Книга
← К списку книгЗагрузка разделов…
активнаАктивные записи участвуют в каталоге и синках. Неактивная книга скрыта, но не удалена из базы.
Книга
ОГЛАВЛЕНИЕ
От автора 6
Введение 8
Глава 1. Поверхностный импеданс сверхпроводников гладкой и шероховатой поверхности 11
Выбор физических моделей для описания поверхностного импеданса сверхпроводников 11
Взаимодействие электромагнитных волн со сверхпроводниками. . .14
Глава 2. Возбуждение сверхпроводящих волноводов и объемных резонаторов 55
Разложение поля по системе собственных функций 55
Метод интегральных преобразований. Возбуждение плоского сверхпроводящего волновода 57
Электродинамические характеристики микрополосковых линий передачи 61
Электродинамические характеристики цилиндрического объемного резонатора 63
Уточнение значений поверхностного импеданса сверхпроводников с помощью цилиндрического сверхпроводящего резонатора69
Методы определения скорости света, основанные на импедансных измерениях сверхпроводников 71
Резонансные свойства плоского волновода со сверхпроводящей стенкой 84
Глава 3. Сверхпроводящие открытые резонаторы 90
Сверхпроводящие открытые резонаторы с плоскими прямоугольными и круглыми зеркалами 90
Открытые резонаторы с плоскими зеркалами на основе ВТСП пленок 97
Уточнение значений поверхностного импеданса сверхпроводников с помощью открытого СП резонатора 98
Открытые конфокальные резонаторы со сверхпроводящими цилиндрическими зеркалами прямоугольной формы 99
Глава 4. Методы спектральной теории и их применение к решению внешних краевых задач дифракции и рассеяния волн на сверхпроводящих объектах простой и сложной формы 116
Взаимодействие электромагнитных волн с СП пленками на подложке 116
Эквивалентные граничные условия для системы сверхпровод- ник-подложка-сверхпроводник 122
Возбуждение сверхпроводящей плоскости 125
Возбуждение сверхпроводящего кругового и эллиптического цилиндров 129
Осесимметричное возбуждение сверхпроводящей сферы 132
Электромагнитное поле решетки сверхпроводящих антенн 135
Определение полей излучения плоской сверхпроводящей логарифмической спирали 137
Возбуждение электрическим диполем сверхпроводящего диска . . . 141
Метод й-функций в краевых задачах электродинамики для областей сложной формы с различным импедансом 154
Возбуждение системы сверхпроводящих антенн 157
Дифракция волн на решетке из сверхпроводящих плоских нерегулярных лент 168
Список литературы к главам 1-4 177
Глава 5. Дифракция электромагнитных волн на сверхпроводящих лентах 186
Введение 186
Рассеяние электромагнитныхволнтонкойсверхпроводящей лентой190
Рассеяние электромагнитных волн решеткой сверхпроводящих тонких лент 194
Сведение краевой задачи к системе интегральных уравнений....197
Случаи Я-поляризации (197). 5.3.2. Случай В-поляризации (203).
Схема численного решения СИУ на системе интервалов 205
Общая схема метода дискретных особенностей (205).
Модификация МДО для СИУ, содержащего интеграл с переменным пределом интегрирования (208). 5.4.3. Дискретизация системы интегральных уравнений, эквивалентной исходной задаче (211).
Асимптотические формулы для расчета поля в дальней зоне 212
Численная реализация математической модели 215
Глава 6. Дифракция и излучение из плоского волновода со сверхпроводящим фланцем 225
Введение 225
Задача дифракции на плоском волноводе со сверхпроводящим фланцем 226
Постановка задачи (226).6.1.2. Вывод граничного
интегрального уравнения в случае К-поляризации (227).
Вывод граничного интегрального уравнения в случае В-поляризации (234).
Задача излучения из плоского волновода со сверхпроводящим фланцем 239
Постановка задачи (239).6.2.2. Вывод граничного
интегрального уравнения в случае К-поляризации (240).
Вывод граничного интегрального уравнения в случае В-поляризации (244).
Дискретная математическая модель на базе МДО 247
Асимптотическая формула для расчета поля в дальней зоне 249
Обобщение математической модели на случай конечного числа волноведущих каналов 250
Постановка задачи и вывод системы СИУ (250). 6.5.2. Дискретная математическая модель в случае т волноведущих каналов (256).
Численный эксперимент и анализ результатов 257
Список литературы к главам 5—6 265
Посвящается 250-летию основания Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, 200-летию основания Харьковского национального университета им. В.". Каразина и 175-летию основания Московского государственного технического университета им. Н. Э. Баумана.
От автора
В последние годы появилось много публикаций, в которых рассматриваются вопросы практического применения сверхпроводимости в задачах физической электроники, радиофизики, ускорительной и антенной техники, а также освоении космического пространства. Это объясняется тем, что перспективность этих научных направлений доказана целым рядом результатов, имеющих важное прикладное значение. Много основополагающих результатов в области сверхпроводимости получили российские ученые: В. Л. Гинзбург, Л. Д. Ландау, А. А. Абрикосов и Л. П. Горьков. В 2003 г. А. А. Абрикосов и В. Л. Гинзбург были удостоены Нобелевской премии за выдающиеся результаты по теории сверхпроводимости. Однако электродинамика сверхпроводящих структур, в которой накоплен определенный теоретический и экспериментальный материал, в полной мере далека от своего завершения. В настоящее время по данной проблеме опубликовано несколько монографий [11 — 13, 45, 46], в которых в основном рассмотрены вопросы технического и технологического характера.
В настоящей книге получены и обобщены результаты о поверхностном импедансе сверхпроводников, а также определены границы его применимости. Используя новые сверхпроводящие граничные условия (граничные условия третьего рода) рассмотрены различные электродинамические структуры как для внутренних, так и внешних краевых задач электродинамики. Подробно на ряде конкретных задач обсуждены вопросы поведения основных сверхпроводящих электродинамических характеристик, включая уточнение фундаментальной физической константы скорости света. Отдельные результаты, изложенные в монографии, были прочитаны в цикле лекций для студентов старших курсов базовой кафедры ИРЭ РАН «Радиофизика и твердотельная электроника» при Московском физико-техническом институте (государственный университет). Автор пытался, в какой то мере, затронуть все основные вопросы, касающиеся поверхностного импеданса и его практического применения в радиофизических приложениях. С этой
77От автора
7
7
точки зрения отдельные ее главы не могут претендовать на полноту изложения.
Выражаю признательность академику РАН и НАН Украины Ю. А. Митропольскому, член-корр. РАН В. И. Пустовойту, докторам физ.-мат. наук Ю. В. Ганделю, И. К. Лифанову, В. В. Мериакри, А. Д. Шатрову за замечания и пожелания, способствовавшие улучшению рукописи.
В.①.КравченкоВ.①.КравченкоМосква, март 2005
В.①.Кравченко
В.①.Кравченко
Введение
Успехи в разработке и производстве сверхпроводящих материалов сделали возможным построение на их основе различных СВЧ устройств и антенн [1-13]. Сверхпроводящие электродинамические структуры активно исследуются и находят широкое применение в микроволновой технике. Применение сверхпроводящих (СП) структур приводит к существенному уменьшению диссипативных потерь, увеличению добротности резонансных элементов и возможности управления в перестраиваемых элементах. Вместе с эффектами, присущими только сверхпроводникам, в частности, эффектом Джозефсона, эти факторы позволяют улучшить характеристики устройств и антенн, а также получить их новые качества. При этом возможно уменьшение размеров устройств при сохранении необходимых характеристик. Большой интерес представляет применение тонких сверхпроводящих пленок на различных подложках. Такие системы обладают дополнительными частотно-селективными свойствами, что позволяет их использовать для выбора типа колебаний в резонаторе или волноводе. Кроме того, имеется возможность управления характеристиками пленок, а, следовательно, и устройств на их основе, путем наложения внешнего магнитного поля. Сверхпроводящие резонаторы, имея высокие значения добротности, могут применяться для прецизионных измерений параметров новых материалов.
Необходимость корректного электродинамического описания сверхпроводящих волноводов и резонаторов с позиции краевых задач третьего рода и в целях создания эффективных физических моделей для параметров сверхпроводников в СВЧ полях определяет актуальность данной проблемы. Важным является также построение асимптотических решений, обладающих достаточной точностью и не требующих больших затрат времени на вычисление.
Число работ, посвященных электродинамике СП структур стремительно растет, а полной ясности в физической природе и механизмах сверхпроводимости (особенно высокотемпературной) пока нет. Поэтому авторами некоторых работ предлагаются теории и модели, которые описывают поведение сверхпроводников в СВЧ полях. В [1, 2, 13, 16, 92] приводится обзор существующих моделей поверхностного импеданса сверхпроводников, подробно описаны достоинства и недостатки этих моделей и области их применимости. Приведены различные теории как в феноменологическом рассмотрении, так и в модели БКШ. Рассмотрен импеданс шероховатых поверхностей. Новый интересный подход к описанию поверхностного импеданса в рамках обобщенной двухжидкостной модели предложен Вольфом и Ма [14, 15]. Для учета взаимодействия электронов с дефектами кристаллической структуры вводится зависимость концентрации электронов нормальной прово-
димости от времени. При этом удалось достичь лучшего согласия с экспериментальными данными как для НТСП, так и для ВТСП. Интерес представляет также теория Гинзбурга-Ландау и ее применение для формулировки граничных условий для сверхпроводников [16, 163]. Авторы [17], используя результаты теории Гинзбурга-Ландау и двухжидкостную модель, создали комбинированную структуру, учитывающую нелинейные эффекты в сверхпроводниках при полях, близких к критическим. Эта структура была использована для анализа нелинейных эффектов в микрополосковых линиях передачи [18]. Нелинейные свойства поверхностного импеданса рассмотрены при помощи «двухгранулярной» модели в [19]. Микрополосковые линии (МПЛ) и резонаторы являются предметом рассмотрения в [20, 21]. В одной из этих работ подробно изучено распространение квази-ТЕМ волны в широкой МПЛ. Получены выражения для добротности МПЛ, где для учета потерь в проводнике использована величина глубины проникновения поля в проводник. Поскольку для сверхпроводников эта величина является комплексной, полученные соотношения могут применяться только для нормально проводящих МПЛ. Авторы [22] определяют характеристики СП МПЛ при помощи численных методов. Построены частотные и температурные зависимости добротности, эффективной диэлектрической константы, коэффициента затухания для СП МПЛ. Методы решения краевых задач возбуждения волноводов и резонаторов с идеально проводящими стенками и со стенками, имеющими малые потерями, рассмотрены в [23-25]. В [26] показано применение метода интегральных преобразований в задаче о возбуждении плоского импедансного волновода. Определению поверхностного импеданса сверхпроводников при помощи резонаторов (объемных и открытых) посвящены работы [27-31]. Предметом исследования этих работ является только действительная часть поверхностного импеданса, которая ответственна за джоулевы потери. Применяемые для определения поверхностного сопротивления соотношения являются приближенными, точность которых авторами не анализируется. Важным результатом является определение скорости света на основе объемных сверхпроводящих резонаторов, полученная впервые в [102, 109, 113]. Метод параболического уравнения был применен Вайнштейном [32, 33] для решения задачи о колебаниях открытых резонаторов с идеально проводящими зеркалами. В [34] использовались численные методы для решения двумерной задачи для открытых резонаторов. Учет потерь в материале зеркал производится за счет введения коэффициента затухания на один проход. Такой подход не позволяет учитывать фазовые поправки за счет мнимой части импеданса. Впервые рассмотрены колебания в открытых резонаторах (ОР), образованных сверхпроводящими (СП) софокусными цилиндрическими зеркалами прямоугольной формы; получены выражения для спектра собственных частот, добротности резонатора, распределения поля в резонансном объеме и плотности квазиповерхностного тока на зеркалах. Для зеркал, состоящих из сверхпроводящей пленки на
подложке, представлены эквивалентные граничные условия, с помощью которых определены основные электродинамические характеристики резонаторов с такими зеркалами. Получены численные результаты для некоторых известных низко- и высокотемпературных сверхпроводящих материалов [1, 3]. Для сравнения приведены результаты вычислений характеристик открытых цилиндрических резонаторов с нормально и идеально проводящими зеркалами и сверхпроводящих резонаторов с плоскими прямоугольными зеркалами [32]. Для резонаторов с зеркалами из нормально проводящего металла был проведен эксперимент, который дал хорошее согласие с теорией. Для подтверждения полученных теоретических результатов в диапазоне частот 53-78 Ггц с применением автоматизированного комплекса [111] проведены экспериментальные исследования открытых резонаторов с цилиндрическими зеркалами из нормально проводящего металла. Разработаны методы и алгоритмы применительно к решению внешних задач электродинамики на сверхпроводящих объектах простой и сложной формы [80-114]. Проведенный численный эксперимент подтвердил эффективность предложенных новых подходов. В последующих 5 и 6 главах книги для построения математических моделей используется метод дискретных особенностей (МДО), предложенный и обоснованный в [15, 16, 95, 96] (см. литературу к главам 5, 6), а затем развитый в [22, 23]. Эта методика и полученные на ее основе алгоритмы позволили существенно расширить круг решения краевых задач электродинамики сверхпроводящих структур.
Глава 1
ПОВЕРХНОСТНЫЙ ИМПЕДАНССВЕРХПРОВОДНИКОВ ГЛАДКОЙИ ШЕРОХОВАТОЙ ПОВЕРХНОСТИ
Выбор физических моделей для описанияповерхностного импеданса сверхпроводников
Известно, что поверхностный импеданс (ПИ) — один из наиболее важных физических параметров, характеризующих взаимодействие электромагнитных полей с веществом, от которого в значительной степени зависят значения тех параметров, которые могут быть получены при разработке электронных и измерительных систем. Поэтому здесь рассмотрим общую феноменологическую модель для определения поверхностного сопротивления сверхпроводников в широком интервале частот. Заметим, что до создания микроскопической теории сверхпроводимости при теоретических и экспериментальных исследованиях высокочастотных свойств сверхпроводников применялись феноменологические модели, в основу которых была положена двухжидкостная модель Гортера-Казимира [13-15]. Однако описание ПИ с помощью двухжидкостной модели не всегда удовлетворительно согласуется с экспериментальными данными, а в некоторых случаях просто невозможно объяснить те или иные особенности поведения сверхпроводников в высокочастотных полях. Несмотря на это, феноменологические модели сыграли большую роль в изучении сверхпроводников. Ими часто пользуются и в настоящее время, так как они просты и наглядны, а в целом ряде случаев, которые касаются практического использования сверхпроводников, дают хорошее согласие с экспериментом. Определение поверхностного сопротивления сверхпроводников при помощи микроскопической теории всегда связано со значительными трудностями, так как точные аналитические формулы могут быть найдены только для некоторых предельных случаев, значения же этого параметра в промежуточных областях могут быть найдены только путем сложных численных расчетов. Одним из основных недостатков существовавших феноменологических моделей было то, что полученные с их помощью
результаты не согласовались с экспериментальными в наиболее интересной области низких приведенных температур. Г. и Ф. Лондоны [36, 37] первыми применили двухжидкостную модель Гортера-Кази- мира для описания поведения сверхпроводников в переменных полях. Согласно этой модели предполагается, что при температуре ниже критической, одна часть электронов пс находится в сверхпроводящем состоянии, а другая пн в нормальном:
"н = "/н (力 пр),"с = "/с (力пр),『2 = "н + Т，с,( 1 • 1)
где п — концентрация электронов, tnp = Т/К — приведенная температура, Тк — критическая температура. Следовательно, концентрации нормальных и сверхпроводящих электронов являются функциями приведенной температуры. В модели Гортера-Казимира функции 九(力叩)и /с(^пр) определяются следующим образом:
/н(^пр)=力 пр, /с(力 пр) = 1 —力 пр.
Результаты, полученные Г. Лондоном, интерпретировались на основе этой двухжидкостной модели. Считалось, что плотность тока состоит из двух компонент ——нормальной, подчиняющейся закону Ома, и сверхпроводящей, подчиняющейся уравнениям Лондонов:
)н = /н(力 пр)。石,)н = /н(力 пр)。石,一*石，一*石，(1.2)(1.2)
)н = /н(力 пр)。石,
)н = /н(力 пр)。石,
一*石，
一*石，
(1.2)
(1.2)
Решая уравнения (1.2) совместно с уравнениями Максвелла, нетрудно найти отношение поверхностного сопротивления сверхпроводника к поверхностному сопротивлению нормального металла
入”（°）］3dp（1-先产2'入”（°）］3dp（1-先产2'(1-3)(1-3)
入”（°）］3dp
（1-先产2'
入”（°）］3dp
（1-先产2'
(1-3)
(1-3)
где Ал(0)——лондоновская глубина проникновения при tnp = 0. Очевидно, что 区$ 〜о;?. Выражение (1.3) имеет такой же функциональный вид, как и эмпирическое соотношение, полученное А. Б. Пиппардом [117],
(1.4)(1.4)г = A^)f(tnp) + г0,
(1.4)
(1.4)
где /(tnp) =〜s3/2где /(tnp) =〜s3/2некоторая функция частоты;некоторая функция частоты;
где /(tnp) =〜s3/2
где /(tnp) =〜s3/2
некоторая функция частоты;
некоторая функция частоты;
г0 — остаточное сопротивление. Частотная зависимость в (1.3) входит через Ьк〃. Очевидно, г 〜ш3^2, что совпадает с частотной зависимостью
в (1.4). Температурные зависимости в (1.3) и (1.4) совпадают только
качественно. Так, уже при tnp = 0,8 значения величин г отличаются в два раза. Ясно, что ожидать хорошего согласия результатов экспе-
риментальных исследований и вычислений по соотношению (1.3) не следует, так как это уравнение получено в предположении локальных связей между полями и токами, что при низких температурах для чистых металлов не выполняется. Известно, что двухжидкостная модель Гортера-Казимира не дает правильных качественных результатов для числа нормальных электронов при малых значениях tnp и в этом случае будет особенно большим расхождение результатов. Если сравнить эмпирическую температурную зависимость поверхностного сопротивления, полученную А. Б. Пиппардом, с результатами микроскопической теории, которые в ряде случаев согласуются с экспериментальными, можно видеть, что в области низких приведенных температур они значительно отличаются. Оказывается, что в области малых значений 力叩 для очень чистых образцов имеет место почти экспоненциальная зависимость поверхностного сопротивления от температуры. Естественно, аппроксимировать такой ход степенной зависимостью не удается. По этой причине температурная зависимость вида (1.4) удовлетворительно согласуется с экспериментальной только в области средних значений приведенных температур. Нелокальная связь между полем и нормальной компонентой тока была учтена в [16] с использованием точной теории аномального скин-эффекта.
Для определения поверхностного импеданса сверхпроводников необходим механизм описания сверхпроводимости через электродинамические параметры. Хотя теория БКШ и двухжидкостная модель Лондона [37] являются общепринятыми микроскопической и макроскопической моделями для низкотемпературных сверхпроводников, они имеют ограничения и не всегда могут правильно объяснять явления в высокотемпературных сверхпроводниках СВЧ. Двухжидкостная модель предполагает существование двух типов носителей, сверхпроводящих частиц и нормальных электронов с концентрациями пс и пн соответственно. Эти концентрации удовлетворяют следующим соотношениям:
Пс/п = 1 — /⑴， nH/n = n = nc + nH, t = T/Tk,
где 〃力)一функция приведенной температуры 力；Т — критическая температура.
Основные уравнения. В модели Гортера-Казимира [13] f(t)= =力4； выражение больцмановского типа предложено Дионом [38] /(力)=е^—釈/力；Бонн [39] использовал приближение теории БКШ 〃力)=力зт； в модели Вендика [40] /(力)=力3/2. При этом поверхностный импеданс Zc = ,з网[Е, а = ai + iao ——комплексная проводимость. В рамках макроскопической модели величины ai и о? определяются соотношениями [13-15]
м什hм什h。2。2[IT ⑴][IT ⑴]umoumo
м什h
м什h
。2
。2
[IT ⑴]
[IT ⑴]
umo
umo
где Тн — время свободного пробега нормального электрона; ео — заряд электрона; то — масса электрона.
Новая феноменологическая модель, предложенная Вольфом и Ма [14, 15], впервые учитывает взаимодействие сверхпроводящих носителей с нормальными электронами, а также с неоднородностями кристаллической структуры. В этом случае
т^ 1 + （ЗТн）2?九1 +（З7с）2
тош 1 +（3Th）2?九 0公 1 +（3Tc）2
Эта модель хорошо согласуется с экспериментальными данными как для низкотемпературных, так и для высокотемпературных сверхпроводников. Например, модели БКШ и Лондона предсказывают зависимость R z "У а модели Вольфа и Ма 区〜о?°, где 1 < а < 2 для высокотемпературных сверхпроводников YBa2cli依了一鼠 В [17] рассмотрена модель высокотемпературных сверхпроводников, в которой используются результаты Гинзбурга-Ландау. Эта модель требует самостоятельного рассмотрения при решении конкретных модельных задач.
Таким образом, с помощью существующих феноменологических моделей поверхностного импеданса сверхпроводников в большинстве случаев можно получить только качественное описание поведения поверхностного сопротивления сверхпроводников. Если частотная зависимость поверхностного сопротивления Rs ш2 в ряде случаев удовлетворительно описывает поведение сверхпроводников, то температурная зависимость в области низких приведенных температур не дает удовлетворительного согласия с экспериментом.
Взаимодействие электромагнитных волнсо сверхпроводниками
Сверхпроводящие волноводы и открытые резонаторы （ОР） широко применяются в целом ряде приборов СВЧ техники. Использование сверхпроводящих систем позволяет осуществлять передачу энергии практически без потерь и искажений на значительные расстояния, конструировать микроволновые стандарты частоты на основе твердотельных и вакуумных генераторов. Важной задачей является отыскание параметров и характеристик реальных волноводов, открытых резонансных структур, имеющих стенки, изготовленные из нормально проводящего материала с напыленным слоем сверхпроводника, сверхпроводящие стенки конечной толщины обеспечивающие просачивание поля, а также сравнение полученных результатов с результатами для волноводов, ОСПР, имеющих массивные сверхпроводящие стенки и зеркала.
Электродинамические свойства влетворительно описаны в рамках ком и вектор-потенциалом [17, 92]Электродинамические свойства влетворительно описаны в рамках ком и вектор-потенциалом [17, 92]сверхпроводников могут быть удо- теории локальной связи между то-сверхпроводников могут быть удо- теории локальной связи между то-
Электродинамические свойства влетворительно описаны в рамках ком и вектор-потенциалом [17, 92]
Электродинамические свойства влетворительно описаны в рамках ком и вектор-потенциалом [17, 92]
сверхпроводников могут быть удо- теории локальной связи между то-
сверхпроводников могут быть удо- теории локальной связи между то-
7 =4
47rb2 '
где b — эффективная комплексная глубина проникновения поля в сверхпроводник, учитывающая экранирование поля мейсснеровскими токами и скин-эффект в состоянии с нормальной проводимостью.
Граничные условия Леонтовича-Щукина [24] справедливы в случае сильного скин-эффекта, то есть когда электромагнитное поле занимает незначительную часть объема тела. При рассмотрении взаимодействия электромагнитных полей с образцами конечной толщины граничные условия Леонтовича-Шукина перестают выполняться, поскольку существенным оказывается влияние нижней границы тела, осуществляющей переотражение поля внутри образца. Рассмотрим несколько случаев вывода эквивалентных граничных условий, которые в дальнейшем будем использовать при решении конкретных краевых задач.
Случай 1. Согласно [58] исследуем наклонное падение плоской электромагнитной волны на сверхпроводящий слой конечной толщины d (рис. 1.1).
Распространение волны внутри сверхпроводника ввиду большого значения модуля диэлектрической проницаемости предполагаем нормальным к поверхности раздела сред. Запишем поля в области И (рис. 1.1)
в виде суперпозиции падающего и отраженного от нижней границы слоя [115]
石:=A exp+ Вехр .(1.6)
Прошедшее в область III излучение имеет вид плоской волны, распространяющейся под углом 夕 к границе раздела
石；=С exp(ikx cos 99).石；=С exp(ikx cos 99).(1.7)(1.7)
石；=С exp(ikx cos 99).
石；=С exp(ikx cos 99).
(1.7)
(1.7)
Проинтегрируем уравнение Максвелла
(1.8)(1.8)rotH = ik£s(u, J)E
(1.8)
(1.8)
по толщине слоя d, учитывая выражение для поля в виде (1.6). Неизвестные амплитуды А, В, С находятся из условия непрерывности
тангенциальных составляющих электромагнитного поля на верхней и нижней границе сверхпроводящего образца. После интегрирования и подстановки полученных выражений для амплитуд А, 8, С получаем граничное условие, связывающее тангенциальные составляющие электромагнитного поля на границе вакуум-сверхпроводник
凡=(L9) у sh(d/A) + zkA cos 夕 ch(d/A)
Аналогичным образом нетрудно получить граничное условие для Ez, Ну компонент поля в области I
I = cosgch(d/b) + 泳bsh(d/b) I cosgsh(d/6)+泳bch(d/6)少— 丿
При d》|b| эквивалентные граничные условия (1.9), (1.10) переходят в граничные условия Леонтовича-Щукина [24]. Эквивалентные граничные условия (1.9), (1.10) содержат зависимость от угла падения волны 夕 на металлический слой, однако, покажем, что при решении конкретных электродинамических задач именно это и является положительным моментом. При анализе задач, связанных с распространением электромагнитных волн в тонкостенных металлических волноводах и резонаторах с учетом просачивания поля через частично прозрачные стенки, использование граничных условий в виде (1.9), (1.10) допустимо и приводит к получению более точного решения с максимальным упрощением необходимых математических выкладок.
Исходя из концепции парциальных волн, любая волноводная волна может быть представлена в виде суммы двух либо большего числа плоских волн, распространяющихся под определенным углом к направляющим плоскостям. Угол падения J = тг/2 —夕 парциальной волны на стенки волновода, фигурирующий в (1.9), (1.10), связан следующим соотношением с искомым продольным волновым числом [24]:
cos 夕=J] — ((/к)? .(1.11)
Таким образом, дисперсионное уравнение для определения неизвестного волнового числа h в тонкопленочном волноводе либо резонаторе получаем с учетом зависимости от угла падения различных мод колебаний, имеющих место в рассмотренных типах волноводных систем. При решении иного рода задач зависимость от угла падения граничных условий легко устраняется при наложении ограничения на угол падения волны
cosI泳bch(d/b)|.(1.12)
Граничные условия принимают следующий вид:
(1-13)(1-13)[пЕ] = -Zs(u) [n [пН]], Zs(u)=泳bch(d/b).
(1-13)
(1-13)
Подобное выражение для эквивалентного импеданса сверхпроводящей пленки было получено в [116]. В случае сильного скин-эффекта d》|b| (1.13) переходит в граничное условие Леонтовича-Щукина на массивном сверхпроводнике [117]. Пусть на слой сверхпроводника, лежащий на импедансной полуплоскости, имеющей импеданс Zn(3) падает плоская электромагнитная волна. Рассмотрим случай нормального падения волны с
Рис. 1.2Рис. 1.2Еу = Nexp (^J^)Еу = Nexp (^J^)+ В exp (—不.+ В exp (—不.(1.14)(1.14)компонентами Hz, Еу. Поле в слое сверхпроводника запишем в виде суперпозиции прошедшего и отраженного от нижней границы (рис. 1.2)
Рис. 1.2
Рис. 1.2
Еу = Nexp (^J^)
Еу = Nexp (^J^)
+ В exp (—不.
+ В exp (—不.
(1.14)
(1.14)
Неизвестные амплитуды полей А, 8 найдем из условия непрерывности тангенциальных компонент полей на верхней границе т = d, а также из граничного условия Леонтовича-Шукина Еу = Z^^Hz на нижней границе т = 0. После интегрирования уравнения Максвелла (1.8) по толщине пластины сверхпроводника получим граничное условие, связывающее тангенциальные составляющие полей на границе сверхпроводник-вакуум
sh- + ch -/b一頂, ?忆HLsh- + ch -/b一頂, ?忆HL(1.15)(1.15)
sh- + ch -
/b一頂, ?忆HL
sh- + ch -
/b一頂, ?忆HL
(1.15)
(1.15)
Пусть теперь на структуру, изображенную на рис. 1.2, падает волна с компонентами Ez, Ну. Искомые амплитуды прошедшего и отраженного от нижней границы образца полей находятся из условия непрерывности касательных составляющих векторов Е и Н, а также из граничного условия Леонтовича-Щукина Ez = —Zn(3)Hy・ Проинтегрируем уравнение Максвелла rot Е =—泳8 по толщине сверхпроводника с учетом выражений для амплитуд полей. Граничное условие, описывающее поведение тангенциальных компонент полей на границе сверхпроводник-вакуум, имеет вид
(1-16)(1-16)仕 К + sh к 7 /、 ~~dл d ik6 g•
(1-16)
(1-16)
Для проводящих тел, ограниченных криволинейной поверхностью, граничные условия (1.15), (1.16) целесообразно записать в векторной форме
[пЕ]=—以(5 卜2 [пН]],[пЕ]=—以(5 卜2 [пН]],彳2(5 ch(d/b) + Kbsh(d/6)
[пЕ]=—以(5 卜2 [пН]],
[пЕ]=—以(5 卜2 [пН]],
'‘泳bch(d/b) + Z„ (s) sh(d/b)'
(1.17)
где b имеет вид (1.5).
Граничное условие (1.17) при d》|b| переходит в граничное условие Леонтовича-Щукина на поверхности массивного сверхпроводника. При d = 0 условие (1.17) переходит в условие Леонтовича-Щукина на импедансном, нормально проводящем металле. При Ь = 0 ——в обычное
условие ЕТ = 0 ш поверхности идеально проводящего металла. Полученные граничные условия (1.9), (1.10), (1.17) позволяют не вводить в
рассмотрение поля внутри тела, а учитывать наличие его с помощью граничных условий на его поверхности.
Случай 2. Пусть на сверхпроводник [80] (рис. 1.3) под углом 夕 к нормали падает плоская волна с временной зависимостью "以力. Рассмотрим случай s-поляризации, когда вектор Е перпендикулярен плоскости падения. В этом случае Епад = Ez = егкх соз('^+гкУ Поле в области I запишем в виде
旦旦^ik^x^di) cos ^-\-гку sin 99 十氏 ㊀一？k(⑦+di) cos 屮+zky sin 衣^ik^x^di) cos ^-\-гку sin 99 十氏 ㊀一？k(⑦+di) cos 屮+zky sin 衣(1.18)(1.18)
旦
旦
^ik^x^di) cos ^-\-гку sin 99 十氏 ㊀一？k(⑦+di) cos 屮+zky sin 衣
^ik^x^di) cos ^-\-гку sin 99 十氏 ㊀一？k(⑦+di) cos 屮+zky sin 衣
(1.18)
(1.18)
(1-19)(1.20)(1-19)(1.20)
(1-19)
(1.20)
(1-19)
(1.20)
Поскольку компоненты электромагнитного поля удовлетворяют уравнениям Максвелла
rot Н = —шг^Е, rot Е =加風)Н,
11ALAL2k(⑦+由)cos(р^гку sin2k(⑦+由)cos(р^гку sin33(1-21)(1-21)衣(化 + 必)cos/ +2kg sinw衣(化 + 必)cos/ +2kg sinwто для Ну, из (1.18) и (1.20) имеем
1
1
AL
AL
2k(⑦+由)cos(р^гку sin
2k(⑦+由)cos(р^гку sin
3
3
(1-21)
(1-21)
衣(化 + 必)cos/ +2kg sinw
衣(化 + 必)cos/ +2kg sinw
(1.22)(1.23)(1.22)(1.23)гдегдеb =。石,b =。石,(1.24)(1.24)
(1.22)
(1.23)
(1.22)
(1.23)
где
где
b =。石,
b =。石,
(1.24)
(1.24)
где % = уфо/ёо — импеданс свободного пространства. Внутри сверхпроводника при —山 < т < 0 уравнения (1.19), (1.20) имеют вид
rot Я =一汕金金0石 ++ 九,
rot 石=ШЦЦ^Н,
°о°о近(0)近(0)加02 Т屮0昭加02 Т屮0昭(1.25)(1.25)jc — плотность тока сверхпроводящих электронов,加—плотность тока нормальных электронов, а — нормальная проводимость, е, 〃 一 диэлектри-ческая и магнитная проницаемости соответственно, b工 —— лондоновская глубина проникновения. В модели Гортера-Казимира [21,22] величины 8工，а определяются из соотношений
°о
°о
近(0)
近(0)
加0
2 Т屮0昭
加0
2 Т屮0昭
(1.25)
(1.25)
2ПбдТ2mo
где tnp = Т/Тк, £ ——критическая температура, п — концентрация электронов, ео — заряд электрона, то — масса электрона. Запишем уравнение (1.22) в виде
(1.26)(1.26)rot Н = —ia£\£oE, si = е7 + 沦",
(1.26)
(1.26)
G%0£0必'GEO •
Важной электродинамической характеристикой сверхпроводников является поверхностный импеданс Zs = Rs —方Xs, входящий в граничные условия Леонтовича [23]
[nE] = -2s [п [пН]],[nE] = -2s [п [пН]],(1.27)(1.27)
[nE] = -2s [п [пН]],
[nE] = -2s [п [пН]],
(1.27)
(1.27)
где п ——единичная нормаль, направленная внутрь сверхпроводника. Таким образом, импеданс Z$ связывает тангенциальные компоненты электрического и магнитного полей на поверхности сверхпроводника. С другой стороны, величина Zs связана с si и /q соотношением
2s2s41404140(1.28)(1.28)
2s
2s
4140
4140
(1.28)
(1.28)
из которого, зная Zs, можно определить значение £〔 ( 〃〃 у 1 для сверхпроводников).
〃1 COS 夕 IZow〃1 COS 夕 IZowП9 COS 夕2Zo〃2П9 COS 夕2Zo〃2^j^kri2(x cos ^2+y sin 99 2) — Jj^kri2(~~~x cos 99 2+?/ sin 99 2)^j^kri2(x cos ^2+y sin 99 2) — Jj^kri2(~~~x cos 99 2+?/ sin 99 2)(1-32)(1-32)
〃1 COS 夕 IZow
〃1 COS 夕 IZow
П9 COS 夕2
Zo〃2
П9 COS 夕2
Zo〃2
^j^kri2(x cos ^2+y sin 99 2) — Jj^kri2(~~~x cos 99 2+?/ sin 99 2)
^j^kri2(x cos ^2+y sin 99 2) — Jj^kri2(~~~x cos 99 2+?/ sin 99 2)
(1-32)
(1-32)
С учетом (1.23) и (1.26) поля в области И запишем в виде
(1.29)(1.29)石 II — J^^kn\ (х cos 9^1 +y sin 991) ^ j^^kri\( — x cos ^>\+y sirups
(1.29)
(1.29)
^у4_ег^п1(x cos ^1+y sin 9^1) —H cos 河+y sin/1))
(1.30)
где //，i ——комплексная магнитная проницаемость сверхпроводника, ni =,金1 ⑷，夕I — угол, под которым волна распространяется внутри сверхпроводника.
Компоненты полей в подложке при 0 < х < d^ имеют вид
(1-31)(1-31)石Ш — Q^kn^(x cos 992+?/ sin 992) +。㊀2k九2(―化 cos/2+g sin/2)
(1-31)
(1-31)
где 金2, 42 — комплексные диэлектрическая и магнитная проницаемости подложки, П9 = ,£*2 ,夕2 — угол, под которым волна распространяется внутри подложки. Для полей в области IV (ж > d^ получаем
Z$e冰(片―&2)cos 屮+iky sin /Z$e冰(片―&2)cos 屮+iky sin /c°s 夕 Zs e 冰("“2)Zo 'c°s 夕 Zs e 冰("“2)Zo 'cos 屮+гку sin /cos 屮+гку sin /(1.33)(1-34)(1.33)(1-34)
Z$e冰(片―&2)cos 屮+iky sin /
Z$e冰(片―&2)cos 屮+iky sin /
c°s 夕 Zs e 冰("“2)
Zo '
c°s 夕 Zs e 冰("“2)
Zo '
cos 屮+гку sin /
cos 屮+гку sin /
(1.33)
(1-34)
(1.33)
(1-34)
Из условия непрерывности тангенциальных составляющих поля на границах раздела сред имеем систему уравнений, из которой находим неизвестные комплексные коэффициенты отражения Rs и прохождения Ts
RsTsRsTsNsi4s2 - T「Ns24slNs2 As2 - ^\2Ns\As\ 8t」T^1〃1〃24142 COS 夕Ns2As2 — T「Nsi4si 'Nsi4s2 - T「Ns24slNs2 As2 - ^\2Ns\As\ 8t」T^1〃1〃24142 COS 夕Ns2As2 — T「Nsi4si '(1.35)(1.36)(1.35)(1.36)
Rs
Ts
Rs
Ts
Nsi4s2 - T「Ns24sl
Ns2 As2 - ^\2Ns\As\ 8t」T^1〃1〃24142 COS 夕
Ns2As2 — T「Nsi4si '
Nsi4s2 - T「Ns24sl
Ns2 As2 - ^\2Ns\As\ 8t」T^1〃1〃24142 COS 夕
Ns2As2 — T「Nsi4si '
(1.35)
(1.36)
(1.35)
(1.36)
(1-37)(1-37)(1.38)(1.38)
(1-37)
(1-37)
(1.38)
(1.38)
где
〃i = ni cos 夕I J『疗 一sin2 夕，Ti =，
〃2 =几2 COS 夕2 = Jn| — sin2 夕， 72 =㊀一2kzy2d〈
Nsi = 〃1 — 41 cos 夕，N$2 = % + 41 cos，
Ns3 = 〃2 — 42 cos 夕，N,S4 = 〃2 — 42 COS 夕，
Asi = 〃i〃2(N,s4 + 工^'з)—也〃i(N$4 - 丁丁工3),
As2 =沙 1〃2(N,S4 + t/N,S3)+ 沙2〃1(Ns4 — X^Ns^-
Аналогично рассматривается случай р-поляризации, когда вектор Н перпендикулярен плоскости падения. В этом случае для коэффициентов отражения Rp и прохождения Тр получим соотношения:
(1.39)(1.40)(1.39)(1.40)(1-41)(1-41)Np\Ap? - х^2Np^Ap]
(1.39)
(1.40)
(1.39)
(1.40)
(1-41)
(1-41)
Np2Ap2 -Np]Ap\
cos 99
NpoApo — x^2 Np\Ap]
где
Np\ = 〃1 — 41 COS 夕，^P2 = 〃I + 小 COS 99,
Np3 = 〃2 — 42 COS 2Np4 =也—42 COS 夕，
Api = 〃i〃2(Np4 + 优「Np3)—也⑷— ж^2^pз),Др2 = 〃1〃2(Nf4 + HG“Np3)+ 〃2小(Nf4 — 7「Ярз).
Соотношения (1.35), (1.39) переходят при d] сю или d\ = 0, d? — сю в известные формулы Френеля [23, 66], определяющие коэффициент отражения плоской волны от границы раздела двух сред. Следовательно, формулы (1.35)-(1.41) являются обобщением известных результатов Френеля. Они будут положены в основу дальнейшего физического и численного анализа взаимодействия электромагнитных волн с ВТСП и НТСП пленкой.
Эквивалентные граничные условия для системы сверхпроводник-подложка при нормальном падении волны получаются из соотношений (1.18), (1.21) и (1.27) путем введения эффективного поверхностного импеданса для этой системы
Z哺巾Z哺巾(1.42)
Z哺巾
Z哺巾
/=0
где R = Rs\,^=q = Rp\^=q. Тогда граничные условия принимают следующий вид:
[几石]=—Z哂巾[n [пН]],(1.43)
где ^Эфф определяется из (1.42). Заметим, что при d【—сю Z^巾巾=Zs・
Для сверхпроводника 〃i у 1. Берем такие частоты, что для под
ложки //2 ~ 1- Пусть 69 = 6, 99 = 0. Тогда из (1.35) и (1.42) получим
гдегде4巾巾4巾巾7171(1-44)(1-44)
где
где
4巾巾
4巾巾
71
71
(1-44)
(1-44)
(1.46)(1.46)—\/ё (1 — Zs) — »(1 — eZs) tg(k\/^d?) ，ё (1 + Zs) — 2，(1 + eZs) tg(k，^ “2)
(1.46)
(1.46)
причем в (1.44)-(1.46) Z$ =，⑷/力.
Анализ полученных результатов позволяет сделать вывод о возможности эффективного применения указанной методики для исследования сверхпроводящих пленок. Полученные из строгого решения краевой задачи эквивалентные граничные условия (1.43) могут быть использованы для определения основных электродинамических характеристик сверхпроводящих объемных резонаторов, открытых резонаторов и других СВЧ-структур, рабочая поверхность которых покрыта тонкой сверхпроводящей пленкой.
Случай 3. Рассмотрим отражение плоской волны от сверхпроводящей анизотропной плоскости [66] и построим обобщенные формулы Френеля.
волнаволнаСчитаем, что Е 〜е~"山力.Рассмотрим случай, когда вектор Е падающей волны лежит в плоскости падения (р-поляризация). Пусть на сверхпроводящую х^/-плоскость (рис. 1.4) падает плоская
волна
волна
(1.47)(1.48)(1.49)(1.50)(1.51)(1.47)(1.48)(1.49)(1.50)(1.51)石 — ^ik(z cossin
(1.47)
(1.48)
(1.49)
(1.50)
(1.51)
(1.47)
(1.48)
(1.49)
(1.50)
(1.51)
В падающей p-волне
石口ад _ cos ge2k(zcos/+a?sin/)口 ав ан
Из (1.47) и (1.48) с учетом того, что Н 〜金-山力，получим
ттпад —八2k(z cos з+化 sin 夕)
В отраженной p-волне
(1.52)(1.52)В отраженной s—волне&⑴ ттпад —— z cos 99+x sin 99)При выбранном направлении осей координат (рис. 1.4)сверхпроводящие граничные условия запишем в виде [66]Ех = Zo (—Z] 1 Нх + Z[2Hд),Еу = Z° (-^9]ЯЖ + ZooНу), где 邑,Еу, Нх, Ну ——полные поля вне сверхпроводника.В отраженной s—волне&⑴ ттпад —— z cos 99+x sin 99)При выбранном направлении осей координат (рис. 1.4)сверхпроводящие граничные условия запишем в виде [66]Ех = Zo (—Z] 1 Нх + Z[2Hд),Еу = Z° (-^9]ЯЖ + ZooНу), где 邑,Еу, Нх, Ну ——полные поля вне сверхпроводника.(1.53)(1.53)(1.54)(1.54)тензорныетензорные(1.55)(1.55)Здесь тензор поверхностного импеданса Z^ является двумерным тензором второго ранга и характеризуется четырьмя величинамиЗдесь тензор поверхностного импеданса Z^ является двумерным тензором второго ранга и характеризуется четырьмя величинамиZ12@2Z12@2(1.56)(1.56)причем компоненты Z^ являютсяпричем компоненты Z^ являютсякомплексными величинами, то естькомплексными величинами, то есть
(1.52)
(1.52)
В отраженной s—волне
&⑴ ттпад —— z cos 99+x sin 99)
При выбранном направлении осей координат (рис. 1.4)
сверхпроводящие граничные условия запишем в виде [66]
Ех = Zo (—Z] 1 Нх + Z[2Hд),
Еу = Z° (-^9]ЯЖ + ZooНу), где 邑,Еу, Нх, Ну ——полные поля вне сверхпроводника.
В отраженной s—волне
&⑴ ттпад —— z cos 99+x sin 99)
При выбранном направлении осей координат (рис. 1.4)
сверхпроводящие граничные условия запишем в виде [66]
Ех = Zo (—Z] 1 Нх + Z[2Hд),
Еу = Z° (-^9]ЯЖ + ZooНу), где 邑,Еу, Нх, Ну ——полные поля вне сверхпроводника.
(1.53)
(1.53)
(1.54)
(1.54)
тензорные
тензорные
(1.55)
(1.55)
Здесь тензор поверхностного импеданса Z^ является двумерным тензором второго ранга и характеризуется четырьмя величинами
Здесь тензор поверхностного импеданса Z^ является двумерным тензором второго ранга и характеризуется четырьмя величинами
Z12
@2
Z12
@2
(1.56)
(1.56)
причем компоненты Z^ являются
причем компоненты Z^ являются
комплексными величинами, то есть
комплексными величинами, то есть
&⑴
ттпад ——z cos 夕sin 夕)
(1.57)(1.57)Zik = Rik + °Х 泳,
(1.57)
(1.57)
где R%k — тензор поверхностного сопротивления, Х% — тензор поверхностного реактанса. Подставим в (1.55) соотношения (1.48)-(1.54), положив в них г = 0, и, учтя, что (1.55) связывает компоненты полных полей, получим систему алгебраических уравнений, из которой определяются коэффициенты отражения
弱）弱）(cos99 - Z]9)(1 + Z21 cos99) + Z“Z22 cos夕(cos 夕 + Z12)(1 + &I COS 夕)-Z“Z22 cos 夕'2^22 COS 夕(cos99 - Z]9)(1 + Z21 cos99) + Z“Z22 cos夕(cos 夕 + Z12)(1 + &I COS 夕)-Z“Z22 cos 夕'2^22 COS 夕(1.58)(1.58)(Z12 + cos 夕)(1 + Z2] cos 99) — Z“Z22 cos 夕.(Z12 + cos 夕)(1 + Z2] cos 99) — Z“Z22 cos 夕.(1.59)(1.59)
弱）
弱）
(cos99 - Z]9)(1 + Z21 cos99) + Z“Z22 cos夕
(cos 夕 + Z12)(1 + &I COS 夕)-Z“Z22 cos 夕'
2^22 COS 夕
(cos99 - Z]9)(1 + Z21 cos99) + Z“Z22 cos夕
(cos 夕 + Z12)(1 + &I COS 夕)-Z“Z22 cos 夕'
2^22 COS 夕
(1.58)
(1.58)
(Z12 + cos 夕)(1 + Z2] cos 99) — Z“Z22 cos 夕.
(Z12 + cos 夕)(1 + Z2] cos 99) — Z“Z22 cos 夕.
(1.59)
(1.59)
ны не возникает, д/п2 — sin 9?2 у п,ны не возникает, д/п2 — sin 9?2 у п,£ COS 炉£ COS 炉，т22 —团П g2，т22 —团П g2£ COS 炉 +，n? — sin g2£ COS 炉 +，n? — sin g2cos 4-，从/£ cos g +，从/£cos 4-，从/£ cos g +，从/£(1.60)(1.60)
ны не возникает, д/п2 — sin 9?2 у п,
ны не возникает, д/п2 — sin 9?2 у п,
£ COS 炉
£ COS 炉
，т22 —团П g2
，т22 —团П g2
£ COS 炉 +，n? — sin g2
£ COS 炉 +，n? — sin g2
cos 4-，从/£ cos g +，从/£
cos 4-，从/£ cos g +，从/£
(1.60)
(1.60)
Из (1.59) следует, что ортогонально поляризованной отраженной вол
Z22 = 0. Если в формулах Френеля считать, что то из них можно получить
Из (1.58) при Z99 = 0 получим
COS 炉一Z12COS 炉一Z12COS 99 + Z12'COS 99 + Z12'
COS 炉一Z12
COS 炉一Z12
COS 99 + Z12'
COS 99 + Z12'
то есть (1.60) и (1.61) совпадают при Z12 =[Zq =，〃/£.
Теперь рассмотрим случай, когда вектор Е падающей волны перпендикулярен плоскости падения (s-поляризация). Аналогично случаю s-поляризации можно получить
区⑵—(cosg + Z12)(1 — @1 cos 夕)+ Z“Z22 cos 夕(]62)
S (cosq + Z12)(1 + Z21cos 夕)一Z1 [Z22 cos 夕''
R(p)= -:彳一竺!一竺*一:———.(1.63)
+ COS 夕)(1 + Z91 COS 夕)一1^22 cos 夕
Из (1.63) следует, что ортогонально поляризованной отраженной волны не возникает, Z“ = 0.
Случай 4. Отражение плоской электромагнитной волны от сверхпроводящей плоскости и обобщение формулы Френеля. Ключевой задачей к рассмотрению внешних краевых задач электродинамики СП структур является классическая проблема о падении плоской электромагнитной волны на плоскую границу раздела [66].
Рассмотрим случай, когда вектор Е падающей волны лежит в плоскости падения. Пусть на сверхпроводящую ху-плоскость (рис. 1.5) падает плоская волна
Еп = Bq exp {ik^z cos 6 + х sin 6^)} , Bq = 1.(1.64)
(ось / совпадает с внутренней нормалью). Поля волн, отраженных от сверхпроводящей плоскости хОу, запишем в виде
(1.65)(1.65)Es = 区？)exp {йо( —cos J + 优 sin J)},Ep = Rp ^ exp {浓o( —/ cos J + n sin J)}.
(1.65)
(1.65)
Индекс (64) у R^p обозначает, что падающая волна имеет s-поляризацию.
Компоненты магнитного поля падающей и отраженных волн определяются из уравнений Максвелла
Ну = Z^1 exp {ik^z cos 6 -\- x sin 6)}(1.66)
в падающей волне,
Hy = Z^R^ exp {iko(-z cos0 + x sin 0)} ,@ 6?)
Hx = Zq 1 Rp cos 0 exp {iko( — z cos 0 + 优 sin J)}. в отраженных волнах.
При выбранном направлении осей координат (рис. 1.5) тензорные сверхпроводящие граничные условия запишем в виде
Ех = -ZQ{-ZuHx + ZV2Hyl
Ey = -Z^-ZV2Hx + Z22Hy\丿
Здесь тензор поверхностного импеданса Z^ является двумерным тензором второго ранга и характеризуется четырьмя величинами
&1&1Z12%22Z12%22(1.69)(1.69)
&1
&1
Z12
%22
Z12
%22
(1.69)
(1.69)
а так как компоненты Z^ являются комплексными величинами, то в них можно выделить действительную и мнимую части
(1.70)(1.70)Z?k = R^k + X?k,
(1.70)
(1.70)
где R%k — тензор поверхностного сопротивления, Х% — тензор поверхностного реактанса. В основном тензоры 区?左 и являются симметричными и поэтому могут быть приведены к своим главным осям. В том случае, если главные оси тензоров R冰 и X冰 совпадают, то тензор Z2k приводится к диагональному виду (° Z)丿，где 4 н Z2 — главные значения тензора. Подставим в (1.68) соотношения (1.64)-(1.67), положив в них / = 0, и, учтя, что (1.68) связывает компоненты полных полей, получим систему алгебраических уравнений, из которой определяются коэффициенты отражения
04°04°(cosj — Z]9)(l + Z21 COS J) + Z“Z22 cos J
0
4°
0
4°
(1.71)(1.71)(cos J + Z]2)(l + Z21 COS J) — Z[ ] Z22 cos J '2@2 cos J
(1.71)
(1.71)
(cos ^ + Z]9)(l + Z21 cos J) - Z“Z22 cos J.
Из (1.71) следует, что ортогональная поляризация отраженной волны не возникает, если Z22 = 0. Соотношения (1.71) переходят при Z22 = О
в известные формулы Френеля, определяющие коэффициент отражения плоской волны от границы раздела двух изотропных сред. Теперь обратимся к случаю, когда вектор Е падающей волны перпендикулярен плоскости падения (p-случай). В этом случае для получения формул коэффициентов отражения поступаем точно так же, как и для s-поляризации, или воспользуемся принципом двойственности. В результате имеем
用2)以2)用2)以2)(cos J + Z]9)(l — @1 COS J) + Z[]Z22 cos J
用2)
以2)
用2)
以2)
(1.72)(1.72)(cos J + Z]9)(l + Z21 COS J) — Z[]Z22 cos 夕2Z] 1 cos J
(1.72)
(1.72)
(cos в + Z]9)(l + &i cos J) — Z)1Z99 cos в *
Из (1.72) видно, что при Z” = 0 区，)=0 и не возникает ортогонально поляризованная отраженная волна. Выражения (1.72) при определенных условиях переходят в известные [118] для границы раздела между двумя изотропными средами. Следовательно, (1.71), (1.72) являются обобщением известных результатов Френеля. Приведенные соотношения имеют двоякое значение. Во-первых, они позволяют рассмотреть широкий класс радиофизических задач. Это представляет определенный интерес с практической точки зрения. С другой стороны, приведенные формулы позволяют, основываясь, например, на концепции о разложении волноводных волн по плоским волнам, перейти к анализу конкретных СП структур, в том числе к открытым сверхпроводящим резонаторам.
Случай 5. Импедансные граничные условия на поверхности цилиндрической формы. Решение прикладных задач электродинамики требует разработки новых методов для областей сложной формы с более сложными материальными структурами границ. Применение точных математических методов приводит к необходимости решения сложных систем интегральных уравнений, требующих переработки больших объемов информации. Однако альтернативный подход к решению таких задач состоит в замене сложной нерегулярной границы некоторой гладкой усредненной поверхностью и в преобразовании точных граничных условий на нерегулярной границе к эквивалентным (усредненным) граничным условиям, учитывающим геометрию и физические свойства материала поверхности. Важнейшую роль для решения прикладных электродинамических задач играют граничные условия Леонтовича-Щукина-Рытова[ 112], позволяющие исключить вычисление поля внутри проводящего тела D, расположенного в диэлектрической области Do, учитывая при этом эффекты проникновения его в приповерхностный слой проводящего тела. В результате решение исходной задачи сводится к решению краевой задачи в диэлектрической области с граничными условиями специального вида, называемыми импедансными граничными условиями. В простейшем случае
в приближении локально-плоской волны такое граничное условие на поверхности S проводящего тела имеет вид
(1.73)(1.73)[п х Е] = Z [п х [Н х п]],
(1.73)
(1.73)
где Е, Н — суммарное поле в диэлектрической области Dq, п — единичная нормаль к поверхности S, направленная внутрь области О; Z = G〃/k — импеданс, к = 、О W arg к < тг, Н = £ + 2?/g — комплексная диэлектрическая проницаемость, g — круговая частота поля, £ — диэлектрическая проницаемость, 〃 — магнитная проницаемость, ? — проводимость тела. В случае сверхпроводящего тела
где О = Т/Tk — приведенная температура, 〃 — критическая температура, п — концентрация электронов, т — время свободного пробега электронов, во — заряд электрона, то — масса электрона. Будем считать, что диэлектрическая область характеризуется параметрами во, Н = h(0,夕)ехр(2а г). Как видно, импеданс Z не содержит параметров геометрии поверхности S, в частности, кривизны. В дальнейшем для обобщения граничного условия (1.73) с учетом кривизны, обратимся к поверхностям цилиндрической и сферической формы.
Граничные соотношения для усредненных величин поля. В качестве тела ^рассмотрим цилиндрическое тело в виде сектора, которое в цилиндрических координатах (р,夕，г) задается соотношениями Р = {—夕о《夕 W 夕о, О》区，—сю < г < сю},где 夕о — фиксированный угол. Выбор тела D связан с тем, что при рассмотрении аналогичного симметрично расположенного тела данную систему можно интерпретировать как цилиндрический резонатор, а диэлектрическую область О() как область между зеркалами резонатора. Внутри области D электромагнитное поле Е, Н удовлетворяет уравнениям Максвелла
rot Е =近 〃Н, rot Н =—涼rot Е =近 〃Н, rot Н =—涼(1.74)(1.74)
rot Е =近 〃Н, rot Н =—涼
rot Е =近 〃Н, rot Н =—涼
(1.74)
(1.74)
с временной зависимостью вида ехр(—wt). Поля представим в виде разложения по цилиндрическим базисным ортам Е = Ерер + 石^е^ + + 石?е%, Н = Нр«р + Я^е^ + Hzez. Тогда (1.74) запишем в виде
1010=ни rH屮,――z g /л Hр,=ни rH屮,――z g /л Hр,
1
0
1
0
=ни rH屮,
――z g /л Hр,
=ни rH屮,
――z g /л Hр,
(1.76)(1.76)
(1.76)
(1.76)
Из последнего уравнения системы (1.76) выразим компоненту Ер и подставим в первые два уравнения системы (1.75). Тогда
6 /「、1 адрa 屮6 /「、1 адрa 屮力石、 1 а (\анг 以、_.口力石、 1 а (\анг 以、_.口(1.77)(1.77)
6 /「、1 а
дрa 屮
6 /「、1 а
дрa 屮
力石、 1 а (\анг 以、_.口
力石、 1 а (\анг 以、_.口
(1.77)
(1.77)
Проинтегрируем уравнения (1.77) по переменной р в пределах от R до сю, учитывая быстрое затухание поля на бесконечности в проводящей среде, получим
гдегде良+)= 石!+)=4+)=良+)= 石!+)=4+)=(1.78)на по-(1.78)на по-
где
где
良+)= 石!+)=
4+)=
良+)= 石!+)=
4+)=
(1.78)
на по-
(1.78)
на по-
верхности S(o =区),
(f⑺元)= "0)及如，f⑺=.1，(方J = H屮dp(1.79)
—усредненные величины поля.
Точное определение усредненных величин затруднительно, поэтому чаще всего их вычисляют приближенно, аппроксимируя поля в приповерхностном слое локально-плоскими волнами. В результате получается граничное условие (1.73).
Определение усредненных величин поля. Для вычисления величин (1.79) с высокой точностью рассмотрим узкие классы полей, предполагая зависимость по координате г в виде Н = h(p,夕)ехр(ш г). Выберем в области D систему базисных ортогональных функции ехр(штг), ат = , m = 0, ±1, ±2, ... . Любое поле Н в окрестности поверх
ности F°b интервале —夕о W 夕 W 夕0 может быть разложено в ряд по указанному базису
Н =〉: Н7n =〉: h7nW7n, W7n = exp [i (q7n夕 + q /)].
Магнитные поля Нт, зависимость которых от координат / н 夕 определяется функцией Фт, содержат цилиндрические базисные поля вида
Н(1)= ^К&т (МеР +Фт,
Н(2)= ； Q (к\ (〃0)е〃 + /к&“(”)е J + i^Kanj (pp)ez Фш, 」(1.80)
m = 0, ±1, ±2,, у = \/ а2 — к2 ,— arg у <
K^z} — функция Макдональда, К^(/) ее производная по аргументу. Будем считать, что исходное электромагнитное поле в диэлектрической области Do в окрестности поверхности S имеет структуру с зависимостью от координат 夕 н / в виде 田勿%*, г) или имеет зависимость близкую к такой структуре. В результате в проводящей области D в окрестности поверхности S также индуцируется электромагнитное поле с зависимостью в виде W?九(夕，/). В связи с этим поле внутри сектора D можно аппроксимировать (1.80) комбинацией базисных полей:
h =価⑴+頂⑵， а, b — const.h =価⑴+頂⑵， а, b — const.(1.81)(1.81)
h =価⑴+頂⑵， а, b — const.
h =価⑴+頂⑵， а, b — const.
(1.81)
(1.81)
Такой выбор полей связан с тем, что функции (1.80) быстро затухают при ° — сю, что естественно для проводящей среды. Для нахождения постоянных а, b потребуется выполнение на цилиндрической поверхности S следующих граничных условий:
H^\P=R =邑+), Hz\p=R =星+),(1.82)
где Н^\ Н^ — предельные значения компонент поля на поверхности цилиндра. Из (1.82) получим алгебраическую систему для определения величин а, b
H^\p=R =区^rn =邑十)，
HZ\P=R = jbKarn{yR^m = яр).
Разрешая ее, находим
二(星+)QQnzHf ) 1
厶产
b = 7：*
iuKam^R)^m
Найдем компоненты поля Н в области D после подстановки в (1.81)
аатН^аатН^^PKaJuR)^PKaJuR)
аатН^
аатН^
^PKaJuR)
^PKaJuR)
Hz =星+)•
" каТ" (〃区)
Теперь легко определяются усредненные величины (1.79), которые выражаются через интегралы от функций Бесселя
〜л?(+)1〜
(PЯ) = 3星+),(；左)=。『星+),片р(1.83)
(九)=:*5?)+明星+)，
где
В
oo
_(〃r)— КЦ_(〃r)— КЦ
_(〃r)
— КЦ
_(〃r)
— КЦ
Импедансные граничные условия на внутренней стороне цилиндрической поверхности. Учитывая структуру поля (1.81), определим производные в соотношениях (1.78). Тогда
吟iuefR吟iuefRQQ7nше!КQQ7nше!К(方3)-号(0方z),(方3)-号(0方z),
吟iuefR
吟iuefR
QQ7nше!К
QQ7nше!К
(方3)-号(0方z),
(方3)-号(0方z),
гдегде(1.84)(1.84)
где
где
(1.84)
(1.84)
風+）=一醬（*一台（瓦）•
Используя (1.83), получим граничные условия на цилиндрической по
верхности S
斤(+ ) ,_ 7(加)ТТ( + )丄 7(nz) тт( + )
_ y(m) _ OcamZ(m) _
/ . 99/ . 992112 一初元 I-/力…
/ . 99
/ . 99
Граничные условия (1.84) могут быть записаны в векторном виде, при этом верхний знак «+» может быть опущен в силу непрерывности тангенциальных компонент поля на поверхности S.
В результате
базисе е，е%).базисе е，е%).[п х Е] = [п х [Н х п]],
базисе е，е%).
базисе е，е%).
матричный импеданс, записанный в
Величина а в компонентах (1.85) малая величина, поэтому можно
положить q = 0, и граничные условия (1.84) примут вид
(1.86)
где Z^ = Z5 ^Г} = ZLUКак видно, граничные условия ны ^цилиндрической поверхностигде Z^ = Z5 ^Г} = ZLUКак видно, граничные условия ны ^цилиндрической поверхности(1.86) содержат радиус кривиз-S. Импедансы (1.85) имеют до(1.86) содержат радиус кривиз-S. Импедансы (1.85) имеют до
где Z^ = Z5 ^Г} = ZLU
Как видно, граничные условия ны ^цилиндрической поверхности
где Z^ = Z5 ^Г} = ZLU
Как видно, граничные условия ны ^цилиндрической поверхности
(1.86) содержат радиус кривиз-
S. Импедансы (1.85) имеют до
(1.86) содержат радиус кривиз-
S. Импедансы (1.85) имеют до
статочно сложные аналитические представления через цилиндрические функции, поэтому целесообразно заменить их асимптотическими выражениями в случае больших значений модуля величины % = А〃(а = 0) = —ikR.
Воспользуемся асимптотическими формулами [119]. Тогда
l 八 s + 3 (s-l)(s+15) \ 2% 8%2 十
(1.87) где S = 4唸.Чаще всего кривизной поверхности пренебрегают, то есть полагают 1/% = 0, тогда Z俨=z[? = Z и граничное условие (1.86) преобразуется в граничное условие (1.73).
Импедансные граничные условия на внешней стороне цилиндрической поверхности. Рассмотрим область, заданную в цилиндрических координатах D = {—夕о W 夕 W 夕о, 0 р Я, —сю < z < сю}. Поле внутри сектора D представим в виде комбинации (1.81), где базисные цилиндрические поля выражением вида
Н(" = ^1а<*ер + i厶小р)е屮田皿
Н⑵=；& 卜:小 Зр№р + 子/а〃,(”)％) + lulam{yp^z
(1.88)
где /&(%) — модифицированная фунция Бесселя, /厶(％) — ее производная по аргументу. Выбор функции (1.88) связан с тем, что элек-
тромагнитное поле области D должно быть ограниченным. Определим постоянные а, Ь, удовлетворяющие граничным условиям на цилиндрической поверхности S
H*=R = H『, Hz\p=R = H「,
где Hq~^ = lim Hq — предельное значение компонент поля на поверхности S. В результате
° --(L89)
b =；*
Для вывода импедансных граничных условий определим электрическое поле, используя уравнение Максвелла (1.74) и соотношения rotH(D = =кН⑵，rotll⑵=кН⑴[92]. Из (81) получим
e = 三 (屈⑵ + bh⑴).(1.90)
Откуда определим компоненты электрического поля
石厂=E^\p=R = — W
石「)= ez\p=r =一三1/3玲3m.
Учитывая (1.89), получим граничные условия
eV = z^h^~4z^h^\
гдегде”21— 〃I2—”21— 〃I2—Z 俨=Z；9m,Z 俨=Z；9m,aamZ• 7 d g тп，aamZ• 7 d g тп，(沁^&2(沁^&29m9m
где
где
”21— 〃I2—
”21— 〃I2—
Z 俨=Z；9m,
Z 俨=Z；9m,
aamZ
• 7 d g тп，
aamZ
• 7 d g тп，
(沁^&2
(沁^&2
9m
9m
В случае a = 0 граничные условия упрощаются
Ez = zRHgEz = zRHg
Ez = zRHg
Ez = zRHg
где=丿丁 ㈠竺
Для больших значений модуля величины % = —ikR{\kR\ 》1) воспользуемся асимптотическими формулами [120]. Тогда
厶 s—1 (一 )(s —9)、
I 8%2(8%)2・，•丿13
A s + 3(6-1)(6+15)2% 旷十
v2(8^2 …丿
Если пренебречь величинами второго порядка малости 1//, то получим выражения для импедансов в виде [121]. Заметим, что в таком приближении импеданс не зависит от индекса моды т. Изложенный вывод импедансных граничных условий с учетом кривизны поверхности может быть также проведен и для других типов граничных условий [122].
Случай 6. Импедансные граничные условия на поверхности сферической формы. Импедансные граничные условия на внутренней стороне сферической поверхности. Рассмотрим область D в виде сферического сектора, которое в сферических координатах г, 3,夕 задается соотношениями D = {г R, 0 3 3q, 0 2тг}, где % — фиксированный угол. Выбор тела D связан с тем, что при рассмотрении аналогичного симметрично расположенного тела данную систему можно интерпретировать как сферический резонатор. Выведем импедансные граничные условия на сферической поверхности S {г = R, 0 3 ^о} для каждого типа сферических электромагнитных полей. Будем рассматривать поля, имеющие зависимость по координате 夕 вида ехр(分m夕)，m = 0, ±1, ±2,.…Магнитные поля построим с помощью формул
Н⑴=[gradх г] , Н⑵="rot Н⑴，(1.91)
где 3 решение уравнения Гельмгольца Az0 + k2^ = 0. Функции ⑺ определим методом разделения переменных в виде
3 = i?")Q(J) exp {im^},
где Q(J) удовлетворяет уравнению
Q = 0.Q = 0.1 dsin 3 d31 dsin 3 d3(1.92)(1.92)
Q = 0.
Q = 0.
1 d
sin 3 d3
1 d
sin 3 d3
(1.92)
(1.92)
Ограничимся случаем m = 0, то есть когда поле не зависит от угла 夕. Определим собственные числа А = 〃几(〃几 + 1), решая задачу Штурма-Лиувилля на отрезке 0 ^ ^ ^ ^о для уравнения Лежандра
sin J \ сш J
2 В. Ф. Кравченко
с граничными условиями
<9以=仇=0, Q|e=o — ограниченная величина.
Получим собственные функции
Q(J) = 2“(cosJ), n= 1,2,...
В результате
少=吟(1.93)
где Ryn (г) — сферические функции Бесселя. Используя формулы (1.91), (1.93), поле внутри области D представим в виде (1.81), где базисные сферические поля Н°)зададим в виде
H(D = -h^ (kr) PVn (cos 6^)e^,丽(cosj) = Pj (cos J),
H（2）=H（2）=〃/2 (〃Z2 + 1 )〃/2 (〃Z2 + 1 )krkr力。丿(kr)P^ (cos е)ег + g^(fcr) —FMn(cos J)ee,(1.94)力。丿(kr)P^ (cos е)ег + g^(fcr) —FMn(cos J)ee,(1.94)
H（2）=
H（2）=
〃/2 (〃Z2 + 1 )
〃/2 (〃Z2 + 1 )
kr
kr
力。丿(kr)P^ (cos е)ег + g^(fcr) —FMn(cos J)ee,
(1.94)
力。丿(kr)P^ (cos е)ег + g^(fcr) —FMn(cos J)ee,
(1.94)
орты сферическойорты сферическойфункции Ганкеля первого рода; ег, е^, е^,
орты сферической
орты сферической
системы координат. В частном случае ^о = тг. Выбираем уп = п,
PVii (cos 3) =「^(cos J). Поля (1.94) совпадают с базисными сферическими полями, приведенными в [120].
Определим постоянные а, b в выражении (1.81), используя граничные условия на сферической поверхности S
He\r=R = Н戸，H^\r=R =処+).
Очевидно, что
応？ (кА)Р丄(cos J)
gZhkR)P^ (cos J)
Для вывода импедансных граничных условий выделим компоненты электрического поля (1.90)
石。=^9v}Akr)plA^ 3l
Учитывая (1.95), получим импедансные граничные условия на внутренней стороне сферической поверхности S
где @ = ZVn, = ZV~}где @ = ZVn, = ZV~}Ее = %2五夕 Е 屮=-Z]He,
где @ = ZVn, = ZV~}
где @ = ZVn, = ZV~}
Для больших значений модуля величины % = kR воспользуемся асимптотическими формулами для функций Ганкеля [119], тогда
1/ п = 7 1 ■— -4-
几1(6-1)(6 —9))"十…，
где s = (2〃几 + 1)2, z = kR.
Если пренебречь кривизной поверхности (1/z ^ 0), то % в 1, и получим граничное условие (1.73).
Импедансные граничные условия на внешней стороне сферической поверхности. Рассмотрим проводящее тело D = {0^r^R,0^ <占<占0,0< 夕 < 2тг}. Поле внутри тела представим в виде (1.81), где базисные поля Н。)выберем по аналогии с (1.94), заменив функцию Ганкеля на сферические функции Бесселя первого рода
Нб = (МР^ (cos ^)е^,
Н(2)=幺(鶯土—.％乙{kr)PVn (cos 0)er + g%, (kr)P^ (cos 0)e9, гдез⑶ =^；J乙+ 1/2⑶，勿,⑶ =；j!⑺丁⑺)♦
Определим а и b в (1.81), удовлетворяя граничным условиям
H9\r=R = H^\ W=R = H『・
В результате
(1.96)(1.96)(kR)P^ (cos ЗУ
(1.96)
(1.96)
以"(碎gl(cos Р厂
Учитывая (1.90), определим компоненты электрического поля в области D
石厂生® (SP) (cos J),
Рассматривая предельные значения компонент на поверхности S и учитывая (1.96), получим граничные условия на внешней стороне сферической поверхности S
Ее = —Z2H/, Е 屮=Z、He,
где @ = 中几,4 = 中丁 J% = z
О — D("7) 2(8%)2 (s—l)(s —9) 2(8%)2О — D("7) 2(8%)2 (s—l)(s —9) 2(8%)2
О — D("7) 2(8%)2 (s—l)(s —9) 2(8%)2
О — D("7) 2(8%)2 (s—l)(s —9) 2(8%)2
Таким образом, при учете кривизны поверхности в импедансных граничных условиях импеданс зависит не только от формы поверхности, но и от ее стороны.
Случай 7. Согласно [115] рассмотрим нелинейные эффекты в тонких сверхпроводящих пленках на сверхвысоких частотах (СВЧ), построенных на результатах И. О. Кулика.
Высокочастотная электродинамика пленок. Электромагнитные свойства сверхпроводников описываются с помощью введения комплексной проводимости <7] + г<72 (см., например, [154]) или, что эквивалентно, заданием связи тока j с вектор-потенциалом А:
(1.97)(1.97)7у4.
(1.97)
(1.97)
24 滴2 '
где комплексная «глубина проникновения» 6 учитывает как экранирование поля мейссперовскими токами, так и скин-эффект в нормальном состоянии:
112z0оек112z0оек2М _ тсL 二 47rMe2 '2М _ тсL 二 47rMe2 '(1.98)(1.98)
112z
0оек
112z
0оек
2
М _ тс
L 二 47rMe2 '
2
М _ тс
L 二 47rMe2 '
(1.98)
(1.98)
(a — проводимость нормального металла, о; — частота).
В силу уравнений Максвелла получаем следующую связь напряженности электрического поля Е = iuA/c с магнитным полем Н = rot А:2
石=rotH,(1.99)
где (о— импеданс (в обозначениях [154]):
(1.100)(1.100)(о = —шб/с.
(1.100)
(1.100)
Компоненты поля удовлетворяют уравнениям
△н —= 0, △石一^石=0.
Если на поверхность падает электромагнитная волна, то характерные расстояния, на которые она проникает в глубь металла (по направлению нормали к его поверхности), составляют 〜6, что значительно меньше характерных расстояний изменения поля вдоль поверхности металла, равных А — длине электромагнитной волны в вакууме. По этой причине можно пренебречь изменением поля вдоль поверхности, записав
= A^z1Д,(1.102)
причем постоянные А и В выражаются через значение Н при z = 0 и z = d:
- Я(0)е-^Я(0)е^ - H(d)
А = , В = .
В уравнении (1.102) координата % отсчитывается по направлению нормали к поверхности пленки. Вычисляя электрическое поле с помощью (1.99) и воспользовавшись соотношениями (1.102), (1.103), получим, полагая z = 0 и z = d,
石(0) = 4 [н(о)向一G[H(d)"],
(1.104)
石(d)= —4 [H(d)n]+CAH^n].
Здесь введены величины
G = GcS(d/b), G =(1・1。5)
a n представляет единичный вектор нормали к поверхности пленки (направленный внутрь сверхпроводника при % = 0). Уравнения (1.104) связывают тангенциальные составляющие электрического и магнитного полей внутри сверхпроводника вблизи его поверхности. Поскольку, с другой стороны, тангенциальные составляющие полей должны быть непрерывны на границе сред, то уравнения (1.104) можно рассматривать как граничные условия для электромагнитного поля в вакууме (саму пленку при этом можно устремить к нулю):
石о)= G [яд-о)п] - G[%(+o)"],
(1.106) 石力(+。)= й[яя-о)п] -(+о)"]・
Заметим, что в случае массивного металла (d — сю) величина G обращается в нуль, а 0 стремится к (о, в результате чего (1.106) переходит в обычное граничное условие на поверхности металла [155]:
ЕЯО)=Со[ЯЯО)п].
Для пленки имеет место такого же типа условие, если ввести матрицу «импедансов»:
где G，(2 определяются формулами (1.105). Уравнения (1.106) справедливы до тех пор, пока величины《，Q малы по сравнению с единицей, что обеспечивает медленность изменения поля вдоль поверхности металла по сравнению с его изменением в направлении нормали к пленке. Кроме того, требуется (в том случае, когда пленка не плоская), чтобы характерные радиусы ее кривизны были велики по сравнению с толщиной d.
Используем уравнения (1.106) для решения задачи о прохождении электромагнитной волны сквозь пленку. Пусть волна падает на пленку нормально, так что к\\п, где к — волновой вектор, а составляющие электрического и магнитного полей параллельны поверхности пленки. Полагая А = Ах то получим при z < 0
A = A^kz +А}е^гк\ k =A = A^kz +А}е^гк\ k =(1.108)(1.108)
A = A^kz +А}е^гк\ k =
A = A^kz +А}е^гк\ k =
(1.108)
(1.108)
что соответствует падающей (Ло) и отраженной (4〕) волнам, а при z > 0 имеется только прошедшая волна
А = А^к\ %>0.А = А^к\ %>0.(1.109)(1.109)
А = А^к\ %>0.
А = А^к\ %>0.
(1.109)
(1.109)
Выражая Ex, Hy через А и используя граничные условия (1.106), легко найдем амплитуды отраженной и прошедшей волн:
А = А)А = А)/2 = Ao/2 = Ao(4 + G — D(G — 4 + 1)'2G(4 + G — D(G — 4 + 1)'2G(1.110)(1.110)(О + G — D(G — G + 1)(О + G — D(G — G + 1)
А = А)
А = А)
/2 = Ao
/2 = Ao
(4 + G — D(G — 4 + 1)'2G
(4 + G — D(G — 4 + 1)'2G
(1.110)
(1.110)
(О + G — D(G — G + 1)
(О + G — D(G — G + 1)
Из формулы (1.110) видно, что в случае G, G《1 коэффициент прохождения волны сквозь пленку равен
т =т =4424 41G『・24 41G『・(1.111)(1.111)
т =
т =
4
4
2
4 41G『・
2
4 41G『・
(1.111)
(1.111)
Для пленок толщиной d《6 это будет
(1112)
Считая 6 〜6工，получим, что коэффициент прозрачности становится порядка единицы лишь для пленок толщиной d 〜 47rb1y/X, что co- ответствует чрезвычайно малым толщинам. Однако, если учесть, что величина 坛 сама возрастает с уменьшением толщины (в результате уменьшения длины свободного пробега), то получим для характерной толщины d(), при которой Т становится порядка единицы, оценку
(Ь^он go ——значения глубины проникновения и длины когерентности чистого сверхпроводника при Г = 0,力=Т/Тс). Типичные значения do составляют несколько десятков ангстрем (или меньше).
Как показывает несложный анализ, распределение поля внутри сверхпроводника при %《坛 имеет следующий вид. Магнитное поле изменяется линейно по закону H{z} в H«d — z}/d —《2印，где 印一 амплитуда поля в падающей волне, в то время как электрическое поле постоянно по толщине пленки и составляет по порядку величины E(z) в const в — Я0С1 • Следовательно, для тонких пленок отношение Е/Н по порядку величин равно |《| 〜必/*/.
Таким образом, электрическое поле в пленке практически всегда является слабым по сравнению с магнитным. Тем не менее, действие электрического поля на «сверхпроводящие электроны» оказывается более существенным, чем действие магнитного поля. Рассмотрим, например, геометрию, в которой Е и Н параллельны поверхности. Критерием «сильного» магнитного поля является условие Н Нс [156], где Нс — критическое поле, равное для тонких пленок 〜①o/d£(T) [161], а Фо = he/2е — квант магнитного потока. Критерием «сильного» электрического поля является условие сЕ£(Т)〜tiw, которое можно переписать также в виде 石〜石° 〜 ①о/Х£(Т). С учетом того, что амплитуды электрического и магнитного полей в пленке связаны соотношением Е/Н 〜 片/Xd, получим, что при d « 6工 разрушение сверхпроводимости пленки будет контролироваться электрической составляющей электромагнитного поля, так как при Е Ес эффективное магнитное поле Н/Нс 〜(6//坛)2 « 1. При d》近 эффекты электрического и магнитного нолей оказываются по порядку величины одинаковыми, благодаря чему задача становится существенно неодномерной.
Нелинейные свойства сверхпроводящего канала. Отмеченное выше обстоятельство — возможность пренебрежения при d《6工 магнитной компонентой быстропеременного поля по сравнению с его электрической составляющей — позволяет использовать для анализа поведения пленок на СВЧ следующую модель. Рассмотрим длинный сверхпроводящий канал, т. е. узкую сверхпроводящую щель, вдоль поверхности которой приложено переменное во времени электрическое поде Ех = E{t). Изменением всех величин по толщине можно пренебречь, что делает задачу одномерной. Уравнение для параметра упорядочения △(т, t) принимает в этом случае вид (力=1) [156, 157]:
9 。+ фХ^Уа = £0(т)а —平(Т) |А|2 △, (1.114)
где D = l/3u()Z коэффициент диффузии в нормальном состоянии, а параметры £()и £〕определяются вблизи Тс формулами
(G,。2 — безразмерные (положительные) константы порядка единицы). Величина ps в уравнении (1.114) есть —2еА/с, где А — векторный потенциал, т. е.
dps/dt = 2еЕ. (1.116)
Последнее соотношение аналогично известной формуле Джозефсона d^/dt = 2eV, где 夕—фаза параметра упорядочения «слабой» сверхпроводимости, V — напряжение на туннельном барьере. В данном случае вместо V стоит напряженность электрического поля 石，а вместо 夕—величина, аналогичная градиенту фазы:夕$ 〜▽夕(действительно, в силу градиентной инвариантности уравнения (1.114) для однородного токового состояния можно выбрать калибровку, в которой вместо ps фигурирует ▽夕).
Выражение для тока в сверхпроводящем канале имеет вид
/⑴=aE(t) + Со Im/⑴=aE(t) + Со Im+ ips(t) △,+ ips(t) △,(1.117)(1.117)
/⑴=aE(t) + Со Im
/⑴=aE(t) + Со Im
+ ips(t) △,
+ ips(t) △,
(1.117)
(1.117)
где о = N^r/rn — проводимость нормального состояния, а константа Со пропорциональна величине критического тока jc (см. ниже).
1°. Исследуем, прежде всего, вопрос об устойчивости нормального состояния (△ = 0) относительно бесконечно малых флуктуации в заданном переменном поле 石(t) = Eq cosut. В соответствии с (1.116) получаем 夕= SeEoa;™1 sinut. Записывая общее решение линеаризованного уравнения (1.114) в виде А(ж, t) = е^^/Хо^), будем иметь
△。⑴=Ао(О) exp <△。⑴=Ао(О) exp <(1.118)(1.118)
△。⑴=Ао(О) exp <
△。⑴=Ао(О) exp <
(1.118)
(1.118)
Отсюда видно, что при условии D “ 十 1 /2(2еЕо/а;)2] > £()нормальная фаза устойчива относительно бесконечно малых флуктуаций: △о(" — 0 при 力—сю. При уменьшении амплитуды переменного поля происходит потеря устойчивости, сопровождающаяся переходом в сверхпроводящее состояние. Это будет иметь место впервые при q = 0 и значении &), определяемом соотношением
2eв0 = (2现/0)"2G.2eв0 = (2现/0)"2G.(1.119)(1.119)
2eв0 = (2现/0)"2G.
2eв0 = (2现/0)"2G.
(1.119)
(1.119)
Вводя зависящий от температуры радиус когерентности сверхпроводника £(Т)= 力(Z)/£o)"2 (см. [158, 159]), можем переписать условие (1.119) в виде
еЕ代工^ = Ь;. (1.120)
Формула (1.120) означает, что энергия электрона, приобретаемая им на длине когерентности, сравнивается с величиной электромагнитного
кванта %з. Вводя квант магнитного потока Фо, можем переписать выражение (1.120) для критического значения амплитуды поля в виде
/р = У2Ф0/€А.(1.121)
Заметим, что в статическом случае, т. е. при о; = 0, нормальная фаза оказывается устойчивой относительно перехода в сверхпроводящее состояние при наличии сколь угодно слабого электрического поля. Однако в последнем случае требует еще анализа вопрос о роли термических (и других) флуктуаций, так как при достаточно большой их величине значение среднеквадратичной «щели» Д2 может быть отличным от нуля и весьма большим, поскольку «устойчивость» в указанном выше смысле имеет место лишь асимптотически при 力—ос.
2°. Далее перейдем к исследованию нелинейных свойств сверхпроводящего канала при Е < Е^, для чего обратимся к нелинейному уравнению (1.114). Поставим задачу следующим образом. Пусть по пленке пропускается некоторый постоянный («транспортный») ток jT = j и подается переменное напряжение Е = Ео cosut. Тогда максимальная величина тока j, который может течь без появления сопротивления, будет некоторой функцией поля 石о, уменьшающейся с ростом 石о и обращающейся в нуль при 石о =石;р. Для определения соответствующей функции нужно выбрать ps(t) в виде
Ps (^) = Q sin(1.122)
решить уравнение (1.114) для △ = △()(/；) и затем определить значение q из условия, чтобы величина среднего тока j была максимальной.
Для дальнейшего нам будет удобно перейти к безразмерным переменным, выражая △ в единицах (笃//尸投，力 и р^1 — в единицах £(Т), а время 力一в единицах е^1 (частота з при этом будет измеряться в единицах £()). Кроме того, введем безразмерную амплитуду поля % =石о(①o/C)T, так что критическое значение % будет " (см. формулу (1.121)). В новых переменных уравнения (1.114), (1.117) принимают ВИД
+ ф^ △ = △ —(1.123)
+ 7Ps，上=。’(1.124)
где 7 — безразмерный параметр, равный
Вблизи Тс величина 7 не зависит от температуры и (в пределе / — —0) от длины пробега, т. е. является некоторой константой порядка единицы (для грязного сплава). В дальнейшем 7 будет рассматриваться как независимый феноменологический параметр.
Обратим внимание на последнее соотношение (1.124): dj/дх = 0. Как показано в работе Горькова и Элиашберга [157], это соотношение выражает условие непрерывности для сверхпроводника и необходимо для самосогласованности уравнений нестационарной модели (1.123), (1.124). Сразу заметим, что для решения, не зависящего от координат: △ = Ao(t) это соотношение выполняется автоматически.
Уравнение для функции △()(%) принимает вид
dAo / dt + (q + zsina;t)2Ao = Ao(l — A|).(1.126)
Общее решение его найдено в [156]:
母⑴=f(0)e2{1 +2母(0)|\2"门而} ,(1.127)
где
力
/(力)=[1 — (q + z sinut^dt.(1.128)
о
При условии q2 + z2/2 < 1 чувствительность к начальным условиям отсутствует, а асимптотика △^(力)(0 при t — ос) принимает вид
△^("(1.129)
о
Далее находим с помощью (1.124) ток /⑴：
=(q + % sin st)△証)+ 7CJZ cosst.(1.130)
Полученные формулы удобно исследовать в предельных случаях больших и малых частот.
В случае о;》1 функция /(力)равна (1 —炉一z2/2)t плюс малая добавка, пропорциональная параметру 1 /ш. Опуская эту добавку, получим на основании (1.129) выражение
△沁 1 - / - z2/2,1,(1.131)
показывающее, что До не зависит от времени и определяется квадратом среднего значения поля 石Вычисляя ток, получим в том же приближении
XI—/2).(1.132)
Рис. 1.6. Зависимость критического тока от мощности на высоких частотах 》1). Параметр z = V2 Eq/Е^Рис. 1.6. Зависимость критического тока от мощности на высоких частотах 》1). Параметр z = V2 Eq/Е^△詛）~△詛）~广⑴，когда广⑴> 0,О, когда f\t) < О,广⑴，когда广⑴> 0,О, когда f\t) < О,(g《1)(g《1)(1.134)(1.134)
Рис. 1.6. Зависимость критического тока от мощности на высоких частотах 》1). Параметр z = V2 Eq/Е^
Рис. 1.6. Зависимость критического тока от мощности на высоких частотах 》1). Параметр z = V2 Eq/Е^
△詛）~
△詛）~
广⑴，когда广⑴> 0,
О, когда f\t) < О,
广⑴，когда广⑴> 0,
О, когда f\t) < О,
(g《1)
(g《1)
(1.134)
(1.134)
Максимум (1.132) достигается при q = qm = (1 — ^2^)1/3 Уз. Относя величину максимального тока к критическому току сверхпроводящего
канала при z = 0, равному в выбранных единицах 2/3^3, получим зависимость критического тока от СВЧ мощности:
:Lax ⑶万 тах(6 = (1— ^/2)3/2.
(1.133)
График соответствующий зависимости показан на рис. 1.6. При достижении критического значения высокочастотной мощности (% = V^) величина сверхпроводящего тока обращается в нуль.
В адиабатическом случае о;《1 интегрируем выражение, стоящее в знаменателе (1.129), по частям, что дает
(в случае 广⑴ < 0 величина А| экспоненциально мала по параметру 1/Ъ). Таким образом, в данном случае △()зависит от времени по существенно негармоническому закону. В точке, отвечающей переходу в нормальное состояние (% = V^), величина Ад скачком обращается в нуль. Это свидетельствует о возможности затягивания перехода в нормальную фазу выше значения поля (% =
Приведем выражения для среднего тока / и амплитуд гармоник jn (% — фурье-коэффициенты функции ^(?；))• В случае q + % < 1 (см. ниже) они имеют вид
J = q(1 - / - 3/2z2),J = q(1 - / - 3/2z2),(1.135)(1.135)
J = q(1 - / - 3/2z2),
J = q(1 - / - 3/2z2),
(1.135)
(1.135)
(1.136)(1.136)力={[%(1 — 3炉—3/4z2)]2 + 72o;2z2}1/2,；2 = 3/2q%2,力=l/4z3 и т. д.
(1.136)
(1.136)
Отсюда видно, например, что вторая гармоника появляется только при наличии транспортного тока. Ее интенсивность пропорциональна квадрату тока и квадрату интенсивности СВЧ мощности на основной частоте:
Ж2 〜片叫2, G «Тс-Т. (1.137)
Заметим, что в предельно неадиабатическом случае аналогичный анализ показывает, что интенсивность гармоник существенно меньше по
сравнению со случаем «низких» частот. Так, для второй гармоники получаем с точностью до тех же коэффициентов, что и в (1.137):
ш
Таким образом, эффективность преобразования
частоты падает с по
вышением о;.
На рис. 1.7 приведем примеры зависимости
«сверхтекучей скорости» q в адиабатическом
тока j от параметра
случае при разных
Рис. 1.7. Сверхпроводящий ток как функция сверхтекучей скорости
уровнях высокочастотной мощности. Величина q на рис. 1.7 изменяется в пределах от 0 до Sn = (1 — %2/2)1/2. Как видно из приводимых графиков, при наличии СВЧ поля вид функции j{q) существенно отличается от соответствующей зависимости при z = 0. С повьнпением % абсолютное значение j падает и обращается в нуль при % = ". Зависимость критического значения тока от % будет найдена ниже.
3°. Весьма нетривиальным является вопрос об устойчивости найденных решений относительно бесконечно малых флуктуаций. Необходимость анализа устойчи
при наличии высокочастотного поля(в адиабатическом случае)
лить одна ветвь функции q(/), сверхпроводящее состояние при
вости вытекает уже из неоднозначности зависимости параметра q от тока j (см. рис. 1.7). Оказывается, что устойчивой является
что позволяет однозначно определить заданном токе. В зависимости от об
ласти частот, при достаточно большой величине % вообще может не существовать устойчивых решений уравнения (1.123).
Переходя к исследованию устойчивости, положим △ = △()(%) + + △1(/,", где До определяется формулами (1.127) или (1.129), а △ 1 — бесконечно малое возмущение. Аналогичным образом, учитывая условие dj/дх = 0, должны записать добавку к электрическому полю: ps =。?⑴ +。!(力，力)，где 货⑴ = q + zsinut. Используя соотношения (1.123), (1.124), получим систему связанных уравнений для величин △1 и心
Al - Al + Af(t)(2Ai + At)
(1.138)(1.138)
(1.138)
(1.138)
(А + △：) +2 (^1 — △：) + f^o о7〃 = S
Общее решение написанных уравнений может быть представлено в виде
△ 1 (Ж, t) = ^{1)gгкx + 少*(方)3一2^,
Откуда получаем для функций 夕，认《：
■^ =卩-(" + 衣)2 - 2出]夕-△沁—△0(2й + 衣)&
，=[1 一(0？ 一 衣)2 一 2△帛力 一 △^夕-△0(2〃 一 衣)e，
Полученные уравнения могут быть исследованы в предельных случаях больших и малых частот: о;》1 н о;《1.
При больших частотах изменение 夕，少 н 《за период является малым. В этом случае можем рассматривать 夕，少 н《как медленно изменяющиеся функции и усреднить коэффициенты (1.140) по времени. В результате получаем систему уравнений с постоянными коэффициентами, характеристические показатели которой Аг (г = 1,2, 3) имеют вид
(1-141)(1-141)
(1-141)
(1-141)
Здесь Ад определяется формулой (1.131). Отсюда видно, что неустойчивость (А > 0) появляется при 2Aq — 4q? + 衣2 < 0. При q> (1 —//2)1/2/75 всегда найдутся значения к, отвечающие неустойчивости. Напротив, при q < (1 — //2)1/2/，^ при всех 衣 имеет место устойчивость. Этим условием определяется выбор решения уравнения (1.132) для состояния с заданным током j. Как показывает проведенный анализ, для всех значений % < \^ решения, отвечающие величине тока вплоть до j = jmax(z) (рис. 1.6), являются устойчивыми.
В случае низких частот (о;《1) будем искать решение системы (1.136) в виде
(夕,力,Q = (〃, ?丿,co) exp A(t)dt,
о
предполагая и, u, w медленными функциями временя. Опуская производные от этих функций, получим систему алгебраических уравнений для адиабатических показателей А =入乂力).Критерий устойчивости заключается в том, чтобы интеграл J A(t)dt, взятый по периоду, был отрицательным. Опуская громоздкие выкладки, приведем лишь результат, ограничившись для простоты предельными случаями больших и малых 7，где 7 — введенный выше безразмерный параметр (1.125) (заметим, что 7 является единственной безразмерной величиной, характеризующей систему уравнений (1.123), (1.124); при этом, как будет видно, окончательный результаты слабо зависят от конкретного значения 7).
В случае 7》1 область значений % н q, соответствующих устойчивому состоянию, определяется неравенством
//W 3(1.142)
(см. рис. 1.8, а). Напротив при 7《1 она имеет вид (рис. 1.8, б):
1/2? < 1/3.(1.143)
В обоих случаях при z = 0 критическое значение q составляет q = 1 /УЗ, что согласуется с результатами, полученными выше для предельно неадиабатического случая.
О критическое 1,75, а в случае 7О критическое 1,75, а в случае 7значение % равно: в случае 7 = ос z = z^i 0 %
О критическое 1,75, а в случае 7
О критическое 1,75, а в случае 7
%k2 = (2/3)1/2 = 0,82. При значе-%k2 = (2/3)1/2 = 0,82. При значе-Рис. 1.8. Области устойчивости однородного СОСТОЯНИЯ При 7 》1 и7《1Рис. 1.8. Области устойчивости однородного СОСТОЯНИЯ При 7 》1 и7《11,0
%k2 = (2/3)1/2 = 0,82. При значе-
%k2 = (2/3)1/2 = 0,82. При значе-
Рис. 1.8. Области устойчивости однородного СОСТОЯНИЯ При 7 》1 и
7《1
Рис. 1.8. Области устойчивости однородного СОСТОЯНИЯ При 7 》1 и
7《1
0,6
丿max(Z)%ax(。)丿max(Z)%ax(。)Рис. 1.9. Зависимость критического тока от мощности в адиабатическом пределе (g « £0)Рис. 1.9. Зависимость критического тока от мощности в адиабатическом пределе (g « £0)0,2
丿max(Z)%ax(。)
丿max(Z)%ax(。)
Рис. 1.9. Зависимость критического тока от мощности в адиабатическом пределе (g « £0)
Рис. 1.9. Зависимость критического тока от мощности в адиабатическом пределе (g « £0)
ниях z > Zk сверхпроводящее состояние оказывается неустойчивым при всех q. Вместе с тем видно, что и нормальная фаза неустойчива при % < = 1,41, т. е. должен происходить переход в сверхпроводящее состояние. Полученный результат означает в действительности, что в интервале значений % между Zk и V2 использованное однородное (не зависящее от координат) решение (1.127) становится непригодным и истинное решение будет обязательно зависеть как от /, так и от I. При 7》1 задача сводится к отысканию устойчивого решения уравнения
、2
—- —+ А = А(1 -|А|2). (1.144) at 丿
Заметим, что такое решение может существовать (и быть устойчивым) и при значениях поля, превышающих величину % = \^, что аналогично эффектам «перегрева» в теории сверхпроводимости [160]. Однако, не смогли найти соответствующее решение, и этот вопрос остается открытым.
В области значений z < Zk легко построить зависимость jmax(z), аналогичную соответствующей зависимости для предельно неадиабатического случая, показанной на рис. 1.6. Графики такой зависимости в предельных случаях)— 0 и 7 Toe приведены на рис. 1.9. Различие кривых в зависимости от 7 весьма слабое. Пунктиром на том же рисунке показан для сравнения максимальный критический ток, полученный с помощью решения типа (1.134) без анализа проблемы устойчивости. В целом вопрос о поведении сверхпроводящего канала на СВЧ в адиабатическом случае требует дальнейшего исследования.
4°. В заключение данного параграфа рассмотрим вопрос о смешении частот. Пусть электрическое поле в пленке имеет две монохроматические компоненты с частотами o；i и о；2 (для определенности o；i < о；2)：
公⑴=Q +sinsM + %2 sin(o；2力 + 6)・ (1.145)
Тогда нелинейные свойства системы проявятся в генерации промежуточной частоты С = о；2 — "1, также комбинационных частот о；1 — 〃С и о；2 + "С,几=1,2,3,.... Для определения интенсивностей соответствующих сигналов подставим выражение (1.145) в формулы (1.128)^(1.130).
Будем рассматривать только предельно неадиабатический случай: о；1,2》1. Что касается разностной частоты Q, то для нее предположим выполнение адиабатического условия Q》1 (напомним, что все частоты измеряются в единицах величины £()〜(耍—Т)). Функция /(" принимает вид
(1.146)(1.146)/(力)у 1 —『—2(%^ + £)力^-[sin(Qt + b) — sin J],
(1.146)
(1.146)
причем отбросили члены, содержащие в знаменателях суммы (功 + + о；2》1). Характерное значение времени t в (1.146) равно едини-
це. Отсюда видно, что осциллирующий со временем член велик по сравнению с неосциллирующим в отношении 1/С》1. В результате получаем, что по разностной частоте возникает та же ситуация, что и в адиабатическом пределе. Имеем
△2 ⑴ 2 1 — / — |(zf + 方 + 2ziz2 sin2。； t (1.147)
причем A2(t) обращается в нуль, когда величина в правой части этой формулы становится отрицательной. Выпишем выражения для среднего тока и амплитуд осциллирующих составляющих, отвечающих чистотам 公2 一公1, 2Gl -公2 И 2G2 —公1：
J = Q(1-Q2-1/24-1/2^1), (1-148)
% = q%i%2, 儿 i—с = 1/2%¥%2, 儿 2+c = l/2%i%|. (1.149)
Как видно из этих формул, интенсивность промежуточной частоты пропорциональна квадрату транспортного тока (при 力 т 0) и интенсивностям смешиваемых частот IP] и W^. При больших значениях амплитуд %i и %2 возникают те же проблемы, что и в адиабатическом случае.
Нелинейная электродинамика пленки. Ранее считали электрическое поле заданным. В действительности величина поля, проникающего в пленку, определяется ее импедансом, который сам зависит от амплитуды. В результате возникает существенно нелинейная зависимость коэффициента пропускания пленки от падающей мощности, причем эта зависимость может иметь гистерезис, т. е. быть различной в увеличивающемся и уменьшающемся поле.
Рассмотрим для простоты плоскую электромагнитную волну, падающую нормально на поверхность пленки. Будем рассматривать только предельные случаи высоких и низких частот (соответственно о;》(К — Т) н о;《(Тс — Г)) Обозначая посредством 4(" компоненту векторного потенциала, параллельную поверхности пленки, получим следующее выражение для тока:
以方)=-高 4 ⑴(1 - ⑴)， (1.150)
a 兄 означает лондоновскую глубину проникновения в нулевом поле. Угловые скобки в (1.150) имеют следующий смысл. В адиабатическом пределе (о;《 笃)имеем по определению
(1 — ⑴)=(1 — S^{t^O{\ — ⑴)，G < 笃， (1.151)
где ^(х) — функция, равная единице при ж > 0 и нулю при х < О. Наличие ^-функции выражает тот факт, что при о; С (Тс — Г) параметр упорядочения обращается в нуль для тех значений t, при которых величина сверхтекучей скорости превышает критическое значение р^/гп, где psP = g—i(T) (см. формулу (1.134)).
В предельно неадиабатическом случае о;》£()величина тока определяется средним квадратом поля, в соответствии с чем
〈1 - 6厶2=(1 _-sA2), G笃(1.152)
причем здесь 仇функция добавляется для того, чтобы выражение (1.150) оставалось справедливым также в нормальном состоянии, когда сверхпроводящая часть тока в (1.150) обращается в нуль.
Вставляя (1.150) в уравнение Максвелла rot Н = 47rly/с, получим уравнение для функции А (ось % направлена по нормали к пленке)
д2А 4тгсг дА 1哀Ж”。д2А 4тгсг дА 1哀Ж”。(1.153)(1.153)
д2А 4тгсг дА 1
哀Ж”。
д2А 4тгсг дА 1
哀Ж”。
(1.153)
(1.153)
Граничными условиями к уравнению (1.153) служат условия непрерывности на границе с вакуумом тангенциальных составляющих электрического (石化=—c^}dA/dt) и магнитного (Ну = dA/dz} полей. В свободном пространстве А удовлетворяет волновому уравнению
д2А — 1 д2Аdz2 с2 dt2
Выбирая при z < 0 величину А в виде суммы падающей и отраженной волн:
4(%, t) = Aq cos(kz —+ 41 (%, t), ш = ck,
4(%К)=工 А^ cos[m(kz + st) + &?小(1.154)
а при z > d — в виде прошедшей волны:
力)=4(%,力)=^2 cos[m{k{z — d) — st) + Дп], (1.155)
и исключая Ai (z, t),厶2(%,力)，получим следующие граничные условия к уравнению (1.153):
(дА (dz(дА (dzС力九=0С力九=02G 4 .——Aq smo;t, с2G 4 .——Aq smo;t, с(дА (dz(дА (dz++1 дА\1 дА\
(дА (dz
(дА (dz
С力九=0
С力九=0
2G 4 .
——Aq smo;t, с
2G 4 .
——Aq smo;t, с
(дА (dz
(дА (dz
+
+
1 дА\
1 дА\
где Ло — амплитуда падающей волны. Решив граничную задачу (1.153), (1.156), можно определить интенсивности и гармонический состав отраженной и прошедшей волн с помощью соотношений
* COS(77Wt -** COS(77Wt -*(1.157)(1.158)(1.157)(1.158)
* COS(77Wt -*
* COS(77Wt -*
(1.157)
(1.158)
(1.157)
(1.158)
Переходя к решению уравнений (1.153), (1.156), будем считать пленку тонкой по сравнению с глубиной проникновения 6工.В этом случае можно разложить функцию /(%, t) при 0 < z < d в ряд относительно %/兄：
夕1夕2
4(%, t)=厶0⑴ + A[ (t) h 3厶2 ⑴+ ....(1.159)
02小刀
Подставляя это разложение в уравнения (1.153), (1.156) и отбрасывая члены, малые по параметру d/X, получим
4)⑴—= —2а;Ло smut,(1.160)
ol
4)⑴ + y—A] (t) + 戸'_A2 ⑴=0,(1.161)
=号济鲁 +人⑴(1 - 6就⑴).(1.162)
Первые два соотношения получены из граничных условий (1.156), а последнее представляет первый член разложения уравнения (1.153). Из (1.160)-(1.162) получается замкнутое уравнение для функции 4о(". Вводя для удобства безразмерную величину 夕(т) = Ao(t)v^, где т = ut — безразмерное время, можно представить это уравнение в следующей форме:
+ 夕〈1 —夕2)=о sin 7,(1.163)
ат
где угловые скобки имеют тот же смысл, что и в (1.151), (1.152), а величины 夕о н Z определяются как
W =, Z = (Ts/Tj/2.(1.164)
Тп и Ts — коэффициенты прозрачности пленки в линейном приближении для нормальной и сверхпроводящей фазы (последнее — только в области частот о;》£°):
(при выводе уравнения (1.163) предполагалось, что пленка слабо прозрачна для излучения, т. е. Тп, Ts малы по сравнению с единицей).
Заметим, что введенную величину Z можно представить также в виде Z = 7cj/so, где 7 определяется формулой (1.125). Поскольку 7 〜 〜1, величина параметра Z определяется областью частот: Z《1 в адиабатическом пределе н Z》1 в области высоких частот.
Решив уравнение (1.163), можно найти амплитуду и гармонический состав прошедшей сквозь пленку волны с помощью соотношения, следующего из (1.158):
工 Л^ cos(mcj^ - Дт) = 4 ⑺=工 Л^ cos(mcj^ - Дт) = 4 ⑺=(1.166)(1.166)
工 Л^ cos(mcj^ - Дт) = 4 ⑺=
工 Л^ cos(mcj^ - Дт) = 4 ⑺=
(1.166)
(1.166)
откуда видно, что амплитуды гармоник прошедшего сквозь пленку излучения представляют, с точностью до некоторого множителя, коэффициенты фурье-разложения функции 夕(丁). Задача сводится, таким образом, к решению нелинейного уравнения (1.163).
Рассмотрим сначала случай, когда амплитуда поля достаточно велика (炉о — ос) так что металл находится в нормальном состоянии. При этом функция 夕〈1 —夕2) в (1.163) обращается в нуль и получаем
夕= - cos
С помощью (1.166) находим в данном случае для амплитуд гармоник прошедшей волны выражения
厶彳=卢4P = 0, m > 1. (1.167)
Отсюда ясно, что коэффициент прозрачности в нормальном состоянии действительно равен Тп. При уменьшении СВЧ мощности переход в сверхпроводящую фазу произойдет при том значении амплитуды Ло, при котором величина О? станет равной единице. Это соответствует критической мощности
47rcsTn '47rcsTn '(1.168)(1.168)
47rcsTn '
47rcsTn '
(1.168)
(1.168)
где S — площадь поверхности пленки (в эксперименте — площадь сечения волновода, перекрытого пленкой).
Теперь рассмотрим случай предельно малых амплитуд, когда пленка заведомо находится в сверхпроводящем состоянии, причем нелинейными эффектами можно пренебречь (夕о《1). В этом случае решение уравнения (1.163) принимает вид
(1.169)(1.169)夕=—-一-万歹 sin(丁 一 ')，0 = arctg Z.
(1.169)
(1.169)
Далее получаем аналогично предыдущему (т = 1)
= ±0 +%2)T/2 = АоТ^\ где (1.170)
Следовательно, роль коэффициента пропускания пленки в данном случае играет величина Г = (Г™1 + Т^1) , что совпадает с формулой (1.112).
Переходя к решению уравнения (1.163) при промежуточных значениях 夕° (夕о 〜1), рассмотрим отдельно случаи низких и высоких частот. В адиабатическом пределе в « £о пренебрегаем членом Z夕 в (1.163), в результате чего получаем кубическое уравнение для 夕：
炉（1 一夕2）=一g0 sin 丁.炉（1 一夕2）=一g0 sin 丁.(1.171)(1.171)
炉（1 一夕2）=一g0 sin 丁.
炉（1 一夕2）=一g0 sin 丁.
(1.171)
(1.171)
Решение его по формулам Кардана дает
夕(丁)=—专 sign (sin 丁)cos夕(丁)=—专 sign (sin 丁)cos7Г7Г3 +3 +1-arccos1-arccos• (1.172)• (1.172)
夕(丁)=—专 sign (sin 丁)cos
夕(丁)=—专 sign (sin 丁)cos
7Г
7Г
3 +
3 +
1
-arccos
1
-arccos
• (1.172)
• (1.172)
Это решение справедливо при 夕° < max|q(l —夕？)| = 2/3V3. Отсюда видно, что функция 夕(丁) содержит только нечетные гармоники: m = 1,3, 5,.・..
На рис. 1.10 приведена зависимость амплитуд гармоник в функции относительной величины падающей мощности W/W^p, где величина
Рис. 1.10. Амплитуды гармоник прошедшего сквозь пленку излучения (при g《О») в функции относительной мощности (И7/用印у/' Кривые нормированы таким образом, х\ = 1 при Ж = 0 (величина жп = —п^п/^, где 炉九— фурье-компоненты функции 炉(丁)). Истинные амплитуды гармоник получаются умножением приведенных здесь кривых на Т, где Т — коэффициент пропускания сверхпроводящей пленки в линейном приближенииРис. 1.10. Амплитуды гармоник прошедшего сквозь пленку излучения (при g《О») в функции относительной мощности (И7/用印у/' Кривые нормированы таким образом, х\ = 1 при Ж = 0 (величина жп = —п^п/^, где 炉九— фурье-компоненты функции 炉(丁)). Истинные амплитуды гармоник получаются умножением приведенных здесь кривых на Т, где Т — коэффициент пропускания сверхпроводящей пленки в линейном приближении
Рис. 1.10. Амплитуды гармоник прошедшего сквозь пленку излучения (при g《О») в функции относительной мощности (И7/用印у/' Кривые нормированы таким образом, х\ = 1 при Ж = 0 (величина жп = —п^п/^, где 炉九— фурье-компоненты функции 炉(丁)). Истинные амплитуды гармоник получаются умножением приведенных здесь кривых на Т, где Т — коэффициент пропускания сверхпроводящей пленки в линейном приближении
Рис. 1.10. Амплитуды гармоник прошедшего сквозь пленку излучения (при g《О») в функции относительной мощности (И7/用印у/' Кривые нормированы таким образом, х\ = 1 при Ж = 0 (величина жп = —п^п/^, где 炉九— фурье-компоненты функции 炉(丁)). Истинные амплитуды гармоник получаются умножением приведенных здесь кривых на Т, где Т — коэффициент пропускания сверхпроводящей пленки в линейном приближении
уравнения (1.163) становится и этом уже нельзя пренебречьуравнения (1.163) становится и этом уже нельзя пренебречь7(沙)/7(0)7(沙)/7(0)Рис. 1.11. Зависимость коэффициента пропускания пленки на основной частоте от мощности падающей СВЧ волны в адиабатическом случаеРис. 1.11. Зависимость коэффициента пропускания пленки на основной частоте от мощности падающей СВЧ волны в адиабатическом случаеИ^р определяется как мощность, при которой достигается критическое значение 夕°, равное 2/3V3 :
уравнения (1.163) становится и этом уже нельзя пренебречь
уравнения (1.163) становится и этом уже нельзя пренебречь
7(沙)/7(0)
7(沙)/7(0)
Рис. 1.11. Зависимость коэффициента пропускания пленки на основной частоте от мощности падающей СВЧ волны в адиабатическом случае
Рис. 1.11. Зависимость коэффициента пропускания пленки на основной частоте от мощности падающей СВЧ волны в адиабатическом случае
На рис. 1.11 приведена зависимость коэффициента прозрачности пленки от мощности при W < Ж^р.
При значениях 夕° > 2/3V3 анализ значительно более сложным, так как пр членом Z^, несмотря на то, что Z « 1. Кроме того, возникает вопрос об устойчивости соответствующего решения. По этой причине не рассматриваем области полей, для которой 夕° превышает 2/3V3 •
Поскольку в адиабатическом пределе величина Ts значительно меньше Тп, то критическая мощность I/忆;° значительно превышает критическую мощность W；p. Таким образом, возникает существенный гистерезис: при увеличении амплитуды поля срыв сверхпроводящего состояния происходит при значительно большей мощности, чем переход в сверхпроводящую фазу в уменьшающемся поле.
Аналогичным образом можно ис
следовать уравнение (1.163) в предельном случае высоких частот: со》во- Однако, так как при этом параметр Z》1, то все нелинейные эффекты представляют лишь малые поправки по 1 /Z. Гистерезис зависимости импеданса от поля также отсутствует, поскольку в пределе в》> £о величина Т совпадает с Тп (см. (1.170)). Это связано с тем, что на высоких частотах величина пропускания пленки слабо меняется при переходе в сверхпроводящее состояние.
ж^ 〜]0-5 Вт.ж^ 〜]0-5 Вт.吋〜10-5 Вт •吋〜10-5 Вт •1 一方1 -t1 一方1 -t(1.174)(1.174)В заключение приведем оценки критических мощностей И7：。，И^р. Считая S 〜1 см2, и 〜1010 с-1, получим в адиабатическом случае
ж^ 〜]0-5 Вт.
ж^ 〜]0-5 Вт.
吋〜10-5 Вт •
吋〜10-5 Вт •
1 一方
1 -t
1 一方
1 -t
(1.174)
(1.174)
(при этом нужно помнить, что Тп, £ обычно являются весьма малыми величинами). Как следует из (1.174), вблизи Тс величина W^ обра-
щается в нуль по линейному закону: W^p 〜(Тс — Т). Что касается И^р, то для определения ее температурной зависимости нужно учесть, что величина Ts также зависит от температуры. Для оценки можно грубо считать Ts 〜{d^/d^, где do — характерная толщина пленки. Поскольку, согласно формуле (1.113), величина 厶 〜(1 —才)〜"?，получаем, что вторая критическая мощность оказывается пропорциональной (Тс — Г)3. Разумеется, это остается справедливым лишь до тех пор, пока W^p》W^p, так как в противном случае (достаточно близко от Тс) перестает работать адиабатическое приближение.
Глава 2
ВОЗБУЖДЕНИЕ СВЕРХПРОВОДЯЩИХВОЛНОВОДОВ И ОБЪЕМНЫХ РЕЗОНАТОРОВ
Исследуются методы решения задач возбуждения сверхпроводящих (СП) волноводов и резонаторов. На примере задачи о возбуждении СП плоского волновода показано применение метода интегральных преобразований. Проведено сравнение характеристик СП плоского волновода с характеристиками волноводов с нормально проводящими и идеально проводящими стенками. Рассмотрено влияние поверхностного импеданса сверхпроводников на характеристики широкой несимметричной сверхпроводящей микрополосковой линии (СП МПЛ). Исследованы собственные функции цилиндрического СП резонатора сложной структуры и описан метод определения поверхностного импеданса сверхпроводников при помощи такого резонатора.
Разложение поля по системе собственныхфункций
Возбуждение сверхпроводящих волноводов. Для практических задач необходимо искать решения неоднородных уравнений электромагнитного поля в виде
47r47r
rotE = -ik^iH ——广，rot Я =—泳£石 ——/(2.1)
сс
с граничными условиями третьего рода
tMZsHt = 0,屮 Ет = 0.
onon Zs
Решение задачи о вынужденных колебаниях волновода можно найти, если известна структура задачи о свободных колебаниях, а также система решений однородных уравнений Максвелла. Будем считать волновод бесконечным и однородным вдоль оси z (рис. 2.1).
Пусть частные решения однородных уравнений имеют зависимость от координаты z в виде e^1/lz.Совокупность таких решений представля-
ет систему собственных волн рассматриваемого волновода. Предпола
гаем, что поле не просачивается через стенки волновода, то есть можно
SoSoРис. 2.1. Сверхпроводящий волноводРис. 2.1. Сверхпроводящий волноводвыбрать цилиндрическую поверхность So, на которой выполнено (с достаточной точностью) условие
So
So
Рис. 2.1. Сверхпроводящий волновод
Рис. 2.1. Сверхпроводящий волновод
Е = Я = 0 на 50. (2.2)
Пусть волна с номером m имеет поле Ет,Нт и волновое число hm, то есть зависит от z как 厂
Отрицательным индексом m обозначим такую же волну, что и с
石/ = £ (az% + с_石/ = £ (az% + с_〃 = £（&典九 + с/Л，（2.3）〃 = £（&典九 + с/Л，（2.3）номером ш, но распространяющуюся в противоположном направлении (ее волновое число h_m = —hm). Общее решение однородных уравнений Максвелла[23-26] имеет вид
石/ = £ (az% + с_
石/ = £ (az% + с_
〃 = £（&典九 + с/Л，（2.3）
〃 = £（&典九 + с/Л，（2.3）
где Ст и С_т — произвольные постоянные, а суммирование производится по всем положительным индексам т. Показано [23], что собственные волны обладают весьма важным свойством ортогональности, которое записывается в следующем виде:
Jm、m/ =1 \ЕтНт/ ] — \JEm/ Нт~\ ^ CzdS = 0 ПрИ ТП # 7Т1.(2.4)
S丄
Нормой т-го собственного колебания является величина
Nm =[ {[ЕтН^т] [Е^тНт]} ezdS. (2.5)
s丄
Норма имеет размерность мощности и в ряде случаев отличается лишь простым численным множителем от комплексной мощности, переносимой m-ой волной через поперечное сечение 2 = 0. Пусть сторонние источники находятся в области zi ^2 ^20. Искомое электромагнитное поле представляется в виде ряда
(2.6)(2.6)石=£ {СтЕт + С_тЕ_т) — —Йе„
(2.6)
(2.6)
X = £ (以典九+ С_тЯ_т)- 生小
гдегде(2.7)(2.7)
где
где
(2.7)
(2.7)
Интегралы (2.7) вычисляются по объему V, занятому источниками. При 21 ^ 2 ^ 29 эти коэффициенты являются функциями ОТ 2.
Возбуждение сверхпроводящих объемных резонаторов. Пусть известна система собственных функций Ет,Нт и собственных частот шт объемного резонатора, а функции Ет,Нт удовлетворяют однородным уравнениям Максвелла
rot Ет =—冰战Нт, rot Нт = —1кеЕт.(2.8)
Электромагнитное поле Е, Н, возбуждаемое источниками и удовлетворяющее уравнениям (2.1), а также граничным условиям (2.2) на стенках резонатора, запишем в виде
石=石(°)+石⑴， Я = h^ ^H(i\(2.9)
где 石(°), Н⑼—решение задачи для идеально проводящих стенок резонатора [23], а Е⑴,Н*)— поправки для сверхпроводящих стенок, зависящие от поверхностного импеданса. Они определяются из граничных условий (2.1). Поскольку для сверхпроводников Z$ « 1, то можно применить метод возмущений и пренебречь членами (Z^)2 и выше. Заметим, что собственные частоты шт СП резонаторов являются комплексными величинами, зависящими от Z$, поэтому коэффициенты разложения по системе собственных функций получаются конечными. За счет Zs резонансная частота СП резонатора отличается от резонансной частоты идеального резонатора
—(2.Ю)
где Qm — добротность m-го колебания. Эта формула переходит в известное соотношение для сдвига резонансной частоты резонатора с металлическими (нормально проводящими) стенками [23, 26] при замене Zs импедансом нормально проводящего металла Zn = (1 + ?：)，з/8тгсг:
…止).(2.11)
Метод интегральных преобразований.
Возбуждение плоского сверхпроводящего волновода
Используем векторный потенциал для решения задачи о возбуждении магнитным сторонним током плоского волновода, образованного двумя бесконечными параллельными сверхпроводящими плоскостями 2 = 0 и z = а с граничными условиями третьего рода. Сторонний ток считаем направленным вдоль координаты х и не зависящим от нее. Тогда векторный потенциал имеет единственную составляющую
АхЧу^) и не зависит от т [26]. Задача сводится к решению двумерного уравнения
(2.12)
Следуя [26], первичное поле представим в виде двойного интеграла Фурье
厶丁匂,2)=〃(儿 7)е—®—к〃％〃7.(2.13)
Подстановка (2.13) в (2.12) и применение обратного преобразования Фурье дает выражение для спектральной функции
1р
〃(儿7)= Z—5………工—.5—倉 ст {y\zf}^^z!dyfdzf. (2.14) Sh
Интеграл берется по области Sh на плоскости т = const, занятой сторонним током. Комбинируя (2.13) и (2.14), имеем
А兴у, 2)= 熠 ст (“, У) Gn (“, У, у, 2)dyfdzf, (2.15)
где88
口 1 Т ТJU—》)
―.(2.16)
47r2 J J %2 + )2 _ 卜2 ，'/
Функция Gn — двумерная функция Грина свободного пространства. Интеграл (2.16) преобразуется к виду
G" = 丁e—"z(u—心dh(2.17)
4тг Jр
где р = "/尹—炉.Выражение (2.17) с точностью до постоянного множителя совпадает с интегральным представлением функции Ханкеля второго рода Н^2\кЯ). Поэтому функция Грина может быть записана в свернутом виде
^n =_；蜀2)(k区)；R = J仅一力 2 一 (z - /2. (2.18)
Выражения (2.15) и (2.17) определяют первичное поле заданных сторонних токов, то есть поле в открытом пространстве. Для учета отражения от сверхпроводящих плоскостей к решению (2.15) (частному
решению уравнения (2.12)) надо добавить общее решение соответствующего однородного уравнения, то есть вторичное (отраженное) поле. Это эквивалентно добавлению к функции Грина выражения
必 + ^h^jdh, (2.19)
где 5,2(%) — спектральные плотности отраженного поля, подлежащие определению. Электромагнитное поле имеет три составляющие
я дм8 Ам
〜一^，(2.2。)
удовлетворяющие граничным условиям при z = 0 и z = а. Граничные условия для функции Грина имеют вид
8G dz8G dz+ Xi,2G = 0 при n = 0, а,+ Xi,2G = 0 при n = 0, а,(2.21)(2.21)
8G dz
8G dz
+ Xi,2G = 0 при n = 0, а,
+ Xi,2G = 0 при n = 0, а,
(2.21)
(2.21)
где G = Gn + G°, Xi =—汕£冬，丫2 = i^eZs- Подстановка суммы (2.17) и (2.19) в (2.21) позволяет определить функции，〃(％) и 小(九)и, следовательно, интегральное представление функции Грина суммарного поля
G = — f bx 47r J
ххdh. (2.22)dh. (2.22)2 [%)shpz — pchpz] [х? shp(a — ") — pchp(a —")]
х
х
dh. (2.22)
dh. (2.22)
р[(Х1Х2 -p2)shpa+p(xi - X2)chpa]
Это выражение записано для z < z'. Для z > zf в (2.22) z n zf следует поменять местами. Интеграл (2.22) можно вычислить с помощью теории вычетов. Подынтегральное выражение содержит только полюса, которые определяются из условия равенства нулю знаменателя
/(Я =(Х1Х2 -F)shpa + p(x! -x^chpa = 0.(2.23)
Применим метод возмущений [23] к решению уравнения (2.23). Пусть 夕о — решение уравнения (2.23) для идеально проводящих стенок волновода, то есть при Xi = Х2 = 0. Тогда
Откуда, учитывая, что sh(po^) = 0, получим
РОт =分 7Г6,、
厶仍П —/9 \ . /、，?丿
а(»Х2 -Рбт) + (Xi —
Pm = POm + ^Pm •>
Решение уравнения (2.23) дает дискретный спектр значений рт. Следовательно, hm = 土，％% + N , = 0, 1,2,.... Вычисление интеграла (2.22) приводит для (у — J) > 0, (n —< 0 к соотношению вида
G = — 寸 e-^rAy-yf)x
(2.26)(2.26)2 [xi shpmz -pchpmz] [x2 shpm{a - ") - pm chpm{a -
(2.26)
(2.26)
В九林[(X1X2 -/)shpa+p(yi — X2)ch夕a]%二
По структуре (2.26) имеет сходство с решениями, полученными разложением по системе собственных функций. В том и в другом случаях получаем дискретный спектр функций и собственных значений. По формуле (2.26) был проведен численный эксперимент. При этом источник расположен на верхней стенке волновода. Картина эквипотенциальных линий поля в волноводе, представленных на рис. 2.2, получена при следующих параметрах: в = 3,5 • 1010 с-1, Zs = (9,0028 • 10-8 + I • 7,1655 • 10-6) — поверхностный импеданс ниобия при температуре t = 0,8, а = 3 см. На рис. 2.3 представлены сравнительные характеристики электромагнитного поля для различных материалов стенок волновода. Кривые пронумерованы следующим образом: 1. Gs — Gn, 2. Gn — G。, 3. Gs — G。, где Gs решение задачи
zz = azz = aРис. 2.2. Картина электромагнитного поля в плоском СП волноводеРис. 2.2. Картина электромагнитного поля в плоском СП волноводе
z
z = a
z
z = a
Рис. 2.2. Картина электромагнитного поля в плоском СП волноводе
Рис. 2.2. Картина электромагнитного поля в плоском СП волноводе
Рис. 2.3. Сравнительные характеристики решений краевой задачи для трех различных материалов стенок волновода
для сверхпроводящих стенок волновода, G^ для медных (нормально проводящих) стенок и G。для идеально проводящих стенок волновода.
Электродинамические характеристикимикрополосковых линий передачи
За последние годы минувшего столетия в технику СВЧ прочно вошел особый класс линий передачи, называемых микрополос- ковыми волноводами. Простейшая микрополосковая линия передачи (МПЛ) представляет собой две тонкие проводящие полоски, между которыми находится слой диэлектрика с малыми потерями (рис. 2.4). Комплексные амплитуды электромагнитных полей в подложке при
Рис. 2.4. Сверхпроводящая МПЛ
(2.27)(2.27)—d/2 < у < d/2 удовлетворяют уравнениям Максвелла rot Н =分 к^г[石， rot E = —沬而H,
(2.27)
(2.27)
где d — толщина подложки,白口 и Дп — соответственно диэлектрическая и магнитная проницаемости подложки.
Рассмотрим случай широкой МПЛ (w》d, где w — ширина полоски сверхпроводника), в которой возбуждается основная ТЕМ-волна. Тогда поле для волны основного типа в широкой МПЛ будет однородно вдоль оси х. Отличные от нуля компоненты поля в подложке, удовлетворяющие уравнениям (2.27) имеют вид
Нх = СШ(ру『к2,
(2.28)(2.28)Еу = -——cos(py)e~2kz,
(2.28)
(2.28)
к0£口
где Rq = ш/с — волновой вектор в свободном пространстве,夕2 =味口 — —庐，兰口 = £(1 + 分tg6), tgb — тангенс угла диэлектрических потерь материала подложки. Подставив выражения для полей (2.28) в граничные условия (1.1) на границе раздела диэлектрика и сверхпроводника (у = 土d/2), получим дисперсионное уравнение
kofnZs 2kofnZs 2=1.=1.(2.29)(2.29)
kofnZs 2
kofnZs 2
=1.
=1.
(2.29)
(2.29)
Будем искать решения р =夕(Zs) уравнения (2.29) как функции комплексного параметра Zs при условии \Zs\《1. Заменим (2.29) линеа
ризованным уравнениемризованным уравнениемip^d ]2 左 oUrZsip^d ]2 左 oUrZs(2.30)(2.30)
ризованным уравнением
ризованным уравнением
ip^d ]
2 左 oUrZs
ip^d ]
2 左 oUrZs
(2.30)
(2.30)
(2.32)(2.32)(2.33)(2.33)
(2.32)
(2.32)
(2.33)
(2.33)
Легко показать, что (2.30) имеет корень 夕°, причем |夕* —夕о| < A \Zsf, где 夕* — корень исходного уравнения (2.29). Определив р из (2.30), получим постоянную распространения
庐=%患 № 一 3*s) + (tgb + 力s)](2.31)
Добротность МПЛ определяется так
Re (к)21m (к)'
Из (2.31) и (2.32) найдем добротность МПЛ
「 「爲
Q =2
tg b + -—； Rs
В таблице 2.1 приведены значения добротности СП МПЛ, а также влияние Х$ на величину Qo, рассчитанные по формуле (2.33). Здесь использованы следующие физические параметры: d = 1 мм, частота / = 300 ГГц, материал подложки поликор(£ = 9,96; tg J = 10-4), сверхпроводник ——ниобий (Тс = 9, 2 К). Необходимые для расчетов значения Rs и Xs приведены из [13, 45-46]. Соотношение (2.33) переходит в известную формулу для добротности обычной МПЛ [21] при замене Zs на Zn для нормально проводящего металла. Формулы (2.31), (2.33) являются общими, поскольку учитывают влияние Xs на величину добротности и волнового вектора. Полученные из решения краевой задачи аналитические соотношения могут найти широкое применение при анализе МПЛ, изготовленных из различных сверхпроводящих материалов.
Таблица 2.1
Приведенная температура 7〃с
Поверхностное сопротивление 凡，отн. ед.
Поверхностный реактанс Xs, отн. ед.
Добротность резонатора
Влияние Xs на добротность, %
0,96
4,21 • IO*
1,6 TO*
4,27- 1003
0,051
0,94
2,72 • 1(Г。4
1,42-ю™03
5,36- 1003
0,045
0,90
1,53- Ю^04
1,22 • 1(Г。3
6,72- 1003
0,038
0,86
1,03- ю™04
1,10-10™03
7,53- 1003
0,035
0,80
6,46・ 1(Г°5
9,94 • ICT°’
8,29・ KF
0,031
0,70
3,43- Ю^05
8,95- Ю^04
9,0 • 1003
0,028
0,60
1,88- Ю^05
8,41 Т。—°’
9,43- 1003
0,026
0,45
6,54- Ю^06
8,00・ IO*
9,79- 1003
0,025
0,40
3,82・ 1(Г°6
7,92・ 1(Г°’
9,88- 1003
0,025
0,30
9,10- Ю^07
7,85- Ю^04
9,97・ 10°з
0,025
0,20
5,10- 10™08
7,83・ 1(Г°’
1,00- 1004
0,024
Электродинамические характеристикицилиндрического объемного резонатора
Рассмотрим цилиндрический резонатор (рис. 2.5), стенки и торцы которого изготовлены из различных материалов, например, стенки резонатора выполнены из нормально проводящего материала, а торцы из сверхпроводящих материалов (возможна сверхпроводящая пленка на подложке).
Исследуем краевую задачу уравнения Гельмгольца для случая симметричного типа волн <д]д屮=0)
с граничными условиями
£ = -厶[Ht, n] 石力=—Zsi [Ht, n]Et = —Z§2 [Ht, n]£ = -厶[Ht, n] 石力=—Zsi [Ht, n]Et = —Z§2 [Ht, n]при r = a, при 2 = 0, при z = I.при r = a, при 2 = 0, при z = I.(2.35)(2.36)(2.37)(2.35)(2.36)(2.37)
£ = -厶[Ht, n] 石力=—Zsi [Ht, n]
Et = —Z§2 [Ht, n]
£ = -厶[Ht, n] 石力=—Zsi [Ht, n]
Et = —Z§2 [Ht, n]
при r = a, при 2 = 0, при z = I.
при r = a, при 2 = 0, при z = I.
(2.35)
(2.36)
(2.37)
(2.35)
(2.36)
(2.37)
Рис. 2.5. Цилиндрический резонатор co стенками и торцами из различных материаловРис. 2.5. Цилиндрический резонатор co стенками и торцами из различных материаловЗдесь 〃 = { pm j, где Пе и Пт электрический и магнитный потенциалы Герца, a -
Рис. 2.5. Цилиндрический резонатор co стенками и торцами из различных материалов
Рис. 2.5. Цилиндрический резонатор co стенками и торцами из различных материалов
радиус резонатора, Z — его длина, п — вектор нормали к поверхности металла, Zn — поверхностный импеданс стенок резонатора, Zsi и Zs2 — поверхностные импедансы сверхпроводящих торцов z = 0 и z = I.
Тогда
口； = Ae~zhzJo(gr) для волн 石-типа,口；" = АеГгкг J^gr) для волн Я-типа.
Составляющие полей 石衣,Ez,石厂,H屮,Hz, Нг имеют вид для волн В-типа
'石/ = о,н『=о,
< % = ikegJ\{gr}Ae~zhz, Ez = g1 J^gr}Ae~zhz,(2.38)
、Er = ihgJ\ (gr)Ae~lhz, Hz = 0,
для волн Я-типа
E屮=ik財 J、(gr) Ае~м, Hr = ihgJ\ (gr)Ae^lhz,
〈瓦=。，Ez = 0,(2.39)
.Я = 0,Hz=g2J^gr)A^h\
+ 拉2.
Граничные условия для волн 石-типа
Ez = ZnH。(2.40)
для волн Я-типа
Е屮=—ZnHz при г = а.(2.41)
Подставляя соотношения (2.38), (2.39) в (2.40), (2.41), получим для симметричных 石Я-типов колебаний следующие дисперсионные соотношения: для волн 石-типа
gJ()(ga) = -ikeZnJ] (да),(2.42)
для волн 27-типадля волн 27-типаgZnJ^ga} = -ik^J\ (да).gZnJ^ga} = -ik^J\ (да).(2.43)(2.43)
для волн 27-типа
для волн 27-типа
gZnJ^ga} = -ik^J\ (да).
gZnJ^ga} = -ik^J\ (да).
(2.43)
(2.43)
Применив метод возмущений к решению уравнений (2.42), (2.43) и, представив аргумент функции Бесселя в виде да = до а + да, а также учитывая, что Jo(goa) =0 для волн 石-типа, Ji(goa) =0 для волн Н-тнпа
получимдля волн 石-типаполучимдля волн 石-типа(2.44)(2.44)
получим
для волн 石-типа
получим
для волн 石-типа
(2.44)
(2.44)
для волн Н-тнпадля волн Н-тнпа(2.45)(2.45)
для волн Н-тнпа
для волн Н-тнпа
(2.45)
(2.45)
Определив на основанииОпределив на основаниивыражений (2.44), (2.45) (д^а), (д"а), а
Определив на основании
Определив на основании
также используя известную связь между д, h и к, найдем безразмерную постоянную распространения (拉石。)，^hHa^ цилиндрического волновода
(拉石。)= J(ka『£〃 一 (д^af + ikacZn,(2.46)
(h" a) = J (ко)? £〃 一 (g^q)? 十 ^^Zn.(2.47)
Случай несимметричного типа волн (力/力夕 * 0). В этом случае разделение на волны Е- и Я-типа не происходит. Поля в волноводе описываются совокупностью электрического и магнитного векторов Герца
Пг =Ле-^г7т(рг)е-^,
Пг = Ae~zhzJm{gry-^.
Составляющие полей имеют вид
马=-亍几(“)/5倭一询匂儿(“)晶一小
EГ= ihgJ^A^ -卓几m)糸一必 К = ihgJ^Ae-^ - ^Jm^gr}A^h\ Ez=g"gr)M-『
、Hz = g2Jm(gr)Ae~zhz,
Здесь множитель e~2?九* и далее опущен. Используя граничные условия (2.40), (2.41), получим дисперсионное уравнение
3 В. Ф. Кравченко
^m^d^ +Z^,/九(0a)^m^d^ +Z^,/九(0a)^J^(ga)Zn + 分^7/九(0°)]-^J^(ga)Zn + 分^7/九(0°)]-homahomaka,£〃gaka,£〃ga9=о,9=о,(h()af = (kaf £〃 - (goaf .(h()af = (kaf £〃 - (goaf .
^m^d^ +Z^,/九(0a)
^m^d^ +Z^,/九(0a)
^J^(ga)Zn + 分^7/九(0°)]-
^J^(ga)Zn + 分^7/九(0°)]-
homa
homa
ka,£〃ga
ka,£〃ga
9
=о,
9
=о,
(h()af = (kaf £〃 - (goaf .
(h()af = (kaf £〃 - (goaf .
Как и для симметричного типа колебаний, представим аргумент функции Бесселя в виде да = до а + да. Воспользовавшись тем, что /九(00。) =。для волн квази 石-типа, а «доа) = 0 для волн квази Н-тнпа, получим
—~Ё^n + (疝0)，(能)г№) №)2 L !к"厶(gga)? -[—~Ё^n + (疝0)，(能)г№) №)2 L !к"厶(gga)? -[(2.48)(2.48)hoamhoam]小0『a).(2.49)]小0『a).(2.49)
—~Ё^n + (疝0)，
(能)
г№) №)2 L !
к"厶(gga)? -[
—~Ё^n + (疝0)，
(能)
г№) №)2 L !
к"厶(gga)? -[
(2.48)
(2.48)
hoam
hoam
]小0『a).(2.49)
]小0『a).(2.49)
Расчет собственных частот и добротностей симметричных и несимметричных типов колебаний цилиндрического резонатора. Используя решение вспомогательной волноводной задачи, а именно: соотношения (2.46)-(2.49), определим собственные частоты и добротности цилиндрического резонатора. В этом случае граничные условия (2.36), (2.37) на торцах резонатора(2 = 0; 2 = /) имеют вид
厂貧匕)一，片}-⑵50)
Векторы Герца представим в виде
Пг = ЛД“)еТ?" (Ab必 + 氏必)，
Пг = J^grK-n (晶―必 + Be7hz^ ,
а компоненты полей в резонаторе запишем так
，石/=-牛 Jm(gr) (Ai - ge/l - ik^gJ^gr)(晶一m，+ 后「, % =泣gJU") (%e—必 + В” - ?ЛД“)(晶一必—以氾],
< Er = ihgJ^gr) (Ле-^г - 8е必)-产ЛД“)(晶一必 + 方е必)， Hr = ihgJ^gr)(晶―必—Вег^ - ^JmM (Ле-^г + Вегк^ , Ez = g2Jm(gr) (Ле-^ + Ве^),
、Hz = g2Jm(gr) (^Ae~zhz + Beihz} , *e〃 = p2 +
Удовлетворив граничным условиям (2.40), (2.41) и (2.50) в соотношении (2.51), получим для поперечного волнового числа выражения (2.48), (2.49), а для продольного волнового числа дисперсионные уравнения
для волн квази В-типа
勺冬)(1一勺zj =
(2.52)(2.52)
(2.52)
(2.52)
e-ihle-ihlПрименяяПрименяя(2.53)Z2 и(2.53)Z2 ивыше в соотношениях (2.52), (2.53), получимвыше в соотношениях (2.52), (2.53), получимдля волн квази 27-типа
e-ihl
e-ihl
Применяя
Применяя
(2.53)
Z2 и
(2.53)
Z2 и
выше в соотношениях (2.52), (2.53), получим
выше в соотношениях (2.52), (2.53), получим
для волн квази 石-типа
(2.54)(2.55)(2.54)(2.55)(人石。)=г—у (Zsi + Zs2)+ (拉о。), для волн квази Н-тнпа
(2.54)
(2.55)
(2.54)
(2.55)
(/г"а)=分^^ ("г)"('si + Zs2)+ (拉о。).
По найденным соотношениям для поперечных и продольных волновых чисел (2.48), (2.49), (2.54), (2.55) определим собственные частоты резонатора
(&) = [(gq『+ (haf^ / =
={(goof + (拉。。『+ 2 m制a)(河 + (%。)(而)]}"2 • (2.56)
При £ = 〃 = 1 имеем для волн квази 石-типа
(80)=(/a)2 + (拉。Q『=為+卜硝， (2.57) для волн квази Н-тнпа
用。)=(g/a)2 + (拉 0。『=^mn + 卜硝，(2.58)
где g#。= Nmn — "-й корень уравнения Jm (g#a) =。，0户。=^mn — n-й корень уравнения Jfm (g 炉 а) = 0, ho а = тгр(а//),夕=0, 1,2,….
Из (2.48), (2.49) и (2.56) получим
(/а)=(《а) {1 + z (8。尸[窑 + у (Zsi + 冬2)] } ,(2.59)
（1。）=（内。）｛1 + 2"。厂3又
XX4九+卜夕/爲）嗚"一m24九+卜夕/爲）嗚"一m2為 + (切『6У (Zsi + Z$2)>. (2.60)為 + (切『6У (Zsi + Z$2)>. (2.60)
X
X
4九+卜夕/爲）嗚"一m2
4九+卜夕/爲）嗚"一m2
為 + (切『6У (Zsi + Z$2)>. (2.60)
為 + (切『6У (Zsi + Z$2)>. (2.60)
Учитывая, что Zs = Rs + ^s выделим действительную и мнимую части(£%) и (1。)
Re [(£%)]=(转а) - [Xn + у (X，+ Xs»],
Im [(£%)] = ^Rn + у (Asi + 兄52),
Re [(1。)] = (8M —(£『。厂2 х
хх(切2 О (Xsi +Х§2)(切2 О (Xsi +Х§2)
х
х
(切2 О (Xsi +Х§2)
(切2 О (Xsi +Х§2)
Im ［（」a）］=（6『0厂2又
XX^mn + (тг夕/б^mn + (тг夕/б2，一兄九 + (тгр)2 (7) (Asi + 兄52)2，一兄九 + (тгр)2 (7) (Asi + 兄52)
X
X
^mn + (тг夕/б
^mn + (тг夕/б
2，
一兄九 + (тгр)2 (7) (Asi + 兄52)
2，
一兄九 + (тгр)2 (7) (Asi + 兄52)
Получим выражение для добротности колебаний Qmnp
Q тпрQ тпрRe(£%)2 Im (产a)Re(£%)2 Im (产a)(ga)—卜九 + у (Xsi + Xs〉](ga)—卜九 + у (Xsi + Xs〉]227 (Asi + a52)]7 (Asi + a52)](2.61)(2.61)
Q тпр
Q тпр
Re(£%)
2 Im (产a)
Re(£%)
2 Im (产a)
(ga)—卜九 + у (Xsi + Xs〉]
(ga)—卜九 + у (Xsi + Xs〉]
2
2
7 (Asi + a52)]
7 (Asi + a52)]
(2.61)
(2.61)
Re (1。)21m (10)=
2恁…2恁…(十а)一(十0)-9-9An + (可厂(7)QXsi + 2s2)
2恁…
2恁…
29A九 + (冗0厂(7)(Asi + a52)
(2.62)
Формулы (2.61) и (2.62) показывают, что добротность резонатора зависит не только от Rs, но и Х$. В литературе по резонаторам, в том числе по СП [12, 44, 45], подобная зависимость не упоминается. Считается, что добротность зависит от Rs и его геометрии. Эта зависимость выражается формулой Q = G]R$, где G — геометрический фактор, зависящий только от формы полости резонатора. Поправка к добротности резонатора за счет Xs составляет от долей до нескольких процентов.
2・5・ Уточнение значений поверхностного импедансасверхпроводников с помощью цилиндрическогосверхпроводящего резонатора
Постоянная распространения, как известно, связана с частотой / и скоростью света с следующим соотношением:
ТогдаТогда. 2тга/С Re. 2тга/С ReИз соотношений (2.59), (2.60) и (2.64) находим для волн квази 石-типаИз соотношений (2.59), (2.60) и (2.64) находим для волн квази 石-типа兄Si + 兄 S2 =兄Si + 兄 S2 =ТАТАХз +Х& = (/)儲 а)Хз +Х& = (/)儲 а)_ 2тш/ _ Y ' с，_ 2тш/ _ Y ' с，(2.63)(2.64)(2.65)(2.66)(2.63)(2.64)(2.65)(2.66)
Тогда
Тогда
. 2тга/
С Re
. 2тга/
С Re
Из соотношений (2.59), (2.60) и (2.64) находим для волн квази 石-типа
Из соотношений (2.59), (2.60) и (2.64) находим для волн квази 石-типа
兄Si + 兄 S2 =
兄Si + 兄 S2 =
ТА
ТА
Хз +Х& = (/)儲 а)
Хз +Х& = (/)儲 а)
_ 2тш/ _ Y ' с，
_ 2тш/ _ Y ' с，
(2.63)
(2.64)
(2.65)
(2.66)
(2.63)
(2.64)
(2.65)
(2.66)
для волн квази Н-тнпа
Rs、+ &2 =(切Rs、+ &2 =(切"Lx + (可扛"『"Lx + (可扛"『
Rs、+ &2 =(切
Rs、+ &2 =(切
"Lx + (可扛"『
"Lx + (可扛"『
Xsi + Х& =
(2.68)(2.68)
(2.68)
(2.68)
Таблица 2.2
Добротность Q(-104)
Поверхностное сопротивление (• ICT' отн. ед.)
Поверхностный реактанс 凡s?
(・10一5 отн. ед.)
Тип резонанса Еою (Лю ГГц)
1,03
6,25
3,21
1,20
5,35
3,21
1,38
4,69
3,21
1,55
4,16
3,21
1,70
3,79
3,21
Тип резонанса Еои (%
ГГц)
1,19
6,25
3,82
1,38
5,35
3,82
1,58
4,69
3,82
1,78
4,16
3,82
1,96
3,79
3,82
Тип резонанса Еш (Л12 ГГц)
1,56
6,25
3,74
1,82
5,35
3,74
2,08
4,69
3,74
2,34
4,16
3,74
2,57
3,79
3,74
Тип резонанса Кон (Л
41 ГГц)
3,66
5,64
3,87
4,27
4,83
3,87
4,88
4,23
3,87
5,49
3,76
3,87
6,04
3,42
3,87
Тип резонанса Яш (力
н ГГц)
1,72
4,86
2,52
2,00
4,16
2,52
2,29
3,64
2,52
2：58
3,24
2,52
2,83
2,94
2,52
Соотношения (2.65)—(2.68) позволяют уточнять поверхностный импеданс сверхпроводников. Если стенки резонатора изготовлены из материала с известным значением поверхностного импеданса (например, из меди), а торцы изготовлены из одного и того же сверхпроводящего материала, то значение поверхностного импеданса может быть опреде-
лено из соотношений (2.65)—(2.68) практически для любой резонансной моды Е- или Я-типа. Для этого необходимо только определить тип резонанса, частоту и добротность резонатора. Так как для решения краевой задачи был использован метод возмущений, точность предложенного способа не хуже |z/. В табл. 2.2 представлены результаты вычислений поверхностного импеданса по (2.65)—(2.66) для колебаний 石-типов и по (2.67)—(2.68) для колебаний Я-типов. Необходимые значения частот и добротностей были взяты из [46]. Размеры резонатора: Z = 8,56 см, 2а = 7,40 см. Поскольку в [46] приведены экспериментальные данные для медных резонаторов, то вычисления соответствуют поверхностному импедансу меди и согласуются с данными по ее импедансу [13]. Если стенки резонатора и один из торцов изготовлены из материала с известным значением поверхностного импеданса, а другой торец выполнен из сверхпроводника с неизвестным импедансом, то его значение также может быть определено из (2.65)-(2.68). Образец с неизвестным импедансом может представлять сверхпроводящую пленку на подложке. В этом случае из (2.65)-(2.68) можно определить значение эффективного поверхностного импеданса для системы сверхпроводник-подложка. Значение поверхностного импеданса материала пленки можно найти, зная связь между импедансом пленки и эффективным импедансом (2.15). Предложенная и обоснованная методика определения поверхностного импеданса сверхпроводников может быть применена для исследования свойств новых сверхпроводящих материалов, зависимости поверхностного импеданса от температуры, СВЧ-мощности и других физических параметров.
Методы определения скорости света, основанныена импедансных измерениях сверхпроводников
Стремление различных научных школ к раскрытию сущности одной из универсальных фундаментальных физических констант (ФФК) скорости света на протяжении длительного времени остается труднейшей задачей современной физики и метрологии. Эта проблема с научной точки зрения является многогранной, так как именно здесь в единый узел сплелись трудности выяснения природы света и измерения скорости его распространения, а также интерпретации этой абсолютной скорости. Наиболее ярким классическим примером может служить теоретический анализ этих проблем, который, как известно, привел А. Эйнштейна к необходимости радикального пересмотра казавшихся незыблемыми представлений о пространстве и времени, к созданию специальной теории относительности. Это в свою очередь позволило дать новую трактовку явлению гравитации и рождению космологии, как науки о происхождении и эволюции Вселенной. Широкому кругу специалистов стали доступны для физического анализа не только земные и астрономические наблюдения, но и глобальные проблемы раз-
вития Вселенной. Поэтому изучению ФФК скорости света посвящено большое число работ [47-51, 68, 73, 102, 113]. Уделим внимание тем исследованиям, которые непосредственно затрагивают наши научные интересы. Прежде всего, отметим ставшие классическими результаты К. Фрума и Л. Эссена [47]. Известно [47], что развитие техники СВЧ в военные и послевоенные годы позволило расширить возможности эксперимента, а именно: существенно увеличить точность измерения скорости распространения электромагнитных волн. В СВЧ диапазоне (длина волны около 1 см) оказались возможными очень точные, а главное, независимые измерения частоты излучения 沙 и его длины волны А. Таким образом, скорость распространения излучения с = уХ определяется также с высокой точностью. В [47] опубликованы результаты измерения скорости распространения излучения с длиной А = 4,2 мм и частотой 72,0006 ГГц (с = 299792,5 ± 0,1 км/с). Это значение с долгое время считалось наиболее точным. Возможности дальнейшего увеличения точности появились при проведении измерений в области высоких частот (меньших длин волн) и были реализованы после создания лазеров. Как известно из [48], излучение лазеров обладает рядом особенностей, которые выгодно отличают их от излучения других источников света. Это позволило повысить точность определения частоты. Стабильность частоты лазеров, как следует из [48], доведена до рекордных пределов. Измерения скорости света, выполненные различными группами ученых, дали практически совпадающие результаты. В США было получено значение с = 299792,4574 ± 0,0011 км/с, а в Англии с = 299792,4590 土 0,0008 км/с. Как видно, точность измерений ФФК скорости света по сравнению с измерениями, выполненными К. Фрумом, увеличилась почти в 100 раз и составляет в настоящее время примерно 3 • 10™9.
Однако история измерений скорости света на этом безусловно не заканчивается. С теоретической точки зрения необходимо обратить внимание на одно принципиальное обстоятельство: возможность уточнения ФФК скорости света в связи с созданием сверхпроводящих приборов для метрологии [49]. В статье Р. А. Кампера «Сверхпроводящие приборы для метрологии (см. [49], с. 181, раздел 6: Измерение частоты; подразделы 6.1: Стабильность генераторов; 6.2: Генераторы со сверхпроводящими объемными резонаторами) дан конкретный физический анализ полученных группой исследователей результатов, вселяющих надежду на то, что с помощью сверхпроводящих (СП) резонаторов возможно в СВЧ-диапазоне получить теоретические и экспериментальные результаты по уточнению значения с. Увеличение точности измерений не снимает остроты проблемы: принцип постоянства с пока нельзя рассматривать как прямой результат измерений. Как показывают предварительные исследования, которые были выполнены автором ранее [73, 102, 113], при физическом анализе самого понятия «скорость» возникают большие трудности, рассмотрение которых необходимо для понимания существа ФФК — скорости света.
Постановка задачи и метод ее решения. Используя результаты [73, 102, 113], рассмотрим физическую модель цилиндрического резонатора кругового поперечного сечения: исследуем краевую задачу уравнения Гельмгольца для случая симметричного колебания типа волн (6/6夕=0)
(2.69)(2.70)(2.69)(2.70)△и + к?叩 и = о,Et = 2s [Я, . 72],
(2.69)
(2.70)
(2.69)
(2.70)
с граничными условиями 3-го рода, где。｛ ^м ｝，口* Пэ — соответственно электрический и магнитный потенциалы Герца; п — вектор нормали к поверхности металла; Zs — поверхностный СП импеданс.
Тогда П| = Ae"hzj()(gr) для волн 石-типа, П^ = AezhzJ()(gr) для волн Я-типа. Составляющие полей Е屮,Ez, Er, Н屮,Hz, Hr имеют вид для волн 石-типа
Е 屮=0,Hz = 0,
я = —ikEgJ\(gr)Aahz, Нг = 0,(2.71)
= —ikgJ\(gr)Aezhz, Ez =居 J()(g 丁 )厶《必，
для волн 17-типа
石/ = ik^gJi^Ae^, Hz = -ihgJi^Ae^,
Я = о,Hr = g^Mgr)A^h\(2.72)
&9 = 0,Ez = О,
где必ё4 =g2 +层.
Граничные условия для волн 石-типа
Ez = -ZSH^,(2.73)
для волн Я-типа_
Е屮=ZsHz при г = а.(2.74)
Подставляя (2.71), (2.72) в (2.73), (2.74), получим для симметричных Е- и Н-типов волн следующие дисперсионные соотношения: для волн В-типа乙
gJo(gcz) = ikeZsJ｝ (go),(2.75)
для волн Я-типа
gZnJ()(ga) = ik^Ji(ga).(2.76)
Применив метод возмущений [23] к решению (2.75), (2.76) и, представив аргумент функции Бесселя в виде да = до а + да, а, также учитывая, что Jo(po о) = 0, получим
для волн 石-типа
上仔，(2.77)
для волн В-типа
(7。产=——2s.(2.78)
Определив (до)", (до)", а, также используя известную связь между д, h и к, найдем безразмерные постоянные распространения (力о) , (ha) цилиндрического волновода с СП стенками
(ha)E = J(ко/ £从-('(?of + ikaeZs,
/(2.79)
(/ш产=(kaf £^L - (g^af + 2。2s.
Случай несимметричного типа волн (m 老 0). При этом разделение на волны Е- и Н-типов не происходит. Поля в волноводе описываются совокупностью электрического и магнитного векторов Герца
П2 = A^hzJm{grym^, П2 = A^hzJm{grym^. (2.80)
Составляющие полей имеют вид
—ik^gJ^(gr)Aezhz,
瓦=ihgJ^gr)Ae^hz -
Я = ihgJ^Ae^ -
кцтT
吃一Лп(“)4е ,(2.81)
Hr = ihgJ>rn{gr')A^hz +
кет4
吃一
Ez=g2jm(gr)Ae%hz,
Hz = g’Jii 式 дг)АУ：&从=力 + 户.
Здесь множитель е""?* и далее опущен. Используя граничные условия (2.73), (2.74), получим дисперсионное уравнение
几(go) — i^-^-ZsJm(ga)几(go) — i^-^-ZsJm(ga)［儿(ga)Zs 一。^^厶①0)［儿(ga)Zs 一。^^厶①0)
几(go) — i^-^-ZsJm(ga)
几(go) — i^-^-ZsJm(ga)
［儿(ga)Zs 一。^^厶①0)
［儿(ga)Zs 一。^^厶①0)
h()mah()maка^/ёД дака^/ёД да2=0, (2.82)2=0, (2.82)(h()af = (kaf - (goaf .(h()af = (kaf - (goaf .(2.83)(2.83)
h()ma
h()ma
ка^/ёД да
ка^/ёД да
2
=0, (2.82)
2
=0, (2.82)
(h()af = (kaf - (goaf .
(h()af = (kaf - (goaf .
(2.83)
(2.83)
Также, как и для симметричного типа колебаний, представим аргумент функции Бесселя в виде да = до а + да, и, используя то, что Jm{g^ = О для квази волн 石-типа, a J^g^a) = 0 для квази волн Я-типа, получаем
(да)Е = ^в Д +(仇°)2，(2・84)
hoam 1 z
до) = —• -〈 1 + -〉Z$ + (po«)・(2.85)
Используя (2.84),(2.85), определяем (力。产"=(h()a)E'H —
Расчет собственных частот и добротностей симметричных и несимметричных типов колебаний с учетом СП импеданса стенок цилиндрического резонатора. Пользуясь решением вспомогательной волноводной задачи, а именно, соотношений (2.82)—(2.85), определяем собственные частоты и добротности цилиндрического резонатора. Для этого к граничным условиям (2.73), (2.74) следует добавить граничные условия на торцах резонатора
Er = -ZSH^, Ед = ZsHr, 2 = 0; Er = ZSH^,石夕=—ZsHr, z = 1.
(2.86)
Векторы Герца запишем в виде
П| = Jm{gry^ [A^hz + 8е—必)，
(2.87)
□夕=(?("户师(Aezhz + 8e-.
Тогда компоненты полей в резонаторе будут иметь вид
% = ?几(“)(/е® — Be^hz) - ik^gJ^gr) Re必 + 以-必)， / = ikegJ^gr) (Ле^г + Be^hz)-牛九(“)(条必-庆—沦)， Er = ihgJ^gr) {А^г -氏-必)_ 平1厶?匂吟 Re必 + Be^hz^ , Hr = ihgJ^gr}(晶人 _ Be^hz^ - ?^(дг)(Ае" + 氏一械)， Ez = дЬт(дгЦАег^ + Be^hz),
Hz = g2Jm(gr) (Ne^ + 以-必) &从=g2 + 庐.
(2.88) Выражения (2.88) должны удовлетворять граничным условиям (2.73), (2.74)
石z —Zsti屮、Г = Cl,
g2Jm(gr)(晶必 + 瓦-沦]=-Д (展"；?(“)(4е® + Be^hz)
Перегруппировав соотношения, получим
占九2 IA [p2Jm(pr) + Zsik£gJ^(gr^ - A^-J^gr^ =
=e{—8 ^Jm{gr) + Zsik£gJ^(gr^ — B^Jm(gr^ , r = a.
Это равенство должно выполняться при любых г, поэтому необходимо, чтобы коэффициенты при е" и е~"九^ равнялись 0. Так как при этом получаются идентичные выражения для А, А и В, В, то рассмотрим только одно из них
人~TTih
g + Zsik£gJ^(ga^ - A-—Jm(ga) = 0,
~Tnh小'
g Jm(ga) + Z$ikegJm(gG\ = /4 ° Jm(gG, E屮=ZsHz, г = cz, 牛几(“)\北必—Be^hz] - ik^gJM [1ег^ + Be^^]=
=Zsg2Jm(gr) 口_ B^hz] , r = a, (2.89)
^hz ^~A^Jm(gr) - A ^ikfigJ^gr) + Z^J^gr^ }=
=加{—8牛“(“)+ В「Aw%?(“)+ Zsg2Jm(gr)^ } , r = a. Аналогично запишем
/4. “ku，gJ 1m(ga) + Z$g—A ^(2.90)
Умножая (2.89) на (2.90), получаем
рлг(р«) + zsikegj^(ga^ ^ik^gJ^(ga) + Zsg2Jm(ga^ =
J^(pa) — i^^ZsJm(ga)—J^(pa) — i^^ZsJm(ga)—hmaка^Ддаhmaка^Дда2乙Z$，：(да) = 0.2乙Z$，：(да) = 0.
J^(pa) — i^^ZsJm(ga)—
J^(pa) — i^^ZsJm(ga)—
hma
ка^Дда
hma
ка^Дда
2乙
Z$，：(да) = 0.
2乙
Z$，：(да) = 0.
Для квази волн 石-типа Jm(po о) = 0. Представив да = д。。+ да, получаем
Лп(да) = Jm(po«) + j^g^ga = J^g^^a).
五加他。）-z饗五加他。）-z饗Тогда
五加他。）-z饗
五加他。）-z饗
4(伙0)(70)4(伙0)-。■^^之4(仇0)(70)
h()makay/ёД даh()makay/ёД да2五忘回。）（7。『=0.2五忘回。）（7。『=0.
h()makay/ёД да
h()makay/ёД да
2
五忘回。）（7。『=0.
2
五忘回。）（7。『=0.
Пренебрегая членами с @1『，имеем
=0.=0.
=0.
=0.
каекаеПолагая Z^(ga)《1, получаем Z$ —『了。)(讽)=0. Откуда
кае
кае
（7。产
Следовательно,
т В.(2.91)
Аналогичным образом, учитывая, что для квази волн Я-типа 几(goG = 0, а также пользуясь соотношением
（伙0）
которое легко выводится из свойств функции Бесселя, получим
h（）ma（的。）2h（）ma（的。）2五 + (他0产.(2.92)五 + (他0产.(2.92)
h（）ma
（的。）2
h（）ma
（的。）2
五 + (他0产.(2.92)
五 + (他0产.(2.92)
для квази волн 石-типа,для квази волн 石-типа,м для квази волн Я-типа.м для квази волн Я-типа.〜(2.93)Примем h = h()^ h. Тогда из первого уравнения (2.93) следует〜(2.93)Примем h = h()^ h. Тогда из первого уравнения (2.93) следует
для квази волн 石-типа,
для квази волн 石-типа,
м для квази волн Я-типа.
м для квази волн Я-типа.
〜(2.93)
Примем h = h()^ h. Тогда из первого уравнения (2.93) следует
〜(2.93)
Примем h = h()^ h. Тогда из первого уравнения (2.93) следует
Откуда, пренебрегая членами с Z|, получаем
Учитывая что е"?%。' = 1, так как е"%。'=『屈“,а также разложив е"?%' в ряд Тейлора, имеем
1 + 2；“s = (1 -(1 + 2加).
Пренебрегая Zsh, получаем h = —2〃^Zs.
Окончательно запишем
(haf = (hQa)-2^Zs.(2.94)
Аналогичные соотношения получаем для квази волн 27-типа
(haf = (%。) — 2〃^ бУ 2(2・95)
Далее, по (2.91), (2.92) и (2.94), (2.95) находим собственные частоты резонатора
С)=上00『+ 6"] / =С)=上00『+ 6"] / =
С)=上00『+ 6"] / =
С)=上00『+ 6"] / =
川涓后=疋^ + (тгр。/%/ .
Здесь о — радиус резонатора, go а = [imn — п-й корень уравнения Jm (go。)= 0, h()a = тгра/l, Z — длина резонатора, р = 0, 1,2, 3,....
Учитывая (2.97), получаем
/2) 1/2
為 + 卜- 2&1/2 (1 ++ 卜•
Тогда
(£а)Е =[唸〃 + (^у)]1/2 х
х 1- iZse^2 ^1 + 2唸я]}•⑵98)
Так как Zs = Rs + iXs, то выделим действительную и мнимую части
Re [«а)В]=Re [«а)В]=
Re [«а)В]=
Re [«а)В]=
Im風)[=院九+卜Р；)]/*
X \ —jRsf (1 + 2?)+ (亓歹?)} = —(1 + 2?) •
Тогда добротность колебаний для квази волн 石-типа
г2~1 /2
石 Re [(go)] J 1 + Xse"2 (1 + 2?〃*九 + 卜歹7)
Q^P 21m 上”;而2"(1+2力.
(2.99)
Аналогично для квази волн 27-типа запишем
(3产(3产(2.100)(2.100)
(3产
(3产
(2.100)
(2.100)
где
ReRe
Re
Re
В этом случае добротность
Заметим, что применявшийся ранее интегральный метод расчета потерь в резонаторе и его добротности [23, 24] позволял определять только мнимую добавку к собственным частотам резонаторов с идеально проводящими стенками. Методика, изложенная в данной работе, позволяет получить, во-первых, собственные частоты резонатора с поправкой как на действительную, так и на мнимую их части, а во-вторых, более точные соотношения для расчета собственных добротностей резонаторов со стенками, обладающими импедансной сверхпроводимостью.
Уточненные соотношения для определения ФФК скорости света резонаторным методом. Известны методы определения скорости света с при помощи объемных резонаторов [47]. Объектом измерения служат электродинамические характеристики объемных резонаторов на заданных частотах. По этим измерениям, используя соответствующие соотношения, определяется с. Влияние потерь в стенках резонатора, обусловленное проникновением электромагнитного поля внутрь металлической поверхности, учитывалось приближенно. Это приводило, кроме погрешности измерений, к погрешности в определении скорости света за счет неточности соотношений, по которым она рассчитывалась. Строгое решение внутренней краевой задачи об определении собственных частот цилиндрических резонаторов с учетом конечной проводимости сверхпроводящих стенок, полученное в [73], позволяет исключить эту погрешность. На основании (2.99), (2.100) можно получить существенно более точные выражения для определения величины ФФК скорости света, чем предложенные в [102, 113]. Для косвенного вычисления скорости света по результатам измерений геометрических параметров и резонансных частот СП цилиндрического резонатора имеют место соотношения, в зависимости от того, проводились ли измерения на квази волнах 石-типа либо Н-тнпа.
Тогда с учетом 頂^)= с [^(т, п,р)а\Е^Н^ /(2тга) получаем для квази волн В-типа
(2.104)(2.104)
(2.104)
(2.104)
для квази волн 27-типа
сс
с
с
Соотношения (2.104), (2.105) выведены с помощью метода возмущений [16].
К уточнению ФФК скорости света для сравнения с методом возмущений был использован также метод обобщенных собственных колебаний (ОМСК). Этот метод подробно изложен в [50]. Согласно ему к краевой задаче (2.69) был применен импедансный метод ОМСК.
Внутри сверхпроводящего кругового цилиндра 0 ^ г ^ а, 0 г ^ / с граничными условиями (2.73), (2.74) (2.86), а также структур полей (2.71), (2.72). Для случая симметричных типов волн, когда д〔д屮=О (т = 0), решения задачи подразделяются на Е- и 27-типы колебаний. При этом составляющие полей Е п Н имеют такой же вид, который был получен ранее в (2.87)—(2.89). Удовлетворяя граничным условиям на сверхпроводящих стенках резонатора для волн Е- и Я-типов, получаем дисперсионное уравнение, одинаковое для обеих типов волн,
sinh Isinh I厶(д〃)(/ш) Jo(ga)(ga)厶(д〃)(/ш) Jo(ga)(ga)cosh / =cosh / =厶(д〃)(/ш) Jo(ga)(ga)厶(д〃)(/ш) Jo(ga)(ga)coshZ +coshZ +Ji(g〃)d〃) Jo(ga)(ga)Ji(g〃)d〃) Jo(ga)(ga)sinh I , (2.106)sinh I , (2.106)которое выполняется при некоторых дискретных значениях дп. Подстакоторое выполняется при некоторых дискретных значениях дп. Подстановка этих значений в структуру электромагнитных полей для волн Е- и Я-типов с использованием граничных условий (2.73), (2.74) приводит к определению собственных значений задачи, то есть собственныхновка этих значений в структуру электромагнитных полей для волн Е- и Я-типов с использованием граничных условий (2.73), (2.74) приводит к определению собственных значений задачи, то есть собственныхимпедансов Zn: для В-типа волнимпедансов Zn: для В-типа волн(2.107)(2.107)
sinh I
sinh I
厶(д〃)(/ш) Jo(ga)(ga)
厶(д〃)(/ш) Jo(ga)(ga)
cosh / =
cosh / =
厶(д〃)(/ш) Jo(ga)(ga)
厶(д〃)(/ш) Jo(ga)(ga)
coshZ +
coshZ +
Ji(g〃)d〃) Jo(ga)(ga)
Ji(g〃)d〃) Jo(ga)(ga)
sinh I , (2.106)
sinh I , (2.106)
которое выполняется при некоторых дискретных значениях дп. Подста
которое выполняется при некоторых дискретных значениях дп. Подста
новка этих значений в структуру электромагнитных полей для волн Е- и Я-типов с использованием граничных условий (2.73), (2.74) приводит к определению собственных значений задачи, то есть собственных
новка этих значений в структуру электромагнитных полей для волн Е- и Я-типов с использованием граничных условий (2.73), (2.74) приводит к определению собственных значений задачи, то есть собственных
импедансов Zn: для В-типа волн
импедансов Zn: для В-типа волн
(2.107)
(2.107)
(2.108)(2.108)для Я-типа волн
(2.108)
(2.108)
9п J1 (рп 〃)
Отметим, что собственные импедансы являются чисто мнимыми. Приравнивая их значения к величине мнимой части сверхпроводящего импеданса стенок резонатора Zs =応 + OXs, по (2.107), (2.108) получаем при заданных его размерах, соответствующее значение к、 которое позволяет рассчитать ФФК скорости света с = 2тг//А, если задана частота соответствующего типа колебаний. Результаты сравнения скоростей света, определенных методом возмущений и методом обобщенных собственных колебаний, для различных значений мнимой части сверхпроводящего импеданса приведены в таблицах 2.3-2.6.
Впервые методом возмущений были проведены исследования по уточнению ФФК скорости света на основе СП цилиндрических резонаторов. На основании решения внутренней краевой задачи 3-го рода получены аналитические соотношения для определения основных электродинамических характеристик СП резонаторов. Построенная и обоснованная теория позволила разработать алгоритмы удобные для проведения численных экспериментов по уточнению ФФК скорости света, а также физического анализа этих результатов. Впервые для решения поставленной проблемы был использован метод обобщенных собственных колебаний (ОМСК). Проведенные по уточнению ФФК скорости света численные эксперименты двумя различными математическими методами (метод возмущений и метод ОМСК) позволили сделать вывод об их эффективности. Полученные аналитические со-
Тип колебаний
Частота, ГГц
Xs, отн. ед.
Скорость света, км/с
Максимальная отн. погрешность
Метод возмущений
ОМСК
^010
3,10212
299788649,9
299788621,5
1 • ЮТ
ю-6
299788609,7
299788442,9
1 • 10~12
ю-5
299788248,0
299786836,1
1 • 10-10
10—4
299784631,1
299770769,3
1 • 10—8
10-3
299748462,0
299766876,9
1 • 10—6
3,56238
299787789,3
299787764,5
1 • 10—12
10-6
299787762,8
299787562,1
1 • 10—12
10-5
299787524,0
299785740,7
1 • 10-1°
10-4
299785135,7
299767527,8
1 • ю-8
10-3
299761252,8
299585560,7
1 • 10~6
e012
4,67881
299776408,0
299776387,7
1 • 10—2
10~6
299776396,3
299776233,6
1 • 10~12
10-5
299776290,9
299774846,9
1 • 10-10
10—4
299775236,9
299760980,7
1 • 10-8
10—3
299764697,0
299622413,2
1 • 10~6
Таблица 2.3
Длина резонатора / = 8,55844 см, диаметр резонатора 2a = 7,39759 см.
Необходимые для расчета значения размеров и частот взяты из [47].
Тип колебаний
Частота, ГГц
Xs, отн. ед.
Скорость света, км/с
Максимальная отн. погрешность
Метод возмущений
ОМСК
Яон
5,202445
ю-6
10—5
10-4
10—3
299948609,3
299948536,9
299947885,0
299941366,2
299876178,6
299948611,1
299948538,7
299947886,8
299941368,1
299876190,4
1 • 10~12
1 • 10~12
1 • ю^10
1 • ю-8
1 • 10-6
Таблица 2.4
I = 2а = 7,6 см. Необходимые для расчета значения размеров и частот взяты из [45].
отношения дают возможность провести самостоятельные исследования по дифракционным эффектам на основе определения скорости света. Исследования по уточнению ФФК скорости света на основе объемных резонаторов являются реперными к построению теории открытых СП резонаторов, результаты которой должны базироваться на решении вспомогательных дифракционных внешних краевых задач [45, 66, 69]. Таким образом, впервые появляется принципиальная возможность, создав эту теорию, получить алгоритмы и программы по уточнению скорости света. Кроме того, по этим соотношениям для конкретных физических моделей открытых СП резонаторов, например, интерферометров Фабри-Перо, дисковых [73], цилиндрических и других геомет-
Тип колебаний
Частота, ГГц
Xs, отн. ед.
Скорость света, км/с
Метод возмущений
ОМСК
Есио
3,10212
0
299788649,9
299788621,5
10-6
299788609,7
299788442,9
10—5
299788248,0
299786836,1
10-4
299784631,1
299770769,3
ICT'
299748462,0
299766876,9
3,56238
0
299787789,3
299787764,5
10-6
299787762,8
299787562,1
10—5
299787524,0
299785740,7
10—4
299785135,7
299767527,8
10—3
299761252,8
299585560,7
e012
4,67881
0
299776408,0
299776387,7
10-6
299776396,3
299776233,6
10—5
299776290,9
299774846,9
10-4
299775236,9
299760980,7
10—3
299764697,0
299622413,2
Таблица 2.5
Длина резонатора I = 8,55844 см, диаметр резонатора 2a = 7,39759 см.
Необходимые для расчета значения размеров и частот взяты из [47].
взяты из [45].
Тип колебаний
Частота, ГГц
Xs, отн. ед.
Скорость света, км/с
Метод возмущений
ОМСК
Яоп
5,202445
10-6
ю-5
10-4
10~3
299948609,3
299948536,9
299947885,0
299941366,2
299876178,6
299948611,1
299948538,7
299947886,8
299941368,1
299876190,4
Таблица 2.6
/ = 2а = 7,6 см. Необходимые для расчета значения размеров и частот
рических конфигураций, появляется реальная возможность проведения экспериментальных исследований относительно определения скорости света.
Резонансные свойства плоского волноводасо сверхпроводящей стенкой
Рассмотрим плоский волновод, ограниченный двумя параллельными плоскостями т = 0 и т = а. Плоскость т = 0 является идеально проводящей, а плоскость .т = 〃 一 сверхпроводящей, характеризуемой поверхностным импедансом Zs, который описывается в рамках фено-
менологической двухжидкостной модели [13, 123]. При рассмотрении сверхпроводящих пленок (СП) и различных сложных сверхпроводящих структур существует аналитическая формула для поверхностного импеданса [86, 89]
Zsosh(d/b) +ZnCh(d/b)
s°Zsoch(d/6)+Znsh(d/b)， 丿
где Zs(), Zn — поверхностные импедансы массивного сверхпроводника и подложки; 6 ——комплексная глубина проникновения; d ——толщина пленки из сверхпроводника.
Математическая постановка задачи. Считаем поле не зависящим от координаты g (двумерный случай). Среда внутри волновода характеризуется диэлектрической проницаемостью е (т, г), которая в общем случае кусочно-гладкая функция переменных т и г, а вне участка О W / W d равна 1. Пусть слева из —сю падает нормальная волна типа Ню единичной амплитуды. Поля периодически меняются во времени по закону е—^еДля выбранной временной зависимости уравнения Максвелла запишутся в виде
rot Н = —ike (т, г) Е, rot Е = ikH, к = —. (2.110)
В случае В-волн компоненты электромагнитного поля
связаны соотношениями
dzox
(2-111)
dEv .
—— = i，kHx、 dz
(2.112)
dEy
—= ^kHz. ox
(2.113)
Компоненты Hx и Hz выражаются через Ey . Таким
образом, для
нахождения компоненты электромагнитного поля Еу имеем уравнение
Гельмгольца с переменным кусочно-гладким коэффициентом
力 ＜，力 j + "% (к, /) Ey = 0.(2.114)
Условия на стенках волновода примут вид
石儿=о = О，(2.115)
Ey\x=a = ZsHz\x=a.(2.Н6)
где Z§ — заданный, в общем случае переменный по г на участке 0 V / V d, поверхностный импеданс.
Из (2.113) и (2.116) следует
-崇• Еу = 0.(2.117)
Таким образом, математическая задача сводится к нахождению решения и = Еу уравнения Гельмгольца
△次.т,/)+*£(7, /)〃(/,/)=0(2.118)
в полосе {0 V .т V а, —сю < г < +сю} с граничными условиями
М』=。，(2.119)
=。‘-今(2.120)
Условиями сопряжения налиниях разрывае (т, г), которые при
/ = 0 и z = d заключаются в требовании непрерывности функции 〃(.т, г) и её производной
同z=o,d =。，。V 7 V а,(2.121)
岗i = 0, 0(2.122)
а также условиями излучения и возбуждения, заключающимися в отсутствии на ±сю нормальных волн, кроме падающей волны типа 留()
次.т,/) = exp (О》/) Хм) + £ 区气 exp (―，々气/) Хп, г < 0,(2.123)
〃(.т, /) = $^ Tn exp gn /) Хп, г > d,(2.124)
где R”、Т” 一 коэффициенты прохождения и отражения нормальных волн, рассеянных нерегулярным участком волновода; 7n =，卜2 —潦 — постоянные распространения нормальных волн пустого волновода с импедансной стенкой; А„ ——собственные значения; Хп ——собственные функции задачи Штурма-Лиувилля со слабо несамосопряженным (同《1) граничным условием 3-го рода
7(.Т)+ 入沁⑺=0, те (0, а),
< Хп(0)=0,(2.125)
、а . X/ (а) + Хп (а) = 0, (Re а > 0).
При условии |а|《1 спектр собственных значений не вырожден. Комплекснозначные собственные функции Хп (т) = sin А„т ортогональ-
ны в комплексном пространстве 厶⑼ а) с псевдоскалярным произведением и образуют базис, квадрат псевдонормы отличен от нуля и
2〃 + а(у^ + Q
равен \\Хп II = ——^. Для нахождения собственных значений,
2 1)
используя дифференциально-параметрической метод (ДП-метод [124]), приходим к задаче Коши
'd入П入п
(2.126)(2.126)da 1 + a + A^
(2.126)
(2.126)
、元 In =*，(几=1,2,
Если |q|《1, то разлагая собственные значения А„ в окрестности q = 0, получаем для них аналитические выражения
a=0a=0QaQa(2.127)(2.127)
a=0
a=0
Q
a
Q
a
(2.127)
(2.127)
Воспользовавшись (2.121), (2.122) и исключая Rn и Тп, запишем условия при z = 0nz = dB виде
|^(0) +2)^(0) Х"т = 2nm ||Xn?『“i,(2.128)
о L
“ ди
正(d)© XmdT = 0.(2.129)
о
Решение краевой задачи. Решение данной краевой задачи проводим ортогональным методом Галеркина [125]. Приближенное решение ищем в виде
N
次7,2)= £с；(/)Хп(.т).(2.130)
Для нахождения коэффициентов С„(г) получаем краевую задачу для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами
N、
С，(/) u〉] Q/nn(N)Cn，
(2.131)(2.131)4z ⑼ + ПтСт(О) = 2?7м"1, >
(2.131)
(2.131)
<4(d) — "m(d) = 0,
(m= 1,2,,
21 Г
где amn(z)=(入壮)Втп -友 о(7, /) sinAn7Tsin Xnxdx.
Для численного решения задачи (2.117) на ЭВМ применялся метод дифференциальной прогонки.
Численный эксперимент. Рассматривался плоский волновод (а = 20 мм) с включением из поликора (& = 9,6) в виде квадрата (10 х 10 мм), находящегося на расстоянии 4 мм от идеально проводящей стенки. Импеданс сверхпроводящей стенки вычислялся по формуле (2.109) для высокотемпературного сверхпроводника YBaCuO [86, 89].
9,309,319,329,339,349,359,369,37 Z ГГц
0 5 0 5 0ьг О-- ^ 1^ ^ л^ Z0 5 0 5 0ьг О-- ^ 1^ ^ л^ ZРис. 2.6Рис. 2.6Рис. 2.7Рис. 2.7о- _5一 —10—15-
0 5 0 5 0ьг О-- ^ 1^ ^ л^ Z
0 5 0 5 0ьг О-- ^ 1^ ^ л^ Z
Рис. 2.6
Рис. 2.6
Рис. 2.7
Рис. 2.7
На рис. 2.6 приведен график функции, представляющей зависимость коэффициента пропускания ХПрОш = 101og (|Т|2) от частоты. Эта
функция имеет локальный экстремум при / у 9,33 Ггц. Исследовалось влияние толщины сверхпроводника на характер резонансной кривой.
На рис. 2.7 приведены кривые для различной толщины СП: кривая / соответствует d у \6\ (в этом случае влияние СП практически не сказывается), кривая 2 — d у 同 /10, т. е. Zs = 1,16 ■ 10-4 + 2,51 • 10-5Л кривая 3 d \6\ /100, т. е. Zs = 1,16 • 10-3 + 2,55 • 10-4z. При этом
=|q| С 1. Таким образом, значение коэффициента пропускания волны Ню на резонансной частоте существенно зависит от величины поверхностного импеданса сверхпроводника.
Глава 3
СВЕРХПРОВОДЯЩИЕОТКРЫТЫЕ РЕЗОНАТОРЫ
Квантовые генераторы, осуществленные к настоящему времени во многих вариантах, в качестве колебательной системы имеют открытый резонатор, который в простейшем случае состоит из двух параллельных плоских зеркал, расположенных друг против друга. Открытые резонаторы такого типа рассматривались в [23, 32, 33, 34, 47, 52-53]. Применение сверхпроводников и СП покрытий в зеркалах таких резонаторов позволяет улучшить их электродинамические характеристики в СВЧ диапазоне. Здесь на основании [32, 33, 54] рассмотрены колебания открытых резонаторов, образованных плоскими параллельными сверхпроводящими прямоугольными и круглыми зеркалами. Получены выражения для собственных частот и добротностей таких резонаторов. Рассмотрено влияние поверхностного импеданса сверхпроводников на сдвиг резонансных частот. Для случая зеркал, состоящих из СП пленки на подложке, с помощью эквивалентных граничных условий определяются основные электродинамические характеристики резонаторов с такими зеркалами. Получены численные результаты для некоторых известных низко- и высокотемпературных СП материалов. Для сравнения приведены результаты вычислений характеристик резонаторов с нормально проводящими и идеально проводящими зеркалами.
Сверхпроводящие открытые резонаторыс плоскими прямоугольными и круглыми зеркалами
Рассмотрим сверхпроводящие открытые резонаторы (ОР) с плоскими прямоугольными (—“2 < т < 〃/2, —Ь/2 < у < Ь/2, г = —//2, //2, рис. 3.1, а) и круглыми зеркалами (0 < г < а, г = —Z/2 J/2, рис. 3.1,6).
Требуется найти решения уравнения Гельмгольца
удовлетворяющее
Рис. 3.1. Открытые СП резонаторы с плоскими прямоугольными (а) и круглыми (6) зеркаламиРис. 3.1. Открытые СП резонаторы с плоскими прямоугольными (а) и круглыми (6) зеркалами
Рис. 3.1. Открытые СП резонаторы с плоскими прямоугольными (а) и круглыми (6) зеркалами
Рис. 3.1. Открытые СП резонаторы с плоскими прямоугольными (а) и круглыми (6) зеркалами
граничным условиям на сверхпроводящих зеркалах
аздпаздпО,О,(3.2)(3.2)
аз
дп
аз
дп
О,
О,
(3.2)
(3.2)
где Zs = Rs + iXs — поверхностный импеданс сверхпроводника, п — вектор нормали к поверхности сверхпроводника,
условию Мейкснера на ребре
\^\2dV < сю
условию излучения на бесконечности
lim р ( ——h ik业 |=0.
Применим метод возмущений к решению данной задачи. Вначале рассмотрим решение задачи с граничными условиями для идеально проводящих плоских прямоугольных зеркал, а затем получим поправку с учетом граничных условий (3.2). Потенциал Ф [32] представим в виде
Ф =—(3.3)
где W(x, у, г) — функция, слабо зависящая от г.
Тогда эллиптическое уравнение (3.1) сводится к параболическому
О,О,(3.4)(3.4)а2ж а2ж —
О,
О,
(3.4)
(3.4)
д^ + ду2 2 • dz
которое допускает решение в виде
W = Wa{x^z)Wb{y^z\(3.5)
где функции Wa и 0% удовлетворяют уравнениям
9/29/22严=。,UZ2严=。,UZ(3.6)(3.6)дх2дх220.uz20.uz
9/2
9/2
2严=。,UZ
2严=。,UZ
(3.6)
(3.6)
дх2
дх2
20.uz
20.uz
Соотношения (3.6) показывают, что функции Wa и 0% являются решениями соответствующих двухмерных задач [32]. Распределение W на зеркалах имеет вид
(3.7)(3.7)Г COS [ ПШХ Г COS [ пт2770 年
(3.7)
(3.7)
(sin J а( —) I sin J/
гдегде
где
где
Нечетным значениям т и п в (3.7) соответствуют косинусы, а четным синусы. Собственные частоты таких колебаний с учетом поправки на поверхностный импеданс сверхпроводников определяются по формуле
左""宴(1 ；) + 疗(1 -今)+ 2%.(3.8)
Выделив действительную и мнимую части в (3.8), получим добротность резонатора
Re(kZ)Re(kZ)2Х$,2Х$,(3.9)(3.9)
Re(kZ)
Re(kZ)
2Х$,
2Х$,
(3.9)
(3.9)
В случае открытого сверхпроводящего резонатора с круглыми зеркалами (рис. 3.1, 6) функция VK",夕，n) в квазиоптическом приближении может быть представлена [33] следующим образом:В случае открытого сверхпроводящего резонатора с круглыми зеркалами (рис. 3.1, 6) функция VK",夕，n) в квазиоптическом приближении может быть представлена [33] следующим образом:
В случае открытого сверхпроводящего резонатора с круглыми зеркалами (рис. 3.1, 6) функция VK",夕，n) в квазиоптическом приближении может быть представлена [33] следующим образом:
В случае открытого сверхпроводящего резонатора с круглыми зеркалами (рис. 3.1, 6) функция VK",夕，n) в квазиоптическом приближении может быть представлена [33] следующим образом:
夕，/) = ЛДд丁)cos (тгф + 夕о)卢哈，г = —//2; I/2, г < a.
(3.12)
В этом случае поперечное волновое число д находится из уравнения
W =/2)\/lJk gJ^ga}, г = а.(3.13)
Из (3.12) и (3.13) следует дисперсионное уравнение
= —(7/2)717^0 几(ga)・(3.14)
Отсюда определяем д
д= / Rm”(3.15)
Ml+7/v^)
где 4rm?——n-й положительный корень уравнения •〃(〃) = 0. Распределение тока на зеркалах определяется функцией
1f =i；kWg?l/2)e1M/2 (1 +厂Ns) .(3.16)
47r
Собственные частоты найдем из соотношения
Выделив действительную и мнимую части в (3.17), получим добротность сверхпроводящего открытого дискового резонатора
Q
(3.18)
(3.19)
е
Рис. 3.2. Добротности открытых резонаторов с прямоугольными плоскими зеркалами, а) а = 0,19 м, 6 = 0,30 м, 2 = 1,00 м; б) а = 0,19 м, 6 = 0,19 м, / = 0,30 м; в) а = 0,19 м, Ъ = 0,30 м, / = 0,30 м. / ——идеально проводящий материал, 2 — нормально проводящий материал (Си), 3 — низкотемпературный
СП, 4 — высокотемпературный СП
Соотношения (3.8), (3.11), (3.17) и (3.20) переходят в известные [22, 23] для идеально проводящих и нормально проводящих зеркал при
подстановке Zs = 0 и Zs = Zn (импеданс нормального проводника) соответственно.
Численный эксперимент. Для проведения вычислений по соотношениям (3.8)-(3.11) и (3.17)-(3.20) использовались следующие материалы: нормально проводящий металл ——медь, НТСП ——ниобий, ВТСП ——YBaCuO. Значения поверхностного импеданса взяты из [1, 13]. Исследовались зависимости добротности основных резонансных типов колебаний 石。叮 от длины волны резонанса, а также влияние поверхностного реактанса сверхпроводников на сдвиг резонансных частот.
На рисунках 3.2, 3.3 приведены добротности колебаний 石⑺口 от длины волны резонанса, а в таблице 3.1 — результаты расчета сдвига резонансной частоты за счет поверхностного реактанса материала для прямоугольных зеркал. Резонатор из ниобия имеет максимальную добротность Q = 2 • IO' при А = 0,4 мм. Это на порядок превосходит добротность медного резонатора на той же частоте. Хотя потери в материале уменьшаются с увеличением А, добротность при этом не увеличивается, так как на низких частотах преобладают дифракционные потери. Для сравнения приведены добротности для резонаторов с идеально проводящими зеркалами. Заметим, что для медных резонаторов значения добротности хорошо согласуются с экспериментальными результатами [47, 52-53].
Таким образом, предложенная методика определения основных электродинамических характеристик открытых сверхпроводящих резонаторов с плоскими зеркалами является обобщением результатов [32, 33]. Она позволяет для каждого колебания легко вычислить собственную частоту, радиационные потери, распределение сверхпроводящего тока на зеркалах, добротность. Из соотношений (3.3), (3.7), (3.12) можно построить распределение электрического и магнитного поля
Рис. 3.3. Добротности открытых резонаторов с круглыми плоскими зеркалами; а = 0,095 м, / = 0,30 м. / — идеально проводящий материал, 2 — нормально проводящий материал (Си), 3 ——низкотемпературный СП, 4 ——высокотемпературный СП
Таблица 3.1. Резонатор с прямоугольными плоскими зеркалами: а = 0,19 м, 6 = 0,19 м, / = 0,30 м.
Резонансная частота, ГГц
Длина волны, мкм
Сдвиг частоты за счет поверхностного импеданса материала, ГГц
медь
ниобий
ВТСП
500
250
1200
108
45,1
633
1000
500
600
154
91,6
1260
1500
750
400
188
137
1900
2000
1000
300
217
183
2530
2500
1250
240
243
229
3160
3000
1500
200
266
274
3800
3500
1750
171
288
320
4430
4000
2000
150
308
366
5060
4500
2250
133
326
412
5700
5000
2500
120
344
458
6330
5500
2750
109
361
503
6960
6000
3000
100
377
549
7600
6500
3250
92
392
595
8230
7000
3500
85,7
407
641
8860
7500
3750
80,0
421
687
9490
8000
4000
75,0
435
732
10100
8500
4250
70,6
449
778
10700
9000
4500
66,7
462
824
11300
9500
4750
63,1
474
870
12000
10000
5000
60,0
487
916
12600
10500
5250
57,1
499
961
13300
11000
5500
54,5
510
1000
13900
11500
5750
52,1
522
1050
14500
12000
6000
50,0
533
1100
15200
12500
6250
48,0
544
1140
15800
13000
6500
46,1
555
1190
16400
13500
6750
44,4
565
1230
17100
14000
7000
42,8
576
1280
17700
14500
7250
41,3
586
1320
18300
15000
7500
40,0
596
1370
19000
15500
7750
38,7
606
1420
19600
16000
8000
37,5
616
1460
20200
16500
8250
36,3
625
1510
20900
17000
8500
35,2
635
1560
21500
17500
8750
34,2
644
1600
22100
18000
9000
33,3
653
1650
22800
18500
9250
32,4
662
1690
23400
19000
9500
31,5
671
1740
24000
19500
9750
30,7
680
1780
24700
20000
10000
30,0
688
1830
25300
в объеме резонатора. Полученные аналитические соотношения имеют простой вид, не представляют трудностей при вычислениях и удобны для физического анализа.
Открытые резонаторы с плоскими зеркаламина основе ВТСП пленок
Для определения физических характеристик таких СП резонаторов в соотношениях (3.8)-(3.11) и (3.21)-(3.24) заменим Z,$ на эффективный импеданс Z哂巾.На рис. 3.4, 3.5 представлены добротности резонаторов с прямоугольными и круглыми зеркалами из ВТСП пленок на подложке. Материал подложки: поликор, £ = 9,96 + i • 10^. Для сравнения приведены кривые для сплошного массивного ВТСП. Кривые для пленок имеют осциллирующий характер, что обусловлено частотно-селективными свойствами слоистых структур. Как следует из
Рис. 3.4. Добротности открытых резонаторов с прямоугольными плоскими зеркалами, а) а = 0,19 м, 6 = 0,19 м, / = 0,30 м, di = 10-7,击=10-3; б) а = 0,19 м, Ъ = 0,19 м, / = 0,30 м,力=10一°, dz = 10-3; в) a = 0,19 м, 6 = 0,19 м, / = 0,30 м,必=КГ’，击=10~2. / — сплошной ВТСП, 2 — ВТСП пленка на подложке
Рис. 3.5. Добротности открытых резонаторов с круглыми плоскими зеркалами. а) а = 0,195 м, / = 0,30 м, di = 10-7, d? = 10-б) a = 0,195 м, I = 0,30 м, % = 10—5,办=IO-3; в) a = 0,195 м, I = 0,30 м, d\ = 10~7,办=10~2. / - сплошной ВТСП, 2 — ВТСП пленка на подложке
рис. 3.4, 3.5, добротность ВТСП резонатора может быть существенно увеличена за счет подбора толщины пленки и подложки, а также соответствующего выбора номера резонансной моды.
Уточнение значений поверхностного импедансасверхпроводников с помощью открытогоСП резонатора
Используя связь между постоянной распространения к, частотой /
и скоростью света с
2тга/
Re (")'
выразим постоянную распространения через частоту и добротность
резонаторарезонатораIm (")Im (")QcQc(3.22)(3.22)
резонатора
резонатора
Im (")
Im (")
Qc
Qc
(3.22)
(3.22)
Подставив (3.22) в (3.9) и (3.10), получим формулы для нахождения 凡 и Х$ с помощью открытого резонатора с прямоугольными плоскими зеркалами
Rs = IRs = I,(3.23) с J(3.24),(3.23) с J(3.24)
Rs = I
Rs = I
,(3.23) с J
(3.24)
,(3.23) с J
(3.24)
Для нахождения Rs и Х,$ с помощью открытого резонатора с круглыми плоскими зеркалами необходимо подставить (3.22) в (3.18) и (3.19)
(3.25)(3.25)RsRs(3.26)(3.26)
(3.25)
(3.25)
Rs
Rs
(3.26)
(3.26)
Формулы (3.23)-(3.26) позволяют определять значения поверхностного импеданса сверхпроводников и СП покрытий. Для этого необходимо измерить резонансную частоту и добротность резонатора. Преимущество такого подхода заключается в его простоте. Поскольку при выводе формул (3.8)-(3.11) и (3.17)-(3.20) применялся метод возмущений по параметру Zs, то точность его будет не хуже |2$「. Другими словами, чем меньше значение поверхностного импеданса, тем точнее оно будет определено.
Открытые конфокальные резонаторысо сверхпроводящими цилиндрическими зеркаламипрямоугольной формы
Разработка новых устройств и методик для миллиметрового и субмиллиметрового диапазонов длин волн приводит к необходимости продолжения исследований по созданию и модернизации адекватных электродинамических систем, наиболее предпочтительными из которых, в силу известных преимуществ, являются открытые резонансные системы [126]. Применение в такихсистемах сверхпроводящих материалов может привести для ряда конструкций к улучшению их свойств и характеристик.
Рис. 3.6Рис. 3.6Постановка задачи. Рассмотрим [111] цилиндрический резонатор (рис. 3.6) с зеркалами прямоугольной формы (го ——радиус кривизны зеркал, 2/ ——расстояния между зеркалами, 2a — ширина зеркал, 2b — высота зеркал).
Рис. 3.6
Рис. 3.6
Перейдем в эллиптическую систему координат, соответствующую зеркалам резонатора, так как в ней все соотношения приобретают наиболее простой вид.
Введем в плоскости /, г эллиптические координаты С
dch，sing, / = dsh，cos£, где — ос < ( < ос,
7Г7Г2^2 (3.27)7Г7Г2^2 (3.27)и 2d есть расстояние между фокусами эллипсов，= const. Зададим поверхности цилиндрических зеркал соотношениями
7Г7Г
2^2 (3.27)
7Г7Г
2^2 (3.27)
Тогда при условииТогда при условииsin2 g《ch2 ,sin2 g《ch2 ,(3.29)(3.29)-ё < е < ё < ь, с = <(3.28)
Тогда при условии
Тогда при условии
sin2 g《ch2 ,
sin2 g《ch2 ,
(3.29)
(3.29)
эти зеркала будут иметь практически постоянный радиус кривизны. Исходя из геометрических величин го, I, а (при го > а) соответствующие цилиндры будут задаваться условиями с учетом (3.29)
(3.30)(3.30)
(3.30)
(3.30)
Конфокальные зеркала определяются условием го = 2/ и для них
sh《=1,sh《=1,ch(=段,ch(=段,(3.31)(3.31)
sh《=1,
sh《=1,
ch(=段,
ch(=段,
(3.31)
(3.31)
Краевая задача сводится к нахождению решения уравнения Гельмгольца для функции W, которая является составляющей электрического вектора Герца по оси g
△W + k?W = 0 (временная зависимость(3.32)
удовлетворяющего граничным условиям третьего рода на поверхности
зеркалзеркалaw . кaw . кффо,о,(3.33)(3.33)
зеркал
зеркал
aw . к
aw . к
ф
ф
о,
о,
(3.33)
(3.33)
где Zs = Rs — iXs — поверхностный импеданс материала; к = з]с — волновое число в свободном пространстве, соответствующее ком-
плексной частоте данного собственного колебания; п — вектор нормали к поверхности сверхпроводника, а также условию Мейкснера на ребре J |Ф|2 dV < ос и условию излучения на бесконечности lim 館а3/a0)- KW) = 0.
В координатах £,g,《 [32, 80] уравнение Гельмгольца запишется в виде
^^ + d2(ch2《-sin2 £)^^ + ^^ + 72(ch2《-sin2 £)W = 0. (3.34)
Будем искать асимптотическое решение поставленной задачи при больших значениях параметра ^ = kd = kl/ sh(, аппроксимируя волновое уравнение параболическим уравнением. Наряду с условием 7》1 полагаем выполнение sin2 g《1. Оно более сильное, чем (3.29).
Ищем решение (3.34) в виде.
W = W(£,g<)efhC —(_1尸『£山—Qe—ку(3.35)
Пренебрегая (в дополнение к вышеуказанным аппроксимациям) членом sin2 g у §2 в множителе при d^W/dy2, придем к параболическому уравнению относительно функции W
d2W 9 9 力2可dW9 9
万习+d2 ch2 c 万产+ 2?7 che 万J + (z)shC —)2£2)讦 =0.(3.36)
Это уравнение имеет решение
W = Wa^QWb{y XV
Функция Wa, удовлевлетворяющая параболическому уравнению
(3.37)(3.37)
(3.37)
(3.37)
соответствует решению для бесконечно длинных цилиндрических зеркал
『，m = 0, 1,2,,(3.38)『，m = 0, 1,2,,(3.38)W「2(т + 1/2)ьНт(Т)
『，m = 0, 1,2,,(3.38)
『，m = 0, 1,2,,(3.38)
° ，ch С(2тг)1/4\/^'
7 = V^£，7 = V^£，arcsin(th《).arcsin(th《).
7 = V^£，
7 = V^£，
arcsin(th《).
arcsin(th《).
Функция Wb является решением уравнения
d2Wb方2d2Wb方2+ 2*正+ 2*正0,0,Z = dsh С，Z = dsh С，(3.39)(3.39)
d2Wb
方2
d2Wb
方2
+ 2*正
+ 2*正
0,
0,
Z = dsh С，
Z = dsh С，
(3.39)
(3.39)
соответствующего двумерным колебаниям в резонаторе с плоскими зеркалами
(3.40)(3.40)Г COS(So8), п = 1,3,... ] е—227Г0«/ + 1/2)
(3.40)
(3.40)
I sin(s-o^), П = 2, 4,J
n = 1,2,...,n = 1,2,...,,./ к т 2г-7ГП
n = 1,2,...,
n = 1,2,...,
Deg=^'% = ^^ = Л4 + /3 + "3
MbMbД = 0,824.Д = 0,824.
Mb
Mb
Д = 0,824.
Д = 0,824.
Подставляя представление (3.35) в граничное условие (3.33), а также учитывая рассмотренные выше аппроксимации и пренебрегая членами в 7 раз меньшими, получаем
(gch@M£®OeKhJ(—i)qgch@M£,g,n)e—Khb^
〃 ch《cos Е
-1)吓卩怎 g, —Ое-…)=0.
Таким образом, приходим к следующему соотношению:
W 怎 у,-0 = W 怎 у, 0施
В случае когда Zs малая величина, получаем выражение
= W^yXK2Z^~^q^k^ (3.41)
Наряду с ним должно удовлетворяться условие
W{^y,= 0, прн|£|>Е ИЛИ \у\ > Ь.
Для частоты колебаний из (3.38),(3.40) и (3.41) имеем
2kl = 7tq + (2m + 1)q + 2тгра + 2тгрь — 2iZs, m = 0, 1,...; п = 1,2,...;
(3.42)
q = arcsin(th = arcsin— , (m, n,q индексы типа колебаний)
где ра определяет поправку из-за дифракции на краях т = ±а, а величина
“ 4(A4 + /3 + z/3)2,八厶=М丁(3.43)
связана с дифракцией на краях g = ±Ь (случай плоского зеркала).
Рассмотрим конфокальный резонатор с цилиндрическими зеркалами прямоугольной формы. В этом случае го = 2/ и q = тг/4, а величина ра — чисто мнимая и пропорциональна 2°° [32], где Со = 2тг^, No =公/(2ь).
Выделив действительную и мнимую части для спектра, получим соотношение для добротности конфокального цилиндрического резона-
тора
Re (2砌=
7Г
7rq + [(2m + 1) + 2тг Re 夕ь — 2XS,
(3.44)
Im (2/cZ) = 2тгра + 27rlm夕ь — 2RS,
(3.45)
Q =
Re (2砌
7Г
7tq + ~ (2ш + 1) + 27r Re 夕 ь — 2Xs
.(3.46)
Im (2砌
27r 夕 a + 27rlm 夕ь — 2RS
Компоненты электрического и магнитного полей типа колебания Emnq в эллиптических координатах имеют вид
X sin [―(m + l/2)o — (тгръ — kl) sh《一寸],
ik awik aw44E .—-^PbE .—-^Pbxx2衣〃 рг—2衣〃 рг—(2тГ)1/4\/7ЙТ(2тГ)1/4\/7ЙТexpexp++
ik aw
ik aw
4
4
E .
—-^Pb
E .
—-^Pb
x
x
2衣〃 рг—
2衣〃 рг—
(2тГ)1/4\/7ЙТ
(2тГ)1/4\/7ЙТ
exp
exp
+
+
x cos [—(m + 1 /2)o —(7г〃ь — &Z) sh《一学],
104
Гл. 3. Сверхпроводящие открытые резонаторы
Ey =
力细2力Нт(т)/ «力 7rq、
一河(2^)>/4^ exp ( 4 + 2X
WW=i,3..J
sin W\，〃 = 2, 4 …
E《E《Hy=G,Hy=G,1万2WД д(ду1万2WД д(дуxxx cos [—(m + ・l/2)o — (хрь — &%) sh《一学],x cos [—(m + ・l/2)o — (хрь — &%) sh《一学],x sin [—(m + 1 /2)о —(7Г夕ь — &Z) sh《一学
E《
E《
Hy=G,
Hy=G,
1万2W
Д д(ду
1万2W
Д д(ду
x
x
x cos [—(m + ・l/2)o — (хрь — &%) sh《一学],
x cos [—(m + ・l/2)o — (хрь — &%) sh《一学],
e (2炉/4而1 [旦九(7)_ 2нm{т}\ Хe (2炉/4而1 [旦九(7)_ 2нm{т}\ Х7=—石%卜=±《7=—石%卜=±《ick 6W I 而 k=±「ick 6W I 而 k=±「
e (2炉/4而1 [旦九(7)_ 2нm{т}\ Х
e (2炉/4而1 [旦九(7)_ 2нm{т}\ Х
7=—石%卜=±《
7=—石%卜=±《
ick 6W I 而 k=±「
ick 6W I 而 k=±「
ik
х sin [—(m + 1 /2)о —(7г夕ь — kl) sh《一学], (3.47)
где 九=d J ch2 C — sin2 £ — коэффициенты Ламе.
Из соотношений для полей следует, что плотность квазиповерхност- ного тока на зеркалах имеет только составляющую по оси у [127]. Эта составляющая равна
где，= ±《соответствуют верхнему и нижнему зеркалам.
x cosx cos/7Г(-(771+ 1 /2)—/7Г(-(771+ 1 /2)—(3.48)(3.48)
x cos
x cos
/7Г
(-(771+ 1 /2)—
/7Г
(-(771+ 1 /2)—
(3.48)
(3.48)
Численный эксперимент. При численном моделировании рассматривались открытые цилиндрические резонаторы с зеркалами из различных материалов: нормально проводящего металла (меди), низкотемпературного сверхпроводника (ниобия при приведенной температуре 力=0,6), высокотемпературного сверхпроводника YBaCuO (с поверхностным импедансом 2§ = 2,387 • 10-3 + г • 2,653 • 10-4 отн. ед. (1 отн. ед. = 1/(1207г) Ом) при А = 1 мм и температуре Г = 77К) (ВТСП). Значения поверхностного импеданса взяты из [23, 89]. Исследовалась зависимость добротности резонансных типов колебаний 石巾口 от длины волны резонанса, а также влияние поверхностного реактанса сверхпроводников на сдвиг резонансных частот. Полученные результаты сравнивались с результатами для резонаторов с плоскими зеркалами. Были получены распределения квадрата амплитуды электрического поля и плотности энергии в пространстве между зеркалами резонатора, а также распределение плотности квазиповерхностного тока на зеркалах. Также исследовались резонаторы с зеркалами из сверхпроводящих пленок на подложке (материал диэлектрической подложки ——поликор, о = 9,6 + i • 10-4). Рассматривались различные сверхпроводящие структуры: слой сверхпроводника на медной поверхности, сверхпроводник на диэлектрике, сверхпроводник-диэлектрик на медной поверхности. Изучалось влияние толщины слоев на добротность ОР. Все значения на рисунках приведены в единицах системы СГС.
На рис. 3.7 приведены зависимости добротности от резонансной длины волны для колебания 石⑴。.Кривые 2, 3, 4 получены соответственно для ниобия, меди и ВТСП. Кривая 7 соответствует зеркалам с идеальной проводимостью. Так как на низких частотах омические потери значительно меньше дифракционных, добротность для ОР с софокусными цилиндрическим зеркалами из различных материалов имеет одинаковые значения (вплоть до А = 5 6 мм). На высоких частотах дифракционные потери малы, поэтому характер изменения добротности определяется частотными зависимостями действительной части импеданса. Поскольку для
Рис. 3.7. Зависимость добротности от длины волны для резонатора с параметрами (2а = 10 см, 26 = 20 см, го = 10,64 см)Рис. 3.7. Зависимость добротности от длины волны для резонатора с параметрами (2а = 10 см, 26 = 20 см, го = 10,64 см)Рис. 3.8. Зависимость отношения величины добротности цилиндрического конфокального резонатора к добротности резонатора с плоскими прямоугольными зеркалами (2а = 10 см, 26 = 20 см, 2/ = 10,64 см)Рис. 3.8. Зависимость отношения величины добротности цилиндрического конфокального резонатора к добротности резонатора с плоскими прямоугольными зеркалами (2а = 10 см, 26 = 20 см, 2/ = 10,64 см)сверхпроводников реактанс а для нормального металласверхпроводников реактанс а для нормального металлапропорционален квадрату частоты, корню из частоты, то добротность
Рис. 3.7. Зависимость добротности от длины волны для резонатора с параметрами (2а = 10 см, 26 = 20 см, го = 10,64 см)
Рис. 3.7. Зависимость добротности от длины волны для резонатора с параметрами (2а = 10 см, 26 = 20 см, го = 10,64 см)
Рис. 3.8. Зависимость отношения величины добротности цилиндрического конфокального резонатора к добротности резонатора с плоскими прямоугольными зеркалами (2а = 10 см, 26 = 20 см, 2/ = 10,64 см)
Рис. 3.8. Зависимость отношения величины добротности цилиндрического конфокального резонатора к добротности резонатора с плоскими прямоугольными зеркалами (2а = 10 см, 26 = 20 см, 2/ = 10,64 см)
сверхпроводников реактанс а для нормального металла
сверхпроводников реактанс а для нормального металла
для сверхпроводников возрастает до тех пор, пока не становятся существенными дифракционные потери, а добротность для меди уменьшается. Резонатор из ниобия (рис. 3.6) имеет максимальную
добротность 8 + 9 • 105 при А у1,5 мм, а резонатор из ВТСП 1,5 • 105 при А у 2,5 мм. Положение этих максимумов обуславливается соотношением между омическими и дифракционными потерями (кривая 7 для идеальных зеркал характеризует только дифракционные потери в резонаторе).На рис. 3.8 приведены сравнительные результаты: зависимость отношения величины добротности от продольного индекса q для ОР с цилиндрическими и плоскими зеркалами. Видно, что при малых индексах q это отношение примерно одинаково и достаточно велико (Qcyi/Qflat 2 7,5) для всех матери-добротность 8 + 9 • 105 при А у1,5 мм, а резонатор из ВТСП 1,5 • 105 при А у 2,5 мм. Положение этих максимумов обуславливается соотношением между омическими и дифракционными потерями (кривая 7 для идеальных зеркал характеризует только дифракционные потери в резонаторе).На рис. 3.8 приведены сравнительные результаты: зависимость отношения величины добротности от продольного индекса q для ОР с цилиндрическими и плоскими зеркалами. Видно, что при малых индексах q это отношение примерно одинаково и достаточно велико (Qcyi/Qflat 2 7,5) для всех матери-Рис. 3.9. Зависимость добротности от длины волны для резонатора с параметрами (2а = 9,98 см,Рис. 3.9. Зависимость добротности от длины волны для резонатора с параметрами (2а = 9,98 см,26 =9,93 см, го = 20,71 см).
добротность 8 + 9 • 105 при А у
1,5 мм, а резонатор из ВТСП 1,5 • 105 при А у 2,5 мм. Положение этих максимумов обуславливается соотношением между омическими и дифракционными потерями (кривая 7 для идеальных зеркал характеризует только дифракционные потери в резонаторе).
На рис. 3.8 приведены сравнительные результаты: зависимость отношения величины добротности от продольного индекса q для ОР с цилиндрическими и плоскими зеркалами. Видно, что при малых индексах q это отношение примерно одинаково и достаточно велико (Qcyi/Qflat 2 7,5) для всех матери-
добротность 8 + 9 • 105 при А у
1,5 мм, а резонатор из ВТСП 1,5 • 105 при А у 2,5 мм. Положение этих максимумов обуславливается соотношением между омическими и дифракционными потерями (кривая 7 для идеальных зеркал характеризует только дифракционные потери в резонаторе).
На рис. 3.8 приведены сравнительные результаты: зависимость отношения величины добротности от продольного индекса q для ОР с цилиндрическими и плоскими зеркалами. Видно, что при малых индексах q это отношение примерно одинаково и достаточно велико (Qcyi/Qflat 2 7,5) для всех матери-
Рис. 3.9. Зависимость добротности от длины волны для резонатора с параметрами (2а = 9,98 см,
Рис. 3.9. Зависимость добротности от длины волны для резонатора с параметрами (2а = 9,98 см,
алов, что обусловлено более сильными дифракционными потерями в плоском резонаторе. Для больших индексов q влияние дифракционных потерь и кривизны цилиндриче-
ских зеркал мало, поэтому значения добротности в этом диапазоне спектра для сравниваемых ОР одинаковы.
На рис. 3.9 приведены зависимости добротности от резонансной длины волны для резонатора с другими параметрами цилиндрических софокусных зеркал прямоугольной формы.
В таблицах 3.2 и 3.3 представлены значения резонансных частот, добротности для соответствующих типов колебаний, а также сдвиги резонансных частот за счет дифракции и поверхностного реактанса для типа колебания 石cu,q сверхпроводящего конфокального цилиндрического резонатора (а = 5 см, Ь = 10 см, 2/ = го = 10,64 см). Как следует из таблицы, дифракционные потери увеличивают резонансную частоту, а реактанс уменьшает. С увеличением частоты сдвиги за счет дифракционных потерь и поверхностного реактанса становятся сравнимыми, а общий сдвиг уменьшается.
Таблица 3.2. Резонансные частоты, сдвиги резонансной частоты и добротности конфокального цилиндрического резонатора (колебание Bqi^)
/рез, ГГц
Си △ Л)ез, МГц
Си
Q, 10-5
Nb △/рез, МГц
Nb
Q, 10-5
ВТСП △/рез, МГц
ВТСП
Q, IO*
10
14.4402
16.4303
0.0295
16.4947
0.0304
16.4926
0.0303
30
42.6162
5.8753
0.3308
5.9746
0.4084
5.9682
0.3801
50
70.7922
3.5285
0.8581
3.6462
1.3556
3.6356
0.9608
70
98.9681
2.4779
1.4288
2.6071
2.8031
2.5925
1.2813
90
127.1441
1.8754
1.9549
2.0123
4.3903
1.9934
1.2951
НО
155.3201
1.4814
2.4174
1.6231
5.6791
1.6001
1.1889
130
183.4961
1.2015
2.8224
1.3461
6.4496
1.3189
1.0630
150
211.6721
0.9910
3.1804
1.1369
6.7419
1.1055
0.9482
170
239.8481
0.8261
3.5011
0.9720
6.7076
0.9364
0.8503
190
268.0240
0.6926
3.7924
0.8376
6.4895
0.7978
0.7682
210
296.2000
0.5819
4.0600
0.7249
6.1850
0.6810
0.6994
230
324.3760
0.4881
4.3083
0.6285
5.8511
0.5804
0.6411
250
352.5520
0.4073
4.5408
0.5445
5.5179
0.4921
0.5915
270
380.7280
0.3368
4.7598
0.4701
5.2003
0.4136
0.5487
290
408.9040
0.2744
4.9675
0.4033
4.9045
0.3426
0.5116
310
437.0799
0.2188
5.1654
0.3428
4.6322
0.2779
0.4791
330
465.2559
0.1686
5.3547
0.2873
4.3831
0.2182
0.4504
350
493.4319
0.1230
5.5366
0.2360
4.1556
0.1628
0.4249
370
521.6079
0.0813
5.7118
0.1883
3.9481
0.1109
0.4022
390
549.7839
0.0430
5.8810
0.1436
3.7584
0.0620
0.3817
410
577.9598
0.0075
6.0448
0.1015
3.5848
0.0157
0.3632
430
606.1358
-0.0255
6.2038
0.0615
3.4256
-0.0284
0.3464
450
634.3118
-0.0564
6.3583
0.0235
3.2792
-0.0706
0.3310
470
662.4878
-0.0853
6.5087
-0.0128
3.1443
-0.1112
0.3170
490
690.6638
-0.1125
6.6553
-0.0477
3.0196
-0.1502
0.3043
На рисунке 3.10, а, б, в приведены зависимости добротности от длины волны для цилиндрического конфокального ОР, образованного
Таблица 3.3. Сдвиг резонансной частоты за счет дифракционных потерь и поверхностного импеданса
q
/рез, ГГц
△/дифф
Си
△/имп, МГц
Nb
△/имп, МГц
ВТСП
△/имп, МГц,
10
14,4402
16,5041
-0,0738
-0,0093
-0,0115
30
42,6162
6,0020
-0,1267
-0,0275
-0,0338
50
70,7922
3,6918
-0,1633
-0,0456
-0,0561
70
98,9681
2,6710
-0,1931
-0,0638
-0,0785
90
127,1441
2,0943
-0,2189
-0,0820
-0,1008
НО
155,3201
1,7233
-0,2419
-0,1001
-0,1232
130
183,4961
1,4644
-0,2629
-0,1183
-0,1455
150
211,6721
1,2734
-0,2824
-0,1365
-0,1679
170
239,8481
1,1267
-0,3006
-0,1546
-0,1902
190
268,0240
1,0104
-0,3178
-0,1728
-0,2126
210
296,2000
0,9159
-0,3340
-0,1910
-0,2349
230
324,3760
0,8377
-0,3496
-0,2091
-0,2573
250
352,5520
0,7718
-0,3644
-0,2273
-0,2796
270
380,7280
0,7155
-0,3787
-0,2455
-0,3020
290
408,9040
0,6669
-0,3925
-0,2636
-0,3243
310
437,0799
0,6246
-0,4058
-0,2818
-0,3467
330
465,2559
0,5873
-0,4187
-0,3000
-0,3690
350
493,4319
0,5542
-0,4312
-0,3181
-0,3914
370
521,6079
0,5246
-0,4433
-0,3363
-0,4137
390
549,7839
0,4981
-0,4551
-0,3545
-0,4361
410
577,9598
0,4741
-0,4666
-0,3726
-0,4584
430
606,1358
0,4523
-0,4779
-0,3908
-0,4807
450
634,3118
0,4325
-0,4888
-0,4089
-0,5031
470
662,4878
0,4143
-0,4996
-0,4271
-0,5254
490
690,6638
0,3976
-0,5101
-0,4453
-0,5478
медными зеркалами с напыленными пленками из ВТСП (осциллирующие кривые). Толщина ВТПС-пленок составляет 山=10-2 см, & = 10-3 см и dj = 10-4 см соответственно. Как следует из рисунка 3.10, с уменьшением толщины СП количество резонансов сокращается и при достаточно малых толщинах кривая добротности для такого ОР на высоких частотах стремится к кривой для ОР с зеркалами из меди.
На рис. 3.11, Q, 6, 6 приведены зависимости добротности цилиндрического резонатора от длины волны для различных СП структур (山— толщина СП, ^2 — толщина диэлектрика). Наличие сильно осциллирующих колебаний связано с резонансом в слое диэлектрика, а слабо осциллирующих в слое сверхпроводника. Так как при данных значениях толщин оптическая толщина сверхпроводника имеет порядок длины волны, а диэлектрика на 1-2 порядка больше. На рисунках 3.12, а и 3.12,Qi приведено распределение квадрата амплитуды электрического поля в пространстве между зеркалами в сечении g = 0 для типа колебания 石o/jo, полученное в соответствии с (3.47). Характерной особенностью является наличие внешней каустики, то есть электромаг-
Рис. 3.10. Зависимость добротности от длины волны для цилиндрического ОР с зеркалами из меди с пленками из ВТСП (осциллирующие кривые). а) (% = 1СГ2 см,办=0 см), 6)(力=10—3 см,办=0 см), 6)(力=1СГ4 см,办=0 см)Рис. 3.10. Зависимость добротности от длины волны для цилиндрического ОР с зеркалами из меди с пленками из ВТСП (осциллирующие кривые). а) (% = 1СГ2 см,办=0 см), 6)(力=10—3 см,办=0 см), 6)(力=1СГ4 см,办=0 см)
Рис. 3.10. Зависимость добротности от длины волны для цилиндрического ОР с зеркалами из меди с пленками из ВТСП (осциллирующие кривые). а) (% = 1СГ2 см,办=0 см), 6)(力=10—3 см,办=0 см), 6)(力=1СГ4 см,办=0 см)
Рис. 3.10. Зависимость добротности от длины волны для цилиндрического ОР с зеркалами из меди с пленками из ВТСП (осциллирующие кривые). а) (% = 1СГ2 см,办=0 см), 6)(力=10—3 см,办=0 см), 6)(力=1СГ4 см,办=0 см)
нитное поле сконцентрировано в центральной области ОР. Количество максимумов поля по оси OZ равняется 10, что соответствует продольному индексу q. Размер каустики минимален в центре резонатора. Это является основным свойством софокусных зеркал.
На рис. 3.12, б приведено распределение плотности энергии в сечении. В отличие от распределения поля плотность энергии максимальна в центре и монотонно уменьшается по направлению к зеркалам. Распределение плотности квазиповерхностного тока на зеркалах показано на рисунке 3.12, в. При этом значения токов нормированы на 1010. Ток в центре зеркала максимален и спадает к краям. Значение тока на краю зеркала в М раз меньше максимального. В данном диапазоне длин волн и при параметрах резонатора М 〜10. На рисунке 3.13 представлены результаты расчетов для типа колебаний 石i/,io・ В этом случае, как видно из рис. 3.13, резонансное поле имеет как внешнюю, так и внутреннюю каустики (в центре резонатора поле отсутствует). Распределение тока имеет два ярко выраженных максимума.
На рисунке 3.14,а представлено пространственное распределение объемной плотности энергии типа колебания 石1,2,1。в сечении у = 0. Токи на зеркалах для этого типа колебаний имеют четыре выраженных максимума.
Рис. 3.11. Зависимость добротности от длины волны для различных СП структур (осциллирующие кривые), а) структура СП-диэлектрика на медной поверхности (办=10一' см, ^2 = Ю^2 см); 6) слой сверхпроводника на диэлектрике (办=5 • ICT’ см, 〃2 = 1 см;) е) слой сверхпроводника на диэлектрике (〃1 = 1 • 1Ф4 см,办=Ю^1 СМ)
Эксперимент. При проведении экспериментальных исследований использовался автоматизированный комплекс, позволяющий с применением персонального компьютера экспериментально исследовать в миллиметровом диапазоне длин волн спектр, распределение поля возбуждающихся типов колебаний, измерять добротность [126]. Комплекс
X, смX, см54321О-1-2—354321О-1-2—34]4]НН川川НН川川
X, см
X, см
5
4
3
2
1
О
-1
-2
—3
5
4
3
2
1
О
-1
-2
—3
4]
4]
НН川川
НН川川
-5О5-10 -8 ^ -6 -2 О 2468 10
Z, сму, см
Рис. 3.12. Распределения квадрата амплитуды поля (о), плотности энергии (6)между зеркалами в сечении g = 0 и токов (в) на зеркалах для колебанияm = 0,冷=1, q = 10 (2а = 10 см, 2b = 20 см, 2/ = 10,64 см)
включает в себя генератор миллиметрового диапазона, СВЧ-детектор, усилитель, осциллограф, цифровой вольтметр и элементы автоматизации: персональный компьютер, два внешнего контроллера, аналогоцифровой преобразователь, два шаговых двигателя. Сигнал с генератора через развязывающий аттенюатор и подводящий волновод поступает через отверстие связи в исследуемый открытый резонатор. Прошедший через резонатор сигнал детектируется, усиливается, а затем поступает на внешний контроллер и персональный компьютер в виде напряжения, по изменению которого определяется коэффициент передачи. Одно из зеркал исследуемого резонатора укрепляется неподвижно на оптической скамье; другое зеркало размещается на столике с микрометрическими подачами, закрепленными на оптической скамье. Перемещение зеркала вдоль оптической оси осуществляется при помощи шагового двигателя, которым управляет компьютер. Путем внесения пробного тела в резонансный объем исследуемой системы и его перемещения при помощи другого шагового двигателя можно изучать распределение
X, см
—10—8 Т —6—20246810
у, см
Рис. 3.13. Распределения квадрата амплитуды поля (о), плотности энергии (6) между зеркалами в сечении у = 0 и токов (б) на зеркалах для колебания m = 1,几=1, q = 10 (2а = 10 см, 2b = 20 см, 2Z = 10,64 см)
X, см
К СМ
Рис. 3.14. Распределения плотности энергии (а) между зеркалами в сечении g = 0 и токов (6) на зеркалах для колебания m = 1, п = 2, q = 10 (2а = 10 см, 2b = 20 см, 22 = 10,64 см)
поля возбуждаемого типа колебаний. Анализ коэффициента передачи дает возможность по ширине резонансной кривой рассчитывать добротность. Эта процедура и развертка по частоте генератора производится при помощи персонального компьютера. Ошибка в определении величины добротности составляет 15-20% при значении добротности
Рис. 3.15. Экспериментальный спектр цилиндрического ОР (2а = 10 см, 26 = =20 см, го = 10,64 см)
Рис. 3.16. Частотная зависимость экспериментальной и теоретической добротности цилиндрического ОР (2а = 10 см, 26 = 20 см, го = 10,64 см)
〜104. Экспериментально в миллиметровом диапазоне исследовались ОР с цилиндрическими зеркалами прямоугольной формы.
На рис. 3.15 представлен спектр одного из таких резонаторов для конфокального расположения зеркал (2а = 10 см, 26 = 20 см, го = 10,64 см). Штрих пунктирными вертикальными линиями на этом рисунке обозначены резонансные частоты колебания 石oiq, рассчитанные по формуле (3.42). Как видно из рис. 3.15, экспериментальные значения резонансных частот располагаются достаточно близко к значениям, рассчитанным теоретически. Зафиксированные незначительные несовпадения резонансных частот могут происходить как из-за ошибок в определении радиуса кривизны зеркал и расстояния между зеркалами, так и из-за возбуждения на других резонансных частотах высших
X, см5 j4「」:〃〃，" 2讣оП I I I • • • I I t нT j工川m""〃X, см5 j4「」:〃〃，" 2讣оП I I I • • • I I t нT j工川m""〃%, см5 —43%, см5 —4321О-1-2-3-421О-1-2-3-4mМ川川川II川mМ川川川II川Рис. 3.18. Распределения квадрата амплитуды электрического поля между зеркалами в сечении g = 0 для колебания п? = 0, n = 1, q = 20 (2а = 10 см, 2b = 20 см, 2% = 10,64 см)Рис. 3.18. Распределения квадрата амплитуды электрического поля между зеркалами в сечении g = 0 для колебания п? = 0, n = 1, q = 20 (2а = 10 см, 2b = 20 см, 2% = 10,64 см)Рис. 3.17. Распределения квадрата амплитуды электрического поля между зеркалами в сечении g = О для колебания т = 2, п = 3, q = 10 (2а = 10 см, 2b = 20 см, 2/ = 10,64 см)
X, см
5 j
4「」
:〃〃，" 2讣
оП I I I • • • I I t н
T j
工川m""〃
X, см
5 j
4「」
:〃〃，" 2讣
оП I I I • • • I I t н
T j
工川m""〃
%, см
5 —
4
3
%, см
5 —
4
3
2
1
О
-1
-2
-3
-4
2
1
О
-1
-2
-3
-4
mМ川川川II川
mМ川川川II川
Рис. 3.18. Распределения квадрата амплитуды электрического поля между зеркалами в сечении g = 0 для колебания п? = 0, n = 1, q = 20 (2а = 10 см, 2b = 20 см, 2% = 10,64 см)
Рис. 3.18. Распределения квадрата амплитуды электрического поля между зеркалами в сечении g = 0 для колебания п? = 0, n = 1, q = 20 (2а = 10 см, 2b = 20 см, 2% = 10,64 см)
типов колебаний (в конфокальном случае это может происходить из-за вырождения спектра).
На рис. 3.16 приведены теоретические и экспериментальные значения добротности для типа колебаний EQ\q для открытого резонатора с теми же, что и ранее, физическими параметрами.
Рисунки 3.17—3.18 показывают распределения квадрата амплитуды электрического поля между зеркалами в сечении у = 0 соответственно для колебаний: ш = 2, п = 3, g = 10 и m = 0, n = 1, q = 20 (2а = 10 см, 2b = 20 см, 2/ = 10,64 см).
Различие в экспериментальных и теоретических значениях достигает почти одного порядка и может быть объяснено наличием дополнительных потерь в реальных резонаторах из-за элементов связи с внешними трактами и увеличения потерь из-за межмодовых взаимодействий при конфокальной геометрии. Экспериментальные данные хорошо согласуются с теоретическими результатами. Это подтверждает возможность применения аналитических соотношений для расчета открытых цилиндрических резонаторов со сверхпроводящими зеркалами прямоугольной формы.
Глава 4
МЕТОДЫ СПЕКТРАЛЬНОЙ ТЕОРИИ И ИХПРИМЕНЕНИЕ К РЕШЕНИЮ ВНЕШНИХКРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДИФРАКЦИИ И РАССЕЯНИЯВОЛН НА СВЕРХПРОВОДЯЩИХ ОБЪЕКТАХПРОСТОЙ И СЛОЖНОЙ ФОРМЫ
В данной главе, основанной на результатах, полученных ранее рассматриваются решения внешних краевых задач дифракции и рассеяния электромагнитных волн на СП структурах простой и сложной формы.
Взаимодействие электромагнитных волн с СПпленками на подложке
Пусть на систему сверхпроводящих пленок, расположенных на подложке (рис. 4.1), под углом 夕 к нормали падает плоская волна [80].
Рассмотрим случай s-поляризации, когда вектор Е перпендикулярен плоскости падения. В этом случае
епад — e —е一2kcos 少+化 sin 少]
Поле в области I запишем в виде
cos cp — iksc sin /cos cp — iksc sin /(4.1)(4.1)2k(z+山)cos / —z/crr sin /2k(z+山)cos / —z/crr sin /I区（s%冰（z+山）I区（s%冰（z+山）Рис. 4.1. Падение плоской волны на систему СП пленок (области II и IV), расположенных на подложке (область III)Рис. 4.1. Падение плоской волны на систему СП пленок (области II и IV), расположенных на подложке (область III)
cos cp — iksc sin /
cos cp — iksc sin /
(4.1)
(4.1)
2k(z+山)cos / —z/crr sin /
2k(z+山)cos / —z/crr sin /
I区（s%冰（z+山）
I区（s%冰（z+山）
Рис. 4.1. Падение плоской волны на систему СП пленок (области II и IV), расположенных на подложке (область III)
Рис. 4.1. Падение плоской волны на систему СП пленок (области II и IV), расположенных на подложке (область III)
Поскольку компоненты электромагнитного поля удовлетворяют уравнениям МаксвеллаПоскольку компоненты электромагнитного поля удовлетворяют уравнениям МаксвеллаrotH =—汕 е, rot Е =汕仰耳rotH =—汕 е, rot Е =汕仰耳(4.2)(4.3)(4.2)(4.3)то для Н：, из (4.1) и (4.3) имеемто для Н：, из (4.1) и (4.3) имеемH1J_ cos g(3*(片+山)С°5/+水g5行1少 _ -^^-zkix+d]) cos(p+гку sin 99)H1J_ cos g(3*(片+山)С°5/+水g5行1少 _ -^^-zkix+d]) cos(p+гку sin 99)где Zq =，〃о/£о проводника при -где Zq =，〃о/£о проводника при -)—импеданс свободного пространства. Внутри сверх- —山 < т < 0 уравнения (4.2), (4.3) примут вид)—импеданс свободного пространства. Внутри сверх- —山 < т < 0 уравнения (4.2), (4.3) примут видrot Я =—汕££0石 + Зн + jc, rot 石=iuJNNoH,rot Я =—汕££0石 + Зн + jc, rot 石=iuJNNoH,(4.4)(4.5)(4.4)(4.5)гдегдеЗн = gE , icЗн = gE , ic石,石,
Поскольку компоненты электромагнитного поля удовлетворяют уравнениям Максвелла
Поскольку компоненты электромагнитного поля удовлетворяют уравнениям Максвелла
rotH =—汕 е, rot Е =汕仰耳
rotH =—汕 е, rot Е =汕仰耳
(4.2)
(4.3)
(4.2)
(4.3)
то для Н：, из (4.1) и (4.3) имеем
то для Н：, из (4.1) и (4.3) имеем
H1J_ cos g(3*(片+山)С°5/+水g5行1少 _ -^^-zkix+d]) cos(p+гку sin 99)
H1J_ cos g(3*(片+山)С°5/+水g5行1少 _ -^^-zkix+d]) cos(p+гку sin 99)
где Zq =，〃о/£о проводника при -
где Zq =，〃о/£о проводника при -
)—импеданс свободного пространства. Внутри сверх- —山 < т < 0 уравнения (4.2), (4.3) примут вид
)—импеданс свободного пространства. Внутри сверх- —山 < т < 0 уравнения (4.2), (4.3) примут вид
rot Я =—汕££0石 + Зн + jc, rot 石=iuJNNoH,
rot Я =—汕££0石 + Зн + jc, rot 石=iuJNNoH,
(4.4)
(4.5)
(4.4)
(4.5)
где
где
Зн = gE , ic
Зн = gE , ic
石,
石,
]с — плотность ка нормальных]с — плотность ка нормальныхтока сверхпроводящих электронов,加一 плотность то- электронов, о — нормальная проводимость, £, 〃 一
]с — плотность ка нормальных
]с — плотность ка нормальных
диэлектрическая и магнитная проницаемости соответственно, 6工一 лондоновская глубина проникновения.
тотоВ модели Гортера-Казимира величины 6工，а определяются из соотношений
то
то
9
4
где 力пр = Г/£, Тк — критическая температура, п — концентрация электронов, eg — заряд электрона, то — масса электрона. Запишем уравнение (4.4) в виде:
rot Н =—沁Е® 石，£1 = £‘ + id1,
(4.6)
Важной электродинамической хадактеристикой сверхпроводников является поверхностный импеданс Zs = Rs — в ходящий в граничные условия Леонтовича
W = —Zs [77 [пН]],
где п — единичная нормаль, направленная внутрь сверхпроводника. Таким образом, импеданс связывает тангенциальные компоненты электрического и магнитного полей на поверхности сверхпроводника. С другой стороны, величина Zs связана с €i и /zi соотношением
石II —(z cos 99 + a? sin 99) 十 石^分卜?、］cos/ —a? sin石II —(z cos 99 + a? sin 99) 十 石^分卜?、］cos/ —a? sinиз которого, зная Zsi, можно определить значение £$i (в большинстве случаев с достаточной точностью можно принять, что 41 ^ 1 для сверхпроводников). С учетом (4.5) и (4.6) поля в области И запишем в виде
石II —(z cos 99 + a? sin 99) 十 石^分卜?、］cos/ —a? sin
石II —(z cos 99 + a? sin 99) 十 石^分卜?、］cos/ —a? sin
< = -< = -MlMl…OS g (Ае-гкп} (z cos + x sincos sin ^)\^^
< = -
< = -
Ml
Ml
где 〃i = "si〃i ,夕 1 — угол, под которым волна распространяется внутри сверхпроводника. Компоненты полей в подложке при 0 < z < d，2 имеют вид
局口局口cos 衣+g sincos 衣+g sin/)+ ()e2k?22(2/)+ ()e2k?22(2cos 屮一里 sin /)cos 屮一里 sin /)<z =-<z =-"2 C°S 夕2 /c^—2左?、2(z cos 衣+片 sin/) — jj^ikn2(z cos 99--a? sin 99)"2 C°S 夕2 /c^—2左?、2(z cos 衣+片 sin/) — jj^ikn2(z cos 99--a? sin 99)М2М2(4.8)(4.8)где £2, 42 — комплексные диэлектрическая и магнитная проницаемости подложки, 〃2 =，£2〃2 ,夕2 — угол, под которым волна распространяется внутри подложки. По аналогии с (4.7) запишем выражения для полей внутри второго сверхпроводника (d^ < z < d^ ^г 公，область IV)где £2, 42 — комплексные диэлектрическая и магнитная проницаемости подложки, 〃2 =，£2〃2 ,夕2 — угол, под которым волна распространяется внутри подложки. По аналогии с (4.7) запишем выражения для полей внутри второго сверхпроводника (d^ < z < d^ ^г 公，область IV)х sin /)х sin /)宀—宀—ПЗcos 夕3ПЗcos 夕3XX(4-9)(4-9)мзмзXX
局口
局口
cos 衣+g sin
cos 衣+g sin
/)+ ()e2k?22(2
/)+ ()e2k?22(2
cos 屮一里 sin /)
cos 屮一里 sin /)
<z =-
<z =-
"2 C°S 夕2 /c^—2左?、2(z cos 衣+片 sin/) — jj^ikn2(z cos 99--a? sin 99)
"2 C°S 夕2 /c^—2左?、2(z cos 衣+片 sin/) — jj^ikn2(z cos 99--a? sin 99)
М2
М2
(4.8)
(4.8)
где £2, 42 — комплексные диэлектрическая и магнитная проницаемости подложки, 〃2 =，£2〃2 ,夕2 — угол, под которым волна распространяется внутри подложки. По аналогии с (4.7) запишем выражения для полей внутри второго сверхпроводника (d^ < z < d^ ^г 公，область IV)
где £2, 42 — комплексные диэлектрическая и магнитная проницаемости подложки, 〃2 =，£2〃2 ,夕2 — угол, под которым волна распространяется внутри подложки. По аналогии с (4.7) запишем выражения для полей внутри второго сверхпроводника (d^ < z < d^ ^г 公，область IV)
х sin /)
х sin /)
宀—
宀—
ПЗcos 夕3
ПЗcos 夕3
X
X
(4-9)
(4-9)
мз
мз
X
X
где 〃з — комплексная магнитная проницаемость сверхпроводника, 〃з = НбЗ^з, ES3 =用 + w，4 = e3 - l/(k心％),或=(47Ш九3爲⑴)/公, 夕3 — угол, под которым волна распространяется внутри сверхпроводника. Поверхностный импеданс Zs3 связан с €53 соотношением, аналогичным (4.6). Для полей в области V (2 >。2 + ^3) получаем
(4.Ю)(4.Ю)cos 夕T(S)e—冰((2 —&2 —"з) cos /+片 sin /)cos 夕T(S)e—冰((2 —&2 —"з) cos /+片 sin /)石V _2k((2 _ d2一d3)CQS / + 片 sin 6
(4.Ю)
(4.Ю)
cos 夕T(S)e—冰((2 —&2 —"з) cos /+片 sin /)
cos 夕T(S)e—冰((2 —&2 —"з) cos /+片 sin /)
Из условия непрерывности тангенциальных составляющих поля на границах раздела сред имеем систему уравнений, из которой находим
неизвестные комплексные коэффициенты отражения R⑻ и прохождения Т"
N(S)A(S) _xfN(S)A(S]8n[L:T^I 〃I 〃2儿1从2 cos 夕N(S)A(S) _xfN(S)A(S]8n[L:T^I 〃I 〃2儿1从2 cos 夕(4.11)(4.11)〃1 = 〃1 COS 夕 I =，若 〃2 = 〃2 COS 夕2 = ^^ 〃3 = 〃3 COS ^3 = J呜〃1 = 〃1 COS 夕 I =，若 〃2 = 〃2 COS 夕2 = ^^ 〃3 = 〃3 COS ^3 = J呜-sin2夕，/]=e_承/山，—sin2 夕，胃2 = e—k"2d2,—sin?夕，g = e—冰"3d3,-sin2夕，/]=e_承/山，—sin2 夕，胃2 = e—k"2d2,—sin?夕，g = e—冰"3d3,=% — 〃1 cos 夕,=〃2 — 〃2 COS 夕,=〃3 — 43 cos 夕,=% — 〃1 cos 夕,=〃2 — 〃2 COS 夕,=〃3 — 43 cos 夕,=〃1 + 4l cos 夕,=〃2 — 〃2 COS 夕,=〃3 — 43 cos，=〃1 + 4l cos 夕,=〃2 — 〃2 COS 夕,=〃3 — 43 cos，где
N(S)A(S) _xfN(S)A(S]
8n[L:T^I 〃I 〃2儿1从2 cos 夕
N(S)A(S) _xfN(S)A(S]
8n[L:T^I 〃I 〃2儿1从2 cos 夕
(4.11)
(4.11)
〃1 = 〃1 COS 夕 I =，若 〃2 = 〃2 COS 夕2 = ^^ 〃3 = 〃3 COS ^3 = J呜
〃1 = 〃1 COS 夕 I =，若 〃2 = 〃2 COS 夕2 = ^^ 〃3 = 〃3 COS ^3 = J呜
-sin2夕，/]=e_承/山，
—sin2 夕，胃2 = e—k"2d2,
—sin?夕，g = e—冰"3d3,
-sin2夕，/]=e_承/山，
—sin2 夕，胃2 = e—k"2d2,
—sin?夕，g = e—冰"3d3,
=% — 〃1 cos 夕,
=〃2 — 〃2 COS 夕,
=〃3 — 43 cos 夕,
=% — 〃1 cos 夕,
=〃2 — 〃2 COS 夕,
=〃3 — 43 cos 夕,
=〃1 + 4l cos 夕,
=〃2 — 〃2 COS 夕,
=〃3 — 43 cos，
=〃1 + 4l cos 夕,
=〃2 — 〃2 COS 夕,
=〃3 — 43 cos，
nJ)
=“3(N『+ N^S}x-^ + 〃342(N〔s)— N^T-2^
=〃巾2（N『）+ n/nJ）） + 也〃С）— *寸））
(4.12)(4.12)Аналогично рассматривается случай р-поляризации, когда вектор Н перпендикулярен плоскости падения. В этом случае для коэффициентов отражения 区(@)и прохождения Т» получим соотношения
(4.12)
(4.12)
Т(Р) —8N[Ln」〃i〃24142COS 夕
гдегде
где
где
N；P、= 〃1 — £si COS 夕, У = 〃2 — £2 COS 夕， nJ) = 〃3 — ES3COS 夕,
N「= 〃1 + ESI COS 夕, N「= 〃2 — £2 COS 夕，
М°)= 〃3 — £S3 COS 夕,
з
l&|2
1,00 [
0,96 -
0,92 -
0,88 -
I厶|2
0,0018,003 6,0054,0072,00，
0,07 -
0,05 -
0,03 -
0,01 -
1%|2
0,0018,0036,0054,0072,00，
i,oo-
0,95
0,90
0,85
0,80
0,75 ■
l^l2
0,0018,0036,0054,0072,00，
0,08]
0,06-
0,04-
0,02-
0,0018,0036,0054,0072,00，
Рис. 4.2. Зависимость коэффициентов отражения и прохождения
СП пленки на подложке: А = 1 мм, 5 = 0,02 мкм, &2 = 90
Zs = 2,39 • 10-3 + ?2,65 • 10-4 (отн. ед.), £? = 9,96 — ?0,01,仙i =偿=
0,00
для мкм,
Соотношения (4.11), (4.12) переходят при di — сю или d\, d^ = О, d? 一 сю или di,d? = 0,處 一 сю в известные формулы Френеля [23, 41], определяющие коэффициент отражения плоской волны от границы раздела двух сред. Следовательно, формулы (4.11), (4.12) являются обобщением известных результатов Френеля. На рисунках 4.2 и 4.3 представлены зависимости коэффициентов отражения и прохождения от угла падения для одной СП пленки на подложке (с/з = 0). Сравнение рисунков 4.2 и 4.3 показывает, что изменение толщины подложки может существенно повлиять на характеристики рассеяния данной структуры, особенно, если падающая волна имеет р-поляризацию.
|&|2 1,00
0,99
0,98
0,97-
°，90,0018,0036,0054,0072,00，°，90,0018,0036,0054,0072,00，EF 0,0口 0,008 0,006" 0,0040,002-EF 0,0口 0,008 0,006" 0,0040,002-Рис. 4.3. Зависимость коэффициентов отражения и прохождения для СП пленки на подложке: А = 1 мм, 5 = 0,02 мкм, &2 = 90 мкм, Zs = 2,39 • 10-3 + ?2,65 • 10-4 (отн. ед.), £? = 9,96 — ?0,01,仙i =仙2 = 1Рис. 4.3. Зависимость коэффициентов отражения и прохождения для СП пленки на подложке: А = 1 мм, 5 = 0,02 мкм, &2 = 90 мкм, Zs = 2,39 • 10-3 + ?2,65 • 10-4 (отн. ед.), £? = 9,96 — ?0,01,仙i =仙2 = 1
°，90,0018,0036,0054,0072,00，
°，90,0018,0036,0054,0072,00，
EF 0,0口 0,008 0,006" 0,0040,002-
EF 0,0口 0,008 0,006" 0,0040,002-
Рис. 4.3. Зависимость коэффициентов отражения и прохождения для СП пленки на подложке: А = 1 мм, 5 = 0,02 мкм, &2 = 90 мкм, Zs = 2,39 • 10-3 + ?2,65 • 10-4 (отн. ед.), £? = 9,96 — ?0,01,仙i =仙2 = 1
Рис. 4.3. Зависимость коэффициентов отражения и прохождения для СП пленки на подложке: А = 1 мм, 5 = 0,02 мкм, &2 = 90 мкм, Zs = 2,39 • 10-3 + ?2,65 • 10-4 (отн. ед.), £? = 9,96 — ?0,01,仙i =仙2 = 1
4・2・ Эквивалентные граничные условия для системысверхпроводник-подложка-сверхпроводник
Эквивалентные граничные условия при нормальном падении волны получаются из соотношений (4.1), (4.3) и [пЕ] = ^Zs [п [пН]] путем введения эффективного поверхностного импеданса для этой системы
%巾巾=If%巾巾=If/=0/=01 +区1 — R'1 +区1 — R'(4.13)(4.13)
%巾巾=If
%巾巾=If
/=0
/=0
1 +区
1 — R'
1 +区
1 — R'
(4.13)
(4.13)
где R = R^^^^q =区(f)|/=o и определяется из (4.11) или (4.12). Тогда
граничные условия принимают следующий вид:
[пЕ] = -^эфф [п [пН]],[пЕ] = -^эфф [п [пН]],(4.14)(4.14)
[пЕ] = -^эфф [п [пН]],
[пЕ] = -^эфф [п [пН]],
(4.14)
(4.14)
где Z9巾巾 определяется из (4.13). При di т сю Z3巾巾=Zs^ Пусть е? = £, 4? = 4 параметры подложки. Из (4.13), полагая для сверхпроводников
ДИ 1, 〃з у 1, получим
Z3巾巾=Zg\ -(4.15)
1 A
2ikd].c 7 7—、
С = exp( — --—丁2 = exp (—, /si
4 —- Zsiy^) + т?8 (д/Д + Zs\y/s)
(+ 2sj) + тоВ (用i — Zs 1)
В =В =Zs3(v^ — л/Я +"窃ЗУ^ — 77Z)tgZs3(v^ — л/Я +"窃ЗУ^ — 77Z)tgZs3 (\/^ + \/^) + "窃3Vzё + уд) tZs3 (\/^ + \/^) + "窃3Vzё + уд) t
В =
В =
Zs3(v^ — л/Я +"窃ЗУ^ — 77Z)tg
Zs3(v^ — л/Я +"窃ЗУ^ — 77Z)tg
Zs3 (\/^ + \/^) + "窃3Vzё + уд) t
Zs3 (\/^ + \/^) + "窃3Vzё + уд) t
Zsi, 2$3 — поверхностные импедансы сверхпроводящих пленок.
На рисунках 4.4-4.10 показаны зависимости эффективного поверхностного импеданса (4.15) от различных физических параметров.
Здесь использованы следующие характеристики: импеданс сверхпроводящего материала пленок Zs = 2,387 • 10-3 + i • 2,653 х х 10-4 отн. ед. (1 отн. ед. = 1/(120тг) Ом) при А = 1 мм соответствует ВТСП YBaCuO (температура 77 К), материал подложки поликор, £ = 9,96 — г • 10-4. Такая структура обладает хорошими частотноселективными свойствами, которые могут быть использованы для выбора нужного типа колебаний в волноведущих и резонансных элементах различных СВЧ устройств. Анализ физических результатов позволяет сделать вывод о возможности эффективного применения указанной методики для исследования сверхпроводящих пленок в различных сверхпроводящих СВЧ-структурах, например [42—44].
&фф/&81笈 фф/Дя
Рис. 4.4. Зависимость Z^ от длины волны А при 5 = 2,47 мкм,厶=1 мм, 公=0
Рис. 4.5. Зависимость Z3^ от длины волны А при 5 = 2,47 мкм, &2 = 1 мм, &з = 0,5 мкм
Рис. 4.6. Зависимость 厶巾ф от толщины подложки d? при di = 2,47 мкм, &з = =1 мкм, X = 1 мм
&зфф/&81笈 фф%1
Рис. 4.7. Зависимость ^эфф от толщины второй пленки &з при di = 2,47 мкм, 公=1,11 мм, X = 1 мм
&зфф/&81羽 фф%1
Рис. 4.8. Зависимость 2》фф от толщины первой пленки di при &2 = 1,1042 мм, dm = 20 мкм, А = 1 мм
羽 фф^^]
&зфф/&81
Рис. 4.9. Зависимость ^эфф от толщины второй пленки &з при 必=2,02 мкм, 心=1,1042 мм, X = 1 мм
5
10
1520
^3, мкм
&зфф/&81
Рис. 4.10. Зависимость 2фф от толщины пленок при &з = di, &2 = 1,1042 мм X = 1 мм
笈 фф%]
4・3・ Возбуждение сверхпроводящей плоскости
Рассмотрим решение задачи [60] о возбуждении сверхпроводящей плоскости произвольным двумерным распределением сторонних источников. На границе сред выполняется граничное условие третьего рода
h^]ls = ^Ь [пН]]\^^ (416)
где п — нормаль к границе области, в которой определяется электромагнитное поле, a Z — сверхпроводящий поверхностный импеданс, содержащий тот же физический смысл, что и раннее. Согласно [128], совместим сверхпроводящую плоскость с плоскостью 2 = 0. Будем считать, что распределение источников и значения импеданса не зависят от координаты х. В верхнем полупространстве (z > 0) поле представим в виде суперпозиции электрических и магнитных волн, бегущих вдоль оси 2. При этом, учитывая двумерный характер поля, эти же волны можно рассматривать как электрические и магнитные волны, бегущие вдоль оси у.
Исследуем структуры решения для электрических волн. Поле сторонних источников (падающее поле) представим с помощью соотношений, полученных в [128], где учтено отсутствие зависимости ж, в виде
(4.17)(4.17)石呼=e片dk,
(4.17)
(4.17)
石僵=-=L=exp(-zN± VA^^)^W，(4.18)
Здесь S — площадь сечения области, занимаемой источниками, плоскостью х = const; верхние знаки перед радикалом берутся для (n — 2‘)< 0, а нижние — (z — z‘)> 0; £； — комплексная диэлектрическая проницаемость среды над сверхпроводящей импедансной плоскостью. Остальные составляющие векторов поля электрических волн таковы
石产=j石龍呢，出%=j H^dk,
—oo—oo(4.20)
yk — N ay，— k2 dy .
Поле, отраженное от сверхпроводящей плоскости, имеет вид
石尸=,(к)ехр(—泳g - \/k2 - z)dk,
石『p = % j 牛^ exp(—淤g --死2 z)dk,(4.21)
用邛=7° exp(—淤g -—力Mdk.
Суммарное поле электрических волн должно для 2 = 0 удовлетворять граничным условиям (4.16), которые для плоских границ раздела в прямоугольной системе координат имеют вид
(4.22)(4.23)(4.22)(4.23)Еу = ZeHx,Ех = -ZHHy.
(4.22)
(4.23)
(4.22)
(4.23)
Тогда, используя (4.22), имеем
ZeZeг=0г=0ккexp{—iky)dkexp{—iky)dkky/k2 — х2ky/k2 — х2exp{—iky)dk.exp{—iky)dk.(4.24)(4.24)
Ze
Ze
г=0
г=0
к
к
exp{—iky)dk
exp{—iky)dk
ky/k2 — х2
ky/k2 — х2
exp{—iky)dk.
exp{—iky)dk.
(4.24)
(4.24)
Заметим, что у функции F'(k) берутся перед радикалом только верхние знаки (4.19). Предположим, что сверхпроводящий поверхностный импеданс Ze является функцией координаты у, причем такой функцией, которую можно представить в виде интеграла Фурье
(4.25)(4.25)Ze (у) = 2(к)ехр(—泳 g)dk.
(4.25)
(4.25)
Тогда (4.24) с помощью теоремы о свертке и формулы обращения для преобразования Фурье приведем к виду
2(k 7)2(k 7)k kk k(4.26)(4.26)
2(k 7)
2(k 7)
k k
k k
(4.26)
(4.26)
Обозначим
¥-即)，中• 人儿JЛуу — %
(4.27)
Преобразовав (4.26), получим
夕(k)夕(k)少(k)-组工少(k)-组工(4.28)(4.28)
夕(k)
夕(k)
少(k)-组工
少(k)-组工
(4.28)
(4.28)
Формула (4.28) является неоднородным интегральным уравнением Фредгольма второго рода относительно функции 夕(к) простым образом связанной со спектральной плотностью /(к) отраженного поля. Функция 屮(к) полностью определяется распределением сторонних источников и играет роль свободного члена в интегральном уравнении.
Как следует из (4.28), функция —，…:亍 является ядром инте
— х2
грального уравнения. Оно несимметрично по отношению к переменным к и г/, имеет слабую особенность в точках 〃 = 土к.Перейдем к безразмерным величинам ki = k/死，771 = г//я, у\ = ху, Z^e = Ze[за при <71 = 0.
Тогда уравнение (4.28) примет вид
夕(ki)夕(ki)屮(ki)-分屮(ki)-分2厶(自一〃1)/-夕⑺ 1 )d〃i •2厶(自一〃1)/-夕⑺ 1 )d〃i •(4.29)(4.29)
夕(ki)
夕(ki)
屮(ki)-分
屮(ki)-分
2厶(自一〃1)
/-夕⑺ 1 )d〃i •
2厶(自一〃1)
/-夕⑺ 1 )d〃i •
(4.29)
(4.29)
В том случае, когда на всей сверхпроводящей плоскости поверхностный импеданс постоянен,
то в этом случае ядро становится диагональным, а вместо интегрального уравнения получаем для функции 夕(ki) простое функциональное
уравнение видауравнение вида夕(В)夕(В)屮(ki) - iZiE屮(ki) - iZiE夕（自）夕（自）
уравнение вида
уравнение вида
夕(В)
夕(В)
屮(ki) - iZiE
屮(ki) - iZiE
夕（自）
夕（自）
из которогоиз которогоklklexp（一泳［勿-exp（一泳［勿-1 z\)dk\,1 z\)dk\,(4.33)(4.33)x exp(一分&gi —x exp(一分&gi —(4-34)(4-34)
из которого
из которого
kl
kl
exp（一泳［勿-
exp（一泳［勿-
1 z\)dk\,
1 z\)dk\,
(4.33)
(4.33)
x exp(一分&gi —
x exp(一分&gi —
(4-34)
(4-34)
(4.31)(4.31)『(ki)丿奸—1 -iZlE
(4.31)
(4.31)
夕(右) =/--—
k1V/奸—1 +iZiE
Используя (4.27) для функции /(ki), с помощью соотношений (4.21) найдем отраженное поле электромагнитных волн в виде интегралов Фурье
石尸=Г二阳，(4.32)
-сю V ^1 - 1 + ②石
Следовательно, получено решение для электрических волн, возбуждаемых сверхпроводящую плоскость с постоянным сверхпроводящим импедансом. Можно найти решение для случая постоянного сверхпроводящего импеданса и, не переходя к интегральному уравнению, если применить к соотношению (4.24) обратное преобразование Фурье, то есть найти функцию /(к). Отметим следующее обстоятельство. Если [128] на некоторой кривой поверхности щ = const в системе ортогональных координат 虱1,虱？,〃з, допускающих разделение переменных в волновом уравнении, сверхпроводящий импеданс меняется по закону Z = с/力%, где с — константа, /% — коэффициент Ляме, то решение также можно получить методом Фурье. В этой ситуации переменные разделяются, а в интегральном уравнении образуется диагональное ядро. Доказательство этого утверждения приведено в [129]. Для конкретных задач рассеяния электромагнитных волн можно установить, что для сверхпроводящих цилиндра и шара такое решение возможно при постоянном сверхпроводящем импедансе, а, например, для сверх-
проводящего импедансного клина при сверхпроводящем импедансе, меняющемся обратно пропорционально расстоянию от вершины.
4・4・ Возбуждение сверхпроводящего круговогои эллиптического цилиндров
Рассмотрим задачу о возбуждении сверхпроводящего кругового и эллиптического цилиндров. При решении задачи возбуждения сверхпроводящего кругового цилиндра исследуем отдельно формирование поля в поперечной (азимутальной) и в продольной плоскостях. В том и другом случаях ограничимся волнами, у которых вектор напряженности электрического поля лежит в плоскости формирования. Исследуем двумерную задачу о возбуждении сверхпроводящего цилиндра, считая, что распределения полей не зависят от координаты z и имеют структуру магнитных волн по отношению к оси z. Тогда с помощью разложения функции Грина в цилиндрической системе координат [61, 128] можно записать выражения для составляющих электромагнитного поля в виде сумм падающего (первичного) и отраженного (вторичного) полей при г < 产，где г — радиус-вектор точки наблюдения, а г'— радиус-вектор точки истока
Hz = £ [^ыЛДМ ^AnH^\kr^ exp(-m^),(4.35)
工 [f”/(团+4zW(kRexp，(4.36)
Er = -善 工 \F^Jn{kr) + AnH^\kr)^ exp(-m^),(4.37)
где An — парциальные коэффициенты отражения пространственных гармоник. На поверхности цилиндра г = а выполняется сверхпроводящее граничное условие, имеющее тот же физический смысл, что и ранее
牙 I Е 同尸丁 (ka)]exp(TW)
Z — —口oo г~ n■(
'£ \F^Jn{ko^ + AnH^\ko^\e^-in^
—OO L」
Тогда неизвестные коэффициенты отражения находятся так
4 曜g・竺.込,(4.39)
5 В. Ф. Кравченко
(4.40)(4.40)что и решает поставленную задачу. Интересно отметить, что при значении сверхпроводящего импеданса, равного
(4.40)
(4.40)
возникает резонанс n-й гармоники поля. Теперь рассмотрим двумерную задачу о возбуждении поля в продольной плоскости сверхпроводящего цилиндра, когда распределения полей не зависят от координаты у. Тогда для структуры поля в виде электрических волн по отношению к оси 2 можно представить тангенциальные составляющие электрического и магнитного полей в виде суммы падающего (первичного) и отраженного (вторичного) полей на основе спектрального разложения функции Грина в интеграл Фурье в цилиндрической системе координат [128]. Подставляя выражения для полей в граничное условие третьего рода, получим
J(力)Jo(〃a) +/(力)国2)(〃(1)"| exp(-/z)d力
ZZ(4.41)(4.41)1 —oo L」
Z
Z
(4.41)
(4.41)
_ oo L」V h^ -卜一
где F(力)—спектральная плотность падающего поля, /(九)—неизвестная спектральная плотность отраженного поля,沙=—分，力？ 一 k?. С помощью формулы обращения преобразования Фурье находим
Z = lidAZ = lidAСлучай магнитных волн может быть рассмотрен аналогично с помощью исходных выражений [128]. Здесь раздельно изучим случаи формирования поля в продольной и поперечной плоскостях эллиптического сверхпроводящего цилиндра. Остановимся на ситуации, когда вектор напряженности электрического поля лежит в плоскости формирования. Это соответствует случаю электрических волн в продольной плоскости и случаю магнитных волн в поперечной плоскости. Выражения для полей, полученные на основе разложения функции Грина в системе координат эллиптического цилиндра, могут быть использованы из [128]. Тогда, представляя полное поле электрических волн, не зависящее от поперечной координаты и, в виде суммы падающего (первичного) и отраженного (вторичного) поля в продольной плоскости цилиндра для п = 0, запишем сверхпроводящее граничное условие в виде
Z = lidA
Z = lidA
Se,Qo (〃d, cos и) [Je,Q0 (〃d, ch 虱о)久,◎] +
+ яe^0 {ud, ch W)b!5Q1 (h)] e~lhzdh j /*.£*空.£吧】.Х
I -0о
X 山qo(〃d,ch〃o)F；m + 〃皿(〃乩 ch〃o州％ (%)] 必勿?} (4.42) где d — половина расстояния между фокусами эллипса, △ = у ch2 и — cos2 V , и = — z\/h2 — k^ , Se^Q^d, cost?) — угловая функция Матье нулевого порядка, Je,Q0(^, ch и) и He^Q(ud, ch и) — радиальные функции Матье нулевого порядка,琛^ — спектральная плотность разложения падающего поля электрических волн, b|,Qi (h)— неизвестная спектральная плотность отраженного поля, штрих у радиальных функций Матье означает производную по переменной и. Используя формулу обращения преобразования Фурье, найдем неизвестную спектральную плотность отраженного поля
iu£ZJ^(ud, ch ио) +心(序—]^)Je^yd, ch uq)
b' q, (h] = 一Fe q,:.
，，iueZHfe q0 {ud, ch uo) +— h2)He q0 {yd, ch uq)
(4.43)
Рассмотрим формирование поля в поперечной плоскости эллиптиче
ского цилиндра при поляризации вектора напряженности электрического поля в той же плоскости, то есть случай магнитных волн. При h = 0 структура поля магнитных волн при отсутствии зависимости от 2 сохраняется и сверхпроводящее граничное условие запишется в следующем виде:
—Hz w=wo i^dA
Е {^ cos v) [Jfe^n {kd, chUQ)F^n +Hfe^n(kd, chuo)b^J
£ SeA(kd, cosv) [Je^(kd, chu^F^ + He^n(kd, ch W)b^J
(4.44)
Неизвестные парциальные коэффициенты отражения b?、，могут быть найдены методом разделения переменных в том случае, когда сверхпроводящий импеданс зависит от координаты у по закону
Zsu(u)=一斤尸==亏=.(4.45)
V ch 虱о — cos2 и
Тогда
м dZiueJe^n{kd, chu0) + J^ri {kd, chu0)
q, 丿=—力卢 о, •40丿
I' dZ^He^kd, ch w) + Hfe^n {kd, ch w)
(4.47)(4.47)Интересно отметить, что при
(4.47)
(4.47)
iusd Не^п (kd, ch 虱о)
возникает резонанс п-й гармоники отраженного поля. При определенных параметрах сверхпроводника, а также при заданной геометрии эллиптического цилиндра возможно резонансное возбуждение некоторой гармоники поля при фиксированной рабочей частоте.
4・5・ Осесимметричное возбуждениесверхпроводящей сферы
Здесь рассмотрим задачу возбуждения сверхпроводящей сферы осесимметричным распределением сторонних источников, считая, что на поверхности сферы выполняются сверхпроводящие граничные условия. Ограничимся случаем ТМ-волн. Падающее (первичное) поле сторонних источников и отраженное (вторичное) поле представляется [62, 128] в следующем виде:
(4.48)(4.48)E^E^[ ОО Q[ ОО Q厂^存（m+养（m］爲文 丁汾麻（团+ 3?2（友丁）F『,厂^存（m+养（m］爲文 丁汾麻（团+ 3?2（友丁）F『,厂＞ 丁，厂＞ 丁，гдегдеFnFnЯпад =—色Р (cos !""衣丁)Япад =—色Р (cos !""衣丁)г < m(4.49)г < m(4.49)(4.50)(4.50)2rz + 1 k(n + l)n 4тг£ш2rz + 1 k(n + l)n 4тг£ш% 安坦風仏力2 «os/ +% 安坦風仏力2 «os/ +дРп (cos 夕)дРп (cos 夕)A夕dPn (cos 夕)A夕dPn (cos 夕)++а夕а夕С sin 少初"d，,С sin 少初"d，,
(4.48)
(4.48)
E^
E^
[ ОО Q
[ ОО Q
厂^存（m+养（m］爲文 丁汾麻（团+ 3?2（友丁）F『,
厂^存（m+养（m］爲文 丁汾麻（团+ 3?2（友丁）F『,
厂＞ 丁，
厂＞ 丁，
где
где
Fn
Fn
Япад =—色Р (cos !""衣丁)
Япад =—色Р (cos !""衣丁)
г < m
(4.49)
г < m
(4.49)
(4.50)
(4.50)
2rz + 1 k
(n + l)n 4тг£ш
2rz + 1 k
(n + l)n 4тг£ш
% 安坦風仏力2 «os/ +
% 安坦風仏力2 «os/ +
дРп (cos 夕)
дРп (cos 夕)
A夕dPn (cos 夕)
A夕dPn (cos 夕)
+
+
а夕
а夕
С sin 少初"d，,
С sin 少初"d，,
s=l： R：仆У) = ^\krf) = 訂
s = 2:曜(3)=麻=J^7，、+1/2(")・
石= ：£^("+ 1)2 (cos J犬尸(衣厂)4、，(4.51)
1 00 л]
e7 = ^Bёр^3^广而器(①+f尸(① 4，(4・52)
П = \L」
五产=TGE^ 帝2(cos 内丄，(4.53)
где Ап — парциальные коэффициенты отражения.
Пусть на поверхности сверхпроводящей сферы радиуса а выполняется граничное условие
_耳ад +石=ну + 屮_耳ад +石=ну + 屮J2 Рп(cos义J2 Рп(cos义
_耳ад +石
=ну + 屮
_耳ад +石
=ну + 屮
J2 Рп(cos义
J2 Рп(cos义
4、=4、=•人1г•人1гд ,--苏徐?（友厂）д ,--苏徐?（友厂）11而&2）（友厂）一 ZG“一 f尸（友厂）而&2）（友厂）一 ZG“一 f尸（友厂）(4.55)(4.55)
4、=
4、=
•人1
г
•人1
г
д ,-
-苏徐?（友厂）
д ,-
-苏徐?（友厂）
1
1
而&2）（友厂）一 ZG“一 f尸（友厂）
而&2）（友厂）一 ZG“一 f尸（友厂）
(4.55)
(4.55)
Е「+ г—^2)(М +^\кг) Ап
〃Gb£^2(cosJ)[vMA；SEr + S2)(A；T，)4j }• (4.54)
?2 = 1丿 r=a
Отсюда определим парциальные коэффициенты отражения
Это решает поставленную задачу. Следует указать на возможность резонанса п-й гармоники при значении сверхпроводящего импеданса
Zpe3 =Zpe3 =3iuj£r^n\kr)3iuj£r^n\kr)(4.56)(4.56)
Zpe3 =
Zpe3 =
3
iuj£r^n\kr)
3
iuj£r^n\kr)
(4.56)
(4.56)
Как показывают численные эксперименты, для низших гармоник (п < 2ка) сверхпроводящий импеданс Zpe3 имеет соизмеримые по величине отрицательную действительную и положительную мнимую часть, а для высших гармоник (rz > 2ка) Zpe3 оказывается почти реактивным с положительным знаком мнимой части.
Рассмотрим теперь случай ТЕ-волн, когда электромагнитное поле имеет составляющие Нг, %, %. Поле осесимметричного распределения сторонних источников представляется в следующем виде:
Н；аД = : £"5+ 1)2 (COS J)Н；аД = : £"5+ 1)2 (COS J)^\kr)F^M,厂 > rf, ^n(kr)F^M,厂 < 匕^\kr)F^M,厂 > rf, ^n(kr)F^M,厂 < 匕(4.57)(4.57)
Н；аД = : £"5+ 1)2 (COS J)
Н；аД = : £"5+ 1)2 (COS J)
^\kr)F^M,厂 > rf, ^n(kr)F^M,厂 < 匕
^\kr)F^M,厂 > rf, ^n(kr)F^M,厂 < 匕
(4.57)
(4.57)
風風1 00 зr^dePn^os0)1 00 зr^dePn^os0)厂方l用（"）+*（"）a产，厂方l用（"）+*（"）a产，Xj石貝=ТЕ工丽2 (cos J)Xj石貝=ТЕ工丽2 (cos J)^\kr)F^M, ^n(kr)F^M,^\kr)F^M, ^n(kr)F^M,厂> r\ r < rz,厂> r\ r < rz,Г < К(4.58)(4.59)Г < К(4.58)(4.59)2n + 1 k(n + l)n 4717心;2n + 1 k(n + l)n 4717心;j “•丁":力‘区貝阮"""^明+j “•丁":力‘区貝阮"""^明+
風
風
1 00 з
r^dePn^os0)
1 00 з
r^dePn^os0)
厂方l用（"）+*（"）a产，
厂方l用（"）+*（"）a产，
Xj
石貝=ТЕ工丽2 (cos J)
Xj
石貝=ТЕ工丽2 (cos J)
^\kr)F^M, ^n(kr)F^M,
^\kr)F^M, ^n(kr)F^M,
厂> r\ r < rz,
厂> r\ r < rz,
Г < К
(4.58)
(4.59)
Г < К
(4.58)
(4.59)
2n + 1 k
(n + l)n 4717心;
2n + 1 k
(n + l)n 4717心;
j “•丁":力‘区貝阮"""^明+
j “•丁":力‘区貝阮"""^明+
,1 ° —DSC i、、^7 (cos of)
+ % 3丽(厂凡(2)一帝
— j^ iu^R^krf) ""、^s “)} r‘2 sme' dO dr' df,
5=1:兄(")=ё『(kN)=ju7月2/2("力,
s = 2:比(3) = ^n(krf) =，、+1/2("),
Отраженное поле представим в виде
寸叩=：金"+ l)2(cos哄尸(m丄，(4.60)
H力=不£ 帝Pn(cos。) г—^^+^Цкг) Ап, (4.61)
石?p =一汕4^—Pn{cose)An,(4.62)
где Ап — парциальные коэффициенты отражения.
砂 д + н'Р砂 д + н'Р〉2 2 (cos 0) х〉2 2 (cos 0) хПотребуем, чтобы на поверхности сферы г = а выполнялось сверхпроводящее граничное условие
砂 д + н'Р
砂 д + н'Р
〉2 2 (cos 0) х
〉2 2 (cos 0) х
006
(4.63)(4.63)(4.64)(4.64)汕4厂^ 丽2(cos') yn(kr)F^M + ^\kr)A^
(4.63)
(4.63)
(4.64)
(4.64)
Отсюда находятся неизвестные коэффициенты отражения
jг1 Э
FnM 衣厂）汕42 --汾 4%（友丁）г 7 П汾£尸仏汕f尸（友厂）
В этом случае также возможен резонанс п-й гармоники отраженного поля при определенном значении импеданса. Следовательно, рассмотренный здесь подход может быть распространен на решение широкого класса краевых задач, связанных с возбуждением различных сверхпроводящих структур. Укажем также на тот факт, что при определенных физических исследованиях сверхпроводящего импеданса Z можно в дальнейшем использовать его при решении модельных задач применительно к высокотемпературным сверхпроводникам.
Электромагнитное поле решеткисверхпроводящих антенн
В теории сверхпроводящих антенн [11, 64] широко используются граничные условия, которые могут быть записаны либо через тангенциальные составляющие электромагнитных полей
Er = Z[Ht,n], (4.65) либо через поверхностные эквивалентные электрические и магнитные токи
JM = -Z[J3,n], (4.66)
где п — внешняя нормаль к границе области, Z — сверхпроводящий поверхностный импеданс.
Электрический ток в (4.66) состоит из двух физических составляющих, что обусловлено природой сверхпроводящих структур [1, 11, 13], а магнитный ток является фиктивным, но удобным с точки зрения симметрии расчетных соотношений. Рассмотрим решетку из 2^ + 1 антенн, на поверхности которых выполняются граничные условия (4.66). Можно составить систему интегральных уравнений [130] для электрических токов
—grad div 必4—grad div 必4(G(p, q)2^,，：(力)+(G(p, q)2^,，：(力)+
—grad div 必4
—grad div 必4
(G(p, q)2^,，：(力)+
(G(p, q)2^,，：(力)+
+ rot(G(p, q)Z [n,方(q。} dSn = - [n, H^{p)], -N < m < N,
(4.67)
или для магнитных токов
1 N Г1
正 工 JQ)Jn4Q)~ div+
+ rot (g(2 q) [n,，?(q)] ；) | dSn =
=-[n, H^(p)],—N < m < N. (4.68)
Здесь G(夕，q) — функция Грина среды, окружающей антенную решетку, о; — рабочая частота, е, 〃， — диэлектрическая и магнитная проницаемости среды соответственно. Если импеданс на поверхности сверхпроводящих антенн постоянен, то задача анализа поля существенно упрощается. Случай переменного импеданса приводит к значительному усложнению в построении решения. С помощью метода моментов системы интегральных уравнений (4.67) и (4.68) приводятся к системам линейных алгебраических уравнений. Если в разложении неизвестных токов в каждой антенне удерживается по М пространственных векторных гармоник, то система алгебраических уравнений может быть записана в виде
N М
工工Z пр,raid= U“，-N《m《N, 1 < 〃 < Л1.(4.69)
n = — N 〃=1
Здесь 厶〃 —неизвестные комплексные амплитуды гармоник тока, Z?21AmM — взаимные сопротивления (моменты) между гармониками тока в различных антеннах, определяемые формулой
[ Ег {/^рфр} / Ф dSm,(4.70)
где знаком * обозначена операция комплексного сопряжения. Выбор системы пространственных гармоник играет важную роль [130]. Помимо традиционных систем гармоник, перспективными являются атомарные функции [131, 132]. Для плоских и цилиндрических решеток с расположением антенн в узлах прямоугольной сетки матрица системы уравнений (4.69) является блочно-теплицевой и система уравнений принимает вид
МNy
〃=1 m= — N.i n= — Nq
-Nx,y l,p 1 M.
Отметим, что сверхпроводящий импеданс Z входит в диагональные элементы теплицевых блоков системы (4.71). Для решения системы
можно использовать двойное дискретное преобразование Фурье. В случае бесконечной решетки (N% = Ny = ос) решение получается с помощью теоремы о свертке и имеет вид
fpc = ^(kx,ky)^^,(4.72)
Здесь
/ Zi 1 {кх
Z12 (%, &) •
• • Z\m (kx, ky) \
Z22 (&化•
• • ^2M (衣;r *g )
Zм2 (衣化,ky) •
(4.73)
△^ (кх, ку) — определитель, найденный из Ам (кх, ку) заменой у-го столбца на столбец правых частей
I, ку), U? (%, /с,),..., Um (%, kg) | j
kx = к sin 3 cos 夕； ку = к sin 3 sin 夕； 仇夕一углы сферической системы координат. Знаком 〜отмечены дискретные преобразования Фурье функций, входящих в (4.71). Найденное решение fp(kx, ку) описывает угловое распределение поля решетки в дальней зоне. Здесь используется подход, в котором рассматриваются интегральные уравнения для электрических или магнитных поверхностных токов. Переход к системе линейных алгебраических уравнений на основе метода моментов позволяет построить хорошее приближенное решение. В случае плоских и цилиндрических бесконечных эквидистантных сверхпроводящих решеток получается простое решение с помощью дискретного преобразования Фурье и теоремы о свертке. Результатом является явное выражение для характеристики направленности сверхпроводящей антенной решетки.
Определение полей излучения плоскойсверхпроводящей логарифмической спирали
Представляет практический интерес [136] получить решение краевой задачи для полей излучения плоской сверхпроводящей логарифмической спирали. Граничные условия для спирально проводящей плоскости, обладающей произвольной проводимостью вдоль витков логарифмической спирали, могут быть записаны с учетом поля возбуждения Е =石()Ь(0 — 0о)е"?з в виде (при z = 0)
Ер - иЕ^ + ,1 +〃2 bg _ 為耳"=Zs [иНр + 瓦],7
Нр - иН^ = 0,
где 石о — э.д.с. J-генератора, Цр - ро) — дельта-функция Дирака, р — радиус возбуждения спирали, и = ctg ф - параметр намотки спирали, Ер,石Нр, Н屮—цилиндрические компоненты электрического и магнитного полей соответственно, Zs ——сверхпроводящий импеданс.
Решение граничной задачи выражается через электрический и магнитный потенциалы Герца [133-135] в форме интегральных преобразований 0G
Пе = ] А(у)Jn(kpy)dy,
黑 (4.75)
Пш = Jn(kpy)dy, о
где к = ш/с ——волновое число свободного пространства, Jn(kpy)—— функция Бесселя первого рода, А{у), 8(g) — спектральные плотности, определяемые из граничных условий (4.74). После подстановки выражений для компонент полей в граничные условия (4.74) и применения обратного преобразования Ханкеля получаем систему связанных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами
=2•石0若，1 + U2 "(кроу)=2•石0若，1 + U2 "(кроу)%("(4.76)%("(4.76)=гЕоро У1 + ^2 Л (кроу)=гЕоро У1 + ^2 Л (кроу)к"\(у)'к"\(у)'
=2•石0若，1 + U2 "(кроу)
=2•石0若，1 + U2 "(кроу)
%("(4.76)
%("(4.76)
=гЕоро У1 + ^2 Л (кроу)
=гЕоро У1 + ^2 Л (кроу)
к"\(у)'
к"\(у)'
где
£ = »1 -炉,夕 1(g) = (1 + 虱2)—才 + Zs(l + 虱2)8
夕 2(Р)= 2(1 + U^) — (1 + Mu)/ + 2Zs(l + 虱 2)f,
夕3(P)= -W2 -分"/(I + 虱2)T -汨(1 + 虱DEL
夕 4(Р)= W2 + 力以(1 + 虱 DE + ?П(1 + 虱 DEL
夕5(沙)=2(1 + 虱2戸一/(1 + inu)^ + 以(1 + 虱2)f(2 - /).
При этом на решение системы уравнений (4.76) накладываются ограничения вида
生儿")生儿")部}"(4.76а)
生儿")
生儿")
У —ОО
Система связанных дифференциальных уравнений (4.76) может быть решена только численно. Для этого необходимо задать начальные
значения для А(у), 8(g), когда g — 0. Для поиска решений для А(у), В{у) (в предельном случае g —。)упростим уравнения (4.76)
(4.77)(4.77)+ 24(g)〜飙)=泌一瓦届了值厶(3 dy(l+*(i+Zs)
(4.77)
(4.77)
+ 28(g) +…)=/一瓦届了值(包辺 匈 山 切 (1+〃2)(1+厶)
Введя вспомогательные спектральные функции
М(у) = А(у) +iB(y),М(у) = А(у) +iB(y),(4.78)(4.78)N(y) = А(у) —iB(y),N(y) = А(у) —iB(y),(4.79)(4.79)
М(у) = А(у) +iB(y),
М(у) = А(у) +iB(y),
(4.78)
(4.78)
N(y) = А(у) —iB(y),
N(y) = А(у) —iB(y),
(4.79)
(4.79)
приходим к двум независимым дифференциальным уравнениям относительно М(у), N(y)
+ (2 - п)М(.)=亠心三卫32,(4.80)
半+ (2)=k'Eop^/Ej?心.
也(1+2%)(1+Zs)
Решение уравнений (4.80) и (4.81) имеет вид
С% + j Jn{kp^y)t^^dt
АДУ) =…——,(4.82)
pn{kpQy)t^dt
N(g) = 2%-1石0*，1 +〃2gS-2)2.(4.83)
(1 +。虱)(1 + Zs )
Для выполнения условия (4.76а) при g — 0 необходимо положить: С” = =0 для п > 0, С} = 0 для п < 0, С% = С% = 0 для п = 0.
Физический смысл для модели спирально проводящей плоскости имеют только решения, когда п》0. Исследуем их. Асимптотики этих решений для предельного случая g — 0 согласно (4.78), (4.79) и (4.82), (4.83) имеют вид
A{y) = [M{y)+N{y)}/^(4.84)
ВЫ = М@) - ЯЫ] /2,(4.85)
МЫ = V1 瓦若，1+苏产[(1 +，ш)(1 + 以)]7 • (4.87)
Выражения для полей излучения в дальней зоне получаются стандартным приемом замены переменной в (4.75) вида у = sinJ, переходя к сферическим координатам R, 0,斤，и оценке полученных интегралов методом стационарной фазы. Окончательные выражения для полей в дальней зоне запишем так
(4.88)(4.88)4 = -Нв = 0,5ег?^/с sin 20B{sm 0)^n+x^/i2e^kR/R, Ee = H^ = -0,5e^ksm2eA(sm 0)^n+x^/i2e^kR/R.
(4.88)
(4.88)
Для вычисления компонент полей в дальней зоне по формулам (4.88) необходимо вначале вычислить коэффициенты 4(g), В{у) при у = sin 0 путем численного решения системы связанных дифференциальных уравнений (4.76) при начальных условиях, определяемых из (4.84)—(4.87). Отметим, что вследствие комплексности функций 夕i(g)—屮5(у) система двух уравнений (4.76) при численном исследовании превращается в систему четырех дифференциальных уравнений. Отметим некоторые особенности полученного решения. Когда J — 0, выражения для компонент электрического поля в дальней зоне согласно (4.84)—(4.88) принимают вид
一，a（1-次）（1 +以）一，a（1-次）（1 +以）
一，a（1-次）（1 +以）
一，a（1-次）（1 +以）
L」(4.89)
Ee d -0,5葭?…石0届，1+涼一义尺(1 + 沁)(1 +
x(smJ)3 ^cos^ + T•
Из анализа выражений (4.89) следует, что излучение вдоль оси спирали будет иметь место только в случае п = 1 (за счет коэффициента C；J, что согласуется с общими положениями теории спиральных антенн [135]. Поляризация поля излучения для этого случая в осевом направлении при плотной навивке спирали (虱》1) чисто круговая
. 1 + ш .
——=г-^ = — ZEq 1 — IU
и никак не зависит от значения сверхпроводящего импеданса Zs. Коэффициент С} в (4.89) для основного режима излучения п = 1
удобно задать из условия получения нормированных по амплитуде характеристик направленности, а именно:
”(4.90)
Тогда начальные значения для спектральных функций A(sin ^), В (sin ^) равны
lim A(sin J) = ik^1 \/l + ^2 / [(1 —沁)sin 0] ,(4.91)
lim B(sin J)二仁 1，1 + 〃2 / [(1 —沁)sin 3] .(4.92)
В общем случае произвольного значения 刀 > 1 коэффициент С^ необходимо определять из дополнительных физических условий поведения поля в области источника возбуждения спирали [134]. Как следует из (4.91), (4.92), начальные значения функций A(sin ^), В (sin ^) имеют особенности типа полюса при J = 0, что вызывает неудобства при численном решении системы дифференциальных уравнений (4.76) (само поле указанной особенности при ^ = 0 не имеет в силу наличия в выражении (4.89) множителя sin ^). Поэтому удобнее искать решение системы уравнений (4.76) для функций
А(у) = kyA(y) = k sin M(sin ^),
8(g) = куВ{у) = к sin ^B(sin ^),
записав через них выражения (4.88) для полей в дальней зоне. Отметим, что в предельном случае при — 0 решение системы дифференциальных уравнений (4.76) находится с помощью соотношений (4.78), (4.79) в аналитическом виде и совпадает с приведенными в работах [133-135].
Возбуждение электрическим диполемсверхпроводящего диска
Задача о рассеянии волн бесконечно тонким круглым диском является классической задачей теории дифракции и ей посвящена обширная литература [69, 86, 89] и [137-142]. Анализ ее в случае длинных волн основывался на методе возмущения Рэлея и на дипольном приближении Бете. Для исследования задачи в коротковолновой области использовались эвристические методы: метод Кирхгофа, метод Браунбека и метод дифракционных лучей Келлера. В ряде работ получение приближенных решений при длинных и коротких волнах опиралось на приближенные методы исследования возникающих в задаче интегральных уравнений. Точное решение задачи получено
сравнительно недавно. Оно имеет вид разложения по сфероидальным функциям. Численные оценки рядов, ввиду сложности табулирования сфероидальных функций, получены для аксиальной симметрии и длин волн порядка ко 〜1. Эти ряды могут быть использованы также для нахождения длинноволновой асимптотики решения. Проанализировать коротковолновый случай с помощью этих рядов до настоящего времени не удалось.
Другие известные строгие подходы к исследованию данной задачи состоят в сведении ее различными способами к решению интегральных уравнений Фредгольма второго рода. При этом, как правило, использовалась особая специфика задачи, которая заведомо отсутствует в близких задачах общего типа, представляющих практический интерес. Полученные интегральные уравнения оказались неудобными для анализа их решения численными методами для случаев, когда диаметр диска сравним или больше длины волны. Задача дифракции на диске достаточно изучена для идеально проводящего диска. Однако как в отечественной, так и зарубежной литературе практически отсутствуют работы, где бы рассматривались задачи с граничными условиями третьего рода. Здесь решена задача о дифракции электромагнитных волн, излучаемых магнитным диполем, на сверхпроводящем тонком диске, получены алгоритмы, удобные для проведения численного решения.
Возбуждение электрическим диполем сверхпроводящего диска. Геометрия области. В трехмерном изотропном пространстве с характеристиками eq, Мо рассмотрим тонкое кольцо S { / = 0, а2 т2 + у2 Ь?}, выполненное из СП однородного материала. Внешнюю к диску область (рис. 4.11) Л3\5 обозначим D.
Рис. 4.11. Сверхпроводящий дискРис. 4.11. Сверхпроводящий дискПусть первичное электромагнитное поле (ЭМП)石°, Яо будет зависеть от времени как 厂"叫 При математическом моделировании физического процесса рассеяния электромагнитных волн (ЭМВ) на диске проникновение поля через него не будем принимать во внимание, а характеристики материала учтем с помощью сверхпроводящих граничных условий на поверхности СП диска. Ставится задача об определении по
Рис. 4.11. Сверхпроводящий диск
Рис. 4.11. Сверхпроводящий диск
верхностных токов на его поверхности и построении диаграммы направленности (ДН) в дальней зоне.
Постановка краевой задачи. Суммарное электромагнитное поле в области ^определяется векторами Е = Е° + Е\ Н = Н° + Н\ где {石-Я7}——рассеянное сверхпроводящем диском поле, для которого выполнены:
уравнения Максвелла
rot石/ = icu^oHf, rot Hf =—必£()石/ + j в области D, (4.94)
сверхпроводящие граничные условия на поверхности диска
[п 义石]Is = —Zc [п х [п х H]]\s ,(4.95)
где n = ez единичная нормаль к диску S; в) условия Зоммерфельда
г) условия Мейкснера на кромках дискаг) условия Мейкснера на кромках диска=О,=О,О,О,lim 0lim 0lim °lim °(4.96)(4.96)\Е\2 + \H\2dV < ос.\Е\2 + \H\2dV < ос.(4.97)(4.97)
г) условия Мейкснера на кромках диска
г) условия Мейкснера на кромках диска
=О,
=О,
О,
О,
lim 0
lim 0
lim °
lim °
(4.96)
(4.96)
\Е\2 + \H\2dV < ос.
\Е\2 + \H\2dV < ос.
(4.97)
(4.97)
Метод решения краевой задачи. Пусть тонкий диск с поверхностью S и произвольным импедансом Zc расположен в плоскости г = О (рисунок 4.11). Диск возбуждается источником, поле которого обладает цилиндрической симметрией, то есть не зависит от координаты 夕, J{p)——поверхностный ток, возбуждаемый источником на поверхности S диска. В соответствии с уравнениями Максвелла
div 石=0, divH = 0div 石=0, divH = 0(4.98)(4.98)
div 石=0, divH = 0
div 石=0, divH = 0
(4.98)
(4.98)
и уравнением div j = 0 имеем
(4.99)(4.99)
(4.99)
(4.99)
Зависимость поля от времени t имеет вид "侬力.Значения нормальных производных компонент поля в СП согласно [86, 89] запишутся в виде
дЕп dz=dz+дНпI _ I дНх|+dzдЕп dz=dz+дНпI _ I дНх|+dz=О,=О,=О,=О,(4.100)(4.100)
дЕп dz
=
dz
+
дНп
I _ I дНх
|+
dz
дЕп dz
=
dz
+
дНп
I _ I дНх
|+
dz
=О,
=О,
=О,
=О,
(4.100)
(4.100)
Из (4.94), следует
НТНТ1汕401汕40дЕТдЕТ7т7тдНтдНт(4.101)(4.101)
НТ
НТ
1
汕40
1
汕40
дЕТ
дЕТ
7т
7т
дНт
дНт
(4.101)
(4.101)
где 刀 ——единичный вектор нормали к поверхности S, направленный от поверхности вверх. Интегрируя (4.101) по толщине диска, имеем
石т(0)=必仰 Hr{z)dz х 刀，L °…」(4.102)
J = [Нт(。)x n] = Вт⑺dz.
о
Здесь w ——его толщина, которая стремится к 0 в приближении бесконечно тонкого диска; J — комплексная амплитуда полного тока. В случае изотропного материала, учитывая геометрию задачи, запишем
HT(z)dz = 6 ■ Нт(01(4.103)
о
где 6 ——комплексная величина, которая согласно [13] имеет вид
11 2г
где 坛=Jm^ QgNs喻,底=<2]加оз、.
Подставив (4.103) в (4.102), получим 石丁(0) = Zc [Нт(0) х п]. Откуда
Ет(0) = -Zo [п х НтШ，(4.104)
или
Ет(0) = ZCJ.(4.105)
Уравнение (4.105) перепишем в виде
石〃S) = 〃S)Z или 石^S) +石；(0)= 〃S)以. (4.106)
В цилиндрической системе координат (в терминах потенциалов) для дифракционного поля получим
=一号一学'E/0)= _&(。)・(4.107)
Согласно калибровке Лоренца div А + eqMoСогласно калибровке Лоренца div А + eqModtdt0. Тогда0. Тогда
Согласно калибровке Лоренца div А + eqMo
Согласно калибровке Лоренца div А + eqMo
dt
dt
0. Тогда
0. Тогда
▽・ &(『)=；^ [。&(。)(=—氾笃/w'S).(4.108)
Подстановка (4.108) в (4.107) и (4.107) в (4.106) позволяет получить уравнение
—1И ( M9 / A?S)= 必£040 [Jp(p)Z(p)- 石〃S)],
(4.109)
где k? = cj2eoMo- Для решения (4.109) воспользуемся методом вариации постоянных. При этом надо учесть то обстоятельство, что решением однородного уравнения является функция А1 {р} = С\ J] (р) + С^\ (р). Здесь J] (т), Н(т) — функции Бесселя соответственно первого и второго родов 1-го порядка; С] н О?——постоянные.
Тогда решение (4.109) запишем в виде
Afp(p) = 4/(m) +8勺1(后川 +
р
+ '4^ [К (例)/(к〃)-J (k0)К(к〃)][Jp^Z^u)-石^(〃)] udu,
°(4.110)
где Af и Bf произвольные константы, c — скорость света. Когда а =0, то 8’ = 0. В данном случае для свободного пространства функция Грина
где Я = у р2 + pg 2рро cos ф1. Тогда вектор-потенциал имеет вид
А〃(。)= ^ ||^р(Ро) cosф/^^~podфfdpQ. (4.112) а 0
Для решения (4.110) и (4.112) воспользуемся методом моментов. Поверхностный ток разложим по выбранному базису, который представим так^
Jp5 = f：rijn3'(4.113)
Для получения численного решения (4.110) необходимо взять конечное число членов ^, определяемое выбором базиса. Тогда
N
/。(0)=):Qnjn (0)， cz p Ь.(4.114)
Подставим (4.114) в (4.112), а затем в (4.111). После соответствующих преобразований получим
N
(4.115)(4.115)Е м+ 4/ (例)+ 8K (例)=QS)，
(4.115)
(4.115)
где
Лг(0О)COS ^—p^dpo,Лг(0О)COS ^—p^dpo,(4.116)(4.116)
Лг(0О)COS ^—p^dpo,
Лг(0О)COS ^—p^dpo,
(4.116)
(4.116)
a 0
P
(4.117)(4.117)(4.118)(4.118)G九(0)= -г—7Г2 [ \\\(kp)Jx{ku) - J^kp^Y^ku^fn^Z^udu,
(4.117)
(4.117)
(4.118)
(4.118)
p
Q(。)= Т-^-тг? [У1 (kp)J\ (ku) - Jx^^Yx^v^E^^du.
Уравнение (4.115) имеет ^+2 неизвестных коэффициентов. Оно может быть разрешено относительно коэффициентов {/}, Л, 8. Для этого составим замкнутую систему из М ^ ^ + 2 уравнений вида
N
〉:Qn [^k(0m) + ^n(Pm)] 4厶(^Pm) + 8yl (肉。力)=Q(0m), (4.119)
где 1 ^ m ^ M, a，pm，b — m различных отсчетов p. Решив эту систему относительно неизвестных коэффициентов, получим приближенное выражение для поверхностного тока вида (4.114). Отметим,
Рис. 4.12. Геометрия СП дискаРис. 4.12. Геометрия СП дискачто полный ток (4.114) состоит из нормально проводящего и сверхпроводящего. Заметим, что у интеграла (4.116) имеется особенность при О = а ф‘ = 0. Если последовательность функций {/п} является непрерывной в области интегрирования, то найти численное значение интеграла в каждом конкретном случае можно следующим образом. Поместим начало координат в точку наблюдения (рис. 4.12) и введем функции
Рис. 4.12. Геометрия СП диска
Рис. 4.12. Геометрия СП диска
(4.120)(4.120)/ 1, а^р^^Ь.
(4.120)
(4.120)
РМ = \^ Ы>ь-，
8(£) = -ocos£+ J/ —炉 sin? £ ,(4.121)
ро = \/р2 + р2 + ррcos < .(4.122)
Тогда (4.116) принимает вид
爲S)=] I %gpg…「…dpd&(4.123)
о о
Как будет показано ниже, этот интеграл сходится. Следовательно, он может быть определен численными методами. Покажем, что существует интеграл
爲+ Р…Pdpd£,(4.123a)
о 0
где
8 (£) = —° cos ^ + у b2 — p2 sin2 £ ,
Po = Ур2 + P2 = 2pp cos ^ .
Рассмотрим случай, когда базис выбран так, что /п (ро) не имеет особых точек в области интегрирования. Тогда у подынтегральной функции есть особенность вида 1/ро в точке ро = 0, что соответствует центру диска (р = р, £ = тг), где ро — точка наблюдения. Рассмотрим два случая: кольцо ci W ри W b при a * 0, диск а《ри《b при a = 0.
В первом случае особая точка подынтегральной функции не входит в область интегрирования. Подынтегральная функция непрерывна и поэтому интеграл от нее в данной области существует. Во втором случае подынтегральная функция имеет особенность в точке ро = 0 вида 1/ро- Эту особенность можно устранить путем выбора соответствующей последовательности базисных функций {%(『)} таких, что /п(т) в окрестности точки 0 ведет себя как /&, где 启》1. Одним из примеров такой последовательности функций является {/п(т)} = {sin пт}. При этом условии интеграл (4.123а) в особой точке рассматривается в смысле предела. Когда ро 0, то он существует.
Построение диаграммы направленности. Определим ДН исследуемой структуры в дальней зоне. Согласно [86, 89, 143] ЭП, создаваемое излучателем с плоским раскрывом, представим в виде
宀(4.124) 47r К
гдегдеD (仇 V0 = - [ir (刀 + 方五)N]; n =方z,D (仇 V0 = - [ir (刀 + 方五)N]; n =方z,(4.125)(4.125)
где
где
D (仇 V0 = - [ir (刀 + 方五)N]; n =方z,
D (仇 V0 = - [ir (刀 + 方五)N]; n =方z,
(4.125)
(4.125)
Рис. 4.13. Ток, текущий по раскрыву дискаРис. 4.13. Ток, текущий по раскрыву дискаF — вектор тока, текущего по раскрыву диска (рис.4.13).Введем в области раскрыва полярные координаты х = 0 cos 夕，ух = 0 sin 夕.В нашем случае (в силу симметрии задачи) вектор тока зависит только от р и не зависит от угла 土 q. Используя результаты [143], имеемN (仇巾)=R (kb sin 0)=1=庐 vF^Jq (kbr sin ^) dr, (4.126) a/bF — вектор тока, текущего по раскрыву диска (рис.4.13).Введем в области раскрыва полярные координаты х = 0 cos 夕，ух = 0 sin 夕.В нашем случае (в силу симметрии задачи) вектор тока зависит только от р и не зависит от угла 土 q. Используя результаты [143], имеемN (仇巾)=R (kb sin 0)=1=庐 vF^Jq (kbr sin ^) dr, (4.126) a/bгде г = р/b. Для ДНгде г = р/b. Для ДНО = (1 +cos6»)R(J).О = (1 +cos6»)R(J).(4.127)(4.127)
Рис. 4.13. Ток, текущий по раскрыву диска
Рис. 4.13. Ток, текущий по раскрыву диска
F — вектор тока, текущего по раскрыву диска (рис.4.13).
Введем в области раскрыва полярные координаты х = 0 cos 夕，ух = 0 sin 夕.В нашем случае (в силу симметрии задачи) вектор тока зависит только от р и не зависит от угла 土 q. Используя результаты [143], имеем
N (仇巾)=R (kb sin 0)=
1
=庐 vF^Jq (kbr sin ^) dr, (4.126) a/b
F — вектор тока, текущего по раскрыву диска (рис.4.13).
Введем в области раскрыва полярные координаты х = 0 cos 夕，ух = 0 sin 夕.В нашем случае (в силу симметрии задачи) вектор тока зависит только от р и не зависит от угла 土 q. Используя результаты [143], имеем
N (仇巾)=R (kb sin 0)=
1
=庐 vF^Jq (kbr sin ^) dr, (4.126) a/b
где г = р/b. Для ДН
где г = р/b. Для ДН
О = (1 +cos6»)R(J).
О = (1 +cos6»)R(J).
(4.127)
(4.127)
Условие реализуемости полученной ДН следующее:
z\R{z^dz < оо.(4.128)
о
Решение обратной задачи, основанное на разложении R(?) и F(n) по функциям Бесселя, имеет вид
F(r) = zR^J^rz^dz.(4.129)
о
Проделаем следующие преобразования: умножим (4.129) на rF(r) (F(r)——функция, сопряженная F(r)), а затем проинтегрируем полученное выражение по г в пределах от а/b до 1
1сю 1
г \F(r)^ dr = I ] (rF^Jo^rz^dr^ zR{z)dz.
a/b0 a/b
Тогда
r\F{r^ dr = I 2 固⑶产厶.(4.130)
a/b0
Здесь F(r) представлено в виде разложения по функциям, интегрируемым в рассматриваемой области. Поэтому интеграл в правой части существует. Таким образом, существует интеграл и в левой части (4.130), а значит условие (4.128) выполняется.
Расчет импеданса для граничных условий Леонтовича-Щукина. Для подтверждения методики определения основных характеристик СП диска используем следующие материалы: свинец и ниобий. Они имеют следующие физические характеристики: для ниобия Nb = 9,25 К, А,л Nb = 3,3 • 10一® м- для свинца Гр ръ = 7,2 К, А,л рь = 2,8 • 10™8 м (частота 11,2 ГГц.). Для численной реализации воспользуемся экспериментальными результатами из [13]. В табл.4.1 представлены значения поверхностного импеданса Zc для граничных условий Щукина-Леонтовича в зависимости от приведенной температуры tnp = Т/Ткр. Графически зависимость реальной части импеданса (сопротивления А。) от приведенной температуры представлена на рис. 4.14, а мнимой (реактанса X。)一 на рис. 4.15.
Рис. 4.14. Зависимость реальной части импеданса (сопротивления Rc) от приведенной температурыРис. 4.14. Зависимость реальной части импеданса (сопротивления Rc) от приведенной температурыXcNb，*CPbXcNb，*CPbРис. 4.15. Зависимость мнимой части импеданса (реактанса X。)от приведенной температурыРис. 4.15. Зависимость мнимой части импеданса (реактанса X。)от приведенной температуры
Рис. 4.14. Зависимость реальной части импеданса (сопротивления Rc) от приведенной температуры
Рис. 4.14. Зависимость реальной части импеданса (сопротивления Rc) от приведенной температуры
XcNb，*CPb
XcNb，*CPb
Рис. 4.15. Зависимость мнимой части импеданса (реактанса X。)от приведенной температуры
Рис. 4.15. Зависимость мнимой части импеданса (реактанса X。)от приведенной температуры
Таблица 4.1
Я х 102, Ом
Nb
РЬ
0,2
0,4354 • 10-5 + 沁,283
0,1607- 10™5 + Ю,247
0,3
0,7399 • IO- + 氾284
0,3925 • ICT’ + 氾248
0,4
0,3358 • 10—3 + 泣286
0,2014- 10™3 + Ю,250
0,5
0,5765 • 10-3 + 氾292
0,5688 • 10-3 + 氾255
0,6
0,1676- 10™2 + Ю,303
0,1248- 10^2 + Ю,265
0,7
0,3049 • КГ? + Ю,3246
0,2461 • ICT?+ 2,284
Расчет импеданса для эквивалентных граничных условий. Используя результаты [58], запишем СП импеданс в виде 么(s)= =ik6cth(d/J). В табл.4.2 приведены значения Zc для трех значений его толщины d. Практический интерес представляет зависимость Zc
Таблица 4.2
Я Ом (d
、6/100)
Nb
Pb
0,2
0,4354 • к
+ 泣 283
0,1607- IO-5
+ 沮 247
0,3
0,7399 • ICT’
+ 沮 284
0,3925 • ICT’
+ 泣 248
0,4
0,3358 • 10-3
+ 泣 286
0,2014- 10-3
+ 沮 250
0,5
0,5765 • 10-3
+ 沮 292
0,5688 • 10-3
+ 50,255
0,6
0,1676 • IO—
+ ю,зоз
0,1248 • ICT?
+ 沮 265
0,7
0,3049 • IO—
+ 沮 3246
0,2461 • IO—
+ 泣 284
以 х 102, Ом (公 6)
Nb
Pb
0,2
0,566 • 10-5
+ 2,32
0,28 • к
+ ю,зо
0,3
1,049 • ICT’
+ Ю,33
0,5292 • IO—
+ Ю,32
0,4
0,448 • 10-з
+ Ю,34
0,274 • 10-3
+。0,33
0,5
0,62 • 10-з
+泣38
0,7568 • 10-3
+ Ю,34
0,6
0,2267 • ICT?
+ Ю,404
0,168 • ICT?
+ 50,355
0,7
0,406 • IO-5
+ 沮4363
0,3246 • 10-5
+ 50,37
Я x 102, Ом (公 1006)
Nb
Pb
0,2
0,4354 • 10-5
+ г0,283
0,1607 • 10-5
+ 沮 247
0,3
0,7399 • IO"
+ 沮 284
0,3925 • КГ’
+ 泣 248
0,4
0,3358 • 10-3
+ г0,286
0,2014- 10-3
+ 沮 250
0,5
0,5765 • 10-3
+ 沮 292
0,5688 • IO-з
+ 50,255
0,6
0,1676 • IO—
+ ю,зоз
0,1248 • ICT?
+ 沮 265
0,7
0,3049 • IO—
+ 沮 3246
0,2461 • IO—
+ 泣 284
диска от частоты. Пусть 力口卩=0,6. Тогда определим Zc ниобия и свинца при различных частотах и толщинах. Считаем, что при hu《kT Rc пропорционально J [13]. В табл. 4.3 представлен импеданс двух рассматриваемых материалов в зависимости от частоты при различных d и tnp = 0,6, а также для граничных условий Щукина-Леонтовича.
Расчет поверхностного импеданса СП диска, изготовленного из YBaCuO. В последнее время нашли широкое применение высокотемпературные сверхпроводники (ВТСП) [1-7]. Наиболее часто на практике используется материал YBaCuO, который обладает следующими физическими характеристиками: Ткр = 92 К,入〃 =400 нм. В этом случае значения ^втсп для граничных условий Щукина-Леонтовича и эквивалентных граничных условий с учетом толщины сверхпроводящего слоя представлены в табл. 4.4. Для сравнения в табл. 4.5 приведены значения Zc для меди (Си) при граничных условиях Щукина-Леонтовича.
Определение поверхностного импеданса СП диска, расположенного на диэлектрической подложке. Эквивалентные граничные
Таблица 4.3
/, ГГц
Я х 102, Ом (Щукин-Леонтович)
Я Ом (d\ 6/100)
Nb
Pb
Nb
Nb
10
0,01 +г0,271
0,01 +г0,237
0,01 +г0,271
0,01 +г0,237
15
0,03 + г0,406
0,02 + 2,355
0,03 + г0,406
0,02+ г0,355
37,5
0,19 + г1,01
0,14+ г0,888
0,19 + г1,01
0,14+ г0,888
60
0,48 + 〃,64
0,36 + 〃,421
0,48 + 51,64
0,36 + 51,421
100
1,34 + 276
0,99 + 2369
1,34 + £76
0,99 + 52,369
150
3,01 +〃4
2,22 + ?3553
3,01 +词
2,22 + 53,553
/, ГГц
Zc х 102, Ом (d К)
Я х 102, Ом (d\ 1006)
РЬ
Nb
Nb
Nb
10
0,01 + GO,36
0,01+2,31
0,01 + г0,36
0,01 +г0,31
15
0,04 + г0,52
0,03 + г0,453
0,04 + 2,52
0,03 + г0,453
37,5
0,25 + 〃,32
0,18 + 51,1
0,25 + 51,32
0,18 + 〃,1
60
0,64 + £2
0,48 + 〃1,9
0,64 + 〃2,2
0,48 + 51,9
100
1,69 + гЗ,6
1,32 + 53,1
1,69 + 23,6
1,32 +?3,1
150
3,99 + 〃5,2
2,7 + 〃4,6
3,99 + 〃5,2
2,7 + 〃4,6
Таблица 4.4
/, ГГц
^втсп, Ом (Щукин- Леонтович)
^втсп, Ом (d у 8/100)
2втсп, Ом (dub)
^втсп, Ом (d у 1006)
10
0,004 + 2,003
0,4 + г0,3
0,0052 + 2,004
0,004 + 2,003
15
0,008 + GO,005
0,8 + г0,5
0,013+ г0,007
0,008 + 2,005
37,5
0,056+ г0,013
5,6 + 〃1,3
0,068+ г0,017
0,056+ г0,013
60
0,136 + 2,02
13,6+ 22
0,18 + г0,04
0,136 + 2,02
100
0,5 + 2,034
50 + гЗ,4
0,65 + 2,045
0,5 + 2,034
150
0,9 + г0,05
90 + 25
1,3 + г0,06
0,9 + Ю,05
Таблица 4.5
/, ГГц
Zcu, Ом
10
15
37,5 60 100 150
0,026 + 2,026 0,032 + 2,032 0,05 + 2a05
0,063 + г0,063 0,082 + 2,082 0,1 +2,1
условия согласно [58] для этой структуры следующие:
Zg (з) = ikdZg (з) = ikd2(3)ch(d/b) +2%bsh(d/b)2%ch(d/b) + Z九(3)sh(d/b)
Zg (з) = ikd
Zg (з) = ikd
Для проведения численного эксперимента был использован диэлектрик с физическими параметрами: % = 7,4 + z 1,1, 〃『二 1,4 + 20,67. Тогда
Zn (и) = Zn = 16,957 + 225,634 [Ом]. В табл.4.6 приведены значения Zc структуры СП диск-диэлектрическая подложка при различных частотах. В качестве материала для диска был взят ВТСП YBaCuO.
Таблица 4.6
/, ГГц
Z, Ом (八 6/100)
Z, Ом (d 6)
Z, Ом (d 1006)
10
0,392 + г0,298
0,005 + г0,004
0,004 + 2,003
15
0,772 + 2,496
0,011 + Ю,007
0,008 + Ю,0057
37,5
4,74 + 51,681
0,073+ г0,017
0,056 + г0,013
60
9,456 + 23,966
0,178+ 2,027
0,136 + 2,02
100
16,864 + г12,686
0,653 + г0,049
0,5 + г0,034
150
18,003+ Й7,201
1,169+ г0,08
0,9 + г0,05
Построение картины токов и диаграмм направленности. Рассмотрим возбуждение диска электрическим диполем, поле которого обладает цилиндрической симметрией. Считаем, что размер диполя много меньше длины волны, а его радиус сравним с длиной волны. В этом случае электрическое поле вибратора, как показано в [144], имеет вид
где R = ,。2 + 九2,九 _ высота, на которой диполь расположен над диском; I = 2зд — линейный ток вибратора; Z — длина. В качестве базиса была взята последовательность функций {/n} = {sin(nx)}. Ряд, построенный на основании этих функций, обладает недостаточно хорошей сходимостью. Поэтому для получения точности приближения по току порядка 0,01 % (как показал численный эксперимент) необходимо 30 членов ряда. Результаты этого эксперимента представлены ниже. Из [1] известно, что плотность тока разрушения куперовских пар для Nb jNb = 4,4 • 1012 А/м2, для ВТСП YBaCuO jYBaCuO = 1。" А/м2, а критический поверхностный ток равен Аь = 14 • 103 А/м, JyBaCuO = 4 义 х 104 А/м. На рис. 4.16, q-4.19, q представлены модули поверхностных токов в безразмерных единицах, а на рисунках 4.16,6-4.20,6 ДН для Ь = 2А, h = 10b при / = 10 ГГц, 4 = 0,004 + 2 0,003 ВТСП (Щукин-Леонтович), @ = 0,026 + ?0,026 Си (Щукин-Леонтович), %з = 0 (рис.4.16); / = 150 ГГц, Z] = 0,9 + 20,05 ВТСП (Щукин-Леонтович), Z? = 0,1 +20,1 Си (Щукин-Леонтович), Z3 = 0 (рис. 4.17); / = 150 ГГц, Z] = 3,01 +24 Nb (эквивалентные граничные условия, толщина диска много меньше глубины проникновения), Z2 = 0,03 + ?0,04 Nb (Щукин-Леонтович) (рис. 4.18); / = 37,5 ГГц, Z)= 4,74 + 21,68, Z2 = 0,056 + Ю,013 ВТСП на диэлектрической подложке (эквивалентные граничные условия, толщина СП диска много больше глубины проникновения) (рис.4.19).
В результате проведенного численного эксперимента подтверждена верность предложенных алгоритмов. Анализ результатов показывает,
Рис. 4.16Рис. 4.1666Рис. 4.18Рис. 4.189090150150303044О6>О6>180180210210300300240240270270Z2330Z2330
Рис. 4.16
Рис. 4.16
6
6
Рис. 4.18
Рис. 4.18
90
90
150
150
30
30
4
4
О6>
О6>
180
180
210
210
300
300
240
240
270
270
Z2
330
Z2
330
что данный подход целесообразно распространить на систему СП дисков, а также на исследования нестационарного рассеяния ЭМВ на
Рис. 4.19Рис. 4.19
Рис. 4.19
Рис. 4.19
сверхпроводящем диске и подобных периодических структурах с целью создания нового класса СП антенн.
Метод Я-функций в краевых задачахэлектродинамики для областей сложной формыс различным импедансом
Рассмотрим в трехмерном евклидовом пространстве область Q с достаточно гладкой границей 6С. Пусть на тело, ограниченное поверхностью 6С, падает первичное электромагнитное поле Е°, Н°, а рассеянное поле Е, Н удовлетворяет в Q однородным уравнениям Максвелла. Здесь и далее зависимость от времени е心力 опускаем. Ищется решение уравнения Гельмгольца в А九(刀=2, 3)
9(石△〃 + k^u = 0,〃 =《н9(石△〃 + k^u = 0,〃 =《н(4.132)(4.132)
9(石
△〃 + k^u = 0,〃 =《н
9(石
△〃 + k^u = 0,〃 =《н
(4.132)
(4.132)
удовлетворяющее эквивалентным граничным условиям
[^]laQ =—各с(з)[刀[пЯ]][^]laQ =—各с(з)[刀[пЯ]](4.133)(4.133)
[^]laQ =—各с(з)[刀[пЯ]]
[^]laQ =—各с(з)[刀[пЯ]]
(4.133)
(4.133)
и условию излучения на бесконечности, обеспечивающему отсутствие волн, приходящих из бесконечности, за исключением падающей
lim ra I — ikii \ = 0, аа = 1,=3). (4.134)
『тою удг )2
Здесь Zqq — сверхпроводящий импеданс, а 刀一внутренняя в Q нормаль к поверхности слоистой структуры.
Если E^|aQ —достаточно гладкая функция или 石Заа^^(Q),
то при ReZ^q > 0 решение краевой задачи (4.132)-(4.134), как пока-
зано в [145-147], существует и единственно. Будем решать краевую задачу (4.132)—(4.134) для определения поля Е и Н в норме пространства W^^.
Как следует из [58], сверхпроводящий импеданс, входящий в (4.133), имеет вид
Zaa = ik6 ctg(d/b),
где 99
厶厶 4тгЯ.де22тгоз
b ——комплексная эффективная глубина проникновения поля в сверхпроводник, учитывающая экранирование поля мейсснеровскими токами и скин-эффект в состоянии с нормальной проводимостью; 6工— лондоновская глубина проникновения; т, е — масса и заряд электрона; М — число электронов в сверхпроводящем состоянии; с — скорость света; а — проводимость металла; з — частота падающего поля; d — толщина конечного сверхпроводящего слоя. Заметим, что (4.133) при d》6 переходит в граничное условие Щукина-Леонтовича на поверхности массивного сверхпроводника, при d/ |b|《 卜кЬ/@а(з)| < 1 — в условие Щукина-Леонтовича на поверхности нормально проводящего металла. Когда 6 — ос, (4.133) переходит в условие равенства нулю тангенциальной составляющей электрического поля на границе идеальный металл-вакуум Ег = 0. Если поверхность тела, в котором возбуждается электромагнитная волна, имеет переменный радиус кривизны А, то необходимым требованием для выполнения (4.133) является Amin》6. В качестве примера рассмотрим решение методом R-функций [132, 148, 153] задачи дифракции на бесконечном сверхпроводящем цилиндре со сложной формой поперечного сечения, точно описываемой уравнением чертежа з(/,д) = 0. Функция з(/,д) обладает следующими свойствами:
1) з(爲 д) 6 C2(Q);2)д) > 0, V(n, д) е Q;
з(爲 д) < 0, V(爲 д) е Q; 4)д) > 0, V(爲 д) е Ш;
Как известно [145, 149], импедансные граничные условия для таких задач преобразуются к скалярным граничным условиям третьего рода. Таким образом, при дифракции Е- или Я-поляризованной волны, наклонно падающей на цилиндр, краевая задача для системы уравнений Максвенпа с граничным условием Щукина-Леонтовича сводится к решению скалярной двумерной задачи для уравнения Гельмгольца
с граничным условием третьего рода. Согласно [132, 148] в общем случае условие третьего рода запишем в виде
(«о— +(«о— +=^0, «ю ¥0， 00瓦 < 0.=^0, «ю ¥0， 00瓦 < 0.(4.135)(4.135)6Q6Q
(«о— +
(«о— +
=^0, «ю ¥0， 00瓦 < 0.
=^0, «ю ¥0， 00瓦 < 0.
(4.135)
(4.135)
6Q
6Q
Продолжим функции «о,历，夕о внутрь области Q. Пусть а, Ь,屮一 эти функции продолжения. Воспользуемся оператором D], введенным в [132, 148], и продолжим краевое условие (4.135) внутрь области Q
aD] и + bu = ср + 3认
где，ф — произвольная функция, з — нормализованное уравнение границы. В том случае, если сечение цилиндра представляет собой круг радиуса R без двух сегментов на расстоянии а от центра, то координатная функция з(х,д) удовлетворяющая условиям
з(/, g)ba = 0; з(/, д) > 0 в С; з(/, у} = г + 0(1),
Г ОС； Г =,
строится согласно [132, 148]. Область Q определяется предикатом
где 力=ft2 _ ^2 ^ q _ полоса |^| < а; /9 = i?9 ж2 — t/2 — внутренность круга радиуса R. При таком выборе функция F будет положительная на всей внешней области Q и равна нулю на границе Q. Для удовлетворения условию з(/,д) = г + 0(1) при 厂—ос выбираем з в виде з(/,д) = F/\/F + 1 .Что же касается выполнения условий в окрестности «особых точек», то применение Ла-операций [132, 148] позволяет сгладить рассматриваемый контур, тем самым исключив влияние «особых точек».
Решение ищем в виде
〃 =Фо + з①[.(4.136)
Подставив (4.136) в (4.135), а также учитывая свойства оператора Р], получаем
aD] Фо + аФ]В]Ш + аз。①〕+ ЬФо + ЬиФ]—夕二 3认 (4.137)
Так как 勺 =1, то Оз/ = 1. Следовательно,。山=1 + О(з)
=1 + зх・
Из (4.137) следует, что
aD]Фо + аФ] + ЬФо = cj^o； Зо = 3 — b① 1 — b®x +。。①卜(4.138)
Решив (4.138) относительно Ф], и подставив его в (4.136), получим
(4.139)(4.139)гг = Фо + — (з$о — ЬФо — aD\①° + 夕).
(4.139)
(4.139)
Это выражение является структурой решения краевой задачи, так как при любом выборе Фо и удовлетворяется условие (4.135). Чтобы удовлетворить условию излучения на бесконечности для внешней задачи, необходимо «пронормировать» предложенную структуру по з. После «нормировки» получим
3海0зь①03
/ ЭФо 6з ЭФо、 з夕义дх * 6g ду 丿 * (1 +зЗ)"2,
Неопределенные компоненты структуры Фо и 少。будем искать в виде разложения по полиномам Лежандра
工 CikPi (/—)Рк f )， 。泳 =4泳 + °8承.
Коэффициенты。冰 находятся из условия наилучшего удовлетворения уравнению Гельмгольца регуляризованным методом наименьших квадратов или методом Бубнова-Галеркина [132, 148]. Предложенный и обоснованный метод для решения краевых задач электродинамики для областей сложной формы с произвольным импедансом имеет существенное отличие от известных методов теории дифракции [145, 149]. Отличительной особенностью данного подхода является то, что геометрическая информация об объектах учитывается без какой-либо аппроксимации, а переход от одного тела сложной формы к другой не затрагивает внутреннюю структуру алгоритма, заменяя в нем лишь одно уравнение чертежа другим. Такой подход может оказаться эффективным для развития теории и вычислительных алгоритмов широкого класса внутренних и внешних краевых задач электродинамики для объектов сложной формы с различным импедансом.
Возбуждение системы сверхпроводящих антенн
Метод интегральных уравнений (ИУ) нашел широкое применение при решении внешних и внутренних краевых задач электродинамики [150-152]. ИУ электродинамики представляют краевую задачу как задачу с нелокальными граничными условиями. Это может быть целесообразно в задачах рассеяния, когда внутреннее поле (или объемная плотность тока) выражается сразу непосредственно через поле
падающей волны, а рассеянное поле находится лишь на втором этапе построения решения.
Постановка задачи и метод решения. Рассмотрим систему из двух параллельных сверхпроводящих (СП) вибраторов, имеющих длины L], L9 и радиусы 仇，历.Расстояние между вибраторами d, центры
Рис. 4.20. Два сверхпроводящих вибратораРис. 4.20. Два сверхпроводящих вибраторавибраторов смещены на расстояние h (рис. 4.20). Для определенности будем считать, что оба вибратора расположены в плоскости YOZ параллельно оси OZ. Особенности рассеяния электромагнитных волн в сверхпроводниках учтем с помощью импедансных граничных условий на поверхности вибраторов.
Рис. 4.20. Два сверхпроводящих вибратора
Рис. 4.20. Два сверхпроводящих вибратора
Структуру решения задачи будем строить на основе интегральных уравнений макроскопической электродинамики [152], которые в случае двух произвольных материальных тел объемами V] и % имеют вид
Е(Г]) = Ео (门)+ 上(graddiv + к^е) [An (门)+ A12 (门)],(4.140)
包3包3+ +包3包3+ +E (r2) = Eq (m) + — (graddiv + 联)[A22 (r2) + A2i (r2)], (4.141)
包3包3+ +
包3包3+ +
щщrot [An (门)+ A]9 (ri)],(4.142)
щ
щ
rot [A22(Г9)+ A21(Г2)],(4.143)
где
I加=1, 2,
“(4.144)
Eo, Ho — напряженности электрического и магнитного полей заданного электромагнитного поля, Е, Н — то же для возмущенного электромагнитного поля; к()= и/с — волновое число, з — частота, с - скорость света; гк = гк (хк,ук,^к) и Нш = у1 m{xlm,ylm, z1^ - радиус-векторы точек наблюдения и интегрирования, jm — объемная плотность тока, наводимого в m-м теле.
Уравнения (4.140)—(4.143) полностью эквивалентны уравнениям Максвелла и граничным условиям на поверхностях раздела сред. Решение краевой задачи содержит два этапа. На первом этапе находятся токи, возбуждаемые в каждом материальном теле полем источника и полем, порождаемым другим материальным телом. В этом случае исходные интегральные уравнения (4.140)—(4.143) являются системой неоднородных интегральных уравнений Фредгольма 1-го рода,
имеющей единственное решение. На втором этапе по уже известным токам строится дифрагированное поле. В этом случае уравнения (4.140)—(4.143) являются просто равенствами, у которых полное поле в левой части представляется в виде суммы первичного поля Ео, Но и рассеянных полей.
Определение токов. При переходе от произвольных материальных тел к тонким линейным вибраторам учтем, что существенными являются лишь продольные токи, а поперечными можно пренебречь. Проектируя уравнения (4.140), (4.141) на оси вибраторов, находим
выражения для тангенциальных составляющих полного электрического поля на поверхности каждого вибратора
必£ [еh （刁）一瓦zl （刁）]=必£ [еh （刁）一瓦zl （刁）]=
必£ [еh （刁）一瓦zl （刁）]=
必£ [еh （刁）一瓦zl （刁）]=
、力 z（r，）exp （—泳 I门—m1）公/"
+ №（M）e：p（—叫门—心％）（4.145）
分3£ [Ez2 (-9)— Eqz2 (-9)] = (^^ + k)义
XX.小2z『2)exp (一泳t2 - r/21).小2z『2)exp (一泳t2 - r/21)|T2 一心1|T2 一心10心+0心+++■力z (1"1)ехр(—2%|Г2■力z (1"1)ехр(—2%|Г2(4.146)(4.146)
X
X
.小2z『2)exp (一泳t2 - r/21)
.小2z『2)exp (一泳t2 - r/21)
|T2 一心1
|T2 一心1
0心+
0心+
+
+
■力z (1"1)ехр(—2%|Г2
■力z (1"1)ехр(—2%|Г2
(4.146)
(4.146)
где к = k()v^. Так как первые интегральные слагаемые в (4.145), (4.146) имеют особенности при совпадении точек наблюдения и интегрирования, выделим их, рассматривая электростатические части соответствующих интегралов. В результате после ряда преобразований получим уравнения для токов в каждой антенне, содержащие малые параметры. С учетом сверхпроводящих граничных условий, выполняющихся на поверхностях сверхпроводников, Ez\ (2〕) = Z\I\ (二〕)， Ez2 (22) = Z2/2 (-2), где Zk — соответствующая компонента тензора поверхностного импеданса 厶 к-го вибратора (к = 1, 2), то эти уравнения
имеют вид
= ai{we [E^^-Zih (z^+Fu^J^+Fy^z^h')}, (4.147)
11=a2 {。3£ [石eЫ (22)- @/2(3)] + 用2 (/2,/2)+ ^21 (?2,厶)} ,(4.148)
1
1
где &к =―不；一■—一~-— — малые параметры;
2 hi (2 厶/仇
F"（刁，厶）F"（刁，厶）dz ])dz ])
F"（刁，厶）
F"（刁，厶）
dz ])
dz ])
ххAUDexp (—浓 Jg—dif + b；AUDexp (—浓 Jg—dif + b；（勺-%产+次（勺-%产+次厶（引）d“，厶（引）d“，& (?2,，2)& (?2,，2)+点)X+点)X
х
х
AUDexp (—浓 Jg—dif + b；
AUDexp (—浓 Jg—dif + b；
（勺-%产+次
（勺-%产+次
厶（引）
d“，
厶（引）
d“，
& (?2,，2)
& (?2,，2)
+点)X
+点)X
l2 +月— L^ + hl2 +月— L^ + hЬ (^2)exp (—2% J(22 — d2『+ % ) —，2(3)Ь (^2)exp (—2% J(22 — d2『+ % ) —，2(3)(訟-4)2 + Ь|(訟-4)2 + Ь|
l2 +月
— L^ + h
l2 +月
— L^ + h
Ь (^2)exp (—2% J(22 — d2『+ % ) —，2(3)
Ь (^2)exp (—2% J(22 — d2『+ % ) —，2(3)
(訟-4)2 + Ь|
(訟-4)2 + Ь|
月2 (-1,")月2 (-1,")也(4) exp 卜+d2也(4) exp 卜+d2dzf2dzf2⑵-4)2 +d2⑵-4)2 +d2zr 2=L2~\-hZ'2 = 一"+月zr 2=L2~\-hZ'2 = 一"+月
月2 (-1,")
月2 (-1,")
也(4) exp 卜+d2
也(4) exp 卜+d2
dzf2
dzf2
⑵-4)2 +d2
⑵-4)2 +d2
zr 2=L2~\-h
Z'2 = 一"+月
zr 2=L2~\-h
Z'2 = 一"+月
l2 +月— L^ + hl2 +月— L^ + h〔FT +…2)〔FT +…2)-exp (-泳 J- 4)2 + Q2 )」 V (^1 - 4)2 + Q2-exp (-泳 J- 4)2 + Q2 )」 V (^1 - 4)2 + Q2
l2 +月
— L^ + h
l2 +月
— L^ + h
〔FT +…2)
〔FT +…2)
-exp (-泳 J- 4)2 + Q2 )
」 V (^1 - 4)2 + Q2
-exp (-泳 J- 4)2 + Q2 )
」 V (^1 - 4)2 + Q2
El（3,厶）=El（3,厶）=用UDexP卜h/（3 —%『+懈用UDexP卜h/（3 —%『+懈dzf\dzf\(22 - % У + d2(22 - % У + d2z'i=Jz'l=— 工 1z'i=Jz'l=— 工 1bibi++"?：："+*厶（丿I"?：："+*厶（丿II exp ( — i%)- V (^2 - ^1)2 + d2I exp ( — i%)- V (^2 - ^1)2 + d2
El（3,厶）=
El（3,厶）=
用UDexP卜h/（3 —%『+懈
用UDexP卜h/（3 —%『+懈
dzf\
dzf\
(22 - % У + d2
(22 - % У + d2
z'i=J
z'l=— 工 1
z'i=J
z'l=— 工 1
bi
bi
+
+
"?：："+*厶（丿I
"?：："+*厶（丿I
I exp ( — i%)
- V (^2 - ^1)2 + d2
I exp ( — i%)
- V (^2 - ^1)2 + d2
Согласно (4.147) ток в произвольной точке 句 первой антенны определяется: заданным полем источника 石()zi (%1), собственным полем, порождаемым токами на других участках первой антенны, F“(勺，厶), и полем, порождаемым токами во второй антенне, Fi2(%i,A). Аналогичный СМЫСЛ ИМеЮt фуНКЦИИ 石0^(也)，且 2(%2,/2) И 且 1(%2,厶) в уравнении (4.148). Приближенное решение каждого из уравнений (4.147), (4.148) можно построить методом возмущений [150] в виде ряда по степеням q^, к = 1,2. Пользуясь таким методом, приходим к различным формулам для токов в случае резонансных и нерезонансных вибраторов. Кроме того, резонансная формула в ряде случаев оказывается приближенной и не позволяет определить амплитуду тока. Нерезонансная формула, несмотря на содержащиеся в правой части уравнений (4.147), (4.148) собственные и взаимные поля антенн, от них не зависит. Решение, пригодное для резонансных и нерезонансных антенн, было получено методами частичного усреднения при исследовании отдельных линейных вибраторов. Здесь метод частичного усреднения применен для решения уравнений, описывающих токи в системе из двух параллельных СП вибраторов. Решая уравнения (4.147), (4.148) методом вариации произвольных постоянных, получим
厶(勺)=4 (勺)cos kz\ + В]⑵)sin kz\,(4.149)
M (e)dz\必(%2)M (e)dz\必(%2)A (%2)=厶2 (也)COS kzo + 石2(也)sin A；Z9,(4.150)
M (e)dz\必(%2)
M (e)dz\必(%2)
=—A](句)к sin kz\ +B\ (e) к cos kz\,(4.151)
=—儿(％?) к sin kzo +82 (也)к cos kz?.(4.152)
Коэффициенты /] (zj), 8〕(zj), Ao (^2), 82 (%2)находятся из уравнений
—3 = —Q1/1 ⑵)smk%i +
+— [Л] (zi) cos kz\ + B]) sin kz\\ sin kz\, (4.153)
-3 =Qi 力⑵)cos kz\ -
—(勺)coske +81 (勺)sink%/ cosk%i, (4.154)
d4 (也)d4 (也)—Q2/2 (%2)sin kzo +—Q2/2 (%2)sin kzo +++[Ao (%2)cos kz2 + 82 (%2)sin kz^ sin kzo,[Ao (%2)cos kz2 + 82 (%2)sin kz^ sin kzo,(4.155)(4.155)
d4 (也)
d4 (也)
—Q2/2 (%2)sin kzo +
—Q2/2 (%2)sin kzo +
+
+
[Ao (%2)cos kz2 + 82 (%2)sin kz^ sin kzo,
[Ao (%2)cos kz2 + 82 (%2)sin kz^ sin kzo,
(4.155)
(4.155)
6 В. Ф. Кравченко
"彳 Q) = Q2/2 (也)cosk%2
例例ZqZq[厶2 (%2)cosk%2 + 8?(也)sin kzo] cos kzo, (4.156)[厶2 (%2)cosk%2 + 8?(也)sin kzo] cos kzo, (4.156)
例
例
Zq
Zq
[厶2 (%2)cosk%2 + 8?(也)sin kzo] cos kzo, (4.156)
[厶2 (%2)cosk%2 + 8?(也)sin kzo] cos kzo, (4.156)
Fu [z\,A],B\]F12 [^1, Л9, B2]
/2к е2
d〃(%1)dz\d瓦⑵)dz\dAo (0)d瓦(也)d〃(%1)dz\d瓦⑵)dz\dAo (0)d瓦(也)Система (4.153)-(4.156) эквивалентна (4.147), (4.148) и является системой интегро-дифференциальных уравнений в стандартной форме, не разрешенных относительно производных. Воспользовавшись известными схемами [63], усредним эту систему по явно входящим переменным Z) и Z9. Такое усреднение правомерно, поскольку все функции, стоящие в правой части уравнений (4.153)-(4.156), ограничены в области определения, непрерывны по переменным %〕，％2 H удовлетворяют условиям Липшица по А], В], Ао, Во. В результате усреднения получаем систему неоднородных дифференциальных уравнений
d〃(%1)dz\d瓦⑵)dz\
dAo (0)
d瓦(也)
d〃(%1)dz\d瓦⑵)dz\
dAo (0)
d瓦(也)
=—Q] /1 (-1) sin kz\ + X] В](勺)，
= Q1V^ 力(勺)COS k%i 一为 4 (勺)，
=—Q2V^ /2 (%2)SIR kzo + XqBq (%2),
=Q2 v^ /2 (也)COS kZ2 一为2儿(也)，
где черта над соответствующей функцией обозначает ее усредненное значение;
衣1 =。1 "777—Z]; g = H9——Z?, Z)= R\ + 2X1; Z2 =区2 + zX?,
/9 (也)=石0z2 (%2)+ /2 (%2, 4,22)+(%2, 4 , B ),
力（勺）=必产瓦zl （勺）+ F1I （/，4,2［） + f12（Z1,A2,B2）.
Здесь
F”（勺,4,3）=
exp （一泳 J）J （%i —乙 i）一 +b；exp （ —ik J⑵ + 厶 У + b；）
У （/ + g+ b；
F]2 （%1, 74.9,22）=[/2 （L2 + 力）sin k （力2 + 力）一B2（乙2 + 力）COS k （L2 + 力）]Xexp （ 一iк，（e-L? 一 力）一 ）
X 尸========^
^/（勺—L?—力）一 + d?
-p2 l2 + 人）sin к l2 + 力）一月2 Lq + 力）COS к l2 + 人）]Xexp J+ 乙2 一人）2 + ）л/ （%〕+ Lo —力）~ + d?
f22 （%2, Aq, jBq） = [Aq （L2 + h） sin к （Z?2 + h） _ в?（乙2 + 力）cos к （Z?2 + 力）]义exp （— L2 一力）2 + 碣）
，（%2 -L2 —力）1 + b!
-日2 （一五+人）sin к （一无+人）一月2 （一无+力）COS a （一无+向]X exp （ 一 ik）
尸21 （也，厶1,月1） = [A] （Li） sinkL\ — В] （LJ cos A;Lj] x
exp （ — ik у （—1一 ）
eхр (J(也 + g)2 + d?
+ [A] (^L])sinA;Li + В] (—L])coskL^
J(0 + 厶 У + d2
Интегрируя уравнения (4.157) и подставляя найденные усредненные значения А}(勺)，В} (%/ 4? (@), В2 (%2)вместо А}(勺)，В](勺)，厶？(也)， Bq (-2)в (4.149) и (4.150), получаем асимптотические выражения для токов в системе двух тонких параллельных сверхпроводящих антенн при произвольном возбуждении
I] (%i) = a](-厶)cos [衣](%]+ 厶)-к厶]+
+ В](-l1) sin [k1 (%i + l1)—k厶] +
+ a)\/^ 力(％厶)sinki (勺一Уi) dz'i, (4.158)
Iq (%2)= /2 (一L2 + 力)COS [友2 (%2 + l2)—k力2 - 汇2力] +
+ 月2 (- L? + 力)sin [衣2 (%2 + l2)- kLo -汇2力] +
+ Cl2\/^/9 (%‘2)S山衣2 (%2 - %‘2)d%‘2 .
— Li + h
В этих формулах к] и ко комплексные волновые числа:
k] = к + 死]=к； + ik；, к? = к + 死2 = к()+ 0 kg,
V I区I + zXi 万R2 + 2X2
47r 例/з47r ко /з
—суть значения поверхностных импедансов, нормированных на волновое сопротивление свободного пространства. Наличие реальных частей поверхностных импедансов приводит к затуханию амплитуд токов в антеннах. Изменение мнимых частей поверхностных импедансов СП оказывает влияние на резонансную частоту. Коэффициенты А](―厶), Bi (—l1),/2 (-l2 + 力)，Bq (一l2 + 力)находятся из условий равенства нулю токов на концах вибраторов и условий симметрии, связанных со способом возбуждения вибраторов.
Соотношения для токов. При возбуждении вибраторов полем плоской электромагнитной волны （石（）zi （%i）=石о%2 （%2）=石о） выражения для токов имеют вид
2瓦/例
11 （?1 ） — -Q] — —7^ — X
&011。22 -0102 八厶2儿力1
XXsink\L\ （cosk\勺 一cosELi） + q? （&/衣2）sin2 也厶？ x
X
X
x [f712（z1）sin2^1L1 ^M12sin^ （厶 +句）]} , （4.159）
b （也）b （也）2瓦=—Q2^t—2瓦=—Q2^t—шу/ё/к（）шу/ё/к（）Е D] ] D22 — едЛ/^А"】Е D] ] D22 — едЛ/^А"】хх
b （也）
b （也）
2瓦
=—Q2^t—
2瓦
=—Q2^t—
шу/ё/к（）
шу/ё/к（）
Е D] ] D22 — едЛ/^А"】
Е D] ] D22 — едЛ/^А"】
х
х
x {о” sin koLo |^cos ко （%2 —力）一cos koL^ +
+ Qi+ Qiгде爲2（勺）где爲2（勺）&/3）sin%厶 口21 （也）sin2k^L2 — M2i sin后也 + %2 —人）
+ Qi
+ Qi
где
爲2（勺）
где
爲2（勺）
k（工2+,+工1） exp （一/,胃2 + a2d2 ）〜
=sin к]（勺一厶2 —人 + 丁 ） drr +
J+ k2d2\К /
k（L 2 +九一21）
+'1）exp （_/，戸 + k2d2 ）
+7=====sin к] Izi+Lo — h——} dx,
JVx2 + k2d2'к 丿
k（L<2 — h — L\）
k（L] +£2-—^）/ . /―9~：~7 9、
〜「 exp丿 〜
“1 （也）=/—•豆—彳•••••豆••••••••力——-sin 也 也一厶 + 丁 d/ +
k—Z2）
及"尸）exp （一0，胃2 + 层Q2 ）〜
+— sin ко （zo + L] — dx,
k（Li -工2 + 月）
Bn = sin 2MLi + aiMji, P22 = sin 2k2^2 + Q2M2,
MHMHexp （ Тубе? + k2b^=2 sin 3 5—о уж2 + Fbfexp （ Тубе? + k2b^=2 sin 3 5—о уж2 + Fbfcos k]cos k]厶一^）厶'厶一^）厶'2 牛2 expM22 = 2 sin koLo 2 牛2 expM22 = 2 sin koLo R +k2陽R +k2陽Jrr2 +k2碣Jrr2 +k2碣cos коcos ко
MH
MH
exp （ Тубе? + k2b^
=2 sin 3 5—
о уж2 + Fbf
exp （ Тубе? + k2b^
=2 sin 3 5—
о уж2 + Fbf
cos k]
cos k]
厶一^）厶'
厶一^）厶'
2 牛2 exp
M22 = 2 sin koLo
2 牛2 exp
M22 = 2 sin koLo
R +k2陽
R +k2陽
Jrr2 +k2碣
Jrr2 +k2碣
cos ко
cos ко
М]2 = U12 (句=厶)， Mqi = U21 (%2 =无 + 力)•
Формулы для токов справедливы в самом общем случае, когда произвольными являются длины вибраторов и расстояния между ними. Взаимное влияние вибраторов на токи заключено в функциях U〕？，“[. При удалении одного из вибраторов на бесконечность (d т сю), получаем известные формулы для тока в уединенном вибраторе. Для двух активных вибраторов, возбуждаемых синфазно, &ы (句)=МнЬ(е), 石0z2 (%2)= H)2b (%? — /г), выражения для токов имеют вид
|%1 I) +|%1 I) +厶(勺)=-Р_竺.三.
|%1 I) +
|%1 I) +
D\\D^ — QI Q2 A厶 2Ml
+ Q2产(^1) sin2/viL] - Mv2^h (厶+勺)]},
A(3)= -2H—工-竺喪/”—=—A(3)= -2H—工-竺喪/”—=—(4.160)(4.160)
A(3)= -2H—工-竺喪/”—=—
A(3)= -2H—工-竺喪/”—=—
(4.160)
(4.160)
义1 sin 衣2l2 sin 衣2 (L2 一包一川)+ Qi sin k\L\ X
X ["] (%2) sin 2koL2 — M21 sin к0 (五 + 也一力)]}.
Пользуясь выражениями (4.159)-(4.160), необходимо иметь в виду, что для того чтобы найти ток в центре первого вибратора, надо положить в них Z] = 0, а, чтобы найти ток в центре второго вибратора, необходимо в (4.159), (4.160) положить 出 = 力，так как центр второго вибратора смещен относительно центра первого на размер h.
Поля излучения. Поля излучения в произвольной точке г, не принадлежащей ни одному вибратору, найдем, подставив полученные выражения для токов в уравнения (4.140), (4.142) (или (4.141), (4.143)). При рассмотрении полей излучения в дальней зоне исследуемой антенной системы выражения (4.144) имеют вид
A " (…^^…，
exp (-
(4.161)厶(％i) exp (―泳句 cos J) dz\;(4.162)(4.161)厶(％i) exp (―泳句 cos J) dz\;(4.162)A[2 (г) = ег—-П]2 (^) exp [—ik (h cos^ + dsin cos 99)],
(4.161)
厶(％i) exp (―泳句 cos J) dz\;
(4.162)
(4.161)
厶(％i) exp (―泳句 cos J) dz\;
(4.162)
где
Пц⑼=
A (%2)exp (—ikz? cos J) d@.A (%2)exp (—ikz? cos J) d@.口2⑺=
A (%2)exp (—ikz? cos J) d@.
A (%2)exp (—ikz? cos J) d@.
Подставляя (4.162) в выражения для полей (4.140), (4.142) и ограничиваясь слагаемыми порядка 1 /г, находим поля в дальней зоне
Ег =石屮=Нг = Не = 0,
еe =sin 夕e*一‘/丁)11(仇 ⑺，(4.163)
H中=一7尸 sin 3П (仇夕)，
где П (仇夕)=И”(J) + П]9 (J) exp [—ik (h cos 3 + d sin J cos 夕)].
С учетом (4.163) для полей излучения, плотность потока мощности имеет вид S = (с"у^/8仃?32) |П(仇⑺『sin沦
Численный эксперимент и анализ результатов. Распределение тока вдоль одного из вибраторов в системе полутораволновых L/X = 0,75 активных вибраторов, расположенных на расстоянии d = X, в зависимости от значений комплексного поверхностного импеданса (нормированного на 120тг) при Zj = Z?. Кривой / (рис.4.21) соответствуют идеально проводящие вибраторы, 2 — сверхпроводники из ниобия (0,1676 • 10-4 + Ю,303 • 10-2)/120тг, 3 — вибраторы с чисто мнимым поверхностным импедансом Z = 0 + Ю,3, 4 — вибраторы с действительным импедансом Z = 0,1 + i0. Введение комплексного поверхностного импеданса приводит к изменению амплитуды и вида функции распределения тока. Следует подчеркнуть, что мнимая часть поверхностного импеданса влияет на изменение резонансной частоты антенны (изменению положения нулей в распределении тока вдоль вибратора). Увеличение действительной части поверхностного импеданса приводит к уменьшению амплитуды и искажению формы тока за счет джоулевых потерь.
Рассмотрена также система пассивных вибраторов различной длины (Li = 0,25А, Lq = 0,5А), расположенных на расстоянии d = 0,5А, h = 0.
Рис. 4.21. Поведение токов вибраторов при различных физических параметрах импедансаРис. 4.21. Поведение токов вибраторов при различных физических параметрах импедансашуш—)17 一шуш—)17 一
Рис. 4.21. Поведение токов вибраторов при различных физических параметрах импеданса
Рис. 4.21. Поведение токов вибраторов при различных физических параметрах импеданса
шуш—)17 一
шуш—)17 一
9090270270Рис. 4.22. ДН по мощности в плоскости, перпендикулярной вибраторамРис. 4.22. ДН по мощности в плоскости, перпендикулярной вибраторамПо формулам (4.160), (4.163) построены ДН по мощности в плоскости, перпендикулярной вибраторам (рис. 4.22), в зависимости от значений нормированных комплексных поверхностных импедансов при Z]= =Zq- Кривой / (рис. 4.22) соответствуют сверхпроводящие вибраторы из ниобия, кривым 2 н 3 — вибраторы с значениями импедансов 0,05 + Ю,3 и 0,1 + Ю соответственно. Увеличение активной части поверхностного импеданса антенн приводит к исчезновению нулей на ДН. Таким образом, показана эффективность метода интегральных уравнений, позволившего в общем виде аналитически решить задачу о возбуждении тока, а также определения полей излучения двух параллельных сверх
90
90
270
270
Рис. 4.22. ДН по мощности в плоскости, перпендикулярной вибраторам
Рис. 4.22. ДН по мощности в плоскости, перпендикулярной вибраторам
проводящих антенн. Распространение изложенного здесь метода для исследования антенных решеток с большим количеством вибраторов не содержит принципиальных трудностей.
Дифракция волн на решеткеиз сверхпроводящих плоских нерегулярных лент
При исследовании дифракции электромагнитных волн на идеально проводящих решетках решение граничных электродинамических задач традиционно сводится к решению первой или второй краевой задачи математической физики. Однако изменение геометрии структуры и учет ранее не принимавшихся во внимание ее физических параметров (например, импеданса) приводит к усложнению рассматриваемой математической модели. Решение граничных электродинамических задач для сверхпроводников и сверхпроводящих покрытий предполагает введение сверхпроводящих граничных условий [112], что соответствует решению третьей и четвертой (связь нормальной и тангенциальной производных) краевых задач для таких структур. Здесь предложен подход [162], основанный на использовании интегрального преобразования Конторовича-Лебедева и сингулярных интегральных уравнений, для решения задачи дифракции волн на трехмерной решетке из сверхпроводящих плоских нерегулярных лент, на которых заданы третье и четвертое краевые условия.
Постановка задачи. Третье краевое условие на лентах. Рассмотрим скалярную задачу дифракции волн на периодической решетке из N бесконечно тонких неограниченных сверхпроводящих плоских
нерегулярных (угловых) лент, имеющих общую вершину. Решетка расположена в плоскости z = 0 декартовой системы координат; ее период Z = 2?r/N, ширина лент q, ширина щели d = I — а — величины двугранных углов, которые образованы плоскостями, проходящими через ось OZ и ребра соседних лент (рис. 4.23). Введем сферическую систему координат г,仇夕 с началом в вершине лент (плоскость решетки определяется уравнением 3 = тг/2). Источник сферических волн расположен в точке В (го), го = (丁 о,®。，夕 о), поле которого меняется по гармоническому закону. Требуется найти потенциал и (г), г = (г•，仇炉)， соответствующий полному полю и удовлетворяющий
уравнению Гельмгольца всюду вне лент и источника
△и -『и = 0, q > 0;
краевому условию на лентах решетки Е
^ди\ .^ди\ .=°, e 6 夕)Y 6 夕)老 0;=°, e 6 夕)Y 6 夕)老 0;(4.164)(4.164)
^ди\ .
^ди\ .
=°, e 6 夕)Y 6 夕)老 0;
=°, e 6 夕)Y 6 夕)老 0;
(4.164)
(4.164)
условию ограниченности энергии
\и\2 + I▽〃什 dV < сю;
D
условию на бесконечности.
Выполнимость условий 2)-4) обеспечивает единственность решения поставленной задачи. Учитывая, что п = е® краевое условие (4.164) записывается в виде
Рис. 4.23. Геометрия задачиРис. 4.23. Геометрия задачи(4.165)(4.165)
Рис. 4.23. Геометрия задачи
Рис. 4.23. Геометрия задачи
(4.165)
(4.165)
工={(г,仇夕)е & : r e [о, +сю), 3 = 7г/2,夕 e L},
N
L=\jLs, Ls = ((s - 1)/ + d/2, sZ - d/2), CL = [0,2冗]\厶
Предположим, что один из случаев имеет место
(4.166)(4.167)(4.168)(4.166)(4.167)(4.168)§ = -§, § = const, С = q С = const;
(4.166)
(4.167)
(4.168)
(4.166)
(4.167)
(4.168)
г
Тогда условие (4.165) принимает видТогда условие (4.165) принимает вид« =仃， « = const, § = §, § = const;
Тогда условие (4.165) принимает вид
Тогда условие (4.165) принимает вид
здесь §, « постоянные величины. В дальнейшем будем рассматривать краевое условие (4.168) вместо (4.164), предполагая выполнимость (4.166) или (4.167). Искомый потенциал и представим в виде
(4.169)(4.169)и = UQ + U],
(4.169)
(4.169)
где 〃о = ехр (—qr1)/4тгго |г — го| соответствует полю источника (первичное поле), а потенциал 〃〕обусловлен наличием решетки и соответствует вторичному полю. Для решения задачи используем пару интегральных преобразований Конторовича-Лебедева относительно радиальной координаты [162]
3(т)= [ G (г) Кгт^ dr,(4.170)
о
G (г) = т sh тгтС)d,T,(4.171)
0
здесь Кгт (%) функция Макдональда. Учитывая представление
^0 = 4 [V amTU^e ■(4.172)
Оm = — oov
с =丄 Q1K"(〃o)]F(l/2 —加 + ⑺
mT4r•()y/?^ chvrr Г(1/2 + m + ⑺，
где Г (%) гамма-функция,卩、屮丁 (cosJ) присоединенная функция Лежандра первого рода, потенциал ?/ ищем в виде интеграла Конторо- вича-Лебедева (4.170)-(4.172)где Г (%) гамма-функция,卩、屮丁 (cosJ) присоединенная функция Лежандра первого рода, потенциал ?/ ищем в виде интеграла Конторо- вича-Лебедева (4.170)-(4.172)Tsh7ГТ 工 bmTU^l • ^dr,(4.173)772 = — ООVTsh7ГТ 工 bmTU^l • ^dr,(4.173)772 = — ООV=-amTPmi/2+1T(cos ^о), % < тг/2,=-amTPmi/2+1T(cos ^о), % < тг/2,資.4 РЗт…) 丿 上 m ,n+mQ,— оо忆汇(COS J)曲-l/2+小資.4 РЗт…) 丿 上 m ,n+mQ,— оо忆汇(COS J)曲-l/2+小е以nN+т)屮е以nN+т)屮0 < J С7Г/20 < J С7Г/2^Т；：2「（—cosJ）^Т；：2「（—cosJ）ё以nN+m)屮ё以nN+m)屮0=тг/27г/2 < 6 < 7Г.0=тг/27г/2 < 6 < 7Г.Функциональные соотношения. Сингулярное интегральное уравнение. Для определения неизвестных коэффициентов xm?n+mo и у?九，九+?九° воспользуемся краевым условием (4.168)Функциональные соотношения. Сингулярное интегральное уравнение. Для определения неизвестных коэффициентов xm?n+mo и у?九，九+?九° воспользуемся краевым условием (4.168)L 〃1 + С ♦L 〃1 + С ♦6=7г/2+06=7г/2+0£ ・ 〃1 + С •£ ・ 〃1 + С •0=7г/2—00=7г/2—0€ • ^о + С •€ • ^о + С •=心),=心),夕 QL (4.174)夕 QL (4.174)
где Г (%) гамма-функция,卩、屮丁 (cosJ) присоединенная функция Лежандра первого рода, потенциал ?/ ищем в виде интеграла Конторо- вича-Лебедева (4.170)-(4.172)
где Г (%) гамма-функция,卩、屮丁 (cosJ) присоединенная функция Лежандра первого рода, потенциал ?/ ищем в виде интеграла Конторо- вича-Лебедева (4.170)-(4.172)
Tsh7ГТ 工 bmTU^l • ^dr,(4.173)
772 = — ООV
Tsh7ГТ 工 bmTU^l • ^dr,(4.173)
772 = — ООV
=-amTPmi/2+1T(cos ^о), % < тг/2,
=-amTPmi/2+1T(cos ^о), % < тг/2,
資.4 РЗт…
) 丿 上 m ,n+mQ,
— оо忆汇(COS J)
曲-l/2+小
資.4 РЗт…
) 丿 上 m ,n+mQ,
— оо忆汇(COS J)
曲-l/2+小
е以nN+т)屮
е以nN+т)屮
0 < J С7Г/2
0 < J С7Г/2
^Т；：2「（—cosJ）
^Т；：2「（—cosJ）
ё以nN+m)屮
ё以nN+m)屮
0=тг/2
7г/2 < 6 < 7Г.
0=тг/2
7г/2 < 6 < 7Г.
Функциональные соотношения. Сингулярное интегральное уравнение. Для определения неизвестных коэффициентов xm?n+mo и у?九，九+?九° воспользуемся краевым условием (4.168)
Функциональные соотношения. Сингулярное интегральное уравнение. Для определения неизвестных коэффициентов xm?n+mo и у?九，九+?九° воспользуемся краевым условием (4.168)
L 〃1 + С ♦
L 〃1 + С ♦
6=7г/2+0
6=7г/2+0
£ ・ 〃1 + С •
£ ・ 〃1 + С •
0=7г/2—0
0=7г/2—0
€ • ^о + С •
€ • ^о + С •
=心),
=心),
夕 QL (4.174)
夕 QL (4.174)
и условием сопряжения в щелях
Ie#—。Ie#—。ди\~дёди\~дё, G CL.Т+о, G CL.Т+о(4.175)(4.175)
Ie#—。
Ie#—。
ди\~дё
ди\~дё
, G CL.
Т+о
, G CL.
Т+о
(4.175)
(4.175)
Получая из (4.174), (4.175) условия для их трансформант (4.170) и учитывая представление (4.173), приходим к системе уравнений (в силу периодичности решетки эти уравнения рассматриваются на периоде) относительно коэффициентов zn, связанных с искомыми коэффициентами
1N(〃 + 〃)1N(〃 + 〃)
1
N(〃 + 〃)
1
N(〃 + 〃)
―一工 N{n + 1/)^( 1 - €^)^ne^ = ^^\0 c 冗(4.176)
£= 0, 7га// < М < 7г,(4.177)
где т /N = 7no + 沙，刀？оближайшее целое число к т /N, —1/2 < 〃 <
< 1/2,
1 网^(n + 〃)ri1 网^(n + 〃)riXXL r(l/2 + ?T + N(〃 + 〃))F(l/2 + * —N(〃 + 〃))L r(l/2 + ?T + N(〃 + 〃))F(l/2 + * —N(〃 + 〃))11"pN(n+i/) dJ T/2+""pN(n+i/) dJ T/2+"(4.178)(4.178)p — трансформанта (4.170) функции g. Для £?)имеет место оценкаp — трансформанта (4.170) функции g. Для £?)имеет место оценкаN (〃 + 〃)》1, j = 1,2.N (〃 + 〃)》1, j = 1,2.
1 网
^(n + 〃)ri
1 网
^(n + 〃)ri
X
X
L r(l/2 + ?T + N(〃 + 〃))
F(l/2 + * —N(〃 + 〃))
L r(l/2 + ?T + N(〃 + 〃))
F(l/2 + * —N(〃 + 〃))
1
1
"pN(n+i/) dJ T/2+"
"pN(n+i/) dJ T/2+"
(4.178)
(4.178)
p — трансформанта (4.170) функции g. Для £?)имеет место оценка
p — трансформанта (4.170) функции g. Для £?)имеет место оценка
N (〃 + 〃)》1, j = 1,2.
N (〃 + 〃)》1, j = 1,2.
После дифференцирования обеих частей (4.177) по ⑺ и добавления дополнительного условия при "丿=тг приходим к соотношениям вида
£ (?2 + У)гпегпф = 0, 7Г&/7 c(4.179) £ (—1 广^=0,@ =冗).(4.180)
Введем в рассмотрение функцию
F@)=? £ N(〃 + 〃)2i",7Г,7Г],(4.181)
где
= 2宀；+ 〃) I F(*……財),〃 + 〃 ? 0;(4.182)
для 〃 + 〃 = 0, а это возможно при п = 0 и у = 0, z()находится из (4.180). В соответствии с (4.179)
F@) = 0, g Q7T/Z < 物 W 7Г,
и тогда из (4.182)
1f
2kN火ri +J
''(4.183)
Принимая во внимание, что
sill7T〃n-oo 72 + 〃
из (4.180) и (4.183) имеем
\Sin7ri/\Sin7ri/(4.184)(4.184)
\Sin7ri/
\Sin7ri/
(4.184)
(4.184)
V^N2(H，+ 〃)2 n^2(n + Z/)2 72 J"V^N2(H，+ 〃)2 n^2(n + Z/)2 72 J"++
V^N2(H，+ 〃)2 n^2(n + Z/)2 72 J"
V^N2(H，+ 〃)2 n^2(n + Z/)2 72 J"
+
+
Получим сингулярное интегральное уравнение (СИУ) для определения неизвестной функции F (力)(4.181) из уравнения (4.178) подстановкой в него представлений для zn (4.183), (4.184)
—一?…-Кт" *F9X…d(3 = 0 2 ,⑺ QS,
7Г J р — V?7Г ,
$(4.185)
где
+
+ 〃)n \/
Полученное СИУ (4.185) с ядром Коши и гладкой функцией Ктт (6>) может быть численно решено путем дискретизации и использования гауссовых квадратур.
Четвертое краевое условие на лентах. Рассмотрим задачу дифракции волн на периодической решетке из лент, на которых задано четвертое краевое условие. Искомый потенциал 仅(г) удовлетворяет уравнению Гельмгольца всюду вне лент и источника, краевому условию
+& =。，G #。，
ди少S/
(4.186)
условию ограниченности энергии и условию на бесконечности. В условии (4.186) dw/dn и dw/Эч нормальная и тангенциальная производные функции w (г) соответственно,
4=4",夕)， G=G(x,夕)， n = ee, <; = vrer + ^е^.
Учитывая (4.187) запишем (4.186) в виде
(4.187)
/ dv dv
(Q宀—+ Ci — +
Полагая vr = 0 из (4.186) получаем / dv
0.
(4.188)
0.
(4.189)
Рассмотрим следующие частные случаи условия (4.189):
G = Х1 = const,(24/ = Х2 = const, 4/ 什，夕)老 0;
Cl = XI 死(几夕)，Xi = const, 《24/ = X2% (几夕)，X2 死什，夕)老0；
Cl = Х14/ (r,夕)，Xi = const, G = X2 = const, в каждом из которых это условие преобразуется к виду
dv dv
Xi两+Х2^ = °/= 7r/2' 丁 е(°，+х), 夕 e L,
=const,
(4.190)
где Xi и Х2 постоянные величины. При сделанных допущениях исходное краевое условие (4.186) сводится к (4.190), которое и будем рассматривать. Потенциал 仅i, соответствующий вторичному полю, ищем в виде (4.173)
2十乎
m =—
0
772 = — ООV
(4.191)
Ьтт = —GmrP—\ ^^-^гт^^ ^0)，^0 < 亓/2,
〉:m,n+mo ('T)
〉〕У （7）
P：壮（cos J） 、
（。），
у；©'
0 < ^ < 7Г/2
7г/2 < в < 7Г.
граничного условияграничного условия
граничного условия
граничного условия
В результате использования
dw；
XR+X2
Т+о
dw；
XR+X2
е="
dw]
XR+X2
=/ (夕)，屮 £ L e=£
и условия сопряжения в щелях tt?i |0=|+о = wj |0=|+о,夕 е CL, приходим к системе уравнений
寸工 N(〃+ 〃)坦(1 - e尸)^?6"" 一
п=^ооП
—xl £ N(〃 + 〃)S(1—£仔)^九^"=^〃沙)，|^| < J. (4.192) n=-oo几
(4.193)(4.193)£(〃 + 〃)^*九"=0, J < |^|
(4.193)
(4.193)
E (-1 宀九=。，@ = 7T),
здесь / трансформанта функции /. После введения функции
Ф (f^) = i ^2 N(〃 + 〃)^九32 5+")",⑺7T, 7г]
и использования (4.182)-(4.184) получаем
3 + /」①⑺丄
+ — Qm“B —……曲3 = xd S 少 GS, (4.194) 7Г ,
QmT (J) = (xf + x$) (g ctg у — /) +
СИУ (4.194) имеет ядро Коши, причем QVT (J) гладкая функция.
В результате использования интегрального преобразования Конто- ровича-Лебедева третья и четвертая краевые задачи уравнения Гельмгольца для трехмерной решетки, состоящей из плоских угловых лент, сведены к сингулярным интегральным уравнениям первого рода с ядром Коши. Однозначная разрешимость СИУ (4.185) и (4.194) следует из их эквивалентности парным сумматорным уравнениям (4.176), (4.177) и (4.192), (4.193) соответственно, а последние исходной краевой задаче. Разработанные алгоритмы основаны на необходимости численного решения сингулярных интегральных уравнений. Такой подход может быть реализован путем их дискретизации и применения гауссовых квадратур.
Список литературы к главам 1-4
Nathan Newman, Ж Gregory Lyons. High-Temperature Superconducting Microwave Devices: Fundamental Issues in Materials, Physics, and Engineering // Journal of Superconductivity. 1993. V. 6, no. 3. P. 119-160.
Sarker M. M., Flavell Ж R. Review of Applications of High-Temperature Superconductors // Journal of Superconductivity. 1998. V. 11, no. 2, P. 209-213.
Трунин M. P. Поверхностный импеданс монокристаллов ВТСП в микроволновом диапазоне // Успехи физ. наук. 1998. Т. 168, №9. С. 931—952.
Максимов Е. Г. Проблема высокотемпературной сверхпроводимости. Современное состояние // Успехи физ. наук. 2000. Т. 170, №10. С. 1033^1061.
Проблема высокотемпературной сверхпроводимости. Под ред. Гинзбурга В. Л. и Киржница Д. А. — М.: Физматлит, 1977.
Давыдов А. С. Высокотемпературная сверхпроводимость. — Киев: Нау- кова думка, 1990.
Плакида Н. М. Высокотемпературные сверхпроводники. — М.: Международная программа образования, 1996.
Гинзбург В. Л. Высокотемпературная сверхпроводимость — мечта или реальность? // Успехи физических наук. 1976. Т. 118, №. С. 315-324.
Кулик И. О., Янсон И. К. Эффект Джозефсона в сверхпроводящих туннельных структурах. — М.: Наука, 1970.
Алфеев В. Н. Полупроводники, сверхпроводники и параэлектрики в криоэлектронике. — М.: Сов. радио, 1979.
Jha A.R. Superconductor Technology. Application to Microwave, ElectroOptic, Electrical Machines, and Propulsion Systems. John Wiley & Sons, Inc, 1998.
Диденко A. H., Севрюкова Л. M., Ятис А. А. Сверхпроводящие ускоряющие СВЧ-структуры. — M.: Энергоиздат, 1981.
Менде Ф. Ф., Спицын А. И. Поверхностный импеданс сверхпроводников. —Киев: Наукова думка, 1985.
Ma J.-G., Wolff /. Modeling the Microwave Properties of Superconductors // IEEE Trans. MTT. 1995. V. 43, no. 5. P. 537-542.
Ma J.-G., Wolff /. Electromagnetics in High-7b Superconductors // IEEE Trans. MTT. 1996. V. 44, no. 4. P. 1053-1059.
Андрюшин E. А., Гинзбург В. Л. О граничных условиях в макроскопической теории сверхпроводимости // Успехи физ. наук. 1993. Т. 163, № 9. С. 105-108.
Megahed М. A., El-Gha^aly S. М. Nonlinear Analysis of Microwave Superconductor Devices Using Full — Wave Electromagnetic Model // IEEE MTT, 1995. V. 43, no. 11. P. 2590-2599.
EZ - Ghazaly S. TH., Hammond A. 8, Itoh T. Nonlinear Analysis of Superconducting Microwave Structures: Application to Microstrip Lines // IEEE MTT, 1992. V. 40, no.3. P. 499-508.
Nguen P. P. et.al. Nonlinear Surface Impedance for YBa2cli3O 7—力 Thin Films: Measurements and a Couple-Grain Model // Phys. Rev. B. 1993. V.4 8, no. 9. P. 6400-6412.
Чебышев В. В. Характеристики полосковых антенн СВЧ на основе высокотемпературных сверхпроводников // Радиотехника. 1995. №11. С. 27-30.
Беляев Б. А., Тюрнев В. В., Елисеев А. К., Рагзин Г. М. Исследование микрополосковых резонаторов и устройств СВЧ на их основе. Препринт № 415Ф. Ч. 1. 1987. Красноярск: Институт физики им. Л. В. Киренского.
Мао S. G., Ке /.У., Chen С. Я. Propagation Characteristics of Superconducting Microstrip Lines // IEEE Trans. MTT. 1996. V. 44, no. 1, P. 33-40.
Вайнштейн Л. А. Электромагнитные волны. — M.: Радио и связь, 1988.
Ильинский А. С., Слепян Г. Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями. — М.: Изд-во Московского университета, 1983.
Марков Г. Т., Петров Б. М., Грудинская Г. /7. Электродинамика и распространение радиоволн. — М.: Советское радио, 1969.
Марков Г. Т., Васильев Е. Н. Математические методы в прикладной электродинамике, — М.: Советское радио, 1973.
Kessler /.A., Gering /. М., Coleman Р. D. Use of a Fabri-Perot Resonator for the Measurement of the Surface Resistance of High Tc Superconductors at Millimeter Wave Frequencies // Int. Journal of Infrared and Millimeter Waves. 1990. V. 11, no. 2. P. 151-164.
Klein N. et. al. Millimeter Wave Surface Resistance of Epitaxially Grown YBa2Cu3O 7—8 Thin Films // Appl. Phys. Lett. 1989. V. 54, no. 8. P. 757.
Bohn C. L. et. al. Radio Frequency Surface Resistance of Large Area Bi-Sr-Ca-Cu-0 Thick Films on Ag Plates // Appl. Phys. Lett. 1989. V. 55, no. 3. P. 304.
Beyermann Ж 夕. et. al. Surface Impedance Measurements in Lai.gBaoqCU― // Phys. Rev. B. 1987. V. 35, no. 16. P. 8826.
Hylton 7. L. et. al. Surface Impedance Studies of the High-Тс Oxide Superconductors // IEEE Trans. Mag. 1989. V. 25, no. 2. P. 810.
Вайнштейн Л. А. Открытые резонаторы и открытые волноводы. — М.: Сов. радио, 1966.
Вайнштейн Л. А. Теория дифракции. Электроника СВЧ. — М.: Радио и связь, 1995.
Fox 4G, Li Tingye. Resonant Modes in Interferometer of Quantum Oscillator // Bell System Tech. Journ. 1961. V. 40, №2. P. 453.
Воспоминания об академике M. А. Леонтовиче. — М.: Наука, Физматлит, 1996.
London Я. The High-Frequency Resistance of Superconducting Tin // Proc. Roy. Soc. A. 1940. V. 176, no. 964. P. 522-533.
London F. Superfluids. V. 1. Macroscopic Theory of Superconductivity.— New York: Dower Publ. Inc., 1950. V. 176, no. 964. P. 522-533.
Dionne G. F. New Two-Fluid Superconduction Model Applied to Penetration Depth and Microwave Surface Resistance // IEEE Trans. Appl. Supercond. 1993. V.3, no. 1. P. 1465-1467.
Bonn D. A., Dosanjh P., Liang A., Hardy Ж N. Evidence for Rapid Suppression of Quasiparticle Scattering Below Tc in YBa2cli3O 7-5 // Phys. Rev. Lett. 1992. V. 68, no. 15. P. 2390-2393.
Vendik O. G., Popov A. Y. Bipolaron Theory to the. Microwave Surface Resistance of High-Temperature Superconductors // Phill. Mag. Lett. 1992. V.65, no. 5. P. 219-224.
Кравченко В. Ф., Нефедов Е. И. Об отражении плоской электромагнитной волны от сверхпроводящей плоскости и обобщении формулы Френеля // ДАН. 1994. Т. 336, №5. С. 599—600.
Kravchenko V. F. Application of Spectral Theory Techniques to the Internal and External Boundary Value Problems of Excitation, Scattering, and Propagation of Electromagnetic Waves in Various Superconducting Structures. Abstracts Sommerfeld 96, Freudenstadt, Schwarzwald, 30 September - 4 October 1996. P. 25.
Kravchenko V. F. Integral Methods and Some of its Applications to Boundary Value Problems of Diffraction of Electromagnetic Waves on Superconducting Structures // Proc, of IMA Conference on Boundary Integral Methods: Theory and Applications. September 15-18, 1997. University of Salford, UK. P. 76-77.
Kravchenko V. F. Electrodynamics of Superconducting Structures and Its Application to the Problems of Antenna and Waveguide Technique // Proc, of the Second International Conference on Antenna Theory and Techniques, May 20-22, 1997. Kyiv, Ukraine. P. 1-4.
Диденко A. H. Сверхпроводящие волноводы и резонаторы. — М.: Сов. радио, 1973.
Мен де Ф. Ф., Бондаренко И. Я., Трубицын А. В. Сверхпроводящие и охлаждаемые резонансные системы. — Киев: Наукова думка, 1976.
Фрум К., Эссен Л. Скорость света и радиоволн. — М.: Мир, 1973.
Тейлор В., Паркер В., Лангерберг Д. Фундаментальные константы и квантовая электродинамика. — М.: Атомиздат, 1972.
Квантовая метрология и фундаментальные константы. Сборник статей. —М.: Мир, 1981.
Слабая сверхпроводимость. Квантовые интерферометры и их применения. —М.: Мир, 1980.
Е. Richard Cohen, Barry N. Taylor. The Fundamental Physical Contants // Physics Today, 1995. P. BG9T3.
Богомолов Г. Д. Открытые резонаторы в восьмимиллиметровом диапазоне // Электроника больших мощностей. 1964. Т. 3. С. 154—175. — М.: Наука.
Фиалковский А. Т. Открытые резонаторы, образованные параллельными дисками при произвольном отношении их диаметра к расстоянию между ними // Электроника больших мощностей. 1966. Т. 5. С. 136-146. — М.: Наука.
Валитов Р. А., Дюбко С.⑦.，Камышан В. В., Кузьмичев В. М., Макаренко В. И., Соколов А. В., Шейко В. /7. Техника субмиллиметровых волн. Под ред. проф. Р. А. Валитова. — М.: Сов. радио, 1969.
Андрусенко А. 7И., Белянцев И. И., Кравченко В.⑦.К теории дифракции электромагнитных волн на сверхпроводящих лентах // ДАН УССР, сер. А. 1975. №5. С. 440-443.
Андрусенко А. М., Богомолов А. С., Кравченко В. Ф. Электродинамические характеристики волноводов со сверхпроводящими стенками конечной толщины // Радиотехника. 1976. №11, № 2921-76 деп.
Андрусенко А. М., Богомолов А. С., Кравченко В. Ф., Шерстюк Н. И. Сверхпроводящие резонаторы // Радиотехника. 1976. №11, № 2922-76 деп.
Андрусенко А. 7И., Богомолов А. С., Кравченко В. Ф., Менде ⑦.⑦.О взаимодействии электромагнитных волн со сверхпроводниками и анализе характеристик сверхпроводящих волноводов в СВЧ-диапазоне // Радиотехника и электроника. 1979. Т. 24, № 6. С. 1078-1084.
Кравченко В. Ф. Возбуждение сверхпроводящего сферического резонатора диполем, расположенным в центре // ДАН УССР, сер. А. 1982. № 1. С. 63-66.
Кравченко В. Ф., Чаплин А. Ф. О возбуждении сверхпроводящей импедансной плоскости // ДАН. 1992. Т. 326, №2. С. 272-275.
Кравченко В. Ф., Чаплин А. Ф. Возбуждение сверхпроводящего кругового и эллиптического цилиндра // ДАН. 1992. Т. 326, №4. С. 633—636.
Кравченко В. Ф., Чаплин А. Ф. Осесимметричное возбуждение сверхпроводящей сферы // ДАН. 1992. Т. 327, №2. С. 208-211.
Кравченко В.⑦.Рассеяние электромагнитных волн сверхпроводящим цилиндром // ДАН. 1993. Т. 328, №2. С. 178-180.
Кравченко В. Ф., Чаплин А. Ф., Рвач ев В. Л. Электромагнитное поле сверхпроводящих антенных решеток // ДАН. 1993. Т. 333, № 6. С. 725-726.
Кравченко В. Ф., Ерофеенко В. Т. Дифракция электромагнитных волн на сверхпроводящих тонких цилиндрических оболочках // ДАН. 1994. Т. 337, №1. С. 25-27.
Казаров А. Б. Электродинамические характеристики сверхпроводящих волноводов и резонаторов: Дис. канд. физ.-мат. наук. Москва, 1997.
Кравченко В. Ф., Ерофеенко В. Г, Пустовойт В. И. Дифракция электромагнитных волн на двух сверхпроводящих полых сферических оболочках // ДАН. 1994. Т. 339, №2. С. 166-170.
Андрусенко А. М., Кравченко В. Ф. Определение скорости света резонансным методом с учетом скин-эффекта // Радиотехника и электроника, 1979. Т. 24, №8. С. 1669-1670.
Кравченко В. Ф., Ерофеенко В. Т., Пустовойт В. И. О структуре электромагнитного поля магнитного диполя на сверхпроводящем тонком диске // ДАН. 1995. Т. 344, №2. С. 168-171.
Кравченко В. Ф., Казаров А. Б., Пустовойт В. И. Об одном методе уточнения значений поверхностного импеданса сверхпроводников с помощью сверхпроводящего цилиндрического резонатора // ДАН. 1995. Т.345, №4. С. 472-474.
Кравченко В. Ф., Казаров А. Б. Возбуждение сверхпроводящих волноводов и резонаторов // Радиотехника (Электромагнитные волны №2). 1995. №6. С. 58—65.
Кравченко В. Ф., Ерофеенко В. Т. Дифракция электромагнитных волн, излучаемых магнитным диполем, на сверхпроводящем тонком диске // Радиотехника (Электромагнитные волны № 3). 1995. № 10. С. 43—48.
Кравченко В. Ф. Методы определения скорости света, основанные на импедансных измерениях сверхпроводников // Радиотехника (Электромагнитные волны № 3). 1995. № 10. С. 108-117.
Кравченко В. Ф., Ерофеенко В. Т. Возбуждение двух сверхпроводящих дисков вертикальным электрическим диполем // Радиотехника (Электромагнитные волны №4). 1995. №12. С.43-48.
Kravchenko V. F, Kazarov А. В. About the Excitation of Superconducting Waveguides and Solid Resonators // International Symposium on
Electromagnetic Theory «ISSWAS»: Proc. Moscow-St.Petersburg, May 17-23. P. 806-808.
Кравченко В. Ф., Ерофеенко В. Т., Пустовойт В. И. Два сверхпроводящих диска в поле вертикального электрического диполя // ДАН. 1996. Т. 348, №1. С. 30-33.
Кравченко В. Ф., Ерофеенко В. Т., Лю Бао-Линь. Дифракция электромагнитных волн на сверхпроводящих тонких оболочках с движущимися средами // ДАН. 1996. Т. 346, №6. С. 738-741.
Кравченко В. Ф., Казаров А. Б., Пустовойт В. И. Определение основных электродинамических характеристик сверхпроводящих микрополосковых резонаторов // ДАН. 1996. Т. 348, №2. С. 188-190.
Гандель Ю. В., Кравченко В. Ф., Пустовойт В. И. Рассеяние электромагнитных волн тонкой сверхпроводящей лентой // ДАН. 1996. Т. 351, №4. С. 462-464.
Кравченко В. Ф., Казаров А. Б. Взаимодействие электромагнитных волн с пленкой из высокотемпературного сверхпроводника, расположенной на подложке // Радиотехника. 1996, № 8. С. 47-50.
Кравченко В. Ф., Ерофеенко В. Т. Рассеяние электромагнитных волн на двух сверхпроводящих лентах // Электромагнитные волны и электронные системы. 1996. Т. 1, № 1. С. 4-13.
Кравченко В. Ф., Потапов А. А. К теории рассеяния электромагнитных волн на шероховатых, в том числе включая сверхпроводящие, поверхности // 18-я Всероссийская конференция по распространению волн. С.-Петербург, 17-19 сентября 1996 г. Тезисы докладов. Т. 2. Москва, 1996. Т. 2. С. 332.
Кравченко В. Ф. Рассеяние электромагнитных волн на сверхпроводящих структурах // 18-я Всероссийская конференция по распространению волн. С.-Петербург, 17-19 сентября 1996 г. Тезисы докладов. Т. 2. Москва, 1996 г. Т. 2. С. 333.
Кравченко В. Ф., Казаров А. Б. Математическое моделирование физических процессов в микрополосковых структурах на основе низко и высокотемпературных сверхпроводников. Труды 5-й Всероссийской школы- семинара «Волноводные явления в неоднородных средах», посвященной 70-летию академика Р. В. Хохлова. Красновидово, Моск, обл, 26 мая - 3 июня, 1996. С. 42-43.
Кравченко В. Ф. Applications of Spectral Theory Techniques to the Internal and External Boundary Value Problems of Excitation, Scattering, and Propagation of Electromagnetic Waves in Various Superconducting Structures. Abstract Sommerfeld 96-Workshop. Modern Mathematical Methods in Diffraction Theory and Its Applications in Engineering. Ed.E.Meister. Preprint-Nr. 1868. Freudenstadt Schwarzwald 30 September - 4 October, 1996. P. 25.
Кравченко В. Ф., Тютюкин Р. Г. Новый метод определения электродинамических характеристик сверхпроводящего диска, возбуждаемого электрическим диполем // Радиотехника. 1997. № 2. С. 8-16.
Гандель Ю. В., Кравченко В. Ф., Морозова Я. Я. Дифракция электромагнитных волн на решетке из тонких сверхпроводящих лент // Электромагнитные волны и электронные системы. 1997. Т. 2, № 1. С. 14-26.
Кравченко В. Ф., Казаров А. Б., Пустовойт В. И. Возбуждение нитевидным источником сверхпроводящего шероховатого клина // Радиотехника. 1997. №1. С. 57-63.
Кравченко В. Ф., Пу сто войт В. И., Тютюкин Р. Г. Определение электродинамических характеристик сверхпроводящего диска, возбуждаемого электрическим диполем // ДАН. 1997. Т. 353, №4. С. 345-349.
Кравченко В. Ф., Казаров А. Б., Пустовойт В. И. О влиянии шероховатой сверхпроводящей поверхности клина на его электродинамические характеристики // ДАН. 1997. Т. 353, №5. С. 613-615.
Кравченко В. Ф., Казаров А. Б. Расчет значений поверхностного импеданса сверхпроводников с помощью цилиндрического резонатора сложной структуры // Радиотехника. 1997. № 7. С. 8-12.
Кравченко В. Ф., Казаров А. Б. Поверхностный импеданс сверхпроводников и его применение в физике и технике // Успехи современной радиоэлектроники. 1997. №11. С. 59-78.
Kravchenko V. F. Electromagnetics of Superconducting Structures and Its Application to the Problems of Antenna and Waveguide Technique // Proc, of the Second International Conference on Antenna Theory and Techniques, May 20-22, 1997. Kyiv, Ukraine. P. 1-4.
Kravchenko V. F., Kazarou A. B. Scattering of the Electromagnetic Wave by the Rough Superconducting Strip // Proc, of the 1st Workshop on Electromagnetic and Light Scattering: Theory and Applications, May 27-28, 1997. Moscow, Russia. P. 143-146.
Kravchenko V. F., Kazarov A. B. Determination of Electrodynamical Characteristics of Superconducting Open Resonators, Proceedings of 6th Russian Workshop «Physics and Microwave Applications», Krasnovidovo, Moscow Region, May 26-31, 1997. P. 31-33.
Kravchenko, V. E, Kazarov A. B. To the Theory of Superconducting Open Resonators, Extended Abstracts — ISEG97, 6-th Int. Superconductive Electronics Conference, June 25-28, 1997. Berlin, Germany. V. 3, P. 281-283.
Kravchenko V. F, Kazarov, A. B. Electromagnetic Wave Scattering by a Dielectric Half-Plane Covered by a Superconducting Film with Surface Roughness // Proc, of PIERS，97 Progress in Electromagnetic Research Symposium, July 7-11, 1997. Cambridge, Massachusetts, USA. P. 262.
Kravchenko V. F., Kazarov A. B. Electromagnetic Wave Interaction with HTSC Thin Film // Proc, of ISRAMT'97, 6th International Symposium on Recent Advances in Microwave Technology, August 4-7, 1997. Beijing, China.
99. Kravchenko V. F. Integral Methods and Some of its Applications to Boundary Value Problems of Diffraction of Electromagnetic Waves on Superconducting Structures // Proc, of IMA Conference on Boundary Integral Methods: Theory and Applications. September 15-18, 1997, University of Salford, UK. P. 76-77.
Kravchenko V. F. Electrodynamics of Superconducting Structures // Int. Conf, on Math. Methods in Electromagnetic Theory, June 2-5, 1998. Kharkov, Ukraine. V. 1. P. 228-230.
Kravchenko V. F., Kazarov A. B. Electrodynamical Characteristics of Confocal Open Superconducting Resonators. Progress in Electromagnetics Research Symposium. V. 1, July 13-17, 1998, Nantes, France. P. 503.
Kravchenko V. F. Spectral Theory of Operators and Its Applications to More Accurate Evaluation of the Velocity of Light Based on Volume and Open Superconductive Resonators // Conf, on Precision Electromagnetic
Measurements, Conf. Digest, Washington, DC, USA, July 6-10, 1998. P. 90-91.
Kravchenko V. F. Analytical and Numerical Methods in the Boundary Value Problems of Superconducting Electrodynamics of Structures in the Millimeter Band // 3rd Inter. Kharkov Symposium «Physics and Engineering of Millimeter and Sub-millimeter Waves», Kharkov, Ukraine, September 15-17, 1998. V. 1 P. .418-420.
Кравченко В. Ф., Рвачев В. Л., Талдыкин В. И. Об одном методе решения краевых задач электродинамики для областей сложной формы с различным импедансом // ДАН СССР. 1988. Т. 302, № 1. С. 72-74.
Ерофеенко В. Т., Кравченко В.①.Дифракция электромагнитного поля кругового тока на двух сверхпроводящих сферах // ЭВ и ЭС. 1999. Т. 4, №2. С. 5-14.
Ерофеенко В. Т., Кравченко В. Ф., Моишнский А. В. Рассеяние электромагнитных волн сверхпроводящей сферой, расположенной у плоской границы раздела двух сред // ЭВ и ЭС. 1999. Т. 4, № 2. С. 22—28.
Гандель Ю. В., Кравченко В. Ф., Сидельников「Л. Математическая модель дифракции на конечноэлементной сверхпроводящей решетке, расположенной над плоским сверхпроводящим экраном // ЭВ и ЭС. 1999. Т. 4, №2. С. 29-39.
Кравченко В. Ф., Хижняк Н. А., Яценко Н. М. Метод интегральных уравнений в задаче о возбуждении системы сверхпроводящих антенн // ЭВ и ЭС. 1999. Т. 4, №2. С. 46-53.
Kravchenko V. F. Methods for the Evaluation of the Velocity of Light Based on Impedance Measurements of Superconductors // ЭВ и ЭС. 1999. T. 4, №5. С. 65-73.
Кравченко В. Ф., Хижняк Н. А., Яценко Н. 7И., Пустовойт В. И. Возбуждение системы сверхпроводящих антенн // ДАН. 2000. Т. 371, № 3. С. 322-328.
Афонин Д. Г., Кравченко В. Ф., Конюшенко В. В. Открытые конфокальные резонаторы с цилиндрическими зеркалами и конечной проводимостью // Успехи современной радиоэлектроники. 2000. №4. С. 48-60.
Кравченко В. Ф., Ерофеенко В. Т. Об импедансных граничных условиях, учитывающих кривизну поверхности // Радиотехника и электроника. 2000. Т. 4 5, №11. С. 1300-1306.
ИЗ. Kravchenko V. F. Methods for the Evaluation of the Velocity of Light Based on Impedance Measurements of Superconductors // Telecommunications and Radio Engineering. 2000. V. 54, no. 1.. P. 85-96.
Кравченко В. Ф., Казаров А. Б., Емец С. В. Возбуждение, рассеяние и распространение электромагнитных волн в сверхпроводящих электродинамических структурах // Тезисы докладов Международной конференции «100-летие начала использования электромагнитных волн для передачи сообщений» и 50-й научной сессии, посвященной Дню Радио. Май 4-6, 1995, Москва, часть II. С. 73-74.
Кулик И. О. Нелинейные высокочастотные свойства тонких сверхпроводящих пленок. ЖЭТФ. 1969. Т. 5 7, вып. 2(8). С. 600-616.
Swihart J.C. // Journ. Appl. Phys. 1961. V. 32. P. 461.
Pippard A.B. // Proc. Roy. Soc. 1950. V. 203, № 1072. P. 98-118.
Нефедов E. И. Дифракция электромагнитных волн на диэлектрических структурах. — М.: Наука, 1979.
Справочник по специальным функциям / Под ред. Абрамовича М., Стиган И. — М.: Наука, 1979.
Ерофеенко В. Т., Кравченко В. Ф., Крючков А. Я. // Радиотехника. 1995. №6 (ЭВ №2). С. 49.
Кравченко А. Н. Краевые характеристики в задачах электродинамики.— Киев: Наук, думка, 1989.
Аполлонский С. 7И., Ерофеенко В. Т. Эквивалентные граничные условия в электродинамике. — СПб.: Безопасность, 1999.
Моденов В. /7., Конюшенко В. В. Резонансные свойства плоского волновода со сверхпроводящей стенкой // Электромагнитные волны и электронные системы. 1999. Т. 4, № 2. С. 13-16.
Моденов В. /7. Дифференциально-параметрический метод // ДАН СССР. 1987. Т. 296, №3. С. 536-538.
Моденов В. /7. Метод Галеркина в несамосопряженных краевых задачах теории волноводов // ЖВММФ. 1987. Т. 27, №1. С. 144-149.
Афонин Д. Г., Малышкин А. К. Автоматизированная установка с управлением частотой для исследования резонансных систем в миллиметровом диапазоне // Приборы и техника эксперимента. 1999. № 3. С. 77-80.
Бойд Дж., Гордон Дж. Конфокальный резонатор со многими типами колебаний для квантовых генераторов миллиметрового и оптического диапазонов // Сб. Лазеры. — М.: Ин. лит-ры, 1963. С. 363-384.
Марков Г. Т., Чаплин А. Ф. Возбуждение электромагнитных волн. — М.: Радио и связь, 1983.
Миллер М. А., Таланов В. И. Использование понятия поверхностного импеданса в теории поверхностных электромагнитных волн // Изв. ВУЗов. Радиофизика. 1961. Т. 4, №5. С. 795-830.
Чаплин А. Ф. Анализ и синтез антенных решеток. — Львов: Вища шк., 1987.
Кравченко В. Ф. Лекции по теории атомарных функций и некоторым их приложениям. — М.: Радиотехника, 2003.
Кравченко В. Ф., Басараб М. А. Булева алгебра и методы аппроксимации в краевых задачах электродинамики. — М.: Физматлит, 2004.
Горошеня А. Б. Возбуждение плоской логоспиральной антенны системой (5-генераторов // Радиотехника и электроника. 1978. Т. 23, №4. С. 682-=690.
Горошеня А. Б., Горбунков В. И. Решение основной граничной задачи теории плоских логоспиральных антенн // Радиотехника и электроника. 1981. Т.26, №5. С. 1095-1097.
Юрцев О.А., Рунов А. В., Казарин А. Н. Спиральные антенны. — М.: Сов. радио, 1974.
Кравченко В. Ф., Бойко С.Н., Пустовойт В. И. Об определении полей излучения плоской сверхпроводящей логарифмической спирали // ДАН. 1994. Т. 339, №6. С. 743-745.
Ufimtsev Р. Ya. Theory of Edge Diffraction in Electromagnetics // Tech. Science Press. Encino, California, 2003.
Rothwell E/. // IEEE, Trans, on Antenn. and Propag. 1992. V. 40, № 8.
Richmond /.〃.// IEEE Trans. Antenn. Propag. 1984. V. AP-32.
Awadalla К. Я., Maclean 7. S. M. // IEEE Trans. Antenn. Propag. 1979. V. AP-27.
Хенл X., Мауэ А., Вестпфаль К. Теория дифракции. — М.: Мир, 1964.
Boukamp С./. Theory of Diffraction // Rep. Progr. Phys. 1954.
Зелкин E. Г., Соколов В. Г. Методы синтеза антенн. — М.: Сов. радио, 1980.
Айзенберг Г. 3. Коротковолновые антенны. — М.: Связьиздат, 1962.
Войтович Я. Я., Каценеленбаум Б. 3., Сивов А. Н. Обобщенный метод собственных колебаний в теории дифракции. — М.: Наука, 1977.
Келдыш М. В. Избр. Тр. Математика. — М.: Наука, 1985.
Крейн С. Г, Куликов И. М. // Дифференциальные уравнения, 1969. Т. 5, №7. С. 1275-1282.
Рвачев В. Л. Теория Я-функций и некоторые ее приложения. — Киев: Наукова думка, 1982.
Галашникова 7. Я., Ильинский А. С. Численные методы в задачах дифракции. М.: Изд-во МГУ, 1987.
Леонтович М., Левин М. К теории возбуждения колебаний в вибраторах антенн. ЖТФ. 1944. Т. 14, №9. С. 481-506.
Митра Р., Гао В., Рахмат-Самий Я. Применение интегральных преобразований в теории рассеяния электромагнитных волн // ТИИЭР, 1979. Т. 67, №11. С. 20-39.
Хижняк Н. А. Интегральные уравнения макроскопической электродинамики. Киев: Наукова думка, 1986.
Кравченко В. Ф., Рвачев В. Л. Алгебра логики, атомарные функции и вейвлеты в физических приложениях. М.: Физматлит, 2006.
Бардин Дж., Шриффер Дж. Новое в изучении сверхпроводимости, Физматиз, 1962.
Ландау 〃.“.，Лифшиц. Е. М. Электродинамика сплошных сред, Гостех- издат, 1957.
Горьков Л.П., Элиашберг Г. М. // ЖЭТФ. 1968. Т. 54. Р. 612.
Caroli С., Maki, К. // Phys. Rev. 1967. Т. 164. С.591.
〃с Жен /7. Сверхпроводимость металлов и сплавов. Изд. Мир, 1968.
Fetter A. L., Hohenberg, Р. Treatise in Superconductivity, ed. Parks R. D. Marcel Dekker Ins., 1969.
Гинзбург В. Л. // ЖЭТФ. 1958. Т. 34. С. 115.
Гинзбург В.Л_ Ландау Л. Д. 〃 ЖЭТФ. 1950. Т. 20. С. 1064.
Дорошенко В. А., Кравченко В. Ф. Применение сингулярных интегральных уравнений для решения задачи дифракции волн на решетке из импедансных плоских нерегулярных лент // ДАН РАН. 2002. Т. 383, №2. С. 189-193.
Гинзбург В. Л. О сверхпроводимости и о сверхтекучести. Автобиография. М.: Физматлит, 2006.
Глава 5
ДИФРАКЦИЯ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛННА СВЕРХПРОВОДЯЩИХ ЛЕНТАХ
Введение
Построение эффективных математических моделей в теории дифракции и рассеяния электромагнитных волн на объектах из реальных материалов является одной из важных задач моделирования физических процессов. Актуальность таких исследований в значительной степени обусловлена их тесной связью с решением многих проблем в антенной и измерительной технике, электронике, ядерной и ускорительной технике. Насущной, но мало исследованной проблемой в этой области является учет поглощения энергии в материале при моделировании процессов возбуждения резонансных систем. Математически наличие потерь энергии можно выразить заданием сверхпроводящего граничного условия на поверхности, рассеивающей структуры. До настоящего времени многие математические методы в этой области создавались применительно к задачам дифракции и рассеяния волн на идеально проводящих структурах. Предлагаемые в этой главе математические модели задач дифракции электромагнитных волн на решетке из конечного числа тонких сверхпроводящих лент, а также на полуограниченном волноводе со сверхпроводящим фланцем представляют самостоятельный интерес. В последние десятилетия развитие радиолокации, физической электроники, техники СВЧ привело к необходимости решения задач дифракции в резонансном диапазоне, где не работают применявшиеся ранее аналитические и асимптотические методы. В последнее время опубликовано значительное число работ, посвященных этому вопросу. Многие из предложенных методов существенно используют специфику каждой конкретной задачи (периодичность, симметрию, простоту отдельного элемента), которая заведомо отсутствует в близких задачах общего типа, представляющих практический интерес.
В связи с этим новый подход, используемый в данной главе, занимает особое место. Суть его состоит в использовании параметрических представлений сингулярных интегральных преобразований для сведения краевых задач к эквивалентным системам сингулярных интегральных уравнений (СИУ) и в построении дискретных моделей на основе эффективного численного метода дискретных особенностей (МДО). Такой подход уже позволил исследователям единообразно построить математические модели широкого класса задач электродинамики: периодических и непериодических, на планарных структурах и системах с цилиндрической симметрией. Известно, что важной теоретической и прикладной задачей является расчет спектральных характеристик сверхпроводящих электродинамических систем. Эффективным методом решения задач является метод задачи Римана-Гильберта, предложенный в работе [1]. Он получил широкое развитие в [73] и позволил перейти к глубокому исследованию природы физических явлений, возникающих при дифракции и рассеянии электромагнитных волн на решетках различной геометрической формы. Подробный анализ физических свойств различных решеток можно найти в [74-75]. Основным объектом для применения метода задачи Римана-Гильберта являются периодические решетки с небольшим числом лент на периоде. Наиболее полно с помощью строгих математических методов исследованы периодические структуры. Однако в реальных ситуациях приходится иметь дело с решетками конечных размеров, поэтому важно знать влияние этого фактора на физические свойства изучаемых процессов. Решению задач на непериодических ленточных структурах методом задачи Римана-Гильберта посвящены работы [68, 69]. В [49, 50] для решения задач дифракции на плоских экранах, на волноводе с фланцем применяются спектральные операторы рассеяния. Следует отметить, что метод задачи Римана-Гильберта и метод спектральных операторов рассеяния существенно используют частичное обращение аналитическими методами интегральных операторов, входящих в граничное интегральное уравнение и сведение задачи к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. Это приводит к необходимости производить значительное количество аналитических преобразований ядер, которые предшествуют применению численных методов. Многие из рассматриваемых задач приводят к парным сумматорным уравнениям, а применение к ним указанных выше методов основано на частичном обращении операторов. Такое математическое моделирование на многоэлементных структурах (много лент на периоде, сложные гребенки) приводит к чрезвычайно громоздким вычислениям и практически малопригодно для численного моделирования. Метод интегральных уравнений в применении к задачам дифракции детально развит и широко используется в [33, 35, 36] значительное внимание уделяется методам сведения краевых задач электродинамики к интегральным уравнениям и анализируются различные численные методы решения этих интегральных уравнений.
Дифракция и рассеяние волн на периодических решетках, составленных из лент произвольного профиля, изучалась методом потенциалов [66]. Этот подход использован и при решении краевых задач дифракции электромагнитных волн на цилиндрических структурах [63]. Задачи дифракции Н-поляризованных волн сводились к гиперсингулярным интегральным уравнениям, а дифракции Е-поляризованных волн к интегральному уравнению первого рода с логарифмической особенностью. Полученные интегральные уравнения решались затем численно. Следует отметить многочисленные исследования зарубежных авторов в этой области [76, 83,85, 86, 87, 89, 90, 93], а также, ставшие классическими монографии [41, 60, 65]. Распространенным подходом к решению задач рассеяния волн является метод Винера-Хопфа [60, 65, 85] и модифицированный метод вычетов [83].
Новый подход к решению парных интегральных и парных сумма- торных уравнений электродинамических задач был предложен в начале 80-х годов Ю. В. Ганделем. Он основан на использовании параметрических представлений сингулярных интегральных преобразований [19] для сведения парных сумматорных и парных интегральных уравнений к сингулярным интегральным уравнениям (СИУ) 1-го рода на системе отрезков [13, 14, 15, 18]. Этот подход позволил единообразно свести широкий класс периодических и непериодических краевых задач электродинамики к эквивалентным системам интегральных уравнений. Его преимуществом по отношению к упомянутым выше методам является возможность перехода без дополнительных аналитических выкладок от одного характерного элемента структуры или периода к любому их конечному числу. Существенной составной частью указанного метода граничных интегральных уравнений является использование для обращения полного интегрального оператора эффективного численного метода дискретных особенностей [7, 16, 24, 25, 55]. Применение МДО в случае сингулярного интегрального оператора на системе отрезков было предложено и обосновано И. К. Лифановым [56]. Одним из преимуществ данного подхода, как оказалось в дальнейшем, явилась возможность его распространения на случай сверхпроводящих граничных условий. Это позволило Н. Н. Морозовой решить ряд прикладных задач дифракции электромагнитной волны на плоском волноводе с сверхпроводящим фланцем [28, 61, 94], излучении из такого волновода [81], дифракции на решетках из конечного числа сверхпроводящих лент [22]. Теоретические основы математического моделирования в задачах электродинамики с граничными условиями типа Щукина-Леонтовича имеют место в [37, 38].
В последнее время проявлен большой научный и практический интерес к краевым задачам электродинамики сверхпроводящих структур, впервые получивших свое развитие в работах В. Ф. Кравченко и его коллег [43-46].
Важный класс задач математической физики — спектральные задачи теории колебаний и распространения волн нашли свое развитие
в монографии [39]. Рассматриваемые спектральные задачи сводятся в ней к задаче на собственные значения для интегрального уравнения 1-го рода с логарифмическим ядром, решение которых получают с помощью метода регуляризации по Тихонову. Такие задачи возникают при расчете полосковых и щелевых линий передачи.
В [40] к анализу микрополосковых линий применена теория сингулярных интегральных уравнений с полуобращением соответствующих операторов. Подход, основанный на сведении спектральных задач к СИУ, позволил применить метод дискретных особенностей для численного моделирования в теории полосковых и щелевых линий передачи [17]. В [27, 29] такая схема численного моделирования впервые применена к спектральным задачам теории колебаний: отыскание собственных частот круговой и прямоугольной мембран, закрепленных по части границы. Следует особо отметить, что используемый метод граничных интегральных уравнений позволяет рассматривать перечисленные задачи в строгой постановке как краевые задачи соответственно для стационарных уравнений Максвелла или волнового уравнения. Математическое моделирование с использованием теории сингулярных интегральных уравнений заключается в строгом сведении исследуемых краевых задач к граничным СИУ. Для простейших математических моделей явлений дифракции и рассеяния волн на бесконечно тонких идеально проводящих отражателях в электродинамическом случае теория численного решения получаемых уравнений методом дискретных особенностей детально разработана и строго обоснована в работах И. К. Лифанова, Ю. В. Ганделя, Т. С. Полянской, С. В. Еременко [30, 21, 26]. Строгими методами получены оценки скорости сходимости приближенных решений к точным решениям СИУ. Численное моделирование в таких задачах позволяет получить приближенные решения с контролируемой погрешностью метода. Однако реальные прикладные задачи приводят к математическим моделям, обоснования которых не могут быть проведены столь же строго, как в простейшем случае. Здесь численное моделирование играет решающую роль. Методы, разработанные и опробованные на «идеальных» моделях, где техника численного моделирования дает результаты высокой точности, переносятся затем на более сложные задачи: электродинамические задачи на телесных объектах с ребрами, с реальной проводимостью поверхностей и т. д. Получаемые результаты сравниваются с «идеальными» предельными случаями, экспериментальными данными, с результатами, полученными другими методами. Метод дискретных особенностей [7, 6, 55] решения краевых задач математической физики создавался с использованием двух моментов: 1) эффективного вычислительного аппарата метода дискретных вихрей, разработанного для решения задач аэродинамики и прошедшего всестороннюю проверку на практике; 2) строгого обоснования МДВ для простейших двумерных моделей, как численного метода решения сингулярных интегральных уравнений. В дальнейшем идеология численного эксперимента, развитого в аэро-
динамике, была использована Ю. В. Ганделем и его учениками для решения широкого класса задач электродинамики [16, 18, 20, 22, 27, 28, 77, 81]. К результатам, полученным этим методом, примыкают результаты полученные Ю. В. Ганделем, В. Ф. Кравченко, Н. Н. Морозовой и В. И. Пустовойтом [22, 23].
Этот подход был применен и к решению граничных интегральных уравнений, полученных методами теории потенциалов. В, частности, полная строгая теория МДО численного решения систем СИУ, к которым приводят задачи дифракции электромагнитных волн на системе замкнутых и разомкнутых гладких цилиндрических поверхностей дана в работах Ю. В. Ганделя, И. К. Лифанова, Т.С . Полянской [26, 30]. Развитый в этой главе подход к решению двумерных задач электродинамики со сверхпроводящими граничными условиями и к решению спектральных задач имеет научную и практическую ценность для большого класса физических структур, которые находят применение при расчете и проектировании: сверхпроводящих электронных устройств, антенн, приборов СВЧ и ускорительной техники.
Рассеяние электромагнитных волн тонкойсверхпроводящей лентой
Известно, что рассеивание электромагнитных волн тонкой лентой — одна из основных задач, решение которой открывает широкие возможности в исследовании и разработке волноводов антенн, открытых резонаторов и других микроволновых устройств.
Постановка задачи. Рассматривается граничная задача дифракции плоской монохроматической волны (зависимость от времени определяется как ехр( —is力))с единственной отличной от нуля компонентой магнитного поля
三 “пад(д 之)=егк(у sinO-zcosO)三 “пад(д 之)=егк(у sinO-zcosO)Я^ад
三 “пад(д 之)=егк(у sinO-zcosO)
三 “пад(д 之)=егк(у sinO-zcosO)
которая падает наклонно (под углом 3) на сверхпроводящую ленту, расположенную в плоскости XOY
8 = {(т, у, г) : х е R, 0 < у < I, z = 0}.
Граничные условия
卞(g, ±0)干±0)=0,0<у<1,выполняются на сверхпроводящей ленте. Здесь г/° = “口開 + г/, г/ — полерассеяния, создаваемое сверхпроводящей (СП) лентой, для которогоуравнение Гельмгольца имеет вид △“ + к2и = 0 (7?3\В); и удовлетво-ряет условиям излучения Зоммерфельда в бесконечности всюду вне
СП ленты, условию Мейкснера на ее ребре, а также сверхпроводящим граничным условиям
灰(у ±0) — Аи® ±0) =0) +0)(5.1)
И
灰(у, —0) + /〃(д, —0) = —丁3,0)- 4n“(g, 0)(5.2)
на верхней и более нижней сторонах СП ленты, соответственно, где / = iuj£Zc, а е — диэлектрическая проницаемость окружающей среды. Zc имеет тот же физический смысл что и в [1 — 10].
Для рассеянного поля над плоскостью СП ленты: и = и+ (у,讣, 2 > 0, а под этой плоскостью: и = 〃一(у, %), 2 < 0, имеем Фурье-представления
〃土(g,2)=с±(Х) exp (D g 干 7 (X) %) dX,(5.3)
где 7 = 7(Л) = \А? — к? . Условия излучения будут выполнены, если ветвь радикала выбрать так, чтобы Re 70, Im)< 0. Функции с±(Х)
должны быть найдены. Условия сопряжения
虱+(д,。)=「у,5,
k(g，0) = k(“。)，У ^0, у
должны выполняться в плоскости 2=0 вне СП ленты. Используя (5.3), перепишем их в виде Фурье-представлений
{с+(А)-^(А)}е^ = 0, y^Q, у ^1,(5.4)
7(A) {с+(А) + L(X)} е〃5д =。， y^Q, y^L(5.5)
Запишем граничные условия (5.1), (5.2) в виде
j 66) + Л) с+(Х)еМ,у =—(泌 cos J + Л) e^sEe,
(7(A) +Л)с^(Л)егА^1/ =(泳 cos J —厶)产川由支
Вычитая и складывая последние два равенства, получаем
(7(Л) + 厶)(。+(入)—16)) e^dy = ЛЫ，0<у<1,(5.6)
(7(A) + 厶)(。+(入)+。―6)) е"у =力(g), а<у“(5.7)
где /i(g) = — 2泳 cossin。，/?(д) = —Ае1^sm0. Таким образом, кра
евая задача сведена к системе парных уравнений (5.4), (5.6) и (5.5), (5・7).
Метод решения. Следуя [15], введем две новые неизвестные функции. Первая
田⑹=а{с+(А) -с^(Л)}егА^Л.(5.8)
Согласно условию на ребре, эта функция представима в виде
=°<<<^ 月(£)e人，1w。《2(5.9)
на интервале (0, /). Согласно (5.4)
Fi«) = 0для<^0и<>/(5.10)
и
]田(ё)恋=0.(5.11)
о
Вторая функция
用⑹=7 (А){с+(А) + с—(X)} е"5Х(5.12)
Как 田(£), (5.12) представимо в виде
F)® =0<е</,用⑹ 1<夕<2(5.13)
на интервале (0, Z). Согласно (5.5)
Используя результаты [18], сводим задачу к двум интегральным уравнениям вида
[|А| (с+(Л) - e^dy = 1
JJУQ
— ООО
{? (А)-|А|}(с+(А) + L (X)) e^dy = ||^(у -(8恋，
— ООО
где
^1(^ = |{7(А)-|А|}^^Ао
ООи
(с+6)—(Х))е» 5g = [е(£)恋.
Тогда уравнение (5.6) принимает вид
--^<+- Кх {y-^Fx^d^ + A F{^d4 = fdyl Q<y<L
7rjg — S 7Г JJ
(5.15)классеФред-(5.16)(5.15)классеФред-(5.16)оо0
(5.15)
классе
Фред-
(5.16)
(5.15)
классе
Фред-
(5.16)
Ищем решение сингулярного интегрального уравнения (5.15) в функций, которые удовлетворяют условиям (5.9) и (5.11).
Согласно [18] имеем
(с+6) + L(X)) e^dy =^ j Н「(Аф Yl) Е ⑹恋. — ООО
Для второй функции (5.7), получаем интегральное уравнение гольма второго рода
用 3) + |^ Н『(友汝—？)尸2 (£)恋=力(g),。< у <L о
Сингулярное интегральное уравнение (5.15) и уравнение Фредгольма (5.16) решается численным методом дискретных особенностей с использованием интерполяции квадратур. Функции。士 (А), X е R определяются через 田(£)и 用(£)
1 г「一»£ _ 11 г
。土(X) = ±— £ (项一-—恋 + l f2 (6) з& (5.17) 47n JA47rJ
00
7 В. Ф. Кравченко
Рассеяние электромагнитных волн решеткойсверхпроводящих тонких лент
В однородном изотропном пространстве с физическими характеристиками е, 〃 расположена решетка из т непересекающихся тонких СП лент, лежащих в одной плоскости. Выберем декартову систему координат так, чтобы ось Ох была параллельна ребрам, а ось Oz 一 перпендикулярна плоскости решетки (рис. 5.1). Сечение решетки плоскостью yOz изображено на рис. 5.2.
A z
Рис. 5.1. Ограниченная сверхпроводящая ленточная решетка
Рис. 5.2. Сечение сверхпроводящей решетки плоскостью yOz
Обозначим Л — множество точек пересечения этой плоскости с решеткой К = {(х,у, z) е В3 : х = 0,у е L, 2 = 0}, где L = U (aq, bq), —сю < «1 < bi < ... < ат < bm < +сю. Введем обозначение для дополнения множества L до всей оси R: CL = R\L. Область, внешнюю к СП лентам, обозначим Q. Рассмотрим двумерную задачу дифракции плоских монохроматических (зависимость от времени дается множителем 厂必力)волн Епад, Нпад, наклонно падающих на ограниченную СП решетку.
Полное поле, которое ищем в виде
Е^н = ^пад + е, 田°1nH = ЦпаД + Н,
(Е, Н — искомое электромагнитное поле, рассеянное решеткой) должно удовлетворять следующим условиям:
уравнениям Максвелла в области Q
rot Еполн =汕//Н^н, rot Нполн =田口卽,
СП граничным условиям на поверхностях лент;
условиям Зоммерфельда на бесконечности [72], которые выделяют волны, уходящие в бесконечность, и исключают возможность появления волн, приходящих из бесконечности, за исключением падающей волны; условиям на ребрах, которые следуют из условия конечности энергии в любой ограниченной области [72]
{е|Е『 + 〃|Н|2 卜。 < сю.(5.18)
В случае, когда поверхности имеют острые ребра, из этого условия следует условие на ребре в форме Мейкснера [88], характеризующее степень роста компонент электромагнитного поля при приближении к ребру. Это условие выражается в том, что в окрестности ребра клина раствора & могут иметь особенность только компоненты векторов Е и Н, лежащие в плоскости, перпендикулярной ребру, причем порядок особенности 1 — тг/(2тг —&) [37]. Остальные компоненты векторов электромагнитного поля в окрестности ребра ограничены. Выполнение перечисленных выше условий обеспечивает единственность решения рассматриваемой задачи [41].
В случае, когда материал лент является сверхпроводником, на граничных поверхностях лент S' выполняется сверхпроводящее граничное условие [3, 34, 43, 44]
[п х Епо^к = —Zc [п х [п х нполн]]|5^ (5.19)
где п — нормаль, внешняя к лентам, Zc — поверхностный импеданс сверхпроводников. Теоретические исследования по определению Zc и экспериментальные результаты приведены в [3, 44, 59]. В отдельных случаях, когда можно пренебречь толщиной лент по сравнению с размерностями длины других физических характеристик к удовлетворительным результатам приводит замена граничного условия (5.19) на условие
lim [п土 х E±noJIH]ls = — lim Z [n土 x [n土 x H土口。叫],(5.20)
где n+ = e,?, n_ = —e. — единичные нормали к плоскости решетки {"0}, А± = А±(с,д,2), % * 0. С учетом этого в качестве матема-
тической модели дифракции электромагнитной волны на решетке из тонких СП лент будем рассматривать краевую задачу с граничными условиями третьего рода, заданными на идеализированной бесконечно тонкой решетке, лежащей в плоскости yOz. Электромагнитное поле в двумерном случае, как известно, может быть представлено в виде суперпозиции двух электромагнитных полей, называемых соответственно Е-поляризованным и Я-поляризованным. Покажем это на примере рассматриваемой двумерной задачи дифракции (д/дх —> 0). Уравнения Максвелла в выбранных декартовых координатах принимают вид rot Е =汕 〃Н,
Оу
dz
=1шцНх,
(5.21)
дЕх dz
(5.22)
дЕх ду
=/лН z,
(5.23)
rot Н = —ОзеЕ,
曜 ду
dz
=—iusEx,
(5.24)
М dz
(5.25)
дНх
=—Озе 邑.
(5.26)
Они распадаются на две независимые системы дифференциальных уравнений в частных производных (5.22), (5.23), (5.24) и (5.21), (5.25), (5.26). Соответственно и векторы Е и Н в (5.18) представляются в виде суперпозиции двух независимых полей. В случае Е-поляризации электромагнитное поле принимает вид (Еж, 0, 0), (0, Ну, Hz), где
„ _ i дЕх1 дЕх
力",一二 А ? 力N ,一 二 A ?
Ш[1 OZ%з〃 оу
а подставляя эти выражения для Ну Hz в (5.24) имеем для Ех уравне
ние
оу OZ
В случае Я-поляризации электромагнитное поле представляется в виде (0, %,邑)，(％, 0,0), где
厂 1 дНх1 дНх
23Е OZ23Е Оу
Согласно (5.21) имеем
Таким образом, как в случае .Е-поляризации, так и в случае 27-поляризации, единственная (из шести) независимая компонента электромагнитного поля удовлетворяет двумерному уравнению Гельмгольца. Рассмотрим каждый случай в отдельности.
Сведение краевой задачи к системе интегральных уравнений
Случаи Н-поляризации. Впервые сформулированная выше краевая задача для случая падения Я-поляризованной волны на одну ленту была сведена к системе интегральных уравнений в работе [23]. В настоящем пункте проведено сведение указанной краевой задачи для уравнения Гельмгольца к системе интегральных уравнений для произвольной ограниченной ленточной решетки. На решетку наклонно (под углом 3) падает плоская монохроматическая Я-поляризованная электромагнитная волна с единственной отличной от нуля компонентой магнитного поля, удовлетворяющей уравнению Гельмгольца во всем пространстве вне СП лент
ттпад ._ ^k(y sin O—z cos 0)一C夕
k = з/с — волновое число. Тогда рассеянное поле Е, Н имеет ту же поляризацию, и задача дифракции сводится к скалярной краевой задаче для уравнения Гельмгольца относительно функции Нх = и(у, %)
△〃(％, у) + к2и(у, %) = 0, (у, %)艺 А,(5.27)
граничное условие (5.20) примет вид
，吸。{!^(д,2)干/乳(g，2)} = ^^(g，0) ±/刃晓3,0), у W
宀“(5.28)
где / = Озе%。，а условия излучения
Для рассеянного поля над плоскостью решетки: и = и+(у, 2), 2 > 0 и под этой плоскостью: и = и^(у, 2), 2 < 0, где и±(у, z) удовлетворяют уравнению Гельмгольца соответственно в верхних и нижних полуплоскостях, имеем Фурье-представления
u^^y^z) =с±(Х)е"и干 7 汨入 2#0,(5.29)
где 7 = 7(Л)=，弟—炉,а условия излучения будут выполнены, если ветвь радикала выбрать так, чтобы Re?》0, Im7 ^0. Для того, чтобы функция 虱(у, %) удовлетворяла уравнению (5.27) всюду, вне лент должны выполняться условия сопряжения в «щелях»
虱+(Р,。)= 〃—(P,。)， У Q CL
丁(д,0) = 丁®,0), "CL, ozoz
Используя (5.29), перепишем эти условия в виде Фурье-представлений
I {с+(х)— 6)}е"4д = 0,у е CL,(5.30)
j 7(Л) {с+(А) + с^(А)} eUj/dA = 0, у jCL,(5.31)
а граничные условия (5.28)
6(Х) +/)с+(Х)е〃5Х =—(法cosJ + /)e制sEe, y E CL,
(7(A) +Л)с^(Л)егА^Л =(泳 cos J —厶)产心由8, ^ E CL, вычитая и складывая последние два равенства, имеем
(7(A) + %) (с+6) —。—С)) е"5Х =力(у),g е 厶(5.32)
(7(A) + 厶)(。+(入)+6)) eUydA =力(g),у е 厶(5.33)
где /i(g) = —2泳cos Je2kgsme, /?(у)= _2Лег/суsm0. Таким образом, краевая задача сведена к системе парных уравнений (5.30), (5.32)
(с+(Х) - с—(X)) ^dX = 0,у е CL,
[(7(入)+ /)(。+(入)-L6))e"⑵入 =力(g), де 厶
и (5.31), (5.33)и (5.31), (5.33)7(Х) (с+(Х)(Х))е〃切X = 0,у е CL,(7(A) + %) (с+(Х) + L(》))e^dX =力(办 у е L.7(Х) (с+(Х)(Х))е〃切X = 0,у е CL,(7(A) + %) (с+(Х) + L(》))e^dX =力(办 у е L.I —ооПервое парное уравнение сводится к СИУ первого рода на системе отрезков, а второе к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Следуя идее, предложенной в [15, 18], введем в рассмотрение новые неизвестные функции5(g) ={。+(入)一。一 6)}ём5入厂凡用3)=片3) =/ {。+(入)-0一(入)}切入 ywR.Из (5.30) следует, чтоS(g)=o, g"“=0, ywCL,I —ооПервое парное уравнение сводится к СИУ первого рода на системе отрезков, а второе к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Следуя идее, предложенной в [15, 18], введем в рассмотрение новые неизвестные функции5(g) ={。+(入)一。一 6)}ём5入厂凡用3)=片3) =/ {。+(入)-0一(入)}切入 ywR.Из (5.30) следует, чтоS(g)=o, g"“=0, ywCL,(5.34)(5.35)(5.36)(5.34)(5.35)(5.36)bqFl(£)恋=Ul(bq) — Ul(0q) = 0, q = 1,…，77?,bqFl(£)恋=Ul(bq) — Ul(0q) = 0, q = 1,…，77?,(5.37)(5.37)а из условий на ребре следует, что сужение функции F)(у) на отрезок Lq (обозначим эту функцию 田。(^), aq < у < bq) представимо в видеа из условий на ребре следует, что сужение функции F)(у) на отрезок Lq (обозначим эту функцию 田。(^), aq < у < bq) представимо в виде(5.38)(5.38)
и (5.31), (5.33)
и (5.31), (5.33)
7(Х) (с+(Х)(Х))е〃切X = 0,у е CL,
(7(A) + %) (с+(Х) + L(》))e^dX =力(办 у е L.
7(Х) (с+(Х)(Х))е〃切X = 0,у е CL,
(7(A) + %) (с+(Х) + L(》))e^dX =力(办 у е L.
I —оо
Первое парное уравнение сводится к СИУ первого рода на системе отрезков, а второе к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Следуя идее, предложенной в [15, 18], введем в рассмотрение новые неизвестные функции
5(g) ={。+(入)一。一 6)}ём5入厂凡
用3)=片3) =/ {。+(入)-0一(入)}切入 ywR.
Из (5.30) следует, что
S(g)=o, g"“=0, ywCL,
I —оо
Первое парное уравнение сводится к СИУ первого рода на системе отрезков, а второе к интегральному уравнению Фредгольма второго рода. Следуя идее, предложенной в [15, 18], введем в рассмотрение новые неизвестные функции
5(g) ={。+(入)一。一 6)}ём5入厂凡
用3)=片3) =/ {。+(入)-0一(入)}切入 ywR.
Из (5.30) следует, что
S(g)=o, g"“=0, ywCL,
(5.34)
(5.35)
(5.36)
(5.34)
(5.35)
(5.36)
bq
Fl(£)恋=Ul(bq) — Ul(0q) = 0, q = 1,…，77?,
bq
Fl(£)恋=Ul(bq) — Ul(0q) = 0, q = 1,…，77?,
(5.37)
(5.37)
а из условий на ребре следует, что сужение функции F)(у) на отрезок Lq (обозначим эту функцию 田。(^), aq < у < bq) представимо в виде
а из условий на ребре следует, что сужение функции F)(у) на отрезок Lq (обозначим эту функцию 田。(^), aq < у < bq) представимо в виде
(5.38)
(5.38)
где Miq(g), aq < у < bq — непрерывные по Гельдеру функции.
Используя формулу обращения для преобразования Фурье, из определения F[(g), у е R и условия (5.36) получаем
(5.39)(5.39)1/_ 1
(5.39)
(5.39)
с+(Х) - с^(А) = —- Е(£)恋.
/7гг JA
Покажем теперь, что уравнение (5.32), где с+(А) — с™(А) представимо в виде (5.39), эквивалентно СИУ на системе отрезков относительно функции Fi(g), у Е L. Для этого перепишем уравнение (5.32) в виде
|А| (с+(Х) - с—(X)) егА^Л +(7(Л) - |А|) (с+(А) - L(X)) егА^Л+
+ Л I (с+(А)^^(А))еи^А = /1Ыл eL. (5.40)
Первый интеграл выразим через F【(g), у W L, используя параметрическое представление преобразования Гильберта [4]
G®)= д(Х)еб%入yeR,(5.41)
-j 警竺=j g(X)亨yeR,(5.42)
(справедливость которого показана в [4] для G(y) Q4(区)，0 > 1). В нашем случае Fi(g) = 0, у е CL, а из представления (5.38) следует, что F] (у) е 4，1 < р < 2, у е L, так что имеем
(5.43)(5.43)
(5.43)
(5.43)
Второй интеграл в (5.40) преобразуем, подставляя представление (5.39) для с+(А) — с™ (А) и применяя теорему Фубини
—Н)(с+С)—с-(Х))е〃5Х =
ггe〃(g_£) _ Qu 1 г
-F(б)恋 (7(入)一 A)————dX=-\K(y^^F^
7Г JJZZA7Г J
Z—ooL
(5.44)
K(n) = ] SC) —A} 办.(5.45)
о
Из определения функции 耳(g) очевидно
осg
(5.46)(5.46)(с+(А)—厂⑴)егХЧХ = E(£)d&
(5.46)
(5.46)
Уравнение (5.40) с использованием тождеств (5.43), (5.44), (5.46) переходит в СИУ относительно искомой функции Fi(g), у С L
У R L(5.47)У R L(5.47)к® -ея(а< + 4 ] е (©恋=л ы,
У R L
(5.47)
У R L
(5.47)
Решение СИУ ищем в классе функций, удовлетворяющих условиям (5.36), (5.37). Отметим, что согласно (5.39) функция с+(Х)—(X), X е R выражается непосредственно через решение СИУ (5.47).
Введем функцию
尸2®) = I 7(A) (с+(А) - с^(А))еи^А,(5.48)
сужения которой на интервалы gO, также как и в случае функции F\ (у), представляются в виде
包 ®) = —77；丄…;一aq<y < bq; q=l,.••,"?,(5.49)
\Abq — y)(y — aq)
где M2q(g), Gq < У < bq — непрерывные по Гельдеру функции.
Согласно (5.31),
Р2®)=0，ye CL.(5.50)
Из (5.48) с учетом (5.50) получаем представления для с+(А)(X),
X Е R через искомую функцию 用®), у R L
1 г
g+ 9 =Em(0…恋(5.51)
Подставляя выражения для 用(у) и с+(А) +с~(X), перепишем уравнение (5.33) в виде
У w L.У w L.F^(y) + - J ^^у J F2(g)0一恋dX =力®),
У w L.
У w L.
Учитывая, что функции
F(g), у Е R иF(g), у Е R ихД2 — RхД2 — RXeRXeRегХу
F(g), у Е R и
F(g), у Е R и
хД2 — R
хД2 — R
XeR
XeR
принадлежат Lp при любом 1 < р < 2, воспользуемся равенством Пар- севаля и поменяем порядок интегрирования. Тогда
尸2®) + / J Q (|g — £|) F(冃恋=/2Ы，у Q(5.52)
где
2 f COS Xz T、1 f cos Ax 7、
Q (岡)卞 G + -队
J yk2 — X2 J yX2 — k2 0k
Осуществляем замену переменных X = kx в интегралах, входящих в ядро, Q (|ж|). Используя интегральное представление Пуассона [5] для функции Бесселя с индексом нуль
COS xt т , dtCOS xt т , dt(5.53)(5.53)1
COS xt т , dt
COS xt т , dt
(5.53)
(5.53)
Jo⑺=Во
и Мелера-Сонина для функции Неймана с нулевым индексом и положительным аргументом
(5.54)(5.54)'『/2 f cos xt 7_
(5.54)
(5.54)
Уо(优= z dt, 优 > U.
Получаем
кг f cos Аж—；-dA = ■0f cos Аж17Г J "火一к27гПриходим к интегральному ураЕкг f cos Аж—；-dA = ■0f cos Аж17Г J "火一к27гПриходим к интегральному ураЕ1г 「 cos ktx 7с 、-=二 Jo(kx),7Г J V 1 — 7r оf cosktx 71,醒~~= -~У^к\х\).лению Фредгольма второго рода1г 「 cos ktx 7с 、-=二 Jo(kx),7Г J V 1 — 7r оf cosktx 71,醒~~= -~У^к\х\).лению Фредгольма второго рода
к
г f cos Аж
—；-dA = ■
0
f cos Аж1
7Г J "火一к27г
Приходим к интегральному ураЕ
к
г f cos Аж
—；-dA = ■
0
f cos Аж1
7Г J "火一к27г
Приходим к интегральному ураЕ
1
г 「 cos ktx 7с 、
-=二 Jo(kx),
7Г J V 1 — 7r о
f cosktx 71,
醒~~= -~У^к\х\).
лению Фредгольма второго рода
1
г 「 cos ktx 7с 、
-=二 Jo(kx),
7Г J V 1 — 7r о
f cosktx 71,
醒~~= -~У^к\х\).
лению Фредгольма второго рода
用®) + 厶^ j Н「)(к Ь-€|)用(©恋=ЛЫ，у е 厶 (5.55)
с ядром, имеющим логарифмическую особенность. Здесь 风(优)— функция Ханкеля первого рода, индекса нуль. Таким образом, парное уравнение (5.30), (5.32) сведено к СИУ (5.47) с дополнительными условиями (5.37), а парное уравнение (5.31), (5.33) к интегральному уравнению Фредгольма второго рода (5.55) с ядром, имеющим логарифми-
ческую особенность. Однозначная разрешимость системы полученных интегральных уравнений (5.47), (5.55) в указанном классе функций следует из его эквивалентности парным уравнениям (5.30)-(5.33), а потому и исходной краевой задаче. Непосредственно через решения интегральных уравнений (5.47) и (5.55) выражаются искомые функции с±(Х), XeR
1 гc±(X)= 土厂 Fl®Z7T .1 гc±(X)= 土厂 Fl®Z7T ._ 11 г恋 + 万556)_ 11 г恋 + 万556)
1 г
c±(X)= 土厂 Fl®Z7T .
1 г
c±(X)= 土厂 Fl®Z7T .
_ 11 г
恋 + 万556)
_ 11 г
恋 + 万556)
.3.2. Случай ^-поляризации. В этом пункте получена система интегральных уравнений, эквивалентная краевой задаче для уравнения Гельмгольца для случая падения 石-поляризованной волны на ограниченную решетку из тонких СП лент. Случай, когда на решетку наклонно падает плоская монохроматическая В-поляризованная волна с единственной отличной от нуля компонентой электрического поля 石*А, сводится к скалярной задаче дифракции на решетке для компоненты Ех = и(у, z) электромагнитного поля, рассеянного решеткой
△次у, 7)+ k2u(y, Z)= 0,(у, 7)艺 А,(5.57)
「力/)в石пад
Z)土 Ви(у, П =——六(у, 0)干 ВЕ^(у, 0), у е L,
(5.58) где 8 = ш^2~{. Функция и(у, z) удовлетворяет также условиям излучения на бесконечности и условиям на ребре. После введения обозначений
口 ад
〃 = 〃±(д,"0,产匂匂,0)干 8石片®,0)
запишем уравнение (5.58) в виде
万±8〃士(g,c) = /士(g), у e L.(5.59)
Для u^^y, z} имеем Фурье-представления
〃±®，П= 廿(入«"奸7也入 7#0,(5.60)
= 7(入)=\/入2 _ 启2, Re)》0, Im)< 0 (те же, что и в случае /f-поляризации), удовлетворяющие уравнению Гельмгольца в верхних и нижних полуплоскостях соответственно и условиям излучения на бесконечности. Всюду вне СП лент потребуем выполнения условий сопряжения
〃+匂,0)=®,0)， y Q CL
у е CL.у е CL.
у е CL.
у е CL.
Записав граничные условия (5.59) и условия сопряжения в виде Фурье- представлений, аналогично случаю /f-поляризации, получим систему парных уравнений
{с+(Х) - c-(A)}eu?/dA = 0,ge CL,
(7(A) - В) {с+(Х) - с-(А)}еа^А =广(д), у е £,
7(A) {с+(Х) + с-(А)}еа^А = 0,де CL,
(7(A) - В) {с+(А) + с-(А)}еа^А =厂(д), у 丄
(5.61)(5.62)(5.63)(5.64)(5.61)(5.62)(5.63)(5.64)1「< + - K(y-()F^d(-B7Г ,1「< + - K(y-()F^d(-B7Г ,e(0恋= /+(g),e(0恋= /+(g),У L,У L,Замена А = —В сведет эти парные уравнения к системам ПУ (5.30),(5.32) и (5.31),(5.33) для случая Я-поляризации. Это позволит провести сведение к системе интегральных уравнений, как и в случае Я-поляризации. Рассмотрим функцию Fi(g), у Е R (формула (5.35)), из требований на ребре представимую в виде (5.38). Для нее выполняются условия (5.36)-(5.37). Используя интегральное представление преобразования Гильберта (5.41) для выделения сингулярной части в уравнении (5.62), имеем СИУ
(5.61)
(5.62)
(5.63)
(5.64)
(5.61)
(5.62)
(5.63)
(5.64)
1「
< + - K(y-()F^d(-B
7Г ,
1「
< + - K(y-()F^d(-B
7Г ,
e(0恋= /+(g),
e(0恋= /+(g),
У L,
У L,
где К(优)определено (5.45). Вводя функцию 巳®), у Q R (формула (5.48)), представимую в виде (5.49) и удовлетворяющую условию (5.50). Преобразуем (как и в случае Я-поляризации) парное уравнение (5.64) к интегральному уравнению Фредгольма второго рода
尸2®) — 8； ]Н『)(k |д — £|)尸2(0恋= ГЫ，у G L. L
Таким образом, как и в случае Я-поляризации, задача дифракции Е-поляризованной волны на решетке из тонких СП лент сведена к системе интегральных уравнений, состоящей из СИУ с дополнительными условиями и уравнения Фредгольма второго рода.
Схема численного решения СИУ на системеинтервалов
Общая схема метода дискретных особенностей. Широкий класс задач математической физики, в том числе и рассматриваемые в данной главе, удается свести к сингулярному интегральному уравнению на системе интервалов Z = U (а@, Ь/夕=1,..., "?
I ] F 恋 +Я к®，£)F(£)恋=/匂)，g Q '，(5・65)
где /(g) — известная функция класса。，°(£), К(у, ^) е C^,a{L) по каждой из переменных относительно другой переменной с дополнительными условиями [7, 15, 16, 18, 30, 55, 56]
1「
- F(©恋=0,夕=1,(5.66) 7Г J
工
либо дополнительными условиями [21] вида
1「
-Q(勿,W)F(W)恋=(5.67) 7Г J
工
где
Q(%, О = 1п|< - ур\ + q(g” <),
ур — произвольная фиксированная точка интервала (ар, Ьр), д(д@,£) Q е C^,a{L) по переменной & Для изложения схемы численного решения СИУ (5.65), (5.66) и (5.67) на основе МДО [7, 16, 18, 21, 30, 56] обо
значим 疗=cos —7г, z = 1,..., n — узлы полинома Чебышева 1-го
рода Zz⑴，t е [―1, 1], %• = cos —7Г, j = 1,..., n — 1 — узлы полинома Чебышева 2-го рода З—⑴，t е [—1, 1]. Выпишем три точные интерполяционные квадратурные формулы, приведенные, например, в [21].
Пусть 夕(力)—многочлен степени 2п — 1. Тогда
В L⑶= ；£>(©•(5.68)
Пусть p(t) — многочлен степени 2". Тогда
I j p{t) dt 1 " p(tf)I j p{t) dt 1 " p(tf)(5.69)(5.69)
I j p{t) dt 1 " p(tf)
I j p{t) dt 1 " p(tf)
(5.69)
(5.69)
Пусть p(t) — многочлен степени п — 1,力 е [—1, 1]. Тогда
；hiI力一切(书)1П2 + 2工；4(段)4(力0).
(5.70) Введем отображение
= Ьр 2 °Pt + 好：a@，P = 1,g@ ：1,1] — d，Ьр].
Обозначим
Q, = gp口),分=「..，"， р = i, 沙3=寿(％・)，j=l,・.・，h—1, P = 1,,Ш
и перепишем формулы (5.68)-(5.70) для произвольного отрезка (а» Ьр) и многочленов s(£), К(£) степени п — 1. Имеют место следующие тождества:
(5.71)
||公(££J||公(££J(5.72)(5.72)1 「7Г .ap1 「7Г .ap恋\/(ьр - О - ар)恋\/(ьр - О - ар)
||公(££J
||公(££J
(5.72)
(5.72)
1 「
7Г .
ap
1 「
7Г .
ap
恋
\/(ьр - О - ар)
恋
\/(ьр - О - ар)
=；文"（8，）1x1配г=1L=；文"（8，）1x1配г=1LК =К =必⑹必⑹\/(bq —£)(£ — "q)\/(bq —£)(£ — "q)4q < £ < bq,4q < £ < bq,(5.74)(5.74)
=；文"（8，）1x1配г=1L
=；文"（8，）1x1配г=1L
К =
К =
必⑹
必⑹
\/(bq —£)(£ — "q)
\/(bq —£)(£ — "q)
4q < £ < bq,
4q < £ < bq,
(5.74)
(5.74)
-2工,耳（段）耳（0丁⑺）,о,р<у<ьР.
1（5.73）
Численное решение СИУ (5.65) с дополнительным условием (5.66) было впервые предложено в [56]. Функция F® ищется в классе функций, сужения которых 儲(£) на интервал Lq представимы в виде
где 3q(£) — непрерывные по Гельдеру функции при £ е 人.Задача (5.65)-(5.66), как известно (см., например, [62]), при любой правой
части /(g) е 丄2@ имеет единственное решение в классе функций, определяемых (5.74). Введем обозначения
。1=(1 一户厂02") = (1 一
В соответствии с идеей метода дискретных особенностей на каждом из интервалов 人，q = 1,..., m выбираются две системы точек 唠;, 2 = 1,...,7?勺；g；}, j = 1,...,几 ° — 1. Здесь nq — количество узлов квадратурной формулы на интервале £。，необходимое для достижения требуемой точности вычислений. Приближенное значение функции %(£), q =厶…，"？ ищется в виде интерполяционного полинома Лагранжа з『(£) по узлам 段:，2 = 1,…，“ На каждом из интервалов &, q = 1,...,"? заменим также известное ядро К(д,£) по переменной £ его интерполяционным полиномом по тем же узлам £；；, i = 1,... ,nq. Рассматривая СИУ (5.65) поочередно в точках g；；, j = 1,...,几。一1, р = 1,…，"?，и, применяя к интегралам квадратурные формулы (5.71), (5.72), получим систему уравнений
Е^Е (^^ + к (С，唠力吟(С) = /喷)，(575)
j 1,... , Tip — 1,
工屮(职)=c@, (j = "Q； p=(5.76)
СЛАУ содержит ni + 几2 + ♦•• + пш = n уравнений относительно n неизвестных Vqq (£；；), г = 1,,几勿 q = 1,Полиномиальные приближения м『(£) функций vq (£), q = 1,…，m получаем после решения СЛАУ по интерполяционным формулам Лагранжа. В [30] показана однозначная разрешимость системы (5.75)-(5.76) и дана оценка скорости сходимости приближенного решения к точному
I%—爲”踪при
Рассмотрим задачу (5.65), (5.67). В [21] показана ее однозначная разрешимость при любой правой части /(g) е £2,02 • Действуя по той же схеме, что и в задаче (5.65), (5.66) и применяя квадратурную формулу (5.74), приходим к СЛАУ из п уравнений относительно п неизвестных 巾(£；,：)' } = 1, q = 1,
E-E (钾下+ k (踹,戚二))嵋"(妇)=/(哦),(5・77)
义矗(О + in — 2 弋；4 (О 4 (gj (勿))=%
0="0)； p= \,…，m. (5.78)
В [21, 30] показана однозначная разрешимость этой СЛАУ для достаточно больших п и дана оценка скорости сходимости приближенного решения к точному
1%一mиb W 0 (达)nРИ °О・
Полиномиальные приближения м『(£), q = 1,…"？ получаем после решения СЛАУ по интерполяционным формулам Лагранжа.
Модификация МДО для СИУ, содержащего интеграл с переменным пределом интегрирования. Полученное в п.5.3.1. СИУ имеет вид
- 产恋+— K(y^)F(^ + A F(©恋= /(g), yeL, (5.79) 7Г J 1/ —7Г JJ
LLai
где функция F(£) удовлетворяет m дополнительным условиям
bq
(5.80)(5.80)F(g)恋=0, q=
(5.80)
(5.80)
СИУ (5.79) отличается от СИУ (5.65), для решения которого применялась описанная выше схема МДО, тем что имеет своим слагаемым интеграл с переменным пределом интегрирования. Предлагается к этому СИУ (5.79) с дополнительными условиями (5.80) применить тот же подход, что и в общей схеме МДО. Функция F(^) ищется в классе функций, определяемых (5.74). Будем искать приближенное значение функции 必(£), q = I,... ,т в виде интерполяционного полинома Лагранжа м『⑹ по узлам 咏，i = 1,…，“ Оценим погрешность такой замены в интеграле с переменным верхним пределом. Пусть у е Lp, а согласно (5.80)
уg
F(0恋=]F(?d&
Обозначим g/i(£) = t, д~\у) = b, vp(gp(t))= 〃⑴，Vpp(gp(t)) = un(t). Тогда
-(仇 _£)(£ — а@)- \/а — £)(£ — а@)
Орар
力о-1力о-1力0力0dt，dt，2dt2dt1 也 <1 也 <11
力о
-1
力о
-1
力0
力0
dt，
dt，
2dt
2dt
1 也 <
1 也 <
1
1
/ 12 \ 1/2
Приведем квадратурную формулу для интеграла с переменным верхним пределом. Пусть 夕(“ —многочлен степени 几一1, % Q (—1,1). Тогда
= LYp^)D^t.l(5.81)
где
=爲小卜)(一。)-,(5.82)
q = arccos to,
Покажем это. Многочлен p(t) степени n — 1 можно представить в виде
Р品) =£Р&)歴где
Тогда
。⑴［尸⑴展万= ^P(tf)Df(t0),
jyn—1 Г Tn(t) dt
Многочлен п — 1-ой степени Tn(t)/(t —力；)представим в виде
где
=Un-\ (力：),
一1
2 Zz⑴厶⑴ dt2 Zz⑴厶⑴ dt=3廿一1(段)+ "——(/), г = 1,2,...=3廿一1(段)+ "——(/), г = 1,2,...
2 Zz⑴厶⑴ dt
2 Zz⑴厶⑴ dt
=3廿一1(段)+ "——(/), г = 1,2,...
=3廿一1(段)+ "——(/), г = 1,2,...
Отсюда
где
力0力0
、еdtsin ra,
Z]⑴ Л一方=TГ — Q；丁 =1,2,...，
что и требовалось доказать.
Перепишем формулу (5.81) для случая произвольного отрезка (а@, %) и многочлена о;(£) степени п — 1. Имеет место тождество
иоугш^^5<;'ж (5-83)
где О：(优)определяются формулой (5.82). Отметим, что в случае инте
грала с переменным нижним пределом интегрирования квадратурная формула получается аналогично. Рассматривая СИУ (5.79) поочередно в точках g；), j = 1,...,几° — 1, р = 1,..., "?, и, применяя к интегралам квадратурные формулы (5.71),(5.72), (5.83), получим систему уравне
ний
e^Е (齊% + К喷、窜)卜Ю + д nv
+ 丁(*)=〃£)，3 = 1,"厂1, (5.84)
工屮（£；：）= °，（J = "p）；夕=i, г=1
Дискретизация системы интегральных уравнений, эквивалентной исходной задаче. Проведем дискретизацию СИУ (5.47) с дополнительным условием (5.37) по описанной в п. 5.4.2 модификации МДО. Для значений в узловых точках приближенного решения СИУ (5.47) м：/(£),< £ < %, р = 1,..., m имеем СЛАУ
Е —Е к(СП +
+ — E<ip ° (脸")=〃矶В…s -1, I(5.85)
еu17(€；?)=。， (J =刀1,0)； P= L m・ 2= 1
СЛАУ (5.85) содержит njj + 刀 1,2 + ... + n 1 ,m =刀 1 уравнений относительно 刀I неизвестных м；『(£^；«)，? = 1『М,。，q = 1т. Здесь
〃i,q выбранное количество точек дискретизации на Lq = (о。，6。) для функции M|,q(£). Для дискретизации уравнения Фредгольма (5.55) на каждом интервале Lq выберем 刀2用—количество узлов квадратурной формулы, необходимое для достижения требуемой точности вычислений. Будем искать приближенное значение функции 微2,欣)， q = 1m в виде интерполяционного полинома Лагранжа v* (£) по узлам ^7, i = 1,...,刀 2,q. На каждом из интервалов L。，q = 1m известное ядро Q(y, ^) представим его интерполяционным полиномом по переменной £, построенным по узлам £^；°, i = 1 刀2°. Рассматривая СИУ (5.55) поочередно в тех же точках £^；°, i = 1,...,刀 2,。，и, применяя к интегралу квадратурную формулу (5.71), придем к системе уравнений
力胤了)， )=1刀 2Р 月=1Т沱，(5.86)力胤了)， )=1刀 2Р 月=1Т沱，(5.86)
力胤了)， )=1刀 2Р 月=1Т沱，(5.86)
力胤了)， )=1刀 2Р 月=1Т沱，(5.86)
Qpq^'}Qpq^'}
Qpq^'}
Qpq^'}
^-H^ (k 図)+ Ain\x\ , q = p.
(Отметим, что(к [优])— —In \х\ — гладкая функция.) СЛАУ (5.86)
содержит П9,1 + 刀2,2 + ... + 刀2,?九=底2 уравнении относительно П2 неизвестных м『^ (£^,丁)，分=1 刀2用，q = 1 m. Приближенные значения искомых функций с±(Х) вычисляются непосредственно через решения СЛАУ (5.85)-(5.86) с использованием гауссовых квадратур (см. формулу (5.56))
■7 = 1■7 = 1ехр(-£')ехр(-£')4?；Mll,q4?；Mll,q++
■7 = 1
■7 = 1
ехр(-£')
ехр(-£')
4?；Mll,q
4?；Mll,q
+
+
00p|c+ (用吓)]p|c+ (用吓)]00，k2 +也，k2 +也e-tR cos ^dt <e-tR cos ^dt <00kk®T 五 cos/淑=®T 五 cos/淑=
0
0
p|c+ (用吓)]
p|c+ (用吓)]
0
0
，k2 +也
，k2 +也
e-tR cos ^dt <
e-tR cos ^dt <
0
0
k
k
®T 五 cos/淑=
®T 五 cos/淑=
,fiq (宀,n exp (-/%『)
Асимптотические формулы для расчета поляв дальней зоне
Одной из основных физических характеристик является поведение рассеянного поля в дальней зоне. Представление для поля в полупространстве над СП лентами в полярных координатах имеет вид
а+(凡夕)=c+6)e"^cos"Mx)^sin/d*(5.87)
Покажем, что для больших 区 н 夕 таких, что Ь< 夕 <тг — 6(6 — сколь угодно малое положительное число)
к
小(凡⑺〜[o+6)€^(XcosHV^si")dx(5.88)
— к
Оценим оставшуюся часть интеграла
СЮ
e+(入)^入五 cos 99 -у A2 -fc2 R sin /d》
h{t)te~ptRdt.
Асимптотические формулы для расчета поля s дальней зоне 213
Здесь приняты следующие обозначения:
力⑴=力⑴=卜+ (，k2 +以)J卜+ (，k2 +以)Jp = sin 夕,p = sin 夕,
力⑴=
力⑴=
卜+ (，k2 +以)J
卜+ (，k2 +以)J
p = sin 夕,
p = sin 夕,
h(t)te^ptRdt = h(t)teTptRdt + %(区),
оо
где
「式R) < \h(t)\te-ptR^dte-p£R^ = О 卜屮五/2}
Заметим, что 九(0) * сю, а р > 0 для любого 夕：Ь< 夕 <тг — 6, J > 0. В окрестности точки 力=0 функцию h(t) можно представить рядом
Маклорена. В случае, когда 力(0)老 0, получим для больших R
СЮ£СЮ
力(t}t^ptRdt 〜 h (t}t^ptRdt 〜h (0) t^ptRdt =
ооо
(M(M
(M
(M
Окончательно, при 区—сю для (5.88) имеет место оценка
El 1k sin2夕区2El 1k sin2夕区2ОС
El 1
k sin2夕区2
El 1
k sin2夕区2
e+ (入)e?，五 COS 衣一,x2一k2 五 sin ^^д
k
Последовательные замены переменных X = kt, t = cos т приводят (5.88) к виду
1
=e泳 Rcos(rr)c+(kcosT)ksixiTdT, (5.89) 0
где (для |A| < k))(X) = —\"№ —入? = —iky/1 — t2 = —ik sin r,
f 月(C—7——公(0恋,
L
и, соответственно,
1 г j「一2kgeost — 1cos т
с+ (G cos7)= —— { FX «)Fo «)；卜恋.
4тпк J [costsmr J
L
(5.90)
Для получения асимптотики гю 区 一 сю используем метод стационарной фазы [42] . Сформулируем его положения, применимые к нашему ъ
интегралу (5.89). Рассмотрим интеграл вида 几=Jg(t)e"G/("dt, где а и
b (конечные), /(t), g(t) не зависят от о;. Предполагается, что функции /(力)и g(t) бесконечно дифференцируемы на промежутке [о, Ь]; внутри интервала [о, Ь] имеется лишь конечное число точек, в которых фаза 3fs стационарна. Это означает, что производная фазы по t обращается в нуль; каждой из стационарных точек с соответствует по крайней мере одно целое положительное число т, такое, что /(""(c)老 0. При этих предположениях асимптотический характер интеграла 几 при больших значениях параметра о; определяется поведением функций /(力)и g(t) в сколь угодно малой окрестности «критических точек», которыми являются концы интервала [о, Ь] и точки между ними, где фаза стационарна. В интеграле (5.89) [о, Ь] = [0, тг], g(t) = с+ (к cost) к sinr, /(力)=к cos (т — 9?) .Единственной точкой стационарной фазы на [0, тг] является точка 丁 =夕：/'(夕)=0, /"(夕)=—k * 0. Заметим, что g(0) = g(7r) = 0. В случае, когда д(а) = g(b) = 0, основной вклад в асимптотическое поведение интеграла вносит точка стационарной фазы с, находящаяся внутри интервала [о, Ь]. Если /"(с)老 0, то метод стационарной фазы дает следующую асимптотическую формулу, когда
О； т СЮ： при /"⑹ > 0,
при /"⑹ < 0,
" J I片⑹I丿
Следовательно, в соответствии с методом стационарной фазы получаем асимптотическое поведение интеграла (5.89) (R — сю)
辽+(区，夕) 〜 —V 2?г /ее+ (к cos 99) sin 99,
\/kR
илиили小（凡⑺д2m小（凡⑺д2md〈kR—不因d〈kR—不因①+(夕)・①+(夕)・(5.91)(5.91)
или
или
小（凡⑺д2m
小（凡⑺д2m
d〈kR—不因
d〈kR—不因
①+(夕)・
①+(夕)・
(5.91)
(5.91)
Здесь ①+(夕)一диаграмма направленности (ДН) рассеянного поля над СП лентами
工工(5.92)
工
工
лентамилентами^г(кЯ—тт/4)「(凡⑺二(⑺，^г(кЯ—тт/4)「(凡⑺二(⑺，(5.93)(5.93)Аналогично получаем представление для поля в дальней зоне под СП
лентами
лентами
^г(кЯ—тт/4)
「(凡⑺二(⑺，
^г(кЯ—тт/4)
「(凡⑺二(⑺，
(5.93)
(5.93)
①—(⑺=芸]{—£ (0 (eikfcos/ _ l)tg^-K(e)e-^co^}< L①—(⑺=芸]{—£ (0 (eikfcos/ _ l)tg^-K(e)e-^co^}< Lгде
①—(⑺=芸]{—£ (0 (eikfcos/ _ l)tg^-K(e)e-^co^}< L
①—(⑺=芸]{—£ (0 (eikfcos/ _ l)tg^-K(e)e-^co^}< L
(5.94)
Приближенные значения Ф± легко выражаются квадратурными формулами Гаусса через решения СЛАУ (5.85)-(5.86)
①± (⑺=才52 卜厂 £d； (cЛ (exp (—法段; cos 夕)一1) tg 夕一
-U (黑")^P (-泳球) cosQ }• (5.95)
Численная реализация математической модели
Численный эксперимент, изложенный в [22, 94], дал возможность получить ДН рассеянного поля в дальней зоне для всех интересующих значений параметров. Ввиду большого числа результатов, приведем лишь некоторые из них, характеризующие в целом возможности построенной модели. Часть результатов приведена в [22]. На рисунках 5.3,q—5.10q приведены сечения рассмотренных систем тонких СП лент (СП материал-ниобий Nb) плоскостью YOZ, перпендикулярной ребрам с указанием направления падения плоской /Г-поляризованной волны. Обратим внимание на произвольность геометрии решетки.
На рисунках 5.3,6-5.10,6 в полярных координатах изображены соответствующие ДН рассеянного поля для указанных значений сверхпроводящего импеданса Zc и частоты / (численные значения Zc для различных частот / взяты из [44]). Частота / связана с волновым числом соотношением к = 2тг//с (все величины измеряются в системе единиц СИ). Полученные ДН для различных углов падения и длин волн полностью отвечают физическим представлениям о поведении рассеянного поля в дальней зоне, его зависимости от взаимного рас-
a
Рис. 5.3. а) Сечение сверхпроводящей ленточной решетки плоскостью YOZ.
6) Диаграмма направленности при / = 10 ГГц, Zc = 0,01 + 0,271。Ом
положения элементов СП решетки. Это является важным аргументом при оценке адекватности построенной дискретной модели исходной задаче дифракции. Сходимость вычислительного процесса зависит от соотношения между длиной падающего поля и геометрическими размерами СП решетки. Проследим эту зависимость на примере одной СП ленты. Введем безразмерный параметр х = %" где А — длина волны падающего поля, Z — ширина ленты. На рисунках 5.11-5.14 приведены ДН, полученные в результате наклонного падения (J = 45°) Я-поляризованной волны на уединенную ленту при различном количестве узлов квадратурной формулы. Частота падающей волны и импеданс Zc на всех четырех рисунках одинаковы, а параметр х меняется за счет изменения ширины ленты. Сплошными линиями изображены ДН, то есть те, которые не изменяются при дальнейшем увеличении узлов квадратурных формул. Из приведенных ДН можно сделать выводы, что для получения устойчивых результатов (с точностью 10-2) при 0 < х < 1 необходимо взять 6 узлов на отрезке, а при 1 < х < 2 —
〃Az
к\0 = 45°
—4—20235 см
Рис. 5.4. а) Сечение сверхпроводящей ленточной решетки плоскостью YOZ. 6) Диаграмма направленности при / = 10 ГГц, Zc = 0,01 + 0,271?' Ом
12 узлов, при 2 < х < 4 — 16 узлов, при 4cx < 8 — 26 узлов и т. д. В случае одной СП ленты количество узлов на ней совпадает с количеством решаемых уравнений. Численный эксперимент показал эффективность используемого метода в широком диапазоне физических параметров задачи и установил зависимость устойчивости численной схемы от параметра х в интересующем волновом диапазоне. Достоверность построенной дискретной модели проверялась также путем сравнения полученных результатов для случая идеально проводящих лент при одинаковых параметрах падающего поля и геометрии решетки. Задача дифракции электромагнитной волны на бесконечно тонкой идеально проводящей решетке исследовалась в [18] и сведена к СИУ с ядром Коши на системе интервалов (5.65) с дополнительными условиями (5.66) для случаев Е-поляризации и (5.67) Я-поляризации. Как показано в пункте 5.4.1, применение МДО для дискретизации СИУ в случае идеально проводящей решетки строго обосновано, а также существуют [21, 26, 30] оценки сходимости получаемого приближенного решения
Рис. 5.5. а) Сечение сверхпроводящей ленточной решетки плоскостью XOZ; 6) диаграмма направленности при / = 15 ГГц, Zc = 0,03 + 0,406? Ом
Рис. 5.6. а) Сечение сверхпроводящей ленточной решетки плоскостью XOZ\ 6) диаграмма направленности при / = 37,5 ГГц, Zc = 0,19 + 1,101? Ом
к решению исходной краевой задачи. Сравнительный эксперимент проводился для решеток из сверхпроводящих материалов с Zc, взятыми из [44]. Основные закономерности зависимости амплитуды рассеянного поля от угла наблюдения оказались общими и для сверхпроводящих и для идеально проводящих решеток. Лепестки диаграмм направленности для СП лент имеют меньшую длину, что связано с поглощением энергии в реальных материалах. Этот факт явно прослеживается в коротковолновом диапазоне (см. рис. 5.15-5.16), для остальных частот / = 10, 1560, для которых имелись данные по Zc это различие име-
Рис. 5.7. а) Сечение сверхпроводящей ленточной решетки плоскостью YОZ;
6) диаграмма направленности при / = 60 ГГц, Zc = 0,48 + 1,64。Ом
Рис. 5.8. а) Сечение сверхпроводящей ленточной решетки плоскостью YOZ;
6) диаграмма направленности при / = 100 ГГц, Zc = 1,34 + 2,76。Ом
ет место во втором, третьем знаке после запятой и не различимо графически. Выявленная близость ДН для идеальных и сверхпроводящих решеток есть факт в пользу достоверности построенной дискретной математической модели. При реализации дискретной математической модели преследовалась цель создания эффективных вычислительных алгоритмов. Так при вычислении коэффициентов СЛАУ кроме значений элементарных и «хорошо табулированных» специальных функций [58] возникает необходимость вычислять с достаточно высокой точностью медленно сходящиеся несобственные интегралы. В рассматривав-
Рис. 5.9. а) Сечение сверхпроводящей ленточной решетки плоскостью YOZ;6) Диаграмма направленности при / = 100 ГГц, Zc = 1,34 + 2.76。ОмРис. 5.9. а) Сечение сверхпроводящей ленточной решетки плоскостью YOZ;6) Диаграмма направленности при / = 100 ГГц, Zc = 1,34 + 2.76。ОмРис. 5.10. а) Сечение сверхпроводящей ленточной решетки плоскостью YОZ\ 6) диаграмма направленности при / = 150 ГГц, Z。= 3,01 + 4,00。ОмРис. 5.10. а) Сечение сверхпроводящей ленточной решетки плоскостью YОZ\ 6) диаграмма направленности при / = 150 ГГц, Z。= 3,01 + 4,00。Ом
Рис. 5.9. а) Сечение сверхпроводящей ленточной решетки плоскостью YOZ;
6) Диаграмма направленности при / = 100 ГГц, Zc = 1,34 + 2.76。Ом
Рис. 5.9. а) Сечение сверхпроводящей ленточной решетки плоскостью YOZ;
6) Диаграмма направленности при / = 100 ГГц, Zc = 1,34 + 2.76。Ом
Рис. 5.10. а) Сечение сверхпроводящей ленточной решетки плоскостью YОZ\ 6) диаграмма направленности при / = 150 ГГц, Z。= 3,01 + 4,00。Ом
Рис. 5.10. а) Сечение сверхпроводящей ленточной решетки плоскостью YОZ\ 6) диаграмма направленности при / = 150 ГГц, Z。= 3,01 + 4,00。Ом
мой задаче это относится к ядру
’(7(牛队 о’(7(牛队 о
’(7(牛队 о
’(7(牛队 о
Интегралы такого типа можно вычислять, используя процедуру «ускорения сходимости», возможности которой продемонстрируем на следу-
Рис. 5.11. Диаграмма направленности для одной сверхпроводящей ленты при * = 1, (/ = 60 ГГц, Zc = 0,48 + 1,64分).Пунктирная линия соответствует 冷=4, сплошная 冷=6, 1040
Рис. 5.12. Диаграмма направленности для одной сверхпроводящей ленты при * = 2, (/ = 60 ГГц, Zc = 0,48 + 1,64分).Пунктирная линия соответствует 冷=6, сплошная п = 12, 2040
Рис. 5.13. Диаграмма направленности для одной сверхпроводящей ленты при у = 4, (/ = 60 ГГц, Zc = 0,48 + 1,64分).Пунктирная линия соответствует п = 10, сплошная п = 16, 30,,40
Рис. 5.14. Диаграмма направленности для одной сверхпроводящей ленты при у = 8, (/ = 60 ГГц, Zc = 0,48 + 1,64分).Пунктирная линия соответствует п = 20, сплошная п = 26, 32,,40
ющем примере. Пусть вычислению
подлежит интеграл
Ко⑴=Т(А- 7(A))彳 > 0.
о
(5.96)
Рис. 5.15. Диаграмма направленности для одной сверхпроводящей ленты шириной 1 см, (/ = 100 ГГц, X = 3,33). Пунктирная линия соответствует идеально проводящей ленте, сплошная ——импедансной с
Zc = 1,34 + 2,76? Ом
Рис. 5.16. Диаграмма направленности для одной сверхпроводящей ленты шириной 1 см, (/ = 150 ГГц, X = 5). Пунктирная линия соответствует идеально проводящей ленте, сплошная ——импедансной с
Zc = 3,01+4,00? Ом
Представим его в виде
ко⑴=(X + "k2 一入2 )) E^£dX + (入-，入2 -к2 )) E^队
0k
Воспользуемся определением интегрального косинуса [70] и выразим через него интеграл
sin%sin%хх一e分⑴,一e分⑴,х > 0.х > 0.
sin%
sin%
х
х
一e分⑴,
一e分⑴,
х > 0.
х > 0.
Отсюда при х > 0 имеем
“л 、sin 力 тkx . т
片к0⑴片к0⑴H + г V (卜片)~ — * 丿 ~^dt + — sin kx — о
片к0⑴
片к0⑴
Ci (左片)+ b(t) sintdt,
гдегдетакое, что 7m > kx. Тогдатакое, что 7m > kx. Тогдаb(t) sin tdt =b(t) sin tdt =b ⑴ sin tdt + rn,b ⑴ sin tdt + rn,
где
где
такое, что 7m > kx. Тогда
такое, что 7m > kx. Тогда
b(t) sin tdt =
b(t) sin tdt =
b ⑴ sin tdt + rn,
b ⑴ sin tdt + rn,
а для rn имеет место оценка
7Г(?、+ I )< b(t)dt < —Jо7Г(?、+ I )< b(t)dt < —Jо
7Г(?、+ I )
< b(t)dt < —
Jо
7Г(?、+ I )
< b(t)dt < —
Jо
Дальнейшее «ускорение сходимости» несобственного интеграла, который приходится вычислять, может быть получено аналогично с использованием интегралов
l" sin 力
X2m") =■必，彳 > °, ?九 Q N,
которые вычисляются при т > 1 последовательно по формуле sin%cos%1
'= (2爲+ 1)%+ 2爲(2爲+ 1)2? - 2m(2m+ 1 产"，
Что касается вычисления значений элементарных и высших трансцендентных функций (тригонометрических, цилиндрических и др.), то используются формулы высокой точности, основанные на специальных разложениях этих функций по полиномам Чебышева, приведенные в [58]. Как показано в гл. 5, задачи дифракции Е- и Я-поляризованной волны на произвольной решетке, состоящей из конечного числа тонких СП лент сведены к краевым задачам для уравнения Гельмгольца с граничными условиями 3-го рода. Для этих краевых задач получены эквивалентные системы интегральных уравнений, состоящих из сингулярного интегрального уравнения с дополнительными условиями и интегрального уравнения Фредгольма второго рода. Полученные системы имеют одинаковый вид для Е- и Я-поляризаций и решаются аналогично. Для дискретизации систем интегральных уравнений пред-
ложена модификация метода дискретных особенностей, позволяющая единообразно с МДО дискретизировать СИУ, содержащее интеграл с переменным пределом интегрирования и уравнение Фредгольма второго рода. Для рассеянного поля в дальней зоне получены асимптотические формулы, позволившие провести физический анализ и дать практические рекомендации Случай идеально проводящей ленточной решетки (для которого применение метода дискретных особенностей обосновано) является предельным. Новый подход позволил исследовать задачи дифракции для различных параметров СП решетки и падающего поля, а численный эксперимент выявил зависимость сходимости вычислительного процесса от этих параметров. Исследованная физическая модель показала себя устойчивой, а также эффективной как в длинноволновом, так и резонансном диапазонах частот при различных материалах СП лент.
Глава 6
ДИФРАКЦИЯ И ИЗЛУЧЕНИЕИЗ ПЛОСКОГО ВОЛНОВОДАСО СВЕРХПРОВОДЯЩИМ ФЛАНЦЕМ
Введение
Задача о возбуждении полуограниченного плоского волновода с бесконечным идеально проводящим фланцем (и родственная ей задача об излучении из такого волновода) неоднократно привлекала к себе внимание [8, 12, 31, 48, 50, 60, 65, 83, 90]. Одно из первых ее решений получено в [90] спектральным методом с тригонометрическим базисом. Однако не удалось доказать применимость метода редукции для решения СЛАУ, к которой сводится задача. В [60, 65] для рассматриваемой геометрии выведены функциональные уравнения типа Винера-Хопфа, однако решение их не проведено. В [83] при помощи обобщенного метода вычетов задача сведена к интегральному уравнению, решаемому численно. В [8, 12] применительно к этим задачам развит обобщенный метод сшивания, основанный на методе факторизации в формулировке Джонса с выделением дополнительных областей. В частности, в [8] этим методом решена задача об излучении симметричной Я-поляризованной волны собственной волны плоского волновода. В [12] рассмотрена задача дифракции монохроматической волны магнитной поляризации для такого волновода. Использованный подход позволил авторам получить результаты в широком диапазоне частот в отличие от методов, использованных, например, в [60]. Задачи при этом сводятся к бесконечной системе уравнений, которая решается приближенно методом редукции. В [50] к задаче дифракции JJ-поляризованной волны на открытом конце волновода с фланцем применен спектральный подход и метод полуобращения. Получено строгое решение в виде бесконечной СЛАУ, решение которой методом редукции приводит к численным результатам. Все эти работы выполнены в предположении идеальной проводимости фланца и одноэлементности структуры. Отметим также, что ни один из использованных методов не предполагает обобщения на случай произвольного конечного числа
8 В. Ф. Кравченко
волноведущих каналов. Возможность такого обобщения присутствует в [31], где задача о возбуждении плоского волновода с бесконечным фланцем в строгой постановке в случае идеально проводящего фланца решена сведением [14, 15] к СИУ 1-го рода на отрезке с последующей его дискретизацией по методу дискретных особенностей [7, 16]. В настоящей главе на основании идей работы [31], а также [94] рассматривается задача дифракции электромагнитной волны на плоском волноводе с СП фланцем и родственная ей задача излучения из такого волновода. Исходные краевые задачи для уравнения Гельмгольца с граничными условиями 3-го рода на фланце сводятся к эквивалентным СИУ 1-го рода на отрезке. С помощью модификации МДО [21] строятся дискретные математические модели краевых задач, которые затем исследуются численным путем. Для различных параметров волноведущей структуры и материала фланца исследуются поведение рассеянного поля в дальней зоне и зависимость амплитуд его гармоник, прошедших волноведущий канал, от частоты падающей волны для различных углов падения J плоской волны.
На примере задачи дифракции Я-поляризованной волны демонстрируется возможность распространения используемого подхода без дополнительных аналитических выкладок на случай волноведущей структуры, состоящей из конечного числа произвольно расположенных волноведущих каналов с общим фланцем.
Задача дифракции на плоском волноводесо сверхпроводящим фланцем
Постановка задачи. Пусть на полуограниченный плоский волновод с СП фланцем (стенки волновода считаем идеально проводящими) наклонно (под углом J) падает плоская монохроматическая волна. Зависимость от времени дается множителем 厂心".Сечение волновода с фланцем плоскостью х =0, перпендикулярной ребрам, изображено на рис. 6.1.
Требуется найти поле, установившееся в результате рассеяния в свободном пространстве, и в щели. Ввиду регулярности структуры вдоль оси ОХ исходная векторная задача сводится к двум скалярным внешним краевым задачам для уравнения Гельмгольца, отвечающим случаям Е- и Я-поляризации. Для обеспечения единственности решения рассматриваемых краевых задач, как обычно, требуем, чтобы выполнялись условие излучения и условие на ребре прямого двугранного угла [37]. Пространственная часть падающего поля 〃пад(д,%) имеет вид
—ZCOS0), к = ц/с (6.1)
В отсутствие волноводного канала отраженное поле
Рис. 6.1. Сечение волновода со сверхпроводящим фланцем (夕 ——угол наклона падения волны)Рис. 6.1. Сечение волновода со сверхпроводящим фланцем (夕 ——угол наклона падения волны)
Рис. 6.1. Сечение волновода со сверхпроводящим фланцем (夕 ——угол наклона падения волны)
Рис. 6.1. Сечение волновода со сверхпроводящим фланцем (夕 ——угол наклона падения волны)
a%—2kz cos 6 +。0丁卩32kz cos 6a%—2kz cos 6 +。0丁卩32kz cos 6乜。TP = igsinO乜。TP = igsinOUo(y,z)=力1 A(g,z)Uo(y,z)=力1 A(g,z)Общее поле 〃o(g,z) в верхнем полупространстве +
a%—2kz cos 6 +。0丁卩32kz cos 6
a%—2kz cos 6 +。0丁卩32kz cos 6
乜。TP = igsinO
乜。TP = igsinO
Uo(y,z)=力1 A(g,z)
Uo(y,z)=力1 A(g,z)
(6.3) удовлетворяет условиям Гельмгольца
(6.4)(6.4)△〃o + k2u()= 0,% > 0, у R R.
(6.4)
(6.4)
При наличии волноводного канала полное поле и(у, %) представляется в виде
f u^y.z) +u+{y,z\ N > 0,f u^y.z) +u+{y,z\ N > 0,g е А,У Q (а, Ь),g е А,У Q (а, Ь),(6-5)(6-5)
f u^y.z) +u+{y,z\ N > 0,
f u^y.z) +u+{y,z\ N > 0,
g е А,
У Q (а, Ь),
g е А,
У Q (а, Ь),
(6-5)
(6-5)
где неизвестные функции u^(y, z} являются решениями уравнения Гельмгольца (6.4) в соответствующих областях. В раскрыве волновода должны выполняться условия сопряжения полей
〃o(g,O) +G(g,0)=厂®,。)， у е (а, Ь),(6.6)
ди(). ~ ди^ .小 ди~ / 小/，八小
万一(g, °) + 不一(и, °)=行一(и, °), g e (电 »•(6.7)
Вывод граничного интегрального уравнения в случае JJ-поляризации. Поле и()(у, %) (компонента Нх общего поля в отсутствие волноводного канала) удовлетворяет граничному условию на СП плоскости
4 + Aw = 0, 2 = 0, "R.(6.8)
OZ
IkcosO А °
Откуда Сиф =В рассматриваемом случае Я-поляри-
cos А
зации [37] А = iusZ, где е ——диэлектрическая проницаемость среды,
заполняющей полупространство % > 0; Z ——СП материал, из которого изготовлен фланец [3, 44, 59] (Здесь Im Z > 0, что соответствует поглощению энергии в среде фланца). В этом случае искомое скалярное поле 〃(д, %) есть компонента m(g,z) электромагнитного поля, установившегося в результате падения Я-поляризованной волны. Рассеянное поле и^(у, z) ищем в виде Фурье-представления
小®, %) = ] с+ (A) a“ezd入,% > °, g £ 足 (6.9)
где 7 (А) = \/入2 _ 卜2 . Условия излучения будут выполнены, если положить Re)》0, Im)< 0. Поле 〃—(g,z), удовлетворяющее условию Неймана на идеально проводящих стенках волноведущего канала, имеет вид
u~(y,z) = ^2 c~e1(Xn)z cos (Хп(у - а)),(6.10)
尤=二% < 0, у е Ь].
Граничное условие на фланце с учетом (6.8) следующее:
®, 0) +®, 0) = 0, g 艺(a, b) ■
Тогда, используя Фурье-представление (6.9), получаем
(Л^7(Д))с+ (А) егХус1Х = 0, у 艺(а, b).(6.11)
Подставив представления (6.9) и (6.10) в (6.6), имеем
；+оо
с+ (А) егХус1Х-工 с~ cos (%、(g — а)) = — w (д, 0), g е (а, Ь). (6.12)
—оо77=0
Из (6.6), (6.7), с учетом (6.8), находим
万丁(g, 0) + Au+ (g, 0) =(g, 0) + Аи~ (g, 0), g Q (a, b)
или в виде Фурье-представлений
(Л -7(А))с+ (А) егХус1Х =工(4 +)(尤))索 cos (尤® — а)),
-ОО
У е (а, Ь).
Сведем полученные интегро-суммарные уравнения (6.11)—(6.13) к СИУ на отрезке. Следуя [15, 16], введем в рассмотрение функцию F(y), у Е R по формуле
F{y}=X(X)e?4A,F{y}=X(X)e?4A,(6.14)(6.14)
F{y}=X(X)e?4A,
F{y}=X(X)e?4A,
(6.14)
(6.14)
гдеХ(А) = (Л^7(А))с+ (А).
Искомая функция F(y) обладает следующими свойствами:
F®) =0, У ^ (а, Ь) в силу (6.11);
F(g) Q 厶2 (а, b) (в силу условия на ребре прямого двугранного угла).
Из определения и свойства а) функции F(g) находим
ъ
1(
X (А) = — F^e-^cl^, АеЯ(6.15)
Z7T J
1 Г
с+(Х)= 1F^e-^d^ Лея. (6.16) А - 7 (А) 27Г J
Согласно (6.13) имеет следующее представление функции F(g), у Е 6 (а, Ь):
F(g)= £х?2 cos (А„ {у — а)), у 6 (а, Ь),(6.17)
где Хп = (Л. + 7 (Л?7)) сп .
Искомые коэффициенты Фурье-гармоник выражаются через F(g), у e (电
ъ
X0 =厂F (，代
；(6.18)
f
К? =cos(A„ « - a))<, ne N.
Для искомых коэффициентов имеем
11 f
Cq = —- F ⑹代
° A —kb — а、»、
n е ^.n е ^.12 「
n е ^.
n е ^.
w…f® C°S (元恋,
Граничное интегральное уравнение (6.12) имеет логарифмическую особенность в ядре. Переходя к СИУ, продифференцируем уравнение (6.12) и зафиксируем его в одной (произвольной) точке у()интервала (а, Ь). Тогда
% е (а, ь),% е (а, ь),Ac+ (A) eUydA + 工 Xnc~ sin (%® - a)) = /"®), U G (a, b), 72=0
% е (а, ь),
% е (а, ь),
С+ (A) e"*dX — £ W cos (%(勿—a)) = /(%),
где /®) = — 〃о(д,О)・
В новых обозначениях
4
+ 52 /；；（、）$山（％® — °））=广®）， U+ 52 /；；（、）$山（％® — °））=广®）， U(电力(6.20)(电力(6.20)x（x）4一7（入）x（x）4一7（入）^ХуЧХ^ХуЧХ
+ 52 /；；（、）$山（％® — °））=广®）， U
+ 52 /；；（、）$山（％® — °））=广®）， U
(电力(6.20)
(电力(6.20)
x（x）4一7（入）
x（x）4一7（入）
^ХуЧХ
^ХуЧХ
cos (尤(％ — a)) = /(go),cos (尤(％ — a)) = /(go),У^М，(6.21)У^М，(6.21)+°° V 4 + 7 (元)
cos (尤(％ — a)) = /(go),
cos (尤(％ — a)) = /(go),
У^М，(6.21)
У^М，(6.21)
?2=U，、/
Переходя к выводу СИУ, перепишем уравнение (6.20) в следующем виде:
i [(А) егЛ^Аi [(А) егЛ^А1111/-7（入）+闵/-7（入）+闵X (А) "(А —X (А) "(А —
i [(А) егЛ^А
i [(А) егЛ^А
1
1
1
1
/-7（入）+闵
/-7（入）+闵
X (А) "(А —
X (А) "(А —
—^2 X?Q sin (A„ (g — a))—
£ (/+：；X)- 1) Xzsin (尤(g —a)) = — f(g), gQ (a, b).
…(6.22)
Преобразуем в отдельности каждое слагаемое в левой части равенства (6.22). Для первого интеграла используем параметрическое представ-
ление преобразования Гильберта с ядром Коши [4, 95, 96]. Учитывая свойство а) функции F(g), получаем
(6.23)(6.23)(А) е〃切入=-[
(6.23)
(6.23)
J |А|7Г J < -у
Используя представление (6.15), и, изменяя порядок интегрирования, получаем представление для второго слагаемого в (6.22)
b
=-F®K\&y)d& ge(a,b), (6.24) 7Г ,
К1^ = \Х{а^Тх)К1^ = \Х{а^Тх)sin (X (и — Q)队sin (X (и — Q)队где
К1^ = \Х{а^Тх)
К1^ = \Х{а^Тх)
sin (X (и — Q)队
sin (X (и — Q)队
+
о
Преобразуем ряды в левой части равенства (6.22), следуя [18, 19].
Используя преобразование Гильберта Н с ядром котангенс для четной функции, будем иметь G(^)
я :丄2(0, а) Т 丄2(0, а):
穴居—У> _十产(£ + У — 2а) 2(Ь-а) -С 目 2(6 —а)穴居—У> _十产(£ + У — 2а) 2(Ь-а) -С 目 2(6 —а)ъ
穴居—У> _十产(£ + У — 2а) 2(Ь-а) -С 目 2(6 —а)
穴居—У> _十产(£ + У — 2а) 2(Ь-а) -С 目 2(6 —а)
1 「 (…=l回
。(6.25)
Учитывая, что в %2 преобразование Н имеет вид,
+ оо+оо
£Xn cos(Xn(g - а)) т £Xn sin (Ап (у - а)),
п=0п=0
получаем для первой суммы в (6.22) следующее выражение:
-£Хп $й1(ХДд - а))= п=0
ъ1 b — а ,ъ1 b — а ,F (§) sinF (§) sin
ъ
1 b — а ,
ъ
1 b — а ,
F (§) sin
F (§) sin
Для получения интегрального представления второй суммы в (6.22), подставим вместо коэффициентов их представления (6.18) и поменяем порядок суммирования и интегрирования. Окончательно имеем
—£(▲+；(尤)T)「/sin(儿В)=
ъ
F^Ko^yWC У^М，(6.27)
Здесь введено обозначение
К?&у)=
= ■工(4 丄、— О (sin(Xn(g —g)) — siii(X4g + g —2а))).
С учетом (6.23) — (6.27) уравнение (6.22) принимает вид
1b — a1b — a3 — a)3 — a)cos (г^^ 匂-a) ) - coscos (г^^ 匂-a) ) - cos-—7 dg +-—7 dg +
1
b — a
1
b — a
3 — a)
3 — a)
cos (г^^ 匂-a) ) - cos
cos (г^^ 匂-a) ) - cos
-—7 dg +
-—7 dg +
+ |рш^(ел)< = -/,ы, (6.28)
где К (§, g) = Ki (£, g) + K2 (W, g)・
Для выделения единственного решения полученного СИУ имеем дополнительное условие (6.21), которое преобразуем следующим образом. Подставлям выражение (6.15) для X (А) и (6.18) для Х„ .После некоторых преобразований получим
ь
(6.29)(6.29):]f (£) Q (£, go) < = /(加),
(6.29)
(6.29)
где Q (w,次)=Q (w,%)+ Q2 低,%),
Qi (£,次)=Qi (£,次)=ооcos（X（§ —加）），一（入）cos（X（§ —加）），一（入）dA,dA,Q2低,%)=Q2低,%)=7Гb — a7Гb — a1A — ik^1A — ik^+E+E114+公)4+公)（cos （尤低一次））+ cos （尤低 + 加一2a）））（cos （尤低一次））+ cos （尤低 + 加一2a）））
Qi (£,次)=
Qi (£,次)=
о
о
cos（X（§ —加）），一（入）
cos（X（§ —加）），一（入）
dA,
dA,
Q2低,%)=
Q2低,%)=
7Г
b — a
7Г
b — a
1
A — ik^
1
A — ik^
+E
+E
1
1
4+公)
4+公)
（cos （尤低一次））+ cos （尤低 + 加一2a）））
（cos （尤低一次））+ cos （尤低 + 加一2a）））
В «ядре» Q\ （§, уq） выделим слагаемое, содержащее 1л |§ —加|. Используя интегральное представление Мелера-Сонина для функции Неймана нулевого индекса и положительного аргумента [5]
一 /、2 f cosxt ,
с > О,с > О,J KT此
с > О,
с > О,
1
и учитывая, что согласно [70]
1оИ = ^{ln（^） +с} JoH +1оИ = ^{ln（^） +с} JoH +2 + —7Г2 + —7Г①/4『I2丿（2!『十①/4『I2丿（2!『十11（川/4丿2十3丿（3!）2 +•••（川/4丿2十3丿（3!）2 +•••
1оИ = ^{ln（^） +с} JoH +
1оИ = ^{ln（^） +с} JoH +
2 + —
7Г
2 + —
7Г
①/4『I
2丿（2!『十
①/4『I
2丿（2!『十
1
1
（川/4丿
2十3丿（3!）2 +•••
（川/4丿
2十3丿（3!）2 +•••
где С = 0,5772 ... —— постояннаягде С = 0,5772 ... —— постояннаяЭйлера,Эйлера,
где С = 0,5772 ... —— постоянная
где С = 0,5772 ... —— постоянная
Эйлера,
Эйлера,
（%2/4）2（%2/4）2（2!『（2!『++（川/4）（川/4）（3!『（3!『33
（%2/4）2
（%2/4）2
（2!『
（2!『
+
+
（川/4）
（川/4）
（3!『
（3!『
3
3
Qi （£，加）перепишем в виде
Qi （£,次）=in l£ —加I + ⑺（£, go）,
где
f COS （ktт11 1 I
⑺（£，加）= —:…•••小 + 5〉o（k|§ —加I） — hi |§ —加I +
+ Icos-yo））dt
Для выделения «логарифмического слагаемого» в «ядре» Q? （§,до） воспользуемся известным [5] рядом
Е
+°° cosnx[с I I с
=—In j2sin — I， 0 < |x| < 2тг.
Тогда Qo （§,加）представимо в следующем виде:
Q2 （£,次）=In If —加| + 0 （£, go）,
гдегде
где
где
]cos (尤(g + 加—2a))
4一/气=]4+ 7(元)
+°°11
in 2sin—加))
Окончательное выражение для Q\ (§,加)запишем так
Q(£，go) =21п|§ —加| +% (§,go) +Q2 (£,加)，
где %(§,加)，该(£,加)一регулярные функции. Это представление позволяет при дискретизации дополнительного условия использовать интерполяционные квадратуры высшей алгебраической точности. Таким образом, краевая задача дифракции /f-поляризованной волны на полуограниченном волноводе с идеально проводящими стенками и бесконечным СП фланцем сведена к отысканию функции F(g), удовлетворяющей СИУ (6.28) с дополнительным условием (6.29).
6.1.3. Вывод граничного интегрального уравнения в случае Е^-поляризации. Поле и^у, 2)(компонента Ех(у, %) общего поля в отсутствие волноводного канала) удовлетворяет граничному условию на СП плоскости
屮 + 8〃о = 0, 2=0, у J R.(6.30)
OZ'
Откуда
ik cos в + 8
В случае В-поляризации 8 = iu^/Z, где 〃 ——магнитная проницаемость полупространства над фланцем (z > 0), Z — поверхностный импеданс материала фланца (ImZ > 0). Искомое скалярное поле 〃(沙，z) (6.5) есть компонента 石片(g,z) установившегося электромагнитного поля. Рассеянное поле и+(у, 2)ищем в виде Фурье-представления
〃+(g, 2)= с+ (A) etXy^^zdX, 2 > 0, yjR, (6.31)
где 7 (А)=，入2 _ 依,а из условий излучения Re)》0, Im)< 0.
Рассеянное поле 〃—(g,z), удовлетворяющее условию Дирихле на идеально проводящих стенках волноведущего канала, представляется в виде
u~(y,z) = ^2sin (Ап (у - а)),(6.32)
п=0
= , neN, 2 < 0, а,
Действуя как и в случае Я-поляризации, из граничного условия на фланце (6.30) и условий сопряжения полей в раскрыве волновода (6.6), (6.7) получаем следующую систему интегро-сумматорных уравнений:
(8 — 7 (А))с+ (А) е〃5Х = 0, g 艺(а, b),(6.33)
с+ (A) ^XydX- ^2 cn sin (Л« (у= — 〃0(д,。)， У е (а, ь),
(6.34)
(В-7(Л))с+ (А) е〃切X = £ (5 + 7 (尤))W sin (尤仅一а)),
(6.35)
У e d b) •
Используя подход, предложенный в [16, 18], введем в рассмотрение новую неизвестную функцию F(g) 6 Lo^R)
F{y) =X 6心d入 у w R,(6.36)
где
X(A) = (B-7(A))c+ (A).
Искомая функция F(g) обладает следующими свойствами:
F(g) = 0, g 艺(а, b) в силу (6.33);
F^ е 丄2 (а, Ь) (в силу условия на ребре прямого двугранного угла).
Используя формулу обращения преобразования Фурье и свойство а) функции F®), находим
ъ
X С)=二 卜(£)ЛЕЯ(6.37)
и, соответственно,
ъ
11 г
(X)= R£ 代 лея. (6.38)
Согласно (6.35) имеет место следующее представление функции F(y), b)：+
F(U)=工 X sin (入/и — a)), у Q (a, b).(6.39)
n=0
Здесь
Xn = (8 + 7 (尤))
Искомые коэффициенты Фурье-гармоник выражаются через новую F(g), у е (а, Ь) по формуле
ъ
2 f
ХЛ =-—— f(f)五11(尤(f —田)延，n g N. (6.40)
и
_12 f
=五"二一7…\: X—— f(£)Sm(尤(f —公)/， n e N. (6.41)
Переходя к выводу СИУ, как и в случае Я-поляризации, продифференцируем интегро-сумматорное уравнение (6.34) и зафиксируем его в одной (произвольной) точке уо интервала (а,Ь). Обозначим /®) = — “о ®，°)・
+ сю
分 Ас+ (A) ^XydX - ^2 Anc^ cos (Ап (у - а))=尸匂)，у е (а, Ь),
с+ (A) e"u°dX — £ W sin (尤(加一а)) = /(加)，yo Q (a, b), или в новых обозначениях
АХ (А) 8-7(入)АХ (А) 8-7(入)++8 + 7 (元)8 + 7 (元)cosCn® —a)) =/"(g),cosCn® —a)) =/"(g),y",b), (6.42)y",b), (6.42)ezXydX +
АХ (А) 8-7(入)
АХ (А) 8-7(入)
+
+
8 + 7 (元)
8 + 7 (元)
cosCn® —a)) =/"(g),
cosCn® —a)) =/"(g),
y",b), (6.42)
y",b), (6.42)
+ оом-sin (尤(加一а)) =/(次),+ оом-sin (尤(加一а)) =/(次),次 Q(a,b). (6.43)次 Q(a,b). (6.43)Для вывода СИУ перепишем уравнение (6.42) в следующем виде:Для вывода СИУ перепишем уравнение (6.42) в следующем виде:zz々X (A) ^XydX —々X (A) ^XydX —Т аТ а11Х(Х)е〃5Х +Х(Х)е〃5Х +
+ оом
-sin (尤(加一а)) =/(次),
+ оом
-sin (尤(加一а)) =/(次),
次 Q(a,b). (6.43)
次 Q(a,b). (6.43)
Для вывода СИУ перепишем уравнение (6.42) в следующем виде:
Для вывода СИУ перепишем уравнение (6.42) в следующем виде:
z
z
々X (A) ^XydX —
々X (A) ^XydX —
Т а
Т а
1
1
Х(Х)е〃5Х +
Х(Х)е〃5Х +
+ ^2 Xn cos (А„ (у — а)) +п=0
(6.44)(6.44)
(6.44)
(6.44)
Первый интеграл в левой части последнего равенства совпадает с преобразованием Гильберта функции F(g). Так как F^ = 0, g 艺(а, Ь), то
(6.45)(6.45)
(6.45)
(6.45)
Второй интеграл преобразуем, подставляя выражение для X (А), А е Л и изменяя порядок интегрирования
гА ( ° 1X ^XydX =
”7(Х)|Х| 丿「
ъ
F(GM(W,g)d§, а (6.46)
где
о
Используя преобразование Гильберта с ядром котангенс (6.25), получим интегральное представление для первого ряда в левой части (6.44)
〉:Хп cos (/\气(д — а))= п=0
b — ab — aF('亙11 ( Г^ 匂—°)F('亙11 ( Г^ 匂—°)(6.47)(一)(6.47)(一)
b — a
b — a
F('亙11 ( Г^ 匂—°)
F('亙11 ( Г^ 匂—°)
(6.47)
(一)
(6.47)
(一)
Вторую сумму в (6.44) преобразуем, подставляя выражения для Х„, и, изменяя порядок суммирования, а также интегрирования
^C^^y —l)xzos(尤仅—а))=
ъ1、7Г .ъ1、7Г .F^Ko^yWC UG(a,b), (6.48)F^Ko^yWC UG(a,b), (6.48)
ъ
1、
7Г .
ъ
1、
7Г .
F^Ko^yWC UG(a,b), (6.48)
F^Ko^yWC UG(a,b), (6.48)
где
№ (W,g)=
二匕 2 (^kl -1) 5П (з(一))+ sm (尤- 2叫).
Тогда окончательно имеем СИУ
1b — а1b — а
1
b — а
1
b — а
b
1 f
+ - F®K&y)d£ = T" (6.49)
7Г .
где К (§, g) = K} (^ g) + K2 (§, g)・
Как и в случае Я-поляризации, дополнительному условию (6.43) можно придать вид
ъ
-F (DQ 代,y4d£ = /(%),
7Г
где Q^,yo) = 21n|^ -уо| +Q1 (€ло) +@ (£,加)，
+ ! ｛声Кт + Зт卜。丸
入、 тг 皆 cos (尤(§ + 加一2а))
Icos (尤(£ —加))+
I [b-aB +n]
£ 一加
Отметим, что полученное в случае ^-поляризации СИУ с дополнительным условием (6.49)-(6.50) имеет тот же вид, что и СИУ с дополнительным условием для случая /Г-поляризации (6.28)—(6.29). Различия содержатся только в регулярных «ядрах» К (§, go), Q (§, уq) и функции /(g), определяемой падающей волной. Предельным случаем для задачи дифракции электромагнитной волны на полуограниченном волноводе с СП фланцем является задача дифракции на волноводе с идеально проводящим фланцем, решенная в [31] методом граничных интегральных уравнений. Если положить в случае /Г-поляризации 4 = 0 (при Z — 0), то СИУ (6.28) с дополнительным условием (6.29) переходит в СИУ с дополнительным условием, к которым в [31] сведена задача дифракции Я-поляризованной волны на волноводе с идеально проводящим фланцем. А в случае ^-поляризации предельный переход Z「сю (8 = 0) переводит СИУ (6.49) с дополнительным условием (6.50) в СИУ с дополнительным условием, полученным в [31] для задачи дифракции Е-поляризованной волны на волноводе с идеально проводящим фланцем.
Задача излучения из плоского волноводасо сверхпроводящим фланцем
2.1. Постановка задачи. На рис. 6.2 изображено сечение по- луограниченного волновода с фланцем плоскостью YOZ, перпендикулярной ребрам. Изучается излучение из этого волновода плоской монохроматической волны (зависимость от времени 心*).
Рис. 6.2. Сечение волновода со сверхпроводящим фланцемРис. 6.2. Сечение волновода со сверхпроводящим фланцем
Рис. 6.2. Сечение волновода со сверхпроводящим фланцем
Рис. 6.2. Сечение волновода со сверхпроводящим фланцем
Как и в случае задачи дифракции, для нахождения рассеянного поля в свободном пространстве и дифрагированного поля в волноведущем канале решаются внешние краевые задачи для уравнения Гельмгольца, отвечающие случаям Е- и /f-поляризации. Для обеспечения единственности решения рассматриваемых краевых задач, как обычно, требуем, чтобы выполнялись условие излучения и условие на ребре прямого двугранного угла [37].
Полное поле 〃(沙，z) удовлетворяет уравнению Гельмгольца
(6.51)(6.51)△〃@,2)+ к2〃(g,2)= 0, к = ш/e
(6.51)
(6.51)
〃仅，z)=〃仅，z)=в области {а < у < b, z Q} U {—сю < у < oq, z > Q}. Стенки волновода предполагаются идеально проводящими. Пусть волновод с фланцем возбуждается одной из собственных волн 〃黑口(g,z). Тогда полное поле ищем в виде
〃仅，z)=
〃仅，z)=
〃+®，2)， -ОО <у < +ОО, 2>0,
〃累口®,2)®,2), а <у <Ь,2 < 0,'
где добавки и+{у, 2), и~(у, z) удовлетворяют уравнению Гельмгольца (6.51) в соответствующих подобластях. Для того чтобы полное поле удовлетворяло уравнению (6.51) в основной области, должны выполняться условия сопряжения в раскрыве волновода
〃+(д,0)= 〃限(д,0) +〃—(д,0),у 6 (а, Ь),(6.53)
^7®，°)= /(и，°)+ ^7®，°)，У е(°，Ь)•(б・54)
Вывод граничного интегрального уравнения в случае Н-поляризации. В случае /f-поляризации скалярное поле 〃(沙，z) есть компонента Hx(y,z) электромагнитного поля, Ну = Hz =0. Излучаемая собственная волна имеет вид
и 嘗(у, z) = Dm exp —端 cos (Xm(y — a)),(6.55)
Ат = 7гт/(Ь — а), Ат < к, а < у < Ь, % W 0.
Для искомых полей имеем Фурье-представления
u+{y,z) = ] с+ {X)e1Xy^^zdX, —сю < у < +сю, % > 0,(6.56)
(д,%) = £區3乂尢"*0$ (入几(у — а» , а <у <Ь,% W 0,(6.57)
п=0
入几=7гп/(Ь — а), 7 (А) = \/Х2 — к2 , причем, в соответствии с условиями излучения, Re7 ^ 0, 1m)< 0. Рассеянное поле и^(у, z) удовлетворяет импедансному граничному условию на поверхности фланца
+Au+(y,z), % = 0, у (а,Ь),(6.58)
где комплексный коэффициент А тот же, что и в задаче дифракции Я-поляризованной волны. Из (6.53)-(6.54) имеем
-^-(д,。) + Аи+(у, 0) = -^-(д, 0) + Аи~(у, 0) Н—^~(，°)+
+ Аи^(у,0), ge(a, b). (6.59)
Используя представления полей (6.55), (6.56), (6.57), перепишем условия (6.53), (6.58), (6.60) в терминах Фурье-представлений
(4 — 7 (А)) с+(А) ezXydX = 0, у w R\ (а, Ь).(6.60)
；+ОО
с+ (А) егХу6А-^с~ cos(A„(i/ - а))=
几=0
=Dm cos (Хт(у -a)), gQ(a, b), (6.61)
(4 — 7 (А)) с+ 6) e^dX — £ (4 + 7 (%)) с； cos (%® — а))=
—几=0
=(А —7 (Am)) Dm COS (Ат® — а)), де(а, Ь). (6.62)
Сведем полученные интегро-сумматорные уравнения (6.60)-(6.62) к сингулярному интегральному уравнению на отрезке. Следуя [15, 16] и [95, 96], введем в рассмотрение функцию F(y), g Q А по формуле
F(y) = X (A)eiXydA, у W R, (6.63)
где
Х(А) = (Л-7(А))с+(А).
Искомая функция F(y) обладает следующими свойствами:
F(y) =0, у Q 兄\(电 Ь);
F(y) е 厶2 (а, Ь) (в силу условия на ребре прямого двугранного угла).
Из определения и свойства а) функция F{y) находим
ъ
1 г
Х(А) = — F ⑹ 3-〃£恋，АеЯ.(6.64)
Согласно (6.62) имеет место следующее представление функции F(y), У e (电6)：
= £x,zcos(%z(g — у е (а, Ь),(6.65)
где
X,z = (4+)(%))при п т,
Хц =(工4 + 7 (入т )) Jn + (/4 — 7 (》m )) Dm при п = ш.
Все неизвестные коэффициенты Фурье-гармоник выражаются через F(y), у е (а, Ь) по формулам
ъ
1 「x0 = ^一 F ®恋，
b — a j
；(6.66)
х几cos(An (<-a)X， n e N.
Отсюда получаем искомые коэффициенты
ь
11f
CO = 7——Y ^«) <при m/0,
1「A + ik
CO = 7——7 F «)恋一7 А при m = О,
Ь — a A — ik ]A — ik
ъ
1「
= 7——F(£)cos(%(£ — a))d£ при n ^ т,
ъ
1 Г
Ст = 7j~Г F (£) COS (，m (^~а))^~
- 丁一77-—Дппри п = т.
(6.67)
Заменим уравнение (6.61) эквивалентными ему уравнением и дополнительным условием
i Хс+(X) e""dX + ^2 入几с^ $山(入几(Р — °0)
=—Xm sin (/Xm (g — а)), у 6 (a, b),
c+0…办_c+0…办_工區 cos (An(1/0 - a)) n—0工區 cos (An(1/0 - a)) n—0=Dm cos (/\m (go — a)),=Dm cos (/\m (go — a)),加 G (a,b),加 G (a,b),
c+0…办_
c+0…办_
工區 cos (An(1/0 - a)) n—0
工區 cos (An(1/0 - a)) n—0
=Dm cos (/\m (go — a)),
=Dm cos (/\m (go — a)),
加 G (a,b),
加 G (a,b),
go произвольная фиксированная точка интервала (a, b). Тогда
ii4 — 7 (入)4 — 7 (入)eXydx +eXydx +4 + )(%)4 + )(%)X6)4 —7(X)X6)4 —7(X)-E-Esin(%(g - a)) = f(g),sin(%(g - a)) = f(g),cos(%z(g()- a)) = /(次),cos(%z(g()- a)) = /(次),ge(a, b), (6.68)ge(a, b), (6.68)加£(电 b). (6.69)加£(电 b). (6.69)
i
i
4 — 7 (入)
4 — 7 (入)
eXydx +
eXydx +
4 + )(%)
4 + )(%)
X6)
4 —7(X)
X6)
4 —7(X)
-E
-E
sin(%(g - a)) = f(g),
sin(%(g - a)) = f(g),
cos(%z(g()- a)) = /(次),
cos(%z(g()- a)) = /(次),
ge(a, b), (6.68)
ge(a, b), (6.68)
加£(电 b). (6.69)
加£(电 b). (6.69)
Здесь введена функция 以у) = 20m7 (入m)cos (入m ® 一砌"(4 + 7 6m))-
Полученное уравнение (6.68) с дополнительным условием (6.69) имеет тот же вид, что и (6.20) с дополнительным условием (6.21) для задачи дифракции Я-поляризованной волны с отличием лишь в правых частях, зависящих от падающего (излучаемого) поля.
6.2.3. Вывод граничного интегрального уравнения в случае
-поляризации. В случае Е-поляризации скалярное поле и(у, z) есть компонента Е^у, %) электромагнитного поля, Еу = Ez = 0. Излучаемая собственная волна имеет вид
= Dm exp 卜仆2 —嶋 %) cos(》m(g - 砌)，(6.70)
Am = 7rm/(b — а), Ат < к, а < у < Ь, % < 0.
Для искомых полей и±(у, z) имеем Фурье-представления
и*(у,= с+ (A) ezXy~7^zdA, —сю < у < +сю, % > 0, (6.71)
「У, %) = £%3乂'""S山(入汽® 一砌)，а <у <ь, % W 0, (6.72) п=0
入几=7гп/(Ь — а), 7 (А)=，入2 —后2 , ПрИчем? в соответствии с условиями излучения, Re7 ^ 0, Im)< 0. Рассеянное поле 〃+(д, %) удовлетворяет импедансному граничному условию на поверхности фланца
万-+8〃+(g,%), z = 0, g 艺(а, ",(6.73)
где комплексный коэффициент 8 тот же, что и в задаче дифракции Е-поляризованной волны. Из (6.53)-(6.54) имеем
万〃+0u~6〃""貝
卞一(g, 0) + Bu+(y, 0) = -——(g, 0) + Bu (g, 0) Н0) +
~~+ Bu^(y,Q), >e(a,b). (6.74)
Используя представления полей (6.70), (6.71), (6.72), перепишем условия (6.53), (6.73), (6.74) в терминах Фурье-представлений
(8 — 7 (А)) с+(А)=0, у Q R\ (а, Ь),(6.75)
с+ (A) e1XydX-工 с~ sin (Хп(у - а» п=0
=Dm sin(Am(i/ - а)), де(а, b), (6.76)
(8 — 7 (А)) с+ (А) 3丿％入一£ (8 + 7 (尤))с~ sin (尤(g — a))=
一 ОО
=(8—7(Xm))OmSin(》m(g —а)), У J a% . (6.77)
Сведем полученные интегро-сумматорные уравнения (6.75)-(6.77) к сингулярному интегральному уравнению на отрезке. Согласно [15, 16] и [95, 96], введем в рассмотрение функцию F(y), у е Л по формуле
F(g) = X (\yXydX, у Q R,(6.78)
где
Х(Х) = (8 —7 ⑴М ⑴.
Искомая функция F(y) обладает следующими свойствами:
F(g) =0, у Е R\ (а, Ь);
F(g) е 厶2 (a, b) (в силу условия на ребре прямого двугранного угла). Из определения и свойства а) функции F(y) находим
ъ
Х(А) = — F ⑹ 3-办£恋，Хе В.(6.79)
Согласно (6.77) имеет место следующее представление функции F(y), У Q ")：
F(y) = £ X几 sin (入z(g — a)), у Q (a, b),(6.80)
n=0
где
X?q = (8 + 7 (An)) cnпри n # ш,
Xr = (8 + 7) ) Cm + (8 — 7 (》m ) ) Dm ПрИ 72 = ТП.
Все неизвестные коэффициенты Фурье-гармоник выражаются через F(y), у е (а, Ь) по формулам
ъ
2 「
х 几=Е F ® sin (% (£ —ne N. (6.81)
Отсюда получаем искомые коэффициенты
ъ
21f
= 7——F^ sin(An«-a)X при n ^ m,
21f(6.82)
Cm = 7r,、 F «) sin (%n « - a)) < -
- k—nРИ n =
Заменим уравнение (6.76) эквивалентными ему уравнением и дополнительным условием
% Ас+ (A) eiXydX -工 Хпс~ cos (尤(g - a))= -00n=0
DmXm cos (Am(у — a)), g Q (电 b),
c+⑴尸黨公一工小in （尤（现-a））=
-00几=°
=Dm sin(ATO(i/o — a)), 加 G (a, b).
go — произвольная фиксированная точка интервала (a, b). Отсюда
z j AX (A)
-工石…d—大—;cos (%® - a))=尸(g), у e (a, b), (6.83)
X(X)8 — 7 (A)X(X)8 — 7 (A)-E-EX几b + 7(入几)X几b + 7(入几)sin (An(i/o - a)) = /(次),sin (An(i/o - a)) = /(次),%e(a,b). (6.84)%e(a,b). (6.84)
X(X)8 — 7 (A)
X(X)8 — 7 (A)
-E
-E
X几b + 7(入几)
X几b + 7(入几)
sin (An(i/o - a)) = /(次),
sin (An(i/o - a)) = /(次),
%e(a,b). (6.84)
%e(a,b). (6.84)
Здесь введена функция
/(g) = 2D Cm) Sin Cm (g - a))/(B + 7 (入⑺)).
Полученное уравнение (6.83) с дополнительным условием (6.84) совпадает с аналогичным ему уравнением (6.42) с дополнительным условием (6.43) для задачи дифракции Е-поляризованной волны с отличием лишь в правых частях, зависящих от падающего (излучаемого) поля.
Дискретная математическая модель на базе МДО
Рассмотренные задачи дифракции на плоском волноводе с импедансным фланцем и излучения из такого волновода сведены к сингулярным интегральным уравнениям с дополнительными условиями, которые имеют одинаковый общий вид и отличаются лишь функциями правых частей /(g) и регулярными ядрами Q2 (£, Уо) и 42(8^0) в случаях Е- и /f-поляризаций. Поэтому дискретизацию во всех рассматриваемых случаях проводим одинаково по схеме метода дискретных особенностей, описанной в гл. 5 (при m = 1, что соответствует одному отрезку).
Функция F (О ищется в классе функций, представимых в виде
а < ^ < Ь,а < ^ < Ь,
а < ^ < Ь,
а < ^ < Ь,
где м(£) — непрерывная по Гельдеру при £ е [а, 〃. Для значений в узловых точках полиномиального приближения м" (£) функции м(£), а < ^ <Ь имеем СЛАУ
+ k (貫，у力卜严(貫)=一尸(沙)，J -1,
:工(—In I。4 “ + 2 工1(У0)) + Qi (С Ло) +
+ Q2 (貫,次))炉(号)=/ (次)，0• (6.85)
СЛАУ (6.85) содержит п уравнений относительно п неизвестных vn (£/), 2 = 1,..., п. Здесь п — выбранное количество точек дискретизации на (а, Ь) для функции м(£). Приближенные значения искомых комплексных амплитуд гармоник, распространяющихся в волноводе, вы-
ражаются непосредственно через решения СЛАУ (6.85) с использованием гауссовых квадратур. Для задачи дифракции /Г-поляризованной волны из (6.19) имеем
2=1
121 n
wE 工炉(専)cos ®"・
Для задачи дифракции Е-поляризованной волны из (6.41) 11 п
區Е工炉(置)sin (尤(等一砌).
Для задачи излучения Я-поляризованной волны из (6.67)
= ——T_*炉(£;)при m / 0,
и b — а А — ik п 乙二 ”
増=(肾)一при 6 = 0,(6.86)
и b — а А —侏 п 乙二 \ А-гк
С； = 74 丄 с£с严 C)cos(3(實 _甸)при n m,
& b a / + 7 (尤)^工"(8)c。s(3 (置—甸)—
「一不nРИ П =
Для задачи излучения В-поляризованной волны из (6.82) имеем
С； = 7^г)^(Хп(С ^а)) ПРИ
W旺 Ю Sin(% К —GL (6・87)
Приближенное значение функции с+ (А), определяющей поведение поля в полупространстве над фланцем, также выражается через ре-
шение СЛАУ (6.85). Вшение СЛАУ (6.85). Вдифракции и излучениядифракции и излученияслучае /f-поляризации одинаково для задачслучае /f-поляризации одинаково для задач(из (6.16))(из (6.16))11 九11 九В случае В-поляризации также излучения (из (6.38))В случае В-поляризации также излучения (из (6.38))одинаково для задач дифракции иодинаково для задач дифракции ис+ (А) ус+ (А) у118 —7(入)五118 —7(入)五г= 1г= 1
шение СЛАУ (6.85). В
шение СЛАУ (6.85). В
дифракции и излучения
дифракции и излучения
случае /f-поляризации одинаково для задач
случае /f-поляризации одинаково для задач
(из (6.16))
(из (6.16))
11 九
11 九
В случае В-поляризации также излучения (из (6.38))
В случае В-поляризации также излучения (из (6.38))
одинаково для задач дифракции и
одинаково для задач дифракции и
с+ (А) у
с+ (А) у
11
8 —7(入)五
11
8 —7(入)五
г= 1
г= 1
Асимптотическая формула для расчета поляв дальней зоне
По полученному приближенному значению функции с+ (А) построим на примере задач дифракции и излучения Е-поляризованной волны диаграмму направленности (ДН) рассеянного поля в дальней зоне. Представление для поля в произвольной точке (до,%о) полупространства над фланцем &)имеет вид
ОО
и+(уз z0) = c+(X)elXyQ-^ZQdX, % > 0, у w R.
Перейдя к полярным координатам go = R cos 99, zo = i? sin 夕，где 夕一 угол между r(go,%o) — радиус-вектором точки (go,%o) и положительным направлением оси OY, получим
小(足⑺=I c+^XReos^-^X)Rsin^dX(6.88)
Можно показать, что для больших Ан 夕：Ь< 夕 <тг — 6(6 — сколь угодно малое положительное число)
к
小(足⑺ 〜[c+(A)e^(AcO&^+V^&in^dA>(6.89)
五TOO J
— к
Последовательные замены переменных X = kt, t = cost приводят (6.89) к виду
小(А,夕)五〜 №五cos(L/)c+ (kcosT/sinWr. (6.90) о
Применяя метод стационарной фазы [42], получаем асимптотику по 2? т сю для 〃+(/?,夕)
小（A,夕）小（A,夕）r2(A；五一Тг/4)— -①(夕),五—a\/kRr2(A；五一Тг/4)— -①(夕),五—a\/kR(6.91)(6.91)
小（A,夕）
小（A,夕）
r2(A；五一Тг/4)
— -①(夕),
五—a\/kR
r2(A；五一Тг/4)
— -①(夕),
五—a\/kR
(6.91)
(6.91)
где ①(夕)—ДН рассеянного поля в дальней зоне, выражающая зависимость амплитуды поля на бесконечности от угла наблюдения
ъ
①(夕)=岳 kc+(k cos ⑺ sin 夕=夕 [F ® cos 衣恋.
V2tt 8 + 泳sni夕 J
a(6.92)
Приближенные значения Ф (夕)легко выражаются квадратурными формулами Гаусса через решения СЛАУ (6.85)
ФПИ Л а：?夕」丈炉
V 2 5 + 2ksm 夕 n 占
Для задач дифракции и излучения ДН отличаются тем, что используемые для получения приближенных значений диаграмм vn (£?) являются решениями СЛАУ (6.85) с различными правыми частями, соответствующими задачам дифракции и излучения. В случае Я-поляризации ДН вычисляется по этой же формуле с заменой комплексной переменной В на А и с учетом, что м几(£『)——решения СЛАУ (6.85) с функциями К2 (^, уо), @(£,加)，f(y), соответствующими случаю Я-поляризации.
Обобщение математической модели на случайконечного числа волноведущих каналов
Постановка задачи и вывод системы СИУ. Использованный для решения задач дифракции и излучения на волноводе с фланцем подход может быть применен для решения этих задач на волноведущей структуре, состоящей из конечного числа m волноведущих каналов произвольной ширины и взаимного расположения с общим импедансным фланцем. Сечение такой структуры изображено на рис. 6.3.
Продемонстрируем эту возможность на примере задачи дифракции Я-поляризованной волны. Пусть на описанную выше структуру (стенки волноводов считаем идеально проводящими) наклонно (под углом 3) падает плоская монохроматическая волна. Зависимость от времени дается множителем L3t. Пространственная часть компоненты Нх обозначается 屮以》%) и задается представлением
ипа^у, %) = С询№(gsine —ZCOS8),片二公儿 (6.93)
Рис. 6.3. Сечение системы волноводов с общим фланцемРис. 6.3. Сечение системы волноводов с общим фланцем
Рис. 6.3. Сечение системы волноводов с общим фланцем
Рис. 6.3. Сечение системы волноводов с общим фланцем
Требуется найти поле, установившееся в результате рассеяния в свободном пространстве, и дифрагированное поле в каналах. Для обеспечения единственности решения рассматриваемых краевых задач потребуем, чтобы выполнялись условие излучения и условие на ребре прямого двугранного угла [37]. В отсутствие волноводных каналов отраженное поле имеет вид
〃°TPQ，n = з >0. (6.94)
Общее поле и()(у, з) в верхнем полупространстве
Uo(y, 3)Uo(y, 3)……е2kg sin 6е2kg sin 6(Cna%-2kz cos 8 + ℃)тре2kz cos(Cna%-2kz cos 8 + ℃)тре2kz cos(6.95)(6.95)
Uo(y, 3)
Uo(y, 3)
…
…
е2kg sin 6
е2kg sin 6
(Cna%-2kz cos 8 + ℃)тре2kz cos
(Cna%-2kz cos 8 + ℃)тре2kz cos
(6.95)
(6.95)
удовлетворяет условиям Гельмгольца
(6.96)(6.96)△w + k'uo = 0,% > 0, у R R.
(6.96)
(6.96)
Для выполнения граничного условия на импедансной плоскости [37]
—И 4〃о = 0, OZ—И 4〃о = 0, OZ% = 0, у е R,% = 0, у е R,(6.97)(6.97)
—И 4〃о = 0, OZ
—И 4〃о = 0, OZ
% = 0, у е R,
% = 0, у е R,
(6.97)
(6.97)
положим О°тр = Спад-——--, где А = weZ (ImZ > 0). zk cos 夕 + A
При наличии волноведущих каналов полное поле и(у, з) (компонента H«y,z) электромагнитного поля, установившегося в результате падения Я-поляризованной волны) представляется в виде
(u^y.z) ^rU+{y,z\ 3 > 0, у R R,
宀(6・98)
где введено обозначение
L = ^J Lq, Lq = (cig, bq ^),—ос <czi <仇 <.*.< a??% < Ьщ < +ос*
Неизвестные функции 〃士 (g,z) являются решениями уравнения Гельмгольца (6.96) в соответствующих областях. В раскрыве волновода должны выполняться условия сопряжения полей
W)(g,。)+G(g,。)=(g,。)， у W L,(6.99)
空仅(6.100)
Рассеянное поле 〃+(g,z) ищем в виде Фурье-представления
G(g,%)= с+ {X)ezXy-^x}zdX,胃 >0, у eR, (6.101)
где 7 (А)= "火 — N . Условия излучения будут выполнены, если положить Re 7》0, Im 7 < 0. Обозначим сужения функции 〃—(g,z) на Lq, удовлетворяющие условиям Неймана на идеально проводящих стенках волноведущих каналов, 〃^(g, z\ у е Lq. Для них имеем представления
и%yfc/CQ” cos(M(y - dq)),(6.102)
7ГПbq — а。7ГПbq — а。n e {0, 1,2...}, 3 < 0, у e [ag,bg] , qn e {0, 1,2...}, 3 < 0, у e [ag,bg] , q1,..., m.1,..., m.
7ГП
bq — а。
7ГП
bq — а。
n e {0, 1,2...}, 3 < 0, у e [ag,bg] , q
n e {0, 1,2...}, 3 < 0, у e [ag,bg] , q
1,..., m.
1,..., m.
Граничное условие на фланце, с учетом (6.97), имеет вид
9M+
— (у^^Аи^^у^^О, yeCL = R\L.
Откуда, используя Фурье-представление (6.101), получаем
(4 - 7 (А)) с+ (А) егЛ^А = 0, у е CL. (6.103)
Подставив представления (6.101) и (6.102) в (6.99), имеем
]e) d，yd入-e唸? cos (%П(g -旬))=-w (g, 0), e 104) -oon=0
g G Lq, 4 = 1,772.
Тогда из (6.99), (6.100), с учетом (6.97), находим
(д, 0) + Аи+ Q, 0) = —— (у, 0) + Аи~ Q, 0), у е L OZOZ
или в терминах Фурье-представлений
卞+оо
(4 —，(》))с+ (A) ^dX = £(/ + ,(%??))唸？ cos (儿九3 —询))，
У e {aq,bq), Q = 1,,m. (6.105)
Сведем полученные интегро-сумматорные уравнения (6.103)-(6.105) к системе сингулярных интегральных уравнений. Согласно [15, 16] и [95, 96], введем в рассмотрение функцию FQ), у е R по формуле
FQ) = X (Х)е〃5入 у G R,(6.106)
где
Х(Х) = (4 —，(Х))с+ (А).
Искомая функция F(y) обладает следующими свойствами:
FQ) = 0, у ^ L в силу (6.11);
F(g) Q 厶2 (а。， Ьд), q = 1,, m (в силу условия на ребре прямого двугранного угла).
Из определения и свойства а) функции FQ) находим
г
Х(А) = — F^e^x"dC(6.107)
и11 г
。+ С) =5(6.108)
4 — 7 (А) /7Г J
工
Следуя (6.105), имеют место представления для сужений Fq^ функции FQ) на Lq, q = 1,.,巾，
Fq(y) = ^2 Xqn cos (Xqn(y — a。))， g Q 0, q =「..，”，(6.109)
где Xqn = (A + 7 (%??)) c^n.
Все искомые коэффициенты Фурье-гармоник выражаются через Fq(y), У е bq)
bq
XqO = --- Fq (§) *,
2 M(6.110)
Xqn = -Fq (§) COS (%九(£ 一 d§,
aq
n e N, q = 1,..., m.
Для искомых коэффициентов имеем следующие соотношения:
bq
с。。= 1 j Fq (£) d§, A — ik bq - aq J
]2 7(6」1 D
Cqn = "TVV КFq (£) COS (入qn (£ — a。)) "£,
n e N, q = 1,..., m.
Сводя систему граничных интегральных уравнений (6.104) к сингулярным уравнениям, продифференцируем каждое из них и зафиксируем каждое из уравнений в произвольной точке yqQ его области определения Lq
ггХХ(Х) 〃—辞 \n^qnХХ(Х) 〃—辞 \n^qnsin （%?/д 一询））sin （%?/д 一询））尸(g), у 6 (aq,bq),尸(g), у 6 (aq,bq),(6.112)(6.112)
г
г
ХХ(Х) 〃—辞 \n^qn
ХХ(Х) 〃—辞 \n^qn
sin （%?/д 一询））
sin （%?/д 一询））
尸(g), у 6 (aq,bq),
尸(g), у 6 (aq,bq),
(6.112)
(6.112)
Д— 工7 cos (%九(寿0 -=
-oou
=/(北 0)，寿0g(з，仇)，(6.113)
где /(g) = —UQ(y, 0). Получили систему m интегральных уравнений с дополнительными условиями, каждое из которых того же вида, что и уравнение (6.20) с дополнительным условием (6.21) для задачи дифракции Я-поляризованной волны на одном волноводе с фланцем. Действуя с каждым уравнением и дополнительным условием системы (6.113)-(6.114) в точности по схеме, примененной в п. 6.1.2 к уравнению (6.20) с дополнительным условием (6.21), получим систему СИУ с дополнительными условиями
bq
Г
+ — Fq9Kq&y)d£ = —『g, n"q,bq), (6.114) 7Г ,
bq
Г
—Fg (9 Qq & 寿 0)〃£ = —fSqQ，yqG ㊂(旬，％)，(6.H5)
7Г , aq
К (£, g) = Ki (S, g) + K2 (£, y),
Ki (£，g) =sin (A (g — 9)办
0
(совпадает с ядром K\ & g) из n. 6.1.2), a
K2q &g)K2q &g)XX7r1
K2q &g)
K2q &g)
X
X
bq - aq 九=o + 7 (%n)
X (sin (%П(£ — g)) — sin (%П(£ + g - 2询)))，
Qq (w,北0)= 2hl 1£ - yqo\ +pi (£,北0)+也2 (£,爲0),
Pi (£,加)= —.~^山 + 5k)(к 1£ —加I) — hl 1£ —加I +
о
+ J ｛々二―1 +；^=т卜。sWd。))"
(совпадает с ядром % & g) из п.6.1.2), а
Pq2 (£,寿0)Pq2 (£,寿0)7Г7Гj+ооj+ооcos (%九(£ + 寿0 -2旬))1 +cos (%九(£ + 寿0 -2旬))1 +++1П1ПА — ik ^^А — ik ^^cos (Ag„ (£ —寿о)) +cos (Ag„ (£ —寿о)) ++ In+ In2shi (2(%一з)2shi (2(%一з)(£ -北0)(£ -北0)£ 一北0£ 一北0
Pq2 (£,寿0)
Pq2 (£,寿0)
7Г
7Г
j+оо
j+оо
cos (%九(£ + 寿0 -2旬))1 +
cos (%九(£ + 寿0 -2旬))1 +
+
+
1
П
1
П
А — ik ^^
А — ik ^^
cos (Ag„ (£ —寿о)) +
cos (Ag„ (£ —寿о)) +
+ In
+ In
2shi (2(%一з)
2shi (2(%一з)
(£ -北0)
(£ -北0)
£ 一北0
£ 一北0
6.5.2. Дискретная математическая модель в случае m волноведущих каналов. Исходя из общей схемы МДО, описанной в гл. 5 сужения функции F{y) на Lq ищутся в виде
У w Lq,У w Lq,
У w Lq,
У w Lq,
где 工％@) — непрерывны по Гельдеру на Lq. Дискретизируя поочередно каждое уравнение системы (6.114) с его дополнительным условием (6.115), как СИУ с дополнительным условием (6.28)-(6.29) в п. 6.3., получим СЛАУ относительно значений в узловых точках полиномиальных приближений и『(§) функций Uq(§), aq < § < 仇，q = 1,..., m
J £ （―山也勺^ + 2 £（个）（g『（薪,0）） + Pl （Сг，薪,0）+
+ P2 （宓,^,0））叩鳳；）=/ （寿,0）,仔=（6.116）
СЛАУ (6.116) содержит щ + 刀电 + • • • + пт = п уравнений относительно п неизвестных и£" (§：；), ?' = 1,...,『切，q = Здесь nq — выбранное количество точек дискретизации на Lq =仇,仇)для функции и。®. Приближенные значения искомых комплексных амплитуд гармоник, распространяющихся в волноводах, выражаются непосредственно через решения СЛАУ (6.116) с использованием гауссовых квадратур
С9° ~ A-ikbq-йдЩ У 喈'&力
脸 ~ A + 7 (Agn) Ьд-адЩ^ 哈 俄;)cos 鳳;一询)).
Приближенное значение функции с+ (А), определяющей поведение поля в полупространстве над фланцем, также выражается через решение СЛАУ (6.116) (из (6.108))
I m 1 Пe+(х卜」^e击£啥5)L壮
6.6. Численный эксперимент и анализ результатов
Численный эксперимент, реализованный для случая одного волновода с фланцем, показал широкие возможности применения предложенной математической модели для различных физических характеристик задачи.
Приведем результаты, соответствующие задаче дифракции Я-по- ляризованной волны. На рис. 6.4. представлены графики зависимости квадратов модулей амплитуд гармоник поля, прошедшего в волновод-
Рис. 6.4. Зависимость квадратов модулей амплитуд гармоник поля, прошедшего в волноводный канал для задачи дифракции К-поляризованной волны. Здесь идеально проводящий фланец (Z = 0);——сверхпроводящий фланец (Zc = =3,01 + 4,0г Ом, / = 150 ГГц); и) ортогональное падение 夕=0° (для СП фланца сотр = 0,984); 6) наклонное падение 0 = 45° (для СП фланца сотр = =0,977)
9 В. Ф. Кравченко
Рис. 6.5. Зависимость квадратов модулей амплитуд гармоник поля, прошедшего в волноводный канал для задачи дифракции К-поляризованной волны Здесь идеально проводящий фланец (Z = 0);——сверхпроводящий фланец (Z = =20 + 21г Ом, / = 60 ГГц); а) ортогональное падение 夕=0° (для СП фланца сотр = 0,899); 6) наклонное падение 0 = 45° (для СП фланца сотр = 0,861)
ный канал от безразмерного параметра ж = (k(b — а))/тг. Сплошная линия соответствует указанным характеристикам для случая фланца из сверхпроводящего материала ниобия, у которого Zc = 3,01 + 4,001г Ом при частоте падающего поля / = 150 ГГц. Значения сверхпроводящего импеданса взяты из работы В. Ф. Кравченко, Р. Г. Тютюкина [44]. Для сравнения пунктиром показаны соответствующие характеристики для идеально проводящего фланца. Рис. 6.4, а соответствует ортогональному падению волны ^ = 0° и в этом случае |сотр| = 0,984 по сравнению |спад| = 1. Рис. 6.4, 6 — наклонному падению волны 3 = 45° и в этом случае |сотр| = 0,977 по сравнению с |спад| = 1. На рисунках 6.5, а и 6.5, 6 изображены графики этих зависимостей для фланца с характеристиками материала Z = 20,01 + 21,001г Ом при частоте падающего поля / = 60 ГГц. Из-за отсутствия экспериментальных данных по импедансу реальных металлов были использованы завышенные значения сверхпроводящего импеданса. Для сравнения пунктиром показаны соответствующие характеристики идеально проводящего фланца. Рисунок 6.5, q соответствует ортогональному падению волны и в этом слу-
Рис. 6.6. График зависимости 匕2『от ж для различных значений проводимости материала фланца (夕=0°):——Z = 0;Z = 3,01 + 4,0г Ом, / = 150 ГГц; Z = 20 + 21?： Ом, / = 60 ГГц
Рис. 6.7. Графики зависимости |со|2 от ж для идеально проводящего фланца (夕=45°) при различных п-узлах квадратурных формул на отрезке (а, 6): 77 = 6； 77 = 10； 77 = 16, 3 0,4 0
чае |сотр| = 0,899 по сравнению с |спад| = 1. Рисунок 6.5,6 — наклонному падению волны 3 = 45° и в этом случае |сотр| = 0,861 по сравнению с |спад| = 1. Для получения результатов в резонансном диапазоне со стабилизацией двух знаков после запятой с ростом ж увеличивалось количество узлов квадратурных формул на интервале (а, Ь), а для 史=6 это число п равнялось 16 в случае идеально проводящего фланца и п = 32 для сверхроводящего материала. Численный эксперимент показал, что для учета поглощения в материале требуется увеличение узлов дискретизации по сравнению с аналогичной задачей для идеально проводящего фланца. Так, например, графики на рисунках 6.4. и 6.5. получены при п = 32. Наличие резонансных пиков, отвечающих целочисленным значениям ж, объясняется «включением» гармоник с соответствующими номерами в суммарное поле, прошедшее внутрь волновода. Из физических соображений при ортогональном падении волны гармоники с нечетными номерами для случая /f-поляризации падающей волны
Рис. 6.8. Диаграмма направленности при 史=1. Здесь и далее рассматриваетсязадача дифракции К-поляризованной волны. Рисунок под буквой и) соответ-ствует ортогональному падению волны 夕=0°; под буквой 6) — наклонномупадению 0 = 45°. Здесьидеально проводящий фланец (Z = 0);——сверх-проводящий фланец (Zc = 3,01 + 4,0г Ом, / = 150 ГГц);фланец схарактеристиками материала Z = 20 + 21?： Ом, / = 60 ГГц
Рис. 6.9. Диаграмма направленности при 史=2Рис. 6.9. Диаграмма направленности при 史=2Рис. 6.10. Диаграмма направленности при ж = 3Рис. 6.10. Диаграмма направленности при ж = 3
Рис. 6.9. Диаграмма направленности при 史=2
Рис. 6.9. Диаграмма направленности при 史=2
Рис. 6.10. Диаграмма направленности при ж = 3
Рис. 6.10. Диаграмма направленности при ж = 3
отсутствуют. Построенная математическая модель отражает этот факт (рис.6.4, Q, 6.5, а). Вычисление коэффициентов нечетных гармоник дает ноль с точностью 10-6. С увеличением поглощения в материале фланца высота резонансных пиков уменьшается, что отчетливо продемонстрировано на рис.6.6. на примере |с2|2 для ортогонального падения волны. На рис. 6.7. продемонстрирован процесс сходимости вычислительного
Рис. 6.12. Диаграмма направленности при 史=5
процесса при увеличении порядка аппроксимации на примере графиков коэффициента |со|2 для наклонного падения /f-поляризованной волны для различного числа n-узлов квадратурных формул на отрезке (а, Ь). Этот график показывает, что предлагаемая вычислительная схема эффективна в резонансном диапазоне. На рисунках 6.8-6.13 приведены ДН Ф„ (夕)рассеянного поля в дальней зоне, вычисленные с помощью асимптотических формул, полученных в п.6.4. Рисунки 6.8,q—6.13,q соответствуют ортогональному падению волны, а 6.8, 6—6.13, 6 углу на-
Рис. 6.14. Частотная зависимость модулей коэффициентов возбуждения собственных волн для задачи излучения К-поляризованной волны из волновода с идеально проводящим фланцем
клона J = 45°. На каждом рисунке мелким пунктиром изображена ДН для идеально проводящего фланца; сплошной линией — для фланца из сверхпроводящего материала (Zc = 3,01 + 4,001? Ом при частоте падающего поля / = 150 ГГц, сотр = 0,984 при ^ = 0° и сотр = 0,977
Рис. 6.15. Частотная зависимость модулей коэффициентов возбуждения собственных волн для задачи излучения Н-поляризованной волны из волновода с идеально проводящим фланцем
Рис. 6.16. Частотная зависимость фаз коэффициентов возбуждения собственных волн для задачи излучения К-поляризованной волны из волновода с идеально проводящим фланцем:——arg (со) — тг;arg (сз)；arg(С4) — тг
при 3 = 45°); крупным пунктиром — для фланца из материала с характеристиками Zc = 20,0 + 21,01。Ом при частоте падающего поля / = 60 ГГц, (сотр = 0,899 при 3 = 0° и сотр = 0,861 при 3 = 45°). С уменьшением проводимости материала заметно уменьшение лепестков ДН. При ж = 4 в случае ортогонального падения наблюдается обратный эффект: ДН для идеально проводящего фланца оказалась вложенной в ДН для случаев конечной проводимости, что находится в соответствии с графиками амплитуд гармоник поля (рис.6.4, а, 6.5,о), где при этом значении параметра ж графики для импедансного фланца имеют всплеск. Отметим также, что при увеличении поглощения энергии в материале имеет место эффект «выдавления» лепестков ДН. Для проверки правильности построения математической модели проводилось сравнение результатов с полученными другими методами. Так для задачи излучения /f-поляризованной волны из
волновода с фланцем (Н『А = е*”) были построены частотные зависимости модуля (рис. 6.14, 6.15) и фазы (рис. 6.16) коэффициентов отражения со основной волны, а также коэффициентов возбуждения С2 и <?4 распространяющихся собственных волн от ж/2 = (Ь —а)/2. Для случая идеально проводящего фланца наблюдается графическое совпадение с аналогичными зависимостями, приведенными в работе Г. В. Воскресенского и С. М. Журава [8], где решения ищутся методом факторизации с выделением дополнительных областей.
Таким образом, построены математические модели задач дифракции плоской электромагнитной волны (В- и /f-поляризации) на полуогра- ниченном волноводе с импедансным фланцем и излучения из такого волновода. Соответствующие краевые задачи для уравнения Гельмгольца сведены к эквивалентным СИУ 1-го рода на отрезке с использованием параметрических представлений преобразования Гильберта на всей оси и сингулярного интегрального оператора Гильберта для периодических функций. Во всех рассмотренных задачах сведение к СИУ проводилось по единой схеме, а полученные интегральные уравнения имеют одинаковый вид для задач дифракции и излучения волн обеих поляризаций. С помощью модификации МДО, предложенной в [21], построены дискретные математические модели указанных задач. На примере задачи дифракции /f-поляризованной волны использованный метод математического моделирования обобщен на случай произвольной конечной системы волноведущих каналов с общим фланцем.
Построенные математические модели были опробованы в численном эксперименте. Исследовались поведение рассеянного поля в дальней зоне и зависимость амплитуд гармоник поля, прошедшего в волноведущий канал, от частоты падающей волны для различных параметров волноведушей структуры, материала фланца, углов падения J плоской волны. Полученные численные результаты соответствуют физическим представлениям о поведении этих характеристик. В предельном случае идеальной проводимости фланца модель дает результаты, совпадающие с [8, 12, 31]. Численный эксперимент показал устойчивость предложенных моделей в широком диапазоне физических параметров задачи, а также эффективность в длинноволновом и резонансном диапазонах при различной проводимости материала фланца.
Список литературы к главам 5-6
Агранович 3. С., Марченко В. А., Шестопалов В. П. Дифракция электромагнитных волн на плоских металлических решетках // ЖТФ. 1962. Т. 32, №4. С. 381-394.
Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. — М.: Наука, 1978.
Андрусенко А. М., Богомолов Л. С., Кравченко В. Ф., Менде Ф. Ф. О взаимодействии электромагнитных волн со сверхпроводниками и анализе характеристик сверхпроводящих волноводов в СВЧ-диапазоне // Радиотехника и электроника. 1979. Т. 24, №6. С. 1078—1084.
Ахиезер Н. И. Лекции об интегральных преобразованиях. — Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1984.
Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции: Пер. с англ. В 2 т. - М.: Наука, 1966. Т. 2.
Белоцерковский С. М. Тонкая несущая поверхность в дозвуковом потоке газа. — М.: Наука, 1965.
Белоцерковский С. М., Лифанов И. К. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях. — М.: Наука, 1985.
Воскресенский Г. В., Журав С. 7И. Излучение из плоского волновода с фланцем // Радиотехника и электроника. 1976. Т. 21, № 7. С. 1390—1395.
Вычислительные методы в электродинамике / Под ред. Р. Миттры.— М.: Мир, 1977.
Габдулхаев Б. Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач. —Казань: Изд-во Каз. ун-та, 1980.
Галашникова Т."., Ильинский А. С. Численные методы в задачах дифракции. —М.: Изд-во МГУ, 1987.
Галстъян Е. А., Горностаева О. В. Дифракция плоской монохроматической волны магнитной поляризации на полуограниченном плоском волноводе с бесконечным фланцем // Радиотехника и электроника. 1991. Т. 36, вып. 5. С. 849—856.
Гандель Ю. В. К вопросу о решении одного класса парных уравнений математической физики. Харьков, университет. 1980. Деп. в ВИНИТИ 13.04.81, № 1659—81.
Гандель Ю. В. О парных рядах Фурье некоторых смешанных краевых задач математической физики. Теория функций, функциональный анализ и их приложения. — Харьков: Вища школа, 1982. Вып. 38. С. 16—18.
Гандель Ю. В. О парных интегральных уравнениях, приводящих к сингулярному интегральному уравнению на системе отрезков. Теория функций, функциональный анализ и их прил.——Харьков: Вища школа, 1983. Вып. 40. С. 33-36.
Гандель Ю. В. Метод дискретных особенностей в задачах электродинамики // Вопросы кибернетики. — М.: Изд. АН СССР. 1986, №124. С. 166-183.
Гандель Ю. В. Математическое моделирование методом дискретных особенностей в теории полосковых линий передачи // В кн.: Тезисы докладов V Всесоюзного симпозиума «Метод дискретных особенностей в задачах математической физики». Одесса, 1991. Т. 4.1. С. 57—58.
Ганделъ Ю. В. Парные сумматорные и сингулярные интегральные уравнения в задачах дифракции: теория и численные методи: Дис. д-ра физ.-мат. наук. Харьков: ХГУ, 1994.
Ганделъ Ю. В. Параметрические представления сингулярных интегральных преобразований и краевые задачи математической физики. Нелинейные краевые задачи математической физики и их прил. Сб. научн. трудов. — Киев: НАН Украины, 1995. С. 65-66.
Ганделъ Ю. В., Душкин В.Д., Загинайлов Г. Я. Новый численно-аналитический подход в теории возбуждения сверхразмерных электродинамических структур // Электромагнитные волны и электронные системы, 1996. Т. 1, №1. С. 38-48.
Ганделъ Ю. В., Еременко С.В., Полянская Т. С. Математические вопросы метода дискретных токов. Обоснование численного метода дискретных особенностей решения двумерных задач дифракции электромагнитных волн: Учебное пособие. Ч. 2. — Харьков: Изд. ХГУ, 1992.
Ганделъ Ю. В., Кравченко В. Ф., Пустовойт ВИ. Рассеяние электромагнитных волн тонкой сверхпроводящей лентой // ДАН. 1996. Т. 351, № 4. С. 57-63.
Ганделъ Ю. В., Кравченко В. Ф., Морозова Н. Я. Дифракция электромагнитных волн на решетке из тонких сверхпроводящих лент // Электромагнитные волны и электронные системы. 1997. Т. 2, № 1. С. 14—26.
Ганделъ Ю. В., Лифанов И. К., Матвеев А. Ф. Численное решение смешанных краевых задач математической физики, сводящихся к сингулярному интегральному уравнению на системе отрезков. Препринт. Ин-т теоретической и ядерной физики. М., 984. № 174.
Ганделъ Ю. В., Лифанов И. К. О приложении идей метода дискретных вихрей к задачам электродинамики. Научно-методические материалы по численным методам. М.: ВВИА им. Н. Е.Жуковского, 1985. С. 3—13.
Ганделъ Ю. В., Лифанов И. К., Полянская Т. С. К обоснованию метода дискретных особенностей в двумерных задачах дифракции // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31, № 9. С. 1536-1541.
Ганделъ Ю. В., Морозова Я. Я., Шульга Б. А. Математическая модель для вычисления собственных значений некоторых смешанных краевых задач теории колебаний. Харьков, университет. 1993, Деп. в УкрИНТЭИ 10.01.93, N 451-Ук93.
Ганделъ Ю. В., Морозова Я. Я. Математические модели дифракции электромагнитных волн на плоском волноводе с импедансным фланцем. Харьков, университет. 1995, Деп. в ГНТБ Украины 28.02.95, №537-Ук95.
Ганделъ Ю. В., Морозова Н. Н. Математическая модель для вычисления собственных частот круговой мембраны, закрепленной по части границы. Интегральные преобразования и их применение к краевым задачам математической физики: Сб. научн. трудов. Киев: НАН Украины, 1995. Вып. 10. С. 152-163.
Ганделъ Ю. В., Полянская ТС Математические вопросы метода дискретных зарядов. Учебное пособие. 4.1. Харьков: Изд. ХГУ, 1991.
Ганделъ Ю. В., Сидельников Г. 〃. Математические модели для численного анализа дифракции на плоском волноводе с бесконечным фланцем // ЖТФ. 1995. Т. 65, вып. 7. С. 143—153.
Градштейн И. С., Рыжик И. И. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. — М.: Наука, 1971.
Дмитриев В. И., Захаров Е. В. Интегральные уравнения в краевых задачах электродинамики: Учеб, пособие. — М.: Изд-во Моск, ун-та, 1987.
Ерофеенко В. Т., Кравченко В. Ф., Пустовойт В. И. О структуре электромагнитного поля магнитного диполя на сверхпроводящем тонком диске // ДАН. 1995. Т. 344, №2. С. 168—171.
Захаров Е. В., Пименов Ю. В. Численный анализ дифракции.——М.: Радио и связь, 1982.
Захаров Е. В., Пименов Ю. В. Численный анализ дифракции электромагнитных волн на идеально проводящих экранах. — М.: Изд. ИРЭ АН СССР, 1984. Препринт №23(395).
Ильинский А. С., Кравцов В. В., , Свешников А. Г. Математические модели электродинамики.——М.: Высш, шк., 1991.
Ильинский А. С., Слепян Г.Я. Колебания и волны в электродинамических системах с потерями.——М: Изд-во Моск, ун-та, 1983.
Ильинский А. С., Шестопалов Ю. В. Применение методов спектральной теории в задачах распространения волн. — М.: Изд-во МГУ, 1989.
Книшевская Л., Шугуров В. Анализ микрополосковых линий. — Вильнюс: Мокслас, 1985.
Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния. Пер с англ. — М.: Мир, 1987.
Копсон Э. Асимптотические разложения. Пер. с англ.——М.: Мир, 1966.
Кравченко В.⑦.Рассеяние электромагнитных волн сверхпроводящим цилиндром // ДАН. 1993. Т. 328, №2. С. 178-180.
Кравченко В. Ф., Тютюкин Р. Г. Новый метод определения электродинамических характеристик сверхпроводящего диска, возбуждаемого электрическим диполем // Радиотехника. 1997, № 2. С. 8—16.
Кравченко В. Ф., Ерофеенко В. Т. Рассеяние электромагнитных волн на двух сверхпроводящих лентах // Электромагнитные волны и электронные системы. 1996. Т. 1, №1. С.4ТЗ.
Кравченко В. Ф., Рвачев В. Л., Чаплин А. Ф. Электромагнитное поле сверхпроводящих антенных решеток // ДАН. 1993. Т. 333, № 6. С. 725-726.
Курант Р., Гильберт Д. Методы математической физики. Пер с нем. В 2 т. — М.: Гостехиздат, 1951. Т. 1.
Левин Л. Теория волноводов. — М.: Радио и связь, 1981.
Литвиненко Л. //., Просвирник С. Л. Спектральные операторы рассеяния в задачах дифракции на плоских экранах. — Киев: Наукова думка, 1984.
Литвиненко Л. Я., Просвирник С. Л. Дифракция на плоском волноводе с фланцем // ДАН УССР, сер. А. 1986, №11. С. 57—61.
Лифанов И. К. О сингулярных интегральных уравнениях с одномерными и кратными интегралами типа Коши // ДАН. 1978. Т. 239, № 2. С. 265-268.
Лифанов И. К. О методе дискретных вихрей // ПММ. 1979. Т. 43, № 1. С. 184-188.
Лифанов Я. К. О численном решении сингулярных интегральных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1981. Т. 17, № 12.
Лифанов //. К. Численное решение одномерных сингулярных интегральных уравнений // Дифференциальные уравнения. 1984. Т. 20, № 1. С. 68-73.
Лифанов Я. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент. М.: ТОО «Янус», 1995.
Лифанов И. К., Матвеев А.⑦.О сингулярном интегральном уравнении на системе отрезков // Теория функций, функцией, анализ и их прил. 1983. Вып.40. С. 104^110.
Лифанов И. К., Тыртышников Е. Е. Теплицевы матрицы и сингулярные интегральные уравнения // Сб.: Вычислительные процессы и системы. Под ред. Марчука Г. И. - М.: Наука, 1990. Вып.7. С. 94—273.
Люк Ю. Специальные математические функции и их аппроксимации.— М.: Мир, 1980.
Менде Ф. Ф., Спицын А. И. Поверхностный импеданс сверхпроводников. —Киев: Наукова думка, 1985.
Миттра Р., Ли С. Аналитические методы теории волноводов. Пер. с англ. — М.: Мир, 1974.
Морозова Я. Я. Сингулярное интегральное уравнение задачи дифракции на плоском волноводе с импедансным фланцем // Сб. научн. трудов: Интегральные преобразования и их применение к краевым задачам математической физики. — Киев: НАН Украины, 1996. Вып. 12. С. 152-163.
Мусхелишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. — М.: Наука, 1968.
Назарчук 3. Т. Численное исследование дифракции волн на цилиндрических структурах. — Киев: Наукова думка, 1989.
Натансон И. П. Конструктивная теория функций.——М., Л.: ГТТИ, 1949.
Нобл Б. Применение метода Винера-Хопфа для решения дифференциальных уравнений в частных производных: Пер. с англ. — М.: Иностр, лит., 1962.
Панасюк В. В., Саврук 7И. 〃.，Назарчук 3. Т. Метод сингулярных интегральных уравнений в двумерных задачах дифракции. — Киев: Наукова думка, 1984.
Силин Р. А., Гипсман А. И., Самохин Г. С. Полосковые линии и современные методы их расчета. Обзоры по электронной технике. Сер. Электроника СВЧ. — М.: ЦНИИ «Электроника», 1989. Вып. 6(1449).
Сологуб В. Г. Об одном методе исследования задачи о дифракции на конечном числе лент, расположенных в одной плоскости // ДАН УССР. Сер. А. 1975. №6. С. 550—554.
Сологуб В.Г., Третьяков О.А., Шестопалов В. /7. Возбуждение электромагнитного поля электронным потоком, движущимся вблизи дифракционной решетки // Сб.: Изв. вузов. Радиофизика. 1968. Т. 11, №4. С. 588-602.
Абрамовиц М., Стиган И. М. " др. Справочник по специальным функциям. —М.: Наука, 1979.
Форсайт Дж., Молер К. Численное решение систем линейных алгебраических уравнений. Пер. с англ. — М.: Мир, 1969.
Хенл X., Мауэ А., Вестпфалъ К. Теория дифракции. Пер. с нем. — М.: Мир, 1964.
Шестопалов В. /7. Метод задачи Римана-Гильберта в теории дифракции и распространения электромагнитных волн. Харьков: Изд-во Харьк. унта, 1984.
Шестопалов В. /7., Кириленко А. А., Масалов С. А., Сиренко Ю. К. Дифракционные решетки (Резонансное рассеяние волн). — Киев: Наукова думка, 1986.
Шестопалов В. /7., Литвиненко Л. Н., Масалов С. А., Сологуб В. Г. Дифракция волн на решетках. — Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1973.
Bahar Е. Diffraction of Electromagnetic Waves by Cylindrical Structure Characterized by Variable Curvature and Surface Impedance // Journ. of Mathematical Physics. 1971. V. 12, №2. P. 186-196.
Dashkin V., Gand el Yu., Morozova N. Numerical realization for the diffraction problems on multielemental gratings // Proc, of International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. Kharkov, 1994. P. 95-98.
Elliott D. Orthogonal polynomials associated with singular integral equations having a Cauchy kernel // SIAM J. Numer. Anal. 1982. V. 13, №6. P. 104Ы052.
Elliott D. The classical collocation method for singular integral equations // SIAM J. Numer. Anal. 1982. V. 19, №4. P. 816-832.
Erdogan F. E., Gupta G. D. On the numerical solutions of singular integral equations // Quart. Appl. Math. 1972. V. 29, №4. P. 525—534.
Gandel Yu., Morozova N. Mathematical models of diffraction and radiation problems for planar waveguide with impedance flange // Proc, of International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. Lviv, 1995. P. 88-91.
Gandel Yu. V., Polyanskaya T. S. Systems of Singular Integral Equations of Sertain Mixed Boundary-Value Problems of Mathematical Physics // Journal of Soviet Mathematics. New York, 1990. V. 4 8, №2. P. 144-152.
Ithoh T., Mittra R. A new method of solution for radiation from flanged waveguide // Proc. IEEE. 1971. V. 59, №7. P. 113Ы133.
Junghanns P., Silbermann B. Local theory of the collocation method for the approximate solution of singular equations // Integral Equations and Operator Theory. 1984. V. 7. P. 791—807.
Lee S. W. Ray Theory of Diffraction by Open-Ended Waveguides I. Field in Waveguides // Journal of Mathematical Physics. 1970. V. 11, №9. P. 2830-2850.
Matsushima A., Itakura T. Singular Integral Equation Approach to Electromagnetic Scattering From a Finite Periodic Array of Conducting Strips Electro // Waves Applic. 1991. V. 5. P. 545—562.
Matsushima A., Itakura T. Numerical Solution of Singular Integral Equations for Electromagnetic Scattering by a Set of Perfectly Conducting Strips with Two-Dimensional Geometry // Memoirs of the Faculty of Engineering, Kumamoto university. 1992. V. 37. P. 47-59.
Meixner /. The behavior of electromagnetic fields at edges // IEEE Trans. Antennas and Propag. 1972. V. 20, №4. P. 442-446.
Mittra R. A numerical approach to the determination of electromagnetic scattering characteristics of perfect conductors // IEEE Trans. Antennas and Propagations. 1969. V. АР-57. P. 2064-2065.
Nussenzueig H. M. Solution of diffraction problem // Philos. Trans, of the Royal Soc. of London. Ser. A. 1959. V. 252, № 1003. P. 1-51.
Oster A., Turbe N. On the Maxwell's System in Composite Media // Modelisation Mathematique Et Analyse Numerique. 1993. V. 27, №4. P. 481-496.
Park T. /. An Asymptotic Series Solution for the Flanged Waveguide Radiation // Proceedings of ISAP,92, Sapporo, Japan. 1992. P. 609—612.
Tsalamengas /. L., Fikioris /. G. Efficient solutions for scattering from strips and slots in the presence of a dielectric half-space: Extension to wide
scatterers. I. Theory. II. Applications // J. Appl. Phys. 1991. V. 70, №3. P. 112Ы131, 1132^1143.
Морозова Я. Я. Математическое моделирование с использованием метода дискретных особенностей в некоторых задачах теории колебаний и волн: Дис. канд. физ.-мат. наук. Харьков: ХГУ, 1997.
Вайникко Г. М., Лифанов И. К., Полтавский Л. Н. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения.——М.: Янус-К, 2001.
Довгий С.А., Лифанов И. К. Методы решения интегральных уравнений. — Киев: Наукова думка, 2002.
Учебное издание
КРАВ ЧЕН КО Виктор Филиппович
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА СВЕРХПРОВОДЯЩИХ СТРУКТУР. ТЕОРИЯ,АЛГОРИТМЫ И МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Редактор Е.С. АртоболевскаяОригинал-макет: И.Г. АндрееваОформление переплета: А.Ю. Алехина
Подписано в печать 06.04.06. Формат 60x90/16. Бумага офсетная.
Печать офсетная. Усл. печ. л. 17,5. Уч.-изд. л. 19,3- Тираж 500 экз.
Заказ №
Издательская фирма «Физико-математическая литература»МАИК «Наука/Интерпериодика»
117997, Москва, ул. Профсоюзная, 90
E-mail: fizmat@maik.ru, fmlsale@maik.ru;
http://www.fml.ru
Отпечатано с готовых диапозитивовв ОАО «Московская типография № 6»115088, г. Москва, Ж-88, ул. Южнопортовая, 24
ISBN 5-9221-0704-6
УДК 537.312.62
ББК 22.313
К 78
Кравченко В. Ф. Электродинамика сверхпроводящих структур. Теория, алгоритмы и методы вычислений. — М.:①ИЗМАТЛЙТ, 2006.— 280 с. - ISBN 5-9221-0704-6.
В монографии приведены и обобщены теоретические данные о поверхностном импедансе сверхпроводников. Рассмотрены различные импедансные граничные условия и определены границы их использования в краевых задачах электродинамики. Исследовано большое количество физических моделей различных сверхпроводящих структур для внутренних и внешних краевых задач. Получены новые алгоритмы, а также разработаны методы их вычислений. Монография рассчитана на научных работников, инженеров, занимающихся вопросами радиофизики и электроники, задачами математического моделирования физических процессов, протекающих в различных сверхпроводящих структурах, а также на студентов и аспирантов ВУЗов, специализирующихся по прикладной физике и вычислительной математике.
Рекомендовано УМО РФ по образованию в области прикладных математики и физики в качестве учебного пособия для студентов, обучающихся по направлению «Прикладные математика и физика».
Рецензенты:
член-корр. РАН В. И. Пустовойт,доктор физико-математических наук А. Д. Шатров
ISBN 5-9221-0704-6
© ФИЗМАТЛИТ, 2006
© В. Ф. Кравченко, 2006