Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ИЗЛУЧЕНИЕ
И РАСПРОСТРАНЕНИЕЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛНВ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
2
Z oJ
.ИЗДАТЕЛЬСТВО《НАУКА》
МОСКВА
И 7Г：
LLн ф
L
L
УДК 538.56
Предисловие
Излучение и распространение электромагнитных волн в анизотропной среде. А. И. Потехин. Изд-во «Наука», 1971 г.» стр. 76.
В работе дается систем этическое изложение задач по распространению электромагнитных волн в одноосной анизотропной среде, излучаемых листом тока, бесконечно длинной нитью или элементарным диполем. Поле вычисляется на любом расстоянии от источника строгими методами. Ориентация оси нити с током или оси диполя полагается параллельной или перпендикулярной оси анизотропии. Все задачи решаются единым методом, при котором остается ясным «физический смысл» на всех этапах вычислений. Ответ дается в замкнутой форме во всех рассмотренных случаях (плоские, цилиндрические, конические и квази- сферические волны).
Илл. — 8, библ. — 16 назв.
Ответственный редактор
доктор техн, наук Л. Б. ТАРТАКОВСКИЙ
2-3-6
Распространение электромагнитных волн в анизотропных средах представляет большой интерес не только для теории, но и для практики. Этой теме посвящено весьма большое число работ; но в большинстве из них рассматривается распространение плоских волн. Следует признать, что математический анализ случая плоских волн значительно проще и, в то же время, позволяет выяснить ряд характерных особенностей процессов в анизотропных средах. При этом некоторые вопросы остаются нерешенными. Например, для геофизической разведки необходимо исследовать процессы излучения и распространения сферических волн. В работе [1] находится общее решение задачи об излучении в анизотропных средах. К сожалению, полученный там интеграл весьма сложен и применяется только для нахождения поля в дальней зоне (для этого находится асимптотическое выражение методом перевала). А так как в дальней зоне кривизна сферической волны невелика, то по существу мы опять попадаем в область, где можно ограничиться рассмотрением плоских волн. При этом ближняя зона, рассмотрение которой необходимо при «применении длинных волн, остается неисследованной.
В настоящей работе находятся строгие выражения Для поля излучения диполя и нити с током, пригодные для любых расстояний от источника. Среда принимается линейной, что допустимо при малых амплитудах поля.
Рассматривается случай одноосной негиротропной среды; анализ явлений в более сложных анизотропных средах выходит за рамки нашей работы.
Большую часть объема книги занимают результаты исследований автора, впоследствии составивших содер~
253-7Ц11
жание цикла лекций, которые читались в 1964 г. аспирантам Московского Горного института. Позже появились работы [2, 3], в которых получены некоторые из наших результатов, но другим методом. При изложении материала был принят тот принцип, по которому следует заботиться прежде всего об экономии времени слушателя, а не лектора. Практика показывает, что с этой точки зрения слушателю (или читателю) выгоднее затратить некоторое время на подробности выводов, чем потом, досадуя на неясности, возникающие из-за излишне сжатого изложения, с трудом восстанавливать пропущенное, затрачивая на это гораздо больше времени.
Кроме того, следует учесть также, что для значительной категории читателей может представлять интерес сама методика вычислений. Поэтому мы излагаем некоторые выкладки более подробно, чем это обычно делается в журнальных статьях. Что касается достаточно квалифицированного читателя, то он может опуская промежуточные этапы или ограничиваясь беглым ознакомлением с нимн, сразу обратиться к выводам. Распространение плоских волн освещается не в полной мере, а лишь настолько, чтобы избавить читателя от необходимости обращаться к специальным пособиям за справками. Начинающие работу в этой области могут обратиться, например, к книгам [4—9].
Волны 1 и 2-го типов
Отказываясь от рассмотрения среды с произвольной анизотропией, будем рассматривать представляющий интерес для практики характерный случай, когда электрические параметры среды представляются тензорами
(1.1)
(1.2)
Такие параметры может иметь одноосный кристалл с осью симметрии вдоль оси г или среда с тонкослоистой структурой, однородная в среднем, если толщина слоев много меньше рабочей длины волны. При учете потерь в среде элементы тензоров будут представляться комплексными числами.
При гармонической зависимости поля от времени е'&* уравнения Максвелла для области, свободной от источников, записываются в виде
(1.3)(1.3)div D = ediv D = eA等+唔=0,A等+唔=0,
(1.3)
(1.3)
div D = e
div D = e
A等+唔=0,
A等+唔=0,
rot Е =—Zo)B = — /оз 步 н,
rot Н =加 D = X з е Е,
divB = a^ +步誉+也醬=о・(1.3a)
Рис. 1Рис. 1
Рис. 1
Рис. 1
Будем решать их в прямоугольных координатах, рассмотрев сначала вспомогательные задачи об излучении плоских волн.
Положим, что поле возбуждается плоским неограниченным листом электрического тока и имеет характер бегущих плоских волн. Движение плоской волны наиболее компактно описывается функцией
W = «f_FnOr),Г 1.4)
где Г — постоянная распространения по направлению п°; г ——радиус-вектор точки наблюдения; п° — единичный вектор направления, который перпендикулярен к фазовому фронту волны и может быть определен через заданные азимутальный и полярный углы фо,令о и орты прямоугольной системы координат (рис. 1)
п = i sin 80 cos 中о+ j ski 8。sin ср。+ k cos 8°.(1.5)
Так как
r = ix+% + kz,
то, раскрывая скалярное произведение в показателе (1,4), получим
Г п°г = Г (х sin % cos % + Z/sin % sin %4 zcos 80) =
=汉+阿+产. (1.6)
Постоянные распространения вдоль осей х у и z
a = rsin&0cos(p0,
? = rsin%sin<p0,(1.7
7 = ?8s20，
-8
связаны соотношением
(1.8)(1.8)濕+俨+72 = f2,
(1.8)
(1.8)
которое получается очевидным образом из (1 7). Таким образом, вместо (1.4) можем записать волновую функ
(1・9)(1・9)выра-(1.10)выра-(1.10)цию в виде
(1・9)
(1・9)
выра-
(1.10)
выра-
(1.10)
Производные волновой функции по координатам жаются через ту же функцию:
=一以里，=-=-Z7里.
дхдуdz
Векторы поля плоской волны можно записать с помощью выражений
H = (l%+j""k〃z)0(1-11)
где комплексные амплитудные множители £x, Е期，…,Hz подлежат определению. Подставляя (1.11) в уравнения Максвелла (1.3) и учитывая (1.10), приходим к системе из шести уравнений с шестью неизвестными:
7 M—В 旦 + 叩"* = 0，
-iJ + aEz +。屮"1/=0,^Ex-^Ey^^zHz=Qt •(1.12)
^zEx—^H у^Н z =0,
^гЕу + 1Hx — нН % = 0，
侬%三—0H X + a"g = 0.
Так как все уравнения системы (1.12) являются однородными, ее определитель должен быть равен нулю (в противном случае система не имеет решения—ее уравнения несовместны)
0
7
—₽
0)出
0
0
сое
0
-a
0
а
0
0
0
0 0
(0出 0
—I
0
叩z
В
=0.(1.13)
0
ЗЕ
0
7
0
—a
0
0
(OEZ
-8
а
0
урХ：^ определитель (1.13), получаем следующее
ос%?叩+俨炉叩+ 7%須也+ 2^2^ +公炉^ (*z+ £卅)+ + 伊汽 2 (部z + %*)—a2o)4efi (e^ 4- %4)一
%匹=0.(1.14)%匹=0.(1.14)-p~o)%2 (叩z+8а—2T2(04義也部+国^照
%匹=0.(1.14)
%匹=0.(1.14)
и разделив почленнои разделив почленноПодставляя в (1.14) величины (17) на'
и разделив почленно
и разделив почленно
(1.15)(1.15)无2= ①2部，
(1.15)
(1.15)
приходим к уравнению четвертой степени относительно Г
吓也4 80cos4屮o + si№ &0.sin^ Фо + Т 生 8s4 8° +
+ 2 s®4 80cos2 汽 Sin2% + ^ + ^J s®2 8。C0S2 3。COS2?0 +
+ R+勺 s®2 8° cos2 &0 sin2 %] 一
~ Г2^+7") Sfn2 % COS2% +仔 +^卜也2 90Sin2%+
+ 2 V青^財+ ^皆々4 = 0.
需偽1口。еле упрощения путем несложных преобразовании зависимость от угла 亚 исчезает и
нение принимает вид:屮ои урав-
ОО一『U +沙叫+ 2^…屮 +"公=0.EpL一『U +沙叫+ 2^…屮 +"公=0.EpLsin2&0cos2&0sin2&0cos2&0(1 16)(1 16)
О
О
一『U +沙叫+ 2^…屮 +"公=0.
EpL
一『U +沙叫+ 2^…屮 +"公=0.
EpL
sin2&0cos2&0
sin2&0cos2&0
(1 16)
(1 16)
n；HBSXSreHHe(I I6)рейса обычным путем.
Г1,2 =Г1,2 =
Г1,2 =
Г1,2 =
Теперь можно заключить, что система (1.12) имеет решение, когда постоянная распространения определяется согласно (1.17). Полученное выражение можно упростить. Обозначим
呈=1+乐也= 1 + %. £К呈=1+乐也= 1 + %. £К(1-18)(1-18)
呈=1+乐也= 1 + %. £К
呈=1+乐也= 1 + %. £К
(1-18)
(1-18)
_^21 + 运_^21 + 运1 +。2 COS? »0(1.20)1 +。2 COS? »0(1.20)2)2)3)3)§i = S2 = 0, Р1 = Г5=^2； среда с электрической анизотропией62=0,[ J2—L±3.,?；=奴;21+61COS2&0среда с магнитной анизотропией心=0, Г；=死 г?=；1 + Й2 cos2財§i = S2 = 0, Р1 = Г5=^2； среда с электрической анизотропией62=0,[ J2—L±3.,?；=奴;21+61COS2&0среда с магнитной анизотропией心=0, Г；=死 г?=；1 + Й2 cos2財(1.21)(1.21)(1-22)(1-22)(123)(123)
_^21 + 运
_^21 + 运
1 +。2 COS? »0
(1.20)
1 +。2 COS? »0
(1.20)
2)
2)
3)
3)
§i = S2 = 0, Р1 = Г5=^2； среда с электрической анизотропией
62=0,[ J2—L±3.,?；=奴;
21+61COS2&0
среда с магнитной анизотропией
心=0, Г；=死 г?=；
1 + Й2 cos2財
§i = S2 = 0, Р1 = Г5=^2； среда с электрической анизотропией
62=0,[ J2—L±3.,?；=奴;
21+61COS2&0
среда с магнитной анизотропией
心=0, Г；=死 г?=；
1 + Й2 cos2財
(1.21)
(1.21)
(1-22)
(1-22)
(123)
(123)
Тогда из (1.17) получим
Г?2=^2Г?2=^2(2 + 61 + %) 土(瓦—62)+ ®l + &2 + 2 6i6 2)COs2 8o：b (场一6i)cos2 8o
Г?2=^2
Г?2=^2
4) среда с уравновешенной анизотропией
3j = §2 = S,3j = §2 = S,r? = ri = ^r? = ri = ^1 +61 + В cos^ 8。1 +61 + В cos^ 8。(1-24)(1-24)
3j = §2 = S,
3j = §2 = S,
r? = ri = ^
r? = ri = ^
1 +6
1 + В cos^ 8。
1 +6
1 + В cos^ 8。
(1-24)
(1-24)
В последнем случае, когда 取居=卩』林,степень отклонения от изотропности одинакова как по электрической проницаемости, так и по магнитной. При этом, как следует из (1.24), оба значения для постоянной распространения совпадают (для всех направлений). Поэтому можно предложить называть этот случай случаем уравновешенной анизотропии. Отметим еще, что при 仇=0,「=「2=也, иными словами при распространении плоской волны вдоль оси z анизотропия среды не сказывается.
Возвратимся теперь к системе уравнений (1.12). Поскольку мы установили, что величина постоянной распространения Г не зависит от угла (ро, последний может быть произвольным. Допустим, что направление распространения лежит в плоскости xoz, т. е. что (ро=О. При этом р=0 и система (1.12) распадается на две частных системы:
-T七*+Ёe+怦"9=0,
— \ Н у =0,(1.25)
%邑 + a"g =0;
7邑+呼％ =0,
—0t 当 + (01Az"z=。，(1.26)
s&Ej + \ Hx — 5Hz == 0.
Рассмотрим сначала первую из них. Положим
£ = 4%,(1 27)
где А】——амплитудный множитель 4i=#Q.
Из третьего и второго уравнений (1 25) находим
L^sin%L^sin%4%,4%,(128)(128)
L^sin%
L^sin%
4%,
4%,
(128)
(128)
£ sin 8。
Подстановка (1.28) в первое уравнение (1.25) дает равенство
嘿*+Гsinv_譌m浬『。
Рис. 2.Рис. 2.Рис. 3.Рис. 3.
Рис. 2.
Рис. 2.
Рис. 3.
Рис. 3.
ИЛИ
(1 + %)Г2 cos28o + r2sin28o-无 2(1 + В])=0,
откуда следует
Г2 = ^2Г2 = ^2(1 + 瓦)
Г2 = ^2
Г2 = ^2
(1 + b|) COS? 9° + sin2 %。
в соответствии с (1.19). Следовательно, система (1.25) описывает волны с постоянной распространения Гь Их можно условно называть волнами первого типа или квази-электрическими.
(1.29)(1.29)Рассматривая систему (1.26), положим
(1.29)
(1.29)
"；={2屮2・
Из второго и первого уравнений (1.26) находим
Г sin 8оГ sin 8о4w2,4w2,"：=_今少8° 4w2・出 s in %)"：=_今少8° 4w2・出 s in %)(1.30)(1.30)
Г sin 8о
Г sin 8о
4w2,
4w2,
"：=_今少8° 4w2・出 s in %)
"：=_今少8° 4w2・出 s in %)
(1.30)
(1.30)
Подстановка (1.30) в третье уравнение (1 26) дает равенство
f _ 出厘cos汐о — rsin a ) < 屮=0
〈IsinSo {a sin &qJ
ИЛИ .庐(1 + %) — (1 + %) Г2 cos* &0—Г2 Sid %=О,
откуда следует
ri2 77T試壮丽用
в соответствии с (1.20).
Следовательно, система (1.26) описывает волны с постоянной распространения Г2. Их можно условно называть волнами второго типа или квази-магнитными. Вол
ны первого и второго типов могут существовать раздельно или одновременно в зависимости от способа возбуждения.
Аналогичный результат получается, если принять, что направление распространения лежит в плоскости yoz, т. е. при фо = 90°. При этом а = 0, и вместо (1.27) и (1.28) находим
Г sin 80J
Еу= -■2s8о А浬Г = Гр
esin^0 11
Вместо (1.29) и (1.30) находим
石/=一
明
Г sin 80
4%,
"；=42屮2，
(1.32)
Н у =—
◊ cos В。
［工 sin %)
4屮2,
Г=г2.
Нетрудно видеть, что (1.31) и (1.32) можно получить из предыдущего случая поворотом системы координат вокруг оси z на 90°. При этом составляющие векторов по оси г не меняются, составляющие по оси 尤 переходят в составляющие по оси у и наоборот. Рис. 2, 3 иллюстрируют сказанное. Общий случай можно получить поворотом системы координат вокруг оси г на произвольный угол(р0- Таким образом, приходим к формулам для квази-электрических волн
瓦=-^整 cos%4%,e sin瓦=-^整 cos%4%,e sinГ sin 瓦明Г sin а °Г sin 瓦明Г sin а °sin中0а1屮1，(1.33)sin中0а1屮1，(1.33)
瓦=-^整 cos%4%,e sin
瓦=-^整 cos%4%,e sin
Г sin 瓦
明
Г sin а °
Г sin 瓦
明
Г sin а °
sin中0а1屮1，
(1.33)
sin中0а1屮1，
(1.33)
戌"浬]= A]J(3f 峭，/4=0
и для квази-магнитных волн£= —W2，Г sinE；=№%~cos(p“U 屮 2，Г SinЕ = 0,и для квази-магнитных волн£= —W2，Г sinE；=№%~cos(p“U 屮 2，Г SinЕ = 0,":=一 J^^cos 汽4不，К sin »оу。％吗，卩 sin万:=人巫2=4人3或"(1.34)":=一 J^^cos 汽4不，К sin »оу。％吗，卩 sin万:=人巫2=4人3或"(1.34)
и для квази-магнитных волн
£= —W2，
Г sin
E；=№%~cos(p“U 屮 2，
Г Sin
Е = 0,
и для квази-магнитных волн
£= —W2，
Г sin
E；=№%~cos(p“U 屮 2，
Г Sin
Е = 0,
":=一 J^^cos 汽4不，К sin »о
у。％吗，
卩 sin
万:=人巫2=4人3或"
(1.34)
":=一 J^^cos 汽4不，К sin »о
у。％吗，
卩 sin
万:=人巫2=4人3或"
(1.34)
Поскольку независимо от направления распространения (仆о,(ро) У первых волн Hz = 0 и у вторых волн Ez—G, можно использовать это обстоятельство для решения системы уравнений (1.12). Полагая с самого начала "z = 0, получим из (1.12) опять решение (1.33), а полагая £z = 0, придем к (1.34). Полное решение уравнений Максвелла получим как:
Efj = Еу\~ Еу、
и т. д. /
В полученных решениях остались неопределенными только амплитудные множители Л, которые определяются из граничных условий.
Отметим различие волн первого и второго типа. Путем вычисления скалярных произведений можно показать, что у волн первого типа (HZ=G) векторы Е丄 Н, Н ±n°, а Е и п° неперпендикулярны между собой; у волн второго типа (Ez=0) векторы Е±п°, Е± Н, а Н и п° неперпендикулярны между собой. Наконец, если волны первого и второго типа распространяются в одном направлении, то Е 丄 Е〃и Н‘丄 Н〃・
2
Излучение плоского листа с током
В простейшем случае излучателем плоской волны может быть лист неограниченной величины, расположенный на плоскости хоу (рис 4), по которому течет ток, имеющий во всех точках листа одинаковые амплитуду, фазу и
Рис. 4Рис. 4
Рис. 4
Рис. 4
направление. Такой лист излучает симметрично в обе стороны. При излучении волн первого типа в полупространстве z>0 поле описывается выражениями (1.33), которые, если принять за амплитудный множитель
「sin %；4= 2з「「sin %；4= 2з「(2.1)(2.1)
「sin %；
4= 2з「
「sin %；
4= 2з「
(2.1)
(2.1)
принимают вид•
,Ticos%； гг г sin %
Ех= -Jo———cos%)%,〃*=/о—— %,
瓦=一丿:£l^sin^n/=一儿半%，（2.2）
,马sin結 e n == / o— q ],,马sin結 e n == / o— q ],N] = e's'g—^(^^iJf+Piiz+Tt^),N] = e's'g—^(^^iJf+Piiz+Tt^),
,马sin結 e n == / o— q ],
,马sin結 e n == / o— q ],
N] = e's'g—^(^^iJf+Piiz+Tt^),
N] = e's'g—^(^^iJf+Piiz+Tt^),
Штрих справа сверху показывает, что рассматриваются волны первого типа. В нижнее полупространство г<0 листом излучается аналогичная волна в симметричном направлении ((ро = фо,,令о=18О°—О/). Выражения для составляющих векторов поля в нижнем полупространстве можно тоже получить из (1.33), если положить
rjSin^ ,
АТ=—~-J0(2.3)
и изменить знак перед cos 0(/
2о)е2о)еcos中]w一,cos中]w一,H x =H x =Pi cos 3；,—~^sinwo^-, 2sePi cos 3；,—~^sinwo^-, 2seГГ COS""=丿。一^可一，（2.4）ГГ COS""=丿。一^可一，（2.4）
2о)е
2о)е
cos中]w一,
cos中]w一,
H x =
H x =
Pi cos 3；,
—~^sinwo^-, 2se
Pi cos 3；,
—~^sinwo^-, 2se
ГГ COS
""=丿。一^可一，（2.4）
ГГ COS
""=丿。一^可一，（2.4）
2з£2з£屮丁 ——e’3，e-/(aix+pl^-h大).
2з£
2з£
〃z = 0.
Направление вектора Н у поверхности листа с разных сторон(2>0 и г<0) противоположно. Поэтому граничное условие для плотности тока
j = [n(H+-H-)] = 2[nH4|z=0
дает величину
jx= + /о cos 屮/沁》^—”ai*+Kp),
/у = /о sin <р；3%т(ам+%д).(2.5)
Как было замечено ранее, при 仔o'=Q получается Г1=^ и выражения (2.2), (2.4) и (2.5) будут определять величины для плоской волны в изотропном пространстве
Аналогичная картина имеет место при излучении волн второго типа. Принимая за амплитудный множитель
(2・6)(2・6)p , ?一—p , ?一—RsinSoл2=—
(2・6)
(2・6)
p , ?一—
p , ?一—
2|丄z cos 3q
2—2842-и
2.707г . у
получим из (1.34)
斤 ZAtf〃ff С OS
七、=几畔 二 Sin 中0吋2，/Л=/0 -可2，
2Г2cos %o2
七;=一 /； 呼 . cos ?оФ2,ну=儿田2, (2.7)
2Г2 8s 力2
G = 0,Hz= -/0———^屮小叫=83‘6-"3+""+7了).
2［丄% cos 8；
В нижнем полупространстве z<0 излучается волна второго типа в симметричном направлении. Так как направление вектора Н у поверхности листа с разных сторон противоположно, то плотность тока будет
丿片= —/【sin<p；ei3feT(3r+%*
jy = /о cos 也球％—1(3 + %y).(2.8)
При 9о〃=О приходим к плоской волне в изотропном пространстве. Как видно из (2.5) и (2.8), направление тока на листе и направление распространения волны связаны между собою.
Представляется интересным случай, когда излучаются одновременно волны первого и второго типов. Так как волны в верхнем и нижнем полупространстве симметричны, то далее ограничимся рассмотрением только верхнего полупространства. Множитель е^ будем опускать. Определим условия, при которых фазовые множители в выражениях для плотности тока (2.5) и (2.8) будут одинаковы•
°Ч% + 0也=&% + %协(2.9)
Равенство (2.9) будет выполняться при любых х и у, если коэффициенты в правой и левой частях (2.9) одинаковы
ai = ri sin &о cos(ро=а2=Г2 ^п 8； cos ©л,
% =Г\ sin &osin<po = р2=Г2 sin t>o sin фо- Из (2 10) при помощи деления находим
—= tgcpo=-^ = tgcpoс?С = %,(2.11)
и после сокращения общих множителей в (2.10) и возведения в квадрат
а? -|- pi = Г? sin &о=г| siп2 »о = а；十優.(2.12)
Подставив (1.19) и (1.20) в (2.12), получим:
(1 + 瓦)(1 一 COS? 3。)(1 + 近)(1 — COS? §0)
1 + 6[ cos^ 3。1 + 配 cos^ a。
откуда“
9S1一配 + (1 + 2配 + 6W2)COS2 »0Q
COS2 &0==7 •(2 • 13)
(1 + 2方 1 + 方科2)- 81 —62)COS2 Uq
Значит, если выполняется равенство (2.9), то направления распространения волн первого и второго типов лежат в одной вертикальной плоскости (<р'=(ро"), но составляют разный угол с осью 2. Заметим, что связь между углами 2(/ и 2о〃 зависит от величин 6i и дг» но не зависит от угла <ро，
Суммируя (2.5) и (2.8), получим с учетом (2.9) плотность тока при одновременном излучении волн обоих типов
jx = Jx + /； = (/о cos сро— /о sin 喲 6-小2*+%叫
Л/ =•/； + /； = 5 sin 屮；+ /о COS(ро)(2.19)
Положим теперь, что выполняется соотношение
Уоcos сро —/о sin 屮о=О,
что возможно, если
/o = /otg фо-(2.20)
J х = °，J х = °，-2-"a2*+02")； cos %-2-"a2*+02")； cos %получим из(2.21)получим из(2.21)При выполнении условий (2.10) и (2.20) (2.19), (2.2) и (2.7)
J х = °，
J х = °，
-2-"a2*+02")； cos %
-2-"a2*+02")； cos %
получим из
(2.21)
получим из
(2.21)
J = E + Er = /oJ = E + Er = /o2зе2зе—Г| COS Hq Sin (pg ^―l/Tj cos&gZ
J = E + Er = /o
J = E + Er = /o
2зе
2зе
+++ 呼 sin+o 6一样cos V e_"。2*+ 熊叱 2Г0 cos 8；
+
+
匸T ricos ^0sin2
Eg =七“ + Fy = /о; e—
2<oe cos <p0
畔 COS 脸 c—xos喩 1 eT(K+Rm； 2Г2 cos a；
/2.22)/2.22)(2.23)(2.23)e =)；"吧8专8欣一"a2"+餘小人(2.24)
/2.22)
/2.22)
(2.23)
(2.23)
2<0电
Hx=H* + Hx = Jq -e 0 +2 cos <p0
—I— ee ^(a2-^^~p2^)*(2.25)
н尸Hy + H 尸 j\—e 0 +
+ si；o* COS У z 卜T(。2抖 us；(2.26)
/7 -_ ；Q "Sin"(2.27)
2rz cos 8；
Таким образом, если имеется только составляющая /^, то происходит излучение волн обоих типов одновременно (в любом направлении), в отличие от случаев, рассмотренных ранее. Соотношение амплитуд волн зависит от направления распространения. В частных случаях амплитуда одной из волн обращается в нуль. То обстоятельство, что вектор плотности тока оказался направленным именно по оси у, не имеет специфического значения: по-
воротом системы координат вокруг оси z его можно ориентировать по оси х или в другом направлении.
Для упрощения дальнейших выкладок исключим тригонометрические функции посредством равенств (2.10) и вытекающих из них
tg фо=— ,sin g；= В? 一, cos cpo=二 /2 …
以2/1+Ж
Fj sin &o=r2sin &o= 1/" a； +除(2.28)
Из (1 19) находим путем несложных преобразований
肾+ M1?cos2 8；肾+ M1?cos2 8；2Л=112Л=110^10^15+5+2Sос=г2 12Sос=г2 1в+в+9)2⑵9)2⑵
肾+ M1?cos2 8；
肾+ M1?cos2 8；
2
Л=
11
2
Л=
11
0^1
0^1
5
+
5
+
2
Sос=г2 1
2
Sос=г2 1
в
+
в
+
9)
2
⑵
9)
2
⑵
Аналогичным образом находим из (1.20)
Tl=r|cos2%=^2-乌*偿・(2.30)
По соображениям более удобной нормировки тока возьмем величину амплитудного множителя в виде
/о=/о cos ©о-(2.31)
4ндексы《1》н《2》у коэффициентов аир будем опускать, поскольку «1 = а2, 01 = Рг-
Тогда получим окончательно следующие формулы:
(2.32)(2.32)/ =（=加一/3+%）；
(2.32)
(2.32)
Ex=-\-2coe L2<oe LEx=-\-2coe L2<oe L珅了传一‘г2a2 +伊珅了传一‘г2a2 +伊卜壽/］』"％（2.33）卜壽/］』"％（2.33）027忆一?n2取a2e lnz .a2 + 02(a2 + p2)七 _027忆一?n2取a2e lnz .a2 + 02(a2 + p2)七 _е-^^у^ (2.34)е-^^у^ (2.34)
Ex=-\-
2coe L
2<oe L
Ex=-\-
2coe L
2<oe L
珅了传一‘г2a2 +伊
珅了传一‘г2a2 +伊
卜壽/］』"％（2.33）
卜壽/］』"％（2.33）
027忆一?n2取a2e lnz .
a2 + 02(a2 + p2)七 _
027忆一?n2取a2e lnz .
a2 + 02(a2 + p2)七 _
е-^^у^ (2.34)
е-^^у^ (2.34)
(2,35)(2,35)F =—旷"z e-"a*+削); z 2зе 1 + M
(2,35)
(2,35)
力［"伊「" I 或「旧］L*a* + %(2.36)
2 La2 + 俨 丁 a2 + 82」'
(2.37)(2.38)(2.37)(2.38)=史eT(W0g)；
(2.37)
(2.38)
(2.37)
(2.38)
—2 L a2 4- p2 ' a2 + p2 J'
gT(a*+0g), 2 (1 + &2)72
где
W二Ж，廿尸Ж・(2-39)
Размерность амплитудного множителя /о плотности тока в практической системе единиц—А/м. Нетрудно проверить, что (2.33) — (2.38) удовлетворяют уравнениям Максвелла (1.3) при любых значениях аир.
3
Излучение цилиндрических волнсинфазной нитью тока
От рассмотренного выше случая излучения плоских волн листом тока можно перейти к случаю излучения цилиндрических волн бесконечно-длинной нитью, поперечное сечение которой исчезающе мало. Для этого используем известный прием [15], при котором цилиндрическая волна представляется как сумма (или интеграл) плоских волн, распространяющихся в различных направлениях 仇 И фо-
Так как размерность а не нулевая, будем проводить интегрирование по безразмерному волновому числу 九= = а/Л; при этом размерность всех величин сохранится. Амплитуду плоских волн можно принять неизменной, т. е. не зависящей от а. В результате интегрирования (2.32) получим распределение тока с плотностью
уЕ(х)= J /(a, x)dh=JQe^y j e-拒*五d% =
=j^y^l(kx).(3.1)
Дельта-функция показывает, что ток сосредоточен в виде .бесконечной нити на оси у, поскольку д(^х) =0 при х=#0. Для определения величины этого тока вычислим интеграл
8ОО
Л= \ /I(x)dx = ^j^y \ 6(后力4/%=年 /0g1 帆(3.2)
Из (3.2) следует, что ток нити 厶 равен по величине току, текущему по полоске (листа) шириною ^Х (с плотностью /о)- Поле, излучаемое нитью, находим вычислением соответствующих интегралов. Положим сначала 0 = 0,
23
т. е. рассмотрим случай синфазной нити. При 0 = 0 из (2.33), (2.35) и (2.37) следует
石*= £"z= 〃д =。・(3.3)
Остаются составляющие Еу, HXi Hz. Умножая (2.34) на dh и интегрируя, находим
尸ZV肝一依力2/1 +方
'=X
七"=_丿0厂—-^ajr dh = j^~ IJ 722s£ I—8tJ七"=_丿0厂—-^ajr dh = j^~ IJ 722s£ I—8tJ8 - / m j/" \2-九2
七"=_丿0厂—-^ajr dh = j^~ I
J 722s£ I
—8tJ
七"=_丿0厂—-^ajr dh = j^~ I
J 722s£ I
—8tJ
X e-次*" dh=-j戶、纟一〔——cos kxhdh. (3.4)
В (3.4) и далее будем применять обозначения
1 + %=匹"=货；
1+ %=* = *•(3.5丿
Е
IIIIИнтеграл (3.4) сводится к табличным. В качестве исходного для вычислений возьмем табличный интеграл № 6.596.9 [11]:
II
II
V J、（afi） ^ e/庐二矛）（Л2 -炉厂卩/2加+1 成=
= -^exp[ 一2冗(*-v—^)] X= -^exp[ 一2冗(*-v—^)] X(3.6)(3.6)/—1/2/—1/2今。S2'К/2 ⑶=|/^е今。S2'К/2 ⑶=|/^ев котором примем 出=〔/2, v=*—Уг- Цилиндрические функции с полуцелым индексом сводятся к элементарным функциям
= -^exp[ 一2冗(*-v—^)] X
= -^exp[ 一2冗(*-v—^)] X
(3.6)
(3.6)
/—1/2
/—1/2
今。S2'К/2 ⑶=|/^е
今。S2'К/2 ⑶=|/^е
поэтому приходим к формуле
\ cos 〃/ze-*"九 Jо35 (/产一q^^^dh = ~^~ H^ (g 1A产 + ")•
б(3.7)
Приравнивая kx = и, V2 = g, к小2= 5 получим
8 一竺]/" Л2-^?
匚 .」0岳丿2 £ е ‘2cos kxh dh =
4= -i \ (DE .
0
или, учитывая (3.2),
Ey=—厶^ H^(k 丿硝^+期•(3.8)
Для вычисления Нх применим интеграл, получающийся из (3 7) при дифференцировании по параметру и,
С cos uhe~vV1^dh =— 剪-H?\q H+〃△)• (3.9)
Из (2.36) при p = 0 находим в соответствии с (3.9)Из (2.36) при p = 0 находим в соответствии с (3.9)=一",——^z 一",)儲/；1^^).(з.Ю) 4丿货*2 + ^2=一",——^z 一",)儲/；1^^).(з.Ю) 4丿货*2 + ^2
Из (2.36) при p = 0 находим в соответствии с (3.9)
Из (2.36) при p = 0 находим в соответствии с (3.9)
=一",——^z 一",)儲/；1^^).(з.Ю) 4丿货*2 + ^2
=一",——^z 一",)儲/；1^^).(з.Ю) 4丿货*2 + ^2
Для вычисления Hz применим интеграл, получающийся из (3.7) дифференцированием по параметру 〃，
五 se*叱еdh=A- q“ 川2)UK^+^)-(3.H) ]/无2一022i 八2 + "2
Таким образом, находим
e~^iaxdh =e~^iaxdh =sin kxh dh =sin kxh dh =(3.12)(3.12)HP。vlx2 + ^2).HP。vlx2 + ^2).
e~^iaxdh =
e~^iaxdh =
sin kxh dh =
sin kxh dh =
(3.12)
(3.12)
HP。vlx2 + ^2).
HP。vlx2 + ^2).
Полученные выражения (3.8), (3.10) и (3.12) описывают поле цилиндрической волны Их можно записать в другом виде, применив цилиндрические координаты /?ь 屮卜 2], ось которых Zj совпадает с осью у, а угол <pi отсчитывается от оси z к оси х (рис. 5). Нить тока /2 расположена на оси г1 цилиндрических координат. Переход к новым координатам проводится по формулам
巧=У、/?1 = г24~^2,tg?i = —,巧=У、/?1 = г24~^2,tg?i = —,N= ©COS 中i, x = Q sin<pb,N= ©COS 中i, x = Q sin<pb,(3.13)(3.13)
巧=У、
/?1 = г24~^2,
tg?i = —,
巧=У、
/?1 = г24~^2,
tg?i = —,
N= ©COS 中i, x = Q sin<pb,
N= ©COS 中i, x = Q sin<pb,
(3.13)
(3.13)
В предложенной цилиндрической системе координат эле-ктрическое поле также имеет только одну составляющую
Еzt = — /工^^ Н^>(АRiV y；sin2% + cos% ). (3.14)
Далее находим
"% = Нх cos 牝一Нz sin % =
"协2"f)(々R] U胃5也2的+ COS?中J(3⑸
4 ]/ Y； sin2 屮 1 + cos2 Y1
H /^t = H x si n <pi -|- //2 cos cpj = Q,H Z1 = 0.
Из (3.15) видно, что магнитное поле нити имеет только азимутальную составляющую, как и в случае изотропной среды. Отличием является зависимость от угла фЬ исчезающая при 1V2=1・ При малых расстояниях от нити (RfO) формула (3.15) упрощается, поскольку
9；
Н 佇(寛8)=厶(к&)一》М “Ri) -> — IN 1 (xQi)f -—• (3.16)
При этом
—,(3.17)
2冗Ri货 sin2 屮I + cos2 <pi
И при V2= I
h—-h—-2nAi2nAi
h—-
h—-
2nAi
2nAi
―• известная формула для магнитного поля прямолинейного тока. На больших расстояниях цилиндрические функции можно заменить асимптотическими выражениями Тогда
"弘=厶号"弘=厶号—iARiM 号 sin2<Pi +cos3«f>i (v| Sin2 Cpi+cus?中 1)"4—iARiM 号 sin2<Pi +cos3«f>i (v| Sin2 Cpi+cus?中 1)"42i nkR\2i nkR\TARiM v|sin2(p1+c6s2<p1 (v| sin2 屮 1 F cos2 屮 1)3/4TARiM v|sin2(p1+c6s2<p1 (v| sin2 屮 1 F cos2 屮 1)3/4(3.18)(3.18)
"弘=厶号
"弘=厶号
—iARiM 号 sin2<Pi +cos3«f>i (v| Sin2 Cpi+cus?中 1)"4
—iARiM 号 sin2<Pi +cos3«f>i (v| Sin2 Cpi+cus?中 1)"4
2i nkR\
2i nkR\
TARiM v|sin2(p1+c6s2<p1 (v| sin2 屮 1 F cos2 屮 1)3/4
TARiM v|sin2(p1+c6s2<p1 (v| sin2 屮 1 F cos2 屮 1)3/4
(3.18)
(3.18)
Из (3.18) следует, что поверхности равных амплитуд магнитного поля и поверхности равных фаз не совпадают между собою и имеют более сложную форму, чем у цилиндрических волн в изотропной среде. 〈
Введем обозначение
出=々丿 vlsin2 中i* cos?%.
Тогда (3.14) и (3.15) запишутся короче
邑] = 一厶礬"p(出a)，
4g)e
= 一近礬"?)的a)， (3.19)
4*2
Er尸 Eq、= H & = Н 入=0.
Очевидно, что 乂2 можно рассматривать как волновой коэффициент, величина которого не постоянна, но зависит от направления фь что соответствует физике явления. Вследствие этой зависимости форма волнового фронта отличается от формы кругового цилиндра. В рассмотренном выше случае волновой фронт имеет форму эллиптического цилиндра. В самом деле, полагая
hRi 丿 vlsin2 ср! +hRi 丿 vlsin2 ср! +cos2 ^ = kC = const,cos2 ^ = kC = const,
hRi 丿 vlsin2 ср! +
hRi 丿 vlsin2 ср! +
cos2 ^ = kC = const,
cos2 ^ = kC = const,
находим уравнение поверхности волнового фронта
(3.19а)(3.19а)——С
(3.19а)
(3.19а)
)/ 学 sin2?] + C0S2 У1
—уравнение эллиптического цилиндра. Его форма зависит только от магнитной анизотропии, так как электрическое поле имеет всего одну компоненту £Z1 (Еу), зависящую только от одного элемента тензора е.
Правильность решения (3.19), полученного интегрированием по а/比 можно проверить, решая уравнения Максвелла в цилиндрических координатах /?ь 屮卜 z】.Тензоры (11) и (1.2) в прямоугольной системе координат %匕 ^卜 2i принимают вид
(3 20)
Далее, переходя от декартовых координат хь у】，刁 к цилиндрическим, находим вместо
Dx'M^zExn 1)у、= вЕун Dz* = eEz\
соотношения
DRl cos 屮 1 —。弘 sin % = ez (ERx cos ^ — En sin 屮»,
D& sin % + D^ cos % = "£*% sin w + En cos %), (3.21)
Dz尸sEzj
Умножим первое из равенств (3.21) на cos фь второе на sin q)i и затем сложим их
Dr、= Er/% cos2 旳 + e sin2 %) + 々,(一％+ eXos 的 si:i %•
(3.22)
Умножим первое равенство (3.21) на sin фь второе — на cos iq)i и затем вычтем первое из второго
Q% = Е& (е — %) sin % cos % + 品(％sE2 屮1 + e cos2^). (3.23)
Из (3.22) и (3.23) следует, что тензор диэлектрической проницаемости в цилиндрической системе координат R, 屮 1, & имеет вид
(3.24)(3.24)£ sin2 % + 眨 ccs2 屮](с — Ez) sin 乎]cos у] 0 e — (£ —笃)sin у】 cos pi с% sin2 #] + e cos? у】 0
(3.24)
(3.24)
00E
Здесь характерным является зависимость элементов тензора от угла 屮1・ Аналогичным образом находим
卩s in2 $1十卩z cos у】 (R —Nz)sE Yicos^i0卩s in2 $1十卩z cos у】 (R —Nz)sE Yicos^i0(K—p.z) sin(pi cos cpi 0
卩s in2 $1十卩z cos у】 (R —Nz)sE Yicos^i
0
卩s in2 $1十卩z cos у】 (R —Nz)sE Yicos^i
0
№z sin2(pi + p. cos2 yl 0 . (3.25)
0*
Уравнения Максвелла в принятой цилиндрической системе координат записываются в форме
上—加[〃口(卩 sin2 cpi L%cos2%) +
+ 〃屮I (a 一 也)sE ?i cos 屮J (3.26)
6Er dEz•.
-~ — -т^-= — "3 ["& 仅-厶)sm 协 cos % +
(3.27)(3.27)+ 〃屮1 (〃z sin2 屮 1 + [丄 cos2^)],
(3.27)
(3.27)
1 d(RJ)1 d(RJ)3Er,3Er,勺 3R\ Ri d?i勺 3R\ Ri d?i=-加卩"z；=-加卩"z；(3.28)(3.28)
1 d(RJ)
1 d(RJ)
3Er,
3Er,
勺 3R\ Ri d?i
勺 3R\ Ri d?i
=-加卩"z；
=-加卩"z；
(3.28)
(3.28)
1 °H OH •.2 I 2 X I而27一工=阿以"П2打+ %8s沼)+
+ ^(£-£Jsin?1 cos %],+ ^(£-£Jsin?1 cos %],(3.29)(3.29)
+ ^(£-£Jsin?1 cos %],
+ ^(£-£Jsin?1 cos %],
(3.29)
(3.29)
OHr d〃z
^一而=3拆"%时中5% +
(3.30)(3.30)+ 七門(e2sin2(pi4-ecos2(pi)],
(3.30)
(3.30)
1-7?1-7?火勺，1 0Hr、火勺，1 0Hr、°Ri Ai 。屮 i°Ri Ai 。屮 i(3.31)(3.31)
1
-7?
1
-7?
火勺，1 0Hr、
火勺，1 0Hr、
°Ri Ai 。屮 i
°Ri Ai 。屮 i
(3.31)
(3.31)
Уравнения расходимости записываются так:
IIIIdiv D =div D =11е sin2 屮 1 + е2 cos2 力(0 REr)е sin2 屮 1 + е2 cos2 力(0 REr)R\R\MiMi(e ——£“ sE ?i cos <pi。(R£%i)(e ——£“ sE ?i cos <pi。(R£%i)MiMi++d (sin $] cos 中]ErJd (sin $] cos 中]ErJ质"质"+++言靑网<"吟宀c*H +誉=0, (3.32)+言靑网<"吟宀c*H +誉=0, (3.32)divB =divB =p. sin2 *i + Kz cos2 屮 1 0 (/?i//7?i)p. sin2 *i + Kz cos2 屮 1 0 (/?i//7?i)&&++(R-Kz)sin 中/os 中 1(R-Kz)sin 中/os 中 1OR0(a1"外)丄出一2zOR0(a1"外)丄出一2z十十勺勺MiMi%%■j—siri% cos 屮i〃rJ + 讣i■j—siri% cos 屮i〃rJ + 讣i
II
II
div D =
div D =
1
1
е sin2 屮 1 + е2 cos2 力(0 REr)
е sin2 屮 1 + е2 cos2 力(0 REr)
R\
R\
Mi
Mi
(e ——£“ sE ?i cos <pi。(R£%i)
(e ——£“ sE ?i cos <pi。(R£%i)
Mi
Mi
+
+
d (sin $] cos 中]ErJ
d (sin $] cos 中]ErJ
质"
质"
+
+
+言靑网<"吟宀c*H +誉=0, (3.32)
+言靑网<"吟宀c*H +誉=0, (3.32)
divB =
divB =
p. sin2 *i + Kz cos2 屮 1 0 (/?i//7?i)
p. sin2 *i + Kz cos2 屮 1 0 (/?i//7?i)
&
&
+
+
(R-Kz)sin 中/os 中 1
(R-Kz)sin 中/os 中 1
OR
0(a1"外)丄出一2z
OR
0(a1"外)丄出一2z
十
十
勺
勺
Mi
Mi
%
%
■j—siri% cos 屮i〃rJ + 讣i
■j—siri% cos 屮i〃rJ + 讣i
1 о1 о%处1%处1•дН
1 о
1 о
%处1
%处1
[〃中】(^z sin2 % + a cos2 屮 1] + 产—~-=0. (3.33) 02[
При ez=e и 眼=|1 полученные уравнения приобретают форму, известную для изотропной среды. Теперь же их вид и решение гораздо сложнее. Ограничимся рассмотрением частного случая 8=0, когда поле не зависит от координаты 之1. В этом случае вся система уравнений (3.26) — (3.31) разбивается на две подсистемы, из которых возьмем первую:
訐 嗑J =—'叩 HR (sin2cpi + 管 cos2 旳)4- + "*i ( l--^)sin%cos屮i],
sincfi cos c?i +
— дЕ,г
—^~L =—加出 I H
l吧虻一丄也=沁,
R 0R\ Q 。刊1
(3.34)
(3.35)
(3.36)
Применяя опять обозначение 网/卩=咽 находим из (3.34) и (3.35) составляющие магнитного поля
/ ( v| sin2 у】+ cos2 屮i) dEz、 -+
3nY飘1°中1
Z (1 -- V2)sin ?1 COS ?10后2[
(3.37)
.(sin2^i + >2cos2^1) 。£乙
<op.'?2。A1
/ (1 — >2)sin?i cos ?i d%
3E次1处1
(3.33)
Подстановка (3.37) и (3.38) в (3.36) дает уравнение для
(sin2 也+^ cos2^)
0*
+
(货 Sin2 丫] + cos2 Y1)
-4-
cos2 ф!，—sin2 %)
居
Eо
死
尸
Е22V加+
+ 2sin%cos% 戒麻一
0.(3.39)
'll
Полученное уравнение имеет довольно сложный вид и способ его решения не очевиден. Метод разделения переменных, применимый при V2= 1, не помогает при решении уравнений вида (3.39). Чаще всего дифференциальные уравнения с неразделяющимися переменными решаются приближенными методами. В некоторых случаях могут быть полезны искусственные методы. Сложность дифференциальных уравнений, получающихся при анализе распространения неплоских волн в анизотропных средах, является одной из причин, мешающих до сих пор решению задач в этой области.
В нашем случае известно выражение (3.14), полученное способом интегрирования по волновому коэффициенту. Оно является решением уравнения (3.39), что нетрудно проверить подстановкой.
Составляющие магнитного поля можно вычислить с помощью (3.37) и (3.38).
Еще более сложное решение получается, если отказаться от выполнения принятого условия р = 0, т. е. 0/0zi=0. Этот случай рассмотрим в следующем разделе.
IIIIВыше было найдено электромагнитное поле синфазной нити электрического тока, расположенной на оси у. Более простым является случай, когда нить электрического тока расположена на оси z. Уравнения Максвелла в цилиндрических координатах (R, <р, z) в этом случае имеют такой же вид, как и при изотропной среде. Их решение можно получить методом разделения переменных, а можно и интегрированием по волновому коэффициенту. Таким образом, получим
II
II
(3.40)
Остальные компоненты поля равны нулю.
В этом случае анизотропия среды не отражается существенным образом на характере процесса. Поверхность равных фаз имеет форму кругового цилиндра, ось которого совпадает с осью z Изменилась только длина волны в V： раз.
В соответствии с этим результатом можно найти поле более сложных источников, которые можно представить в виде совокупности (дискретной или интегральной) синфазных нитей тока в анизотропной среде, параллельных оси 2.
Так, например, несложно решить задачу о дифракции на полуплоскости
у=0, х > 0 при E[|z°.
3—2842
4
Излучение конических волннитью тока
В предыдущем разделе были получены выражения (3.19) для цилиндрических волн, излучаемых бесконечно длинной нитью, расположенной вдоль оси у, по которой течет переменный ток
фаза тока не зависит от у, т. е. одинакова во всех точках нити. В этом разделе займемся исследованием более сложного случая, когда на оси у имеется нить с бегущей волной тока
/£=/0?e-邝т5 (4.1)
В этом случае (0*0) имеются все шесть составляющих поля; равенства (3.3) не выполняются. Попытаемся применить тот же прием интегрирования по волновому числу. Проще других находится Ez. Интегрируя (2.35) и используя формулу (3.9), находим •
旦=旦=—^^ \ «—“iZg—2a*d/z =
旦=
旦=
2з£ (1 + 瓦))
2n<OEV|2n<OEV|оо-izcos kxhe-izcos kxhe
2n<OEV|
2n<OEV|
о
о
-iz
cos kxhe
-iz
cos kxhe
Введем обозначенияВведем обозначения(4・2)(4・2)
Введем обозначения
Введем обозначения
(4・2)
(4・2)
тогда после преобразований получим
Ez =一厶Ez =一厶i^k\Zi^k\Z4s叫4s叫V **2 + z2V **2 + z2
Ez =一厶
Ez =一厶
i^k\Z
i^k\Z
4s叫
4s叫
V **2 + z2
V **2 + z2
=厶詛許"PR"祐刁•(4・3)
При переходе к цилиндрическим координатам по (3.13) формула (4.3) преобразуется к виду
忆=一/ё忆=一/ё怦I cos ?1X
忆=一/ё
忆=一/ё
4＜OEVi V “siM^i + C0§2 屮 1
X 〃产(自/?1 ]/ У； sin2% + cos2% )=石占,(4.4)
Проведенное вычисление сходно с вычислением интеграла (3.10). Характерным отличием результата (4.3) от (3.10) является замена в аргументе цилиндрической функции коэффициента k на 々卜 Из (4 2) видно, что при р=Ю получается 瓦=力；при 俨＜力2V/ число k} — действительное, а при 俨＞力收，число k\ ——мнимое. В последнем случае функция Ганкеля заменяется на функцию
Макдональда
К. (р)=* Н^ 仲)=• 一 等 〃р (—初
В этом случае
五i片/伍;I E)■(4制
Физически это означает, что при оольших р2 энергия не излучается нитью, а идет вдоль нити, оставаясь в ближней зоне (связанная волна). Таким же образом находим "z，используя формулу (3.11),
e—ihxhdh =e—ihxhdh =
e—ihxhdh =
e—ihxhdh =
x硏图)'
"Z = "Е "2也*"部(局/У涉+炉卜
4 M、扛2 +22
=I/ё/ 詁 "p (后/评百.(4.5)
При переходе к цилиндрическимПри переходе к цилиндрическимчимчимкоординатамкоординатамполу-полу-
При переходе к цилиндрическим
При переходе к цилиндрическим
чим
чим
координатам
координатам
полу-
полу-
%="Е ——…、2?2 Sin 中1X
4 «"皆 S E2 ?1 + COS2 ¥1
Х"Р(局 ©М 后 siM 物+ со5*) = 〃*・ (4.6)
В (4.6) в отличие от (4.4) входят величины 山 и 局. При 俨＞应％2? функция Ханкеля заменяется на функцию Макдональда
Теперь перейдем к вычислению других составляющих векторов поля. Составляющая Ех определяется интегралом
*2з£) L a2 + 伴 (a2 +伊)T2 J
f(4.7)
Остальные составляющие определяются родственными интегралами. Их можно вычислить (путем дифференцирования по параметру), если сначала вычислить интегралы типа
/m)= \d九/(间=.\ ：2 工丁 dh. (4.8)
)(cx2 + 沁 丁 1J (必 + 沁 т 2
-—эо—ею
Однако интеграл (4.8) не приводится к известным табличным интегралам.
Можно попытаться найти искомые выражения путем решения уравнений Максвелла в цилиндрических координатах R】，фь N]. Получающиеся при этом уравнения имеют очень сложный вид и способ их решения неясен Все же рассмотрение исходных дифференциальных уравнений полезно. Напишем уравнения (1.3) в развернутом виде, учитывая зависимость от у в виде ехр(—匕削)，
дНу . 口
匕02=2碇目，
TW
d2 =一仙m&
ОН* dz
ЗЕ* дг
：，一 ”，(4.9)
дНу дх
+通%=涿区，
ЗЕу дх
十 ^X= 一加步z"z・
Подставим Ех из первого уравнения (4.9) в пятое:
————(-i^Hz --丄生=一 i^Hy.而e dz \ z dz ) дх广，
Откуда после несложных преобразований следует
嘰》+ ^иу = _ /0з 禁^ _用醬《.(4.10)
Так как в (4.10) неизвестная Ну дифференцируется только по & то можно написать
鲁+展团 =-汲堂一用警 =/】3).(4.11)
dz2oxdz
Функции в правой части (4.11) можем считать известными, поскольку они легко находятся из (4.3) и (4.5).
Таким образом, для вычисления Ну нужно решить обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и правой частью.
Решение дифференциального уравнения типа (4.11) без правой части известно:
〃р=С© *z 十 с^т 吃
Решение неоднородного уравнения (4.11) находится [16], например, методом вариации постоянных в виде квадратур
e“%(0dJ；心ё郁2一0力(0以.(4.12)
ZqZq
Подстановка (4.12) в (4.11) показывает, что уравнение (4.11) выполняется.
/(N)= 匹上一用? 小丿дх r dz
4邓 dxoz
蔡"伊（局/版+2）=蔡"伊（局/版+2）=財工 024 dzdx財工 024 dzdx"P （自八旣2+之2）一"P （自八旣2+之2）一
蔡"伊（局/版+2）=
蔡"伊（局/版+2）=
財工 02
4 dzdx
財工 02
4 dzdx
"P （自八旣2+之2）一
"P （自八旣2+之2）一
—一? 〃伊伍2 ]A衿+ /]・ (4.13)
Подставляя (4.13) в (4.12), получим в предположении допустимости перестановки операций интегрирования 白 и дифференцирования по % следующее выражение для Ну.
Выражение для Нх можно найти из третьего уравнения (4.9) или из уравнения дивергенцииВыражение для Нх можно найти из третьего уравнения (4.9) или из уравнения дивергенции
Выражение для Нх можно найти из третьего уравнения (4.9) или из уравнения дивергенции
Выражение для Нх можно найти из третьего уравнения (4.9) или из уравнения дивергенции
divB = 0 = a袋 + 卩耍 + %号^ •(4.15)
При этом получим'
ЬНхдхЬНхдх=，也-学警П言{譬《SE左DX=，也-学警П言{譬《SE左DX
ЬНхдх
ЬНхдх
=，也-学警П言{譬《SE左DX
=，也-学警П言{譬《SE左DX
一亡"P （自/駿+叫勺一 一告卜f与硒w声斗
a*= gf Y2亍:"伊（力2/货炉+22）+
+ "^ \ sin 々（z — Q） [•••]★}
В найденных выражениях (4.14) и (4.16) функции Ханкеля заменяются на функции Макдональда, если р2 достаточно велико.
Например
% =sin/DX
2dx J
X强［十"(耳M俨+В 一 士兄伍2 了号炉+hV*
(4.14а) где
Из (4.9) можно получить и формулы для Ех и Еу. Интегралы типа (4.14) по-видимому не сводятся к известным и производят новую специальную функцию. Необходимо заметить, что нижний предел 之。пока остался неопределенным.
Вернемся теперь к способу нахождения поля нити интегрированием по безразмерному волновому коэффициенту й. Величина Ну определяется интегралом от функции (2.37)
ae~^lZa2 十俨ae~^lZa2 十俨Ct「“2Z а2 + а2Ct「“2Z а2 + а2e—ia^dh =e—ia^dh =2 dx J2 dx Jа2 + 02а2 + 02e-Wа2 + 02e-Wа2 + 02еТах& 九=еТах& 九=一竺 /尹一cos力*力e '2 ' I比'五2 +俨/胧一竺 /尹一cos力*力e '2 ' I比'五2 +俨/胧
ae~^lZ
a2 十俨
ae~^lZ
a2 十俨
Ct「“2Z а2 + а2
Ct「“2Z а2 + а2
e—ia^dh =
e—ia^dh =
2 dx J
2 dx J
а2 + 02
а2 + 02
e-W
а2 + 02
e-W
а2 + 02
еТах& 九=
еТах& 九=
一竺 /尹一
cos力*力e '2 ' I比'
五2 +俨/胧
一竺 /尹一
cos力*力e '2 ' I比'
五2 +俨/胧
Два интеграла в фигурных скобках (4.17) однотипны; второй получается из первого заменой постоянной vi на v2, поэтому достаточно проанализировать один из них:
(4.18)(4.18)
(4.18)
(4.18)
Сравним (4.18) с интегралом (3.9). Подынтегральная функция в (4.18), кроме точек разветвления 九=±夕，имеет еще полюса h±i^lk, расположение которых .определяется величиной р. Допустим сначала, что p2>fe2vi2. При этом
Обозначим
(4.19)
Тогда (4.18) можно записать в виде
(4(4
(4
(4
Представим знаменатель (4.20) в виде разности двух дробей:
I [=
九2 +论；+*
1
1
l^Л2 + Л! + £Y1 l//九2 十 /?| -九]
一"河
cos kxhe. —
——dh —
о/力2 +冠+扭1
/ Г cos kxhe 叮
2" 0)/九2 +咛+九1
dh. (4.21)
Теперь умножим и разделим интегралы (4.21) на е吗 д0. стигнув при этом соответствия между аргументом показательной функции и знаменателем дроби
ie'kz
\ cos kxh 0
Лd
21力十2
+
Из него дифференцированием по параметру v получим другой интеграл
—\ cos ithe-kV"+ydh=— К^ (у Vw2+ г/2) = о
=——^1— K1( 7 m必 + 词.(4.24)
"|/ 〃2 + f/2
2丫 1 оР^ 力2 — /г| — К]
Далее представим в виде интеграла дробь
Сравнивая (4.24) с (3.9), можно придти к заключению, что они получаются один из другого при соответствующей замене параметров (д на 力丁).
Возвращаясь к нашему интегралу (4.23), можем теперь с учетом (4.24) написать
一"Z
е ，[/ 无2 + 必 +、J
]/九2 +届十/"
—e и」火(4.22)
У1 J
и аналогичным образом вторую дробь. Меняя затем порядок интегрирования, получим
ZОО
21
2
—也 Л24-л2cos kxhe % dh +
丿* 2 1
十 1 2
gП
+\ 夕依或 \ cos kxhe % У 力九 (4.23)
18О
В таблицах интегралов [11] имеется интеграл № 3.961.2, в котором изменим обозначения величин
51
■/(Y肉2 + 0
価
2+0
KiX
о
尸中上兰竺竺=k。“卉初・ 吟2 +九2
2/
儿；e-ikz册匸一户%т以
二^»\sin 々（匚一z）
无"
hУ1*)2 + С
=一 十j sin力（z - 0 亲 勺（*"用 十勺成・（4.25）
Аналогичным образом получим:
cos kxhe,,
dh =
也2 +力^ +、；
=-? Sin以2 T)备к。 (智h^尸冃★.
(4.26)
Полученные интегралы хорошо сходятся, поскольку функция Макдональда убывает по закону показательной функции при А8.
Подставим (4.25) и (4.26) в (4.17)
21少dx21少dx{— 厶 + 厶}={— 厶 + 厶}=〃“ = i
21少dx
21少dx
{— 厶 + 厶}=
{— 厶 + 厶}=
Нетрудно видеть, что выражения (4.27) и (4.14а) совпадут, если в (4.14а) принять за нижний предел z0, который ранее оставался неопределенным: z0=oo.
В соответствии с этим вместо (4.14) напишем
也铢也铢(20(20с2 + 2 泳с2 + 2 泳1 ^1 ^с r— ‘ _ 沙с+2X22Vс r— ‘ _ 沙с+2X22Vor2(4.or2(4.
也铢
也铢
(20
(20
с2 + 2 泳
с2 + 2 泳
1 ^
1 ^
с r— ‘ _ 沙
с
+
2
X
22
V
с r— ‘ _ 沙
с
+
2
X
22
V
or2(4.
or2(4.
Интеграл (4.28) можно упростить, применяя прием интегрирования по частям
\ Sin Л(2-D 条筑2)伍]/m2+0)★=
8
C= z
= sin力生一0"肾）（自］不：2+g）\ +
（=8
十々^ cos А (г - е) H^(Aхm"*2 +g2)"С，
8
Таким образом, приходим к формулам
Hy = ^-±--^k{z^} [Т н^ (^ М 声田)一
———"р (局 / 货+?)居(4.29)
（自y*炉+？）—（自y*炉+？）—Н、Н、(4.30)(4.30)
（自y*炉+？）—
（自y*炉+？）—
Н、
Н、
(4.30)
(4.30)
Формула для Нх была получена из уравнения дивергенции (4.15). Если же находить Нх интегрированием выражения (2.36), то получается
*{JL卜os/（2 - U "肾）（自］/殺2+g）小一
102102Y20"2Y20"2\ cos k (г — J〃p\ cos k (г — J〃p3(4.3(4.
102
102
Y20"2
Y20"2
\ cos k (г — J〃p
\ cos k (г — J〃p
3(4.
3(4.
Выражения (4.30) и (4.31) эквивалентны. Из (4.31) можно получить (4.30), если применить метод интегрирования по частям и учесть равенство
r言"p（局/密备）+亲"Р （色/亦^=
=一 klH^ （鱼旣2+切.（4.32）
Перейдем теперь к вычислению Ех и Еу.
Формулу для 瓦с можно получить из первого уравнения (4.9) подстановкой (4.5) и (4.29)
Ех=-Ех=-£〃p(&M*4H+£〃p(&M*4H+
Ех=-
Ех=-
£〃p(&M*4H+
£〃p(&M*4H+
+ 為 \cos々(一代 "p (自/心+①_
00
一-L〃p(W；^q可I ]・(4.33)
Формулу для Еу получим, подставляя (4.5) и (4.30) и учитывая (4.32),
= +"{ -%修"p (仇/号*2+22)+= +"{ -%修"p (仇/号*2+22)+
= +"{ -%修"p (仇/号*2+22)+
= +"{ -%修"p (仇/号*2+22)+
46
+俨言' COS々(2-" [ T "p(厶/Y沁 + W 一
(4.44)(4.44)
(4.44)
(4.44)
Вид найденных формул говорит о том, что нить тока с переменной фазой (4.1) излучает конические волны, т. е. такие волны, у которых фронт имеет форму конуса. Чтобы убедиться в этом, возьмем, например, формулу (4.4) для Ez и, предполагая Ri достаточно большим, заменим цилиндрическую функцию ее асимптотическим выраже
нием
=А=А^2=—^2=——i(々[R】Ф1 ——I 4—i(々[R】Ф1 ——I 4(4.45)(4.45)
=А
=А
^2=—
^2=—
—i(々[R】Ф1 ——
I 4
—i(々[R】Ф1 ——
I 4
(4.45)
(4.45)
В (4.45) для краткости введено обозначение
/* sin2 屮 1 + cos2 屮 1/* sin2 屮 1 + cos2 屮 1
/* sin2 屮 1 + cos2 屮 1
/* sin2 屮 1 + cos2 屮 1
а временной множитель 统①力 опущен. 1
Фронт волны определяется поверхностью с постоянной фазой
吃1 + 財① iQ = const,(4.46)
т. e. в данном случае поверхностью конуса с эллиптическим поперечным сечением.
Аналогичный результат получается, если исходить из формулы (4.6) для Hz. Остальные компоненты поля описываются более сложными функциями.
Для того чтобы показать ход вычислений, найдем асимптотическое значение интеграла
ikxhdh.ikxhdh.(4.47)(4.47)
ikxhdh.
ikxhdh.
(4.47)
(4.47)
которым определяется Ну в соответств'ии с (4.17).
47
©©66
©
©
6
6
Интеграл можно записать более компактно, если перейти к величинам
俄=俨讨， /=—/?, dh=^-di. (4.48) Y]k
Теперь
8-Z У /2一疋
/=—〈 —е-2х%/(4.49)
工 £2 + в；
Коэффициент 々1 может быть действительным или мнимым числом в зависимости от величины р. Рассмотрим случай, когда 々/>0.
В этом случае на пути интегрирования (рис. 6), который проходит по действительной оси ——оо<^<оо, имеются две ?очки разветвления Z=)±^i, разбивающие весь путь на три участка рис. 6. На среднем участке
-zV ^2—^2
е 1 =1;
на крайних участках этот множитель быстро убывает с возрастанием f.*
Наличие точек разветвления затрудняет нахождение асимптотической формулы. Поэтому сделаем подстановку, после которой подынтегральная функция становится однозначной
t — iky sh dt=ikx ch т Л,
(4x0) 步一欣=一底 S1?1： 一 届=一底 ch2K.
Обозначим действительную и мнимую часть переменного Т = Т1 + /Т2.
00
0
0
Тогда Z=ffeish(Ti+/r2)=£Esht] cos T2—k}chx\ sin 砲・
Нетрудно видеть, что путь интегрирования L на плоскости комплексного переменного т имеет вид ломаной линии, показанной на рис. 7. Он проходит от т=—oo + in/2 до т=оо—Е/2.
Точка /=—瓦 соответствует точке т=0 + ш/2, а точка /=也1 точке х=О-?冗/2.
В соответствии с подстановкой (4.50) интеграл (4.49) принимает вид
ikky 「i 弘 zcht 十 Vi*»isht
/ =\chr 力. (4.51)
—就 Sh2 T + 件
Так как величины k\Z и k\X могут быть очень большими одновременно, целесообразно их объединить. Для этого введем параметры риф, которые для определенности будем считать положительными
〃x = р ch Z])=p cos ф, р=" “Ху 十炉,
n(4.52)
iz = psh 冲=“ sin 屮， tgW=・
При этом вместо (4.51) получим
(4・53)(4・53)i决 1「 ^iPsh(T—/q>) \ ~:zch rjr.
(4・53)
(4・53)
丫 1 £ В； —府 sh2c
Асимптотическое значение интеграла (4.53) находится методом перевала [14]. Рассмотрим подробнее поведение подынтегральной функции в (4.53). Определяющим является числитель дроби, стоящей под интегралом р = eh^sh(r-i^)^ величина которого при pf оо будет неограниченно возрастать или уменьшаться до нуля в за виси- 4t—2842 49
мости от знака действительной части гиперболического синуса
Re [sh (т —伸)]=Re [sh 口 cos (r2 —屮)一》ch 口 sin (f—4)]= =sh TjCos (q—屮％(4.54)
J 尸 I I e乩psh(t—»屮)J =«BpshTiCos(t2—屮).
В правой полуплоскости 口>0 находим
shqcos "2-屮)>0，
если величина тг находится, например, в пределах
—^ <СГ2~~Ф<С ~ •(4.55а)
В левой полуплоскости т)<0 находим такжеsh t1cos(t2 —Ф)>0,.
(4.556)(4.556)если величина тг находится в пределах v<r2-^< —,
(4.556)
(4.556)
—-<т2-ф<- —
На рис. 8 указанные области отмечены косой штриховкой Они расположены периодически по оси тг. В этих областях согласно (4 54) |尸|+оо при р->оо.
В областях, оставшихся незаштриховапными, shxicos (Т2——屮)<0 и, следоватепьно, если т，0,
I Л I 0 при р -» 8・
в них располагается nvTb интегрирования L. Подынтегральная функция в (4.53) имеет еще особенности: полюса на действительной оси в точках
q = + arsh — •
11 - 团
Их влиянием можно пренебречь, поскольку они нахо： дятся в стороне от пути интегрирования. Случай 6 = 0, когда коническая волна вырождается в цилиндрическую, был рассмотрен в предыдущем разделе. Здесь 0声0.
Точка t=i：a = 0不z(——冗/2-|-屮) является перевальной; в ней
S sh "-，川卜у = ch (% — &) = 0, атх
sh（T -伸）卜=% = sh（T* 一碎）=一 Е.
Линия быстрейшего изменения проходит через точку перевала параллельно биссектрисе четвертого квадранта. Для того чтобы путь интегрирования проходил по линии быстрейшего изменения, нужно первоначальный путь L (рис 7) соответствующим образом деформировать, например, как показано пунктиром на рис. 8.
Применение метода перевала дает асимптотическую формулу
内)dg内)dg2зт——夕中'нt")2зт——夕中'нt")
内)dg
内)dg
2зт
——夕中'нt")
2зт
——夕中'нt")
в соответствии с которой находим
ch [/ (ф —冗，2)]件+弟Sh2 ["屮一冗/2)Jch [/ (ф —冗，2)]件+弟Sh2 ["屮一冗/2)J
ch [/ (ф —冗，2)]
件+弟Sh2 ["屮一冗/2)J
ch [/ (ф —冗，2)]
件+弟Sh2 ["屮一冗/2)J
(4 56)(4 56)М2л kk^yx sin 屮《т(力iP—n/4)
(4 56)
(4 56)
件+力就COS2屮 y^
Учитывая (4.52) и переходя затем к цилиндрическим координатам по (3.13), получим
/ = 丿廟力自yM)icos*i,( 4.57)
供吟十y；府s i112 Pl ]丽后
что однотипно с (4.45).
Заметим, что в одних интегралах имеется параметр vi, в других — V2- Волновые коэффициенты получаются соответственно А1Ф1 и А® Это означает, что нить с током (4.1) излучает одновременно два типа конических волн, отличающихся скоростью распространения в радиальном направлении (скорость распространения вдоль оси конуса задается величиной р).
Функции, описывающие зависимость Ех, Еу, "%, Ну от координат, являются, по-видимому, новыми функциями, родственными неполным цилиндрическим функциям [12]. Более подробный анализ их выходит за рамки этой работы.
5
Излучение квази-сферических волнэлектрическим диполем
К случаю электрического диполя можно придти путем интегрирования волн тока на проводе. Ранее нами было анализировано поле нити с током (3.2)
полученной при интегрировании (3.1). Введем безразмерное волновое число q = ^/k и вычислим интеграл
8ОО
/三 J /工(外幽=\/0 J e~ik^ dq = \ j^^ (ky). (5.1)
Дельта-функция показывает, что ток имеется только на бесконечно-коротком отрезке нити в начале координат, образуя элементарный диполь.
Момент диполя соОС
Р= \ 1 dy = \j^ \ ^{ky)dy = ^jQ=~ j^^ (5.2)
т. е. равен по величине моменту тока, текущему по квадратному листу с размерами 入ХП, с поверхностной плотностью /о- Поле диполя находится интегрированием вы- ражений (2.33) — (2.38) но 九 и g. Все десять интегралов, которые надо при этом вычислить, относятся к одному типу; некоторые из них получаются дифференцированием по параметру других.
Начнем с вычисления интеграла, получающегося при нахождении 旦.Обозначим его через /【
厶=\ dq \ Tg+9y）dh =
））（а2+ 伊）72
•^ ОО— ОО
8 еo-/z]/GfcZ-” （檢+ 久）v家2
= \ \ ——迎^ eT（2"+qg）d/z〃〃=
-8 上（依力2 +力2勿）/依一力2他2 + ^2） V-2
8 8一：" j/" 一（九2+外）
=上 \ \ ―^^e-i3xh*kyq）dndq・ （5.3）
—8 -oo （厶2 +42） У ^2 —（匕2 + 42）
Последовательное интегрирование сначала по Л, затем по 夕，приводит к очень сложным выкладкам. Более приемлемый путь находится при изменении переменных интегрирования.
Перейдем от переменных 九 н q к R н ср по формулам
h = R cos р, 力2 +g2 = R2,
« = Rsin?, dhdq = RdRdq.（5・4）
При этом получим, обозначая для краткости 力之/山2 =匕2,
/尸^必内/尸^必内оо-冗-冗cos 中 sin*必/中一庐cos 中 sin*必/中一庐
/尸^必内
/尸^必内
о
о
-冗
-冗
cos 中 sin*
必/中一庐
cos 中 sin*
必/中一庐
co -KtY ^R2
X 0—iS*R：cos<p+网Rsin 屮）d?— ~ \ — X
о 1^" »^ — R2
（5・5）（5・5）х \ cos ф sin^e-^kxRco^+kyRs{n^d^dR.
（5・5）
（5・5）
Преобразуем внутренний интеграл к более простому виду, для чего применим обозначения постоянных
左* = р sin 屮，Л// = р созф,
и затем сделаем подстановку т =（р + ф,
乙=,cosgsingeTRMcos#+助sin中）d屮?
冗 у—X冗 Н冗 у—X冗 НSill 2?«一》mp（sin屮cos<p + cos屮sin屮）"屮=Sill 2?«一》mp（sin屮cos<p + cos屮sin屮）"屮=sin 2?67人5也（中+屮）dg=sin 2?67人5也（中+屮）dg=
冗 у
—X
冗 Н
冗 у
—X
冗 Н
Sill 2?«一》mp（sin屮cos<p + cos屮sin屮）"屮=
Sill 2?«一》mp（sin屮cos<p + cos屮sin屮）"屮=
sin 2?67人5也（中+屮）dg=
sin 2?67人5也（中+屮）dg=
22sin2（T —屮）《T^pshiT dt
2
2
--兀+屮
n+屮
［出2（工一力）—《—22（т—屮）］ eTRpsint Qk ——
一冗+少
=\ 标住一R"小）/——__V 标（一2一/^”）火
一兀一兀（5.6）
Пределы интегрирования в （5.6） могут быть сдвинуты потому что подынтегральная функция — периодическая. Последние интегралы дают бесселевы функции.
% = —^—2~Л（р/?）彳-2 穴，2（рА）= — 7：siri2W2（pR）・
（5・7）
Таким образом, приходим к интегралу
Rk&R）
2r
22
2v2
警 sin 26 j о
&2 （р А）
j/"^2 —货
^^^dR. （5.8）
При G>0 подынтегральная функция быстро убывает, при Rf оо интеграл сходится. Далее, так как
J2(x) = — /1(х)—丿 о(х)，
Чтобы вернуться к прежним обозначениям, следует
учесть, что
sin 2少=
2*〃
*2 + у2
р2 = (^)2 + (^)2.
получаем
/1== J^Lsin2^ \ о
Wo (pR)
/У?2 — V?
отсюда следует
加A2 一货
Один из этих интегралов является табличным [11]
~-о~/ч2 ]| + Р2
/= j 戸—2—・(5.9)
О /R2—寸У 废 + р2
. 4冗冲 / 一优］/（炉+ "2）吃+养 十左3（*2 +齡）2 C
(5.12丿
Выражение (3.33) для Ех содержит еще одно слагаемое. Для его нахождения вычислим сначала вспомогательный интеграл
Для нахождения другого интеграла умножим правую и левую сторону равенства (5.9) на параметр р и затем проинтегрируем по р
W （成+俨）71
(5.13)
]/R2—'丿^ рР
—\р4(р2&* = \
0 1< R2 —寸 00
8-e2
Г Re
f 2 H 什2 О"Г——dP.
/ cl+p2
8 一球 Rf
-=pJNpR)dR= о丿а2一勺
p
0
который отличается от интеграла (5.3) только заменой у2 на у】.А так как у】 отличается от 丫2 только заменой константы v2 на vi, то мы можем сразу вместо (5.11) написать, обозначая через 4 =左n/«,
/ 旦 sin2,^_— 一 +
厶(pQ)dR=— ^Г1^^ ~е-1 丫2叁(5.10)
Tsin 26
,即2 ,
(5.14)
Теперь замечаем, что при дифференцировании интегралов (5.3) и (5.13) по параметру 2 получатся интегралы, необходимые для определения Ну. Таким ооразом, находим
В результате находим
一八2联学斗p3
/2^<dn2u・h
耶「巾ct2十件
6一t（a*+ 汕）^力
一2端师 0 Г「U（“»»扑2
+
+ »
4 冗"У° I -I кУ(х^+у 2)2^ + Z9z
一 一 一一2 — -- I c- e
依(x2+g2)2 dz
卜
X
—i 比M (*3+p2)Y； + z e
-2л>:题/
左2 (“2 + g2)
—/Л1Л (xs+y2)^+za
— Зе ‘1
[(炉 + /) * 4- 24
./ W + 加
+^2
.一注»(*2+g2)名+ zZ
+ e2 X
X
一史]/(*2 + *2)* + Z
ze
_ * + 42M + z2 [(X2 + 乡2) ^ + z2]3,2
+
[(*2也2)彳+呼/2
+
+
2
(*2 + 孑)
+ '
4лху
- lk\/'(炉 +，)*+ z2
一 ikze1
V (“2 + 衿货 + 22
一?V (户+52)号+ Z2
(5.17)
x
左 3(*2+，2)2
-M(*2 + 齡)2 % + z2
{•彘《т奴，（5.15）
%z
a2 +供
2冗、名刊
尿 @2 + g2）
-j2M (炉+g2)号+ 炉
^ikze-
[住2 + 22)学+22]
-^iky (x2+^)
-2г
-+
22
[(域+ 2%+ z2『/2
一现"Г(*2+y2) V；+ Z2
——ikz e -+ ike^ikz
/ (*2 + /)货 + 22
(5.16)
"尸等［一厶+/4等■^瑞X
x1g一次!/(*2 + 歹)*+ 2
+
彳
[(*2+/)4+22]3/2
—^V-+
(%2 + 州彳 + z2
(“2 + /)
Полученные выражения можно упростить, если перейти от прямоугольных координат %, у, z к сферическим, что и сделаем позже.
Для нахождения Ех надо вычислить еще интеграл
ОООО
/4= \ dq
吧竺_IеТ(м+в“)dh =
a2 +件
^需•(5・18)
00— 00
Его значение находим путем дифференцирования (5.15) по N
2Л、才*" 4一一 左2 (*2 + y2)
-ik}/'(炉+疗)* + z
[(*2 + z/2) v2 + 词
-^1Z (炉+g2)*+ Z
(l+^2z2)e1
+
X
+
[(*2 + у2)彳 * z2] 3/2
一2"/(戸 + "2)*+勿
3z2e1
［（陋+衿彳+炉产
-l(*2+疗)У?+ z?
— ike1
1/a2+川)彳+ z2
*2 + y2)* + Z
X^^y^^^z^\
+
/^1Z ” +，)*+ 炉
3加201
4п%4
尼3 (*2+g2)2
X
—/丿(*2 + у2)*+ z
k^e1
[(炉+齡)*+ 22产
2
+
(5.19)
В соответствии с （2.33） умножим （5.3） на /г2 и вычтем （5.18）. При этом получим
马=壮1-厶+"厶1=證马=壮1-厶+"厶1=證.2冗彳~~"依（炉+/）X.2冗彳~~"依（炉+/）X
马=壮1-厶+"厶1=證
马=壮1-厶+"厶1=證
.2冗彳~~
"依（炉+/）X
.2冗彳~~
"依（炉+/）X
—决依22 + 1
［（*2 + 齡）彳 + Z2］［“2 + *2）彳 + z2『/2
3次1?23炉
［（*3 + 2 彳 + 呼 ［（*2 + /）彳 4 z2『2
— lk\f （*2 + g2）彳 + z2 X e— lk\f （*2 + g2）彳 + z2 X ez+衿4+瞰z+衿4+瞰4лху 无2 （%2+疗）24лху 无2 （%2+疗）2[（炉+ /）彳 + 22][（炉+ /）彳 + 22]
— lk\f （*2 + g2）彳 + z2 X e
— lk\f （*2 + g2）彳 + z2 X e
z+衿4+瞰
z+衿4+瞰
4лху 无2 （%2+疗）2
4лху 无2 （%2+疗）2
[（炉+ /）彳 + 22]
[（炉+ /）彳 + 22]
[（炉 + 外）*“][（炉 + 外）*“]и2/и2/一注］/（#2+"2娉+z26 一二一 + ］（*2 + g2）^ + z2一注］/（#2+"2娉+z26 一二一 + ］（*2 + g2）^ + z2
[（炉 + 外）*“]
[（炉 + 外）*“]
и2/
и2/
一注］/（#2+"2娉+z2
6 一二一 + ］（*2 + g2）^ + z2
一注］/（#2+"2娉+z2
6 一二一 + ］（*2 + g2）^ + z2
+4冗*"：左（*2 +疗）2+4冗*"：左（*2 +疗）2+2 2+2 2
+4冗*"
：
左（*2 +疗）2
+4冗*"
：
左（*2 +疗）2
+
2 2
+
2 2
Для нахождения составляющей Еу необходимо вычислить интеграл
°2c s合• g—i（ax+Ry）"力=（心+俨）г
—izV k*—Wh2 + qz）^
XXR 趾 2«2
X
X
（依万2 +々2g2） ）/依一依伍2 + 92AM2
X eTghtkuq'dh dq = ^
Xe-№x2yq】dhdq.
T丝）/电一（九2十尸）
他2+衿m讶一（力2+02）
（5 21）
Изменим переменные интегрирования согласно (5.4). То
гда получим:
T\RdR『о-冗T\RdR『о-冗«—j (AxR.cos <p+kyRsin^) d?=«—j (AxR.cos <p+kyRsin^) d?=一多一R2
T\RdR『
о-冗
T\RdR『
о-冗
«—j (AxR.cos <p+kyRsin^) d?=
«—j (AxR.cos <p+kyRsin^) d?=
cos gc
R2 M q_R2
co_К2У/" ^2—/?2 元
21 С ?е \ COS?屮С—«5Qc°s<p+2/sin<p)《/”/Q.
Л о ]/皆一R2 L(5.22)
Внутренний интеграл приведем к более простому виду, как при вычислении интеграла 订(5 6)
/5— \ cos2(peT(**Rc°s屮+ApRsin平)dy =
-冗
=\ COS 平。一iRp(sin屮c°s(p+cos屮sin屮)»?—
冗冗+中
COS2(p^~^?sin(<z?4-^)(l^= \ COS2(T—屮)e—'kp Sintic =
北+屮
J__ \ [ei(t—屮)_|_ 6—2 (t—屮)]2 в—iRpsintdr,
-冗+屮
—I ^/.(2T-/?PsinT)^т _p _ V e^iR^^nxdx —Т:一冗
+ -^- \ ^^(2^+^s«n^)dr = ^― 2т：J2 (?R) + 7：Jo (p/^J4-
+ -^— 2冗丿 2 (PR)=冗丿0 (叭)+ 冗 cos 2 少丿 2(P〃) =(5.23)
XX上2冗匂2一*2）眇（%2 + p2）2上2冗匂2一*2）眇（%2 + p2）2+ 次e-〃；z .(5.26)+ 次e-〃；z .(5.26)
X
X
上2冗匂2一*2）
眇（%2 + p2）2
上2冗匂2一*2）
眇（%2 + p2）2
+ 次e-〃；z .(5.26)
+ 次e-〃；z .(5.26)
=M(pQ) +ncos2少一—Л(р/?) —Л(Р^)] =
Опт
^7z(l-cos 2Ф)/0 SA) + 4 cos 2 Ml (pR)・ pA
Подставим (5.23) в (5.22) и учтем (5.9) и (5.10). При этом получим
厶=变处二竺竺\- J式pR)dR+
+ i2g2US2匕 f °—— 厶(pA) dR=
—iv»M 电+ p2
/л^2(1 — cos 2ф) e
_絵^(L1/尹_6一*).(5.24
Так как 1 — cos 2^ = 2sin2<J> = 2^-^-^ = q；齡，
то
-iU(d+“2)*+z2(х2 + у2)^+ г2
—Зе2ze2
[К + “2)吋 + 列 [(*2 + 衿皆 + z2『2
-(炉+，2)必+ 22
—ikze2
/(*2 + y2) % + ?2
Теперь вычислим вспомогательный интеграл
= \ dq \ ——e~l^x^z^dh =
800—izy k2—k2 (Л2 + ^3) v~2
= \dq\ —^——」 X
一8-oo (力2九2 + 依q2) ]/2 —依(力2 + 4?)斤2
X e—i(kxh^t?yq) dh —
8CO— j竺J*—](旅+外)
=。(歯 j ——— -• e-2xh+kyq、dh.
k 丄 'ос 伍2 + д2) У、彳 _ (力2 + g2)(5.27)
Для вычисления этого интеграла изменим переменные интегрирования по (5 4)
/5 =玩
依（炉+齡）
—/々M (炉+j£)vg+ 纟2
/ (炉+怜皆+炉
R d /?
2
А 2 1 2
R
V те sin
X
2冗匂 2 —*2) J—№f2)W_Lz 女3住2 + /)2 I
Нетрудно заметить, что при дифференцировании /5 по z получается один из интегралов, который нужно вычислить при нахождении Нх
-е ^--1 е-^ах^^ dh = —=2兀紡2*
a2 + 件-/ dz 依(/+疗)
0о-匕)/ 彳_R2
X 0—i (SRcos屮+友“Rsin 屮)dg = 2L f 心 义
k 0 M*一及2
X \ sin2^e-Kr^cos^+kyRsin^^?^^ф
Для нахождения внутреннего интеграла можно восполь-
зоваться выкладками, проведенными при вычислении интеграла 15,
При дифференцировании /“ по 之 получается интеграл, который нужно вычислить для нахождения Нх
\ ShFge一“々xRms乎十尼gRsin屮)
sin2 ^e-~iR^^^} d^ =
a2 +伊
«T(a*+M) 〃力=丄 J/^
亢
亢
cos? ”一'Rpsin(p+屮)d(p=
・“'一 ■■! > TP -■- ■ - *
— 奴(" + /)
—2tc/0 (p/?)二式(1 — cos2 屮)厶(似)—^ cos2 屮厶(pR)=
г —必 M(*"+gz)*+z*
—ikze1
[(*2 上〃 2)$ + *]
=穴 a + cos 2，?) 4 (p V) 一 录 COS 2?厶(p/?)・
(5.28)
-1由了(2* + g2)*十z2
ze]
[(*2+g2)彳+22]3/2
+
Подстановка (5.28) дает с учетом (5.9) и (5.10)
М冗(1 + cos 2屮)
У 一
k
8—%У R- — ^
I ——J<pR)dR —
о/必-*
I j 2冗(p2 — *2)
奴(*2 + g2)2
-*]/\*2 + "2)*十z
К (%2+y2)J+z2
2
-+ 次6一""
,(5.30)
22Л力cos 2小
々p J 0
一久]/R一彳
°——人(pR)dR：
]/A 2T
2 I 7 丁 2 展(*2 + w)X
X
V
[(*2 +次)*+灸]j("+向才+炉『2
八1冗(1 + cos 2中)e 十
Z 宦 + p2
k
“ 2冗 cos 2屮(《—мУс2+р2
•2齡彳еТЦЛв+у2)*+22
=玩卜
一司7 (炉十矿)*十/⑨2一吟 e1
TU"2+g2)*+z2
一鱼上旦上!V2X2X
(…)/…)22
(*2 +2寸+叫
+
2冗匂2 + *2) ( -^ B+歹)彳十炉_
々3 (*2 十 y2)2
(5.29)
Та/ B + g2) Хе
；X
[(炉+勿務+ ^产广
(5.31)
Ь4
5—2842
Для нахождения интеграла, входящего в выражение для Е“ следует продифференцировать /7 по z
+
々z2
[@2 + у2M + 列 [(Х2 + J/2)彳 + /] 3/2
-X
俨7传一‘"" a2十卩2
e—i(ax+^y) dh = ^― ^^
—I dz
Хе+ 访 2^2%
次]/(炉+r 2)g + z2 e2
К （域+疗）寸+ z2
+
秋У2 - *2） c一北）/（八2十,2）号+炉
2穴
依（炉+次）
-*]/(X2 + ?/2)Vl2+z2 ike
-м)/"2 + "2)*十公
(l + ^z2)e1
(*2 + 衿
Для нахождения Hz ный интеграл
ООсо
(5.33)
вычислим сначала вспомогатель-
3/^z2e
[(炉+2彳+呼厶
—沦]/\*2 + D2)彳 + №3 ? 1県)/(炉+g2)彳 + *
/z= \ dq \ «T(a*+Pp)d〃 =
[(x2 + у2)彳 + z2] 2[(x2 + 衿彳 + z2]5/2
t dq f
-/г)/ 户一胪(产 + ,2)^-2
С2
2n (經一*2)
—1&]/ (*2 + g2)*+ z*
—ie
J々2 一依（力2 + g2） У家2
е-9х2д dh dq=
依（%2 +疗）2
一j卜+不“炉］
-(Х2+")彳+ г2
收 + 次)胃 + ?2]
-ik^(炉 + У2)彳 + z2 iz^e
[(^ + ^) ^ + ^2]3/2
+ kef” ・
(5.32)
Подстановка (5.32) и (5.21) дает
еУ =評厶+叫=铲言=.X
2зЕZWE 尼2 (“2 + уУ
X
[(*2 +怜才+*]
+
[(*2 + 疗)彳 + 22]3/2
[(x2 + y2)% + z2『
322
[(*2 +沔*+
X
一W严肃牽可(〃2 -*2) Г i
e
一 2 2
e—tg2q)dhdq. (5.31)
Применив известный способ вычисления
0—i(**Rcoscp+/；!/RsinF)2少—
2m%广旷（*“2）
\ C—i(RxRcos中+kgRsin哨 &? dR =
Ju(pR)dR = &^
We2 +m
z+22
炒К (*2 +齡)货+ z2
67
(5・35)
Теперь получаем, дифференцируя (5.35) по %,
00"江竺_е-"。什汕"力=丄里
TJfepB +，)务 £2 T*M(*'+y')Y；+z2
2冗皆 ikx^e丄 ”2*c
--十[(*2 +严)皆+尤]羽
/9= ) dq
/] = I dq \ ^e^l^iZe^ax^^ dh =
J )dzdy
滋
奴
[(х2 + g2) % + z2]
—秘 zeг 1.
[(*2 + 〃2)彳 + z2]3*
(5.36)
отсюда следует
нЛ) *2 叫 2 门z= _万层
+ 3
ik\^(X2 + y2)^+ z®Т&|Л M+p2)* + Z2
ikze1. 3ze1
1
[(*2+次)*+ z2] 2 依2 +次)彳+ z2?2
(5.40)
[(*2 + 严)号 + 22][(" + 严)中 + 用3/2.
X
Таким образом находим
* jVew)*：(5 37)
3t々
[(*2 у “2)彳 + z2]
3
[(/ + g2)彳 + 呼/2
Для вычисления Ez применим следующий способ: сначала заменим в интеграле /z параметр v2 на ^・ При этом в соответствии с (5 35) получим
«—l(aX+0y)d/l ==
e.(5.38)
/ @2 + 齡)彳 + 22)
Далее будем дифференцировать 上 сначала по у,
ПО 2.
г«38— h Z
。【zj C dq〈 — -—0—〃ax+0g) d% =
)71
?—OO—8
r-1为}/\炉+"")号+z"
2就q一端W
=歩一 一 [(*2 + 2% + /!
—ik\f (*2+“2)々+ N"电e,
Г(х2 + М 弋 + z2『2 _
затем
(5.39)
eта:и(*2+,)%十 z，
(5.41)
Полученные выражения для составляющих поля электрического диполя справедливы для любых расстояний от диполя. Поскольку в таком виде они довольно сложны, представляется целесообразным перейти от прямоугольных координат к сферическим
Так как
x = rcoscpsin{) y = r sin cpsin 8, z =尸 cos 8,
то
炉+ “ =厂2$也2 В,%2一 у2=尸2sii]2{) (cos2 ф —sin2 ф),
(*?+ У?) y； + ?2 = v；厂2 sin2 €> --[' ^2COS2 8 = z*2(y； sin2y +cos2 8),
(x‘十 У2) vi + z? =d厂2 sin2 8 + 厂2 cos2 v =厂2(y； sin2 8-|- cos2 ).
(5.42)
Введем обозначения
Г*к = ^У^ V；sin2 B -|- cos2 i),Г2c =厶 / V； sin? » + 8s2 ».
(5.43)
Эти величины играют роль волновых чисел, определяющих скорость распространения квази-сферических волн по направлению г.
Применяя принятые обозначения, (5.2) и (5.43), можем написать
^=-^- sin <р cos tp cos &( — vie~lr^r
9^р~；Г1сг° f
/3
г淤
+公
3询2 COS2 8
［打4
+才5
3广2 cOS2 %-
力3厂2 COS2 &
1V2
旦=——sin Ф COS CP f/vf «一"id 4лзеI
+
+
^z~~^ ^2cos 7sin 8
4 —
啜Г2
+
+
2仁江2c
T2M2 sin2 a
(5・48)
+
/•2 sin2 8
+
2々3尸2 COS28
山3
+
—竺—)^~fr2cr 厂2 sin2 8/
(5.44)
E尸亠同SiM ge一/c，兴叫0S2吧」十4冗3£*т%2Г^СГ3
./ 4 3£々广2 cos2 8 . , - 3尸2 COS2 a 1 .
十左41-为J 4-
.(1 —2 cos2 屮)е "1с' Г—彘依厂2 cos2 9 L 左3 "2 cos2 8 г
广 2sin2 8rfcr2r；/3
/3寸 cos2 屮 ^ (1 — 2 COS 2 tp) V—/r2cn r2cr/"2 sin2 a /
(5.45)
Е =—^―川1 singsm 8 cos 计 Ie lc ，
4期r!crIt"聞cm
(5.46)
ic +
(2sin2?— 1)^-Zr2cr .
12M2 Sin2 a'
〃“=^- COS 8 卜:sE2 +
+ ^(2sin2,二左
1 rlcr2 sin2 Э
-|- V2 COS2 ф
ik^
力3
(5.47)
70
«Т"/.(5.49)
Составляющие в сферических координатах находятся по формулам
弓=J cos 屮 sin 8 + Еу sin 屮 sin % + Ez cos »,
品=一 J sin 屮 + 々 cos %(5.50)
七3=七* cos ? cos 8 + Ey sin 中 cos 8 — Ez sin 8.
Подставляя в (5.50) найденные ранее выражения после несложных преобразований получим，
6 =
sin ? sin 81 e—"ic
С一%
+ 丽 SH12 2
马=上竺
4л(пе
比/2
岡+
г
江lc
r；c「2 sin2al. rlcr
cos中［「%
X 1
.Пс厂
小=上竺 4ло)е
sin?
2c
々2,2sin2 8
展厂
-1
(5.51)
1
Г%
“心ё28
X
,(5.52)
1
麻厂2sin2 8
L出3 ［綻J 絹一"喏+
1c
1_1
2 1 #
Г 2 广2 si"2 J
Поскольку из (5.43) следует
[2
—~- = v?sin2 &-|-cos2 &=(v| 一 l)sin20-f- 1,
+
e嘗 cos?
+ cos2 8 I,
'\^r2cr2sin2^ ^rlcr2sin2& /J
—々2sin2& = —__也2(彳一 1)
(5.54)
(5.60)
马=上
4жое
E；c「2sin2»依厂 2siM8
学《Т「2c
—[2c 厂
т0 (5.51) — (5.53) можно привести к более компактному виду
Р^з 4лше
(5.55)
+
(5.56)
В случае уравновешенной анизотропии, когда v2f v】，L круглые скобки везде обратятся в нуль.
Если vi=#W2, то разность двух дробей в круглых скобках обращается в нуль при 6->0, хотя каждая из дробей неограниченно возрастает. При выбранной ориентировке диполь излучает сразу оба типа волн (ось диполя перпендикулярна оси г). Это означает, что при передаче достаточно коротких импульсных сигналов на больших расстояниях произойдет удвоение числа импульсов при распространении во всех направлениях, исключая 仆=0. В случае уравновешенной анизотропии (”2 = 5)расщепления волн не происходит, хотя зависимость скорости распространения от направления остается.
Выше была решена задача о поле диполя, направленном по оси у, т. е. перпендикулярно оси анизотропии. Более простой является задача о диполе, ось которого совпадает с осью анизотропии.
Приведем соответствующие формулы без выводов
昨亠
4 Л СОЕ
sin (Р cos 8,6-"1"
r +、彳 .电2
3依彳 .3桃厂 Р 2
Т"2["3
I版厂2 sil】2 3
/ 24—2
1V3
r?cr2sin2»
(5.57)
Er
=/3
4 Лозе
4Л36 I I
Аналогичным образом из (5.47) — (5.49) получаем
Hr— 0^ cos 平 cos 8 sin 8 4л
+
也 F2c 尸 2sin2%力 Ik 广2sil】2 3
,(5.58)
H@= sin 屮 cos 84л
1V
e一爲 " +
+
^Г2сг2 Sin2 ^ АТ】。厂 2sE2&
(5.59)
2
оС广
2/
3i
3
T"2 \*2
L1/ cos 储
「2咪『2 /球
2r
+亠
Id
—卜
e一〃‘1" sin 0,
Г1СГ
尸/ 人 匚u, //{}=上/ f 0.
Здесь, как и выше,v^ = kV v?sin2a -|-cos2a.
73
(5.61 丿
(5.62)
В более общем случае ось диполя может быть направлена под произвольным углом к оси г. В этом случае вектор момента диполя можно разложить на две компоненты (параллельную и перпендикулярную оси z), вычислить их поле по отдельности и затем сложить.
Полученные выражения для поля диполя можно рассматривать как функции Грина для соответствующих задач.
Вычислением можно показать, что в дальней зоне вектор Пойнтинга направлен радиально, как и в случае изотропной 'Среды; доказательство этого оставляем читателю.
Заключение
Проведенные вычисления показали, что если излучатели элементарного вида (диполь, бесконечно-длинная нить тока) помещаются в одноосной анизотропной среде с тензорными электрическими параметрами (1.1) и (1.2), то их поле можно вычислить в замкнутом виде в большинстве случаев с помощью ранее известных функций. Полученные выражения можно применить в качестве функций Грина при решении задач со сложными источниками поля [13]. Они будут полезны при вычислении сопротивления излучения антенн в анизотропной среде и др.
Нами были рассмотрены источники поля с электрическим током. Решение тех же задач с магнитным током можно получить, применяя принцип перестановочной двойственности, согласно которому производится замена
Е7Н, f^± -jM, Т^±
Примененный нами способ интегрирования по волновому коэффициенту до сих пор применяется в радиотехнике гораздо реже, чем обычный спектральный анализ, в котором напряжения и токи (например, импульсные) представляются в виде совокупности гармоник, хотя с точки зрения математики они эквивалентны. Можно надеяться, что наша работа поможет более широкому распространению этого способа.
Литература
①.В. Бункин. Об излучении в анизотропных средах.—Ж- эксп. и теор. физ., 1957, 32, вьгп. 2, стр. 338.
R. A. Hurd. A note on the field of a dipole in a uniaxial medium. —Canadian J. of Phisics, 1965, 43, N 4, p. 684.
K. Takaku. Electric dipole fields in an axially simmetric anisotropic plasma.— J. of the physical society of Japan, 1965, 20, N 7, 1230.
Г. С. Ландсберг. Оптика. M., ГИТТЛ. 1952.
А. В. Шубников. Оптическая кристаллография. М., Изд-во АН СССР, 1952.
К. Шефер. Теоретическая физика, т. III, ч. 2. Оптика. М., ОНТИ, 1938.
Л. Д. Ландау и £. М. Лифшиц. Электродинамика сплошных сред. М., Гостехиздат, 1957.
Ф. И. Федоров. Оптика анизотропных сред. Минск, Изд-во АН БССР, 1957.
Л. М. Бреховских. Волны в слоистых средах. М., Изд-во АН СССР, 1957.
Д. Е. Вакман. Асимптотические методы в линейной радиотехнике. М., изд-во «Сов. радио», 1962.
И. С. Градштейн, И. М. Рыжик. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М., Физматгиз, 1962.
АГ. М. Агрест, М. 3. Максимов. Теория неполных цилиндрических функций и их приложения. М., Атомиздат, 1965：
Г. Т. Марков, А. Ф. Чаплин. Возбуждение электромагнитных волн. М., изд-во «Энергия», 1966.
Р. С. Clemmow. The theory of electromagn. waves in a simple anisotropic medium. Electronics Quarterly (PIEE), 110, 1963, №T—1, p. 101.
Дж, Стреттон. Теория электромагнетизма. М.» Гостехиздат, 1948.
Э. Камке. Справочник по дифференциальным уравнениям. М., Физматгиз, 1961.
Содержание
Предисловие 5
Волны 1 и 2-го типов7
Излучение плоского листа с током16
Излучение цилиндрических волн нитью тока . . 23
Излучение конических волн нитью тока . . . - 34
'5. Излучение квази-сферических волн электриче-ским диполем53
Заключение?5
Литература 76
Анатолий Иванович Потехин
Излучение и распространение электромагнитных волнв анизотропной среде
Утверждено к печати
Московским обществом испытателей природыАкадемии наук СССР
Редактор Л. В. Кудрявцева Художник Я. С. Степанова
Художественный редактор ”. И. Власик
Технический редактор Г. С. Подыниглазова
Сдано в набор 11/V 1971 г. Подписано к печати 25/VI11 1971 г.Формат 84ХЮ87з2. Бумага № 2. Усл. печ. л. 4,2.
Уч.-изд. л. 3,1. Тираж 2500. Т-14143. Тип. зак. 2842.
Цена 21 коп.
Издательство «Наука». Москва, К-62, Подсосенский пер., 21
Набрано в московской типографии № 8 ГлавполиграфпромаКомитета по печати при Совете Министров СССР,Хохловский пер., 7. Зак. 3124
Отпечатано во 2-й типографии издательства «Наука».
Москва Г-99, Шубинский пер., 10
ИЗДАТЕЛЬСТВО «НАУКА»
ГОТОВЯТСЯ К ПЕЧАТИ КНИГИ ПО ФИЗИКЕ:
ПОМЕРАНЧУК И. Я.
СОБРАНИЕ НАУЧНЫХ ТРУДОВ. В трех томах. Т. I. ФИЗИКА НИЗКИХ ТЕМПЕРАТУР. НЕЙТРОННАЯ ФИЗИКА. 25 л. 2 р.
ПОМЕРАНЧУК И. Я.
СОБРАНИЕ НАУЧНЫХ ТРУДОВ. В трех томах. Т. II. ФИЗИКА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ. ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ И СЛАБЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. 25 л 2 р.
ПОМЕРАНЧУК И. Я.
СОБРАНИЕ НАУЧНЫХ ТРУДОВ. В трех томах. Т. III. ФИЗИКА ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ЧАСТИЦ. СИЛЬНЫЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ. 30 л. 2 р. 30 к.
ФЕРМИ Э.
НАУЧНЫЕ ТРУДЫ. Т. I. (СЕРИЯ «КЛАССИКИ НАУКИ»). 50 л. 3 р. 75 к.
ФЕРМИ Э.
НАУЧНЫЕ ТРУДЫ. Т. II. (СЕРИЯ «КЛАССИКИ НАУКИ»). 50 л. 3 р. 75 к.
РЕЗЕРФОРД Э.
ИЗБРАННЫЕ НАУЧНЫЕ ТРУДЫ. РАДИОАКТИВНОСТЬ. (СЕРИЯ «КЛАССИКИ НАУКИ»). 25 л. 2 р.
Для получения книг почтой заказы просим направлять по адресу: Москва, В-463, Мичуринский проспект, 12, магазин «Книга — почтой» Центральной конторы «Академкнига»; Ленинград, П-ПО, Петрозаводская улица, 7, магазин «Книга — почтой» Северо-Западной конторы «Академкнига» или в ближайший магазин «Академкнига»:
Алма-Ата, ул. Фурманова, 91/97;
Баку, ул. Джапаридзе, 13;.
Днепропетровск, проспект Гагарина, 24;
2 [1 + (S + &2)COS2 3。+ 0^2 C0S4 8°]
Последняя формула дает после выбора знака «плюс» в числителе
р2 —々2 О + 瓦)О + М C0S2 »о)
1 + (6] + &2)COS? $0 + 61^2 COS，^q
=央一,土 方1 ,(1.19)
1 + 瓦 COS2 %0
и при выборе знака《минус》
р2 —々2 (1 + &2)(1 + 瓦 C0S2 а。)
1 + (Sj + 02)COS? 9° + 602 COS^ %
В каких случаях следует брать первое значение (П) корня и в каких случаях второе (Гг), на этот вопрос можно ответить только после дальнейшего анализа.
Отметим некоторые характерные частные случаи:
1) среда с изотропными свойствами
n и
2*7 J7N А. И. Потехин
ИЗЛУЧЕНИЕИ РАСПРОСТРАНЕНИЕЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛНВ АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ
академия НАУК СССР
МОСКОВСКОЕ ОБЩЕСТВО ИСПЫТАТЕЛЕЙ ПРИРОДЫ
в кв к
в к
в к
А. И. Потехин