другие типы симметричных линз. В литературе исследовалось множество других симметричных трехэлектродных конфигураций [156, 236, 237]. Особого упоминания достойна одна линза, которая привлекла много внимания [36, 72, 231, 232, 238—240]. Эта линза по существу является комбинацией цилиндрической линзы и диафрагмы. Она состоит из двух пластин с одинаковыми круглыми отверстиями радиуса Rx и ци-

линдрическим центральным электродом длины I и радиуса R2, разделенных двумя одинаковыми зазорами ширины s каждый. Экранирующие трубки радиуса Rt присоединены к каждой стороне электрода (рис. ПО).

Эту линзу легко анализировать на основе кусочно-квадратичной [72] (разд. 7.4.1.2) и даже аналитической модели (разд. 7.4.1.3), распространив ее на двойное колоколообразное распределение потенциала [231]. Особое внимание уделялось случаю [238, 239], когда средний электрод обладает более низким потенциалом. Представлены также экспериментальные данные [232, 240].

Рис. НО. Цилиндрически-апертурная линза.

Тремя основными геометрическими параметрами этой линзы являются R2/Ri, I и s. Суммируя основные результаты для линзы с низким потенциалом, можно сказать следующее. При данном отношении напряжений фокусное расстояние сначала уменьшается с увеличением длины среднего электрода, как и в случае трехцилиндровой линзы (рис. 106). Однако для электродов большей длины тенденция обратная: после прохождения минимума фокусное расстояние увеличивается с ростом /. Расстояние между главными плоскостями растет как с ростом /, так и с ростом s. Коэффициент сферической аберрации для бесконечного увеличения также достигает минимума при некотором оптимальном значении /, которое увеличивается с ростом отношения напряжений. При этом оптимальном значении сферическая аберрация почти не зависит от размеров зазора. Если потенциал среднего электрода нулевой, наилучшее значение сферического коэффициента добротности приблизительно равно 5. Минимум сферического коэффициента добротности достигается при том же самом отношении напряжений, при котором сила линзы максимальна. Коэффициент хроматической аберрации принимает минимальные значения при длинных централь-

ных электродах и больших зазорах и, конечно, его величина всегда чересчур высока в режиме низких потенциалов.

Большое число возможных параметров снова обращает внимание на то, что исследовать однопотенциальные линзы необходимо на основе распределения осевого потенциала, а не конфигурации электродов [202b]. Однако в общем можно утверждать, что симметричные однопотенциальные линзы имеют более низкие аберрации, чем симметричные двухэлектродные иммерсионные линзы. Если желательно и дальше улучшать свойства линз, то нужно вернуться к асимметричным линзам.

Асимметричные линзы

Идея использования геометрически несимметричных однопотенциальных линз основана на хорошо известном результате световой оптики: при сильном увеличении сферическая аберрация минимальна, если поверхность линзы с наибольшей кривизной обращена к объекту [18]. Очевидно, в электронной и ионной оптике это соответствует ситуации, когда объект находится со стороны максимального поля, т. е. линза и ее центр сдвинуты в направлении максимального поля со стороны объекта. Такая асимметричная линза предложена давно [241] в виде системы электродов, показанной на рис. 111 (Рз = У1). Она работала в режиме более низкого потенциала среднего электрода, и экспериментально было показано, что сферический коэффициент добротности такой линзы может достигать С$ооо/[ = 3,6, который выигрывает в сравнении с наилучшим значением 5, достижимым в этом режиме для симметричной линзы, показанной на рис. ПО.

Число параметров этой линзы весьма велико. Очень важно правильно выбрать ее геометрические размеры. При оптимальном расположении всех элементов [242] коэффициент добротности можно уменьшить до 2,5. Хорошим представлением такой линзы будет пара двухэлементных линз, причем более сильная линза будет расположена ближе к объекту [155, 243].

Эта линза также исследовалась в режиме конечного увеличения [244, 245]. Особое внимание уделялось влиянию параметров si/s2 и //Т?2 (рис. 111) на коэффициент сферической аберрации для М =—1 и М = —10. Позднее [246] для модификации этой линзы было получено CSOOo/f = 5,4 и ССООо/[ = 3,2 при R1 = R2 = R3 = R=\i5 мм, l = s1 = s3 = 2R, s2=H,3R, Rt = 6R, Vi = V3 и (V2—t/o)/(Vi—t/o)=O,2. Толщина первого и третьего электродов одинакова и равна 2Rf3.

Влияние различия в размерах зазоров $i и s2 на поведение трехцилиндровой линзы (рис. 99) с одинаковыми радиусами (Ri = R2 = R3 =R) и У2 = ^о исследовалось, исходя из предпо-

ложения, что потенциал в зазорах меняется линейно [247]. Эти результаты представлены в виде таблиц для широкого диапазона параметров si(R, s2/R и l2(R, но, к сожалению, даны только реальные коэффициенты аберрации.

Также была предложена линза, составленная из пары коаксиальных двухцилиндровых линз с разными диаметрами [155] (рис. 112). Если зазор между двумя цилиндрами пренебрежимо мал, основными геометрическими параметрами такой линзы являются отношение радиусов двух цилиндров R2/Ri и расстояние / между линзами. Идея составной линзы работает, если />2(7?1 + 7?2). Было показано, что в режиме с более низким потенциалом среднего электрода основной вклад в сферическую аберрацию дает ускоряющая компонента. Если R\<R2, в пространстве объектов линза сильнее и коэффициент сферической аберрации может быть уменьшен на 20% по сравнению

Рис. 111. Асимметричная однопотен- Рис. 112. Пара двухцилиндровых циальная линза.линз.

с однопотенциальной линзой с одинаковыми диаметрами цилиндров и пренебрежимо малым расстоянием между электродами.

Было также исследовано множество других асимметричных конфигураций. В работе [245] на основе изучения трех различных линз с более высоким потенциалом на среднем электроде был сделан вывод, что для малых рабочих расстояний в режиме конечного увеличения асимметричная структура имеет наименьшую сферическую аберрацию, но если требуется большое рабочее расстояние, то предпочтительнее симметричная линза, изображенная на рис. 110, с толстым средним электродом и большими межэлектродными зазорами.

Очень интересное исследование [248] было посвящено изучению 16 различных асимметричных линзовых структур с более низким потенциалом на средних электродах, которые применяются в источниках эмиссионного поля. Поскольку миниатюризация линзы ограничена необходимостью поддерживать приемлемое рабочее расстояние между источником и первым элект-

родом линзы, то были найдены наименьшие коэффициенты сферической и хроматической аберраций для бесконечного увеличения, отнесенные к этому рабочему расстоянию. Было показано, что коэффициент сферической аберрации, отнесенный к рабочему расстоянию, имеет минимум при некотором отношении потенциалов, характерном для каждой отдельной линзы.

Что касается геометрической формы линз, было установлено, что минимальный коэффициент сферической аберрации может быть уменьшен путем сильного уменьшения толщины первого электрода, расширением центрального электрода и сужением зазоров между электродами. Дальнейшее уменьшение сферической аберрации возможно с помощью конического центрального электрода. Наилучшая линза состоит из очень тонкого плоского первого электрода, длинного конического центрального электрода, вытянутого в сторону первого так, что зазор очень мал (диаметр начального отверстия в четыре раза больше, чем зазор между первыми двумя электродами), с углом полураствора конуса 26,6° и коротким плоским третьим электродом с большим отверстием (рис. 113). Зазор между

Рис. 113. Асимметричная линза с коническим центральным электродом.

первыми двумя электродами должен быть как можно короче, чтобы обеспечить максимально возможное поле в пространстве объектов. Положение и размер третьего электрода может быть довольно произвольным: помещая его достаточно далеко от центрального электрода, можно уменьшить сферическую аберрацию на 10%. Отношение напряжений, которое обеспечивает минимум сферической аберрации, не совпадает со значением, обеспечивающим минимум хроматической аберрации. Для того, чтобы минимизировать совместное действие обеих аберраций, необходима подгонка.

Эта линза имеет сферический коэффициент добротности CSOco/f=l,3 и хроматический коэффициент добротности CCOoojf = = 3,9. Как мы видели в этой главе, это пока лучший сферический коэффициент добротности. К сожалению, в этой работе совершенно не учитывалось влияние отверстия в первом электроде. Это может привести к очень существенной ошибке, так как поле достигает максимальных значений как раз в этом отверстии. Как указывается в статье [248], открытие указанной апер-

туры на 75% диаметра начального отверстия центрального элемента увеличивает сферическую аберрацию на 30%. Однако сравнение свойств этой линзы (рис. 111) с отверстием и без отверстия показывает [246], что относительные ошибки в сферическом и хроматическом коэффициентах добротности составляют соответственно 169 и 124%. Поэтому нужно быть очень осторожным при оценке этих данных.

Заключение, которое можно сделать из изучения асимметричных однопотенциальных линз, состоит в том, что они дают определенное уменьшение сферической аберрации. Их способность уменьшать хроматическую аберрацию изучена мало, так как поведение этих линз исследовано не полностью для режима высокого потенциала.

Геометрическая асимметрия однопотенциальных линз является мостом к следующему классу линз, которые не обладают электрической симметрией.

Трехэлектродные иммерсионные линзы

По определению линза, имеющая на обоих концах разные значения постоянных потенциалов, является иммерсионной. В этом определении число электродов не оговорено. Мы рассмотрели простейшие иммерсионные линзы с двумя электродами в разд. 7.3. Теперь займемся более сложным случаем: классом трехэлектродных иммерсионных линз.

Причина, по которой мы решили прервать последовательность иммерсионных линз, рассмотрев между ними однопотенциальные линзы, проста. Трехэлектродные однопотенциальные линзы являются простейшим из возможных специальным случаем семейства трехэлектродных иммерсионных линз: единственное различие между ними состоит в том, равны или не равны потенциалы в пространстве объектов и изображений. Так, например, линзы, показанные на рис. 99 и 100, становятся иммерсионными, если положить У^Гз. Однопотенциальные линзы всегда электрически симметричны, иммерсионные линзы — никогда. В конце последнего раздела мы ввели понятие асимметричных однопотенциальных линз. Можно рассматривать трехэлектродную иммерсионную линзу как следующую ступень усложнения, где вводится другая асимметрия путем подачи на крайние электроды линзы разных напряжений. Кроме того, это дает еще одну степень свободы в варьировании свойств линзы.

Конечно, как и в двухэлектродном случае, трехэлектродные иммерсионные линзы также могут быть геометрически симметричными или асимметричными. Соответственно в этом смысле можно различать симметричные и асимметричные линзы.

Геометрически симметричные линзы

Если линза геометрически симметрична относительно средней плоскости, перпендикулярной оптической оси, то мы имеем структуру электродов простых симметричных однопотенциальных линз, но с различными потенциалами на разных электродах. Действительно, если в распоряжении имеются три разных напряжения, то с их помощью легче обеспечить симметрию линзы, чем путем изменения ее геометрических размеров. В самом деле, таким способом можно изменять степень асимметрии простым изменением напряжения на одном из электродов системы. Поскольку теперь имеются три независимых напряжения, т. е. два независимых отношения напряжений, в качестве электрических параметров, это дает большую свободу удовлетворить нескольким требованиям одновременно.

В частности, становится возможным зафиксировать положение объекта и напряжение с его стороны и менять выходную энергию частиц, в то время как положение изображения остается постоянным. Вследствие этого свойства трехэлектродные иммерсионные линзы иногда называют изофокусирующими [44]. Отметим, что этот термин первоначально относился к линзам, у которых можно было произвольно изменять увеличение изображения. Изофокусирующий эффект достигается использованием одного отношения напряжений для контроля оптической силы линзы, в то время как другое отношение напряжений используется для изменения энергии на выходе. Если напряжение на первом электроде фиксировано, то напряжение на втором электроде становится функцией напряжения на третьем. Эта функция зависит от требуемых положений объекта и изображения (см. разд. 7.5.1.1).

Отметим, что свойства перевернутых линз (переставлены потенциалы первого и третьего электрода, в то время как потенциал среднего электрода остается неизменным) снова могут быть исследованы на основе сказанного в разд. 7.3.1.3. Кроме того, здесь можно прямо использовать уравнения (7.69).

Теперь исследуем свойства некоторых симметричных трехэлектродных иммерсионных линз.

Трехцилиндровые линзы. Это такая же линза, как и симметричная трехцилиндровая однопотенциальная линза (разд. 7.4.1.4, рис. 99) с тем только отличием, что теперь напряжения Vi и Уз неодинаковы. Существуют данные [44, 214, 249, 250] о свойствах первого порядка и сферической аберрации этой линзы. Ее хроматическая аберрация исследуется авторами в настоящее время.

На рисунках, приведенных ниже, будут даны кардинальные элементы в пространстве объектов и изображений, как функции отношения потенциалов (У2—^o)/(Vi—tZ0) для (Vs—Uo^j /(Vi—(Z0)=2, 5, 10 и 20. Поскольку свойства замедляющих линз могут быть прямо выведены из свойств ускоряющих линз, нет необходимости вычислять их отдельно. Геометрическими параметрами являются U]R = 1,8 и s/Z? = 0,2. Они выбраны потому, что среди существующих данных соответствуют наилучшим значениям сферического коэффициента добротности. Все величины отнесены к радиусу цилиндров R. Кривые соответствуют бесконечно тонким электродам.

На рис. 114 и 115 даны фокусные расстояния в пространстве объектов и изображений. Естественно, в любом случае для ускоряющих линз f2>fi в соответствии с уравнением (4.76). При малых отношениях ускоряющих напряжений (У3—tZo)/ /(Vi—CZq) линза ведет себя как однопотенциальная: фокусное расстояние быстро растет по мере приближения (Уз—tZo)/ /(У,—tZo) к определенному значению, где достигает максимума. Различие состоит в том, что теперь максимум имеет конечное значение и локализован при (У2—tZ0)/(Vi—tZ0)>l. С ростом ускорения максимум сдвигается в сторону более высоких значений отношения напряжений и уменьшается. Фокусное расстояние имеет минимум, которого оно достигает при достаточно высоком отношении напряжений. С ростом (У3— —tZ0)/(y1—[Zo) линза становится сильнее для всех значений (Уг—470)/(У1—tZ0), применяемых на практике. Действительно, при высоких значениях (У3—U^]^Vi—tZo) поведение линзы становится весьма похожим на поведение двухцилиндровой линзы с тем же отношением ускоряющих потенциалов.

Положения главных плоскостей в пространстве объектов и изображений (рис. 116 и 117 соответственно) обнаруживают очень интересное поведение. Общее правило состоит в том, что главные плоскости меняются местами и обе сдвинуты в область с более низким потенциалом. Если (У3—tZo)/(Vi—Uo^ мало, то совместное влияние однопотенциальной и иммерсионной линзы приводит к весьма сложной кривой. Снова наблюдаются большие сдвиги для слабой линзы, затем они становятся меньше и снова начинают расти при высоком возбуждении, когда линза становится существенно однопотенциальной. Для высоких значений (У3—tZo)/(Vi—tZ0) кривые начинают отличаться при больших (У2—tZo)/(Vi—tZo), подобно тому как это наблюдается для двухцилиндровых линз. Расстояние между главными плоскостями показано на рис. 118.

Для конечных увеличений взаимное соотношение между положениями объекта и изображения можно определить на

Рис. 114. Фокусное расстояние симметричной трехцилиндровой линзы в пространстве объектов (Z2/^=l,8, s/R=0,2), отнесенное к радиусу цилиндров, как функция отношения напряжений (Kz— t70)/(Vi — Ua) для (К3—^о)/ /(Ki —i/o)=2 (квадраты), 5 (крестики), 10 (ромбы) и 20 (треугольники).

Рис. 115. Фокусное расстояние симметричной трехцилиндровой линзы в пространстве изображений (/2/Я=1,8, s/R = 0,2), отнесенное к радиусу цилиндров, как функция отношения напряжений (Vz—^o)/(Vi —^о) Обозначения те же, что на рис. 114.

Рис. 116. Положение главной плоскости симметричной трехцилиндровой линзы в пространстве объектов (/2//?=1,8, s//?=0,2), отнесенное к радиусу цилиндров, как функция отношения напряжений (И2— ^o)/(Vi — Ug). Обозначения те же, что на рис. 114.

Рис. 117. Положение главной плоскости симметричной трехцилиндровой линзы в пространстве изображений (/2/^=1,8, s/R=0,2), отнесенное к радиусу цилиндров, как функция отношения напряжений (И2-Йо)/(У1-уо)- Обозначения те же, что на рис. 114.

основе семейства кривых для различных постоянных увеличения и отношения электродных потенциалов.

На рис. 119 показан коэффициент сферической аберрации для объекта при бесконечном увеличении, отнесенный к фокусному расстоянию (сферический коэффициент добротности) как функция отношения потенциалов. Коэффициент добротности для заданного отношения (Уз—Vo)) (У1—Uo) начинается с высоких значений при отрицательном (У2—^0)/(У1—t70). С ростом (У2—(7о)/(У1—^о) коэффициент добротности становится меньше, достигает минимума, затем резко возрастает,

Рис. 118. Расстояние между главными плоскостями симметричной трехцилиндровой линзы (Z2/T?= 1,8, s/l?=0,2), отнесенное к радиусу цилиндров, как функция отношения напряжений (V2— ^о)/( Ei — Uo). Обозначения те же, что на рис. 114.

достигает максимума, после которого снова уменьшается, и достигает второго слабо выраженного минимума и затем снова растет. Чем больше (Уз—^о)/(У1—U^, тем меньше сферическая аберрация. Если (У3—^о)/(У1—17о)=2О, то для (У2— —Е^о)/(У1—t/o) =—0,2 имеем Cs0^/fi = 1,39. Это реальное достижение, но, как обычно, надо свести отношение потенциалов к 5. Тогда наилучшее значение есть Csodfi = 2,96 для (У3—U0)l /(У,—£70) =5 и (У2—Uo^KVi—Uo) =—0,1. Это значение сравнимо с лучшим значением для однопотенциальной линзы 3,78.

На рис. 120 показан коэффициент сферической аберрации при нулевом увеличении, отнесенный к фокусному расстоянию, как функция отношений электродных напряжений. CSio/f2 представляет собой сферический коэффициент добротности для за-

Рис. 119. Коэффициент сферической аберрации для объекта при бесконечном увеличении, отнесенный к фокусному расстоииию симметричной трехцилиндровой лиизы (/2//?=1,8, $/#=0,2), как функция отношения напряжений (V2—Vo)/(Vi —^.-Обозначении те же, что на рис. 114.

Рнс. 120. Коэффициент сферической аберрации для изображения при нулевом увеличении, отнесенный к фокусному расстоянию со стороны изображения симметричной трехцилиндровой лиизы (/2/#=1,8, $/# = 0,2), как функция отношения напряжений (V2—V0)/(Vi —Uo). Обозначения те же, что на рис. 114.

медляющих линз (уравнение (5.265)). Характер этой кривой такой же, как и для ускоряющих линз, но соответствующие значения выше. В этом случае наилучшее значение - Csiolk = = 1,48 для (Уз—Uq^Vi—t/o)=2O и (У2— Uo)/^—U^ = 1,5. Однако для отношений потенциалов ниже 5 результат намного хуже: лучшее значение C$io/f2 = 6,l для (Уз—^0)/(У1— -^0)=5и (У2—£70)/(У1—U0)=Q.

Для вычисления сферической аберрации в случае конечного увеличения существует пять коэффициентов, представленных в табличной форме вместе с графиками MCs0 от М для различных отношений напряжений [44]. Находим, что теперь минимальное значение (|ЛТ| С$о//?)mm = 14 при М»—2 для (У3— —L70)/(Vi—^о)=5 и (У2—(7о)/(У1—^о) =—0,1- Это в семь раз лучше, чем для однопотенциальной линзы с тем же отношением потенциалов изображения и объекта. Для линзы с/? = 1 см это означает, что минимальные радиусы пятен в плоскости изображения равны 18 и 0,14 нм при половинном угле аксептанса 5 и 1 мрад соответственно.

Это прекрасный результат, но как его сопоставить с тем фактом, что сферический коэффициент добротности всего в 1,28 раза лучше, чем для однопотенциальных линз? Мы снова имеем случай сравнения линз с разными фокусными расстояниями. В этом случае фокусное расстояние однопотенциальной линзы в пространстве объектов равно 3,64 см. Та же величина для иммерсионной линзы равна всего лишь 0,92 см, т. е. сравниваются две линзы, одна из которых в четыре раза сильнее другой. Следовательно, преимущество в значительно меньшей аберрации частично компенсируется более коротким рабочим диапазоном. Но все же иммерсионная линза лучше однопотенциальной. Мы удостоверились, что асимметрия, введенная за счет использования разных напряжений, дает реальные преимущества.

Другим преимуществом трехэлектродной иммерсионной линзы является большая гибкость. Как мы теперь знаем, она может работать как изофокусирующая линза, если менять потенциал среднего электрода так, чтобы положения объекта и изображения оставались неизменными, в то время как отношение потенциалов изображения и объекта меняется. Как правило, существуют два значения У2 для каждого У3: одно обычно выше, а другое ниже, чем напряжения на двух других электродах. Такая «кривая изофокусирующей линзы» (К3—(7o)/(Ki— —Уо) в зависимости от (К2—^o)/(Ki—Uy') для фиксированной пары положений объекта и изображения имеет форму замкнутой петли [44]. Если линза работает при более высоком потенциале Уг, то изменению отношения потенциалов изображения и объекта в широком интервале соответствуют всего лишь незна- 454

чительные изменения увеличения. Если также желательно менять увеличение, то должны использоваться низкие значения потенциала Уг [84].

Другие типы геометрически симметричных линз. Любая однопотенциальная линза может работать в качестве иммерсионной при простом изменении выходного потенциала Уз. Одной из линз, для которой свойства первого порядка и сферическая аберрация тщательно изучены [44, 251, 252], является линза, состоящая из трех диафрагм (рис. 100). Хотя она обладает большей плотностью поля, чем трехцилиндровая линза, ее сферическая аберрация существенно выше.

Кроме того, можно сконструировать трехэлектродные полиномиальные линзы (см. разд. 7.3.1.5) [220, 253].

Асимметричные линзы

Удачное использование как геометрической, так и электрической асимметрий, естественно, приводит к идее использовать их одновременно. Таким способом достигается наибольшее усложнение трехэлектродных фокусирующих структур: асимметричные иммерсионные линзы. Такие линзы характеризуются весьма большим числом параметров. Напомним, что полное исследование их свойств возможно только на основе распределений потенциалов. Параметры, выведенные в начале разд. 7.4, должны адекватно описывать свойства этих линз.

Мы знаем только две таких полностью изученных линзы. Первая — это асимметричная версия упрощенной трехэлектродной полиномиальной линзы, которая нашла применение в тетроидной пушке [228]. Вторая — линза [246, 254], показанная на рис. 111, но с изменяющимся потенциалом У3. Геометрические размеры были даны в разд. 7.4.2. Рассматривались как конечное, так и бесконечное увеличение. В первом случае положения объекта и изображения были фиксированы, варьировалась конечная энергия пучка (изофокусирующая линза). Сравнение работы этой линзы с работой гибридной линзы из разд. 7.3.2.3 показало, что трехэлектродная линза обладает лучшими характеристиками. Для (У3—П0)/(У1—По) = 2 и (Уг—П0)/(У1—По) =6,88 сферический коэффициент добротности равен CSOoo/fi = 3, а хроматический коэффициент добротности принимает значения вплоть до Cco=olfx = 0,5. При увеличении М=—3,45, половинном угле аксептанса 5 мрад и относительном разбросе энергий 10-4 можно достигнуть вблизи гауссовой плоскости изображения радиуса сферического пятна 32 нм и хроматического пятна 7 нм при размерах рабочей области в

пространстве объектов 6 мм и в пространстве изображений 25 мм. Из-за малого зазора между электродами была выбрана входная энергия 5 кэВ. Отметим, что при такой низкой энергии все размеры линзы в предыдущем примере должны быть уменьшены в 2 раза. Тогда диск сферической аберрации трехцилиндровой иммерсионной линзы почти в четыре раза меньше, чем для этой линзы. Однако хроматическая аберрация этой лиизы достаточно низка, что является определенным преимуществом для зондоформирующей оптики.

На основе этих едва ли достаточных данных об асимметричных трехэлектродных иммерсионных линзах мы уже можем сделать вывод, что они обещают хорошие перспективы в дополнение к их гибкости, когда работают как изофокусирующие линзы. В гл. 9 мы увидим, что такие линзы с очень малыми аберрациями действительно могут быть сконструированы.

Многоэлектродные линзы

Когда одновременно требуется поддерживать постоянные значения двух параметров линзы (например, положение изображения и увеличение), необходимы по крайней мере четыре независимых напряжения, т. е. три переменных отношения напряжений. Это приводит к электростатическим линзам с четырьмя и более электродами. Очевидно, что большая гибкость таких многоэлектродных линз обеспечивает дополнительную свободу в поиске структур с более низкими полями и аберрациями, хотя очень большое число параметров делает систематизацию таких линз особенно трудной.

В принципе n-электродная линза может быть использована для поддержания постоянных значений п—2 параметров. Сдерживает только то, что соотношение Гельмгольца — Лагранжа (уравнение 4.76) между отношением потенциалов объекта и изображения, линейным и угловым увеличением должно удовлетворяться для каждой сопряженной пары объект — изображение: т. е. если одна из этих величин меняется, две другие не могут оставаться постоянными [255].

Многоэлектродные линзы также могут быть симметричными и асимметричными, как геометрически, так и электрически. В основном они работают в режиме иммерсионных линз. Данные существуют только для некоторых специальных систем. Систематическое исследование возможно только на основе распределений потенциалов.

Перейдем теперь к краткому обзору существующих данных о многоэлектродных линзах.

Четырехэлектродные линзы

Простейшей четырехэлектродной линзой является геометрически симметричная структура, состоящая из четырех цилиндров одинаковых диаметров, разделенных узкими зазорами (четырехцилиндровая линза) [256]. Каждый из двух центральных цилиндров исследуемой линзы имел длину 0,8 R и ширина всех зазоров равнялась 0,2/?, где /?— радиус цилиндров. Было установлено, что в режиме однопотенциальной линзы оптическая сила системы непрерывно возрастает при отклонении (Уз—Uo^j^Vi—U^ от единицы. В режиме иммерсионной линзы оптическая сила растет с ростом (У4—U^I^Vi—t/0) и становится менее зависимой от величины (Уз—Uo)/(Vi—UQ'). Коэффициент сферической аберрации дан только для нескольких, отдельных значений увеличения. Кроме того, вычислены траектории в четырехцилиндровой линзе переменного радиуса [257].

ггРис. 121. Четырехэлектродиая линза с низкой хроматической аберрацией.Рис. 121. Четырехэлектродиая линза с низкой хроматической аберрацией.Для уменьшения хроматической аберрации была предложена четырехэлектродная асимметричная линза, состоящая из четырех диафрагм [258]. Эта линза состоит из четырех плоских электродов с отверстиями. Первый электрод расположен на значительном расстоянии «12 от трех других и, кроме того, радиус его отверстия Ri больше, чем радиусы других отверстий (рис. 121). Таким

г

г

Рис. 121. Четырехэлектродиая линза с низкой хроматической аберрацией.

Рис. 121. Четырехэлектродиая линза с низкой хроматической аберрацией.

образом, действие этой линзы между первыми двумя электродами очень слабое, что неизбежно приводит к высокой сферической аберрации. Однако хроматические коэффициенты добротности достигают значений вплоть до С сом! lfi = 0,44, но это обеспечивается тем, что (У4—(Л)/(У1—U0^=6, (V2—£70)/(V4—^0) = 1 и (Уз—^о)/(У4— t/0) = l,8. Это означает, что максимальное напряжение в 10 раз выше, чем входное.

Автор этой книги сконструировал асимметричную четырехэлектродную линзу [179, 259] с Cso«>lh = 2,08 и ССООо/А=0,б2. Линза должна работать при максимальном отношении потенциалов объект — изображение, равном 7,5. Для того, чтобы достигнуть больших значений рабочих областей (рабочая область в пространстве объектов 8 мм, в пространстве изображений 25 мм), пришлось немного пожертвовать коэффициентом добротности: в окончательном варианте CSOoo/fi = 2,5 и CfOOo/fi = 0,7.. Для значения половинного угла аксептанса 5 мрад и относи-

тельного разброса энергии 10~4 радиус диска сферической аберрации равен 18 нм, а хроматической аберрации — 5 нм в гауссовой плоскости изображения при М=—2,1. Прямое сравнение этой линзы с линзой, представленной в разд. 7.5.2, показывает, что достигнуто улучшение 44% в размерах сферического и 24% хроматического дисков аберраций при незначительном увеличении рабочей области в пространстве объектов.

Посредством некоторых геометрических изменений и повышением отношения максимального потенциала к потенциалу объекта до 9 можно резко уменьшить сферическую аберрацию этой линзы [260]. Такая система электродов показана на рис. 122. В ней третий электрод находится внутри второго. Он удерживается диском, приводящим к нарушению целостности второго электрода. Отношения электродных потенциалов сле-

। I I । । I

Рис. 122. Четырехэлектродная линза с низкими аберрациями (Z — протяженность поля линзы) [260].

дующие: (V2—i7o)/(Vi—^о) =—0,75, (У3-Уо)/(К—^0) =9 и (У4-^о)/(К-^о)=3. При этих значениях имеем CSox>/fi = =0,92 и Ccooolf 1 = 0,55. Разность потенциалов достигает наибольшей величины между поддерживающим диском и внешним цилиндром второго электрода, но эта граница находится очень далеко от оси и ее можно эффективно изолировать. Зазор между вторым и третьим электродами 3,25 мм обеспечит надежный режим работы для входных энергий свыше 5 кэВ. Этот пересчет означает, что протяженность поля линзы приблизительно равна L = b—а=35мм. Тогда С$0оо=6,0мм и ССООо=3,6мм, что является чрезвычайно низкими значениями. Для половинного угла аксептанса 5 мрад и относительного разброса энергий 10"4 радиус диска сферической аберрации равен 7 нм, а радиус диска хроматической аберрации — 5 нм в гауссовой плоскости изображения при М = —3,2. Конечно, чтобы получить этот результат, пришлось принести в жертву часть рабочей области: теперь рабочая область в пространстве объектов всего лишь 2,5 мм, а в пространстве изображений 8 мм.

можно использоватьможно использоватьРис. 123. Зависимость аберраций и положения фокуса в пространстве объектов для четырехэлектродной линзы, показанной на рис. 122, от отношения потенциалов (У2—Уо)/ /(V, —£7„) [260].Рис. 123. Зависимость аберраций и положения фокуса в пространстве объектов для четырехэлектродной линзы, показанной на рис. 122, от отношения потенциалов (У2—Уо)/ /(V, —£7„) [260].

можно использовать

можно использовать

Рис. 123. Зависимость аберраций и положения фокуса в пространстве объектов для четырехэлектродной линзы, показанной на рис. 122, от отношения потенциалов (У2—Уо)/ /(V, —£7„) [260].

Рис. 123. Зависимость аберраций и положения фокуса в пространстве объектов для четырехэлектродной линзы, показанной на рис. 122, от отношения потенциалов (У2—Уо)/ /(V, —£7„) [260].

Это порождает очень важный вопрос, обычный при конструировании линз. Цель конструирования — удовлетворить практическим требованиям. Нужно решить, что важнее: низкие аберрации или большие рабочие области. Достаточно ли малы размеры источника, чтобы работать при относительно высоком увеличении, которое обеспечивает минимум |Af|Cso? Если лимитирующим фактором являются аберрации, вопрос заключается в том, какая из ошибок — хроматическая или сферическая — преобладает. Требования к энергии определяют допустимое отношение максимального напряжения к напряжению объекта. Соответственно должен быть найден компромисс между этими противоречивыми характеристиками, причем для каждого отдельного случая ные коэффициенты добротности.

В нашем случае решение принимается в пользу (Уз— —i7o)/(Ei—^о).Зависимость

от этой величины сферических и хроматических коэффициентов добротности, так же как и зависимость положения фокуса в пространстве объектов, измеряемой относительно отверстия в первом электроде, показана на рис. 123 для фиксированных отношений (Ез—^o)/(Vi-^o)=9 и (V4— —L70)/(Vi—£70) =3. Видно, что с увеличением отношения напряжений размеры рабочей области в пространстве объектов резко возрастают, что в свою очередь приводит к уменьшению увеличения. В результате коэффициент сфе

рической аберрации медленно растет, а коэффициент хроматической аберрации остается практически неизменным (рисунок дан только для бесконечного увеличения). Хорошее компромиссное значение лежит вблизи (V2—U0)/(Vi—Цо) =— 0,3.

Интересно отметить, что полное удаление третьего электрода почти не меняет сферического коэффициента добротности, но хроматический коэффициент добротности становится в три раза хуже. Очевидное преимущество нашей системы состоит в том, что удается добиться низких значений обеих аберраций одновременно. Кроме того, четырехэлектродная система всегда обладает большей гибкостью, чем трехэлектродная.

Линзы с пятью и более электродами

Сделаем обзор статей, которые посвящены реальным многоэлектродным линзам. Простейшей из таких конфигураций является пятицилиндровая линза, состоящая из пяти трубок одинаковых диаметров, на которые поданы разные напряжения [68, 261]. Число цилиндров может быть больше и их диаметр может меняться [262]. Электростатическая линза, состоящая из пяти плоских электродов с отверстиями, была описана уже давно [263]. Также было предложено уменьшение сферической аберрации с помощью многоэлектродных систем [264, 265]. Однако данные, представленные в этих статьях, настолько фрагментарны, что мы даже не будем пытаться их суммировать. Необходимо осознать,- что в основном область электростатических многоэлектродных линз представляет широкое поле для исследований.

Заслуживает внимания одно недавнее интересное усовершенствование. Это понятие подвижной электростатической линзы [255]. Основная идея заключается в использовании многоэлектродной системы в виде большого числа коротких коаксиальных колец, помещенных между двумя цилиндрами большей длины. Меняя соотношение напряжений между кольцами, можно смоделировать линзу с переменной средней плоскостью. Таким образом, линза, составленная из неподвижных элементов, с помощью перераспределения электрического поля может эффективно менять свою конфигурацию. Таким способом можно достигнуть большей гибкости действия линзы: при п независимых напряжений можно поддерживать постоянным п—1 свойство изображения против п—2 в случае изофокусирующей линзы. Например, для трехцилиндровой линзы, смоделированной этим способом, два свойства изображения можно поддерживать постоянными при одновременном изменении остальных. С помощью такой линзы можно выполнять следующие три основные операции: 1) менять увеличение при постоянных положениях изображения и энергии (реальное изофокусирующее действие), 2) обеспечивать постоянное положение изображений двух объектов одновременно при изменении их общей энергии [266] и 3) обеспечивать постоянное положение изображения и увеличение при изменяющейся энергии. Этот подход также можно использовать для синтеза электростатических линз (см. разд. 9.10) [320 а, 320 Ь].

Сплайновые линзы

Мы уже рассматривали сплайновую модель электростатических линз в разд. 7.2.4. Читатель, вероятно, отметил, что, хотя мы хорошо отзывались об этой модели, как удобной для

значительного числа представлений различных распределений потенциалов, мы еще ее не использовали. Причина состоит в том, что в этой главе мы имели дело только со стандартными линзами. Все эти линзы сконструированы на основе простых конфигураций электродов, анализа их оптических свойств и вывода соотношений между этими свойствами и параметрами линзы.

На протяжении всей этой главы мы постоянно призывали к другому подходу: конструировать электростатические линзы, основываясь на распределении потенциала. В этом случае параметры, выведенные в начале разд. 7.4, могут адекватно описать любую электростатическую линзу. Систематическое исследование электронных и ионных линз возможно с помощью изменения этих основных параметров в процессе построения сплайновой модели. Это можно сделать достаточно просто, следуя одной из двух основных стратегий [202J:

рассматривая класс сплайнов с фиксированным числом интервалов,

аппроксимируя определенный класс распределений потенциалов (например, распределения с одним максимумом и двумя точками перегиба, которые соответствуют трехэлектродным линзам) сплайнами с переменным числом интервалов.

Таким образом, например, можно говорить о трехинтер- вальных сплайновых линзах, которые подразумевают класс двух-, трех- и четырехэлектродных линз, сконструированных из трехинтервальных сплайновых функций. Точно так же, например, можно описать трехэлектродные однопотенциальные линзы, сконструированные из шестиинтервальных сплайновых функций и т. д.

Этот подход также можно использовать для конструирования магнитных линз. Он составляет основу нашей процедуры синтеза, которая будет описана в гл. 9 вместе с конкретными примерами электростатических сплайновых линз (разд. 9.9.2).

Сравнение электростатических линз разных типов

Попытаемся дать всесторонний обзор различных стандартных ограниченных электростатических линз. В литературе существуют и другие обзоры [36, 84, 267]. Мы сделаем акцент на набор исчерпывающих характеристик линзы, введенный Хартингом и Ридом [44].

Как неоднократно отмечалось, сравнивать разные линзы чрезвычайно трудно вследствие большого числа различных требований и включенных в рассмотрение параметров. Тем не

Таблица 11

Сравнение различных электростатических линз для у0=5 мрад, At7/t70 = 10-4 и входной энергии 5 кэВа

No1

2

3

4

5

6

7

(Ит„-(/„)/( П-Ц,)

5

5

5

5

7

9

5

/( мм

17

6

18

4,6

10

6,5

14,5

ММ

277

111

69

14

30

6,0

14,9

С.„„, мм

23

8

14

14

5

3,6

10,8

C^'L

16

19

3,8

3,0

3,0

0,92

1,оз

c^Ux

1,4

1>4

0,77

3

0,5

0,55

0,76

(|M|e„)min, мм

1620

770

470

61

^260

51

173

ЦАЙСо)™,» , мм

62

23

49

37

% 30

17,5

39

дгя , нм

200

97

58

8

32

6,9

46

5га нм

20

8

15

10,9

7

4,7

10

г, , нм

54

26

21

11,1

10,6

5,0

15

(г,//,)х107

32

43

11,6

24,1

10,6

7,6

10,6

мм

1,91

0,83

2,17

0,5

0,33

1,67

^so«/^g

146

134

31,8

60

18

8,9

C„JL,

12,1

9,6

6,5

10

10,8

6,5

а Параметры этих семи линз, так же как и значения переменных величии, даны в тексте.

менее сведем все выводы, касающиеся ограниченных электростатических линз, в табл. И, где суммированы основные особенности для следующих семи линз: 1) двухцилиндровая линза с sjR=0,2 и 2? = 0,5 см; 2) кубическая полиномиальная линза с L = 0,5cm; 3) трехцилиндровая однопотенциальная линза с s/R=0,2, /2//?=1,8 и /? = 0,5 см [(72—(70)/(7i—Uo) =5 для всех трех линз]; 4) точно такая же трехцилиндровая линза в иммерсионном режиме с (72—t70)/(7i—Uo) =—0,1 и (73—£Л0/ /(7i—(70)=5; 5) линза, изображенная на рис. Ill, с (72—^о)/ /(71—Uo) =7 и (7з—t7o)/(7i—UQ)=2; 6) линза, изображенная на рис. 122, с (72—1/0)/(71-(70)=—0,75, (73-l/0)/(^i—(/о) = = 9 и (74—Uq^^Vx—(70)=3, и последняя 7) сплайновая линза, изображенная на рис. 152. Заданы следующие характеристики: (Vmax—t7o)/(71 ^о), fl, Csooo, Ссооо, Csox/fi, Ccooo/fi, (|Af | CSo)min, (| M | Cco) min, 6rsi, 6rc,-, ri (вычислено из уравнения (5.337) без учета размеров источника и дифракции), ri/fi (альтернативный коэффициент добротности, см. разд. 5.7.4), Lg из уравнения (9.34), CSo«>jLg и CCooolLg. Все данные в таблице были вычислены для половинного угла аксептанса 5 мрад, относительного разброса энергий 10-4 и входной энергии 5 кэВ; следовательно, все размеры первых четырех линз необходимо уменьшить в 2 раза. Для этих линз 6rsz и 6rct вычислялись при таком увеличении, для которого |Л4|С5О минимально. Для остальных трех линз было выбрано компромиссное значение увеличения между двумя минимумами. Читатель отсылается к бо-

лее подробному обсуждению в соответствующие разделы, так же как и к его конкретным требованиям, чтобы самому сделать вывод из этих данных.

Линзы, погруженные в поле

До сих пор мы рассматривали только электростатические линзы, с обеих сторон связанные с областями постоянного по- зенциала. Если это требование не выполняется, необходим совершенно другой подход. Нельзя использовать асимптотические свойства, а теоремы, выведенные в разд. 4.6.1, в этом случае не верны. Однако такие линзы имеют важное практическое значение по крайней мере в двух ситуациях. Первая — действие произвольного отверстия в качестве линзы в области высокого поля (см. разд. 7.3.1.5) и вторая — в электронных и ионных источниках. Поэтому мы кратко рассмотрим такие линзы в этом разделе.

Экспоненциальная модель

Первой из этих линз является линза, у которой аксиальное распределение потенциала описывается формулой

U (z) = U (0) exp (— z/a),(7.115)

где а — коэффициент подобия. В зависимости от того, является а положительным или отрицательным, оно представляет собой координату z, при которой потенциал больше или меньше U (0) в 2,718 раза.

Распределение потенциала во всем пространстве сразу же следует из уравнений (3.20) или (3.99):

u (г, z) = L/(O)exp(— zla) J0(r/a),(7.116)

где Jo — функция Бесселя первого рода нулевого порядка. Отсюда легко определить эквипотенциальные поверхности. С их помощью можно заменить линзу, состоящую из трубки и закрытой сферической крышки, этой моделью, которая фактически использовалась для вычисления оптических свойств такой линзы [11]. Однако это не имеет большого значения по сравнению с тем фактом, что для этого распределения потенциалов не только уравнение параксиальных лучей, но и интегралы аберраций можно решить аналитически. Следовательно, эта модель удобна для теоретического анализа определенного класса электростатических линз, погруженных в поле.

Решение уравнения параксиальных лучей (7.1) для этого распределения потенциалов элементарно:

r(z) = exp[z/4a] [r0 cos (31/2z/4a) —

— З"'/2 (го — 4аг'о) sin (З^г^а) ],(7.117)

где го = г(О) и ^ = ^(0). Траектория является гармонической функцией с экспоненциально изменяющейся амплитудой. Если потенциал уменьшается (а>0), амплитуда увеличивается и обратно.

Предположим, что координата объекта zo = 0. Тогда координаты последовательности изображений даются формулой

г^-З-^ила,(7.118)

где п — порядковый номер изображения. Отметим, что каждое последующее изображение появляется при потенциале в 1415 раз выше или ниже, чем предыдущее. Это предполагает, что экспоненциальная модель может описывать поля даже вблизи источника.

Предполагалось [173], что астигматизм такого поля можно уничтожить выбором соответствующего положения ограничительной диафрагмы. Мы фактически показали [268], что все не лежащие на оси изотропные аберрации этим способом можно свести к нулю. Действительно, после длительных вычислений можно получить все коэффициенты аберрации в точном виде. Из уравнений (5.42), (5.121), (5.194), (5.69), (5.72), (7.115), (7.117) и (7.118) имеем коэффициент сферической аберрации, осевой коэффициент хроматической аберрации, коэффициент астигматизма и коэффициент комы соответственно:

Cs0= (9а/13) [ехр (2.3"‘/2л) — 1],(7.119)

Сс0= (За/7) [ехр (4-3~1/2л) — 1],(7.120)

Д2 = (27В2+4-3*/2В — 1) [ехр(2-3-‘/2л) — 1]/208а,

(7.121)

А6= (9-31/2В+2) [ехр(2.3->/2л) — 1]/52,(7.122)

где

В = —ctg(3'/2z^/4a)(7.123)

и za — осевая координата ограничительной диафрагмы. Отсюда можно видеть, что при zAja=3,3329 кома исчезает. Аналогично для zA]a, равного либо 2,8304, либо 3,8646, исчезает астигматизм. Координаты ограничительной диафрагмы нет в выражениях для коэффициентов сферической и хроматической аберраций, следовательно, их нельзя сделать нулевыми. Коэффициент кривизны поля аналогичен коэффициенту астигматизма;

коэффициент дисторсии содержит кубическое выражение по В; следовательно, оба их можно сделать нулевыми соответствующим выбором положения ограничительной диафрагмы.

Экспоненциальная модель может служить основой для более общих аналитических моделей, содержащих комбинацию нескольких экспоненциальных полей.

Диафрагма с круглым отверстием

Одна из наиболее простых электростатических линз состоит из плоского электрода с круглым отверстием. На электрод подан потенциал Vо и по крайней мере с одной стороны к нему примыкает однородное электростатическое поле. Однородное поле создается параллельными пластинками, находящимися

под разными потенциалами и расположенными на достаточном расстоянии от пластинки с отверстием. Поле такой линзы было вычислено в разд. 3.1.2.3. На рис. 21 и 22 показаны эквипотенциальные поверхности, создаваемые такой линзой.

рис. 124. Распределение осевого потенциала круглой диафрагмы.рис. 124. Распределение осевого потенциала круглой диафрагмы.Как мы видели в разд. 4.10.1.1, однородное поле фактически находится вне линзы. Однако оно влияет на осевые составляющие скорости частиц, следовательно, в области однородного поля траектории частиц изменятся. Известно, что траектории в этой области будут параболами, поэтому их легко рассчитать и найти

рис. 124. Распределение осевого потенциала круглой диафрагмы.

рис. 124. Распределение осевого потенциала круглой диафрагмы.

реальные кардинальные элементы линзы.

Так как в этом случае теоремы разд. 4.6.1 не действительны, главные плоскости не меняются местами, и, как мы очень скоро увидим, легко сконструировать рассеивающую диафрагму с круглым отверстием. Чтобы показать это, рассмотрим кусочно-линейную модель из разд. 7.2.2. Предположим, что распределение потенциала задается двумя однородными полями (рис. 124) в следующем виде:

(7.124)(7.124)J U^ — Exz для z<0,I U(0) — E2z для z>0.

(7.124)

(7.124)

где потенциал £7(0) в центре отверстия определяется уравнением (3.176) через потенциал электрода Vo, радиус отверстия R и однородные поля Et и Е2. При z=0 из уравнения (7.7) получим значение для скачка наклона

г'(дг)_г.(_д2)=_^_г(0). (7.125)

Эта формула справедлива, если длина неоднородной области вблизи отверстия мала. Тогда действие линзы сконцентрировано вблизи 2=0, как и в случае приближения тонкой линзы для ограниченных линз. Параллельный пучок, идущий из пространства объектов [/'(—Az)=0j, получит радиальный «удар», определяемый уравнением (7.125). Мы видим, что наклон, вызванный отверстием, пропорционален разности двух однородных полей. Это является причиной того, почему даже при очень маленьком отверстии действие линзы может быть весьма сильным.

Знак наклона зависит от знака (Е2—fi). Соответственно одиночное отверстие действует как собирающая или рассеивающая линза. Наклон r'^z) определяет начальные условия для параболической траектории в.однородном поле по правую сторону линзы. Пересечение этой траектории с осью определяет реальную точку фокуса в пространстве изображений. Кроме того, можно получить фиктивное «асимптотическое» фокусное расстояние, предполагая, что главная плоскость совпадает с плоскостью 2=0, и пренебрегая однородным полем Е2. Тогда для оптической силы имеем

l/f; = _,'(AZ)/r(0) = 7I7^_. (7.126)

Мы должны учитывать тот факт, что эта формула дает хорошее приближение даже в этом ограниченном смысле только для слабой линзы, т. е. если fs*^>R. Если Е2 = 0, то f2* определяет реальное (или асимптотическое) фокусное расстояние в приближении слабой линзы. Естественно, оптическую силу можно оценить точнее с помощью численного интегрирования [9].

Практическое значение линзы из диафрагмы с круглым отверстием состоит в том, что она появляется, как только мы имеем дело с любым отверстием в конечных электродах электростатических линз, и в качестве составного элемента электронных и ионных источников.

Катодные линзы, электронные и ионные источники

Диафрагма с круглым отверстием является простейшей структурой для получения электронного пучка, если плоский электрод, создающий электрическое поле слева от отверстия, является катодом. В этом случае она называется катодной

линзой (иммерсионным объективом). Электроны, покидающие поверхность катода, ускоряются разностью потенциалов между диафрагмой (анодом) и катодом. При таком расположении Ei<0, |Е2|<|Е1|, и, как следует из уравнения (7.126), оптическая сила отрицательна, т. е. такая катодная линза всегда дает расходящийся пучок электронов.

Ситуация может быть кардинально улучшена, если поместить вблизи катода еще одну диафрагму (электрод Венельта) и подать на нее незначительное отрицательное напряжение 7с по отношению к катоду (рис. 125). Этот контрольный электрод служит двум целям. Во-первых, он изменяет распределение поля таким образом, что создается фокусирующее поле вблизи поверхности катода, где электроны движутся относительно медленно, следовательно, это фокусирующее влияние будет сильнее, чем дефокусирующее от отверстия анода. В результате будет формироваться сходящийся пучок. Во-вторых, меняя напряжение Vc, можно контролировать ток пучка. В самом деле, электроны, покидающие поверхность катода, имеют максвелловское распределение скоростей. В соответствии с уравнением (5.326) наиболее вероятная энергия электронов пропорциональна температуре катода, и при 7=2000 К она приблизительно равна 0,2 эВ. Тогда, если VG таково (напряжение отсечки), что вблизи оптической оси потенциал на эквипотенциальных поверхностях меньше —0,2 В, доля электронов, проникающих туда, будет очень мала, и ток пучка практически будет нулевым. Если теперь слегка повысить потенциал на контрольном электроде, то все больше электронов будет проходить через область его влияния, и ток пучка резко возрастет вместе с радиальным расширением той части поверхности катода, на которой электроны могут его покинуть.

Так как разные электроны могут покидать одну и ту же точку поверхности катода во всевозможных направлениях, их траектории также будут различны, и они пересекут ось в разных точках (рис. 125). В результате изображение поверхности катода будет сформировано после того, как электроны пучка сформируют кроссовер, положение которого определяется тем, где большинство электронов пересекут ось (рис. 126). Поперечное сечение этого кроссовера намного меньше, чем катода, но вследствие упомянутого распределения начальных скоростей оно никогда не может быть сведено к нулю. В некоторых зондоформирующих системах пытаются значительно уменьшить размеры кроссовера. Различие между катодной линзой и электронной пушкой или ускоряющей линзой состоит только в том, что в последних не ставят целью воспроизвести изображение катода, а добиваются прохождения как можно большего тока через как можно меньший кроссовер.

Так как теперь объект является частью линзы и поле линзы резко обрывается вблизи катода, в этом случае понятие кардинальных элементов бесполезно. Кроме того, вследствие очень больших начальных наклонов траекторий у поверхности катода нельзя использовать формализм параксиальных лучей. Вместо этого мы можем сделать предположение, что в непосредственной близости от катода поле однородно, следовательно, траектории всегда представляют собой параболы. На некотором удалении от катода снова можно использовать уравнение параксиальных лучей. Кроме того, ситуация осложняется тем, что отрицательный пространственный заряд медленных электронов на катоде создает дополнительный потенциальный барьер, который в свою очередь ограничивает ток (см. гл. 12). В результате строгое рассмотрение катодных линз и электронных пушек является весьма сложной задачей, даже если катод имеет плоскую поверхность.

Рис. 125. Катодная линза.Рис. 125. Катодная линза.

Рис. 125. Катодная линза.

Рис. 125. Катодная линза.

Однако в большинстве приборов катодная поверхность искривлена. В простейшем случае он имеет форму сферической крышки, но в основном используются нитевидные и точечные катоды. Анализировать такие источники электронов очень трудно. Даже определение распределения поля — задача чрезвычайно сложная вследствие большой напряженности поля вблизи поверхности катода. Поэтому широко распространена практика, когда предполагают, что все падение потенциала происходит вблизи поверхности, и, следовательно, дальше частицы движутся в области, свободной от поля, по прямолинейным траекториям, исходящим из виртуального источника.

Цель конструирования любой пушки — совместить большую яркость и низкий разброс энергий. Тогда мы имеем четко определенный пучок заряженных частиц с высокой плотностью тока, распространяющийся в малом телесном угле. Следовательно, желательно использовать катодные материалы с высокой плотностью тока на эмитирующей поверхности при малой

ее площади. Яркость была рассмотрена в разд. 5.6.8; дополнительные сведения о ней читатель может отыскать в литературе [269]. Самое главное состоит в том, что удельная яркость, определяемая из уравнения (5.329), является инвариантной величиной: никакая фокусирующая система не может ее улучшить. Следовательно, крайне важно иметь источники частиц высокой яркости.

Следует признать, что общая теория электронной и ионной оптики оказывает ограниченную помощь разработчикам пушек. Причина состоит в неоднозначности ситуации, когда объект является частью самой фокусирующей системы, а совместное влияние распределения начальных скоростей и пространственного заряда делает фактически невозможным использование большинства технических приемов, разработанных для обычных фокусирующих элементов. Простая теория трехэлектродных электронных пушек была предложена уже давно [270] и с тех пор ей было посвящено еще несколько работ, но и по сей день не существует всесторонней теории или даже хорошо разработанной методологии конструирования электронных и ионных источников.

Число электрических и геометрических параметров, которые влияют на свойства пушки, весьма велико, даже если катод плоский и пушка имеет только три электрода. Наиболее важными параметрами являются положение и потенциал контрольного электрода, его толщина и радиусы контрольного электрода и анода. В этом разделе мы рассмотрим только ненасыщенные пушки, в которых влиянием распределенного пространственного заряда можно пренебречь. Пушки, используемые для получения пучков с высокой интенсивностью, будут обсуждаться в разд. 12.1.3.

В трехэлектродных (триодных) пушках изменение напряжения Vc контрольного электрода служит для фокусировки пучка и контроля его тока одновременно. Поэтому трудно поддерживать постоянное положение и размеры кроссовера при изменении тока пучка. Эту трудность можно преодолеть, увеличив число электродов. Отличительной чертой тетродных и пентодных пушек является независимость величин, характеризующих модуляции тока, от положения и размеров кроссовера.

Теорию и проектирование катодных пушек с плоским электродом и узкими пучками электронов, в основном применяющихся в катодных трубках, можно найти в книге X. Мосса, специально посвященной этой теме [271].

В электронной микроскопии и зондоформирующих системах в основном используются два типа эмиттеров. В связи с этим мы можем различать пушки с термоионной и полевой эмиссией. Сделаем краткий обзор их свойств. Читатель может про-

смотреть материалы разд. 5.6.8 о яркости и 5.7.1, 5.7.2 о токе источника, перед тем как перейти к дальнейшему.

Термоионные пушки. Эти пушки работают с термоионными эмиттерами. В основном используются два типа эмиттеров: нитевидные вольфрамовые катоды и катоды из гексаборида лантана (LaBe).

В нитевидных вольфрамовых пушках вместо плоского катода стоит V-образная вольфрамовая проволока с прямым подогревом, которая имеет маленькую эмитирующую площадку на конце эмиттера. Типичная катодная проволока имеет диаметр ~ 100 мкм и нагревается до ~2900 К. Катод может обеспечить плотность тока эмиссии приблизительно 5 А/см2, что эквивалентно удельной яркости ~6А/(В-см2-ср) (см. разд. 5.6.8). Эти катоды обеспечивают однородную яркость в широком диапазоне направлений эмиссии, но их время жизни ограничено 10—50 ч. Они дают разброс энергии порядка 3 эВ.

Рабочие характеристики катода из гексаборана лантана намного ниже, поэтому он может работать при более низких температурах (1900 К), что удлиняет его время жизни (сотни или даже тысячи часов). Такие катоды могут обеспечить плотность тока эмиссии на порядок выше, чем нитевидные вольфрамовые катоды, следовательно, их яркость может достигать 100 А/ /(В-см2-ср). Они имеют косвенный подогрев, и радиус их вершины очень мал (1—10 мкм). Разброс энергии всего лишь около 1 эВ. Единственным их недостатком является неоднородное распределение яркости [272].

В термоионных пушках диаметр кроссовера около 10— 50 мкм, следовательно, чтобы получить маленькое пятно на мишени, кроссовер необходимо уменьшить. Как мы знаем из предыдущих разделов этой главы, сделать это нелегко, потому что при малых увеличениях аберрации обычно очень высоки. Поэтому уменьшение размеров кроссовера весьма желательно.

Распределение потенциала в электронных пушках со сферическим или точечным катодами исследовалось в литературе [273, 274] и на основе этого можно было бы установить условия эмиссии и отсечки. Однако из-за непропорциональности размеров, включенных в рассмотрение, размеры сетки, используемой в области катода, должны отличаться от их размеров в других областях. Это весьма усложняет процесс итераций, так как в этих условиях трудно обеспечить непрерывность. Остроумный подход к этой проблеме предложен в [275] и состоит в том, чтобы добавить тонкую заряженную проволоку, точечный заряд и заряженный цилиндр к системе, взвешенной таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия.

Влияние различных параметров на работу этой пушки изучалось с различных точек зрения [18, 38, 276—282]. Было установлено, что при заданных пространственном расположении контрольного электрода и температуре катода существует оптимальный потенциал Vc, при котором наблюдается максимальная яркость. Плотность тока в области кроссовера зависит от положения контрольного электрода. Само существование

кроссовера зависит от положения вершины катода по отношению к контрольному электроду: он существует только тогда.

когда катод расположен на достаточном удалении позади контрольного электрода. Максимальная передача тока термоионных пушек около 0,2%, большая часть тока теряется на электродах. Краткая сводка зависимости тока пушки, яркости и других свойств от геометрических и физических параметров дана Свифтом и Никсоном [276].

Вычисление аберраций катодных линз — задача весьма сложная [9], поэтому обычно формой эмитирующей поверхности пренебрегают и считают, что аберрации пушки равны аберрациям системы, формирующей пучок с виртуальным источником.

В большинстве электронных пушек кроссовер формируется на небольшом удалении от катода. Однако можно сконструировать пушки, формирующие кроссовер и на большом расстоянии от катода ( телефокусные пушки) [283]. Они обеспечивают более высокую передачу тока за счет увеличения размеров кроссовера.

Вершина катода

с полевой Линза Мишень эмиссией

Рис. 127. Пушка с полевой эмиссией

7.8.3.2. Пушки с полевой эмиссией. В источниках с полевой эмиссией используется очень острая холодная вершина, за которой следует электростатическая линза (рис. 127) [222]. Вблизи вершины возникает чрезвычайно высокое электростатическое поле, следствием которого является относительно высокий (1 мА) ток эмиссии. Электроны как бы эмитируются из очень маленького виртуального источника позади вершины. Радиус виртуального источника пропорционален радиусу вершины и квадратному корню относительного разброса энергии Для радиуса вершины 0,1 мкм и относительного разброса энергии 10-4 радиус виртуального источника приблизительно равен 1 нм. Из-за чрезвычайно малых размеров источника и высокого тока эмиссии яркость такой пушки может быть в ты-

сячу раз выше, чем пушек из LaBe. Факторами, ограничивающими работу этой пушки, являются аберрации установленной за вершиной линзы.

Эта пушка не формирует кроссовер; частицы покидают вершину в форме расходящегося пучка, который фокусируется линзой в маленькое пятнышко. Его размеры определяются увеличением и аберрациями этой линзы в соответствии с уравнением (5.337) (см. разд. 5.7.1). Для нормального функционирования этой пушки необходим высокий вакуум (не ниже 10-9 торр).

Конструирование пушек с полевой эмиссией намного легче, чем термоионных пушек. Из-за очень сильного электростатического поля у вершины вблизи нее потенциал резко возрастает и спадает на расстоянии порядка нескольких радиусов вершины. Дальше поле практически равно нулю. Если пушка проектируется так, чтобы поле экранировалось отверстием в первом электроде (см. разд. 7.3.1.5), то влиянием эмиттера вообще можно пренебречь. В первом приближении можно считать, что частицы появляются из области, в которой поле отсутствует, тогда в этой пушке можно использовать любую ограниченную линзу с нулевым полем на входе. На рис. 127 показана упрощенная кубическая полиномиальная линза с единственной модификацией, состоящей в том, что электроды ограничиваются плоскими поверхностями, перпендикулярными оптической оси (область в пространстве объекта, в которой поле отсутствует, обеспечивается упомянутым выше распределением потенциала без введения дополнительных экранирующих трубок). В соответствии с этим любая ограниченная электростатическая линза может быть использована как многоэлектродная пушечная линза. За последнее время для источников с полевой эмиссией успешно применялись многоэлектродные пушечные линзы [228].

Более детальную информацию о пушках с полевой эмиссией можно найти в литературе [124, 153, 224, 284—288].

Ионные источники. Получение ионных пучков само по себе является целой наукой. Объем этой книги не позволяет раскрыть этот вопрос даже поверхностно. Мы ограничимся простым перечислением основных типов ионных источников, постоянно используемых на практике.

Электронно-ударная ионизация используется для получения ионов при имплантации. Энергия ионизации обеспечивается за счет электронов с высокой энергией. Механизмом ионизации могут быть упругие столкновения, диссоциация частиц газа и возбуждение.

Плазмотронные источники основаны на дуговом разряде

при относительно высоком давлении. Электроны ускоряются образующимся при этом процессе ионами газа.

В ионных источниках на жидком металле (электрогидроди- намических) электроны испускаются из конуса Тейлора жидкого металла, выступающего из капилляра или с вершины металлического стержня, покрытого жидкой металлической пленкой. С помощью этих источников можно достигнуть высокой яркости, но разброс энергий настолько высок (более 10 эВ), что их практическая ценность ограничена из-за очень большой хроматической аберрации.

По-видимому, наиболее многообещающими источниками в настоящее время являются источники с полевой ионизацией. Поле ионизации возникает, когда тонкий, острый металлический наконечник имеет высокий потенциал в газообразной атмосфере. Электроны будут туннелировать из атомов газа в металл, ионизируя газ внутри наконечника. По всей видимости, ионы испускает виртуальный эмиттер, размеры которого много меньше, чем размеры самого наконечника. Разброс энергии таких источников весьма мал (~ 1 эВ).

За более детальной информацией о ионных источниках читатель отсылается к обзорным статьям [289, 290].

На этом мы заканчиваем главу об электростатических линзах. Дальнейшую информацию можно найти в гл. 9.

Заключение

Эта глава дает полный обзор свойств основных электростатических линз. Мы начали с фундаментальных соотношений и затем перешли к простым моделям линз. Ограниченные электростатические линзы были разделены на следующие четыре основные группы: двухэлектродные иммерсионные, однопотенциальные, трехэлектродные иммерсионные и многоэлектродные. В каждой группе были проанализированы различные конкретные конфигурации линз, которые затем сравнивались друг с другом. Сравнение некоторых представителей каждой группы дано в разд. 7.7. Последний раздел был посвящен линзам, погруженным в поле, включая краткий обзор электронных и ионных источников.

МАГНИТНЫЕ ЛИНЗЫ

Общие свойства и соотношения

Любое аксиально-симметричное поле, порожденное катушками с током, содержащими или несодержащими ферромагнитные материалы, либо постоянными магнитами, является магнитной линзой (см. разд. 4.4 и 4.7). Как известно, характерной особенностью магнитных линз является то, что их оптические свойства зависят от отношения заряд — масса. Постоянные магнитные поля не могут ускорять заряженные частицы, поэтому в отсутствие электростатических полей магнитные линзы оставляют энергию частиц неизменной.

Магнитные линзы обычно сложнее в изготовлении, чем электростатические. Однако число определяющих параметров, как правило, мало, и поэтому расчет свойств магнитных линз намного проще, чем электростатических. Они также более подробно рассмотрены в литературе вследствие исключительно широкого применения в электронной микроскопии. К счастью, имеется превосходная монография [50J, соответствующая современному уровню теории магнитных линз. Поэтому в этой главе мы можем ограничиться только рассмотрением их наиболее важных свойств. Магнитные линзы можно разделить на две основные категории: длинные линзы с распределенными полями и короткие линзы с сильно концентрированными полями. Следует отметить, что в длинных линзах трудно очертить границы, и даже в случае коротких линз предмет или изображение, либо оба вместе, могут находиться в области поля, поэтому в этом случае важны реальные свойства линз.

Действие магнитных линз основано на силе Лоренца (уравнение (1.14)). Благодаря взаимодействию радиальной составляющей скорости частицы с продольной компонентой магнитной индукции скорость приобретает азимутальную составляющую, которая в свою очередь взаимодействует с продольной компонентой, что приводит к радиальной фокусировке. Мы уже сталкивались с этим эффектом в случае длинной магнитной линзы в разд. 4.10.1.3. Радиальная компонента магнитной индукции взаимодействует с продольной и азимутальной составляющими скорости, вызывая появление новой азимутальной и продольной составляющих соответственно. Присутствие указан-

ной радиальной компоненты поля необходимо для фокусировки пучка частиц, изначально параллельного оси.

Так как в этом случае все уравнения становятся пригодными для больших скоростей при простой замене потенциала на релятивистский потенциал (уравнение (2.89)), всегда легко рассмотреть релятивистский случай, что особенно важно теперь, потому что магнитные линзы в основном используются для фокусировки электронов, для которых релятивистский предел составляет около 10 кэВ (см. разд. 2.2.1). С другой сторс- ны, наличие азимутальной составляющей начальной скорости или ненулевого поля в начальной точке приводит к необходимости использования комплексных переменных для описания траекторий в магнитных линзах. Поэтому общее уравнение траекторий теперь принимает вид (4.21), и траектория обычно должна описываться во вращающейся меридиональной плоскости.

Уравнение параксиальных лучей (4.40) или (4.50) имеет ВИД

d2iy QB2(z) , ,( X/о

W (8-

где tw(z)—комплексная величина, определенная через цилиндрические координаты г и а уравнениями (4.34) и (4.35), электростатический потенциал U считается постоянным в области линзы, а Tz — функция, определенная уравнением (4.51) при U = const. Можно использовать непосредственно вещественные величины, но тогда уравнение (4.31) приводит к нелинейному дифференциальному уравнению:

Уг = №твrel] [82 (z) r-4CW3A. (8-2)

где С определяется уравнением (4.26). Азимутальная координата определяется уравнением (4.27).

Так как функция Т^ пропорциональна квадрату функции распределения магнитной индукции, изменение направления тока в магнитных катушках не изменит расположение кардинальных элементов. Поворот изображения, однако, определяется уравнением (4.60), которое пропорционально интегралу 8(z), вычисленному между предметом и изображением. Поэтому, если меняется направление токов, направление вращения тоже изменяется. Если интеграл от 8(z) равен нулю, то вращение отсутствует. Как следствие можно легко сконструировать магнитные линзы, не приводящие к повороту изображения, на основе двух одинаковых коаксиальных катушек, по ко-

торым протекают одинаковые токи, но в противоположных направлениях. ■

Реальные коэффициенты сферической аберрации и аксиальной хроматической аберрации, связанные с предметом, вычисляются из уравнений (5.121) и (5.194) соответственно при U=const:

zt

с30= [4(1/- t/oM"2 S {[3Q2B4 (z)/8m02 -

zo

— Q(U— Uo^eiB'^fm^hH

+ Q(U—l/0)reiB2(z)h2h'2lm0}dz, . (8.3) zi

Cco = —[Q/8m0(U —l/0)rel] S B2(z)№.(8.4)

Коэффициент сферической аберрации может быть вычислен также из уравнения (5.132) или в специальном случае из уравнения (5.135).

Асимптотические аберрации даются аналогичными выражениями, которые отличаются от этих только пределами интегрирования (а и b вместо zo и Zi соответственно) и заменой луча h. на луч Н (см. разд. 5.4). Также можно использовать полиномиальные выражения (5.255) — (5.264) и (5.273) — (5.281). [Заметим, что в указанных выражениях в этом случае Q(z) = =£(z)=0.]

Концепция эффективной длины более обоснована в случае магнитных линз, потому что функция Т (z) в этом случае пропорциональна квадрату функции распределения магнитной индукции, и поэтому они достигают максимума в одном и том же месте. Эффективная длина определяется выражением (7.23). Используя выражение (4.159), сразу приходим к соотношению (4.164) в том виде, как оно было использовано в разд. 4.10.2.

Магнитные линзы используются для формирования электронных зондов или для получения сильно увеличенных изображений малых объектов. Их также можно использовать для анализа по энергиям. Теперь рассмотрим различные типы магнитных линз. Так как длинные линзы — основа простых моделей магнитных линз, начнем с них.

Длинные линзы

Длинные магнитные линзы, как правило, представляют собой аксиально-симметричные магнитные поля без четко очерченных границ. Поэтому они эквивалентны электростатическим 476

линзам иммерсионного типа (разд. 7.8). Название «длинные линзы» обусловлено тем, что поле внутри длинного соленоида является простейшей реализацией этого класса линз. Длинные линзы используются в некоторых бета-спектрометрах. Другое интересное приложение будет представлено в разд. (8.4.2.4). Двумя основными типами длинных линз являются однородные магнитные поля и магнитные поля, линейно изменяющиеся вдоль оптической оси.

Однородные магнитные поля

Формирование изображения однородным магнитным полем,, созданным длинным соленоидом или постоянным магнитом, обсуждалось в разд. 2.7.2.1 и 4.10.1.3. Мы знаем, что такая линза образует прямое (неперевернутое и неувеличенное) изображение предмета, помещенного в поле. Единственная оставшаяся проблема — рассчитать ее аберрации.

Подставляя уравнения (4.150) и (4.154) с го = 0 и го'=1 в (8.3) и (8.4), получаем сферический и аксиальный хроматический коэффициенты аберрации:

С$о=Ссо=пл/2^0,(8.5)

где п — порядковый номер изображения, а ко определяется соотношением (4.146). Так как ко пропорционально абсолютной величине магнитной индукции, аберрации уменьшаются с увеличением поля. Этот результат аналогичен рассмотренному нами случаю электростатической линзы. Аберрации возрастают с увеличением порядкового номера изображения.

Уравнение (8.5) также может быть получено из простых соображений. Параксиальное приближение основано на предположении, что продольная составляющая скорости vOz равна самой скорости у0. Если подставить

voz^vo cos yo«Ml — Yo2/2)(8.6)

сначала в (2.142), а затем после элементарных тригонометрических преобразований в (5.79), то сразу придем к соотношению (8.5) для коэффициента сферической аберрации. Коэффициент хроматической аберрации может быть получен, если выразить приращение скорости через приращение потенциала,, а затем использовать выражение (2.142) вместе с (5.197).

Линейные магнитные поля

Пусть функция распределения магнитной индукции изменяется линейно вдоль оси г:

В (z) =Bo + BiZ,(8.7>

где Во и Bi — постоянные. Подставляя это аксиальное распределение в (3.45) — (3.47), получаем компоненту магнитной индукции для произвольной точки пространства:

Вг —— Bir/2, Ва = 0, Вг=Во + Biz.(8.8)

Это так называемое пиковое магнитное поле.

Подставляя выражение (8.7) в уравнение параксиальных лучей (8.1), получаем

d2wldz2+ (^o+^i2)2ty = 0,(8.9)

где ^о дается уравнением (4.146) и

^2=QBi2/[8m0 ((/ — U^ ге1] >0.(8.10)

Начальные условия определяются уравнениями (4.43) и (4.148).

Уравнение (8.9) имеет следующее точное решение [185]:

w (z) = (л/2^) [Ао^о+А^/гЗ^х

Х^коГо{/з/4(^o2/2^i)71/4 (?) + 7-з/4 (^o2/2^i)7-1/4 (?)} +

4- ^о+Ло^'о+^о)] (7-1/4 (йо2/2й1) 71/4 (?) —

— 71/4 (V/2A0 7-1/4 (?)}>,(8.11)

где

^=<к^кХ2У^кх,(8.12)

7Р — функция Бесселя первого рода порядка р, к0>0, и знак совпадает со знаком заряда частицы.

Можно просто определить отсюда функцию г (г), используя выражение (4.45); а (г) дается соотношениями (4.34), (4.46), (8.7) и (8.10):.

-a(z) —a0 = arctg[Im(ty)/Re(ty)] ±

±[й0(г — Zo)+Ai(z2 —z02)/2,(8.13)

где положительный знак соответствует теперь отрицательно заряженной частице, и обратно.

Если Во=ко = О, имеем

г (г) =2-3/2£г1/Т (l/4)zV2{r02a0'2 [71/4 №z2/2) ] 2 +

+ [rVi/4 (AiZ2/2) + (2Ai) V2 (Го/Л) х

X Г2 (3/4) 7-1/4 (AiZ2/2) ]2} >/2,(8.14)

■а (г) — а0 =

= arctg —£рОо_±

го+ (г0/л) (2^)1/3 Г2 (3/4) J_114 (fe1Z2/2)/Ji;4 (^!Z2/2)

±Mz2-?o)/2,(8.15)

где Г — гамма-функция. Если в таком поле азимутальная составляющая начальной скорости равна нулю, то все частицы с различными значениями го и Го' будут двигаться в одной меридиональной плоскости.

Однородное магнитное поле представляет другой специальный случай, соответствующий Bi = A] = 0. Решение уравнения параксиальных лучей (8.9) тогда дается выражениями (4.150) и (4.151).

Оптические свойства первого порядка можно вывести из уравнения изображения (4.58). Если объект расположен в точке zo = 0 (что является приемлемым, так как величина Во может быть выбрана произвольно), то получаем координату Zin n-vo изображения и соответствующее увеличение Мп в виде

71/4 (?) /7-1/4 (Sin) = Jl/4(№)/J-l/4 (Ж) =Л = const, (8.16)

Мп = (- \y^A-kvZinlkQy'4M^inMhlW№. (8.17} где

и=(к0 + кХ21пУ!2кг.(8.18)

В случае Во=ко=О координата изображения определяется выражением

Ji/4(*izW2)=0,(8.19)

и увеличение равно

Мп= (— l)"2-1^1i/4r(3/4)zin1/2/_1/4(A1Z2i.n/2).(8.20)

При больших значениях аргумента может быть использована асимптотическая формула (7.56). Тогда положение изображения и увеличение даются соотношениями

£in = arctg{ [Л cos л/8 — sin л/8]/[cos л/8 — A sin л/8]},

(8.21)

Мп = 2л-*/2 (— 1) п ^]кх + йог.я)-1/2 х

Xsin (л/8+S/л)/71/4 (А02/2^1)(8.22)

соответственно, где постоянная А определяется из (8.16).

Если Во = ко=6, асимптотическая формула существенно упрощается

Zin=U2n!kiUn—\№/2,(8.23)

Л1п=л-1/2йг1/4Г(3/4)г/л-,/2.(8.24)

Мы вычислили различные электронные траектории в этом поле [185]. Например, на рис. 128 и 129 приведены соответственно функции r(z) и a(z) при &о = О,2 см-1, &i = 0,l см-2, г0 = = 1 сми ао = а'о = О для пяти различных значений параметра /'о'. Мы видим, что первые два изображения формируются при:

2д = 5,99 см и 2,2 = 9,24 см. Соответствующее увеличение есть Afi =0,578 и Мг = 0,489. Так формируется бесконечный набор изображений. Каждое последующее изображение меньше, чем предыдущее. Асимптотические формулы дают достаточно точные результаты, начиная с четвертого изображения.

Строгое решение для линейного поля будет использовано в качестве модели магнитной линзы при синтезе новых магнит- .ных линз (см. разд. 8.3.3. и 9.5).

Рис. 128. Функция г (г) для различных значений г»' в линейном магнитном поле [185].

Рис. 129. Функция а(г) для различных значений г0Л в линейном магнитном поле [185].

Длинные линзы с малой сферической аберрацией

. Если мы используем выражение (5.135) для вычисления коэффициента сферической аберрации, то увидим, что первые два члена подынтегральной функции всегда положительны, а знак третьего совпадает со знаком —ВВ". Так как в соответствии с теоремой Шерцера Cso всегда положительно, можно надеяться на уменьшение сферической аберрации, если значение интеграла по ВВ" предельно велико. Это эквивалентно требованию, чтобы график функции распределения магнитной индукции был всегда выгнут относительно оси, т. е. имел минимум для положительных или максимум для отрицательных значений распределения B(z). Магнитные поля с такими распределениями эквивалентны длинным линзам и могут быть сформированы, например, соответствующим образом распределенной неравномерной обмоткой длинного соленоида. Они действительно применялись для уменьшения сферической аберрации в ^-спектрометрах [291J.

Модели магнитных линз

Подходы к моделированию линз были изложены в разд. 7.2. В случае магнитных линз мы находимся в более выгодном положении, чем в случае электростатических линз: существует несколько хороших аналитических моделей для их описания. Мы собираемся в деталях обсудить их, особенно колоколообразную модель, но сначала кратко рассмотрим существующие кусочно-аппроксимационные модели.

Прямоугольная модель

Простейшая возможная модель магнитной линзы представляет собой эквивалентный соленоид (см. разд. 3.1.4). Идея-заключается в замене реальной линзы однородным полем конечной протяженности, что, разумеется, практически нереализуемо, но является весьма удобной математической моделью. Это эквивалентно введению эффективной длины Lett (см. разд. 4.10.2). Обычно Leif определяется таким образом, что эквивалентный соленоид обеспечивает такую же оптическую силу, какую имела бы рассматриваемая линза в приближении тон-

кой линзы (см. (4.164)). Для того чтобы иметь одинаковую оптическую силу, у полей с различной степенью концентрации должны быть равны интегралы от В2 по оси вдоль поля. Поэтому, если протяженность поля уменьшена в А раз, максимальная магнитная индукция должна быть умножена на А1'1.

Так как угол поворота изображения пропорционален интегралу от В, уменьшение эффективной длины ведет к уменьшению угла поворота изображения (два угла поворота изображения относятся друг к другу, как корень квадратный из отношения протяженностей полей). Таким образом, по мере того как линза делается тоньше (ее поле становится более концентрированным, эффективная длина уменьшается), угол поворота изображения, равномерно уменьшается при условии, что оптическая сила остается неизменной. Для бесконечно тонкой линзы угол поворота изображения равен нулю [9]. Другой предельный случай представляет однородное поле, которое является бесконечно протяженным. Мы видели в разд. 4.10.1.3, что в этом случае угол поворота изображения равен л.

Модель со ступенчатой функцией

Аксиальное распределение магнитной индукции может быть аппроксимировано кусочно-постоянным распределением, т. е. последовательностью однородных полей различной напряженности. Распределение магнитной индукции разбивается на некоторое количество сегментов, внутри каждого сегмента магнитная индукция считается постоянной. В пределах каждого сегмента выражения (4.150) и (4.151) определяют функции г(г) и а(г) соответственно. Хотя распределение магнитной индукции не является непрерывным, требование непрерывности решения уравнения параксиальных лучей может быть легко удовлетворено, так как w" остается конечным на стыках сегментов.

Эта модель не очень точна, но ее большое преимущество заключается в крайней простоте, сочетаемой с гибкостью (она может быть использована с любым распределением магнитной индукции).

Кусочно-линейная модель

Точность аппроксимации может быть повышена с помощью модели, базирующейся на замене реального распределения магнитной индукции ломаной линией (набором линейных сегментов), как это было проделано в разд. 7.2.2 для распределения электростатического потенциала. Так как траектория легко

вычисляется внутри каждого линейного сегмента (см. разд. 8.2.2), полный анализ выбранной магнитной линзы может быть выполнен с высокой точностью путем непрерывной сшивки последовательных сегментов [292]. Эта модель была успешно применена для синтеза магнитных линз [296].

Сплайновая модель

Следующее приближение заключается в использовании квадратичной функции для аппроксимации распределения магнитной индукции на каждом сегменте, что эквивалентно кусочно-кубической аппроксимации магнитного скалярного потенциала. Хотя в этом случае не существует аналитического решения уравнения параксиальных лучей, это приближение хорошо подходит для моделирования магнитных линз (см. разд. 9.10).

Колоколообразная модель Глазера ■

Аксиальное распределение магнитной индукции в типичной симметричной короткой магнитной линзе представляет собой колоколообразную кривую, подобную изображенной на рис. 57 для однокатушечной линзы. На практике для концентрации поля в малой области используются ферромагнитные материалы (см. рис. 27). Функция

S(z)=Smax/[l+(2/<Z)2],(8.25)

предложенная Глазером [16], хорошо аппроксимирует аксиальное распределение магнитной индукции такой линзы вблизи насыщения (см. разд. 3.1.4). Хотя ненасыщенный режим более желателен, детальное исследование свойств линзы, описываемых этим распределением, остается крайне важным, потому что оно позволяет получить не только точное решение уравнения параксиальных лучей, но и аналитически вычислить коэффициенты аберрации. Более того, как оказывается, формула (8.25) описывает ньютоновское поле (см. разд. 4.6).

Функция распределения поля (8.25) показана на рис. 130 (кривая а). Здесь Втах— максимальная величина функции распределения магнитной индукции и d— ее полуширина; Втах в основном зависит от уровня возбуждения; d определяется формой полюсных наконечников и степенью насыщения.

Ради простоты рассмотрим случай С = 0, т. е. когда лучи берут начало либо на оси, либо в области за пределами поля, с нулевой начальной азимутальной компонентой скорости (см. уравнение (4.26)). Тогда нет необходимости использовать ком-

плексную переменную w и оба уравнения (8.1) и (8.2) вместе с (8.25) дают уравнение параксиальных лучей в виде

(8.26)(8.26)d2rй2

(8.26)

(8.26)

dz2 + [l + (z/d)2]2 Г и’

где величина к2 определена выражением (4.159) через отношение заряда к массе частицы, максимальную величину магнитной индукции и релятивистский потенциал.

Введем новые переменные z/ и ф, как в разд. 7.4.1.3, в результате имеем

z/<Z=ctgi|),(8.27)

г/г/=г/(-ф)/sin ф.(8.28)

z/dz/dРис. 130. Модель Глазера (кривая а) и модель Гриве — Ленца (кривая б).Рис. 130. Модель Глазера (кривая а) и модель Гриве — Ленца (кривая б).

z/d

z/d

Рис. 130. Модель Глазера (кривая а) и модель Гриве — Ленца (кривая б).

Рис. 130. Модель Глазера (кривая а) и модель Гриве — Ленца (кривая б).

Теперь уравнение (8.26) может быть переписано в виде d2yld^^to2y-Q.(8.29)

Свойства линзы характеризуются безразмерным параметром

(8.30)(8.30)<О2=1+^26?2.

(8.30)

(8.30)

Решение уравнения (8.29) элементарно. Возвращаясь к переменной г, можно записать

rjd= [С] cos ci)i|)+C2 sin со-ф]/sin Ф,(8.31)

где сохранена независимая переменная ф для удобства последующих вычислений. Постоянные интегрирования Ci и С2

определяются из начальных условий. Заметим, что выражение (8.31) формально похоже на (7.101), где со дается соотношением (7.100). Существенное различие между ними заключается в том, что переменная ф непосредственно связана с аксиальной координатой z формулой (8.27), в то время как в случае выражения (7.101) переменная g связана с г двумя формулами (7.95) и (7.102), что значительно усложняет решение.

Подставляя два линейно-независимых решения (8.31) в уравнение изображения (4.58), получаем

фо — ф1п=лл/й, (8.32)

где фо и феп — координаты объекта и n-го изображения соответственно и п= 1, 2,... — порядковый номер изображения. Заметим, что для zm>zo имеем фо>ф1П благодаря соотношению (8.27) (когда переменная z изменяется от —оо до + оо, соответствующие значения ф изменяются от л до 0). Очевидно, чем сильнее поле, тем большее количество изображений может быть сформировано. Так как максимальное значение левой части выражения (8.32) равно л, максимальное число изображений «тах^со. Поэтому мы имеем одно изображение, если &2</2<3, два изображения, если £2d2<8, три изображения, если £2d2<15, и т. д. Увеличение дается выражением (7.104).

Рассмотрим теперь главный луч r^z^ (см. рис. 45), чтобы определить кардинальные элементы. Сначала обратим внимание на реальные величины. Очевидно, для рассматриваемого луча Ci = 0 и C2 = rQ]tod, где го — расстояние от оси до параллельного ей луча, падающего в область поля из бесконечности. Луч может пересечь ось несколько раз; соответственно в пространстве объектов может образоваться п фокусов. Их координаты даются выражением

фг1п=лл/ю или Fin=—F2n=dctgnnjto. (8.33)

В самом деле, для этого луча фо = фг]п и фщ = 0. Тогда уравнение (8.32) непосредственно дает (8.33). Координаты ф^]п соответствуют фокусам в пространстве объектов и поэтому равны разности координат любой пары сопряженных точек, соответствующих предмету и изображению. Соответственно для линз с заданным параметром и количество фокусов равно количеству изображений при любом расположении объекта.

Мы можем вычислить п-е реальное фокусное расстояние из простого соотношения

fn=hn=hn = roir'^FVny (8.34)

Дифференцируя выражение (8.31) по z, используя постоянные интегрирования для луча гДг) и подставляя координаты фокусов из (8.33), получаем

fn= (— l)n~M/sin nnlm. (8.35)

Эта важная формула показывает, что знак фокусного расстояния чередуется для последовательных значений, что естественно, если помнить о многократных пересечениях оси лучом. Его абсолютная величина всегда конечна для любого k2d2>0. Абсолютное значение фокусного расстояния имеет минимум, равный d. Это имеет место для первого фокуса, когда ю = 2, т. е. k2d2 = 3. Тогда из уравнения (8.33) следует, что Fin ——F2n=0, т. е. фокус находится в средней плоскости. Когда и >2, фокусы инвертируются (как мы видели выше для некоторых сильных электростатических линз), но оптическая сила уменьшается. Если мы хотим, чтобы фокусное расстояние, соответствующее второму фокусу, имело минимальное значение d, то должны положить и = 4. Соответствующий фокус также расположен в средней плоскости, это означает, что координата первого фокуса положительна, т. е. фокусы пересекаются.

Применяя уравнения (4.72) и (4.73) к реальным величинам и учитывая (8.33) и (8.35), получаем координаты главной плоскости

Нщ=—H2n=dY^— 1 )”-1 +cos пл/to]/sin пл/to. (8.36)

Для п= 1 имеем

Д1 = — H2=dctgnJ2to. (8.37)

Как видим, взаимное положение главных плоскостей инвертируется и расстояние Между ними возрастает вместе с параметром возбуждения k2d2. Для максимальной оптической силы имеем Hi[d=\.

Кардинальные элементы d^, Fifd и IFJd изображены в зависимости от k2d2 на рис. 131 вместе с соответствующими асимптотическими величинами (см. ниже).

Поворот изображения определяется уравнением (4.60). Подставляя в него (4.159), (8.25), (8.30) и (8.32), получаем

а,п — ao = ^ikd^in — фо) = +плМ(1 + ^2)-*/2. (8.38) где верхний и нижний знаки относятся к положительно и отрицательно заряженным частицам соответственно (^ считается положительным). Мы видим, что поворот изображения зависит только от безразмерного параметра kd и не зависит от положения объекта. Для больших значений kd абсолютная величина угла поворота приближается к пл.

Уравнение (8.38) определяет физический смысл переменной ф. Это угловая координата, изменение которой между предметом и изображением прямо пропорционально повороту изображения.

Расстояние до объекта рп и расстояние до изображения qn связаны с координатами объекта и изображения zo и z™ выражениями:

qn f2n~Zin Fini Рп fin~F^n zo. (8.39)

Эти соотношения следуют из рис. 46, если использовать реальные величины. Подставляя соответствующие значения для этих величии, мы можем просто доказать, что формулы (4.77) — (4.79) в этом случае пригодны для реальных величин. Это значит, что распределение магнитной индукции (8.25) представляет ньютоновское поле (см. разд. 4.6). Поэтому реальные кар-

k2d=k2d=Рис. 131. Реальные и асимптотические оптические силы, координаты фокусов в пространстве объектов и расположение главных плоскостей как функции безразмерного параметра возбуждения h?d? для колоколообразиой модели. Все величины отнесены к полуширине d. Реальные величины отнесены к первому фокусу.Рис. 131. Реальные и асимптотические оптические силы, координаты фокусов в пространстве объектов и расположение главных плоскостей как функции безразмерного параметра возбуждения h?d? для колоколообразиой модели. Все величины отнесены к полуширине d. Реальные величины отнесены к первому фокусу.

k2d=

k2d=

Рис. 131. Реальные и асимптотические оптические силы, координаты фокусов в пространстве объектов и расположение главных плоскостей как функции безразмерного параметра возбуждения h?d? для колоколообразиой модели. Все величины отнесены к полуширине d. Реальные величины отнесены к первому фокусу.

Рис. 131. Реальные и асимптотические оптические силы, координаты фокусов в пространстве объектов и расположение главных плоскостей как функции безразмерного параметра возбуждения h?d? для колоколообразиой модели. Все величины отнесены к полуширине d. Реальные величины отнесены к первому фокусу.

динальные элементы не зависят от положения объекта и могут служить для описания объективных свойств, так же как асимптотические кардинальные элементы могут быть использованы для описания проекционных свойств. Это одно из наиболее важных свойств модели Глазера.

(8.40)(8.40)Теперь обсудим асимптотические свойства. Фокусное расстояние дается уравнением (4.72), т. е. в (8.34) производная Г1(г) должна быть вычислена на —оо. Дифференцируя (8.31) по z, используя соответствующие значения для постоянных интегрирования и подставляя в уравнение (8.34), получаем

(8.40)

(8.40)

/* =— tod/sin ла.

Так как ю>1, sin(n<»)>0 и фокусное расстояние положительно для малых возбуждений. С ростом и фокусное расстояние осциллирует с возрастающей амплитудой между положительными и отрицательными значениями. Его абсолютная величина не может быть меньше d, так же как для реальных фокусных расстояний. По определению в этом случае мы имеем только одно фокусное расстояние, но траектория такая же, как и раньше, так что она может пересечь ось несколько раз. Бесконечное фокусное расстояние (телескопическое условие) возникает всякий раз, когда ю = п, т. е. для №d2=3, 8, 15 и т. д.

Положение асимптотического фокуса можно вычислить, следуя процедуре, аналогичной изложенной в разд. 7.4.1.3. В результате

Ei* =—Е2* = — todclgnm.(8.41)

Положение главной плоскости может быть вычислено из уравнения (4.72); с?//*, F\*]d и H\*]d изображены в зависимости от безразмерного параметра на рис. 131 вместе с реальными величинами.

Интегрируя уравнение (4.60) от —оо до +<х>, получаем асимптотический угол поворота изображения в виде

(«! — ао) * = +nkd,(8.42)

где выбор знака такой же, как в уравнении (8.38).

В приближении тонкой линзы уравнения (4.117), (4.159), (8.1) и (8.25) дают

«)шп = л^2/2.(8.43)

Мы приходим к такому же результату из уравнений (8.35) и (8.40), используя первые члены соответствующего разложения в ряд Тейлора. Интересно заметить, что для малых возбуждений реальная и асимптотическая оптические силы совпадают друг с другом до членов третьего порядка разложения в ряд Тейлора. Затем реальные значения становятся больше асимптотических. Выражение для тонкой линзы является весьма грубым приближением. Оно зависит от кМ2 линейно, т. е. соответствующая зависимость должна быть представлена прямой линией, касательной в начале системы координат к кривым, представляющим реальную и асимптотическую оптические силы на рис. 131. Естественно, это приводит к завышенным значениям. Относительная ошибка превышает 16% уже для k2d2 = =0,2, что соответствует очень слабой линзе (типичное значение для объективной линзы сильного электронного микроскопа составляет около k2d2=2y Поэтому приближение тонкой линзы может быть использовано только при крайне низких возбуждениях.

Эффективная длина может быть введена в соответствии с соотношением (4.164). Подставляя в него (8.43), получаем

Left = Jtd/2,(8.44)

поэтому полуширина d— прямая мера степени концентрации поля.

Теперь сосредоточимся на вычислении аберраций, начиная с коэффициента сферической аберрации. Сначала необходимо найти луч /1(2), удовлетворяющий начальным условиям уравнения (5.42). Исходя из выполнения этих условий, используя (8.31) и ее производную по z, определяем коэффициенты Ci и С2. В результате

h (z) =d sin [го (фо — ф) ] /го sin ф0 sin ф.(8.45)

Распределение магнитной индукции (8.25) может быть записано с учетом (8.27):

В (z) = Sraax sin2 ф.(8.46)

Дифференцируя это выражение дважды по z, подготовим всю необходимую информацию для вычисления коэффициента сферической аберрации. Подставляя эти выражения в (5.135) и используя уравнения (4.159) и (8.30), получаем

С sold = — б7Т+й5)2^4^ У I2 (4^2d2 — 3) sin2 ф+7] х

"Фо

X sin4 [и (ф—Фо)] d^.(8.47)

Преобразуем этот интеграл посредством некоторых тригонометрических соотношений и затем выполним интегрирование. В результате [36]

[2 (4^2(/2 — 3) sin2 ф + 7] sin4 [и (ф — фо)] d^ = *0

= 3(1 + W2) (ф,- - ф0)/2—(1 + №)i/2 sin [2ю (ф,- - фо)] +

+ (1 + йУ2)1/2 sin [4и (ф,- — ф0)]/8 + (4^2d2 — 3) х

х{ — (3/16) sin 2ф,+ 4й2^зТ|Г4^22)51п2ф0 —

—sin 2ф, cos [2ю (ф,-— фо)]/4^2</2 +

+ [(1 + ^2d2)4/2/4^2d2] cos 2ф; sin [2ю (ф,-—ф0)] +

+ sin 2ф,- cos [4® (ф,- — ф0)]/16 (3 + 4^2(/2) —

— S^+W) cos 2Ф< sin [4ю (Ф/ - Фо)] } •(8-48)

Для вычисления реального коэффициента необходимо провести интегрирование от объекта до изображения. Координаты

изображения даются выражением (8.32). Подставляя это выражение для первого изображения fn=l) в (8.48), окончательно получаем

Cso[d= \nk2d2^k2d2V3j2l4 —

— <№d? — 3)/4 (4^2<Z2+3) sin [л (1+ЙМ2)-'/2] X

X cos [2^o — л (1 + £MZ)-1/2] }/sin4 фо> (8.49) откуда можно вернуться к координате объекта zo, используя (8.27).

Так как случай реального изображения обычно соответствует большому увеличению (объект очень близок к фокусу), важно знать коэффициент сферической аберрации, связанный с объектом при бесконечно большом увеличении.

В этом случае ^0=^^, определяемому уравнением (8.33). Подставляя соответствующую величину при п=1 в (8.49), получаем

Csoxld^ ^кЧ^Х^кЧ^ -з/2/4 _

— (4&2d2/3)/[8(4ZA/2+3)] X

X 81п[2л (1 + кЧ^ -'/2] } /8{П4[л (1 + £2^2) -1/2] .

(8.50)

Зависимость этой величины от безразмерного параметра возбуждения k2d2 показана на рис. 132 вместе с Cc(№!d. Для очень малого параметра возбуждения уравнение (8.50) дает

CsoJd —►- 2/л36М6,(8.51)

это означает, что для очень слабых линз коэффициент сферической аберрации крайне велик и значительно уменьшается с ростом возбуждения. Мы уже сталкивались с аналогичной ситуацией для электростатических линз. При очень больших k2d2 имеем

CMJd —to/бл,(8.52)

•г. е. коэффициент сферической аберрации медленно растет с возбуждением. Поэтому он должен иметь минимум при некотором значении параметра возбуждения. Этот минимум составляет (Csooo/^)min = 0,252 и достигается при k2d2~7, где зависимость очень пологая (см. рис. 132). Поэтому можно получить величину, близкую к минимуму, в широком интервале возбуждений. Однако для встречающихся на практике значений К <W2<2 значение Csoxjd намного выше: оно изменяется между 0,736 и 0,370. Мы показали ранее, что минимальное фокусное расстояние равно d и имеет место при k2d2 = 3. В этом случае CSOoold = CSo=o}?=0,295, что мало по сравнению со случаем

электростатических линз. (Заметим однако, что в электростатическом случае мы имели дело только с асимптотическими коэффициентами.)

Сравнивая рис. 131 и рис. 132, видим, что как фокусное расстояние, так и коэффициент сферической аберрации проявляют одинаковые зависимости как функции параметра k2d2. Это согласуется с утверждением, сделанным в разд. 5.7.4.

Фокусное расстояние определяется соотношением (8.35). Поэтому мы получим выражение для Csooo^, если просто заменим четвертую степень синуса на третью в выражении (8.50). Тогда для очень малых параметров возбуждения имеем

C.oJ^-!/^4. (8.53

(8.54)(8.54)т. е. для очень слабых линз сферический коэффициент добротности ведет себя так же, как и аберрационный коэффициент Для очень больших h2d2 имеем постоянный предел

(8.54)

(8.54)

CsoJ/,—1/6,оо

который дает минимальное значение сферического коэффициента добротности для данной модели.

Рис. 132. Реальный сферический и аксиальный хроматический коэффициенты аберраций для колоколообразиой модели, связанные с объектом и отнесенные к полуширине d, как функции безразмерного параметра k2d?.Рис. 132. Реальный сферический и аксиальный хроматический коэффициенты аберраций для колоколообразиой модели, связанные с объектом и отнесенные к полуширине d, как функции безразмерного параметра k2d?.Вслед-Вслед-Для аксиального распределения магнитной индукции (8.25) все геометрические аберрационные коэффициенты могут быть вычислены в замкнутой форме. Можно показать аналитически [16], что

Рис. 132. Реальный сферический и аксиальный хроматический коэффициенты аберраций для колоколообразиой модели, связанные с объектом и отнесенные к полуширине d, как функции безразмерного параметра k2d?.

Рис. 132. Реальный сферический и аксиальный хроматический коэффициенты аберраций для колоколообразиой модели, связанные с объектом и отнесенные к полуширине d, как функции безразмерного параметра k2d?.

Вслед-

Вслед-

аналитически [293, 294].аналитически [293, 294].все изотропные внеосевые аберрации могут быть устранены подходящим расположением ограничивающей апертуры. Асимптотические аберрационные коэффициенты также могут быть вычислены

аналитически [293, 294].

аналитически [293, 294].

ствие того что поле является ньютоновским, полиномиальные выражения, аналогичные представленным в разд. 5.4.1, могут быть записаны не только для асимптотических коэффициентов, но и для реальных [295].

Вычислим теперь реальный аксиальный коэффициент хроматической аберрации. Для этого воспользуемся выражением (5.194). Подставляя сюда (4.159), (8.27), (8.30), (8.32), (8.45) и (8.46) и интегрируя по координатам от объекта до изображения, получаем следующий простой результат:

Ссо/<г=л&2г/2/[2(1 + ^2)з/2 sin2 ф0].(8.55)

Коэффициент хроматической аберрации, очевидно, имеет минимум, когда ф0 = л/2, т. е. zo=0 (объект расположен в средней плоскости линзы) для любого фиксированного k2d2. Коэффициент Сео равен нулю как для нулевого, так и для бесконечно большого значения параметра возбуждения. Он имеет максимум, когда k2d2 = 2. Максимум Ссо при zo = 0 составляет 3~3/2л«0,6.

При бесконечном увеличении следует использовать соотно шение (8.33). При этом имеем

Ccooo/d= л^2^2/ [2 (1 + k2d2) з/2 sin2 л/ (1 + &2d2) */2 ]. (8.56)

Зависимость этой величины от безразмерного параметра возбуждения k2d2 показана на рис. 132 вместе с Csooold. Для очень малых параметров возбуждения имеем

^,^—-2^^.(8.57)

Зависимость аналогична случаю сферической аберрации, однако изменения с ростом параметра возбуждения выражены не так резко. Для очень больших k2d2 имеем

CroJd—-^/2л,(8.58)

что вновь аналогично зависимости для коэффициента сферической аберрации, хотя крутизна здесь выше. Минимум составляет (CCOoo/d)min = 0,577 и достигается при k2d2«^ (см. рис. 132). Для практически приемлемых значений \<k2d2<2, величина Ccooo]d изменяется от 0,877 до 0,642. Для минимального фокусного расстояния, которое равно d и достигается при k2d2 = 3, имеем Cco^d = Cc0^lf = 0,589.

Так как фокусное расстояние определено выражением (8.35), получаем выражение для CCQ<»lt, если просто заменим вторую степень синуса на первую в соотношении (8.56). Тогда для очень малых параметров возбуждения получаем постоянный предел

Cc0Jt—1.(8.59)

а для очень больших кМ2 — другой постоянный предел

—(8-60)

что, очевидно, является минимальным значением хроматического коэффициента добротности для этой модели. Верхний предел хроматической аберрации (5.220) дает такое же значение, как (8.59). Это также согласуется с утверждением, котороемы сделали в разд. 5.4.2.2, что коэффициент хроматической абер- 492

рации тонких магнитных линз равен верхнему пределу хроматической аберрации.

Колоколообразная модель может быть также использована для описания асимметричных линз. В этом случае можно считать, что распределение магнитной индукции состоит из двух частей различной полуширины. Можно показать [16], что такая асимметрия выгодна: коэффициенты как сферической, так и хроматической аберрации уменьшаются, если полуширина в пространстве объектов больше, чем в пространстве изображений.

Обобщение колоколообразной модели. Можно обобщить модель Глазера, используя аксиальное распределение магнитной индукции [16]:

B(z)=Bmax/[l+(z//)2]m,(8.61)

где пг — любое число от нуля до бесконечности и / — параметр, имеющий размерность длины. Полуширина d связана с этим параметром соотношением

d=l^m —1)*/2 (8.62)

Если т=0, уравнение (8.61) дает однородное поле и случай соответствует колоколообразной модели (8.25). Поле одиночной петли с током (3.255) соответствует параметрам т = ъ12 и 1 = а. При т-^оо получаем в пределе гауссово распределение

В (z) = Smax exp [- ^d) 2 In 2]. (8.63)

Очевидно, т>1 соответствует большей концентрации поля, чем модель Глазера. Формула (8.63) дает распределение, близкое к случаю ненасыщенной линзы, но, к сожалению, при этом уравнение параксиальных лучей нельзя точно проинтегрировать. В любом случае, даже если необходимы численные вычисления, уравнение (8.61) дает ценную модель для сравнения магнитных линз с разной степенью концентрации поля.

Модель Гриве — Ленца

Для описания ненасыщенных линз было предложено [18, 187] аксиальное распределение магнитной индукции в виде

S(z)=Smax/chz/6.(8.64)

Это более концентрированное распределение, чем то, которое дается функцией (8.25) (см. кривую б, рис. 130). Параметр 6 соответствует аксиальному расстоянию от центра линзы, на

котором магнитная индукция уменьшается в ch 1 = 1,543 раза

по сравнению с Вщах. Полуширина d равна d=6arcch 2 = 1,3176.(8.65)

Уравнение параксиальных лучей (8.2) может быть записано с учетом (4.159) и (8.64) для С = 0 в виде

d2r/dz2 + ^2r/ch2z/6 = 0.(8.66)

Вводя новую переменную u=—th z/6,(8.67)

получаем отсюда, что

(1 — u^d?rldu? — 2udrldu-V-k262r=0.(8.68)

Если теперь обозначить ^262=v(v+l),(8.69)

то решение уравнения (8.68) в исходных координатах есть г (z) = CvP, [— th z/6 + C2Qv (— th z/6),(8.70)

где PN и Qv — полиномы Лежандра 1-го и 2-го рода соответственно. Оно имеет простое полиномиальное выражение, если v — целое число. Если v можно записать в форме v=n+’/2, где п — целое число, то Р^ и Qv могут быть выражены как полные эллиптические интегралы.

Траектории могут пересекать ось несколько раз, и соответственно могут образоваться множественные изображения, как в случае модели Глазера. В приближении тонкой линзы получаем из (4.117), (4.159), (8.1) и (8.64)

М)ш„-2№ (8.71)

Используя (8.65), это выражение можно переписать в виде (rf/f)thin=l,519fe2d2. (8.72)

Сравнивая это уравнение с (8.43), видим, что оптическая сила в приближении тонкой линзы несколько меньше, чем для модели Глазера. Эффективная длина дается (4.164) и (8.72)

Len = l,519d. (8.73)

Реальные коэффициенты сферической и аксиальной хроматической аберраций для этой модели в случае бесконечного увеличения, связанные с объектом и отнесенные к параметру 6, представлены на рис. 133 как функции &262 [187]. Мы видим, что поведение кривых сходно с рис. 132 для модели Глазера, численные значения, однако, различны. Например, если &262 = 1 (&2^2= 1,73), имеем CSOOo/^~0,6 и Ссо«>Л/~0,8 против

Рис. 133. Реальный сферический и аксиальный хроматический коэффициенты аберраций для модели Гриве — Ленца при бесконечном увеличении, связанные с объектом и отнесенные к параметру 6, как функции безразмерного параметра кЧ? [187].

0,4 и 0,7 соответственно для модели Глазера. Другое различие в том, что для очень больших безразмерных параметров ^262 как CSooo/6, так и Ссо<ю!б стремятся к постоянным значениям (*/4 и '/г соответственно).

Другие модели

Можно также решить уравнение параксиальных лучей в замкнутой форме для некоторых других аксиальных распределений магнитной индукции. Для экспоненциального распределения

В^ = Bmaxexp(— zja)(8.74)

решение может быть выражено через функции Бесселя [16]. Для эллиптического распределения

B(2)=Bmax[l- (z/?-!)2]'/2(8.75)

решение может быть записано через параболические цилиндрические функции [186]. В вышеприведенных выражениях а и q — постоянные с размерностью длины.

В случае гиперболического распределения, т. е. если его можно записать в виде

B(z)/Bmax=A/(z — D^,(8.76)

где А и D — постоянные, и точка z=D исключена, решение есть [286]

г (2) = (z — D) ^ {Ci cos [ (А2 — 1/4)1/2 In (1 — гЩ^ ] +

+ С2 sin[ (А2 — 1/4) '/2 in (1 — гЮ) ]}.(8.77)

п-е изображение имеет координату

zin=D{l — ехр[пл(А2 — 1/4)->/2]},(8.78)

а увеличение составляет

|М| = ехр[пл(4А2 — I)-'/2].(8.79)

Строгое рассмотрение (включая аберрации) возможно в случае специального класса распределений магнитной индукции, для которого уравнение параксиальных лучей может быть решено через гипергеометрические функции [193]. Также возможно исследовать вопрос существования классов функций, для которых решение уравнения параксиальных лучей может быть дано в замкнутой форме.

Короткие линзы

Традиционные линзы

Короткие магнитные линзы—это аксиально-симметричные магнитные поля, сконцентрированные в относительно коротком интервале вдоль оси (в сравнении с радиальными размерами возбуждающей катушки и/или магнитной системы). Простейшая короткая магнитная линза состоит из одиночной петли с током. Мы уже обсудили ее свойства в разд. 4.10.2.

Обсуждение колоколообразной модели Глазера показало, что это распределение поля, медленно спадающее при больших значениях аксиальной координаты z, не может дать фокусное расстояние, меньшее чем полуширина поля d. Для достижения более высокой оптической силы распределение магнитной индукции должно быть сильнее концентрировано. Тогда сила линзы будет ограничивать траектории и обеспечит очень короткое фокусное расстояние, так как аксиальная протяженность поля слишком мала, чтобы сформировать множественные изображения. Этого можно достичь использованием ненасыщенных магнитных материалов, которые концентрируют поле в зазоре между полюсами (см. рис. 27). Как мы видели в разд. 3.1.4 для симметричных коротких линз, аксиальное распределение магнитной индукции в основном зависит только от одного параметра — отношения зазор —диаметр $/£). Чтобы избежать насыщения, полюсные наконечники обычно сужают (рис. 28), и угол раствора конуса оптимизируется для каждого заданного значения s/D, но при общем анализе мы вправе считать, что s(D — наиболее важный параметр. Это упрощает конструирование магнитных линз по сравнению с электростатическими [297].

Здесь мы предложим читателю вспомнить материал гл. 3, особенно разд. 3.1.4 и 3.1.5. Оптические свойства магнитных линз невозможно изучать без четкого представления их полей.

В разд. 8.3.5 мы установили, что свойства колоколообразной модели зависят от безразмерного параметра fed. Для того чтобы вычислить этот параметр для используемой на практике линзы, мы должны знать величину Bmaxd, являющуюся функ-

цией параметра линзы s/D и степени насыщения. Введя обобщенную колоколообразную модель (разд. 8.3.5.1), мы предполагаем, что аксиальное распределение магнитной индукции может быть представлено в виде (8.61), т. е. Втах — функция возбуждения, а знаменатель является функцией только геометрии линзы. Это справедливо только для далеких от насыщения линз, а для сильных линз вблизи насыщения все параметры являются функциями возбуждения. (Единственное исключение— если линза является «сильной» за счет использования частиц с низкими энергиями. Тогда значения Втах могут быть малы.)

Чтобы охарактеризовать различные виды линз, удобно ввести безразмерный форм-фактор [16]

^=NHHmd,(8.80)

где NI— число ампер-витков в катушке; d— полуширина аксиального распределения магнитной индукции и

Нт = В тах/р.й(8.81)

B(z)/BmoxB(z)/Bmox0,0 0 51,52,53,50,0 0 51,52,53,5Рис. 134. Аксиальное распределение магнитной индукции в ненасыщенных коротких линзах для различных значений параметра s/D [83].Рис. 134. Аксиальное распределение магнитной индукции в ненасыщенных коротких линзах для различных значений параметра s/D [83].есть интенсивность поля в середине зазора. Зависимость форм-фактора от параметра s/D и степени насыщения можно определить с помощью измерений, либо численных расчетов. Зависимость аксиального распределения магнитной индукции от параметра s/D для ненасыщенных коротких линз показана на рис. 134 [83]. Очевидно, что для заданного значения Втах, чем

B(z)/Bmox

B(z)/Bmox

0,0 0 51,52,53,5

0,0 0 51,52,53,5

Рис. 134. Аксиальное распределение магнитной индукции в ненасыщенных коротких линзах для различных значений параметра s/D [83].

Рис. 134. Аксиальное распределение магнитной индукции в ненасыщенных коротких линзах для различных значений параметра s/D [83].

меньше s/D, тем сильнее сконцентрировано поле. Для очень малых зазоров полуширина не стремится к нулю, но для больших зазоров полуширина является линейной функцией s/D. Хотя число ампер-витков, необходимое для получения данного Вшах, также является функцией s/£) и поэтому зависимость форм-фактора от s/D несколько сложнее, оказывается [298], что форм-фактор все же монотонно уменьшается по мере роста s/D. Для пренебрежимо малых значений s/D имеем £«2,3, для s/D = 3 имеем £«2,0. Похоже поэтому, что чем больше сконцентрировано поле, тем больше форм-фактор. Однако в случае

насыщения по мере роста NI величина Втах остается постоянной, несмотря на рост d, и в результате форм-фактор возрастает. Типичное значение форм-фактора выше 3. Это может быть показано на примере обобщенной колоколообразной модели.

Из (3.233), (8.61), (8.62) и (8.80) имеем после интегрирования

5 = [л/ (2'/™ — 1) ] 1/2Г (/и — 1/2) /Г (т), (8.82) где Г — гамма-функция. Подставляя т=1 и 3Д для модели Глазера и одновитковой линзы соответственно, получаем 5 = л и 5=2,61 соответственно. Переход к пределу /п->-оо дает 5 = = 2,13 для гауссова распределения. Отсюда ясно, что обобщенная колоколообразная модель может быть применена подгонкой параметра т относительно форм-фактора для данной применяемой на практике линзы. Однако, если форм-фактор меньше 2,13, такая подгонка невозможна.

Для модели Гриве — Ленца соотношения (3.233), (8.64), (8.65) и (8.80) дают форм-фактор 2,39, что очень близко к случаю ненасыщенной линзы.

Так как реальные линзы не описываются ньютоновскими полями, реальные кардинальные элементы не могут быть использованы для определения свойств первого порядка при любом увеличении. Значения реальных фокусных расстояний, однако, представляют интерес, так как характеризуют оптическую силу коротких магнитных линз. Реальные фокусные расстояния симметричных ненасыщенных коротких линз представлены на рис. 135 [83] как функции безразмерного параметра k?R2(R = =D[2) для различных значений s[D. Как обычно, оптическая сила увеличивается с ростом возбуждения. При малых возбуждениях фокусное расстояние увеличивается с уменьшением зазора, но при умеренных значениях параметра возбуждения кривые сближаются, а при больших значениях возбуждения различие между фокусными расстояниями для различных значений s/Д очень мало. При бесконечном возбуждении фокусное расстояние достигает минимального значения около 0,2 D. Как следует из рис. 134, если 0,2^з/Д^2, то d(R изменяется в пределах от 0,65 до 2. Рис. 135 демонстрирует, что для &22?2=1 имеем f,R~V Это означает, что ^d изменяется от 1,5 до 0,5 с увеличением отношения зазор — диаметр. Соответствующие значения для модели Глазера есть 2,1 и 1,1. Это существенный выигрыш в оптической силе, особенно для больших зазоров, когда форм-фактор наименьший.

Рис. 136 показывает соответствующие зависимости для асимптотического фокусного расстояния. Для малых возбуждений реальные и асимптотические величины одинаковы, поэтому в начале кривых фокусное расстояние резко уменьшается с ростом возбуждения. При умеренных возбуждениях, однако, асимптотическое фокусное ' расстояние достигает минимума, после которого нарастает при дальнейшем увеличении возбуждения. Минимальное значение тем больше, чем больше зазор, и достигается при наименьших возбуждениях. Если заново

вычислить минимальные фокусные расстояния, чтобы отнести их к полуширине d вместо R, то обнаружим, что соответствующие величины очень близки друг к другу в промежутке 1 и 1,2, т. е. немного больше, чем для колоколообразной модели. Они лежат в интервале l,06<^2d2< 1,45. При больших возбуждениях характер зависимости резко меняется на обратный: здесь наибольшая оптическая сила имеет место при наименьших s/D.

Реальные коэффициенты сферической аберрации, связанные с объектом при бесконечном увеличении и отнесенные к R, изображены на рис. 137 как функции параметра возбуждения k2R2 для различных s/D. Для малых возбуждений сферическая

Рис. 135. Реальные фокусные расстояния ненасыщенных коротких линз в зависимости от параметра возбуждения №R? для различных значений s/D. Фокусное расстояние отнесено к радиусу канала R = D/2 [83].Рис. 135. Реальные фокусные расстояния ненасыщенных коротких линз в зависимости от параметра возбуждения №R? для различных значений s/D. Фокусное расстояние отнесено к радиусу канала R = D/2 [83].Рис. 136. Асимптотические фокусные расстояния ненасыщенных коротких линз в зависимости от параметра возбуждения k^R1 для различных значений s/D. Фокусное расстояние отнесено к радиусу канала R=D/'2. [83].Рис. 136. Асимптотические фокусные расстояния ненасыщенных коротких линз в зависимости от параметра возбуждения k^R1 для различных значений s/D. Фокусное расстояние отнесено к радиусу канала R=D/'2. [83].

Рис. 135. Реальные фокусные расстояния ненасыщенных коротких линз в зависимости от параметра возбуждения №R? для различных значений s/D. Фокусное расстояние отнесено к радиусу канала R = D/2 [83].

Рис. 135. Реальные фокусные расстояния ненасыщенных коротких линз в зависимости от параметра возбуждения №R? для различных значений s/D. Фокусное расстояние отнесено к радиусу канала R = D/2 [83].

Рис. 136. Асимптотические фокусные расстояния ненасыщенных коротких линз в зависимости от параметра возбуждения k^R1 для различных значений s/D. Фокусное расстояние отнесено к радиусу канала R=D/'2. [83].

Рис. 136. Асимптотические фокусные расстояния ненасыщенных коротких линз в зависимости от параметра возбуждения k^R1 для различных значений s/D. Фокусное расстояние отнесено к радиусу канала R=D/'2. [83].

аберрация велика. Она резко уменьшается с ростом возбуждения. Для больших зазоров аберрация намного ниже, чем для малых. Кривые пересекаются приблизительно при k2R2 = 4. При больших возбуждениях сферическая аберрация сильно уменьшается, особенно для малых зазоров. Сравнение с моделью Глазера показывает, что теперь минимум отсутствует. Для &2d2=l имеем 0,83<С$Ооо/с1<1,1 при 0,2<s/£><2. Соответствующее значение для модели Глазера CSOoo/d = 0,736. Сферический коэффициент добротности приближается к наилучшему значению (CSOoo/f)min = 0,33 при бесконечном возбуждении. Это вдвое больше соответствующего предельного значения */б для модели Глазера [формула (8.54)]. Для k2d2=l имеем 0,73<CSOoo/f<l,l для данного интервала отношений зазор — диаметр.

Рис. 138 демонстрирует реальный аксиальный коэффициент

хроматической аберрации, связанный с объектом при бесконечном увеличении и отнесенный к R, как функции параметра возбуждения h^R2 для различных значений s(D. Поведение этой функции аналогично зависимости для сферической аберрации. Для малых возбуждений хроматическая аберрация относительно велика. Она резко уменьшается с ростом возбуждения. Для больших зазоров аберрация ниже, чем для малых. Кривые пересекаются приблизительно при k2R2 = 2. Сравнение с моделью Глазера опять показывает отсутствие минимума. Для &2d2=l видим, что Cco^/d изменяется между 0,86 и 0,8 для 0,2<s)D< <2; для модели Глазера CCOoo/d = 0,877. Хроматический коэффициент добротности приближается к наилучшему значению (Ccooo/f)min = 0,7 при бесконечном возбуждении. Это снова выше предельного значения, равного ‘/г для модели Глазера

Рис. 137. Реальные сферические коэффициенты аберраций ненасыщенных коротких линз при бесконечном увеличении, отнесенные к R=D/2, как функции k2R2 для различных значений s/D [83].Рис. 137. Реальные сферические коэффициенты аберраций ненасыщенных коротких линз при бесконечном увеличении, отнесенные к R=D/2, как функции k2R2 для различных значений s/D [83].Рис. 138. Реальные коэффициенты хроматической аберрации ненасыщенных коротких линз при бесконечном увеличении, отнесенные к R=D/2, как функции k2R2 для различных значений s/D [83].Рис. 138. Реальные коэффициенты хроматической аберрации ненасыщенных коротких линз при бесконечном увеличении, отнесенные к R=D/2, как функции k2R2 для различных значений s/D [83].

Рис. 137. Реальные сферические коэффициенты аберраций ненасыщенных коротких линз при бесконечном увеличении, отнесенные к R=D/2, как функции k2R2 для различных значений s/D [83].

Рис. 137. Реальные сферические коэффициенты аберраций ненасыщенных коротких линз при бесконечном увеличении, отнесенные к R=D/2, как функции k2R2 для различных значений s/D [83].

Рис. 138. Реальные коэффициенты хроматической аберрации ненасыщенных коротких линз при бесконечном увеличении, отнесенные к R=D/2, как функции k2R2 для различных значений s/D [83].

Рис. 138. Реальные коэффициенты хроматической аберрации ненасыщенных коротких линз при бесконечном увеличении, отнесенные к R=D/2, как функции k2R2 для различных значений s/D [83].

[формула (8.60)]. Для &2d2=l имеем CCoooH~0J6 на всем интервале отношений зазор — диаметр. Отметим сходство между кривыми рис. 135 и рис. 138. В самом деле, при низких возбуждениях величина f(R почти такая же, как и Cco=ojR в полном согласии с (8.59). Как мы видели, для более высоких возбуждений хроматический коэффициент добротности уменьшается незначительно: фокусное расстояние и коэффициент хроматической аберрации изменяются одинаковым образом.

Читатель может найти детальные графики и таблицы, описывающие свойства этих линз, в литературе [36, 50, 83, 84, 298—300]. Основной вывод из вышепроведенного обсуждения заключается в том, что свойства традиционных коротких маг-

нитных линз зависят от параметра s]D, конфигурации полюсных наконечников и возбуждения. Их сферические аберрации намного ниже, чем у традиционных электростатических линз. Различие хроматических аберраций не так велико, но магнитные линзы лучше и в этом отношении.

Можно представить оптические свойства первого порядка и аберрации коротких магнитных линз для относительно низких возбуждений в виде универсальных кривых [84, 298, 301, 302]. Эта идея основана на введении соответствующим образом выбранных масштабирующих множителей для параметров возбуждения и оптических свойств.

Действие данной линзы всегда зависит от способа применения. Поэтому сейчас самое время кратко обсудить наиболее важные применения коротких магнитных линз. Существует немало путаницы при классификации коротких линз на различные категории. В электронной микроскопии ситуация, однако, ясна; магнитные линзы имеют три основных применения: как конденсоры, объективы и проекционные линзы.

Конденсор — это линза, которая регулирует интенсивность и расходимость пучка, освещающего объект.

Объективная линза должна давать высококачественное изображение объекта. Дифракция, а также сферическая и аксиальная хроматическая аберрация — наиболее важные факторы, ограничивающие выполнение этой функции. Объективная линза является наиболее важным элементом всего прибора: ее свойства в основном и определяют разрешение, которое в конечном счете может быть достигнуто.

Назначение проекционной линзы — спроецировать с большим увеличением промежуточное изображение, сформированное объективной линзой, в конечную плоскость изображения или перенести изображение в подходящую плоскость с единичным увеличением. Если объектив работает при большом увеличении, аксиальные аберрации проекционной линзы пренебрежимо малы благодаря соотношению Гельмгольца — Лагранжа (4.65). С другой стороны, так как для проекционной линзы в качестве объектов могут использоваться сравнительно протяженные изображения, внеосевые аберрации играют важную роль в их конструировании.

Путаница обычно связана с системами уменьшения размеров зонда. В увеличивающих системах образец глубоко погружен в магнитное поле объективной линзы, в то время как в зондирующих устройствах он всегда располагается за пределами поля. Поэтому объективная линза зондирующего устройства иногда называется проекционной линзой. Кроме того, реальные асимптотические свойства еще называют «объективными» и «проекционными» свойствами соответственно (см.

разд. 4.6). Поэтому следует быть очень внимательным в использовании рекомендаций из некоторых статей по конструированию объективных и проекционных линз. Мы всегда должны рассматривать непосредственные требования для данного применения.

«Оптимальные» конструкции для объективных и проекционных линз были рассмотрены несколькими авторами [84, 303— 305]. Однако следует понимать, что параметры возбуждения и геометрия, при которых достигают минимума фокусные расстояния, сферическая и хроматическая аберрации, совершенно различны. Поэтому «оптимальное» конструирование подразумевает некоторые дополнения к обычным практическим требованиям. Например, если коэффициенты аберраций нормированы относительно минимально возможного асимптотического фокусного расстояния, они имеют минимальное значение для каждого фиксированного отношения s^D при определенном оптимальном возбуждении. Это минимальное значение уменьшается по мере роста отношения s]D [84]. Поэтому в общем линзы с высокими значениями s{D имеют относительно низкие аберрации. Если, однако, рассмотреть сферическую аберрацию при таких возбуждениях, когда хроматическая аберрация имеет минимум, то увидим [300], что коэффициент сферической аберрации круто возрастает с увеличением отношения sfD. То же самое происходит, если попытаться начать с минимума коэффициента сферической аберрации: для минимума сферической аберрации коэффициент хроматической аберрации приблизительно на 30% выше, чем наименьший достижимый. Обе аберрации достигают своих минимумов при различных значениях возбуждения, поэтому «оптимальная» геометрия всегда должна пониматься в ограниченном смысле. Правильный выбор параметров возбуждения линзы и максимального значения магнитной индукции более важен, чем выбор отношения sJD.

Факторы насыщения ферромагнитных материалов ограничивают возможные сочетания геометрии линзы и возбуждения. Это ограничение определяет минимальные значения фокусного расстояния и аберраций.

Хотелось бы отметить, что для достижения минимальной сферической аберрации необходимо располагать образец вблизи центра зазора. Это может быть использовано в однополевой линзе типа объектив — конденсор, в которой первая половина поля работает как конденсорная линза, в то время как вторая половина действует как объектив [88].

До сих пор подробно обсуждались только симметричные линзы с одним зазором. Короткие магнитные линзы, однако, могут иметь совершенно асимметричные полюса [306, 309], и 502

число зазоров, конечно, тоже не ограничено [310]. Так как на максимальную магнитную индукцию асимметрия, вызванная, например, различием внутренних диаметров полюсных наконечников, влияет слабо и свойства первого порядка в основном зависят от Вшах, можно изменять форму полюсных наконечников без значительного влияния на фокусирующие свойства. Такие асимметричные линзы можно использовать для удаления образцов из областей максимального поля. Линзы с двумя зазорами предназначены для устранения поворота изображения.

Магнитные линзы с постоянными магнитами могут быть также использованы для фокусировки пучков заряженных частиц. Очевидно, преимущество заключается в отсутствии источников питания для обеспечения возбуждения. С другой стороны, трудность регулировки фокусных расстояний является здесь определенным недостатком.

Практическое проектирование магнитных линз — дело довольно сложное из-за сложности расчета магнитных систем. Интересующийся читатель может обратиться к исчерпывающей работе Рикке [88] для более детального ознакомления. Дополнительный материал может быть найден в обширной литературе [50, 84, 87, НО, 123, 141, 297, 298]. Нам бы хотелось обратить особое внимание читателя на библиографию приблизительно тысячи публикаций по свойствам магнитных линз, составленную Хоуксом [50]. В ней приведено огромное количество работ, выполненных в этой области.

Нетрадиционные линзы

Прежде чем закончить эту главу, хотелось бы дать краткий обзор некоторых недавних работ по магнитным линзам [94, 311].

Сверхпроводящие линзы. Современные электронные микроскопы и аналитические приборы должны давать большой объем информации об объекте. Поэтому необходимо разместить относительно большое число устройств вблизи объективной линзы. Это требует уменьшения физических размеров линзы. Поэтому необходимо уменьшить намагничивающую катушку, сохраняя число ампер-витков. Эта проблема может быть решена использованием сверхпроводящих катушек [312, 313]. Размер магнитной катушки, а следовательно, и размеры магнитной системы таким образом могут быть сильно уменьшены. В катушке может быть достигнута плотность тока 100А/мм2. За это мы платим тем, что проводники должны поддерживаться при температуре жидкого гелия, хотя последние достиже-

ния в сверхпроводимости могут сделать это утверждение устаревшим. В результате действительные размеры всего устройства не могут быть сильно уменьшены. К тому же насыщение препятствует уменьшению размеров линзы.

Однако существуют побочные эффекты, которые могут быть с пользой применены к сверхпроводящим линзам [88]. Охлажденные стенки вакуумной камеры значительно улучшают вакуум и эффективно защищают от паразитных переменных магнитных полей, возрастает защищенность образца от радиационного разрушения, сильно уменьшается термический дрейф образца и т. д. Поэтому практическое применение сверхпроводящих линз имеет многообещающее будущее.

. Уменьшение размера катушек другими способами. Трудности практической реализации сверхпроводящих линз стимулируют исследователей к поиску других способов уменьшения размеров возбуждающих катушек. Один из вариантов —■ повысить эффективность обычной охлаждающей системы. Таким образом может быть достигнута плотность тока 50 А/мм2. Для повышения плотности компоновки и теплопроводности катушек была предложена обмотка, сделанная из тонкой медной ленты. В этих экспериментах получены плотности токов до 200 А/мм2 [94].

. Магнитные линзы без поворота изображения. Угол поворота изображения в магнитной линзе дается выражением (4.60). Для случая поворота асимптотического изображения можно подставить (3.233), что дает

az — ao = =Fpo^7{-Q/[8m0(t/- ^оМ}1/2, (8.83) где отрицательный знак соответствует положительному заряду частицы и обратно. Мы видим, что угол поворота асимптотического изображения не зависит от распределения магнитного поля.

Поворот изображения вносит значительные неудобства в электронной микроскопии по двум причинам. Во-первых, вследствие зависимости от тока, т. е. от оптической силы линзы, угол поворота изображения будет изменяться в зависимости от увеличения. Это делает затруднительной идентификацию деталей изображения при больших увеличениях. Во-вторых, в соответствии с (5.229) анизотропный коэффициент хроматической аберрации пропорционален углу поворота изображения. Поэтому было бы хорошо, если бы поворота вообще не было.

Мы видели в разд. 8.1, что не вызывающая поворота изображения линза может быть легко сформирована двумя одинаковыми коаксиальными катушками с равными, но противо- 504

положно направленными токами. Однако из-за конечного размера катушек практическая реализация таких линз была затруднительной, пока не появились миниатюрные линзы. Магнитная система такой линзы сделана из цельного куска железа, и система водяного охлаждения оптимизирована для обеспечения минимально возможных размеров [94]. Размер магнитной системы может быть также уменьшен использованием специальных анизотропных магнитных материалов [313].

Магнитные линзы, не содержащие железных частей. Серьезный недостаток магнитных линз состоит в том, что магнитная система занимает значительный объем. Было показано [314], что миниатюрный соленоид диаметром всего две трети диаметра полюсных наконечников (т. е. несколько миллиметров) и длиной несколько сантиметров может иметь такие же свойства в первом порядке, как и значительно большая обычная линза с железным кожухом. Очень высокие плотности тока (80 А/мм2) могут быть достигнуты использованием полого, охлаждаемого водой проводника. Такие линзы представляют физическую реализацию модели эквивалентного соленоида (см. разд. 3.1.4). Однако надо иметь в виду, что такие линзы являются существенно длинными, и поэтому их сферическая аберрация относительно велика.

Характеристики соленоидальной «мини-линзы» могут быть улучшены созданием обмотки в форме широкого конуса [84]. В пределе коническая линза вырождается в плоскую линзу, чье поле дается выражением (3.271). Мы видели в разд. 3.1.5.6, что плоская катушка всегда дает больший максимум магнитной индукции, чем соленоид. Вдобавок ее поле сильнее сконцентрировано. Поэтому можно ожидать, что плоская линза имеет очень хорошие оптические свойства. В самом деле, ее фокусное расстояние может быть очень коротким, и коэффициент сферической аберрации очень малым. Кроме этого, в этих линзах может быть достигнута плотность тока до 100 А/мм2. Действительно, плоские линзы с большим отношением внутреннего и внешнего ди-.г

аметров имеют более низкий коэффициент сферической аберрации, чем любые другие магнитные лин-М

зы [94].Ж

Однополюсные линзы.'TL Z

Если мы добавим к плоской линзе железную пластину с отверстиемЖ

для прохождения частиц, то полу-йшэ

чим однополюсную магнитную Рнс. 139. Однополюсная линза.

линзу. Поле такой линзы может быть описано экспоненциальной моделью, рассмотренной в разд. 8.3.7. Однополюсная линза может иметь практически любую форму обмотки (рис. 139). Такие линзы по крайней мере так же эффективны, как обычные линзы, при создании высоко концентрированных магнитных полей. Они представляют многообещающее направление будущего развития магнитных линз [94, 311].

Заключение

Эта глава представляет собой краткий обзор основных свойств магнитных линз. Мы начали с главных соотношений и затем сжато рассмотрели длинные линзы. Сравнительно подробно описаны различные модели магнитных линз, причем особое внимание уделено колоколообразной модели Глазера. В некоторых деталях обсуждены короткие и различные нетрадиционные линзы.

ОПТИМИЗАЦИЯ И СИНТЕЗ

ЭЛЕКТРОННЫХ И ИОННЫХ ЛИНЗ С ПОМОЩЬЮ КОМПЬЮТЕРА

Желание иметь электронные и ионные оптические системы с наперед заданными свойствами и столь малыми аберрациями, насколько это возможно, так же старо, как и сама электронная и ионная оптика. Как мы видели в предыдущих главах, аберрации являются фундаментальными ограничениями при создании любой лучевой оптики. Уменьшение аберраций особенно актуально для ионных пучков. Их необходимо фокусировать электростатическими линзами, которые должны обеспечивать независимость отклонения частиц от их отношения заряда к массе. Как мы знаем, аберрации стандартных электростатических линз намного выше, чем у магнитных линз. Следовательно, разрешающая способность ионных зондов всегда ограничивается аберрациями. Кроме того, уменьшение аберраций магнитных линз также желательно для улучшения работы электронных микроскопов, электронных зондовых приборов и т. п.

Компенсировать аберрации можно, используя’дополнительные заряды, неоднородности поля, переменные поля или различные типы симметрии. Этот подход обсуждался в разд. 5.6. Поскольку компенсация приводит к чрезмерному усложнению систем, наш взгляд на эту проблему заключается в том, что необходима не компенсация, а поиск таких оптических элементов и систем, которые сами будут обеспечивать требуемые свойства при минимальных аберрациях. Синтез таких систем и является предметом настоящей главы.

Кроме того, так как множество областей применения требует различных конструкторских решений, недостаточно составить каталог свойств нескольких простых линз, но крайне необходим общий метод конструирования. Процедуру синтеза, представленную в разд. 9.10, можно рассматривать как реализацию такого метода.

Возможно ли устранение аберраций в электронной и ионной оптике?

Теорема Шерцера (разд. 5.2.1.3) устанавливает, что ни коэффициенты сферической, ни осевой хроматической аберраций не могут быть отрицательными величинами. Но могут ли

они быть равными нулю? Об этом теорема не говорит ничего. Этот вопрос подымается часто и вызывает много дискуссий.

Очевидно (см. разд. 5.7.4), что любая электронно-ионная оптическая система всегда может быть уменьшена до сколь угодно малых размеров. В соответствии с этим, если не задаться практическими ограничениями, предел аберраций даже самых плохих линз всегда равен нулю. Совсем другое дело установить нижние пределы для нескольких безразмерных коэффициентов добротности или коэффициентов аберрации исходя из соображений практической реализуемости.

Интересно, что по этому вопросу нет полного согласия. Некоторые советские ученые [315, 316] утверждают, что нижний предел сферической аберрации всегда равен нулю. С другой стороны, теоретическое рассмотрение этого вопроса на основе методов вариационного исчисления определенно показало, что ненулевой нижний предел существует как ' для сферической, так и для осевой хроматической аберрации. Мы обратимся к этим пределам в разд. 9.1.1 и 9.4.1.

Оставим пока теорию и попытаемся найти поля, при которых аберрации принимают нулевые значения, просто приравнивая нулю подынтегральные выражения коэффициентов аберрации или членов третьего порядка разложения траектории в ряд Тейлора. Так как коэффициенты аберрации проще для магнитных линз, сведем к ним наше рассмотрение. Приравнивая подынтегральное выражение уравнения (5.135) к нулю, получим простое дифференциальное уравнение для B(z). Решение этого уравнения дает распределение магнитной индукции при нулевой сферической аберрации [317]. При этом, однако, оказывается, что объект необходимо поместить в поле и фокусирующее действие не может уменьшить наклон лучей более чем на 5%. Такая линза не обладает достаточной силой, чтобы сформировать действительное изображение на приемлемом расстоянии. Изображение практически всегда мнимое. Это также было показано [318] для любой линзы, электростатической или магнитной, которая имеет нулевую сферическую аберрацию. Однако такая попытка позволила прийти к важному заключению, что магнитное поле, выпуклое в направлении оси, всегда дает относительно малую сферическую аберрацию (см. разд. 8.2.3).

Можно попытаться найти более общий подход к этой проблеме. Повторим вывод уравнения параксиальных лучей (4.311, данный в разд. 4.3, но теперь сохраним члены вплоть до третьего порядка малости. Для простоты предположим, что С=0, т. е. будем учитывать только изотропные аберрации. Тогда получим для магнитных линз следующее уравнение траектории третьего порядка:

г" = {Q/[8m0(U - По)rei]} {г В2 (2) - г3В (г)В" (г)/2 - — г2г'В (z) В' (z) + rr'2B2 (z) —

-Qr3B4z)![8molU-UMV (9.1) Если пренебречь членами третьего порядка, получим уравнение параксиальных лучей (8.2). Для того чтобы получить линзы, свободные от аберраций третьего порядка, мы должны потребовать, чтобы сумма всех членов третьего порядка была равна нулю. Разделив на r3B(z), используя уравнение (8.2) и взяв полную производную, придем к [319]

[r'B(z)/r+B'(2)/2]=0,(9.2)

аг

решение которого есть r,= [K-B/(z)]r/2B(z).(9.3)

где К — произвольная постоянная. Дифференцируя это выражение по z и используя снова уравнение (8.2), окончательно получим следующее дифференциальное уравнение: QB^ (z) /[2m0 (U — ^о) rei] +2В (z) В" (z) —

— ЗВ/2 (z) + 4 KB' (z) — К2 = 0.(9.4)

В этом уравнении нет ни г, ни его производных: его решение сразу же дает такое распределение индукции, при котором: аберрации исчезают. Предполагая, что постоянная К — действительная величина, можно решить это уравнение численно и восстановить распределение, при котором исчезают аберрации.

В простейшем случае К = 0. Тогда решением уравнения (9.4) является гиперболическое распределение [319]

В (г) = [- 2т0 (U - [/о) rei/Q],/2/ (6 - z),(9.5)

где b — произвольная постоянная. Подставляя это выражение в уравнение (8.2), мы получим r"=—rl[4(b — z)2],(9.6)

решением которого является r^c^b — zyf2,(9.7)

где п — произвольная постоянная. Уравнения (9.5) и (9.7) дают

B(z)=c2/r2,(9.8)

что также следует из уравнения (9.3) (с2 — другая произвольная постоянная). Из этих выражений мы видим, что параллельный пучок лучей попадает в фокус на оси при z = b, где-

индукция бесконечно велика. Естественно, на практике это условие нереализуемо.

Мы провели численные расчеты для различных значений постоянной К. В результате мы всегда получали неимоверный рост индукции с координатой z. .

Таким образом, практический ответ на вопрос, поставленный в заглавие этого раздела, к сожалению, отрицателен. Хотя теоретически и возможно записать математические выражения для осевого распределения индукции, которые приводят к оптике без аберраций, но реализовать такие распределения практически невозможно. Следовательно, необходимо направить усилия на уменьшение аберраций до их практически возможных значений. Этот вывод в той же мере применим и для электростатических линз. В то же время, однако, было бы интересно исследовать структуру уравнения (9.4) более подробно. Мы предположили [268], что распределение поля, обеспечивающее минимум аберраций, должно удовлетворять некоторому специальному дифференциальному уравнению. Это неиз- ъестное уравнение должно иметь вид, близкий к уравнению (9-4).

.1.1. Нижний предел осевой хроматической аберрации магнитных линз

Для магнитных линз нижний предел осевой хроматической аберрации можно установить элементарно [320]. Начнем с коэффициента аберрации вида (5.216), который может быть переписан с помощью уравнений (4.65) и (5.42) в виде

1/М11/|М|

Ссо = — J hdh'= ^hdh' + S hdh'.(9.9)

оо

Уравнения (4.159) и (8.2) дают

— h"lh = ~h'dh'lhdh^,(9.10)

тогда имеем

-^ (^27z2 +Az2) ^0,(9.11)

решение которого есть [ (1—h'2yi2для h' > 0,

(M~2-h'2y/2 для h' < 0.(9"12)

Используя эти неравенства для уравнения (9.9) и выполнив интегрирование, окончательно получим

А(Ссо)т1п=(л/4)(1+М-2).(9.13)

Для бесконечного увеличения имеем просто л/4, что в точности равно половине величины для однородного магнитного поля. Уравнение (9.13) соответствует уравнению (8.56) для модели Глазера. Интересно отметить, что коэффициент хроматической аберрации для этой модели весьма близок к нижнему пределу. Для интервала 0,6<&2d2<2,5 относительное различие не превышает 20%. Например, при hd=\ имеем CCOoo/d=0,877 и уравнение (9.13) дает jCco=o)min/d = л/4 = 0,785.

Это важный результат. Мы видим, что коэффициент осевой хроматической аберрации имеет реальный предел (по крайней мере, для магнитных линз), ниже которого его величина не может быть уменьшена ни при каких обстоятельствах. Это подтверждает наше предварительное заключение о необходимости уменьшения аберраций до практически реализуемых минимальных величин.

Оптимизация: синтез против анализа

Неудача при попытке получить линзы, свободные от аберраций, имеет далеко идущие последствия. Эта ситуация привела Д. Габора к открытию голографии. Он отчаялся улучшить разрешающую способность электронного микроскопа. И поскольку аберрации линз устранить нельзя, он стал думать об устранении самих линз. Результат хорошо известен.

Другие исследователи подошли к проблеме более консервативно, пытаясь оптимизировать свойства электронных линз, т. е. искать такие линзы, которые обеспечат требуемые свойства первого порядка с минимумом аберраций, без дополнительных корректирующих элементов. Отметим, что это определение имеет весьма общий характер. Фактически всякое качественное конструирование есть процесс оптимизации (в большинстве случаев он нацелен на минимизацию отношения затрат к выполненной работе).

Существуют два совершенно различных подхода к оптимизации: анализ и синтез.

Метод анализа — это метод проб и ошибок. Конструктор начинает с определенного набора заданных элементов (электродов и полюсных наконечников) и пытается улучшить их работу, анализируя оптические свойства и варьируя геометрические размеры, так же как и электрические и магнитные параметры системы (т. е. возбуждение и расстояния между элементами, иногда даже заменяя некоторые элементы другими), до тех пор, пока система не начнет работать удовлетворительно. Вследствие неограниченного числа возможных конфигураций эта процедура чрезвычайно медленная и утомительная. Она может дать быстрый и надежный результат, если удалось уга-

дать приемлемый вариант конструкции до начала работ. Итерации могут быть автоматизированы с помощью, например, сходящегося метода наименьших квадратов [96]. Гл. 7 и 8 по существу посвящены только анализу. Это классический метод конструирования электронных линз.

В этой главе будем обсуждать синтез. Оптимизация посредством синтеза всегда была одной из наиболее престижных целей электронной и ионной оптики. Этот подход основан на том факте, что всякое поле, создающее изображение, его свойства первого порядка и аберрации всегда в итоге определяются несколькими осевыми функциями (в случае осевой симметрии— осевым потенциалом и распределением индукции). Толь-' ко эти распределения и их производные входят в уравнение параксиальных лучей и в выражения для коэффициентов аберрации. Тогда вместо анализа огромного количества конфигураций и полюсных наконечников можно выбрать критерии, определяющие требуемую систему, в качестве начальных условий и попытаться найти такое распределение поля, создающего изображение, которое будет их реализовать. Конечной задачей является синтез реальных конфигураций электродов и полюсных наконечников, которые создают такое распределение поля.

Это задача повышенной сложности. Мы должны определить неизвестные функции U (z), В (г) и г (г) так, чтобы они минимизировали несколько интегралов аберраций одновременно, и в то же время эти функции должны удовлетворять дополнительным требованиям. Одно из таких требований сформулировано в виде дифференциального уравнения (уравнение параксиальных лучей).

Отметим, что иногда термин «синтез» используется как альтернатива так называемым «инверсным проблемам» электронной оптики, т. е. поиску распределений поля, создающих заданные траектории [23]. Однако в большинстве практически интересных случаев мы интересуемся только конечными размерами пятна на мишени или общей формой пучка, но не отдельными траекториями.

Рассмотрим простой пример идеальной квадрупольной линзы (разд. 3.1.3.3) в качестве иллюстрации различия между подходами анализа и синтеза. Поскольку идеальный квадруполь состоит из четырех бесконечных гиперболических поверхностей, но бесконечные поверхности на практике реализовать невозможно, у нас есть два выхода. Аналитический подход состоит в том, чтобы компенсировать недостающую часть гиперболических поверхностей изменением формы остающихся электродов. Синтетический подход считает исходным идеальное распределение поля и пытается воспроизвести его, выделяя наиболее важные особенности квадруполя, т. е. существование

двух взаимно перпендикулярных плоскостей симметрии. Тогда легко получить решение: использовать множество простых электродов, поддерживающих нужным образом выбранный потенциал, вместо четырех электродов, форма которых подверглась серьезным изменениям. (Этот многоэлектродный подход также может быть использован для оптимизации конструкции линз с осевой симметрией [320а, 320b].)

В следующих разделах мы предпримем атаку на проблему уменьшения аберраций, используя метод синтеза.

Первые попытки синтеза

Уже в первое десятилетие электронной оптики многими исследователями предпринимались попытки синтеза электронных линз с минимальными аберрациями. Начнем с краткого обзора первых работ в этом направлении [9, 160, 321].

Эту работу начали с поиска тонких линз с минимальной сферической аберрацией. Поскольку на тонкие линзы накладываются очень серьезные ограничения, то эти результаты имеют только исторический интерес.

Лучшее из найденных распределений потенциала для слабой однопотенциальной линзы есть

[/(г^У^Ц-Л ехр(—Dz2)],(9.14)

где Vi — постоянный потенциал с обеих сторон линзы, а Л и D — постоянные, которые должны быть определены из нескольких предварительно заданных величин, например, фокусного расстояния и расстояния между главными плоскостями.

Наилучшее распределение для слабой иммерсионной линзы дается выражением [323]

[/'(г) =Л ехр(—Dz2),'(9.15)

а оптимальная тонкая магнитная линза определяется распределением Гаусса

В (г) = Вшах ехр(—Вг2).(9.16)

Кроме того, было показано [324], что тонкая магнитная линза, имеющая острый пик вблизи центра, обладает очень маленькой сферической аберрацией. Как мы знаем, такая линза не может быть реализована на практике.

Естественно, реальной проблемой является уменьшение аберраций толстых линз. Было показано [325], что для минимизации сферической аберрации объект должен быть расположен вблизи максимума поля. Важность соответствующего метода для реконструкции электродов и подходящего выбора коэффициентов добротности, с помощью которых можно про-

водить сравнение различных линз, была признана достаточнодавно. Обычно требовалось, чтобы фокусные расстояния и толщины сравниваемых линз были идентичны. Трудности в определении толщины линзы приводили к разным результатам при сравнении в зависимости от способа определения толщины [236, 326].

Электростатические линзы с гиперболическими электродами уже исследовались [160, 200] с целью уменьшения сферической аберрации, но первая реальная попытка синтеза толстых линз была предпринята в 1952 г. Касьянковым [327]. Он вывел систему нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка, решение которой должно минимизировать ' некоторые интегралы аберраций. К сожалению, как начальные условия, так и практические методы численного решения этих уравнений остаются неясными.

Первые-попытки оптимизации не ограничивались осевой симметрией. В 1953 г. Берфут [328] вычислил формы электродов очень сложной квадрупольно-октупольной линзы, для которой корректируется сферическая аберрация.

Вариационное исчисление

Коэффициенты геометрической и хроматической аберраций выражаются определенными интегралами вида гг

A-^F^dz,(9.17)

го

где F (z)—весьма сложная функция координаты z, определенная на классе функций, таких, как распределение осевого потенциала или индукции, их производных и двух линейно-независимых решений уравнения параксиальных лучей. Цель оптимизации — найти вид этих неизвестных функций, при котором интеграл А был бы минимальным. Точно такая же цель стоит и перед вариационным исчислением. Следовательно, вполне естественно попытаться использовать эту область математики для решения нашей проблемы.

Трудность заключается в том, что решение уравнения параксиальных лучей зависит от тех же неизвестных распределений полей, что и само подынтегральное выражение; следовательно, этот интеграл является очень усложненным функционалом. Все же эта проблема может быть решена с помощью следующей процедуры.-

Во-первых, определим множитель Лагранжа p.(z) так, чтобы

zt

бП/Чг)+|1(гШг)рЫ,(9.18)

где 6 означает первую вариацию этого интеграла, a )(г) — приравненное к нулю уравнение параксиальных лучей, т. е. левую часть уравнения (7.1) для электростатических полей и

/(z) —г"—г = 0(9-19)

для магнитных полей при С=0 [из уравнения (8.2)]. Отметим, что по определению f(2)=0 для таких распределений полей и траекторий, которые удовлетворяют уравнению параксиальных лучей. Для реальных коэффициентов сферической и хроматической аберраций можно записать

F(2)=F[ft(z), ft'(2), V(2), УДг), У"(г)].(9.20)

Тогда имеем

f(z)=f[ft(2), ft'(2), ft" (2), V(z), V'(2), У"(2)]=0,

(9.21)

где ft (г)—решение уравнения параксиальных лучей, определенное начальными условиями уравнения (5.42), а V(г) равно 77(z) или В (г) для электростатического и магнитного полей соответственно. Реальные выражения для магнитных полей существенно проще, чем для электростатических.

Множитель Лагранжа является функцией 2, так как требования, задаваемые видом /(г), должны удовлетворяться всегда. Теперь выполним вариацию подынтегрального выражения. В результате получим

«о

+ p,6ft" + (з^+н -др 6V+ (^-+М'-^г) 6У' +

+ (^ + ^)S^p* = °. (9.22)

где учитывалось соотношение

аЦдН"=\.(9.23)

Интегрируя по частям с использованием формул

$ у du'—у и' — $ у'du,(9.24)

$ ydu"=уи" — у'и' + $ у"du,(9.25)

мы избавимся от вариаций ft', ft", V' и V". Теперь, приравнивая члены, содержащие 6ft и бV, мы выведем дифференциальные уравнения

dh "r ^ dh + ^ dz (w + l4, Hv) ~0’<9,26^

соответственно. Остатки, получившиеся от интегрирования по частям, также должны быть приравнены к нулю:

/ ( др df Д с« ,<-«, .

Цд^+^дГ-11 У +

, Г dFdfd / dF . df , / dF . df \KV,Vi

+ [ ЭУ +H gy dz \dIZ" dV" ) J 6^ + ( dV" + ^ №j6^ J z0 ~ °'

(9.28)

Уравнения (9.21), (9.26) и (9.27) образуют систему трех связанных дифференциальных уравнений высокого порядка, которые определяют неизвестные функции У(г), /1(2) и р(г), с граничными условиями, определяемыми ограничениями и сформулированными с помощью уравнений (9.28). Поскольку эти граничные условия могут быть заданы в разных (даже заранее неизвестных) точках, то дифференциальные уравнения обычно имеют весьма сложный вид и необходимы специальные численные методы для их решения.

Уравнения (9.26) и (9.27) являются нелинейными уравнениями Эйлера — Лагранжа — Пуассона вариационного исчисления. Отметим их сходство с уравнением Эйлера (5.4), которое было выведено из общих вариационных принципов Ферма и Гамильтона.

Для магнитных полей (У=В) коэффициент сферической аберрации может быть записан в виде уравнения (5.132) с произвольными постоянными, выбранными таким образом, чтобы выполнялось условие dF/dB" = 0. То же справедливо для коэффициента осевой хроматической аберрации [уравнение (5.194)]. Уравнения (8.1) и (9.19) дают

df ■ QB^h^

dh —дВ 4т» (U — 1/0)геГ

dh* ~ dB' ~ dB" — U-

Подставляя эти выражения в уравнения (9.26) — (9.28), получим

h’+TWh+S—(9-30>

dF d f dp \ QB (z)ь„_п/О Я1Л

"dB dz\dB') AmolU — Ug^a^--0''

V^-(9.32)

К счастью, в этом случае все эти дифференциальные уравнения всего лишь второго порядка. Моузес [329] нашел эффективный путь решения этой системы дифференциальных уравнений при заданных ограничениях и конечных условиях, даже если минимизироваться должна комбинация аберраций. Он применил этот метод для определения распределений магнитного поля с исчезающе малой комой и минимизированной сферической аберрацией так же, как и для магнитных квадрупольных систем с минимальной апертурой [330] и хроматическими [331] аберрациями и для квадрупольно-октупольных корректоров с минимальными полями [332]. Выведен [333] ряд распределений магнитного поля с минимальной сферической аберрацией для случая, когда в пространстве объектов поле отсутствует. Было найдено, что для круглых линз лучше использовать асимметричные распределения полей, крутизна которых выше в пространстве объектов, чем в пространстве изображений.

Следующей проблемой является реконструкция реальных полюсных наконечников, создающих эти оптимальные поля (см. разд. 9.8). В работе Моузеса это было сделано в основном интуитивно.

Для электростатических линз ситуация менее благоприятна. Уравнения Эйлера — Лагранжа — Пуассона являются нелинейными дифференциальными уравнениями четвертого порядка с чрезвычайно сложными граничными условиями. Сложность этих условий увеличивается с числом дополнительных требований. Такие системы уравнений практически не поддаются численному решению. Для синтеза электронных и ионных линз необходимо разрабатывать более простые методы.

Третнер [334] уменьшил число уравнений и производных с помощью ряда преобразований. Такое упрощение возможно для некоторых специальных случаев, но в общем его выполнить очень трудно. Поэтому этот метод реально используется только для поиска нижних пределов коэффициентов сферической и хроматической аберраций электростатических и магнитных линз, однако вопрос о том, как достигнуть этих пределов, остается открытым.

Нижние пределы коэффициентовсферической и осевой хроматической аберраций

Установлены следующие пределы сферической и осевой хроматической аберраций [181, 334].

Для магнитных линз нижний предел коэффициента осевой хроматической аберрации дается уравнением (9.13). Аналогично для сферической аберрации имеем

fc(Cso)min = 0,33(l+M-4), (9.33)

где к — обратный диаметр витка, который частица описывает в однородном магнитном поле с индукцией Втах. Его можно определить из уравнений (2.143) и (4.159).

Для модели Глазера коэффициент сферической аберрации снова весьма близок к нижнему пределу, но только при сильном возбуждении. Для интервала 2<&2d2<4,5 относительное различие не превышает 40%. Например, при k2d2 = 2 имеем CSOoo/d = 0,370 и уравнение (9.33) дает (CSOoo)min/d = 0,233. Для плоской линзы (разд. 8.4.2.4) минимум коэффициента сферической аберрации очень близок к этому пределу. Это магнитная линза с наименьшей из известных сферической аберрацией, но ее хроматическая аберрация заметно выше, чем у линзы с железными полюсными наконечниками [84]. Следовательно, можно сделать вывод, что не существует таких линз, которые превосходили бы все другие линзы по всем параметрам одновременно.

Для электростатических линз минимальные значения относят к величине

Lg= [Щхо) - [/о]/1 U' ^ [max(9.34)

(см. разд. 5.7.4). Имеем

(^/£^ = 0,23(1+М-4[(/(20) — UoXIVU^ -^о]}

(9.35)

для сферической аберрации и

(С„/Д,)т!п~2,8{([/тах- U0)l[U(zo) - [/о]}-*/6 +

+2,8М-2(([/тах- [/0)/[[/(2.) - Е/о] }-1/в(9.36)

для хроматической аберрации. Последнее соотношение является хорошим приближением, если отношение максимального потенциала к потенциалу объекта не превышает 100.

Сравнение этих пределов с данными табл. И показывает, как много сделано, чтобы подойти к теоретически возможному минимальному значению коэффициентов аберрации для электростатических линз. Однако мы должны отметить, что эти предельные значения были выведены для случая, когда объект

находится в зоне действия поля, а минимальные значения могут быть получены только для нулевой отклоняющей способности [334]. Третнер рекомендует асимметричное распределение при сильном замедляющем поле позади плоскости объекта с последующим ускоряющим полем. При этом максимум поля находится вблизи объекта.

Уравнения (9.13) и (9.33) — (9.36) устанавливают соотношения между минимальными значениями коэффициентов аберрации, с одной стороны, и геометрией линзы и возбуждением — с другой. Очевидно, эти минимальные значения должны поддерживаться максимально допустимыми полями. Вот почему третнеровские коэффициенты добротности задуманы так, чтобы минимизировалось произведение коэффициента аберрации и максимума поля. Для большинства приложений в таком применении есть очень много смысла, но, как мы видели в разд. 5.7.4, универсальных коэффициентов добротности не существует. В частности, они не несут никакой информации о соотношении между коэффициентами аберрации и оптической силой линзы. Поэтому в последующем изложении. будут по- прежнему использоваться предпочтительные коэффициенты добротности для оптимизации линз, подразумевая, что наши методы равно применимы для любых других коэффициентов добротности, включая третнеровские. Кроме того, мы полагаем, что для поиска линз, которые ближе к этим пределам, чем остальные, необходимо выполнить дополнительные исследования. Очевидно, наибольший интерес представляет поиск линз, которые были бы как можно ближе к этим пределам как для сферической, так и для хроматической аберраций.

Интересно отметить, что предельные величины для электростатических и магнитных линз фактически весьма близки друг к другу, особенно для сферической аберрации. По крайней мере это очевидно для правых сторон уравнений (9.33) и (9.35), если мы рассматриваем однопотенциальные линзы. Правая часть уравнения (9.36) имеет значение между 2 и 2,5 для практически используемых полей и бесконечного увеличения, что всего в 2,5—3 раза выше, чем правая часть уравнения (9.13). Теперь исследуем левые части этих уравнений. Аберрации магнитных и электростатических линз отнесены к величинам 1/^ и Lg соответственно. Поскольку максимум электростатического поля находится вблизи | C^'(z) |тах=15 кВ/мм, из уравнения (9.34) имеем

(Lg)min = 6,67.10-8[[/(zo) — [/0], (9.37) причем необходимо подставлять значение потенциала в вольтах. Для того же значения потенциала уравнения (2.145) и (4.159) дают '

1/^ = 6,74- Ю-6[([7- [/o)rel]1/2/Bmax. (9.38)

Тогда очевидно, что левые части уравнений принимают одинаковые значения, если

Bmax[(/(20) -[/0]1/2=99. (9.39)

Из этого соотношения следует, что, если Втах=1 Тл, предельный потенциал объекта равен 10 кВ. При более высоких значениях потенциала имеем (Lg)mtn>l/A, т. е. при равенстве правых частей нижние пределы аберраций для электростатических линз выше, чем для магнитных. Однако если потенциал в пространстве объектов ниже, то справедливо обратное. В этом случае пределы аберраций для электростатических линз могут быть ниже, чем для магнитных. Следовательно, по крайней мере в принципе, лучшие электростатические линзы должны быть не хуже их лучших магнитных аналогов.

Тем не менее, как мы видели в предыдущих главах, стандартные электростатические линзы заметно уступали по качеству магнитным линзам [160] даже исходя из наших коэффициентов добротности. Поэтому широко распространено мнение, что более низкое качество является их внутренне присущим свойством. Важность электростатической оптики для фокусирования ионных пучков и тот факт, что подавляющее большинство работ об электростатических линзах посвящено только простым двух- или трехэлектродным конфигурациям, привели к тому, чтобы взяться за проект, нацеленный на улучшение электростатических линз [260]. Некоторые из полученных результатов будут изложены в разд. 9.10.1.

Заканчивая, мы должны отметить, что работа Третнера не является бесспорной. Мы уже указали некоторые ограничения выше. Кроме того, его результаты находятся в определенном противоречии с результатами Касьянкова [316]. Этот факт также вызвал определенную дискуссию [335, 336]. Тем не менее его работа интересна не только с теоретической точки зрения: до сих пор никто не смог предложить какую-либо линзу, характеристики которой выходили бы за его пределы. Поэтому сам факт установления этих пределов является важным вкладом в электронную и ионную оптику.

Динамическое программирование

Так как численные методы вариационного исчисления чрезвычайно сложны для большинства практических приложений, необходимо рассмотреть другие подходы. Первое предложение основывалось на методах динамического программирования [268, 337].

Давайте снова сформулируем проблему. Мы хотим найти распределение V(z), которое минимизирует интеграл аберраций Л (уравнение (9.17)), одновременно удовлетворяя дифференциальному уравнению (9.21) и ограничениям, накладываемым практическими требованиями. Возможные распределения образуют бесконечную систему, даже если длина распределения и максимально допустимая сила поля ограничены.

Можно свести эту бесконечную систему к конечной, но очень высокого порядка одним из множества различных способов. К примеру, можно искать V(z) в виде полинома n-й степени или другой параметрической функции. В этом случае ^ы должны определить коэффициенты полинома или параметра такой функции. Этот подход очень прост и вполне реален (разд. 9.7), но он не дает возможности рассмотреть значитель-

Рис. 140. Вычислительная сетка для процедуры динамического программирования.

ную часть существующих альтернатив. В самом деле, даже если каждый коэффициент полинома может принимать только т различных значений, возможное число вариаций составит т", которое астрономически велико для любой пары практически используемых величин т и п. Следовательно, необходимо найти путь, позволяющий резко уменьшить число альтернатив, без потери столь большого числа решений.

Рассмотрим прямоугольную вычислительную сетку, показанную на рис. 140. Она определяет область существования для поиска функции распределения. Она ограничена максимально допустимой напряженностью поля или ее производными. Ее раз-

меры в направлении оси задаются длиной L. Эта длина делится на N равных интервалов так, чтобы

Az=zk— zk_i = L]N=const,(9.40)

где ^=1, 2,..., N — порядковый номер данного интервала.

Аппроксимируем неизвестное распределение V(z) или одну из его производных прямой линией на каждом интервале. Обозначим эту кусочно-линейную функцию W(z). Для магнитной линзы можно предположить, что W(z) =B(z), что эквивалентно кусочно-линейной модели разд. 8.3.3. Если желательно резко уменьшить объем вычислений, то можно использовать даже модель со ступенчатой функцией из разд. 8.3.2, однако следует помнить, что эта модель не является непрерывной, следовательно, производную поля необходимо определять численно, как разность значений функции в соседних интервалах. Для электростатических линз можно, например, положить W(z) =Ег(г), но, как мы увидим в разд. 9.10, наиболее эффективный подход заключается в использовании для кусочно-линейной функции W(z) производной наивысшего порядка, которая появляется в интеграле аберраций. Далее, предположим, что W(z) может иметь только 2Л1+1 различных значений на границах интервалов (рис. 140). Таким образом, задача сводится к поиску W(2Af 4-1) точек пересечения вычислительной сетки, которые будут задавать линейные отрезки оптимизированной функции.

Уравнение параксиальных лучей (9.21) для каждого интервала может быть решено аналитически или численно. Непрерывность решения обеспечивается требованием, чтобы начальные значения huh' для каждого интервала были бы равны их конечным значениям для предыдущего. Вклад каждого интервала в интеграл аберраций можно найти численно одним из методов, выведенных в разд. 6.3.

Обозначим начальные и конечные значения функции W(z) для ^-го интервала, как

^(^-1)=/А117,(9.41)

Wfc(zfe)=iAW(9.42)

соответственно, где A W—минимальное изменение функции W^z-) (рис. 140). Очевидно, решение уравнения параксиальных лучей, так же как и вклад интеграла аберраций, будет зависеть от фактических значений I, j и к.

До сих пор еще ничего не сделано для уменьшения астрономического числа (2A4+1)W+1 различных возможных распределений. Для того чтобы найти эффективный путь поиска лучшего решения, нужно свести многомерную задачу к одномерной многоэтапной процедуре решения, которая может решаться шаг за шагом.

Предположим, что мы нашли распределение W(z), для которого интеграл аберраций между начальной точкой с осевой координатой ^ = 0 и произвольной точкой с координатами /, А—1, минимален. Обозначим это промежуточное значение интеграла как Gy(^_i). Если Лм — вклад А-го интервала в интеграл аберраций, тогда минимизированное значение G,* этого интеграла между той же начальной точкой и точкой с координатами i, к дается рекуррентным соотношением

Gtk\= min[G/(fe~i) + F(/fe],(9.43)

i

где /—переменная величина для каждой заданной точки с координатами I, к. Процесс оптимизации направлен на то, чтобы найти конкретное оптимальное значение /, для которого G,* минимально. Такая процедура дает как /0Pt(i, k), так и G,>. Так как мы начали с предположения, что оптимальное распределение, приводящее к точке (/",к—1), известно, теперь необходима найти остальную часть оптимального распределения.

Процедура поиска начинается с к= \ при начальном условии Gyo = O, которое выражает простой факт, что вклад интервала, находящегося вдали от объекта, в интеграл аберраций равен нулю. Это совершенно справедливо для реальных коэффициентов аберрации. Если рассматриваются асимптотические аберрации, то поиск начинается с границы поля (z=a) при тех же на-, чальных условиях. Следовательно, поиск в первом интервале сводится к сравнению различных величин Рщ. Начнем с решения уравнения параксиальных лучей и вычисления вклада в интеграл аберраций для каждой пары величин i, j. Для каждого i найдем соответствующее значение /opt, которое минимизирует Рщ, и запомним их вместе с конечными значениями Л и h'. Проделав это для каждого из 2Л4+1 возможных I, получим 2Л4+1 данных для jio oPt, G,i, Иц и Н'ц.

Теперь можно перейти ко второму интервалу и повторить ту же процедуру, помня, что уравнение (9.43) больше не является тривиальным. Следует учесть, что теперь i для первого интервала становится j для второго. Следовательно, величины G/b необходимые для вычисления G,2, равны величинам Сц первого интервала. В результате имеется 2Л4+1 данных для каждого набора ju oPt, Gi2, h^ и h'^.

Будем продвигаться от интервала к интервалу по направлению к пространству изображений, используя (9.43) для определения /е(й-1)ор1 и Gik, до тех пор, пока не достигнем конца вычислительной сетки (k = N). Теперь есть N массивов из 2Л4+1 величин каждый для /i(fe-i)opt, Gift, htk и h'ife, т. е. 2Л4+1 различных оптимизированных функций Wi(z') с разными конечными значе-

ниями i вместе с соответствующими траекториями частиц. Каждую функцию можно однозначно задать соответствующими оптимальными / для всех пар i и А. Выберем конкретное распределение среди многочисленных решений, которое в наилучшей степени удовлетворяет данным практическим требованиям. Например, если поле должно исчезать у границы в пространстве изображений и W(z) означает само распределение поля, то, очевидно, i=0 должно быть выбрано для конечной точки. Если изображение может оказаться внутри поля, можно сделать N переменной величиной и остановить вычисления на той паре величин i и А, где А=0. Увеличение также можно сделать величиной, задаваемой предварительно. Поле не должно проявлять вариаций, которые невозможно воспроизвести с достаточно хорошим приближением при помощи полюсных наконечников и электродов приемлемой формы и т. п.

Наиболее важные особенности этого метода следующие:

Нет необходимости угадывать результат. Алгоритм ищет во всем пространстве задачи оптимальный путь без начальных предположений.

Число действительно рассматриваемых распределений сводится от (2Л1 + 1)Л/+1 к ^(2Лf+l)2.

Воспроизводится богатая картина оптимальных распределений. Она содержит огромное число распределений, которые можно рассматривать как решение подзадач начальной задачи при разных начальных и конечных условиях.

В противоположность методам вариационного исчисления, этот метод упрощается любыми дополнительными ограничениями, которые уменьшают число возможных выборов на конкретном этапе.

Этот метод может быть прямо применен к электростатическим и магнитным линзам, а также и к системам линз с любой симметрией.

Вследствие дискретной природы метода необходимо уделять должное внимание правильному выбору размеров и числа точек вычислительной сетки. Очень важно правильно выбрать величины М, N и \z\W для получения как можно более полного диапазона возможных решений [296]. Требуется накопление и умелое обращение с большими массивами данных.

Этот метод ориентирован на последующие узлы вычислительной сетки, а не на конечные узлы, неизвестные заранее. Следствием этого может быть существование некоторых решений с меньшими аберрациями, чем найденные с помощью этого алгоритма. Они могут быть предельными с точки зрения математики, однако это не означает, что метод недействителен. В самом деле, этот метод дает эффективный простой путь поиска с помощью системы, размеры которой можно контролиро-

вать из бесконечного числа возможных распределений. Эксперименты с вычислительными сетками малых размеров, где были проанализированы все возможные распределения, показали [338], что решения, найденные с помощью алгоритма динамического программирования, были или равны, или очень близки к оптимальным.

Этот метод можно еще улучшить, если сделать несколько следующих предположений [321, 338]:

Нацелить процедуру оптимизации на заданное конечное условие, т. е. на выбор предшествующего узла для произвольного узла вычислительной сетки таким образом, чтобы минимизировать коэффициент аберрации не в данном узле, но в заранее выбранной конечной точке с заданными характеристиками (например, h = 0 или /i' = 0).

Сохранить первоначальный алгоритм, но сделать Az переменной величиной, чтобы обеспечивать плавное распределение даже для сеток относительно малых размеров.

Заменить вычислительную сетку в плоскости Wz сеткой в фазовой плоскости Мг' параксиального луча. Влияние поля должно аппроксимироваться импульсом дельта-функции в каждой узловой точке с последующим дрейфовым пространством. Возможные значения поля должны выбираться таким образом, чтобы импульсы и дрейфы всегда отображали узлы сами на себя.

Избегать трудностей, связанных с дискретным характером метода, с помощью использования различных способов динамического программирования.

Метод динамического программирования успешно применялся к различным задачам электронной и ионной оптики. В случае магнитных линз использовалась кусочно-линейная модель разд. 8.3.3 и W (г) определялась как

W^ = {-9/[8щ0(£7- Цо) rei]} *^2Sz [1/м], (9.44) так, чтобы параметр

6=Л№Лг (9.45)

вычислительной сетки был безразмерен. Типичная диаграмма решения показана на рис. 141 [296] для М=100, ^ = 20 и 6 = = 0,005 (рассматриваются только положительные величины №). Целый ряд распределений индукции минимизирует сферическую аберрацию при различных начальных и конечных условиях. Выбирая конечную точку из практических соображений, можно проследить решение обратно к начальной точке. Рассмотрим, к примеру, простую диаграмму, показанную на рис. 142, которая была вычислена для Л4 = 20, М=10 и 6 = 0,1. Этот случай дает представление о сетке умеренных размеров,

W/AW

Рис. 141. Диаграмма решения задачи поиска методам динамического программирования распределения магнитной индукции с минимальной сферической аберрацией (М=100, ^=20, 6=0,005) [2,96].

W/0W

Рис. 142. Диаграмма решения задачи поиска методом динамического программирования распределения магнитной индукции с минимальной сферической аберрацией (М=20, ^=10, 6 = 0,1) [296].

но все еще со значительной областью определения. Практически интересные распределения индукции, взятые с этой диаграммы и отмеченные цифрами, показаны на рис. 443. Решения № 1,8, 17, 26 и 39 представляют длинные линзы с низкой сферической аберрацией (разд. 8.2.3). Особенно интересно решение № 27, потому что оно представляет распределение с высоким полем вблизи объекта, низким — вблизи изображения и реаль-

но очень низкой сферической аберрацией: ^CSO = 0,396 при М = =—5,32 (см. теоретические пределы, описываемые уравнением (9.33)). Это соответствует конденсорному объективу, обсуждавшемуся в разд. 8.4.1. Наш метод позволяет конструктору установить оптимальную скорость уменьшения этого поля [165]. Решение № 27, кроме того, демонстрирует мощность метода в другом аспекте. Его сравнение с близко проходящей штриховой кривой на этом рисунке, которая представляет гиперболическое поле уравнения (8.76), показывает, что коэффициент сферической аберрации нашего решения на 47% меньше, чем коэффициент сферической аберрации гиперболического поля распределения.

w/aw

Рис. 143. Частное решение, представляющее практический интерес, взятое из диаграммы на рис. 142 [296].

В случае электростатических линз [339—341] достаточно выбрать кусочно-квадратичную модель разд. 7.2.3 и Определить 1^(2) как

Г (г) = U'(z)![U(zo) - t/0] [1/м],(9.46)

при этом 6 — снова безразмерная величина. Мы нашли множество интересных конфигураций, некоторые привычные, но много и новых. Типичная диаграмма решения показана на рис. 144 для Л4 = 50, N=60 и 6 = 0,2. В эту диаграмму включено большое количество распределений ускоряющих иммерсионных линз, соответствующих различным начальным и конечным условиям. Все приемлемые решения начинаются и заканчиваются полем, значения которого близки к нулю, и представляют двухцилиндровые линзы со вторым цилиндром, имеющим меньший диаметр и более высокий потенциал по сравнению с первым при фиксированном положении объекта.

Метод динамического программирования можно применить для решения ряда проблем: оптимизации пучков высоких энер-

гий в ускорителях частиц, накопительных кольцах, системах транспортировки пучка и т. п. [342]. Например, возбуждения в длинном ряде квадруполей, используемых в согласующих системах накопительных колец, можно искать таким образом, чтобы они минимизировали общую сумму бетатронных функций, измеренных у средней плоскости каждого квадруполя, обеспечивая, таким образом, оптимальное согласование пучка (разд. 10.4.5.1). Динамическое программирование можно применять для уменьшения аберраций в системах транспортировки пучка, для минимизации нелинейных эффектов в корректирующих мультиполях и т. д.

W/AW

Рис. 144. Диаграмма решения задачи поиска методом динамического программирования электростатической иммерсионной линзы с минимальной сферической аберрацией (М=50, #=60, 6=0,2) [339].

Наконец, мы должны отметить, что распределения полей, найденных методом динамического программирования, очень редко пересекаются друг с другом (см. рис. 141—144). Их графики похожи на изоклины дифференциального уравнения, которое удовлетворяется оптимизированным распределением поля. Как отмечалось в разд. 9.1, это неизвестное дифференциальное уравнение может быть связано с уравнением (9.4).

Метод оптимального контроля

Мы предложили другой очень эффективный метод для решения проблемы оптимизации [343]. Снова разделим отрезок оси, на которой задано распределение, на N одинаковых интервалов и представим неизвестную функцию V(z) простым полиномиальным выражением в каждом интервале. Чем проще эти выражения, тем быстрее и легче проходит эта процедура. Потребуем непрерывности функции V(z) и ее производных низ-

шего порядка. Это требование связывает определенными соотношениями коэффициенты полиномов в соседних интервалах. Зададим требование непрерывности таким образом, чтобы коэффициенты при членах наиболее высокого порядка оставались- свободными. Тогда эта проблема сводится к проблеме поиска N коэффициентов, таких, чтобы результирующая функция удовлетворяла уравнению параксиальных лучей (9.21) и практическим ограничениям, одновременно минимизируя интеграл аберраций уравнения (9.17).

Начнем с произвольного набора свободных коэффициентов. Уравнение параксиальных лучей решается с этими коэффициентами для каждого интервала, а соответствующий интеграл аберраций оценивается численно. Естественно, с первой попытки коэффициент аберрации будет слишком высок, а ограничения вряд ли будут выполнены. Далее введем штраф, отражающий нарушение ограничений на объективную функцию, построенную из интеграла аберраций. Эта сумма является функцией мишени N коэффициентов, которую мы пытаемся минимизировать. Таким образом, мы свели проблему к задаче минимизации, функции.

Точно такая же проблема возникает в задачах оптимального- контроля. Минимизация может быть выполнена с помощью любого из методов нелинейного программирования [344], например квазиньютоновским алгоритмом. Окончательный результат является набором новых коэффициентов, удовлетворяющих уравнению параксиальных лучей совместно с заданными ограничениями и одновременно минимизирующих интеграл аберраций.

Недостатком этого метода по сравнению с методом динамического программирования является то, что с его помощью можно найти только локальный оптимум, следовательно, он требует начального набора коэффициентов, который выбирает сам пользователь. С другой стороны, он обладает чрезвычайными быстротой и эффективностью. Почти всякая комбинация начальных; данных сходится к приемлемому решению за 10—20 с счетного- времени на компьютере CDC Cyber 175 при ^=10. Увеличение числа интервалов улучшает решения при незначительном увеличении времени счета. Метод работает лучше всего при N = *2Ь—30. Дальнейшее увеличение числа интервалов пользы не приносит, так как проблема усложняется настолько, что задача сходится при значениях ^^«50.

Осевое распределение электростатического потенциала, показанное на рис. 145, было получено с помощью этого метода. Мы выбрали ^=10 и ввели некоторые ограничения для потенциала и его производной по z. Это распределение соответствует асимметричной трехэлектродной линзе с отношением потенциа-

лов изображение — объект 0,72 и отношением максимального потенциала к потенциалу объекта, равным 6. Объективная функция была выбрана как Cso=o\U'\maxi (.Umax—Uo), т.е. как коэффициент сферической аберрации, отнесенный к величине с размерностью длины, подобной той, которая дается уравнением (9.34). Это гарантирует, что в результирующем распределении не будут существовать вариации неприемлемой величины. Действительно, объективная функция не превышает 1,68 и распределение достаточно гладкое, чтобы его было легко реконструировать реальной системой электродов (рис. 146). Соответствующая величина CSo=o!Lg=\0, что лучше, чем для любой стан-

Рис. 145. Распределение электростатического потенциала с низкой сферической аберрацией, полученное методом оптимального контроля [343].

дартно сконструированной электростатической линзы (см. табл. 11). Коэффициент добротности, которому мы отдаем предпочтение, равен CSo=o/fi = 1,02, которая также находится вблизи наилучших значений, достигаемых при таких низких отношениях максимального потенциала к потенциалу объекта.

Известны еще два метода поиска локального оптимума для электронных оптических систем [345, 346].

Аналитические функции

Наиболее легкий путь поиска распределений полей, обеспечивающих малые аберрации, — исследование аналитических функций [260, 326, 347, 348]. Несколько аналитических моделей линз были представлены в' гл. 7 и 8. Предполагалось [326], что распределение потенциала, сформированное суммой экспоненциальных членов и имеющее серию пиков переменной аяплиту-

ды, может дать электростатические линзы с малыми сферическими аберрациями. С помощью компьютера легко запрограммировать поиск посредством различных вариаций параметризованных аналитических функций. Мы уже с успехом использовали этот метод [260] для систематического исследования ряда, параметризованных аналитических функций различных классов и нашли много интересных распределений потенциалов с отличными свойствами. Они удовлетворяют практическим требованиям для зондовой оптики и имеют очень низкие сферическую и хроматическую аберрации (CSOoo/fi« 1, GCOOo/fi~0,5). На основе этих компьютерных экспериментов оказалось возможным отказаться от утвердившегося мнения о внутренне присущем превосходстве магнитных линз над электростатическими.

Рис.' 146. Трехэлектродная электростатическая линза, реконструированная из распределения осевого потенциала, изображенного на рис. 145 [352].

Одним из простейших классов параметризованных аналитических функций является класс полиномов высших степеней, коэффициенты которых — простые функции значений потенциала в заданных точках. Варьируя коэффициенты полинома седьмой степени, можно получить столь же хорошие результаты, как и при использовании более громоздких аналитических функций. Ко всему прочему, реконструкция электродов или полюсных наконечников не вызывает затруднений, так как в этом случае число членов ряда (3.20) конечно. Как мы увидим в следующем разделе, это чрезвычайно важное соображение. Однако, как хорошо известно (см. раздел 3.3.5), при использовании полиномов высших степеней возможны неожиданные флуктуации. Эту трудность можно обойти, если использовать более сложные методы, например полиномы Чебышева или кусочные полиномиальные функции (см. разд. 9.9).

Простой подход, изложенный в этом разделе, весьма плодотворен, поскольку не требует сложных математических методов,

однако способен обеспечить вполне приемлемые результаты. ■С его помощью можно получить отличные распределения полей даже на персональном компьютере. Однако если кто-то желает исследовать огромное разнообразие всех возможных распределений, то он должен воспользоваться методами, описанными в предыдущих разделах.

Реконструкция электродов и полюсных наконечников по оптимизированному осевому распределению поля

После того как найдено осевое распределение поля с нужными оптическими свойствами, следующей задачей является поиск таких конфигураций электродов и полюсных наконечников, которые бы создавали необходимое распределение. Так как потенциал, созданный осесимметричной системой, в произвольной точке пространства однозначно определяется его осевым •распределением, с теоретической точки зрения реконструкция электродов не составляет никакой проблемы.

Осесимметричный электростатический или магнитный скалярный потенциал можно вычислить по его осевому распределению, используя расходящийся ряд (3.20) или комплексный интеграл (3.112). Компоненты электрического поля и вектора магнитной индукции определяются рядами (3.38) —(3.40) и (3.45) — (3.47) соответственно. Комплексный интеграл может -быть вычислен только для аналитических функций. Разложение степенного ряда требует, чтобы осевое распределение задавалось как 2(п—1) раз дифференцируемая функция координаты г, где п — число членов степенного ряда. К сожалению, для .приемлемой сходимости необходимо весьма большое п. Если осевое распределение задано набором численных данных (что является обычным при процедурах оптимизации, обсуждаемых дальше) или даже если оно известно в виде громоздкой аналитической функции, то производные высших порядков необходимо получать численными методами, которые дают большие погрешности (см. разд. 3.3.5.1).

Если степенной ряд уравнения (3.20) произвольно обрывается при некотором п, результат может быть весьма ненадежным. К примеру, раннее предположение Шерцера о распределении потенциала для слабой однопотенциальной электростатической линзы с минимальной сферической аберрацией (см. уравнение (9 14)) было перенесено на участок эквипотенциальной поверхности с использованием только семи членов [326]’, поэтому полученный результат оказался действительным только для области, близкой к оси. Хотя радиус сходимости может

быть очень велик или даже бесконечен, в реальных вычислениях разложение в ряд может быть использовано практически только в ограниченной области вокруг оси. Если осевое распределение известно с небольшой ошибкой, то ошибка возрастает экспоненциально с радиальным расстоянием. Эта числовая нестабильность делает использование разложения степенного ряда для реконструкции электродов или полюсных наконечников очень затруднительным [ПО, 348]. Ко всему прочему, даже если мы достигнем успеха в реконструкции, результирующая картина эквипотенциальных поверхностей обычно сильно усложнена и содержит полюсы и другие сингулярности; поэтому изготовление электродов может оказаться невозможным.

Поскольку оптимизированное осевое распределение обычно дается набором численных данных, они должны быть аппроксимированы простыми, непрерывными, 2(п—1) раз дифференцируемыми функциями, где п — большое число, определяемое требованиями заданной точности. Из-за указанных выше численных трудностей это очень сложная проблема. Поэтому вполне понятно, почему некоторые исследователи выражают скептицизм по поводу самой возможности решения проблемы синтеза электронно-ионной оптики [ПО].

Существует несколько предположений о том, как преодолеть эту трудность. Записывая распределение осевого потенциала как взвешенную сумму вкладов от системы электродов и полюсных наконечников, можно с помощью матрицы обратного преобразования или подгонки методом наименьших квадратов установить геометрические формы, способные создавать желаемое осевое распределение ([349]. По существу это метод, обратный методу зарядовой плотности (разд. 3.3.4), но практического применения он не находит.

Другое предположение состоит в том, чтобы преобразовать уравнение Лапласа в дифференциальное уравнение в частных производных гиперболического типа, для которого потенциал в произвольной точке пространства может быть выражен в виде интеграла [350]. Решение первоначальной задачи также может быть найдено в виде конечного ряда Фурье — Бесселя [351]. Однако эти методы на практике обычно не используются. Магнитное поле без ферромагнитных материалов может быть легко реконструировано катушками с переменным числом витков [16].

Мы предложили [140] метод для замены осевого распределения, заданного как последовательность дискретных данных, непрерывными, 2(п—1) раз дифференцируемыми функциями с минимальным интерполяционным шумом, использующим интерполяционные импульсы уравнения (3.393). Применение этого метода также не обходится без проблем.

Единственное исключение, где проблема реконструкции может быть решена тривиально, относится к полиномиальным функциям (см. разд. 9.7). В этом случае степенной ряд уравнения (3.20) содержит вполне определенное число членов, так как все производные высших порядков равны нулю. Тогда естественно применить полиномиальную интерполяцию к оптимизированной осевой функции, заданной в виде последовательности дискретных данных. Однако это решение не является хорошим из-за интерполяционного шума (см. разд. 3.3.5 и 9.7). Полиномы можно использовать различными способами, которые, однако, будут обсуждаться в следующем разделе.

Так как, по всей видимости, ничто не ведет в направлении правильного решения проблемы реконструкции, мы должны попытаться использовать тот факт, что сплайновая интерполяция (см. разд. 3.3.5.4) обеспечивает плавные кривые. Можно достигнуть очень хорошей точности реконструкции при использовании этого метода [260].

При аппроксимации численных данных гладкими кубическими сплайновыми кривыми все их производные выше 3-го порядка внутри сплайновых интервалов будут равны нулю. Трудность состоит в том, что 3-я производная не является непрерывной, следовательно, 4-я производная становится бесконечной на границах интервалов и последующие производные более высоких порядков могут быть представлены как производные ряда дельта-функций. Строго говоря, степенной ряд уравнения (3.20) неприменим для осевых функций, имеющих нарушения непрерывности производных высших порядков, потому что результирующая функция потенциала не будет непрерывной на границах интервалов.

Попытаемся преодолеть эту трудность, просто проигнорировав эту функцию.

Процедура элементарна [352]. Предположим ad hoc, что производные высших порядков на границах интервалов, которые нигде больше не появляются, в выражениях для фокусирующих свойств и аберраций третьего порядка также не влияют на распределение потенциала. Тогда мы можем использовать первые два члена уравнения (3.20). Полагая значение потенциала равным V в произвольной точке с координатами г и г, помещенной в &-м интервале, получим уравнение эквипотенциальной поверхности в виде

^ = 4U4z) - V]/Uk"(z), (9.47)

где Uh (2)—кубическая полиномиальная функция для ^-го интервала (см. разд. 7.2.4). Как Uk^, так и t4"(z) имеют различные выражения для каждого интервала, но они обе являются непрерывными функциями на протяжении всей длины оп-

Оптимизация и синтез электронных и ионных линз тической системы. Используя эту простую формулу, можно реконструировать эквипотенциальные поверхности, а значит, и электроды (полюсные наконечники), которые будут воспроизводить те же функции £/(z), U'^ и U"(z) и, таким образом, те же свойства первого и третьего порядка аберрации, как и первоначальное теоретическое распределение, полученное методом оптимизации.

Сначала мы исследовали функцию U (z) и подсчитали число К ее точек перегиба. Очевидно, г достигает бесконечности в каждой точке перегиба, где иь" = 0, следовательно, число электродов или полюсных наконечников равно Л’+l. Если значение второй производной отрицательно между двумя точками перегиба или между точкой начала/конца и ближайшей точкой перегиба, то нужно выбрать потенциал электрода несколько выше, чем максимальный осевой потенциал в этом интервале. Если вторая производная положительна, потенциал электрода должен быть ниже, чем минимальный осевой потенциал.

Конечные размеры физической системы являются ограничением точности реконструкции, потому что электроды должны быть обрезаны где-нибудь на конечном расстоянии от оси в пределах максимального г и реалистических размеров, обычно на расстоянии половины общей длины фокусирующего элемента. Таким образом, часть материала электродов (полюсных наконечников) не учитывается. С другой стороны, обрезание электродов имеет по крайней мере три преимущества:

Оно гарантирует некоторое минимальное расстояние между электродами, что предотвращает электрический пробой в случае электростатических линз.

Можно дополнительно упростить формы электродов в течение этого процесса и заменить сложные искривленные границы легко изготовляемыми простыми правильными поверхностями.•

Конечно, результирующая физическая система будет иметь неограниченное число производных высших порядков, следовательно, не будет проблем с математическими ограничениями метода или с аберрациями пятого порядка (см. обсуждение, приведенное ниже).

Что мы знаем о том, как работает этот метод? Аналитические процедуры для вычисления распределений электростатических и магнитных полей, полученных при помощи реконструированных конфигураций электродов и полюсных наконечников, так же как и программы хода лучей, используются для упрощения форм электродов и для проверки того, создают ли они реально распределение осевого поля и оптические свойства достаточно близкие к первоначальным, полученным с помощью алгоритма оптимизации. Эти аналитические процедуры также

используются для оценки точности метода. Мы нашли, что максимальное расхождение в осевом распределении, свойствах первого порядка и коэффициентах аберрации не превышает 10%. (Влияние упрощения электродов на точность будет обсуждаться ниже в разд. 9.10.1.) Это означает, что наш простой метод реконструкции способен обеспечить практически реализуемую фокусирующую систему с такой точностью.

Так как этот метод реконструкции устанавливает основные элементы одного из методов синтеза (см. разд. 9.10), важно остановиться и обсудить некоторые аспекты его реализации.

Физические величины никогда точно не измеряются и строгое совпадение— понятие для физики бессмысленное [353] (тем более в практических задачах технического конструирования). Поэтому предположения ad hoc обычно используются в физике и технике. Хорошим результатом можно считать приближенную реализацию заданного распределения осевого потенциала с помощью реконструированной системы электродов. Это можно сделать с любой степенью точности с помощью бесконечного числа различных пространственных распределений потенциалов, в которых сингулярности отсутствуют [351, 353]. Точно то же мы делаем в процедуре реконструкции. Пренебрегая влиянием нарушений непрерывности третьей производной сплайновой функции и образуя относительно простые эквипотенциальные поверхности без полюсов и других сингулярностей, мы по существу вводим аппроксимацию. Является ли она приемлемой? На этот вопрос ответ может дать только практика. Чтобы обеспечить «правильную» реконструкцию электродов, необходимо всего лишь показать, что они воспроизводят описанное распределение потенциала с точностью, которая не оказывает существенного влияния на положения кардинальных элементов и коэффициенты аберрации. Вариациями функции пространственного потенциала, которые не оказывают существенного влияния на оптические свойства, можно пренебречь [353а].

Нарушение непрерывности третьей производной и неопределенность производных высших порядков в узлах сетки не создают особенных проблем, потому что, когда выбраны окончательные упрощенные формы электродов, мы отклоняемся от математически «неоправданного» распределения потенциала, пренебрегая частями электродов и изменяя форму оставшихся частей. Естественно, эта процедура вводит в распределение все непрерывные производные более высоких порядков, но так как они больше нигде не появляются, можно вычислить оптические свойства, включая и аберрации, используя только две первые производные. Сила этой процедуры реконструкции состоит в том, что она способна найти положения и потенциалы электродов. Их действительная форма не оказывает существенного

влияния на оптические свойства. Хорошо известно [348], что осевой потенциал и оптические свойства мало чувствительны к относительно большим изменениям формы электродов. Это положительное следствие отрицательной особенности, обсуждавшейся выше, что ошибка растет экспоненциально с ростом расстояния от оси. Эта особенность означает, что электроды разной формы могут давать вдоль оси приблизительно одинаковые распределения. Следовательно, хотя ошибка аппроксимации с удалением от оси, очевидно, увеличивается, это не является существенной проблемой.

Приведенные выше аргументы можно применить также и к проблеме аберраций высших порядков. Наш метод основан на том факте, что аберрации третьего порядка всегда могут быть выражены в виде интегралов, не зависящих от производных осевого потенциала или индукции, порядок которых выше второго. Это, конечно, не относится к аберрациям пятого порядка. Но, как и прежде, в первоначальном распределении производные четвертого порядка почти везде равны нулю, следовательно, можно предположить, что неучтенное влияние высших производных в некоторых дискретных точках не вносит существенного вклада в аберрации пятого порядка. Более того, после упрощений фактической системы электродов получатся конечные высшие производные, которые не могут давать сингулярности в аберрациях пятого и более высоких порядков. Кроме того, можно совсем избавиться от этой проблемы, используя для реконструкции сплайны пятого порядка (см. разд. 9.9). В этом случае используются три члена уравнения (3.20), и форма электрода будет определяться уравнением ^,=8^"(г)<1±{1 - Uk«^ уик"№иХ

X VUk^) - V^yi^lU^^, (9-48)

где теперь Uk(z)— полиномиальная функция для А-го интервала. В этом случае радиальные смещения достигают бесконечности, где производные четвертого порядка осевого распределения потенциала равны нулю, т. е. эти точки определяют границы электродов.

Все прямые численные методы вычисления поля по заданной системе электродов или полюсных наконечников (см. разд. 3.3) имеют ограниченную точность. Для методов конечных разностей и конечных элементов мы должны задать потенциал в каждой точке границы, где значение потенциала может быть неизвестно. В случае метода плотности заряда аппроксимация внутри областей сингулярности, так же как и предположение о постоянстве зарядов по всем ограниченным поверхностям в сильных полях, накладывает определенные ограничения. Как хорошо известно, ршибки в вычислении оптических свойств

электростатических и магнитных линз почти всегда возникают как следствие неточной оценки распределения полей. Эти неточности делают практически невозможным получение правильного представления о точности реконструкции.

Наконец, в случае сплайновых линз следующий важный аспект заключается в том, что сплайн является не аппроксимацией, а самой функцией, которую мы пытаемся реконструировать.

Как пример, трехэлектродная электростатическая линза, реконструированная из оптимизированного осевого распределения, изображенного на рис. 145, показана на рис. 146. Потенциалы электродов выражены в единицах потенциала первого электрода. Отметим, что отношение максимального потенциала к потенциалу объекта для электродов несколько выше, чем для осевого распределения. Максимальное расхождение между осевым потенциалом первоначальной функции и практически реализованной системы составляет 8,3% Umax. Сферический коэффициент добротности CSooo/fi = 0,95 лучше, чем для первоначальной функции, вследствие того, что она оптимизировалась в соответствии с другой объективной функцией (см. разд. 9.6). Хроматический коэффициент добротности равен ССОоо/А = 0,72.

Полиномиальные и сплайновые линзы

Полиномиальные линзы

Мы видели в разд. 9.7, что, меняя коэффициенты полинома, можно найти для линз очень хорошие поля. Эти коэффициенты связаны простыми соотношениями с потенциалами в заданных точках. Так как количество членов степенного ряда (3.20) в этом случае ограничено, точной реконструкции электродов или полюсных наконечников можно достигнуть с помощью очень простой процедуры (см. разд. 9.8).

Проблема заключается в том, что если полином используется для построения кривой, т. е. для аппроксимации некоторой осевой функции, заданной в виде последовательности дискретных данных, то высокий интерполяционный шум, обсуждавшийся в разд. 3.3.5, может полностью нарушить первоначальное распределение. Следовательно, полиномиальную интерполяцию нельзя использовать в качестве практического рабочего инструмента.

Существует, однако, очень эффективный способ использования отличных реконструкционных свойств простых полиномов. Если мы не будем пытаться строить никакой кривой, но вместо этого исследуем свойства полиномиальных полей, проблема интерполяционного шума сразу же исчезает. Таким образом, мож- 538

но взять несколько полиномиальных функций, менять их коэффициенты и искать для таких наборов коэффициентов те функции, которые обеспечат наилучшие оптические свойства. Этим способом были открыты электростатические полиномиальные линзы (разд. 7.3.1.5). Среди них наилучшими из известных являются кубические полиномиальные линзы, следовательно, они могут служить моделью для сравнения с другими полиномиальными и сплайновыми линзами. Если рассмотреть случай, когда отношение потенциалов изображение — объект равно 5, то коэффициенты добротности равны CSooc//i= 19,3 и Ccooo/fi = 1,43 (см. рис. 81 и 82). В соответствующей обработке эти величины могут быть использованы для сравнения.

Полиномы более высоких порядков могут быть успешно использованы для развития моделей линзовых полей, из которых легко реконструировать электроды и полюсные наконечники. Такие линзы были кратко обсуждены в разд. 7.3.1.5. Формула реконструкции для полинома пятого порядка дается уравнением (9.48). Однако вследствие осциллирующей природы полиномов высших порядков этот подход, очевидно, ограничен. Хотя мы и не собираемся проводить подгонку кривой, мы все же должны избегать сильно флуктуирующих функций. Естественным путем является использование сплайновых функций для представления осевого потенциала.

Сплайновые линзы

Модель сплайновой линзы была введена в разд. 7.2.4 и 8.3.4, а понятие сплайновой линзы исчерпывающе обсуждено в разд. 7.6.3. Основной замысел состоит в систематическом исследовании полей линзы на основе кубической сплайновой модели, которая является стандартным инструментом для варьирования основных параметров осевых распределений различных классов линз. Кроме того, эта модель позволяет очень четко определить границы линзы, и есть простая и эффективная процедура реконструкции реальных электродов или полюсных наконечников, которые дают на оси сплайновые распределения (см. разд. 9.8).

Как известно (разд. 3.3.5.4), кубический сплайн является лучшим инструментом для замены дискретных данных гладкой функцией. Сплайн представляет собой систему кубических полиномов между каждой соседней парой узловых точек, обладающих тем свойством, что соседние полиномы соединяются непрерывно при непрерывных первых и вторых производных. Если разделить длину L распределения потенциала на N равных частей, то получим W+1 точки, в которых определены значения функции осевого потенциала U(z). Сплайн будет состо-

ять из N кубических выражений, по одному для каждого из N интервалов, между последующими узлами. На &-м интервале из уравнения (3.394) для функции осевого потенциала имеем

Uк (z) =Ак + Вк (z — z6-i) + С к (z — Zk-i)2 A-Dk (z — Zk-i)3,

(9.49)

где Zk-i — координата h-го интервала слева от точки (см. рис. 41), а h=\, 2,..., N. Естественно, коэффициенты Ак, Вк, Ск и Dk различны для каждого интервала; следовательно, распределение потенциала и его производных имеет разные выражения для каждого из N интервалов. Чтобы обеспечить непрерывность сплайна, так же как и его первых и вторых производных, в каждом из N—1 узлов, уравнения (3.398) — (3.400) должны удовлетворяться для этих коэффициентов, где 6 есть то же, что и Az в уравнении (9.40).

Оставшиеся N+3 свободных коэффициента могут быть использованы для построения некоторой кривой в W+1 точках и для обеспечения нулевых наклонов на концах распределения потенциалов, гарантируя таким образом плавный переход к областям, в которых поле отсутствует с обеих сторон линзы, или для удовлетворения любого другого граничного условия. У нас есть два уравнения, чтобы удовлетворить условию нулевого наклона:

Bi = 0,(9.50)

B„+2C„6 + 3D„62 = 0.(9.51)

М-Ц коэффициент все еще остается свободным. Теперь, вместо того чтобы использовать эти коэффициенты для построения некоторой кривой, будем варьировать их и искать такие наборы коэффициентов, которые обеспечат наилучшие оптические свойства. Это сразу же облегчит проблему реконструкции, обсуждавшуюся в разд. 9.8. В самом деле, так как мы теперь не пытаемся строить никакой кривой, мы не аппроксимируем функцию с бесконечным числом непрерывных и ограниченных производных высших порядков другой функцией только с тремя производными внутри интервалов, но неопределенными производными высших порядков на границах. Вместо этого исследуется сама сплайновая функция. Конечно, все соображения, обсуждавшиеся в разд. 9.8, все же справедливы, но по крайней мере теперь осевая функция не является приближением. Поэтому, хотя очевидно, что аппроксимация заданной осевой функции 20-интер- вальным сплайном намного лучше, чем двухинтервальным сплайном, реконструкция двухинтервальной сплайновой линзы осуществляется с той же точностью, что и 20-интервальной.

U(z)-U0U(O)-UoU(z)-U0U(O)-UoРис. 147. Распределение потенциала шестиэлектродной, шестиинтерваль- ной электростатической сплайновой линзы [260].Рис. 147. Распределение потенциала шестиэлектродной, шестиинтерваль- ной электростатической сплайновой линзы [260].*" Z/L*" Z/L

U(z)-U0

U(O)-Uo

U(z)-U0

U(O)-Uo

Рис. 147. Распределение потенциала шестиэлектродной, шестиинтерваль- ной электростатической сплайновой линзы [260].

Рис. 147. Распределение потенциала шестиэлектродной, шестиинтерваль- ной электростатической сплайновой линзы [260].

*" Z/L

*" Z/L

Нашей целью является систематическое исследование лин» путем изменения основных параметров распределения потенциала в процессе конструирования сплайновой модели [202] (см. разд. 7.6.3). Это может быть сделано в соответствии с одной из двух основных стратегий:

рассматривая класс сплайнов с фиксированным числом.

интервалов,

аппроксимируя определенный класс распределений потенциала различными сплайнами.

Реальная задача конструирования сплайна является простой и устойчивой процедурой (см. разд. 3.3.5.4). Возможен не только кубический сплайн: также могут быть использованы сплайны пятого и более высоких порядков.

Простейшая из возможных сплайновых линз может быть использована как «обычный делитель». Если имеется только один интервал, сплайн вырождается в простую кубическую полиномиальную функцию. Это случай кубической полиномиальной линзы (разд. 7.3.1.5), которая может быть названа сплайновой линзой с тем же успехом, как прямая линия — кривой. Ее коэффициенты добротности, приведенные в разд. 9.9.1, могут быть использованы для сравнения различных сплайновых линз.

Мы увидим в разд. 9.10, что понятие сплайновых линз является мощным инструментом для синтеза электронных и ионных линз. Оно может быть ис

пользовано как для электростатических, так и для магнитных линз. Как становится очевидным из разд. 9.9.2.1, множества интересных распределений можно найти даже с помощью двух- интервальных сплайнов. Очевидно, чтобы этот метод работал в полную силу, необходимо использовать большее число интервалов для конструирования сплайнов. Мы нашли, что для конструирования линз с очень хорошими оптическими свойствами обычно достаточно шестиинтервального сплайна. Например, исследование шестиинтервальных сплайнов привело нас [202] к распределению потенциала, данного на рис. 147. Это распределение имеет пять точек перегиба, следовательно, оно представляет шестиэлектродную линзу. Линза, реконструированная и$

этого распределения, показана на рис. 148. Потенциалы электродов выражены в единицах потенциала первого электрода. Коэффициенты добротности не превышают CSOoo/f i = 0,58 и ССОоо//1 = 0,31. Точки фокусов находятся вне поля, обеспечивая, таким образом, приемлемые рабочие расстояния.

Двухинтервальные сплайновые линзы. Как иллюстрацию понятия сплайновой линзы, рассмотрим простейшую нетривиальную сплайновую линзу, которая определена на двух интервалах [202]. В нашем распоряжении имеется восемь коэффициентов, связанных между собой тремя непрерывными уравнениями: два уравнения для того, чтобы обеспечить нулевой наклон на концах, и три уравнения для построения трех заданных значений потенциалов. Так как все оптические свойства за-

Рис. 148. Шестиэлектродная электростатическая линза, реконструированная «з распределения осевого потенциала, изображенного на рис. 147 [202],

висят от отношения потенциалов, достаточно в качестве единичного выбрать потенциал £7(0) при z=0. Тогда реально имеются два свободных параметра: потенциалы U^L^ и U(L) при z= = /./2 и z=L соответственно. Для сравнения с кубической полиномиальной линзой ограничим значения этих потенциалов диапазоном от 1/5 до 5. Конечно, можно выбрать два интервала, длины которых являются переменными величинами, но тогда пришлось бы вводить третий свободный параметр, который сделал бы модель эквивалентной трехинтервальному сплайну. Наша цель в этом случае — продемонстрировать преимущества модели, что можно сделать на простейшем примере.

Решение системы восьми алгебраических уравнений дает следующие значения коэффициентов:

A^U^,

Si = 0,

^ = [12(7(5/2) — 9(/(0) — 3U(L)№, D!=2[5[7(0) — 8t7(L/2)+3t/(L)]/L3,(9.52)

A2 = U№,

B2=3[[7(L) — [7(0)]/2L, C2=6[i/(0) — ‘ZUW^U^IL2, D2=2\8U (Ц2) — 3(7(0) — 5U(L)]/L3.

Эти коэффициенты обладают следующими свойствами:

Л! и Л2 — задаются значениями потенциалов в начальных точках двух интервалов.

51 = 0 в соответствии с уравнением (9.50).

В2— значение градиента потенциала при z=L]2 (не зависит от потенциала в этой точке). Отметим, что. U'(L/2)^_U(L)—(7(0)] = l,5L, как и для кубической полиномиальной линзы (см. уравнение (7.72)).

Анализ уравнения (9.52) показывает, что распределение потенциала имеет по крайней мере одну, максимум две точки перегиба. В случае одной точки перегиба имеем двухэлектродную линзу, две точки перегиба соответствуют трехэлектродной линзе. В каждом интервале может быть максимум одна точка перегиба, но ее положение внутри интервала может быть выбрано произвольно. Если одна точка перегиба расположена точно посредине распределения, мы имеем дело со специальным случаем симметричной кубической полиномиальной линзы. Если имеются две точки и они расположены симметрично относительно средней плоскости распределения, то это соответствует симметричной однопотенциальной линзе. В остальных случаях мы имеем широкий диапазон асимметричных иммерсионных или однопотенциальных линз.

Эти всевозможные случаи можно легко классифицировать, исследуя распределение потенциала на выпуклость. Двумерная, карта возможных комбинаций величин U(LI2) и U(L) делится на шесть областей координатными осями и тремя прямыми линиями (рис. 149), уравнения которых следующие:

U(L)=4U(L/2) — 3(7(0),(9.53)

(7(L)=2(7(L/2) — (7(0),(9.54)

U(L) = [4U(L!2) — (7(0)]/3.(9.55>

Эти линии соответствуют нулевой второй производной потенциала в точках 2=0, z = L(2 и z=L соответственно. Распределе-

шие потенциала вогнуто при z=0 ниже первой линии, при z = = U,2 выше второй и z=L ниже третьей. Соответственно положения точек перегиба в этих шести областях меняются, как показано на рис. 150. Если выбрать потенциалы ЩЩ) и U(L) таким образом, что окажемся точно на границе двух соседних -областей, одна из точек перегиба будет двигаться к соответствующей узловой точке z=0, z=L/2 или z=L. Наиболее интересный случай соответствует второй граничной линии, которая, как мы уже указывали, соответствует симметричной кубической полиномиальной линзе. Отметим, что все три линии проходят че-

Рис. 149. Карта возможных двухинтервальных сплайновых линз. Три прямые линии определяют границы между шестью областями А F. Они даются уравнениями (9 53)—(9 55) соответственно. Кружок соответствует линзе с наилучшим хроматическим коэффициентом добротности в данной области [202].

рез точку, соответствующую тривиальному случаю U(0) = = ^7(L/2) =1]Щ, когда распределение потенциала постоянно. Также отметим, что теоретически мы должны иметь 23=8 различных областей на двумерной карте. Однако две из иих не существуют, потому что кривая распределения не может быть монотонно выпуклой или вогнутой вследствие требования равенства нулю производной на обеих концах.

Как пример, вычислим коэффициенты для симметричной однопотенциальной линзы. Подставляя U (L) = U(0) в уравнение (9.52), получим

Av = U^,

В; = В2=0,

с,=— C2=12[l/(L/2) — ^(0)]/L2,(9.56)

Рис. 150. Осевые распределения потенциалов двухинтервальиых сплайновых лииз. Каждая кривая представляет область иа рис. 149. Точки перегиба отмечены кружками [202].

П1 = —n2=16[t/(0) — W(L/2)]/L3, А2=ЩЦ2).

Реконструированные электроды, создающие распределение потенциала, данного на рис. 150, е, показаны на рис. 151.

Чтобы найти линзу с хорошим коэффициентом добротности среди двухинтервальиых сплайновых линз, мы должны искать двумерные пространства рис. 149. Такой поиск был проведен с целью найти линзы с наименьшими хроматическими коэффициентами добротности и дополнительным ограничением, чтобы точка фокуса со стороны объекта находилась вне поля. Двумерная карта была разделена на 100X100 ячеек вычислительной

сетки и хроматический коэффициент добротности был вычислен в каждом из 104 узлов. Наименьшее значение (Ссооо/А = 0,72) было найдено в точке, отмеченной на рис. 149 [7/(Л/2) = = 577(0), и(Ц = 1,4477(0)]. Это соответствует трехэлектродной линзе. Сравнение показывает, что этот коэффициент добротности в два раза лучше, чем для кубической полиномиальной линзы. Отметим, что этот коэффициент лучше коэффициента добротности кубической полиномиальной линзы и в ряде других случаев, соответствующих асимметричным двухэлектродным линзам.

Рис. 151. Система электродов, воспроизводящих осевое распределение потенциала, показанное на рис. 150, е (потенциалы электродов выражены в единицах потенциала первого электрода) [202].

Процедура синтеза

В предыдущих разделах этой главы мы обсуждали различные методы поиска осевого распределения поля, которое удовлетворяет заданным требованиям и имеет низкие аберрации. В разд. 9.8 была детально исследована проблема реконструкции электродов и полюсных наконечников. Теперь мы в состоянии сформулировать общий метод синтеза электронных и ионных оптических элементов с низкими аберрациями [354].

Обсуждавшиеся до сих пор процедуры оптимизации имеют один общий недостаток: когда мы ищем оптимальное осевое распределение, мы не учитываем проблемы, возникающие в тех 546

точках пространства, которые не лежат на оси. Процедура реконструкции полностью отделена от алгоритма оптимизации. Это приводит к трудностям, обсуждавшимся в разд. 9.8. Если мы хотим синтезировать линзы хорошо обоснованным и надежным способом, то процесс реконструкции должен быть составной частью процедуры оптимизации, в противном случае от этого необходимо полностью отказаться. Вместо аппроксимации дискретной последовательности данных, характеризующей осевое распределение некоторой функции и позволяющей провести более или менее точную реконструкцию, мы должны искать неизвестное осевое распределение непосредственно в виде непрерывной функции, которую легко продолжить на точки пространства, не лежащие на оси, т. е. в виде полиномов, либо кубических сплайнов, либо сплайнов пятого порядка. .

Как обсуждалось в разд. 9.9, когда применяется этот подход, полиномиальные и сплайновые распределения не используются для подгонки какой-либо кривой. Процедура оптимизации прямо направлена на поиск таких наборов полиномиальных или сплайновых коэффициентов, которые обеспечивают наилучшие оптические свойства. Это сразу же облегчает проблему реконструкции, потому что не приходится аппроксимировать никакой функции. Вместо этого мы пытаемся реконструировать точно ту же функцию, которая является предметом нашего исследования, а именно саму полиномиальную или сплайновую функцию. Естественно, обоснования процедуры реконструкции, обсуждавшиеся в разд. 9.8, все еще имеют силу, но ко всему прочему ситуация значительно проясняется.

Этот подход позволяет сочетать очевидные преимущества как динамического программирования, так и процедуры оптимального контроля с легкостью и быстротой метода реконструкции. В дальнейшем мы выведем алгоритм синтеза для случая кубических сплайнов, но подчеркнем, что метод работает также с полиномами или сплайнами пятого порядка.

Распределение осевого электростатического или магнитного скалярного потенциала представляется кусочной кубической функцией, т. е. ищется решение в виде сплайновой линзы. Осевая длина распределения L делится на N равных интервалов. Неизвестное распределение U(z) ищется в виде уравнения (9.49) для каждого интервала. Для обеспечения непрерывности этой функции, ее первой и второй производных необходимо, чтобы удовлетворялись уравнения (3.398) — (3.400).

Следующим этапом является формулировка ограничений этой проблемы. Они всегда зависят от конкретных практических требований, следовательно, для них невозможно дать общий рецепт. Однако существует одно ограничение, общее для всех проблем: рассматриваемые поля должны быть практиче-

ски реализуемыми. Следовательно, потенциал и его производные должны быть ограничены:

Ux<U^<Un, 117'(г:) | <t7/, ^"(z) let/!" (9.57) где Ut, Un, U/ и Ui" — a priori заданные числа. Если требуется, чтобы поле исчезало с обеих сторон распределения, то также должны удовлетворяться уравнения (9.50) и (9.51). Обычно так и происходит, но не всегда (например, для катодных линз). Кроме того, можно потребовать, чтобы траектории частиц собирались к оси и при этом не пересекались внутри линзы, таким образом обеспечивая определенное рабочее расстояние позади, линзы. Это требование может быть сформулировано как

r(z)>p, г'(а)>0, (9.58)

где а — граница распределения со стороны объекта, а р — заданное число. В зависимости от конкретных проблем также могут быть наложены другие ограничения.

Теперь выберем объективную функцию, с помощью которой будет проводиться минимизация. Это ответственный момент, так как разные объективные функции могут привести к совершенно различным результатам. Конечно, вполне естественно, что объективная функция должна быть выбрана в соответствии с реальными требованиями данной проблемы. Можно отнести любой коэффициент аберрации к любому нормирующему фактору, например входной потенциал поделить на максимум поля (уравнение (9.34)). Процедура оптимизации может быть нацелена на конечный размер пятна, генерируя линзы, способные обеспечивать как можно более тонкий пучок при заданных ограничениях. Рабочее расстояние и другие свойства первого порядка могут быть также включены в объективную функцию. Любые коэффициенты добротности из обсуждавшихся в разд. 5.7.4, могут служить объективными функциями для синтеза.

В общем случае имеем слева М+1 свободных сплайновых коэффициентов. Обычно используется один коэффициент для того, чтобы отнести распределение потенциала к потенциалу £7(0) в начальной точке. Тогда Л] = £7(0) и число свободных коэффициентов сводится к N. Для заданного набора этих коэффициентов легко решить уравнение параксиальных лучей и оценить объективную функцию численно. Таким образом, проблема поиска функции среди бесконечного числа различных возможностей, такой, чтобы она удовлетворяла всем ограничениям, включая уравнение параксиальных лучей, и одновременно минимизировала заданную объективную функцию, свелась к проблеме поиска N сплайновых коэффициентов.

Это 77-мерная проблема оптимизации с ограничениями. Можно решить ее, используя либо динамическое программирование.

либо метод оптимального контроля, причем главным преимуществом по сравнению с первоначальной версией этого метода будет то, что оптимизированное распределение потенциала теперь оценивается в виде непрерывной сплайновой функции вместо последовательности цифровых данных.

Если применяется метод динамического программирования, мы должны использовать тот факт, что для сплайновой модели вторая производная распределения осевого потенциала является линейной функцией координаты z внутри каждого интервала. Из уравнения (9.49) имеем

^"(я^гСй + бЛ^г-г*-!). (9.59)

Тогда полное распределение второй производной U"(z) дается последовательностью непрерывных линейных отрезков. Можно упростить поиск, рассматривая вместо этих линейных отрезков отрезки, соединяющие узлы вычислительной сетки, изображенной на рис. 140. Таким образом, остается только 2М+1 различных дискретных значений второй производной на границах интервалов. Мы должны заменить W на U" в уравнениях (9.41) и (9.42). Используя эти уравнения вместе с уравнением (9.59), получим коэффициенты, выраженные через i и /:

Ck=i\U"^, (9.60)

Dk=^~ ^^U"^^z, (9.61),

где

\U" = lh"]M. (9.62)'

Этим jV-мерная задача сводится к одномерной многоэтапной процедуре решения. Для данной пары величин I и / легко вычислить сплайновые коэффициенты, используя уравнения (3.398) —(3.400) и (9.49) — (9.51). Оставшаяся часть процедуры идентична процедуре, описанной в разд. 9.5.

Метод оптимального контроля также может быть модифицирован, чтобы получить сплайновые функции для оптимизированного распределения потенциала в виде уравнения (9.49), свободные коэффициенты которого определяются этим методом. Если ограничения нарушаются, то к объективной функции добавляется штраф в виде новой функции цели, которая минимизируется этим методом. Его детальное описание дано в разд. 9.6.

Методы динамического программирования и оптимального контроля хорошо дополняют друг друга: первый обеспечивает широкомасштабный поиск в дискретных областях, а второй обладает высокой скоростью сходимости. Оба способны давать

вполне удовлетворительные результаты сами по себе, но процедура синтеза может сочетать их, начиная с метода динамического программирования и улучшая результаты методом оптимального контроля.

После того как найдено оптимизированное распределение осевого потенциала, реконструкция электродов или полюсных наконечников становится чрезвычайно легкой. Всегда известно не только распределение осевого потенциала, но и его непрерывная вторая производная. В нее не входит построение кривой, а только обобщение сплайновой функции на точки пространства, не лежащие на оси, как обсуждалось в разд. 9.8 и 9.9. Результирующие электроды состоят не из цилиндров и дисков как стандартных деталей, но после соответствующих упрощений они становятся вполне приемлемыми. Поскольку положения и потенциалы электродов гораздо важнее, чем их форма, искривленные границы всегда можно заменить легко изготовляемыми прямыми поверхностями. Но даже относительно сложная система будет малой ценой за значительный выигрыш, который можно получать с помощью этого подхода. Стоимость изготовления любого электрода или полюсного наконечника всегда ничтожна по сравнению с общей стоимостью такого сложного инструмента, как, например, установка для ионно-лучевой литографии.

Описанный здесь метод является весьма мощным. Практические примеры его применения будут даны ниже. В первую очередь выделим некоторые его важные особенности.

Этот метод может применяться как к электростатическим, так и магнитным линзам. Он может быть распространен на фокусирующие и отклоняющие системы с любой симметрией и, возможно, даже к синтезу целых оптических колонн.

Его можно использовать с произвольными объективными функциями и любыми ограничениями в зависимости от практических требований.

Результирующие линзы всегда должны упрощаться и изменяться с помощью стандартных аналитических методов вычисления поля и хода лучей.

Подход, альтернативный синтезу, основан на использовании фиксированных многоэлектродных линз [320а, 320b]. В этом случае меняются потенциалы на электродах. Они оптимизируются с помощью методов, подобных описанным выше. Главное преимущество этого подхода заключается в том, что теперь нет необходимости реконструировать электроды, поскольку они заданы a priori.

Почти совсем не было работ по синтезу многокомпонентных систем и удалось получить единственный законченный метод, но «при сочетании изобретательности работающих в элект- 550

ровной оптике и вычислительной технике несомненно будут получены совершенно новые методы, о которых мы даже не можем здесь предположить» >[355].

10.1. Приложение: нестандартные электростатические линзы

Мы применили процедуру синтеза, обсуждавшуюся в разд. 9.10, к конструированию нестандартных электростатических линз с низкой сферической аберрацией. В качестве объективной функции был выбран коэффициент добротности Cso«ffi, а для минимизации использовался модифицированный метод оптимального контроля. Первые результаты получились многообещающими.

На рис. 152 показана пятиэлектродная однопотенциальная

Рис. 152. Пятиэлектродная однопотенциальная линза, сконструированная методом синтеза [354].

линза с отношением максимального потенциала к потенциалу электрода в пространстве объекта, равным 5 [354]. Ее сферический коэффициент добротности равен 1,03, неоптимизирован- ный хроматический коэффициент добротности равен 0,76. Ограничениями, накладываемыми на линзу, были низкие значения величины полей, при этом CSOoo/Lg=8,9 и CCooo!Lg=6,5. Сравнение со стандартными электростатическими линзами приведено в табл. 11, где она обозначена под № 7. Таблица говорит сама за себя.

На рис. 153, чтобы проиллюстрировать процедуру конструирования [321], показана схема четырехэлектродной электростатической линзы с отношением максимального потенциала к потенциалу объекта 5,43. Сначала создаются бесконечно длинные электроды, части которых изображены на рисунке тонкими линиями. На следующем этапе электроды обрезаются до приемле-

мых размеров и обрезанные части отбрасываются, чтобы избежать пробоя (штриховая линия). Далее электроды спрямляются. Окончательные спрямленные формы электродов изображены жирными сплошными линиями.

Осевые распределения потенциала реконструированных версий были пересчитаны с помощью метода плотности зарядов; затем были определены положения кардинальных элементов и коэффициентов аберрации методом построения хода лучей и численным интегрированием. Результаты показывают, что сферический коэффициент добротности изменяется в течение трех этапов процедуры реконструкции от 0,90 до 1,11, в то время как хроматический коэффициент аберрации изменяется от 0,80 до 0,83. Итак, упрощение формы электродов не приводит к существенному возрастанию аберраций. Кроме того, такая линза обеспечивает удобное рабочее расстояние в зондирующем режиме.

Рис. 153. Четырехэлектродная электростатическая линза, сконструированная методом синтеза. Формы электродов последовательно упрощаются до плоских поверхностей [321].

На рис. 154 изображено типичное распределение потенциала для электростатической линзы с очень маленькой сферической аберрацией [356]. Из-за математической сложности проблемы очень трудно предсказать или даже объяснить, почему некоторое распределение дает низкие аберрации. Однако известно £254], что сильное поле на входе линзы в общем должно уменьшать сферическую аберрацию. Распределение потенциала на рис. 154 четко подтверждает это. Очень важная особенность этого распределения состоит в том, что его минимум потенциала расположен в пространстве изображений, что является преимуществом при тестировании электронными и ионными пучками и микроанализе частицами с низкой энергией. Из-за обычно 552

существующих сферических и хроматических аберраций замедляющих линз получение тонких пучков с низкой энергией составляет большую проблему, особенно если максимально допустимый потенциал ограничен.

На рис. 155 показана трехэлектродная замедляющая линза, реконструированная из распределения потенциала, изображенного на рис. 154, и упрощенная спрямлением поверхностей. Максимально необходимое напряжение на электродах всего лишь в пять раз выше, чем потенциал электрода в пространстве объектов. Выходная энергия частиц уменьшена до 22% входной энергии. Сферический коэффициент добротности первоначального осевого распределения не превышает 0,28. После упрощения он равен всего лишь 0,51 и даже хроматический коэффициент добротности имеет приемлемое значение 1,33 для такого низкого выходного потенциала. При половинном угле аксептанса 5 мрад, фокусном расстоянии 51 мм и увеличении М=—3,3 радиус диска сферической аберрации равен всего лишь 6 нм.

На приведенных выше рисун- ц ках размеры линз выражены че- и^Тц" рез длину L (расстояние между ' а точками оси, за которыми потен- 6 " циалы практически постоянны с обеих сторон линзы). Потенции- А лы электродов отнесены к потен- " l \ циалу первого электрода в про- . / \ странстве объекта, т. е. началь-\

ной энергии частиц. В этом слу- 2 7\

чае минимальная длина L выби- /\

рается из требования, наклады-____

ваемого на максимум электриче- %^^**Z/L

ского поля, которая, чтобы избе-рис 154 т^^ осевое распределе. Жать пробоя, не должна превы- ние потенциала линзы с очень низкой1 шать определенного значения, сферической аберрацией {356]. Подобное требование для магнитных линз состоит в том, чтобы избегать насыщения. Конечно, еще можно использовать Cso<x/Lg и Cco^ILg как коэффициенты добротности, где Lg определяется уравнением (9.34). Тогда процедура будет состоять в том, чтобы уменьшать аберрации, сохраняя поля в допустимых пределах. Если же использовать коэффициенты добротности, которым мы отдаем предпочтение, то ограничения, накладываемые на поля, необходимо ввести как требования.

Обсуждавшиеся выше примеры не только подтверждают эффективность процедуры синтеза, но также демонстрируют возможности конструирования электростатических линз с очень низкими аберрациями.

Рис. 155. Трехэлектродная электростатическая линза, реконструированная из распределения осевого потенциала, изображенного иа рис. 154 [356].

Методы искусственного интеллекта

Мы не можем завершить эту главу без краткого обсуждения многообещающего нового подхода к конструированию электронной и ионной оптики: использования методов искусственного интеллекта.

В последние годы роль символьных вычислений в принятии решений различного рода увеличивается. Появились программы, способные по известным данным вывести правило без реального проведения огромного количества численных расчетов. Экспертные системы, имеющие встроенные знания в виде символически представленных фактов и правил, создаются с невероятной скоростью.

Электронная и ионная оптика являются областью, где эти новые подходы могут привести к значительным успехам.

Конструирование оптических элементов и систем основано на знании простых фактов и правил. Начальными данными являются законы электронной и ионной оптики и информация о существующих решениях. Ограничения задают допустимые значения этих параметров. Целью конструирования является достижение заданных оптических свойств. Как мы знаем, это можно сделать неограниченным количеством различных способов. Процедура конструирования чрезвычайно сложна из-за большого числа взаимно независимых переменных.

Оценка огромного количества опубликованных данных и формулировка общих критериев конструирования могут быть автоматизированы при помощи этих методов. Кроме того, ин-

Оптимизация и синтез электронных и ионных лииз тересно найти различные виды симметрий, приводящих к данному оптическому преобразованию.

Экспертная система для конструирования электронно-ионных линз может работать следующим образом. На первом этапе должна быть установлена база данных, которая обеспечивает эффективное представление, накопление и воспроизведение больших количеств опубликованной информации. Дружески настроенный к пользователю интерфейс позволит выбрать определенный набор или диапазон оптических свойств, а также и коэффициент добротности. Пользователь может получить любую новую конфигурацию электродов или модифицировать существующую в соответствии с имеющимися требованиями. Система автоматически выполнит расчет поля и ход лучей, определит оптические свойства, добавит новую конфигурацию к базе данных и оценит ее на основе наиболее подходящего коэффициента добротности. Как следующий этап развития, процедура синтеза может быть введена в экспертную систему.

Заключение

Эта глава посвящена различным подходам к одной из наиболее престижных целей электронной и ионной оптики; синтезу оптических систем с заранее заданными свойствами первого порядка и минимальными аберрациями. Мы начали с обсуждения возможности существования безаберрационной оптики. После короткого обсуждения первых попыток синтеза было представлено вариационное исчисление, как математически удовлетворительный, но скорее громоздкий подход к оптимизации линз. Теоретические нижние пределы коэффициентов сферической и хроматической аберраций даны в виде уравнений (9.13) и (9.33) — (9.36). Динамическое программирование, метод оптимального контроля и подход с помощью аналитических функций являются альтернативами, которые могут быть использованы практически для оптимизации осевых распределений. Следующей была представлена реконструкция электродов и полюсных наконечников из оптимизированного набора осевых данных; затем обсуждались понятия полиномиальной и сплайновой линз, на которых основан один из наших методов синтеза. Он сочетает динамическое программирование и алгоритм оптимизации методом оптимального контроля с очень простой процедурой реконструкции. Как пример применения процедуры синтеза были описаны электростатические линзы высокого качества. Наконец, были представлены возможности метода искусственного интеллекта для конструирования электронно-ионной оптики.

МУЛЬТИПОЛЬНЫЕ ЛИНЗЫ

В гл. 4, 5, 7 и 8 были детально рассмотрены оптические свойства осесимметричных полей. Как мы знаем, в приближении первого порядка такие поля обладают свойством стигматической фокусировки, т. е. взаимно однозначного соответствия между объектом и изображением. Это свойство абсолютно необходимо для целей электронной микроскопии. Однако существует много применений (например, ускорители заряженных частиц, спектрометры, вакуумные трубки и в общем даже электронные и ионные зонды), где не требуется стигматическая фокусировка. Роль лучевой оптики для ускорителей частиц сводится к поддержанию пучка, анализу его параметров и доставке его к месту эксперимента. При этом формировать изображение не нужно.

В таких случаях могут быть применены другие виды симметрий, отличные от осевой. В некоторых случаях отступление от осевой симметрии даже необходимо. К примеру, рассмотрим снова ускоритель частиц высоких энергий. Вследствие очень высокой скорости частиц для фокусировки пучка осесимметричными линзами потребуются сильные поля. Поле осесимметричной линзы в основном направлено вдоль оси (этот факт применяется в параксиальном приближении) и поперечные фокусирующие компоненты относительно невелики. Если необходим сильный фокусирующий эффект, то для этой цели намного лучше подходят квадруполи, поля которых почти перпендикулярны оптической оси.

Другим приложением мультиполей является коррекция аберраций. Мы видели в разд. 5.6.4, что аберрации осесимметричных линз могут компенсироваться мультипольными полями. Мультипольные стигматоры широко используются для коррекции осевого астигматизма.

Система может состоять из одних мультиполей, образуя законченную оптическую колонну. Как мы увидим в разд. 10.4, система квадруполей может давать стигматические изображения. Мультиполи используются также для отклонения пучка (разд. 11.1.1). Предполагается, что такие оптические колонны имеют более низкие аберрации, чем стандартные. Для того чтобы практически реализовать такие системы, необходимо преодо-

леть весьма значительные трудности, связанные с их слож- -ностью.

Множество книг и монографий [22, 27, 29, 30, 35, 37, 62, 357, -358] посвящено мультипольным линзам (в основном квадруполям). Ограниченный объем позволяет представить здесь только лх основные особенности.

Поля мультипольных линз

Мультипольные поля довольно подробно обсуждались в разд. 3.1.1.3 и 3.1.3. Надеемся, что читатель изучит эти разделы, - прежде чем читать эту главу. Поскольку мультипольные поля трехмерны, их разложения в ряд обычно содержат бесконечное число функций даже в специальном случае N плоскостей симметрии, рассмотренном в разд. 3.1.1.3. Согласно обсуждению компонент высших гармоник в конце этого раздела, n-й член в уравнении (3.52) для данного N можно всегда интерпретировать жак вклад от идеального 2nN полюса. Следовательно, можно изучать свойства квадруполей, октуполей, додекаполей и т. д., просто рассматривая разложение в ряд квадруполя. Это также •справедливо не только для симметричного случая, но и тогда, когда мы имеем дело с N плоскостями антисимметрии. Единственным недостатком этого подхода является то, что не все муль- типольные линзы (например, гексаполи) будут включаться в рассмотрение.

Рассмотрим тогда стандартную квадрупольную конфигурацию, показанную на рис. И. Две перпендикулярные плоскости (xz и yz) являются плоскостями симметрии для электростатического поля и антисимметрии для магнитного. Больше никакой информации о знаках электрода и полюсного потенциала ■нам не понадобится.

Для симметричного распределения электростатического потенциала можно непосредственно использовать уравнение (3.82). В нем U0{z) = U(z'), ^(z), Щ^ и ^e(z) — потенциалы осесимметричной, квадрупольной, октупольной и додекаполь- ной компонент соответственно. Если к двум плоскостям симметрии добавить также две плоскости антисимметрии, расположенные под углом 45° к плоскостям симметрии, то октуполь- ная составляющая будет отсутствовать (см. разд. 3.1.1.3). Наличие осесимметричной компоненты говорит о том, что обычно осевые (продольные) компоненты поля, создаваемые разными электродами, не компенсируют друг друга вдоль оптической оси. Это хорошо видно на продольном сечении квадруполя, показанном на рис. 25. Очевидно, что в этом случае должно существовать продольное поле. Если электроды имеют бесконечную длину и возбуждены симметрично, то осесимметричной

компоненты не существует. С другой стороны, поскольку это рассмотрение основано только на свойствах симметрии распределения потенциала, оно включает случай непроизвольного отклонения от осевой смметрии (см. разд. 5.6.4), например, вследствие эллиптичности апертуры.

Около оси можно пренебречь всеми членами, содержащими степень поперечной координаты выше второй. Тогда уравнение (3.82) упрощается:

и (х, у, г) * U (2) - U" (г) (х2+у2)/4 + U2 (z) (х2 — у2).

(ЮЛ)

Видно, что в этом случае распределение потенциала содержит только осесимметричные и квадрупольные члены. Это означает, что компоненты высших гармоник не оказывают влияния на свойства мультипольных линз первого порядка.

В случае симметрично возбужденных и бесконечно длинных идеальных квадруполей единственным членом уравнения (3.82) будет тот, который содержит [/2(2). Двумерное распределение потенциала дается уравнением (3.87), правая часть которого совпадает с последним членом уравнения (10.1), если U2 постоянно. Это означает, что для идеального квадруполя параксиальное рассмотрение имеет силу во всем пространстве, ограниченном электродами.

Уравнения (1.13) и (1.17) дают следующие выражения для компонент электростатического поля вблизи оси:

£x= [[7"(z)/2 — 21/2(г)]х,

E„=VU"(z)l2-V2U2^3y, (Ю.2)

Е2 = -и'^) + и'"^ (х2+у2)/4—U2 (z) U2-У2)-

Поперечные компоненты линейно зависят от соответствующих координат. В отсутствие осесимметричной компоненты продольная компонента поля находится в квадратичной зависимости от координат, следовательно, она гораздо меньше поперечных компонент. Если зависимости от z нет (плоское поле), то продольная компонента отсутствует. Поперечное поле вдоль оптической оси отсутствует, поэтому частицы, начавшие движение по оси с нулевой поперечной компонентой начальной скорости, будут продолжать движение по прямой.

Теперь необходимо вывести выражение для антисимметричного магнитного скалярного потенциала ®. Напомним читателю, что уравнение (3.82) было выведено для симметричного случая, следовательно, здесь оно неприменимо. Начнем с общего уравнения (3.27). Так как плоскости xz и yz—антисимметричны, изменение знака х или у должно изменить знак потенциала. Следовательно, необходимо устранить все члены, содер-

жащие четные степени х и у, из разложения в степенной ряд. В результате получим:

«а (х, у, г) = 2Q2 (z)ху — П"2 (z) ху (х2+у2) /6 +

+ 4Q4(z)xy(x2 — у2) +... ,(10.3)

где Q2(z) и £24(z) — функции магнитных квадруполя и октуполя ■соответственно. Если в дополнение к двум антисимметричным плоскостям существуют также две плоскости симметрии, расположенные под углом 45° к антисимметричным плоскостям, то октупольная компонента будет отсутствовать. Такое расположение вполне обычно для магнитных квадруполей. В этом случае не существует осесимметричной компоненты.

Вблизи оси можно пренебречь всеми членами, содержащими степени поперечных координат выше второй. Тогда в уравнении (10.3) остается только первый (квадрупольный) член. Компоненты высших гармоник не оказывают влияния на свойства линзы первого порядка.

С помощью уравнений (1.13) и (1.22) получим следующие выражения для компонент магнитной индукции вблизи оси:

Вх = —2Ц0Й2 (2) у,

Ви=—2|xqQ2(z)x,(Ю.4)

Вг = —2ц.0£2'2(г)ху.

Снова поперечные компоненты линейно зависят от координат, но в этом случае они взаимно перестановочны. Продольная компонента квадратично зависит от координат, следовательно, она гораздо меньше поперечных компонент. Если зависимость ют z совершенно отсутствует (плоское поле), то отсутствует и продольная компонента, а следовательно, полей вдоль оптической оси не существует.

Квадрупольные функции t/2(z) и Q2(z) зависят от формы электродов и полюсов соответственно, а также от их возбуждения. Они должны быть нормированы таким образом, чтобы соответствующие потенциалы принимали заданные значения вдоль поверхностей электродов и полюсов. Достаточно выразить коэффициенты в виде, подобном тому, который задан в уравнении (3.198) с некоторым характерным радиусом R, который определяется реальной конструкцией линзы. Например, в случае вогнутых цилиндрических электродов и полюсов (см. рис. 24) R является радиусом цилиндра. Эти коэффициенты линейно зависят от возбуждения. Для электростатической компоненты возбуждение является абсолютной величиной разности между потенциалами электродов и средним осевым потенциалом. Для магнитной компоненты возбуждение выражается через коэффициенты Q2 с помощью уравнения (3.232).

Квадрупольные компоненты U^^z) и Q2(z) обычно являются весьма громоздкими функциями осевой координаты z. Мы уже обсуждали эту проблему в разд. 3.1.3. Среди применяющихся различных моделей наиболее популярны колоколообразная и прямоугольная. Простая конструкция идеальных мультиполей обсуждалась в разд. 3.1.3.3. Здесь можно предположить, что обе квадрупольные функции зависят от z таким же образом, и эта зависимость может быть описана простой нормированной функцией формы k^zY Тогда можно записать

£/2(г) = ^(г), Й2(г)=Ю2£(г), (10.5)

где U2 и Q2—постоянные, выраженные через электродные или полюсные потенциалы, а функция формы принимает вид колоколообразной кривой или прямоугольника соответственно для двух вышеуказанных моделей. В последнем случае удобно воспользоваться понятием эффективной длины, т. е. заменить реальную длину системы L величиной Leu, вычисленной из уравнения (3.197). Для быстрой оценки может быть использована эмпирическая формула [23]

Leu»L+YIR, (Ю.6)

где R— характеристический радиус, указанный выше. Тогда можно предположить, что &(г)=1 внутри области, определяемой эффективной длиной, и к (г) =0 вне ее.

Уравнения параксиальных лучей

Уравнения (2.80) и (2.81) являются общими уравнениями траектории в декартовых координатах. Выражая скорости через уравнение (2.31), учитывая уравнения (2.87), (2.89) и (2.90), подставляя компоненты поля из уравнений (10.2) и (10.4) и, наконец, пренебрегая членами, содержащими степени х, у и х', у' выше первой, а также их комбинациями, получим релятивистское уравнение параксиальных лучей для стандартной конфигурации в следующем виде:

хГ = Y^xU, ^—xU" (z)/2 - x'U' (z)] x

X {1 - Q YU (z) - U^m»^ {2 [I/ (z)-[/0]rel}"i ± ±{ —m„ [1/(2)-t/0]rel} ^2(2), (Ю.7)

/ = - Y^yU. (z) + yU" (z)/2 + y'U' (z)] x

X [1 —Q YU (z) - U^m^Y {2 YU (z) - U»\4=

+ !~;Г7777&7тТ2^<10-8)

(Wo I и — L'olrel)

где верхние и нижние знаки последнего члена отвечают положительно и отрицательно заряженным частицам соответственно.

Эти уравнения описывают проекции траекторий релятивистской заряженной частицы на плоскости xz и yz соответственно, когда частица движется в поле квадруполя стандартной конфигурации, изображенном на рис. И. Они имеют замечательную особенность: эти уравнения не только линейны и однородны для переменных х и у, но и сами переменные независимы друг от друга в этих двух уравнениях. В этом и состоит причина выбора этой стандартной конфигурации. Легко видеть, что для любой другой конфигурации, например если немного усилить осесимметричное магнитное поле, уравнения не будут разделяться, и будем иметь намного более сложный случай.

Отметим, что эти уравнения содержат только осесимметричные электростатические и магнитные функции квадрупольных потенциалов. Компоненты высших гармоник не оказывают влияния на параксиальные свойства. Функция [[/(z)—t/o]rei вычисляется подстановкой функций осевого потенциала U^z) осесимметричной компоненты в уравнение (2.89). В отсутствие осесимметричных линз и любых осесимметричных компонент, появляющихся из-за асимметрично возбужденных квадруполей, U(z) постоянно и равно электростатическому потенциалу вдоль оси (средняя энергия частицы выражена в электрон-вольтах), и уравнения существенно упрощаются. Для специального случая, когда в системе нет квадруполей, оба уравнения в отсутствие косых лучей (С=0) дают электростатические члены уравнения параксиальных лучей (4.31), потому что в этом случае каждая из плоскостей xz и yz может быть выбрана в качестве меридиональной. В случае косых лучей уравнения в декартовых координатах проще, чем в цилиндрических (см. разд. 4.10.1.2), следовательно, нет необходимости рассматривать косые лучи отдельно.

Для небольших скоростей релятивистский потенциал можно заменить электростатическим и членом Q[[/(z)—t/o]/(moc2) можно пренебречь.

Если осесимметричная компонента отсутствует ^U(z) = U= = const], уравнения можно записать в гораздо более компактной форме. Обозначим

q^ =- l/2(z) [1 - Q ф - [/0)/(т0С2) ]/([/ - 1/0)ге1Т

+ [— 2СЦтйф— 1/о)Ге1],/2ЦоЙ2(г).(10.9)

Тогда уравнения (10.7) и (10.8) можно записать в виде

х" + <7(z)x = 0,(10.10)

y"-q^y = O(10.11)

для двух проекций траектории. Отсюда видно, что для прямоугольной модели, когда q^ постоянно внутри поля квадруполя, решение одного из приведенных выше уравнений является комбинацией гармонических функций, в то время как решение другого — комбинацией двух гиперболических функций, зависящих от знака q. Следовательно, траектории частиц, распространяющихся в плоскости xz, полностью отличаются от траектории частиц, распространяющихся в плоскости yz. Фокусирующим свойством обладает одна из двух ортогональных плоскостей, а другая обладает дефокусирующим свойством. Если частица попадает в случайную точку пространства, силы будут действовать так, чтобы оттолкнуть ее в направлении дефокусирующей ллоскости и вырвать из фокусирующей. Подобная ситуация существует, даже если <7(2) является сложной функцией при условии, что знак ее не меняется. Если же знак ^(2) меняется, т. е. если мы имеем систему квадруполей, то можно одновременно получить фокусирующее действие в обеих плоскостях.

Функция <7(2) зависит от трехмерной формы электродов и полюсов, а также от возбуждения. На практике, когда как объект, так и изображение помещены вне поля квадруполя и особенно в случае мультипольных систем, влиянием контурных полей на концах отдельных элементов пренебречь нельзя.

Знак <7(2) зависит от полярности электродов и полюсов. Рассматривая уравнение (10.9), видим, что для положительно заряженных частиц <7(2) положительно (или отрицательно для отрицательно заряженных частиц), если U^z^ положительно и/или ^2(2) отрицательно. Если, однако ^2(2) отрицательно и ^2(2) положительно, то <72(2) отрицательно для положительно заряженных частиц и положительно для отрицательно заряженных частиц. Если обе функции имеют одинаковый знак в комбинированной электростатической и магнитной системе, то нужно сравнить два члена уравнения (10.9), и знак его большего члена будет определять знак 9(2). Для положительного <7(2) плоскость xz является фокусирующей, для отрицательного q(2) фокусирующей является плоскость yz. Оценивая направление силы Лоренца в различных точках плоскости (рис. 11), видим, что рисунок соответствует случаю, когда ^(2)<0 для положительно заряженной частицы.

Важно отметить, что стандартно ориентированные электростатические, магнитные и комбинированные квадрупольные линзы имеют сходные свойства. Эти свойства зависят только от функции <7(2), т. е. от формы и возбуждения электродов и/или полюсов. Удобно предположить, что как ^2(2), так и йг(2) одинаково зависят от координаты z (уравнение (10.5)). Тогда U2 пропорционально электростатическому потенциалу V, приложенному к электродам и измеренному относительно осевого по-

тенциала, a Q2 пропорционально магнитному скалярному потенциалу со на полюсах (предполагается, что они имеют эквипотенциальные поверхности). U2 положительно, если электрод,пересекающий ось х, имеет положительный потенциал (на рис. 11, следовательно, С/2<0). Аналогично для полярности магнитных полюсов, показаннных на рис. 11, имеем Q2>0.

Формирование изображения параксиальными лучами

Так как уравнения параксиальных лучей (10.10) и (10.11) являются линейными однородными дифференциальными уравнениями второго порядка, общее решение каждого из них может быть записано в виде (4.55), т. е. как комбинация двух линейно-независимых частных решений. Пусть Xi(z) и x2(z)— частные решения уравнения (10.10), в то время как частными решениями уравнения (10.11) являются yi(z) и уг^. Рассмотрим точки объекта с координатами х0, у0, z0. Применяя аргументацию разд. 4.4 к обоим уравнениям (10.10) и (10.11), выведем общие решения в виде, эквивалентном уравнению (4.57):

X (z) =ХоХ2 (z) /Х2 (Zo) + Сх [Xi (z) — Х1 (z0)Х2 (z) /Х2 (z0) ],

(10.12)

У(г) =УоУ2(г)/у2(го)+cy[yi(z) — yi(z0)y2(z)/y2(z0)], (10.13) где с* и с8 — две различные произвольные постоянные, которые определяют начальный наклон данной траектории.

Предположим, что существуют такие z=zXi, при которых множитель при сх равен нулю. Тогда имеем

X2(zx,)/x2(zo) =Х1 (zXi)lxi (z0) =МХ,(10.14)

но для этого конкретного значения z уравнение (10.12) упрощается до

X(Zxi)=MxXo,(10.15)

где Мх— увеличение в плоскости xz. Конечно, подстановка z= = zxi в уравнение (10.13) не упрощает это уравнение: значение у для каждого су свое. Можно заключить, что линейное изображение точечного объекта формируется квадрупольной линзой. Это изображение параллельно оси у, а его расстояние от оси г дается уравнением (10.15).

Предположим теперь, что мы имеем дело с такой системой квадруполей, где существует z = zyil при котором множитель при су равен нулю. Тогда

Уг^О/уг^о) =yi(zy,)/yi(z0) =Му,(10.16)

и для z=zul уравнение (10.13) упрощается до

У (Zyt} =Муу0, (10.17) тде Мд — увеличение в плоскости yz. Подстановка z=zyt в уравнение (10.12) не упрощает это уравнение: значение х для каждого сх свое. Как следствие линейное изображение точки ■объекта формируется квадруполем. Изображение параллельно оси х и его расстояние от оси z дается уравнением (10.17).

Как видим, два взаимно перпендикулярных линейных изображения точечного объекта формируются двумя различными линейными увеличениями. Следовательно, фокусировка астигма- тична (см. разд. 5.6.4). Если точка объекта находится на оси (хо=уо=0), то оба линейных изображения пересекают ось z.

Точечное изображение точечного объекта может быть сформировано, если Zxi = zui. Это условие может быть удовлетворено для некоторого заданного положения объекта с помощью соответствующим образом выбранной системы квадруполей, но обычно эти два увеличения остаются разными, следовательно, круг в этой системе будет изображаться как эллипс. Обеспечить стигматическую фокусировку при равенстве двух увеличений для произвольного положения объекта — очень сложная, но все же выполнимая задача (см. разд. 10.4).

Кардинальные элементы могут быть введены способом, аналогичным случаю осесимметричных линз. Однако в двух ортогональных плоскостях они обычно отличаются; следовательно, их использование более сложно. Аналогично может быть использовано приближение тонкой линзы (см. разд. 10.4.2).

В заключение отметим, что рассмотрение, проведенное здесь, действительно только для параксиального приближения. Если используется более широкий пучок, теория первого порядка неадекватна и необходимо принимать во внимание абберрации (см. разд. 10.5).

Системы квадруполей

Как отмечалось в предыдущем разделе, для того чтобы иметь действительное изображение в обеих ортогональных плоскостях, функция ^(z) должна менять знак. Этого можно достигнуть, если использовать сложное трехмерное расположение электродов и полюсов. Однако существует гораздо более простая альтернатива. Рассмотрим систему квадруполей, в которой каждый повернут вокруг оптической оси z на 90° по отношению к соседнему. Тогда имеем две альтернативные системы рассеивающих и собирающих линз в двух ортогональных плоскостях xz и yz. Эта ситуация эквивалентна тому, что функция ^(z) меняет свой знак у каждого нового элемента. Линза, рассеи-

яающая в плоскости Х2, является собирающей в плоскости yz я обратно.

Системы осесимметричных линз были рассмотрены в разд. 4.8. Мы установили, что понятие матрицы преобразования (разд. 4.8.1) полезно для математического описания свойств -линзовых систем. Так как квадруполи почти всегда используются в комбинациях, очень удобно для их описания использовать матрицу преобразований, потому что матрица преобразования системы линз является просто произведением матриц преобразований отдельных элементов.

Матрицы преобразований

Общее решение линейных и однородных дифференциальных уравнений второго порядка (10.10) и (10.11) всегда может быть записано в матричной форме

/ х (г) \ i х (гЛ \•

I,(10.18)

(г)УХ\х'^)v ’

( ,,, =«„ ,. . ,(10.19)

\У (2)/”\У М)

где Zo — обычно начальное значение координаты z (в частности, это может быть координата объекта), a mz и т8— матрицы преобразований в плоскостях xz и yz соответственно. Как мы знаем из разд. 4.8.1, матрицы преобразований полностью описывают свойства данного оптического элемента. Так как теперь эти свойства различны в двух ортогональных плоскостях, имеем две матрицы преобразований вместо одной, как в случае осесимметричных линз.

Рассмотрим прямоугольную модель при q(z) = <7 = const>0. Это означает, что плоскость xz является плоскостью фокусировки, а плоскость yz — плоскостью рассеивания. Тогда частные решения

Xi (2) = sin [<71/2 (2 — 20) ] , Х2 (z) = COS [^1/2 (2 — 2О) ],

(10.20)

Ух (2) = sh Yq1/2 (2 — 20) ] ,у2 (2) = ch [^*/2 (2 — 20) ]

должны быть подставлены в уравнения (10.12) и (10.13) вместе с

cx=q-1/2x'o,cy = q-^2y'o,(10.21)

чтобы получить общее решение. Далее матрицы преобразований есть

/x2(z) q-^Xit^X

Шх = \ / x /х ’ )=mconv, (10.22) \—^/^H2) X2(z) /

ту-\У1/2У1(г) УДг) (10.23)

потому ЧТО x(zo)=Xo, x'(zo)=x'o, У^о^=Уо И y'^Zo^y'o. Квадрупольные матрицы преобразований в плоскостях фокусировки и рассеивания обозначены mConv и mdiv соответственно. Очевидно, соотношения mx = mConv и mj/ = zndiv справедливы только потому, что мы выбрали ^>0. При ^<0 собирающая и рассеивающая плоскости меняются местами.

Обе матрицы имеют единичный определитель. Это справедливо, даже если q(z) является сложной функцией, вследствие того что в уравнениях (Ю.Ю) и (ЮЛI) полностью отсутствуют первые производные рассматриваемых переменных. Отметим различие во внешнем виде этих матриц преобразований и матриц, выраженных через асимптотические главные элементы осесимметричных линз в разд. 4.8.1. Естественно, все они представляют одни и те же свойства. Например, мы видели в разд. 4.8.1, что определитель матрицы преобразований всегда равен отношению фокусного расстояния объекта и фокусному расстоянию изображения. Но два фокусных расстояния равны, если линза имеет одинаковые осевые потенциалы с обеих сторон (см. уравнение (4.76)), что полностью соответствует данному случаю (мы заменили осесимметричную компоненту потенциала постоянным осевым потенциалом). Следовательно, определители действительно должны быть равны единице.

Используя матрицы (10.22) и (10.23), легко определить оптические свойства любой системы квадрупольных линз простым перемножением их матриц преобразований. Мы сделаем это для некоторых специальных случаев в следующих разделах.

Представление с помощью тонких линз

Так как функция q^ пропорциональна возбуждению и чем длиннее линза, тем сильнее ее действие, очевидно, что оптическая сила квадрупольной линзы должна зависеть от значения безразмерной величины qL1. Если |g|L2Cl, можно использовать приближение тонкой линзы (см. разд. 4.9). В этом случае решение прямоугольной модели становится очень простым, так как прямоугольники можно заменить сосредоточенными тонкими зонами, в которых проявляется действие линзы. Частицы движутся вдоль прямых линий в дрейфовом пространстве между тонкими линзами, где поле отсутствует. Хотя мы знаем, что это очень грубая модель, будем использовать ее в дальней-

.шем, потому что это приближение позволяет сконцентрировать внимание на основных физических свойствах. Отметим, однако, что в реальной конструкторской работе приближение тонкой .линзы должно всегда использоваться с большей осторожностью.

Как мы знаем из разд. 4.9.1, матрицу преобразований толстой линзы всегда можно разложить на комбинацию трех более простых матриц, представляющих либо а) два дрейфовых пространства с тонкой линзой между ними, либо б) две тонкие линзы с дрейфовым пространством между ними (см. рис. 54).

Для простоты предположим, что длины двух дрейфовых пространств одинаковы: li = l2=l. По определению в этом случае fi = f2 = f. Тогда уравнение (4.130) для матрицы преобразований mdid системы из двух дрейфовых пространств и тонкой линзы дает

^и —^и —1-1/1 Ц2-1Щ— 1/f 1-W1-1/1 Ц2-1Щ— 1/f 1-W(10.24)(10.24)

^и —

^и —

1-1/1 Ц2-1Щ

— 1/f 1-W

1-1/1 Ц2-1Щ

— 1/f 1-W

(10.24)

(10.24)

Сравнивая эту матрицу с матрицей (10.22) для фокусирующей плоскости и используя уравнение (10.20) при z—z0 = L, найдем, что две эти матрицы идентичны, если выбрать

l/fconv = «71/2sin(^/2L),(10.25)

Unv = q"v/2 tg(qV2LI2) >L/2,(10.26)

где индекс conv означает, что приведенные выше величины отнесены к фокусирующей плоскости.

Сравним теперь матрицу (10.24) с матрицей (10.23) для рассеивающей плоскости. Две матрицы идентичны, если выбрать

l/fdiv=^sh^L),(Ю.27)

U^q-^W^L^ <IA(10.28)

где индекс div означает, что приведенные выше величины отнесены к рассеивающей плоскости.

Известно (см. разд. 4.9.1), что фокусное расстояние тонкой линзы этой модели равно фокусному расстоянию первоначальной толстой линзы. Из уравнений (10.25) и (10.27) очевидно, что знаки фокусных расстояний в двух ортогональных плоскостях различны (положительный в фокусирующей плоскости и отрицательный в рассеивающей плоскости), а оптическая сила выше в рассеивающей плоскости. Уравнения (10.26) и (10.28) показывают, что /conv>/div, т. е. главные плоскости сдвинуты в разных направлениях от центральной плоскости линзы.

Если первоначальная линза является тонкой, то можно заменить тригонометрические функции их аргументами в уравнениях (10.25)—(10.28) и получим

(1/fconv) thin = — (1/fdiv) thin = ?E,(10.29)

(/conv)th!n— (/div)thln =L/2,(10.30)

t. e. для тонкой квадрупольной линзы абсолютные величины двух фокусных расстояний равны и главные плоскости совпадают с центральной плоскостью линзы.

В случае второго представления пусть фокусные расстояния двух тонких линз будут f' и f" соответственно. Тогда из уравнения (4.133) для матрицы преобразований тш системы двух тонких линз и одного дрейфового пространства получим

(X — djr d \

m‘dl\—l/f X-dir)’(Ю.31)

где f — фокусное расстояние составной линзы из уравнения (4.112).

При сравнении этой матрицы с матрицами (10.22) и (10.23) сразу же видно, что соответствие возможно только тогда, когда f'=f", т. е. две тонкие линзы должны быть идентичны. Тогда находим, что для фокусирующей плоскости матрицы (10.22) и (10.31) идентичны, если выбрать

l/rconv = 91/2tg(^/2L/2),(10.32)

dconv=<7~1/2sin(<71/2L)<L.(Ю.ЗЗ)

Подставляя эти величины в уравнение (4.112), естественно получим фокусное расстояние составной линзы, задаваемое уравнением (10.25).

Теперь сравним матрицу (10.31) с матрицей (10.23) для рассеивающей плоскости. Две матрицы идентичны, если положить

l/rdiv=-?1/2th(t71/2L/2),(10.34)

ddiv = q-1/2sh(qV2L)>L.(10.35)

Если подставить эти величины в уравнение (4.112), то получим фокусное расстояние составной линзы, задаваемое уравнением (10.27).

Знаки этих фокусных расстояний в двух ортогональных плоскостях снова различны. Из уравнений (10.33) и (10.35) имеем dconv<C.daiy.

Если первоначальная линза является тонкой, можно заменить тригонометрические функции их аргументами в уравнениях (10.32) —(10.35); получим

(10.36)(10.36)(10.37)(10.37)Рис. 156. Антисимметричный дублет: а — функция q (z); б — траектория в плоскости xz; в — траектория в плоскости уг.Рис. 156. Антисимметричный дублет: а — функция q (z); б — траектория в плоскости xz; в — траектория в плоскости уг.

(10.36)

(10.36)

(10.37)

(10.37)

Рис. 156. Антисимметричный дублет: а — функция q (z); б — траектория в плоскости xz; в — траектория в плоскости уг.

Рис. 156. Антисимметричный дублет: а — функция q (z); б — траектория в плоскости xz; в — траектория в плоскости уг.

(l/^conv) thin( l/^dlv) thin — ^-^/^i

(^conv)thin— (^div)thln— L.

Если подставить эти величины в уравнение (4.112) и пренебречь малыми членами, содержащими L3, то получим фокусное расстояние составной линзы, задаваемое для приближения тонкой линзы уравнением (10.29).

Дублеты

Теперь рассмотрим систему двух квадруполей, повернутых на 90° по отношению друг к другу вокруг оптической оси. Такая система называется квадрупольным дублетом. Если мультиполи, следующие друг за другом, повернуты так, что их осевые функции изменяют знак у каждого нового элемента, то мы говорим о мультипольных дублетах. В прямоугольной модели квадрупольного дублета имеются два прямоугольника различной полярности, разделенных дрейфовым пространством. Если два квадруполя в остальном идентичны друг другу, функция q (2) антисимметрична по отношению к средней плоскости дрейфового пространства. В этом случае мы говорим об антисимметричном дублете (рис. 156,а).

Теперь исследуем свойства антисимметричного дублета в приближении тонкой линзы. Очевидно, матрица преобразованной midi (уравнение 10.31) будет соответствовать любому дублету в приближении тонкой линзы. В соответствии с уравнением (10.29) в специальном случае антисимметричного дублета /'=—f"=±f, где f— положительная величина и верхний знак соответствует плоскости, где первая линза является. фокусирующей, а нижний — другой ортогональной плоскости. Тогда составное фокусное расстояние равно f2jd">0, т. е. дублет является фокусирующим в обеих плоскостях (отметим, что теперь f означает абсолютную величину фокусного расстояния отдельной компоненты), и

уравнение (10.31) имеет вид

H^d/f d \

^doublet ~ Id/p \ ±dlfj(10.38)

Эта матрица описывает дублет в обеих ортогональных плоскостях, если используются соответствующие знаки.

Очевидно, что результирующая составная линза больше не является тонкой линзой (см. разд. 4.9.1). В этом частном случае главные плоскости находятся далеко друг от друга. Но ясно,, что в обеих ортогональных плоскостях мы имеем фокусирующую линзу. Уравнение (10.38) показывает, что матричные компоненты ти и т.22 могут быть равны только в тривиальном случае djf=Q, следовательно, антисимметричный дублет тонкой линзы никогда не может представлять одиночную квадрупольную линзу, которая оказывает дефокусирующй эффект в одной из ортогональных плоскостей.

Этот результат не является для нас новым: мы видели в разд. 4.8.2, что даже комбинация двух толстых линз с равными, но противоположно направленными оптическими силами всегда дает суммарный фокусирующий эффект. Оказывается, что частица всегда проходит через рассеивающую линзу ближе к оси, чем через собирающую. Следовательно, влияние собирающей линзы на изменение наклона траектории сильнее, чем рассеивающей линзы (рис. 156,6 и 156,в).

Теперь найдем связь между изображением и объектом, используя матрицу преобразований, составленную из матриц дрейфового пространства в пространстве объектов длиной р, дублета и дрейфового пространства в пространстве изображений длиной q соответственно [29]. (Не путайте функцию q^ и положение изображения q.^ Если /ПагШр и mating— матрицы дрейфового пространства в пространстве объектов и изображений соответственно (см. уравнение (4.96)), то имеем

р q\ р Р\

^ ~ ^drift q^doublet^drift р = ( q j ] ^doublet (q । ^»(10.39)

где /^doublet дается уравнением (10.38).

Из уравнения (4.92) известно, что изображение формируется, если элемент щ12 этой матрицы имеет нулевое значение. В результате вычислений получим

тх 2 = р + q+d± (q — р) d^ — pqdl^ = 0,(10.40)

где, как объяснялось выше, положительные и отрицательные знаки соответствуют двум ортогональным плоскостям. Таким образом, если фиксируется положение объекта, то точка изображения будет формироваться на расстоянии q, если уравне- 570

ние (10.40) одновременно удовлетворяется для обеих плоскостей. Это требование дает

P^p^qA-d^dj^pA-d^ (p + q+d)] =

=q4pVd)dl\Xq^d] (p + q + d)], (10.41) которое вследствие симметрии выражения может быть справедливо, только если q=p. В этом случае параметры fad дублета должны выбираться так, чтобы они удовлетворяли соотношению

f2=p2/(l + 2p/d), (10.42) из которого можно видеть, что параметры зависят от положения объекта р.

Теперь рассмотрим увеличение. В соответствии с уравнением (4.92) увеличение определяется матричным элементом шц. Из уравнений (10.38), (10.39) и (10.42) имеем

М = — {1 + d!p±[ (2+dip) dip] */2}, (10.43) откуда ясно, что увеличения в двух ортогональных плоскостях будут разными для любого конечного dip. Очевидно, что абсолютное значение увеличения больше в плоскости, где первая линза является фокусирующей. В этой плоскости изображение увеличено, в то время как в другой плоскости уменьшено. Произведение двух увеличений равно единице. Параметр d может быть выбран на основе заданного увеличения в одной из ортогональных плоскостей. Тогда фокусное расстояние f определяется уравнением (10.42) для данного положения объекта р.

Чтобы получить более строгое решение, необходимо рассмотреть дублет толстых линз. Это может оказаться трудной задачей, если q^z) является сложной функцией. Очевидно, его оптическая сила не может быть одинаковой в двух ортогональных плоскостях (см. уравнения (10.25) и (10.27)). Если используется прямоугольная модель, то результат получается качественно тот же, что и для тонких линз [23, 357]. Как и прежде, точечное изображение точечного объекта может быть сформировано, но увеличения в двух плоскостях различны, и это требование может быть удовлетворено только для заданного положения объекта. Если точечный объект движется, то два изображения снова не совпадают и оба становятся линейными (см. разд. 10.3).

Полное моделирование формирования осесимметричного изображения теоретически возможно с помощью квадрупольного дублета, но можно показать [62], что такой дублет всегда будет давать рассеивающую линзу и, следовательно, не может быть использован для получения реальных изображений реальных объектов.

Триплеты

Следующей степенью усложнения является система трех квадруполей, повернутых на 90° относительно каждого соседнего вокруг оптической оси z. Такая система называется квадрупольным триплетом. В прямоугольной модели мы теперь имеем три прямоугольника чередующейся полярности, отделенные друг от друга двумя дрейфовыми пространствами. Если два внешних квадруполя идентичны друг другу и одинаково отделены от центрального дрейфовыми пространствами длины d каждый, то функция q(z) симметрична относительно средней плоскости центрального квадруполя. В этом случае мы имеем симметричный триплет (рис. 157).

1 q(z)

Рис. 157. Симметричный триплет.

Если отдельные элементы симметричного триплета являются тонкими линзами, его матрица преобразования может быть, просто составлена из уравнений (4.96) и (4.129) в следующем виде:

^triplet

/10\/1 d\/l0\Л d\/Ч0\

\±l/fout 1До 1Дт1//сеп1 1Д0 1Д±1/и V’ '

где fout и /cent — фокусные расстояния внешней и центральной линз соответственно. Верхний знак соответствует плоскости, где центральная линза является фокусирующей.

Из этой матрицы могут быть выведены основные свойства симметричного триплета. Оказывается, что симметричный триплет, составленный из трех тонких линз, в большинстве случаев все еще может рассматриваться как тонкая линза, поскольку его главные плоскости близки к средней плоскости.

Наиболее важное свойство симметричного триплета состоит в том, что он может обеспечить стигматическую фокусировку с равными увеличениями в обеих ортогональных плоскостях. Это делает возможным применение триплета в качестве элемента для мультипольной электронной микроскопии.

Мультиплеты

Квадруплет (система четырех квадруполей) может обеспечить стигматическую фокусировку в широком интервале расстояний до объекта [23]. Большее число квадруполей, которые могут следовать друг за другом с чередованием полярности,, дают сильную фокусировку на большом расстоянии.

Периодическая последовательность квадруполей чередующихся полярностей (чередующаяся градиентная фокусировка [359]) используется в ускорителях частиц для трнспортировки пучков на большие расстояния с ограничением до заданных размеров в плоскости, перпендикулярной направлению его распространения. Если удовлетворяются определенные условия,, результирующим эффектом такой системы является фокусировка в обеих ортогональных плоскостях. Этот фокусирующий эффект, кроме того, может быть использован для компенсации рассеивающего влияния собственного пространственного заряда пучка [360].

Рис. 158. Эллипс эмиттанса.

Матрица преобразований является эффективным инструментом для анализа свойств мультиплетов. Например, таким образом можно установить диапазон стабильности для параметров системы, гарантирующих, что она будет выполнять свою задачу даже при наличии малых возмущений.

Согласование пучка. Наконец, обсудим одно важное применение квадрупольных мультиплетов [357]. Подставим частные решения хДг) и хг(2) из уравнения (10.20) для фокусирующей плоскости квадрупольной линзы в общее решение x(z), даваемое уравнением (10.12). Принимая во внимание уравнение (10.21), дифференцируя общее решение по z и добавляя квадраты х и х', получим

х2 (z) -Vx'2 (z)lq=x02 + x0'2Iq=const.(10.45)

Следовательно, траектория частицы в фазовой плоскости хх',. является эллипсом (рис. 158).

Для ускорителей частиц мы ие можем уделить много внимания отдельным траекториям в пучке. Следовательно, удобна

рассмотреть хо и х' 0 как амплитуды, т. е. наибольшее возможное смещение и наклон соответственно. Тогда наш эллипс будет представлять все частицы с произвольными фазами, но ограниченные этими амплитудами. Следовательно, с помощью ■фазовой плоскости хх' удобно описывать предельные свойства пучка (даже если он не ламинарный) и те оптические системы, через которые он распространяется.

Будем называть эмиттансом пучка площадь, которую он занимает в фазовой плоскости. Аналогично определим аксептанс •оптической системы как площадь ограничивающей фигуры в фазовой плоскости. Очевидно, что фигуры аксептанса и эмит- танса должны быть близки друг к другу насколько это возможно, чтобы обеспечить наилучшую работу системы транспортировки пучка. Задача достижения этой цели называется согласованием.

В соответствии с теоремой Лиувилля (см. разд. 5.6.8) плотность частиц в фазовом пространстве не меняется со временем. Как следствие эмиттанс пучка является инвариантом, т. е. площадь ограничивающей фигуры не меняется со временем. Естественно, ее форма и ориентация могут изменяться, и фигура эмиттанса может иметь весьма необычную форму.

Эллиптическая форма контура в фазовой плоскости является следствием того, что рассматривается движение частиц в поле квадрупольной системы, т. е. под действием линейных сил (см. уравнения (10.2) и (10.4)). Если пучок остается в линейных полях, эллиптическая форма сохранится, но ее ориентация будет постоянно меняться. Нарушения контуров будут возникать как результат действия нелинейных сил, т. е. полей, которые не пропорциональны смещению, например поля мультиполей.

Как мы видели в разд. 5.6.8, удельная яркость также является инвариантом, и этот факт также является следствием теоремы Лиувилля. Следовательно, эмиттанс и яркость связаны друг с другом.

Форму и ориентацию ограничивающего эллипса легко менять с помощью простых линейных элементов. Влияние дрейфового пространства состоит в том, что каждая точка эллипса смещена параллельно оси х на величину, пропорциональную начальному отклонению частицы. Влияние тонкой квадрупольной линзы состоит в том, что каждая точка эллипса смещена параллельно оси х' на величину, пропорциональную начальному положению координаты частицы. Естественно, площадь эллипса остается неизменной.

На практике согласование достигается использованием комбинации дрейфовых пространств и толстых квадрупольных линз. Эта процедура может быть весьма сложной [361].

Аберрации мультипольных линз

Геометрические аберрации

Уравнения параксиальных лучей (10.7) и (10.8) были выведены при условии, что членами высших порядков в распределениях потенциала (10.1) и (10.3) можно пренебречь. Если в этих выражениях оставить большее количество членов, то получим более громоздкие уравнения траекторий. Тогда геометрические аберрации квадрупольной линзы могут быть определены как разность между более точными и параксиальными решениями. В зависимости от того, сколько членов рассматривается, можно говорить об аберрациях третьего или пятого порядков, как в случае осесимметричных линз (см. гл. 5).

Рассматривая геометрические аберрации третьего порядка как малые возмущения параксиальных траекторий, замечаем, что аберрационные члены будут зависеть от различных факторов. Члены, обусловленные наклоном траектории, присутствуют всегда и растут с возбуждением линзы. Дополнительные- члены возникают из-за контурных полей, мультипольных компонент и изменений осевого электростатического потенциала. Мультипольные аберрации можно разделить на те же классы,, что и аберрации осесимметричных линз. Однако число коэффициентов аберрации больше вследствие более сложной природы распределений полей. Определение этих коэффициентов аберрации различно в разных публикациях в зависимости от предположений, принимаемых в конкретных ситуациях [37, 362]. К примеру, астигматизм первого порядка квадрупольных систем можно применить в ускорителях частиц, что в свою очередь требует отдельного рассмотрения для стигматических и; астигматических систем: в первом случае определение подобно тому, которое используют для круглых линз, а во втором отклонение оценивается из линейности изображения. Чтобы в общем обеспечить единое представление электронно-ионных оптических свойств мультипольных линз, [363], можно применить метод характеристических функций (разд. 5.1).

Вычисление коэффициентов аберрации начинают с того, что- устанавливают функции U^z), В^, U^zV ^2(2), U^(z), Q4(z) и т. д. Затем решают уравнения параксиальных лучей для некоторых простых наборов начальных условий и подставляют эти решения вместе с заданными функциями осевых потенциалов в коэффициенты аберраций, которые всегда можно выразить в виде определенных интегралов (см. разд. 11.1.4). Реальная оценка этих интегралов возможна с помощью численных методов, выведенных в разд. 6.3. Реальные и асимптотические- коэффициенты аберраций можно ввести в соответствии с прин-

ципами, обсуждавшимися в разд. 5.4. Прямоугольная и колоколообразная модели являются наиболеее часто используемыми при определении коэффициентов аберраций для длинных и коротких мультиполей соответственно. (Отметим, что первая модель может обеспечить только грубое приближение; следовательно, для длинных линз имеет преимущество комбинация этих двух моделей.)

Геометрические коэффициенты аберрации вычислены как для реального [364, 365], так и для асимптотического случаев [366, 367]. Исследовалась зависимость реальных аберраций от возбуждения и положения объекта [368], и затем они сравнивались для колоколообразной и реальной моделей [369]. Объем не позволяет рассказать о ряде подробных работ, посвященных аберрациям квадрупольных систем [37, 165], но по крайней мере следует обратить внимание на прекрасную работу ленинградской группы под руководством С. Я. Явора [35].

Коррекция аберраций с помощью мультиполей

В разд. 5.6.4 мы обсудили один из наиболее многообещающих способов компенсации аберраций осесимметричными линзами, а именно коррекцию мультипольными элементами. Поскольку в уравнении (3.82) первые квадрупольные, октуполь- ные и додекапольные члены появляются в связи с членами второй, четвертой и шестой степеней поперечных координат, ясно, что эти компоненты изначально ответственны за члены первого, третьего и пятого порядков в уравнении траектории. Другими -словами, идеальный квадруполь приводит к астигматической фокусировке, идеальный октуполь ответствен за аберрации третьего порядка, а идеальный додекаполь — за аберрации пятого порядка. В случае реальных элементов появляются компоненты более высоких гармоник и ситуация усложняется. Естественно, даже идеальный квадруполь имеет аберрации, но приведенная выше классификация обеспечивает приемлемый учет основных видов различных мультипольных компонент.

Теорема Шерцера (разд. 5.2.1.3) для мультиполей не справедлива. Следовательно, можно ожидать, что их аберрации при различных обстоятельствах могут иметь разные знаки. Вследствие этого квадруполи, октуполи и додекаполи могут служить •корректорами астигматизма, аберраций третьего и пятого порядка соответственно.

Коррекция сферической аберрации осесимметричных линз хорошо известна [147]. Аналогично можно корректировать апертурные аберрации квадруполей, используя октупольную

линзу [160]. Возможна даже их физическая комбинация (см. рис. 38,6).

Таким образом, по крайней мере в принципе, комбинация квадрупольных систем с октуполями и додекаполями может привести к безаберрационным оптическим колоннам. Линзы, которые будут состоять из таких колонн, имеют весьма громоздкую конструкцию [370]. Проблема правильной юстировки является основным фактором, сдерживающим их коммерческую жизнеспособность в качестве альтернативы осесимметричным системам. Последние работы в направлении использования гек- сапольных линз для коррекции аберраций третьего порядка [167—169] могут внести вклад в производство относительно простых и безаберрационных электронно- и ионнооптических систем.

Хроматическая аберрация

Введем хроматическую аберрацию мультипольных линз аналогично тому, как для осесимметричных линз (см. разд. 5.3). Как и прежде, коэффициенты хроматической аберрации могут быть выведены с помощью метода характеристических функций. Однако здесь мы воспользуемся гораздо более простым подходом.

Известно, что причиной осевой хроматической аберрации является уменьшение оптической силы линзы с увеличением энергии частиц. Очевидно, что если эту зависимость сделать обратной, то хроматическая аберрация изменит свой знак. В случае нулевой зависимости хроматическая аберрация исчезает. Как мы знаем, для осесимметричных линз такое невозможно.

Ахроматические квадрупольные линзы. Исследуем теперь, к чему приведет комбинация электростатической и магнитной квадрупольных линз [23]. Мы анализировали знак функции q^ в конце разд. 10.2. Известно, что если ^(z) и имеют одинаковые знаки, то электростатические и магнитные силы действуют в противоположных направлениях, два члена в уравнении (10.9) имеют разные знаки, а знак q^ определяется большим членом. Однако для заданных осевых функций эти члены являются функциями только энергии частиц. В случае когда обе функции одинаково зависят от г (уравнение (10.5)) и Uи П2 положительны, для положительно заряженных частиц в уравнении (10.9) электростатический член будет положительным, а магнитный — отрицательным (для отрицательно заряженных частиц знаки меняются). Для малых энергий первый член является доминирующим, тогда как для

больших энергий доминирующим становится второй член. Существует значение энергии, при котором два члена одинаковы; следовательно, результирующее значение ^(z) равна нулю. В этом случае обе силы точно компенсируют друг друга и действие линзы исчезает.

Поскольку абсолютная величина q^ бесконечно велика при нулевой энергии и стремится к нулю при бесконечно большой энергии, но функция меняет знак где-то между ними, очевидно, что она должна иметь экстремум при энергии, соответствующей потенциалу 77 — t/achr, где система ахроматична. Условие ахроматизма может быть записано как

dqld(— QU)=0. (10.46)

Подставляя сюда выражение ^(z) для нерелятивистскога случая из уравнения (10.9) и учитывая уравнение (10.5), найдем, что для заданных величин 77 2 и Й2 значение U2 определяется выражением

U2№2 = ^V-Q^aehr-U0)!2m0y/2. (10.47)

(Для релятивистских частиц справедливо более сложное выражение.) Мы записали результат в таком виде, потому что обычно значение UaChr задано, и мы хотим вычислить соотношение между U2 и Пг, которое обеспечивает ахроматичность системы в окрестности этого конкретного значения потенциала.

Подставляя уравнение (10.47) обратно в нерелятивистское уравнение (10.9), получим ^aChr(z), т. е. функцию q(z) для ахроматического режима в следующем виде:

^achr(z) =^(z)/((7achr — и о) =— qe\ (z) =

= zp (—— Q] [2m0 (L/aChr — Uo) ]} ^Цо^г^ (z) = qmagn УУ2»

(10.48)

т. e. в ахроматическом режиме функция ^(z) равна ее электростатической части с отрицательным знаком или половине своей магнитной части ^magn(z). Следовательно, знак этой функции определяется ее магнитной частью.

Из этого раздела следует важный вывод: комбинация электростатической и магнитной квадрупольных линз или система таких линз может быть сделана ахроматической в некотором интервале энергий. Это еще одна причина, позволяющая верить, что безаберрационные оптические колонны на базе мультиполь- ных линз действительно возможны.

Заключение

В этой главе дан обзор наиболее важных свойств мультипольных линз. Поля мультипольных линз уже рассматривались в гл. 3. Здесь анализируются поля стандартных квадрупольных конфигураций, поскольку на их основе проводится соответствующее рассмотрение квадруполей, октуполей и додекаполей. Далее были выведены уравнения параксиальных лучей (10.7) и (10.8) и проведено обсуждение формирования изображения квадрупольными линзами. Обычно квадруполи формируют линейное изображение точечного объекта, но квадрупольные системы способны к формированию стигматического изображения. Применение матриц преобразований делает возможным краткое обсуждение квадрупольных дуплетов, триплетов и мультиплетов, включая понятие эмиттанса пучка. Наконец, были рассмотрены аберрации мультипольных линз. Геометрические аберрации осесимметричных квадрупольных линз могут быть компенсированы мультипольными элементами. Так как комбинированные квадрупольные линзы могут быть сделаны ахроматическими, можно построить безаберрационные оптические колонны, состоящие только из мультипольных элементов.

ОТКЛОНЕНИЕ ПУЧКОВ

Отклонение пучков частиц применяется в различных целях. Самый общий классический тип отклонения используется в катодно-лучевых трубках, установках литографии, сканирующих электронных микроскопах и других аналитических приборах. Его цель — сканирование пучка по поверхности. Главной особенностью этого типа отклонения является то, что неотклонен- ный пучок имеет прямолинейную оптическую ось; следовательно, анализ отклонения может быть основан на принципах, использованных в предыдущих главах.

Совершенно другой тип отклонения необходим в циклотронах, масс- и бета-спектрометрах, анализаторах энергии и т. д. В этом случае отклонение используется либо для управления пучками вдоль криволинейных траекторий, либо для разделения частиц с различными энергиями и (или) массами. В обоих случаях основная траектория пучка — кривая; пучок имеет криволинейную ось, которая требует специального рассмотрения.

В соответствии с приведенной выше классификацией будем рассматривать два этих основных случая отдельно. Должно быть ясно с самого начала, что для отклонения можно применить множество различных типов симметрии. Следовательно, нужно ограничиться несколькими простыми случаями, особенно теми, которые чаще всего встречаются на практике. Простейшими отклоняющими системами являются однородные электростатические и магнитные поля. Они уже обсуждались в разд. 2.7.1.1 и 2.7.2.2 соответственно. К сожалению, чисто однородные поля на практике реализовать невозможно вследствие присутствия контурных полей на физических границах электродов или магнитных полюсов.

Отклонение для сканирования

Если наша цель — отклонение пучка заряженных частиц, сфокусированного осесимметричными или квадрупольными полями так, что оптической осью является прямая линия (ось декартовой системы координат), то можно применить электростатическое или магнитное отклонение. Для сканирования необходимо отклонение в обоих ортогональных поперечных направлениях х и у.

Электростатические отклоняющие поля

Начнем с электростатического поля, которое отклоняло бы в направлении координаты х. Простейшим примером конфигурации электродов, с помощью которой получают такое поле, является плоско-параллельный конденсатор, показанный на рис. 5. Плоскость ух является плоскостью антисимметрии; дополнительно предположим, что плоскостью симметрии поля является плоскость хх, хотя это требование не обязательно.

Поскольку это поле — дипольное, можно начать с общего распределения мультипольного потенциала (3.52) при N=\, поскольку существует одна плоскость симметрии. Дополнительно, благодаря проведенному выше анализу симметрий разложение распределения потенциала в ряд может содержать только нечетные члены. Используя уравнения (3.54), (3.56), (3.60), (3.62) и (3.64), получим первые члены разложения в ряд (3.52) в виде

Ux^x.y.z^Ui^x— V3US (z) + t7i"(2)/8]xy2 +

+ [I/3(z)-(Л"(2)№3,(11.1)

где индекс x означает, что распределение потенциала используется для отклонения в направлении х. Функции (7i(z) и U3(x) определяют свойства отклонения. Они могут быть определены численно из реальной конфигурации электродов одним из методов, представленных в разд. 3.3 [96]. Уравнение (11.1) также прямо следует из общего уравнения (3.28).

Дифференцируя уравнение (11.1) по х и у, видим, что первый член Ех равен (A(z), т. е. х-компонента электростатического поля существует даже вдоль оптической оси, где х=0. С другой стороны, компонента Еу вдоль оптической оси равна нулю. Очевидно, такое расположение будет отклонять пучок с прямолинейной осью в направлении х.

Теперь рассмотрим электростатическое поле, отклоняющее в направлении у. Необходимо такое поле, для которого плоскость хх является плоскостью антисимметрии, а плоскость ух— плоскостью симметрии.

В этом случае мы не можем воспользоваться разложением потенциала мультиполя (3.52), потому что он был выведен в предположении, что плоскость хх является плоскостью симметрии. Однако можно использовать общее выражение, задаваемое уравнением (3.28). Вследствие проведенного выше анализа симметрий разложение распределения потенциала в ряд может содержать только четные члены по х и нечетные по у. В результате получим первые члены разложения в виде иу (х, у, x)«Wt (х)у+ [ЗИЗД - Г1"(г)/8]х2у-

-[^(zJ + r/'^/eiy3,(11.2)

где индекс у означает, что это распределение потенциала используется для отклонения в направлении у. Функции H7i(z) и Watz), которые определяют свойства отклонения, могут быть определены из реального расположения электродов каким-либо численным методом (см. разд. 3.3).

Дифференцируя уравнение (11.2) по х и у, видим, что первый член Еу равен Wi(z), т. е. у-компонента электростатического поля существует даже вдоль оптической оси z. Однако компонента поля Ех вдоль оптической оси равна нулю. Очевидно, такое расположение будет отклонять пучок от прямолинейной оси в направлении у.

Для сканирования пучка необходимо отклонение в обоих направлениях. Суммарный отклоняющий потенциал и является суперпозицией их и иу-.

u(x,y,z) = ux(x,y,z) +uy(x,y,z). (11.3)

Применяя уравнения (1.13) и (1.17) к уравнению (11.3) и пренебрегая всеми членами, содержащими комбинации поперечных координат в степенях выше первой, получим следующие приближенные выражения для компонент электростатического поля:

Ex«-Ut (z),

Eg^-W^z), (11.4)

Ег«-и\^х- W\tz)y.

Эти выражения справедливы в окрестности оптической оси. Для больших отклонений необходимо большее количество членов. Отсюда можно четко видеть физический смысл функций Ux(z) и Wi(z). Для однородных полей как U\, так и Wv постоянны. Функции Ua(z) и Wa(z) появляются только при больших отклонениях.

В катодно-лучевых трубках распределение потенциала (11.3) обычно реализуется двумя парами параллельных пластин, разделенных и повернутых по отношению друг к другу на 90° вокруг оптической оси. Однако удобнее использовать свойство мультиполей, обсуждавшееся в разд. 3.1.3.3, заключающееся в том, что большое число простых электродов, поддерживающих соответствующие потенциалы, может быть использовано для получения любого мультипольного поля. В этом частном случае удобно использовать восемь электродов, чтобы получить два взаимно перпендикулярных дипольных поля при одном достаточно простом расположении (рис. 159). Это так называемый «октупольный дефлектор» [371], но он не является реальным октуполем, так как не имеет четырех плоскостей симметрии.

Рис. 159. Электростатический «окту- польиый» дефлектор [371].Рис. 159. Электростатический «окту- польиый» дефлектор [371].Такое расположение обладает несколькими преимуществами перед обычным двухэлектродным дефлектором:

Рис. 159. Электростатический «окту- польиый» дефлектор [371].

Рис. 159. Электростатический «окту- польиый» дефлектор [371].

оно более компактно,

имеет меньшие аберрации,

может быть использовано одновременно как стигма- тор или даже как квадрупольная линза и октупольный корректор,

его поле легче вычис-

лить, чем поле двухэлементного дефлектора (см. разд. 3.1.3 и [22]).

Потенциалы электродов, необходимые для надлежащего действия восьмиэлектродного дефлектора, даны на рис. 159. Через Vx и Vу обозначены потенциалы, используемые для отклонения в направлениях х и у соответственно. Результирующие напряжения являются суперпозицией этих двух потенциалов, взвешенных параметром р, который в итоге определяет распределение потенциала в плоскости ху (Ocpcl). Его величина влияет на чувствительность отклонения и аберрации.

Преимуществами электростатического отклонения являются высокая скорость отклонения, легкость изготовления и независимость от отношения заряда к массе частицы (см. разд. 2.7.1.1), Возможность одновременного использования восьмиэлектродного дефлектора для фокусировки и коррекции аберраций также может считаться очень важным преимуществом. Его недостатком является относительно низкая чувствительность отклонения. Если необходима более высокая чувствительность, то нужно использовать магнитный дефлектор.

Магнитные отклоняющие поля

Обычно для сканирования используются два типа дефлекторов: седловая (рис. 160) и тороидальная (рис. 161) катушки. В обоих случаях вблизи оптической оси токи отсутствуют, следовательно, в этой области можно использовать магнитный скалярный потенциал со. При таком расположении, как показано на рисунках, плоскость хг является плоскостью антисимметрии, а плоскость yz— плоскостью симметрии для вектора плотности тока J. Следовательно, в соответствии с уравнением (1.4) и благодаря «вращательной» природе оператора «ротор» для вектора индукции В справедливо обратное. Действительно, для магнитного скалярного потенциала плоскость хг является плос-

костью симметрии, а плоскость yz— плоскостью антисимметрии. Как следствие уравнение (11.1) можно использовать для ®*> но, естественно, Ux^ и U^z) должны быть заменены некоторыми новыми функциями Qi(z) и Qs(z) соответственно.

Меняя плоскости симметрии и антисимметрии, придем к функции магнитного скалярного потенциала toy, задаваемой уравнением (11.2), где Wx(z) и ^(z) должны быть заменены новыми функциями ан (z) и o)3(z) соответственно. Эти функции можно определить из реального расположения отклоняющих катушек одним из численных методов [96]. Суммарный потенциал является суперпозицией этих двух случаев и дается выражением

to(x,y,z) =tox(x,y,z)+toy(x,y,z). (11.5)

Используя уравнения (1.13) и (1.22) совместно с уравнениями (11.1), (И.2) и (11.5) и пренебрегая членами, содержащи-

Рис. 160. Седловая катушка [96]. Рис. 161. Тороидальная катушка [96].

ми комбинации поперечных координат в степенях выше первой, получим следующие приближенные выражения для компонент вектора магнитной индукции:

Вх~~ Ho^l (2),

Ву«— p,o®i(z),(11.6)

Вг«— Цо[^/1(2)х+о,1 (z)#].

Эти выражения справедливы в окрестности оптической оси. Для больших отклонений потребуется включить большее количество членов. Так как пучок распространяется в основном вдоль оптической оси z, из уравнения (1.14) следует, что компонента Вх отвечает за отклонение в. направлении у, а компонента By обеспечивает отклонение в направлении х.

Стигматическая фокусировка при малых отклонениях

Покажем, что свойство стигматической фокусировки осесимметричных полей сохраняется в присутствии отклоняющих полей, если отклонение недостаточно, чтобы нарушить паракси-

альную природу пучка. Для простоты будет рассмотрен специальный случай чисто электростатических полей, но результаты в равной мере справедливы также для магнитных полей.

Начиная с общих уравнений траектории (2.80) и (2.81) в декартовых координатах, используя уравнения (2.31), (2.87), (2.89) и (2.90), подставляя компоненты поля из уравнений (3.38), (3.40) и (11.4) и пренебрегая всеми членами, содержащими степени поперечных координат выше первой и их производными, получим две проекции релятивистской параксиальной траектории в следующем виде:

x"-YYx'U'^^xU"^I2"\X

X {1 — QYU^ - Uo\Km^HW - I/oJrei}-^

= С/, (2) {1 — Q[C7(2) - У0]/(т0С2)}{2[^(2) - I/oJrel}-1,

(11.7)

у'^'и'^уиЧаШх

X(l-Q[t/(z) - W0]/(m0C2)}{2[[/(2) -[/0]^

= W.^\\-QYU^ - U^Hm^^U^ - I/olrei}"1.

(11.8)

Если отклонения нет \Ui (2) = H7] (2) =0], оба уравнения дают электростатическую часть уравнения параксиальных лучей (4.31) для осесимметричных полей и С = 0, т. е. для случая, когда траектория лежит в одной из плоскостей xz или yz (см. обсуждение в разд. 10.2). Общее решение этих уравнений с начальными условиями уравнения (5.42) может быть записано в виде (5.43) и (5.44), где координаты Хи У можно заменить координатами х и у соответственно, так как в случае чисто электростатических полей нет необходимости введения вращающейся системы координат.

Единственное различие между уравнением (4.31) и уравнениями (11.7) и (11.8) состоит в том, что уравнение (4.31) однородно, тогда как каждое из двух других уравнений содержит член, обусловленный присутствием отклоняющих функций Ux (2) и 1^1(2). Каждое из общих решений этих неоднородных уравнений равно общему решению соответствующего однородного уравнения плюс частное решение данного неоднородного уравнения. Обозначим эти частные решения xpart(z) и ^part(z). Они зависят от функций Ui (2) и Wx (2) соответственно. Тогда общее решение может быть записано как

Х(2) =Xog(z) -Yx'oh^ +xpart(2),(11.9)

#(z) = f/Og(z)+/o^(2)+«/part(2).(11.10)

Так как по определению частное решение /1(2) на изображении равно нулю, если точечный объект расположен на оптиче-

ской оси (хо=Уо = 0), тогда для изображения получим .

X(z,)=Xpart(zO, У (Zi) =Ураг1 (Zi),(11.11)

т. e. мы по-прежнему имеем точечное изображение точечного объекта, но оно больше не находится на оси, поскольку пучок отклонен. Можно представить эту ситуацию, предполагая, что прямолинейная ось пучка деформируется в искривленную, определяемую функциями Xpart(z) и #part (z). Так как эта ситуация общая для всех лучей пучка, мы делаем заключение, что стигматическая фокусировка сохраняется, когда к параксиальному пучку прикладываются слабые отклоняющие поля. Кроме того, так как уравнения (11.7) и (11.8) линейны и функции СМ2) и UM2) представляют поперечные компоненты поля, то малые отклонения пропорциональны отклоняющим их полям. Таким образом, мы можем предположить, что параксиальный пучок отклоняется как целое и его фокусирующие свойства первого порядка не нарушаются.

Если, однако, отклоняющее поле становится достаточно сильным, неоднородные члены уравнений (11.7) и (11.8) становятся большими. Как следствие отдельные лучи пучка отклоняются от оси настолько сильно, что параксиальное приближение становится недействительным. В результате появляются аберрации отклонения и сфокусированное пятно будет смазываться по мере его отклонения от оси (см. разд. 11.1.4). Смещение пучка уже не будет пропорциональным отклоняющему полю. Кроме того, отдельные лучи будут изменять свое положение по отношению друг к другу, что в свою очередь приведет к появлению специального фокусирующего эффекта, обусловленного отклонением.

Наконец, исследуем зависимость кривизны траектории от отклонения [16]. Для этого предположим, что осесимметричные поля не включены в рассмотрение [^(z) = U = const]. Тогда левые части уравнений (11.7) и (11.8) сводятся к х" и у" соответственно. Радиус кривизны р можно определить из уравнения mv2lp=\QEn\,(11.12)

где Еп — компонента вектора электростатического поля в направлении нормали к траектории в данной точке. Используя уравнения (2.2), (2.26), (2.31), (2.87) и (2.90), получим

1/р = 1^1 [1 - Q((7- (7о)/(тоС=)]/[2| (Е/ — С/0)ге11].

(11.13)

Сравнивая это уравнение с уравнениями (11.7) и (11.8), видим, что х" и у" в этом случае представляют собой кривизну двух про-

екций траектории в параксиальном приближении, что само по себе очевидно, так как х'2 и у'2 в этом случае пренебрежимо малы.

Аберрации отклонения

Если отклоняющие поля достаточно сильны, чтобы вызвать значительное отклонение траектории от оси, то параксиальное приближение недействительно и в дополнение к аберрациям фокусирующих элементов возникают аберрации отклонения: сфокусированное пятно будет смазываться по мере его отклонения от оси и смещение пучка уже не будет пропорционально отклоняющему полю.

Аберрации отклонения можно рассматривать аналогично аберрациям осесимметричных линз (см. гл. 5). Однако вследствие более сложных условий симметрии выражения для этих коэффициентов аберрации более громоздкие, а также необходимо большее число коэффициентов. В литературе дана исчерпывающая информация о различных подходах к вычислению аберраций отклонения магнитных [372, 373], электростатических [374] и комбинированных [16, 51b] дефлекторов. Были опубликованы выражения для аберраций при наложении магнитных осесимметричных и отклоняющих полей [375], последние распространены на релятивистский случай комбинированных электростатических и магнитных фокусирующих и отклоняющих систем [376].

В соответствии с методами, использованными для вычислений, разные подходы дают различные виды коэффициентов аберрации. Аберрации сильно зависят от типа симметрии полей. Для отклонения можно использовать множество разных видов симметрии и можно, по крайней мере в принципе, вычислить аберрации для весьма общих случаев, включающих все различные виды осесимметричных, мультипольных и других элементов. Такое рассмотрение очень сложно [170], но оно имеет по крайней мере два существенных преимущества: 1) общее выражение охватывает практически все возможные расположения элементов как специальные случаи, 2) некоторые аберрации отдельных элементов можно использовать для компенсации некоторых аберраций, вызванных другими элементами. Естественно, если мы хотим работать с выражениями приемлемых размеров, то должны пожертвовать общностью и рассматривать только практически важные комбинации разных видов симметрий. Например, если есть желание разработать эффективный метод для синтеза электронных (ионных) оптических колонн, построенных из мультипольных фокусирующих и отклоняющих элементов, необходимо рассмотреть аберрации таких систем. В дальней-

тем мы опишем основные этапы вычисления, используя примеры таких расположений. Этот метод с таким же успехом можно прямо использовать для других видов симметрий.

Рассмотрим комбинацию электростатических и магнитных мультипольных линз и дефлекторов [377]. Для этого используем метод характеристических функций, представленный в разд. 5.1.

В первую очередь мы должны представить толя в виде электростатических скалярных и магнитных векторных потенциалов, как это требуется уравнениями (5.9) и (5.10). Электростатический мультипольный потенциал дается уравнением (3.82) для стандартной конфигурации и содержит осесимметричные, квадрупольные, октупольные и т. п. компоненты. Электростатический отклоняющий потенциал представлен уравнением (11.3). Суммарный электростатический потенциал и(х,у, z) вычисляется добавлением мультипольного и отклоняющего потенциалов. Включая члены, содержащие степени поперечных координат вплоть до четвертой, и используя уравнения (11.1) и (11.2), получим и (X, у, 2^ «и (2) 4- U, (2)х+ Г! (2) у — U" (г) (х2 + У2) /4+

+ U2(2) (х2-у2) - Ux"^ (x^xy^jS-W/'^) (х2у+у3)/8 +

+ и3 (2) (х3 - Зхг/2) + W3 (z) (Зх2у - у^ +

+ U^ (z) (х2+у^ 2/64 — U2" (г) (х4 — у4)/12 +

+ £74(г)(х4-6хУ+^4).(11.14)

Для стандартной конфигурации магнитный мультипольный Скалярный потенциал дается уравнением (10.3). Он содержит квадрупольные и октупольные компоненты, если пренебречь всеми членами, содержащими степени поперечных координат выше четвертой. Магнитный отклоняющий потенциал определяется уравнением (11.5). Суммарный 'магнитный скалярный потенциал to^x.y, 2) является суммой мультипольного и отклоняющего потенциалов. Имеем

<о (х, у, 2) «Q] (z) х+mi (2)у+2й2 (^)ху —-

-Й/Дг) (хЗ + х^/в-о/Дг) (^у+у^8-— Q2"(z)xy(x2+y2)/6 + Q3(z) (х3 —Зху2) +

+ 0)3 (Z) (Зх2у - у3) + 4Q4 (г) ху U2-y2).(11.15)

Теперь имеем обе комбинированные функции электростатического и магнитного скалярного потенциалов. Однако для метода характеристических функций необходимы компоненты магнитного векторного потенциала Ах, Ан, Аг. В пространстве, свободном от токов, отношение векторного потенциала А к магнитному скалярному потенциалу о дается уравнениями (1.12) и

Компоненты rot А и grad со определяются уравнениями (1.6) и (1.13) соответственно. Имеем

дАг/ду — дА yldz = — родю/дх, dAx]dz— дАг]дх=—цодсо/ду,(11.16)

дАу)дх — дАх!ду=— цоды/дг.

Магнитный векторный потенциал определяется с точностью до градиента произвольной скалярной функции ф, так как rot grad ф = 0 для любого ф. Выберем ф так, чтобы

Az=d^ldz,(11.17)

и предположим, что предмет Bz^x,y,z0) =0. Тогда из уравнений (11.16) и (11.17) имеем

Ах — д^1дх — цо $ {д(а!ду)дг,(11.18)

го

Ау=дф/ду+цо $ (dto/dx)dz.(11.19)

го

Если сперва положить ф=const, то Az=0 и получим выражения для Ах и Ау дифференцированием уравнения (11.15) по у и х и подстановкой частных производных в уравнения (11.18) и (11.19) соответственно. Эти выражения будут содержать несколько членов, которые можно проинтегрировать непосредственно, в то время как интегрирование других членов требует специального знания осевых функций. Следовательно, удобно выбрать функцию ф таким образом, чтобы эти интегралы исчезли [377]. (Для этого мы должны также предположить, что первые производные соответствующих осевых функций имели на предмете нулевую величину.) Окончательно получим следующие выражения для трех компонент магнитного векторного потенциала:

A^pojQ', (г)ху/4 + йЛ(г) ^А-^МВА-й'г^ (х3 + 3ху2)/6],

(11.20)

Ау = — цо[о'1 ^xy!^A^\ (z) (3x2+y2)/8 + Q'2(z) (Зх2у+у3)/6],

(11.21)

Az = p,0[toj (z)x —Qi(z)i/+Q2(z) (x2 — у2) +

+ ®3 (z) (x3 — Зху2) — Q3 (z) (3x2y — y^-v

+ Q4(z) (x4 — 6xV+y4)].(11.22)

Теперь мы готовы использовать уравнение (5.10) для вычисления вариационной функции К. Подставляя уравнения (2.78), (2.90), (11.14) и (11.20) — (11.22), заменяя квадратные корни

их разложением в ряд Тейлора и сохраняя члены вплоть до чет- вертой степени комбинаций поперечных координат и их производных, найдем, что в нерелятивистском случае К№ все еще определяется уравнением (5.11), но, естественно, Кт и Kw даются гораздо более громоздкими выражениями, чем электростатические части уравнений (5 12) и (5.13). Подстановка члена ^2> в уравнение Эйлера (5.4) дает уравнения параксиальных лучей для комбинированных систем. Они содержат все члены нерелятивистских уравнений (10.7) и (11.7), так же как и (10.8), и (11.8), плюс дополнительный член, соответствующий функциям магнитного отклоняющего потенциала сн и Йь

Преобразование члена четвертой степени Kw вариационной функции в соответствии с процедурой, описанной в разд. 5.1 — 5 3, — длительная и кропотливая работа. Даже если предполо- жить, что отклоняющая система управляется слабыми сигналами, сравнимыми с малыми величинами х, у, х' и у', так что число членов четвертой степени пренебрежимо мало [377], результат появляется в виде не менее чем 56 геометрических и шести хроматических коэффициентов аберрации в форме определенных интегралов. Однако их можно выразить через три основные аберрационные функции, которые можно оценить, используя различные комбинации параксиальных лучей.

Аберрации отклонений можно уменьшить соответствующим подбором положений, размеров, углов вращения и силы дефлекторов [96]. Они могут быть полностью уничтожены (по крайней мере в принципе) применением двух современных понятий. Первое называется динамической коррекцией; второе — понятие переменной оси линзы.

Идея динамической коррекции основывается на том, что в сканирующей системе изображение формируется от точки к точке [378, 379], следовательно, аберрации отклонения можно корректировать простым применением соответствующих корректирующих сигналов к отклоняющим токам

Понятие линзы с переменной осью было впервые представлено в виде подвижной объективной линзы [380], распределение осевой индукции которой выбиралось так, чтобы фокусирующие элементы были как бы сдвинуты вбок, как если бы оптическая ось была смещена Такое расположение может привести к исчезновению некоторых аберраций отклонения, но его очень трудно реализовать Однако идея подвижной объективной линзы была применена на практике в модифицированном виде оптической оси с электронным сдвигом, синхронизированной с отклоняющим пучком Было продемонстрировано, что результирующая линза с переменной осью имеет желаемые свойства для литографических систем, электронный пучок которых управляется сильным полем [381]

Дополнительную информацию об общих свойствах сканиру- зощих отклоняющих систем и их практических применениях можно найти в литературе [272, 382—384].

Электростатические и магнитные призмы

Целью ускорителей частиц, масс- и бета^спектрометров и ■спектрографов, анализаторов энергии и т. д. является отклонение пучка частиц на большие углы с тем, чтобы оптическая ось искривлялась Поскольку отклонение обычно зависит от энергии и от отношения заряда к массе частицы, оно применимо для разделения заряженных частиц в соответствии с их массами или энергиями, как разложение света оптическими призмами. Для этого можно использовать как электростатические, так и магнитные поля. Однако в случае больших отклонений оптическая система действует не только как призма, но обладает также и фокусирующим действием. Следовательно, электронно-ионная оптическая призма соответствует сочетанию призмы и линзы.

Мы уже обсудили несколько простых примеров анализа масс в разд 2 7.3.1. Для строгого исследования необходимо изучить теорию движения частиц в системах с криволинейными осями. Такая теория, разработанная Г. А. Гринбергом [385], построена на описании траекторий, как функции их отклонений от так называемой базовой траектории, которая может быть определена как произвольная кривая в пространстве. Базовая траектория является криволинейной осью пучка. С помощью этой теории можно рассматривать оптические системы любой симметрии. Кроме того, метод Гринберга дает возможность найти распределение электростатического и(или) магнитного поля, которое позволяет получить любую заранее заданную форму пучка.

В этом разделе мы уделим внимание только очень простым специальным случаям. Ограничимся рассмотрением оптических осей, представляющих собой окружность

Электростатические призмы

Простейшей электростатической призмой является плоскопараллельный конденсатор (разд. 2 7 1). Его использование в качестве анализатора скорости было обсуждено в разд. 2.7.1 2. Было также установлено (разд. 2 7.1 1), что электростатическое отклонение не зависит от отношения заряда к массе частицы, поэтому для анализа масс его использовать нельзя Следовательно, электростатическая призма является анализатором скорости (энергии). Она не может разделить частицы разных масс с одинаковыми зарядом и энергией.

Электростатические призмы, базовой траекторией которых является окружность, могут иметь форму цилиндрических, сферических или тороидальных конденсаторов. Базовая траектория задается эквипотенциальной поверхностью. В случае цилиндрического конденсатора, поперечное сечение которого показано на рис. 162, базовая траектория является окружностью радиуса р. Предположим, что поле призмы планарно, т. е. не зависит от координаты, перпендикулярной плоскости рисунка (см. разд. 3.1.1.1). Другое предположение заключается в том, что источник частиц помещен внутри конденсатора, т. е. потенциал на базовой траектории устанавливается таким образом, что он соответствует начальной скорости частиц. На практике источник обычно расположен вне конденсатора и используется только его сектор для отклонения и фокусировки. В этом случае необходимо принимать во внимание контурные поля.

Рис. 162. Фокусировка в цилиндрическом конденсаторе.

Распределение потенциала и (г) внутри цилиндрического конденсатора легко определить, решив уравнение Лапласа (1.21) для планарного и осесимметричного случая (нет зависимости от цилиндрических координат а и z) в отсутствие пространственного заряда. Граничные условия даются потенциалами У1 и Уд на электродах радиусами Ri и R2 соответственно. В результате имеем

и (О = У. + (Vs - У.) In (г/Ri) /1п (Р2/Р,) •(П .23)

Радиальные компоненты электростатического поля определяются уравнениями (1.13), (1.17) и (11.23):

^г(г) =—(У2 — У1)/[г ln(/?2/^i)J.(11.24)

Подставляя уравнение (2.33) в уравнение (11.12), получим -выражение для кривизны в нерелятивистском случае

1/р=£Др)/[2«(р)].(11.25)

Отметим, что аила, действующая на частицу, должна быть направлена по оси цилиндрического конденсатора. Следовательно, для положительно заряженных частиц м<0 и Ег<.0, тогда как для отрицательно заряженных частиц как и, так и Ег>0.

Если требуется, чтобы базовая траектория была окружностью радиуса р, то мы должны выбрать потенциалы электрода так, чтобы для г=р электростатический потенциал и поле удовлетворяли уравнению (11.25). Подставляя г = р в уравнение (11.24), видим, что это условие удовлетворяется, если

и(р)=-(У2-И])/[21п(/?2//?1)].(11.26)

Величина и(р) определяется начальной скоростью частиц на выходе источника. Обычно Ri и R2 — заданные параметры. Разность потенциалов V2—V] должна быть выбрана так, чтобы удовлетворялось уравнение (11.26). Тогда г = р — постоянный радиус кривизны базовой траектории, т. е. окружность, и и(р) должно удовлетворять (11.23). Требуемую разность потенциалов получим из уравнений (11.23) и (11.26) в виде

Е1 = и(р)[1 + 21п(р//?,)], V2 = «(p) [1 + 21п(р//?2)].(11.27)

Отсюда |И1|>|и(р)| и | V2| < |и(р) |, что согласуется со знаком Ег, установленным выше.

Покажем теперь, что базовая траектория устойчива [386]. Рассмотрим малое отклонение из-за небольшого изменения направления начальной скорости (см. рис. 162). Тогда можно выразить радиальную координату г как

г=р(1 + е),(11.28)

где в — малая безразмерная величина. Из уравнения (2.64) имеем

r2dajdt—const = р2ао,(11.29)

где oto определяется начальной скоростью. Подставляя это выражение в уравнение (2.63), получим

d2r(dt2 — p4a2o/r3 — QE,(r)/mo=O,(11.30)

откуда сразу же видно, что вдоль базовой траектории нет никаких изменений, потому что для г=р последние два члена в соответствии с уравнением (11.12) исчезают.

Подставляя теперь уравнение (11.28) в (11.30), выражая Ег(г) через Е,^, используя разложения в ряд Тейлора для 1/г и 1/г3, пренебрегая степенями е выше первой и принимая во

внимание уравнение (11.12), получим следующее дифференциальное уравнение для е:

£?28/^2 + 2а02б = 0. (11.31) Его решение запишется в виде

8 (0 -sin [2-/2ао (t - t0) ] = sin [2^2 (а — ао) ], (11.32) потому что в начальный момент времени /о имеем е(<о)=О и в азимутальном направлении силы отсутствуют. Отсюда следует, что если

a.— а0 = 2~1/2пл = пХ 127,28°, (11.33)

то е1 = 0, т. е. возмущенная траектория возвращается к базовой окружности с азимутальной координатой а£. Другими словами, цилиндрический конденсатор фокусирует пучок на а£. В направлении, перпендикулярном к плоскости рисунка, не существует никакой фокусировки; следовательно, изображением точки объекта является прямая линия.

Если поместить источник так, чтобы его азимутальная координата была ао, а координата продольной диафрагмы ае, то можно измерить ток, который проходит через диафрагму, т. е. число частиц с заданной энергией. Меняя потенциалы электродов и измеряя вариации тока, можно определить распределение скорости частиц.

Преимущество сферического конденсатора по сравнению с цилиндрическим состоит в том, что он обеспечивает фокусировку во всех направлениях; следовательно, изображение в этом случае стигматично.

Аберрации призм начинаются с величин второго порядка. Для описания оптических свойств призмы очень полезен матричный формализм. Читатель найдет исчерпывающую теоретическую и практическую информацию об электростатических призмах в литературе [51b, 387].

Магнитные призмы

Простейшей магнитной призмой является однородное магнитное поле (разд. 2.7.2). Известно, что если частица входит в поле перпендикулярно его направлению, то она будет двигаться по окружности. Радиус такой круговой траектории определяется уравнением (2.137) и зависит как от энергии частицы, так и от отношения ее заряда к массе Электростатические поля имеют только энергетическую дисперсию, а магнитные поля обладают как энергетической, так и массовой дисперсией, следовательно, их можно использовать как для энергетического анализа, так и для масс-спектрометрии.

Мы уже рассмотрели один путь 'использования однородного магнитного поля для отклонения частиц (разд. 2.7.2.2) и его применение для массового анализа (разд. 2.7.3.1). Следующим подходом является применение в качестве траектории полуокружности. Такое устройство называется л-спектрометром (рис. 163). Частицы с различными энергиями и (или) различными массами движутся по разным окружностям. Энергетический или массовый спектр можно получить, двигая детектор вдоль горизонтальной линии или меняя напряженность магнитного поля. Если, однако, рассмотреть траектории частиц с одинаковыми массами и энергиями, но входящими в поле под углами, различие которых пренебрежимо мало, то увидим, что все они вернутся к горизонтальной линии приблизительно в одних точках. Хотя фокусировка несовершенна, мы, несомненно, имеем кроссовер, по крайней мере, по азимутальной координате л, который допускает некоторый конечный разброс угла а.

Рис 163 Принцип работы л-спектрометра.

Широкое применение получил другой вид магнитного спектрометра, основанный на магнитных секторных полях. Секторное поле — это область пространства, где магнитное поле предполагается плоским и однородным, тогда как вне этой области оно предполагается равным нулю (рис. 164). Естественно, это довольно грубое приближение: реально контурными полями пренебречь нельзя. Однако секторное поле можно использовать в качестве модели, если магнитные полюсы достаточно близки друг к другу.

Заряженные частицы движутся в секторном поле по круговой траектории. Радиус кривизны дается уравнением (2.137). Вне сектора траектории являются прямыми линиями. Можно показать [388], что секторное поле фокусирует пучок расходящихся частиц так, что объект, вершина сектора и изображение находятся на одной прямой (правило Барбера, см. рис. 164). Дополнительная фокусировка в направлении, перпендикулярном плоскости рисунка, обусловлена действием контурного поля.

Аберрации второго порядка магнитного секторного поля можно уменьшить соответствующим выбором криволинейных границ сектора.

При некоторых применениях, например в ускорителях частиц, дисперсия нежелательна Ахроматическое отклонение может быть выполнено с помощью комбинации нескольких секторных полей.

Поскольку магнитные поля обладают как энергетической, так и массовой дисперсией, а электростатические — только массовой, можно сочетать оба поля таким образом, чтобы общая энергетическая дисперсия компенсировалась, в то время как массовая дисперсия магнитного поля оставалась неизменной. Как следствие может быть сконструирован масс-спектрометр с двойной фокусировкой, обладающий свойством как угловой, так и энергетической фокусировки: частицы, начинающие движение с разными начальными скоростями в разных направлениях, фокусируются на одной линии.

Рис 164 Фокусирующее действие магнитного секторного поля

Для отклонения и сепарации пучков частиц с помощью магнитных полей можно применить различные виды симметрии. Использование матричного формализма для описания оптических свойств магнитных призм, так же как и других возможностей для массового разделения, исчерпывающе представлено в литературе [23, 51b, 388].

Новые виды симметрии — новые возможности

В заключение этой главы хотелось бы обратить внимание читателей на очень важную проблему. Мы видели, что отклонение можно осуществить множеством различных способов, используя различные виды симметрии. В гл. 10 было показано, что осесимметричные системы можно заменить системами с мультипольной симметрией. В разд. 3.1.Ы мы обсудили плоские поля. Мы видели, что разложение в степенной ряд [уравнение (3 36)] распределения потенциала симметричного плоского поля имеет ту же структуру, что и распределение осесимметричного потенциала [уравнение (3 20)]. Соответственно возможна фокусировка симметричными плоскими полями с тем только различием, что точка объекта будет изображаться прямой линией Интересные фокусирующие и отклоняющие свойства мож-

z\ Z \ А?/V " Z18z\ Z \ А?/V " Z18^1^1^ ^ 5 « < 67/ / X 8^ ^ 5 « < 67/ / X 8юXXX« -XXX ° ххх« / / / 14 XXXs XXXsюXXX« -XXX ° ххх« / / / 14 XXXs XXXsУ«7«Г25У/«Х26«/«7^28ХХХХ29ХХХХ^У«7«Г25У/«Х26«/«7^28ХХХХ29ХХХХ^

z\ Z \ А?

/V " Z18

z\ Z \ А?

/V " Z18

^1

^1

^ ^ 5 « < 6

7

/ / X 8

^ ^ 5 « < 6

7

/ / X 8

ю

XXX« -XXX ° ххх« / / / 14 XXXs XXXs

ю

XXX« -XXX ° ххх« / / / 14 XXXs XXXs

У«7«Г25

У/«Х26

«/«7^28ХХХХ29

ХХХХ^

У«7«Г25

У/«Х26

«/«7^28ХХХХ29

ХХХХ^

но получить суперпозицией электростатического и магнитного полей, где общая средняя плоскость является плоскостью симметрии для электростатического и плоскостью антисимметрии для магнитного полей [389, 390]. Изучались и некоторые другие возможности, но исследована только малая часть имеющихся видов симметрии.

«<«2'

Рис. 165. 31-полосовой орнамент в рельефе

Хорошо известно, что существует 230 конечных групп симметрии в трехмерном пространстве. Если ограничиться системами с прямолинейными осями, то все еще останется 31 пространственная группа, содержащая трансляции в одном направлении. Эти так называемые полосовые орнаменты в рельефе схематически показаны на рис. 165 Маленькие стрелки, показывающие направление по или против часовой стрелки, показывают: направлен ли в данной точке трехмерный орнамент к нам или от нас соответственно Систематическое исследование 31 картинки

и применение новых свойств симметрии может привести к открытию новой и, возможно, суперэлектронной и ионной оптических систем.

Заключение

В этой короткой главе было дано введение в системы отклонения пучка. Вначале было рассмотрено сканирующее отклонение. Были выведены выражения как для электростатических, так и для магнитных отклоняющих полей. Было показано, что стигматическая фокусировка поддерживается при малых отклонениях. Была выведена теория аберраций для комбинированных электростатических и магнитных мультипольных линз и дефлекторов. Заключают главу краткий обзор электростатических и магнитных призм и предложение исследовать необычные виды симметрий.

ПУЧКИ ВЫСОКОЙ ИНТЕНСИВНОСТИ

Мы обсудили роль собственного пространственного заряда пучка как источника аберраций в разд. 5.6.2. Известно, что пространственный заряд может быть в двух основных видах: распределенный заряд и взаимодействие отдельных частиц. В этой главе проблема распределенного пространственного заряда будет рассмотрена довольно подробно с последующим обсуждением эффекта Боэрша.

Оптика пространственного заряда